ПРОГРАММА
ОБНОВЛЕНИЕ ГУМАНИТАРНОГО ОБРАЗОВАНИЯ В РОССИИ-
I»
Е.К.ВОИШВИЛЛО, М. Г. ДЕГТЯРЕВ
ЛОГИКА КАК ЧАСТЬ ТЕОРИИ ПОЗНАНИЯ И НАУЧНОЙ МЕТОДОЛОГИИ
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ КУРС
Учебное пособие для студентов Философских факультетов и преподавателей логики
Книга!

МОСКВА "НАУКА” 1994
ББК 87.4
В 65
Данное издание представляет собой авторскую работу, вошедшую в число победителей в открытом конкурсе "Гуманитарное образование в высшей школе", который проводится Государственным комитетом РФ по высшему образованию и Международным фондом "Культурная инициатива".
Конкурс является составной частью программы "Обновление гуманитарного образования в России".
Спонсором программы является известный американский предприниматель и общественный деятель Джордж Сорос.
Стратегический комитет программы:
Владимир Кинелев, Владимир Шадриков, Валерий Месъков, Теодор Шанин, Дэн Дэвидсон, Виктор ГаличиН
Рецензенты:
доктор философских наук В.Н. Костюк, доктор философских наук Е.Е. Ледников
Редакторы издательства: Е.А. Жукова, Л.В. Пеняева
п 0301060000-218 „
_ 042(02)-94 Без объявл"
ISBN 5-02-013514-3	© Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев,
1994
© В.В. Медведев, художественное оформление, 1994
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основное содержание книги составляет логика в широком, исторически сложившемся смысле. При широком понимании предмета этой науки, которое было обычным с момента ее возникновения и до второй поло'вины прошлого столетия, когда возникла тенденция сведения всей логики к символической, она представляет собой часть теории познания. Такое ее понимание свойственно выдающимся философам и представителям конкретных наук, таким, как Ф. Бэкон, Р. Декарт, Д. Юм, И. Кант, А. Пуанкаре, К.А. Тимирязев, Н. Бор, М. Борн, А. Эйнштейн и др. Правда, теоретико-познавательные аспекты логики отнюдь не всегда явно подчеркивались. Попытка рассмотреть логику с этой точки зрения была предпринята русским логиком А.И. Введенским1.
Задача, которую ставили перед собой авторы данной книги, является более широкой. Дело не только в том, чтобы выделить теоретикопознавательные аспекты в известных положениях логики - необходимо рассматривать логические понятия с точки зрения не только гносеологической, но и методологической их значимости. Существенно также и то, что для уяснения теоретико-познавательной и методологической роли изучаемых логикой форм и процедур необходимо рассматривать их в контексте процессов познания. Это обусловливает и другую задачу -проанализировать с точки зрения логики и сам процесс познания, представить его как некоторый структурированный процесс и выделить в нем узловые структурные и процедурно-методологические моменты, к числу которых относятся формы, приемы и методы познания, изучаемые логикой. В связи с этой установкой изложение собственно логического материала предваряется некоторым очерком процесса познания (соответственно тому, конечно, как его понимают авторы).
Указанный подход к логике ведет к тому, что расширяется и сама ее проблематика. Естественно, относится к ней исследование языка как средства познания (часть I книги). С учетом специфики воспроизведения действительности в познании и активности самого познания возникает необходимость рассмотреть также вопрос о многообразии объектов познания и их возможных характеристик (гл. 15). В отличие от принятого в традиционной логике различения форм мышления на понятия, суждения, умозаключения в данной работе различаются формы знания и методы познания (часть III). К числу первых наряду с понятиями и суждениями (высказываниями) относятся также теории; умозаключения (логические выводы) трактуются как методы познания, хотя показано, что и формы знания представляют собой в то же время определенные способы обработки опытного материала и формирования знания вообще.
1 Введенский А.И. Логика как часть теории познания. М. - Пг., 1923.
3
В связи с различением эмпирического и теоретического уровней познания в книге осуществляется разграничение изучаемых логикой методов познания на эмпирические и теоретические. При этом выявляются некоторые познавательные процедуры, не привлекавшие внимания в прошлом или трактуемые с сугубо формальной точки зрения. Таковой, например, является процедура научного объяснения, рассмотрение которой связывается с релевантной логикой и трактуется как один из способов выработки понятия сущности явлений и формирования знания законов изучаемой области действительности. Вопреки обычному рассмотрению аналогии, индукции как особых форм выводов здесь они - наряду с методами установления причинной зависимости явлений - трактуются прежде всего как определенные способы формирования знания, относящегося к эмпирической ступени познания, и - главным образом, когда речь идет об индуктивных обобщениях, - знания общего гипотетического характера. Отличается от принятых способ изложения и таких тем, как вопрос, гипотеза и др.
Авторы стремились избежать распространенного в литературе и педагогической практике противопоставления так называемой традиционной и современной символической логики. Символическая логика (часть II книги) рассматривается прежде всего как определенная методология, связанная с искусственными, формализованными языками. Наряду с теорией дедукции в книге даны также методы алгебры логики, изложение которых стало редкостью в современной литературе, хотя они, по-видимому, могут играть существенную роль, в частности, в решении ряда проблем искусственного интеллекта. Существенное значение символической логики авторы усматривают и в том, что ее формализованные языки и некоторые понятия, особенно связанные с теорией дедукции, составляют методологическую основу анализа форм мысли и познавательных процедур в естественном языке. Именно на этой основе принципиально переработаны основные теории традиционной логики - теория понятия, суждения (высказывания), а также уточнен анализ дедуктивных рассуждений в естественном языке. В частности, углубление анализа структур категорических суждений приводит к выяснению специфических понятий так называемой теории силлогистических умозаключений й к существенным коррективам в анализе этих форм выводов.
Само изложение символической логики подчинено, с одной стороны, задаче выяснения философских аспектов, связанных с созданием и применением формализованных языков, с другой - практической цели обеспечения возможности для читателя овладения дедуктивным аппаратом, а также развития навыков осуществления выводов в соответствии с точно заданными постулатами логических исчислений. В связи с этим изложение теории дедукции осуществляется в соответствии с историческим развитием этого аппарата по линии приближения логических исчислений к формам естественных рассуждений: от аксиоматических систем - к системам со схемами аксиом, от них - к исчислениям аксиоматического характера с элементами натурального вывода, связанными с известной теоремой дедукции, от последних - к натуральным 4
системам и, наконец, от классической - к релевантной логике. При этом излагаются натуральные системы оригинального характера, в которых указанная задача приближения к естественным рассуждениям решается, по мнению авторов, в максимальной степени. Новые результаты читатель может найти и в целом ряде других разделов книги.
Вообще, при отборе материала и в способах его изложения авторы особо стремились выделить философские его аспекты и практически полезные процедуры и методы познания. Практическая направленность в изложении материала заметно выражена в построении таких, например, разделов, как "Операции с понятиями", "Определение", "Силлогистические выводы", "Аргументация" и др. В изложении, например, силлогистических выводов авторы отказались от распространенной в последнее время практики их изложения, когда ограничиваются изложением множества силлогистических теорий (предусматривающих различные Системы выводов), поскольку читатель в таком случае остается в неведении относительно того, какие, в конце концов, формы рассуждений могут быть приняты им в качестве правомерных. В книге предложена наиболее естественная, опять-таки с точки зрения авторов, система выводов указанного характера и дана ее аксиоматизация. Аналогичным образом вместо изложения существующих теорий модальностей, представляющих собой, по существу, формальные, содержательно неинтерпретированные системы (система М, Брауэрова, S4, S5 и др.), т.е. не дающие ответов на вопрос о том, что представляют собой модальности и какие именно модальности имеются в виду в тех или иных системах алетических модальностей, авторы предпочли просто изложить понятия логической и физической необходимости, возможности, случайности, существенные для усвоения истории философии, как и самой философии. Что касается физических модальностей, анализа которых не имеется в современной литературе, то в книге показана роль понятий следования и интенсиональной импликации для выяснения указанных (физических) модальностей и то значение, какое они имеют для определения ряда понятий логики научного познания.
Авторы отдают себе отчет в том, что весь содержащийся в книге материал не может быть охвачен в одном, даже значительном по объему, курсе логики (хотя вместе с тем вынуждены были опустить ряд вопросов логики, имеющих, по крайней мере, философское значение). Однако авторы стремились изложить не только то, что должно войти в рамки традиционно читаемых курсов, но и то, что должно составить основу для формирования различных курсов - в зависимости от интересов и подготовки аудитории.
Книга рассчитана не только на то, чтобы служить учебником или учебным пособием для студентов философских и других гуманитарных специальностей, но также пособием для преподавателей логики, теории и методологии научного познания. Впрочем, авторы надеются, что в данной книге найдут полезные для себя материалы и представители других специальностей, интересующиеся проблемами логики и теории познания.
Введение
ПРЕДМЕТ И ЗНАЧЕНИЕ ЛОГИКИ
Термин ’’логика" в настоящее время употребляется в трех основ ных значениях. Во-первых, этим словом обозначают всякую необходи мую закономерность во взаимосвязи объективных явлений. Выражения ’’логика фактов", "логика вещей”, "логика исторического развития" и т.п. представляют типичные варианты употребления этого слова в таком значении. Во-вторых, словом "логика" обозначают закономерности в связях и в развитии мыслей. Типичными выражениями здесь являются такие, как "логика рассуждения", "логика мышления" и т.д. Следует иметь в виду, что закономерности в связях и развитии мыслей являются опосредованным отражением объективных закономерностей. И наконец, "логикой” называют науку - определенную систему знаний, рассматривающую логику мышления. При этом логикой часто называют не только всю эту науку, но и отдельные ее разделы: модальную логику, неклассическую логику и др.
Мы знаем, например, что существует явление объективной действительности - отклонение кометы Галлея от заранее рассчитанной траектории. Очевидно, что это событие имеет свою объективную логику. Существует астроном, который рассуждает о причинах, последствиях этого отклонения. Его рассуждения по этому поводу составят логику мышления. Логику же как науку может интересовать само это рассуждение с точки зрения того, какие мыслительные процедуры, какие логические операции использует астроном, т.е. как рассуждает астроном, когда он рассуждает об отклонении кометы Галлея? Вопрос "как" включает в себя главный логический компонент: правильно ли он рассуждает? Ответы на подобные вопросы дает Логика.
Логику обычно определяют как науку о правильном мышлении. Мышление есть сложный процесс, оно имеет различные аспекты, чем и обусловлено наличие ряда наук, изучающих его. К их числу относятся психология, физиология, кибернетика, лингвистика, социология и др. Естественно, возникает вопрос, что же в мышлении составляет предмет изучения логики? Чтобы ответить на него, надо ознакомиться хотя бы в самых общих чертах с тем, что представляет собой процесс познания.
§ 1. Основные характеристики процесса познания
Познавать предметы и явления окружающей действительности мы начинаем с помощью органов чувств. В результате воздействия предметов на наши органы чувств (в том числе и в ответ на наши действия с ними) мы получаем ощущения - отражения отдельных свойств, 6
сторон, характеристик этих предметов и явлений: твердости, нагретос-ти, цвета, запаха, звуковых проявлений и т.д. Ощущения составляют источник, начало всего нашего познания.
На базе ощущений формируются более сложные чувственные образы предметов - восприятия - отражение предметов в целом, правда, лишь с внешней их стороны. И наконец, воспроизводя в нашей памяти прежние восприятия, мы имеем представление о предметах. Представление дает нам возможность сохранить определенную информацию о предметах, когда они находятся вне сферы непосредственного воздействия на наши органы чувств. Более того, на основе своего чувственного опыта и имеющихся знаний человек может формировать представления о предметах, с которыми он не имел чувственных контактов. Процесс создания представлений такого рода называется "воображением".
Обычно чувственные данные фиксируются в словах и словосочетаниях языка. Посредством языка происходит также и переработка чувственных данных, осознание специфики тех или иных предметов, выделение их сходств и различий, выявление и обобщение их связей и отношений с другими предметами. Этот процесс воспроизведения действительности в сознании человека с помощью языка называют, в отличие от чувственной ступени, рациональной ступенью познания или ступенью абстрактного мышления. Употребление здесь слова "ступень" (или "уровень") весьма условно, поскольку в самом процессе чувственного отражения существенную роль играют уже имеющиеся знания. Кроме того, в процессе мышления, включая и самые высокие его уровни, человек постоянно опирается на чувственные образы, создаваемые нередко посредством воображения. Тем не менее, разделение познания на ступени имеет основание хотя бы в историческом плане, да и в каждом отдельном процессе познания, поскольку началом его является чувственный опыт.
Чувственные данные играют для нашего мышления роль аналогичную той, которую играет пища для процесса пищеварения. Отрицать существование чувственной ступени познания, как это делают некоторые философы, на том основании, что, дескать, сам процесс чувственного освоения предметов связан обычно с мыслительной деятельностью, - это все равно что отрицать ступень (этап) приема пищи в процессе пищеварения на том основании, что сам процесс пищеварения, например выделение слюны, желудочного сока, начинается до приема пищи, часто только при ее виде.
В связи с пищеварением приходит мысль и об отходах его деятельности... Но и при переработке чувственных данных мышление, "проверяя" их, также отбрасывает часто то, что в наших наблюдениях не соответствует реальности: вроде сходящихся к горизонту железнодорожных рельс, переломленного в воде весла, погружающегося в море Солнца и т.п.
Продолжая аналогию между мышлением и пищеварением, в процессе которого, как известно, не только перерабатывается пища, но
7
синтезируются новые вещества, нужно отметить, что роль мышление состоит не только в переработке чувственных данных. Мышление наряду с органами чувств, ощущениями само является важным источ ником приобретения нового знания. При объяснении чувственно воспри нимаемых явлений, например горения, кипения и т.п., за счет работь, мышления выясняется сущность этих явлений; при этом вводятся в соответствующие теории недоступные органам чувств объекты: моле> кулы, атомы, поля и т.д. Мышление создает, как мы увидим далее, объекты сугубо теоретического характера: абстрактные, идеализиро^ ванные, идеальные и т.п. (см. § 47).
Благодаря этому наряду с областями реальной действительности, предметы и явления которой существуют в пространстве и времени, возникают объекты, составляющие области идеальной действительности, которые изучают так называемые абстрактные науки, в частности, математика и логика. Логические операции и процедуры, которые изучаются в логике, не имеют пространственно-временных характеристик1, как и числа, множества, группы, вообще изучаемые математикой структуры.
Между чувственной и рациональной ступенями познания имеется ряд существенно различных характеристик. Различны, во-первых, сами формы отражения действительности на той и другой ступени. На первой, чувственной, как мы уже говорили, таковыми являются ощущения, восприятия, представления. На ступени же абстрактного мышления наши знания о действительности представлены такими формами, как понятия, высказывания (суждения), теории. Это специфические языковые формы выражения получаемых знаний в процессе познания, тогда как формы чувственного опыта отнюдь не обязательно связаны с языком. Далее, чувственное познание является в основном пассивной формой отражения действительности. Чувственные данные человек получает нередко помимо своей воли, а иногда - и вопреки желаниям. Процесс же познания на абстрактной ступени представляет собой волевую, целенаправленную деятельность. Не случайно в характеристике этого процесса применяются такие выражения, как "научный поиск", "напряженная работа мысли", "интеллектуальная деятельность" и т.п. Целенаправленность мыслительных процессов определяется возникающими вопросами: что общего в предметах того или иного класса? Почему, как осуществляется то или иное явление? Каковы механизмы взаимодействия предметов? Каковы закономерности их развития? и т.п.
Как и всякая деятельность, мышление имеет свои специфические приемы и методы: анализ, синтез, сравнение, обобщение, абстрагирование, научное объяснение и др., с помощью которых форми-
Конечно, речь идет не о конкретных случаях применения операций логики в конкретных, естественных процессах мышления, а о типах операций вообще, о законах, которым они подчинены, об условиях их правильности, взятых вне пространственно-временных координат.
8
пуются понятия, высказывания (суждения), теории. К числу приемов и методов мыслительной деятельности относятся также операции с самими понятиями и высказываниями: обобщение и ограничение, деление и классификация понятий, доказательство и опровержение высказываний, выводы одних высказываний из других -Умозаключения.
Умозаключения играют важную роль для характеристики мышле
ния как одного из источников познания. Они часто дают возможность выявить то, что недоступно непосредственно органам наших чувств. Цапример, в механике известно, что у всякого тела, у которого плотность одинакова во всех точках его объема, геометрический центр и центр тяжести совпадают. У Земли, как показывают астрономические наблюдения, эти центры не совпадают. Ясно, что это дает нам
право - чисто теоретически, опосредованно - заключить, что плотность Земли не является одинаковой во всех ее частях.
Характерной особенностью абстрактного мышления, наряду с тем, что оно является опосредованным отражением действительности, выступает обобщенный характер отражения. Если на чувственной ступени познания мы имеем информацию об отдельных явлениях и предметах и лишь в некоторой мере достигаем обобщения различных предметов в представлениях, то на ступени абстрактного мышления всякое отдельное, конкретное познается на основе общего, т.е. на основе предварительного обобщения предметов тех или иных классов (металлов, растений и т.п.). Так, чтобы понять, что представляет собой Московский государственный университет, мы должны, по крайней мере, иметь знание о том, что такое учебное заведение, высшее учебное заведение, университет. Знания такого рода представляют понятия. В понятиях мы обобщаем предметы некоторых классов, т.е. множеств качественно однородных в некотором отношении предметов. Обобщения достигаются за счет выделения именно того общего, что характерно для предметов этого класса. Так, мы получаем понятия: "целое положительное число, отличное от единицы, которое не имеет никаких делителей кроме самого себя и единицы (простое число)", заведение, в котором происходит обучение людей каким-то наукам (учебное заведение)" и т.п.
Следует заметить, что сами обобщения возможны только благодаря употреблению языка, поскольку только именно с помощью знаков языка, т.е. слов и словосочетаний, мы можем выделить и зафиксировать общие свойства предметов какого-либо класса. С помощью ЯзЫка же мы познаем и выделяем причины и сущность явлений. Знание сущности составляет основу значимых обобщений, объяснения явлений, выявления законов действительности, основу формирования Теоретических понятий и самих теорий. В познании сущности явлений основную роль играет именно мышление, которое само по себе, наряду ощущениями, является, как уже было сказано, важнейшим источни-ом познания.
Важную роль в процессе познания играет практическая деятельность людей. Именно в процессе практической деятельности прежде всего осуществляется познание предметов с помощью органов чувств. Практика же ставит перед человеком вопросы, проблемы, которые стимулируют и направляют познавательную деятельность. С другой стороны, в практике проверяются результаты тех или иных процессов познания, устанавливается истинность или ложность возникающих высказываний и теорий. Таким образом, практика играет двоякую роль: она является основой процесса познания и критерием истинности его результатов.
Все наше знание нужно нам в конечном счете для практического применения. Эту мысль хорошо выразил русский историк В.О. Ключевский: "Цена всякого знания определяется его связью с нашими нуждами, стремлениями и поступками. Иначе знания становятся простым балластом памяти, пригодным для ослабления житейской качки разве только пустому кораблю, который идет без настоящего ценного __ но груза 2.
Итак, основные особенности абстрактного мышления, определенные аспекты которого изучает логика, составляют: неразрывная связь с языком, опосредованный, целенаправленный и обобщенный характер отражения и, как мы видели, наличие особых форм отражения действительности и особых приемов и методов познавательной деятельности.
Наряду с различением ступеней чувственного и рационального познания в рамках самого рационального познания также выделяют две ступени: ступень или, лучше сказать, уровень эмпирического познания (и знания) и ступень теоретического познания (и знания). Последняя не представляет собой некий неизменный, раз и навсегда достигнутый уровень знания, здесь возможно постоянное расширение знания за счет все более глубокого проникновения нашего познания в сущность явлений (см. §§ 49, 95).
Эмпирический уровень рационального познания - это процесс (этап) мыслительной - языковой - переработки чувственных данных, вообще информации, полученной с помощью органов чувств. Такая переработка может состоять в анализе, классификации, обобщении материала, получаемого посредством наблюдения. Здесь в форме высказываний фиксируются определенные связи, отношения между предметами, факты, указывающие на наличие или отсутствие тех или иных ситуаций. Здсь образуются понятия, обобщающие наблюдаемые предметы и явления.
Более того, на этом уровне возможны также так называемые индуктивные обобщения наблюдаемых фактов, т.е. переходы от высказываний, фиксирующих наличие какого-то свойства у отдельных предметов какого-либо класса, к заключениям о присущности этого свойства всем предметам этого класса (см. § 87); на основе сходства пред-
2 Ключевский В.О. Соч.: В 8 т. Т. 1: Курс русской истории. Ч. I. М. 1956. С. 45.
10
^етов в каких-то признаках - к заключению о присущности предметам некоторых других свойств (см. § 86)3. Процессы этого рода представляют собой уже такие проявления активности мышления, которые выражаются в выходе его за пределы непосредственно данного нам в том или ином опыте. Однако это еще не выход за пределы чувственного материала вообще, за пределы того, что доступно наблюдению с помощью органов чувств.
Мы наблюдаем, например, что отдельные тела при нагревании расширяются, а при сильном раскаливании каких-то из них они излучают свет. Естественно, что при этом могут возникать предположения, что первое справедливо для всех тел, а второе - для всех случаев, когда тела могут быть раскалены. Однако мы не знаем при этом, каков механизм, обусловливающий то, что одно явление сопровождается другим, не знаем, что в упомянутых связях участвуют атомы, электроны, электромагнитные поля и т.д. Здесь мы имеем дело с тем, что называют "черным ящиком": есть нечто, поступающее на его вход, и нечто, появляющееся на его выходе, - это то, что мы наблюдаем. Но в самом этом ящике скрыт тот механизм, который перерабатывает одно в другое. Механизмы такого рода в природе относятся к более глубокому уровню действительности, недоступному для органов наших чувств.
Таким образом, на эмпирическом уровне мы имеем знание фактов, их классификации, обобщение их в понятиях, гипотетические предположения относительно некоторых законов в наблюдаемой области - все это составляет эмпирический базис для построения тех или иных теорий.
Переход к теоретической ступени в познании явлений реальной действительности связан прежде всего с проникновением нашего познания в сферы действительности более глубокие в сравнении с тем, что доступно органам наших чувств. Это выражается в проникновении в сущность явлений и в появлении в составе формируемых теорий объектов - молекул, атомов, электронов, электромагнитных полей, а также их характеристик, недоступных чувственному восприятию.
При этом, раскрывая, например, механизм расширения тел при их нагревании, имеем один уровень знания, а выясняя сущность светового излучения тел при их раскаливании, доходим до знания более глубокого уровня: в одном случае выясняется существование молекул и закономерности их движения, в другом - осуществляется проникновение в структуру не только молекул, но и атомов, а также атомных ядер.
Для теоретической ступени рационального познания характерно то, что здесь включается деятельность мышления как особого источника знания: происходит построение теорий, объясняющих наблюдаемые явления, открывающих законы той области действительности, которая
3 К. Поппер, отрицая роль индукции в познании, игнорирует в своей теории познания всю область познавательных процессов на эмпирическом уровне. Анализ познавательных процессов у него начинается с проверки неизвестно каким образом возникающих гипотез. См. его работу: Логика и рост научного знания. М., 1983.
является предметом изучения той или иной теории. Если для эмпирического уровня характерно знание фактического и гипотетического характера, то для теоретического уровня основным является знание необходимого характера, примером которого может служить объяснение явлений (см. § 95) и связанное с ним знание законов действительности.
Наряду с познанием конкретных явлений действительности на теоретической ступени происходит выделение различных аспектов реальной действительности - пространственных, количественных отношений, самой мыслительной деятельности и др., которые превращаются в самостоятельные области теоретического осмысления. При этом в качестве объектов изучения возникающих таким образом теорий появляются особого рода теоретические объекты, объекты абстрактных теорий - геометрии, арифметики, логики и т.п. В одних случаях эти объекты представляют собой результаты мыслительной обработки, в частности идеализации, предметов реальной действительности; в других - они вообще являются результатами мыслительной деятельности, хотя и опирающимися более или менее опосредованным образом на нечто реально существующее. Последнее существенно для объяснения того, каким образом упомянутые абстрактные теории могут иметь те или иные практические применения, в частности, в качестве методологии познания той же реальной действительости (как, например, в случае математики и логики).
Эмпирический и теоретический уровни познания различаются и характером употребляемой в познании терминологии. Термины (имена предметов, знаки свойств, отношений и т.д.) на эмпирическом уровне называют терминами наблюдения, а на теоретической - теоретическими, хотя некоторые философы, занимающиеся проблемами теории познания, отрицают не только целесообразность, но даже саму возможность разделения терминов науки на термины наблюдения и теоретические термины. Так, П. Фейерабенд пишет: "Различие между терминами наблюдения и теоретическими терминами не имеет в научном познании никакого значения, а попытка закрепить его имела бы гибельные последствия"4.
С этим мнением автора нельзя согласиться хотя бы потому, что теоретические знания обычно проверяются на опыте. Из полученных теоретических знаний выводятся следствия фактического характера, т.е. такие, которые доступны наблюдению, и осуществляется проверка того, имеются ли в действительности соответствующие факты (см. гл. 18). Ясно, что для описания этих фактов нам нужны именно термины наблюдения, которые как раз нельзя смешивать с теоретическими терминами и понятиями. Следуя же мнению П. Фейерабенда^ надо, очевидно, отказаться и от различения уровней познания. Эта концепция вообще ведет к тому, что познание представляется как процесс, лишенный какой-либо более или менее определенной структуры, к
4 Фейерабенд П. Избранные труды по методологии науки. М., 1986. С. 328. 12
трицанию существования какой-либо хотя бы неполно и приблизительно описанной системы методов познания и совокупности каких-либо принципов рациональности (на что указывает само название философского направления, к которому относится П. Фейерабенд, - "методоло-^еский анархизм”).
Воспроизведение действительности в мышлении, особенно на теоретической его ступени, отнюдь не является простым, зеркальным отображением ее в нашем сознании. Наряду с тем, что отображение действительности здесь, как уже было отмечено, осуществляется в особых формах, оно представляет собой сложный, противоречивый процесс. В частности, при формировании самого языка происходит отрыв свойств, отношений, вообще характеристик предметов от самих предметов. Свойства и отношения предметов, как и сами предметы, фиксируются
в различных знаках языка и наличествуют первоначально в языке в отрыве друг от друга, как нечто самостоятельно существующее: свойства (красный, высокий, электропроводный, вязкий, трудный) в отрыве от предметов (медь, человек, воск, наука), одни свойства и отношения, связанные в действительности, - в отрыве друг от друга и от предметов и т.п.
Созидательная деятельность мышления начинается с того, что те или иные свойства, отношения соотносятся с определенными предметами: устанавливается наличие или отсутствие тех или иных свойств у предметов (медь - электропроводка, воск - не красный и т.п.), характеризуется наличие или отсутствие отношений между определенными предметами (Москва южнее Мурманска, воск легче парафина, Иван не брат Петра и т.п.). Это - основная синтетическая деятельность
мышления, которая осуществляется посредством специальных мыслительных актов - утверждений и отрицаний - и реализуется в таких формах мысли, как суждения. Таким образом, суждение является основной формой мыслительной деятельности. А указанная синтетическая деятельность прежде всего характеризует активный характер мыслительной познавательной деятельности и специфику воспроизведения мира с помощью языка (см. Часть I).
Основу всего процесса познания составляют следующие наиболее общие - применимые как на эмпирическом, так и на теоретическом Уровне познания, - приемы познавательной деятельности.
Сравнение - выявление сходств и различий между предметами.
Анализ предметов, данных в представлении, - разложение, расчленение их на отдельные признаки, отдельные части, выявление их связей и отношений с другими предметами.
Синтез - воспроизведение предметов, расчлененных в процессе анализа на отдельные признаки, части, результатом которого является Представление их как системы выделенных частей, свойств и отношений.
Обобщение - объединение в одной мысли под одним термином -словом, словосочетанием - множества предметов по сходным их чертам. Обобщение связано с процессом абстрагирования.
13
Выделяются три вида АБСТРАГИРОВАНИЯ.
Первый из них состоит в том, что в предмете выделяются какие-то признаки, а все другие остаются за пределами внимания. Другими словами, происходит отвлечение от всех других признаков. Результат применения такого приема есть абстрактно мыслимый, характеризуемый лишь некоторой совокупностью выделенных признаков предмет. Наиболее важную роль этот прием играет при образовании понятий. Здесь он неразрывно связан с обобщением предметов некоторого класса и поэтому может быть назван обобщающе-различающим абстрагированием.
Второй вид - отождествляющее абстрагирование. Прием состоит в том, что, выделяя некоторые признаки предмета, мы игнорируем все остальные как несущественные с той или иной точки зрения. Это ведет к отождествлению всех предметов, обладающих выделенными признаками. Таким образом, например, выделяя те или иные слова по их структуре, мы игнорируем все различия, связанные с их написанием или произношением, и рассматриваем все случаи употребления слова одной и той же структуры как различные экземпляры одного и того же слова. Все эти случаи как бы склеиваются в один. Элементами понятия ’’книга", например, мы считаем такие книги, как "Поднятая целина", "Три мушкетера" и т.д., но не различные экземпляры этих книг.
И наконец, имеется так называемое изолирующее абстрагирование, состоящее в том, что отдельные признаки предметов, отдельные их характеристики мысленно отделяются от самих предметов и становятся самостоятельными предметами мысли. Результатом таких процессов являются так называемые абстрактные объекты и понятия: "фигура", "качество", "количество", "талант", "объем", "длина" и пр.
Следует различать (часто смешиваемые) такие приемы познания, как обобщающее абстрагирование и идеализация. Последняя состоит в том, что, имея в виду некоторые предельные случаи (предел уменьшения трения, увеличение упругости и т.д.), мы либо мысленно наделяем предметы какими-то свойствами, которых они в действительности не имеют (например, физические тела - способность восстанавливать при деформации свой объем или форму, в результате чего появляются понятия типа "идеально упругое тело или жидкость"), либо лишаем их каких-то свойств, которыми они в действительности обладают. Так возникают в нашем сознании "безразмерные" точки, линии, "лишенные ширины", "идеальный газ".
Большую роль на эмпирическом уровне познания играет наблюдение - выявление тех или иных ситуаций или отношений с помощью органов чувств. На этапе теоретического познания возникает, если можно так выразиться, вторичное наблюдение - опять-таки фиксация с помощью органов чувств объектов, ситуаций, отношений, но таких, которые предсказаны теорией. Можно сказать, что в этом смысле мы наблюдаем поток электронов, когда видим свечение электрической лампочки, а также траектории полета микрочастиц, их столкновения, 14
разрУшения или> наоборот, соединения - на фотопленках, в пузырьковых камерах и т.п.
Но особенно важным приемом теоретического познания становится
эКсперимент, в котором целенаправленным образом на основе некоторой теории создаются специальные условия взаимодействия тех или #ных явлений, по мере надобности устраняются одни факторы и вводятся другие с целью проверки предсказываемого теорией результата. Здесь, очевидно, мы также имеем процесс наблюдения, но он
выступает тут лишь как одна из компонент исследования.
Роль эксперимента как метода познания особенно усиливается в
связи с возможностью осуществлять его в ряде случаев мысленным образом, создавая, варьируя и анализируя необходимые комбинации явлений лишь в воображении.
Каждый, кто хотя бы в общих чертах знакомился с теорией относительности, помнит, очевидно, как многие ее положения доказываются посредством именно мысленного эксперимента. В историю науки вошло, например, и доказательство Галилеем посредством мысленного
эксперимента того, что в пустоте скорость падения всех тел независимо от их масс одинакова. Представим себе, что один раз падает целый кирпич. Второй раз падает он же, но предварительно распиленный на две половины, приложенные одна к другой. Ясно, что нет никаких причин, по которым половинки кирпича падали бы в данном случае с иной скоростью, чем кирпич в целом.
Большую роль в познании играет интуиция, проявляющаяся в способности человека каким-то нерегулярным и не объясненным до сих пор образом угадывать в отдельных представителях класса их общую сущность, наличие в наблюдаемых случаях причинных связей, проявление законов и т.п. Есть основания различать интуицию чувственную и интеллектуальную (см. §§ 76, 87).
ПОНЯТИЕ ИСТИНЫ. В заключение данного краткого очерка процесса познания необходимо особо отметить, что цель всякого познания состоит в достижении истинного знания о тех областях действительности, которые являются предметом познания. Понятие истинного знания удобнее всего разъяснить на примере высказываний (суждений), с которыми его нередко только и связывают5.
В каждом высказывании утверждается наличие или отсутствие у тех или иных предметов какого-то свойства или отношения между ними. Иначе говоря, в каждом высказывании утверждается наличие или отсутствие той или иной ситуации в действительности, к которой относится данное высказывание.
Отсутствие некоторой ситуации, в свою очередь, обычно рассматривают как наличие некоторой отрицательной ситуации. Отсутствие ситуации впадения Волги в Черное море можно рассматривать как наличие ситуации не впадения Волги в Черное море. Таким образом,
5 Вопрос о применимости понятия истинности к теориям и понятиям будет рассмотрен далее: § 60 и гл. 18.
15
мы приходим к обобщению: в каждом высказывании утверждается наличие некоторой (положительной или отрицательной) ситуации в действительности. Положительные и отрицательные ситуации назовем противоположными (они не могут иметь места в действительности одновременно и какая-то из них всегда имеет место). Учитывая это, можно сказать:
ВЫСКАЗЫВАНИЕ истинно тогда и только тогда, когда утверждаемая в нем ситуация имеет место в действительности.
В противном случае говорят, что высказывание ложно. Точнее говоря, высказывание ложно, если в действительности имеет место ситуация противоположная той, которая утверждается в высказывании.
Если высказывание истинно или ложно, и только в этом случае, оно называется осмысленным. В противном случае оно не является осмысленным. Необходимым условием осмысленности высказывания является точность его формулировки, т.е. правильность его формулировки с точки зрения требований языка и логики. Требование логики состоит прежде всего в том, чтобы высказывание имело ясный смысл (что, в свою очередь, подразумевает выполнение определенных правил логики при построении высказывания).
При невыполнении требования ясности в рамках неосмысленных высказываний могут возникать высказывания бессмысленные и неопределенно-истинностные. Примеры бессмысленных высказываний: "Всякий вечный двигатель работает без бензина", "Простые числа тяжелее нечетных". Утверждения типа "Это тело является горячим", "Земля вращается быстро" и т.п. без дополнительных уточнений того, что значит "горячее", "быстрое", "большое" и т.п., являются неопределенно-истинностными6. Бессмысленные и неопределенно-истинностные высказывания, конечно, не являясь истинными, не являются и ложными.
В дальнейшем у нас возникнет необходимость некоторых уточнений приведенных определений истинности и ложности высказываний. Но здесь уже важно отметить различия между истинами эмпирического уровня познания, с одной стороны, и теоретического - с другой. Поскольку в высказываниях эмпирического уровня фиксируется некоторое положение дел фактического характера, их истинность не подвержена изменениям в дальнейшем процессе познания. Поэтому истины такого рода называют абсолютными.
6 Первое высказывание бесмысленно потому, что не имеет реального содержания, так как в действительности нет предметов, к которым оно относится. Это значит, что в данном случае в действительности нет ситуации, которая утверждается в данном высказывании (работа всех вечных двигателей без бензина), как нет и противоположной ситуации (работа каких-то вечных двигателей на бензине). Второе высказывание бессмысленно, так как не выполняется одно из требований логики - необходимость того, чтобы предметы, к которым относятся утверждаемые в высказывании их характеристики, относились к области определения этих характеристик (точнее, как мы увидим далее (§ 7), - к области определения знаков этих характеристик, называемых предикаторами).
16
Теоретические же знания, как мы уже могли видеть, зависят от уровня проникновения знания в сущность явлений и потому в процессе познания они постоянно корректируются, уточняются и обогащаются, р связи с этим сама истина здесь не является чем-то раз и навсегда данным - истины этого рода называют относительными. Они относительны именно постольку, поскольку относятся всегда к тому или иному уровню познания. Об изменчивости теоретических истин - объяснение явлений, знание законов - свидетельствует вся история развития научного познания (см. §§ 49, 59, гл. 18).
§ 2. Логика как наука
Логика как наука возникла в IV в. до н.э. Ее создателем был древнегреческий философ Аристотель (384-322 гг. до н.э.), который систематизировал и развил логические изыскания своих предшественников в трудах, объединенных общим названием "Органон" ("Категории", "Об истолковании", "Первая аналитика", "Вторая аналитика", "Топика", "О софистических опровержениях")7. Нелишне заметить, что логика была первой из оформившихся в самостоятельную науку отраслей знания.
I Логику определяют обычно как науку о формах правильных рас-суждений, имея в виду выявление прежде всего законов и форм правильных выводов и доказательств. В силу чего ее часто называют формальной логикой8. При этом выделяется наиболее существенное в содержании этой науки, поскольку выводы (умозаключения) играют наиболее важную роль в процессах теоретического познания. Однако уже у самого Аристотеля круг исследования проблем логического характера является значительно более широким. У него анализируются не только основные формы мысли: понятия, суждения, - но и многие приемы познавательной деятельности. Учитывая это, точнее было бы определить ЛОГИКУ как науку о формах и приемах познания на ступени абстрактного мышления, о законах, которые составляют основу правильных методов, и языке как средстве познания.
При таком понимании науки в ней, наряду с формальной логикой, выделяются, по крайней мере, такие разделы, как логическая семиотика (исследование языка как средства познания), а также методология (изучение общенаучных методов и приемов познания).
7 Все логические трактаты величайшего философа античности вошли во второй том его произведений. См.: Аристотель. Соч.: В 4 т. М., 1978. Т. 2.
Термин "формальное" трактуют иногда как бессодержательное, формалистическое и т.п. Но к формальной логике это не имеет никакого отношения! Дело просто в том, что задачей этого раздела логики как науки является выявление определенных форм (структур) рассуждений, но при этом учитывается как,раз^чтасами,формы, например, высказываний, понятий, имеют содержание, а именно логическое содержание. Ойо играет очень важную роль для понимания многих познавательныхпроцесеов.
2 Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев, кн. I	17
Когда говорят, что логика изучает приемы и методы познавательной деятельности, то имеются в виду действия именно логического характера, т.е. такие приемы и методы познания, которые не связаны со специфическим содержанием тех или иных наук. Каждая из конкретных наук имеет в качестве предмета исследования ту или иную область природы или общественной жизни, логика же изучает то, каким образом осуществляется мыслительно-познавательная деятельность в различных науках.
Наряду с исследованием законов и форм выводов и доказательств, представляющих собой процесс получения нового знания из уже имеющегося, в логике анализируются формы выражения знания: возможные виды и логические структуры понятий, высказываний, теорий, а также многообразные операции с понятиями и высказываниями, отношения между ними.
В исследовании же языка как средства познания выясняются вопросы о том, каким образом выражения языка могут представлять в нашем мышлении те или иные предметы, связи, отношения. В связи с этим вопросом рассматриваются такие понятия, как знак, виды знаков, принципы их употребления, смысловое и предметное значение знаков и др. Выделяются естественные и специально создаваемые логикой так называемые формализованные языки, которые используются для выяснения ряда существенных логических понятий (закона логики, вывода, доказательства и др.), а также для решения многих задач логико-познавательного характера, играющих важную роль в процессе познания: совместимы ли те или иные высказывания, является ли какое-либо выражение следствием других и т.д.
Будучи наукой о мыслительной деятельности, логика тесно связана с психологией. Однако есть существенные различия в их подходе к анализу мышления. Психология рассматривает процесс мышления как естественный процесс. Она исследует типы мышления у людей самых разных категорий, ее интересуют случаи патологии и их причины, зависимость мышления от интересов и памяти, от психологического состояния личности и многие другие вещи подобного рода. Предметом логики являются исторически сложившиеся формы и приемы познания, от которых зависит истинность результатов познания. Сами же формы, приемы и методы познания определяются не психическими особенностями личности, ее привычками и наклонностями, а некоторыми наиболее общими свойствами и отношениями вещей объективной действительности. Дело в том, что в конечном счете формы и методы познания являются опосредованными отражениями свойств и отношений предметов объективной реальности.
Логику в первую очередь интересует не то, как мыслит человек, а то, как он должен мыслить для решения тех или иных задач логикопознавательного характера, о которых мы говорили выше. Причем, имеется в виду такое решение этих задач, которое бы обеспечивало достижение истинных результатов в процессе познания. В естественных же процессах мышления у нас нередко проявляется склонность к поспешным обобщениям, излишняя доверчивость к интуиции, неопре-18
елейность значений употребляемых слов. Предписания логики способствуют преодолению этих и других недостатков естественных рассуждений.
Таким образом, логика имеет не только описательный, но и нормативный (предписывающий) характер. И в этом смысле описание и объяснение мыслительных процедур с точки зрения логики направлено, в первую очередь, на выработку определенных требований и норм, предъявляемых к мыслительным процедурам.
ЛОГИЧЕСКАЯ ФОРМА И ЛОГИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ МЫСЛИ
Для уяснения специфики предмета логики и особенно специфики изучаемых ею законов необходимо уяснить понятия логической формы и логического содержания мысли. Это - понятия высокого теоретического уровня и сложности. Для точного их выяснения необходимо применение специальных формализованных языков. Здесь возможно лишь предварительное знакомство с ними.
Рассмотрим понятия логической формы и содержания мысли на примере такого наиболее знакомого читателю вида знания, как суждения (высказывания)9, в котором, как помним, утверждается наличие или отсутствие какой-либо ситуации. Мы имеем, например, такие простые суждения, как "2 - простое число", "Волга впадает в Каспийское море", более сложные: "Луна вращается вокруг Земли", "Земля вращается вокруг Солнца", "Аристотель - учитель Александра Македонского, а Македонский - великий полководец". Еще более сложны суждения, содержащие такие логические характеристики, как "всякий", "некоторые" и др. Например, "Все металлы электропроводны", "Некоторые кислоты не содержат кислорода", "Каждый человек прочитал за всю свою жизнь хотя бы одну (то есть некоторые) книгу по логике".
Про суждения, как и про понятия, теории, говорят - и мы будем говорить, - что они являются особыми формами знания. "Формы" здесь означают виды знания, т.е. речь идет об особых Видах знания. Но каждое конкретное суждение, будучи выраженным в некотором языке и при этом достаточно точным образом, наряду с определенной знаковой, т.е. языковой формой, имеет также логическую форму, а наряду с определенным конкретным содержанием - логическое содержание. Рассмотрим эти понятия на примере двух суждений: "Все металлы суть химически простые вещества" и "Если вода (при нормальном давлении) нагрета до 100°С, то она закипает".
Вопрос о том, каковы здесь знаковые формы, не требует, очевид
9 Одно и то же суждение может быть выражено в разных языках и даже в разных знаковых формах в пределах одного языка. Когда суждение рассматривается в связи с какой-то конкретной формой его языкового выражения, оно называется "высказыванием". Термин же "суждение" для него мы употребляем, когда отвлекаемся от того, какова именно его знаковая форма.
2*	19
но, разъяснений. Конкретное содержание мысли в первом случае состоит, как видно, в утверждении о том, что каждый предмет, который мы характеризуем свойством металличности, обладает свойством химической простоты, т.е. состоит из однородных атомов. Чтобы выявить логическую форму и логическое содержание этого суждения, надо отвлечься от того, каковы именно те конкретные предметы, о которых в нем что-то утверждается, и каковы именно те конкретные свойства, наличие которых у этих предметов утверждается. Отвлекаясь от того, что речь идет здесь о металлах, мы можем обозначить их просто переменной 5, а вместо свойства "химически простое вещество" ввести переменную Р. Тогда вместо данного конкретного суждения получаем его логическую форму:
Все S суть Р.
Это выражение обладает еще определенным содержанием, оно в определенной степени осмысленно, а именно в нем утверждается, что всякий предмет, обладающий каким-то свойством S, имеет свойство Р. Это содержание, которое представляет логическая форма высказывания, и называется логическим содержанием высказывания.
Читатель теперь сам, очевидно, установит, что для того, чтобы выявить логическую форму второго из взятых нами суждений, надо отвлечься от того, о каком именно определенном предмете идет в нем речь, от того, что утверждение относится именно к воде. Результатом отвлечения будет введение некоторой переменной для обозначения отдельного предмета, например, а. Вместе с тем отвлекаемся от того, о каких именно свойствах идет речь, заменяя их опять-таки переменными: "нагретость до 100°С" обозначим Рь а "закипает" - Р2. В итоге получим:
Если а еслъ Рр то а есть Р2.
Логическое содержание состоит здесь в указании на связь между наличием одного свойства Р\ у предмета и наличием другого -р2-
Ту же логическую форму и, соответственно, то же логическое содержание имеют суждения: если сумма цифр числа 353 делится на 3, то само это число делится на 3; если наш мир - лучший из миров, то люди в нем должны быть счастливы.
Не имея возможности вдаваться здесь во многие подробности (см. § 7, 8), заметим, однако, что в каждом высказывании мы различаем дескриптивные термины и логические. Дескриптивные - это термины, обозначающие предметы, свойства, отношения. Именно они составляют конкретное содержание мысли и именно от их конкретных значений мы отвлекаемся при выявлении логической формы. К числу логических терминов относятся в наших примерах такие знаковые выражения, как "все", "некоторые", "и", "если..., то..." и др. Именно они определяют логическое содержание высказываний и именно наличие логических операций и отношений, которые обозначаются логическими терминами, характеризует специфику воспроизведения действительности в мышлении. Хотя в мышлении не все логические связи фиксируются явным 20
О5разом посредством специальных логических терминов10. Логические т6рмины и являются, в частности, тем инструментарием, с помощью которого осуществляется упоминавшаяся выше синтетическая деятель-ность мышления. Посредством их происходит соотнесение свойств и отНошений, зафиксированных в языке первоначально в отрыве от предметов, с теми или иными определенными предметами. Речь идет о той именно синтезирующей деятельности мышления, которая осуществляется в формах суждений (высказываний).
Несколько упрощенно логическую форму иногда определяют как "способ связи в мысли частей мыслимого содержания". "Мыслимое содержание" - очевидно, все, что связано с дескриптивными терминами, а сам "способ связи" характеризуется логическими терминами.
Читатель может усмотреть уже, что при выявлении логических форм высказываний мы допускали определенные огрубления, игнорировали, например, различие между структурами таких свойств, как "нагреть до 100°С" и "закипает". В первом случае налицо некоторое отношение между водой и температурой 100°С. Есть существенная разница между свойствами "делимость суммы цифр числа на 3" и "делимость самого числа на 3", которую мы также не принимали во внимание. Все дело в том, что логические формы мысли можно выявлять с той или иной степенью точности, с учетом или без учета тех или иных структурных особенностей свойств, отношений, как и самих предметов. Все зависит от того, с какой целью, в каких ситуациях, для решения каких задач нам необходимо выявить логическую форму той или иной мысли. Иногда мы можем вообще отвлекаться от структур высказываний, составляющих другие сложные высказывания, и получать, например, логическую форму вышеприведенных высказываний о делимости числа, о кипении воды и о лучшем из миров в виде: Если р, то q, где Р и q - переменные для высказываний (пропозициональные переменные).
Вообще, для того чтобы точно выявить логическую форму некоторой мысли, необходима точная и полная ее формулировка11, в которой бы явно были сформулированы все аспекты ее содержания. Иначе при выявлении логической формы может быть не учтена какая-то часть некоторого конкретного содержания, а тем самым потеряно нечто и в логическом содержании.
Неполнота формулировки мо^кет иметь место, когда, например, не учитывается сложная структура тех или иных признаков, как это имело место в одном из приведенных примеров. В высказывании "Всякий человек имеет мать" "имеет" - не отношение; здесь подразумевается
Логическую форму имеют, конечно, и такие суждения, как "Луна - холодное небесное тело", "Солнце - раскаленное тело", "Медь - металл", в формулировках которых нет специальных логических терминов, однако здесь подразумевается наличие логи-ческого отношения принадлежности свойства предмету.
Точная и полная формулировка мысли нужным образом достигается в специальных, формализованных, определенным образом стандартизированных языках (см. гл. 4), в чем и состоит их важное значение для логики.
21
утверждение о существовании для каждого человека некоторого другого человека, такого, который находится в определенном отношении к первому, а именно в том отношении, которое обозначается словом "мать".
Здесь видны трудности выявления точного смысла и логической формы высказываний в естественном языке. Когда утверждаются какие-то отношения между предметами одного и того же класса, возникает необходимость к общему обозначению предметов этого класса (как в данном случае - "человек") добавлять либо нумерацию (человек!, человек2...), либо вводить специальные символы переменных х, у, ..., употребляя выражения "человек х", "человек у", как это и делается в формализованных языках.
В тех или иных случаях в зависимости от решаемых задач мы можем, как уже было сказано, опускать какие-то стороны содержания. Но "опускать" - не значит вообще не замечать и не учитывать.
Следует добавить также, что, выявляя логическую форму, при замене терминов с конкретным содержанием - знаков предметов, свойств, отношений - мы заменяем их переменными соответствующих типов, т.е. знаками, под которыми подразумеваются объекты тех же типов; причем, один и тот же термин, если он встречается в выражении не один раз, заменяется одной и той же переменной, а различные - различными. При этом употребляются переменные особого вида, так называемые "переменные - параметры", или, иначе говоря, "фиксированные переменные", в отличие от так называемых "квантифицированных переменных" (см. § 14).
Вообще, логические формы высказываний, как и их логические содержания, необходимы для выявления законов логики, лежащих в основе правильных форм рассуждении (умозаключений).
ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ - представляют собой связи, в частности, между суждениями, зависящие от их логических содержаний, а тем самым от их логических форм. Сами они также выражаются обычно в формах некоторых высказываний. Законами являются, например: Если все S суть Р, то ни одно не-Р не есть S; Если все S суть Р, то некоторые Р суть S; Если неверно, что некоторые 5 есть Р, то ни одно S не есть Р.
Каждый из указанных законов определяет форму правильного умозаключения. Например, от истинности высказывания вида Все S суть Р можно с гарантией заключить об истинности высказываний вида Ни одно не-Р не суть 5 и вида Некоторые Р суть S. Так, если вместо S и Р использовать, соответственно, "металл" и "электропроводное вещество", то ясно, что при истинности высказывания "Все металлы суть электропроводные вещества", обязательно истинными будут и высказывания "Ни одно неэлектропроводное вещество не есть металл" и "Некоторые электропроводные вещества есть металлы".
Высказывания, выражающие законы логики, истинны при любых значениях содержащихся в них переменных (именно тех переменных, которые мы вводим, выявляя логические формы высказывании).
22
ЗАКОНЫ ЛОГИКИ
И ПРИНЦИПЫ ПРАВИЛЬНОГО МЫШЛЕНИЯ
Современное понятие закона логики возникло в рамках символической логики; при этом было выяснено, что существует бесконечное множество законов этого типа. Мы подчеркиваем это в противовес распространенному - идущему от традиционной логики - представлению о том, что в формальной логике есть три, а по другому мнению -четыре закона, которые называют "основными" законами (и притом единственными!). Имеются в виду три закона - закон тождества, противоречия и исключенного третьего, сформулированные еще Аристотелем, и закон достаточного основания, введенный в логику Г. Лейбницем.
Аристотель сформулировал упомянутые законы в процессе критики современных ему философских течений. Еще в V веке до н.э. Гераклит - основоположник диалектики - сформулировал принцип, что в мире нет ничего вечного, постоянного, "все течет, все изменяется". При качественных изменениях обычны не просто переходы явлений из одних качественных состояний в другие, но часто и в свою противоположность. Противоположности добра и зла, полезного и вредного, справедливого и несправедливого, горячего и холодного, отталкивания и притяжения и тому подобные взаимодействия составляют часто лишь различные аспекты одних и тех же явлений, представляют различные тенденции их развития. Из этих взглядов Гераклита и других античных диалектиков были сделаны крайние выводы.
Согласно взглядам философов, которые были названы релятивистами (Кратил и др.), в мире все абсолютно относительно и вообще нет ничего определенного, а потому невозможно никакое истинное знание. Аристотель возражает релятивистам так: "Если мы имеем два противоречащих высказывания, т.е. таких, в одном из которых (А) что-либо утверждается, а в другом то же самое12 отрицается (не-А), то по крайней мере одно из них истинно". Иначе говоря, противоречащие высказывания не могут быть оба ложными. Это действительно один из законов логики - закон исключенного третьего.
Другая крайность, которую представляли философы-софисты (Протагор, Горгий и др.), состояла в утверждении, что, наоборот, все, что бы мы ни утверждали или отрицали, является истинным: "И как кому кажется, так оно и есть!" На это Аристотель отвечает, что из двух указанных типов высказываний А и не-А, по крайней мере, одно является ложным или, иначе говоря, противоречащие друг другу высказывания не могут быть оба истинными. Это - тоже закон логики. Он получил название "закон противоречия".
12 При определении противоречащих высказываний обычно находят нужным подчеркивать, что в одном из них что-то утверждается, а в другом "то же самое, в том же смысле, о том же предмете, взятом в то же время, в том же отношении" отрицается. Однако, когда мы говорим, что в другом высказывании отрицается "то же самое, что в первом", то само собой имеется в виду, что "в том же смысле, о том же предмете" и т.д.
23
Против абсолютизации относительности качественных различий предметов и явлений и изменчивости вещей и явлений Аристотель возражает, что в относительном, изменчивом всегда есть качественно определенное (что именно и является объектом изменения).
Существование определенности в рамках изменчивости хорошо демонстрирует нам современная наука, особенно теория микрочастиц. Известно, что многие частицы "живут" лишь миллионные и даже миллиардные доли секунд. Казалось бы, о них вообще ничего нельзя сказать, поскольку стоит лишь даже произнести первую букву названия частицы, как ее давно уже нет в действительности... Тем не менее физики определяют массы, заряды, моменты вращения, в ряде случаев даже и строение таких частиц, хорошо отличая одни частицы от других. К нашему счастью, наше мышление при рассуждении о вещах "не гоняется" за ними, не идет параллельно их развитию.
Софистика и релятивизм в процессах познания связаны с неправильным употреблением языка, с неопределенностью значений употребляемых слов и языковых выражений вообще. В действительном процессе мышления всякий человек, указывал Аристотель, вкладывает в свои слова какое-нибудь значение и для себя и для других. Это необходимо для того, чтобы вообще возможно было рассуждение: "Если же у слов нет определенных значений, тогда утрачена всякая возможность рассуждать друг с другом, а в действительности - и с самим собой, ибо невозможно ничего мыслить, если не мыслишь каждый раз что-нибудь одно..."13
Итак, Аристотель формулирует здесь важное требование к мышлению, необходимое условие его логической правильности: рассуждая о тех или иных предметах и явлениях, необходимо выделять в них нечто качественно определенное, устойчивое, относительно тождественное, придавая таким образом словам, в которых выражаются мысли, определенное предметное значение (см. § 6). Это требование относится, в частности, и к нашим понятиям, которые должны иметь определенное содержание и сохранять свою определенность в процессах рассуждения (не допускать подмен одних понятий другими и смешения слов с различными значениями). Это требование получило в логике название "закона тождества"14.
Как мы уже сказали, появлением в логике "четвертого закона" она обязана Г. Лейбницу. То, что называют "законом достаточного основания", есть также определенное требование, необходимое условие правильности нашего мышления. Оно состоит в том, что в процессе познания можно принимать то или иное суждение, высказывание за истину
13 Аристотель. Метафизика. С. 64.
14 Имеются различные толкования этого закона, иногда, например, как требование тождества наших понятий q процессе рассуждения, однако требование определенности понятий в процессе рассуждения отнюдь не означает, что они должны оставаться тождественными в процессе рассуждения, что будет показано в гл. 16. К тому же, как увидим, это положение не является законом логики в современном понимании этого термина.
24
лИ1Пь на достаточном основании. Правда, сам Г. Лейбниц и традиционная логика после него не выяснили, что именно есть достаточное основание для признания истинности некоторого высказывания.
В некоторой мере указание на это содержится в приведенном выше определении истины, в котором мы использовали результаты исследования понятия истины польским логиком А. Тарским (применившим для этого точные методы современной логики): достаточным основанием истинности высказывания является наличие в действительности той ситуации, которую оно описывает и наличие которой утверждает, другое дело, что сами ситуации бывают весьма сложными и не всегда ясными; к тому же не всегда просто установить наличие или отсутствие какой-либо ситуации. Поэтому требование Г. Лейбница чаще всего приходится понимать как стремление к максимальному обоснованию (подтверждению) выдвигаемых и принимаемых нами утверждений.
Из последнего изложения нетрудно усмотреть наличие в традиционной логике смешения принципиально различных понятий: таких, с одной стороны, как законы логики, а с другой - логические принципы, логические требования, - как необходимых, наиболее общих условий логической правильности нашего мышления.
Законы логики представляют собой объективные, не зависящие от человека связи между мыслями, например, между высказываниями, обусловленные их логическими содержаниями. Сами эти логические содержания являются отражением в мышлении некоторых наиболее общих сторон и аспектов, связей и отношений, имеющих место в реальной действительности.
Логические же принципы (требования) - это определенные установки, положения, к осуществлению которых человек должен стремиться, но которые, в конце концов, могут умышленно или неумышленно не выполняться или, как говорят, "нарушаться".
Из перечисленных нами так называемых основных законов логики два первых - закон исключенного третьего и противоречия - действительно являются законами логики. Что касается "закона тождества" и "закона достаточного основания", - то они лишь более или менее определенные требования. Впрочем, в современной логике действительно существует закон тождества. Более того, по существу, есть два типа законов, к которым правомерно применять название закона тождества.
Первый, который, собственно, и носит название закона тождества, представляет собой (насколько возможно выявить его смысл на данном этапе изложения материала) определенную, хотя и тривиальную связь Между высказываниями: "Если какое-то высказывание А истинно, то °но истинно", ("Если А, то А"), где А - некоторое высказывание. Например, "Если человек разумен, то он разумен" (если ситуация, которую описывает высказывание, имеет место в действительности, то она имеет место в действительности).
Закон тождества второго вида указывает на определенное, также тривиальное отношение между именами и выражается обычно в виде Равенства а = а, которое читается обычно так: "а есть а". Именно
25
этот закон прежде всего связан с выдвинутым Аристотелем принципом предметной определенности и однозначности слов языка и, в частности, имен (см. § 7). Он имеет примерно такой смысл: "Сколько бы раз мы ни употребляли некоторое имя а в некотором рассуждении и, в частности, при двукратном его употреблении, оно обозначает - при условии, что мы придерживаемся принципа однозначности, - один и тот же предмет". Но некоторый предмет, о котором мы можем рассуждать в том или ином случае, может оставаться одним и тем же, если выполнен принцип определенности, а именно, если этот предмет выделен по каким-то его свойствам, которые сохраняются при его изменениях и позволяют нам мыслить его как "тот же самый", хотя здесь есть очень сложная проблема.
В некоторых, сравнительно простых случаях, мы можем мыслить предмет как тот же самый, - имея понятия о нем, - несмотря на его изменения. Например, Луну мы мысленно выделяем в понятии "естественный спутник Земли", и это позволяет нам мыслить этот объект как один и тот же при всех его изменениях. Сложнее дело обстоит, когда предмет выделяется с помощью собственного имени. Но и здесь каким-то интуитивным - до сих пор необъясненным образом - люди умеют выделять нечто такое в предмете, что позволяет удерживать его в сознании как "тот же самый", несмотря на его иногда весьма даже существенные изменения (например, мыслить Иванова как одного и того же человека на всех этапах его жизни).
Ясно, что каждый закон представляет и определенное требование к нашему мышлению, по крайней мере, требование рассуждать в соответствии с этим законом. Законы противоречия и исключенного третьего часто трактовались в логике именно как некоторые требования. Можно сказать, что из закона исключенного третьего вытекает одно из условий (и конечно, требование) определенности нашего мышления15. Оно состоит в следующем:
на всякий правильно поставленный вопрос о наличии или отсутствии у предмета тех или иных свойств, о наличии или отсутствии той или иной ситуации в действительности, необходим, в конечном счете, положительный или отрицательный ответ, т.е. принятие высказывания А или его отрицания - неверно, что А.
Из закона противоречия вытекает, очевидно, принцип непротиворечия:
утверждая (принимая) некоторое высказывание А, не отвергай (не отрицай) того же самого (если, конечно, не хочешь говорить ложного).
Это - требование к человеку быть последовательным в своих рассуждениях. Нужно сказать, что требование непротиворечивости нашего знания является центральным в научном мышлении и обычно строго выполняется. При возникновении противоречия в том или ином процессе познания или в составе некоторого знания ученые всегда стремятся
15 Другим условием определенности мышления естественно считать также и принцип тождества.
26
устранить его. Вместе с тем, появление противоречий в процессе позна-отнюдь не редкое явление. Почти в каждой более или менее сложной науке возникают так называемые парадоксы, "антиномии" - противоречия определенных видов. Не свободна от них даже такая точная наука, как математика (см. например, "парадоксы теории множеств").
Возникновение противоречий обусловлено зачастую сложностью,
многосторонностью предметов, процессов, событий, их связей и отношений в действительности. К противоречиям приводят, в частности, отмеченные выше "противоречия" в самих предметах, их способность пррявлять себя противоположным образом в разных ситуациях и даже наличие в них в одно и то же время взаимоисключающих сторон, тенденций. Нельзя не сказать также и о нашем неумении различить в
некоторых случаях качественно разнородные явления, характеристики объектов, учесть все обстоятельства того или иного явления и т.п.
Хороший пример того, как легко впасть в противоречие даже весьма умному человеку, показывает И.С. Тургенев в романе "Рудин". Герой романа Пегасов, как вы помните, будучи человеком оригинального склада ума и особого склада характера, возмущается, что люди претендуют на наличие у них каких-то убеждений, носятся с ними, уважения к ним требуют. К нему обращается Рудин:
- Что же, по вашему, убеждений не существует?
-	Нет и быть не может!
-	Это ваше убеждение?
-Да!
-	Вот вам одно на первый случай!
Именно в силу того, что упомянутые нами законы логики в истории логики были истолкованы прежде всего как некоторые требования, в силу важности этих требований появилась их характеристика как основных законов логики. Мы назовем эти требования основными принципами логически правильного мышления, относя к ним: принцип исключенного третьего, принцип непротиворечия, принцип тождества, как он изложен выше в соответствии с Аристотелем, и принцип достаточного основания.
Значение логической правильности мышления, подчеркнем еще раз, состоит в том, что она является необходимым условием гарантированного получения истинных результатов в решении задач, возникающих в процессе познания. Понятие логической правильности мышления является многосторонним, имеет много аспектов и они будут излагаться в данной книге. Сейчас же важно уяснить наиболее общие черты правильного мышления. К числу таких наиболее общих характеристик правильного мышления относят его определенность, последовательность и доказательность.
Требование определенности мышления включает в себя определенность значений употребляемых в рассуждениях терминов и связанных с Ними понятий, уяснение смысла тех или иных утверждений, точность выдвигаемых положений, точность формулировок в соответствии с Принципом исключенного третьего.
27
Последовательность мышления означает, что, утверждая что-либо, человек не должен принимать одновременно нечто несовместимое с этими утверждениями, с другой стороны, он должен принимать следствия своих утверждений. Последовательность мышления проявляется также как умение построить цепочку рассуждения, где каждое последующее звено зависит от предыдущего, т.е. выделить его исходные пункты и следствия, вытекающие из них. Непоследовательность же мышления характеризуется нарушением этапности рассуждений, наличием прерывности и несвязуемости в этом процессе.
Доказательность как черта правильного мышления состоит в стремлении доказывать или хотя бы в какой-то мере обосновывать выдвигаемые утверждения, не принимать ничего на веру и в то же время не делать голословных утверждений. Для человека, следующего этому требованию логики, характерно если и не приводить все аргументы в пользу чего-либо, то хотя бы иметь их в виду.
§ 3. Краткий очерк истории логики
Логика - одна из древнейших наук. Точно установить, кто, когда и где впервые обратился к тем аспектам мышления, которые составляют предмет логики, в настоящее время не представляется возможным. Отдельные истоки логического учения можно обнаружить еще в Индии, в конце второго тысячелетия до нашей эры. Однако если говорить о возникновении логики как науки, т.е. о более или менее систематизированной совокупности знаний, то справедливым будет считать родиной логики великую цивилизацию Древней Греции. Именно здесь в V-IV вв. до н.э. в период бурного развития демократии и связанного с ним небывалого оживления общественно-политической жизни трудами Демокрита, Сократа и Платона были заложены основы этой науки. Родоначальником же, "отцом" логики по праву считается величайший мыслитель древности, ученик Платона - Аристотель (384-322 гг. до н.э.). Именно он в своих упомянутых выше трудах, объединенных общим названием "Органон" (орудие познания), впервые обстоятельно проанализировал и описал основные логические формы и правила рас-суждений, как то: формы выводов из так называемых категорических суждений - категорический силлогизм ("Первая аналитика"), сформулировал основные принципы научных доказательств ("Вторая аналитика"), дал анализ смысла некоторых видов высказываний ("Об истолковании"), наметил основные подходы к разработке учения о понятии ("Категории"). Серьезное внимание Аристотель уделял также разоблачению различного рода логических ошибок и софистических приемов в спорах ("О софистических опровержениях").
Важнейшее обстоятельство, способствовавшее выделению логики в самостоятельную отрасль знания, носило ярко выраженный практический характер, поскольку логика в то время разрабатывалась в тесной связи с запросами ораторского искусства, т.е. как часть практической риторики. Искусство публичной речи, умение вести полемику, убеждать людей ценилось у древних греков исключительно высоко и 28
стало предметом специального анализа в школах так называемых софистов. Первоначально к ним относили мудрых, авторитетных в различных вопросах людей. Затем так стали называть людей, за плату производивших обучение искусству красноречия; они должны были научить умению убедительно защищать свою точку зрения и опровергать мнение своих оппонентов. Такого рода навыки предполагают не только умение красиво говорить, но и владение сложными механизмами мышления и прежде всего различными способами построения умозаключений, доказательств, опровержений, т.е. того, что и составляет основное содержание логики.
Фундаментальный характер логических изысканий Аристотеля проявляется в том, что его логическое учение, усовершенствованное в некоторых аспектах, а иногда и искаженное, просуществовало без особых принципиальных изменений до середины XIX в. и получило название традиционной логики.
Вместе с тем неверно было бы считать, что развитие традиционной логики не сопровождалось появлением новых идей, стимулировавших развитие ее теоретического и практического содержания. Некоторые существенные добавления к работам Аристотеля о различных формах выводов были сделаны представителями философской школы стоиков (П-Ш вв.). К сожалению, они не были известны до недавнего времени. Немало внимания уделяли проблемам логики философы средних веков. Многие полученные здесь результаты связаны с логическим анализом языка и понятием модальности. В основном, однако, исследования шли по линии детализации результатов Аристотеля, в особенности его учения о категорическом силлогизме.
Выдающимся событием в истории логики в новое время стало появление труда английского философа Ф. Бэкона "Новый органон", который, по его мнению, должен был заменить аристотелевский "Органон" в качестве орудия познания. Критически оценивая значимость форм выводов, в которых используется уже готовое знание, Ф. Бэкон стремится разработать приемы исследования самой природы. Он положил начало разработке методов установления причинно-следственных связей в объективной действительности. Его учение об этих методах приобрело относительно завершенный характер в работах Дж.Фр. Гершеля и Дж.Ст. Милля. Результаты этих разработок вошли в историю логики под названием "Индуктивные методы установления причинных связей" (см. гл. 23).
Вопросами логики занимались и внесли определенный вклад в ее развитие многие видные ученые нового времени: Р. Декарт, Г. Лейбниц, И. Кант и др. Примечательно, что Г. Лейбниц выдвинул ряд идей Фундаментального характера, получивших интенсивное развитие в ^временной логике.
Начало нового этапа в развитии логики было положено трудами Дж. Буля, О. де Моргана, русского логика П.С. Порецкого. Принципиальное отличие этого этапа состояло в применении методов математики к исследованию логических связей, что привело к созданию специального раздела логики — алгебры логики (см. гл. 6), получившей
29
завершение в трудах Э. Шрёдера. В дальнейшем усилиями Г. Фреге, Б. Рассела-А. Уайтхеда сложился особый метод исследования логических отношений и форм выводов - метод формализации. Суть этого метода состоит в употреблении для описания структур высказываний, законов логики и правил вывода специально созданного в рамках логики формализованного языка. Применение этого метода открыло новые возможности этой науки и положило начало ее интенсивному развитию под названием "символическая логика".
В настоящее время логика представляет собой весьма разветвленную и многоплановую науку, результаты и методы которой активно используются во многих областях теоретического познания, в том числе и непосредственно связанных с рядом современных направлений практической деятельности. Она находит применение в философии, математике, психологии, кибернетике, лингвистике и др. С самой общей точки зрения в современной логике, как мы уже говорили, выделяют три больших раздела: символическую (формальную) логику, логическую семиотику и методологию.
Логические исследования в области методологии касаются разнообразных общенаучных понятий и приемов познания, т.е. тех, которые применяются в любом познавательном процессе на ступени абстрактного мышления: определение, классификация, построение и проверка гипотез, теория, доказательство и др.
Крупным разделом современной логики является логическая семиотика. Она занимается анализом естественных и искусственных языков. В этом разделе язык исследуется как средство познания действительности.
Наиболее фундаментальным среди всех разделов современной логики является символическая (формальная) логика - современное учение о дедукции, о многообразии форм, законов и правил выводов. Именно для этого раздела наиболее характерен упоминавшийся выше метод формализации. Конечно, современная символическая логика отличается от традиционной логики по многим аспектам. Тем не менее по предмету познания - при его широком понимании - принципиальных различий между современной символической логикой и логикой традиционной нет. И та и другая исследуют различные формы отражения действительности на ступени абстрактного мышления.
Для характеристики современного состояния логической науки следует отметить также и тот факт, что каждый из приведенных выше ее разделов в свою очередь представляет весьма разветвленную область знания. Так, например, символическая логика подразделяется на классическую и неклассическую. Неклассическая же логика подразделяется также на интуиционистскую логику, модальную логику, логику вопросов, релевантную логику и др. Сказанного достаточно, чтобы утверждать: в настоящее время логика представляет собой весьма широкую область знания, богатую содержанием, разнообразием направлений и методов исследования.
30
§ 4. Значение логики
Во-первых, логика имеет большое значение для формирования культуры мышления, умения эффективно использовать приобретенный человечеством арсенал логических познавательных средств. При этом существенно не только выполнение указанных выше требований логической правильности в собственных рассуждениях, но и наличие способностей тонко чувствовать возможные отступления от логических норм в рассуждениях своих коллег и тем более оппонентов. В этом случае недостаточно уже просто приобретенных мыслительных навыков. Здесь необходимы уже и определенные знания устоявшихся правил тех или иных мыслительных процедур, а также описанных в истории логики типичных ошибок и софизмов.
Формируясь прежде всего под влиянием практических потребностей массовых дискуссий, диспутов и просто интеллектуальных упражнений в Древней Греции, логика сложилась как некоторая грамматика мышления. Незнание ее правил чревато по существу не меньшими неприятностями, чем неосведомленность в грамматике естественного языка. "Логика есть великий преследователь темного и запутанного мышления, - писал известный английский логик Дж.Ст. Милль, - она рассеивает туман, скрывающий от нас наше невежество и заставляющий нас думать, что мы понимаем предмет в то время, когда мы его не понимаем"16.
Далее, изучение логики способствует повышению интеллектуального потенциала человека, более эффективному использованию способностей, данных человеку от природы, и навыков, приобретаемых в жизненном опыте. Как нередко отмечают, логика не учит мыслить, так же, как и физиология не учит переваривать пищу. Эта аналогия страдает значительной неточностью. Дело в том, что аппарат для переваривания пищи дан человеку от рождения, формы же и приемы мышления он усваивает в процессе своей жизни, прежде всего овладевая языком и основами наук. Логика привносит осознание в этот стихийно осуществляемый процесс и тем самым "сокращает опыты быстротекущей жизни".
В определенном смысле логика именно учит человека правилам мышления. Способность человека мыслить, схватывать связь явлений, находить их объяснение, делать обобщения - все это связывают нередко с интуицией, считая, что результаты познания возникают, как правило, бессознательно, в итоге некоторого озарения, инсайта, научного наития, а основу научных открытий составляют один лишь природный Дар и данное от рождения умение проникать в сущность явлений.
Конечно, нельзя отрицать значения всех этих факторов. В познании действительно большую роль играет интуиция (чувственная и интеллектуальная), однако сама она развивается, совершенствуется Под влиянием овладения техникой мышления и во всяком случае становится более продуктивной в сочетании с последней. Кроме того, в
Цит. по: Челпанов Г.И. Учебник логики. М., 1946. С. 5-6.
31
познании часто возникают задачи такого рода, в которых интуиция просто бессильна. Она не способна, например, решить вопрос о совмес-тимости или несовместимости условий функционирования того или иного агрегата, автоматического устройства. Столь же трудной, недоступной для интуиции задачей является извлечение следствий из большого количества высказываний, из множества данных, как это нередко бывает, например, в юридической и социологической практике.
Существенное значение имеет знание логики для людей, занимающихся педагогической деятельностью и, конкретнее, для совершенствования самого педагогического процесса. Задача педагогики, как известно, не сводится просто к сообщению слушателям какой-то совокупности знаний; здесь важна выработка навыков приобретения знаний, а также понимания изучаемого материала, что связано с определенной творческой деятельностью. Хороший учитель не просто требует решения задач, но и объяснения того, каким образом ученик приходит к этому решению, и поощряет поиски оригинальных, нестандартных решений. Вместе с тем, он требует максимального обоснования предлагаемых решений и его, безусловно, не должна удовлетворить ссылка на простую интуицию. Итак, важная задача педагога состоит в том, чтобы научить человека творческому мышлению. Но едва ли он может успешно выполнить эту задачу без знания приемов такого мышления. Как остроумно замечает венгерский автор К. Хаваш17, учитель, не знающий законов логики и изучаемых ею приемов мышления, подобен тренеру спортсменов по бегу, не знающему законов физиологии и механики бега.
Значение логики в педагогическом процессе отмечали многие выдающиеся педагоги и философы. Это значение становится ясным, если учесть, что процесс познания представляет собой определенную деятельность, направленную на воспроизведение действительности в особых знаково-логических формах: понятиях, высказываниях, теориях -и складывается в основном из также структурно определенных процедур: выводов и доказательств, обобщений, определений, операций с понятиями и высказываниями и др.
Важно, чтобы преподавание осуществлялось в соответствии с законами логики и указанными структурами мыслительных и познавательных процедур, выработанных человечеством в процессе развития логики. И здесь безусловно важную роль играет весь тот "инструментарий" мышления, выявление которого составляет основную задачу логики в достаточно широком ее понимании. Именно он и определяет то, что называют культурой мышления. Овладение этим инструментарием несомненно повышает эффективность и результативность процесса обучения, облегчает учащимся понимание и усвоение изучаемого материала.
Логика всегда считалась философской наукой. Дело в том, что, будучи, вообще говоря, специальной наукой, она в то же время явля-
17 Хаваш, К. Так логично! М., 1985.
32
6тся и некоторой специальной частью раздела философии, именуемого теорией познания (гносеологией, эпистемологией). Это значит, что само йзучение логики выступает как философская пропедевтика. Особенно возросла роль логики для философии после того, как в ней - в рамках символической логики - сложились специальные методы познания, связанные с применением формализованных языков: аксиоматизация, формализация теорий и др. Применение этих методов продвинуло решение ряда проблем философии: о соотношении эмпирического и теоретического в познании, о диалектике формального и содержательного, о возможностях и пределах формализации и аксиоматизации, о выразительных возможностях языков различных типов и т.д. Впервые в истории философии получены результаты, относящиеся к философии математики и касающиеся природы математического знания, которые точно зафиксированы и доказаны в ряде теорем. Причем доказаны, как отмечают А.А. Френкель и И. Бар-Хиллел, "в соответствии с наивысшими из известных критериев строгости, даже более строгими, чем те, что общеприняты при математических доказательствах"18.
Само собой разумеется, что логические формы и процедуры существуют и реализуются как определенные аспекты естественной мыслительной деятельности. Это значит, что они в известной мере определяют характер процессов психологии познания. А это обусловливает значение результатов логики как науки также и для психологии, хотя здесь есть, безусловно, и обратное влияние психологии на логику (см. гл. 26).
В последнее время все более и более усиливается связь и взаимное влияние логики и лингвистики (см. Часть I).
Наконец, впервые в истории логика нашла на современном этапе ее развития также важные применения, непосредственно связанные с практической деятельностью: в качестве специального аппарата она применяется в теории автоматического управления, искусственного интеллекта, программирования и компьютеризации ряда процессов интеллектуальной деятельности.
18 Л
Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966. С. 365.
3 Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев, кн. I
ЧАСТЬ I
ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЯЗЫКА (ЯЗЫК КАК СРЕДСТВО ПОЗНАНИЯ)
Мы говорили уже, что принципиальное отличие мышления от чувственного познания состоит в том, что оно неразрывно связано с языком. Более того, познание на этой ступени представляет собой отражение (воспроизведение) реальной действительности с помощью языка. С помощью языка происходит и формирование мысли, и в языковых же формах выражаются результаты познания. Естественно, поэтому, что, имея дело с мышлением, логика уделяет определенное внимание исследованию некоторых аспектов языка. Ее интересует язык именно как средство познания.
Основная задача логического анализа языка состоит в том, чтобы выяснить хотя бы в общих чертах как, каким образом язык может выполнять эту функцию. В самом общем виде ответ на этот вопрос состоит в том, что слова и словосочетания языка соотносятся каким-то образом с предметами, свойствами, отношениями действительности, т.е. являются их представителями в нашем сознании, выполняют роль их знаков. Задача логики - выяснить эти способы и характер связи выражений (элементов языка) с объектами действительности.
При этом важно учитывать, что воспроизведение (отражение) действительности в языке не означает установления простых соответствий между предметами действительности и выражениями языка. Оно связано со сложными процессами мысленного расчленения и обобщения самих предметов, процессов и явлений действительности. Это порождает большое многообразие как самих знаков, так и типов их отношения к объектам действительности.
Выяснение общих характеристик, специфики различных видов знаков и принципов их употребления необходимо для решения основной задачи логики, относящейся к анализу языка. Результатом же логического анализа естественного языка будет построение специального формализованного языка. Этот специальный язык, как мы уже говорили, и послужит в дальнейшем основным средством уточнения многих понятий логики и описания ряда ее методов.
34
Глава 1
ЯЗЫК КАК ЗНАКОВАЯ СИСТЕМА
§ 5. Понятие и виды знаков. Основные аспекты языка
Знаком называют любой материальный предмет, который служит в процессе общения и мышления людей представителем какого-то другого объекта. В нашей жизни мы наблюдаем большое многообразие знаков. Дорожные знаки, показания приборов, следы на снегу, дым из трубы, азбука Морзе - все это знаки. Различают три основных вида знаков в зависимости от характера их отношения к обозначаемым объектам: 1) знаки-индексы; 2) знаки-образы; 3) знаки-символы.
Знаки-индексы связаны с представляемыми ими предметами некоторым причинным образом. К ним относятся: следы на снегу, положение флюгера, дым из трубы и т.д. В языке к знакам-индексам относятся, по-видимому, некоторые выражения, возникающие как реакции на внешние воздействия на человека (междометия).
Знаки-образы являются в какой-то мере изображениями обозначаемых предметов (картины, чертежи, схемы, фото). Вероятно, к числу знаков этого типа в языке принадлежат такие слова, которые по своему звучанию воспроизводят какие-то звуковые характеристики обозначаемых ими процессов, вызывают определенные звуковые образы обозначаемых ими предметов, например: "треск", "звон", "Жужжание" и т.п.
Знаки-символы физически никак не связаны с обозначаемыми ими предметами. Это большинство слов, в частности, имен естественного языка. Их связь с обозначаемыми предметами устанавливается либо по соглашению, либо стихийно при формировании языка и практического усвоения его отдельным человеком. В языке решающую роль играют знаки именно этого типа, они и будут интересовать нас в дальнейшем.
В качестве языковых знаков выступают слова и словосочетания естественного языка. Слова и словосочетания языка являются знаками, потому что, с одной стороны, они являются материальными объектами (представляют собой колебания воздуха или следы чернил, типографской краски, графита и т.п.) и как таковые доступны органам наших чувств. С другой стороны, они представляют какие-то объекты и прежде всего из внеязыковой действительности, т.е. имеют те или иные предметные значения. Это могут быть отдельные предметы, классы Предметов, процессы, ситуации действительности и многообразные характеристики предметов (свойства, отношения и т.п.). Итак, для знака Характерно, во-первых, быть материальным объектом, а во-вторых, быть представителем какого-то другого объекта.
Естественный язык, рассмотренный с этой точки зрения, представляет собой систему знаков. При рассмотрении языка как системы Знаков важно принимать во внимание три основных аспекта языка: синтаксис, семантику и прагматику языка.
3*	35
Синтаксический аспект составляет многообразие отношений знаков к другим знакам, имеющиеся в языке правила образования одних знаков из других и правила изменения знаков (склонение, спряжение и т.п.).
Семантический аспект составляет совокупность отношений знаков к объектам внеязыковой действительности, т.е. к тому, что они обозначают. Слово "Киев" обозначает определенный город, слово "Волга" -известную реку, "жидкий" - указывает на некоторое свойство объекта, а "старше", "больше" - на определенные отношения в действительности.
Прагматический аспект включает все такие особенности языка, которые зависят от того, кем и в каких ситуациях он применяется. Читателю, бесспорно, самому известны многие случаи, когда одно и то же выражение языка в зависимости от ситуации, например, от интонации, может иметь различные смысловые оттенки, а иногда даже и противоположные значения.
При рассмотрении языка как средства познания, формирования и выражения мысли, как средства воспроизведения связей и отношений действительности вообще, а именно это является главным и характерным для логического анализа языка, мы отвлекаемся от всех прагматических характеристик.
К тому же принимаются многие упрощения и огрубления в рассмотрении и синтаксиса и семантики языка. Так, говоря о словах и словосочетаниях языка, мы отвлекаемся от их изменений в различных падежах, лицах, временах. Существительные понимаются в основном лишь в именительном падеже и в единственном числе, глаголы -в единственном числе настоящего времени. Как показывает практика использования определенных логических языков, упрощенный таким образом язык достаточен для выражения утверждений той или иной науки. Допускаемые же упрощения обычно даже необходимы и во всяком случае не являются помехой для уяснения того, каким образом язык служит средством познания действительности. Ясно, что весьма абстрактным является и рассмотрение семантики независимо от прагматики, поскольку отношения знака к тому или иному объекту вообще не существует без человека (или, как говорят, без некоторого интерпретатора знака). Но опять же абстракция эта правомерна, поскольку в каждом языке имеется некоторая система зафиксированных общепринятых - "нормальных" - употреблений слов и словосочетаний, т.е. определенная система семантических отношений, независимая от субъективных особенностей отдельных людей.
§ 6. Основные характеристики знаков
Из самого определения знака ясно уже, что основной характеристикой его является указание на то, представителем чего именно он является. Это предметное значение знака.
Предметным значением знаков могут быть предметы, в широком смысле слова - все, что может быть объектом мысли, все, о чем мы 36
моясем что-либо утверждать или отрицать. С другой стороны, в качестве таких значений могут выступать и сами характеристики предметов, по которым предметы мысленно выделяются и наличие или отсутствие которых у предметов можно утверждать или отрицать. Во-обще предметные значения знаков многообразны. Иногда даже трудно установить, каково оно для тех или иных видов знаков. Это относится в особенности к таким сложным знакам, как предложения. Из грамматики мы знаем, что предложения бывают повествовательные, вопросительные и побудительные. Каково предметное значение, например, предложения "Волга впадает в Каспийское море"? На что именно оно указывает как знак? В логике считается, хотя и с большой степенью условности, что предметными значениями повествовательных предложений являются такие абстрактные объекты, как "истина" и "ложь", п, более того, их рассматривают иногда даже как имена указанных абстрактных объектов. Здесь опять мы встречаемся с сильными идеализациями. По существу, имеется в виду, что повествовательное предложение указывает на наличие у нас определенной информации -истинной или ложной, - относящейся к некоторой области действительности. Вопросительные предложения представляют ситуации, возникающие в некоторой практической или познавательной деятельности, состоящие, наоборот, в недостатке определенной информации и потребности иметь ее. Побудительные же предложения являются, очевидно, знаками наших желаний, стремлений, потребностей.
Продолжая мысль о многообразии предметных значений знаков, следует обратить внимание на то, что в качестве них могут выступать и воображаемые предметы. В научный обиход вводятся часто объекты на основе лишь предположений об их реальном существовании. В этом проявляется активность нашего познания. Нередко, однако, даже самые, казалось бы, надежные предположения оказываются ошибочными. Так появляются знаки-фикции', "теплород", "флогистон", "мировой эфир", а в повседневном обиходе "русалки", "лешие", "ведьмы", "домовые" и прочие НЛО. Однако эти знаки являются фиктивными -лишенными предметных значений, когда претендуют на обозначение реально существующих предметов (когда употребляются в контексте описания реальной действительности). Но едва ли их можно характеризовать как фикции, когда они употребляются для обозначения объектов воображаемых миров: миров сказок, легенд, романов...
Вместе с тем явно не лишены предметных значений такие знаки, которые хотя и обозначают нечто не существующее в действительности, но используются в научном обиходе для определенных целей, т.е. такие, как "меридиан", "вектор", "числа", "абсолютно упругая лсидкость" и т.д.1
Естественно, могут возникать вопросы, имеют ли предметные значения такие знаки- слова - языка, как "Платон", "Аристотель", Александр Македонский", "Вавилон" идр. - вообще имена когда-то
1 См. § 47.
37
существовавших, но к настоящему времени исчезнувших предметов? В связи с этим также можно усомниться, имеют ли реальное содержание такие высказывания, как "Аристотель - основоположник логики", "Аристотель - учитель Александра Македонского"? Обычно этот вопрос решается положительно; интуитивно мы склонны считать такие высказывания исторического характера истинными. Однако возникает теоретический вопрос, в каком смысле их можно считать истинными? Можно ли сказать, что ситуации, которые в них утверждаются, существуют в действительности, если они когда-то существовали, а теперь исчезли?
Очевидно, что употребляя слово "действительность" (реальная действительность), мы фактически всегда имеем в виду некоторый временной фрагмент, срез, период, а иногда даже пространственно-временной фрагмент реального мира. Это нередко выражается и явным образом, когда говорят "Древний мир", "Мир нового времени" и т.д. Тогда про указанные термины можно сказать, что они имеют предметное значение в таких-то и таких-то временных фрагментах действительности. Подобным же образом обстоит дело и с высказываниями, в которых они употребляются.
Упомянутые высказывания истинны в действительности IV в. до н.э. Высказывание "Земля вращается вокруг Солнца" безусловно истинно по отношению к современной действительности. Но по отношению, например, к действительности 8-10-миллиардной давности оно не является истинным.
Обычно, опуская временные параметры, мы чаще всего имеем в виду современную действительность. Не различая временных срезов действительности и говоря о "действительности вообще", мы могли бы прийти к противоречию: "Земля вращается вокруг Солнца" и "Неверно, что Земля вращается вокруг Солнца" - оба высказывания были бы истинными по отношению к этой "действительности вообще".
Другой существенной чертой знака является определенное, связанное с ним смысловое содержание, представляющее собой некоторую характеристику обозначаемого объекта. Особым видом смыслового содержания знака является его смысл,
СМЫСЛ ЗНАКА - это такая связанная с ним характеристика обозначаемого объекта, которая позволяет однозначно мысленно выделить этот объект из множества других объектов, т.е. некоторая совокупность признаков, являющаяся отличительной для данного объекта. Смысл знака - это отличительная совокупность черт, свойств (признаков) объекта, который представляет знак. Иначе - это связанная со знаком информация о предмете, которая достаточна именно для мысленного выделения этого предмета. Смыслу слова "Луна" - в обычном его употреблении - соответствует характеристика ее: "естественный спутник Земли". Для слова "глагол" - это: "слово, обозначающее действие". Для "треугольника" - это: "плоская, замкнутая, ограниченная тремя сторонами геометрическая фигура".
38
Отметим, что для одного и того же предмета или класса предметов возможны различные выделяющие характеристики. Это значит, что два различных выражения могут иметь различные смыслы, но одно и то предметное значение, например "равноугольный треугольник" и •'равносторонний треугольник", "административный центр России" и "культурный центр России". Знаки с одним и тем же предметным значением будем называть равнозначными.
Смыслы знаков могут быть собственными и приданными. Смысл знака называется собственным, если характеристика обозначаемых им процессов выражена в самой структуре знака. Смысл знака называется приданным, если эта характеристика принята по соглашению (или стихийно) в некотором сообществе. Также могут быть знаки, которые не имеют ни собственного, ни приданного смысла. Поясним на примерах приведенные определения. Выражение "город, являющийся столицей России" имеет собственный смысл (при условии, конечно, если известно, что обозначают слова "город", "столица", "Россия"). Но "Луна", "Земля", "Москва", "ромб" не имеют собственного смысла.
В таких случаях могут быть три возможности: либо слово вообще не является знаком (по крайней мере, для каких-то членов сообщества), либо оно употребляется как знак в соответствии со стихийно возникшей - на основе совместной практической деятельности людей или практического освоения языка - связью его с определенным предметом или предметами некоторого класса, и наконец, слово как знак связывается с предметом или предметами некоторого класса на основе приданного ему в данном сообществе смысла.
Для слов "Луна", "Москва", "город" возможны второй и третий случаи. Но поскольку слово "Москва" употребляется для обозначения нескольких городов в мире, и не только городов, то для обеспечения точности относительно его употребления в том или ином контексте мы можем пояснить, например, что имеется в виду "столица России". Ассоциировав это выражение со словом "Москва", мы тем самым придали последнему определенный смысл. В результате "Москва" стала именем определенного города. Приданный ему смысл выражается в Данном случае также в форме имени, но описательного. Для "Луны" приданным является указанный выше смысл этого слова, выражаемый описательным именем - "естественный спутник Земли". Слово "ромб" еДва ли можно удачно употреблять без придания ему определенного смысла, таковым является словосочетание (описательное общее имя): плоская геометрическая фигура, ограниченная четырьмя равными сторонами".
Как видим, смысл представляет собой посредствующее и при этом связующее звено между знаком и обозначаемым им объектом. Придание смысла некоторому языковому выражению является важным логическим способом введения новых терминов - знаков - в язык и уточ-Нения предметных значений уже имеющихся в нем знаков. Эта процедура осуществляется посредством специальной логической операции - определения, ее анализу посвящена отдельная глава (см. гл. 20).
39
Говоря здесь о смысле, мы имеем в виду прямой, или лексический смысл слов и словосочетаний, в отличие, например, от косвенного, или так называемого переносного ("белое золото", "черное золото" для характеристики соответственно хлопка и нефти, "летит на крыльях любви" и т.п. метафорические выражения, указывающие лишь на определенное сходство одних предметов, процессов, явлений с другими). Прямой смысл надо отличать также от так называемого "буквального" или этимологического смысла ("география" буквально означает описание Земли, "врать" буквально означает "говорить", "разговаривать" и т.д.).
Примерами словесных знаков русского языка, не имеющих, по крайней мере до настоящего времени, ни собственного, ни приданного смысла, могут служить: "болезнь", "игра" и др. Ученым-медикам до сих пор не удается найти такую совокупность характеристик болезни, которая бы отличала болезнь от тех или иных анатомических или функциональных отклонений организма человека от нормы, которые врачи не склонны называть болезнью. Не удается также пока найти ответа на вопрос, что такое игра (т.е. не удается определить этот термин). Однако "не иметь смысла" для знака вовсе не означает/быть бессмысленным".
Надо различать смысл знака и его смысловое содержание. Последнее означает вообще некую совокупность сведений (знаний) о предметах, обозначаемых данным словом. Конечно, смысл, когда он имеется (когда сформулирован), - это часть смыслового содержания знака и некоторый вид смыслового содержания, но не всегда наличие смыслового содержания означает наличие смысла. Смысл - определенная форма мысли (понятие, суждение). Это определенным образом структурированная единица знания. С ним связан определенный логический способ придания знакам предметного значения2.
Относительно смысла в логике и семиотике принято утверждение: "Предметное значение знака есть функция его смысла". Этим подчеркивается особая роль смысла, именно та, что он однозначно указывает на предмет, выделяет его. Тогда как отнюдь не всякое смысловое содержание некоторого слова достаточно для того, чтобы отличить обозначаемые им предметы от всех других.
Смысл, приданный некоторому слову и тем более собственный смысл его, как правило, представляет собой категорию интерсубъективного характера, является общепринятым в некотором сообществе. Смысловое же содержание, как правило, субъективно, для каждого человека оно зависит от запаса его знаний и от его культурного развития вообще.
Таким образом, отнюдь не все слова естественного языка имеют смысл в строгом понимании этого слова.
Представление о том, что каждый знак имеет смысл, может возникнуть из того, что как раз не различаются смысл и смысловое со
2 Как будет показано далее, различные типы знаков имеют различные типы смыслов.
40
держание знака. Смысл знака, повторяем, есть не любая характеристика объекта, а именно такая, посредством которой объект мысленно может быть выделен однозначным образом. Предлагая считать, что каждое имя имеет смысл, А. Чёрч подчеркивает, что в качестве смысла можно рассматривать по крайней мере то, что обозначаемый им предмет (его денотат - по Чёрчу) "зовется так-то и так-то"3. Однако свойство предмета, состоящее в том, что он называется данным именем, не выполняет, очевидно, основной функции смысла - выделения предмета, которая важна как раз в случае, когда нужно знать, какой именно предмет зовется данным именем, т.е. обозначается данным знаком. Предлагаемое А. Чёрчем расширение понятия смысла затушевывает существенные различия в способах связи знаков с объектами. В одних случаях эта связь осуществляется логическим способом (см. гл. 20) именно посредством смысла или, по крайней мере, посредством некоторого смыслового содержания, которое хотя бы примерно указывает на интересующие нас предметы; в других случаях - непосредственно, обычно стихийно, но нередко также путем указания соответствующих предметов, приведения примеров, т.е. посредством приема, который в логике носит название остенсивного определения. Как говорит Б. Рассел, в первом случае слова определяются вербально, во втором - наглядно4.
Иначе говоря, не всегда предметное значение языковых знаков определяется посредством смысла. Предположение обратного - предметное значение всегда определяется некоторым смыслом - приводит к "дурной бесконечности": мы говорим, что некоторое словосочетание выражает определенный смысл, если каждая составляющая его имеет определенное предметное значение. Каждое из этих предметных значений определяется каким-то смыслом (сложным знаком, имеющим свои составляющие) и т.д.
Ясно, что и общество и каждый отдельный человек должны иметь (и имеют) определенный запас выражений языка, которые как знаки непосредственно (без смысла) соотнесены с их предметными значениями. Отношение этих знаков к объектам, которые они представляют, не опосредованы никакими смыслами. Это связи, возникающие стихийно в процессе общения людей и особенно в совместной практической деятельности. По-видимому, они имеют просто рефлекторный, во всяком случае, не логический характер. Здесь мы имеем то самое интуитивное употребление имен и знаков вообще, о котором упоминалось выше (§ 2), при котором каким-то образом осуществляется отождествление существенно разных состояний предмета, что позволяет употреблять знак для обозначения предмета в различных его со-Стояниях (знаки, связанные таким именно образом с предметами, называют "жесткими десигнаторами").
Возможны, конечно, такие ситуации, когда, зная смысл некоторого
4 Чёрч А. Введение в математическую логику. М., 1960. С. 343. ^ассел Б. Человеческое познание. М., 1957. С. 109.
41
слова, мы можем, ’’встретив предмет”, "не узнать” в нем того, что обозначает данное слово. Например, "Президент Франции” - это словесный знак с определенным смыслом. Однако при встрече с ним мы можем не узнать в нем главу французского государства. Дело в том, что мы не всегда можем обнаружить в предмете те признаки, на которые указывает смысл слова. Из этого следует практический вывод для педагога: разъясняя смысл употребляемых научных терминов, он должен заботиться о том, чтобы признаки были доступны учащимся для их обнаружения в предметах, с которыми они должны иметь дело. В этом отношении едва ли удачным является разъяснение того, что представляют собой подлежащие изучению в разделе "Молекулярная физика” макротела5, когда они характеризуются как "большие тела, состоящие из огромного числа молекул".
С другой стороны, зная смысл некоторого термина, мы можем не знать обозначаемых им конкретных предметов. В этом случае говорят, что человек знает, что представляет собой предмет, но не знаком с ним. Известен исторический пример: В. Шекспира однозначно характеризуют такие выражения, как «автор "Ромео и Джульетты"» и тем более «великий английский писатель XVII века, написавший "Гамлета"». Однако среди ученых-литературоведов до сих пор продолжаются споры о том, кто конкретно скрывается под именем В. Шекспир? Имеется около 10 претендентов на это почетное место, и в том числе известный логик-философ Ф. Бэкон.
Плохо, хотя, к сожалению, это нередко и бывает, когда человек, излагая какой-то материал, употребляет специальные термины или даже обычные слова, но не в обычных значениях, не проявляет заботу о том, чтобы дать возможность слушателю или читателю понять, какие предметы, явления обозначаются этими словами. Без этого человек не может понять, какие ситуации описываются и утверждаются в высказываниях этого изложения, как связываются одни ситуации с другими и как они компонуются в контексте изложения6. В таком случае изложение воспринимается просто как совокупность словосочетаний, лишенных какого-либо смысла.
Если подобное изложение связано с учебным процессом, то слушатели могут, конечно, добросовестно записывать, а потому заучивать произносимые фразы и их сочетания без понимания того, о чем идет речь. Таким образом, они обречены на "зубрежку", а не на изучение материала.
И еще хуже, если сам лектор или учитель вместо реальных знаний имеет просто запас заученных когда-то определений, предложений и
5 Речь идет о номинальном определении макротел и как таковое оно является явно неудачным (см. гл. 20).
6 Контексты представляют собой, очевидно, определенную форму знания. Однако в логике она до сих пор не нашла отражения. Вопрос о предметном и смысловом значении контекстов как лингвистических образований остается неясным. Можно предположить лишь, что это своего рода минитеории. В таком случае логическая специфика этих образований в какой-то мере будет прояснена в разделе "Теория" (см. гл. 18).
42
вМесто знаний передает слушателям или ученикам, по существу, лишь оПределенные словесные конструкции. Каждому, наверное, известны сЛучаи, как учителя такого типа не любят любознательных учеников, как их раздражает любознательность и как они требуют при проверке знаний повторять слово в слово то, что было сказано ими.
Если за словами имеются в виду какие-то реальные ситуации, -знание которых и есть собственно то, что называют знанием, - тогда йх можно описать в различных словесных формах... А требование отвечать "теми же словами" означает как раз, что никаких ситуаций в виду не имеется.
Здесь, как мы видим, затрагивается проблема понимания. Ясно, насколько важна она в познавательном и педагогическом процессе. К сожалению, в логике нет разработок самого понятия "понимание". Можно отметить здесь, что есть разные типы понимания, соответственно, непонимания:
1.	Человек может понимать или не понимать смысл самого высказывания, который, кстати, определяется предметными значениями его составляющих (как сложной знаковой формы). Этот вид понимания и условия достижения понимания этого вида мы считаем в определенной мере разъясненными выше.
2.	Можно понимать или не понимать, как одно высказывание вытекает в процессе рассуждения из других, как оно связано с другими высказываниями. Проблема понимания этого вида - это главная проблема теории выводов и доказательств в логике и будет рассмотрена в соответствующих разделах глав 7, 8,9.
3.	Можно понимать или не понимать, что представляет собой то или иное явление, как, по какой причине оно происходит. Например: "Что такое понимание?" "Почему и как вода поднимается вверх по стволу дерева вопреки закону тяготения?" Речь о понимании такого вида будет идти в связи с методом научного объяснения (см. § 95).
Возможны, очевидно, и другие случаи употребления слова "понимание". Однако, как представляется авторам, выделенные случаи являются основными.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Укажите, какие предметные значения имеют следующие выражения языка как знаки: Луна, естественный спутник Земли, самая большая река в Европе, Аристотель, мужество, любовь, доброта.
2.	Укажите, какие знаки из упражнения 1 имеют собственный смысл, в чем он состоит?
3.	Попытайтесь установить приданный смысл (в настоящее время) Тех знаков из упражнения 1, которые не имеют собственного смысла.
4.	Являются ли знаками и почему следующие слова и словосочетания: познание, мыслящее число, чувственное наслаждение, вкус мЫсли, творческая деятельность, духовность, бессмыслица, стремление, абракадабра.
5.	Каковы предметные значения тех выражений из упражнения 4, к°торые являются знаками?
43
Глава 2
СЕМАНТИЧЕСКИЕ И СИНТАКСИЧЕСКИЕ КАТЕГОРИИ ЯЗЫКОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
§ 7. Основные семантические категории
Все значащие выражения языка1, т.е. выражения, являющиеся знаками, могут быть разбиты на некоторую совокупность классов, называемых семантическими категориями. Семантическая категория -это класс выражений с однотипными предметными значениями, при этом включающий все выражения с предметным значением данного типа.
К первому типу будут относиться предметы, о которых что-то утверждается или отрицается в наших высказываниях. Соответствующая семантическая категория языка для этих предметных значений - ИМЕНА.
Второй тип - это свойства предметов и отношений между предметами, наличие или отсутствие которых утверждается или отрицается в высказываниях. Знаками соответствующей семантической категории являются ПРЕДИКАТОРЫ.
Третью категорию составят выражения, называемые ПРЕДМЕТНЫМИ ФУНКТОРАМИ. Это - знаки так называемых предметных функций (см. § 9). Наряду с математическими функциями "синус”, "логарифм", "умножение" и т.п. сюда относятся такие особые характеристики предметов, как скорость, плотность, возраст, пол, профессия, агрегатное состояние, местожительство и т.п. Такие характеристики иногда называют свойствами, хотя это весьма неточно; свойства - это, например, "жидкий", "кристаллический", "электропроводный" и т.п. В силу отсутствия в логике специального термина для их обозначения будем называть их предметно-функциональными характеристиками.
Характеристики предметно-функционального типа отличаются от свойств, знаками которых являются предикаторы; последние, как увидим позже (§ 9), по некоторым соображениям логического плана могли бы быть названы характеристиками пропозиционального типа.
Четвертый тип составят термины особого рода - логические термины - знаки логических отношений "и", "или", "если..., то...", "неверно, что" и операций "всякий", "существует" (некоторые), "тот..., который...", с помощью которых строятся понятия, высказывания в языке и с помощью которых осуществляется упоминавшаяся в § 1 синтетическая деятельность мышления при языковом способе воспроизведения действительности. Соответствующая семантическая категория- ЛОГИЧЕСКИЕ ТЕРМИНЫ (логические константы).
1 Незначащими выражениями языка являются, например, знаки препинания. Такие выражения называются синкатегорематическими. "Незначащими" здесь - в смысле не имеющими предметных значений, но они значимы в том смысле, что выполняют в языке некоторые функции и, в силу этого, относятся к синтаксическим категориям.
44
И, наконец, пятый тип предметных значений, составляют ситуации, наличие или отсутствие которых утверждается в высказываниях. Знаковые формы их, иначе говоря, соответствующая семантическая категория - класс ПОВЕСТВОВАТЕЛЬНЫХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ.
Рассмотрим теперь более подробно выделенные типы предметных значений и соответствующие им категории языковых знаков. Заметим, однако, прежде, что "предметы" в логике, как можно понять уже из предыдущего, понимаются в широком смысле: имеются в виду вообще предметы мысли, т.е. все то, что может быть объектом нашего рассмотрения, о чем что-то можно утверждать или отрицать.
Прежде всего к предметам относят вещи, с которыми мы встречаемся в реальной действительности. Далее, таковыми будут: явления, события (гром, молния, буря, выборы, купля, продажа и т.п.), процессы (дождь, нагревание, похолодание, общественные реформы и т.п.). Предметами мысли могут быть и определенные характеристики тех же вещей, явлений, процессов, т.е. качества, свойства и отношения (склоняемость, кристалличность, делимость, причинная связь и т.д.), а также характеристики предметно-функционального типа (объем, вес, рост, пол, национальность и т.п.).
Кроме отдельных предметов - индивидов - в познании нам приходится иметь дело с классами предметов, множествами предметов, сходных по каким-то признакам (класс людей, класс животных, растений, городов, писателей и т.д. - см. § 47). В действительности эти предметы, конечно, разбросаны в разных частях пространства и моментах времени. В процессе познания они объединяются и обобщаются в мысли посредством введения общих знаков для всех предметов того или иного класса и становятся, таким образом, самостоятельными объектами мысли. Здесь особо проявляется определенная активность познания.
Итак, предыдущее рассмотрение приводит нас к следующим семантическим категориям: имена, предикаторы, предметные функторы, логические термины и повествовательные предложения.
I. ИМЕНА - слова и словосочетания, являющиеся знаками предметов. По существу предметом мысли является все то, что обозначено каким-либо именем. Таким образом, имя может быть охарактеризовано как знак такого рода, который, будучи соотнесенным с каким-либо предметом, явлением, процессом действительности, превращает его в предмет мысли.
Имена бывают единичные ("Волга", "Эверест", "Сократ", "Естественный спутник Земли", "Лондон", "Самая высокая гора в мире"), их предметными значениями являются отдельные предметы, и общие ("река", "столица", "треугольная, плоская, замкнутая фигура", "человек", "небесное тело, вращающееся вокруг Солнца"). Общее имя является знаком произвольного, любого предмета некоторого класса (определенного вида предметов) и в силу этого как знак представляет в Иашем мышлении именно этот класс, который и считается предметным значением общего имени.
45
Как общие, так и единичные имена делятся на описательные (сложные) и на неописательные (простые) имена. Простыми (неописательными) именами являются имена, которые не имеют собственного смысла и могут иметь лишь приданный смысл ("Эверест", "гора", "река", "Волга"). Сложными (описательными) являются имена, которые имеют собственный смысл ("Самая большая река в Европе", "Плоская, замкнутая, ограниченная тремя сторонами фигура").
Будучи представителем некоторого класса предметов, общее имя выступает в некоторых контекстах в качестве знака той совокупности свойств, которые являются отличительными, характеристическими для предметов этого класса. Как видим, общее имя представляет собой очень сложную, семантически многоаспектную категорию. Этим объясняется, что в истории философии и языкознания оно имело различные истолкования. Существует даже особое направление в философии -так называемый реализм, в основе которого лежит представление о том, что общие имена являются знаками особого рода сущностей -универсалий, таких, как "дом вообще", "человек вообще" и т.д., которые, согласно этой концепции, реально существуют наряду с отдельными предметами (домами, людьми и т.д.). Древнегреческий философ Платон, именуя их идеями, считал даже, что они существуют в особом мире идей и что отдельные вещи нашего мира являются лишь отражениями этих идей. Как видим, при такой трактовке общего имени оно не является даже общим именем, а особым, единичным именем отдельной идеи. Споры относительно истолкования общих имен продолжаются и в настоящее время.
Б. Рассел трактует их как имена классов. Вместе с тем он же пишет, что они "относятся ко всем объектам определенного рода"2. При этом ясно, что "относятся" надо понимать не так, как, например, в высказываниях: "Иванов есть человек", "Петров есть человек" и т.д., т.е. в составе сказуемых (образуемых сочетанием общего имени с логической связкой "есть"), а так, что общее имя - в нашем примере "человек" - является именем каждого предмета из класса, которое это имя представляет. Понимание общего имени как имени класса, а также как имени каждого из предметов этого класса можно найти у Милля. Именно от Милля, очевидно, пошла трактовка общего имени - по крайней мере в английской философии - как имени многих предметов. «По терминологии Милля, - пишет А. Чёрч, - и других следующих ему, не только единичное имя обозначает, но и общее имя; но в отличие от первого оно обозначает не отдельный предмет, а целое множество предметов. Так, например, общее имя "человек" обозначает и Рембрандта, и Скотта, и Фреге, и т.д.»3.
Однако из некоторых разъяснений Милля явствует, что он скорее имеет в виду не то, что имя является именем каждого предмета представляемого им класса, а что оно приложимо - в составе логического
2 Рассел Б. Человеческое познание. М., 1957. С. 107.
3 Чёрч А. Введение в математическую логику. М., 1960. С. 34.
46
сказуемого - к каждому из этих предметов. Так, Милль пишет: «Общее имя обыкновенно определяют как такое, которое можно правильно утверждать в одном и том же смысле относительно каждой из неопределенного количества вещей... Так, имя "человек" можно с полным правом утверждать относительно Джона, Джорджа, Мэри и неопределенного количества других лиц, и всегда в одном и том же смысле, так как слово "человек" обозначает некоторые качества, а мы, прилагая его к этим личностям, утверждаем, что все они обладают именно этими качествами»4. (Существенно обратить здесь внимание на мысль Милля о том, что, кроме всего прочего, общее имя обозначает некоторое качество.)
Согласно указанному взгляду получается так, что общее имя имеет множество значений. Это не согласуется с принципом однозначности имен, о котором речь пойдет дальше. Более точно понимание смысла общего имени "человек" проявляется в рассуждениях Сатина (М. Горький. "На дне"). "Человек, - поясняет он барону, - это ты, я, старик, Магомет, но это и не ты, не я, не старик". Это по видимости противоречивое утверждение содержит две взаимно дополняющие друг друга характеристики роли общего имени: в предикатной позиции, т.е. в виде сказуемого "есть а" оно - общее имя а (сигма) - может быть применено к любому предмету из представляемого им класса. В субъектной позиции5, т.е. в качестве логического подлежащего, оно не указывает ни на какой определенный предмет класса. Кстати, в специальной логической работе Рассел уже определенно пишет, что имя "человек" (a man) обозначает не многих людей, а неопределенного человека6. Общие имена явно рассматриваются им теперь как аналоги переменных формализованных языков логики. Однако это не соответствует его раннему утверждению, приведенному выше.
Фреге вообще не выделял общие имена в качестве особой категории языковых выражений, рассматривая их как одноместные пре-дикаторы7. В этом ему следуют многие современные авторы, в том числе известный польский логик К. Айдукевич - автор специально разработанной им логической теории синтаксических категорий8. Эта позиция сталкивается с трудностями в анализе предложений естественного языка, не давая, в частности, объяснения того, что представляют собой логические подлежащие предложений с кванторными словами.
Как мы уже сказали, Платон считал значениями общих имен особые сущности - идеи, реально существующие в некотором особом мире. "Человек",/огласно этому взгляду, обозначает человека как такового, т.е. идею человека. Согласно Платону, она существует реально, а отдельные люди - суть отражения этой идеи (и притом несовершенные, чем и объясняется наличие множества их).
4
Милль Дж. Система логики силлогистической и индуктивной. М., 1914. С. 23.
*См.§9.
Russel В. On denoting Ц Mind. 1915. Vol. 14.
g Frege G. Uber Begriff und Gegenstandgeschrift fur wissenschaftliche Philosophic, 1892, N 216. См.: Смирнова ЕД. Логическая семантика и философские основания логики. М., 1986.
47
Аристотель, преодолев идеализм Платона, трактовал значение общего имени как некоторую сущность, содержащуюся в отдельных вещах определенного класса (представляемого, по нашей терминологии, общим именем). В трактате "Категории" Аристотель характеризует единичные имена - имея в виду, очевидно, их предметные значения, т.е. отдельные вещи, - как "первые сущности", а общие имена как "вторые сущности".
Основная мысль Платона о том, что значениями общих имен "человек", "дом" являются некий "человек вообще", "дом вообще", породила в средневековой философии споры относительно природы такого рода объектов (универсалий). Одной из концепций по этому вопросу, противостоящей платоновской (названной позже реализмом), был концептуализм, согласно которому "универсалии" - это просто понятия. Ю.С. Степанов, придерживаясь, судя по всему, этой концепции, считает, что предметными значениями общих имен являются именно понятия. «Словом дерево, - пишет он, - мы именуем "дерево вообще", мы имеем в виду не вещь, ибо такой "вещи" нет, а понятие о ней и именуем его»9. Таким образом, общие имена оказываются, по существу, единичными, как это было и у Платона, ибо идеи "дерева", "человека" - это отдельные предметы, как и понятия "дерево вообще", "человек вообще". Этому противоречит употребление общих имен в субъектной позиции, но главное, указанная трактовка общих имен не выдерживает критики с точки зрения принципа предметности употребления знаков, в частности имен (см. § 10). Если общие имена именуют понятия, то они могут и употребляться - в качестве логических подлежащих - только для утверждений о понятиях. Мы видим, как теория значений общих имен перерастает в важные проблемы гносеологии.
Как нам представляется, употребление общих имен "человек", "дерево" вовсе не обязывает нас к признанию каких-то сущностей вроде "человека вообще" и "дерева вообще". Они являются просто результатом обобщения предметов определенных классов по некоторым общим для этих предметов характеристикам. Обобщение осуществляется за счет отвлечения от индивидуальных различий (как это происходит при отождествлении предметов каких-то классов, например, всех экземпляров "деревьев", результатом которого является именно одно данное слово), но не игнорирования этих различий. Таким образом, общее имя оказывается представителем класса предметов. Из этого следует, что слова, представляющие собой общие имена, могут рассматриваться в определенных контекстах, например в составе описательных имен (знаковых форм понятий, о которых речь пойдет ниже) или в предложениях, когда они играют роль логических сказуемых как знаки свойств или совокупностей свойств, по которым обобщаются предметы классов.
Мы подошли к вопросу о сходстве общих имен естественного языка и символов переменных в специальных языках математики и логики.
9 Степанов Ю.С. В трехмерном пространстве языка. М., 1985. С. 16. 48
Ранее мы уже заметили, что общие имена являются своеобразными переменными естественного языка. Символы х, у, z и т.п., играющие роль переменных, например в математике, логике, относятся к типу единичных имен, но отличаются от имен тем, что не имеют определенных значений (денотатов), а лишь могут принимать различные значения из некоторой всегда задаваемой при введении переменной области (множества индивидов). Как пишет А. Чёрч, переменная по своей функции (значению в языке) совпадает с константой (т.е. именем с определенным значением), отличаясь от него лишь тем, ’’что единственный денотат константы заменен здесь возможностью различных значений переменных"10.
Используя переменные х, у, мы можем сформулировать, в частности, предложения типа "всякий предмет х из области D обладает свойством Р", "для всякого предмета х из области Dx существует предмет у из области D2 такой, что х находится в отношении R к у", и т.п. Если,* например, область значений х в первом выражении есть класс людей, а Р- знак свойства "разумный", то это выражение есть не что иное, как предложение: "Всякий человек разумен". В случае если D] есть класс студентов, D2- класс наук, a R - отношение "изучает", то второе из приведенных выражений представляет предложение: "Всякий студент изучает какую-либо науку", или буквально: "Для всякого студента х существует наука у, такая, что х изучает у". Таким образом, с помощью переменных, как и с помощью общих имен, мы высказываем нечто обо всех или некоторых предметах тех или иных классов D, или Db или D2. При этом в той части, которая выражает то, что высказывается о предметах (предикат высказывания - "х разумен", "х изучает у" - отличается от того, что мы раньше называли логическим сказуемым, наличием переменных на аргументных местах предикаторов), переменные указывают на какие-то отдельные предметы соответствующих классов. Таким образом, переменная как знак, с одной стороны, является представителем некоторого класса, с другой - знаком какого-то, но не определенно, какого именно предмета этого класса.
Аналогично дело обстоит и с общим именем, с той лишь разницей, что указание на область (класс) возможных предметов, знаком которых может быть это общее имя в контексте некоторого высказывания, а именно в его предикатной части, содержится в самой структуре общего имени, тогда как символы переменных специально надо ассоциировать с определенными областями £>, £>b D2 (посредством употребления имен этих классов). Представляя некоторый класс предметов, общее имя в то же время употребляется - в субъектной части того или иного высказывания - как знак какого-то предмета из этого класса. Мы Можем, например, сказать, что: "для всякого человека верно, что он нуждается в общественной оценке результатов своего труда и потому
10 Чёрч А. Введение в математическую логику. М., 1960. С. 20.
4 Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев, кн. I	49
стремится к приобретению знаний и максимальному развитию своих способностей". Правда, специальные символы переменных более удобны как средства экземплификации (выделения, индивидуализации) предметов некоторого класса, чем общие имена.
Употребляя переменные х и у для точного выражения мысли, содержащейся в предложении "Всякий человек имеет друга", понимаемой как суждение об отношении, мы можем получить: "Для всякого человека х существует человек у, такой, что у друг х". При желании обойтись просто общим именем "человек" необходимо было бы, очевидно, прибегнуть к какому-то иному способу выделения одного и другого из подразумеваемых под х и у людей, например к способу индексации: "Для всякого человека] существует человек2, такой, что второй - друг первого".
Итак, любое общее имя ("человек, "дерево") связано с некоторым классом предметов, которые обобщаются посредством этого имени по некоторым общим для них свойствам, например, свойствам, общим для всех людей и отличающим их от всего остального в мире. Аналогично для всех деревьев. Обычно эту совокупность свойств мыслят как одно более или менее сложное свойство "человек", "дерево". Это и является основой отмеченной ранее возможности трактовать общее имя как знак некоторого свойства, т.е. как одноместный предикатор. Однако в естественном языке, по крайней мере в русском, предикативную функцию общее имя выполняет в сочетании со связкой "есть", т.е. в контексте "есть а". Будучи употребленным в такой предикатной позиции, оно выступает не как переменная, а как знак, выражающий определенную характеристику предметов, к которым относится содержащееся в предложении утверждение или отрицание.
Таким образом, общее имя по своему содержанию является весьма многосторонним: оно представляет некоторый класс предметов, является знаком произвольного предмета этого класса и содержит определенную характеристику обобщаемых предметов. Первая и вторая из этих сторон характеризуют его как специфическую переменную естественного языка и проявляются при употреблении его в роли логического подлежащего в предложении, т.е. в субъектной позиции. Третья из указанных сторон проявляется при употреблении общего имени в предикатной позиции. Употребляя общее имя в предикатной позиции, мы указываем на то, что представляют собой или чем не являются предметы, к которым относится утверждение или отрицание в предложении. Вместе с этим выявляется принадлежность или непринадлежность этих предметов классу, представляемому общим именем.
Характеристика предметов, о которых идет речь, может быть выражена в самом имени, например, в таком, как "многолетнее растение, имеющее крону, ствол, корни". Имя при этом имеет собственный смысл и называется описательным. Другой вид общих имен составляют неописательные имена - имена, не имеющие собственного смысла. Но смысл такому имени, как и в случае единичных имен, может быть придан посредством ассоциации его с некоторым описательным общим
50
именем. Только что указанное общее описательное имя может быть использовано в качестве выражения смысла, приписываемого слову "дерево". Основная же масса общих имен естественных языков, как, впрочем, и знаков других категорий, употребляется интуитивно, на основе знакомства с какими-то предметами соответствующего класса или просто на основе ситуаций, в которых употребляется данное имя.
Заметим, что отношение единичного имени к тому, что оно обозначает, является иным по сравнению с отношением общего имени к его предметному значению, т.е. к соответствующему классу. Оно не является именем этого класса. Например, общее имя "человек" не является именем класса людей, таковым будет только что употребленное здесь выражение - единичное имя - "класс людей". Единичное имя является просто меткой единичного предмета, его отношение к предмету есть отношение именования. Обще же имя не именует никакого отдельного предмета, а представляет произвольный предмет класса, а тем самым и весь класс. Таким образом, общие имена - это своеобразные переменные естественного языка. Употребляя общее имя, мы можем нечто утверждать или отрицать обо всем классе соответствующих предметов, как, например, в высказываниях "Всякий человек есть живое существо", "Ни одно преступление не является благодеянием". Утверждение или отрицание может, конечно, относиться и к части предметов некоторого класса: "Часть руководителей не следует принципу единства слова и дела". "Некоторые дороги ведут в ад", "Не все то золото, что блестит", и др.
Имена имеют в качестве смыслов понятия, а именно понятия соответствующих предметов. Мы уже упоминали также, что они представляют собой обобщения типа: "слово, изменяющееся по падежам", "частица, представляющая собой предел деления вещества, при котором сохраняются его физические свойства".
Последнее понятие составляет смысл слова "молекула"; это приданный смысл данного слова. Но само это понятие, как и всякая мысль, тоже выражено в языке. Знаковой формой понятия является описательное имя, а само понятие представляет собой собственный смысл описательного имени.
Различают собственные смыслы описательных единичных имен и описательных общих имен.
Смыслы единичных описательных имен - это особого рода понятия, которые называют индивидными концептами. В отличие от понятия -смысла общего имени - например, "город, являющийся столицей некоторого государства", индивидный концепт, например, смысл описательного единичного имени "тот город, который является столицей Франции", содержит дополнительную информацию о единичности описываемого объекта. Другие примеры индивидных концептов: "тот Человек, который первым полетел в космос", "та гора, которая является самой высокой в Европе". Характерным для знаков индивидных концептов является как раз употребление логического оператора "тот ..., Который ...", с помощью которого единичное описательное имя °бразуется из некоторого общего описательного имени. В естественном 4*	51
языке его (оператор определенной дескрипции) часто опускают, но с логической точки зрения и вообще для избежания некоторых двусмысленностей его важно иметь в виду (см. гл. 16).
В отличие от индивидных концептов понятия, составляющие собственные смыслы общих описательных имен, будем называть обобщающими, Употребляя такого рода понятия, мы отвлекаемся от того, какие количества предметов в нем обобщаются. Тогда как индивидный концепт как раз в силу употребления оператора "тот ..., который ..." содержит дополнительную информацию о единичности описываемого объекта.
Простые - неописательные - единичные и общие имена в качестве приданных смыслов имеют, соответственно, индивидные концепты и обобщающие понятия (приписывание им смыслов совершается, соответственно, посредством единичных описательных имен и общих описательных имен).
II. ПРЕДИКАТОРЫ - выражения языка (слова и словосочетания), предметными значениями которых являются свойства ("твердый", "жидкий", "умный") - одноместные предикаторы или отношения ("столица", "причина", "находится между", "брат") - многоместные предикаторы. При этом имеются в виду свойства и отношения, которые употребляются как характеристики предметов познания, т.е. как то, наличие или отсутствие чего у предметов мы утверждаем в наших высказываниях, в отличие от того, когда они сами являются предметами мысли (тогда их знаковые формы суть имена).
Эти знаки так же, как и общие имена, не именуют, а лишь особым образом представляют объекты, знаками которых они являются. Рассмотрим два предложения. "Сталь упруга" и "Упругость - полезное свойство некоторых металлов". В первом случае "упруга" - преди-катор, знак свойства, но не имя его; во втором же случае употреблено имя этого свойства.
Смыслы предикаторов, согласно разъясненному раньше общему понятию смысла знака, - это такие характеристики соответствующих свойств и отношений, которые однозначно выделяют их из множеств других свойств и отношений. Смысл одноместного предикатора "упругий" - способность тела восстанавливать форму и объем после устранения деформирующих его усилий. Для двухместного предикатора "некий человек является дядей другого" имеем: некий человек -мужчина, являющийся братом отца или матери другого человека.
Врочем, наряду с указанными - интенсиональными - характеристиками свойств и отношений в некоторых случаях применяются характеристики экстенсионального типа (см. § 14). Они состоят просто в перечислении для одноместного предикатора (знака свойства) всех предметов, обладающих этим свойством, или для м-местного предикатора всех последовательностей из п предметов (n-ок предметов), находящихся в данном отношении. Эти множества отдельных предметов или м-ок предметов называют объемами, соответственно, свойств и отношений. Таким образом, экстенсиональная характе
52
ристика некоторого свойства или отношения состоит в указании его объема.
Интенсиональная же характеристика играет роль правила, которое позволяет установить, какие именно предметы или последовательности предметов составляют объем свойства или отношения.
Ш. ПРЕДМЕТНЫЕ ФУНКТОРЫ в качестве предметных значений имеют упомянутые выше предметные функции. А характеристики самих функций, однозначно выделяющие их, представляют собой смыслы предметных функторов.
Например, функция синус может трактоваться как операция, сопоставляющая острым углам прямоугольных треугольников действительные числа. Смысл термина "синус" как знака этой функции, точнее, конечно, термина "синус некоторого угла", определяют как отношение катета, противолежащего углу, к гипотенузе.
Аналогично тому, как обстояло дело со свойствами и отношениями, характеристики предметных функций также могут быть интенсиональными и экстенсиональными. Указанный смысл термина "синус" -это интенсиональная характеристика данной функции; она играет роль правила, которое позволяет установить для каждого острого угла прямоугольного треугольника соответствующее ему число, т.е. установить множество пар (угол, число). Такое множество называют пробегом функции. Для л-местной функции пробег - это множество последовательностей длины п + 1; последний член этой последовательности есть значение функции для первых п предметов этой последовательности. Экстенсиональная характеристика предметной функции состоит в указании множества, составляющего ее пробег (подробнее см. § 14).
Полезно иметь в виду, что предметные значения единичных имен называют часто денотатами, десигнаторами, референтами соответствующих знаков. Предметные значения общих имен называют также экстенсионалами, а иногда экстенсионалами или референтами называют предметные значения всех знаков. Для смыслов же знаков употребляют термин интенсионалы знаков, иногда также концепты знаков.
Так, Р. Карнап в своей особой построенной им семантической теории языка каждому знаку сопоставляет два объекта - экстенсионал и интенсионал, отличая, правда, в некоторых особых случаях свой термин "интенсйонал" от термина "смысл", введенного Г. Фреге. Вместе с тем у Карнапа находим утверждение, что интенсионалами (т.е., по существу, смыслами) предикаторов являются свойства или отношения, а интенсионалами предметных функторов - предметные функции11. В таком случае неясным оказывается, что же является предметными значениями предикаторов и предметных функторов? Есть основания Думать, что таковыми для предикаторов и предметных функторов Карнап считает их экстенсиональные характеристики.
11 Карнап Р. Значение и необходимость. М., 1959. С. 31.
53
Как мы видели, предикаторы и предметные функторы существенно отличаются от имен своими предметными значениями. Специфичны также и их смыслы и вообще смысловые содержания. Однако общее для их смыслов со смыслами имен состоит в том, что они так же, как и смыслы имен, могут быть выражены понятиями, которые также могут быть индивидными концептами и обобщающими понятиями. Специфика этих понятий состоит в том, что это понятия не о предметах, а именно о свойствах, отношениях и функциях, т.е. понятия более высокой степени абстрактности по сравнению с теми, которые составляют смыслы имен (см. гл. 16).
IV. ЛОГИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ (термины) в качестве предметных значений имеют упомянутые выше логические операции и логические отношения. Обобщенно все они могут трактоваться как знаки специфических - логических - функций (см. § 9). В таком случае смыслы логических констант - это характеристики этих функций, аналогичные тому, что мы имели для предикаторов и предметных функторов. Они также могут быть интенсиональными и экстенсиональными.
Интенсиональными являются, например, правила приписывания истинностных значений сложным высказываниям (см. § 14), а экстенсиональными - для логических связок в языке классической логики высказываний - истинностные таблицы (см. § 20).
V. Наконец, в качестве знаков особого рода мы имеем ПРЕДЛОЖЕНИЯ (повествовательные, вопросительные, побудительные). Поскольку речь здесь идет о логическом анализе языка как средства познания, нас интересуют прежде всего повествовательные и в определенной мере вопросительные предложения.
С вопросом об их предметных значениях связаны, как уже упоминалось, определенные трудности (§ 6). Для повествовательных предложений будем придерживаться указанной выше концепции логики, согласно которой возможными предметными значениями повествовательных предложений являются ’’Истина” и "Ложь".
Смыслом повествовательного предложения является суждение. Что оно представляет собой, мы уже говорили в общих чертах в § 1 (подробнее см. гл. 17). Каждое повествовательное предложение (если оно является точно сформулированным и осмысленным) выражает какое-то суждение. Само предложение при этом выступает в качестве знаковой формы суждения. Ясно, что одно и то же суждение может иметь разные знаковые формы, тем более в разных языках. Все эти знаковые формы имеют один и тот же смысл. В этом случае их можно назвать синонимичными (правда, в лингвистической практике синонимичными называют обычно различные односмысленные выражения в пределах одного языка). Суждение, взятое вместе со знаковой формой, в логике принято называть высказыванием.
К сказанному добавим, что суждение представляет собой собственный смысл предложений. Приданные смыслы имеют, по-видимому, только неполно выраженные предложения, в частности, назывные и безличные.
54
* * *
Нетрудно заметить, что все знаки категорий I-IV используются в составе предложений. При этом знаки типов I-Ш называют дескриптивными (описательными) терминами в отличие от IV - логических терминов.
Вообще, дескриптивные и логические термины различаются тем, что одни - дескриптивные термины - специфичны для различных областей познания и поэтому характеризуют конкретное содержание высказываний той или иной области познания. Другие - логические термины - являются общими в высказываниях различных областей познания и определяют те аспекты смыслов высказываний, понятий, теорий, которые называют логическими содержаниями.
УПРАЖНЕНИЯ
Установите, к каким семантическим категориям относятся выражения:
1) Все жидкости упруги; 2) Жидкость; 3) Если ..., то ...; 4) Жидкий; 5) Вода; 6) Расположенный севернее; 7) Вещество, которое не имеет собственной формы и принимает форму того сосуда, в который помещено; 8) Жидкость, не имеющая ни запаха, ни цвета, ни вкуса.
§ 8. Основные синтаксические категории
В связи с указанными ранее аспектами языка - синтаксисом, семантикой, прагматикой - кроме предметных и смысловых значений знаков необходимо рассматривать таюке их синтаксическую роль, синтаксические функции. Именно по этим функциям все они могут объединяться в синтаксические категории. Естественно ожидать, что знаки, относящиеся к одной семантической категории, т.е, имеющие однотипные предметные значения, выполняют однотипные синтаксические - а по существу, некоторые познавательные - функции. Это значит, что каждая семантическая категория представляет собой и некоторую синтаксическую категорию, обратное, однако, неверно. Неверно, например, по отношению к знакам препинания. Они выполняют только некоторые синтаксические функции.
Основная синтаксическая функция имен в языке состоит в том, что они играют роль логических подлежащих в предложениях, т.е. указывают именно на то, к чему относятся содержащиеся в предложениях утверждения или отрицания, что является объектом той’ мысли -суждения, - которая составляет смысл предложений. При этом есть существенные различия в употреблении единичных и общих имен в качестве логических подлежащих.
С помопщю единичных имен образуются предложения, выражающие единичный суждения (“Джакарта - столица Индонезии”, "Естественный спутник Земли является остывшим небесным телом”). Общие имена играют роль подлежащих в так называемых множественных -
55
общих или частных - суждениях (’’Каждая планета Солнечной системы вращается вокруг своей оси", "Некоторые существительные не изменяются по падежам").
Важно заметить, что употребление общего имени в качестве подлежащего требует дополнения, а именно указания на то, относится ли утверждение или отрицание в суждении ко всем или не ко всем предметам того класса, который представляет данное общее имя. Функцию таких указателей выполняют явно выраженные или подразумеваемые логические константы (кванторные слова) - "всякий", "каждый", "любой" (указывают на общность суждения) и "некоторые", "многие", "большинство" и т.п. (указывают на частный характер суждения). Без таких указателей мы не имеем, по существу, предложений. Нельзя, например, считать предложением и оценивать как истинные или ложные такие высказывательные формы, как: "число не является четным", "человек справедлив"12 и т.д.
Существенно заметить, что утверждение (или отрицание) в простом предложении может относиться не только к одному предмету (как в предложениях - "4 есть четное число", "Волга есть река") или к предметам некоторого (одного) класса ("всякий глагол спрягается", "некоторые существительные не изменяются по падежам"), но и к некоторой последовательности отдельных предметов или классов двух, трех, ... вообще п объектов, или, как говорят еще, - к предметам некоторой упорядоченной пары, тройки ... вообще n-ки предметов. Например, "5 больше 3", "город Киров расположен между городами Нижним Новгородом и Пермью", "всякий студент изучает какую-нибудь науку". Объектами утверждения в первом предложении естественно считать члены упорядоченной пары (5, 3), во втором - города, составляющие упорядоченную тройку (Киров, Нижний Новгород, Пермь). В третьем - классы студентов и наук, т.е. члены пары (студент, наука). В соответствии с этим логическими подлежащими в первом случае надо считать термы (см. § 13) "5" и "3", во втором -"Киров", "Нижний Новгород", "Пермь", в третьем - общие имена "студент" и "наука". Роль логических сказуемых в этих предложениях (при указанном их истолковании) играют соответственно предикаторы "больше", "расположен между" и "изучает".
Предложение с одним логическим подлежащим выражает атрибутивное суждение. Логическое сказуемое такого предложения есть предикатор, представляющий свойство. Наличие нескольких подлежащих является особенностью предложений, выражающих суждения об отношениях (см. гл. 17).
В рассмотренных случаях понятия "логическое подлежащее" и "логическое сказуемое" употреблялись в соответствии с тем, как это
12 По виду эта форма содержит утверждение или отрицание чего-то о чем-то и потому, как знаковая форма, сходна с высказыванием, однако она не истинна и не ложна (т.е. является неопределенно-истинной), поскольку не известно, к чему именно относится наше утверждение или отрицание: к отдельным ли предметам класса или в ней идет речь обо всех или некоторых предметах класса.
56
принято в современной логике, одно из существенных отличий которой от традиционной логики состоит в учете специфики высказываний об отношениях.
Очевидно, что когда в лингвистическом анализе выделяют подлежащее, то имеют в виду то, о чем утверждается в предложении. В таком случае "группа подлежащего" (подлежащее вместе с определениями, дополнениями, обстоятельствами) должна совпадать с тем, что мы называем здесь логическим подлежащим, но лишь в применении к атрибутивным суждениям. Таким образом, лингвистика в своем анализе простых повествовательных предложений предполагает лишь суждения этого типа. Только эти суждения знала и традиционная логика, сводя к ним высказывания об отношениях. Сведение такого рода всегда возможно. Для этого достаточно первое из всех логических подлежащих предложения, выражающего суждение об отношении, рассматривать как единственное логическое подлежащее всего предложения, рассматривая всю остальную часть предложения как его логическое сказуемое. В указанном предложении "каждый студент изучает какую-нибудь науку" логическим подлежащим окажется "студент", а логическим, сказуемым - "изучает какую-нибудь науку". Но такое сведение, как показала современная логика, приводит к существенному обеднению содержания предложения.
Имеются специальные результаты современной логики, например, теоремы о неразрешимости исчисления предикатов, язык которого содержит более чем одноместные предикаторы, и о разрешимости любого его фрагмента, в языке которого нет никаких предикаторов, кроме одноместных, т.е. предикаторов, представляющих свойства.
Не соответствует действительной роли кванторных слов "всякий", "каждый" отнесение их - в лингвистическом анализе - к числу местоимений (и исключение, как правило, из классификации вообще кванторного слова "некоторые"). Не означает ли все это, как и многое другое, необходимости определенных корректировок лингвистического анализа языка, если исходить из того, что к числу его важных целей относится выработка критериев и навыков точного понимания и выражения мысли в языке?
Напомним, что общие имена представляют собой своеобразные переменные естественного языка. Но именно тогда, когда они играют роль логических подлежащих в высказываниях; поэтому приведенные выше фразы "число не является четным", "человек справедлив" аналогичны выражениям "х - нечетно", "у - справедлив", при условии, конечно, что "х" употреблен как знак какого-то из целых чисел, а "у" -как знак какого-либо человека. Это высказывательные формы, называемые в логике предикатами. Из указанных предикатов, например, мы можем получить предложения (высказывания): "Всякий человек справедлив", "Некоторые люди справедливы" или, подставляя вместо переменных имя определенного предмета: "9 - нечетно", "Иванов -справедлив" и т.п. (подробнее о предикатах см. гл. 4,11).
Предикаты, по существу, представляют собой особую семан
57
тическую категорию языковых выражений. В естественном языке они не выделяются в качестве таковой особым образом - наряду с предложениями (высказываниями) - и употребляются лишь в составе высказываний и понятий.
Иначе обстоит дело в формализованных языках. Их выделение существенно с познавательной точки зрения: на некоторой стадии развития языка мы можем зафиксировать - в виде предикаторов -лишь некоторое ограниченное множество простых свойств и отношений. Тогда как в процессе познания нам приходится иметь дело отнюдь не только с этими простыми свойствами и отношениями, поскольку в мире существует неограниченное множество и отнюдь не только простых свойств и отношений. То, что для каждого человека существует женщина старше его и являющаяся его матерью, представляет собой высказывание, в котором утверждается уже не простое, а сложное свойство человека. Непростым является также свойство Земли, утверждаемое в суждении: "Если ось Земли в некоторый момент ее вращения вокруг Солнца наклонена в сторону Солнца, то в северной ее части имеет место лето, а в южной - зима".
Предикаты могут быть выделены из высказываний, по крайней мере, когда последние относятся к отдельным предметам, заменой имен этих предметов переменными или - в естественном языке - общими именами. Из последнего высказывания мы можем получить предикат: "Если планета с наклоненной по отношению к плоскости эклиптики осью вращения в какой-то момент вращения вокруг Солнца наклонена осью к Солнцу, то в верхей ее части имеет место лето, а в нижней -зима". В формализованном языке вместо "планета с наклоненной осью вращения" мы бы употребили определенный символ переменной, положим, х, а область ее возможных значений охарактеризовали бы приведенным выше описательным именем.
С помощью предикатов - которые, в свою очередь, строятся из предикаторов, переменных и логических констант, - мы можем выразить сколь угодно сложное свойство или отношение (по крайней мере, с учетом наших физических возможностей и имеющихся в языке исходных средств). Таким образом, множество предикатов в языке представляет собой множество возможных - выразимых в данном языке - свойств и отношений рассматриваемых областей действительности (см. §§ 47, 48 гл. 15).
Наряду с ролью логических подлежащих общие имена могут играть также - в сочетании со связкой "есть" - и роль логических сказуемых. Например, в предложениях "2 есть четное число", "Сократ есть человек" и др. В этой позиции общее имя ("простое число", "четное число", "человек") выступает уже не как переменная, а как представитель класса предметов. В силу этого мы имеем в подобных случаях нормальные (истинные или ложные) предложения.
Впрочем, мы можем употреблять общее имя как логическое сказуемое и без связки "есть", трактуя его как знак того свойства или совокупности свойств (рассматриваемой как одно свойство), которое
58
яВляется характеристическим для класса предметов, обобщаемых данным именем. В таком случае образуемое предложение, например, ’’Иванов человек” имеет смысл: Иванов обладает свойствами, характерными для людей, т.е. теми свойствами, которые выделяют людей йз всего животного мира. Таким образом, разница между утверждениями "Иванов есть человек” и "Иванов обладает свойствами, отличительными для людей” состоит в том, что в одном случае мы утверждаем непосредственно принадлежность Иванова к классу людей, а тем самым - опосредованным образом - наличие у него типичных для людей свойств, во втором же - говорим непосредственно о принадлежности ему некоторых свойств и опосредованно - о принадлежности его к соответствующему классу предметов. Будем говорить, что высказывания первого типа имеют понятийную форму, а вторые -атрибутивную. Эти различия не являются излишне детальными и понадобятся нам в дальнейшем (см. § 64).
Существует мнение, что общее имя может употребляться осмысленным образом в качестве подлежащего и без кванторных слов. Приводят примеры: "Человек произошел от обезьяны” или "Человек появился на Земле несколько миллионов лет тому назад". Однако "человек" здесь употребляется не как общее имя, а как единичное имя класса людей (как особого вида живых существ).
Единичные имена, в отличие от общих, не могут служить логическими сказуемыми. Кроме указанной основной функции - быть логическим подлежащим - они употребляются в качестве составных частей сложных имен, как единичных, так и общих ("столица Индонезии", "планета Солнечной системы").
Следует иметь в виду, что в русском языке бывают случаи, когда одно и то же выражение в одних контекстах может трактоваться как общее имя, а в других - как единичное. Таково, например, приведенное имя "столица Индонезии". При истолковании его как единичного подразумевается логическая константа "тот..., который...". Без этой константы "столица Индонезии" - общее имя, поскольку сама по себе его форма указывает на класс предметов, а не на отдельный предмет. Именем же этого предмета (единственного элемента данного класса) будет "тот город, который является столицей Индонезии". Возьмем два предложения, приведенные выше - "Джакарта - столица Индонезии" и "Столицу Индонезии - большой город". В первом случае "столица Индонезии" - общее имя, и именно в силу этого правомерно используется как логическое сказуемое. Во втором случае - это же выражение с подразумеваемой логической константой "тот город, который является столицей Индонезии" - единичное имя.
Об основной синтаксической роли предикаторов нетрудно заключить, исходя уже из типа их предметных значений. Прежде всего они играют роль логических сказуемых в предложениях. Предикатор, обозначающий свойство, употребляется в качестве логического сказуемого, когда утверждение или отрицание в предложении относится к одному предмету или предметам одного класса. Когда он обозначает отношение, утверждение или отрицание относится к паре, тройке - в
59
зависимости от местности отношения - отдельных предметов или классов предметов, тогда мы имеем несколько логических подлежащих в предложениях. Такова специфика упоминавшихся суждений об отно-шениях: "Три меньше пяти", "Петров изучает несколько иностранных языков", "Все студенты сдают какие-нибудь экзамены". Логические подлежащие здесь соответственно: "3" и "5", "Петров" и "иностранный язык", "студент" и "экзамены".
Существенна также роль предикаторов в образовании описательных общих имен: "человек, изучающий английский язык", "студент, изучающий какой-нибудь древний язык", "число, которое делится (без остатка) на все числа" - и высказывательных форм - предикатов, обозначающих сложные свойства и отношения.
Предметные функции с синтаксической точки зрения в основном употребляются для образования описательных единичных и общих имен: "объем Земли", "профессия Петрова", "sin х", "х + 3" и т.п.
Являясь по своим предметным значениям обозначениями существенных составляющих того, что называют качествами предметов, они служат для выражения характеристик предметов, а также являются основаниями классификаций предметов той или иной области действительности (см. § 72 - "основание деления").
Мы уже говорили о синтаксической роли таких логических констант (операторов), как кванторные слова ("все", "некоторые" и т.п.) и имяобразующего оператора "тот..., который...". Логические связки "если..., то...", "или", "и", "неверно, что..." употребляются для образования сложных высказываний и - в сочетании с переменными - высказывательных форм. Примеры сложных высказываний: "Если Петров постарается, то усвоит логику", "Число 357 простое число или оно сложное", "Неверно, что нет дыма без огня", "Петр студент, и Иван студент" (заметим, что похожее на это высказывание "Петр и Иван братья" не является сложным. Это суждение об отношении, содержащее одно утверждение об отношении между Иваном и Петром).
* * *
Заметим, что предикаторы, предметные функторы, логические термины, представляя - в общении и в мышлении людей - отношения или функции, не являются их именами, как и общие имена не являются именами представляемых ими классов предметов. Таким образом, мы замечаем существование различных типов отношений знаков к объектам. Один из них - отношение именования, характерный для единичных имен. Другой - просто отношение "представительства" (если можно так выразиться), хотя между знаком и его предметным значением всегда есть отношение "представительства" в широком смысле.
60
§ 9. Функциональный анализ языковых выражений
В логическом анализе языка с целью придания этому анализу большей точности и достижения при этом некоторых обобщений применяется разработанная в логике функциональная трактовка некоторых выражений языка.
Понятие функции рассматривалось до некоторых пор как специфическое понятие математики. Имелись в виду, как правило, числовые функции (аргументами и значениями которых являются числа того или иного класса - натуральные, рациональные, действительные, комплексные и т.д.). Однако в логике осуществлено значительное обобщение этого понятия, в силу которого все значимые выражения языка, кроме предложений, единичных имен и их аналогов - переменных (если они в том или ином случае вводятся), могут трактоваться как функции.
В основе понятия функции лежит понятие отношения соответствия (функционального отношения) между двумя множествами Мх, М2, в силу которого каждому элементу одного множества соответствует один из элементов другого множества. Отношения этого рода могут существовать объективно или устанавливаться людьми при решении тех или иных задач. Объективно, например, каждому человеку соответствует некоторый день его рождения, определенная женщина, которая является его матерью, а также мужчина - его отец. Для того чтобы обеспечить порядок в театре, устанавливается определенным образом (путем выдачи билетов каждому посетителю с указанием номера места) отношение между множеством посетителей и множеством мест в театре. Функция - это операция, посредством которой либо воспроизводится некоторое объективно существующее отношение соответствия, либо устанавливается некоторое отношение соответствия. Если функция устанавливает отношение соответствия между множествами М] и Л/2, то говорят, что посредством ее осуществляется отображение множества в множество Л/2. Множество при этом называется областью определения функции, а М2 - областью ее значений. Для числовых - математических - функций области и М2 -те или иные классы чисел.
Обобщением понятия числовой функции является понятие предметной функции вообще, когда М\ и М2 - вообще какие-то предметы (возможно, конечно, и число). Так, словосочетание "год рождения" теперь может трактоваться как функция, которая отображает класс людей в класс своеобразных чисел - временных дат (соотносит каждому человеку дату его рождения). Аналогичной является функция возраст" и вообще такие выражения языка, как "скорость" (некоторого тела), "объем", "плотность" и т.п. Выражение "место рождения" (человека) как функция соотносит каждому человеку город, село, деревню и т.п. (вообще - единицу территориально-административного деления).
Другой, принципиально новый вид функций, введенных логикой, -Это пропозициональные (логические) функции. Они отличаются от предметных функций своеобразием их значений (т.е. своеобразием мно
61
жества М2). Таковыми являются Истина или Ложь (а в некоторых случаях также "бессмысленно" и "неопределенно"), т.е. истинностные значения предложений, рассматриваемые как особого рода абстрактные объекты логико-гносеологического характера.
При этом в зависимости от характера области определения этих функций (множество М0 среди них особо выделяются предметно-истинностные и истинностно-истинностные.
Знаками (функторами) предметно-истинностных функций являются как раз предикаторы. Применение предикатора "твердый" к куску металла с точки зрения языка дает высказывание "Данный кусок металла твердый", а с функциональной точки зрения соотносит этому предмету значение Истина.
Предикатор "химически сложный" в применении к воде дает Истину, а в применении к меди - Ложь.
Знаками (функторами) истинностно-истинностных функций являются логические связки: "не (неверно, что)", "и", "или", "если..., то...".
"Не" ("неверно, что...") образует из простого высказывания, например, "медный колчедан есть металл" новое - сложное высказывание: "Неверно, что медный колчедан есть металл" (или "Медный колчедан не есть металл"). Первое ложно, второе истинно, значит "не" как функтор, будучи примененным - в данном случае - к объекту Ложь, соотносит ему объект "Истина"; объекту "Истина" данная функция соотносит объект "Ложь".
УПРАЖНЕНИЕ
Приведите 4 примера второго случая применения функтора "не".
Связка "или" в применении к двум высказываниям "число 357 является простым" и "число 357 является сложным" образует также сложное высказывание: "число 357 является простым или число 357 является сложным". С точки зрения функциональной мы применяем данный функтор (знак функции) к двум объектам логико-гносеологического характера: Ложь и Истина - и в результате получаем в качестве значения функции Истину. Вообще эта функция паре истинностных значений ИИ, ИЛ, ЛИ, ЛЛ соотносит значение Истина, если хотя бы один объект пары есть Истина, и Ложь - если оба объекта есть Ложь13.
Эта функция, очевидно, отличается от рассмотренных выше тем, что применяется не к одному объекту, а к паре, поэтому она называется двухместной. Таковыми же являются и все перечисленные выше логические связки, кроме отрицания; отрицание, как и все рассмотренные выше предметные функторы, - одноместная функция. Таким образом, мы подошли здесь к различению функций на классы одноместных и многоместных (двухместных, трехместных и т.д.).
1 Определения истинности логических связок см. § 20. Ввиду недостаточной выяснен-ности вопроса мы не останавливаемся на том, какого рода функции представляют логические операторы "всякий", "некоторые" и др.
62
Одноместные и многоместные функции различаются характером элементов, составляющих множество М}. В случае двухместных функций элементами этого множества являются пары предметов, трехместных - тройки предметов и т.д.
Функции делятся на одноместные и многоместные - двух и более местные - по характеру области их определений. Одноместные функции имеют в качестве области определения множества индивидов; областью определения многоместной функции является множество последовательностей предметов из некоторых множеств индивидов
..., МП(п > 2), т.е. декартово произведение Л/1хЛ/2х...хЛ/л. Отдельные элементы этих множеств называются возможными аргументами функции, а при применении ее к определенным предметам -являются ее аргументами в данном применении.
«-местная функция (« ^1) с областью определения М}х...хМп и с областью значений М характеризуется как функция типа (MjX... ...хМп) => Л/, где "=>" - знак отображения первого множества во второе (соответствие между первым и вторым). Применяя, как уже говорилось, функтор (знак функции), например, "место рождения" к какому-то определенному человеку, мы получаем некоторый предмет -какой-то населенный пункт. Знаком - именем - этого предмета является словосочетание, которое явилось результатом применения этого функтора, например, "месторождение Иванова С.А.". Очевидно, что областью определения этой одноместной функции является множество людей, а областью значений - множество населенных пунктов (установленных соответствующим административным делением). Примером двухместной предметной функции может служить "расстояние", например, между городами или какими-то объектами вообще в зависимости от того, какое именно множество пар выбрано в качестве области определения функции. Область ее значений - множество чисел с определенной размерностью.
Знаками логических функций являются логические константы и предикаторы, в том числе возможно и общие имена, трактуемые как предикаторы в случае применения их в качестве логических сказуемых. Специфика функций, которые представляют предикаторы, наряду с особенностями областей их значений, состоит также в характере их применений. Применение какого-нибудь предикатора как функтора к отдельному предмету или к последовательности предметов - в зависимости от его местности - состоит в утверждении того, что этот предмет или последовательность предметов соответственно обладает свойством или находится в отношении, знаком которого (свойства или отношения) является предикатор. Двухместный предикатор "столица" в применении к паре (Лондон, Англия) дает истинное предложение "Лондон - столица Англии". В строгом смысле* значением функции в Данном случае является "Истина". При применении того же функтора в паре (Ливерпуль, Англия) получаем в качестве значения "Ложь". Область определения данной функции есть множество пар (город, государство), т.е. декартово произведение множества городов на мно-
63
жество государств. Полезно заметить, что некоторые двухместные предикаторы могут трактоваться также как одноместные предметные функторы. Таковы предикаторы "отец", "мать", "столица" и др. g обычном языке мы употребляем эти слова зачастую именно как пред, метные функторы для образования таких имен, как "мать Петрова", "столица Венесуэлы" и т.д. Эта связь между двухместными предц. каторами и предметными функторами характерна для тех предикаторов, которые обозначают двухместные функциональные отношения, а именно такие отношения между двумя предметами А и В, в которых для любого предмета В может находиться только некоторый один предмет А (для любого человека один отец, одна мать и т.д.).
Из множества логических функций, представленных логическими константами, мы выделили особо те, знаками которых являются логические связки: "и", "или", "если..., то...", "неверно, что...". Подробный их анализ см. в разделе "Логика высказываний" (§ 20 гл. 6). Здесь же заметим, что особенность их как функций по сравнению с теми, что представляют предикаторы, состоит в характере их возможных аргументов. Если аргументами предикаторов являются предметы, то здесь в качестве таковых выступают истинностные значения ("истина" - и, "ложь" - л). Например, связка "или" есть двухместная функция, областью определения которой является декартово произведение {и, л} на это же множество: {и, л} х {и, л), т.е. {и, л} 2- вторая декартова степень множества {и, л}. Область значений - тоже множество {и, л}, т.е. эта логическая функция представляет функции типа {и, л}2 => {и, л).
Таким образом, в качестве обобщенной классификации функций, имея в виду одновременно типы аргументов и значений функций, в множестве функций выделяют 3 основных вида: предметно-предметные, предметно-истинностные и истинностно-истинностные. Функции вида 2 и 3 называют пропозициональными (логическими).
В синтаксическом плане предметно-предметные можно охарактеризовать как функции, образующие имена из имен. Вторые - предметно-истинностные - образующие предложения из имен, а третьи образуют предложения из предложений.
Глава 3
ПРИНЦИПЫ УПОТРЕБЛЕНИЯ ЗНАКОВ
§ 10. Принципы однозначности, предметности и взаимозаменимости
Принципы употребления знаков, о которых здесь пойдет речь, имеют важное значение с точки зрения логики и теории познания. Один из них непосредственно можно рассматривать как определенного типа логическое требование, другие существенны для понимания некоторых процессов познавательной деятельности человека. Речь идет о трех 64
основных принципах употребления знаков - принципов однозначности, предметности и взаимозаменимости.
Принцип однозначности представляет собой требование употреб-лЯть знак языка в каждом процессе рассуждения с одним и тем же предметным значением (изменение предметного значения знака - в случае необходимости - должно особо оговариваться).
Примером нарушения этого требования является следующее изложение учебного материала, взятое из школьной практики. "Вода не имеет собственной формы, она принимает форму того сосуда, в который помещена. Вода бывает в твердом, жидком и газообразном состоянии". В первом из указанных тезисов слово (знак!) "вода" очевидно употребляется в повседневном смысле; ее характеризуют нередко как жидкость, не имеющую ни цвета, ни запаха, ни вкуса. Во втором тезисе под "водой" подразумевается химически сложное вещество, существующее в природе в различных агрегатных состояниях. При этом оба тезиса относятся к одной теме и составляют, таким образом, одно рассуждение. По замыслу они представляют различные характеристики одного и того же вещества - воды. В логике подобные ошибки называют "подменой понятий". Следствием этой ошибки здесь является очевидное противоречие: всякому известно, что в твердом состоянии вода имеет свою форму.
Принцип предметности. Этот принцип указывает на специфику мышления как знаковой формы отражения действительности. Согласно этому принципу, для того чтобы утверждать что-то о каком-то предмете или предметах некоторого класса, надо употребить знак этого предмета или общее имя предметов этого класса, а также знак того, что утверждается - свойство, отношение и т.п., но утверждение при этом относится не к знаку, а к самим предметам.
Важный аспект состоит здесь в том, что в построении высказываний нельзя обойтись без знаков (нельзя в высказывание о некотором предмете подставить сам предмет; можно, конечно, указать на предмет, но указание - это уже знак). Безусловно, предметом мысли могут быть и сами знаки. И тогда нужны знаки (имена) самих этих знаков.
УПРАЖНЕНИЯ
Решите, какие из следующих утверждений истинны, ложны или, может быть, бессмысленны:
а)	"Волга расположена в Европе" - истинное предположение;
б)	«"Волга" расположена в Европе»;
в)	«"Волга" - имя существительное» (слово в кавычках - имя соответствующего слова).
Иногда допускаются видимые нарушения принципа предметности, в особенности, когда утверждение относится к знакам. Так, допускают, например, "Волга - имя существительное", считая, что сам контекст, в котором употребляется утверждение, указывает на то, что слово 5 Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев, кн. I	65
’’Волга” здесь употребляется в качестве имени этого слова, которое, конечно, в свою очередь, обозначает некоторый объект внеязыковой действительности. Такое употребление знака - в качестве имени самого себя - называют автонимным употреблением. Однако, по существу, здесь подразумевается выполнение принципа предметности, т.е. употребление знака того предмета, о котором идет речь.
Принцип взаимозаменимости: любой знак в составе некото
рого сложного знака, например, предложения или сложного имени, может быть заменен другим знаком с тем же предметным значением без изменения предметного значения всего выражения в целом (для предложения - без изменения его истинностного значения).
Очевидно, что этот принцип является следствием принципа предметности. Действительно, поскольку, согласно принципу предметности, объектом мысли являются не сами знаки, а объекты, которые они представляют, постольку не важно, какой знак мы употребим для обоз
начения предмета - указанная замена не должна изменять значение всего выражения в целом: истинное предложение должно остаться ис-
тинным, ложное - ложным; единичное имя в результате замены должно обозначать тот же предмет, общее - оставаться представителем того
же класса и т.д.
В применении к предложениям этот принцип формулируется в логи-
ке как некоторое правило вывода:
Ф(а), а=Ь Ф(Ь)
, где "а = Z?" обозначает,
что "я" и ”6” являются именами одного и того же предмета, "Ф(а)" -высказывание (повествовательное предложение), в составе которого встречается имя "я" (имеющее, возможно, и несколько вхождений); Ф(Ь) - результат замены в этом высказывании каких-либо вхождений "я" на ’Ъ".
Такое отношение между знаками а и b (а = Z?)1 называют отношением тождества или равенства (см. § 43), само правило замены характеризуют иногда как правило (принцип) замены тождественным.
Например, "Луна - остывшее небесное тело" (Ф(а), роль "я" играет "Луна"), "Луна есть естественный спутник Земли" ("я = Z?", "Z?" -естественный спутник Земли). Следовательно, "Естественный спутник Земли - остывшее небесное тело" - Ф(Ь).
Очевидно, что имя "траектория движения Луны вокруг Земли" обозначает тот же предмет, что и "траектория движения естественного спутника Земли вокруг Земли".
Аналогично с общими именами "а" и "0" вместо единичных "я" и "Z?". "Во всяком равностороннем треугольнике высота, опущенная из
1 Следует обратить внимание, что это не отношение некоего тождества между предметами, как его иногда трактуют, а непосредственное отношение между знаками, хотя и связанное с отношением самих этих знаков к предметам. Тождество состоит в тождественности (совпадении) именно предметных значений знаков.
66
некоторого угла, есть биссектриса этого угла" ("Ф(а)", "а" - общее имя ’’равносторонний треугольник"). "Всякий равносторонний треугольник есть равноугольный треугольник и наоборот" ("а = р"). Следовательно, "go всяком равноугольном треугольнике высота, опущенная из некоторого угла, есть биссектриса этого угла" (Ф(р)).
§ 11. Парадоксы замены и их причины.
Способы употребления имен и виды контекстов
'Несмотря на то что принцип (правило) замены тождественным, будучи следствием принципа предметности, не вызывает никаких сойнений, имеются многочисленные случаи, когда в составе некоторого контекста замена одного знака другим, с тем же предметным значением, приводит к изменению предметного значения этого контекста. Такие случаи характеризуют как "парадоксы отношения именования", точнее надо бы сказать, парадоксы замены тождественным. "Парадоксы" - потому именно, что они противоречат принципу, который кажется вполне правомерным.
Впрочем, в некоторых случаях то, что называют парадоксами, представляют собой просто ошибки в рассуждении, а именно явно неверное применение правила замены. Ясно, что если, имея равенство "Рим" = "Имя существительное, состоящее из последовательности букв Р, И, М", мы заменим "Рим" вторым членом этого равенства в контексте "Рим - столица Италии", то получим явную нелепость. Но в этом случае нет замены тождественным, потому что в контексте, идет речь о городе, а не об имени существительном.
Также ошибочно применено рассматриваемое правило и в следующем рассуждении: "Стагирит = Аристотель, Стагирита назвали так потому, что он родился в городе Стагире, следовательно, Аристотеля назвали так потому, что он родился в городе Стагире". Ошибка очевидна: местоимение "так" употреблено вместо "имя Стагирит". Заменяя имя человека "Стагирит" на "Аристотель", мы одновременно фактически заменяем и "имя Стагирит" на явно не равное ему "имя Аристотель".
Однако есть случаи более сложного, действительно парадоксального характера. На них обратил внимание Г. Фреге. Его пример:
Предложение «Георг IV однажды хотел узнать, является ли Вальтер Скотт автором "Вэверлея"» - истинно. Однако автор "Вэвер-лея" и есть Вальтер Скотт, но предложение "Георг IV однажды хотел Узнать, является ли Вальтер Скотт Вальтером Скоттом" явно ложное Предложение.
Г. Фреге считал, что подобные парадоксы возникают в контекстах Косвенной речи. Причина парадоксов, по мнению Г. Фреге, состоит 3Десь в том, что объектами наших утверждений в таких контекстах являются не предметные значения слов, которые они имеют в обычной Речи, а их смыслы, интенсии, интенсионалы. Есть, как мы увидим, основания назвать эти контексты интенсиональными, но не в связи с
5*
67
данным пониманием их по Фреге и при этом имея в виду их как один из видов интенсиональных контекстов2.
Точка зрения Г. Фреге на причины парадоксов представляется неприемлемой.
Во-первых, не следует отождествлять эти контексты с контекстами косвенной речи. Парадоксами того же типа, на который указал Г. Фреге, могут служить также и следующие (не содержащие косвенной речи).
"Птолемей считал, что Солнце вращается вокруг Земли" - истинно. Имя "Солнце" имеет, очевидно, то же значение, что и "центральное тело Солнечной системы". Однако, как и предшествующий случай, результат замены первого имени вторым во взятом предложении -"Птолемей считал, что центральное тело Солнечной системы вращается вокруг Земли", - безусловно ложное высказывание.
Имя "поиск Шлиманом местоположения Трои" обозначает реальное действие, имевшее место в истории археологии. Но "поиск Шлиманом холма Гиссарлык" не имеет в качестве предметного значения это действие, поскольку Шлиман не искал холма Гиссарлык (хотя холм Гиссарлык и есть "местоположение Трои", обнаруженное Шлиманом).
Во-вторых, нельзя согласиться с Г. Фреге, что предметом утверждения в этих контекстах являются смыслы имен. По существу, согласие с ним означало бы отступление от принципа предметности, к тому же подразумевается неверное положение о наличии смысла у любого имени (знал ли Георг IV смысл имени "Вальтер Скотт" и, тем более, действительно ли он думал о нем?). Смысл может быть объектом утверждения, например, логика или лингвиста, анализирующего какие-то уже имеющиеся контексты. Для того же, кто высказывает некоторое имя, смысл имени, как мы видели (§ 6), является лишь средством выделения предмета, о котором что-то утверждается.
Впрочем, при определенной корректировке мысли Фреге с ним можно было бы согласиться: правильно было бы считать, что не смысл является объектом утверждения, а предмет, но не вообще в конкретном своем виде, а определенным образом охарактеризованный именно посредством некоторого смысла.
Для уяснения специфики интенсиональных контекстов и вместе с этим причин возникновения парадоксов указанного типа надо, по
2 Ниже будет указан второй вид интенсиональных контекстов - контексты физической модальности (§ 63), а также логически модальные контексты в языке релевантной логики.
Вообще, слово "интенсиональный" для характеристики контекстов имеет и другие употребления, которые, однако, не представляются нам удовлетворительными. Р. Карнап, например, по другому основанию, нежели подразумеваемое нами, делит контексты на три вида: экстенсиональные, интенсиональные и неэкстенсиональные (в число последних попадают как раз контексты, называемые здесь интенсиональными). Основание деления контекстов и сами понятия их не отличаются у Р. Карнапа достаточной ясностью и последовательностью, что проявлялось в критических замечаниях других авторов, например, А. Чёрча (см.: Карнап Р. Значение и необходимость. М., 1959. С. 89-94). Интенсиональными, по Карнапу, оказываются логически необходимые высказывания, хотя их скорее надо было бы назвать неэкстенсиональными (см. § 69).
68
мнению авторов, различать два основных способа употребления имен'. экстенсиональный и интенсиональный.
При экстенсиональном употреблении имен мы подразумеваем под именем предметы со всеми их возможными качествами, свойствами, отношениями независимо от того, знаем ли мы или не знаем об их существовании, т.е. независимо от смыслового содержания употребляемого имени. Иначе говоря, при экстенсиональном употреблении имени некоторого предмета мы мыслим этот предмет как конкретный, как предмет со всеми своими признаками и обращаемся с ним как с таковым.
Интенсиональное употребление имени состоит в том, что обозначаемый именем предмет мы мыслим с какой-то определенной стороны, именно как предмет, обладающий какими-то признаками, отвлекаясь от всех других его качеств и свойств, как бы "стирая" их. Так, мы говорим, например, "председатель Совета безопасности, именно как председатель, обладает такими-то и такими-то обязанностями и правами". Нередки также рассуждения: "Мне нравится Петров как человек, но не нравится как преподаватель" (или наоборот).
Известно, что вечерняя звезда это то же, что утренняя звезда (та же планета Венера) - при экстенсиональном употреблении имен "вечерняя звезда" и "утренняя звезда". При этом мы можем сказать, что как та, так и другая показывается и утром и вечером над горизонтом. Но утренняя звезда, как утренняя (интенсиональное употребление имени), показывается над горизонтом только утром, и неправильно сказать, что она восходит также и вечером. Вечерняя же звезда, как вечерняя, показывается над горизонтом только вечером. Таким образом, при интенсиональном употреблении этих имен их предметные значения различны - между ними нет равенства.
Ошибку, к которой может приводить неразличение экстенсионального и интенсионального употребления имени, хорошо иллюстрирует пример умозаключения, приводимый Гегелем: "Все зеленое приятно; эта картина зеленая, значит, эта картина приятна". Можно предположить, что все зеленое приятно, но именно как зеленое. И эта картина, как зеленая, приятна (хотя может быть отвратительной по сюжету). Данный пример, кстати, указывает на то, что парадоксы рассматриваемого типа могут возникать не только в результате применения правила замены тождественным.
К интенсиональному употреблению имени относится и такое, когда обозначаемый им предмет рассматривается лишь постольку, поскольку он нам известен, опять-таки лишь именно с тех сторон, с которых он так или иначе знаком, с которых он проявил себя для нас. Иначе говоря, предмет рассматривается в этом случае именно так, как его характеризует смысловое содержание знака для человека, который пользуется этим знаком. При этом человек не обязательно сознательно Может мыслить себе предмет так или иначе, т.е. не обязательно отдавая себе отчет, с какой стороны он его рассматривает, употребляя его просто указанным интенсиональным образом даже в силу характера
69
контекстов, в которых он обсуждает эти предметы или так или иначе относится к ним. Таким образом, мы встречаемся здесь с другой разновидностью интенсионального употребления имен, для которой хапа? терно отсутствие определенных признаков, с точки зрения которых рассматривается предмет.
Для интенсиональных контекстов, точнее говоря, для контекста, интенсионального относительно вхождения в него некоторого имени, характерно как раз интенсиональное употребление этого имени в данных его вхождениях.
В соответствии с различением двух разновидностей интенсионального употребления имен имеем и две разновидности интенсиональных контекстов.
Примерами контекстов первого типа могут быть: "Число планет Солнечной системы, как число, необходимо больше 9", "Луиза часто любовалась вечерами тем, как появляется вечерняя звезда над горизонтом". Имя "вечерняя звезда" употреблено здесь явно интенсиональным образом: имеется в виду "вечерняя звезда" именно как вечерняя, хотя бы потому, что любовались ею именно по вечерам. Ясно, что замена этого имени на "утренняя звезда" здесь является неправомерной.
Ко второму виду принадлежат контексты в указанных примерах с Георгом IV, Птолемеем. Широко распространенным видом контекстов в пределах этого множества контекстов являются высказывания, называемые пропозициональными установками (по Карнапу - "предложения мнения"). Для них характерны употребления выражений видов: "Некто с верит, что...", "с хочет узнать...", "с думает, что...", "с надеется на...", "с знает, что..." и т.п.
Общей формой пропозициональных установок - как высказываний особого вида - является Вер, где В - сама пропозициональная установка ("верит", "думает", "знает" и т.д.), с - указание на то, кому именно принадлежит эта установка, ар- высказывание (пропозиция), описывающая ситуацию, к которой относится установка.
К другому виду, сходному с пропозициональными установками, относится контекст в примере со Шлиманом. "Установка" Шлимана здесь направлена не на некую пропозицию, а на предмет а -местоположение Трои.
Вообще, для рассматриваемых контекстов (которые мы назвали контекстами второго вида) характерно наличие некоторого человека и некоторого специфического отношения этого человека либо к ситуации, описываемой каким-либо высказыванием, либо просто к какому-либо предмету (как в примере со Шлиманом). Хотя существенно, что и в случае пропозициональной установки также особо выделяется некоторый предмет (Солнце в примере с Птолемеем, Вальтер Скотт в примере с Георгом IV), на который направлено внимание человека с (предмет интенсии человека с). Таким образом, общей чертой интересующих нас контекстов является специфическое отношение некоторого человека с к некоторому предмету а. Специфика этого отношения состоит в том, что оно имеет место (возникает) в силу некоторого 70
недостатка знаний у человека с о предмете а. Это и значит, что для с этот предмет выступает в таких контекстах как предмет, наделенный лишь теми характеристиками, которые известны с и составляют, следовательно, смысловое содержание употребляемого имени а. В число таких отношений - наряду с указанными ранее ’’знает", "верит", "надеется", "считает" - входят также "ищет", "любит", "уважает", "ненавидит" и т.п. Троекуров уважает де Форжа, не зная, что де Форж -это Дубровский. "Птолемей думает (или считал), что Солнце вращается вокруг Земли". Ясно, что в этом контексте он имеет в виду под Солнцем наше светило не как конкретный предмет, а рассматривает его лишь с тех сторон, с которыми он знаком. Поэтому "Солнце", употребленное в данном контексте, не есть тот же самый предмет, который мы имеем в виду, когда говорим, что Солнце является центральным телом Солнечной системы. Конечно, Шлиман искал местоположение Трои, опять-таки имея ее в виду не во всех возможных аспектах, а лишь в том, в каком она ему известна. Ясно, что он как раз не знал, что ее местонахождение есть холм Гиссарлык, поэтому при данном интенсиональном употреблении "Трои" нет равенства "Местоположение Трои" = "Холм Гиссарлык" и, значит, его непозволительно использовать для замены в контексте "Шлиман искал местоположение Трои".
К числу того, что человек с не знает в примерах парадоксов, относится, в частности, незнание как раз употребляемого равенства а = Ь9 на основе которого осуществляется замена. Существует даже точка зрения, что именно это незнание о существовании равенства субъектом установки с является причиной возникновения парадоксов. Однако и эта точка зрения, как и решение Г. Фреге, не является приемлемой. Согласно принципу предметности, составляющего, как мы видели, основу правила замены, возможность или невозможность замены одних знаков другими зависит от того, имеет или не имеет места совпадение их предметных значений объективно, а не от того, знает или не знает кто-то о существовании тождества этих значений. Птолемею действительно не известно, что Солнце является центральным телом Солнечной системы. Но причиной парадокса является не это его незнание, а именно отличие Солнца как предмета его утверждения от того, что мы имеем в виду в равенстве между Солнцем и центральным телом Солнечной системы, т.е. причина как раз в интенсиональном употреблении имени "Солнце" в рассматриваемом контексте.
Заметим, что указанное определение экстенсиональных и интенсиональных контекстов в зависимости от различения экстенсионального и интенсионального употребления имен равносильно характеристике экстенсионального контекста как такого, предметное значение которого Не зависит от смысловых значений употребленных в нем дескриптивных терминов, а лишь от их предметных значений. Тогда как значение интенсионального контекста зависит от смысловых значений, по крайней Мере, некоторых входящих в него дескриптивных постоянных, и он интенсионален именно относительно этих вхождений терминов.
71
Ясно, ЧТО замена имен а и b друг на друга в интенсиональном тексте возможна лишь на основе интенсионального равенства, т.е, когда предметы а и b совпадают при интенсиональном употреблении их имен. Интенсионально равны, например, "вечерняя звезда как вечерняя звезда" и "планета Солнечной системы, которая появляется над горизонтом вечером". Однако установление интенсионального равенства связано с особыми трудностями в случаях второго вида интенсионального способа употребления имен; Карнап использует для такого равенства довольно сложное, а, с другой стороны, представляющееся тривиальным понятие интенсионального изоморфизма.
Наконец, различение интенсионального и экстенсионального способов употребления имен помогает в ряде случаев уточнению мысли и, в частности, дает возможность разобраться, по крайней мере, в некоторых случаях так называемых диалектических противоречий. Нелепым - логически противоречивым - кажется утверждение о том, что протоны внутри атомного ядра одновременно отталкиваются и притягиваются друг к другу. Однако вполне разумно сказать, что протоны как одинаково - положительно - заряженные частицы отталкиваются, а как гравитационные массы притягиваются друг к другу. Известны нередкие случаи, когда какое-то лекарство помогает человеку от некоторой болезни, но обладает также и вредными побочными действиями. Таким образом, один и тот же предмет и полезен и вреден. Хотя "полезен" и "вреден" в разных отношениях, но факт остается фактом: у него взаимно несовместимые свойства, наличие которых ведет к логическому противоречию: поскольку лекарство полезно, его нужно употреблять, поскольку оно вредно, его нужно отвергнуть. При интенсиональном же употреблении имен мы получаем рациональное, логически непротиворечивое описание ситуации: лекарство как помогающее надо употреблять, как вредящее вещество не надо - и теперь остается лишь искать оптимальное соотношение, по возможности расширяя полезный аспект лекарства и сужая его вредный.
* * *
В заключение первой части работы подведем некоторые итоги.
Мы выяснили, по крайней мере в общих чертах, роль знаков в познании и то, каким образом они эту роль выполняют. Из этого анализа важно сделать практический вывод о том, что, оперируя знаками языка (словами и словосочетаниями), необходимо прежде всего отдавать себе отчет в том, каково именно предметное значение знака, какой объект - предмет, свойство, отношение и т.д. - им обозначается. Невыполнение этого требования при изучении той или иной науки приводит, как было сказано, к такому известному явлению, как "зубрежка". Она выражается именно в том, что человек, усваивая по видимости какие-то истины науки, не соотносит содержащиеся в их формулировках слова и словосочетания с чем-то внеязыковым, к чему -согласно принципу предметности - соответствующие утверждения науки должны относиться. Предложения, которые человек при этом 72
усваивает, лишены для него смысла. Все устремления его направлены лишь на то, чтобы запомнить определенные словосочетания. В силу
отсутствия понимания материала человек не может выразить его в какой-нибудь другой знаковой (языковой) форме, например, изложить еГо, как говорят, "своими словами".
Другим проявлением нарушения принципа предметности в употреб-
лении знаков является то, что в науке часто называют схоластикой.
Эта характеристика относится уже не к тому, кто призван изучать
результаты познания, а к тем, кто призван выдавать такие результаты. Одно из проявлений схоластической деятельности в области
науки состоит в том, что вместо анализа и познания тех или иных предметов действительности схоласт озабочен лишь тем, чтобы сочинить или придумать наукообразные и "мудреные" комбинации слов и словосочетаний, не относящихся к чему-то, находящемуся вне их. Как сказал Ф. Бэкон, такой ученый выдает "скорлупу слов" вместо научных результатов.
Само собой ясно, что понимание способов связи знаков с предметами и способов употребления самих знаков имеет важное значение как для осуществления, так и для понимания механизма языковой
коммуникации между людьми.
Следующая часть данной книги посвящается специальным формализованным языкам. При их построении мы существенно используем результаты анализа естественного языка, в частности, в составе формализованного языка логики предикатов мы встретимся с семантическими и синтаксическими категориями языковых выражений, которые были выделены в естественном, а в интерпретации формализованных языков используем способы связи знаков с теми объектами, которые они представляют в языке. Однако функции формализованных языков отличаются от функций естественного языка: в нем исчезают некоторые аспекты естественного языка и происходит некоторое изменение в составе категорий, исчезает, например, как самостоятельная категория "общее имя", которое в естественном языке играет большую роль в применении его как средства коммуникации.
ЧАСТЬ II
ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ЯЗЫКИ И ТЕОРИЯ ДЕДУКЦИИ.
СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЛОГИКА: КЛАССИЧЕСКАЯ И РЕЛЕВАНТНАЯ
Глава 4
ЯЗЫК КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Формализованный язык классической логики предикатов первого порядка1 (сокращенно - ЯКЛП1) по своей синтаксической структуре получается как фрагмент и результат некоторой реконструкции естественного языка. Связь между тем и другим особенно проявляется в составе синтаксических и семантических категорий этих языков. Специфика его состоит прежде всего в наличии точных правил построения высказываний (формул) и сложных имен (термов). Для языка классической логики высказываний (сокращенно ЯКЛВ) нет аналогов в естественном языке. Он получается за счет некоторых упрощений ЯКЛП1, представляя собой, по существу, некоторую абстракцию от него, которая получается за счет отвлечения от структур и, соответственно, от смыслов простых высказываний.
Прежде чем приступить к описанию языка классической логики предикатов первого порядка, полезно подробней остановиться на его особенностях по сравнению с обычными (разговорными, национальными) языками.
§ 12.	Основные особенности языка классической логики предикатов первого порядка (ЯКЛП1)
по сравнению с естественными языками
1.	Этот язык является искусственным и предназначен для определенных целей (например, для аксиоматического построения теорий, для анализа содержания высказываний естественного языка и выявления логических отношений между ними, для описания правил рассуждения, построения выводов и доказательств).
2.	Если в обычных (естественных) языках мы выделяем три семиотических аспекта - синтаксический, семантический и прагматический, то в языке, который подлежит описанию, имеются только синтаксический и семантический аспекты. Наличие прагматического аспекта в естественных языках связано со встречающимися в них неопределенное-
1 Понятие порядка языка см. гл. 13 и с. 93.
74
тЯМи (смыслы некоторых выражений языка зависят от того, кто их употребляет: наличие, в частности, ситуационных слов ’’здесь", "там", "сейчас", "сегодня", местоимений и т.п. предполагает осмысленность содержащих их выражений лишь в определенных ситуациях, связанных с употреблением языка тем или иным человеком). В ЯКЛП1 нет никаких неопределенностей, в нем, как мы уже сказали, имеются точные правила образования аналогов имен естественного языка (термов) и аналогов его предложений (формул), а также точные правила, определяющие значения его выражений. Языки такого рода называются формализованными, а также языками со специфицированной структурой.
3.	В естественном языке наряду с той его частью, которая предназначена для описания внеязыковой действительности (объектная часть языка), имеются слова, обозначающие выражения самого языка ("слово", "имя", "предложение", "существительное" и т.д.), и предложения, в которых утверждается нечто, относящееся к самому языку ("Существительные изменяются по падежам", «Предложение "Лошади любят овес" истинно»). Такие языки называются семантически замкнутыми. В ЯКЛП1 имеется только объектная часть, точнее говоря, он содержит лишь средства для описания какой-то внешней по отношению к нему действительности. Все то, что используется для характеристики выражений самого этого языка и необходимо при его описании, выделяется в особый язык. Описываемый язык (ЯКЛП1 в данном случае) называется объектным языком, а язык, используемый для его описания, анализа и т.п., - метаязыком по отношению к данному (объектному).
4.	ЯКЛП1 характеризуют обычно как символический язык потому, что здесь используется особая символика, прежде всего для обозначения логических связей и операций (так, вместо логических констант-связок "если..., то...", "и", "или", "неверно, что" используют обычно "о",	"V”, "1"; вместо кванторных слов "всякий", "некото-
рый" или, что то же, "существует" - знаки "V", "3" соответственно). Специальные символы употребляются также в качестве знаков для обозначения предметов, свойств и отношений; наиболее характерным здесь является применение специальных символов - предметных переменных - вместо общих имен естественного языка, выступающих в роли логических подлежащих. Так, высказывание "Всякий студент изучает какой-нибудь иностранный язык" может быть записано в ЯКЛП1 в виде Vx3y/?(x,y), где "х" употребляется вместо "студент", "у" - вместо иностранный язык,"/?" является знаком отношения "изучает". Классы студентов и иностранных языков называются в таких случаях областями значений соответственно х и у. При желании выразить более полно информацию, заключенную в исходном высказывании, его можно было бы записать в виде Vx(P(x) о 3y(Q(y) & /?(х,у))), где Р и Q обозначают теперь, соответственно, "студент" и "иностранный язык", рассматриваемые как знаки свойств (т.е. одноместные предикаторы), а х и у имеют единую область значений - множество "объектов вообще", буквально высказывание звучит теперь так: для всякого объекта х
75
верно: если он является студентом, то существует объект у - такой, что он представляет собой иностранный язык, и х изучает у.
Употребление символики способствует сокращению записи выска-зываний и облегчает, особенно в сложных ситуациях, понимание смыс-лов соответствующих высказываний. Однако в принципе оно не является обязательным. Вместо специальных символов вполне можно было бы использовать слова того или иного естественного языка. Некоторые трудности при этом возникали бы в случаях, когда несколько логических подлежащих в суждении должны представлять одно и то же общее имя (и, играя роль предметной переменной, обозначать в разных случаях различные предметы). Так, известный закон коммутативности, записываемый в виде х + у = у + х, где х и у обозначают, например, целые положительные числа (и подразумеваются кванторы общности "для всякого х" и "для всякого у"), без употребления переменных пришлось бы, очевидно, сформулировать так: "для всякого числа1 и для всякого числа2 верно: числО1 + число2 = = число2 + число! ". Ясно, что подобные ситуации могут возникать не только в арифметических утверждениях, они имеют место всякий раз, когда в суждении утверждается наличие некоторого отношения между элементами какого-либо класса предметов.
Предметные переменные (и не только предметные, по существу, любые так называемые квантифицируемые в языке переменные), являясь аналогом общих имен естественных языков, выполняют еще функцию фиксирования - в определенных контекстах - отдельных элементов класса предметов, представителем которого в языке является общее имя (но, в отличие от единичного имени, предметная переменная фиксирует какой-то предмет лишь в некотором контексте, и притом не определено, какой именно предмет она фиксирует).
Наиболее существенным для данного языка является наличие точных правил образования его выражений и приписывания им значений и особенно то, что каждая знаковая форма приобретает при этом определенный смысл. Без этого невозможна точная формулировка правил рассуждения (правил вывода). Поскольку каждое правило вывода указывает прежде всего на связь между некоторыми типами предметных ситуаций, составляющих смысловое содержание высказываний, необходимо, чтобы знаковые формы соответствующих высказываний однозначно представляли в языке эти ситуации. В естественном языке мы имеем такие выражения (т.е. знаковые формы), которые в различных случаях их употребления имеют различные смысловые содержания. Сравним, например, высказывания: "Тела, имеющие плотность меньше воды, плавают на воде". "Ученые, стремящиеся к открытию истины, нередко жертвуют ради нее своими прагматическими интересами". Обе знаковые формы относятся к синтаксическим структурам одного типа, содержащим причастный оборот, однако первая выражает простое суждение, а вторая содержит три утверждения: "ученые стремятся к открытию истины", "они нередко жертвуют ради нее своими прагматическими интересами", и третье - то, что первое из указанных
76
обстоятельств обусловливает второе. Рассмотрим также предложения "а и b - братья” и "а и b - студенты". Первое предложение выражает простое суждение "а - брат Z?", второе - сложное суждение "а - студент и b - студент”.
5.	Важной особенностью ЯКЛП1 является также прямое соответствие между структурами его знаковых форм (формул) и структурами выражаемых ими смысловых содержаний. Соответствие состоит в том, что каждой существенной части структуры смысла соответствует определенная часть знаковой формы.
Так, в структуре смысла простого повествовательного предложения, т.е. в структуре простого суждения, необходимо выделить, например, отдельные предметы или классы предметов, о которых что-то утверждается в суждении (в знаковых формах им соответствуют единичные или общие имена), свойства или отношения, наличие которых у соответствующих предметов утверждается (в качестве знаков для них употребляются одноместные или многоместные предикаторы или составленные из таковых с помощью логических констант сложные выражения, представляющие сложные свойства или отношения, как, например, в суждении "всякое число, которое оканчивается на 0 или на 5, делится на 5”); если утверждение относится к классу предметов, то обязательны кванторные слова - "всякий”, "некоторый" (или "существует").
В естественном языке не всегда эти (как и другие) составляющие смысла явно выделяются. Рассмотрим, например, суждения "Всякое государство имеет столицу" и "Всякое четное число делится на какое-нибудь простое число". Структура обоих суждений такова: для всякого предмета, обладающего свойством 5, существует предмет, обладающий свойством Р, такой, что он находится в отношении R к первому; в первом случае R есть отношение "столица", а во втором - "делитель". Однако во втором случае не выделено явно, как нетрудно видеть, наличие квантора "существует". Чтобы не встать в тупик перед софистическим рассуждением "Л встретил кого-то, кто-то изобрел велосипед, следовательно, А встретил изобретателя велосипеда", надо понять, что первое предложение выражает суждение "Существует человек, такой, что А встретил его", а второе - "Существует человек, который изобрел велосипед". Ясно, что из этого не следует третье. Иначе говоря, надо учесть, что под словами "кого-то" и "кто-то" здесь подразумевается квантор существования. Но в двух следующих высказываниях: 1) "если какое-то тело вторгается в атмосферу Земли, то оно вспыхивает", 2) "если какое-то тело вторгается в атмосферу Земли, то в ней наблюдается вспышка" - "какое-то" имеет разные значения. В 1) оно может означать только "всякое" ("каждое"), во 2) -"существует" или "всякое". Структура мысли в первом случае такова: "для каждого х верно, что если оно вторгается в атмосферу Земли, то оно вспыхивает". В языке логики предикатов - Vx(P(x,a) z> (2(х)), где "Р" - отношение "вторгается", "(2" - "вспыхивает", "я" - "атмосфера
77
Земли”, но не Зх Р(х,а) zd Q(x). Во втором случае - "если существует тело х, такое, что оно вторглось в атмосферу Земли, то в атмосфере наблюдается вспышка”: Зх P(x,d) z> S(a), где "S" обозначает характеристику атмосферы Земли “в ней наблюдается вспышка”, которую естественно рассматривать как свойство а; это же эквивалентным образом можно записать так: Vx(P(x,a) z> S(a)).
Рассуждения, осуществляемые в естественном языке с учетом смыслов языковых выражений и представляющие собой, по существу, операции именно с этими смыслами (с мысленными предметными ситуациями), могут быть представлены в формализованном языке как операции со знаковыми формами высказываний. Операции эти осуществляются по правилам формального характера, - "формального” в том смысле, что для их применения необходимо учитывать лишь то, из каких знаков составлены знаковые формы (формулы, выражающие соответствующие суждения) и в каком порядке расположены эти знаки. Ясно, что подобная возможность отвлечения от смыслов высказываний при описании форм правильных рассуждений необходима для автоматизации многих интеллектуальных процессов и является условием обеспечения максимальной точности в построении научных выводов и доказательств, которые при этом становятся всегда проверяемыми.
У людей, не знакомых с современной формальной логикой, нередко складывается мнение, что она, имея дело со специальными формализованными языками, изучает особые формы рассуждения именно в этих языках. Однако никаких особых форм такого рода не существует. Формализованные языки являются лишь средством выделения различных типов отношений вещей, представляющих собой логические содержания высказываний (в частности и прежде всего, естественных языков) и определяющих формы правильных рассуждений в любых процессах познания. При описании этих языков (в нашем случае -ЯКЛП1) применяется индуктивный метод определения формул и термов, который позволяет осуществить обзор возможных знаковых форм высказываний соответствующего языка. Тем самым - в силу указанного соответствия между знаковыми формами и их содержаниями -выявляется также многообразие предметных ситуаций, соответствующих этим знаковым формам, и, соответственно, многообразие форм рассуждений.
6.	Отметим в качестве характерной особенности языка ЯКЛП1 его экстенсиональный характер, состоящий в том, что предметные значения термов и истинностное значение формул не зависит от смысловых содержаний их составляющих, а только от их предметных значений (при трактовке истинностных значений формул как их предметных значений).
Переходя непосредственно к описанию ЯКЛП1, напомним, что он включает две части - синтаксис и семантику.
78
§ 13.	Язык классической логики предикатов первого порядка. Синтаксис
Синтаксис ЯКЛП1 включает перечень исходных символов (из которых строятся термы и формулы); правила образования термов (индуктивное определение понятия терма); правила образования формул (индуктивное определение понятия формулы).
Таким образом, в данном языке мы различаем три типа объектов: исходные символы, термы и формулы.
Строго говоря, выражение "язык логики предикатов 1-го порядка" является общим именем. Существует множество языков этого типа, которые могут различаться перечнем исходных символов, а также значениями дескриптивных терминов из числа этих символов (и вследствие этого - значениями термов и формул). Мы будем описывать здесь, по существу, лишь схему построения языков интересующего нас типа.
ИСХОДНЫЕ СИМВОЛЫ
В число их включают обычно:
1.	Предметные переменные: хьх2,(бесконечно-счетное множество).
2.	Индивидные символы (возможные собственные имена предметов): аъ а2,...,ап (конечное или бесконечно-счетное множество; возможны языки, в которых символы этого рода вообще не вводятся).
3.	Предикатные символы (возможные предикаторы различных местностей, на которые указывают верхние числовые индексы):
р\. р\....
р\, р\,...
р\, Рк2,...
(количество вводимых в язык предикатных символов той или иной Местности зависит от предназначения языка. Однако поскольку речь идет о языке логики предикатов, то должен быть введен, по крайней Мере, один предикатный символ. Мы будем использовать в дальнейшем Для удобства предикатные символы Р, Q,R,S с верхними индексами -Указателями местности).
79
4 Предметно-функциональные символы (возможные предметные функторы различных местностей):
Л—
Л; Л,-
гк рк
Jl> J2v
(число функциональных символов той или иной местности зависит также от предназначения языка, возможно отсутствие символов этого рода вообще).
5. Логические константы: z>, &, v, 1, V, 3 - соответственно -импликация, конъюнкция2, дизъюнкция, отрицание3, квантор общности и квантор существования. (Зачастую вводят лишь некоторые из этих символов. Из кванторов достаточно только V илиЗ, из остальных, называемых логическими связками, достаточно о и 1, или & и 1, или v и 1. Другие константы, как, впрочем, и другие знаки, могут вводиться по определению.)
6. Технические знаки: (,) и, - левая скобка, правая скобка, запятая. (Заметим, что запятая, которая использовалась до сих пор, относилась к метаязыку, но она же вводится и в описываемый язык.)
Кроме указанных типов символов иногда вводят также пропозициональные переменные, например, р, q, г,рьр2,... - в нужном числе, предназначенные для обозначения некоторых высказываний языка, от внутренней структуры которых в тех или иных случаях отвлекаются. Однако более естественно вводить их на некотором этапе логического анализа (для выделения языка логики высказываний).
ТЕРМЫ (Индуктивное определение)*.
а)	любая предметная переменная и предметная константа есть терм;
б)	если г2,...,гл есть термы и f ? есть и-местный предметный
п
функтор, то f. (^, Г2,. • • ,tn) есть терм;
в)	ничто, кроме указанного в пунктах а) и б), не есть терм.
2 Для обозначения конъюнкции используют также знаки "А" и (точка).
3 Для обозначения отрицания используют также знак который ставят над отрицаемым выражением.
80
ФОРМУЛЫ (Индуктивное определение)*,
а)	если Г2,---Л есть термы и Р”- л-местный предикатор, то Р”(гь Г2, • • • Л) есть формула (атомарная);
б)	если А и В - формулы, то (A z> В), (А & В), (A v В), Та -формулы. (В дальнейшем вместо "|Д будем использовать иногда запись А.);
в)	если х есть предметная переменная и А - формула, то VxA и ЗхА - формулы;
г)	ничто, кроме указанного в пунктах а) - в), не есть формула. (Использованные в определениях терма и формулы символы t29,.,,tn и f”, В”, А, В, х - знаки метаязыка, называемые также синтаксическими переменными, возможными значениями которых являются выражения соответствующей категории описываемого (объектного) языка.)
Формулы А и В, встречающиеся в пунктах б) и в), называются подформулами указанных здесь формул.
В формулах импликативного вида (А z> В) первый член (А) называется антецедентом, второй (В) - консеквентом данной импликации.
В дальнейшем в качестве метаязыковых знаков мы будем употреблять: А, В,С,Дн они же с нижними числовыми индексами - для формул; t\ ,t2,... ,tn " Для термов; xif х, у, z, а также уi, у2,... ,уп и z\, z2,...,zn - для предметных переменных; а, ah а также b2,,..,bn -для индивидных символов; Рп, Rn, Р” и /?”, Rn2,,..JRnk- для предикаторов; f", f , f/",••• - для предметных функторов (n(i) = 1,2,...).
Введенные понятия исходного символа, терма и формулы языка являются эффективными (иначе: рекурсивными). Последнее означает, что имеется точный способ, с помощью которого всегда можно определить, относится ли некоторый символ к числу исходных символов языка (при этом, правда, подразумевается так называемая абстракция отождествления, согласно которой все различные случаи употребления некоторого символа, например а, рассматриваются как различные экземпляры одного и того же символа, и предполагается, что мы умеем узнавать символ, несмотря на некоторые, всегда имеющиеся различия в его написаниях), для каждой последовательности исходных символов языка мы можем определить, представляет ли она терм или формулу. Для термов и формул такой способ заключен в их индуктивных определениях.
Так, в каждой формуле, содержащей логические константы (знаки логических операций), имеется главная, или, что то же, последняя, в построении формулы операция. Выделив ее, мы выделяем тем самым собственные подформулы этой формулы. В последних снова выделяем главную операцию и так далее, пока не дойдем до какой-либо атомарной формулы. Если в процессе такого анализа исходного выражения в
6 Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев, кн. I
81
какой-либо части его, не являющейся атомарной формулой, нельзя выделить знак главной операции, то эта часть не является формулой, а следовательно, таковой не является все выражение. Возможность распознания атомарных формул среди последовательностей символов является очевидной.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что выражения являются термами: х2,Л(х3));
2. Определить, являются ли следующие выражения формулами:
Зх, (х}, х2) z> Vx2 (Р/ (х2) v	»х2))
Vx] =>(^,(a)v62(xI))
Vx] Эх2 (Р2 (а2) =>1<232 (X], х3)).
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Каждый случай, когда в последовательности знаков, представляющей собой формулу А, встречается предметная переменная х, называется вхождением этой переменной; каждое вхождение в формулу А предметной переменной х, находящейся в части вида VxP или ЗхВ, называется связанным. Всякое вхождение х в А, отличное от указанного, называется свободным (подформула В формул указанного вида называется областью действия соответственно квантора общности V и квантора существования 3 с переменной х). Связанным является вхождение переменной, стоящей непосредственно за квантором, и каждое вхождение ее в область действия квантора. Переменная х, имеющая связанные вхождения в формулу А, называется связанной в этой формуле; переменная, имеющая свободные вхождения в формулу А, называется свободной в этой формуле.
Обратим внимание на то, что согласно определению свободной и связанной переменной одна и та же переменная в одной и той же формуле может быть свободной и связанной. Такова, например, переменнаяX! в формуле Vxj/J^X]) v(22(xi,x2); переменная х2 является здесь свободной, но не связанной. Мы рассматриваем здесь только такие термы, в которых все переменные могут иметь лишь свободные вхождения и, значит, являются свободными переменными. Формула и терм, не содержащие свободных переменных, называются соответственно замкнутой формулой и замкнутым термом (очевидно, что для рассматриваемых здесь термов, если терм замкнут, то он вообще нс содержит переменных).
82
УПРАЖНЕНИЯ
Указать связанные и свободные вхождения переменных в следующие формулы:
Vx, Эх2 (Р? (х2) v Р2 (х,, х2)),
Эх,Q2(X], х3) v Vx3(Р' (х,) =) Р2(х3,х4)).
§ 14. Семантика ЯКЛП1
Синтаксически описанная выше система объектов (исходных символов, термов, формул) не является еще языком. Она становится таковым лишь тогда, когда дескриптивным символам языка приписаны, по крайней мере, их предметные значения (т.е. когда осуществлена их интерпретация) и определены логические константы языка. Иначе говоря, синтаксическая система (или можно выразиться так: "синтаксически описанный язык") становится действительно языком, когда он приобретает определенную семантику.
Семантика некоторого языка как нечто объективное (т.е. присущее самому языку независимо от нашего анализа его) есть совокупность предметных и, возможно, смысловых значений его выражений. Задачей семантики как теории является прежде всего установление правил приписывания значений некоторым языковым символам для того, чтобы превратить их в языковые знаки, а также выработка методов семантического анализа языков, т.е. анализа семантики языков уже имеющих ее. В нашем случае мы имеем в виду именно теорию, имеющую основной задачей первую из только что указанных. При этом возможны также две основные цели:
1) одна состоит в том, чтобы превратить формальную систему, заданную списком исходных символов и правилами образования термов и формул, в определенный язык, необходимый, например, для аксиоматического построения той или иной содержательной теории. Такие языки называют прикладными - языками первопорядковых теорий. В этом случае каждый раз - при образовании определенного языка - выбирается одна определенная интерпретация его дескриптивных символов и определенное истолкование его логических констант;
2) другая цель может состоять в решении тех или иных логических задач, связанных с построением теории дедукции в рамках формализованных языков описываемого типа, в частности при решении вопросов о выполнимости или невыполнимости формул, представляют ли они собой логические законы, имеется ли отношение логического следования какой-то формулы из некоторого множества формул и т.п.
Для построения определенного языка:
I) Выбирается некоторая структура {D, П, Ф), где D - некоторое непустое множество индивидов. Индивиды - любые предметы в широком смысле этого слова, внутренняя структура которых не учитывается и которые можно отличать друг от друга. По крайней мере,
б*
83
некоторые из них могут быть выделены посредством имен языка какой-то содержательной теории, например, той, для формализации которой строится данный формализованный язык, или, возможно, просто посредством имен обычного естественного языка4.
Множество D есть область возможных значений предметных переменных языка. В принципе можно употреблять языки с несколькими сортами переменных, различающихся областями значений, однако всегда можно, как и делали раньше, объединить эти области в одно множество, отражая принадлежность тех или иных предметов, о которых речь идет в некотором высказывании, к той или иной области в самих записях высказываний; напоминаем, что эта возможность была разъяснена при общей характеристике ЯКЛП1 (§ 12).
П-в описании структуры (£>, П, Ф) - это некоторое непустое множество отношений, определенных на £>, т.е. между индивидами области D. Иначе говоря, это есть множество пропозициональных предметно-истинностных функций (см. § 9), возможно различных местностей, - включая сюда и свойства как одноместные отношения, определенные на D. Это множество отношений может быть задано некоторой непустой совокупностью предикаторов какого-то другого языка и должно содержать, по крайней мере, одно двухместное отношение. Ф ~ в структуре (£>, П, Ф) - некоторое, возможно пустое, множество предметных функций, также, возможно, различных местностей, определенных на D и заданных предметными функторами какого-то другого языка.
II) Устанавливается интерпретационная функция - функция ф, -которая:
-	каждому индивидному символу а приписывает в качестве предметного значения индивид из D и тем самым превращает а в имя этого индивида;
-	каждому предикатному символу Р" функция ф приписывает п-местное отношение из данной структуры (D, П, Ф), превращая его таким образом в л-местный предикатор;
-	и, наконец, каждому л-местному предметно-функциональному символу/- функция ф приписывает некоторую л-местную предметную функцию, превращая его в предметный функтор.
Например, мы хотим построить формализованный язык теории групп. Как известно, группа - общее понятие. Это структура вида (D, П, Ф), где D - непустое множество некоторых объектов (для одной группы - множество целых чисел, для другой - множество всех поло
4 По принципу предметности, как мы помним (§ 10), чтобы сказать, что некоторый объект принимается в качестве предметного значения какого-либо символа формируемого языка, нужно употребить имя (знак вообще) этого объекта. I io в формируемом языке такого, естественно, может и не быть, по крайней мере, для первого случая интерпретации. Таким образом, при интерпретации дескриптивных символов данного языка надо обращаться к какому-то другому языку.
84
жительных рациональных чисел, возможно - множество некоторых преобразований). В D выделяется особо некоторый индивид Е (нейтральный элемент группы). Множество П является одноэлементным, оно содержит одно двухместное отношение "=" (равенство). Одноэлементным является также и Ф - единственным элементом его является бинарный функтор Для построения формализованного языка теории групп в число его исходных символов из множества дескриптивных символов - индивидных, предикатных и предметно-функциональных - необходимо включить5: только один индивидный символ а, один двухместный предикатный символ Р2 и один двухместный предметнофункциональный символ У2. При этом в качестве интерпретационной функции <р надо взять такую, которая приписывает индивидному символу а в качестве его предметного значения индивид Е, предикатному символу Р2 - отношение "равно” ("="), предметно-функциональному символу/2 приписывает известную в теории групп операцию
Однако здесь мы не ставим своей целью построение какого-то определенного формализованного языка и ограничиваемся описанием лишь общей схемы построения таких языков. Это означает, что из двух упомянутых выше целей построения семантической теории мы имеем в виду вторую, т.е. строим семантику для решения тех или иных логических задач. Соответственно этому мы не выбираем никакой определенной интерпретации дескриптивных символов и задаем ту или иную интерпретацию в зависимости от той или иной решаемой логической задачи. При этом мы можем, и часто даже должны, рассматривать различные интерпретации одних и тех же дескриптивных символов в составе тех или иных термов или формул и при этом не обязательно должны интерпретироваться все символы языка. Таким образом, одним и тем же дескриптивным символам даже в составе одной формулы можно приписывать в одних случаях одни, в других -другие значения. Вместо структуры (D, П, Ф) мы просто выбираем теперь D, подразумевая, что на этом множестве задано какое-то множество отношений и предметных функций (возможно, различных местностей). При этом отношения и предметные функции задаются экстенсиональным образом'.
//-местное отношение - как множество //-ок, т.е. последовательностей индивидов из D, для которых выполняется это отношение;
//-местная предметная функция как множество последовательностей индивидов из D длины // + 1 (в которой последний элемент есть то значение, которое функция имеет для //-предшествующих элементов6.
Формально интерпретацией называется пара (D, <р), где, как мы
Напомним, что список исходных символов языка составляется с учетом того, какой именно язык мы хотим построить.
6 Для каждого конечного I) можно указать перечень всех возможных отношений между его индивидами и всех возможных предметных функторов заданной местности, которые можно на нем определить.
85
уже сказали, D - непустая область индивидов, а ф - интерпретационная функция. В связи с экстенсиональной трактовкой отношений и предметных функций нужны некоторые коррективы к данной выше характеристике интерпретационной функции ф. Как сказано выше, л-местному предикатному символу г, она приписывает в качестве предметного значения некоторое л-местное отношение, но с экстенсиональной точки зрения это отношение есть некоторое множество л-ок предметов, которые находятся в этом отношении (экстенсионал или объем отношения). Это множество является некоторым подмножеством множества всех возможных л-ок индивидов из D, это есть Dn - п-ая декартова степень мно жсства D. Таким образом, ф(Р”) С Dn (для одноместного предикатора -ф(Р,-) С D, т.е. свойства здесь оказываются просто подмножествами множества £>). По аналогии ф(/?) есть подмножество Dw+1, т.е. ф(/У) С Dn+X. (Множество последовательностей длины л+1, представляющее собой экстенсиональную характеристику л-местной предметной функции, называют также экстенсионалом этой функции или пробегом данной функции.) Индивидным символам ф приписывает в качестве предметного значения, как было отмечено, индивиды из £>, т.е. Ф(а,)е£>.
Впрочем для логических целей удобнее иметь и мы будем в дальнейшем иметь в виду язык без предметных функторов. При этом не сужаются выразительные возможности языка, поскольку любой л-мест-ный предметный функтор всегда можно заменить л+1-местным предикатом. Для элиминации (исключения) предметно-функциональных символов из языка нужно вместо каждого f! ввести л+1-местный предикат, например, F',+1, заменяя при употреблении языка высказывательную форму/'(Л|,..., л,,) =л*л+| на Fn+1(A'|,..., ап,хл+1). Таким образом - в результате элиминации предметных функторов - заданное в каждом случае D можно рассматривать как некоторую абстрактную структуру - множество индивидов и множество всех возможных отношений, которые вообще можно определить на множестве индивидов данной мощности; здесь имеется в виду понятие структуры, введенное Н. Бур-баки. Согласно этому понятию, структура - это просто множество некоторых объектов с заданным на нем некоторым множеством отношений7.
Наша семантика имеет теперь ясно выраженный теоретикомножественный характер и называется поэтому теоретико-множественной семантикой. При интерпретации дескриптивных символов они, очевидно, превращаются в некоторые константы: имена предметов, знаки отношений, знаки предметных функций. Но поскольку для
7 П\рбики JI. Очерки по истории математики. М., 1963 (Приложение. Архитектура математики, с. 245-260).
86
каждого из них возможны различные интерпретации, они представляют собой своеобразные переменные языка. Это - в отличие от квантифицируемых переменных х, - переменные параметры. Они имеют фиксированное значение во всех выражениях и процессах анализа, связанных с выбранной интерпретацией (D, ф). Переменные этого рода существенны для выявления логических форм термов, высказываний, предикатов. Именно ими мы заменяем при выявлении логической формы, например, высказывания, дескриптивные постоянные этого высказывания. Эта замена означает, собственно, отвлечение от имеющейся интерпретации дескриптивных терминов.
Теперь, поскольку рассматриваются различные возможные интерпретации - в связи с теми или иными логическими задачами, - естественно применять функцию ф не просто к отдельным дескриптивным символам, которые приведены в списке дескриптивных символов, а именно к тем, которые встречаются в сложных термах или формулах, а тем самым и к самим этим сложным выражениям. В связи с этим удобно применять записи Dipt и ЛфА, представляющие собой метаязыковые выражения результатов интерпретации всех дескриптивных символов в составе, соответственно, терма t и формулы А, т.е. терма t и формулы А с интерпретированными определенным образом, - а именно тем способом, на который указывают D и ф, - дескриптивными символами. Заметим, что интерпретационную роль выполняет не только функция ф, но в некотором смысле и D: определяя область возможных значений предметных переменных, мы превращаем их в общие имена, а в сочетании со следующими ниже правилами приписываний значений формулам VxA и ЗхА придаем выражениям Vx и Зх соответственно смысл "для всякого предмета х из множества D, и "существует предмет х из D".
Dipt для замкнутого терма t представляет собой имя некоторого предмета из D. DipA для замкнутой формулы А по идее должно представлять собой высказывание. Это имеет место, если определены логические константы. Их определение состоит в указании особой функции (в дальнейшем обозначенной v - "ню") - функции приписывания инстин-ностных значений формулам. Но прежде, очевидно, должна быть определена еще одна функция - функция s - приписывания значений свободным переменным (как в формулах, так и в термах).
Пусть Dipst и DipsA обозначают теперь результаты интерпретации составляющих, соответственно, терма t и формулы А и приписывания значений входящим в них свободным переменным. Для замкнутых t и A Dipst Dipt и DipsA о, DipA, где °. есть графическое равенство, означает: "то же самое, что", вообще Dips/fa,..., tn) И а [ф/;](ф^ь---, ф^Л где ipstj определены на D; для атомарных формул Dip$p,l.(tj,..., tn) H [ipP”](ipst],..., ipstn). Предполагается, что операция DipsA и Dipst выполняется в указанном порядке слева направо. Таким образом, операция s применяется к DipA и Dipt. В принципе можно было
87
бы определять 5 каждый раз лишь на множестве свободных предметных переменных рассматриваемой формулы А или терма t. Однако для целей анализа логических отношений между высказываниями надо допускать, что 5 в выражении DtysA (или Dtyst) может включать правила приписывания не только тем предметным переменным, которые свободны в А (или в 0, но и каким-то другим переменным, отсутствующим в качестве свободных в t или в А, например, всем свободным переменным, содержащимся в формулах некоторого множества формул, включающего А. Это необходимо, например, при решении вопроса, является ли А следствием других формул, или является ли она необходимым или достаточным условием истинности других формул и т.п.
Остается лишь сформулировать правила приписывания значений формулам (которые формулируются в соответствии с индуктивными определениями этих объектов) - это в совокупности есть одноместная функция v ~ функция "означивания формул". Она выражению DtysA соотносит объект v(A, D, ф, 5) из множества {И, Л}, но не оба вместе. Для удобства вместо v(A, D, ф, s) = И будем использовать T(A/Dq>s) -"истинно А при данных D, ф, 5", а вместо v(A, D, ф, s) = Л используем F(A/Dys) - "ложно А при данных D, ф, 5". Знак "Е.Т.Е." употребляется вместо слов "если и только если".
ПРАВИЛА ПРИПИСЫВАНИЯ ИСТИННОСТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ФОРМУЛАМ (ПРИ ДАННЫХ D, ф, 5)
(Поскольку Истина и Ложь (И и Л) исключают друг друга и в каждом случае формула обязательно имеет одно из этих значений, то можно было бы, как часто это и делают, ограничиться определением только условий истинности, подразумевая, что если формула не истинна, то она ложна, но мы не будем этого делать, освобождая читателя от дополнительных интеллектуальных усилий.)
1.	T(P”(rb..., t^/Dys) Е.Т.Е. предметы ф^,..., tystn находятся в отношении фР”, что задано структурой (D, П, Ф).
При экстенсиональной трактовке отношения Т(Р”(ГЬ..., Ги)/Рф5) Е.Т.Е. л-ка предметов (ф^ь... ф5Гл) есть элемент фР”, иначе говоря, есть элемент подмножества Dn, каковым является фР"
1'. P(P”(Zb..., tn)/Dqs) Е.Т.Е. предметы ф^,... ф5/и не находятся в отношении фР”, что задано структурой (Z), П, Ф)
При экстенсиональной трактовке F(P”(rb..., tn)IDtys) Е.Т.Е. соответствующая л-ка предметов не есть элемент фР”
2.	Т(А D B/Dqs) Е.Т.Е. F(A/D<ps) или T(B/Dqs)
2'. F(A D B/Dtps) Е.Т.Е. T(A/Dtps) и F(B/Dtps)
88
3.	Т(А & B/Dqs) Е.Т.Е. T(A/D<ps) и T(B/D(ps)
3'. F(A & BIDqs) Е.Т.Е. F(AJDqs) или F(BIDqs)
4.	T(A V BIDqs) E.T.E. T(A/D<ps) или T(B/D<ps)
4'. F(A V BIDqs) Е.Т.Е. F(A/D<ps) и FtBIDtys)
5.	T(\AID^s) E.T.E. F(AIDqs)
5'. F(\AIDqs) Е.Т.Е. T(A/D<ps)
6.	T(VxA/D(p5) Е.Т.Е. Т(А/Лф^) для любого sx, где здесь и дальше может отличаться от 5 не более чем приписыванием значений переменной х
6'. F(VxA/D<p5) Е.Т.Е. F(AIDysx) для какого-нибудь
7.	Т(ЗхА/£)ф5) Е.Т.Е. Т(А/Лф^) для какого-нибудь
7'. F (ЭхА/Dtps) Е.Т.Е. F(AIDtysx) для любого sx.
Если х не свободна в А или вообще отсутствует в А, то кванторы в формулах VxA и ЗхА называются вырожденными. Ясно, что в этом случае T(AIDysx) = T(A/Dtys) и F(AJDysx) = F(A/Dys).
При наличии свободных переменных в А вместо метаутверждения ’Т(А/£)ф5)" или "v(A, D, ф, 5) = И” употребляют "выполнимо А при 5 (при данных D, ф)"; сокращенно - "Вып.(А, D, ф, 5)".
Заметим, что пункт 1 в вышеприведенных правилах разъясняет смысл конструкции P”(rb..., г„). При определенных D, ф, 5 она означает утверждение о наличии отношения Р? между предметами ..., tn (при п = 1 - утверждение о наличии свойства Р, у предмета t\).
Пункты 2-7 содержат неявное определение значений логических констант. Это значит, что определение констант хотя и неявное, но оно достаточно для понимания смыслов образуемых с их помощью высказываний (а при отсутствии определенных D, ф, s - логических содержаний высказываний и предикатов). Кроме того, указанные в этих пунктах определения логических констант характерны для классической логики и превращают наш ЯКЛП1 в язык классической логики (и придают ему экстенсиональный характер).
Нетрудно видеть, что D, &, V> 1 представляют собой здесь определенные ранее (см. § 9) логические связки - знаки функций истинности. Формулы VxA и ЗхА при определенных D, ф, 5 представляют собой теперь высказывания вида " для всякого предмета х множества D верно А" и "существует предмет х в множестве D, для которого верно А".
Полезно еще раз разъяснить смысл функции 5 следующим образом. Каждый раз для интерпретации какой-то формулы или множества формул выбирается своя функция s. Таким образом, возможно множество функций 5j, .v2> •••> V-- Каждая из них указывает на определенное соответствие между списком переменных ,..., xin в указанной
89
формуле или множестве формул и списком предметных констант, интерпретированных посредством ф, -aiv ain. Иначе говоря, эт0 есть распределение значений по переменным рассматриваемого мно~ жества или отдельной формулы. Применение функции к некоторой формуле в таком случае означает подстановку вместо всех свободных вхождений переменной xik (£=1,2, 3,...) константы aik. Учитывая это, можно теперь проще определить условия истинности VxA(x) и ЗхА(х) при данных D, ф, 5:
Т(УхА(х)/Г>ф5) Е.Т.Е. Т(А(а)Г>ф5)
для всякого индивида а из области D, где А(а) - результат подстановки константы а вместо всех свободных вхождений х в А(х);
Т(ЗхА(х)/Г>ф5) Е.Т.Е. Т(А(а)Г>ф5)
для какого-нибудь индивида а из D, где А(а) имеет указанное выше значение.
В заключение этих необходимых пояснений к правилам приписывания истинностных значений формулам обратим внимание на индуктивный характер процедур вычисления значений сложных термов и формул. Например, при определении значения терма t при данных D, ф, 5, т.е. значения выражения Dtyst - если t имеет видtn). Для элементарных термов а, и xh которые встречаются в Г, имеем ф(а,) и s(Xi) - базис индукции.
Допускаем теперь, что fi,..., tn уже имеют интерпретацию при данных D, ф, 5 с учетом интерпретации возможно имеющихся в их составе предметно-функциональных символов/•. Теперь можем вычислить значение нашего терма при интерпретации ф символа f-9 т.е. ф/”. Этим значением является тот предмет из D, который функция ф/, соотносит л-ке предметов rb..., tn.
Аналогично для формул, где базисом индукции служат значения элементарных формул, заданные структурой (D, П, Ф).
ПРИМЕРЫ
D^VxjftP^Xj, ах) & Р1(хь л2)) Э Pf(*i, х2)) ~ если & ~ множество целых положительных чисел, фР^ - делится, фа^ - 2, фа2 - 3, sx2 - 6 -представляет собой высказывание "для всякого целого положительного числа X] верно, что если оно делится на 2 и на 3, то оно делится на 6".
DtyX/xx3x2P22(x2, *1) ” если & “ множество людей, фР2 - отец, представляет собой высказывание "для всякого человека х} существует человек х2, такой, что он является отцом первого" (V и 3 в сочетании с переменной х, к которой они относятся, также можно охарактеризовать как некоторые функции, что будет показано ниже, после введения понятия предиката).
90
Будем говорить, что язык является полуинтерпретированным, еСлп не зафиксированы никакие определенные D и ф, но указаны их возможные типы, т.е. определено общее понятие интерпретации дескриптивных символов и при этом определены логические константы языка. При этом в определении логических констант существенно, и для логических целей даже достаточно, указание правил приписывания истинностных значений формулам языка при той или иной интерпретации их дескриптивных символов.
Наличие полуинтерпретированного языка достаточно для решения всех задач, связанных с построением логики как теории выводов и доказательств. Дело в том, что в результате указанной частичной интерпретации языка выявляются логические содержания формул, а тем самым неявным образом детерминируется множество всех возможных логических отношений между высказывательными формами данного языка, т.е. множество всех их связей, обусловленных логическим содержанием.
Имея понятие полуинтерпретированного языка, мы можем точно сформулировать такие фундаментальные понятия логики, как логическая форма и логическое содержание мысли. А именно:
а)	каждая замкнутая формула в таком языке представляет собой логическую форму высказывания, а незамкнутая (содержащая свободные переменные) есть логическая форма некоторого предиката;
б)	смысловое содержание таких форм, информация, которую они содержат, суть то, что называют логическим содержанием, соответственно, высказываний и предикатов.
При выборе какой-нибудь определенной интерпретации, т.е. определенных Риф, логическая форма высказывания превращается в высказывание, а форма предиката - в предикат. Логическое содержание некоторого высказывания или предиката является таким образом общим для всех возможных высказываний и, соответственно, предикатов, которые могут быть получены из некоторой формулы при различных интерпретациях их дескриптивных символов. Например, логическое содержание всех высказываний, которые могут быть образованы из формулы Vx3yP2(x, у), таково: "Для всякого предмета из некоторой области D существует предмет этой области такой, что первый находится в отношении Р2 ко второму". А формула VxP2(y, х) & & VxP2(z, х) указывает на то, что какие-то два предмета у и z некоторой предметной области D сходны в том, что они имеют одно и то же отношение к любому предмету этой области х. Как видим, этот предикат выражает двухместное отношение, а именно отношение определенного сходства между двумя предметами, - это именно то общее содержание, которое имеют все возможные предикаты, возникающие из данной формулы при различных возможных Риф.
Если в некотором предикате РфА (в формуле А со свободными переменными и с определенной интерпретацией D и ф ее дескриптивных символов) приписать всем свободным переменным определенные зна
91
чения посредством функции .у, то получаем высказывание DtysA. Если это высказывание истинно (Т(А/£)ф5)), то говорят, что данный предикат выполняется при данных значениях свободных переменных, и он не выполняется, если высказывание DtysA - ложно (F(A/D(ps)).
Однако наряду с трактовкой формул, содержащих свободные предметные переменные, как предикатов возможно рассмотрение их как логических форм высказываний, именно тех высказываний, в которые они превращаются при определенных D, ф, При таком понимании этих формул они используются, наряду с другими, в формализованных выводах и доказательствах, их использование необходимо в выводах при установлении отношений между понятиями. Эти две трактовки одних и тех же формул обусловлены различными истолкованиями их свободных предметных переменных (вообще квантифицируемых или собственных переменных языка). Когда формула А со свободными переменными рассматривается как предикат - свободные переменные в ней трактуются как пустые места, на которые могут подставляться имена тех предметов, свойства которых или отношения между которыми как раз и представляет данный предикат. Это - предикатная интерпретация переменных.
При рассмотрении формулы А со свободными переменными как формы некоторого высказывания возможны, в свою очередь, еще две различных интерпретации ее свободных переменных: условная и интерпретация всеобщности.
При условной интерпретации переменные рассматриваются как имеющие какие-то (но неопределенно какие) фиксированные значения. Это употребление некоторой переменной х предваряется обычно условием: "Пусть х обозначает некоторый предмет из £>". В условной интерпретации употребляются, например, переменные - "неизвестные" - в математических уравнениях.
В интерпретации всеобщности переменной х содержащая ее формула А рассматривается как высказывание, истинное при любых ее значениях, - т.е., по существу, как высказывание, в котором эта переменная связана квантором общности. Таково истолкование переменных в записях математических законов, например, закона коммутативности сложения х + у = у + х.
Две последние интерпретации, в отличие от предикатной, можно назвать высказывателъными интерпретациями. Фиксированные переменные - это, по существу, параметры, они ведут себя так же, как дескриптивные символы в полуинтерпретированных формулах: при всех вхождениях в одном и том же высказывании или некотором рассуждении они имеют одно и то же подразумеваемое значение.
При отсутствии свободных переменных в терме t выражение РфГ, т.е. t при данных D, <р, есть имя некоторого объекта из D (само t - логическая форма этого имени), а при наличии свободных переменных - это переменный терм, именная форма. Dtyst, т.е. t при данных D, ф, - имя, которое образовано из указанной именной формы. 92
* * *
Множество всех возможных предикатов нашего языка при той или иной интерпретации (D, ф) - это множество всех возможных свойств и отношений между индивидами D, т.е. возможных характеристик индивидов, а вообще в языке задано бесконечное множество возможных свойств и отношений между индивидами, которые можно описать посредством заданных в языке - среди исходных символов - предикаторов и переменных. В этом состоит важное эпистемическое значение понятия предиката.
В данном языке предикаты выражают, как мы видели, свойства или отношения только между индивидами. Это предикаты первого порядка и соответственно этому носит название язык и логика -"язык и логика предикатов первого порядка”. Если бы мы ввели в число исходных символов языка в качестве квантифицируемых переменных предикатные символы, а также, возможно, и предметно-функциональные символы, то получили бы язык второго порядка, в котором, наряду с предикатами первого порядка, появились бы предикаты второго порядкам если есть квантифицируемые предикатные символы, т.е. такие, что допускаются, например, формулы вида V^3iPi3x3y(^(x, у) Э тогда VxVy((^(x, у) D tP2t(y, х)) & & (^(у, х) D ^(х, у))) есть одноместный предикат второго порядка, выражающий свойство симметричности отношения а т\(у, х) есть трехместный предикат* 8 второго порядка, указывающий на отношение предметов х й у к отношению JP2 (состоящее в том, что х и у находятся в этом отношении !^).
Если теперь ввести знаки (предикаторы) для этих отношений (второго порядка), а затем и квантифицируемые переменные предикаторы этого типа, то получим язык классической логики предикатов третьего порядка9.
* * *
В заключение этого раздела - одного из наиболее трудных в логике - выделим и напомним некоторые основные моменты его содержания.
То, что мы называем термами и формулами ЯКЛП1, - это чисто синтаксические образования. Они становятся, соответственно, именами или именными формами, высказываниями или высказывательными формами (предикатами) при той или иной интерпретации содержащихся в них дескриптивных символов и - для формул - логических констант. Интерпретация дескриптивных символов (предикатных символов,
о	2
Поскольку в нем три свободных переменных fPp х и у.
9 Подробнее см.: Войшвилло Е.К. Понятие. М., 1989, с. 68-69.
предметно-функциональных символов и символов индивидных констант) состоит в приписывании им предметных значений (экстенсио-налов).
Предикатному символу Р” приписывается л-местная предметноистинностная функция, определенная на некотором непустом множестве индивидов D (л-местное отношение). Однако при этом, поскольку строится экстенсиональный язык, она трактуется экстенсионально: как подмножество множества всех возможных последовательностей длины п индивидов из D. Это подмножество есть объем упомянутого отношения.
Предметно-функциональному символу fl приписывается предметнопредметная функция, определенная на том же множестве D, трактуемая также экстенсионально: как подмножество множества всех возможных последовательностей длины п + 1 индивидов из D. Данное подмножество, как говорили, есть пробег упомянутой функции.
Пара {D, ф) называется интерпретацией данного языка вообще или - в иных случаях - отдельных его термов и формул.
Для интерпретации логических констант используется функция v -означивания формул - функция приписывания истинностных значений (И или Л) интерпретированным формулам.
Замкнутая формула (не содержащая свободных переменных) при некоторой интерпретации (D, ф) и при заданной интерпретации логических констант превращается в высказывание, а замкнутый - не содержащий свободных переменных - терм при интерпретации (D, ф) становится именем некоторого индивида из D. При наличии же свободных переменных в формулах или термах они превращаются при интерпретации (D, ф) - и логических констант для формул, - соответственно, в высказывательную форму - предикат и именную форму. Эти формы также превращаются в высказывания и имена при приписывании определенных значений (каковыми являются индивиды из D) всем содержащимся в них свободным переменным.
Выше было отмечено, что интерпретация выражения языка и вообще построение его семантики может служить двум различным целям. Одна из них связана с построением теории дедукции - теории выводов и доказательств в том или ином данном языке. Здесь уже следует заметить, что в этом случае возможно существенное упрощение описанной семантики (см. § 18).
§ 15. Язык классической логики высказываний. Синтаксис и семантика
В процессе логического анализа для выяснения некоторых логических отношений (логического следования, совместимости, несовместимости высказываний и др.) в ряде случаев не играют роли структуры, а тем самым и смыслы простых высказываний. Это значит, 94
что при решении соответствующих вопросов от них можно отвлекаться. Для результатов таких отвлечений, т.е. для высказываний, структуры которых мы не учитываем, естественно вводить особые знаки, можно взять, положим,	Рп- В случае когда со знаком
такого рода не связывается никакое определенное высказывание, он называется пропозициональной переменной. Таким образом, в языке, который мы теперь имеем в виду, появляются указанные символы особого - по сравнению с ЯКЛП1 - вида. С другой стороны, поскольку в данном языке не предполагается описывать структуры простых высказываний, постольку ненужным становится все, что необходимо для описания этих структур: предметные переменные и константы, предикатные и предметно-функциональные символы, кванторы и запятая; исключается также понятие терма и соответствующим образом изменяется понятие формулы.
Обычно ЯКЛВ рассматривают как исходный для построения формализованных языков и соответствующей теории дедукции, а ЯКЛП1 и теорию дедукции в его рамках - как расширение соответствующего языка и теории дедукции в логике высказываний. Однако, по существу, имеет место обратное отношение - ЯКЛП1 является результатом выделения и некоторой реконструкции естественного языка, при этом важно учитывать, что в естественном языке нет никакого фрагмента, подобного ЯКЛВ. Он является особым продуктом самой символической логики как науки и возникает именно из языка логики предикатов как результат определенной - указанной выше - абстракции - отвлечения от структур простых высказываний. Именно таким пониманием соотношения указанных формализованных языков обусловливается принятый в этой книге порядок изложения: первоначально ЯКЛП1 затем ЯКЛВ. Однако, когда речь идет о теории дедукции (о логике высказываний и исчислении высказываний, о логике и исчислении предикатов), то с методическо-дидактической точки зрения удобнее придерживаться принятого в литературе порядка изложения: вначале теория дедукции, связанная с ЯКЛВ, затем - с ЯКЛП1.
ЯКЛВ имеет следующий синтаксис:
а)	пропозициональные переменные: pi»p2,..., Рп>--- (счетное множество) (мы будем использовать также р, q, г, 5);
б)	логические константы: D, &, V, 1;
в)	технические знаки: (и).
ПОНЯТИЕ ФОРМУЛЫ
1.	Каждая пропозициональная переменная есть формула.
2.	Если А и В - формулы, то (А D В), (А & В), (А V #),	-
формулы.
3.	Ничто, кроме указанных в пунктах 1-2, не есть формула.
В целях сокращения, как и раньше, будем опускать внешние скобки у формул.
95
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что следующие выражения ЯКЛВ являются формулами:
а) (р & q) D г, 6)pD (q D г); в) (р V q) Э (Ip D г);
г) 1((р & Ъ) V IV) Э (("|р V ?) & г).
2. Какие из следующих выражений являются формулами ЯКЛВ?
а) 1г V & б) 1г D (Tl<7 D &V); в)Ир (Ъ & Ъ)»
г) ((р D q) & Ip) D "I?; д) (р D \/V) & 1(1р V V).
СЕМАНТИКА ЯКЛВ
Из всех семантических понятий ЯКЛП1 D, ф, 5, v сохраняется только функция v - функция означивания формул, т.е. приписывания им значений Истина или Ложь. Но приписывание формуле некоторого истинностного значения (И или Л) означает, по существу, что она трактуется как некоторое высказывание. Смысл этого высказывания зависит от подразумеваемых смыслов элементарных высказываний, каковым становится каждая элементарная формула pi9 состоящая из одной пропозициональной переменной, при приписывании того или иного истинностного значения этой пропозициональной переменной. От него в логике высказываний мы отвлекаемся. Но неправильно было бы забывать, что наличие какого-то смысла в этом случае всегда подразумевается. Сказанное означает, что функция v в логике высказываний неявно выполняет также и роль Р,ф,$, т.е. является не просто означивающей, но и интерпретационной функцией. Формально же -внешним образом - интерпретация языка сводится лишь к неявным определениям логических констант в виде следующей системы правил приписывания истинностных значений формулам при некоторых данных значениях содержащихся в них пропозициональных переменных (эти приписывания осуществляются в тех или иных конкретных случаях логического анализа формул и отношений между ними).
ПРАВИЛА ПРИПИСЫВАНИЯ ИСТИННОСТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ФОРМУЛАМ ЯКЛВ
Для метаутверждений об истиности или ложности формулы А при некоторых истинностных значениях ее пропозициональных переменных - иначе, "при некотором распределении истинностных значений по ее пропозициональным переменным" - употребляют обычно выражение vA = И и vA = Л. Мы будем употреблять вместо них, соответственно, выражения T(A/v) и F(AIn), где v означает как раз распределение истинностных значений по переменным формулы А, а в ряде случаев - по переменным вообще некоторого множества формул, элементом которого является А. Таким образом, указание на это
96
распределение отмечается теперь явным образом (тогда как в указанных обычных обозначениях оно лишь подразумевается и, в лучшем случае, добавляется к ним). Истинностными значениями формул здесь, как и в ЯКЛП1, являются элементы {И, Л}.
1.	Пропозициональным переменным истинностные значения (значения из {И, Л}) приписываются произвольно - И или Л, но не оба вместе. При анализе формул или отношений между ними обычно происходят переборы возможных распределений истинностных значений по переменным тех или иных множеств формул10.
Для сложных формул - содержащих логические связки - имеем:
2.	Т(^ D */v) Е.Т.Е. F(A/v) или T(B/v)
2'. F(A 3 %) E.T.E. T(A/v) и F(B/v)
3.	T(A&B/V) Е.Т.Е. T(A/v) и T(B/v)
3'. F(A&BIV) Е.Т.Е. F(A/v) или F(B/v)
4.	Т(л v%) E.T.E. T(A/v) или T(B/v)
4'. F(A v%) E.T.E. F(A/v) и F(B/v)
5.	T(^/v) E.T.E. F(A/v)
5'. F(^/v) E.T.E. T(A/v).
Глава 5
КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
§ 16. Классическая логика как вид символической логики. Вопрос о множественности систем символической логики
Символическая логика - современный этап развития формальной логики, формирование которого началось с середины прошлого столетия. Основным предметом исследования здесь, как и в формальной логике прошлого (существующей с IV в. до н.э.), являются формы так называемых дедуктивных рассуждений - выводов и доказательств и лежащие в их основе законы. Дедуктивными являются выводы, обеспечивающие истинность результатов - заключений выводов - при истинности исходных высказываний - посылок выводов. Название “символическая” объясняется применением здесь специальных формализованных языков для выражения высказываний, которые могут
10 Строго говоря, приписывание истинностных значений происходит здесь не пропозициональным переменным, а элементарным формулам, состоящим - каждая - из одной пропозициональной переменной. Именно такие формулы, а не сами пропозициональные переменные, являются подформулами сложных формул. Мы употребили и будем употреблять данное, обычно принятое, выражение ради упрощения.
7 Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев, кн. I	97
служить посылками вывода, правил вывода и упомянутных логических законов. В этих языках, как мы видели, применяются особые знаки -символы прежде всего для так называемых логических терминов -логических связок, аналогов таких выражений русского языка, как “если..., то...”, “и”, “или”, “неверно, что...”, операторов, соответствующих кванторным словам языка “всякий”, “некоторый” (“существует”) и др. В результате высказывания представляются в языке в виде некоторых формул, и для анализа логических отношений между ними становится возможным применение точных методов типа математических, которые используются, например, при решении уравнений. В силу этого символическую логику называют иногда математической.
Благодаря построению и применению специальных формализованных логических языков становится возможным построение теории дедуктивных рассуждений (теории дедукции) в подлинном смысле этого слова. В традиционной логике рассматривались и выделялись лишь некоторые из таких форм просто эмпирическим образом без какого-либо теоретического их обоснования.
ТЕОРИЯ ДЕДУКЦИИ влючает две основные части: 1) семантический анализ и определение совокупности понятий (логическое следование, закон логики и др.), определяющих логику некоторого формализованного языка; здесь уже, по крайней мере, потенциально выявляются все возможные формы выводов и доказательств в рамках данного языка; 2) вторую часть составляют логические исчисления, в которых все возможные формы выводов, составляющих данную логику, описываются синтаксическим образом. (Исчисления строятся как дедуктивные системы. Дедуктивный характер системы состоит в том, что в ней выделяются некоторые исходные постулаты (логические законы, правила вывода) и указываются способы выведения из них всех других логических законов, а также способы обоснования правомерных в данном языке правил рассуждения1. Иногда в современной литературе первую часть называют теорией моделей, вторую - теорией доказательств. (Эта терминология представляется нам не вполне удачной хотя бы потому, что упомянутые модели являются не самоцелью, а средством семантического описания логики и ее языка; в синтаксической же части системы наиболее существенным является анализ выводов, частными случаями которых являются доказательства.) В соответствии с различением языка логики предикатов и языка логики высказываний - по существу в каждой системе логики - выделяются
1 Исторически некоторые системы логики формируются первоначально как логические исчисления. При этом правомерные формы выводов выделяются интуитивным образом на основе именно интуитивного понимания логических констант языка и лишь затем возникает семантическое их обоснование за счет построения точной семантики языка. Так было и с классической логикой. Однако исчисления, построенные в неинтерпретированном языке, не являются, строго говоря, логикой, а представляют собой чисто формальные системы, для которых употребляется название “логистические системы”.
98
два раздела теории дедукции: логика и исчисление высказываний и логика и исчисление предикатов.
Построение и анализ формализованного языка является исходным для построения теории дедукции в каждой системе логики и, по существу, даже является частью этой теории. Выделение этой части в данной работе в отдельную главу объясняется обстоятельствами методического характера и стремлением сопоставить естественные и формализованные языки как средство познания.
В настоящее время символическая логика представляет собой весьма разветвленную систему логических знаний, включающую множество разделов - классическую логику, интуиционистскую логику, ряд систем модальной логики, временную, многозначную, релевантную логики и т.д.
Основной, наиболее разработанной частью символической логики являются системы классической логики, представляющие собой исторически первую из множеств современных систем. Здесь рассматриваются выводы из высказываний, в которых утверждается или отрицается наличие некоторых ситуаций фактического характера. Характерными особенностями этих высказываний являются их экстенсиональный характер и двузначность. Первое означает, что истинностное значение высказываний не зависит от смысловых содержаний входящих в них терминов, а лишь от их предметных значений - экстенсионалов. Значение сложного высказывания определяется лишь истинностными значениями составляющих их высказываний. Значение простых высказываний зависит лишь от экстенсиональных (объемных) характеристик терминов, обозначающих свойства и отношения, точнее, от экстенсиональных характеристик самих этих свойств и отношений. Экстенсиональной характеристикой свойства является, как мы уже говорили, множество предметов, обладающих этим свойством, а экстенсиональной характеристикой л-местного отношения - множество л-ок предметов, для которых выполняется это отношение. Свойство двузначности высказываний состоит в том, что их истинностными значениями могут быть лишь “истина” или “ложь”, но не то и другое вместе. В реальной практике познания высказывания могут быть также бессмысленными или неопределенными по своим истинностным значениям.
Таким образом, классическая логика рассматривает лишь определенным образом идеализированные высказывания, во всяком случае такие, которые точно построены и имеют точное логическое содержание, что означает, что в них точным образом определены логические константы. При этом существенно - для построения теории дедукции, например, - именно то, что имеются строгие правила приписывания истинностных значений формулам при тех или иных интерпретациях.
В принципе, логические константы (термины) &, V, 1 являются аналогами соответствующих союзов “и”, “или”, “неверно” естественного языка, по крайней мере, в распространенном их употреблении, а Кванторы V, 3 соответствуют словам “Все”, “Некоторые”. По идее, также и импликация (о) языка классической логики соответствует
7*
99
союзу “если..., то...”. Однако здесь есть существенное расхождение. Дело в том, что союз “если..., то...” в естественном языке обычно употребляется как средство выражения связей (между фактами, свойствами, отношениями), в частности составляющих содержание законов науки. Тогда как импликация классической логики, которую называют “материальной импликацией”2, не выражает какой-либо онтологической связи. При переводе условного высказывания естественного языка вида “если А, то В” на язык классической логики как “Л z> В” теряется часть его содержания. Употребляя материальную импликацию, мы отвлекаемся от того, что между ситуациями А и В имеется какая-то содержательная связь. Остается лишь часть смысла, выражающая фактическое положение дел: “При наличии ситуации А имеется ситуация В” (это равносильно: “Отсутствует ситуация А или имеется ситуация В”, символически “Т4\/^один из законов классической логики представляет эту эквивалентность: (А о В) = (14\/В). Однако материальная импликация сохраняет существенное свойство условной связи: при истинности (Л о В) истинность А гарантирует истинность В. Таким образом, она выражает связь не между ситуациями, которые описываются в высказываниях А и В, а между инстинностны-ми значениями самих этих высказываний. Точнее говоря, в импликатив-ном высказывании устанавливается связь типа: при наличии ситуации А есть ситуация В, Связи между истинностными значениями непосредственно устанавливаются в метаязыке, где сами высказывания языка становятся объектами высказываний (метаязыка).
Условная связь образует интенсиональные контексты (высказывание “если А, то В” истинно лишь при наличии определенной связи между ситуациями А и В, независимо от того, каковы истинностные значения высказываний А и В), материальная импликация - экстенсиональна: (Л о В) истинна в случаях, когда ложно А или истинно В, независимо от того, имеется ли какая-то связь между ситуациями АиВ и, значит, независимо от смысла этих высказываний. Истинными в таком случае оказываются высказывания “Если Волга находится в Азии, то Вашингтон - столица США”, а также “Если Волга находится в Азии, то Нью-Йорк - столица США”. (Случаи такого рода характеризуют как “парадоксы” материальной импликации.) Впрочем, и в естественных языках связка “если..., то...” употребляется в некоторых случаях в смысле материальной импликации, особенно в математических и металогических рассуждениях, связанных с описанием и анализом логических систем. Более того, в метаязыках, используемых для описания и анализа семантики логических систем, обычно используется - неформальным образом - классическая логика, и в этом состоит ее особая значимость.
В определенном смысле экстенсиональный характер имеет в клас
2 Классическая логика и характеризуется часто именно как система с материальной импликацией.
100
сической логике также и отношение логического следования. Это понятие, наряду с понятием логического закона, является центральным в логике как теории, поскольку правильный дедуктивный вывод как раз и означает наличие логического следования между исходными высказываниями (посылками вывода) и полученным результатом (заключением вывода). Согласно интуиции, связанной с употреблением этого понятия в практике научного познания, оно представляет собой определенную связь между высказываниями по их логическим содержаниям, т.е. именно связь между логическими содержаниями высказываний (напомним, что логическое содержание - та часть смысла высказывания, та заключенная в нем информация, которая определяется его логической формой). В классической логике отношение логического следования трактуется неадекватно. Как и в случае условной связи, здесь учитывается лишь связь между истинностными значениями высказываний. В силу этого возникают ситуации, называемые парадоксами следования: из противоречивого высказывания (“Волга находится в Азии и неверно, что Волга находится в Азии”) следует любое, а логически истинное (типа “Волга находится в Азии или не находится там”) является следствием любого высказывания.
Логическое следование, вообще говоря, всегда связано с логическим содержанием высказываний. Оно играет определяющую роль в понятии следования и дедуктивного вывода в любой логической системе, в том числе и в классической логике (наряду с понятием дедуктивного логического следования в логике имеется понятие индуктивного следования - см. § 85). Но в последней именно лишь постольку, поскольку определяет истинностное значение высказываний и связи между истинностными значениями высказываний. Например, в случае следования любого высказывания В из противоречия А & |А логическая форма посылки А & "|А указывает на то, что это высказывание при любом конкретном содержания А является ложным, и, как мы увидим из определения понятия следования в классической логике (см. следующий параграф), именно в силу этого, т.е. ложности посылки, здесь и имеет место это отношение.
Указанная неадекватность в трактовке логического следования, а также условной связи в рамках классической логики преодолевается в релевантной логике. В этой системе интенсиональная импликация (знак “->”), судя по всему, адекватна союзу “если..., то...” естественного языка в том смысле, в каком он употребляется, по крайней мере, в формулировках законов науки, а логическое следование представляет собой именно связь между высказываниями по их логическим содержаниям.
Обратим внимание, что здесь мы подошли к ответу на вопрос, который нередко обсуждают философы: чем обусловлена множественность логических систем в символической логике!
В одних случаях одна система отличается от другой просто тем, что представляет собой расширение ее языка за счет введения новых логических констант, что приводит к появлению новых высказываний и
101
каких-то возможных выводов из них. Так, многие современные системы модальной логики построены за счет добавления к логическим константам языка классической логики (сокращенно - ЯКЛ) модальных операторов: необходимо, возможно, случайно. Деонтическая логика -логика норм - получается также расширением ЯКЛ за счет операторов: обязательно, разрешено, запрещено. Аналогично возникает динамическая логика (логика действий) и многие другие системы. В таких случаях возможность “размножения” логических систем понятна. Не возникает особых вопросов также и в связи с появлением многозначных логик. Они являются результатом включения в ЯКЛ не только истинных и ложных высказываний, но также, например, бессмысленных или неопределенно-истинных (см. § 1), т.е. высказываний с другими истинностными значениями. Существуют, правда, многозначные логики с неопределенным n-числом значений и даже с бесконечным множеством истинностных значений, но, не имея определенной интерпретации, такие системы, по существу, не заслуживают названия “логических” -это формальные логистические системы, полученные в результате формального обобщения некоторых логических теорий.
Сложнее дело обстоит,, когда в системах по видимости имеются одни и те же языки, с одним и тем же множеством логических констант, но имеется различие в множестве принимаемых законов и форм выводов. Так, например, по видимости один и тот же язык, но различное множество законов и допустимых выводов имеют классическая и интуиционистская логика, а также и так называемая минимальная. В классической логике имеют место законы исключенного третьего А V 1 А, снятия двойного отрицания Ца о А, формы выводов Лай а,1(а V в>1а&1в и ряд других, которые не принимаются в интуиционистской логике. Это породило представление среди некоторых философов, в частности логических позитивистов, о конвенциональном характере логических систем. Дело, однако, в том, что некоторые логические связки, например, о, | в интуиционистской логике отличаются фактически от классических и это отличие обусловлено иным пониманием высказываний. Можно сказать, что между пониманием высказываний в классической и интуиционисткой логике имеется различие с точки зрения принципа достаточного основания (см. § 2). Высказывания в классической логике представляют собой просто утверждение или отрицание наличия некоторой ситуации в действительности без претензий на то, что есть какое-то - и тем более достаточное - основание для такого утверждения. Утверждения интуиционистской логики, например, А V В, |А, имеют смысл: “В действительности есть (или отсутствует) указанная ситуация и при этом есть способ показать, что это действительно так”. Например, |А (для некоторого определенного высказывания А) означает, что показано, что принятие А ведет к противоречию, т.е. А является опровергнутым. Ясно, что при этом не являются законами А V ТА (отнюдь не всегда, конечно, и тем более не для любой формулы она является доказанной или
102
опровергнутой), "Па =)Л (то, что опровергнуто утверждение о том, что опровергнуто А, не означает, что А доказано).
Наконец, одна логическая система может возникать из другой за счет уточнения, можно сказать углубления некоторых ее понятий, например, импликации, закона логики, логического следования. Так, из систем классической логики высказываний и предикатов возникают системы релевантной логики, соответственно, Е (of entailment) и EQ (of entailment with quantification), которые также отличаются от классических систем по множеству законов и форм вывода при одних и тех же по видимости логических константах.
Таким образом, принятие каких-то законов и форм рассуждений в одной системе и непринятие их в другой зависит не от соглашений, а от смыслов высказываний языка, от характера его семантики. Говоря точнее, роль при этом играет семантическое истолкование логических констант языка, т.е. то, что мы назвали полуинтерпретацией языка. Именно в полуинтерпретированных языках, как мы видели, выявляются логические формы высказываний, которые и определяют правильные формы рассуждений. Последнее замечание весьма существенно для понимания логики как совокупности некоторых связей между высказываниями того или иного языка: определение логических констант языка и тем самым логических содержаний его высказываний объективно детерминирует, как мы уже отмечали, все возможные логические - т.е. зависящие только от логических содержаний -отношения между его высказываниями или, иначе говоря, возможные связи между высказываниями по их логическим содержаниям. Это множество отношений (или связей) и составляет, собственно, логику данного языка. Задача логики как науки состоит теперь только в выявлении и описании этих отношений.
Что касается семантических характеристик логических констант языка той или иной логической системы, то нормальным здесь является стремление (при построении языка) употреблять их, по возможности, таким же образом, как используются в практике научного познания соответствующие им логические термины естественного языка (“если..., то...”, или”, “все” и т.п.). Однако в естественном языке нет точных способов их употребления и к тому же есть случаи, когда одни и те же логические термины имеют различные употребления, в частности в различных областях научного познания. Например, “если..., то...” в конкретных науках употребляется - в выражениях законов этих наук - как некоторый вид связи между явлениями, как детерминированность одного другим. В математике же и в ряде других случаев этот логический союз используется как материальная импликация. Существует мнение, что в теории квантовой механики особо трактуются союзы “и” и “или” так, что для них неправомерен известный закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции (см. § 19). В результате именно такого употребления упомянутых союзов возникла особая логическая система - логика квантовой
103
механики3. Таким образом, нет строго объективной основы для однозначного использования связок в языках символической логики, в силу чего имеется некоторый момент конвенциальности в их истолковании в той или иной системе.
Из всех возможных отношений, составляющих логику некоторого языка, основным видом логического отношения между высказываниями языка является отношение дедуктивного логического следования4. Посредством понятия логического следования определимы все другие логические отношения между высказываниями: эквивалентность, совместимость или несовместимость по истинности и по ложности и т.д. (см. § 70). Мы уже упоминали, что отношение логического следования составляет основу и дедуктивных форм выводов, поэтому выявление потенциально возможных форм выводов - это, по существу, есть выявление всех возможных случаев отношения логического следования между высказываниями. С другой стороны, для решения вопроса о том, является ли логически правильным рассуждение, в котором из высказываний АЬА2,..., &т мы выводим некоторое высказывание В, надо установить, следует ли В из высказываний Аь А2,..., Ат. Однако какие именно случаи связи между высказываниями выделяются в качестве случаев отношения логического следования, зависит от понимания этого отношения в самой логике как теории.
§ 17. Основные понятия классической логики
Речь здесь идет о логике как теории дедукции, задача которой, как мы отмечали, состоит в выделении и описании возможных связей между высказываниями. Как и во всякой теории для описания исследуемой логикой объектов нужны особые понятия: логического следования, закона логики, некоторых видов формул - выполнимых, невыполнимых и т.п. Собственно говоря, вся та часть дедуктивной теории, которая занимается семантическим описанием логики принятого языка, уже включает основные понятия и совокупность методов, связанных с семантикой языка и позволяющих решать вопросы о том, является ли какая-то формула законом логики, имеется ли отношение следования между формулами и др. Понятие закона в логике является центральным - как и в других науках. Упомянутые основные понятия (об отношении следования и некоторых видов формул) являются, по существу, общими как для логики предикатов, так и для логики высказываний. Поэтому выделяются здесь в данный отдельный параграф. Что касается упомянутых методов, то они во многом существенно различаются для логики высказываний и логики предикатов; это обусловливает выделение в дальнейшем логики высказываний и предикатов в отдельные главы.
3 См., например: Месъков В.С. Очерки по логике квантовой механики. М., 1989.
4 Напомним, что наряду с понятием дедуктивного логического следования в логике имеется и понятие индуктивного логического следования - см. § 85. Здесь и далее, если не сделано специальных оговорок, под логическим следованием имеется в виду именно дедуктивное логическое следование.
104
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ И ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ5
Основные виды формул ЯКЛПХ (с семантической точки зрения). Все формулы ЯКЛП1 можно разделить на выполнимые (в широком смысле) для каких-то D, ф, 5 (такие, что Т(А/£)ф5) для каких-нибудь р, ф, я) и невыполнимые (такие, что F(A/Dtys) при любых D, (р, 5). Выполнимые, в свою очередь, делятся на универсально-общезначимые - выполнимые для любых £), ф, 5 и выполнимые лишь для некоторых £>, ср, 5 (выполнимые в узком смысле). Универсально-общезначимые формулы представляют собой законы логики предикатов первого порядка. Для метаутверждения “Формула А универсально-общезначима” используем обозначение " h= А". Закон логики h= А, как и любой закон конкретной науки, по форме выражения представляет собой общее высказывание (семантического метаязыка): “Для любой области D, для любой интерпретации ср дескриптивных символов формулы А и для любого распределения значения 5- ее свободных переменных имеем Т(А/Лф5’)6. Сама формула А, конечно, не истинна и не ложна - истинны все высказывания, логической формой которых она является. Каждое из таких высказываний, т.е. А при некоторых определенных £>, ф, 5 (£>фяА), истинно лишь в силу его логической формы (независимо от конкретных значений ее дескриптивных терминов). Такие высказывания называют логически истинными, аналитически истинными или необходимо истинными7.
Наряду с понятиями “универсально-общезначимая формула” и “выполнимая (в широком смысле) формула” имеют значения во многих случаях также понятия “общезначимой” и “выполнимой формулы” в некоторой определенной области D (причем определенной по своему кардинальному числу, т.е. по мощности множества - по числовой характеристике множества, поскольку характер - природа - индивидов области не влияет на истинностное значение формул). Прежде всего
5 Первоначально даются определения основных понятий для логики предикатов, затем их модификация для логики высказываний.
6 По своей модальности оно логически необходимо, тогда как законы конкретных наук физически необходимы (см. § 69).
При этом имеют в виду именно логическую необходимость, что, строго говоря, следовало бы всегда оговаривать, поскольку наряду с логической существует, как будет показано (§ 69), онтологическая (физическая) необходимость. В силу неразработанности в логике этого понятия некоторые представители логики (Рассел, Куайн и др.) считают, что существует только логическая необходимость. Впрочем, в последних своих работах Куайн допускает существование физической необходимости, подчеркивая, однако, отсутствие определения этого понятия (см.: Новое в зарубежной лингвистике. В ып. 13, М., 1982, с. 105-106). Из видных логиков признавал существование онтологической необходимости и пытался выяснить содержание этого понятия Г. Рей-хенбах. Попытка его оказалась, однако, неудачной в силу применения неудачных средств, а именно экстенсионального языка классической логики (см: Reichenbach Н. Elements of symbolic logic. N.Y., 1952).
105
различают обычно конечные и бесконечные множества индивидов £); среди бесконечных - счетные и континуально-бесконечные.
Формула А общезначима в некоторой области D Е.Т.Е.8 она принимает значение Истина при любых ф и 5, определенных на этой области.
Формула является выполнимой в области D Е.Т.Е. она принимает значение Истина при каких-нибудь ф и 5, определенных на этой области.
Интуитивно ясно, что если формула общезначима в какой-то D, то она общезначима и в любом множестве с меньшей мощностью (кроме пустого; напомним, что D = 0 вообще не допускаются в классической логике); если же формула выполнима в области D, то она выполнима и в любой области большей мощности.
Важную роль играют следующие варианты теоремы Левенгейма-Сколема:
Если формула А общезначима в счетной (счетно-бесконечной) области, то она общезначима и в любой области;
Если формула А выполнима в какой-нибудь области, то она выполнима в счетно-бесконечной.
(Существенно новым здесь - по сравнению со сказанным - является то, что если какая-то формула общезначима в счетной области, то она общезначима и в любой бесконечной области, а значит и в континуальной; и если формула выполнима в континуальной области или вообще в области с мощностью большей, чем счетной, то она выполнима и в счетной.)
Итак, общезначимость формулы в некоторой области D гарантирует ее общезначимость в любой более узкой области. Но нет ли каких-то видов формул ЯКЛП1, для которых мы бы по общезначимости их в некоторой области могли заключить об их общезначимости в более широких областях и вообще об их универсальной общезначимости? Оказывается, есть много таких видов формул, для которых существует некоторая предельно широкая область D такая, что если формула А общезначима в ней, то она общезначима вообще, т.е. универсальнообщезначима. Таковы, например:
1)	такие формулы, в которых содержатся только одноместные предикатные символы;
2)	все формулы вида Vyj.. .Уу^(уь..., yk), где к > 0;
3)	У?!...yfyk3zi...32/А(У1.№,?!•.., zz), где к > 0,1 > 0;
4)	Эу1.. .Эу*А(у1,..., ук), где к > 0.
В последних трех случаях формул вида 2)-4) формула Л, стоящая за кванторами, не содержит никаких других переменных, кроме указанных, и, значит, никаких кванторов, а также никаких индивидных констант.
Для формул вида 1) упомянутой предельно-широкой областью
8 Е.Т.Е. означает, как и раньше, “если и только если”. 106
является D с числом индивидов 2к, где к - число предикатных символов в формуле (как сказано, одноместных).
Для формул вида 2) и 3) - это область, содержащая к индивидов.
Для формул вида 4) предельно широкой областью является область, состоящая из одного индивида.
Имеется много видов формул - определенным образом связанных с только что рассмотренными - таких, что существует некоторая предельно минимальная область D такая, что если формула выполнима в ней, то она выполнима и в любой более узкой области, а значит, и выполнима вообще. Например, уже рассмотренным случаям формул вида 2)-4) здесь соответствуют формулы вида:
2)Эу1...ЭуИ(У1,-..,л).
3)3^..	. VzzA(yi, ук, zj, z,).
4)Vyi...VykA(yi,...,yk).
Что касается конечных областей, то здесь решение вопросов об общезначимости и выполнимости формул ЯКЛП1 сводится к решению аналогичных вопросов в логике высказываний. Для этого используются следующие связи кванторов V и 3 соответственно с & и у.
Предполагая, что областью х является некоторая конечная область D, состоящая из к предметов	ч имеем следующие
эквивалентности:
VxA(x) = A(aj) & А(а2) &...& А(яД
ЗхА(х) = А(ах) у А(а2) у...X/A(ak).
Используя эти эквивалентности, мы можем убрать все кванторы из формулы. Например, для области D = {аь а2} имеем:
Vx,(P(x,) => ЗхгЧеСхг)) s
= (Р(щ) => Зх2,1С(х2)) & {Р(а2) => 3x2te(x2)) —
= (/>(«,) z> (Ш) V "Ш))) & №) => (1е(«1) V Ш))).
Получаемая в конечном счете бескванторная формула применительно к области из к предметов называется ^-образом исходной формулы. Имея £-образ некоторой формулы, можно получить соответствующую - эквивалентную относительно общезначимости или выполнимости исходной формуле - формулу ЯКЛВ, заменив везде атомарные формулы пропозициональными переменными (все вхождения одной и той же атомарной формулы - одной и той же пропозициональной переменной, а различные - различными); в нашем случае получим:
(Р1 => (1Р2 V 1рз)) & (?4 => (к V К)).
Для решения вопроса об общезначимости или выполнимости исходной формулы ЯКЛП1 применяем к соответствующей формуле ЯКЛВ любую разрешающую процедуру логики высказываний (§ 20).
107
Основные виды формул ЯКЛВ (с семантической точки зрения). При переходе от семантики ЯКЛП1 к семантике ЯКЛВ исключаются, как мы уже видели (§ 15), D, <р, остается одна функция V - функция приписывания истинностных значений (впрочем, как и до сих пор, мы обычно не употребляем ее явным образом, говоря просто об определении истинностных значений формул; в логике высказываний особенно часто приходится говорить о приписывании значений пропозициональным переменным, ибо от них зависит значение сложных формул).
Выполнимая формула ЯКЛВ - это формула, принимающая значение* Истина при каких-нибудь значениях содержащихся в ней пропозициональных переменных. Невыполнимая формула принимает значение Ложь при любых значениях ее пропозициональных переменных -формулы такого типа называются тождественно-ложными. Аналогом универсально-общезначимых среди выполнимых являются формулы, называемые здесь тождественно-истинными. Таковыми являются формулы, принимающие значение Истина при любых значениях пропозициональных переменных (т.е. такие, что Т(А/у) при любых v) - это законы логики высказываний. Для обозначения метаутверждения “Формула А тождественно-истинна” будем - как и в ЯКЛП1 - употреблять обозначение " Ь= А". Формулы, выполнимые в узком смысле, имеют значение Истина лишь при некоторых значениях пропозициональных переменных.
Невыполнимые формулы, как ЯКЛП1, так и ЯКЛВ, являются -явными или неявными - отрицаниями законов логики (соответственно -ЯКЛП1 и ЯКЛВ). Они называются также логически противоречивыми', это оправдывается хотя бы уже тем, что в качестве следствия из них выводимо противоречие В & "]в (для любой формулы В соответствующего языка).
Примеры наиболее важных законов как логики высказываний, так и логики предикатов читатель найдет в следующем параграфе, примеры семантического доказательства формул даны в конце этого параграфа.
Отношение логического следования (одновременно для ЯКЛП1 и ЯКЛВ). Отношение логического следования в обычном языке есть некоторое отношение между высказываниями, хотя оно может иметь место и между предикатами. Но мы уже говорили, что это отношение зависит от логических содержаний высказываний и предикатов и потому между какими-то высказываниями или предикатами оно имеет место лишь постольку, поскольку в этом отношении находятся логические формы соответствующих высказываний или предикатов. Поэтому в символической логике его непосредственно определяют как отношение между формулами языка. Но существенно еще раз подчеркнуть, что при этом надо иметь в виду формулы полуинтер-претированного языка, поскольку именно в таком языке все формулы становятся логическими формами высказываний или предикатов.
Пусть выражение "А1=В" означает “В логически следует из А”
108
#ли, что то же, “из А логически следует В”, где Л и В формулы полуинтерпретированного языка классической логики.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. А\= В Е.Т.Е. t=(Az>B).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть Г ("гамма") - любое множество формул, возможно пустое, а также и бесконечное, тогда:
а)	для непустого Г-ГЬ= В Е.Т.Е. в Г имеются высказывания Аь Д2,..., Ат(т > 1) такие, что Ар&А2&...&Ат1= В при какой-нибудь расстановке скобок в конъюнкции /Ц & А2&...&Ат, при которой данная конъюнкция является формулой9.
б)	для пустого Г (т.е. Г = 0) Г1= В Е.Т.Е. к= В.
Как видим, логическое следование определяется посредством понятия закона логики - поэтому здесь безразлично, имеем ли мы в виду формулы ЯКЛП1 или ЯКЛВ.
Нетрудно усмотреть, что в силу данного определения логического следования имеем:
для ЯКЛП1 - At= В Е.Т.Е. если Т(А/£)ф£), то
T(B/Dtys) для любых D, ф, 5;
для ЯКЛВ - А1= В Е.Т.Е. если T(A/v), то T(B/v)
для любого V, т.е. для любых распределений истинностных значений по пропозициональным переменным формул {А, В}.
Поскольку следование между А и В имеет место только в том случае, когда оно имеет место для любых высказываний DysA и £>ф$В, образуемых из логических форм А и В, постольку наличие этого отношения между высказываниями не зависит от их конкретных содержаний, а детерминировано лишь их логическими содержаниями.
Как для формул ЯКЛП1, так и для формул ЯКЛВ, вместо выражения ГЬ= В, в случае конечного Г, состоящего, например, из Bb В2,..., Bh естественно писать Вх,В2,...,Вк\= В, имея в виду, что порядок расположения посылок Вь..., Вк здесь не существенен (поскольку в множестве не учитывается порядок расположения элементов). Это позволяет употреблять запись Г1= В, допуская, что Г может трактоваться и как множество и как последовательность, причем в последовательности нет повторений одних и тех же посылок. А если повторение в каком-то случае возникает, то оно может устраняться. Говоря обобщенно, при применении записей такого вида допускаются любые перестановки посылок. В силу пунктов 2а) и 1 в определении следования имеем:
Bj,...,B>B, Е.Т.Е. t=(B1&...&B^)z>B
при любой расстановке скобок в конъюнкции В]&...&В*, ну и опять-таки такой расстановке, при которой эта конъюнкция представляет собой формулу языка.
9 Опуская скобки здесь, а в аналогичных случаях и в дальнейшем, мы используем свойство ассоциативности &, согласно которому Д& (В&0 равнозначно (4&5)&С; аналогичным свойством обладает и V- А V Ф V О равнозначно (4 V В) \/ С.
109
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОТНОШЕНИЯ ЛОГИЧЕСКОГО СЛЕДОВАНИЯ
(классической логики)
I.	А1= А - рефлексивность следования. Получается из пункта I определения следования с учетом h= A z> А; последнее 0= А о А) предлагается доказать читателю.
II.	Другим свойством этого отношения является отмеченная выше независимость отношения следования от порядка расположения посылок - перестановочность посылок.
III.	Следующее важное свойство состоит в том, что если есть ГЬ= В, то есть также отношение At= В, где А ("дельта") - любое расширение множества Г (за счет добавления новых формул). Истинность этого утверждения легко усмотреть из определения ГЬ= В: если в Г есть упомянутые в определении следования высказывания Аь..., Ат, то они есть, конечно, и в более широком множестве А. Это свойство называется монотонностью следования. Его иногда выражают в виде правила: если ГЬ=В, то А,П=В, понимая при этом Г как некоторую последовательность посылок (или {А} и Г вместо А, Г, если Г есть множество формул).
IV.	Транзитивность следования:
Если П= В и В, At= С, то Г u At= С, где Г и А - любые, возможно пустые, множества или последовательности формул; в последнем случае ГиА понимаем как Г, А - сочленение последовательностей. (Наряду с понятием пустого множества допускается и понятие пустой последовательности, которое в так называемой теории нормальных алгоритмов называют пустым словом.)
Полезно иметь в виду следующие особенности следования в классической логике (называемые иногда парадоксами следования):
I. Если h= В, то ГЬ= В при любом Г - “закон логики следует из чего угодно, т.е. из любого множества посылок”.
II. Если h В, то 1В1= А для любой формулы А и частный случай этого - для явного противоречия - из С&1СЬ=А. Эти особенности характеризуют как “из противоречия следует все, что угодно”.
* * *
Укажем две наиболее важных семантических метатеоремы.
МЕТАТЕОРЕМА 1
Ни при каких D, ф, s’ одна и та же формула С не может оказаться истинной и одновременно ложной.
Доказательство по методу возвратной математической индукции: для атомарных формул непосредственно - согласно правилам интерпретации (базисный шаг);
показываем, что из предположения, что теорема верна для формул, содержащих меньше чем п логических констант - при любом фиксиро-110
ванном п - (индуктивное предположение), следует, что она верна также для формул, содержащих п логических констант (индукционный шаг);
осуществив индукционный шаг для формул всех видов (данных в определении формулы), заключим, что наша теорема верна для любого и, т.е. верна вообще.
Допустим, что фигурирующая в метатеореме формула С имеет вид А В. По индуктивному предположению теорема верна для формул А и В, каждая из которых содержит число констант меньше чем п, поскольку во всей формуле по предположению имеется п констант. Рассуждая “от противного” (для оправдания индуктивного шага), предположим, что при каких-то D, ф, 5 наша формула истинна и одновременно ложна. Истинность ее означает, что F(A/D<ps) или T(B/Dq>s), а ложность означает T(A/Dys) и F(BIDys). Но, как видим, последнее находится в противоречии с каждой из двух возможностей для истинности А zd В.
УПРАЖНЕНИЕ
Осуществите доказательство метатеоремы для формул остальных видов с применением метода возвратной индукции.
МЕТАТЕОРЕМА 2
Формула А универсально общезначима Е.Т.Е. отрицание формулы А (~|А) невыполнимо.
Положим, что А - универсально-общезначима, т.е. T(AIDys) при любых D, ф, s. Тогда предположение “от противного” о выполнимости "U - существуют D, ф, s такие, что T(]A/Dtys) - противоречит предположению, что А - универсально-общезначима (с учетом метатеоремы 1, поскольку T(]A/Dq>s) Е.Т.Е. F(A/Dq>s)).
ПРИМЕР СЕМАНТИЧЕСКОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВА УНИВЕРСАЛЬНОЙ ОБЩЕЗНАЧИМОСТИ ФОРМУЛЫ Зх(Р(х) z> э Q(x)) zd (VxP(x) ZD BxQ(x)):
Для доказательств подобного рода необходимо вспомнить правила приписывания истинностных значений формулам ЯКЛП1 (см. § 14).
Рассуждая “от противного” т.е. предполагая, что при некоторых £>, ф10 данная формула ложна, по пункту 2' упомянутых правил имеем:
1. Т(Эх(Р(х) zd 2(х)/£>ф)) для каких-то D, ф и
2. F(Vx(P(x) zd Зх£?(х)/£>ф)) для тех же D, ф.
Первое означает, по пункту 7, что для какого-нибудь а,- Т(Р(ад zd э <2(<Я/)/Оф). Это, по пункту 2, означает F(P(at)/Dq>) или T(Q(ai)/Dy).
Второй случай, по пункту 2', означает TQixP(x)IDy) и Г(3х2(х)/Оф). Из этого, по пункту 6, получаем T(P(a^!D^) (если формула истинна для
10 Функция 5 здесь, естественно, опускается, поскольку в исследуемой формуле нет свободных переменных.
111
всякого х, то истинна и для а$ и, по пункту 7', - F(Q(ai)/D(^). Последнее (ложность консеквента исходной формулы) находится в противоречии с обеими возможностями для истинности антецедента исходной формулы, что, в свою очередь, указывает на то, что не могут быть предположены D и ф такие, при которых наша формула ложна, следовательно, она универсально-общезначима.
Существенным свойством логики, реализованной в некотором языке, является ее разрешимость или неразрешимость относительно общезначимости. Логика (логическая система) является разрешимой, если и только если существует эффективная процедура (алгоритм), позволяющая для любой формулы языка решить вопрос, является ли она общезначимой. В противном случае логика неразрешима.
Относительно понятия разрешимости имеется существенная разница между логикой высказываний и предикатов: первая является разрешимой (см. § 20), вторая не является таковой - для логики предикатов могут быть указаны лишь некоторые полуразрешающие процедуры (см. § 39).
§ 18.	Основные понятия классической догики в семантике возможных миров
Все введенные в предыдущем параграфе понятия классической логики могут быть выражены другим способом, а именно в семантике возможных миров. Эта семантика имеет широкое применение в модальной логике, но все чаще применяется также и в классической логике высказываний и предикатов.
Структуру {Д, ГТ), в которой интерпретируются выражения языка, в некотором смысле можно назвать возможным миром. Это, по существу, то, что Р. Карнап называл описанием состояния, а теперь характеризуется как описание некоторого возможного мира. Описание миров осуществляется средствами принятого языка и с использованием лишь его синтаксической части.
Следуя Р. Карнапу, это описание можно определить как непустое множество формул вида P"(bx,...,bn), где означает наличие или отсутствие отрицания. Иначе говоря, каждый элемент этого множества - или атомарная формула языка, или отрицание таковой; обобщенно элементы объединения множества атомарных формул и множества их отрицаний называют литералами. При этом одна и та же атомарная формула не может входить в множество одновременно без отрицания и с отрицанием - онтологическая непротиворечивость мира.
Возможные миры - это некоторый фрагмент или временное состояние действительного мира, или, например, мира чисел, или некоторые его фрагменты, возможно даже некоторые сказочные миры - все зависит от того, к какой области относятся подлежащие семантическому анализу высказывания. Предполагается, что в мире есть некоторое непустое множество индивидов - это наше множество D. В 112
описании мира ему соответствует какое-то множество индивидных символов нашего языка	^л)> которые являются именами
индивидов мира. Каждая атомарная формула P^(b}i...9bn), встречающаяся в мире, указывает на наличие в мире некоторого отношения Р* между индивидами (b}i...,bn). Наличие в мире отрицания некоторой формулы - ~\P"(bi9...9bn) - означает отсутствие в мире данного отношения между указанными в формуле индивидами (или, как мы условились говорить, наличие отрицательной ситуации, состоящей именно в том, что индивиды (Z?i,..., bn) не находятся в отношении Р”).
Множество D для некоторого мира а назовем теперь предметной областью этого мира и обозначим Da. D может быть конечным и бесконечным. Вообще, D как элемент описания мира - это есть какое-то непустое подмножество множества индивидных символов языка.
Многообразие возможных миров определяется многообразием возможных описаний их. Последнее же определяется тем, что для каждого из возможных D могут быть выбраны различные такие непустые множества предметных символов (из числа исходных символов языка), посредством которых из индивидных символов D образуются атомарные формулы. И наконец, это многообразие обусловлено также возможностью различных распределений отрицаний по атомарным формулам.
В зависимости от потребностей, например, выяснения условий выполнимости формул некоторого множества Г или логических отношений между этими формулами из Г, всегда можно ограничиться описаниями состояний с тем или иным множеством D, в котором содержатся все индивидные символы формул Г, и с использованием лишь тех предикатных символов, которые содержатся в этих формулах Г. Каждое такое описание является информативно полным по отношению к указанному множеству формул Г. Информативная полнота означает, во-первых, что в таком описании будет встречаться каждая атомарная формула (составленная из указанных символов) или ее отрицание -онтологический принцип исключенного третьего. Во-вторых, для каждой формулы из Г можно, - используя сформулированные ниже правила приписывания истинностных значений формулам в мирах, - определить, является ли она выполнимой в таких мирах или нет.
Естественно, что Г может представлять собой множество вообще всех формул языка. В каждом из таких тотальных описаний (которые могут различаться областью D и распределением отрицаний) используются все предикатные символы языка. Конечно, такое описание является бесконечным и при этом имеет лишь потенциально, а не актуально, бесконечный характер. Это означает, что мы можем без конца добавлять новые атомарные формулы или их отрицания за счет добавления все новых предикатных символов, а при бесконечности D -также и новых индивидных символов. Ясно, что в этом случае все другие описания, полные относительно каких-то множеств формул, будут являться фрагментами тех или иных тотальных описаний. Это 8 Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев, кн. I	ИЗ
обстоятельство позволяет (и часто используется) ограничиваться в семантическом анализе только указанным - тотальным описанием.
Однако удобнее употреблять введенное общее понятие описания состояния, полного относительно некоторого множества формул Г. Можно говорить также, что некоторое описание состояния является полным относительно отдельно взятой формулы А - в случае, когда оно полно относительно множества {Л}.
ПРИМЕРЫ
1.	Описание состояния {РСа.ь P(alf a2)flP(a2f ai)flP(a2f a2)f Q(ah ai), lQ(alf а2), Q(a2, щ), lQ(alf а2)}. является полным относительно формул BJqPCq, а\) и Vx2G(xi> *2)-
2.	Описание состояний {Р(а\, а\)}, как и {TP(tZi, ^i)}, являются полными относительно формул Чх\Зх2Р(хъ х2) и Эх^х2Р(хъ х2).
Существенно теперь, что понимаемый так мир, кроме того, что в нем задано £>, выполняет и роль интерпретационной функции ф по отношению к содержащимся в его описании индивидным и предикатным символам языка, а также функцию v - "означивания" атомарных формул и их отрицаний. Именно: наличие в описании мира формулы Ьп) (или	означает, что Р” есть такое отношение, а
индивидные символы Z?i,..., bn обозначают такие индивиды, что эти индивиды находятся (или не находятся) в этом мире в данном отношении11. При наличии этой интерпретации сама формула P”(Z?b..., Ь„) (или X(^b-. ЬпУУ при соотнесении ее с каким-то миром становится высказыванием, которое истинно в данном мире (или ложно) в зависимости от наличия (или отсутствия) этого отношения (в зависимости от того, имеет ли место положительная или отрицательная ситуация, которую представляет в данном мире данная атомарная формула).
Таким образом, переходя к семантике возможных миров, мы освобождаемся от необходимости введения в семантику ЯКЛП1 (см. § 14) специальных функций ф и V, а для ЯКЛВ - функции V. Но функция s должна быть сохранена для формул, содержащих свободные переменные. Однако теперь эта функция связывается с определенным миром а. Формально sA - в связи с некоторым миром а - означает результат некоторого замещения свободных переменных формулы А индивидными символами из Da. Поэтому в определении выполнимости формул, как и невыполнимости, иначе говоря, истинности или ложности формул при отнесении их к какому-то миру, вместо выражения "формула выполнима (невыполнима) при данных D, ф, 5 мы должны
11 Правда, при этом не конкретизируется, какое именно отношение приписывается предикатному символу и какой именно индивид является значением некоторого индивидного символа. Но это как раз не существенно для целей логического анализа.
114
сказать: ’’Формула выполнима (невыполнима) в мире при данном замещении ее свободных переменных индивидными символами из Da12. Впрочем, теперь правомерно говорить об истинности или ложности вместо выполнимости или невыполнимости формул в некоторых мирах, поскольку отнесение формулы, возможно, в сочетании с указанием функции s- к возможному миру,, означает уже какую-то ее интерпретацию, а значит, превращение ее в какое-то высказывание.
Запись ”Т(5А/а)" употребляется вместо "формула А выполнима (истинна) в мире а при данном 5" и "F(sA/a)" - вместо "формула А невыполнима (ложна) при данном 5 в мире а".
Правила приписывания истинностных значений формулам в возможных мирах (правила означивания формул) определим индуктивно в мирах, полных относительно означиваемых формул.
Базисный пункт - для атомарных формул:
1.	Т(М/а) Е.Т.Е. sA е а
Г. F(sA/a) Е.Т.Е. Я А е а, где А - атомарная формула.
Далее, для сложных формул:
2.	T(s(A о В)/а) Е.Т.Е. F(sAla) или
2'. F(s(A о В)/а) Е.Т.Е. T(sA/d) и F(sB/a)
3.	T(s(A & В)/а) Е.Т.Е. T(sA/a) tf^sBla)
3'. F(s(A & В)/а) Е.Т.Е. F(M/a) или FfyB/a)
4.	T(s(A v В)/а) Е.Т.Е. T(sA/a) или T\sB/a)
4'. F(j(A v B)/a) E.T.E. F(sA/a) и F(sB/a)
5.	T(s 1 A/а) E.T.E. F(sA/a)
5'. F(s 1 A/а) Е.Т.Е. T(jA/a)
6.	T(^VxA(x)/a) Е.Т.Е. T(.sA(af)/a) для любой индивидной кон
12 Заметим, что термин "полнота описания мира" наряду с данной семантической трактовкой используется в семантике возможных миров в другом - формальном смысле. Так, карнаповские описания состояний называют обычно неполными описаниями возможных миров в том смысле, что в них указывается наличие в мире лишь таких ситуаций, которые соответствуют литералам языка, и нет явных указаний на то, как обстоит дело с другими ситуациями, которые могут представлять формулы Других видов. Полными описаниями миров в этом смысле являются так называемые множества Линденбаума. Они таковы, что для любой формулы А нашего языка в любом описании мира встречается либо она, либо ее отрицание (но не обе вместе). Имеются также более полные в формальном смысле, чем карнаповские описания, но сокращенные по отношению к описаниям посредством множеств Линденбаума, - так называемые Хинтикковские множества (модельные множества - см. § 41). Множества Линденбаума, как и Хинтикковские множества, содержат в качестве фрагмента Карнаповские описания состояний. В них содержится информация относительно истинности или ложности каждой другой формулы, не входящей в эти описания. Таким образом, эти описания оказываются информационно излишними, но они удобны для доказательства некоторых метатеорем логики.
s*
115
станты а, имеющейся в а и являющейся элементом Da (т.е. для всякого индивида в данном мире); А (л,) - здесь, как и в дальнейшем, есть результат замены всех свободных вхождений х в формуле А(х) константой л,.
6'. F(sVxA(x)/a) Е.Т.Е. Г(^А(л/)/а) для какой-нибудь индивидной константы в а.
7.	T(s3xA(x)/a) Е.Т.Е. T(sA(aj)/d) для какой-нибудь константы л, в а (т.е. для некоторого индивида в мире а).
7'. F(s3xA(x)/a) Е.Т.Е. F (5А(л/)/а) для всякой индивидной константы Л/.
Теперь - в терминах семантики возможных миров - определим понятия, введенные в предыдущем параграфе.
Формула А выполнима в некоторой области D Е.Т.Е. существует мир а, полный относительно Л, с предметной областью £>а, равной D, такой, что T(sA/a) при каком-нибудь 5.
Формула А выполнима вообще Е.Т.Е. существует мир а, полный относительно Л, такой, что Т(&4/а) при каком-нибудь 5.
Формула А общезначима в некоторой области D Е.Т.Е. для всякого возможного мира а, полного относительно Л, с областью £>а, равной D, такой, что T(sAlc£) при любом 5.
Формула А у нив ер сально-общезначима (закон логики предикатов) Е.Т.Е. для каждого мира а, полного относительно Л, Т(лА/а) при любом я.
Наряду с определением логического следования (общего для логики предикатов и высказываний), данного ранее посредством закона логики, имеем - в терминах семантики возможных миров:
1а). А \=В Е.Т.Е. для каждого мира а, полного относительно множества {А, В}, и для любого 5 Ts(A о В) или
16)	. А |=В Е.Т.Е. F(sA/a) или T(sBIcl) для всякого а, полного относительно множества {А, В}, и для любого 5.
Логическое следование какой-либо формулы В из множества формул Г (Г t=B) определяется как и раньше.
СЕМАНТИКА ВОЗМОЖНЫХ МИРОВ ДЛЯ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Для семантики ЯКЛВ описание возможного мира, конечно, упрощается в связи с отвлечением от структур простых высказываний. Вместо литералов, которые являлись элементами описаний возможных миров, теперь, естественно, появляются формулы вида Д-, где р/ -какая-то из пропозициональных переменных, а знак указывает на наличие или отсутствие отрицания. Иначе говоря, описанием возможного мира применительно к ЯКЛВ является непустое множество,
116
каждый элемент которого есть пропозициональная переменная, трактуемая как формула или отрицание таковой. Но никакая пропозициональная переменная не входит в описание мира вместе со своим отрицанием. В самих мирах пропозициональной переменной р; соответствует какая-то положительная ситуация, а отрицанию ее 1р, -отрицательная ситуация (отсутствие указанной положительной).
Примеры возможных миров: {pj, {р2}, {pi,p2} и т.п.
Возможны бесконечные миры, в описание которых входит - с отрицанием или без отрицания - каждая пропозициональная переменная языка.
Каждый мир выполняет роль функции v для входящих в него формул вида Pi и lpf. Именно: если р, содержится в мире, то это означает истинность данного элементарного высказывания; наличие в мире ”|р/ указывает на ложность pf«.
Мир а применительно к логике высказываний является полным относительно некоторого множества Г формул этого языка Е.Т.Е. он содержит в качестве элементов каждую пропозициональную переменную, имеющуюся в формулах Г без отрицания или с отрицанием.
Мир а является полным относительно формулы А (ЯКЛВ) Е.Т.Е. он полон относително множества {А}.
Используем обозначения - аналогично тому, как это делалось для ЯКЛП1, - Т(А/а) и F(A/a) соответственно вместо "Истинно А в мире а" и "Ложно А в мире а".
Правила приписывания истинностных значений формулам ЯКЛВ в возможных мирах, полных относительно этих формул, принимают следующий вид:
1.	T(pila) Е.Т.Е. Pi е а
1'. F(pi/ti) Е.Т.Е. Тр/ G а
2.	Т(А о В/а) Е.Т.Е. F(A/a) или Т(В/а)
2'. F(A =э В/а) Е.Т.Е. Т(А/а) и F(B/a)
3.	Т(А & В/a) Е.Т.Е. Г(А/а) и Т(В/а)
3'. F(A & В/a) Е.Т.Е. F(A/a) или F(B/a)
4.	Т(А v В/a) Е.Т.Е. Т(А/а) или Т(В/а)
4'. F(A v В/a) Е.Т.Е. F(A/a) и F(B/a)
5.	Г(Ъ/а) Е.Т.Е. Г(А/а).
5'. F(14/a) Е.Т.Е. Т(А/а).
ПРИМЕР
Положим, нужно установить, является ли истинной (выполнимой) формула р z> |(1<? v г) в мире {р, q, 1г}.
Условие истинности этой формулы: Т(р z> 1(1<? v r)/a) Е.Т.Е.
117
(п. № 2)13 F(p/a) или Т("|("|<7 v г)/а) Е.Т.Е. (п. № 5)F(pla) или F(]q v r)/a) Е.Т.Е. (п. 4') F(p/a) или (F(^/a) и F(r/a) Е.Т.Е. (п. 5') F(p/a) или (T(qfa) и F(r/a) Е.Т.Е. (п. 1 и Т) "|р е а или (q е а и~|г g а).
Выполняется вторая возможность: в а есть q и ]г, значит формула истинна.
УПРАЖНЕНИЕ
Определите, является ли истинной или ложной формула 1(р & q) zd zd (]р v q) в мирах {р, q} и {р, 1#}.
§ 19. Схемы законов логики и правила рассуждений.
Метод эквивалентных преобразований
Схемой закона логики является выражение метаязыка, представляющее бесконечное множество законов определенного типа (каждый из которых получается заменой синтаксических переменных в этом выражении символами объектного языка соответствующих категорий).
Например, схема 3xVyA(x, у) z> Vy3xA(x, у) (где х, у- синтаксические переменные, т.е. метазнаки для предметных переменных языка, А(х, у) - метазнак для формул, которые могут содержать свободно х и у) ^представляет собой такие, например, законы, как
7	9	1	1
Зх^х2Р}(х, у) => Vx23xIP1(x, у),	& б!(х3)) => Vx33x2(P j(xi) &
& <2'(*3)) и т.п.
В схемах законов мы используем схемы формул. Собственно, мы уже употребляли схемы законов и схемы формул, например, в определении правил приписывания истинностных значений формулам, в определении отношения логического следования. Схемы формул представляют бесконечное множество формул - логических форм высказываний. В такой схеме выделяется та часть логического содержания отдельных формул, которая существенна для связей, выражаемых законами данного типа (представленных данной схемой законов).
Есть определенная связь между импликацией в схеме закона логики и отношением следования (на которую указывает определение следования), а тем самым и между схемами законов импликативного вида и правилами выводов. А именно каждой схеме закона вида A zd В соответствует логическое следование A t= В и правило рассуждения
А
(вывода) — , позволяющие из высказывания вида А выводить выска-в
зывание вида В (от истинности А заключать к истинности В). Схеме закона вида /Ц zd (А2 => — (Ат ^)...) соответствует схема следования а	I	Ai,...,Ат
А ь..., Ат t=B и правило вывода------.
13 В скобках будем указывать соответствующий пункт из правил приписывания истинностных значений формулам ЯКЛВ.
118
Множества законов и даже схем законов, а тем самым и возможных правил вывода бесконечны. Однако в современной логике найден способ перечисления, а тем самым в определенном смысле и способ обзора всех возможных законов и форм вывода. Этот способ составляет, по существу, суть логических исчислений. Он состоит в построении аксиоматических теорий, при котором первоначально выделяется некоторое конечное множество схем или законов и правил вывода и определяется способ выведения из них всех других законов и обоснования всех возможных правил. Такие системы называются, как уже говорили, логическими исчислениями. О них речь впереди^ Однако здесь уже, т.е. в рамках описания логики языка, уместно указать особую форму рассуждений, которая называется рассуждением посредством эквивалентных преобразований формул (имеющих определенное логическое содержание, поскольку речь идет о формулах полуинтерпретированного языка; в логических исчислениях мы отвлекаемся и от этого содержания формул). Это, в свою очередь, предполагает понятие "отношение логической эквивалентности", которое играет большую роль в логике наряду с отношением логического следования.
Как и отношение логического следования, мы определим его также посредством понятия закона логики. Предварительно расширим наш язык и введем - посредством определения - новую бинарную связку -эквиваленцию и, соответственно, новый вид формул: А~В. В естественном языке высказыванию такого вида соответствует: "А если и только если В". В нашем языке А~В по * определению понимаем как сокращение для (А о В) & (В о А).
Если теперь для некоторых ситуаций, обусловленных логическими содержаниями А и В, имеет место рА ~ В, то между высказываниями А и В имеем как раз указанное отношение логической эквивалентности. Для метаутверждения о его наличии употребляется обычно запись А н В. По определению А = В Е.Т.Е. t=A ~ В.
Из определения эквиваленции в сочетании с понятием универсальной общезначимости t=A ~ В означает просто наличие двустороннего следования: из А следует В (A к В) и из В следует А (В t= А).
Если же формула А - В выполняется лишь для некоторых D, ср, 5 (т.е. Т(А -B/Dys) лишь при каких-то /),ф,^), то имеет место отношение фактической эквивалентности, наличие которого означает истинность при данных £), ф, 5 АоВиВоА. Фактическая эквивалентность означает, иначе говоря, что А и В имеют - при соответствующих D, ф, 5 - одинаковые истинностные значения, т.е. при данных D, ф, 5 высказывания А и В либо оба истинны, либо оба ложны:
Т(А/Оф5) и Т(В/В>ф5) или F(A/Dq>s) и В(В/£>фД
В этом случае естественнее употреблять выражение "равнозначные высказывания". Равнозначными являются, например, высказывания арифметики "Число W делится на 6" и "Число N делится на 2 и на 3” или геометрии "Данный треугольник является прямоугольным" и "В данном
119
треугольнике квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других сторон".
Для отношения равнозначности (фактической эквивалентности) употребляют обычно тот же знак ' с добавлением, когда это не видно из контекста, что отношение имеет фактический характер.
Выделение отношения логической эквивалентности в качестве специального отношения между высказываниями оправдывается хотя бы уже тем, что имеется, как уже говорили, специальная форма рассуждений - рассуждений посредством эквивалентных преобразований. В таких рассуждениях мы, исходя из некоторых установленных эквивалентностей, получаем новые эквивалентности, пользуясь формулируемым ниже правилом замены эквивалентных (правило эквивалентной замены).
В числе исходных логических эквивалентностей - общих как для логики высказываний, так и для логики предикатов, - полезно зафиксировать следующие:
I. Взаимовыразимость логических связок
1. (Az>B)~(Ta vB) 3. (А&В)~Т(Та vTb)
2. (A z> B) ~ 1(A & Tfi) 4. (A & B) ~ T(A z> Tfi)
5.	(A v В) ~ T(Ta & ТВ)
6.	(A v в) ~ (Ta z> b).
П. Законы образования контрадикторной противоположности
7.	Т(А & в) ~ (Та v Тв)
8.	Т(а V В) ~ (14 & Тв)	Законы де м°Ргана
9.	Т(А => В) ~ (А & ТВ)
10.	ТТа ~ А	Закон снятия и введения
двойного отрицания.
Ш. Законы для импликации
11.	(А о В) ~ ("|в о ]А)	Закон простой (слева-направо)
и сильной (справа-налево) контрапозиции
12.	(А о (В о С)) ~ (5 з (A d С))	Закон перестановки условий
(антецедентов)
13.	(А о (В о С)) ~ ((А & В) z> С) Закон импортации и экспортации (объединения и разъединения условий).
IV. Свойства & и v
14.	((А&В)&С)~(А&(В&С))1
,, к _ ,к „ г Ассоциативность & и v
15.	((AvB)vC)~(Av(BvC))J
16.	(А&В)~(В&А)1
1^7/4 d\ /о Axf	Коммутативность & и v
17.	(AvB)~(BvA)l
120
18. (A & (В v С)) ~ ~ ((А & В) v (А & С))
19. (A v (В & С)) ~
~ ((A v В) & (A v С)) 20. (А&(А v В)) ~ А) 21. (Av(A&B))~Aj 22. (А & (В v 1В)) ~ А
23. (A v (В & 1В)) ~ А
24. А&Истина ~А
21. А&Ложь ~ Ложь
26. A v Истина ~ Истина
27. A v Ложь ~ А
Дистрибутивность & относительно v
Дистрибутивность V относительно &
Законы поглощения
Закон исключения истинного члена (В v ~|В) из конъюнкции
Закон исключения ложного члена (В & "|В) из дизъюнкции
Обобщение закона 22
Обобщение закона 23.
Полезно также добавить здесь законы, не содержащие импликации, которые в традиционной логике включали в число основных (хотя они непосредственно не определяют даже каких-либо правил вывода):
28. (A v 1А)	закон исключенного третьего
29."|(А & 1А)	закон противоречия.
Поскольку приведенные выше формулы мы характеризуем как законы, постольку перед каждой из них подразумевается знак к Каждое выражение, будучи схемой некоторого закона, представляет бесконечное множество законов вида эквивалентности (кроме, как сказали, 28 и 29). Составляющие этих формул (А, В, С) могут быть как формулами ЯКЛВ, так и ЯКЛП1. Каждая схема эквивалентности вида А ~ ~ В, как это ясно уже из предыдущих разъяснений, содержит в себе две схемы законов импликативного вида: (А эВ) и (Вз Л)14, а каждой из
А них соответствует некоторое правило вывода ~ и
В
В
А ’
ПРАВИЛО ЗАМЕНЫ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ формулируется А=В
обычно в виде ~, где СА означает некоторую формулу, в ко-Сд = Св
торой, возможно, имеются вхождения А.СВ- результат замены каких-либо из вхождений А формулой В. Конечно, СА может совпадать с самим А - тогда Св есть В15.
14 Это отражается иногда и в названии схемы, например, "закон снятия (слева-направо) и введения (справа-налево) двойного отрицания" № 10.
15 Существует более общая формулировка этого правила, в которой выражение А = В означает, возможно, также и отношение фактической эквивалентности. Но нас интересуют здесь эквивалентные преобразования лишь на основе логической эквивалентности.
121
Практически более удобной для осуществления эквивалентных преобразований некоторой формулы является следующая формули-
Са,А=В „ ровка того же правила: -------. На основе эквивалентности
(р о q) = (]р v q) (A s В) по только что указанной формулировке правила замены эквивалентных из ((р о q) о г)(Сл) можем получить ((~|р v q) z> г). Далее, используя эквивалентность ((]р v g) г) == = (1(1р v q) v г), переходим от предыдущего высказывания к последнему.
В первом применении правила замены роль Л, очевидно, играла р о q, а В - (\р v q). Во втором применении А (оно же Сл) есть (]р v q) о г, <а В (оно же Св) есть |(1р vq)vr. Очевидно, что обе эквивалентности, которые мы здесь использовали, представляет одна и та же схема: (А => В)-= (14 v В).
В процессе осуществления эквивалентных преобразований часто используют именно схемы - без специального выделения их частных случаев. Тогда некоторая данная схема преобразований представляет бесконечное множество преобразований тех или иных формул указанных видов.
Следующая последовательность преобразований представляет собой схему эквивалентных преобразований:
1.1(А э (В => (С v 1D))) = А & 1(Я => (С v V»)
2.	А & 1(В z> (С v 1D)) = А & В & 1(С v D)
3.	А & В & 1(С v D) = А &/В. & 1С & Т|О
4.	А & В & 1С & W = А &В SilC&D.
Из этого примера видим, что законы образования контрадикторной противоположности (эквивалентности 7—10) указывают правила образования для некоторой формулы А таких формул, которые эквивалентны ее отрицанию, - контрадикторно-противоположны ей. Из этого же примера ясно, что таких формул для некоторой данной формулы может быть несколько. Одна из них - последняя - заслуживает особого внимания тем, что отрицания в ней относятся уже только к элементарным составляющим ее, - это, если можно так выразиться, "максимально позитивная" формула из числа контрадикторно-противоположных данной - стоящей под отрицанием - формуле (первая)16. * 14
16 Отношение контрадикторной противоположности наряду с отношениями логического следования и эквивалентности играет существенную роль в познавательных процессах (см. §§ 70, 98).
Некоторая формула А и контрадикторно-противоположная ей - эквивалентная
14 - ни при какой интерпретации не могут быть обе выполнимы и обе не выполнимы, т.е. при любой интерпретации получающиеся из них высказывания не могут быть оба истинными и оба ложными.
122
Глава 6
КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ; АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
С основными понятиями логики высказываний, общими у нее с логикой предикатов, мы ознакомились в предыдущей главе. Таковы понятия логического следования, тождественно-истинной формулы (закона логики), тождественно-ложной и выполнимой формулы. В этой главе мы рассмотрим некоторые специфические для логики высказываний методы анализа отношений между высказываниями ее языка и способы решения ряда логических задач: обзор возможных следствий и гипотез для некоторого множества высказывании, обзор простых следствий и гипотез, минимизацию истинностных функций и тш.
Как уже было сказано в предыдущей главе, все отношения между высказываниями классической логики сводятся к отношению логического следования, т.е. определимы посредством этого отношения, а решение вопроса о наличии или отсутствии отношения логического следования можно всегда свести к вопросу о том, является ли некоторая формула законом логики. Для решения этого вопроса имеются определенные способы - так называемые эффективные процедуры, процедуры алгоритмического характера. Речь идет о приемах, представляющих собой совокупности определенных предписаний, позволяющих для любой формулы решить вопрос, является ли она законом логики или не является таковым. Это, как мы уже говорили, так называемые разрешающие процедуры. И в силу наличия таковых сама логика высказываний является разрешимой системой, тогда как логика предикатов не является таковой.
§ 20.	Разрешающие процедуры для логики высказываний (истинностные таблицы, нормальные формы, аналитические таблицы)
Разрешимость или неразрешимость относительно понятия закона логики - для логики высказываний относительно тождественной истинности формулы - является одной из наиболее важных характеристик логической системы. Для логики высказываний существует несколько разрешающих процедур. Одну из них представляет табличный способ определения истинностных значений формул.
В основе этого метода лежит табличное определение логических связок, в котором явно указывается, каким образом зависит истинностное значение формул от значений их составляющих; для формулы "Id главная составляющая (подформула)-А, для формулы А о В и аналогично для других формул с бинарными связками - это Аи В.
Таблица для отрицания: А I |А
И	Л
Л	И
123
Для других (бинарных) связок:
А	в	А&В	AvB	А о В	А~В
И	и	И	И	И	И
И	л	Л	И	Л	Л
Л	и	Л	И	И	Л
Л	л	Л	Л	и	И
На основе этих определений имеем возможность - также табличным образом - определить истинностное значение любых формул в зависимости от истинностных значений содержащихся в них пропозициональных переменных. Таблица имеет две части - входную и выходную. Входная часть содержит перечень всех пропозициональных переменных, содержащихся в формуле или в множестве формул - при выявлении отношений между составляющими его формулами, - и все возможные распределения истинностных значений по этим переменным. Каждое такое распределение - строка таблицы (функция v). В выходной части таблицы определяется значение исследуемых формул при соответствующих распределениях истинностных значений по пропозициональным переменным, т.е. в каждой строке таблицы. При определении истинностного значения сложной формулы она разбивается на подформулы (составляющие), содержащие какие-то логические связки (т.е. не элементарные формулы), и значение ее вычисляется последовательно, - начиная с подформул наиболее глубоких вхождений (не считая элементарных) до главных ее подформул и, наконец, самой формулы на основе значений главных ее подформул.
Например, требуется определить, является ли законом - тождественно-истинной формулой - логики высказываний формула
Pi =) ((К & Vi) =>Р1)-
Необходимая для решения вопроса таблица имеет вид:
Р1	Р2	1pi	К	K&1pi	(1Р2&1Р1)=>Р1	Pi=>((1p2&1pi)=> Pi)
и	и	л	л	л	и	и
и	л	л	и	л	и	и
л	и	и	л	л	и	и
л	л	и	и	и	л	и
Входная	Значение подформул	Значение всей формулы
часть таблицы
Выходная часть таблицы
Как видим, исследуемая формула принимает значение И при любых V, т.е. во всех строках таблицы. Это значит, что вопрос, является ли анализируемая формула законом логики, решается положительно.
Поскольку число пропозициональных переменных может быть более или менее значительным (хотя и всегда конечным), полезно иметь 124
способ перечисления всех возможных распределений истинностных значений по данным переменным. Он может быть таким. Прежде всего надо определить число возможных распределений значений для данного перечня переменных, т.е. число всех возможных строк в таблице. Естественно, оно зависит от количества переменных и определяется числом 2Л, где п - число попарно-различных переменных. При двух переменных мы имели 4 строки, при трех их было бы 8, при четырех -16 и т.д. Ясно, что при значительном числе пропозициональных переменных нужно иметь какой-нибудь способ перебора всех возможных распределений истинностных значений по ним - в противном случае какие-то строки могут быть упущены, а другие повторяться. Можно рекомендовать следующий довольно простой принцип: выписываем возможные значения для каждой переменной в соответствующем ей столбце таблицы, начиная с последней; для нее принимаем последовательность значений ИЛИЛИЛИЛИ и т.д. до последней строки, т.е. чередование И и Л идет через одну строку, начиная с И. Для предпоследней переменной чередование идет через 2 строки, опять-таки начиная с И: ИИЛЛИИЛЛИИ и т.д. также до последней строки. Для предшествующей переменной чередование уже через 4 строки, далее через 8, 16 и т.д. (если, конечно, имеется соответствующее число переменных) и, наконец, в первом столбце входной части таблицы половина числа 2п идет И, а вторая половина состоит из знаков Л. Например, для 4-х переменных входная часть таблицы будет иметь вид1:
Р\	Р1	Рз	р*
И И И И И и и и л л л л л л л л	и и и и л л л л и и и и л л л л	и и л л и и л л и и л л и и л л	и л и л и л и л и л и л и л и л
1 Здесь мы применяем лексикографический способ перебора строк таблицы. Задача определения числа возможных строк, а также принципа их обзора может быть обобщена применительно к последовательностям, состоящим из вообще какого-то множества элементов.
125
Установив в разобранном выше примере, что исследуемая формула Рх о (("|р2 & Ipi) Pi) является законом логики, мы фактически решили и вопрос о наличии случаев следования:
1-Р1 1=(('|р2^¥1)=>/’1 И
2.	Pi, ~\р2 & Ipi 1=Рь что явствует из установленной ранее связи между понятиями логического закона и логического следования.
Однако сведение решения вопроса о следовании к понятию закона логики полезно теоретически, но практически не всегда удобно. Более коротким может быть непосредственное его решение. Чтобы непосредственно решить вопрос, следует ли из высказываний - посылок -А],..., Ат высказывание - заключение - В, не сводя его к понятию закона логики, надо учесть лишь, что некоторое высказывание следует из какого-то множества посылок тогда и только тогда, когда не возможен случай (отсутствует строка таблицы) такой, что все посылки истинны, а заключение ложно.
УПРАЖНЕНИЕ
Убедитесь по построенной таблице, что как для 1-го, так и для 2-го из указанных случаев следования, при истинности посылок истинно заключение в каждой строке таблицы (т.е. нет таких строк, где были бы истинны посылки и ложно заключение).
К вопросу о наличии или отсутствии следования сводится решение задачи о правильности некоторого рассуждения.
Рассуждение, в котором человек выводит некоторое высказывание В из множества высказываний Г, правильно, Е.Т.Е. Г \=В.
Надо, например, решить вопрос, правильно ли рассуждение: "Если человек говорит неправду, то он заблуждается или сознательно вводит в заблуждение других, но этот человек, говоря неправду, явно не заблуждается, значит, он сознательно вводит в заблуждение других".
Выявим логическую форму этого рассуждения. Для этого введем обозначения: "человек говорит неправду"- рь "человек заблуждается" - р2, "человек сознательно вводит в заблуждение других" - р3. Тогда посылки нашего рассуждения имеют форму рх о (р2 v Рз),Р1 & 1р2, а заключение рассуждения - р3. Рассуждение правильно, если имеет место следование р\ о (р2 v р3), рх & ~\р2 t=p3. Проверьте по таблице, имеет ли место это отношение логического следования?
Вопрос о правильности этого - довольно простого - рассуждения можно решить, конечно, и интуитивно. Попробуйте, однако, решить следующую задачу:
Работа некоторого автоматического устройства (имеющего механизмы р, q, г) удовлетворяет условиям: если не срабатывают механизмы р или г или оба вместе, то-срабатывает q\ если срабатывают р или q или оба вместе, то не срабатывает г. Можно ли отсюда заключить, что если срабатывает механизм г, то срабатывает и р?
126
Сначала попытайтесь решить задачу, используя вашу интуицию, потом примените точный, табличный метод ее решения.
Во многих случаях вопрос о тождественной истинности формулы может быть достаточно просто решен сокращенным методом: мы пытаемся подобрать значения переменных формулы так, чтобы она приняла значение "Л”. Если это не удается^ формула тождественно истинна. Аналогично действуем со схемами формул, подбирая значения их элементарных составляющих. Так, стремясь сделать ложной схему ((А zd В) & (A zd С)) zd (А zd (В & С)), а тем самым и какие-либо из формул, которые она представляет, ложными, мы должны положить В = Л или С = Л, а А = И, чтобы сделать ложным консеквент исходной схемы. Но в любом случае при этом оказывается ложным ее антецедент. Значит, схема не может иметь значения "Л".
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Используя табличный метод, решите вопрос а) являются ли законами логики:
а)	р (q zd р); (р v q) zd р; р v Ip; ((р zd q) & (г zd;1s) & (]q v 5)) zd zd (Ip v lr).
б)	имеет ли место отношение следования f]p z> q) из (1# zd p); (q v 5) из множества следующих посылок (р zd q) (г zd 5), (р & г).
2.	Решите последнюю задачу предшествующего упражнения, используя сокращенный метод.
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ, . КРИТЕРИИ ТОЖДЕСТВЕННОЙ ИСТИННОСТИ И ЛОЖНОСТИ
Существует и другой способ решения вопроса о тождественной истинности или тождественной ложности формул логики высказываний. Эти вопросы решаются приведением формул к так называемым конъюнктивной нормальной форме и дизъюнктивной нормальной форме соответственно. Говорят, что формула находится в конъюнктивной нормальной форме, если она представляет собой конъюнкцию (А] & А2 & ... & Ат) (т > 1; при т = 1 конъюнкция называется вырожденной), где каждый конъюнктивный член Az (1	т), т.е.
член конъюнкции, есть элементарная дизъюнкция - формула вида (Ph v pi2v--.vpik) (k 1), где каждое pis (1	к; при 5 = 1
элементарная дизъюнкция называется вырожденной) есть какая-то пропозициональная переменная или отрицание таковой.
Формула находится в дизъюнктивной нормальной форме, если она имеет вид (Aj v А2 v ... v Ат) т > 1 (при т = 1 дизъюнкция является вырожденной), где каждый дизъюнктивный член Ау- (1 у т), т.е. член дизъюнкции, есть элементарная конъюнкция - формула вида (p;i&Py2&...&pyjt) (к > Г, при к = 1 конъюнкция является вырож-
127
денной), каждый член которой pjs (1	5 к) есть какая-то пропо-
зициональная переменная или отрицание таковой.
ТЕОРЕМА. Для каждой формулы логики высказываний А имеется эквивалентная ей конъюнктивная нормальная форма (КНФ А) и дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ А).
Доказательство теоремы состоит просто в указании методов нахождения для любой формулы А эквивалентных ей КНФ А и ДНФ А. Процесс нахождения этих форм называется приведением А, соответственно, к конъюнктивной и дизъюнктивной нормальным формам; заметим здесь же, что для каждой формулы А имеется бесконечное множество КНФ А и ДНФ А, но для решения задач, в которых играют роль эти формы, существенно найти по крайней мере одну из них. Методы приведения А к КНФ и ДНФ представляют ряд эквивалентных преобразований А на основе некоторых (указанных выше) эквивалентностей, а именно:
1)	все подформулы А вида (В о С) заменяются на (]В v С) или на 1(В & 1С);
2)	все отрицания, стоящие над сложными подформулами, опускаются до подформул образовавшейся после первого шага формулы (по законам де Моргана);
3)	устраняются все двойные отрицания над формулами;
4)	осуществляется раскрытие всех скобок по закону дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции - при приведении к КНФ, или по закону дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции - при приведении к ДНФ.
Очевидно, что в результате выполнения всех указанных операций полученная формула имеет вид КНФ или ДНФ. (В указанных преобразованиях неявно используются также законы ассоциативности и коммутативности & и v, что проявляется в употреблении выражений вида (Bi & В2 & ... & Вп) и (В} v В2 v ... v ВЛ) без внутренних скобок, а также в отождествлении выражений В & С и С & В, различающихся лишь порядком их конъюнктивных членов; и аналогично для дизъюнкции.) Указанные операции, вообще говоря, могут осуществляться в любом порядке. Однако удобно придерживаться указанного в данном здесь перечислении, за исключением снятия двойных отрицаний (пункт 3), которые целесообразно устранять по мере их появления. Учитывая сказанное, будем рассматривать пункты 1, 2, 4 как шаги алгоритма приведения формулы к КНФ и ДНФ (не выделяя специально пункта 3 в отдельный шаг).
Пример: приведем к КНФ и ДНФ формулу А такую, что
A s ((р v I?) z> г) z> (р & г).
1.	Осуществляя первый шаг указанного метода, получаем:
1(1(р V 1<7) V г) V (р & г).
2.	В результате второго шага и снятия двойных отрицаний
128
имеем:
((р v 1<?) & 1г) v (р & г).
3.	Осуществление третьего шага с учетом ассоциативности и дистрибутивности, а также законов сокращения повторяющихся членов конъюнкции приводит к КНФ:
(р v 1<?) & (1г v р) & (р v ~]q v г) & (г v 1г).
При приведении к ДНФ вместо последнего члена эквивалентности имеем:
(р & 1г) v (1<? & 1г) v (р & г).
КРИТЕРИЙ ТОЖДЕСТВЕННОЙ ИСТИННОСТИ ФОРМУЛ: формула А является тождественно истинной, если и только если в каждом конъюнктивном члене ее КНФ (т.е. в каждой элементарной дизъюнкции, конъюнкцией которых она является) имеется какая-нибудь переменная и ее отрицание. Например, А тождественно истинна, если ее КНФ имеет вид: (р v qv Ip) & (a v "I?).
КРИТЕРИЙ ТОЖДЕСТВЕННОЙ ЛОЖНОСТИ ФОРМУЛ: фор-мула А является тождественно ложной, если и только если в каждом ее дизъюнктивном члене имеется какая-нибудь пропозициональная переменная и ее отрицание. Так, тождественно ложной является формула, ДНФ которой есть: (q & р & lg) v (р & 1g & ”|р).
Нормальные формы, как выяснится дальше, могут быть использованы для решения многих других задач логики высказываний.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Привести к КНФ и ДНФ следующие формулы:
а)	(р v г) z> {(q & V) z> р)
б)	(р D р) э (Ь? => (р v г))
в)	(р => f) z> "к? =) (д v г)).
2.	В семье есть договоренность относительно пользования телевизором на субботние вечера:
а)	если не смотрит отец, то смотрит дочь и не смотрит мать;
б)	если не смотрит дочь, то смотрит мать и не смотрит отец;
в)	если смотрит отец, то не смотрит дочь.
Определите, осуществима ли такая договоренность, т.е. совместимы ли эти условия.
Указание: условия являются совместимыми, если их конъюнкция не является тождественно-ложной.
9 Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев, кн. I
129
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ ДЛЯ ФОРМУЛ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ1
Еще одна разрешающая процедура, которая здесь будет описана, является, по существу, некоторым уточнением указанного выше сокращенного метода установления тождественной истинности формул. Анализ некоторой формулы А мы начинаем также с предположения, что при каком-то распределении истинностных значений по ее пропозициональным переменным формула А ложна. Предположения об истинности или ложности какой-нибудь формулы С будем ,обозначать соответственно как "ТС” и "FC” и называть выражения этого рода отмеченными формулами. Дальнейший анализ формул осуществляется по указанным ниже правилам, соответствующим семантическим условиям истинности и ложности формул ЯКЛВ, которые представляют собой правила построения аналитической таблицы для анализируемой формулы. Аналитическая таблица для формулы А есть непустая последовательность множеств {Sb ..., £„}, называемых конфигурациями, где п > 1 и Si (i = 1, 2, 3 ...) есть множество отмеченных формул. Исходной конфигурацией при построении аналитической таблицы для формулы А является {{FA}}, а каждое следующее множество получается из предыдущего по какому-нибудь из правил.
ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ТАБЛИЦ
Каждое правило непосредственно применяется к какой-нибудь формуле множества Sz отмеченных формул в составе некоторой конфигурации. Это множество с указанием выделенной формулы естественно записать в виде {Гр UC, Г2}, где ”£/” есть Т или F, a "UC" есть выделенная отмеченная формула, к которой применяется правило, и Гь Г2 - последовательности подмножества формул нашего множества, которые - каждая или обе - могут быть пустыми (как, например, в множестве - единственном - исходной конфигурации).
В результате применения правила к какой-то отмеченной формуле ТА или FA эта формула преобразуется за счет исключения из А некоторой логической константы, представляющей собой главную операцию в А. В соответствии с этим сами правила обозначаются как Т&, Tv, и т.д. При этом преобразуется, конечно, и само выделенное из некоторой конфигурации множество S, и сама эта конфигурация в целом; поэтому мы говорим при анализе вывода, что одна конфигурация получается из другой в результате применения некоторого пра-
2Излагается по: Fiting М. Intuitionistic Logic, Model Theory and Forcing. N.Y., 1969. Имеется другая форма аналитических таблиц - таблицы Смульяна, которые нетрудно выделить в составе таблиц, построенных по Фитингу. Таблицы Смульяна см.: Костюк В.Н. Логика. Киев-Одесса, 1975.
130
вйла. Итак, имеем правила:
т . {ГрГСА&ДХГг} типа,та,г2)
т_ {Г],Г(АУВ),Г2}
v' {Г1,7’А,Г2},{Г1,7»,Г2}
т . {ГрТЧА^Д),^}
{ГрМ.ГзМГрТВД
F .	(Г!,Г(А&Д),Г2)
{ГрГЛГгМГрГВ.Г,}
F. {Г],^(А у В),Г2} v’ {r1(FA,FB,r2}
F ; {ГрГ(АэД),Г2} °' {Г1(ТА,^В,Г2}
г. {Г!,Г1А,Г2}	f. {Г„Жг2}
Т {Г1(ГА,Г2}	Т {ГрТАГг) ’
Множество отмеченных формул в составе некоторой конфигурации называется замкнутым, если среди его элементов встречаются ТС и FC (очевидно, что такое множество представляет невыполнимые условия ложности анализируемой формулы). Множество называется исчерпанным, если оно замкнуто или ни к какой из составляющих его отмеченных формул не применимо ни одно из правил. Построение таблицы завершается, когда получается конфигурация, в которой каждое множество является исчерпанным. Аналитическая таблица является замкнутой, если каждое множество отмеченных формул ее последней конфигурации является замкнутым. Формула тождественно-истинна, если ее аналитическая таблица замкнута. В противном случае незамкнутые множества последней конфигурации указывают условия ложности данной формулы.
ПРИМЕР 1: построение таблицы для формулы (р zd q) zd (]р V ^)*
1-	{И((р =><?)=> (1р V tf))D - исходная конфигурация
2.	[{Т(р => q), F(lp у з)}} - из 1 по
3.	{{Т(р =><?), Flp.F,?}} - из 2 по Fv
4.	{{Т(р zd q), Тр, Fq}} - из 3 по Е^
5.	{{Fp,Tp,Fq}, {Tq,Tp,Fq}}-из 4 по 7^.
Таблица замкнута, следовательно, исходная формула тождественно-истинна.
ПРИМЕР 2: построение аналитической таблицы для формулы (pz>r)=>((p Vtf)z>r):
1.	{{F((p zd г) zd ((p V <Г) r))}} - исходная конфигурация
2.	{{T(p zd r), F((p V Q) =>r)}} - из 1 по правилу F^
3.	{{T(pzD r), T(p\J q),Fr}] - из 1 по правилу F^
4.	{{Fp, T(p V q\ Er}, {Tr, T(p V q),Er}} - из 3 по правилу
5.	{{Fp,Tp,Fr}, {Fp,Tq,Fr}, (Tr,Tp,Fr}, {Tr,Tq,Fr}} - из 4 по правилу Tv (дважды).
9*
131
Таблица незамкнута, следовательно, исходная формула не является тождественно-истинной. Условия ее ложности: Fp, Tq, Fr.
УПРАЖНЕНИЯ
Методом аналитических таблиц установить, являются ли следующие формулы тождественно-истинными. В случае, если формула не тождественно-истинна, указать (по таблице), при каком распределении истинностных значений по ее переменным формула ложна: 1) ((р V я) э г) z> (1г z> 1р); 2) ((/>&</) э г) о (<? э г); 3) (р => q) z> ((р V г) о => (<7 V И)-
§ 21.	Совершенные нормальные формы
Для решения многих задач логики, в особенности логики высказываний и рассматриваемой далее алгебры высказываний, существенную роль играют особого вида нормальные формы, в частности - совершенная конъюнктивная и совершенная дизъюнктивная нормальные формы.
Как было сказано выше, приведение некоторой формулы А к КНФ и ДНФ не является однозначным. Формула А имеет, вообще говоря, бесконечное множество эквивалентных ей ДНФ и КНФ. И каждую такую КНФ и ДНФ мы считаем КНФ и ДНФ этой формулы. Иначе говоря, выражения "КНФА" и "ДНФА" являются общими именами для конъюнктивных и дизъюнктивных нормальных форм формулы А. Однако есть нормальные формы, называемые совершенными, - совершенная КНФ (СКНФ) и совершенная ДНФ (СДНФ) - такие, что для каждой не тождественно-истинной и не тождественно-ложной формулы А существует единственная эквивалентная ей формула того и другого вида.
Некоторая формула находится в совершенной КНФ, если и только если она представляет собой КНФ, в которой:
1.	Отсутствуют конъюнктивные члены, в которые входит какая-нибудь переменная вместе с ее отрицанием (т.е. отсутствуют тождественно-истинные члены);
2.	Все конъюнктивные члены (конъюнкты), а также все дизъюнктивные члены внутри каждого конъюнкта, попарно различны (т.е. нет повторений тех и других);
3.	Все конъюнктивные члены (конъюнкты) составлены из одного и того же множества переменных.
Напомним, что порядок вхождения пропозициональных переменных в каждом конъюнкте, как и самих конъюнктов во всю форму, не учитывается; что означает: два конъюнктивных члена, различающиеся только порядком вхождения переменных, отождествляются.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) определяется двойственным образом.
СДНФ - это ДНФ, в которой нет тождественно-ложных членов, нет повторений как дизъюнктивных членов (дизъюнктов), так и конъ-132
ФИКТИВНЫХ внутри каждого из дизъюнктов, и все дизъюнкты составлены из одного и того же множества пропозициональных переменных.
Примером СКНФ может служить формула (p\/q\/r)& &(p\Zr\/q)&(r\/q\/p), а формула (p&q&r) V (p&r&q) V (r&q& р) находится, очевидно, в форме СДНФ.
Для удобства устранения возможных повторений внутри дизъюнктов полезно все пропозициональные переменные в дизъюнктах и конъюнктах располагать в одном и том же порядке. Ясно, что это позволяют нам сделать законы коммутативности & и V- Договоримся также по мере надобности при представлении формулы в СКНФ опускать знак V, а в СДНФ - знак &. Используя язык КДО (&, V, I)3, при прочтении формул по наличию имеющегося знака (& или V) нетрудно догадаться, какой знак опущен. С учетом сказанного приведенные примеры СКНФ и СДНФ предстанут, соответственно, в виде:
pqr&, pqr&, pqr и pqr \/ pqr \/ pqr.
Так же как для КНФ и ДНФ мы вводили относительные понятия КНФЛ и ДНФЛ, введем подобным образом СКНФЛ и СДНФЛ. Однако если КНФЛ и ДНФЛ рассматривались как общие имена, соответственно, для различных КНФ и различных ДНФ, эквивалентных формуле Л, то для совершенных нормальных форм полезно иметь единичные соответствующие понятия - СКНФЛ и СДНФЛ. Это значит, что для каждой - при этом не тождественно-истинной - формулы Л выделяется единственная ее и эквивалентная ей совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФЛ).
Подобным же образом для каждой не тождественно-ложной формулы Л выделяется единственная ее и эквивалентная ей совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФЛ).
Процесс построения указанной единственной СКНФЛ и СДНФЛ называется приведением этой формулы Л, соответственно, к СКНФ и СДНФ.
ТЕОРЕМА
Каждая не тождественно-истинная формула А может быть приведена к СКНФ, т.е. для каждой не тождественно-истинной формулы Л может быть построена СКНФА.
Доказательство теоремы осуществляется указанием способа приведения формулы Л к СКНФЛ. Процесс этого приведения представляет собой последовательность следующих эквивалентных преобразований Л:
1.	Приводим Л к КНФ (стандартным образом - согласно указанному выше (см. § 20) алгоритму). Здесь существенно то, что в процессе приведения не применяются добавления или исключения каких-либо конъюнктивных членов, содержащих какие-нибудь переменные, не
3То есть язык конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Договоримся также, что вместо знака отрицания "1" в этом и ряде других разделов мы будем использовать знак
133
встречающиеся в каких-нибудь других членах, по законам поглощения (см. эквивалентности №№ 20, 21 § 19). Другими словами, важно, чтобы сохранялось множество переменных исходной формулы.
2.	Отбрасываем конъюнкты, в составе которых имеется какая-нибудь пропозициональная переменная вместе с ее отрицанием, т.е. отбрасываем тождественно-истинные конъюнктивные члены согласно: А & Истина = А.
3.	Устраняем повторения членов внутри дизъюнкций, а также самих конъюнктов согласно законам: А\/А=АиА & А н А. Этим, очевидно, обеспечивается попарное различие всех конъюнктивных и дизъюнктивных членов в полученном выражении.
4.	Теперь надо добиться того, чтобы множество переменных в составе каждого конъюнкта было одним и тем же. Это осуществляется операцией восполнения конъюнктивных членов: если в составе какого-нибудь конъюнктивного члена Ак нет вхождения некоторой пропозициональной переменной содержащейся в каких-либо других конъюнктах, то, заменяя его на,(Ak\/ pi), добавляем при этом также новый конъюнктивный член (АЛ\/Р/) согласно эквивалентности: А = (Ak V pi)&(Ak V р-), которая, в свою очередь, представляет результат последовательного применения двух эквивалентностей: Ak = Ak V (Pi&Pj) = (Ак V Pi)&(Ak V pj - частных случаев указанных ранее эквивалентностей (см. №№ 23, 19 § 19).
5.	Устраняем возможно возникающие при последнем преобразовании повторения конъюнктивных членов согласно эквивалентности: А&А=А.
Единственность полученной таким образом СКНФЛ следует из того, что добавление или, наоборот, исключение какой-нибудь не тождественно-истинной элементарной дизъюнкции с попарно различными дизъюнктивными членами, составленной из содержащихся в формуле А переменных, изменяет условия истинности всей формулы (и, значит, делает ее не эквивалентной А). Истинность этого утверждения будет очевидна при дальнейшем выяснении связи совершенных нормальных форм с табличными определениями формул.
ПРИМЕР
Положим, что в результате первого шага для формулы А получена КНФ:
(р V <7 V р)&р&(р V s)&(p \/r\/s\/ r)&(s V р)-
В результате преобразования по пункту 2 имеем:
(Р V V Р)& Р&(Р V-O&Gs V Р)-
Отбрасывание повторений согласно пункту 3 приводит:
(pV?)&P&(PV^)-
Осуществляя операцию восполнения (пункт 4), получаем:
(Р V <7 V -0&(Р V V s)&(p V 4 V s)&(p \Zq\Zs)&(p\/q\/ s~)&
&-(.P\/q\/s)&(p\/q\/ s)&(p \/q\/s).
134
Первый и второй член полученного выражения являются, очевидно, результатом восполнения конъюнкта (р V q) отсутствующей в нем переменной я. Предпоследний и последний член - результат восполнения (р V я) переменной q. Члены 3,4, 5, 6 - результаты восполнения конъюнкта р двумя переменными q и 5. Для восполнения в этом случае, - обратим внимание читателя, - применен сокращенный способ перебора всех возможных пар qs, qs, qs, qs, аналогично тому как осуществляется перебор различных строк таблицы в лексикографическом порядке, если учесть, что в алфавите отрицание некоторой переменной pi следует за самой р/Ф Ясно, что в случае восполнения некоторого конъюнктивного члена А тремя переменными получили бы, таким образом:
(4 V Р V q V s)&(Ak V p\Jq\/ s)&(Ak \/p\/q\/s)&
&(Ak \/ P\/q\/s) и т.д.
и, наконец, (Ак V р V Q V ^)-
Возвращаясь к нашему восполненному выражению и отбрасывая в соответствии с пунктом 5 повторяющиеся конъюнкты 1 и 2, имеем окончательно СКНФЛ: (р V Q V s)&(p V V ?)&(р V Q V
(Р\/4\/ s)&(p V q\J s)&(p V q \J s\ которая с учетом договоренности об опускании знаков \J и & имеет вид:
pqs&, pqs& pqs& pqs&,pqs&. pqs.
ТЕОРЕМА (двойственная предыдущей)
Каждая не тождественно-ложная формула имеет единственную СДНФ.
Приведение исходной формулы А к СДНФ происходит двойственным образом: исходная формула приводится к ДНФ, затем исключаются все тождественно-ложные дизъюнкты, далее устраняются все повторения как дизъюнктов, так и конъюнктивных членов в каждом дизъюнкте; наконец, осуществляется восполнение дизъюнктов недостающими пропозициональными переменными и вычеркивание возможных повторений дизъюнктов. Все преобразования осуществляются по законам, двойственным указанным в способе приведения формул к СКНФ.
Напомним, что закон, двойственный данному, имеющему вид эквивалентности и содержащий из логических связок только &, V и - (для формул логики высказываний) получается из него заменами всех вхождений & на V и V на а также Истины (И) и Ложь (Л) друг на Друга. Так, для восполнения дизъюнктов используется эквивалентность: Ак = (Ак & Pi) V (Ак & Pi).
Указанные способы преобразования КНФЛ в СКНФЛ этой формулы и, соответственно, ДНФЛ в СДНФЛ - способы восполнения - не всегда являются наиболее удобными, особенно если иметь в виду, например, компьютеризацию этого процесса.
135
Существуют более простые - по крайней мере, по идее, т.е. по характеру применяемых приемов, - способы таких преобразований. Впрочем, речь пойдет даже о более общем методе - методе приведения некоторой формулы, имеющей вид КНФ (соответственно, ДНФ) к СКНФ (СДНФ). Если сама данная формула есть КНФ некоторой формулы А, то преобразование будет состоять в нахождении СКНФ той же формулы А.
Итак, положим, мы имеем КНФ: А1&А2&...&Ат9 где т 1 . Пусть множество встречающихся в ней пропозициональных переменных есть {pZ] t-.-tPi }. Для приведения ее к СКНФ выпишем в упоминавшемся ранее лексическом порядке все слова вида Д*... Д*, где Д есть либо р-. либо Д., которые и являются знаками алфавита. Число таких попарно-различных слов, как мы знаем, есть 2 .
Теперь для каждого члена As (т > s 1) данной КНФ отмечаем -положим, подчеркиваем, - те из выписанных слов, в которых он содержится в качестве части, если рассматривать его просто как множество членов соответствующей элементарной дизъюнкции. Тогда множество отмеченных слов и будет составлять множество членов искомой СКНФ.
Данная процедура (построения СКНФ) становится еще более простой - особенно, по-видимому, для компьютеризации - при упрощении способа выписывания указанных слов Д^... Д. Надо просто написать 2к раз слово p^...pik и после этого расставить отрицания в следующем порядке: в половине числа выписанных слов переменную р^ оставляем без отрицания, во второй половине - ставим над ней отрицание. р-2 не имеет отрицания в первой четверти общего количества слов и имеет его во второй, не имеет в третьей и имеет в четвертой четверти и т.д.
ПРИМЕР
Пусть исходная КНФ есть pq& pr&prs. Число возможных слов pqrs, очевидно, равно здесь 24, т.е. 16. Запишем 16 раз слово pqrs в строчку:
pqrs	pqrs	pqrs	pqrs	pqrs	pqrs	pqrs	pqrs
pqrs	pqrs	pqrs	pqrs	pqrs	pqrs	pqrs	pqrs.
Роль pf. в общем описании метода расстановки отрицаний у нас, как видно, играет пропозициональная переменная р, роль р-2 - q, а г и 5 - соответственно - р- и р^. После расстановки отрицаний указанным способом получим:
pqrs pqrs pqrs pqrs pqrs pqrs pqrs pqrs
pqrs pqrs pqrs pqrs pqrs pqrs pqrs pqrs.
Из этого видно, что чередование отрицаний у первой переменной идет через 8, у второй (д) через 4, у третьей (г) через 2, а у последней - через 1 (если же число различных переменных в какой-нибудь 136
КНФ было бы, например, равно 8, то всего слов было бы 256, а отрицания шли бы с чередованием 128 для первой переменной, 64 - для второй, 32 - для третьей, 16 - для четвертой, 8 - для пятой, 4 - для шестой, 2 - для седьмой и 1 - для восьмой).
Теперь, в соответствии с нашим методом, мы должны отметить такие из этих 16 попарно различных слов, которые содержат члены нашей КНФ pq, рг и prs в качестве своей части.
Первый член нашей КНФ pq является частью 5, 6, 7 и 8 слов. Отмечаем эти слова. Второй член рг содержится в словах под номером4 1, 2, 5 и 6, которые также отмечаем (если слово уже отмечено, то его можно не отмечать). Третий член prs в качестве части содержится в словах под номером 10 и 14, также отмечаем их. Отмеченные слова (№№ 1, 2, 5, 6, 7, 8, 10 и 14) и будут выступать в качестве членов искомой СКНФ:
pqrs& pqrs&pqrs& pqrs&pqrs& pqrs&pqrs&pqrs.
УПРАЖНЕНИЕ
Для КНФ pq&pr&prs постройте СКНФ, используя метод восполнения; убедитесь в том, что результат будет тождественен тому, который только что был получен.
Читателю должно быть, конечно, совершенно ясно, что только что описанный метод получения СКНФ из КНФ, который можно было бы назвать "лексическим", аналогичным образом может быть применен для нахождения СДНФ по имеющейся ДНФ.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Используя "лексический" способ, укажите СДНФ для формул рг V PQ V и Ps V Ц™ \J rs.
2. Постройте СДНФ для формул предыдущего упражнения, используя метод восполнения.
Условимся, как это обычно делается, конъюнктивные члены СКНФ и дизъюнктивные члены СДНФ называть конституэнтами, соответственно, СКНФ и СДНФ.
ТЕОРЕМА
Пусть дана некотороая КНФ (или ДНФ), конъюнктивными (соответственно, дизъюнктивными) членами которой являются Ар..., Ат, и некоторая СКНФ (СДНФ), множество конституэнт которой есть
Если множество членов Ai (т^	1) составляет часть множества
членов Uj (п^	1), то будем говорить, что член А^ данной КНФ
представляет конституэнту Uj данной СКНФ (соответственно, для ДНФ и СДНФ) и что Uj представлена в КНФ ее членом Ah Тогда имеем утверждение:
4Ясно, что полученные слова для удобства можно занумеровать.
137
данные формулы КНФ и СКНФ (соответственно, ДНФ и СДНФ) логически эквивалентны, если и только если 1) каждый член КНф (ДНФ) представляет какую-нибудь конституэнту данной СКНф (СДНФ) и, наоборот, 2) каждая конституэнта данной СКНФ (СДНФ) представлена в данной КНФ (ДНФ) каким-нибудь из ее членов.
Читатель может легко убедиться, что в описанной выше ("лексической") процедуре приведения КНФ (ДНФ) к СКНФ (СДНФ) выполняются сформулированные условия эквивалентности двух этих форм.
Докажем теорему для КНФ и СКНФ, предоставляя читателю возможность самому доказать ее для дизъюнктивных форм (опираясь на понятие двойственности).
Логическая эквивалентность означает, как мы знаем, что из одного следует другое и наоборот. То есть надо показать, что 1) КНФ |= |= СКНФ и 2) СКНФ |= КНФ5.
Покажем сначала, что КНФ |= СКНФ. Это получается просто. При истинности КНФ при каком-то распределении значений ее переменных - что предполагает истинность всех ее конъюнктивных членов -нельзя сделать ложным ни один член СКНФ, поскольку в силу условия 2) теоремы для каждого члена СКНФ Uj есть член КНФ А,- такой, что множество дизъюнктов А, составляет часть множества дизъюнктов Uj. А в силу условий истинности дизъюнкций при ИСТИННОСТИ А/ истинно и Uj. Но если при некоторых распределениях истинностных значений переменных, при которых истинны все конъюнктивные члены КНФ, истинен каждый конъюнктивный член СКНФ, то истинна, конечно, и вся формула СКНФ. Таким образом, нельзя найти такое распределение истинностных значений пропозициональных переменных, при которых истинна КНФ и неистинна СКНФ. По определению следования это и означает, что вторая следует из первой (КНФ |= СКНФ).
Сложнее показать наличие отношения следования в обратную сторону, а именно, что СКНФ |= КНФ.
Будем рассуждать "от противного". Допустим, что указанного следования нет. Это означает, что можно найти такое распределение истинностных значений переменных в составе СКНФ, при которых СКНФ истинна, а КНФ ложна. Последнее указывает на то, что какой-то из членов КНФ ложен, положим А,. Согласно условию 1) теоремы А/ представляет какие-то члены СКНФ. Допустим, один из них - Uj, имеющий вид p^...pik (Л>1). Не нарушая общности и в силу возможности перестановок дизъюнктивных членов, можем считать, что А/ составляет ее начальную часть р^ V---V А , где s к. Для того, чтобы сделать Агый член ложным, надо придать каждой переменной pi (/=1,2,..., 5) значение Ложь, если она входит в него без отрицания, или Истина, если она входит с отрицанием. А для того, чтобы при этом оказалась истинной Uj, надо, чтобы какой-нибудь из остальных ее
5Где "КНФ" и "СКНФ" используются как метазнаки для взятых - согласно условиям теоремы - формул.
138
членов был истинным. Но при этом надо учитывать, что А,- представляет не только этот член (Uj) нашей СКНФ, но 2k~s конституэнт, соответствующих множеству слов р- ---Pik, т.е. множество всех конституэнт СКНФ, которые получаются восполнением Az. Однако все их сделать истинными, когда ложно Ait невозможно, поскольку среди всех возможных распределений истинностных значений для слова - дизъюнкции - вида pi(+i V---V Pik всегда есть и такое, при котором данная дизъюнкция обращается в Ложь.
Таким образом, мы пришли к противоречию нашему предположению о том, что можно найти распределение истинностных значений переменных в составе СКНФ такое, при котором эта формула истинна, а КНФ ложна. Следовательно, имеем: СКНФ |= КНФ, что и требовалось доказать.
Следует обратить внимание на одно важное свойство конституэнт СКНФ и СДНФ. Свойство конституэнт СКНФ состоит в том, что никакие две конституэнты СКНФ не могут быть - ни при каких значениях составляющих их пропозициональных переменных - вместе ложными, т.е. они несовместимы по ложности (по крайней мере, одна конституэнта истинна). Это видно из того, что для каждых двух конституэнт есть, по крайней мере, одна пропозициональная переменная, которая в одну конституэнту входит с отрицанием, а в другую без отрицания. В силу этого же последнего обстоятельства, верного и для конституэнт СДНФ, никакие две конституэнты СДНФ не могут быть вместе истинными, т.е. несовместимы по истинности: при любых значениях пропозициональных переменных, по крайней мере, одна ложна.
§ 22. Связь совершенных нормальных форм с истинностными таблицами
Обратим прежде всего внимание на способ построения совершенных нормальных форм для некоторого высказывания А по табличному определению условий истинности этого высказывания.
Для СДНФЛ этот способ становится ясным, если учесть, что СДНФЛ как раз и указывает условия истинности высказыва шя А в зависимости от истинностных значений входящих в СДНФЛ переменных. По существу каждая конституэнта ее представляет собой строку таблицы, в которой эта формула Л истинна.
Эта строка получается из конституэнты, если, опуская знак & в конституэнте, образовать последовательность составляющих ее членов и затем каждое вхождение пропозициональной переменной без отрицания заменить на И (истина), а с отрицанием - на JI (ложь), используя эквивалентности:
\р\ = И <=>6 р
63нак "<=>" означает то же самое, что и знак "Е.Т.Е.", т.е. "если и только если". Выражение 1р1 читается: "истинное значение р'\
139
Ipl= Л <=>р.
Эти эквивалентности, как известно, являются частными случаями определения истинности и ложности высказываний в языке 2-значной логики, каковой и является рассматриваемая классическая.
Имея, например, для какой-то формулы А СДНФ (р&#&г)\/ (p&q&r)\/ (p&q&r), мы видим, что наша формула А истинна в строках ИЛИ, ЛИИ, ЛЛЛ таблицы, во входной части которой находятся, очевидно, переменные р, q, г. Отсюда ясно, какова должна быть сама'истинностная таблица для этой формулы:
р | # | г | А И И И Л и и л л ИЛИИ и л л л л и и и л и л л л л и л л л л и
Сопоставляя теперь члены СДНФА и истинностную таблицу для А, видим, что 1-ый член СДНФА представлен третьей строкой таблицы, 2-ой член - пятой строкой, а 3-ий член - восьмой строкой.
Отсюда очевиден и способ получения СДНФА по таблице для А:'
1) надо выбрать строки, в которых А истинна;
2) преобразовать эти строки в элементарные конъюнкции согласно указанным определениям истинности и ложности (так, где пропозициональная переменная имеет значение "И”, берем саму переменную, где она имеет значение ”Л" - ее отрицание, и все это соединяем конъюнкцией). Это и будут конституэнты искомой СДНФ. Ясно, конечно, что если таковых более чем одна, то их надо соединить знаком V-
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Ответьте, почему именно тождественно-ложная формула не имеет СДНФ?
2.	Имея табличные определения связок, постройте СДНФ для формул: р & q,p\/ q,p:D q,~\p.
3.	Постройте СДНФ для формулы (p&q z> г)э(р&гэ q\ используя методы: а) восполнения; б) "лексический" и в) по истинностной таблице.
Что касается СКНФ, то таблицу по ней строить довольно сложно. Соответствующий алгоритм при желании можно извлечь, зная способ построения СКНФА по табличному определению формулы А. Последний состоит в следующем:
1.	Имея таблицу для А, строим СДНФА (т.е. для отрицания А). Для этого выделяем строки, где А имеет значение Л. Конституэнты, 140
соответствующие этим строкам, и будут конституэнтами искомой СДНФА;
2.	Имея теперь А = СДНФА, подвергнем отрицанию обе части эквивалентности и, снимая двойное отрицание в левой ее части, получаем: A s СДНФА;
3.	Согласно законам де Моргана и снятию двойного отрицания, т.е. согласно правилам образования контрадикторной противоположности для &, V и ~ (см. эквивалентности №№ 7, 8, 10), правая часть нашей эквивалентности СДНФА эквивалентна выражению, которое получается из СДНФА заменой в нем везде & и V друг на друга и для каждой пропозициональной переменной заменой р, и pi друг на друга. Это последнее выражение и есть искомая СКНФА.
Из указанных способов построения СДНФА и СКНФА усматривается следующая закономерность: сумма конституэнт СКНФА и СДНФА равна 2”, где п - число попарно различных переменных в исходной формуле А (т.е. число строк в таблице для формулы А).
ПРИМЕР (нахождения СДНФА и СКНФА).
Дана следующая таблица для формулы А:
p	1 я 1	Г I	А
и	и	и	и
и	и	л	И
и	л	и	л
и	л	л	и
л	и	и	л
л	и	л	л
л	л	и	и
л	л	л	и
Выделяем строки, где А истинно, и формируем соответствующие этим строкам элементарные конъюнкции - конституэнты СДНФА:
PV \J pqr V pqr V pqr V pqr.
Построим теперь СКНФА. По строкам, где А имеет значение Л, подобным же образом получаем СДНФА: pqr \/ pqr V pqr. Последняя - по законам образования контрадикторной противоположности -приводит к СКНФА:
(Р V 9 V r)&(p \/9\/ Г)&(р \/q\/r).
УПРАЖНЕНИЕ
Используя все известные вам методы, найдите СКНФ для формул: (рz>q)z>(qz>p); (ругэд)э(год).
141
§ 23. Функциональный анализ формул ЯКЛВ.
Понятия суперпозиции функции и функциональной полноты ЯКЛВ
Нетрудно заметить, что для того, чтобы образовать указанным выше образом СДНФ или СКНФ некоторой формулы, заданной таблично, нам не нужно знать даже, какова эта формула. Более того, эта формула вообще может быть не задана. Дело в том, что и СДНФ и СКНФ, которые мы строим, представляют собой формы выражения - в языке логики высказываний - таблично заданной истинностной функции. Каждая формула ЯКЛВ, отличная от пропозициональной переменной, т.е. содержащая какие-то логические связки, представляет собой выражение некоторой истинностной функции. В этом выражается экстенсиональный характер языка классической логики высказываний. Вместе с тем каждая истинностная функция имеет неограниченное множество представляющих ее формул.
Напомним (см. § 9), что истинностная функция - это операция, которая отображает множество {И, Л}л (п > 1) в это же множество {И, Л); при этом п - указывает местность функции, т.е. число ее аргументов. Конкретнее: некоторая «-местная функция соотносит любой «-членной последовательности, составленной из знаков И, Л, какой-то из элементов множества {И, Л}.
Как видим, в этом определении функции нет ссылок на какие-нибудь переменные - вопреки распространенным, например, в математике, определениям функции как величины, зависящей от значений некоторых (независимых) переменных. Однако полезно и нам для функционального анализа формул связывать функцию с некоторыми переменными. Для этого нужно последовательности, состоящие из знаков И, Л (конечно, необязательно в каждом случае из обоих вместе), рассматривать как распределения истинностных значений некоторых пропозициональных переменных. При этом все последовательности длины «, которые можно составить из знаков И и Л, трактуются как возможные распределения истинностных значений последовательности длины « каких-нибудь (выбранных в каждом случае) попарно-различных пропозициональных переменных. А значения функции для какой-то из последовательностей становятся значением указанных переменных при данном распределении их истинностных значений. Таким образом, указанные последовательности из И и Л оказываются просто строками истинностных таблиц.
Фактически, когда функцию трактуют как величину, зависящую от значений некоторых переменных, то происходит смешение двух понятий: самой функции (как операции, которая соотносит некоторой последовательности объектов из некоторого множества определенный объект, - вообще говоря, не обязательно даже элемент того же множества) и знаковой общей формы ее применения или, что то же, общей формы ее значения. Так, строго говоря, исходными функциями рассматриваемого языка являются &,	- Сами же знаки
"V">	суть функторы - именно знаки функций, а формы р & q,
142
р\/ q и. т.д. суть общие формы применения этих функций, т.е. знаки их возможных значений.
Связав теперь определение функции с переменными, мы перешли к упомянутой распространенной трактовке общих значений функций как самих функций. Иначе говоря, теперь каждая формула ЯКЛВ рассматривается как функция. Однако это положение требует существенного уточнения.
Во-первых, формулу можно рассматривать как функцию значений ее различных переменных при условии, что зафиксирован определенный порядок переменных, т.е. выбрана какая-то последовательность этих переменных. Это указывает на то, что одна и та же формула, даже при том же самом составе переменных, может представлять некоторое множество функций. Так, например, формула р^> q при выборе последовательности переменных pq соотносит распределению их истинностных значений ИЛ объект Л. Если же это распределение ИЛ рассматривать как распределение истинностных значений последовательности qp, то наша формула приобретает при этом значение И.
Итак, мы пришли к тому, что одна и та же формула может представлять различные функции. Их называют присоединенными по отношению к данной формуле.
Конечно, поскольку формулы нашего языка обычно имеют линейную запись, то всегда, рассматривая формулу как функцию, можно подразумевать "естественный" порядок расположения переменных, а именно тот порядок, в котором они встречаются в формуле, если рассматривать ее слева направо. Так обычно поступают - и мы будем поступать в дальнейшем - и называют этот порядок переменных -теперь уже без кавычек - естественным.
Для формулы р з q, например, естественным является порядок переменных pq, а для формулы q р - qp. Выбирая естественный порядок расположения переменных, мы тем самым - тоже "естественным" образом - выбираем одну из присоединенных функций данной формулы.
Во-вторых, надо иметь в виду, что любую формулу можно рассматривать как функцию любого множества переменных, более широкого, чем множество различных переменных, содержащихся в ней, или, точнее говоря, как функцию любой последовательности попарно-различных переменных, содержащей в качестве своих частей все последовательности, которые можно составить из переменных, содержащихся в этой формуле. Так, нашу формулу p^>q можно рассматривать как функции последовательностей pqr, pqrs, rpqs и т.д.
Дело просто в том, что те или иные приписывания значений переменным, которые не встречаются в формуле, не будут влиять на значения всей формулы. Этой именно возможностью - расширения множества переменных рассматриваемой формулы как функции - мы постоянно пользуемся при анализе зависимости значений формул от значений составляющих их переменных, когда вычисляем значение
143
формулы, последовательно разбивая формулы на подформулы, или при выяснении логических отношений между формулами, содержащими различные множества переменных. Рассматриваемые при этом множества формул различаются множествами содержащихся в них переменных, но все они - эти формулы - рассматриваются как функции одной последовательности переменных, выписанных во входной части таблицы. Обычно это множество является объединением множеств переменных в формулах, которые анализируются посредством данной таблицы. Мы приводим посредством этого все различные рассматриваемые формулы как бы к "общему знаменателю". Таким образом, множество функций, присоединенных относительно данной (или для данной) формулы, расширяется до бесконечности.
В-третьих, наконец, каждую формулу можно рассматривать как функцию более узкого множества переменных, чем множество переменных, которые содержатся в ней. При этом происходит различение статуса переменных: одни рассматриваются именно как переменные, т.е. именно как обычные переменные, которые могут принимать различные значения, другие - как фиксированные переменные, т.е. как переменные, которые уже имеют какие-то определенные, но явно не указанные значения. Ясно, что эта возможность еще более расширяет множество функций, присоединенных относительно данной формулы, однако мы не будем сейчас более подробно останавливаться на этом, поскольку не касаемся пока задач, в которых это является существенным.
Теперь из бесконечного множества присоединенных функций относительно каждой данной формулы полезно, а в некоторых целях даже необходимо, выделить одну, которую мы назовем собственной функцией данной формулы. Это та из присоединенных для данной формулы функций, которая является функцией множества попарно-различных переменных только этой формулы и при этом взятых в естественной последовательности.
Предыдущий анализ надо учитывать при решении вопросов о том, выражают ли какие-нибудь формулы одну и ту же или различные функции? В частности, имеем вопрос: "Выражают ли одну и ту же функцию эквивалентные высказывания?" Поскольку каждая формула имеет множество, даже бесконечное, присоединенных функций, этот вопрос в данной его абстрактной постановке вообще неправомерен! Его можно поставить только так: "Имеют ли указанные формулы какую-то одну и ту же или множество одинаковых присоединенных для той и другой формулы функций?" Ответ таков, что эти формулы имеют множество одинаковых присоединенных функций, соответствующих любой последовательности переменных множества {Л/j и М2}, где Мх -множество попарно-различных переменных одной формулы, аМ2-другой. Это значит: какую-бы последовательность этих переменных мы ни построили и, соответственно, какую-бы таблицу истинности ни получили, будем иметь результат такой, что значения этих формул совпадут во всех строках таблицы. И, конечно, обе эти формулы 144
имеют одну и ту же собственную функцию, если множества их переменных совпадают.
Другой важный вопрос состоит теперь в том, какие вообще и сколько существует истинностных функций для заданной последовательности попарно-различных переменных, т.е. для заданного л, где п -местность функции?
Этот вопрос можно решить с помощью тех же таблиц истинности. При заданном п мы можем взять п попарно-различных пропозициональных переменных и перебрать все распределения истинностных значений для них, т.е. все строки таблицы. Это как раз и есть множество строк истинностной таблицы. Теперь, если мы переберем все возможные столбцы, представляющие собой попарно-различные слова, которые можно составить из тех же знаков И и Л, тогда множество всех этих столбцов и есть множество всех возможных истинностных функций.
Поскольку мы знаем, что число различных слов длины / в алфавите к равно к1, то легко можем определить, сколько функций будет содержать указанное множество. Число строк в нашем двузначном алфавите И, Л равно 2". Это как раз есть длина слова - столбца нашей таблицы. Следовательно, число таких слов (столбцов) и, значит, функций равно 2"	Ч
2 . Например, при п = 3 имеем 2 различных слов - строк таблицы для 3 переменных. Это длина каждого столбца. А число столбцов, т.е.
23	8
истинностных функций, следовательно, равно 2 = 2 = 256.
При желании перебрать все эти столбцы мы можем воспользоваться указанным выше лексикографическим способом расположения слов в двоичном алфавите: пусть первый столбец состоит из одних И (тождественно-истинная функция), второй будет отличаться от него лишь последней буквой - ИИИИИИИЛ, третий столбец -ИИИИИИЛИ и т.д. Вообще выпишем сначала должное количество пустых столбцов (в нашем примере - 256) и далее заполним их, начиная с последних их знаков, снизу продолжая восьмую строку таблицы, выписывая ИЛИЛИЛИЛ и т.д., - чередование через один. Седьмая строка предстанет знаками ИИЛЛИИЛЛИИЛЛИИ и т.д., т.е. выписываем И и Л, чередуя их через каждые два столбца. На шестой строке чередование И и Л идет через 4 и т.д., т.е. частота чередования все время удваивается. Ясно, что первые знаки наших слов будет составлять последовательность, в которой 128 раз повторяется И и столько же затем Л.
УПРАЖНЕНИЕ
Составьте таблицу всех двухместных функций.
Ясно, что в число двухместных функций войдут, очевидно, основные логические связки (основные функции) описанного ранее языка логики высказываний: &, V, в применении к переменным р, q, а именно - собственные функции формул: р &, q,p\/ д,рт> q. Здесь же
10 Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев, кн. I
145
окажется основная функция эквивалентности (точнее, если иметь в виду название самой функции, - "эквиваленция"), т.е. функция, соот-
ветствующая формуле (р о q) & (q о р), которую представляет столбец и . Эта функция является уже, как видно, комбинацией ос-
Л
Л
И
новных функций нашего языка. Первый столбец И
будет пред-
И
И
И
ставлять тождественно-истинную функцию, которая может быть выражена посредством СДНФ с конституэнтами p&q, p&q, p&q, p&q. Ясно, что ее можно представить и любой формулой pi \J pt.
Одним словом, для любой таблично заданной функции мы знаем как составить представляющую ее формулу, например, вида СДНФ или СКНФ. Далее, говоря о функциях, которые представляют некоторые формулы, будем иметь в виду - при отсутствии каких-либо оговорок - собственные функции этих формул.
Строго говоря, СДНФ и СКНФ являются знаками сложных функций. Сложная функция представляет собой комбинацию функций или, как говорят в алгебре, суперпозицию функций. В конечном счете она образуется из некоторых простых функций. Простыми функциями в нашем языке являются &, V, и - или соответствующие им формулы р& q, p\J q, p^>q, p.
Сложные функции, т.е. суперпозиции функций, могут быть определены индуктивно:
1. Если вместо каких-нибудь вхождений аргументов (переменных) в выражении какой-нибудь простой функции подставить выражение другой функции (формулу, представляющую другую функцию), то получаем сложную функцию - суперпозицию функций;
2. Если вместо некоторых вхождений переменных в сложной функции подставить выражение другой функции, то получаем снова сложную функцию.
Таким образом, последовательными подстановками одних функций в другие мы можем получить любую сложную функцию.
ПРИМЕР
р э q- простая функция. Подставив вместо р функцию p\J q, получаем суперпозицию функций о и V: (р V Я) => Я-
Как было сказано ранее, собственные функции эквивалентных формул совпадают. Однако при этом они могут иметь различное строение. Так, для эквивалентных формул p^>q, p\/q и p&q собственная
146
функция одна и та же для всех них. Но первая является простой. Вторая является суперпозицией функций V и -, а третья - суперпозицией & и -. Причем последняя является более сложной, чем вторая, поскольку представляет двойную суперпозицию и получается посредством двух подстановок из простой функции р: в результате первой подстановки в р вместо р функции р &q, затем подстановкой q вместо q в p&q.
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ПОЛНОТЫ ЯЗЫКА КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Мы имеем теперь, с одной стороны, некоторое множество истинностных функций для каждого множества п попарно-различных пропозициональных переменных и в общем, - варьируя п, - бесконечное множество истинностных функций. С другой - в описываемом языке есть конечное множество основных функций (&, v, zd, -). Вопрос состоит тогда в том, можно ли любую функцию из бесконечного множества представить как суперпозицию основных (простых) функций? А также и в том, нельзя ли минимизировать множество основных функций нашего языка так, чтобы сохранялась возможность представления всех функций вообще?
Положительный ответ на первый из этих вопросов сразу следует из рассмотренного нами способа образования совершенных конъюнктивных и дизъюнктивных нормальных форм. Для всех не тождественно-ложных функций имеется СДНФ, для тождественно-ложной имеется СКНФ. Впрочем, для тождественно-истинной и для тождественно-ложной функций всегда можно выбрать более простой способ их представления, соответственно в виде pz v р. и pi&pi.
Решение - также положительное - второго из только что указанных вопросов легко усматривается из приведенных ранее эквивалентностей, позволяющих выражать одни логические связки через другие (см. § 19).
Поскольку импликацию, а также и конъюнкцию, можно выразить через дизъюнкцию и отрицание р d q = р v q и р & q = pvq, то можно ограничиться использованием в языке только двух основных функций: v и -. Аналогичным образом приходим к выводу, что в качестве основных можно иметь в языке только & и -, а также из И-.
Продолжая идею минимизации основных функций, обратим внимание читателя на то, что в нашем языке имеется суперпозиция функций pvq. Показано, что если ее принять в качестве простой функции, введя бинарную связку >1 (штрих Шеффера) и соответствующие формулы вида А >1 В, то можно ограничиться только этой функцией в качестве основной в нашем языке, так как все рассмотренные выше основные функции нашего языка выразимы
ю*
147
через нее:
р = р^р
р& q = (pt p)t(q],q)
pvq = (plq)l(plq)
pz>q = ((pl p)lq)l((pl p) X q).
Язык, множество основных функций которого достаточно для того, чтобы выразить через них все возможные функции истинности, называется функционально полным.
Оказывается, как только что мы видели, возможно несколько вариантов функционально полных языков классической логики высказываний.
Наиболее удобным для некоторых целей, например, в рассматриваемой ниже алгебре логики, является язык со связками &, v и — язык КДО (конъюнкция, дизъюнкция, отрицание). С ним, как мы видели, связаны понятия СДНФ и СКНФ и вообще любые КНФ и ДНФ.
§ 24. Булева алгебра и ее виды.
Алгебра логики
Одним из первых разделов символической логики, сформировавшимся в середине XIX в., была так называемая алгебра логики: алгебра классов, алгебра высказываний, алгебра бинарных отношений. Специфика этого раздела состоит в применении математических и именно алгебраических методов для анализа соответствующих отношений классов, высказываний, отношений. Его развитию уделялось широкое внимание примерно до начала последней четверти прошлого века в трудах Дж. Буля, Дж.де Моргана, Ч. Пирса, Э. Шрёдера, П.С. Порец-кого. Начиная же с этого периода центр тяжести развития символической логики переместился на разработку логических исчислений в трудах Г. Фреге, Б, Рассела и А. Уайтхеда, Д. Гильберта, Г. Генцена и др.
Основу новой теории составлял уже специфически логический метод, а именно Логистический метод исследования - метод формализации рассуждений, который в дальнейшем, как наиболее точный, заимствовала сама математика, в особенности в построении самой основы математики - теории множеств. По существу все задачи, которые решала алгебра логики, разрешимы в рамках логических исчислений или теории множеств. Однако алгебра дает иногда более изящные и эффективные методы. Особенно это относится к алгебре высказываний, в силу чего мы выделим здесь особо именно этот раздел алгебры логики. Именно в алгебре высказываний наиболее эффективно решаются и те задачи логического характера, для которых первоначально использовалась алгебра классов. Другие задачи алгебры классов находят разрешение в теории множеств. Алгебру же отношений практически целиком ’’поглотило" возникшее позднее исчисление предикатов.
148
Как известно, алгеброй называют систему, включающую некоторое непустое множество изучаемых объектов (классов, высказываний, отношений и др.) с заданными на нем операциями (функциями), результатами применения которых к объектам данного множества являются объекты того же множества.
Читателю известны, очевидно, такие алгебраические системы, как группы, кольца, решетки и др. В связи с анализом высказываний нас будет здесь особо интересовать система, называемая булевой алгеброй.
БУЛЕВА АЛГЕБРА - это система, представляющая собой некоторое множество объектов М, над которым заданы две двухместные операции "х" и "+" и одна одноместная - удовлетворяющие перечисленным ниже законам (аксиомам) булевой алгебры, и особо выделены два элемента - 0 и 1.
Для формулировки аксиом естественно использовать некоторый точный язык. В качестве исходных символов он включает: переменные х, у, z и, возможно, те же знаки с числовыми индексами %1, х2, х3 ... и т.п.; знаки указанных элементов 0 и 1 и знаки операций "х" "+"
х, у, z, 1,0 рассматриваются как элементарные формулы. Другие -сложные формулы - образуются посредством указанных операций:
если АпВ формулы, то (А х В), (А + В), Д' - формулы.
Переменные х, у, z, как и сложные формулы, являются знаками объектов из множества М.
Равенство "=" обозначает в дальнейшем, что левая и правая части его являются знаками одного и того же объекта. Внешние скобки в отдельно взятых формулах опускаются.
Аксиомы булевой алгебры
1.	Ах В = В х А	1*. А + В = В + А - коммутативность
операций х и +
2.	А х (В х С) =	2*. А + (В + С) =	" ассоциативность
= (АхВ)хС	=(А+В) + С Хи +
З.	Ах(А+В)=А	3*. А + (Ах В) = А	- законы поглощения
соответственно для ХИ +
4.	А х (В + С) = (А х В) + (А х С)	- закон дистрибутив-
ности х относительно +
5.	А х А' = 0	5*. А + А' = 1	- законы для '.
Обратим внимание, что аксиомы под некоторым номером N nN* являются двойственными.
Из данных аксиом выводим ряд других равенств по принципу, указанному выше в разделе "метод эквивалентных преобразований" (в данном случае - "замены равного равным").
149
Например, закон идемпотентности для х: А х А = А.
Под знаком "=" указываем используемую аксиому
АхА = Ах(А + (АхВ)) = А. 3*	3
Двойственный ему закон идемпотентности для +: А + А = А
А +А = А + (Ах(А + В)) = А. з	з*
Выводимым оказывается также и закон дистрибутивности + относительно х: А + (В х С) = (А + В) х (А + С).
Обратите внимание, что в известной школьной числовой алгебре, при условии, что "х" трактуется как умножение, а "+" как сложение чисел, - этот закон отсутствует.
Приведем еще ряд полезных равенств:
(А х В)1 = А' + В' и (А + ВУ -А'хВ'- законы де Моргана.
(А')' = А - аналог закона снятия двойного отрицания.
Ах(В+В’)=А А + (ВхВ’)=А
А’х А = О А +А' = 1.
Если теперь истолковать М как множество всех подклассов некоторого класса - универсума, "х" - как пересечение (п), "+" - как объединение (и),	- как образование дополнения к классу, "О" - как
пустой класс, а "1" - как класс, подклассы которого являются элементами множества М, т.е. сам универсум, то получим булеву алгебру классов.
Другим, интересующим нас, в данном случае особо, примером булевой алгебры является булева алгебра высказываний. Она получается при истолковании М как множества высказываний, к числу которых могут относиться не интерпретированные формулы языка логики высказывания (ЯЛВ), т.е. выражения, не имеющие определенных истинностных значений. При этом: "х" истолковывается как &;
"+" - как v;
- как 1;
"О" - как ложь (Л);
”1" - как истина (И).
В качестве теорем такой булевой алгебры имеем, в частности, все перечисленные выше эквивалентности между формулами, относящимися к логике высказываний (см. § 19).
Определенный интерес с теоретической и практической точек зрения представляет булева алгебра двухполюсных последовательно-параллельных контактных схем (управляющих работой некоторых автоматических устройств).
Контактная схема, как известно, представляет собой множество соединенных между собой проводников-контактов и имеет вход (+) и
150
выход (-) для электрического тока. Среди контактов есть замыкающие и размыкающие. Замыкающие - Pi,P2> размыкающие -"|р2„—все они расположены на одном реле. Аналогично - q\, q2, qn и •••» Ъи> расположенные на другом реле.
Реле связаны с механизмами автоматического устройства Р и Q, среди которых есть управляющие и исполняющие. Все замыкающие контакты определенного реле замыкаются, когда соответствующий механизм срабатывает; все размыкающие контакты данного реле в это время размыкаются. Они замкнуты, когда механизм находится не в рабочем положении. Таким образом, для любого замыкающего контакта Pi и размыкающего верно, что в любой момент времени какой-то из них замкнут и ни в какой момент времени они не являются замкнутыми оба.
Для выделения булевой алгебры последовательно-параллельных схем необходимо точное определение такой схемы. Осуществляем это индуктивно:
1. Каждый отдельный контакт а (который всегда имеет вход и выход) представляет собой схему (последовательно-параллельную схему - ППС);
довательное соединение схем А и В) есть схема;
б) Если А и В схемы, то у
- (парал-
лельное соединение схем А и В) есть схема;
в) Если А схема, то А' есть схема.
3. Пункты 1 и 2 исчерпывают все множество возможных схем упомянутого типа.
Интересующая нас булева алгебра получается, если в определении булевой алгебры:
М - указанное множество всех схем;
х - последовательное соединение схем;
+ - параллельное соединение схем;
' - образование конверсной схемы (конверсной для А является такая схема А', которая проводит ток, когда А не проводит, и, наоборот, не проводит, когда А проводит. Для отделього контакта pt кон-версным является и наоборот);
О - никогда не проводящая схема ----ГЯ---------р~|-----=>
1 - всегда проводящая схема
Алгебраическое равенство ("=") означает, что схемы левой и
151
правой его частей либо обе проводят ток, либо обе не проводят ток.
Наличие различных видов булевых алгебр с теоретической точки зрения интересно тем, что указывает на существование множеств объектов различной природы (причем не только логических, но и физических), отношения между которыми подчиняются одним и тем же законам.
БУЛЕВА АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ.
ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЗАДАЧ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
Итак, по мотивам, изложенным выше, мы выделяем этот вид алгебры особо. Как мы увидим далее, здесь имеются довольно эффективные методы для решения многих логических задач, имеющих существенное практическое значение. Таких, например, как обзор (выявление) всех возможных следствий некоторых видов из заданного множества высказываний и возможных гипотез (условий истинности) тех или иных сложных высказываний; "сжатие" заданной некоторым множеством высказываний информации - выделение из нее некоторого существенного ядра, из которого все остальное может быть выведено, -т.е. минимизация заданной информации.
Можно предположить, что это может иметь существенное значение в системах искусственного интеллекта. Разработанные в алгебре высказываний методы находят широкое применение в области теории автоматов для анализа и синтеза автоматических устройств определенного (простого) типа на основе заданных условий их работы. Булева алгебра высказываний поглощает и булеву алгебру двухполюсных последовательно-параллельных контактных схем. Эти схемы естественно описываются в языке данной теории и с помощью ее аппарата также решаются задачи анализа и синтеза автоматических устройств и управляющих ими схем.
Специфика алгебраической трактовки высказываний состоит в том, что они рассматриваются либо как величины, равные абстрактным объектам И (истина) или Л (ложь) (но не то и другое вместе), - для определенных высказываний, либо - для формул, содержащих пропозициональные переменные, - как функции, которые могут принимать значение И или Л в зависимости от значений переменных, которые, в свою очередь, в качестве возможных имеют те же значения.
Таким образом, мы рассматриваем высказывания и высказы-вательные формы только с точки зрения их значений. По существу, высказывания трактуются просто как имена указанных абстрактных объектов И и Л (в силу чего при формулировке законов алгебры логики вместо эквивалентности (=) употребляется равенство (=), типичное для отношений между именами и выражающее, как мы знаем, совпадение денотатов имен). Таким образом, все истинные и, соответственно, ложные высказывания отождествляются между собой. Сами "И" и "Л" в универсуме алгебры трактуются также как высказывания - имена 152
указанных абстрактных объектов. Это как раз упомянутые в определении алгебры выделенные элементы в множестве М. Однако нет необходимости специального выделения этих элементов, их можно не включать даже в определение булевой алгебры высказываний, рассматривая в качестве 1 любое выражение7 вида В + В’, а в качестве О - В х В\ при условии принятия аксиом А х (В + В') = А и А + (В х В') = = А вместо аксиом 5 и 5* соответственно.
Упомянутое отождествление всех высказываний с одинаковыми значениями, наряду с рассмотрением всех логических связок как функций истинности (а тем самым истинностных значений всех сложных высказываний как функций значений их составляющих), является характерной особенностью классической логики высказываний в отличие от других логических теорий: так называемых нефрегевских логик, интуиционистской, релевантной логики. Это, как мы уже отмечали, серьезное огрубление в понимании высказываний, которое вместе с тем значительно упрощает многие логические процедуры. В данном случае речь идет не о субъективном отождествлении высказываний с именами, а о том, что в самих логических процедурах в рассматриваемой теории разные высказывания с одними и теми же предметными значениями ведут себя тождественным образом, хотя при содержательном анализе этих процедур, в частности в выводах, представленных в логических исчислениях, мы учитываем различие высказываний по их логическим содержаниям и, конечно, то, что, в отличие от имен, они содержат утверждения или отрицания, в силу чего являются именно истинными или ложными. Учитывая необходимость хотя бы содержательного различения отношений между высказываниями, с одной стороны, и именами - с другой, удобнее для выражения равнозначности высказываний употреблять, как мы раньше и делали, знак ' =" (эквивалентности).
Прежде чем перейти к изложению специальных методов для решения задач определенных типов в рамках алгебры высказываний, покажем возможности применения этого аппарата, при котором требуется только знание приведеных выше эквивалентностей (см. § 19).
ЗАДА ЧИ УПРОЩЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ВЫРАЖЕНИЙ ("СЖАТИЕ" ИНФОРМАЦИИ)
Положим, на вопрос о том, кому из выпускников нашего класса удалось поступить в университет, получена информация (возможно, из разных источников):
"Или верно, что Петр поступил, и при этом неверно, что Петр не поступил и Андрей не поступил, или Петр поступил и Семен поступил, или даже Петр поступил и Семен поступил, и Андрей поступил".
7 Здесь особенно ясно проявляется факт отождествления всех формул с одинаковыми значениями.
153
Как можно сократить это выражение, не утеряв заключенной в нем информации?
Обозначим содержащиеся здесь высказывания:
"Петр поступил" - р\
"Андрей поступил" - а\
"Семен поступил" - s.
При записи всего выражения будем опускать знак конъюнкции (&) аналогично тому, как мы поступаем в обычной числовой алгебре, опуская знак умножения. Знак дизъюнкции (v) будет соответствовать тогда сложению. В результате указанная информация запишется в виде следующей формулы ЯКЛВ (а значит, и алгебры высказываний):
(р]("|рЪ)) v (ps) v (psa).
Это - согласно закону де Моргана для & и снятию двойного отрицания (см. эквивалентности №№ 7, 10 § 19) - эквивалентно:
(р(р v a)) v (ps) v (psa).
Далее указание на применяемые эквивалентности будем писать под знаком эквивалентности.
Итак,
(р(р v a)) v (ps) v (psa) =8
= (р(р v a)) v (pps) v (psa) s
= р((р v a) v (ps) v (sa)) =
18
= р((р v a) v s(pv а)) =
18 '
= р(р v а) = р. 21	20
Итак, вся информация заключена в одном высказывании "Петр поступил"! А о Семене и Андрее никакой информации, кроме выводимой из полученной, в исходном высказывании фактически не содержалось!
ЗАДАЧИ НА ВЫЯВЛЕНИЕ НЕКОТОРОГО СЛЕДСТВИЯ ИЗ ИМЕЮЩЕЙСЯ ИНФОРМАЦИИ
(ПОИСК ОТВЕТА НА НЕКОТОРЫЙ ВОПРОС)
Шесть школьников - Андрей, Борис, Семен, Григорий, Дмитрий и Евгений - участвовали в олимпиаде. Двое из них решили все задачи. На вопрос, кто решил все задачи, последовали ответы: 1) Андрей и Дмитрий; 2) Борис и Евгений; 3) Евгений и Андрей; 4) Борис и Григорий; 5) Семен и Андрей. В четырех из этих ответов одна часть
8 На этом шаге применяется сформулированный выше закон идемпотентности для &: А & А = А в отношении к формуле ps.
154
неверна, другая верна. В одном - обе части неверны. Кто решил все задачи? Обозначим высказывания "Андрей решил все задачи", "Борис решил все задачи" и т.д. как а, б, с, г, д, е (используя начальные буквы соответствующих имен). Теперь мы должны перебрать все возможности того, в каком именно ответе обе части неверны. Ясно, что это могут быть или 1ый, или 2ой ... или 5ЫЙ. Соответственно эти ответы можно записать в виде следующих 5 выражений (которые, по существу, представляют собой дизъюнктивные члены одного выражения); как и прежде опускаем знак &9:
1.	ад(бе v бё) (ёа v еа) (бг v бг)_(са v са)
2.	(ад v ад) (бе) (еа v еа) (бг v бг) (са v са)
3.	(ад v ад) (бе v бё) (ёа) (бг v бг) (са v са)
4.	(ад v ад) (бе v бё) (ёа v еа) (бг) (ca_v са)
5.	(ад v ад) (бе v бе) (еа v еа) (бг v бг) (са).
Используем обобщение закона A v (В & "15) н А, согласно которому из дизъюнкции можно вычеркнуть ложный член (A v Ложь = А), а также следствие из закона противоречия 1(А & "|А), согласно которому, если истинно "|А, то ложно А и, наоборот, если истинно А, то ложно "|А. Кроме этого используем и то, что А & Ложь н Ложь и А & А = А.
Согласно этим положениям мы можем упростить первое выражение, используя имеющуюся в нем информацию о том, что ложно а и ложно д (поскольку имеет место а и д). Упрощение будет состоять в том, что из имеющихся дизъюнкций мы вычеркнем ложные конъюнкции, содержащие а или д. Например, во второй паре скобок (еа v еа) можем вычеркнуть ложную конъюнкцию еа, в четвертой - са. Таким образом, первый член эквивалентным образом преобразуется до:
ад(бе v бё) еа(бг v бг)са.
Устранив повторения а (на основе А & А = А), получим: ад(бе v6e)e(6r v бг)с.
Теперь, поскольку имеет место е, вычеркиваем член, содержащий е:
ад(бе)е(бг v бг)с.
Сокращая повторение е и на основе имеющегося б, вычеркиваем из дизъюнкции ложный член бг:
ад бе б г с.
Удаляя повторение б, окончательно имеем: ад бе гс.
Проведем аналогичное упрощение остальных выражений; они примут вид:
второе выражение - д б е с аг;
третье выражение - е а г д б с;
9 В целях удобства (наибольшей обозримости) вместо знака отрицания "1" (уголок) используем знак(черта).
155
четвертое выражение - б г а д е с;
пятое - б а с д е г.
Таким образом, из пяти возможностей четыре противоречат условию о том, что все задачи решили лишь 2 человека, поскольку каждое из них имеет по 3 конъюнктивных члена без отрицания (т.е. решили задачи 3 человека, что противоречит условию). В качестве действительной возможности получаем лишь вторую (д б е с а г). Согласно ей, все задачи решили Андрей и Григорий.
§'25. Некоторые специальные методы алгебры высказываний. Сокращенные нормальные формы*
МЕТОД ОБЗОРА ВСЕХ ВОЗМОЖНЫХ СЛЕДСТВИЙ ОПРЕДЕЛЕННОГО ВИДА ИЗ ЗАДАННОГО МНОЖЕСТВА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Множество следствий, которые можно вывести из каких-то заданных высказываний, является бесконечным. Поэтому здесь задача ограничивается обзором следствий лишь некоторого определенного вида. А именно: 1) содержащих лишь те пропозициональные символы, которые содержатся в исходных высказываниях; 2) попарно не эквивалентных между собой.
Поскольку отношение логического следования не зависит от конкретного содержания высказываний, постольку, имея какие-то высказывания, необходимо отвлекаться от значений их элементарных составляющих, выявляя тем самым их логические формы, каковыми и будут как раз формулы нашего полуинтерпретированного языка (языка с интерпретированными логическими связками), и все процедуры сводятся к некоторой работе над формулами. Таким образом, непосредственно выявляются следствия из формул, хотя подразумеваются при этом заданные высказывания, которые получаются за счет интерпретации пропозициональных переменных - за счет придания им того содержания, от которого первоначально мы отвлекались.
Итак, для решения задачи обзора всех следствий упомянутого выше типа из некоторого заданного множества высказываний нужно:
1) образовать конъюнкцию всех исходных данных высказываний (точнее говоря, - с учетом только что сказанного - объединяются в конъюнкцию логические формы данных высказываний, т.е. соответствующие формулы языка логики высказываний), обозначим ее А;
2) приводим А к совершенной конъюнктивной нормальной форме (не изменяя множество содержащихся в исходных формулах переменных), т.е. получаем СКНФА.
Тогда в множество искомых следствий войдут все части этой формы, включая ее саму, а также одно тождественно-истинное следствие, которое можно обозначить р, v 1 ph взяв в качестве р, любую
Здесь использованы материалы факультативного курса лекций по алгебре логики С.А. Яновской, читавшегося ею в 50-е годы на мехмате МГУ.
156
переменную, имеющуюся в исходных формулах. Другими словами, в множество искомых следствий войдут наряду с Р/ v 1 р, каждый конъюнктивный член (каждая конституэнта) СКНФ, а также любая конъюнкция конъюнктивных членов (любая конъюнкция конституэнт).
Систематическое перечисление этих следствий получим так: во-первых, берем каждую конституэнту по отдельности (при наличии п членов в полученной СКНФ имеем п следствий этого вида).
Далее выписываем все возможные конъюнкции попарно взятых конституэнт: первой со второй, первой с третьей, с n-ой; второй конституэнты с третьей, с четвертой и т.д.; третьей конституэнты с каждой из следующих.
Затем образуем конъюнкции по три конституэнты из имеющихся уже пар, приписывая к каждой из них последовательно по одной конституэнте с номерами большими - в общей нумерации членов в СКНФ, - чем те, что имеются уже в данной паре. Ясно, что если имеется уже какая-то пара, содержащая какой-то член наряду с последующим, то из нее никакая тройка не образуется. Аналогично образуем конъюнкции четверок конституэнт из имеющихся уже троек и т.д.
И наконец, будем иметь в качестве предпоследнего следствия всю имеющуюся СКНФ, а последним будет р, v 1 pz.
В качестве контроля того, все ли следствия учтены, определяем общее число искомых следствий. Оно равно 2й, где п - число конституэнт в СКНФА. Оно устанавливается как решение известной уже нам задачи определения числа всех попарно-различных слов длины п в двухбуквенном алфавите. При этом "буквами” (знаками алфавита) являются такие - "взять” и "оставить” в применении к каждому члену многочлена, т.е. рассматриваем каждую конституэнту СКНФ как переменную, которая может приобретать значение: "взята”, "исключена”. Используя лексикографический метод расположения слов, -учитывая, что знак "взята” предшествует в алфавите знаку "исключена”, - мы бы получили все 2п искомых следствия как слова в указанном алфавите. Первым из этих слов будет то, в котором все конституэнты взяты. Второе получим, когда исключаем последнюю конституэнту; в третьем - последняя взята, предпоследняя исключена и т.д.
Таким образом, зная уже, что количество слов (искомых следствий) будет 2Л, перебор всех слов осуществляем просто как число строк в таблице с п переменными: для последней конституэнты исходной СКНФ чередование идет через 1 ("взята” - "исключена"), для предпоследней через 2 ("взята, взята" - "исключена, исключена"), для предшествующей - через 4 и т.д. Последним является случай, когда исключены все конституэнты. Это - тождественно-истинное следствие, для которого используем формулу pf- v "| pf, последнее следствие не несет, очевидно, никакой информации и, исходя из содержательных соображений, всегда может быть отброшено, но формално, поскольку речь идет обо всех попарно не эквивалентных следствиях из заданного множества высказываний, его нельзя игнорировать.
157
ПРИМЕР
Выявим все следствия указанного вида из высказываний р z> q и "]</. Образуем конъюнкцию этих высказываний, приводим ее к КНФ, затем к СКНФ: (]р v q)&.(p v l^&flp v I?).
Для обзора всех искомых следствий воспользуемся вторым из только что указанных способов их перебора, т.е. лексикографическим способом. Для облегчения дела пронумеруем конституэнты, чтобы оперировать их номерами вместо самих конституэнт:
1	2	3
(~|р v q)&(p v 1 <?)&("|р v 1 q).
СКНФ теперь можем записать как 1&2&3.
Для нужного нам перебора полезно выписать 23 раз (а в целом, п раз - в общем случае) это выражение:
1&2&3
1&2&3
1&2&3
1&2&3
1&2&3
1&2&3
1&2&3
1&2&3.
Теперь "взять" по отношению к некоторому члену будет означать его сохранение, а "исключить" - его вычеркивание. Таким образом, получаем искомую последовательность слов:
1&2&3
1&2&3
1&2&3
l&l&l
1&2&3
J&2&3
/&2&3
t&i&l.
Итак, заменяя в указанных словах номера самими конституэнтами, получаем 8 следствий:
1)	(Ip V q)&(p v 1 q)&(\p V 1 q)
2)	(Ip v q)&(p v 1 q)
3)	(Ip v <7)&("|p v 1 q)
4)	(Ip v q)
5)	(p v "J q)&.(\p v 1 q)
6)	(p v 1 q)
7)	(Ip v 1 q)
8)(pv"lp) - в качестве тождественно-истинного следствия, соответствующего последнему слову.
Возможно упрощение этих следствий посредством операции "склеи
158
вания" конституэнт на основе эквивалентности (Л v В)&(А v 1 В) = А в возможном сочетании с эквивалентностью А s А & А (идемпотентность &). Операция склеивания, очевидно, является обратной операции восполнения, применявшейся при построении СКНФ: если при восполнении мы раздваивали некоторые конституэнты за счет введения в один из членов пары некоторой пропозициональной переменной, а в другой - ее отрицания, то здесь, наоборот, из пары конституэнт, имеющих указанные вхождения некоторой пропозициональной переменной, получаем одну конституэнту, исключая эти вхождения.
Так, рассматриваем первое из полученных следствий. В нем, очевидно, можно склеить 1-ю и 3-ю конституэнты, получив "|р, и 2-ю с 3-ей, повторив эту последнюю конституэнту на основе закона идемпотентности и получая Таким образом, результат упрощения 1-го следствия есть "]р & "]<?.
Аналогично можно поступить и с другими выражениями, имеющими более чем один конъюнктивный член: в третьем следствии, применяя склеивание, получаем из пятого таким же образом получаем "|#. Итак, в результате в качестве следствий имеем следующие высказывания:
1) V & "L?
2) (V v q)&(p v 1 q)
з)Ъ
4) "]р v q
5)Ъ
6) р v ~\q
7)~\р v Iz?
8) р v
Естественно, что среди следствий оказались и все исходные высказывания (следствия №№ 4 и 5), поскольку любая посылка некоторого множества является следствием этого множества.
Заметим, однако, что в результате указанного способа упрощения мы получаем отнюдь не самые простые следствия. В случае, когда цель состоит в выявлении следствий именно такого рода, применимы особые методы (метод обзора простых следствий), которые будут рассматриваться в дальнейшем.
Приступая к задаче обзора гипотез для некоторого высказывания, мы должны, очевидно, определить само это понятие.
Гипотезой для данного высказывания В называется высказывание А, такое, что В является его логическим следствием. Иначе говоря, гипотеза некоторого высказывания является логически достаточным условием истинности этого высказывания10.
10 Термин "гипотеза", как видно, употребляется здесь в специальном смысле, отличном от его употребления в теории познания, где гипотеза рассматривается как форма познания, играющая определенную методологическую роль в развитии научного знания (см. § 96).
159
Обзор гипотез, очевидно, является задачей, обратной выводу следствий из данного множества высказываний. Задача, которая сейчас рассматривается, состоит в выявлении всех возможных для данного высказывания гипотез - опять-таки, как и при обзоре следствий, определенного вида - а именно, не содержащих никаких переменных, кроме тех, которые имеются в данном высказывании, и попарно не эквивалентных.
Для выполнения поставленной задачи небходимо:
1. Привести данное высказывание к СДНФ;
2. Осуществить обзор всех интересующих нас гипотез по тому же принципу, по которому осуществлялся обзор следствий из данного множества высказываний, с той лишь разницей, что конституэнты, с которыми идет работа, представляют собой элементарные конъюнкции.
Общее число искомых гипотез высказывания А равно 2Л, где п -число конституэнт в СДНФЛ. Одна из них, соответствующая случаю исключения всех конституэнт этой СДНФЛ, есть тождественноложная формула, для которой может быть выбрано обозначение Pt & к где Pi есть какая-нибудь из пропозициональных переменных в составе А.
Как и в случае со следствиями, возможны упрощения полученных гипотез тем же способом "склеивания" конституэнт, обратным "восполнению" членов ДНФЛ при приведении А к СДНФ, т.е. с использованием эквивалентности (А & В) v (А & 1 В) = А, а также закона идемпотентности для дизъюнкции А = A v А; иначе говоря, с использованием эквивалентностей, двойственных тем, что применялись при упрощении следствий.
ПРИМЕР
Положим, надо выявить все гипотезы указанного вида формулы (р v q)^ г. Приведя ее к СДНФ, получим
Очевидно, множество искомых гипотез будет составлять 32 формулы. Но мы не будем их перечислять; рассмотрим лишь ту из них, которая совпадает со всей СДНФ, чтобы еще раз обратить внимание на ее возможные упрощения. Процесс упрощения здесь так же, как процесс упрощения следствий, сводится по существу к "склеиванию" имеющихся конституэнт. Так, из первой и второй конституэнты получаем один член	первая и четвертая дают ~lq&r и т.д.
Подробнее здесь нет надобности на этом останавливаться, поскольку эта процедура упрощения будет представлять собой рассматриваемый далее один из методов обзора всех простых гипотез для некоторого данного высказывания (метод Куайна) и аналогичный метод обзора всех простых следствий. Имея это в виду, перейдем прямо к изложению этих методов.
160
МЕТОДЫ ОБЗОРА ПРОСТЫХ СЛЕДСТВИЙ ИЗ ДАННОГО МНОЖЕСТВА ВЫСКАЗЫВАНИЙ И ПРОСТЫХ ГИПОТЕЗ
ДЛЯ НЕКОТОРОГО ДАННОГО ВЫСКАЗЫВАНИЯ.
СОКРАЩЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Простым следствием (из некоторого множества высказываний, в частности из отдельного высказывания) называется следствие, имеющее вид элементарной дизъюнкции1^, которая не является тождественно-истинной1? и при этом не избыточной.
Последнее означает, что она (элементарная дизъюнкция) не содержит ни одного лишнего дизъюнкта: при удалении хотя бы одного из дизъюнктов она перестает быть следствием. Например, если среди следствий некоторого множества высказываний имеются (р v"| q v f) и (]q v г), то первое из них, очевидно, не является простым (т.е. является избыточным), поскольку результат удаления дизъюнктивного члена р из первого следствия является также следствием (второе из указанных выражений). Нетрудно видеть, что первое выражение само является, в свою очередь, следствием второго ("k? v г \=р v"]<? v г), но не наоборот (р v ~\q v г ЬП v г). Это указывает на то, что второе информативно сильнее первого. Вообще, если A t= В, но В |#Л, то А более информативно, чем В11 12 13.
Простые следствия - это наиболее сильные следствия, имеющие вид элементарных дизъюнкций. Все другие более сильные следствия получаются из них объединениями их в конъюнкцию.
Заметим, что если исходное множество высказываний таково, что конъюнкция их представляет собой тождественно-истинное выражение, то оно не может вообще иметь простых следствий, поскольку его следствиями могут быть, очевидно, только тождественно-истинные высказывания.
Простой гипотезой для некоторого высказывания является гипотеза, имеющая вид элементарной конъюнкции, не тождественноложная и неизбыточная.
Неизбыточность некоторой гипотезы - элементарной конъюнкции - состоит в том, что если из нее удалить хотя бы один из конъюнктивных членов, то она перестает быть гипотезой для данного высказывания. Так, если среди гипотез для некоторого высказывания имеются и р&, то первая, очевидно, не является простой (является избыточной), поскольку при удалении из нее конъюнктивного члена г оставшееся выражение также является гипотезой. Нетрудно видеть, что первое выражение является гипотезой для второго выра-
11 Напомним, что элементарной называется дизъюнкция, каждый член которой есть какая-нибудь пропозициональная переменная или ее отрицание.
12 То есть такая элементарная дизъюнкция, которая не содержит какой-либо переменной вместе с ее отрицанием.
13 Уточнение вопроса о соотношении следования и информации см. §§ 58,45-46.
11 Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев, кн. I
161
жения (ибо второе есть следствие первого), что указывает на то, что вторая гипотеза информативно слабее первой.
Простые гипотезы - это наиболее слабые гипотезы (условия истинности) исходной формулы из всех гипотез, имеющих вид элементарных конъюнкций. Более слабые получаются дизъюнктивным объединением каких-либо из них. При поиске условий истинности какого-либо высказывания мы всегда заинтересованы в выявлении наиболее слабых условий. Поскольку простые гипотезы - это не тождественноложные высказывания, то таковые невозможны для тождественно-ложной формулы А. Условиями истинности тождественно-ложных высказываний могут быть лишь высказывания также тождественно-ложные.
Существует несколько методов решения задач обзора простых следствий из некоторого заданного множества высказываний и простых гипотез для некоторого данного высказывания. Один из них - метод склеивания конституэнт совершенных нормальных форм - мы уже, по существу, применяли при упрощении следствий и гипотез охарактеризованного выше специального вида; его называют методом Куайна. Мы рассмотрим его теперь систематически. Наряду с ним будут изложены два других метода - метод Блэка-Порецкого и метод Нельсона.
I.	Метод Куайна
Для того, чтобы осуществить обзор всех простых следствий из некоторого заданного множества высказываний по данному методу, надо образовать конъюнкцию этих высказываний и привести ее к СКНФ. Конечно, если исходное множество высказываний тождественно-истинно, то взятая конъюнкция не имеет СКНФ и, значит, уже при попытках ее построения мы обнаруживаем, что никаких простых следствий найти нельзя. Если к тому же СКНФ мы строим по КНФ, то уже эта КНФ укажет нам, согласно разобранному ранее (§ 20) критерию тождественной истинности, что исходная наша конъюнкция тождественно-истинна и, следовательно, не имеет простых следствий. При наличии СКНФ осуществляем все возможные склеивания конституэнт этой формы, а также и, возможно, некоторых результатов этих операций следующим систематическим образом:
1.	Осуществляем последовательно - тогда, когда это возможно, -склеивание первой конституэнты с каждой из последующих. Затем -второй конституэнты с каждой из последующих и т.д.;
2.	Выписываем результаты этих операций отдельно, объединяя их в конъюнкцию, при этом особо - например, подчеркиваниями, -отмечаем все те конституэнты, которые были использованы для тех или иных склеиваний;
3.	Далее аналогичным образом поступаем (склеиваем) с вновь полученной конъюнкцией, устранив из нее все возможно появившиеся повторения тех или иных членов и выписывая результаты склеиваний опять-таки отдельно, образуем третью конъюнкцию. Далее опять-таки аналогичным образом поступаем с последней и т.д. до тех пор, пока не будет получена конъюнкция результатов склеивания, в которой
162
невозможны никакие склеивания и никакой из членов не содержится более одного раза.
4.	Теперь к этой последней конъюнкции приписываем конъюнктив-но все оставшиеся неотмеченными члены всех предыдущих этапов. Множество членов полученной конъюнкции и представляет собой множество искомых простых следствий.
Полученная при этом КНФ, - каждый член которой есть простое следствие из заданного множества высказываний, и содержащая все такие следствия - называется сокращенной конъюнктивной нормальной формой конъюнкции исходных высказываний.
Таким образом, задача обзора всех простых следствий из заданного множества высказываний сводится к нахождению сокращенной конъюнктивной нормальной формы для конъюнкции этих высказываний. Очевидно, что эта форма (Сокр. КНФ) эквивалентна исходной конъюнкции Л, поскольку все преобразования СКНФА, из которой непосредственно мы получаем Сокр. КНФА, являются эквивалентными, ибо основу их, как мы уже замечали ранее, составляют эквивалентности (A v р/)&(А v Jp;) = АиА=А&А. И очевидно также, что Сокр. КНФ может иметь лишь не тождественно-истинная формула А.
ПРИМЕР
Положим, конъюнкция множества исходных высказываний приведена к следующей СКНФ: pqr&, pqr&pqr&pqr.
Очевидно, что первая конституэнта склеивается только со второй (результатом чего является pq), вторая - только с третьей (результат qr). Третья с четвертой не склеиваются. Таким образом, в результате первого этапа склеивания имеем pq & qr и подчеркиваем в исходном выражении 1, 2 и 3 конституэнты. На втором же этапе никакие склеивания, очевидно, не осуществимы. Итак, результатом всех упрощений имеем: pqr &pq & qr.
Такова Сокр. КНФ для конъюнкции исходных высказываний и конъюнктивные члены этой Сокр. КНФ представляют собой множество всех искомых простых следствий.
УПРАЖНЕНИЯ
Найдите все простые следствия из высказываний, представленных формулами:
l	.(p&q zd г)и(р vr zd qvs)
2	.(pvqjsv r)u.(s Z) r&q)
Ъ\р zd #&r),(p&s zd #)и(р&г zd Г).
Обзор простых гипотез для некоторого данного высказывания А по методу Куайна осуществляется аналогичным образом с той лишь разницей, что отсутствует первый шаг - образование конъюнкции высказываний заданного множества - и вместо СКНФ этой конъюнк
Н*
163
ции находится СДНФЛ. В случае, если А - тождественно-ложное выражение, тогда, как мы знаем, нельзя построить ее СДНФ и, значит, при обнаружении отсутствия СДНФ процесс поиска простых гипотез, естественно, прекращается. В случае, когда СДНФЛ мы находим по ДНФЛ, то сама эта ДНФЛ укажет нам на тождественную ложность А - согласно приведенному ранее критерию тождественной ложности выражений и на то, что дальнейший поиск простых гипотез следует прекратить.
При наличии СДНФЛ также поэтапно осуществляются все возможные склеивания конституэнт СДНФЛ и членов получаемых в результате этого дизъюнкций на основе эквивалентностей, двойственных тем, что применялись при обзоре простых следствий. Дизъюнктивная нормальная форма, которая возникает в результате дизъюнктивного объединения всех оставшихся неотмеченными членов всех этапов, называется сокращенной дизъюнктивной нормальной формой (Сокр. ДНФ). Множество ее членов и представляет собой все множество искомых простых гипотез.
Таким образом, Сокр. ДНФЛ есть такая ДНФ, каждый член которой есть простая гипотеза Л и содержит все простые гипотезы Л. Это означает также, что тождественно-ложная формула Л не имеет Сокр. ДНФ.
ПРИМЕР
В качестве такового рассмотрим приведенный ранее (см. с. 160) пример, использованный для обзора всех гипотез определенного вида. Исходным высказыванием, для которого выявляем теперь простые гипотезы, является формула (р v q) z> г(А). Ее найденная ранее СДНФ есть pqr v pqr v pqr v pqr v pqr.
Читатель может убедиться, что здесь мы имеем 2 этапа склеиваний.
~pq г v pq г у pqr v pq г v pqr;
~pq у q г у ~p гу рг у qr; r
Итак, Сокр. ДНФЛ: pq у г. Она указывает все простые гипотезы высказывания Л ((р v q) Z) г).
УПРАЖНЕНИЯ
Найдите все простые гипотезы для высказываний, представленных формулами:
1.	(р Vp)Z)(rZ)5)
2.	(р о q) о (г v ^)
3.	(р & q z> г) z> (q z> р).
164
В заключение подчеркнем, что задача обзора всех простых следствий из некоторого множества высказываний - по методу Куайна, как и по любому другому, - равносильна приведению конъюнкции высказываний этого множества к Сокр. КНФ. А обзор всех простых гипотез для некоторого данного высказывания может быть охарактеризован также как построение Сокр. ДНФ. Учитывая это, полезно определить сами эти формы.
Сокращенная конъюнктивная нормальная форма для некоторого высказывания А (Сокр. КНФЛ) есть такая КНФ, все члены которой попарно различны, каждый член является простым следствием из этого высказывания и множество ее членов включает все возможные простые следствия из этого высказывания А.
Сокращенная дизъюнктивная нормальная форма высказывания А (Сокр. ДНФА) есть такая ДНФ, все члены которой попарно-различны, каждый член является простой гипотезой для этого высказывания и множество ее членов включает все возможные простые гипотезы для этого высказывания А.
В дальнейшем мы будем формулировать задачу обзора простых следствий, как и обзора простых гипотез для некоторого высказывания А, имея в виду, что А может представлять собой конъюнкцию некоторого заданного, более чем одноэлементного множества высказываний.
II. Метод Блэка-Порецкого
Рассмотренный только что метод Куайна, будучи, как мы видели, довольно простым, имеет, однако, серьезный недостаток. Он состоит в том, что, применяя его, мы можем в некоторых случаях заниматься ненужной работой. Возможно, например, что при обзоре простых следствий из некоторого высказывания А по этому методу, конъюнктивная нормальная форма этого высказывания, из которой формируется его СКНФ, уже является Сокр.КНФ, т.е. именно она уже и представляет искомые следствия! В таком случае вся работа, связанная с приведением А к СКНФ, а затем с упрощением последней, будет бесполезной. Подобные ситуации могут возникать и при обзоре простых гипотез для некоторого высказывания А. Этого недостатка лишен метод Блэка-Порецкого.
Первым шагом здесь - при обзоре простых следствий из высказывания А - является приведение А к КНФ, а затем преобразование последней до Сокр.КНФ способом выявления новых членов на основе эквивалентности (A v pz- )&(Вv pz) = (A v р- )& (В v р-)&(A v В), представляющей собой частный случай закона (AvC)&(BvC) = = (А vC)&(BvC)&(A vB).To есть из двух конъюнктивных членов, в одном из которых содержится некоторая пропозициональная переменная, а в другом ее отрицание, выявляется новый конъюнктивный член, представляющий собой дизъюнктивное объединение обоих членов с исключением переменной pf.
165
Например, из двухчленной конъюнкции (р v q v r)&(p v q v s v t) можем получить эквивалентную ей трехчленную: (pv#vr)& &(р v q vs vf)&(p v rv pv sv t).
Роль p/5 очевидно, играет здесь q (a pz, естественно, -q). Роль Д и В - те части данных членов, которые получаются исключением из них соответственно q и q (т.е. pvrnpvsvt). Напоминаем, что, оперируя нормальными формами, мы отвлекаемся от порядка как конъюнктивных, так и дизъюнктивных членов (на основе эквивалентностей А & В = В& А и AvB=BvA).
Для того чтобы из КНФА получить Сокр.КНФА, надо осуществить все возможные операции следующих типов:
1.	Выявления новых членов (согласно указанной выше эквивалентности);
2.	Исключения повторений конъюнктивных членов (согласно закону А&А = А);
3.	Исключения повторений дизъюнктивных членов (внутри отдельных конъюнктивных по закону A v A s А )14;
4.	Исключения тождественно-истинных членов (т.е. конъюнктов, содержащих какую-то переменную и ее отрицание - согласно закону А & Истина = А);
5.	Поглощения (по закону А & (A v В) = А). Поглощаемым, т.е. подлежащим устранению согласно этому закону, является каждая элементарная дизъюнкция, для которой имеется более "короткая" дизъюнкция.
Порядок выполнения операций, в принципе, не играет роли: в каком бы порядке все эти операции ни были бы осуществлены - результат будет один и тот же. Однако чтобы избежать, например, излишних выявлений или хотя бы излишних сопоставлений членов для обнаружения выявлений, в первую очередь следует осуществлять исключения всех лишних членов: отбрасывание повторений, тождественно-истинных членов и всех членов, поглощаемых какими-нибудь другими, т.е. произвести в некотором роде "очищение" формулы. Подобные "очищения" следует производить в первую очередь в процессе всего преобразования формулы по мере появления возможности. К тому же число операций этого рода можно существенно сократить, избегая производить выявления таких членов, которые должны отбрасываться. Так, из двух членов pvqvr и pvqvr можно, конечно, выявить новый член, взяв за р, (в приведенной выше эквивалентности) q или г. Но сразу уже очевидно, что полученный член будет тождественно-истинным. Ясно, что нормальные - не подлежащие отбрасыванию - члены могут выявляться только из двух других таких, в которых есть лишь одна пропозициональная
14 Заметим, что в приведенном выше примере осуществления выявления в выявленном члене (pv г v р v 5 v t) повторяется р, которое (повторное вхождение) должно быть исключено при приведении формулы к Сокр.КНФ.
166
переменная, входящая в один из них с отрицанием, а в другой - без отрицания.
Само собой разумеется, что исключения повторений дизъюнктивных членов, когда эти повторения возникают в результате некоторых выявлений, можно совмещать с самими операциями выявления. Так, вместо того чтобы из (р v qv г) и (pvq v s) получать в качестве выявленного члена (р v г v р v 5), можно сразу написать (р v г v я).
Полезно иметь определенную систему осуществления и самих операций выявления, аналогичную той, что была предложена в изложении предыдущего метода Куайна при описании операции склеивания.
Осуществление этой операции идет также определенными этапами.
Вначале осуществляются все возможные выявления в данной КНФА. Итоги этих операций (выявленные члены) приписываются конъюнктивно к этому исходному выражению. При этом отмечаем каким-то образом границу между данной КНФА и тем, что присоединяется к ней за счет выявлений. Выявления в данной КНФА производим тем же образом, как осуществляли раньше склеивания: вначале сравниваем - и производим, если возможно, выявления - первый член с каждым из последующих и каждый раз, когда какая-то из перебираемых пар позволяет выявить новый член, выписываем его после отмеченной границы, присоединяя его конъюнктивно к уже полученному члену. Затем таким же образом сопоставляем 2-й, 3-й члены с каждым из последующих и т.д. В результате имеем 2 части полученного выражения: исходная КНФА и конъюнкция всех членов - результатов всех возможных выявлений в этой КНФА.
Возможности упомянутого выше очищения в процессе построения этого выражения могли появиться за счет того, что в новой части могут появиться одинаковые члены с теми, которые имелись в исходной части, или поглощаемые какими-нибудь из них, или, наоборот, поглощающие; в последнем случае вычеркиваем из исходного выражения такие члены. Вообще отбрасывание каких-то членов естественно понимать просто как вычеркивание их из данного выражения.
Второй этап выявлений должен состоять в том, чтобы произвести все выявления, сопоставляя первый член исходной КНФА с каждым членом второй части; затем второй член исходной КНФА - с каждым членом второй части и т.д. Далее идет сопоставление первого члена вновь полученной части со всеми следующими, второго члена этой части - со всеми следующими и т.д. Результаты всех выявлений этого второго этапа также приписываются конъюнктивно к данному выражению и составляют третью его часть. Понятно, конечно, что нужно как-то отметить эту третью часть от второй, т.е. как-то отметить начало этой третьей части. Вообще, если осуществлен некоторый n-й этап, в результате которого к полученному прежде выражению добавлена конъюнкция выявленных на этом этапе членов, то следующий этап должен представлять собой, - не считая операций очищения, - новые, если они еще возможны, выявления посредством сопоставления
167
каждого из членов выражения, имеющегося до осуществления этого п-го этапа, с каждым членом части, полученной в результате его осуществления, и каждого члена этой последней с каждым из следующих за ним. Результаты выявлений, как и на предыдущих этапах, приписываются конъюнктивно к ранее полученному выражению. Если же после п-го этапа никакие выявления невозможны и осуществлены все операции очищения, то полученное выражение представляет собой искомую Сокр.КНФА.
ПРИМЕР
Положим, дана следующая КНФ; приведем ее к Сокр.КНФ по методу Блэка-Порецкого:
(pqr)&	qs&j)q3^& prs.
Очевидно, что далее никакие выявления (кроме тех, которые подлежат очищению) невозможны и проведены все операции очищения. Итоговая Сокр.КНФ имеет вид: pqr& pqr&.qs&.prs.
УПРАЖНЕНИЕ
Найдите, по методу Блэка-Порецкого, все простые следствия из высказываний, которые приведены в качестве упражнения к методу Куайна.
Теперь мы имеем возможность ввести общее понятие Сокр.КНФ, -не связывая его с каким-нибудь определенным высказыванием А.
Скажем, что некоторая формула имеет форму Сокр.КНФ, если и только если она находится в форме КНФ и в ней невозможно осуществление никаких из указанных выше операций - отбрасывание повторений и тождественно-истинных членов, поглощений и выявлений каких-либо новых членов. Двойственным образом определяется понятие Сокр.ДНФ.
Само собой ясен теперь и метод обзора простых гипотез для некоторого высказывания А, т.е. способ приведения к Сокр.ДНФ методом Блэка-Порецкого.
УПРАЖНЕНИЕ
Найдите, используя метод Блэка-Порецкого, все простые гипотезы для высказываний, которые приведены в качестве упражнения по методу Куайна.
III. Метод Нельсона
Для того чтобы построить по данному методу Сокр.КНФ для некоторой формулы А, т.е. осуществить обзор всех простых следствий, надо КНФА преобразовать - согласно закону дистрибутивности & относительно v: А & (В v С) = (А & В) v (А & С) в сочетании с законом коммутативности & и v - в ДНФА. То есть, рассматривая в исходной КНФА & и v как аналоги, соответственно, умножения и сложения, произвести известную в числовой алгебре операцию перемножения 168
многочленов и осуществить все операции "очищения" полученной ДНФА (напоминаем: исключение повторений как конъюнктов внутри членов ДНФ, так и дизъюнктов этого выражения, отбрасывание тождественно-ложных членов и осуществление всех поглощений; все эти операции можно, и даже полезно, проводить по мере появления членов, к которым они применимы в процессе преобразования исходной КНФ в ДНФ). Далее полученную ДНФ надо снова преобразовать в КНФ согласно закону дистрибутивности v относительно & (т.е. произвести перемножение многочленов, приняв v и &, соответственно, за умножение и сложение, опять-таки совмещая по возможности процесс такого преобразования с операциями "очищения" искомой КНФ теперь уже согласно эквивалентностям, двойственным по отношению к тем, которые применялись на 1-м этапе). Полученная таким образом КНФА будет Сокр.КНФ этой формулы.
Итак, совершая, казалось бы, простое движение по кругу - от КНФА к КНФА, - мы получаем в результате нечто новое. Суть дела состоит в том, что при этом "круговом" движении сами собой осуществляются все возможные выявления новых членов в исходной КНФА. Продемонстрируем это.
ПРИМЕР
Пусть исходной КНФ является pq&qr (ясно, что в ней может быть выявлен новый член рг). Для осуществления первого этапа запишем исходное выражение в виде: (pv q)(qv г). Результатом "перемножения двух данных многочленов, очевидно, будет: pqv prv c/fiv qr ("очищение" здесь состоит только в вычеркивании тождественноложного члена qq).
Для преобразования этой ДНФ опять в КНФ снова меняем обозначения, представляя данную ДНФ в виде: (р&#) (р&г) (#&г). Перемножаем опять:
(р& q) • (р& г) • (<?& г) = (рр& pr& pq&qr) • (#& г) =
Итак, в качестве Сокр.КНФ исходной формулы имеем: pq& pr&qr.
Сокр.ДНФА по данной ДНФА - в случае решения задачи обзора всех простых гипотез - получается по данному методу двойственными преобразованиями данной ДНФА в КНФА, а последней опять в ДНФА в сочетаниями с операциями "очищения" получаемых выражений на каждом этапе.
Для упрощения "перемножений" наших многочленов полезно использовать эквивалентности:
(А & В) • (А & С) = А & ВС
(Av В) • (A v С) = A v ВС, т.е. при "перемножении" многочленов, имеющих общую часть, эта общая часть выписывается в результирующем выражении и к ней приписываются результаты "перемножения" различающихся частей данных многочленов.
169
ПРИМЕРЫ
1-	(Р vq)-(r\/p vs) = p vqrvqs
2.	(pqr&, rs& ps) • (pqr& rs&qp) s pqr& rsrs& rsqp& psrs& psqp.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	В одном классе вещей имеются следующие связи между свойствами a, b, с, q, е:
а)	если у предмета есть свойства а и с, то имеется е вместе с одним из свойств b и q (или обоими);
б)	если есть свойства а и q и при этом нет е, то b и с или оба имеются, или оба отсутствуют.
Какие простые следствия можно отсюда вывести? Для решения задачи используйте все изложенные выше методы.
2.	Найдите наиболее простые условия работы автоматического устройства с механизмами р, q, г, удовлетворяющего требованиям:
а)	если срабатывает г, то срабатывает р и не срабатывает q\
б)	если срабатывает р, то не срабатывает q и г;
в)	если срабатывает q и не срабатывает г, то срабатывает р.
§ 26. Минимизация выражений функций истинности.
Минимальные нормальные формы
Полезно начать изложение этого раздела с повторения известных нам положений о том, что каждая формула языка классической логики высказываний представляет некоторую определенную функцию истинности. Но в качестве знаковой формы этой функции мы можем иметь разные формулы, которые - если они действительно представляют одну функцию - являются эквивалентными. Едва ли теперь можно сомневаться в важности задачи найти среди всех возможных знаковых представлений одной и той же фунции наиболее простую - минимальную. Такими представлениями могут быть особого вида конъюнктивные или дизъюнктивные формы, называемые минимальными формами.
Минимальной конъюнктивной нормальной формой некоторой формулы А (или - что то же - минимальной конъюнктивной нормальной формой представления некоторой функции истинности) называется такая КНФ, эквивалентная А, которая содержит минимально возможное число вхождений пропозициональных переменных, т.е. является не избыточной относительно числа вхождений в нее пропозициональных переменных. Это значит, что никаким эквивалентным образом нельзя уменьшить число этих вхождений. В частности, нельзя осуществить никакую из операций, которые мы называли "очищениями” формул. Но из нее нельзя также отбросить ни одного конъюнктивного члена на основе эквивалентности, которую мы использовали ранее для выявления новых членов: (Av p)&(Bvp) = (Av р)&(В v p)&(Av В), Например, из (р v q v r)& (р v s)& (q v г v s) можно отбросить последний член,
17П
который выявляется из двух первых, при этом формула останется эквивалентной исходной. А (р v q v r)&(p v s) является, очевидно, уже минимальной конъюнктивной нормальной формой (Мин.КНФ).
Минимальная дизъюнктивная нормальная форма формулы А (Мин.ДНФА) - это неизбыточная (опять-таки по множеству вхождений пропозициональных переменных) ДНФА.
МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ
Докажем сначала две следующие теоремы:
1. Каждый член Мин.КНФА есть простое следствие А;
2. Каждый член Мин.ДНФА есть простая гипотеза А.
Это укажет нам путь нахождения минимальных форм. Они должны быть частями, соответственно, Сокр.КНФ или Сокр.ДНФ формулы А.
Доказательство теоремы 1.
Предположим, что имеем Мин.КНФ Ах&...&Ат формулы А. В силу ее эквивалентности А, это выражение следует из А (А |= Aj&...&Aw), а это значит, что следствием из А является и каждый член нашей КНФ (это вытекает из определения логического следования и условия истинности конъюнкции). Допустим, однако, что какое-то из этих следствий, т.е. какой-то из членов рассматриваемой КНФ, положим А/, не является простым следствием из А. Это, как следует из определения простого следствия (см. с. 161), означает две возможности:
а)	А является тождественно-истинным следствием, а в силу этого эквивалентным образом может быть удалено из конъюнкции (А & Ист. = А). Но это противоречит нашему условию минимальности рассматриваемой КНФ;
б)	вторая возможность состоит в том, что Az, будучи следствием, представляет собой избыточную дизъюнкцию. Следовательно, есть правильная часть этой дизъюнкции А/ (результат вычеркивания каких-нибудь членов из А/), которая, в свою очередь, является следствием А, т.е.А (= А-. Тогда следствием А является также и Aj&...&А/&...&Ат, т.е. результат замены А, на А/ в исходной КНФ. С другой стороны, из Aj &... & А-& ...&Ат следует наша исходная КНФ Aj &... & Ат, г значит и А, поскольку из А/ (= Д согласно определению логического следования и условиям истинности дизъюнкции. Таким образом, имеем эквивалентность реформированной формы AJ&...&A/&...&Ат = А, что явно противоречит условию минимальности взятой КНФ.
Итак, минимальные формы, КНФ или ДНФ, некоторой формулы А являются, соответственно, частями Сокр.КНФ или Сокр.ДНФ.
Мы употребляем ’’минимальные формы А", имея в виду, что Мин.КНФ, как и Мин.ДНФ некоторой формулы А не обязательно должны быть единственными. Формула А может иметь несколько минимальных конъюнктивных (как и дизъюнктивных) нормальных форм, различающихся, возможно, между собой даже числом вхождений про
171
позициональных переменных. ’’Минимальность” числа вхождений переменных, упомянутая в определениях минимальных нормальных форм, относится лишь к каждому отдельному случаю. Дело в том, что одна из минимальных конъюнктивных нормальных форм, эквивалентных А, может представлять неизбыточную конъюнкцию одних простых следствий из А, другая - других. При этом сами эти следствия могут различаться по длине. Учитывая это, можно ставить задачу нахождения минимальной из всех возможных минимальных форм, эквивалентных формуле А. А это значит, что полезно иметь метод обзора всех минимальных форм формулы А.
Рассмотрим теперь метод (алгоритм) именно такого рода; ограничимся на этот раз его описанием применительно к дизъюнктивным формам - вариант для конъюнктивных форм получается очевидным образом с использованием двойственных понятий и эквивалентностей.
Для того чтобы найти все Мин.ДНФ для данной формулы А, надо:
1.	Построить ее Сокр.ДНФ;
2.	Построить ее СДНФ (если Сокр.ДНФА не построена по методу Куайна; в противном случае - СДНФА уже имеется). Согласно доказанному ранее утверждению (см. с. 138), каждый член Сокр.ДНФА (будучи видом ДНФ А) представляет некоторые конституэнты СДНФА. Учитывая это, осуществляем третий шаг;
3.	Для каждой конституэнты СДНФА устанавливаем, какие именно члены нашей Сокр.ДНФ представляют ее, и подписываем под ней номера этих членов (естественно, предварительно пронумеровав их); *
4.	Задача теперь состоит в том, чтобы из данной Сокр.ДНФА выбрать такие ее дизъюнктивные части, члены которых в совокупности представляют все конституэнты СДНФ. Условия такого выбора описывает следующая метаязыковая КНФ:
(X v A,.12v...vA4 )&...&(\21 V A22v...vA4 )&...
...& A: V...VA L '*1 ksk )
где, например, А, и А/12 есть номера членов Сокр.ДНФ, представляющих первую конституэнту, а А^ и, допустим, А/з2 есть номера нашей Сокр.ДНФ, которые представляют, соответственно, вторую и третью конституэнты, и т.д. Каждое из них трактуется как высказывание "взять член Сокр.ДНФ с этим номером" и играет роль пропозициональной переменной в метаязыковой записи интересующей нас КНФ. При этом множество дизъюнктов первого члена метаязыковой КНФ - это множество различных членов нашей Сокр.ДНФ, которые представляют первую конституэнту нашей СДНФ. Множество дизъюнктов второго конъюнктивного члена метаязыковой КНФ представляют вторую конституэнту нашей СДНФ и т.д., а к-и конъюнктивный член указывает на то, какие члены Сокр.ДНФ представляют к-ю конституэнту СДНФ (где к - число конституэнт в СДНФ). ♦
172
5.	Если теперь эту метаязыковую КНФ преобразовать эквивалентным образом15 в метаязыковую же ДНФ и провести в ней все возможные "очищения"16, то множество членов этой ДНФ показывает, каково множество искомых минимальных форм, а именно: множество конъюнктов каждого ее дизъюнктивного члена указывает номера членов нашей Сокр.ДНФ, дизъюнкция которых представляет минимальную форму. Из этого следует заключительный шаг;
6.	По каждому дизъюнктивному члену полученной метаязыковой ДНФ выбираем члены Сокр.ДНФ, на которые указывают конъюнкты этого дизъюнктивного члена метаязыковой ДНФ, и соединяем их дизъюнктивно. Полученные таким образом дизъюнкции и есть искомые минимальные формы.
Для нахождения Мин.КНФ метод их построения различается, по существу, только в первом, втором и шестом шагах предложенного алгоритма: вместо Сокр.ДНФ строится Сокр.КНФ на первом шаге, соответственно СКНФ - на втором. На шестом шаге - при поиске Мин.КНФ - объединение членов Сокр.КНФ происходит конъюнктивно.
ПРИМЕР
Положим, что дана СДНФ (т.е. выполнен пункт 2 алгоритма):
pqr v pqr v pqr v pqr v pqr v pqr.
Ее можно рассматривать как совокупность всех достаточных условий совершения некоторого действия или истинности некоторого высказывания: для систематичности перебора достаточных условий чего-либо обычно применяют именно совершенные дизъюнктивные нормальные формы их выражения.
Задача состоит в том, чтобы минимизировать (предельно упростить) эти условия. Для нахождения минимальных условий необходимо - в соответствии с пунктом 1 - найти Сокр.ДНФ, эквивалентную этой СДНФ. Используя, как наиболее удобный в этом случае, метод Куайна, получаем:
1_ 2	3_ 4	5
qr vqrvpqvpr vpq (одновременно пронумеровав члены Сокр. ДНФ).
ЗАМЕЧАНИЕ. Для того чтобы убедиться, действительно ли эта форма является Сокр.ДНФ имеющейся СДНФ, читатель может воспользоваться методом Блэка-Порецкого или Нельсона.
Теперь - в соответствии с пунктом 3 предложенного метода нахождения Мин.ДНФ - подписываем под каждой конституэнтой имеющейся
15 То есть, согласно закону дистрибутивности & относительно v: А & (В v С) = = (А&B)v(A&О-
16 Как мы уже отмечали ранее, все возможные операции "очищения" целесообразно проводить, вообще говоря, в ходе всякого преобразования на всех его этапах.
Заметим, кстати, что в данном случае, поскольку у нас нет дизъюнктивных членов с отрицанием, то, конечно, не может быть "очищений" за счет исключения тождественноистинных и тождественно-ложных членов; "ощищение" сводится лишь к отбрасыванию повторяющихся и поглощаемых членов.
173
СДНФ номера тех членов нашей Сокр.ДНФ, которые представляют ее:
pqr	v pqr	v pqr	v pqr	v pqr	v pqr
2	2,3	1,4	3,4	5	1,5’
В соответствии с пунктом 4 строим метаязыковую КНФ:
2& (2 v 3)& (1 v 4)& (3 v 4)& 5& (1 v 5).
В результате предварительного очищения имеем:
2&(lv4)&(3v4)&5.
По пункту 5 преобразуем эту метаязыковую КНФ в метаязыковую ДНФ:
(1&2&3&5) v(2&4&5).
Видим, что имеем две минимальные формы, которые и получаем по пункту 6:
1 v 2 v 3 v 5 и 2 v 4 v 5.
И наконец, "возвращаясь" из метаязыка, имеем формулы:
qrvqrvpqvpq и qrvprvpq,
которые и являются искомыми минимальными.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Найдите минимальные ДНФ для:
a)	pqr vprvqrv pqr v pqr;
6)	pq v qrs v prs v rst v qt.
2.	Найдите Мин.КНФ для:
pqr& pqr&qr& qr.
Глава 7
ЛОГИЧЕСКИЕ ИСЧИСЛЕНИЯ.
ВИДЫ РАССУЖДЕНИЙ И ПОНЯТИЕ ФОРМАЛИЗАЦИИ РАССУЖДЕНИЙ
Построение и анализ логических исчислений, как мы уже говорили, составляет весьма существенную часть теории дедукции. Здесь осуществляется полная формализация дедуктивных рассуждений - выводов и доказательств. Мы говорим здесь "полная", поскольку имеются вообще некоторые уровни (этапы) формализации рассуждений. Чтобы понять суть и значимость логических исчислений, следует ознакомиться с понятием формализации рассуждений (выводов) и сопоставить содержателъ-174
ные и формализованные выводы. При этом мы обнаружим, что при переходе от содержательных рассуждений к формализованным имеют место два этапа (уровня) формализации, и второй уровень формализации представляет именно логическое исчисление - это предел формализации рассуждений. Таким образом, получается три типа рассуждений: содержательное, частично формализованное и полностью формализованное, каковым является логическое исчисление. Заметим, что первые и вторые рассуждения встречаются в естественном языке. Тогда как логическое исчисление - это специфическая форма дедукции, связанная с формализованными языками и, по существу, это уже не рассуждение, поскольку вывод здесь состоит просто в преобразовании одних знаковых форм высказываний в другие по формальным правилам, для применения которых, как мы уже говорили, имеет значение только то, из каких знаков состоит выражение (форма высказывания, т.е. формула соответствующего формализованного языка) и в какой последовательности они в него входят.
Три формы дедукции, которые мы только что назвали (содержательная, частично формализованная и логическое исчисление), различаются по тому, над какими объектами осуществляются операции в процессе дедукции. В СОДЕРЖАТЕЛЬНЫХ РАССУЖДЕНИЯХ о связях между какими-то явлениями, ситуациями мы мысленно оперируем самими этими ситуациями. Они, правда, всегда выражаются в форме некоторых высказываний. Однако высказывания являются здесь лишь средствами выделения ситуаций, но не объектами наших операций. Например, человек умозаключает так: "Сегодня 23 августа - понедельник, следовательно, 1 сентября будет среда". Развертывая это умозаключение в некоторый вывод - последовательность переходов, - он скажет: "23 - понедельник, значит 24 - вторник, значит 25 - среда и т.п., значит 1-го сентября - среда". То есть рассуждение состоит здесь просто в сопоставлении двух рядов объектов: чисел месяца и дней недели. Или, например, такое рассуждение: "В комнате сейчас горит электрический свет, значит по проводам проходит электрический ток, а это, в свою очередь, означает, что вокруг проводов существует магнитное поле, а это значит, что магнитная стрелка должна взаимодействовать с проводами".
С логической точки зрения специфической особенностью содержательных рассуждений является отсутствие критериев их логической правильности. Может возникнуть, например, вопрос, а почему считает человек, что из того, что в комнате горит электрический свет, следует, что по проводам проходит электрический ток? Ответ может быть, очевидно, один: "Электрический свет не может появиться без наличия электрического тока" (т.е. необходимо, что если лампочка светится, то по проводам, подходящим к ней, проходит электрический ток). Возможно, что с этим все согласятся, но это вопрос не о логической правильности, а об истинности некоторого определенного высказывания. Очевидно, что обоснование и всех других переходов приведенного рассуждения (относительно электрического тока) также сводится к вопросу об
175
истинности или ложности каких-то высказываний. Так, переход от наличия тока в проводах к наличию вокруг них магнитного поля оправдывается известным законом физики: "Для всякого проводника верно, что если по нему проходит электрический ток, то вокруг него возникает магнитное поле". Далее, для оправдания третьего перехода надо использовать закон взаимодействия магнитных полей и т.д.1 По поводу подобных высказываний, обосновывающих переходы в содержательном рассуждении, могут быть, естественно, споры и нет никаких точных критериев логического характера для разрешения вопросов о правомерности или неправомерности тех или иных рассуждений. Таким образом, обоснование переходов от одних высказываний к другим осуществляется с помощью каких-то других высказываний - обычно общего характера - типа законов природы.
Для осуществления первого этапа формализации необходимы выявление и явная формулировка всех тех знаний, связанных с дескриптивными терминами в составе употребляемых высказываний, которые неявным образом используются в этом рассуждении и необходимы для обоснования этого рассуждения. Если теперь - в виде совокупности высказываний - сформулировано все содержательное знание, которое фактически используется в данном рассуждении, тогда заключение этого рассуждения может быть получено из этих посылок по некоторым правилам логики. При этом существенную роль начинают играть логические формы высказываний (и, значит, их логические содержания) и весь процесс вывода становится совокупностью операций именно с высказываниями. А для определения того, правилен или неправилен вывод, необходимо учитывать лишь логические формы этих высказываний - конкретное их содержание; т.е. ситуации, с которыми мы имеем дело в содержательном рассуждении, не играют уже никакой роли и можно - даже нужно - для определения того, является ли вывод логически правильным, - отвлекаться от этого конкретного содержания. Поясним это на более простом примере. Рассмотрим умозаключение (I): "Саратов расположен южнее Москвы, Москва - южнее Петербурга, следовательно^ Саратов - южнее Петербурга". Ясно, что закон, который обосновывает здесь переход от посылок к заключению, таков: "Если нечто расположено южнее другого, а это другое - южнее третьего, то и первое - южнее третьего". Добавив это положение в качестве посылки к двум другим данным, получим логически пра-
1 Оправдание переходов от одних ситуаций к другим посредством общих положений - это только один из способов, применяемый именно при формализации рассуждений. Возможен, однако, и другой способ обоснования утверждения о наличии какой-то ситуации в зависимости от другой. Он состоит в объяснении (см. § 95) того, каким образом одна ситуация порождает (обусловливает, детерминирует) другую. При таком способе сами законы, которые мы рассматривали как положения, обосновывающие переходы от одного к другому, становятся результатами этой процедуры объяснения. В первом случае мы имеем дело, по-видимому, с тем, что называют рассудочным мышлением, во втором - разумным. Характерным для него является анализ предметов и явлений с целью выявления их сущностей и связей между явлениями на уровне сущностей (см. § 49).
176
вильное умозаключение; в нашем формализованном языке оно будет выглядеть так (II): Vx1Vx2Vx3((P12(x1,x2)&P12(x2,x3))zd	(xj,x3)),
Р^(а}9а2)9 р2(а2,а3) \= Pf(ai9a3), где Р2{ - "расположен южнее", область D для хь х2, х3 - множество населенных пунктов, аъ а2, а3 - соответственно Саратов, Москва, Петербург. Однако для проверки того, правилен ли наш вывод, нам нужно освободиться от этих интерпретаций - во всяком случае, они не играют никакой роли и принятие их во внимание при анализе выводов с точки зрения их логической правильности может приводить даже к ошибкам. Когда, например, вывод представляется правильным просто в силу того, что истинно его заключение.
В полуинтерпретированном языке наши высказывания имеют определенные логические содержания и в силу именно этих содержаний мы видели, что каковы бы ни были значения дескриптивных символов Рр а29 а39 истинность посылок гарантирует истинность заключения. Действительно, если для всяких хьх2,х3 верна импликация в первой посылке, то она верна и для аХ9а29 а3, т.е. верно 7^2(а1,а2)&Р12(а2,а3)о Pf(a}9a3). Но если верны по отдельности и Р^(а29а3)9 то верно и то, что соответствующие ситуации имеют место одновременно, т.е. верна конъюнкция Z^2(a1,a2)&P12(a2,a3). И, наконец, - в силу смысла "если..., то..." -верно также Р^(а}9а3). В этом последнем рассуждении, обосновывающем данный вывод, используются, очевидно, свойства логических констант: V, &, z> (а в естественных рассуждениях - соответствующие логические термины естественного языка: "Для всякого", "и", "если..., то...").
Если теперь мы явным образом сформулируем те свойства логических констант, которые используем в данном выводе, в виде, например, VxA(x)	А9В	А^В9А
правил рассуждения 1) --------, 2) ----- и ---------, то данное
А(а)	А&В В
заключение из данных посылок может быть получено чисто формальным образом по этим правилам. "Чисто формальным образом" - значит не учитывая никаких смыслов наших высказываний и действуя только по указанным правилам. Тогда все "умозаключение" примет вид (Ш):
VxiVx2Vx3 ((/f (%], х2 ))& Р]2 (х2, х3) z> Р\ (х,, х3)), P^(at, а2),
Ру (а2, а3) (посылки), (ZJ2 (at, а2 )& Р\ (а2, а3)) z> Z]2 (я,, а3)
(из первой посылки по правилу 1 трехкратным его применением), Л52(я1,я2)&^2(я2,я3) (из последних посылок по правилу 2), /}2(я,,я3) (заключение - из импликативной и предпоследней формулы по правилу 3).
12 Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев, кн. I
177
Отвлекаясь от содержательных истолкований логических констант, мы совершаем второй этап формализации наших рассуждений. В результате его осуществления вместо рассуждений мы получаем просто исчисление - в данном примере просто ряд преобразований знаковых форм посылок по данным правилам, в результате которых получаем знаковую форму заключения. Оправдав таким образом наличие указанного отношения следования, мы можем получать все его частные случаи, варьируя интерпретации дескриптивных символов и соответствующим образом, конечно, область D. (Свойства логических констант, которые мы отразили в виде правил, можно выразить не только в виде правил, но и законов. Например, вместо правил 1 и 2 можно вводить законы VxA(x) zd А(а), Azj(Bz) А&В) и использовать их в качестве дополнительных посылок в выводе, но одно правило вывода должно быть; использование законов в качестве посылок выводов характерно для так называемых аксиоматических систем исчисления.)
Итак, мы выделили следующие формы выводов: (I) содержательный, в котором мысленно оперируем непосредственно с ситуациями, составляющими содержание употребляемых нами высказываний; (II) частично формализованный, в котором оперируем уже высказываниями, точнее, их логическими формами; (III) полностью формализованный, - по существу уже не рассуждение, поскольку в процессе осуществления вывода мы оперируем - по формальным правилам без учета вообще какого-то содержания высказываний - просто знаками, составляющими знаковые формы высказываний, как материальными объектами.
Выводы первого типа связаны с полностью интерпретированным языком - интерпретированным в части, относящейся к дескриптивным терминам, и в части, относящейся к логическим константам. В выводах второго типа мы имеем дело с полуинтерпретированным языком -интерпретированным только в части, относящейся к логическим константам. В выводах третьего типа употребляется язык, лишенный вообще какой-либо интерпретации (если назвать языком чисто синтаксическое его построение; очевидно, в определенном смысле это правомерно, поскольку синтаксическое построение - это построение все-таки языка).
Переход от выводов типа (I) к типу (II) представляет собой первый этап формализации, а от (II) к (III) - второй ее этап2.
Таким образом, формализация выводов, как мы видели, состоит в том, что мы сводим содержательные рассуждения к операциям либо с логическими формами высказываний (включая в число посылок все необходимое для осуществления вывода знание, связанное с дескриптивными терминами высказываний), либо со знаковыми их формами (используя явным образом знание, относящееся к логическим констан
2 О формализации рассуждений второго уровня см. также: Смирнов В.А. Формальный вывод и логические исчисления. М., 1972; Он же. Логические методы анализа научного знания. М., 1987.
178
там, и представляя его в виде правил вывода либо в виде логических законов, включая их в число посылок).
В логических исчислениях, построенных на базе языков первого порядка, осуществима полная формализация всех возможных выводов, т.е. полностью формализованное воспроизведение всех имеющихся в данном языке случаев отношения логического следования Г |= В\ ее можно характеризовать как формализацию логики данного языка3.
Примером содержательных рассуждений являются доказательства в евклидовой геометрии в том ее виде, которую она имела до полной ее формализации Д. Гильбертом4, и, значит, в том виде, в котором она преподается в школах. Дело в том, что аксиоматизация геометрии, которая была предложена Евклидом и которую, по существу, имеют в виду в школьных курсах геометрии, не была полной. Это значит, что формально-логически, т.е. в форме частично формализованного рассуждения (не говоря уже о полной формализации), невозможно вывести все теоремы геометрии из аксиом, поэтому здесь нельзя избежать содержательных рассуждений (содержательных доказательств), в которых истинность доказываемых утверждений усматривается посредством осуществления и анализа некоторых геометрических построений. Д. Гильберт в книге "Основания геометрии" осуществил полную аксиоматизацию, это значит, что в аксиомах заключена вся информация нелогического характера, т.е. относящаяся к дескриптивным терминам всех возможных истинных высказываний евклидовой геометрии. Таким образом, вывод любой теоремы может в этом случае быть осуществлен из аксиом с учетом лишь их логических форм, а тем самым лишь с учетом их логических содержаний. Для достижения полной формализации доказательств оставалось при этом выразить явным образом -в виде логических аксиом и правил вывода - используемые в этих рассуждениях свойства логических констант, т.е. осуществить формализацию самой логики (для чего, в свою очередь, нужно построение специального формализованного языка, в котором все возможные высказывания геометрии могли бы быть представлены некоторым стандартным образом).
Формализация содержательных рассуждений и прежде всего та, которую мы назвали частичной, имеет важное значение уже в том отношении, что именно с этим понятием связано понятие "логики рас-суждений" в строгом смысле этого слова, а именно логики как совокуп
3 То, что в данной системе исчисления полностью формализуемы все случаи отношения логического следования Г Н В, характеризуется как полнота этой системы, но ясно, что здесь термин "полнота" употребляетсявв ином смысле по сравнению с полнотой формализации рассуждения как характеристикой этого рассуждения. Согласно одной из теорем, доказанных К. Гёделем, воспроизведение всех возможных случаев отношения логического следования в виде полностью формализованного рассуждения (вывода) невозможно уже для языков второго и более высоких порядков и в этом смысле системы исчисления, представляющие собой формализации логики языков второго и более высоких порядков, являются неполными.
4 Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л., 1948.
12*
179
ности связей между высказываниями, не зависящими от их конкретных содержаний. Только при выявлении таких связей и, соответственно, способов рассуждений появляется точное понятие логической правильности (в содержательном рассуждении, как мы видели, вопрос о правильности рассуждений сводится просто к вопросу об истинности некоторых суждений) и выявляются точные критерии такой правильности.
Впервые обратил внимание на существование формально-логических связей и выявил некоторые формы умозаключений (формы категорического силлогизма) древнегреческий философ и логик Аристотель (384-322 гг. до н.э.). Основное его сочинение, посвященное этому вопросу, - "Первая аналитика". Значение "аргументации по форме" удачно показал немецкий философ Г.В. Лейбниц (1646-1716 гг.) в своем произведении "Новые опыты о человеческом разуме". Он считал, что в аргументации по форме "содержится искусство непогрешимости"5. Правда, при этом в аргументацию по форме он включал и точные математические рассуждения, подчеркивая при этом, что правомерность своих особых форм рассуждений математика "доказывает... с помощью всеобщих форм логики"6. Г.В. Лейбниц предвидел возможность осуществления также и той формализации рассуждений, которую мы назвали формализацией второго уровня, т.е. сведение рассуждений к исчислениям (в особо построенных языках). При наличии таких исчислений, как он считал, вообще была бы исключена возможность всяких недоразумений и споров по поводу того, является ли некоторое рассуждение правильным, и вместо того, чтобы спорить, как, он говорил, мы скажем тогда: "Давайте посчитаем". Реализация этой идеи Г.В. Лейбница для высказываний, выразимых в языке первого порядка, достигается как раз в логических исчислениях в силу чисто формального характера преобразований при построении выводов и доказательств (и, в частности в силу того, что в этих процессах мы имеем дело с конструктивными объектами, каковыми являются знаки). Любой вывод или доказательство всегда может быть точно проверен и при этом как эта проверка, так и само осуществление выводов и доказательств, - по крайней мере, в некоторых разработанных в логике методах поиска доказательств, - могут быть перепоручены машине.
Значение логических исчислений как важнейшей части теории дедукции имеет троякое значение. Во-первых, теоретическое для самой логики, поскольку в процессе и в результате этого построения выявляется бесконечное многообразие законов логики и форм рассуждений, а благодаря дедуктивному построению исчислений все это многообразие предстает как некоторая система взаимосвязанных элементов: из бесконечного множества тех и других выделяется множество исходных, достаточных для доказательства всех формул, представляющих логические законы, для воспроизведения всех возможных отношений следо
5 Лейбниц Г.В. Новые опыты о человеческом разуме. Книга 4, гл. 17. М., 1936. С. 423.
6 Там же.
180
вания, для обоснования любого из допустимых правил рассуждения и т.п. Во-вторых, построенное логическое исчисление может быть использовано как логический аппарат для осуществления выводов и доказательств в тех или иных нелогических теориях, построенных на базе соответствующего прикладного формализованного языка. Построение теории осуществляется при этом просто добавлением специальных ее аксиом к постулатам логического исчисления. И, наконец, в-третьих, логическое исчисление может быть использовано как средство анализа - проверки и обоснования - тех или иных отдельных содержательных рассуждений (посредством их формализации), в особенности когда решение вопросов о правильности или неправильности соответствующих выводов не поддается решению с помощью интуиции.
Существуют различные способы формализации логики и соответственно различные формы (или типы) логических исчислений. В качестве основных выделяются аксиоматические системы (системы гильбер-товского типа), натуральные системы (система натурального вывода, система генценовского типа), системы секвенциального типа (исчисления секвенций). Внутри каждого типа возможны также различные, но эквивалентные между собой (представляющий формализацию одной и той же содержательной логической теории) системы, различающиеся составом постулатов (аксиом и исходных правил вывода - в аксиоматических системах, исходных правил вывода - в натуральных системах, исходных секвенций и правил вывода для секвенций - в исчислениях секвенций).
Глава 8
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ. АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ. СИСТЕМЫ ГИЛЬБЕРТОВСКОГО ТИПА
§ 27. Системы с конечным числом аксиом
Построение всякого логического исчисления, как и любой формальной системы, начинается с формулировки постулатов. В аксиоматических логических системах таковыми являются: некоторое непустое множество выделенных формул - законов логики и также непустое множество правил вывода (преобразования формул).
При этом качественно различаются системы с конечным и бесконечным множеством аксиом, или - системы с аксиомами и системы со схемами аксиом. Мы рассмотрим вначале системы с аксиомами или, как обычно говорят, системы с конечным числом аксиом (системы со схемами аксиом - задают бесконечное множество аксиом).
АКСИОМЫ (логические) - это формулы языка, представляющие собой законы логической системы (в данном случае - классической
181
логики высказываний), принимаемые наряду с некоторыми правилами вывода в качестве исходных постулатов системы, т.е. принимаемые за доказанные.
При построении исчисления с целью формализации форм правильных дедуктивных рассуждений в качестве аксиом выбирают те или иные законы, а в качестве правил вывода такие, которые при истинности посылок в выводах обеспечивают истинность заключений. При этом в теоретических целях стремятся выбрать по возможности минимальное множество аксиом и причем в языке с минимальным множеством связок (но обладающих функциональной полнотой), из которого (из такого множества аксиом) выводимы были бы все законы логики данной системы. Число правил также стремятся свести к минимуму.
Формулы, выводимые из аксиом по правилам системы, называются здесь теоремами. Понятие теоремы следует отличать от понятия метатеоремы. Теорема - это доказуемое утверждение в системе и ее доказательство осуществляется средствами системы исчисления. Метатеоремы же ~ это доказуемые утверждения о свойствах самой системы; естественно, что их доказательства осуществляются уже не средствами системы.
При выборе аксиом и правил системы стремятся прежде всего к тому, чтобы системы обладали двумя основными свойствами:
1. Каждая теорема есть закон логики, т.е. тождественно-истинная формула - свойство семантической непротиворечивости системы;
2. Каждый закон логики соответствующего языка есть теорема системы - свойство семантической полноты системы.
Оба эти свойства в совокупности указывают на адекватность формализации данной логики в данной системе исчисления. Таким образом, при построении системы исчисления мы обращаемся к семантике языка и к понятиям логики, имеющим семантический характер. Однако, согласно основному принципу формализации логики, осуществляя выводы в системах и, в частности, доказательство их теорем, полагается действовать согласно правилам системы чисто формальным образом: без учета смыслов и предметных значений логических констант и формул вообще, т.е. учитывая лишь знаковую структуру имеющихся выражений.
Имеется значительное множество эквивалентных между собой формулировок аксиоматического исчисления классической логики высказываний.
Приведем некоторые из них.
Система аксиом Г. Фреге (1879):
1.	р=> (<7=>р)
2.	(р => (д z> г)) z> ((р => q) => (р => г))
3.	(р=>(^=> г)) =>(<?=>(/? => г))
4.	(pz><7) =>(1^=>1р)
5.	П р => р
6.	р =>11 р, а также два правила вывода:
182
1) Из любых формул вида А о В и А непосредственно выводимо В -правило modus ponens;
2) Из формулы А непосредственно выводима формула /£'А|, которая представляет собой результат подстановки всех вхождений пропозициональной переменной pz в А произвольной формулы В1. Например:	2- ((р=>Ъ)&р)^(р=>Ъ), где роль ph В и
А, очевидно, выполняют, соответственно, q, р Z)~| q и (q & р) z> q.
Будем записывать эти, как и другие, правила в виде:
л	а	г	ч AzdB,A
1. правило modus ponens (сокращенно - т.р.)-----.
В
д
2. правило подстановки (подст.)-—.
/в ^1
Система Б. Рассе л а-А. Уайтхеда:
1.	р vpz> р
2.	рэ ру q
3.	р vZ) qy р
4.	(pz)^)z)(rvpz>rv^)
5.	(р v {q v г)) Z) (q у (р у г))2, где выражение вида A z> В рассматривается как сокращение для "|А v В, и те же два правила вывода.
Польский логик Я. Лукасевич показал возможность упрощения системы Г. Фреге, результатом которого является следующая:
1.	pz)(^op)
2.	(р z> (q z> г)) Z) ((р Z) q) z> (р z> г))
3.	(]q z>~|p) z> (p z> q) с теми же правилами вывода.
Наконец, оказалось, что последнюю аксиому в этой системе можно заменить на (~|р z> q) z> (("|р Z)~|g) z> p). Мы будем использовать систему, предложенную Я. Лукасевичем.
Таким образом, имеем систему - обозначим ее ИВ] А', на которую будем ориентироваться в дальнейшем3:
1.	р Z) (q Z) р) - аксиома консеквента
2.	(р z) (q Z) г)) Z) ((р z) q) z> (р z> г)) - аксиома самодистрибутивно-сти импликации
1 Строго говоря, это правило правомерно лишь когда А есть теорема, что выяснится в дальнейшем при введении понятия "вывод из допущений" - см. ниже.
2 В дальнейшем было установлено (Барвайс), что пятая аксиома была здесь излишней -выводимой из других.
3 Название системы ИВ]А' является, очевидно, сокращением для "исчисление высказываний аксиоматическое".
183
3.	("It? zd"Ip) zd (p zd q) - аксиома сильной контрапозиции. А также два правила вывода:
AzdB,A
т. р. - ———
В
А
ПОДСТ’“ 1«А|-
Каждая из указанных и эквивалентных им формулировок аксиоматических систем представляет собой индуктивное определение понятия теоремы исчисления'.
1.	Каждая аксиома системы есть теорема;
2.	Если A zd В теорема и А теорема, то В теорема;
3.	Если А - теорема, то результат любой подстановки в нее является теоремой;
4.	Ничто иное, кроме 1-3, не является теоремой.
Для всех упомянутых систем доказано, что каждая из них представляет собой адекватную формализацию логики соответствующего языка, т.е. доказано наличие у них приведенных выше 2-х свойств систем. Доказательство существования первого из этих свойств - метатеорема о семантической непротиворечивости - может быть осуществлено уже на данном этапе.
Для установления семантической непротиворечивости надо, во-первых, проверить, например, по методу истинностных таблиц, что каждая аксиома системы является тождественно-истинной формулой. Это предоставляется сделать самому читателю.
Далее, легко установить, что по правилу т.р. из тождественноистинных посылок A zd В и А получается тождественно-истинное заключение В. Действительно, если допустить, что В при каких-то распределениях истинностных значений составляющих ее переменных принимает значение Ложь, то при этом распределении значений формула A zd В примет значение Ложь, поскольку А - тождественноистинная формула. Но это противоречит предположению, что A zd В тоже тождественно-истинно.
В-третьих, по правилу подстановки из тождественно-истинной посылки получается также тождественно-истинное заключение в силу следующего. Истинностное значение каждой формулы, как мы знаем, определяется только истинностным значением составляющих ее переменных. Поэтому А, как тождественно-истинная формула, истинна как при том распределении значений, при котором р, равно Истина (I Р/1 = И), так и при таком, когда I рJ = Л. Так как формула В, подставленная на все места вхождений pt в А, получает при всех распределениях значений в А| также значения И или Л, то и вся эта формула сохраняет значение И, как и формула А, при всех распределениях значений ее переменных.
Таким образом мы доказали семантическую непротиворечивость
184
рассматриваемых систем - каждая теорема этих систем есть тождественно-истинная формула, закон логики.
Наличие второго свойства у всех рассматриваемых систем - семантической полноты, - как и некоторых других их свойств, будет доказано в дальнейшем (см. § 34).
Множество аксиом в каждой из систем с учетом упомянутых коррективов Барвайса и Лукасевича содержит минимально возможное число аксиом. Это означает, что никакую аксиому нельзя исключить так, чтобы система осталась семантически полной. В частности, это означает, что никакая аксиома не может быть получена в качестве теоремы из остальных аксиом по правилам этой системы. Это также одно из свойств рассматриваемых систем - независимость их аксиом.
Учитывая то, что язык каждой из взятых систем является функционально полным (см. § 23 главы 6), в каждой из них можно ввести по определению отсутствующие в ней связки, имеющиеся в других системах. Так, например, в рассматриваемой нами системе HBjA' можно ввести &, v, а также и ~ посредством следующих определений:
a&b=D/1(a =>1в)
A v В =D^ 1а о В или A v В (А о В) о В
А ~ B=Dj (Azi В)&(Во А), где "=Dy" читается как "равносильно по определению" (левая часть является сокращением правой).
С учетом этих возможностей - введения недостающих связок в систему - доказана попарная эквивалентность всех указанных систем.
Эквивалентность двух систем исчисления есть отношение между ними, указывающее на то, что множества теорем этих систем совпадают. При этом определения связок рассматриваются как постулаты. Каждое определение вида A =D^ В подразумевает введение в систему двух импликаций: А о В и В о А, которые при доказательстве эквивалентности систем надо рассматривать как постулаты системы, в которую это определение введено.
Для доказательства эквивалентности двух систем надо показать, что все теоремы одной - с учетом импликаций рассмотренного типа, которые, будучи постулатами системы, являются ее теоремами, -содержатся в другой. А все теоремы второй - опять-таки с учетом возможно имеющихся в ней определений - содержатся в первой.
Конечно, понятие эквивалентности систем применимо не только к системам гильбертовского типа и тем более не только рассматриваемого вида (с конечным числом аксиом). Далее будут вводиться системы других типов, эквивалентные рассматриваемым в этом разделе. Заметим, что эквивалентность систем, устанавливаемую с использованием постулатов указанного рода (определений)^ называют иногда дефинициалъной эквивалентностью систем.
185
Забегая вперед, скажем, что рассматриваемые системы, имея большое теоретическое значение, неудобны как аппарат дедукции и дальнейшее изложение систем будет подчинено стремлению выработать более удобный аппарат для осуществления дедуктивных выводов и доказательств.
§ 28.	Понятие вывода и доказательства в системах гильбертовского типа
Согласно приведенному истолкованию систем как индуктивных определений теоремы и именно для того, чтобы иметь возможность использовать это определение для решения вопроса, является ли какая-либо формула соответствующего языка теоремой системы, необходимо иметь понятие вывода теоремы из аксиом по правилам этой системы. На эту необходимость указывает, собственно, пункт 2 определения теоремы. Учитывая необходимость в более широком определении понятия вывода ("вывода из некоторого множества допущений"), которое будет введено ниже, упомянутые выводы -теорем из аксиом - естественно называть доказательствами теорем.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВОМ некоторой формулы А в указанных системах (гильбертовского типа) называется непустая последовательность формул В], ..., Вт, из которых каждая есть либо аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности по какому-либо из указанных правил, и Вт, называемая заключением доказательства, есть А.
Именно та формула языка системы, для которой существует доказательство, называется теоремой данной системы исчисления. Утверждение, что некоторая формула А является теоремой системы, обозначается в метаязыке |-А.
Заметьте, что каждая аксиома системы есть теорема, доказательством которой является одночленная последовательность, а именно последовательность, состоящая из одной этой формулы. Таким образом, аксиома как отдельная формула и как последовательность, представляющая собой доказательство ее, - это различные объекты метаязыка. Аксиома является объектом метаязыка, поскольку она является формулой языка с подразумеваемым добавлением, что она "доказана" в системе.
Обратим внимание и на то, что посредством подстановки из каждой аксиомы системы может быть получено бесконечное множество доказуемых формул (которые представляются соответствующими схемами аксиом в системах со схемами аксиом).
Последовательность, представляющая собой доказательство, может сопровождаться указаниями для каждой формулы: является ли она аксиомой, если да, то какой именно; или получена из других формул, из каких именно и по какому правилу; в случае применения правила подстановки - какова эта подстановка. Эта совокупность указаний называется анализом доказательства.
186
ПРИМЕРЫ доказательств в системах гильбертовского типа
1.	Доказательство формулы р:э р- закона тождества:
1.	р zd (q zd р) - аксиома консеквента;
2.	(pzD(#z> r))zD((pzD6?)zD(pzD г)) - аксиома самодистрибутив-ности импликации;
3.	(р zd (q Z) р)) zd ((р zd q) zd (р zd р)) - из 2 по правилу подстановки вместо г формулы р;
4.	(р zd q) zd (р zd р) - из 3 и 1 по правилу т.р.;
5.	(р zd (р ZD р)) ZD (р ZD р) - из 4 по правилу подстановки формулы р zd р вместо переменной q;
6.	р zd (р zd р) - из 1 по правилу подстановки р вместо q*
7.	р zd р - из 5 и 6 по т.р.
2.	Доказательство формулы р zd (р zd q) - закона антецедента4 5:
1.	(р zd (д zd г)) zd ((р zd q) zd (р zd г)) - аксиома самодистрибутив-ности импликации; \
2.	(pzD(^rzDr))zD((pzD^)zD(pzDr)) - из 1 по правилу подстановки;
3.	(р ZD ((б? ZD р) ZD г)) ZD ((р ZD (б? ZD р)) ZD (р ZD г)) - ИЗ 2 ПО Правилу подстановки;
4.	(Р ZD ((б? ZD Р) ZD (Р ZD q))) ZD ((р ZD (б? ZD р)) ZD (р ZD (р ZD $))) - ИЗ 3 по правилу подстановки;
5.	р zd (б? zd р) - аксиома консеквента;
6.	р zd (s zd р) - из 5 по правилу подстановки;
7.	((б? ZD р) ZD (р ZD q)) ZD (s ZD ((б? zd p) zd (p zd q))) - из 6 по правилу подстановки;
8.	((б? zd p) zd (p zd q)) zd (p zd ((б? zd p) zd (p zd б?))) - из 7 по правилу подстановки;
9.	(q zd p) zd (p zd q) - аксиома сильной контрапозиции;
10.	p zd ((q zd p) zd (p zd q)) - из 8 и 9 m.p.;
11.	(p ZD (б? ZD p)) ZD (p ZD (p ZD б?)) - из 4 и 10;
12.	p zd (q zd p) - из 5 подст.;
13.	p zd (q zd p) - из 12 подст.;
14.	p zd (p zd q) - из 11 и 13 т.р.
Обратим внимание читателя на следующее важное обстоятельство. Имея на 5-м шаге аксиому консеквента р zd (q zd р), мы получили формулу, имеющуюся на 8-м шаге, тремя последовательными подстановками: вначале вместо q в аксиоме консеквента подставили s,
4 В дальнейшем при употреблении правила подстановки подобные разъяснения опускаем: для анализа вывода они излишни, поскольку по результатам подстановки всегда можно определить, что и вместо чего подставлено.
В целях удобства опять-таки вместо знака отрицания "1" используем
187
а затем вместо р подставили формулу, соответствующую аксиоме сильной контрапозиции. И, наконец, вместо 5 - формулу р, получив нужный результат. Легко убедиться, что мы не получили бы желаемого результата, подставляя сразу вместо р в аксиому консеквента формулу, соответствующую аксиоме сильной контрапозиции, или вместо q формулу р. Здесь мы встречаемся с ситуацией, которую можно было бы назвать перекрещиванием подстановок. Выход из положения должен состоять в том, чтобы сначала заменить переменную, из-за которой происходит перекрещивание, на какую-нибудь переменную, не встречающуюся в формуле, и лишь затем подставлять вместо нее нужную формулу, что и было продемонстрировано в примере.
Пример доказательства в системе исчисления, получающейся из системы ИЕ^А' заменой аксиомы сильной контрапозиции аксиомой (р z> q) zd ((р zd q) zd р), - аксиома "от противного". Докажем формулу (р zd р) zd р — закон Д. Скота:
1.	(р zd q) zd ((р zd q) zd p) - аксиома "от противного"
2.	(р ZD р) ZD ((р ZD р) ZD р) - ИЗ 1 ПОДСТ.
3.	(р zd (q zd г)) zd ((р zd q) zd (p zd r)) - аксиома самодистриб.
4.	((p ZD p) ZD (q ZD r)) ZD (((p ZD p) zd q) ZD ((p ZD p) ZD r)) - из 3 подст.
5.	((p => p) => ((p э p) z> r)) =) ((((p z> p) z> (p z> p)) z> ((p э p) => r))) -из 4 подст.
6.	((p => p) => ((p z> p) z> p)) z> ((((p => p) => (p => p)) z> ((p z> p) z> p))) - из 5 подст.
7.	((p z> p) => (p =) p)) z> ((p z> p) z> p) - 6, 2 m.p.
8.	p zd (q zd p) - аксиома консеквента
9.	(p zd p) zd (q zd (p zd p)) - из 8 подст.
10.	(p ZD p) ZD ((p ZD p) ZD (p ZD p)) - ИЗ 9 ПОДСТ.
11.	p zd p - ранее доказанная теорема6
12.	(p zd p) zd (p zd p) - 10, 11 m.p.
13.	(p zd p) zd p - 7, 12 m.p.
В практике познания в определенных случаях возникает необходимость проводить рассуждения с использованием некоторых допущений, т.е. высказываний, которые не являются доказанными, например, в той или иной теории7. Формальным аналогом таких рассуждений у нас будет понятие вывода из допущений. (Иногда употребляют термин "вы
6 Для сокращения выводов правомерно использовать ранее доказанные теоремы, имея в виду, что доказательство теоремы всегда можно вставить в данный вывод или доказательство.
7 Ничто не мешает нам рассматривать в качестве допущения и некоторую формулу, фактически являющуюся теоремой, отвлекаясь от того, что существует ее доказательство. Как мы увидим далее, в релевантной логике весьма существенно, рассматриваем ли мы некоторое высказывание - теорему А - именно как теорему или как допущение. В этих случаях А содержит не одну и ту же информацию. (В классической логике теоремы системы вообще не несут никакой информации.)
188
вод из гипотез", хотя он не совсем удачен, поскольку гипотезами в науке называют допущения особого рода, в какой-то мере обоснованные.)
Выводом из множества допущений Г формулы В назовем непустую последовательность формул ..., Вт, в которой каждая формула есть либо аксиома, либо допущение из Г, либо получена из предыдущих формул последовательности по правилу т.р. или правилу подстановки, причем подстановка допустима только вместо тех пропозициональных переменных, которые не встречаются в допущениях, и Вт есть В.
Очевидно, что понятие вывода из допущений является обобщением понятия доказательства. Доказательство есть вывод из пустого множества допущений. Утверждение о наличии вывода (выводимости) формулы В из множества допущений Г записывается (в метаязыке, конечно) в виде Г |- В\ в случае пустого Г (т.$. при наличии доказательства В) имеем I- В (читается: "В доказано" или "В есть теорема системы").
Ограничение - относительно применения правила подстановки в определении вывода из допущений - связано с различным употреблением пропозициональных переменных: с одной стороны - в допущениях, с другой - в доказанных формулах, т.е. в теоремах системы.
В доказанных формулах переменные р, q, г, 5... являются знаками любых высказываний, т.е. переменные употребляются здесь в интерпретации всеобщности. Это выражается и в формулировке самого правила подстановки, т.е. в указании возможности подставлять в доказанной формуле любую формулу вместо любой пропозициональной переменной. В допущениях же они - пропозициональные переменные -обозначают какие-то определенные, хотя и без указания, какие именно, высказывания. То есть имеют фиксированное значение, иначе говоря - употребляются в условной интерпретации.
Однако указанное ограничение в применении правила подстановки, зачастую встречающееся в формулировках систем, является излишне жестким. Его можно ослабить до следующего:
"Подстановка в некоторую формулу С вместо какой-то пропозициональной переменной р, допустима лишь в том случае, если данная переменная не встречается ни в каких допущениях, от которых зависит формула С"8.
Понятие зависимости некоторой формулы вывода от допущений определяется индуктивно:
1.	Каждое допущение зависит от самого себя.
2.	Формула С, полученная по т.р., зависит от некоторого допущения А, если и только если от него зависит какая-нибудь из посылок данного применения этого правила.
3.	Формула С, полученная из В по правилу подстановки, зависит от некоторого допущения А, если и только если от него зависит В.
8 С подобной ситуацией мы встречаемся далее относительно предметных переменных в связи с некоторыми правилами для кванторов в исчислении предикатов.
189
Конечно, указанное ослабление требований к подстановке само связано с некоторыми осложнениями в осуществлении выводов, а именно: оно требует прослеживания зависимостей формул вывода от тех или иных допущений. При указанном индуктивном определении зависимости это отнюдь не тривиальная процедура.
Заметим здесь о существовании определенного способа выхода из этих трудностей (который мы в дальнейшем будет использовать). Он состоит в следующем: необходимо формализовать само понятие зависимости таким образом, чтобы она была явно выражена на каждом шаге вывода. Для этого требуется переформулировка правил вывода такая, чтобы применение правила каждый раз указывало бы на зависимость заключения от тех или иных допущений. Это означает, в свою очередь, что каждой формуле вывода надо приписывать характеристику ее зависимостей от тех или иных допущенй. Эта характеристика для каждой формулы означает именно указание того множества допущений Г, от которого она зависит в выводе.
Для каждого допущения А эта характеристика суть единичное множество, состоящее из самого этого А. А характеристика аксиомы -пустое множество допущений. Для формул, получающихся по правилам вывода, характеристика зависимости определяется самими этими правилами при следующей их переформулировке:
А zd В[Г], А[Д]
т.рл -------------
Я[ГиД]
А[Г]	Л	к
подст.:	> гДе Ги Д, как уже было сказано, - некоторые
множества допущений, возможно пустые. Пустое множество допущений является характеристикой теорем системы (в том числе, конечно, и аксиом).
Введение характеристик зависимости, как мы увидим далее, разрешает не только указанные трудности, но и ряд проблем, возникающих в связи с понятием вывода в натуральных системах исчисления высказываний, а также и в связи с применением некоторых кванторных правил в исчислении предикатов. А в системах релевантной логики понятие характеристики зависимости окажется даже формальным аналогом самого понятия релевантности.
ПРИМЕР
Осуществим вывод (р zd q), (q zd r)l- p^>r.
1.	p zd q - допущение
2.	q zd r - допущение
3.	(p zd (q id r)) zd ((p zd q) zd (p zd r)) - аксиома самодистрибутивности
4.	p zd (q zd p) - аксиома консеквента
5.	(q zd r) zd (q zd (q zd r)) - из 4 подст.
6.	(q zd r) zd (p zd (q zd r)) - из 5 подст.
7.	p zd (q zd r) - из 6, 2 т.р.
8.	(p zd #) zd (p zd r) - из 3,7 т.р.
9.	p zd г - из 8, 1 т.р.
190
ЭФФЕКТИВНОСТЬ ОСНОВНЫХ СИНТАКСИЧЕСКИХ понятий
Поскольку выводы и доказательства в исчислениях должны быть чисто формальными процедурами преобразования формул, должны выполняться некоторые необходимые условия реализации этого требования. Таковыми являются требования эффективности таких основных понятий, используемых в выводах и доказательствах, как понятие формулы, аксиомы, правила вывода и самих понятий вывода и доказательства.
Об эффективности понятия формулы и связанных с ним понятий исходного символа, последовательности исходных символов мы уже говорили (см.: "Язык логики высказываний").
Формулировки правил вывода также эффективны: одно из них {m.p.) указывает на отношение между парой формул - посылками правила А о В и А - с одной стороны, и формулой - заключением В - с другой стороны; второе правило (подст.) указывает на отношение между двумя формулами - посылкой правила и заключением. Очевидно, что для любого случая наличия пары формул Aj иА2и формулы А3 можно по виду самих формул решить вопрос, находятся ли они в этом отношении, т.е. имеют ли они соответствующие структуры. Аналогично и для правила подстановки.
Аксиомы и допущения тривиально эффективны.
При выполнении всех этих условий эффективными, очевидно, являются и понятия вывода и доказательства, т.е. для любой последовательности формул мы можем определить, является ли она доказательством и какой именно формулы, или является выводом из допущений и при этом какой формулы и из каких именно допущений.
Поскольку в выводе существенно также понятие теоремы, то естествен вопрос: является ли оно эффективным? Положительный ответ на этот вопрос, по-видимому, следует из его связи с понятием доказательства. Однако это не вполне так и дело обстоит сложнее, чем это кажется на первый взгляд.
Понятие теоремы в рамках синтаксиса полуэффективно', если в действительности данная формула - теорема, то мы можем установить это, используя понятие доказательства. Дело в том, что в принципе -теоретически - всегда может быть найдено ее доказательство. В случае же когда некоторая формула А не теорема, формально - только в рамках синтаксиса, не обращаясь к семантике, - этого установить нельзя.
Обращаясь же к семантике, а именно к определению логического закона (тождественно-истинной формулы) и к соответствующим критериям тождественной истинности формул (§ 20), а также используя при этом указанные два свойства систем — семантической непротиворечивости и семантической полноты, - мы можем уже по виду любой данной формулы решить вопрос, является ли она теоремой системы исчисления логики высказываний или не является таковой. Эта
191
возможность эффективным образом решать вопрос для каждой формулы языка системы, является ли она теоремой системы или не является, называется, как мы уже говорили, разрешимостью системы. Любая из указанных систем и любые эквивалентные им формулировки исчисления высказываний классической логики являются, таким образом, разрешимыми.
Следует обратить внимание на различие в индуктивных определениях, например, формулы логики высказываний и определения теоремы в аксиоматической формулировке исчисления высказываний. Различие состоит в характере индуктивного предположения. В определении формулы оно, как помним, таково: "если А и В формулы, то..." и далее следует индуктивный шаг. В определении же теоремы имеем: "Если АпВ теоремы..." или - в формулировке правила подстановки -"Если А теорема, то..." и далее следует также индуктивный шаг. По форме - здесь полная аналогия, однако понятие формулы является эффективным и на каждом шаге индуктивного построения формул мы можем решить вопрос, выполняется ли наше индуктивное предположение. В определении же теоремы нет такого синтаксического средства. Необходимо еще дополнительное средство, каковым является понятие вывода формулы из аксиом, т.е. доказательство. Этим и объясняется, почему в дополнение к имеющемуся индуктивному определению теоремы требуется еще особая теория доказательства.
ВЫВОД И ВЫВОДИМОСТЬ
Мы говорим о выводе, например, формулы В из некоторого множества допущений Г. С этим понятием естественно связывается понятие формальной выводимости В из Г, что в метаязыке записывается в виде Г I- В. Однако возникает вопрос, является ли отношение между выводом и выводимостью взаимнооднозначным, т.е. каждому ли выводу соответствует единственная выводимость и, наоборот, каждому ли случаю заданной выводимости соответствует единственный вывод? Очевидно, конечно, что это не так. Более того, каждому выводу соответствует даже бесконечное множество случаев выводимости, а заданную выводимость Г I- В может представлять отнюдь не единственный вывод. По нашему определению вывода из допущений, указанную выводимость представляет любая непустая последовательность формул, являющаяся выводом формулы В, в которой нет никаких допущений, кроме тех, что указаны в Г, но отнюдь не обязательно, чтобы все эти допущения встречались в выводе.
Основное свойство выводимости, о котором здесь фактически идет речь, можно выразить так:
если из Г выводимо В, то из любого множества А, которое являет-
192
р|_ д
ся расширением Г, также выводимо В. Символически:	-, где Г С
а тх	л.	Г[~в
Д. Иногда его формулируют в виде: —•
Среди этого множества выводимостей одни случаи являются более сильными, другие менее сильными в зависимости от того, является ли множество допущений менее широким или более широким. Кстати, при использовании характеристик зависимости формул вывода от допущений мы можем выделить наиболее сильную выводимость. Таковой является выводимость Г1- В, где Г - характерстика заключительной формулы вывода, при условии, конечно, что это множество включает лишь те допущения, которые действительно использовались при выводе данной формулы.
Когда говорят о выводимости Г1- В, то не исключают и случай, когда Г - бесконечное множество допущений. Однако в наших системах справедлива метатеорема - метатеорема компактности.
Выводимость формулы В из бесконечного множества допущений Г имеет место тогда и только тогда, когда существует некоторое конечное подмножество этого множества П, такое, что П- В.
Справедливость этой метатеоремы следует из того, что при построении вывода, соответствующего выводимости формулы В из бесконечного множества допущений Г, мы используем всегда только конечное его подмножество Г' (построенный при этом вывод представляет выводимость П- В). Если, наоборот, задана выводимость Г1- В с конечным Г, то представляющим ее выводом является любой вывод, который не содержит никаких других допущений, кроме указанных в Г, в том числе таковым может быть и доказательство В, когда в выводе нет ни одного допущения.
Отношение формальной выводимости есть синтаксический аналог семантического отношения логического следования. Адекватность формализации логики в тех или иных системах логических исчислений состоит в конечном счете в том, что для каждого случая отношения логического следования Г1= В в системе имеется формальная выводимость П-В, и наоборот. И каждый закон данной логической системы является теоремой системы, т.е. понятие теоремы системы есть синтаксический аналог закона логической системы - тождественно-истинной формулы.
§ 29.	Основные свойства систем исчисления высказываний классической логики
В качестве фундаментальных свойств систем исчисления, вытекающих из самих целей формализации логики, мы уже называли семантическую непротиворечивость и семантическую полноту. Более того, наличие первой для рассматриваемых систем было уже доказано. С этими семантическими свойствами связаны синтаксическая непротиворечивость и полнота систем.
13 Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев, кн. I	193
СИНТАКСИЧЕСКАЯ НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ
Что касается синтаксической непротиворечивости, то выделяются три понятия:
1.	Непротиворечивость относительно отрицания;
2.	Непротиворечивость в абсолютном смысле;
3.	Непротиворечивость в смысле Поста.
Система называется непротиворечивой относительно отрицания, если и только если в ней не доказуема никакая формула А вместе с ее отрицанием 1 А.
Справедливость этой метатеоремы для рассматриваемых систем является простым следствием их семантической непротиворечивости: поскольку каждая теорема есть тождественно-истинная формула, а А и "| А не могут быть вместе тождественно-истинными, постольку они и не могут быть обе теоремами, т.е. доказумыми формулами.
Непротиворечивость системы относительно отрицания является реализацией важного принципа непротиворечивости рассуждений. Но для классической логики это свойство важно еще и потому, что в случае возникновения в системе противоречия - доказуемости А и 1А -система вообще разрушается: в ней доказуемой окажется вообще любая формула В. Это сразу получается по установленной нами теореме р z> (р о q). Подставляя вместо р и р доказанные формулы А и А, а вместо q - произвольную В, двойным применением т.р. получаем В9.
Непротиворечивость в абсолютном смысле означает, что в системе не любая формула является доказуемой.
Это свойство также имеет место в рассматриваемых системах. Оно является следствием непротиворечивости относительно отрицания, которое указывает, что А или "IА не является теоремой системы. Ясно, что и, наоборот, из второго следует первое: если доказуема любая формула, то для любой а доказуема она и ее отрицание.
Наконец, система исчисления непротиворечива в смысле Поста, если и только если в ней не доказуема никакая формула, состоящая только из одной переменной.
Если, например, доказана некоторая формула pt, то подстановкой в нее получаем "| р,. Отсюда очевидно, что это понятие непротиворечивости равносильно первому и второму, как и эти между собой, т.е. все эти три понятия равносильны.
9 Это, как мы отмечали, парадоксальная особенность следования в классической логике ("из противоречия следует все что угодно"). Она устраняется в результате замены классического понятия следования релевантным. См. раздел: "Релевантная логика".
194
СИНТАКСИЧЕСКАЯ ПОЛНОТА
Система называется синтаксически полной, если и только если добавление к ней в качестве новой аксиомы некоторой формулы В, не доказуемой в системе, превращает систему в синтаксически противоречивую в любом из указанных смыслов.
В соответствии с различением видов синтаксической непротиворечивости различают также и виды синтаксической полноты: относительно отрицания, в абсолютном смысле, в смысле Поста.
Доказательство метатеоремы о синтаксической полноте рассматриваемых систем легко получить при допущении справедливости метатеоремы об их семантической полноте (см. § 34).
В силу этой метатеоремы каждая тождественно-истинная формула доказуема и, значит, недоказуемая формула не тождественно-истинная. Следовательно, наша формула В, будучи недоказуемой в системе, не является тождественно-истинной. В силу критерия тождественной истинности (см. § 20) в каком-то из членов ее КНФ не встречается никакая пропозициональная переменная вместе с ее отрицанием. Поскольку В включена как новая аксиома в систему, то теоремой системы становится и ее КНФ, а также и указанный член ее КНФ. Применяя теперь правило подстановки, заменим все неотрицаемые пропозициональные переменные этого члена на какую-нибудь переменную pit а все отрицаемые - на "I р/.Получим выражение, эквивалентное Р/10, и, следовательно, р, в качестве теоремы системы, расширенной за счет добавления аксиомы В. Но система, полученная таким образом, противоречива в смысле Поста, а значит, противоречива и в любом из указанных смыслов, что и требовалось доказать.
Однако, конечно, должно быть оправдано наше допущение относительно справедливости метатеоремы о семантической полноте. Доказательство ее мы откладываем (см. § 34) до перехода к системам исчисления, представляющим собой более удобный дедуктивный аппарат по сравнению с рассматриваемыми системами.
В чем сокровенный смысл метатеоремы о семантической полноте? Он состоит просто в том, что в качестве аксиом в исчислении высказываний нельзя брать не тождественно-истинные формулы. Но это приводит нас сразу к следующему обобщению этой метатеоремы: ни к какой из семантически полных систем нельзя добавить также никакого нового правила, которое не обеспечивает выведения тождественно-истинного высказывания из также тождественно-истинного. Правилами такого рода могут быть только не выводимые в наших системах. Значит, нельзя добавить к системе никакого нового правила, не выводимого в ней; добавление такого рода делает систему противо
10 Положим, для примера, этот член КНФ имеет вид q vsvrvi. В результате предлагаемой подстановки получим р,-vpz-vpz-vpz-, что, очевидно, эквивалентно просто pt\
13*
195
речивой11. Доказательство этого обобщения метатеоремы совершенно аналогично проведенному.
К числу основных свойств систем относят часто также независимость их аксиом. Однако это свойство желательно, но не является необходимым для системы; оно не находится в противоречии с целями формализации логики. Требование независимости аксиом скорее имеет эстетически-прагматический, чем логический характер.
§ 30. Системы гильбертовского типа с бесконечным числом аксиом
'	(системы со схемами аксиом)
Как мы видели, осуществление доказательств теорем, а также выводов из некоторых допущений, является отнюдь не тривиальной задачей. Их построение требует большого искусства и значительной изобретательности. Особенно трудно обычно определить, какие аксиомы должны быть использованы, какие подстановки в них должны быть осуществлены. Так, семантически весьма очевидные законы логики А& ВзАиА&ВзВв нашей системе приобретают вид "|(А о "|В) о А и "|(А о ]В) z> В и становятся отнюдь не тривиально доказуемыми.
Но вместе с тем указанные построения систем приобрели большое теоретическое значение. Демонстрация того, что любая из бесконечного множества теорем может быть выведена только из трех формул с применением лишь двух правил, является, безусловно, важнейшим теоретическим достижением символической логики, представляющей именно теоретический метод исследования дедуктивных процессов. В дальнейшем, однако, развитие логики пошло по линии упрощения выводов и доказательств.
Один из первых шагов в этом направлении состоял в сокращении выводов и доказательств, связанный с заменой аксиом схемами аксиом. Как мы видели, иногда для осуществления нужных подстановок необходимо было производить промежуточные, вспомогательные подстановки одних переменных вместо других с последующей заменой этих переменных еще какими-то другими. Это, как и вообще процедура подстановок, значительно удлиняет выводы и доказательства. Для исключения этих как будто заведомо лишних замен одних переменных другими вводят так называемые вариантные выводы и доказательства12, в которых позволяется использовать в выводах и доказательствах наряду с аксиомами их варианты.
ВАРИАНТОМ АКСИОМЫ - по Черчу - называют такую формулу, которая отличается от данной только составом переменных, при этом таким образом, что каждые два вхождения различных переменных в одной формуле являются различными и в другой, а каждые два вхождения одинаковых переменных в одной остаются одинаковыми и в другой формуле.
11 Относительно выводимости правил в системе см. раздел "Основные и производные правила" (§ 33).
12 См.: Черч А. Введение в математическую логику. М., 1960. Т. 1. § 13.
196
Например, вариантами аксиомы р 2D (q 2D р) являются: q 2D (р 2D q), рэ(гз р), но р 2D (р о р) или "] р о (q 2D "] р) - уже не являются вариантами ее. Однако напрашивается более эффективное и широкое обобщение: заменить в указанных формулировках аксиоматических систем каждую аксиому схемой ее, употребляя вместо пропозициональных переменных знаки формул метаязыка А, В, С, которые могут вообще подставляться вместо переменных по правилу подстановки. Причем не подразумевается, что А, В, С должны быть обязательно попарно-различными, как и для пропозициональных переменных не подразумевалось, что различные переменные являются сокращениями обязательно для различных формул. Тогда вместо трех аксиом рассмотренной нами системы HBjA' получим 3 схемы:
1.	Azd(BzdA)
2.	(А 2D (В 2D С)) =э ((A 2D В) 2D (А 2D С))
3.	(В 2D А) 2D (А 2D В).
Каждая из этих схем представляет собой выражение метаязыка, служащее общим знаком для любой из теорем, которая может получиться подстановкой в соответствующую аксиому. Все эти теоремы становятся аксиомами и носят название этой же аксиомы. Тем же названием обозначается и сама схема (схема консеквента, схема самодистрибутивности и т.п.). В таком случае не нужным становится само правило подстановки. Оно применяется теперь в выводах и доказательствах неформальным образом.
В настоящее время многие авторы13 излагают системы исчислений гильбертовского типа, начиная их формулировки сразу со схемами аксиом.
Итак, рассмотренная ранее система с аксиомами HBjA' приобретает теперь следующую формулировку - система ИВ} А:
1.	А 2D (В 2D А) - схема консеквента
2.	(А 2D (В 2D С)) 2D ((А 2D В) zd (А 2D С)) - схема самодистрибутивности импликации
3.	(В 2D А) 2D (А 2D В) - схема сильной контрапозиции.
А 2D В, А Правило вывода т.р.:------.
В
Понятия доказательства и вывода в системе остаются теми же самыми, за исключением того, что новые формулы в выводе получаются лишь по одному правилу т.р.
Однако, продолжая обобщение понятий предшествующей системы, мы можем ввести понятие схемы вывода (и, в частности, схемы доказательства).
Схема вывода - это последовательность выражений метаязыка, получающихся подстановками вместо переменных в формулы языка
13 См., например: Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1976; Новиков П.С. Элементы математической логики. М., 1973.
197
метазнаков формул А, В, С и т.п. Точнее говоря, схема вывода - это непустая последовательность формул метаязыка, в которой каждая формула есть либо схема аксиомы, либо схема некоторого допущения, либо получена из предыдущих формул последовательности по правилу т.р. Последнее выражение в выводе также называется заключением данной схемы вывода.
При отсутствии допущений вывод называется схемой доказательства заключительной метаформулы.
Схема вывода представляет бесконечное множество выводов; они получаются в результате замен метазнаков формул А, В, С на любые формулы нашего языка, при этом один метазнак во всей схеме вывода заменяется везде одной и той же формулой, а различные метазнаки -различными формулами.
ПРИМЕРЫ
Приведем примеры доказательства и схемы доказательства. Докажем полученную ранее в ИВ] А' теорему р о (р о q) - закон антецедента. Это покажет, насколько сокращаются выводы при переходе к схемам аксиом (см. с. 187).
1.	(рз>((^=>р)=)(рз>?)))э((р=)(^ эр))з>(рэ(р=>9))> - ак-сиома самодистрибутивности "э" (получена, очевидно, из схемы само-дистрибутивности "о" неформальной подстановкой).
2.	((# о р) о (р о q)) ^>(р^ ((q zjp)z>(pz> q))) - аксиома консеквента.
3.	(q о р) (р Z) q) - аксиома сильной контрапозиции.
4.	р о ((q ^>р)^(р^> q)) - из 2.3 т.р.
5.	(р о (q z> р)) э(р=)(рэ q)) - из 1, 4.
6.	р z) (q о р) - аксиома консеквента.
7.	р о (р о q) - из 5, 6 т.р.
Соответствующая этому доказательству схема доказательства -схема доказательства схемы теоремы А о (А о В):
1.	(А о ((В о А) о (А о В))) о ((А о(ВоА))о(А э(АэВ}))) схема самодистрибутивности импликации.
2.	((В zd А) z> (А zd В)) zd (А zd ((В zd А) zd (А э В))) - схема консеквента.
3.	(В zd А ) zd (A zd В) - схема сильной контрапозиции.
4.	A zd ((В zd А) zd (А zd В)) - 2, 3 т.р.
5.	(A zd (В zd А)) zd (A zd (A zd В)) - 1, 4 т.р.
6.	A d (В d А) - схема консеквента.
7.	A zd (A zd В) - 5, 6 т.р.
В схемах выводов мы применяем некоторые варианты исходных формулировок схем аксиом (например, для схемы консеквента Ad(AdA), Ad((AdB)dA), Azj(BzdA), Bzd(AzdB) и т.п.) под теми же названиями. Они представляют собой конкретизации исходных
198
схем, указывающие на то, какого именно вида формулы подставлены в том или ином случае.
Рассмотренные прежде системы с аксиомами называют конечно-аксиоматизированными. Их переформулировки со схемами, очевидно, уже не являются конечноаксиоматизированными, поскольку в качестве исходных постулатов принимается бесконечное множество аксиом. Однако понятие аксиомы остается эффективным: по виду любой формулы можно всегда определить, является ли она частным случаем некоторой схемы аксиомы, а значит, и аксиомой системы. Более того, по любой схеме можно судить, являются ли представляемые ею формулы тождественно-истинными, и, следовательно, в определенном смысле можно говорить о тождественной истинности или не тождественной истинности самих схем14. Эффективными являются и схемы аксиом: по любому метавыражению для формул можно определить, является ли оно той или иной схемой аксиом. Системы с эффективным понятием аксиомы называются эффективно аксиоматизированными.
В дальнейшем мы будем обычно пользоваться схемами выводов и доказательств, поскольку они явно предпочтительнее. Предпочтительность их очевидна, например, в связи с понятием закона логики. Так, мы имеем закон тождества рз р, а также pop и (р & q) о (р & q) и т.д. и т.п. Спрашивается, существует один закон тождества или их бесконечное множество? На этот вопрос кажется правильным следующий ответ: есть много вариантов закона тождества, которые представляет в качестве их общего знака (общего имени) схема А о А. Поэтому естественнее доказывать именно схемы законов, а не законы из бесконечного их множества.
Однако если мы стремимся к упрощению формулировок исчислений как аппарата дедукции, то главное состоит, очевидно, в том, чтобы сузить по возможности сферу искусства изобретательности и интуиции, связанную с выбором нужных аксиом и подстановок при осуществлении выводов и доказательств. Такая возможность имеется. Она связана со свойством наших систем, которое фиксируется в метатеореме дедукции.
§ 31. Метатеорема дедукции
Метатеорема дедукции: Если имеется вывод Г, A h В, то имеется также вывод Г h А о В (где Г, А есть сокращение для Ги {А}).
Вообще, договоримся на будущее, что вместо записи для выводимости {Аь ..., Ат} h В будем употреблять Alt ..., Ат h В, имея в виду, что перечень формул Аь ...» Ат рассматривается не как последовательность, а как множество формул. Это значит, что порядок перечисления не является существенным и исключаются возможные
14 Соответственно, в отношении схем можно использовать те же критерии тождественной истинности и тождественной ложности, что и для формул, с той лишь разницей, что вместо пропозициональных переменных употребляются метазнаки формул.
199
повторения одной и той же формулы. Случаи, когда существенно понимать указанный перечень именно как последовательность, будут оговариваться особо.
Таким образом, когда мы хотим вывести формулу вида A z> В из множества допущений Г (возможно, пустого), возникает возможность использовать дополнительное допущение А, т.е. осуществить некоторый вспомогательный вывод; затем, устранив А, построить вывод, наличие которого утверждается в метатеореме (результирующий вывод). Вспомогательный вывод осуществить обычно проще (поскольку имеется больше допущений и проще его заключение). Надо знать, следовательно, лишь каким образом построить результирующий вывод по вспомогательному. Этот способ становится ясным из доказательства метатеоремы (он, как и все конструктивные доказательства утверждений о существовании некоторого объекта - в данном случае вывода Г h A zd В, - состоит именно в указании способа построения или нахождения в некотором множестве этого объекта).
Построение результирующего вывода осуществляется перестройкой вспомогательного посредством замены каждой его формулы Вп некоторой последовательностью формул в зависимости от того, как получена Вп в исходном выводе. Эти замены таковы, что в результате каждой из них соответствующий вывод Г, A h Вп (каковым, очевидно, является часть исходной последовательности формул от В\ по Вп включительно) перестраивается в Г h A zd Вл, и, следовательно, Г, A h В в конечном счете перестраивается в Г h А zd В.
Каждая Вп есть либо 1) аксиома, либо 2) какое-то допущение из Г, либо 3) выделенное (подлежащее исключению) допущение А, либо, наконец, 4) она получена из некоторых формул В^ э Впи Bt по т.р.
В случаях 1 и 2 Вп заменяется последовательностью: Bn,Bnz> zd (A zd Вп) (аксиома консеквента), A zdВп.
В случае 3 она заменяется последовательностью из пяти формул, являющейся доказательством формулы A zd А.
В случае 4 заменяем ее последовательностью (A zd(B,-zd Bw))zd zd ((A zd Bi) zd (A zd Bn)) (аксиома самодистрибутивности), (A zd Bi) zd zd(AzdB„),AzdB„.
Нам остается только доказать, что при таких заменах вывод Г, A h В действительно перестраивается в Г h A zd В (для любого п).
Воспользуемся методом возвратной математической индукции. Чтобы доказать утверждение этим методом (в данном случае индукцией по длине вывода и), предполагаем, что оно верно для любого целого положительного числа к < п (предположение индукции), и показываем, что тогда оно верно также для п (индукционный шаг).
Предположение индукции означает в данном случае, что каждый вывод Г, A F Вк (к < п) перестроен в Г h A zd Вк и, значит, последовательность, полученная на шаге п - 1 (т.е. в результате замены Вп_х соответствующей последовательностью), есть вывод Г h A zd Вп_х. Но 200
тогда ясно, что на шаге п мы получаем в любом из случаев 1—4 именно Г h А zd Вп. В случаях 1-3 каждая из соответствующих последовательностей (которой заменяется Вп) сама уже представляет собой вывод Г h А zd Вп и, значит, вся построенная последовательность представляет эту же выводимость, поскольку в предыдущей части не вводилось никаких допущений, кроме содержащихся в Г.
В случае 4 мы имеем в предыдущей части А zd (Bt zd Вп) и А zd В;. С учетом этого ясно, что добавление соответствующей последовательности превращает вывод Г h А zd в ГН А zd Вп (две последние формулы этой последовательности получаются, очевидно, из предыдущих по т.р.).
Итак, для любого п имеем на шаге п вывод Г h А zd Вп. На последнем шаге (замены заключительной формулы В исходного вывода соответствующей последовательностью) получаем Г h А zd В.
Из последней части предыдущего рассуждения видно, что описанный алгоритм перестройки вспомогательного вывода в силу своего формально-универсального характера не является рациональным во всех случаях. Получаемые выводы могут содержать лишние части и вообще допускать упрощения. В § 32 мы дадим более рациональный способ построения результирующего вывода по вспомогательному.
Важный аспект теоремы дедукции с теоретической точки зрения состоит в том, что она - наряду с правилом т.р. - указывает на определенную связь между формальной выводимостью в системе и о тя	h4z>£
импликациеи. Используя т.р., имеем . Согласно же теореме
дедукции имеет место и обратное отношение: —-—В данном случае, очевидно, множество Г - в формулировке теоремы дедукции
Г,АЬВ	_
—— - является пустым. Эта связь между выводимостью и импликацией указывает на то, что главное вхождение15 импликации в доказанную формулу (теорему) является языковым аналогом метаязыкового отношения логического следования.
В качестве следствия из теоремы дедукции, определенного ее
_ z-	А]9А29...9Ат\- В
обобщения, имеем:----1—--------------.
А], ^2 > • • м Ат_} h Ат zd В
Таким образом: теорема дедукции указывает на возможность устранения некоторого допущения в какой-либо выводимости, в результате которого получается новая выводимость. Естественно, что из полученной выводимости мы снова можем устранить допущение Ат_} и получить А],..., Ат_2 Ь Ат_х zd (Ат zd В). Продолжая процесс устранения
15 Гпивное вхождение некоторой логической связки в формулу - это то вхождение знака связки, которое является последней операцией в процессе построения формулы.
201
допущений, получаем в конце концов: \-A}ZD(A2^...(Amz> В)...). С каждым шагом исходное множество формул Г - множество
- сужается. Перед последним шагом AjhA2z) о (А3 z>...(Am z> В)...) оно является пустым и в результате последнего шага запись F А, где А - указанная заключительная формула, означает выводимость А из пустого множества допущений (посылок).
Второе следствие из теоремы дедукции состоит в том, что она указывает некоторое правило вывода, состоящее в возможности заключать от существования выводимости Г, A h В, соответствующей некоторому данному выводу, к существованию (в системе) выводимости Г h А о В без построения соответствующего ей результирующего вывода. Применение этого правила означает просто сокращение наших выводов. Заключая о наличии выводимости Г h А z> В, мы имеем в виду, что всегда можем построить соответствующий вывод. Естественно, что такие сокращения упрощают дело, избавляя нас от некоторой части работы при осуществлении выводов и доказательств.
Например, при осуществлении доказательства формулы (А о В) z> ((В з С)э (А з С)) мы можем:
а)	осуществить вывод (А z> В),(Во С), Ah С по обычным правилам нашей системы:
1.	А =) В - допущение
2.	В о С - допущение
3.	А - допущение
4.	В - из 1, 3 т.р.
5.	С - из 2, 4 т.р.
Этот вывод представляет собой, очевидно, выводимость (Az>B),(Bz>C),AhC.
б)	теперь, троекратно применяя указанное правило, получаем:
(А о B),(Bz> С),А h С
(AdB),(BdC)FAz)C
(AdB)F(BdC)=)(A=)C)
F (A d В) d ((Bd С) d (A d С)).
Таким образом, имеем нужный результат - доказанность данной формулы, т.е. выводимость ее из пустого множества посылок (допущений).
Желательно, конечно, представлять выводы с применением правила,
соответствующего теореме дедукции
Г,АНВ
ГНАэВ’
также в виде после-
довательности формул. Однако в таком случае требуется изменение понятия вывода и доказательства по сравнению с ранее введенными определениями вывода и доказательства. Эта необходимость изменения обусловлена особенностью самого этого правила вывода, состоящей в том, что оно относится к числу так называемых непрямых правил вывода (см. ниже), дающих возможность исключать некоторые
202
введенные ранее допущения. Естественно, что, исключив на некотором шаге какое-то допущение, мы должны следить за тем, чтобы не использовать никакие формулы, которые могли зависеть от этого допущения. Таким образом, какая-то часть последовательности, соот-
ветствующей вспомогательному выводу, исключается из дальнейшего употребления.
Понимая выводы по-прежнему как некоторые последовательности формул, мы должны в каждом случае применения нашего правила
Г,А НВ ГЬАэВ’
например, как-то отмечать, что формула A В выводится
уже не из всех посылок исходного вывода Г, A h В, а лишь из множества Г. Мы используем здесь технику, предложенную У. Куайном16 .
Будем (как, впрочем, и прежде) нумеровать формулы вывода, отмечая допущения знаком "+” (перед его номером). Применяя правило, соответствующее теореме дедукции, ставим перед номером формулы А э В отметку ”-л", где п - номер допущения А. Эта отметка означает “без допущения”, т.е. что А э В, как и все формулы остальной части вывода, выводится без допущения А. Это допущение исключается из вывода при применении правила, соответствующего теореме дедукции. При этом естественно, что исключаются формулы вывода от шага, где введено А (с отметкой "+л"), до шага, непосредственно предшествующего тому, где оно исключено (шаг с отметкой ”~я“), поскольку формулы этой части могли зависеть от А. К сказанному надо добавить еще, что исключение допущений посредством применения правила теоремы дедукции может осуществляться лишь в порядке, обратном порядку их введения. Иначе говоря, выделенным (устраняемым) допущением А в каждом случае применения правила теоремы дедукции должно быть последнее из еще неисключенных допущений.
Вывод, в котором исключены все допущения (т.е. для каждого шага ”+л" имеется шаг с отметкой ”-л”), является доказательством его последней формулы.
В качестве примера перестроим по этому способу только что осуществленное доказательство формулы (AdВ)d((3dС)d □ (АэС)).
Заметим, что поскольку по правилу теоремы дедукции мы заключаем от выводимости к выводимости, то при анализе вывода в каждом случае его применения мы ссылаемся уже не на отдельные формулы, а на последовательность формул, представляющую собой вывод Г, А Ь В. Поскольку все допущения и только они отмечаются знаком "+", мы опускаем в анализе отметку "допущение”.
+ 1. АэВ
16 Quine ИС On natural deduction. The Journal of Symbolic Logic. Vol. 15. P. 93-102; см. также: Смирнов ВЛ. Формальный вывод и логические исчисления. М., 1972, гл. 3, § 6.
203
+ 2. В z> С
+ Ъ.А
4. В - из 1, 3 т.р.
5. С - из 2, 4 т.р.
(-3) 6. А з> С - по п.т.д.17 на основе 1-5
(-2) 7. (В о С) Z) (А о С) - по п.т.д. на основе 1-6
(-1) 8. (А о В) о ((В з С)з (А з С)) - по п.т.д. на основе 1-7.
На шаге 5 мы имеем выводимость (Аз В), (В о С), A h С. На шаге 6
получили (A z> В),(Вз C)h A z> С. На 7 шаге - (АзВ)Н(ВзС)з з (А з С). На последнем имеем: h ((А о В) о ((В з С) з (А з С))).
Мы видим, что, применяя п.т.д., мы в анализе вывода ссылаемся не на формулы, как при применении т.р, а на некоторые выводы, а именно - на вспомогательные выводы (это различие обусловлено природой самих правил - одно из них (п.т.д.) - непрямое, а другое (т.р.) - пря-
мое). Но, очевидно, можно упростить дело: ссылаться при применении п.т.д. только на последнюю формулу вспомогательного вывода, т.е.
вместо того, например, чтобы ссылаться в только что приведенном
примере на вывод 1-5, можно ссылаться только на формулу 5, при втором применении п.т.д. - на формулу 6 и т.д. А это значит, что само
это правило (п.т.д.) можно представить в виде:
В АэВ’
где А - последнее из неисключенных допущений, а В -
последняя формула вспомогательного вывода, который осуществлен при наличии допущения А (в дальнейшем это правило будет называться правилом "введения импликации" - ов).
Как и раньше, перед номером формулы Аз В ставим "-л", где п -номер допущения А. По существу, сохраняется особенность п.т.д.,
состоящая в том, что при его применении исключается некоторое допущение А, но по внешнему виду оно выглядит так же, как правило т.р. (т.е. как прямое), но однопосылочное. При такой трактовке предыдущий пример будет иметь вид:
Г +1.АзВ
Г +2.ВзС
Г +З.А
4	. В- из 1,3т.р.
5	.С- из 2,4т.р.
L (-3)6. A z> С- из 5 п.т. д.
(-2)7.(ВзС)э(АзС) из 6 п.т.д.
(-1) 8. (A z> В) z> ((В эС)э(Аэ С)) - из 7 п.т. д.
Итак, вывод, соответствующий одному применению правила теоре-
17 Знак "п.т.д." в анализе вывода есть сокращение для ссылки на "правило, соответствующее теореме дедукции".
204
Г,АНВ мы дедукции —-—-Г I- A z> В
представляет собой последовательность формул
Bj, Вп, где Вп есть формула А о В, из которой исключена часть вспомогательного вывода Г, A h В от шага введения А до Вп_\ (шаг, непосредственно предшествующий исключению А). Формулы, составляющие эту исключенную часть, будем называть отмеченными - к ним как раз относится запрещение использовать их в дальнейшей части вывода. Отсюда ясно, как строится вывод при многократном применении упомянутого правила, с учетом, конечно, данного выше определения вывода без применения п.т.д., в соответствии с которым строится та часть вывода, которая следует за последним применением п.т.д. Читатель может сам попытаться дать индуктивное определение вывода с применением п.т.д.
УКАЗАНИЕ. Для того чтобы легче следить, какие формулы в выводе являются отмеченными, полезно исключаемую часть последовательности отмечать квадратными скобками, конечно, разной длины и расположенными вертикально, как это сделано в вышеприведенном примере. В этом примере неотмеченной осталась только последняя формула. Продолжая этот вывод, в случае надобности мы могли бы использовать только ее, а также вводимые далее допущения и возникающие вновь неотмеченные формулы.
Выше (с. 190) в системе HBjА' был осуществлен вывод рз q,q^> z> г I- р з г. Упрощая его, по этому выводу нетрудно построить схему вывода АзВ, ВзСНАзСв HBjA:
+1.AdB
+2. В з С
3.	(А о (В z> С)) о ((А о В) о (А о С)) - схема самодистрибутивности
4.	(В z> С) z> (A z> (В => С)) - схема консеквента
5.	Azd(BzdC) из 4, 2 т.р.
6.	(А э В) э(А э С) - из 3, 5 т.р.
7.	А о С - из 6, 1 т.р.
Пользуясь теперь п.т.д., мы можем упростить его, введя в качестве дополнительного допущения в схеме вывода - допущение А (в самом выводе, соответственно, р):
+	1. Az>B
+	2. В о С
+	З.А
4. В - из 1, 3 т.р.
5. С - из 2,4 т.р.
(-3) 6. A z> С - из 5 п.т.д.
Посредством того же правила п.т.д. мы можем исключить также и два других допущения, получив уже схему доказательства формул вида: (А э В) э ((В	С)), продолжая предыдущий вывод:
(-2) 7. (В z> С) о (А о С) - из 6 п.т.д.
(-1) 8. (А эВ)э ((В э С)э (А з С)) - из 7 п.т.д.
205
Теперь, используя п.т.д., можно доказать схемы ряда теорем системы ИВ!А; будем, как и раньше, для сокращения выводов использовать ранее доказанные теоремы.
Схема доказательства А о А - закон снятия двойного отрицания:
+1. X _
2.	A d (A D А) - схема закона антецедента
3.	А зА - 2, 1 т.р.
4.	(А А)^ (А А) - схема сильной контрапозиции
5.	А зА - 4, 3 т.р.
6.	А - 5, 1 т.р.
(-1) 7. А з А - 6 п.т.д.
Схема доказательства Аз А - закон введения двойного отрицания:
1.	АзА - схема закона снятия двойного отрицания
2.	(А з А) з (А з А) - схема сильной контрапозиции
3.	Аз А - из 2, 1 т.р.
Доказательство. А з(Аз б) - закон антецедента (сравни с. 198) (ясно, что фактически имеется в виду схема доказательства схемы закона):
+	1. А
+	2. А
+	3. В
(-3) 4. В з А - 3 п.т.д.
5.	(5 з А) з (А з 5) - схема сильной контрапозиции
6.	А о В - 5, 4 т.р.
7.	В - 6, 2 т.р.
(-2) 8,АэВ-7п.т.д.
(-1) 9. A z> (A z> В) - 8 п.т.д.
Доказательство Л э (А □ В) _ закон, соответствующий закону введения дизъюнкции А э (A v В) (с учетом того, что А э В s A v В):
+1. А
+2._А
3.	А э(А э В) - теорема антецедента
4.	А э В - из 3, 2 т.р.
5.	В - из 4, 1 т.р.
(-2) 6. А э В - из 5 п.т.д.
(-1) 7. Аэ(А э В) из 6 п.т.д.
206
Доказательство (A zd А) zd А - закон Д. Скота (сравни с. 188):
+1. A zd А
+2. А
3.	А - 1, 2 т.р.
4.	A z) (A zd A zd (A zd А)) - схема закона антецедента
5.	A zd A zd (A zd А) - 4, 2 т.р.
6.	A zd (A zd А) - 5, 3 т.р.
(-2) 7. A zd A zd (A zd А) - 6 п.т.д.
8.	(A zd A zd (A zd A)) zd ((A zd (A zd A)) zd А) - схема сильной контрапозиции
9.	(A zd (A zd A)) zd А - 8, 7 т.р.
10.	A zd (A zd А) - схема консеквента
11.	А-9, 10 т.р.
(-1)12. (A zd A) zd А - 11 п.т.д.
Доказательство (A z> А) zd А - закон Д. Скота:
+ 1. Azd А
+2. А
3.	A zd А - схема закона снятия двойного отрицания
4.	А - 3, 2 т.р.
5.	А - 1, 4 т.р.
6.	A zd (A zd A zd (A zd А)) - схема закона антецедента
7.	A zd A zd (A zd А) - 6, 5 т.р.
8.	A zd (A zd А) - 7, 4 т.р.
(-2)9. AzdAzd(AzdA)-8 п.т.д.
10. (A zd A zd (A zd A) zd ((A zd (A zd A)) zd А) - схема сильной контрапозиции
И. (Azd (Azd A))zd А - 10, 9 т.р.
12. Azd(AzdA) - схема консеквента
13. А - 11, 12 т.р.
(—1)14. (AzdA)zdA - 13 п.т.д.
Доказательство (A zd В) zd ((A zd В) zd А) - закон введения отрицания (соответствует опровержению "путем сведения к абсурду"):
+ I.AzdB
+	2. A zd В
+	3. I
4.	A zd А - теорема снятия двойного отрицания
5.	А - 3, 4 т.р.
6.	В - 1, 5 т.р.
7.	В - 2, 5 т.р.
207
8.	В d (В d A zd (A zd A)) - схема закона антецедента
9.	В zd А zd (А zd А) - 8, 7 т.р.
10.	А zd (А zd А) - 9, 6 т.р.
(-3)11. А zd А zd (А zd А) - 10 п.т.д.
12.	(A zd Azd(Azd A)) zd ((А zd (А zd А)) zd А) - схема сильной контрапозиции
13.	(Ad(AdA))dA - 12, 11 т.р.
14.	A zd (A id А) - схема консеквента
15.	А - 13,14 т.р.
(-2) 16. (Аз В) zd А - из 15 п.т.д.
(-1) 17. (AzdB)zd((AzdB)zd А) -из 16 п.т.д.
Доказательство (В zd A) zd ((В zd A) zd В) - закон, соответствующий рассуждению "от противного":
+	1. Во А
+	2. В zd А
+	3. В
4.	А - 1, 3 т.р.
5.	А - 2, 3 т.р.
6.	A zd (A zd (A zd (A zd А))) - схема закона антецедента
7.	А о А о (А о А) - 6, 5 т.р.
8.	А о (А о А) - 7, 4 т.р.
(-3) 9. В zd (А zd (А zd А)) - 8 п.т.д.
10.	(В zd (A id (A zd А)) о ((А о (А о А)) zd В) - схема сильной контрапозиции
11.	(Azd(AzdA))zdB-10, 9т.р.
12.	A zd (A zd А) - схема консеквента
13.	В - 11, 12 т.р.
(-2) 14. (В zd A) zd В — 13 п.т.д.
(-1) 15. (В zd A) zd ((В о А) о В) - 14 п.т.д.
Доказательство А о (В о (А о В)) - закона, соответствующего зако-
ну введения конъюнкции (с учетом того, что А о В = А & В):
+	1. А
+	2. В
+	3. (А о В
4.	Ad В zd Ad В - теорема снятия двойного отрицания
5.	А zd В - 4, 3 т.р.
6.	В - 5, 1 т.р.
7.	Bzd(BzdAzdB)- схема закона антецедента
208
8.	BzdAzdB-7, 6 т.р.
9.	A zd В - 8, 2 т.р.
10.	A zd В zd ((A zd B)zd (A zd (A zd A))) - схема закона антецедента
11.	(A zd В) zd A zd (A zd А) - 10, 9 т.р.
12.	A zd (A zd А) - 11, 5 т.р.
(-3)13. A zd В zd A zd (A zd А) - 12 п.т.д.
14.	A zd В zd (A zd (A zd A)) zd ((A zd (A zd A)) zd A zd В) - схема сильной контрапозиции
15.	(A zd (A zd A)) zd A zd В - 14, 13 т.р.
16.	A zd (A zd А) - схема консеквента
17.	Azd В - 15, 16 т.р.
(-2) 18. В zd A zd В - из 17 п.т.д.
(-1) 19. Azd(Bzd AzdB) - из 18 п.т.д.
Доказательство закона Azd(BzdAzdB) - с использованием закона Д. Скота:
+ 1. А
+ 2. В
+ 3. AzdB
4.	В - 3,1 т.р.
5.	Bzd(BzdAzdB) - схема закона антецедента
6.	BzdAzdB-5, 4 т.р.
7.	A zd В - 6, 2 т.р.
(-3) 8. (AzdB)zdAzdB - 7 п.т.д.
9. ((A zdB)zdAzdB)zdAzdB - схема закона Д. Скота
10. A zd В - 9, 8 т.р.
(-2) 11. BzdAzdB-Ю п.т.д.
(-1) 12. A ZD (В ZD A ZD В) - 11 п.т.д.
Доказательство A zd В zd А - закона, соответствующего закону исключения конъюнкции А & В zd А (с учетом того, что A&B = AzdB):
+ 1. AzdB
+ 2. А
(-2) 3. A zd (A zd В) - 2 п.т.д.
4.	A zd (A zd В) - схема закона андецедента
14 Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев, кн. I
209
5.	(A z> (A z> B))z>(((A z>(A z> B))z> A)) - схема закона рассуждения "от противного"
6.	(А =) (A z> В)) z> А - 5, 4 т.р.
1. А -6,3 т.р.
(-1) 8. A z> В => А - 7 п.т.д.
Доказательство (А => С) => ((В z> С) => ((A z> В) z> С)) - закона, соответствующего закону рассуждения "по случаям" - (А □ С) □ ((В z> С) z> z> (A v В z> С)) ( с учетом того, что A v В s А z> В):
+	1. АэС
+	2. В z> С
+	3. А =>В
+	4. С
+	5. А
6.	А о А - схема закона снятия двойного отрицания
7.	А - 6, 5 т.р.
8.	С - 1, 7 т.р.
9.	С о (С о А о (А о А)) - схема закона антецедента
10.	С о А о (А о А) - 9, 4 т.р.
11.	А =э (А =э А) - 10, 8 т.р.
(-5) 12. A z> А о (А о А) -11 п.т.д.
13.	А з A d(A d A)) z> ((A d(A d А)) з А) - схема сильной контрапозиции
14.	(А о (А о А)) з А - 13, 12 т.р.
15.	Аз(А з А) - схема консеквента
16.	А - 14, 5 т.р.
17.	В-3, 16 т.р.
18.	С -2, 17 т.р.
19.	С з(Сз Ad(Ad А)) - схема закона антецедента
20.	С =э Аэ(АэА) - 19, 4 т.р.
21.	Ad(AdA) - 20, 18 т.р.
(-4) 22. С =э А о (А о А) - 21 п.т.д.
23.	(С з А з(А з А)) о (((A э(А з А)з С)) - схема сильной контрапозиции
24.	(А о (А =э А)) =э С - 23, 22 т.р.
25.	А з (А з А) - схема консеквента
26.	С - 24, 25 т.р.
(-3) 27. (А =э В) =э С - 26 п.т.д.
(-2) 28. (В о С) о ((А =э В) => С) - 27 п.т.д.
(-1) 29. (А э С)э ((В э С)э ((А э В)з С)) - 28 п.т.д.
210
§ 32. Дальнейшие упрощения систем исчисления как аппарата дедукции.
Система ИВ2Л
Теперь осуществление выводов и доказательств осложняется еще г тем, что в системе ИВ2А имеется минимум связок: имеются не все обычно употребляемые в естественном языке логические связки. Это затрудняет использование подобных систем как аппарата дедукции. В число обычных связок, наряду с имеющимися в системе zd (импликация) и 1 (отрицание), входят также v (дизъюнкция) и & (конъюнкция). Иногда, правда, используют также и v (строгая или сильная дизъюнкция) и -(эквиваленция), но эти связки просто вводятся по определению и отсутствие их в системе практически не приводит к осложнению выводов.
В качестве аппарата дедукции нам следует взять систему, язык которой содержит указанные обычные связки и имеет ту же логику (при учете того, что & и v в рассмотренной только что системе HBjA вводимы по определению). В качестве таковой может быть взята система ИВ2А со следующими схемами аксиом и правилом вывода т.р. (на которую и будем в дальнейшем ориентироваться):
1.	Azd (В id А) (схема консеквента)
2.	(А з (Вэ С)) zd ((А zd В) zd (А zd С)) - схема самодистрибутивности zd
3.	A zd (В zd А & В) - схема введения &
4.	А& В zd А - 1-я схема исключения &
5.	А & В zd В - 2-я схема исключения &
6.	Azd Av В - 1-я схема введения v
7.	В zd A v В - 2-я схема введения v
8.	(A zd С) zd (В zd С) zd (A v В zd С) - схема исключения v
9.	(A zd В) zd ((A zd В) zd А) - схема введения "
10.	A zd А - схема исключения
ПРАВИЛА ВЫВОДА: из A zd В и А непосредственно выводимо В (правило modus ponens - т.р.).
Понятия вывода и доказательства в системе ИВ2А ( а также схем вывода и схем доказательства) остаются в принципе теми же самыми с той лишь разницей, что изменяется количество применяемых аксиом и схем аксиом.
Мы можем считать доказанной также и для этой системы метатеорему дедукции, поскольку при доказательстве ее использованы были лишь две аксиомы, имеющиеся и в этой системе (схема консеквента и самодистрибутивности). При осуществлении выводов и доказательств с применением п.т.д. будем пользоваться введенным ранее принципом их построения, отмечая ”+” все шаги введения допущений, а все шаги их исключения по п.т.д.
ПРИМЕР доказательства в системе ИВ2А закона импортации (Ao(B=>C))zd(A&BzdC):
+ 1.Az>(BzdC)
14*
211
+ 2.А&В
3.	A &Вз A - 1-я схема исключения &
4.	A - из 3, 2 m.p.
5.	В zd С - из 1,4 m.p.
6.	A & В zd В - 2-я схема исключения &
7.	В - из 6, 2 т.р.
8.	С - из 5, 7 т.р.
(-2) 9. A&BzdC-h3 8 п.т.д.
(-1) 10. (A ZD (В ZD С)) zd (А & В zd С) - из 9 п.т.д.
Но это доказательство осуществлено с применением вспомогательного средства (не данного, собственно, в самой системе) -правила теоремы дедукции. Может возникнуть вопрос: каким образом осуществить это доказательство средствами только самой системы? В этом случае как раз может проявиться эвристическая роль метатеоремы дедукции: осуществим сначала вспомогательный вывод A zd (В zd С), А & В h С (это будет очевидно часть только что приведенного доказательства, состоящая из шагов 1-8) и затем, используя допущение А & В, перестроим его в результирующий вывод A zd (В zd С) h А & В zd С. Далее, принимая последний за вспомогательный, исключим последнее допущение и получим таким образом нужное доказательство. Исключение какого-то допущения каждый раз может осуществляться согласно алгоритму, который указан в самом доказательстве метатеоремы дедукции.
Впрочем, мы уже отмечали, что этот способ в силу своего формально-универсального характера не является рациональным во всех случаях: получаемые выводы могут содержать лишние части и допускать упрощения.
Не столь формальным и требующим, соответственно, более детального анализа вспомогательного вывода и в силу этого позволяющим во многих случаях значительно сокращать результирующие выводы является следующий способ построения результирующего вывода по вспомогательному.
Напомним, что алгоритм непосредственно дает возможность из вспомогательного вывода Г, A h В получить результирующий вывод Г h A zd В. Таким образом, алгоритм позволяет нам устранить одно допущение (А); для получения доказательства очевидно нужно применять его таким же образом, исключая все допущения Г. Итак, для перестройки вспомогательного вывода Г, A h В в результирующий Г h A zd В действуем следующим образом.
Во-первых, анализ начинаем с заключения В вспомогательного вывода Г, A h В.
Нам уже известно, что В может быть 1) допущением из Г, либо 2) аксиомой, либо 3) устраняемым допущением А, либо, наконец, 4) получено из каких-то предшествующих формул С zd В и С вспомогательного вывода по правилу т.р.
212
Если имеет место первый случай или второй, то нужным выводом будет следующая последовательность формул:
1.	В о (А о В) - схема консеквента
2.	А - допущение из Г или аксиома
3.	А о В - из 1, 2 по т.р.
Данная последовательность формул очевидно представляет нужную выводимость Г h А о В. Напомним, что если вывод представляет выводимость из какого-то множества допущений, то он представляет также выводимость из какого-либо более широкого множества допущений.
В третьем случае (В есть само устраняемое допущение А) требуемым выводом будет просто схема доказательства закона тождества, т.е. последовательность формул:
1.	А о ((А о А) о А) - схема консеквента
2.	(А э ((A d A)d А)) э ((А о (А о А)) о (А о А)) - схема самодистрибутивности
3.	(А э(А d A)) э (А о А) - из 2, 3 т.р.
4.	Аэ(АэА)- схема консеквента
5.	А о А - из 3, 4 т.р.
Если наконец, имеет место случай 4), когда В получена из посылок С Tj В (большая посылка) и С (меньшая посылка), то началом результирующего вывода будет:
1. (A d(Cd В)) z> ((A dC)d(Ad В)) - схема самодистрибутивности: "то, что устраняемое допущение имплицирует большую посылку, имплицирует, в свою очередь, то, что утверждение, что устраняемое допущение имплицирует меньшую посылку, имплицирует утверждение, что устраняемое допущение имплицирует заключение вспомогательного вывода".
Рассматриваем A d (С э В). Это может быть какое-либо из выписанных допущений. Тогда эта формула как антецедент аксиомы самодистрибутивности, введенной по п. 2, отделяется по т.р. В другом случае это может быть аксиома или теорема А э А, тогда добавляем эту аксимому или доказательство А о А и достигаем того же результата. Далее, если не имеем ни одного из перечисленных случаев, смотрим, не является ли одним из выписанных допущений или аксиомой часть С zd В интересующей нас формулы. Если так, то добавляем к имеющемуся выводу аксиому консеквента (СэВ)э(Аэ(СэВ)) и саму формулу (С э В) как допущение или аксиому. Отсюда получаем Ad(CdB) и опять-таки из нее и формулы, введенной на шаге 1, получим (Az>С) =)(АэВ). Далее, естественно, переходим к* рассмотрению А □ С. Здесь рассуждения аналогичны. (Опять, возможно, А э С - допущение, аксиома или формула А э А, или же С есть допущение или аксиома, и мы знаем, как отделить А э С от (А э С) э (А э В) во всех таких случаях.)
Если же не удается вывести А э (С э В) (или А э С) указанным образом, то, очевидно, в исходном выводе формула CzdB (или С) была
213
получена по т.р. из некоторых формул Д з (С D В) и Д (или Д о С и Д). Тогда:
4.	К построенной части результирующего вывода добавляем аксиому самодистрибутивности (А о (Д о (Со В)))о ((А э Д)э(А э(Сэ В))).
Теперь задача состоит в отделении антецедентов этой импликации. Все действия здесь аналогичны уже описанным, относящимся к рассмотренной прежде импликации. В конечном счете мы всегда получим в выводе формулы А о (С о В) и А о С, а значит, и нужное заключение А з В результирующего вывода.
Покажем, как из нашего вспомогательного вывода А о (В о С), А & В h С получить результирующий вывод A d (Bd С) F А & В о С.
Выпишем для удобства последовательность, представляющую вспомогательный вывод:
+1. Ad(BdC)
+2. А & В
3.	А & Вз А - 1-я схема исключения &
4.	А - из 3, 2 т.р.
5.	В о С - из 1,4 т.р.
6.	А & В о В - 2-я схема исключения &
7.	В - из 6 и 2 т.р.
8.	С из 5, 7 т.р.
Дальше будем опускать знак &, имея в виду, что, например, "АВ" есть сокращение для "А & В".
Строим результирующий вывод описанным методом, осуществляя шаги согласно пунктам 1 и 2 (роль устраняемого допущения А играет АВ).
+ 1. А о (В о С)
2.	(АВ э (Вэ С)) о ((АВ о В) о (АВ о С)) - самодистрибутивность.
Очевидно, для вывода АВ о (В о С) нам надо здесь обратиться к пункту 4 описанного способа. Формула Во С, как видно, получена во вспомогательном выводе на шаге 5.
Получаем продолжение результирующего вывода:
3.	(АВ э(А э(Вэ С))) о ((АВ о А) о (АВ э(Вэ С))) - самодистрибутивность
4.	(А о (В о С)) о (АВ□ (A d (Bd С))) - схема консеквента
5.	АВ о (А о (В о С)) - из 4 и 1 т.р.
6.	(АВ э А)э (АВ о (В о С)) - из 3 и 5 т.р.
Теперь, согласно пункту 3, имеем:
7.	АВ о А - 1-я схема исключения &
8.	АВ о (В о С) - из 6 и 7. Получено нужное заключение
9.	(АВ э В) э (АВ о С) - из 2 и 8 т.р.
10.	АВт>В- 2-я схема исключения &
11.	АВ о С - из 9 и 10 т.р.
214
Итак, мы получили нужный вывод А о (В о C)h А& В^>С, но уже без допущения А & В,
Для сравнения двух способов построения результирующего вывода приведем построение того же вывода A z> (Во С) h A&Bz> С стандартным способом, указанным в доказательстве метатеоремы дедукции:
+ 1. Ао(ВоС)
2.	(А о (В о С)) о (АВ о (А о (В о С))) - схема консеквента
3.	АВ о (А о (В о С)) - из 2 и 1 т.р.
4.	АВ о ((АВ о АВ) о АВ) - схема консеквента
6		> Доказательство теоремы АВ о АВ - закона тождества
7		
8.	АВ о АВ
9.	АВ о А - 1-я схема исключения &
10.	(АВ о А) о (АВ о (АВ о А)) - схема консеквента
11.	АВ о (АВ о А) - из 10 и 9 т.р.
12.	(АВо(АВэ А))о((АВо АВ)э(АВо А)) - схема самодистрибутивности
13.	(АВ о АВ) о (АВ о А) - из 12 и 11 т.р.
14.	АВ о А - из 13 и 8 т.р.
15.	(АВ о (А о (В о С))) о ((АВ о А) о (АВ о (В о С))) - схема самодистрибутивности
16.	(АВ о А) о (АВ о (В о С)) - из 15 и 3 т.р.
17.	АВ о (В о С) - из 16 и 14 т.р.
18.	АВ о В - 2-я схема исключения &
19.	(АВ о В) о (АВ о (АВ о В)) - схема консеквента
20.	АВ о (АВ о В) - из 19 и 18 т.р.
21.	(ABz>(ABz> B)):d((AB:d AB)z>(ABz> В)) - схема самодистрибутивности
22.	(АВ о АВ) о (АВ о В) - из 21 и 20 т.р.
23.	АВ о В - из 22 и 8 т.р.
24.	(АВ о (В о С)) о ((АВ о В) о (АВ о С)) - схема самодистрибутивности
25.	(АВ о В) о (АВ о С) - из 24 и 17 т.р.
26.	АВ о С - из 25 и 23.
Следующий этап перестройки данного вывода в доказательство состоит в рассмотрении полученного вывода как вспомогательного и в исключении последнего допущения А о (В о С). Представляем осуществить его самому читателю.
УКАЗАНИЕ: во избежание очень длинных формул в результирующем выводе, прибегайте к замене формул вспомогательного вывода их номерами.
215
Надеемся, что, проделав эту работу, читатель, сравнив полученное доказательство с тем, что мы получили с применением п.т.д., и тем более если он попытается получить доказательство без применения изложенного алгоритма, то он проникнется очень большим уважением к метатеореме дедукции.
§ 33.	Прямые и непрямые правила вывода. Правила основные и производные
Специфика теоремы дедукции как правила вывода по сравнению, например, с уже известным нам правилом т.р. состоит в том, что оно, как мы уже сказали, относится к множеству так называемых непрямых правил вывода (или правил косвенного вывода), тогда как т.р. представляет собой прямое правило.
Прямые правила указывают на непосредственную выводимость некоторой формулы В, называемой заключением данного правила, из множества формул определенных видов А19А2, >",Ат (где т > 1). Эти формулы называются посылками правила. Общий
А А
вид таких правил т или, в другой форме - A i,..., Ат F В
(т 1).
Непрямое правило указывает на возможность непосредственным образом заключать от наличия некоторых выводимостей - которые также будем называть посылками данного правила, - к наличию некоторой определенной выводимости - заключение данного правила. Его общая форма такова:
Г hBj,r2 ЬВ2,...,ГШ В
—----!— ------------—, где т 1.
Г НВ
В качестве примеров прямых правил наряду с т.р. можно указать z	о ч	А,В А&В А&В
также (выводимые в нашей системе) правила:	—-—, —-—,
А В
-----,----- Легко увидеть, что они соответствуют схемам аксиом А у В Ау В
№№ 3-7 нашей системы и носят те же названия.
Примерами непрямых правил, также выводимых в нашей системе, наряду с правилом, соответствующим теореме дедукции (п.т.д.), являются:
Г,АНВ;Г,АНВ
-----------------, которое в дальнейшем мы будем называть правилом "введения отрицания" (~|в). В логике эта форма рассуждения называется правилом опровержения путем "сведения к абсурду" - reductio ad absurdum.
Г,А НВ;Г,А \-В
---------------------правило, известное в логике как доказательство "от противного".
216
Г,АНС;Г,ВНС
—Г д v р ~ правило рассуждения по случаям , которое мы будем называть также правилом исключения дизъюнкции (\/и)-
Перечисленные непрямые правила указывают на возможность введения в выводы и доказательства некоторых промежуточных допущений - не данных в качестве исходных посылок некоторого вывода. Эти допущения облегчают построение нужного вывода или доказательства и исключаются как раз по данным правилам таким образом, что конечный результат уже не зависит от них. Как видно из формулировок, два первых из указанных правила дают возможность исключить в одном случае допущение Л, в другом - допущение А. А по правилу "рассуждения по случаям" исключаются даже 2 допущения А и В, хотя при этом вводится новое допущение А \/ В. Правда, равносильным сформулированному выше является следующее: Г,А vB,A ЬС;Г,А vB,BhC
, посредством которого, как мы видим,
F,AvBhC только исключаются допущения А и В.
Непрямые правила, позволяющие исключать допущения, представляют собой особый вид непрямых правил, которые, впрочем, только и будут нас в дальнейшем интересовать. К другому виду относятся, на-ГЬА;ГЬВ	о ГЬА&В
пример, следующие:	— непрямое правило &в; — - „ ------
непрямое правило &иг
В зависимости от того, является ли правило принятым в качестве исходного в формулировке системы исчисления или выводится из постулатов системы, оно называется основным или производным.
В нашей системе ИВ2А мы имеем лишь одно основное (прямое) правило. В аксиоматических системах в качестве основных обычно принимают лишь прямые правила. В других, например, в натуральных, -также и непрямые.
Что касается прямых производных правил, то каждой аксиоме - и теореме вообще - вида Aj о (А2 =>---(Ат о В)...) соответствуют прави-Л ________________________
ла: -------—-------,------'7'~z---- и так далее. И наконец:
А2э...(АтэВ).„ А3о...(АтоВ)...
А,...,А
---——— . Любое из них получается из соответствующей системы и введенных допущений - посылок данного правила - ти-кратным применением т.р.
Например, из аксиомы &в получаем соответствующее производное
о А>в
правило &в:----, осуществляя следующий вывод:
А&В
1. А - допущение (посылка правила)
217
2.	В - допущение (посылка правила)
3.	А о (В z> А & В) - схема &в
4.	ВоА&В-из4и1 т.р.
5.	А&В-из4и2 т.р. (заключение правила).
Производное правило некоторой системы - это и есть, собственно, некоторый вывод в этой системе, осуществляемый согласно ее постулатам. Осуществить такой вывод в системе как раз и означает доказать это правило в системе или, иногда говорят, вывести это правило. Применение производных правил состоит в том, что мы просто сокращаем выводы, опуская те их части, - представляющие собой также выводы, - которые и есть данные правила. Возможность их использования обусловлена как раз именно тем, что мы всегда можем исключить применение такого правила, вставив соответствующую опущенную часть, т.е. вывод, соответствующий этому правилу. Мы уже иллюстрировали это на примере применения правила, соответствующего теореме дедукции (п.т.д.).
Приведем пример вывода с использованием только что полученного прямого производного правила &в. Осуществим вывод А & В о С, А, В h С без применения производного правила и с применением его:
а)	без применения &в
+1. А & ВоС
+2. А
+3. В
4.	А о (В zd А & В) - схема &в
5.	В о А & В - 4, 2 т.р.
6.	А & В - 5, 3 т.р.
7.	С - 1, 6 т.р.
б)	с применением &в
Я.А&ВэС
+2. А
+3. В
А В
4.	А & В - из 2, 3 производное правило &в:
5.	С - из 1,4 т.р.
Убедитесь, что этот вывод получается из первого заменой части его 2-6, которая представляет собой приведенное выше доказательство производного правила &в на само его применение - шаги 2 -4 второго вывода.
Все сказанное относительно возможности и способа использования производных правил относится и к теоремам системы. Использование в выводе той или иной теоремы, как уже говорили, означает также сокращение вывода за счет исключения из него той его части, которая представляет собой доказательство этой теоремы.
218
Производные правила получаются, конечно, не только по указанному принципу - непосредственно из аксиом. Вообще говоря, они могут представлять более или менее сложный вывод.
В дальнейшем мы будем неоднократно обращаться к двум следую-
щим производным правилам нашей системы ИВ2А:
консеквента и
А^В
правило антецедента.
В
А=)В
правило
Первое получается тривиально по указанному принципу из схемы консеквента:
+1. В - (посылка правила)
2.	В о (А э В) - схема консеквента
3.	А о В - из 2, 1 т.р.
Представим вывод второго:
+ 1. А - (посылка правила)
+2. А - (вспомогательное допущение) ______	В
3.	В о А - из 2 по правилу консеквента:---
AzdB
4.	В zd А - из 1 по правилу консеквента
5.	(В zd A) zd ((В d A d В)- схема "I в
6.	(В zd А) zd В - из 5, 3 т.р.
7.	В - из 6, 4 т.р.
8.	В zd В - схема 1и
9.	В - из 8, 7 т.р.
(—2)10. А zd В - из 9 п.т.д.
Если в данном выводе, представляющем доказательство правила антецедента, исключить еще допущение А, то получим доказательство теоремы (соответствующей правилу антецедента): h А zd (А zd В).
Докажем теперь в качестве производных в нашей системе перечисленные выше непрямые правила. Поскольку, в отличие от правила, соответствующего теореме дедукции, мы имеем здесь в. качестве посылок по два вспомогательных вывода, то происходит дальнейшее усложнение понятия вывода как при доказательстве этих правил, так и при их применении. В каждом из этих вспомогательных выводов исключается по допущению и отмечать, таким образом, нужно Насти того и другого вывода и каждый из них осуществлять независимо от другого. Ограничившись этим общим описанием принципа построения этих выводов, покажем способы их построения на примерах.
219
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРАВИЛА REDUCTIO AD ABSURDUM:
Г, А В,Г, А В
ГПА
шаги
1 М
2* +А2
:	+Лт ,
: Г+А
; в
Первый вспомогательный вывод от А] до В включительно - вывод, соответствующий данной в посылках выводимости Г, А I- В: мы исходим из того, что всегда, когда в посылках правила даны выводимости, то это значит, что есть соответствующие им выводы.
i (-А) А zd В - по п.т.д. на основе Г, A h В г + 1 + -	,---£---,
Последовательность Ах,...,Ат, А (второе вхожде-
_	ние)... В представляет вывод, соответствующий вто-
:	\_В рой выводимости, данной в посылках правила Г, А I- В.
j (-А) A z> В - по п.т.д. на основе Г, А I- В
j + 1 (А zd В) zd ((А zd В) zd А - схема "|в (схема введения отрицания)
j + 2 (А zd В) о А - из (/ + 1) и i по т.р.
j + 3 А - из (/ + 2) и j по т.р.
Таким образом, получен вывод, представляющий нужную выводимость ГПА, т.е. на основе вспомогательных выводов Г, A h В и Г, А В мы получили Г h А.
Доказательство правила рассуждения "от противного" Г,АЬВ;Г,АЬВ
-------Р -----представляет собой незначительное усложнение только что приведенного: заменой вхождений А на А и применением схемы 1И (A z> А), т.е. заключительная часть вывода правила "от противного", начиная с шага у, будет иметь вид:
j (-А) A id В - по п.т.д. на основе Г, А I- В j +	1	(A	zd В) zd ((A zd В) zd А) -	схема "|в
j +	2	(A	zd В) zd А)- из (у + 1)игпот.р.
j +	3	А	- из (j + 2) и j по т. р.
j +	4	A	zd А - схема "|и
7 + 5 А - из (/ + 4) и (/ + 3) по т.р.
220
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕПРЯМОГО ПРАВИЛА "РАССУЖДЕНИЯ ПО СЛУЧАЯМ":
Г,А1-С;Г,ВНС f,AvBhC
। +А

+А
С - имеем вывод, Г, A h С
i (-А) А э С - по п.т.д. на основе Г, А I- С (т.е. имеем Г I- А о С) : [+В
С - имеем вывод, Г, В F С
j (-В) В о С - по п.т.д. на основе Г, А I- С	(т.е. имеем	Г I- В z> С)
j + 1	(А э С) z> ((В э С) э (А V В э С)) - схема исключения V
j + 2	(В э С) о (А V В э С) - из (/ + 1) и i	по т.р.
j + 3 А V В э С - из (/ + 2) и j по т.р.
j + 4	+	(А V В) - допущение
j + 5 С - из (/ + 3) и (/ + 4) по т.р.
Таким образом, получен нужный вывод, представляющий выводимость Г, А V В I- С.
Учитывая значительное усложнение структур выводов при применении непрямых правил, полезно знать равносильные им прямые, -конечно, когда они имеются. Так, для непрямого правила "рассуждения „	A v В, А ~
по случаям имеется равносильное ему прямое:-----. Схема закона,
В
соответствующего этому правилу, имеет вид: (А V В) о (А о В). Это правило обычно называют также исключением дизъюнкции, но есть традиционное название для этой формы рассуждения: modus tollendo ponens - сокр. m.t.p. (отрицающе-утверждающий модус дизъюнктивнокатегорического силлогизма - см. § 78).
Два правила называются равносильными в некоторой конкретной системе исчисления, если при наличии одного из них в системе выводимо в качестве производного другое и, наоборот, при наличии второго вместо первого выводимо первое.
Докажем упомянутую равносильность правил. Для этого нам достаточно доказать равносильность соответствующих этим правилам схем
221
законов. А конечная задача состоит в том, чтобы показать, что в принятой нами системе ИВ2А является теоремой схема (А V В) о (А о В) и, наоборот, если в этой системе заменить схему исключения дизъюнкции данной схемой, то в ней теоремой будет (Аз С) о ((В з С) з з (А \/ В d С)), которая в ИВ2А является аксиомой.
Доказательство (А V В) о (А о В) - схемы закона, соответствующего правилу m.t.p.
1.	A z> (А о В) - схема закона антецедента (доказательство см. с. 198, 206) _
2.	В о (А о В) - схема консеквента
3.	(Л о (А о В)) z> ((В з (А зВ)) з (А \/Вэ (Л з В))) - схема \/и
4.	(В z> (А =э В)) о (А V В z> (А о В)) - 3 и 1 т.р.
5.	А V В zd (А =э В) - из 4 и 2 т.р.
Прежде чем доказывать (А з С) з ((В з С) з (А \/ В о С)) в системе ИВ2А, которая получается заменой в ИВ2А этой аксиомы на только что доказанную, докажем в ИВ2А еще одно производное пра-А zd В вило: -=—= - правило контрапозиции, которому соответствует закон В зА
(А з В) з (В з А):
+1.АзВ
+2. В
3.	В з (А зВ) - схема консеквента
4.	AzdB -из Зи2 т.р.
5.	(A d В) d ((A з В) з А) - схема "]в
6.	(А о В) z> А) из 5 и 1 т.р.
7.	А - из 6 и 4 т.р.
(-2)8. В о А - из 7 п.т.д.
(-1)9. (А зВ)з ((В zd А) - из 8 п.т.д.
Доказательство схемы закона (А о С) о ((В о С) о (А V В о С)), соответствующего правилу "рассуждения по случаям":
+1. А =э С
+2. В =) С
+3. А V В
+4. С
5.	С zd А - из 1 правило контрапозиции (см. выше)
6.	Л - 5 и 4 т.р.
7.	В - 3 и 6 правило modus tollendo ponens (m.t.p.)
8.	С - 2 и 7 т.р.
(-4)9. С - производное правило 1И
222
10. C d С - схема аксиомы 1И
11. С - из 10 и 9 т.р.
(-3)12. А V В о С - из 11 п.т.д.
(-2)13. (В => С) =э (А \/ В =э С) - из 12 п.т.д.
(-1)14. (А => С) =э ((В о С) z> (А V В о С)) - из 13 п.т.д.
Приведем еще примеры доказательств. Доказательство (А о A) z> А - закона Д. Скота:
+1. A zd А
2.	A Z) А - теорема (закон тождества)
3.	(А э А) о ((А о А) о А) - схема "|в
4.	(A А) о А - из 3, 2 т.р.
5.	А - из 4 и 1 т.р.
(-1)6. (А о А) о А - из 5 п.т.д.
Доказательство закона (A d (В з С)) d (В d (A d С)) - закона перестановки антецедентов:
+1.А=)(ВэС)
+2. В
+3. А
4. В о С - 1, 3 т.р.
5. С - из 4, 2 т.р.
(-3)6. A z> С - из 5 п.т.д.
(-2)7. В о (АЪ С) - из 6 п.т.д.
(-1)8. (А => (В =э С)) => (В =э (А =э С)) - из 7 п.т.д.
Для доказательства дефинициальной эквивалентности систем HBjA и ИВ2А требуется, в частности, доказать в ИВ2А эквивалентности, выражающие взаимовыразимость логических связок, например, V через I и zd: (А V В) = (А о В). Для этого необходимо доказать две формулы: (А V В) d (А з В) и (A dB) d (А V В). Вообще, как помним, Са=Д = о/(С=> Д)&(Д=>С).
Приведем примеры таких доказательств.
Доказательство закона А& В о А о В.
+1. А &В
+2. А о В
3,	А & В з А - 1-я схема &и
4.	А - из 3, 1 т.р.
5.	В - из 2, 4 т.р.
6.	А & В о В - 2-я схема &и
7.	В - из 6, 1 т.р.
8.	В о ((А zd В) zd В) - схема консеквента
9.	В zd ((A zd В) zd В) - схема консеквента
223
10.	(А z> В) z> В - из 8, 7 т.р.
И. (A z> В ) Z) В - из 9, 5 т.р.
12.	((А э В) э В) о (((А о В) о В) о А о В) - схема "]в
13.	((А => В) о В) о А о В -12, 10 т.р.
14.	А о В — из 13, 11 т.р.
(-2)15. (А э В) э A о В - из 14 п.т.д.
16.	((A Z) В) э A zd В) zd A zd В - схема закона Д. Скота
17.	А о В - из 16, 15 т.р.
(-1)18. А&ВзА о В - из 17 п.т.д.
Доказательство закона Аз В о А& В:
+ 1. АзВ
+2. А
3.	A z> (A z> В) - схема закона антецедента
4.	Аз В z> (A z> Аэ В) - схема консеквента
5.	А о A z> В - из 4, 1 т.р.
6.	(А з(АзВ))з((А з АзВ)з А) - схема "|в
7.	(A z> A z> В) о А - из 6, 3 т.р.
8.	А - из 7, 5 т.р.
9.	Аз А - схема "]и
10.	А - из 9, 8 т.р.
(-2)11. А о А - из 10 п.т.д.
12.	(А з А) з А - схема закона Д. Скота
13.	А - из 12, 11 т.р.
+14. В
15.	Во(АоВ)- схема консеквента
16.	Аз В о (В 3) Аз В) - схема консеквента
17.	В о А о В - из 16, 1 т.р.
18.	(1Ь(АэВ))э((ВэАэВ'рВ) - схема 1В
19.	(В з АзВ)зВ - из 18, 15 т.р.
20.	В - из 19, 17 т.р.
21.	В zd В - схема "|и
22.	В - из 21, 20 т.р.
(-14)23. В о В - из 22 п.т.д.
24.	(5 з В) з В - схема закона Д. Скота
25.	В - из 24, 23 т.р.
224
26.	A z> (В zd A & В) - схема &в
27.	В о А & В - из 26, 13 т.р.
28.	А & В - из 27, 25 т.р.
(-1)29. A zd В zd А&В из 28 п.т.д.
Два последних доказательства свидетельствуют о том, что А&В = AzdB.
Развивая далее выдвинутую ранее идею упрощения исчисления с целью использования его в качестве аппарата дедукции, можно исключить из постулатов системы все аксиомы, заменив их соответствующими правилами. Тогда все выводы будут осуществляться только по правилам - как это имеет место в естественных процессах рассуждений. Едва ли вообще кто-то в рассуждениях в рамках естественного языка употребляет законы логики в качестве посылок рассуждений. Не случайно, по-видимому, традиционная логика в течение более двух тысячелетий не знала о существовании законов логики в том виде, как они сейчас понимаются нами, - именно как законы, лежащие в основе различных форм выводов, т.е. правил выводов.
В качестве примера того, как может строиться вывод без применения аксиом, приведем доказательство, положим, того же закона импортации, который был доказан ранее (A zd (В zd С)) zd (А & В zd С):
+1. Azd(BzdC)
+2. А & В
„ .	о А&В
3.	А - из 2 по производному правилу &и:-
А
4.	BzdC-h3 1h3 т.р.
с п	о А&В
5.	В - из 2 по производному правилу &и:-
В
6.	С - из 4 и 5 т.р.
(-2)7. A&BzdC -из 6 п.т.д.
(-1)8. (A zd (В zd С)) zd (А & В zd С) - из 7 п.т.д.
УПРАЖНЕНИЯ
Осуществите в ИВ2А доказательство формул:
1) А V В zd (A zd В),
2) (A zd В) zd А V #•
15 Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев , кн. I
225
Глава 9
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ.
НАТУРАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛОГИЧЕСКИХ ИСЧИСЛЕНИЙ (СИСТЕМЫ НАТУРАЛЬНОГО ВЫВОДА)
По своему строению системы, о которых здесь идет речь, отличаются от аксиоматических (систем гильбертовского типа) тем, что в качестве постулатов в них принимаются только правила вывода. Соответственно выводы строятся так, что в них не используются законы логики в качестве посылок выводов. Вся логика рассуждений заключена в правилах (хотя все законы логики соответствующего языка, естественно, оказываются доказуемыми). В этом отношении выводы в этих системах ближе к естественным рассуждениям, чем и объясняется название систем.
Большую роль в системах этого типа играют непрямые правила, позволяющие вводить некоторые допущения, устраняемые затем в ходе выводов. Применение непрямых правил усложняет структуры выводов и доказательств и затрудняет тем самым их определение. С этим связано разнообразие систем натурального вывода, различающихся способами построения выводов и доказательств. Мы рассмотрим здесь распространенные в современной литературе способы и, соответственно, разные системы построения выводов: по Куайну, Фитчу, а также способ построения выводов с использованием понятия характеристик зависимости формул вывода от допущений.
Однако в качестве первой натуральной системы мы рассмотрим такую, где нет непрямых правил. Эта система нас будет интересовать не только с практической точки зрения - мы используем ее для доказательства метатеоремы о семантической полноте наших исчислений, которое было обещано в предыдущем изложении.
§ 34. Система натурального вывода, непосредственно связанная с семантикой.
Система ИВСС1
Система непосредственным образом связана с рассмотренными ранее аналитическими таблицами (см. § 20) и именно в силу этого ее удобно использовать для доказательства некоторых метатеорем, связывающих синтаксические свойства систем с семантическими понятиями, в частности метатеорему о семантической полноте рассматриваемых логических исчислений. К тому же эта система, как кажется, является предельно простой для осуществления доказательств теорем
1 Название системы ИВСС (синтаксически семантическая система) оправдано тем, что она непосредственно связывает семантические понятия следования, общезначимости с синтаксическими понятиями выводимости и доказуемости и в ней существенным образом используются рассмотренные ранее критерии тождественной истинности и тождественной ложности, связанные с нормальными формами (см. § 20).
226
логики и, по-видимому, для нее легко построить компьютерный вариант осуществления доказательств. При этом существенно то, что применение этой системы дает возможность соединить два обычно отдельно рассматриваемых метода: метод поиска доказательства и метод построения самого доказательства, - в этой же системе для любой теоремы процесс ее доказательства осуществляется, по существу, алгоритмически, не требуя каких-либо соображений интуитивно-эвристического характера.
Система ИВСС представляет собой, собственно, метод доказательства "от противного", осуществляемого посредством эквивалентных преобразований отрицания формулы Л, подлежащей доказательству. Это преобразование, в конечном счете, приводит к ДНФ "|А, что и дает возможность использовать известный критерий тождественной ложности в применении к "|А, каковой - именно тождественно-ложной -эта формула должна очевидно быть, если сама формула А есть теорема системы.
Вывод в этой системе представляет собой последовательность формул, первай из которых есть "U (допущение "от противного"), а каждая последующая получается из предыдущей по одному из правил системы.
Правила системы по существу являются эквивалентными преобразованиями. Все формулы вывода, вообще говоря, представляют собой дизъюнкции некоторых конъюнкций вида ПСТ2, в которых знак & опускается. При этом как сами дизъюнкции, так и конъюнкции могут быть вырожденными (одночленными - такова, например, первая формула вывода). Г\ иГ2 - последовательности конъюнктивно соединенных формул, возможно та или другая или обе пустые.
Правила вывода применяются каждый раз к одной из формул С в составе какого-нибудь дизъюнктивного члена Г^СГг и его применение состоит в некотором - по существу эквивалентном - преобразовании этой формулы С. При этом возможны раздвоения этого члена.
Если, например, С имеет вид В} V #2> тогда содержащий ее дизъюнктивный член Г^В] V #2)^2 преобразуется по правилу, которое мы обозначаем "V", в: ПВ^ V Г1В2Г2. Очевидно, что в основе этого правила лежит известная эквивалентность - дистрибутивность & относительно V в сочетании с законом коммутативности &, т.е. осуществляются следующие эквивалентные преобразования: T^BjV V#2)^2 = Г,Г2(В1 V#2) = Г1Г2Я1 V Г1Г2В2 г V Г1В2Г2.
Другой случай раздвоения С имеет место, когда С есть формула вида В\ о В2. Тогда в результате применения правила, которое обозначается как "о", V #2)^2 преобразуется в дизъюнкцию: Г] Тв^ \J \J Г1В2Г2. По существу это преобразование происходит на основе эквивалентности: Bi zd В2 = TBi V #2 возможно - в случае непустоты Tj или Г2 - в сочетании с дистрибутивностью & относительно \J и коммутативностью &. Эти эквивалентности в формулировке этого правила
15*
227
лишь подразумеваются и применяются, следовательно, неявным образом.
В случае, когда С имеет вид 1(В] z> В2), тогда дизъюнктивный член г, 1(Я1 z> В2)Г2 преобразуется в 1В2Г2; соответствующее правило обозначается как "1 о".
В соответствии с возможными видами С имеем правила: "о", "1 э", "v”, ”lv”, "&", ”1&", ”11”.
Вывод состоит в переборе всех возможных преобразований формул в составах всех дизъюнктивных членов. Заключение вывода, в котором произведены все возможные преобразования указанных типов, иначе говоря - осуществлены все возможные применения всех правил вывода, представляет собой ДНФ 1Д. Однако практически, лишь с целью выяснения того, является ли А теоремой, достаточно вообще получить какую-нибудь дизъюнкцию, в каждом дизъюнктивном члене которой есть какая-либо формула С и ее отрицание (1С). По аналогии с аналитическими таблицами будем называть такие члены замкнутыми (очевидно, что они являются тождественно-ложными). Замкнутой назовем также дизъюнкцию, все члены которой являются замкнутыми. И, наконец, назовем вывод завершенным, если его заключение есть замкнутая дизъюнкция либо невозможны больше никакие применения правил (невозможны никакие дальнейшие преобразования формул).
ПРАВИЛА ВЫВОДА СИСТЕМЫ ИВСС
ГДэВД	уВ2)Г2
’ТЛ/^ГАГ,	1v:	r.lqlB.r,
1	&..	пев, в2)г2
ВДуВД	-	Г11(В,В2)Г2
 Г^Гг v Г,В2Г2 • Tj 1^Г2 v П1б2Г2
11 Г]"|"|В]Г2
II:—---где 11,Г2 - в формулировках правил - последо-
Г1^1Г2
вательности конъюнктивно соединенных формул, возможно вырожденные и пустые.
Понятие вывода сформулировано выше. Учитывая приведенное ра-
* Как видим, применение этого правила тривиально и состоит лишь в опускании скобок. Аналогично правилу v в случае пустых Г] и Г2.
228
нее разъяснение, доказательством формулы А в системе ИВСС будем называть такой вывод, начальной формулой которого является |А, а заключением - замкнутая дизъюнкция.
Имеются возможности значительных сокращений выводов. Нет необходимости, например, проводить дальнейшие преобразования некоторого дизъюнктивного члена, если в нем возникла какая-то формула С л ее отрицание "|С.
Если в выводе - при попытках доказательства некоторой формулы - исчерпаны все возможности применения правил вывода - т.е. в качестве заключения получена ДНФ "|А - при этом оказывается, что, по крайней мере, какой-то член не является замкнутым (тождественноложным), то он представляет собой контрпример, т.е. указывает условия истинности относительно пропозициональных переменных, при которых сама испытываемая формула А ложна.
ПРИМЕР 1
Осуществим доказательство формулы ((р V г) q) о (р о q)\
1.1((р v г о q) z> (р о q)) - доп. "от противного"
2. (р v г z> q) "| (р о q) - из 1 по "1 о"
3.1 (р v г) 1 (р zd q) v q "|(р z> q) - из 2 по "zd"
4.1 р 1Я (р zd q) v q "](р zd q) - из 3 по "1 v"
5.1 р "I rp]q v q 1(р zd q) - из 4 по ""I zd"
6.1 р 1 rp\q v qp]q - из 5 по "1 zd".
Таким образом, имеем искомое доказательство, ибо каждый дизъюнкт полученной ДНФ имеет некоторую переменную и ее отрицание. Дадим более подробный комментарий осуществленного доказательства. Очевидно, что на шаге 1 мы при пустых Tj и Г2 имеем формулу С, имеющую вид l(Bj zd В2). На втором шаге, применив правило "lz>", получаем Bj"|B2, где В\ соответствует р \/ г zd q, а В2-р zd q. Теперь, принимая Bi за С, а 1(р zd q) за Г2, ^идим, что наше С имеет вид импликации, и, принимая р V г за a q за В2, применяем правило "zd", имея Tj - пустое, а Г2 - "](р о q), получая то, что записано на 3-м шаге. Работая с левой частью дизъюнкции, полученной на этом шаге, "](р V V г) принимаем за С, имеющее вид V #2), гДе соответствует р, В2 - г, Г1 - пусто, Г2 - "](р zd q). Применяя правило "1\/и, получаем выражение 4-го шага доказательства. В левой части дизъюнкции осталось применить правило "1 zd" к формуле "1(р о q)\ ясно, что при этом роль Г] играет формула аГ2 - пусто. После применения этого правила на шаге 4-ом имеем в левом дизъюнкте формулу Vkpltf, к которой невозможны применения правил системы и которая является замкнутой. На 5-ом шаге, применяя к правому члену дизъюнкции, имеющему вид zd В2), где Г\ - q, В\ - р, В2 - q, а Г2 - пусто, правило "1 zd", получаем второй замкнутый член дизъюнкции - qp\q. Он замкнут, поскольку в нем имеется одновременно формула q и ~]q. Таким образом, имеет место доказательство взятой формулы (р V г zd q) zd ° (Р => q)-
229
Нетрудно усмотреть возможность сокращения этого доказательства за счет объединения шагов 4-го и 5-го, дважды применяя правило ”"Ь" на одном шаге в двух членах дизъюнкции.
Вообще, естественно допустить многократное применение одного и того же правила на одном шаге вывода применительно к одной и той же формуле в различных членах дизъюнкции.
ПРИМЕР 2
Доказательство закона дистрибутивности & относительно у -Р &(q\/ г) Z) (р &q)\/ (р & г):
1-	V О => (pq V Рг)) - допущение "от противного"
2.	p(q V О \pq V РО - из 1 по "Ъ”
3.	pq \pq V pr) V Рг 1(P<7 V Pr) - из 2 по "V”
4.	pq ~](pq) \pr) V Pr "l(W) l(Pr) - из 3 no "ly" (дважды к ~](pq V PO)
5.	pq Ip l(pr) V рЛ1(Рг) V рЯр!(рг) V P^l(pr) - из 4 по "1&" (дважды к 1(р<?))
6.	pq~\p~\p v pq^P^r V pq\q\p V pq\q\r \J pr\p~\p \J pr\p~\r V V pr\q\p V prlqlr- из 5 "~|&" (четырежды к формуле ~l(pr)).
Итак, имеем доказательство. Однако в силу определения таковым является уже часть данного вывода, включающего формулы 1-4. Естественно, что доказательство на этом месте (шаг 4) могло бы быть прекращено, поскольку все члены дизъюнкции уже здесь оказались замкнутыми: в первом есть pq и во втором - рг и 1(рг). Продолжение вывода здесь связано с целью получения ДНФ формулы, противоречащей той, которая подлежала доказательству.
Более того, мы можем существенно сократить выводы, пользуясь известной нам эквивалентностью А V Ложь = А и учитывая, что конъюнкция, содержащая некоторую формулу С и 1С, является тождественно-ложной. Все эти эквивалентности остаются верными в нашей системе формализации выводов. Следовательно, такие члены -при наличии других членов дизъюнкции - можно вообще отбрасывать, сводя таким образом доказательство некоторой формулы А к выведению вырожденной ДНФ "|А - состоящей лишь в одной элементарной замкнутой (тождественно-ложной) конъюнкции. Формально это означало бы, что мы принимаем также правило редуцирования*.
Правило Red :-----——— - правило отбрасывания ложных чле-
нов дизъюнкции. Однако оно - как и ряд других правил - может быть получено в качестве производного в данной системе, если принять известный принцип (посредством которого в систему вводится понятие формальной выводимости из множества допущений):
1	<А2-<4э...(Л.эД)...))| где (та1).
А],а2,...,аш ьв
В силу эквивалентности (Aj о ... (Ат о В)...) s (Aj & ... & Ат) о В
230
(которую нетрудно доказать в нашей системе) принцип 1 равносилен следующему:
, где
г
А]....Ат1-В
Если теперь учесть, что в системе l-(B V ^iPi 1р|Г2) => В, то согласно 1' имеем В V Г]р, ~1р,Г2 F В или в форме, принятой для формулировки правил:
ДуГ]Р,1р,.Г2
В
Очевидно, конечно, что производными являются также все правила, позволяющие вычеркивать повторяющиеся члены внутри конъюнкции (А & А = А) и переставлять члены конъюнкции, когда это нужно (А & В = В & А) и т.д.
ПРИМЕР 3
Попытка доказательства формулы (р & qzi г) zd (р zd г у q):
1.	~]((pq zd г) zd (р zd г у #)) - доп. "от противного"
2.	(pq id г) "|(р zd г V q) - из 1 по "Ъ"
3.	"I(p<7)l(p z> Г V q) V rl(p => Г V q) - из 2 по "zd"
4.	l(p^)pl(r V <?) V гр1(г V 7) - из 3 "Ъ" дважды
5.1(р^)р1гЪ V rp~\r\q - из 4 "lv" дважды
6. "|(р<7)р"И<7 - из 5 по " "Red"
7.1рр"И<7 V IqpVlq - из 6 по "1&"
8. Iqplrlq - из 7 по "Red".
Очевидно, что элементарная конъюнкция - дизъюнкт ДНФ - не замкнута, а соответствующая формула не доказуема.
Мы подчеркивали, что правила вывода описанной системы представляют собой по существу эквивалентные преобразования. "По существу" - это значит с семантической точки зрения. Формально же правила дают возможность продвигаться лишь в одну сторону. Для осуществления обратного вывода, положим, что полученной ДНФ |А -без вычеркивания тождественно-ложных членов - к отрицанию Л, нам нужно, очевидно, иметь обратные правила. Для правила "zd" это будет:
П (#1	)^2
231
гг	"1^" Ц ^11^2^2
Для правила b-----——— и т.д.
Г] |(В] ZD #2)^2
Они также являются производными. Это ясно, если учесть, что для каждого из них доказуема формула вида В zd С, где В - фор-мула, стоящая над чертой соответствующего правила, а С - то, что выводимо из нее по данному правилу, т.е. стоящая под чертой.
Факт выводимости ДНФ "|А из ”|Л и наоборот указывает на связь этой системы с секвенциальным построением исчисления высказываний, которое будет рассмотрено далее. При этом полезно заметить, что прямые правила - это правила исключения соответствующих логических функторов из преобразуемых формул в конъюнкциях: zd, \/ и сложных функторов "|zd, 1&, lv, И- Поэтому полезно, видимо, переобозначить их соответственно как zdh, Ъи, \/и» "К/и> "1&и> TL где индекс "и" - исключение. Тогда как обратные правила - это правила введения: =>в, Ъв, V.» IVb И Т.Д.
Но здесь мы имеем возможность осуществить обратный вывод и в том случае, когда вывод не является доказательством, а также когда исключены какие-то тождественно-ложные члены ДНФ по правилу "Red". Однако в последнем случае здесь нужны уже другие правила, отличные от zdb, 1zdb, Vb и т.д. Например, если правило Red применено к 2-м дизъюнктам вида Г1"1В1Г2 V Г1В2Г2, из которых получен один, положим Г1"|В1Г2, то при обратном выводе потребуется правило
г "]в Г
-----——----. Если же остался член FiB2r2, то нужно правило Г](В^В2)Г2
Г]В2Г2
Г (В В )Г 9 °°а ЭТИ пРавила также являются производными в системе. Отметив эту возможность, мы не будем, однако, останавливаться подробно на ней, оставляя читателю самому рассмотреть другие случаи, выделив особо случай, когда имеется доказательство А, в котором заключительная формула представляет собой вырожденную дизъюнкцию, состоящую из одной элементарной замкнутой (тождественно-ложной) конъюнкции.
УПРАЖНЕНИЕ
1. Покажите, осуществив соответствующие доказательства, что все аксиомы сформулированных выше систем ИВ] А и ИВ2А являются теоремами системы ИВСС.
2. Являются ли теоремами ИВСС следующие формулы: a)(AvB)zDB
б)1Вэ1(А V«)
в) (((А & В) => С) & 1(А z> С)) =>(£=> С).
232
МЕТАТЕОРЕМА
О СЕМАНТИЧЕСКОЙ ПОЛНОТЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Если читатель выполнил предложенное ему выше упражнение о доказательстве в ИВСС всех аксиом ИВ]А и ИВ2А, то - с учетом того, что в этих системах выводимы все правила данной системы ИВСС и в ней правомерен т.р. - единственное правило этих систем, то тем самым установлена эквивалентность данной системы с другими, рассмотренными ранее.
Из некоторых приведенных выше характеристик системы ИВСС, касающихся ее связи с семантическими понятиями, уже очевидно, что она дает возможность весьма просто доказать сформулированную выше метатеорему о том, что каждая тождественно-истинная формула ЯКЛВ является теоремой этой системы и других рассмотренных, -метатеорему о семантической полноте исчисления высказываний.
Справедливость этого утверждения доказывается теперь весьма просто. В самом деле, при доказательстве формулы А вывод всегда может быть продолжен до получения ДНФ |А. Если при этом А - не теорема, то эта формула (ДНФ "|Д) не является замкнутой - это указывает на то, что она, как и "|А, не является тождественно-ложной, т.е. является выполнимой2, а значит, А - не тождественно-истинна. Отсюда непосредственно следует: если формула тождественно-истинна, то она - теорема.
Поскольку наша цель постоянно состоит в усовершенствовании и упрощении исчислений как аппарата дедукции, посмотрим с этой точки зрения на систему ИВСС. Она весьма удобна для осуществления доказательства (или установления того, что доказательство невозможно). Доказательство теорем обычно считают главной задачей логических исчислений. Это выражается в том, что раздел "Логические исчисления" нередко вообще называют "Теорией доказательств"3. Однако цель при осуществлении дедуктивных процессов состоит часто и в том, чтобы выяснить, какие возможны следствия из того или иного множества посылок. В практике научного познания эта цель даже является наиболее важной. Для решения задач именно такого рода система ИВСС не вполне удобна. Более того, она вообще не приспособлена для анализа каких-то данных множеств утверждений и позволяет решать лишь возникающие в таком анализе вопросы о том, является ли какое-нибудь утверждение следствием этого множества или не является таковым. И даже отвечая на этот вопрос положительно, не имеем возможности показать, каким именно образом выводимо это следствие. Таким образом, мы постоянно наталкиваемся
2Вьшолнимой как раз при условиях, на которые указывают незамкнутые дизъюнктивные
з члены.
См., например: Клини С. Математическая логика. М., 1973.
233
на так называемое диалектическое противоречие: преимущество в одном отношении порождает недостатки в другом и наоборот. Свободной от недостатков указанного рода и вместе с тем лишенной определенных преимуществ системы ИВСС является система натурального вывода ИВ2Н.
§ 35. Система натурального вывода ИВ2Н4
Система ИВ2Н в качестве постулатов имеет следующие правила вывода (исходные правила). Для каждой логической константы, как и обычно в натуральных системах, имеем правила введения этой константы и удаления ее (этим объясняются специальные обозначения правил, например, "&в" - правило введения конъюнкции; "&И1", "&и2" -первое и второе правила исключения конъюнкции); А, В, С - далее любые формулы; Г, Д - любые (возможно, пустые) множества допущений.
&в:
А,В А&В
(из формул А и В непосредственно выводима А & В)-,
аналогичный смысл имеют следующие формулировки прямых правил:
А	В	А\/В,]А
Vbi’av# Vb2’b\m V"’ в
Г,А НВ	Ат>В,А
О'-------- ---------------
в Г1-А=>В	и В
1 Г, А ЬВ;Г,А Н~|Д -> TU
в‘ Г1-"|А	А
В отличие от аксиоматических формулировок исчислений, которые, как мы видели, представляют собой индуктивное определение понятия теоремы и тем самым синтаксический способ выделения множества теорем среди множества формул соответствующего языка, рассматриваемая система определяет не понятие теоремы, а понятие выводимости. Она выделяет множество всех возможных случаев выводи-мостей в КЛВ, т.е. некоторое подмножество множества всех возможных пар (Г, В) таких, что ГЬВ. Аналогично аксиоматическим системам определение выводимости, содержащееся в данной системе, также является индуктивным: базис индукции составляют все прямые правила (непосредственные выводимости). Непрямые правила содержат индуктивное предположение ("если имеются такие-то выводимости" -
4ИВ2Н - сокращение для "натуральный вариант системы ИВ2А". Система ИВ2Н эквивалентна ИВ2А даже в обычном - недефинициальном - смысле, что будет показано.
234
посылки правила) и индукционный шаг ("тогда имеется такая-то выводимость" - заключение правила).
Аналогично тому, как обстояло дело с понятием теоремы в аксиоматических формулировках исчислений, мы не имеем здесь синтаксического способа решить вопрос, выполняется ли в том или ином случае индуктивного предположения о наличии каких-то выводимостей и индукционный шаг, поэтому и здесь нужна дополнительная теория, дающая возможность решать эти вопросы. Прежде всего, это понятие вывода. Однако мы уже знаем о тех трудностях, которые возникают с понятием вывода в натуральных системах, содержащих непрямые правила. Используем то понятие вывода - и технику его осуществления по Куайну, - которые были введены в связи с применением правила теоремы дедукции (см. § 31). Здесь оно претерпевает некоторое усложнение в силу добавления нового непрямого правила (”|в), к тому же с двумя вспомогательными выводами. Заметим, правда, что можно было бы вообще избежать введения этого второго непрямого правила, заменив его двумя прямыми, равносильными ему в совокупности:
АзВ А
и или даже одним, также равносильным ему -
AzdIb
BzdIa
Но при этом система теряла бы в степени своей "натуральности", поскольку правило ~|в- это форма рассуждения, широко применяемая в естественных рассуждениях и известная под названием "опровержение путем сведения к абсурду"5. К тому же выводы гораздо легче осуществимы в системе, содержащей большее число непрямых правил, позволяющих исключать (а значит, и использовать) некоторые допущения. Более того, мы можем устранить осложнения в построении выводов, связанные с добавлением в системе этого непрямого правила, представив его - по аналогии, как это было сделано с правилом теоремы дедукции, - как прямое. Посмотрим сначала, как выглядит его применение в обычном (непрямом) виде:
ПРИМЕР
Схема доказательства формулы (А о В) о ("|А V ^)-
+1. А =эВ
+2. 1(14 V В)
+3. 14
4.14 V В - из 3, VB1
5Чйтатель, очевидно, легко согласится с этим утверждением, если попытается вспомнить, как часто ему приходилось рассуждать в соответствии с правилами контрапозиции iA S
у----=г— и введения двойного отрицания, не говоря уже о правиле "усеченной" контра-
IB о |4
позиции . Ясно, что в этом смысле и по фактору "естественности" правило "све-Bz> IA
Дения к абсурду" гораздо более "натурально ".
235
(-3)5. TlA - 1B, на основании вспомогательных выводов 1-2 и 1-4
6.	А - из 5,~1И
7.	В - из 1, 6, з>и
8.	1А V В - из 7, Vв2
(-2)9. Т1(Ъ V В) - 1В, на основе выводов 1-2 и 1-8
ю. Та v в - из 9, Ти
(-1)11. (А =э В) =э (ТА V В) - ов, на основе вывода 1-10.
* Указанная возможность упрощения правила Тв теперь очевидна: вместо ссылок на два вспомогательных вывода 1-2 и 1-4 (или - во втором применении Тв - на 1-2 и 1-8) будем ссылаться на последние формулы этих выводов, т.е. на формулы, которые составляют противоречие. Это значит, что это правило может быть представлено в виде:
в, Тв -1	,
—, где В и |В - формулы, составляющие противоречие, а фор-|А
мула А - последнее из неисключенных допущений, и как обычно при применении этого правила данное допущение исключается.
При такой формулировке правила Тв рассмотренный пример доказательства примет вид:
+ 1. Azd# .
+2. 1(14 V В)
+3. 14
4. 14 V В - из 3, Vb]
(-3)5.114 -из 2, 4,1В
6.	Л - из 5,1и
7.	В - из 1, 6, z>„
8.	14 V В - из 7, Vb2
(-2)9.11(14 V В) - из 2, 8,1В
10.	(14 V -В) - из 9,1и
(-1)11. (A z> В) z> (14 V В) - =>в на основе 1-10.
Итак, при переходе к натуральным системам мы освободились от трудностей, имеющих место в аксиоматических системах и связанных с выбором схем или их вариантов, необходимых для осуществления того или иного вывода. Однако и теперь еще осуществление выводов представляет собой в значительной степени определенное искусство, включающее моменты изобретательности. Это связано с решением вопроса о том, какие необходимо ввести вспомогательные допущения для осуществления того или иного вывода. Проверьте себя, читатель, разбирая предыдущее доказательство: легко бы вы догадались ввести в этом доказательстве допущения?
Однако и здесь можно весьма существенно облегчить дело, если сформулировать некоторые общие принципы введения допущений.
236
§ 36.	Эвристические принципы введения вспомогательных допущений. Эквивалентность натуральных и аксиоматических систем.
Способы построения выводов и доказательств.
Основной принцип состоит здесь в том, что вводить можно любые вспомогательные допущения, для которых, однако, имеется возможность их дальнейшего исключения посредством применения непрямых правил системы. Конкретнее вопрос решается в зависимости от вида доказываемой или выводимой формулы, а также некоторых уже появившихся в выводе формул. Так,
1)	если в качестве заключения вывода должна быть получена формула вида /Ц z> (А2 => ••• (Ат 5)...), то можно использовать в качестве вспомогательных допущений AlfA2,..., Ат, стремясь вывести В. Формула, выведение которой является конечной целью, может быть получена тогда, очевидно, по ов.
Правило "|в обеспечивает возможность строить выводы по принципу или способу "опровержение сведением к абсурду", а в сочетании с 1И также по принципу "доказательство от противного";
2)	первый способ состоит в том, что, желая вывести отрицание некоторого высказывания В, т.е. ~|В, берут в качестве допущения В (возможно, конечно, в дополнение к другим посылкам, например, допущениям, введенным согласно п. 1). Цель теперь должна состоять в том, чтобы получить противоречие ("абсурд"), т.е. вывести некоторое С и 1С. Тогда по 1В получаем 1в, и притом не зависящее от допущения В;
3)	способ "доказательства от противного" состоит в том, что, желая вывести В, вводим допущение "|В. Если теперь удастся вывести некоторое С и его отрицание 1С, то по 1И получаем "Пв (не зависящее от допущения ТВ), и по 1И выводим нужное В;
4)	конечно, для того чтобы получить упоминаемые в п. 2 и 3 С и 1С, могут понадобиться дополнительные допущения. Так, если В есть высказывание вида Вх V #2,то наряду с l(^i V #2) можно использовать или В2 (или и то и другое). Это целесообразно, в частности, когда желательно иметь в выводе В\ или В2. Содержательно очевидно, что уже в указанных допущениях содержится противоречие, которое обнаруживается, как только по VB1 (или по Vb2) мы получаем Вх \/ В2 из В} (или из В2). Аналогично, если учесть, что А z> В эквивалентно "U V В “ желая получить А или ~|В при наличии в выводе 1(А о В), - следует брать допущения "|А или В;
5)	если В, которое желательно вывести, имеет вид В} & В2, то вывод его, очевидно, обеспечен (по &в), если выведены В\ и В2. Для осуществления выводов этих составляющих естественно опираться на сформулированные уже принципы. Рассуждая, например, по принципу "доказательство от противного", можем ввести допущения "|В1 И1В2;
237
6)	если в некотором выводе получена формула вида А \/ В, а цель состоит в получении некоторой (отличной от указанной) формулы С, которую не удается вывести из имеющихся посылок, естественно прибегнуть к способу "рассуждения по случаям", вводя сначала допущение А, а затем В и стремясь в каждом случае получить С. Если С выводимо при допущении А и выводимо также из допущения В (независимо от А), то по \/и и получаем С независимо от допущений А и В (если А V В является в выводе допущением, то С будет зависеть теперь от него). (Введенная выше оговорка относительно того, что при допущении В формула С должна быть выведена независимо от допущения А, не означает каких-либо ограничений на применение правила \/и- В случае невыполнения оговоренного условия мы просто не получим желаемого результата.)
Используя эти принципы, т.е. вообще решая вопрос, какие в том или ином случае ввести допущения, нужно хорошо знать семантику: здесь господствуют в основном содержательные (семантические) соображения. Мы должны знать, конечно, что импликация истинна, когда ложен антецедент или истинен консеквент; дизъюнкция истинна, когда истинен хотя бы один ее член; конъюнкция истинна при истинности обоих ее членов и т.п. Желая, например, вывести из каких-то допущений Тв и рассуждая "от противного", удобнее вводить не формально противоречащее ему Не, а В, зная, что Т1в и В эквивалентны. Однако сами выводы и доказательства должны осуществляться строго формально! Поясним сформулированные эвристические принципы на примерах.
В рассмотренном выше доказательстве формулы (А о В) о ("|А V В) допущение 1 введено по принципу 1, допущение 2 - по принципу 2, а третье допущение -- по принципу 4.
ПРИМЕР
Доказательство формулы 1(А о 1В) о А & В.
В поисках доказательства этой формулы естественно рассуждать так. Нам надо вывести А & В из "1(А о |В). Это последнее следует взять в качестве допущения (принцип 1). Для вывода конъюнкции надо вывести каждый из ее членов (принцип 5). Непосредственно этого сделать явно не удастся. "Включаем" рассуждение "от противного", но целесообразней это делать по отношению к каждому из членов, т.е. допускать Ъ, стремясь вывести А, затем - ~|В для вывода В. Однако мы можем сразу сказать, что и этих допущений будет недостаточно. Прежде чем разъяснить соображения, по которым могут быть введены дополнительные допущения, удобнее привести сначала само доказательство:
+1. 1(А э 1В)
+2. 1А
+3.
+4. А
238
(-4)5. A z> IB - из 4 =>в
(-3)6. 11В - из 5, 11В
7.	В - из 6 1И
+8. А
(-8)9. A z> 1В - из 8 z>„
(-2)10. Т1А - из 1,9 1в
11.	А - из 10 1„
+12. ТВ
+13. А
(-13)14. A z> "|В - из 13=>в
(-12)15. TIB - из 1, 14 Тв
16. В - из 15 Ти
17. А&В-из 11, 16 &в (-1)18. Т(А => ТВ) Z) А & В - из 17 z>„.
Соображения введения допущений 1 и 2 уже разъяснены. Тв вводится как условие истинности импликации A z> Тв, которую стремятся получить как противоречие первому допущению, но формально приходится вводить еще допущение А, поскольку в системе нет правила, которое позволило бы вывести эту импликацию на основании истинности консеквента "|В. Надеемся, что дальнейшее читатель поймет уже самостоятельно.
Только что - в предыдущих рассуждениях - было упомянуто, что в системе у нас нет правила, позволяющего вывести импликацию А о В на основе истинности ее консеквента В. Нет также правила, позволяющего вывести ее из предположения о ложности ее антецедента. Эти два правила - правило консеквента и правило антецедента - полезно доказать как производные в этой системе, что дает право использовать их в дальнейшем для сокращения выводов.
Итак, речь идет о двух правилах:
в	1а
В - правило консеквента и д э д - правило антецедента.
Доказательство:
+1. в	+1. 1а
+2. А	+2. А
(-2)3. A z> В - из 2 =>в	+3.1В
(-3)4.115-из 1, 2 1„
5. В - из 4 1и (-2)6. А =э В - из 5 =>в.
При применении этих правил для сокращения выводов - именно как производных - формулы В и |А (как посылки правила) - любые полученные в некотором выводе формулы, а А в первом правиле и В во втором - вообще любые формулы.
Продолжив последовательности формул, представляющие данные
239
выводы, за счет применения правила =эв, исключая в каждом случае оставшееся единственное неисключенное допущение, получаем два соответствующих нашим правилам закона: В z> (А о В) - закон консеквента и Та о (А о В) - закон антецедента.
Первый из этих законов, точнее схема закона, является, как не трудно видеть, аксиомной схемой всех сформулированных выше аксиоматических систем со схемами аксиом. Покажем полезность применения второго из указанных правил на примере доказательства закона (схемы) ((А о В) о А) о А - закона Ч. Пирса:
+1. (A zd В) э А
+2. Та
3. А э В - из 2 - производное правило антецедента
4. А - из 1,3 2ЭИ
(-2)5. Та - из 2,4 1в
6. А - из 5 Ти
(-1)7. ((А о В) о А) о А - из 6 ов.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Осуществите доказательство закона Пирса без применения производного правила антецедента (очевидно, вывод самого этого правила должен получиться тогда как часть общего вывода и для его осуществления надо использовать в качестве эвристических принципов условия истинности импликации).
2. Докажите, что все схемы аксиом системы ИВ2А являются схемами теорем системы ИВ2Н.
МЕТАТЕОРЕМА: система ИВ2Н эквивалентна ИВ2А.
Для доказательства метатеоремы необходимо показать:
1. Все аксиомы ИВ2А являются теоремами ИВ2Н.
2. Все правила ИВ2Н, кроме ов, являются производными в ИВ2А.
Первое условие задано Вам в качестве упражнения. Второе условие также выполняется: смотрите раздел "Метатеорема дедукции" и "Основные и производные правила". Напомним, правило ов - это правило, соответствующее правилу метатеоремы дедукции и выводимое из схем консеквента и самодистрибутивности. Что касается остальных правил ИВ2Н, то было показано, как они получаются из соответствующих аксиом ИВ2А в разделе "Основные и производные правила".
НЕДОСТАТКИ СИСТЕМЫ ИВ2Н
Прежде всего, эта система не так уж близка к естественным (натуральным) рассуждениям по принципам построения выводов, в которых процесс рассуждения (вывода, доказательства) представляет собой просто последовательность определенных шагов преобразования исходных положений (см. гл. 7). Обременительным обстоятельством при построении выводов является необходимость следить за порядком вве-240
дения допущений и, соответственно, за порядком их исключения. Осложнения могут возникнуть при появлении лишних допущений, что при поиске вывода встречается нередко. Но главное состоит в том, что принципы построения вывода здесь строго согласованы с использованием только двух непрямых правил: ов и 1в. К тому же все эти принципы нарушаются безнадежным образом при попытках использования дополнительных непрямых правил, например, правила "рассуждения по случаям", поскольку оно связано с исключением двух допущений одновременно. Как было показано в разделе "равносильность правил", это последнее равносильно используемому в нашей системе прямому правилу \/и _ правило m.t.p.
Однако, несмотря на эту равносильность, оно является более естественным в рассуждениях. К этому добавим, что упомянутая равносильность этих правил имеет место лишь в классической логике, где отношение логического следования является парадоксальным (см. § 16) и это прямое правило как раз чревато этой парадоксальностью, т.е. не обеспечивает релевантную выводимость. Поэтому в системах релевантной логики его приходится заменять правилом "рассуждения по случаям", что опять порождает проблему построения выводов. Все это, естественно, приводит к вопросу о том, каким образом можно универсализировать и упростить принципы построения выводов в натуральных системах. Есть несколько решений этого вопроса: построение выводов в виде "деревьев" (Г. Генцен)6; польскими авторами Слупецким Е. и Борковским Л. предложена система "ступенчатого" построения доказательств7; В.А. Смирновым также предложен способ построения выводов8; на Западе, особенно в англоязычной литературе, широко используется так называемая система "субординатного" вывода, разработанная Ф. Фитчем9.
Мы опишем здесь лишь последнюю систему в силу ее особой распространенности в зарубежной литературе, а также способ построения выводов с характеристиками зависимости (формул вывода от допущений), разработанный Е.К. Войшвилло10. Последний оказывается наиболее естественным хотя бы потому, что позволяет снова - как в аксиоматических системах - прийти к пониманию вывода как последовательности определенных шагов. Именно он будет использован в разделе "Релевантная логика", поскольку зависимость формул вывода от допущений оказывается синтаксическим аналогом самого понятия релевантности рассуждений. Здесь дается его изложение применительно к классической логике.
6 Генцен Г. Исследования логических выводов: Математическая теория логического вывода. М., 1967.
7 Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики и теория множеств.
М., 1965.
8 Смирнов В.А. Формальный вывод и логические исчисления. М., 1972.
9 Fitch F. Symbolic Loqic. N.Y., 1952.
10 Войшвилло Е.К. Символическая логика: классическая и релевантная. М., 1989. Здесь же имеется обзор и некоторых других систем.
16 Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев, кн. I
241
СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ ВЫВОДОВ ПО Ф. ФИТЧУ (СИСТЕМА СУБОРДИНАТНОГО ВЫВОДА)
В этой системе мы по существу отказываемся уже от понимания вывода (доказательства) как последовательности шагов. Вывод сложного выражения представляется как некоторая система элементарных выводов. Здесь, как и в предыдущих натуральных системах, мы не даем определения вывода такого, как это делается, например, в аксиоматических системах. Это понятие задается перечислением ряда принципов построения вывода (недостаток такого способа состоит в том, что всегда можно упустить какой-то особый случай, что может порождать неясность - как в этом случае действовать)11.
Основная идея этого способа состоит в отделении вспомогательных выводов от результирующих посредством выделения их в отдельные части.
Выводы делятся на уровни: нулевой, первый, второй и т.д. в зависимости от числа допущений, на каждом последующем, кроме последнего, вводится лишь одно допущение и осуществляется лишь один вывод: на последнем уровне может быть построено несколько вспомогательных выводов и для каждого из них вводится лишь одно допущение, хотя при этом могут использоваться и допущения предшествующих уровней, переносимые по особому правилу рейтерации (reiteration). Все выводы последнего уровня осуществляются лишь по прямым правилам. На других возможно применение как прямых, так и непрямых (на основе выводов предшествующего уровня) правил. Непрямые правила трактуются - и соответственно формулируются - как правила перехода от одного уровня к другому, более низкому. Так, zdr формулируется в виде (как и раньше, допущения отмечаем знаком "+"):
+/	... А
j ... В
j + 1 A z> В, на основе вывода i -j
если на некотором уровне из допущения А (и, возможно, других Г, перенесенных с предшествующих уровней по правилу рейтерации) выве
11 Кстати, существенные сложности возникают при применении этого способа построения выводов и в исчислении предикатов.
242
дена на шаге j формула В, то на непосредственно предшествующем уровне может быть записана - выводима - формула (A э В).
Правило 1В:
А
В
"к, на основе выводов i-j и i - к.
Правило "рассуждения по случаям":
+Z +j		А У В	А
к			С
+ 1			В
т			С
т + 1		С, на основе выводов j - к и / - т.	
16*
243
Прямые правила применяются обычным образом и, кстати, когда в выводе применяются лишь прямые правила - и только в этом случае! -он представляет собой обычную последовательность шагов, как в аксиоматических системах.
Напр	имер, &в:	А	или &и: В А&В	А&В А	А&В В
V.,:	А А\уВ	В	и т.п. A \JB		
Наряду с обычными правилами (например, правилами сформулированной выше системы) в системе субординатного доказательства имеются специфические: упомянутое уже правило рейтерации (сокр. reit.), позволяющее переносить формулы с любого уровня на более низкие, и правило повторения (repit.), позволяющее повторять любую формулу на одном и том же уровне вывода, т.е. любую формулу, полученную на некотором шаге вывода на том или ином уровне, записать ее любое число раз ниже.
244
ПРИМЕР 2
Доказательство формулы (А э В) э (Та V В):
+1. +2. +3.	А о В	1(14 V-B)	14
4.			14 V В, V„,
5.			1(14 V В) - из 2, reit.
6.		114-1„ 3-4, 3-5	
7.		А - 1и из 6	
8.		А о В - из 1, reit.	
9.		В, из 8, 7 ои	
10.		Та v в, Vb2 из 9	
11.		11(14 V В), 1в, 2-5, 2-10	
12.		14 V В, 1„, из 11	
13.	(А => В) => (14 V Я).	1-12.		
Сравните это доказательство с доказательством этой же формулы в системе ИВ2Н, обратите внимание, что использованы те же вспомогательные допущения и те же непрямые правила их исключения.
§ 37. Построение выводов с учетом зависимости формул вывода от допущений.
Система выводов с характеристиками зависимости - ИВ2НХЗ
Мы уже видели (с. 189), что в некоторых случаях полезно учитывать зависимость формул вывода от допущений. В дальнейшем - в исчислении предикатов - в определенных системах это окажется даже необходимым и, как упоминалось раньше, понятие зависимости становится даже неотъемлемой частью понятия вывода и доказательства в релевантной логике. Вообще говоря, это понятие, будучи определено индуктивно, может применяться содержательным образом, хотя процедура прослеживания зависимостей оказывается нередко довольно сложной. Здесь предлагается определение этого понятия уже в связи с самой формулировкой правил, при которой все зависимости фиксируются некоторым формальным образом и прослеживаются автоматически. Идея переформулировки правил оказывается достаточно простой, если учесть связь понятия зависимости с понятием формальной выводимости. Если, например, мы имеем выводимость Г h В, то можем это выразить так В [Г]; последняя запись означает "В зависит от Г". Это
245
сразу приводит к возможности упрощения непрямых правил. Так, правило "|в, стандартная формулировка которого, как помнит читатель, Г, А 1-В; Г, A I- 1s
выглядит как------гТПЙ------’ может ^ыть представлена в виде
В[Г, А]; 1В[Г, Л] г_ 41	г_
--------------, где [Г, А] понимаем как [Г и {А}].
Обычная формулировка правила "рассуждения по случаям" превра-
С[Г,А];С[Г, В] щается в CIMVB] •
Формально - по своему виду - непрямые правила превращаются в прямые, хотя остаются непрямыми по существу, поскольку позволяют исключать - а значит, и использовать! - те или иные промежуточные допущения. Таким образом, сохраняется преимущество, связанное с использованием непрямых правил и вместе с тем исключаются сопряженные с ними трудности в построении выводов. Учитывая эту специфику правил в данной формулировке, отличающую их от прямых правил, и в то же время сходство их с прямыми (по формуле), назовем их квазипрямыми. Существенное отличие их от непрямых (в обычных формулировках) состоит в том, что допущения здесь исключаются не из выводов, а лишь из характеристик зависимостей отдельных формул. Применение каждого правила не затрагивает предшествующей части вывода. Именно благодаря этому отпадает необходимость учитывать, какие из допущений исключены (одно и то же допущение может использоваться и исключаться любое число раз), придерживаться какого-либо определенного порядка введения и исключения допущений, а сами выводы и доказательства можно определить как некоторые последовательности формул, аналогично тому, как это имеет место в аксиоматических системах.
Добавим к этому также, что указанная переформулировка непрямых правил создает возможность существенных их обобщений и упрощений по существу.
Мы будем употреблять в дальнейшем записи А [Г] для всех формул вывода, где Г есть множество допущений - возможно пустое (в таком случае это будет запись А[-]). Само множество Г, связанное с определенной формулой, будем называть характеристикой зависимости этой формулы (характеристикой зависимости этой формулы в некотором выводе от имеющихся в выводе допущений).
Итак, описание системы будет включать понятие зависимости формул в выводах от допущений, которое определяется индуктивно.
1. Каждое допущение (гипотеза) зависит от самого себя. Это значит, что характеристикой зависимости допущения А должно быть множество {А}; мы будем употреблять обозначение [А].
2. Для всех других формул понятие зависимости определяется па
246
раллельно с формулировкой правил вывода, т.е. в правилах описываемой системы.
Мы можем принять сейчас любую из указанных ранее им других эквивалентных им систем правил. Понятия вывода и доказательства формально будут оставаться теперь одними и теми же для любой системы правил с соответствующими переформулировками, связанными с введением характеристик зависимости.
Принцип переформулировки непрямых правил в квазипрямые, по существу, уже сформулирован: дело сводится просто к замене везде метавыражения Г h А на А [Г]. Изменения формулировок прямых правил состоят в том, что к посылкам и заключениям их добавляются характеристики зависимости. Для посылок таковыми являются некоторые неопределенные множества допущений Г (но определенные в каждом
конкретном случае применения правила в некотором конкретном выводе). Характеристикой заключения является всегда объединение характеристик посылок (т.е. обычное объединение множеств допущений, от которых зависят посылки).
Для объединения множеств Г и А в характеристиках зависимости примем обозначения [Г, А].
Естественно допускать, что множества Г, А (Г\, А} и т.п.) в ха-
рактеристиках зависимости могут быть и пустыми. Согласно определению доказательства, которое будет дано ниже, наличие у формулы А
пустой характеристики будет означать, что А доказана. Каждое пра-
вило в принимаемой формулировке указывает, какую формулу и с
какой характеристикой можно приписать к уже имеющемуся выводу (в начале которого, как обычно в натуральных системах, либо исполь-
зуются уже данные посылки, либо вводятся некоторые вспомогатель-
ные допущения). Например,
Л[Г],В[А] (А & В)[Г, А]
разрешает при наличии в
выводе формул А и В, зависящих, соответственно, от множества
допущений Г и А, приписать к нему формулу А & В с характеристикой
зависимости [Г, А]
В[Г, А] ’АэВД’
разрешает приписать А о В [Г] при нали-
чии в выводе формулы В с указанной характеристикой [Г, А].
Однако представляется возможность принять некоторые правила в более общей, чем прежде, и технически более удобной (но равносильной в системе) формулировке. Прежде всего, исходя из экстенсионального характера импликации и следования12, мы можем принять более общие, чем прежде, формулировки z>B и |в, соответственно
12 Экстенсиональный характер 4=>5иГ|=5в классической логике проявляется в том, что здесь, как мы уже говорили, не предполагается зависимость В от А и В от Г по содержанию высказываний. Имеется в виду лишь зависимость истинностных значений формул (высказываний): при истинности высказывания A В истинность высказывания А гарантирует истинность высказывания В. Наличие следования Г |=2? при истинности всех высказываний, содержащихся в множестве Г, гарантирует истинность
* высказывания В.
247
Д[Г]	Д[Г], 1В[А]
А^В[Г-{А}] ИЪ[(Г,Д)-{А)]
, где А - имеющееся в выводе допу-
щение, - знак теоретико-множественной разности, "Г - Д" вообще означает множество, получающееся вычеркиванием из Г всех имеющихся в нем элементов Д; ясно, что если в Г нет таких элементов, то Г - Д = Г.
Данная формулировка ов и "|в подчеркивает, что для получения Д □ В не обязательна зависимость В от А, а для получения заключения о ложности некоторого допущения А на основе полученного в выводе противоречия В и "|в не обязательно, чтобы это противоречие возникло именно в силу допущения А. (Таким образом, становятся очевидными некоторые источники иррелевантности в классической логике.)
Итак, мы принимаем следующие исходные правила нашей системы; обозначим ее ИВ2НХЗ (натуральная система исчисления высказываний с характеристиками зависимости); Г и Д в формулировках правил -любые (возможно, пустые) множества допущений:
А[Г],В[Д]
А & В[Г, Д]
А & В[Г] и1: А[Г]
3. &и2:
А & В[Г]
В[Г]
4,Vni: А \/Я[Г]
5 V • *[П
Vb2‘ А \/В[Г]
с[Г,а];С[г,в] п
Vh‘ С[Г,ад
, где А - любое имеющееся в выводе допу-
АэВ[Г-{А}]
щение
9. V
А=>В[Г],А[А] :	В[Г, А]
Д[Г], 1Д[А] 1А[(Г, А)- {А}]
, где А - любое имеющееся в выводе допу-
щение
^Вместо указанного правила v и может быть принято правило
С[Г,4],С[Г,#],4уВ[Д]
С[Г,Л]
»которое не требует, чтобы A v В было обязательно до-
пущением.
248
Выводом будем называть любую непустую последовательность формул с характеристиками зависимости, в которой каждая формула есть либо некоторое допущение, либо получается из предыдущих формул последовательности по одному из правил вывода. Последняя формула вывода называется его заключением.
Если заключение некоторого вывода есть В с характеристикой [Г], то будем говорить, что имеется выводимость A h В (где А - любое расширение множества допущений Г). Конечно, самая сильная выводимость при этом есть Г h В14. Если Г есть пустое множество, то имеем \-В (доказано В) и данный вывод называем доказательством В.
Формула В, для которой существует доказательство, называется теоремой данной системы.
Рассмотрим теперь несколько примеров выводов (и доказательств). Допущения в выводах по-прежнему будем выделять знаком Для облегчения анализа проводим, как и раньше, нумерацию всех формул (шагов) в выводе; вместо формул в характеристиках зависимости будем указывать их номера в выводе. В качестве знака пустой последовательности (множества) допущений (а значит и пустой характеристики доказанной формулы) будем употреблять знак Принципы введения допущений остаются прежними.
ПРИМЕР 1
Рассмотрим схему доказательства формулы (А о В) о ("Ia \J В) (ср. ее доказательство в вышеприведенных системах).
+1. АоВ [1]
+2. 1(14 V5) [2]
+3.14 [3]
4.14 V 5 [3] - из 3 по \/В|
5.	Th [2] - из 2, 4 по 1в
6.	А [2] - из 5 1и
7.	5 [1,2]-из 1,6=>и
8.	14 V 5 [1,2] - из 7 Vb2
14 Определяя таким образом выводимость, мы, как и раньше - в формулировках других систем, ставим в соответствие каждому выводу бесконечное множество выводимостей (получаемых расширением Г - возможно, до бесконечности), однако полезно из этого множества выделить и наиболее сильную выводимость.
249
9.	71(14 V В) [1] - из 8, 2 1в
10.	14 \/ В [1] - из 9 1и
11.	(4 =) В) z> (14 V В) [-] - из 10 э„.
Характеристика формулы 114, полученной на 5-ом шаге, составляет множество {2). Оно, согласно правилу 1в, представляет собой теоретико-множественную разность (2, 3}-{3) = {2}. Аналогично при втором применении правила 1в на шаге 9. Характеристика последней формулы [-] есть также результат теоретико-множественной разности (!}-{!}, полученной согласно правилу z>B.
ПРИМЕР 2
Схема доказательства формулы вида (А & В э С) э (А □ (В э С)) -закон экспортации:
+1. А & В => С [1]
+2. А [2]
+3. В [3]
4.	А & В [2, 3] - из 2 и 3, &в
5.	С [1,2, 3]-из 1 и 4, =)и
6.	В z> С [1, 2] - из 5,
7.	А э (В Z3 С) [1] - из 6, z>B
8.	(А & В z> С) => (A z> (В => С)) [-] - из 7, =>в.
Последовательность формул 1-8 представляет собой здесь доказательство нужной формулы. Любая часть этой последовательности l-/i(l^n=s8) есть некоторый вывод. Так, часть 1 есть вывод А & ВэС I-А &ВэС, часть 1-6 представляет собой вывод А & В з С, А I- В з С и т.п.
ПРИМЕР 3
Схема доказательства формул вида А э(Вз А):
+1.А [1]
+2. В [2]
3. В Z) А [1] - из 1, z>B
4. А э (Вэ А) [-] - из 3, z>B.
Из определения выводимости непосредственно следует справедли-
вость правила
В[П В[Г,А]’
называемого правилом "утончения", или в обыч-
250
,	гьв
ной форме - без характеристик зависимости: г д [_ д- Это правило
можно формально вывести, и не используя определения выводимости. В самом деле, положим,, что в каком-то выводе получено заключение В с характеристикой зависимости Г, т.е. имеем В [Г]. Тогда мы можем продолжать этот вывод, добавив допущение А, т.е. А [А], и получить (по &в) (А & В) [А, Г], а отсюда (по &„2) В [А, Г].
Это наводит на мысль об излишестве в определении выводимости, касающейся указания на возможность расширения Г до А. Однако по правилу утончения нельзя получить случай выводимости A h В при бесконечном А. Строго говоря, все возможные расширения множества Г получаются именно по правилу утончения, что указывает на наличие в нашей системе свойства компактности, т.е. на справедливость
метатеоремы компактности'.
Выводимость A h В при бесконечном А имеет место в системе Е.Т.Е. в ней осуществим вывод с заключением В[Г], где Г есть конечное подмножество множества А.
Используя правило утончения, легко показать равносильность введенных в системе обобщенных правил ов и 1И стандартным их формулировкам. Положим, что имеем в выводе В [Г] и при этом А не содержится в Г. Тогда сразу можем получить В[Г, А], и переход далее к А з В [Г] по стандартному уже правилу ов дает тот же результат, что и по обобщенному правилу. Аналогично дело обстоит и с правилом "]в.
Как видим, характеристики зависимости в классической логике хотя
и играют существенную роль - в упрощении выводов и доказательств, но эта роль лишь техническая: по существу, они не выражают никакой зависимости формул по содержанию - любую формулу в выводе можно сделать зависящей от любых введенных допущений. В связи с этим требуется некоторое уточнение упомянутого ранее понятия "наиболее сильная выводимость": если мы имеем вывод с заключением В [Г], то Г h В - наиболее сильная выводимость лишь в том случае, если Г содержит лишь те допущения, которые действительно использованы и потому необходимы для осуществления вывода с данным заключением.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Постройте схемы доказательств всех аксиомных схем системы
ив2а.
2. Осуществите доказательства формул:
а) 1(А => ТВ) => (А & В)
б)(А V£)=>CU=>B)
в) ((A z> В) z> A) z> А).
251
Глава 10
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ.
СИСТЕМЫ СЕКВЕНЦИАЛЬНОГО ВЫВОДА (СИСТЕМЫ ГЕНЦЕНОВСКОГО ТИПА), ИХ СВЯЗЬ С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ТАБЛИЦАМИ
Секвенцией называют выражение вида Г —> Д, где Г и Д - любые последовательности или множества формул рассматриваемого языка, возможно пустые, но не обе вместе, и Г называется антецедентом, а Д - сукцедентом секвенции. Мы будем трактовать Г и Д как множества; согласно ранее введенной договоренности множество записывается как последовательность его членов, но при этом порядок их не считается существенным. Кроме того, мы будем иметь в виду системы без правила "сечения" - системы кангеровского типа1. Систему исчисления такого рода легко получить как некоторое переистолкование процесса построения аналитической таблицы (см. § 20). Такой подход к построению рассматриваемых исчислений хорошо высвечивает их семантическую основу. По существу, секвенциальное доказательство некоторой формулы А означает то же, что построение замкнутой таблицы для этой формулы, но осуществляемое при этом в обратном порядке.
Начнем с того, что каждой конфигурации соответствует множество секвенций, каждая из которых Г, Д, образуется из некоторого множества отмеченных формул S, этой конфигурации следующим образом: в качестве Г, берется множество всех истинных формул, т.е. всех формул, входящих в Si с префиксом Г (сам префикс при этом уже опускается), а Д, - множество всех ложных формул, т.е. формул, входящих в Si с префиксом F (который тоже опускается). Например, из конфигурации {[TAit FA2, ГА3}, {FA4, FA5, ТА6}} полуаем две секвенции А3 —> А2Мб А4, ^5. Секвенции, которые, получаются из последней конфигурации замкнутой таблицы, очевидно таковы, что в каждой из них имеется некоторая формула, встречающаюся и в антецеденте и в сукцеденте, - такие секвенции называются аксиомами секвенциального исчисления. При перестройке аналитической таблицы в секвенциальное доказательство они становятся исходными в этом последнем. Завершающей в секвенциальном доказательстве формулы А будет секвенция —> А, соответствующая исходной конфигурации
1 Кангер С. Упрощенный метод доказательства для элементарной логики. Математическая теория логического вывода. М., 1967, с. 200-208.
Правило сечения - это следующее правило вывода в секвенциальных исчислениях:
Г| —> А],А А,Г2 —> А2	т-, т-,	z„	V
—i----1-------------Согласно результатам Г. Генцена ( основная теорема Генце-
ГьГ2-> AjA2
на") это правило может быть исключено из секвенциальных доказательств, т.е. может рассматриваться как производное, - употребление его ведет во многих случаях к сокращениям доказательств, но усложняет их структуры. См. тот же сборник: Ген-цен Г. Исследования логических выводов, с. 30-43.
252
({FA}}; секвенция такого рода трактуется как "доказано A" (h А). Меняется, естественно, и формулировка правил. Если каждое правило таблицы было правилом исключения некоторой логической константы, то теперь оно становится правилом введения ее. Причем, если раньше мы различали правила и то теперь им соответствует правило введения импликации слева (т.е. в антецедент) и правило введения импликации справа (в сукцедент) - примем для них обозначения "ол" и "гэп". Аналогично для всех других логических связок. Таким образом, табличным правилам Т&, F&, Ту, Fy, Т->, F->, Тд и F~\ будут соответствовать следующие правила секвенциального доказательства (Г, А, Гь Г2, Д|, А2 - любые, возможно пустые, последовательности формул):
&л«
ГИА,В,Г2 д
Fj,(A&B),r2-^A
Г —А1,А,А2;Г —> А|,5,А2 ’	Г-^ АИ(А&В),А2
VJ1 ГЬ(А v #),Г2 —> А
Г|, Г2 —Aj А, А2; Г] 2?, Г2 —> А], А2^
Эл’ Г1(А=)В),Г2-^А1,А2
“I • Г1,Г2 —> At, А, А2
л’ Г],1А,Г2-> А!,А2
Vn’ Г-^ЛАуЯХАг
э •	Г1,А,Г2 —> A),#,A2
п‘	A],(Az>B),A2
j . Ц,а,г2 —> аи а2 п* Г!,Г2 ->Aj,"|a,A2 ’
Конечно, Гь Г2 здесь не те же, что в формулировке правил таблиц, поскольку табличные множества разделяются на истинные в антецеденте - и ложные в сукцеденте - секвенции.
Семантически - в секвенциальном доказательстве - секвенция Г —> А означает, что при любом распределении истинностных значений пропозициональных переменных в формулах множества Г и А, если истинны все формулы Г, то истинна какая-нибудь из формул А. Это отношение характеризуют как отношение следования между множествами Г и А (Г |= А), которое, как легко видеть, является обобщением введенного ранее понятия следования (см. § 17). Его можно представить как Г |=\/А, где "\/Д" дизъюнктивное объединение всех формул А2 3 4.
2
Г2 в случае, когда между ними нет выделенной формулы, надо понимать как указание на то, что формула, вводимая в результате применения правила, в данном случае
4 э В, может быть поставлена на любое место в последовательности антецедентных формул (фактически ее место определяется нижней секвенцией, поскольку, как будет замечено ниже, построение секвенциального доказательства происходит посредством Разложения доказываемой формулы снизу - вверх, т.е. начиная с последней секвенции). Мы опускаем здесь доказательство того, что каждое множество отмеченных формул S аналитических таблиц может быть представлено как Г —»А, иначе говоря, опускаем Доказательство правомерности указанных правил секвенциального доказательства (оно легко осуществляется, исходя из правил построения аналитической замкнутой таблицы).
253
Для замкнутой аналитической таблицы в примере 1 на с. 131 мы получим следующее секвенциальное доказательство формулы (р о q) зэ => (V v яУ
I.	р —> р, q; q, р q - аксиомы
2.	р о q, р —> q - из 1, ол
3.	р =э q -> "Ip, q - из 2,1П
4.	р zd q -> Ip V Я - из 3, Vn
5.	-> (р z> <?) => (V \/?)-=>п-
Если рассматривать секвенциальное доказательство снизу вверх, то нетрудно обнаружить прямое соответствие правил переходов от одной секвенции к другой - вышестоящей - с правилами построения аналитических таблиц. В теории секвенциального вывода этот процесс (перехода от секвенции вида —> А, в кончном счете, к секвенциям-аксиомам) называется поиском доказательства и, по существу, каждое доказательство начинается с этого поиска, поскольку предъявить само доказательство без предварительного анализа формулы А практически обычно невозможно, так как нет никакого другого эвристического способа для определения того, каковы должны быть исходные секвенции в этом доказательстве. В процессе поиска доказательства секвенция Г —> А трактуется в соответствии с тем, как она получается из множества отмеченных формул, а именно: если истинны все формулы Г, то ложны все формулы А. Исходная секвенция —> А означает, таким образом, предположение о ложности А, а это значит, что процесс поиска доказательства соответствует рассуждению "от противного" - как это имеет место и в аналитических таблицах4.
Ясно, что наряду с секвенциальными доказательствами отдельных формул, возможны и схемы доказательств.
УПРАЖНЕНИЕ
Осуществите схемы секвенциальных доказательств формул, являющихся аксиомами системы исчисления ИВ2А. 4
4 Обратим внимание еще раз, что в системе ИВСС процесс поиска доказательства совмещен с самим доказательством.
254
Глава 11 КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 38. Метод эквивалентных преобразований. Предваренная нормальная форма
Для понимания законов и выводов в логике предикатов существенную роль играет понятие подстановки и правильной подстановки некоторого терма t в формулу А вместо какой-нибудь свободной переменной этой формулы.
ПОДСТАНОВКА некоторого терма t в формулу А вместо ее свободной переменной х,- состоит в замещении всех свободных вхождений этой переменной в эту формулу данным термом t. Результат такой подстановки можно обозначить как А (х), но обычно для обозначения результата такой подстановки употребляют выражение 4(х-)1, таким образом 4(Г) о. J*'А(х, )1 .
Подстановка J*'4(xz )l является правильной Е.Т.Е. для каждой переменной у, содержащейся в г, ее вхождение в А, появившееся при подстановке г, является свободным
ПРИМЕРЫ
1.	J*‘Vx3P2(x3, Xj)Z) Р1(х1)| -о Vx3P2(x3, х2)z> Р1 (х2).
Подстановка правильна.
2-	Иг, ^р2(х}> хг) * Зх}Р2(х1, /2(х2, х3)).
Подстановка правильна. При подстановке же, например, терма ?(хь х3) вместо х2 в ту же формулу она окажется неправильной, поскольку Xj в t - в нашем случае/(xj, х3) - попадает в область действия квантора Зхь
Понятие правильной подстановки необходимо, например, для формулировки двух важных законов логики предикатов: Vx4(x) о A(t) и 4(0 о 3x4 (х) - соответственно, снятие квантора общности и введения квантора существования. 4(0 должно быть результатом правильной подстановки терма t вместо х в формулу 4(х).
Укажем здесь список эквивалентностей, специфических для логики предикатов, которые могут использоваться в качестве исходных для некоторых особых - теоретически важных - случаев эквивалентных преобразований, - имеется в виду метод эквивалентных преобразований, описанный в § 19 одновременно для логики предикатов и логики высказываний.
1. "]Vx4(x) - Зх"]4(х)
2. ~|3х4(х) - Vx"]4(x)
законы образования контрадикторной противоположности (для формул
ЯКЛП).
255
Понятие контрадикторной противоположности было разъяснено выше (§ 19). Применение указанных правил существенно для эквивалентных преобразований формулы вида 1А до максимально позитивной, каковой является последняя формула в следующем эквивалентном преобразовании:
13x1Vx2(Pl(x1)z>Vx3(P2(x1; x3)vQ2(x2, х3))) =
s Vx1lVx2(PI(x1)=> Vx3(P2(X|, x3)v62(x2, x3))) =
= Vx^lCP1^])^ Vx3(P2(x!, x3)v02(x2, x3))) =
bVx13x2(P'(x1)&1Vx3(P2(x1, x3)v62(x2) x3)))s
= Vx15x2(P1(x])&Bx31(P2(x1, x3)v22(x2, x3)))s
s Vx15x2(P(x1)&3x3('|p2(x1, x3)&le2(x2, x3))).
Другие важные эквивалентности:
3.	VxA ~ Al	законы устранения вырожденных
4.	ЗхА ~ А ]	кванторов, где формула А не со-
держит х свободно.
Квантор V или 3 с некоторой переменной х - операторная переменная - называется вырожденным Е.Т.Е. эта переменная не содержится в области действия данного квантора (в данном случае формула А). Такой квантор всегда может быть исключен без изменения условий истинности формулы.
5.	(VxA(x)&VxB(x))~ Vx(A(x)&B(x))
6.	(ЗхА(х) v Зх(В(х)) ~ Зх(А(х) v В(х))
7.	(VxA(x) о ЗхВ(х)) ~ Зх(А(х) z> В(х))
8.	VxA(x) ~ VyA(y)
9.	ЗхА(х) ~ ЗуА(у)
Закон дистрибутивности квантора общности относительно &
Закон дистрибутивности квантора существования относительно v
Закон переименования связанных переменных; при условии, что у не содержится свободно в формуле VxA(x) и подстановка его вместо х в формулу А(х) является правильной Закон переименования связанных переменных при тех же - соответствующих - условиях, что и в 8.
256
Во всех следующих эквивалентностях - законах пронесения кванторов - имеется в виду условие: формула В не содержит х свободно, т.е. х не является свободной переменной в В,
10.	(VxA(x) о В) ~ Зх(А(х) о В)
11.	(ЗхА(х) =) В) ~ Vx(A(x) =э В)
12.	(В=э VxA(x))~ Vx(B=dA(x))
13.	(Bz)3xA(x))~3x(Bz> А(х))
14.	(VxA(x)&B)~ Vx(A(x)&B)
15.	(3xA(x)&B)~3x(A(x)&B)
16.	(VxA(x)vB)~ Vx(A(x)vB)
17.	(3xA(x)v B) ~3x(A(x)v B).
В силу коммутативности & и v для эквивалентностей 14-17 имеем также соответствующие эквивалентности 18-21, представляющие собой результаты перестановок конъюнктивных (дизъюнктивных) членов в левой и правой частях эквивалентности. Например, эквивалентность 18 - вариант 14 эквивалентности - имеет вид:
18.	(B&VxA(x))~ Vx(B&A(x)).
Эквивалентности 10-21, возможно, в сочетании с 1-6 дают некоторый общий алгоритм (общий стандартный способ) приведения формул ЯКЛП1 к так называемым предваренным нормальным формам (П.Н.Ф.).
Формула ЯКЛП1 находится в предваренной нормальной форме Е.Т.Е. все имеющиеся в ней кванторы стоят впереди всей формулы без отрицаний и никакой из них не является вырожденным.
В качестве следствия этого определения имеем, что никакие две из операторных переменных не совпадают, т.е. формула в предваренной нормальной форме имеет вид: К^р.^К^ В (уь ..., ул), где п > 0 и К,-есть либо V или 3, причем никакие две операторные переменные у, и уу не совпадают и все переменные у],..., уп содержатся (свободно) в В. Случай п = 0 представляет собой просто бескванторную формулу - это значит, что любая бескванторная формула ЯКЛП1 находится в П.Н.Ф.
Например, в предваренной форме находятся формулы:
Vxj3x2 ((Р(хх) v Q(xx, х2)) /?(хг, х2)), Р(а2, а3), Р(х1, х3), но формулы 3 Xj V х2 (P(xi) & 0(х3)), V Xi "]3 х2 Р(х1, х2) не представляют собой П.Н.Ф., поскольку V х2 в первой формуле является вырожденным, а 3 х2 во второй - стоит под отрицанием.
Если в формуле А, которую мы хотим привести к П.Н.Ф., есть вырожденные кванторы, то они вычеркиваются вместе со своими переданными согласно эквивалентностям 3-4. Далее, согласно эквива-
Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев, кн. I	257
лентностям 1-2, формулу можно привести (т.е. преобразовать эквивалентным образом) к такому виду, когда все отрицания ("I) относятся лишь к атомарным формулам. Затем применяются эквивалентности 8-21.
ПРИМЕР (как и раньше, под знаком ' =" указываем номер применяемой эквивалентности): Vх\Р(х\,х2) о V 2(Х]) =
=10 3х1 (р(*1 > *2 ) => Vxl 1б(*1)) =
S8 ЭХ] (Р(Х], х2) => Vx31б(х3)) =
=12 5x]Vx3(P(x1) х2)=>1б(х3)).
Эквивалентности 5-7 часто дают возможность получить для некоторой формулы более простую предваренную форму, чем та, что получается согласно эквивалентностям 8-21. Например, приводя формулу V ххР(х\) & VxjQ (хьх2) к П.Н.Ф. стандартным образом, получим: V Х1Р(х}) & V xxQ (хь х2) =
=14 Vx^PCx^&VxiGCx], х2)) =
=8 VX| (Р(Х] )& Vx32(x3, х2)) 3
=18 Vx|Vx3(P(x1)&2(x3, х2)).
Однако, используя дистрибутивность V - эквивалентность 5, -сразу получаем более простую формулу V х\(Р(хх) & Q (хь х2)).
Этот последний пример указывает на то, что одна и та же формула может иметь не одну - эквивалентную ей - формулу, находящуюся в П.Н.Ф. Можно сказать больше - для каждой формулы ЯКЛП1 существует даже бесконечное множество предваренных нормальных форм (аналогично тому, как для каждой формулы ЯКЛВ существует бесконечное множество конъюнктивных и дизъюнктивных нормальных форм).
Поскольку речь о предваренной нормальной форме идет лишь в связи с рассмотрением метода эквивалентных преобразований для формул ЯКЛП1, мы не останавливаемся на формулировке упомянутого алгоритма. Надеемся, однако, что в принципе стандартный способ приведения формул к П.Н.Ф. ясен уже из изложенного1.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Приведите к П.Н.Ф. формулу V лс17>(х1) о 3 x2Q (х2) и покажите затем, как можно получить более простую П.Н.Ф. для этой же формулы, используя эквивалентность 7.
2. Приведите по возможности к более простой П.Н.Ф. (с меньшим числом кванторов) формулу (3 х^Р(х}) v "|V x2Q (х2)) z>3 x3Vx,/?(x3) .
1 Формулировка упомянутого алгоритма дается обычно в связи с доказательством теоремы о том, что любую формулу ЯКЛП1 можно привести к П.Н.Ф. (т.е. указать для нее какую-нибудь эквивалентную ей формулу, находящуюся в П.Н.Ф.)-Интересующихся этим вопросом отсылаем к книге: Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1976, § 10.
258
§ 39. Аналитические таблицы для формул ЯКЛП1 -полуразрешающая процедура
Как было показано выше, логика предикатов является неразрешимой, - это значит, что здесь невозможна никакая разрешающая процедура (т.е. алгоритм, посредством которого для любой формулы ЯКЛП1 можно было бы решить, является ли она общезначимой или не является таковой). Однако здесь возможна некая полуразрешающая процедура. Таковой является процедура построения аналитических таблиц для формул ЯКЛП1, позволяющая для любой формулы, которая является общезначимой, установить ее общезначимость. Если же формула не является общезначимой, то не в любом случае удается это установить. Во избежание излишних осложнений будем применять эту процедуру непосредственно лишь к таким формулам, которые не содержат свободных переменных (т.е. являются замкнутыми), а также индивидных констант. Если интересующая нас формула содержит индивидные символы (константы), то их можно заменить переменными, которые еще не встречаются в формуле (при этом одинаковые индивидные символы - одной и той же переменной, различные -различными). Дело в том, что относительно общезначимости формулы индивидные символы ведут себя как обычные переменные (что можно легко усмотреть из правил приписывания истинностных значений формулам). От свободных переменных формулы можно освободиться, связывая их кванторами общности (осуществляя замыкание всеобщности данной формулы). Решение вопроса об общезначимости формулы, содержащей свободные переменные и полученной путем указанного связывания их, равносильно: эти формулы дедуктивно эквивалентны (или обе общезначимы или обе не являются таковыми).
Процедура построения аналитических таблиц для формул ЯКЛП1 включает описанные выше для ЯКЛВ правила, а также следующие правила для кванторов (предполагается, что в языке имеется счетное множество предметных символов - параметров аи а^^, ап9...):
{Г15 ТЗхА(х), Г2}	где а - новый параметр, не
3 {Г15 ТА(а), Г2} ’	встречающийся в предшествую-
щих конфигурациях
F {Ги F3x4(x), Г2} 3’{Г], ГЭхА(х), FA(a), Г2}’
где а - любой параметр, имеющийся в множестве, к которому применяется правило, или новый, если в этом множестве еще нет никаких параметров
т (Г], ГУхА(х), Г2}
V‘{r,. ГУхА(х), 771(a), Г2}’
р FVxA(x), Г2}
V’ {Гр FA(a), Г2) ’
где условие относительно а - то же, что и в правиле F3
где а - новый параметр, не встречающийся в предшествующих конфигурациях.
17*
259
Как и в случае логики высказываний, множество отмеченных формул (в составе некоторой конфигурации) называется замкнутым, если для какой-то формулы С языка КЛП1 в нем содержится ТС и FC. Множество отмеченных формул называется исчерпанным, если оно замкнуто или никакое применение правил к нему не приводит к появлению нового множества (а тем самым и новой конфигурации). Построение таблицы завершается, когда получается конфигурация, в которой каждое множество является исчерпанным. Завершенная таблица является замкнутой, если замкнуто каждое множество ее последней конфигурации.
Однако в отличие от логики высказываний - в силу неразрешимое ей логики предикатов - здесь неразрешимым является также понятие завершенности процесса построения таблицы.
Для каждой общезначимой формулы процесс построения может быть завершен, и результатом его является замкнутая таблица. Если же формула не общезначима, процедура либо приводит к построению завершенной, но не замкнутой таблицы (а тем самым к выявлению противоречащих примеров, т.е. условий ложности данной формулы), либо не имеет окончания, т.е. в этом случае формула не имеет завершенной аналитической таблицы. Именно это последнее обстоятельство как раз и делает неразрешимым понятие завершенности таблицы. В некоторых случаях в процессе построения таблицы невозможно определить, будет ли этот процесс иметь завершение. К тому же иногда играет роль порядок применения кванторных правил и возможны случаи, когда в принципе возможно завершение построения таблицы, но оно не достигается в силу неудачного выбора порядка применения упомянутых правил. Например, при анализе формулы
Vxj 3%2 Р( Xj, Х2 ) Z) ^*1 ^Х2 Р(Х1 ’ х2 )
на втором шаге преобразования (допущения ложности) этой формулы -после применения - получим:
{{Г Vx|3x2P(x|; х2), F'^х]Зх2Р(х[, х2)}}.
Дальнейшее преобразование можно вести, сосредоточившись на первом члене этого множества, тогда после применения правил Ту и Т3 получим:
{{Т Vxj3x2P(X|, х2), ТР(Л|, а2), FVx13x2P(x1, х2)}}.
Дальше возможно применение Ту по параметру ах (или я2), но затем по Т3 надо вводить параметр аъ. В результате получим {{Т Vx13x2P(x1, х2), ТР(а}, а2\ Т(а}, а3), FVxI3x2P(x1, х2)}}.
Далее, опять-таки применяя правило Ту по любому имеющемуся параметру (аь а2, а3), по правилу Т3 надо вводить новый параметр ад и т.д. - процесс оказывается бесконечным! Во избежание этого в первую очередь надо осуществлять все возможные применения правил Т3 и Fy (требующие введения новых параметров), когда же применение 260
этих правил больше невозможно, следует осуществлять все возможные применения других правил (снятия кванторов по имеющимся параметрам). При выполнении этих условий в случае, когда завершение таблицы принципиально возможно, оно будет осуществлено.
ПРИМЕР 1
Построить таблицы для формулы 3xVy Р (х, у) z> Vy ЗхР (х, у):
1.	{{F(3xVyP(x, y)z>Vy3xP(x, у))}}
2.	{{T3xVyP(x, у), FVy3xP(x, у)}}- из 1FO
3.	{{TVyP^j, у), FVy3xP(x, у)}}- из 2Т3
4.	{{TVyP(a1( у), F3xP(x, а2)}}- из 3Л/
5.	{{TVyP(a], у), FP(alt а2\ F3xP(x, а2))}- из 4РЭ
6.	{{TVyP(ai,y),TP(ai,a2), FP(at,a2), F3xP(x, а2)}} - из 5TV.
Таблица замкнута, следовательно формула общезначима.
ПРИМЕР 2
Построить таблицы для формулы V х(Р(х) z> V у Р(у)):
1.	{{F(Vx(P(x)z> VyP(y)))}}
2.	{{F(P(^)oVy(P(y))}}- из 1FV
3.	{{W0, FVyP(y)}}- из 2E,
4.	{{TP(ax)9 FP(a2)}}- из 3FV.
Таблица завершена, но не замкнута, следовательно, формула не общезначима. Она ложна в области из 2-х предметов аХ9 а2 при условии истинности Р(ах) и ложности Р(а2).
ПРИМЕР 3
Построить таблицу для формулы V х Зу Р(х, у) о 3 у V х Р(х, у):
1.	{{F(Vx3yP(x, y)z>3yVxP(x, у))}}
2.	{{Т Vx3yP(x, у), F3yVxP(x, у)}} - из 1F-,
3.	{{ТЗуР(а1, у), TVx3yP(x, у), F3yVxP(x, у)}}— из 2TV
4.	{{ТЗуР(а1, у), TVx3yP(x, у), FVxP(x, аД
F3yVxP(x, у)}}- из 3F3
5.	{{TP(ai9 а2\ Т^хЗуР^х, у), FVxP(x, ах\
F3y\/xP(x, у)}}- из 4Т3
6.	{{ТР(а}9 а2\ T\fx3yP(x9 у), FP(a3, аД
F3yVxP(x, у)}} - из 5FV.
Интуитивно очевидно, что процесс построения таблицы здесь не ^ожет быть завершен.
261
УПРАЖНЕНИЕ
Проверить построением аналитических таблиц, являются ли общезначимыми формулы:
а)	Эх(Р(х) о VyP(y))
б)	Vx(P(x)v6(x))=>(VxP(x)vVx2(x))
в)	Vx(P(x) v Q(a,)) z> (VxP(x) v Q(aj)).
Глава 12
ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Все методы и результаты исчисления высказываний мы переносим теперь на исчисление предикатов, конкретнее говоря, каждая теорема и любой вывод исчисления высказываний становится, соответственно, теоремой и выводом исчисления предикатов, если пропозициональные переменные заменить формулами ЯКЛП1, причем все вхождения одной и той же переменной везде заменить одной и той же формулой1, при этом в правилах вывода метапеременные А, В, С трактовать как формулы ЯКЛП1. Каждая схема теоремы и каждая схема вывода также сохраняется, если под метазнаками А, В, С подразумевать также формулы ЯКЛП1.
В исчислении предикатов, естественно, сохраняются все те же способы построения исчислений - аксиоматический, натуральный, секвенциальный - с учетом упомянутой замены формул ЯКЛВ формулами ЯКЛП1. Все конкретные системы исчисления высказываний в рамках исчисления предикатов лишь расширяются за счет добавления специфических постулатов, относящихся к логике предикатов.
§ 40.	Аксиоматическая формулировка исчисления предикатов
Мы ограничимся здесь аксиоматическими построениями исчисления предикатов со схемами аксиом.
Аксиоматическую систему исчисления предикатов мы можем получить из любой аксиоматической системы исчисления высказываний HBjA или ИВ2А (также со схемами аксиом), добавив следующие четыре кванторных схемы и одно правило вывода (и получив, соответственно, системы ИЩА и ИП2В):
1.	V х А (х) о А (Г) - схема VH.
2.	А (г) о 3 хА (х) - схема Зв.
1 Как мы помним, пропозициональные переменные появились в результате отвлечения от структур формул ЯКЛП1 (см. § 15). Теперь мы просто отказываемся от этих отвлечений.
262
3.	V х (В z> С(х)) zd (В zd V хС (х)) - схема введения V в консеквент.
4.	V х (С(х) zd В) zd (3 х С (х) zd В) - схема введения 3 в антецедент, где Л (г) - результат правильной подстановки терма t вместо х в А (х); В - не содержит х свободно.
ПРАВИЛО VB (правило введения квантора общности, иные назва-д
ния: правило обобщения или правило генерализации):---(для любой
Vx А
переменной х,- из А непосредственно выводимо V хА).
Формально мы сохраняем прежнее определение вывода и доказательства (ясно, что, по существу, изменение состоит в том, что теперь могут использоваться новые аксиомы и новое правило), однако если мы хотим, чтобы отношение формальной выводимости было аналогом семантического понятия следования, необходимо ограничить применение VB: оно может применяться к некоторой формуле А для обобщений лишь по таким переменным х, которые не содержатся свободно в допущениях, от которых зависит эта формула. Чтобы смысл этого ограничения был ясным, мы должны скорректировать для исчисления предикатов понятие зависимости некоторой формулы вывода от допущений. Везде в дальнейшем также будем иметь в виду выводы с анализом (т.е. с обоснованием каждого его шага ссылками либо на принадлежность формулы этого шага к множеству взятых допущений или аксиом системы, либо на формулы, из которых она получается, и используемые при этом правила).
Понятие зависимости, по существу, сохраняется: формула В данного вывода зависит от некоторого допущения А, если и только если: а) она есть само это допущение А или б) получается по правилам системы из некоторых формул (из С zd В и С по т.р. или из С по VB), какая-нибудь из которых зависит от А.
Для анализа выводов полезно также ввести следующее понятие варьирования некоторой переменной в некотором допущении в данном выводе: будем говорить, что х варьируется в допущении А (или для А) в данном выводе, если и только если а) х свободно в А и б) к какой-нибудь формуле В, содержащей х свободно и зависящей от А в данном выводе, применяется правило VB по этой переменной х.
Указанное ограничение на применения VB в выводах логики предикатов может быть теперь сформулировано так: никакая переменная не Должна варьироваться в допущениях вывода, от которых зависит его заключение.
Дело в том, что варьирование переменной х в допущении А(х) означает, что эта переменная берется в данном допущении в интерпретации всеобщности (т.е. А(х) понимается как "для всякого х верно А(х)" - см. § 14), а выводимость Г I- В, которую представляет некоторый вывод, лишь тогда совпадает с отношением логического следования Г 1= В (а мы ставим целью формализацию именно этого
263
отношения), когда все допущения из Г, от которых зависит В, берутся с условной интерпретацией всех имеющихся в них свободных переменных. Это значит, что все эти переменные должны быть фиксированными в выводе (т.е. использоваться как параметры).
Необходимость прослеживания зависимостей, конечно, осложняет построение выводов (особенно если в системе появляются или используются как производные непрямые правила). Но, как мы видели, можно строить системы с характеристиками зависимости (ИВ2НХЗ), в которых мы освобождаемся от этой необходимости. В дальнейшем мы применим этот способ построения исчисления применительно также к формулам ЯКЛП1 (см. систему ИП2НХ32).
Другая возможность состоит в том, чтобы вообще запретить применение Vn для обобщений по таким переменным х, которые содержатся свободно в каких-нибудь используемых в выводе допущениях.
При таком ограничении мы связываем себя излишним образом, отбрасывая (не считая выводом) некоторые последовательности, по существу представляющие интересующее нас отношение логического следования Г 1= В. Например, мы должны были бы отвергнуть (не считая правильным выводом) следующую последовательность, представляющую по существу отношение логического следования Л (х), V х (В (х) & С (х)) 1= V хВ (х):
1.	А (х) - допущение, содержащее х свободно
2.	V х (В (х) & С (х)) о В (х) & С(х) - схема VH
3.	V х (В (х) & С (х)) - допущение
4.	В (х) & С (х) - из 2 и 3, т.р.
5.	В (х) - из 4, &И1 (производное правило)
6.	V хВ (х) - из 5, VB.
Формула В (х) (пятого шага вывода), к которой только и применяется VB, не зависит от допущения 1, единственного содержащего х свободно. Значит, никакая переменная не варьируется здесь в допущениях.
Однако исключение из числа выводов последовательностей такого типа не обедняет дедуктивные возможности нашего исчисления. Для любого отношения логического следования Г 1= В в этом исчислении осуществим - даже при указанном последнем ограничении на применение VB - соответствующий вывод. В рассматриваемом примере мы получим его, исключив из указанной последовательности не используемое, по существу, допущение Л(х). Полученный при этом вывод представляет выводимость {Vx(B(x) & С(х))} I- VxB(x), а также и {А(х), Vx(B(x) & С(х))}1- VxB(x), и‘оба эти отношения, в свою очередь, являются синтаксическими аналогами соответствующих отношений логического следования (которое мы обозначаем знаком 1=)-
Наконец, если мы не будем заботиться о том, чтобы отношения формальной выводимости представляли отношения логического
264
следования, то можно определить вывод без всяких ограничений на VB. Это обычный (в курсах логики) способ построения аксиоматических формализаций логики предикатов. При этом непосредственно формализуется лишь понятие логического закона (логически общезначимой формулы, синтаксическим аналогом которой является понятие теоремы системы), формализация понятия логического следования осуществляется лишь постольку, поскольку каждой теореме вида А1 о (А2 =)...(Ат о В)...) соответствует отношение логического следования {Aj, А2,..., Ат} 1= В. Из возможных видов рассуждений мы получаем формализацию лишь доказательств (рассуждений, в которых в качестве аргументов используются только теоремы некоторой теории). Но практически существенна формализация именно отношения логического следования, поэтому именно она и будет в центре нашего внимания даже при рассмотрении аксиоматических систем (не говоря уже о системах натурального вывода).
ПОНЯТИЕ ВЫВОДА ИЗ ДОПУЩЕНИЙ.
МЕТАТЕОРЕМА ДЕДУКЦИИ
При определениях вывода с тем или иным из указанных выше ограничений на применения VB остается справедливой теорема дедукции (если имеется вывод Г, Л I-В, то имеется вывод Г I- A DВ). Если же вывод определяется без ограничений на VB (и, значит, формальная выводимость Г I- В не является, вообще говоря, аналогом следования Г 1= В), - теорема дедукции верна лишь в следующей ограниченной формулировке: если имеется вывод Г, А I-В, в котором никакая переменная не варьируется для Л, то имеется также вывод Г I- А о В. Если вывод определен с каким-либо из двух указанных выше ограничений на Vb, то никакая переменная в нем вообще не варьируется ни для каких допущений, т.е. выводы вообще строятся без варьирования переменных.
Доказательство метатеоремы дедукции для исчисления предикатов представляет собой просто продолжение (или расширение) такового для исчисления высказываний. Мы будем иметь в виду сейчас определение вывода без ограничений на Vb. Следующее далее рассуждение легко Распространяется и на случай, когда вывод определен с ограничениями.
При рассмотрении в проведенном выше доказательстве возможностей получения формулы Вп в выводе Г, А I- Вп надо учесть теперь еЩе случай 5), когда Вп получена по VB из некоторой формулы С. Тогда Вп имеет вид Vx С.
Здесь, в свою очередь, возможны два подслучая: а) С зависит от А в Данном выводе и б) С не зависит от Л в данном выводе.
В случае а) допущение А не содержит х свободно (иначе эта Переменная варьировалась бы в Л в данном выводе, что противоречит
265
условию метатеоремы). Формула V хС должна быть тогда заменена (при перестройке вспомогательного вывода в результирующий) последовательностью формул Vx(A зС) з(А з VxC) (аксиома) Vx(AzdC), AzdVxC. В результате получен вывод Г I-AzdVxC. Действительно, вторая формула только что указанной последовательности получается по правилу VB из А zd С, которая есть в предыдущей части построенной последовательности согласно предположению индукции, а третья получается из двух других по т.р.
В случае б) формула V хС во вспомогательном выводе (при его перестройке в результирующий) заменяется последовательностью С (если С нет среди введенных допущений и аксиом), VxC, VxC zd (A zd VxC) (аксиома) A zd V xC.
Очевидно, что в результате опять-таки получаем вывод Г1- A zd VxC. Поскольку в предыдущей части построенной последовательности есть все те допущения из Г, от которых могла зависеть формула С во вспомогательном выводе, и все аксиомы предыдущей (перестроенной) части вспомогательного вывода, эта формула выводима и в построенной части результирующего вывода. Ясно, что тогда выводимы и остальные формулы введенной последовательности.
Заметим, что рассмотренная в аксиоматическом исчислении высказываний возможность построения различных эквивалентных систем исчисления расширяется теперь также за счет вариаций кванторных правил. Вместо указанной системы ИП2А может быть получена другая, в которой вместо двух последних аксиом (схема введения V в консек-вент и схема введения 3 в антецедент) и правила VB взяты два следующих правила - правила Бернайса:
AidB(x)	B(x)zdA
-——(правило V) и ———- (правило 3),
A zd WxB(x)	ЗхВ(х) zd А
где А - формула, не содержащая х свободно.
При применениях этих правил происходит варьирование х во всех допущениях, от которых зависят формулы-посылки A zd В(х) или В(х) ZD А.
Для всех описанных здесь систем с понятием вывода, включающим указанные выше ограничения на VB (или аналогичные ограничения на правила Бернайса), доказуема метатеорема адекватности формализаций: ГI- В, если и только если Г 1= В.
При отсутствии в определении вывода указанных ограничений справедлив лишь частный случай (для пустого Г) этого утверждения: I- В, если и только если 1= В.
Напомним, что последняя метатеорема содержит две:
1. Метатеорема семантической полноты: Если 1= А , то F А (теорема Гёделя).
2. Метатеорема семантической непротиворечивости:
Если h А, то 1= А.
266
§ 41. Натуральные системы исчисления предикатов
Мы рассмотрим здесь системы ИПСС, ИП2Н, ИП2НХЗ} и ИП2НХ32, из которых три первых получаются за счет кванторных расширений соответствующих систем исчисления высказываний -ИВСС, ИВ2Н, ИВ2НХЗР Система ИП2НХ32 является некоторой модификацией ИП2НХЗ] (за счет изменения одного из кванторных правил и правила vH).
Как мы уже говорили, имеются разные способы построения выводов и доказательств (см. § 36). В ИВСС, аналогично в ИПСС, осложнений с понятием вывода и доказательства (соответственно, со способами построения выводов и доказательств) не возникает, поскольку в них нет непрямых правил. В ИВСС и ИПСС дается, по существу, лишь понятие доказательства теорем, а что касается выводов, то имеются в виду лишь весьма частные случаи таковых. В этом отношении дело здесь обстоит также, как в секвенциальных системах, однако построение доказательств в ИПСС значительно упрощается за счет совмещения процесса поиска доказательства с его построением, к тому же здесь в большей степени достигается семантическая прозрачность синтаксических построений.
Преимущество других систем состоит в том, что в них раскрывается именно понятие вывода - формул из множества каких-то формул, - которое связано с понятием непрямых правил. С другой стороны, именно здесь мы прежде всего встречаемся с трудностями определения выводов и доказательств и формулировки принципов их построения.
Читатель ознакомился уже с построением выводов по Куайну, Фитчу и с использованием понятия характеристики зависимости формул вывода от допущений. Здесь мы используем способ построения выводов по Куайну (система ИП2Н, в которой есть лишь два непрямых правила) и с характеристиками зависимости (при котором возникает возможность более широкого и вообще неограниченного применения непрямых правил). Но прежде рассмотрим предикатное расширение системы ИВСС.
СЕМАНТИЧЕСКИ-СИНТАКСИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ
(СИСТЕМА ИПСС)
Система ИПСС непосредственно связана с аналитическими таблицами для формул ЯКЛП1 (§ 39) аналогично тому, как система ИВСС связана с аналитическими таблицами для формул ЯКЛВ (§ 20). Мы Получим ИПСС расширением ИВСС, добавляя правила для кванторов: V, V*, 1V, 3, 13, "|3*. Так же как и в системе ИВСС вывод и, в частности, доказательство некоторой формулы А ЯКЛП1 начинается с отрицания этой формулы -1 А.
267
Вывод представляет собой последовательность дизъюнкций некоторых конъюнкций, каждая из которых получается из предыдущей по какому-либо из правил системы. Исходной в этой последовательности является вырожденная дизъюнкция, состоящая из одной вырожденной конъюнкции - "IА (для краткости в дальнейшем будем называть ее "исходной формулой вывода" или "исходной формулой доказательства"). Кванторные правила, как и правила системы ИВСС, применяются к отдельным (выделенным) формулам отдельных конъюнкций в составе той или иной дизъюнкции.
Однако наряду с указанной характеристикой вывода в ИПСС (как и в ИВСС) как последовательности дизъюнкций полезно для некоторых целей теоретического характера рассматривать его как некоторое дерево, корнем которого является также вырожденная конъюнкция 1А (член вырожденной дизъюнкции), а ветвями - пути (последовательности конъюнкций), ведущие от исходной конъюнкции ~| А к дизъюнктивным членам последней дизъюнкции. И если раньше в аналитических таблицах мы говорили о построении таблицы для некоторой формулы, то теперь можем говорить о построении дерева - дерева вывода или доказательства для некоторой формулы.
Понятие доказательства требует здесь некоторых, приводимых в дальнейшем, коррективов. Как и в аналитических таблицах, в качестве исходных формул Л, подлежащих здесь анализу, рассматриваем формулы без индивидных символов (индивидных параметров) и без свободных переменных. При описании таблиц было указано (§ 39), как любая формула, не удовлетворяющая этим условиям, преобразуется эквивалентным - по отношению к доказуемости - образом.
ПРАВИЛА ДЛЯ КВАНТОРОВ
Г]УхА(х)Г2	где А (а)- результат подстановки а
УхА(х)Г] Д(я)Г2 ’	вместо хв формулу А(х)ия-
любой из индивидных символов (параметров), содержащихся в формулах множеств Tj и Г2; при отсутствии таковых в этих формулах, а -любой новый параметр из счетного множества таковых среди исходных символов ЯКЛП1 и при этом:
а) в формулах Г] А(д)Г2 для какого-то из встречающихся в них параметра at нет формулы А(а-) или б) в этих формулах имеются еще кванторы.
268
Г1Х/хД(х)Г2 Г,Л(а)Г2 ’	где условия относительно Л (л), и а те же, что и в предыдущем правиле, и при этом: а)	для каждого индивидного параметра ah встречающегося в формулах Г]Л(л),Г2, среди этих формул имеется формула Л(д,) и б)	в этих формулах нет никаких кванторов. Условия а') и б’) в совокупности означают, что не выполняется дизъюнкция условий а) и б) правила V.
nw r,lVx4(x)r2 1V; Г^Г, •	где а - какой-либо из индивидных символов ЯКЛП1, не встречающихся в верхней конъюнкции (посылке) формулировки правила.
Г1ЗхА(х)Г2 Г,А(а)Г2	- при том же условии для а, что и в правиле "|V.
rjHx4(x)r2	- при тех же условиях относитель-
‘|Зх4(х)Г1Ъ(а)Г2	но а и Л (а) и условиях а) или б) в формулировке правила V.
Г, 1ЭхА(х)Г2 Г1Ъ(а)Г2	- при тех же условиях относительно а и А(а) и при выполнении условий а') и б') в формулировке правила V*.
Повторение формул VxA(x) и 13хА(х), к которым применяются правила V и 13, в заключениях этих правил необходимо для обеспечения возможности замыканий при повторных применениях тех же правил применительно к вновь появляющимся параметрам.
Условия а') и б') в формулировках V* и 13* указывают на то, что возможности получения замыканий за счет применения правил V и "|3 исчерпаны.
* * *
Раздвоение правил V и "]3 на правила без звездочки и со звездочкой исключает ряд случаев, когда повторение формул - посылок правил -VxA(x) или "]ЗхА(х) не является необходимым. Однако в данной формулировке этих правил исключаются отнюдь не все такие повторения. Для исключения всех излишних повторений условие в
269
формулировках правил V* и 13* надо заменить на: "В формулах Г]А(а)Г2 и Г,1А(а)Г2 не имеется положительных вхождений квантора 3 и отрицательных вхождений квантора V".
Понятие положительных и отрицательных вхождений кванторов то же, что и положительные и отрицательные вхождения формул, к которым они относятся, в какую-то формулу.
В дальнейшем (§ 45^46) эти понятия будут играть существенную роль и будут определены обычным индуктивным образом. Сейчас можно обойтись технически более простым определением:
предположим, что мы заменили везде формулу вида С z> Д на "I С v Д. Тогда некоторая формула 3xG(x) (или VxG(x)) имеет положительное вхождение в некоторую формулу Д, если она находится в ней в области четного числа отрицаний (при этом отсутствие отрицаний, т.е. ноль таковых, трактуется как четное); если же она находится в области нечетного числа отрицаний, то она имеет отрицательное вхождение в Д.
И, наконец, чтобы вообще избежать повторений указанных формул вида VxG(x) и "]3G(x), правила V и 13 можно сформулировать так, чтобы они применялись к соответствующим формулам только в тех конъюнкциях, в которых они появились первый раз, а заключение правил А(а) или "| А(а) позволялось бы приписывать к любым конъюнкциям, расположенным ниже тех, в которых содержатся указанные формулы (посылки правил V и. |3), на ветвях, к которым принадлежат эти последние конъюнкции. При этом параметр а в заключениях А(а) или 1 А(а) указанных правил во всех случаях, кроме, возможно, первого применения этих правил, содержится в конъюнкции, к которой приписывается заключение. При первом же применении, если в конъюнкции, к которой приписывается заключение, нет еще параметров, то а - любой а, из индивидных символов языка в перечне исходных символов.
* * *
Аналогично тому, как это было в аналитических таблицах, возможность завершения построения дерева вывода (доказательства) в некоторых случаях зависит от порядка применения правил: во избежание "зацикливаний", которые в принципе можно обойти, из кванторных правил следует в первую очередь применять правила "|V и 3, требующие введения новых параметров.
Различие применения правил без звездочки и со звездочкой можно разъяснить на следующем примере построения схемы дерева доказательства.
Пусть исследуемая формула имеет вид Vx3yA(x, у), где А(х, у) не содержит кванторов, тогда:
1.	l(Vx3yA(x, у))- исходная формула
270
2.	"]3yA(aj, у)- из 1 по правилу 1V
3.	"U^, Я])- из 2 по правилу "|3*.
Полезно иметь в виду, что на шаге применения правил "]3* или V* выявляется возможность исчерпать данную конъюнкцию.
Вообще при построении дерева вывода или доказательства в ИПСС возможны случаи:
1. Первый случай имеем, когда исследуемая формула Ане общезначима и, значит, "|Л выполнима. Здесь возможны два подслучая:
1.1. Построение дерева вывода может быть завершено, и все конъюнкции его заключительной дизъюнкции исчерпаны (но, по крайней мере, некоторые из них незамкнуты). Эта заключительная дизъюнкция (которая, как нетрудно показать, эквивалентна исходной формуле |А) есть формула типа ДНФ формул ЯКЛВ. Специфика здесь состоит в том, что вместо пропозициональных переменных и их отрицаний имеем атомарные формулы ЯКЛП1 и их отрицания. Можно сказать, что это - квази ДНФ формулы "|А и при этом выполнимая (аналог не тождественно-ложной формулы ЯКЛВ). Она, собственно, и может быть представлена как результат подстановки соответствующих атомарных формул ЯКЛП1 вместо пропозициональных переменных в некоторую ДНФ логики высказываний.
1.2. Процесс построения дерева не может быть завершен, т.е. преобразование исходной формулы ”|А является бесконечным, иначе говорят: "Дерево, которое представляет собой вывод, является бесконечным".
ПРИМЕР СЛУЧАЯ 1.1. Рассмотрим в качестве исследуемой формулу ЗхР(х) о VyP(y):
1.	~|(3xP(x) VyP(y)) - исходная формула
2.	3xP(x)lVyP(y) - из 1 по правилу 1 о
3.	Р(п,)1УуР(у)- из 2 по правилу 3
4,Р(а1)1Р(а2)- из 3 по 1V.
Заключение вывода здесь, как видим, - вырожденная квази ДНФ и при этом выполнимая.
ПРИМЕР СЛУЧАЯ 1.2. Исследуемая формула Vx3yP(x, у)з> э 3yixP(x, у):
1.	1(УхЗуР(х, y)z>3yVxP(x, у))- исходная формула
2.	УхЗуР(х, у) • 13уУхР(х, у) - из 1 по 1э
3.	Vx3yP(x, у)  ЭуР(й], у) • 13yVxP(x, у) - из 2 по V
4.	Vx3yP(x, у) Р(ах, а2) "13уУхР(х, у)- из 3 по 3
5.	УхЭуР(х, у)-Р(а], а2)-ЭуР(а2, у) "|3yVxP(x, у)-из 4 по V.
271
6.	Vx3yP(x, у)-P(a}i а2У P(a2i л3) • 13yVxP(x, у)- из 5 по 3.
Интуитивно очевидно, что конца построению дерева искомого доказательства нет. Интуиция подсказывает, что от этой бесконечности мы не избавимся, осуществляя разложение и второго члена конъюнкции "]3yVxP(x, у), полученного на шаге 2, или первого и второго параллельно.
Согласно одному из известных положений - лемма Кёнига, - в таком бесконечном дереве, - которое имеет всегда конечное число ветвлений, - существует бесконечная ветвь. Эта ветвь ни на каком шаге, естественно, не замыкается: иначе замкнутая конъюнкция была бы ее концом; другие ветви могут быть конечными и при этом замкнутыми и незамкнутыми. Конечные незамкнутые, как и бесконечные ветви, указывают на выполнимость формулы "|А и, соответственно, на необщезначимость самой формулы А2.
Множество формул, которое получается если превратить каждую конъюнкцию на незамкнутой ветви в множество ее членов (опустив знак конъюнкции) и образовать объединение всех таких множеств на этой ветви, называется модельным множеством или множеством Хинтикки. Доказано, что если какая-то формула является элементом множества Хинтикки, то она выполнима.
II. Второй случай имеем, когда исследуемая формула А общезначима, а ~|а невыполнима. Из предыдущего (случай I) ясно, что здесь есть лишь одна возможность: дерево вывода может быть завершено и при этом все конъюнкции его заключительной дизъюнкции исчерпаны и замкнуты. Это означает, что данная дизъюнкция есть квази ДНФ, причем невыполнимая - аналог тождественно-ложной ДНФ для формул ЯКЛВ. Дерево такого вывода есть доказательство формулы А'
ПРИМЕР СЛУЧАЯ II. Доказательство формулы
(Vx,P(x,) z> Hr,2(x,)) =) Hr, (P(x,) => Q(x,)):
1.	l((Vx|P(xl)z>3xl2(x,))z>3xl(P(xl)z)2(xl))- исходная формула
2.	(Vx,P(x,) => 3x,2(x,)) • 13x,(P(x,)z> 2(x,))- из 1 no 1 =>
3.	lVx,P(x,)  13x, (P(x, ) z> 0(x,)) v 3x,2(X]) • 13x, (P(x,) z> Q(x,)) -из 2 по ZD
4.	lP(a,) • "|Hx, (P(x, ) =) C(x,)) v Hx,6(x,) • 13x, (P(x,) z> Q(x})) -
из 31V
5.	lP(a,) • l(P(a,) z> Q(a,)) v 3x,2(x,) • 13x, (P(x, ) z> 2(x,)) -
из 4 no 13*
6.	lP(a,) • P(a,) • 1б(а,) v 3x,2(x,) • 13x, (P(x,) p Q(xt)) - из 5 1 =>
7.	1Р(а,)  P(a,) • 12(a,) v Q(at) • 13x, (P(x,) => 2(x,)) - из 6 3
8.	1Р(а, ) • P(a,) • lQ(a,) v Q(at)  l(P(a,) => Q(a,)) - из 7 13*
2
Смирнова Е.Д. Основы логической семантики. М., 1990, гл. 3, § 2.
272
9.	1Р(а,) • P(a}) • lQ(aj) v Q(a]) • Р(а{)  ~\Q(at) - из 8 1 z>.
Таким образом, получено замкнутое дерево - исследуемая формула доказана. Нетрудно видеть, что заключение вывода (в данном случае доказательство) есть квази ДНФ. При этом замкнутая - невыполнимая квази ДНФ.
Само собой ясно, что в данном варианте системы ИПСС правомерны все упрощения видов, указанные для системы ИВСС, согласно этому на шаге 7 мы могли бы исключить замкнутую конъюнкцию >(ai)  Р(а,) • lQ(a,).
Для данной системы имеем простые доказательства ряда метатеорем.
I.	Метатеорема семантической непротиворечивости: если формула доказана, то она универсально общезначима.
Справедливость данного утверждения следует из невыполнимости заключительной дизъюнкции в доказательстве: ее невыполнимость указывает не невыполнимость "|А, а значит, на общезначимость А.
Само собой ясна и синтаксическая непротиворечивость системы: невозможность доказать в ней некоторую формулу Л и ее отрицание 1а.
II.	Метатеорема семантической полноты: если формула А общезначима, то она доказуема, т.е. является теоремой системы.
Это очевидно из того, что при общезначимости А ее отрицание "|А -невыполнимо и, следовательно, заключением вывода при этом должна быть невыполнимая квази ДНФ, что указывает - по определению доказательства - на доказуемость А.
III.	Аналог теоремы Эрбрана-Генцена для секвенциального исчисления:
доказательство любой общезначимой формулы может быть построено так, что сначала выполняются все правила для кванторов и затем для логических связок.
Такую структуру, очевидно, имеет доказательство любой формулы Л, находящейся в предваренной нормальной форме, а каждая формула ЯКЛП1, как уже известно, может быть приведена к ПНФ.
IV.	Метатеоремы о разрешимости формул некоторых видов. В § 17 были указаны - без доказательств - условия общезначимости формул, находящихся в ПНФ, видов:
2)	V?]... 4ykA(y ]. ,yk)k > О
3)	Vyj... Vy^zj...Sz/tV],...,yk, z1(.. .z,)k > 0 и 5 > 0
4)Эу1...Зу^(у1,...,л)£>0.
Эти условия определяют разрешающие процедуры для формул этих видов, позволяя сводить вопрос об их общезначимости в любой области к вопросу об общезначимости их в некоторой конечной области; вопрос же об общезначимости формул ЯКЛП1 в конечной области, как указано в § 17, всегда разрешим.
18 Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев, кн. I
273
Справедливость утверждения правомерности разрешающих процедур для формул указанных видов легко усматривается из структуры их доказательств в данной системе. Например, для формулы вида Vy1...Vy*3z1...3z/A(y1,...,yb zb..., zs) первые к шагов доказательства (исходной формулой которого является отрицание данной формулы) будут применения правила 1V; результатом этих применений окажется конъюнкция, содержащая к различных индивидных параметров Л], я2, ...» следующие шаги доказательства - применения правила "|33 - не приведут, очевидно, к появлению новых параметров. Параметры аак можно рассматривать как имена индивидов множества Db содержащего к индивидов. Ясно, что если формула оказывается доказуемой, а значит, и общезначимой в области из к предметов, то она общезначима для любого D, являющегося расширением Dj, поскольку ее доказательство не связано ни с какими другими индивидами этой области, кроме содержащихся в D\.
УПРАЖНЕНИЯ
Постройте схемы доказательств для формул:
1)	3x(P(x)zd6(x))zd(VxP(x)zd3x2(x))
2)	(VxA(x)& VxB(x)) z>Vx(A(x)& B(x))
3)	(V.xA(x) z)3 xQ(x))	x(A(x) о B(x))
4)	3x1A(x)zd1VxA(x)
5)	13xA(x)zdVx1A(x).
* * *
Система ИПСС представляет собой определенное удобство в силу того, что в ней, по существу, совмещаются два процесса - поиска доказательства и само доказательство, которые, как мы помним, разделены при секвенциальном построении выводов. Но недостаток ее тот же, что и указаный для системы ИВСС: она позволяет нам для доказуемой формулы найти ее доказательство, а тем самым - если формула импликативного вида, т.е, „вида A D В, - установить наличие следования А |= В, но она не дает ответа на вопрос, как именно можно вывести В из А? Поэтому полезно рассмотреть другие системы исчисления предикатов, в которых можно осуществлять не только доказательство формул, но и выводы какой-то формулы из некоторого1 множества формул.
Есть две основные (типичные) формулировки кванторной части
3 Согласно замечанию относительно правил V и 13 на с. 269-270 в данном случае все следующие 5 шагов могли бы быть применениями правила 13*. Согласно же приведенной формулировке правил лишь последний шаг есть применение правила 13*.
274
исчисления предикатов. Одна из них - с прямым правилом исключения квантора 3, другая - с непрямым (и с некоторыми -зависящими от этих различий - различиями в формулировках правила VB). Первая является специфической для систем с экстенсиональным пониманием отношения логического следования и с "материальной" импликацией, другая приемлема и в системах релевантной логики (с понятием следования как связи между высказываниями по содержанию). С этими различиями связаны понятия ограничения переменных (в системах первого типа - ИП2Н и ИП2НХЗ1) и варьирования переменных (в системах второго типа - система ИП2НХ32). Эти понятия, в свою очередь, связаны с рассмотренными ранее понятиями интерпретации свободных переменных в высказывательных формах. При трактовке формул со свободными переменными как высказываний - посылок возможных выводов - возможны, как уже говорилось, две интерпретации -условная и интерпретация всеобщности (см.,§ 14).
В исчислении - когда мы используем формулы без семантических характеристик - интерпретация их свободных переменных зависит от характера применяемых к ним кванторных правил:
применение правил, ограничивающих свободные переменные, означает фиксацию их значений, а тем самым использование их в условной интерпретации;
применение других правил - при которых происходит варьирование переменных - означает использование переменных в интерпретации всеобщности.
В связи с варьированием переменных - как мы видели, в связи с применением правила VB в § 40 - возникает проблема адекватности формальной выводимости некоторой формулы В из множества формул Г(Г И В) отношению логического следования (Г |= В). Оказывается, что варьирование каких-либо переменных, свободных в тех или иных допущениях из Г, не обеспечивает указанную адекватность и для достижения ее на применения правил вводятся определенные ограничения, позволяющие избегать варьирования переменных (содержащихся в допущениях) в выводах. В результате и в системах второго типа свободные переменные используются в выводах также в условной интерпретации, т.е. как имеющие фиксированное значение - одинаковое во всех их вхождениях в том или ином выводе или доказательстве.
НАТУРАЛЬНАЯ СИСТЕМА ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ
СИСТЕМА ИП2Н
Формально - с учетом лишь того, что теперь имеются в виду формулы ЯКЛП1, - в этой системе сохраняются все правила ИВ2Н (см. § 35), к которым добавляются следующие правила для кванторов: VB, VH, Зв, Эи. Предварительно заметим, что формулировка правил VB и Эи сопровождается некоторыми условиями относительно ограничения 18*	275
переменных. Смысл этих условий и самого понятия "ограниченной переменной" будут разъяснены особо.
Как увидим, эта система, несмотря на кажущееся усложнение (по сравнению с другими системами), связанное с введением понятия "ограничение переменных", наиболее близка к естественным рассуждениям, в которых встречаются высказывания с кванторными словами "всякий", "некоторые" ("существует"); выводы в этой системе осуществляются технически проще, чем в других системах с другими формулировками кванторных правил.
ПРАВИЛА ДЛЯ КВАНТОРОВ
V
в ’ VxA(x)	- У> Уь- • •> Ут - ограничены, где yi,..., ут - все
свободные переменные формулы VxA(x) и А (у) есть результат правильной подстановки у вместо х в формулу А(х), т.е. А(у) о 4|УЛ(х)|
у УхА(х)	где A(t) Ц J *А(х)|
и‘ Л(Г)
3	. где А(Г) о J*A(x)|
в ЭхА(х)’
ВхА(х)	- У, У ь- ••, Ут ограничены, где уi,.... ут - все *
и’ А(у)	свободные переменные формулы ВхА(х) и
А(у) о j*A(x)|.
Отметку "у, yi,..., ут - ограничены" понимаем как совокупность утверждений: у абсолютно ограничена и ограничивает все остальные переменные уь..., ут (т.е. имеем "у ограничивает уД "у ограничивает у2" и т.д.). Отношение "ограничивает" транзитивно (если некоторая переменная у ограничивает х, а х ограничивает z, то у ограничивает z). Упомянутые ограничения на применении VB и Зи (условия правильности выводов) состоят в следующем:
1) никакая переменная не должна быть абсолютно ограничена в выводе более одного раза;
2) никакая переменная не должна ограничивать саму себя (непосредственно или по транзитивности).
Наряду с понятием вывода, определяемого здесь так же, как и в ИВ2Н (см. § 35), но теперь с учетом новых правил, вводится понятие завершенного вывода.
Вывод завершен, если в его заключении и допущениях, от которых зависит заключение, нет свободных вхождений какой-нибудь абсо-
4 Напомним, что знак "о." означает графическое равенство. 276
лютно ограниченной переменной; в противном случае вывод незавершен.
Незавершенный вывод можно завершить, исключая допущения, содержащие свободные вхождения абсолютно ограниченной переменной (по Эв), и связывая такую переменную по правилу Эв в полученном вновь заключении.
Содержательно применения правил VB и Зи и сопровождающие их пометки означают следующие рассуждения:
Формула ЭхА(х, yj,..., yw), содержащая свободные переменные У\,-„,ут, представляет утверждение о существовании в подразумеваемой области D предметов х, находящихся в отношении А с предметами, которые могут представлять У!,...,ут. Применяя Зи, мы рассуждаем так: если утверждение истинно, то выделим какой-нибудь из предметов х, существование которых утверждается, и обозначим его у; если же таких предметов нет (когда утверждение ложно), то пусть у обозначает какой-нибудь произвольный - но также фиксированный -предмет из D. Но поскольку значение у зафиксировано, то должны быть фиксированы также значения уi,..., ут (ибо выделенный предмет у находится в отношении А(у, уь..., ут)), вообще говоря, не с любыми предметами, которые могут представлять yi,...,yw. Иначе говоря, фиксирование значений у (что мы назвали в исчислении абсолютным ограничением у) влечет фиксирование значений остальных свободных переменных уь..., ут (и притом выбор их значений зависит от выделенного предмета у); это отражается в формальном построении в утверждении, что у ограничивает у],..., ут.
Из ЗхА(х) не выводимо, конечно, А(у) для произвольного предмета у, т.е. А(у) с нефиксированной, допускающей варьирования, переменной у. И, кстати, если утверждение ЗхА(х) ложно, то с точки зрения обычного здравого смысла кажется, что вообще нельзя получить заключение А(у) ни для какого фиксированного у. Вывод, однако, правомерен при классическом понимании следования: из ложного мы получаем здесь ложное. В классической логике запрещены лишь ситуации "из истинного - ложное".
Существенно отметить, что в данной системе все свободные переменные в формулах выводов используются только как параметры, т.е. являются фиксированными. И именно это позволяет применять непрямые правила (или квазипрямые правила в нашей системе) без всяких ограничений. В других системах, где допускается варьирование переменных в допущениях, эти ограничения необходимы. Смысл только что сказанного можно хорошо выяснить, обратившись к правилу VB. В содержательном отношении заключение от А (у) к ЭхА(х) правомерно, как кажется, лишь при условии, если А(у) верно для любого (возможного в некоторой предметной области D) значения у. Это означает, что при осуществлении такого вывода у не является фиксированной переменной, она, как принято говорить при описании выводов
277
в других системах, варьируется. Но в таком случае неправомерно от А(у) н VxA(x) перейти (по Эв) к А(у) D VxA(x). Исключение допущений правомерно (с точки зрения обычной интуиции) лишь в случаях, когда все свободные переменные фиксированы. Но опять-таки, исходя из классического понимания следования, мы можем рассуждать так (и это подразумевается в нашей системе): предположим, что А (у) истинно для любого значения у, тогда мы можем зафиксировать значение этой переменной, выбрав (в качестве ее значения) любой предмет из подразумеваемой области; если же А (у) ложна для каких-то предметов (и, значит, ложно VxA(x)), то в качестве фиксированного значения у возьмем какой-нибудь из этих предметов. Очевидно, ни в том, ни в другом случае в нашем заключении от А (у) к VxA(x) не возникает запрещенной ситуации "из истины - ложь". Но, как и в случае с Эи, фиксируя значение у, необхдимо фиксировать значения всех других свободных переменных формулы А(у). Правда, в формулировке правила VR и при его применениях мы обращаем внимание на свободные переменные yi,..., ут в формуле VxA(x). Дело в том, что возможен (согласно другим условиям) случай, когда среди этих переменных может оказаться и у. Например, из Р1(хь х2) Э ^2(*1) мы могли бы получить Vx3(P](x3,x2)«Р ^2(х1))- Легко убедиться, что исходная формула является результатом правильной подстановки х:1, играющей роль у, вместо х3,играющей роль х, в формулу Р\ (х3, х2) э (х,).
Вывод, однако, был бы некорректным. Неправомерность его в нашей системе укажет отметка "xbx2 Xj - ограничены". Оказывается, что "xj ограничивает х/'. Это недопустимо (по условию 2). Смысл различения завершенных и незавершенных выводов вполне понятен. Все наши отметки и соответствующие условия фиксирования значений переменных ияпрают вспомогательную роль и должны быть сняты в окончательном результате, каковым и является завершенный вывод. Высказывание А(у) D VxA(x), например, верно для выбранного указанным выше способом предмета у. Но оно верно, таким образом, только при наличии определенных оговорок, выраженных в метаязыке, но не нашедших .отражения в самом этом высказывании. Мы хотим иметь выводы, которые воспроизводят отношения логического следования между высказываниями (и потому логически правильны), и доказательства, заключения которых истинны только в силу характера логических содержаний соответствующих высказываний самих по себе, без каких-либо посторонних привнесений.
Из предшествующих пояснений должно быть ясно, почему никакая переменная не может быть абсолютно ограничена в выводе более одного раза. Если выделен какой-то предмет и обозначен у, то неправомерно, выделяя какой-то предмет на другом шаге вывода, употреблять для него тот же знак. Ясно также, что неправомерна ситуация, когда выбор какого-то предмета xik в зависимости от (произ
278
вольного, вообще говоря) выбора у определяет выбор самого у (ситуация, имеющая место в формальном выводе, когда некоторая переменная ограничивает саму себя).
ПРИМЕРЫ
I.	Попытаемся осуществить схему доказательства формулы вида
Vx3yA(x,y)z>3yVхА(х,у) (не являющейся универсально общезначимой):
+ 1. VхЗуА(х,у)
2.	ЗуА(х,у) - из 1, VH
3.	А(х,у) - из 2, Зи у, х - ограничены
4.	VхА(х, у) - из 3, VB, х, у - ограничены.
Последний шаг неправомерен, поскольку возникает запрещенная в правильных выводах ситуация "у ограничивает у" (из "у ограничивает х" на шаге 3 и "х ограничивает у" на шаге 4).
II. Попытка доказательства (также не универсально общезначимой) формулы вида Vх(А(х) oVyA(y)).
В А(х) и, значит, в А(у), вообще говоря, могут быть и другие переменные, кроме х и у. Однако в построении схемы вывода мы можем учитывать лишь явно указанные переменные.
+ 1. А(х)
2. VyA(y) - из 1, VB, х - ограничена
(-1) 3. Vxz)VyA(y)-из 2, Эв
4. Vх(А(х) zdVуА(у)) - из 3, VB, х - ограничена.
Шаг 4 неправомерен, так как переменная х оказывается дважды абсолютно ограниченной.
Вывод 1-3, как и 1-2, не является завершенным, так как в заключении его (3) имеется свободное вхождение абсолютно ограниченной переменной х. (Это значит, что не гарантирована универсальная общезначимость формулы 3.) Этот вывод можно завершить, добавляя шаг
4.	3x(A(x)z?VyA(y)) -изЗ, Зв.
Полученная формула универсально общезначима.
III.	Доказательство формулы вида Vx(A(x)&B(x))z> VxA(x)& & VxB(x):
+ 1. Vx(A(x)&B(x))
2.	A(x)&B(x)-из 1 VM
3.	A(x) - из 2,
4.	VxA(x) - из 3, VB, x - ограничена
5.	A(y) &B(y)-из 1, VH
6.	B(y) - из 5, &M2
7.	VxB(x) - из 6, Vb, у - ограничена
279
8.	VxA(x)& VxB(x) - из 4 и 7, &н
(-1)9. \f х(А(х)&В(х)) zdVxA(x)& VxB(x) - из 8 Dn.
Вывод завершен.
Неправильно было бы следующее напрашивающееся продолжение вывода 1-4:
5.	В(х) ~ из 2, &li2
6.	VxB(x) - на этом шаге недопустимым образом - второй раз в данном выводе - абсолютно ограничивается х. Этим мы заканчиваем описание исчисления ИП2Н.
УПРАЖНЕНИЯ
Осуществить доказательства формул:
1.	Vx~|A(x) =)"]ЗхА(х)
2.	"]VxA(x)‘_d3x"]A(x)
3.	Зх(А(х) V В(х)) э (ЗхА(х) V^xB(x))
4.	(VxA(x) z>3xB(x)) zd3x(A(x) z> B(x))
5.	(VxA(x)&Vx^(x))=dVx(A(x)&B(x)).
СИСТЕМА ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ С ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ЗАВИСИМОСТИ "(ФОРМУЛ ВЫВОДА ОТ ДОПУЩЕНИЙ) СИСТЕМА ИП2НХ32
Можно, сохраняя те же правила вывода, изменить только что описанную систему ИП2Н, используя вместо способа построения выводов по Куайну метод построения выводов с использованием понятия характеристик зависимости (формул вывода от допущений)5 и получить систему натурального вывода ШП^НХЗр
Однако мы не будем останавливаться здесь на этой модификации системы ИП2Н, поскольку она получается без каких-либо осложнений. Рассмотрим систему с характеристиками зависимости ИП2НХ32 с другим составом правил вывода, точнее говоря, - с другим - теперь непрямым - правилом исключения квантора 3, а также с непрямым правилом v и и с некоторым изменением правила VR, связанным с заменой прямого правила Зи на непрямое Зи. Изменение метода построения выводов является здесь существенным, поскольку построение их по методу Куайна при добавлении новых непрямых правил становится - по крайней мере, в указанном его виде - неприемлемым. Формулировка правил в системе, к которой мы переходим, допустима и в релевантной логике и является более распространенной в классической логике.
5 См. § 37.
280
СИСТЕМА ИП2НХ32
Эта система получается расширением системы ИВ2НХЗ (§ 37) с учетом, конечно, перехода от ЯКЛВ к ЯКЛП1 - за счет добавления следующих кванторных правил:
11. VB
А[Г]
\/х4[Г]
19	Ух4(х)[Г]1
12V-^»T
13. 31,^M£L
в ЗхА(х)[Г]]
-	при условии, что никакое допущение из Г не содержит х свободно.
-	А(г) - результат правильной подстановки терма t вместо х в А(х).
.В[Г,А(х)],ЗхА(х)[А]6
14	В[Г Д]	~ при Условии» что никакое допу-
щение из Г, а также В, не содержит х свободно.
Понятия вывода, доказательства, теоремы остаются теми же, что и в системе ИВ2НХЗ, с учетом лишь того, что появляются дополнительные правила.
Для упрощения применений правил введения кванторов VB и Эв полезно представить каждое такое применение как результат двух операций: 1) замещения каких-либо (не обязательно всех и даже, возможно, ни одного) вхождений некоторого терма t в исходной формуле А переменной х (результатом чего является А(х)), и 2) связывание этой переменной квантором. При этом замещение должно удовлетворять условиям: а) замещаемые вхождения терма должны быть свободными, б) замещающая переменная х - если она не совпадает с t
6 Эта формулировка непрямого правила Зи является модификацией и : некоторым обобщением в данной системе - с учетом характеристик зависимости - следующей
,	Г,А(х)\-В
распространенной его формулировки------------, при условии что х не содержится
Г,3х4(х) [-В
свободно в В. При этом предполагается, что формула ЭхА(х) является допущением вывода. Непосредственной его модификацией в системах с характеристиками зави-
В[Г,4(х)]	_
симости является ------------. В указанной выше формулировке рассматривается
Я[Г,Зх4(х)]
более общий случай, когда ЗхД(х) не обязательно вляется допущением вывода (что превращает его в двухпосылочное правило).
Во избежание недоуменных вопросов, почему правило называется правилом исключения квантора 3, когда по видимости он позволяет, н аоборот, вводить этот квантор, разъясняем, что здесь ситуация аналогична той, с которой мы встречались в формулировке непрямого правила vH ("рассуждение по случаям"): данное правило указывает на то, что вместо вывода с заключением В, среди формул которого есть формула ЗхД(х), можно осуществить вывод той же формулы В, взяв вместо ЗхА(х) формулу А(х), и по нашему правилу заключить о правомерности желаемого вывода. Таким образом, правило позволяет исключать формулы вида ЗхД(х) из рассуждений.
281
(случай тривиального замещения) - не должна быть свободной в исходной формуле и в) все вхождения х, появившиеся в результате замещения, дблжны быть свободными. Замещение, удовлетворяющее этим условиям, назовем правильным. Нетрудно показать, что операция правильного замещения обратна правильной подстановке (А(х) есть результат правильного замещения t в A(t) переменной х, если и только если А (г) есть результат правильной подстановки t вместо х в Л(х)).
Теперь мы можем сказать, что при исключениях кванторов осуществляется подстановка, а при введениях - замещение; та и другая операции должны быть правильными. (При указанном понимании правил введения кванторов мы избавляемся при построении выводов от необходимости выполнять лишнюю работу осуществления применения этих правил иногда лишь для того, чтобы убедиться, что эти применения неправомерны.)
Ограничения в правилах VB и Эи относительно допущений Г вводятся для исключения варьирования переменных в допущениях (содержащих свободные переменные). Чаще системы с данными правилами формулируются без этих ограничений, т.е. допускается варьирование переменных в выводах. В таком случае формальная выводимость Г Н В, полученная с применением VB или Эи, не всегда обеспечивает наличие логического следования Г 1= В именно потому, что эти правила в применении к операторной переменной х обусловливают варьирование этой переменной во всех допущениях из Г, содержащих ее свободно.
Как уже отмечалось и раньше (§ 40), при применении VB с переменной х к формуле А эта переменная варьируется для всех допущений, от которых зависит А и которые содержат эту переменную свободно. Применение Зи также варьирует х-в результирующем выводе - для всех допущений из Г, от которых зависит В во вспомогательном выводе. Содержательно ясно, например, что имеется выводимость Г, А(х), В(х) Н ЭхС(х), где А(х) и В(х) означают, соответственно, утверждения "некое число х (из подразумевающегося множества D целых положительных чисел) делится на 2" и "некое число х (очевидно, то же самое, что и в первом случае) делится на 3"; ЭхС(х) есть утверждение "существует число х (в области D), которое делится на 6", Г - необходимые для вывода утверждения арифметики (которые вне определенной аксиоматической системы мы можем считать и допущениями). По Зи заключаем отсюда о наличии выводимости Г, Л(х), ЗхВ(х) Н ЭхС(х). Ясно, что выводимость имеет место, только если хвА(х) берется в интерпретации всеобщности. Иначе говоря, фактически имеется выводимость Г, VxA(x), ЗхВ(х) Н ЭхС(х)).
Желая иметь понятие выводимости (и соответствующее понятие вывода) такое, чтобы отношение выводимости Г Н В было адекватным отношению логического следования Г |= В, надо ввести ограничения на применения VB и Эи, а именно применять эти правила только так,
282
чтобы никакие переменные не варьировались при этом (для допущений). Тогда понятия вывода и доказательства, а также выводимости остаются формально теми же, что и в исчислении высказываний. Ясно, конечно, что при применении непрямого правила Зи надо строить вывод аналогично тому, как, например, при применении Эв.
Но если не налагать указанных ограничений, т.е. не запрещать варьирование переменных в допущениях, на применения Зи и VB (как это часто и делают при построении исчислений), то нужно ограничение на все непрямые правила', во вспомогательных выводах, упоминаемых в этих правилах, не должны варьироваться никакие переменные для допущений, устраняемых по этим правилам (для А в Эв и "]в А и В в "рассуждении по случаям", А(х) в Зи).
ПРИМЕРЫ
Доказательство рассмотренных в аксиоматической системе схем аксиом Vx(A D В(х)) D (A D VxB(x)) hVx(B(x) D A) D (ЗхВ(х) Z) А), Предполагается, что А не содержит х свободно:
+ 1. Vx(A=dB(x)) [1]
+ 2. А [2]
3.	A D В(х) [1]-из 1 VH
4.	В(х)[1,2]-из 3,2ЭИ
5.	VxB(x) [1, 2] - из 4 VB
6.	A Z)VxB(x) [1] - из 5 Эв
7.	Vx(A(x) о В(х)) => (A zdVxB(x)) [-] - из 6 Эв
+ 1. Ух(ВД=)А) [1]
+ 2. ЗхВ(х) [2]
+ З.В(х) [3]
4.	ВДЭА [1] - из 1 VH
5.	А [1,3]-из 4,3 Эи
6.	А [1,2]-из 5, 2 Зи
7.	ЗхВ(х) D А [1] - из 6 Эв
8.	Vx(B(x)=d А)=э(ЗхВ(х)=э А) [-] из 7 Эв.
В дополнение к изложенным выше (см. § 36) эвристическим принципам введения допущений укажем теперь некоторые специфические для исчисления предикатов.
При построении выводов, содержащих формулы с кванторами, полезно учитывать наличие указанной выше связи операций конъюнкции и дизъюнкции с кванторами. Напомним, что утверждение вида VxA(x), относящееся к конечной области D, содержащей предметы Ъх, bh может быть истолковано как (А(ЬХ) & А(Ь2) & ••• & А(^)) (с
283
любой расстановкой скобок). При бесконечности D бесконечна и конъюнкция; таких формул нет в нашем языке. В некоторых теоретических исследованиях они вводятся как абстракции, идеальные объекты. Реально подобные высказывания неосуществимы, поэтому квантор V не может быть исключен из языка и из рассуждений. относящихся к бесконечным областям; то же самое верно и для квантора 3. Утверждение вида ЗхА(х) можно понимать как (А(Ь]) V A(b2) V ... V А(Ьк)) (также с любой расстановкой скобок).
С учетом этого можно указать следующие два новых принципа введения вспомогательных допущений:
7)	. Если в некотором выводе желательно получить заключение вида VxA(x), то. рассуждая по способу "доказательство от противного", следует взять допущение "]Д(х) в соответствии с пунктом 5 (в предыдущем перечислении принципов);
8)	. При стремлении же вывести ЗхА(х) в качестве допущений могут быть взяты 13лА(х) и А(х) в соответствии с принципом 4.
И, наконец, имеем следующий, специфический для данной системы эвристический принцип, связанный с непрямым правилом Зи:
9)	. Если в выводе получена формула ЗхА(х) и нужно вывести В, не выводимую непосредственно из имеющихся формул, вводим допущения А(х), применяя способ рассуждения согласно Зи.
Схема доказательств формул вида ~|3xA(x)z)VxlA(x):
+ 1.13хА(х)[1]
+ 2. А(х) [2] (допущение вводится согласно п. 5 с учетом связи & и V).
3.	ЗхА(х) [1] - из 2 Зв
4.	Ъ(х) [1] - из 1,3 Д
5.	Vx~U(x) [1]-из4Ув
6.	1НхА(х) z>Vx"U(x) [-] - из 5 Эв.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Осуществите доказательства всех аксиомных схем системы ИП2А (см. § 40).
2. Осуществите доказательства правил Бернайса (см. § 40).
§ 42. Секвенциальное исчисление предикатов (без правила сечения, система кангеровского типа)
В главе 10 показано, каким образом формулировка секвенциального исчисления (без правила сечения) получается из аналитических таблиц. По этому же принципу легко может быть получено предикатное расширение сформулированной ранее системы исчисления высказываний.
284
Дополнительные кванторные правила введения кванторов V и 3 справа и слева:
Ул Г1УхА(х)4(а)Г2 -4А
Л’ Ц УхА(х)Г2 —> А
у	Г —> А|А(а)А2
П’Г-> A1VxA(x)A2
Эл. ЦА^Г^А
ПЗхАСхДг -» А
Г-» А1ЭхА(х)А(^)А2
d п:----5— ----------где А(а) - результат подстановки
Г -> А1ЭхА(х)А2
а вместо х в формулу А(х) и в правилах Ул и Эп а - любой индивидный параметр аь встречающийся в нижней секвенции; при отсутствии таких параметров в формулах нижней секвенции - любой индивидный параметр из числа исходных символов языка; в правилах Vn Эл а -некоторый параметр, не содержащийся в формулах нижней секвенции.
По существу, эти правила представляют собой "перевернутые" правила аналитических таблиц для формул ЯКЛП (§ 39) с учетом того, что каждое отмеченное множество в этих таблицах трактуется как секвенция, а конфигурация - как множество секвенций на каждом шаге секвенциального доказательства. Последняя секвенция секвенциального доказательства формулы А имеет вид —> А - она соответствует исходной конфигурации {{FA}} аналитических таблиц.
Построению таблицы в секвенциальном исчислении соответствует, как уже было сказано ранее, поиск доказательства, который начинается с секвенции —> А и осуществляется - идя снизу вверх - разложением формулы А, по существу, по правилам построения аналитических таблиц.
§ 43. Исчисление предикатов с равенством (натуральная система)
Описанные в данной главе системы представляют собой так называемые чистые исчисления предикатов первого порядка (или "узкое" исчисление предикатов). "Чистые" потому, что в них не введено никаких постоянных (определенных) предикаторов. Добавление таковых, а также, возможно, некоторых функторов и индивидных констант при построении той или иной теории (арифметики, теории групп, геометрии и т.п.) на базе данного языка и введение специальных аксиом, определяющих эти дискриптивные константы, превращает данное исчисление в прикладное, или - в некоторую первопорядковую теорию.
Однако возможно расширение системы за счет добавления двухместного предикатора тождества или равенства (=), при котором полученную систему, называемую исчислением предикатов с равенством, можно считать еще чисто логической. Дело в том, что само отношение
285
тождества имеет специфически логический характер. Утверждение типа Г1 = t2 не относится, по существу, к предметам той или иной внеязыковой действительности. Оно означает лишь, что термы и t2 обозначают один и тот же предмет.
Это отношение и соответствующий предикат оказываются необходимыми для выражения некоторых типов высказываний, например, для утверждений о том, что каким-то свойством обладает единственный предмет, или о том, что в некотором отношении находятся только два или три каких-то предмета, о том, что все (попарно) различные между собой предметы обладают каким-то свойством, о том, что каким-то свойством обладают все предметы, кроме некоторого одного или двух каких-то предметов: "Только число 2 является четным и одновременно простым". Это должно быть выражено так: "Число 2 есть четное число и оно есть простое, и для всякого числа х, если оно является четным и простым,то оно равно 2(х = 2)".
Например, "всякое простое число имеет в качестве делителей только самого себя и единицу". Точное его выражение таково: "Всякое простое число х имеет в качестве делителя самого себя, а также его делителем является 1 и для всякого числа х и числа у, если х - простое число и у - его делитель, то у = х или у = 1.
УПРАЖНЕНИЯ
Запишите на ЯКЛП1 с равенством следующие высказывания:
1. Всякие две различные прямые имеют не более чем одну общую точку.
2. Всякие две различные точки имеют не более чем одну общую прямую.
Указание: используйте для выражения предикатов "Прямые х и у имеют общую точку z" и "точки х и у имеют общую прямую z" двухместный предикат "точка х принадлежит прямой у".
Итак, мы добавляем к числу исходных символов описанного языка постоянный двухместный предикат "=". Согласую имеющемуся определению формулы (в котором предусмотрены расширения осуществляемого сейчас типа), мы имеем теперь формулы вида = (fi,f2)-Условимся вместо этой записи употреблять t\ = t2.
Формула этого вида истинна (выполняется) при некоторой интерпретации ф, определенной на области D, и для некоторого распределения 5 значений свободных переменных в и t2, если и только если предмет ф^ из D совпадает с фя/2.
В качестве формального определения введенного предикатора берутся обычно два следующих логических постулата:
1.1 = t - схема аксиом ("рефлексивность равенства").
2.	-i-±1-----правило замены равным, где t2 - любые термы
^(^2)
и где А(^) - формула, возможно, содержащая вхождения терма а 286
Д(ь) есть результат замены в ней какого-либо числа (возможно, 0) вхождений tx на t2. При этом должно выполняться условие: заменяемые вхождения и вхождения t2, появляющиеся в результате замен, должны быть свободными, т.е. переменные в заменяемых вхождениях в t ] ив возникших вхождениях в t2 должны быть свободными.
Добавление этих постулатов к любой натуральной системе чистого исчисления предикатов превращает эту систему в натуральную систему исчисления предикатов с равенством7.
Возьмем за расширяемую систему ИП2НХ32, тогда схема аксиом имеет вид t - t [-J, а правило вид следующий:
Л = [Г],/!(/,)[ А]
A(t2 )[Г, А]
Естественно, что в выводах наряду с допущениями можно использовать теперь аксиомы (любые частные случаи схемы t -1). В данной системе доказуемы теоремы вида t\ = t2 Z) t2 = tx = t2 D D (t2 = h 3 b = r3) (или VxVy(x = у D у = x) или VxVyVz(x = у Э (у = -z D x = z))). выражающие, соответственно, свойства симметричности и транзитивности отношения равенства.
Доказательство первой из этих схем:
+ l.r, =t2 [1]
2.	Г] = Г] [-] - аксиома
3.	t2 = Г] [1] - из 1 и 2, правило замены равных (роль A(Zj) играет 2)
4.	ц = t2 Z) t2 = - из 3, Z)B.
Доказательство второй схемы:
+ М ='2 [1]
+ 2. t2 = t3 [2]
3.	= t3 [1. 2], из 1 и 2, правило замены равных (замена t2 на t3 в 1 на основе равенства 2)
4.	r2 = r3Drj Dt3 [1] из 3, DB
5.	t\ = t2 Z) (t2 = r3 D tx = r3) [-] из 4, DB.
7 При построении исчисления предикатов с равенством как расширений аксиоматических систем берут вместо указанного правила схему аксиом: = f2) Э (A(t{) D A(t2)), где Д(Г|) и A(t2) удовлетворяют тем же условиям, что и в формулировке правила. Вместо схемы t = t в любой системе может быть взята схема Vx(x = х).
При построении натуральных систем возникает техническая трудность: поскольку первый постулат есть схема аксиом, то полученное исчисление оказывается не чисто натуральным. Для сохранения "натуральности" системы вместо этой схемы могло бы
A zd А быть взято правило:------, но это приводит к ненужным усложнениям выводов и
V х(х = х)
доказательств. Технически оказывается более приемлемым "пожертвовать" чистотой натуральности системы и оставить схему аксиом.
287
Глава 13
ПОНЯТИЕ О ЯЗЫКЕ, ЛОГИКЕ И ИСЧИСЛЕНИИ ПРЕДИКАТОВ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
В предыдущем параграфе мы имели расширение исчисления предикатов первого порядка за счет добавления новой логической константы (равенства). Возможен, однако, иной путь расширения выразительных возможностей ЯКЛП1 и вместе с этим расширения понятий вывода и доказательства (равенство, в частности, появляется при этом как производное понятие).
Формально расширение языка состоит в том, что наряду с предикатными и предметно-функциональными символами - параметрами в языке первого порядка, вводятся предикатные и предметнофункциональные квантифицируемые переменные. Это дает возможность выразить в таком языке утверждения не только об индивидах, но и о свойствах, отношениях и предметных функциях как объектах мысли, что существенно, в частности, для выражения понятий о свойствах, отношениях и предметных функциях (см. гл. 16). (В дальнейшем предикатные символы-параметры будем называть предикатными постоянными, а квантифицируемые предикатные переменные - просто предикатными переменными. Аналогично с предметными функторами -предметно-функциональные постоянные й предметно-функциональные переменные.)
При таком расширении языка расширяется и его онтология. Согласно Куайну, в число объектов, о которых можно нечто высказывать в языке, т.е. объектов, составляющих онтологию языка, входят значения всех квантифицируемых переменных (т.е. таких переменных, которые могут быть связаны кванторами). Буквально свою мысль Куайн выражает в виде афоризма: "Быть - значит быть значением связанной переменной". "Быть" здесь - означает, именно, "существовать в качестве элемента онтологии языка".
Итак, к числу исходных символов ЯКЛП1 мы добавляем теперь:
1. Квантифицируемые предикатные переменные вида где к -целое положительное число, указывающее на местность подразумеваемого отношения, и 5 - числовой индекс в перечне символов этого вида (счетного для каждого к)*,
2. Аналогичное множество квантифицируемых предметно-функциональных переменных вида yks.
Соответственно этому расширению языка расширяются понятия терма и формулы.
ТЕРМЫ:
1.	Любая предметная переменная х, и предметная константа ц являются термами.
288
2,	Если t\tk - термы, & h- ^-местная предметно-функциональная переменная или ^-местная предметно-функциональная постоянная, то ^)-терм.
3.	Ничто, кроме указанного в пунктах 1 и 2, не является термом.
ФОРМУЛЫ:
1.	Если ^,..., tk - термы, Fk - ^-местная предикатная переменная или предикатная константа, то F^,..., 4) есть формула.
2.	Если А и В - формулы, то (А D В), (А & В), (А V В), А есть формулы.
3.	Если а - предметная или предикатная, или предметно-функциональная переменная, то VaA и ЭаА - формулы.
4.	Ничто, кроме указанного в пунктах 1-3, не есть формула.
Таким образом, наряду с формулами ЯКЛП1 теперь будут встречаться также и специальные формулы ЯКЛП2. Например, VxjSfPj1 (^(xj)): ’’для каждого предмета xj из подразумеваемой области D существует свойство т\, которым этот предмет обладает" -утверждение, очевидно, истинно.
V X] V х2 з !Р2 ((IP2 (X], х2) z> fP]2 (х2, X] ))& (!Р2 (х2, X,) => !Р]2 (X], х2))): "для любых двух предметов хх и х2 из D существует симметричное отношение	- по-видимому, утверждение ложно.
Формула	*2) ~	х1)) представляет собой, очевидно,
одноместный предикат от переменной выражающий свойство симметричности подразумеваемого отношения Это свойство можно обозначить Сим^ (введя постоянный предикат Сим.) и рассматривать указанную формулу как определение этого предиката.
Формула Вх1^(х19х2) является двухместным предикатом, выражающим отношение между (каким-то) двухместным отношением и (каким-то) индивидом х2.
В ЯКЛП2 мы можем с некоторой степенью точности (с точностью до предметной области) выражать утверждения о выполнимости и общезначимости формул ЯКЛП1. Например, утверждение о том, что формула VxjЗх2Р(х],х2) выполнима, выражается так: 3fPjVxi3x2fP^(x19x2)f подразумевая существование некоторой области D.
Для выражения общезначимости формулы Vx^P^Xj) & Р\(х\)) ~ '-Vx1P11(x1) & VxjP^^i) имеем: VfP^VfZ^Vx^^xj) & fP^Xj)) ~ - VxjP^xi) & VxjP^i)))» подразумевая, что это верно для любой области/).
Без указаний подразумеваемых условий относительно D о каждой из этих формул можно сказать, что она выполнима или общезначима (невыполнима или необщезначима) в зависимости от того, существует
19 Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев, кн. I
289
ли D или для всякого D она верна (ни для какого D неверна или для какого-то D неверна). Одним словом, проблема разрешения теперь может быть сведена только к вопросу о существовании или несуществовании некоторой предметной области, для которой формула превращается в истинное высказывание.
Однако проблема разрешения и в этом виде остается неразрешимой (иначе проблема разрешения оказалась бы разрешимой и для логики предикатов первого порядка).
Существенно, что равенство, которое мы раньше должны были добавлять в качестве новой логической константы к чистому исчислению предикатов первого порядка, теперь может быть введено по определению:
*1 = х2=Df vfp/ (fp]1 (X]) - fPi (х2)).
Не останавливаясь на систематическом изложении семантики ЯКЛП2, поскольку в общих чертах она остается той же, что и для ЯКЛП1 (во всяком случае, интуитивно не трудно экстраполировать ее на данный язык), отметим лишь, что интерпретацией служит та же пара {D, ф); ф приписывает значение дескриптиным параметрам; посредством функции 5 придается значение всем свободным переменным интерпретируемой формулы или множества формул (при этом n-местной предикатной или функциональной переменной, - соответственно n-местное отношение или n-местную функцию). Правила приписывания истинностных значений формулам должны быть ясны из того, что сохраняются смыслы всех логических констант. Понятия универсально-общезначимой формулы (закона логики), выполнимой формулы, логического следования формально те же, что и для логики предикатов первого порядка.
В качестве исчисления выбираем расширение системы ИП2Н. Правила введения и удаления для &, \/, ZD, "1 сохраняются с учетом лишь расширения понятия формулы. Правила введения и удаления для кванторов V и 3 расширяются за счет расширения понятия переменной. Формально это расширение получаем, заменяя метазнаки предметных переменных х и у, например, на и и v - общие для предметных, предикатных и функциональных переменных. Исключая, например, квантор общности по n-местной предикатной или n-местной функциональной переменной, имеем право подставить на все свободные места этой переменной в области действия данного квантора предикатную (или функциональную) постоянную или переменную той же местности; при этом подстановка, как и в формулировках правил системы ИП2Н, должна быть правильной. В общем, сохраняются все условия использования правил системы ИП2Н в применении теперь лишь к более широкому классу переменных.
Принципы построения выводов и доказательств и понятие теоремы остаются теми же самыми (опять-таки с учетом расширения понятия формулы).
В отличие от исчисления предикатов первого порядка в исчислении
290
предикатов второго порядка, как ранее упоминалось, невозможна полная формализация отношения логического следования и закона логики (языка этого исчисления). Это значит, что никакая система постулатов не обеспечивает адекватность выводимости и логического следования, теоремы й логического закона: множество случаев отношения логического следования и множество логических законов всегда шире чем, соответственно, множество случаев выводимости и теорем. Возможности формализации указанных понятий существенно расширяются при использовании (при применении правил VH и Зв) понятия подстановки вместо предикатных и функциональных переменных. Однако здесь мы ограничились более простой (и более бедной по своим возможностям) системой правил1.
Глава 14
РЕЛЕВАНТНАЯ ЛОГИКА
§ 44. Общая характеристика релевантной логики.
Основные системы (релевантные модификации классической логики)
Релевантную логику понимают обычно как один из разделов современной символической логики наряду с такими ее разделами, как интуиционистская, модальная, логика норм и т.п. Более правильно понимать ее как некоторый этап в развитии логики. На это понимание указывает само ее происхождение и задачи, под влиянием которых она возникла. Такими задачами являются прежде всего уточнение понятия логического следования и импликации классической логики (см. § 16). Последние, как мы помним, обладают серьезными недостатками, которые проявляются в известных парадоксах следования и импликации: согласно классическому пониманию закон логики следует из любого высказывания, а из отрицания закона, т.е. из логически противоречивого высказывания, следует любое высказывание; для материальной импликации парадоксальны законы Ia zd (A z> В), В z> (А о В), (А & В) о (A z> В) и (А & В) о (В о А); для любых высказываний А и В имеет место закон (А о В) V (В о А). В этих парадоксальных случаях проявляется, как говорят, иррелевантность - отсутствие какой-либо содержательной связи между посылками и заключениями следований или между членами импликаций. Например, явно может отсутствовать всякая связь между содержаниями членов импликаций в последнем из приведенных законов, а также и в предшествующем ему.
Конечно, слово "парадоксы" здесь используется не в том строгом
1 Описание системы с использованием указанного правила подстановки см.: Войшвилло Е.К. Понятие. М., 1989. § 6.
Аксиоматическое построение исчисления предикатов второго порядка см.: Гильберт, Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М., 1947; Чёрч А. Введение в Математическую логику. М., 1960.
19*	291
смысле, в каком мы говорим, например, о парадоксах Рассела, Кантора в математике, когда доказанными оказываются одновременно какое-то высказывание А и его отрицание "|а. Парадоксы следования - это просто несоответствие принимаемых в классической логике случаев отношения следования интуитивному пониманию следования, подразумеваемому при употреблении этого отношения в практике научного познания. Несоответствия интуиции, проявляющиеся в парадоксах материальной импликации, связаны с истолкованием ее как связки, соответствующей языковому союзу "если..., то...", по крайней мере, при употреблении его, например, в формулировках законов науки. По существу, дело здесь в том, что мы придаем логической связке "о" при этом несвойственный ей смысл или, точнее, несвойственную ей функцию выражения связей между какими-то ситуациями А и В. В самой классической логике, как мы знаем, А о В эквивалентно "|А V Значит, высказывание А о В фиксирует просто ситуацию фактического характера типа: отсутствие ситуации А или наличие В, она указывает лишь на связь между истинностными значениями А и В - если истинно А, то истинно В. Если материальную импликацию трактовать именно в соответствии с тем смыслом, который она имеет в классической логике, т.е. просто как сокращение для |А V то указанные законы перестают быть парадоксальными.
Но в таком случае оказывается, что в языке классической логики нет константы, необходимой для выражения связей между какими-то ситуациями, свойствами предметов, событиями и т.д., в частности для выражения законов науки. Но без этого язык станет весьма ущербным. Что и послужило причиной неудач в попытках представителей логического позитивизма использовать аппарат классической логики для выяснения ряда понятий и процедур научного познания: закона науки, научного объяснения, контрфактических высказываний, диспозицион-ных предикатов, понятия физической модальности (у Рейхенбаха -помологических высказываний) и др. Направление исследований такого рода получило название логики научного познания. Трудности, с которыми встретились логические позитивисты, положившие как раз начало формированию логики научного познания, естественным образом преодолеваются, как правило, при использовании вместо классической логики языка и дедуктивного аппарата релевантной логики.
Указанные выше недостатки классической логики пытался преодолеть К. Льюис. Им построено пять систем, SI-S5, с так называемой строгой импликацией "<”, которая определялась как необходимая материальная импликация:
A<B=DfN(Az>B)
без разъяснения смысла необходимости - оператора /V. Теперь можно сказать, что имелась в виду логическая необходимость (см. § 69). Причем каждое вхождение импликации в формулах систем дожно было означать утверждение о следовании, а следование же (как видно из
292
определения импликации) имеется в виду классическое. Поэтому строгая импликация оказалась парадоксальной в том же смысле, что и классическое следование, а именно (в системах Льюиса, начиная с 52) имеют место парадоксы:
1) N^A < (А < В) - необходимо ложное, т.е. логически невозможное высказывание, имплицирует любое высказывание;
2) NA < (В < А) - необходимое высказывание имплицируется любым высказыванием.
Судя по всему, одна из систем Льюиса - 54 - представляет собой формализацию классического понятия следования.
Цель, которую преследовал К. Льюис, была достигнута В. Аккерманом в работе "Begriindung einer Strengen Implication",1 с появления которой и началось развитие релевантной логики. Он построил систему пропозиционального типа (формально две эквивалентных системы аксиоматического и натурального типа), представляющую собой усовершенствование и определенное расширение - за счет введения новой "сильной" (интенсиональной) импликации - классической пропозициональной логики с иным, непарадоксальным понятием следования, а также непарадоксальной импликацией, которая, судя по всему, адекватна словосочетанию "если..., то..." русского языка, употребляемому в выражениях законов науки.
Аксиоматическая система Аккермана, технически усовершенствованная затем американскими логиками А. Андерсоном и Н. Белна-пом, была названа системой Е (of entailment - "система следования"). Сформулировано также ее кванторное расширение - система EQ (pi entailment with quantification). Это основные системы релевантной логики. Анализ этих систем показывает, что они как раз и представляют собой результаты усовершенствования и определенного расширения -за счет введения упомянутой интенсиональной импликации, - соответственно, пропозициональной и кванторной классической логики2. Можно сказать, что эти системы представляют собой результаты реле-вантизации систем классической логики.
Одна из аксиоматических формулировок системы Е (со схемами аксиом) такова:
1.	((А —> А) —> В) —> В
2.	(А-^В)-^((В-^С)-»(А-^С))
3.	(А —> (АВ)) —> (АВ)
4.	((А —> В) & (А —> С))(А —> В & С)
1 The Journal of Symbolic Logic. 1956, vol. 21, p. 113-128.
2 Распространено мнение, что не все логические связки (&, V» "Ь этих систем совпадают с классическими, а именно, что отличным от классического является отрицание, которое, в отличие от классического - булевого, - называют отрицанием де Моргана. Однако отличие, которое имеется здесь в виду, обусловлено не характером самого отрицания, а прежде всего характером следования (с которым обычно связывают отрицание), а также расширением - в релевантной логике - множества возможных миров.
293
5.	(А&В)->А
6.	(А & В) -> В
7.	А->(АуВ)
8.	В->(А\/В)
9.	((А->С)&(В->С))->((А VB)->Q
10.	(А —> В) —> ("|А V-В) (т.е. (А чВ) (AdВ))
11.	(А & (В V О) -> ((А & В) V И & С))
12.	(А —> В) —> (~|В —> ЧА)
13.	Па -» а
14.	а -> Па.
А-^В,А А,В
Правила вывода---------, ———.
В А& В
Аксиоматическая формулировка системы EQ получается добавлением к схемам аксиом системы Е (с учетом перехода от пропозиционального языка к языку логики предикатов) следующих аксиомных схем:
1.	VxA(x) —> А(Г), где А(Г) - результат правильной подстановки терма t вместо х в формулу А(х)
2.	Vx(A(x) В(х)) (VA(x) УхВ(х))
3.	Vx(A —> В(х)) —> (А —> VxB(x)), где А не содержит х свободно.
4.	Vx(A v В(х)) —> (А V VxB(x)), где А не содержит х свободно.
5.	(VxA(x) & VxB(x)) Vx(A(x) & В(х))
6.	(А (Vx(B(x) -> С(х))	Д)) (Vx(B(x) С(х)) (А Д)). И
наконец, 7. Если А аксиома EQ, то VxA - тоже аксиома EQ.
Квантор существования (3) в системе вводится по определению: ЗхА = IVxlA.
Система натурального вывода, эквивалентная аксиоматической формулировке Е, получается из классической натуральной системы с характеристиками зависимости ИВ2НХЗ (см. § 37) заменой:
во-первых, заменой в формулировках правил "о" на и характеристик зависимости, Г, А как множеств - последовательностями допущений; Г и А аналогично, как и прежде, могут быть пустыми последовательностями. При этом существенным оказывается указанный в правилах системы порядок характеристик зависимости. Например, для
z	ч А—>В[Г],А[Д]
правила —>и (исключения импликации):---	---- в заключении
вначале идет последовательность Г и за ней последовательность А; (запятая) означает сочленение последовательностей, т.е. присоединение одной характеристики зависимости к другой;
294
во-вторых, заменой нерелевантных формулировок правил zdr, &в и X на релевантные (для классики те и другие равносильны), а именно, имеем теперь:
. В[Г,А] & . А[Г],В[Г]
в‘АчВ[Г] в’ А&В[Г]
Правило "|в распадается на два правила:
1 . 1В[Г, А], Д[А, А]	1 ' 1Д[Г, А], В[А]
В1’ 1а[Г,а]	”2‘ 1а[Г,а]
Второе правило разрешает выводы типа:
1Д[Г,А],В[А,А].
1А[Г,А,А] ’
в-третьих, добавлением правила дистрибутивности (& относительно V):
(А&(В у С))[Г]
((А&В)у (А&С))[Г] ’
которое теперь невыводимо из других;
И наконец, в-четвертых, в связи с заменой характеристик зависимости формул вывода от допущений как множеств последовательности добавляются правила преобразования характеристик',
Л А[Г,В,В,А]
1.	д]	- сокращение характеристик
о А[Г,В,(С —> Д), А]
2.	ограниченная перестановочность характе-
А[Г,(С—> Д),В, А]
ристик.
Понятия вывода и доказательства формально остаются теми же, что и в классической системе.
ПРИМЕР 1
Доказательство формулы (А —> (В —> С)) —> ((А —> В) -> (А -» С)) -самодистрибутивность —
ч- 1. А —» (В —> С) [1]
+ 2. А —> В [2]
+ 3. А [3]
4.	В —> С [1, 3] - из 1, 3 —>и
5.	В [2, 3] - из 2, 3 ->и
6.	С [1,3, 2, 3]-из 4, 5 —>и
7.	С [1, 2, 3, 3] - из 6 по правилу ограниченной перестановочности (допущение 2 имеет вид С —> Д)
8.	С [1, 2, 3] - из 7 по правилу сокращения характеристик
295
9.	A —» С [1, 2] - из 8 —>в
10.	((А —> В) —> (А —> С)) [1] - из 9 ->в
11.	(А -> (В —> С))	((А ->В)->(А—> С)) [-] - из 10 ->в.
Поскольку характеристика заключения есть пустая последовательность, вывод является доказательством этой формулы и, значит, эта формула есть теорема.
Для иллюстрации применимости двух правил введения отрицания - *] и "]В2 - докажем законы (схемы): (А -» ТА) —> "|А и (А -» В) -> ->(!»-> 14).
ПРИМЕР 2
+ 1. А —> 14 [1]
+ 2. А [2]
3.	14 [1,2] -из 1,2 ->и
4.	14 [1] - из 3, 2 1В1
5.	(А —> 14) —» 14 [-] - из 4 ->в.
ПРИМЕР 3
+ 1. А —[1]
+ 2.[2]
+ 3. А [3]
4.	В [1, 3]-из 1, 3
5.	Т|в [1, 3] - из 2,4 1В2
6.	14 [1,2]-из 5,2 1В2
7.	Ifi —> 14 [1] - из 6 —>в
8.	(А —> В) —> ("|В —> 14) [-] - из 7 —>в.
Натуральный вариант системы EQ получается добавлением к правилам натуральной формулировки системы Е четырех правил VB, Х/и, Зв, Зи классической системы ИПНХ32 (см. § 41) и дополнительно прави-/	о	х Ух(А\/В(х))[Г]
ла (аналога дистрибутивности & относительно \Д*------,
(A\/VxB(x))[r] где А не содержит х свободно3 * * * * В.
3 Синтаксический анализ систем Е и EQ и доказательство эквивалентности аксиоматических формулировок натуральным их вариантам см.: Войшвилло Е.К. Философско-методологические аспекты релевантной логики. М., 1988; Он же. Символическая логика: классическая и релевантная. М., 1989. Здесь же отметим, что при замене правила ограниченной перестановочности характеристик зависимости на правило неограничен-Д[Г,Я,СД] ,
нои перестановочности д ду (что в сочетании с правилом сокращения харак-
теристик означает возвращение к характеристикам как к множествам) системы EvlEQ превращаются, соответственно, в системы R и RQ, а при добавлении к Е ирреле-
4[Г]	4[Г]
вантного правила -—или равносильного ему получаем импликативную
В —> о[1 J	Д|1, В]
систему 54 К. Льюиса (при этом правило дистрибутивности может быть исключено, поскольку оно выводимо из других).
296
Системы Е и EQ являются - неявно - модальными. Это значит, что в языках этих систем могут быть особо выделены формулы, выражающие необходимые (а также возможные) связи:
NA (необходимо A) =Df (А А) А
МА (возможно A) =Df "|№|А s 1(("|А -» ЗА) -» ТА) = 1((А -» А) -» ТА)4.
Эти модальности являются логическими (см. § 69). Далее будет показано (§ 69), как в языке систем Е и EQ могут быть введены физические модальности.
Наряду с системами Е и EQ в релевантной логике - как разделе современной неклассической логики - построен ряд систем: R,RQ (упомянутые в двух предшествующих сносках), NR и др. Эти системы причисляются к релевантной логике лишь в силу отсутствия в них известных парадоксов следования и импликации. Однако для них, как и для Е nEQ, построены лишь формальные семантики, в которых не выясняется, что представляет собой отношение следования, а также импликация в этих системах, а тем самым и смысл высказываний их языков. Это означает, что их нельзя, по существу, рассматривать как дедуктивные теории; неясно, по крайней мере, в каких случаях и для каких целей они могут применяться в качестве аппарата дедукции.
Задача состоит теперь в том, чтобы проследить, как происходит переход от классических систем к Е hEQ. Однако в допустимом объеме данной работы мы ограничимся выяснением лишь того, как и за счет чего возникает понятие релевантного следования и интенсиональной импликации для формул языка классической логики высказываний5. Ясно, что этого недостаточно для уяснения смысла всех утверждений системы Е, однако уже в этом фрагменте системы Е, - называемом первопорядковым ее фрагментом, - выявляются наиболее важные философские моменты, связанные с интересующим нас развитием классической логики до релевантной.
4 Таким же образом необходимость и возможность могут быть определены в упомянутой системе 54. Но R и RQ не являются модальными системами - в них доказуема А —»((4 —> 4) —> 4). Таким образом, модальный характер систем связан с ограниченной перестановочностью характеристик, которой соответствует закон (4 —> ((В —> С) —>
Правилу неограниченной перестановочности в системах R и RQ соответствует закон (4 —> (Я —> Q) -> (Я —> (4 —> Q), который имеет место и в классической логике. Именно ограниченная перестановочность (антецедентов или членов последовательностей в характеристиках зависимости) указывает на то, что - во всех своих вхождениях в формулах системы - является языковым аналогом метаязыкового отношения следования.
5 Подробнее см.: Войшвилло Е.К. Философско-методологические аспекты релевантной логики. М., 1988.
297
§ 45-46. Источники парадоксов классического следования и импликации.
Понятие релевантного следования для формул классической пропозициональной логики
Итак, мы сосредоточим внимание на моментах перехода от классической логики к ее релевантной модификации, ограничиваясь ее пропозициональной частью. Интересующее нас понятие релевантного следования для формул классической логики мы можем получить, исходя из известного и, по-видимому, даже общепринятого понятия следования.
Во-первых, является общепринятой характеристика отношения следования между высказываниями как не зависящего от значения дескриптивных терминов высказываний. Иначе говоря, речь идет об отношении между высказываниями, зависящем лишь от их логических форм, или, точнее, об отношении между логическими содержаниями высказываний. Во-вторых, важная и всеми логиками признаваемая характеристика отношения А (= В состоит в том, что при любых значениях дескриптивных терминов в логических формах А и В, В истинно всегда, когда истинно А. Естественно поставить вопрос, что именно обусловливает сохранение истинности от посылок к следованию? Выяснение его приводит к выявлению третьего существенного момента в характеристике рассматриваемого отношения: отношение А |=В имеет место, если и только если логическое содержание В составляет часть логического содержания А. Именно из этих характеристик следования исходил В. Аккерман, являющийся по существу основоположником релевантной логики, а вслед за ним А. Андерсон и Н. Белнап.
В этом - суть понятия релевантного следования в логике. Задача состоит в том, чтобы уточнить само понятие логического содержания и найти формальный критерий наличия указанного отношения между логическими содержаниями высказываний.
Далее предлагаются решения этих вопросов, исходя из естественного истолкования логического содержания как семантической информации, которую представляет логическая форма высказывания. Определяя отношение логического следования как отношение между высказываниями по информации, мы приходим сразу к возможности обобщения понятия этого отношения за счет обобщения самого понятия информации. В результате возможно выделение ряда видов отношений логического следования (имеющих место в некоторых известных логических системах). В качестве основного вида выделяется при этом отношение релевантного следования. Одним из видов естественно оказывается и отношение классической логики, причем выясняется источник парадоксальности этого понятия логического следования. В связи с выяснением источников парадоксов выявляется также источник подразумеваемого в классической логике понимания логического содержания высказываний и, главное, неправильной представляется имеющая в ней место трактовка высказываний, выражающих законы логики, как тавтологичных и универсально общезначимых. Кстати, именно это по*
298
нимание закона привело, как нам представляется, к неудаче многочисленных попыток, предпринятых логиками в последнее время, решить известную сформулированную Аристотелем проблему будущих случайных событий.
Изменение указанных представлений само по себе уже имеет важное философско-методологическое значение. К этому надо добавить выявление нового вида законов логики - типа А В, где интенсиональная импликация (аналог логической связки "если..., то", употребляемой в выражениях законов науки). Немаловажно и то, что система Е и ее кванторное расширение EQ, представляющее собой формальную экспликацию понятия релевантного следования, являются естественными системами паранепротиворечивой логики. Применение указанных систем в качестве логического аппарата при построении специальных теорий не ведет - при возникновении в них противоречий - к их тривиализации и к выведению из специальных аксиом теорий логически истинных утверждений, не имеющих к ним отношения по содержанию. К этому надо добавить, что в рамках вновь возникающего языка становится возможной адекватная экспликация ряда понятий логики научного познания (закона науки, физической модальности, научного объяснения, диспозиционных предикатов, контрфактических высказываний и др.), для которой оказался принципиально непригодным язык классической логики в силу экстенсионального характера и парадоксальности его следования и импликации. Экстенсиональность его выражается в том, что в нем нельзя определить необходимость, нельзя выразить высказывания о необходимых связях. И, кстати, парадоксальность его материальной импликации (о) возникает в силу неправомерной трактовки высказываний вида А о В именно как о некоторой связи между ситуациями А и В. При точном истолковании этого высказывания как А V В все законы классической пропозициональной логики оказываются также и законами системы Е.
Перейдем теперь к конкретному рассмотрению того, каким образом осуществляется переход от классического следования к релевантному (для формул того же языка классической пропозициональной логики). Начнем с классического понятия следования, также определяя его как отношение между высказываниями по информации. (А КВ, если и только если информация В составляет часть информации А; поскольку В и А логические формы, т.е. формулы языка логики высказываний без интерпретации их дескриптивных терминов, они представляют собой логические формы высказываний, и информация их характеризует логические содержания соответствующих высказываний, т.е. содержания самих этих логических форм). Отличие этого понятия от понятия релевантного следования будет состоять лишь в трактовке самой этой информации.
Будем исходить из обычного представления об информации высказывания как мере обусловленного принятием этого высказывания за истину ограничения некоторого исходного множества возможностей М. Эта трактовка находит отражение в оценке меры информации выска
299
зывания А как величины: -£logP(A). Однако для логических целей, в частности для определения логического следования, знание меры информации высказывания не является обязательным. Здесь задача состоит лишь в умении устанавливать для высказываний А и В, составляет ли информация одного часть информации другого. При этом имеется в виду ’’однородная", если можно так выразиться, информация этих высказываний, т.е. информативность относительно некоторого (одного и того же) множества возможностей М. Учитывая это, можно ограничиться трактовкой информации высказывания А - /(А, М) как пары (МЛ, М ), указывающей именно на то, какое множество и до какого ограничивает А. Чем больше информация высказывания А, тем уже МА. Отсюда ясно, что утверждение "информация высказывания В составляет часть информации А относительно одного и того же множества возможностей М" равносильно "МА С Мв”.
Поскольку нас интересует логическое содержание высказываний и мы ограничиваемся пропозициональным языком, то при определении информации /(А, М) в качестве М должно быть взято множество возможных миров или соответствующего ему множества описаний состояний (о.с.), которые могут быть образованы из множества пропозициональных переменных	входящих в А, или из любого расши-
рения этого множества, которое необходимо при сравнении по информации нескольких высказываний с различным составом переменных. При этом имеется в виду понятие описания состояния, принятое в классической логике (§ 18).
Добавление новых переменных при образовании о.с., не входящих в А, не влияет на характеристику информативности А. Удобно иметь одно и то же М для определения информативности всех высказываний. Для этого в каждом о.с. может использоваться (счетное) бесконечное множество переменных ...Урт> .... тогда Л/, конечно, - также бесконечное множество о.с. Оно в дальнейшем и имеется в виду. Информация А в этом случае может рассматриваться как безотносительная величина (вместо (/(А, М) можно писать /(А))).
Итак, имеем для классического следования:
А \=В	/(В, М) часть /(А, М) <=> С Мв).
Используя известное математическое определение отношения включения между множествами, с учетом того, что МА (аналогично для Мв) есть множество таких миров из Л/, в которых истинно А, т.е. МА = {а: Т(А/а), а е М}, имеем в конечном счете:
D/l.A |=B<=>Va еМ(Т(А/а)5ПВ/аП.
"Из А следует В, если и только если для любого мира из множества миров М, если в нем истинно А, то истинно В”.
6 Знак "<=>" употребляется как сокращение для "если и только если".
300
Условия истинности, как и ложности формул относительно мира a (T(A/a) и F(A/a)), получаются из табличных определений с добавлением
базисного пункта Т	Pi е а и F <=> Pi g а. При этих до-
бавлениях, как известно, входные строки истинностных таблиц можно рассматривать именно как описания возможных миров.
Введенное отношение |=- это одно из определений классического следования с его парадоксами: "из противоречия следует все, что угодно", так как 1(A) для противоречивого А есть (0М), и "логически истинное высказывание есть следствие любого высказывания", поскольку 1(A) для логически истинного А есть (М, Л/), поскольку закон логики А, будучи тавтологией, не выделяет из М никакого подмножества, т.е. МА = М.
Чтобы подойти к понятию релевантного или интенсионального следования, надо выяснить источники парадоксальности следования в классической логике. Они в классическом понятии о.с., а именно в том, что в классических описаниях возможных миров принимаются определенные предпосылки онтологического характера относительно возможных миров, а именно: считаем, что для любого р, и для любого мира a не может быть р, и Pi одновременно и обязательно имеет место р,- или Pi. Иначе говоря, к условиям истинности фактически добавляются положения
(а)1(д еа)\/ l(p. ea)
(б) реа)\/ Pi ea,
где "I - метазнак, заменяющий "неверно, что"7.
Нетрудно усмотреть, что (а) есть так называемый онтологический закон противоречия, а (б) - онтологический закон исключенного третьего. В силу первого всякий возможный мир a - непротиворечив, а в силу второго - он также является определенным, или полным, относительно любой пропозициональной переменной. Эти утверждения относятся, очевидно, к ситуациям, которые подразумеваются под р, и Pi в определенных мирах.
При строгом построении семантики пропозициональной логики эти положения должны быть особо выделены, поскольку в самих определениях условий истинности в терминах возможных миров не предполагаются какие-либо характеристики этих миров, кроме того, что при
употреблении понятий Т и F осмысленными являются утверждения Pi g a, Pi g a.
7 Вообще, все константы "с точкой" -	- это логические константы форма-
лизованного семантического метаязыка; их определения совпадают с определениями соответствующих констант в языке логики предикатов.
301
Таким образом, семантическую основу классической логики составляют следующие определения условий истинности и ложности формул:
Df2.
a
l' F Pi e a
2.	T(A & В/a) <=> T(A/a) и T(B/a)
2'. F(A & B/a) <=> F(A/a) или F(B/a)
3.	T(A. \> B/d) <=> T(A/a) или T(B/a)
3'. F(A V B/d.) <=> F(A/a) и F(B/d)
4.	T(lA/a) <=> F(A/a)
4'. F(lA/a) <=> T(A/a)
5.	Условия относительно миров a:
(a)	VaVp(i (p e a) V 1 (p e a))
(6)	VaVp(pea\/PGa)
6.	Формуль^ вида А о В рассматриваются как сокращения для
1а v-b.
Нетрудно доказать, что указанные предпосылки (а) и (б) равносильны соответственно следующим предпосылкам гносеологического характера для любой формулы А:
(а') 1r(A/a)vir(A/a)	(б') Т(А /a) V F/A/а).
Добавление предпосылок (а) и (б) к определениям логических связок означает, что, определяя информацию высказываний, мы имеем в виду фактически не логические их содержания, не ту информацию, которую содержит логическая форма (А) высказывания сама по себе, а так называемую привнесенную информацию, т.е. такую информацию, которую А добавляет к имеющимся у нас знаниям о мирах, а именно к знанию, которое представляет совокупность (Г) указанных предпосылок (а) и (б).
Если Г явно или неявно содержит информацию А, то информация А с учетом знаний Г -/(А/Г) - является нулевой. Так именно и обстоит дело с законами классической логики. Они не несут никакой информации именно потому, что все то, что они выражают, содержится уже в Г, т.е. в понятии классического о.с., с учетом определений условий истинности и ложности формул. Именно в силу этого возникает пред-ставление об их тавтологичности. Действительно, если А - закон лО' гики, то его информация {МА, М) есть {М, М), поскольку закон логики не выделяет никакого собственного подмножества из множества всех о.с. В силу этого А является следствием любого высказывания В-
302
Отрицание закона логики ТА имеет информацию (0, М Это значит, что "]а содержит всю возможную информацию, которая может быть выражена в данном языке, и поэтому из него следует все, что угодно.
Определяя логическое следование как отношение между высказываниями по информации, мы должны выявить информацию высказываний самих по себе, без учета каких-либо знаний относительно возможных миров. Необходимо отвлечься от всех наших знаний о возможных мирах. Это означает (в этом как раз и состоит переход к релевантной логике): мы не должны теперь apriori принимать, что в действительности невозможно pz и р-, и в любом случае имеется /?, или pi. Иначе говоря, необходимо исключить из определений условий истинности высказываний предпосылки (а) и (б) относительно миров. В таком случае описание возможного мира надо понимать просто как множество, элементами которого являются формулы, представленные пропозициональными переменными, или отрицания таковых, допуская таким образом неполные (даже пустые) и противоречивые о.с., например, {pi}, {рг), {РьРгЬ {Р/> Pi} и т.п. - назовем их обобщенными описаниями состояний. Обобщенное описание мира а есть любое подмножество множества {pj, рх, р2, р2,..., рп, рп,...}.
Ясно, что теперь допускаются возможности для мира а для каждого высказывания А: Т(А/а) и Т("|А/а), 1Т(1а / а) и "]Т(А / а) и, конечно, нормальные состояния Т(А/а) и 1 Т(А / а) или 1Т(А/а) иГ(Ъ/а)8.
Пусть ЭИ есть множество всех обобщенных описаний состояний (очевидно, что множество классических о.с. М = ЭП{а, б}, т.е. множество обобщенных описаний состояний, удовлетворяющих условиям (а) и (б)), тогда, сохраняя формально все прежние приведенные выше определения, но заменяя в них М на Sfl и исключая из Dj2 условия (а) и (б), мы получаем понятие следования как отношения между логическими содержаниями высказываний. Это именно то релевантное следование, которое мы старались получить. Таким образом, имеем:
Df 3. А |= В <=> I(B, 2R) часть Z( А, 33?) <=>
J rel
<=>ЭИЛ сЭПв <=> Vae3H(T(A/a)5T(B/a)).
Это понятие является непарадоксальным, поскольку для любого высказывания А ЭИЛ не равно ЗИ и не является пустым множеством. Последнее означает, что каждая высказывательная форма А теперь
8 Это истолковывают зачастую как указание на многозначность (четырехзначность) релевантной логики. Однако в действительности мы здесь имеем те же значения Истина и Ложь, что и в классической логике, а четыре указанные возможности возникают просто в силу отвлечения от упомянутых гносеологических предпосылок о несовместимости Истины и Лжи и от того, что для каждого высказывания в любом мире имеет место Истина и Ложь. Причем, как будет отмечено дальше, эти предпосылки не отбрасываются, не исключаются вообще, а лишь не принимаются во внимание при определении информативности высказываний.
303
имеет какую-то ненулевую информацию и ни одно высказывание не содержит всю возможную (выразимую в данном языке) информацию. Информационными при этом оказываются и выражения законов логики. Каждая формула классической пропозициональной логики А, представляющая собой логический закон, выделяет некоторое собственное подмножество множества W, т.е. содержит определенную информацию относительно Ж Конечно, законы могут различаться по информации. Так, закон (р V Р) менее информативен, чем (pV P)&(<7V
Высказывания, выражающие логические законы, перестают быть универсально истинными. Как и все высказывания, представляющие собой законы науки, законы логики истинны лишь в тех мирах, в которых имеют место отражаемые ими ситуации или отношения. Что касается законов классической логики, то их можно определить теперь как высказывания, истинные во всех возможных мирах, удовлетворяющих условиям (а) и (б), или, что равносильно этому, как высказывания, истинные во всех возможных мирах, полных относительно множества переменных этого высказывания (т.е. таких, в которых содержится с отрицанием или без отрицания каждая переменная указанного множества).
Как и в классической логике, наряду с понятием следования некоторого высказывания В из А, может быть определено отношение релевантного следования некоторого высказывания В из какого-то множества высказываний Г. Содержательно наличие такого отношения означает, что информация В составляет часть совокупной информации высказываний Г. Ясно при этом, что если В следует из какого-то множества высказываний, то оно следует из более широкого множества высказываний. Наконец, если В следует из конъюнкции некоторых высказываний, то В следует и из множества членов этой конъюнкции. Эти соображения приводят к следующему определению:
Dy4. Г (=В Е.Т.Е. в Г имеются высказывания А, ..., Ат, т > 1 такие, что (А! & ... & Ат) |= В (для какой-нибудь расстановки скобок в
т
конъюнкции). Ясно, что (Aj & ... & Ат) |= П	Указанное
/=1
т
пересечение Q Я)?Л. ни в каких случаях не является пустым.
Возможно обобщение понятия следования для формул классической логики за счет обобщения понятия информации и тем самым возможных миров. Выше мы выделили два вида логического следования - классическое и релевантное. Но есть, однако, и другие. К релевантному следованию мы пришли из классического, изменив понятие информативности высказываний и соответственного возможного мира за счет исключения условий (а) и (б). Можно исключить только (б), сохранив (а), т.е. допускать не определенные, но непротиворечивые о.с. Возмож-
304
но, наоборот, оставить (б), исключив (а). Можно далее, исключив (а) и (б), ввести условие (в):
Va(3 р(р е a & р g а) 5 Vp(p g а V р е а))
"Для любого мира а верно, что если он противоречив относительно какой-нибудь пропозициональной переменной, то он - полон, т.е. для любой переменной содержит ее или ее отрицание"9.
Говорят иногда, что связанное с обобщением о.с. допущение неопределенных и в особенности противоречивых миров, которые Я. Хин-тикка, например, называет "возможными невозможными мирами", страдает искусственностью и порождает "представления о некоей экстравагантности релевантной логики по сравнению с логикой классической"10. Однако не обязательно считать такие миры реально возможными положениями дел. Это некоторые абстрактные возможности, связанные с абстрагирующей деятельностью мышления. Допущение "ненормальных" миров, как мы видим, является следствием отвлечения от предпосылок (а) и (б), необходимого для выявления собственного содержания высказывания, а отнюдь не их отрицания.
Что касается противоречивых миров, то они, по существу, допускаются и в рассуждениях в рамках классической логики, когда в качестве посылок в выводе допускают противоречие. Очевидно, что принятие некоторого утверждения в качестве посылки рассуждения означает именно допущение того, что оно истинно. Однако здесь (в классической логике), как отметил Е.А. Сидоренко, имеет место явная непоследовательность в рассуждениях. Она проявляется, например, в выводе закона "из противоречия следует все, что угодно" (А & "U), А, 1А, (А V В), В. Заключение В на последнем шаге получается по правилу разделительного силлогизма: "из "]А, (А V В) следует В". Но, применяя это правило, исходят из того, что из двух имплицитно содержащихся в его посылках возможных случаев - "Та и А" и "Та и В" -первый невозможен в силу принципа непротиворечия. Таким образом, принимая "1А и А" за истину, считают также, что это невозможно. Релевантная логика устраняет такую непоследовательность, запрещая применять правило разделительного силлогизма как раз в силу наличия в его посылках обеих указанных возможностей. И, естественно, что, допуская "Та и А", она допускает также и миры, в которых может реализоваться эта возможность. Таким образом, от классической логики релевантная логика отличается не "экстравагантностью", а требованием последовательности в рассуждениях, она исходит из того, что при допущении рассуждения с противоречивыми посылками необходимо
9 Возможны, очевидно, и другие понятия следования. Здесь выделены такие отношения следования, которые имеют место в существующих логических системах. Это, кроме классической логики и системы Е, известная система Хао-Вана, двойственная ей, и импликативный фрагмент трехзначной логики Лукасевича.
10 Сидоренко Е.А. Релевантная логика и теория следования / Автореф. докт. дисс. М., 1985.
20 Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев, кн. I	•	305
также допускать и миры, в которых могут быть истинны эти посылки. Следствием чего и является запрещение применения правила разделительного силлогизма.
Однако исключение этого правила вообще из рассуждений не является обязательным. Необходимо исключать лишь те случаи его применения, где проявляется упомянутая непоследовательность. Это случаи, когда в процессе рассуждения из некоторого А выводится А V В, т.е. применяется правило введения дизъюнкции, а затем происходит исключение этой дизъюнкции по указанному правилу разделительного силлогизма с использованием посылки |А. Локализация и исключение таких случаев могут быть осуществлены в системах натурального вывода. Речь идет, по существу, о некоторой нормализации выводов, о запрещении циклических ходов мысли, возникающих, когда вслед за применением правила введения некоторой константы применяется правило ее исключения. Конечно, вывод по правилу дизъюнктивного силлогизма является релевантным лишь при учете того, что в дополнение к его посылкам используется металогический принцип непротиворечия, т.е. предпосылка (а) о непротиворечивости миров. Кстати, здесь еще раз подтверждается мысль о том, что допущение противоречивых миров - при анализе отношения логического следования в рамках релевантной логики - не означает отрицания принципа непротиворечия и даже ограничения его. Таким образом, становится возможной разумная реабилитация правила разделительного силлогизма и тем самым снимаются упреки, которые часто адресуются релевантной логике за то, что она отвергает правила, широко применяемые в естественных рассуждениях.
Некоторые авторы не считают правомерным называть противоречивые и неполные о.с. описаниями состояний, поскольку ситуации, которые должны были бы им соответствовать, невозможны, и для них предпочитают термин "setup" (структуры, конструкции). Мы же стремимся показать, что они могут быть естественным образом введены как результаты обобщения понятия классических о.с., т.е. что допущение противоречивых о.с. и соответствующих возможных миров - не просто технический прием, они представляют собой именно миры, к которым могут относиться высказывания.
Существенно заметить, что никакие законы классической логики не запрещают противоречивые миры (и потому не ясно даже, в силу чего их следует считать невозможными). Кажется, что их запрещает известный закон непротиворечия 1(А & ТА). Однако он для любой формулы А лишь выделяет такие миры, в которых истинно А или ложно А, т.е. равносилен закону исключенного третьего. Действительно,
Л1(л&1л^) <=>	« F(%) V F(% «
4	2Z	4Z
4
(цифры под знаком <=> указывают на пункты в Dy2, согласно которым осуществляются эквивалентные преобразования).
306
Непротиворечивости миров в классической логике (в обычных аксиоматических формулировках) требует только правило modus ponens. При допущении противоречивых миров оно не гарантирует истинности заключения при истинности посылок.
Наряду с существенным для теории и практики научного познания уточнением понятий логического следования релевантная логика приводит и к некоторым важным изменениям понимания природы логического знания. К их числу относится прежде всего уточнение понятия логического содержания высказываний. Оно выявляется не только за счет отвлечения от конкретных значений дескриптивных терминов высказываний, как это обычно представляется, но также и за счет отвлечения от всех предпосылок онтологического характера, а также соответствующих гносеологических предпосылок относительно возможных миров.
Существенно и то, что релевантная логика указывает на возможность и даже необходимость освобождения логики от некоторых предпосылок нелогического характера, а именно от указанных выше онтологических предпосылок (а) и (б) и гносеологических (а') и (б'). Отвлекаясь от этих предпосылок в понимании возможных миров, релевантная логика обеспечивает возможность оперирования противоречивыми и неопределенными знаниями. Это, очевидно, имеет немаловажное значение в практике научного познания.
Несомненно важное значение с философской точки зрения имеет выяснение в релевантной логике информативности законов логики,
И наконец, существенное методологическое значение имеет то, что здесь - в релевантной логике - выявляются законы нового вида, а именно законы видов А —> В и 1(А —> В). Однако рассмотрение их природы связано уже с переходом к рассмотрению системы Е в целом. В рассматриваемом же первопорядковом фрагменте можно ввести по определению законы вида А —> В (имея в виду в качестве А п В формулы ЯКЛВ)11:
Dj5. |=(А -+В)& А \=В,
Знак "|=" здесь следует, конечно, отличать от того, что употребляется в классической логике, - по существу, здесь подразумевается |= ; |= (А —> В) означает, что А —> В является логическим законом, rel
общезначимой формулой в смысле определения РДТаким образом,
11 Формулы ЯКЛВ не содержат и называются формулами нулевого порядка; отношение же следования между ними и соответствующая ему интенсиональная импликация характеризуются как первопорядковые, и потому рассматриваемый фрагмент Е носит название "первопорядков". Правда, в переводе с английского имеется в виду не порядок,* а степень - "degri", но русский перевод "первостепенный" не годится, поскольку приобретает уже другой смысл. С другой стороны, "порядок" здесь следует отличать от значения этого слова при различении систем первопорядкового и второпорядкового исчисления предикатов.
20*	307
интенсиональная импликация оказывается языковым обозначением релевантного следования.
Следует заметить, что данная эквивалентность доказуема в формальной семантике для любых формул А и В системы Е при указанном выше понимании отношения следования, распространенного на любые формулы, и в принятом в ней определении общезначимости формул вида А —> В,
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие....................................................... 3
Введение ПРЕДМЕТ И ЗНАЧЕНИЕ ЛОГИКИ
§ 1.	Основные характеристики процесса познания.................... 6
§ 2.	Логика как наука............................................ 17
§ 3.	Краткий очерк истории логики ............................... 28
§ 4.	Значение логики............................................. 31
Часть I ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЯЗЫКА (ЯЗЫК КАК СРЕДСТВО ПОЗНАНИЯ)
Глава 1
Язык как знаковая система........................................ 35
§ 5.	Понятие и виды знаков. Основные аспекты языка............... 35
§ 6.	Основные характеристики знаков.............................. 36
Глава 2
Семантические и синтаксические категории языковых выражений...... 44
§ 7.	Основные семантические категории............................ 44
§ 8.	Основные синтаксические категории........................... 55
§ 9.	Функциональный анализ языковых выражений.................... 61
Глава 3 Принципы употребления знаков..................................... 64
§ 10.	Принципы однозначности, предметности и взаимозаменимости... 64
§11.	Парадоксы замены и их причины. Способы употребления имен и виды контекстов....................................................... 67
'	Часть II
ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ЯЗЫКИ И ТЕОРИЯ ДЕДУКЦИИ.
СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЛОГИКА: КЛАССИЧЕСКАЯ И РЕЛЕВАНТНАЯ
Глава 4 Язык классической логики......................................... 74
§ 12.	Основные особенности языка классической логики предикатов первого порядка (ЯКЛП1) по сравнению с естественными языками.......<..... 74
§ 13.	Язык классической логики предикатов первого порядка. Синтаксис.	79
§ 14.	Семантика ЯКЛП1 ........................................... 83
§ 15.	Язык классической логики высказываний. Синтаксис и семантика...	94
30.9
Глава 5
Классическая логика. Общая характеристика.............................. 97
§ 16.	Классическая логика как вид символической логики. Вопрос о множественности систем символической логики............................. 97
§ 17.	Основные понятия классической логики............................ 104
§18.	Основные понятия классической логики в семантике возможных миров.	112
§ 19.	Схемы законов логики и правила рассуждений. Метод эквивалентных преобразований...................................................... 118
Глава 6
Классическая логика высказываний. Алгебра высказываний................ 123
§ 20.	Разрешающие процедуры для логики высказываний (истинностные таблицы , нормальные формы, аналитические таблицы)..................... 123
§21.	Совершенные нормальные формы.................................... 132
§ 22.	Связь совершенных нормальных форм с истинностными таблицами......	139
§ 23.	Функциональный анализ формул ЯКЛВ. Понятие суперпозиции функций и функциональной полноты ЯКЛВ......................................... 142
§ 24.	Булева алгебра и ее виды. Алгебра логики........................ 148
§ 25.	Некоторые специальные методы алгебры высказываний. Сокращенные нормальные формы.................................................... 156
§ 26.	Минимизация выражений функций истинности. Минимальные нормальные формы............................................................... 170
Глава 7
Логические исчисления. Виды рассуждений и понятие формализации рас-суждений ............................................................. 174
Глава 8
Исчисление высказываний. Аксиоматические построения. Системы гильбертовского типа......................................................... 181
§ 27.	Системы с конечным числом аксиом..............................   181
§ 28.	Понятие вывода и доказательства в системах гильбертовского типа..	186
§ 29.	Основные свойства систем исчисления высказываний классической логики................................................................ 193
§ 30.	Системы гильбертовского типа с бесконечным числом аксиом (системы со схемами аксиом)..................................................... 196
§31.	Метатеорема дедукции............................................ 199
§ 32.	Дальнейшие упрощения систем исчисления как аппарата дедукции. Система ИВ2А........................................................ 211
§ 33.	Прямые и непрямые правила вывода. Правила основные и производные... 216
Глава 9
Исчисление высказываний. Натуральные системы логических исчислений (системы натурального вывода) ............................................ 226
§ 34.	Система натурального вывода, непосредственно связанная с семантикой. Система ИВСС........................................................ 226
§ 35.	Система натурального вывода ИВ2Н................................ 234
310
§ 36.	Эвристические принципы введения вспомогательных допущений. Эквивалентность натуральных и аксиоматических систем. Способы построения выводов и доказательств.............................................. 237
§ 37.	Построение выводов с учетом зависимости формул вывода от допущений. Система выводов с характеристиками зависимости - ИВ2НХЗ.............. 245
Глава 10
Исчисление высказываний. Системы секвенциального вывода (системы генце-новского типа), их связь с аналитическими таблицами.................. 252
Глава 11
Классическая логика предикатов первого порядка....................... 255
§ 38.	Метод эквивалентных преобразований. Предваренная нормальная форма 255
§ 39.	Аналитические таблицы для формул ЯКЛП1 - полуразрешающая процедура .............................................................. 259
Глава 12
Исчисление предикатов первого порядка................................ 262
§ 40.	Аксиоматическая формулировка исчисления предикатов............. 262
§ 41.	Натуральные системы исчисления предикатов...................... 267
§ 42.	Секвенциальное исчисление предикатов (без правила сечения, система кангеровского типа).................................................. 284
§ 43.	Исчисление предикатов с равенством (натуральная система)....... 285
Глава 13
Понятие о языке, логике и исчислении предикатов второго порядка...... 288
Глава 14
Релевантная логика................................................... 291
§ 44.	Общая характеристика релевантной логики. Основные системы (релевантные модификации классической логики)............................. 291
§ 45-	46. Источники парадоксов классического следования и импликации. Понятие релевантного следования для формул классической пропозициональной логики.................................................... 298
Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Г.
В 65 Логика как часть теории познания и научной методологии (фундаментальный курс). Кн. I. Учебное пособие для студентов философских факультетов и преподавателей логики. -М.: Наука, 1994.-312 с.
ISBN 5-02-013514-3
Настоящее учебное пособие представляет собой систематическое изложение обширного курса логики, включающее логический анализ языка как знаковой системы, символическую логику (классическую и релевантную) (кн. I), а также формы и приемы познания в естественном языке: понятия и отношения между ними, суждения, определения, теории, силлогистику, правдоподобные умозаключения (теорию индукции), научные объяснения и теорию аргументации (кн. II).
Для студентов философских факультетов и преподавателей логики.
0301060000-218
042(02)-94
ББК 87.4
Без объявл.
Учебное издание
Войшвилло Евгении Казимирович Дегтярев Михаил Григорьевич
ЛОГИКА КАК ЧАСТЬ ТЕОРИИ ПОЗНАНИЯ И НАУЧНОЙ МЕТОДОЛОГИИ (ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ КУРС)
КНИГА ПЕРВАЯ
Учебное пособие для студентов философских факультетов и преподавателей логики
Руководитель фирмы "Наука - философия, социология, психология и право"
Е.А. Жукова
Редакторы Л.В. Пеняева, Е.А. Жукова Художник В.В. Медведев Художественный редактор Н.Н. Михайлова Технический редактор З.Б. Павлюк Корректоры Р.В. Молоканова, Р.С. Алимова
ПР № 020297 от 27.11.91
Н/К
Подписано к печати 27.07.94.
Формат 60 х 90 1/16. Гарнитура тайме.
Печать офсетная.
Усл.печ.л. 20.0. Усл.кр.от. 20,3. Уч.-изд.л. 21,7.
Тираж 3000 экз. Тип. зак. 263
Ордена Трудового Красного Знамени издательство "Наука"
117864 ГСП-7. Москва В-483. Профсоюзная ул., 90.
Санкт-Петербургская типография № 1 РАН
199034, Санкт-Петербург В-34,9-я линия, 12