/
Автор: Тарасов А.П. Григорьева Н.В. Кирпикова О.И.
Теги: анализ математика интегралы математический анализ методические указания векторный анализ
Год: 2004
Текст
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Чувашский государственный университет имени И.Н.Ульянова
Кратные, криволинейные
и поверхностные интегралы.
Векторный анализ. Ряды
Методические указания и контрольные задания
для студентов-заочников технических факультетов
Чебоксары 2004
УДК 517.1 0.75.8, 517.9
Составители: Н.В.Григорьева,
О.И.Кирпикова,
А.П.Тарасов
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.
Векторный анализ. Ряды: Метод, указания и контр;, задания
для студентов-заочников технических факультетов / Сост. Н.В.Гри-
горьева, О.И.Кирпикова, А.П.Тарасов; Чуваш, ун-т. Чебоксары,
2004. 52 с.
Приводятся методика решения типовых задач и варианты контроль-
ных работ.
Для Студентов-заочников инженерно-технических специальностей.
Утверждено Методическим советом университета.
Ответственный редактор профессор В.Г.Агаков
Методические указания
к контрольной работе 9
Перед выполнением контрольной работы 9 “Кратные, криволи-
нейные и поверхностные интегралы. Векторный анализ” студенту
необходимо изучить следующие вопросы:
1. Определения двойного и тройного интеграла, их основные
свойства.
2. Вычисление двойных и тройных интегралов в случае прямо-
угольной области и в общем случае.
3. Замена переменных в двойном и тройном интеграле.
4. Двойной интеграл в полярных координатах.
5. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических коорди-
натах.
6. Криволинейные интегралы I и II рода, их свойства.
7. Вычисление криволинейных интегралов.
8. Формула Грина.
9. Поверхностные интегралы I и II рода, их основные свойства
и вычисление.
10. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.
11. Векторное поле. Дивергенция. Соленоидальное поле.
12. Поток векторного поля. Формула Остроградского.
13. Линейный интеграл в векторном поле.
14. Циркуляция и ротор векторного поля. Формула Стокса.
15. Потенциальное поле. Условия потенциальности.
Кратные, криволинейные и поверхностные
интегралы
Пусть функция f(x,y) — f(P) определена и непрерывна на за-
мкнутой и ограниченной области D плоскости Оху. Разобьем об-
ласть D на элементарные части од, <т2, ..., сгп, (Ut7 = D. сг^Охсг^ — 0,
i / j), площади которых обозначим через Дад, Дод, •••, Д<7П. За-
фиксируем точки Pk € од, к = 1, ..., п.
3
Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D называ-
ется п
[[ f(x,y)dxdy = 52/(Pfe)A(Tfe, (1)
J J maxdfe—>0
D k~l
если этот предел существует и не зависит от разбиения области D
и выбора точек (dk — диаметры от*).
Двойной интеграл можно вычислить с помощью повторного.
Если замкнутая область D задана неравенствами а х Ь,
У1(ж) у уч(х), где yi и у2 - непрерывные на [а,Ь] функции,
то интеграл (1) вычисляется по формуле (рис. 1)
ь
(2)
Замечания.
1. В интеграле (2) сначала вычисляется внутренний интеграл по перемен-
ной у (х— параметр). Полученный результат интегрируется по х.
2. Пределы внешнего интегрирования всегда постоянны.
Рис. 1. Рис. 2.
Если область D задана неравенствами с у < d,
xi(y) С х х2(у), где Xi, х2 — непрерывные на [с,d] функции,
то интеграл (1) можно вычислить по формуле (рис. 2)
Уf(x,y) dxdy =
D
(3)
Более сложные области горизонтальными и вертикальными
прямыми разбиваются на конечное число частей указанных типов.
4
Интеграл по всей области D есть сумма интегралов по этим стан-
дартным частям.
Аналогично, если V — замкнутая ограниченная область про-
странства, a f(x,y,z) непрерывна в V, вводится понятие тройного
интеграла от функции f(x,y,z) по области V:
[ [ [ f(x,y,z)dxdydz = Jim V/(Ffc)Ao-fc.
J J J max dk —>0
Тройной интеграл также можно вычислить с помощью повтор-
ного. Если замкнутая область V задана неравенствами а х Ь,
У1(х) У Уэ(х), z1(x,y) z z2(x,y), где yj, Zj (j = 1,2) —
непрерывные в соответствующих областях функции, то (рис. 3)
Ь ?/2(а0 z2(x,y)
а 3/1 (ж) Z! (х,у)
Рассмотрим замену переменных в двойном и тройном интег-
ралах:
1. Если замкнутая область D' плоскости переменных u, v ото-
бражается в замкнутую область D плоскости переменных ж, у с
помощью формул х = x(u,v), у = y(u,v), где ж(и, v), y(u,v) - не-
прерывно дифференцируемые функции, причем якобиан преобразо-
о
вания
D(x,y)
D(u, v)
0, то справедлива формула
f(x,y)dxdy = Ц f(x(u,v),y(u,v)}
D D’
I £>(£,?/)
| D(u, v)
dudv.
(5)
При переходе к полярным координатам х — р cos ip, у = psincp,
якобиан преобразования равен р. Тогда получаем
УУ f(x,y)dxdy = J'J' f(pcosp,psinp)pdpdp. (6)
D D
2. Если замкнутая область V пространства переменных и, v,
w отображается в замкнутую область V пространства перемен-
ных х, у, z с помощью непрерывно дифференцируемых функций
х = x(u,v,w), у = y(u,v,w), z = z(u,v,w), причем якобиан преоб-
D(x,y,z) . п
разования --------- Ф 0, то имеет место
D(u,v, w)
ш
f(x, у, z) dxdydz
u, и, w), у(и, г, w), z(u, V, w)) х
v
V
(7)
dudvdw.
x D(x,y,z)
D(u, v, w)
Переходя к цилиндрическим координатам (рис. 4) по формулам
D{x,y,z)
х = pcosp, у = psmp, z = z, имеем —---------- = р,
D(p. ip, z)
f(x,y,z) dxdydz = f(p cos (p,psintp,z)pdpd(pdz. (8)
v
Переходя к сферическим координатам (рис. 5) по формулам
х = р sin в cos 77, у ~ psinO slop, z — pcosO и учитывая, что
D(x.y,z) 9 . .
------— = р sin 6», получаем
УУУ /(.г, у, z) dxdydz — j f(psindcosp, psin 0 sin p,p cosв)х
хр2 sin 0 dpdpdO.
(9)
6
Пусть на кусочно-гладкой кривой АВ (рис. 6) задана функция
f(P). Разобъем кривую АВ на элементарные части AMi+i точками
А = Aq, Ai, Ап = В. Обозначим длину дуги АМн-i через
Криволинейным интегралом I рода от функции f(P) по кривой АВ
называется
/п—1
f(JP)dl= lim (10)
max Д/,—>0 '
АВ г=0
если этот предел существует и не зависит от разбиения кривой АВ
и выбора точек Pi AiAi+i.
Интеграл (10) не зависит от выбора направления на кривой, т.е.
I f(p)dl = I J(p)dl.
АВ ВА
Если плоская кривая АВ задана явно уравнением у = д(х)
(а х Ь), то
7
b
У f(P)dl = У f(x,g(x))\Jl + g'2 (x)dx. (11)
AB a
Если пространственная кривая AB задана параметрическим
уравнением х — x(t), у — y(t), z = z(t) (to t ti), to
ti
У f(p)dl" У f(x(t),y(t), z(t))y/x2(t) + y2(t) + z2(t)dt. (12)
AB t0
Пусть на кусочно-гладкой кривой АВ (рис. 7) заданы непре-
рывные функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) и пусть А = Ао,
А1, А%, An-i, Ап ~ В — произвольное разбиение кривой АВ,
Mi(xi,yi,Zi) — произвольная точка дуги AiAi+i (i = 0, 1, п~ 1).
Криволинейным интегралом II рода называется
У Р(х, у, z) dx + Q(x, у, z) dy 4- R(x, у, z) dz =
AB
n—1
= lim V(P(Mi)Axi + Q(Mi)^yipR(Mi)^zi), (13)
max zy
г=0
где Дж/ = xi+i - Xi, Ауг = yi+i - yi, b.Zi = zi+1 - Zi.
При изменении направления интегрирования криволинейный
интеграл II рода изменяет свой знак на противоположный.
Если плоская кривая АВ задана уравнением у = f(x) (а х Ь),
то
У Р(х, у) dx + Q(x, у) dy =
АВ
ь
= У [P(x,f(x)) +Q(x,f(x)) • Г(ж)] dx. (14)
а
Если пространственная кривая АВ задана параметрическими
уравнениями х ~ x(t), у — y(t), z = z(t) (to t ti), где x(t), y(t),
z(t) — непрерывно дифференцируемые функции, то
У Р(х, у, z) dx + Q(x,y, z) dy + R(x, y, z) dz ~
AB
8
[P(x(t), ?/(/), z(t))x(t) + y(t),z(tyy(i)+
to
+R(x(t),y(t),z(t))z(t)]dt. (15)
Интеграл (13) называют также линейным интегралом вектор-
функции
Р(т, у, z) = Р(х,у, z}i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k.
Физический смысл линейного интеграла — работа силового поля
F(x,y,z) при перемещении материальной точки по кривой АВ из
точки А в точку В.
Пусть L — плоская кусочно-гладкая замкнутая кривая, D —
ограниченная этой кривой область, которая остается слева при об-
дР дО
ходе вдоль кривой L. Если функции Р, Q, -7—, -7— непрерывны в
ду дх
области D, то справедлива формула Грина (рис. 8):
dxdy.
(16)
Рис. 8.
L
D
Пусть на гладкой поверхности S, ограниченной кусоно-гладким
контуром, определена непрерывная функция F(x,y,z) = F(P). Раз-
обьем поверхность S на элементарные части Si, ..., Sn, площади
которых обозначим через (г — 1, 2, ..., п). Поверхностным
9
интегралом I рода функции F(x,y,z) по поверхности S (рис. 9) на-
зывается
[ [ F(x,y,z)ds = lim (17)
J J max dj —>0^—'
S 2=1
если этот предел существует и не зависит от разбиения поверхности
S и выбора точек Pi G Si (di — диаметры Si).
Если поверхность S задана уравнением z = f(x,y), то
jj F(x,y,z) dS = jj F(x^yJ(x,y))^l + f,2x + f2ydxdy, (18)
S Dxy
где Dxy — проекция поверхности S на плоскость Oxy.
Пусть S — гладкая двусторонняя поверхность, на которой за-
даны непрерывные функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z). Фикси-
руем одну из сторон поверхности S. Пусть cos a, cos/?, cos 7 —
направляющие косинусы нормали к поверхности S. Поверхност-
ным интегралом II рода от вектор-функции F(x,y,z) = Р(х,у, z)i+
+Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k по выбранной стороне поверхности S на-
зывается
УУ Р dydz + Q dxdz + R dxdy = j^(P cos a + Q cos ,в + R cos 7) dS.
s s
(19)
Интеграл (19) называется также потоком векторного поля
F(x,y,z) через поверхность S.
Переход к другой стороне поверхности меняет знак поверхност-
ного интеграла II рода.
Если гладкая поверхность S определяется уравнением
z = f(x,y), то направляющие косинусы нормали к этой поверх-
ности вычисляются по формулам
. -fy
cos а = --. ....—; cos р ~ ;
±y/i + f2x + Py + f'i + f'i
COS 7= ---— ...1...... (20)
±a/1+f'l+f'i
Выбор знака перед радикалом определяется тем, какой угол
(острый или тупой) образует нормаль к данной поверхности.
10
Векторный анализ
Если каждой точке М некоторой области V пространства по-
ставлено в соответствие некоторое число (р(ЛГ) (некоторый вектор
F(M)), то говорят, что в V задано скалярное (векторное) поле.
Градиентом скалярного поля <р(М) называется вектор
л д(р^ дф^ dip?
grad 92 = ~г + —] + -£-к. (21)
дх ду dz
Пусть I — произвольная кривая, лежащая в V, Mq G /,
AZ — длина дуги кривой от точки Mq до точки М, вектор
т — {cos си, cos/3, cos 7} задает направление касательной к I в точ-
ке Mq.
Производной скалярного поля <р(М) по направлению т в точке
Мо называется
д<р(М0) _ <р(М) - <р(М0)
дт ~ дКо А/
которая вычисляется по формуле
Зф(Мо) . , . л
——— = (grad<p(M0),T) =
дММо] дММо) п дср(М0)
— —1—L cos а _|----—L cos ------—L cos 7. (22)
дх ду dz
Если кривая / задана параметрическими уравнениями х = x(t),
у = ?/(/), z = z(t), t0 — значение параметра, соответствующее точке
Mq, ТО
Wo)X(MMo)}
y/x^to) + у2 (to) + z2 (to)
Векторное поле F(M), совпадающее с полем градиента не-
которого скалярного поля <р(М), называется потенциальным, т.е.
F(M) = grad ХМ
Работа векторного поля F(M) по перемещению материальной
точки из Mq в Mi вычисляется по формуле
А — у (F,dr), (23)
Л/0Л/1
где dr = dx i + dy • j + dz к.
11
Если поле F(M') потенциально^ то работа А = — р(М0).
Циркуляцией векторного поля F(M) по замкнутой кривой I на-
зывается линейный интеграл
ц =
(24)
Циркуляция потенциального векторного поля по всему замкну-
тому контуру равна нулю.
Пусть S — ограниченная кусочно-гладкая ориентированная по-
верхность, F(M) — векторное поле в области V, S С V.
Потоком поля F(M} через поверхность S называется
TL = jj\F,fi)dS, (25)
s
где п — единичный вектор нормали, характеризующий сторону по-
верхности.
Замечание. Если поверхность S замкнутая, то будем выбирать внешнюю
нормаль п.
Если поверхность S задана уравнением z — f(x,y), аху — про-
екция поверхности S на плоскость Оху, то поток
И = JJ(F, ff)dS = Ц gl dxdy, (26)
S <Txy z=f(x,y)
где i!
grad(z - Лх,уУ) -Дг - fyj + k
| grad(z —/(ж, j/))| 1 ’
COS 7 = ± 1. .
у f'x + f'l + 1
Если угол между осью Oz и нормалью п острый, то в формулах
(27) берется знак “+”, если же угол 7 тупой, то берется
Аналогичные формулы получаются, если возможно взаимно од-
нозначно проектировать поверхность S на координатные плоскости
Oyz и Oxz.
12
В случае, когда поверхность S задана неявно уравнением
Ф(ж,т/,г) = 0, вектор п находится по формуле
grad Ф (я, у, z) Ф'ж?+Фу.) + Ф'Д
—г~ — ...........—— ~ — .....
^гааФ(®,2/,^)| /ф,2 'ф,2 + Ф,2’
у ж у z
(28)
где знак в правой части определяется выбором нормали к поверх-
ности S.
Пусть F(M) — Р(х,у,г)г + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k, где функ-
ции Р, Q, R непрерывны со своими частными производными в
области V — векторное поле.
Дивергенцией векторного поля F(M) называется
div F(M) _ —S—1 _|—QL—1 ------.L—(29)
ox oy oz
Векторное поле F называется соленойдальным, если в каждой
точке поля divF = 0.
Если поверхность S замкнута и V — область, ограниченная
поверхностью 5, то справедлива формула Остроградского —Гаусса:
П =
///
V
div FdV.
(30)
Вихрем (ротором) векторного
поля F(M) называется вектор
i j к
д д д
TOiF:= =
ох оу OZ
Р Q R
fdR dQ\~ (дР dR\-> (dQ ЭР\Г
= д-----я----------------------------1г]к- (31)
у оу oz J yoz ox J у ох оу J
Если в каждой точке поля rotF = 0, то векторное поле F(M)
называется безвихревым.
В односвязной области всякое безвихревое поле потенциально.
Пусть S — ограниченная кусочно-гладкая поверхность с ку-
сочно-гладкой границей L, F(M) — дифференцируемое векторное
поле, тогда справедлива формула Стокса
<l(F,d7)
L
J(rot F, п) dS,
s
(32)
13
где ориентация нормали п к поверхности S согласована с ориента-
цией кривой L так, чтобы с конца нормали обход L в выбранном
направлении был виден против часовой стрелки.
Решение типовых задач
Задача 1. Изменить порядок интегрирования
Решение. По пределам интегрирования определим об-
ласть интегрирования. Область D\ определяется неравенства-
ми —2 гС х —л/З, 0 у л/4 — ж2, а Z)2; — \/3 х О,
О у 2 — л/4 — ж2.
Построим на рис. 10 эти области и заметим, что область интег-
рирования D = Di U Г2 определяется неравенствами
0 у 1, -д/4 - у2 < х -у/4у - у2.
Тогда
Задача 2. Найти площадь области D, ограниченной данными
линиями: у2 — 4у + х2 = Q, у2 — 8у + х2 = 0, у = х/у/З, х = 0.
Решение. Известно, что S = Jf dxdy. Построим область
D
D (рис. 11), которая будет ограничена дугами двух окружностей
14
x2 + (.У ~ 2)2 = 4 и x2 + (у - 4)2 = 16, прямой у — x/\/3> и осью Оу.
Так как область имеет круговую форму, целесообразно перейти к
полярным координатам: х = pcoscp, у = р sin ip. Уравнения окруж-
ностей в полярных координатах примут вид р = 4 sin </?, р = 8 sin </?,
поэтому область D определяется неравенствами — ip С —,
4 sin 99 р 8sin</?. Тогда
тг/2 8 sin ip
s =
s
тг/б 4sin</?
Задача 3. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
„ 9 25 2
ж2 + у2 + 2х = 0, z = —— у , z = 0.
Решение. Известно, что V — dxdydz. Построим те-
v
ло G, которое будет ограничено снизу плоскостью z = 0, свер-
25 .->
ху — параболическим цилиндром z — —— у , сбоку -цилиндром
х2 + у2 + 2х = 0, проектирующим тело G на плоскость Оху в круг
(х + I)2 + у2 1. Тогда
/УУ dxdydz =
х = р cos 99
у — psin<^
z = z
тг/2
Зтг/2
dp ~
— 2 cos <р
dip =
О
4 • 2
р sm
4
25 п 2 . 2 '
~ cos Zip — cos ip sm
dip =
15
Зтг/2
25 1 f
= —7Г — - / (1 + cos 2^3 — cos 4^ — cos2 ip cos 4ср) dip = бтг.
тг/2
Задача 4. Найти поток векторного поля
F = (.У2 + z2)i + (ХУ + y2)j + (xz + z)k
через замкнутую поверхность S: х2 + у2 = 1, z = 0, z — 1: а) непо-
средственно; б) по формуле Остроградского - Гаусса.
Решение.
1. Известно, что П = (F,n)dS, его можно представить в
s
виде суммы интегралов по плоскостям z — 0, z ~ 1 и по цилиндру
х2+у2 = 1, которые обозначим соответственно Si, Sz и S3. Поэтому
//(Т.П)
S
dS =
JJ(F,X)dS +
Si
dS + dS.
s2 s3
На поверхности Si z = 0, нормалью к поверхности Si будет
n = {0,0, —1}, (JT,n) = — (xz + z)|2=o = 0. Следовательно,
П!
yy\r,n) dS = 0.
Si
На поверхности Sz z — 1, нормалью к Sz будет n = {0,0,1},
(F,n) = (xz + ^)|s2 = x + 1. Поверхность Sz проектируется на
плоскость Oxy в круг х2 4- у2 С 1, dS\s2 = dxdy. Имеем
П2
(р2 cos ср-\-р) dp
— 7Г.
, его представим в виде сум-
Рассмотрим интеграл j
S3
мы интегралов по частям цилиндра: для одной у 0, для другой
у < 0, которые обозначим соответственно и S3-. Будем иметь
сЧ-
°3
I(F,n) dS.
S3
16
Обе поверхности и S7 проектируются на плоскость Oxz в
прямоугольник - 1 я: 1, ОО0- На поверхности выпол-
няется равенство у = \/1 — ж2, а на поверхности — равенство
у — —\/1 — х2. Так как рассматривается внешняя нормаль, то в
формуле
grad (ж 2 4- г/2 - 1) _ {2х;2у;0}
| grad(.r2 4- у2 - 1)| 2у/х2 + у2
= ±{ж;г/;0}
ж2+у2=т
надо взять знак “4-”. Тогда
(F, n) dS\s+ = (2ху2 4- xz2 4- у3)
3 и
/ /—-- XZ2 \
= I 2ж\/1 — х2 4—,=-- 4- 1 — х2 ) dxdz.
\ yfi^X2
(F, п) d5|s- = (2жг/2 4- xz2 4- у3) ——
(о
2х\/1 - х2 4- - , = Z.- 4-1 - :
х/1^2
у— — \/1 —Ж2
dxdz.
В итоге получаем
11 2
= 2 dz [ 2х\/1 — х2 4-‘.4- 1 — х2 ) dx = 0.
J J \ vT^2 J
о -i
Окончательно: П = Щ + Щ 4- Пз = тг.
2. По формуле Остроградского — Гаусса
П = JJ(F,n)dS = Щ div FdV.
s v
divF = -—(z/2 4- z2) 4- ^~(xy 4- y2) + ^-(xz + z) = x 4- 2y 4- x 4-1.
ox oy oz
17
Тогда
П = j\x + 2у + х А 1) dV =
x = pcosp, J = p,
у — psmp, x2 + у
z — z, p = 1.
~ УУУ [2p(cos + sin T7) + 1] dp p dpdz =
v
2тг 1 1
- У dp У p dp J'[2p(cosp + sinp) A l]dz =
0 0 0
2тг 1
о о
о
О 1 2
2 о , . \ р
-р (cos + sm (/?) 4- —
о n Z
г
dtp =
о
о
• ч Я
cos p + sm p) + -
dp = тг.
о
Задача 5. Вычислить работу силы F — (ж - y)i + j при пе-
ремещении вдоль линии L: х2 Т у2 = 4 (у 0) от точки 7И(2;О) к
точке 7V(—2;0).
Решение. Известно, что А = j (F, dr) = j\x ~y)dx + dy, где
L L
L — полуокружность, которая может быть задана параметрически-
ми уравнениями х — 2 cost, у = 2sint, t € [0;%]. Тогда
A = J [(2cost - 2sint)(-2sint) + 2cost] dt —
о
= 2 j (— sin 2t + 1 — cos 2t + cos t) dt ~
о
— (cos 2t + 2t — sin 2f + 2 sin i) |q = 2%.
18
Задача 6. Вычислить циркуляцию векторного поля
а = yzi — xzj + хук вдоль линии L, получаемой пересечением полу-
сферы х2 + у2 + z2 — 9, z 0 и цилиндра х2 + у2 — 9: а) непосред-
ственно; б) по формуле Стокса.
Решение.
1 И г л Г X2 + у2 = 9
1. Линия L будет окружностью < _ , параметричес-
I Z — о
кое уравнение которой х = 3cost, у = 3 sin t, z — 3, 0 С t 2тг.
Тогда
- xzdy + xy dz —
L
-54тг.
2тг 2тг
— У (—27 sin21 — 27 cos21) dt = —27
о о
2. Для вычисления циркуляции по формуле Стокса в качест-
ве поверхности S, натянутой на линию L, выберем круг ради-
усом 3 (рис. 12). Тогда единичная нормаль к поверхности S:
Рис. 12.
n = к ~ {0; 0; 1}. Вычислим
rot d —
i
д
дх
yz
j
д
д'У
—xz
к
д
dz
xy
= 2xi — 2zk-,
dS = dxdy.
По формуле Стокса
rota, п) dS — f j\—2z) dxdy = —6dxdy =
19
= -6
—бтг 9 = — 54тг,
так как z = 3 и площадь круга о — проекции поверхности S на
плоскость хОу радиуса г = 3 — ят2 = 9%.
Контрольная работа 9
Задача 1. Изменить порядок интегрирования:
о о
f(x,y)dx + У dy У
-1
f(x,y)dx.
1.1.
f(x,y)dx.
-1 ч/2+у 0 V~y
1.7. J dy У f(x,y) dx + J dy J f(x,y)dx.
— 2 0 -10
20
1.12.
ж/4 sin у ж/2 cosy
1.13. j dy У f(x,y)dx + У dy У f(x,y)dx.
0 0 x/4 o
-1 0 0 0
1.14. У dx У f(x,y)dy + У dx У f(x,y)dy.
-2 -(24-я) “I
1.15.
о
In у
f(x,y) dx +
21
12/ el
1.21. У dy J f(x,y}dx + J dy J f(x,y)dx. 0 0 1 In у 1 x2 л/2 У2 —ж2
1.22. У dx У f(x,y)dy + У dx У f(x,y)dy. 0 0 10 тг/4 sin ж тг/2 cos а:
1.23. У dx У f(x,y)dy+ У dx У f(x,y)dy. 0 0 тг/4 о -10 0 0
1.24. У dy У f(x,y)dx + У dy У f(x,y)dx. -х/2 -1 у 1 ж3 2 2 — х
1.25. У dx У f(x,y)dy + У dx У f(x,y)dy. 0 0 10 Уз 2-У4^ж^ 2 У4 —ж2
1.26. У dx У f(x,y)dy + У dx j f(x,y)dy. 0 0 Уз 0 10 2 0
1.27. У^ж У f(x,y)dy + У dx У f(x,y)dy. 0 — у® 1 — у/2 — х 1 х У2 У2-ж2
1.28. У dx У /(ж, у) dy + У dx У f(x,y)dy. 0 0 10 1 у/У У2 л/2~У2
1.29. У dy f f(x, у) dx + У dy У f(x,y)dx. 0 0 1 о 1 у/х 2 У2—ж
1.30. У dx У f(x,y)dy + У dx У f(x,y)dy. 0 0 10
Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной данными
линиями:
2.1. у2 ~ 2у + х2 = 0, у2 — 4у 4- ж2 = 0, у = ж/\/3, У — л/Зж.
2.2. ж2 - 4ж 4- у2 — 0, ж2 - 8ж 4- у2 = 0, у = 0, у = х[>/3.
2.3. у2 — бу + ж2 — 0, у2 — 8у 4- ж2 = 0, у = ж/л/3, У — л/Зж.
2.4. ж2 — 2ж 4- у2 — О, ж2 — 4ж 4- у2 — О, у — О, у — х.
22
2.5. у2 — 8у + х2 — 0, у2 — 101/ 4- ж2 = 0, у = ж/д/3, у — д/Зж.
2.6. х2 — 4ж 4- у2 — 0, х2 — 8® 4- у2 — 0, у — 0, у ~ х.
2.7. у2 — 4у 4- ж2 = 0, у2 — бу 4- ж2 = 0, у = х, х = 0.
2.8. ®2 — 2ж 4- у2 = 0, х2 — 10® 4- у2 = 0, у = 0, у = д/Зж.
2.9. у2 — бу 4- ж2 = 0, у2 — 101/ 4- ж2 = 0, у = ж, х = 0.
2.10. х2 — 2® 4- у2 = 0, ж2 — 4х 4- у2 = 0, у = ж/д/3, у = д/Зж.
2.11. у2 — 2у 4- ж2 = 0, у2 — 4у 4- ж2 = 0, у = л/З®, ж = 0.
2.12. ж2 — 2ж 4- у2 = 0, ж2 — 6® 4- у2 = 0, у = ®/д/5, у = д/З®.
2.13. у2 — 4у 4- х2 = 0, у2 — бу 4- ®2 — 0, у = д/З®, ж — 0.
2.14. ж2 — 2ж 4- у2 = 0, ж2 — 8® 4- у2 = 0, у = ®/д/5, у = д/Зж.
2.15. у2 — 2у 4- ж2 = 0, у2 — бу 4- х2 = 0, у = ж/д/3, ж = 0.
2.16. ж2 — 2ж 4- у2 = 0, ж2 — 4х 4- у2 = 0, у = ж/д/3, у = 0.
2.17. у2 — 2у 4- ж2 = 0, у2 — 10у 4- ж2 — 0, у = ж/д/3, у = д/Зж.
2.18. х2 — 2® 4- у2 = 0, х2 — 6® 4- у2 = 0, у = ж/д/3, у = 0.
2.19. у2 — 41/ 4- ж2 = 0, у2 — 101/ 4- ж2 = 0, у — ж/д/3, у = д/Зж.
2.20. ж2 — 2х 4- у2 = 0, ж2 — бх 4- у2 = 0, у = х, у = 0.
2.21. у2 — 2у 4- ж2 = 0, у2 — 4у 4- х2 = 0, у = ж, ж — 0.
2.22. ж2 — 2® 4- у2 — 0, ж2 — 4® 4- у2 = 0, у = 0, у = у/Зх.
2.23. у2 — бу + х2 = 0, у2 — 8у 4- х2 = 0, у = ж, х = 0.
2.24. ж2 ~ 4ж 4- у2 = 0, ж2 — 8х 4- у2 = 0, у — 0, у = д/Зж.
2.25. у2 — 4ж/ 4- ж2 = 0, у2 — 8у 4- ж2 = 0, у = ж, ж — 0.
2.26. ж2 — 4ж 4- у2 = 0, ж2 — 8ж 4- у2 = 0, у = ж/д/3, у = д/З®.
2.27. у2 — 4у 4- ж2 = 0, у2 — 8у 4- х2 = 0, у = д/Зж, х — 0.
2.28. ж2 — 4® 4- у2 = 0, х2 — бх 4- у2 — 0, у = ж/д/% у = д/З®.
2.29. у2 — 2у 4- ж2 — 0, у2 — 101/ 4- ж2 = 0, у — ж/д/3, х = 0.
2.30. ж2 - 6ж 4- у2 = 0, х2 - Юж 4- у2 = 0, у — ж/д/3, у — д/Зж.
Задача 3. Найти объем тела, заданного ограничивающими его
поверхностями:
3.1. ж2 4- у2 = 2у, z ~ 5/4 — ж2, z — 0.
3.2. ж2 4- у2 = у, х2 + у2 = 4у, z = 0, z ~ д/®2 + у'2.
3.3. ж2 + у2 = 8д/2ж, z = ж2 4- у2 — 64, z — 0 (z 0).
3.4. ж2 + у2 4- 4® = 0, z — 8 — у2, z — 0.
3.5. ж2 4- у2 = 6ж, ж2 4- у2 = 9ж, z — 0, z — д/ж2 4- у2, у — б
(У 0).
3.6. ж2 4- у2 = 6д/21/, z = ж2 4- у2 — 36, z — 0 (z 0).
3.7. ж2 4- у2 = 21/, z — 9/4 — ж2, z — 0.
3.8. ж2 4- у2 — 2у, х2 + у2 — 5у, z — 0, z — д/ж2 4- у2-
3.9. ж2 4- у2 4- 2д/21/ = 0, z — ж2 4- у2 — 4, z — 0 (z 0).
3.10. х2 4- у2 = 4®, z = 10 — у2, z = 0..
23
3.11. ж2 + у2 = 7ж, х2 4- у2 = 1бж, z — 0, z — л/ж2 4- у2, у — О
(У О).
3.12. ж2 + у2 = 8>/2у, z = ж2 +у2 — 64, z — О (z О).
3.13. ж2 + у2 = 2г/, z = 13/4 - ж2, z = О.
3.14. ж2 4- у2 = Зу, х2 4- у2 — бу, z = 0, z — \/х2 4- у2.
3.15. ж2 4- у2 = 6\/2ж, z = ж2 4- у2 — 36, z — О (z О).
3.16. ж2 4- у2 = 2у/2у, z = ж2 4- у2 - 4, z — 0 (z О).
3.17. ж2 4- у2 = 4ж, z — 12 - у2, z = О.
3.18. ж2 4- у2 = 8ж, ж2 4- у2 = Иж, z = О, z — у/х2 + у2, у = О
(У О).
3.19. ж2 4- у2 = 4\/2ж, z = ж2 4- у2 - 16, z = О (z О).
3.20. ж2 4- у2 = 4у, z = 4 — ж2, z — 0.
3.21. ж2 4- у2 = 41/, ж2 4- у2 — Ту, z — 0, z — д/ж2 4- у2.
3.22. ж2 4- у2 — 4у/2у, z = ж2 4- у2 - 16, z — 0 (z 0).
3.23. ж2 4- у2 4- 2ж = 0, z = 17/4 - у2, z = 0.
3.24. ж2 4- у2 — 9ж, ж2 4- у2 = 12ж, z = 0, z — д/ж2 4~?/2, у = О
(У Z 0)-
3.25. ж2 4- у2 4- 2\/2ж = 0, z — ж2 4- у2 - 4, z = 0 (г 0).
3.26. ж2 4- у2 — 4у, z = 6 — ж2, z = 0.
3.27. ж2 4- у2 = Юж, ж2 4- у2 = 13ж, z = 0, z = у/х2 + у2, у = О
{у > 0).
3.28. ж2 4- у2 = 2л/2ж, z ~ ж2 4- у2 - 4, z = 0 (г > 0).
3.29. ж2 4- у2 — 2ж, z = 21/4 - у2, z — 0.
3.30. ж2 4- у2 = Зу, ж2 4- у2 = 8у, z — 0, z — д/ж2 4- у2.
Задача 4. Найти работу силы F при перемещении вдоль линии
L от точки М к точке N.
4.1. F = (ж2 — 2у)г 4- (у2 — 2ж)/, L: отрезок MN, М(—4; 0),
М°;2).
4.2. F — (ж2 4- 2г/)г 4- (у2 4- 2x)j, L: отрезок MN, М(-4; 0),
W;2).
4.3. F = (ж2 + 2у)г 4- (у2 4- 2ж)/, L: 2 - ж2/8 = у, М(-4- 0),
М°;2).
4.4. F = (x + y)i 4- 2xj, L: х2 + у2 = 4 (у 0), М(2;0), jV(—2;0).
4.5. F = х3г + у3д, L: х2+у2 = 4 {у 0, ж 0), М(2; 0), 2V(0; 2).
4.6. F = (х + у)г + (х - y)J, L-. у = ж2, М(~1; 1), 7V(1; 1).
4.7. F = х2уг — yj, L: отрезок MN, М( — 1; 0), 7/(0; 1).
4.8. F = (2ху — у)г 4- (ж2 4- x)j, L: ж2 4- у2 — 9 (у 0), М(3; 0),
ЛГ(-3;0).
24
4.9. F — (x +• y)i 4- (ж — y)j, L: ж2 4- ?/2/9 = 1 (у F 0, ж 0),
M(l;0), W(0;3).
4.10. F = yi — xj, L: x2 + y2 = 1 (y 0), M(l;0), N(-l;0).
4.11. F = (x2+y2)t + (x2 -y2)j, L: | 2’-°ж^1<ж’<2
4.12. F = yi- xj, L: x2 + y2 = 2 (y 0), M(\/2;0), Я(-\/2;0).
4.13. F = xyi 4- 2yj, L: x2 4- у2 = 1 (у 0,ж 0), M(l; 0),
2V(0;l).
4.14. F = yt-X3, L- 2x2 + y2 = l (у 0), М(1/л/2;0),
7V(-l/x/2;O).
4.15. F = (x2+y2)(i + 2j),L-. x2 + y2 = R2 (y > 0), M(R;0),
N(—R;Q).
4.16. F = (ж 4- У\/х2 F у2)i F (у — xy/x2 4- ?/2)j, L: x2 4- y2 = 1
(^>0),M(l;0^(-l;0).
4.17. F = x2yi — xy2j, L: x2 4- y2 = 4 (у F 0,ж 0), M(2;0),
MO; 2).
4.18. F = (ж 4- уу/х2 4- y2)i 4- (у — у/x2 4- y2)j, L- x2 Fy2 ~ 16
(у 0,ж 0), M(4; 0), MO;4).
4.19. F = y2i — x2j, L: x2 4- y2 = 9 (у 0, ж 0), M(3;0),
7V(O;3).
4.20. F = (xFy)2t —(x2 Fy2)j, L: отрезок MN, M(l;0), N(Q; 1).
4.21. F = (ж2 + у2)г + у2j, L: отрезок MN, M(2;0), N(0;2).
4.22. F = х2з, L- x2 + y2 = 9 (у 0,ж 0), M(3;0), M0;3).
4.23. F = (y2 - y)i 4- (2xy + ж);, L: x2 4- y2 ~ 9 (y 0), M(3; 0),
N(-3;0).
4.24. F = xyi, L: у = sin ж, М(тг;0), M0;0).
4.25. F — (xy - y2)i 4- xj, L: у = 2ж2, M(0; 0), N(l; 2).
4.26. F = xi + уj, L: отрезок MN, 2И(1;0), 2V(0;3).
4.27. F=(xy- х)г 4- x2/2j, £: у = 2y/x, M(0; 0), Ml;2)-
4.28. F= -xi + yj, L-. x2Fy2/9 = 1 \y 0,ж 0), M(l;0),
M0;3).
4.29. F=-yi + xt L-. 1/ = ж3,М(0;0), 7V(2;8).
4.30. F = (ж2 — y2}i 4- (ж2 + у2}]-, L: ж2/9 4- ?/2/4 = 1 (y 0),
M(3;0), 7V(-3;0).
25
Задача 5. Найти поток векторного поля а через замкнутую
поверхность S (нормаль внешняя) двумя способами: а) непосредст-
венно и б) применив теорему Остроградского—Гаусса.
5.1. а — х2г 4- xj 4- xzk,
S: z = x2 + у2, z = 1, x = 0, у — 0 (ж 0, у 0, z 0).
5.2. а = (х2 + y2)i + (у2 + x2)j 4- (у2 4- z2)K,
S: х2 4- у2 — 1, z = 0, z = 1.
5.3. а — x2i + y2j + z2k,
S: z2 ~ x2 y2, x2 + y2 4- z2 = 4 (z 0).
5.4. a = x2i + yj -I- zk,
S: x2 4- y2 4- z2 = 1, z = 0 (z 0).
5.5. a — xzi 4- zj + yk,
S: x2 4- y2 = 1 — z, z — 0.
5.6. a = 3xzi — 2xj 4- yk,
S: x + у + z = 2, x = 1, x = 0, у ~ 0, z = 0.
5.7. a — x2i 4- y2j 4- z2k,
S: x2 4- y2 4- z2 = 2, z = 0 (z 0).
5.8. a ~ x3i 4- y3j 4- z3k,
S: x2 4- y2 4- z2 = 1.
5.9. a — (xz 4- y)i 4- (yz — x)j - (y2 4- x2)k,
S: x2 4- y2 4- z2 = 1, z = 0 (z 0).
5.10. a = y2xi 4- z2yj 4- x2zk,
S: x2 4- y2 4- z2 = 1.
5.11. a = x2i 4- y2j 4- z2k,
S: x2 4- y2 4- z2 = 1, x = 0, у — 0, z — 0 (ж 0, у 0,
z 0).
5.12. a = x2i 4- xyj 4- 3zk,
S: z2 = x2 4- y2, z = 4.
5.13. a = (xz 4- y)i 4- (yx — z)j 4- (x2 4- zy)k,
S: x2 + y2 = 2, z = 1, z = 0.
5.14. a = xy2i 4- x2yj 4- zk,
S: x2 4- у2 — 1, z = 1, x = 0, у = 0, z — 0 (x 0, у 0,
z 0).
5.15. a = xyi 4- yzj + zxk,
S: z2 = x2 4- y2, x2 4- y2 4- z2 — 16 (z 0).
5.16. a — 3x2i — 2x2yj 4- (2x — l)zk,
S: x2 4- y2 = 1, z = 0, z — 1.
5.17. a — x2i 4- y2j 4- 2zk,
S: x2 4- y2 — 1/4, z = 2, z — 0.
26
5.18. a = xyi 4- yzj + zxk,
S\ x2 4- y2 = 4, z = 1, z — 0.
5.19. a = xyi 4- yzj 4- zxk,
S: x2 4- y2 4- z2 = 1, x ~ 0, у = 0, z = 0 (x 0, у 0,
z 0).
5.20. a = zi 4- yzj — xyk,
S: x2 4- y2 = 4, z = 1, z = 0.
5.21. a = (xz 4- y)i — (2y — x)j ~ (x2 4~ y2)k,
S: x2 + y2 4- z2 = 1, z — 0 (z 0).
5.22. a = (x2 4- yx)i 4- (y2 4- yz)j 4- (xz 4- z2)k,
S: z2 — x2 4- y2, x2 + y2 + z2 = 1 (z 0).
5.23. a = 3x2i - 2x2yj 4- (1 - 2x)k,
S: x2 4- y2 = 1, z — 1, z = 0.
5.24. a = x2i,
S: z = 1 - x — у, x = 0, у = 0, 2 = 0.
5.25. a = (xz 4- y2)i 4- (yx - z)j 4- (yz 4- x)k,
S: x2 4- y2 = 1, z — a/2, 2 = 0.
5.26. a = yi 4- y2j 4- yzk,
S: z = x2 4- y2, 2 = 1, x = 0, у = 0 (ж 0, у 0, z 0).
5.27. a = yi + 2zyj 4- 2z2k,
S: x2 4- y2 = 1 - 2, 2 = 0.
5.28. a = 2xyi 4- 2yxj 4- z2k,
S: x2 4- y2 4- z2 — y/2, z = 0 (2 0).
5.29. a = xy2i 4- yx2j 4- 23/Зк,
S: x2 4- y2 + z2 = 1, 2 = 0 (2 0).
5.30. a = -xi 4- 2yj 4- yzk,
S: z2 = x2 4- y2, z = 4.
Задача 6. Найти циркуляцию векторного поля а вдоль конту-
ра L двумя способами: а) непосредственно и б) применив теорему
Стокса.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
а = (х2 - у)г 4- xj 4- к, L-. |
“* (% — 4:
a = xzi-j + yk,L-.
а = yzi 4- 2xzj 4- хук, L:
а = xi 4- yzj — хк, L: <
( х2 4- у2 4- 22 = 25,
| х2 4- у2 = 9 (2 > 0).
х 4- у 4- 2 = 1,
х2 4- у2 = 1.
27
6.5. a =
6.6. a =
6.7. a =
6.8. a =
6.9. a -
6.10. a
6.11. a
6.12. a
6.13. a
6.14. a
6.15. a
6.16. a
6.17. a
6.18. a
6.19. a
6.20. a
6.21. a
6.22. a
6.23. a
(x - у)г + xj - zk, L: | ® _+5a
yi-xj + z2k,L: { ^з(х2 + Л + 1.
yzi 4- 2xzj + y2k, L: | X2 + y2 + Z ~7
J [ x2 + y2 = 16 (z > 0).
xyi + yzj + xzk, L: {
4xi + 2]-xyk,L-. { * JU2 + V2) + I-
yi- xj + z2£, L: | ® _+4y -
2уг — 3xj + z2fc, L-. | 7=V2 = Z'
-3zi + y2j + 2yk,L-. { *7^2"=24 = 1’
29U5z> + 3^,L: { ^^2 = 1.
2yi + j- 2yzk, L: | " z2 = °’
(x - y)i + xj+ z2k, L: | x 4z ~ °’
xzi- j + yk,L: ( ^2+y + ^2 = 4,
[ z — 1.
2uz‘)-3- xzi — x2k T- X У~ z —25,
+ X 3 k,L- [ X2 + y2 = 9 (z > 0).
ixi-yzj+xk, L-. | 11
-yi + 2j + k, L: | ~ z2 = °’
yi + 3xj + z2k,L-- [ZzZx2 + y^l.
n 2 F* r f X2 + y2 + z2 — 25,
2yzr + xzj+y k,L: | X2 + уг = 16 (2 > 0).
/П 1* r (x + y + z~l,
(2 - xy)i — yzj — xzk, L-. < 9,2 л
К У J 1 XZ + уЛ _ 4
28
( x2 4- y2 4- z2 — 9,
[ ж2 4- y2 = 1 (z > 0)
( x2 4- г/2 4- z2 = 25,
[ z = 4.
x2 4- у2 — z2/4 = 0,
z ~ 4.
z = 6,
z = 4(ж2 4- y2) 4- 2.
2x - 3y — 2z = 1,
x2 4- y2 — 4.
x2 4- y2 = 1,
z = 2.
x2 +y2 — z2 = 0,
z = 3.
6.24.
6.25.
6.26.
6.27.
6.28.
6.29.
6.30.
a = —yi + xj 4- 3z2fc, L:
a = x2i 4- yzj 4- 2zk, L:
a — yi — xj 4- 2zk, L: <
a — yi — 2xj 4- z2k, L:
a = 3zi — 2yj 4- 2yk, L:
a = (x 4- y)i — xj 4- 6fc, L:
a = 4г 4- 3xj 4- Qxzk, L:
Методические указания
к контрольной работе 10
Перед выполнением контрольной работы 10 “Ряды” студент
должен изучить следующие вопросы:
1. Числовой ряд, сходимость и сумма ряда. Необходимое усло-
вие сходимости.
2. Теоремы сравнения.
3. Признаки Д’Аламбера и Коши, интегральный признак сходи-
мости ряда.
4. Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ря-
да.
5. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свойс-
тва абсолютно сходящихся рядов.
6. Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса.
7. Теоремы о непрерывности суммы функционального ряда, о
почленном интегрировании и дифференцировании функционально-
го ряда.
8. Теорема Абеля. Промежуток и радиус сходимости степенно-
го ряда.
9. Теоремы о равномерной сходимости степенного ряда, о по-
членном интегрировании и дифференцировании степенных рядов.
Непрерывность суммы степенного ряда.
29
10. Разложение функции в степенной ряд. Условия существо-
вания разложения. Ряд Тейлора. Разложение в ряд Тейлора-Мак-
лорена элементарных функций.
11. Применение степенных рядов к приближенным вычислени-
ям. Нахождение определенных интегралов, приближенное интегри-
рование дифференциальных уравнений и т.п.
12. Ряд Фурье, достаточные условия разложения в ряд Фурье.
13. Неполные ряды Фурье.
14. Ряд Фурье в комплексной форме.
Ряды
Числовой ряд в действительной области — это выражение вида
<21 + + аз + ... + ап + (1)
где ап € R (n Е N). Ряд (1) записывают также следующим образом:
оо
п~1
Число Sn = ai -Ьв2 + аз + ... + ап, где п = 1, 2, ..., называют п-й
частичной суммой ряда (1). Если последовательность частичных
сумм имеет конечный предел, т.е. lim Sn = S, то ряд (1) называ-
п—>оо
ется сходящимся, в противном случае — расходящимся, а число S
(S оо) называют суммой ряда:
ОО
и—1
оо
Таким образом, запись используется в двух смыслах: для
п—1
обозначения ряда и его суммы в случае сходимости.
Приведем примеры числовых рядов, которые часто применя-
ются:
1. Геометрическая прогрессия:
b + bq 4- bq2 -;- ... + bqn~x + ...
Этот ряд сходится тогда и только тогда, когда |g| < 1, сумма S
гг Ь
вычисляется по формуле Ь = ———.
1 ~Ч
30
2. Гармонический ряд:
„ 1 1 1
1 + - + - -Ь ... + —I- ...
2 3 п
Он является расходящимся.
3. Обобщенный гармонический ряд:
ОО
3. Если ряды ап
п=1
Этот ряд сходится при а > 1 и расходится при а 1.
При изучении рядов основной задачей является исследование
их на сходимость (расходимость). При этом важны следующие
утверждения:
1. Необходимое условие сходимости: если ряд (1) сходится, то
lim ап ~ 0. На практике это условие применяется для установле-
п^ое
ния расходимости ряда.
2. Отбрасывание, добавление или изменение конечного числа
членов рядов не нарушает его сходимости (расходимости).
ОО
и Ьп сходятся к s и t соответственно,
72—1
оо
то ряд ^2(ап + Ьп) сходится, причем его сумма равна s + t.
n—1
ОС
4. Если ряд сходится и S — его сумма, то для любого
П = 1
числа с ряд У2 сап также сходится, причем к cS. Если с 0, то
справедливо и обратное утверждение.
Важный класс числовых рядов составляют ряды, все члены ко-
торых неотрицательны. При исследовании на сходимость таких ря-
дов полезны следующие теоремы.
ОО
Теорема 1 (признак сравнения рядов). Пусть (1),
П=1
оо
У2 Ьп (2) — ряды с неотрицательными членами и пусть для всех
п=1
номеров п, начиная с некоторого, а ^Ьп. Тогда сходимость ряда (2)
влечет сходимость ряда (1), а расходимость (1) — расходимость
ряда (2).
31
Теорема 2 (признак сравнения рядов в предельной форме).
ОС сю
Пусть 'У ап (1), У^ Ьп (2) — ряды с неотрицательными членами,
п=Л п=1
причем для всех номеров п, начиная с некоторого, Ъп > 0. Если
пт — существует и является числом, отличным от нуля, то
п-»оо Ьп
ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
оо
Теорема 3 (признак Д’Аламбера). Пусть У^ (1) — ряд с
1
неотрицательными членами, причем для всех номеров п, начиная
с некоторого, ап > 0, и пусть существует I = lim _ Тогда,
п-><х ап
если I <1, то ряд (1) сходится, а если I > 1, то ряд (1) расходится.
ОС
Теорема 4 (радикальный признак Коши). Пусть (1) —
П=1
ряд с неотрицательными членами, и пусть существует
I = lim \/а^. Тогда, если I < 1, то ряд (1) сходится, при I > 1 —
n-s-oo
ряд (1) расходится.
Замечения.
1. В случае I ~ 1 признаки Д’Аламбера и Коши неприменимы, в этом
случае ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.
2. В признаках сравнения часто в роли ряда сравнения выступает геомет-
рическая прогрессия, гармонический ряд, обобщенный гармонический ряд.
Теорема 5 (интегральный признак сходимости Коши). Пусть
ОС
У^ ап (1) — ряд с неотрицательными членами и пусть на про-
П=1
межутке [1;+оо) существует невозрастающая функция f, такая,
что для любого п € N; /(п) = ап. Тогда ряд (1) сходится тогда и
только тогда, когда сходится несобственный интеграл j f(x) dx.
i
Отметим, что кроме указанных, имеются и другие признаки
сходимости для знакоположительных рядов.
Среди рядов, не являющихся знакопостоянными, особо выделя-
ют знакочередующиеся ряды, при этом без ограничения общности
можно рассматривать лишь ряды вида
а1 — а? + «з — 4- ( —)1П гап + ..., (3)
где ап 0, п = 1, 2, 3, ...
32
При исследовании таких рядов на сходимость важную роль иг-
рает следующая теорема.
Теорема 6 (признак Лейбница). Если для ряда (3) выполня-
ются условия: 1) lim ап — 0; 2) an+i ап для всех п, то данный
ряд сходится.
Заметим, что абсолютная погрешность, получившаяся от за-
мены суммы знакочередующегося ряда его п-й частичной суммой,
меньше абсолютной величины первого из отброшенных членов ряда,
т.е.
\S - S„| = |Л„| а„+1. (4)
Неравенство (4) часто применяется в приближенных вычислениях.
СЮ
Пусть ап — ряд с произвольными членами, он называется
п=1
абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей.
|tiij + |аг| + ••• + Ы + (5)
Абсолютно сходящийся ряд всегда сходится, однако обратное
ею
утверждение неверно. Ряд У^ ап называется условно сходящимся,
п=1
если он сходится, но абсолютно расходится. При исследовании ря-
дов на условную (абсолютную) сходимость полезно иметь в виду,
что, если lim |ап| / 0, то сходимости нет ни условной, ни абсолют-
п—>сю
ной. На практике произвольные числовые ряды вначале исследуют
на абсолютную сходимость по теоремам 1-5. Если нет сходимости,
то проверяют на условную сходимость по теореме 6. По свойствам
абсолютно сходящиеся ряды наиболее близки к конечным суммам.
Например, при перестановке членов абсолютно сходящегося ряда
сходимость не нарушается и сумма не меняется. Условно сходящий-
ся ряд путем перестановки его членов можно сделать сходящимся
к какому угодно числу и даже расходящимся (теорема Римана).
Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать по правилу ум-
ножения конечных сумм.
Пусть на множестве Е (Е С R) задан функциональный ряд
fi + h + ••• + fn + (6)
т.е. члены ряда — функции, определенные на множестве Е. При
каждом х е Е получаем числовой ряд
Л(ж) + /2(ж) + + fn(x) + (7)
33
Выбирая в множестве Е те и только те ж, для которых со-
ответствующий числовой ряд сходится, получаем множество Eq,
называемое областью сходимости данного функционального ряда
(6). Заметим, что для определения области сходимости Ео функ-
циональных рядов (6) применяют признаки абсолютной сходимости
числовых рядов (теоремы 1-5).
Важный класс функциональных рядов составляют степенные
ряды. Степенной ряд с центром в нулевой точке — это ряд вида
со + cix 4- с2ж2 + ... 4- спхп 4- ..., (8)
где со, ci, с2, ..., сп, ... — действительные числа. Областью схо-
димости ряда (8) является промежуток (—/?,/?), где R — радиус
сходимости. Если R — число, отличное от нуля и оо, то дополни-
тельно исследуют поведение ряда (8) в точках х = (в обеих или
в одной из них ряд может сходиться). Во многих случаях R можно
найти по формулам
R — lim
Си
Cn+l
О Г 1
или R ~ lim —=
Для степенного ряда с центром в точке ж0
Со +С1(ж - ж0) 4- с2(ж - ж0)2 4- ... 4- сп(ж - х0)п 4-... (9)
промежуток сходимости будет иметь своим центром точку ж0, в
чем легко убедиться, если сделать замену t = ж — ж0.
Отметим свойства степенных рядов:
1. Внутри промежутка сходимости ряд (9) сходится абсолютно.
2. Сумма ряда (9) непрерывна во всех точках его промежутка
сходимости.
3. Ряд (9) в случае R 0 можно дифференцировать внутри
промежутка сходимости, т.е.
I 52 сп(ж - Ж0)'г 1 = 52 (Сп(х - хоУг)' ,
\п=0 / п—О
причем полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимос-
ти.
4. Ряд (9) можно интегрировать по любому отрезку, содержа-
щемуся в промежутке сходимости, т.е.
» / оо \ ОО
/ (52 сп(х ~ хо)п I dx = 52 / Сп^х ~~ хо)п^х-
I \п=0 / п=0 /
34
Заметим, что если проинтегрировать ряд (9) по всем отрезкам
с концами хо, х, где ж0, х принадлежат промежутку сходимости,
то в результате получится степенной ряд с тем же радиусом сходи-
мости.
Степенные ряды применяются в приближенном вычислении
значений функции, приближенном вычислении определенных ин-
тегралов и т.п. Для этих целей важное значение имеет задача раз-
ложения функции в степенной ряд, т.е. представление функции в
виде некоторого ряда (9). Имеет место теорема о единственности
разложения функции f(x) в степенной ряд (9).
Теорема 7. Если функция /(ж) определена и бесконечно диф-
ференцируема в точке xq и
lim
п—>оо
y(n+1)(a.Q 0(ж - Ж0))
(п + 1)!
(ж - ж0)п+1 = О
для всех х е Eq (0 < 0 < 1), то f(x) разлагается в Eq в сте-
пенной ряд (9), где коэффициенты разложения сп определяются по
формулам
Сп
(Жр)
п!
п — 0,1,2,...
Ряд (9) с указанными коэффициентами сп называется рядом
Тейлора функции /(ж). Если xq = 0, то соответствующий ряд на-
зывается рядом Тейлора - Маклорена.
На практике при разложении функции в степенной ряд часто
пользуются стандартными разложениями. Укажем некоторые из
них:
1.
2.
3.
t1 Е tn
е* = 1 + i 4- 4—- 4-... для любого t.
2! 3! п\
Е Е Еп
cos i = l~ — 4-77 - + - Для любого t.
2! 4! (2п)!
£3 ^5 £-2п+1
sint = t - - + - - .+ - дм любого t.
/2 j3 /п
4. ln(l +t) = t--4-J - 4-... для t e (-1; 1].
5. (1 + /Ja = l + a£4- ------— 4-...
для t e (-1; 1).
E E +2n+i
6. arctgi = t - — 4- — - ------ 4- ... для t e [-1; 1].
3 5 2n + 1
35
7. arcsini = « + ... + 1} + - яля t e (-1; 1).
При изучении периодических процессов важную роль играют
тригонометрические ряды, т.е. функциональные ряды вида
— + ai cost; + sin® + аз cos 2а; + b-2 sin 2x + ..., (10)
и
где a0, an, bn e R (n G N).
Как и для степенных рядов, в теории тригонометрических ря-
дов имеет место теорема о единственности разложения функции в
тригонометрический ряд.
Теорема 8. Пусть функция f и ее производная f непрерывные
функции на отрезке [—%;%], кроме, может быть, конечного числа
точек разрыва I рода. Тогда функция f(x) на (—тг; тг) разлагается в
тригонометрический ряд (10), где коэффициенты этого разложения
определяются по формулам
&П —
п = 0,1,2,...
(11)
Ьп
У (a;) sin пх dx,
п — 1,2,...
(12)
Причем в каждой точке непрерывности f(x) сумма ряда (10)
с/ \ ~ \ У(с - 0) + У(с + 0)
b (а;) = у (а;), а в каждой точке разрыва с: 5(c) = ——— —--
и S(±7r) = №_-_21+/(^ + °).
Ряд (10) с коэффициентами (11), (12) называется рядом Фурье
функции У (аг). Заметим, что ряд Фурье сходится на всей число-
вой прямой к 5(а;), которая является периодическим продолжением
5(а;) на числовую прямую с периодом Т — 2л.
Если У — четная (нечетная), то ряд Фурье содержит только
косинусы (синусы), т.е. для четной функции Ъп — 0, а для нечет-
ной — ап = 0 при любом п. В случае четности (нечетности) удобно
применять формулы
ТГ /
2 /' /
ап = — f(x) cosnx dx bn
7Г J I
0 \
2 f
- /
Л J
b
sin nx dx
36
Все сказанное выше переносится на отрезок [—/;/], в чем лег-
ко убедиться с помощью замены переменной t = —. Ряд Фурье
примет вид
а0 , ( тгп . Tin \
— + > (an cos -~х + bn sm —-х I ,
2 X—/ \ [ I /
Н=1
а формулы для коэффициентов Фурье будут следующими:
тип ,
~х ах,
b.
. ЯП ,
sm ——х ах.
(13)
(14)
(15)
Решение типовых задач
-|
Задача 1. Исследовать на сходимость ряд > -------.
z—' Inn
п—2
Решение. В качестве ряда сравнения привлечем гармоничес-
1 1
кий ряд. Известно, что Inn < п (п 6 N). Тогда — < :--. Посколь-
п Inn
ку гармонический ряд расходится, по теореме 1 получим, что ряд
расходится.
Inn
п=2
Задача 2. Исследовать на сходимость ряд (1 ~~ cos^)-
\ 2 /
Решение. Данный ряд имеет положительные члены. Сравним
ОС 1
данный ряд со сходящимся рядом Имеем
1 - cos 7г/п 1/2(тг/2)2 7Г2
------------ — lim —- —— = —,
woo 1 п2 2
lim
n-too Y/n-'
число, отличное от нуля.
Использовались эквивалентные бесконечно малые 1 — cos — ~
о п
~ - (—) при п —> оо. По теореме 2 получим, что ряд
2 \п/
— также сходится.
nJ
37
1 • 4 • 9...n2
Г оо
Задача 3. Исследовать на сходимость ряд > „ - —.
1-5-9...(4п-3)
Решение. К данному ряду с положительными членами при-
меним признак Д’Аламбера и получим
«п+1 _ 1 • 4 • 9...п1 2 3(п + I)2 • 1 • 5 • 9...(4п — 3)
ап п-+оо 1 • 5 • 9...(4п — 3)(4п 4-1) 1 • 4...п2
г (п + 1)2
= 11Ш —------— = 00 > 1.
п->оо 4п 4-1
Следовательно, исходный ряд расходится.
оо 3
Задача 4. Исследовать на сходимость ряд > —.
/ рТ1
п=1
Решение. К данному знакоположительному ряду применим
признак Коши и получим
Использовалось предельное соотношение lim у/п = 1. По тео-
п—>оо
реме 4 данный ряд сходится.
ОО
Задача 5. Исследовать на сходимость ряд > ---х-----.
(n + l)ln2(n + l)
Решение. К данному ряду с положительными членами при-
меним интегральный признак Коши. На промежутке [1; +оо) рас-
смотрим функцию /(ж) = ———-—Для нее имеем:
(ж + 1) In" (ж 4- 1)
1) Vn € N: /(п) = — Д, , п
[п 4- 1) In (п 4- 1)
2) f — невозрастающая функция, т.к. если Ж1, ж2 € [1;4-оо) и
Ж1 < ж2, то жх+1 < ж24-1 и 0 < 1п(ж1+1) < 1п(ж2+1). Следовательно,
О < (Ж1 + 1) In2 (Ж1 +1) < (ж2 4-1) In2 (ж2 + 1).
Отсюда
__________1__________ _____________1__________
(Ж1 4- 1) 1п2(ж1 4- 1) (ж2 4- 1) 1п2(ж2 4- 1)
или /(Ж1) > У(ж2);
3)
dx
(ж 4- I)2 In2(ж 4- 1)
38
= lim
1
1п(ж 4-1)
Л ( 1_______1_\ _ J_
х J t^oo у ln(t + 1) In 2J In 2
сходится. По теореме 5 исходный ряд сходит-
Итак, I
1
ся. Заметим, что монотонность функции /(ж) можно доказать с
помощью производной.
оо
Задача 6. Исследовать на сходимость ряд > (-1)п+17-----г-
z—' бп — 5
п~ 1
Решение. Заметим, что в данном случае необходимое условие
сходимости ряда нарушено, т.к.
= lim „ - v = | ± 0.
> 6
п
lim |an| = lim (-l)n+1---------? - 7----?
г—>оо n-Чоо ОП — 5 n-Ч-оо ОП — 5
Следовательно, ряд расходится.
Задача 7. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд
_п«+1 i
Решение. Вначале рассмотрим ряд из абсолютных величин
1
Сравним его с обобщенным гармоническим рядом
?г=1
который расходится. По признаку сравнения 2 ряд из аб-
/п
n=l v
солютных величин расходится. Исследуем ряд на условную сходи-
мость по признаку Лейбница:
1) lim ап - lim 37== = 0;
?г—>оо п—»оо Vn + 2
2) для любого номера п имеем
1
1
----— ---- dfl •
По признаку Лейбница ряд сходится. Значит, данный ряд схо-
дится условно.
Задача 8. Найти область сходимости функционального ряда
0Q л
У------ х
2"У(2п+1)(х - 3)"
39
Решение. Сделаем замену t =--,
х — 3
tn
2пу/2п + 1'
n=l v
получим
(*)
Найдем радиус сходимости полученного степенного ряда
R = lim
п—>оо
Сп
Сп+1
„ 2п+1у/2п + 3
= Inn ------. -
п->оо 2п\/2п + 1
= 2.
Следовательно, ряд (*) в точке t сходится и притом абсолютно,
если |i| < 2, и расходится, если |i| > 2. Отсюда вытекает, что
исходный ряд в точке х абсолютно сходится, если
1
х ~ 3
1
х — 3
1
х — 3
расходится, если
> 2. Так как
2 равносильно
тому, что < 5' 2
5\ /7
- и ~;+°о .
и 1 \ Zt /
, получаем, что исходный ряд сходится, если
5 7
ж? = Если
2 2
Исследуем поведение ряда в точках х±
7 1
х — -, получаем числовой ряд > --....
2 ' у/2п + 1
n=l v
щимся, в чем легко убедиться путем сравнения с расходящимся ря-
°° 1 5 °° (-1Т
дом -у=. Если х = -, получаем ряд УУ у.. . Он является
71=1 П=1 V « +
сходящимся, т.к. это знакочередующийся ряд, удовлетворяющий
Он является расходя-
служит областью схо-
условиям теоремы Лейбница (проверьте!),
тт / о
Итак, множество I — оо; — U
димости данного функционального ряда.
Задача 9. Разложить по степеням х функцию /(ж) = . \.
(1 — хУ
Решение. Запишем функцию / в виде /(ж) — ж(1 — ж)~3 +
+(1 — ж)-3 и разложим (1 — ж)-3 в биноминальный ряд:
(1 - ж) 3 = 1 + Зж + 6ж2 + ... + + +^-хп + ...,
х е
7
2
40
здесь |ж| < 1. Применяя утверждения о почленном умножении ряда
на число и почленном сложении двух рядов, окончательно получим:
/(ж) = 1 + 4ж + 9ж2 + ••• + (п + 1)2жп 4-
где х е (-1; 1).
Задача 10. Разложить по степеням х функцию /=1п(1+ж—2ж2).
Решение. Представим данную функцию в виде / = 1п(1 -ж)+
4-1п(1 + 2ж). По стандартному разложению для 1п(1 + ж) имеем
1п(1-ж) =-ж - у - “ - жб(-1;1],
22ж2 23ж3 /11
1п(1 + 2ж) = 2ж---— + “з-----’ х G 2’ 2
справедливо при ж G
5 7
Следовательно, /(ж) = ж - -ж2 + -ж3
Z о
1 г
2’2 ’
Это разложение
4
Задача 11. Вычислить определенный интеграл f е~^х(1х с
2
точностью до 0,001 с помощью разложения подынтегральной функ-
ции в ряд.
Решение. Разложим функцию е"1/® в степенной ряд, исполь-
зуя стандартное разложение для е£, полагая t = —, получим
-1/х _ г + —
ж 2!ж2
3!^ + '”’ Х*°-
Почленно интегрируя ряд по отрезку [2,4], имеем
4 4
/7/11 1 \
e-^dX = j + + =
2 2
/ 1 1 \ 4 _
- ^ж-1пж- 2ж + 12а? ..J -
Л 1 1 1 1
~ п + 8 ~ 64 + 658 10240 +
41
Найдем приближенно сумму знакочередующегося ряда 2-1п2+
+ | — ёЬ + ёй ~ •• с точностью до 0,001. Так как полученный чи-
словой ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, достаточно
рассмотреть n-ю частичную сумму при п = 5, т.к. уже шестой
1
член по модулю меньше, чем 0,001, т.е. ——— < 0,001.
J 10240
Таким образом,
4
/11 1
e-^dz й2-1п2 + -- — + — » 1,4178
8 64 658
2
с точностью до 0,001.
7Г — X
Задача 12. Разложить функцию f(x) = —-— на отрезке
[-тг; тг] в ряд Фурье и построить график суммы ряда.
Решение. Построим график функции f на промежутке [~тг; тг]
(рис. 13).
Очевидно, что для данной функции f условия теоремы 8 выпол-
няются, поэтому она разлагается в ряд Фурье на указанном проме-
жутке:
/(ж) = — 4- У ап cos пх + bn sin пх.
2
П“1
Найдем коэффициенты
«о =
7Г — X . 1
—-—ах — —
2 2тг
-2
= тг;
cos пх
7Г — X
2
cos nxdx —
42
и — 7Г — X
du — —dx
dv = cos nxdx
sin nx
v ~ -----
n
. . sinni If. ,
(тг — X) - 4— / smnxdx
n „nJ
— 7Г a
— 7Г
1
— X---П COS nx
27ГП2
sin nx dx
7T - X .
--------sm nx
2
1
2tt
и = тг — x; du = —dx;
. л 1
dv = sm nxdx; v — — cosnx
n
1
2тг
cos пх
п
1 f я
— / cos пат аж
п J
СО8 7ГП „ ( — 1)П , Л
--------27Г = -—п=1,2,„.
п-------п
__ 1
2%
Подставляя найденные значения коэффициентов, получаем ряд
тг — X
2
Sinn#
п
п,—1
Для построения графика суммы ряда Фурье (рис. 14) рассмот-
рим периодическое продолжение /(ж) с Т = 2тг. Пусть f — пе-
риодическое продолжение /(ж). В точках ж = ±тг(2А; + 1), к G Z,
функция / имеет разрывы I рода, следовательно, в этих точках ряд
7Г + О 7Г
Фурье сходится к числу -------—
2 2
Рис. 14.
43
Контрольная работа 10
Задача 1. Исследовать на сходимость числовые ряды.
оо 1 оо , л оо
х 1 п +1 . 1
п!п2(2п)
1
п!п(2п)'
1.2.
п4 + 3’ } ^2п(п-1)!’
п=1 х '
ОО ( П2 00
w. V
Он2 ’ ' / J
п=1
71=1
1.3.
а) Esin^;6) £
п—1 п=1
1.4.
. /Зп + 2
а) / ---------
к п
п—1 х
5^ 10п2п!
(2п)!
п—1 4 7
у_____1__.
п-\/1п 2п
ОО п
Е1ПП
\/г^'
п=1
1.5.
п—1
оо
П=1
(2п + 2)!
Зп + 5
2п — 1
Зп + 1
1.6.
п2 + 5
п2+4’
п=1
п+5 . 2
—— sm —-:
п! Зп
п—1
п=1
Л / 1\ п2
\ nJ 4п
1.7.
1 1
-== sin —; б) У"'
/п п
п=1
arctg
п!
CXJ 1 /
El I ть
Зп \ п +
п=1 4
1.8.
п3
П=1
П=1
Пп
3nnV^\
п—1
п
Зп - 1
1.9.
Inn
п—1
п!
СМ
1.10.
Inn
п3/2 ’
6п(п2 - 1)
\ п J
п=1 '
п•Зп+2
П'2 _1
2п
1.11.
а
п Inn
п2 - 3 ’
1.12.
sirr п
1.13.
1п П
п!
п
(п + 2)!’
п=1
О \ п2
2п
4п + 3 J
п
е
у2п
(2п —1)!’ В
\ 2п+1
П I
Зп + 1 /
44
ОО | ОО n!
114' а> £ („ + !)(„ + 2); б) S (Зп)! ’
в) п arcsinn
п—1
тг
4п
1.15.
а
_J_. б) у
5п — 2 J ^ЦЗп-(п + 1)!
п=1 4 7
в) У277,2 si*1”
п=1
1.16. а)
п=1
Т??Т2п + 2’б^п»-1’
в) £narctg“£-
п—1
\ е б"V ' \ у п
L1 а) 2^ 2ун; ' 2-, (3" + 1)(2п)!’ BJ 2-; 1п"(„ + 1)
п=1 v п=1 v ' п=1 ' '
1.18.
1 '-J*J
1); б) п! sin —;
п+Т 2п
П=1
1 \ п 1
п — 1 \ 1
п J 5п
а|Ь
71=1
1.19.
а
9
cos п
п3 + 1
п=1
^;в)£
птг ’ > Z_^
п—1
п4
/ 2п \
^Зп + 5/
7Г 5п • у/п2 . 'ул / 4п — 3\
1.20. а) 7 nsin л/-=\ б) У ---——; в) > -------
</п5 ^(п + 1! 7Z^\5n+l/
п=1 v П=1 4 ' 71=1 4 7
1.21.
п +1 2п п!
п2 + 5 ' пп
п— 1
ОС
в) 52ntgn
=i
_____п . м у5п(п+1)!. 2VA
А,/ (п2—1) 1п(п+1) ’ (2п)! ’ \ п) 10п
П-1 V \ / п=1 \ 71= 1 Х 7
V' 1пп V Зп у> / 2п2 +1
п3 4- п + 1 ’ (п + 2)! 4п ’ \ п2 + 1
71=1 71=1 V ' 71=1 Х
1.24.
п cos2 п
п3 + 5
;«)£
71=1
3 5 7...(2п + 1)
2-5-8...(Зп-1)
/2п + 1\
\3п + 2/
1.25.
2 +cosn
3”+sinn’
71=1
2п!
V2n + 3
Зп+2\
4п —1/
• (п~1)2.
1.26.
а
1 еУ(3п + 2)!
п2 — Inn’ 10п • п2
п—1
1.27.
а) У^ arctg
71=1
1 b 1
п—1
4п"1у/п2~ + 5
(п - 1)!
а)£
71=1
1
nvln3n
45
1.28. а) v2' • 2оп ч У 1 • 4 • 7...(3п — 2) . п5 Зп ^2 sm , б) g п ^2п + 5) ’ D) 52 (2п + 1)п ‘ П=1 п=:1 П= 1 4 ' оо оо . о/— оо z \ 2п
1.29. а) ТГ V—Л П\ у/П . V- /— п \ > 1 - COS б) > —; в) > л/™ Г 2L/ Z-/ Зп + 2 \.Зп—1/ п=1 п=1 п—1 4 '
1.30. а) ОО I/O 1 1 \! ОО / "1 \ 1 V б) V П-(2" +,1}-; в) V (1 + 1) -± J } (Зп)! \ п/ 2п п=1 п=1 ' п=1 х '
абсолютную (условную) сходи-
Задача 2. Исследовать на
мость.
2.1. уч (~1)п (п+1)1п(п + 1)'
2.3. Vsin 2П z 2п
2.5. у\_-пп } кЗп + 2/ п=1 7
2.7. ОО / 1 \ £(-1)"1п 1 + -). п=1 7
2.9. ПтаЗП~- Z-Л ' 4-|-2п’ п=1
2.11 уч (-1)п п 1п2 п п~2
2.13 О° / -1 \п у > 1 J 2п + 3 п=1
2.15 ОО 1 . У (-l)n+1 cos2 -. П
2.17 ' ^(2п + I)2 ’ п=1 4
2.19 ОО -| • Е(~1>’ч8;г
2.21 7 п 4- 2 п=1
2.4.
(~1)п
п In п In In п'
оо
(2п — 1)!
П=1 4 '
£i ^+1
2.10.
2.12.
2.14.
2.16.
2.18.
2.20.
2.22.
(~l)w"1(2n + 3)
п!
V (-1)п
> ln(3n — 1)
п=1 '
СЮ z 1 \ П
E(-d"(i + -) .
П=1 х 7
1 v х
46
2.23.
n4 + n2 + 1 ’
/V-=i
оо к
2.25. ^P(—l)n arctg
n=l
2.27.
n+l
n 4- 2
3 + 5n
n=2
2.24.
2.26.
2.28.
2.29.
(—l)n sin2 n
тг4 — 1
2.30.
(-Ф
n4 4- cos2 n
Задача 3. Найти область сходимости функционального ряда.
3.1. £ Z. у
У у/п(х + 4)п 33- £ 3-„ - •
3.5. у 5п
/п2 4- 1(ж 4- 1)п
00
3 7 (п + 2)1хп‘
ОО п 3-9£- п(ж - 5)та п3 4- 1
п=1
оо з.п. у Z -J п=1 4п у/п{х 4- 5)п
3.13. £ п=1 2 п (п 4- 1)пжп
оо 3.15. 6п
п=1 (п2 4- 1)(ж - 2)п
3.17. £ п=1 Зп(ж _ 4)п \/п2 4-4
3.19. V Z—у п=1 1 (1 + п)” (х + 6)п
з.2.££МГ. п 4- 1
п=1
оо
3.4. V - Z-у п 1 !,пЖп
п=1
OQ
3.6. £2 Пп2(х - 6)п.
п=1
оо оп
3.8. У 7 и 5п — 1)хп
ОО з.ю. £ п~1 п 4- 2 4п(п 4- 3)жп
оо 3.12. £ п=1 п 4- 2 Зп(ж4-2)п’
оо 5п
3.14. £ п=1 (2п- 1)0 -3)п
оо 3.16. £ п=1 2п -п (п 4- 1)(ж 4- 3)п '
3.18. У п=1 7п (п4 4- 2)хп
оо лп
3.20. £ п=1 (2п — 3)хп
47
3 91 \ -Д 2L2-(n5 + 3)’ n=l 3.23. t—* n + 2 n=l DO 3.25. £(rHl)4r-9)n. 71=1 жп 3'27' S 2"+1(”3 -2)' 3.29. f 5n\/n 4-1 n=l v 3.22. V- Д. £^(2n-W + 7)" 3.24. V A±2. 6nxn n=l °o on 3.26. V- — (п + о)(.т + 2)п oo 3.28. 52(3n)!(x + 1)". 3.30. f (x + 4)n 71=1 v '
Задача 4. Используя табличные разложения, представить дан-
ную функцию в виде ряда по степеням х.
41- 5 2- 2 — x — t2 4.3. sin2 2x. 4.2. 1-е-ж2/4. 7 X 4.4. 1 - sin -.
4.5. x\/8 + x2. 4.7. (3 + е“4ж)2. 4.9. ln(2 — x — t2). 4.11. rcsh2x. 4.13. -—~ 8 4- 2ж - x2 4.15. (1 + е2ж)3. 4.17. 1. = . \/8 — x3 } 4-19-l(ln(1+?))- 4.2!. x~ 4.23. 1 - cos 2x. 4.6. ln(4 + x3). 4.8. xsin3x. 4.10. x\/27 + x3. 4.12. zch3x. 4.14. ln(8 + 2x — x2). 4.16. cos2 4x. 4.18. x2 ch5x. 4.20. xcosx3. 4.22. e~3a'2. . . 4rr 4.24. .
, arcsine 4.2o. — 1. 4 27 arc^grc X2 4.29. =. ^16 + X4 ^16 + 7x 4.26. ln(x — x2 — 42). 4.28. —. x — x2 — 42 < on 5z - 1 4-30. -= -. x2 — 2x — 8
48
Задача 5. Вычислить определенный интеграл с точностью до
0,001 с помощью разложения подынтегральной функции в ряд.
5.2.
5.4.
5.6.
5.8.
1/2
У е~4ж dx.
о
1/2
У cos5ж2 (for
о
1/5
У 1п(1 + х2) dx.
о
1/2
У arctga:2(fo.
5.10.
5.12.
5.14.
5.16.
5.18.
5.20.
5.22.
5.24.
49
2,5
5.25.
5.27.
5.29.
f dx
J \/125 + ж4‘
о
0,6
1/4
f dx
J
о
1/2
У xshx3dx.
о
5.26.
5.28.
5.30.
У
b
1
/dx
\/16 4- ж2
о
1/3
У жсЬ4ж3г/ж.
о
Задача 6. Разложить данную функцию в ряд Фурье в интер-
вале (а;&) и построить график суммы ряда S(x).
6.1. X + 1 В ( —7Г; 7г).
6.3. ж2+ 1 в (—1; 1).
6.5. 1 +(т( в (-3;3).
6.7. |1 —ж| в (—4;4).
6.9. х - 1 в (-2; 2).
6.2. Зж — 4 в (-2;2).
„ . 7Г 4~ X . .
6.4. —-— в (-тг;тг).
на (0, — тг < х < 0 / \
6.6. < ’ . в (—7Г-,тг).
[ х, 0 х < тг v ’ 7
6.8. |ж| в (—тг; тг).
6.10. ж2 в (0; 2тг).
р -1 -» f 2, тг х <1 0 /
6.11. < 1 В (
( 1, о <: х < л- '
6.13. ж2 + х в(-1;1).
3 / 1
6.15. -|ж| - 1 в
6.17. 3-|ж| в(—3;3).
6.19. 4 - |ж| в (0; тг).
6.21. Зж в (0:2).
6.23. 1 4-|ж) в( —1;0).
6.25. Зж 4-1 в(0;2).
6.27. ж+ 5 в(-2;0).
6.29. | в (0; тг).
6.12. |1 - ж| в(-1;1).
6.14. 2 - |ж| в (-2;2).
6.16. ч в (-2; 2).
6.18. 2ж в
6.20. ж 4- 1 в (0;3).
6.22. 4 — ж в(0;1).
6.24. 1 — |ж{ в ( — 7г;0).
6.26. |3ж + 1 1 в (-2:2)
6.28. 2ж - 1 в (0;4).
6.30. 2ж в (-тг;О).
50
Список рекомендуемой литературы
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интег-
ральное исчисление. М.: Наука, 1984. 432 с.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравне-
ния. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного перемен-
ного. М.: Наука, 1985. 464 с.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисле-
ние для втузов. М.: Наука, 1966. 576 с.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая матема-
тика в упражнениях и задачах. М.: Наука, 1986. 415 с.
Оглавление
Методические указания к контрольной работе 9......3
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.3
Векторный анализ...................... ..........11
Решение типовых задач................. ..........14
Контрольная работа 9.......................... 20
Методические указания к контрольной работе 10....29
Ряды............................................30
Решение типовых задач ........................ 37
Контрольная работа 10...........................44
Список рекомендуемой литературы....................51
51
Кратные, криволинейные и поверхностные
интегралы. Векторный анализ. Ряды
Методические указания и контрольные задания
для студентов-заочников технических факультетов
Отв. за выпуск З.М.Порфирьева
Компьютерный набор и верстка В.Г.Сытина
Подписано в печать 8.12.04. Формат 60-84/16. Бумага газетная.
Гарнитура Computer Modern. Печать оперативная.
Усл. печ. л. 3,02. Уч.-изд. л. 3,04. Тираж 500 экз. Заказ № 805.
Чувашский государственный университет
Типография университа
428015 Чебоксары, Московский просп., 15