И. Г. ПЕТРОВСКИЙ
ЛЕКЦИИ
ОБ УРАВНЕНИЯХ
С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ,
ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образовании РСФСР
в качестве учебника
для государственных университетов
Ш
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1961

Петровский Иван Георгиевич.
Лекции об уравнениях с частными производными.
Редакторы А. II. Ьаева и А. С, Калашников.
Технический редактор С. Н. Ахламов. Корректор Л. О. Срчейко,
Сдано в набор 28/1V 196 1 г. Под п. к печ. 3/VIII 1961 г. Бумага 84 х 108г/ав
Физ. печ. л. 12,5. Условн. печ. л. 20,5. Уч.-изд. л. 20,03. Тираж 22 000 экз.
Т-08726. Цена книги 75 коп. Заказ JSia 1754.
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-7 1, Ленинский проспект, 15.
Первая Образцовая типография имени А. А„ Жданова
Московского городского совнархоза.
Москва, Ж-54. Валовая, 28.
Отпечатано с готовых матриц в 1-й тип. МПС. Зак. 1611.
Москва, Б. Переяславская, 46.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию 5
Из предисловия к первому изданию 5
Из предисловия ко второму изданию 6
Глава I. Введение. Классификация уравнений 7
§ 1. Определения. Примеры 7
§ 2. Задача Коши. Теорема Ковалевской 22
§ 3. Обобщение задачи Коши. Понятие о характеристике 38
§ 4. О единственности решения задачи Коши в области
неаналитических функций 49
§ 5. Приведение к каноническому виду в точке и класси-
классификация уравнений второго порядка с одной неизве-
неизвестной функцией 59
§ 6. Приведение к каноническому виду уравнения с ча-
частными производными второго порядка по двум неза-
независимым переменным в окрестности точки 63
§ 7. Приведение к каноническому виду системы линейных
уравнений с частными производнымл первого порядка
по двум независимым переменным 73
Глава И. Гиперболические уравнения 84
Раздел I
ЗАДАЧА КОШИ В ОБЛАСТИ НЕАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 8. Корректность постановки задачи Коши 84
§ 9. Понятие об обобщенных решениях 88
§ 10. Задача Коши для гиперболических систем с двумя не-
независимыми переменными 92
§ 11. Задача Коши для волнового уравнения. Теорема о един-
единственности решения 102
§ 12, Формулы, дающие решение задачи Коши для волно-
волнового уравнения 107
§ 13. Исследование формул, дающих решение задачи Коши 113
§ 14. Преобразования Лоренца .118
§ 15. Математические основы специальной теории относи
тельности .128
§ 16. Обзор основных фактов в теории задачи Коши и пек о
торые исследования для общих гиперболических ур;ч>-
нений \ . 131

ОГЛАВЛЕНИЕ
4
Раздел II
КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ТГЛ
§ 17. Введение 145
§ 18. Единственность решения смешанной задачи 148
§ 19. Непрерывная зависимость решения от начальных
условий • 151
§ 20. Метод Фурье для уравнения струны 157
§ 21. Обший метод Фурье (предварительное рассмотрение) 163
§ 22. Общие свойства собственных функций и собственных
значений 168
§ 23. Обоснование метода Фурье 191
§ 24. Применение функции Грина к задаче о собственных
значениях и к обоснованию метода Фурье 203
§ 25. Изучение колебаний мембраны 215
§ 26. Дополнительные сведения о собственных функциях и
о разрешимости смешанной задачи для гиперболиче-
гиперболических уравнений 225
Глава III. Эллиптические уравнения 237
§ 27. Введение 237
4 28. Свойство максимума и минимума и его следствия . . , 239
§ 29. Решение задачи Дирихле для круга 244
§ 30. Теоремы об основных свойствах гармонических функций 253
§ 31. Доказательство существования решения задачи Дирихле 262
^ 32. Внешняя залача Дирихле 272
§ 33. Вторая краевая задача 276
§ 34. Теория потенциала 280
§ 35. Решение краевых задач с помощью потенциалов . , . 297
§ 36. Метод сеток для приближенного решения задачи
Дирихле 316
§ 37. Обзор некоторых результатов для более общих эллип-
эллиптических уравнений 324
Глава IV. Параболические уравнения 337
§ 38. Первая краевая задача. Теорема о максимуме и мини-
минимуме 337
§ 39. Решение первой краевой задачи для прямоугольника
методом Фурье 340
§ 40. Задача Коши 344
§ 41. Обзор некоторых дальнейших исследований уравнений
параболического типа 349
Дополнение 353
§ 42. Решение первой краевой задачи для уравнения тепло-
теплопроводности методом сеюк 353
§ 43. Замечания о методе сеток 367

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
8 настоящее издание внесен ряд изменений и дополнений;
наиболее значительные из них относятся к §§ 9, 16, 24,
26, 29, 30, 37, 41, 43. Добавлены также новые задачи.
Работу по подготовке этого издания провели О. А. Олейник
и А. С. Калашников. Л. А. Чудов заново написал § 43.
Я очень им благодарен.
3 мая i960 г. И. Петровский
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Эти лекции я читал несколько раз для студентов-матема-
студентов-математиков механико-математического факультета Московского
государственного университета. При подготовке к печати
я несколько дополнил их.
При работе над этой книгой большую помощь оказали
мне К. С. Кузьмин, А. Д. Мышкис, 3. Я. Шапиро, Б. М. Ле-
Левитан и М. И. Вишик. К. С. Кузьмин предоставил записки
моих лекций. 3. Я. Шапиро оказала особенно большую по-
помощь: она проредактировала рукопись, целиком написала
§§ 22—25 и некоторые части других параграфов. Без ее
помощи эта книга еще долго не была бы готова к печати.
А. Д. Мышкис и М. И. Вишик прочитали всю рукопись
и сделали ряд весьма ценных замечаний. Кроме того,
А. Д. Мышкис написал §§ 34, 35 и часть § 4. Б. М. Ле-
Левитан написал п. 3 из § 26. Всем им я глубоко благодарен.,
9 апреля 1950 г. £/. Петровский

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Большую работу по подготовке этого издания провела
О. А. Олейник. В частности, ею заново написаны §§ 23, 28,
42, 43 и некоторые части других параграфов, добавлены
новые задачи. Я очень благодарен Ольге Арсеньевне Олей-
Олейник за все это. Я также благодарен академику В. И. Смир-
Смирнову, А. Д. Мышкису, О. А. Ладыженской и Л. А. Чудову
за их ценные замечания.
2 августа 1953 г. И. Петровский

ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Определения. Примеры
1. Уравнение с частными производными от неизвестных
функций uv и2% ... , Us называется уравнением /г-ro по-
порядка, если оно содержит хотя бы одну производную /z-ro
порядка и не содержит производных более высокого порядка.
Порядком системы уравнений с частными производными назы
вается наибольший из порядков входящих в нее уравнений.
Уравнение с частными производными называется линейным,
если оно линейно относительно всех неизвестных функций и
их производных. Уравнение с частными производными назы
вается квазилинейным, если оно линейно относительно всех
старших производных от неизвестных функций, Так, например,
уравнение
дид2и , ди д*и , ,/2п
u и
— квазилинейное уравнение второго порядка относительно
неизвестной функции и. Уравнение
— линейное уравнение второго порядка относительно неизвест-
ной функции и. А уравнение
— не линейное и не квазилинейное относительно этой функции.
Решением уравнения с частными производными назы-
вае!ся всякая система функций, которая, будучи подставлена

8 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1
в уравнение вместо неизвестных функций, обращает это урав-
уравнение в тождество по независимым неременным. Аналогично
определяется решение системы.
В этом курсе мы будем заниматься главным образом ли-
линейными уравнениями второго порядка с одной неизвестной
функцией. Такими уравнениями являются, например, сле-
следующие:
1Ч да д2и , д2и , д2а
1) — = —- 4 -\ «уравнение теплопровод-
ot дх\ дх\ дх\
ности»;
оч д2и д2и , д*и , д2и
Оч д2и , д2и , д2и л п
3) -4 == о — «уравнение Лапласа».
дх\ дх\ дх\
Многие физические задачи приводят к уравнениям с ча-
частными производными и, в частности, к только что указан-
указанным уравнениям.
2. Пример 1. Уравнение теплопроводности.
Пусть мы имеем тело G, температура которого в точке
(а:,, хг, х3) в момент t определяется функцией u(t, xlt xti xs).
Будем предполагать, что функция u(ty xx, х2, хг) имеет
непрерывные производные второго порядка по переменным
х1У х2, xz и непрерывную производную по t.
Вывод уравнения, описывающего процесс распространения
тепла, основан на следующем законе.
Пусть поверхность S расположена внутри тела G; на
поверхности S определен непрерывно меняющийся вектор
нормали п. Количество тепла q, проходящее через поверх-
поверхность 5 в сторону нормали п за промежуток времени от
t% до tv определяется следующей формулой:

Здесь -g производная в точке (xv x2, xz) поверхности S
по направлению нормали п; внутренний интеграл берется по
поверхности S.

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПРИМЕРЫ 9
Положительная функция k(xlt л;2, л:3) называется коэф-
коэффициентом внутренней теплопроводности тела в точке
(*р *2> *|)"
Формула A,1) равносильна тому, что через бесконечно
малую площадку dS за бесконечно малый промежуток вре-
времени dt протекает количество тепла, равное
dq = — k(xl9 xv x3)^
В таком виде обычно формулируется физический закон
теплопроводности.
Если площадка S лежит на границе тела и окружающей
среды, то справедлив следующий закон. Пусть u(t, xv хг, *,),
как и прежде, обозначает температуру тела О в точке
(xv x%t хг), a ul(tt xv x2, хг) — температуру в произволь-
произвольной точке (лГр х%, х9), лежащей вне тела. Тогда количество
тепла, входящего в тело через площадку 5 на границе тела
за время от tx до tv определяется формулой
? = J{SS*i^ xi,xl)(ul-u)ds}dt, (l',l)
где внутренний интеграл распространен по рассматриваемой
поверхности S; функции их и и определяются на S предель-
предельным переходом снаружи, соответственно изнутри, тела. В stovi
случае kx(xv х2У хг) называется коэффициентом внешней
теплопроводности тела по отношению к данной среде.
Мы рассмотрим тело, изотропное в отношении теплопро-
теплопроводности, т. е. предположим функцию &(#,, хг, хг) не зави-
зависящей от направления нормали к поверхности 5 в точке
(xv xty xz). Кроме того, предположим, что эта функция имеет
непрерывные первые производные по всем координатам.
Для вывода уравнения теплопроводности выделим внутри
тела О некоторый объем D, ограниченный гладкой поверхно-
поверхностью 5, и рассмотрим изменение количества тепла в это.л
объеме за промежуток времени от tx до t2.
Через поверхность S но формуле A,1) входит количество
тепла, равное
|{Jj £} . B,1)

10 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1
где -р означает производную по направлению внешней нор-
нормали поверхности к 5.
С другой стороны, это же количество тепла можно опре-
определить через изменение температуры в объеме D за проме-
промежуток времени от tl до tr Изменение количества тепла
равно
— u(tl9 х1Э xt, xt)\dxxdxtdxt, C,1)
где р(лгр jc2, a:,) — плотность, a c(xv х2, х3) — теплоем-
теплоемкость тела в точке (xlt x2, х3) *), интеграл распространен
по области D. Приравняв B,1) и C,1), получим:
р[и(г2, xv x%i xJ—uif^Xv х2, хг)\ dx% dx2 dx3 =
По формуле Остроградского
Интеграл в левой части равенства D,1) можно записать
*) Значение физических характеристик тела в определенной
точке Р (таких, как, например, плотность, теплоемкость и т. п.)
понимается всегда как некоторый предел. А именно, берется после-
последовательность кубов с центром в точке Р со стороной, стремящейся
к нулю. Рассматривается отношение соответствующей величины для
каждого куба к объему этого куба и берется предел этого отноше-
отношения, когда сторона куба стремится к нулю. Например, плотностью
в точке называется предел отношения массы куба к его объему.
Аналогично поверхностной- плотностью в точке пластинки назы-
называется предел отношения массы квадратика с центром в этой точке
к его площади. Линейной плотностью в точке стержня называется
предел отношения массы отрезка с центром в рассматриваемой
точке к длине отрезка. Аналогично определяются теплоемкость,
теплопроводность в точке и т. и.

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПРИМЕРЫ 11
в виде
£л-**■**■}*•
так как и (t2, xv xv xs) — u(tiy xx, x2, x3) = I -^- dt.
t,
Таким образом, для любого объема D внутри тела G
справедливо равенство
и
№
"> ж
U D <=i
ИЛИ
Так как функции, стоящие под знаком интеграла, непрерывны,
объем D и промежуток времени (/,, t2) произвольны, то для
любой точки (хр х2, х$) тела G и для любого момента вре-
времени t должно выполняться равенство
да
Это уравнение называется уравнением теплопроводности^
вообще говоря, неоднородного, но изотропного тела. Если
тело однородно, то
v x2, xs) = const, c(xlt x2, xz) — const,
и уравнение E,1) обращается в уравнение
3
ди у» д2и
2

12 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
k
Заменяя —t на f и обозначая t' опять через t, мы приве-
приведем это уравнение к виду
jdHд2и , д2и . д2и 7П
* dxj * дх\ * дх\ ' { ' '
Уравнения E,1) и G,1) имеют много решений. Чтобы
выделить из всей совокупности их решений какое-нибудь
одно, надо поставить дополнительные условия, играющие ту
же роль, что начальные условия в обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнениях. Такими дополнительными условиями
чаще всего являются так называемые граничные условия,
т. е. условия, заданные на границе той области О простран-
пространства (л;,, х2, л:,), где мы ищем решение уравнения с частными
производными, и начальные условия, относящиеся к одному
какому-нибудь моменту времени.
Физически ясно, что, во-первых, знание температуры тела
в некоторый момент времени и теплового режима на границе
тела должно полностью определять температуру в последую-
последующее время и, во-вторых, что сам этот тепловой режим может
быть задан различным образом. Если область G совпадает
со всем пространством, то можно доказать, что ограниченное
решение уравнения теплопроводности при t^>t0 единствен-
единственным образом определяется одними начальными условиями —
значениями функции и (t, х1У xv хг) в момент t = t0. Для
ограниченной области G мо^но, например, задать значение
температуры в каждой точке тела в некоторый момент t = t0
и задать значение температуры в каждой граничной точке
тела при t^>t0. Оказывается, этих условий достаточно,
чтобы единственным образом определить ограниченное реше-
решение при *>*0 и (х1У хг, x3)gG.
Вместо того чтобы задавать u(t, xv xv хг) на гра-
границе О при t^>t0, можно для определения единственного
решения уравнения теплопроводности задать на этой границе
-^ — производную по внешней нормали к границе области G
от искомой функции и. К такой математической задаче мы
придем, если будем изучать температуру внутри тела G при
условии, что нам всегда известно количество тепла, отда-
отдаваемого в любой промежуток времени (tv tj от внешнего
пространства к поверхности тела G через любую площадку S

§ 1J ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПРИМЕРЫ 13
на границе тела. Оно должно равняться количеству тепла,
передаваемого от площадки S внутрь тела; последнее коли-
количество тепла по формуле A,1) равно
дп
где k^>0 — коэффициент теплопроводности в рассматривае-
рассматриваемой граничной точке.
Таким образом, зная закон теплоотдачи для каждой пло-
площадки 5 границы области О, можно найти значения -^ на
границе G. В частности, если нет теплообмена через гра-
ницу, то на ней — = 0.
Можно, наконец, в качестве граничного условия задать
при t^>t0 на границе G значения линейной комбинации
где kx—коэффициент теплопроводности при переходе от
окружающего пространства к телу О, a k — коэффициент
внутренней теплопроводности тела. Эти коэффициенты счи-
считаются известными. К такой математической задаче мы при-
придем, если будем изучать температуру внутри тела G при
условии, что нам известна температура ил среды, окружаю-
окружающей тело G. Тогда, составляя баланс количества тепла, про-
проходящего через произвольный участок границы G, мы согласно
формулам A,1), A\1) найдем, что:
1. Количество тепла, проходящего за промежуток вре-
времени (tl9 t2) через площадку 5 от окружающего пространства
к поверхности тела, равно
^ (ttx _ U) dS dt.
h ~s~
2. Количество тепла, переданного за это же время внутрь
тела от куска 5 на его поверхности, равно
и
(*>0).

14 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
Так как (tv tfa) и S произвольны, то должно быть
В частности, если их = 0, то это условие обращается
в условие
*£+*..-«>.
Допустим, что температура в каждой точке (л;,, хг, х3)
внутри тела С установилась, т. е. что она не меняется при
увеличении t. Тогда — =^0 и уравнения E,1) и G,1) обра-
обратятся соответственно в уравнения
Для определения u(xt, хг> х3) теперь не надо уже задавать
никаких начальных условий. Достаточно задать одни гранич-
граничные условия, которые должны быть независимыми от времени.
Физически это легко представить себе так. Если граничные
условия не зависят от времени, то, какую бы начальную тем-
температуру мы ни задали, температура и(/, xv х2У лг3) в каж-
каждой точке (л;,, л:2, xs) тела стремится к некоторому пределу
u(xl9 x2, xs) при t—кх>. Предельная функция u(xtJ x2, xs)
удовлетворяет стационарным уравнениям (8,1) и прежним, не
зависящим от ty граничным условиям.
Задача определения решения какого-нибудь из уравне-
уравнений (8,1) по его значениям на границе рассматриваемой
области называется задачей Дирихле или первой краевой
задачей.
Наряду с распространением тепла в пространстве часто
приходится рассматривать изменение температуры вдоль
стержня или в пластинке. Если при этом толщина однород-
однородного стержня такова, что температуру в точках одного и
того же поперечною сечения можно считать одинаковой, и
не происходит теплообмена со средой через боковую поверх-
поверхность стержня, ТД) температура и будет зависеть только от
времени t и *<ЗдЯEй пространственной координаты х.' Уравне-

-§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПРИМЕРЫ 15
ние, которому будет подчинена функция и (t, х) в этом слу-
случае, при соответствующем выборе единиц измерения имеет вид
ди д2и ,Q n
Тому же уравнению (9,1) удовлетворяла бы температура
u(t, хх, х2У х3) внутри трехмерного тела, если бы она зави-
зависела только от одной пространственной координаты, напри^
мер от хг=х. Так будет, если температура тела во всех
точках каждой плоскости х1 = const одинакова. Аналогично,
изучая распространение тепла в однородной теплоизолирован-
теплоизолированной плоской пластинке, мы придем к уравнению
# + (Ю1)
3. Пример 2. Уравнения равновесия и коле-
колебания мембраны. Мембраной мы называем натянутую
пленку, которая сопротивляется растяжению и не сопротив-
сопротивляется изгибу, т. е. изменению формы, не вызывающему
изменения площади произвольно взятого участка мембраны;
работа внешней силы, вызывающей изменение площади неко-
некоторого участка, пропорциональна этому изменению. Положи-
Положительный коэффициент пропорциональности 7 не зависит ни
от формы этого участка, ни от его положения. Он назы-
называется натяжением мембраны.
Заметим для дальнейшего, что работа внутренних сил
упругости равна по абсолютной величине работе внешних
сил, вызывающих изменение площади, и противоположна ей
по знаку.
Пусть в состоянии покоя мембрана расположена в пло-
плоскости (xv х2) и имеет форму некоторой плоской области G
с границей L.
Предположим, что на мембрану действует некоторая сила,
плотность которой в точке (xu x2) равна /(л:,, х2) (см. сноску
на стр. 10) и направление которой перпендикулярно к пло-
плоскости (xlt x2). Под действием этой силы мембрана про-
прогнется и примет форму некоторой поверхности, уравнение
которой мы запишем в виде
u = u(xt, xt).
Ось и перпендикулярна к плоскости (xv x2).

16 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
Мы выведем уравнение, которому удовлетворяет функция
i> хг)> ПРИ следующих ограничениях. Во-первых, мы пред-
предположим, что в интересующем нас положении равновесия
поверхность мембраны не сильно изогнута, т. е. близка
к куску плоскости. Другими словами, предположим, что про-
ди да „
изводные т— и -т— малы, и будем в наших рассуждениях
пренебрегать высшими степенями этих производных. Во-вто-
Во-вторых, мы предположим, что под действием силы f(xx, х2)
точки мембраны двигаются только по перпендикулярам к пло-
плоскости (л:,, х2), так что их координаты (х1У х2) при этом не
меняются.
Вывод уравнения будет опираться на одно из основных
положений механики — принцип возможных перемещений,
согласно которому в состоянии равновесия сумма элементар-
элементарных работ всех действующих на систему сил при любом воз-
возможном (допускаемом наложенными связями) перемещении
должна равняться нулю*).
Для вычисления элементарных работ найдем работу, про-
произведенную силами, действующими на мембрану, при переме-
перемещении ее из первоначального плоского состояния в положение,
задаваемое функцией u(xlt x2). Работа силы, плотность
которой равна /(a:,, ,v2), определяется интегралом
о
так как на элемент мембраны dxx dx2 действует сила
/(jcp x2)dxldx2. Изменение площади мембраны при этом пере-
перемещении равно
а работа внутренних сил при этом изменении площади равна
- r$j (/l+< + <- 0 dxt йхг.
Разложим подынтегральную функцию в ряд по степе-
степеням и! и и и, воспользовавшись предположением о малости
*) См Г. К. Суслов, Теоретическая механика, Гостехиздат, 1946.

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПРИМЕРЫ 17
этих величин, отбросим старшие члены разложения. При этом
для работы внутренних сил упругости получим выражение
--г Ш<+ <
Поэтому работа всех действующих на мембрану внутрен-
внутренних сил и силы / при перемещении мембраны из положения
покоя в некоторое положение и(хх, х2) равна
x>dx>- ОМ)*)
Произведем теперь некоторое возможное перемещение
мембраны, т. е. добавим к и(х1У х2) некоторую функцию
8и(х,, х2). Работа всех действующих сил при этом переме-
перемещении равна вариации интеграла A1,1), которую нетрудно
подсчитать. Имеем
ЬЛ = Л (и + Ьи) — А (и) =-
Она должна быть равной нулю согласно принципу возмож-
возможных перемещений.
Интегрируя первые два слагаемых по частям, получим
J J ( «
x dx, =
откуда
ЬЛ = \ — Т-^-Ьи ds -\-\\ (ГД# 4- /) budx. dx9, A3,1)
J on J J
L О
где через Aw обозначена сумма вторых производных
*) Интеграл A1,1) равен с точностью до знака потенциальной
энергии мембраны в положении равновесия. Таким образом, мы
можем сказать также, что наш вывод основан на том, что в поло-
положении равновесия потенциальная энергия всякой механической си-
системы минимальна.
2 И. Г Петровский

18 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
д2п • д2и ди
-~т \ Г» аГ означает производную по направлению внеш-
вх* дх\ оп
ней нормали к границе L. Как было указано выше, ди— воз-
возможное перемещение, т. е. перемещение, допускаемое свя-
связями, наложенными на мембрану. Эти связи накладываются
обычно на край мембраны, поэтому функция Ьи (х1У х2) во
внутренних точках мембраны является произвольной непре-
непрерывной функцией. Следовательно, из равенства нулю ЬЛ можно
сделать вывод, что для положения равновесия функция
u(xlt х2) в любой внутренней точке удовлетворяет уравнению
ГДи + / = 0. A4,1)
Это уравнение называется уравнением Пуассона.
Что же касается связей, то они сказываются на гранич-
граничных условиях, которые могут быть весьма разнообразны.
Мы отдельно рассмотрим наиболее часто встречающиеся
случаи.
I. Закрепленная мембрана. Пусть край мембраны
закреплен вдоль некоторой пространственной кривой, про-
проектирующейся в /,. Если параметрические уравнения L суть
л:]=х1E), x2 — x2(s), то мы требуем, чтобы мембрана про-
проходила через некоторую кривую x^=zxA(s)t x2 = x2(s),
u — y(s). При этом единственным ограничением, наложенным
на Ьиу будет 8и = 0 на L. Благодаря этому ограничению
в формуле A3,1) исчезает криволинейный интеграл.
Полученная задача—найти решение уравнения Пуассона
с граничным условием u = <f(s) на L — называется задачей
Дирихле для этого уравнения.
При / = 0 уравнение Пуассона обращается в уравнение
Лапласа, с которым мы уже встречались в предыдущем
примере.
П. Свободная мембрана. Если мы не накладываем
никаких ограничений на положение мембраны, то ее край
может свободно перемещаться по вертикальной боковой по-
поверхности цилиндра с основанием L. В этом случае Ьи про-
произвольно как внутри, так и на границе G, и мы получаем
для уравнения A4,1) условие на L
ди п
0

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПРИМЕРЫ 19
III. Часто встречается случай, когда кроме силы /, дей-
действующей на внутренние точки мембраны, к ее краю при-
приложена вертикальная сила с линейной плотностью Д, так что
на элемент ds границы действует сила fxds. Если мы ищем
положение равновесия мембраны при этих условиях, то к ин-
и
тегралам A1,1) и A2,1) мы должны прибавить ^({flda\ds
и соответственно \/х buds.
Криволинейный интеграл в формуле A3,1) имеет в этом
случае вид
и мы получаем для уравнения Пуассона краевое условие вида
7^_/1 = 0
дп У1
на линии L. Эта задача носит название второй краевой за-
задачи (задачи Неймана), если /, не зависит от и.
IV. Иногда рассматривается еще так называемое «упругое
закрепление мембраны», т. е. случай, когда сила, действую-
действующая на край мембраны, пропорциональна отклонению:
В этом случае краевое условие для уравнения Пуассона при-
принимает вид Т *? ku = 0.
дп
Переходим теперь к выводу уравнения движения мембраны.
Мы будем при этом рассматривать только малые и только
поперечные колебания мембраны. Малость колебаний озна-
ди да -
чает малость и, -^— и ^—, и она уже была нами использо-
использована при выводе формулы A1,1), а поперечными называются
колебания в направлении перпендикуляра к плоскости (х11 х2).
Таким образом, с изменением времени t координаты (xv x2)
фиксированной точки мембраны не изменяются, меняется только
функция
u = u(tt xv xz). 2*

20 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [гл. 1
Скорость точки с координатами (л:,, х2) равна "' ' *" *2';
д2и (/, хл, хЛ ft ^
ускорение равно -^—=-. Чтобы получить уравнение
движения мембраны, нужно по принципу Даламбера учесть
силу инерции мембраны.
Плотность этой силы равна —p(*i> *2) 5^> гДеР(*ц*а) —
поверхностная плотность мембраны в точке (хх, х2). Мы по-
получим уравнение поперечных колебаний мембраны, если вурав-
д2и
нении A4,1) заменим второе слагаемое на —?~ш:
Возможные краевые условия при этом остаются те же,
что и для уравнения A4,1), с той разницей, что задаваемые
на границе функции могут теперь зависеть от времени. Чаще
всего встречаются задача о мембране, край которой закреп-
закреплен вдоль линии L:u (t, xl9 х2) = 0 на Z,, и задача о свобод-
^ ди (t, xv х2) г\ г
ной мембране: —-т-11—^ = 0 на L.
on
Как и в случае уравнения теплопроводности, физически
очевидно, что одни граничные условия не могут единственным
образом определить движение мембраны, так как оно суще-
существенно зависит от начального положения и начальной ско-
скорости. Действительно, в дальнейшем будет показано, что
решение уравнения A5,1) определяется однозначно, если
задать начальные условия
а*('„ *„*,) = ¥,<- -vix-i. -./-- 06,1)
и граничные условия какого-либо из рассмотренных типов.
Теоретически можно рассматривать так называемую не-
неограниченную мембрану, т. е. колебания всей плоскости (х1Ух2),
подчиненные уравнению A5,1). К такой задаче мы можем
прийти, если рассматриваемая мембрана настолько велика,
что влиянием границы можно пренебречь.
В этом случае, как будет показано в дальнейшем, доста-
достаточно одних начальных данных, чтобы определить единст-
единственное решение уравнения A5,1). Если же мы для конечной
мембраны зададим только условия A6,1), то этим решение

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПРИМЕРЫ 21
однозначно определится не для всех значений t, г для каждой
точки (л;,, х2) только в некотором интервале (—tt, ^,), зави-
зависящем от точки. При этом величина этого интервала тем
меньше, чем ближе точка (xv х2) к границе области G.
Если р постоянно, то заменой независимых переменных
уравнение A5,1) можно свести к уравнению
джа_д*а , д2и 17
<^-^ + < A7Л)
Рассматривая малые колебания газа (звуковые волны),
можно при некоторых физических предположениях показать,
что функция и (/, хх, х2, xz), характеризующая отклонение
от нормального давления в точке (xv х2У х3) в момент вре-
времени ty удовлетворяет уравнению
1 д2и д2и , д2и , д2и /1 r i \
где а>0 — постоянная (скорость звука).
Уравнение вида A8,1) называется волновым уравнением
в пространстве; многие другие колебательные процессы (на-
(например, электромагнитные) также описываются уравнением
A8,1). Уравнение- A7,1) называется волновым уравнением на
плоскости.
В одномерном случае (колебание струны, колебание газа
в трубке) соответствующая функция и удовлетворяет урав-
уравнению
Это уравнение называется уравнением колебаний струны.
Здесь р {х) — линейная плотность в точке х> а Т—натя-
Т—натяжение струны. Начальные и граничные условия для уравне-
уравнений A8,1) и A9,1) вполне аналогичны соответствующим
условиям для уравнения A5,1).
Отметим еще раз, что уравнения A5,1), A8,1), A9,1)
получаются только, если пренебречь величинами ( ^ j по
сравнению Мтр-] • Если не сделать этого (не предполагать
малости колебаний), то уравнения движения соответствующих
упругих тел будут гораздо более сложными, нелинейными
уравнениями.

22 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1
Замечание 1. Если рассматривать t тоже как про-
пространственную координату, то функция u(t, *,, х2), описываю-
описывающая колебания мембраны, будет определяться в цилиндре Ц
с образующими, параллельными оси Ot и проходящими через
границу области G, над которой находится мембрана. Рас-
Рассмотренная выше задача состояла в определении значений
этой функции внутри цилиндра по некоторым условиям на
боковой поверхности цилиндра Ц и по значениям u(t0, хх, х2)
и u't(t0, jc,, х2), когда точка (х1Ух2)^О находится на осно-
основании цилиндра. При такой трактовке этой задачи начальные
условия при t = t0 нельзя уже противопоставлять граничным
условиям. И те и другие становятся краевыми условиями,
заданными на границе цилиндра Ц.
Замечание 2. Когда мы рассматривали уравнение тепло-
теплопроводности или уравнение колебаний в изотропной среде,
в эти уравнения входили выражения
д2и . д2и д2и , д2и , д'ги /orv 1Ч
или . B0,1)
дх]~дх\ дх\~ дх\ ' дх\ V ;
Так бывает всегда в линейных уравнениях второго порядка,
написанных для однородной изотропной среды двух или трех
измерений, потому что выражения B0,1), называемые опера-
операторами Лапласа, примененными к функции и, или просто
лапласианами, суть единственные, с точностью до постоян-
постоянного множителя, линейные комбинации вторых частных про-
производных от и, которые остаются инвариантными при любом
ортогональном преобразовании, т. е. при повороте ортогональ-
ортогональных координатных осей в двумерном или в трехмерном про-
пространстве.
§ 2. Задача Коши. Теорема Ковалевской
1. Постановка задачи Коши. Пусть дана следую-
следующая система уравнений с частными производными относи-
относительно неизвестных функций uiyu2^...iuN по независимым
переменным t> х1У х2% ... , хп:
A,2)

§ 2] ЗАДАЧА КОШИ. ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОЙ 23
Как видно из написанных уравнений, здесь для каждой
из неизвестных функций щ существует свой наивысший по-
порядок п{ производных от этой функции, входящих в рассмат-
рассматриваемую систему. Независимое переменное t играет особую
роль среди прочих независимых переменных, так как, во-первых,
среди производных наивысшего порядка п( от каждой функции
ui% входящих в данную систему, должна содержаться произ-
дПЧ1;
водная —^, и, во-вторых, система разрешена относительно
этих производных. Обычно в физических задачах роль t играет
время, a xv хг,...,хп — пространственные координаты.
Число уравнений равно числу неизвестных функций.
При некотором значении t = t0 задаются значения («на-
(«начальные значения») неизвестных функций и{ и их производ-
производных по t до порядка п£—1. Пусть при t = U
~£=<tlk)(xl9xt,...,xn) (ft = Of 1,2, ...,л,— 1). B,2)
Все функции <f}fc) (xl9 xt9 ... , хп) заданы в одной и той же
области О0 пространства (xv х2, ... , хп). Производной
нулевого порядка от функции ut- мы считаем саму функ-
функцию иг
Задана Коши состоит в том, чтобы найти решение
системы A,2), удовлетворяющее при t=t0 начальным
условиям B,2).
Решение ищется в некоторой области О пространства
(ty xv ... , хп), прилегающей к области О0 на гиперплоскости
t = toi где заданы условия B,2).
Частным случаем задачи Коши является задача об опре-
определении колебаний неограниченной однородной мембраны по
начальным условиям, упомянутая в предыдущем параграфе:
определить решение уравнения
д'ги д2а , dhi
если при t = t0 заданы
u(t0, x19 x2) = y{0i (xv x2) (начальное отклонение),
tv xv x%) = <f{X)(xl9 x2) (начальная скорость).

24 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1
Если А/=1, /2,= 1, я = 0, сформулированная прежде
задача Коши обращается в следующую задачу: найти такое
решение и (t) обыкновенного дифференциального уравнения
чтобы и (to) = uo. Эта задача подробно изучается в теории
обыкновенных дифференциальных уравнений.
2. Функция F(гл г2, ... ,zm) от т комплексных перемен-
переменных называется аналитической в окрестности точки
z°u 2г> ••• iz°m, если она разлагается в степенной ряд
сходящийся при достаточно малых \z- — z?|. Легко доказать,
что при этом F(zt, z2, .. . ,zm) имеет в точке z°u z\,... >z°m
производные всех порядков и
Пусть cp,^ (a:,, x2, ... , xn) — начальные данные задачи
Коши для системы A,2) (см. формулу B,2)). Введем сокращен-
сокращенные обозначения для производных этих функций в некоторой
°
точке (х°и х°21 ... ,х°п):
.. .дх
(/= 1, 2, ... , Д/; *, + *, + . .. +ЛЯ = * < л,).
Имеет место следующая фундаментальная
Теорема Ковалевской. £с./Ш все функции Ft ана-
аналитичны в некоторой окрестности точки (?0, х°и ... ух°пу ...
• • •» ^/.fto, *г, ••• , *я» •••) w вСб> функции ?f} аналитичны в окрест-
окрестности точки (х°и х°2, . . . , #!!), wo задача Ноши имеет
аналитическое решение в некоторой окрестности точки

§ 2] ЗАДАЧА КОШИ. ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОЙ 25
(/°, х\, х\у . •. , х°п) и притом единственное в классе аналити-
аналитических функций.
3. Доказательство теоремы Ковалевской мы дадим для
произвольных линейных систем. Задача Коши для таких систем
легко сводится к задаче Коши для линейных систем первого
порядка с помощью приема, который мы, для простоты изло-
изложения, проиллюстрируем на примере одного уравнения вто-
второго порядка
2Л(/ * * *) +
д2и
*„ ... %хп\ C,2)
где aif = afi, biy c> /—аналитические функции своих аргумен-
аргументов в окрестности точки (/°, х°и . . . ,xl).
Задача Коши для этого уравнения состоит в нахождении
решения, удовлетворяющего следующим начальным условиям:
и (Л х1$ ... ,*„) = ¥„(*„ ... ,хи), \ D2)
«/ (/°, хр ... , хп) = (f, (агр ... , хп)у )
где ср0 и срж—аналитические функции в окрестности точки
{х\у x°z, ... , л:^)- Без ограничения общности можно считать,
что
f = хх = ... = хп = О,
так как случай произвольных ^°, х°и ... , х°п сводится к этому
заменой независимых неременных, которая не меняет вид
уравнения.
Если функция u(ty xv .. ., хп) удовлетворяет уравнению
C,2) и начальным условиям D,2), то очевидно, что функции

26 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
удовлетворяют уравнениям
E,2)
тг=дй <fe=1-2 я>. <5>2>'
g = «. E.2Г
и начальным условиям
и (О, х1Э ... , хп) = ср0 (xt, ... , *„), F,2)
и0 @, а:^ ... , а:п) = <рх (а:,, ... , аги), F,2)'
и (О г г \ — дУо (*i> • • • * х"] (fi 2V
Докажем обратное утверждение: если функции и, и01
uv . . . ,ип удовлетворяют уравнениям E,2), E,2)', E,2)" или,
короче, E,2) в некоторой области G пространства (t> xl%
х2, ... ,хп), прилегающей к области Go пространства (а:^
х„..*,хп), и начальным условиям F,2), F,2)', F,2)*
в области О0, то во всей области G функция и (/, х19 х2У ..., хп)
удовлетворяет уравнению C,2) и начальным условиям D,2).
Действительно, из соотношения E,2)" следует, что всюду
в области G
ди
Подставляя -~ вместо и0 в правую часть E,2)', получим:
duk dhi д Г Пи Л
ж=шгк или т Ь ~ ^J= °- G>2)
Поэтому величина
ди
ие зависит от ^ во всей области Gf

§ 2] ЗАДАЧА КОШИ. ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОЙ 27
По условию F,2)" при / = 0 в области О
да
Поэтому из G,2) следует, что при всех t в области G
„-£•>. ,8,2,
Подставляя ио = -^ к uk = -^- в E,2), мы получаем, что
уравнение C,2) удовлетворяется всюду в G.
Итак, мы показали, что система E,2) эквивалентна урав-
уравнению C,2), если при t = 0
При произвольных же начальных условиях система E,2) в не-
некотором смысле богаче решениями, чем уравнение C,2), так
как произвольные начальные условия для решения и, и0,
#i» • • • у ип не обязательно должны быть связаны соотноше-
ди
ниями иь = ^—.
Задача 1. Покажите, что задачу Коши для любой
системы A,2) можно свести к задаче Коши для некоторой
системы первого порядка вида A,2).
*) Строго говоря, из предыдущих рассуждений следует только,
что
да
U
не зависят от t на каждом отрезке прямой, параллельной оси Ot,
целиком лежащем внутри О. Следовательно, nk — -г— =0 в той части
ft
области (/, которая покрывается целиком лежащими внутри U и пере-
пересекающими О0 отрезками прямых, параллельных оси /. Но так как
рассматриваемые функции аналитичны, то по известной теореме
теории аналитических функций отсюда следует обращение их в нуль
во всей области О.
Очевидно, задачу Коши для уравнения C,2) можно свести к за-
задаче Коши для системы E,2) указанным способом, не предполагая
аналитичности коэффициентов уравнения и начальных функций, если
область U выпукла по ty т. е. прямая, параллельная оси t, nepecs-
цает границу О не более чем в двух точках.

28 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. !
Задача 2. Покажите, что задачу Коши для нелинейной
системы первого порядка вида A,2) можно дифференцирова-
дифференцированием уравнений системы, введением новых неизвестных функ-
функций и дополнительных уравнений свести к задаче Коши для
квазилинейной системы уравнений первого порядка, т. е. для
системы, линейной относительно всех производных.
4. Таким образом, задача Коши для линейного уравнения
второго порядка C,2) свелась к задаче Коши для линейной
системы E,2) первого порядка. Совершенно так же можно
любую систему вида A,2) свести к системе уравнений пер-
первого порядка, разрешенной относительно производных по t
от всех неизвестных функций. Поэтому мы докажем теорему
Ковалевской для произвольной линейной системы, которую
можно записать в виде A,2), если мы докажем ее для произ-
произвольной линейной системы первого порядка вида
j=lfc=l * J=l
(/=1,2, ...,W)
с аналитическими коэффициентами при произвольных анали-
аналитических начальных условиях
ui{0,xv ... ,xn) = ifl(xl,xt, ...,xn) A0,2)
(/=1,2, ... ,Л0-
Случай любых аналитических функций у. легко сводится
к случаю, когда все
ifi(xlt ... ,хп)е=0.
Для этого вместо прежних неизвестных функций и£ (t, х1У..., х )
мы введем новые неизвестные функции
*/(*,*„ ... ,xn) = ui(t, х1У ... ,*„) — ¥/(*,, ... ,*„). A1,2)
Функции vt будут удовлетворять системе уравнений:
N п /V
(A) VJ I V
N

§ 2] ЗАДАЧА КОШИ. ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОЙ 29
вполне аналогичной системе (9,2), и начальным условиям
vi@,xl,xt,...,xn) = 0. A3,2)
Доказав существование решения задачи Коши для системы
A2,2) с нулевыми начальными условиями, мы докажем тем
самым и разрешимость исходной задачи.
Для сокращения записи мы будем считать, что уже исход-
исходные функции Ui(t, xv ... , хп) удовлетворяют начальным
условиям
а,@, хп ...,*„) == 0. A4,2)
5. Докажем сначала единственность решения задачи Коши
для системы (9,2) при начальных условиях A4,2) в классе
аналитических функций вблизи точки О с координатами / —0,
хл = 0, ... , л;п = 0, т. е. докажем, что ни в какой окрест-
окрестности этой точки не существует двух различных аналитиче-
аналитических решений системы (9,2), удовлетворяющих при £=0
одним и тем же начальным условиям A4,2). Аналитические
в окрестности начала координат функции мД/, xt, ... ,хп)
вблизи начала разлагаются в степенные ряды по t, xv ... , хп.
Коэффициент alkokl ... *„ при tk°Xil ... xknn в разложении функ-
функции u^ty xv ... ,хп) равен
Мы докажем единственность решения задачи Коши, если по-
покажем, что начальные условия A4,2) определяют единствен*
ным образом коэффициенты разложения функций uit удовле-
удовлетворяющих системе (9,2), в степенные ряды по t, xt, ... ухп
или, что все равно, если мы покажем, что эти условия един-
единственным образом определяют значения всех производных от
ut в точке О с координатами t = xt= ... =хп = 0. Будем
определять эти производные последовательно. Начальные
условия определяют единственным образом значения в точке О
всех производных вида
Все эти производные равны нулю, так как тождества A4,2)
можно дифференцировать по *,, хг, ... , хп. Допустим, что

30 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
решение задачи Коши существует. Подставим вместо и* в урав-
уравнения (9,2) функции, составляющие это решение. Продиффе-
Продифференцируем все полученные тождества kx раз по*,, Л, раз по
х2, .. . , kn раз по хп. Тогда в левых частях получатся
производные вида
а в правых — производные по л;,, х|,...,хй от неизвестных
функций и коэффициентов уравнения, т. е. величины, одно-
однозначно определенные в точке О уравнениями и начальными
условиями. Полученные тождества определяют в точке О
значения производных вида A6,2) (одно дифференцирование
по t).
Продифференцируем каждое из тождеств (9,2) один раз
по t, &j раз по хр . . . , кп раз по хп. Тогда в правых частях
получатся выражения, составленные из производных от и( вида
A6,2) и A5,2) и производных от коэффициентов а$\ Ь^ и с^
В левых же частях получатся производные вида
(два дифференцирования по t). Так как мы уже доказали,
что производные вида A6,2) и A5,2) единственным образом
определяются в точке О уравнениями (9,2) и начальными
условиями A4,2), то отсюда следует, что единственным обра-
образом определяются и все производные A7,2) в точке О. Про-
Продолжая этот процесс, мы найдем, таким образом, что все
производные от uf определяются в точке О единственным
образом уравнениями (9,2) и начальными условиями A4,2).
Но значения всех производных аналитической функции
// '/,#,,... txn) в фиксированной точке О однозначно опре-
определяют значения коэффициентов степенного ряда по t, xv... ,хп,
в который эта функция разлагается в окрестности О, и по-
потому вполне определяют значения самой этой функции в не-
некоторой окрестности точки О. Таким образом, два аналити-
аналитических решения системы (9,2) с одними и теми же начальными
условиями A4,2) обязательно совпадают в некоторой окрест-
окрестности начала координат. Тем самым доказана единственность

§ 2] ЗАДАЧА КОШИ. ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОЙ 31
решения задачи Коши для системы (9,2) в классе аналити-
аналитических функций.
6. В п. 5 мы показали, что начальные условия вполне
определяют коэффициенты разложения функций и{ в степен-
степенные ряды по ty jt,, ... , хп. Для доказательства существования
решения задачи Коши нам достаточно доказать, что степенные
ряды с коэффициентами, определенными в п. 5, сходятся в не-
некоторой окрестности точки О. В самом деле, если эти ряды
сходятся, то представляемые ими аналитические функции
u{(t, а:,, . .. , хп) равны нулю в точке О вместе со всеми их
частными производными по л;,, х21 ... , хп (см. A5,2)). Следо-
Следовательно, они тождественно по хг, х2, . .. , хп равны нулю
при t = 0 и потому эти функции удовлетворяют начальным
условиям A4,2). Что эти функции удовлетворяют системе (9,2),
следует из того, что по самому способу построения этих
функций в точке О левые части уравнений (9,2), если в них
подставить определенные таким образом ип вместе со всеми
их производными по t, х1У .. . , хп, совпадают со значениями
в этой точке правых частей этих уравнений и соответствую-
соответствующих их производных. Следовательно, левые части уравнений
тождественно равны правым в некоторой окрестности начала
координат.
Для доказательства сходимости степенных рядов, полу-
полученных нами для функций и(, воспользуемся методом ма-
мажорант.
7. Мажорантой (или мажорирующей функцией) для функ-
функции ср(/, а:,, . .. , хп), аналитической в некоторой окрестности
точки (/°, х\,. ♦. , х%), называется всякая функция ф(/, *,,..., хп),
аналитическая в этой окрестности, у которой все коэффи-
коэффициенты разложения в степенной ряд по t—1°, xx—х°и ...
...,хп — Хп положительны или равны нулю и не меньше
абсолютных величин соответствующих коэффициентов разло-
разложения функции f(ty л:,, ... ,хп).
Перенесем начало координат в точку (t°, х°и ... ,х„) и по-
построим для функции ср(/, jtj, . . . , хп), аналитической в окре-
окрестности начала координат, мажоранту специального вида,
которой мы будем пользоваться в дальнейшем.
Пусть
^ ...*п"- A8,2)

32 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
Ряд в правой части абсолютно сходится в некоторой точке
t = aQ1 xl = alt ... ,хп = ап, где все |а,|>0.
Тогда существует такое положительное /И, что при всех
целых неотрицательных /е0, kx, ... , kn
Следовательно, при всех &0, £,, ... , кп
Поэтому функция
является мажорантой для функции ср(/, xlt ... ,хп).
Можно указать и другой прием для построения мажорант-
мажорантного ряда. Так, например, для функции ср(£, а;,, . . . , хп), пред-
представленной рядом A8,2), мажорантой будет также следующая
функция:
М
1 —
где a = min(|flo|f \ах \, ... , \ап |), а.^=0(/ = 0,1, ... , п)
и (<20, <2,, . .. , ап) — некоторая точка сходимости ряда A8,2).
Действительно, при 11 \ \- \ хг \ -\- ... -|-1 хп \ <^а эта функ-
функция разлагается в ряд

§ 2] ЗАДАЧА КОШИ. ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОЙ 33
НО
*el *,!... Ля! ^ If ak \a,\k*\ax\ki..Aan\k*'
т. е. коэффициенты нашего ряда положительны и не меньше
соответствующих коэффициентов ряда A9,2). Таким обра-
образом, функция B0,2) также является мажорантой для A8,2).
Точно так же для функции ср(^, *,,..., хп) будет ма-
мажорантой функция
t B1,2)
где а имеет прежнее значение, а 0<^а<^1.
(t \ ^
—hxi "f*"- 4~x«) п0
степеням t} х1У . .. , лгл, то получится ряд, у которого ко-
коэффициенты положительны и больше соответствующих коэф-
коэффициентов разложения по степеням t, xxi . .. , хп функции
B0,2), так как коэффициенты первого из этих рядов полу-
получаются из соответствующих коэффициентов второго ряда ум-
ножением на (—j , где 0<[а<М.
Замечание 1. Пусть имеется степенной ряд
ср (г„ .. . , гт) = 2 л^ .» *и, £ & - *&"
сходящийся при \гх\^йх-\-г, ..., \zm\<sdm-\-z, где
е>0 — некоторое число. Пусть Ж* — наибольшее значение
модуля функции <р(£,, ... , 2:m), когда z,, . . . , zm прини-
принимают действительные и комплексные значения, удовлетворя-
удовлетворяющие условиям
l*il<d,. ••• . I *m |<rfm-
Можно показать (см. В. И. Смирнов, Курс высшей мате-
математики, том III, часть 2, § 83, Физматгиз, 1958), что
функция
будет мажорантой для функции ^(-гр ... , zm). Отсюда
3 И П Петроьский

34 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
следует, что функция
М*
d
где d = min(^1, ... , dm), также будет мажорантой для
8. Переходим теперь к доказательству существования ре-
решения задачи Коши для системы (9,2) при начальных усло-
условиях A4,2); назовем ее «задача I», а систему (9,2) будем
называть «системой I».
Допустим, что мы как-то мажорировали коэффициенты
системы и начальные данные Коши. Получим новую систему
и новую задачу Коши (назовем их соответственно «систе-
«система 11», «задача II»). Покажем, что аналитическое решение
«задачи II» будет мажорантой для аналитического решения
«задачи I». Если решение «задачи 1» представляется в ок-
окрестности начала степенным рядом
«/ = 2 «Й*. ... *„ <*•*?' • • • &, B2,2)
а решение «задачи 11» рядом
U, = 2 4',*,... *„ **•*?' • • • **", B3,2)
то нам надо доказать неравенства между коэффициентами
141k, _*J< <*,...*„• B4,2)
Для случая &0 = 0 эти неравенства непосредственно
вытекают из того, что начальные данные «задачи II» мажо-
мажорируют начальные данные «задачи 1». Для случая &0>0
коэффициенты аЦкх .., *п> соответственно лЦкх w kn, получают-
получаются при помощи сложения и умножения из коэффициентов а^,
соответственно А('\ имеющих меньший индекс &0, и значе-
значений в точке О коэффициентов системы 1, соответственно И>
и их производных. Поэтому легко убедиться, что если для
ko<^k справедливы неравенства B4,2), то они справедливы
и для &0 = k. Значит, они верны для всех коэффициентов
разложений B2,2) и B3,2).
Следовательно, из разрешимости «задачи II» (сходимости
ряда B3,2) следует разрешимость «задачи I» (сходимость
ряда B2,2)). Но «задача 1Ь может быть построена с боль-

§ 2] ЗАДАЧА КОШИ. ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОЙ 35
шой степенью произвола, так как мы можем произвольно вы-
выбирать мажоранты для коэффициентов и начальных данных
«задачи I». Выберем «задачу II» настолько простой, чтобы
ее решение можно было просто найти. Для этого подберем
числа М^>0 иа)>0 так, чтобы функция
М
при 0<^а<^1 была мажорантой для всех коэффициентов
системы, кроме свободных членов. Для этих же последних
выберем общую мажоранту вида
*)•
1
Это можно сделать, так как мажоранта такого вида сущест-
существует у каждого коэффициента и для построения общей ма-
мажоранты надо числам Ж и Ж, придать наибольшее, а числу
а — наименьшее из всех их значений, соответствующих раз-
различным коэффициентам. Выбрав таким образом числа Ж, Ж,
и а, напишем мажорирующую систему в виде
dUj_ _М
где число а, 0<^а<^1 выберем позже, а т=-~.
He фиксируя пока начальных данных, будем искать ре-
решение системы в виде
U^t, xlf ... , xn) = Ut(t, xlf ... , *„)==...
где z = ~ -j- x, -}- • • • + ^„. Подставив предполагаемое ре-
*) Возможность выбора Af, независимо от М нам очень полезна
для дальнейшего (сравните с замечанием 2 в конце настоящего па-
параграфа).

36 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. Г
шение в систему B5,2), получим, что функция U(z) должна
удовлетворять уравнению
где A(z) = - -. Это уравнение с разделяющимися пере-
1- —
а
доенными можно записать в виде
dU _ rnA{z)dz
— _
11 U + 1 — - NnA (z)
Выберем теперь положительное число а настолько малым
чтобы в некоторой окрестности точки z = 0 было
1_Л/яЛB)>0. B7,2)
Тогда B(z) будет в этой окрестности аналитической функцией
Покажем, что частное решение уравнения B6,2)
е ° — I
U(z) = - jj -tn
дает нам искомую мажоранту для решения «задачи I».
Так как функции Ut(t, хх, ... , х \ = и[ — 4-
V a
-\-х>х-\-" --\~хп ) удовлетворяют системе B5,2), мажорирую-
мажорирующей исходную систему, то для доказательства этого утверж-
утверждения достаточно убедиться, что U (z) при ^ = 0 разлагается
в ряд по х1У х2, ... , хп с положительными коэффициентами,
т. е. является мажорантой тождественного нуля (начальных
данных «задачи I»).
М
Действительно, A(z) = - есть функция с неотрица-
I z_
1
тельными коэффициентами разложения по z. Следовательно,
- maA{Z) —
= тт.A (z) [ 1 -\- aNriA (z) -\- a*N*n*A* (г) -|- ...]

§ 2] ЗАДАЧА КОШИ. ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОЙ 37
тоже имеет неотрицательные коэффициенты разложения по
степеням z. Отсюда
U(z)
также обладают этим свойством. Поэтому и коэффициенты
разложения U(хх -\- х2 -f-. .. -\- хп) по степеням хх, х2, .. . , хп
также неотрицательны, т. е. £/@, х,, х21 .. . , хп) действи-
действительно является мажорантой нуля. Значит, функции
U((t, xlt ... , xn) = U^.-\-x1-\-...-\-xnj являются ре-
решением некоторой «задачи 11». Аналитичность этого решения
вытекает из того, что U(z), как показано выше, разлагается
в ряд по степеням z и, следовательно, в ряд по степеням t,
xv ... , хп. А отсюда, как было указано выше, следует
сходимость степенных рядов B2,2), представляющих реше-
решение исходной задачи.
Этим доказательство теоремы Ковалевской для линейных
систем заканчивается.
Замечание 2. Из доказательства теоремы видно, что
ряды, дающие решение задачи Коши для системы (9,2), схо-
сходятся во всяком случае в той области, в которой сходятся
ряды, дающие решение мажорирующей задачи. Отсюда сле-
следует, что решение первоначальной задачи Коши для системы
(9,2) и начальных функций <р£., не обязательно равных нулю,
существует во всяком случае в некоторой области
если коэффициенты системы (9,2) и начальные функции были
голоморфны в области
|*/|<# («'=1, 2, ... , л,
При этом р и а зависят только от R и от числа Ж, но они
никак не зависят от значений начальных функций ср£. и сво-
свободных членов уравнений, так как ни а, ни та область из-
изменения z9 где выполняется B7,2), не зависят от этих зна-
значений.
Замечание 3. Для систем, не имеющих вида A,2)'
теорема Ковалевской, вообще говоря, неверна, как показы-

38 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
вает следующий пример, принадлежащий Ковалевской. Рас-
Рассмотрим уравнение
да __ д2и g 2.
с начальным условием
«(О, *) = Т=И' \X\<L B9>2>
Легко видеть, что аналитическое решение u(t, х) задачи
B8,2), B9,2), если оно существует, в окрестности начала
координат должно представляться рядом
B/г)! tn
n\ A —хJп+1>
п = о
однако этот ряд расходится в каждой точке при /=^0.
Задача. Докажите теорему Ковалевской для квазили-
квазилинейной системы уравнений первого порядка.
§ 3. Обобщение задачи Коши.
Понятие о характеристике
1. Обобщение задачи Коши. Задается система N
уравнений с N неизвестными функциями и,, и2> ... , w^v
(/, у=1, 2, ... , N). A,3)
Для каждой функции ut существует свой наивысший поря-
порядок п{ частных производных этой функции по независимым
переменным х0, х1} ... , хп> входящих в систему A,3),
В рассматриваемой области точек (л:0, л:,, .. . , хп) задается
достаточно гладкая я-мерная поверхность S и в каждой точке
поверхности некоторая линия /, не касательная к 5 и доста-
достаточно гладко изменяющаяся при движении вдоль 5, например
нормаль к поверхности. На этой поверхности задаются все
функции ui и их производные по направлению линии / до
порядка П;—1. Эти условия на поверхности 5 являются
обобщением условий Коши (начальных данных), рассмотрен-
рассмотренных в предыдущем параграфе. Требуется найти решение ulf

$\ 3] ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ 39
а2, ... , их системы A,3) в некоторой окрестности поверх-
поверхности 5, которое удовлетворяло бы заданным на S условиям.
2. Попытаемся свести эту задачу к задаче Коши, сфор-
сформулированной в предыдущем параграфе. Для простоты огра-
ограничимся сначала рассмотрением вместо системы A,3) сле-
следующей линейной системы:
У Л«о...*>(* х ... , хп)
. xv ... , хп) = 0 B,3)
(/, /=1, 2, ... , /V).
Мы выписали здесь только члены со старшими производными
от неизвестных функций.
В окрестности поверхности 5 введем новые криволиней-
криволинейные координаты £0, £lf ... , £л таким образом, чтобы урав-
уравнение поверхности S приняло вид $0 = 0, а линии / совпали
с координатными линиями
Для этого уточним предположения о гладкости поверхно-
поверхности 5 и линий /. Предположим, что на поверхности можно
ввести параметры £,, ... , £п:
■Х'о '•"— Xq VWj» • • • ) bn)i
так, что ранг функциональной матрицы
Р\\ (/ = 0, 1, ... , щ £=1, 2, . .. , п)
равен п в каждой точке 5 и правые части в C,3)—доста-
C,3)—достаточно гладкие функции.
Пусть линии / задаются параметрическими уравнениями
D,3)

40
ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ, I
где £0 — параметр точки вдоль линии /, а £,, .. ., £л — пара-
параметры точки пересечения / с S. При этом правые части
уравнений D,3) предполагаются достаточно гладкими функ-
функциями всех своих аргументов.
Относительно параметра £0
dXit
одна из производных -^(/ =
предположим, что хотя бы
1, ..., п) отлична от нуля
и что точке пересечения линии / с поверхностью S соответ-
соответствует значение $0 = 0 (т. е. уравнения D,3) при £0 = 0
совпадают с уравнениями C,3) поверхности 5).
Докажем теперь, что функциональный определитель
дХ, дХх дХп
I —
дХ0 дХг
дХ»
E,3)
отличен от нуля в некоторой окрестности поверхности S.
На поверхности S, т. е. при £0 = 0,
дХп дХл dX
J =
дхп
дха
дхп
F,3)
Последние п строк определителя F,3) линейно незави-
независимы, так как, по предположению, ранг функциональной
т ('-=0,1,
п; &=1,
п) равен п.
матрицы
II k II
Если бы определитель F,3) был равен нулю, то первая его
строка, представляющая ненулевой касательный вектор к /,
была бы линейной комбинацией последних п строк. Но это
невозможно, так как последние п строк представляют собой
векторы, лежащие в гиперплоскости, касательной к 5, а ли-
линии /, но предположению, не касаются S.
По непрерывности определитель E,3) отличен от нули
в некоторой окрестности S. Поэтому в этой окрестности

§ 3] ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ 41
£0, £,, ..., £п можно принять за новые координаты точки
(*0, xv ..., хп).
Перейдем к независимым переменным £0, £,, ..., kn
в уравнениях B,3). Нас особенно будут интересовать
в преобразованных уравнениях члены, содержащие производ-
производные от U; высших порядков п( по £0. Выписывая только эти
члены, получим
... дх*п д%1 \дх*/ V дл:1 / " \djc«/ ''"
Поэтому, выписывая только члены со старшими производ-
производными от функций и{ по $0 в уравнениях, получившихся от
преобразования уравнений B,3), получим
к)£!!и+...=о G,3)
j дх„) а?^
*o + .» + *n=nj
(/=1, 2, ..., N).
Чтобы эти уравнения вблизи поверхности 5 можно было
однозначно разрешить относительно J- при произвольных
других членах уравнения, не выписанных явно, необходимо
и достаточно, чтобы во всех точках поверхности 5 был от-
отличен от нуля определитель
dx
(/, у=1, 2, ..., ЛО.
Тогда в силу непрерывности коэффициентов А$°'"кп) и про-
производных -г-4- этот определитель будет отличен от нуля и
в некоторой окрестности поверхности S в пространстве
(*о> хг, ..., ха).
Уравнение
(/, /=1, 2, ...,
= 0 (8,3)

42 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. Г
называется характеристическим уравнением для системы
B,3); здесь а0, ах, ..., ап — некоторые параметры, причем
п
2 а/=7^=0. Направление гиперплоскости
г*
2 ak(xk —
k=0
называется характеристическим направлением в точке
(х°0, ..., х°п) для системы B,3), если
\л0, Xij . . ., лп) а0 ... а
Поверхность ср (лг0, л:,, ..., лгп)==О называется характерис-
характеристической поверхностью для системы B,3) или просто
характеристикой, если в каждой точке этой поверх-
поверхности
JT у. \ ЧУ
и по крайней мере одна из производных ^ (/г==0, 1, ..., п)
отлична от нуля.
Из этих определений следует, что направление каждой
касательной гиперплоскости к характеристической поверх-
поверхности, или, как мы будем говорить для краткости, направ-
направление характеристической поверхности является всюду харак-
характеристическим.
3. Из предыдущего видно, что если направление поверх-
поверхности 5, о которой шла речь в формулировке обобщенной
задачи Коши, нигде не является характеристическим для
системы B,3), то после введения координат $0, $р ..., £Л
вместо лг0, лг^; ..., хп% как было описано в п. 2, преобразо-
*) Так как уравнение (8,3) однородно относительно неизвестных
о0> av ..., <xnt то эти неизвестные можно нормировать, считая, на-
нате
пример, 2<*! = 1. Тогяа Ч бУДе? косинусом угла между нор-
fc=o
малью к характеристической гиперплоскости и осью Ох^

§ 3] ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ 43
ванную систему G,3) вблизи поверхности S всегда можно
разрешить относительно старших производных от ui по £0.
Получится система
(*0... *n) {t с ) ™J 4- Л (S П
j is» ••> ^'asv..^» ' ' 0>'' я
(9,3)
(/, у=1, 2, ..., N; Л = Л0 + А1 + ... + Ля<л/; Ло </!,).
Условия, заданные на поверхности S, перейдут в условия
Таким образом, если поверхность 5 нигде не имела харак-
характеристического направления, обобщенная задача Коши све-
свелась к прежней задаче Коши. Переход от первой из этих
задач ко второй вполне обратим; каждому достаточно глад-
гладкому *) решению одной задачи соответствует единственное
гладкое решение другой.
Но в предыдущем параграфе речь шла о решении си-
системы с аналитическими коэффициентами и аналитическими
начальными данными. Для того чтобы система (9,3) и задача
Коши для нее удовлетворяли этим требованиям, достаточно
выполнения следующих дополнительных условий:
а) Коэффициенты системы B,3) — аналитические функ-
функции от х0, ..., хп.
б) ФуНКЦИИ Xi = Xi(^Q, Sp . .., 5Я)(Х = 0, 1, ...,/!) —
аналитические функции своих аргументов.
Возможность выбора аналитических функций X. связана
с характером поверхности S и семейства линий /. Назовем
поверхность S и семейство линий /, для которых это воз-
возможно, аналитической поверхностью и аналитическим семей-
семейством линий.
Если поверхность задана уравнением F(x0, х1У .. .,агп) = О,
то она будет аналитична в том случае, когда функция
*) Достаточно требовать, чтобы функции щ имели непрерывные
производные до порядка ri( включительно и функции, задающие
преобразование координат, имели непрерывные производные до по-
порядка max (tii) включительно.

44 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ.
xv •••» хп) — аналитическая функция своих . аргумен-
аргументов, и поверхность не имеет особых точек (точек, где все
первые производные функции F обращаются в нуль). Семей-
Семейство нормалей к аналитической поверхности — аналитическое
семейство линий.
в) Начальные данные — аналитические функции от
с,, ..., kn-
Согласно теореме Ковалевской, мы можем сказать, что
при выполнении условий а), б), в) обобщенная задача Коши
имеет всегда единственное решение в некоторой окрестности
поверхности S, если эта поверхность нигде не имеет харак-
характеристического направления.
Если же поверхность S имеет в некоторой точке А ха-
характеристическое направление, т. е. если в точке А поверх-
поверхности
имеет место равенство
z
дхг
= 0, A1,3)
то на поверхности S, вообще говоря, нельзя уже задавать
произвольные значения функций ui и их производных, если
хотеть, чтобы обобщенная задача Коши имела решение.
Действительно, оставим тогда все члены, содержащие произ-
производные порядка nt по £0 от функций и( в левых частях
уравнений G,3), а все остальные члены перенесем вправо.
Тогда в силу условия A1,3) в точке А будет существовать
линейная зависимость между левыми частями полученных
уравнений. Значит, такая же линейная зависимость должна
существовать и между правыми частями этих уравнений, ко-
которые вполне определяются заданными значениями функций ui
и их производных на поверхности S. А это налагает определен-
определенную зависимость на эти начальные данные, если только
требуемая линейная зависимость между правыми частями
уравнений не выполняется тождественно при всех значениях
функций ut и их производных на S. В этом последнем слу-
случае, а также в том случае, если на характеристической по-
поверхности 5 условия Коши заданы так, что система имеет
решение относительно старших производных по £0» рассмат-

§ 3J ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШ И 45
риваемых как функции независимых переменных
такое решение может быть неединственно в окрестности
точки Л.
Приведем ряд примеров на нахождение характеристиче-
характеристических направлений для уравнений и систем уравнений. При
этом мы всегда будем предполагать, что
т. е. а; означает косинус угла между осью Ох. и нормалью
к гиперплоскости, имеющей характеристическое направление.
Пример 1. Для уравнения Лапласа
— = 0
соотношение (8,3) принимает вид
Принимая во внимание A2,3), убеждаемся, что уравнение
Лапласа не имеет действительных характеристических на-
направлений.
Пример 2. Для волнового уравнения
соотношение (8,3) принимает вид
а02 — а? — а' = 0
Так как согласно A2,3) должно быть
то 2ao=l; ао = -Ь--гр. Значит, касательные плоскости
ко всем характеристическим поверхностям составляют с осью
Ох0 угол в 45°. Пользуясь этим свойством характеристических
поверхностей, легко сообразить, какой вид имеют характе*

46 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. !
ристические поверхности, проходящие через некоторые кри-
кривые на плоскости хо = const. Например, характеристической
поверхностью, проходящей через любую прямую /, лежащую
в этой плоскости, служит плоскость, проходящая через / и
составляющая с плоскостью хо = const угол в 45°. Характе-
Характеристической поверхностью, проходящей через какую-нибудь
окружность /С, лежащую в плоскости х0 = const, служит бо-
боковая поверхность круглого конуса с осью, параллельной
оси Олг0, и образующими, составляющими угол в 45° с пло-
плоскостью хо = const, или, что все равно, с осью Ох0.
Легко видеть, что для так называемого волнового урав-
уравнения в /z-мерном пространстве
сРи_ д*а , д*и i , д2и
дх\ ~ дх\ ~*~ дх\ ' ' " "^ te*
справедливы вполне аналогичные результаты.
Пример 3. Для уравнения теплопроводности
дид2и , д2и , , д2и
соотношение (8,3) принимает вид
Согласно A2,3) отсюда следует, что а*=1. Поэтому харак-
характеристическими поверхностями служат гиперплоскости
х0 = const.
Пример 4. Для уравнения
v ди , v ди ,
соотношение (8,3) принимает вид
Поэтому все гиперплоскости, проходящие через точку
(xv ..., хп) и через выходящий из этой точки вектор с ком-

§ 31 ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ 47
понентами (ар ..., ап)у имеют в этой точке характеристи-
характеристическое направление.
Пример 5. Для системы уравнений с двумя независимыми
переменными
(/=1, 2, ..., /г)
соотношение (8,3) принимает вид
Характеристическими линиями будут линии, вдоль которых
dxt 6ф eta ^
j-5 , т. е. —а :Т^' равняется какому-нибудь корню к
уравнения
Мы считаем здесь, что ср(лг,, х2) = const есть уравнение
характеристической линии.
Задача. Покажите, что при гладком невырожденном
преобразовании координат характеристическая поверхность
системы B,3) переходит в характеристическую поверхность
преобразованной системы, т. е. характеристики инвариантны
относительно невырожденного преобразования координат.
4. Для нелинейных систем вида
A3,3)
(/, /=1, ..., N; * = *,+ *,+ ...+*„<«,)
актеристическим уравнением называется уравнение
J° — а^" | = 0. A4,3)
cj»dxf ■ ... dx5" I
Поверхность
<р(лг0, ...,х„) = 0 A5,3)
называется характеристической для системы A3,3) и дан-
данного решения и,, ий, ..., uN этой системы, если на этой

48 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1
поверхности при рассматриваемых функциях uv u2, ..., и#
имеет место следующее тождество:
\
Аналогично определяются характеристические направления
для системы A3,3) в данной точке пространства (лг0, ..., хп)
для данного решения яр и2, ..., uN. В случае нелинейных
систем имеет смысл говорить о характеристическом направ-
направлении гиперплоскости
в данной точке только для определенного решения иг, и2,...
..., uN системы A3,3), так как коэффициенты уравнения
A4,3) зависят в этом случае, вообще говоря, от функций щ
и их производных до порядка п{.
Аналогично тому, как это мы делали в предыдущем
пункте, можно показать следующее. Пусть на некоторой
аналитической поверхности заданы условия Коши, как это
было сделано в предыдущем пункте, и предполагается, что
все рассматриваемые там функции аналитичны. Так как рас-
рассматриваемая система теперь не предполагается линейной,
то после перехода к координатам £0, £р ..., £л, как это
до-
добыло сделано в предыдущем пункте, мы получим для 1-
нелинейную систему уравнений; обозначим ее через 2« Эта
система имеет, вообще говоря, не одно решение относительно
—!^, /=1, 2, ..., Л/, рассматриваемых как функции от
независимых переменных $0, . . ., £„, . .., ип .. ., —^—J-—j ,
fc = 2^^/l/» k^<^nj (У=1» 2' •••» ^- Допустим, что
вблизи гиперповерхности £0= 0 и заданных на ней значе-
значений uf и их производных мы выбрали для —~(i= 1, 2, ..., N)
одну какую-нибудь систему аналитических функций от

§ 4] О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ 49
(у=1, 2, ..., Л/), удовлетворяющую уравнениям 2« Таким
образом мы определим значения ——' на поверхности о по
заданным на ней начальным условиям обобщенной задачи
Коши. Возвращаясь тогда к координатам х0, ..., хю мы
получим на поверхности S значения всех функций и. и всех
их производных по х0, ..., хп до порядка п(. Подставляя
их вместо ui и производных щ в уравнение A4,3), мы полу-
получим вполне определенное уравнение для а0, ар ..., ап.
Следовательно, мы сможем таким образом определить харак-
характеристические направления в каждой точке (jt0, xv ..., хп)
поверхности 5. Допустим, что поверхность 5 нигде не имеет
характеристического направления. Тогда можно доказать, что
так поставленная обобщенная задача Коши для системы
A3,3) имеет единственное аналитическое решение при сде-
ланном выборе на S значений
§ 4. О единственности решения задачи Коши
в области неаналитических функций
1. Из теоремы Ковалевской следуют существование и
единственность решения задачи Коши в классе аналитиче-
аналитических функций, если аналитические условия Коши задаются
на аналитической поверхности S, нигде не имеющей харак-
характеристического направления. Из построений, приведенных
в §§ 2 и 3, следует, что если все функции, входящие
в данные уравнения и в начальные условия, принимают дей-
действительные значения при действительных значениях аргу-
аргументов, то и решения задачи Коши действительны. Возни-
Возникает вопрос: нет ли в этом случае других решений задачи
Коши, кроме аналитического решения Ковалевской? Ведь для
того, чтобы система функций (uv ..., им) была решением
задачи Коши в действительной области, нет надобности
требовать, чтобы все функции и. были аналитическими. Для
этого вполне достаточно, чтобы они имели производные тех
порядков, какие входят в рассматриваемые уравнения. Не-
Несмотря на усилия многих выдающихся математиков, этот
вопрос до сих пор не решен полностью.
4 И. Г. Петровский

50 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
Еще в 1901 г. Гольмгрен доказал единственность реше-
решения задачи Коши с начальными условиями A0,3) для линей-
линейных систем уравнений вида (9,3) с аналитическими коэффи-
коэффициентами в классе функций, имеющих непрерывные произ-
производные всех тех порядков, которые входят в рассматриваемую
систему.
Приведем доказательство этой теоремы.
Для простоты изложения будем предполагать, что число
независимых переменных равно двум, хотя то же доказа-
доказательство по существу применимо при любом числе независи-
независимых переменных. Предположим также, что рассматриваемая
система-—первого порядка. Согласно сказанному в § 2 общий
случай приводится к этому. Обозначим независимые пере-
переменные через х и у и предположим сначала, что задача
Коши ставится для отрезка прямой л* = 0, содержащего на-
начало координат.
Итак, пусть дана система уравнений
(/=1, 2, ..., п)
и начальные условия
2.@, у) = Ь{у). B,4)
Ajp Btj, Ct—аналитические функции своих аргументов в не-
некоторой окрестности начала координат. Пусть вблизи начала
координат даны два решения системы A,4), удовлетворяю-
удовлетворяющие одним и тем же начальным условиям B,4) и состоящие
из функций zv ...,£„ (первое решение) и #,, ..., zn (вто-
(второе решение), обладающих непрерывными частными произ-
производными первого порядка. Надо доказать, что эти решения
совпадают в некоторой окрестности начала координат.
Положим
Zt — Zi — Ui (/=1, 2, ..., п).
Тогда все и{ являются вблизи О непрерывно дифференци-

§ 4] О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ 51
руемыми функциями, удовлетворяющими уравнениям
& = £ац& у)^+£вц& у)Ъ, (/=1, 2,..., п)
и начальным условиям
5,@, у) = 0 (/=1, 2, ..., п).
Докажем, что все И/ = 0 вблизи точки О @, 0). Введем
вместо х новую независимую переменную
и положим
«/(*» У) = Ъ(х9 у) = и((х — у\ у) (/=1, 2, ..., /г).
Тогда функции и{ будут удовлетворять системе уравнений
/=rl
или, после разрешения относительно производных по х и
введения новых обозначений,
(/=1, 2, ..., /г).
(Возможность разрешения системы C,4) относительно ука-
указанных производных следует из необращения в нуль опре-
определителя системы вблизи начала координат О плоскости
(х, у); проверьте!.) Коэффициенты а у и Ъц аналитичны
вблизи точки О. Функции и{ вблизи О непрерывно диффе-
дифференцируемы и обращаются в нуль на параболе у* = д;. Мы
докажем, что все ^. = 0 вблизи О при х^>у2. Тем самым

52
ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ.
будет показано, что все г/,-^0 вблизи О при х^>0. Слу-
Случай х<^0 сводится к случаю х^>0 заменой- х на —х.
Проведем прямую x — a(a^>0; рис. 1) и обозначим бук-
буквой На область, ограниченную отрезком 1а этой прямой и
частью Ка параболы у2 = х. Если а достаточно мало, то все
функции щ непрерывны вместе с их частными производными
первого порядка вплоть до границы На (мы говорим, что
функция, заданная в области И, непрерывна вплоть до
границы //* этой области, если эту функцию можно продол-
у жить на Н* так, что полученная функ-
функция будет непрерывной в /У —J- //*).
ij^> Обозначим для краткости
:~дх
Рис. i.
^'=1, 2, ..., /г),
V/
=l, 2, ..., /г).
Пусть в Иа заданы две системы функций и( и v0 непре-
непрерывных вплоть до границы Иа вместе с их первыми част-
частными производными. Тогда интегрирование по частям дает
На ^" = 1
«/О/ И
г n n
ир{йх, E,4)
i=i Jz=i
где контур, ограничивающий //e (т. е. /fe + /e), проходится
в положительном направлении. Если, в частности, и- есть
определенная выше система решений уравнений D,4), а си-

§ 4] О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ 53
стема функций vv ..., vn удовлетворяет уравнениям
G((v) = 0 (i = l, ..., /2), F,4)
то из E,4) получится
Tividy = 0. G,4)
Для дальнейшего обратимся к доказательству теоремы
Ковалевской для системы линейных уравнений. Воспользу-
Воспользуемся замечаниями 1 и 2 к § 2 и будем решать систему
уравнений F,4) вблизи точки (а, 0), задавая в качестве на-
начальных данных на 1а всевозможные системы многочленов.
Так как за постоянную М мы можем взять постоянную М*9
определенную в замечании 1 к § 2 и общую для всех то-
точек (а, 0), то в силу замечания 2 к § 2 мы можем утверж-
утверждать, что если а достаточно мало, то все функции, состав-
составляющие решение системы F,4) при таких начальных усло-
условиях, будут заведомо определены и аналитичны в На и,
следовательно, непрерывны вплоть до границы На вместе
с их частными производными.
Итак, равенство G,4) справедливо, если 0<а<#0
(а0 — некоторое фиксированное положительное числое), а
все vi являются любыми многочленами. Возьмем любо та-
такое а и пусть длина отрезка 1а равна sa. По известной
теореме Вейерштрасса, для любого s^>0 найдется система
таких многочленов ^(/=1, ..., /г), что всюду на 1а будет
|и, — *,|<е (/=1, ..., п). (8,4)
В силу формул G,4) и (8,4)
откуда в силу произвольности е получаем

54 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
т. е. все #, = 0 на 1аУ если только 0<а<а0в Этим тео-
теорема Гольмгрена доказана.
При помощи этой теоремы и замены независимых пере-
переменных нетрудно доказать теорему о единственности реше-
решения обобщенной задачи Коши при прежних предположениях
о системе A,4), когда начальные данные задаются на ана-
аналитической линии, нигде не имеющей характеристического
направления. Аналогичная теорема справедлива также для
линейных систем с большим числом независимых переменных,
когда начальные данные задаются на аналитической поверх-
поверхности 5. При этом нужно только, чтобы эта поверхность 5
'нигде не имела характеристического направления. От функ-
функций, составляющих решение, можно требовать, чтобы они
были заданы только по одну сторону от 5 и были непре-
непрерывны вместе со своими частными производными первого по-
порядка вплоть до S. Если при этих условиях два решения
совпадают на S, то они совпадают и в некоторой окрест-
окрестности 5.
Замечание. Можно точнее описать ту область на
плоскости (х, у), где решение задачи Коши для системы A,4)
единственным образом определяется начальными данными
(область единственности). Пусть эти начальные данные за-
заданы на отрезке АВ оси х = 0, а решения рассматриваются
вправо от этой оси. Проведем через точки А и В вправо
характеристики, ближайшие к отрезку АВ. Тогда можно по-
показать, что областью единственности решения задачи Коши
будет область, ограниченная отрезком АВ и этими двумя
характеристиками. Аналогично определяется область единст-
единственности при большем числе независимых переменных (ср.
§ 10 и § 12, где задача Коши решается для гиперболиче-
гиперболических уравнений).
2. Вскоре после доказательства теоремы Гольмгрена Ада-
мар показал, что вопрос о единственности вблизи S решения
задачи Коши для нелинейных уравнений легко сводится
к вопросу о единственности решения задачи Коши для ли-
линейных уравнений с достаточно гладкими, но не обязательно
аналитическими коэффициентами. Поэтому все дальнейшие
усилия были сосредоточены на решении этого последнего
вопроса. В 1938 г. Карлеман решил его для систем уравнений
с частными производными по двум независимым переменным.
Теорема Карлемана состоит в следующем.

§ 4] О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ 55
Пусть дана система уравнений:
(/=1, 2, .... л). (9,4)
Функции Ацу Bty заданы в некоторой замкнутой области
G полуплоскости лг^О, примыкающей к отрезку |>>|^#
оси ординат; Aif имеют в G ограниченные производные до
второго порядка включительно; В^ ограничены в G.
Тогда решение системы (9,4) в G, удовлетворяющее ус-
условиям
МО, У) — ® при \у\<*а (/=1, ..., п)
и имеющее непрерывные первые производные по х и у9
тождественно равно нулю в некоторой части О' области G,
примыкающей к отрезку |_у|<;<2. При этом предполагается,
что в каждой точке О все корни определителя
различны между собой, т. е. что ни в одной точке этой
области G нет совпавших характеристических направлений.
Аналогичный результат для систем со многими незави-
независимыми переменными получен недавно Кальдероном **).
При совпадении характеристических направлений единст-
единственность решения задачи Коши может нарушиться; это впер-
впервые показал А. Д. Мышкис A947). Он привел пример си-
системы
ди , хди , , , ч dv
Тх = аЛх, у)-+Ь(ХУ)
dv .. .ди
которая имеет решение ио1 v0 такое, что функции и0 и v0
обладают непрерывными частными производными всех по-
порядков, равны нулю на прямой # = 0, но отличны от нуля
**> Gal deron, American Journal of Mathematics 80, № I A958),

56 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
в любой близости от начала координат. При этом коэффи-
коэффициенты системы определены и дифференцируемы на всей
плоскости, их производные терпят разрыв при jc = O и на
этой же прямой совпадают корни характеристического урав-
уравнения *).
В 1954 г. Плись построил новый пример системы вида
A0,4), которая обладает нетривиальным решением задачи
Коши с нулевыми начальными условиями при х=0, причем
коэффициенты системы имеют непрерывные частные произ-
производные любого порядка на всей плоскости **).
Единственность решения задачи Коши в классе достаточно
гладких функций доказана для гиперболических уравнений и
гиперболических систем с произвольным числом независимых
переменных (о таких системах речь будет идти позже), а
также для широкого класса эллиптических (см. § 5) уравне-
уравнений и систем; последнему вопросу посвящена обширная ли-
литература.
Интересующий нас вопрос о единственности решения за-
задачи Коши в области неаналитических, но достаточно глад-
гладких функций связан с вопросом о том, единственным ли спо-
способом можно продолжить достаточно гладкое действительное
решение (uv ...,uN) системы A3,3) предыдущего параграфа,
заданное в некоторой действительной области пространства
(лг0, ..., хп) по одну сторону и на самой достаточно гладкой
поверхности 5, нигде не имеющей характеристического на-
направления. Действительно, задание функций ui по одну сто-
сторону поверхности S и на самой этой поверхности определяет
значения на этой поверхности самих функций at и их про-
производных, входящих в условия Коши. Таким образом, воп-
вопрос о продолжении функций и( за поверхность 5 сводится
к нахождению решения обобщенной задачи Коши в области,
лежащей по другую сторону поверхности S. Как сказано
выше, вопрос о единственности этого решения не выяснен
до сих пор полностью.
Точно так же до сих пор остается нерешенным полностью
вопрос о том, можно ли разными способами продолжить до-
достаточно гладкое действительное решение («,, ...,иА) си-
системы A3,3), заданное в некоторой действительной области
пространства (л:0, ...,#„), лежащей по одну сторону доста-
**
) См. А. Д. М ы ш к и с, УМН 3:2 A948), стр. 3—46.
) Plis, Bull. Acad. Polon. Sci. 2 A954), 55—57.

§ 4] О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ 57
точно гладкой поверхности 5 и на самой этой поверхности,
и в том случае, если поверхность S является характеристи-
характеристической для данной системы и данного решения. Для всех
уравнений, которые мы будем рассматривать, такое продол-
продолжение всегда возможно очень многими способами.
Вопрос о неединственности продолжения решения системы
A3,3) за характеристику эквивалентен вопросу о существо-
существовании многих решений обобщенной задачи Коши, если усло-
условия Коши-, заданные на характеристике, таковы, что они во-
вообще допускают хотя бы одно такое решение. Мы видели,
что для -этого заданные на характеристике функции ut и их
производные должны, вообще говоря, удовлетворять некото-
некоторым соотношениям. Эти условия заведомо выполняются, если
существуют функции и,, ..., uN, удовлетворяющие заданным
уравнениям по одну какую-либо сторону характеристики.
Если интересоваться только аналитическими решениями,
то вопрос о единственности продолжения за характеристику,
как вообще за любую поверхность, заданного в (п -|- ^-мер-
^-мерной области решения . всегда решается в том смысле, что
такое продолжение единственно, так как аналитическая функ-
функция п-\-\ независимых переменных вполне определяется сво-
своими значениями в как угодно малой области (п-\-\)-го из-
измерения.
3. В п. 3 § 3 мы видели, что если поверхность 5, на
которой задаются условия Коши, нигде не имеет характери-
характеристического направления, то эти условия Коши вместе с урав-
уравнениями системы G,3) единственным образом определяют на
S значения всех функций и( и всех и:< производных до по-
порядка пг Если же поверхность S вблизи точки А является
характеристической, то условия Коши, заданные на ней, до-
пускают различные системы значений —-■£, которые могут
удовлетворять системе G,3), если они допускают хотя бы
одну такую систему значений —^ (мы приняли здесь, что
уравнением поверхности S служит уравнение $0 = 0). По-
Поэтому могут существовать такие функции, которые удовлет-
удовлетворяют уравнениям G,3) всюду в некоторой области, внутри
которой находится кусок характеристической поверхности,

58 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1
дщи •
причем производные —-^ на этой поверхности имеют разрыв
первого рода. При подходе к 5 с разных сторон эти произ-
производные приближаются к разным значениям, которые удовлет-
удовлетворяют одновременно уравнениям G,3) на поверхности S.
Если бы поверхность S не била характеристической, то про-
продли-
изводные ——' не могли бы иметь на ней разрывов первого
рода при непрерывности коэффициентов уравнений G,3) и
непрерывности всех других производных от функций и( вида
Аналогичные утверждения справедливы и для нелинейных си-
систем.
Пример. Рассмотрим уравнение
для которого характеристиками служат линии
х — const, у = const.
Очевидно, уравнению A1,4) удовлетворяет всякая функ-
функция вида
где /(у)— любая функция, имеющая всюду производную.
В частности, можно предположить, что функция и=/(у)
такова, что ее вторая производная непрерывна всюду, за
исключением одной точки, где она имеет разрыв первого рода.
Тогда мы получим решение уравнения A1,4), у которого
вторые частные производные имеют разрыв первого рода на
характеристике.
Все дальнейшее будет посвящено главным образом урав-
уравнениям двух типов: или будет рассматриваться одно уравне-
уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией или бу-
будет рассматриваться система любого порядка с любьш чис-

§ 51 приведение к каноническому виду в точки 59
лом неизвестных функций, но с частными производными
только по двум независимым переменным. Такие уравнения
приводятся к некоторому простому «каноническому» виду.
Это приведение описано в следующих трех параграфах,
§ 5. Приведение к каноническому виду в точке
и классификация уравнений второго порядка
с одной неизвестной функцией
1. Рассмотрим линейное уравнение второго порядка
с» ...,xn)u^F(xlt ...,хп) = 0 A,5)
с одной неизвестной функцией а. Мы считаем здесь Ау=А/г
Все функции Л/уГ, Вь С, F действительны, они определены
в некоторой области G пространства (л:,, ...,л:л).
Сделаем замену независимых переменных, положив
где aki — некоторые постоянные., Мы предполагаем, что пре-
преобразование B?5) неособое, т. е* что определитель \aki\ не
равен нулю. Тогда преобразование от xk к $Л в обе стороны
однозначно. Уравнение A,5) в независимых переменных £р
£2, 9., s £n запишется так:
ftZ (. V/) g^C,5)
Мы выписали здесь только члены с производными второго
порядка от неизвестной функции и. Из равенства C,5) видно,
что коэффициенты при производных второго порядка от и
*) Чтобы быть уверенными в законности перехода от производ-
производных по независимым переменным хД/=Л, ...,п) к производным п<?
независимым переменным £/(/== 1, ..<,,/*) по обычным правилам, до-
достаточно предположить, что функция и имеет непрерывные ярой**
водные до второго порядка включительно.

60 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
при замене независимых переменных заданной формулой
B,5), изменяются совершенно так же, как изменяются коэф-
коэффициенты квадратичной формы
п
2 Ai/XtXj D,5)
при замене xk на £k, даваемой формулами
xk = 2 <*i£i (Л = 1, .... я). E,5)
Коэффициенты Ay формулы D,5) мы считаем постоянными
и равными значениям коэффициентов Ay (xlf ..., хп) уравне-
уравнения A,5) в какой-нибудь точке (х°и ..., х°п) области G.
В алгебре доказывается существование такого действи-
действительного неособого преобразования E,5), которое приводит
всякую форму D,5) с действительными коэффициентами Ау
к виду
т
2 ±£/, где m</z. F,5)
Существует много неособых действительных преобразований
E,5), приводящих форму D,5) к виду F,5), но число членов
с положительными и число членов с отрицательными знаками
в форме F,5) определяется исключительно формой D,5) и не
зависит от выбора неособого преобразования E,5). (Закон
инерции квадратичных форм *).)
Определитель \Aik — Х5,-л| будет иметь только действи-
действительные корни X. Число членов в F,5) с положительными
знаками и число членов с отрицательными знаками равно
числу положительных и соответственно числу отрицательных
корней \ этого определителя.
Если мы найдем некоторое преобразование E,5), приво-
приводящее форму D,5) к виду F,5), то преобразование B,5)
с матрицей, транспонированной и обратной к (aik)t приведет
*) См. А. Г. К у р о ш, Курс высшей алгебры, Физматгиз, 1959,
§ 27; И. М. Г е л ь ф а н д, Лекции но линейной алгебре, Гостехиз-
дат, 1951, стр. 143,

§ 5] ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ В ТОЧКЕ 61
уравнение A,5) к виду
...,*л)-Ц-+...=0, G,5)
где
Al(x°u ...,х°п) = ±\, если /=
Ац (х°и • • •, Хп) = 0, если / =^= / или если / = /> т.
Мы выписали здесь только члены со старшими производными
от функции а. Вид G,5) уравнения A,5) называется его ка-
каноническим видом в точке (#?, ...,#£)•
Таким образом, для каждой точки (х\, .. .,#«) области G
можно указать такое неособое преобразование B,5) незави-
независимых переменных, которое приводит уравнение A,5) к кано-
каноническому виду в этой точке.
Для каждой точки (х°и .,., х„) имеется, вообще говоря,
свое преобразование B,5), приводящее уравнение A,5) к кано-
каноническому виду в этой точке; в других точках это преобразова-
преобразование может не приводить уравнение к каноническому виду. При-
Примеры показывают, что, когда число независимых переменных
больше двух, вообще говоря, нельзя указать не только ли-
линейного преобразования независимых переменных с постоян-
постоянными коэффициентами, но и никакого другого неособого пре-
преобразования переменных, которое приводило бы данное ли-
линейное уравнение второго порядка к каноническому виду даже
в как угодно малой области. В случае же двух незави-
независимых переменных такое преобразование существует при
весьма общих предположениях о коэффициентах уравнения
A,5), как будет показано в следующем параграфе.
Классификация уравнений второго порядка основана на
возможности приведения уравнения A,5) к каноническому виду
в точке.
2. Уравнение A,5) называется эллиптическим в точке
(х°и...,Хп), если в уравнении G,5) все А*, (х°и ..., х°п) (/ =
= 1, . ..,-л) отличны от нуля и имеют один знак.
Уравнение A,5) называется гиперболическим в точке
(х°и ...,Хп), если в уравнении G,5) все А*ц(х°и .. 9^с1)имеют
один и тот же знак, за исключением одного Ац} которое
имеет противоположный знак, причем т = п.

62 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
Уравнение A,5) называется ультрагиперболическим
в точке (х°и .. .,*«), если в уравнении G,5) имеется больше
одного положительного А и (х°и .. ,,Хп) и больше одного от-
отрицательного A*f(x°u ..,,Xn) и т = п.
Уравнение A,5) называется параболическим в широком
смысле в точке (х°и ..., х*п), если среди А*ц(х°и ..., х°п) име-
имеются равные нулю, т. е. если т<^п.
Уравнение A,5) называется параболическим в узком
смысле или просто параболическим в точке (х°1у .. ., Хп), если
только один из коэффициентов Ац (jcJ, ..., х°п) (пусть это
будет Аи) равен нулю, все же другие Л*- (х°19 ..., х°п)имеют
одинаковые знаки, а коэффициент при ^- отличен от нуля.
Уравнение A,5) называется эллиптическим, соответст-
соответственно гиперболическим, ультрагиперболическим и т. д. во
всей области G, если оно эллиптично, соответственно гипер-
гиперболично, ультрагиперболично и т. д. в каждой точке области О.
В приложениях иногда встречаются уравнения, которые
в одной части Ох рассматриваемой области О являются эл-
эллиптическими, в другой части G2 области О гиперболическими.
Такие уравнения называются уравнениями смешанного типа.
К ним принадлежит, например, уравнение Трикоми
д2и , dhi л
в области С, содержащей точки оси х *).
3. Нелинейное уравнение второго порядка
ди ди д2и \
1> •••>**> a><?v ••• »dv ••• 'dxfi*,9 •••; — °
с одной неизвестной функцией и называется для данного ре-
решения а*(л:1, „. .,хп) эллиптическим, гиперболическим или
*) Уравнения смешанного типа впервые были исследованы Три-
Трикоми (см. его книгу в русском переводе «О линейных уравнениях
смешанного типа», М.—Л., Гостехиздат, 1947). Интерес к таким урав-
уравнениям особенно возрос после того, как обнаружилась их связь
с задачами газовой динамики (см. Ф. И. Ф рай к ль, Изв. АН СССР,
серия матем. 9 A945), 121—143). В последнее время изучению урав-
уравнений смешанного типа посвящено много работ (см. А. В. Бицадзе,
Уравнения смешанного типа, Издательство АН СССР, 1959, где при-
приведена подробная библиография вопроса).

§ 6] КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ 63
параболическим в широком смысле в точке (х°и ..., х°п), со-
соответственно в области О, если эллиптично, гиперболично,
параболично в широком смысле в точке (x°lt .. .}х°п), соответ-
соответственно в области G, уравнение
где
дФ
А0.(х1У . ..,*„) = t rtl#| л . (8,5)
В правой части (8,5) вместо функции и и ее производных
подставлена функция и* (х1У .. ., хп) и ее соответствующие
производные.
Мы будем в дальнейшем изучать только линейные урав-
уравнения второго порядка с одной неизвестной функцией, кото-
которые во всей рассматриваемой области являются или эллипти-
эллиптическими, или гиперболическими, или параболическими. Урав-
Уравнениями же ультрагиперболическими мы не будем заниматься;
такие уравнения не встречаются ни в физике, ни в технике.
Точно так же мы не будем заниматься уравнениями парабо-
параболическими в широком; но не в узком смысле. Соответственно
этому, говоря в главе 4 о параболических уравнениях, мы
будем иметь в виду только уравнения параболические в узком
смысле.
§ 6. Приведение к каноническому виду уравнения
с частными производными второго порядка
по двум независимым переменным в окрестности точки
1.. Пусть дано уравнение
ди
где коэффициенты Л, В, С суть функции от х и у, имею-
имеющие непрерывные производные до второго порядка включи-
*) Мы рассматриваем в этом параграфе уравнения несколько
более общего вида, чем линейные, так как все те рассуждения, ка-
какими приводится к каноническому виду линейное уравнение, одина-
одинаково применимы и для таких уравнений.

64 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
тельно. Мы будем предполагать, что Л, В и С не обраща-
обращаются одновременно в нуль и что функция и(х} у) имеет
непрерывные производные до второго порядка включительно.
Перейдем от независимых переменных х и у к независимым
переменным £ и 7j. Пусть
£ = £(*, .У), Ч = Ч(х,-у) B,6)
— дважды непрерывно дифференцируемые функции, причем
якобиан
ду
дх ду\
нигде в рассматриваемой области не обращается в нуль.
Тогда систему B,6) можно однозначно разрешить относи-
относительно х и у в некоторой области на плоскости (£, 7j). По-
Полученные функции x(S, ij) и J/(£,!)) будут также дважды
непрерывно дифференцируемыми функциями от £ и 7j. В но-
новых независимых переменных £ и 7j уравнение A,6) запишется
так:
Покажем, что в некоторой окрестности G фиксированной
точки (*0, у0) функции £(х,у), т{{х,у) можно выбрать таким
образом, чтобы уравнение C,6) в каждой точке этой окре-
окрестности имело канонический вид. Нам придется отдельно ис-
исследовать случаи, когда в рассматриваемой точке £2^> АС,
В2<^АС или когда в некоторой окрестности этой точки
В2 = АС. Случаев, когда в любой окрестности рассматривае-
рассматриваемой точки выражение В2 — АС меняет знак или обращается
в нуль не тождественно, мы не будем рассматривать.
2. Рассмотрим сначала случай, когда во всей рассматри-
рассматриваемой области Б2^> АС, т. е. когда уравнение A,6) гипер-

§ 6] КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ 65
болично (ср. определение гиперболичности в предыдущем па-
параграфе). Мы можем считать, что в точке (х0, у0), в окрестности
которой мы будем приводить уравнение A,6) к каноническому
виду, либо Ат^О, либо С=^=0. В противном случае мы могли
бы достигнуть этого заменой переменных
Рассмотрим уравнение
А(рУ + 2Врр + с(р-У = 0. D,6)
\дх/ ' дхду ' \ду) ' ' '
Пусть А ф-0. Так как Вг — АС~^> 0, то уравнение D,6) можно
записать в виде
*_ЛС)^ =0,
и поэтому уравнению D,6) удовлетворяют решения каждого
из уравнений
EN)
Определим функции (р,(л:, у) (/= 1, 2) как решения урав-
уравнений E,6), задавай их значения соответственно на некото-
некоторых линиях /£.(/= i, 2), проходящих через точку (хо,уо) и
нигде не касающихся характеристик соответствующего урав-
уравнения*). Если линии 1( и заданные на них значения функций
ifi выбрать достаточно гладкими, то мы получим решения
ifi(x>y) (i= 1, 2), имеющие непрерывные производные по х
и у до второго порядка включительно. Если предположить
*) См. § 53 моих «Лекций по теории обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений» изд. 1952 г. Обращаю внимание на то, что
в случае двух независимых переменных то определение характери-
характеристик, которое мы ввели в§ 3 настоящей книги, совпадает с опреде-
определением характеристик, данным в § 53 моих «Лекций по теории обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений». В случае же большего
числа независимых переменных эти определения совершенно различны.
5 И. Г. Петровский

66 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1
еще, что начальные значения срг- (а:, у) на 1{ выбраны так, что
производная <р,- по направлению 1{ не обращается в нуль
в точке (хо,уо)у то в этой точке не могут быть равными нулю
одновременно обе частные производные функции <р,- (х,у) по
х и у (в противном случае равнялась бы нулю производная
в этой точке по любому направлению).
Так как Л=^=0, то из уравнений E,6) следует, что при
этом -^±=£0 и ^0 в окрестности точки (хо,уо) и что
foi.foi _— в— V& — ЛСа
дх : ду А '
дх ' ду А
В силу условия Вг — АС=^0 имеем:
d?i ,^?i _/ ду2 #dcp2
дх ' ~ду ' ~дх * ~ду "
Отсюда следует, что якобиан
dcpj
ж " F,6)
отличен от нуля в некоторой окрестности G точки (хПУ v0).
Поэтому в этой окрестности мы можем принять в равенст-
равенствах B,6)
Тогда в левой части C,6) исчезнут члены, содержащие
-р и -^ . Коэффициент при -^-т- будет при этом отлич-
отличным от нуля во всей рассматриваемой области О; в против-
противном случае при переходе от координат (х,у) к координатам
(£, Г|) порядок уравнения понизился бы; следовательно, при
обратном переходе от координат (S, /)) к координатам (а:, у)
порядок уравнения в некоторой точке области повысился бы,
чего, очевидно, быть не может.

§ $] КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД 9 •КРЕСТНФСТИ Т#ЧКИ 67
д2и
Разделив на коэффициент при згл~ уравнение C,6), мы
приведем его к виду
_ = /Ц£, т,,*,,-,^ (8'6)
в окрестности G точки (x$iyj. Этот вид уравнения также
называется каноническим.
Положив £ = 1с-|-ритг1 = * — |В, приведем уравнение (8,6)
к виду
д2и дги А/ Q ди ди\ /Гк о.
•(«M) (9,6)
После приведения гиперболического уравнения к канони-
каноническому виду (8,6) иногда удается проинтегрировать его
в замкнутом виде, т. е. найти формулу, дающую в.е реше-
решения этого уравнения.
Пример 1. Уравнение
заменой независимых переменных
приводится к виду
д2и
Обозначив j? через v, получим-^ = #, откуда v =/D), где
/—произвольная функция т). Рассматривая в уравнении
да
£ как параметр и интегрируя это уравнение, получим:
ИЛИ
« = ?F) + Ф(Ч) = ?(*+^) + ф(х—jf)f A2,6)
где ^ и ф^—произвольные дважды непрерывно дифференци-
дифференцируемые Функции,
5*

68 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ.
Пример 2. Уравнение
д2и 1 ди
после замены
обращается в уравнение
dv
1
Это уравнение легко интегрируется методом разделения
переменных. Так как tj входит в v в качестве параметра, то
постоянная интеграции будет функцией этого параметра. По-
Получим:
или
Отсюда
Здесь
есть произвольная (в силу произвольности СG))) дифферен-
дифференцируемая функция от yj, a C2 (S) есть произвольная функция
от £.
3. Если
во всей рассматриваемой области, то уравнение A,6) будет
параболическим в этой области (ср. определение параболич-
ности в предыдущем параграфе). Мы предполагаем, что в рас-
рассматриваемой области коэффициенты А, В, С уравнения A,6)
не обращаются одновременно в нуль. В силу условия В2 = АС
из этого предположения следует, что в каждой точке этой
области один из коэффициентов А и С отличен от нуля. Пусть,
например, Л^О в рассматриваемой точке (xQiy0). Тогда оба

§ 6] КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ 69
уравнения E,6) совпадают и обращаются в уравнение
Всякое решение уравнения A4,6) в силу условия Вг = АС
удовлетворяет также уравнению
Мы можем, как и в предыдущем пункте, определить такое
решение у(х,у) уравнения A4,6), что функция ср (х, у) имеет
непрерывные производные второго порядка и ее первые про-
производные не обращаются в нуль одновременно в некоторой
окрестности G точки (xQ9y0). Мы можем считать, что Л^=0
во всей области О.
Пусть
ф (лг, у) = const
есть такое семейство кривых в области G, что функция
ф(лг, у) имеет непрерывные производные второго порядка и
якобиан
A6,6)
дх ду
~дх ду
нигде в области G не обращается в нуль. (Так как в О
Л^О и, следовательно, -^^=0, то можно принять, например,
ф (х, у) = х.) Положим в формулах B,6)
Тогда коэффициент при -?& в уравнении C,6) обращается
д2и
в нуль. Коэффициент при -rr-т- станет равным
Согласно A4,6) и A5,6) он также будет тождественно равен
нулю в области О.

70 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I.
Коэффициент при —-з-» в уравнении C,6) примет вид
Это выражение не может обратиться в нуль, так как в про-
противном случае в силу A4,6) якобиан A6,6) обратился бы
в области G в нуль. Поэтому уравнение C,6) можно разде
лить на этот коэффициент. После этого получим
да
4"
Уравнение A7,6) имеет канонический вид в области С, как
он был определен в § 5.
Если уравнение A,6) было линейным, то уравнение A7,6)
также будет линейным. Пусть оно имеет вид
д2и л ди
А
Можно еще несколько упростить это уравнение, введя
вместо и новую неизвестную функцию z. Положим
и =
где г;(£, г\) — функция от £ и yj, которую мы ниже определим.
Тогда уравнение A8,6) заменится уравнением
d2z , n dv dz . dz . п dz
+ 2 A^ + B^
Мы здесь выписали подробно только члены, содержащие про-
производные от z, включив все члены, содержащие самую функ-
функцию zt в C2z. Выберем функцию z/(£, r\) так, чтобы в урав-
уравнении A9,6) исчезла производная ~. Приравняв нулю коэф-
dz
фициент при -г-, получим
где
С — ~2 D — ^

§ 6]
КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ
71
4. Рассмотрим, наконец, случай, когда всюду в рассмат-
рассматриваемой области
Тогда уравнение A,6) будет в этой области эллиптическим
(ср. определение эллиптичности в § 5). В этом случае мы
будем предполагать, что все коэффициенты Л, В и С суть
аналитические функции от х и у. Тогда коэффициенты урав-
уравнений E,6)— также аналитические функции от х и у. Пусть
<р (х, у) = <р* (х, у) + /<р** (х, у)
будет аналитическим решением первого из уравнений E,6)
в окрестности точки (х0, у0) *) и пусть
окрестности.
Положим в равенствах B,6)
в этой
= <p*(x, у) и 1) = <р** (*, у).
B1,6)
Уравнения B1,6) можно разрешить относительно х и у, так
как якобиан
J —
дх
дп
дх
дУ
ду
B2,6)
нигде не обращается в нуль. В самом деле, разделяя в урав-
уравнении E,6) действительную и мнимую части, получим
дх
B3,6)
Я
Подставляя полученные отсюда выражения для ■— и -^
*) В некоторой окрестности любой точки (х0, у0) рассматриваемой
области можно найти аналитическое решение ср (х, у) уравнения E,6),
дер дф
у которого в этой окрестности—- и ~ не обращаются одновременно
в нуль. Это можно сделать, например, по теореме Ковалевской, за-
задавая при х = х0 значения ф(х,)/) так, чтобы ф^ (хо> у0) Ф 0. Мы пред-
предположим, что cp(x, у) есть такое решение.

72 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
в якобиан B2,6), получим
Отсюда видно, что этот определитель может равняться нулю
только в тех точках, где
ду Ъ~у '
следовательно, в силу уравнений B3,6), где
А таких точек в рассматриваемой области нет, так как в них
мы имели бы
Разделяя в тождестве
действительные и мнимые части, получим
В силу определенности формы
Ла2 + 2Бар + ^Р2 {В2 — АС < 0),
правая и левая части равенства B4,6) могут обратиться в
нуль только в том случае, если
Но мы выбрали функцию ср (х, у) таким образом, что равен-
равенства B6,6) не выполняются одновременно. Таким образом, в

§ 7] ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ СИСТЕМЫ 73
уравнении C,6) коэффициенты при -гр- и -^-2 совпадают и не
равны нулю; поэтому уравнение C,6) приводится к виду
д2и *д2и р ft * и ди ди
Этот вид эллиптического уравнения называется его канони-
каноническим видом.
Мы привели уравнение к такому виду в окрестности не-
некоторой точки (хо>уо), в которой существует аналитическое
решение уравнений E,6) с отличными от нуля производными.
Другими более сложными рассуждениями можно показать, что
такое приведение возможно без предположения аналитичности
А (х, у), В(х,у), С(х, у), а только в предположении, что
они имеют непрерывные производные до второго порядка
включительно.
§ 7. Приведение к каноническому виду
системы линейных уравнений с частными производными
первого порядка по двум независимым переменным
Мы будем рассматривать систему уравнений
(/=1, 2,...,/г).
Линейны ли /{ относительно и19 и2, .. ., ип или нелинейны,
нам безразлично. Будем предполагать, что коэффициенты
а(у(х,у) действительны и в некоторой области G на плос-
плоскости (ху у) имеют непрерывные частные производные по х
и у до &-го порядка включительно (k^ 1). Тогда при неко-
некоторых дополнительных предположениях, которые у нас на-
напечатаны дальше курсивом, систему A,7) в некоторой окрест-
окрестности произвольно взятой внутри G точки А можно привести
линейным неособым преобразованием неизвестных функ-
функций и1У ...,ип с коэффициентами, имеющими столько же
непрерывных производных, как и коэффициенты йи(х^у)%

74 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ.
к каноническому виду
+rt(x,y,vx vm),
^+Ux,y.vt va),
X. (*, y)
+^
*,J',*',. .••.«„>• B,7)
Здесь X, (x, j>), ..., \k (x, у) — корни определителя матрицы
\\а„(х,у)\\ — 1Е, C,7)
«■i(x,y)> P/(*»>)» •••» «/(■'f.J') — некоторые довольно про-
произвольные функции, имеющие непрерывные производные до
fe-ro порядка включительно и нигде в рассматриваемой окрест-
окрестности точки А не обращающиеся в нуль. Функции vt, X,-, alt
р,,..., в)/,/,*, '••>/„, вообще говоря, могут быть комплексными

§ 7] ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ СИСТЕМЫ 75
функциями их аргументов. Если /,, . ..,/„ имели непрерыв-
непрерывные производные q-ro порядка, то /*,...,/* будут иметь
непрерывные производные до порядка min {q, k—1} вклю-
включительно.
Рассматриваемые нами системы A,7) и B,7) отличаются
от системы линейных обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений
с постоянными коэффициентами а у и соответствующей ей
канонической системы A33), описанной в § 43 моего курса
обыкновенных дифференциальных уравнений (Гостехиздат,
1952), только тем, что вместо ^— в левых частях соответ-
соответствующих обыкновенных уравнений написано -т-, а вместо j-
в соответствующих обыкновенных уравнениях подразумевается
множитель 1. При этом у системы обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений A33) коэффициенты постоянны и функ-
функции / и /* зависят только от одного независимого перемен-
переменного, а у соответствующих рассматриваемых нами уравнений
с частными производными коэффициенты при производных
зависят от двух независимых переменных, функции же/и/*
зависят кроме этих двух независимых переменных еще от
всех неизвестных функций.
Приведение системы A,7) к каноническому виду B,7)
производится совершенно той же заменой неизвестных функ-
функций, как это сделано в § 44 моего курса по обыкновенным
дифференциальным уравнениям для системы линейных урав-
уравнений с постоянными коэффициентами. Единственное, о чем
теперь следует позаботиться, это доказать, что вблизи точки А
коэффициенты линейного преобразования, описанного в § 44,
являются такими же гладкими функциями (х, у), как и коэф-
коэффициенты а^(х, у) системы A,7). Для этого нам придется
несколько повторить этот § 44.
Мы будем пользоваться методом полной математической
индукции. При п=\ доказываемое нами утверждение о воз-
возможности приведения системы A,7) к виду B,7) линейным
преобразованием с гладкими коэффициентами очевидно.

76 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
Допустим, что оно верно для числа уравнений, равного п— 1.
Докажем, что оно верно и для числа уравнений, равного п.
Умножим /-е уравнение системы A,7) на k(, где kt — не-
некоторые дифференцируемые функции в окрестности точки А,
которые будут определены позже. Полученные уравнения
просуммируем по всем / и результат запишем в виде
Ох
', / i i i, /
Определим теперь &,. так, чтобы тождественно по Uj было
где X— некоторая дифференцируемая функция (лг,_у), дейст-
действительная или комплексная. Для этого, очевидно, необходимо
и достаточно, чтобы коэффициенты при одинаковых Uj в обеих
частях этого тождества были одинаковы, т. е. чтобы было
r/*/t /=1|2, ..., л. F,7)
Таким образом, для определения kv k2, . ..,&„ мы получим
систему п линейных однородных уравнений с п неизвестными.
Чтобы эта система имела нетривиальное решение, которое
только и будет для нас представлять интерес, необходимо
и достаточно, чтобы определитель, составленный из ее коэф-
коэффициентов, был равен нулю. Это условие можно записать так:
\\Е-\\а„\\ |=0. G,7)
Матрица \Е—Ця/yU называется характеристической мат-
матрицей системы A,7).
Пусть X,—один из корней уравнения G,7). Предполо-
Предположим, что в рассматриваемой окрестности точки А каждый
корень уравнения G,7) имеет одинаковую кратность для
всех точек этой окрестности. Пусть Х1 имеет в этой
окрестности кратность аг Тогда в этой окрестности X, удов-

§ 7] ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ СИСТЕМЫ 77
летворяет алгебраическому уравнению
/<e'-|>(Xf*,jr) = Of
где f{k) (к, ху у) есть производная /г-го порядка по \ от левой
части уравнения G,7). При этом во всей этой окрестности
Поэтому согласно известной теореме о неявной функции Х1 (дс, у)
в окрестности точки А будет иметь такую же гладкость,
т. е. столько же непрерывных производных по х, у, как и
коэффициенты aty.
Предположим еще, что в рассматриваемой окрестности
точки А матрица
где \k — корень уравнения G,7), имеет один и тот же
ранг гл*). Тогда в этой окрестности точки А система F,7)
при \ = \1 имеет решение, состоящее из функций, нигде в
окрестности точки А не обращающихся в нуль одновременно,
причем эти функции имеют такую же гладкость, как и ai;..
Обозначим их через ku . Чтобы найти такие kx0 заметим
следующее. Раз матрица (8,7) имеет всюду в окрестности А
ранг г^ то у точки А существует такая окрестность, в ко-
которой какие-то п — г, определенных уравнений системы F,7)
являются следствиями остальных гх уравнений. Поэтому вся-
всякая система функций kxi, удовлетворяющих в некоторой ма-
малой окрестности точки А этим гх уравнениям, будет удов-
удовлетворять всей системе F,7). Для того же чтобы найти ре-
решение этих г, уравнений (будем для краткости называть их
уравнениями CJ, заметим следующее. Так как ранг матрицы
(8,7) при Х = Х, равен /-,, то из столбцов матрицы, состав-
составленной из коэффициентов системы С,, можно составить квад-
квадратную матрицу с неравным нулю определителем в некоторой
окрестности точки А. Функции kliy являющиеся множителями
у этих столбцов, будем считать неизвестными. Остальные же
ku положим равными произвольным, не равным одновременно
*) Легко показать, что rk^n—- ak. В самом деле, производная
порядка ak no \ от определителя G,7), как легко видеть, есть при
l=z\k линейная комбинация миноров порядка {п — ak) определителя
(8,7). Так как эта производная не равна нулю, то один из миноров
порядка (п — ak) матрицы (8,7) не равен нулю.

78 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
нулю, постоянным. Для определенности положим их все рав-
равными 1. Тогда система С, единственным образом определяет
все другие &1/Г, как функции, имеющие такую же гладкость,
как и а,у.
Итак, мы нашли в некоторо1 окрестности точки Л функ-
функции ku(/=1,2, ...,л), которые нигде в этой окрестности
не обращаются в нуль одновременно и которые имеют такую
же гладкость, как и aif. Для определенности положим, что
kn=^=0 в точке Л. Очевидно, это нисколько не ограничивает
общности, так как мы всегда можем достигнуть этого изме-
изменением нумерации uh что сводится к неособому линейному
преобразование иг Положим далее
Очевидно, функция гл (х, у) удовлетворяет уравнению
где
fi(x,y, zx% иг «„)==
(см. формулу E,7) и предшествующее ей равенство).
Далее все рассуждения § 44 моей книги по обыкновенным
уравнениям применяются без каких-либо существенных изме-
изменений*). Эти рассуждения значительно упрощаются в случае,
когда все корни ). уравнения G,7) различны, и мы проведем
их здесь до конца. В этом случае каждому корню X,., /=1,
2, ..., я, этого уравнения соответствует система функций
k{j(x, у), J— 1, ..., я, определенная по \( так же, как прежде
*) Заметим, что для системы, состоящей из п — 1 уравнений,
которую мы, как и в § 44 моей книги по обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнениям, должны будем записать в каноническом виде,
справедливы предположения, напечатанные курсивом, и поэтому, по
предположению индукции, такую систему из п — 1 уравнений можно
записать в каноническом виде. Это легко проверить, выражая мат-
матрицу || Л/у || — IE через соответствующую матрицу преобразованной
системы, аналогичной A34*) § 44 книги «Лекции по теории обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений».

§ 7] ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ СИСТЕМЫ 79
были определены функции kxf (х, у), /=1, ..., л, по 1Х.
Функции k(j (x, у) имеют столько же непрерывных производ-
производных, как и als(x, у). При этом
Ъх—^ду \ '1*~>У>и1'--->ип) (/=1,2,...,л),
где
*/ = 2 kifuf ('=!> 2,..., л).
/=»
Остается показать, что 1^1^=0. Допустим противное, т.е.
что в некоторой точке (л:0, з*0) той области, где определены
все ktj(xy у), \ку(х°9у°)\ = 0. Тогда существуют такие по-
постоянные С5, не все равные нулю, что
2 СА/(*•.>•) = 0 (г = 1,2,...,л). (9,7)
S
Умножая г-е из этих равенств на aif и суммируя по /, получим
=2 с* S *«/ (Л°> >•> ev (х°' ^0)=S с^ (А:°' ^0) *»/{хЛ- уО)>-
si s
Последний переход мы сделали, используя соотношение
К Kf == 2 ^si аН»
аналогичное F,7).
Таким образом, мы получили равенства, аналогичные (9,7),
где вместо Cs написано Cs\s(x°,y°). Аналогично получим
^Cslf(x\y°)ksi(x\y°) = 0 при Я1 = 2,3, .... л—1.
Так как определитель, составленный из коэффициентов при
Csksi(x°, y°) в этих равенствах (определитель Вандермонда),
отличен от 0 при различных \9 ..., Хп, то мы получаем
отсюда, что при всех s и /
что невозможно.
Замечания. 1) Легко видеть, что все приведенные выше
в этом параграфе рассуждения справедливы и в том случае,

80 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
когда коэффициенты а- и ft — комплекснозначные функции.
В дальнейшем, однако, мы будем предполагать, чтоа^,/,- —
действительные функции.
2) Если уравнение G, 7) имеет только различные и дейст-
действительные корни во всей рассматриваемой области G, то из
предыдущих рассуждений следует, что в окрестности точки А
каждому корню \{ соответствует единственное, с точностью
до знака, решение kh, kiv ..., kin системы F,7), у которого
п
в этой окрестности 2 Щ-= 1 и функции kty имеют такую же
гладкость, как и аи (ср. примечание на стр. 77). Пользуясь
этим, можно показать, что при указанных условиях во всей
области G, если эта область односвязна, существует неосо-
неособое линейное преобразование неизвестных функций, приво-
приводящее систему A,7) к каноническому виду B,7). При этом
коэффициенты этого преобразования имеют всюду такую же
гладкость, как и а^, а система B,7) принимает вид
(/=1, 2 л).
3) Если во всей рассматриваемой области G на плоскости
(х, у) уравнение G,7) не имеет действительных корней X, то
система A,7) называется в этой области эллиптической.
Если во всей этой области существует линейное неособое
преобразование искомых функций ui с действительными коэф-
коэффициентами такой же гладкости, как и а^ (х, у), приводящее
систему A,7) к виду A0,7), то система A,7) называется
гиперболической в области G.
Если же во всей области G все корни X уравнения G,7)
действительны и различны, система A,7) называется гипер-
гиперболической в узком смысле. Из предыдущего замечания
следует, что система, гиперболическая в узком смысле в
односвязной области G, гиперболична в этой области.
Точно так же общая линейная система уравнений с част-
частными производными по двум независимым переменным

§ Г]
ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ СИСТЕМЫ
81
называется эллиптической в области О, если во всей этой
области определитель матрицы
не имеет действительных корней X.
Если же все корни этого определителя действительны и
различны, то система A1,7) называется гиперболической в
узком смысле.
Задача. Покажите, что если система A1,7) гиперболична
в узком смысле в односвязной области О, то в этой области
гиперболична система уравнений первого порядка, построен-
построенная по уравнениям A1,7) так же, как система E,2) была
построена по уравнению C,2).
4) Если все корни уравнения G,7) действительны, то и
преобразованную систему B,7) можно сделать действитель-
действительной; для этого надо выбрать действительными коэффициенты
линейного преобразования от функций и{ к функциям vh что
в этом случае всегда возможно.
Если же уравнение G,7) имеет комплексные корни, го эти
корни распадаются на пары комплексно сопряженных корней.
Тогда систему B,7) можно построить так, что каждому урав-
уравнению вида
в этой системе будет соответствовать комплексно сопряжен-
сопряженное уравнение, т. е. уравнение
где
v( = vk; kt-= kk; f{(x, y, vl7 ..., vn)=fk (jc, yy г/,,. . ., v )•
Отделив в этих уравнениях действительные и мнимые части
и положив
6 И. Г. Петровский

82 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
получим
0^ — п и
дх ~ak ду ~Dk~df
= b + а
Простейшей системой такого вида является известная система
уравнений Коши — Римана
дту
Аналогично распадаются на действительную и мнимую
части уравнения вида
dvk
Таким образом, доказывается, что систему A,7) можно при-
привести линейным неособым (почему?) преобразованием с дейст-
действительными гладкими коэффициентами к новому каноничес-
каноническому виду, где все уравнения в отличие от уравнений B,7)
обязательно действительны. (Ср. замечание к § 47 моих
«Лекций по теории обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений», Гостехиздат, 1952.)
5) Рассмотрим гиперболическую (в узком смысле) квази-
квазилинейную систему вида
дщ _
ди.
-\-/<(х>У, «!•..-,«„) A2,7)
(/=1, ..., п).
Для такой системы величины I и kit входящие в уравнения
F,7), G,7), зависят не только от х, у, но и от uv ..., ип;
мы предполагаем, что в некоторой области изменения пере-
переменных х,у, ил, ...,ип все корни уравнения G,7) действи-
действительны и различны.
Пусть kjv . .., kjn — нетривиальное решение системы F,7)
при Х=Х/(у=1, ..., п). Умножая ;-е уравнение A2,7) на

§ 7] ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ СИСТЕМЫ 83
kn и суммируя по всем /, получим
Л(*.* «„•...«„)(/= 1,...,я). A3,7)
В каждом из уравнений системы A3,7) содержатся производ-
производные от всех неизвестных функций только по одному направ-
направлению.
В случае п = 2 система A3,7) может быть приведена к
виду, аналогичному A0,7). Обозначим через \i/(x,y, ult u2)
частное решение уравнения
и введем вместо функций uf новые неизвестные функции
vf{x, у, ult u2) такие, что
dvf
o£ = V;bfl (/,/=1,2). A5,7)
Соотношения A5,7) непротиворечивы, так как jiy удовлетво-
удовлетворяют уравнениям A4,7). Умножая у-е уравнение системы
A3,7) на |iy(y= 1, 2), приходим к следующей канонической
системе уравнений для vv v2:
dv 4 dv /
5Г = х/д7+/;(^^^^) 1/=1.2). A6,7)
Функции vf часто называют обобщенными инвариантами
Римана.
При л>2 приведение системы A2,7) к виду A6,7),
вообще говоря, невозможно.

ГЛАВА II
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
РАЗДЕЛ I
ЗАДАЧА КОШИ В ОБЛАСТИ НЕАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 8. Корректность постановки задачи Коши
Теорема Ковалевской утверждает существование аналити-
аналитического решения задачи Коши для аналитических уравнений
при аналитических начальных данных. Многие задачи физики
сводятся к задаче Коши для аналитических уравнений при
начальных данных, дифференцируемых несколько раз, но не
аналитических. На первый взгляд кажется естественным та-
такой метод решения этой задачи. Заданные начальные фун-
функции и их производные приближаем многочленами. По теореме
Вейерштрасса такие многочлены можно выбрать так, что на
всей рассматриваемой части плоскости t = t01 где задаются
условия Коши, разность между этими многочленами и со-
соответствующими заданными функциями будет как угодно мала.
По теореме Ковалевской для аналитических уравнений можно
решить задачу Коши, если заменить прежние начальные
условия новыми, аппроксимирующими прежние. Казалось бы,
естественно ожидать, что это решение новой задачи Коши
с начальными условиями в виде приближающих многочленов
близко к решению той же задачи при прежних начальных
данных, по крайней мере вблизи той части плоскости t = t0,
где задаются условия Коши. Но Адамар построил пример,
который показывает, что дело иногда обстоит совсем не так.
Рассмотрим следующую задачу Коши. Требуется найти
решение уравнения Лапласа
д*и \д2иа я

§ 8] КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ КОШИ 85
удовлетворяющее при £ = 0 условиям
B,8),
^x, B,8)t
где п и k — положительные постоянные. Легко проверить,
что решением этой задачи будет
u(t, x)=—r—sh nt sin nx. C,8)
Так как
то при достаточно большом п абсолютная величина ut@t x)
будет всюду как угодно мала. Решение же u(t, x) рассматри-
рассматриваемой задачи Коши, как показывает формула C,8), будет
принимать как угодно большие значения при произвольно
малом t, если п достаточно велико. Дело не изменится, если
мы потребуем, чтобы не только |tt't@, x)\ был всюду мал,
но чтобы были малы и все производные от ut(Q, x) по х до
порядка k—1; здесь k — любое целое положительное число,
большее 1. Мы не говорим о малости начальных значений
самой функции и, так как по условию B,8), они всюду
равны нулю.
Допустим, что мы нашли решение задачи Коши для
уравнения A,8) при некоторых начальных условиях
и@, х) = <ро(х),
МО, x) = <tt(x).
Пусть это будет функция ио (t, x). Тогда для начальных
условий
в@э *) = <ро(лг); ut@, *)=¥, (x)-\--^slnnx
решением задачи Коши будет функция
М*> x)+^kTish nt sin пх*
Таким образом, очень малое изменение начальных функций

86 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
и их производных до порядка k—1, полученное прибавле-
прибавлением к прежним начальным условиям функций B,8^ и B,8J,
может повлечь за собой как угодно большие изменения ви-
вида C,8) решения задачи Коши и притом в какой угодно
близости от начального значения ^ = 0.
Будем говорить, что задача Коши в некоторой замкнутой
области С пространства t, хг, ..., хп, прилегающей к области
Сп на гиперплоскости t = i0, где задаются условия Коши,
для системы линейных уравнений вида
!» ь • • » Хп)
Ot ки ... ,кп
dku
/=1, 2, ..., /V, *0 + ^+...+*„ = *<«,, К<п1
поставлена корректно, если существуют такие целые поло-
положительные Z,3 и 12, что
1) для любых непрерывных вместе с их производными
до порядка I, функций (^(л;,, ..., xn)t заданных в Со, в
области G существует единственное решение системы D,8),
удовлетворяющее при t = t0 условиям:
д-~1=Ч?} (*„ х„ ...,*„) (Л = 0, 1, .... Л/— 1), E,8)
2) для любого положительного е можно указать такое
7]^>0, что во всей области С решение задачи Коши изме-
изменится меньше чем на s, если в области Со функции <pW и
все их производные по х„ ..., л;га до порядка L2 изменятся
меньше чем на 7].
Обычно условия Коши определяются из опыта и потому
не могут быть найдены с абсолютной точностью. Ввиду
этого для физики (мы всюду понимаем слово «физика» в са-
самом широком смысле) представляют интерес решения задачи
Коши только для таких уравнений, для которых эта задача

§ 8J КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ КОШИ 87
поставлена корректно. Как показывает пример Адамара, за-
задача Коши поставлена корректно далеко не для всех уравне-
уравнений*).
Приведенные выше соображения о корректности постановки
задачи Коши показывают, что и другие краевые задачи для
уравнений с частными производными представляют интерес
для естествознания только в том случае, если имеет место,
в некотором смысле, непрерывная зависимость решения от
краевых условий, корректность**) постановки задачи. Для
каждого типа уравнений существуют свои корректно постав-
поставленные краевые задачи.
Почти во всех до сих пор рассмотренных случаях форму-
формулировки таких задач подсказаны физическими рассмотрениями.
В частности, такими корректно поставленными задачами явля-
являются задачи, приведенные в § 1.
В настоящей главе корректность постановки задачи Ко-
Коши доказывается для волнового уравнения в пространстве
при подходящем наклоне плоскости — носительницы началь-
начальных данных — и для линейных гиперболических систем урав-
уравнений с частными производными первого порядка по двум
независимым переменным. Согласно сказанному в условии за-
задачи к замечанию 3) в § 7 отсюда следует также корректность
постановки задачи Коши для общих линейных гиперболических
Э узком смысле систем вида A1, 7) с частными производными
по двум независимым переменным в односвязной области.
*) Интересно отметить, что если рассматривать решения задачи
Коши для уравнения Лапласа в классе функций, ограниченных по
абсолютной величине наперед заданной постоянной, то малым изме-
изменениям начальных условий будут соответствовать малые изменения
решения; см., например, М.М.Лаврентьев, ДАН 106 A956),
№ 3, стр. 389 — 390.
**) В каждом конкретном случае понятие о корректной поста-
постановке задачи должно быть точно определено.
При определении корректности постановки задачи Коши для не-
нелинейных уравнений естественно рассматривать в качестве возмож-
возможных начальных функций ffi (х1У ..., хп) только функции, близкие
к каким-нибудь определенным функциям yjk) (х„ ..., хп). Может
оказаться, что вблизи одной системы функций <р^ (xv ..., хп) за-
задача Коши поставлена корректно,, а вблизи другой системы функций
¥/ (*ц ..., хп)—некорректно.

88 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
§ 9. Понятие об обобщенных решениях
В предыдущем параграфе мы говорили о корректности
постановки задачи Коши при достаточно гладких начальных
данных. Однако физические задачи далеко не всегда приво-
приводят к начальным условиям, достаточно гладким для того,
чтобы можно было утверждать существование решения соответ-
соответствующей задачи. Если начальные данные не являются не-
непрерывными и дифференцируемыми достаточное число раз,
то часто может не существовать и дифференцируемое
решение соответствующей краевой задачи. В этом случае
весьма полезным оказывается применение так называемых
«обобщенных решений» дифференциальных уравнений.
Теория обобщенных решений уравнений с частными про-
производными была разработана С. Л. Соболевым в 30-х годах.
Такие решения определяются либо как предел последователь-
последовательности обычных решений, либо при помощи интегральных
тождеств.
Рассмотрим в качестве примера задачу Коши для урав-
уравнения
да_да n q,
Tt — Tx A'9)
при начальном условии
и@, *) = ¥(*), B,9)
где ср (л:) — непрерывно дифференцируемая функция на от-
отрезке а^х^Ь. Как нетрудно проверить, решением этой
задачи в области D {а <^ х -{- t <Т^1Шляется функция
C,9)
Пусть теперь функция ср (х) на отрезке [а, Ь\ непрерывна,
но не дифференцируема. Известно, что такую функцию
можно представить как предел равномерно сходящейся на
отрезке [а, Ь\ последовательности функций <fik)(x)y имеющих
непрерывные производные. При этом соответствующие реше-
решения y(k) (х -f-1) уравнения A,9) будут равномерно в D схо-
сходиться к функции C,9). Это дает основание функцию C,9)
также считать решением уравнения A,9) в обобщенном
смысле.
Определение 1. Система функций (и,, ..., им) назы-
называется обобщенным решением некоторой системы диффереп-

§ 9] ПОНЯТИЕ ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ 89
циальных уравнений в области О, если существует беско-
бесконечная последовательность решений (и&\ ...,. и^) этой
системы, равномерно сходящаяся к (и19 ..., Un)^. e. если
N
sup £ \ut (Р) — u<f> (Я) | —^ 0 при k—» оо.
Замечание. Иногда систему функций (и19 ..., uN)
называют обобщенным решением какой-либо системы диффе-
дифференциальных уравнений также и в том случае, если некоторая
последовательность обычных решений (и^\ ..., uffl) схо-
сходится к (и,, ..., им) в среднем, т. е. если
N
[ui(P) — ujk)(P)]2dP—+0 при к—*оо.
Так определенные обобщенные решения могут быть даже
разрывными. (См. С. Л. Соболев, Уравнения математи-
математической физики, Гостехиздат, 1954 (особенно стр. 314, 322,
329) и С. Л. Соболев, Некоторые применения функциональ-
функционального анализа в математической физике, Л., 1950.)
Расширение класса решений той или иной краевой за-
задачи представляет интерес только в том случае, когда при
этом расширении сохраняется единственность решения. Для
наиболее типичных краевых задач уравнений с частными про-
производными С. Л. Соболев доказал существование и единствен-
единственность их обобщенных решений. При этом приходится особо
определять, как надо понимать краевые условия для обобщен-
обобщенных решений.
Для линейных однородных эллиптических и параболиче-
параболических уравнений с достаточно гладкими коэффициентами вве-
введение указанным выше способом обобщенных решений не
расширяет класса обычных решений этих уравнений (ср.
теорему 4 § 30). Для гиперболических же уравнений это
расширение существенно, как показывает уже рассмотренный
нами простейший пример.
Введение обобщенных решений удобно тем, что для суще-
существования обычных решений основных краевых задач прихо-
приходится на функции, задаваемые на границе рассматриваемой об-
области, налагать иногда весьма жесткие условия гладкости, в то

90 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. П
время как для существования обобщенных решений такой
гладкости от заданных на границе функций не требуется.
Так, обобщенное решение задачи Коши A,9), B,9) существу-
существует, как мы видели, при любой непрерывной функции ср (х).
Рассмотрение обобщенных решений уравнения A,9) тем
более естественно, что обычно сама функция ср (х) нам бы-
бывает известна только приближенно. Поэтому соответствующая
функция u(t, х), даваемая формулой C,9), также является
только некоторым приближением к точному решению постав-
поставленной задачи. Нам совершенно безразлично, является ли
это приближение обычным или только обобщенным решением
уравнения A,9). Важно, что оно мало отличается от истин-
истинного решения, если функция ср (х) равномерно мало отличается
от истинного начального значения и@, х).
Другой способ введения обобщенных решений, также
принадлежащий С. Л. Соболеву, состоит в использовании
интегральных тождеств, которые для обычных решений явля-
являются следствиями рассматриваемых уравнений. Этот способ
введения обобщенных решений, получивший в настоящее
время широкое распространение, мы рассмотрим на примере
линейного уравнения первого порядка.
Пусть функция а(хх1 ..., хп) в области D непрерывно
дифференцируема и удовлетворяет уравнению
— /=2 1/"л7
+ b(xv .... хя)и=/(хг, ..., xn), D,9)
где at непрерывно дифференцируемы, а £ и/ непрерывны в D.
Умножим обе части D,9) на функцию а(х1Э ..., х„), непре-
непрерывно дифференцируемую в области D и обращающуюся в
нуль в окрестности ее границы; полученное равенство про-
проинтегрируем по области D. Интегрируя по частям, приходим
к соотношению
I \\[нМ(а)—/aj dxx ... dxn = 0, E,9)
D
где

§ 9] ПОНЯТИЕ ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ 91
Таким образом, всякое обычное решение D,9) удовлетво-
удовлетворяет равенству E,9). Но это равенство выполняется и для
более широкого класса функций и(хх, ..., хп)> так как ле-
левая часть E,9) не содержит производных от и. Поэтому
естественно следующее определение.
Определение 2. Функция и(х1У ..., хп) называется
обобщенным решением уравнения D,9) в области Z), если
выполняется равенство E,9) для всякой непрерывно диффе-
дифференцируемой функции а(хх, ..., хп), обращающейся в нуль
во всех точках области Ь, расстояние которых до границы D
меньше некоторого положительного числа р0 (р0 различные
для различных а).
При рассмотрении обобщенных решений краевых задач,
как уже говорилось, следует особо указывать, в каком смысле
понимаются краевые условия. Иногда эти условия (или часть
из них) можно учесть, видоизменив интегральное тождество,
определяющее обобщенное решение. Так, обобщенным реше-
решением задачи Коши для уравнения D,9) в области D полу-
полупространства хА ^ 0, граница Г которой содержит кусок Г,
гиперплоскости xl=01 с начальным условием
и@,хг, ..., хп) = у(х2У ..., хп) на Г1Э F,9)
называют кусочно непрерывную функцию и(хх, ..., хп)у
удовлетворяющую равенству
J)—/a] dxx ...dxa —
D
<?(*,. ..., *я)а@, *t, .... xn)dx2...dxn = 0 G,9)
при любой непрерывно дифференцируемой функции
o(xv ..., хп), обращающейся в нуль в окрестности Г—1\.
Задача 1. Покажите, что если функция и(хх, ..., хп)
непрерывно дифференцируема в замкнутой области v D и
является обобщенным решением задачи Коши D,9), F,9) в
смысле соотношения G,9), то эта функция удовлетворяет
уравнению D,9) и начальному условию F,9) в обычном
смысле.
Задача 2. Постройте обобщенное решение (в смысле
соотношения G,9)) задачи Коши для уравнении A,9)

92 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. I!
с начальным условием
// т г\ — 1~~1 при а: < О,
и\у, х) — ^ 1 при хуОв
Задача 3. Покажите, что если функция и (t, x) является
обобщенным решением уравнения D,9) в смысле определе-
определения 1, то эта функция является также обобщенным реше-
решением D,9) и в смысле определения 2.
§ 10. Задача Коши для гиперболических систем
с двумя независимыми переменными
1. Рассмотрим систему
N
дщ . дщ v^ . д, /1 10Ъ
ut их ^™ ' '
(/=1, 2, ..., N)*).
Мы будем предполагать, что во всей рассматриваемой
области она гиперболична, т. е. все Хг- — действительные
функции от t> х. Будем предполагать еще, что все ХД2, л:)
различны и перенумерованы в порядке их возрастания **).
*) Все последующие рассуждения настоящего параграфа с очень
небольшими изменениями применимы к системам вида
5г'-~х'35? = /'('' х* и» ••" Un) (/=1' 2' ••- N)
в предположении, что функции //(tjctav ..., uN) имеют непрерывные
производные до второго порядка включительно (ср. доказательство
существования решения уравнения
методом последовательных приближений).
**) Предположение о том, что все X,- различны, не является су-
существенным. Все дальнейшие рассуждения справедливы и в том
случае, когда ^которые X/ совпадают. Нужно только для определе-
определения области О вместо характеристики Lv выходящей из точки @,а),
взять решение уравнения
dx .
2^== — *mil1 (*> х)»
проходящее через точку @, а), где Xmin (^ x) = min\ll(tt x),...

§ 10] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ 93
Через каждую точку нашей области проходит N действи-
действительных характеристик Lt с угловыми коэффициентами
k== — г- по отношению к оси х (см. пример 5, § 3).
Если не делать предположения об аналитичности коэф-
коэффициентов системы A,10), то из теооемы Ковалевской нель-
нельзя сделать никаких вы-
выводов о разрешимости
задачи Коши для этой
системы. Мы предполо-
предположим, что в некоторой
замкнутой области С,
ограниченной отрезком
[а, Ь] оси Ох и характе-
характеристиками Z,, и LN, выхо-
выходящими соответственно
из точек @, а) и @, Ь) (рис. 2) *), функции aif% bt и X. непре-
непрерывны и имеют непрерывные первые производные. Зададим
на отрезке [a, b\ N непрерывно дифференцируемых функций
ср, (х), ..., <pN (х) и поставим для системы A,10) задачу Ко-
Коши таким образом:
Найти непрерывное в G решение uv u2, ..., uN систе-
системы A,10), имеющее в G непрерывные первые производные, и
такое, что при t = 0
('=1. •••> ЛО. B,10)
При сделанных предложениях поставленная задача имеет ре-
решение и притом только одно.
.... lN{t, х) (, и вместо Ln —»проходящее через точку @, Ь) реше-
решение уравнения
dx .
~ z=z — Am ax [t, X),
где Xmax(f,x) = max{ \(t> x\ ..,, lN(t, х)\. Функции Xmin (t, x) и
Xmax {t, x) непрерывны и, как легко показать, удовлетворяют усло-
условию Липшица по t, если все X,- непрерывны и имеют по t ограни-
ограниченные производные.
*) Линии Lx и 1дг не обязательно пересекаются. Соответственно
этому область О может быть бесконечной. Для дальнейшего сущест-
существенно, чтобы область О была ограниченной. Этого всегда можно дос-
достигнуть, ограничив О в случае надобности прямой t=T.
Все дальнейшие рассуждения были бы также применимы, если
бы область G была расположена в полуплоскости t < 0.

94 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Доказательство. Рассмотрим /-е уравнение системы
A,10). Его левая часть с точностью до множителя есть про-
производная функции и{ (ty х) вдоль кривой L(. Действительно,
если обозначить через а,- угол между касательной к кривой Lt
в точке (t, x) и осью Ох, то, как было указано,
Следовательно,
1
cos ai = ' ; sin cni =
и
diij / дн/ ч дщ \ 1
Мы обозначили здесь через st длину дуги характеристики Lt
^— означает дифференцирование по направлению характерис-
тики Lr
Можно переписать систему A,10) в виде
Если обозначить через й^и,- дифференциал функции ui при
движений вдоль кривой Li% то из C, 10) получим
и так как dsl = ']/'l -\-\*dt, то
* (*=1, 2, .... АО- D,10)
Зафиксируем теперь произвольную точку (/, л:) области G
и обозначим через Ii часть соответствующей кривой L. от
точки (t, х) до ее пересечения в некоторой точке @, х{)
с отрезком [а, Ь\ оси ^ = 0 (см. рис. 2). После этого проин-
проинтегрируем /-е соотношение формулы D,10) по дуге 1{ от

§ 10] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ 95
точки @, л;,.) до точки (t> х). Получим систему интеграль-
интегральных уравнений
и,(*, х) — щ@, xt) =[(% V/ + bi dt
1 1
к V 1
(/==1, 2, .... ДО,
или, в силу начальных условий B,10),
ЩС. х) = <р,(хЦ + J ( %aif и, + b,\ dt. E,10)
/ n
Очевидно, что всякое решение системы A,10), удовлетворя-
удовлетворяющее начальным условиям B,10), является решением сис-
системы E,10). Обратно, если мы имеем решение системы ин-
интегральных уравнений E,10), причем функции, составляю-
составляющие это решение, имеют в G непрерывные производные по t
и по х, то, произведя действия, обратные тем, с помощью
которых мы перешли от A,10) к E,10), мы убедимся, что
решение системы E,10) является также решением поставлен-
поставленной задачи Коши. Задача свелась, таким образом, к доказа-
доказательству существования непрерывно дифференцируемого ре-
решения системы E,10).
Построим последовательные приближения к решению сис-
системы E,10) следующим образом: положим
P (/=1 АО,
5 ^,(*, x)uf^rbi(t> x)]dt
(i=l, 2, ..., N)
и вообще
at+ 'V, х) = <р, (хЦ + J [ ^ а„ (t, х) и/"' + bt (t, x)\ dt

96 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. I)
Последнее равенство точнее надо было бы записать так:
uin+1\t, х) = ъ[х(@, t, *)] +
' N
+ J[2 Мт> xi^ *> *))«/%, х^ и +
о /'—1
A=1, 2, ....
Мы считаем, что x = x((t, fy x°) есть уравнение характе-
характеристики Lt, проходящей через точку (/°, л:0). Если мы дока-
докажем равномерную сходимость последовательностей и\п) (t, x)
в замкнутой области С, то система предельных функций
u{(t, x) будет удовлетворять уравнениям E,10). Равномер-
Равномерная сходимость последовательности ujn) (t, x) эквивалентна
равномерной сходимости ряда
«Г С *)+ S Ы"+1)«, x)-ujn)(t, х)]. F,10)
Для доказательства равномерной сходимости этого ряда по-
построим для него числовую мажоранту. Так как функции
uf\t, x) и и^Р (t, x) непрерывны в замкнутой области G, то
они ограничены в этой области.
Положим
в области G. Тогда
\uf\t, Х)]*£М,
(t, x)€O.
Обозначим тах|а,у[ в области О для всех /, /=1, ...,
через А. Тогда
\uf\t, x) — uP(t, J
\uf\t, x) — uP(t, x
5 I I«//1 • I «f - «У I * < 2 M^'TV11

§ 10] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ 97
Предположим теперь, что
Тогда
Итак, согласно методу математической индукции, для любого п
Но область G ограничена и, взяв фиксированное число Г,
превосходящее все значения t в этой области, мы получим,
что во всей области G
~ о v (ЛАТ)" 1а л m
Так как числовой ряд ^—г"^ сходится, то ряд F, 10) схо-
сходится равномерно во всей замкнутой области G, что и доказы-
доказывает существование и непрерывность решения системы E,10).
Докажем теперь единственность непрерывного в G и, сле-
следовательно, ограниченного решения системы E,10). Допус-
Допустим, что мы имеем два таких решения системы E,10)
uv ..., uN и uv ..., uN> Подставляя оба решения в систе-
систему и вычитая друг из друга соответствующие уравнения, по-
получим
и{ (ty х) — щ (*, х) = J 2 аи (и, — uf) dt.
Допустим теперь, что
max \ut — ut\ =/И^>0.
(л:, 0 e~G
Тогда, произведя повторные оценки разности |м,.(^, х) —
— и(у, х)\, как это делалось при доказательстве существо-
существования, мы получим, что
7 И. Г. Петровский

98 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
для любого /z, что приводит к противоречию, как только п
станет достаточно велико. Следовательно, М=0 и
«Д*. *) = «,(*, х) (/=1, 2, ..., А/),
т. е. решение единственно.
Чтобы закончить доказательство, нам осталось убедиться,
что найденные функции иД/, л:) имеют непрерывные первые
производные по t и х. Очевидно, для этого достаточно до-
доказать, что функции U'(t, x) имеют непрерывные первые
производные по направлению /,- и по л; в каждой точке, так
как из этого и из гладкости 1{ следует непрерывность произ-
производных по / и х во всей области О.
Существование и непрерывность производных иД*, л:)
вдоль I; непосредственно вытекает из системы E,10) и не-
непрерывности полученного решения. Для того чтобы доказать
ди.'
существование и непрерывность производных ~ , заметим
ох
сначала, что из предположенной непрерывной дифференциру-
емости <рДх), ХД/, х), atj (t, x), ^Д/, х) следует, что все
приближения, построенные при доказательстве существова-
существования решения, имеют непрерывную производную по х. Про-
Продифференцируем по х равенство> определяющее (я-[-1)-е
приближение. Получим
х<{*> *>х)
(i=l, 2, .... Л0.
*) Координата х/ точки пересечения // с прямой t=zx является
непрерывно дифференцируемой функцией t и х в силу предполо-
предположенной непрерывности производных от \{. Пределы интегрирования
по t в криволинейном интеграле не меняются с изменением х.

§ Ю] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ 99
В силу сделанных относительно системы A,10) предположе-
предположений можно доказать равномерную сходимость последователь-
диР>
ности -~—(л=1, 2, ...) в точности тем же методом, каким
ох
доказывалась сходимость и\ , причем в оценках изменятся
ди\п) ди.
только константы. Поэтому lim —г— = ^ и эта функция
п —> со 0Х Ох
непрерывна, что и требовалось доказать.
Если бы функции <f{(x) были только непрерывны и не
имели производных, то построения, описанные в начале на-
настоящего параграфа, дали бы только обобщенные решения
системы A,10) (ср. следующий пункт).
2. Мы доказали существование и единственность решения
задачи Коши для системы A,10) в классе функций, имею-
имеющих непрерывные производные 1-го порядка. Чтобы доказать
корректность поставленной задачи, докажем следующую тео-
теорему (ср. § 8).
Если начальные функции у((х) задачи Коши заменить
такими функциями ^i(x), чтобы они отличались от соот-
соответствующих yt(x) меньше, чем на г\, то функции v^t, х),
из которых составляется решение измененной задачи Ко-
Коши, будут отличаться от соответствующих и( (tt x) мень-
меньше, чем на s, причем е —► 0, если т) —► 0.
Положим
Ъ(х) — <М*) = Ч/(*), G,Ю)
ut(t, x) — vi(t1 x)=zt(t, х).
Функции z^ty x) удовлетворяют интегральным уравнениям
*t С. х) = Ч|. (х£) + J ( 2 *//*/) Л- (8,10)
L !-1
Положим
max _ \z( (t, x)\=e.
1 = 1, . .., N
Тогда, повторяя оценку, проведенную при доказательстве су-
существования решения, получаем
1 (9,10)

100 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Пользуясь неравенством (9,10) и снова оценивая |££-(/, х)\
с помощью уравнения (8,10), получим,
\z,it, *)|<чA + ^р
Повторив эту операцию п раз, мы докажем неравенство
Переходя к пределу при п—* оо, мы получаем
s ^ t[eANT.
Отсюда видно, что е—► 0 при г\—► 0, так как еААГ — посто-
постоянная, не зависящая от 7).
Задача 1. Сформулируйте определение обобщенного ре-
решения задачи Коши для системы A,10) при условиях B,10)
с помощью интегрального тождества аналогично тому, как
это сделано в § 9 для уравнения D,9).
Задача 2. Докажите единственность обобщенного ре-
решения задачи Коши A,10), B,10) в классе функций, не-
непрерывных и непрерывно дифференцируемых вне конечного
числа гладких линий.
Задача 3. Пусть обобщенное решение задачи Коши
A,10), B,10) имеет конечное число гладких линий разры-
разрыва первого рода, вне которых оно непрерывно дифференци-
дифференцируемо. Покажите, что эти линии являются характеристиками
системы A,10).
3, В заключение настоящего параграфа мы дадим краткое
описание метода конечных разностей, удобного для практи-
практического приближенного решения задачи Коши, поставлен-
поставленной в п. 1.
Пусть на отрезке fa, b\ оси Ох нам заданы начальные
функции <fj(x). Чтобы приближенно найти значения функций
tt/(^i *)> удовлетворяющих системе A,10) и при t = 0 при-
принимающих заданные значения ср/ (л:), мы поступим следующим
образом.
Зафиксируем некоторое целое число п и разобьем отре-
отрезок [а, Ь] на п равных частей длины /г== . После это-
этого проведем прямые x-=-a-\-ph и прямые t-=.qh для таких
целых значений ряд, чтобы область G, в которой ищется

§ 10] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ 101
решение задачи Коши (см. п. 1 настоящего параграфа), бы-
была покрыта квадратной сеткой со стороной квадрата, рав-
равной h. Занумеруем вершины квадратов двумя индексами, а
именно обозначим через Mpq точку пересечения прямых
X:==zaJ^ph и t = qh. Нам заданы значения искомых функций
u.(t, х) во всех точках Мр0: иДО, а + ph) = <р, (а + рЩ =
== cpf. (Ж 0). Опишем процесс, с помощью которого можно
приближенно найти значения и£. (tf, х) во всех вершинах сет-
сетки, лежащих внутри G. В каждой из точек Мро определены
коэффициенты системы A,10) и, в частности, N чисел
\{(М ) = \f°(i= 1, ..., N). Из каждой точки Мро прове-
проведем N отрезков прямых с угловыми коэффициентами
&f° = - до пересечения с прямой t = h и найдем зна-
значения tii(t, x) в противоположных концах соответствующих
отрезков. Для этого воспользуемся формой D,10) системы
A,10) и заменим дифференциал при движении вдоль харак-
характеристики Lt приращением, а соответствующее точное равен-
равенство— приближенным. Мы получим соотношение
позволяющее найти приращение функции Аи, при переходе
i
из точки М вдоль характеристики Lt (точнее, вдоль каса-
касательной к этой характеристике) на прямую t=-h.
Прибавив найденные приращения к исходным значениям
функции в точках Жр0, мы найдем значения каждой функции
и{ в точках прямой / = Л. При этом значения различных
функций будут определены, вообще говоря, в различных точ-
точках. С помощью какого-либо интерполяционного процесса по
найденным значениям ui на прямой t = h определим ее зна-
значения в точках М — вершинах сетки, лежащих на этой пря-
прямой. После этого можно продолжать определение значений
ai(t* x) тем же методом и определить эти значения в точ-
точках прямой t=2hy принадлежащих области G. Повторяя ин-
интерполяцию и дальнейшее определение значений и{((,х)
столько раз, сколько понадобится, мы найдем, таким образом,
приближенные значения всех функций u^t, x) во всех вер»
шинах квадратов, лежащих в области G.

102 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. I!
Можно показать, что при п—► оо приближенные значения
функций равномерно сходятся к пределу, дающему точное
решение задачи Коши, и, следовательно, при достаточно
большом п приближения, найденные описанным методом,
сколь угодно мало отличаются от истинного решения.
Если /V=2, процесс приближенного вычисления решения
задачи Коши значительно упрощается. Тогда имеются только
два семейства характеристик. Разбив отрезок [а, Ь\ оси Ол:,
на котором заданы начальные значения их и иг, на малые
интервалы и проведя в точках деления касательные к харак-
характеристикам различных семейств до их ближайшего к отрезку
[а, Ь] пересечения, мы приближенно найдем значения их и и2
в этих точках пересечения, как было описано выше. Прове-
Проведя из этих новых точек касательные к характеристикам, мы
таким же способом приближенно найдем значения их и иг
в точках пересечения этих новых касательных, ближайших
к отрезку [а, Ь] и т. д. Таким образом, мы получим значе-
значения их и и2 на некотором достаточно плотно расположенном
множестве точек, если начальное разделение отрезка [а, Ь]
достаточно мелко. Никакой квадратной сетки и интерполяции
в этом случае не требуется.
§ 11. Задача Коши для волнового уравнения.
Теорема о единственности решения
Пусть функция u(t, xv xj удовлетворяет уравнению
внутри круглого конуса К с осью, параллельной оси Ot,
вершиной в точке А и образующими, составляющими с
осью Ot угол а = 45°. Пусть, кроме того, сама функция
u(t> xv xj и все ее производные до 2-го порядка включи-
включительно непрерывны внутри и на границе К-
Тогда значение u(t, xv xj в точке А однозначно оп-
ди
ределяется значениями и и ^- на основании конуса, ле-
лежащем в плоскости t = tQ.
Конус К называется характеристическим. Легко видеть,
что боковая поверхность К является характеристической по-
поверхностью в смысле п. 2 § 3;

g 11J ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 103
Теорема одинаково верна как в том случае, когда у точ-
точки А координата t^>toy так и в том случае, когда t<^tQ.
Замечания. 1) Вместо уравнения A,11) в формули-
формулировке теоремы можно было бы взять уравнение
^>0 — любая постоянная, заменив соответственно ко-
конус с образующими, составляющими угол 45° с Ot, другим
конусом, образующие которого наклонены к оси Ot под уг-
ЛОМ а == arctg а. Действительно, уравнение B,11) сводится
к уравнению A,11) заменой at на t.
2) Мы всегда можем считать, что ^0 = 0. Случай любого
t0 сводится к этому, если вместо независимой переменной t
ввести новую независимую переменную t* = t—10, от чего
вид уравнения A,11) не изменится.
3) Допустим, что в плоскости t = 0 нам задана область О0.
Построим конусы К с основаниям^ лежащими в области Go,
с осями, параллельными оси Ot, и с образующими, составля-
составляющими с Ot угол +45°- Тогда из нашей теоремы следует,
что задание и и -тт в области О0 однозначно определяет ре-
решение уравнения A,11) в области G пространства (t, xlt jc2),
заполненной конусами А\ Например, задание и и -г- в квадра-
те l*il<Ca» I x%\ <Ca однозначно определяет дважды непре-
непрерывно дифференцируемое решение a (t, xv хг) уравнения
A,11) внутри каждой из двух пирамид, для которых этот
квадрат является общим основанием, а боковые грани состав-
составляют с основанием угол в 45®.
4) Задание и и ^ в каком-нибудь круге О0, лежащем
в плоскости (xlt xt), не определяет решение и (t, xlt хг)
уравнения A, 11) ни в какой точке В, лежащей вне соот-
соответствующих конусов /С, у которых общим основанием слу-
служит круг О0, оси параллельны оси Oty а образующие состав-
составляют с осью Ot углы в 45°. Для доказательства этого доста-
достаточно убедиться, что существует такое решение и (t9 х1У х2), что
** ди ^
U И "дГ Равны нулю в круге Go, а и (В)у^0. Для построения
такого решения заметим, что при любой дважды непрерывно

104 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
дифференцируемой функции f(z) и a\-\-al=\ функция
/(/ + аЛ+аЛ) C,П)
является решением уравнения A,11). (Проверьте!)
Функция C,11) сохраняет постоянные значения на вся-
всякой плоскости
х1 + «Л = С| D,11)
каждая из которых составляет угол в 45° с Ot. Подберем а,
и а2 так, чтобы та плоскость семейства D,11), которая
проходит через точку В, не пересекала круга Go. После это-
этого можно подобрать дважды непрерывно дифференцируемую
функцию f(z) таким образом, чтобы f(i -\-alxl -\-я2х2) была
отлична от нуля в точке В и равна нулю в Go. Тогда
u(tt xv xz)=f(t-\-0Lixl +а2л:2) будет искомым решением.
5) Приводимое ниже доказательство теоремы о единствен-
единственности применимо для дважды непрерывно дифференцируемых
решений уравнения
dhi _ дЫ , , &и
dt2 ~~dx*t "' дх2п
при любом п. В этом случае трехмерный конус К в форму-
формулировке теоремы нужно было бы заменить конусом в прост-
пространстве п -(- 1 измерений, у которого ось параллельна оси Ot
и образующие составляют угол в 45° с Ot. Этот конус так-
также называется характеристическим. При /2=1 этот конус
заменится треугольником, у которого основание параллельно
оси Ох, а боковые стороны наклонены к ней под углом в 45°.
Доказательство теоремы о единственности.
Допустим, что внутри конуса А' и на его поверхности су-
существуют два непрерывных вместе с их производными до
2-го порядка включительно решения и1 (/, х,, х2) и и2 (t, xx, х2)
уравнения A,11), которые вместе с их первыми производ-
производными по t совпадают на основании К- Тогда разность
u(ty xv x2) = u2(t, xv x2) — ax{t, xv xt)
должна внутри К также удовлетворять однородному уравне-
уравнению A,П), з на основании этого конуса и (/, xv x2) и
ut (t, xv хг) должны обращаться в нуль. Теорема о единст-
единственности будет доказана, если мы докажем, что и (t, х1У х2) = 0
в вершине /С. Чтобы доказать это, проинтегрируем по внут-

§11] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 105
ренности конуса К выражение ■
ди/д2и д2и д2и\
di\dt2 дх2 дх\) '
которое там всюду равно нулю, так как функция и удовлет-
удовлетворяет уравнению A,11). Так как
dt dt2 2 dt [dt
ди д2и _ д /ди ди \ д2и ди^
dt дх2 dx(\dt dxj/ dt dx( dX(
то
- (ТС J' ±\(диУ4-(^Х + (—VI -
"JJJ \2dt [[dtj +[dxj ^{dxj J
к
Преобразуем этот интеграл в двойной по формуле Остро-
Остроградского. Если через Кг обозначить боковую поверхность
конуса К, а через С—его основание, то, поскольку на С
„ ди ди ди ~
в силу начальных условии — = -5—=-г— = 0,
только интеграл по Кх*
останется
ди
*) Обращаем внимание на то, что в рассматриваемых преобра-
преобразованиях интеграла
* ди /д2и д2и д2и^
мы использовали непрерывность первых производных и внутри
и на границе К и интегрируемость по К вторых производных от и.
Вторые производные от и во всяком случае интегрируемы по К,
если они непрерывны внутри К и на его границе.

106 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ* U
Но на боковой поверхности характеристического конуса
cos2 (/2, t) — cos2 (/z, *,) — cos* (я, *2) = 0. F,11)
Умножив и разделив подынтегральную функцию на cos(tf, /)
и воспользовавшись соотношением F,11), получим
из E,П)
2 cos \n
К
| cos (я, хЁ)-|1со8(я, *))}tfa = 0. G,11)
При этом cos (n, t) вынесен за знак интеграла, так как
на Кх эта величина постоянная (cos (/2, /) = -т~ при
и cos (л, *)== — —=
при
Из равенства G,11) следует, что на боковой поверхно-
поверхности конуса К
cos (/г, £) cos (/г, jcj cos (/г, xj
= v. (8,11)
Если обозначим через т направление какой-нибудь обра-
образующей конуса /С, то, воспользовавшись равенствами (8,11),
получим
^j = utcos(mi t)-\-u'Xicos(m, хг) -f-a^ cos (m, Arf) =
= 1/ [COS (/2, ^) COS (m, /) -|- COS (/2, Хг) COS (W, ATj) -|-
-j-cos(/2, xa)cos(w, a:2)]
(cos(m,/z) = 0 потому, что образующая конуса всегда
составляет прямой угол с нормалью к его поверхности).
Итак, на поверхности конуса К производная от и по на-
направлению образующей равна нулю. Отсюда следует, что
функция и равна нулю в вершине конуса, так как она равна
нулю на его основании. Этим заканчивается доказательство
теоремы о единственности.

§ 12] ФОРМУЛЫ, ДАЮЩИЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ 107
§ 12. Формулы, дающие решение задачи Коши
для волнового уравнения
1. Пусть в некоторой области Go пространства (х1У х2, хг)
заданы функции ср0 (л:1, х2> х9) и ср, (л^, х2, хг), причем
<р0 непрерывна вместе со своими производными до третьего,
а ср,—до второго порядка включительно. Мы хотим найти
решение u(t, х1У хг, л;8) уравнения
д*идЧ1 , дЧ , д*и
удовлетворяющее при ^ = 0 условиям
и@, xv x2, x9) = <f0(xv xt, дг8), B,12),
aJ(O, x19 x2, хш) = у1{х1, х21 х9). B,12),
Это решение будет определено во всех точках (/, xv х2) л:,),
служащих вершинами характеристических конусов, основания
которых принадлежат О0.
Найдем сначала решение u^(t, xYi хг, л:8) уравнения
A,12) при начальных условиях частного вида:
МО, xv х» *,) = 0> C,12),
а^@, xv xt9xt) = <f(xv х2У xz). C,12)t
Тогда легко убедиться, что функция
v(t, xv x2i Хш) = -^£
удовлетворяет при ^ = 0 условиям
г/@, xv xv xs) = y(xv x21
Поэтому, если аф имеет непрерывные производные третьего
порядка, решение уравнения A,12), удовлетворяющее обоим
условиям B,12), дается формулой

108 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. П
Таким образом, общая задача Коши для уравнения A,12)
сводится к нахождению иг Мы утверждаем, что справед-
справедлива формула
.1 Р f*
$ (
Х3)
Эта формула называется формулой Кирхгофа. Здесь
St (xv x^ x9) означает сферу радиуса t с центром в точке
(•*\> х» Xi) на гиперплоскости / = 0, где задана функция ср,
a dat — элемент поверхности этой сферы. Мы будем пред-
предполагать, что функция (f(xl, x2i xt) непрерывна и ограни-
ограничена вместе со своими производными до 6-го порядка вклю-
включительно (k ^2); тогда и функция и^ как будет дальше
видно из формулы F,12), будет иметь непрерывные произ-
производные до &-го порядка включительно.
Покажем сначала, что функция и^, даваемая формулой
E,12), удовлетворяет начальным условиям C,12). Первое
из этих условий удовлетворяется потому, что
dat
max
и следовательно,
%(t, хп х2У х9)—у 0 при t—>0.
Чтобы проверить второе условие, заметим, что, положив
мы приведем интеграл E,12) к виду
F,12)
где интегрирование распространяется по фиксированной для
всех х1У x2i хъ, t сфере Ss\

§ 12] ФОРМУЛЫ, ДАЮЩИЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ 109
Поэтому
s,
Здесь срл означает производную от <р по ak. Легко видеть,
что первое слагаемое в правой части стремится
к <р(х,, л;2, х8), когда t—► (), а второе стремится к нулю,
потому что входящий в него интеграл остается ограниченным.
Теперь достаточно доказать, что и^ определенное по
формуле Кирхгофа, удовлетворяет уравнению A,12).
Из равенства F,12) находим
1 f С ( d<f l дЧ I д<? \ ^
Чтобы вычислить -гг-£-, перепишем равенство G,12) так:
t ' 4ti/ ' \ ' /
где
4
a Vt — шар радиуса t с центром в точке (л^, х2У xs) на
гиперплоскости ^ = 0.
Из формулы (9,12) получаем
со 'О j 'I '*(р | ' \ь) I / (Г) I I 01 (Г)

110 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.
Но легко видеть, что
d/(t)
Tit \ \ \ ТТ I IT г тт~ I ™"t '• A1,12)
01 JJ \да2 да2 да* I
Сравнивая равенства (8,12), A0,12) и A1,12), легко убе-
убедиться, что функция и, определяемая формулой Кирхгофа,
действительно удовлетворяет волновому уравнению A,12).
Замечание. Если функция vx (xt, x2, хв) только непре-
непрерывна, a <fo(xxi x2, а:8) непрерывна вместе со своими пер-
первыми производными, то функция а, определенная равенствами
D,12), E,12), дает только обобщенное решение задачи
Коши. При этом под обобщенным решением задачи Коши
для уравнения A,12) с начальными условиями B,12) мы
понимаем предел равномерно сходящейся последовательности
решений u(n)(t, xx, х2> хь) уравнения A,12) с начальными
условиями
-и @ Z х b х \= \х
если при п—► оо последовательности (ро(/1), То("), у1(п) равно-
равномерно в Go сходятся соответственно к ср0, -^, tox. Легко
видеть, что если ср, (xv x2, xs) непрерывна, а ср0 — непре-
непрерывно дифференцируема, то обобщенное решение задачи
Коши с начальными условиями B,12) существует и един-
единственно.
2. Рассмотрим частный случай, когда функция у не
зависит от х9. Легко видеть, что тогда функция м, давае-
даваемая формулой Кирхгофа, также не будет зависеть от хь
*) В самом деле, переходя к полярным координатам (р, 0, ф)
с центром в точке (xv jc2, x3), имеем
t к 2тг
/ (t) = f f f Дер (г, ф, 9) г2 sin 0 dty du dry
0 0

§ 12] ФОРМУЛЫ, ДАЮЩИЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ 111
и поэтому будет удовлетворять уравнению
д2и д2и \д2и /1О 1ГМ
+ A2И2)
В этом случае можно интеграл по сфере St заменить
удвоенным интегралом по сечению Kt шара Vt плоскостью
a =a:8. Проектируя элемент dot поверхности на эту плос-
плоскость, получаем
и формула Кирхгофа переписывается следующим образом:
«,(', *i. *«) =
"nJJ ^ ' 2«JJ yr^_(ai_A.iJ_( e X)t
OJ A/
Поэтому решение уравнения A2,12), удовлетворяющее
условиям
и@, xlt x2) = <f0(xx, xt),
«/(О, хр ^,) = ?,(л:р л:2),
дается формулой
Эта формула называется формулой Пуассона.
3. Если функция ср не зависит ни от х2, ни от л:,, то
функция и, даваемая формулой Кирхгофа, также не зависит
ни от x2i ни от л:8, и потому удовлетворяет уравнению
— — — М4 121
В этом случае формулу Кирхгофа можно переписать так:
1
1

112 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Мы воспользовались здесь тем, что площадь части сферы StJ
заключенная между пересекающими эту сферу плоскостями
а, = cons; и <хх -\-dal = const, равна 2тг/е/а,*), а функция
(р(а,) на всей этой части сферы сохраняет постоянное зна-
значение с точностью до величин порядка dax.
Поэтому решение уравнения A4,12), удовлетворяющее
условиям
И @, Xl) = <f0(xi), 4(°' *i) = <Pi(*i).
дается формулой
A5,12)
Эта формула называется формулой Даламбера.
Напомним, что согласно теореме о единственности, дока-
доказанной в § 11, других решений задачи Коши, кроме тех,
которые даются для уравнений A,12), A2,12), A4,12)
соответственно формулами D,12), A3,12), A5,12), нет.
Тот метод, которым мы получили решение задачи Коши для
уравнений A2,12), A4,12) из решения задачи Коши для
уравнения A,12), называется методом спуска^
Мы нашли решение задачи Коши при /^>0. Случай
t<^0 сводится к предыдущему заменой /на —t, отчего
уравнения A,12), A2,12), A4,12) не изменяются.
Задача 1. Пусть ~u(t, xv x2, xz; т) есть решение
уравнения A,12), удовлетворяющее при t = x условиям
а(т, хх, x2i хг\ х) = 0,
да . г,
xt, xt).
*) Площадь шарового пояса малой ширины da приближенно
равна 2тср<#, где р — радиус среднего сечения пояса, а ей — образу-
образующая вписанного в этот пояс усеченного конуса. Но — = —,
откуда ре//=:^е/а и datz=2ntda.

§ 13] ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМУЛ ИЗ
Доказать, что решение u(t, xv xv x3) уравнения
д2и д2и д2и д2и f.
удовлетворяющее при ^ = 0 условиям
и@, xv х2, х8) = 0,
^@, xv xzi x3) = 0,
дается формулой
t
u(t, xv x21 x3)~l'd(t, xv x2, x3; x)dz. A6,12)
о
Задача 2. Пользуясь формулой E,12), покажите, что
решение A6,-12) имеет вид
u(t, xlt xt, x,) = 1JJJ^1' a» ;» * - Г)do., d^ rfa3, A7,12)
где r = KUt — aj2 -f (x2 — a2J -f- (*, — a3J. Интеграл
A7, 12) называется запаздывающим потенциалом.
§ 13. Исследование формул, дающих решение
задачи Коши
1. Непрерывная зависимость решения от
начальных данных. Все выведенные нами в предыду-
предыдущем параграфе формулы, дающие решение задачи Коши для
уравнения
( fl }
при п = 2, 3, содержат интегралы от начальных функций,
умноженных на определенные функции, и производные по
времени от таких интегралов. При я=1 эти формулы
содержат только интегралы от начальных функций и сами
начальные функции.
Поэтому, если изменить начальные функции ср0 и <р, так,
чтобы при этом и они сами и их первые производные доста-
достаточно мало изменились, то при этом мало изменится и
9 И. Г. Петровский

114 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
функция и (/, xv • . ., хп), дающая решение задачи Коши. При
/z=l для этого достаточно, чтобы мало изменились только
сами функции ср0 и <pt. При этом предполагается, конечно,
что рассматриваются только ограниченные значения t, если
область, в которой задаются начальные функции, бесконечна.
Таким образом, устанавливается, что задача Коша для
уравнений A,12), A2,12), A4,12) поставлена корректно.
Можно вывести формулы, дающие решение задачи Коши
для уравнения A,13) при любом п> аналогичные формулам
D,12), A3,12), A5,12), и убедиться, что и для этого
уравнения задача Коши поставлена корректно, если началь-
начальные условия задавать при tf = 0*). Числа Ly и £2, входящие
в определение корректности (ср. § 8), соответственно равны
|b^ и Т ' здесь Iх] означает целую часть от х.
Из формул D,12) и A3,12) следует, что при неболь-
небольших t величина |и(£, xv x2, xs)\, соответственно
\u(ti xv x2)\, может быть очень большой, несмотря на ма-
малость ср0 и срр если производные от функции <р0 велики.
Могут образоваться «всплески» волны.
2. Диффузия волн. Формулы D,12) и E,12)
показывают, что значение в точке (t, xv . . ., хп) решения
задачи Коши для волнового уравнения A,13) при п = 3
зависит от начальных данных только на границе основания
характеристического конуса с вершиной в точке (/, х1У
х%у дг,). Если же /г=1 или п = 2, то u(t, xv . . ., хп)
зависит от начальных данных на всем основании этого
конуса, как показывают формулы A3,12) и A5,12).
Допустим, что начальные значения и и ut при ^ = 0
отличаются от нуля только внутри малой области G6, около
некоторой точки @, х\, ..., jc£). Будем следить за значе-
значениями и в точках (/, xv ..., хп) при фиксированных xv ...
•.., хп и при увеличивающемся, начиная от нуля, t. При
л = 3 величина #(/, х1$ ..., хп) может отличаться от нуля
только на небольшом участке рассматриваемой в простран-
пространстве {ty xv ..., хп) прямой, параллельной оси Oty именно
на том, где расположены вершины характеристических кону-
*) Эти формулы можно, например, вывести методом, изложен-
изложенным в «Курсе высшей математики» В. И. Смирнова, т. II, § 173,
Физматгиз, 1958.

§ 13] исследование формул 115
сов уравнения A,12), границы оснований которых пересе-
пересекают область G£. Если же п=\ или /г = 2 и точка @, л^),
соответственно @, х1У х2), не принадлежит Ge, то u(t, л^),
соответственно u(t, xt, х2), равно нулю при достаточно
малых /, а начиная с тех значений t, при которых отрезок
|*i — ai I ^ *> соответственно круг (at — хУ-\- (а2 — x2f < t2,
пересечет область Ов, будет уже, вообще говоря, отличным
от нуля.
Следовательно, возмущение, произведенное в начальный
момент в некоторой малой окрестности точки (х^у ..., л:°),
при я = 3 и t^> О отзывается на значениях функции только
в тех точках пространства (xv ..., хп), которые лежат
около сферы радиуса t с центром в точке (a:J, ..., *£)."
Таким образом, от возмущения, произведенного в начальный
момент в точке (xj, л:°, х\)у возникает сферическая волна
с центром в этой точке, имеющая О£р£дний и задний фронт.
Если же /1=1 или #==2, то возмущение, произведенное
в начальный момент в окрестности точки (x°v ..., л:£), отзы-
отзывается, вообще говоря, на всех точках, лежащих внутри
сферы радиуса t с центром в (х\у ..., л:®). Возникает волна,
имеющая резкий передний край и размытый задний. Говорят,
что в этом случае происходит диффузия (размыв заднего
фронта) волны. При /1 = 3 не бывает диффузии. Можно
показать, что диффузии волн не бывает для решений урав-
уравнения A,13) при любом нечетном я^З.
Возмущения, произведенные в малой области Ge трехмер-
трехмерного упругого твердого тела или газа, вызывают волны, не
оставляющие после себя никакого следа, если предположить,
что колебания их подчиняются уравнению A,12); в случае
газа #(/, xv xv хг) означает, например, отклонение от
нормального давления газа в точке (л^, л:2, xs) в момент t.
Возмущения же двухмерного континуума, например натянутой
мембраны или поверхности воды, произведенные в малой
области Gt, вызывают волны, теоретически всегда оставляю-
оставляющие после себя след, если предположить, что эти колебания
подчиняются уравнению A2,12). Практически эти колебания
очень быстро затухают вследствие наличия трения, которое
не учитывается при выводе уравнения A2,12). Точно так
же, вообще говоря, остается след при прохождении волны
в одномерном континууме (ср. п. 3 настоящего параграфа)»
8*

116 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. П
3. Исследование формулы Даламбера. Рас-
Рассмотрим два частных случая, которые дают ясное представле-
представление о поведении решения уравнения A4,12) в общем случае.
Сначала рассмотрим случай, когда y1(x) = Oi а график
<р0 (х) имеет вид, изображенный на верхнем рис. 3 (сплош-
(сплошная жирная линия). Мы будем вместо х, для краткости
писать х. Тогда формула Даламбера примет вид
Для того чтобы получить график и (/, х), рассматривае-
рассматриваемой как функция от х, при каком-нибудь фиксированном
положительном t, удобно поступить так: сначала начертить два
одинаковых совпадающих графика, каждый из которых получает-
получается из графика <р0 (х) уменьшени-
уменьшением вдвое ординат (пунктир на
верхнем рис. 3). Потом один из
"J этих графиков передвинуть, как
целое, на / вправо по направле-
направлению положительной части оси л:,
а другой — на / влево. После
этого надо построить новый гра-
график, у которого ордината при
каждом значении х равна сумме
ординат при этом х двух пере-
передвинутых графиков. На чертежах
"J этим способом построены пример-
примерные графики
ук и(°> *)> «1т
'2-/012
Рис. 3.
(пунктиром везде начерчены вспомогательные графики,
сплошной жирной линией — графики u(t, x) при фиксиро-
фиксированном /).
Рассмотрим теперь случай, когда <ро(х) = 0, а
1 при | х | <;  ,
О при

§ 13] исследование формул 117
Тогда формула Даламбера примет вид
x~—t
Для каждого фиксированного х будет u{t, х) = 0 до тех
пор, пока интервал (х — ty x-\-t) не захватит интервала
( — —, — ), где ср (х) ф. 0; и (t, x) будет изменяться в течение
\ 2, 2 J
того промежутка времени, пока увеличивающийся интервал
(х — t, x-\-t) будет покрывать все большую часть интервала
( —— , у). После того, как интервал (х — /, x-\-t) заклю-
/ 1 1 \
чит внутрь себя весь интервал ( —-^ ,— I, величина и (t, x)
будет оставаться неизменно равной
(a) da.
Чтобы получить график, представляющий форму струны
при различных t, удобно поступить следующим образом.
Обозначим через Ф (z) какую-то первообразную функцию
для срж (z). Тогда
Чтобы получить график и (t, x), вычертим графики функций
^Ф(аг) и —-^Ф{х), а затем каждый из этих графиков
передвинем, как целое, на расстояние t вдоль оси Ох; пер-
первый— влево, а второй — вправо. Сложив ординаты сдвину-
сдвинутых графиков, мы получим график функции u(t, x).
На рис. 4 показана форма струны в моменты / = 0
7' Т> к
Явление диффузии здесь выражается в том, что точка xt
выйдя из положения равновесия, больше к нему не возвра^
щается.

118 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Функции ср0 (а:) и ^ (х), рассмотренные в предыдущих
примерах, или сами имеют разрывы (^г (х)), или разрывы
имеют их производные (<fo(x)). Поэтому им соответствуют
обобщенные решения уравнения A4,12). Чтобы получить
обычное дважды непрерывно дифференцируемое решение этого
уравнения, достаточно немного изменить графики функций
(fQ(x) и ^х(х) так, чтобы получились графики функций
-2
-2
-1
-I
■' /
2
2
-2 -I J/2
Рис. 4.
с непрерывной второй производной. Для функции <р0 это
можно сделать так, чтобы ордината ср0 (л:) всюду изменилась
мало. Тогда и соответствующее решение уравнения A4, 12)
всюду мало изменится. При замене срж (х) непрерывной глад-
гладкой функцией это можно сделать так, чтобы Ф (л:) измени-
изменилась сколь угодно мало. При этом также a(tt x) всюду
мало изменится.
§ 14. Преобразования Лоренца
1. В § 1 мы упоминали о том, что выражение
дши I д2п , д2и
есть единственная с точностью до постоян-
дх\ дх\ дх\
ного множителя линейная комбинация вторых производных,
не меняющая вида при вращении пространства, т. е. при

§ 14] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 119
любом ортогональном преобразовании координат xv xv ху
С волновым уравнением
также тесно связан некоторый класс линейных преобразова-
преобразований переменных (t, хх> x21 xz) с действительными постоян-
постоянными коэффициентами, не меняющих вида этого уравнения.
Рассмотрим их подробнее.
Преобразованием Лоренца переменных х0, хг, х2, хь
называется всякое линейное однородное преобразование этих
переменных с действительными коэффициентами вида
з
Л = 2Х*/ С = 0' Ь 2' 3Ь B,14)
/=о
при котором квадратичная форма
х\ — х\ — х\ — х\ C,14)
остается неизменной, т. е. имеет в новых переменных вид
Легко проверить, что совокупность всех преобразований
Лоренца образует группу, у которой групповой операцией
является суперпозиция преобразований (подстановок). В част-
частности, легко видеть, что последовательное применение двух
преобразований Лоренца всегда дает также преобразование
Лоренца.
Напишем формулу для некоторого частного класса пре-
преобразований Лоренца. Рассмотрим преобразование, оставляю-
оставляющее неизменными две из трех последних (пространственных)
координат. Такое преобразование имеет вид
*» *
При этом преобразовании должно выполняться тождество

120 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
Подставляя у0 и yt из формул D,14), имеем
(ах0 + ЬххJ — (сх0 -\-dxxf = х\ — х\.
Отсюда
а>-с>=\, \
b*-d*=—\, [ E,14)
ab — cdz=0. j
Эти уравнения, в частности, удовлетворяются, если положить
а ■ а • .— . о ^^ с ^^^ - ,
где |р|<1.
Мы получим при этом формулы для некоторого класса
преобразований Лоренца:
0 У'Г=Гр'
F,14)
У*= xf
Формулы F,14) являются весьма существенными, так как
мы покажем сейчас, что всякое преобразование Лоренца есть
комбинация ортогонального преобразования переменных
хх, х2, х8, оставляющего х0 неизменным, преобразования
вида F,14) и изменения знака у каких-нибудь переменных
(отражения).
Пусть некоторое преобразование Лоренца задано форму-
формулами
У, — <Vo + Я01*1 + а»Л +
У г = а2*Хо + пг^х + агж** + a*tX
У г = пъ*Х« + «ii^i + агххг + анз^»
Если хотя бы одно из чисел а01, а021 аоэ не равно нулю, то
произведем такое ортогональное преобразование xv хг> х3
в / x'rt У,, чтобы выполнялось равенство
Если, кроме тою, л"^ положить равным хр, то, как легко

§ 14]
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
121
видеть, это преобразование от х0, х%, хг, хг к х'о, х\, х'г, x't
есть преобразование Лоренца. Подставив в правую часть G,14)
переменные х'о, х[, x'.z, x'a, получим
bxtx'x -f bltx't,
У* = аго
hx*'x
(8,14)
Покажем, что при этом <22<^аоО- Действительно, так как
(8,14) есть преобразование Лоренца, то
~У\ —У\ —У] = х'ог — х* —
/2
откуда
У\ Л~У\ Л~У* = х[2 + л;!,2 + х? — х'о2 -\-yl- (9,14)
Положим уо = О. Тогда xQ-= x\ и тождество (9,14)
обращается в тождество по трем переменным
Г—(\— а% W2 4-х" 4-У2
Правая часть положительна при любых хи хи х\, если
Х1*-]-Х2*-\-х'а2щ^>0у так как из уо=у1=у2==у3 = О сле-
следует, что л:0 = л:1 = л:2 = л:з = 0. Поэтому должно быть
т. е. а2<<-
Положим —=j3 и произведем преобразование Лоренца
вида F,14)
+ А
A0,14)
Очевидно, ^в, д»4, yv у% будут связаны с 4, xl, xj, а:3л

122 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
преобразованием Лоренца, имеющим вид
У, = С,А + с,.*" +
где, как легко подсчитать, с= ±Уа10 — а2.
Если aol = ao2 = aOJ = 0, то уже система G,14) имеет
вид A1,14).
Найдем значения коэффициентов с, с10, сго, cJ0.
Полагая x'd=l, jc*s=^==^ = O, получим
Отсюда 1 = с2 — с\0 — с20 — c23Q и с2 ^ 1.
Полагая ^0=1, yl=y2—yi = 0y найдем, что л^ = — ,
с
а х"и xi x"a имеют некоторые определенные значения х],
х> х\* Отсюда
т. е. с*< 1.
Следовательно, с2 = 1 и, возвращаясь опять к равенству
мы видим, что с10 == с20 = с30 = 0. Следовательно, преобра-
вование A1,14) имеет на самом деле вид
Уг= с\Л + '1А + $г>
Изменив, если нужно, знак у координаты лг'о, мы получим
преобразование Лоренца, которое есть просто ортогональное
преобразование переменных х"и х1 х[ в yv y2) yz.
Мы видим, таким образом, что самое общее преобразо-
преобразование Лоренца G,14), переводящее переменные xt в yi}
есть результат последовательных преобразований: ортогональ-

§ 14] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 123
ного, переводящего xt в х[\ преобразования Лоренца частного
вида F,14), переводящего х\ в х'[\ может быть, изменения
знака у х'о и, наконец, ортогонального преобразования х![ в yif
/=1,2,3.
Если транспонировать матрицу каждого из этих промежу-
промежуточных преобразований, то мы снова получим матрицу пре-
преобразования такого же типа. Отсюда следует, что матрица,
транспонированная к матрице преобразования Лоренца,
снова есть матрица преобразования Лоренца. Из определения
преобразования Лоренца следует также, что преобразование,
обратное к лоренцеву, также является лоренцевым.
2. Докажем теперь основной факт, выясняющий тесную
связь преобразований Лоренца с волновым уравнением.
Теорема. Всякое неособое линейное преобразование
переменных t, xi1 x2i xt с действительными постоянными
коэффициентами, которое не меняет вида уравнения A,14),
есть комбинация преобразования Лоренца, переноса начала
координат в пространстве (t, xv x2, xt) и преобразования
подобия в этом пространстве.
Для упрощения записи положим t = x0.
Утверждение, что некоторое преобразование «не меняет
вида уравнения», мы понимаем следующим образом: любая
функция и(х0, xv x2i xs) (с непрерывными вторыми производ-
производными), удовлетворяющая уравнению
д2и ^_^f j^« 0
дхг0 дх\ д~4 д4 ~ '
после преобразования х( в yi переходит в функцию и(у0, ylt
Л' ^з)> удовлетворяющую уравнению
ду0 ду1 ду\ ду\
Отсюда следует, что при любом таком преобразовании для
произвольной функции и(х0> xv x2, xz) имеет место равен-
равенство
dyl ду] оу\ ду\ = * [dxl дх\ дх\ дх23 )'U ' '
где k=^=0 — некоторая постоянная. В самом деле,

124 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
сделать наиболее общее предположение
д2а dhi д2и д2и _ Л д2п
^^ A514)
и допустить, что
з
то мы придем к противоречию с тем фактом, что всякое реше-
решение уравнения A,14) переходит при преобразовании перемен-
переменных в решение такого же уравнения. Действительно, в этом
случае можно подобрать систему таких чисел u°ik= u°ki, чтобы
они удовлетворяли двум линейным уравнениям:
з
2 /tyft = 1, A6,14),
;,/=о
и!.-«!■-«!,-«:, = о- A6.14),
3
Для функции и (xQi а:1, х2, хг)= — ^ uQrXiXj имеют место
равен.ства
В силу Aб,14J эта функция удовлетворяет уравнению A,14),
а после преобразования переменных она не будет удовлет-
удовлетворять уравнению A3,14), как следует из A6,14I и A5,14).
Следовательно, справедливо A4,14).
Произведем преобразование подобия
X. Xj Z7~j \l U> [» Z> °b
тогда
\dxl dx2i дх\ дхг3 J \dxQ dx\ dx/ dx3 J
Следовательно, нам достаточно показать, что преобразование

j§ 14] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 125
не меняющее модуль дифференциального выражения
¥а — д!а __ ^а _д2ц A814*
дх0 дх\ дх2 дх3
есть преобразование Лоренца, т. е. оно не меняет вида ква-
квадратичной формы
< — х*-х? — х*. A9,Н)
Но это следует из того, что, как было показано в § 5, при линей-
линейном преобразовании независимых переменных вида A7,14)
выражение
t ^
"дхдх,
/,/=0 • J
преобразуется так же, как преобразуется квадратичная форма
от этих переменных
3
С;.Х;Хр
/,/ = 0
если над ними совершить преобразование
з
*',= .2 ацУ1 (j=0, ... , 3). B0,14)
I — 0
Так как преобразование A7,14) с точностью до знака не
меняет вида выражения A8,14), то преобразование B0,14)
с точностью до знака не меняет вида квадратичной формы
A9,14). Но в силу закона инерции и знак A9,14) ни при
каком линейном преобразовании с действительными коэффи-
коэффициентами измениться не может, поэтому преобразование B0,14)
и обратное к нему суть преобразования Лоренца. Согласно
установленному в п. 1, тогда и исходное преобразование
A7,14) есть преобразование Лоренца, так как его матрица
есть транспонированная к матрице преобразования Лоренца
B0,14).
Таким образом, мы показали, что всякое однородное линей-
линейное преобразование, не меняющее вида уравнения A,14), есть
комбинация преобразования подобия и преобразования Лоренца.
Так как очевидно, что перенос начала координат также не
меняет вида этого уравнения, то теорема полностью доказана.

126 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ц
3. Ортогональным преобразованием переменных л;,, х2, xs
мы можем перевести любую проходящую через начало коор-
координат гиперплоскость в пространстве i, xv x2, x3, наклонен-
наклоненную к Ot под углом, большим 45° (и только такую), в гипер-
гиперплоскость
*=р*Р где |р|<1*),
а преобразование Лоренца F,14) дает возможность перевести
эту гиперплоскость в координатную гиперплоскость ^* = 0.
Таким образом, мы всегда можем линейным преобразованием
независимых переменных, не изменяющим вида уравнения A,14),
перевести любую гиперплоскость в пространстве (/, xv x2, лг3),
наклоненную к оси Ot под углом, большим 45°, в гиперплос-
гиперплоскость £ = 0. Тем самым мы получаем возможность решить
задачу Коши для уравнения A,14), задавая начальные данные
не только на гиперплоскости £ = 0, но и на любой гипер-
гиперплоскости П, составляющей с осью Ot угол, больший 45°,
или, что все равно, на гиперплоскости II, пересекающей каж-
каждый из характеристических конусов уравнения A,14) только
по одной его поле или в одной только его вершине. Действи-
Действительно, задавая в какой-либо области О0, находящейся на II,
функцию и и ее производную по какому-нибудь направлению,
выходящему из плоскости II, мы тем самым задаем в области О0
первые производные от и по любым направлениям в простран-
пространстве (t, xlt х2, а:,), так как знание функции и в области О0
дает нам знание в этой области ее первых производных по всем
направлениям, лежащим в Go. Преобразуя же гиперплоскость II
*) Пусть уравнение такой гиперплоскости задано в виде
+ B + Cxt + Dxt = O, где £2 + C2 + D2=l. Тогда косинус
л
угла а0 нормали к гиперплоскости с осью Ot равен -, а тя^-
У Л2 + 1
гене этого угла равен -т-. Если нормаль к гиперплоскости состав-
составляет с осью Ot угол, меньший 45°, то преобразование
при соответственно выбранных (из условий ортогональности пре-
преобразования) х2 и Хд преобразует данную гиперплоскость в гипер-
гиперплоскость вида
At-\- #1 = 0 или tf = ^-#i , где l-j-

§ 14] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 127
в гиперплоскость Р = 0, мы сводим решение задачи Коти
при начальных данных на II к задаче Коши, рассмотренной
в § 12.
С другой стороны, легко показать, что задача Коши для
уравнения A,14) будет некорректно поставлена, если началь-
начальные условия задавать на гиперплоскости II, наклоненной
в пространстве t, xlt ... , хп к оси Ot под углом, не пре-
превышающим 45°.
В самом деле, если гиперплоскость II составляет с Ot
угол в 45°, то она имеет характеристическое направление и
потому на ней нельзя задавать произвольно условия Коши,
какой бы гладкости мы ни требовали от них.
Рассмотрим теперь случай, когда II составляет с Ot угол,
меньший 45°. Ортогональным преобразованием координат в про-
странстве (xv л:2, х3) и параллельным их переносом всегда
можно достигнуть того, чтобы гиперплоскость II имела урав-
уравнение
р*'+*; = <>, где |р|<1.
При этом, как уже отмечалось, вид уравнения A,14) не изме-
изменится. Воспользовавшись далее преобразованием Лоренца,
можно достигнуть того, чтобы гиперплоскость П получила
уравнение
причем уравнение A,14) не изменится.
Зададим на гиперплоскости xJ = O следующие условия
Коши:
u(t*, О, < po 1
\ B1,14)
Если мы найдем решение и(х*, л:*) уравнения
+ 0
удовлетворяющее условиям
и @, х*) = ср0 (**)
и*@,х*2) = Ь(х*2), > B2,14)
то функция и{х*и х*2) будет удовлетворять уравнению AЛ4)

128 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
и условиям B1,И). Если мы за начальные условия B2,14)
возьмем условия B,8),, B,8J, которые были использованы
в примере, построенном Адамаром, то легко получить некор-
некорректность постановки задачи Коши для уравнения A,14)
с начальными условиями на гиперплоскости ^, = 0.
§ 15. Математические основы специальной теории
относительности
Специальный принцип относительности состоит в том, что
во всех инерциальных системах отсчета *) все законы природы
имеют одинаковую форму. Точнее, в каждой из этих систем
отсчета все законы природы можно записать одинаковыми
уравнениями. В частности, в каждой из этих систем отсчета
скорость света одинакова и притом не зависит от направле-
направления распространения света. Для простоты записи мы будем
предполагать, что она равна 1.
Система отсчета называется инерциальной, если в этой
системе всякое тело при отсутствии внешних сил движется
прямолинейно и равномерно. Из этого определения следует,
что система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно
относительно какой-либо инерциальной системы отсчета, также
является инерциальной, и, обратно, любые две инерциальные
системы движутся друг относительно друга равномерно и
прямолинейно.
Нашей целью является нахождение связи между простран-
пространственно-временными координатами для двух инерциальных
слстем отсчета А' и Л", одна из которых А" движется равно-
равномерно и прямолинейно со скоростью C, по абсолютной вели-
величине меньшей 1, относительно другой системы отсчета Л'.
В силу предполагаемой однородности и изотропности про-
пространства и времени мы будем считать, что искомая связь
линейна и ее коэффициенты зависят только от р. Простран-
Пространственно-временные координаты для А' мы будем обозначать
(£, х'и x'2t x'z), а для А" соответственно (f, х\, х\, x"z).
Иногда для простоты записи мы будем писать л:^ вместо £
и х?'о вместо /".
*) Системой отсчета называются пространственные координаты,
служащие для указания места, и часы, служащие для указания
времени.

§ 15J СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 129
Итак, пусть
S
*?= 2 а,7(р)х} + а, (/ = 0, 1, 2, 3). A,15)
/= о
Нахождение связи между координатами (t\ х'и x'2i х3) и
(Г, х';, лг'г, л*з) будет основано только на постоянстве скорости
света для систем отсчета А' и А",
Прямолинейное распространение плоской световой волны
в пространстве (x'lt х'2у х'л) мы описываем некоторой непостоян-
непостоянной функцией
/(*/+«.*;+*.*;+<*л). B,15)
поверхности уровня которой с изменением времени f пере-
передвигаются перпендикулярно к плоскости ахх\ -\-агх2 -\~агх'г-=>
= const со скоростью
1/ 2
¥ d\ ■
по предположению равной 1; <з0, ах, а2, аь здесь постоянные.
Отсюда следует, что
Так как скорость света для системы отсчета А" в координа-
координатах f\ х"и х",, х", также должна быть равной 1, то, переходя
от координат xi к координатам х", мы найдем, что выраже-
выражение aQt' -j- axx\ -J- агх'г ~\- а^х'3 перейдет в aQf -J- а\х[ -^- а2х -|-
-\- а'гх\ ~\- b и
/2 /2 1 '2 i /2 /у| 1 г\
а0 ==а1 -\-а2 -\-аъ. D,15)
Покажем, что координаты Г, л;?, jc'a, a:J получаются из t\
■^i, -^'2» -^з преобразованием Лоренца и переносом начала коор-
координат* Переносом начала мы можем заменить координаты
t'\ x"u x'z, xi на такие координаты t, xx, x2, xv которые
связаны с t\ x'u х'2, х'г однородными линейными уравнениями
*,= 2fl//(P)*/ (i = 0, 1, 2, 3). E,15)
Пусть теперь функция f(aoxQJralxl -\-а2х2-\-аъх[) пере-
переходит в функцию /(аохо-\-а[х1 -\-а2х2 -|- а&хг); при этом,
ли числа #0,
И. 1 , Петровский

130 • ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
а\— а\ — а\ — #3 = 0, то а0, аи а2, а3 удовлетворяют ана-
аналогичному соотношению а02 — а* — а2г — а3 = 0. Здесь (а0, av
а2, а3) — произвольная система чисел, удовлетворяющая урав-
уравнению C,15), а Яо, аи а2, а3— соответствующая система чи-
чисел после преобразования E,15). Покажем, что отсюда сле-
следует, что E,15) дает преобразование Лоренца для коэффи-
коэффициентов а(, т. е.
2 2 2 2 '2 '2 '2 '2
а0 — а,—а2 — а3 = а0 —ах —а2 —а3 .
Действительно, для преобразования переменных at при под-
подстановке E,15) вообще имеет место формула
3
а\ — a\ — a\ — a\ = ^j kif ф) a] af. F,15)
Покажем сначала, что
/ '~a\2 — a2—a3\ G,15)
Действительно, из
должно следовать
а'о2 — а[г — а22 — as2= 0, (9,15)
и обратно, т. е. поверхности в четырехмерном пространстве
(а0, а,, а2, а3), определенные уравнениями (8,15) и (9,15), дол-
должны совпадать между собой. Легко показать, что при этом
имеет место формула G,15). Следовательно,
а о — а] — а\ — а\ = k ф) (а* — а',2 — а22 — а3).
Если рассматривать движение первой системы относитель-
относительно второй, которое будет происходить со скоростью — [3, то
аналогично получим
а0 —ах —а2 —а3 =k( — C) (al — ах — а2 — а\),
откуда
Но, с другой стороны, в силу равноправности обеих систем,
k($) = k[ — р), следовательно, k($)= ± 1.

§ 16] ОБЗОР ОСНОВНЫХ ФАКТОВ В ТЕОРИИ ЗАДАЧИ КОШИ 131
Так как при преобразовании E,15) над переменными х;- пере-
переменные а{ также подвергаются линейному преобразованию,
то число плюсов и минусов у квадратичной формы от ai не
может измениться. Поэтому k($)—\ и форма а\ — а\ — а\—а\
не должна измениться при преобразовании E,15). Следова-
Следовательно, это преобразование переменных ai есть преобразова-
преобразование Лоренца. Линейное преобразование, которому подверга-
подвергаются переменные а{ при преобразовании E., 15) над xt, задается
матрицей, обратной и транспонированной к матрице E,15).
Но тогда само преобразование E,15) также есть преобразо-
преобразование Лоренца (см. конец п. 1 из § 14), что и требовалось
доказать.
§ 16. Обзор основных фактов в теории задачи Коши
и некоторые исследования
для общих гиперболических уравнений
До сих пор мы говорили о задаче Коши для волнового
уравнения A,12). В этом параграфе, не приводя доказательств,
мы дадим краткий обзор основных фактов теории задачи
Коши для общих гиперболических уравнений. При этом
в основном наше внимание будет сосредоточено на линейных
уравнениях второго порядка.
I. Линейное уравнение
^ А — —4- V 4 -^~ J V В ди 4-
/,/=1 i=i /=i
+ Я0*' + С« + £>, A,16)
где коэффициенты Аф Aoi, Bh BQ, С и D — функции от
t, xv . . . , хпУ мы будем называть ^гиперболическим в не-
некоторой области О пространства (t, х1У . . . , хп), если выпол-
выполняется следующее условие. Каждая проходящая через начало
координат в действительном пространстве (ар а2, ... , ал)
прямая должна пересекать поверхность
п п
1 = 2 Аи (f> xv • • • » хп) *<i*i + 2 \i С *р...» хп) а,
N/=i / = i
B,16)
в двух действительных различных точках. Если ар ..., аи

132 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
удовлетворяют уравнению B,16), то направление гиперплос-
гиперплоскости в пространстве (t, хх, . . . , хп), нормаль к которой
параллельна вектору A, at, . . . , aj, является характеристи-
характеристическим (см. § 3).
Назовем характеристическим конусом уравнения A,16)
в точке (t\ x°u xl, . . . , х„) такую поверхность К с кониче-
конической особой точкой при t—t°, Х; = х°, что касательная
гиперплоскость к К в каждой точке имеет характеристичес-
характеристическое направление.
Если
F(t, хг, .. . , хп) = 0
есть уравнение поверхности характеристического конуса (или
вообще какой-нибудь характеристической поверхности (см.
§ 3)), то функция F должна удовлетворять уравнению
dz\- v a if if+v a ^^
dt ) ~~ Л, V dXfdxj* Zd oidt dxfa
Для каждой точки (t°, x°u x°2, . . . , xl) области G, где урав-
уравнение A,16) ^-гиперболично, имеется расположенный в этой
области единственный характеристический конус с вершиной
в этой точке, который пересекает каждую гиперплоскость
t = const по некоторой замкнутой поверхности S, если толь-
только \t —1° | достаточно мал. Этот конус вместе с частью
гиперплоскости т = const, которая ограничена поверхностью S,
ограничивает некоторую область К'.
Если #—1, характеристический конус вырождается в две
линии /j и /2, выходящие из точки (f, xj), а основание этого
конуса вырождается в отрезок прямой t = const, заключен-
заключенный между точками пересечения этой прямой с линиями 1г и /?.
2. Существует такое число L, зависящее от п, что при
всех имеющих L непрерывных производных функциях
ъ0 (х,, . . . , хп) и (f1 (xv . . . , хп)у заданных в некоторой
области О0 гиперплоскости t = t0, существует одно и только
одно непрерывное вместе со всеми его производными до 2-го
порядка включительно решение ^-гиперболического уравнения
A,16), удовлетворяющее условиям
u(t0, xv ... , xn) = if0(xt9 ... , хп),

§ 16] ОБЗОР ОСНОВНЫХ ФАКТОВ В ТЕОРИИ ЗАДАЧИ КОШИ 133
Это решение определяется единственным образом условиями
C,16) во всякой точке (t, хх, . . . , хп), если основание ха-
характеристического конуса с вершиной в этой точке лежит
целиком в области Go. Обозначим через G совокупность всех
таких точек (t, я,,..., хп).
Если функции <р0 (а:,, .. . , хп) и ср1 (х„ . . . ,хп) вместе со
всеми их производными до L-ro порядка изменятся доста-
достаточно мало, то и соответствующее решение задачи Коши
изменится мало во всей области G. Таким образом, задача
Коши для уравнения A,16) поставлена корректно.
Для линейных гиперболических уравнений с постоянными
коэффициентами, содержащих только члены со вторыми про-
производными, L== \ — \-\~2; С. Л. Соболев показал, что для
общих линейных уравнений второго порядка L ^ — -|-3;
при этом предполагается, что коэффициенты уравнения удо-
удовлетворяют некоторым условиям гладкости, которые будут
заведомо выполняться, если все коэффициенты уравнения
имеют непрерывные производные до порядка у -\-2 вклю-
включительно*).
3. Мы будем говорить, что для уравнения A,16) отсут-
отсутствует диффузия волн в рассматриваемой области О простран-
пространства (t, Xj, . . . , хп), если значение решения и задачи Коши
в вершине (t, хр . . . , хп) характеристического конуса зави-
зависит только от значений <fo(xv . . . , хп) и ср, (л^, . . . , хп) и их
производных на границе основания этого конуса при любом
расположении характеристического конуса внутри области G.
В противном случае мы будем говорить, что имеется диффу-
диффузия волн. Адамар **) давно уже показал, что при четном п и
при /z=l всегда имеется диффузия волн. Матиссон***)
в 1939 г. исследовал случай п = 3. Он нашел, что при
п==3 все гиперболические уравнения, у которых отсутствует
диффузия волн, с точностью до несущественных преобразо-
преобразований совпадают с уравнением A,13); все эти уравнения
*} С. Л. Соболе в, Некоторые применения функционального
анализа в математической физике, Л., 1950; Матем. сборник 1 D3):
**) Hadamard, Lo probleme de Cauchy, Paris, 1932,
***) Ma Us sun, Acta Mathematics 71, № 3—4 A939), 249.

134 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
получаются из уравнения A,13) с помощью следующих про-
простых преобразований:
а) замены независимых переменных,
б) линейной замены функции и,
в) умножения обеих частей уравнения на некоторую функ-
функцию от t, я,,..., хп.
Недавно установлено, что при любом нечетном п^Ъ су-
существуют гиперболические уравнения, у которых отсутствует
диффузия волн и которые не сводятся к уравнению A,13)
с помощью преобразований указанного вида*).
4. Мы в этом параграфе рассматривали пока только тот
случай, когда условия Коши задаются на гиперплоскости
t = const. Случай, когда условия Коши задаются на какой-
либо кривой поверхности, сводится к этому частному случаю
заменой независимых переменных, если только все характе-
характеристические конусы с достаточно близкими к этой поверх-
поверхности вершинами пересекают ее по замкнутым поверхностям
(п— 1) измерений.
5. Нелинейное уравнение
д2и __ F ( , ^ да да
— -—r\^t, xv .. . , хп, и, j-r ... , ^ , ...
dht dht \ DJ6)
дх,; dxj ' * * * ' dt dxj
называется в некоторой области G пространства (t, л:,, . .., хп)
t-гиперболическим вблизи некоторой функции и0 (t, xv. . ., хп),
заданной в области О, если в этой области будет ^-гипербо-
^-гиперболическим линейное уравнение
^_ V Л д*и 1 УЛ дНг E 16^
dt*— 2-л AVdxidxf^]L Vdtdxf' lDID)
где A{j суть частные производные от правой части уравне-
уравнения D,16) no -z—-г— , вычисленные при
u = uo(t, xlf ... , хп)
(/—О, 1, ... , п; у=1, 2, ... , п- xo = t).
*) Stellmacher, Math. Annalen 130:3 A955), 219—233.

§ 16] ОБЗОР ОСНОВНЫХ ФАКТОВ В ТЕОРИИ ЗАДАЧИ КОШИ 135
Для нелинейного уравнения D,16) задача Коши постав-
поставлена корректно, если при t = tQ заданы такие условии:
u(t0, *,,..., xn) = y0(xv ••• > хп)>
ut(t0, xlt ... , xn) = yl(x1, .. . , *„),
что уравнение E,16) будет ^-гиперболическим вблизи функции
uo(t, xlt ... , xn) = <f>o(*i» ••■ » •*„) + ('—'о) <Fi(*i. ••• > хп)-
С. Л. Соболев показал *), что для нелинейного гиперболиче-
гиперболического уравнения [< ь- -|"^ При этом предполагается,
что функция F, стоящая в правой части уравнения D,16),
имеет непрерывные производные по всем аргументам до по-
порядка у -j-3.
6. Система линейных уравнений
у л,/о.п у, xv ... , jcrt) гу—г =
=fi(t, x19 ... , *„) (/=1, 2, ... , N)
называется i-гаперболической в точке (tf°, a;J, . . . , x°n), если
при любых действительных а/? сумма квадратов которых
положительна, определитель
имеет только действительные и различные корни X. Аналогично
определяется ^-гиперболичность нелинейной системы вблизи
какого-нибудь ее решения.
Для гиперболических систем доказана корректность по-
постановки задачи Коши**).
Для уравнений с постоянными коэффициентами определе-
определение гиперболичности было обобщено Гордингом следующим
*) С. Л. С о б о л е в, ДАН XX, № 2—3 A938), 79—83; Некоторые
применения функционального анализа в математической физике,
Л., 1950.
**) И. Г. Петровский, Матем. сборник 2D4) A937),815—870.
См. также L е г а у, Hyperbolic differential equations, Princeton, 1953;
Л. Г орд инг, Ма1емагика (переводы), ИЛ 2:1 A958), 81—95,

136 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. II
образом. Уравнение
kokl'" kn dtk°dx*>dxk» ~
называется гиперболическим относительно направления (£0,
п
&i> ••• > Sj> где £,. действительны и 2 S?>0, если
*0 + *iH- — + */J = OT
и существует такое действительное число X*, что
при 1^>Х* и любых действительных а(. Доказано, что из
всех линейных уравнений с постоянными коэффициентами
только для уравнений, гиперболических в указанном выше
смысле, задача Коши поставлена корректно при произвольных
достаточно гладких начальных функциях, заданных на ги-
гиперплоскости
£.*. + £,*,+ ..-+ев*в = о»).
При исследовании уравнений с постоянными коэффициен-
коэффициентами важную роль играет применение преобразований Фурье.
С помощью преобразований Фурье изучен вопрос о коррект-
корректности постановки задачи Коши для систем линейных уравне-
уравнений с постоянными (или зависящими от t) коэффициентами,
а также установлены качественные свойства решений таких
систем **).
7. Для /-гиперболического уравнения с постоянными коэф-
коэффициентами вида
дти
^0 (б16>
*) Carding, Acta Mathematica, 85, № i__2 A951), 1—62. См.
также И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, Обобщенные функции,
вып. 3, Физматгиз, 1958 (глава 3).
**) И. Г. Петровский, Бюллетень МГУ, секция А, 1, вып. 7
A938); И. М. Сельфанд и Г. Е. Шилов, Обобщенные функции,
вып. 3, Физматгиз, 1958 (глава 3).

§ 16] ОБЗОР ОСНОВНЫХ ФАКТОВ В ТЕОРИИ ЗАДАЧИ КОШИ 137
получены формулы, дающие решение задачи Коши с началь-
начальными условиями на гиперплоскости / = 0*).
Для уравнений вида F,16) изучен вопрос о диффузии
волн, который был уже рассмотрен нами для волнового урав-
уравнения. Боковая поверхность характеристического конуса
уравнения F,16) с вершиной в точке (£*, хи .. . , хп) раз-
разбивает основание его на гиперплоскости / = 0, вообще говоря,
на несколько областей. Одну из этих областей мы будем
называть лакуной, если при любых изменениях начальных
данных (лишь бы они оставались достаточно гладкими) толь-
только внутри этой области решение задачи Коши для уравне-
уравнения F,16) не изменяется в точке (f*, х*, . . . , хп). Если ла-
лакуна содержит проекцию вершины характеристического конуса
на гиперплоскость ^ = 0, то для уравнения F,16) отсутствует
диффузия волн. Наличие лакун у уравнения F,16) опреде-
определяется геометрическими (топологическими) свойствами поверх-
поверхности
при 1=1 в комплексном пространстве (zx, z2, ... , zn); най-
найдены необходимые и достаточные условия существования
лакун.
Вопрос о диффузии волн и лакунах изучался также и дли
общих ^-гиперболических систем **).
8. Укажем следующий приближенный метод решения за-
задачи Коши (метод конечных разностей) для уравнения
при начальных условиях
и@, х, у) = у(х, у), МО, х, у)==$(х, у).
При этом предполагается, что начальные функции (р(лг, у) и
*)Herglo'tz, Berichte der Sachsischen Akademie 78 A926)
93—126, 287—318; 80 A928), 69—114. И. Г. Петровский, Матем*
сборник 17E9):3 A945), 289—370. И. М. Гельфанд и 3. Я. Ша-
Шапиро, Успехи матем. наук 10:3 A955), 3—70.
**) И. Г. Петровский, Изв. АН СССР, серия матем. 8 A944)
101—106; Матем. сборник 17E9) :3 A945), 289—370.

138 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
ф(jc, у) имеют непрерывные производные до четвертого по-
порядка включительно и определены в некотором квадрате G:
Проводятся три семейства параллельных плоскостей
в пространстве (t, x, у):
t=k\, /е=:0, 1, 2, 3, ... , х = тЬ, у = п8.
Здесь А и §—некоторые положительные числа. Числа тип
пробегают такие последовательные целые значения, что всегда
и c<^n
Для упрощения изложения допустим, что
а = т$, b — m2tiy c — nfi, d = n2b.
Заменим в уравнении G,16) иц(кк, тЬ, пЬ) на
и [(k — 1) А, т&, по] + u[(k+\) А, то, по] — 2и (А-Д, то, /г8)
u'xx(k±, тд, по) заменим на
u[k&, {т-\-\) Ь\ по] + и №\ (т — 1) о, по] — 2и (kb, то, п$)
иуу(/гА, тй, «§) заменим на
и [feA, то, (л -f 1) gj + « [^А> т8> (/г — 1) о] — 2и (&А, то, лго)
~~ б2
Легко проверить, что если u(t, x, у) имеет непрерывные
производные до второго порядка включительно, то при доста-
достаточно малых А и 8 проистекающие от такой замены ошибки
малы. После этого дифференциальное уравнение G,16) обра-
обращается в разностное уравнение, которое обозначим через
(&, т, п). Придавая (/г, т, п) различные -допустимые значе-
значения, получим систему разностных уравнений. Решение этой
системы будем обозначать и.
В соответствии с начальными условиями положим
й@, mb, nb) =

§ 16] ОБЗОР ОСНОВНЫХ ФАКТОВ В ТЕОРИИ ЗАДАЧИ КОШИ
139
Тогда начальные условии определят п (О, tnb, по) и
й(Д, тЬ, пЬ) во всех узловых точках, для которых соответ-
соответствующие точки @, /я§, nb) лежат в области G.
После этого, выписывая разностные уравнения A, т, п),
мы найдем значения иBД, то, пЬ) во всех точках BЛ, то, по),
служащих вершинами А' пирамид указанного на рис. 5 вида.
[Д(т*1)д.(п-1)д]
Шт 1NАп ho] -/
U fm-l>5 по]- /
(O.md.ndV
Рис. 5.
При этом предполагается, что все точки [0,
лежат внутри квадрата G, т. е. что
, (п±\)о\
Выписывая потом уравнения B, т, /г), мы найдем значе-
значения и в точках (ЗА, w8, яё), где
^+200,-2, л1 + 2<л<лв —2,
пользуясь ранее найденными значениями и на плоскостях
Продолжая эти вычисления, мы найдем значения и во всех
точках (k\y то, по), лежащих внутри пирамиды с основанием G

140 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
на плоскости ^ = 0 и с боковыми гранями, наклоненными
д
к этой плоскости под углом arctg -у- .
Если А <^ 5 ^ о достаточно мало, то можно показать, что
найденные значения и (&А, т<5, nb) как угодно мало отли-
отличаются от значений в этих точках функции и (t, x, у), кото-
которая служит точным решением поставленной задачи Коши.
Аналогично определяются приближенные значения и (ty x, у)
при ^<0.
Такие же построения позволяют приближенно решить
задачу Коши для более общих линейных гиперболических
уравнений второго порядка с любым числом независимых
неременных*).
Приближенному решению гиперболических уравнений и
систем методом конечных разностей посвящено большое
число работ.
9. Уравнение
d2ii l / v f / ч д2и , . ч да | , . ч да ,
к(у)Н(ху) + а{ху) + Ь(ху) +
уу)у (8,16)
где /г @) = 0, k(y) — монотонно возрастающая функция у
и /г(х, у)^>0 при у^О, является гиперболическим при у > 0
и параболическим при у=.§. Доказано, что задача Коши
для уравнения (8,16) с начальными данными на параболиче-
параболической линии у = 0
и(х, 0) = <р (х), ^(х, 0) = 'Ь(х) (9,16)
поставлена корректно, если коэффициенты уравнения явля-
являются достаточно гладкими функциями и выполняется условие
iim = 0>
v -, о Vk (У)
Можно привести примеры, когда при нарушении этого усло-
условия задача Коши (8,16), (9,16) оказывается некорректной**).
Аналогичные результаты получены также и для уравнения
со многими независимыми переменными.
*) См., например, Курант, Фридрихе, Лев и, Успехи
матем. наук, вып. VIII A941), 147—160.
**) И. С. Березин, Матем. сборник 24F6):2A949), 301—320.
Protter, Canadian Journal of Math. 6:4 A954), 542—553,

§ 16) ОБЗОН ОСНОВНЫХ ФАКТОВ В ТЕОРИИ ЗАДАЧИ КОШИ 141
10. Гиперболические системы нелинейных уравнений имеют
широкое применение в механике, особенно при изучении дви-
движений газа. Многие задачи механики приводят к рассмотре-
рассмотрению разрывных начальных условий и разрывных решений.
Задача Коши для нелинейных гиперболических систем урав-
уравнений с разрывными начальными условиями обладает рядом
особенностей, которых не имеют линейные системы уравне-
уравнений. Рассмотрим примеры. В качестве начального условия
для задачи Коши возьмем разрывные функции вида
| 1, если х ^ 0,
^ \ —1, если х>0
или
( — 1, если х ^ 0,
( 1, если х^>0.
Для линейного уравнения
да _\дп
Тх I Щ —U
решение задачи Коши с начальным условием
и@,х)=<р(х) A0,16)
и решение с начальным условием
и@,х)=ф(*) A1,16)
определены однозначно во всех точках полуплоскости /^>0.
В точках прямой х — / = 0 эти решения имеют разрыв *).
Для нелинейного уравнения
решения задачи Коши с начальными условиями A0,16) и A1,16)
не определены однозначно даже в сколь угодно малой окрест-
окрестности прямой ^ = 0, на которой заданы начальные условия.
Действительно, проведем в пространстве (t, x, и) через
точки @, х, и @, х)) характеристики уравнения A2,16). Эти
*) Разрывные решения линейных гиперболических систем иссле-
исследованы в работе: Courant, Lax, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 42:11
A956), 872—876.

142'
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[гл. п
характеристики являются прямыми, параллельными плоскости
(/, х) *). Если и (О, х) = 'f (х)у то проекции этих характери-
характеристик на плоскость (/, х) покрывают все точки полуплоскости
/^>0. Точки области Q, лежащей между прямыми х — ^ = 0
и x-\-t = Q, покрываются проекциями этих характеристик
дважды и притом с различными значениями и (рис. 6).
Отсюда легко видеть, что решение u(t, x) в точках, лежа-
лежащих между прямыми х—t — О и x-\-t = Ot не может опре-
определяться однозначно по начальному условию.
Если и@, x) = rb(x), то проекции характеристик уравне-
уравнении A2,16), проходящих через точки @, х, 'Ь(х)) в про-
пространстве (t, х, и), покрывают только точки, не принадлежа-
принадлежащие области Q (рис. 7), т. е. решение не может быть
определено по начальному условию в точках, расположенных
между прямыми х — ^ = 0 и x-\-t = Q.
Таким образом, чтобы однозначно определить решение
задачи Коши в полуплоскости /^>0 для нелинейного уравне-
уравнения A2,16) с начальными условиями A0,16) или A1,16),
необходимо по-новому поставить задачу Коши.
Так, для гиперболической системы уравнений, описы-
описывающей одномерное движение газа, вводятся дополнительные
соотношения между искомыми функциями на линиях разрыва.
Зга гиперболическая система была исследована Риманом**).
Однако не все указанные Риманом дополнительные условия
на линиях разрыва выполняются для реальных физических
процессов. Соотношения на линиях разрыва для этой гипер-
л) Характеристика уравнения A2,16), проходящая через точку
(О, х0> и [0, #„)), задается уравнениями u = u(Q, xn), x = u(Q, *{)t-\-xQ,
См. И. Г. Петровский, Лекции по теории обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений, Гостехиздат, 1952, § 55.
'*'*) Б. Римаи, О распространении воздушных волн с конечной
алшлшудой. Сочинения, Гостехиздат, 19-18.

§ 16] ОБЗОР ОСНОВНЫХ ФАКТОВ В ТЕОРИИ ЗАДАЧИ КОШИ 143
болической системы были правильно указаны Гюгонио*).
Эти соотношения можно получить, решая систему уравнений,
описывающих движение газа с учетом вязкости и теплопро-
теплопроводности, и устремляя коэффициенты вязкости и теплопро-
теплопроводности к нулю. Учет вязкости и теплопроводности соот-
соответствует введению в систему уравнений первого порядка
производных второго порядка, содержащих в качестве коэф-
коэффициента малый параметр.
Можно определить решение задачи Коши для уравнения
A2,16) с начальным условием при ^ = 0 как предел при е,
стремящемся к нулю, решений уравнения
д2а да , да
*иЛ
с тем же начальным условием при ^ = 0. При этом решение
задачи Коши может быть разрывной функцией. На пинии
разрыва решения уравнения A2,16) будут выполняться
условия
tf, х — 0) (*>0)
dx g(t, x + 0) + u(tt x — 0)
dt~~ 2
где -£r — тангенс угла между касательной к линии разрыва
и осью t\ u(x-\-Q), и(х — 0) означают соответственно пре-
предел справа и предел слева в точке х функции и(х).
Решением задачи Коши в новой постановке для уравнения
A2,16) с начальным условием A0,16) является функция
u(t,x), равная 1, если х<^0, и равная —1, если х^>0.
Решением задачи Коши в новой постановке с начальным
условием A1,16) является функция и (t, x), равная 1, если
х —1^>0, и равная —1, если x-\-t<^0. В каждой точке
полуплоскости /^>0, расположенной в области Q, т. е. между
прямыми х —1 = 0 и x-\-t = 0, функция u(t,x) равна тан-
тангенсу угла наклона к оси t прямой, соединяющей данную
точку с началом координат. Расположение проекций характе-
характеристик, лежащих на этом решении, указано на рис. 8.
*) Л. Д. Ландау и Е. М. Л и ф ш и ц, Механика сплошных
сред, Госчехиздат, 1954.

144
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ГЛ. II
Построенная функция и (t, x) непрерывна при t^>0. Интересно
отметить, что в указанной постановке задача Коши может
иметь непрерывное решение
при наличии разрыва в началь-
начальном условии.
Если рассматривать глад-
гладкие начальные условия, то для
линейных гиперболических
уравнений гладкое решение бу-
будет определяться начальными
условиями во всех точках полу-
полуплоскости /^>0 для всех начальных условий, если коэффици-
коэффициенты подчинены определенным ограничениям. Для нелинейных
гиперболических уравнений гладкое решение существует, как
правило, только в малой окрестности линии, где заданы
начальные условия. Это обстоятельство также приводит
к необходимости рассматривать разрывные решения нелиней-
нелинейных гиперболических уравнений.
Основная задача при изучении разрывных решений нели-
нелинейных гиперболических систем состоит в том, чтобы опре-
определить класс функций, в котором существует единственное
обобщенное решение задачи Коши, непрерывно зависящее
в определенном смысле от начальных данных. Этот вопрос
хорошо изучен для общего квазилинейного уравнения первого
порядка *). Оказывается, что качественные свойства обоб-
обобщенных решений такого уравнения напоминают свойства
решений системы уравнений газовой динамики. Простейшее
квазилинейное уравнение первого порядка
да i дер (а) 0
di ' дх
часто называют поэтому модельным уравнением газовой
динамики.
Вопрос о разрывных решениях нелинейных гиперболиче-
гиперболических систем пока еще мало изучен **). Этот вопрос пред-
представляет большой теоретический интерес и имеет важное
прикладное значение.
*) О. А. Олей ник, Успехи матем. наук 12:3 A957), 3—73;
см. также Успехи матем. наук 14:2 A959), 159—170.
**) Обзор некоторых относящихся сюда результатов и разверну-
развернутая постановка ряда задач имеются в статье И. М. Гельфанда
в «Успехах математических наук», 14:2 A959), 87—158.

С 17] ВВЕДЕНИЕ 145
РАЗДЕЛ II
КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛ
§ 17. Введение
1. Предыдущий раздел главы 2 был посвящен задаче
Коши. Наше главное внимание было уделено волновому
уравнению A,13), которому подчинены колебания однородных
изотропных упругих тел. К задаче Коши сводится изучение
функции u(t, xv ...,#„), характеризующей эти колебания
в точках (ATj, jc2, ...,х„) при t, достаточно близком к на-
начальному моменту. Так как значение решения u(t, xlt ..., хп)
уравнения A,13) в вершине P(t,xl9 ...,*„) характеристи-
характеристического конуса вполне определяется значениями начальных
функций ср0 и cpj на основании Ср этого конуса, то при изу-
изучении u(t, х19 ...,хп) можно не принимать в расчет влияния
границы до тех пор, пока Ср не выходит из той области,
где заданы функции <р0 и <р1Э т. е. пока Ср не пересекает
границы тела. В этом смысле можно сказать, что в преды-
предыдущем разделе мы изучали колебания бесконечных или без-
безграничных тел.
В настоящем разделе мы будем изучать колебания тел,
учитывая влияние их границ. Ограничиваясь опять изучением
колебаний однородных изотропных тел, мы придем к задаче
нахождения решений уравнения
удовлетворяющих при t = 0 начальным условиям
и@,хг, ...,*я) = <р0(*1> ...,*„), I
МО, *,, ..., хя) = ср1(А:1, ..., хп), \
когда точка (хг, ...,хп) принадлежит заданной области G, и
заданным при всех t на границе G граничным условиям. Мы бу-
будем рассматривать только однородные граничные условия вида
и = 0, C,17),
§+в« = 0, C,17),
10 И Г. Петровский

146 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
где а есть некоторая не зависящая от t неотрицательная
непрерывная функция, заданная на границе О, и -т- означает
дифференцирование по направлению внешней нормали к гра-
границе G (ср. § 1).
Некоторые физические задачи, например задачи о колеба-
колебаниях неоднородных упругих тел, приводятся к нахождению
при тех же граничных условиях C,17) и начальных усло-
условиях B,1^) решений уравнений вида
h p
Здесь р, р,; q и /— некоторые достаточно гладкие функции
от xk, причем обычно
Р>Ро>°: Р/>Р/»>°: Ч^о.
Так как волновое уравнение A,17) и уравнение D,17) не
изменяются, если / заменить на — Л то рассуждения, которые
мы будем приводить для решений этих уравнений при ^>0,
будут также справедливы и для /<^0.
Задача нахождения решения уравнения D,17) при началь-
начальных условиях B,17) и одном из граничных условий C,17)
называется смешанной задачей. Весь настоящий раздел
главы 2 будет посвящен этой задаче.
2. Смешанная задача не является единственной возмож-
возможной задачей для уравнения A,17) или D,17) в ограниченной
области. Практические вопросы часто приводят к другим
задачам для этих уравнений. Укажем ряд таких задач для
простейшего уравнения
1) Задача Гурса. Найти решение уравнения E,17)
по его значениям на двух кусках характеристик.
На отрезке О А (рис. 9) характеристики t-\-x = Q
На отрезке ОБ характеристики t — х =

ВВЕДЕНИЕ
147
Для непрерывности решения при этом требуется, чтобы вы-
выполнялось условие
<р(О) = ф(О)
(см. С. Л. Соболев, Уравнения математической физики,
Гостехиздат, 1954, стр. 63—67).
2) Найти решение уравнения E,17), если заданы его
значения на отрезке ОВ характеристики t = x и на выхо-
выходящей из точки О линии Z,, лежащей внутри угла, обра-
образованного характеристикалш t=±x, и обладающей тем
свойством, что каждая характеристика t = jc —[— С пересе-
пересекает L в одной точке (рис. 10).
Читатель может решить самостоятельно эти задачи, поль-
пользуясь представлением решения E,17) в виде
u(t,x)=fl(t-\-x)+f%(t—x)
(см. пример 1 § 6).
Решение в обоих случаях определится в прямоугольнике,
образованном характеристиками, проходящими через концы
линий, на которых заданы значения функции и,
3) Если задавать значения функции u(t, x) на двух (для
простоты положим прямых) линиях L и /ц, выходящих из
начала координат, то существенно различными будут два
случая: а) когда L и Lx лежат внутри одного угла, образо-
образованного характеристиками, выходящими из точки О, и б) когда
L и Lx разделены характеристикой.
В первом случае для определения единственного решения
уравнения E,17) достаточно задать только значения самой
функции u(ty х) на линиях L и Lv а во втором случае на
10*

148 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
одной из этих линий надо задать «данные Коши» — значения
самого решения и его первой производной по нормали к этой
линии (ср. Г у р с а, Курс математического анализа, т. 3,
часть I, ГТТИ, 1933, стр. 100—112).
3. Наши последующие рассмотрения будут в большинстве
случаев одинаково применимы для любого п. Для большего
удобства в выкладках и чертежах мы будем многие рассуж-
рассуждения проводить только для п = 2 или /z=l, особо указы-
указывая формулировки для других п только в тех случаях, когда
они будут существенно отличаться от этих.
Считая, как мы только что сказали, я = 2, мы будем
рассматривать решения a (t, х1У хг) уравнений вида A,17) или
D,17) при O^t^Ty когда точка (х1У х2) находится внутри
области G, ограниченной линией /, состоящей из конечного
числа дуг /,. с непрерывно меняющейся касательной.
Иначе можно то же самое сказать так: считая я = 2, мы
будем рассматривать решения u(t, хх, хг) уравнений A,17)
или D,17), определенные внутри цилиндра Цт, у которого
образующие боковой поверхности параллельны оси Ot и про-
проходят через границу области G, находящейся в плоскости
/ = 0, а основания находятся в плоскостях t = 0 и t = T.
Мы будем всюду в этом разделе предполагать, не оговари-
оговаривая это каждый раз особо, что рассматриваемые решения
u(ty х1У х2) удовлетворяют уравнению A,17) или D,17) внутри
Ц7 и непрерывны вместе со своими первыми и вторыми произ-
производными в Цт, т. е. в цилиндре Цт вместе с его границей.
§ 18. Единственность решения смешанной задачи
Пусть ux(t9 xv х2) и u2{t, xv x2)—два решения уравнения
определенные в цилиндре Цт, обладающие всеми перечислен-
перечисленными в предыдущем параграфе свойствами и являющиеся
решениями одной и той же смешанной задачи, т. е. мы будем
предполагать, что при / = 0 они удовлетворяют одним и тем
же начальным условиям B,17), а на боковой поверхности
цилиндра Ц7 одним и тем же граничным условиям какого-
нибудь из видов C,17). Нашей целью является доказать,

§ 18] ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 149
что функции их (t, ATj, x2) и u2(t9 xv хг) совпадают между
собой всюду в цилиндре Цт. Доказательство этого утверж-
утверждения эквивалентно доказательству следующей теоремы.
Теорема. Функция
u(t, xv x2) = u2(t, xl9 x%)—ux{t, xv xt),
удовлетворяющая уравнению A,18) внутри ЦТУ непрерывная
вместе со своими первыми и вторыми производными в ЦТ,
удовлетворяющая на боковой поверхности ЦТ одному из
условий C,17), а при t = 0 обращающаяся в нуль вместе
с tit, тождественно равна нулю в ЦТ.
Доказательство. Рассмотрим интеграл
ди / д2и д2и д2
{
распространенный по цилиндру Z/**, где 0<^^*^Г. Так как
функция и удовлетворяет уравнению A,18), то интеграл ра-
равен нулю. Преобразуем его в интеграл по поверхности
цилиндра Lit* аналогично тому, как было сделано в § 11 при
доказательстве единственности решения задачи Коши. Полу-
Получим
t*
С ,, С Г ди ди , . , ди ди . Л _,
- j di )Ы -^cos (*' *J+ж ^гcos (/г' х*] Jds=
о.
Здесь /, как обычно, означает границу области G, ds — эле-
элемент дуги границы. Первый интеграл берется по верхнему
основанию цилиндра Ц^, второй — по нижнему, а третий —
по его боковой поверхности. Последний интеграл можно
переписать в виде

150 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. П
Итак, окончательно получаем
Второй из этих интегралов равен нулю в силу начальных
условий. Если на границе G всегда # = 0, то там и — = 0,
поэтому тогда третий интеграл также равен нулю. Он равен
нулю и в том случае, если на границе — = 0. Если же на
границе -—\-аи = 0, то этот интеграл обращается в интеграл
dt =
2 (**
= — | j аи2 (**) ds + I f аи2 @) ds. D,18)
Последний интеграл равен нулю г силу начальных условий.
Итак, при всяком t* между 0 и /, если на границе G всюду
и = 0 или — = 0, то
дп '
если же на границе G всюду ^- -\-аи = 0, то
s = O. F,18)
Так как a ^ 0, то из соотношений E,18) и F,18) следует,

§ 19] ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ 151
что при каждом из граничных условий C,17)
Так как мы предполагаем, что у функции и все первые
производные непрерывны ъ Цт и t* есть произвольное число
между 0 и Г, то из соотношения G,18) следует, что всюду
в Цт
ди да да ~
dt дхх дх2
Значит, и постоянна во всем Цт. А так как и @, хх, xz) =0,
то во всем цилиндре Цт
a(t, х„ ^) = 0,
что и требовалось доказать.
Заметим, что интеграл в левой части G,18) равен, с точ-
точностью до постоянного множителя, сумме кинетической и
потенциальной энергии колеблющейся мембраны в момент
t = t*, а равенство C,18) при граничных условиях C,17),
и C,17J выражает закон сохранения энергии (ср. § 1,п. 3).
Задача. Докажите единственность в Цт решения за-
задачи с начальными условиями B,17) и граничными усло-
условиями C,17), для уравнения D,17).
§ 19. Непрерывная зависимость решения
от начальных условий
Теорема. Пусть мы имеем два решения их (t, x) a
U2V> х) уравнения- A,17) при п=\ в цилиндре Ц7*).
Пусть оба эти решения на боковой поверхности удов-
удовлетворяют одним и тем же граничным условиям какого*
нибудь из типов C,17), а при t = 0
а% @, х) = <р?} (х); ult @, х) = ^ (х);
*) Очевидно, что при /7 = 1 цилиндр ЦТ представляет собой
прямоугольник со сторонами, параллельным^осям Ot и Ох.

152 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Если разности
$\х) — $\х) = 'Ь(х) (/ = 0,1)
и первая производная функции <р0 (х) всюду в G достаточно
малы по абсолютной величине, то разность
u2(t, x) — ul{t} x)=u(t, х)
сколь угодно мала по абсолютной величине во всем ЦТ.
Аналогичная теорема верна для решений уравнения
A,17) в Цт при любом п. Но тогда для обеспечения малости
ы2(*, *„..., xn) — ux(t, л:,,..., xn)=u(t, *,,..., хп)
во всем цилиндре Цт надо требовать, чтобы мало отлича-
отличались от нуля в G не только функции
м@, xv . . . , хп) и ы/@, *p . . . , xj,
но и все их производные пол:,, ... , хп до порядка ЦМ ~|~ 1
включительно; кроме того, надо, чтобы на границе области G,
лежащей в основании цилиндра Цт, производные от этих
разностей до порядка — удовлетворяли некоторым допол-
дополнительным соотношениям, которые при п=\ удовлетво-
удовлетворяются автоматически. Доказательство этой теоремы для
/г^> 1 становится много сложнее, чем для л=1, и мы его
не приводим.
Доказательство теоремы дляя=1. Рассмотрим
опять интеграл типа B,18) по цилиндру Цт, который теперь
вырождается в прямоугольник {0 ^t ^.Tt a^x ^b \.
Этот интеграл по-прежнему равен нулю при всяком t* между
0 и 7. Преобразуя его аналогично предыдущему, получим
Иди(д2и д2и\И.. 1 р \fduy
1*

§ 19] ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ 153
Отсюда, так как а << Ь и
1J дх
дп #
.v =ь дп ' дл;
имеем
Если
да (t, a) n
или — = 0, то
дп
ди
Если же при х = а имеет место граничное условие ^—[-
-f- асл = 0, то
t* t*
,y/____r Г ,, дп л/ _ gfl»* (**> fl) 1 °а»2 ^°^ Д)
Аналогичные равенства можно написать при х = Ь, если
при х = Ь налагается одно из условий:- u(t, b) = 0,
d/z дп ' *
Таким образом, отбрасывая, если нужно, отрицательные
слагаемые в правой части формулы A,19), мы при каждом
из граничных условий C,17) имеем
ul (b)**). B,19)
д
*) Напомним, что ^— всегда означает дифференцирование по
направлению внешней нормали.
**) При граничных условиях к = 0 или ~ = 0 это неравенство
обращается в рааелство, которое выражает закон сохранения
энергии.

154
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[гл. п
Так как правая часть по предположению мала, то, сле-
следовательно, мала и левая часть. Обозначая через е2 вели-
величину правой части неравенства B,19), мы найдем, что при
всяком t* между 0 и 7 и при всяком х, если а^х ^ ft,
C,19),
C,19),
Из неравенства C,19), получим, применяя неравенство
Буняковского,
U(t*, X) — U(t*, О)
^V^=a, D,19)
Таким же образом из неравенства C,19J получаем
£ J Н = Шdx I < (l Шdx
и а
Далее,
о b
! щг*, x)dx— Г и @, х)
Отсюда
и (t*, х) dx
ft — a + К ср0 (a:) dx I
F,19)

§ 19] ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ 155
Интегрируя неравенство D,19) по х между х = а и
х — Ь, найдем
u(t*, x)dx — (b — a)u(t*, a)
_а)« G,19)
и, оценивая интеграл в левой части формулы G,19) с по-
помощью F,19), убеждаемся, что значения | //(/*, а) | как угодно
малы при всяком t* из интервала (О, Т) и достаточно малых
е и тах|сро|. А отсюда, снова пользуясь неравенством D,19),
мы получим, что \u{t*, x)\ мал во всем прямоугольнике Цт>
что и требовалось доказать.
Замечание 1. Если на одном из концов отрезка [а, Л],
например при х = а, задано условие и = 0 при всех t^O,
то малость \u(t, x)\ в Цт непосредственно следует из соот-
соотношения D,19).
Если бы на одном из концов отрезка [а, Ь], например при
х = а, было задано условие ^ -\- ааи = 0 при <за > 0, го
из соотношения A,19) следовало бы, что
b
b
< [(p!W-f сро2 (х) ] dx -f- aacp5 (a) -\- oby] (b) < £2.
а
Отсюда
и малость | u(t*t x) \ в Цт следовала бы опять непосредст-
непосредственно из D,19) в силу малости | м(Р, а) \ .
Замечание 2. Если бы п было больше 1, то совер-
совершенно так же, как и в случае /z=l, мы нашли бы, что
из равномерной малости | щ @, хг1 .,. ., хп) |, | и @, xv ... ,хЛ)|
и производных | ——-—1* '' * ' %п | следует малость
Но из малости этого интеграла при всех t* между 0 и Г и
малости | и @, хр . . . , хп)\ было бы невозможно вывести
малость \и\ в Цт. Можно привести пример функции а, для

156 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. II
которой этот интеграл мал при всех рассматриваемых /* и
которая тем не менее в некоторых точках Цт принимает
очень большие значения, несмотря на малость |и@, хх, ...,xj|.
Чтобы гарантировать малость \и\ в Цт, достаточно, чтобы
кроме интеграла (8,19), при t = t* были малы интегралы
вида (8,19), где вместо и входят всевозможные производ-
производные вида
д*и . Г п 1
ь ь Т ПРИ « ^ Т »
и чтобы были равномерно малы значения |w@, л;,,. .., лг„) | *).
Именно таким путем доказывается малость \и\ в Цт при
достаточно малых по абсолютной величине <р0, сря и их про-
производных по л:,, . .. , хп до порядка — -|- 1, если вы-
выполнены некоторые дополнительные условия для значений
(ро и ср1 на границе G**).
Замечание 3. Из доказательства теоремы видно, что
утверждение теоремы остается справедливым, если требова-
требование равномерной малости |и@, х) | , \их@, х)\ и \щ@,х)
заменить требованием малости интегралов
ь ь
х @, x)dx и J ^2 @, x)dx
и одной из величин | и @, а) | или | w @, ^)|. Действительно,
в неравенствах B,19) и F,19) мы использовали только
малость этих интегралов и малость |м@, х)\. Но если, на-
например, \и@, а)\ мало, то
X
\и @, х) | = | и @, а) + S и* @, *) rfx
— cfj и* @,
откуда следует равномерная малость |н@, л:)|.
*) Это следует из так называемых теорем вложения С. Л. Собо-
Соболева (см. С. Л. Соболев, Некоторые применения функциональ-
функционального анализа в математической физике, Л., 1950).
**) См. М. Krzyzanski, J. Schauder, Studia Mathematica,
т. VI, 1936, 162-189.

§ 20] МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СТРУНЫ 157
Задача 1. Докажите теорему о непрерывной зависи-
зависимости решения от начальных условий для уравнения D,17)
при /г=1 и граничном условии C,17)г
Задача 2. Докажите, что решение уравнения
д2и д [ . ч ди\ , -.,
dt2 dxyKldxJ ч \ j \ •> '
{р(х)У>0, q^>0 и f(t, x) — достаточно гладкие функции),
удовлетворяющее начальным условиям B,17) и граничному
условию C,17I} изменится в Цт сколь угодно мало по аб-
сопютной величине, если достаточно мало изменить функцию
f(t, х) в Цт.
§ 20. Метод Фурье для уравнения струны
1. Для решения смешанной задачи во многих случаях
применим так называемый метод Фурье. В настоящем пара-
параграфе мы рассмотрим применение этого метода на одном
частном примере. В следующем параграфе будет изложена
общая схема применения этого метода к решению смешанной
задачи для линейного уравнения второго порядка с двумя
независимыми переменными.
Пусть требуется найти решение уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
и @, x) = <fo(x),
\ B,20)
0 < х < /, )
и граничным условиям при
u(t, O) = u(tt /) = 0. C,20)
Сначала мы попытаемся найти нетривиальные, т. с. не
равные нулю тождественно, решения уравнения A,20) вида
u(t9 x) = 7(t)X(x)9 D,20)
удовлетворяющие граничным условиям C,20). Мы здесь
считаем, что T(t) зависит только от t, а Х(х) — только

158 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. !!
от х. Подставив правую часть D,20) вместо и в уравнение
A,20), получим
ХТ" = Х"Т или ~= Щг . E,20)
Левая часть последнего равенства не зависит от х, а правая
Т" X"
не зависит от t. Следовательно, каждая из величин -~ и -^
не зависит ни от х, ни от t, т. е. она постоянна. Обозна-
Обозначим эту постоянную через — \. Тогда из равенства E,20)
следует, что
Г+ 17 = 0, F,20)
X" -\-\Х = 0. G,20)
Таким образом, уравнение E,20) распалось на два уравне-
уравнения, из которых одно содержит только функции от /, а дру-
другое—только функции от х. В таких случаях говорят, что
переменные разделились.
Чтобы получить нетривиальное решение u(t, x) вида
D,20), удовлетворяющее граничным условиям C,20), необ-
необходимо найти нетривиальное, т. е. не равное тождественно
нулю решение уравнения G,20), удовлетворяющее краевым
условиям
0. (8,20)
Формулы, дающие общее решение уравнения G,20), имеют
существенно различный вид в зависимости от того, что
Х<0, Х = 0 или Х>0.
Рассмотрим в отдельности каждый из этих трех случаев.
1 случай (Х<^0). Тогда общее решение уравнения
G,20) напишется в виде
X (х) = С,^* + С,*-^*.
Чтобы удовлетворились краевые условия (8,20), должно быть
= 0 и C^^-f С1в
Следовательно, должно быть
А это последнее равенство может выполняться, только если

§ 20] МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СТРУНЫ 159
(^=0, значит, и С2 = 0. Тогда мы получаем только три-
тривиальное решение уравнения G,20).
И случай (Х = 0). Тогда общее решение уравнения
G,20) имеет вид
Чтобы ^@)^=0, должно быть Сг=0. А тогда условие
ХA) = 0 принимает вид С2/ —0; значит, должно быть С2 = 0.
Таким образом, мы так же, как и в предыдущем случае,
приходим к выводу, что только тривиальное решение урав-
уравнения G,20) может удовлетворить обоим краевым условиям
(8,20).
III случай (Х^>0). Тогда общее решение уравнения
G,20) имеет вид
X (а:) = С, cos V\x -f- C2 sin V \х.
Чтобы удовлетворить краевому условию ^@)^=0, должно
быть
с,=о.
А тогда условие ХA) = 0 примет вид
С2 sin Y W = 0 или sin |/ \1 — 0,
так как, если бы С2 = 0, мы опять пришли бы к тривиаль-
тривиальному решению. Уравнение
sin Y Х/ = 0
удовлетворяется тогда и только тогда, если
где k—какое-нибудь целое число или 0. Так как мы пред-
предполагаем, что Х^>0, то к не может быть равным нулю.
При отрицательных значениях k величина \ принимает такие
же значения, как и при положительных к, имеющих ту же
абсолютную величину. Поэтому все значения X, при которых
уравнение G,20) имеет нетривиальные решения, удовлетво-
удовлетворяющие краевым условиям (8,20), даются формулой
** = -7г-1 где k=U 2> • • • (9,20)

160 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Задача нахождения нетривиальных решений уравнения
G,20), удовлетворяющих краевым условиям (8,20), есть
частный случай задачи, называемой «задачей о собственных
значениях» или иногда «задачей Штурма—Лиувилля» по
имени двух математиков, которые ее исследовали. Те зна-
значения X, при которых наша задача имеет нетривиальные
решения, называются собственными значениями, а нетри-
нетривиальные решения этой задачи называются собственными
функциями, соответствующими данному собственному значе-
нию. У нас собственному значению —&- соответствует соб-
собственная функция
kit
Xk(x) — Cks\n-j х.
Ввиду однородности уравнения G,20) собственные функ-
функции определяются с точностью до постоянного множителя Ck.
Выбирая соответствующим образом этот множитель, можно
подчинить собственную функцию Xk(x) некоторому дополни-
дополнительному условию, как говорят, можно «нормировать» соб-
собственную функцию.
Нам будет удобно произвести эту нормировку так, чтобы
0
для этого должно быть
Дальше всюду в этом параграфе мы будем предполагать, что
"~2
-Ш / 2 . kit
= У ysin тх-
Вернемся теперь к решению поставленной в начале па-
параграфа смешанной задачи. Подставив в уравнение F,20)
вместо X его значение Oе, даваемое формулой (9,20), мы
получим

§ 20] МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СТРУНЫ 161
Отсюда
где Ak и Bk — произвольные постоянные.
Все функции
uk(t, x) = Xk(x)Tk(t) =
xA^t^Bsm
= У Tsm~
удовлетворяют уравнению A,20) и граничным условиям C,20)
при любых Ak и Bk. Попытаемся определить эти постоянные
таким образом, чтобы бесконечный ряд
со
u(t, х) = £ **(*)[AkcosT' + S*sln т'1 A0'20)
L J
удовлетворял и уравнению A,20), и граничным условиям
C,20), и начальным условиям B,20). Начнем с начальных
условий. Должно быть, во-первых,
GO
и @, х) = £ AkXk (х) = ср0 (х). A1,20)
Кроме того, если ряд можно дифференцировать почленно
должно быть
т @, *) = £ ^BkXl!(x) = y,(x). A2,20)
Допустим, что функции ср0 (д:) и ср, (х) можно разложить
в ряды по sin ух на отрезке [0, /] такие, что равномерно
сходятся ряды из модулей их членов.
Из теории тригонометрических рядов известно, что это
всегда возможно, если функции ср0 (х) и срх (х) непрерывны
вместе с их первыми производными и если значения этих
функций на концах отрезка [0, /] равны нулю. Предполо-
Предположим, что эти условия выполнены. Тогда ряд A0,20) абсо-
абсолютно и равномерно сходится при O^x^l и при любых t,
И И, Г. Петровский

162 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
так как sin—/ и cos — t по абсолютной величине не боль-
больше 1. Отсюда следует, что функция u(t, х), определенная
рядом A0,20), непрерывна и удовлетворяет первому началь-
начальному условию B,20) и граничным условиям C,20). Но от-
отсюда нельзя еще заключить, что эта функция удовлетво-
удовлетворяет второму начальному условию B,20) и уравнению A,20).
Такое заключение можно было бы сделать, если бы ряд
A0,20) можно было дифференцировать почленно два раза
по х и два раза по t. Как известно, почленное дифферен-
дифференцирование будет законно в том случае, если полученные
после него ряды сходятся равномерно в Цт. Это последнее
условие будет заведомо выполнено при всяком Г, даже при
7 = оо, если функция ср0 имеет непрерывные производные до
четвертого порядка включительно на всем отрезке [0, /] и
обращается на концах этого отрезка в нуль вместе со своими
производными первого и второго порядка, а функция ух имеет
непрерывные производные до третьего порядка включительно
на [0, /J и обращается в нуль на концах этого отрезка
вместе со своей производной первого порядка *). В этом
случае
2. На практике при применении метода Фурье обычно не
заботятся о том, чтобы ряд A0,20) можно было дифферен-
дифференцировать почленно два раза по х и по t. Довольствуются
только тем, чтобы функции <р0 и у1 были непрерывными
вместе с их первыми производными и чтобы сами эти функ-
функции обращались в нуль на концах отрезка [0, /]. Это,
как мы видели, обеспечивает равномерную и абсолютную
сходимость ряда A0,20) во всем прямоугольнике Цт. Если
при заданных ср0 и срж в прямоугольнике Цт существует не-
непрерывное вместе с его производными первых двух порядков
решение u(t, x) рассматриваемой задачи, то последователь-
*) Эти ограничения на ср0 и cpt могут быть ослаблены (см.§ 23).
**) Через О[у(п)] мы обозначаем такую функцию ф(л), что от-
Ф ()
Ф (п)
ношение -у— остается ограниченным при п—► со. Эти оценки
легко получить, преобразуя коэффициенты Л* и Вк интегрирова-
интегрированием по частям*

§ 21] ОБЩИЙ МЕТОД ФУРЬЕ 163
ность частичных сумм Sk(t, x) ряда A0,20) сходится к нему
равномерно в Цт. Действительно, из теории тригонометри-
тригонометрических рядов известно, что ряд Фурье для всякой функции
с интегрируемым квадратом сходится к ней в среднем.
Поэтому из самого построения ряда A0,20) следует, что
*я(°. х) — <pl (x)]2dx-+ 0 и
при к—► оо. На основании замечания 3 к § 19 отсюда сле-
следует, что равномерно в Цт
Sk(t, *) — «('> х).
3. Каждая из функций
uk(U x) = Xk(x)Tk(t) =
— V
~r sin -r- x [ Ab cos -r t-\-Bbsm — t =
t ^ \ i x r i j
i t._
/A 19 3 \
\K 1 , Z, O, . . . J
описывает так называемые собственные колебания струны,
закрепленной на концах. При собственных колебаниях, соот-
соответствующих /г=1, струна издает основной, самый низкий,
тон. При колебаниях, соответствующих большим &, она из-
издает более высокие тоны, «обертоны». Если струна колеб-
колеблется по закону
ft = I
то она одновременно издает звуки разных высот, соответ-
соответствующих отдельным членам этой суммы.
§ 21. Общий метод Фурье (предварительное рассмотрение)
Метод Фурье (иначе называемый методом разделения
переменных) для решения смешанной краевой задачи приме-
применим только к некоторому специальному классу линейных
уравнений второго порядка, хотя задача разрешима для зна-
значительно более широкого класса уравнений. 11Ф

164 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. П
В настоящем параграфе мы дадим изложение метода без
строгого обоснования полученных результатов. Обоснование
метода Фурье будет дано в последующих параграфах. Впер-
Впервые строгое обоснование метода Фурье было дано
В. А. Стекловым *).
Итак, рассмотрим гиперболическое уравнение вид'
д2и , гл/,. да , „ . . ди ,
" = 0> A,21)
где коэффициенты Л, С, D, E, Fv F2 — достаточно гладкие
функции, причем Л(/)^>я0^>0, С{х)<^с0<^0; здесь ао и
с0 — постоянные. Предположение, что одни из этих коэффи-
коэффициентов зависят только от t, другие — только от х, а коэф-
д2и
фициент при ^ д* рзвен нулю, определяет класс гиперболи-
гиперболических уравнений, для которых смешанная краевая задача
может быть решена методом Фурье.
Пусть требуется найти дважды непрерывно дифферен-
дифференцируемое решение уравнения A,21), удовлетворяющее на-
начальным условиям
а @, *) = <ро(*)> «'*«>, *) = <?,(*) B,21)
и граничным условиям
Aou{t,
AlU{t, l) + Bxux(t, /)==0,
где постоянные Ло, Bv Av Ву таковы, что А\-\-Bl^=0 и
Будем, как в примере § 20, искать сначала нетривиаль-
нетривиальные решения уравнения A,21) вида
u(t, x)=T(t)X(x), D,21)
причем потребуем от этих решений, чтобы они удовлетво-
удовлетворяли граничным условиям C,21), не заботясь пока об удов-
удовлетворении начальных условий.
*) Результаты В. А. Стеклова изложены в его книге «Основные
задачи математической физики», Петроград» 1922.

§ 21] ОБЩИЙ МЕТОД ФУРЬЕ 165
Если такое решение существует, то, подставляя его
в A,21), получаем уравнение, которому необходимо должны
удовлетворять функции Х(х) и T(t):
A(t) Т"Х + С(х) TX"+D(t) ГХ+Е(х) ТХ'-\-
+ [Fl(t)-\~F2(x)]TX = 0.
Так как функция Х(х) не равна тождественно нулю, то
найдется точка х0 такая, что X (хо)=^=О; при всех t должно
выполняться равенство
_ С (х0) X" (х0) + Е (х0) X' (jcq) + F2 (x0) X (х0) ^ _
где Xj — некоторая постоянная. Точно так же получим, что
функция X (х) при всех х должна удовлетворять уравнению
С (х) X" + Е (х) X' + F% (х) X = \Х,
Где Х2 — постоянная. Так как для всех точек х и t, где
Х(х)=£0 и T(t^O
-F2(x), E,21)
то \ = — ^2 = — ^» и мы получаем для функций Х(х) и
Г(^ следующие уравнения:
O9 F,21)
= 0. G,21)
Так как Т(г)ф§, то для того чтобы функция D,21)
удовлетворяла граничным условиям C,21), необходимо вы-
выполнение условий
A0X@)-\-BQXf@) = 0y
BQXf@) = 0y \
1^/(/) = 0. (
Нахождение нетривиальных решений уравнения G,21),
удовлетворяющих условиям (8,21), называется задачей о соб-
собственных значениях. Эта задача не при всяком \ имеет
отличное от тождественного нуля (нетривиальное) решение.

166 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. I!
Те значения Х, при которых существует нетривиальное ре-
решение, называются собственными значениями (числами) этой
задачи, а само нетривиальное решение называется собст-
собственной функцией, соответствующей данному собственному
значению. Совокупность всех собственных значений назы-
называется спектром данной задачи.
В следующем параграфе будет показано, что собствен-
собственные значения нашей задачи представляют собой бесконеч-
бесконечную последовательность
1' 2» * * * ' &' * ' *
Каждому собственному значению \k соответствует собствен-
собственная функция Xk(x), которая, в силу однородности уравне-
уравнения G,21) и условий (8,21), определяется с точностью до
произвольного числового множителя. Выберем этот множи-
множитель так, чтобы
J(*)*2 {x)dx=\9 (9,21)
где р(л;)^>0— некоторая фиксированная для данного урав-
уравнения функция, которая будет определена в следующем
параграфе.
Далее будет показано, что собственные функции, соот-
соответствующие разным собственным значениям, «ортогональ-
«ортогональны с весом р», т. е. удовлетворяют равенствам
Xt(x)dx = 0 при кф1. A0,21)
Для каждого собственного значения \k решаем уравнение
F,21). Общее решение уравнения F,21) при l = \k (обозна-
(обозначим его Tk(t)) представляет собой произвольную линейную
комбинацию двух каких-либо линейно независимых частных
решений Tk(t) и Tk* (t):
Tk(i)=Cjl(t)+CJ*k*(t).
Подберем 7* и Tk так, чтобы они удовлетворяли следую-
следующим начальным условиям при / = 0:
7i@) = l; 7?@)=0;
7Г@) = 0; ТТ @) = 1,

§ 21] ОБЩИЙ МЕТОД ФУРЬЕ 167
и положим
uk(t, x) = Tk{t).Xk(x).
Функции uk(t, x) при любом k удовлетворяют уравнению
A,21) и граничным условиям C,21).
Чтобы удовлетворить начальным условиям B,21), соста-
составим ряд
00
«(*, x)=^dXk(x)[Akfk(t)-{'Bknk(t)l A2,21)
Если этот ряд сходится равномерно, так же как и ряды,
получающиеся из него двукратным почленным дифференци-
дифференцированием по t и по ху то сумма его, очевидно, будет удов-
удовлетворять уравнению A,21) и граничным условиям C,21).
Для выполнения начальных условий B,21) необходимо, чтобы
«(О, *)=
и/@, х)=2«вьХь(х)—УЛх)- A4,21)
k=i
Предполагая, что ряды A3,21) и A4,21) сходятся равно-
равномерно, мы можем определить коэффициенты Ат и Вт, умно-
умножив обе части равенств A3,21) и A4,21) на рХт(х).н про-
проинтегрировав по л: в интервале от 0 до /. В силу (9,21) и
A0,21) мы получим
i
Подставив такие значения коэффициентов в ряд A2,21), мы,
очевидно, получим решение нашей задачи, если ряд A2V21)
и ряды, полученные из него почленным дифференцированием
по х и по t до двух раз включительно, равномерно схо-
сходятся.

168 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Замечание. Мы указали общую схему применения
метода Фурье к решению смешанной задачи для уравнения
A,21); эта схема применима также и в случае многих про-
пространственных переменных для гиперболических уравнений
специального вида (см. § 25).
§ 22. Общие свойства собственных функций
и собственных значений
1. Для исследования свойств собственных функций и соб-
собственных значений покажем прежде всего, что уравне-
уравнение G,21)
С (х) X" (х) + Е {х) X (х) + Ft (х) X (х) — IX (х) = О
предыдущего параграфа можно привести к виду
\p(x)X'(x)]'—q(x)X(x) + \p(x)X(x) = O, A,22)
умножив его на подходящим образом подобранную функ-
функцию от х.
Во всем дальнейшем будем предполагать, что С(х)<Ссо<С®1
где с0— постоянная. Умножив тогда G,21) на р(х), получим
pGY" -f рЕХ' + pF2X — 1рХ = 0.
Для того чтобы первые два члена можно было записать в виде
[р(х)Х'}\
должно быть
Определив р (х) из этого дифференциального уравнения,
получаем
(мы взяли частное решение дифференциального уравнения
для р (х)). Вводя теперь обозначения
?С = — р и pF2 = q,
мы можем записать наше уравнение в виде A,22). Из сде-
сделанных предположений следует, что p(x)^>pQ,
где р% и рв — положительные постоянные.

§ 22] ОБЩИЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 169
Будем считать, что р (х)9 р'(х), д(х) и р (х) непрерыв-
непрерывны при 0 ^ х <; /.
2, Итак, мы будем рассматривать задачу о собственных
значениях — найти нетривиальное решение уравнения A,22),
удовлетворяющее условиям
B0X'@) = 0,
'(/) =0,
где Al-\-Bl=£0 и А\ + В\фО.
Теорема 1. Если Х1 (х) и Х2 (х) — собственные функ-
функции, отвечающие одному и тому же собственному значе-
значению X, то Х1(х) = сХ2(х), где с — постоянная.
Действительно, так как Хх (х) и Х& (х), по предположе-
предположению, удовлетворяют условиям
АоХ1@)-\-ВоХ[{0) = 0,
и Al-\-Bl^0, то определитель Вронского
К
решений Х1 и Х% уравнения A,22) в точке л; = 0 обра-
обращается в нуль, и следовательно, функции Хх (х) и Xt(x)
линейно зависимы.
В дальнейшем мы будем предполагать собственные функ-
функции нормированными с весом р, т. е. выбранными так, чтобы
i
\?(х)[Х(х)]Чх=\. C,22)
о
Такую функцию Х(х) можно получить, умножив произволь-
произвольную собственную функцию Х(х) на число
Очевидно, что при данном собственном значении нормиро-
нормированная собственная функция определяется с точностью до
знака.

170 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ц
Теорема 2. Собственные функции, соответствующие
разным собственным значениям, ортогональны с весом р (л:),
т.е. если \^=\ и Xt{x) — собственная функция, соот-
соответствующая собственному значению \( (/=1, 2), то
i
\ p(x)X1(x)X2(x)dx = 0. D,22)
о
Доказательство. Выпишем тождества
Умножим первое из них на Хг, а второе на X, и вычтем
одно из другого. Мы получим тождество
[рХ\\ Х2 - [рХ'Х X, + (\ - \) РХ,Х2 = 0.
Интегрируя это тождество в пределах от нуля до /, по-
получим (с помощью интегрирования по частям)
I
- Рх'гхх | - J px;x: dx + J Рх\х\
Правая часть этого равенства равна нулю, так как послед-
последние два слагаемых взаимно уничтожаются, а
и
р @) [Х[ @) Х2 @) - Х\ @) Хх @)] = 0
в силу условий B,22). Поэтому
так как \

§ 22] ОБЩИЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 171
3. Для упрощения дальнейшего изложения ограничимся
рассмотрением краевых условий
1 = 0, ХA) = 0. E,22)
Задача нахождения собственных значений будет в этом па-
параграфе сведена к задаче нахождения условного экстремума
(минимума) некоторого функционала. Этот функционал выби-
выбирается так, что уравнение A,22) является для него уравнением
Лагранжа — Эйлера *).
Рассмотрим два квадратичных функционала от функ-
функции Х(х)
0
I
^2 t
Н{Х) = \ рХ2 dx.
о
Функционалы
D (Xlt Х2) = J (рХ[Х[ + qXxX%) dxy
о
называются билинейными функционалами, соответствующими
данным квадратичным. Имеет место следующая
Теорема 3. Если \ — собственное значение рассматри-
рассматриваемой задачи о собственных значениях, а Х\ — соответ-
соответствующая ему нормированная собственная функция, то
для любой непрерывно дифференцируемой функции f(x),
удовлетворяющей условиям E,22),
i
f) = X \ рХ\/ dx =
*) См. М. А. Лаврентьев и Л. А. Люстерник, Курс
вариационного исчисления, изд. 2-е, Гостехиздат, 1950.

172 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Доказательство. Интегрируя по частям, используя
условия E,22) для функции / и уравнение A,22), получим
i
D {Хъ /) = J (pXyf + qXJ) dx =
О
/ / /
= pX[f\ — J [(РХ[У — qXx]fdx = l J ?Xx/dx =
Следствие. Пусть Xt(x) — собственная функция, соот-
соответствующая собственному значению 1(. Тогда
D(X;) = !;, D(Xit X/)=01 если 1ф].
Теорема 4. Отношение щ~ (при X ф 0) ограничено
снизу и, следовательно, имеет точную нижнюю грань.
Действительно,
i i
l (рХ'2 + qX2) dx^\ qX2 dx =
о о
с
£2dx^ min
Если рассматривать функции, удовлетворяющие условию
Н(Х)=\, то для них будут ограничены снизу значения
самого функционала D(X). А так как всякое собственное
значение l = D(Xx), если И(Х}) = \, то мы получаем от-
отсюда важное следствие: собственные значения нашей задачи
ограничены снизу.
Рассмотрим задачу о нахождении минимума функционала
D{X) при условии Н(Х)=\. За класс допустимых функций
примем множество дважды непрерывно дифференцируемых на
отрезке O^x^l функций Х(х), удовлетворяющих усло-
условиям E,22). Предположим, что этот минимум достигается
в классе допустимых функций *). Тогда осуществляющая
его функция должна, как известно из курса вариационного
*) Доказательство существования решения этой задачи, как и
всех других вариационных задач, о которых будет говориться в этой
главе, см. в дополнении И. М. Гельфанда и Г. А. Сухомлинова

§ 22] ОБЩИЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 173
исчисления, удовлетворять при некотором X уравнению Лаг-
ранжа — Эйлера для функционала
D(X) — l Н(Х) =
= ^F(x, X, X')dx,
о
т. е. уравнению вида
OF^ <^10
которое в нашем случае совпадает с уравнением A,22). Крае-
Краевые условия задачи о собственных значениях и рассматри-
рассматриваемой вариационной задачи также совпадают. Поэтому
функция Хх(х), дающая экстремум D(X) при условии
Н(Х)=\, является собственной функцией исходной задачи
о собственных значениях. Так как всегда D(Xx)=l по тео-
теореме 3, то, очевидно, собственное значение, которому соот-
соответствует Х1 (х), должно быть наименьшим. Обозначим его
через Хг
Покажем, что функция Х(х), дающая минимум функцио-
функционалу D(X) в классе допустимых функций, удовлетворяющих
всем прежним условиям и еще дополнительному условию
является собственной функцией, соответствующей второму
по величине собственному значению.
В самом деле, функция, осуществляющая указанный ми-
минимум, должна удовлетворять уравнению Лагранжа — Эйлера
к книге М. А. Лаврентьева и Л. А. Люстерника «Основы вариаци-
вариационного исчисления», т. 1, ч. II A935 г.).
В вариационном исчислении доказывается, что если бы мы по-
потребовали от допустимых функций существования непрерывных
производных только первого порядка, то рассматриваемая вариа-
вариационная задача все равно имела бы решение. Ее решение обяза-
обязательно имело бы непрерывные производные второго порядка и по-
потому совпадало бы с решением той же задачи в классе дважды
непрерывно дифференцируемых функций.

174 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
для функционала
i
D (X) — \И (X) — p. J рХ, X dx,
о
которое в данном случае может быть записано в виде
(рХ'У — qX + l?X-\-± jip*, = 0; F,22)
X и ji—некоторые постоянные.
Покажем, что jji = O. Для доказательства напишем урав-
уравнение A,22), заменив X на \ и X на А/.
(pX[)f — qXx -f Х.р*, = 0. G,22)
Умножим F,22) на Xv G,22) на X, вычтем одно из дру-
другого и проинтегрируем от 0 до /. Повторив интегрирование
по частям, проведенное при доказательстве ортогональности,
i
и пользуясь тем, что j pX^Xdx = 0, мы получим
о
откуда следует
Следовательно, уравнение F,22) имеет вид
и А является собственной функцией. Обозначим ее через
Х2(х). Покажем, что собственное значение Х2, соответст-
соответствующее этой функции, есть ближайшее к X, собственное
значение. Очевидно, Х2^Х1? так как от увеличения числа
условий на допустимые функции минимум О(Х) может только
увеличиться. Значение Х2 не может быть равным Хх, так как
тогда Х2(х) по теореме 1 была бы равной +А,(х), что
противоречит условию \ ХХХrfx —0. Следовательно, Х2^>ХГ
о
Покажем, что между Х2 и X, нет других собственных
значений. Действительно, если бы существовала тоойка соб-

§ 22] общие свойства собственных функций 175
ственных значений \г^>\^>\, соответствующих собствен-
собственным функциям Хг, X, Xv то, как легко видеть, не функция
Х2, а функция X осуществляла бы решение только что рас-
рассмотренной вариационной задачи согласно следствию из
теоремы 3.
Совершенно аналогичным образом показывается, что функ-
функция Хп(х)} дающая минимум D(X) в классе дважды непре-
непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих соот-
соотношениям E,22) и условиям
//(*)=!, \pXfXdx = 0 (у=1, 2 п — 1),
о
где X: (х) есть у-я собственная функция, является собствен-
собственной функцией, соответствующей я-му по величине собствен-
собственному значению.
Таким образом дан способ последовательного нахожде-
нахождения собственных чисел и собственных функций. Так как
в дальнейшем будет показано, что \п—► оо при п—>с», то
отсюда следует, что таким образом могут быть найдены все
собственные числа и собственные функции.
4. Можно указать метод, дающий возможность сразу оты-
отыскать п-е собственное значение и п-ю собственную функцию
без предварительного нахождения предшествующих собствен-
собственных функций. Этот метод дается следующей теоремой Ку-
Куранта:
Пусть <р, (х), <р2 (%), ..., <р„_, {x) — произвольная система
непрерывных функций на отрезке [0, /]. Обозначим через
M^i» •••» T/i-i) минимум функционала D(X) в классе
дважды непрерывно дифференцируемых функций, обраща-
обращающихся в нуль на концах отрезка и удовлетворяющих сле-
следующим дополнительным условиям:
Н(Х)=\, (8,22)
=:Ъ (/=1, 2, ..., /1—1). (9,22)
Тогда п-е собственное значение \п для рассмотренной выше
задачи о собственных значениях равно верхней грани зна-
значений 1(<р,, <р2, ..., <рп J при всевозможном выборе функ-
й

176 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЬНИЯ [ГЛ. £1
Доказательство. Так как согласно предыдущему
то достаточно показать, что при любом выборе <рр ..., <fn_t
Покажем, что при произвольной системе cpt, ...,cp/J_1 можно
указать такую допустимую функцию Х(х)у удовлетворяющую
условиям E,22), (8,22) и (9,22), что
£>(*)< Хй.
Отсюда будет следовать, что
X(срр . . ., <P/i-i) ^*kn
и теорема будет доказана.
Функцию Х(х) будем искать в виде
п
Х(х)= 2 ckXk(x).
k=2 I
Очевидно, что такая функция при любых ck будет обра-
обращаться в нуль при л; = 0ил: = /и будет иметь непрерыв-
непрерывные производные до второго порядка включительно. Подбе-
Подберем коэффициенты ck так, чтобы удовлетворялись условия
(8,22) и (9,22). Подставляя X в (8,22) и пользуясь тем, что
H(Xit Xk) = 0 при i^k (свойство ортогональности собст-
собственных функций), мы получим
H(X)=\?Xzdx=: 2 4=1. A0,22)
0 k — \
Условия (9,22) дают систему уравнений
i п I
о l k==i о
Это — система п — 1 линейных уравнений с п неизвестны-
неизвестными ск. Она всегда имеет нетривиальные решения. Пронорми-

§ 22] ОБЩИЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 177
ровав одно такое решение с помощью A0,22), мы выберем
функцию Х(х)* Найдем D(X):
S[(
0 k=\
In
= 2
*1 Л1 Л 1
что и требовалось доказать
Замечание. Вместо того чтобы искать минимум функ-
функционала D(X) при условиях (8,22) и (9,22), можно искать
минимум отношения -„.J, при условиях (9,22). Минимальное
/7 [Л )
значение будет одно и то же; только во втором случае
экстремальная функция будет определена с точностью до
постоянного множителя.
5. Для дальнейшего исследования собственных значений
и собственных функций выясним, как изменяются собствен-
собственные значения при изменении коэффициентов уравнения A,22)
и отрезка, на котором рассматриваются решения.
а) При изменении коэффициентов р(х) и q (x) в опре-
определенную сторону собственные значения меняются в ту же
сторону. Точнее, если имеем два уравнения
причем
то \п^\п, где 1п и \п — соответственно л-е собственные
значения первого и второго уравнений.
•) Так как *, < Х2 < ... <
12 И. Г. Петровский

178 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Доказательство непосредственно вытекает из того, что
(p*X" + q*X*)dx = D* (X).
Поэтому Ъ(<рр ..., «р,,.,)^*!?,» ••«. ¥«-!)» так как класс
допустимых функций ^Y(x) не изменился, и следовательно,
б) /7/?и изменении коэффициента р (х) в определенную
сторону собственные значения меняются в противополож-
противоположную сторону.
Пусть р (х) ^ р* (л:), а остальные коэффициенты уравне-
уравнения не изменены. Тогда для всякой функции Х(х)
) = D*(X), a
Поэтому
ГЦХ) DHX)
ЩХ) ^ И* (X)# U*,22)
Всякая функция Х(х), удовлетворяющая условиям (9,22) при
некоторых У({х)> будет удовлетворять аналогичным условиям
\ р* (х)у* (х) X (х) dx = О,
о
если положить
Отсюда и из неравенства A1,22) заключаем, что
А так как р* (х) ^ р (х) > р0 > 0, то совокупность всех
(cpj (л:), ..«,, срп (х)) совпадет с совокупностью всех
(?*(*)» ...» ?«W) и потому Х„>С
в) /7/ж уменьшении отрезка [0, /] собственные значений
не убывают. Точнее, если в рассматриваемой нами задаче
о собственных значениях отрезок [0, /] заменить отрезком
[О, /*]', где /*</, и собственные значения новой задачи
обозначить через X*, то \*п ^ \п.
Действительно, Х*(срр .,., ср/1_1), которое играет роль
^(^р •••! ^/1-i) B новой задаче, будет совпадать с миниму-

§ 22] ОБЩИЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 179
мом функционала D(X), определенного для отрезка [0, /],
если кроме условий (8,22) и (9,22) на класс допустимых
функций ^(х) наложить еще требование Х(х) = 0 при
/*^л:^/. Но при усилении условий уменьшается класс до-
допустимых функций, и минимум функционала может только
увеличиться *).
Следовательно, X* (<plt ..., <?„_,) ^ М<?!> •••» ¥„-,)•
А поэтому и 1п^^п-
Обращаясь к конкретному примеру, рассмотренному в § 20,
мы можем вывести отсюда известную связь между длиной
струны и высотой ее основного тона: чем короче струна,
тем больше частота ее собственных колебаний (равная у j ,
тем выше издаваемый ею звук.
6. Совершенно тем же методом, каким мы исследовали
собственные значения для уравнения A,22) при краевых
условиях
<>, E,22)
можно исследовать собственные значения для уравнения A,22)
при краевых условиях
А" @) = 0, Х'A)=0, A2,22)
или при краевых условиях
Х'@) — аоХ@) = 0, *'(/)+аД(/) = 0, A3,22)
где ао^О и а^^О, или при краевом условии одного из
указанных здесь типов на одном конце интервала @, /) и1
другого типа на другом конце.
Основной теоремой, дающей возможность исследовать
собственные значения при краевых условиях A3,22), является
следующая теорема, аналогичная теореме пункта 4:
Пусть <р, (х), <р2 (х), .. ., срл_ j (х) — произвольная си-
система непрерывных функций на отрезке [0, /]. Обозначим
*) Требуя от непрерывных на [0, I] вместе с их первыми двумя
производными функций Х{х)} чтобы они обращались в нуль при
/*^xs^Z, мы тем самым требуем, чтобы при х = 1* обращалась
ь нуль не только сама функция А^л;), но и ее первые две производ-
производные. Однако можно показать, что это дополнительное требование не
меняет минимума D{X) на отрезке [0, /*].
12*

180 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
через l(<fv ,«,., <?„_,) минимум функционала
i
J (рХ12 + дХг) dx + аор @) Хг @) + „,/> (/) *г (/) A4,22)
о
в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций,
удовлетворяющих следующим условиям:
i
//(*) = 1, 5p«p^dx = 0 (/=1,2, ,..,я—1). A5,22)
о
Тогда п-е собственное значение \п для рассматриваемой
задачи о собственных значениях равно верхней грани значе-
значений М?1> •••> Чп-\) nPu всевозможном выборе функций
<рр ..., <pn-i> лишь бы они оставались непрерывными.
Пользуясь этой теоремой, можно так же, как и в случае
закрепленных концов, исследовать зависимость собственных
значений от р(х), q(x), p(x), a0, ot, I.
Если за функции <рр ..., cpw_1 принять первые п—1
собственные функции Х19 ..., Хп_А рассматриваемой задачи,
то функция, дающая минимум функционала A4,22) при усло-
условиях A5,22), будет п-й собственной функцией этой задачи,
а минимум функционала будет ее п-м собственным значением.
Если ао = О и а/ = 0, то мы придем к задаче о собствен-
собственных значениях для уравнения A,22) при краевых условиях
A2,22). В этом случае п-я собственная функция будет давать
минимум D(X) в классе дважды непрерывно дифференцируе-
дифференцируемых функций, удовлетворяющих таким же условиям
И(Х)=\У ^fX,Xdx = 0 G=1, 2 л—1),
о
где Xt, ..., Хп^1 — первые собственные функции этой за-
задачи, как и в случае закрепленных концов. Но теперь от
допустимых функций не требуется, чтобы они удовлетворяли
какому-либо условию на концах интервала @, /). Функция,
решающая эту вариационную задачу, автоматически удовле-
удовлетворяет условиям A2,22). Это «свободная задача». Она соот-
соответствует колебаниям струны, которая свободна, т. е. не
закреплена на концах. Напомним, однако, что, когда мы го-
говорим, что струна не закреплена на концах, это значит
только, что эти концы могут как угодно двигаться по пря-
прямой, перпендикулярной к положению равновесия струны, но

§ 22] ОБЩИЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 181
это отнюдь не значит, что эти концы могут сближаться
вдоль положения равновесия.
Если от допустимых функций не требовать непрерывности
в какой-нибудь внутренней точке с интервала @, /), то класс
допустимых функций расширяется; Х(<р,, ср2, ..., <рл_,),
а следовательно, и \п от этого может только уменьшиться.
Соответствующий тон, издаваемый струной, понизится. Это
соответствует разрыву струны в какой-либо внутренней точке с.
Тогда концы обеих частей струны, оставаясь на одной и
той же прямой, перпендикулярной к положению неподвижной
натянутой струны, могут свободно передвигаться по этой
прямой. Соответствующая собственная функция Хп будет иметь
в точке с разрыв первого рода; при этом будет
Из предыдущего следует, что тоны струны при этом пони-
понизятся по сравнению с соответствующими тонами целой струны.
7. Мы ограничимся опять рассмотрением краевых условий
вида E,22), так как в других случаях можно применить
совершенно аналогичные рассуждения.
Дадим оценку \п в зависимости от я. Обозначим макси-
максимумы функций р(х), д(х) и р(х) на отрезке [0, /] соответ-
соответственно через /?п,ах, #тах, Ртах, а МИНИМУМЫ — через pmin,
#min> pmin и рассмотрим наряду с уравнением A,22) два
уравнения с постоянными коэффициентами
n^ = 0, A6,22)
Рт\пХ" — ЯттХ + Хртах* = 0. A 7,22)
Из результатов п. 5 следует, что
Xn<Xw<Iw, A8,22)
где \п и \п — соответственно /г-е собственные значения урав-
уравнений A6722) и A7,22). Но уравнения A6,22) и A7,22) ин-
интегрируются в конечном виде, и значения 1п и 1п могут быть
точно вычислены. Решая, например, A6,22) и находя част-
частное решение этого уравнения из условий X@) = X(l) = Qt
мы получим
*яРт!п — 9тах *****
Ртах I* *
Отсюда 1п = Сгп2 -J- Са, где Сх и Сж не зависят от /г,

182 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
Аналогично
Подставляя эти значения в A8,22), мы получим
С1«2 + с2 < К < cin% + С2- О9>22)
Отсюда следует, в частности, неограниченное возрастание
собственных значений при /г—► оо.
8. Исследуем теперь поведение собственных функций при
возрастании п. Для этого упростим уравнение A,22) путем
замены
X
x, и = Л-Х. B0,22)
Подберем функции <р(л;)^>0 и ф(л:)^>0 таким образом,
чтобы уравнение A,22) после замены B0,22) перешло в урав-
уравнение
tf (S) J^\u = R {s) и. B1,22)
Производя подстановку B0,22) при произвольных функциях
и ф(Аг), мы от уравнения A,22) перейдем к уравнению
du , MpY+Wpda \ ^ 1 п tyq — (Yp) „
ds* 1 «р Ф^ ds х г ср2р ср2фр
Выберем теперь функции <р(лг) и ф(дс) так, чтобы это урав-
уравнение имело вид B1,22). Для этого нужно определить функ-
функции ср (л:) и ф(Аг) из системы уравнений
f l,
Решив эту систему, получим
где с — произвольная постоянная.
Поэтому мы можем, например, заменой
= \yUx, и=У?РХ B2,22)

§ 22] ОБЩИЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 183
получить уравнение B1,22); R(s) здесь непрерывная функ-
функция, если р"(х) и р" (х) непрерывны, так как ср2фр^=О.
Решение уравнения B1,22) мы должны искать на интервале
0<^s<^/p где /, = J у —dx. Краевые условия для u(s)}
как легко видеть, останутся те же, что и для Х(х):
Если Хп{х) — собственная функция уравнения A,22), соот-
соответствующая собственному значению \пУ то этому же собст-
собственному значению соответствует собственная функция ип
уравнения B1,22).
Если
i
\ ?X2ndx=\,
о
то, как легко убедиться,
n(s)ds=\. B3,22)
Дадим асимптотические формулы для un(s) при п—юо.
Так как нас интересует поведение ип (s) при больших п, то
на основании A9,22) мы можем рассматривать только поло-
положительные \п. Рассмотрим неоднородное уравнение относи-
относительно функции z (s)
zf'Jr\z=:R(s)ui X>0, B4,22)
где и (s) есть решение уравнения B1,22) при том же X.
Уравнение B4,22) имеет общее решение
z (s) = 6j cos J/Ts 4" С2 sin VTs -\-
+ J= J R (x) и (т) sin V\(s — x) dx %
Если положить С1 = и{0) и C2 = ^4i, то <гE) будет при
*) См., например, мои «Лекции по теории обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений», Госгехиздаг, 1952, стр. 156.

184 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
s = 0 удовлетворять тем же начальным условиям, что и
и (s). Поэтому в силу теоремы о единственности решения
задачи Коши для уравнения B4,22) z(s) будет тождественно
равно и (s) и мы получим для и (s) интегральное уравнение
s
+ -L J /? (т) к (т) sin J/T ($ — т) dx. B5,22)
Пусть теперь X совпадает с п-м собственным значением;
vn(s) — решение уравнения B1,22) при X = XW, удовлетворя-
удовлетворяющее начальным условиям
Такая функция vn(s) будет удовлетворять интегральному
уравнению
= sin VK s 4- г^= S ^ (x) *„ (t) sin /Х; (s - т) Л. B6,22)
С точностью до знака она отличается от нормированной соб-
собственной функции un(s) только множителем:
/
vxn (s) ds
о
В дальнейшем мы покажем, что
Докажем прежде всего, что все функции ^„E) ограни-
ограничены некоторой не зависящей от п константой. Для этого
обозначим max|z/n(s)| при 0^^^/4 через Мп. Тогда из
уравнения B6,22) имеем

§ 22] ОБЩИЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 185
и, следовательно,
_Uj. B7,22)
Так как \п—► оо при п —их> (см. п. 7), то это неравенство до-
доказывает ограниченность функций vn (s).
Для дальнейшего нам понадобится аналогичная оценка
для производных первого и второго порядка от собственных
функций. Чтобы получить ее, продифференцируем интеграль-
интегральное уравнение B6,22). Получим
v'n (s) = V\n cos |/X s + S R (x) vn (x) cos VK (s — x) dxl
U
S
Vn (S) = — Xn Sin VK S — VK J R (X) Vn (t) Sin ]/Tn{S-*) rfT-|-
откуда
% ': КЦ B8,22)
Вычислим теперь ^ ^E)^fs, т. е. найдем множитель,
о
которым функции vn (s) (и, следовательно1 их производные)
отличаются от нормированных собственных функций un(s) (и
их соответствуюишх производных). Из B6,22) имеем
Отсюда

186 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Отсюда для un(s) сразу получаются оценки, аналогичные
B7.22) и B8,22):
B9,22)
Заменой переменных по формулам B2,22) отсюда непо-
непосредственно получаются соответствующие результаты для
Хп(х): ограниченность собственных функций и тот же по-
порядок роста производных при п—► оо, как и у un(s).
9. Рассмотрим вопрос о разложении произвольной непре-
непрерывной функции /(#), заданной при О^л:^/, в ряд
по собственным функциям Хх (л:),..., Хп (х),. • уравнения
A,22). Тем же путем, как это делается для обычных три-
тригонометрических рядов, легко показать, что если ряд C0,22)
равномерно сходится к функции /(*)> то коэффициенты сп
равны коэффициентам Фурье функции /(х) по системе функ-
функций Л\,..., ЛТ„,..., т. е.
сп= S ?(x)/(x)Xn(x)dx C1,22)
О
(ср. конец § 21).
Поставим теперь в соответствие каждой интегрируемой
функции f(x) ее «ряд Фурье» вида C0,22), где коэффици-
коэффициенты сп определены по формулам C1,22), и исследуем вопрос
о сходимости этого ряда.
Сначала докажем, что для всякой интегрируемой вме-
вместе со своим квадратом на отрезке [0, /J кусочно непре-
непрерывной *) функции f(x) ряд C0,22) сходится к этой
*) То есть имеющей конечное число точек разрыва*

§ 22] ОБЩИЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 187
функции «в среднем», т. е. что
(ЛГ-—оо).
Система ортогональных с каким-либо весом р (л:) функций,
обладающая указанным свойством, называется полной.
Для доказательства сформулированного утверждения пред-
предположим сначала, что /(х) — непрерывно дифференцируемая
функция, удовлетворяющая условиям /@)=/(/) = 0. Вве-
Введем обозначения:
/*{х) =/(*) - £ сп Хп (х), Ь%= J p (x)fN (х) dx,
п = \ о
— ^ {Х)
Нам надо доказать, что S^—►О при N—► оо. Так как
и так как, кроме того,
i
то <fN(x) является одной из допустимых функций вариацион-
вариационной задачи, рассмотренной в п. 3 этого параграфа *).
Значение минимума D(X) для этой задачи равно \N+l, сле-
следовательно,
Вычислим теперь D(yN). Пользуясь обозначениями п. 3,
*) Ср. примечание на стр. 172—173,

188 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
найдем
= .тJ и/'-
л+ C2,22)
На основании теоремы 3 п. 3 имеем
Подставляя найденные значения функционалов в C2,22),
получим
N
откуда
N
Д'^^ T ~ • W«J, 4&)
Согласно A9,22) существует только конечное число отри-
отрицательных \п. Поэтому числитель правой части C3,22) ог-
ограничен при всех Л/. Так как ХЛ+1—» оо при N—► оо, то
отсюда следует, что 8^—* 0 при Л/—► оо, т. е. ряд C0,22)
сходится в среднем для всякой дифференцируемой функции,
обращающейся в нуль в точках jc = O и л; = /.
Чтобы освободиться от ограничений, наложенных на /(л:),
заметим, что для всякой кусочно непрерывной функции / (х)
с интегрируемым квадратом существует непрерывно диффе-
дифференцируемая функция /*(лг), обращающаяся в нуль на концах
отрезка |0, /J и такая,.что
где 8j — любое заданное положительное число,

§ 22] ОБЩИЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 189
Пусть, далее, Л/ выбрано настолько большим, что
р (х) [/* (х) — X *п *п (*)]2 dx < s2;
Сп — коэффициенты Фурье для /* (х). Тогда
При оценке последнего интеграла мы воспользовались нера-
неравенством Буняковского.
Таким образом показано, что для всякой интегрируемой
с квадратом функции /(х) существуют такое N и такие сп,
что
J Р (х) [/ (х) - X спХп (*)] V* C4,22)
как угодно мал. Но известно (см., например, мои «Лекции
по теории интегральных уравнений», Гостехиздат, 1951,
стр. 66 — 67), что интеграл вида C4,22) принимает наимень-
наименьшее значение, когда сп суть#коэффициенты Фурье для функ-
функции f(x). Поэтому, если в C4,22) за сп взять эти коэффи-
коэффициенты, то величина интеграла C4,22) не увеличится.
Пользуясь ортогональностью функций Хп (л:), нетрудно
n
подсчитать, что 5д= J p \f(x)\2dx—^ с'^ 0 (неравен-
о « = 1
ство Бесселя), гае сп — коэффициенты Фурье для функции
Д), Следовательно, условие полноты системы функций может

190
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. II
быть записано в виде следующего равенства:
00 I
равенство Парсеваля).
10. Докажем теперь следующую основную теорему:
для непрерывно дифференцируемой на отрезке [О, /] функ-
функции f(x), обращающейся в нуль на концах отрезка [О, /],
ее «ряд Фурьеъ C0,22) сходится к этой функции абсо-
абсолютно и равномерно.
Достаточно показать, что этот ряд вообще абсолютно и
равномерно сходится. Действительно, так как этот ряд схо-
сходится «в среднем» к f(x), то, сходясь равномерно, он не
может иметь своим пределом никакую другую функцию.
Пусть п0 настолько велико, что Х„^>0 при п^п0.
Воспользовавшись неравенством Коши, мы можем для
n-{-s
n-\-s
/
у2
k=zn0
kz=ztl
Применим теперь для оценки первого множителя неравенство
C3,22), а во втором вынесем за знак корня
max 1^(^I =М.
k, X
Так как из неравенства C3,22) следует, что
то
Так как согласно A9,22)

§ 23] ОБОСНОВАНИЕ МЕТОЛА ФУРЬЁ 191
со
то т- ^ /,2 I » и Ряд S Т~ сходится. Следовательно,
для любого s^>0 при достаточно большом п и любом поло-
положительном s
n+s
У 1 ^ £2
n-\-s
и поэтому ^ji0*^!^8» т- е- ^ ck^kix) сходится абсо-
k — n
люгно и равномерно.
§ 23. Обоснование метода Фурье
1. Рассмотрим уравнение A,21). Будем предполагать, что
коэффициенты этого уравнения — трижды непрерывно диффе-
дифференцируемые функции в Цт, A(t)^> ао^>0 и С(х) <^со<О,
т. е. уравнение A,21) гиперболическое*).
Будем искать дважды непрерывно дифференцируемое в
Цт решение уравнения A,21), удовлетворяющее начальным
условиям
и@, х) = уо(х), МО, х) = чг(х) A,23)
и граничным условиям
u(t, O) = u(t, /) = 0. B,23)
Метод Фурье приводит к рассмотрению ряда A2,21) (см.
§ 21). Функции Xk(x) являются собственными функциями
уравнения A,22). Пусть
L(f) = (pf)'—qf.
Тогда уравнение A,22) можно записать так:
L(Xk) = -lkPXk.
Теорема. Если ср0 (х) имеет на отрезке [0, /] непре-
непрерывную производную третьего порядка и удовлетворяет
условиям
<рв = 1(<рв) = О при х = 0 и х = 1, C,23)
*) Легко проверить, что все теоремы § 22 и основная теорема
§ 23 справедливы, если С{х), A{t) дважды непрерывно дифферен-
дифференцируемы, D{t)t E(x) F2{x) имеют непрерывные производные пер-
первого порядка, a Ft(t) непрерывна.

192 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
a <р, (x) имеет на этом отрезке непрерывную производную
второго порядка и удовлетворяет условиям
(р, = 0 при л; = 0 и х = 1, D,23)
то функция u(t, x), определяемая рядом A2,21), имеет
непрерывные производные второго порядка и удовлетво-
удовлетворяет в ЦТ уравнению A,21), начальным условиям A,23) и
граничным условиям B,23). При этом возможно почлен-
почленное дифференцирование ряда A2,21) по t и х до двух раз
включительно; полученные таким образом ряды сходятся
абсолютно и равномерно в ЦТ *).
Доказательство **). Рассмотрим ряд A2,21), по-
построенный в § 21:
и (*, 0 = 2 Xk (х) \AkT*k (t) + BjT (t)\ • E,23)
k = 1
I
Здесь L (Xk) = — lk?Xk, J pAj (x) dx = \,
Функции Tl и Tj* являются решениями уравнения F,21) при
Х = ХА и удовлетворяют начальным условиям
7*@)=1,
*) Условия C,23) и D,23) являются необходимыми условиями для
существования в Цт дважды непрерывно дифференцируемого реше-
решения поставленной задачи. Действительно, из условия B,23) следует,
ди д2и п , __
что ~Ш и ~д? Равны НУЛЮ ПРИ ;с==0 и * = *• Пользуясь этим, из
уравнения A,21) получаем, что при # = 0 и x=zl
С(х) S+^W^ + ^W« = 0,
т. е. Z.(cpo) = O при х==0 и х = 1.
**) Это доказательство принадлежит О. А. Олейник м А. И Кя.
рабанову.

§ 23]
ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ
Заменой переменных, аналогичной B0,22), мы можем при-
привести уравнение F,21) к виду
w" -\-\kw = R (s) w. F,23)
Так как при этом T(t) = ty(t)w, гдеф(^) есть некоторая функ-
функция, не зависящая от &, то соответствующие функциям Tl d
Tk функции Wk и Wk удовлетворяют начальным условиям
где a*, b*t #**— некоторые числа, не зависящие от k. Для
решений уравнения F,23) мы можем написать интегральное
уравнение вида B5,22). Пользуясь этим интегральным урав-
уравнением, мы можем, аналогично тому, как это сделано в § 22,
получить оценки для Wk и Wk и их производных. При этом
для функций 7* (t) и Г** (t) при достаточно больших к мы
получим следующие оценки:
м
dTk
di
dt
df-
dt2
>G,23)
где /И^>0 — некоторая постоянная.
Оценим теперь коэффициенты Фурье функции ср0 (л:):
(8,23)
Последнее равенство мы получили, интегрируя два раза
по частям и учитывая граничные условия <р0 @) = <р0 (/) =
ЛГ@) = АЛ(/) = 0. Из равенства (8,23) получаем
т. е. \Ak суть коэффициенты Фурье непрерывно дифферен»
13 И. Г. Петровский

194 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
цируемой функции И(х) = — , удовлетворяющей усло-
условиям И@) = ИA) = 0.
Из теоремы п. 10 § 22 следует равномерная сходимость
00
ряда 2 I^^JI^ftl- Из неравенства C3,22) легко получаем
со
сходимость ряда 2 ^1^1*
k=i
L
Оценим теперь Bk= j p(flXkdx. Пользуясь снова уравне-
0
нием A,22), интегрируя два раза по частям и учитывая
граничные условия cpt @) = срх (/) = Xk @) = Xk (I) = 0, по-
получим
где $k—коэффициенты Фурье непрерывной функции Н1(х) =
— mi. в силу равенства C5,22) имеем
К 1 у
Пользуясь оценками G,23), B9,22) и учитывая B0,22),
легко показать, что абсолютная и равномерная сходимость
ряда A2,21) и рядов, полученных из него почленным диффе-
дифференцированием по х и по t до двух раз включительно, сле-
следует из сходимости числового ряда
"), (9,23)
так как при достаточно больших k члены этих рядов по
модулю не превосходят членов ряда
где М% — некоторая иоло/кигедфнзн постоянная. Чтобы дока-

§ 23] ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ 195
зать сходимость ряда (9,23), заметим, что при достаточно
больших п
п-\-т п-\-т
k=n k=n
/n I -m /~n-\-m / n \-m f ti \- m
V A2V l/ V l -4-1/ V R21/ V i- A0 23)
Здесь мы воспользовались неравенством Коши. Из сходи-
ОО 00 30
^/fe» Z-, т~ и ^-, Р* и неравенства
A0,23) следует сходимость ряда (9,23). Этим теорема дока-
доказана.
2. Покажем теперь, что смешанная задача для гипербо-
гиперболического уравнения вида A,21) имеет единственное реше-
решение. В § 18 мы доказали уже единственность решения
смешанной задачи для волнового уравнения.
Интегрируя по частям, легко убедиться, что для любых
двух дважды непрерывно дифференцируемых в ~ЦТ функций
u(t, x) и v(t, x) при 0<^Тг^Т имеет место формула
d2(C(x)v)
J [§P1
d(D{t)v)
dx-
Г
Г Г п 1 \ ди
3 [vC^Tx-u
0
13*

196 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Т
Пусть u(t,x) удовлетворяет в Цт . уравнению A,21) и
условиям
в<0, *) = 0, МО, х) = 0, и(/, 0) = 0, и(*,/) = 0. A2,23)
Покажем, что при этом и(/, х)^0.
Предположим противное. Пусть и (t, x) отлична от нуля
в точке (Tv хг). Применим формулу (И ,23) к функции и (t, x)
и функции v(t, x), которую выберем так, чтобы она удовлет-
удовлетворяла в Цт^ уравнению
д* \Л (t) v) , д2 (С {х) у) д (D (t) v) д{Е(х)у) ,
dt2 • дх2 dt дх *
= 0 A3,23)
и условиям
v(t, 0) = 0, v(f, /) = 0, v{7x9 лг) = О, ^G,, x)=ol{x), A4,23)
где а(дг) — гладкая неотрицательная функция, отличная от
нуля только в малой окрестности точки G\, х,), в которой
и (t, x) сохраняет знак. Существование функции v(t, x) следует
из предыдущей теоремы, так как уравнение A3,23) имеет
вил A,21).
Легко видеть, что в силу соотношений A,21), A2,23),
A3,23) и A4,23) левая часть равенства A1,23) равна нулю,
а правая часть равна
Полученное противоречие показывает, что н = 0.
Задача Докажите непрерывную зависимость решения
смешанной задачи для уравнения A,21) от начальных условий:
решение u(t, х) уравнения A,21), удовлетворяющее усло-
условиям A,23) и B,23), будет по модулю сколь угодно ма-
— дф I
лым в LL, если кр (х) , -~\ и Up (х)\ достаточно малы
' ох |
для всел х на отрезке |0, /].
Для доказательства этого утверждения нужно воспользо-
воспользоваться оценками G>23), B9,22), раве^нством C5,22) для
функции cpt (х), неравенством C3,22) для функции <fo(#) и
сходимостью ряда

§ 23) ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ 197
Замечание. Легко показать, что если //(/, х) удовлет-
удовлетворяет в Ц7 уравнению A,21), начальным условиям A,23)
и граничным условиям B,23), то интеграл
J f pu2 (t, х) dx dt
i i
будет сколь угодно малым, если \ py\(x)dx и \ р^(х) dx
достаточно малы.
Действительно, воспользовавшись представлением u{t, x)
в виде ряда A2,21), получим
f \pu2(t, x)dxdt =
= S S P I S xk (x) Ajl (t) + f] Xk (x) Bjf (f) \2dx dt ^
U k\ k
2 S S p B ^
U k
2 £1=#
где Кх и /<2—некоторые положительные постоянные, не за-
зависящие от <р0 и (рг При выводе этих оценок мы воспользо-
воспользовались элементарным неравенством (a-\-bJ ^ 2а2-{-2£2,
ортогональностью с весом о (х) собственных функций, которые
предполагаются нормированными, ограниченностью функций 7%
и Т/г и равенством Парсеваля C5,22).
3. Если начальные функции <р0 (лс) и <р, (л;) не удовлетво-
удовлетворяют условиям, сформулированным в теореме настоящего па-
параграфа, то может не существовать дважды непрерывно диф-
дифференцируемое в Цч решение смешанной задачи для уравне-
уравнения A,21). Однако если <f0 U) — непрерывно дифференцк-

198 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. U
руемая функция, обращающаяся в нуль при х —Оил" = /,
а ш1 (х) — непрерывная функция на отрезке [0, /], то ряд
A2,21) равномерно сходится и определяет в Цт некоторую
непрерывную функцию u(t, х). Функция и (t, x) будет при
этом обобщенным решением смешанной задачи для уравнения
A,21), соответствующим начальным условиям A,23) и гра-
граничным условиям B,23).
Функцию u(t,x) мы называем обобщенным решением
уравнения A,21) с начальными условиями A,23) и гранич-
граничными условиями B,23), если u(t, x) является пределом в Цт
при п—> оо равномерно сходящейся последовательности
uri(t,x) решений уравнения A,21) с граничными условиями
B,23) и начальными условиями
dun(Q, x)_ rn } A5,23)
и при n —> оо
I
5 Р [<Р, (х) — Ь (х)}2 dx — 0. A6,23)
Покажем, что если ср0 (а:) — непрерывно дифференцируемая
функция, обращающаяся в нуль при х = 0 и х = /, а ср, (х) —
непрерывная функция на [0,/], то уравнению A,21) с усло-
условиями A,23) и B,23) соответствует единственное обобщенное
решение. Существование обобщенного решения вытекает
из того, что частные суммы ряда A2,21) образуют последо-
последовательность un(f, х), которая удовлетворяет требуемым усло-
условиям, и следовательно, ряд A2,21) является обобщенным
решением. Покажем теперь, что обобщенное решение един-
единственно.
Если бы двум различным последовательностям функций
<Ро(*)» <р" (х) и ер" (х)} у" (х) соответствовали две различные
предельные функции w(£, #) и u(tt x) для последовательно-

§ 23] ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ 199
стей un{t, x) и un(t, х), то мы имели бы:
р (и — йJ dx dt =
== J J р [(и — и„) + («„ - и„) + («„ — к)]2 rf* Л <
. A7,23)
Ha основании замечания п. 2 настоящего параграфа инте-
интеграл
стремится к нулю при п—>-оо, так как
р (<р? — #)* </* и
стремятся к нулю при п—► сю. Так как два других интег-
интеграла в правой части неравенства A7,23) также стремятся
к нулю, то
\\ р (и — иJ dx dt = 0.
Ввиду того, что и~и к р^>0 — непрерывные функции,
имеем u(t, x)=u(t, x).
Из определения обобщенного решения смешанной задачи
для уравнения A,21) следует, что если при заданных ср0 (jc)
и <pj (а;) существует дважды непрерывно дифференцируемое
в Цт решение смешанной задачи, то обобщенное решение
смешанной задачи совпадает с этим решением.
Иногда обобщенным решением смешанной задачи для
уравнения A,21) с условиями A,23), B,23) называют такую
функцию u(t, x), для которой
lim \\o(un — u)*dxdt = Ot A8,23)
i4

200 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
где функции un(t} x) являются решениями уравнения A,21)
при граничных условиях B,23) и начальных условиях A5,23),
причем выполняются соотношения A6,23).
Укажем другие возможные определения обобщенного реше-
решения смешанной задачи, в которых используются интегральные
тождества (ср. § 9). Для простоты будем рассматривать
уравнение вида
г = 0. A9,23)
Обобщенным решением смешанной задачи для уравнения
A9,23) при начальных и граничных условиях A,23), B,23)
называется непрерывно дифференцируемая в Цт функция
u(t, x)t удовлетворяющая условиям
и@, х) = уо(х), u(t} 0) = и(*,/)=0 B0,23)
и интегральному тождеству
f да до да да
+ $ <р, (х) а @, х) dx = 0 B1,23)
о
для любой непрерывно дифференцируемой функции a(t, x),
равной нулю при t=T, при х = 0 и при х = 1.
Иногда удобно пользоваться следующим определением.
Обобщенным решением смешанной задачи для уравнения
A9,23) при условиях A,23), B,23) называется непрерывная
функция u(t, x), удовлетворяющая интегральному тождеству
uP{o) dx dt -\- j (p0 (x) f( @, *) dx —
т
i
, x)dx = 0, B2,23)
0
где a(/, x)—произвольная дважды непрерывно дифференци-
дифференцируемая функция, ал я которой
<Ht,0) = o(t,l) = o(l9 х) = '£G,х) = 0. B3,23)

§ 23] ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ 201
Очевидно, что обобщенное решение, определяемое тож-
тождеством B1,23) при условиях B0,23), является в то же
время обобщенным решением в смысле B2,23); обратное,
вообще говоря, неверно.
Вводя обобщенные решения, мы можем в той или иной
степени расширить класс начальных функций, при которых
существует решение смешанной задачи. При этом очень
важно, чтобы в новом классе решений сохранялась теорема
единственности.
Задача 1. Докажите, что обобщенное решение уравне-
уравнения A9,23) при условиях A,23), B,23), определенное соот-
соотношением A8,23) (где р=1), существует и единственно,
если функции <р0 (х) и ^>1(х) кусочно непрерывны и интегри-
интегрируемы с квадратом на отрезке [0, /J.
Задача 2. Докажите, что обобщенное решение уравне-
уравнения A9,23) при условиях A,23), B,23), определенное соот-
соотношениями B0,23), B1,23), существует и единственно, если
функция уо(х) дважды непрерывно дифференцируема на
отрезке [0, /], a cpt (x) один раз непрерывно дифференцируема
на этом отрезке, причем
Указание. Для доказательства единственности восполь-
воспользоваться функцией
a(tt x)=\ [иг (t, л:) — и2(т, x)]dz,
т
где их и и2— два обобщенных решения одной и той же сме-
смешанной задачи.
Задача 3. Докажите, что обобщенное решение уравне-
уравнения A9,23) при условиях A,23), B,23), определенное соот-
соотношением B2,23), существует и единственно, если функция
<ро(лг) непрерывна на отрезке [0, /], обращается в нуль при
х = 0, х — 1 и имеет на этом отрезке интегрируемую с квад-
квадратом кусочно непрерывную производную, а функция <р,(я)
кусочно непрерывна и интегрируема с квадратом на отрезке
[О, /].
Указание. Для доказательства единственности восполь-
воспользоваться результатами п. 4 настоящего параграфа.

202 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
4. Метод Фурье для неоднородного гипербо-
гиперболического уравнения. Рассмотрим в Цт смешанную
задачу для уравнения
т. е. будем искать дважды непрерывно дифференцируемое
в Цт решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным
условиям
и @, х) = ср0 (х), щ @, х) = <р, (х) B5,23)
и граничным условиям
u(t, O) = u(t, /) = 0. B6,23)
При этом нам достаточно построить решение, удовлетво-
удовлетворяющее условиям B5,23) при <ро(х) = у1 (х) = 0, так как
искомое решение получим, прибавляя к нему ряд A2,21).
Будем искать решение и (t, x) поставленной задачи в виде
со
ряда Фурье 2 ak @ ^k (х) п0 собственным функциям урав-
нения L(X) = — \Х с граничными условиями Х@) = ХA) = 0.
Разлагая функцию /(/, л:) в ряд Фурье по этим собственным
функциям и сравнивая коэффициенты Фурье в правой и левой
частях уравнения B4,23), мы получим дифференциальные
уравнения для определения коэффициентов Фурье ak(t) вида
i
где Д (/) =\f{U х) Xk (x) dx и I (Xk) = — \kXk. Легко про-
о
верить, что решением уравнения B7,23), удовлетворяющим
условиям ak @)=аи @)=0, является функция
Таким образом, решение и (ty x) уравнения B4,23), удо-
вле i воршощее условиям B6,23) и условиям
jc) = wi@, x) = Q, B8,23)

§ 24] ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА 203
должно выражаться в виде ряда
и С x) = y(-7=\/At)slnVkk(t-^)dx)Xk(x). B9,23)
Если ряд B9,23) и ряды, полученные из него почленным
дифференцированием по х и по t до двух раз включительно,
сходятся равномерно в Цт, то сумма этого ряда есть дважды
непрерывно дифференцируемая в Цт функция, удовлетворяю-
удовлетворяющая уравнению B4,23) и условиям B6,23) и B8,23). Такая
сходимость рядов будет обеспечена, если потребовать, чтобы
непрерывная функция f(t, x) имела непрерывную производную
второго порядка под: и чтобы при всех t выполнялись условия
f(ty 0)=/(/, /) = 0. При этом мы предполагаем, что коэф-
коэффициенты р(х) и q (x) имеют две непрерывные производные.
Доказательство этого предложения вполне аналогично дока-
доказательству основной теоремы настоящего параграфа. Коэффи-
Коэффициенты Фурье fk(t) функции f(t, x) оцениваются аналогично
коэффициентам Bk ряда A2,21).
§ 24. Применение функции Грина к задаче о собственных
значениях и к обоснованию метода Фурье
Существование полной системы собственных функций
в задаче о собственных значениях и основные свойства этой
системы можно доказать, не решая вариационных задач,
совершенно иным способом. Это можно сделать сведением
краевой задачи к интегральному уравнению Фредгольма вто-
второго рода. Это сведение осуществляется с помощью так на-
называемой функции Грина, к построению которой мы сейчас
переходим.
L Рассмотрим задачу: найти в интервале @, /) решение
уравнения
A,24)
удовлетворяющее условиям
Х@) = ХA) = 0. B,24)
Наряду с уравнением A,24) рассмотрим уравнение
''—qY = gg(xt xQ) C,24)

204 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. П
с такой же левой частью, как и у уравнения A,24), и сво-
свободным членом
Т при *.-f <*<*. + !-.
0 при всех остальных х.
Здесь s и х0—некоторые параметры; е>0; 0<^л
0 <^ у< min {д:0, / — л:0}. Предположим, что нам известно
решение К6(лг, лг0) этого уравнения, удовлетворяющее тем же
краевым условиям B,24) и зависящее от параметров s и х0 *),
Умножим уравнение A,24) на К6, а уравнение C,24), где
вместо Y подставлено Кв, на X, вычтем второе из первого
и проинтегрируем разность по интервалу @, /). Получим
\i(pX')'Yt-(pYt)' X]dx=
О
I
= J [ Yt (x, *,) f{x) — X (x) ge (x, x,)] dx.
0
Так как функции Х(х) и Уе(х, х0) обращаются в нуль
на концах промежутка интегрирования, то левая часть равен-
равенства равна нулю, в чем нетрудно убедиться, произведя дву-
двукратное интегрирование по частям:
\{pXr
) Yedx =
-f S(pK)' Xdx=\(pY.)r Xdx
*) В уравнении C,24) правая часть имеет две точки разрыва пер-
первого рода: х = #0:+:~. Можно доказать, что если q^0t то суще-
существует единственное решение уравнения C,24), удовлетворяющее
краевым условиям B,24) и непрерывное вместе с первой производ-
производной на отрезке О^х^г. Вторая производная имеет разрывы пер-
первого рода при х = х0 щ —.

§ 24] ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА 205
Следовательно,
J У, (х, xo)/(x)dx=l ge (x, xo)X(x)dx =
X(x)dx^X(x0). D,24)
Если предположить, что при s—vO функция Yz(x, x0)
стремится равномерно по х к некоторой предельной функции
(обозначим ее G(x, хо))9 то, совершив переход к пределу
при s—> 0 в обеих частях равенства D,24), мы получим
Х(ха) = J G (дг, *,)/(*) dx. E,24)
О
Предельная функция G(x, x0) и является функцией Грина
для уравнения A,24).
Эти нестрогие рассуждения не дают пока возможности
провести точное доказательство каких бы то ни было фак-
фактов. Поэтому мы определим функцию Грина независимо от
предыдущих наводящих рассуждений и докажем, во-первых,
существование такой функции и, во-вторых, справедливость
формулы E,24).
Раньше чем дать точное определение функции Грина,
выясним, какими свойствами должен обладать предел Ye(x, х0),
если этот предел существует. Проинтегрируем по х тож-
тождество C,24) после подстановки F6(x, лс0) вместо Y в пре-
пределах от х0 — Ь до лго4-8» гДе ^^>~2"- Мы получим
]' — qYu(x, xo)}dx= J g.(x,xo)dx=\.
Первое слагаемое можно проинтегрировать в явной форме,
после чего предыдущее равенство примет вид
?M*> xQ)dx=l.
, - о x0 - с

206 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Допустив здесь законность формального перехода к пре-
пределу при s—>0 и фиксированном 8, мы получим равенство
— 5 q(x)Q(x, xo)dx=\y
справедливое при любом 8^>0. Перейдя теперь к пределу
при 8 — 0 и предполагая, что р(х), q(x) и О (л:, x0)—•
непрерывные функции, мы получим равенство
*. + 9, *„) —о;(«, —о, хо)]=\,
откуда видно, что при сделанных предположениях производ-
производная G'x (х, х0) функции Грина по х должна при х = х0 пре-
претерпевать скачок, равный —■— .
2. Дадим теперь формальное определение функции Грина
для уравнения A,24) и докажем ее существование.
Функцией Грина для уравнения A,24) при краевых
условиях B,24) называется функция G(x, s), определенная
в квадрате 0 ^ х ^ /, 0 ^ s <: / и удовлетворяющая сле-
следующим условиям:
1°. G(x, s) как функция х при x=£s непрерывна вместе
со своими производными до второго порядка включительно
и удовлетворяет однородному уравнению
[рОх(х9 s)]x — q0(x9 s) = 0. F,24)
2°. О@, s) = G(l, s) = 0.
3°. О (лг, s) непрерывна в квадрате 0 ^z
a Gx (x} s) как функция от х претерпевает разрыв 1-го
роба со скачком —~ при x = s, т. е.
s) — Gx(s — 0} s) = ~
При доказательстве существования такой функции мы пред-
предположим, что q ^ 0, так что \ = 0 не является собственным
значением уравнения

§ 24] ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА 207
при краевых условиях B,24). (Ср. § 39 моих «Лекций
по теории обыкновенных дифференциальных уравнений», 1952.)
При этом предположении существование функции Грина
доказывается просто ее построением. Действительно, пусть
Хх (х) есть какое-то нетривиальное решение уравнения
(рХ')г— qX—О, удовлетворяющее условию
*,(<>) = 0,
а Х2(х) — нетривиальное решение того же уравнения, удов-
удовлетворяющее условию
Х2A) = 0.
В силу сделанного предположения решения Хл (X) и Х2 (х)
линейно независимы. Если бы это было не так, то они
были бы просто пропорциональны и каждое из них обраща-
обращалось бы в нуль при л;=0 и х = 1, не будучи равным нулю
тождественно, что невозможно, так как \ = 0 не есть соб-
собственное значение. Положим
Тогда условия 1° и 2° удовлетворяются при любом выборе
A(s) и B(s).
Выберем теперь A(s) и B(s) так, чтобы удовлетворялось
условие 3°. Из условия непрерывности G(x, s) при x = s
имеем
откуда
A(s) = c(s)X2(s),
) = c(s)Xl(s).
Потребуем, чтобы скачок производной в точке х = s имел
1
заданное значение ——г:
p(s)
G'As — 0, s) = c(s)X2(s)X'1(s),
Qx(s + 09 s) = c(s)Xl(s)X'2(s)i
Откуда получаем
1
{)
[Xx {s) Xz Ksj - Xk [s) X^ [s)\

208 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
Знаменатель р (s) [ХА (s) Х[ (s) — Х2 (s) Xx (s)] не зависит от s.
Действительно, в квадратной скобке стоит определитель
Вронского Д(Л\, Х2) линейно независимых решений X1(s) и
X2(s). По.известной формуле
_ о р' (х) dx
J Р (X)
откуда следует постоянство с (s).
Функция Грина имеет поэтому вид:
при 1
(8,24)
при l j
Таким образом, существование функции Грина доказано.
Из формулы (8,24) непосредственно очевидно, что функ-
функция Грина симметрична относительно своих аргументов:
G{x, s) = O(s, x).
Докажем теперь формулу E,24) для решения Х(х) урав-
уравнения A,24), удовлетворяющего краевым условиям B,24).
Покажем сначала, что функция
X(x) = l0(x, s)/(s)ds (9,24)
О
удовлетворяет уравнению A,24). В силу симметрии функции
Грина функция, определяемая формулой (9,24), совпадает
с E,24). Чтобы вычислить X'(х), представим (9,24) в виде
, s)f(s)ds. A0,24)
Дифференцируя это соотношение по х, получим
к I
Х(х)=1о'Лх, s)f(s)ds+\o'x{*, s)f(s)ds +
-\-G(x, x — 0)f(x) — 0[ix, x-\-0)f(x).

§ 24] применение функции грина 209
В силу непрерывности функции Грина имеем
x(x, s)f(s)ds. A1,24)
Дифференцируя A1,24) по х, получим выражение для X" (х)
в виде
х I
y s)f(s)ds+[o"xx(xy s)f(s)ds-\-
— G^(x1 x + 0)f(x).
Так как Gx (х + 0, х) — Gx (лг—0, *)=j^fi » то °х (х, х—0) —
— Ох(ху x-f 0)=^. Поэтому
fJ^ A2,24)
Подставляя в уравнение A,24) выражения для X, Х\ Х'\
получим
(рХ')' -qX=\ [(р {х) G'x)x - qQ\ f{s) ds +/(*) =/(*).'
О
Из формы правой части равенства E,24) видно, что функция
Х(х), определенная равенством E,24), обращается в нуль
при # = 0 и х — 1.
Таким образом, формула E,24) дает решение уравнения
A,24), удовлетворяющее условиям B,24). В силу предполо-
предположения д^О такое решение уравнения A,24) единственно.
3. Покажем, как с помощью функции Грина для уравнения
A,24) задача о собственных значениях, рассмотренная в пре-
предыдущих параграфах, сводится к интегральному уравнению.
Для этого запишем основное уравнение A,22) в виде
A3,24)
и, полагая f(x) — —1рХ, применим к нему формулу E,24).
14 И. Г. Петровский

210 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Мы получим равенство
s)p(x)X(x)dx = 0, A4,24)
представляющее собой однородное уравнение Фредгольма
второго рода с симметризуемым ядром и параметром X.
Ядро уравнения A4,24) может быть симметризовано умно-
умножением равенства A4,24) на ^^(s). Тогда это уравне-
уравнение превратится в уравнение с неизвестной функцией
\/r?(s)X(s) и симметричным ядром О(х} s)]/р (x) p (s). В силу
формулы E,24) уравнение A3,24) вместе с краевыми усло-
условиями Х@) = ХA) = 0 и уравнение A4,24) эквивалентны
в том смысле, что каждое решение A3,24), обращающееся
в нуль при х = 0 и х = 1, является решением уравнения A4,24)
при том же X, и обратно.
С другой стороны, для уравнений вида A4,24) справед-
справедливы доказанные в § 22 теоремы о существовании собствен-
собственных значений и собственных функций, об ортогональности
системы собственных функций и теорема о разложимости
(ср., например, мои «Лекции по теории интегральных урав-
уравнений», Гостехиздат, 1951, §§ 11 —14). Отсюда прямо сле-
следуют теоремы о существовании и ортогональности собствен-
собственных функций и теорема о разложимости, доказанные в § 22.
Правда, для доказательства разложимости функции /(х)
приходится при этом требовать непрерывность ее второй
производной, чтобы можно было представить ее в виде E,24)
и применить теорему Гильберта — Шмидта.
Функцию Грина, сводящую решение дифференциального
уравнения к интегральному, можно определить и для других
типов краевых условий, а также для уравнений со многими
независимыми переменными. Однако ее эффективное выраже-
выражение удается обычно получить только для весьма частных
видов уравнений и краевых условий.
4. С помощью функции Грина можно дать обоснование
метода Фурье решения смешанной задачи для уравнения
A,21) при условиях A,23), B,23), не опираясь на резуль-
результаты § 22.
Для простоты рассмотрим уравнение вида A9,23), где
Р^>®> #^0, и докажем для этого уравнения теорему,
формулированную в п. 1 § 23. Ряд A2,21) для этого

§ 24J ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА 211
уравнения имеет вид
00
(VT ^VX) A5,24)
Здесь \k — собственные значения, а Xk(x)— собственные
функции уравнения
L(X)=(pX')' — qX = —\X A6,24)
с граничными условиями B,24). Существование собственных
значений и собственных функций следует из того, что урав-
уравнение A6,24) (^условиями B,24) эквивалентно интегральному
уравнению с симметричным ядром
г
Х(х) -\-l[ G(x, s)X(s)ds = O, A7,24)
где О (л:, s) — функция Грина для задачи A6,24), B,24).
Так как начальные функции <рв (х) и уг (х) удовлетворяют
условиям теоремы из п. 1 § 23, то для коэффициентов Ak%
Bk в A5,24) выполняются соотношения (ср. § 23):
^LD0)Xkdx; A8,24)
A9,24)
Для доказательства равномерной сходимости ряда A5,24)
и рядов, полученных его почленным дифференцированием по
х и t до двух раз включительно, достаточно доказать равно-
равномерную сходимость на отрезке 0 ^ х ^ / следующих рядов:
B0,24)
B1J4)
<22'24>
14*

212 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. I]
Из уравнения A6,24) имеем
хь -у x~\—х$
следовательно, равномерная сходимость ряда B2,24) будет
вытекать из равномерной сходимости рядов B0,24) и B1,24).
Пусть, как и прежде,
/ i
8) = [ (Pf'g' + Я/8) dx> £>{/)=[ (P/ft + Я/2) dx>
о о
очевидно, D(f)^0 для любой функции //Умножая обе
части уравнения A6,24) на Xk и интегрируя от 0 до /, по-
получаем с помощью интегрирования по частям
/
о
так как Xk (x) ф. О, то отсюда следует, что
:=1, 2, ...)•
Лемма. Пусть функция /(х) непрерывна на отрезке [0, //,
обращается в нуль при х = 0, х = 1 и имеет на этом от-
отрезке кусочно непрерывную производную, интегрируемую с
квадратом.
Тогда справедливо неравенство
со
2
k=l
V*
где ck=^/Xkdx (A=l, 2, ...).
О
Доказательство. Интегрируя по частям, находим
D (/, Хк) = - J / [ (рХкУ - qXk\ dx = lkck;
О
/
i k k ik*

§ 24] ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА 213
Пользуясь этим, получаем
\
откуда вытекает B3,24).
По предположению, функция L (ср0) удовлетворяет условиям
только что доказанной леммы; поэтому для L (ср0) справедливо
неравенство B3,24). Используя A8,24), находим
). B4,24)
Функция £(({0 непрерывна на отрезке [0, /]. Принимая
во внимание соотношение A9,24), по неравенству Бесселя
получаем
B5,24)
Из уравнения A7,24) имеем
М. = — Г О (х, s) Xk (s) ds; B6,24)
k *
о
Хк (х) ,
следовательно, , при фиксированном х является &-м
коэффициентом Фурье функции — G(x, s), удовлетворяющей
на отрезке 0 ^ s ^ / условиям леммы. Поэтому
11 при 0<х</. B7,24)
Дифференцируя B6,24), получаем:

214 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
в силу неравенства Бесселя отсюда вытекает, что
ittrf5<Aff при 0<х</. B8,24)
Докажем теперь, что ряд B0,24) равномерно сходится
на отрезке O^x^L Применяя неравенство Коши и поль-
пользуясь оценкой B7,24), находим
п-\-т
£ \Хк{х)\(кк\Ак\+]/Гк\Вк\) =
k=n
"+m IV mi L
J^1
/n
n+m
7+ш
отсюда следует равномерная сходимость ряда B0,24), так
00 00
как числовые ряды ^>.^Л| и ^\\В1 сходятся в силу B4,24)
£ k
и B5,24).
Докажем равномерную сходимость ряда B1,24). С помощью
неравенства B8,24) получаем
n+m
n+m Г ,+m
J и; +)/V^. B9,24)
со
Ряд 2 ^^1 сходится в силу неравенства Бесселя для

§ 25] ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ МЕМБРАНЫ 215
оо
функции L (ср0); ряд y\\kBk сходится вследствие леммы,
примененной к функции ср,. Поэтому из B9,24) вытекает
равномерная сходимость ряда B1,24).
Замечание 1. Применяя такие же рассуждения, можно
дать обоснование метода Фурье решения смешанной задачи
для общего уравнения A,21), если использовать оценки
вида G,23) для функций T*k(t), T%*(t) и их производных.
Замечание 2. Результаты настоящего пункта позво-
позволяют другим путем получить основную теорему п. 10 § 22.
Действительно, для функции, удовлетворяющей условиям
леммы настоящего пункта, в силу неравенств B3,24) и B7,24)
получаем
"+m "+m - I AT, Ml
r /~ n+m
Yd @)|/ £ ;
00
при /*>/V(e), т. е. ряд JPfkXk(x) на отрезке [О, /] схо-
сходится абсолютно и равномерно.
§ 25. Изучение колебаний мембраны
1. В § 1 мы рассмотрели в качестве примера уравнение
колебаний мембраны
у
Пусть в положении равновесия мембрана совпадает с не-
некоторой ограниченной областью G плоскости (х9у) с кусочно
гладкой границей Г. Тогда функция и (t, x, у), определяющая
эти колебания, должна удовлетворять уравнению A,25) и
начальным условиям
и @, х, у) = уо(х, у) (начальное отклонение), \
ut(Ot х, y) = <fl(x, у) (начальная скорость), /
,25)
когда точка (х% у) £ О. А на границе Г области О функция
и (t, xy у) должна удовлетворять каким-нибудь граничным
условиям рассмотренного в § 1 типа.

216 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Мы рассмотрим простейший случай — мембрану, жестко
закрепленную на краю, т. е. граничное условие
u(t, х, у) = 0, когда (х, у) €Г. C,25)
Решая задачу опять методом разделения переменных,
положим
«(/, х, y)=T(t)v{x, у).
Аналогично одномерному случаю, получим следующие уравне-
уравнения для функций T(t) и v(x, у):
Г+МГ=0, D,25)
S+P + b = 0. E,25)
Для уравнения E,25) при граничном условии C,25) су*
шествует бесконечная последовательность собственных значе-
значений. Собственные функции, соответствующие различным соб-
собственным значениям, ортогональны между собой. В отличие от
случая одного независимого переменного некоторым собственным
значениям может соответствовать не одна, а несколько ли-
линейно независимых собственных функций. Такие собственные
значения называются кратными. Всегда можно выбрать среди
собственных функций, соответствующих данному собственному
значению, такую конечную систему линейно независимых и
ортогональных между собой собственных функций, что всякая
собственная функция, принадлежащая этому собственному
значению, выражается их линейной комбинацией.
Совокупность выбранных таким образом собственных функ-
функций, соответствующих всем собственным значениям, образует
полную ортогональную систему функций
*,(*».У). М*> .У)> ..., vn(x, у), ...
Разложим функции ср0 (л:, у) и срж (х, у) в ряды по функ-
функциям vn (х, у):
<М*. JO= 2ДЛ,(*. У)> <Р, (*. jO = f] Bnvn{x% у). F,25)
Выберем два линейно независимых решения Г* (t) и Г** (t)
уравнения D,25) так, чтобы удовлетворялись условия
7*@)=1; Г*'@) = 0

§ 25] ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ МЕМБРАНЫ 217
Ряд
«(*, х% y)=%va(x, y)[Anfn(f)+BaT?(t)] G,25)
п—\
представляет решение нашей задачи в том случае, если
этот ряд и ряды, полученные из него почленным дифференци-
дифференцированием по t, х и у до двух раз включительно, сходятся
равномерно.
Мы остановимся сейчас на двух частных случаях, когда
собственные функции уравнения E,25), в свою очередь, мо-
могут быть найдены методом разделения переменных. Анало-
Аналогично можно поступать и в случае большего числа незави-
независимых переменных. Эти случаи могут быть исследованы до
конца сведением к одномерной задаче о собственных значе-
значениях с помощью следующей леммы.
Лемма. Пусть ух (х), ср2 (а:), ..., <р„(л;), ...—полная
система ортогональных и нормированных с весом р, (х)
функций на отрезке [а, Ь\. Пусть, далее, для каждого
л(л=1, 2, ...) имеется полная система ортогональных
и нормированных с весом р2(у) функций на отрезке [с, d\
Функции Pj (x) и р2 (у) предполагаются непрерывными и не*
отрицательными. В таком случае функции
образуют полную систему ортогональных и нормирован'
ных функций с весом p(x, у) = рг (х) р2 (у) в прямоугольнике
b , т. е. имеют место равенства
d Ь
\\ Р (*. У) *пт (*. У) *пт (х, у) dx dy =
с а
1 при п = п, т = т
(9 25)
О при n=/=-ri или т у^= т , '
и если
d b
> У) Хпт (*» У) dx ЛУ>

218 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. I!
то для любой непрерывной в рассматриваемом прямоуголь-
прямоугольнике функции f{x, у) справедливо равенство Парсеваля
(*. У)\/(х>
Доказательство. Справедливость формул (9,25) оче-
очевидна. Для доказательства A0,25) положим
Тогда очевидно, что
d
с
Ь
00
:=2«'»0')
И ЧТО
*
так как системы §пт (у) полны при любом п и квадрат
функции gn(y) интегрируем.
Так как ряд 2 §п(у) состоит из положительных членов
и сходится к непрерывной функции в каждой точке отрезка
[с, d], то по теореме Дини он сходится равномерно на этом
отрезке и поэтому
db d qo
J$P(*, >>)[/(*, y)Ydxdy=\9,{y)^gl(y)dy =
с а с п — *
=n2
что и требовалось доказать.
2. Рассмотрим теперь первый частный случай — колеба-
колебания прямоугольной мембраны,

§ 25] ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ МЕМБРАНЫ 219
Пусть область G представляет собой прямоугольник
О ^ х ^ а, 0 ^у ^ Ь. Разделяя переменные в уравнении
E,25), положим
v{x, y) = X(x)Y{y).
После подстановки этой функции уравнение E,25) примет вид
X"Y-\-XY"-\-lXY—0.
X"
Разделим на XY и перенесем -^ в другую часть равенства.
Получившееся равенство
х"
эквивалентно двум обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнениям
где a — постоянная, а р = Х — а. Соответственно граничному
условию C,25) первое уравнение должно решаться при усло-
условиях
а второе при аналогичных условиях
Y@)=Y(b) = 0.
Чтобы удовлетворить этим условиям, мы должны считать
а>0 и р>0 (см. § 20). Повторяя рассуждения § 20, нахо-
находим последовательности собственных значений и нормирован-
нормированных собственных функций первого и второго уравнении
«. = -5Г. *.(*)= У JslaT
(л, я»==1, 2, ...).
Согласно лемме система функций
= y^ sin !£* sin "«.у A1,25)
есть полная система ортогональных и нормированных решений
уравнения E,25) для прямоугольника 0 ^ х ^ а, 0

220 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 11
при краевом условии C,25) (здесь Ynm (у) = Ут (у) для лю-
любого п). Каждой функции vnm(x, у) соответствует собствен-
собственное значение
Очевидно, что если числа а и Ь соизмеримы, мы можем по-
получать одно и то же \ при различном выборе л и /и, т. е.
при различных собственных функциях. Таким образом, мы
имеем здесь пример кратных собственных значений.
Вопрос о разложении начальных данных в ряд по функ-
функциям A1,25) есть хорошо изученный вопрос о разложении
функции в двойной ряд Фурье по синусам. Если начальные
данные после нечетного продолжения по х и по у на прямо-
прямоугольник \х\^а, |.у|<^ и периодического продолжения на
всю плоскость представляют собой четырежды непрерывно
дифференцируемые функции, то коэффициенты разложений
F,25) достаточно быстро стремятся к нулю для того, чтобы
ряд G,25) допускал двукратное дифференцирование. Таким
образом, в этом случае метод Фурье для решения данной
задачи является полностью обоснованным. Мы видим, что
произвольное колебание мембраны так же, как и колебание
струны, может быть представлено как наложение ряда про-
простых, так называемых «собственных», колебаний, соответ-
соответствующих собственным значениям \пт.
Представляют интерес «узловые линии» таких колебаний,
т. е. линии, вдоль которых обращается в нуль собственная
функция, соответствующая данному собственному значению.
Рассмотрим эти линии в случае прямоугольной мембраны. Если
данное собственное значение не является кратным, т. е. если
ему соответствует одна собственная функция
УаЬ
то узловые линии будут просто отрезками прямых, параллель-
параллельных сторонам прямоугольника. Если же собственное значение
кратно, то различным комбинациям принадлежащих ему соб-
собственных функций соответствуют различные узловые линии,
и форма их может быть весьма разнообразной. На приводи-
приводимом ниже рис. 11 изображены узловые линии квадратной
мембраны со стороной единичной длины для значений Х = 5тг2,

§.25]
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ МЕМБРАНЫ
221
10тг2, 13тт2, 17тг2. Под чертежами узловых линий указаны
соответствующие собственные функции.
won2
мзл2
Sinx sm2y
1
О
Sinx sin3y +
*sin3x smy
Sin2x sin3y
*j sin 3x smy
Sinx sin 3y-
~ - 4in3x sin у
J Ь
sin 2x sin 3y * sin ?.x sin 3y +
+ l sin 3x sin 2y +sin 3x sin Xy
Sinx Sin 4y sin x sin Ay smx Sin 4y* Sinx Sin by *
Sin x sin 3y
•sin 3x smy
Рис. 11.
3. В качестве второго примера рассмотрим круглую мем-
мембрану. Для ее исследования естественно записать уравнение.
E,25) в полярных координатах.
Положив *=pcos<p, ^ = psin(p> получим
Если центр круга D, совпадающего с положением равновесия
мембраны, поместить в начале координат, а радиус этого
круга для простоты положить равным единице, то граничное

222 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
условие C,25) запишется в виде
v(\, <p) = 0.
Применяя метод разделения переменных, положим
откуда, произведя подстановку и разделив переменные, по-
получим обыкновенные дифференциальные уравнения для /?(р)
и Ф (у):
О, A3,25)
р2 — а) /? = 0. A4,25)
Для решений уравнения A3,25) мы по физическому смыслу
задачи получаем условие периодичности; нас интересуют
только решения, имеющие период 2тг. Такие решения суще-
существуют при
а = 0, Г, 2\ ..., п\ ...
Для этих значений а
*я (<Р) = Лп C0S Щ + Вп Sin Щ-
Мы можем выбрать полную систему ортогональных и норми-
нормированных на окружности функций Фп (<р), например, так:
Фо =_-; фл(св)= I/ — cos/гср; Ф„ (Ф) = I/ — sin /гср.
у 2п Г те г те
Вернемся к уравнению A4,25). После подстановки значе-
значения ос = я* и замены независимого переменного
мы получаем уравнение Бесселя л-ro порядка
р.я" (р.) + р.«' (р.)+(р* - «2) R (р.)=о;
его единственным (с точностью до постоянного множителя)
решением, ограниченным при р,—*0 (т. е. при р—>-0), будет
функция Бесселя /z-ro порядка первого рода Jn (pj *).
*) См., например, В. В. Степанов, Курс дифференциальных
уравнений, гл. VI, § 2, п. 2, стр. 250, Физматгиз, 1959.

§ 25] ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ МЕМБРАНЫ 223
Известно, что при любом п функция Jn(x) имеет бес-
бесчисленное множество положительных корней ix\ , \i2 , .. •
..., ц2\ .... так что У„(^и)) = 0.
Известно, кроме того, что при любом фиксированном п
функции Jn(\^mX) (m=l, 2, ...) ортогональны между гобой
с весом х на интервале @,1) и образуют полную систему
ортогональных функций на этом интервале:
jnn = 0 при
о
Функции
]/ $
при любом л образуют полную систему ортогональных и нор-
нормированных функций. Не приводя доказательства этих фак-
фактов *), заметим, что они являются обобщением доказанных
в § 22 свойств собственных функций на уравнения с более
общими коэффициентами, чем предполагалось в этом параг-
параграфе. Действительно, уравнение A4,25) может быть записано
в виде
и мы видим, что первый и последний коэффициенты обраща-
обращаются в нуль на одном конце отрезка [0,1], а —обращается
на этом конце в бесконечность. В соответствии с этим, как
можно показать, достаточно в качестве краевого условия за-
задачи о собственных значениях для уравнения A4,25) при
р = 0 брать условие ограниченности решения, чтобы решение
определилось с точностью до постоянного множителя, если
при р=1 задать какое-нибудь условие типа B,22).
*) См., например, Р.О.Кузьмин, Бесселевы функции, ОНТИ
1935; А. Н. Тихонов и А. А. Самарский, Уравнения матема-
математической физики, Гостехиздат, 1953, стр. 566—619.

224 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Потребуем, чтобы при р=1
■
т. е. чтобы
Мы видим, что если jxi^, jjtf\ ... , jxj£\ ... есть последова-
последовательность нулей функции Jn (jc), то собственными значениями
\ нашей задачи будут
а нормированными собственными функциями уравнения A4,25)
будут функции
у {
Применяя лемму п. 1, мы можем получить полную систе-
систему собственных функций
уравнения A2,25) и найти решение нашей задачи, разложив
функции сро(р, <р) и cpj(p, cp) в ряды вида
GO 00
«р. (р. <р) = 2 2 [с«»ф« (?)+сГ«фГ (<?)] Ф„т (р),
00 00
<р,(р, <р)=2 2 ИК
Умножив члены первого ряда на соответствующие Г* (/),
а члены второго ряда на соответствующие Т** (t) и сложив
получившиеся ряды, мы получим ряд G,25), представляющий
решение данной задачи. Равномерная сходимость и возмож-
возможность почленного дифференцирования получившегося ряда
будут, как обычно, иметь место при достаточной гладкости
функций <ро(р, <р) и <Pi(p» ?)' если они удовлетворяют тем
же граничным условиям, каким должно удовлетворять иско-
искомое решение уравнения A,25), и еще некоторым дополни-
дополнительным условиям на границе круга.

§ 26] СВЕДЕНИЯ О СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯХ 225
§ 26. Дополнительные сведения о собственных
функциях и о разрешимости
смешанной задачи для гиперболических уравнений
1. Все сказанное до сих пор относительно задачи о соб-
собственных значениях для уравнения A,22) естественно пере-
переносится на аналогичную задачу для уравнения
A,26)
и уравнения
pU = O B,26)
в предположении, что функции р., их производные и р не-
непрерывны, a Pi и р превосходят некоторые положительные
постоянные.
Будем искать решения уравнения A,26) в некоторой ко-
конечной области G с кусочно гладкой границей L, не равные
тождественно нулю и удовлетворяющие на границе условию
и = 0 C,26)
или
Здесь j- означает дифференцирование по «направлению
конормали», которое в каждой точке границы определяется
вектором (рг cos (л, лг), р2 cos (л, у)), где cos (л, *), cos (л, у)
являются соответственно косинусами углов между направле-
направлением внешней нормали и осями Ох, Оу, а а есть некоторая
неотрицательная функция, определенная на границе G. Ана-
Аналогично предыдущему определим собственные функции и соб-
собственные значения ^той задачи. Построим функционалы
G
G
15 И. Г. Петровский

226 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
в случае краевого условия C,26) и
D* (u) = D (и) + J аи*dl =
= 55 (Pxu*xJrPtulJr4it)dxdyJ\r 5
в случае краевого условия D,26). Тогда мы легко сможем
перенести на этот случай все теоремы о свойствах собствен-
собственных функций и собственных значений, доказанные в § 22.
Для этого случая имеют место, в частности, теорема
Куранта о максимально-минимальном свойстве собственных
функций и вытекающая из нее зависимость собственных зна-
значений от коэффициентов уравнения, от области G и от крае-
краевых условий. Как легко видеть, л-е собственное значение не
убывает при возрастании функций а(/), pv р2, q, —.
К задачам этого типа мы приходим, например, при изу-
изучении колебаний мембраны. Тогда свойства, аналогичные
описанным в п. п. 5в и 6 § 22, приобретают интересную
физическую интерпретацию, указывая характер изменения
частоты собственных колебаний мембраны при закреплении
ее в некоторых частях области G (п. 5в) или при наличии
у нее трещин (п. 6). Последнее свойство находится в соот-
соответствии с хорошо известным физическим фактом, что битые
вещи издают более низкие тоны, чем целые.
Для уравнений A,26) и B,26) точно так же остается
справедливой теорема о полноте системы собственных функ-
функций и о разложимости в равномерно и абсолютно сходящийся
ряд по собственным функциям всякой функции /, которая на
границе удовлетворяет тем же краевым условиям, что и рас-
рассматриваемые собственные функции. Однако при этом в тео-
теореме о разложимости приходится требовать от / большей
гладкости, чем в случае одного независимого переменного.
При двух и трех независимых переменных достаточно тре-
требовать, чтобы функция / имела непрерывные производные
до второго порядка включительно в замкнутой области и гра-
граница области была достаточно гладкой. Метод доказательства
теоремы о разложимости, изложенный раньше для случая
одного независимого переменного, в этих случаях неприменим.
Здесь приходится пользоваться интегральными уравнениями.

§ 26J СВЕДЕНИЯ О СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯХ 227
Для общих эллиптических уравнений второго порядка
собственные функции были исследованы М. В. Келдышем*).
Свойства собственных функций и собственных значений для
таких уравнений (теорема о разложимости, структура спектра)
значительно сложнее, чем в рассмотренных выше частных
случаях A,22), A,26) и B,26).
2. Говоря о поведении собственных функций уравнения
A,22), мы не касались вопрюса о частоте перемен знака
(«нулей») функции Хп(х), соответствующей собственному
значению \пУ на интервале @, /). Об этом говорят так на-
называемые осцилляционные теоремы Штурма.
Оказывается, что, во-первых, п-я собственная функции
для уравнения A,22) при краевых условиях E,22) имеет
ровно (п—-\) нулей внутри отрезка [0, /] и, во-вторых, нули
функции Хп+1(х) «перемежаются» с нулями функции Хп(х),
т. е. в каждом интервале между двумя корнями Хп+1 (х) ле-
лежит один корень функции Хп(х) (ср. И. Г. Петровский,
Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений, § 39, Гостехиздат, 1952).
Относительно узловых линий п-й собственной функции
уравнения A,26) при краевых условиях C,26) доказано, что
они делят основную область G не более чем на л частич-
частичных областей, и известно, что этих областей, в отличие от
случая одной независимой переменной, может быть меньше,
чем п. Никаких теорем, аналогичных теореме Штурма о пе-
перемежающихся нулях у последовательных собственных функ-
функций обыкновенного уравнения, для случая многих независи-
независимых переменных не доказано. Тем более неизвестно асимпто-
асимптотическое поведение собственных функций для произвольных
областей.
3. Многие задачи физики, как классической, так и новой,
приводят к определению собственных функций и собственных
значений уравнения
if-1-Ь = /?(*)«••) E,26)
в интервале —<х> <^х<^оо или в конечном интервале (О,/),
*) М. В. Келдыш, ДАН СССР, 77, № 1 A951), 11—14.
**) Напомним, что к этому виду заменой переменных можно
привести любое уравнение вида A,22) с достаточно гладкими коэф-
коэффициентами. 15*

228 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
но в предположении, что функция R (х) на одном или обоих
концах интервала обращается в бесконечность.
В различных случаях теория разложений по собственным
функциям обобщается по-разному. Укажем два наиболее важ-
важных случая.
а) Интервал конечен: 0<^л:<^/; /?@) = оо. Во многих
задачах вместо граничного условия в точке х = 0 требуют,
чтобы выполнялось условие
2(х, l)dx<oo} F,26)
где и(х, V) есть решение уравнения E,26). При этом оказы-
оказывается, что в некоторых случаях не все решения уравнения
удовлетворяют условию F,26). В этих случаях условие F,26)
вместе с граничным условием в точке х = 1 однозначно
(с точностью до постоянного множителя) определяют собствен-
собственные числа и собственные функции, причем спектр оказы-
оказывается точечным и сохраняется осцилляционная теорема
Штурма.
В других случаях оказывается, что все решения уравне-
уравнения E,26) удовлетворяют условию F,26). Тогда условия
F,26) недостаточно для определения спектра уравнения E,26);
необходимо ввести дополнительное граничное условие в точке
О, на характере которого мы здесь не будем останавливаться.
При этом дополнительном условии вместе с условием при
х = 1 спектр оказывается точечным. В обоих случаях справед-
справедлива теорема о разложении для широкого класса функций.
Обе возможности хорошо иллюстрируются уравнением
Бесселя
Его решения суть
J isx\ Y (~х) — ^ {sx) cos V7t ~ J-*{sx)
В результате подстановки ух z=]fxy уравнение G,26) пере-
*) При v целом функция Y^(sx) определяется как предел при
стремлении v к данному целому значению.

§ 26] СВЕДЕНИЯ О СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯХ 229
ходит в уравнение
вида E,26).
Если v^ 1, то условию F,26) удовлетворяют лишь функ-
функции V^J^{sx). ^Ри 0^v<4 все решения уравнения G,26)
удовлетворяют этому условию.
В первом случае, чтобы получить собственные функции
и собственные значения, следует на функцию ух 7V (sx) на-
наложить граничное условие только в точке /, например условие
£ {Vx У, («)}«! — Н (Vx Л (sx))x=i = 0. (8,26)
Это условие вместе с условием F,26) определяет собственные
функции и собственные значения.
Во втором случае, когда 0^v<^l, к условию (8,26)
надо добавить некоторое условие в точке л; = 0.
б) Интервал @, ос), R(x) — непрерывная функция.
В этом случае физические задачи обычно приводят к отыска-
отысканию решений и(х) уравнения E,26), удовлетворяющих како-
какому-либо краевому условию при х = 0 и ограниченных при
х—► оо. При этом, если R(x) — абсолютно интегрируемая
функция в интервале @, оо), мы получаем так называемый
сплошной спектр, т. е. непрерывную последовательность
собственных значений и семейство собственных функций
и(ху \)у непрерывно изменяющихся при изменении \. На этот
случай обобщается равенство Парсеваля, т. е. определение
полноты системы собственных функций. Имеет место следую-
следующая теорема.
Пусть f(x) — функция с интегрируемым квадратом
в интервале @, оо). Тогда
ОО 00
^f2(x)dx= С Fz(l)dp(\) (равенство Парсеваля),
О —00
где F(k) (обобщенное преобразование Фурье функции /(х)
есть предел сходящейся в среднем при п—► оо последова-
последовательности функций

230 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 11
lim J [F(k)-Fn(l)]2dp(l) = 0.
Здесь р (к) есть некоторая неубывающая функция.
Представление функции f(x) в виде интеграла от соб-
собственных функций по параметру X, т. е. формула вида
+ QO
/(*)= J u(xtl)dg(k)
при некоторой функции g(\) (аналог обычного интеграла
Фурье для уравнения и"-\-\а = 0), имеет место при гораздо
более сильных предположениях, которые мы здесь приводить
не будем.
Более детально можно ознакомиться с этим кругом вопро-
вопросов по книге Б. М. Левитана «Разложение по собственным
функциям», Гостехиздат, 1950.
4. Точно так же, как в случае одной независимой пере-
переменной, для случая большего числа измерений иногда при-
приходится рассматривать задачу о собственных значениях для
уравнения с коэффициентами, обращающимися в беско-
бесконечность. Сколько-нибудь общей теории таких задач не
существует, но в отдельных случаях удается решить задачу
до конца и получить разложение по собственным функциям
соответствующей задачи. Приведем в качестве примера
уравнение колебаний газа в пространстве
при решении которого методом Фурье возникает задача об
определении собственных функций уравнения
для некоторой области О. Если область О есть шар радиуса 1
с центром в начале координат, то, приведя уравнение к сфе-
сферическим координатам и определяя решения, имеющие вид
#(р, 0, <р)=/(р) К(9, ср), мы получим для функции Y(b} у)
уравнение

§ 26] СВЕДЕНИЯ О СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯХ 231
коэффициенты которого обращаются в бесконечность в по-
полюсах сферы 0 = 0, б = тг. Краевыми условиями для этого урав-
уравнения служат условия непрерывности и однозначности решения
на сфере р=1. При этих условиях мы получаем, как и в случае
непрерывных коэффициентов, бесконечную последовательность
собственных значений kn = п (п -\- 1). Каждому собственному
значению kn соответствует 2п-\-\ линейно независимых
собственных функций Y% F, <р) (сферические функции п-го
порядка, т=1,2, ..., 2п-\-\), причем последовательность
собственных функций является полной на поверхности сферы
и всякая непрерывная и достаточно гладкая функция на сфере
может быть разложена в равномерно сходящийся ряд по
сферическим функциям.
5. Вариационные методы для приближен-
приближенного нахождения собственных функций и соб-
собственных значений*). Как было показано в § 22, за-
задача нахождения первого собственного значения и первой
собственной функции уравнения A,22) при краевых условиях
эквивалентна задаче нахождения минимума функционала
(9,2G)
при условии
И(Х) = ^ pX2dx=\ A0,26)
о
в классе функций ^(х), непрерывно дифференцируемых на
отрезке [0, /| и обращающихся в нуль на концах этого
отрезка. Для приближенного решения этой задачи восполь-
воспользуемся методом Ритца, который состоит в следующем. Рас-
Рассмотрим произвольную систему из бесконечного числа линейно
независимых функций уп(х)у О^л:^/, непрерывно диффе-
дифференцируемых и удовлетворяющих краевым условиям
= <р(/)=0.
*) См. Л. В. Канторович и В. И. Крылов, Приближенные
методы высшего анализа, Гостехиздат, 1952, гл. IV, стр. 258—373.

232 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Будем искать приближенное решение поставленной экстре-
экстремальной задачи в виде линейной комбинации конечного числа
функций
WnW A1,26)
с неопределенными коэффициентами ап.
Подставив A1,26) в (9,26) и A0,26) и произведя инте-
интегрирование, мы придем к задаче нахождения минимума ква-
квадратичной формы
N I
Л, /Л=1
при условии
h (av ..., aN) = V ата„ J р?Лсрт^л: = У 5mrtflmaw = 1.
Это — задача дифференциального исчисления, которая
практически легко решается, так как производные g и h по
я^ суть линейные функции от а,, ..., aN, и поэтому система
уравнений
^=^ = 0 (*=1, 2, ..., W) A2,26;
есть линейная однородная система уравнений относительно ak.
Определитель этой системы есть многочлен N-Pi степени от-
относительно X. Он обращается в нуль при \ = \[N\ ..., \$\
^Х^^ ... <ЯдЛ Все X действительны. Для каждого
существует нетривиальное решение системы A2,26)
а(/}, я*\ ..•> #$• Если Х/^ является ^-кратным корнем опре-
определителя, то система A2,26) при X —ХР° имеет k линейно
независимых решении (а\\ ..., aV).
Пусть система функций уп{х) такова, что для всякой
непрерывно дифференцируемой на отрезке [0, /] функции/(л:),
удовлетворяющей условиям /@) =/(/) = 0, и любого s>0

§ 26] СВЕДЕНИЯ О СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯХ 233
/я
можно найти такую линейную комбинацию 2 ck(?k Функций срп
с постоянными коэффициентами, что на отрезке [0, /]
в.
Тогда при каждом фиксированном значении / и N
оо
где 1/—/-е собственное значение данной задачи. Числа
при /, не превосходящем некоторого фиксированного числа Л/,
и достаточно большом УУ, являются приближенными значе-
значениями первых М собственных значений уравнения A,22) при
краевых условиях
Из последовательности функций xj можно выбрать подпо-
подпоследовательность XJNf) такую, что равномерно на отрезке [О,/]
XiN')(x)-^Xi(x) при Л/'—оо,
где Х( (х) — /-я собственная функция данной задачи.
Быстрота сходимости X\N){х) к Х((х) существенно зави-
зависит от выбора функций сри (я) и степени гладкости коэффи-
коэффициентов р(х), q(x), p(x)*).
Подробное изложение метода Ритца, метода Галеркина
и других приближенных методов содержится в книге С. Г. Мих-
лина «Вариационные методы в математической физике»,
Гостехиздат, 1957.
6. Обоснование метода Фурье для решения
смешанной задачи в случае многих независи-
независимых переменных. Методом Фурье можно решать сме-
смешанную задачу для гиперболического уравнения вида
д2и
+/(*, хр ...,хй) A3,26)
*) См., например, Н. М.Крылов и Н. Н. Боголюбов!
Известия Ак. наук СССР, серия физ.-ыатем., 1930, стр. 43—71, 105—114.

234 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. [ГЛ. II
в прямом цилиндре Цт произвольной высоты Г, одним из
оснований которого служит область G гиперплоскости ^ = 0,
при начальных условиях
а@, *) = ?(*), ^@,*) = ф(*) A4,26)
и граничном условии
и = 0 на границе G. A5,26)
Решение этой задачи, как и в случае двух независимых пе-
переменных, формально представляется рядом
t
где vk(xv ...yxn) — собственные функции уравнения
п
d ( ди \ , . л
с граничным условием A5,26), а
Л @ = 5.. .5/(^*1» •••> xn)vk(*v .-.*xn)dxx ... dxn.
G
С. Л. Соболев впервые ввел в рассмотрение обобщенные
решения смешанной задачи. Он получил так называемые
энергетические неравенства для решений уравнения A3,26)
в цилиндре Цт. Эти неравенства позволяют доказать сходи-
сходимость в среднем ряда A6,26), а также рядов, полученных
почленным дифференцированием A6,26) по х( и t, и уста-
установить, что сумма ряда A6,26) является обобщенным реше-
решением смешанной задачи A5,26) — A5,26).
Работы С. Л. Соболева по гиперболическим уравнениям,
в которых систематически применялись доказанные им теоремы
о вложении функциональных пространств, использовались
понятия обобщенного решения и обобщенной производной,
оказали большое влияние на дальнейшие исследования сме-
смешанной задачи.

§ 26] СВЕДЕНИЯ О СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯХ 235
Для неоднородного волнового уравнения с многими неза-
независимыми переменными X. Л. Смолицкий, используя выведен-
выведенные им оценки для собственных функций и их производных,
доказал существование обычного решения смешанной задачи*).
О. А. Ладыженская доказала, что при определенных
условиях на коэффициенты уравнения A3,26), начальные
функции и границу области G ряд A6,26) и ряды, получен-
полученные его двукратным почленным дифференцированием по х{ и
t, равномерно сходятся в Цт**). В. А. Ильин дал другое
обоснование метода Фурье решения смешанной задачи
A3,26) — A5,26); при этом предположения относительно
границы области G были сведены к минимальным.***)
М. А. Красносельским предложена общая схема обоснования
метода Фурье для широкого класса задач, основанная на ис-
использовании теории дробных степеней операторов в функ-
функциональных пространствах ****).
7. Решение смешанной задачи для общего
линейного гиперболического уравнения вто-
второго порядка. Смешанная задача для гиперболических
уравнений вида
п п п
i,j—i ' 1 1 = 1 ' ( = 1 '
+ !' + + A7,26)
где я,у, ао{у Ьь Ьо, с и /—достаточно гладкие функции от
t, хл, . . ., хп, впервые была решена Кржижанским и Шауде-
ром *****) с помощью аналитической аппроксимации коэффи-
коэффициентов уравнения, начальных и граничных условий. При
этом потребовалось либо налагать сильные ограничения на
*) X. Л. Смолицкий, ДАН СССР 73, №3 A950),
стр. 463-466.
**) О. А. Ладыженская, Смешанная задача для гипербо-
гиперболического уравнения, Гостехиздат, 1953.
***) В. А. Ильин, Успехи матем. наук, 15:2 (I960).
97—154.
****) См. М. А. Красносельский иЕ.И. Пустыльник
ДАН СССР 122, № 6 A958), 978—981.
*****) Krzyzanski, Schauder, Studia Mathematica, t. Vi
A936), 162-189/

236 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
гладкость начальных данных, либо предположить высоту
цилиндра Цт достаточно малой.
Методом конечных разностей О. А. Ладыженская *) до-
доказала разрешимость смешанной задачи для уравнения A7,26)
в цилиндре Цт произвольной высоты Т при некоторых есте-
естественных предположениях относительно коэффициентов и на-
начальных данных. Изучен также вопрос о существовании,
единственности и дифференциальных свойствах обобщенного
решения смешанной задачи.
Смешанную задачу для уравнения A7,26) в цилиндре Цт
можно свести к задаче Коши для операторного уравнения
в некотором функциональном пространстве. Это пространство
обладает, в частности, тем свойством, что все принадлежащие
ему гладкие функции удовлетворяют граничным условиям,
заданным на боковой поверхности цилиндра Цт. Такой подход
оказался возможным также для уравнений и систем более
общего вида. Это позволило методами функционального ана-
анализа доказать теоремы о существовании и единственности
обобщенного решения смешанных задач для таких уравнений
и систем **).
Весьма общие результаты о разрешимости смешанных
задач для различных классов уравнений получены с помощью
аппарата теории обобщенных функций***).
*) См. сноску **) на стр. 235.
**) См., например, М. И. В и ш и к и О. А. Ладыженская,
Успехи матем. наук, 11:6 A956), 41—97.
***> Lions, Acta Maihematica 94, № 1—2 A955), 13—153.

ГЛАВА Ш
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 27. Введение
В качестве простейшего представителя эллиптических
уравнений мы всюду в этой главе будем рассматривать урав-
уравнение Лапласа
i+...+i_* ,ur,
Основные свойства решений этого уравнения не зависят
от п. Для простоты записи мы всюду будем рассматривать
случай, когда п = 2, не оговаривая каждый раз, если ана-
аналогичные рассмотрения применимы и для я>2. В конце
главы £удет дан обзор результатов, известных для эллипти-
эллиптических уравнений более общего вида.
Эллиптическими уравнениями описываются стационарные,
установившиеся состояния. В § 1 мы видели, например, что
уравнению Лапласа удовлетворяет установившаяся в одно-
однородной пластинке или в однородном теле температура и. Там
же мы видели, что этим уравнением описывается форма мем-
мембраны, натянутой на некоторую пространственную кривую и
находящейся в равновесии. Потенциалы поля тяготения и
стационарного электрического поля также удовлетворяют
уравнению Лапласа в точках, в которых отсутствуют массы,
соответственно электрические заряды.
Одним из самых основных свойств решений эллиптических
уравнений является их гладкость. Это вполне соответствует
тому, что эллиптическими уравнениями описываются устано-
установившиеся состояния: физически ясно, что все первоначальные
неровности к моменту установления стационарного состоянии
должны сгладиться. В этой главе будет доказано, чго все

238 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
непрерывные решения уравнения Лапласа аналитичны по всем
независимым переменным. Было бы неверным, однако, утверж-
утверждение, что все решения уравнения Лапласа аналитичны. На-
Например, уравнению
дх* ^ df —и {г'г1)
всюду удовлетворяет функция и, определенная соотношениями
а(х, j;) = Reel {e *4} при z=£Q, где z — x-\-iy,
и @, 0) = 0.
Однако легко видеть, что эта функция не только не анали-
тична в окрестности начала координат, но она даже разрывна
в начале координат. Таким образом, чтобы утверждать, что
и аналитична, надо предположить некоторый первоначальный
запас гладкости у функции и. Непрерывные решения уравне-
уравнения Лапласа (т. е. непрерывные функции, у которых суще-
п
и V
—— и V, —— =0)
дх1 £1 *с?
ствуют производные —— и V, —— =0) называются гар-
моническими функциями.
Типичной краевой задачей для эллиптических уравнений
является первая краевая задача [задача Дирихле), о которой
мы упоминали в § 1. На границе Г некоторой конечной области
G пространства (хг, ..., хп) задается непрерывная функция /.
Требуется найти функцию и(хЛ, ...,*„), гармоническую
внутри G и принимающую заданные значения f на Г.
Точный смысл слов «функция u(xv х2, ...ухп) должна при-
принимать заданные на границе значения» таков: функция, сов-
совпадающая с и(х1Ух2, ...,хп) внутри G и совпадающая на
границе с заданной там функцией /, должна быть непрерыв-
непрерывной в G=G + r.
Вторая краевая задача (задача Неймана) состоит в том,
чтобы найти внутри конечной области G, ограниченной
поверхностью Г с непрерывно вращающейся касательной
плоскостью, непрерывную в G-\-Y гармоническую функцию
и(х1У ...,#„), У которой производная ~ по направлению
внешней нормали в каждой точке границы G равна значе-
значению в этой точке заданной функции /.

§ 28] СВОЙСТВО МАКСИМУМА И МИНИМУМА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ • 239
В § 1 мы рассмотрели примеры физических задач, кото-
которые приводят к первой и второй краевым задачам для урав-
уравнения Лапласа.
В дальнейшем мы рассмотрим подробно вопросы сущест-
существования и единственности решения этих задач для уравнения
Лапласа,
Задача. Пусть и (хг, ..., хп)=/ (г). где
г=у (Xj — a:JJ+ .. • +(■*„ — х°п)\ а функция /(г) опре-
определена при г)>Ои имеет непрерывную производную второго
порядка. Покажите, что если и{хх, ...,хп) является гармо-
гармонической при г^>0 функцией, то
C1+?£h при л =£2,
Cx-\-C%\ny при л = 2.
§ 28. Свойство максимума и минимума и его следствия
1. Мы ограничимся рассмотрением гармонических функций
и(х,у) от двух независимых переменных. Все утверждения,
доказанные в этом параграфе, справедливы для гармонических
функций любого числа независимых переменных, и их дока-
доказательство может быть проведено аналогично.
Лемма 1. Пусть в круге радиуса R, включая его гра-
границу, задана непрерывная функция и (х, у), гармоническая
во всех внутренних точках • этого круга. Предположим,
что во всех внутренних точках (х, у) этого круга и (х, у) >
]> и(х01у0), где (х0, у0) — некоторая точка, лежащая на
границе круга. Если в точке (л:0,^0) существует производ-
производная от функции и(х, у) по направлению v, образующему
острый угол с направлением внутренней нормали, то
ду '
Доказательство. Так как при параллельном переносе
координатных осей гармоническая функция переходит в гар-
гармоническую, то мы можем считать, что начало координат*
находится в центре круга. Рассмотрим функцию

240 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
где r = Vx2-\-y*. Так как на границе круга х/ = 0 и
dv 1 i\ г ^ л
^-= г"Тт'<С^» если 0 <^а ^ к, то во всех внутрен-
них точках круга, кроме центра, г/^>0. Легко проверить, что
дгь х d2v \ 2
-=75, если г
Обозначим через D множество точек (а:, у), для которых
-7-R2 <С*2-\~У2 <С R2' Пусть а равно наименьшему значению
функции и(х> у)— и(хо,Уо) на окружности хг-J-j/2 = -г-.
Из условий леммы следует, что а^>0.
Рассмотрим в области D функцию
w (х, у) = и (х, У) —и (х0, у0) j-±—^ v (х, у).
(И
Легко видеть, что w^O на границе области D. Функция
w(x,y) не может внутри области D принимать наименьшее
значение, так как
в D, a в точке минимума необходимо -тнг^О и j-^f ^ 0.
Поэтому во всех точках области D должно быть w^zO,
т. е.
и (х, у) —и (х0У jv0) ^ -г£—% v (х, у).
В точке (хо,уо)
т- = 3-cos (v, г),
где cos (v, r) означает косинус угла между направлением ра-
радиуса-вектора в точке (jc0, y0) и направлением v. Очевидно,
^~>0. Так как функции и(х, у) — и(хо,уо) и г/(д:, ,у) обра-
обращаются в нуль в точке (х0, у0) и в области D
и(х, у)—и(х0, yQ) ^ . Ra . v(хуу),

§ 28] СВОЙСТВО МАКСИМУМА И МИНИМУМА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ 241
то в точке (л:0, у0)
ди ^ а
■(!■»)'
что и требовалось доказать.
Теорема о максимуме и минимуме. Гармони*
ческая функция и(х,у), отличная от постоянной, не мо-
жет в какой-нибудь внутренней точке области G прини-
принимать значение, равное верхней или нижней грани значений
и(х,у) в О.
(Если область G конечна и и(х, у) можно так продол-
продолжить в G, чтобы это продолжение, которое мы будем также
обозначать через и(х, у), было непрерывно в G, то, оче-
очевидно, верхняя и нижняя грани значений и (х, у) в G совпа-
совпадают соответственно с ее максимальным и минимальным
значениями в G.)
Доказател ьство *). Предположим, что гармоническая
функция, отличная от постоянной, принимает в области О
значение w, равное нижней грани значений и(х, у) в О.
Пусть Е—множество тех точек G, где и(х, у) = т. Так
как функция и (х, у) не равна постоянной в О, то найдется
область Ор которая содержится вместе со своей границей
внутри G и такая, что G, содержит некоторые точки мно-
множества Е и по крайней мере одну точку, не принадлежа-
принадлежащую Е. Внутри области G, найдется точка Я, не принад-
принадлежащая Е, расстояние от которой до множества Е меньше,
чем расстояние до границы G, так как существуют точки
в Gp сколь угодно близкие к Е и не принадлежащие Et
а для всех точек G, расстояние до границы G больше неко-
некоторого положительного числа **).
Рассмотрим круг К с центром в. точке Р, радиус которого
равен расстоянию от точки Р до множества Е. Этот круг
лежит внутри G и все внутренние точки этого круга не при-
принадлежат Е. На границе круга К найдется точка Q, принад-
принадлежащая Е. Это следует из определения расстояния от точки
до множества и из того, что предельные точки множества Е%
*) О. А. Олей ник, Матем. сборник 30 G2): 3A952), 696—697,
**) Расстоянием от точки Р до множества Ял мы называем нижнюю
грань расстояний от Р до точек Ш*
16 И. Г Петровский

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
содержащиеся в G, принадлежат Е. В точках множества Е
* ди А да л
должно быть -г-= О и ^- = 0.
Применяя лемму 1 к функции и(х, у), рассматриваемой
в круге /(, получим, что производная от и(х, у) в точке Q
по любому направлению, не касательному к границе круга
в точке Q, если только такая производная существует, от-
~ да л дп л
лична от нуля. Это противоречит тому, что-г-= О и -г- =0
в точке Q, так как хотя бы одна из координатных осей не
совпадает с касательной к границе круга в точке Q. Полу-
Полученное противоречие показывает, что гармоническая функция
и(х,у)у отличная от постоянной, не может принимать внутри
G значение, равное т.
Вели бы и(х, у) принимала внутри G значение М, равное
верхней грани значений и(х,у) в О, то функция — и(х,у)
принимала бы значение, равное нижней грани ее значений
в G, что невозможно. Теорема доказана.
Следствие. Гармоническая в конечной области О функ-
функция, непрерывная в О, принимает свое наибольшее и наи-
наименьшее значения на границе этой области.
2. Из только что доказанной теоремы сразу следует
единственность решения задачи Дирихле. В самом деле,
допустим, что две гармонические функции иг и и2 совпадают
на границе некоторой ограниченной области О. Тогда их
разность, которая, очевидно, также является гармонической
функцией, тождественно равна нулю на границе области и,
по доказанному, не может внутри области принимать боль-
больших или меньших, чем нуль, значений, т. е.
ut — и2 = 0 и их ==и2.
Из теоремы о максимуме и минимуме следует также
непрерывная зависимость решения задачи Дирихле от гра-
граничных данных для произвольной ограниченной области О.
Действительно, допустим, что их и и2 — решения задачи
Дирихле для некоторой области О при значениях Д, соот-
соответственно /2, на границе Г области О и что на Г всюду
|/,—/2\<^е- Тогда граничные значения гармонической функ-
функции аг—uv равные, очевидно, /,—/2, удовлетворяют не-
неравенствам

§ 28] свойство максимума и минимума и его следствия 243
Из теоремы о максимуме и минимуме следует тогда, чго
всюду в области О
т. е. \и1— #2|<^е, что и требовалось доказать.
Отсюда следует полезная для дальнейшего
Лемма 2. Если последовательность непрерывных в неко-
некоторой замкнутой ограниченной области и гармонических
внутри этой области функций равномерно сходится на
границе области, то она также равномерно сходится во
eteu рассматриваемой области.
Для доказательства рассмотрим такую последовательность
ир ,,,,ап, ... и обозначим через /,- значения функции и(
на границе Г области О. По предположению, последователь-
последовательность /t- равномерно сходится. По критерию Коши для всякого
е>0 существует такое /V, что при п, m^>N всюду на
Г\/п—/т\<С.£- Но тогда, по доказанному, для этих пит
будет | ип — ит | < s всюду в О. На основании достаточности
критерия Коши мы заключаем отсюда, что последовательность
нр ...,#„, ... равномерно сходится в замкнутой области.
3. Пользуясь леммой 1 и теоремой о максимуме и мини-
минимуме, можно доказать следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть граница Г области G такова, что
каждой точка Р границы Г можно коснуться кругом Кру
принадлежащим области О, т. е. существует круг Кр, ко-
который содержат точку Р и все внутренние точки которого
принадлежат G (так будет, например, в том случае,
если кривая, ограничивающая область G, имеет в каждой
точке ограниченную кривизну). Если гармоническая функ-
функция и (л:, у) непрерывна в G -\- Г и не равна постоянной, то
в точке Рг границы О, где и (х, у) принимает наименьшее
(соответственно наибольшее) значение, производная -г- от
функции и (л:, у) по направлению внешней нормали отрица-
отрицательна (соответственно положительна), если только произ-
л ди
воаная g- в этой точке существует.
Доказательство. Возьмем круг КРл. По предполо-
предположению, все внутренние точки этого круга принадлежат О.
Если и (.v, у) не равна постоянной, то по теореме о макси-
максимуме и минимуме функция и(х,у) принимает наименьшее
16*

244 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
значение только в граничных точках О. Поэтому значение
и (а:, у) во всех внутренних точках /Ср строго меньше зна-
значения и(х, у) в точке Рг Применяя лемму 1 этого параграфа,
получим, что v<0 в точке Pv если только эта производная
существует.
В точках Г, где и(х,у) принимает наибольшее значение,
функция — и(х, у) принимает наименьшее значение и, по до-
доказанному, g^(—и)<0, т. е. ^>0.
Теорема 2. Решения одной и той же второй краевой
задачи могут отличаться между собой только постоян-
постоянными слагаемыми, если граница G удовлетворяет условию,
сформулированному в теореме 1.
Доказательство. Пусть иг(х, у) и и2(х> у) — гармо-
гармонические функции в О, непрерывные в G-j-Г, и -^ = -^=/
на Г. Функция и(х>у) = и1(х, у) — и2(х, у), гармоническая
в О, непрерывна в О-(-Г и г = 0. Если бы и(х, у) отли-
отличалась от постоянной, то согласно теореме 1 в точке Я,,
где и (х, у) принимает наименьшее значение, производная
~ была бы отличной от нуля. Следовательно, и(х, у) равна
постоянной.
Задача. Третья краевая задача состоит в том, чтобы
найти гармоническую функцию и (х, у) в области О, непре-
непрерывную в О-)-Г и такую, что j--\-аи в каждой точке
границы области G равно значению заданной функции /
(а^О, афО и т производная по направлению внешней
нормали). Докажите единственность решения третьей краевой
задачи для уравнения Лапласа, предполагая, что граница Г
области G удовлетворяет условию, сформулированному
в теореме 1.
§ 29. Решение задачи Дирихле для круга
1. Пусть на окружности радиуса 1 задана непрерывная
функция f(s). Здесь s означает длину дуги окружности,
отсчитываемую от некоторой фиксированной точки, и пред-
предполагается, что /@)=/Bтс). Требуется построить гармони-

§ 29] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА 245
ческую внутри окружности функцию и, принимающую на
самой окружности заданные значения f(s).
Поместим начало координат в центр рассматриваемого
круга и ось Ох направим в точку s = 0. Перейдем к поляр-
полярным координатам, взяв Ох за полярную ось и О—за полюс.
Тогда уравнение граничной окружности запишется в поляр-
полярных координатах: р=1, и функция /(s)=/(cp), где ср — по-
полярный угол точки на окружности.
Применим для решения нашей задачи метод Фурье, пред-
предполагая сначала, что f(s) имеет непрерывную производную
второго порядка. Позднее мы освободимся от этого ограни-
ограничения. Уравнение Лапласа в полярных координатах имеет вид
д2п , 1 да г I д2а
++0 A29)
Будем искать решение этого уравнения в виде произведения
двух функций:
B,29)
Подставляя такое произведение в уравнение A,29) и разде-
разделяя переменные, получим (аналогично § 20) для функций
R (р) и Ф (ср) обыкновенные дифференциальные уравнения
IR = O. C,29)
Функция Ф (<р) по смыслу задачи должна иметь пе-
период 2тт, что может быть только при )., равном квадрату
целого числа п или нулю. Полагая \ = п2 и
Фп = ап cos /zcp + bn sin /кр,
из C,29) получаем для R уравнение
Это уравнение имеет линейно независимые решения R = pn
и /? = р"" *), и так как второе решение имеет разрыв в на-
*) Подстановкой р = е1 оно приводится к уравнению с постоян-
постоянными коэффициентами.

246 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
чале координат, то непрерывными внутри единичного круга
частными решениями вида B,29) являются функции
ип (Р. <Р) = f (ап cos Щ + bn sin Щ)>
Кроме того, при \—0 получается решение ио(р, <f) = const,
коюрое мы обозначим -^ . Ряд
и(р, <f) = y
при любых ограниченных ап и Ьп сходится в любой внутрен-
внутренней точке круга, так как при р << 1 этот ряд можно мажо-
мажорировать сходящимся рядом вида
где р<р, <1.
Чтобы показать, что функция D,29) является гармониче-
гармонической при 0^р<1, запишем ряд D,29) с помощью коорди-
координат х и у:
00
Reel [К-/£„)(* +(у)"]. F,29)
Ряд F,29) и ряды, полученные из него почленным диффе-
дифференцированием по х и по у любое число раз, сходятся равно-
равномерно при 0^р<р,<1, так как эти ряды мажорируются
рядом E,29) и рядами, полученными из E,29) почленным
дифференцированием по рг Отсюда следует, что и(х,у)
удовлетворяет уравнению Лапласа, так как каждый член
ряда F,29) является гармонической функцией.
Полагая р=] и u(\t <f)=f(<f), мы из D,29) получаем
равенство
00
y + X (fl«cos пУ + bnsin nV)i
которое будет справедливым при сделанном относительно
у I'vp) предположении, если положить а0, ап и Ьп равными

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА 247
коэффициентам Фурье для функции
•и
2д
G,29)
Чтобы ряд D,29) с коэффициентами, определенными по форму-
формулам G,29), давал решение задачи Дирихле, надо доказать
еще непрерывность этой функции в замкнутом круге р ^ 1
(см. § 27). Но при р ^ 1 ряд D,29) можно мажорировать рядом
сходящимся в силу предположения о непрерывности второй
производной функции f(s) *).
Таким образом, для дважды непрерывно дифференцируе-
дифференцируемых граничных функций f(s) задача Дирихле для круга
единичного радиуса решается рядом D,29).
Покажем теперь, что ряд D,29), где ап, Ьп определяются
формулами G,29), представляет (при р<1) решение задачи
Дирихле и в том случае, когда f(s) — произвольная непре-
непрерывная функция. Для этого построим последовательность
дважды непрерывно дифференцируемых функций /т (s), равно-
равномерно сходящуюся к заданной на окружности р=1 непре-
непрерывной функции f(s). Пусть ит — решение задачи Дирихле,
соответствующее функции /m{s). По лемме 2 § 28 последова-
последовательность ит равномерно в круге р ^ 1 сходится к непрерывной
функции и(х,у). Очевидно, при р = 1 и(х, у) совпадает с/'(s).
Покажем, что при р < 1 функция а(ху у) представляется
рядом D,29) с коэффициентами G,29). По доказанному, эгог
*) b этом случае, как известно, ап =0 (~) и ^ц=0( т )•

248 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
ряд сходится при р < 1 и является гармонической функцией.
Пусть aS™\ Ь^—коэффициенты Фурье функции /т.
При достаточно большом т для всех п имеем
где е — произвольное положительное число.
Отсюда
|х + X Р* К cos П(? + Ьп sin /zcp) — и
00
" ^а" алЛ)) C0S/2(P + (*я *яЯ)) Sin
-J-.
Таким образом, функция к(л:,^) представляется рядом
D,29) и является решением задачи Дирихле, соответствующим
граничной функции f{s).
2. Преобразуем ряд D,29), подставив вместо коэффи-
коэффициентов ап и Ьп их выражения по формулам G,29). Мы по-
получим при < 1
00
> ¥) = if + £ Р" (д«cos Щ + *« sin Л(Р) ==
2П да S«
=к If w *Ф + т 2 р" {I >^ ^cos лФ йф •co
О П=1 О
\ / (ф) sin яф ^ф • sin /2cp i =
^ = 1 о

§ \29] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА 249
Положив ср — ф = @., преобразуем выражение в скобках. По-
Получим
00 ОЭ
I 4- 2 ]£ р" cos жо = — 1 + 2 ^ о" cos пи* =
= — 1 + 2 Reel ]Г pVnw = — 1 + 2 Reel
~ l+p2-2
Поэтому при р < 1
2
^у)^- (9.29)
Интеграл (9,29) называется интегралом Пуассона.
Для круга произвольного радиуса R и произвольной не-
непрерывной функции f(s) мы получим решение задачи Дирихле,
заменив в формуле (9,29) р через ^-. В качестве переменной
интегрирования вместо ф можно взять $ = /?ф. Тогда мы
получим интеграл Пуассона для произвольного круга
A0,29)
Замечание. Формулы, аналогичные A0,29), имеют
место для решения задачи Дирихле и для /z-мерного шара.
При я = 3 соответствующая формула имеет вид
где интегрирование производится по сфере 2 радиуса /?,
a j — угол между радиусами-векторами точки (г, 6, ср) и пере-
переменной точки (/?, 6', <р') на поверхности 2-
Задача 1. Докажите непосредственной проверкой, что
интеграл Пуассона A0,29) является гармонической функцией
в круге радиуса /?.

250 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ill
Задача 2. Покажите, что предельные значения на
окружности р = /? функции, определяемой интегралом Пуас-
Пуассона A0,29), совпадают с f(s).
3. Укажем другой подход к решению задачи Дирихле
для круга, основанный на использовании функции Грина.
Выведем сначала формулу Грина, справедливую для любых
двух функций и (л;, у) и v(x, у), имеющих непрерывные произ-
производные первого и второго порядков в D-f-F, где D—неко-
D—некоторая конечная область с кусочно гладкой границей Г.
Применяя формулу Остроградского, находим
. CCfdudv . dudv\ . , СС\д ( dv
= [u ^ds— (Ти bvdxdy; A1,29)
V D
здесь Лх/^^-2-|-т-^2, a j- означает производную v по
направлению внешней нормали к кривой Г. Аналогично по-
получаем
/= lvpnds — Ц vbudxdy. A2,29)
Г D
Из равенств A1,29) и A2,29) вытекает формула Грина
V a U — U Д V) dX dV = \ U — ds. A3 29^
У j\vdn dnj ' '
Пусть функция и (х, у) является гармонической в области D.
Исходя из равенства A3,29), мы выведем формулу, выража-
выражающую значение и в произвольной точке (л;0, у0) области D
через граничные значения и.
Положим
v(xy у; х0, уо)= In у,
где г = уг(х — ^0J~Н^—>;оJ» и "рименим формулу Грина

29|
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА
251
A3,29) к функциям и и v в области Z>e, которая ограничена
кривой Г и окружностью Г8 с центром в точке (xQi yQ) и
произвольно малым радиусом s. Получим
п — и -с- п — )\ds
г дп дп\ г )\
г
Направление внешней относительно области D% нормали
пг к Г6 совпадает с направлением по радиусу Г8 от точки
(jc, у) к точке (x0, y0). Поэтому на Г8
Вследствие непрерывности первых производных функции и
получаем
дп
max
г
где С не зависит от е. Поэтому
I f. 1 ди , . 1 Г dz/ ,
\ In —- ^— ^5е = In — \ т— dse
:С'2ив-\п~ —►О
при s —► 0.
В силу A5,29) имеем
где (х8, ^g) — некоторая точка на 1\. Следовательно, при
е—>0 последний интеграл в левой части A4,29) стремится
к — 2тт.я(л;0, у0).
Переходя к пределу при s—> 0 в равенстве A4,29), по-
получаем

252 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ТП
Предположим, что нам удалось построить гармоническую
в области D функцию vx (л;, у\ л;0, у0), которая имеет в D
ограниченные производные первого и второго порядков и со-
совпадает на Г с функцией — In —. Применяя формулу
Грина A3,29) к функциям и и vx в области D, находим
V
Вычитая равенство A7,29) из равенства A6,29), приходим
к соотношению
$( 0- A8'29)
Таким образом, для гармонической в области D функции
и(х, у) мы получили формулу A8,29), выражающую значе-
значение этой функции в произвольной точке (л:0, у0) области D
через значения на границе. Функция
°(*. у; х0, уо)=—\пт — vt
называется функцией Грина задачи Дирихле для области D.
Из A8,29) имеем
а(х, y)=—^f(s)^ds, A9,29)
где f(s) — значения и(х, у) на Г.
При выводе соотношения A9,29) мы заранее предполагали,
что существует гармоническая в D функция и(х, у), прини-
принимающая на Г значения f(s). Поэтому, построив функцию1
Грина для области D, мы должны еще непосредственно про-
проверить, что правая часть формулы A9,29) действительно
является решением задачи Дирихле в области D с заданной
граничной функцией f(s).
Для некоторых областей функция Грина строится в явном
виде. Так, для круга радиуса R с центром в точке О функция
Грина представляется следующим образом:

§ 30] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 253
здесь r = MMQt p=OMQi rt=MMt; точки М ъ Мо имеют
координаты (xt у) и (л;0, у0) соответственно; Мх—точка на
продолжении радиуса ОМ0, для которой ОМ, • ОМ0 = /?\
Нетрудно убедиться (мы это предоставляем читателю), что
формула A9,29) в случае круга совпадает с полученной
ранее другим путем формулой A0,29).
Задача 3. Постройте функцию Грина задачи Дирихле
для полукруга.
§ 30. Теоремы об основных свойствах
гармонических функций
Доказательства почти всех этих теорем будут основаны
на том, что если функция и гармонична в каком-нибудь
замкнутом круге Я", то ее можно представить в этом круге
в виде очень удобного для исследований интеграла Пуассона.
В самом деле, если функция и гармонична и, следовательно,
непрерывна в круге /С, то по ее значениям на границе этого
круга можно построить в виде интеграла Пуассона функцию ил,
гармоническую внутри К и принимающую на границе К такие
же значения, как и функция и. Но по теореме о единствен-
единственности решения задачи Дирихле должно быть иг=и, т. е. ин-
интеграл Пуассона представляет исходную функцию и.
Теорема 1 (о среднем арифметическом).
Значение гармонической внутри некоторого круга К
и непрерывной в К функции и(х, у) в центре К равно
среднему арифметическому ее значений на окружности.
Доказательство. Представим и внутри К по формуле
A0,29). Применяя эту формулу для центра, т. е. для р = 0,
получим
где ф=^-, а это и значит, что и@, <р) равно среднему
арифметическому значений и на окружности радиуса R.
Задача 1. Докажите теорему о максимуме и минимуме
(§ 28), пользуясь теоремой о среднем арифметическом для
гармонических функций.

254 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II)
Задача 2. Пусть непрерывная в области G функция
и(х, у) обладает тем свойством, что ее значение в центре
любого круга, лежащего целиком внутри О, равно среднему
арифметическому ее значений на окружности. Докажите, что
функция и(х, у) является гармонической функцией.
Теорема 2. Значение гармонической внутри некото-
некоторого круга К и ограниченной в К функции и (х, у) в центре К
равно среднему арифметическому ее значений в этом круге.
Доказательство. Пусть 0 <[ R <^ /?0, где RQ — радиус
круга /С. Из A,30) имеем
2пД
-u@, <р) = ^ [ u(R, <b)ds.
Интегрируя это равенство по R в пределах от 0 до /?0, по
лучаем
/?02.и@, <р)=-^-
откуда
что и требовалось доказать.
Теорема 3. Всякая гармоническая функция и(х, у)
аналитична по х, у. Это значит, что функция и (х, у)
разлагается в степенной ряд по (л: — л:0), (у—у0) в окрест-
окрестности точки (л:0, у0), если точка (х0, у0) лежит внутри той
области, где и (л;, у) гармонична.
Доказательство. Пусть функция и (х, у) гармони-
гармоническая в круге К с центром (jc0, y0) и радиусом R. Перено-
Переносом начала координат и преобразованием подобия можно
достигнуть того, что точка (jc0, y0) перейдет в начало ко-
координат, а радиус К станет равным 1. Поэтому можно счи-
считать a;o=j/o = O и /?=1.
В п. 1 § 29 было показано, что и(х, у) представляется
рядом F,29). Рассмотрим теперь ряд
/{=0 /=в

§ 30) ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 255
где Ck+t — биномиальные коэффициенты, k2 -f- /2 Ф0. Так
как Ckl-\-i<C2k+l и ап, Ьп ограничены, то ряд B,30) можно
мажорировать сходящимся при \х\ <^у , \у | <^ у рядом
1=4
где /И^> 0 постоянная.
Так как частные суммы ряда (Ь,^У) образуют некоторую
подпоследовательность частных сумм абсолютно сходящегося
ряда B,30) и ряд F,29) сходится к и [х, у), то ряд B,30)
также сходится к и (х, у). Таким образом, доказано, что
и(х, у) разлагается в степенной ряд по х, у в окрестности
точки х=у — 0.
Теорема 4 (о равномерно сходящейся после-
последовательности гармонических функций). Если
последовательность функций uk(x, у), k= 1,2, . . ., гармо-
гармонических внутри конечной области G и непрерывных в G,
сходится равномерно на границе G, то она равномерно
сходится во всей области G. При этом предельная функ-
функция будет гармонической внутри G.
Доказательство. Согласно лемме 2 § 28 последо-
последовательность функций ип (л:, у) равномерно сходится во всей
области О. Остается показать, что предельная функция
гармонична внутри О. Возьмем для этого какую-нибудь точ-
точку Q внутри О и построим круг К с центром в точке Q,
лежащий внутри G. В этом круге каждую из функций ип(х, у)
представим в виде интеграла Пуассона.
Пусть
где /п(ф) — значения ип на границе круга К радиуса R.
В силу равномерной сходимости последовательности функций
/и(ф) и сходимости ип в любой внутренней точке (х, у)
круга К в равенстве C,30) можно перейти к пределу в обеих
частях. Обозначая предельные функции соответственно через

256 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 111
и(х, у) и /(ф), получим
Отсюда видно, что а (л:, д/) гармонична в круге /С.
Эту теорему часто называют первой теоремой Гарнака.
Замечание. Из доказанной теоремы следует, что для
уравнения Лапласа совокупность обобщенных решений, опре-
определенных нами в начале § 9, совпадает с классом всех гармо-
гармонических функций, если рассматривать только непрерывные
решения уравнения Лапласа.
Теорема 5 (о монотонной последователь-
последовательности гармонических функций). Если последова-
последовательность гармонических в области G функций ип(х, у)
сходится в некоторой внутренней точке А этой области
и при любом п
ип+Лх> У)^ип(х> У)
во всех точках области G, то последовательность ип (х, у)
всюду в области О сходится к некоторой гармонической
функции и (х, у). При этом во всякой замкнутой ограни-
ограниченной части области G сходимость будет равномерной.
Доказательство. Покажем сначала, что наша после-
последовательность сходится равномерно во всяком круге Кх ра-
радиуса R с центром в Л, если его замыкание Кх лежит
внутри G. Оценим разность ип+р — un = vnpi где р — про-
произвольное целое положительное число. В силу предположе-
предположения теоремы vn ^0. Возьмем концентрический с Кх круг /С*
большего, чем у /С,, радиуса /?-j-s, но все еще лежащий
вместе со своей границей внутри G. Представим каждую из
функций vn в круге /С, в виде интеграла Пуассона
^DK0)
о
Так как — 1 ^ cos (ср — ф) ^ -\- 1, то

§ 30J ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 257
Пользуясь тем, что v (/?-|-s, ф) ^ 0, мы получаем на
основании D,30) и E,30)
Но по теореме о среднем арифметическом
Поэтому
Отсюда видно, что последовательность ип сходится равно-
равномерно в Кх> если она сходится в точке А. Поэтому согласно
первой теореме Гарнака предельная функция будет гармони-
гармонической внутри Kv
Чтобы доказать сходимость последовательности ип в ка-
какой-нибудь точке В области С/, соединим эту точку с А
ломаной /, состоящей из конечного числа звеньев и лежа-
лежащей .целиком внутри G; это возможно по определению области.
Ломаная / вместе с точками А и В есть замкнутое множе-
множество. Так как она не имеет общих точек с границей О, то,
следовательно, она находится на положительном расстоянии $
от этой границы, которая также является замкнутым множе-
множеством. Вфзьмем теперь на пересечении окружности Кх с ли-
линией / точку Л,, Вокруг этой точки, как центра, опишем
круг Кг радиуса —. Согласно сказанному прежде, в этом
круге вместе с его границей последовательность ип сходится
равномерно. Точно также она, сходится равномерно в круге /С,
радиуса ^ и на его границе, если центр Кг лежит на пере-
пересечении / с окружностью К2. Конечным числом таких кругов
Ki(iz=\i ...э д/) можно покрыть всю линию и притом так,
17 И. Г Петровский

258 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ill
чтобы точка В лежала внутри KN. Тем самым будет пока-
показано, что на всей линии / и, в частности, в точке В после-
последовательность ип сходится. Так как в каждом из кругов /Q
и, в частности, в Kn эта последовательность сходится рав-
равномерно, то по первой теореме Гарнака предельная функция
будет гармонической в окрестности В.
Докажем теперь, что последовательность ип (х, у) равно-
равномерно сходится на всяком замкнутом ограниченном множестве
F, лежащем внутри G. По теореме Гейне — Бореля множест-
множество F можно покрыть конечным числом кругов /С,, ..., Ал-,
лежащих вместе со своими границами внутри G. Согласно до-
доказанному в предыдущем абзаце последовательность ип (л;, у)
сходится, в центре каждого из этих кругов. Следовательно,
согласно тому, что было доказано выше, эта последователь-
последовательность равномерно сходится в каждом из кругов К( и, следо-
следовательно, на всем множестве F.
Эту теорему часто называют второй теоремой Гарнака.
Теорема 6 (об оценках производных гармо-
гармонических функций). Пусть в области G задано се-
семейство равномерно ограниченных гармонических функций.
Тогда в любой области G', содержащейся вместе со своей
границей внутри G, равномерно ограничены производные всех
функций семейства.
Доказательство. Пусть М — верхняя грань абсо-
абсолютных величин функций рассматриваемого семейства, а
/^>0—наименьшее расстояние от границы G' до границы О.
Тогда круг К радиуса -^ с центром в произвольной точке
(лг0, у0) области G' целиком лежит внутри G.
Так как производная гармонической функции тоже гармо-
гармонична, то по теореме 2 получаем
ди' - * ■ ■ ■ acosi
1 г Г ди . . 4 Г
G,30)
здесь и(х, у) — произвольная функция рассматриваемого се-
мейства, S—граница круга /С, п—внешняя нормаль к S.
Из G,30) вытекает неравенство
4

§ 30] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 259
ввиду произвольности точки (х0, у0) и функции и отсюда
следует равномерная ограниченность в G' производных по х
от функций семейства. Аналогично доказывается равномерная
ограниченность в G' их производных по у.
Теорема 7 (о компактности семейства рав-
равномерно ограниченных гармонических функ-
функций). Из любого бесконечного семейства гармонических
функций» равномерно о границе шых в области G, можно
выделить бесконечную последовательность, равномерно схо~
дящуюся в любой ограниченной области G', содержащейся
вместе с границей внутри G.
Это утверждение вытекает из теоремы Арцеля, так как
все функции семейства в G' являются равностепенно непре-
непрерывными вследствие теоремы 6.
Теорема 8. (Теорема Лиувилля). Гармони*
ческая на всей плоскиипи функция и (л:, у) не может
быть ограниченной сверху или снизу, если она не по-
постоянна.
Доказательство. Пусть, например, всегда и(х, у)^
^Ж, где М—некоторая постоянная. Прибавляя в случае
надобности к функции и(х, у) постоянную, мы всегда можем
достигнуть того, чтобы было М^ 0. Принимая это предполо-
предположение, покажем, что значение и в любой точке Q(p, <p) в
точности равно значению и в начале координат (полюсе) О.
Этим самым будет показано, что и — постоянная. Возьмем
для этого круг К с центром в точке О такого большого
радиуса /?, чтобы точка Q(p, cp) лежала внутри него. Пред-
Представляя в К функцию и в виде интеграла Пуассона, получим
о
Отсюда получаем аналогично F,30)
При R—*oo получаем а(О)< tf(QX и (О), откуда u(Q)=z
= и(О).
Так как Q—произвольная точка плоскости, то это ра-
равенство означает постоянство функции и.
17*

260 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Теорема 9 (об устранимой особенности).
Пусть и [х, у) — ограниченная функция, гармоническая в
окрестности точки А, за исключением самой точки А,
где и (х, у) не определена. Тогда функцию и (х, у) можно
в точке А определить так, чтобы и (л:, у) была гармони-
гармонической во всей рассматриваемой окрестности точки А, в
том числе и в самой точке А.
Доказательство. Для простоты обозначений примем
точку А за начало координат. Пусть К—круг радиуса R
с центром в Л, целиком лежащий внутри рассматриваемой
окрестности А. Пусть их — гармоническая внутри К функция,
которая совпадает с и на границе /С. Положим и — ux=v.
Функция^*, у) будет ограниченной и гармонической во всем
круге К, кроме точки Л, где она не определена. На окруж-
окружности К функция v обращается в нуль. Покажем, что всюду
внутри /С, кроме точки Л, v=0 и, следовательно, и = иг
Если, показав это, мы положим в самой точке А функцию v
равной нулю и, следовательно, и = ир то тем самым будет
доказана наша теорема.
Чтобы доказать тождество г> = 0 во всем круге А, кроме
точки Л, построим в этом круге функцию
где М—верхняя грань | v | в К, s — некоторое малое положитель-
положительное число, а р = ЛА Функция wB(P) является гармонической
функцией в области, ограниченной окружностями р = /? и
p = s, обращается в нуль при р = /? и в М при p = s. На
основании теоремы о максимуме и минимуме гармонических
функций для любой точки Р, лежащей в кольце между ок-
окружностями р==/? и p = s, при любом s
(8,30)
так как на этих окружностях — we (P) ^v(P)^ w& (P). Но
при s —► 0 правая часть неравенства (8,30) стремится к нулю.

§ 30) ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 261
Поэтому левая часть равна нулю, так как она не зави-
зависит от е.
Замечание 1. Теорема 9 верна в более общей форму-
формулировке: пусть и (Ху у) — гармоническая функция в окрест-
окрестности точки Л, за исключением самой точки Л, где и (х, у)
не определена, и для любой точки Р из этой окрестности
ц(Р)\п±, (9,30)
где }х(Р)—*-0у когда Р—* А. При этих условиях функцию
и(х> у) можно в точке А определить так, чтобы и(ху у)
была гармонической во всей рассматриваемой окрестности
точки Л, в том числе и в самой точке Л.
Доказательство этого предложения аналогично доказа-
доказательству теоремы 9.
Замечание 2. Пусть и(х, у) — ограниченная и гармо-
гармоническая в области О функция, непрерывная во всех точ-
точках границы G, за исключением конечного числа точек. При
этих условиях функция и (Ху у) не может внутри области О
принимать значения, большие, чем верхняя грань значений
и(хг у) на границе области G, и меньшие, чем нижняя грань
значений и(х, у) на границе G.
Действительно, пусть М — верхняя грань значений и(х, у)
на границе G. Для простоты предположим, что и (л:, у) не-
непрерывна во всех точках границы G, за исключением одной
точки Pv Пусть все точки G отстоят от Pt не больше, чем
на /?. Построим функцию w6 (Р) = М -j-e In -p-p. Рассмотрим
область G6, состоящую из точек области G, расстояние от ко-
которых до Р, больше 8. Легко видеть, что на границе
этой области u(P)<^ws(P)t если 5 достаточно мало. По тео-
теореме о максимуме и минимуме гармонических функций и (Р) ^
<^w&(P) в G6. Устремляя е к нулю, получим, что и (Р)
в любой точке Р области G. Точно так же получаем, что
и{Р) ^ т, где т — ни/княя грань значений и(х, у) на гра-
границе области G.
Замечание 3. Все доказанные в настоящем параграфе
свойства гармонических функций от двух независимых пере*
менных сохраняются для гармонических функций любого числа
независимых переменных и могут быть доказаны аналогично.

262 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
При этом условие (9,30) в случае /г^>2 независимых перемен-
переменных заменяется условием
гДе АР—расстояние от точки А до Р, и JA(P)—► 0, когда
§ 31. Доказательство существования решения
задачи Дирихле
Идея приведенного ниже доказательства принадлежит
Пуанкаре. Первоначальное доказательство Пуанкаре несколь-
несколько улучшил Перрон. Так как последующие рассуждения оди-
одинаково применимы к областям любого числа измерений, то
мы не будем ограничиваться рассмотрением только двумер-
двумерного случая.
1. Основные определения и метод решения
задачи. Пусть внутри /г-мерной ограниченной области G
и на ее границе задана непрерывная функция v; через К
будем всегда обозначать какой-нибудь я-мерный шар, все
внутренние точки которого принадлежат G> через (v)K—не-
(v)K—непрерывную функцию, равную v вне К и на его границе и
гармоническую внутри этого шара /С Для того чтобы функ-
функция v была гармонической, очевидно, необходимо и достаточно,
чтобы для всякого шара *) К было (v)K=v.
будем называть функцию v супергармонической (соответ-
(соответственно субгармонической), если для всякого шара К
(v)K^v (соответственно (v)K^v). A,31)
Назовем верхней (соответственно нижней) функцией для
заданной на границе G непрерывной функции / супергармо-
супергармоническую (соответственно субгармоническую) в области Q
функцию v, если на границе О
v^f (соответственно
Во всем дальнейшем мы будем рассматривать только такие
супергармонические и субгармонические верхние и нижние
функции, которые непрерывны внутри G и на ее границе.
Поэтому, говоря о супер- и субгармонических функциях, мы
*) При л = 2 надо было бы К назвать кругом, а не шаром.

§ 31J СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 263
будем предполагать их непрерывными внутри и на границе О,
не оговаривая этого особо.
Метод Пуанкаре-Перрона состоит в следующем. Для за-
заданной ограниченной области G и заданной на ее границе
непрерывной функции / мы определяем семейство всех верх-*
них функций. Ясно, что это семейство не иусто, потому что
всякая постоянная e^sup/ уже является верхней функ-
функцией. Определим значение функции и в точке Р% принадле-
принадлежащей G, как нижнюю грань значений в этой точке всех
верхних функций. Мы докажем, что функция и является гар-
гармонической внутри О, принимает заданные значения / и не-
непрерывна в тех граничных точках этой области, где выпол-
выполняются некоторые условия, о которых мы скажем ниже/
Предварительно нам надо будет доказать несколько свойств
супергармонических и верхних функций.
2. Некоторые свойства супергармониче-
супергармонических и верхних функций.
Теорема 1). а) Всякая гармоническая функция су*
пергармонична и су б гармонична.
б) Если v супергармонична, а и гармонична, п о v-\-u
супергармонична.
в) Сумма двух (и, следовательно, любого конечного
числа) су пер гармонических функций супергармонична
г) Если v су пергармонична, a w субгармонична, то
v — w супер гармонична.
Аналогичные теоремы справедливы для субгармонических
функций.
Первое из этих утверждений очевидно. Остальные гри
доказываются легко, если мы примем во внимание, что
Пользуясь этим соотношением, докажем, например, утверж-
утверждение в). Пусть vx и vt — - две супергармонические функции.
Тогда
следовательно,
т. е. vx-\-v2 — суиергармоническая функция.
Теорема 2. Супергармоническая в области G функ-
функция v принимает наименьшее значение на границе О.

264 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. lit
Доказательство. Допустим, что функция v прини-
принимает свое наименьшее значение т в некоторой точке Р, на-
находящейся внутри G. Тогда вокруг этой точки, как центра»
можно описать такой шар К, касающийся границы О, на
границе которого v всюду должна быть равна т\ в против-
противном случае по теореме о среднем арифметическом в точке
Р было бы
Следовательно, функция v должна быть равной т в некото-
некоторых точках границы G.
Теорема 3. Всякая, верхняя функция v нигде не
меньше любой нижней функции w.
Доказательство. Супергармоническая функция v — w
по теореме 2 принимает наименьшее значение на границе
области, но там она неотрицательна; следовательно, она не-
неотрицательна и внутри области.
Теорема 4. Функция
где vv vt, ..., vn суть верхние функции, есть также
верхняя функция.
Доказательство. Ясно, что функция v непрерывна
внутри G и на ее границе и что на границе G
Остается доказать, что v удовлетворяет неравенству A,31)
для всякого шара К. Для этого заметим, что v(P) равно
значению в точке Р одной из функций vv vv ..., va, на-
например t)v Поэтому в точке Р
что и доказывает неравенство A,31). Здесь мы пользуемся
тем, что если v^viy то всегда (*>)#^(v,)#
Теорема 5. Если v есть верхняя функция, то (v)K
есть также верхняя функция.
Доказательство. Положим
Из всех свойств, которым должна удовлетворять верхняя
функция, очевидно, нуждается а доказательстве только то,

§ 31] СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 265
«иго для всякого шара Кх
(*)*<*. B,31)
Это свойство также очевидно, если шар Кх лежит целиком
внутри К или вне К. Остается рассмотреть только тот слу-
случай, когда шар К лежит внутри Кх или когда границы этих
шаров пересекаются.
На границе /С,
z^v.
Поэтому и внутри Кх
так как обе функции (z)Ki и (v)Ky гармоничны внутри Кх.
В силу супергармоничности *v
(v)Ki < v.
Вне шара К и на его границе функции z и v совпадают. По-
Поэтому лежит ли К внутри Кх или их границы пересекаются,
справедливо соотношение B,31) вне К и на его границе.
Справедливость же этого соотношения внутри пересечения
ККХ шаров К и Кх следует из того, что функции z и (z)K
гармоничны внутри ККХ и потому раз соотношение B,31)
имеет место на границе области ККХ, оно имеет место и
внутри этой области.
3. Д о к аз а те л ьс тво того, что нижняя грань
й (Р) всех верхних функций гармонична. Чтобы
доказать гармоничность функции и во всей области, очевидно,
достаточно доказать гармоничность ее в любом шаре /С.
Возьмем одну из верхних функций vx, которая в центре Р
шара К принимает значение, не большее и(Р)-\-г. Мы мо-
можем считать vx гармонической внутри К; если бы vx не была
гармонической внутри К, то вместо vx мы могли бы взять
(vx)K, которая, согласно теореме 5, также есть верхняя функ-
функция и которая так же, как и vx, принимает в точке Р зна-
значение, не большее и(Р)-\-г.
Возьмем, далее, верхнюю функцию г/2, которая в точке
Р принимает значение, не большее, чем и(Р)-\-~ . Поло-
Положим
, vx))K.
По теоремам 4 и 5 функция v2 также есть верхняя функция.

266 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ill
Продолжая такие же построения, мы получим бесконеч-
бесконечную убывающую последовательность верхних функций vlf
v2, . ., vn, ..., гармонических внутри /С. Эта последова-
последовательность ограничена снизу (теорема 3). Следовательно, по
теореме 5 § 30 (вторая теорема Гарнака) эта последователь-
последовательность внутри К равномерно сходится к некоторой гармони-
гармонической функции v.
Докажем, что внутри К
Допустим, что это не так. Тогда существует верхняя функ-
функция z, которая в некоторой точке Р, внутри шара К прини-
принимает значение, меньшее, чем v(Py). Опишем шар Кг радиуса р
с центром в точке Р, на поверхности которого лежит точка
Рх. Тогда всякая функция
zn = (m\n(z, vn))Ki
есть верхняя функция. А так как последовательность vn в
Кх сходится равномерно к v> то zn (Р) также сходится рав-
равномерно в Д,и потому при достаточно большом п отличается
как угодно мало от значения в точке Р функции (min (г,
t)))AV которое меньше, чем v(P), равное и(Р). Это, однако,
противоречит предположению, что и (Р) есть нижняя грань
значений всех верхних функций в точке Р.
Нижнюю грань всех верхних функций принято называть
Обобщенным решением задачи Дирихле, соответствующим
заданной граничной функции /. Очевидно, что если сушла-
вует решение задачи Дирихле в области О, принимающее
заданные значения / на границе, то это решение совпадает
с обобщенным решением задачи Дирихле, соответствующим,
заданной функции /. Точку Q границы области G мы будем
называть регулярной, если для любой непрерывной функции
/, заданной на границе области О, обобщенное решение за-
задачи Дирихле, соответствующее функции /, в точке Q не-
непрерывно и равно /(Q). Ниже мы укажем ряд достаточных
условий регулярности точки Q границы области О.
4. Поведение функции и(Р) на границе G.
Теорема. Функция и (Р) непрерывна и принимает зна-
значение f(Q) в граничной точке Q, если для этой точки
удовлетворяется следующее

§ , 31 ] СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 267
Условие Л. Существует непрерывная внутри G и на
ее границе супергармоническая функция <Dq (барьер), обла-
обладающая следующими свойствами:
1) ©Q(Q) = 0f
2) во всех точках Р области G и ее границы, кроме,
точки Q,
Доказательство. Каково бы ни было произвольно
малое положительное число е, в силу непрерывности / всегда
можно окрестность UQ точки Q выбрать настолько малой,
чтобы в каждой ее точке Р, принадлежащей границе G, было
f(Q) — е</1Я)</«?) + е.
Поэтому, пользуясь тем, что всюду в G вне Uq функция
&п(Р) превосходит некоторую положительную постоянную,
легко показать, что функция
если только С^>0 выбрано достаточно большим, будет
нижней .функцией,-а функция
будет верхней функцией.
Докажем, например, что функция ф(Я) есть верхняя функ-
функция. Легко видеть, что она супергармонична при всяком
неотрицательном С. Остается показать, что на границе G она
нигде не меньше /. Справедливость этого утверждения
в окрестности Uq точки Q следует из определения окре-
окрестности Uo и того, что С@р(Я)^0. Вне же этой окрестно-
окрестности o)q(P), по > предположению, превосходит некоторую поло-
положительную постоянную и потому при достаточно большом С
величина CwQ(P) может быть сделана как угодно большой
на всей границе О вне Uq.
Очевидно, функция и(Р) при всяком е>0 заключена
йежду этими Двумя непрерывными функциями ср(Я) и сЬ(Я) и,
следовательно,
i>-*c>

268 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ill
А так как е произвольно мало, то, следовательно,
Пт и (P)=f(Q)>
и построенная нами функция и (Р) непрерывна в точке Q.
При /г^>2 легче всего построить барьер для такой гра-
граничной точки Q, для которой существует /г-мерный шар
с центром в некоторой точке О, внутри которого нет ни
одной точки области G, а граница которого имеет только
одну точку Q, общую с границей G. Тогда за функцию
Шр(Я) можно взять функцию
QQn-2
где РО (соответственно OQ) означает расстояние между
точками Р и О (соответственно О и Q). При всяком л^>2
Зта функция гармонична.
В случае /2 = 2 можно показать, что всякая граничная
точка Q области, ограниченной одной непересекающейся
кривой, удовлетворяет условию А. Действительно, если
точку Q принять за начало координат, то функция 2Р 2 t
где р и q суть соответственно действительная и мнимая
части In —2D * обладает всеми свойствами функции ю^
если D означает диаметр области G. Но функция
— р — — Peel {
может перестать обладать этими свойствами, если точка Q
лежит на границе неодносвязной области G. Так будет, на-
например, в том случае, если область G заключена между
двумя концентрическими окружностями и точка Q лежит на
меньшей из них. В этом случае функция гр 2 пере-
перестает быть однозначной. Поэтому условие А целесообразно
заменить следующим более общим.
Условие В. Для как угодно малой окрестности UQ
точки Q (Uq здесь означает ту часть полной окрестности
точки, которая принадлежит области G и ее границе) суще-

§ 31) СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 269
ствует однозначная супергармоническая функция QQ (барьер),
обладающая следующими свойствами:
1. Qo определена внутри UQ и на ее границе, причем
гсюду непрерывна.
, 2. QQ(Q) = 0.
3. Qq>0 во всех точках, кроме Q.
Из этих трех свойств Qq следует и ее четвертое свойство.
; 4. Qq ^ k > 0 в тех граничных точках Uq, которые
принадлежат G; здесь k — некоторая постоянная.
Покажем, что если точка Q удовлетворяет условию В,
то она удовлетворяет также условию Л. Построим для этого
функцию @Q (Я), положив
(о0 (Я) = 1 вне Uq.
Мы утверждаем, что эта функция обладает всеми свойствами,
Перечисленными в условии А. Действительно,
1) (йо(Р) непрерывна в G,
2) @o(Q) = 0,
3) <0Q > 0 во всех точках Gt кроме точки Q.
4) Остается показать супергармоничность функции (oQ(P)9
т. е. что
Обозначим через Gt ту часть О, где 0)^=1, и через
Go — остальную часть области G. Тогда справедливость соот-
соотношения C,31) будет очевидной в том случае, если внутри
шара К имеются точки или только из О,, или только из Go.
Остается рассмотреть последний возможный случай, когда
внутри шара К имеются точки как из Gt> так и из Go.
В этом случае справедливость соотношения C,31) для той
части шара К, которая принадлежит G,, следует из того,
что там @g=l, a (<0q)^^1. Справедливость же соотноше-
соотношения C,31) для точек пересечения KG0 областей К и Go сле-
следует из того, что в каждой из тех областей, на которые
распадается A'G0, функция o)Q супергармонична, а функция (o)Q)K
гармонична; кроме того, значения o)q на границе каждой
такой области не меньше значений ((Oq)^.

270 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Для п=\ рассматриваемая краевая задача тривиальная
Поэтому во всем дальнейшем мы будем считать п ^2.
В случае п = 2 легко показать, что всякая граничная
точка Q области G удовлетворяет условию В, если точка Q
является концом некоторой кривой /,• лежащей вне О-)-Г и
пересекающей все окружности достаточно малого радиуса
с центром в точке Q.
Действительно, перенесем начало координат в точку Q и
будем считать, что окрестность UQ так мала, что все ее
точки отстоят от Q меньше, чем на с, где с<1, и дуга /
пересекает границу круга, содержащего Uq. Если теперь
положить \n(x-\-iy)=p-\-iq, то функция
будет обладать всеми свойствами, перечисленными в условии В.
В случае п > 2 нетрудно построить функцию QQ для вся-
всякой граничной точки Q, которая служит вершиной некоторого
круглого /г-мерного конуса Cq с прямолинейными образую-
образующими, у которого все точки, достаточно близкие к Q, лежат
вне G. Для этого рассмотрим односвязную область G*, обра-
образованную точками, лежащими внутри некоторой /г-мерной
сферы 5 радиуса R с центром в точке Q и вне конуса 6q.
На границе О* зададим функцию /*, положив
где QP означает расстояние между точками Р и Q. Нижняя
грань а* всех верхних функций, построенных для обла-
области G* и функции /*, принимает на основании критерий
с шаром, сформулированного на стр. 268, значение /* во
всех точках границы G*, за исключением точки Q, к кото-
которой этот критерий неприменим. Чтобы убедиться в том, что
функция и* обладает всеми свойствами функции fiQ, нужно
еще доказать, что она в точке Q принимает значение 0.
Для этого заметим прежде всего, что tf*(Q)^0, так как
функция, равная тождественно нулю> есть нижняя. Мы обо-
обозначаем здесь
и* (Q) = limu* (P), соответственно м* (Q) = lima* (P).

§ 31] СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 271
Остается показать, что
tf*(Q) = 0.
Допустим, что это не так, и значит,
D,31)
Примем тогда точку Q за начало координат и рассмотрим
функцию
a**(xv .•. , xn) = u*(kxl, ... , kxn),
где &>1. Очевидно,
Но, с другой стороны, пользуясь тем, что u*(P)<^R
внутри О*, легко видеть, что всюду на границе области G**,
где определена функция а**, за исключением только точки Q,
11**^^11**, E,31)
где сл есть некоторая постоянная, меньшая единицы, завися-
зависящая от k. Функция а*— £jtf**, гармоническая в G**, не-
непрерывна во всех точках границы G**, за исключением
точки Q, и верхняя грань значений а*— с,и** на границе G**
неположительна. Поэтому согласно замечанию 2 к § 30
и*— £,и**^0 всюду в области G**.
Из того, что соотношение E,31) выполняется во всей
области G**, следует, что
Так как сх <^ 1, то это соотношение находится в противоре-
противоречии с D,31), если.£>0.
Задача 1. Покажите, что не существует функции
и(х, у), непрерывной в круге х2-\-у2^\ и гармонической
всюду внутри этого круга, кроме его центра, которая при-
принимает значение 0 на окружности и значение 1 в центре.
Задача 2. Покажите, что не существует функции
и (х> у, z)t непрерывной в цилиндре {а;2 -}-у2^ 1, — 1 ^ z ^ 1 \
и гармонической всюду внутри этого цилиндра, кроме отрезка
— у ^г^ у, xz=y = 0, которая принимает на этом отрезке
значение 1, а на границе цилиндра — значение 0.

272 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
§ 32. Внешняя задача Дирихле
Внешней задачей Дирихле мы будем называть следующую
задачу.
Пусть дана некоторая ограниченная область G такая,
что точки, не принадлежащие G и ее границе Г, образуют
область с границей Г. Пусть на границе этой области
задана непрерывная функция /. Требуется найти функ-
функцию и(Р), гармоническую вне G-\-T и принимающую на Г
заданные значения /»
Мы говорим здесь, что функция и принимает заданные
на границе G значения /, если функция и, которая совпа-
совпадает с и вне G-\-Y и с / на Г, непрерывна на всем множест-
множестве ее определения.
Пример. Пусть в каждой точке (лг, уу z) пространства
вне некоторого тела и на границе этого тела установилась
определенная, не зависящая от времени, температура и.
Известно, что в таком случае и удовлетворяет уравнению
Лапласа вне О. Таким образом, чтобы найти установившуюся
температуру вне О, приходится решать внешнюю задачу
Дирихле.
Если не накладывать никакого ограничения на поведение
решения внешней задачи Дирихле в далеких точках про-
пространства, то эта задача имеет много решений. Для того
чтобы гарантировать единственность ее решения, в двумер-
двумерном случае требуют ограниченности решения, в многомерном
случае — стремления этого решения к нулю при стремлении
точки Р в бесконечность (функция и(Р) стремится к нулю
при Р—>-оо, если |м(Р)|<^8, где е>0 — произвольное
число, для всех точек Р, лежащих вне шара достаточно
большого радиуса с центром в начале координат).
Решение внешней задачи Дирихле сводится к решению
задачи Дирихле для ограниченных областей, которую мы
рассматривали в § 31 и которую теперь, в отличие от внеш-
внешней задачи Дирихле, будем называть внутренней задачей
Дирихле. При этом выявляется роль тех дополнительных
условий в бесконечности, которые налагаются на решение
внешней задачи Дирихле (точнее, которые налагаются на
значения этого решения в далеких точках).
Возьмем внутри области G некоторую точку О и сферу
(окружность в двумерном случае) 5 радиуса R с центром

§ 32] ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ 273
в точке О. Сделаем преобразование пространства обратными
радиусами-векторами относительно этой сферы, т. е. такое
преобразование, при котором каждой точке Я этого про-
пространства ставится в соответствие точка Я*, лежащая на
луче ОР, для которой OP-OP* =R*. При этом преобразова-
преобразовании точки сферы 5 остаются неизменными, вся та часть
пространства, которая лежит вне (соответственно внутри) S,
переходит в ту часть пространства, которая лежит внутри
(соответственно вне) S.
Таким образом, все те точки пространства, которые лежат
вне О, преобразуются в точки некоторой ограниченной обла-
области О*, окружающей точку О. Каждой точке G*, кроме О,
при таком преобразовании соответствует одна и только одна
точка, лежащая вне G. Только самой точке О при этом пре-
преобразовании не ставится в соответствие никакая точка про-
пространства. Дальнейшее рассмотрение надо отдельно проводить
для пространства двух измерений (плоскости) и пространства
трех измерений.
Рассмотрим сначала случай плоскости. Пусть и есть
решение внешней задачи Дирихле для области О. Положим
и*(Р*) = и{Р) и /*(Я*)=/(Я).
Функция и* будет определена всюду в области G*, кроме
точки О, и будет принимать значение /* (Я*) на границе G*.
Прямыми выкладками можно показать*), что функция а* (Я*)
будет гармонической функцией координат точки Я* (короче,
гармонической функцией Я*), если и(Я) была гармонической
функцией Я.
Если функция и (Р) была ограничена, то а* (Я*) также
ограничена. Тогда по теореме об устранимой особенности и*
можно так доопределить в точке О, чтобы полученная функ-
функция была гармонической всюду внутри G*. По теореме
о единственности решения внутренней задачи Дирихле отсюда
будет следовать, что ограниченная функция и* единственным
образом определяется в G* своими значениями на границе.
А отсюда следует единственность решения внешней задачи
Дирихле в классе ограниченных функций. Существование
*) Чтобы это проверить, надо привести уравнение Лапласа
к полярным координатам с полюсом в точке (у, в которых наше
преобразование записывается наиболее простыми формулами.
1 . И. F. Петровский

274 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II)
решения вытекает из того, что все точки границы G* ввиду
связности G являются регулярными (см. стр. 270).
Случай трех измерений. Пусть опять и есть реше-
решение внешней задачи Дирихле для области О. Положим
или, что эквивалентно,
и (Я) = -~ и* (Я*). A,32)
Аналогично положим
или, что эквивалентно,
/d\
OP
/(Р) =*/(/>*).
Этим функция и* определяется всюду внутри G*, кроме
точки О. Она будет принимать значение /* на всей гра-
границе О*. Приведя уравнение к сферическим координатам,
можно прямыми выкладками показать, что а* (Я*) будет гар-
гармонической функцией Я*, если и (Р) была гармонической
функцией Я. Если и(Р) стремилась к нулю при Р—►ею, то
и* (Я*), как легко видеть, будет удовлетворять условию
, где |«(Р)| —0 при
ОР*—►О. Тогда, согласно замечаниям 1 и 3 к § 30, и*
можно так доопределить в точке О, чтобы полученная функ-
функция была гармонической всюду внутри G*. В силу един-
единственности решения внутренней задачи Дирихле отсюда
будет следовать, что ограниченная функция и* единствен-
единственным образом определяется в G* своими значениями на ее
границе. А отсюда следует единственность решения внешней
задачи Дирихле в классе функций, стремящихся к нулю при
Я—*оо.
Если область G* такова, что все ее граничные точки
регулярны, то из предыдущих рассуждений будет следовать
также существование решения внешней задачи Дирихле для
области G при всякой непрерывной функции, заданной на ее

Л 32] ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ 275
границе, причем решение это будет, как легко видеть
из A,32), удовлетворять условию
где М—некоторая постоянная, ОР—расстояние точки Р до
некоторой фиксированию^ точки О.
Примеры. Решением внешней задачи Дирихле на пло-
плоскости, когда заданная на границе функция всюду равна
постоянной С, является функция, также всюду равная С. Это
единственное решение в классе ограниченных функций.
Решением внешней задачи Дирихле в трехмерном про-
пространстве, когда область ограничена сферой радиуса R
t центром в точке О и когда функция, заданная на этой
сфере, равна постоянной С, служит функция
«(Я) = ■§£-. B,32)
Это единственное решение рассматриваемой внешней задачи
Дирихле в классе функций, стремящихся к нулю при^ОР—^оо.
Можно показать, что к постоянной С в двумерном случае
и. к функции B,32) в трехмерном случае приближаются реше-
решения следующих двух задач теплопроводности:
1. На поверхности бесконечно длинной цилиндрической
трубы задается постоянная температура, равная С. Начальная
температура окружающего воздуха равна нулю. Тогда тем-
температура u(t, х, у, z) воздуха в момент t в точке (л:, у, z)
при /—► оо стремится к С. Физически это означает, что
бесконечно длинной трубой, на поверхности которой задается
Постоянная температура С, можно нагреть весь окружаю-
окружающий воздух до температуры С.
2. На поверхности шара с центром в О радиуса R под-
поддерживается постоянная температура С. Начальная темпера-
температура окружающего воздуха всюду равна нулю. Тогда темпе-
температура u(t, х, у, z) воздуха в момент / в точке (л:, у, z)
при t—>сю приближается к функции B,32).
Задача 1. Докажите, что любая ограниченная и гармо-
гармоническая вне конечной замкнутой области функция и(х, у)
стремится к некоторому пределу при х2-\-у2—►оо.
Задача 2. Докажите при помощи преобразования .обрат-
.обратными радиусами-векторами единственность решения внешней
18*

276 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ill
задачи Дирихле в классе ограниченных функций для пло-
плоского случая и в классе функций, стремящихся к нулю при
ОР—юо для случая пространства трех измерений, если
область О бесконечна.
§ 33. Вторая краевая задача
1. Внутренняя вторая краевая задача. Будем
предполагать, что область G на плоскости (л:, у) конечна и
ограничена кривой Г, имеющей в каждой точке ограниченную
кривизну. Как мы уже говорили (§ 27), вторая краевая задача
состоит в том, чтобы найти внутри G гармоническую функ-
функцию и (х, у), непрерывную в О-|-Г, у которой производная
по направлению внешней нормали в каждой точке границы G
равна значению в этой точке заданной функции /. Функ-
Функцию / будем считать непрерывной. Эту задачу называют
еще внутренней второй краевой задачей в отличие от внеш-
внешней второй краевой задачи, которую мы рассмотрим в п. 3.
В § 28 мы показали, что все решения внутренней второй
краевой задачи с заданной функцией / могут отличаться
между собой только постоянными слагаемыми.
Необходимым условием существования решения внут-
внутренней второй краевой задачи является следующее условие:
интеграл от f по границе области G должен быть равен
нулю.
Мы докажем необходимость этого условия, предполагая,
что и (ху у) имеет внутри G ограниченные непрерывные про-
ди ди
изводные второго порядка, а ~^— и -j- имеют непрерывное
продолжение на границу G. В § 35 мы освободимся от этих
ограничений. В том же параграфе мы докажем существова-
существование решения второй краевой задачи, если выполнено сфор-
сформулированное выше необходимое условие.
Пусть и (л:, у) — решение второй краевой задачи в об-
области G и -—-=/($) на Г. Рассмотрим интеграл
Он равен нулю, так как функция и гармонична. Преобразуя
этот интеграл в интеграл пь границе Г области G согласно

§ 33] ВТОРАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 277
формуле Остроградского, получим, что должно быть
Lds = 0 или J/(s)<te = Of A,33)
г
так как, по предположению, на границе области —-f(s).
Если область G многосвязна и ее граница состоит из конеч-
конечного числа замкнутых линий, то интеграл в равенстве A,33)
должен быть взят по всем этим линиям, причем положитель-
положительное направление обхода на каждой линии выбирается так,
чтобы область G оставалась по левую сторону от границы.
В трехмерном случае применимы те же рассуждения.
Точно так же получим, что должен быть равен нулю инте-
интеграл по границе G от заданных на этой границе значений -г— .
2. Для двумерной односвязной области G внутренняя
вторая краевая задача легко сводится к внутренней задаче
Дирихле следующим образом. Допустим, что существует
решение и внутренней второй краевой задачи, имеющее
вместе со своими первыми производными непрерывное про-
продолжение на О. Построим тогда в G функцию v так, чтобы
внутри G удовлетворялись уравнения Коши-Римана
да Ov
ду дх
Функция v, имеющая производные, определяемые этими урав-
уравнениями, существует, так как выполнено условие
d2v d2v д2и . д2и 0
дудх' дхду дх2 • ду2
Она определяется этими уравнениями с точностью до посто-
постоянного слагаемого. Легко проверить, что в каждой точке О
-*■
производная от и по какому-нибудь направлению / равна про-
-*■
изводной от v по направлению, полученному поворотом /
на 90° против часовой стрелки. Точно так же можно прове-
проверить, что производная от и на границе О по нормали к гра-
границе равна производной от v по касательной к границе.
Поэтому, фиксировав значение v в какой-нибудь граничной

278 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
точке А области, мы найдем, что во всякой точке В на гра-
границе G
в
v(B) — v(A) = \/{s)ds, C,33)
А
где ds означает элемент длины границы О. Так как инте-
интеграл от f(s) по всей границе G равен нулю, то равен-
равенство C,33) определяет v на границе G как всюду непрерыв-
непрерывную и однозначную функцию.
Легко видеть, что если и гармонична, то V, определен-
определенная уравнениями B,33), также гармонична. Поэтому, зная
значения v на границе О, мы можем единственным образом
определить v внутри G. Таким образом, предполагая, что
для данной функции f(s) существует в области G решение
и (х, у) внутренней второй краевой задачи, имеющее вместе
со своими первыми производными непрерывное продолжение
на О-)-Г, мы можем определить и (х, у) с точностью до
постоянного слагаемого из уравнений B,33), построив соот-
соответствующее решение задачи Дирихле v (x, у).
В случае трехмерной области аналогичные построения
невозможны.
3. Внешняя вторая краевая задача состоит
в следующем. Пусть дана некоторая ограниченная одно-
связная область О с гладкой границей Г. Пусть точки,
не принадлежащие G-\-Y, образуют область И с грани-
границей Г. Требуется найти гармоническую функцию в Н,
непрерывную в Н-\- Г, у которой производная по направлению
внешней (по отношению к Н) нормали в каждой точке
границы Н равна значению в этой точке заданной функции /.
При этом мы будем требовать еще, чтобы решение и (Р)
внешней второй краевой задачи было ограниченным в случае
двух независимых переменных и стремилось к нулю при стрем-
стремлении точки Р к бесконечности в случае трех и боль-
большего числа независимых переменных.
В случае двух независимых переменных внешняя вторая
краевая задача сводится к внутренней второй краевой задаче
преобразованием обратными радиусами-векторами. При этом
очень существенно то, что в силу конформности преобра-
преобразования обратными радиусами-векторами углы сохраняются.
Поэтому нормаль к границе прежней области переходит

§ 33] ВТОРАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 279
в линию, нормальную к границе новой области. Граничная
функция для возникающей таким образом внутренней второй
краевой задачи получается в случае двумерной области
следующим образом. Сохраняя те обозначения, которыми мы
пользовались при рассмотрении внешней задачи Дирихле,
будем иметь
-# . #. ди* ди dn г, v dn
* ^ ' дп* drTdn* '^'Ш*л
Здесь через 5 и s* обозначены соответствующие точки гра-
границ прежней и новой областей, через п и п* — нормали
dn ,, *
к их границам, -т-^—коэффициент растяжения в точке
границы по направлению нормали. Так как при конформном
преобразовании коэффициент растяжения в данной точке
не зависит от направления, то для вычисления -г-^ можно
предположить, что направления п и п* проходят через
центр О преобразования. Тогда
dn _d(OP) __
dn*~~ d(OP*)~
Чтобы рассматриваемая внешняя вторая краевая задача
имела решение, необходимо и достаточно, чтобы соответ-
соответствующая ей внутренняя вторая краевая задача имела решение.
А для этого, как будет показано в § 35, необходимо и доста-
достаточно, чтобы
$£4£{s. D,33)
Здесь через Z,* мы обозначили линию, в которую перехо-
переходит L после преобразования обратными радиусами-векторами.
В силу конформности этого преобразования
dn_ ds*_x
dn* ds
Таким образом, сводя внешнюю вторую краевую задачу
к внутренней и пользуясь теоремой об устранимой особен-
особенности, получим, что в случае двух независимых переменных

280 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
решения одной и той же внешней второй краевой задачи
могут отличаться между собой только постоянными сла-
слагаемыми, и условие A,33) является необходимым и достаточ-
достаточным условием существования решения внешней второй
краевой задачи.
В случае трех независимых переменных с помощью преоб-
преобразования обратными радиусами-векторами нельзя свести
внешнюю вторую краевую задачу к внутренней, так как в этом
ди* да
случае ^-^ на границе выражается" не только через ^—,
но и через значения самой неизвестной функции и на Г.
В случае трех и большего числа независимых переменных
легко доказать единственность решения внешней второй
краевой задачи в классе функций, стремящихся к нулю
при стремлении точки Р к бесконечности (при этом стремле-
стремление к нулю понимается в том смысле, что |#(P)|<CS
для любого е^>0, если расстояние точки Рот начала коорди-
координат достаточно велико). Будем предполагать, что граница Г
области И такова, что каждой точки границы можно коснуться
шаром, принадлежащим области Н.
Пусть и(Р)—гармоническая функция, непрерывная в
/У4-Г, |^=0 на Г и и(Р)—+0 при Р—*оо. Покажем,
что tt = 0.
Рассмотрим область, ограниченную Г и сферой столь
большого радиуса, что на этой сфере |й(Р)|<е. Так как
— = 0 на границе Г, то из теоремы 1 § 28 и теоремы
о максимуме и минимуме гармонических функций следует,
что функция и(Р) принимает наибольшее и наименьшее
значения на поверхности сферы, т. е. во всей рассматривае-
рассматриваемой области |tt(P)|<^s. Так как е^>0 можно брать произ-
произвольно малым, то и(Р) = 0 в каждой точке Р области /У,
что и требовалось доказать.
§ 34. Теория потенциала
1, В ближайших двух параграфах мы получим решение
основных краевых задач для уравнения Лапласа, а также
для уравнения Пуассона (см. § 1), методом интегральных
уравнений. Этот метод основан на представлении решений
в виде интегралов, часто встречающихся в механике и фи-

§ 34] ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 28]
зике и заимствовавших оттуда название потенциалов. Эти
потенциалы строятся с помощью специальных частных реше-
решений, имеющих в переменной точке особенность определен-
определенного типа.
Пусть в некоторой точке О пространства (х, у, z)
помещен точечный электрический заряд q. Тогда, по. извест-
известному закону физики, этот заряд создает электростатическое
поле, напряженность которого Е в любой точке Q, отличной
от точки О, равна
или, в проекциях,
Ex = kq^=^; Ev = kq^-; Ег = kq ^Л. . A,34)
Здесь а, Ь, с — координаты точки О; х, у, z— координаты Q,
г =OQ, r = OQ, а коэффициент пропорциональности k зави-
зависит от выбранной системы единиц.
Правые части A,34) равны с противоположным знаком
частным производным от функции
u(Q) = kq~--{- const B,34)
соответственно по х, у и z. Эта функция называется потен-
потенциалом данного электростатического поля. Обычно принято
считать произвольную постоянную, стоящую в правой
части B,34), равной нулю, чтобы u(Q)—^0 при удалении Q
в бесконечность. Кроме того, в математических работах
принято для простоты полагать k=\. Таким образом, мы
будем считать, что точечный заряд ве/ччины q создает
потенциал
h(Q) = -1= q =,
г у {х - а)* +(у - bJ + (z - с?
C,34)
Так как при наличии нескольких точечных зарядов по-
потенциалы, создаваемые ими, складываются, то потенциалы,
создаваемые непрерывно распределенными зарядами, находятся
в виде предела суммы, т. е. в виде интеграла. В частности,
если заряд распределен по поверхности 5 с поверхностной

282
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. Ill
плотностью (о (А) (где
этим зарядом, равен
то потенциал, создаваемый
D,34)
Здесь г (A, Q) есть расстояние от А до Q, А — переменная
точка интегрирования, что подчеркивается индексом у диф-
дифференциала. Если заряд распределен по объему V с объем-
объемной плотностью р (А) (А £ I/), то потенциал, создаваемый этим
зарядом, равен
п п гъ - / л \
-dVA. E,34)
Правая часть D,34) называется потенциалом простого слоя,
а правая часть E,34) — объемным потенциалом. Необхо-
Необходимые предположения, обеспечи-
обеспечивающие существование этих ин-
интегралов, будут указаны в даль-
дальнейшем.
Представим теперь себе, что
два заряда q и —q, находясь на
оси / (рис. 12) на расстоянии
Л^>0, стремятся к точке О, при-
причем направление от —q к q все
время совпадает с положительным
направлением оси. Тогда потен-
потенциал в любой точке, кроме О,
является разностью двух величин,
стремящихся стать равными друг
другу; поэтому рассматриваемый
потенциал стремится к нулю. Если же в процессе дви-
движения q меняется так, что
qh = p — const,
то предел потенциала равен
Рис. 12.
cos (OQ,
—^
F,34)

§ 34] ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 283
Предельное расположение зарядов в физике называют дипо-
диполем, величину р — моментом, а ось / — осью этого диполя.
При помощи точечных зарядов диполь может быть осуще-
осуществлен лишь приближенно (два больших заряда на малом
расстоянии друг от друга). При исследовании электростати-
электростатических полей удобно пользоваться полем диполя, как про-
простейшим, наряду с полем точечного заряда.
Пусть теперь дана ориентированная поверхность 5, т. е.
такая, на которой указаны внешняя и внутренняя стороны.
Пусть на S распределен диполь с плотностью мо-
момента т (А) (А £ 5), причем в каждой точке А направление
оси диполя совпадает с направлением внешней нормали к .Ь*
в точке А. Тогда потенциал, создаваемый этим диполем,
равен.
где пА — внешняя нормаль к S в Л. Этот интеграл называ-
называется потенциалом двойного слон, так как рассматриваемое
распределение диполя может быть приближенно осуществлено,
как два наложенных на S распределения зарядоз с плотностью
-г-х(А) и jrz№) на Расст°янии h (по нормали к S)
друг от друга, если только Н^>0 достаточно мало.
Правые части C,34) и F,34) являются гармоническими
функциями в пространстве всюду, кроме точки О. В этом
можно убедиться прямым вычислением (достаточно проверить
гармоничность C,34), так как тогда F,34) в окрестности
каждой точки, отличной от О, получится в качестве равно-
равномерного предела гармонических функций). Отсюда при неболь-
небольших предположениях относительно плотности легко следует
гармоничность потенциалов простого и двойного слоя
всюду вне S.
Задача. Найдите потенциал простого слоя от равномерно
распределенного заряда на поверхности сферы; найдите
объемный потенциал от заряда, распределенного равномерно
по объему шара.
2. Пусть распределение зарядов в пространстве постоянно
по z. Тогда и электростатическое поле не зависит от г.
В этом случае всю картину распределения зарядов и потен-

284 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
циалов достаточно рассматривать в какой-либо одной из пло-
плоскостей z = const. Пусть х и у— координаты в этой плоско-
плоскости. Вместо напряженности от точечного заряда здесь надо
рассматривать напряженность в точке Q{xf у) от заряда
постоянной линейной плотности q, равномерно распределен-
распределенного по прямой х = а, у = Ь. Обозначим точку (а> Ь)
буквой О. Из соображений симметрии следует, что при Q=^=0
искомая напряженность равна
E = qf{r)r, G,34)
где r=OQ, г = |г|. Для вычисления /(г) за точку О при-
примем точку @,0) и за Q точку (г,0). Тогда
2
(z = rtgy).
Поэтому G,34) даст
откуда
и, следовательно, при любом расположении точки Q в пло-
плоскости (х, j/)
Эти величины равны, с противоположным знаком, частным
производным от функции, называемой логарифмическим потен-
потенциалом или просто потенциалом,
и (Q) = 2kq In ~ -}- const (8,34)
соответственно по х и у. В математических работах принято
брать 2/2=1, const = 0. Таким образом, в случае плоского

§ 34] ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
поля точечный заряд создает в плоскости потенциал
285
=zn\r}
r(O,Q)
=/7 In
H
. (9,34)
Отметим, что этот потенциал нельзя было найти из C,34)
непосредственным интегрированием по заряженной линии,
так как тогда получился бы расходящийся интеграл.
Потенциал от диполя на плоскости определяется, -анало-
-аналогично п. 1, по формуле
L
„0.34,
Правые части (9,34) и A0,34) являются гармонически-
гармоническими функциями на плоскости всюду, кроме О (ср. п. 1).
Рис. 13.
Рис. 14.
Линии уровня этих функций (эквипотенциальные линии) имеют
вид, изображенный на рис. 13 (для точечного заряда) и
рис. 14 (для точечного диполя).
Соответственно (9,34) и A0,34) напишутся выражения
для потенциалов от распределенного заряда и диполя. Вместо
объемного потенциала здесь будет двумерный потенциал
A1,34)
где G — область на плоскости. Потенциалы простого и

286 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ill
двойного слоя для плоскости имеют вид соответственно
^«//il, A2,34)
^dlA. A3,34)
Здесь L — линия на плоскости, пА — вектор, направленный
по нормали к L в точке Л. Мы будем считать линию L
ориентированной, т. е. такой, на которой указаны внешняя
и внутренняя стороны. Нормаль пА будем считать внешней.
В дальнейшем мы будем рассматривать только теорию
потенциала на плоскости. Развитие этой теории в простран-
пространстве любого числа измерений проводится аналогично.
Задача. Вычислите потенциал простого слоя от заряда,
равномерно распределенного на окружности. (Получающийся
интеграл можно вычислить при помощи теории вычетов.)
3. В дальнейшем мы будем рассматривать плоскую
линию L с непрерывно вращающейся касательной, не имею-
имеющую точек самопересечения. Тогда для любой точки P£L
можно расположить оси координат х, у так, что Р будет
иметь координаты лг = О, у = 0 и часть L в достаточной
близости от Р представима в виде
у = у(х) (—h^x^h; Л>0), A4,34)
причем <f'(x) существует и непрерывна.
Пусть функция F(A, Q) определена и непрерывна по
совокупности переменных, когда A£Ly a Q как угодно ме-
меняется на плоскости, не совпадая с точкой А, и не опреде-
определена при Q = A. Тогда интеграл
W{Q)=^F(A, Q)dlA A5,34)
L
во всяком случае определен и является непрерывной функ-
функцией Q, когда Q меняется вне L; доказательство этого эле-
элементарно.
Если Q = P находится на Z,, то интеграл A5,34) являет-
является несобственным, так как подынтегральная функция не
определена при Л = Р. -Мы будем тогда, как обычно, гово-
говорить о сходимости или расходимости интеграла A5,34)
в зависимости от того, существует или не существует

§ 34]
предел
ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
lim
F(A, P)dtA,
A
287
A6,34)
где / — дуга L с концами А' и Л", содержащая внутри себя
точку Р (рис. 15).
Мы скажем, что интеграл A5,34) равномерно сходится
в точке Р££, если для любого s>0 найдется такая
окрестность V точки Р (см. рис. ,
15) и такая дуга I кривой L, со-
содержащая точку Р строго внутри
себя, что для любой точки Q £ V
интеграл
F(A, Q)dlA
A7,34)
Рис. 15.
сходится и по абсолютной вели-
величине <^s (требование сходимости
существенно, только если Q находится на общей части
/ и V).
Теорема 1. Пусть интеграл A5,34) равномерно схо-
сходится в некоторой точке P£L. Тогда для всех точек Q,
лежащих на L достаточно близко от Р, интеграл A5,34)
сходится и определяет функцию w(Q) в некоторой окрест-
окрестности точки Р. Эта функция непрерывна в точке Р.
Доказательство. Возьмем любое г^>0 и выделим
окрестность V и дугу / согласно определению равномерной
сходимости в точке. Тогда для любой точки Q, внутренней
для дуги / и лежащей в V, интеграл A7,34) сходится.
Поэтому и интеграл A5,34) для таких точек Q сходится, и
первое утверждение теоремы (об определенности w(Q) в не-
некоторой окрестности Р) доказано.
Чтобы убедиться в непрерывности w(Q) в Р, предполо-
предположим, что Q находится в V. Тогда
■F(A,
-^\F(A, P)dlA
' | [F{A9 Q) —
L-l
m q)-f(a, p)\diA.

288 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Однако если / фиксировано, то последний интеграл Стано-
Становится меньше е, если Q находится в достаточно малой
окрестности точки Р\ это следует из равномерной непрерыв-
непрерывности подынтегральной функции, когда А меняется по L :—/,
a Q — по указанной окрестности Р. Таким обрааом, если Q
находится достаточно близко от Я, то
\w(Q) — w(P)!<3e,
что, в силу произвольности е, доказывает непрерывность
функции w (Q) лри Q = P. Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Если со (А) и х (А) -—непрерывные функ-
функции, то потенциалы простого и двойного слоя A2,34) и
A3,34) всюду вне L являются гармоническими функциями.
Действительно, возможность дифференцировать функции
A2,34) и A3,34) по координатам точки Q любое число раз,
если Q не лежит на Z,, доказывается так же, как в матема-
математическом анализе доказывается возможность дифференциро-
дифференцировать определенный интеграл по параметру, от которого зави-
зависит подынтегральная функция. Поэтому утверждение теоремы 2
сразу следует из гармоничности подынтегральных функций
в A2,34) и A3,34).
Теорема 3. Интеграл A2,34), если (*>(А) — непрерыв-
непрерывная функция на L, сходится, когда Q лежит на L. Таким
образом, потенциал простого слоя является функцией,
определенной на всей плоскости. Эта функция непрерывна
в каждой точке плоскости.
Действительно, в силу теорем 1 и 2, достаточно прове-
проверить равномерную сходимость интеграла A2,34) в любой
точке P£L. Для этого возьмем точку Р за начало коорди-
координат и, направив подходящим образом оси координат, запи-
запишем уравнение части L вблизи Р в виде A4,34). Эту часть
L мы обозначим lh. Имеем
со (Л) In ^(ато) Ш
max | со (A) | f | \nV(x—a)*-\-(y—bf ЦЛ+[?>)] Va, A8,34)
1 h
-h
где Ь — {)

§ 34]
ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
289
Если V и h достаточно малы, то расстояние между
любой точкой Q(xy у) области V и любой точкой А (а, Ь)
линии lh будет меньше 1, откуда
0<|х — a\<V(x — a)*-\-(y — bf
и оценка A8,34) дает тогда, если
|<o(>4)|-max
I 'n \x~— a\
— h
max | ю
max
In a |
Правая часть последнего неравенства, как легко видеть,
стремится к нулю при h—>0 равномерно относительно точки Q,
меняющейся в V. Теорема 3 доказана.
Замечание. Сходимость интеграла, стоящего в левой
части A8,34) (при Q(zlh), мы доказали одновременно с оцен-
оценкой этого интеграла, так как несобственный интеграл всегда
сходится, если он сходится абсолютно.
Будем в дальнейшем через G обозначать область, ограни-
ограниченную замкнутой кривой L с непрерывно вращающейся
касательной, а через Н—
область, состоящую из точек,
не принадлежащих G-\-L.
Теорема 4. Потенциал
двойного слоя на L с единич-
единичной плотностью (т. е. инте-
интеграл A3,34) при х(А) = \)
равен — 2тг при Q£G, схо-
сходится и равен — тг при Q£L,
равен нулю при Q £ И.
Действительно, пусть Q
является внутренней точкой G, а
А обходит/, в положительном направлении (рис. 16). Обозначим
через &qA угол наклона вектора QA к оси х. Тогда, обозна-
обозначив через АВ вектор, полученный из QA поворотом на -f- 90°f
19 и. Г. Петровский
1'ис. 16.

290 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
имеем:
uolqA cos (АВ, та) cos (ф4, пА) cos (AQ, пА)*)
~Ж~— г D, Q) ~ r {A, Q) — г (A, Q)
Отсюда
Г cos (AQ, пА) , _ Г
= — 2тг.
Случаи Q£L и Q£H рассматриваются аналогично.
Теорема 4 доказана.
Перейдем теперь к общему случаю.
Пусть дополнительно дано, что L — плоская замкнутая
линия с непрерывно вращающейся касательной, состоящая
из конечного числа выпуклых дуг и прямолинейных отрезков.
Мы называем дугу выпуклой, если каждая прямая пересекает
ее не больше, чем в двух точках. Пусть G — область, огра-
ограниченная кривой L. Выпуклость некоторых из дуг, составляю-
составляющих L, может быть обращена к внутренности G, а некото-
некоторых— к внешности G.
Теорема 5. Интеграл A3,34) сходится, когда Q£L,
если т(А) — непрерывная функция на L.
Таким образом, потенциал двойного слоя u(Q) определен
формулой A3,34) всюду на плоскости. При этом он имеет
на Ly вообще говоря, разрыв первого рода. Более точно,
в G-\-L имеется непрерывная функция u(Q), в H-\-L —
непрерывная функция u{Q), причем
u(Q) = u(Q), если
u(Q) = u(Q), если
J(Q)-Ua(()) J> A934л
u(Q) — к-= , ^""' ' '
u(Q) — u(Q) = 2m(Q)> если
Доказательство. Возьмем любую точку P£L и рас-
рассмотрим наряду с потенциалом A3,34) другой потенциал
*) Эго легко проверить, если заменить дифференциалы прира-
приращениями, а дугу Д^ — касательной к ней в точке А.

§ 34] ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 291
двойного слоя
__+ [ — 2тгт (Р), если
/^>ч Г / о\ COS МО, Па) ,, ) ттт1Р\
ц, Q) == \ т Р) .// п) dlA = 1 ~~ т(^'
-J Г 1/1, У/ I rv
£ (^ 0, если
Составим разность
и (Q) - ut (Q) = J[t И) — т (Р)] СО5г((л°^Л) ^ B0K4)
и докажем, что интеграл справа равномерно сходится
в точке Q = P. Отсюда, в силу теоремы 1, будет следовать,
что u(Q) при Q = P имеет разрыв того же вида, что
и их (Q). Это означает, что u(Q) имеет пределы при Q—>Р
по G и при Q—►Р по Н; само значение w (P) существует и
равно среднему арифметическому этих предельных значений,
а скачок функции и (Q) в Р при переходе из О в И
равен 2ттт(Р). Функция u(Q), рассматриваемая при Q£(/
и продолженная на L своими предельными значениями, дает
функцию u(Q), непрерывную в G-\-L; аналогично для Q£H.
Этого достаточно для доказательства теоремы 5.
Для того чтобы убедиться в равномерной сходимости инте-
интеграла B0,34) в точке Р, возьмем дугу /^, как при доказ4-
тельстве теоремы 3, и оценим интеграл вида B0,34), взятый
по lh. Получим
dt.
; max
V r^A'Q)
Мы можем считать дугу lh настолько малой, что она состав-
составлена не более чем из двух выпуклых дуг или прямолинейных
—*■
отрезков. Легко видеть, что выражение \cos (AQ,nA)\diA
равно проекции элемента дуги dlA на касательную в точке А
к окружности радиуса г (A, Q) с центром в точке Q, а
cos(/4O,Пл)\ ,. ^
"' г (А О А — УГЛУ> П0А КО1°РЫМ виден из точки Q
элемент d/д.
19*

292 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Очевидно, что для любой выпуклой дуги /, которую вся-
всякий луч, выходящий из точки Q, пересекает не более чем
в одной точке, а.также для любого прямолинейного отрезка
справедливо неравенство
Всякую выпуклую дугу / можно разбить на две части — 1Х
и /2, каждую из которых всякий луч, выходящий из точки Q,
будет пересекать не более чем в одной точке. Так как дуга
lh состоит не более чем из четырех дуг (или отрезков),
обладающих этим свойством, то
cos {AQ, пА)
dl& < 8тт
и, следовательно,
max \z(A) —
Если h стремится к нулю, то, ввиду непрерывности х(Л),
выражение тах|т(Л) — х(Р)|«8тг стремится к нулю равно-
ih
мерно для всех Q. Теорема 5 доказана.
Рассмотрим нормальную производную от потенциала про-
простого слоя. Пусть P£L и какая-нибудь функция F(Q) опре-
определена в некоторой окрестности Р. Тогда мы обозначим
dF{P)_ . F(P')-F(P)
dF(P)_ . F(P)-F(P»)
On' — р,,™р r{P,P") •
Здесь п—нормаль к линии Z,, проведенная через точку Р;
п* — ее внешняя часть по отношению к О, п~ — ее внутрен-
внутренняя часть. Положительным направлением нормали мы будем
считать ее направление п на внешнюю часть плоскости по
отношению к О. Точка Р'£НУ точка P"£G.
Мы будем предполагать, что L удовлетворяет всем тем
условиям, которые были сформулированы на стр. 290, и, кро-
кроме того, имеет ограниченную кривизну. Тогда справедлива
следующая

§ 34] ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 293
Теорема 6. Потенциал простого слоя и(Q), опреде-
определенный формулой A2,34), имеет в любой точке P£Lnpo-
ру
изв0дныедЛ£1 и !|р. При этом
ди(Р) у ,л/ л\ ^a\^ii-,#«pj ^7 _л/п\ /2] 34)
B2,34)
Интегралы, стоящие в правых частях B1,34) и B2,34),
сходятся. Предполагается, что ф(А) — непрерывная функ-
функция на L.
Доказательство. Если Q лежит на npi но не лежит
на L, то производная от u(Q) по направлению пр существует
и определяется при помощи дифференцирования интеграла
A2,34) по параметру:
Рассмотрим потенциал двойного слоя их (Q), полученный от
распределения диполя по L с плотностью со (А). Тогда, если
Q не лежит на L, то
<иА. B4,34)
Докажем, что полученный интеграл равномерно сходится
в точке Р, если Q находится на пр. Конечно, при этом опре-
определение равномерной сходимости в точке Р (см. п. 3) надо
несколько изменить, а именно требовать, чтобы точка Q
лежала не где угодно в V, а на пересечении пр с окрест-
окрестностью V точки Я. Однако теорема 1 при этом сохранится,
если в ее формулировке всюду требовать, чтобы точка Q
находилась на по.

294
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. III
Пусть / — малый кусок L около точки Р. Тогда, если
шах | со (,4)| = С, то
I Г
IJ
i
cos jAQ, пА) - cos {AQ, пР)
„Г | cos {AQ, пА) — cos (AQ, пР) \
sin
(AQ, nP) - (AQy nA)
2
г И, Q)
sin-
B5,34)
Мы предполагаем, что линия L имеет ограниченную кривизну
Х(Л). Поэтому
АР
и левая часть B5,34) будет не больше
(~(^ Г ' 1 /7/
i
Если дуга / достаточно мала, то при А
\
B6,34)
sin
и
г И,
Тогда, если обозначить через А' проекцию точки А на п
*) Здесь мы воспользовались тем, что для любых а и В cos а —
в i й
— cos P = 2 sin ■*—тт— sin ■ ~д"- и | sin а | ^: | э |.

§ 34]
(рис. 17), то
теория потенциала
295
и оценка B6,34) показывает, что левая часть B5,34) будет
меньше ССХ 2 /2 $ tf/ == 2 ]/2 СС^ | /1. Отсюда видно, что
i
левая часть B5,34) стремится к нулю при / —> 0 равно-
равномерно для всех Q, лежащих на пр.
Таким образом, равномерная схо-
сходимость интеграла B4,34) дока-
доказана.
Из равномерной сходимости ин-
интеграла B4,34) в точке Р следует
в силу теоремы 1 (соответственно
измененной, так как Q лежит в пе- ~
ресечении V с пр), что интеграл
имеет смысл (сходится), если Q= Рис. 17.
=Р, и имеет предел, когда Q—► Р по
прямой пр. Этот предел равен значению интеграла B4,34)
при Q = A Иначе говоря,
B7,34)
Однако в левой части B4,34) характер разрыва второго
слагаемого определяется теоремой 5:
_ Г го (А\ cos Ир> "а) ~ CQS ИР, пР) ..
lim «, (Р") = «, (Р) = j(o (А) С0$г{*дРрП}А) dlA-тш (F).
Р» -+Р L
Отсюда и из B7,34) следует, что пределы и интеграл
ба{Р')ч lim dii{P») f^^cos (АР, пР, „

296 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
существуют, причем
lim ^-(„(^«"iff dlA-™{P),
pr -> р ОПр J Г у-А) if
1 * . } B8'34)
При помощи теоремы о конечных приращениях нетрудно
убедиться в том, что если на каком-нибудь отрезке [а, Ь\
(а<^Ь) дана непрерывная функция f(x), причем f'(x) суще-
существует при а<^х<^Ь и
lim /' (*) B9,34)
х -> а
(х>а)
существует, то производная /'(а) существует и равна B9,34);
конечно, под /' (а) надо понимать правую производную от
/(х), т. е.
lim .
(АХ > 0)
Поэтому из предыдущего вытекает, что + и *-? - суще-
существуют, причем
дп+ р>-*р дпр дп рг>-+р дпР
Отсюда и из B8,34) следуют формулы B1,34) и B2,34).
Теорема 6 доказана.
Задача 1. Докажите теоремы, аналогичные теоремам
5 и 6, для случая, когда L — незамкнутая линия с непре-
непрерывно вращающейся касательной, составленная из конечного
числа выпуклых дуг, имеющих ограниченную кривизну.
Задача 2. Перенесите теоремы 3, 4, 5 на тот случай,
когда G есть многоугольник.
Замечания. 1. Все доказанные в настоящем параграфе
теоремы о потенциалах простого и двойного слоя остаются
справедливыми, если предполагать только, что линия L всюду
имеет ограниченную кривизну.

§ 35] РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 297
2. Все доказанные в настоящем параграфе теоремы есте-
естественно переносятся на потенциалы простого и двойного слоя
в трехмерном пространстве, если предположить, что поверх-
поверхность 5, по которой берутся интегралы, соответствующие
D,34) (потенциал простого слоя) и D,34 *) (потенциал двой-
двойного слоя), имеет всюду ограниченную кривизну. При этом
оказывается, что потенциал простого слоя всюду непрерывен,
а потенциал двойного слоя и нормальные производные потен-
потенциала простого слоя около точки Q заряженной поверхности
имеют скачки 4ttt(Q), соответственно 4tto)(Q), вместо 2ttt(Q),
соответственно 2tto)(Q), в случае плоскости. Здесь co(Q),
соответственно x(Q), означают плотность распределения
зарядов, соответственно диполей, на поверхности S. Пред-
Предполагается, что эти плотности непрерывны. Совершенно так же
переносятся на трехмерное пространство все рассуждения
следующего параграфа. Доказательство этих утверждений
можно найти, например, в книге С. Л. Соболева «Уравнения
математической физики», Гостехиздат, 1954, стр. 208—228.
§ 35. Решение краевых задач с помощью потенциалов
1. Сведение краевых задач для гармониче-
гармонических функций к интегральным уравнениям.
Пусть L — плоская замкнутая линия с непрерывно вращаю-
вращающейся касательной и непрерывной кривизной, состоящая из
конечного числа выпуклых дуг и прямолинейных отрезков *).
Пусть на L задана непрерывная функция f(P). Будем
решать внутреннюю задачу Дирихле, состоящую, как было
указано в § 27, в разыскании функции u(Q), непрерывной
в G-j-L и гармонической в G, причем на L должно быть
и(Р)=/(Р). A,35)
*) Кривизну /(Л) в точке А кривой L мы будем рассматривать
со знаком, определяемым положительным направлением обхода L, т. е.
где а — угол, образованный положительным направлением касатель-
касательной и осью Ох. Направление обхода L мы будем считать положи-
положительным, если при обходе L в этом направлении область G остается
слева.

298 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ III
Мы будем искать эту гармоническую функцию в виде
потенциала двойного слоя A3,34) с неизвестной непрерывной
плотностью х(А) распределения диполя на L. В силу теорем
2 и 5 § 34 этому распределению соответствует функция и (Q),
непрерывная в G-f-Z, и гармоническая при Q£G. Согласно
A9,34) при P£L будет
Поэтому для выполнения краевого условия A,35) необхо-
необходимо и достаточно, чтобы функция т(Л) удовлетворяла инте-
интегральному уравнению Фредгольма второго рода
B,35)
Аналогично исследуется внешняя задача Дирихле см. (§32).
Если искать решение в виде потенциала двойного слоя с не-
неизвестной непрерывной плотностью т(Л) распределения диполя
на L, то аналогично B,35) мы получим для т(Л) уравнение
C,35)
где f(P) — заданная на L непрерывная функция.
Внутренняя вторая краевая задача, как было указано
в § 27, состоит в том, чтобы найти функцию tf(Q), непре-
непрерывную в G-\-L и гармоническую в G, обладающую в каждой
точке L производной по направлению внешней нормали, рав-
равной заранее заданной непрерывной функции /(Р).
Так как через г— мы обозначили в § 34 производную
по направлению внешней нормали, то для решения и (Р) вто-
второй краевой задачи
?^L=/(P) (P£L). D,35)
Мы будем искать решение в виде потенциала простого
слоя A2,34) с неизвестной функцией ш(А), которую будем
считать непрерывной. В силу теоремы 6 § 34 для того, чтобы

§ 35] РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 299
удовлетворить краевому условию D,35), необходимо и доста-
достаточно, чтобы выполнялось соотношение
Jg^^ + i/(P). E,35)
Аналогично ставится внешняя вторая краевая задача.
Она приводится к интегральному уравнению
£1^ + ^/(Я). F,35)
Замечание. Если бы мы пытались решить внутреннюю
задачу Дирихле при помощи потенциала простого слоя с не-
неизвестной непрерывной плотностью со (А) распределения
заряда, то пришли бы к уравнению
Это — интегральное уравнение Фредгольма первого рода.
Теория таких уравнений значительно сложней, чем теория
уравнений второго рода. Уравнение (*), как можно показать,
имеет решение не при всех непрерывных /(Я). Если, напри-
например, G есть круг радиуса 1, то при /(Я)^>0 не существует
решения уравнения (*), так как левая часть A2,34) обра-
обращается в нуль в центре этого круга при любой функции
со (Л); при /(Р)^>0 это невозможно вследствие теоремы о
максимуме и минимуме.
2. Исследование полученных интеграль-
интегральных уравнений.
Обозначим
к ip ^-.cosHP, пА) л k р ._ cos (АР, пР)
Д*^' А)— г{А,Р) ' **(И> А)— г (Л, Я)
И€£, P£L, АфР).
Тогда
Поэтому ядра уравнений B,35) и F,35), а также C,35) и
E,35) оказываются транспонированными.

300 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Ядро Кг (Я, А) определено и непрерывно, когда А £ Z,,
P(zLt АфР. Однако для любой точки P0£L ядро А, (Р, А)
имеет определенный предел, когда А—*Р0, Р—^Р0(А=^=Р)\
Пусть ТА— касательная в точке А к кривой L, РА — проекция
точки Р на ТА. Тогда, если кривизна )[(^о) положительна,
то в достаточно малой окрестности Ро cos (АР, пА) =
= — | sin(^P, TA)\. Учитывая эквивалентность | sin APt TA) | и
| tg {АР9 ТА)\У г(А,Р) и г(А,РА), получим
Выберем ТА за ось #, начало координат поместим в точку Ау
а ось з> направим внутрь G. Тогда уравнение части L вблизи
А запишется в виде у = у(х). Обозначим через х абсциссу
точки Р в построенной системе координат. Тогда, применяя
формулу Тэйлора, получим
/" (Д /^ х2 2
8
4+['7) (8,35)
где точка М (с абсциссой Ох) лежит на L между А и Р,
Х('М) — кривизна в точке Ж. Из G,35) и (8,35) следует,
что при Л-*Р0, Р-+Ро
х cos(AP,nA) __ I (jP)
1111 г(ДР) 2 Л^оЬ
Таким же образом можно показать, что последнее равенство
справедливо и в том случае, когда х(Л>)^0-
Если доопределить функцию Кх (Р, А) при Р=А, положив
то полученная функция, которую мы будем обозначать также
Кх (Р, А), будет непрерывной по совокупности переменных при
произвольных А £ L, P£L, а потому равномерно непрерывной.
Это же относится и к К2 (Р, А).

§ 35] РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 301
Мы будем пользоваться теорией интегральных уравнений
с непрерывным ядром вида
= \\ К(Р, А) у (A) dlA +/ (Р),
изложенной, например, в моем курсе интегральных уравнений *)
Докажем сначала следующее предложение, необходимое
нам в дальнейшем.
Лемма 1. Потенциал простого слоя
стремится к нулю при удалении точки Q в бесконечность
тогда и только тогда, если
{А)ША = О. (9,35)
Если условие (9,35) не выполнено, то функция u(Q) при
удалении Q в бесконечность по модулю неограниченно
растет.
Доказательство. Возьмем в плоскости любую точку О.
Тогда
ln
ттга"*-
=1и *га J"И) dl*+У{А) 1п
В полученной сумме при удалении точки Q в бесконечность
второе слагаемое стремится к нулю, а первое слагаемое не-
неограниченно растет по модулю тогда и только тогда, если
Отсюда следует утверждение леммы.
*) И. Г. Петровский, Лекции по теории интегральных урав-
уравнений, Гостехиздат, 1951, стр. 50—54.

302 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Теорема 1. Уравнение B,35) внутренней задачи Ди-
Дирихле и уравнение F,35) внешней второй краевой задачи
имеют одно и только одно решение при любой непрерывной
функции f(P)>
Доказательство. Согласно первой теореме Фред-
гольма мы докажем, что уравнения B,35) и F,35) имеют единст-
единственное решение при любой непрерывной функции /(Р), если по-
покажем, что соответствующие им однородные уравнения имеют
только тривиальные, т. е. равные тождественно нулю решения.
Так как уравнение B,35) транспонировано к уравнению F,35),
то согласно второй теореме Фредгольма для доказательства
теоремы 1 достаточно показать, что однородное уравнение
U/1 A0,35)
имеет только тривиальное решение.
Пусть о)(Р) — решение уравнения A0,35). Покажем, что
\ со (Л) dlA = 0. Интегрируя правую и левую части уравне-
уравнения A0,35) по контуру L, имеем
i i
Изменяя порядок интегрирования в правой части этого
равенства и используя теорему 4 из § 34, получим
dlA=
= \u(A)dlA,
т. е.
L
Рассмотрим функцию
*,<?;

§ 35] РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 303
Из леммы 1 § 35 следует, что u(Q) стремится к нулю
при удалении Q в бесконечность. Функция u(Q) является
гармонической вне L, и так как о>(Р) удовлетворяет урав-
уравнению A0,35), то -^ = 0. Но в § 33 мы показали, что
решения одной и той же внешней второй краевой задачи
отличаются постоянным слагаемым. Следовательно, u(Q) =
= const в И. Так как u(Q)—>0 при Q—►оо, то u(Q)=Q
в И. Из непрерывности потенциала простого слоя следует,
что и = 0 на L. По теореме о максимуме и минимуме и~0
в G и, следовательно, -^ = 0. Вычитая равенство B1,34)
из B2,34), получим, что о)(Р) = 0, так как -— = 0 и
Теорема 2. Однородное уравнение
dlA> A1,35)
i
соответствующее уравнению E,35), имеет только одно
линейно независимое решение to(P), и j a) (A) dlA ф 0.
z:
Доказательство. Покажем сначала, что если реше-
решение а) (Р) уравнения A1,35) не равно тождественно нулю, то
L
Рассмотрим функцию
Функция u(Q) является гармонической вне L. Так как со
удовлетворяет уравнению A1,35), то согласно теореме 6 § 34,
—- — 0 на L. По теореме 2 п. 3 § 28 и = const в G-\-L.
Если ^а)б//р==0, то по лемме 1 § 35 u(Q)—*0 при уда-
удалении Q в бесконечность, т. е. и (Q) является ограниченным

304 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II!
решением внешней задачи Дирихле, равным постоянной С
на L. В § 32 мы доказали единственность такого решения,
и поэтому u(Q) = C в Я. Так как и (Q)—>0 при Q—*оо,
то С=0, т. е. « = 0 на всей плоскости. Из теоремы 6 § 34
получаем, что а)(Р) = 0 на L.
Существование хотя бы одного нетривиального решения
<о у уравнения A1,35) следует из того, что транспониро-
транспонированное к нему уравнение
как легко проверить, имеет решение т(Р) = const.
Покажем, что уравнение A1,35) не может иметь двух
линейно независимых решений. Пусть <о — какое-либо реше-
решение A1,35), отличное от <о. Постоянную а можно всегда вы-
выбрать таким образом, чтобы ^ {<х(й-\-(й)сМд = 0, так как
i
\ а) (Л) dlA ф 0. Но мы показали выше, что для решения
уравнения A1,35) из равенства ^ (асо -\- (о) dlA = 0 следует,
i
что
а<о -\- а) = 0.
Теорема доказана.
Функция ш(Р) имеет простой физический смысл. Она
равна плотности распределения заряда на I в том случае,
когда G-\-L является проводником.
Используя теорему 2 и применяя третью теорему Фред-
гольма, получим:
Теорема 3. Уравнение C,35) внешней задачи Дирихле
имеет решение тогда и только тогда, если
$ = 0. A2,35)
При выполнении этого условия решение уравнения C,35)
определяется с точностью до произвольного слагаемого*

§ 35) РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 305
Уравнение E,35) внутренней второй краевой задачи
имеет решение тогда и только тогда, если
д = 0. A3,35)
При выполнении этого условия решение уравнения E,35)
определяется с точностью до слагаемого С<о(Р), где С —
произвольная постоянная.
3. Решение краевых задач. Из теорем 1 и 3 на-
настоящего параграфа мы получим сейчас результаты об усло-
условиях разрешимости основных краевых задач. Прежде всего
из теоремы 1 следует, что при наших ограничениях в Q
всегда существует единственное решение внутренней задачи
Дирихле, представимое в виде потенциала двойного слоя.
В силу доказанной раньше единственности решения задачи
Дирихле мы можем сказать, что решение интегрального
уравнения B,35) эквивалентно решению внутренней задачи
Дирихле.
Далее из теоремы 3 следует, что решение внутренней
второй краевой задачи существует для таких заданных на
границе функций /(Л), для которых выполняется условие
Докажем, что это условие является необходимым для
разрешимости внутренней второй краевой задачи с заданной
функцией /(Л) *). Пусть u(Q) — гармоническая функция вО,
непрерывная в G-\-L, и — =/(Л) на L. Выберем постоян-
постоянную С так, чтобы
Мы доказали выше, что существует гармоническая в О
и непрерывная в G-\-L функция v (Q), для которой ~==
=/(Л)-|-С на L. Гармоническая в G функция w = v — и
непрерывна в G 4- L и Г = С на L
' ОП
*) В § 33 мы доказали необходимость этого условия в болез
узких предположениях.
20 И. Г. Петровский

£06 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ш
По теореме 1 п. 3 § 28 w = const и С = 0, так как
dw
если w отлична от постоянной, то х— должна иметь разные
знаки в точках Z,, где w принимает наибольшее и наимень-
наименьшее значения. Отсюда следует, что
f(A)dlA = 0.
В § 28 было доказано, что решение внутренней второй
краевой задачи определяется с точностью до постоянного
слагаемого.
Переходя к решению внешней задачи Дирихле, мы видим,
что в силу теоремы 3 не при любой граничной функции
можно найти распределение диполей, дающее решение этой
задачи. Это объясняется тем, что, как легко видеть, всякий
потенциал двойного слоя A2,34) стремится к нулю на бес-
бесконечности, а мы в § 32 доказали существование и един-
единственность решения внешней задачи Дирихле, предполагая
решение всего лишь ограниченным на бесконечности. При
граничной функции, удовлетворяющей условию A2,35), суще-
существует решение внешней задачи Дирихле в виде потенциала
двойного слоя. При произвольной непрерывной функции /(Р)
можно поступить следующим образом. Образуем функцию
где константу С* подберем так, чтобы fx (P) удовлетворяла
условию A2,35). Для этого надо положить
A4,35)
i (Л) dlA
что можно сделать, так как в силу теоремы 2
х
После определения С* решим уравнение C,35), подставив /
рмссго /. Пусть одним из решений будет т4 (Р). Тогда ре-

§ 35] РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 307
шением поставленной внешней задачи Дирихле будет функции
Что касается постоянного слагаемого, входящего в опреде-
определенную из уравнения C,35) плотность диполей, то оно не
скажется на решении внешней задачи Дирихле, так как вне
G потенциал постоянного распределения диполей равен нулю
(см. теорему 4 § 34).
Рассмотрим, наконец, внешнюю вторую краевую задачу.
Как мы показали, соответствующее этой задаче интегральное
уравнение F,35) разрешимо при любой непрерывной функции
f(P). Так как решение внешней второй краевой задачи яв-
является функцией, ограниченной на бесконечности, то потен-
потенциал простого слоя с плотностью, определяемой как решение
уравнения F,35), будет решением внешней второй краевой
задачи тогда и только тогда, если он ограничен.
По лемме 1 для ограниченности потенциала простого слоя
на бесконечности необходимо и достаточно, чтобы
со (Л) dlA = 0.
Интегрируя уравнение F,35), изменяя порядок интегриро-
интегрирования и используя теорему 4 из § 34, получим
Поэтому условие \^f(P)dlp = 0 является необходимым и до-
достаточным для того, чтобы построенный при помощи уравне-
уравнения F,35) потенциал простого слоя был ограниченным на
бесконечности. По лемме 1 при выполнении эгого условии
20*

308 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II?
построенный потенциал обязан стремиться к нулю на беско-
бесконечности. Условие A3,35) является вместе с тем и необхо-
необходимым условием для разрешимости внешней второй краевой
задачи. Это следует из необходимости условия A3,35) для
разрешимости внутренней второй краевой задачи и равенства
D,33). Кроме того, из п. 3 § 33 следует, что решение
внешней второй краевой задачи определяется с точностью
до произвольного постоянного слагаемого.
4. Решение краевых задач для круга. Если
G — круг, то решение интегральных уравнений B,35), C,35),
E,35) и F,35) особенно просто. Действительно, если обо-
обозначить через R радиус круга, то легко проверить, что при
A£L и P£L будет
cos (АР, пА) = — cos (АР, пр) = — ~ г-
и уравнения B,35), C,35) переходят в
а уравнения E,35) и F,35) — в уравнения
). A6,35I|2
Решим уравнение A5,35)г Для этого обозначим
J х (A) dlA = С
L
и проинтегрируем обе части A5,35I по L. Тогда получим
Подставляя значение С в A5,35I, получим
Теперь из A3,34) следует, что при Q£G будет в силу

§ 35] РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 309
теоремы 4 § 34
-1 [от
Мы в другой форме получили, таким образом, интеграл
Пуассона, рассмотренный в § 29.
Перейдем к уравнению A5,35J. Однородное уравнение,
соответствующее A6,35),, имеет нетривиальное решение
<о (Р) = const =^= 0 (см. теорему 2). Таким образом, условия
A2,35) и ^f(A)dlA = 0 здесь совпадают. Если условие
\f(A)dlA = 0 выполнено, то уравнение A5,35J имеет
L
решение
где С произвольно. В общем же случае получим (см. A4,35))
с*=- w l
L
)ПЛ)С11А- Ч ) У r(A,Q)

310 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. TII
Задача. Решить уравнения A6,35)Ь2 и получить в связи
с этим решение внутренней и внешней второй краевой задачи
для круга. При решении последней задачи использовать
формулу
In (I -f/>2 — 2p cos cp) ato = 0, —1 </><К
5. Рассмотрим уравнение Пуассона
bu=f(x,y). A7,35)
Мы предположим, что функция /(х, у)=/(Р) задана в ог-
ограниченной области G, ограничена и имеет непрерывные
частные производные 1-го порядка. Будем решать внутреннюю
задачу Дирихле для этого уравнения *). Достаточно найти
какое-нибудь одно решение уравнения A7,35), непрерывное
в G=G-\-L, не обращая внимания на краевую функцию.
Действительно, если v — такое решение, то, положив
и = v -\- w,
где w—решение внутренней задачи Дирихле для уравнения
Лапласа с краевым условием
w\ = и\ —v\,
получим, что и является решением исходной задачи. Тем
самым вопрос о существовании и единственности решения
внутренней задачи Дирихле для уравнения A7,35) полностью
сведется к такому же вопросу для уравнения Лапласа.
Докажем, что частным решением уравнения A7,35) яв-
является функция
$^1п* A8'35)
(логарифмический потенциал с плотностью заряда
4
*) То есть мы будем искать непрерывное в О решение урав-
уравнения A7,35), которое на границе О принимает значения заданной
там непрерывной функции.

§ 35] РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 311
Проверим прежде всего, что интеграл A8,35) сходится
И представляет собой непрерывную функцию Р на всей
плоскости. Для этого, аналогично § 34, достаточно проверить
равномерную сходимость интеграла A8,35) в любой точке
Ро £ G. При этом определение равномерной сходимости должно
быть естественным образом изменено.
. Обозначим при любом р]>0 через D?(P0) внутренность
круга с центром Ро и радиусом р, а через Gp(P0)— общую
часть Dp (Po) и G. Достаточно доказать, что для любого
б^>0 найдется такое р^>0, что для любой точки P£Dр(Я0)
интеграл
сходится и по абсолютной величине <^s. Для этого обозна-
обозначим через М верхнюю грань |/| в G и перейдем к поляр-
полярным координатам с полюсом в точке Р. Тогда, если р^-^-,
to
И
О0 (Ро)
Последнее выражение при р—►() стремится к нулю равно-
равномерно для всех Р, принадлежащих D (Ро).
Докажем, что интеграл A8,35) имеет непрерывные част-
частные производные первого порядка. Обозначим координаты
точки Р через (х, у), а Л — через (а, Ь) и продифферен-
продифференцируем сначала этот интеграл по х формально, не заботясь
о сходимости. Получим
j^V^ B0,35)
Аналогично A9,35), легко проверить, что этот интеграл
равномерно сходится в каждой точке G = G -\-L и потому
представляет собой функцию, непрерывную на всей плоскости.

312
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. Ш
Чтобы доказать, что <р (Р) = г^ (Р), возьмем любую фикси-
фиксированную точку Р(х, у)*) и точку Px(x-\-hy у) (h =^=0).
Тогда
51И
(Р)
Я
О-Ор(Р)
+5*
5*
x — a
О0 (Р)
Первый из полученных интегралов стремится к нулю вместе
с р в силу равномерной сходимости интеграла B0,35)
в точке Р. Второй также стремится к 0, если 0<^|й|<^р.
Для доказательства этого разобьем G?(P) на части G9{P)y
где г {A, P)>r(A, Pt), и G^P), где г И, P)^r(A, PJ,
и учтем, что ln(l-j-8)<[8 при 5^>0. Получим
U Я
r(A, p) — r(A, Px)
r{A, P%) l
Px)-r[A, P)
r(A, P) l
*) Совершенно так же, как в теореме 2 на стр. 288, легко по-
казать, что вне области (J функция v (P) гармонична.

§ 35] РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 313
М_ / ГС dsA , СС d^
2* V JJ ПА, Рх) * JJ >*И,
Можно выбрать р^>0 настолько малым, что первый и вто-
второй интегралы в правой части B1,35) будут <Су> где
е^>0 — произвольное наперед заданное число. Зафиксировав
это р, за счет уменьшения \h\ можно сделать последний
интеграл в B1,35) меньше —» так как ПРИ 1^1—^0 подын-
о
Tei ральная функция равномерно стремится к нулю в G— G (Р).
Рассмотрение vy проводится аналогично. Итак,
До сих пор мы пользовались только ограниченностью
непрерывной функции f(P). Для дальнейшего мы воспользу-
воспользуемся наличием у f(P) непрерывных частных производных
первого порядка. Зафиксируем точку Ро £ G и выберем р
настолько малым, чтобы Do (PQ) £ G. Тогда интеграл
=-L И
1
G-Dp(P0)
имеет в Dp (Ро) непрерывные частные производные всех по-
порядков и удовлетворяет уравнению
/4=0, B2,35)
так как этот интеграл можно дифференцировать под знаком
интеграла по координатам точки Р, лежащей в D (Р0)у без
*) Так как |/-(Л, Р)~,-(Д F

314 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ш
каких-либо ограничений. Значит, достаточно рассмотреть
интеграл
9
Проинтегрируем выражение для -—■ по частям:
Р-4 Л
ir(A, P)db —
j
с (P}
— к И fa{A)]n7^np)dsA> <23'35)
Dp (Po)
где Cp(P0) — окружность круга Dp(P0), а интегрирование по
Co (Po) происходит в положительном направлении. Из дока-
доказанного ранее следует, что последний интеграл имеет непре-
непрерывные частные производные первого порядка, сколь угодно
малые при P£Dp(P0), если р достаточно мало. Первый же
интеграл в правой части B3,35) можно в Dp(P0) дифферен-
дифференцировать по х и у без каких-либо ограничений, так как
точка Р не лежит на линии интегрирования. Аналогично ис-
dv9
следуется выражение для -—. Итак, существование и непре-
непрерывность частных производных второго порядка у v2(P)
в Л^(Я0), а тем самым и у v(P) в G доказаны.
Далее, при P£Dp(P0)
d2v2 _ 1
дх2 2ъ
О> (Ро)
где Г], (Р, р) равномерно стремится к нулю при р
P£Dp(P0). Аналогично,
9=4 S

§ 35] РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 315
Перейдем к полярным координатам с центром в PQ(xQt yQ).
Тогда в силу B2,35)
дх2 Т ду2
Р C0SCP' Л + Р
Последнее выражение при р—^0 стремится к /(Яо), т. е.
Дг»=/(Р„).
Отметим, что условия, наложенные на правую часть
уравнения A7,35), можно было бы ослабить. Однако требо-
требовать только непрерывности и ограниченности функции f(P)
в G нельзя, так как тогда интеграл A8,35) может не иметь
частных производных второго порядка. В связи с этим
И. И. Привалов ввел понятие обобщенного оператора Лапласа,
определяемого равенством
(Р) = llm p4 j^i Jf ¥ (A) dsA - ср (Р)] .
Можно доказать, что если ср (Р) имеет в G непрерывные
частные производные второго порядка, то при P£G сущест-
существует Д*ср (Р) и тождественно равно Дср(Р). В то же время,
если f(P) непрерывна и ограничена в ограниченной области G
и v(P) определено формулой A8,35), то Д*г;(Р) существует и
Замечание. Все рассуждения настоящего параграфа
естественно переносятся на ньютоновский потенциал E,34)
заряженной области в трехмерном пространстве. Если пред-
предположить, что плотность зарядов р (А) непрерывна вместе
со своими первыми производными и ограничена, то сам по-
потенциал u(Q) оказывается всюду непрерывным. Он гармоничен

316 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ш
вне заряженной области и удовлетворяет уравнению Пуас-
Пуассона
внутри заряженной области.
§ 36. Метод сеток для приближенного решения
задачи Дирихле
Пусть на границе конечной области G задана непрерыв-
непрерывная функция /. Допустим, что существует гармоническая
внутри G функция и, которая на границе G принимает задан-
заданные значения /. Для приближенного нахождения и
Л. А. Люстерник*) в 1925 г. предложил следующий метод,
который для простоты мы изложим только для двумерной
области, хотя он одинаково применим и для областей боль-
большего числа измерений. В этом изложении мы не будем сна-
сначала проводить все доказательства. Недоказанные места
отмечены курсивом, как некоторые теоремы. Они будут до-
доказаны несколько позже.
На плоскости (х, у), где расположена область G, прове-
проведем два семейства (сетку) прямых, параллельных коорди-
координатным осям
где h — некоторое положительное число, а т и п пробегают
такие последовательные целые значения, чтобы вся область G
покрылась квадратами со стороной /г. Вершины этих квад-
квадратов мы будем называть узлами или узловыми точками
построенной сетки. Наша цель — определить в узловых
*) См. Успехи матем. наук, вып. VIII A941), 115—124.
Л. А. Люстерник не предполагал существования решения задачи
Дирихле. Он методом сеток доказывал существование решения этой
задачи при некоторых предположениях о границе G. Но его дока-
доказательство не распространялось непосредственно на области боль-
большего, чем 2, числа измерений.
Существование решения задачи Дирихле методом сеток для
уравнения Лапласа с любым числом независимых переменных для
широкого класса областей доказано в работе: И. Г. Петровский,
Успехи матем. наук, вып. V11I A941), 161—170.

§ 36] МЕТОД СЕТОК ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 317
точках, находящихся внутри G, приближенные значения и.
Эти приближенные значения мы будем обозначать через ан.
Возьмем произвольное s)>0 и обозначим через Ге сово-
совокупность квадратов, у которых одна из вершин отстоит от
границы G не больше, чем на е. В каждой вершине, при-
принадлежащей какому-нибудь квадрату Г£, положим uh равным
значению / в ближайшей к этой вершине граничной точке G
или в одной из таких точек, если их несколько. При доста-
достаточно малых h и s определенные таким образом в узловых
точках Г6 значения uh как угодно мало отличаются от зна-
значений в этих точках и. Действительно, функция, равная и
внутри G и / на границе G, равномерно непрерывна в G.
Поэтому значения ее в двух точках Рх и Р2, принадлежа-
принадлежащих G, делаются как угодно близкими, если расстояние Р,Р2
достаточно мало. В дальнейшем мы будем всегда считать,
что h<^B.
Точки области G, расположенные внутри и на границах
квадратов, не входящих в Ге, образуют один или несколько
многоугольников М. Узловые точки, лежащие на границе
каждого такого многоугольника, принадлежат Г6, и потому
значения uh в них уже определены. Значения uh в узловых
точках, лежащих внутри этих многоугольников, определим
как решение некоторой системы линейных уравнений, число
которых равно числу не определенных пока значений uh,
т. е. числу узловых точек, лежащих внутри G и не при-
принадлежащих Ге. Эта система уравнений составляется следую-
следующим образом. Для внутренней узловой точки (х, у) пишется
уравнение
uh\x> У) —
или
— Ь, У) +
(*. y — h) — 4uh(x, y) = 0. A,36)
Если какая-нибудь из точек (х-\-/г, у), (х — /г, у), (х,.у-}-/г),
(ху у — h) принадлежит Ге, то соответствующее uh заменяется
в уравнении A,36) определенным ранее значением uh в этой
точке. Можно показать, что система уравнений A,36)
имеем всегда единственное решение (теорема 1) и что, вы-
выбрав сначала е достаточно малым, а потом уменьшив

318 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
достаточно h> мы придем к таким uh, которые как угодно
мало отличаются от значений функции и (х, у) в соот-
соответствующих точках (теорема 2); необходимая для этого
малость h зависит от е. Пользуясь обычными правилами
алгебры, систему уравнений A,36) трудно решить, если h
мало и, следовательно, число уравнений велико. Но для
приближенного решения системы A,36) можно очень
просто воспользоваться методом последовательных при-
приближений (теорема 3).
Уравнение A,36) является аналогом в конечных разнос-
разностях дифференциального уравнения Лапласа. В самом деле,
предположим, что в рассматриваемой области G функция и
имеет ограниченные производные до четвертого порядка.
Допустим, что точки (x-\-h, у), (х — /г, у), (х, y-\-h),
(х, у — h), а также отрезки прямых между точкой (х, у) и
точками (x-\-h, у), (х — /г, у), (х, y-\-h), (х, у — h) лежат
внутри G. Тогда
u(x-{-h, y) = u(x, y)-*rhu'x{xy y)A-
h2 " Л* "' /г4 "" ~
+ у «** (*» У)-\"ь и*хх (*' У) + 24 Uxxx* (*' У)>
u{x — h, у) = и (х, у) — hu'x (х, у) +
+ у Uxx (*, У) — y ttxxx (AT, У) + 24 И**** (*, ^),
в (^i У + А) = и (х, у) + Лиу' (х, j;) +
+ у иуу (х, j;) + -g- wyyy (a:,
u(x, y — h) = u(x, y) —
24
/г2 ^
U(xy
24
Здесь х, х, у и у означают числа, заключенные соответ-
соответственно между х и x-f-/z; хи х — h; у к у -\-h\ у и у — /г.
Очевидно,
(х, y-\-h)-\-u(x, y — h) —
где /И4 означает верхнюю грань значений

§ 36] МЕТОД СЕТОК ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 219
Поэтому левая часть уравнения
и {х -f- /г, у) 4- и (х — h, у) + и (х, у + h) + и(х, у — h) — 4и (х, у) п
эквивалентна выражению ихх-\-иУу с точностью до величины
порядка /г2.
Теорема 1. Система уравнений A,36) всегда имеет
единственное решение.
Доказательство. Перепишем эту систему так,
чтобы в левых частях уравнений остались значения uh во
внутренних узловых точках многоугольников Ж, а в правые
части перенесем значения uh в граничных узловых точках
этих многоугольников, т. е. в точках Ге. Напомним, что эти
последние значения мы определили; поэтому будем считать
правые части этих уравнений известными. Пусть наша си-
система получила вид
N
2"i/U/=fi (/=1, 2, ..., ДО, B,36)
/=1
где N— число внутренних узловых точек у многоуголь-
многоугольников М. Мы занумеровали все внутренние узловые точки
многоугольников и значение uh в у-й точке обозначили че-
через Uj. Правые части B,36) суть линейные комбинации зна-
значений uh в граничных узловых точках многоугольников М.
Как известно из курса высшей алгебры, чтобы доказать,
что система B,36) при всяких fi имеет единственное реше-
решение, достаточно доказать, что соответствующая однородная
система имеет только нулевое решение. Доказательство
этого последнего утверждения будем вести от противного.
Допустим, что система
N
имеет нетривиальное решение. Обозначим через В наиболь-
наибольшее из чисел \uj\ (у=1, ..., /V), которое, по предположе-
предположению, больше нуля. Не ограничивая общности, мы можем
предположить, что В равно какому-нибудь из и;-, так как
случай, когда —В равно какому-нибудь из и^, сводится
к предыдущему переменой знака у всех Uj. Итак, пусть В
равно некоторому ttj0. Так как uJo равно среднему арифмс-

320 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
тическому значений Uj в четырех соседних узловых точках,
то в каждой из этих соседних узловых точек Uj также
должно быть равно В (раз все значения uh в точках, сосед-
соседних с /0, не могут быть больше Д то они не могут быть
и меньше В); соседними узловыми точками с точкой (х, у)
мы называем точки (x-\-h> у)> (х — /г, у), (х, y-\-h),
(х, у — h). Применяя это рассуждение к каждой из узловых
точек, соседних с /0-й узловой точкой, мы найдем, что в со-
соседних с ними узловых точках Uj также равны В. Продол-
Продолжая такие же рассуждения, мы найдем, что и> = В во всех
узловых точках, принадлежащих границе некоторого много-
многоугольника М и соседних с одной и той же его внутренней
точкой Р. Но это противоречит тому, что правые части ft
всех уравнений C,36) равны нулю. Действительно, fi суть
линейные комбинации значений uh в точках Г6 с коэффици-
коэффициентами, равными — 1, как это легко видеть, сравнивая фор-
формулы B,36) и A,36). Поэтому все fi не могут быть нулями,
если uh во всех точках Ге, соседних с Р, равны /?^>0.
Теорема 2. Если и{х> у) — точное решение задачи
Дирихле, a uh — решение системы A,36) при описанных
выше граничных условиях, то, выбрав s^>0 достаточно
малым, а потом уменьшив достаточно /г, мы придем
к таким uh, которые как угодно мало отличаются от
значений и (х, у) в соответствующих точках.
Доказательство. Покажем, что при h достаточно
малом \uh — и\<^д во всех узлах сетки. Для этого поместим
начало координат внутрь области О. Выберем е настолько
малым, чтобы max\uh — и\ в точках Г6 был меньше -у» и
рассмотрим вспомогательную функцию vh> определенную
формулой
Здесь D означает диаметр области G, т. е. верхнюю грань
расстояний между ее точками.
Очевидно, что в узловых точках, принадлежащих Г6,
vh<^0, так как там \uh — #|<Су» aD2> x*-\-y2. Покажем,
что при достаточно малом h во всех узлах, принадлежащих
М9 vh<^0 и, следовательно, иь — и<^$. Для зюго приме-

§ 36] МЕТОД СЕТОК ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 321
ним к функции vh оператор Дл, ставящий в соответствие
функции ср (л:, у) функцию
<р(х+А, У) + Ч(х — А, У) + У(х, y + h)-{-
+ ¥ (х, У — *) — Ц (*, .у).
Очевидно,
V* = V* ~ Аа« + 2S"»
Но
где УИ2 есть верхняя грань значений | ихххх \ и | иУУуу\
в многоугольниках М. Поэтому
D,36)
и при достаточно малом h
ДЛ>0- E,36)
Но тогда легко видеть, что vh не может принимать наиболь-
наибольшее значение внутри какого-нибудь из многоугольников М*
А отсюда следует, что во всех внутренних точках много-
многоугольников М величина vh<^0, так как она отрицательна
на границе этих многоугольников.
Рассматривая функцию
Wh= U — tth— ggs (D2 — X2 — у2) — у ,
мы совершенно аналогичным образом можем убедиться, что
и — uh<C§. Сопоставляя оба результата, получаем, что
\и — иЛ|<С^ ПРИ достаточно малом А, что и требовалось
доказать.
Замечание. Если точное решение и(х, у) задачи Ди-
Дирихле имеет в G ограниченные производные до четвертого
порядка включительно, то постоянную М2 в правой части
D,36) можно считать не зависящей от е. Поэтому достаточно
малое /г, при котором выполняется неравенство E,36), тоже
может быть выбрано независимо от е. Ввиду этого можно
упростить указанное выше построение, взяв в качестве М
совокупность всех квадратов со стороной А, содержащихся
вместе с границей внутри G.
21 И. Г. Петровский

322 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. Ш
До сих пор нам было совершенно безразлично, в каком
порядке занумерованы узловые точки, находящиеся внутри
многоугольников Ж. Сейчас нам важно установить следующий
порядок.
Первая узловая точка обязательно должна в качестве
одной из своих соседних точек иметь точку, лежащую на
границе какого-нибудь из этих многоугольников (напоми-
(напоминаем, что соседней узловой точкой с точкой (х, у) мы назы-
называем одну из точек (x-\-h,y), (х — h, у), {х, у-\-К),
{х, у — К)). Вторая узловая точка должна иметь в качестве
одной из соседних узловых точек или граничную точку
какого-нибудь многоугольника Ж, или первую точку, и т. д.
При такой нумерации узловых точек систему уравнений
A,36) можно приближенно решать так. Зададим сначала
произвольные значения их, и2, ..., uN. Эти значения мы
будем обозначать через и^ и называть нулевым приближе-
приближением к решению системы A,36). Чтобы описать способ на-
нахождения следующих приближений, удобно представить себе,
что все и$ записаны в соответствующих узлах сетки. Тогда
для получения следующего — первого приближения — сотрем
в первой узловой точке записанное там значение #(°) и на-
напишем вместо него и^\ равное среднему арифметическому
значений и$ в четырех узловых точках, соседних с первой
узловой точкой. Потом сотрем значение и^\ записанное во
второй узловой точке, и заменим его числом и^\ равным
среднему арифметическому значений, записанных в четырех
узловых точках, соседних со второй узловой точкой (в одной
из них может оказаться и^) и т. д. Обойдя таким обра-
образом все внутренние узловые точки, мы получим в них
значения и$ (k=\, ..., N). Значения второго прибли-
приближения u$(k=\9 ..., N) получаются из значений и$
так же, как и £> получились из ufg\ Аналогично получаются
и%\ ы<4\ ...и т. д.
Теорема 3. При п —► оо для всех k (k = 1, 2, ..., N)
где uk составляют точное решение системы A,36).

§ 36] МЕТОД СЕТОК ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 323
Доказательство. Положим
Наша цель — доказать, что v™—► () (£=1, 2, ..., М). Для
этого заметим прежде всего, что числа <^"+1) получаются
из v(jp(k=\, 2, ...,Л/Г) так же, как н(л"+1) получаются из
и%\ а именно: ^"+1) есть среднее арифметическое значений
v{n) в чеТырех узловых точках, соседних с k-i\ узловой точ-
точкой; при этом, если одна из этих соседних узловых точек
попадает на границу многоугольника, то в ней считается х/М
равным 0. Поэтому, если
тах{|гД<0|,
ТО
так как одной из соседних с первой узловой точкой служит
граничная узловая точка. Аналогично найдем
~-4n)A = *A' пРичем а<1-
Так же найдем, что при всех пик
|^)|<аяЛ (a=l--L), F,36)
откуда следует, что v^—►() при п—►оо.
Теоретически это соотношение справедливо при любом
выборе нулевого приближения. Но практически выгоднее для
более быстрого получения хороших приближений к точному
решению системы A,36) за нулевое приближение брать числа,
которые, как можно ожидать, не слишком далеки от точного
решения задачи Дирихле. Процесс последовательных прибли-
приближений обычно обрывают на таких значениях я, когда значе-
значения и!р перестают заметно меняться при увеличении /г. Эти
ijW принимают за приближенное решение системы A,36).
21*

324 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Если при некотором h получается несколько многоуголь-
многоугольников Ж, то система A,36) распадается на несколько неза-
независимых систем, каждая из которых соответствует одному
из этих многоугольников. Каждая из этих систем решается
независимо от других.
Мы ставили своей целью только доказать сходимость по-
последовательных приближений и№. Полученная при этом
оценка F,36) скорости сходимости процесса очень грубая.
Можно было бы показать, что в действительности указанный
процесс сходится гораздо быстрее.
Следует отметить, что последовательные приближения
и^\ полученные указанным выше простым способом, при
большом числе N узловых точек сходятся к точному реше-
решению uk системы A,36) все же очень медленно. Имеются
различные приемы, позволяющие ускорить сходимость ука-
указанных последовательных приближений к точному решению,
а также другие способы приближенного решения системы
A,36), быстрее приводящие к цели.
§ 37. Обзор некоторых результатов
для более общих эллиптических
уравнений
1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в случае двух
независимых переменных разрешима для любой односвязной
области, если заданная на границе функция непрерывна. Для
односвязной трехмерной области задача Дирихле не всегда
имеет решение. У трехмерной области будет регулярной вся-
всякая точка Р границы, если до этой точки можно дотронуться
извне острием конуса /С, полученного при вращении вокруг
оси хх кривой
где к — любое положительное число. Точнее это условие
можно сформулировать так: в пространстве (xv x2, л;3), где
расположена область О, можно так выбрать оси координат
с началом в точке Я, что все точки, лежащие внутри ко-
конуса К н имеющие положительные абсциссы xv не превосхо-
превосходящие некоторого положительного числа /j, располагаются

§ 37] ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 325
вне области G. С другой стороны, Лебегом *) и независимо
от него П. С. Урысоном**) было показано, что нерегулярной
будет всякая точка Р границы области G, обладающая такой
окрестностью Upy что при соответствующем выборе коорди-
координатных осей все точки этой окрестности, не принадлежащие
области G, не выходят из конуса, образованного вращением
вокруг оси хх кривой
*, = *"*, xt>0.
То же самое будет, если эту кривую заменить кривой
где е — любое положительное число.
Для /г-мерного пространства (я^>3) роль функции f(xx)
играет функция
^Г' A,37)
llnxj"-3
роль функции FixJ играет функция
V—g > B,37)
где е — любое положительное число. Уравнения соответствую-
соответствующих конусов получатся, если выражения A,37) или B,37)
приравнять Ух2 4- ... 4- х2.
Необходимое и достаточное условие регулярности точки
было найдено Винером***).
Изучен вопрос об устойчивости решения задачи Дирихле
для уравнения Лапласа относительно изменения границы
области. Пусть Ор G2, ..., Gn1 ... — сходящаяся к области О
последовательность областей, каждая из которых содержит
замкнутую область G, а ср (Р) — произвольная непрерывная
во всем пространстве функция. Обозначим через ип(Р) гар-
*) Lebesque, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo
24 A907), 371—402.
**) П С. У рысон, Math. Zeitschrift 23 A925), 155-158.
***) Cm. M. В. Келдыш, Успехи матем. наук., выи. VIII A941),
171—232.

326 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
моническую в Gn функцию, принимающую на границе обла-
области Gn значения ср(Я) (я=1,2, ...). Задача Дирихле назы-
называется устойчивой внутри области G, если последовательность
\ип(Р)} сходится при п—► оо в каждой точке G к обобщен-
обобщенному решению (в смысле п. 3 § 31) задачи Дирихле, соот-
соответствующему граничному условию и = у(Р) на границе G.
Необходимое и достаточное условие устойчивости задачи
Дирихле внутри области указали М. В. Келдыш и М. А. Лав-
Лаврентьев. Построен пример односвязной области в трехмерном
пространстве, для которой задача Дирихле разрешима при
любой непрерывной граничной функции, но не является
устойчивой внутри рассматриваемой области *).
2. На возможность решения первой краевой задачи для
линейного эллиптического уравнения с переменными коэффи-
коэффициентами
п
2- «
д2и
+ а(х„ ...,xn)u=f(xl, ...,*„), C,37)
n
где квадратичная форма ^ ai/(xn • • •» хп)аР/ является
положительно определенной при любых х19 ...,хп из рас-
рассматриваемой области, оказывает существенное влияние знак
коэффициента а(хг, ...,л:п). Если этот коэффициент прини-
принимает положительные значения, то даже в случае постоянных
коэффициентов в уравнении C,37) первая краевая задача для
этого уравнения может не иметь решения или иметь не един-
единственное решение, если область G достаточно велика. Так,
например, уравнение
g + p+2^ = 0 D,37)
имеет решение и0 = sin kx sin Ay, которое обращается в нуль
ла границе квадрата Q со сторонами
д: = 0; у = 0; х=?-\ у = ~ .
С другой стороны, легко показать, что если уравнение
D,37) в области О с кусочно гладкой границей Г имеет ре-
*) См. сноску ***) на стр. 325.

§ 37] ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 327
шение и0, которое обращается в нуль на Г и обладает
кусочно непрерывными первыми производными в G-j-Г, то
всякое другое достаточно гладкое решение и уравнения
D,37) должно на границе области удовлетворять соотношению
0. E,37)
Соотношение E,37) получится, если произвести интегрирова-
интегрирование по частям в левой части равенства
таким образом, чтобы исчезли производные по х и _у от а
в интегралах по области G. Поэтому первая краевая задача
для уравнения D,37), когда областью G служит квадрат, не
может иметь гладкого решения, если заданная на границе
функция не удовлетворяет соотношению E,37).
Можно показать, что для уравнения C,37) либо первая
краевая задача имеет единственное решение при любой не-
непрерывной функции, заданной на границе области О, и любой
правой части /, либо задача имеет решение только для тех
граничных функций и правых частей /, которые удовлетво-
удовлетворяют конечному числу условий, и решение задачи неедин-
неединственно.
Вообще при решении первой краевой задачи для эллип-
эллиптического уравнения C,37) случай, когда коэффициент а
всюду г^О, существенно отличается от случая, когда этот
коэффициент в некоторых точках положителен. В первом
случае задача имеет единственное решение при любой не-
непрерывной функции, заданной на границе области О, если
1) граница области G достаточно правильна, 2) коэффициенты
пу% а(, а и функция / удовлетворяют условию Гёльдера *)
*) Говорят, что функция ф(х1э .... хп) удовлетворяет условию
Гёльдера с показателем \ > О на множестве М, если существует
такая постоянная К, что для любых двух точек (х1э ...,хп) и
(ylt ..., уп) множества М выполняется неравенство

328 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
ft области G *). Если же коэффициент а принимает в неко-
некоторых точках рассматриваемой области положительные зна-
значения, то для обеспечения существования и единственности
решения достаточно потребовать еще, чтобы область G была
достаточно малой. Как показал В. В. Немыцкий **), даже
для более общих уравнений (нелинейных) здесь важно, чтобы
площадь области G была достаточно малой, диаметр же ее
может быть как угодно большим.
О. А. Олейник показала в случае, когда всюду а^О,
для любой области, а в других случаях для достаточно ма-
малых областей, что условия, которые надо наложить на гра-
границу области для того, чтобы для нее можно было решить за-
задачу Дирихле при всякой непрерывной функции, заданной нд
границе, не зависят от того, решается ли эта задача для
уравнения Лапласа или для уравнения C,37)***).
С. Н. Бернштейн доказал существование решения задачи
Дирихле для очень широкого класса нелинейных эллиптичес-
эллиптических уравнений. Обзор этих, а также других результатов
для нелинейных эллиптических уравнений имеется в журнале
«Успехи математических наук», вып. VIII, 1941 г. (статья
С. Н. Бернштейна и И. Г. Петровского, стр. 8—26) и в
книге Миранды *). В этой книге изложены наиболее важные
разделы теории линейных и нелинейных эллиптических урав-
уравнений второго порядка и приведена подробная библиография.
3. Система линейных уравнений
N :лки
к j
=/,•(*,. ...,*„) (/=1. .... АЛ
называется эллиптической в некоторой области О, если опре-
определитель
отличен от нуля при любых действительных а,, ..., ага,
сумма квадратов которых положительна, и любых xv ..., хп
*) Миранда, Уравнения с частными производными эллипти-
эллиптического типа, ИЛ, 1957, глава 5.
**) В. В. Немыцкий, Матем. сборник 41 A934), 438—452.
•**) О. А. Олейник, Магем. сборник. 24:1 A949), 1—14.

§ 37] ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 329
из области G. Аналогично определяется эллиптичность нели-
нелинейной системы вблизи какого-нибудь ее решения.
Все достаточно гладкие, т. е. имеющие достаточное число
непрерывных производных, решения эллиптических уравнений
и эллиптических систем уравнений аналитичны, если левые
части этих уравнений аналитичны по всем своим аргументам;
мы предполагаем, что в правых частях этих уравнений нахо-
находятся нули *). Впервые это было доказано С. Н. Бернштей-
ном для эллиптических уравнений второго порядка с двумя
независимыми переменными **).
4. Если однородное (/ = 0) эллиптическое уравнение
C,37) с достаточно гладкими коэффициентами имеет в неко-
некоторой ограниченной области G единственное решение первой
краевой задачи для всякой непрерывной функции, заданной
на границе, то справедлива теорема о равномерно сходя-
сходящейся последовательности решений (аналог первой теоремы
Гарнака): если последовательность решений равномерно схо-
сходится на границе О, то она также равномерно сходится
во всей области О и притом к функции, удовлетворяющей
тому же уравнению C,37).
5. Теорема о монотонной последовательности решений
(аналог второй теоремы Гарнака): допустим, что ограниченная
область О такова, что при всякой непрерывной функции, за-
заданной на ее границе, задача Дирихле имеет одно и только
одно решение; тогда, если последовательность ип (xv ...,xn)
решений однородного (/ = 0) уравнения C,37) сходится хотя
бы в одной точке области G и во всех точках этой области
un + \(xv •••» xn)^un(xv •••» -О» т0 последовательность
Ьп{х1> •••»;|О равномерно сходится во всякой области G',
лежащей вместе со своей границей внутри О***).
6. Если в уравнении C,37) а = 0 и /=0, то всякое
решение уравнения C,37) принимает наибольшее и наи-
наименьшее значения на границе G. Если в уравнении C,37)
а^О и / = 0, то всякое решение уравнения C,37), непре-
непрерывное в замкнутой области и отличное от постоянной, не
может принимать внутри области наибольшее положительное
*) И. Г. Петровский, Матем. сборник 5 D7): 1 A939), 3—70.
**) С. Н. Бернштей н, Math. Annalen, 59 A904), 20—76.
***) См., например, Д. Се ори и, Математика (переводы), ИЛ,
2:6A958), 49—62.

330 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ш
значение или наименьшее отрицательное значение (см. сноску*)
на стр. 241).
7. Решения уравнения
± Ua<^=° <6-37)
обладают свойством среднего арифметического, если их рас-
рассматривать в римановом пространстве с соответствующим
образом подобранной метрикой. Для таких уравнений можно
строить решения, аналогичные потенциалу точки, потенциалу
простого или двойного слоя для обычного уравнения Лапласа
с двумя независимыми переменными *). Аналогичные этим
потенциалам так называемые фундаментальные решения по-
построены также для некоторых эллиптических систем **).
8. Теорема Лиувилля для аналитических функций также
распространяется на некоторые эллиптические уравнения вто-
второго порядка. С. Не Бернштейном ***) была доказана сле-
следующая теорема: всякое ограниченное, имеющее непрерывные
частные производные первого и второго порядков на всей
плоскости решение уравнения
А(х,у, и, их, иу, ихх, иху, uvy)uxx-\-2B( )uxy-\-C( )uvv = 0,
где Л, Б, С — ограниченные функции своих аргументов и
АС-—/?2^>0, есть постоянная.
Е. М. Ландисом исследовано поведение решений линей-
линейных эллиптических уравнений второго порядка в различных
бесконечных областях; в частности, доказаны теоремы, ана-
аналогичные теореме Фрагмена — Линделефа для аналитических
функций ****).
9. Если все функции и(, удовлетворяющие некоторой
однородной линейной эллиптической системе вида B,3) с п
независимыми переменными и аналитическими коэффициентами,
одновременно обращаются в нуль на некоторой (п—1)-мер-
ной аналитической поверхности вместе со всеми их производ-
*) В. Феллер, Успехи матем. наук, VIII A941), 232—248.
**) Э. Э. Леви, Успехи матем. наук VIII A941), 249—292;
Я. В. Лопатинский, Украинский матем. журнал 3, № 1 A951),
3—38.
***) С.Н.Берн штейн, Успехи матем. наук VIII A941), 75—81.
'••***) Е. М, Л а и ли с, ДАН СССР 107, № 4 A956), 508—511;
Успехи матем. наук S4:l (85), 21—85.

§ 37] ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 331
ными до порядка (ni—1), то они тождественно равны нулю
во всей той области, где они удовлетворяют рассматриваемой
системе.
Это утверждение получается, например, как следствие
теоремы Гольмгрена о единственности решения задачи Коши
для линейных систем с аналитическими коэффициентами, так
как эллиптические системы не имеют действительных харак-
характеристик.
Единственность решения задачи Коши доказана также
для линейных и квазилинейных эллиптических уравнений
второго порядка с достаточно гладкими неаналитическими коэф-
коэффициентами*). Кроме того, ряд результатов в этом направлении
получен для линейных эллиптических уравнений высших по-
порядков и линейных эллиптических систем **).
10. Если все коэффициенты а,у, аь аи/ эллиптического
уравнения C,37) в некоторой конечной области G имеют
производные до порядка к— 2 (где к > 2), удовлетворяющие
условию Гёльдера, то все дважды непрерывно дифференци-
дифференцируемые внутри G решения этого уравнения имеют во всякой
области G', лежащей со своей границей внутри G, производ-
производные до порядка к, удовлетворяющие условию Гёльдера. Ана-
Аналогичное утверждение справедливо также для нелинейных
эллиптических уравнений второго порядка.
Решение u(xv ... , хп) задачи Дирихле для уравнения
C,37) в области О с граничным условием и = ср на границе
О имеет в замкнутой области О производные до порядка к,
удовлетворяющие условию Гёльдера, если: 1) граница области
G в окрестности каждой своей точки может быть представлена
параметрическими уравнениями х1 = х1(£1, ..., Sn_t), ...,
xn = xn(^li ..., £я-1), правые части которых имеют производ-
производные &-го порядка, удовлетворяющие условию Гёльдера; 2) гра-
граничная функция ср обладает производными к-го порядка,
удовлетворяющими условию Гёльдера; 3) коэффициенты а,ф
aLy аи/ имеют в О производные до порядка к — 2, удовлет-
удовлетворяющие условию Гёльдера.
*) Е. М. Ландис, ДАН СССР 107, №5 A956), 640-643; Cor-
Corel е s, Nachrichten Akad. Wiss. Gottingen, № 11 A956), 239—258;
ML M. Лаврентьев, ДАН СССР 112, № 2 A957), 195—197. См.
также Heinz, Nachrichten Akad. Wiss. Cottingen, № 1 A955), 1—12.
**) С a 1 d e г о n, American Journal of Mathematics, 80, № 1 A958),
16—36; Hormander, Mathematica Scandinavica, 7 A959), 177—190.

332 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ГЦ
Доказательства этих результатов, принадлежащих Хопфу
и Шаудеру, имеются в указанной выше книге Миранды.
11. Для уравнения
u = f(x, у)
. ди
, у) ^v
И. Н. Векуа исследовал вопрос о существовании и един-
единственности решения, удовлетворяющего на границе области G
условию
«(* У)
где а, Ь, с, /, а, р, у, ср— достаточно гладкие функции.
Оказывается, что число условий, которым должны удов-
удовлетворять функции / и ср для того, чтобы эта задача имела
решение, и число линейно независимых решений соответствую-
соответствующей однородной задачи (/=0, ср = О) зависят от целого
числа /г, называемого индексом задачи. Индекс задачи п
равен приращению, которое получает аргумент функции
а ~ ^ > когда точка (л:, у) один раз обходит в поло-
положительном направлении кривую, ограничивающую область О.
Предположим для простоты формулировок, что область G
односвязна и с = 0, у = 0. Тогда, если п ^ 0, то указан-
указанная задача разрешима при любых / и ср, а число линейно
независимых решений соответствующей однородной задачи
равно 2п-\-2*). Если я<^ 0, то задача разрешима только
для тех / и ср, которые удовлетворяют некоторым условиям.
Число этих условий равно — 2я—1. Однородная задача
в этом случае имеет только одно решение.
Рассматривались гакже краевые задачи более общего
вида **).
12. Подробно исследовано поведение решений основных
краевых задач для эллиптических уравнений при стремлении
*) Ср. условия разрешимости первой краевой задачи для урав-
уравнения C,37) в п. 2 этого параграфа.
**) И. Н. Векуа, Новые методы решения эллиптических урав-
уравнений, Гостехиздат, 1948. И. Н. Векуа, Обобщенные аналитические
функции, Физматгиз, 1959.

§ 37J ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 333
к нулю малого параметра е при старших производных; полу-
получено асимптотическое представление этих решений в виде
рядов по степеням s. В ряде случаев указанный предельный
переход приводит к новой краевой задаче для уравнения
с s = 0.
Изучались также краевые задачи для уравнений, являю-
являющихся эллиптическими внутри рассматриваемой области и
параболическими на части ее границы (или на некотором
внутреннем подмножестве).
Подробный обзор результатов, связанных с этим кругом
вопросов, содержится в статье М. И. Вишика, А. Д. Мышкиса
и О. А. Олейник «Дифференциальные уравнения с частными
производными» в книге «Математика в СССР за сорок лет»,
том 1, Физматгиз, 1959, стр. 599—603.
13. Обобщенным решением эллиптического уравнения
V Aik) ь (х х) °ku —
... dxknn
=/(*„ • • • , xn) G,37)
в области G называется непрерывная функция u(xv . ..,хи)э
которая удовлетворяет интегральному тождеству (ср. § 9)
при любой функции о (л:,, ... , хп), имеющей в G непрерыв-
непрерывные производные до порядка т и равной нулю в окрестности
границы О. Здесь
Оказывается, что всякое обобщенное решение эллиптиче-
эллиптического уравнения G,37) в области О обладает непрерывными
производными до порядка т и удовлетворяет этому уравне-
уравнению в обычном смысле, если в области G функция / имеет
непрерывные производные до порядка 2 -^- , а коэффи-
коэффициенты Л^1##. kn, стоящие в уравнении G,37) при производных

334 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. TIT
порядка k, имеют непрерывные производные до порядка
[]
[]
Большая гладкость коэффициентов уравнения G,37) вле-
влечет за собой большую гладкость решения. В частности, если
все коэффициенты £$}... kn и / имеют в области G непре-
непрерывные производные любого порядка, то всякое обобщенное
решение уравнения G,37) также обладает производными лю-
любого порядка.
Дифференциальное уравнение с частными производными,
все обобщенные решения которого обладают производными
любого порядка, называется гипоэллиптическим. Очевидно,
что всякое линейное эллиптическое уравнение с бесконечно
дифференцируемыми коэффициентами является гипоэллипти-
гипоэллиптическим. Примером гипоэллиптического, но не эллиптического
уравнения может служить уравнение теплопроводности (см.
главу 4). Достаточные (а для уравнений с постоянными
коэффициентами — и необходимые) условия гипоэллиптичности
найдены Хёрмандером **).
14. Подобно тому, как для уравнения Лапласа характер-
характерной краевой задачей является задача Дирихле, для «полигар-
«полигармонического» уравнения
характерной краевой задачей является задача определения
решения и этого уравнения внутри некоторой области G
по его значениям и значениям его нормальных производных
до порядка т—1 включительно на границе О. При /w = 2
и п = 2,3 к этой задаче приводят важные проблемы теории
упругости. Существование и единственность обычного реше-
решения этой задачи доказаны в предположении достаточной глад-
гладкости границы области О и заданных на ней функций. При
т = 2 и п = 2 достаточно потребовать, чтобы область О
была ограничена конечным числом замкнутых линий, у каж-
*) См. Й о н, Плоские волны и сферические средние в примене-
применении к дифференциальным уравнениям с частными производными,
ИЛ, 1958.
**) X ё р м а н д е р, К теории общих дифференциальных опера-
операторов в частных производных, ИЛ, 1959; HOrmander, Communica-
Communications on pure and applied mathematics, 11A958), № 1, 197—218.

§ 37] ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 335
дой из которых координаты являются трижды непрерывно
дифференцируемыми функциями длины дуги, и чтобы функ-
функции, заданные на этих линиях, были непрерывными вместе
со своими первыми, производными по дуге. С. Л. Соболев
доказал существование и единственность обобщенного реше-
решения этой задачи при самых широких предположениях о гра-
границе О. Он допускал, что эта граница состоит из нескольких
кусков разной размерности. При этом оказалось, что на куске
размерности п — г надо задавать значения функции и и ее
производных до порядка т — -тг — 1 •
Решение С. Л. Соболева является обобщенным в том смысле,
что функция и и ее производные не обязательно принимают
заданные значения во всех граничных точках, а только «в
среднем». (Точное определение этого «в среднем» см. в книге
С. Л. Соболева «Некоторые применения функционального
анализа в математической физике», 1950, стр. 111—113.)
15. Для некоторого класса линейных эллиптических систем,
названных сильно эллиптическими, М. И. Вишик*) исследовал
вопрос о разрешимости краевых задач, аналогичных первой
и второй краевым задачам для эллиптического уравнения
второго порядка, (Этот класс содержит, в частности, одно
линейное эллиптическое уравнение общего вида G,37).) Ока-
Оказывается, что так же, как и для уравнения C,37), либо та-
такая задача имеет единственное решение при любых заданных
граничных функциях и правых частях системы, либо решение
неединственно и для существования решения необходимо
выполнение конечного числа условий для граничных функций
и правых частей. Найдены достаточные условия для существо-
существования и единственности решения первой и второй краевых
задач, которым должны удовлетворять коэффициенты системы.
Отметим, что так же, как и для уравнения C,37), для
сильно эллиптических систем в достаточно малых областях
всегда имеют место существование и единственность решения
первой краевой задачи.
*) М. И. Вишик, Матем. сборник 29 G1):3 A951), 615—676;
ДАН СССР 86, № 4 A952), 645—648. См. также Gar ding, Mathe-
matica Scandinavica 1A953), 55—72; Browder, Annals of Math.
Studies 33A954), 15—51; О. В. Гусева, ДАН СССР 102, № 6A955),
1069—1072; Nirenberg, Communications on pure and applied
mathematics, 8, № 4A955), 649—675.

336 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Как показывают примеры, построенные А. В. Бицадзе еще
в 1948 г., первая краевая задача с однородными граничными
условиями для эллиптической системы с двумя независимыми
переменными может иметь бесконечное множество линейно
независимых решений в как угодно малом круге *). В по-
последнее время получен ряд интересных результатов о сущест-
существовании и единственности решений краевых задач для общих
линейных эллиптических систем со многими независимыми
переменными **).
*) А. В. Бицадзе, Успехи матем. наук 3:6 B8) A948), 241—242.
**) М. Ш е х т е р, Математика (переводы), ИЛ 4:5 A960), 93—122,
4:6 A960), 3—21; Agmon, Dougli s, Nirenberg, Communica-
Communications on pure and applied mathematics, 12A959), № 4, 623—727.

ГЛАВА IV
ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 38. Первая краевая задача.
Теорема о максимуме и минимуме
1. В качестве простейшего представителя параболических
уравнений мы будем рассматривать уравнение теплопровод-
теплопроводности
ди
д2п
дх*
Основные свойства решений этого уравнения не зависят от п.
Мы ограничимся для простоты рассмотрением случая /г= 1.
Параболические уравнения
наиболее часто встречаются при
изучении процессов теплопровод-
теплопроводности и диффузии (см. § 1).
Типичной краевой задачей для
параболических уравнений являет-
является следующая задача. Обозначим
через G криволинейный четырех-
четырехугольник на плоскости (t, х), огра-
ограниченный отрезками прямых t = t0
и t=T (T*^>t0) и кривыми
А: = ср1(/) и x = (ft(t), где ъх\\
<р2 — непрерывные функции и
?2 @ > ?i (О ПРИ t0^t^T (Рис- 18)- Часть границы области
О, состоящую из отрезка прямой t=tQ и кричых х = ср!(/) и
^ = ^2@» обозначим через Г (на рис. 18 а га часть границы
обозначена жирными линиями}.
Рис.18.
22 и. I. Петровский

338 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ IV
Требуется найти непрерывную в области О и на ее гра-
границе функцию и (t, х)> удовлетворяющую внутри О уравнению
и принимающую на Г значения заданной на Г непрерывной
функции /.
В теории уравнения A,38) поставленная задача играет
такую же основную роль, как задача Дирихле в теории
уравнения Лапласа. Она называется первой краевой задачей
для уравнения теплопроводности. В том случае, когда область
G является прямоугольником Q:0<^x<^/, 0<^<^7\ к пер-
первой краевой задаче для уравнения теплопроводности приводит,
например, задача о нахождении температуры и (t, x) в теп-
теплоизолированном стержне, если известна его начальная темпе-
температура при ^ = 0 и известна температура на концах стержня
в последующее время. При решении этой задачи очень су-
существенно, что решение ищется при £^>0. Как будет пока-
показано позже, аналогичная задача для отрицательных значений
ty вообще говоря, не имеет решения. Уравнение A,38) в про-
противоположность уравнению колебаний струны A,20) сущест-
существенно меняется при замене t на —t. Это — типичное уравне-
уравнение необратимого процесса.
Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать только
непрерывные решения уравнения теплопроводности, не огова-
оговаривая этого каждый раз.
2. Теорема о максимуме и минимуме и ее
следствия. Всякое решение u(t, x) уравнения теплопро-
теплопроводности A,38), определенное и непрерывное в криволиней-
криволинейном четырехугольнике О и на его границе, принимает
наибольшее и наименьшее значения на границе Г, т. е. или
на нижнем основании криволинейного четырехугольника G
или на его боковых сторонах.
Так как теорема о минимуме сводится к теореме о макси-
максимуме переменной знака у и, то мы ограничимся доказатель-
доказательством только теоремы о максимуме.
Метод доказательства аналогичен методу И. И. Прива-
Привалова для доказательства теоремы о максимуме и минимуме
гармонических функций*). Обозначим через М максимум
*] См. Матем. сборник 32 A925), 464—471.

§ 38] ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 339
функции u{ty х) в G-f-Г, а через т — максимум значений
u(t, x) на Г. Допустим, что существует такое решение и,
для которого М^> т, т. е. для которого теорема о макси-
максимуме не верна. Пусть эта функция принимает значение М
в точке (**, х% где t*>tQ и ?,('*)<**<¥,(**).
Рассмотрим функцию
где / равно max ср2 (^)— min cp, (^).
На боковых сторонах G и на его нижнем основании
v(t, х)^т-\ — = — -\--т = Ш,
где 0<8<1, а
v(t*} x*) = M.
Следовательно, v(t, x), так же как и u(t, х), не принимает
максимального значения ни на нижнем основании G, ни на его
боковых сторонах. Пусть v(ty x) принимает максимальное
значение в точке (tv хх), где tl^>t0 и cpt (tl)<^xl <^cp2 (^)*
d2v dv (
В этой точке должно быть -т-г^О и тт^О если t, <*T%
охл ot \ л
то ^т обязательно равно нулю в этой точке; если же tx = Гэ
то 37 ^ 0 )• Поэтому в точке (/1( xt) должно быть
B,38)
)Й
dv
dt
стороны,
d2v
dx2
du
dt
du
dt
dhi
dx2
d2v ^
M-
2l2
= 0
m
M-m
2l2
что противоречит B,38).
Следствия. 1) Решение первой краевой задачи в кри-
криволинейном четырехугольнике G единственно. Действительно,
разность двух решений равна нулю на нижнем основании и
на боковых сторонах G и в силу теоремы о максимуме и
минимуме равна тождественно нулю.

340 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. TV
2) Решение первой краевой задачи для уравнения тепло-
теплопроводности непрерывно зависит от функций, заданных
на боковых сторонах и на нижнем основании криволиней-
криволинейного четырехугольника G. Это также следует из того, что
разность двух решений ut и и2 уравнения A,38) в криволи-
криволинейном четырехугольнике О принимает наибольшее и
наименьшее значения на нижнем основании или на боковых
сторонах G.
Задача 1. Докажите усиленную теорему о максимуме и
минимуме: решение и (/, х) уравнения теплопроводности A,38),
определенное и непрерывное в замкнутом криволинейном
четырехугольнике G и отличное от постоянной, не может
принимать наибольшее или наименьшее значение в какой-нибудь
внутренней точке верхнего основания G.
Задача 2. Докажите, что если функция и (t> х), непре-
непрерывная в замкнутом прямоугольнике {^0 ^ t <: 7, Хх ^ х ^ Х2\
и отличная от постоянной, удовлетворяет внутри этого пря-
прямоугольника уравнению теплопроводности A,38) и неравенству
u(ty x)^u(T,-Xl) (или u(ty x)^uG, Х2)), причем в точке
G, ХЛ) (соответственно G, Х2)) существует производная
ди д / д
дх' то а^( J *i)>° (^соответственно — G, j
Задача 3. Докажите единственность решения и (t, x)
уравнения теплопроводности A,38), непрерывного вместе
с производной ^ в прямоугольнике \to^t^ 7, Хг^х^Х2\
v удовлетворяющего условиям: #@, х) = у(х), ~ — at(t)u—
= ср,(/) при x = aY,, g£+<*,(*)« = ?,(*) при x = X2i где а,
непрерывные неотрицательные функции t.
§ 39. Решение первой краевой задачи для прямоугольника
методом Фурье
Для прямоугольника Q:
0 < х ^ /, 0 ^ / <Г,
первую краевую задачу можно сформулировать так: найти
непрерывную в Q функцию и (t, x), удовлетворяющую

§ 39] ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНИКА 341
внутри Q уравнению A,38), а на границе Q начальному
условию
и @, х) = у(х)
и граничным условиям
u(t, (>)=/,(*), u(t, /)=/,(*), A,39)
(О < t < Т).
При этом предполагается, что функции ср (х), /, (/), /2 (tf)
непрерывны и ср(О)=/,(О), ср(/)==Д(О).
Так как уравнение A,38) не изменяется при замене i
на /-[-^о и х на x~b-*v то все> чт0 будет сказано в даль-
дальнейшем о прямоугольнике Q, одинаково справедливо и для
всякого другого прямоугольника со сторонами, параллельными
осям Ох и Ot.
В этом параграфе мы докажем существование решения
первой краевой задачи для прямоугольника Q методом Фурье.
Основной недостаток этого метода состоит в том, что он
непосредственно применим лишь к задаче с однородными
граничными условиями и (t, 0) = 0, и (t, /) = 0, хотя другим
методом существование решения первой краевой задачи можно
доказать при любых u(t, 0) =/,(/) и u(t, /)=/2(/), удов-
удовлетворяющих условию, сформулированному выше.
Однако, если мы умеем найти какое-либо решение v(t, x)
уравнения A,38), удовлетворяющее некоторым определенным
граничным условиям v(t, ()) = /,(*), v(t, I)=f2(t), то можно
применить метод Фурье к решению этого уравнения при
произвольно заданном начальном условии и@, х) = у(х)
и этих граничных условиях u(t, 0) = /, (t) и u(t, /)=/2 (t).
Для этого достаточно найти методом Фурье решение и* (t, x)
уравнения A,38), удовлетворяющее начальному условию
м* @, х) = у(х) — v@, x) и однородным граничным условиям
и* (t, 0) = 0, и* (t, I) = 0. Если м* (/, х) найдено, то функция
u(t, X) = u*{t% x)+v(t, х)
решает поставленную задачу.
Существование решения первой краевой задачи в общем
случае доказано методом сеток в § 42.
Мы будем искать в Q решение уравнения A,38), удов-
удовлетворяющее условиям: и{0, х) = и(х), где ц(х)—непрерывно

342 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
дифференцируемая функция, обращающаяся в нуль при х — О
и х = /, и и (U 0) ==«(*, /) = 0 при 0</<7.
Аналогично тому, как это делалось при решении сме-
смешанной задачи для гиперболического уравнения, мы будем
искать функцию и (?, х) в виде ряда
«(*,*)= 2 Tk{t)Xk(x), B,39)
k— I
у которого каждый член удовлетворяет уравнению тепло-
теплопроводности и обращается в нуль при х = 0 и л; — /. Для
этого должно быть
Xk@)=Xk(l) = 0. D,39)
Здесь — \1 означают некоторые постоянные. Что они должны
быть отрицательными, доказывается так же, как в § 20.
Из уравнений C,39) и условий D,39) находим
Xk (х) = Ak cos \kx -\- Bk sin \kx\ Ak = 0; \kl = /eir,
где k= 1, 2, ... Итак,
Подставляя найденное значение \k в уравнение C,39) для
Tk(t), получим
где В\ — постоянная. Отсюда
u(t,x)= £ Cke"^ sin у л;. E,39)
Здесь Ck — постоянные. Они определяются из начального
условия
00
и@,х) = у(х)= £ Ск sin у х F,39)
Так как мы предположили, что ^(х) является непрерывно

§ 39] ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНИКА 345
Дифференцируемой функцией и обращается в нуль при х = О
и х = /, то коэффициенты Ck определяются по формулам
Фурье; они ограничены; ряд F,39) с такими коэффициентами
равномерно и абсолютно сходится к ср (х), как известно из
теории тригонометрических рядов. Так как при t ^ О
то ряд E,39) при / ^ О также сходится абсолютно и равно-
равномерно. Поэтому функция и (t, x), определяемая этим рядом,
непрерывна в прямоугольнике Q:0 ^х ^/; 0^/^7, и
принимает заданные значения на его нижнем основании и на
его боковых сторонах. Остается показать, что внутри Q
и на его верхнем основании она удовлетворяет уравнению
теплопроводности. Для этого достаточно показать, что ряды,
полученные из E,39) почленным однократным дифференци-
дифференцированием по t или двукратным почленным дифференцированием
по х, также абсолютно и равномерно сходятся при t ^ t0 > О,
каково бы ни было t0 > 0. А это последнее утверждение
следует из того, что при всяком положительном £0
если k достаточно велико.
Совершенно так же можно доказать существование
у функции и (/, х) при t ^> 0 непрерывных производных всех
порядков по х и t. Пользуясь этим, легко показать, что,
оставляя прежние, нулевые, условия при х = 0 и х = 1,
только что построенную функцию u(t, х), вообще говоря,
нельзя продолжить в сторону отрицательных t так, чтобы
она удовлетворяла уравнению A,38). Для этого необходимо,
чтобы (р(х) имела производные всех порядков. Действительно,
если бы такое продолжение было возможно, то мы получили
бы решение уравнения теплопроводности в некотором пря-
прямоугольнике Q,:
0О</, — е</<0,
которое обращается в нуль при # = 0 и * = /. Если
-г-(—е, х) непрерывна при О^х^/, то, применяй к этому

344 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ /V
прямоугольнику все те рассуждения, которые мы прежде
провели для Q, мы найдем, что функция и @, х), т. е. у(х),
должна иметь производные всех порядков. (Можно показать,
что предположение о непрерывности j- (—е, х) при # = 0
и х = 1 является несущественным.)
Если бы даже функция и @, х) = ц (х) была такой, что
для нее возможно было бы решить первую краевую задачу
в прямоугольнике Q5 при нулевых условиях на концах интер-
интервала @,/) и начальном условии и@, х) = ®(х)у то это
решение можно было бы как угодно сильно изменить при
как угодно малых отрицательных /, изменяя как угодно мало
функцию <р (л:) и ее производные до произвольного фиксиро-
фиксированного порядка k. Для этого, как легко проверить, доста-
достаточно к прежнему решению прибавить какой-нибудь член
с достаточно большим номером из ряда E,39) с произвольно
малым постоянным множителем. Поэтому в то время, как
первая краевая задача для уравнения теплопроводности кор-
корректно поставлена для положительных t, она некорректно
поставлена для отрицательных t, если начальные условия
относить к ^ = 0 (ср. § 8). Здесь еще раз видна неравно-
неравноправность положительных и отрицательных значений / для
уравнения теплопроводности A,38).
Задача. Докажите, что решение u(t, x) первой краевой
задачи для полуполосы {0 ^ х *с I, 0 ^ t <С оо\ с условиями
и@, х) = у(х), u(t, 0) = 0, u(t/l) = O стремится к нулю
при t—*оо равномерно по х.
§ 40. Задача Коши
1. Постановка задачи. Требуется определить при
/^2 0 непрерывную ограниченную функцию u{t,x), которая
при t^>0 удовлетворяет уравнению теплопроводности A,38),
а при / = 0 обращается в заданную непрерывную ограни-
ограниченную функцию ср (лг), определенную при всех действитель-
действительных значениях х,
К этой задаче приводит, например, задача о распростра-
распространении тепла в бесконечном теплоизолированном стержне.
2. Теорема о максимуме и минимуме для по-
полосы и ее следствия. Всякое решение и (t, x) уравнения
A,38), непрерывное и ограниченное в полосе S {0 ^t <^Т ^ оо,

^ 40] ЗАДАЧА КОШИ 345
«— оо <^ х <С со}* удовлетворяет в этой полосе неравенствам
М^и(t, x) ^ m,
где М= sup и@, х), т= inf и@, х).
~ао < # < оо ~оо<дг<оо
Докажем, что u(t, х) ^ М (доказательство второго нера-
неравенства сводится к первому переменой знака у а).
Пусть s}>0 — произвольное число. Покажем, что
u(t0, х0) s^M-f-e в любой точке (^0, л;0) полосы S. Рассмот-
Рассмотрим функцию w(t, x) = 2t —|— jc*, которая является решением
уравнения A,38). Положим /V = sup I и (ty x) I. Функция
s
-w} ■ *:• -\- М — u(t,x)t удовлетворяющая в S уравнению
A,38), неотрицательна при £ = 0 и при |л:| =
M)w (tM хЛ , , , , |
•— ° -Н^оЬ так как ПРИ этом значении |л;[
№ {t, X) EX2
1/
W {t0, Xo) W (f0, XQ) :
N — M.
По теореме о максимуме и минимуме для конечной области
(п. 2 § 38) эта функция должна быть неотрицательной всюду
(
в прямоугольнике {о < t < Г, | х \
1}
-}-| х01}, в котором лежит точка (tQ, xQ). Следовательно, в этом
прямоугольнике и (t,x)<Ж -f- ^j~j^ , откуда и (tQy
Так как точка (£0, а:0) и число s произвольны, то из послед-
последнего неравенства вытекает, что u(t, х) ^ М всюду в S.
Следствия. 1) Ограниченное решение задачи Коти
для уравнения A,38) в полосе S единственно.
2) Решение задачи Ноши для уравнения A,38) в классе
ограниченных функций непрерывно зависит от начального
условия, заданного при t = 0.
Эти утверждения вытекают из того, что разность двух
ограниченных решений их и иг уравнения A,38) в полосе S
по модулю не превосходит sup \и^@, х) — и2@, х)\.
- X) < X < ОС
Замечание. Мы доказали, что решение задачи Коши
в классе ограниченных функций единственно. Справедливо
более сильное утверждение.

346 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
Пусть /(лг) = тах |a(tf, *)|. Если и (t, x) удовлетворяет
уравнению A,38) при /> 0, и @, л;) = 0 при—
и существует постоянная С такая, что
~Cxi—>0 при |лг|—*оо,
то u(t, л;) = 0.
Это предложение легко доказать (мы предоставляем это
читателю) так же, как была доказана единственность рас-
рассматриваемой задачи в классе ограниченных функций, если
вместо функции w (t, х) рассмотреть функцию W = 8 (C-f-1 Jt-\-
.J_£[8(C4-iJ*-Hc-f i)j x^ которая положительна при />0 и
удовлетворяет условию -g-j — -^т- ^ 0 при достаточно малом t.
Для функций, удовлетворяющих условию -^-j ^- ^ 0, вер-
верна теорема о минимуме.
А. Н. Тихонов*) построил для любого s^>0 решения
уравнения A,38), которые не. равны тождественно нулю,
но для которых и@, х) = 0 при —oo<^x<^4~°° и
/(л;)*-*24--»0 при \х\—>оо.
3. Докажем, что решение нашей задачи дается формулами
u(t, x)=^p= J J^e ^"^ при ^>0, A,40)
— 00
B,40)
Интеграл A,40) называется интегралом Пуассона.
Легко проверить, что интеграл A,40) сходится при всех
положительных t. Точто так же нетрудно проверить, что
сходятся интегралы, полученные из A,40) дифференцирова-
дифференцированием под знаком интеграла по t и по х, повторенным сколько
угодно раз. При этом все эти интегралы равномерно сходятся
в окрестности любой точки (t, х), если t^>0. Отсюда сле-
следует, что при t^>0 существует как функция u(tyx), опре-
определенная формулой A,40), так и все ее производные по t и х
как угодно высоких порядков. Так как подынтегральная
функция удовлетворяет уравнению A,38) при t^> 0, то отсюда
*) Матем. сборник 42;2 A935), 199—216,

§ 40]
ЗАДАЧА КОШИ
347
следует, что и сама функция и (t, х) удовлетворяет этому
уравнению при />0.
Покажем, что определенная формулой A,40) функция
u(t, x) ограничена при /^>0. Для этого заметим, что если
Мх = max | if (x) |, то
— с» < х < со
\u(t,x)\
(х - О
Остается показать, что определенная нами функция и (tt x)
непрерывна при / = 0, т. е. что при всяком х0
я J У t °
C,40)
если ^ и |л: — л;0| достаточно малы. Заметим прежде всего,
что для этого нам достаточно доказать, что
аи
= \
т J
— (р (л:)
'.if D.40)
при достаточно малом t и любом х из некоторой окрест-
окрестности точки xQi потому что |<р(х) — <р(*о)| мал при доста-
достаточно малом | л: — хо\ в силу непрерывности функции <р(х).
Для доказательства соотношения D,40) перепишем инте-
интеграл Пуассона A,40), положив £ = х-|-2 }/^ С> в виде
У л J
и заметим, что
В силу ограниченности ц(х), при достаточно большом /V и

348 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
любом х интегралы
- N -Л
00
J ? (* +2 уТд «-"</& J
Л N
как угодно малы по абсолютной величине. Поэтому при доста-
достаточно большом Л/ и любом х с как угодно большой точ-
точностью
N
1/11 Л
Л
1 Г 2
cp (л:) ^ —^ \ ф (x) e ~ * a£.
Но при достаточно малом t и любом х из некоторой окрест-
окрестности точки х0 правые части этих приближенных равенств
как угодно близки в силу непрерывности <f(x). Отсюда сле-
следует D,40).
4. Таким образом доказано, что единственным ограничен-
ограниченным решением поставленной в начале настоящего параграфа
задачи является решение, определенное равенствами A,40),
B,40).
Из этих формул следует, в частности, что если <р (х)
равна нулю всюду, за исключением как угодно малого интер-
интервала значений х, на котором она положительна, то решение
и (t, x) будет положительным при всех значениях х и каком
угодно фиксированном f>0. Отсюда следует парадоксальное
утверждение, что теплота распространяется в стержне с бес-
бесконечной скоростью. Физически это, конечно, невозможно.
Но такой вывод с неизбежностью следует, если допустить,
что распространение теплоты в стержне точно описывается
уравнением A,38). Очевидно, гипотезы, принятые нами при
выводе этого уравнения, неточно оправдываются на опыте.
Практика показывает, однако, что уравнение A,38) все
же дает достаточно хорошее приближенное описание реаль-
реального физического процесса распространения тепло ш.

§ 41] ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЙ 349
Задача 1. Пусть и (t, x) — ограниченное решение зада-
задачи Коши для уравнения теплопроводности A,38) в полуплос-
полуплоскости t ^> 0. Докажите, что для любого х справедливо
равенство
если lim и@,х) = а и lim и @, x) = b.
X -» —GO X ->4-00
Задача 2. Докажите, что задача Коши для уравнения
теплопроводности A,38) с начальным условием, заданным
при ^ = 0, поставлена некорректно в любой полосе
— оо<*<оо}.
§ 41. Обзор некоторых дальнейших исследований
уравнений параболического типа
1. Доказаны существование и единственность решений
первой краевой задачи для уравнения
ди д2и . , д2и 1Л ,, ч
при любом п. Эта задача в простейшем случае формули-
формулируется следующим образом.
Ищется непрерывная функция и (t, xv ..., хп), опреде-
определенная на замыкании области G, ограниченной кусками гипер-
гиперплоскостей ^ = 0 и t — T («снизу» и «сверху»), а по бокам
одной или несколькими поверхностями с непрерывно вращаю-
вращающейся касательной гиперплоскостью, которая нигде не пер-
перпендикулярна оси Ot. Функция и должна удовлетворять
уравнению A,41) внутри G и совпадать с некоторой функ-
функцией /, заданной на боковой поверхности S и на нижнем
основании /==0. Эта функция предполагается непрерывной
на всем том замкнутом множестве, где она определена.
Единственность решения задачи и непрерывная зависимость
решения от функции / доказываются в точности так же, как
это делалось в § 38.
Первую краевую задачу можно ставить и для областей
более общего вида. Найдены условия, которым должна

350 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
удовлетворять граница области для того, чтобы первая
краевая задача была разрешима *).
2. Линейное параболическое уравнение второго порядка
с двумя независимыми переменными
^ = A(t% xH^-B(tt x)^ + C(t9 x)u^D(tt x), B,41)
где Л, В, С, D — ограниченные функции и Л (tt х) ^ а >• 0,
заменой u = veKt преобразуется к виду
^ = A(t, х)
Здесь Ct = C—К, Dl = De~Kt. Предположим, что
K>Ml = sup\C(tJx)\\ тогда С, (*, х)< М1 — К < 0.
Пусть функция v(t, x) удовлетворяет уравнению C,41)
внутри криволинейного четырехугольника О, ограниченного
отрезками прямых / = 0, t = T и кривыми x = y1(tI
x = y2(t)(y1(t) <dy2(t)), и совпадает с некоторой непрерыв-
непрерывной функцией / на нижнем основании и боковых сторонах G.
Тогда всюду в G имеет место неравенство
И*, *)|<тах{м, к^У D,41)
где Af = max|/|, M2 = sup\D(t, x)\.
Действительно, если v(t,x) принимает наибольшее поло-
положительное значение в некоторой точке, лежащей на верхнем
основании или внутри G, то в этой точке зт^О, л^^»
--^<;0, Ctv<^0. Из уравнения C,41) получаем, что в этом
ох
М
случае maxv(t, х)^-^—тт. Если же v принимает наиболь-
наибольшее значение на нижнем основании или боковой стороне G, то
v^M всюду в G. Таким образом, v^ max < М, ^_JaT\- Ана-
^ 1 АЛ М2 \
логично устанавливается, чтог;^ — max < /И, тт~^Гм ( •
*) И. Г. Петровский, Compositio Mathematica 1:3 A935),
383-419.

§ 41] ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЙ 351
Для функции u = veKt, удовлетворяющей внутри О урав-
уравнению C,41), из D,41) получаем неравенство
которое является обобщением теоремы о максимуме и мини-
минимуме (ср. § 38).
Аналогичное неравенство справедливо для решений
u(tyxiy ..., хп) параболического уравнения
п п
ди
, xlt ...,xn)u + D(t,xlt ...,xn), E,41)
ди v^
ш= 2-
где форма 2 ^//(^ -^i» • • • >-О а/а/ является положительно
определенной во всех точках рассматриваемой области.
3. Первая краевая задача для параболического уравнения
E,41) в области G, ограниченной кусками гиперплоскостей
tf = 0, t=T и поверхностью S> имеет единственное решение
при любой непрерывной функции /, заданной на S и при
/ = 0, если: 1) коэффициенты /4/у., В{, С и D удовлетворяют
условию Гёльдера *) в области G; 2) каждой точки Р поверх-
поверхности 5 можно коснуться шаром с центром Q, все точки
которого,- кроме Р, лежит вне G, причем прямая QP не па-
параллельна оси Ot **).
4. Для квазилинейного параболического уравнения второго
порядка с двумя независимыми переменными вида
ди . ,, ч д2и | п/, . ди
^(^ х u)\B{t х, и) ^
где Л, Д С имеют непрерывные производные достаточно
высоких порядков, Л (t, х, и) ^ а > 0 и С'а (/, дг, и)<;с (а и
с — некоторые постоянные), доказаны существование и един-
единственность решения первой краевой задачи в любом прямо-
прямоугольнике {O^tz^zT, 0^х^1}> а также существование
и единственность ограниченного решения задачи Коши
*) См. сноску на стр. 327.
**) Friedman, Journal of Mathematics and Mechanics,
7, № 5 A958), 771-791.

352 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV
в любой полосе {O^t^T, —оо<^л;<^оо}. Эти задачи
рассматривались также для квазилинейных параболических
уравнений с большим числом независимых переменных *).
5. Система линейных уравнений
—'" — V У А&1 * * * kn) It х) dkUj 4-
+ Ft(t,xl% ...,*„) A=1, ...,/V) F,41)
называется параболической в точке (t{0\ x^\ . ..,л40)), если
при любых действительных ар . . ., art, сумма квадратов кото-
которых равна 1, все корни Хр ...,X/v определителя
имеют отрицательные действительные части.
Для параболических систем корректно поставлена задача
Коши для положительных t в классе ограниченных функций
с достаточно гладкими начальными данными при £ = 0.
Корректность сохраняется также в классе функций,
возрастающих при х\ -\~ ... -\- х\—> оо небыстрее, чем
е v 1 п/ , где 2т—порядок системы.
Если все коэффициенты д{^--^ и р. параболической
системы F,41) аналитичны по аргументам л:,, ...,xw, то все
достаточно гладкие решения этой системы также аналитичны
no xv .. ., xw**).
*) См. «Математика в СССР за сорок лег», том 1, Физмаггиз,
1959, стр. 604—628.
**) См. предыдущую сноску.

ДОПОЛНЕНИЕ
§ 42. Решение первой краевой задачи для уравнения
теплопроводности методом сеток
1. Мы докажем существование решения первой краевой
'задачи для уравнения A,38) методом сеток. Это доказатель-
доказательство будет заключать в себе также и способ построения при-
приближенного решения задачи.
Будем обозначать через О область, ограниченную отрез-
отрезками прямых t = t0 и t — T(T^>tQ) и кривыми x = <fx(t) и
x = y2(t). Функции cpj (t) и <р2 (/) предполагаются непрерыв-
непрерывными и <pj (О <С<?2 М ПРИ to^t^T. Через Г будем обозна-
обозначать нижнее основание (t = tQ) и боковые стороны (х = ух (t),
x=-y2(t), to^t^T) криволинейного четырехугольника О.
Мы ищем в G решение уравнения A,38), непрерывное в об-
области О и на ее границе и принимающее на Г значения за-
заданной непрерывной функции /. Для разрешимости первой
.краевой задачи функции ух (t) и сра (t) должны удовлетворять
некоторым дополнительным условиям, которые мы укажем
в дальнейшем.
На плоскости (tf лг), где расположена область О, проведем
два семейства (сетку) прямых, параллельных координатным
осям:
x — mh, t =
где h — некоторое положительное число, а т и k пробегают
такие последовательные целые значения, чтобы вся область О
покрылась квадратами со стороной h. Вершины этих квадра*
тов мы будем называть узлами или узловыми точками пост-
построенной сетки.
Обозначим через Gh совокупность тех квадратов, ко-
которые целиком принадлежат G-j-Г. Через ГЛ обозначим
23 И. Г. Петровский

354
ДОПОЛНЕНИЕ
квадраты, принадлежащие Gh, у которых хотя бы одна вер-
вершина принадлежит границе Ън, исключая внутренние квадраты
самого верхнего ряда, т. е. исключая квадраты, хотя бы одна
из вершин которых имеет
максимальную для точек Gh
координату t и боковые сто-
стороны которых не принад-
принадлежат границе Gh. Узло-
Узловые точки, принадлежащие
ОА—ГА, обозначим через
шж
ШМъШ
Ш\
II
1
1
Рис. 19.
ке Г или в одной из них, если
hл
Ол(рис. 19).
Определим в каждом уз-
узле ГЛ функцию Д, равную
значению функции / в бли-
ближайшей к этому узлу точ-
таких точек несколько. Со-
Сопоставим уравнению A,38) следующее разностное уравнение*):
— u(t--h,x) и (t, * + /г) — 2и (t, x) + и (t, x — h)
"I
Будем искать функцию uh, определенную в узловых точках ОА,
удовлетворяющую уравнению A,42) в узлах (t,x) из Gh и
совпадающую сДв узловых точках ГЛ. Покажем, что суще-
существует единственная функция uh, удовлетворяющая этим
условиям. __
2. Лемма. Функция uh, определенная в узлах Gh и
удовлетворяющая уравнению A,42) в узловых точках (t, x)
из Gh, принимает наибольшее и наименьшее значения в узло-
узловых точках Гл.
Доказательство. Предположим, что функция uh при-
принимает в некоторых узлах Gh значения, большие, чем наи-
наибольшее значение uh в узловых точках Гл. В этом случае
найдется такая узловая точка (/,,*,) в Ол, что в этой точке
uh принимает наибольшее значение, и хотя бы в одной из
соседних точек значение uh меньше uh(tx,x^. Соседними
ди д2и
*) Если функция и (t, х) имеет производные -^ и ^ в точке
(*,х), то при стремлении h к нулю уравнение A,42) переходит
в уравнение A,38).

§ 42] РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 355
к (t^xj мы называем узловые точки {tx—Л, л;,), (^,, л;,-|-Л),
(*,,*, —А). Если uh(tl— А, л^Хи* (/„*,), то в точке (/„а:,)
левая часть равенства A,42) положительна, а правая — от-
отрицательна или равна нулю, и мы приходим к противоречию
с тем, что в точке (tv хг) должно удовлетворяться уравне-
уравнение A,42). Точно так же придем к противоречию, если пред-
предположим, что uh(txy *,4"A)<a*(*i»*i) или 4^vx\— *)<С
<iuh(tlixl). Аналогично доказывается, что uh не может при-
принимать в Gh значений, меньших, чем наименьшее значение
Ч на Гл-
Пользуясь только что доказанной леммой, покажем, что
при любой функции /л> заданной в узлах Гл, существует
единственная функция uh, удовлетворяющая уравнению A,42)
в узловых точках Gh и совпадающая с fh на 1\. Значения ин
в узловых точках Gh удовлетворяют линейной алгебраической
системе уравнений, которую мы получим, написав уравнение
A,42) для каждой узловой точки (t> x) из Gh. Число уравне-
уравнений такой системы будет равно числу неизвестных значений uh.
Определитель этой системы отличен от нуля, так как соот-
соответствующая однородная система, которую мы получим, по-
положив Д = 0 во всех узловых точках Гл, имеет только три-
тривиальное решение вследствие доказанной леммы. Следовательно
функция uh определяется единственным образом.
3. Введем следующие обозначения:
„ _ и (t, х) -u(t- h, x) u[t,x + h)-u(t9x)
ur— h » 4— s 1
h
В этих обозначениях уравнение A,42) принимает вид
Пусть /гп = ^ и Uhn = un (/г = 1,2,...). Доказательство су-
существования решения первой краевой задачи мы будем про-
проводить следующим образом. Мы покажем сначала, что каждую
из функций семейств {ип}, {uj}, {ux-}, заданных на сетках,
можно доопределить во всех точках области G так, что
в любой области О*, содержащейся в G вместе со своей
границей, семейства функций {и"}, {и^} и {и*-} будут равно-
23*

356 ДОПОЛНЕНИЕ
мерно ограничены и равностепенно непрерывны. Затем, исполь-
используя теорему Арцеля*), покажем, что из последовательности
{ип} можно выбрать подпоследовательность {it"), сходящуюся
в О к некоторой функции и (t, х) равномерно во всякой об-
области О*, содержащейся в G вместе со своей границей. При
этом последовательность {и-Л сходится к ^ , {и1 Л сходится
1 *' at у хх1
к-г-2-. Переходя в уравнении B,42) к пределу при hn—> О,
получим, что предельная функция u{t> х) удовлетворяет в G
уравнению A,38).
Наконец, с помощью барьеров, аналогично тому, как это
было сделано в § 31, мы покажем, что предельная функция
u(t,x) непрерывна в О —[— Г и принимает на Г значения за-
заданной непрерывной функции /. Используя единственность
решения первой краевой задачи, покажем, что не только
подпоследовательность {ип), но и вся последовательность {ип\
сходится к u(t,x) и, следовательно, решения и^п уравнении
A,42) представляют решение соответствующей первой краевой
задачи с любой заданной точностью, если только hn доста-
достаточно мало.
4. Из леммы п. 2 следует, что |и"|^тах[/| при любом я.
Покажем, что из равномерной ограниченности семейства {ип\
в G следует равномерная ограниченность семейства [и^) во
всякой области О*, содержащейся вместе со своей границей в G.
При этом нам достаточно показать справедливость этого
утверждения для прямоугольника Q со сторонами, параллель-
параллельными координатным осям, так как любую область G* можно
покрыть конечным числом таких прямоугольников, принадле-
принадлежащих G.
Для оценки их в Q мы воспользуемся приемом, который
С. Н. Бернштейн применял для оценки производных решения
параболического уравнения **).
Не ограничивая общности, можно считать, что прямо-
прямоугольник Q определяется неравенствами
1 х | < а, 0 < t < Ь
и его стороны принадлежат сетке, начиная с достаточно
*) И. Г. Петровский, Лекции по теории обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений, Гостехиздат, 1952, стр. 40.
**) С. Н._Б ернштейн, ДАН СССР, 18, № 7 A938), стр. 385—388.

§ 42] РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 357
большого п. В последующих выкладках этого пункта для
упрощения записи индекс п у функции ип мы опускаем.
Рассмотрим в узловых точках прямоугольника Q функцию
z = ulF-{-Cv, C,42)
где F = t [а2 — х2)\ v=u2 (t, x-\-h)-{-u% (t, x—h) -\-u2 (t—h, x),
C^>0— некоторая постоянная. Покажем, что если С доста-
достаточно велико, то z(t, x) принимает наибольшее значение либо
при /==0, либо на сторонах х = + а прямоугольника Q.
Отсюда легко получить оценку для ux(t, х). Действительно,
если \u(t,x)\^M в О, то на сторонах ^ = 0 и х = -\-а
прямоугольника Q z ^ 3CM2 и, следовательно, всюду в
Q z^ ЗСЖ2, откуда
т. е. их равномерно ограничены в прямоугольнике Q*, лежа-
лежащем внутри Q.
Чтобы показать, что z(t, x) принимает при достаточно
большом С наибольшее значение при / = 0 или х
вычислим величину
Мы покажем, что при достаточно большом С
0 в Q.
Отсюда с помощью тех же рассуждений, которыми мы дока-
доказали лемму п. 2, получим, что z(tfx) принимает наибольшее
значение на границе t = 0 или х = + а прямоугольника Q.
Для вычисления L (z) воспользуемся формулой
I (<рФ) = ¥L (ф) + ф£ (?) + %Ь + <РА + ПЬ• D>42)
справедливость которой легко установить для любых функций
if и ф, заданных на сетках. Имеем
L (z) = ulL (F) + FL (u

358 ДОПОЛНЕНИЕ
Используя D,42), получим
так как L {их) = 0.
Легко видеть, что
L(u* (t, х + А)) = 2и (t, х + h) L (и (t, x + A)) -f и* (*, x + Л) +
4 a£ (/, x -f- Л) + huL (t, x + h) =
= MJ (<, * + A) -j- a! (/, x + A) + hit- (t, x + A) =
= и! (/, jf + A) + «; (<, x) + Аи? (<, x + A),
^ = в5 —«i(/ —A,*).
Следовательно,
I (z) = С [iu (/, x + A)+«J (<, x)+A«i (t, x+h)+uUt, x—h) 4.
4 oLtf, x — A) + Aoi (^, x — A) + ai (/—A, x)-\-ul (t —A, x) 4.
ut, (t — A, *)] 4u\L (FL-FT [el — oi(< — A, *)] 4
Оценим члены Fu*xx -\- Fx [ux -\- ux (t, x -\- А)] ихх. Так как
Fx = — 2t{2x-\-h)(a2 — x*) + ht Bx-{-h)\ то
= * {(а2 - я2) «ХЛ - Bх 4- Л) К 4 «х С
- < Bх 4- ЛJ К+«* С. * 4- Л)Р 4-
4- М Bх 4- hf [их 4- ах (/, х 4 Л)] иЛ* ^
4- < Bx4- Л)8 [«1 (*, ^ 4 Л) - «ii =
= — t Bx 4 ЛJ [2о14" 2«ж• их (<, х + Л)] ^
^ _ Н2х 4- АJ [Зи^ 4 "I (t, x-\-h)].

§ 42] РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 359
Аналогично получим
FuL, + F- К + »х С. * - *)] V* >
>_*B* — АJ [За* + и* (/,'* — A)].
Пользуясь последними неравенствами и тем, что
/у>0, получаем
C [ul (t,
(F) и2х — Ff a^ (t — h,x) — t Bх + ЛJ [3^+^ {t, х+Л)]—
— / Bjc — hJ [3u2x -f- ц^ (*, jc — A)] =
= [C— L (F) — St Bx + AJ — 3/ Bjc — AJ] u2x +
+ [C— t Bx + AJ] ei (/, х+Л)-|-[С—/ Bx—AJ] ei (/, x—A) +
+ [C— F_]w2(/_ /г, *). E,42)
Очевидно, что если С достаточно велико, то все слагаемые
в правой части неравенства E,42) будут неотрицательны.
(Постоянную С можно выбрать независимо от А.) Таким образом,
мы показали, что если решения ип (t, x) уравнения B,42)
равномерно ограничены в G, то ипх также равномерно огра-
ограничены во всякой области О*, лежащей вместе со своей гра-
границей внутри G. Так как ип, и71-, иг'_ , являются также
* XX XXX
решениями уравнения B,42), то из доказанного получаем
равномерную ограниченность и _==#_ , и._. —и... и и =и'-
XX t XXX tX ХХХХ tt
в любой области О*, содержащейся в О вместе со своей
границей.
5. Покажем теперь, что ип можно так доопределить во
всей области G, что полученное семейство {ип} будет равно-
равномерно ограничено и равностепенно непрерывно в любой об-
области О*, содержащейся в G вместе со своей границей.
Для этого разобьем каждый квадрат сетки на два тре-
треугольника диагональю, параллельной прямой t = x. В каждом
таком треугольнике положим и" равной линейной функции,
которая в вершинах треугольника принимает ранее опреде-
определенные значения ип. Легко видеть, что так построенная функ-
функция ип непрерывна в Ghni и внутри треугольника и на его
сторонах не может принимать значений, больших или меньших,

360 ДОПОЛНЕНИЕ
чем ее значения в вершинах треугольника. В точках G, не
принадлежащих G/г,,, функцию ип доопределим произвольным
образом, лишь бы она была непрерывной и ограниченной в G.
Из равномерной ограниченности ипх и ul в G* следует,
что для узловых точек (t, x), принадлежащих G*,
гдь К не зависит от п.
Достаточно показать равностепенную непрерывность функ-
функций ип внутри прямоугольника Q, принадлежащего G, со сто-
сторонами, параллельными координатным осям, так как любую
область G*, лежащую в G вместе со своей границей, можно
покрыть конечным числом прямоугольников такого вида.
Для двух узловых точек (tv хг) и (£2, хг) из Q имеем
\ип (tv хх) — ип (tt, xt) |
Пусть (tl9 xx) и (tt, хж) — любые точки из Q, a (t*u x*)
и (^*> хъ) — узловые точки, ближайшие соответственно к (tv xx)
и (/а, хг). В силу определения функции ип при п достаточно
больших | ип (£, х*) — ип (ti9 х() | < 2Khn (/=1,2). Поэтому,
если п достаточно велико,
\un(tv xx) — utl(tv xt)\<
< | ип(fu х*) — ип(tv х,)\+\и"(tl xl) — ип(tv х2)| +
+ 2K УVt - О2 + Ut — 4J. F,42)
Из неравенства F,42) и равномерной непрерывности каждой из
функций ип в G* следует равностепенная непрерывность функ-
функций ип в Q и, следовательно, в G*.
Применяя теорему Арцеля, получим, что из семейства
функций ип можно выбрать подпоследовательность, равно-
равномерно сходящуюся в G*.
Точно так же показываем, пользуясь доказанной ранее
равномерной ограниченностью liL, url, #!!_ и и1. ип-у ип -,
r t tx t t x xx x t
что каждую из функций ul и их можно доопределить во всей

§ 42] РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 361
области С так, что семейства функций {и!} и {и*} будут
равномерно ограничены и равностепенно непрерывны в С*.
Поэтому, пользуясь теоремой Арцеля, можно из любого бес-
бесконечного множества функций ип выбрать равномерно сходя-
сходящуюся в G* подпоследовательность \ип>} такую, что соот-
соответствующие ей последовательности {и*} и {и*} также схо-
сходятся равномерно в G*.
Пусть последовательность областей Gm такова, что
+ u 2 Gm=G и Gm вместе со своей границей
m=i
принадлежит G. Выберем из {ип} равномерно сходящуюся в G^
последовательность и11, #12, ... , ulk, ... такую, что последо-
последовательности {и-) и {ихк) также равномерно сходятся в G*.
Из последовательности \ulk) выберем равномерно сходящуюся
в G2 подпоследовательность
и2\ и22, ...,a2*,... G,42)
такую, что подпоследовательности {ulk} и \uzxk} равномерно
СХОДЯТСЯ В Ог, И Т. Д.
Рассмотрим последовательность функций
а11, иг\ ... .«**,... (8,42)
Легко видеть, что эта последовательность и последователь-
последовательности {ик1) и {а**} сходятся в каждой точке области G и
притом равномерно во всякой области О*, которая вместе со
своей границей принадлежит G. Обозначим пределы в G по-
последовательностей {ukk), {u1^} и {икк} соответственно через
U(Ux)t U{i,x) и U(t,x).
Покажем, что
dU ту dU п d2V FT /n лоч
— = £7 _-==(/игг = У. (9,42)
Пусть точки (^,, л:) и (/2, х) являются узловыми точками
сетки при достаточно малых Ая, /t — ^='л^л и отрезок

362 ДОПОЛНЕНИЕ
прямой, их соединяющий, принадлежит G. Тогда
ukk (*„ х) — ukk (tzi *) = 2 и* (tt — ihkki x) hkk =
1=0 ^
= 2 V{K — ihkto x)hkk + h> (^°'42)
«'=0
где 8Л стремится к нулю при k—► оо, так как последова-
последовательность uf равномерно сходится к U. Переходя в равен-
равенстве A0,42) к пределу при к—юо, получим
и
A1,42)
Так как узловые точки образуют всюду плотное множество
в G и функции U(t, x) и U(t, x) непрерывны в G, то ра-
равенство A1,42) справедливо для любых точек (tti x) и (tv x),
если отрезок, их соединяющий, принадлежит G. Поэтому
— = U всюду в G. Точно так же показываем, что
дх дх дх J
если точки (ty xt) и (/, xz) принадлежат G, т. е. ^ =V в G.
Таким образом, мы показали, что предельная функция U(t> x)
dU d2U dU 02U
имеет производные ^и ^ H^r=^-2 B0 всех точках об-
области G.
6. Изучим теперь поведение предельных значений функ-
функции U(t, x) на границе Г области G.
Лемма 1. Пусть точка А с координатами (toi x0) ле-
лежит на нижнем основании (t = t0) криволинейного четы-
четырехугольника G. Тогда
lim U(t,x)=f(A).
{T,x)-^A,{t,x) QG
Доказательство. Рассмотрим функцию
* — tQ).

§ 42] РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 363
Во всех точках G-\~l\ отличных от Л, w(t} х)^>0. Легко
проверить, что
L (w) = wxj— wj < 0.
Пусть е>0 — произвольное малое число. Обозначим че-
через Й£ столь малую окрестность точки Л, что \fh—/{Л)\<^г
для значений fh во всех узловых точках Гл, принадлежащих
йе, при достаточно малых h. Пусть постоянная С такова,
что Cw^>2 max \f\ во всех точках G-j-Г, не принадлежа-
г
щих Qg. Будем рассматривать функцию ип только в узловых
точках Ghn. Легко показать, что в узлах Ghn
(t, jc). A2,42)
Действительно, функции
<f=f(A)— s — Cw— un и ф = — f(A) — e — Cw-\-un
неположительны во всех узловых точках Thn в силу определе-
определения Qe и выбора постоянной С. Так как Z, (ср)]>0 и £(ф)^>0,
то функции ср и ф принимают наибольшее значение на Г/гп.
Следовательно, во всех узловых точках Ghn функции ср и ф
неположительны и неравенства A2,42) имеют место во всех
узлах, принадлежащих Ghn.
Если точка (£, а:) является узловой точкой Ghn, начиная
с некоторого я, то, переходя к пределу в этой точке в не-
неравенствах A2,42), получим
/И)— s — Cw<l^x)</D) + e + Cw. A3,42)
Так как множество точек, которые являются узловыми точ-
точками О/гл, начиная с некоторого п, всюду плотно в G и функ-
функция U(t, x) непрерывна в G, то неравенства A3,42) имеют
место во всех точках О. Следовательно,
f(A) — e^ lim {/(*,*)< fim £/(*,*)</(Л)-f-e.
(f,*)-n4 (*,*)-► Л
Так как 8^>0 произвольно, то lim U (t, x)=f(A)9 что и
(tt х)->А
требовалось доказать.

364 дополнение
Лемма 2. Пусть точка А с координатами Bе,, л;,) ле-
лежит на боковой стороне криволинейного четырехугольни-
четырехугольника G. Тогда
lim U(t9x)=f(A),
если существует функция vA(t9 x) (барьер), обладающая
следующими свойствами:
1. vA(t, х) определена и непрерывна в тех точках пе-
пересечения O-j-Г с некоторой окрестностью А, для кото-
которых t^tr Будем обозначать множество точек, где опре-
определена vA, через QA.
2. vA(A) = 0 и vA(t, х)У>0 во всех точках ЙЛ, отлич-
отличных от Л.
3. L(v)^0 во всех узловых точках Ghn, принадлежа-
принадлежащих ЙЛ, при достаточно больших п.
Доказательство. Пусть точка А с координатами
(tl9 хг) лежит на кривой аг == ср1 (/). Выберем а^>0 настолько
малым, чтобы область De, ограниченная прямыми / = /,, t =
= tx—a, x = x^-{-ol и кривой л: = ср1 (/), содержалась в QA.
Пусть s^>0—произвольное малое число. Обозначим че-
через Q8 столь малую окрестность точки Л, что
1Д —/И)|<е A4,42)
для значений Д во всех узловых точках Гд, принадлежащих
Qs, при достаточно малых h. Пусть постоянная С, такова,
что C1vi4>2max|/| во всех точках Da, не принадлежащих Q..
Как и в предыдущей лемме, получаем, что во всех узловых
точках Qh> принадлежащих Da, при достаточно большом п
/И) —8 —СЛ<«и</И) + б + С1^. A5,42)
Отсюда, переходя к пределу при п—►оо, с помощью тех же
рассуждений, что и в лемме 1, получаем, что
lim U(t,x)=f(A). A6,42)
(t,x)-*A, t^U
Из неравенств A5,42) следует, что найдется такая окрест-
окрестность Q точки Л, что во всех узловых точках Ghn, принад-
принадлежащих Q,
\un(t,x)— /(И)|<2е, A7,42)
если / ^ tv Можно считать, что Q принадлежит Q%.

§ 42] РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 365
Рассмотрим функцию w = (х — ххJ -{- 3 (t — tx). Пусть по-
постоянная С такова, что С w^> 2 max |/| во всех точках G,
г
не принадлежащих Q и расположенных выше прямой /==
=zt1—§, где 8 ^> 0 и достаточно мало.
Как и в предыдущей лемме, легко установить, что во
всех узловых точках G^, расположенных выше прямой tf =
= tt— hni при достаточно малых hn имеют место неравенства
f(A) — 3s — C2w < ип </И) + Зе + С>. A8,42)
Рассмотрим для этого узловые точки, для которых t^>tt — й„«
Обозначим их Нп. Докажем, что неравенство A8,42) выпол-
выполняется в узловых точках Нп, принадлежащих Гп, и узлах Ип
самого нижнего ряда. Для узлов, лежащих вне Q, эти нера-
неравенства выполняются при достаточно большом п в силу вы-
выбора С2. Для узлов, принадлежащих Q, эти неравенства вы-
выполняются в силу неравенств A4,42) и A7,42), если только
в этих узлах г^^ХЗ. Если же в рассматриваемой узловой
точке из Q функция w<^0} то неравенства A8,42) выполня-
выполняются при достаточно большом п в силу того, что C2w^> — s
при t^>tx — hn1 если hn достаточно мало, и в силу неравен-
неравенства A7,42).
Так как L (w) <^ 0, то, как и в предыдущей лемме, уста»
навливаем, что неравенства A8,42) справедливы во всех без
исключения точках Нп.
Из этих неравенств с помощью тех же рассуждений, что
и в предыдущей лемме, получаем
lim U(t,x)=f(A). A9,42)
Из A6,42) и A9,42) следует утверждение леммы для точек А,
расположенных на кривой x=yl(t). Для точек Л, принадле-
принадлежащих кривой х = ср2@> доказательство аналогично.
Теорема. Первая краевая задана для уравнения теп-
теплопроводности
да dhi
dt ~~дх2
разрешима в области G, если граница Г удовлетворяет
следующим условиям:
1) Для каждой точки (*,,*,), лежащей на кривой х =
существует положительное число кх такое% что

366 ДОПОЛНЕНИЕ
при t<С^ и достаточно малых /,—t
2) Для каждой точки (t2, х2), лежащей на кривой х =
= <р2(^), существует положительное число k2 такое, что
при t<C.t2 и достаточно малых t2 — t
(Условия 1 и 2, в частности, выполняются, если ср, (/) и <р2 (/)
удовлетворяют условию Липшица.)
Доказательство. Достаточно показать, что при этих
условиях функция, равная /(А) на Г и U(tt x) в G, непре-
непрерывна в O-^j-Г.
Согласно леммам 1 и 2 указанная функция будет непре-
непрерывной в О-}-Г, если для каждой точки А кривых x = yl(t)
и x = <f2(t) существует функция vA (барьер). Если точка А
с координатами (tlt хг) лежит на кривой л; = ср1(£), то барь-
барьером может служить функция
К*- *'
достаточно мало, a N^>0 достаточно велико. В точке (t2i x2)
кривой x = <pz(t) барьером может служить функция
vA(t, x) —
где х" =
Выполнение условий 1 и 2 леммы 2 для функций vA очевидно.
Чтобы проверить выполнение условия 3, нужно воспользо-
воспользоваться формулой Тэйлора в точке (t, x) и тем, что -—■ —
ох
дТ в Достаточно малой окрестности точки Л, если N
выбрано достаточно большим.
7. Мы показали, что из любого бесконечного множества
функций ип можно выбдать последовательность» сходящуюся

§ 43] ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ СЕТОК 367
в области G к решению первой краевой задачи, если граница
области G удовлетворяет условиям, сформулированным в пре-
предыдущей теореме. Легко показать теперь, что и вся после-
последовательность {ип} также сходится в области G к решению
U(t, х) первой краевой задачи.
Действительно, в противном случае найдутся бесконечное
множество функций ип, точка (t} х) из G и s^> 0 такие, что
для каждой функции ип из этого множества
|йяG, х) — U(t, *)|>е.
Это противоречит тому, что из всякого бесконечного множе-
множества функций ип можно выбрать последовательность, сходя-
сходящуюся в G к решению первой краевой задачи, которое, как
было показано, единственно.
Замечания. 1. Все построения настоящего параграфа
применимы также и в случае уравнения теплопроводности
с любым числом независимых переменных.
2. Методом сеток, аналогично тому, как это изложено
в настоящем параграфе, можно доказать существование ре-
решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа *).
§ 43. Замечания о методе сеток
Метод сеток или, как его часто называют, метод конеч-
конечных разностей, является наиболее распространенным методом
приближенного решения дифференциальных уравнений с ча-
частными производными. Особенно большое развитие этот ме-
метод получил в последние годы в связи с применением для
численных расчетов быстродействующих электронных счет-
счетных машин.
Некоторые примеры применения метода сеток мы уже при-
приводили. В § 10 было дано краткое описание конечно-разно-
конечно-разностного метода приближенного решения задачи Коши для ги-
гиперболических систем. В § 16 было указано на применение
метода сеток к численному решению задачи Коши для вол-
волнового уравнения. В § 36 мы применили метод сеток для
приближенного решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
*) И. Г. Петровский, Успехи матем. наук VIII A941),
161-170.

368 дополнЕние
Метод сеток имеет не только прикладное, но и теорети-
теоретическое значение. С помощью метода сеток можно доказывать
существование решения различных краевых задач, а также
исследовать свойства решений. Таким путем в предыдущем
параграфе было доказано существование решения первой крае-
краевой задачи для уравнения теплопроводности.
В этом параграфе мы изложим некоторые основные поня-
понятия, связанные с методом сеток. Ради простоты изложения
мы рассмотрим только случай двух независимых переменных
(t, х) и ограничимся простыми краевыми задачами для линей-
линейных уравнений с частными производными. Мы будем рассма-
рассматривать либо задачу Коши, либо задачу с начальными и гра-
граничными условиями.
1. Основная идея метода сеток заключается в том, что
дифференциальное уравнение, начальные и граничные условия
заменяются системой конечно-разностных (алгебраических)
уравнений, приближенно представляющих данную краевую
задачу.
Для этого в области G на плоскости (/, х)} в которой мы
ищем решение, строится сетка, т. е. конечное или счетное
множество точек, зависящее от одного или нескольких пара-
параметров. Точки, принадлежащие сетке, называются ее узлами.
Наиболее часто пользуются прямоугольной сеткой. Узлы
такой сетки имеют координаты (/0-]-#Д/, х0 -j- mAx), . где
(t0, x0) — некоторая точка на плоскости (ty х), а А/и Ах—по-
Ах—положительные параметры, называемые шагами сетки по t и по х
соответственно; пит принимают целочисленные значения.
(Пример сетки, которая не является прямоугольной, был при-
приведен в § 10 для случая, когда рассматривается гиперболи-
гиперболическая система, состоящая из двух уравнений. Сетка в этом
случае образуется из точек пересечения касательных к ха-
характеристикам.)
Будем считать, что область О, в которой требуется найги
решение u(t, x), является либо полосой 0<*<С ^» ли^о пря-
прямоугольником 0<^*<^Г,0<^л;<М. В обоих случаях мы
будем пользоваться прямоугольной сеткой. В первом случае
положим ^0 = 0. Во втором случае будем считать, что to =
z^x{)==0y а Дл; = -г|, где М—целое положительное число.
Для сокращения записи введем следующие обозначения:
<с = Д*, h — kx, unm = u(/rzt mh).

§ 43] ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ СЕТОК 369
Совокупность всех точек сетки с одним и тем же п будем
называть слоем с номером п. Для простоты предположим, что
т зависит от h (при этом Птт = 0), так что построенная
h -+о
нами прямоугольная сетка определяется одним параметром h.
Существуют различные способы построения конечно-раз-
конечно-разностных уравнений, приближенно представляющих дифферен-
дифференциальное уравнение с частными производными. Самый про-
простой способ состоит в том, что каждая из частных производных,
входящих в дифференциальное уравнение, заменяется такой
линейной комбинацией значений и (t, x) в узлах сетки, кото-
которая при h —► 0 стремится к соответствующей производной.
Эту линейную комбинацию мы будем называть разностной
аппроксимацией соответствующей производной.
Приведем примеры. Производную ^- можно заменить
в точке t = ntz, x = mh любым из следующих выражений:
ди ^ и (t, x + h) — и (t, х) u?n + i — цст. П 4ЯЪ
ox h h
ди и (t, х) — и (t, x — h) Ki — um-i ,9 AQ.
dx -*- h -~ h • <^4d>
да и (t, x + h) — и (tt x — h) zC+i — Ki-1 /Q AQ4
_^ _ _ _ Л6Л6)
Оценим погрешности этих приближенных равенств. Поль-
Пользуясь формулой Тэйлора, находим
д2и
tt(f,jc) ди (t, х) . h д2и (t, x + Q^) m
h . dx • 2 dx2
и (t, x) — и (t, x — h) ди (t, x) h_ dhi (t, x — б2/г) %
h dx 2 дх2 ;
a {t, x + h) — u{tyx — h) ди (t, x) , h*_ dhi (tt x
dx "» 6
2Л dx "» 6 dx3
здесь 0<е,<1, О<02<1, |в,|<1.
Разность между какой-либо производной и ее разностной
аппроксимацией называется погрешностью аппроксимации, или
остаточным членом. Если погрешность аппроксимации для не-
некоторой функции есть 0{hk), то говорят, что порядок ап-
аппроксимации'для такой функции равен к.
24 И. Г. Петровский

370 ДОПОЛНЕНИЕ
Для функций, которые имеют ограниченные производные,
входящие в остаточные члены, порядок аппроксимации при-
приближенных формул A,43), B,43) равен единице, а порядок
аппроксимации приближенной формулы C,43) равен двум.
Можно построить приближенные формулы для ^- со сколь
угодно высоким порядком аппроксимации; эти формулы имеют
более сложный вид, так как они содержат значения функции
u(t, х) во многих соседних узлах сетки.
Разностные аппроксимации -^ строятся аналогично. При
замене разностными аппроксимациями производных высших
порядков можно рассматривать производную высшего порядка
как результат многократного дифференцирования u(t, x) not
и по л; и применять последовательно соответствующие раз-
разностные операции, заменяющие дифференцирование.
Так, например:
dii(t%x)
д2и ft x) ___ д_ fdu(t,x)\ _ дх d%_ _
6л;2 дх\дх)^~ h ^
• и (t, х) и (t, х) — и (t, x — h)~\
h h \~~
и {tt x + h) — 2« (^, x) + // (^, x — h)
Мы получили приближенную формулу
dhi ^ и {t, x + h) — 2u (t, x) + и (*, x-h)
Погрешность аппроксимации для этой формулы имеет вид
h2 dHi {t} x-\-0h) ^ , 2. , r., ,
To * 4 —=^(^)) гДе |Л\*'
Запишем линейное дифференциальное уравнение, которое
мы хотим заменить конечно-разностным уравнением, в виде
М«)=/. E,43)
где /==/(^ х) — известная функция, a Z, (w) — линейная ком-
комбинация неизвестной функции u(t,x) и ее частных производ-
производных. Выразив в узловой точке (t, x) производные, входящие
в L (и), через соответствующие конечно-разностные аппрок-

§ 43] ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ СЕТОК 371
симации и остаточные члены, получим следующее равенство:
Здесь Lh(u) — некоторое конечно-разностное выражение, т. е.
линейная комбинация значений и в узлах сетки; син — погреш-
погрешность аппроксимации для дифференциального уравнения E,43),
определяемая равенством
4=Th(u) — L(u). G,43)
Отбросив в правой части F,43) погрешность аппроксимации ад,
получим приближенное конечно-разностное уравнение
!*(«)=/• (8,43)
(Здесь и в дальнейшем через и обозначается решение ко-
конечно-разностного уравнения.)
Для построения приближенных конечно-разностных урав-
уравнений часто пользуются также методом неопределенных ко-
коэффициентов. По этому методу аппроксимируются не отдель-
отдельные производные, входящие в дифференциальное уравнение
E,43), а вся его левая часть L (и). Для этой цели составляют
линейную комбинацию с неопределенными коэффициентами
значений и в какой-нибудь совокупности узлов. Затем все эти
значения и по формуле Тэйлора выражают через значения
функции и и ее производных в одной и той же точке (/, х),
которая может и не принадлежать сетке. Получается выра-
выражение, линейное относительно функции и (/, х) и ее произ-
производных. После этого неопределенные коэффициенты выбира-
выбираются таким образом, чтобы полученное выражение отличалось
от L (и) в точке (ty x) лишь слагаемыми, стремящимися к нулю
при h—► 0.
Рассмотрим пример. Аппроксимируем уравнение
с помощью значений и в узлах
(лх, /и*), И, (т -f I) h\ ((n -f 1)т, mh\ ((n -f 1)t, (m -f I) h).
Точку (ty x) поместим в нентр прямоугольника, вершинами
которого являются эти узлы. Для упрощения вычислений
24*

372 ДОПОЛНЕНИЕ
перенесем начало координат в точку (t, x). Положим
1, -
i> -4)'
где а> Ь> су d—неопределенные коэффициенты.
По формуле Тэйлора имеем
= {а + b + c-{-d)u@, 0)+ -1 (-a-b+c + d) f( @, 0)+
-1 (-a-b+c + d) f(
-f ±(-a + b + c-d)px @,
(многоточием обозначены члены более высокого порядка от-
относительно т и К). Сравнивая Lh (и) с L (и) и приравнивая ко-
коэффициенты при соответствующих производных, получаем сле-
следующие три уравнения:
a — \\ ^\
— a + b+c — d = — jr. A0,43)
Дополним уравнения A0,43) еще одним:
a_f?JrC_d==:Oi A1,43)
и определим a, b, cy d как решение системы алгебраических
уравнений A0,43), A1,43). Тогда выражение Lh (и) будет сов-
совпадать с L (и) с точностью до членов, обозначенных много-
многоточием и стремящихся к нулю при h—>0.
Возвращаясь к первоначальной системе координат, полу-
получаем следующее разностное уравнение, приближенно пред-
представляющее уравнение (9,43):
=0. A2,43)

§ 43] ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ СЕТОК 373
Заметим, что к уравнению A2,43) можно было бы прийти
и другим путем. Действительно, первый член в левой части
этого уравнения можно представить следующим образом:
В этом выражении первое слагаемое с погрешностью О(х2)
аппроксимирует значение -^ в точке ((Л-Ъ"о")'с' (т-\-1)Щ\
второе слагаемое с погрешностью этого же порядка по т ап-
нроксимирует ~П п~\-~^\т, mhJ . Легко проверить, что все
выражение аппроксимирует ~ в точке ((п-\—^ ) т, ( m-j-— ) h\
с погрешностью О (z2)-\-О (h2).
Аналогично можно показать, что второй член в левой
части A2,43) с той же погрешностью аппроксимирует —j—
в той же точке (f^ + ylS (mH~"y)^)- Следовательно,
левая часть A2,43) аппроксимирует левую часть (9,43) с по-
погрешностью О(х2) -\-O(h2).
Приведем примеры различных конечно-разностных аппрок-
аппроксимаций для левых частей некоторых дифференциальных урав-
уравнений с частными производными (в скобках указан порядок
погрешности аппроксимации <хн относительно т и h).
1) М«)-£-5 = * A3,43)
; A4,43)
A5,43)
llm -f-1 llm
(ал=О(т2) + O(h2)); A6,43)
). A7,43)

374 ДОПОЛНЕНИЕ
2) Ци) = % — %£ = 0; A8,43)
Lh (и) =
A9,43)
/ — // //
ия»"от 1 "я» +1 Lnm Т»я-| .
[ й5 ! г
B1L3)
1 <-
2 t "~ Й2
B2,43)
2 + г
НП + l — НП - ' и" _ 9;;" 4- ,7П
Lh(u)= '" 2т " " + ' g- + ""-' B3,43)
3) i(a) = |la-g = 0; B4,43)
h(U)=
2 2 \ Л*
^±I. ->• «-«j (aO(*») + O(A*)) B6,43)
Все эти выражения могут быть получены из левых частей
соответствующих дифференциальных уравнений либо путем
замены производных по формулам вида A,43) — D,43) (и по
аналогичным формулам для производных по t)t либо методом
неопределенных коэффициентов.

§ 43] ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ СЕТОК 375
В рассмотренных выше примерах погрешность аппроксима-
аппроксимации оценивалась по абсолютной величине. При этом мы пред-
предполагали, что решение дифференциального уравнения является
настолько гладким, что допускает представление по формуле
Тэйлора до членов нужного порядка, причем производные,
входящие в остаточный член, ограничены. При меньшей глад-
гладкости решения погрешность аппроксимации может иметь
меньший порядок.
Для того чтобы получить разностную краевую задачу, необ-
необходимо кроме дифференциального уравнения, заменить разност-
разностными уравнениями начальные и граничные условия. Если в на-
начальные и граничные условия не входят производные решения,
то при указанном выше выборе прямоугольной сетки задан-
заданные краевые условия непосредственно определяют значения
искомой функции в соответствующих граничных узлах сетки.
Если же краевые условия содержат производные искомой
функции, то эти производные можно заменить разностными
аппроксимациями, как это было показано выше. При этом
получаются разностные краевые условия, аппроксимирующие
с некоторой погрешностью краевые условия для дифферен-
дифференциального уравнения. Имеются и другие способы аппроксима-
аппроксимации краевых условий.
Приведем пример. Пусть требуется заменить разностным
уравнением граничное условие
l(u)==A(t)u(t, O)-\-B{t)d£(t, O)=C(t).
Простейший способ состоит в замене -г- (/, 0) выражением
u{ty h) — a{t, 0)
———
условие
. При этом получим разностное граничное
/~ (и) = А (пх) по + В(лх) "' ~"° = С(пх).
Погрешность аппроксимации, т. е. разность I(u) — lh(u), есть
да 3< - К + и2
O(h). Если заменить j-(/, 0) выражением т , то
получится более точная аппроксимации: l(u)—lh{u)=-O(h2)

376 ДОПОЛНЕНИЕ
Запишем разностное уравнение, аппроксимирующее диффе-
дифференциальное уравнение, а также разностные уравнения, аппрок-
аппроксимирующие начальные и граничные условия, и укажем, какую
совокупность значений пробегают индексы т и п в этих
уравнениях. Полученная система алгебраических уравнений
называется разностной схемой соответствующей задачи для
дифференциального уравнения с частными производными.
Разностные схемы для задач рассматриваемого нами типа
различают по числу слоев, участвующих в разностном урав-
уравнении, которое аппроксимирует дифференциальное уравнение;
соответственно говорят о схемах двуслойных, трехслойных
и т. д. Двуслойные схемы получаются, например, с помощью
разностных выражений A4,43), A5,43), A7,43), A9,43),
B0,43), B1,43). Формулы A6,43), B2,43), B3,43), B5,43),
B6,43) приводят к трехслойным схемам. При решении задачи
с начальными условиями с помощью двуслойной схемы доста-
достаточно задать значения и в узлах одного начального слоя
(п = 0). В случае трехслойной схемы необходимо задавать
значения п в узлах двух соседних начальных слоев (я = 0
и л = 1).
Если значения неизвестной функции на слое с номером
п -\- 1 непосредственно из разностных уравнений схемы вы-
выражаются через значения этой функции на предыдущих слоях,
то разностная схема назывется явной. Если же для опреде-
определения #ю приходится решать некоторую систему уравнений,
то разностная схема называется неявной. К неявным схемам
приводят формулы A7,43), B0,43), B1,43), B2,43), B6,43)*).
Введем некоторые обозначения. Начальные и граничные
условия для уравнения £(#)=/ мы будем записывать в виде
l.(u) = yit /==1, 2,..., р (начальные условия); B7,43),
1.(и) = ¥;у / = р-{-1, р -|— 2, •. - , $ (граничные условия).
B7,43),
Здесь <pj—известные функции, заданные на некоторых частях
границы области О, а 1((и) — линейные комбинации искомого
решения и и его частных производных. Начальные и гранич-
*) Удобный метод решения систем уравнений, возникающих
при использовании неявных разностных схем, изложен в книге:
И. С. Березини Н. П. Жидков, Методы вычислений, Физ-
матгиз, 1959, т. II, гл. 10, § 6.

§ 43] ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ СЕТОК 377
ные условия для разностной схемы будем записывать в виде
Tih(u) = yih, /=1, 2, . .. , р (начальные условия); B8,43I
Tih(u) — <fih, 1 = р-\-\, р4-2, ..., 5 (граничные условия).
B8,43J
Значения приближенного решения в узлах сетки, т. е.
величины Um> можно рассматривать как компоненты вектора
в некотором линейном пространстве, размерность которого
определяется числом узлов, входящих в сетку. Этот вектор
мы будем обозначать через uh.
Правые части разностных уравнений, аппроксимирующих
дифференциальное уравнение, и правые части разностных
начальных и граничных условий также образуют некоторый
вектор, который мы обозначим через Fh. Матрицу из коэф-
коэффициентов системы уравнений, составляющих разностную
схему, обозначим через Rh. В этих обозначениях разностная
схема, т. е. совокупность уравнений (8,43), B8,43), может
быть записана следующим образом:
Rtfih = Fk. B9,43)
Погрешностью аппроксимации разностной схемы B9,43)
для данного решения и (t, x) краевой задачи E,43), B7,43)
называется разность Rhu — Fh = rh.
С точки зрения приложений основное значение имеет оцен-
оценка разности и — uh между точным и приближенным решениями.
Эта разность определена только в узлах сетки. Для оценки
rh и и—ин естественно воспользоваться понятием нормы
в линейном пространстве. В оценках погрешности аппрокси-
аппроксимации гЛ, приведенных выше, фактически использовалась нор-
норма, определяемая для элемента w = {w^\ по формуле
lM|c=sup|«u|. C0,43)
л, т
Приходится, однако, рассматривать и другие, так назы-
называемые «интегральные» нормы. Примеры таких норм приве-
приведены в п. 5. Подобные нормы употребляются, в частности,
в случаях, когда погрешность аппроксимации не стремится
к нулю по абсолютной величине при h —* 0 или даже неогра-
неограниченно возрастает в отдельных точках, будучи малой в ка-
каком-либо «интегральном» смысле, например в среднем.

378 дополнение
Для измерения разности и—uh также можно пользоваться
различными нормами.
Предположим, что введены некоторые нормы для rh и для
и — ~uh (эти нормы, вообще говоря, не совпадают). Сформу-
Сформулируем два основных определения.
1. Разностная схема B9,43) аппроксимирует краевую зада-
задачу E,43), B7,43) для данного решения u(t, х) этой краевой
задачи, если погрешность аппроксимации rh стремится к нулю
при h—► 0; если rh=O(hk), то говорят, что порядок аппрок-
аппроксимации равен k.
II. Разностная схема B9,43) называется сходящейся для
данного решения u(t, х) краевой задачи E,43), B7,43), если
разность и — uh стремится к нулю при h—► 0; если
и—uh= O(hq)y то говорят, что порядок сходимости равен q.
В этих определениях предполагается, что rh и и — Ън
стремятся к нулю по соответствующим нормам; в этом же
смысле понимаются равенства rh = O(hfc) ии — uh = O(h9)
(так, например, равенство rh = O(hk) означает, что
||/*!!*-*<<;, = const).
2. Простые примеры показывают, что не всякая аппрокси-
аппроксимирующая разностная схема является сходящейся даже при
сколь угодно большой гладкости точного решения.
Рассмотрим следующую задачу Коши:
L(u)^pt-d£=0; C1,43)
Допустим, что cp(x) имеет ограниченную производную второго
порядка. Тогда точное решение и (tt x) = y(x-\-i) этой за-
задачи имеет ограниченные частные производные второго по-
порядка. Поэтому разностная схема:
Lh \Uh) =
°т = у (mh)
— гГ
C2,43)
аппроксимирует задачу C1,43) с погрешностью
(в смысле нормы C0,43)).

§ 43] ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ СЕТОК 379
Докажем, что разностная схема C2,43) не может быгь
сходящейся ни при каком соотношении между т и h. Из урав-
уравнений C2,43) следует, что значение функции iih в узле
(/-)-т, л:) определяется через ее значения в узлах (/, х—h)
и (t, х). Рассмотрим некоторый узел (/0, лг0). Легко видеть,
что значение uh(tQy х0), найденное согласно C2,43), одно-
однозначно определяется через значения функции ср (лг) при х^:х0.
С другой стороны, значение точного решения и (/, х) в точке
(/0, х0) равно ^(^0-j-^0)> т. е. определяется значением <р (х)
при х>х0.
Пусть (р(х) = 0 при х^х0 и ср(х)^>0 при х^>х0. Тогда
Ч (^о» Х) = ° ДЛЯ ВСех. Х < *o> °Днако м (^о» ^) = ¥ (^ 4" О>
для xQ — ^0 <^х <^ оо. Таким образом, в области {х0 —
<^x<[x0, 0<^^<оо} разность г/ — uh между точным реше-
решением задачи Коши C1,43) и решением разностных уравнений
C2,43) положительна и не зависит от h. Следовательно, эта
разность не может стремиться к нулю при h—► 0.
Рассмотрим теперь очень близкую к C2,43) по внешнему
виду разностную схему
г
Lh
C3,43J
Докажем, что при — =с^\ (с = const) эта схема является
сходящейся (в смысле нормы C0,43)).
Пусть oih = lh(u) — L(u). Так как L(u) = Q, то
Lh(u) = zh. C4,43)
Вследствие оценки A5,43) для аА и условия -тг== const име-
имеем ал=О(/г), т. е. ал равномерно стремится к нулю при
А —0.
Используя C3,43) и C4,43), получаем для разности
и — uh = vh уравнение
£аЮ=«а C5,43)

'380 ДОПОЛНЕНИЕ
с начальным условием г^ = 0. Разрешая уравнение C5,43)
относительно v^\ находим
_с)г£+сг£ + 1. C6,43)
Пусть Уя = sup |г£|, Ah = sup\C\ = O(h). Из C6,43)
—ао</я<оо n, m
получаем
У„+,<^*+^(л = 0, 1,..., [т]-
Суммируя эти неравенства по я от 0 до N—1, где /Vts^T,
и учитывая, что У0 = 0, приходим к соотношению
C7,43)
Отсюда вытекает равномерная сходимость uh — а к нулю
в полосе {0 ^t ^ 7\ — оо<^х<^оо}и оценка: и — uh = О(/г).
Заметим, что условие с = -г-^1 является существенным
для сходимости разностной схемы C3,43). При с ^> 1 схема
C3,43) не будет сходящейся, что легко показать аналогично
тому, как это было сделано для схемы C2,43). Таким обра-
образом, сходимость схемы зависит не только от вида разностных
уравнений, но и от выбора соотношения между шагами
сетки.
3. При доказательстве сходимости разностной схемы
C3,43) мы фактически использовали только два свойства этой
схемы. Во-первых, благодаря тому, что схема C3,43) является
аппроксимирующей, мы получили, что точное решение задачи
Коши C1,43) удовлетворяет разностному уравнению C4,43)
с правой частью ал, стремящейся к нулю при h —*• 0. Во-
вторых, мы использовали тот факт, что разность vh между
решением уравнения C4,43) и решением уравнения C3,43)х
с тем же начальным условием стремится к нулю при аА—>0.
Этот факт, означающий непрерывную зависимость решения
разностного уравнения C4,43) от правой части, был установ-
установлен с помощью неравенства C7,43). Из C7,43) следует, что
|t>J<^s, если |аА|^8, где 8^>0 зависит от е, но не зави-
зависит от h.
В рассмотренном примере погрешность аппроксимации
содержится только в разностном уравнении, аппроксимирующем
дифференциальное уравнение. В других случаях погрешность

§ 43] ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ СЕТОК 381
аппроксимации входит также в разностные уравнения, при-
приближенно выражающие начальные и граничные условия.
Поэтому при доказательстве сходимости приходится исследо-
исследовать зависимость решения разностной схемы не только от
правой части уравнения (8,43), но и от правых частей на-
начальных и граничных условий B7,43).
По аналогии с определением корректно поставленной крае-
краевой задачи для дифференциального уравнения (см. § 8) го-
говорят о корректной разностной схеме.
Разностная схема B9,43) называется корректной, если
для всякого достаточно малого положительного h@<£^h<^hQ)
и для любой правой части Fh существует единственное ре-
решение пн уравнения B9,43), непрерывно зависящее от FhJ
причем эта непрерывная зависимость равномерна относительной.
Последнее означает, что для любого s^>0 существует такое
8^>0, не зависящее от /г, что для всякого изменения Fh, не
превосходящего 8 (по некоторой норме), соответствующее
изменение uh не превосходит s (по некоторой, вообще гово-
говоря, другой норме).
Из определений, приведенных выше, можно получить
следующее общее утверждение: при соответствующем выборе
норм, участвующих в определениях аппроксимации, сходимо-
сходимости и корректности, решения корректной разностной схемы
сходятся при h—у 0 к решению краевой задачи для диффе-
дифференциального уравнения, если это решение существует и для
него разностная схема является аппроксимирующей.
Доказательство этого утверждения мы провели выше на
примере схемы C3,43). Аналогично проводится доказательство
и в общем случае, причем краевая задача E,43), B7,43)
может быть как линейной, так и нелинейной. В случае линей-
линейной краевой задачи можно показать, что порядок сходимости
равен порядку аппроксимации. Это позволяет обосновать часто
применяемый на практике простой метод оценки погрешности
приближенного решения путем сравнения приближенных реше-
решений uh, полученных при различных значениях h. Все эти
вопросы подробно изложены в книге В. С. Рябенького и
А. Ф. Филиппова «Об устойчивости разностных уравнений»,
Гостехиздат, 1956.
4. Согласно данному выше определению корректной раз-
разностной схемы, решение такой схемы непрерывно (и при-
притом равномерно относительно h) зависит от правой части /

382 ДОПОЛНЕНИЕ
разностного уравнения (8,43), аппроксимирующего дифферен-
дифференциальное уравнение, от правых частей ср/л (/ ===== 1 э . . . , р) на-
начальных условий B8,43), и от правых частей <р/А(/ =
= p-f-l> ... , s) граничных условий B8,43J. Для линейной
разностной схемы при исследовании корректности достаточно
отдельно изучить зависимость решения от каждого из этих
трех факторов. Если решение разностной схемы существует
при любых значениях cp|.ft(/==il ... , р) и непрерывно (при-
(притом равномерно по К) зависит от ср^ (/== 1, . . . , р), то раз-
разностная схема называется устойчивой по начальным условиям.
Аналогично определяется устойчивость по правой части раз-
разностного уравнения, аппроксимирующего дифференциальное
уравнение, а также устойчивость по граничным условиям. Оче-
Очевидно, что линейная разностная схема, устойчивая по началь-
начальным условиям, по правой части и по граничным условиям,
является корректной.
В настоящее время еще не найдены достаточно общие
методы исследования устойчивости разностных схем. Обычно
легче всего исследуется устойчивость по начальным условиям.
Можно показать, что устойчивость по правой части для до-
достаточно широкого класса схем вытекает из устойчивости по
начальным условиям. Вопрос об устойчивости по граничным
условиям изучен еще очень мало.
Мы рассмотрим на примерах некоторые приемы исследо-
исследования устойчивости по начальным условиям.
Пусть ди= {Ьи^} — изменение решения и^ линейной раз-
разностной схемы (8,43), B8,43), вызванное изменением йср^
(/=1,..., р) начальных условий B8,43)^ Легко видеть,
что Ьй является решением следующей разностной схемы:
lih(Ьи) == 8ср/л, /=1, ... , р (начальные условия); \ C8,43)
//д(8й) = 0, г = р-(-1, ... , 5 (граничные условия). J
Поэтому при исследовании устойчивости по начальным
условиям можно ограничиться изучением схем вида C8,43).
Для сокращения записи мы будем в дальнейшем писать апт
вместо Ыгпт.
Рассмотрим снова схему C3,43). Неравенство C7,43)
означает, что эта схема при с = -^-^1 устойчива по правой

§ 43] ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ СЕТОК 383
части. Докажем, что эта схема при с^\ устойчива и по
начальным условиям, если использовать нормы
K|| = sup|5;|, || Ч> II = sup \ с
и, т т
Положим £/Л == sup | й^ |. Из C3,43) имеем
Отсюда при с^Л находим Уп + ^^Уп^ и следовательно,
(л = 0, 1, ..., J-fj). Поэтому || йЛ || <е, если
| <р || ^ £. Устойчивость по начальным условиям при с^\
доказана.
Докажем теперь, что если с = 1 -|- jx, где |л^>0, то схема
C3,43) неустойчива по начальным условиям. Пусть uQm =
= ( — \)тв. Легко проверить, что решение в этом случае
имеет вид
Для всякого фиксированного t = ni при h—► 0 решение не-
неограниченно возрастает и притом быстрее любой степени
-7-, так как
п
В качестве следующего примера рассмотрим задачу Коши
для уравнения теплопроводности A8,43). Разностную схему
построим согласно A9,43). Положим -~^ = с. Разрешая соот-
соответствующее разностное уравнение Lh(uh) = 0 относительно
ц^+1, получим
Й+1 = сЙ+1 + A — 2с)ппт-\-сйпт «1В C9,43)
Если с^у, то все коэффициенты в правой части C9,43)
неотрицательны и сумма их равна единице. Отсюда, как и
в предыдущем примере, следует, что верхняя грань абсолют-
абсолютной величины решения не возрастает при переходе от п

384 ДОПОЛНЕНИЕ
к п-\-\. Таким образом, разностная схема, построенная со-
согласно A9,43), устойчива по начальным условиям при с^-^-.
При с=-^--}~1*, где |х^>0, рассматриваемая разностная схе-
схема неустойчива по начальным условиям. Для доказательства
этого утверждения снова положим и°т = (—l)ms; после про-
простых вычислений получим
|a"£| = eDc — l)n = ee*t D0,43)
„ 21n(l +4p.) ,
Доказательство устойчивости разностных схем по началь-
начальным условиям в рассмотренных примерах основывалось только
на том, что сумма модулей коэффициентов в формулах, явно
выражающих и^1 через значения решения в узлах слоя
с номером /z, не превосходит единицы. Эта сумма модулей
коэффициентов называется индексом разностной схемы. Для
устойчивости схемы по начальным условиям достаточно, что-
чтобы индекс схемы не превосходил 1 -\-Съу где С—некоторая
постоянная. Действительно, в этом случае для любого /==
= лт< Т
т
sup \ппт | < A -f Ot)~sup \п| \п '
»|
откуда вытекает устойчивость по начальным условиям.
В некоторых случаях для исследования устойчивости по
начальным условиям можно использовать свойства, аналогичные
принципу максимума для решений уравнения теплопроводно-
теплопроводности. Рассмотрим в качестве примера разностную схему
аппроксимирующую первую краевую задачу для уравнения
теплопроводности в прямоугольнике {^^ ^

§ 43] ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ СЕТОК 385
с условиями
а@, x) = <p(x)\-u(t, O) = u(ty l) = 0. D1,43)
По лемме п. 2 § 42 имеем sup \unm | < sup |и°т\ при любом
п, т т
значении -^- (доказательство этой леммы не зависит от зна-
значения ^-Л . Отсюда следует, что рассматриваемая схема устой-
X
чива по начальным условиям при произвольном значении-^.
5. Кроме частных приемов, существенно использующих
специальные свойства той или иной разностной схемы, для
исследования устойчивости по начальным условиям применяют
два общих метода: метод разделения переменных (для крае-
краевых задач с начальными и граничными условиями) и метод
интеграла Фурье (для задачи Коши).
Приведем примеры применения метода разделения пере-
переменных.
Рассмотрим разностную схему
V
т-\-\
i i
по = 0, Ъм = 0, Ъ°т = ср (mh) D2,45),
/2 = 0, 1 [-f] — 1; да=1. 2 Af—l),
аппроксимирующую первую краевую задачу для уравнения
теплопроводности A8,43) с условиями D1,43). По аналогии
с методом разделения переменных для дифференциального
уравнения будем сначала искать решения уравнения D2,43),,
удовлетворяющие нулевым граничным условиям и имеющие
специальный вид
~ипт=Т(п)Х(т).
Подставляя это выражение в D2,43),, получим после разде-
разделения переменных
2/г2 Т[п+ 1) - T(n)_X(m+l) -
25 И Г. Петровский

386 ДОПОЛНЕНИЕ
где X не зависит от п и т. Для определения X и Х(т)
имеем следующую разностную краевую задачу, аналогичную
задаче Штурма—Лиувилля (см. § 20):
Х(т+\) — 2Х(т)-\-Х(т — \) = \Х(т) D4,43)
(/»=1,2, .... iM— 1),
Х@) = Х(М) = 0. D5,43)
Те значения X, при которых существует нетривиальное реше-
решение задачи D4,43), D5,43), естественно называть собствен-
собственными значениями этой задачи, а сами нетривиальные реше-
решения X (т) — собственными функциями.
Найдем общее решение уравнения D4,43). Для этого, по
аналогии с известным методом решения обыкновенных линей-
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффи-
коэффициентами, будем искать сначала частные решения уравнения
D4,43) вида
X(m) = ekx = ekmh = qm, где q = ekh.
Для определения q из D4,43) получим так называемое харак-
характеристическое уравнение
q2 — B + i)?+l=0. D6,43)
Пусть qv q2 — корни уравнения D6,43) и ql=^=q2. Тогда
любое решение уравнения D4,43) можно представить в виде
X (т) = Cyq™ -\- C2q™y где С,, С2 — постоянные. Действительно,
легко проверить, что всякая функция такого вида удовлет-
удовлетворяет уравнению D4,43). Далее, из D4,43) непосредственно
следует, что любое решение Х(т) этого уравнения одно-
однозначно определяется, если заданы значения X(т) в двух
соседних точках: X(т0—\)=а, Х(то) = Ь. Но последним
условиям можно удовлетворить, если определить С, и С% как
решение системы
которая, очевидно, совместна при любых а и Ь, так как
Аналогичным образом можно показать, что при </, — qi==zq
любое решение уравнения- D4,43) представляется в виде

§ 43] ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ СЕТОК 387
X (т) = (С, -f- С2т) qm. Нетрудно проверить, что если функ-
функция такого вида удовлетворяет граничным условиям D5,43),
то она тождественно равна нулю. Поэтому решение задачи
D4,43), D5,43) мы будем искать в виде X (т) = C1qr? -\-C2q?>
где Яхфцг.
Положим ql = q; тогда ^2 = <7~\ так как q1q2 = \. Сле-
Следовательно, X(m) = Cxqm -\-C2q~m. Используя граничное
условие -АТ(О) = О, находим, что С2 = — С, и
Ct(qm — q-a). D7,43)
Второе граничное условие Х(М) = 0 приводит к уравнению
откуда
q—e МУ k = 0, 1, ..., 2Ж — 1. D8,43)
Полагая С,=-^-, получим из D7,43) и D8,43) М—\
собственных функций
Xk(m) = sin^1 fc=l, 2, .... Ж—1. D9,43)
(Остальные значения k, указанные в D8,43), приводят к тем
же собственным функциям с точностью до множителя —1.)
Соответствующие собственные значения находим с помощью
соотношения \ = q-J^q — 2, вытекающего из уравнения
D6,43) в силу формулы Виета; получаем
ХЛ = —4sin2^-, *=1, 2, ..., Ж—1. E0,43)
Собственные функции D9,43), рассматриваемые в узлах
сетки (x = mh> т— 1, 2, ..., М— 1), в силу системы D4,43),
D5,43) являются собственными векторами действительной
симметрической матрицы, составленной из коэффициентов
уравнений D4,43). Так как все собственные значения E0,43)
различны, то собственные функции D9,43) линейно незави-
независимы. Они образуют базис в (Ж—1)-мерном линейном про-
пространстве, состоящем из функций {/{х)}, которые рассмат-
рассматриваются только в узлах сетки (x = mh, т= 1, 2, ..., Ж— 1).
25*

388 ДОПОЛНЕНИЕ
Введем в этом пространстве скалярное произведение
(Л g)h=h 2 /(mh)g(mh). E1,43)
В силу известной теоремы алгебры собственные функции
D9,43) взаимно ортогональны в смысле скалярного произве-
произведения E1,43), т. е. (Хк, Л^)Л = 0 при кф1*). Легко прове-
проверить, что (Xk, Xk)h==-^- Поэтому система функций
^(W) = l/2sin^p, ft=l, 2, ..., М— 1, E2,43)
образует ортонормированный базис в пространстве функций
на сетке.
Найдем теперь функции Tk(n) (£=1,2, . ,.,М—1). Из
уравнения D3,43) получим
Тк(п+1) = Щ—Тк(п).
Отсюда
Tk(n) = Ak(sk)n, E3,43)
где
E4,43)
a Ak — произвольная постоянная. Заметим, что |^|<[1, так
как \k<^0.
Следуя основной идее метода разделения переменных,
будем искать решение разностной краевой задачи D2,43j
в виде
Й= 2 ak(sk)nXk(m)y E5,43)
где ak — постоянные, которые должны быть выбраны так,
*) См., например, И. М. Г е л ь ф а н д, Лекции по линейной
алгебре, Гостехиздат, 1951, стр. 121.

§ 43) 4ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ СЕТОК 389
чтобы выполнялось начальное условие и°т = ср(/иЛ). Для эшго
нужно положить ak = (y, Xk)h.
Из равенства E5,43) получаем
так как функции Xk(m) образуют ортонормированную систе-
систему. В частности, полагая я = 0, находим
(п\п\ = (ъ <р)А = 2 КГ-
kz=.\
Так как \sk\<i\, то (пп, un)h < (ср, ср)Л при я>0. Отсюда
вытекает устойчивость решения по начальным условиям, если
изменение начальных условий измерять с помощью нормы
У (?» ^)л» а изменение решения — с помощью нормы
sup VV, п%. •
п
Аналогичным образом можно исследовать с помощью ме-
метода разделения переменных следующие разностные схемы
для той же краевой задачи A8,43), D1,43):
ап+1—пп пп~Хх —2пп+1-+-пп+1
\ E6,43)
= йпм = О, U = ср (/я/г).
E7,43)
Предоставляем читателю доказать, что разностная схема
E6,43) устойчива по начальным условиям при любом значе-
значении -^г" , а схема E7,43) устойчива, если -^т^у-
Разностную схему E6,43) мы уже исследовали выше
с помощью принципа максимума (при другом выборе норм)
и также получили устойчивость по начальным условиям без
каких-либо ограничений на величину -^-. Разностные уравне-
уравнения, входящие в схему E7,43), мы рассматривали выше для
задачи Коши и установили, что соответствующая разностная

390 ДОПОЛНЕНИЕ
схема устойчива по начальным условиям, если -^- ^ -у, и не-
неустойчива, если "тг = -о ~ЬД) Д^>0«
В последнем случае неустойчива и разностная схема E7,43),
аппроксимирующая первую краевую задачу. Для доказатель-
доказательства этого утверждения достаточно взять <р(/я/г) = еЛГм_1 (/и),
где Хм_х(т) определяется согласно E2,43). Соответствующее
решение уравнений E7,43) имеет вид
где
4т . %(
г» 1С1П
Так как M = -j-f то при Л—►О
Отсюда легко получить неустойчивость по начальным усло-
условиям.
Рассмотренные нами примеры применения метода разде-
разделения переменных относились к двуслойным разностным
схемам. При переходе к многослойным схемам общая идея
метода разделения переменных остается прежней, но возни-
возникают некоторые новые обстоятельства, которые мы коротко
охарактеризуем на примере двух схем для волнового уравне-
уравнения B4,43).
Рассмотрим вначале явную схему
E8,43),
■^-= = ?,(»*); E8,43)з
-п
м=0. E8,43L
Примем в качестве нормы для правых частей начальных
условий ^58,43^, E8,43), выражение

§ 43] ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ СЕТОК 391
Решение будем измерять с помощью нормы
sup V{u\ u\.
п
Применяя метод разделения переменных, найдем сначала
решения вида ппт= Т(п)Х(т), удовлетворяющие граничным
условиям E8,43L. Для определения \ и X (т) мы получим
снова задачу о собственных значениях D4,43), D5,43), реше-
решение которой дается формулами D9,43), E0,43). Для нахож-
нахождения функции Tk(n) имеем разностное уравнение
к(п—1) = 0. E9,43)
Мы снова ищем решение краевой задачи E8,43) в виде
ипт= 2 Tk(n)Xk(m). Пользуясь ортонормированностью си-
стемы функций \Xk{m)}, из начальных условий E8,43J,
E8,43), получаем начальные условия для Tk(n):
7-ft@) = 40). aP — ^Xfo F0,43)
т=2№ = а1\ аР = [Ь,Хк)к. F1,43)
Введем фундаментальную систему решений {Т^ (п), Т%}(п)\
уравнения E9,43), определив ее условиями
Тогда
Л1-1
Отсюда, вследствие ортонормированности системы функций
\Як(т)}, имеем
= V
\ F3,43)

392 ДОПОЛНЕНИЕ
Пусть Рк(п, /*) = max{|7lo)(/z)|, \Г^(п)\\ и Я (л, *) =
— max Pk (л, h). Используя неравенство (а -\- bJ ^ 2 (а2 -}- ^2)>
получим из F3,43)
1«", «")л «£ 2 jf (I 40) I11 По) (л) |г +1 aj?> Г | П° («) Г) <
Отсюда в силу F0,43), F1,43) имеем
№4,43)
Из F4,43) следует, что разностная схема E8,43) устой-
устойчива по начальным условиям при указанном выше выборе
норм, если величина Р(/г, h) ограничена при всех достаточно
малых Л^>0 для всех /2, удовлетворяющих неравенствам
0 < лх < Г.
С другой сторочы, легко показать, что если величина
Р(/г, Л) не ограничена, то схема E8,43) не может быть
устойчивой по начальным условиям.
Таким образом, исследование устойчивости рассматри-
рассматриваемой схемы сводится к исследованию построенной выше
фундаментальной системы решений {Т^(п)у Т^ (п)} разно-
разностного уравнения E9,43).
В данном случае это исследование провести сравнительно
легко, как как Т^ (п) и Т^ (п) просто выражаются через
корни соответствующего характеристического уравнения
Приведем результаты исследования: разностная схема E8,43)
устойчива по начальным условиям, если — = с<^1 (с = const)
и неусюйчива, если -т^ь

§ 43 ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ СЕТОК 393
Рассмотрим теперь неявную разностную схему для той
же краевой задачи
F5,43)
ul-ul
Эта схема может быть исследована так же, как и схема
E8,43). Оказывается, что схема F5,43) устойчива по на-
начальным условиям при любых значениях -г.
Методом разделения переменных можно исследовать трех-
трехслойные разностные схемы, построенные для уравнения
теплопроводности A8,43) согласно приближенным формулам
B2,43) и B3,43). В этих схемах значение решения на каж-
каждом слое определяется с помощью значений решения на двух
предшествующих слоях. Роль начальных данных играют зна-
значения решения на слоях с номерами 0 и 1. Разностные
начальные условия, определяющие и°т и иту мы запишем,
согласно B8,43):
№) Ы^\ F6,43)
Функции . срЛ, фЛ должны быть определены таким образом,
чтобы разностное начальное условие F6,43) аппроксимиро-
аппроксимировало начальное условие
для решения дифференциального уравнения.
В соответствии с п. 1 погрешностью аппроксимации для
разностного начального условия F6,43) назовем функцию
Условие аппроксимации состоит в том, что при h—► 0 погреш-
нос1ь аппроксимации стремится к нулю. Для того чтобы

394 ДОПОЛНЕНИЕ
придать точный смысл этому условию, необходимо выбрать
норму для измерения [Зл. Можно, например, ввести такую
норму:
Эту норму можно использовать и для измерения разностных
начальных данных,, Изменение решения, как и в предыдущих
примерах этого пункта, будем измерять с помощью нормы
При указанном выборе норм легко получить следующие
результаты. Явная разностная схема
2х
неустойчива по начальным условиям при всех значениях
и = const. Неявная разностная схема
О "ст "/я 1 **да "/и "/я +1 Z/Iw Т^ "/я — 1 q
2 х ~Т х Л- '
устойчива по начальным условиям при любых значениях ^ .
6. Для исследования устойчивости по начальным условиям
в случае задачи Коши применяется метод интеграла Фурье.
Этот метод удобен для уравнений, коэффициенты которых
не зависят от переменного х (в частности, для уравнений
с постоянными коэффициентами). Как и метод разделения
переменных, метод интеграла Фурье позволяет свести иссле-
исследование устойчивости к изучению решений некоторого «обык-
«обыкновенного» разностного уравнения (т. е. разностного уравне-
уравнения, содержащего только один переменный индекс).
Основная идея метода заключается в исследовании решений
разностной схемы, соответствующих начальным функциям
вида elkK, где k — вещественный параметр. С помощью таких
решений непосредственно получаются необходимые условия

§ 43] ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ СЕТОК 395
устойчивости. Используя интеграл Фурье *), позволяющий
выразить произвольные начальные данные через функции
вида eikx, можно получить и достаточные условия устойчиво-
устойчивости. Здесь мы ограничимся выводом основного необходимого
условия устойчивости для двуслойных схем.
Функцию eikx = eikmh будем называть гармоникой. Решение
разностной схемы, отвечающее начальной функции u°m = elkmh9
будем искать в виде
Д=Пл> *. h)eikmh. F7,43)
Для определения функции Т(п, ky h) получается разност-
разностное уравнение по переменному п. Если для данного k = ka
функция Т(/г, /j, h) при достаточно малых h и всех я, для
которых m ^ То = const, ограничена, то говорят, что схема
устойчива на гармонике etk°x. Если имеет место равномерная
ограниченность Т(пу k, h) для всех к при указанных выше
условиях для h и /z, то говорят, что разностная схема равно-
равномерно устойчива на всех гармониках.
При нормах ||B°|| = sup|0«|, ||иЛ|| =sup|tt£| для устой-
m ms n
чивости схемы по начальным условиям, очевидно, необходимо,
чтобы она была равномерно устойчивой на всех гармониках.
Это условие сравнительно легко проверяется, и поэтому оно
широко используется на практике для исследования разност»
ных схем.
Рассмотрим некоторые простые примеры. Найдем Т(/г, к, h)
для разностной схемы C2,43). Подставив F7,43) в C2,43),
получим
Т(/г, k, к) = [s (£, h)\\ где s (ft, h) = 1 + \ — \ elkh.
Докажем, что для Т (п, &, h) при любом постоянном зна-
значении -J- не выполняется условие равномерной ограниченности.
Действительно, положим &/г = а, тогда
*) С интегралом Фурье можно познакомиться по книге:
Г. Е. Шилов, Математический анализ. Специальный курс, Физма*-
гиз, I960, гл. 7,

396 ДОПОЛНЕНИЕ
При а = у имеем | s|2 = ( 1-|~-^ ) -[-р-- Поэтому значения
Т{п, k, h) не ограничены, и схема C2,43) не является устой-
устойчивой по начальным условиям ни при каком значении -г-.
Рассмотрим теперь схему C3,43). Для нее Т(п, k, h) =
= [s(k, h)\\ где
Отсюда
[ I]2+Jsin2a. F8,43)
Если |- = с< 1, то из F8,43) вытекает, что \s(k, h) | <; 1
и, следовательно, значения Т (я, k, h) равномерно ограничены.
Если же ~=£^>1, то при а = к имеем
где [х^>0 не зависит от /г. Для соответствующего k функ-
функция Т{п, &, h) при п—>-оо неограниченно возрастает по
абсолютной величине; поэтому схема C3,43) при с^>1
неустойчива по начальным условиям.
Рассмотрим теперь неявную разностную схему для той же
задачи C1,43), построенную согласно A6,43) (погрешность
аппроксимации второго порядка по х и /г). Для этой схемы,
как легко проверить,
e (ft, *)=■
Поэтому |s| = l и Т(п, k, h) равномерно ограничены при
любом значении с = -г-.
Подобным образом можно исследовать и трехслойные
схемы.
7. Понятие корректной разностной схемы связано не только
с вопросом о сходимости решений разностных схем, но и
с очень важным для практики вопросом о влиянии. ошибок

§ 43] ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ СЕТОК 397
округления на приближенное решение, получаемое с помощью,
разностной схемы. На практике все вычисления производятся;
с округлениями, которые так или иначе влияют на решение
разностной схемы. Очевидно, практический интерес могут
представлять только такие схемы, для которых малые ошибки,
допущенные в процессе численного решения разностных урав-
уравнений, не приводят к большим отклонениям от точного реше-
решения этих уравнений.
Мы приведем простые примеры, которые указывают на
принципиальное различие между корректными и некорректными
разностными схемами с точки зрения роста погрешности,
вызванной ошибками округления. Рассмотрим для этого раз-
разностные схемы, соответствующие первой краевой задаче для
уравнения теплопроводности A8,43).
Дадим оценку погрешности округления для явной разност-
разностной схемы, построенной в соответствии с C9,43) при h^-^ •
Пусть погрешность, возникающая на каждом отдельном слое
в результате округлений при вычислении ипт, по абсолютной
величине не превосходит е. Предположим сначала, что эта
погрешность допущена только на слое с номером л0, а на всех
предыдущих и последующих слоях не было сделано ошибок
округления. Для рассматриваемой схемы при Тл<-к ошибка 8,
допущенная на слое с номером /z0, приведет к изменению точ-
точного решения разностной схемы (на последующих слоях)
не более чем на е. Это непосредственно вытекает из равен-
равенства C9,43), так как ввиду линейности разностных уравнений
разность между точным и приближенным решениями также
является (при п^> п0) решением уравнения C9,43).
Для того чтобы получить оценку погрешности округления
в общем случае, когда ошибки округления допускаются на всех
слоях, достаточно, в силу линейности разностных уравнений,
суммировать погрешности, вызванные ошибками округления,
которые были сделаны на различных слоях. Для t^T число
слоев оценивается величиной —, поэтому суммарная погреш-
погрешность округления не превосходит по абсолютной величине — .
Погрешность округления не будет возрастать при h—► (),
если е = О (т) = О (/г2). Обозначим через р максимальную

398 ДОПОЛНЕНИЕ
ошибку округления при выполнении элементарных арифмети-
арифметических операций, с помощью которых и^1 вычисляется по
формуле C9,43). Из этой формулы следует, что е = О(р);
поэтому при р = О(/г2) погрешность округления будет огра-
ограниченной, когда h—*0. (Заметим, что для неявной схемы,
построенной по формуле B0,43), точно таким же путем можно
получить условие е = О(А2), но оценка е через р имеет более
сложный вид; эта оценка зависит от выбранного способа ре-
решения системы алгебраических уравнений, связывающих зна-
значения Um^1 на слое с номером п-\-\.)
Пусть теперь в схеме, построенной согласно C9,43), имеем v
2- = --—|— jlx. jjl }> 0 (схема неустойчива по начальным усло-
усло2- = -
виям). Как было показано в п. 4, ошибка вида (—l)we, сде-
сделанная на начальном слое, вызывает на слое с номером
я= —, t^T, погрешность, равную по абсолютной вели-
Kt
чине ген'\ где К—некоторая постоянная. Для того чтобы
погрешность округления при h—►() не возрастала, е должно
убывать при h —► 0 чрезвычайно быстро: как е л*.
Приведем числовой пример, иллюстрирующий возможное
быстрое возрастание ошибок в неустойчивых схемах. Пусть
в схеме, построенной согласно C9,43), величина д равна еди-
единице. Тогда ошибка вида (—\)тв возрастает при переходе
от п к п -}- 1 в 3 раза. За 20 шагов она возрастает в З20 =5г
ss3,5-109 раз. Если вычисления ведутся с относительной
точностью 10~9, то результаты, полученные на 20-м слое,
не будут содержать, вообще говоря, ни одного верного знака.
Вопрос о накоплении ошибок округления при вычислении
решений разностных схем изучен еще очень мало.
8. Рассмотренные выше примеры простейших краевых за-
задач для дифференциальных уравнений и соответствующих им
разностных схем дают лишь общее представление об основных
понятиях, связанных с методом сеток, а также о важнейших
способах исследования разностных схем.
В настоящее время имеется большое число работ по раз-
различным общим вопросам теории разностных схем. Изучены

§ 43] ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ СЕТОК 399
некоторые частные классы схем, подробно исследованы отдель-
отдельные схемы, важные для практических приложений *).
Основное место в этих работах занимает исследование
устойчивости разностных схем. Как правило, бывает трудно
получить эффективные (т. е. более или менее просто прове-
проверяемые) достаточные условия устойчивости. Необходимые усло-
условия находятся обычно сравнительно легко. Для практики
большое значение имеют простые и вместе с тем сильные,
т. е. близкие к достаточным, необходимые условия устойчи-
устойчивости. Имеются методы, позволяющие получать такие условия
для некоторых довольно общих классов схем (например, ме-
метод интеграла Фурье для разностных схем с постоянными
коэффициентами, кратко изложенный выше).
Следует, однако, заметить, что разностные схемы, при-
применяемые на практике, в большинстве случаев не допускают
полного и строгого исследования с помощью известных в на-
настоящее время общих методов. Это относится, в частности,
к схемам, которые соответствуют линейным дифференциаль-
дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами общего вида.
Имеющиеся исследования устойчивости таких схем используют
специфические свойства каждой конкретной схемы и не могут
служить образцом для исследования разнообразных схем, при-
применяемых в вычислительной практике.
Часто встречаются и такие случаи, когда применение
общих методов исследования теоретически допустимо, но при
этом возникают столь большие технические трудности, что
практически эти методы оказываются непригодными (так, на-
например, при исследовании устойчивости по методу разделения
переменных могут встретиться большие трудности при вы-
вычислении собственных значений).
Поэтому возникли и получили широкое применение так
называемые «практические приемы» исследования устойчивости
разностных схем. Теоретически эти приемы или не обоснованы,
или обоснованы только для частных случаев, но достаточно
хорошо проверены на практике.
Одним из таких приемов является так называемый «метод
замораживания коэффициентов». По этому методу линей-
линейные разностные уравнения с переменными коэффициентами
*) См. Р. Д. Р и х т м а й е р, Разностные методы решения крае-
краевых задач, ИЛ, 1960.

400 ДОПОЛНЕНИЕ
заменяются такими же уравнениями с постоянными коэффи-
коэффициентами, равными значениям соответствующих переменных
коэффициентов в какой-либо точке (tf0, x0) рассматриваемой
области. Если при любом выборе точки (^0, х0) схема, состоя-
состоящая из уравнений с постоянными коэффициентами, оказывает-
оказывается устойчивой, то и исходную схему (с переменными коэффи-
коэффициентами) считают устойчивой.
Имеется также ряд других «практических приемов» иссле-
исследования устойчивости разностных схем.
Выяснение пределов применимости и строгое обоснование
таких «практических приемов» исследования устойчивости
разностных схем представляет значительный интерес.
Наряду с развитием общих методов исследования раз-'
ностных схем важное значение имеет разработка рациональ-
рациональных методов построения разностных схем для некоторых
классов задач, часто возникающих в приложениях. Особенно
большой интерес представляют разностные схемы, пригодные
для приближенного нахождения разрывных и негладких реше-
решений линейных и в особенности нелинейных дифференциальных
уравнений.
Интересные в теоретическом отношении и важные для
практики вопросы возникают при численном решении диффе-
дифференциальных уравнений с частными производными в случае,
когда число независимых переменных больше двух. Обычные
разностные схемы, аналогичные рассмотренным выше, в этом
случае приводят к сетке, состоящей из очень большого числа
узлов. При этом резко возрастает количество вычислений,
а также увеличивается объем информации, которую прихо-
приходится хранить в запоминающих устройствах счетной машины
Поэтому очень важное значение для развития методов прибли-
приближенного решения многомерных задач имеют точные оценки
информации, необходимой для получения решения с заданной
точностью, и новые способы построения усовершенствованных
разностных схем, позволяющих уменьшить количество вы*
числений.