Текст
КУРСЪ АНАЛИЗА.
МИТРОФАНА ХАНДРИКОВА,
Профессора Университета си. Владиміра.
I. Дифференціальное исчисленіе.
II. Интегральное исчисленіе.
III. Интегрированіе дифференціальныхъ уравненій.
ИЗДАНІЕ КНИГОПРОДАВЦА И. Я. ОГЛОБЛИНА
С.-11ЕТЕРБУРГ7», А КІЕВЪ,
* »АХ
Малая Садовая, №4. । Крещатіікъ, № 33,
Печатано по опредѣленію Совѣта Университета св. Владиміра. 21 Января 1887 г.
Ректоръ Н. Ренненнампфъ.
КІЕВЪ.
Тиіі. О. В. Кулыкепко, Ново-Елислветиискап улица, с.пбств, д.
ІѲѲ'У.
Оглавленіе.
стран.
Предисловіе...............................................- - . * I
Вступленіе. Понятіе о безконечно-малыхъ величинахъ, ихъ главный свойства. Понятіе о Функціи, Главные классы Функцій, . . .'........... 1
Теорія дифферерціальнаго исчисленія.
I. Дифференціалы и производныя функцій,
1. Опредѣленіе производной Функціи и дифференціала.................. 12
8. Дифференцированіе алгебраическихъ Функцій 14
3, Дифференцированіе Функцій: показательной, логариѳмической, трпгонометрп-ческпхъ п круговыхъ.............................................. 22
II, Дифференціалы и производныя высшихъ порядковъ,
1. Производныя высшихъ порядковъ................................ 33
5, Свойство дифференціала главнаго перемѣннаго. Замѣна прп послѣдовательномъ дііФФеренцировапіп однихъ перемѣнныхъ другими.................. 35
<». Примѣры замѣны прп дифференцированіи однихъ перемѣнныхъ другими . , 38
7*. Теорема Лейбница................................................ 41
Ш. Разложеніе функцій въ безконечные ряды.
Понятіе о безконечномъ рядѣ. Элементарные признаки сходимости рядовъ, 46
Нѣкоторыя общія свойства функцій. Зависимость между начальной Функціей и ея цослѣдовательнымп производными........................ 50
10, Выводъ строки Тейлора по способу А. Копіи. Строка Маклореня . . . . 55
IV, Дифференцированіе функцій со многими перемѣнными.
11. Понятіе о полномъ п частныхъ дифференціалахъ Функцій.......... . . 59
18, Теорема Фонтеня объ однородныхъ Функціяхъ....................... 64
13. Производныя и дифференціалы высшихъ порядковъ, взятые оттб функцій многихъ перемѣнныхъ............................................. - 66
11. Выводъ строки Тейлйра для разложенія въ ряды функцій многихъ перемѣнныхъ.................♦...................................... 70
____IV
V. Дифференціалы уравненій (дифференцированіе функцій неявныхъ).
15. Правила дифференцированія Функцій неявныхъ............................ 72
16. Происхожденіе обыкновенныхъ дифференціальныхъ уравненій................75
I1?. Происхожденіе уравненій съ частными производными...................... 79
Приложенія дифференціальнаго исчисленія къ рѣшенію нѣнотО' рыхъ вопросовъ анализа.
I. Разложеніе функцій въ безконечные ряды,
1, Разложеніе степени (строка Ньютона)........................ . < . 88
2. Разложеніе Функціи показательной...................................... 90
3, Разложеніе Функціи логариѳмической. Вычисленіе логарпомовъ..............91
4. Разложеніе Функцій тригонометрпческлхъ н круговыхъ. Вычисленіе отно-шевіп окружности къ діаметру....................................... 97
5. Выраженія синусовъ и косинусовъ кратныхъ дугъ по степенпмъ синусовъ и косинусовъ дугъ простыхъ. Выраженіе синусовъ п косинусовъ кратныхъ дугъ конечнымъ рядомъ производителей...............................103
6. Теорема Моавра..................., ♦...................................107
Т. Рѣшеніе двучленныхъ уравненій...................................... 110
8. Общій способъ разложенія въ ряды Функціи нслвпыхъ......................113
9. Выводъ строки Лагранжа, Примѣненіе ел къ разложенію нѣкоторыхъ лепв-ныхъ Функцій . . . . ............................................ 115
10. Фу вкціл Лежандра. Нѣкоторыя изъ пхъ главнѣйшихъ свойствъ.............123
И. Изысканіе истиннаго значенія функцій, принимающихъ неопредѣленный видъ при нѣкоторомъ частномъ значеніи главнаго перемѣннаго.
11. Изысканіе истиннаго значенія Функцій, прпнпмающлхъ видъ ..............125
1Ж. Изысканіе истиннаго значенія функція, принимающихъ впдъ —........128
13. Изысканіе истиннаго значенія Функцій, принимающихъ впдъ о.оо .... 131
14. Изысканіе лстпннаго значенія Функцій, прлнимающпхъ видъ о0, сс°, 1л . 132
15. Изысканіе встпннаго значенія Функцій, принимающихъ впдъ со — оо. . . 137
ПІ. Иайбольшія и найменьшія значенія функцій.
16. Правило для опредѣленіи піахішпт и тіпітпт функцій одного незавпси* маго перемѣннаго. . , . ............................................139
г
1Т Опредѣленіе тахітпт и тіпітпт Функцій неявныхъ..........................144
18, Опредѣленіе тахітпт л тіпітпт Функцій многихъ независимыхъ лере-ыѣлнЬіхъ, . . ,.................................................. , . 146
!?>♦ Опредѣленіе тахітпт и тіпітпт Функцій многихъ перемѣнныхъ въ томъ случаѣ, когда между перемѣнными существуетъ зависимость, выраженная извѣстнымъ числомъ уравненій.....................................153
IV. Разложеніе раціональныхъ дробей на элементарныя дроби.
20. Разложеніе раціональной дроби па элементарныя въ томъ случаѣ, когда знаменатель дроби, будучи приравненъ нулю, представляетъ уравненіе съ съ одними только дѣйствительными, неравными корнями................ . 159
21, Разложеніе раціональной дроби на элементарныя въ томъ случаѣ, когда знаменатель имѣетъ равные корни ......................................162
28, Разложеніе раціональной дроби на элементарныя въ томъ случаѣ, когда знаменатель имѣетъ неравные, мнимые корни ..... .................. ... 168
23. Разложеніе раціональной дроби на элементарныя въ томъ случаѣ, когда знаменатель имѣетъ равные, мнимые корни ........................ 170
24. Разложеніе раціональной дроби на элементарныя въ томъ случаѣ, когда знаменатель данной дроби, будучи приравненъ нулю, представляетъ собою двучленное уравненіе.......................................... 172
Приложеніе дифференціальнаго исчисленія къ рѣшенію вопросовъ геометріи.
I. Касательная, нормаль, субтангенсъ и субнормаль для плоской кривой линіи,
I. Уравненіе касательной линіи и норхэли. ^лина касательной, нормали, субтангенса и субнормали . . . » ......................................176
2. Длина линій поимепоБанныхъ въ предыдущемъ нумерѣ, выраженная по полярнымъ координатамъ.......................;......................179
3. Примѣры для поясненія предыдущей теоріи. . ,.....................181
II» Асимптоты кривыхъ линій.
4, Уравненіе асимптоты..............................................186
5. Изысканіе аепмптотъ въ томъ случаѣ, когда уравненіе кривыхъ разлагается на нѣсколько однородныхъ функцій.............»...................191
III. Особыя точки кривыхъ линій.
6. Опредѣленіе направленія изгиба кривой линіи. Геометрическое значеніе второй производной.............................................. 203
<5, Характеристика особыхъ точекъ, кривыхъ линій.....................204
8» Изысканіе особыхъ точекъ кривыхъ линій, представляемыхъ алгебраическими уравненіями . , ............................................210
IV. Дифференціалъ длины дуги кривой линіи и площади ограниченной кривой линіей.
О. Выраженія длины • элемента кривой линіи......................... 223
40. Выраженія элементарной площади, ограниченной кривой линіей 225
V. О кривизнѣ кривыхъ линій» Радіусъ кривизны. Развертка.-,
іі. Вы водъ выраженіи радіуса кривизны ....... • . . ;...............226
12. Выр аженіе радіуса кривизны по произвольному независимому перемѣнному 231
13. Выраженіе радіуса кривизны для кривой, представленной нерѣшеннымъ уравненіемъ ..............* ....................................... 233
14. О соприкосновеніи кривыхъ лилій. Кругъ кривизны. Центръ кривизны. . 234
15. Поясненіе теоріи соприкосновенія на частномъ примѣрѣ..............237
Ю. Двойство круга кривизны въ тѣхъ точкахъ кривой, гдѣ радіусъ кривизны достигаетъ наибольшаго или наименьшаго значенія 238
I1}, Свойство развертки, ................................ ,...........240
18. Изслѣдованіе кривизны нѣкоторыхъ кривыхъ линій . , . ........... 242
19. Видъ развертки эллипсиса......................................... 245
20. Свойство развертки и радіуса кривизны циклоиды..........,.........248
21. Одно нзъ свойствъ радіуса кривизны цѣпной линіи . ................250
VI. Объ огибающихъ и огибаемыхъ кривыхъ.
22ч У равненіе огибающей кривой для данной огибаемой. Уравненіе огибающей для прямой, перемѣщающейся по опредѣленному закону ................. > 251
23. Выводъ уравненіи огибающей въ томъ случаѣ, когда уравненіе огибаемой содержитъ нѣсколько перемѣнныхъ параметровъ и когда эти параметры находятся въ зависимости, представленной данными уравненіями...........257
ѴП. Касательная линія и нормальная плоскость для кривой въ пространствѣ. Касательная плоскость и нормаль къ кривой поверхности.
24. Уравненіе касательной линіи п нормальной плоскости для кривой въ пространствѣ ....................................... ....................261
25. Уравненіе касательной плоскости, проведенной къ данной поверхности . , 266
20. Уравненіе нормали къ данной поверхности >....................... 268
ѴШ Образованіе поверхностей движеніемъ линій,
27. Происхожденіе цилиндрическихъ, коническихъ поверхностей и поверхностей вращенія. Выводъ ихъ уравненій.............................. 269
28. Происхожденіе разгибающихся и косыхъ поверхностей и нхъ уравненія . 273
29. Поясненіе предыдущей теоріи на частныхъ примѣрахъ ................278
IX. Соприкасающаяся плоскость для кривой двоякой кривизны. Главг ная нормаль, Бинормаль. Кривизна линій двоякой кривизны. Кривизна крученія.
30. Выводъ уравненія соприкасающейся плоскости. ......................281
31. Выводъ уравненій главной нормали н бинормали............... . , . 283
32. Поясненіе предыдущей теоріи на частномъ примѣрѣ................. 285
33. Изслѣдованіе абсолютной кривизны линій двоякой кривизны . ........286
34, Кривизна крученія линій двоякой кривизны................... . . . 293
35. Изслѣдованіе двоякой кривизны улиткообразной кривой...............295
30. Линія дейтронъ кривизны для кривой двоякой кривизны...............297
37. Уравненіе полярной поверхности и ребра возврата для кривой двоякой кривизны........................................... . . *.............299
X. .0 кривизнѣ поверхностей. Индикатриса.
3$. Соитпошеніс между кривизнами нормальнаго и косвеннаго сѣченіи. Теорема Мепье............................................................302
30. Изслѣдованіе кривизны поверхности по способу Дюпена. Индикатриса . . 308 *
XI- О линіяхъ кривизны на поверхности-
40. Выводъ уравненій линій кривизны. Точки округленія на кривой поверхности.......................< ......................................- 312
ХП. Огибающія и огибаемыя поверхности-
41. Выводъ уравненіи огибающей поверхности по данному уравненію поверхности огибаемой......................................-...............318
Интегральное исчисленіе.
I. Общія понятія объ интегралахъ опредѣленныхъ и неопредѣленныхъ,
I. Интегралъ опредѣленный п неопредѣленный. Геометрическое значеніе опредѣленнаго интеграла................................., , ;...........325
2. Разложеніе опредѣленнаго интеграла чрезъ раздѣленіе предѣловъ....331
3. Выведеніе постоянныхъ множителей за знакъ интеграла..............332
4. Нѣкоторый изъ основныхъ свойствъ опредѣленныхъ интеграловъ, - . . . 333
И. Различные способы интегрированія функцій.
5, Интегрированіе степени................................-..........336
О. Интегралъ суммы..................................................337
7- Непосредственное интегрированіе..................................338
8. Интегрированіе чрезъ разложеніе подъпнтсгральной Функціи.........339
О. Интегрированіе чрезъ введеніе новаго перемѣннаго . .........♦ . . 339
ІО. Интегрированіе по частямъ...................................... 341
Ш. Интегрированіе раціональныхъ дробей.
II. Интегрированіе раціональной дроби съ знаменателемъ, имѣющимъ дѣйствительные неравные и равные корня, а также мяпмые раввые п неравные корни...............г . . » . . .............................. 342
18. Интегрированіе раціональной дроби, знаменатель которой имѣетъ корни двучленнаго уравненія................................ . . .........347
13. Поясненіе предыдущей теоріп на частныхъ примѣрахъ............. . 349
IV, Интерированіе -ирраціональныхъ дифференціаловъ,
14. Интегрированіе дифференціаловъ, содержащихъ квадратные радикалы изъ многочленовъ первой степени......................... . . . ..... . 355
15. Основныя Формы, къ которымъ приводятся дифференціалы, содержащіе квадратные радикалы изъ многочленовъ второй степени................ . 361
Яв» Интегрированіе вышеупомянутыхъ основныхъ Формъ.................366
17. Интегрированіе нѣкоторыхъ частныхъ Формъ ирраціональныхъ дифференціаловъ ...........................................................383
V. Интегралы приводимые къ эллиптическимъ.
18. Преобразованіе дифференціаловъ, содержащихъ квадратные радикалы изъ многочленовъ третьей и четвертой степени. Три каноническія Формы эллиптическихъ интеграловъ.......................................................386
VI, Интегрированіе дифференціальныхъ биномовъ.
19. Случаи, въ которыхъ дифференціальный биволгъ можетъ быть приведенъ къ раціональной Формѣ. Формулы пониженія степеней въ дифференціальномъ биномѣ . . ...................................................... 395
80. Нѣкоторыя дифференціальныя выраженія, приводимыя къ Формѣ биномовъ ............................................................ 402
VII» Интегрированіе трансцендентныхъ функцій.
21. Интегрированіе нѣкоторыхъ трансцендентныхъ Функцій при помощи Формулы интегрированія по частямъ...................................... . 406
23. Случаи, въ которыхъ могутъ быть указаны нѣкоторые общіе пріемы интегрированія трансцендентныхъ Функцій..................................414
23. Продолженіе предыдущихъ общихъ соображеній............................422
21. Интегрированіе дифференціаловъ, аавпепщпхъ отъ произведеніи синусовъ и косинусовъ или отъ произведенія ихъ степеней.......................426
25. Интегрированіе дифференціаловъ, въ которыхъ кромѣ различныхъ степеней синусовъ и косинусовъ входятъ еще синусы и косинусы кратныхъ дугъ перемѣннаго..........................................................436
2в. Интегрированіе нѣкоторыхъ дифференціаловъ, въ которыхъ перемѣнное входитъ алгебраически п подъ знаками тригонометрическихъ Функцій . 442
27. Нѣкоторыя Формулы пониженія, примѣняемыя при интегрированіи тригонометрическихъ Функцій.....................................................445
28. Интегрированіе дифференціаловъ, содержащихъ исключительно сочетанія синусовъ и косинусовъ кратныхъ дугъ......................................448
ѴШ. Теорія опредѣленныхъ интеграловъ.
29. Общія понятія объ опредѣленномъ вптегралѣ. Объ интегралахъ съ безконечны мп предѣлами - . .........................................449
30. Интегралы, иодъннтегральная Функція которыхъ претерпѣваетъ нарушеніе непрерывности между предѣлами интеграла, Понятіе объ особыхъ интегралахъ п о главныхъ значеніяхъ интеграловъ ...........455
ЗЯ. Выводъ строки Тейлора, вытекающій изъ понятія объ опредѣленномъ интегралѣ ..................................................... « . • ... 468
32. Случаи, въ которыхъ могутъ быть сдѣланы нѣкоторыя непосредственныя заключенія о велпчпвѣ опредѣленныхъ интеграловъ....................... 471
33, Теорема Кошп, относящаяся къ изслѣдованію сходимости безконечныхъ рядовъ................................................................ 478
34. Признакъ сходимости рядовъ^ указанный Ермаковымъ................. . 482
36. Нахожденіе опредѣленныхъ интеграловъ посредствомъ разложенія въ рядъ подъинтегральной Функціи.............., . , ............................492
30. Нахожденіе опредѣленныхъ интеграловъ посредствомъ дифференцированія подънптегральной Функціи по параметру...............................499
37. Нахожденіе опредѣленныхъ интеграловъ посредствомъ интегрированія подъ знакомъ интеграла...................................................< . 504
38. Прпбл'пженпое вычисленіе опредѣленныхъ интеграловъ по частнымъ значеніямъ подъинтегральной Функціи (способъ Гаусса).......................509
IX. Интегралы Эйлера.
30. Зависимость между Эйлеровыми интегралами перваго и втораго вида , . . 523
40. Нѣкоторыя свойства интеграловъ Эйлера...............................526
41. Дифференцированіе втораго Эйлерова интеграла........................529
42. Нахожденіе нѣкоторыхъ опредѣленныхъ интеграловъ посредствомъ интеграловъ Эйлера........................................................ 532
43. Способы вычисленія Эйлеровыхъ интеграловъ......................... 536
X, Періодическіе ряды. Интегралы Фурье.
44, Форма періодическаго ряда. Вычисленіе коеФФпціентовъ періодическаго ряда посредствомъ Опредѣленныхъ интеграловъ.......................... . 540
46. Доказательство возможности разложенія при извѣстныхъ условіяхъ Функціи въ періодическій рпдъ . , . ........................................... 545
46. Измѣненіе предѣловъ въ интегралахъ^ представлпгощпхъ косффиціснты періодическихъ рядовъ................................................. 555
47. Примѣры разложенія Функцій въ періодическіе ряды 556
48. Выводъ интеграловъ Фурье ......................................... 559
40. Нахожденіе нѣкоторыхъ опредѣленныхъ интеграловъ посредствомъ интеграловъ Фурье ........................................................ 563
ЗХ Опредѣленіе длины дугъ кривыхъ линіщ величины площадей, ограниченныхъ кривыми линіями и объемовъ тѣлъ.
50. Вычисленіе длины дугп лптгіп на плоскости п въ пространствѣ. Вычисленіе длины дуги эллипсиса, параболы, гиперболы ц др. , ................... 567
51. Вычисленіе площади, ограниченной кривой линіи, на плоскости.........577
62. Вычисленіе площади, находящейся внутри замкнутаго криволинейнаго контура на плоскости........................................ . ........ 584
53. Измѣреніе площадей на кривыхъ поверхностпхъ....................... 587
64. Вычисленіе объемовъ тѣлъ, ограниченныхъ кривыми поверхностями , , . 601
Интегрированіе дифференціальныхъ уравненій.
Классификація дифференціальныхъ уравненій. Виды интеграловъ дифференціальныхъ уравненій ♦ , , \ \ \ \ > 617
I. Основные пріемы интегрированія уравненій.
!♦ Отдѣленіе перемѣнныхъ въ дифференціальныхъ уравненіяхъ . . Ф . . . 622
2. Интегрированіе однородныхъ уравненій перваго порядка съ двумя перемѣнными .............................................................. 624
3, Интегрированіе обобщенныхъ однородныхъ уравненій................... , 627
-4, Интегрированіе нѣкоторыхъ уравненій приводимыхъ къ однороднымъ . . 630
5, Интегрированіе линейныхъ уравненій перваго порядка................631
6, Уравненія приводимыя пъ линейнымъ....................................635
7. Нахожденіе общаго интеграла но частному рѣшенію...................638
8. Интегрированіе уравненія Рпккатп , , . * « , , , . -..............642
5>, Интегрированіе уравненіи въ томъ случаѣ, когда оно представляетъ собою точный дифференціалъ .............................647
И, Объ интегрирующемъ множителѣ дифференціальныхъ уравненій.
10. Общія соображеніи, относящіяся къ изысканію пнтегрпрующаго множителя .................................................’...........650
11. Разборъ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ, въ которыхъ ннтегрпрующій множитель можетъ быть найденъ....................................... 654
III. Интегрированіе уравненій перваго порядка и высшихъ степеней.
1®, Разложеніе дифференціальнаго уравненія высшей степени па множители ♦ 663
13. Нѣкоторые частные пріемы интегрированіи уравненій перваго порядка п высшихъ степеней , . . ’............................................ - . 665
14. Частные виды уравненій ’ пнтёгрнруемыхъ способами вышеизложенными .. , 669
15. Рѣшеніе геометрическаго вопроса о траэкторіяхъ...........’...........675
IV. Объ особыхъ рѣшеніяхъ дифференціальныхъ уравненій перваго порядка.
16. Изыканіе особыхъ рѣшеній по общимъ интеграламъ 677
17, Выводъ особыхъ рѣшеній по данному дифференціальному уравненію , . ,• 684
V. Интегрированіе уравненій высшихъ порядковъ (нелинейныхъ),
18, Общія соображенія касательно интеграловъ уравненій высшихъ порядковъ. 688
19, Разборъ случаевъ, въ которыхъ уравненія высшихъ порядковъ могутъ быть интегрируемы........................................................690
20. Случаи, въ. которыхъ порядокъ интегрируемаго уравненіи можетъ быть понижаемъ................................................................703
____XI_____
VI Интегрированіе линейныхъ уравненій высшихъ порядковъ.
Пониженіе порядка интегрируемаго уравненія. Составъ полнаго интеграла линейнаго уравненія высшаго порядка............................. 717
83. Пониженіе порядка неоднородныхъ линейныхъ уравненій посредствомъ частныхъ рѣшеній...................................................... 721
83. Примѣръ интегрированія линейнаго однороднаго уравненія втораго порядка 730
84. Интегрированіе линейныхъ уравненій высшихъ порядковъ по способу измѣненія произвольныхъ постоянныхъ ...................................733
8&. Интегрированіе линейныхъ уравненій высшихъ порядковъ съ постоянными коеФФііціентами ... .......... « 745
8®. Интегрированіе неоднородныхъ линейныхъ уравненій съ постоянными коео-Фмціентамй посредствомъ частныхъ рѣшеній , .............................748
87. Интегрированіе тѣхъ же уравненій по способу измѣненія произвольныхъ постоянныхъ ..................................*........................749
VII. Интегрированіе уравненій перваго порядка со многими перемѣнными,
88. Условіе интегрируемости указанное Эйлеромъ. Способъ интегрированія уравненій съ тремя перемѣнными, удовлетворяющихъ условію интегрируемости ............................................................. 757
8®. Интегрированіе уравненій съ тремя перемѣнными въ томъ случаѣ, когда общій интегралъ не можетъ быть представленъ однимъ соотношеніемъ между перемѣнными . » . . . . ................................ • . . ♦ 769
3®. Интегрированіе дифференціальныхъ уравненій перваго порядка со многими перемѣнными .......................................................773
VIII. Интегрированіе совмѣстныхъ дифференціальныхъ увавненій.
ЗД. Замѣна двухъ совмѣстныхъ дифференціальныхъ уравненій однимъ уравненіемъ втораго порядка (способъ Якоби) ................................. 783
38. Обобщеніе способа Якоби. Зависимость интегрированія совмѣстныхъ уравненій отъ интегрированія линейнаго уравненія съ частными производными перваго порядка............... . . ...................................785
33. Линейныя, совмѣстныя дифференціальныя уравненія и пхъ интегрированіе по способу Якобп .......................................................791
ЗД. Способъ Даламберта для интегрированія лвнейныхъ, совмѣстныхъ дифференціальныхъ уравненій и примѣненіе его къ совмѣстнымъ уравненіямъ съ постоянными коеФФИціентамп....................................... 792
35. Интегрированіе линейныхъ, совмѣстныхъ дифференціальныхъ уравненій съ перемѣнными коеФФиціентами по способу Якоби п по способу Даламберта . ;...............................................................798
IX. Интегрированіе уравненій съ частными производными перваго порядка.
3®. Различные виды интеграловъ уравненій съ частными производными . . . 802
37. Интегрированіе линейныхъ уравненій съ частными производными ♦ . < ♦ 807
3$. Интегрированіе нелинейныхъ уравненій съ частными производными и дву ми независимыми перемѣнными.....................................815
39. Устраненіе изъ уравненіи съ частными производными искомой Функціи . 823
40. Основныя свойства символа Пуассона ..................................825
44. Три основныя теоремы Якоби, относящіяся къ интегрированію нелинейныхъ уравненій съ частными производными .................................831
43. Интегрированіе нелинейныхъ уравненіи съ частными производными со многими независимыми перемѣнными по способу Якоби ......... 839
43. Случаи, въ которыхъ интегрированіе нелинейныхъ уравненіи съ част. ыми производными и многими независимыми перемѣнными можетъ быть упрощено ....................................................................853
X. Интегрированіе каноническихъ уравненій.
44. Свойство интеграловъ каноническихъ уравненій...................... 858
45. При веденіе интегрированія каноническихъ уравненія къ интегрированію уравненія съ частными производными.....................*.................861
Прпмъръ интегрированія каноническихъ уравненій» Вопросъ о движеніи свободной точки, находящейся подъ дѣйствіемъ центральной силы» Законы Кеплера......................................... ,............864
Въ недалекомъ прошломъ, занимаясь преподаваніемъ дифференціальнаго и интегральнаго исчисленія на высшихъ женскихъ курсахъ въ Кіевѣ, я имѣлъ случай весьма осязательно убѣдиться въ недостаткѣ учебниковъ по упомянутымъ отдѣламъ высшаго анализа. Русская математическая литература крайне бѣдна вообще, но недостатокъ учебнаго пособія особенно сознаютъ тѣ, которые начинаютъ изучать дифференціальное и интегральное исчисленіе.
Въ послѣдніе тридцать, сорокъ лѣтъ въ Россіи появились только два самостоятельныхъ (не переводныхъ) учебника, заслуживающихъ полнаго вниманія и въ свое время принесшихъ не малую пользу учащимся. Одно пзъ этихъ сочиненій составлено профессоромъ московскаго Университета Н. Е. Зерновымъ; оно представляетъ собою во многихъ отношеніяхъ прекрасный учебникъ дифференціальнаго исчисленія съ его приложеніями къ анализу и геометріи. Другой учебникъ, о которомъ мы говоримъ, оцѣненный по достоинствамъ Академіей наукъ, составленъ Академикомъ Н. Н. Алексѣевымъ и служитъ руководствомъ для изученія интегральнаго исчисленія. Сочиненіе Н. Е. Зернова въ настоящее время сдѣлалось библіографическою рѣдкостію, что же касается до сочиненія Н. Н. Алексѣева *), то оно совсѣмъ не содеряштъ въ себѣ нѣкоторыхъ весьма существенныхъ отдѣловъ интегральнаго исчисленія, между прочимъ ученія объ опредѣленныхъ интегралахъ. Поэтому трактатъ И. Н. Алексѣева, не смотря на свои высокія достоинства, даже при скромныхъ требованіяхъ не можетъ считаться руководствомъ вполнѣ удовлетворяющимъ потребностямъ учащихся.
Въ иностранной учебной литературѣ, относящейся къ тѣмъ же отдѣламъ математики, можно указать много прекрасныхъ руководствъ, какъ въ видѣ трактатовъ, такъ и въ видѣ курсовъ, изданныхъ многими первоклассными учеными. Въ послѣдніе двадцать лѣтъ во Франціи обработкой курсовъ анализа занимались такіе выдающіеся дѣя
•) йіы говоримъ о второмъ изданіи этой книги, появившемся въ 1874 году.
тели науки какъ Гермитъ, Бертранъ, Серре и др. Результатами нхъ работъ явились несравненные и незамѣнимые трактаты, извѣстные всѣмъ занимающимся математикой, но по разнымъ причинамъ всѣ эти прекрасныя книги мало полезны начинающимъ изучать анализъ. Эти руководства весьма обширны и касаются не только общихъ, но и частныхъ, можно сказать, второстепенныхъ вопросовъ анализа. Такая полнота можетъ затруднять начинающаго изучать предметъ. Начинающему не легко разобраться въ. обширномъ предлагаемомъ ему, хотя и цѣнномъ матеріалѣ (I. Вегігапсі. Тгаііё сіе саіспі сШТе-гепііеі еі сіе саіспі іпіе^гаі). При этомъ богатствѣ содержанія авторы знаменитыхъ Французскихъ трактатовъ иногда по необходимости прибѣгаютъ къ сжатому, а потому мѣстами мало доступному для начинающихъ изложенію (М. Негпіііе. Сопгз сРАпаІузе).
Въ составленной нами книгѣ мы имѣли въ виду дать для русскихъ учащихся такое руководство, которое при допустимой краткости касалось бы только главнѣйшихъ вопросовъ дифференціальнаго и интегральнаго исчисленія п по изложенію было бы совершенно-элементарно, а слѣдовательно й доступно всѣмъ знакомымъ съ основными положеніями аналитической геометріи и алгебраическаго анализа (теоріи уравненій). Достигли ли мы предполоягенной цѣли,— пусть судятъ безпристрастные читатели. Мы составляли предлагаемое руководство исключительно для начинающихъ изучать высшій анализъ; для людей же сколько нибудь освоившихся съ разсматриваемыми отдѣлами математики наша книга не можетъ быть полезна, она недостаточна для нихъ уже потому, что совсѣмъ не касается теоріи Функцій мнимаго перемѣннаго, посредствомъ которой современные ученые справедливо находятъ необходимымъ обобщать аналитическія заключенія. Что касается до способа изложенія, то для тѣхъ лицъ, о которыхъ мы сейчасъ говоримъ, онъ въ нашей книгѣ утомительно элементаренъ; но этимъ изложеніемъ мы и хотѣли привнести исключительно пользу учащимся.
Изданіе нашей книги сдѣлалось возможнымъ только тогда, когда Университетъ св. Владиміра оказалъ щедрое для этого пособіе, за такое его вниманіе, не въ первый уже разъ выраженное имъ къ нашимъ слабымъ трудамъ, мы считаемъ нравственнымъ долгомъ выразить нашу глубокую благодарность.
Профессоръ №|. Хандриковъ.
Кіевъ, въ Апрѣлѣ 1887 г.
Всѣ величины, свойства которыхъ изучаются въ математикѣ, мы дѣлимъ на двѣ категоріи: однѣ называемъ постоянными, другія—перемѣнными величинами, по здѣсь понятіе о постоянствѣ является понятіемъ условнымъ.
Когда въ математикѣ понятію о перемѣнномъ мы протпвупоставляемъ понятіе О постоянномъ количествѣ, то въ этомъ случаѣ постоянную величину мы разсматриваема. какъ существующую п сохраняющую свойство неизмѣняемости только при пйвѣетпыхъ условіяхъ. Если мы говоримъ, напримѣръ, о радіусѣ круга, какъ о величинѣ постояняой, сравнительно съ координатами различныхъ точекъ данной окружности, то разсматриваемъ радіусъ какъ величину постоянную для этого опредѣленнаго круга, при переходѣ же къ другому кругу радіусъ измѣлится, хотя всѣ свойства разсматриваемой кривой лиліи сохранятся. Примѣровъ, подобныхъ этому, можно указать много какъ въ алгебрѣ, такъ и въ геометріи.
Что касается до измѣняемости величинъ, понимаемой въ тѣеномъ смыслѣ слова, то ее мы можемъ представить себѣ двояко. Однѣ величины, измѣняясь, стремятся къ конечному предѣлу, отличному отъ нуля, ихъ мы будетъ называть конечными перемѣнными величинами; другія, измѣняясь, пли неограниченно возрастаютъ, пли неограниченно убываютъ; мы говоримъ, что первыя стремятся къ безконечности, вторыя имѣютъ предѣломъ нуль. Первыя мы называемъ величинами безконечно большими;—вторыя безконечно малыми.
Итакъ подъ безконечно малой величиной мъг разумѣемъ такую, которая способна неограниченно уменьшаться до нуля, никогда его не достигая.
&
Сообразно съ этимъ опредѣленіемъ, величина 7с = 1 — ]/а есть безконечно малая, если я? способно только неограниченно возрастать; ибо при этомъ условіи величина 7с стремптея къ нулю, но въ нуль обратиться не можетъ, ибо мы не можемъ представить себѣ совершенно опредѣленнаго значенія х, ирп которомъ
37 _ А
]/а = а1 — а° = 1.
Отдѣли, анализа, занимающійся изученіемъ свойствъ величинъ безконечно малыхъ, носитъ названіе Дифференціальнаго исчисленія.
Безконечно малыя, какъ величины перемѣнныя, могутъ быть независимыя и зависимыя, поэтому однѣ могутъ быть разсматриваемы какъ функціи другихъ. Въ вопросахъ рѣшаемыхъ, дифференціальнымъ почисленіемъ, одно безконечно малое мы будемъ принимать за независимое перемѣнное, а другія будемъ считать его функціями. При этомъ мы будемъ допускать, что находясь въ функціональной зависимости, безконечно малыя сохраняютъ всегда опредѣленныя отношенія между собой.
Пояснимъ это положеніе примѣромъ. Разсмотримъ два прямоугольника съ основаніями 2ж п х и высотами т/'І 4~ х—1 п х. Площади этихъ прямоугольниковъ будутъ
Рг = 2ж(]/1' + х—1) и Р2 = х2.
Если перемѣнное х неограниченно уменьшается, тогда и высоты п основанія этихъ прямоугольниковъ также неограниченно убываютъ, а потому и площади прямоугольниковъ могутъ быть сдѣланы менѣе всякоіі данпоіі величины. Возьмемъ отношеніе этихъ площадей, оно есть
Рг 2 х []/1 + х — 1]. 2 х []/1 4- х — 1 ] ] |/1 -|- ж 4~ 1]
Рг “ & ~ х2 ж 47І]"
Принимая, что х неограниченно уменьшается, найдемъ, что отношеніе разсматриваемыхъ площадей стремится къ единицѣ, какъ къ предѣлу. Такимъ образомъ площади разсматриваемыхъ прямоугольниковъ хотя и становятся безконечно малыми (при непрерывно убывающемъ ж), но въ этомъ случаѣ остаются въ постоянномъ отношеніи, равномъ единицѣ'.
Легко убѣдпться, что отношеніе двухъ безконечно малыхъ величинъ не только можетъ быть конечною величиною, но само можетъ быть безконечно малымъ, пли даже безконечно большимъ числомъ; другими словами, одно безконечно малое можетъ быть безконечно больше пли безконечно меньше другаго.
Предположимъ, что конечное количество а мы дѣлимъ на опредѣленное число ж, тогда — будетъ опредѣленная часть этого числа а. Чѣмъ болѣе будетъ число ж, тѣмъ менѣе будетъ разсматриваемая часть числа а. Прп безконечно большомъ ж, а т-і а
часть — будетъ безконечно мала. Если величину — снова раздѣлимъ на ж (пред-
полагая, что х есть безконечно большое число), то — будетъ также безконечно ма-
лою величиною; если
снова раздѣлимъ на ж, то найдемъ еще безконечно малую
а
величину—з п т. д.
Продолжая такимъ образомъ, мы получпмъ слѣдующій рядъ
безконечно малыхъ величинъ
а
а
хп
Этп безконечно малыя величины между собою не одинаковы. Въ самомъ дѣлѣ, возьмемъ отношеніе какихъ ппбудь двухъ изъ нихъ, напр. первой къ третьей, тогда
а а , - : _- — ж2. Ж Жа
Это отношеніе прп безконечно возрастающемъ х есть количество безконечно большое.
Слѣдовательно безконечно малая величина ~ безконечно больше величины ~ так-х х3
же.безконечно малоіі.
То обстоятельство, что безконечно малыя могутъ быть однѣ больше или меньше другихъ, приводитъ насъ къ мысли о раздѣленіи ихъ па порядки.
Когда мы разсматриваемъ одновременно нѣсколько безконечно малыхъ, находящихся въ зависимости одна отъ другой, пли какъ говорятъ, когда разсматриваемъ без конечно малыя, составляющія систему, то можемъ всѣ безконечно малыя этой системы выразить функціями одной изъ нихъ, которую примемъ за основаніе системы, или за главную безконечно малую.
Если изъ двухъ безконечно малыхъ а и @ примемъ одну, напр. а заглавную, то $ относительно этой главной будетъ безконечно малою перваго порядка въ томъ случаѣ, когда отношеніе прп стремленіи р и а къ нулю, само стремится къ конечной, отличной отъ нуля величинѣ. Безконечно малую В будемъ называть безко-.0 печцо малой втораго порядка, если отношеніе при томъ же условіи стремится къ конечной величинѣ отличной отъ пуля.
Вообще безконечно малая |3 называется безконечно малою «-го порядка отно-- Р • А
сителыіо а, если отношеніе “ при неограниченномъ уменьшеніи а и р стремится
къ конечному предѣлу отличному отъ нуля. Прп этомъ замѣтимъ, что основное безконечно малое считается всегда за безконечно малое перваго порядка, ибо прп опредѣленіи порядка величины а, ее нужно раздѣлить на такую степень основной безконечно малой, прп которой частное представилось бы конечной величиной.
Для поясненія понятія о порядкахъ безконечно малыхъ разсмотримъ напр. слѣдующія три величины:
х\ 8=]/ах\ у = }/х(а—х)
которыя будутъ безконечно малыми, если х способно неограниченно уменьшаться, стремясь къ нулю. Опредѣлимъ порядокъ безконечно малыхъ х п у, принимая за основное безконечно малое Для этого прежде всего по даннымъ соотношеніямъ выразимъ х и у по в и при этомъ найдемъ
Возьмемъ отношеніе этихъ двухъ величинъ къ степенямъ третьей, т. с. принимаемой за основную. Отношеніе
представляется конечной величиной, слѣдовательно х есть безконечно малая втораго порядка относительно 8.
Предѣлъ отношенія
У
1
есть единица, ибо по мѣрѣ приближенія 8 къ нулю, вторая часть равенства стремится къ едпппцѣ. Изъ этого заключаемъ, что у относительно # есть безконечно малая перваго порядка.
Если мы за основаніе системы примемъ не безконечно малую величину я, а хг то для опредѣленія порядка величппт» у п г относительно х выразпмт» у п 8 по ж, что уже имѣемъ вт, формахъ
Такъ какъ отношеніе
есть конечная величина, то 8 виннаго порядка относительно Отношеніе
должно считаться безконечно малою величиною поло-
У
при неограниченно убывающемъ х стремится къ конечному предѣлу ]/а, а потому заключаемъ, что у относительно х есть безконечно малая величина также половиннаго порядка.
Принимая это во вниманіе, мы должны обобщить приведенное выше опредѣленіе порядка безконечно малыхъ: подъ указателемъ порядка мы должны разумѣть не только цѣлыя, но и дробныя числа.
Итакъ, обобщая предыдущія соображенія, разсмотримъ безконечно малую величину а и составимъ рядъ ея степеней
ато. а”
а.і
гдѣ >п'^т>о. Вт» этомъ ряду безконечно малыя расположены по вос-
ходящему порядку. Порядокъ послѣдующей безконечно малой болѣе порядка предыдущей п отношеніе
а ____„ч-р
а’’
будетъ стремиться къ пулю по мѣрѣ уменьшенія а до нуля.
Если возьмемъ другой рядъ безконечно малыхъ величппт
то, чтобы опредѣлить порядокъ какой либо изъ этихъ безконечно малыхъ относительно основанія а, папр. иорядошв безііоксомо малой а, стоитъ только вт» пзвѣст-
ломъ ряду а’", а".......а'', а'' выбрать такую безконечно малую а'', для которой
отношеніе
е а*
имѣло бы конечный предѣлъ, и тогда величины, е и а1' должны считаться за безконечно малыя одного порядка, а слѣдовательно е относительно а будете» безконечно малою порядка к.
Легко показать геометрически существованіе безконечно малыхъ величинъ различныхъ порядковъ.
Разсмотримъ треугольника. АВС (фнг. 1), прямоугольный при С‘, съ безконечно малымъ угломъ при А и конечными сторонами АС и АВ. Если уголъ А есть
(Фт. 1). величина безконечно малая, т. е. способная нсогранп-
С чеино уменьшаться до нуля, то понятно, что тоже свой-
___\ ство будетъ имѣть и сторона СВ, ибо СВ = АВ зіи А.
\ (АВ какъ величина конечная на порядокъ пронзвсдс-' \ нія АВ. 8Іп А по вліяетъ). Назовемъ безконечно малую
А IV -В сторону ВС чрезъ а. Если изъ С опустимъ па гііпо-
тснузу. АВ перпендикуляръ ВС, то легко видѣть, что длина ВС,' которую означимъ чрезъ а', будетъ также безконечно малою величиною перваго порядка. Въ самомъ дѣлѣ, изъ подобныхъ треугольниковъ 1ѴСВ н АСВ имѣемъ
по такч» какъ АС и АВ суть конечныя величины п но мѣрѣ уменьшенія угла А сторона АВ стремится къ .конечному предѣлу АС, то предѣлъ отношенія есть конечная величина, а слѣдовательно а' и а суть безконечно малыя одного порядка.
Если положимъ НВ — а!', то изъ тѣхъ же треугольниковъ имѣемъ
по СВ есть безконечно малая величина перваго порядка н АС есть конечная ве-
ѵ у .ОС .а
личина, слѣдовательно предѣла» отношенія есть нуль, а самое отношеніе — есть
величина безконечно малая. Поэтому а" слѣдуетъ считать за величину безконечно малую высшаго порядка ‘относительно а'.
Соображая, все сказанное о порядкахъ безконечно малыхъ, мозгомъ высказать слѣдующее. Если означимъ чрезъ <о„ безконечно малую величину «-го порядка относительно а и возьмемъ отношеніе
а”
то предѣлъ этого отношенія пріі неограниченномъ уменьшеніи со„ п а" будетъ представляться конечной величиной. Этотъ конечный предѣлъ отношенія мы означимъ
чрезъ Ь. Если равенство между если только
н Ь существуетъ только въ предѣлѣ,
т. е.
то отношеніе-—- еще не достигшее предѣла вообще будетъ отличаться отъ Ъ. Поло-
жимъ, что эта разность есть е, тогда
гдѣ е есть перемѣнная величина, которая съ неограниченнымъ уменьшеніемъ со,, н а" сама дѣлается менѣе всякой дашіоіі величины и въ предѣлѣ обращается въ нуль.
Изъ предыдущаго равенства слѣдуетъ, что
Это выраженіе можно считать за общую форму безконечно малоіі «-го порядка прп основаніи а. При п = 1 и « — это Равенство представитъ выраженія для безконечно малыхъ перваго н дробнаго порядка, селп только р не есть кратное отъ д_.
Разсматривая послѣднее выраженіе, мы видимъ, что порядокъ безконечно малой <о зависитъ только отъ той степени, въ которую слѣдуетъ возвысить основаніе а, чтобы получить для предѣла отношенія —~ конечную величину, но отнюдь не зависитъ отъ этой конечной величина, или предѣла Д къ которому стремится от-ношеніе ——, лишь бы этотъ предѣлъ былъ конечной величиной. Изъ этого заключаемъ, что порядокъ безконечно малой не измѣнится отъ умноженія ея на какое лпбо конечное число.
Разсмотримъ теперь двѣ безконечно малыя величины, одну порядка р, другую порядка и прп этомъ пусть обѣ онѣ берутся при одномъ и томъ же основаніи а. Этн двѣ безконечно малыя имѣютъ формы
(-Д -|- со, — а® (,-Д “Ь
Взявъ отношеніе этихъ величинъ, имѣемъ
а'/ Н~ аР
Мы знаемъ, что
мѣнныя 6 предѣловъ
. со, когда отношенія —
стремятся къ нулю,
СО;» ѵ
а ~~ стремятся къ предѣламъ, то . псрс-слѣдовательно по извѣстной теоремѣ теоріи
Ніи —
Ио такъ какъ Д и Ьг суть величины достоянныя, то
Слѣдовательно
или
Предполагая, что #—р>о и помня, что а есть величина безконечно малая, стремящаяся къ нулю какъ къ предѣлу, имѣемъ
11111 —- = О.
0),
Отсюда заключаемъ, что отношеніе безконечно малой высшаго порядка къ безконечно малой порядка низшаго въ предѣлѣ стремится къ нулю, а потому безконечно малая величина высшаго порядка всегда безконечно меньше безконечно малой величины низшаго порядка.
Если въ выраженіи (1) примемъ _р=#, т. е. если разсматриваемъ безконечно малыя одинаковыхъ порядковъ, то изъ упомянутаго выраженія (1) имѣемъ
Ііш^ = Ь СО;. Д
Слѣдовательно, отношеніе величинъ безконечно малыхъ одинаковаго порядка есть величина конечная. Такимъ образомъ по общей формѣ безконечно малыхъ величинъ мы подтверждаемъ то, что сказали выше.
Разсмотримъ три безконечно малыхъ а, В, у. Предположимъ при этомъ, что есть величина порядка р относительно а, и у пусть будетъ величина порядка относительно |3. Тогда
0 = (X, + 6,); у = |3’(Л2 +
Подставляя во второе вмѣсто (3 ея величину изъ нерваго, имѣемъ
У = а” (Д е2)’(Д 4- е2)
раздѣливъ обѣ части равенства на а?4 п иерендя къ предѣлу, имѣемъ
Пш X =1іт(7;Д Д)
а такъ какъ Д и Д суть величины постоянныя, то
Ніи і = Д’ т, ар(/ 1 • -^2 ‘
Но если предѣлъ, къ которому стремится отношеніе есть постоянная конечная величина, то у ио отношенію къ а есть безконечно малая порядка рд. Слѣд. если
даны три безконечно малыя величины а, 0 п у п извѣстенъ порядокъ р относительно а п порядокъ у относительно р, то порядокъ у относительно а будетъ равенъ произведенію данныхъ порядковъ. Если бы порядокъ р по отношенію къ а былъ равенъ единицѣ, то порядокъ у по отношенію къ а равнялся бы <у, т. с. былъ бы тотъ жо какъ н но отношенію къ р. Отсюда заключаемъ, что если въ системѣ безконечно малыхъ основаніе замѣнимъ какимъ угодно безконечно малымъ перваго порядка, то порядокъ всѣхъ остальныхъ безконечно малыхъ величинъ зтой системы не измѣнится.
Возьмемъ нѣсколько безконечно малыхъ (о„,, со,,, со;„ со,........различныхъ
порядковъ, гдѣ >?«••••*•; сложимъ нхъ и опредѣлимъ порядокъ суммы.
Сумма разсматриваемыхъ безконечно малыхъ представляется въ формѣ
со„, 4- іоч -Ь Ч’ + “<?’’' — а"‘ (^ + е) + а" (А 4- Ч) + а'' (А + е2) +........
что, очевидно, можно представить въ видѣ
Переходя къ предѣлу, замѣтимъ, что находя предѣлъ' второй части равенства, мы должны брать предѣлъ отдѣльно для каждаго слагаемаго, но а есть безконечно мала» величина и за предѣлъ ея считается пуль, слѣд. всѣ члены съ множителемъ а, имѣя этого множителя въ положительной стсііеип, въ предѣлѣ обратятся въ нуль, всѣ е въ предѣлѣ также исчезаютъ п потому
Пш а>к, + 4- Ч 4- Ч +.........._ т
а’"
Итакъ, предѣлъ, къ которому стремится сумма безконечно малыхъ различныхъ порядковъ, раздѣленная на а”‘, есть конечная величина, слѣд. эта сумма по отношенію къ а есть безконечно малая т-го порядка. Отсюда заключаемъ, что складывая нѣсколько безконечно малыхъ разныхъ порядковъ, мы получаемъ безконечно малую величину, порядокъ которой равенъ порядку низшей безконечно малой изъ слагаемыхъ. Поэтому, если всѣ другія слагаемыя за исключеніемъ низшей по порядку не вліяютъ па порядокъ суммы, то мы можемъ сказать, что въ суммѣ безконечно малыхъ различныхъ порядковъ, безконечно малыя высшихъ порядковъ исчезаютъ передъ безконечно малою низшаго порядка. Въ этомъ заключается одно изъ основныхъ положеній теоріи дифференціальнаго исчисленія.
Мы вводимъ въ анализъ безконечно малыя для того, чтобы располагать таіш-мп перемѣнными, переходъ которыхъ изъ одного состоянія въ другое не препятствовалъ бы намъ дѣлать самыя общія заключенія о другихъ перемѣнныхъ копечиыхъ величинахъ. Пояснимъ эту мысль иа частномъ примѣрѣ.
Пусть нѣкоторая кривая представляется уравненіемъ ^ = /^(3;), въ которое кромѣ перемѣнныхъ х и у входятъ нѣкоторыя постоянныя величины, параметры. Если будемъ давать этпмъ параметрамъ различныя частныя значенія, то каждой системѣ этихъ частныхъ значеній будетъ соотвѣтствовать новая кривая того же вида, характеризуемаго.. уравненіемъ Если не пзмѣпяя параметровъ въ
уравненіи убудемъ давать различныя значенія координатѣ х п изъ даннаго
урашіенія будемъ вычислять соотвѣтствующія значенія у, то будемъ получать различныя точки одной и той же кривой, характеризуемой уравненіемъ у = /[х). Итакъ, измѣненіе параметровъ ведетъ къ переходу отъ одной кривой извѣстнаго вида къ другой кривой того же вида; измѣненіе координатъ безъ измѣненія параметровъ объ-условлпваеть переходъ отъ одной точки кривой къ другой точкѣ той же кривой.
Предположимъ, что кривая представляемая уравненіемъ у = /(х) имѣетъ впдъ
АВ (фиг. 2). Пусть нѣкоторымъ частнымъ значеніямъ координатъ и уг соотвѣтствуетъ точка М этой кривой; такъ что = у1—МП. Дадпмъ абсцпсѣ хА
какъ тѣ пелпчпиы ж1
приращеніе Дя, способное уменьшаться до нуля. Пусть это приращеніе будетъ РР' = Дя;; ордината у± точки М также получитъ соотвѣтствующее приращеніе Ду, которое опредѣлимъ, если изъ точки -Р' возставимъ перпендикуляръ Р'Л/1 и изъ М. проведемъ прямую параллельную оси х. Тогда отрѣзокъ МЩ представитъ приращеніе Ду ординаты уг, соотвѣтствующее приращенію Д® абсцпсы хѵ Этп величины Дх и Ду могутъ измѣняться, уменьшаясь до нуля, тогда и ух, которымъ дамы зти приращенія, сами дпкакпмъ пере
мѣнамъ не подвергаются. Уменьшая Дя и Дг/, мы не ограничиваемъ положенія .точки М никакими условіями; тогда какъ уменьшая координаты точки ЛГ до нуля,
мы не могли бы приписывать пащпмъ заключеніямъ, изъ этого выводимымъ, пол
ную общность. Мы говорили бы тогда не о произвольныхъ точкахъ кривой, а о нѣкоторыхъ только опредѣленныхъ. Такъ, уменьшая до нуля абецпсу точки М п выводя отсюда извѣстныя заключенія, мы должны бы считать этп заключенія справедливыми только для тѣхъ точекъ, которыя лежатъ на кривой вблизи оси ординатъ. Уменьшая до пуля ординату и разсматривая возникающія изъ этого послѣдствія; мы дѣлалп бы заключенія справедливыя для тѣхъ точекъ кривой, которыя лежатъ около осп х. Между тѣмъ какъ заключенія выводимыя изъ измѣненія приращеній (по опредѣленной зависимости между ними) до нуля будутъ одинаково относиться ко всѣмъ точкамъ кривой.
Въ дифференціальномъ печислепіп, давая нѣкоторымъ величинамъ безконечно малыя приращенія, мы будемъ опредѣлять тѣ измѣненія, которыя происходятъ, отъ этого въ величинахъ, зависящихъ отъ непосредственно измѣняемыхъ.
Вообще, если двѣ величины зависятъ одна, отъ другой, то мы говоримъ, что одна изъ этихъ величинъ есть функція другой п эту зависимость въ самомъ общемъ смыслѣ представляемъ такимъ знакомъ: у—/(х)^ принимая въ этомъ случаѣ, что у есть функція х. Такъ, если имѣемъ у=хпі, гдѣ т есть опрсдѣленноо число, то для даннаго х можемъ вычислить по этому выраженію у н полученный результатъ будетъ зависѣть отъ того, какое значеніе дано перемѣнному х. Слѣдовательно здѣсь у есть функція отъ х. Точно также по данному х мы можемъ вычислить у изъ выраженія у— Іо^ж п разсматривать логариѳмъ какъ функцію того числа, отъ котораго оиъ берется.
Величины, которыя должны быть даны для того, чтобы другія по нимъ могли быть вычисляемы, называются независимыми перемѣнными. Этп независимыя перемѣнныя вообще произвольны, пмъ при извѣстныхъ условіяхъ можно давать какія угодно значенія.
Часто случается, что тѣ величины, отъ которыхъ зависятъ другія, сами зависятъ отъ нѣкоторой третьей величины. Такъ напр. (зіна;) есть функція зіп «, который въ свою очередь зависитъ отъ х. Такая сложная зависимость можетъ быть названа функціею функціи. Предположимъ, что зависимость у отъ х представлена знакомъ у — ф(ж), а зависимость третьей величины ё отъ у пусть представляется знакомъ тогда зависимость з отъ х можетъ быть представлена знакомъ
*=/*[? О)]-
Еслп въ функціи /’(ж) вмѣсто х должно быть подставлено частное значеніе х, напр. х = $} то это дѣйствіе можно представить знакомъ /{О); также /(а4 ж) представляетъ собою ту величину, которую получитъ нѣкоторая ДХ), если на мѣсто х въ нее будетъ внесено х-^-а.
Простѣйшія основныя функціи выражаютъ собою слѣдующія дѣйствія: сложеніе, вычитаніе, умноженіе, дѣленіе, возвышеніе въ степень н извлеченіе корня; отъ соединенія пли повторенія этихъ дѣйствій происходятъ функціи составныя. Составная функція, представляющая собою конечное число основныхъ дѣйствій, называется функціею алгебраическою. Если же для абсолютно точнаго вычисленія функціи мы должны извѣстныя алгебраическія дѣйствія повторить безчисленное множество разъ, то такая функція называется трансцендентною. Мы знаемъ напр., что для вычисленія абсолютно точной величины 1о§ (1 Н-л’), по данному значенію независимой перемѣнной х} мы должны по формѣ
надъ х произвести безчисленное множество дѣйствій н соединеніе всѣхъ этпхч» дѣйствій привело бы насъ къ абсолютной величинѣ І05 (1 -ф-ж), а потому вообще логариѳмъ мы называемъ трансцендентной функціей своего аргумента. Такое же свойство имѣетъ всякая тригонометрическая функція относительно своего аргумента.
Что касается до алгебраическихъ функцій, то онѣ дѣлятся на цѣлыя и дробныя, раціональныя и ирраціональныя; послѣднія также могутъ быть цѣлыми и дробпымп.
Если между двумя перемѣнными х и у существуетъ зависимость представленная уравненіемъ рѣшеннымъ относительно одного изъ нихъ, напр. относительно у, то мы говоримъ, что разсматриваемая зависимость выражена явноіі функціей. Если же соотношеніе между х и у выражено нерѣшеннымъ уравненіемъ, напр. уравнепіемъ вида
ау* -\-Ь.ху-\-сх~4-у = 0,
то такое соотношеніе представляетъ собою неявную функцію двухъ перемѣнныхъ. Всякая функція называется непрерывною, если она при непрерывномъ возрастаніи своего перемѣннаго представляется конечною величиною возрастающею или убывающею также непрерывно. Непрерывная функція не можетъ сдѣлаться мнимою или безконечною ни для какого опредѣленнаго значенія своего независимаго перемѣннаго. Это свойство принадлежитъ всякой цѣлой раціональной функціи, ибо такая функція пс содержитъ перемѣннаго въ знаменателѣ, она не содержитъ также перемѣннаго подъ радикаломъ. Отдѣльные члены такой функціи и сама функція отъ непрерывнаго возрастанія пли убыванія перемѣннаго, могутъ только возрастать илп убывать непре-
рывио и по выполненіи всѣхъ дѣйствіи показанныхъ въ фумкціп, мы получимъ въ разсматриваемомъ случаѣ результатъ дѣйствительный и конечный, положительный, отрицательный или равный нулю. Такъ напр. функція у = ах,п при всѣхъ конечныхъ значеніяхъ ж, заключающихся между —оо и Ч-со дастъ для у конечныя величины.
Дробная функція, хотя и раціональная, ис всегда непрерывна, ибо она содержитъ перемѣнное въ знаменателѣ, для нѣкоторыхъ конечныхъ значеній этого перемѣннаго знаменатель моясстъ обратиться въ нуль, а сама функція въ безконечность. Такъ напр.
(а — ж)"»
при х—а даетъ для у безконечно большую величину; эта функція не имѣетъ характера непрерывности. Для всѣхъ значеній х отличныхъ отъ а она конечна, но малому измѣненію ж, прп которомъ это перемѣнное изъ близкаго къ а становится равнымъ величинѣ а, не соотвѣтствуетъ малое измѣненіе функціи—она обращается въ безконечность п мы говоримъ, что въ этомъ случаѣ ома претерпѣваетъ нарушеніе непрерывности.
Функція цѣлая но. ирраціональная также можетъ претерпѣвать нарушеніе непрерывности, и это происходить отъ перехода величины функціи изъ дѣйствительной въ мнимую. Такъ напримѣръ функція у = ]/і— ж2 непрерывна только до тѣхъ поръ, пока х измѣняется въ предѣлахъ —2 и -1- 2; внѣ этихъ предѣловъ функція получаетъ мнимое значеніе.
Функція ирраціональная дробная можетъ претерпѣвать нарушеніе непрерывности ис только отъ того, что иногда дѣлается мнимою, по п отъ того, что становится безконечною для нѣкоторыхъ конечныхъ величинъ перемѣнной.
Трансцендентныя функціи часто претерпѣваютъ нарушеніе непрерывности; такъ напр. функція
у = ахЪ Анп* х
прп х — ~ обращается въ безконечность.
. Вообще если Дж) для каждаго частнаго значенія х заключающагося между предѣлами х = а и х — Ъ имѣетъ то свойство, что для безконечно малаго приращенія Дж, получаемаго независимымъ перемѣннымъ ж, даетъ разность
Дж Ч-Дж)—Дж)
остающуюся безконечно малою, то мы говоримъ, что Дж) непрерывна относительно перемѣннаго х между предѣлами а и Ъ. Когда этп предѣлы сами безконечно близки къ нѣкоторому частному значенію перемѣннаго, то мы говоримъ, что функція непрерывна въ сопредѣльности частнаго значенія х.
ТЕОРІЯ ДИФФЕРЕНЦІАЛЬНАГО ИСЧИСЛЕНІЯ.
I.
Дифференціалы и производныя функцій.
1. Дадимъ въ функціи у = ^(х~) независимому перемѣнному х безконечно малоо прпращепіе Дж, т. е. измѣнимъ х на такую величину Дж, которая способна неограниченно уменьшаться до нуля. Если /"(х) непрерывна для всѣхъ значеній х, или по крайней мѣрѣ въ сопредѣльности того значенія х, которому дали разсматриваемое приращеніе, то величина у, пли, что все равно, функція /'(ж) измѣнится также на безконечно малое количество Ду. Спрашивается, какъ опредѣлить это приращеніе функціи, соотвѣтствующее приращенію Дж главнаго перемѣннаго? Рѣшить этотъ вопросъ можемъ, опредѣляя во сколько разъ приращеніе Ду фудкціп болѣе плп меігѣе прпращепія Дж. Если это послѣднее отношеніе будетъ найдено, то зная Дж вычислимъ п Ду. Найти же это отношеніе можно слѣдующимъ образомъ.
Допуская, что отъ измѣненія х на Дж функція у измѣняется па Ду, нмѣомъ
У+Ду = Я>+Дж),
вычитая изъ этого уравненія первоначальное у—/(х)., получаемъ
Ду=/Х«-ЬДя) — /(х).
Отношеніе этого прпращепія функціи къ нриращеиію независимаго перемѣннаго есть
Ду __ /(х + Дж) — /*(ж)
Дж Дж.
%
Съ уменьшеніемъ проращеній Дж п Ду до нуля это отношеніе будетъ стремиться' къ извѣстному предѣлу, который называется производной функціей отъ данной функціи ж. Если эту производную означимъ чрезъ /‘'(ж), то но такому опредѣленію
ли = Ііт = Ит
\Дж/ Дж
Въ предѣлѣ Дж и Ду .исчезаютъ и казалось бы что /,,(ж) = по въ дѣйствительности /(х) имѣетъ всегда опредѣленное значеніе для данной фупкціп /*(ж). Это опредѣленное значеніе производной функціи мы получимъ, выполнивъ всѣ дѣйствія указанныя формулою
Дж + Да:) — ?(х) &х
н положивъ въ концѣ Дж —0.
Пояснимъ это па простомъ примѣрѣ. Опредѣлимъ производную функцію отъ у=ах2. Поступая по указанному, дадимъ независимому перемѣнному х прнращепіе Дж и означимъ чрезъ &у соотвѣтствующее приращеніе функціи у. Тогда
у -|“ Ду = л (х+Дж)2' или
у + &у = ах2 -|- 2 ах. Дж -ф- а‘
имѣя въ виду опредѣлилъ Ду, вычтемъ отсюда начальное уравненіе у = ах2, тогда получимъ
Ду=2ах. Дж’ 4~ я. Дж2
раздѣливъ все па Дж, найдемъ
АУ
Дж
2аж + а. &х
переходя къ предѣлу, положимъ Дж = 0 п тогда получимъ
Іііп
= /*' О) = 2аж
Итакъ, по мѣрѣ того
какъ Дж п &у стремятся къ нулю, отношеніе
&у &х
стремится
къ конечному предѣлу 2аж. Этотъ коночный предѣла, есть производная функція отъ начальной ах2.
Легко показать геометрическое значеніе производной функціи. Уравненіе у=[(х') мы можемъ разсматривать какъ уравненіе нѣкоторой кривой лппіп. Пусть эта кривая будетъ АВ (фиг. 3). Координаты какой либо точкп 21Г этой кривой будутъ
у=МР и х=^ОР. Дадимъ абсцпсѣ ж прира-
(Фіп. 3).
щепіе Дж—РР*. Если изъ точки Р' возставимъ перпендикуляръ до пересѣченія съ кривой въ точкѣ 2ІР, то получимъ ту ординату М'Р', въ которую пзмѣвится ордината МР отъ прпращенія абсцисы на величину Дж. Соотвѣтствуйте приращеніе ордпнаты представится величиною М'(9. Итакъ
М'§ = Ьу. Если проведемъ чрезъ точкп И и -ЛР прямую ЛГЛР, то опа пересѣчется съ осью ж въ точкѣ Н. Когда будемъ уменьшать Дж, будетъ уменьшаться п Ьу п точка
опредѣляемая этимп прпращеніямп будетъ, приближаться къ М, такпмъ обра
зомъ двѣ точкп пересѣченія М. и 2ІР будутъ сближаться между собою. По пзъ пря
моугольнаго треугольника АЕМ’ф впдпо, что отношеніе
= І5 СМ'М<3) = 16 (М’ІІХ)
т. с. тангенсу того угла, который пересѣкающая составляетъ съ осью ж; но мѣрѣ уменьшенія Дж и Ду, будетъ измѣняться п этотъ уголъ, ибо пересѣкающая будетъ принимать все новыя и новыя положенія. Въ предѣлѣ Да; п Ду обращаются въ нули, двѣ точки пересѣченія М н М1 сливаются п прямая получаетъ тогда только одпу общую точку съ кривой; эта прямая пзъ пересѣкающей обращается въ касательную,
слѣд. предѣлъ отношенія
будетъ тангенсомъ того угла, который касательная про
веденная къ кривой въ точкѣ (ж,у) составляетъ съ осью ж, итакъ
Іііп -- — іа11 о (МН'х)
отсюда заключаемъ, что производная функція (ординаты по абсцпсѣ) представляетъ собою тангенсъ угла съ осью х касательной, проведенной къ той кривой линіи, отъ уравненія которой у=ф{х) производная берется.
Когда Дж не достигло еще предѣла и не равно пулю, по безконечно мало, то * Ду
отношеніе —- разнится отъ производной г[х) па нѣкоторую малую величину; озпа-
чимъ эту малую величину чрезъ а. Итакъ, если еще не перешли къ предѣлу, то
Ау
Дж
Г (Х)~На
отсюда каково бы не было Дж находпмъ
Ду = р (а?). Дж 4- а. Да;,
Если а есть безконечно малая величина то Да; и Ду будутъ также безконечно малыми, слѣдовательно а.Дж будетъ безконечно малою величиною втораго порядка, тогда какъ Ду и /‘,(ж)Дж суть безконечно малыя величины перваго порядка, а потому не нарушая точности результата, па основаніи соображеній выше развитыхъ, можемъ пренсбречъ безконечно малою величиною втораго порядка сравнительно съ безконечно малыми перваго порядка и тогда получимъ
Ду = р (ж) Дж
мы разумѣемъ здѣсь подъ Дж и Ду безконечно малыя величины, означимъ ихъ чрезъ ду и йж тогда
$у = /’'(ж).<?ж
произведеніе р(х)дх, въ которомъ йж не есть пуль, но безконечно малая величппа, называется дифференціаломъ функціи /(я). Итакъ дифференціаломъ функціи называется произведеніе производной функціи на безконечно малое приращеніе независимаго перемѣннаго,
2. Составивъ понятіе о дифференціалѣ, найдемъ дифференціалы веѣхъ извѣстныхъ памъ функцій, начиная съ простѣйшихъ. Найдемъ дифференціалы суммы, произведенія, частнаго, степени понимаемой въ общемъ смыслѣ, показательной функціи, логариѳма п всѣхъ тригонометрическихъ функцій прямыхъ и обратныхъ.
Пусть дана функція у, состоящая изъ пезависпмаго перемѣннаго, сложеннаго съ постояннымъ количествомъ, такъ что у = а4-ж, гдѣ а есть постоянное количество, а х перемѣнное. Дадимъ х приращеніе Дж и положимъ, что происходящее отъ этого приращеніе функціи будетъ Ду, тогда у+ Ду = а + ж +Дж; чтобы опредѣлить приращеніе функціи вычтемъ отсюда начальное состояніе этой послѣдней, тогда получимъ Ду —Дж, откуда
Итакъ производная отъ у—а-|-ж есть единица, а по принятому опредѣленію дпф фередціалъ сіу функціи у получимъ, если производную данной функціи помножимъ на дифференціалъ главнаго перемѣннаго, итакъ Йу —с?ж; сравнивая этотъ результатъ съ начальной функціей у—а + заключаемъ, что дифференціалъ постоянной величины '.равенъ нулю.
Подобнымъ же образомъ, если дана функція у—а~х, то послѣдовательно найдемъ
Д?/
у-)-Ду—а — х—Дж; Ду = --Дж, ]ігв-тф =—1; б?у = — ах
Пусть дана функція у = ах. Отсюда находимъ у-}- Ду —а(ж-{-Дж), вычитая изъ этого начальное состояпіс функціи, имѣемъ Ду=а. Дж, откуда
Ду ,. Ду
= а; Гни -ф- = а.
&х Дж
и по сдѣланному опредѣленію дифференціала
сіу—а. Их.
отсюда заключаемъ, что постоянные производители при дифференцированіи
остаются безъ перемѣны. Также наіплп бы, что функція у—— имѣетъ доффе-а.
репціалъ
гдѣ за постоянный множитель принято —
Послѣ этихъ предварительныхъ замѣчаній переждемъ къ выводу дифференціаловъ суммы, произведенія п частнаго.
Предположимъ, что нѣкоторая функція у есть сумма двухъ функцій ф(ж) н. ф(ж) независимаго перемѣннаго х, Такъ что у — ф(ж) + ф(ж). Опредѣляя производную этой функціи, дадимъ независимому перемѣнному ж приращеніе Дж; пусть соотвѣтствующее приращеніе функціи у будетъ Ду. Тогда
у Ду — ф (ж -|- Дж) -ф- ф (ж -|- Дж)
откуда• вычитая начальное состояніе функціи, имѣемъ
Ду—ф(ж+Дж)— ф (ж) + ф (ж-|-Дж)— ф(ж)
откуда по раздѣленіи на Дж пмѣемъ
Лі/ ф(ж + Дж)—ср(ж) ф(ж~[-Дж)“ф(ж')
Дж- Дж г Дж
Переходя къ предѣлу, находимъ
гдѣ подъ ф’(ж) п ф1 (ж) разумѣемъ производныя функціи отъ <э(ж) н ф(ж), а слѣдовательно дифференціалъ данной функціи, который означимъ чрезъ ду будетъ
сіу—<р’(ж). ^4 Ф; (х)Лх.
Такъ какъ <р'(ж)<?ж и ф'(ж)г7ж суть дифференціалы функцій ф(ж) п ф(ж), то заключаемъ, что дифференціалъ суммы '-равенъ суммѣ дифференціаловъ отдѣльныхъ слагаемыхъ.
Точно также убѣдились бы, что дифференціалъ разности равенъ дифференціалу уменьшаемаго безъ дифференціала вычитаемаго.
Опредѣлимъ дифференціалъ произведенія. Пусть для дифференцированія дала функція
у—Ф(ж).ф(ж)
отсюда
у-|-Ду=<р(ж + Дж). ф(ж~|-Дж)
пли
Д?/ = ф(ж-(-Дж). ф(ж~|- Дж) — <р(ж). ф(ж)
придадимъ и вычтемъ во второй части членъ ф(ж)ф(ж-|-Дж), тогда предыдущее
выраженіе легко представить вчі видѣ
Ду = [<р (ж -|- Дж) — гр (ж)] ф (ж + Дж) 4- <р (ж) [ф (ж + Дж) — ф (ж)]
пли
Дж
[Иг + Д.г)-?И] , №0*4- &г)-ф(.г)]
Лл’ Т х • > > Ат I V 7
переходя къ предѣлу, т. с. полагая Дж=о, имѣемъ
ІШ.ДЗ'
Дж
<р'(ж).ф(ж)-]-ф'(ж). <р(ж).
Это и есть производная функція отъ данной функціи у, а слѣдовательно дифференціалъ этой послѣдней будетт.
&У = ф (ж) д [<р (ж)] + ср (ж) сі [ф (ж) ]
пли
т. е. дифференціалъ произведенія двухъ (функцій равенъ первой изъ этихъ (функцій} умноженной на дифференціалъ второй и сложенной со второго функціею, умноженною на дифференціалъ первой.
Это правило справедливо для всякаго числа производителей. Такъ папр. если бы требовалось дифференцировать функцію у—гкг.ѵ.' то по этому правилу, принимая сначала двухъ производителей еѵ за одного, нашли бы
Ну=(г-у). йи -ф- и. д, (л?ѵ)
по по этому же правилу
й(гѵ)=г. &ѵ ѵ. СІ2
слѣдовательно
Ни -ф- гсз. Нѵ -ф- гіѵ. (І2.
На основаніи подобныхъ соображеніи можетъ быть найденъ дифференціалъ частнаго или дроби. Опредѣлимъ дифференціалъ функціи у, имѣющей видъ
поступая подобно предыдущему, отсюда находимъ
?/ + Ау = -
О (ж + Дж) ф (ж 4- Дж)
слѣдовательно
А?/
<р (ж 4- Дж) ф (ж) ф(ж + Дж) ф(ж)
плп
Ду =
(Г)(ж -|- Дж) ф(ж) — ф(ж) ф(ж -Ь Дж) ф (ж -ф- Дж). ф (ж)
придадимъ н вычтемъ въ .числителѣ величину <р(ж)ф(ж), тогда всю дробь можно представить въ видѣ
ф (ж 4- Дж) ф (ж)
откуда
Ау
Дж
[<р (ж‘+ Дж) - <р (ж) ] [ф (ж + Аж)-ф(ж)]
----------- — - — г І'Ѵ ) ’I <
Дж т 4 Дж к
ф (ж 4- Дж) ф (ж)
Переходя къ предѣлу, получимъ
Ду _ ф’(ж)ф(ж) — (р(ж)ф'(ж) Дж-' [ф(з-')]г
это и есть производная частнаго пли дроби, а дифференціалъ будетъ
II .111
сіу =
Ид‘) - <?(ж)
4Иг)]
Итакъ дифференціалъ частнаго или дроби равняется дѣлителю или знаменателю, умноженному на дифференціалъ дѣлимаго или числителя безъ дѣлимаго или числителя, умноженнаго на дифференціалъ дѣлителя или знаменателя, при шоліг, вся эта разность дѣлится на квадратъ дѣлителя или знаменателя.
Если разсмотримъ дробь
у которой числитель есть постоянная величина, то помня,
что дифференціалъ по-
стоянной величины равенъ нулю, по предыдущему правилу найдемъ
с^==
[?(Ж)Г
Опредѣлимъ теперь дифференціалъ степени, т. с. такой функціи, въ которой нѣкоторая перемѣнная величина возвышается въ постоянную степень. Пусть такая функція будетъ у==хт. Поступая какъ прежде, найдемъ
откуда
у -{- А?/ — (.г -ф- Д.г
Д^—(а? Да;)”' — х "‘
слѣдовательно
что можно представить также вч> видѣ
по мы знаемъ, что разность степеней дѣлится безъ остатка на разность корней, а потому выполнивъ дѣленіе (въ предположеніи, что т есть цѣлое число), найдемъ
переходя къ предѣлу, мы примемъ Дя.' = 0 и тогда получимъ
понятно, что въ это« суммѣ находится т равныхъ членовъ, поэтому
а слѣдовательно дифференціалъ данной функціи, т. о. степени будетъ
1 ду = т.х да.
Итакъ, чтобы дифференцировать степень должно показателя степени сдѣлать множителемъ, степень перемѣнной величины понизить единицею и все помножить на дифференціалъ главнаго перемѣннаго.
Такой выводъ мы сдѣлали въ.томъ предположеніи, что т. е. показатель данной степени, есть цѣлое и положительное число, но легко показать справедливость этого вывода в для случаевъ дробнаго и отрицательнаго показателя.
Дѣйствительно, если т ость несократимая дробь, то ее можно представить въ р
видѣ -, гдѣ р и у суть цѣлыя числа первыя между собою. Итакъ пусть
откуда возвышая въ степень получимъ
у — (С
Такъ какъ # п р суть цѣлыя числа, то къ степенямъ у4 п хѵ примѣнимо предыдущее правило, слѣдовательно дифференцируя это выраженіе, получимъ
откуда
р. х дх
д-у
я
по у = а '', поэтому
внося это въ предыдущее выраженіе, найдемъ
Это выраженіе подтверждаетъ справедливость предыдущаго правила для дробнаго показателя .
Если т ость чпело отрицательное, т. о. если ш —гдѣ н ость величина существенно положительная, то выраженіе у — х’" можетъ быть замѣнено чрезъ
откуда
дифференцируя это какъ произведеніе множителя у па цѣлую и положительную степень перемѣннаго ж, получимъ
.г'". Ну -ф- пу .г"-1. сіх “ О
откуда
•ну.хп~1 сіх х”~
Внося сюда вмѣсто у его величину ж-", находимъ
Ну——п. х~п~г сіх
Откуда заключаемъ, что предыдущее правило примѣнимо н къ дифференцированію отрицательной степени.
Для поясненія изложенной теоріи на частныхъ примѣрахъ возьмемъ дифференціалы слѣдующихъ функцій.
Возьмемъ дифференціалъ функціи
2 а -I- Ьх
У =---
-1/^-4- Ъх
дифференцируя это какъ дробь, имѣемъ
что легко приводится къ виду
&У ______________?
СІХ 2 (« -І- І>х] 2
Возьмемъ еще дифференціалъ функціи
Дифференцируя это какъ степень н какъ дробь, получимъ
или
поэтому
(Іу п. х" 1
Возьмемъ еще дифференціалъ отъ
Дифференцируя это какъ степень и
какъ дробь, получаемъ
пли
(1%
или
Возьметъ еще дифференціалъ функція
Если возвысимъ это въ тг-ую степень, то получимъ
Что па основанія начальнаго выраженія можно представить ві, видѣ
откуда
поэтому
пли
3. Перейдемъ теперь къ дифференцированію трансцендентныхъ простыхъ функцій, нмспно функцій: показательной, логариѳмической, тригонометрическихъ н круговыхъ.
Когда мы дифференцировали степень, то дифференцируемая функція имѣла такой составъ, въ которомъ перемѣнная величина возвышалась въ постоянную степень. Показательной функціей мы называемъ функцію обратнаго состава съ этой; въ ней нѣкоторая постоянная величина возвышается въ перемѣнную степень. Такимъ образомъ за общій видъ простой показательной функціи слѣдуетъ считать
у = а-г
гдѣ а есть нѣкоторая постоянная, х—независимое перемѣнное. По общему пріему составленія производныхъ функцій отсюда находимъ
Л' 4- Ая? .С АіѴ
у + Ду/ “ а — а . а
слѣдовательно
.г Д.г а: а: Д.с
Ду/=« .а — а -- а [« — 11
откуда
.г. іі.г Ду/___а [а I
Дж Да.’.
Переходя къ предѣлу, мы должны принять Д,г = 0 и тогда найдемъ
выраженіе по видимому неопредѣленное. Чтобы составить себѣ понятіе о ого истинномъ значеніи, разсмотримъ вмѣсто безконечно малой Дж другую безконечно малую величину сі —'I = а, понятно, что а есть безконечно малая, если Дж есть безконечно маіая, ибо по мѣрѣ того какъ Дж будетъ стремиться къ нулю, а также будетъ приближаться къ этому предѣлу. Если
ііл; іі х
а — =а, то а I + а
НЛП
Дж — (I 4- а}
гдѣ логариѳмъ берется но основанію а. Въ отличіе отъ натуральныхъ логарномовъ, взятыхъ при основаніи е, которые означимъ чрезъ 1§, мы будемъ означать другіе логариѳмы, при другихъ основаніяхъ, чрезъ
Итакъ прп сдѣланномъ означеніи
или, что всс равно
Лу а*
По но биному Иыотона
этотъ рядъ, какъ извѣстно, представляетъ собою основаніе Пейеровыхъ логариѳмовъ е, итакъ
Ііпі (1
Замѣтимъ, что этотъ рядъ, по мѣрѣ того какъ будемъ брать всс большее и большее число членовъ, въ суммѣ этихъ членовъ будетъ стремиться къ конечной величинѣ, такіе ряды мы будемъ называть сходящимися. Въ сходимости этого ряда убѣдиться но трудно; легко показать, что величина е представляется числомъ, заключающимся меледу'2 и з, т. с, 2<е<з. Въ самомъ дѣлѣ, сумма дробей
. -[_--------------- -і............. р —л -----3 ......
2 2-3 2.3.4 22 2 ’
послѣдняя ікс сумма есть безконечно убывающая прогрессія, знаменатель которой
1 ,г
есть Мы знаемъ, что сумма такой прогрессіи есть
т
Въ нашемъ случаѣ т —5 = 1, а потому 2<е<з> Д и
Итакъ, принимая во вниманіе выраженіе (2), изъ уравненія (і) находимъ
Хх
но какъ извѣстію
а потому
Ііго
Ау
Дж
а. а
Такова производная показательной функціи, а слѣдовательно дифференціалъ этой функціи будетъ
йу — ал1* а. сіх
Если показательная функція имѣетъ впдъ
у — ет
то помня, что Ійс = 1, имѣемъ
. (?у = ег сіх.
Итакъ, въ этомъ случаѣ производная функція равна своей начальной.
Въ связи съ показательной функціей находится функція логариѳмическая, Найдемъ ея дифференціалъ. Пуедь дана функція
у— Ьо^ж.
для нея, подобно предыдущему, имѣемъ
| Д
у -|- Ду = Ьц (ж + Дж); Ду — Ьй (ж -ф- Дж) — Ейж — Ь»-----------;—
ж
откуда
если бы мы прямо перешли къ предѣлу, т. е. приняли бы Дж = 0, то нашли бы, • что это отношеніе обращается въ Для того чтобы найти истинное значеніе этого
отношенія, подобно предыдущему, за безконечно малое примемъ не Дж, а - = а, откуда Дж=аж. Слѣдовательно, предыдущему выраженію молено дать впдъ
Ду _ Ьй (‘1 + «)
Дж аж
і
| Г
= -Ьй ( I 4-а)“
Но мы уже знаемъ, что прп стремленіи а къ пулю, это выраженіе будетъ приближаться къ опредѣленному конечному предѣлу, именно
Дж ж
Такова производная логарпѳма, а потому дифференціалъ логариѳма будетъ
Если логариѳмъ берется по Пейерову основанію, то множитель обращается въ Ь§е='І п тогда
т. е. дифференціалъ натуральнаго логариѳма равенъ дифференціалу числа, отъ котораго логариѳмъ берется, раздѣленному на самое число.
Для поясненія на частномъ примѣрѣ дифференцированія функціи логариѳмической, возьмемъ дифференціалъ функціи
•/=м/т^
V 1 4- х
гдѣ означаетъ Мейеровъ логариѳмъ, т. с. логариѳмъ взятый при основаніи е.
Замѣтимъ прежде всего, что
У = *-161'І “ О + я)
а потому по выше указанному правилу дифференцированія логариѳма, имѣемъ
Пусть еще требуется найти дифференціалъ функціи у = (я Ѵ& + #2) гдѣ а есть постоянная величина. Дифференцируя, находимъ
Употребленіе логариѳмовъ часто облегчаетъ нахожденіе дифференціаловъ сложныхъ функцій. Такъ напр. если дана для дифференцированія функція
у — х
которая представляетъ сочетаніе степени съ показательной функціей, то прежде дифференцированія возьмемъ отъ обѣихъ частей уравненія Иеперовъ логариѳмъ, тогда получимъ
дифференцируя это п разсматривая врп этомъ вторую часть какъ произведеніе, найдемъ
пли
сіу = у (|*г ж-|- 1) сіх
внося вмѣсто у его значеніе изъ начальной функціи, получаемъ искомый дифференціалъ въ видѣ
сіу = х х 4~ 1). сіх.
Если бы для дифференцированія была дана болѣо сложная функція подобнаго же вида, ианр. функція
►г .г*
У=--х
то примемъ первоначально въ показателѣ
.г х — и
тогда данная функція получитъ видъ
и
у —х
взявъ отсюда Испоровъ логариѳмъ, найдемъ
у — и. х
откуда
сіу , , , СІХ
— І2;х.(1и -і- и.
У X
но мы уже видѣли, что функція и — х при дифференцированіи даетъ
сіи — х (Ія х 4- II сіх \ О 1 у
поэтому предыдущее обращается въ
— = х (І5 X 4- I) Іо;.сіх-4-X . -У X
или принимая во вниманіе начальную функцію, отсюда находимъ искомый дифференціалъ въ видѣ
Вообще надо замѣтить, что въ нѣкоторыхъ случаяхъ прежде дифференцированія функцій выгодно брать ихъ логариѳмы и этп послѣднія потомъ дифференцировать. Такъ если дано для дифференцированія уравненіе (собственно о дифференцированіи уравненій мы будемъ говорить ниже)
х=с
и требуется поэтому соотношенію найти производную , то прежде днфферен-цированія возьмемъ логариѳмъ и тогда будемъ имѣть
гдѣ логариѳмъ взятъ но Пейерову основанію. Отсюда
слѣдовательно
Ах
или
поэтому искомая производная есть
Ау
Приступимъ теперь къ дифференцированію тригонометрическихъ функцій н прежде всего найдемъ дифференціалъ синуса. Пусть функція данная для дифференцированія будетъ имѣть видъ
извѣстными
пріемами отсюда находимъ
. . , . . . . . Аж (' . Аж\
А у = 8111 (ж + А ж) — 8111 Х = 2.8111 -- С08 + — \
откуда
Такъ какъ въ предѣлѣ, т. е. при Аж —о множитель
обращается въ - , то паіідсмъ значеніе этого множителя прп А;?; — р на основаніи О
слѣдующій^ соображеній; мы знаемъ, что 8Іпа<?а;
|.ан§а > а., поэтому
іан&а > а > він а
, 8Іп а
но такъ какъ 1апе:а =--------, то
С05 а
5111 а . §111 а
----->а, пли 8іпа > а.со$а, плп ------------ > сова
сова а
5Іп а
но нзъ того что 8іна<а1 слѣдуетъ, что --------------< 1, а потому можемъ написать
такое неравенство
, 81Н а
1 >------> со5а
а
но такъ какъ нрп а=о,
со8а — і; то заключаемъ, что по мѣрѣ того какъ а стре-
мится къ нулю.
. 81Н а
отношеніе-----прнолпжается къ единицѣ,
а
Итакъ
а потому въ разсматриваемомъ случаѣ
Иш
Ду
Дж
С08Ж.
отсюда заключаемъ, что производная синуса нѣкоторой дуги есть косинусъ той же дуги, а потому по принятому опредѣленію имѣемъ
сіу — С05Х.СІХ .
Если для дифференцированія дана функція у^совж, то послѣдовательно находимъ
у Ду — со5(ж -4- Дж); Ду — со$(ж -ф- Дж) — совж; Ду~ — 2зіп
откуда
слѣдовательно
и по принятому опредѣленію
сіу “ — 8ІП X СІХ.
отсюда заключаемъ, что дифференціалъ косинуса нѣкоторой дуги равняется отрицательному синусу той же дуги умноженному на дифференціалъ дуги.
Зная дифференціалы синуса и косинуса, легко выведемъ дифференціалы тангенса, котангенса, секанса и косеканса. Для этого стоитъ только руководствоваться извѣстнымъ правиломъ дифференцированія дроби. Въ самомъ дѣлѣ, если
. 8111 х
у — Іаіщ х ~ ----------
С08 х
то
С08- X
СО8" X
точно также найдемъ
сі (соі* х)
— 8ІНЖ.(8Ііі Ж.Йл;) — С05ж(С05а'. СІХ} _ СІХ 8ІП2 X 8ІП2 X
г?(8есж)
< 1 \ _____8І11 X. Их
\С08Ж/ С08“Ж
• Их = Іа х. 8ес х. сі-х
сі (сояес а;) — «!
( 1 \ С08Ж.<?:Г___ СОІДЖ
кзІВ X/ 8ІВ2 X 8ІІ! X
СІХ
— соі^х.соаесж.йя;
Найдемъ наконецъ дифференціалы обратныхъ тригонометрическихъ функцій, пли такъ называемыхъ функцій круговыхъ.
Если дано выраженіе у —аіпя, то мы можемъ разсматривать у какъ функцію отъ х\ можемъ по данному значенію х опредѣлить изъ таблицъ пли другимъ какимъ либо способомъ величину синуса этой дуги, т. е. можемъ вычислить у. Но и обратно, если будетъ данъ у, т. е. если будетъ данъ синусъ дуги, то прп извѣстныхъ условіяхъ можемъ опредѣлить дугу, соотвѣтствующую этому синусу. Слѣдовательно дуга можетъ быть разсматриваема какъ функція своего синуса. Принимая синусъ или другую тригонометрическую линію за функцію дуги, мы будемъ называть эту функцію прямою тригонометрическою функціею. Разсматривая же дугу какъ функцію своего синуса, мы будемъ считать эту функцію за обратную относительно предыдущей н будемъ называть ее также круговою Функціей.
Если дано соотношеніе у = зіп &, то функцію обратную этой будемъ представлять въ видѣ
х = агс (зіп ~ у]
читая это такимъ образомъ: х есть дуга (агсію), спнусъ который равняется у. Ис рѣдко вмѣсто этого озпачснія употребляется другое, болѣе простое, именно х~ агс .зіп у\ англійскіе ученые вмѣсто этого употребляютъ еще знакъ я; = 5Ін”1у.
Подобнымъ же образомъ, если будутъ данны функціи
?/ = созж #=1ап§я
то функціи обратныя этимъ означатся прозъ
ж=агс (соз = у)
х ~ а гс (Іап§ = я)
Найдемъ производныя и дифференціалы обратныхъ тригонометрическихъ пли круговыхъ функцій.
Если дана функція х = агс (8Ін = у), то вмѣстѣ съ тѣмъ имѣемъ у = 8Іпгс
и изъ этихъ двухъ соотношеніи требуется
опредѣлить
производную въ зависи-
мости отъ одного у. Изъ выраженія у = зіпж имѣемъ
сіу со? X. СІХ.
откуда
сіх I
<1у ~ СО8Я
по соз.г'=]/ (—8Іи2 х и кромѣ того, такъ какъ у —зіиж, то созж^у/і —у2. Поэтому искомая производная будетъ
сіх__ I
]7'Г~-'у-
а дифференціалъ данной функціи х будетъ
•> 1 г •
сіх = а (агс.8іп у) = -- : .
у I — у2
Найдемъ дифференціалъ функціи
х ~ агс (соз - -у)
вмѣстѣ съ этимъ имѣемъ у~созя, слѣдовательно сіу = — $ін х. сіх
но если у = соза;, то <иі.г’ = ]/1 —у2, поэтому с!х ________________________________________ — -I
сіу 81'11 X і/Г-— у*
а слѣдовательно искомый дифференціалъ будетъ
-- <ІУ
сіх ~ сі (а гс. соз у) — - — 3 — у/ -I — у2
Опредѣлимъ наконецъ дифференціалъ функціи х—- агс (Іап$ = у)
изъ совмѣстнаго съ этимъ выраженіемъ у^іап^ж имѣемъ
СІХ соз'2#
но извѣстно, что —г—= зес2.тг С084 X
поэтому
плп
Такимъ образомъ мы видимъ, что производныя обратныхъ тригонометрическихъ функцій суть функціи алгебраическія.
Для поясненія правплъ дифференцированія круговыхъ функцій, возьмемъ дифференціалъ функціи
у — агс (зІп = 2 х у/і — а;2)
ио общему выраженію дифференціала агс.зІп имѣемъ сі (ая і/1 — х2}
выполняя вч> числителѣ дпфф'ереііцнрованіе п сдѣлавъ приведеніе въ знаменателѣ, нмѣемт.
иля
что очевидно приводится къ
Пусть еще требуется найти дифференціалъ функціи у — агс ((5 —5Іп х} тогда
сі П* зін л’]
Г Т 7 і“ • ’ у
I + { ІЯ 8111 ХГ пли наконецъ
, соІдгг.сЬ----------------—-г •
1 4- (1&‘ зііі х)2 Возьмемъ дифференціалъ функціи
Л ! ’
у = агс I іа не = 1? !
отсюда имѣемъ
НЛП
плп наконецъ
Возьмемъ еще дифференціалъ функціи
отсюда
плп
йу I
с!х~ а + Ъ . С!}8я.
откуда легко получаемъ
Дифференціалы и производныя высшихъ порядковъ.
4. Мы видѣли, что всякая функція имѣетъ производную п эта послѣдняя по большей частп сама зависитъ отъ главнаго перемѣннаго, ио которому производилось дифференцированіе. Отъ производной функціи, въ которую входптъ еще главное перемѣнное, снова можетъ быть взята производная функція, которая называется второю производною относительно своей начальной.
Если вообще дана функція # —/(ж), то, какъ извѣстно, первая ея производная есть
= 1І„, Г ,^Ж| = Пх)
сіх . Дж 1 ѵ 7
еслп /"'(ж) завпептъ отъ ж, то къ составленію ея производной можетъ быть примѣненъ тотъ же пріемъ, который употреблялся для составленія /!{х} по данной начальной функціи Дж). Условпмся означать вторую производную знакомъ /*"(ж). Такъ какъ вторая производная стоитъ въ такомъ же отношеніи къ первой, въ какомъ первая производная находится къ начальной функціи, то
или
(ж) — Ипі
это выраженіе представляется
обыкновенно въ видѣ /" (а?) — п подъ этпмъ епм-СІХ~
воломъ разумѣется дѣйствіе, при которомъ отъ извѣстной функціи у берется два раза производная по главному перемѣнному ж. Итакъ
Если вторая производная еще завпептъ отъ ж, то отъ нея по тѣмъ же правиламъ мвжно взять третью производную и по принятому означенію будемъ имѣть
В=г'“м ”т-
Если дана напр. функція у = ахп гдѣ а п м суть постоянныя величины, то дифференцируя эту функцію относительно ж, получимъ
«—1
сіу _ ан .х .сіх
п производная данной функціи въ разсматриваемойь случаѣ есть
сіу
- - - ан. х
«ж
Мы видимъ, что эта производная аѵх‘~1 сама зависитъ отъ ,т н потому скова можетъ быть дифференцирована относительно х. Выполняя это дифференцированіе по извѣстному правилу для дифференцированія степени, получимъ
и—2
слѣдовательно вторая производная разсматриваемой функціи будетъ
и—2.
Мы видимъ, что эта вторая производная сама зависитъ отъ .т, а потому отъ нея снова можетъ быть взята производная по тому же перемѣнному; эта производная будетъ уже третьей производной функціей относительно своей начальной. Въ нашемъ случаѣ
с? «??•(« — О(» — 2) .Т . (ІХ
пли
попятно что производная теперь разсматриваемой функціи не будетъ уже зависѣть отъ ж, а потому всѣ дальнѣйшія производныя будутъ равны нулю.
Примѣчательныя свойства относительно евонхъ производныхъ имѣютъ нѣкоторыя показательныя п тригонометрическія функціи. Такъ напр. показательная функція ?/=^е’г не измѣняется во всѣхъ своихъ производныхъ. Въ самомъ дѣлѣ, мы знаемъ, что для этой функціи
производная тождественна съ начальной функціей, а такъ какъ вторая производная стоитъ въ такомъ же отношеніи къ первой, въ какомъ эта послѣдняя находится къ начальной функціи, то вторая производная будетъ тождественна съ первой: именно
п т. д.: вообще
Если разсмотримъ функцію ?/ = аіпя', то но извѣстному правилу найдемъ
(11/ (14/ . ((4/ (14/
= соз х\ = — 5ііі х; -7 .. = — соз ,т: , \ — зіи х
(ІХ ’ (ІХ~ (ІЛ'Л ‘ (ІХІ
т. е. послѣдовательныя
производныя синуса возвращаются періодически черезъ че
тыре. Тоже самое свойство имѣетъ и функція т/ = созж. Въ самомъ дѣлѣ для этой функціи
дх
д-у г?3?/ . (1%
яіпж; , — — соя .-г; , , = яіпж; —< = 005.г.
ах- ах* ах*
5, Мы видѣли, что
плп
(Т-у = .(Ъ?
(1)
этого результата при извѣстномъ условіи мы можемъ достигнуть, дифференцируя какъ произведеніе выраженія
ду = р (ж) (Іх
Въ самомъ дѣлѣ дифференцируя это выраженіе, мы имѣемъ
(12у — (ІХ. (1У (.!’)] + У' (х) (12Х
пусть
тогда
Л О) = & (*)
(1[/< (дг)] = К' (ж).с7ж
ко
д?' (л1) = У'1 (.г)
•слѣдовательно д [ У' (а?) ] — (а?). сіх, и такъ
(Ру = У" О) дх2 +Р (ж) (Рх
для того чтобы это было тождественно съ выраженіемъ (1), необходимо, чтобы
У' (х) (Ѵ-х — о.
Но такъ какъ У'(ж) вообще не равна нулю, то это условіе удовлетворится, когда <?2ж = о, т. о. когда сіх будетъ разсматриваться какъ величина постоянная, пбо мы знаемъ что дифференціалы постоянныхъ величинъ равны нулю.
Изъ этого мы выводимъ то важное заключеніе, что при послѣдовательныхъ диффереіщированіяхъ дифференціалъ главнаю перемѣннаго долженъ быть принимаемъ за величину постоянную.
Когда отъ данной функціи беремъ первую производную, тогда выборъ независимой перемѣнной остается произвольнымъ и не вліяетъ на ожидаемый результатъ. Если въ этомъ случаѣ замѣнимъ потомъ независимое перемѣнное другимъ, соединеннымъ съ нпмъ извѣстнымъ соотношеніемъ, то найденное дифференціальное выраженіе перваго порядка отъ этого не измѣнится. Въ примѣненіи же къ днфферен-д Іа ламъ высшихъ порядковъ это заключеніе не можетъ считаться вообще справед
ливымъ.
Пояснимъ это на частномъ примѣрѣ. Возьмемъ функцію у = хі и при дифференцированіи примемъ за главное перемѣнное я, тогда будемъ имѣть
(Іу = 4.г3. (Іх; (Г-у = 12 х2. (Іх2
Если же прежде дифференцированія функціи у = ,гЛ введемъ новое перемѣнное іс подъ условіемъ «~ж2, тогда будемъ имѣть
у ~ и2
примемъ здѣсь за главное перемѣнное», тогда, дифференцируя у —и2, получимъ
(Іу = 2». Ни-; (Г-у = з. (Іи2
еслп теперь отъ перемѣннаго «• перейдемъ къ начальному перемѣнному ,г, то найдемъ
Ну = 4ж\ (Іх; (12у ~ 8л?2. (Іх2
пбо и = х2\ (Іи —--2х.(1х. Итакъ мы видимъ, что первый дифференціалъ функціи у одинаковъ и въ томъ и въ другомъ случаѣ, второй же дифференціалъ одной п той же функція, найденный при одномъ незавпепмомъ перемѣнномъ, отличается отъ дифференціала полученнаго при введеніи новаго независимаго перемѣннаго.
Причина этого различія заключается въ томъ, что когда мы принимали х за независимое перемѣнное, тогда (Іх былъ постоянной величиной, когда же мы приняли новое перемѣнное, дифференціалъ котораго стали разсматривать какъ постоянную величину, то (Іх перестало быть постояннымъ количествомъ п дифференціалъ произведенія р(х).(1х въ этихъ случаяхъ иолучплъ различный составъ.
Итакъ еслп пмѣемъ у = /’(л’). то какое бы изъ двухъ перемѣнныхъ за главное мы не приняли, во всякомъ случаѣ
(2) (іу - Г О) (Іх
Если х есть независимое плп главное перемѣнное, то
(3) (Гу = Г1 (X) • дх2
еслп же х не есть независимое перемѣнное, а само есть функція нѣкотораго другаго перемѣннаго, то дифференцируя выраженіе (2) какъ произведеніе, будемъ пмѣть.
(4) (Гу = /*"(». (Іх2 4- (ж) (12х
гдѣ
опредѣляя /"(.г) І13ъ выраженія (4), пмѣемъ
внося сюда вмѣсто Р(х) ея величину, получимъ
или
что можно представить также въ видѣ
тогда какъ выраженіе (3), полученное въ томъ предположеніи, что ж есть независимое перемѣнное, даетъ
Въ этомъ послѣднемъ случаѣ
СІХ2
есть простое символическое означеніе,
представ-
ляющее собою.то что отъ нѣкоторой функціи у берется послѣдовательно' два раза производная по независимому перемѣнному ж. Тогда какъ въ предыдущемъ случаѣ (ж) представляется производною дроби и эта производная должна быть взята по извѣстному правилу.
Точно также если ж есть независимое перемѣнное въ уравненіи
У — /О)
то
г/3?/ с/ж3
Если же х есть функція новаго перемѣннаго, то третья производная должна быть представлена въ видѣ
ибо выраженіе у
Г" (х) =
(ІХ
во всякомъ случаѣ даетъ
Г' О) =
г??/
пли ду = ?'(х), дх
а такъ какъ предполагается, что х есть сама функція новаго независимаго перемѣннаго, то
д2у = (ж) дх3 4- (ж) (Рх
•откуда
д3у = р" (ж) (Іх3 4* 2Л (а?) дх.д-х 4- (х) д2х. дх 4- Г (ж) • №х — Г" Сг) ^ж3 + з/^ (X) "г Л(ж) д3х
изъ этого находимъ
И Т д.
6. Чтобы пояснить это
па примѣрахъ, разсмотримъ сначала уравненіе
Если х есть независимое перемѣнное, то вторая производная у по х безъ всякнхъ
дальнѣйшихъ преобразованій отсюда можетъ быть опредѣлена. Если же х есть сама
функція вѣкоторой независимой перемѣнной і, то - < должно быть замѣнена чрезъ-
(ІХ
п эта послѣдняя должна быть развита какъ производная дробп. Итакъ въ
послѣднемъ случаѣ предыдущее уравненіе должно быть представлено въ впдѣ
(Г-у. (ІХ — (Т2Х. (Іу х (Іу , у (Іх37 —~х‘2 (Іх 7—
Еслп новое перемѣнное есть і п х какъ функція его представляется въ видѣ ж = соз і, то
(Іх — — 5Іп і.(И; (12х — — со$ і.(Н2
ибо і есть по предположенію главное перемѣнное п = Внося вмѣсто х, (Іх п (12х ихъ величины въ предыдущее уравненіе, находимъ
(і?
о.
п отсюда уже опредѣляется вторая производная функція у, взятая два раза по независимому перемѣнному і.
Рѣшимъ еще такой вопросъ: требуется преобразовать выраженіе
. Л??Л2
(іх2 ' \(ІХ/
такъ, чтобы за независимое перемѣнное было принято у вмѣсто х. Замѣтимъ что
и еслп за независимое перемѣнное принимается у, то (Іу есть постоянная величина и тогда
слѣдовательно данная сумма принимаетъ видъ
или
(Іу ((Іх. сіу — (1-х)
(Іх2
или раздѣливъ числителя и знаменателя на (Іу3, получимъ
это и есть искомое преобразованное выраженіе.
Посмотримъ еще, во что обратится производная , еслп за новое нсзавпси
мое перемѣнное примемъ і, находящееся съ х въ связи вида
і = х 4-
прежде всего замѣтимъ что
кромѣ того
(И — (і -4 іх). (іх
слѣдовательно
а
откуда
внося это г въ выраженіе (5), получпмъ
но такъ какъ д
Ні
- — 1 то
4- 2.т
сТ2у сіу Г'І 4- 2х)2 _ < Ну\
<?=”•* +~ЗГ-4 Ѵл’,1
ПЛИ
г?2?/
сіх2
но
і = х 4- х1;
4-і 4ж 4- гр?; 1 4* 4^ — 'I Н* 4^ + 4я’2 — ('I 4- 24Р
п потому искомое преобразованное выраженіе производной будетъ
Сдѣлаемъ еще одно преобразованіе, которое, какъ увидимъ потомъ, имѣетъ
весьма важное геометрическое значеніе.
Пусть требуется преобразовать производную
Н2У сіх2
такъ, чтобы независимымъ
перемѣннымъ было количество дифференціалъ котораго опредѣляется выраженіемъ
СІ82 = сіх2 4- сіу2
мы знаемъ что
(6)
аІУ.-У.г1/аЧ\
СІХ2 СІХ \с!х^
Еслп 5 есть независимое перемѣнное, то (1$ есть постоянная величина, с12з — о п мы ко соотношенію между 8, х п у имѣемъ
о =гз еіх сГ-х 4- сіу с!2у
откуда
Внося это въ выраженіе (6), имѣемъ
с!2у с!х2.с12у 4" сіу2 с!2у с12у СІ82
Тх2 = ~1хА'~ ” = —Іт4 ”
пли
пли наконецъ раздѣлимъ все на <?з4 получимъ искомое преобразованіе въ видъ
П-у
Покажемъ еще одно подобное же преобразованіе. Предположимъ, что функцію
въ которой х принимается за главное перемѣнное, требуется преобразовать такъ, чтобы перемѣнныя х п у были замѣнены другими перемѣнными р н со и чтобы при этомъ со было принято за независимое неремѣнное. Связь между перемѣнными х и у и перемѣнными р и со пусть представляется уравненіями
,г=р.созш; у = р.зіи со
Прежде всего данное уравненіе представляемъ въ видѣ
_ (с?.г2 4- Иу-у _ г 7\
(Іх.іРу— (Ъу.(Рх
при которомъ независимое перемѣнное не означено. Потомъ изъ соотношеній между перемѣнными х п у, р п со, находимъ
(ІХ = соз со. с?р —’ р.зіп со. с?со
(Іу = 5ІП СО.^р 4~ р.СОЗ СО.СІЫ
такъ какъ со должно быть принято за независимое перемѣнное, то (Іы — пост, п дальнѣйшее дифференцированіе дастъ
(Рх = соз со. с?2р — 2 зіп со с?р о? со — р. соз со. (Ты2
(Ру = зіп СО .(Р? 4" 2 005 м — 1° • 5ІІІ со .<7со2
изъ этихъ выраженій и предыдущихъ составляемъ
йяг 4' (Іу2 = (I?2 -р р2 • с?со2
(ІХ (Ру — (Іу. (Рх = — р С?СО Й2р 4- 2 • С?<0 Йр2 4“ р2 с?со3
поэтому выражніе (7) принимаетъ впдъ
в ____________(с?р2 + р2.с?со2Н_______
— р С?СО . С?2р 4- 2<?со с?р2 4- р2. С?СО3
или наконецъ
7. Не останавливаясь болѣе на этомъ, покажемъ какпмъ образомъ могутъ быть составляемы послѣдовательныя производныя произведенія двухъ плп многихъ функцій.
Предположимъ, что дана функція у = ц.ѵ гдѣ н и ѵ сами суть функціи независимаго перемѣннаго х. По правплу дифференцированія произведенія для этой
функціи находпмъ
йм Но , сіи
• ’- = и Т»-7
ах ах ах
(1гу (12ѵ (Іи (Іѵ , (І'Н
Лх2 и (Іх2 2 (Іх (Іх У (Іх2
(13у_ (13ѵ (Іи(13ѵ. (Т2и (Іѵ ( (13и
(ІХ3 ~ 1< (ІХ3 3 (ІХ (ІХ2 3 ^і;2 (Іх (Іх^ ѵ
мы видимъ, что коеффиціенты въ послѣдовательныхъ производныхъ не зависятъ отъ самыхъ функцій, но отъ числа выполняемыхъ дифференцированій, нлн отъ порядка составляемой производной. Чтобы открыть законъ составленія этихъ коеффпціснтовъ, допустимъ, что згла производная данной функціи у = иѵ имѣетъ видъ
(3)
у . (Го . (Іи (Г 1ѵ . (12и (Г 2ѵ
-..= Апи — -{- А, - • • , 4- А,.....- , 4-
(ІХ> (Іх' (ІХ (ІХ ' (ІХ2 (Іх“
Такъ какъ опредѣляемые коеффиціенты Лр, А1, А„ не зависятъ отъ вида разсматриваемыхъ функцій, то этимъ функціямъ мы можемъ дать произвольную форму. Рѣшеніе будетъ простѣйшее, еслп данныя функціи примемъ за показательныя, ибо мы видѣли, что нѣкоторыя показательныя функціи прп послѣдовательныхъ дифференцированіяхъ не измѣняютъ своего вида. Итакъ примемъ
гдѣ а есть постоянное число.
Тогда
?/ = иѵ =--с
понятно что
ч.
п,
п ах
— = е і
СІХ1
(ІХ
и = е 5
н
и
... . хг
посредствомъ этихъ выраженіи послѣ сокращенія оощаго множителя ее =е въ обѣихъ частяхъ, уравненіе (8) принимаетъ впдъ
(I 4- а.у' = -|- А^ -г Л3а'24
к л и ~ 1 і
г .4 Д 4- .л а
1 II — 1 1 л
отсюда заключаемъ, что искомые коеффиціенты Ло, Л,..........Аи суть биноміаль-
ные, слѣдовательно
итакъ « производная произведенія двухъ функцій имѣетъ видъ (Г(ііѵ) сІ"ѵ сіи сТ'^ѵ п(п— І)й2« сІ"~2ѵ ,
—ѵ = и - + п----------- - 4-ь------------------ -р.....
Их СІХ СІХ сіх" 1.2 СІХ1 СІХ
, сіѵ сГ~и , сГи ,оч
I п--------- I ѵ------ (У)
сіх сіх” СІХ
эта теорема извѣстна въ анализѣ подъ именемъ теоремы Лейбница. По теоремѣ Лейбница можетъ быть найдена н общая форма производной п’го порядка для частнаго двухъ функцій. Въ самомъ дѣлѣ, если дана функція
и
ѵ
то эту функцію можно разсматривать какъ произведеніе и на —, поэтому если въ
предыдущемъ общемъ выраженіи поетавпмъ -- вмѣсто у, то составимъ и'ую пропзвод-
* • и
ную функціи у = -
Пояснимъ изложенную теорію послѣдовательнаго дифференцированія нѣсколькими примѣрами
Найдемъ ігу,° производную функціи
х. зіп а
I — х. соз а
Взявъ первую производную, имѣемъ
, х. зіп а
а -—----------
.1 — X. С03«_
сіу _ ' ~Их " ’
сіх х- зіп2 а
1 + Гі— ------“V
(I — а; соз а)"
плп сіу_______________________________ зіп а
сіх~ 1—2 я. со за 4" я2
если рѣшимъ относительно х уравненіе
х~ — 2 х соз а 4- 'I = о
то найдемъ, что корни этого уравненія будутъ:
р = соз а 4- і зіп а\ % = соз а — і зіп а
гдѣ і есть мнимый множитель, т. о, і — у—I. Поэтому трехчленъ знаменателя можно представить въ видѣ произведенія {х—— 2); кромѣ того видпмъ, что Р — г
зіп а =----~
2 I
сі у _ _І Р — <1______
сіх 2І (х—2>)(л; — о')
или, какъ легко видѣть
поэтому
х — р)*
Дифференцируя это еще разъ, составляемъ
(Гу_____ 2 г 1 1
(Іх3 2і (х — р)3 [х — <?")3
продолжая такимъ образомъ, легко заключить, что
(Гу___1.2.3 —1) »-і ' 1 1
Й.і" 2?' _(%—р)" (х— Я/1.
мнимый множитель устранится, какъ скоро вмѣсто р и ([ поставимъ ихъ выраженія по «, но это преобразованіе удобно сдѣлать посредствомъ теоремы Моавра, о которой будемъ говорить ниже
Найдемъ еще производную отъ функціи
(а) у = а. соз + Ъ. зіп Л-)
отсюда легко получаемъ
йу ып(І5я) , &.СОЗ(1<?я)
СІХ~ х '"Г" X
дифференцируя это еще разъ, находимъ
(Гм п, соя С1я х 1 Ъ яіп Г]я а зіп Гія .гі 1>. соя Гія .тЛ
откуда получаемъ
+ [а соз я) Ъ.зіп (І5 я)] + [і.С05(І5л;) — а зіп (І5 я)]
или принимая во вниманіе выраженіе (а) п (і), представляемъ это въ видѣ
а V
Наша задача заключается въ опредѣленіи производной а потому будемъ дпффс-
ренцпровать аосл’Ьанее выраженіе еще п—2 разъ. Такомъ образомъ
(с)
Для выполненія дифференцированія въ первыхъ двухъ членахъ примѣнимъ теорему Лейбница.
Примѣняя теорему Лейбница къ выполненію дифференцированія въ первомъ членѣ, мы въ нашемъ частномъ случаѣ будемъ считать
2 ^У
и = хі-, ѵ —
(ІХ2
такъ какъ, начиная съ третьей производной, всѣ дальнѣйшія производныя функціи и обращаются въ нули, то пзъ всего ряда (9) слѣдуетъ удержать только три первые члена. Мы видимъ кромѣ того, что
(Іи (12и
(Іх ~ 2 ~ 2
поэтому выраженіе (9) для перваго члена уравненія (с) даетъ
',-2/' 2 й2уА и-і
1 сіх'-) , сІиу г . (I у 2 («—2)(л— з) (I у
--------;---- — X2 4- 2 ( Н — 2 ) X------- Н--------——------— -------- ♦
сіх~* (ІХ 7 (ІХН~' 1 •2 (Іх-*
Прп дифференцированіи втораго члена уравненія (с) мы должны считать
’ Ѵ~ (Іх.
и такъ какъ вторая и дальнѣйшія производныя отъ функціи и обращаются въ
нули,
тпвъ,
то пзъ ряда (9) придется удержать только два первые члена; поэтому замѣ-
(І1( что :
(ІХ
пмѣемъ по выраженію (9)
Внося все это въ выраженіе (с), находпмъ
у <Гу .. , -
откуда и опредѣлится искомая производная ----- по начальной функціи и ея первой сіх'
производной.
Найдемъ наконецъ «-у10 производную отъ функціи
у = С . С08 Ъх.
примѣняя къ этому дифференцированію теорему Лейбница, примемъ въ выраженіи (9)
ІГЛ' и —е ; ѵ = С05дя
и по упомянутому- выраженію (9) составляемъ
с?2 (соз Ъх)
= — Ъ- соз (Ьх} — 62.соз. Ьх -г 2 -• і
\ 2/
г/:і(со5?>г*)
- • 1^1
63. зіп (Ъх) — Ь3. СОЗ І Ъх т 3 - !
<Г(сО5&.г) " Л . Т.-,
—- -....... — Ь соз Ьх + п •
(ІХ* \ 2.'
поэтому предыдущая строка, выражающая искомую производную, принимаетъ впдт.
—- — е Ь соз ' Ьх 4- « ; -Н ?? а- Ь соз Ьх 4- (п — I) '-:
(ІХ I '' 2' ч -г. 1
71
-г а соз Ьх
III.
Разложеніе функцій въ безконечные ряды.
8. Безконечнымъ рядомъ называется совокупность безконечнаго числа членовъ слѣдующихъ одинъ за другпмъ по опредѣленному закону. Такой закопъ заключается въ томъ, что въ безконечномъ ряду членовъ
видъ какого лпбо члена и„ опредѣляется но мѣсту члена означенному указателемъ Величина
8» = 4- г#, 4- 4-.............4- н„
называется суммой первыхъ н- членовъ ряда.
Рядъ называется сходящимся еслп сумма 8„ съ послѣдовательнымъ возрастаніемъ п сама стремится къ конечному п опредѣленному числу 8 какъ къ предѣлу; это число 8 составляетъ сумму ряда.
Рядъ называется расходящимся, если сумма 8„ съ послѣдовательнымъ возрастаніемъ « сама неопредѣленно возрастаетъ плп стремится къ безконечному предѣлу 8.
Смотря потому, будутъ лн всѣ члены ряда сопровождаться знакомъ пли поперемѣнно, то знакомъ плюсъ, то знакомъ минусъ, ряды называются или знакопостоянными, плп знако-перемѣнными.
Самые общіе признаки сходимости рядовъ, вытекающіе изъ опредѣленія сходящагося ряда, заключаются въ слѣдующемъ:
1) Рядъ будетъ сходящимся, если предѣлъ, къ которому приближается сумма всѣхъ членовъ сходящагося ряда, слѣдующихъ за общимъ, есть нуль.
Означимъ чрезъ 8 полную сумму знако-постояннаго ряда, чрезъ 8» сумму и первыхъ членовъ ряда, чрезъ Ип сумму остальныхъ членовъ ряда. Такъ что
8 = г(л-\- иѢ-\- и.л....... -|- и„ 4- 4-......
8> п — ил ~|“ и.} -4 и3 — .....4~ и„.
— и,і хд -у 4“.........
Мы видимъ, что 8п 8, отсюда прямо слѣдуетъ, что еслп Ііт 7?н —о, то
Ііііі 8„ = 8.
Замѣтимъ, что сумма 8 — 8п называется остаткомъ ряда ограниченнаго п первыми членами.
2) Во всякомъ сходящемся рядѣ предѣлъ общаго члена и„ п предѣлъ суммы какого ппбудь числа членовъ, слѣдующихъ за общимъ, есть нуль
Въ самомъ дѣлъ
4- В„ = 8 п подобно этому 8„_і 4- Д,_і — 8.
Вычитая одно нзъ другаго, находимъ
и» 4- ^я—і •—- о
съ возрастаніемъ « получимъ
Ііт и„ — о
ибо по ствойству сходящагося ряда
Ііт = о.
Эти два признака сходимости должны считаться необходимыми условіями сходимости, по нельзя пхъ считать достаточными, ибо они могутъ удовлетворяться, а рядъ всетакп остается расходящимся. Такъ папр. рядъ
имѣетъ общій членъ
и
1ІІ11 !(,, = 1ІПІ —
а между тѣмъ разсматриваемый рядъ есть расходящійся.
Такъ какъ непосредственные признаки сходимости ле вполнѣ достаточны, то прп опредѣленіи сходимости, плп расходимости ряда обыкновенно нрпбѣгаютъ къ сравненію его съ такимъ другимъ рядомъ, сходимость котораго извѣстна.
Имѣя въ виду ипжс болѣе подробно разсмотрѣть признаки сходимости рядовъ, мы ограничимся пока разборомъ нѣкоторыхъ второстепенныхъ признаковъ сходимости, вытекающихъ пзъ непосредственнаго сравненія всѣхъ рядовъ съ естественно сходящимися рядами. Такъ, изъ сравненія рядовъ съ безконечно убывающею прогрессіею вытекаетъ слѣдующее положеніе.
Рядъ
будетъ сходящимся, еслп предѣлъ отношенія послѣдующаго члена къ предыдущему будетъ менѣе единицы, т. с. еслп
Наоборотъ, этотъ рядъ будетъ расходящимся, если предѣлъ того же отношенія будетъ болѣе единицы, т. е. еслп
Возьмемъ рядъ
иі + 1(2 ~Г “Г
-г Ѣ, -г ««-Н
Если бы отношеніе членовъ , стоящихъ рядомъ, было постоянно, то такой рядъ ^/1
представлялъ бы прогрессію. Если же это отношеніе по мѣрѣ возрастанія п измѣняется, то оно, стремясь къ предѣлу, можетъ увеличиваться и уменьшаться; поэтому доказательство разсматриваемой теоремы распадается на двѣ части.
1) Когда отношеніе приближается къ своему предѣлу увеличиваясь, п этотъ предѣлъ есть 1і < 1, то можемъ принять
и «4-2
П т. д.
откуда
«„-1-1 \ 1(„ Іі, Ііп^-2 \ и 4-1- ^"4-3 11 Т1 А*
Такъ какъ иа 1с, то во второе неравенство» не нарушая его, можемъ внести вмѣсто г<пц_і величину большую ея, тогда
ч22и_р2 к • 22д
замѣняя, подобно этому, въ третьемъ неравенствѣ величину иа±2 величиною кРи» большею ея, мы не нарушимъ неравенства п будемъ имѣть
^„4-з < 7с3гл, и т. д.
Такимъ образомъ составится рядъ неравенствъ
2^и-["1 22ц, *х 7/ * , 22,,4.3 *Х 7к Мп , •••••••»
что въ суммѣ дастъ
Ып-}-1 Н- 22н-]-2 Н- 22„_)_з "4*......(7й -|- 1с“ -}’ 7й3 ....)
4
при Ж<1, сумма заключающаяся въ скобкахъ, есть безконечно убывающая прогрессія и все неравенство моасетъ быть представлено въ видѣ
22,,-^! 22в^з “Г
слѣдовательно полная сумма 8 разсматриваемаго ряда будетъ заключаться между дцум.я конечными предѣлами
-|- -у- ••••• -4- цп 8 "х “I- 222 -]”.....-}“ ип •4~ т"—у
поэтому сама сумма ряда будетъ конечная, и разсматриваемый рядъ будетъ силящійся.
2) Когда отношеніе приближается къ предѣлу к уменьшаясь, тогда можно выбрать « столь большое, что —— < р, гдѣ однако р > к п въ тоже время р < I' Лрп этомъ рядъ прежнихъ неравенствъ замѣнится неравенствами
Сткуда, подобно предыдущему, находимъ
22„_^-і р. 22,, , 22/{_|-3 *\ р3 22,, П Т. Д.
что въ суммѣ даетъ
22п-|-1 "4” 22«^2 -“і- 22п_|_з |—
мы опять можемъ указать конечные предѣлы, между которыми заключается полная сумма 8 ряда, именно
22 22^ 223 -|-
а слѣдовательно и въ этомъ случаѣ разсматриваемый рядъ при условіи
Иш < I 1<П
есть сходящійся.
Если наконецъ Іііп - 'У- = ‘I, то рядъ можетъ быть и сходящимся и рас-ходящпмея.
Не останавливаясь болѣе па этпхъ общихъ соображеніяхъ, перейдемъ къ разложенію функцій въ безконечные ряды по правиламъ дифференціальнаго исчисленія.
9. Разложеніе функцій въ безконечные ряды производится но преимуществу на основаніи теоремы Тейлора плп теоремы, которая является ея слѣдствіемъ и носитъ названіе теоремы Маклореня. Теорема Тейлора можетъ быть доказана весьма разнообразными пріемами. Самый общій п строгій способъ доказательства предложенъ французскимъ геометромъ Августиномъ Коши. Это доказательство распадается на нѣсколько теоремъ, касающпхся общихъ свойствъ функцій.
Предположимъ, что непрерывна въ сопредѣльности частнаго значенія жи своего перемѣннаго х. Дадпмъ этому частному значенію перемѣннаго прпращенія Дж, тогда функція /*(ж0), взятая прп частомъ значеніи своего перемѣннаго, обратится въ -р- Дж). При этомъ могутъ представиться два случая: 1) можетъ быть, что т А(ж0), т- с-> лт0 функція съ возрастаніемъ перемѣннаго увеличилась п 2) можетъ быть, что /*(ж0 + Дж) < /‘(ж0), т. е. что функція съ возрастаніемъ перемѣннаго уменьшилась. Въ первомъ случаѣ разность
-і- Дж) — /(?;□) > о
т. е. положительна,’ во второмъ случаѣ разность
Я‘% + М — /’(ж0) <о т. е. отрицательна.
Посмотримъ какіе внѣшніе признаки имѣютъ тотъ и другой случай.
Такъ какъ производная есть предѣлъ отношенія
^(ж0 +Дж) —/(ж0)
Дж
то прп какомъ нпбудь состояніи этого отношенія, еще не достигшемъ предѣла, т. с. когда еще приращеніе Дж отлично отъ нуля, какъ мы знаемъ, можно положить
Яж0 -г Дж)
гдѣ г можетъ быть и положительной и отрицательной величиной, ибо отношеніе
/• (ж0 -ь Дж) — /Ы Дж
можетъ стремиться къ предѣлу или увеличиваясь, или уменьшаясь. Когда уже это отношеніе близко къ предѣлу, тогда а будетъ такъ мало, что знакъ суммы Л(ж0)-Нг
будетъ одинаковъ со знакомъ /Дя^). Отсюда видно, что для безконечно малаго г, т. е. вблизи предѣла, а слѣдовательно н для безконечно малаго Ля, знакъ упомянутаго отношенія одинаковъ со знакомъ Поэтому, еслп /"'(л;0) положительна,
то знаки приращеній Дж0 + Да?) — /'(х0) п Да; одинаковы, слѣдовательно, при положительной съ возрастаніемъ перемѣннаго, функція также возрастаетъ.
Если же отрицательна, то знаки приращеній /'(^ + Дж) — [(л?0) н Да; разные п съ возрастаніемъ перемѣннаго функція уменьшается. Итакъ заключаемъ, что если съ возрастаніемъ перемѣннаго функція увеличивается, то первая производная такой функціи должна быть положительна. Еслп же съ возрастаніемъ перемѣннаго функція уменьшается, то первая производная такой функція отрицательна.
Когда функція Да?) непрерывна относительно х между предѣлами х = х{і и 0? = ^ ("предположимъ, что тогда съ возрастаніемъ я;, начиная отъ а:0
до хг, она можетъ пли возрастать плп уменьшаться, смотря по тому, будетъ лп ея производная /'(я?) положительна, пли отрицательна для всѣхъ значеній х среднихъ между хь п ж1.
Можетъ однако случиться, что /(а?), возрастая съ увеличеніемъ а, прп нѣкоторомъ частномъ значеніи х = а, заключающемся между х(; п гс1, перестанетъ возрастать и начнетъ уменьшаться. Это значеніе /'(.т) соотвѣтствующее х = а будетъ болѣе всѣхъ смежныхъ значеній п называется состояніемь шахішііш данной функціи. Понятно, что если съ возрастаніемъ х отъ х = х0 до х = а функція возрастала, то производная ея была положительна; отъ х = а до х = х1, т. е. еъ дальнѣйшимъ возрастаніемъ перемѣннаго функція уменьшается, а потому производная ея должна быть отрицательна. Итакъ прп х = а производная переходитъ пзъ положительнаго значенія въ отрицательное, а потому эта производная должна прп х = а обратиться плп въ нуль плп въ безконечность. Отсюда заключаемъ, что еслп прп нѣкоторомъ значеніп перемѣннаго функція достигаетъ іпахііпіііп своего значенія, то производная этой функціи прп томъ же значеніи перемѣннаго должна обратиться пли въ нуль плп въ безконечность.
Если Дж) непрерывна между предѣлами перемѣннаго х — х0 п х = х1^ еслп прп этомъ еслп начиная отъ х = хь до нѣкотораго значенія х = а функ-
ція уменьшается, то производная ея отрицательна. Еслп при дальнѣйшемъ возрастаніи перемѣннаго отъ х=а до х = х1, функція возрастаетъ, то первая ея производная положительна. Итакъ, прп а? —а производная перемѣнила свой знакъ, понятно, что прп этомъ значеніп перемѣннаго, производная должна обратиться илп въ пуль пли въ безконечность, а слѣдовательно обращеніе производной въ нуль плп безконечность ' характеризуетъ также п іпіпііпіііп начальной функціи. Но къ вопросамъ о наибольшихъ п наименьшихъ величинахъ функцій съ ббльшпмп подробностями мы возвратимся потомъ.
Непосредственнымъ слѣдствіемъ сдѣланныхъ общпхъ заключеній является слѣдующая теорема. Если о(Х) обращается въ нуль прп двухъ значеніяхъ перемѣннаго х = а п х = Ь н между этими предѣлами перемѣннаго непрерывна, то производная ©'(X), будучи непрерывной, обращается въ нуль для нѣкотораго средняго значенія перемѣннаго, заключающагося между а п Ъ.
Въ самомъ дѣлѣ <р' (а:) не можетъ быть постоянно положительной между указанными предѣлами, ибо тогда функція ф(ж) постоянно возрастала бы съ возрастаніемъ перемѣннаго отъ а до &, а это не согласно съ тѣмъ предположеніемъ, что-данная функція <р(ж) при ж=а п х = Ъ обращается въ нуль. Подобнымъ же образомъ ф'(Х) не можетъ оставаться всегда отрицательною меледу х = а н х=Ъ. Слѣдовательно, въ то время какъ перемѣнное х измѣняется отъ х~~а до ж —&, функція <р'(Х) должна переходить пзъ положительной въ отрицательную, пли наоборотъ; по такъ какъ ф'(я) между ж — а и х=-Ъ непрерывна, то она, переходя пзъ положительной въ отрицательную, пройдетъ не черезъ безконечность, а черезъ нуль. Итакъ, если <р(ж) имѣетъ то свойство, что <р(а) = о, то
ф'[л + Ѳ(7> — а)] = о
гдѣ о<Ѳ<1, т. е. О есть нѣкоторая правильная дробь.
Допустимъ теперь, что двѣ функціи /(х} п Р(х} равно какъ п пхъ производныя остаются непрерывными между значеніями перемѣннаго х-=а и х-=а-^1і. Допустимъ еще, что между этпмп предѣлами перемѣннаго производная функція не обращается въ нуль. Прп такихъ условіяхъ легко доказать, что дробь
. + ..............
Р (а- -ф- Іъ) —Р (а)
будетъ равна дробп
ЛОЮ Р\х)
взятой при нѣкоторомъ значенія перемѣннаго ж, заключающемся меледу вышеупомянутыми предѣлами ж = а п ж —а + 7г-. Такъ что если Ѳ' есть правильная дробь, т. о. еслп 1 то легко доказать, что
/Да + А) — /Да) _ /'(а + 0'7і) Р{а-\-1і) — Р(а) Р'(а -ф- б' к)
Для этого положимъ, что
гп _ т>
1 4 Р(а + к)-Р(а)
По условію .Р'Сж) непрерывна п меледу предѣлами перемѣннаго х = а п ж = а А въ нуль не обращается, а потому Р(х) пли непрерывно возрастаетъ плп пепре-* рывно уменьшается между тѣми же предѣлами перемѣннаго. Слѣдовательно, разнося 7?(а4-7г) — Р(^) необходимо отлична отъ пуля, а потому па эту разность предыдущее равенство молено умнолеить. Итакъ
( 2) Г(а + к) — Да) - +7О-2Ч<)] = о.
Пусть
Да + О - Д>) - % [^(» + л) - -^О)] = ® СЮ
тогда производная этой функціи будетъ
-= (3}
Замѣтимъ, что какъ о(ж) такъ и ф’(«) по условію непрерывны между предѣлами перемѣннаго х—а и х — а 4- к.
Кромѣ того мы видимъ, что <р(ж) обращается въ нуль для х = а, пбо тогда 9(ж) принимаетъ видъ первой части уравненія (2). Функція ф(ж) кромѣ того обращается въ пуль прп х = а + к, а слѣдовательно производная функціи о(ж), т. е. должна обращаться въ нуль прп х — а 4- Ѳ'7г, гдѣ 0' есть правильная дробь. Итакъ, по уравненію (3) пмѣсмъ
— Л(а-г + 0'7г) = о
откуда
>{«4- о Чі)
Сравнивая это съ выраженіемъ (1), пмѣемъ
І{а-т-к) — /(а) ___ Г(а-г^'к}.
У(а -г к) — ІГ(а} ~ Р‘(а+ &к} (4)
плп въ частномъ случаѣ, еслп /(а) = о н #(с) = о,
Д>4-7*) /'О-г 01М
4- к) ~ Р^а+Ѵк)
Дадпмъ функціи Т7’(я) частный видъ, положимъ, что Р(х)=х— а, откуда РЧх) = 1. Слѣдовательно, еслп производная разсматриваемой функціи для какого угодно значенія х своего аргумента есть постоянная велпчпна, именно есть единица, то п
Р’(а 4- 0'7г) = 1.
Еслп Р(х) = х— а, то внося сюда вмѣсто х его высшее значеніе, т. е. х = а 4- 7г, пмѣемъ
Р(а 4- 7г) = 7г.
Кромѣ того, іірп ж = а уравненіе
^(.г) х — а даетъ
^(а)=о.
Слѣдовательно, принимая Р[х)—х— а, мы приводимъ уравненіе (4) къ виду
Г{а^к) — /•(«) = к.Г(а + 0' 7г). (5)
Въ частномъ случаѣ еслп /(«) = о, то
/(а + Д) = к.р (а4- 9'7г).
Такъ какъ вторая производная находится въ такомъ же отношеніи къ первой, въ какомъ первая къ начальной функціи, то по уравненію (4) можемъ писать
/Та + к) — / (а) _ р (а -г 0' 7г)
Ё(а -Ь 7г) — Р(а) 4- 0'7г)
Если всѣ производныя данныхъ функцій до п—І-оп включительно при низшемъ значеніи перемѣннаго, т. е. прп х—а обращаются въ нули, то пзъ предыдущихъ равенствъ прямо слѣдуетъ, что
(6)
Д)_/Дй.) _ 2_(,°(а + о(,°7г) Р(а 4- 7г) — Р(а}~ + 6Т"Г7І)
еслп кромѣ того и начальныя функціи при низшемъ значеніп перемѣннаго, т. е. прп х = а обращаются въ пули, то
Г(а + к} “ >(,° (а + О0” А)"
Дадимъ функціи -7*4^) частный видъ, примемъ Ё(х') = (х—а)"; всѣ производныя этой функціи до (;г—|)°й включительно при х = а обращаются въ нули. Слѣдовательно условіе, прп которомъ существуетъ уравненіе (6), удовлетворяется; Далѣе
(ж) = п. 0г—I) (/г—г)
2 . і.
Если я-ая производная разсматриваемой функціи для всякаго значенія аргумента х есть постоянная величина 1. г-*- я, то п для аргумента бг4-0(,,,7г она будетъ пмѣть тоже значеніе. Итакъ
'I . 2. з “ п.
Если Р(х}~ (х— а)", то подставляя сюда вмѣсто х его высіпее значеніе, т. е, х = а + 7г, получимъ
7? 0г + 7г) = А"
При х — а начальная функція, т, с. ^(а)=;о. Итакъ, видя, что начальная функція Я\х) и всѣ ея производныя до п—І-ой включительно прп низшемъ значеніп
перемѣннаго обращаются въ нули (при частномъ видѣ Р’(х) = (х—а)"), пмѣемъ изъ уравненія (6)
7, »
Г(« + ?0 _/*(«) = 2-------/»>(« + т
1.2.3 • • • П ѵ '
Если /’(«) = о, то
Если кромѣ то а — о, то 7 гі
НА) = ------Гч) (6м 1ь\
ѵ ? I . 2.3 ” • П ' 7
10, Примѣнимъ, наконецъ, этп общія соображенія къ разложенію какой лпбо функціи въ рядъ.
Еслп вт, функціи
дадпмъ главному перемѣнному приращеніе /г, то функція получитъ приращеніе, которое выразится разностію
ф(х + 1ъ) — ф(ж)
Эта разность имѣетъ свойство представляемое уравнеиіемт, (5), ибо прп Ъ, = о эта разность обращается въ нуль. Къ этой разности примѣнимо уравненіе (5), а потому по уравненію (5) можемъ написать
ф+ /г) _ ф (з) = 7г.ф' (я4- 6 7г)
Еслп въ ф'(ж -Ь 07г) примемъ 7г = о, то эта функція обратится въ ф'(ж), а потому прп какомТ) нпбудь 7г отличномъ отъ нуля функція ф' (ж + 0'7г) можетъ быть представлена въ видѣ ф'(ж) сложенной съ нѣкоторымъ прпбавкомъ Р. Итакъ
ф'(х + 9 7г) = ф'(х) 4- Р
Внося это вт, предыдущее уравненіе, получимъ
ф(ж + 7г) — ф(я).—7гф' (ж) = 7г.Р
при'7г = о эта функція обращается въ пуль; ея производная по 7г есть
ф'(х + 7г) — ф'(ж)
она при 7г = о также обращается въ нуль, а потому къ ней прпмѣнпмо выраженіе (7) при н—2, пбо для разсматриваемой теперь функціи только начальная п ея первая производная обращаются въ пули прп 7г = о. Вторая производная, взятая отъ ф(х + 7г) — ф(х)— 7гф'(я) по 7г, есть ф"(я-р7г), а потому на основаніи выраженія (7) можемъ написать
ф(х + 7г) — ф(я) — 7г ,ф' (х) = ~~ ф "(ж + 9'7г)
При Л-=о функція ф"(я?+О"Л) обращается въ ф"(л’), а потому полная функція Ф"(й; + &ПЛ) пусть будетъ
+ 0 "7г) = ф»(.г) 0
Внося это въ предыдущее, имѣемъ
При 7г = о не только сама эта разность, но первая и вторая ея прозводмыл, взятыя по 7г, обращаются въ нули, а потому къ ней нрпмѣппма теорема (7) нрп «=3. Итакъ
плп
7,2 7Л-1
(8) ф(% -г 7г)=ф(ж) + 7г. ф' О) + — ф"(ж) -Н - • * -г .| 2 -?;77~п Ю Ч-
Этотъ рядъ, расположенный по степенямъ 7г, носитъ названіе строки Тейлора,. Членъ
называется остаточнымъ членомъ или остаткомъ Теилорова ряда. Еслп ф(ж) такова, что при достаточно большомъ п остаточный членъ можетъ быть сдѣланъ менѣе всякой данной величины, то Тенлоровымъ рядомъ дѣйствительно представляется данная функція.
Остаточный членъ Тейлоровой строки можетъ быть представленъ еще въ иной формѣ.
Если положимъ ж4-7г=у; то Тейлоровъ рядъ (7) можно пред-
ставить въ видѣ
Д ѵ)=гМ т (у -О г М г И +........+ ,, V)+л
гдѣ 7? есть остаточный членъ. Отсюда
Б = ГЫ -ГЫ-(у-*) гы-.................- /'“-”<».....(9)
Мы видимъ, что И есть функція отъ х. Пусть
з=4(л).
Непосредственно дифференцированіемъ легко убѣдиться, что
~ ~ ф' (ж) =----------------Г[,,)(х'} (10)
ах т *• } 1.2•••(•>?—I) к 7
откуда заключаемъ, что Ф'(ж) есть такая же конечная функція х какъ и [х), а потому къ ф(ж) можно примѣнить уравненіе (5).
Означимъ чрезъ <; нѣкоторую среднюю величину, заключающуюся меледу х п у. Мы можемъ написать
По выраженію (9) впдно, что И обращается въ нуль ирп х = у, а такъ какъ В = Ф (ж), то
ф(?/) = о.
Поэтому
За величину <; мы можемъ счптать ^ = #4-60/ — ж) п принимая- во вниманіе уравненіе (10), заключаемъ, что
плп
Помня, что ІІ=^(ж), по уравненію (11) составляемъ
плп такъ какъ у — х = 1і. то
Такимъ образомъ Тейлоровъ рядъ при этой формѣ остаточнаго члена будетъ написанъ въ видѣ
№ + Ч = ЯЧ + “ /" И + р- С“ и +
Я” И -г
1.2. 3 • -П
ол.)
Еслп въ выраженіи (8) примемъ ж = о, то получимъ
Такъ какъ единственнымъ перемѣннымъ здѣсь является 7г, то дадимъ ему обыкновенное означеніе, т. е. поставимъ вездѣ х вмѣсто к п тогда будемъ имѣть
При второй формѣ остаточнаго члена этотъ рядъ будетъ
Этотъ рядъ извѣстенъ въ анализѣ подъ пменемъ ряда ЛІаклорсня. Хотя онъ и ноептъ такое самостоятельное названіе, но мы видпмъ, что онъ есть не болѣе какъ простое слѣдствіе теоремы Тейлора, п самъ Маклорень, давая этотъ рядъ въ своей Тгаііе йез Еіпхіопз, замѣчаетъ: «Тіііз Иіеогет чѵаз ртеп Ьу Тауіог».
Если у — то рядъ Маклореня можно написать еще въ видѣ
разумѣя здѣсь подъ (у)0,
{ Му''»
1 I *
\СІХІ 0'
тѣ величины, которыя полу-
чаютъ н производныя этой функціи, когда сдѣлаемъ въ нихъ ж = о.
1Г.
Дифференцированіе функцій со многими перемѣнными.
11. Прежде всего сдѣлаемъ одно замѣчаніе касательно дифференцированія такой сложной функціи з, которая содержитъ главное перемѣнное х не иначе какъ въ зависимости отъ нѣкоторой другой функціи у того же главнаго перемѣннаго х. Итакъ пусть з = Р(у), а перемѣнное у пусть извѣстнымъ образомъ зависитъ отъ ж, именно у = Дж) и требуется на основаніи этихъ соотношеній вычислить Диффе-
ЬѴсѴ ренцируя первое соотношеніе, представляющее зависимость з отъ у, имѣемъ
сІз = РІ(у)Ау
второе соотношеніе подобнымъ же образомъ даетъ сіу = (ж). сіх
внося это въ предыдущее, имѣемъ
Но
Цг= Р1 (у) р (ж) сіх.
поэтому
сіз сіз сіу сіх сіу сіх
Итакъ, для того чтобы найти производную отъ сложной функціи з относительно главнаго перемѣннаго х, должно производную отъ з, взятую по посредствующему перемѣнному у, помножить на производную отъ этого послѣдняго по главному перемѣнному.
Послѣ этого замѣчанія приступимъ къ дифференцированію функцій многихъ перемѣнныхъ.
Предположимъ, что дана для дифференцированія фпнкція •«, содержащая двѣ независимыя меледу собою перемѣнныя у и х, именно' и = у\ положимъ, что обѣ перемѣнныя одновременно получили прпращенія Ау н Дж. Происходящее отъ этого измѣненіе функціи и пусть будетъ Д«; тогда
Дгб — Дж -]- Дж,у Ду) — Дж,у)
Придадимъ п вычтемъ во второй части по І(х-\- Аж,ж), т. е. придадимъ п вычтемъ такое состояніе функціи, въ которое приходитъ данная функція, еслп измѣняется только одно перемѣнное ж; послѣ сказаннаго преобразованія прпращеніе Аг/ получитъ впдъ
Д« = [ Дж -|- Дж,у + Ду) — Дж + Аж,у)] + [ Дж Дж.у) — Дж,у)]
Мы видимъ теперь, что полное приращеніе данной функціи состоитъ пзъ двухъ частей, одна часть, представляемая вторымъ слагаемымъ, есть приращеніе функціи, происшедшее отъ измѣненія перемѣннаго х на величину Дх; другая часть представляемая первымъ слагаемымъ, есть приращеніе функціи, которое она получаетъ, еслп прп нѣкоторомъ состояніи х-}-Дх перемѣннаго х, пзмѣнпмъ у па велпчпну Ду. Предыдущее выраженіе, не измѣняя его, можно представить въ формѣ
/•(х Ч- Да.у -Ь Ду) — /(х Ч~ Дх.у) Цх 4- Дх.у) — /(х,у}
Ду Да'
очевидно, что
Інп
/•(х Ч-Дж-?/ + ~/Та; Чг Да;,у И _ гіДа.у)
Ду Т ' (Іу
т. е. производной данной функціи, взятой относительно одного перемѣннаго у. Точно также
Но еслп еще не переходимъ къ предѣлу, не принимаемъ Дх и Ду за нули, то разсматриваемыя теперь дроби будутъ отличны отъ производныхъ иа нѣкоторыя величины іо п которыя будутъ обращаться въ нули вмѣстѣ съ Дх п Ду и сдѣлаются безконечно малыми перваго порядка, когда Дх п Ду будутъ замѣнены дифференціалами. Итакъ, ничего не измѣняя п не переходя еще къ предѣлу, можемъ представить приращеніе Дм въ впдѣ
сІ^(х.у} сІЦх.у)
Ди — -- - 4- со Ду Ч- Ч- со. Да.
_ сіу . . СІХ 1_
если сдѣлаемъ величины Дх и Ду безконечно малыми, то Д« также сдѣлается безконечно малой величиной сігс. Итакъ
с!Цхлу} (ІЦ^.у} 1 . .
сіи = . сіу 4- со. сіу Ч—. сіх Ч- со.. сіх.
сіу ' ' сіх 1
Но такъ какъ ш и въ этомъ случаѣ сами суть безконечно малыя величины перваго порядка, то произведенія ы.сіу и согс?х будутъ безконечно малыми втораго порядка, которыя исчезнутъ сравнительно съ безконечно малыми
. й/Тх.у)
сіу іу ' сіх
перваго порядка. Итакъ мы должны принять
или
(Іи
(Іх
(Іх
ибо /(хуу) — гс. Здѣсь и
сіи „ «
-р суть частныя производныя отъ данной функціи и.
взятыя относительно х и уу т. е. такія производныя, въ первой пзъ которыхъ измѣняется одно только ж, а во второй одно только у.
Величины
ди
(Іи , (IX ах
называются, подобно этому, частными дифференціалами данной функціи. Изъ всего этого заключаемъ, что полный дифференціалъ данной функціи равенъ суммѣ ея частныхъ дифференціаловъ.
Если бы для дифференцированія была дана функція и трехъ независимыхъ перемѣнныхъ Ху у, т. е. и — /[Хуууз\ то по этому правилу составили бы
Предположимъ теперь, что дана для дифференцированія функція и = /{ууя} гдѣ каждая пзъ перемѣнныхъ у п г въ свою очередь завпсптъ отъ главнаго перемѣннаго Ху такъ что
у—?(Х);
Тогда для данной функціи по предыдущему правилу имѣемъ
но кромѣ того
(Іу = (ж). (Іх ; (Ія — ф' (ж). (Іх
поэтому
илп
но
сіи —
(Іи (Іу
у' (ж). Ах +
слѣдовательно
сіи Ни сіу к сіи И г сіх сіу сіх ' сіз сіх.
Этимъ п опредѣляется составъ полной производной, взятой отъ данной функціи по независимому перемѣнному.
Подобнымъ же образомъ найдемъ дифференціалъ функціи и — гдѣ
г = о(х.у}, а х и у суть перемѣнныя независимыя. Въ самомъ дѣлѣ, для данной функціи по общему правилу имѣемъ
по тому же правилу изъ соотношенія г = <р(а;,у), имѣемъ
Внося это въ предыдущее равенство, найдемъ
плп
(2)
сіи , сіи сіз' сіу "и сІг ‘ сіу.
сіу
отсюда впдпмъ, что въ разсматриваемомъ случаѣ какъ измѣненіе но х, такъ равно и измѣненіе по у, каждое состоитъ изъ двухъ частей; одна часть представляетъ измѣненіе но перемѣнному входящему явно, другая часть есть измѣненіе данной функціи по тому же перемѣнному, но входящему въ зависимости отъ другаго перемѣннаго 3.
Если нѣкоторая функція и зависитъ отъ перемѣнныхъ х, у,з, между которыми х есть главное, а у, г сами суть функціи ж, такъ что
« = Р^Х'У'З}
у = /[х\ я;=ф(.т)
то
„ і'сІи\ ѵ ... ,
гдѣ подъ > -- I разумѣемъ производную отъ данной функціи, взятую относительно х входящаго въ данную функцію явно.
Пояснимъ эти соображенія на частныхъ примѣрахъ
Возьмемъ полный дифференціалъ функціи
предполагая, что х и у суть перемѣнныя между собою независимыя. Вообще
Въ пашемъ случаѣ
пли
поэтому искомый полный дифференціалъ будетъ
Возьмемъ полный дифференціалъ функціи
отсюда находимъ
сіг____
СІХ
подобно этому
V 5111 ( 2 —
г
слѣдовательно искомый полный дифференціалъ есть
у2 , ЗІП ! 2-
Пусть
«• — я2 -г у3 -г зу
и кромѣ того
3 = $іп Ж;
у = е
здѣсь функція и непосредственно содержитъ перемѣнныя у н г, которыя являются сами функціями х, представленными послѣдними двумя уравненіями. Требуется найтп
производную Составъ этой производной долженъ пмѣть форму (1). Въ нашемъ случаѣ
2.9
п кромѣ того
(ІЗ
= С08Ж ах
слѣдовательно выраженіе (1) въ нашемъ
случаѣ принимаетъ видъ
сіи
с!х
Исключая отсюда у п г посредствомъ начальныхъ соотношеній, пмѣемъ
Ни сіх
сіи
Нх
х х
= (з<? + зіпж) е + (гзіпя + е) созж
пли
Здт х
= з е + е (зіп х -|- соз х) -ф- зіп зх.
12. Изъ функцій многпхъ перемѣнныхъ особенно примѣчательны функціи однородныя, имѣющія то свойство, что еслп всѣ перемѣнныя, входящія въ функцію, помножимъ на извѣстнаго множителя, то въ результатѣ получпмъ начальную функцію, умноженную на степень этого множителя, равную измѣренію функціи. Такъ напр. еслп многочленъ второй степени
Ах2 + Ву2 + Се2 -ф- Вху 4- Ехя Ч- Вуз =
или однородную функціи второго измѣренія измѣнимъ въ томъ смыслѣ, что вмѣсто каждаго перемѣннаго введемъ это перемѣнное, умноженное на 2, то получпмъ въ результатѣ і2.
Предположимъ, что имѣемъ однородную функцію пг™ измѣренія и^/{х,у,з) пусть
Х-=х'.І‘, у=іу'.І\ 3~3'.І тогда по свойству однородныхъ функцій
дифференцируя это по і, будемъ имѣть .
/"-1 Г Г / Г ГЧ "сН~ті
но изъ даннаго выраженія « — /'(х,у,з) пмѣемъ
ди сіи сіх , сіи сіу сіи дз ді дх сГі ду' ~ді ' дз сіі
и такъ какъ
то
дз ді
Сравнивая это съ выраженіемъ (3), пмѣемъ
помноживъ это на і, получимъ
но такъ какъ
и —. і"Ф(х',у',з'У, х=:х'і\ у=уЧ-, з — з'і
то
иі. и
Такпмъ образомъ мы впдпмъ, что сильна частныхъ производныхъ однородной функціи, умноженныхъ на соотвѣтствующія перемѣнныя, т. е. на т?ь перемѣнныя, по которымъ частныя производныя берутся, равна самой функціи, умноженной на ея степень или измѣреніе. Эта теорема извѣстна 5
подъ именемъ теоремы Фонтеня; нѣкоторые неправильно называютъ ее теоремой Эйлера-
13. Еслп функція многихъ перемѣнныхъ дифференцирована, то ея частныя производныя являются въ общемъ случаѣ сами функціями тѣхъ перемѣнныхъ, отъ которыхъ завпснла начальная функція, а потому отъ этой первой производной можетъ быть взята вторая п дальнѣйшія производныя, но при этомъ какъ и прежде дифференціалы независимыхъ перемѣнныхъ должны считаться за величины постоянныя н вторые дифференціалы этихъ независимыхъ перемѣнныхъ должны быть при
нимаемы равными нулю.
Еслп дана функція и = /(ху у, ^), еслп отъ этой функціи была взята частная
производная по ж, т. е.
сіи
найдена производная , , то эта послѣдняя можетъ со-
держать х п содержитъ у и поэтому отъ нея можетъ быть взята новая пропзвод-и (с,“>
. .. <1-1, ная напр. по у, т. е. можетъ быть напдена —, —, что означаемъ такъ , , • ау ах.ау
Легко доказать, что порядокъ дифференцированія не вліяетъ на результатъ, т. е. что можемт. отъ данной функціи взять сначала производную по ж, а потомъ по у. плп на оборотъ и полученный результатъ будетъ одинъ и тотъ же. Легко доказать, что
Пусть дана функція г = /"(ж, у), тогда пзъ понятія о производной функціи слѣдуетъ, что
Еслп еще не перешли къ предѣлу, т. е. еслп Дж не считается обратившимся въ нуль, но безконечно малымъ, то
гдѣ г есть также безконечно малая величина. Вторая часть этого выраженія вообще должна считаться функціей х п у. Тоже должно сказать и относительно е. Предположимъ, что то приращеніе, которое получаетъ г отъ приращенія у на \у будетъ
Де, тогда прпращеніе производной .. •, зависящее отъ приращенія у па Ду, будетъ
а __ О ± Де, у ц-Ду) —/(> + Да, у) — А о, у -і- Ду) 4- А (е, у) , д \с!х/ Дж "И
откуда
д Г*',
(4) у ~/УТЛг
Ду Дж.Ду ’ Ду
Произведемъ тоже самое съ дайной функціей, но начнемъ операціи съ перемѣннаго у, тогда сначала получимъ
(Іг _ Т&, у 4- Ду) — Цх. у) ( Ду
гдѣ а1 обращается въ нуль вмѣстѣ съ Ду, п считается вообще функціей х и у.
Измѣняя въ этомъ выраженіи х на Дж, найдемъ
/Хж Дж, у 4 Ду) — У Ч~ Ду) — І(.х Ч- ?/)4- і(х. у)
Ду.Дж
(5)
Еслп вч> выраженіяхъ (4) и (5) перейдемъ кч> предѣлу, т. е. примемъ Дж и Ду Лб Де
равными нулю, то вмѣстѣ сч> тѣмъ обратятся въ нули — п --- ибо Дг п Д^ суть
велпчпны втораго порядка въ сравненіи съ Дж и Ду, это слѣдуетъ изъ того что а п сами суть малыя величины, исчезающія вмѣстѣ съ Дж іг Ду. Но какъ скоро Де Де
- п --- обращаются въ нули, то остальныя части выраженій (4) п (5) сравни-ваются между собою. Итакъ въ предѣлѣ
плп
Дж
(Ре _
(ІХ (Іу (Іу (ІХ
этимъ іг подтверждается то, что мы высказали въ началѣ.
Принимая это во вниманіе, легко составить дифференціалъ какаго угодію порядка функціи со многими перемѣнными. Пусть для дифференцированія будетъ дана функція ? = /"(х.у). Взявъ первый полный дифференціалъ этой функціи, получимъ
при дифференцированіи во второй разъ найдемъ
предполагая, что ж и у суть перемѣнныя независимыя; выполняя указанныя дифференцированія, легко получимъ
пли на. основаніи доказанной теоремы
дифференцируя это еще разъ, найдемъ
выполнивъ дифференцированія, находимъ
*' = » ** + а^ ** *» +2 .4 + 2 а*. ?? Лх л*
или на основаніи извѣстной теоремы приводимъ это къ виду
сіх2 -ь- э - (Іи 4- ч • — (1'с (Іи2 -4- (1і/3
(1х3 ' 3 (1х2лІу'а + з (Іхліу1' ' (Іу3 '
Очевидно, что въ послѣдовательныхъ дифференцированіяхъ будутъ входить биноміальные коеффпціенты, а потому вообще
(Гг =
что символически обыкновенно представляется въ видѣ
также для функціи и — /{х, у, я} обыкновенію пишутъ полный зг’мй дифференціалъ, въ видѣ
Для поясненія этой теоріи на частномъ примѣрѣ составимъ второй полный дифференціалъ функціи
форма этого дифференціала опредѣляется выраженіемъ (6). Для рѣшенія этой за-
дачп предстоитъ по данному выраженію составить частныя производныя сРз сѴг сіх2 ’ сіх сіу 1 сіу-
но эти вторыя частныя производныя могутъ быть опредѣлены только по первымъ производнымъ. Составляя частную производную мы должны судомъ дифференцп-ровать первый членъ какъ степень, а второй членъ какъ показательную функцію, ибо прп этомъ частномъ дифференцированіи у принимается за постоянную величину (мы считаемъ- х и у независимыми меледу собою перемѣнными). Итакъ
составляя частную производную по у, мы должны первый членъ дифференцировать какъ показательную функцію, а второй какъ степень, ибо прп этомъ дпфференцп-рованін х принимается за постоянную величину. Итакъ
по этимъ производнымъ составимъ вторыя производныя. Прп этомъ находпмъ
или
точно также найдемъ
наконецъ производная
а потому общее выраженіе (6) для разсматриваемаго случая принимаетъ видъ
—* ікуОеу— І)^і +2('1 + -г — ‘О
— ♦ ѵ/
14. Представляя себѣ такимъ образомъ краткое дифференцированіе функцій многихъ перемѣнныхъ, покажемъ примѣненіе теоремы Тейлора къ разложенію функцій многихъ перемѣнныхъ въ ряды.
Пусть будетъ дана функція и двухъ независимыхъ перемѣнныхъ гі — р (ж, у). Положимъ, что перемѣнныя х п у получили приращенія 1і и к и требуется функцію э (я + 7г, у 4- 7с) разложить въ рядъ по степенямъ 1і н к.
Пусть 7г —а/г', 7с —а7с' п кромѣ того
х 4~ а7г' — а:'; у 4- а7? — у'
тогда
о (х 4- 7г, у 4- 7г) = ф (х 4- ик1, у 4- а7?) <э (ж1, у'} = о
понятно также, что ф(я', у1) можетъ быть разсматриваема какъ нѣкоторая функція отъ а. Итакъ
откуда
по
Итакъ
точно также
/" (а)
При а —о очевидно х — х'; у —у* н « — ѵ слѣдовательно
/ (°) —11
но
[(а) = ф (я 4- а7і', у -г а/?) = /(о) 4“ а/’ (о) + (о) 4-.............
поэтому
М й“ + Л' сІи сіх аі/
поставивъ здѣсь обратно к вмѣсто аіі1 и к вмѣсто ай'/найдемъ
пли въ символическомъ видѣ
о
и
I . 2 \сІх
•I / 4 1 \3 4 ! •) •] \»
т-- -т-Л 4---к} сРи 4- • • - + -----------1 ±к 4- -•-& апи.
І.2.3 \СІХ сіу / І.2.3...Л ксГж сіу )
Посредствомъ строки (7) легко получить выраженіе, соотвѣтствующее теоремѣ Маклореня; стоптъ только въ ряду (7) принять сначала х — о ігу = о, а потомъ въ оставшемся поставить х на мѣсто к и у на мѣсто к. Такпмъ образомъ будемъ имѣть
сіи \
о
о
о
4
Дифференціалы уравненій (дифференцированіе функцій неявныхъ).
15- Если дано выраженіе вша ?/ = /’(,?), то это значитъ, что дано такое соотношеніе между х п у, которымъ представлена перемѣнная у въ зависимости отъ одного х л, можетъ быть, отъ нѣкоторыхъ постоянныхъ величинъ. Но зависимость между х п у можетъ быть представлена уравненіемъ, не рѣшеннымъ относительно у и имѣющимъ видъ /"(ж, у) = о. Еслп это уравненіе относительно у имѣетъ степень высшую четвертой, то такое уравненіе въ аналитической формѣ, плп, какъ говорятъ, въ радикалахъ мы рѣшить не можемъ; мы не можемъ его рѣшить н тогда, когда у входптъ въ него въ трансцедептной формѣ. Такая зависимость между главнымъ перемѣннымъ х п его функціей у, представленная уравненіемъ не рѣшеннымъ, называется функціей неявной. Легко показать, что пзъ такихъ неявныхъ функцій, , (1у
не рѣшая ихъ относительно у, мы можемъ выводить производныя
Сѵ цѴ
Предположимъ, что въ нерѣшенномъ уравненіи КХ->У)~ о перемѣнное х получило прпращеніе \х п вслѣдствіе этого функція у этого перемѣннаго получила соотвѣтствующее прпращеніе \у. Тогда пзъ даннаго уравненія пмѣемъ
КУ + &У-. х 4- Д.т) — о.
Понятно, что еслп \х произвольно, то Ьу долждо быть таково, чтобы по вставкѣ х -г &х и у + &у па мѣсто х н у данное уравненіе удовлетворялось, т. с чтобы послѣднее уравненіе имѣло мѣсто. Вычитая пзъ послѣдняго начальное уравненіе, получимъ
Ку -т- У) —
Что можно представить также въ впдѣ
Кх + Дж, у + Ду) — Кх + Дя, у) -г Кх + Ьх.. У) ~ Кхі У) = 0
раздѣливъ это на Д.г, найдемъ
что можно также представить въ впдѣ
/Чя_+ — +д‘г‘- У) Ьу + Ьх, У) ~КХ> у)
Ьу Дж Д.г
Переходя къ предѣлу, мы увидимъ, что послѣдній членъ представляетъ производную функціи Кх,у), получаемую прп измѣненіи одного .г; слѣдовательно, еслп положимъ для краткости Кх-У)~ то
попятно также, что
/\х -І' Дж, у + Ду) — [(х + Дж, у У Ду
сіи
<іу ’
Итакъ переходя въ предыдущемъ выраженіи къ предѣлу, найдемъ
сіи сіу сіу сІх'
откуда искомая производная
сіи
(1)
Итакъ чтобы найти производную изъ нерѣшеннаго уравненія, слѣдуетъ взять
отъ даннаго уравненія частную производную относительно ж, раздѣлить ее на частную производную взятую отъ того же уравненія по у н въ результатѣ измѣнить знакъ.
Пояснимъ это на частныхъ примѣрахъ. Найдемъ по уравненію
( х А ху~ агс ^іап§ = - \
производную Это уравненіе не можетъ быть рѣшено
ни относительно ж, ни
относительно у. Представивъ его въ впдѣ
и = ху — агс (Iал§
находимъ частныя производныя
или
такж е
или
а потому по выраженію (1) представляемъ искомую производную въ видѣ
(Іу_у /1 — .гл — у2\
7іх ~ х Ѵ\^^у2)'
Опредѣлимъ еще производную по уравненію
у 8Іп х — х. агс (1 а~ у) = и = о.
отсюда
(Іи сіх
— у. со8 х — а гс ((а и§
Ни
-- — 8111 X — сіу
слѣдовательно по уравненію (1) пмѣемъ
сіу__агс (I а = у) — у.слъх
СІХ . X
81Л X -
этпмъ рѣшается нашъ вопросъ, но удобно исключить агс,Іана; посредствомъ начальнаго уравненія, которое даетъ
У
агс (іап§ —- у) = ,8іп х
внося это въ найденную производную, легко приводимъ ее къ виду
(Іу ___у 2 6І11 X — X. СО8 X
(ІХ X ч 'і -І- уі) 5І11X —X.
Пусть еще даны уравненія
іой (ху) + = а2
п требуется опредѣлить производную —. Два послѣднія уравненія показываютъ, что у п я должны быть разсматриваемы какъ фупкцш х. На основаніи предыдущаго мы составляемъ
(Іи /' Ни\ , (Іи сіу сіи (Ія
С 7,! — I — - - — —р- * -сіх \ах/ сіу сіх сіх
гдѣ производная, заключенная въ скобки, берется относительно ж, входящаго въ первое уравненіе независимо отъ у п к.
Изъ перваго уравненія непосредственно находимъ
(Іи____ з
(Із и
ау . (І-з
остается составить производныя по второму уравненію и по третьему, но {л&
пн второе относительно у, ни третье относительно какъ трансцендентныя, рѣшены
„ (Іу (ІЗ
Быть не могутъ; а потому производныя и — должны оыть вычислены на основавіп предыдущаго правила.
Пусть
Оу) -+- ? — «2 ~ ѵ
+ зх — Ь2 іѵ
«тогда на основаніи упомянутаго выше правила
но
(Тѵ II
• __ I ___
(Іу у 1 X
слѣдовательно
$У у (х — у\
* 1 |и I
ах х \х ~т~ у]
точно также
(ІИ) зх — '1 I ё і
(Іх х ’ (Із з ’ (Іх х Ѵ1 зх)
а слѣдовательно по выраженію (2) пмѣемъ
(Іи _ у2 ;'х — у\ з2 (хз — I) х (Іх их \х + у) хи (’І + хз~) и
16. Итакъ не рѣшая даннаго уравненія всегда, можно найти отношеніе дпффе-ренцінла функціи къ дифференціалу независимаго перемѣннаго. Но въ этомъ случаѣ разсматриваемое отношеніе выражается не только черезъ перемѣнное х, (какъ это было до спхъ поръ, когда дифференцировали функціи явныя, т. е. уравненія рѣшенныя относительно у) но въ него можетъ входить и у, которая вообще можетъ со-
сіи сіи „ сіу
держаться какъ въ -д - такъ и въ Чтооы сдѣлать зависимымъ г • отъ одного сіх сіу сіх
только .г, необходимо исключить у пзъ уравненія
«У
СІХ
посредствомъ начальнаго уравненія, еслп только это начальное уравненіе возможно рѣшить относительно у. Ио чаще меледу уравненіями
I сГгА сіу ( (Іи\ X. сіу ) сіх к сіх )
и и = о.
исключается какое лпбо постоянное количество, тогда результатъ исключенія содержитъ одною постоянною менѣе, нежели данное уравненіе « —о.
Этотъ результатъ исключенія ііостоянпой называется дифференціальнымъ уравненіемъ.
Еслп данное уравненіе выражало какую нпбудь кривую, то дифференціальное уравненіе, происшедшее отъ исключенія постоянной, будетъ выражать нѣкоторое свойство этой кривой, независимо отъ разсматриваемой постоянной, а потому будетъ принадлежать всѣмъ видамъ этой кривой, отличающимся между собою только этою постоянною. Такимъ образомъ дпфференціальиос уравненіе будетъ болѣе общее нежели данное.
Найдемъ теперь вторую производную функцію у по независимому перемѣнному х пзъ даннаго нерѣшеннаго уравненія. Когда для дифференцированія было дано уравненіе и = ]\х, у) = о, то мы нашли
Въ общемъ смыслѣ мы должны предположить, что какъ
такъ и
самп суть функціи .х п у, а потому находя вторую производную каждой пзъ этихъ
мы должны предположить, что въ каждую изъ этихъ функцій
незавпепмое перемѣнное входитъ двояко: явно и въ зависимости отъ у,
а по-
тому дифференцируя предыдущее уравненіе относительно ,г, имѣемъ
плп
плп наконецъ
СІХ
сіх
сіх2
(1-11
2 - ........
сіу СІХ (Іх
п
і
Изъ этого уравненія можетъ быть опредѣлена искомая
пропзводная -
она пред-
ставится функціей первой производной •
а также функціей отъ х п у. Итакъ
это соотношеніе имѣетъ впдъ:
(3)
пзъ этого уравненія посредствомъ уравненія
можетъ быть исключена
Еслп мы исключимъ
чальиаго уравненія и — о
производная
сіх'
первая
(4)
пзъ уравненія (3) посредствомъ уравненія (4.) п на-величины у п то въ результатѣ исключенія найдемъ
зависимость между —и
возможно, ибо нс всегда, можемъ рѣшить данное уравненіе относительно у.
Еслп пзъ уравненій (3), (4) п начальнаго уравненія, т. е. еслп пзъ
главнымъ перемѣннымъ х. Но это исключеніе но всегда
захотпмъ исключить постоянныя, то очевидно будемъ въ состояніи пзъ этпхъ трехъ уравненій исключить двѣ постоянныя н результатъ исключенія будетъ содержать двумя постоянными менѣе противъ начальнаго уравненія..
Пояснимъ это на частномъ примѣрѣ. Возьмемъ уравненіе эллипсиса отнесенное къ центру
а2у2^-Ъ2х2=а2Ъ2 (а)
первая пропзводная этого уравненія есть
(О
Вторая
пропзводная
опредѣлилась бы пзъ уравненія
со
^2
Итакъ мы пмѣемъ три уравненія (а), (Ь), (с): первыя два уравненія даютъ
й3 сіу
Ъ2 ^Іх^
откуда
или
Внося это въ уравненіе (Ь), находимъ изъ него
(Іх
а потому уравненіе (с) даетъ
Уравненіе, изъ котораго исключены двѣ постоянныя а и і; такое уравненіе принадлежитъ эллипсису, каковы бы не были его оси. Слѣдовательно такое уравненіе должно считаться болѣе общимъ чѣмъ начальное.
По соотношенію
у — (&іи х)
составомъ дифференціальное уравненіе, независящее отъ логариѳма и синуса. Очевидно, что для этого нужно взять двѣ производныя, одна исключитъ логарпфмъ, а потомъ между первой и второй производной можно будетъ исключить синусъ. Итакъ для рѣшенія вопроса имѣемъ
(Іу __ СО5 х (Ру_________ '1
8111 Я?’ (ІХ2 8І1І2#
Возвышая первую производную въ квадратъ и складывая со второю, имѣемъ
что и представляетъ результатъ желаемаго исключенія.
Составимъ еще по соотношенію
У
дифференціальное уравненіе свободное отъ трансцендентныхъ функцій. Для этого имѣемъ
Іа П2 іг йу е (ІХ СО82Ж
Исключая отсюда посредствомъ начальнаго показательную функцію, пмѣемъ уравненія
5^ _ _?/
сіх соз2#
(а)
для исключенія остающейся тригонометрической функціи возьмемъ вторую производную
(Ру____ 1 Ну 2?/. зіп#
сіх2 сао&х ' сіх соз3#.
Посредствомъ первой производной (а) второй членъ можетъ бытъ преобразованъ и тогда имѣемъ
плп
посредствомъ первой производной исключимъ отсюда соз2# п тогда легко получимъ
что и представляетъ собою искомое дифференціальное уравненіе.
17. Пріемъ, посредствомъ котораго чрезъ исключеніе постоянныхъ молено составлять дифференціальныя уравненія, пе представляетъ большаго интереса п не имѣетъ особаго аналитическаго плп геометрическаго значенія. Другой пріемъ, съ нимъ аналогичный и служащій для исключенія произвольныхъ функцій, пмѣетъ большую связь съ геометрическимъ вопросомъ объ образованіи поверхностей движеніемъ линій, а потому па изложеніи его мы остановимся болѣе подробно.
До сихъ поръ мы' разсматривали’ уравненія содержащія только двѣ перемѣнныя, одно независимое п другое его функцію, но понятно, что тѣ же пріемы молено употребить въ случаѣ многпхъ независимыхъ перемѣнныхъ. Здѣсь особенно примѣчательны тѣ случаи, когда отъ уравненія, имѣющаго болѣе одного независимаго перемѣннаго, берутся частныя производныя; прп этомъ является возможность исключать не только постоянныя, но цѣлыя функціи. Предположимъ, что
гдѣ х и у суть перемѣнныя независимыя.
Взявъ отъ перваго уравненія частныя
производныя по х н по ?/, получпмъ
сіз ____ сіи
(ІХ сін сіх ’
Но по второму іізъ данныхъ уравненій
сіи _ сІГ . Ііх “ ~Ох ’
[здѣсь для краткости мы пишемъ /' вмѣсто тельно
сіи__ сіЕ
«У~ <іу
/*(«) н Е вмѣсто Слѣдова
_ сі/ сІЕ.
(Іх сіи ' сіх ’
раздѣливъ одно изъ этпхъ уравненій на другое, получпмъ
плп полагая •— сіх
-у- — найдемъ
(5)
уравненіе совершенно’независимое отъ впда функціи і н справедливое для всякаго . х
впда этой функціи. Въ самомъ дѣлѣ, положимъ, что и — -- п тогда все равно при-
мемъ лп
предыдущее уравненіе будетъ существовать. Въ этомъ случаѣ
сіЕ___ I сІЕ______ х
сіх у' сіу у1
Что касается до р п ц,
то при
Слѣдовательно, принимая и = • •
п
мы легко убѣдимся, что уравпе-
ніе (5) удовлетворяется л тоже будетъ имѣть мѣсто при двухъ другихъ формахъ зависимости 8 ОТЪ X И у.
Уравненія вида (5) называются уравненіями съ частными дифференціалами, или вѣрнѣе съ частными производными.
Предположимъ, что М и У суть двѣ какія нпбудь функціи х,у.з. Уравненіе болѣе общее чѣмъ предыдущее будетъ имѣть видъ
М = {(У)
частныя производныя этого уравненія по х л у (предполагая, что х л у суть не-
зависимыя перемѣнныя п г ихъ функція) будутъ
Ш
СІХ
сІМ сіз (І2 ’ СІХ
= Г (И)
\<т
СІУ (І8 СІЯ (ІХ.
СІМ ду
(ІУ сія (ІЯ сіу.
раздѣливъ одно изъ этихъ уравненій на другое, въ результатѣ исключимъ произвольную функцію и, давая р и тѣ же значенія какъ прежде, получимъ
_ сіх 1
(ІУ 1 ~7ТР
Еслп выполнимъ здѣсь умноженіе л положимъ
ам (ІУ сІМ сІУ сіу (Ія (Ія ду
(ШдУ_ сЩдУ (ІЯ (ІХ дх СІЯ
дМдУ _ ОГ дУ (ІХ (Іу (Іу (ІХ
то предыдущее уравненіе приметъ видъ
2р -г ‘
Это есть общій впдъ уравненія съ частными производными перваго порядка, оно линейно относительно и Коеффиціенты .Р,ф, V суть функціи неремѣнныхъ х,у.з. Это уравненіе представляетъ соотношеніе между частными производными р и п справедливо для какого угодно вида функціи
Исключеніе произвольной функціи, результатомъ котораго явилось уравненіе вида
Рі> + е? = ѵ
привело пасъ къ линейному уравненію съ частными производными перваго порядка. Теперь мы считаемъ пе лишнимъ заняться рѣшеніемъ болѣе общаго вопроса, вопроса о происхожденіи и формѣ уравненій съ частными производными перваго порядка вообще, а не однпхъ только линейныхъ.
Разсмотримъ сначала болѣе простой случай, именно тотъ, когда въ уравненіе входятъ только три перемѣнныя двѣ изъ нихъ х и у пусть будутъ независимыя, а третья“-пхъ функція; такъ что вообще
— /‘О, у)
тогда
или по общепринятому означенію
сіг ~ р. сіх 4 (/. сіу
предположимъ, что дана функція трехъ перемѣнныхъ перемѣннаго пара-
метра а п его совершенно произвольной функціи <р(а). Пусть эта функція будетъ
*.?{»}
Пусть эта функція представляетъ собою уравненіе К=о; взявъ пропзводпую отъ
этого уравненія по перемѣнному параметру а,
будемъ кромѣ того пмѣть
сІѴ
Еслп бы функція о (а) не была совершенно произвольна, еслп бы ея видъ былъ данъ, тогда исключивъ между уравненіями
перемѣнный параметръ а, мы получплп бы въ результатѣ исключенія соотношеніе между перемѣнными х,у, но такъ какъ совершенно произвольна, то исключеніе перемѣннаго параметра возможно только черезъ частныя производныя. Если возьмемъ отъ уравненія К — о полный дифференціалъ, то получпмъ
Послѣдній членъ обращается въ нуль вслѣдствіе уравненія =о. Въ остальномъ
«ОС уравненіи
два дифференціала сіх и сіу совершенно произвольны, а третій отъ ипхъ зависитъ по уравненію
сіз =: р. (Іх 4- <1<1у
внося это въ предыдущее уравненіе, найдемъ
(IV 1 (Із
йу —о
при совершенно произвольныхъ (Іх и сіу это уравненіе удовлетворится, когда отдѣльно
сІѴ сІѴ
(Іх д,з °
(а)
(IV , (IV сіу (Із ‘ У- °"
Прибавляя къ этимъ двумъ уравненіямъ данное Р"=о, мы имѣемъ систему трехъ уравненій, пзъ которой молено исключить перемѣнный.параметръ а п его произвольную функцію (а); въ результатѣ исключенія мы получимъ
уравненіе съ частными производными перваго порядка; это уравненіе можетъ имѣть различныя формы и не быть линейнымъ относительно р и
Пояснимъ эти общія соображенія на частномъ примѣрѣ. Пусть функція, по .которой требуется составить уравненіе съ частными производными, имѣетъ впдъ
7= О — а)2 п- [?/ - о(а)]2 -ф- з2 — О
>гдѣ С есть постоянная величина. По этому уравненію прежде всего необходимо составить уравненія впда (а). Для этого пзъ даннаго выралсенія составляемъ частныя производныя
такимъ образомъ, уравненія соотвѣтствующія уравненіямъ (а) общей теоріи, будутъ
х—— у—+ %.з — о.
-опредѣляя отсюда х — а н у — <р(а) 11 виося въ Данное уравненіе V = о, имѣемъ (-1 + 2>-+ с?) з2 = О.
Что и представляетъ искомое уравненіе съ частными производными.
Разсмотримъ болѣе общій случай. Пусть данная функція V содержитъ п независимыхъ перемѣнныхъ хп хі.......х„ и одну ихъ функцію г; пусть кромѣ того
въ эту функцію входятъ «— 'I перемѣнныхъ параметровъ а,, а_,п одна пхъ произвольная функція а, такъ что
а
<? («і, а>
а„_і
Такимъ образомъ
х„, а, аг, а2
слѣдовательно, всего въ этой функціи находится н -|-1 перемѣнныхъ, параметровъ и одна пхъ функція. По условію зависимости перемѣнныхъ, пмѣемъ
00
нлп по обыкновенному означенію
сіх сіхх р2 сіх2 ................+ р„ (Іх„
Принявъ это, разсмотримъ п уравненій ....................................................... (1Ѵ
<?а 1
Пользуясь этими уравненіями, составимъ уравненіе съ частными производными независящее отъ произвольной функціи а.
Полный дифференціалъ разсматриваемой функціи есть
СО
------(?а
Прп этомъ производныя
(IV (IV
берутся такъ, что а разсматривается
какъ функція перемѣнныхъ параметровъ а,, а2 Прп этомъ
сІчк ’ к йа* і ' (Іа ‘ (Ілк I
Коеффиціенты при йа2 • • • въ^уравнеиіп (<і) обращаются въ нули вслѣдствіе уравненій (с), а потому изъ предыдущаго уравненія остается только
замѣнимъ здѣсь сіх его величиной пзъ выраженія (Ь), тогда въ полученное уравн&-ніе будутъ входить (Іх2, (Іх2---сІх„, т. е. п независимыхъ дифференціаловъ, и это уравненіе удовлетворится только тогда, когда коеффиціенты прп п независимыхъ дифференціалахъ .отдѣльно будутъ равны нулю, т. е. когда
(IV , ОѴ
(ІХ„ "Т” (ІХ
Если исключимъ а, а:, а2.......а„_і, т. е. п величинъ между послѣдними п урав-
неніями и уравненіемъ Тг=о; то получпмъ уравненіе
7? (>, , ж2....х„, .....р„) — о
которое п будетъ искомымъ уравненіемъ съ частными производными.
Исключеніе двухъ н. болѣе производныхъ функціи ведетъ къ уравненіямъ съ частными, производными втораго и высшихъ порядковъ.
Пусть и — /(х,у,я) и ѵ = Р(х.у,я) будутъ двѣ произвольныя функціи ж, у. яу которыя входятъ въ уравненіе
Ф[ж, у, я, ф (X), ф [X] — о (2)
гдѣ ф и ф суть произвольныя функціи. Составляя по этому данному уравненію
ФФ .ФФ (РФ (РФ (рф
(ІХ °’ (Ту °’ (ІХ* 0’ Ау- 0 *
мы введемъ четыре произвольныхъ функціи
(«), Ф' О);. ф" («), Ф" (у)
которыя вмѣстѣ съ начальными ф(м) и ф (г) представятъ шесть функцій, но исключеніе этихъ шести функцій изъ шести уравненіи (2) н (3) будетъ невозможно. Прибавляя еще къ предыдущимъ уравненіямъ (2) п (3) систему третьихъ частныхъ производныхъ
(РФ (Р<1> _ (РФ _
сіх5 0 йх-.йу ° Их.йі/. Фу* °
мы введемъ еще только двѣ новыхъ функціи о”* (Ф) п фп,(«) и тогда исключеніе восьми функцій пзъ десяти уравненій сдѣлается возможнымъ. Въ результатѣ исключенія мы получпмъ соотношеиіе между я и ея частными производными до третьяго порядка включительно, взятыми относительно х и у п это соотношеніе будетъ совершенно независимо отъ произвольныхъ функцій о п ф и пхъ производныхъ. Замѣтимъ еще, что такъ какъ мы пмѣемъ десять уравненій съ восьмю произвольными функціями, то, мы получпмъ два окончательныхъ уравненія какъ результаты исключенія произвольныхъ функцій.
Пояснимъ этотъ способъ исключенія произвольныхъ функцій на двухъ частныхъ примѣрахъ.
Пусть будетъ дано уравненіе
п требуется составить такое соотношеніе между частными производными взятыми относительно х н уг которое было бы независимо отъ произвольныхъ функцій ф п / и слѣдовательно было бы справедливо для всякаго вида этпхъ функцій.
Изъ даннаго уравненія находимъ
?' [* + №)];
?'к + /’(у)]Л(у)
(12я
Йя2
?"к + /Ху)];
й2г сіхсіу
^'к+ /‘(у)]/’'(у)
Изъ этого прямо видно, что
(Ѵя (ІЯ
(ІХ2 'сіу
(Іг (12г
(Іх' (Іхліу
Ф'к + Лу)] ?" к + /(?/)] Л (у)
Ф'к + /Ху)] ф" к + /Ху)] Г (у)
Слѣдовательно
сігг сіг (Ія с12я
д.х2 ‘ Ау сіх ’ (Іх. (Іу
это п есть результатъ исключенія двухъ произвольныхъ функцій. Мы всегда будемъ полагать
Аг___ . Аг _ А2г_________ А2г ________ А2г
(Іх (Іу сіх2 * ’ АхТАу 5і Ау2
прп этомъ означеніи найденный результатъ исключенія представится въ впдѣ
Г. % — 2).8=Ю.
Пусть еще дано^ уравненіе
У — “Ь ф (Ю
п требуется на основаніи его составить такое соотношеніе между частными производными я, которое не содержало бы произвольныхъ функцій н ф(Ю-
Взявъ частную производную по хі изъ даннаго уравненія находимъ
Частная производная отъ даннаго уравненія по у есть
возьмемъ отъ уравненія (а) еще разъ производную по х, тогда получпмъ
частная производная отъ уравненія (Ь) по у, есть
наконецъ частная производная отъ уравненія (Ь) взятая по ж, есть
Три послѣднія уравненія при принятомъ означеніи представляются въ видѣ
о — [ж (г) + <рц (#)]р2 + [ж Л СЮ + ?1 СЮ]ѵ + 2 Г
о = [ж (Ю -4- ср" СЮ] <?2 + Л СЮ + ©' (.Ю]
о = [ж /" О) 4- <р" СЮ]р-2 + [я Г (Ю + ©' СЮ]5 4 Р СЮ- <1-
(Ю
Еслп помножимъ первое изъ этихъ уравненій на д2 п сложимъ со вторымъ, помноженнымъ на р\, то въ суммѣ получимъ
о — 2 [ж СЮ + <р"(Ю] ѵ2 (г + Р(Ю + ©'СЮ] (г- д1 + рг) ~т2 РС^р-д2
помножая уравненіе (с) на ^рд и вычитая произведеніе изъ послѣдняго уравненія, найдемъ
о — гд2 + ір2 — ірдз-
Это и есть результатъ исключенія произвольныхъ функцій п вмѣстѣ съ тѣмъ уравненіе съ частными производными втораго порядка.
ПРИЛОЖЕНІЕ ДИФФЕРЕНЦІАЛЬНАГО ИСЧИСЛЕНІЯ КЪ РЪШЕНІЮ НЪКОТОРЫХЪ ВОПРОСОВЪ АНАЛИЗА.
Вопросы анализа, которые мы имѣемъ въ виду рѣшать посредствомъ дифференціальнаго исчисленія, будутъ касаться: 1) разложенія функцій въ безконечные ряды; 2) опредѣленія истиннаго значенія функціи, принимающихъ неопредѣленный видъ прп нѣкоторомъ частномъ значеніи главнаго перемѣннаго; 3) изысканія наибольшихъ и наименьшихъ значеній функцій, п наконецъ 3) разложенія раціональныхъ дробей на элементарныя.
Разложеніе функцій въ безконечные ряды.
1. Примѣнимъ теорему Тейлора къ развитію въ рядъ степени. Пусть
отсюда выводимъ
ф'(а;) = пж" ’; —1)ж" 2; ф'"(я)=«(п—I)— а)х 3 п т. д.
а потому Тейлоровъ рядъ, т. е
Ф(Д’ 4- Л) = Ф(ж) 4- 7»ф'|>) 4- -ф»(я;)4- •
въ примѣненіи къ пашему случаю даетъ
Очевидно, что это есть строка Ньютона, являющаяся простымъ слѣдствіемъ теоремы Тейлора.
Такимъ образомъ рядъ бинома Ньютонова написанъ у насъ съ остаточнымъ членомъ. Мы остановились на членѣ заключающемъ г'110 производную. Если п цѣлое и положительное число, то рядъ будетъ имѣть конечное число членовъ, ибо полагая п — г остановимся на членѣ, заключающемъ п^ю производную и всѣ дальнѣйшія производныя разлагаемой функціи, какъ мы знаемъ, суть нули. Для г — п этотъ остаточный членъ имѣетъ видъ
Гг. + = 7,-
1.2. 3 ..... (Я— 1 ) П
Если же п есть дробь, или отрицательное число, то рядъ долженъ быть на-ппсаиъ съ остаточнымъ членомъ вида
п(п — 1) (п — 2).(и—г + 'І)
I • 2.3...Г
~ - Л—-Г _ г (ж^-ОЛ) к
При извѣстныхъ условіяхъ этотъ остатокъ можетъ быть отброшенъ, именно когда онъ менѣе всякой данной величины.
Полагая
мы можемъ представить рядъ (1) въ впдѣ
п.у -|"
п(п— І)(я—2) .... («—
л—г-(1+^)
Г у
остаточный членъ мы можемъ написать въ формѣ
пли въ впдѣ
Означимъ чрезъ 1с цѣлое число непосредственно слѣдующее за п, такъ что то предыдущее выраженіе остаточнаго члена можемъ представить въ видѣ
—я
Число 1с есть конечное цѣлое число, слѣдовательно произведеніе
до __
есть также нѣкоторое конечное число и предыдущее выраженіе можно представить въ водѣ
но произведеніе
для х=со состоитъ пзъ безконечно большаго числа множителей, и каждый пзъ этпхъ множителей есть правильная дробь, поэтому такое произведеніе прп достаточно большомъ г представляетъ собою малую величину.
Еслп то у также есть правильная дробь, а слѣдовательно уг при
г=оо будетъ безконечно малою величиною. Наконецъ прп г=<х> разность г — н = со, между тѣмъ какъ I I, слѣдовательно дробь
-I
будетъ также безконечно малою величиною. Итакъ, въ томъ случаѣ когда у -< I остаточный членъ бпнома, прп достаточно большомъ г, можно считать равнымъ нулю. Отсюда заключаемъ, что прп Тейлорова строка можетъ представить разложеніе бинома Л)” в'ь случаѣ дробнаго или отрицательнаго показателя п.
2. Разложимъ въ рядъ показательную функцію ах. Послѣдовательныя производныя этой функціи суть
«•т. І§ а; ах (і* а)2: (]§ а)8...........
Значенія этихъ функцій для ж — о суть
1"а; (Іе«)2: С’ё")3...............
Это п суть тѣ величины, которыя мы должны принять за ф'(о), Ф'Ч°) п т- А-въ ряду Маклореня. Кромѣ того, для нашего случая ф(о)=1.
Рядъ Маклореня съ остаточнымъ членомъ долженъ быть представленъ въ видѣ
Ф (X) = Ф (°) + х - Ф' (°) + гЦ Ф" С°) +........+ Г~Л..Т Ф1,01°) +
1 л 2 1 • 2 7 и
а потому разложеніе функціи ах есть
Каково бы не было перемѣнное ж, остаточный членъ
; Оё«)
. а
по мѣрѣ возрастанія п стремится къ пулю. Въ членъ можно представить въ видѣ
самомъ дѣлѣ этотъ остаточный
2
Понятно, что начиная съ нѣкотораго изъ этихъ производителей, остальные быстро уменьшаются, п между ними есть такой множитель, который становится менѣе всякой данной величины, а потому все произведеніе можно принимать равнымъ пулю. Итакъ
Т X?
а <= 1+ж ]§« + —(!§ а)2+——Оё«)3 + • - ’ •
еслп а = еу гдѣ подъ е разумѣемъ основаніе Неперовыхъ логарпемовъ, то
прп х=] отсюда получаемъ значеніе е въ формѣ
3. Функція
въ которой логариѳмъ берется по произвольному основанію, не можетъ быть разложенъ въ безконечный рядъ, ибо прп х — о какъ сама эта функція, такъ равно и всѣ ея производныя обращаются въ безконечность. Но это неудобство устраняется, еслп логариѳмической функціи дадпмъ впдъ
Производныя этой функціи суть
У — О + ж)
2.3 ]$(?
И Т. д.
Полагая здѣсь ж = о, находимъ
Л'0) = І6а; = ЛМ = -!^; ИТ. д.
а потому строка Маклореня въ примѣненіи къ этому случаю даетъ
(а + я) =
Еслп означаетъ Неперовъ логарпомъ, то
І5 (а + «)=!§« +
а 2 \а/
понятно, что еслп < 1, то по мѣрѣ того какъ будетъ возрастать п, дробь
(—) будетъ стремиться къ нулю и остаточный членъ будетъ стремиться къ этому же предѣлу, еслп только прп всемъ этомъ #>-о, т. е. положительно, ибо тогда дробь
будетъ менѣе единицы.
Еслп а = I, то предыдущій рядъ приводится къ
(2)
г2
]§(! + = ----------1-
2
7г+1 л -
4- (-П - (і + 0*1 п
Если 1, то этотъ рядъ не будетъ сходящимся, ибо въ такомъ случаѣ отношеніе послѣдующаго члена къ предыдущему будетъ болѣе едпнпцы. Еслп же х положительно н менѣе едпнпцы, то остаточный членъ
I/
-( I 4- 0«) п
по мѣрѣ возрастанія п стремится къ нулю. Итакъ для величинъ ж, заключающихся между о и 1, имѣемъ
/ѵ»2 /у»3
.........
2 3 4
Этотъ рядъ можетъ быть примѣненъ п тогда, когда ж — I; ибо въ этомъ случаѣ, остаточный членъ также стремится къ нулю прп возрастающемъ
Посмотримъ, будетъ лп рядъ (2) сходящимся въ томъ случаѣ, когда х заключается между о п—1. Чтобы рѣшить этотъ вопросъ, будемъ пользоваться второй формой остаточнаго члена Тейлоровой строки. Еслп какъ прежде
/(х) = /•((>)= о,
то
= ( 1)’'10+3жуІ” 1~; Л°М = (- 0“ 1 — О
поэтому прп второй формѣ остаточнаго члена
ІвГ1 . .................................
' 2 3 4 -г,г (»+'|)(-| + Ѳж)"+І
Для разсматриваемаго случая перемѣнимъ ж на — ж, тогда будемъ имѣть
еслп ж < 1, то также
я слѣдовательно прп произвольно большомъ п дробь
жп(-І - Ѳ)и
(I — Ѳж)"
становится произвольно малою, тогда разсматриваемый рядъ есть сходящійся п можетъ представить функцію 1$( І —ж).
Поэтому заключаемъ что рядъ
есть сходящійся для всѣхъ значеній ж заключаюпщхся между — I п -г 'І-
Прп х =—I,имѣемъ (I-(-®) = 1?о — —гаі что очевидно не можетъ быть представлено сходящимся рядомъ.
Измѣняя въ предыдущемъ разложеніи ж на —ж имѣемъ
Вычтемъ это разложеніе пзъ предыдущаго, тогда получимъ
плп
пусть
I + х У 4- 'I I
-------=---------, откуда х— , — -•
•I — х у ‘ гу
слѣдовательно предыдущій рядъ даетъ
этотъ рядъ представляетъ большую сходимость для у > 1. Посредствомъ этого ряда дѣйствительно вычисляются логарпомы. По этому ряду мы находимъ 1§('І + у), еслп извѣстенъ у. Прп у = I ; (I + у) = ]§ а; у = о. Итакъ
Пусть
• =о.6дз147І8
тогда
п выраженіе (3) принимаетъ впдъ
(4)
(а 4- е} = + а
этимъ рядомъ удобно пользоваться для вычисленія логариомовъ дробныхъ чиселъ (цѣлаго числа съ дробью), тогда за а принимается цѣлое число, а 8 представляетъ собою дробь.
Отъ вычисленныхъ такимъ образомъ натуральныхъ логариѳмовъ перейдемъ къ логариѳмамъ Брига, помножая полученныя числа на ЛГ.
Что касается до величины 7И, то она можетъ быть вычислена по найденнымъ уже выраженіямъ. Въ самомъ дѣлѣ, принимая въ выраженіи (4) а = 8, г =2 и помня что ]§ 8 — [»• г3 = з 1і>' г, находимъ
Выше мы нашли
слѣдовательно
произведя показанныя вычисленія, легко получимъ
-I = 2.302585029994........; 7)2 — 0.43429448-19........
При вычисленіи логариѳмовъ посредствомъ таблицъ мы принимаемъ, что прп малыхъ измѣненіяхъ чиселъ измѣненія соотвѣтствующихъ пмъ логариѳмовъ пропорціональны этимъ малымъ измѣненіямъ чиселъ. Понятно, что такое допущеніе только приближенно къ истинѣ. Легко показать какова можетъ быть погрѣшность, происходящая отъ такаго допущенія.
Мы видѣли, что
Если въ этомъ ряду мы огранпчпмся первыми двумя членами, т. е. еслп примемъ
то такая величина 1» (-І ж) будетъ очевидно менѣе истинной. Истинную величину логариѳма мы получимъ, если уменьшимъ извѣстнымъ образомъ вычитаемое —; этого достигнемъ, если это вычптаемое умножимъ на нѣкоторую правильную дробь Ѳ,. полагая что о < 0 < 1. Итакъ при нѣкоторомъ положительномъ значеніи О, меньшемъ единицы,, мы будемъ имѣть
Оя*
2
доложимъ здѣсь тогда получимъ
07г2
чтобы перейти отъ Неиеровыіъ логариѳмовъ къ Брпговымъ, помножимъ вторую часть на модуль М, тогда
Ьо8- + 7г) - Ьо§ Я = 1/
к №
.№ 2№
Если измѣнимъ число, отъ котораго логариѳмъ берется, то равенство не нарушится, если соотвѣтственно измѣнимъ множителя 0. Итакъ ирпнимая 7г = I, замѣнимъ 0 нѣкоторою величиною 0'. Тогда
Еоа; (дѴ + 1) — Ьо$ 7Ѵ = М
' 1 _ 0' '
_дѴ 2№.
пусть
Ьо§ 7г)—І§лѴ’=Д-, Ьо§(Л74-1)— =
гдѣ слѣдовательно А есть измѣненіе логариѳма, соотвѣтствующее измѣненію числа на к- а В есть измѣненіе логариѳма, соотвѣтствующее измѣненію числа на единицу. Еслп бы измѣненіе логариѳма было проиорціонально измѣненію числа, то существовала бы пропорція
А 7г
В~~.
откуда А = Вк; но такъ какъ подобное допущеніе не справедливо, то строго говоря, равенства Д = 1)7г не существуетъ. Возстановимъ это равенство посредствомъ нѣкоторой величины г, т. е. иримемъ
А — В. к 4- ё
гдѣ г будетъ очевидно та погрѣшность, которую мы дѣлаемъ, вычисляя ио логариѳму В логариѳмъ А въ предиоложепіи, что логариѳмы измѣняются пропорціонально числамъ. Итакъ а = А — Вк'} но мы видѣли, что
, „Т/г 07г2 "I ,_Г1 0'1
А = ЛІ - - — ; В = ЛІ ------------
ЦУ 2Л2_г |__У
Внося это въ предыдущее выраженіе е, наюдпмъ
ЗДО'/г — 07г2] ' гдѴ2”-"
Величины 0, 0' п к ио иредпололсеиіго заключаются между о п I; а Й/. какъ мы впдѣлп, менѣе —, слѣдовательно г менѣе топ величины, которую мы получпмъ пзъ предыдущаго выраженія, если примемъ 0' — I, 1і = I и 0 = о, такъ что
отсюда заключимъ, что если 77 > і оооо, то погрѣшность менѣе четверти единицы
восьмаго десятичнаго знака, она будетъ представляться единицами девятаго десятичнаго знака. Слѣдовательно, пользуясь прп вычисленіи логариѳмовъ по таблицамъ пропорціей
Д _ /г
мы дѣлаемъ при употребленіи семизначныхъ таблицъ такую погрѣшность, которая вполнѣ допустима.
Еслп по данному логариѳму ищемъ число, то рѣшаемъ обратную задачу; въ этомті случаѣ также молено составить понятіе о погрѣшности зависящей отъ того же предположенія. Опредѣляя Л пзъ выраженія Д — 1)к г, находимъ
или
гдѣ есть погрѣшность соотвѣтствующая упомянутому допущенію; слѣдовательно
кі) — А
_ 07г2 - Ѳ'7> 2Д’’ —V
еслп примемъ здѣсь Ѳ — I, 1і ='І; 0' — о, то
слѣдовательно погрѣшность въ опредѣленіи числа по дапному логариѳму прп тѣхъ же условіяхъ менѣе половины единицы восьмаго десятичнаго знака.
4'. Примѣнимъ теперь строку Маклорепя къ разложенію въ ряды функцій тригонометрическихъ.
Строка Маклореня имѣетъ впдъ
Пусть ’ф (•*’) = й'п тогда
Ф' (О ~
СО8 X “ 8ІП \ -г х ; \2 /
поэтому
ф,г (?г) = — 8111 X
іф(")
. I 11 = 8111 ' 11 -
— 5111 і 2
Ір'"(.Г) — — 008 X 8ІП
Xя , Л’3
$111 Л’ ~ X---------------і----------
1.2.3 1.2. ...5
Чтобы судить о свойствахъ остаточнаго члена, представимъ его въ другомъ видѣ. Пусть г будетъ цѣлое и положительное число непосредственно слѣдующее за х п
х"
представимъ множителя остаточнаго члена, т. е. • въ впдѣ I .2....И
х х х х х х х х
[23 г — I г г -р і 11 — I п
дроби
х х х
I 2 Г — I
неправильныя, но число пхъ конечное. Дроби .......
т г-р 1
но число пхъ при неограниченно возрастающемъ п будетъ
----правильныя, п
безконечно большое, а
потому все это произведеніе по мѣрѣ возрастанія
іг стремптся къ пулю, тогда какъ
производитель
всегда остается конечною величиною, меньшею единицы. Итакъ остаточный членъ по мѣрѣ возрастанія п стремптся къ пулю. Итакъ еслп х есть конечное чпело, то рядъ представляющій синусъ есть сходящійся.
Еслп хотимъ подобно этому разложить въ рядъ сов.г’, то примемъ
I
ф (х) ~ С08 X
послѣдовательное дифференцированіе даетъ
/
(X ) —” СО 8 : 11
і \. У
слѣдовательно
^(о) — -I. ф'(о) = о; ф"(о) =— I н т. д, поэтому строка Маклореня даетъ
Попятно, что п здѣсь остаточный членъ стремится къ пулю прп возростаніи п при всякомъ конечномъ значеніи перемѣннаго х. Итакъ
зіп
соз х —
1.2,...б
этими рядами можно пользоваться для вычисленія зіп х п созо? для всякихъ дугъ. Вычислимъ для примѣра зіп (5°з( І4"). Для этого найдемъ линейную длину дуги 5°3'І4", принимая радіусъ за единицу. Длина окружности при радіусѣ г есть зпг, а при г — 'I длина окружности есть 2-к; слѣдовательно
:ІІЛН
-І8-І94" 648000я
ІІІ.ЧІІ
'18 194
648000
= 0.088207I
внося эту величину х въ предыдущій рядъ представляющій спнусъ, находимъ
зіп (50 з' 15П) — 0.0880927.......
Теперь слѣдуетъ разложпть въ ряды функціи агс (.зіп = х), агс (соз =2?) п .агс (і§ — я), но составленіе послѣдовательныхъ производныхъ этпхъ фувкціп и • опредѣленіе « ой производной представляется довольно сложнымъ.
Первыя производныя этпхъ функцій суть алгебраическія, и еслп бы представилась надобность разложпть въ ряды эти первыя производныя, то мы невстрѣ-тплн бы ни какихъ затрудненій. Поэтому мы рѣшимъ общій вопросъ, постараемся найти зависимость между разложеніемъ первой производной функціи п разложеніемъ ея начальной. Разлагая въ рядъ по строкѣ Маклореня имѣемъ
Г (я) -- (О) + х. (о) + ’ • •
(вл*).
(а)
пусть 4г/ (я) = ф (ж); тогда
но ? О) — (О) + Л- • ?"(°) +.............
ПЛИ
(Ь) Г'(Х) = -Г'Со) + ^"(о) 4- • Г"’(о) ч-.....
сравнивая это выраженіе съ выраженіемъ (а), мы видимъ, что по разложенію производной мы получимъ разложеніе начальной функціи, еслп каждый членъ разложенія производной помножимъ на перемѣнное, потомъ каждый членъ раздѣлимъ на новую степень перемѣннаго и къ произведенію придадимъ состояніе начальной функціи прн перемѣнномъ равномъ пулю. Руководствуясь этимъ правиломъ, составимъ разложенія обратныхъ тригонометрическихъ функцій по разложеніямъ ихъ производныхъ.
Пусть
/(а:) = агс (зіп =.т)
тогда
по
если помножимъ это разложеніе на перемѣнное и каждый членъ раздѣлимъ на новую степень перемѣннаго, то получпмъ
а слѣдовательно
/(я) = /-(о)4 х + А:.?
2 3 2.4
по / (о) въ нашемъ случаѣ есть пуль, а потому
, 1 Г 1.2
агс (зіп — ж) = х 4---------1---
23 2.4
такъ какъ
созж = 8111
то
а го. (соз = ж) = -- — агс, (зіп = ж)
слѣдовательно
агс. (соз = х} = — х
'I ж3 І.3 ж5 1-3.5 ж7
2 з 2.4 5 2.4.6 7
это однако справедливо въ томъ предположеніи что дуга, косинусъ которой обращается въ нуль, есть четверть окружности; мы принимаемъ это помня, что наименьшая изъ дугъ, имѣющая это свойство относительно косинуса, есть четверть окружности. Разложимъ наконецъ въ рядъ аг§(І5 — ж).
Если /‘(ж) = агс (Iал* = ж), то
/' и =
— Ж2 -|- ж4 — ж6 ж8--------------------
имѣя въ виду примѣнить здѣсь извѣстное правило, помножимъ каждый членъ ряда на перемѣнное п затѣмъ каждый членъ раздѣлимъ на новую степень перемѣннаго, такпмъ образомъ составится рядъ
.принимая, что наименьшая дуга, тангенсъ которой равняется нулю, есть нуль, заключаемъ, что
/Ѵ»3 /V» /Ѵ»9
/ I V «V <Л* ѵѵ
агс(Іаіщ = ж) — ж-------------1.................................
3 5 7 9
Всякій рядъ есть сходящійся, если отношеніе послѣдующаго члена къ предыдущему будетъ менѣе единицы. Степени и дѣлители въ предыдущемъ рядѣ суть нечетныя числа. Общія формы двухъ послѣдовательныхъ нечетныхъ чиселъ можно .представить въ видѣ 2 и — -| и 2н 4- 1, слѣдовательно какіе ннбудь два послѣдовательные члена этого ряда будутъ
2 И — '1
и ----—-
2П 4-1
.а потому условіе сходимости предыдущаго ряда представится формулой
или
или
1ІП1
1ІІ11
плп
пли наконецъ
но легко видѣть, что сходимость этого ряда будетъ имѣть мѣсто п нрп х = I.
Мы знаемъ, что когда тангенсъ равенъ единицѣ, то соотвѣтствующая ему дуга равна восьмо!) долѣ окружности, т. е. равна —; итакъ при х=-\ предыдущій рядъ обращается въ
что можно представить въ впдѣ
нлп
очевидно, что этотъ рядъ представляетъ быструю сходимость н даетъ возможность вычисленія к съ большою степенью нрнближеиія.
Но можно показать для вычисленія ~ еще болѣе сходящійся рядъ.
„ . 'I I
Пусть а п а' будутъ двѣ такія дуги, тангенсы которыхъ суть и т. е.
Іап"а=-; Іапеа'= ---
2 г
тогда
агс (а»й — — • ; \ ° 2 /
а' = агс. (апя I Ч—I
Примѣняя къ разложенію этихъ дугъ
выше найденный рядъ, получимъ
но замѣтимъ, что
(а 112, (а Н- а')
слѣдовательно
а *г а’ — агс. (!ап§ = 1) = *•-.
4
Итакъ другая форма величины есть
4
этотч, рядъ, очевидно, представаястч, еще болтаную сходимость, чѣмъ предыдущій.
5. Прп рѣшеніи нѣкоторыхъ вопросові, анализа весьма важно имѣть ряды, вч> которыхъ синусы и косинусы кратныхъ дугъ представлялись бы степенями сп-пусовъ и косинусовъ. Этн ряды могутъ быть получены на основаніи слѣдующихъ соображеній.
Пусть
/” (У) — зіп [р.. агс .зіп д]
Взяві> производную этой функціи, получпмъ
..., , іл.созГіл.агс.зіпг-І
НЛП
Г (•'<’) V' । — л;2 = р. соз [р.. агс. зіп а;]
Взявъ вторую производную, найдемъ
плп
( I — х2}(.%*) — х. /''(.г) ;= — рАзіп [р. агс .зіп /
плп еще
0 - ж’) /"« - .г' Г'И = - /М Дифференцируя это еще разъ, получпмъ
( I — х2) /~,І,(х') — 2х— / '(я-') — /''(я) = — И*2 Г(.л) пли
(I — а-2} — Зж р> (ж) + (р2 — I) /’Ч.г) = о.
отсюда чрезъ послѣдовательныя дифференцированія найдемъ
Изъ этого легко заключимъ, что для пой производной будемъ пмѣть
( I — х2~) р") («) — — з) х 'р-н~г> (г-) + [р.2 — — г)2] 2) — 0_ ф
Пусть х = 5Іп у. тогда у = агс. эіп х; у..у — и.. агс .зіп .г’, а поэтому разсматриваемая функція /*(«). преобразованная по перемѣнному у, будетъ
[ (х) = &іп [іл. агс. 8ІП .т] = 8ІП (и. у)
Будемъ подъ агс.&іпх разумѣть наименьшую дугу, синусъ которой равенъ &іп?/, тогда прп ;?/—о имѣемъ /'{о} — о; а по выраженію (а) заключаемъ, что /',(о)=р. Имѣя это, по уравненію (1) прп х=о для значеній «=2,3,4 находпмъ
7"(о) = о; Л"Со) = - 1); = о; = Р-О2 ~ О(р-2 —
п т. д.
Такъ какъ по теоремѣ Маклореня
то въ примѣненіи къ разсматриваемому случаю эта строка принимаетъ впдъ
—- 5І114 у — •
плп
5Ін [р. агс. 8іп а?] — р.. х —
Р. — 1 . 2 , (Р-'
~ ... _ . 81112 У_
І.2.3 “ '
Написавъ этотъ рядъ въ впдѣ
2
2
(2/) 8Іп(р#):-р.
8ІП у — 1
&І115 у — • •
3
и дифференцируя его, находпмъ
о
(3) С08(іЛ^ =
и.-I
8І114 у — •
понятно, что прп р. нечетномъ ряды (2) и (3) суть конечные, а прп р, четномт» безконечные.
Въ самомъ дѣлѣ общій членъ ряда (3), заключающагося въ скобкахъ, есть
0х* - 1) »» - э») »« - 5Э............- (2І + і У]
'1 . 2.3....(2/ѵ -ф- 2)
если и. есть нечетное число п прп томъ равное г7і;-ф-1, то этотъ членъ и всѣ за нпмъ слѣдующіе обращаются въ нули. Послѣдній членъ конечнаго ряда въ этомъ случаѣ будетъ
такпмъ образомъ прп р = гк -ф- -1 конечный многочленъ, заключающійся въ скобкахъ выраженій (2) и (3) будетъ многочленомъ степени ік относительно віп у.
Если бы мы приняли
то совершенно подобнымъ же образомъ нашли бы
008 (о.?/) = 1 —5ІІ1-у 4- зіп*у — •
1.2 1 . 2 . а . 4.
5І11 (р?/) “
(4)
о
зіп3у 4"
при р. четномъ этп оба ряда конечные.
При печетпомъ р “ зі 1 рядъ (2) представляется конечнымъ п становится цѣлымъ многочленомъ степени ок относительно зіп у, плп степени к относительно зіп2у. Этотъ многочленъ можетъ быть разложенъ на множители впда зіп2?/— г1, гдѣ есть очевидно одинъ пзъ корней уравненія
ЗІП (з/ѵ 4- 1)?/_
зіп у
Относительно зіп2 у упомянутый многочленъ имѣетъ корней, такое же число корней будетъ имѣть п послѣднее уравненіе. Этому уравненію мы удовлетворимъ, полагая
(ък 4- 1) у — т~
гдѣ т есть цѣлое число; слѣдовательно корнями предыдущаго уравненія должны -считаться величины
а потому выраженіе (2) можетъ быть представлено въ видѣ
* О 'О
81 ІГ У — 8111“ а
гдѣ
зіп2 у — зіп2 2а
зіп2 у— зіп2 7;а
(5)
•что касается до Л, то это есть постоянный коеффиціеитъ. Предыдущее выраженіе .можно также представить въ впдѣ
зіп (г/с 4- I) у =
( — I)*, Л .зіп у [соз2 у — соз2а] [соз2 у — соз2 га]......[соз2 у — соз2 Ла
Если р есть четное чпело, то разложеніе зіп(р?/) по степенямъ зіп у представится конечнымъ рядомъ по формѣ второго пзъ выраженій (4). Пусть р —г/г; принимая это, представимъ второй пзъ рядовъ (4) въ видѣ
зіп (іііу} Г ,
—;~ = р. соз у 1
и.2— 22 I
Г И-2 - 22) (р2 - 42) . 4
-----------81П4 у--------------------
Членъ, начиная съ котораго всѣ остальные обращаются въ пули, будетъ имѣть форму
- 22) (р.2 - 41)..........- (2/ѵ)2] . п
। -2.3......(2^1’ О
а послѣдній остающійся членъ есть
по этому конечный рядъ, заключающійся въ скобкахъ, будетъ многочленъ степени к — -I относительно зіп2 у п разложится на производители вида зіп2?/ — г2, гдѣ суть корни уравненія
зіп (г/с#)
- •• ;• — — о.
81 [1 у
этому уравненію удовлетворимъ, полагая 2Ісу = т~, гдѣ подъ т мы разумѣемъ всѣ цѣлыя числа отъ т — I до т = к—I, а слѣдовательно значенія#, соотвѣтствующія корнямъ, будутъ
п кромѣ того одинъ корень предыдущаго уравненія получпмъ, полагая соз у = о. Слѣдовательно
8)11 (2ку)
зіп г
СОЗ А
ПЛП
'У
8)11 (яку) = (—
. . ( 27
ЗІП2?/ --ЗІП2! .
іу_1 В . СОЗ#. 8І11
соз2# — СОЗ2
9 і 1
Еслп вт> выраженіи (2;>) поставимъ до — # вмѣсто #, то замѣтивъ, что для нечетнаго р.
8Ііі [р. (до0 — #)] = 8Іп (р. до0) соз р.# представимъ выраженіе (2<;) въ впдѣ
у у 2 _ і| у 2 _ і| у 2 _ г» 2
ЗІП У. - I СО8 ГУ.#) — У. соз у— '---С083 у + ‘ • -соз5#—••• I
V 27 * I 7 1.2 3 7 -1.2.3 4.5 7 _1
Такъ какъ это выраженіе имѣетъ мѣсто для нечетнаго р., то оно во второй части всегда представляетъ конечный многочленъ. Подобнымъ же образомъ, если въ первомъ изъ выраженій (4) поставимъ до0— # вмѣсто # п замѣтимъ, что для четнаго р.
сой (у. (до0 — #)] — соз (р. до0) соз (р.#)
то представимъ первое изъ выраженіи (4) въ впдѣ
такъ какъ это справедливо для четнаго р, то вторая часть представляетъ собою конечный многочленъ.
Понятно, что въ томъ и другомъ случаѣ степень многочлена относительно соз у будетъ р., а потому въ томъ и другомъ случаѣ эти многочлены могутъ быть разложены на р производителей впда созу — », гдѣ подъ # разумѣемъ косинусъ, аргументъ котораго есть одинъ изъ корней уравненія
соз (и.у) — о
но этому уравненію удовлетворимъ, полагая
р и — т —
1 2
гдѣ подъ т разумѣемъ нечетное чпело впда ?7с—I; такимъ образомъ р. значеній у, соотвѣтствующихъ отдѣльнымъ производителямъ, получпмъ изъ выраженія
2
еслп будемъ давать 1с значенія отъ значенія р, четнаго плп нечетнаго,
1с '1 до 7с = р. Поэтому для всякаго цѣлаго можемъ представить соз (ру) въ впдѣ
соз(р.у) = С.
I и сов у — соз -
СОЗ у — СО8 --2р.
гдѣ С, равно какъ Л н В въ выраженіяхъ
зіп [(г/с Р' 1) ?/] п зіп (2Ісу~)
суть постоянныя числа, зависящія отъ р.
6. Не останавливаясь болѣе на этомъ, обратимся къ тѣмъ соотношеніямъ, которыя существуютъ между показательными и трпгонометрочеекпмн функціями п роторы я могутъ быть получены по найденнымъ уже рядамъ.
Мы знаемъ, что
, я?
2
о
поставимъ въ этотъ рядъ
вмѣсто х, тогда
собирая въ двѣ отдѣльныя группы
дѣйствительные и мнимые члены, получимъ
о
Принимая во вниманіе ряды представляющіе синусъ и коспиусъ, приводимъ это къ виду
е
1. 8ІП X
Перемѣняя здѣсь х на — хл получимъ
—х\/— і ....
е = с08х— у— 1.61 и .г
Итакъ пмѣемъ вообще
(Ы *лѴ-г —.... .
ѴД С — С08.Т2Г}/— 1 . 81ПХ
Такъ какъ это справедливо для всякаго х, то поставивъ здѣсь пх вмѣсто ж, получимъ
— і .----
е — С08 (я.г) 2І2 у— 1 . 8ІП (»х)
но изъ понятія о степени слѣдуетъ по выраженію (Ь), что
е — [соб х :±г у—1.81П х]
поэтому
[сО8Х±|/— 1.8Іі)ж]” —С08(«х)±2)/— І.8І11
•Это выраженіе извѣстно подъ именемъ теоремы Еслп въ выраженіяхъ (а) примемъ
хі/ — і — х \/ — I — I
е = и; то с — и •слѣдовательно
и — С08Х-]-]/—1.8ІНХ
гі— соз х — ]/— і.8ІІ1 х и вообще
2і" = С08 (пх) + ]/ — 1 .8ІЦ (их)
«“"== СС8 (»х) — ]/— 1.8ІІ1 (»х) •слѣдовательно
» . ГІ -• м
- и и , . ч и — гі
----'---: Г>?гг) =
2 2|/— 1,
Разсмотримъ нѣкоторыя слѣдствія соотношенія между показательными и тригонометрическими функціями.
Изъ ураииеиія (Ь) слѣдуетъ, что
X]/ — 1 ~ Ід [с05 X + ]/ — ’І 8І11 ж]
— X \/ — -I Ід [с08 X — ]/— I . 8ІІ) т]
Вычитая одно изъ этпхъ выраженій изъ другаго, получимъ
но еслп вообще
то
Ід (‘1 — ж) = —х
1ё('і +х)=х
примѣняя это къ выраженію (с), получпмъ
I апя3х
откуда
7
такой видъ пмѣетъ разложеніе дуги по ея тангенсу.
2., Въ уравненіи
X {/ — і .---
с = соз х 4* у — I. зіп х
или въ выраженіи
х]/—I = Ід [соз х 4-)/—І.зіигг]
примемъ л' — й.тт, разумѣя подъ 1і цѣлое чпело, четное плп нечетное. Тогда
7;. тг ]/— •! = Ід I )
подъ знакомъ логариѳма мы удерживаемъ два знака, смотря потому есть ли Ъ четное, плп нечетное число.
Придадимъ въ полученномъ выраженіи къ обѣимъ частямъ равенствгі логариѳмъ произвольнаго числа «, тогда
Іод (дЬ «) = Іод а 4- 1с. “. ]/ — I
отсюда заключимъ, что каждое положительное число кромѣ одного дѣйствительнаго логариѳма, соотвѣтствующаго к = о. имѣемъ безчисленное множество логариѳмовъ мнимыхъ. Логариѳмы же отрицательныхъ чиселъ суть всѣ мнимые, ибо въ предыдущемъ выраженіи отрицательному знаку соотвѣтствуютъ только нечетныя значенія к, а такъ какъ между нечетными числами пѣтъ пуля, то никакое нечетное число не уничтожаетъ мнимаго слагаемаго къ]/—I.
Принявъ въ предыдущемъ выраженіи а ~~ I п к = і, а потому удерживая только знакъ минусъ и помня, что 1*1=^о, имѣемъ
это есть одно пзъ выраженіи отношенія окружности къ діаметру.
7. Кромѣ всего этого, теорема Ыоавра имѣетъ весьма важное примѣненіе къ рѣшенію уравненіи вида
у — | - : о
уравненій называемыхъ двучленными. Это уравненіе, какъ уравненіе степени должно имѣть п корней, т. е. должно удовлетворяться п значеніями у. Посмотримъ каковы эти значенія перемѣннаго.
Если у” — 1 =: о, то у" —- I, но такъ какъ по теоремѣ Моавра
(соз-р —}/—І.зіп?)" —соз(«о)": |/—I зіп(??^)
н вторая часть прп = обращается въ единицу, то заключаемъ, что
Я-~ , ,—- . іктСп
СОЙ-....±]/—I 5111- — — I
п п _
а слѣдовательно въ уравненіи у”—І—о можно принять
у-, -к /2^. г»'' , - . і ^кіи <
(I) у — СОЗ - — ; =!“ 1/ — 1. 5111 '--:
\ п > н ;
это значеніе у можетъ быть разсматриваемо какъ корень уравненія ?/“ = 1. Всѣ л корней двучленнаго уравненія получпмъ, давая велпчнпѣ к всѣ цѣлыя н положительныя значенія.
7 . , т п
Если п есть четное число, то давая к всѣ значенія отъ к—-о до к — - , по-
лучимъ всѣ корпи разсматриваемаго уравненія; въ случаѣ же нечетнаго значенія п , „ . .. т п — I
всѣ корни получимъ, еслп к оудемъ давать значенія отъ к~о до к =...... .
то оно имѣетъ не исключая нуля. Полагая
Въ самомъ дѣлѣ, если п есть четное число гдѣ р есть какое угодно цѣлое число,
форму « =
имѣемъ
СО5
2т;
и
, . 27
I 55111 п
р имѣемъ
Въ этомъ ряду очевидно заключается « различныхъ значеній у.
Въ самомъ дѣлѣ, полагая к = 'I, к = і........к —р — ‘1, при каждомъ поло-
женіи получаемъ по два корня (одпмъ по плюсу, другой по минусу) и всего будемъ имѣть ър—г корня и кромѣ того при к = о имѣемъ корень г/=1 и прп к~р одинъ корень //= — 1, слѣдовательно, принимая 2; ~ о, к =1, к = 2...........к~~р
пмѣемъ всего 2р корней, а по нашему условію ър = н\ слѣд. такимъ образомъ на-' ходимъ всѣ ’« корней даннаго уравненія у" — 1 = о.
Еслп положимъ к — р -I, то новаго корня'не найдемъ, при этомъ будемъ имѣть
' , 2К\ . . . / , 27і\
у — со5; ~ Н-----। г_ 1/— 1 5іп к -4- -— ;
\ п / * \ л /
что очевидно тождественно съ корнями соотвѣтствующими значенію к~р— I, Прп к —р -Ь 2 нашли бы корни тождественные съ корнями соотвѣтствующими значенію ІС =р—2 И Т. Д.
Если п нечетное, т. е. имѣетъ форму « = 2р -4- 1, то всѣ корни уравне-
нія у1— 1 о получимъ, полагая к — о, 1с I
2
Въ самомъ дѣлѣ полагая въ уравненіи (1)
к — о .... у = 1
= 1 ’ • • • у = С08 — 33 \ — 1 8111--------------------
П 7 П
, п ~ I I к \ , /-----------------7 . (’ Тс \
V = р =---------------у = С05 I ТС — — I/ — I 5111 "-------------------------------
2 \ н; ’ ’ \ /г!
Ютъ А; = 'І до к~р мы получаемъ прп каждомъ .внесеніи по два корня и всего пмѣемъ 2р корней, а прп к = о кромѣ того имѣемъ корень у = 1, всего слѣдовательно походимъ 2р -|--I корней, атакъ какъ 2^4-1=^. то слѣдовательно
1 г П--1
отъ внесенія вмѣсто А чиселъ о, 'Ц 2 —--------находимъ всѣ /а корней уравненія
2
у' — I о. Дальнѣйшія внесенія новыхъ корней не дадутъ, нбо прп к—р 4- I =
п 4- I . Гч ч / , Т7\ .— . ( тг\
—-— изъ уравненія (1) находимъ у —; соз I 77 4- ! зві: ѵ— I зіп • ~ 4- • • I , что
. I — I п) ~
тождественно съ корнями, соотвѣтствующими внесенію 1і=р =-------
Итакъ, если въ уравненіи у-— 1 о показатель п. есть четное число, то уравненіе имѣетъ два дѣйствительные корня 4~ I и — 1, всѣ остальные корни суть мнимые сопряженные. Прп нечетомъ п двучленное уравненіе имѣетъ только одинъ дѣйствительный корень 4- 1, остальные суть мнимые сопряженные. Чтобы найти корни уравненія уА—I =о, поступая по указанному правилу, будемъ давать въ уравне-
.. , . , п— I
нія (1) величинѣ /.; значенія о, I,---------, въ нашемъ случаѣ и = з, слѣдова-
2
тельно въ уравненіи (1) прпдстся дать к только два значенія о и 1, а потому корни двучленнаго уравненія третей степени будутъ
у = + 1;
2IV .м- “ , 2 7й
у = соз - ±Г1/— 'I. зіп-
3 3
но
277 'I . 277 V Ч
СОЗ — — — ; 81В - “ - • -
3 2 3 2
слѣдовательно корни уравненія у3 — I о будутъ
Уі. = । і Уь
Чтобы найти корни уравненія у*— 1 = о, мы должны дать въ уравненіи (1) величинѣ к значенія о, I, 2 (прп п = д.). догда корни двучленнаго уравненія 4-й степени будутъ
У = + -і
у = соз -- ]/ — I зіп -
2 2
У = соз 77 ±]/— I. ЗІП 77.
ИЛИ
= у2= + )/— і; уэ = ~Ѵ— Н Уі = —
Извѣстно, что всякое уравненіе можетъ быть представлено произведеніемъ столькихъ множителей, сколько оно имѣетъ корней. Уравненіе у~"—1 =— о, на основаніи предыдущаго, имѣетъ корни
2к , . 2к 2к . . 2к
У = соз - 77 4- Ъ . ЗІП — 77; у — СОЗ • -77 —і. 8)11 - -77
2Н 211 2/1 2ІІ
гдѣ 1с имѣетъ значенія всѣхъ цѣлыхъ чиселъ отъ 1с — о до к = п, поэтому уравненіе у—Iо можетъ быть написано въ видѣ
к - п
1с = о
( 2^ , • •
СОЯ - 7й Н- Ъ $111 \ 2)1
( 1ІС
у — С0$ — ті —• г $ін
\ 2«
гдѣ знакомъ П мы представляемъ произведеніе и
подъ і разумѣемъ мнимаго мно-
жителя у' — I.
подъ знакомъ П, то найдемъ
Еслп перемножимъ производителей
Множители соотвѣтствующіе 1с = о и 1с-= п суть
у- — 2у-\- I —(у— I )2 п у2 -Н 2у + -1 = {-I + у)2
но такъ какъ уравненіе у'" — I = о равныхъ корней не имѣетъ, то вмѣсто этпхъ квадратныхъ множителей мы должны взять простые множители у— 1 п у + 'І; произведеніе пхъ дастъ множителя у2 — I: такимъ образомъ, выдѣливъ двухъ упомянутыхъ множителей, соотвѣтствующихъ к = о в 1с —имѣемъ
к - и - I
8. Для разложенія функцій неявныхъ мы также, какъ п въ предыдущихъ случаяхъ, моліемъ пользоваться теоремой Маклореня.
Еслп требуется разлоліпть въ рядъ функцію у—/\х), то по этой теоремѣ имѣемъ
«») =- Л о) + » Г(о) + -^ Г (о) +......
Пусть
«о) = Л.. Г М = і '•(.)=$),
тогда
Предположимъ, что соотношеніе между х п у дано въ неявной формѣ И\х.у} — а п требуется разложить у но восходящимъ степенямъ х. Для этого опредѣлимъ пзъ
даннаго соотношенія г/, -
II Т. Д. ІіріІ X
ІЛ'ѵі''
т. с. опредѣлимъ
Уч 5
О
п поставимъ ихъ въ предыдущій рядъ Маклореня. Чтобы опредѣлить ?/(), мы положимъ .г = о въ уравненіи Р = о, тогда это уравненіе дѣлается уравненіемъ
съ однимъ неизвѣстнымъ. Пусть корни этого уравненія относительно у будутъ Уо—= — с и т. д.
Возьмемъ одинъ изъ этихъ корней.
Опредѣляя по данному соотношенію пронз-
водную въ видѣ ах
подставпмъ въ эту производную вмѣсто х н у величины х = о іі у — а. тогда найдемъ
V сіх} о
Найдя по общему правилу дифференцированія неявныхъ функціи производную
9
сіу
внесемъ въ нее ж = о: у = сг. --'сіх
а (, тогда получимъ
н т. д. Подставивъ всѣ найденныя производныя въ рядъ Маклореня, нолучпмъ искомое разложеніе. Это разложеніе будетъ соотвѣтствовать корню ;?/ = «•> понятно, что подобныхъ разложеній будетъ столько, сколько отдѣльныхъ значеній будетъ имѣть у.
Пусть папр. по соотношенію
У3 — УУ-~тХ ~~ о
требуется разложить у по степенямъ х. Полагая въ данномъ уравненіи х — о, находпмъ
Возьмемъ отъ даннаго уравненія рядъ производныхъ
Опредѣляя послѣдовательно пзъ этихъ уравненіи производныя
соотвѣтствующія значенію = о, находимъ
послѣ чего рядъ Маклореня дастъ
х , 2 а?3
У н---------- ------"Г .............
3 27 1 .2.3
Подобнымъ же образомъ иапілп бы разложенія у п для двухъ другихъ значеніи этого перемѣннаго.
9. Лапласъ и Лагранжъ показали примѣчательные ряды разложенія неявныхъ функцій въ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ.
Еслп пмѣемъ уравненіе, содержащее одну плп двѣ независимыя перемѣнныя х п 2 п пхъ функцію уь то не рѣшая этого уравненія относительно функціи, можемъ эту функцію, или еще. общее, функцію этой функціи разложить въ рядъ по степенямъ независимаго перемѣннаго. Теорема, на основаніи которой рѣшается этотъ воиросъ принадлежитъ французскому геометру Лагранжу. Доказательство этой теоремы основывается на слѣдующихъ соображеніяхъ.
Предположимъ, что дано уравненіе
гдѣ 2 и х суть независимыя перемѣнныя, а у пхъ функція. Ие рѣшая этого уравненія, разложимъ нѣкоторую функцію отъ у по степенямъ х. Пусть функція у, укоторую слѣдуетъ разложпть по степенямъ х, будетъ «, такъ что « = Предпо-
ложимъ, что разложеніе выполнено по теоремѣ Маклореня п найдено
гдѣ «0,
и т. д. суть значенія «,
Пи
Ох'
сГ-и
— и т. д. соотвътствую-
щія .т = о. Чтобы опредѣлить на основаніи даннаго уравненія производныя отъ и взятыя относительно х, замѣтимъ, что если у есть нѣкоторая функція перемѣн-
ныхъ X И Л., ТО
Въ самомъ дѣлѣ
также
(Іо (Іѵ ч (Ѵ~ѵ
-I- ѵ) — • (І2'(ІХ^ ' }(ІХ.(І2
п этп двѣ суммы тождественны, а потому заключаемъ, что равенство (1) справедливо.
Обращаясь къ данному уравненію
возьмемъ отъ него частныя производныя по х п по х, тогда
откуда
(2)
Частная производная отъ
откуда
СО
Сравнивая выраженія (2) и
(О
даннаго уравненія по х есть
(3), заключаемъ, что
Если и І'(у\ то
сіи сіи (Іу
(ІХ (Іу (ІХ 1
(Іи (Іи (Іу (Іх (Іу' (Іх
по по уравненію (4)
сіи . _ сіи сі и сіх сіз сіу
шли
откуда
плп по теоремѣ (1)
что по уравненію (5) принимаетъ видъ
откуда
плн по теоремѣ (1)
сРи сГ- Гг сіи'
Лг** сіз2 ‘ (Іх
откуда обращая вниманіе яа уравненіе (5), находпмъ
сРи_ сі2 сіх2 ” СІЗ2
Ш? 7;7
Законъ составленія послѣдовательныхъ производныхъ, взятыхъ отъ гг относительно .г\ теперь очевиденъ п мы заключаемъ, что вообще
Чтобы показать во что обратятся эти производныя прп х = о, замѣтимъ, что начальное уравненіе прп х = о даетъ у = з; слѣдовательно и() = /'(з)-,
Слѣдовательно, приведенная выше строка Маклореня обращается въ
/"(у) “ /I*) + хфО) ЛОЮ + ~ і [фО)]8 Г (О
• ѵХ*х^* _ ।
Этотъ рядъ извѣстенъ подъ именемъ ряда Лагранжа н служитъ для разложенія нелв ныхъ функцій.
Пояснимъ примѣненіе этов строки на нѣкоторыхъ частныхъ примѣрахъ; поло жпмъ, что дано соотношеніе
+ х. е~
п требуется разложить у по степенямъ х. Въ этомъ случаѣ
?(у) — <?\ М—У слѣдовательно
[?ИГГ(!С> = «"’
а потому
откуда прп п = 1 пмѣемъ (г) р (г) = е:
прп п=2 • * • • [ О) р р О) = е2'
слѣдовательно
при п — з находпмъ ]3 /' (я) — е, откуда
= 3^
Поэтому для нашего случая строка Лагранжа даетъ
„ । „ ' і 1’- । 9 । я—I я: >
') У — % + Хс -Г “ 26 + -------------------- З'С +.........-Т-1------------п е +*
1.2 1.2.3 І .2. 3‘--«
Пусть еще требуется разложить у по степенямъ х до уравненію
откуда
плп умноживъ обѣ части уравненія на х и полагая ху — гѵ имѣемъ
ІГ ю = X о
пользуясь этимъ выраженіемъ, разложимъ сначала го по степенямъ х.
Это уравненіе до воду отъ уравненія разсмотрѣннаго въ предыдущемъ примѣрѣ разнится только тѣмъ, что для настоящаго случая 5 —о, а потому принимая въ разложеніи (7) г = о, имѣемъ
но такъ какъ гѵ--ху, то
1.2
Пусть еще требуется разложить уи по степенямъ х, если между х и у дано
соотношеніе вида
откуда
Слѣдовательно
У1 (1 —Хі)—Хі— 2Ху~гу-
и
прпнпмал теперь вті первомъ членѣ — =имѣемъ
На основаніи этого уравненія требуется у” разложить ио степенямъ х. Такпмъ образомъ въ нашемъ случаѣ
Ку} = У ; ? (У) = ~ГО) =
поэтому
такимъ образомъ
при т = I пмѣемъ
при т — 2
откуда
и т. д.
Послѣ этого для разсматриваемаго случая рядъ Лагранжа принимаетъ впдъ
Мы приняли в = —, а потому
что н представляетъ собою искомое разложеніе.
Пусть еще требуется разложить по степенямъ ж, если между у
и х существуетъ соотношеніе вида
отсюда
Слѣдовательно въ нашемъ случаѣ
Ку) = зіп (а 4- у); ©Су) = е
поэтому
Г Г Ч -1 Л Гі ~~пч
I ? (?/) ] / (?/) -- С- 008 (а ~ у)
также
П — 1/3
[©(4)] /’'|’г) = е соз(а4-<0
— с С08 (а 4- г)
прп п 2
прп « — 1
[©(я)]2 (г) = с С08(а-|-г)
сі [<р (^)]2 Г (А)
-2: -2»
2 а . со8 (а + #3 — . зіи (а 4* -Ю
п т. д.
а потому для разсматриваемаго случая строка Лагранжа принимаетъ впдъ
зіп (а 4-3/) =
—І ^2 -2і —2г
= 5Іі)(а4“А4-л.'.с .С08(а4--?) — зс соз(а4-^)-г^ .зіп(а4-^) 1 2 |_
П Ъ Д.
но въ нашемъ случаѣ — о, поэтому
5Іп (а 4- У)
зіп а 4" Ж- со? а —
2, соз а 4” зіп а
п т. д.
Разложимъ еще соя (!§?/) по степенямъ ж, еслп соотношеніе между у п ж дано въ формѣ
“ + 5ІП (1? У)
у = е-
отсюда
X 8ІП (!§?/)
пусть — ір тогда
и .
гѵ =....4' 8іп гѵ
4
Разложымъ теперь созго- по степенямъ а;, принимая во вниманіе это соотношеніе.
Примѣняя въ этомъ случаѣ строку Лагранжа, мы должны считать
/ (3/) = соз «у ; ф (#) = 8Іп «у
слѣдовательно
поэтому
при 11 = 1
П ]
[<р («{?)] р (го) = — зіп го
п н -|—1
[<р о)] Л СЮ = — 5‘п е
<р(Ю Г СЮ — — ЯІІ12 3
[ф(Ю]2- Л СЮ =- — -5іп3-г
прп 11 = 2
слѣдовательно
[<р СЮ]3 Г СЮ — — зіп* з
з ЯІ112 3. СОЙ 3
прп н = з
слѣдовательно
й [? СЮ]3. Г СЮ
СІЗ
= — 4. 8ІП3 3 008 3
№ [?СЮ]3-Л СЮ
(№
= — 1 2. ЯІП2 2. СОЗ2 3 -)- 4. ЗІП4 3
П Т. Д.
Такимъ образомъ по строкѣ Лагранжа имѣемъ
СОЗ го = СОЗ 2 — X ЗІП2 3--— Ч. ЗІП2 Я СОЗ 2 — —-—( І2.5ІП2 гсоз2^—4 8ІП4Ю П т. д.
1.2 1.2-3
но въ нашемъ случаѣ очевидно
поэтому помня,
что зіп
соз
имѣемъ
С08(1ё2Ю = "7= — ~ 1 / о
4]/2 3
10. Рѣшимъ наконецъ еще одну задачу, имѣющую важное теоретическое значеніе. Разсмотримъ слѣдующее соотношеніе между тремя величинами х^у^з
у~х
(1)
и на основаніи его разложимъ у по степенямъ з.
Примѣнимъ къ этому разложенію строку Лагранжа.
Въ этомъ случаѣ <р (у) ~у2 — 1; о (ж) — х~ — I. а потому строка Лагранжа, въ примѣненіи къ этому соотношенію напишется въ впдѣ
Рѣшая уравненіе (1) относительно у, имѣемъ
у — - =ІГ /1 — 2Ж2 + зг & 2
изт) уравненія (1) видимъ, что при # = о, у — ж, а потому въ предыдущемъ выраженіи слѣдуетъ удержать знакъ минусъ н тогда
__________4______
|/ '1 — 2ЖЛГ + З1
Дифференцируя же выраженіе (2), находимъ
сіх
Если положимъ здѣсь
_______1_ 2". 1.2.3.
то предыдущее разложеніе представится въ впдѣ
. <
('1 — зхз + зг) * = 1 4- Хгз + Х„з2
Функція X,, извѣстна въ анализѣ надъ именемъ функціи Лежандра; опа имѣетъ многія весьма примѣчательныя свойства.
Легко убѣдиться, что корни уравненія ХІІ=о всѣ дѣйствительные и заключающіеся между о и -ф- 1. Въ самомъ дѣлѣ мы знаемъ изъ алгебры, что если всѣ корпи уравненія дѣйствительны, то производная этого уравненія имѣетъ также всѣ дѣйствительные корни, заключающіеся между наибольшимъ и наименьшимъ корнемъ даннаго уравненія. Но уравненіе
(.т2 — I)" — о
имѣетъ 2>? дѣйствительныхъ корней, именно п корней равныхъ 1 п п корней равныхъ — I. Поэтому заключаемъ, что послѣдовательныя производныя функція (я2—I)" представляющія вмѣстѣ съ постояннымъ множителемъ функцію Лежандра также имѣютъ всѣ корнп дѣйствительные, заключающіеся между — I п -Ь I.
Во наиболѣе важное свойство функціи Хп заключается въ томъ, что она удовлетворяетъ нѣкоторому дифференціальному уравненію втораго порядка. Чтобы представить это уравненіе мы положимъ
.« = (!— 2^Ч-^2)
откуда легко выводимъ
отсюда легко непосредственно получаемъ
слѣдовательно
что очевидно можно представить въ видѣ
но мы видѣли, что
если внесемъ такую величину и въ предыдущее уравненіе и приравняемъ нулю коеффпціеитъ прп то получимъ
пли
Зто и есть то уравненіе втораго порядка, о которомъ мы выше говорили.
II.
Изысканіе истиннаго значенія функцій, принимающихъ неопредѣленный видъ при нѣкоторомъ частномъ значеніи главнаго перемѣннаго.
11. Часто случается, что отношеніе двухъ функцій, взятыхъ прп нѣкоторомъ
частномъ значеніи перемѣннаго, принимаетъ неопредѣленный видъ—.
п т. д. Во
подъ отпмп символами не рѣдко скрываются совершенно опредѣленныя величины, которыя п требуются обнаружить
Предположимъ, что дано отношеніе двухъ функцій /’(ж) и т. с.
допустимъ, что по мѣрѣ того какъ перемѣнное стремится къ нѣкоторому частному значенію х = а, само отношеніе функцій приближается къ и требуется открыть истинное значеніе отношенія
при .ѵ ” а.
Пусть = понятно, что х будетъ стремиться къ а по мѣрѣ того, какъ к будетъ стремиться къ нулю; кромѣ того замѣтимъ что по условію /7а) о п = При сдѣланномъ положеніи
Л>) __ /> 4- к) І'іх) ~ І? (а А)
но мы знаемъ, что
/"(а 4- Л.) = Д(а) 4- Л- • Р(«• + ) + /г) = 7?(а) _і_ Д ,_рч (а + 6Д) и такъ какъ /'(а) = о и ^(а)-—о, то
/ (а к) р (а 4- 0 7і)
І?(а 4- к) Р (а 4- 0/р плп въ предѣлѣ, т. е. прп к--о
, ' л« + Ц _ ГЧ«)
еслп р («) и Р' («) не нули, то отношеніе
,№)
і" (а)
зі представитъ собою, очевидно, истинное значеніе отношенія
Отсюда заключаемъ, что если данное отношеніе ’ \ прп принимаетъ (я)
то для того чтобы опредѣлить истинное значеніе этого отношенія,
дуетъ отъ чпелптеля и знаменателя отдѣльно взять производныя по х зі смотрѣть во что обратится отношеніе этихъ производныхъ прп х = аг еслп оно не имѣетъ
болѣе формы —, то оно н есть истинное значеніе отношенія
- а.
Разсмотримъ для примѣра дробі
при х = 1 эта дробь обращается въ - , по если
І -ѵ, /(а;) — 1 * %. II 1<'(х) — X — I, то /'04 У. • ™ (Л0 —• і •
слѣдовательно
Р (» -I
ГЧх} ' х
что при я—'І обращается въ единицу, итакъ значеніе разсматриваемой дроби при х = 1 есть единица.
Если при нѣкоторомъ частномъ значеніи перемѣннаго не только начальныя функціи, но и ихъ первыя производныя обращаются въ нулп, то тогда слѣдуетъ обращаться ко вторымъ производнымъ, въ самомъ дѣлѣ, мы знаемъ, что
7,2
/(а + 7і) = И») + Л. /' (а) + ~ (а + М)
1.2 '
7*1 (а + к) — Р(а) -|- Л. -^(а) + т~ РІІ[а -{- Ѳ7г).
Но если /(«) = о; ^’(а) = о и кромѣ того /' (а)=о; = о, то
Ца, А) /л (а + М)
Р(а + к)~ >(а + 07і) и въ предѣлѣ, т. с. при к = о
Ит #_±_У = Ш Р^а^к) Р"(а) такимъ образомъ, если /‘"(а) п #"(а) въ нули ис обращаются, то отношеніе этпхъ функцій слѣдуетъ считать за истинное значеніе отношенія
при х = а.
Если прп разсматриваемомъ значеніи перемѣннаго вторыя производныя также обращаются въ нулп, то возьмемъ отношеніе третьихъ производныхъ и будемъ восходить къ дальнѣйшимъ до тѣхъ поръ, пока не получпмъ отношенія съ опредѣленной величиной, не исключая нуля и безконечности.
Пусть напр. требуется опредѣлить пстпнное значеніе отношенія
.77 — Д*
о — е —іх х— зіп .г
при х = о. Само это отношеніе прп ж=о обращается въ —.
Въ этомъ случаѣ
Р (х) = х — зіп ж,
слѣдовательно
что прп х ~ о также обращается въ —-.
Отношеніе вторыхъ производныхъ есть
зіп х
это при х = о снова обращается въ . Поэтому возьмемъ
и* —.г
что прн л;=о обращается иъ 2, поэтому заключаемъ, что 2 есть истинное значеніе
даннаго отношенія при х = о.
12. Легко показать, что еслп отношеніе двухъ функцій при нѣкоторомъ частномъ
значеніи принимаетъ видъ , то истинное значеніе
этого отношенія должно быть
опредѣлено по тому же правилу, какъ н въ томъ случаѣ, когда отношеніе прпнп-о
маетъ впдъ о
Пусть Цх) п будутъ двѣ танія
функціи, отношеніе
которыхъ
/'М
прп х:=а обращается въ ибо /'(«_)„ со н = по предположенію.
Попятно, что мы тождественно имѣемъ
во если ІЛа) ~ со п /*(«)-- оэ, то = о; о п
ѵ ' 1< (а) /\а)
г - 0
дробь второй частп предыдущаго равенства принимаетъ впдъ , предѣлъ отношенія
такіі прп х а
а слѣдовательно
долженъ быть найденъ также какъ и въ предыдущемъ случаѣ, т. е. отъ числителя и знаменателя должны быть отдѣльно взять! производныя и въ нихъ положено х= а.
Итакъ
_ [Г(а)]2..
[/'(«Л*
итакъ
(П
А(«) _ IV(«)Г («) 1<\а) ' ’[Г(а)]2 7(«)
плп
Л«1
т. е. Ііш
этимъ и подтверждается то, что мы сказали.
Итакъ мы видимъ, что предѣлъ дроби, которая
принпмаетъ
видъ —, можно
найти, взявъ отношеніе производной чпелптеля къ производной знаменателя; но легко видѣть, что для конечнаго значенія перемѣннаго вмѣстѣ съ своею производною. Въ самомъ дѣлѣ,
функція становится безконечною если /,(а)=ооі то предетавпвъ
дробь • г чрезъ получпмъ / (X) ‘
о (а) = о, по /(«) =
взявъ производную отъ послѣдняго выраженія, найдемъ
по вставкѣ сюда а вмѣсто х увидимъ, что знаменатель этой дробп обращается въ нуль, а сама дробь въ безконечность. Итакъ еслп отношеніе прпж = ат. е.
/"(сіі со
пРІшпиаетъ ввдъ _со'’ т0 11
принимаетъ тотъ же видъ, п такимъ
образомъ правило найденное для опредѣленія значенія
символа —• не пмѣетъ прак-
тпческаго значенія, но можетъ однако случиться, что
„ „ , /(ж)
легче наптп, чѣмъ предѣлъ дрооп •
предѣлъ дробп
оудетъ
Такъ напр. отношеніе
\х/
при х — о принпмаетъ видъ' или —, пли о.со; но
въ разсматриваемомъ случаѣ
что прп я —о обращается въ нуль, поэтому предѣлъ разсматрпваемаго отношенія есть нуль.
э
.. со
Приведенный выводъ правила для изысканія значенія символа — удовлетвори-• АСИ , , г телепъ только тогда, когда отношеніе - въ предѣлѣ не обращается ни въ нуль, пн въ безконечность, ибо только тогда позволительно сокращеніе уравненія (1) на (до
у, ; еслп же это отношеніе обращается въ предѣлѣ въ пуль или безконечность, то такое сокращеніе пе позволительно.
Имѣя это въ впду, можно замѣнить предыдущее доказательство другимъ болѣе общимъ. Предположимъ, что предѣлъ отношенія -Хт-ѵ есть дѣйствительно нуль, тогда предѣлъ отношенія
Г О) -|- {(я)
будетъ конечный, именно единица, по мы знаемъ, что
И іи
плп
-*Ч«) + /Ч«) (V) ‘ ’
Г №
а потому
а этимъ, какъ мы знаемъ, доказывается справедливость правила для изысканія истиннаго значенія выраженій обращающихся въ
Примѣнимъ упомянутое правило изысканія истинныхъ значеній функціи обра-
щающихся въ къ частнымъ случаямъ.
Предположимъ, что дапа функція
а
а х
гдѣ а есть постоянная величина, а и цѣлое положительное число. Прп ,т=^со эта функція обращается въ -; спрашивается каково значеніе предѣла, къ которому стремится эта дробь по мѣрѣ того какъ х стремится къ безконечности. Итакъ мы пмѣемъ
-откуда находпмъ /' (я.)__________________________________ажЛ§«
~ ^7“Г'
что при х — оо также обращается въ
Далѣе находимъ
С ^з:1 —____ат.(1^<г)2
Г:(х) п (п — I) х"~і ата дробь при .г = со также обращается въ и т. д.
/> и = »»,(!; а)“ Р{п} (х) І.2.....Я
•что при .г’ = со обращается въ безконечность. Слѣдовательно искомый предѣлъ есть •безконечность.
Пусть еще требуется найти нстппное значеніе дроби
прп х = о: прп этомъ частномъ значеніи перемѣннаго дробь обращается въ — Взявъ по правилу производныя отъ числителя н знаменателя отдѣльно, имѣемъ
1 /‘'(.-г) х~ ріижу Р'(х) 1 к X 1
8І112 X
. 5111 X .но мы знаемъ, что отношеніе —— по мѣрѣ уменьшенія х до нуля стремптся къ
единицѣ какъ къ предѣлу, а потому искомый предѣлъ данной дроби есть единица.
13. Еслп пмѣемъ функцію
въ которой прп ,г = а, /(«) —о н 2?(а) = со, то данная функція у нрп частномъ значеніи перемѣннаго ж — а принимаетъ неопредѣленный впдъ о.оэ. Не трудно паптн предѣлъ, къ которому прпблпжается произведеніе по мѣрѣ того,
.какъ х приближается къ а. Понятно, что тождественно имѣемъ
[ (я) Г О) —-
ло прп х — а, какъ ((х) такъ п -77—77 обращаются въ нули, а потому прп х = а
данная функція у принимаетъ форму —, и истинное значеніе функціи при частномъ значеніи перемѣннаго въ этомъ случаѣ должно быть найдено уже по извѣстному правилу.
Разсмотримъ два частныхъ случая.
Функція
і у = е — О х
прп х = <хз принимаетъ форму о.оо. Но понятно что.
слѣдовательно, еслп /'(.г) — а—1; Р{х}= то
і
что прп ,в = =е обращается въ а, такимъ образомъ искомый предѣлъ есть
Пусть еще
. а
I/ ^=~- 2Г.51П 2"
При х — оо эта функція обращается въ со. о, но тождественно мы имѣемъ
2Г
слѣдовательно
что при х = ос обращается въ а.
14. Формы о0, со0, 1Л всѣ приводятся къ формѣ о.со. Въ самомъ дѣлѣ, если имѣемъ функцію
то замѣтивъ, что
Я» е представляемъ данную функцію въ водѣ
пли
неопредѣленность этого выраженія можетъ зависѣть исключительно отъ неопредѣленности показателя.
Еслп въ данной функціи прп ж = л, Дж) п Е[х) обращаются въ нулп, то прн х — а, у = о0, но въ тождественномъ выраженіи
I- «»•)
у — е
показатель прн томъ же значеніи перемѣннаго принимаетъ впдъ — о.со
Еслп въ данной функціи
У — [АС®)]
яри ж = л, /(х) обращается въ безконечность, а функція Е(х) въ нуль, т. е. 2/ — сс°, то въ тождественномъ выраженіи
*’і» I" (»)
у ~С
показатель опять принимаетъ впдъ о.со.
Еслп наконецъ въ данной функціи у, при х = а, Дж) обращается въ единицу, а функція Е(х~) обращается въ безконечность, то у=13’. Но въ выраженія функціи у
18 у = е
тождественномъ съ даннымъ выраженіемъ, показатель омять принимаетъ видъ о.со. Итакъ для опредѣленія значеній функцій прп нѣкоторомъ частномъ значеніи перемѣннаго, принимающихъ неопредѣленныя формы о0, оо°, 1“ можно примѣнить тоже правило, какое пмѣемъ для изысканія истиннаго значенія функцій, обращающихся о въ о.со. плп что все равно въ .
Пояснимъ эти соображенія на частныхъ примѣрахъ. Пусть требуется опредѣлить значеніе функціи
і
?Лав§ж\ж’
прп х = о. Очевидно, что въ этомъ случаѣ функція у принимаетъ форму 1”.
Функціи у молено дать видъ
п.іп
поэтому взысканіе пстпннаго значенія у приводится къ изысканію значенія функціи
которая прп х—о обращается въ —. Взявъ производныя отъ чпелптеля и знаме
нателя отдѣльно, имѣемъ
2Х — ЗІП 2Х
2Х1 8111 2Х
что прп х — с также обращается въ —. Взявъ снова производныя, получпмъ
2---- 2 . СОЗ 2Х
I — СОЗ 2Х
4.с . ЗІИ 2Х -г 4Я2 СОЗ 2Х 2Х . 8ІІ1 2Х 2.С2 . СОЗ 2Х
что прп а* = о снова
обращается въ —. Поэтому, разсматривая отношеніе третьихъ
производныхъ, имѣемъ
8111 2Х
8111 2Х + 4%. СОЗ 2Х — 2Х2,ЗІ11 2Х
что
при г‘ = о также
обращается въ —. Отношеніе слѣдующихъ производныхъ есть
СОЗ 2Х
3 .СОЗ 2Х — бХ .ЗІП 2Х — 4Х2 СОЗ 2Х
что
при х — о обращается въ Поэтому истинное значеніе функціи
і
ѵ — е
X
при
л
х = о есть е3
Пусть еще требуется найти истинное значеніе функціи
при # = сс. Очевидно что такая функція при этомъ значеніи перемѣннаго обращается въ 1". Представляя эту функцію въ видѣ
и
приводимъ изысканіе истиннаго значенія
къ изслѣдованію функціи
пх
что прн х — оо обращается въ —. Взявъ поэтому производныя отъ числптеля п
знаменателя отдѣльно, имѣемъ
или
что прп я—.оо приводится къ
-г і§«2+....+
или къ
І8 О, «2...........%)
а слѣдовательно истинное значеніе разсматриваемой функціи есть *8 (®і «2.....................................«О
или просто
.....а».
Случай обращенія въ со0 имѣемъ въ функціи
і
?/ — Ой -О
прн я —се. Эта функція тождественна съ
і
[(*& ®) ]
у — е
поэтому изысканіе пстпннаго значенія данной функціи приводится къ опредѣленію значенія функціи
I
Ій [ (I? я) ]
прп а? —со. Это послѣднее выраженіе тождественно съ
X
еслп положимъ то взявъ отдѣльно производныя чпелптеля п знаменателя,
получпмъ
но С~ — слѣдовательно отношеніе первыхъ производныхъ въ этомъ случаѣ будетъ
1
X X
что прп х = со обращается въ нуль, а слѣдовательно по мѣрѣ того какъ перемѣнное х стремится къ безконечности, данная функція у стремится къ е°, плп къ единицѣ.
Разсмотримъ наконецъ функцію
т. — 1
2/— 1)
которая прп х — 1 обращается въ о0.
Понятно, что
у — с
показатель представимъ въ формѣ
что при я=1 обращается въ ~ . Примѣняя сюда извѣстное правило, находимъ
что прп х = 'I обращается въ нуль, а потому прп х=1 у =. с0 = 1.
15. Если наконецъ въ функціи
х ~ /(х) —
при х = а обѣ функціи /'('«) и -^(л) обращаются въ безконечность, то данная функція у принимаетъ неопредѣленный впдъ оо — оо. Пусть
І (.г) — —- и
9 (%)
гдѣ п ф(л*) прп х = а обращаются
~ ф (я)
въ нулп, тогда ф О) — ф (х)
? Ы Ф Сж) Ф (я) ? СЮ
что прп х = а- очевидно обращается въ н къ изысканію истиннаго значенія функцій обращающихся въ со — со можетъ быть примѣнено то же правило, по о
которому мы опредѣляемъ значенія функцій обращающихся въ -- прп извѣстномъ состояніи перемѣннаго.
Пояснимъ это соображеніе на частномъ примѣрѣ. Функція
у=?х.і$х —--зес.х 2
прп х — ~ обращается въ со—со, но данную - функцію можно представить въ видѣ х к
у — —... _ ---------
’ СОІ^.г 2.СО8Л-
или
2Х . 8ІП X — К
?/—-------------
2.соя X
что при х = ~ обращается въ Взявъ производныя отъ числптеля и знаменателя отдѣльно, получимъ
2 8ІІ1 X + 2Я.С08 X — 2.8ІП .г'
что при " обращается въ—•!. Поэтому — I есть тотъ' предѣлъ, къ которому стремится данная функція въ то время, какъ х приближается къ до0.
Функція
прн х = сс также обращается въ со — со. Но также
плп
Въ такомъ впдѣ эта функція при .^ = сс обращается очевидно въ , а потому
взявъ производныя отдѣльно отъ числителя н знаменателя, имѣемъ
пли
это выраженіе прп а; —оо обращается въ —, но отношеніе производныхъ числителя п знаменателя есть —, а потому предѣломъ функціи у при л* = со служитъ - .
II.
Наибольшія и наименьшія значенія функцій.
16. Слѣдующее примѣненіе дифференціальнаго почисленія къ анализу заключается въ изысканіи наибольшихъ н наименьшихъ значеній функцій.
Наибольшее значеніе пзъ тѣхъ, которое можетъ имѣть функція, въ то время какъ независимое перемѣнное получаетъ всевозможныя приращенія, положительныя или отрицательныя, называется шахііпвпі этой функціи, наименьшее—тіиітінп.
Еслп въ данной функціи ((х) перемѣнное получаетъ прпращеніе Дж н функція прп этомъ возрастаетъ, то, какъ извѣстно, производная этой функціи должна быть положительна. Еслп перемѣнное достигаетъ нѣкотораго частнаго значенія х = а, п продолжаетъ возрастать, а функція, начиная съ значенія, соотвѣтствующаго состоянію перемѣннаго # = уменьшается, то первая производная данной функціи прп всѣхъ значеніяхъ перемѣннаго ббльиіихъ а должна быть отрицательна. Еслп производная при значеніяхъ перемѣннаго х < а была положительна, а при значеніяхъ того же перемѣннаго х > а становится отрицательною, то необходимо, чтобы эта производная прн ж = а перешла черезъ нуль или безконечность. Такъ какъ прп х данная функція достигла шахітит, то это послѣднее характеризуется тѣмъ, что производная данной функціи для х — а обращается въ нуль плп безконечность я)
Понятно, что тоже самое будетъ имѣть мѣсто и тогда,'когда данная функція прп нѣкоторомъ частномъ значеніи х=-а будетъ достигать тіпітит своего значенія.
Чтобы отличить одпнъ случай отъ другаго обратимся къ теоремѣ Тейлора для представленія измѣненнаго состоянія функціи по начальному. Пусть /(х) будетъ та функція, наибольшее пли наименьшее значеніе которой хотимъ опредѣлить. Дадпмъ въ этой функціи перемѣнному х два частныхъ значенія х~а-\-к и х = сі — к^ тогда
/•(а ц- — /(«) = к. /' (а) 4- у--- Г'(а)
Еслп /"'(а) не обращается въ нуль, то всегда можно выбрать такую величину для к, прн которой членъ АУ'(а), независимо отъ знака, будетъ болѣе всей остальной суммы членовъ, слѣдовательно въ этомъ случаѣ
А(« + к) — Да) > о;
/{а — к} — /(а) < о
*) Примѣръ перехода Функціи прн іпахітит черезъ безконечность представ-
ляетъ между прочимъ тангенсъ, прн возрастаніи дуги отъ 0° до —, тангенсъ возра
стаетъ, прн онъ обращается въ безконечность, а прн возрастаніи дуги отъ до 7г числовая величина тангенса начинаетъ уменьшаться.
или
Д« + Л) > Да); Да — Л) < Да) слѣдовательно данная функція въ этомъ случаѣ имѣетъ такія значенія, которыя больше Да) и въ тоже время имѣетъ и такія значенія, которыя меньше Да), а потому сама функція Да) не представляетъ нн тахішшіі, пи пііпііпиіп значенія Д\г), нбо въ ряду значеній этой функціи для различныхъ значеній перемѣннаго есть такія, которыя больше чѣмъ Да), есть и такія, которыя меньше Да). Итакъ если /Да) не обращается въ нуль,то данная функція не имѣетъ ни шахііпиіп, нн тіпішиш.
Поэтому необходимое условіе существованія іпахіпшпі нлн шіиініиш данной функціи заключается въ томъ, чтобы ея первая производная прн нѣкоторомъ частномъ значеніи перемѣннаго обращалась въ нуль.
Предположимъ что іпахііпиіп или тіштипі функціи существуетъ, что /'(а) обращается въ нуль, тогда
+ і) -Яд) = Д /-"(А) + Д /'"(«) + , +.......
1.2 2.4 2.4.4
(1)
Л» - Л) -/И = Д Г(«) - Д /”(.) + -Д Г"' («) —....................
еслп /Да) не обращается въ нуль, то всегда можно выбрать такое значеніе для к. при которомъ числовая величина члена - /Да) была бы болѣе суммы всѣхъ остальныхъ членовъ ряда м тогда знакъ вторыхъ частей предыдущихъ выраженіи 7. *> будетъ зависѣть
исключительно отъ знака члена -•— /Да), или отъ знака про-
1 . 2
пзводной Д(а)
вліять на знакъ
ибо -- - какъ величина существенно положительная не можетъ
члена --- Д(а). Предположимъ, что /""(а) положительна, тогда
вторыя части обоихъ предыдущихъ уравненій
положительны, а слѣдовательно
Да Д- к} — {(а) > о
и Да — 7і) — Да) > о
поэтому
Да 4- к) > Да)
я Да — к] > Да)
слѣдовательно какія бы приращенія не получало частное значеніе а перемѣннаго я, положительныя пли отрицательныя, измѣненныя состоянія функціи въ этомъ случаѣ будутъ болѣе начальнаго, а слѣдовательно Да) представляетъ наименьшее значеніе изъ тѣхъ, которыя можетъ имѣть данная функція. Итакъ если /Да) обращается въ нуль, а /Да) положительна, то Да) есть наименьшее значеніе функціи / (я).
Если /"(а) отрицательна,то вторыя
части предыдущихъ уравненій (1) также
отрицательны и тогда
/*(« Н- 70 — /(а) < о;
/(а — 70 — /(а) < о
поэтому
/ѴО > А(« 4- Л); / (а) > /(« — 70
слѣдовательно въ этомъ случаѣ какія бы приращенія значенію а не давали, положительныя плп отрицательныя, измѣненное состояніе функціи при всѣхъ ихъ остается меньше начальнаго, а слѣдовательно это начальное пли /(а) представляетъ тахітпт данной функціи. Итакъ еслп первая производная данной функціи обращается въ нуль, а вторая производная для того же значенія перемѣннаго, прп которомъ первая производная обращается въ нуль, отрицательна, то разматрпваемое значеніе, перемѣннаго ж —а соотвѣтствуетъ наибольшему состоянію функціи.
Точно также выяснится, что если первая п вторая производныя обращаются въ пули для нѣкотораго значенія перемѣннаго, а третья производная данной функціи при томч> же значеніи перемѣннаго въ пуль не обращается, то данная функція пе имѣетъ нп тахітпт, ни тіпітит. Еслп же третья производная обращается въ нуль, а четвертая пропзводная прп томъ же значеніи перемѣннаго положительна, то функція прп этомъ значеніи перемѣннаго представляетъ тіпітпт, а при четвертой производной отрицательной—тахітпт своего значенія.
Итакъ, если первая пзъ пеобращагощпхея въ нуль производныхъ есть нечетная, то ни наибольшая нп наименьшая величина функціи не имѣютъ мѣста. Еслп первая пзъ пеобращающихся въ нуль производныхъ есть четная и она отрицательна, то данная функція при томч> значеніи перемѣннаго, при которомъ это имѣетъ мѣсто, достигаетъ тахітпт своего значенія. Еслп четная пропзводная (первая не обращающаяся въ нуль) положительна, то данная функція достигаетъ тіпітпт своего значенія.
Мы знаемъ, что еслп первая пропзводная функціи прп нѣкоторомч. частномъ значеніи перемѣннаго обращается въ безконечность, • то это имѣетъ мѣсто п для всѣхъ послѣдующихъ производныхъ; слѣдовательно, въ такомъ случаѣ, по знакамъ самыхъ производныхъ, нельзя отлпчить тахітпт отч> тіпітит, Но этого всегда молено достигнуть, обращая вниманіе на знаки величинъ смежныхъ, пли подходящихъ къ безконечности. Это относится прежде всего къ первой производной, которая прп переходѣ черезъ безконечность въ случаѣ тахітпт долясна мѣнять знакъ съ плюса на минусъ; въ случаѣ же тіпітит перемѣна знака должна происходить съ минуса на плюсъ. Еслп же производная, подходя къ безконечности, сохраняетъ знакъ до п послѣ обращенія въ безконечность, то это указываетъ на отсутствіе тахітпт плп тіпітпт.
Пояснимъ всѣ предыдущія сообралгенія па частиыхч. примѣрахъ. Пусть дана функція
X — .г.
/(&) = с + е +а сова;
и требуется найти то значеніе не ре лѣпнаго, при которомъ эта функція пмѣстті тахіпіипі своего значенія. Въ разсматриваемомъ случаѣ
,Т — .Г
/Да) = с — е — 2 зіп х
при .т —о эта функція обращается въ нуль, слѣдовательно значеніе перемѣннаго х = о соотвѣтствуетъ плп тахіпіипі или тіішпит функціи. Для того чтобы опредѣлить какое пзъ этпхъ значеніи имѣетъ данная функція при .т —о, обратимся ко второй производной, которая есть
— Л'
/'л (х ) — С + I? — 2 СОЗ X
она прп х — о также обращается въ нуль. Третья производная
— ,г
(.г*) = с — с -|- 2 зіп .т
при .г = о обращается въ нуль, четвертая производная есть
IV ••
[ (х) = с-)-л 4-асоз.і’
что прн х = о обращается въ -р 4; итакъ л' = о соотвѣтствуетъ тіпііппіп значенія данной функціи.
Пусть еще требуется опредѣлить значеніе перемѣннаго, прп которомъ функція
принимаетъ наименьшее значеніе. Мы знаемъ, что въ этомъ случаѣ
(а)
взявъ еще производную, пмѣемъ
О)
•1
условіе тіпііпипі плп піахішппі по уравненію (а) есть
откуда
но при этомъ значеніи перемѣннаго пзъ уравненія (Ь) находимъ
у' сіх1
слѣдовательно
есть величина положительная,
поэтому значеніе перемѣннато
соотвѣтствуетъ іпіпіпіиіп функціи.
Рѣшимъ еще такой вопросъ. Какой секторъ должно отнять отъ даннаго круга, чтобы изъ остатка можно было образовать кривую поверхность конуса, имѣющаго наибольшій объемъ.
Предположимъ, что данный кругъ имѣетъ радіусъ а, тогда окружность его есть 2~.а. Пусть уголъ искомаго отнимаемаго сектора есть х. тогда длина окружности остающейся послѣ отнятія будетъ (атг— х).а. Эта длина будетъ представлять окружность полнаго круга основанія искомаго конуса. Пусть радіусъ этой окружности будетъ г. Онъ опредѣлится пзъ условія (2-— Слѣдовательно
образующею искомому конусу служитъ радіусъ а даннаго круга, а потому высота конуса 1ь будетъ
Такъ какъ объемъ конуса равенъ площади основанія умноженной на одну треть высоты, то понятно, что искомый объемъ будетъ
Теперь спрашивается, прн какомъ значеніи х эта функція получаетъ наибольшую величину.
Замѣтимъ прежде всего, что
Взявъ производную данной функціи но х имѣемъ
(IV____ а3
(ІХ 247і‘-
что очевидно приводится къ виду
слѣдовательно, условіе шахііпипі представится уравненіемъ
(277 — Х)~ — 2 (477.Г — .Г2) = о.
плн
откуда
корень по плюсу болѣе атс, а потому уголъ искомаго сектора долженъ считаться равнымъ
понятію, что этому значенію перемѣннаго соотвѣтствуетъ наибольшее состояніе функціи, пбо вопроса о тіпітит въ настоящемъ случаѣ быть не можетъ.
17. Мы знаемъ теперь правило, по которому можетъ быть опредѣлено значеніе перемѣннаго, соотвѣтствующее наибольшему или наименьшему значенію функціи этого перемѣннаго. Но рѣшая этотъ вопросъ, мы разсматривали такой случаи, въ которомъ зависимость между функціей н ея перемѣннымъ представлена въ видѣ рѣшеннаго уравненія. Не трудно показать способъ изысканія наибольшихъ и напменыипхъ значеній функцій ц для тѣхъ случаевъ, когда зависимость между главнымъ перемѣннымъ п его функціей представлена въ неявной формѣ, представлена нерѣшеннымъ уравненіемъ. Пусть /(а?,у)-^о будетъ уравненіе представляющее зависимость между х и у; требуется, пе рѣшая этого уравненія относительно у, опредѣлить то значеніе я, при которомъ функція у достигаетъ наибольшаго плп наименьшаго значенія. Мы знаемъ, что изъ этого нерѣшеннаго уравненія можетъ быть вы-
(Іу
всдена производная -- въ впдѣ
б?у
<1х
гдѣ —/’(.г,;у). Такъ какъ для того чтобы у имѣло наибольшую пли наименьшую величину, <- должно обращаться въ нуль, то видимъ тснерь, что для этого неоо-С и , -ѵ
ходпмо, чтооы • — о. Изъ этого уравненія и опредѣлится то значеніе л>, которое
соотвѣтствуетъ наибольшему значенію функціи у. Итакъ, для опредѣленія х мы
пмѣемъ уравненіе
(Іи
которое въ общемъ случаѣ зависитъ какъ отъ .г, такъ
и отъ у. Поэтому мы располагаемъ однпмъ уравненіемъ съ двумя неизвѣстными, изъ котораго можемъ опредѣлить х по иначе какъ въ зависимости отъ у, но это не можетъ считаться рѣшеніемъ даннаго вопроса. Замѣтимъ однако, что та вели-
чипа я, которую мы ищемъ, должна, кролѣ того, удовлетворять уравненію « — о, а потому теперь мы имѣемъ два совмѣстныхъ уравненія
(Іи ІС-—О и --—о. ах
исключая пзъ этпхъ уравненій у, мы получпмъ одно уравненіе, содержащее одно только неизвѣстное ж, которое пзъ этого уравненія и опредѣлится.
Различіе піахішшп отъ тіпітііпі основывается на изслѣдованіи знака второй .. <Ру
производной еслп эта вторая производная для найденнаго значенія х положи-ах~
тельпа, то это значеніе соотвѣтствуетъ пііпііпипі функціи; еслп вторая производная
прп найденномъ значеніи х имѣетъ отрицательную величину, то найденное значеніе
перемѣннаго х соотвѣтствуетъ іпахіппіт.
Для опредѣленія второй производной
&У
пзъ даннаго уравненія » = о сначала пмѣемъ
Дифференцируя это еще разъ по х, находпмъ
Но для тахіпіипі плн пшіітит = о, поэтому для опредѣленія второй пропз-(Къ
водной остается
откуда
<Г-У (Іх-
Такпмъ образомъ, чтобы найти іпахіпипп пли пііігіпніпі неявной функціи у пере
мѣннаго ж, прежде всего найдемъ значенія х и у, удовлетворяющія уравненіямъ
и — о
еслп этп значенія подставленныя въ предыдущее выраженіе произ-
водной обращаютъ ее въ положительную величину, то найденное такимъ обра
зомъ значеніе у есть наименьшее; еслп же отъ подстановки х п у вторая производная дѣлается отрицательною, то найденное значеніе у есть наибольшее.
Пояснимъ эти общія соображенія на частномъ примѣрѣ. Найдемъ наибольшее значеніе функціи у. опредѣляемой уравненіемъ
у3 — 3 а.ху з;э — о.
гдѣ а есть постоянная величина.
. ѵ - &і1
Въ этомъ случаѣ уравненіе — о принимаетъ видъ
— аУ т г—-0 •
исключая у меледу этимъ уравненіемъ п даннымъ, получаемъ
й*г’ — за3 .г3 □
этому удовлетворимъ, полагая
соотвѣтствующія велпчпны у будутъ
Первая система,
вая производная
(Іи
т. е. х—-о и у—-а ооращаетъ въ нуль производную , а пер-
(1у ... ѵ .. о
’ - принпмаетъ для этихъ значеніи х н у неопредѣленный видъ °
з з _
Велпчпны ж = «|/2 и ?/=а-|/4 представляютъ искомое рѣшеніе. Чтобы узнать, есть ли найденная величина у наибольшее плп наименьшее значеніе функціи, составимъ вторую производную по выраженію (2). Въ нашемъ случаѣ
(Іи
(Іу
ЗУ2 — зах
слѣдовательно
сГ~у____ б.г
(Іх2 з(у2 — ах)
внося сюда выше найденныя величины х и у, получпмъ — — "а-. такимъ образомъ вторая производная отрицательна н у =«1/4 есть наибольшее значеніе функціи.
18, Разсмотримъ теперь условія, при которыхъ функція многихъ независимыхъ перемѣнныхъ можетъ принимать наибольшее пли наименьшее пзъ своихъ значеній.
Когда функція многихъ независимыхъ перемѣнныхъ х, у, г п т. д. получаетъ такое частное значеніе, прн которомъ она превосходитъ всѣ свои другія значенія,
имѣющія мѣсто прп всякихъ другихъ величинахъ х, у, я,... отличныхъ отъ разсматриваемыхъ, тогда такое частное значеніе функціи мы называемъ наибольшимъ (тахітпт). Величина мепыная всѣхъ тѣхъ, которыя данная функція способна имѣть прп какихъ бы то не было значеніяхъ перемѣнныхъ, называется наименьшимъ (тіпітит) значеніемъ функціи.
Пусть и будетъ функція трехъ независимыхъ перемѣнныхъ ж, у, г, такъ что к =: /'(.г, г/, н требуется опредѣлить наибольшее или наименьшее значеніе этой функціи, т. е. требуется опредѣлить тѣ зпачепіл перемѣнныхъ, при которыхъ разсматриваемая функція достигаетъ наибольшей или наименьшей величины.
Дадимъ перемѣннымъ х, у, г приращенія 7г, к, I, тогда измѣненное состояніе функціи въ зависимости отъ начальнаго, по теоремѣ Тейлора, можно представить въ видѣ
гдѣ подъ II разумѣемъ сумму членовъ разложенія, зависящую отъ производителей высшихъ степеней относительно приращеній 1і. А:, I,
Мы предполагаемъ, что приращенія к, к, I произвольны, но еслп мы сдѣлаемъ пхъ весьма малыми, то знакъ всей второй части будетъ зависѣть исключительно •отъ знаковъ А, к. I. т. е. отъ знака трехчлена
но такъ какъ 7г, к, I хотя и малы, по по знаку остаются совершенно произвольными, поэтому всегда можно выбрать такія значенія для 7г, А:, 7, при которыхъ по желанію, предыдущая сумма будетъ плп положительна плп отрицательна: еслп выберемъ 7г, к, I такъ чтобы эта сумма была положительна, то
если выберемъ 7г, к, I такъ чтобы разсматриваемая сумма была отрицательна, то
/(т + 7г. у -ф- к. г- -|- 7) — [(а;, у, < о.
Слѣдовательно, для перемѣнныхъ х, у. г всегда можно выбрать такія значенія, прн которыхъ измѣненное состояніе функціи будетъ болѣе начальнаго, и на оборотъ въ тоже время можно избрать и такія значенія перемѣнныхъ, при которыхъ измѣненное состояніе функціи будетъ менѣе начальнаго. Такпмъ образомъ, прп этихъ условіяхъ, разсматриваемая функція не будетъ имѣть нп тахішиш нп тіпітит. Но чтобы тахіпиип плп тіпітит существовало, необходимо, чтобы для произвольныхъ значеній 7г, 7і:, 7 сумма
Но понятно, что для совершенно произвольныхъ значеніи 7г, /с, I это условіе выполнится только тогда, когда отдѣльно
Еслп функція и содержитъ три перемѣнныхъ ж, у, з, то каждая пзъ ея частныхъ производныхъ должна содержать эти три перемѣнныя илн, по крайнеіі мѣрѣ, двѣ изъ нихъ. Итакъ предыдущія три условія тахітит плп тіпітит представляютъ собою три уравненія съ тремя перемѣнными, изъ которыхъ эти три перемѣнныя и могутъ быть опредѣлены.
Рѣшивъ уравненія
относительно ж, внесемъ найденныя величины во вторыя производныя данной функціи, отчего этп вторыя производныя получатъ нѣкоторыя частныя значенія. Пусть этп частныя значенія будутъ
прп такомъ означеніи н прн выполненіи условія
будемъ имѣть
2/"(ж 4- 7г, у 4- 7с, з 4- I) — 2 / (х, у з} —- к2 А. -|- к2В 4-I2 С 2 кІА' -ф- 2 кІВ'
4- 2 Іг к С 1 + 2 В,
Знакъ второй части этого выраженія прн достаточно малыхъ 7г, к и I будетъ исключительно зависѣть отъ знака многочлена
А7г2 Ч- Вк2 + СІ2 + ъкІА1 4- 2кІВ' 4- М С’
и еслп данная функція, нрп нѣкоторыхъ значеніяхъ своихъ перемѣнныхъ, имѣетъ тахітит плн тіпітит, то предыдущая сумма должна сохранять своіі знакъ, какъ бы не измѣнялись перемѣнныя ж, у, з. Для того чтобы показать, когда можетъ выполниться это условіе, положимъ
Т 49
тогда предыдущая сумма приведется къ виду
I2 Аз2 -|- Ві2 -|- С + 2 А'І 27?'5 -|- 2 С'з.і
Такъ какъ I- ость существенно положительная величина, то для того чтобы данная функція имѣла шахіишт плп тііптит, необходимо, чтобы сумма
_4з2 4- Ві2 4~ О -г зАЧ + 22?'8 -|- гС'зі
(3)
сохраняла свой знакъ, каковы бы не были значенія з и і. Этой суммѣ молено дать видъ
2(В'АСЧ)
Чтобы сумма (3) сохраняла свой знакъ, необходимо чтобы сумма
(4)
при всякихъ, а и і сохраняла свой знакъ. Извѣстно, что квадратный трехчленъ не измѣняетъ своего знака, когда корни его будутъ мнимые. Въ нашемъ случаѣ этотъ трехчленъ долженъ имѣть мнимые корни относительно з. Условіе существованія мнимыхъ корней въ этомъ случаѣ будетъ
(В!СЧ)2 — А(Ві2 2^7 4- С) с о.
Располагая первую часть неравенства по степенямъ і, напишемъ это условіе въ видѣ
(С'2— АВ)І2А АА')і + В'2 - АС < о.
Что можно представить въ формѣ
(О'2 — АВ) і2+-2
Это условіе удовлетворится, когда
С12 — АВ <о
п трехчленъ представляющій другаго производителя будетъ имѣть относительно I мнимые корни, а это послѣднее- условіе выполнится, когда будетъ имѣть мѣсто неравенство
(В'С1 — ЛЯ')2 — (С'2- АВ) (ВІ2 — АС)^о.
такое неравенство удовлетворится когда С2 — АВ и В'2 — АС будутъ пмѣть одинакіе знаки, а такъ какъ С12 — АВ должно быть отрицательной величиной, то и
Б'2 — АС должно бытъ также отрицательной величиной. Итакъ, для того чтобы данная функція имѣла тахітит или тіпітит, необходимо, чтобы существовали совмѣстно три неравенства
(В'С' — ЛЯ’)2 — (С'2 — ЛБ) (Б'2 - АС) < о
С'2-ЛБ<о; Б'2-ЯС<о
послѣднія неравенства очевидно могутъ существовать только тогда, когда Я, В н С будутъ имѣть одинаковые знаки. Еслп Я> Б, С будутъ отрицательны, то данная функція, прп значеніяхъ перемѣнныхъ, обращающихъ вторыя производныя въ отрицательныя величины, будетъ имѣть тахітит своего значенія; при Я>-о, В >• о и С>о данная функція будетъ представлять тіпітит своего значенія. Если окажется, что одна пзъ трехъ величинъ Я, В, С обращается въ пуль, то послѣднія два неравенства пе удовлетворяются и данная функція пе имѣетъ ни тіпітит нп тахітит.
Итакъ, для того чтобы функція и = /'(.г, //, .$') имѣла тахітит пли тіпітит, необходимо, чтобы
(Іи (Іи (Іи
(Іх °1 (Іу ’ ° ’ (1%
и чтобы въ тоже время производныя
&и
(ІХ2 1
(Г-и
Ау1'
(Ри (&
при извѣстныхъ значеніяхъ сіи (Іи
-т-=о,, = о, то дан-ау <{?
пая функціи при этпхъ значеніяхъ перемѣнныхъ имѣетъ тахітит своего значенія.
„ . (Іи (Іи (Іи
Еслп же при выполненіи условіи - ==о, - =0, -=о, вторыя производныя
СІ(С (Іу (л&
пмѣлп одинакій знакъ. Если опѣ всѣ
трп отрицательны
перемѣнныхъ, удовлетворяющихъ уравненіямъ - =о,
то разсматриваемая функція при значеніяхъ перемѣнныхъ, соотвѣтствующихъ этимъ условіямъ, представляетъ тіпітит.
Пояснимъ этп общія соображенія на частныхъ примѣрахъ.
Найдемъ значенія перемѣнныхъ .г. у, г, прп которыхъ функція
X. у. 2
(х + у) {у + г) (г + 6)
достигаетъ тахітит плн тіпітит своего значенія. По этому выраженію легко составляемъ
(Іи и (ау— х2)
(Іх х(а (,х у)'
(Іи_ и(хя— у2) (Іи______ и(Ъу— я2)
“ у (х + у) (у + г) ‘ (к ~~ г(у + г) (г +“&)
очевидно, что этп
производныя обратятся въ нулп прп условіяхъ
ау — л? — о;
9
О
Каяцое изъ этихъ
уравненій
можно
представить въ впдѣ пропорціи
такъ что
слѣдовательно
поэтому
слѣдовательно
•і-
пусть
тогда искомыя значенія перемѣнныхъ будутъ
,9
Пусть еще требуется найти значенія неремѣнныхъ
при которыхъ
имѣетъ наибольшее пли наименьшее значеніе. Для этого по данной ляемъ
функціи состав-
(Іи
<я
— 2 і/ {&— ах~
Эти производныя обратятся въ нулп, когда
У
а
а
и
а
а а
а х
У
а
«
а
а
о
♦ >
*
а
1
принимая первое рѣшеніе имѣемъ
эти производныя имѣютъ одинакіе знаки, обѣ положительны, а потому заключаемъ, что прп ,г = о н у=о данная функція имѣетъ тіпітнпі своего значенія. При второмъ рѣшеніи, другая пара значеній х и у есть
Л'—О; : .7:2 1.
прп этомъ вторыя производныя
7 . -і (Т-и
если а < Ъ, будутъ обѣ отрицательны н тогда прп значеніяхъ перемѣнныхъ гг — о и у = ™ 1, данная функція достигаетъ тахітиш своего значенія. Прн одна изъ вторыхъ производныхъ положительна, а другая отрицательна п данная функція не можетъ имѣть ни іпахітит, нп шіпіпшш.
При третьей парѣ рѣшеніи, именно при у=-о; х — =?„• 1 подобно предыдущему обнаружимъ, что для а < Ъ функція ігс будетъ имѣть ни тахітиш пн тіиіпіит, а при а >- Ь функція имѣетъ наибольшее значеніе.
Замѣтимъ наконецъ, что въ разсматриваемомъ случаѣ мы удовлетворимъ урав-
, Ни (Іи
неніямъ -ѵ — о и -=~ — о, полагая одновременно ах ау
а — ах2 — Ъу2 = о и Ъ — «х2 — Ъу2 = о
но пзъ этихъ уравненій слѣдуетъ, что а —&, чего въ общемъ случаѣ мы не предполагаемъ.
Найдемъ наконецъ, по изложеннымъ правиламъ, тѣ значенія перемѣнныхъ х и у, прп которыхъ функція
У 4- .т. віц у и — х(і
достигаетъ піахітит или тіпітит своего значенія. По этому выраженію находимъ
сіи у + т.зіпк
-5- = х (1 4- х. со.ч г/) е
(Іу -
Эти производныя обратятся въ пули только тогда, когда
1 4* # - 5іп у о и 14-х. сок у = о
Рѣшая этп уравненія относительно .г п у/, находпмъ сначала
8ІІ) у ~ ; соз у =
X
возвышая этп выраженія въ квадратъ п складывая, получимъ
слѣдовательно
8111 ?/ — С05 г
поэтому у = 22.5°.
Кромѣ того мы имѣемъ
, . . у4-.т.зіпу
- -2 = 8111 у (2 а,’. 8іи у} с
сѴн (Іу*
Г/ч । \2 -і У + Т6І"Ѵ
= X [('I .Т.С05 у У — X. 8111 ?/] с
прп х — у 2; 8ін у =----------;
1/2 у+^-.ЗІпу
с =И1, находимъ
С05 7/ =
полагая для краткости
сГ-и "сІу*
)/’2 . М
Такъ какъ М есть величина существенно положительная, то одна пзъ этпхъ производныхъ отрицательна, а другая положительна, а потому данная функція не имѣетъ пп тахітпт нп тіпітпт.
19. Мы нашли правило, по которому можетъ быть опредѣлено наибольшее плп наименьшее значеніе функціи многихъ перемѣнныхъ въ томъ случаѣ, когда этп перемѣнныя между собою независимы; еслп же между перемѣнными, входящими въ данную функцію, есть зависимость, представляемая нѣкоторымъ уравненіемъ, то изысканіе тахітпт плп тіпітпт такой функціи, какъ легко помять, должно быть основано на иныхъ соображеніяхъ.
Чтобы найти тахітпт плп тіпітпт функціи многихъ независимыхъ перемѣнныхъ, мы брали полный дифференціалъ такой функціи п разсматривали условія, прп которыхъ онъ обращается въ нуль. Такъ какъ всѣ перемѣнныя предполагались независимыми, то и дифференціалы ихъ должны былп считаться велпчипамн между собою независимыми, поэтому полный дифференціалъ даннной функціи независимыхъ перемѣнныхъ только тогда можетъ обратиться въ нуль, когда коеффп-
ціепты прп отдѣльныхъ дифференціалахъ, т. е. частныя производныя данной функціи. взятыя по каждому перемѣнному отдѣльно, будутъ равны нулю. Въ этомъ состояло условіе тіпітит плп тахітит данной функціи. Но если перемѣнныя, входящія въ данную функцію, находятся между собою въ зависимости, представляемой извѣстнымъ уравненіемъ, то полный дифференціалъ можетъ обращаться въ нуль, независимо отъ сейчасъ упомянутаго условія; онъ можетъ обращаться въ нуль прп извѣстнымъ образомъ взятомъ соотношеніи между дифференціалами перемѣнныхъ.
Предположимъ, что ищется тахітит плн тіпітит функціи /(а?,.//, /• • • • ),
содержащей п перемѣнныхъ, п что между этими перемѣнными существуетъ зависимость, представляемая т уравненіями г»=о, гг=.-о,.......
Казалось бы, что прн рѣшеніи вопроса проще всего привести этотъ случай къ предыдущему; пмеппо пзъ уравненій -іи — о--- опредѣлить т перемѣнныхъ въ зависимости отъ остальныхъ н затѣмъ 'этп т величинъ внести въ функцію .г, •••), нослѣ чего она будетъ содержать только п—т перемѣнныхъ, которыя уже должны считаться независимыми, н къ изысканію тахітит пли тіпітит такпмъ образомъ преобразованной функціи можно будетъ приложить извѣстное ламъ правило. Приравнявъ нулю производныя данной функціи, взятыя пи п~іп независимымъ перемѣннымъ будемъ имѣть п — т уравненій, которыя вмѣстѣ съ т уравненіями ѵ— о, •гц — о--- будутъ достаточны для опредѣленія значеніи всѣхъ н перемѣнныхъ, обращающихъ данную функцію въ тахітит или тіпітит
Но такъ какъ исключеніе перемѣнныхъ можетъ представить большія трудности, то удобнѣе привести вопросъ къ рѣшенію уравнепііі, имѣющихъ линейную форму.
Предположимъ, что ищется тахітит плн тіпітит функціи у,I-.- •-),
содержащей п перемѣнныхъ п что между этими перемѣнными существуетъ зависимость представляемая т уравненіями ѵ— о, и?--о........ Тогда для тахітит плп
тіпітит во всякомъ случаѣ
п кромѣ того условныя уравненія даютъ
(2)
Такихъ уравненій будетъ пі, Еслп опредѣлимъ изъ этихъ т уравненій т дифференціаловъ п пхъ внесемъ въ уравненіе (1), то въ этомъ уравненіи (1) останется п — ці дифференціаловъ, которые уже будутъ между собою совершенно независимы,
а потому чтобы уравненіе (1} удовлетворилось, кооффнціонты при независимыхъ дифференціалахъ, т. е. частныя производныя по оставшимся перемѣннымъ отдѣльно должны равняться нулю. Такимъ образомъ, для опредѣленія значеиііі п перемѣнныхъ, обращающихъ данную функцію въ тахішпш плп пііпітиіп, мы будемъ имѣть п — т уравненіи, если прибавимъ къ этому т условныхъ уравненій ѵ о, іѵ — о и т. д , то будемъ имѣть необходимое п достаточное число уравненіи для опредѣленія всѣхъ неизвѣстныхъ.
Мы знаемъ, что лнпсііныя уравненія рѣшаются проще всего чрезъ введеніе произвольныхъ, множителей. Для рѣшенія нашего вопроса помножимъ уравненія (2) соотвѣтственно на множители X, р., ѵ и т. д. и произведенія сложимъ съ уравненіемъ (1), тогда будемъ имѣть
но такъ какъ X, ;л, ѵ...... совершенно произвольны, то это уравненіе удовлетво-
рится только тогда, когда кооффнціонты при дифференціалахъ отдѣльно будутъ равны пулю. Такпмъ образомъ мы будемъ имѣть слѣдующія п уравненій
изъ которыхъ приходится опредѣлить п перемѣнныхъ п т множителей; но если прибавимъ къ этому т условныхъ уравненій, то будемъ пмѣть » + уравненій, необходимыхъ и достаточныхъ для опредѣленія » неизвѣстныхъ и т множителей.
Примѣчателенъ тотъ случай, когда дано' одно только уравненіе, связывающее перемѣнныя данной функціи. Еслп ищется шіпііпніп или шахішпт функціи и = у, »..........) и между перемѣнными существуетъ зависимость, представляемая
однимъ только уравненіемъ о— о, то для рѣшенія вопроса имѣемъ уравненія
помножая второе пзъ этихъ уравненій на произвольнаго множителя X и складывая произведеніе съ первымъ уравненіемъ, получимъ
предполагая, что перемѣнныхъ въ данную функцію входитъ «, будемъ имѣть для опредѣленія ихъ п уравненій вида
и исключая отсюда л, получимъ п пропорцій
пзъ нихъ составимъ уравненія, которыя вмѣстѣ съ уравненіемъ ѵ = о служатъ для опредѣленія х перемѣнныхъ-, обращающихъ данную функцію въ піахііпиіп или ІПІ11ІШИШ.
Пояснимъ этп соображенія на частныхъ примѣрахъ.
Двѣ плоскости пересѣкаются меледу собою; найти на прямой пересѣченія точку ближайшую къ началу координатъ.
Разстояніе точки отъ начала координатъ представляется въ видѣ
(а)
уг -І-
это есть та функція и, которая прп извѣстныхъ значеиіяхі. координатъ х, у, г должна достигнуть тіпітит. Это тііптит объусловлцвается положеніемъ лпнін пересѣченія двухъ плоскостей. Еслп уравненія этихъ двухъ плоскостей суть
(Ь)
л- Н- ру +
уе- ~ о
х ?'у 4- у'г = о'
то координаты я, у. г обращающія разсматриваемую функцію въ піііііпніт, должны удовлетворять этимъ уравненіямъ. Итакъ между координатами я, у, з существуетъ зависимость, представляемая двумя уравненіями. Уравненіе (а) соотвѣтствуетъ уравненію и = о общей теорій, а уравненія (4) соотвѣтствуютъ условнымъ уравненіямъ ѵ— о и ?р —о. Для тахітпт или тіпітит будемъ имѣть пзъ уравненій (а) п (І>)
X (ІХ -Ь у. (Іу -г 3 (ІЗ — о
(О
(Іх -г р- (Іу + у- (1? = °
(Іх -Ь р* (Іу 4- у' — о
помножимъ второе пзъ этихъ уравненій на /ѵ, а третье на р. и сложимъ произведенія съ неизмѣненнымъ первымъ, тогда будемъ имѣть
(а? 4- А р.) (Іх + (у -г 4- р-р') сіу 4- (4 + Ху 4- р-у') ” °
откуда для произвольныхъ К и р. имѣемъ
х 4- X 4“ Н — 0
у 4- Хр -г ,'ХР'= ° 0‘)
з 4- Ху 4- р.у'= о.
прибавляя къ этому условія (Ь), будемъ пмѣть мять уравненій для опредѣленія трехъ координатъ п двухъ мноямітелей.
Въ разсматриваемомъ случаѣ мы прямо можемъ опредѣлить наименьшее значеніе функціи. Помножимъ уравненія (Г) соотвѣтственно на х, у^з и сложимъ, тогда найдемъ
ж2 4- у14" *2 -г X (х 4- Ру 4- у*) 4" Н- 4“ Р'у 4” у’4) — 0
но по уравненіямъ (а) н (Ь) это прпнпмаетъ видъ г2 4- Хо 4- р.о' = о слѣдовательно искомое наименьшее состояніе функціи есть
*> "У
}- — — АО — Ц.О'
остается опредѣлить входящія сюда X п іл. Для этого исключимъ х. у, -г посредствомъ уравненіи (Г) пзъ уравненій (Ь), тогда будемъ пмѣть два уравненія для опредѣленія X п р. въ' зависимости отъ данныхъ коеффпцІентовъ Р, у, о, Р', у', о; т. е. отъ положенія данныхъ плоскостей.
Рѣшимъ еще такой вопросъ. Изъ всѣхъ треугольниковъ съ одинакимъ периметромъ 2р. Опредѣлить треугольникъ имѣющій наибольшую площадь. Неизвѣстными вопроса будутъ стороны искомаго треугольника.
Площадь 8 треугольника по данному периметру выражается чрезъ
неизвѣстныя хь у, х связаны однимъ условіемъ
ір — х 4- у 4"
слѣдовательно въ нашемъ случаѣ
« — 1-'> О — (./• — У) О — і ѵ = х 4- у 4- з — 2р — о
откуда
условное уравненіе т — о даетъ
слѣдовательно въ разсматриваемомъ впдъ
частномъ
случаѣ уравненія (3) принимаютъ
пл п
а
1
откуда
плп
т. е. искомый треугольнпкт. долженъ быть равносторонній.
Рѣшимъ наконецъ такой вопросъ. Изъ всѣхъ цилиндровъ, имѣющихъ одинакую поверхность, найдемъ цплпндръ съ напбольшпмт» объемомъ.
Пусть высота искомаго цплпндра будетъ у п радіусъ круга основанія ж, тогда объемъ цплпндра представится чрезъ
Ѵ-тсг-.у
полная поверхность цплпндра будетъ
2]) == 2ТІ.Т2 + 2—ж. у такимъ образомъ въ разсматриваемомъ случаѣ
и = «ж2?/; ѵ = ~х- ~ху — р --о.
поэтому уравненія (3) принимаютъ впдъ
2 ~Ху ~Х2
2-ІТ.Т -I- 7Г7/ КТ
или
откуда у—.2х; х = -~, т. е. радіусъ круга основанія искомаго цплпндра долженъ быть вдвое менѣе высоты.
Разложеніе раціональныхъ дробей на элементарныя дроби.
20. Послѣднее примѣненіе дифференціальнаго исчисленія къ анализу мы покажемъ въ вопросѣ, который имѣетъ большую важность въ интегральномъ исчисленіи. Прп рѣшеніи этого вопроса требуется не сократимую дробь съ цѣлыми многочленами въ числителѣ и знаменателѣ разложить па сумму такихъ дробей числителями, которыхъ были бы постоянныя величины, а знаменателями служили бы различныя, степени тѣхъ множителей, па которые дѣлится безъ остатка многочленъ знаменателя данной дроби.
Предположимъ, что /'(Х) 11 представляютъ собою два цѣлыхъ многочлена, двѣ цѣлыхъ раціональныхъ функціи степеней ш п п перемѣннаго х; тогда
№
называется раціональною дробью. Мы предполагаемъ, что степень многочлена числителя менѣе степени многочлена знаменателя. Еслп бы данная дробь не представляла этого, то прежде ея разложенія слѣдуетъ исключить цѣлое число п представить данную дробь въ видѣ цѣлаго многочлена п дроби, многочленъ числителя который по степени менѣе степени многочлена знаменателя.
Разсмотримъ сначала тотъ случай, когда уравненіе — о имѣетъ однп только неравные дѣйствительные корни а,р,у....^, гдѣ слѣдовательно а, 0,у....г суть совершенно различныя между собою числа. Тогда
Е (%) — (X — (а? — р) (ж — у).....(д; —
Пусть
о (ж) —- (х — р) (.г — у)......(а? —
тогда
і*1 (X) — (х — а) ф (X)
/'(а)
ПОЛОЖИМЪ, ЧТО —< ©(а)
гдѣ слѣдовательно Л, есть постоянное чпело.
Понятно, что тождественно пмѣемъ
/’СХІ , л _ / (ж) — Д ? (X)
©О) 1 © (X)
первая часть этого тождества прп х — а обращается въ нуль, ибо
Ф(Х) 1
а потому п вторая часть прп а? = а должна обращаться въ пуль, но для того необходимо чтобы уравненіе /(х)— Дф(л-) = о пмѣло корень ж=-а, другпмп
словами многочленъ /(х)— ф(х) долженъ дѣлиться безъ остатка на ж— а. Пусть частное этого дѣленія будетъ ф(х), тогда
/ (х) — А, ф (х) — (х — а) ф (ж)
откуда
/(.х) — ф(х) -г (ж — а) ф(х).
Раздѣливъ это на пмѣемъ
но —а)&(х), слѣдовательно
Итакъ мы отдѣлили отъ дроби у-'- дробь Разсуждая такимъ же обра-
отдѣлимъ
отъ дроби
простую
дробь
и т.д. Если степень много-
/'(х) была болѣе степени - многочлена ^(х), то исключивъ изъ дробп цѣлую-
ЗОНЪ,
члена
часть, означимъ эту послѣднюю чрезъ /^(ж), такъ что
гдѣ слѣдовательно ф (х) есть цѣлая функція.
Мы показали такимъ образомъ возможность разложенія національной дроби п форму разложенія, но чтобы дѣйствительно выполнить это разложеніе, необходимо показать способъ опредѣленія коеффиціентовъ М,, М3.............
Изъ предыдущаго равенства мы имѣемъ тождество
ф (ж). (ж).
но по теоремѣ Тейлора
^(х) = Р (а) 4- (ж - а) Р(а) -Ь Г" (а) -р 1™ (а) +......
1.2 1.2.3
Такъ какъ х = а есть корень уравненія Р(х')=~о., то І'’(а) = о п мы пмѣемъ
вводя это въ предыдущее выраженіе /‘(ж), получпмъ
. ................
’ х — р х — у х — {;
Такъ какъ ж — а есть корень уравненія 1?(ж) = о, то —о и потому прп ж = а предыдущее даетъ
/*(а) = Л1 ^(а)
откуда
С2)
но что мы говорили о корнѣ ж = а, то будетъ относиться къ каждому изъ корней,
а потому
слѣдовательно уравненіе (I) представляется въ видѣ
__________________________
~(ж — а) X’1 (а)
Еслп степень функціи /(ж) менѣе степени Х’(ж'), то г/>(ж) обращается въ нуль.
При опредѣленіи числителей элементарныхъ дробей мы достигнемъ того же результата и не прибѣгая къ Тейлоровой строкѣ.
Мы полагаемъ, что корни уравненія Х’(ж) = ° суть
ж = а, ж=3,
п принимаемъ на основаніи общихъ соображеній
пусть 1<'(х) = (х— а) о(ж), гдѣ слѣдовательно о(ж) будетъ произведеніемъ всѣхъ множителей входящихъ въ Х*’(ж) за исключеніемъ множителя ж— а, такъ что
ф (ж) = (ж — р) (ж — ѵ)..........(ж — О
тогда предыдущее уравненіе можно представить въ видѣ
о(ж)
что прп ж==а обращается въ
9(*) ' 1
такимъ образомъ опредѣляется числитель первой дробп, подобно этому опредѣлятся и остальныя постоянныя Л2, .....Дп.
Пояснимъ этп соображенія на частномъ примѣрѣ. Пусть требуется разложить на элементарныя дробь
и
слѣдовательно въ нашемъ случаѣ
/ (ж) = а5 4- Ъх1;
І?(х) = х (а2 — .г2)
Множители, на которые разлагается знаменатель, суть ж, а — х\ а-}-я; слѣдова-тельно корни уравненія И\х} = о суть х-ох= - а н х = 4-а. Данная дробь очевидно должна быть разложена слѣдующимъ образомъ:
опредѣляя коеффиціевтъ Л2, мы должны на основаніи предыдущихъ соображеній считать ф (ж) = а2 — х~, тогда
при
прп
1 (а2—ж2)
ж —о; слѣдовательно Л1 — а.
Опредѣляя Л2, мы должны принять ф(ж) = ж(« 4-ж), й тогда
2
х = а: слѣдовательно Л, —-----------.
і 2
Опредѣляя Л3, надо положить о(ж) — х(а—х), слѣдовательно
3----
прп
поэтому Л3 =---------—. Итакъ:
21. Разсмотримъ теперь тотъ случай, когда уравненіе І*'(ж) = о имѣетъ равные корнп. Пусть это уравненіе имѣетъ р равныхъ корней а; # равныхъ корней Ъ ц т. д., такъ что
Р^х) — [х — а)7' (ж — &)'' (х — с)'.
Въ этомъ случаѣ пусть какъ и прежде
ф (ж) (ж — ЪУ (х — сУ...........
тогда
1<\х') = (х — аУ ф (ж)
Пусть кромѣ того
при этомъ понятно, что разность
ф(ж)
или разность
обращается въ нуль прн х = а, а слѣдовательно уравненіе
— А ? О) = о
необходимо должно пмѣть корень х=а, и многочленъ /'(ж)’— А 9 0*0 долженъ безъ остатка дѣлиться на х — а; поэтому
гдѣ ф(ж) есть цѣлая функція отъ ж, т. е. частное этого дѣленія. Изъ этого уравненія находимъ
/(ж) = А 9 О) + (ж — а) ф(ж)
слѣдовательно
Кх) А 9 О) । (ж —ф(ж)
Р (ж) 1*’(ж) 0*0
но помня, что
Р (ж) = (ж — а)7’ о (ж) имѣемъ
— А л
7?'(ж) (ж — ау (ж — а),1—1 о (ж)
или
^(ж) = Л________, ф(ж)
(ж — ау о (ж) (ж — а)'1 (ж — а)р_1 о (ж) аналогично съ этимъ составляемъ
Такпмъ образомъ данная дробь предетавптся въ впдѣ
Еслп теперь также поступимъ съ дробью
'і'р—• (?О
какъ прежде поступали съ дробью п прежде всего положимъ .г (.я).
то найдемъ
I (л?) __ Ф;>-1 (Л'^
9 О) “(л; —
2
Вч , Фч-і (а) & _ 6) + о (я)
слѣдовательно
и»)
2
і
п т. д. для каждаго изъ кратныхъ корней.
Еслп уравненіе = о содержитъ одни только равные корни, такъ что
В (л) = (х — а)1' (ж — ЬУ • •
то окончательно разложеніе данной дроби представится въ видѣ
тдѣ означаетъ цѣлую функцію перемѣннаго х. Этой функція не будетъ, еслп степень /'(х) менѣе степени В(х).
Посмотримъ теперь какъ можетъ быть
выполнено въ дѣйствительности раз-
ложеніе раціональной дроби въ томъ случаѣ, когда знаменатель ея имѣетъ равные-корни. Допустимъ, что знаменатель имѣетъ п равныхъ множителей, именно уравне-
ніе В(х) = о имѣетъ п равныхъ корней а. Тогда вить въ впдѣ
я)
ДрООЬ -уі7-:-
1 В О)
МОЖНО
предста-
№ _ ?(х)
В (ж) (х—а)" о (ж).
Отдѣляя по изложенному способу первую элементарную дробь, получимъ
=_____[№..1__Л > ЛО)________________
І'(х) (ж— ау'ф(ж) (ж— а)п "г (ж—а)"“іо(ж)
подобно этому получимъ
_____А>(^)_______ __________।______А)_______ (ж— ж)"-1ф(ж) (ж— а)”~і (ж — а)"~2о(ж)
Продолжая разложеніе, найдемъ
п - 1
І'(ж) ’ (ж — а)" ф (ж) (ж — а)" (ж — а)"-1 изъ этого, выраженія, умноживъ все на (ж—а)", получпмъ
(ж — «)“ / (ж)___
/Ч»)
(1)
„ • /СО ЛСН т .
функціи — -;-ѵ іг—нп въ чпелптелѣ, цп въ знаменателѣ множителя ж — а 9 СИ ф(ж)
нп въ какой степени не содержатъ, а потому самп онѣ п пхъ производныя оста-тт х • /• \ /п (ж} л
ются конечными прп ж —а. По функція (ж — а)" - н ея« — 1 производныхъ
о(ж)
•обращаются въ нулп прп ж = а. Поэтому прп ж = а пзъ предыдущаго пмѣемъ
Пусть для краткости
тогда пропзводная выраженія (1) принимаетъ видъ
т
к — 2
ЛХ) ,
71 .
•отсюда при ж = а имѣемъ
®) Эту Функцію ф (ж) мы получаемъ пзъ данной, умноживъ ее на производителя (ж — а)", соотвѣтствующаго разсматриваемому равному корню.
Взявъ еще производную отъ уравненія (2), полупимъ
ф%с) = 2Л,-{- 2. $Ал(х — а) 4-....Н- — I) (« — 2) -іи-і (х—а),|-3+......
откуда прп х = а имѣемъ
~1.2
подобнымъ же образомъ найдемъ
л 3 ‘I .2.3
п т. д. Такимъ образомъ опредѣлятся всѣ числители дробей, соотвѣтствующихъ равному корню а.
Покажемъ примѣненіе этой теоріи въ частномъ случаѣ. Пусть требуется разложить дробь
/М_______________1_______
~~(х — I)
въ этомъ случаѣ — I. Уравненіе Зі'(х) = о имѣетъ три корня: два равныхъ, именно х = 1 п одпнъ простой^ корень х = — I.
Слѣдовательно на основаніи предыдущихъ общихъ соображеній разложеніе должно быть представлено въ впдѣ
•і _____________л л в
(X — 1 )2 {х О (Л — і ' (ж — I} ' (х -]- I)
въ нашемъ случаѣ
ф (ж) = -“Т
7 7 х + I.
Мы видѣли, что Я = ф(а), теперь а = 1, поэтому Л —
Мы видимъ, что
по общей теоріи Лг = ф'(а), поэтому прп а=1 имѣемъ
Числитель дробп, соотвѣтствующей простому корню, долженъ быть опредѣленъ по выраженію
гдѣ подъ 6 разумѣемъ простой корень Ь = — I; такъ какъ
то
= 2 (ж — I) (ж 4 I) 4- (х — I)2 прп х = Ъ = — I это обращается въ
Г’ (5) - 4
наконецч. замѣтимъ, что Итакъ
слѣдовательно
I __ I I 1
^2-ГЖ+Т)- • “ Гс^П + ФТГ)’
Разложимъ еще дробь
эту дробь можно представить въ впдѣ
ж3 4- ж2 4 2 х (х 4- I )2 (х — Г)2
поэтому
х3 4 X2 4 2 Л__________В_____С Б Е
X (Ж2 — I )2 X (Ж + 'I )2 ‘ (х 4 'I) (х — 1)2 (х — 1)
Въ разсматриваемомъ случаѣ
= 4- х2 4 г; Е(х)~х(х2—і)2
Е' (я) (ж2 - 1)2 4- 4Ж2 (ж2 — 1)
Мы знаемъ, что числитель, соотвѣтствующій простому корню ж = а, опредѣляется по формѣ:
въ нашемч. случаѣ а~.о-у поэтому
А 2.
Для двойного корня мы имѣемъ
Л = І(Ь); <7 = |'(»)
въ нашемъ случаѣ
! ___х(х — 'I)2 (3Ж2 4 2х) — (ж3 4 х2 4~ 2) [(4 — 'I )2 + 2Х (х — ।)]
ѵ (Ж) - - - х2 (х .,у—
и Ъ — — 1 поэтому
Для двойного корпя с, мы имѣемъ
•О = ф. (с); Е -= ф\ (с) пъ нашемъ случаѣ
п кромѣ того с — + I, поэтому
.0 = 4-1;
Итакъ
22. Разсмотримъ тотъ случаи, когда уравненіе = о имѣетъ одни только неравные мнимые корпи. Извѣстно, что этп корпи должны быть сопряженные. Такпмъ образомъ, если —— «) — аі) — Р) (х—Рі) > гдѣ йодъ Р, Рі-п т. д. разумѣемъ мнимые корни уравненія Е (я) —о, то эти корни должны быть попарно сопряженные, такъ что
а — « -і- а1 ] / — I;
«! = а — «! у — 1;
Р = & + Ьу}/- \
р3 — Ъ — Ъг |/ — І п т. д.
Такъ какъ всѣ корпи а, ап р, р, предполагаются не равными, то на основаніи предыдущаго можемъ принять
+ _ц В .1 .і ..................
7*'(ж) х — а х — а, 1 х— & х —
п опредѣлить числителей по изложенному выше способу опредѣленія числителей элементарныхъ дробей, подобно тому какъ это мы дѣлали въ томъ случаѣ, когда знаменатель имѣлъ неравные дѣйствительные корни.
Но въ случаѣ неравныхъ мнимыхъ корней удобнѣе каждую пару дробей съ сопряженными знаменателями соединить въ одну дробь, знаменатель которой былъ бы дѣйствительнымъ производителемъ второй степени относительно перемѣннаго х. Въ самомъ дѣлѣ, соединяя попарно дроби съ сопряженными знаменателями, найдемъ
/О) _ Л (ж — ед) + Л, (ж — а) , В(_х — /^) 4-2?! (х “ Л) ^О) — а)(ж — аг) ‘ (х — /3) (ж—
плп, полагая здѣсь
= + -^іР)= Я/, ~ (Р+Рі)“^4 РРі і?і и т. д.
найдемъ
Что касается до коеффиціентовъ Р, <2. 2>1, п т. д., то на практикѣ пхъ проще всего опредѣлить по способу неопредѣленныхъ коеффпціентовъ.
Пояснимъ этп соображенія на частномъ примѣрѣ. Разложимъ па элементарныя дробь
0 4- о О2 + П
примемъ
приводя дробп второй части къ одному знаменателю, имѣемъ
х2— х 4- 1 _(Ах 4-. В) (х + 1) + С (х2 4- ’1)
(х 4- 1) О2 4- 1) (х2 4- *!) (х -|- I)’
с.іѣдовательио тождественно должно быть
х2 — х 4- ‘I = (А.х 4- В} (х 4- 'I) 4- (ж2 + 9
сравнивая въ обѣихъ частяхъ этого тождества коеффпціенты прп одинакихъ степеняхъ перемѣннаго, получаемъ слѣдующія уравненія для опредѣленія этпхъ коеффи-ціентовъ
А 4- О — I \ А 4- В — — 'I; В 4- С — 4- 1.
откуда
слѣдовательно
Пусть еще требуется разложпть дробь
х г|~
Знаменателя можно представить въ впдѣ
О — 1) (х2 4- х + 1)
поэтому
Прпведя вторую часть къ одному знаменателю, будемъ имѣть, по сравненію числителей, тождественное уравненіе вида
х = (.4 + + (Б- .4 + + 0-2?
поэтому
+ + С=о; Б — + + 0=1; С —2? = о
откуда
слѣдовательно
23. Еслп уравненіе Б(х') = о имѣетъ равные мнимые корни, то Б(х) должна содержать квадратные множители вида + +рд; + ^ въ разныхъ степеняхъ соотвѣтственно кратности того плп другого мппмаго сопряженнаго корня. Предположимъ, что мнимые сопряженные корнп, соотвѣтствующіе множителю х2 + рх + суть «-кратные. Тогда функцію Б(х) можно представить въ видѣ
Б (я)= (х2 + рх + ^у^ <р (.г*)
гдѣ модъ ъ(х') разумѣемъ всѣхъ остальныхъ множителей, соотвѣтствующихъ другимъ корнямъ уравненія Р(+) = о. Разумѣя подъ Р п <2 нѣкоторыя постоянныя дѣйствительныя числа, мы можемъ написать тождество
, і) = Рх+ѵ 4 к») - <-рх+«).т
Б (+ (х2 -г 2}х + *?)" ' (я2 “ИДО *4_ <?)" 9 і+)
пусть а-\-Ьу—1 и а — Ъ]/— I будутъ два мнимые сопряженные корпя уравненія х2 + рх + <7 = о. Выборъ величинъ Р п ф мы до спхъ поръ неогранпчп-валм нпкакпмъ условіемъ; опредѣлимъ ихъ теперь такъ, чтобы многочленъ
/Х*) —(-Рж+<2)? О)
обращался въ пуль въ то время, какъ вмѣсто х поставимъ въ него корни уравненія х2 + рх + = о. Такимъ образомъ величины Р и <2 опредѣлятся изъ условія, выражаемаго уравненіемъ
/{а Ъ ]/ — I) — [Р (я ±2 Ъ у/ — і) + <2] о (я Ъ |/ — і") = о. слѣдовательно
р (« ь)/—) + <2 о • .4
о (а ~ О у — 'I }
по выполненіи всѣхъ дѣйствій во второй части уравненія, мы представимъ это въ•видѣ
Р (я Ь |/ — I) + <2 = 2ЬГ2Ѵ]/ — і
гдѣ ЛР и 2/ суть дѣйствительныя опредѣленныя величины. Это уравненіе удовлетво-
рится, когда
откуда
Ра 4- <9 = М- РЪ — Я а X „ МЪ-Ха •=т; <1^.—ъ—
Опредѣливъ такимъ образомъ Р п <2, положимъ
АО) — № +
1 I ✓ѵ
— А[ О)
гдѣ АО) есть цѣлая функція относительно ж, ибо, еслп отъ подстановки а^.:.Ъ\/~ 1, т. е. корней уравненія х2 4- рх 4- ц = о въ многочленъ АО) — (Рх 4- Я)о (ж), этотъ послѣдній обращается въ нуль, то числитель предыдущей дробп имѣетъ корнями корпп уравненія х2 -г рх 4- ц — о, п на произведеніе этихъ корней числитель долженъ дѣлиться безъ остатка.
Прп сдѣланномъ' положеніи уравненіе (1) принимаетъ видъ
/О)_______ Рх+Я ______________АО)_______
(ж2 -\-рх 4- <рО) (ж2 -р рх + <?У О2 + рх + дУ-1 ©О)
на основаніи этого уравненія въ подобной же формѣ можетъ быть представленъ второй членъ второй части уравненія.. Въ самомъ дѣлѣ, по этому выраженію мы можемъ писать
А О)_______ Р]Ж+ „______________А (х)____
(х2 +рх -н з)"-1 о (х) (х2 4- рх 4- дУ-1 (я2 +рх 4- 2) '—2 ® (х}
а слѣдовательно данная дробь
АО) , А
г?,--: разложится слѣдующимъ образомъ:
/Х.х)_ ___Рх -Ь Я_____ Р'Х 4- 0] , .... . Рв-із;4- <?»-і 1 АО)
(х2 +рх 4- д)п (х2 4- рх 4- 2)"-1 ж2 рх 4- 2 <рО)
гдѣ Р, Рг ,Р^ • • (2, Яі , Яз СУТЬ постоянныя дѣйствительныя числа, а А (ж) дѣйствительный многочленъ плп цѣлая функція относительно х. Что касается до опредѣленія постоянныхъ Р, Р2“- Я-> <9іі <32-'-, то на практикѣ это опредѣленіе всего удобнѣе выполнить по способу неопредѣленныхъ коеффпціентовъ.
Разлагая напримѣръ дробь
(.г- 4- I) х2 (ж2 4- 2) (ж2 4- । У
мы представимъ ее суммою слѣдующихъ влементарпыхъ дробей
Лж_+ К 'ж2 4 4-
Для опредѣленія коеффпціентовъ А, В, С •••}?., К, будемъ имѣть тоадественное уравненіе
1 — Аг3 (ж2 + 2) (ж2 + 'IУ (ж2 + I) -г -В О + 1) х (ж2 4- 2) (ж2 + 1 )а
г С (ж -г О ж2 (ж2 + 2) (ж2 -{-1)3 + (1)ж + Е') (ж + I) ж3 (ж2 + I )3
4 (Тх + 6?) (Ж + 1)ж3. (ж2 -Ь 2) (ж2 + I ) + (Нх + К') (ж + 'I) Ж3 (ж2 + 2) (ж2 -И -I )2.
Пзъ втого тождественнаго уравненія найдемъ
24. Въ заключеніе этихъ правилъ разложенія раціональныхъ дробей сдѣлаемъ, одно замѣчаніе, относящееся къ случаю, когда знаменатель данной дроби, будучи приравненъ нулю, представляетъ собою двучленное уравненіе.
Въ дроби
знаменатель, будучи приравненъ нулю, даетъ двучленное уравненіе ж“+ I ” о, откуда
Xй = — 'I — С05 (г/ѵ -4 1 ) 73 і 8ІП (2& 1
Въ случаѣ дроби
ѵі
приравнивая знаменателя нулю, мы пмѣемъ
ж” = 1 = СО5 27ѵ к ±1 І. &ІН О.Т1ІІ .
Слѣдовательно въ первомъ случаѣ
во второмъ:
или
полагая
для того н другого случая, имѣемъ
Такимъ образомъ
гдѣ знакъ суммы прн четномъ п распространяется на всѣ значенія к отъ о до —, при
. п — I
нечетномъ—на всѣ значенія отъ о до —-—. Такъ какъ въ разсматриваемой!» слу-
чаѣ всѣ корнп неравные, то примѣнимъ кь опредѣленію Ак п Вк первый изъ изложенныхъ способовъ вычисленія числителей элементарныхъ дробей. Въ нашемъ случаѣ
^(о;) = хп + ; В1 (а;) =
слѣдов.ательно
I — — х
ІЧ при х = с . Точно также
-гО
при х = е . Итакъ
.ЛтЧ „~ітЧ
Ак -----------; Вк = —Ц---------
или еЦт+ 1)0 і(і?г-Ьі)0
пеп^ ' пе~п®
іго
поэтому
п
Слѣдовательно искомое разложеніе будетъ
или
или
алк наконецъ
гдѣ сумма распространяется для летнаго значенія п на всѣ значенія 7г отъ о до , а для нечетнаго п—на всѣ значенія к отъ о до ------------- .
2 2
Что касается до разложенія
то оно очевидно получится пзъ выраженія (1), еслп только во второй части измѣнимъ знакъ передъ суммой п вмѣсто 0 поставимъ 0', т. е. —такъ что
Мы представили теперь всѣ главныя соображенія, касающіяся разложенія раціональныхъ дробей на элементарныя п вмѣстѣ съ тѣмъ показали всѣ важнѣйшія примѣненія дифференціальнаго исчисленія къ рѣшенію вопросовъ анализа.
ПРИЛОЖЕНІЕ ДИФФЕРЕНЦІАЛЬНАГО ИСЧИСЛЕНІЯ КЪ РЪШЕНІЮ ВОПРОСОВЪ ГЕОМЕТРІИ.
Касательная, нормаль, субтангенсъ и субнормаль для плоской кривой линіи.
1. Поясняя геометрическое значеніе производной функціи, мы показали, что вообще производная представляетъ собою тангенсъ того угла, который касательная къ кривой линіи составляетъ съ осью х. Слѣдовательно, еслп дано уравненіе нѣкоторой кривой, представленное въ самой общей формѣ зависимости мсзиу ординатой и абсцпсой, т. е. еслп дано уравненіе у = /‘(ж^, то вычисливъ пзъ этого уравненія производную ординаты по абсцпсѣ, мы получпмъ
(ІХ
— Л(ж)
Эта производная пли Л(ж) п представляетъ собою тангенсъ того угла, кото-рый касательная къ кривой у = /'(ж) дѣлаетъ съ осью х.
Уравненіе всякой прямой линіи, проведенной на плоскости чрезъ точку (ж,у) есть
у — у — х}
гдѣ Н и суть координаты произвольной точки разсматриваемой прямой, а т тан
генсъ того угла, который эта прямая составляетъ съ осью х. Еслп хотимъ чтобы эта прямая касалась въ точкѣ (ж. у) данной кривой у = /’(ж), то должны будемъ
въ предыдущемъ уравненіи разумѣть подъ т тангенсъ того угла, который касатель-
ная составляетъ съ осью ж,
слѣдовательно,
въ этомъ случаѣ т =
(ІХ
и уравненіе
касательной къ разсматриваемой кривой представится въ впдѣ
Если уравненіе кривой представлено въ видѣ неявной функціи /{х. </) — с, то для опредѣленія производной ординаты по абсцпсѣ имѣемъ
сіу —о
откуда
(Л
а слѣдовательно уравненіе касательной линіи къ кривой —о будетъ
Предположимъ, что дана кривая линія, представленная уравненіемъ
Касательная, проведенная къ этой кривой, будетъ составлять ст» осью х уголъ, тан-
генсъ котораго равенъ производной
йу/
сіх'
Еслп пзъ точкп прикосновенія возетавнмъ
перпендикуляръ въ касательной, то такая линія называется нормалью къ данной кривой въ разсматриваемой точкѣ. Извѣстно, что условіе взаимной перпендпкуляркости двухъ линій выражается тѣмъ, что произведеніе тангенсовъ угловъ, которые онѣ составляютъ съ осью ж, равно минусъ единицѣ. Поэтому, еслп тангенсъ угла касательной съ осью х есть т, а тангенсъ угла нормали съ тою же осью есть »н', то по взаимной перпендикулярности касательной п нормали должно быть тт1 = — 1, йу/ «, но пі ——-, а слѣдовательно сіх
т
поэтому уравненіе нормали, проведенной въ точкѣ (хуу) кривой, представится въ видѣ
Еслп же уравненіе данной кривой представлено въ неявной формѣ, въ впдѣ функціи = о, то уравненіе нормали подучимъ, еслп подставимъ сюда вмѣсто (ІХ
ея величину, взятую пзъ выраженія (1). Такимъ образомъ имѣемъ
уравненіе нормали.
Ф«і. і.
Пусть кривая, представленная уравненіемъ = о имѣетъ впдъ ЛВ (фиг. 4). Назовемъ углы, которые нормаль данной кривой составляетъ съ осями х и у соотвѣтственно чрезъ X и [Л. Очевидно, что уголъ касательный съ осью я, т. е. СКх = 180°- гл, гдѣ іл=СКМ, поэтому іап§ (ТХх) — — Iав* іл. Слѣдовательно
сіу зіп р. соз Л
СІХ СО8 {Л соз р.
но пзъ уравненія данной кривой пмѣемъ
откуда
кйл/2 сіх
I СІР\^ Ду
к СІХ )
Сравнивая это съ предыдущимъ, имѣемъ
соз Л.
соз р.
пли
соз р.
Итакъ, косинусы угловъ, которые нормаль къ данной кривой составляетъ съ осями координатъ, пропорціональны производнымъ уравненія этой крпвой взятымъ относительно соотвѣтствующихъ координатъ.
Если къ точкѣ С (фпг. 4) прикосновенія касательной проведемъ ординату СМ, то отрѣзокъ МК па осп х называется субтангенсомъ, а отрѣзокъ субнормалью. Пзъ треугольника СМК имѣемъ
СМ.= МК.
пли
у = МК.
СІХ
откуда
субтангенсъ.....
МК=у
СІХ
сіу
Зная субтангенсъ, легко опредѣлять и отрѣзокъ касательной, заключающіяся между
осью х л точкой прикосновенія. Бъ самомъ дѣлѣ
КС — у/СМ2 мк*
плп
Изъ треугольника СКМ пмѣемъ СМ — ПМ. Іап§(СКМ)’, легко видѣть.
что
(ап§ (СКМ) = ~~
слѣдовательно
субнормалъ .. ..
КМ=у.
ах.
а нормаль можетъ вычисляться но выраженію
нормалъ
сп = ѴЛ/, ,
2. При помощи полярныхъ координатъ, положеніе касательной опредѣляется тѣмъ угломъ, который эта касательная составляетъ съ продолженіемъ радіуса вектора разсматриваемой точкп.
Пусть ЛОР ((шг. 5) будетъ кривая линія, къ которой въ точкѣ М прове-
дена касательная Т8. Уголъ 8 МП = Ѳ опредѣляетъ направленіе касательной. Этотъ уголъ есть предѣлъ, къ которому приближается уголъ М*МВ по мѣрѣ того, какъ точки М' и М сближаются между собою. Опустимъ перпендикуляръ ЛЖ на' прямую СМ' и пусть ЛО/’ = Дз, тогда
ЖГ' = Дв. 008 (ЖІ'М)
Еслп МО — г, то ЖГ = Дг; птакъ
Дг — Ля. соз (КМ'М)
но КМ'М— М'МК, ибо ММ1 М— М'МП — М> ОМ
откуда
КМ’М. М'ОМ
<> Ш I У I • ъ
М МП ~ М< МП
въ предѣлѣ М( 0М= о п КММ= М!МН, итакъ
Дг = Дз соз (М' МП)
переходя къ предѣлу, имѣемъ
сіг = (1$. соз О
Кромѣ того Л/У — ЛРЛ/зіп (2ѴЛІ1 Л), но У5И молено разсматривать какъ дугу соотвѣтствующую радіусу г. Если озпачпмъ уголъ МОх чрезъ то уголъ ЖОМ мозгемъ означить чрезъ Ар, тогда
г. (Ір = (Із. 8І|] 0.
итакъ
соз Ѳ
зіп 0 —
Пзъ треугольника УМ'ЗІ имѣемъ
Д$2 — Дг2 (г^)2
что въ предѣлѣ обращается въ
откуда
Мы нашли, что
или
(І8
Пусть у = г'} тогда
Іап§ 0
Такъ опредѣляется направленіе касательной по полярнымъ координатъ, т. е. по радіусу вектору и по углу, который этотъ радіусъ векторъ составляетъ съ нѣкоторой постоянной прямой ох.
Если МТ (фи г. есть касательная къ кривой въ точкѣ М и ОМ=г есть
радіусъ векторъ, то, проведя
Фиг. С.
№Т перпендикулярно къ радіусу вектору п продолживъ касательную МТ н нормаль М2\т до пересѣченія съ этимъ перпендикуляромъ, получимъ два отрѣзка ОТ и О7У, которые при употребленіи полярныхъ координатъ называются субтапгенсомъ и субнормалью. Легко пока-зать какимъ образомъ въ зависимости отъ полярныхъ координатъ могутъ быть вычислены длины субтангенса, касательной, субнормали и нормали.
Безконечно малый треугольникъ М’Мт подобенъ треугольникамъ ОМТ и 0№М. Стороны безконечно малаго треугольника МтМ1 суть ММ' = тМ' = ^г. Стороны треугольника ОМТ суть МТ=Т—касательная, 0Т=8(—суб-тапгепсъ, ОМ.=т радіусъ векторъ. Стороны треуголь
ника ОТІМ имѣютъ значенія: М1Т = ТУ—нормаль, 0Тг = 8п— субнормаль п ОМ=г. Уголъ тММ* = 90"—0 — ОТМ\ тМ’М=Ь. Пзъ треугольниковъ ОМТ н МтМ' имѣемъ слѣдующія пропорціи:
8<___тлір Т __д8 8,, _ __ &3
г сіг ’ т дг ’ г гхір' г г.Цр
слѣдовательно
8>^9 ^7’ 7 = 7й-"’ 8»~9 ’
3. Пояснимъ изложенную теорію
на частныхъ примѣрахъ.
Кривая, представляемая уравненіемъ называется - логариѳмикой. Не
трудно составить себѣ нонятІе о ея видѣ. Прп ж = о изъ уравненія кривой нахо-2/ = Д. Слѣдовательно, кривая пересѣкается съ осью у на разстояніи отъ начала координатъ равномъ единицѣ. Пусть это разстояніе равное единицѣ будетъ .40 (фпг. 7).
Фиг. 7.
При возрастаніи х въ положительномъ смыслѣ ордината кривой постепенно увеличивается п кривая представляетъ безконечную вѣтвь АС. Перемѣняя знакъ прн ж, даемъ уравненію кривой впдъ у — а~'Г = —. Съ возрастаніемъ здѣсь а
числовой величины ®, ордината постепенно уменьшается и кривая по лѣвую сторону оси у приближается къ оси х. Это приближеніе ординаты
къ нулю происходитъ по мѣрѣ возрастанія х до оо. слѣдовательно, разсматриваемая кривая какъ бы стелится по оси х п эта ось,.относительно разсматриваемой кривой, есть асимптота. Легко видѣть, что субтангеисъ логариѳмики есть постоянная
величина;
уравненія
х - ІГ
мы видѣли, что суотангенсъ представляется произведеніемъ у -&- Изъ разсматриваемой кривой
_ а
' (Іх Це
а потому субтангенсъ логарпѳмнкп есть Ь§е, пли модуль.
Разсмотримъ еще одну весьма примѣчательную кривую, называемую циклоидой п опредѣлимъ свойства касательной и нормалп этой крпвой.
Представпмъ себѣ, что кругъ №МВ (фпг. 8) катится по оси ж, тогда нѣкоторая его точка М будетъ оппсывать особаго рода крпвую МРЬ} называемую циклоидой. Пусть начало координатъ О служитъ и началомъ движенія. Мы предпо-
Фиі. 3.
лагаемъ такпмъ образомъ, что прп началѣ движенія кругъ производитель касался оси ж въ началѣ координатъ н тогда пмѣлъ положеніе ОАР. Очевидно, что та же точка круга возвратится къ осп ж, послѣ того какъ кругъ сдѣлаетъ цѣлый оборотъ. Это возвращеніе образующей точкп къ осп ж будетъ пмѣть мѣсто на разстояніи отъ начала координатъ равномъ длинѣ 01^ которая въ этомъ случаѣ очевидно представляетъ развернутую отъ начала координатъ длину окружности образующаго круга. Отъ продолженія движенія будутъ повторяться вѣтви кривой, совершенно подобныя вѣтви ОАЕРЬ.
Чтобы составить уравненіе кривой, найдемъ соотношеніе меледу координатами ж п у точкп М для всякаго положенія образующаго круга. Эти координаты точки М суть
х=0Я—(№^0<^ у = = С(х
_18_3 _
По Ой есть развернутая дуга 2ІЙ. Назвавъ чрезъ со уголъ МСй (или дугу его для радіуса равнаго единицѣ) для радіуса В. = ЙС эту дугу выразимъ чрезъ і?со. Кромѣ того $й = В. 5Іп со; С(л = В. соз со. Слѣдовательно
х В.ы — В 8іп со;
у = В — К, соз со.
исключивъ пзъ этихъ уравненіи со, найдемъ соотношеніе между х п у для всякаго угла со, другими словами, для всякаго положенія образующаго круга. Это соотношеніе и будетъ уравненіемъ циклоиды. Для этого исключенія послѣднее уравненіе даетъ
соз со —
8ім2 со
— С082 СО =
эн
2
. у'у^В — у) .
51Л СО = --75----- ,
11
со = агс со$
По внесеніи этого въ первое уравненіе найдемъ
х — В. агс ( соз =
но производную будетъ проще найти не по этому уравненію, а по отдѣльнымъ выраженіямъ координатъ. Этп выраженія даютъ
(Іу = В. 5ІП со. (ІЫ
откуда
(Іх
Субнормаль вообще равна у , слѣдовательно для цпклоиды
СѵХ
субнормаль = }/у (2 В — у)
Слѣдовательно, субнормаль циклоиды представляется линіей §й, пбо извѣстно, что М& = $й = . &й.
Если $й есть субнормаль, то линія Мй есть нормаль циклоиды въ точкѣ ЛІ Итакъ заключаемъ, что нормаль цпклоиды всегда проходитъ чрезъ точку прикосновенія круга производителя къ той линіи, по которой онъ катится, образуя циклоиду.
Далѣе мы видимъ, что
нормаль = |/6\ДГ2 ІІІ&- = у/у- -у- у (іІІ — у') = у/2Иу
итакъ нормаль равна хордѣ ЛПУ, а касательная къ циклоидѣ совпадаетъ слѣдовательно съ дополнительною хордою НПЗ.
Для поясненія изложенной теоріи, рѣшимъ еще такой вопросъ: требуется опредѣлить уголъ, подъ которымъ квадратная парабола, выражаемая уравненіемъ у'- = 2ах, пересѣкается съ кривой третьяго порядка, представляемой уравненіемъ а?3— ^аху А-у3— о п называемой Декартовымъ листомъ. Замѣтимъ, что подъ угломъ составляемымъ кривыми, мы разумѣемъ уголъ касательныхъ, проведенныхъ черезъ точку пересѣченія къ той и другой кривой. Слѣдовательно, для рѣшенія вопроса прежде всего необходимо опредѣлить тѣ точки, въ которыхъ данныя кривыя пересѣкаются, а потомъ чрезъ эти точкп къ той п другой провести касательныя п опредѣлять уголъ между этпмн послѣдними.
Координаты точекъ пересѣченія должны удовлетворять уравненіямъ обѣихъ кривыхъ. Велпчпны х — с п у —о удовлетворяютъ даннымъ уравненіямъ, слѣдовательно, разсматриваемыя крпвыя пересѣкаются въ началѣ координатъ. Найдемъ другую точку пересѣченія.
у-
Изъ уравненія параболы имѣемъ —, внеся это въ уравненіе кривой третьяго порядка, получпмъ
-X- - 1:
слѣдовательно
з _ з .
у = а у/ : х = а у/ г
Таковы координаты точкп пересѣченія двухъ разсматриваемыхъ кривыхъ.
Тангенсъ угла касательной въ какой либо точкѣ параболы съ осью х есть
а
~~ у
Тангенсъ угла касательной съ осью х для всякой точки второй кривой есть
(«Гх
сіу _ \с!х.' __ а.’2 — ау
сіх ~ < сГ/~\ ах — у2
Если означимъ уголъ одной касательной съ осью х чрезъ а, а другой чрезъ 6 и замѣтамъ, что
то для нашего случая это выраженіе приметъ впдъ
іап§ (а — Л) =
плп
Іап§ (а — /3) =
о о
а-х — х~у аху-\- ах1 — агу — у*
Мы имѣемъ въ виду опредѣлить наклоненіе одной касательной къ другой въ точкѣ пересѣченія кривыхъ, а потому еслп означимъ искомый уголъ чрезъ и, то тангенсъ ого получпмъ, внося въ предыдущее выраженіе вмѣсто х и у координаты второй точки пересѣченія кривыхъ, н тогда весьма легко найдемъ
или
з .....
соі8 со = |/Ч-
Поэтому заключаемъ, что искомый уголъ есть
со =. 32° 12.’ 5І
Опредѣлимъ наконецъ свойство полярной подкасательнон для коническаго сѣченія, полярное уравненіе котораго отнесено къ фокусу какъ полюсу. Еслп означимъ чрезъ уголъ радіуса вектора съ полярною осью, чрезъ р параметръ коническаго сѣченія и чрезъ е ого эксцентриситетъ, то, какъ извѣстно, полярное уравненіе коническаго сѣченія будетъ
I -т- е.соЗФ. ’ I
Вообще полярная подкасательная какъ мы видѣли выражается чрезъ
въ нашемъ случаѣ
йг р.езінф
поэтому для коническаго сѣченія
8С = —— = Р е &іп ф 8ііі ф 4 1
гдѣ Р —Уравненіемъ 8,. зіп о = Р представляется соотношеніе меледу частями С
прямоугольнаго треугольника, въ которомъ 8, есть гипотенуза, а Р-катетъ. Поэтому заключаемъ, что конецъ полярной подкасательной по мѣрѣ измѣненія угла <р описываетъ прямую лпнІю перпендикулярную къ большой оси (которую мы приняли за полярную ось) лодкасателыіая наклонена къ этой прямой подъ угломъ <р, а разстояніе прямой отъ фокуса, считая по большой осп, есть • Для параболы эта пря-С/
мая находится на разстояніи отъ фокуса равномъ удвоенному разстоянію вершппы параболы отъ фокуса, ибо въ параболѣ р — щ н с=І.
II.
Асимптоты кривыхъ ЛИВІЙ.
4. Съ касательными лппІямп имѣютъ извѣстную аналогію лпніп называемыя асимптотами. Асимптотою кривой лпніп называется такая прямая линія, къ которой разсматриваемая кривая безконечно прпблпжаотся, но никогда этой прямой недостаетъ и никогда съ пей пе пересѣкается; слѣдоватегьно асимптоту молено принять за касательную съ точкой прикосновенія, лежащей въ безконечности, плп что все равно, па безконечномъ разстояніи отъ начала координатъ.
Аепмптоты молено еще характеризовать иначе. Представивъ себѣ, что вѣтвь разсматриваемой кривой простирается въ безконечность подобно вѣтви гиперболы. Допустимъ, что въ послѣдовательныхъ точкахъ этой вѣтви, все болѣе п болѣе удаляющихся отъ начала координатъ, проведены касательныя. Всѣ этп касательныя будутъ составлять опредѣленные углы съ осью х п всѣ эти касательныя будутъ отсѣкать на осп х плп на оси у опредѣленные отрѣзки. Если этп углы п эти отрѣзки будутъ, по мѣрѣ удаленія точкп прикосновенія стремиться къ извѣстнымъ, опредѣленнымъ предѣламъ, то разсматривая кривыя имѣетъ асимптоту, которая служитъ въ свою очередь предѣломъ всѣмъ этимъ касательнымъ. На основаніи этого соображенія одинъ изъ способовъ взысканія асимптотъ вытекаетъ изъ преобразованія уравненія касательной.
Такъ какъ кривая безконечно приближается къ своей асимптотѣ, не достигая ея, то проще всего изысканіе асимптотъ основать на слѣдующемъ соображеніи. Прп
весьма большомъ значеніи х разность между ординатой кривой п ординатой точки асимптоты должна быть безконечно мала. Пусть уравненіе асимптоты какъ прямой, въ общемъ случаѣ не проходящей чрезъ начало координатъ, будетъ
у = кх 4- I
по сдѣланному замѣчанію ордината кривой для безконечно большой абецпссы должна приближаться къ этой величинѣ у, а потому ордината кривой можетъ быть представлена въ впдѣ
у = кх Ч- ? + е
гдѣ а безконечно мало для безконечно большаго х. Изъ этого уравненія пмѣемъ
такъ какъ I предполагается для существованія асимптоты конечною опредѣленною величиною, то. одинъ изъ параметровъ аспмптоты, именно опредѣлптся изъ условія
Ііт = Ит (1с 4- ~Т~ \х; \ х /
но такъ какъ предѣлъ берется прп х=со, то понятно что
=к,
\ X /
Итакъ
й = (1)
\х/ ѵ '
при я = Что касается до другаго параметра, то пзъ приведеннаго выше выраженія ординаты крпвой пмѣемъ
у— 1сх = I + а
и такъ какъ е = о прп # = оо, то понятно, что
I = Гіпі (у — кх} (2)
прп х = со.
Итакъ для опредѣленія параметровъ аспмптоты мы должны пользоваться выраженіями (1) и (2). Для опредѣленія параметра к въ уравненіи данной крпвой, для которой ищется асимптота, слѣдуетъ положить - равнымъ новому перемѣнному, напр. 8 и искать предѣлъ, къ которому стремптся это перемѣнное (опредѣленное пзъ уравненія кривой) по мѣрѣ того какъ х возрастаетъ до безконечностп. Этотъ предѣлъ п будетъ постоянною к въ уравненіи аспмптоты.
Какъ скоро к найдено, то посредствомъ него пзъ уравненія крпвой слѣдуетъ составить функцію у—кх, которую примемъ за новое перемѣнное, напр, і, п искать къ какому предѣлу будетъ стремиться это перемѣнное, по мѣрѣ того какъ
-х стремится къ безконечности. Этотъ предѣлъ по выраженію (2) п будетъ величиною I.
Пояснимъ эти нравнла на частныхъ примѣрахъ. Найдемъ асимптоту для кривой представляемой уравненіемъ
у = Ах -}- В — X
откуда
X X Л’“
прп X = со
к = Ііт = А \х;
Такъ какъ А = 7і, то пзъ уравненія кривой имѣемъ
і — ?/ — ііх — В + — ” х
при X = СО
Ііт (?/ — к.х) = 1 = В слѣдовательно уравненіе асимптоты для разсматриваемой кривой будетъ г
у = Ах -і- В.
Найдемъ асимптоту логариѳмики:
?/ = а
Раздѣливъ обѣ части на х. имѣемъ
у___а
х х
Итакъ новое перемѣнное въ этомъ случаѣ есть
а я = — х
прп ж = со эта величина г становится неопредѣленною, но при х ——со
Ііт (г) = о а такъ какъ
]ііп Пн = Ііт (г) — к
то к~ о. Слѣдовательно асимптота логариѳмики составляетъ съ осью х уголъ равный нулю.
Для опредѣленія другаго параметра I асимптоты мы должны искать къ чему стремится у — 1сх~і при найденномъ значеніи 7; п прп & =—со; по прп 1с — о
і -- Нш (у)
По уравненію кривой у^а", что при х =— со обращается въ нуль, слѣдовательно ось х сама служитъ асимптотою логариѳмикѣ.
Изложеннымъ способомъ найдемъ всѣ асимптоты за исключеніемъ тѣхъ, которыя параллельны осп у, ибо для этихъ ассимптотъ I изъ выраженія Ііт (у—кх):=1 опредѣлить нельзя, потому что прп 1с = оо п у = со, такимъ образомъ величина I дѣлается неопредѣленною. Въ этомъ случаѣ надо полагать у = оо, а не а; = оо.
при такихъ условіяхъ. Кривая образуется движеніемъ точкп М (фиг. 9) находящейся на пересѣченіи радіуса вектора. ОЛ1 п перпендикуляра РМ. Обѣ этп линіи находятся въ непрерывномъ движеніи, которое начинаютъ съ точкп А п движутся такъ, что радіусъ векторъ вращается около точкп О, а перпендикуляръ перемѣняется справа па лѣво параллельно самому себѣ. Оба движенія равномѣрны п выра-
мъ
кривую лилію ооразующуюсл (Фил. 9).
кЖ
жаются слѣдующей пропорціей.
2
Л/Ож —©, ОР = х п гдѣ подъ а разумѣемъ постоянную велпчпну. При
этихъ означеніяхъ пропорція приметъ впдъ
аз а — х і? а
Пзъ прямоугольнаго треугольника О1ІР пмѣемъ
ЛІР = х. іап§ <р
илн у = внося сюда вмѣсто © его величину пзъ предыдущей пропорціи,
получимъ уравненіе разсматриваемой кривой въ впдѣ
Эта кривая будетъ состоять пзъ вѣтвн А13М* н безчисленнаго множества побочныхъ вѣтвей СІ), С’ІУ.... РР, Е’Р’.... Изъ этого уравненія мы видимъ, что при х=~а, х — и т. д. кривая пересѣкается съ осью ж, ибо для этихъ зна
ченій х другая координата і/ = о. При х — о мы впдпмъ изъ предыдущаго уравненія, что ордината принимаетъ неопредѣленный впдъ, она обращается въ о.со. Но опредѣлить по извѣстному правилу значеніе ординаты въ началѣ координатъ, т. е, прн х — о не трудно. Бъ самомъ дѣлѣ, представимъ уравненіе кривой въ впдѣ
іа и"
У =------
прп ж = о это обращается въ Взявъ отдѣльно производныя отъ числителя п знаменателя, находимъ
2а
С052 ' —-----
\ 2а
прп а' = о, эта дробь обращается въ —. Взявъ снова производныя отъ числителя
О
п знаменателя, пмѣемъ
5111
а
что прп х — о снова обращается въ Обращаясь снова къ отношенію производ
ныхъ числителя и знаменателя, получпмъ
что прп х о обращается въ
2 а
7? таково значеніе ординаты въ началѣ коордппамъ.
Принимая въ уравненіи кривой х — Ѵ-4.а п т. д.. мы находимъ, что для этпхъ абсцисъ ординаты обращаются въ безконечность. Изъ всего этого можно заключить что разсматриваемая кривая состоитъ пзъ одной вѣтвп вида АВМ' н безчисленнаго множества побочныхъ вѣтвей 01), СЧУ...... ЕЧ?',... Такая кри-
вая называется Квадратриксой Дгіно страта.
Найдемъ аспмптоты этой кривой. Представимъ уравненіе кривой въ впдѣ
пусть — — тогда предыдущее представляется въ видѣ
плп
(а \
те І-----я} . . ,
\у / 1 Л 1
-----------— — агс іаіщ = —
2« у \ я
полагая здѣсь у = со, должны будемъ считать 1Ііп(Ѵ) — —о, ибо какъ бы не былъ тангенсъ дуга его будетъ конечная, а потому прп у = <х> вторая часть обра-щается въ нуль.
Дѣлая у=со, мы вмѣстѣ съ тѣмъ принимаемъ, что уравненіе аспмптоты имѣетъ впдъ
х — Іс'у -р і
теперь мы нашли, что 7? = о, слѣдовательно х-~^і при </=со. Полагая х=і въ данномъ уравненіи находимъ
если х=.~і, то у должно обратиться въ безконечность, но для этого необходимо чтобы
Ііш і — I1 ~згі 2а ; — 4а; — ба и т. д.
слѣдовательно квадратрпкса имѣетъ безчисленное множество асимптотъ п всѣ онѣ, будучи параллельны осп ?/, отстоятъ одна отъ другой на разстояніе 2а.
5. Еслп уравненіе данной кривой есть алгебраическое раціональное, то изысканіе асимптотъ параллельныхъ оси у можетъ быть основано на слѣдующихъ соображеніяхъ.
Предположимъ, что уравненіе данной кривой представлено въ формѣ конечнаго пли безконечнаго ряда членовъ, расположенныхъ по убывающимъ степенямъ у\ такъ-что уравненіе кривой имѣетъ впдъ
/(«) у™ у 1.Ф (ж) 4-...............— о
гдѣ I > т > п....... Еслп кривая имѣетъ асимптоту' параллельную осп у, то она
стелится по прямой параллельной оси у, а слѣдовательно уравненію данной крпвой должно удовлетворять у=еа прп нѣкоторомъ конечномъ значенія х. Еслп у — оэ прп ж = о, то сама ось у служитъ асимптотой крпвой. Итакъ требуется найти то конечное значеніе х, которое удовлетворяетъ данному уравненію прп з/=со. Раздѣливъ предыдущее уравненіе на у', имѣемъ •
ГИ + </"-'р О) + гЛ' ф и +..............= о
плп
№9 + ,4;, + 4 Ф> И +............= °
• < І-/
Но такъ какъ по условію всѣ разностп I—т, 1 — п п т. д. положительны, то прп у=со всѣ члены кролѣ перваго исчезаютъ н остается /’(ж) = о; это уравненіе и служпта, для опредѣленія значенія ж, т. с. той абсцнсы, для которой должна быть проведена ордината какъ асимптота параллельная оси у. Понятно, что эта величина ж, удовлетворяющая уравненію /’(ж) = о, не должна обращать въ безконечность функцій ^(ж), Ф(х} п т. д.
Въ частномъ случаѣ, когда уравненіе данной кривой /'(ж,у) = о разлагается на нѣсколько однородныхъ функцій отъ х и у, т. с. на сумму однородныхъ функцій различныхъ измѣреній, тогда изысканіе асимптота, можетъ основываться на слѣдующихъ соображеніяхъ. Пусть степени отдѣльныхъ однородныхъ функцій будутъ т, п..... прп этомъ пусть ш > п >..........Предположимъ, что уравненіе располо-
жено по убывающимъ степенямі, однородныхъ функцій. Пусть данное уравненіе кривой будетч, такпма, образомъ представлено ва, видѣ
(3]
п величина 1с (къ которой кака, къ предѣлу стремптся перемѣнное $ = прп
ж = оо) опредѣляется въ этомъ случаѣ пзъ уравненія
откуда
При х = со всѣ члены кромѣ перваго исчезнутъ и такъ какъ 7с = Ііін то всѣ значенія 7с опредѣлятся пзъ уравненія о; послѣ этого остается опредѣлить
другой параметра, I въ уравненіи асимптоты у=1сх-\-1. Но мы впдѣлп, что I есть предѣла, величины і — у — іех, принимаемой за новое перемѣнное, такъ что I = Ііт (^ = Ііін (у — Ісх} прп ж — со, Слѣдовательно еслп внесемъ въ данное уравненіе вмѣсто у величину Ісх -р- гдѣ пода, 1с разумѣема, величину параметра 1с найденнаго пзъ уравненія ]?(1с) = о, то получимъ уравненіе, которое будета, содержать перемѣнное Еслп найдема, пзъ этого уравненія значеніе і при условіи х = оо, то это предѣльное значеніе і и будета, пскомыма, параметромъ 2, ибо ііт (7) — I.
Птакъ, внося въ уравненіе (3) вмѣсто у величину у = 1сх-\'і, приводимъ это уравненіе къ виду
но
гдѣ, какъ извѣстно, 0 есть правильная дробь. Мы вндѣлн, что Р(7с) = о, поэтому
слѣдовательно уравненіе (4) принимаетъ видъ
или
ЛІ--Л —
= О.
(5)
Теперь для опредѣленія I слѣдуетъ пзъ этого уравненія вычислить і прп ж —со, т. е. найти тотъ предѣлъ, къ которому стремится і по мѣрѣ того, какъ х возрастаетъ до безконечности.
Но понятно, что мы получпмъ отсюда различныя значенія I какъ предѣла і прп ж = со, смотря по тому, какова разность т— п. Еслп п < т— I, то I какъ Ніи (і) прп ж = со опредѣлится изъ уравненія
I. (1с) = о
ибо прп ж = оо въ этомъ случаѣ всѣ члены ряда кромѣ перваго обращаются въ нулп. Еслп уравненіе не имѣетъ равныхъ корней, хо прп = о, функція 2Г' (1с) въ нуль не обращается, п тогда предыдущее уравненіе удовлетворяется прп условіи
I — о.
Такпмъ образомъ въ случаѣ т — п > I всѣ аспмптоты проходятъ черезъ начало координатъ, а соотвѣтствующее каждой асимптотѣ значеніе 1с опредѣлится пзъ уравненія 1?(1с) = о. Уравненіе аспмптоты въ этомъ случаѣ есть
у Ісх
Такпмъ образомъ, исключивъ пзъ уравненій у = 1сх п Р(&) —о величину 1с, по-
лучпмъ увавненіе
которое представляетъ всѣ аспмптоты, въ случаѣ п < т—I, за исключеніемъ асимптотъ параллельныхъ оси у. Замѣтимъ, что послѣднее уравненіе можно замѣнить уравненіемъ
ж'" ? ® о
\Ж/
Еслм т — п = нія (5) пмѣемъ
то принимая ж = се п помня что Ііпі(і) — I, пзъ уравне-
откуда
СЮ
въ этомъ случаѣ уравненіе асимптоты есть
Наконецъ, еслп « > т — 1, прп х = со п I = со, что показываетъ, что асимптоты нѣтъ.
Пояснпмъ изложенное теперь правило изысканія асимптотъ на частныхъ примѣрахъ.
Найдемъ асимптоту Декартова листа. Уравненіе этой крпвой есть
у3 + а;3 — ху = о
старшая однородная функція есть ?/3-)-я3, слѣдующая за ней функція перемѣнныхъ есть —зал’у. Итакъ въ нашемъ случаѣ
по найденному правилу опредѣлимъ параметръ 7с, приравнивая
нулю. Итакъ въ
нестоящемъ случаѣ пмѣемъ
. 11
это уравненіе имѣетъ только одинъ дѣйствительный корень — = — 1, два другіе
корня мнимые; итакъ въ нашемъ случаѣ к = — 1, а слѣдовательно уравненіе у = кх + і въ нашемъ случаѣ обращается въ у — — х + і. Для опредѣленія I внесемъ эту величину въ данное уравненіе, тогда оно получитъ впдъ
73 -Ь ух? і — усі? + за#2 — за іх— о
откуда
За
что прп х — ххі даетъ
Ііш (?) — I — — а.
Но величина I въ разсматриваемомъ случаѣ можетъ быть опредѣлена и прямо по общему выраженію (6). Мы видимъ прежде всего, что для уравненія Декартова
листа ш = з и п—2 поэтому эп — я = 1; изъ этого прямо заключаемъ, что асимптота разматриваемой кривой но проходитъ чрезъ начало координатъ. Далѣе мы видимъ, что =№ 4- 1; /’(7е)= — зай, слѣдовательно В1 (1с) и въ нашемъ случаѣ по выраженію (6)
при 1с ——1, т. е. 1=—а, что согласно съ результатомъ выше найденнымъ. Итакъ искомая асимптота имѣетъ уравненіе
у — — х — а
Слѣдовательно асимптота Декартова листа дѣлаетъ на обѣихъ осяхъ равные отрѣзки п составляетъ съ осью х уголъ І350. Декартовъ листъ имѣетъ форму АВС (фпг. 10) и асимптотою ему служитъ пря-
мая ВЕ отсѣкающая на осяхъ х и у равные отрѣзки ВО—&О= — а.
Найдемъ асимптоты кривой
4Ж3 — (а 4- з®) (х2 + у2)
Какъ увидимъ сейчасъ, въ этомъ уравненіи коеффпціентъ прп старшей степени у есть функція я, а потому возможна асимптота параллельная осп у\ ее прежде п найдемъ. Для этого разложимъ уравненіе крпвой по степенямъ у, тогда оно приметъ впдъ
у2 (а 4- з») 4*ах2 — щ3 = о.
Полагая по извѣстному правилу коеффпціентъ прп старшей степени у равнымъ нулю, пмѣемъ «4~ зж = °, откуда
а
х —------
3
пто и представляетъ асимптоту параллельную оси у. Для разысканія другихъ асимптотъ расположимъ данное уравненіе по степенямъ х и такпмъ образомъ дадимъ ему впдъ
для этого уравнанія ш=з и я = 2, слѣдовательно ип — п=\ н асимптотъ, проходящихъ чрезъ начало координатъ, кривая не имѣетъ.
Въ нашемъ случаѣ
слѣдовательно
Е (Ь) = з/с2 — -і
для опредѣленія к имѣемъ
З^2 — ‘І=о
откуда
к :- +
ѴЗ
Кромѣ того мы впдпмъ, что
Е<(к) = вк
слѣдовательно, опредѣляя параметръ 1 по выраженію (6), имѣемъ
6к
прп к=^і—_. Такимъ образомъ
ѴЗ
_____ га
~~ зуГ
п уравненіе искомыхъ аепмптотъ есть
У = — ( —-4=^ \Уз зѴз/
итакъ крпвая имѣетъ одну асимптоту параллельную оси у п двѣ другія, также не проходящія черезъ начало координатъ, пзъ которыхъ одна наклонена къ осп х подъ угломъ зо°, а другая подъ угломъ І500.
Найдемъ аепмптоты крпвой
(х + а) у2 = + Ь) х2
Такъ какъ въ этомъ уравненіи коеффпціентъ прп старшей степени у есть функція ху а коеффпціентъ прп старшей степени х есть функція у, то разсматриваемая кривая имѣетъ двѣ аепмптоты, изъ которыхъ одна параллельна осп л?, а другая параллельна осп у. Эти аепмптоты опредѣляются уравненіями х~\-а = о и у-^Ъ = о’ асимптота парелленьная осп у есть х =— а\ а асимптота параллельная оси х есть у = — Ъ. Кромѣ того мы впдпмъ, что уравненіе разбивается на двѣ однородныя функціи по х п у\ въ самомъ дѣлѣ данное уравненіе есть
жу2 + ау1 — ух2 — Ъх2 = о
что приводятся къ виду
такъ какъ въ этомъ случаѣ т = зия = 2, то да—и=1 я кривая имѣетъ еще асимптоту, которая не проходитъ черезъ начало координатъ. Въ разсматриваемомъ случаѣ
поэтому для опредѣленія параметра А пмѣемъ уравненіе
= 7с2 — 7с = о
откуда 7с =о я 7с —1, но 7с—о соотвѣтствуетъ уже найденной аспмптотѣ, а потому значеніе 7с для асимптоты, не проходящей черезъ начало координатъ, есть 7с = 1. Для опредѣленія параметра 7 пмѣемъ
-ф) -№-і) ~ Л— 1
при 7с —1; слѣдовательно 7 — 5— а, отсюда также видно, что корень 7с—о соотвѣтствуетъ асимптотѣ параллельной оси ж, ибо при & = о, 7 =—Ь. Итакъ разсматриваемая кривая имѣетъ асимптоты
х =— а; у —— Ъ; у — х + Ъ—а.
Найдемъ еще асимптоты для кривой
(у — 2а?) (у2 — ж2) — а {у — х)2 4а2 (у -г з?) — л3 = о.
Это уравненіе при высшей степени у не содержитъ множителя функцію я; и на оборотъ, а потому заключаемъ, что данная кривая асимптотъ параллельныхъ осямъ координатъ не имѣетъ. Легко видѣть, что данное уравненіе состоитъ изъ трехъ однородныхъ функцій и представляется въ впдѣ
-г 4а2 (ж 4- у) — а2 = о.
такъ какъ «г —3 и к = 2, то кривая не имѣетъ асимптотъ, проходящихъ черезъ начало координатъ. Въ нашемъ случаѣ
слѣдовательно для опредѣленія параметра 1с пмѣемъ кубическое уравненіе вида 7ѵ3 — 2ІС1 — ІС 2=0
корни этого уравненія суть
1с =- і; 1с г — I; 1с = 4" 2 •
слѣдовательно всѣхъ асимптотъ крпвая имѣетъ три.
Для опредѣленія другаго параметра I будемч. пользоваться выраженіемъ , -т
которое въ пашемъ случаѣ принимаетъ видъ аіе? — 2а1с 4~ а
6 = — 4Іс^Т
При 1с = 4-'1, Л =—-I 11 й=2 отсюда находимъ
7 —о, 1-^-а, п 1 = -
3 3
слѣдовательно уравненія аепмптотъ разсматриваемой кривой суть за , а
у—х\ у — — х Ч---------; у — 2х4-------
Первая пзъ этпхъ асимптотъ проходитъ чрезъ начало координатъ, чего по внѣшне’ му виду уравненія кривой предвидѣть было нельзя.
Укажемъ еще па одинъ примѣръ подобный этому.
Будемъ вращать прямую около постоянной точки А (фпг. 11) и па этой прямой въ каждомъ ея положеніи отъ пересѣченія В съ осью абецпсъ будемъ
Фіа. 11.
откладывать равные между собою и постоянные по длинѣ' отрѣзки ВМ и ВМ'\ тогда крпвая, проходящая чрезъ всѣ точкп, построенныя подобно точкамъ М п М’, называется Конхоидою Пико меда (раковинообразною кривою) она состоитъ пзъ двухъ вѣтвей, лежащихъ сверху и снизу осп х. Въ случаѣ разстоянія АО^=Ь-постоянной точкп отъ х мепь-
міаго нежели отрѣзокъ ВМ=т, нижняя вѣтвь изгибается въ видѣ узла.
По этимъ условіямъ построенія кривой составимъ ея уравненіе. Изъ подобныхъ треугольниковъ Л/іРТЗ и АОВ пмѣемъ
МР _ РВ у _ РВ
Аб~~ ОВ МП ОВ
по послѣдней пропорціи составляемъ другую
пли
но РВ — у'г2— у\ поэтому уравненіе Конхоиды будетъ
откуда
(і/ -г й)2 (г2 — і/2) = х-.у2
Это уравненіе можетъ быть приведено къ виду суммы однородныхъ функцій. Въ самомъ дѣлѣ, раскрывая его, находимъ
гдѣ слѣдовательно
поэтому
В (!•) = к* + к2; к3
понятно, что въ этомъ случаѣ обыкновенный пріемъ опредѣленія I примѣнить нельзя. Уравненіе В{к} — о въ нашемъ случаѣ даетъ одинъ дѣйствительный корень; въ самомъ дѣлѣ уравненіе
Г(74 = й2(7?-Ь 1) = о.
имѣетъ дѣйствительный корень 1і = о; и производная ^(/г) имѣетъ тотъ же корень. Въ виду этого, принимая к — о, величину у=кх + і=і внесемъ въ уравненіе крпвой, которое послѣ этой подстановки приметъ впдъ
(7 + (г2 — г2) = а2 І2.
откуда
2_(і-^Ь)2(г2
“ л.<2
что прп х = со даетъ Ппіі1=7 = о. Итакъ оспмптотой крпвой служитъ самая ось абсцисъ, о чемъ нельзя было заключить по внѣшнему впду уравненія крпвой.
Если радіусомъ г опишемъ пзъ точки находящейся на оси х кругъ АОф (фпг. 12), проходящій черезъ начало координатъ, потомъ пзъ начала координатъ
Фиг. 12.
будемъ проводить прямыя подъ различными углами къ осп х и на нихъ брать отрѣзки й'М, считая отъ касательной А7і, равные хордамъ Оф, то точкп, построенныя подобно точкѣ М, будутъ принадлежать кривой, называемой Циссоидой Діокмса. Эта кривая будетъ состоять изъ двухъ вѣтвей ОМ и ОЛТ; чтобы составить ея уравненіе, замѣтимъ, что проложенія 02? и ЛР лпній 0(3 и М8, между собою равныхъ, также будутъ равны, итакъ ОЕ — ЛР, кромѣ того будутъ между собою равны и линіи ОР п АВ. Подобные треугольники О(ЗЕ п ОМР даютъ
.ѵ _ х ОЕ
но ОЕ = аг — АЕ = 2г — ОР 2г — х, а ($Е есть средняя пропорціональная между частями ОЕ и АЕ діаметра, слѣдовательно
$Е2 = ОЕ. АЕ.
или
фВ2 =(2Г — х'у.х.
Слѣдовательно, возвышая въ квадратъ предыдущую пропорцію, находпмъ у2 (гг — ж) х
X2 (2Г — ж)2
пли
х3 = (2г— ж) ,д2
что п представляетъ уравненіе разсматриваемой крпвой.
Въ этомъ уравненіи коеффпціентъ прп старшей степени у есть функція ж, а потому заключаемъ, что разсматриваемая кривая имѣетъ асимптоту параллельную оси у. Полагая по извѣстному правилу коеффпціентъ прп старшей степени у равнымъ нулю, находпмъ
2Г — х = о.
откуда х = 2г, слѣдовательно асимптота находится отъ начала координатъ на разстояніи діаметра и служитъ кругу касательной. Лпнія Аіі и есть асимптота.
Приводя данное уравненіе къ виду суммы однородныхъ функцій, имѣемъ
слѣдовательно въ этомъ случаѣ
№ + 1 = о
и уравненіе
дѣйствительныхъ корней не имѣетъ, а потому разсматриваемая кривая, кромѣ найдепной асимптоты, другихъ не имѣетъ.
Разсмотримъ наконецъ кривую извѣстную подъ именемъ Скифоиды^ она образуется прп слѣдующихъ условіяхъ. На осп ординатъ возьмемъ отрѣзокъ ОЕ — а
Фиі. 13.
(фпг. 13), чрезъ точку Е нроведемъ прямую и пзъ пересѣченія ея съ осью х въ Е возставимъ перпендикуляръ къ ЕЕ\ на этомъ послѣднемъ, начиная отъ точкп 2?, отложимъ двѣ равныхъ прямыхъ МЕ п МЕ, по длинѣ равныхъ отрѣзку ОЕ, такъ что МЕ ОЕ. Кри-
вая, проходящая чрезъ точкп построенныя подобно точкамъ М п Л, будетъ пмѣть видъ вѣтвей ОЕ, О И, ОЕ' и ОМ'; эта кривая, какъ мы сказали, носитъ названіе Скнфоиды. Чтобы составить ея уравненіе, пзъ треугольника ЕМР
имѣемъ
?/2 = МЕ2 — (ж — ОЕ}2 =2х0Е — х2
откуда
ОЕ —
У2
кромѣ того изъ подобныхъ треугольниковъ ЕМР и ОІ)Е находпмъ
у ОЕ
ОЕ а
внося сюда вмѣсто ОЕ предыдущую величину, имѣемъ
40. ух2 = (щ2 — у2} (х2 + у2}
или
40 ух2 = х* — у*
что и представляетъ собою уравненіе Скпфопды. По внѣшнему впду этого уравненія заключаемъ, что разсматриваемая кривая не имѣетъ асимптота, параллельныхъ
осямъ координатъ. Приводя уравненіе Скпфопды къ виду суммы однородныхъ функцій, находимъ
слѣдовательно въ пашемъ случаѣ
Уравненіе
к1 — 1 = с
имѣетъ четыре корня, но только два пзъ ппхъ дѣйствительные, именно к = I п к = —1. Слѣдовательно кривая можетъ имѣть двѣ аспмптоты. Для опредѣленія параметра I будемъ пользоваться уравненіемъ
7__ Я*) ~ іда
что въ пашемъ случаѣ для к — -4-} и к~—'I принимаетъ впдъ I =— а, поэтому уравненія двухъ асимптотъ кривой суть
у — х — а и у = — х — а.
Этп аспмптоты, наклоненныя къ оси х подъ углами 45 0 н 135°, суть прямыя АР п АЯ.
ІП.
Особыя точки кривыхъ линій.
6. Въ рѣшаемыхъ нами до сихъ поръ геометрическихъ вопросахъ почти исключительное значеніе пмѣла первая производная функція ординаты по абсцпсѣ. Вторая производная функція также имѣетъ свое геометрическое значеніе, ею опредѣляется расположеніе выпуклости или вогнутости крпвой относительно оси х.
Крпвая въ одной изъ ея точекъ называется вогнутою относительно данной лн-Фиі. а. ніи, еслп части кривой, идущія отъ этой точки въ
ту п другую сторону, заключаются въ остромъ углѣ у составленномъ данной прямой п касательной проведеп-
, ной къ кривой въ разсматриваемой точкѣ. Такъ крп-вая АРР (фиг. 14) вогнута относительно оси агояъ, ибо части ея АР и ближайшія къ точкѣ Р
/7 расположены внутри остраго угла Ркхл составлен-
0 / /4__________ѵ наго пзъ касательной Рк въ разсматриваемой точкѣ
'К и оси х. Если же, напротивъ, части крпвой ближай-
шія къ точкѣ прикосновенія касательной будутъ распололсены внѣ упомянутаго
остраго угла, то крпвая обращена выпуклостію Къ осп х. Такъ крпвая АРР (фпг. 15) выпукла относительно осп ибо части ея АР п РР расположены внѣ остраго угла РКх.
Не трудно найти аналитическій признакъ выпуклости плп вогнутости извѣст-
ной кривой относительно извѣстной осп. Еслп крпвая въ точкѣ Р (фпг. 15) обра-
щена выпуклостію къ оси
я, то для абсцнсы точки Р измѣненной положительнымъ или отрицательнымъ прпращеніемъ, т. е. для абсциссы х 1ъ ординаты точекъ кривой будутъ болѣе ординатъ соотвѣтствующихъ точекъ касательной. Но крайнѣй мѣрѣ это будетъ имѣть мѣсто для 7г заключающагося между нулемъ п извѣстнымъ предѣломъ.. Еслп же кривая обращена вогнутою стороною къ осп ж, то ординаты точекъ крпвой ближайшихъ къ точкѣ Р будутъ менѣе ординатъ соотвѣтствующихъ точекъ касательной.
Пусть координаты точки Р (фпг. 15) будутъ ха и у0, координаты нѣкоторой точки « разсматриваемой крпвой пусть будутъ уг и Л’о-і-7г. Координаты соотвѣтствующей точки касательной, т. е. точки Ъ означимъ чрезъ у2 и Л’о 4- 1і. Тогда еслп у — ^(х~) есть уравненіе разсматриваемой крпвой, то вмѣстѣ еъ нимъ пмѣемъ
ибо координаты точекъ Р п а, какъ лежащихъ на крпвой, удовлетворяютъ этому уравненію. Послѣднее уравненіе по разложеніи даетъ
ГЫ Н~ —- /" (-г- 4- Ѳ?о
(О
гдѣ ос Ос I. Уравненіе касательной въ точкѣ Р можетъ бытъ наппсано въ видѣ
т| — Уа — /'^') —я0).
Точка Ъ лежитъ на касательной, а потому координаты ея должны удовлетворять этому уравненію. Пусть Ті = уг-> тогда ^ = д;0-|-7г слѣдовательно уравненіе касательной даетъ
У2^Уо—
плп
У2 ~ /Х^о) = & /' (а-')
вычитая это уравненіе изъ уравненія (1), пмѣемъ
Уі
У 2
/>п (а; + 07г)
при достаточно маломъ 7г эта разность очевидно будетъ пмѣть одинакій знакъ со
знакомъ р'(х). Слѣдовательно если /“"(.г') будетъ положительна, то кривая будетъ обращена выпуклою стороною къ оси х, ибо тогда около точкп прикосновенія уу — у2 о. Еслп же /“"(х) отрицательна, то разсматриваемая кривая обращена вогнутостію къ осп х.
Па (фиг. 15) мы представили кривую выше осп х, если же кривая расположена ниже этой оси, то абсолютныя велпчпны ординатъ точекъ а и Ъ будутъ — Ух —Ут Слѣдовательно если кривая расположена подъ осью х, то она обращается выпуклостію къ этой оси, еслп разность — уг у2 положительна или, что все равно, еслп /" (х} отрицательна. Кривая расположенная внизу осп х будетъ обращена къ ней вогнутостію, еслп производная і" (х) будетъ положительна.
Оба случая расположенія кривой, выше плп ниже оси іг, можно представить с?2?/
одной формулой. Еслп произведеніе ^г'(ж) плп у-^-~ будетъ положительно, то кри-
вая будетъ обращена выпуклостію къ осп ж, какъ ложена относительно осп ж, выше плп нпже ея,
бы эта кривая не была распо-
нбо вь этомъ
случаѣ у и
СІХ1
будутъ пмѣть одинакіе знаки.-Еслп же произведеніе
будетъ отрицательно, то кри-
вая будетъ обращена къ оси х вогнутостію.
Итакъ изгибъ крпвой характеризуется знакомъ второй производной. При одномъ направленіи изгиба эта иропзводная положительна, прп другомъ отрицательна; уже изъ этого можно заключить, что для тѣхъ точекъ крпвой, въ которыхъ изгибъ измѣняется вторая производная должна обращаться въ нуль. Точка, въ которой измѣняется пзгпбъ кривой, называется точкою перегиба, эта точка характеризуется тѣмъ, что въ ней кривая линія пересѣкается своею касательною.
7. Послѣ этихъ общихъ соображеній мы можемъ перейти къ изслѣдованію свойствъ кривыхъ линій на основаніи уравненій этпхъ кривыхъ. Прп этихъ изысканіяхъ между прочимъ должно быть обращено вниманіе на такъ называемыя особыя точки кривыхъ, т. е. такія точкп, которыя представляютъ какую либо особенность, зависящую отъ свойствъ разсматриваемой крпвой, а не отъ положенія осей координатъ.
Болѣе опредѣленно характеризовать особыя точкп кривыхъ можно слѣдующимъ образомъ. Если какую нпбудь точку крпвой примемъ за центръ и опишемъ пзъ него безконечно малымъ радіусомъ кругъ, то вообще говоря, этотъ кругъ съ разсматриваемой крпвой пересѣчется въ двухъ точкахъ діаметрально протпвуполож-ныхъ, ибо радіусы круга проведенныя къ точкамъ его пересѣченія съ кривою расположатся почти на одной и той же прямой, плп выражаясь иначе, уголъ который составятъ между собою эти радіусы будетъ безконечно мало разниться отъ двухъ прямыхъ, или І8о°. Если же этого не будетъ, то точка кривой принятая за центръ есть особая точка. Подъ этимъ именемъ мы разумѣемъ:
1., Точки Фчг, 16.
Фиг. 17,
возврата (РоіШ <1е геЬтоиззетепі) т. &. талія точки, безконечно малый кругъ, изъ которыхъ описанный, пересѣкаетъ кривую въ двухъ точкахъ и радіусы, проведенные въ эти точки пересѣченія, составляютъ менаду собою безконечно малый уголъ, въ точкахъ возврата двѣ вѣтви кривой останавливаются, не продолжаясь далѣе, и имѣютъ общую касательную. Меледу этими точками различаютъ точки перваго и втораго вида, смотря потому распололсены ли двѣ вѣтви разсматриваемой кривой по обѣимъ сторонамъ общей касательной АВ (фиг. 16) или обѣ вѣтви находятся по одну сторону общей касательной СВ, какъ
показано на (фиг. 17). Точка А есть точка возврата нерваго рода, а точка С есть точка возврата втораго рода.
Фиг. 18. 2., Точки перерыва. Безконечно малый кругъ, описан-
В ный изъ такой точки, пересѣкаетъ данную кривую только въ ( 'а) одной точкѣ. Точка А на крпвой АВ (фиг. 18) есть точка
перерыва.
Фиі. 19. 3., Точки угловыя. Безконечно малый кругъ, описан-
ный изъ такой тучки, два раза пересѣкается съ данной кривой и радіусы проведенные въ точки пересѣченія еостав-/ ляютъ между собою нѣкоторый конечный уголъ. Вѣтви кривой оканчивающіяся въ подобныхъ точкахъ, имѣютъ Гд) калсдая свою касательную въ этой точкѣ. На фиг. 19 пред-
4—у ставлена угловая точка А.
Фиг. 20. 4 Точки кратныя или узловыя. Безконечно малый кругъ, опи-
/ санный изъ этихъ точекъ, пересѣкаетъ данную кривую болѣе чѣмъ
(Г7^>Д' въ ДВУІЪ точкахъ. Въ подобныхъ точкахъ могутъ сходиться нѣсколь-
\Д/ ко вѣтвей кривой. На фпг. 20 представлена краткая точка А.
5., Сопряженныя или изолированныя точки, которыя не находятся въ непрерывной связи съ разсматриваемой кривой, хотя координаты пхъ и удовлетворяютъ уравненію данной кривой. Безконечно малый кругъ описанный пзъ подобной точки совсѣмъ не пересѣкаетъ данную кривую. Еслп крпвой принадлежитъ безчпе-ленное множество’ изолированныхъ точекъ, то рядъ ихъ составляетъ такъ называемую пунктирную вѣтвь кривой.
6., Точки перегиба, въ которыхъ кривая пересѣкается своею касательною. Въ такой точкѣ кривая измѣняетъ направленіе своей кривизны. Въ этомъ' случаѣ однако безконечно малый кругъ, описанный пзъ точки перегиба, пересѣкаетъ кривую въ двухъ діаметрально противуположныхъ точкахъ. Покажемъ на частныхъ примѣрахъ возможность существованія выше упомянутыхъ особыхъ точекъ.
Разсмотримъ кривую представляемую уравненіемъ
р, у = э (г1) 4- (ж — а) (ж — &)’
гдѣ о (х) есть нѣкоторая совершенно опредѣленная функція перемѣннаго х. а и
Ъ суть нѣкоторые параметры, величины положительныя; —есть несократимая дробь, ® р “ • А
знаменатель которой д есть четное число, тогда множитель (а?—і)1, какъ корень четной степенп, пмѣетъ два знака и крпвая, представленная предыдущимъ уравненіемъ, состоитъ поэтому изъ двухъ вѣтвей. Этп вѣтвн представляются отдѣльными уравненіями
(2)
у = о (я?) 4- (х — а) (х— Ь)
п уг=о(яі) — (а?—а)(х— Ь)'
г
гдѣ теперь множитель (х—Ъ) мы разсматриваемъ какъ величину положительную. Значенія производной для той и другой вѣтвп будръ
(3)
п'^-лх— а)(х— &)’
Пзъ уравненій (2) прп $ — а пмѣемъ = т. е. обѣ вѣтви кривой сходятся въ точкѣ, абсцпса которой есть а. Но въ этой точкѣ обѣ вѣтвп имѣютъ различныя касательныя; тангенсы пхъ угловъ съ осью х получпмъ, если въ уравненіи (3) примемъ гг~ а. Этп тангенсы суть
?
при а >• Ъ\ этп два тангенса по величинѣ различны п слѣдовательно при л? = а въ разсматриваемой точкѣ сходятся двѣ такія вѣтвп крпвой, пзъ которыхъ каждая
имѣетъ въ этой точкѣ свою касательную. Но легко видѣть, что эта особая точка
не есть угловая, ибо въ этой точкѣ кривая не прерывается. Въ самомъ дѣлѣ иод-ставпмъ въ уравненія (2) п (3) вмѣсто х количество а —?і, гдѣ 1ь есть малая
величина. Тогда для « и находпмъ ѵ л/
1>
у = — 4) " 1ь (а — Ь — Іъу ;
Лх
откуда видимъ, что для точкп съ абсцпсою х — а— 1ь опять существуютъ двѣ дѣй
ствительныя ординаты, только знаки съ — измѣнились па а потому заключаемъ, что въ точкѣ х = а вѣтвн кривой пересѣкаются и та вѣтвь, которая до этой точки
была вверху, теперь идетъ внизъ и па оборотъ.
При х = а — п для у; полу-к ъ чА.
чаются опять два различныя дѣйствительныя значенія. Итакъ точка х=а, у = ^[а} есть кратная двойная точка, а не угловая.
Еслп а < &, то нрп х — а уравненіе крпвой дастъ одну п туже ординату у = ф(а) для обѣихъ вѣтвей. Ио прп х — а^к уравненіе крпвой для ординаты даетъ
у = ±2 ( 2± 1і) (а 2± 1і —&)'
плп просто
21
у = ф (а + Л) А (а — Ь) ‘
что прп четномъ 2 п при а < Ь представляетъ мнимую величину, ибо въ этомъ 7»
случаѣ (а—Ъ) есть мнимая величина. Итакъ при х = а±к ордината имѣетъ два мнимыхъ значенія. Слѣдовательно, ни въ ту, нп въ другую сторону отъ точкп х~ а, ^ = ®(а) кривая не простирается, чрезъ эту точку проходятъ двѣ мвпмыя вѣтвн крпвой. Подставляя въ уравненіе (3) х — а, находпмъ
г
что прп а <3 Ъ п 2 четномъ есть опять мнимое выраженіе, слѣдовательно въ разсматриваемой точкѣ двѣ мнимыя вѣтвп, какъ п нужно было ожидать, имѣютъ двѣ мнимыя касательныя. Итакъ, прп а <Ъ точка я = о(а) разсматриваемой крпвой ость сопряженная плп изолированная.
Разсмотримъ теперь другую кривую, кривую представленную уравненіемъ
Д
у = о (ж) тіг (ж — а) ф (ж)
гдѣ ф(ж) и ф(Х) суть совершенно опредѣленныя функціи перемѣннаго ж, а — р
постоянная величина, -- несократимая дробь н с/ четное число. Два знака въ вы-
раженіи х соотвѣтствуютъ двумъ вѣтвямъ разсматриваемой кривой. Этп двѣ ординаты при х >- а суть двѣ дѣйствительныя неравныя величины; прп х •<« обѣ становятся мнимыми. Поэтому кривая останавлпваетоя въ точкѣ ж = у?=®(а)
и далѣе этой точкп для значеній х < а не простирается. Пзъ предыдущаго уравненія крпвой пмѣсмъ
при х < «. мы пмѣемъ двѣ различныя дѣйствительныя величины производной, еоот-вѣтствующія двумъ касательнымъ. Прп х = а двѣ различныя величины производной сводятся къ одной, именно къ
<1х
Слѣдовательно обѣ вѣтви въ точкѣ ж=а, у—о (а) имѣютъ одну общую касательную. Такпмъ образомъ, разсматриваемая точка крпвой есть точка возврата.
Крпвая представляемая уравненіемъ
г
у = (і
какъ легко убѣдиться, имѣетъ точку перерыва въ началѣ координатъ, Въ самомъ
дѣлѣ когда х возрастаетъ отъ нуля до 4- со ордината уменьшается отъ 03 Д<>
Фиі. 21.
прп отрицательныхъ значеніяхъ координатъ крпвая прерывается,
4- і п мы имѣемъ одну вѣтвь кривой, расположенную въ нормальномъ углѣ, эта вѣтвь ость ЛІ?С(фпг. 21). Эта вѣтвь имѣетъ двѣ аспмптоты, одной асимптотой служитъ ось у, другая асимптота параллельна оси х и уравненіе этой второй аспмптоты есть у — 1.
Еслп въ уравпеніп крпвой положимъ х = — со, то найдемъ у= і. Давая абсцпсѣ х отрицательныя значенія, заключающіяся между — со п о, будемъ подучать значенія у, уменьшающіяся отъ Ц- I до нуля п крпвая будетъ прпблняіаться къ началу координатъ по отрицательной сторонѣ оси абсцпсъ. Такпмъ образомъ абсцпсы крпвая пмѣетъ впдъ аЪс. Въ началѣ ибо функція
і
у^е
прп измѣненіяхъ х отъ — 1і до Ц- 7г, гдѣ 1і есть безконечно малая величина, возрастаетъ отъ нуля до + оо. Такпмъ образомъ начало координатъ слѣдуетъ считать за точку перерыва крпвой. Кругъ, описанный пзъ начала координатъ безконечно малымъ радіусомъ, пересѣкается съ вѣтвью аЬс только въ одной точкѣ,
Крпвая представляемая уравненіемъ
имѣетъ угловую, точку въ началѣ координатъ. Мы видимъ прежде всего, что прп х — о п у = о, поэтому крпвая проходитъ черезъ начало координатъ. Касательная
къ кривой въ началѣ координатъ, какъ прямая проходящая черезъ начало координатъ, представляется уравненіемъ
у = кх .
слѣдовательно, за тангенсъ угла касательной съ осью х въ началѣ координатъ слѣ-дуетъ считать тотъ предѣлъ, къ которому стремится отношеніе то по мѣрѣ того какъ х приближается къ нулю. Въ нашемъ случаѣ отношеніе
У ______1
х 2
1 + е*
въ предѣлѣ будетъ имѣть два значенія, одно будетъ соотвѣтствовать уменьшенію положительныхъ значеній х до нуля, другое—приближенію отрицательныхъ значеній .г* къ нулю. Когда х положительно и приближается къ нулю, то предыдущее выра-женіе показываетъ, что отношеніе приближается къ нулю какъ къ предѣлу.
Значенія отношенія - для отрицательныхъ величинъ х мы получпмъ, еслп въ выраженіи
I ' і
будемъ давать положительныя значенія х. Уменьшая здѣсь значенія х до нуля мы видимъ, что отношеніе будетъ стремиться къ единицѣ какъ къ предѣлу.
Итакъ въ предѣлѣ, т. с. прп х = о, отношеніе
у _ 1
х 2_ I + е"
имѣетъ два значенія: одно нуль, другое ‘I; поэтому касательная къ крпвой въ началѣ координатъ имѣетъ два направленія: одно для положительныхъ значеній х совпадаетъ съ осью ж, а другое для отрицательныхъ значеній х составляетъ съ осью х .. уголъ, тангенсъ котораго равенъ едпвицѣ. Итакъ, въ
началѣ координатъ сходятся двѣ вѣтви кривой, каса-ц тельной одной пзъ нпхъ въ началѣ координатъ слу-
житъ ось х, касательная къ другой вѣтви въ началѣ
<у координатъ составляетъ съ осью х уголъ въ 2250.
Одна вѣтвь крпвой есть 0 6г (фпг. 22), эта вѣтвь рас-— ----------------у иолоясена въ нормальномъ углѣ осей координатъ и
касательною къ этой вѣтвп въ началѣ координатъ слу-жптъ ось х. Другая вѣтвь есть ОІІ, касательною къ
/ ней въ началѣ координатъ служитъ прямая ОТ. Слѣ-
довательно на данной крпвой въ началѣ координатъ находится угловая точка.
8. Посмотримъ теперь по какпмъ общимъ признакамъ могутъ быть открываемы тѣ особыя точки на кривыхъ, представляемыхъ алгебраическими уравненіями, которыя этн алгебраическія кривыя могутъ имѣть. Подъ алгебраическими кривыми мы разумѣемъ такія, уравненія которыхъ содержатъ перемѣнныя х н у только въ цѣлыхъ п положительныхъ степеняхъ; уравненія алгебраическихъ кривыхъ не содержатъ ни логариѳмическихъ, пи тригонометрическихъ функцій отъ перемѣнныхъ .г- и у.
Замѣтимъ, что никакая алгебраическая кривая не можетъ имѣть выступающей плп угловой точки, а также и точки перерыва. Для этой послѣдней, какъ мы видѣли, функція, представляющая ординату кривой, для нѣкоторыхъ значеній перемѣннаго должна претерпѣвать нарушеніе непрерывности, а мы знаемъ, что алгебраическія функціи къ этому неспособны.
Пусть алгебраическая кривая представляется освобожденнымъ отъ радикаловъ уравненіемъ вида
/•(а’, у)” о
производная этого уравненія будетъ
(I)
1 ; сіх 1 сіу (ІХ
Еслп разсматриваемая крпвая имѣетъ кратную точку, то въ этой точкѣ, вообще говоря, касательная имѣетъ два плп болѣе направленія п тогда производная
(ІХ ау
какъ представляющая тангенсъ угла, составленнаго касательною съ осью х,
для
такой точкп будемъ пмѣть два или болѣе значенія. Пусть значенія производной
<іу (Іх
соотвѣтствующія кратной точкѣ будутъ к и 2, тогда для кратной точки будемъ
имѣть
откуда
но такъ какъ к и I по предположенію величины существенно различныя, то это уравненіе удовлетворится только тогда, когда
Но прн этомъ изъ уравненія (1) слѣдуетъ, что и - -—о. Поэтому заключаемъ, что
кратная точка характеризуется тѣмъ, что для нея одновременно
о
и
координаты, удовлетворяющія одновременно этимъ двумъ уравненіямъ какъ совмѣстнымъ, суть координаты искомой кратной точки.
, то опредѣляя производную - пзъ уравненія (1)
найдемъ
а потому, для изысканія направленій касательныхъ въ кратной точкѣ, слѣдуетъ обратиться къ высшимъ производнымъ уравненія /(а?, ?/)_ о. Въ самомъ дѣлѣ, еслп
для нѣкотораго частнаго значенія х обращается въ —,
то по извѣстному правилу
для изысканія истиннаго значенія производной -у-(
слѣдуетъ отдѣльно взять ііропз-
водныя отъ числителя п знаменателя, и тогда будемъ пмѣть
Ну
Ну___ Нх2 1 Нх.сіу ’Нх
Нх Н2^ Н2/ сіу
Нх. сіу ~ Ну2 Нх
(2)
-этимъ уравненіемъ мы и должны пользоваться для изысканія истиннаго значенія
сіх'
очевидно, что это уравненіе приводится относительно производной
Ну сіх
къ квад-
ратному, вида
сіу2 ~хІХ/ сіх. сіу' СІХ ' СІХ-
а слѣдовательно рѣшая это уравненіе, найдемъ двѣ величины для
Замѣчатель-
но, что это квадратное уравненіе есть нп что пнсе какъ полный второй дифференціалъ уравненія /‘(ж,у)=:о, т. е.
з<і исключеніемъ послѣдняго члена, котораго не достаетъ въ уравненіи (3) по прп-7 Р
чпнѣ — о для частнаго значенія х.
Рѣшая уравненіе (3) относительно
находпмъ
. (ІУ ч
слѣдовательно можетъ имѣть плп двѣ неравныя дѣнствительныя величины, пли одно значеніе соотвѣтствующее равнымъ корнямъ, пли наконецъ два мппмыя сопряженныя значенія. Въ первомъ случаѣ
во второмъ случаѣ
п наконецъ въ третьемъ
Когда
корни уравненія (3) неравные и дѣйствительные, тогда въ точкѣ х 7 .. . а/ а?
у — Ь, удовлетворяющеи свопмп координатами уравненіямъ -——о п - = о, г/
вая имѣетъ дѣйствительно двѣ различныя касательныя, соотвѣтствующія двумъ вѣтвямъ сходящимся въ отой точкѣ. Во второмъ случаѣ, въ случаѣ равныхъ корней
для —у- крпвая представляетъ въ разсматриваемой точкѣ х = а, у
Ъ точку воз-
врата, ибо два направленія касательной къ двумъ вѣтвямъ кривой совпадаютъ въ
одно. Въ третьемъ случаѣ, когда — опредѣляемое изъ уравненія (3) для х—а-
и у = Ь имѣетъ два мнимыхъ значенія, разсматриваемая точка относительно данной кривой есть сопряженная, ибо черезъ нея проходятъ мнимыя касательныя къ мнимымъ вѣтвямъ кривой.
Доказывая, что каждая изъ трехъ упомянутыхъ особыхъ точекъ характеризуется тѣмъ, что координаты этихъ точекъ вмѣстѣ съ уравненіемъ /?(х3 у) = о сі/ СІ?
удовлетворяютъ уравненіямъ —о и -=-- = о, мы предполагали, что чрезъ крат-
213
И—<
ную точку проходятъ двѣ различныя касательныя, допускали, что производная
(Іу (ІХ
въ этой точкѣ имѣетъ два различныя значенія 7і; и 7, но если въ особой точкѣ (точкѣ возврата) сходятся двѣ такія вѣтвн кривой, которыя имѣютъ общую касательную, то два значенія к и I между собою равны п уравненіе
• <4 удовлетворится независимо отъ положенія = о; но легко видѣть,
ѵ , &Г дГ
случаѣ имѣютъ мѣсто уравненія -- = о и у—о.
СІ г/ С( Зг
что н въ этомъ
Пусть какъ прежде уравненіе разсматриваемой крпвой есть /‘(ж,^)—о, полная вторая производная этого уравненія взятая относительно ж, какъ мы знаемъ, есть
(Іх2 ' 2 сія. йу (Іх йу2 \(1х) сіу ‘ (Іх2
если двѣ различныя вѣтви крпвой проходятъ черезъ одну п ту же точку кривой,
степени относительно ~
а потому въ разсматрп-
(Ѵ-у ,
уу, а это будетъ тогда, Сей/
имѣя общую касательную, то должно пмѣть два различныя значенія, ибо этой вто-ССЗ/
рой производной характеризуется кривизна и направленіе выпуклости или вогнутости крпвой, но изъ предыдущаго уравненія, какъ уравненія первой опредѣлплоеь бы одно значеніе этой второй производной, ваемомъ случаѣ предыдущее уравненіе не должно содержать
(ІГ М
когда ~-=о, но еслп — = о, то пзъ уравненія
(ІХ ’ сіу' СІХ
(4)
заключаемъ, что и ™ = о. Слѣдовательно и точка возврата характеризуется урав-
неніями
и
Лу
Легко также показать, что этими уравненіямп
характеризуется и сопряжен-
ная точка.
Предположимъ, что кривая у—Г(х} имѣетъ у = 0. Если разсматриваемая точка есть сопряженная,
сопряженную точку ж = а, то для ж = величина
у должна оставаться мнимою.
Но
ш_
у = /’(а 4- 7і)
еслп эта величина должна оставаться мнимою, то по крайней мѣрѣ одна пзъ произ-
водныхъ
сіу с12у сРу № сІх2'
и Т. д.,
должна быть мнимою. . Но п~лп производная отъ
уравненія данной кривой есть
К сіу сіх"
СІ2Х (I 'у п--------і-------- 4-
сіх.сіу сіх"
Допустимъ, что прп существованіи сопряженной точкп п'лп производная есть мпи-
мая. Еслп отлично отъ нуля, то значеніе —м , полученное изъ предыдущаго-С(У сіх"
уравненія, было бы дѣйствптельное, поэтому, если сопряженная точка существуетъ,.
то неооходимо --- = о, а вмѣстѣ сч« тѣмъ по уравненію (4) н ~- = о. [.V?/ ССгЪ
7
Если случится, что для извѣстной кривой лпнін не ТОЛЬКО ° И
11 Л?
но обращаются вч> нулп для извѣстнаго частнаго значенія координатъ
пропзводныя, т. е. -у—2=о;
ІѵД/
и вторыя
о, тогда выраженіе производной
7
представленное въ впдѣ (2), принимаетъ форму Чтобы найти истинное значеніе производной въ этомъ случаѣ, возьмемъ въ выраженіи (2) отъ числителя и знаменателя отдѣльно дальнѣйшія производныя и получпмъ
Ко по
нашему предположенію —у- — о и
о, поэтому предыдущее прини-
маетъ видъ
сіу й3/ / сІу\2
сіу______сіх2 сіх2. сіу' сіх ' сіх. сіу2 \сІх;
СІХ ” СІ3{ , СІ3/ сіу I СІу\2
сіу. СІХ2 1 Нх.сіу2 сіх 'сіу3' \СІх)
иля
(5)
кубическое уравненіе относительно -А , пзъ котораго могутъ быть опредѣлены трп
~, то въ особой
значенія для -у-. Слѣдовательно, еслп для нѣкоторыхъ опредѣленныхъ значеній х п'
, сі[ сіг
у обращаются въ нули производныя
СѵЛл Ср ’і.і Сі'З/
точкѣ, представленной этими значеніями координатъ, сходятся три вѣтви кривой, къ которымъ, прп существованіи извѣстныхъ условій, въ этой точкѣ могутъ быть проведены трп различныя касательныя.
Пояснимъ изложенныя общія соображенія на частныхъ примѣрахъ.
Фш. 33.
Разсмотримъ кривую, образующуюся при слѣдующихъ условіяхъ. Пусть прямая З/ЗУ' = 2а (фпг. 23) обращается около начала координатъ, но прп этомъ средина ея Р пусть постоянно остается на окруясности круга, центръ котораго лежитъ на оси х, самъ кругъ нроходптъ черезъ, начало координатъ и радіусъ круга пусть равняется нѣкоторой постоянной величинѣ г. При такомъ движеніи концы М и ИР прямой опишутъ кривую, имѣющую впдъ Эта кривая на-
зывается Кардіоидою (сердцеобразною кри
вою). Принимая во вниманіе этп уеловія образованія, не трудно составить уравненіе Кардіоиды,
Зпнія ОЗГ, которую будемъ называть радіусомъ векторомъ, состоитъ пзъ двухъ частей
ОМ= р = О Р + МР
но РКЕ по условію есть а. Пзъ прямоугольнаго треугольника ОРА имѣемъ
ОР — 03.С08 РОА — 2г. С08 (р
поэтому уравненіе Кардіоиды въ полярныхъ координатахъ есть
р = а -)- 2 Г. С05О.
Опустивъ пзъ М перпендикуляръ на ось х имѣемъ пзъ прямоугольнаго треугольника ОАРН
ОУ — ОМсоз о плп х о. соз о * к I
но р = |/.г>3 у~ слѣдовательно
а потому уравненіе Кардіоиды въ прямолинейныхъ координатахъ имѣетъ впдъ
Освобождая это уравненіе отъ радикаловъ, легко приводимъ его къ виду
откуда
(6)
2
слѣдовательно координаты особой точкп, еслп се кривая имѣетъ, должны удовлетворять уравненіямъ
а2х— ч(х~ 4* у2 — 2?'ж) (.г — г) — о.
а2у — 2у (ж2 4* у2 — 2 гж) = о.
Послѣднему уравненію удовлетворимъ, полагая плп у—ъ> или а2—2(ж24*У2—2»’ж)=о. Внося первое пзъ этихъ рѣшеніи въ первое пзъ предыдущихъ уравненіи, т. е. въ
условіе
ІѴІѴ'
— о, находпмъ
О,2Х — 2 (ж2 — 2 гх) (х — т) = о.
внося второе рѣшеніе въ условіе
мы нашлп бы а2г = о,
что очевидно не
соотвѣтствуетъ вопросу.
Поелѣднее уравненіе удовлетворится прп х = о. Итакъ, особая точка опредѣляется координатами х — о и у — о, поэтому заключаемъ, что особая точка находится въ началѣ координатъ.
Чтобы судить о родѣ этой особой точки, найдемъ для нея направленія каса-тельныхъ по выраженію -у-, вычисляемому пзъ уравненія (3). Для этого по урав
неніямъ (6) находпмъ
й2/
ах2
= 2 а2 — 8 (ж — г)2 — 4 (ж2 4* У2 — 2
при х = о п у = о значенія этихъ производныхъ суть
йж2 ’ Иуг 1 Лх. сіу
Поэтому для нашего случая уравненіе (3) принимаетъ видъ
ИЛИ
откуда
Еслп длина лпніп ММ7 выбрана такъ, что а < гг, то въ началѣ координатъ схо-Фш. 84. дятся двѣ пересѣкающія вѣтви крпвой, имѣющія ка-
сательныя такъ наклоненныя къ осп х, что тангенсы угловъ ихъ' наклоненій суть
__. ( і/4?'2 — а2 у/4г2 — а2
( \—а ’ а-
Чч-—въ такомъ случаѣ начало координатъ есть кратная । точка, п крпвая имѣетъ такой впдъ какъ представлено
на фугурѣ 24.
„ сіу
Еслп 2Г —«, то ~ = о, два направленія касательной сливаются въ одно и
совпадаютъ съ осью ж, слѣдовательно ось х дѣлается въ этомъ случаѣ общей касательной п начало координатъ есть тогда точка возврата. Крпвая имѣетъ тогда такой впдъ, какъ представлено на фигурѣ 23.
_ ду .
Если а > зг, то получаетъ мяпмое значеніе; легко впдѣть, что въ этомъ
случаѣ кривая совсѣмъ не проходитъ черезъ начало координатъ, которое въ этомъ случаѣ для кривой становится сопряженною точкою. Крпвая имѣетъ тогда такой видъ, какъ представлено на фигурѣ 25.
Найдемъ особыя точки Скпфоцды. Уравненіе этой крпвой, какъ мы знаемъ, есть
/(ж, у) = ж4 — у1—4<г ух2 — о
откуда
= 4ж3 — Ваух ;
-т— = — 4-У СІУ
слѣдовательно для опредѣленія координатъ особой точки имѣемъ уравненія
ж3 — іаух — о ; у3 Ч- «ж2 = о
Мы удовлетворимъ первому изъ этпхъ уравненій, полагая илн ж = о, пли х2— га?/—о, слѣдовательно по первому уравненію
х2
х — о, у — —
2»
Внося эти величины во второе уравненіе, находимъ
у = о в х = о
этп координаты удовлетворяютъ н данному уравненію. Поэтому особою точкою можетъ быть только начало координатъ.
Взявъ рядъ дальнѣйшихъ ироизводныхъ, находимъ
во такъ какъ ири х = о и у —о всѣ эти производныя обращаются въ нуль, то значенія не могутъ быть найдены ио уравненію (3). Бъ виду этого обра-тпмея къ уравненію (5) и для него составляемъ
Поэтому для пашего случая уравненіе (5) принимаетъ видъ
прп х=о п у = о корни этого уравненія суть
Первое рѣшеніе соотвѣтствуетъ вѣтви МОЛЯ (фнг. 13), которая имѣетъ въ началѣ координатъ касательною осью а?, а остальныя два рѣшенія соотвѣтствуютъ вѣтвямъ М'О п О$\ которымъ касательною въ началѣ координатъ служитъ ось у.
Разсмотримъ кривую, представляемую уравненіемъ
/ (ж, у) = ау3 — х3 (у 4- Ъ) = о
пзъ этого уравненія находимъ
потому для опредѣленія координатъ особой точки имѣемъ уравненія
(у Ч* ж2 — о; з»у2 — х3 — о
Первое уравненіе удовлетворится илп при ж = о, пли при у Ъ = о. Внося первое пзъ этпхъ рѣшеніи во второе уравненіе, находпмъ у = о. второе рѣшеніе даетъ
х = уаЬі во совмѣстно уравненіямъ - •- = о, ^—= о,/'(ж, ^/) = о удовлетворяетъ только рѣшеніе ж=-о и у = о. Итакъ еслп крпвая имѣетъ особую точку, то эта послѣдняя находится въ началѣ координатъ. Для опредѣленія ~ по выраженію (3} С V
составляетъ
,2
сіх-
но эти производныя при х для НІЮ
о п у = о обращаются въ нулп, а потому приходится предполагаемой особой точки опредѣлять направленіе касательныхъ по уравне-(5). Для этого составляемъ
(ІХ3
Их.Ну2 ’ йу3
для
пмѣемъ
''ІЧ - ,р‘
ЙЖ3 ’ (ІХ2.СІу 1 сіх. сіу -
поэтому уравненіе (5), для этого случая, принимаетъ видъ
(сІу\3 1
“Ы -ь=°
откуда для
(Іу сіх
находпмъ одно только дѣйствительное значеніе, два другія мнимыя,
поэтому кривая особой точки не имѣетъ п въ началѣ координатъ къ кривой проводится только одна касательная подъ угломъ къ осп ж, тангенсъ котораго з / ~
Ъ
есть I/
г а
Опредѣляя особыя точкп Цпссопды Діоклесовой, возьмемъ ея уравненіе
І(ж, у) = х3 — у2 (зг — ж) — о
откуда
слѣдовательно для опредѣленія координатъ особой точкп пмѣемъ уравненія
зж3 у2 = о и у (зг — ж) — о
первому пзъ этпхъ уравненій удовлетворяютъ только ж=о, у — о. Этн же величины удовлетворяютъ п данному уравненію /(ж, у') = о. Слѣдовательно особая точка находится въ пачалѣ координатъ.
7
Для опредѣленія свойствъ .особой точки вычислимъ ~~ но уравненію (3). Для этого пмѣемъ
йж2
что при X = о и
у — о обращается въ
—з- = яу, сіх. ду
— 2 (2Г — ж)
слѣдовательно для нашего случая уравненіе (5) принимаетъ впдъ
(ду\2
4Г
это уравненіе имѣетъ два корня равныхъ нулю, слѣдовательно двѣ касательныя въ началѣ координатъ сливаются въ одну п совпадаютъ съ осью х. Кромѣ того уравненіе крпвой, представленное въ впдѣ
показываетъ, что для отрицательныхъ значеній х ордппата становится мнимою, поэтому начало координатъ есть точка возврата. Вторая производная имѣетъ два знака, п потому двѣ сходящіяся въ началѣ координатъ вѣтвн имѣютъ протнвуположный пзгибъ.
Разсмотримъ наконецъ такой случай, въ которомъ кривая пмѣетъ нѣсколько особыхъ точекъ.
Разсмотримъ кривую представляемую уравненіемъ
/(ж, у) = (ж2 — а2')2 — у2 (нау •+• за2) = о
найдемъ координаты особыхъ точекъ этой крпвой; для этого составляемъ
слѣдовательно уравненія для опредѣленія координатъ искомыхъ особыхъ точекъ въ настоящемъ случаѣ имѣютъ видъ
х{х2—а2) = о; у(з/4-а) = о
первое уравненіе удовлетворится плп нрп х = о или при х — второе уравненіе удовлетворяется при у = о и прп у= — а.
Данному уравненію /"(ж, у) = о удовлетворяютъ слѣдующія три сочетанія этихъ корней:
х -- о у = — а
(А) х = — а у = о
остальныя три сочетанія, именно х~о, у —о; ж—+ у =—а; х=—а, у = — а данному уравненію не удовлетворяютъ. Итакъ разсматриваемая кривая не проходитъ черезъ начало координатъ п имѣетъ три особыхъ точки, представляемыхъ координатами (Л).
Для опредѣленія характера этихъ точекъ опредѣлимъ направленія въ нихъ касательныхъ. Для этого составляемъ
12 ау — ба2
поэтому по выраженію (3) имѣемъ
отсюда для первой точкп, т. е. для ж=о, у =— а имѣемъ
для второй точкп
также п .для третьей точки
поэтому каждая изъ трехъ точекъ есть двукратная^ въ каждой изъ нихъ сходятся двѣ вѣтви кривой, имѣющія различно направленныя касательныя.
Для того чтобы составить себѣ нѣкоторое опредѣленное понятіе объ этоЗ любопытной крпвой, особыя точкп которой мы нашли, мы проведемъ еще предѣльныя касательныя; опредѣлимъ тѣ касательныя, которыя параллельны осямъ координатъ. Вообще уголъ касательной къ какой либо точкѣ крпвой опредѣляется производной
V
такъ какъ въ нашемъ случаѣ
то
(Іу___ \(1х7____2х(х2 — а2)
сіх ~ з ау {у 4- а)
отсюда видимъ, что для касательныхъ параллельныхъ оси х, должно быть х(х-— «2) = о, а для касательныхъ параллельныхъ осп у должно удовлетворяться условіе у (у + а) — о. Слѣдовательно точки прикосновенія касательныхъ параллельныхъ осп х опредѣляются абсцисамп ж = о, х = -)-«; х —— а. Для опредѣленія соотвѣтствующихъ ординатъ обращаемся къ данному уравненію крпвой. Внося въ это уравненіе х = о, находимъ для опредѣленіи у кубическое уравненіе вида
2^8 4- — «5 — о
это уравненіе имѣетъ трп дѣйствительныхъ корня, но только одпиъ пзъ нихъ,
а у
именно у = — соотвѣтствуетъ вопросу, два другіе, именно двукратный корень — а,
ооращаютъ производную въ
Итакъ
одна пзъ каса-
въ сочетаніи съ х = о
тельныхъ параллельныхъ осп х проходитъ черезъ точку на осп ординатъ въ разстояніи отъ начала координатъ эта касательная на фпг. 26 представ-
ляется лпніей Л7?. Мы принимаемъ О .И = , считая а = ОШ ™ ОЬ — ОК. Внося лъ данное уравненіе я- = «, находпмъ пзъ него
у2 (2СТ У -Г 3«2) — О
этому удовлетворимъ, Полагая
тоже получпмъ п для х = — а; но мы уже видѣли, что для у '--о, я — тіта про-
изводная
к о .
обращается въ —, поо этп точкп суть особыя для разсматриваемой
кривой, слѣдовательно существуетъ еще одна касательная параллельная оси .г, на
пей лежатъ двѣ точкп прикосновенія х = ^а, у — — э а. Эти точки суть С п Р.
Опредѣляя касательныя параллельныя оси у. внесемъ въ данное уравненіе значенія у, удовлетворяющія уравненію у {у -|- = о, этп значенія суть у = о:
у — — а. Прп у = <э изъ даннаго уравненія находимъ ж = Мы видѣли, что
для у = о п х —
а пропзводная принимаетъ форму — и эти координаты с.о-
соотвѣтствуютъ особой точкѣ. Внося у=—а въ данное уравненіе, • получаемъ х =?= 2±: а у 2. Слѣдовательно кривая имѣетъ двѣ касательныхъ параллельныхъ
22.3
осп у. Для одной топки прикосновенія координаты суть у ——а, а; = «4/2, эта
точка на нашемъ чертежѣ находится въ 2?, касательная черезъ нее проходящая есть ЛТ. Другая касательная параллельная осп у есть 23(7, координаты ея точки прикосновенія къ крпвой суть у — — а, $ =—сьу/'і. Вся кривая пмѣетъ видъ АВВСсВРСКВ. Вѣтви ея идутъ въ безконечность, но асимптотъ кривая не имѣетъ. Эта кривая извѣстна подъ именемъ кафпмскаго узла.
ІГ.
Дифференціалъ длины дуги кривой линіи и площади ограниченной кривою линіей.
9. Легко понять, что длина дуги крпвой линіи измѣняется съ измѣненіемъ
абсцпсы одной пзъ конечныхъ точекъ этой дуги, поэтому можно сказать, что длпна
Фпг. 37.
дуги есть функція абецлсы ея оконечности. Пусть РТВ' (фпг. 27) будетъ дуга крпвой линіи, представляемой уравненіемъ у — У(х). Предположимъ, что дуга этой крпвой линіп, заключающаяся меледу точками А п есть з. Пусть абсцпса точки В будетъ х. Еслп абсцпсѣ ОР=х дадимъ прпращеніе Да;=^2?<3і то отъ точкп В крпвой линіи перейдемъ къ точкѣ С п длпна разсматриваемой дуги увеличится на дугу ВС, которую означимъ чрезъ Дз. Итакъ измѣненію абсцпсы на Да? соотвѣтствуетъ измѣненіе длпны дуги на величину Дз. Спрашивается въ какой зависимости на-
ходятся эти два приращенія.
Очевидно,
что дуга ВС = Дз болѣе хорды ВС и менѣе ломаной линіп
ВВ -г СВ. Итакъ
Дз*> ВС п Дз < ВВ + СВ
Замѣтимъ, что точка В лежитъ на касательной ТВ, проведенной въ концѣ В дуги АВ. Пусть координаты точкп В будутъ х и у. а координаты точкп С пусть будутъ х + Да;, у Ау, гдѣ Р(^ = ВВ — Ьх; СВ = Ду. Очевидно5 что В(Р = СВ1 + ВВ* плп ВС~ р/Дж2 + А?’- Итакъ
Дз > ]/Да;2 4- Ду2
но ВВ = ВВ соз (ВТх}, откуда
ВВ — Да; зсс (ВТх) = Да.-. )/-! -у (аи§2 (ВТх\
или
ВВ = Дж
кромѣ того
СВ = СВ — ВВ — ±у — Дж. іап$ (ВТх)
то есть
Итакъ
Ну сіх
поэтому заключаемъ, что
Дж сіх
но въ предѣлѣ, т. е. прп уменьшеніи Дж до безконечно малой величины, какъ
обращаются въ
что
а потому заключаемъ
Итакъ элементарная дуга кривой представляется въ видѣ
Предположимъ, что прямолинейныя координаты замѣняются полярными, т. е. радіусомъ векторомъ и угломъ, который этотъ радіусъ векторъ составляетъ съ одною пзъ осей коордппатъ, напр. съ осью х. Посмотримъ какпмъ образомъ выразится элементарная дуга по полярнымъ координатамъ. Соотношенія между прямолинейными и полярными координатами суть
х — г. соз <р; у — г. з іц о
Примемъ ф за главное перемѣнное и радіусъ векторъ за его фупкцію, тогда будемъ
имѣть
сіт
---Л$)ПФ
сіу
сіг
— 8ШФ. Г -г '? СОЗ Ф
но такъ какъ
то
(І8 — у/сіх2 4“ сіу2
что для нашего случая даетъ
СІ8
сіу
10. Подобно дугѣ кривой’ н площадь ею ограниченная есть функція коордп-
Фѵг. 38.
наты х. Означимъ эту площадь, какъ функцію ж, чрезъ и. Положимъ что (фпг. 28). Да-
дпмъ абсцпсѣ х приращеніе тогда абсцпса обратится въ х + Аіс, а площадь гс получитъ ирпраще-ніе АфРБ. Слѣдовательно Яш = АЦВР. Эта элемен-
тарная площадь
Яш > АфРР п Д« с СфВР
еслп координаты точки А суть х и уу то коорди-
наты точкп Б будутъ х -г Дл;, у Д- Ду.
Слѣдовательно
> уДя п Яш < Яш (у 4- Ду)
поэтому
Да
< у + Ду
отсюда заключаемъ,
Яш что т— Яах
содержится
между предѣлами у н у 4- Ду, а потому,
переходя къ предѣлу, пмѣемъ
слѣдовательно искомая элементарная площадь есть
сіи — у. сіх
Найдемъ наконецъ выраженіе элементарной площади по полярнымъ координатамъ, т. е. площади заключающейся мещду двумя безконечно близкими радіусами векто-
рами и дугой разсматриваемой кривой линіи. Означимъ площадь АОВ (фпг. 29) чрезъ к. Пусть кромѣ того ОВ — г\ В0х = ф. Еслп <р получитъ приращеніе Дф; то радіусъ векторъ также получитъ соотвѣтствующее приращеніе п обратится въ г Дг. Зависящее же отъ этого приращеніе площади пусть будетъ Ди. Итакъ ОС' = », + Дг; (702? = Дф опишемъ изъ центра О двѣ дути круга, одну ВВ радіусомъ ВО, другую СВ радіусомъ г-{- ±г= СО. Понятно, что площадь
Д« < ОСВ п Ди > ОВВ
или
. Ди слѣдовательно отношеніе — заключается ыеаду величинами
г- (г 4~ Дг)2 — и --------------
2 2
но если До стремится къ нулю, то къ тому же предѣлу приближается и Дг, слѣдовательно въ предѣлѣ
сіи г2
СІЯ 2 А
НЛП
_ г2 ,
аи = —
2 '
г.
О кривизнѣ кривыхъ линій. Радіусъ кривизны. Развертка.
11. До сихъ поръ мы говорили о направленіи изгиба кривыхъ линій, нашли условіе, по которому можно судить обращена-ли данпая кривая лпнія выпуклою пли вогнутою стороною къ извѣстной прямой, но есть возможность судить не только о направленіи изгиба, а также о мѣрѣ кривизны извѣстной лпиіп во всякой ея точкѣ.
Пусть изъ центра С (фпг. 30) радіусомъ В описанъ кругъ В(х и въ топкѣ М къ этому кругу проведена касательная. Еслп радіусъ этого круга будетъ воз-
Фиг. 30. растать и отношеніе будетъ вмѣстѣ съ тѣмъ умень-
С
тѴ
шаться, то дуга ВМ(х будетъ непрерывно приближаться къ прямой АВ. (Мы предполагаемъ, что съ увеличеніемъ радіуса центръ С по прямой удаляется отъ прямой АВ п кругъ всегда касается этой прямой въ точкѣ М~). Еслп радіуеъ сдѣлается весьма большимъ, то дуга ВМ(х будетъ мало отличаться отъ прямой и отношеніе -=? для такой дуги будетъ близко къ нулю. Отсюда заключаемъ, что прямую можно раз-
сматривать какъ дугу круга, описаннаго безконечно большимъ радіусомъ; кромѣ
того видимъ, что въ какой мѣрѣ уменьшается дробь въ такой мѣрѣ умень-
шается кривизна дугп описанной радіусомъ В. Поэтому
отношеніе
молено при-
нимать за мѣру кривизны.
Это понятіе о мѣрѣ кривизны дугп круга можно извѣстнымъ образомъ обобщить для дуги какой угодно кривой.
Въ двухъ близкихъ между собою точкахъ одной я той же крпвой у = /*(а;) проведемъ къ этой крпвой двѣ касательныя п двѣ нормали, которыя пусть пересѣкаются между собою въ точкѣ С (фпг. 31). Легко показать, что еслп точки М и М' будутъ безконечно близки меледу собою, то разстояніе МС = т будетъ по величинѣ приближаться къ радіусу круга, центръ кото-, раго будетъ въ точкѣ С пересѣченія нормалей, и котораго кривизна будетъ одинакова съ крп-''У' \ / визноіі разсматриваемой крпвой между безконечно
\ / блпзкпми точками М п М'. Въ самомъ дѣлѣ
\ / въ треугольникѣ, составленномъ пзъ хорды ММ1
\ / и радіусовъ МО и М'С, уголъ ММ'С будетъ
у / мало отличаться отъ прямаго угла такъ что
ММС- — 4-е, гдѣ г есть такая величина, 2
которая обращается въ нуль вмѣстѣ съ Да;. Мы предполагаемъ, что координаты точкп М суть ж, у, а координаты точкп М' суть ж + Да:, у 4~ ^у. Уголъ МСМ’ равенъ углу ВаМ\ который составляютъ меледу собою послѣдовательныя касательныя; назовемъ этотъ уголъ чрезъ Дт; такимъ образомъ МСМ'= Дт. Въ этомъ треугольникѣ сторона МС-=г, сторона ММ' = у/Ая*-у Ьуг. Пусть і/Джа 4-Ду~ = Д$, тогда помня, что стороны въ прямо линейномъ треугольникѣ относятся какъ синусы протіівуположныхъ угловъ, имѣемъ
переходя къ предѣлу н называя предѣлъ т чрезъ р, пмѣемъ отсюда
да'
Если возьмемъ двѣ точки на кругѣ 31 и Л/' (фпг. 32), проведемъ въ этихъ
Фиі. 32.
откуда
точкахъ касательныя, то уголъ этпхъ касательныхъ КаЗі'=±і будетъ равенъ углу Л/СМ', который составляютъ между собою радіусы ЗІС №С. Назовемъ дугу 3131* чрезъ Да и радіусъ ЗІС чрезъ И. То какъ извѣстно
сравнивая съ
дпмъ, что р есть радіусъ
того
круга, котораго
этпмъ предыдущее выраженіе вп-кривпзна есть Этотъ радіусъ
і Йт
считается по нормали отъ разсматриваемой точки 31. Этотъ радіусъ мы называемъ радіусомъ кривизны крпвой въ разсматриваемой точкѣ (а?, у). Другой конецъ этого радіуса находится въ точкѣ пересѣченія двухъ безконечно близкихъ между собою нормалей. Эта точка пересѣченія нормалей называется центромч> кривизны. Наконецъ кругъ, имѣющій центромъ точку пересѣченія близкихъ нормалей п радіусомъ радіусъ кривизны, называется кругомъ кривизны. Очевидно, что кругъ кривизны въ разсматриваемой точкѣ касается данной крпвой, ибо онъ имѣетъ съ нею общую-касательную, общую нормаль, одпнакую кривизну п вогнутость обѣихъ кривыхъ обращена въ одну сторону.
На кругѣ даннаго радіуса для всѣхъ точекъ
окружности отношеніе —- есть
, .. . Йт
величина постоянная, па всякой другой крпвой, величина отношенія -у- измѣняется
отъ одной точки крпвой до другой.
Легко опредѣлить для всякой кривой во всякой ея точкѣ длину радіуса кривизны. Означая чрезъ - уголъ, который касательная проведенная въ данной точкѣ кривой составляетъ съ осью ж, имѣемъ
откуда
кромѣ того мы знаемъ, что
а потому уравненіе
1 _ сіт
р СІ8
даетъ
Бъ атомъ выраженіи всегда долженъ быть удержанъ тотъ знакъ, какоіі имѣетъ
а-у .
вторая производная ~~і поо значеніе р всегда должно быть положительное. С V
Принимая эту форму радіуса кривизны, по уравненію нормали легко доказать, что центръ кривизны крпвой линіи для данной ея точкп есть предѣлъ, къ которому стремится точка пересѣченія нормалей двухъ точекъ крпвой по мѣрѣ того, какъ эти двѣ точки между собою сближаются.
Пусть ж и у будутъ координаты точки данной крпвой. Уравненіе нормали, какъ мы знаемъ, представляется въ впдѣ
~ х) 4- (ч ~ у)
сіу сіх
(1}
изобразимъ это. уравненіе чрезъ Р~о. Чтобы получить уравненіе нормалп проведенной въ другой точкѣ кривой, координаты которой суть х 4- Д&; у + ^У, стоитъ
только въ предыдущемъ уравненіи замѣнить х, у, чрезъ у 4 Ду,
Ах
льтатъ этой подстановки мы представимъ чрезъ
4- Д У = о
координаты точкп пересѣченія этихъ двухъ нормалей должны такимъ образомъ удовле-
творять уравненіямъ
и
плп уравненіямъ
плп, наконецъ, уравненіямъ
’ сіх
Предположимъ теперь, что вторая точка приводится на безконечно малое разстояніе къ первой, опредѣляемой координатами ж, у. Тогда точка пересѣченія двухъ разсматриваемыхъ нормалей будетъ стремиться къ нѣкоторой точкѣ какъ къ предѣлу.' Координаты этой предѣльной точкп должны удовлетворять уравненіямъ
17
Г=о; = о
п « • , * АѴ
Чтобы получить это второе уравненіе, представляемое нами въ формъ -у- = от возьмемъ отъ уравненія (1) нормалп производную по я, принимая прн этомъ дифференцированіи и т) за постоянныя величины. Тогда получимъ
(2)
1 +
Мы разумѣемъ подъ В и 7] координаты какой либо точкп нормали. Еслп подъ и т}. будемъ разумѣть координаты точки пересѣченія двухъ близкихъ нормалей и означимъ этп координаты чрезъ и уг, то этп координаты должны будутъ удовлетво-рять и уравненію (1) п уравненію -т— = о, т. е. уравненію (2). Такимъ обра-СѵіХ/
зомъ для опредѣленія координатъ х\ п уг пмѣемъ уравненія
внеся въ первое пзъ этихъ 4 уравненій величину у,—у, взятую пзъ втораго, по-
лучимъ
СІХ2
а второе пзъ предыдущихъ уравненій даетъ
Слѣдовательно квадратъ разстоянія точкп пересѣченія двухъ безконечно близкихъ.
нормалей отъ точки (ж, у) данной кривой представляется въ впдѣ
итакъ это разстояніе есть радіусъ кривизны для точки (ж, у) кривой, а слѣдовательно сама точка пересѣченія есть центръ кривизны.
12. Давая предыдущее выраженіе радіуса кривизны, мы составляли это выраженіе такимъ образомъ, что считали х за главное перемѣнное, а у за его функцію; еслп же х не есть главное перемѣнное, а само считается функціей другого перемѣннаго, то понятно, что составъ выраженія радіуса кривизны будетъ иной.
Пусть, какъ преясде, по уравненію данной крпвой, для которой пщемъ общее выраженіе радіуса кривизны, у = /'(х) и кромѣ того х~ гдѣ I есть независимое перемѣнное, тогда
(&У \ сіу _ \сіі) сіх / йх\ \сіі)
поэтому
п кромѣ того по зависимости у отъ і черезъ х пмѣемъ
сі(С^\
__с12у сіх
сіі сіх2 сіі
слѣдовательно
сіх с12у сіі сіх2
СІ2у сіу сРх
СІІ2 СІІ СІІ2
(*)
Посредствомъ уравненій (3) п (4) выше найденное выраженіе радіуса кривизны преобразовывается въ
Будемъ считать за новое перемѣнное длину дуги крпвой, измѣряемую отъ нѣкоторой постоянной точки на этой кривой. Такпмъ образомъ еслп длпну дуга означимъ чрезъ 5, то і — з. Мы знаемъ, что
гіз2 = ах2 + сіу2
слѣдовательно прн і = пмѣемъ изъ предыдущаго
ах а2у ау а2х
аз аз2 аз аз2
Изъ этого могутъ быть найдены весьма простыя выраженія для мѣры кривизны кривой въ различныхъ ея точкахъ. Въ самомъ дѣлѣ, по послѣднему выраженію составляемъ
1 ах а~у ау а2х с= аз "а? ~ аз аз2
откуда
(6)
ах ау а2х а2у / лл2 /а2х\і
аз аз а&2 аз2 \аз) \аз2
Изъ выраженія элементарной длины дуги находпмъ
аз /
откуда
со
ах а2х , ау а2у сіз аз2 "* аз аз2
пли возвышая это въ квадратъ, получаемъ
сіх сіу а2х а2у
складывая это съ выраженіемъ (6), находпмъ
і2~\аз) І.Ѵгв2/ 1 \аз2)_'
илиѵ просто
а2х\2 , ((РуХ2
а.з2} + \аз2) ’
Изъ уравненія (7) пмѣемъ
с^У а2х___ аз аз2
аз2 ах ' аз
ах а2х а2у аз аз2 аз2 ау аз
ирн помощи этихъ двухъ выраженій, пзъ выраженія (5) находпмъ / (Іу\2 32у 1 ах а-ѵ . ^сіз) аз2
ах
СІ8
__аз2 ах ’
і г а^у нли ~ сіх —
р сіз2
точно также еще
аз2
~ 7_. 1
или
сіз
13. Если уравненіе кривой
дано въ
неявной формѣ
то радіусъ кривизны долженъ сіу а2у п
7" ц Т7- Для ЭТ9Г0 замѣтимъ, что въ разсматриваемомъ случаѣ
быть вычисляемъ независимо отъ производныхъ
сіу сіх
сіх СІ&
___I
(8)
Изъ даннаго уравненія мы пмѣемъ сія аі
послѣдовательно
«'ж -4
ах ау +
сЬ
™ ах2 ч- г ——\ ах2 сіх а
Мы предполагаемъ при этомъ, что х есть независимое перемѣнное. Изъ послѣдняго выраженія пмѣемъ
<?2ф
2. 2 а2<? ау' а^ а^у
а%ау ах ' ау ах-
откуда
йгф , сг-у _ах2^ ах2
а2? . ау ах ау сіх
Внося сюда вмѣсто его величину по выраженію (8), имѣемъ
2 у 2
ау2 \ах/ сіх ау ах ау
Внося это выраженіе второй производной вмѣстѣ съ выраженіемъ первой производной (8) въ пзвѣстное выраженіе радіуса кривизны
(9)
получаемъ
й2<р йср с?© сіх сіу сіх сіу
й2©
йфѴ
А
Этпмъ выраженіемъ мы можемъ пользоваться для вычисленія радіуса кривизны въ томъ случаѣ, когда уравненіе кривой будетъ дано въ нерѣшенномъ относительно у видѣ.
14. Значеніе п аналитическую форму радіуса кривизны можно вывести изъ понятія о томъ, на сколько одна крпвая линія способна соприкасаться съ другой.
Древніе опредѣляли касательную, говоря, что никакая прямая линія не можетъ пройти черезъ точку прикосновенія между касательною н кривою. Подобное свойство можно обнаружить и между кривыми лнніямп. Пусть у = /(я) будетъ уравненіе одной крпвой и у — 3?(ж) уравненіе другой. Еслп для нѣкотораго частнаго значенія ж = а, /’(а) = то кривыя пересѣкаются въ той точкѣ, абсцпса которой есть а. Еслп при этомъ /\а) = 7?'(а), то кривыя въ общей точкѣ имѣютъ общую касательную, п въ этомъ случаѣ мы говоримъ, что онѣ имѣютъ между собою прикосновеніе 1-го порядка. Если кромѣ того (а) = ^І"(а), то мы говоримъ, что кривыя имѣютъ прикосновеніе второго порядка. Вообще если
Да) = Г(а), /V) = /*"(а) = Г"(а) и т. д. до (а) = ^(я) (а),
то мы говоримъ, что разсматриваемыя кривыя имѣютъ прикосновеніе п'г° порядка. Если кривыя имѣютъ между собою прикосновеніе /г10 порядка, то это значитъ, что
Фиг, 33.
онѣ не могутъ имѣть прикосновенія выше и’г° порядка, для нихъ п + 1’ьгп производныя не могутъ быть равны.
Предположимъ, что двѣ кривыя АЗ? и АСг (фиг. 33), представляемыя уравненіями н у = 3?(х\ имѣютъ прикосновеніе «’г0 порядка въ точкѣ х = а, тогда для х = а -\-1ъ будемъ имѣть
№ = у2=Я (а) + 4Р (а) 4- А- Г" (а) -{-.
I » «2
Г(,,+1(а+ 67і).
Такъ какъ кривыя имѣютъ прикосновеніе ??‘го порядка, то
/(а) = Л(а) = ^'И, С" (а) = Р" (а)
Г<”(а) = Ры(а)
а потому
Р>Р = V, - ’Л = -7 - - - 7; -, ,.т ГР'^П (« + «Ч - ^'} 1« + Щ
1 ....(У* “Г Iк
Положимъ что у~<^(х) есть уравненіе третьей крпвой АН^ имѣющей съ кривой у=1(х) прикосновеніе только йгг0 порядка (мы полагаемъ, что т <; п), тогда для точки х — а + 1і пмѣемъ
7/н"И Г ,
р<і = У, - У, = (а + Ы) - Г'”^’ (а -г «О
Такъ какъ 1і можно дать такое значеніе, прп которомъ для «і < п разность у2—у* будетъ менѣе разностп у3— уІУ то вблизи точки кривая у = <р(;г) будетъ далѣе отъ кривой у = /’(ж), чѣмъ крпвая у = И\х).> а потому крпвая у = ®(х} прп такихъ условіяхъ не можетъ пройти между кривыми у=/{х) л у = І'{х).
Итакъ крпвая, проходящая черезъ одну точку съ двумя другими кривыми, но-имѣющая чпело производныхъ равныхъ съ пхъ производными меньшее, чѣмъ числоравныхъ производныхъ для этпхъ двухъ кривыхъ, не можетъ проходить между ними.
Еслп 1ъ есть весьма малая величина; то разность у2— уг имѣетъ одинакій знакъ съ членомъ
У"+П(а) — /гС”+ч (а)
п слѣдовательно измѣняетъ свой знакъ вмѣстѣ съ 7і, еслп п есть четное чпело. Итакъ если двѣ кривыя имѣютъ прикосновеніе четнаго порядка, то они пересѣкаютъ одна другую въ общей точкѣ. Если же двѣ кривыя имѣютъ прикосновеніе нечетнаго порядка, то онѣ въ общей точкѣ не пересѣкаются, но касаются одна другой.
Для того чтобы извѣстная кривая у~/{х) имѣла прикосновеніе ;гго порядка, съ данною кривою у = нужно, чтобы удовлетворялось п-і-і уравненій впда.
/(а) — Р (а); (а) = Г'(а); Г'Ч») = -^'Ч»)...../*(в) («) = ^”Ч«) (А).
Поэтому, еслп уравненіе кривой содержитъ п+‘І параметровъ, то давая надлежащія значенія постояннымъ, прп которыхъ удовлетворились бы. послѣднія уравненія, можно найти кривую даннаго впда, которая имѣла бы прикосновеніе ;гг0 порядка въ данной точкѣ съ данною крпвой.
Пояснимъ это на нѣкоторыхъ примѣрахъ.
Уравненіе прямой лнніп у = ах 4- Ъ содержитъ двѣ постоянныхъ а и Ъ гі мы моліемъ пхъ выбрать такъ, пли, другими словами, такъ провести прямую, чтобы опа имѣла прикосновеніе перваго порядка съ дайною кривою, была бы къ пой касательною.
Пусть эта кривая будетъ у^=/[х) и координаты данной точки, въ которой должно быть прикосновеніе, пусть будутъ н тогда два первыя изъ
уравненій (А), которыя долліны имѣть мѣсто въ разсматриваемомъ частномъ случаѣ, будутъ
а а + Ь = /"(а); а — (а)
пзъ этихъ двухъ уравненій опредѣляются параметры а и Ъ искомой касательной.
Общее уравненіе круга заключаетъ въ себѣ три постоянныхъ, поэтому для всякой точки данной крпвой можно найти кругъ, имѣющій съ крпвой въ этой точкѣ прикосновеніе втораго порядка. Посмотрнмч> каковъ этотъ кругъ. Пусть уравненіе искомаго круга будетъ
(X — О2 + (У— ъу=п2
въ немъ содержатся три параметра а, Ъ и И. Этотъ кругъ съ кривою у = [(х) долженъ по условію имѣть прикосновеніе втораго порядка, а потому для точки (х. у). въ которой должно имѣть мѣсто прикосновеніе, должно быть
иоі Х-х- У-,,-
Принимая за главное перемѣнное ж, пзъ уравненія круга пмѣемъ
(X— а)с?Х+(Е— Ъ) сІУ~о сіх2 + НУ2 + (У — Ъ)<РУ= о
по уравпепіямчі (10), эти уравненія и уравненія даннаго круга обращаются вч>
(х _ 4- (у _ Ь)2 = И2
(11) (#— ,а)^4-(у— Ъ)сІу = о
СІХ2 + &у2 + (у — Ъ) сРу = о.
Такими уравпспіямп мы моліемъ пользоваться для опредѣленія трехъ параметровъ а, &, И искомаго круга, т. с. для опредѣленія положенія центра круга и его. радіуса. Послѣднее пзъ уравненій (11) даетъ
(12) у — Ъ =-------зТ 7 = — у.-
2 сгу а2у
внося это во второе изъ уравненій (И), находимч.
(13) =
ѵ 7 ах а2у ах
внося наконецъ найденныя разности х— а и у—Ъ въ первое изъ уравненій (И), получаемъ
а это, какъ мы знаемъ, есть выраяіеніе радіуса кривизны. Итакъ кругъ, имѣющій прикосновеніе втораго порядка съ кривою у = /’(ж), есть кругъ кривизны; мѣсто, его центра опредѣляется координатами а и которыя по уравненіямъ (12) п (13) суть
д,гу сіх ’
(Ю
15. Поясняя теорію соприкосновенія кривыхъ, рѣшимъ еще слѣдующую задачу.
Найдемъ параболу, ось которой параллельна осп у, и которая имѣетъ тѣснѣйшее прикосновеніе съ крпвой ’
въ точкѣ, абсциса которой х = а.
Уравненіе параболы съ осью параллельною осп у .п съ вершиною внѣ начала координатъ есть
(X — а)2 = 2^ (У— р)
гдѣ а п р координаты вершины искомой параболы, а р ея параметръ.
Такъ какъ уравненіе параболы содержитъ трп параметра а. р, />, то прикосновеніе можетъ быть не болѣе втораго порядка, а потому для .опредѣленія этпхъ трехъ постоянныхъ будемъ пользоваться тремя уравненіями
имѣющими мѣсто прп х = а.
Изъ уравненія данной кривой п уравненія параболы пмѣемъ
х3
но по первому условному уравненію у = У прп х=Х = а, слѣдовательно
(а)
Изъ уравненія первой крпвой п параболы пмѣемъ
Лу з#2 </У 2 (X — а)
(Іх а2 ' (IX
слѣдовательно при х-= X — а, находимъ
(Ь)
Наконецъ пзъ уравненія данной кривой п параболы пмѣемъ сі-у ба; . сі2 У___________________________ 1
слѣдовательно прн х = X = а, получимъ а
Ле
тавъ опредѣляется параметръ параболы. Внося ату величину въ уравненіе (Ь), имѣемъ
наконецъ уравненіе [а) дастъ
Слѣдовательно уравненіе искомой параболы имѣетъ впдъ
/ «Л- а ( а\
ж-----) = - «------).
\ 27 з \ 4/
16. На основаніи теоріи соприкосновеній легко обнаружить одно примѣчательное свойство круга кривизны. Легко доказать, что для тѣхъ точекъ кривой, въ которыхъ радіусъ кривизны достигаетъ наибольшаго плп наименьшаго значенія, кругъ кривизны съ разсматриваемой кривой имѣетъ прикосновеніе третьяго порядка.
Дифференцируя выраженіе (9) радіуса кривизны, получпмъ
для іпахітит пли тіпітпт р числитель этой дроби долженъ обращаться въ пуль, а? потому условіе ніахіпінпі плп тіпітипі представляется уравненіемъ
откуда
Такое значеніе имѣетъ третья производная отъ уравненія данной кривой для тѣхъ точекъ, въ которыхъ радіусъ кривизны достигаетъ піахіпіиш пли тіпітит своего значенія
Вторая и третья производныя отъ уравненія круга кривизны
суть
(.X - а)2 + (Г - 2>)2 = Я2
откуда
йГ а? У О*У _3аХ (IX2 (IX3 - У—Ъ
но мы видѣли,
что
ах
слѣдовательно
ау (а2У\2 Зах' \ах2)
"г \ах;
Но такъ какъ для круга кривизны, какъ имѣющаго прикосновеніе втораго порядка съ данной крпвой,
ау ау а2у _ а2# ах ах ’ а х2 а^?
то
отсюда заключаемъ, что
а2 у__а3 у
ах3 = 'ах?
т. е. что въ тѣхъ точкахъ крпвой, гдѣ радіусъ кривизны достигаетъ тахіптпі
плп тіпітит своего значенія, кругъ кривизны имѣетъ съ разсматриваемой кривой прикосновеніе третьяго порядка.
17. Пусть О (фиг. 84) будетъ центромъ кривизны для точки А крпвой МП.
Фиг. 34.
Для какой либо другоіі точки В на той же кривой МП центръ кривизны пусть будетъ въ точкѣ О'. Крпвая линія, на которой лежатъ центры кривизны послѣдовательныхъ точекъ данной крпвой, называется разверткой этой данной кривой. Въ нашемъ случаѣ крпвая 00' служитъ разверткой для кривой МП. Уравненіе развертки есть ничто иное какъ соотношеніе между координатами а п Ъ центра кривизны. Слѣдовательно уравненіе развертки получимъ, еслп неключимъ х и у меледу уравненіями. (14) и уравненіемъ у — [(х) данной крпвой. Этп трп уравненія пмѣютъ видъ:
сіх?
(15)
Чтобы показать нѣкоторыя свойства развертки, возьмемъ дифференціалъ отъ втораго уравненія (И), измѣняя при этомъ всѣ велпчпны входящія въ это уравненіе, т. е. а и Ъ вмѣстѣ съ х п у, ибо-для развертки а и Ъ суть координаты различныхъ ея точекъ п потому -онѣ измѣняются съ переходомъ отъ одной точки кривой къ другой. Это дифференцированіе даетъ
сіх1 — сіа. сіх 4- сіу* — сІЪ. сіу + (у — &) (12'У = °
Вычтемъ отсюда третье пзъ уравненій (11), тогда будемъ имѣть
сіа.сіх 4" (ІЪ.сіу = о
откуда
сіЪ сіа
сіх
сіЪ
-5- есть очевидно сіа
тангенсъ того угла, который касательная проведенная къ раз-
верткѣ составляетъ съ осью х. а
СІХ
есть тангенсъ угла, составленнаго съ
осью’ х нормалью проведенною чрезъ топку данной кривой, для которой топка (а, 6) служитъ центромъ кривизны. Слѣдовательно касательная къ разверткѣ совпадаетъ съ нормалью къ данной кривой. Ио эта нормаль направлена по радіусу кривизны АО (фиг. 35), а потому заклинаемъ, что .радіусъ кривизны служитъ касательной къ разверткѣ.
Дифференцируя первое пзъ уравненій (11) въ томъ же смыслѣ и вычитая котомъ пзъ полученнаго результата второе изъ уравненій (11), найдемъ
— (ж — а) (Іа — (у — &) (ІЬ = 3 (13
плп
(ж — «) да (у — Ь) (ІЪ ____ 77?
ІГ' ^-- = (13
Ио составивъ но уравненіямъ (14) разности х— а п у — Ъ и раздѣливъ эти разности на выраженіе радіуса крпвпзны, находпмъ
х — а___(Ту у — Ь_______ (Іх
3 (Тз ’ 3 Із
Поэтому предыдущее уравненіе даетъ
— (1І (Та + аь = (ІИ
(Із (Т$
илп
— (Ту (Та 4- (Тх (ІЪ _ 1ТІ
ѵіГ-Г& ~'С
но по найденному сейчасъ свойству развертки
(ІЪ сіх (Та (Ту
Слѣдовательно въ предыдущее уравненіе вмѣсто (Тх и (Ту можно внестп пмъ пропорціональныя величины, т. е. йЬ п — (Та, тогда получпмъ
(13 =
Итакъ, еслп элементъ длины развертки означпмъ чрезъ (Іо, то будемъ пмѣть
(13. = да
Еслп же дифференціалы двухъ величинъ между собою равны, то самыя велпчпны могутъ между собою разниться только на постоянное количество, поэтому
а = 3 4- С
гдѣ С есть произвольная постоянная. Это соотношеніе показываетъ, что еслп длпну развертки будемъ считать отъ нѣкоторой опредѣленной точкп, напр. отъ точкп <2,
то эта длина должна быть или равна радіусу кривизны, илн можетъ отличаться отъ него на постоянную величину.
Разсмотримъ два радіуса кривизны ЛО и ВО' (фпг. 34) для крпвой и по предыдущему соотношенію допустимъ
= ВО'= $0'^0
откуда
ВО' — АО = $О>— (№=ОО’
т. е. каждый отрѣзокъ развертки равенъ разности радіусовъ кривизны соотвѣтствующихъ ея концамъ. Поэтому, если кривую $Р обогнемъ нитью іі одинъ конецъ этой нптн укрѣпимъ въ (), а нотомъ эту нпть начнемъ развивать, то свободный ея конецъ оппшетъ кривую 212ЛТ. Отъ этого свойства кривая $00'Р получила названіе развертки, а данная крпвая относительно ея называется развивающеюся линіей.
Такъ какъ въ уравненіи
а = І2 + С
С есть произвольная постоянная и слѣдовательно можетъ имѣть сколько угодно значеній, то всякой разверткѣ можетъ соотвѣтствовать безчисленное множество развивающихся линій; но каждой данной крпвой соотвѣтствуетъ только одна совершенно опредѣленная развертка.
18. Пояснимъ на частныхъ примѣрахъ теоретическія сообраягенія, относящіяся къ изслѣдованію кривизны данной лпніп въ различныхъ ея точкахъ.
Обнаружимъ прежде всего нѣкоторыя свойства радіуса кривизны коническаго сѣченія.
Общее уравненіе коническихъ сѣченій всегда, можетъ быть. приведено къ. виду
(16) у- — + Я я2
гдѣ х к у суть прямолинейныя координаты. Дифференцируя послѣдовательно два раза это уравненіе относительно я, пмѣемъ
Ау
(17)
Ах2 \йх) *
помножая послѣднее пзъ этихъ уравненій па уравненіе (16), получаемъ
V йх2^У Ѵсіх) ье *
вычитая отсюда первое изъ уравненій (17), предварительно возвысввъ его въ квадратъ, пмѣемъ
3- 575 == — Р1 •
Слѣдовательно такое соотношеніе существуетъ для всѣхъ коническихъ сѣченій вообще.
Обратимся теперь къ общему выраженію радіуса кривизны
исключая отсюда производную
ИгУ (ІХ2
посредствомъ предыдущаго уравненія, пмѣемъ
Мы видѣли, что длина нормали для всякой кривой представляется въ формѣ
поэтому предыдущему выраженію можно дать впдъ
Отсюда заключаемъ, что во всякомъ коническомъ сѣченіп радіусъ кривизны пропор-ціоваленъ кубу нормалп.
Основываясь на этомъ свойствѣ, легко показать способъ построенія радіуса кривизны для всякаго коническаго сѣченія. Для этого возьмемъ уравненіе коническаго сѣченія, представленное по полярнымъ координатамъ. Пусть радіусъ векторъ какой либо точкп коническаго сѣченія будетъ р, пусть уголъ этого радіуоа вектора съ большою полуосью будетъ гр, тогда, удерживая предыдущія означенія, напишемъ уравненіе коническаго сѣченія въ видѣ
) СО8 ф
откуда
1^__1 Н~ С/'1 + .
1/1 + г • Л р р г ѵ
Припомнимъ, что еслп означимъ чрезъ 0 тотъ уголъ, который касательная составляетъ
съ продолженнымъ радіусомъ векторомъ, то
нормали съ самнмъ радіусомъ векторомъ очевидно будетъ служить дополне-углу 0 до 90°. Слѣдовательно, если означимъ чрезъ іл уголъ нормали съ ра-
уголъ ніемъ діусомъ векторомъ, то будемъ пмѣть
I I
внося сюда вмѣсто сейчасъ найденную величину этой производной, пмѣемъ
Іап§ іл
-- 0. ЗІП Ф
Но такъ какъ у
(18)
Возвышая первое изъ уравненій (17) въ квадратъ, имѣемъ
что посредствомъ уравненія (16)
приводится къ виду
Но если № есть длина нормали,
то мы знаемъ, что воооще
2
Слѣдовательно
что посредствомъ уравненія (18) легко приводится къ виду
дѴ = -
отсюда заключаемъ, что въ коническихъ сѣченіяхъ проложеліе нормали на радіусъ.
векторъ (проведенный пзъ фокуса) есть величина постоянная п равняется параметру. Мы нашли, что
исключая отсюда р посредствомъ предыдущаго соотношенія, пмѣемъ
003 2 [Л
торой хотимъ найти центръ
Фиъ> 35
на этомъ выраженіи и основывается построеніе радіуса кривизны для какой либо точки конпчесісаго сѣчепія.’
Въ самомъ дѣлѣ, проведемъ 7107’ нормаль (фпг. 35) для той точкп, для ко-кривпзны, для которой хотимъ построить радіусъ кривизны. Пусть эта нормаль встрѣчаетъ фокальную ось въ точкѣ Л7. Проведемъ пзъ фокуса Р радіусъ векторъ ]?№ и пзъ точкп возставимъ перпендикуляръ къ нормали 71/Л7; изъ точки &, въ которой этотъ перпендикуляръ пересѣкается съ продолженнымъ радіусомъ векторомъ, возставимъ перпендикуляръ къ продолженному радіусу вектору. Точка С, въ которой этотъ послѣдній перпендикуляръ пересѣчется съ нормалью, будетъ центромъ кривизны, а линія МС представитъ собою радіусъ кривизны для
данной точки Л. Въ самомъ дѣлѣ мы пмѣемъ
МХ _
С05 ,11 С08 [X
МС =
003 {Л. О ОЗ2
Слѣдовательно МС = В.
19. Опредѣлимъ теперь развертку эллппспса. Уравненіе эллипсиса съ полуосями а и 6, отнесенное къ центру, есть
двѣ послѣдовательныя производныя отъ этого уравненія суть
откуда
илн
но по уравненію эллипсиса
«' у2 + я2 ~ «2 Ь2
предыдущее приводимъ къ виду
Кромѣ того легко находимъ
Пусть а2 — і2 — с2, тогда
плп
подобнымъ же образомъ найдемъ еще другое выраженіе
имѣя это, обратимся для опредѣленія координатъ центровъ кривизны разныхъ точекъ эллипсиса ко второму п третьему изъ уравненій (15). Означая координаты центра кривизны чрезъ п т(, по этимъ уравненіямъ въ нашемъ случаѣ имѣемъ
(&* ч- с2 У2) У ............
или просто
иі
остается мевду этими уравненіями и уравненіемъ данной кривой исключить координаты х п у, тогда получимъ соотношеніе меледу с и т{, которое н будетъ уравненіемъ развертки.
Полагая въ предыдущихъ уравненіяхъ
с2
• - — а
с2
находимъ
Возвышая эти уравненія въ квадрадъ и складывая, получаемъ
принимая ліе во вниманіе уравненіе эллипсиса, приводимъ это къ впду
Это и есть уравненіе развертки эллипсиса. Эта крпвая состоитъ пзъ четырехъ вѣтвей и при извѣстныхъ условіяхъ вся заключается внутри разсматриваемаго эллипсиса.
Легко указать четыре наиболѣе примѣчательныя точки этой кривой, четыре центра кривизны, соотвѣтствующіе четыремъ концамъ осей эллипсиса.
Изъ уравненія эллипсиса при х=о пмѣемъ у — ^-гЪ. По уравненіямъ [19] видимъ, что при .г = о п у = ,т. е. для точекъ эллипсиса, лежащихъ на
концахъ малой осп, координаты центровъ кривизны будутъ
плп
прп а
5 у/2 пзъ этого выраженія находпмъ = Слѣдо-
Фаг. 36.
вательно для точкп С (фпг. 36) центромъ кривизны служитъ точка I) (прп этомъ частомъ соотношеніи полуосей), а для точки I)—точка С. Отсюда заключаемъ, что при и < Ь у72 ордината г( < Ь и центръ кривизны точки С лежптъ въ нѣкоторой точкѣ (?', « П/-г, «2—7?
ордината котороіі есть 06Р =-------.
При у — о пзъ уравненія эллипсиса имѣемъ Соотвѣтствующія зна-
ченію с и по уравненіямъ (19) будутъ
248
•“ • •
Слѣдовательно вообще
прп а = Ъ)/2 мы пмѣемъ с = • , слѣдовательно въ этомъ частномъ случаѣ
центръ крпвпзны точкп А лежитъ на половинѣ большой полуоси, на той же сторонѣ отъ начала координатъ, гдѣ п точка Л, по при а = Ь у/2 эксцентриситетъ, выраженный въ единицахъ большой полуоси, есть - I:, поэтому, во всякомъ случаѣ, )/ 2
центръ кривизны точки А лежитъ между фокусомъ и центромъ эллипсиса; ирп а < Ъ у/2 этотъ центръ кривизны лежитъ въ нѣкоторой точкѣ Н еще блпже къ началу координатъ, а центръ крпвпзны точки 13 находится въ симметричной точкѣ И'.
Чтобы судить болѣе опредѣленно о видѣ этой примѣчательной кривой, возьмемъ отъ уравненія развертки эллипсиса первую п вторую производныя, считая І; за главное перемѣнное. Прп этомъ найдемъ
откуда легко получаемъ
при 7] = о, т. е. для точекъ II п Н\ первая производная обращается въ нуль, а въ точкахъ (г п (•?', гдѣ крпвая встрѣчаетъ ось ?/, эта производная обращается въ безконечность, отсюда заключаемъ, что этп четыре точки суть особыя, именно точки возврата перваго рода. Вторая производная имѣетъ всегда, какъ видно, одинакій знакъ съ а потому развертка п сверху п снизу оси х обращена къ этой оси выпуклою стороною, поэтому крпвая имѣетъ впдъ, представленный па фиг. 36 и называется Астроидой.
20. Весьма примѣчательное свойство относительно разверткп имѣетъ циклоида. Опредѣлимъ видъ этой развертки, а равно іГ радіусъ крпвпзны циклоиды.
За уравненіе циклоиды мы примемъ два уравненія
(20)
х — И (со — зіп со); у = І — соз со)
откуда
сіх = 1? (1 — соз со). с?со; ду = И. зіп со. с?со.
слѣдовательно
ау_____ 5Іп со
(ІХ 'I — СО5 СО
ЙО І — С08 со --
откуда созсо —
слѣдовательно
8ІІ1 (О
поэтому
отсюда
г
(Іх2
у2 ' сіх
2
Имѣя это, нзъ общаго выраженія радіуса кривизны, получаемъ для разсматриваемаго случая
р — 2
здѣсь подъ В мы разумѣемъ радіусъ круга производящаго цпклопду, а йодъ р—радіусъ кривизны этой крпвой.
Намъ извѣстно, что ІЮ' = ]/2_К.дѴ’6г (фпг. 8), плп М№=]/2В.у есть нормаль цпклопды, сопоставляя это съ послѣднимъ результатомъ, заключаемъ, что радіусъ кривизны цпклоиды всегда равняется ея удвоенной иррмалн, а такъ какъ радіусъ кривизны во всѣхъ кривыхъ направляется по нормали, то для точкп М. центръ крнвпзиы будетъ находиться въ 2Г, если дЮ' = ВНП.
Найдемъ теперь развертку циклопды. Второе п третье изъ уравненій (15) въ примѣненіи къ циклоидѣ даютъ
У — Ь — ау; х — а — — 2 )/(2 7? — у)у плп
— У\ а = х+ 2 |/(2Т? — у)у
гдѣ подъ Ъ п а мы разумѣемъ координаты центровъ кривизны для цпклопды.
Исключимъ нзъ этихъ уравненій х и у помощію уравненія циклопды, тогда легко получаемъ
Ь = — В(1 — созсо)
а = В (со зіп со)
Чтобы нагляднѣе показать смыслъ этпхъ уравненій, преобразуемъ уравненія (20) циклоиды такъ, чтобы онп относплпсь къ осямъ параллельнымъ съ принятыми, по имѣющими начало въ вершинѣ циклоиды, т. е. въ точкѣ Р (фиг. 8). Пусть РР~х\ РМ = у\ тогда
х< РЕ — РЕ = іЕ — у; у' = ОЕ — — х
исключая отсюда х и у посредствомъ уравненій (20), находимъ
г' — В. ( I соз со)
у' = Е (тг — О) + зіп со)
пусть 2ІСЕ=<л}', тогда со'.-—-— со, слѣдовательно
.г' — В(І — соз со')
у* = Е (со1 4- зіп «')
Это п суть уравненія цпклонДы, отнесенныя къ вершинѣ, какъ къ началу координатъ. Прп этомъ замѣтимъ, что ъ)' = ЕЕ. Сравнивая этн уравненія съ уравненіями (21) впдпмъ, что развертка, представляемая этими уравненіями (21), есть также цпклопда, но имѣющая вершину въ началѣ координатъ, т. с. въ точкѣ О. Птакъ развертка циклоиды есть циклоида тѣхъ же размѣровъ, но иначе расположенная. Она есть цпклопда О ИКЪ.
21. Довольно примѣчательное свойство представляетъ относительно радіуса кривизны цѣпная линія, т. е. та кривая, форму которой принимаетъ нерастяжпмая гибкая пить, укрѣпленная двумя копцамп и свободно висящая между двумя точками прикрѣпленія. Уравненіе этой линіи есть
Изъ этого уравненія пмѣемъ
Пользуясь этими производными
по общему выраженію радіуса крпвпзны, находимъ
откуда легко получимъ
или наконецъ
для я —о, ,т. е., для самой нижней точки кривой, имѣемъ
— с
гдѣ подъ 7?0 разумѣемъ радіусъ кривизны этой нижней точки. Итакъ мы видимъ, что
Сравнивъ это съ даннымъ уравненіемъ кривой, видимъ, что
Л. Д, =:
Итакъ, ордината каждой точки крпвой есть средняя пропорціональная между радіусомъ кривизны этой точки и радіусомъ кривизны самой нпясней точки крпвой, той точкп, въ которой д; = о.
Не останавливаясь болѣе на этомъ, перейдемъ къ рѣшенію послѣдняго въ этомъ отдѣлѣ о плоскихъ кривыхъ линіяхъ вопроса,—вопроса объ огибающихъ и огибаемыхъ кривыхъ.
VI.
Объ огибающихъ и огибаемыхъ кривыхъ. .
22. Если данное уравненіе 1? (л, у/, с) = о кривой лпнін содержитъ параметръ с, то давая ему различныя значенія, мы будемъ получать кривыя или различныхъ размѣровъ пли въ различныхъ положеніяхъ, но всѣ этн кривыя будутъ одного и того же вида какъ данная кривая. Еслп разсмотримъ рядъ безконечно близкихъ между собою положеній кривой, зависящихъ отъ различныхъ безконечно мало между собою разнящихся значеній параметра с, и проведемъ черезъ точки пересѣченія
этихъ безконечно близкихъ между собою кривыхъ новую кривую линію, то эта послѣдняя относительно данной называется оіибаюгцегі, а даннан—огибаемой.
Уравненіе огибающей представляетъ собою соотношеніе .между координатами, соотвѣтствующее какому угодно значенію параметра, другими словами, отъ этого параметра оно не зависитъ.
Еслп дана кривая у, с) = о, то измѣнивъ параметръ с на величину Л, получимъ кривую у, с 4- Іі) = о того же впда какъ данную, пбо впдъ кривой обусловливается видомъ функціи Р, а мы предполагаемъ, что впдъ функціи не измѣняется. Послѣднему уравненію молено дать впдъ
Р (.г, у, с) 4- 7і -Р'О, у, с + 6Л-) = о
но такъ какъ Р(.г', у, с) = о, то для произвольнаго 1і послѣднее уравненіе удовлетворится прп
Показанная здѣсь производная отъ функціи Р берется относительно с и послѣ дифференцированія въ нее вмѣсто с поставлено среднее значеніе с 4- 07?-; гдѣ о < 0 < 1. Для безконечно малаго измѣненія с приращеніе 7і есть безконечно малая величина, а потому второе безконечно близкое къ первому положеніе крпвой характеризуется уравненіемъ
Р' (я, ул с) = о.
Если между этимъ уравненіемъ и уравненіемъ Р(х, у, с) = о исключимъ параметръ с, то получпмъ соотношеніе между координатами х и у, которое будетъ представлять огибающую линію; эта огибающая такимъ образомъ можетъ быть разсматриваема какъ геометрическое мѣсто предѣловъ пересѣченія кривыхъ, пронеходящихъ отъ измѣненія параметра въ уравненіи данной крпвой.
Не трудно доказать, что огибающая касается всѣхъ положеній огибаемой.
Пусть уравненіе 2?'(я, у, с) = о, рѣшенное относительно с, есть гдѣ чрезъ р для краткости означена нѣкоторая функція ж и у. Внося эту величину с въ данное уравненіе, получимъ Р(х, у,р) = о, уравненіе огибающей, ибо оно не содержитъ болѣе с. Для опредѣленія направленія касательной къ крпвой Р(х, у, с) = о мы, какъ извѣстно, пользуемся производной
СІР
сіу СІХ
Нх СІР
&У
Для опредѣленія касательной къ огибающей, возьмемъ производную отъ ея уравненія Р(х, у,р>) = р по х> прп этомъ дифференцированіи # должно быть разсматриваемо какъ функція х и у; тогда имѣемъ
сІР , <РР Ну , (Іх 1 сіу (Іх ~
Н Р Нр Нр СІ Х '
НР сір сі у сір сі у СІХ
или
(ІЕ ( (ІЕ(Іу (ІХ ' (Іу (ІХ
(ІЕ Г Лр (Ір (Іу Лр і(1х ' (Іу (Іх,
Но такъ какъ
а для общей точкп
огибающей н огибаемой,
какъ мы видѣли, должно удовлетворяться уравненіе
(ІЕ
Слѣдовательно, для общей точки огибающей н огибаемой, предыдущее уравненіе принимаетъ видъ
(ІЕ (ІЕ(Іу
(ІХ (Іу (ІХ
н отсюда получается
(ІЕ
(Іу (ІХ
(Іх (ІЕ
Лу
Слѣдовательно тангенсъ угла касательной къ огибающей тождественъ съ тангенсомъ касательной, проведенной къ огибаемой въ общей точкѣ этихъ двухъ кривыхъ, слѣдовательно въ общей точкѣ огибающая и огибаемая имѣютъ общую касательную, плп, что все равно, обѣ кривыя между собою касаются.
Мы покажемъ здѣсь одно общее весьма важное примѣненіе теоріи огибающихъ. Еслп разсмотримъ какую нпбудь кривую, отнесенную къ прямоугольнымъ осямъ координатъ и означимъ чрезъ а тотъ уголъ, который касательная къ этой крпвой составляетъ съ осью ж, то уравненіе этой касательной можно представить въ видѣ
X. зіи а — у. соз а = /’(а)
(1)
гдѣ /‘(а) есть функція отъ а, зависящая отъ свойствъ той крпвой, къ которой касательная проведена. Мы можемъ разсматривать эту кривую какъ огибающую ея касательныхъ. Уравненіе этой огибающей мы получпмъ, исключивъ параметръ меяуу предыдущимъ уравненіемъ касательной п его производной, взятой относительно а. Такая производная имѣетъ впдъ
х. соз а у. 8Іп а = р (а) (2)
Вмѣсто исключенія перемѣннаго параметра мы можемъ поступить иначе. Можемъ посредствомъ уравненій (1) н (2) выразить координаты х и у точекъ искомой
кривой по независимой перемѣнной а. Въ самомъ дѣлѣ, опредѣляя изъ предыдущихъ .уравненій х и у въ зависимости отъ а, пмѣемъ
х = (а) соз а 4* /’(а) зіп а
у— Г (а) зіп а — /’(а) соз а
откуда
Нх = (а) 4 АС°О] с°8 а
(3)
Ну — [/’" (а) 4 АСа)]81,1 а
откуда, между прочимъ, слѣдуетъ
что показываетъ, что касательная къ огибающей составляетъ тотъ же уголъ съ осью х какъ и огибаемая, т. е., что огибаемая служитъ касательной для огибающей, но это такъ и должно быть.
Возвысимъ уравненія (3) въ квадратъ п, складывая, находимъ
Нх2 Ну2 = [Л' (а) + Ла)]2
слѣдовательно
[/''‘(а) 4
итакъ въ этомъ случаѣ элементъ крпвой не зависитъ отъ радикала, но представляется въ раціональной формѣ. Пояснимъ изложенную теорію на частныхъ примѣрахъ.
Представимъ параболу уравненіемъ вида
и найдемъ геометрическое мѣсто предѣловъ пересѣченій ряда параболъ, возникающихъ пзъ этой прн непрерывномъ измѣненіи параметра а.
Итакъ въ нашемъ случаѣ уравненіе данной кривой есть
1 4 а2
.г (ж, у. а) = у — ах 4 --------я2 = о
2р
отсюда, взявъ производную по а, составляемъ
если между этими двумя уравненіями исключимъ перемѣнный параметръ, то получимъ искомое уравненіе огибающей.
Послѣднее уравненіе даетъ для этого
пнося это въ данное уравненіе, находпмъ
у — р “I-
иля
Ж2 + гру —р~ = о
что представляетъ также параболу. Итакъ въ этомъ случаѣ п огибаемая п огибаю-щая суть параболы.
Разсмотримъ прямую представляемую уравненіемъ
у —а х -4-
)/а2а2 + Ъ~
гдѣ а есть перемѣнный параметръ. Спрашивается, какой впдъ имѣетъ огибающая для такой функціи перемѣннаго параметра, т. е. для /(«)= )/а2а2 н-52. Взявъ производную отъ даннаго уравненія по перемѣнному параметру, имѣемъ
а2 а
откуда
___Ь х а}/ а- — х~
Удержнмъ рѣшеніе со знакомъ нпнусъ и, внося эту величину а въ данное уравненіе, находпмъ
или
или наконецъ
откуда
Итакъ огибающая въ разсматриваемомъ случаѣ есть эллипсисъ. Разсмотримъ прямую, представляемую уравненіемъ
?/. С08 в — X. - ЗІП 0 = С — С 8ІП
гдѣ 0 есть перемѣнный параметръ. Посмотримъ какая огибающая соотвѣтствуетъ функціи /(0) = С 'I — 8ІІІ
45° 4- перемѣннаго параметра.
Въ этомъ случаѣ
Слѣдовательно
(ІГ
Й8
45°
С.8ІП 0
СО8 О
исключая пзъ этпхъ двухъ уравненій сначала х, а потомъ у, имѣемъ
. 8ІП2 О
у — С. С08 О — С ---• X- = о
СО8Ѵ
плп просто
(«
послѣднее даетъ
или
слѣдовательно
поэтому
45°-і— 1 — с. 8ііі 0 = о
___ с
V С08 О’
плп просто
исключая посредствомъ этого соз 6 пзъ перваго пзъ уравненіи (4), имѣемъ
уравненіе цѣпной линіи. Итакъ разсматриваемому виду функціи перемѣннаго параметра соотвѣтствуетъ цѣпная линія какъ искомая огибающая всѣхъ положеній прямой.
23. Еслп уравненіе огибаемой содержитъ нѣсколько перемѣнныхъ параметровъ, связанныхъ между собою извѣстными условіями, то изысканіе огибающей основывается на слѣдующихъ соображеніяхъ.
Пусть уравненіе огибаемой будетъ
у .а, Ъ, с) — о (1)
гдѣ а, 6, с суть трп перемѣнныхъ параметра, между которыми существуютъ соотношенія представляемыя уравненіями
о (а, &, е) — о; /(«, 6, с) — о
(2)
п требуется пайтп мѣсто предѣловъ пересѣченія кривыхъ У? (я, у, а, Ь, с) = о, которыя получимъ, давая въ этомъ уравненіи параметрамъ а, Ъ, с всевозможныя значенія, удовлетворяющія уравненіямъ (2). Такъ какъ между тремя параметрами существуютъ два соотношенія, то мы можемъ опредѣлить два параметра въ функціи третьяго, который останется совершенно произвольнымъ. Итакъ, счптая Ь и с за функцію отъ а, пмѣемъ
сІГ , А]? (ІЪ сіе
(Іа л (ІЪ (Іа 1 (Іс (Іа
(3)
дифференцируя уравненія (2) относительно
а, имѣемъ
сйр , ійр (ІЪ г бйр (Іс
сіа г (ІЪ сіа ' (Тс (Іа
(1/ сі/ (ІЪ (I/ (Іс
» I I Ф --
сіа ’ (ІЪ (Та (Іс (Га
Еслп отсюда опредѣлимъ производныя
(ІЪ сіа
(Іс
П -
(іа
подставимъ
пхъ въ уравненіе
п
(3), то будемъ имѣть четыре уравненія, именно трп уравненія (1) и (2) п преобразованное уравненіе (3). Исключивъ пзъ этпхъ четырехъ уравненій трп параметра, мы найдемъ въ результатѣ исключенія соотношеніе между х и у, которое представитъ собою уравненіе искомой огибающей.
Ио исключеніе производныхъ удобнѣе всего сдѣлать посредствомъ введенія произвольныхъ множителей и при томъ на основаніи слѣдующихъ соображеній.
Предполагалось, что мы даемъ перемѣнному параметру а произвольное значеніе п посредствомъ этого послѣдняго вычисляемъ два другихъ параметра Ъ и с. Но результатъ, очевидно, будетъ тотъ же самый, если каждый пзъ трехъ параметровъ будемъ разсматривать какъ функцію нѣкоторой независимой перемѣнной ^величины а, п давая этой перемѣнной извѣстныя значенія, будемъ по ней вычислять соотвѣтствующія величины параметровъ а, Ъу с подъ тѣмъ условіемъ, чтобы эти послѣднія удовлетворяли уравненіямъ (2). Прп такомъ допущеніи данное уравненіе (1) и (2) будучи дифференцированы по параметрамъ даютъ
— - ІІЬ- '
<{а (Іа ' (ІЪ На (Іс с?а
(Іа ] сГо НЪ ) (Іу (Іс
(Іа На ' ІЪ Іа 1 сГс Іа
сі/ сТа . сТа (Іа '
а/ іъ
—Л I • ч (ІЪ (Іа
сі/' сТс
Не да
Помножимъ второе пзъ этпхъ уравненій па произвольный множитель X, а третье на произвольный множитель [А п складывая пропзведенія, найдемъ
На ' сіа
(1/\ сіа , і'сІГ
На/ На \с!Ъ
йер гіЛ НЪ сІЪ ' ІЪ / На
: (11/ к ГЙр СІ/ у (ІС к Іс ѵ (Іс (Іс / На
Такъ какъ X и р. совершенно произвольны, то выберемъ пхъ такъ, чтобы коеффи-
ціенты
прп производныхъ
На (ІЪ
обращались въ нули,
т. е. чтобы
(4)
тогда предыдущее уравненіе обратится въ
Не
Исключая между шестью уравненіями (1), (2), (4) п (5) пять величинъ а,6, с, X, р. получпмъ въ результатѣ исключенія соотношеніе между ж и у, которое будетъ уравненіемъ искомой огибающей.
Пояснимъ эти теоретическія соображенія на частномъ примѣрѣ.
Предположимъ, что прямая постоянной длины двпжится такъ, что концами постоянно остается на осяхъ х и спрашивается какой впдъ будетъ пмѣть огибающая движущейся прямой.
Уравненіе такой прямой представляется въ видѣ
-+=^=1.
а Ъ
и содержитъ два перемѣнныхъ параметра, между этими параметрами должно быть такое соотношеніе, которое показывало бы, что прямая во всѣхъ положеніяхъ сохраняетъ постоянную длину. Очевидно, что а имѣетъ значеніе отрѣзка отсѣкаемаго прямою на оси ж, а Ь—отрѣзка отсѣкаемаго на оси ?/. Еслп прямая имѣетъ постоянную длину, то
а2 4- Ъ2 — Ъ2
гдѣ 1с есть постоянная величина, это п есть соотношеніе между параметрами соотвѣтствующее уравненію ©(«,&) = о общей теоріи, а данное уравненіе соотвѣтствуетъ уравненію ^(ж, у, а ,5) = о. Въ нашемъ случаѣ, при двухъ параметрахъ пзъ уравненій (4) и (5) останутся только два уравненія; чтобы составить ихъ .замѣтимъ, что въ нашемъ случаѣ
<11? х На .
-у- =-----2 5
аа а2 аа
&]? у На 7
~НЪ~~ Ъ2' =
(Слѣдовательно уравненія (4) въ нашемъ случаѣ принимаютъ видъ
— — Ч-аХа —о: —-4-2X6=0 а2 Ъ-
или относя знакъ минусъ и множителя 2 на счетъ произвольнаго множителя А, вмѣсто этого можемъ написать
4- Ха — о; ~ = о (А)
а2 Ъ2
прибавляя къ этому уравненія
-4^=1; + = Г СВ]
а Ъ 4
будемъ имѣть систему четырехъ уравненій; исключивъ изъ этпхъ уравненій трп велпчпны а, &, X, получпмъ искомое соотношеніе между координатами х и у. .Это исключеніе выполнимъ въ слѣдующемъ порядкѣ.
Помноживъ первое изъ уравненій (А) на а, а второе на Ь и взявъ сумму произведеній, получпмъ
- _|_ 4 X (а2 4- = о
а Ъ
Что по уравненіямъ (В) принимаетъ впдъ
откуда X —— р;, внося эту величину X въ уравненія (А), получпмъ (С~
а3 = х№; Ъ* = у№
исключая посредствомъ этого а и Ъ изъ даннаго уравненія, т. е. пзъ уравненія
находимъ
пли
это п есть уравненіе искомой огибающей.
Найдемъ еще огибающую всѣхъ эллипсисовъ, имѣющихъ постоянную площадь-п постоянное направленіе осей. Эллипсисы съ осями направленными по осямъ координатъ п съ центромъ въ началѣ координатъ представляются уравненіемъ
Площадь эллппспса, какъ извѣстно, выражается величиной 7іа&; слѣдовательно условіе представляющее соотношеніе между перемѣнными параметрами будетъ
гдѣ есть данная постоянная величина, пли просто Слѣдовательно въ на-
шемъ случаѣ
У (х, у, а, і) = — I = о
Сѵ У
© (а, Ь') = аЬ — с — о
откуда
(II? 2х2 <11? ау2 (Іо . (Іо .
'(Іа = ~ ~а'г’’ ~(І Ъ~~~ № ‘> '(Іа=Ь‘' "(ІЬ==а
поэтому уравненія (4) въ нашемъ случаѣ принимаютъ видъ
или просто
У і -і _______
Ал = о
откуда
-х-{-Ха& = о;
а2
іъ + а Ь = о г 1 л "
складывая это, находимъ
1 + гХ = о;
1
20
Пзъ предыдущихъ уравненій пмѣемъ
ж2 — — X а2Ъ ; у2 — — X л&3 слѣдовательно
х2. у- = X2. (аб)4 или
х2. у2 = X2: с*
исключая отсюда X, находпмъ уравненіе огибающей въ впдѣ
4Ж2 у2 = с2
плп жг/ —ш; гдѣ ш=—. Слѣдовательно искомая огибающая есть гппербола, ибо ху — т есть уравненіе гиперболы, отнесенной къ асимптотамъ.
ги.
Касательная линія и нормальная плоскость для кривой въ пространствѣ. Каса* тельная плоскость и нормаль къ кривой поверхности.
24, Рѣшимъ теперь нѣкоторые пзъ предыдущихъ вопросовъ для кривой лпніп въ пространствѣ п кривой поверхности.
Представимъ себѣ кривую линію въ пространствѣ, разсмотримъ на ней двѣ точкп, одну съ координатами ж, д/, другую съ координатами ж4-Дж, у+Ду, г+Дг. Разстояніе мевду этпмп двумя точками будетъ
]/Дж2 -|- Ду2 + Д^2
углы которые это разстояніе составляетъ съ осями координатъ означпмъ чрезъ а, с, тогда очевидно
Дж
С08 Ь = -------
]/Дж2 Ду2 Дг2
С05 с — г---------
у/Дж2 4* Ду2 + Д^2
откуда заключаемъ, что
С0§а _ 008 І __ С08С __ 'I
Дж Ду Д^ ]/Дж2-р Ду2 "і" Д-^
что касается до уравненія лпніп пересѣкающей разсматриваемую кривую, лннін проведенной черезъ двѣ упомянутыя точки, то очевидно, что этп уравненія суть
пли
Еслп двѣ разсматриваемыя точкп будутъ сближаться, то пересѣкающая будетъ приближаться къ касательной, а слѣдовательно, еслп перейдемъ къ предѣлу, замѣнимъ прпращенія дифференціалами, то предыдущія уравненія будутъ отяоспться къ касательной крпвой лпніп проведенной къ кривой въ пространствѣ. Птакъ уравненія касательной проведенной къ точкѣ (ж, у, /) къ крпвой въ пространствѣ будутъ
СП
а косинусы угловъ, которые эта касательная составляетъ съ осями координатъ, будутъ
(2)
•гдѣ а, р, 7 суть углы этой касательной, а —координаты какой либо ея точкп. Послѣднія уравненія можно также представить въ видѣ
С08Л С08 р С08 7
Плоскость, проходящая черезъ касательную линію, называется также касательною плоскостію. Положеніемъ одной прямой положеніе плоскости чрезъ нее проходящей
не опредѣляется, а потому п положеніе касательной плоскости къ кривой въ пространствѣ остается неопредѣленнымъ. Также неопредѣленно и положеніе нормали. Мы говоримъ, что прямая нормальна къ кривой въ данной точкѣ, когда опа перпендикулярна къ касательной въ этой точкѣ, но понятно, что можно провести къ кривой въ каждой ея^точкѣ безчисленное множество нормалей, которыя всѣ будутъ заключаться въ одной плоскости. Эта плоскость называется нормальною плоскостью. Она перпендикулярна къ касательной и проходитъ чрезъ точку (х^у^з). Уравненіе плоскости, проходящей чрезъ данную точку (ж, у, з), есть
т (<; — х~) + п (т) — у) -ь р —з) ~ о
гдѣ ш, п п р пропорціональны косинусамъ угловъ составленнымъ перпендикуляромъ къ этой плоскости съ осями координатъ; къ нормальной плоскости перпендикулярна касательная линія, а потому т, п и р пропорціональны косинусамъ соз а, созр, соз у угловъ, которые эта касательная линія составляетъ съ осями координатъ. Итакъ замѣняя т, п и р величинами пмъ пропорціональными, мы представимъ уравненіе нормальной плоскости въ впдѣ
— х) соз а 4- (>] — у} созР -|- (> — соз у = о
Но соза, созр, созу въ свою очередь пропорціональны дифференціаламъ йж, йу, поэтому уравненіе нормальной плоскости можно написать въ впдѣ
йж 4- — у) 4- (С — ~ о> (3)
Извѣстно, что кривая лпніл въ пространствѣ опредѣляется двумя уравненіями
х — / (/) и у = .51 (/)
слѣдовательно изъ трехъ перемѣнныхъ ж, у, з независимымъ будетъ одно з. Еслп изъ этихъ двухъ уравненій опредѣлимъ дифференціалы сіх п сіу по сіз и внесемъ этп выраженія (Гж и сіу въ предыдущее уравненіе, то сіз сократится и все уравненіе не будетъ содержать дифференціаловъ, а только будетъ зависѣть отъ конечныхъ величинъ.
Пусть даннаа кривая представляется неявными функціями и = о п -р = о, въ которыя входятъ всѣ три перемѣнныя ж, у, з. Очевидно, что каждое пзъ этпхъ уравненій представляетъ поверхность, а нересѣченіе двухъ этпхъ поверхностей опредѣляетъ данную кривую.
Дифференціалы этихъ уравненій будутъ
Опредѣлимъ изъ этпхъ уравненій два дифференціала сіх н сіу по третьему сіз\ тогда получпмъ
сіи сіу
(Іх хіу (Ія
- - —•-------------— сіѵ (Іи (Іѵ_(Іи (Іѵ_(Іи_сіѵ_(Іи (Іѵ (Іи (Іѵ
сія (Ія сіу сія (Іх (Іх сія (Іх сіу (Іу (Іх
плп пусть для краткости
(Іх _ (Іу _ (Ія "Ь "" Ж Ж
откуда
снося это
точно также
ст> первое пзъ уравненіи (2), представимъ его въ впдѣ
СОЗ у —
_______ Я________ ] /Ъ + лг- ч- №
слѣдовательно
соз х соз р соз у ~~Г ~ ‘Ж' —
замѣняя въ уравненіи касательной (1) дифференціалы величинами пмъ пропорціональными, мы представимъ это уравненіе въ впдѣ
Е —х_____і] — У___— я
'~тг~_—зг""
точно также уравненіе нормальной плоскости (3) представится въ впдѣ
(Е — х) Ь -г (т) — у) М Ч- (д — я~) Ж = о.
Еслп дифференціалы (Іх, сіу, сія пропорціональны детерминантамъ Ь, Ж Ж, а эти послѣдніе пропорціональны разностямъ Е — ж, 7] — у, % — я, то замѣняя дифференціалы въ уравненіяхъ (4) упомянутыми разностями, получпмъ
.у . , (Іи , ч сіи .
й ($ - х> + Іу Й + й <= - = °
Эти два уравненія первой степени относительно /), они представляютъ двѣ плоскости пересѣкающіяся по касательной линіи къ кривой происходящей отъ пересѣченія поверхностей ѵ — о и и — о.
37.
Примѣнимъ эти общія соображенія къ частному случаю, найдемъ уравненіе касательной линіи и нормальной плоскости для улиткообразной крпвой. Образованіе этой линіи можно представить себѣ такимъ образомъ. Пусть радіусъ ОIV (фиг. 37) обращается около оси X и въ тоже время поднимается вверхъ, оставаясь перпендикулярнымъ къ этой оси. Пространства проходимыя тѣмъ и другимъ движеніемъ пусть будутъ между собою пропорціональны. Тогда копецъ ѴѴ радіуса О7Ѵ на цплиндрической поверхности опишетъ кривую называемую
улиткообразною. Чтобы вывести уравненіе этой лпніп, разсмотримъ какое ппбудь положеніе А~В этого радіуса. Пусть а будетъ нѣкоторое постоянное число, тогда по пропорціональности пространствъ, проходимыхъ въ обоихъ движеніяхъ, будемъ имѣть
= АО = а.№Г
Пусть О7Ѵ = 11, МО'У=ы, тогда предыдущее ра
венство представится въ видѣ
е = а .Вы
Кромѣ того пзъ прямоугольнаго треугольника ОМР пмѣемъ х = К. соз со; у — В. зіп со
исключая отсюда со посредствомъ предыдущаго уравненія, получимъ для произвольной точки улиткообразной кривой слѣдующія соотношенія между координатами
Это
и суть уравненія улиткообразной кривой, откуда
----зш а
или
такъ какъ з = а. Вы,
то
СІХ
-----. 8Іп <0: а
СОЗ (О
крпвой въ пространствѣ составляетъ съ
косинусы угловъ, которыя касательная къ
осями координатъ, по уравненіямъ (2) могутъ быть представлены въ видѣ
(Іх
сіз
соз а —
а потому эти выраженія для нашего случая принимаютъ видъ
слѣдовательно у, или уголъ касательной съ осью я, есть для разсматриваемаго случая постоянная величина, а потому также постояненъ и тотъ уголъ, который эта касательная составляетъ съ плоскостію ху.
Вообще уравненіе касательной линіи есть
5 —ж _ Ц — У __ { — г СОЗ а соз/З соз у
уравненіе нормальной плоскости имѣетъ видъ
(<; — х) соз «. + (?) — у) соз $ 4- — е) соз у = о
Въ нашемъ случаѣ
слѣдовательно для разсматриваемой кривой косинусы угловъ а,^ п у пропорціональны — зіп со, соз со и л, а потому для улиткообразной кривой уравненіе касательной линіи п нормальной плоскости будутъ
% — х _ 7] — у __ — з — зіп <о соз (о а
и
— — х~) зіп со С7] — УЗ соз со 4- — з) а — о.
25. Найдемъ уравненіе касательной плоскости проведенной къ кривой поверхности « = о, въ точкѣ (ХуУуЗ}. Уравненіе поверхности есть функція трехъ координатъ ху у,^ еслп рѣшимъ это уравненіе относительно одной изъ этихъ координатъ, напр. относительно координаты то будемъ имѣть
г = {\х*У)-
Разсмотримъ на этой поверхности точку Р и проведемъ чрезъ нее нѣкоторую кривую линію по этой поверхности. Уравненія этой кривой будутъ
(1) у = у(х) и ^ = ф(.т)
но послѣднее изъ этихъ уравненій, какъ представляющее координату з въ функціи ж, можетъ быть замѣнено уравненіемъ, которое получпмъ, если исключимъ у изъ уравненія г — /{х, у) посредствомъ перваго изъ предыдущихъ уравненій. Результатъ, этого исключенія будетъ
г = С[Ху ф (Ж)]
Уравненія (1) представляютъ собою уравненія проложеній разсматриваемой кривой,
проведенной по поверхности, на плоскости ух п гх. Касательныя къ этимъ проложеніямъ будутъ имѣть уравненія
?)—у = <р'О)(^ —с — * — Ф' Сж) СІ— «)
С2)
или
но еслп
то
* = /(ж, У)
Итакъ уравненія (2) плп уравненія касательной къ кривой линіи, проведенной черезъ точку Р по поверхности, будутъ
*| —У = ?'(я)СІ —я);
' (ПА СІИ . /1 г ,
ІЛая/ ау т Л
этими уравненіями представляется касательная къ кривой лпніи характеризуемой между ирочпмъ уравненіемъ
у = ф (Ж) '
но еслп исключимъ изъ этихъ уравненій функцію о! (ж), то получпмъ уравненіе касательной линіи ко всякой крпвой, проведенной по поверхности и —о чрезъ точку Р. Результатъ этого исключенія есть
Г/ѴзЛ , (НА (т, — у\‘ г
* іАйя/ \Пу) — я/.Р1’ Х
или
(сІА /К й
плп
Изъ того, что это уравненіе есть уравненіе первой стеиенп относительно заключаемъ, что геометрическое мѣсто касательныхъ ко всѣмъ линіямъ, проведеннымъ черезъ точку Р поверхности и— о, есть плоскость, а слѣдовательно уравненіе (3) есть уравненіе касательной плоскости проведенной чрезъ точку я, у, г къ поверхности = у). Еслп уравненіе поверхности дано въ неявномъ впдѣ относительно
координаты я, т. е. въ впдѣ
Р (ж, у, А — о
то понятно, что пзъ этого уравненія, взявъ его частныя производныя относительно х и у, получилъ
откуда
внося это въ уравненіе (3), приведемъ его къ виду
26. Перпендикуляръ къ касательной плоскости, возставленный въ точкѣ прикосновенія, называется нормалью къ поверхности въ этой точкѣ. Уравненіе (4) пред-
,, . <7? йУ (№
ставляетъ плоскость п пзъ геометріи извѣстно, что коеффиціенты -—, пропорціональны косинусамъ угловъ, которые перпендикуляръ къ этой плоскости составляетъ съ осями координатъ. Въ пашемъ случаѣ перпендикуляръ есть нормаль къ поверхности, а потому, если назовемъ чрезъ X, р., ѵ утлы, которые нормаль къ поверхности составляетъ съ осями координатъ, то будемъ имѣть
соз ѵ —
Еслп уравненіе касательной плоскости представлено въ видѣ (3), т. е., если уравненіе данной поверхности рѣшено относительно координаты г, и если, наконецъ,
положимъ
то косинусы угловъ „нормали къ поверхности съ осями координатъ будутъ пропорціональны ру % п —1. Итакъ въ этомъ случаѣ
соз X
а уравненія нормали для того п другаго случая будутъ
VIII.
Образованіе поверхностей движеніемъ линій.
27. Говоря о линіяхъ п плоскостяхъ, находящихся въ пзвѣстномъ отношеніи къ поверхностямъ, мы покажемъ общія уравненія главнѣйшихъ классовъ поверхностей, именно поверхностей цилиндрическихъ, коническихъ, поверхностей вращенія и нѣкоторыхъ другихъ.
Цилиндрическою поверхностію называется такая, которая происходитъ отъ движенія прямой линіи по произвольной управляющей, прп чемъ образующая прямая постоянно остается параллельною нѣкоторой прямой. Пусть уравненія обращающей прямой будутъ
х = аг 4- а;
у = Ъё + &
еслп эта прямая остается параллельною сама себѣ прп движеніи по нѣкоторой управляющей, то параметры а и Ъ должны быть постоянны, а параметры а и будутъ измѣняться.
Управляющую, какъ кривую въ пространствѣ, представимъ уравненіями двухъ, пересѣкающихся поверхностей. Итакъ уравненія управляющей пусть будутъ
/(«, у у ё} = О П Р [ХуУу ё) = о
Исключая между этими четырьмя уравненіями трп координаты, получпмъ соотношеніе между перемѣнными параметрами въ видѣ
Р = ф(а)
гдѣ фунцкія ф завнептъ отъ впда управляющей и остается произвольною. Пзъ уравненій образующей прямой находимъ
р := у — а — х — аз
поэтому пзъ соотношенія между перемѣнными параметрами находимъ
у — Ъг = (я: — аз')
Такъ какъ это соотношеніе болѣе не зависитъ отъ перемѣнныхъ параметровъ, то оно соотвѣтствуетъ всякому положенію образующей прямой п потому есть искомое уравненіе цплпндрпческой поверхности.
Исключимъ извѣстнымъ образомъ произвольную функцію. Взявъ для этого отъ предыдущаго уравненія производныя по х н у, получимъ
раздѣливъ одно пзъ этихъ уравненій на другое, найдемъ
это уравненіе съ частными производными не завпептъ болѣе отъ произвольной функціи © и представляетъ собою всякую цилиндрическую поверхность, какова бы не была ея управляющая.
Для поясненія этпхъ общихъ соображеній на частномъ примѣрѣ, составимъ уравненіе эллиптическаго цилиндра. Пусть управляющая будетъ расположена въ плоскости ху к центръ ея пусть находится въ началѣ координатъ, тогда уравненіе такой управляющей будетъ
з = о;
уравненія образующей суть
х — тз 47 а;
у = пз 4- |3
полагая въ этпхъ уравненіяхъ, согласно съ первымъ уравненіемъ управляющей, = пмѣемъ ж = а и у = @, а слѣдовательно соотношеніе между перемѣнными
параметрами по второму уравненію управляющей будетъ
но такъ какъ а = х — тз'. $ = у
пг, то искомое уравненіе цилиндрической
поверхности будетъ
Коническую поверхность можно представить себѣ какъ происходящую отъ движенія лпніи, проходящей чрезъ постоянную точку и скользящей по нѣкоторой управляющей крпвой. Пусть образующая проходитъ чрезъ точку (а,&, с). Уравненія этой прямой, какъ извѣстно, будутъ
х— а = а.(г — с); у—& = —с)
Уравненія управляющей пусть будутъ
/(ж, у, г) = о и 1? (х, у, г) = о.
Еслп образующая скользитъ по этой кривой, проходя черезъ постоянную точку, то параметры а п Р измѣняются. Исключивъ между четырьмя предыдущими уравненіями три координаты, получимъ соотношеніе перемѣнныхъ параметровъ въ видѣ
изъ уравненій образующей пмѣемъ
Поэтому искомое уравненіе конической поверхности будетъ
тдѣ видъ функціи о завпсптъ отъ впда управляющей.
Чтобы проще получить уравненіе конической поверхности для всякой управляющей, т. е. уравненіе независящее отъ произвольной функціи, примемъ вершину конуса за начало координатъ, тогда а = о, & = о, с = о п предыдущее уравненіе получаетъ впдъ
Взявъ отъ этого уравненія производныя но х и у, находимъ
сія , / /' (Ія\
СІЗ , ( х\ д.» в — У- = — Ф I - - -у (Іу т \»/ ау
раздѣливъ одно пзъ этпхъ уравяенііі на другое, получимъ
сТг (Ія
1К '• 5 •— X.
(Іх ах
сіз сіг
з-у.-- Х'.-у-
<%У (іу
откуда легко выводимъ
(Із ( (ІЯ_______
сТх (Іу "
Это есть общее уравненіе конической поверхности.
Найдемъ уравненіе поверхности вращенія. Самое общее представленіе о происхожденіи поверхности вращенія заключается въ слѣдующемъ: кругъ, плоскость котораго остается постоянно перпендикулярною къ нѣкоторой опредѣленной прямой, двпжптся центромъ по этой прямой: радіусъ круга, движущагося, непрерывно измѣняется подъ тѣмъ условіемъ, чтобы при движеніи, окружность круга встрѣчалась съ нѣкоторою данною кривою линіей,—имѣла бы съ ней одну общую точку. Отъ такого движенія круга происходитъ поверхность вращенія, осью которой служитъ упомянутая прямая. Данная крпвая, съ которой встрѣчается кругъ, служитъ управляющею. Такпмъ образомъ всякая пзъ поверхностей вращенія будетъ имѣть свою управляющую, а образующая, какъ н въ предыдущихъ случаяхъ, будетъ но формѣ одинакова для всѣхъ поверхностей вращенія, ею будетъ окружность движущагося круга.
Пусть уравненіе управляющей будетъ
/‘О, !/,<):= о; у,г) = о.
Образующій кругъ мы выразимъ какъ пересѣченіе сферы нѣкоторою плоскостію.
Уравненіе сферы, имѣющей центръ въ какой либо точкѣ на оси по-
верхности вращенія, есть
(х — а)2 4- (у — Ъ)2 4- (з — с)2 — а»
уравненіе пересѣкающей плоскости будетъ
Ах 4- Ву 4- Сз = р
гдѣ Л, 5, С суть косинусы угловъ, которые ось поверхности вращенія составляетъ съ осями координатъ, а @ есть разстояніе плоскости отъ начала координатъ. Перемѣнными параметрами въ этомъ случаѣ будутъ радіусъ шара а и разстояніе р. Исключивъ между четырьмя предыдущими уравненіями трп координаты мы
получимъ соотношеніе р — (а2) между перемѣнными параметрами. Вставивъ въ этотъ результатъ исключенія ]3 и а2, взятыя изт, уравненія плоскости и сферы, мы получимъ
-4® + Ву + Ся = ср [(я; — а)2 -|- (у — й)3 + О — с)2]
уравненіе искомой поверхности вращенія. Чтобы по возможности упростить это уравненіе, мы условимся въ выборѣ положенія координатной системы. Примемъ выше упомянутую прямую, по которой двлжптся центръ образующаго круга, за ось г, тогда А — о, 5 = о, (7=1. Кромѣ того а = о и й = о. Поэтому предыдущее уравненіе принимаетъ видъ
з = <> [у2 уг (я — с)2]
плн, что все равно,
Взявъ отъ этого уравненія частныя производныя по х и у, находимъ
или
или наконецъ
Таково уравненіе съ частными производными поверхности вращенія для всякаго вида управляющей кривой.
28. Поверхности, о которыхт> мы говорили до сихъ поръ, представляются уравненіями съ частными производными перваго порядка и это завпсптъ отъ того, что въ начальное уравненіе такой поверхности входитъ только одна произвольная функція, которую приходится исключать, составляя частныя производныя. Вт> свою очередь присутствіе въ уравненіи этой одной произвольной функціи объусловлпвается одной управляющей плп однимъ уравненіемъ, представляющимъ соотношеніе между перемѣнными параметрами. Ио легко представить себѣ движеніе образующей по нѣсколь* кпмъ управляющимъ, тогда войдетъ нѣсколько соотношеній между перемѣнными параметрами п тогда въ окончательномъ уравненіи поверхности будетъ болѣе одной 18
произвольной функціи, а для составленія общаго уравненія придется брать вторыя частныя производныя.
Число управляющихъ объусловлпвается числомъ перемѣнныхъ параметровъ. Еслп этихъ послѣднихъ въ уравненіи образующей только два, то между нпмн можетъ быть только одно соотношеніе; образующая, измѣняя извѣстные параметры, можетъ скользить тогда только по одной лпніп прямой пли кривой. Если въ уравненіи образующей будетъ болѣе двухъ перемѣнныхъ параметровъ, то между ними можно установить болѣе одного соотношенія н тогда можно будетъ поставить еще одно пли нѣсколько условій, которымъ должна удовлетворять данная образующая; можно требовать, чтобы она встрѣчалась съ двумя или болѣе управляющими. Пояснимъ эти сообралгенія. Чтобы движеніе образующей было возможно, вообще необходимо, чтобы въ ея уравненіи содержались неремѣнные параметры. Предположимъ, что уравненія образующей пмѣготъ видъ
у, г, а, Р, у,с---) = о
п содержатъ нѣсколько перемѣнныхъ параметровъ а, р, у- Еслп дана только одна управляющая
Ф(я,у, *) = о;
съ которой должна встрѣчаться образующая, то чтобы выразить условіе встрѣчи образующей съ этой управляющей, мы исключаемъ между этими четырьмя уравненіями трп координаты п получаемъ одно соотношеніе между перемѣнными параметрами въ впдѣ
(а, Р> •) = 0
изъ этого уравненія опредѣлится одпнъ параметръ въ функціи остальныхъ, которые останутся произвольными. Еслп остающихся произвольныхъ параметровъ болѣе одного, то можно еще составить соотношеніе между этими параметрами, вводя еще новую управляющую. Еслп уравненіе этой второй управляющей есть
?і (я, у,<г) = о;
о
то для представленія условія встрѣчи образующей съ этой управляющей, исключимъ координаты между уравненіями образующей н этой второй управляющей. Въ результатѣ исключенія получпмъ еще соотношеніе между параметрами
ѳі (а,Рл-") = °
Изъ этихъ двухъ соотношеній можно опредѣлить два параметра по остальнымъ. остающимся произвольными и существованіе этихъ остающихся произвольныхъ параметровъ дѣлаетъ возможнымъ движеніе образующей. Еслп параметровъ въ уравненіи управляющей только трп, то въ разсматриваемомъ случаѣ остается одпнъ произвольный параметръ и третья управляющая невозможна, ибо при существованіи ея соста-
вилось бы третье соотношеніе перемѣнныхъ параметровъ, пзъ этихъ трехъ уравненій опредѣлились бы всѣ параметры и движеніе образующей сдѣлалось бы невозможнымъ. Итакъ, чпсло соотношеній между перемѣнными параметрами опредѣляетъ число образующихъ; это число, по крайней мѣрѣ, единицею должно быть меньше числа перемѣнныхъ параметровъ, содержащихся въ уравненіи образующей.
Изъ числа поверхностей, производимыхъ движеніемъ линій, особенно примѣчательны поверхности производимыя движеніемъ прямой. Эти поверхности молено раздѣлить на двѣ категоріи.
1) Поверхности происходящія отъ такого двнлеенія прямой, прп которомъ эта образующая въ каждомъ послѣдовательномъ полояееніп пересѣкается съ своимъ предыдущимъ положеніемъ; такпмъ образомъ два послѣдовательныя полояеенія образующей всегда находятся въ одной плоскости. Такія поверхности называются поверхностями разгибающимися (знгГасез (ІетеІорраЫез). у
2) Поверхности образованныя такпмъ движеніемъ прямой, при которомъ образующая не пересѣкаясь въ двухъ послѣдовательныхъ положеніяхъ, находится въ разныхъ плоскостяхъ; такія поверхности могутъ быть названы косыми {фігГасез §аис1іе8).
Изъ того, что на разгибающейся поверхности два послѣдовательныя плп два безконечно близкія положенія образующей прямой лежатъ въ одной плоскостп, слѣдуетъ, что разгибающуюся поверхность молено представить себѣ какъ происходящую отъ движенія плоскости по опредѣленному закону,—эта плоскость въ каждомъ своемъ положеніи будетъ касательною къ поверхности по цѣлой образующей. Итакъ, чтобы составить уравненіе разгибающейся поверхности, мы возьмемъ уравненіе плоскости п будемъ давать этой плоскости различныя пололеонія, измѣняя параметры по опредѣленному закону, соотвѣтствующему частному впду поверхности.
Уравненіе плоскостп можно представить въ видѣ
Ах ф Ву г—С.
Параметрами А1 В, С опредѣляется положеніе плоскостп; чтобы измѣнить этп параметры для образованія разгибающейся поверхности по опредѣленному закону, мы представимъ, что параметры А. В, С суть функціп одного перемѣннаго параметра а, такъ что
ё = х ф (а) 4* у ф (а) ф В (а)
при этомъ, водъ поверхности образующейся отъ движенія плоскости, будетъ зависѣть отъ вода функцій ср, ф п В.
Чтобы получить положеніе данной плоскости безконечно близкое къ предыдущему, мы должны дать приращеніе гйс параметру а, т. е. поставить а ф аГа вмѣсто а, тогда получпмъ
з = х © (а ф йа) ф у ф (а ф сГа) + ф йа) или
я = я [ф (а) ф <р'(а) сГа] ф у [ф (а) ф фг(а) йа] ф В[а.') ф В1 (а) сГа
вычитая отсюда начальное уравненіе в сокративъ остатокъ на <Га, получимъ
о — а; у (а) + у ф'(а) + і'1 (а)
Этимъ уравненіемъ представляется второе положеніе плоскости,, безконечно близкое къ первому.
Двумя этпмп уравненіями, именно уравненіями
(«)
5 = х © (а) -р у + ^?(а)
о — х э'(а) 4* У ’У (а) "Ь ^’(л)
представляется одно пзъ положеній образующей, какъ пересѣченіе этихъ плоскостей. Еслп пзъ этпхъ уравненій псключпмъ перемѣнный параметръ, то найдемъ такое соотношеніе между коордпнатамп х, у, з, которое будетъ соотвѣтствовать всякому положенію образующей п это соотношеніе будетъ поэтому искомымъ уравненіемъ разгибающейся поверхности.
Но составленіе уравненія разгибающейся поверхности этимъ путемъ будетъ возможно только тогда, когда будетъ данъ частный впдъ функціи <р(а), 11
ІГ(а), пбо тогда только сдѣлается возможнымъ исключеніе перемѣннаго параметра пзъ предыдущихъ уравненій.
Но тѣмъ не менѣе легко составить общее уравненіе разгибающейся поверхности въ завпеимостп отъ частныхъ производныхъ и этимъ путемъ исключить параметръ въ впдѣ его пропзвольныхъ функцій.
Изъ двухъ предыдущихъ уравненій (а') мы можемъ опредѣлить какія ппбудь двѣ величины въ функціи двухъ другихъ, напр. моліемъ опредѣлить з и а въ функціи х- и у, а потому при дифферепцированіп предыдущихъ уравненій мы должны разсматривать з и а какъ функціи х н у. Взявъ, въ этомъ смыслѣ, отъ перваго изъ уравненій (а) частныя производныя по х п у получимъ
но, приминая во вниманіе второе пзъ уравненій (а), отсюда находимъ
(.ІЗ
Ъ ? м!
<І2 &У
исключая между этпмп уравненіями а, получпмъ
Чтобы исключить отсюда произвольную функцію, возьмемъ отъ этого уравненія вто-
рыя частныя производныя по х п у. тогда получпмъ
= фі №'} Л"..
(№ \(іу/ <Ту (Іх
(Рх т, (с!е\ сРи
— - = ф' і .
Дхсіу \(ІУ' (Туг
раздѣливъ одно уравненіе яа другое, получимъ
(РгіРг _/ (Ре \2 (№ (Туг \ Фх (Ту /
это п есть общее уравненіе разгибающихся поверхностей.
Косыя поверхности (зигГасез ^аисЬез) происходятъ, какъ мы сказали, отъ движенія прямой, остающейся прп этомъ движеніи параллельною нѣкоторой плоскости. Въ каждомъ послѣдующемъ положеніи такая прямая съ своимъ предыдущимъ положеніемъ не пересѣкается.
Предположимъ, что прямая прп движеніи остается параллельною плоскости ху, тогда уравненія этоіі прямой могутъ быть представлены въ впдѣ
2 — |3, у — О.Х + у '
гдѣ а, 0, у суть трп перемѣнные параметры, поэтому движеніе образующей можетъ происходить по двумъ управляющимъ; пусть для одной пзъ этпхъ управляющихъ уравненія будутъ
[{х, у,;Р)=.о п Р (іг, у, = о
•а другая управляющая пусть представляется уравненіями
ІАх.у.г^о и (ж, у, г} = о
исключая координаты пзъ сочетанія уравненій образующей съ уравненіями той и другой управляющей, мы найдемъ два соотношенія между перемѣнными параметрами въ впдѣ
а = ?(Ю п 7 = 'ИЮ
Внося это во второе уравненіе образующей, находпмъ искомое уравненіе косой поверхности въ впдѣ
отсюда по первому уравненію образующей пмѣемъ у — х ѳ (^) -|- ф (г)
Для исключенія произвольныхъ функцій возьмемъ частныя производныя по х и у,
тогда получимъ
или
раздѣливъ одно изъ этихъ уравненій на другое, получимъ
< сіг \ \.сІх)
Бзявъ отсюда снова вторыя производныя по х и у, находимъ
сІ2 с12з сіг с12г
сіу сіх2 сіх Лу (ІХ
д.з (12г сіг с12г
сіу (Іх (Іу сіх сіу2
раздѣливъ одно изъ этихъ уравненій на другое, получимъ
[(І2 (Т22 (І2 СІ22 СІ2 (СІ2 СІ22 СІ2 СІ23\ СІ2
\ (Іу (ІХ2 СІХ СІХ сіу } сіу Ѵсіу (ІХ (Іу 7іх (Іу 2 7 (ІХ
или
И2г ( сІг\2 (ІХ2 \(1уі.
это и есть общее уравненіе косой поверхности,
29. Для поясненія послѣднихъ общихъ соображеній, составимъ верхности, происходящей отъ движенія пряной параллельной плоскости другимъ прямымъ.
уравненіе по-ху по двумъ.
Уравненія этихъ управляющихъ пусть будутъ
у ~ Ш2
х = — 1-, у = — тя
Уравненія образующей пусть будутъ
= у = ая + у
Исключимъ х, у, 2 между уравненіями первой управляющей л образующей; прп 2—(3 второе уравненіе первой управляющей даетъ
т@ - у
а по второму уравненію образующей п первому уравненію управляющей имѣемъ у=г.а,1^- у
такимъ образомъ
т]3 = аі 4-у
Вторая управляющая такимъ же образомъ даетъ
— тр —аЛ 4- у
складывая этн два послѣднія уравненія, пмѣемъ у —о, слѣдовательно, два предыдущія соотношенія между параметрамп приводятся къ одному, вида
т(3 = аІ но при у = о, уравненіе образующей даетъ а:=х; $ = *
Л/
слѣдовательно, послѣднее соотношеніе принимаетъ впдъ
У 7 т2 = — I х
откуда
т
У— -г
это есть уравненіе искомой поверхности. Извѣстно, что такимъ уравненіемъ представляется гиперболическій параболоидъ.
Для поясненія изложенной выше теоріп плоскостей и лпній, находящихся въ извѣстномъ соотношеніи съ поверхностями, проведемъ касательную плоскость къ конической поверхности.
Мы впдѣли, что прн пзвѣстномъ расположеніи координатной системы, общее уравненіе конической поверхности принимаетъ впдъ
Взявъ отъ этого уравненія полный дифференціалъ, имѣемъ
откуда
поэтому
сТх
(Ту
I
Вообще уравненіе касательной плоскостп пмѣетъ впдъ
С _ 2 — р д __ </) — 0
а потому для нашего случая это уравненіе принимаетъ форму
пли по сокращеніи
Это и есть искомое уравненіе касательной плоскости къ конической поверхности.
Это уравненіе не измѣнится, еслп станемъ перемѣщать точку прикосновенія (х.у,х\ такъ, чтобы отношенія — п --- не измѣнялись; по еслп эти отношенія
постоянны, то
у X
~ — = п
г #
эти уравненія представляютъ- прямую проходящую черезъ начало координатъ, слѣдовательно касательная плоскость остается одна и та же для всѣхъ точекъ, лежа-
щекъ па этой прямой, т. е. для всей образующей конуса; другими словами, касательная плоскость съ- конической поверхностію прикасается по образующей проходящей чрезъ, точку (ж, у,.?).
Это заключеніе имѣетъ болѣе общій характеръ. Если поверхность будетъ линейчатая (ге^Ісо), т. е. происходящая отъ движенія извѣстнымъ образомъ прямой линіи, то эта прямая па поверхности, будучи сама для себя касательной, должна вся содержаться въ касательной плоскости.
IX.
Соприкасающаяся плоскость для кривой двоякой кривизны. Главная нормаль. Бинормаль. Кривизна линій двоякой кривизны. Кривизна крученія.
30. Мы знаемъ, что всякую кривую въ пространствѣ можно представить себѣ какъ пересѣченіе двухъ поверхностей
—о и = о
Но вообще говоря, пересѣченіе двухъ поверхностей пе можетъ лежать въ одной п той же плоскости, а слѣдовательно п крпвая пересѣченія яе будетъ заключаться въ плоскости. Эта кривая безъ изгибанія п безъ измѣненія ея формы не можетъ быть уложена па плоскости п называется кривою двоякой кривизны. Еслп возьмемъ прямую линію на плоскости п начнемъ ее сгибать, пе отдаляя ея точекъ отъ плоскости, то эта прямая обратится въ плоскую кривую линію. Чтобы части кривой вышли пзъ плоскости, надо будетъ эту кривую подвергнуть новому гнутію, такпмъ образомъ надо произвести двойное егпбапіе, чтобы получить линію двоякой кривизны.
Кривая лпнія двоякой крйвизны, какъ крпвая въ пространствѣ, представляется пересѣченіемъ двухъ поверхностей /(ж, у, = с и ^(ж, у, з) — о. Что касается до плоской крпвой, то ее можно представить себѣ какъ пересѣченіе поверхности —о съ нѣкоторою плоскостію, напр. еъ плоскостію = гдѣ с есть нѣкоторая постоянная величина. Итакъ, уравненія
^(ж, у, — о н я = с
представляютъ плоскую кривую въ пространствѣ. Понятно, что въ частномъ случаѣ двѣ поверхности пересѣкаясь, могутъ дать плоскую кривую. Такъ, два шара пересѣкаясь, въ пересѣченіи даютъ плоскую кривую—кругъ.
Крпвая двойной кривизны пе лежитъ всѣмп своими точками въ одной плоскости; папротпвъ, различныя ея части лежатъ въ разныхъ плоскостяхъ. Представимъ себѣ кривую линію двоякой крпвпзны, какъ многоугольникъ съ безконечно малыми сторонами; черезъ каждыя двѣ смежныя такія безконечно малыя стороны, плп черезъ три безконечно близкія точкп крпвой. можно провести плоскость, и эта
плоскость называется соприкасающеюся плоскостью (ріап озсиіаіеиг). Понятно, что эта плоскость содержитъ въ себѣ двѣ послѣдовательныя касательныя линіи къ разсматриваемой кривой, ибо соединяя первую пзъ безконечно близкихъ между собою точекъ со второю, мы получимъ одну касательную линію, а соединяя вторую изъ точекъ съ третьей, будемъ имѣть вторую касательную линію и эти двѣ касательныя, пересѣкающіяся меледу собою, опредѣляютъ положеніе соприкасающейся плоскости.
Уравненіе плоскостп не проходящей черезъ начало координатъ есть
(1)
+ Ву + + В — о.
Если эта плоскость есть соприкасающаяся, то она должна проходить черезъ три безконечно близкія точки кривой
/(я,у,.?) = о и В(х,у, г) = о.
Еслп координаты одной точки крпвой суть то координаты второй точки,
безконечно близкой къ этой, будутъ х 4- йхЛ у + Ну, г Ч- Дифференціалы этпхъ координатъ будутъ сіх^ (12х, сіу-г (Ру,. сІг-\-й2г\ координаты третьей безконечно близкой точки получимъ, если придадимъ эти дифференціалы къ координатамъ второй точкп. Итакъ, координаты третьей точки будутъ х 4- 2 сіх 4- с12х; уъсіу + с12у\ г2 сігсі2г. Если плоскость (1) есть соприкасающаяся, то уравненію ея должны удовлетворять координаты
(х. у, /), (х-\-СІХ, у (Іу, 2 (хЧ- 2(ІХ-\~(12Х, у-\- 2(1у-т- (12у. ^4- 2С&4-
трехъ безконечно близкихъ точекъ.
Итакъ, еслп плоскость (1) есть соприкасающаяся, то мы должны имѣть
С2)
Ах 4- Ву 4" 4- В - о
Кромѣ того
(3)
А (х 4“ 4- В (у 4- сіу) 4- С (л 4~ сіг) 4- В = о
и еще
(4) А(х-{- 2(іхА- сі2%) 4* В(х4- 2сІу + с12у) 4- С(24- 4- 4* В = о
Но уравненіе (3), вслѣдствіе существованія уравненія (2) принимаетъ видъ
(5)
А сіх 4- В сіу 4- С сіг = о.
а уравненіе (4), по уравненію (3) п уравненію (5), приводится къ виду
(6)
Ас12х-\-Вс12у^-Сс12г^=с.
Итакъ, для опредѣленія параметровъ А, В, С, В имѣемъ уравненія
А% ~г Вг, + Сс -г В = о Ах Ву Ся В = о
Асіх + Всіу -}- С’ сія = о А с12х 4- Вс12у + Сс12я = о.
Первыя два пзъ этпхъ уравненій даютъ
Л ($ — ж) + Б(Т| — у) -і- О (^ — ^) = о
Исключая изъ третьяго п четвертаго сначала 5, а потомъ А, получимъ для опре-
дѣленія отношеній п уу уравненія С* с
А __ В _ С
сіу СІ2Я — СІЯ СІ2у СІЯ СІ2Х — СІХ СІ2Я СІХ СІ2у — сіу СІ2Х
а слѣдовательно, замѣняя въ уравненіи (7) коеффиціенты А,ВУС величинами имъ пропорціональными, получимъ
(сІус12я — сІяіРу} (Е — х) (8)
+ (сіясі2х — сіхсі2#) ()] — у) + — сІус!2х) — я) = о
уравненіе соприкасающейся плоскости.
Значеніе соприкасающейся плоскости въ анализѣ понять не трудно. Безконечно малую часть кривой двоякой кривизны, лежащую въ соприкасающейся плоскости, мы можемъ разсматривать какъ плоскую кривую; а слѣдовательно, вводя соприкасающуюся плоскость, мы приводимъ вопросъ объ изслѣдованіи кривизны кривыхъ двойной кривизны къ вопросу объ изслѣдованіи плоскихъ кривыхъ, т. е. къ вопросу болѣе простому.
31. Проведемъ къ разсматриваемой крпвой черезъ точку (ж, у, я) нормальную плоскость. Всякая прямая, проходящая' черезъ эту точку и лежащая въ нормальной плоскости, будетъ нормальна къ кривой плп перпендикулярна къ касательной линіи въ точкѣ (х,у, я). Мы обратимъ вниманіе на двѣ изъ этихъ линій: одну лежащую на пересѣченіи нормальной и соприкасающейся плоскости и называемую главной нормалью, другую, проходящую черезъ точку (ж,у, я) перпендикулярно къ соприкасающейся плоскости и называемою иногда бинормалью.
Такъ какъ главная нормаль лежптъ на пересѣченіи нормальной и соприкасающейся плоскостей, то уравненіе ея представится уравненіями этихъ двухъ плоскостей, т. е. уравненіемъ нормальной плоскости
и уравненіемъ плоскости соприкасающейся
~ ~ У) + — я) — о
__284
гдѣ 21/, У, Л суть коеффііціенты уравненія (.8). Исключая изъ этихъ уравненіи сначала т]— уу а потомъ 5 — х, находилъ
—х _______ г,—у _________ г—2
'РсІё—'Ъд^ ~~ ~ Иіду — ІПх
Для вычисленія этихъ знаменателей, внесемъ вмѣсто 31, У,./ икъ величины п тогда получпмъ для перваго знаменателя
У дя — Ьду = д2х — сіх д2я) сіг
[дх д?у — ду д2х) сіу
придавая п вычитая во второй части по д2хдх2, приведемъ это къ виду Ждя — Ьду = с12х [сіх2 ду2 -Ь дя2} — сіх [сіх д2х Ч- ду д2у -р сІяд2ё) / дт \
— ^2,Г(?52 _ Й5(?25 _ $ / “-П (І8з
Точно также найдемъ
Бдх — Мдя = д дз3
Шу — У дх = д
дз3
Слѣдовательно, уравненіе главной нормали будетъ
или
Назовемъ чрезъ ѵ тѣ углы,, которые главная нормаль составляетъ с
осями координатъ, тогда
со$?ѵ соз о. созѵ 1
______________________________________СІЗ2______________ _
[(д2х сіз — д^зсіху2 [д2у дз — сІ2з сіу)2 Ч~ [д2г дз — д2з
• •
дз2
|[(й2х)2 + [д2у)2 + (д2г)2]сіз2 + [д2з)2дз2 — 2[д2з)2 дз2}*
Слѣдовательно, если положимъ
то
Легко также найтп и уравненіе бинормали. Уравненіе прямой, проходящей черезъ точку ж, у, ,е, есть
гдѣ 3^, 2Ѵ, І пропорціональны косинусамъ тѣхъ угловъ, которые эта прямая составляетъ съ осями координатъ. Но бинормаль перпендикулярна къ соприкасающейся плоскости п еслп уравненіе этой послѣдней есть
М.(Ѣ — ж) 4- № — у) 4* -Ь — о
то 21/,-У, пропорціональны косинусамъ тѣхъ угловъ, которые перпендикуляръ къ этой плоскости, или бинормаль составляетъ съ осямп координатъ. Слѣдовательно уравненіе бинормали будетъ
— х г, — у _________ % — з
(Іу (I2 з — (Із (I2 у сіз (12х — (Іх (12з йх (12у — (Іу с!2х
32. Для поясненія этпхъ общихъ соображеній на частномъ примѣрѣ, найдемъ уравненіе соприкасающейся плоскости для винтовой плп улиткообразной кривой.
Уравненіе этой линіп получимъ, еслп исключимъ со нзъ уравненій
х = а соз со; у — а зіп со; з — /са.со
послѣднее пзъ этпхъ уравненій даетъ
слѣдовательно уравненіе улиткообразной крпвой есть
/ з \
х = а. соз I I: ѵ,-а7 1
Кромѣ того пмѣемъ
(Іх = — а. зіп со Ао; йу = а. соз сос?со; Из = ка.ско
28 К
слѣдовательно
сРх = — а.соз ю. Ло2: с?2?/ —. — аліи со <7<й2; й2г = о
ибо а> есть главное перемѣнное.
Такъ какъ въ нашемъ случаѣ й2.г~о, то уравненіе соприкасающейся плоскости для разсматриваемой крпвой будетъ
— Ц2д (^ — ж) -р йзсРх (г, — у) -Ь ($г<72?/ — йу сРх) — я) — о
что для нашего случая принимаетъ впдъ
а2к 8іп со. (^—х} — а2к соз ш. (тг— ?/) (а2 $іп2 со 4- а2 соз2со) — .г) — о
или
или
Такой впдъ имѣетъ уравненіе сопрпкасательноіі плоскости для улиткообразной кривой.
33. Послѣ этпхъ предварительныхъ замѣчаній, приступимъ къ рѣшенію главнаго вопроса, къ изслѣдованію кривизны линій двоякой кривизны.
Разсматривая плоскую кривую линію какъ многоугольникъ съ безконечно малыми сторонами, мы, вмѣстѣ съ тѣмъ, представляемъ ее себѣ какъ образующуюся пзъ прямой лпніп. Раздѣлимъ прямую АВ (фпг. 38) на безконечно малыя части въ точкахъ а,&,с, послѣ этого согнемъ ее на безконечно малый уголъ прп точкѣ а. тогда точка Ъ перейдетъ въ точку Ьх, точка с въ с1, А въ СІІ и т. д. По всѣ этп точкп а, с, с?,................................... будутъ лежать еще на одной прямой.
Согнемъ эту прямую на безконечно малый уголъ около точки Ъ1Ь тогда часть Вх приметъ положеніе Вг точкп с1, и т. д., придутъ соотвѣтственно въ положенія с,, с?2...В2. Послѣ этого произведемъ сги-
баніе около точки с2 н т. д. Лено, что такпмъ обра-линію Аа Ъхс2........ съ безконечно малыми сторо
нами и въ предѣлѣ эта ломаная линія обращается въ то, что мы называемъ плоской кривой. Изъ такого способа образованія плоской кривой прямо вытекаетъ, что кривизна ея въ какой либо точкѣ будетъ тѣмъ болѣе, чѣмъ болѣе уголъ Дт между двумя прямолинейными послѣдовательными элементами, плп чѣмъ болѣе уголъ между двумя послѣдовательными касательными къ крпвой.
Кривую двоякой крпвпзны, какъ и плоскую кривую, можно произвести изгиба ніемъ прямой линіи, по только изгибаніемъ двоякимъ. Сначала будемъ изгибать прямую какъ сейчасъ указано и получпмъ плоскую кривую, а затѣмъ начнемъ изгибать эту полученную кривую. Положимъ, что первоначально прямая АВ обра-
зомъ мы получимъ ломаную
щена въ плоскую кривую А а Ъ с сі...... (фиг. 39). Оставляя въ покоѣ элементъ
АЪ, повернемъ плоскость, въ которой лежатъ остальные элементы ай, Ъс, ссі.... на безконечно малый А а В угодъ около линіи аЪ, какъ около оси. Потомъ плос-
кость элементовъ &с, ссі.... поворачиваемъ около эле-\<? мента Ъс какъ около оси на безконечно малый уголъ
/, и т. д. Поступая такпмъ образомъ, получаемъ много-
/ угольникъ съ безконечно малыми сторонами, обращаю-
щійся въ предѣлѣ въ кривую, въ которой только по два сряду лежащихъ элемента расположены въ одной плоскости, напр., элементы Аа и аЪ лежатъ въ одной плоскости, тоже относится н къ элементамъ аЪ п Ъс
и т. д. Такимъ образомъ наклоненіе каждыхъ двухъ послѣдовательныхъ элементовъ, т. е. уголъ элементовъ Аа и аЪ, элементовъ аЪ и Ъс и т. д. остается послѣ поворачиванія тотъ же, какимъ былъ до поворота. Другими словами, наклоненіе элементовъ полученной крпвой двоякой кривизны одинаково съ наклоненіемъ элементовъ плоской кривой. Въ самомъ дѣлѣ, поворачивая плоскость элементовъ аЪ, Ъс, ссі около элемента аЪ, мы заставляемъ элементъ Ъс описывать. конусъ около элемента аЪ и взаимное ихъ наклоненіе не измѣняется. При поворачиваніи плоскости элементовъ Ъс, ссі,... около Ъс, какъ около оси, элементъ ссі описываетъ конусъ около оси Ъс п наклоненіе ссі къ Ъс не измѣняется. Такимъ образомъ, изгпбая двояко прямую, получаемъ кривую двоякой крпвпзны, для которой каждая пара послѣдовательныхъ элементовъ лежптъ относительно послѣдующей пары въ иной плоскости л плоскости двухъ послѣдовательныхъ паръ составляютъ между собою безконечно малый уголъ.
Слѣдовательно крпвая двоякой кривизны имѣетъ два различные рода кривизны: 1, кривизну перваго рода, плп абсолютную, зависящую отъ того, что элементы какъ въ плоской кривой наклонены одинъ къ другому подъ безконечно малыми углами н 2, кривизну второго рода пли кривизну крученія (Чогзіоп) зависящую отъ того, что пары послѣдовательныхъ элементовъ расположены въ разныхъ плоскостяхъ наклоненныхъ одна къ другой подъ безконечно малымп угламп.
Абсолютная кривизна не отличается отъ кривизны плоскихъ кривыхъ. Опре-
дѣлимъ абсолютную кривизну кривой аЪсИ.... (фнг. 40). Разсмотримъ двѣ послѣдо-- _ вательныя безконечно близкія точки & и с, плп два по-
Фт. 40.
слѣдовательные элемента аЪ и Ъс п въ плоскости пхъ,
т. е. въ соприкасающейся плоскости для точки а крпвой чрезъ точки - а, Ъ и с проведемъ кругъ, это будетъ кругъ крпвпзны. Пусть его центръ будетъ въ О и его радіусъ означимъ чрезъ р. Потому для абсолютной кривизны въ точкѣ а пмѣемъ
Абсолютная кривизна измѣряется откошеніемъ угла Дт между двумя послѣдовательными касательными къ
Дз — т. е. къ длинѣ элемента крнвоІі и зависитъ отъ относительнаго положенія двухъ послѣдователъныхъ элементовъ.
Кривизну крученія можно измѣрять подобно измѣренію абсолютной кривизны, но кривизна крученія зависитъ отъ относительнаго положенія трехъ послѣдовательныхъ элементовъ кривой. Измѣряя крученіе кривой въ точкѣ а, мы разсмотримъ четыре послѣдовательныя точки кривой или трп элемента крпвой
аі, &с, с(1. Проведемъ къ крпвой въ а соприкасающуюся плоскость черезъ элементы аЬ и Ъс и соприкасающуюся плоскость въ Ъ черезъ элементы Ъс и са, назовемъ уголъ меледу этпмп послѣдовательными соприкасающимися плоскостями чрезъ Дсо п чрезъ Дз длину каледаго изъ элементовъ.
Чтобы судить о кривизнѣ крученія, проведемъ къ этпмъ двумъ соприкасающимся плоскостямъ перпендикуляры, такъ чтобы меледу точками, къ которымъ проведены перпендикуляры, было разстояніе АВ — Дз (фпг. 41). Уголъ между перпендикулярами будетъ равенъ углу меледу плоскостями, слѣдовательно АСВ ~-Дсо. Пусть СЛ —тогда
, „ . '1 Дсо
Дз = А. До>; откуда -7,- — —-дз
За мѣру кривизны крученія, подобно предыдущему, примемъ
I Да)
- - — І1П] - — — —
1і Дз СІ8
Очевидно, что проведенные перпендикуляры будутъ двѣ послѣдовательныя бинормали.
Найдемъ выралееніе радіуса абсолютной кривизны.
Пусть координаты той точки а, для которой будемъ искать радіусъ абсолютной кривизны, будутъ ж, у, г. Разсмотримъ двѣ послѣдовательныя безконечно близкія къ ней точкп Ъ п с п проведемъ черезъ трп точкп а, й, с соприкасающуюся плоскость. Уравненіе этой плоскости будетъ
(ау а2 г — аз а-у} (* — .г)
-г (аз а2х — аха2г) — у) + (аха2у — ау а2х) —.?) — о
пли СП гдѣ
СІ,)
Кромѣ того положимъ
А (^ — х) Н- В (т( — у) -4- С & — 2) = о
л = ау а2з — аз а2 у
в — аз а 2х — ах а2 г с = ах а2у — ау а2х
Проведемъ въ этой соприкасающейся плоскости кругъ кривизны для точкп а, который пройдетъ чрезъ точки Ъ п с. Пусть радіусъ этого круга будетъ о, а центръ этого круга опредѣлится пересѣченіемъ нормальныхъ плоскостей, проведенныхъ къ срединамъ элементовъ аЪ и Ъс.
Уравненіе нормальной плоскости, проходящей чрезъ точку а, или нормальной плоскостп къ элементу аЪ будетъ
(ч — х) &с 4- (7) — у) сіу 4 ~ ° (2)
уравненіе нормальной плоскостп въ Ъ къ элементу Ъс получпмъ, еслп здѣсь вмѣсто л1, у,поставимъ координаты, х 4 У 4* &У, ^4<&. Тогда уравненіе второй нормальной плоскостп будетъ
(т — х — сіх) сі. (х 4- сіх) 4- О) — у — сіу) сііу 4 сіу) 4 — % — сія) сі. (я 4 <1&) = о плп
—х — сіх) (сіх 4 сГ2х) 4 (т) —у — сіу) (сіу 4 сі-у) 4 (* — я—сія) (сіясі2я) —о или
— х) сіх — сіх2 4 — х) (^х — сіх СІ2Х
+ Оі — У) «У — &У* + Оі — У) $гУ — $У
4- (г — я) сія — сія2 4 (? — с12я — сія &2я — о
но принимая во вниманіе уравненіе (2), прпводпмъ это къ виду
— х) с12х 4 (4 — у) сГ2у 4~ (ц — 4) ^2з — (^'х + &У &У 4- сія с12я) = СІ82
Величина, заключающаяся въ скобкахъ, есть безконечно малая третьяго порядка, исчезающая въ сравненіи съ безконечно малыми второго порядка, а потому уравненіе второй нормальной плоскостп будетъ ’
(<;— х) с12х 4- (Т] — У) <12У 4" (ч — #) — г($2 • (3)
Плоскости (2) п (3) пересѣкутся съ плоскостію (1) по прямымъ линіямъ, этп прямыя пересѣкутся въ точкѣ, которая будетъ искомымъ центромъ кривизны; итакъ, центръ крпвпзны находится въ пересѣченіи трехъ плоскостей (1), (2) п (3). Подъ т(, мы разумѣемъ координаты какпхъ либо точекъ этпхъ плоскостей, слѣдовательно, если эти координаты будутъ удовлетворять совмѣстно уравненіямъ (1), (2), (3), то онп будутъ принадлежать точкѣ пересѣченія трехъ плоскостей, т. е. центру кривизны. Итакъ, для опредѣленія положенія центра кривизны, слѣдуетъ вычислить пзъ трехъ уравненій (1), (2), (3), какъ совмѣстныхъ, координаты ?, Еслп координаты т(, будутъ найдены, то длина радіуса кривизны для точки а(х,у,я) выразится чрезъ
?2 = (5 - г)' + (т, - у/' + (4)
9то есть вмѣстѣ съ тѣмъ уравненіе шара, проходящаго чрезъ точку х, у, я н имѣющаго центръ 7], Пересѣченіе этого шара соприкасающеюся плоскостію представляетъ кругъ кривизны, уравненіе котораго совмѣстно выражается уравненіями 19
(1) и (4). Опредѣлимъ нзъ уравненій (1), (2), (3) разности — х, т^-у, Для этого изъ уравненіи (1) и (2) пмѣемъ
— х _____________________7) — у ______— х _______________________з
О &у — В сіз А сіз — С сіх 1 В сіз — С сіу А сіу — В сіх
откуда опредѣлимъ ц—у и — з въ зависимости отъ — лЯ, внося потомъ этн разности въ уравненіе (3), получпмъ
сіу
-сіз2
откуда
•і
пли
плп наконецъ
точно также найдемъ
с*
Этими выраженіями опредѣляются координаты V], центра круга кривизны. По нпмъ легко найти величину радіуса крпвпзны. Въ самомъ дѣлѣ, внося эти разности въ уравненіе (4), получимъ
(5) ?2 = ~ (В&—С сіу)2 4- (С'сіх — А сіз)2 + (Л сіу — ВНх)2
Это выраженіе значительно упрощается. Въ самомъ дѣлѣ
В сіе — С сіу = сіз2 с12х — сіх сіе сІ2з — сіх сіу с12у 4- сіу2 с12х придавая п вычитая во второй части по сіх2 с12х, приводимъ это къ виду
В сіз — С сіу -= (сіх2 4- сіу2 4- сіз2) с12х — сіх (сіз И2з 4- сіу с12у 4- сіх с12х) или
(6)
такъ же найдемъ
С сіх — А сіе — сИз3 сі
А сіу — ВсІх = сІзй сі
подобно предыдущему, развивая Р2, легко получаемъ
Р2 = А2 4- Я2 4- С2 = <Гз2 [(сРя)2 4- (сГ-уУ + (<?2я)2 — (<Рз)2] (80)
Возвышая въ квадратъ и складывая выраженія (6) н (7), имѣемъ
(Л2 + В2 + С2) (сіх2 4- йу* 4-- с&2) — (А сіх 4- В йу 4- С сіе)2 =
но легко впдѣть, что тождественно
А сіх 4* В сіу -Ь- С сіг = о слѣдовательно
Принимая во вниманіе выраженія (8) п (9), по выраженію (5) легко составимъ
плп
(10)
Принимая во вниманіе выраженіе (80), можемъ этому дать видъ
_____________________СІЗ2____________
(с12х')2 4- (с12у)2 4- (сР<)2 — (^25)2Г
Но по формѣ (9) тоже самое выраженіе (10) даетъ еще
сіз
Если з есть перемѣнное независимое, то й'2$ = о и одно изъ этихъ выраженіи переходитъ въ другое. Означпмъ черезъ X, р., ѵ тѣ углы, которые радіусъ кривизны составляетъ съ осями координатъ у, я, тогда
г___х Т/ __и — %
со5?\ = —-—; соз и. _ \ соз ѵ — ---------- (Юл)
Р ? ?
но мы видѣли, что
и кромѣ того нашли
слѣдовательно
помня кромѣ ТОГО, НТО
Ц — г — А (А (Іу — В (Іх)
в аі -айц=а? л
С сіх — А (І2
(к2 (I №-}
\аз/
Л (Іу — В (Іх (№ (I ( -у-')
\((3 1
имѣемъ
(ІЧ)
слѣдовательно
принимая за независимое перемѣнное, отсюда находимъ
СИ)
С05 X = О к
соя [Л — р
СОЯ V =: о
293 ч
Сравнивая этн выраженія съ выраженіями косинусовъ угловъ, которые главная нормаль составляетъ съ осями координатъ, мы должны заключить, что радіусъ кривизны по направленію-, совпадаетъ съ главной нормалью.
34. Перейдемъ теперь къ разбору свойствъ кривизны крученія. Радіусъ В кривизны крученія, какъ мы видѣли, долженъ быть опредѣленъ пзъ выраженія
1 СІ<Х) Л <І5
гдѣ йа> есть безконечно малый уголъ, составляемый двумя послѣдовательными соприкасающимися плоскостями, плп двумя послѣдовательными бинормалями.
Мы знаемъ, что уравненіе соприкасающейся плоскости есть
гдѣ А, В, С имѣютъ тоже значеніе, какъ принято выше. Этп коеффиціенты пропорціональны косинусамъ тѣхъ угловъ, которые перпендикуляръ къ разсматриваемой плоскости пли бинормаль составляетъ съ осями координатъ. Если назовемъ этн углы чрезъ </. к то
Если означимъ чрезъ /”', д', к' углы, которые бинормаль, проведенная въ безконечно близкой точкѣ, составляетъ съ осями координатъ, то поймемъ что
Пусть направленія этихъ двухъ послѣдовательныхъ бинормалей будетъ СА и СВ (фиг. 41). Отложимъ на этпхъ направленіяхъ отъ точки С двѣ равныя длины СА1 н СВ', такъ что СА1 = СВ' и опишемъ пзъ С радіусомъ СВ' дугу А'В', уголъ, соотвѣтствующій этой дугѣ, будетъ с?со.
Сумма проэкцій линій А'С и А'В' на какую либо ось координатъ будетъ равна проэкціп лпніп СВ' на ту же ось. Проэкціи линіи СА1 на оси к, у, з, суть
СА1 соз СА' соз д; ' СА' соз к
проэкціп линіи СВ1 на тѣ же оси суть
СВ' соз СВ' соз р': .СВ' соз к'
-если назовемъ чрезъ р, д, г проложенія линіи А'В' на тѣ же оси, то
СА' соз і-тр — СВ' соз/’'; созр + СВ' созр';
СО5 7г -Ь >’= СВ' соз к'
но СА' = СВ1', примемъ эту длину за единицу тогда
гдѣ значенія Л, В, С опредѣляются изъ выраженіи (1#). Слѣдовательно
но
4'3'= СА'Аш
такъ какъ СЛ' = 1, то А’В1 = слѣдовательно
плп
, , __ (Р сІА — Л гіР)1 , (Р сІВ — В сІР)2 (РсІС - С сІР)2 ’— р-- „
откуда
Р4 сіи2 =
Р2 (ЙЛЧ сІВ2 Н- йС2) - яРйР (А сІА + Вс1В+СсІС) + (Л2 + В2 4- С2)сІР2-
но
Л2-Р2 —С’2=:Р2; Р сІР = А сІАВ сІВ + СЛС поэтому
Рі с№ = Р2 (сІА2 + сІВ2 -У сІС2) — Р2 СІР2
НЛП
аса2
(А2 + з2 ч- С2) (<?Л2 + СІВ2 + сІС2) — (Л СІА + В ав + С сІС)2
(Л2 + В2 + С2)2
что легко приводится къ виду
2 (В сі С — С СІВ)2 4- ( С СІА — Л сі С)2 4- (А сІВ — В сІА)2
— (Л2 + В2 + С2)2
Но дифференцируя выраженія Л, В и С, имѣемъ
сІА = сіу сР г— сі^ сРу сІВ = ск А3х — сіх сРг сІС — сіх сРу — сіу сРх
В сІС — С сІВ = В (сіх сРу — сіу сРх) — С (сія сРх — сіх сРя)
сіх (А сРх 4- В сРу 4- С сРя) — (Л сіх 4- В сіу 4- С сія) сРх'
но такъ какъ тождественно
А, (Іх 4- 2? <7?/ 4- С сія = о
В(ІС—СсІВ — (Іх (А с13х + В с13у 4- С с13г) С сІА — А(ІС-= сіу (Л (13х 4- В с13у 4- С с13г)
А сІВ — В сІА = си (Л №х 4- -В <?у 4- О
Вводя это въ предыдущее выраженіе йсо2, имѣемъ
С?СО2
сіз2 (Л (13х 4- В с13у 4- С сіи')г "(Л2 + В2 4- С2)2
но такъ какъ
(7$-*
сіи2—. -~ч
то очевидно
1 __А с13х 4- В с13у 4- С
В _ „
(12)
такое выраженіе для мѣры крпвпзны крученія. Кромѣ того по предыдущему выраженію сіш2 мы имѣемъ
, сІ$ (Л с13х 4- В с13у 4- С сѴи~)
ІІШ -----------А2 . ,-------------------
Еслц для какой либо точки крпвой <7со — о, что будетъ прп А с13х-\-В &3у-\- С (13г = о
(13)
то это значитъ, что для этой точки кривой двѣ послѣдовательныя соприкасающіяся плоскости совпадаютъ, и тогда четыре безконечно близкія точкп крпвой двоякой крпвпзны лежатъ въ одной плоскостп. Если уравненіе (13) удовлетворяется для всякой точкп крпвой, то всѣ соприкасающіяся плоскостп совпадаютъ, п разсматриваемая крпвая есть плоская.
35. Пояснимъ эти общія соображенія на частномъ примѣрѣ. Найдемъ радіусы первой п второй кривизны для улиткообразной крпвой.
Уравненіе этой линіи получится, какъ мы уже не разъ видѣли, послѣ исключенія іо пзъ уравненій
х — а соз со; у~& 8Іп со; * = 7га. со
но для нашей цѣли мы прямо будемъ пользоваться этпмп выраженіями координатъ; пзъ нпхъ находпмъ
сіх = — а зія со <йо = — у.йсо
сіу = а соз со с?со -- х.сіса
сУ = 7га. с?со
принимая въ этомъ случаѣ со за независимое перемѣнное, находомъ (Рх — — а, соз со г/со2 — — X СІ((г
(Ру — - - а зіп со с?со2 = — ?/
(Рх = о
(Рх == а ЗІП СО (7(л)3 у (ІЫ2
(Р1/ — — а соз со с?се3 — — X (?СО3 (Рх - о.
Кромѣ того пмѣемъ
с7з2 = № 4- (ІіГ- 4- (ІР = (у/2 4 х2 4- к2 а2) <?со2 ~ а2 (1 -{- /4) <7со2 слѣдовательно
(Рх
(№
Далѣе легко составляемъ
А = ка.у с?со2: В ~ — ка.:с с?со;!; С~п2(7со:і
слѣдовательно
Р2 = А2 4- В2 4- С2 а4 0 -г *2) <?со«
Но такъ какъ радіусъ первой кривизны есть вообще
то для нашего случая это принимаетъ видъ
р —о (1 + к2).
Итакъ мы видимъ, что для разсматриваемой кривой радіусъ первой крпвпзны есть постоянная величина.
Легко опредѣлить направленіе этого радіуса кривизны. Вообще это направленіе опредѣляется углами X, [л, ѵ, косинусы которыхъ, какъ мы видѣли, представляются выраженіями
соз ?ч = р
(Рх
__ •
(ІЗ2'
□
008 V —
9
легко видѣть, что для нашего случая эти выраженія обращаются въ
соз А = — соз се; соз р. — зіп се, соз ѵ “ о
Итакъ, первый радіусъ* кривизны по направленію совпадаетъ съ радіусомъ круга основанія того цилиндра, иа которомъ лежитъ улиткообразная крпвая.
Для вычисленія радіуса второй кривизны выраженіе (12) въ примѣненіи къ разсматриваемому случаю даетъ
1 __ к(Р(№' _ к
Іл а* (1 4- Ъ2) (Іо)^ а ( I 4- к2}
слѣдовательно и этотъ второй радіусъ есть постоянная величина для улиткообразной кривой.
36. Изслѣдуя кривизну линіи двоякой кривизны, мы проводили чрезъ три ея между собою безконечно близкія точки соприкасающуюся плоскость. Въ этой плоскости для данной точкп кривой мы разсматривали кругъ крпвпзны. Еслп отъ одной данной точки будемъ переходить къ другимъ точкамъ по кривой двоякой кривизны, то кругъ кривизны будетъ измѣняться съ кривизной и центръ крпвпзны будетъ перемѣщаться въ свою очередь, описывая извѣстную кривую, но такая линія по отношенію къ крпвой двоякой крпвпзны вообще не можетъ считаться разверткой. Убѣдиться въ этомъ не трудно. Еслп назовемъ элементъ этой линіи центровъ кривизны чрезъ то для того чтобы линія центровъ кривизны была разверткой необходимо, чтобы
(Іа
гдѣ, какъ прежде, подъ р разумѣемъ радіусъ абсолютной кривизны. Но такого равенства въ разсматриваемомъ случаѣ вообще но существуетъ.
Уравненія (2) (3) и (4) справедливы для каждаго центра крпвпзны. Переходя отъ одного центра кривизны къ другому, мы должны будемъ измѣнять но только Л'. ?/, но и другія количества, входящія въ этп уравненія, именно т(. г п р. Дифференцируя въ этомъ смыслѣ, уравненіе (4), т. е,, принимая въ немъ всѣ величины за перемѣнныя и вычитая изъ дифференціала уравненіе (2), получпмъ
раздѣливъ это на $(1а находимъ
— О — (1% — (_у~ СІТі — ~ р
что по уравненіямъ принимаетъ видъ
соз ѵ —
гдѣ подъ <л, ѵ разумѣемъ тѣ углы, которые радіусъ абсолютной кривизны составляетъ съ осями координатъ. Пзъ предыдущаго выраженія мы заключаемъ, что для того чтобы
& ііа
пли <?Р =
необходимо, чтобы
С?”
• Э. соз ѵ = 1. аа
а это уравненіе распадается на трп такія
<?7І соз и. — :
аа'
(к соз ѵ
а а
(А)
(ибо помноживъ ихъ соотвѣтственно на соз А, соз ре, соз ѵ и сложивъ, получпмъ предыдущее). По выраженіямъ (11) мы впдпмъ, что со$Х, соз <л н соз ѵ за-висятъ отъ вторыхъ дифференціаловъ координатъ х, у, г, между тѣмъ какъ опредѣляя сіт^ й* по выше найденнымъ выраженіямъ
мы найдемъ, что этн дифференціалы зависятъ отъ первыхъ к третьихъ дифференціаловъ координатъ, а потому уравненія (А) не могутъ существовать, не можетъ поэтому существовать и равенство = сіа^ а слѣдовательно в кривая центровъ кривизны не имѣетъ характера развертки для данной крпвой центровъ кривизны.
Для большей убѣдительности въ справедливости сказаннаго, считаемъ не лишнимъ привести болѣе простую форму разностей — ж, т( — у, ? — я.
Изъ выраженій (В) получаемъ
х — * _ —Ѵ<1У .
2— ? А сіу — В сіх. '
у — 7| _ С сіх — ^.-1
* — г А сіу — В сіх
или
Но обращая вниманіе на выраженія (6) п (7) н принимая сіз за главное перемѣнное, находимъ
(С)
опредѣливъ отсюда х — и у — т(, пмѣемъ
Г г . &Х . СІ2у
х — % = & — с); у — ті — (з — г) -~
Внося это въ уравненіе (3), находпмъ
послѣ чего уравненія (С) прямо даютъ
Вотъ тѣ выраженія, по которымъ удобнѣе всего заключить о составѣ дифференціаловъ сі^, сіт^ СІ%.
37. Убѣдившись, что линія центровъ кривизны не служитъ разверткой кривой двоякой кривизны, покажемъ-, какое свойство имѣетъ линія центровъ кривизны. Представимъ себѣ кривую двоякой - кривизны какъ состоящую изъ безконечно ма-лыхч> прямолинейныхъ элементовъ ІЮГ, ЛРІИ", ЛР'ЛР" и т. д. (фиг. 42); изъ средины каждаго изъ этихъ элементовъ, изъ точекъ 7Г, Р?', К" и т. д. проведемъ
Фиі. 45.
къ каждому элементу нормальныя плоскости Р, Р', Р" и т. д. Каждыя двѣ послѣдовательныя пзъ этихъ плоскостей пересѣкутся по прямымъ линіямъ, такч> плоскости Р и Р', пересѣкутся по прямой ХР; плоскости Рг и Р" пересѣкутся по прямой А'В' н т. д. Эти линіи пересѣченія АВ, А'В1 п т. д. называются полярными линіями. Вч> пересѣченіи эти плоскости составятъ разгибающуюся поверхность АВА,В'А!'В"АІІ!В',‘, для которой прямыя АВ, А'В' и т. д. будутъ служить образующими. Эта поверхность называется полярною поверхностію для данной крпвой. Еслп нормальныя плоскости Р п Р' пересѣчемч» соприкасающеюся плоскостію 7ЮР.Ж\ которая перпендикулярна къ плоскостямъ Р н Р1, то вч> пересѣче-ніяхч> соприкасающейся плоскости съ плоскостями Р и Р' получпмъ нормали КС и К'С перпендикулярныя кч> АВ. Первая изъ этпхъ нормалей будетъ радіусомъ крпвпзны для точкп М. Пересѣкая, такпмъ же образомъ, нормальныя плоскости Р' и Р,( соприкасающеюся плоскостію М'ЛР'ТИ'", получимъ въ пересѣченіяхъ нормали К'С' и К'С перпендикулярныя кч> Л'РГ. Первая пзъ этпхъ нормалей будетъ радіусомъ кривизны для точкп И', по такъ какъ радіуса» К'С не совпадаетъ съ нормалью К'С', ибо эти прямыя получаются отъ пересѣченія одной п той же нормальной плоскости Р' двумя различными соприкасающимися плоскостями, то прямая КС' пересѣчетъ полярную линію АВ въ точкѣ отлпчной отъ С, а потому два смежные радіуса крпвпзны КС и К'С', лежащіе въ нормальныхч» плоскостяхъ Р и Р', не встрѣчаясь на общемъ пересѣченіи АВ этпхч> плоскостей, нигдѣ болѣе пересѣчься не могутъ; поэтому п кривая проходящая чрезъ центры крпвпзны. С, С', С" и т. д. будетъ пмѣть касательныя отлпчныя отъ радіусовъ КС, К'С И1 т. д. и характера развертки пмѣть не будетъ.
Проведемъ на первой нормальной плоскости Р произвольную прямую КВ. которая будетъ нормальна относительно данной кривой двоякой крпвпзны; потомъ чрезъ К' н В по второй плоскостп Р проведемъ прямую К!В'\ далѣе по плоскости Р" .чрезъ К" п В1 проведемъ прямую КУВ'* п т. д., тогда въ пересѣченіи этпхъ нормалей получимъ ломаную линію ВВ!Вп...., но такъ какъ нормальныя плоскости Р, Р, Р" п т. д. безконечно мало наклонены одна къ другой то линія ВВ’В".... будетъ кривая на полярной поверхности, которой проведенныя прямыя КВ, К'В’, К"В" п т. д. будутъ служить касательными. Эта кривая ВВ'В1'..., будучи обогнута нитью по полярной поверхности, можетъ служпть для описанія кривой двоякой крпвпйны, а потому относительно этой послѣдней можетъ считаться разверткой. Ио такъ какъ первая нормаль КВ проведена совершенно произвольно по первой плоскостп Р, то измѣняя положеніе этой нормали произвольно, можемъ получить сколько угодно развертокъ для данной кривой, п всѣ онѣ будутъ лежать на полярной поверхности.
Полярныя лпніп попарно, именно АВ съ Л'В', Л’В* съ Л"В" н т. д. лежатъ въ однѣхъ плоскостяхъ, по какъ не параллельныя между собою должны пересѣкаться, въ пересѣченіи дадутъ ломаную линію съ безконечно малыми элементами, плп, что все равно, крпвуго КСг называемую ребромъ возврата (агёіе йе геЬгоизееіпеііі). Полярныя линіи служатъ касательными ребру возврата н перпендикулярны къ соприкасающимся плоскостямъ данной кривой двоякой крпвпзны, а потому уголъ крученія (кривизна крученія) равенъ углу соприкосновенія ребра возврата. т. е. углу послѣдовательныхъ касательныхъ ребра возврата; отъ этого послѣдняго угла зависитъ первая кривизна ребра возврата.
Уравненіе полярной поверхности можетъ быть составлено какъ уравненіе всякой разгибающейся поверхности; т. е. полярная поверхность можетъ быть представлена какъ происходящая отъ движенія плоскости, ио законъ движенія образующей плоскостп состоптъ въ данномъ случаѣ въ томъ, что эта образующая плоскость, перемѣщаясь, всегда остается нормальною къ данной крпвой двоякой кривизны. Еще проще уравненіе полярной поверхности можетъ быть составлено на основаніи слѣдующихъ соображеній.
Нормальная плоскость, проведенная въ точкѣ (ж, у, я) кривой двоякой кривизны, представляется уравненіемъ
— х) сіх + Оі — У) &У -г (С — = °
нормальная плоскость, проведенная черезъ точку безконечно близкую къ предыдущей, какъ мы видѣли, представляется уравненіемъ (3), именно
(<І — X) Рх (Т) — у) Ру Н- — #) = (І82
Еслп предположимъ, что с, т], % суть координаты точекъ пересѣченія двухъ этихъ плоскостей, т. е., еслп возьмемъ такую систему координатъ 7), которая будетъ удовлетворять совмѣстно двумъ предыдущимъ уравненіямъ, то этп координаты будутъ удовлетворять уравненіямъ полярной прямой и будутъ принадлежать точкамъ полярной поверхности. Предположимъ, что уравненія данной кривой двоякой крм-
внзцы суть
Да?, у, ,г) = о
П (л?, у, л) = О
исключивъ между этпмп четырьмя уравненіями координаты х, у, а, въ результатѣ исключенія получимъ соотношеніе
? (Ѵь С) = °
которое будетъ уравненіемъ полярной поверхности.
Что касается уравненія полярной прямой, то его проще всего составить на основаніи того свойства этой линіп, что она проходитъ чрезъ центръ кривизны и перпендикуляра къ соотвѣтствующей этому центру крпвпзны соприкасающейся плоскости. Слѣдовательно косинусы угловъ полярной прямой съ осями координатъ будутъ пропорціональны разностямъ Л, В, С, составляемымъ по выраженіямъ (1е). Если назовемъ, какъ прежде, координаты центра кривизны чрезъ Е, а координаты какой либо точки полярной прямой чрезъ а, 13, у, то уравненіе полярной прямой будетъ
внося сюда вмѣсто 7), пхъ величины изъ уравненій (Нв), получаемъ уравненіе полярной прямой въ впдѣ
Уравненіе ребра. возврата можетъ быть получено въ зависимости отъ уравненія нормальной плоскости.
Если возьмемъ уравненіе нормальной плоскости въ видѣ
(А)
+ ()] — у) (Іу + (ц “ — °
то уравненіе нормальной плоскости проходящей черезъ точку кривой безконечно близкую къ точкѣ (я:, у, #), т. е. черезъ точку а?4-<йѵ, у 4- (Іу, какъ мы
видѣли, будетъ
(В) — л1) (Рх + (’/} — у) (Ру + (< — г) (Р* ~
эти два уравненія совмѣсто представляютъ полярную лпнію, какъ пересѣченіе этпхъ двухъ плоскостей.
Еслп въ уравненіе (В) вмѣсто х,у,г внесемъ коордпнаты х-\-(Іх, у 4- (Іу, а + (Із, то получпмъ уравненіе нормальной плоскости, проходящей чрезъ точку кривой, безконечно близкую къ предыдущей.
Сдѣлавъ это внесеніе, получимъ
принимая во вниманіе уравненіе (В) изъ этого выводимъ
— я) (Рх + 0) — #) (Ру -г (С —
3 (<?ж (Рх-\-(Іу й2?/4" 4- (Лѵ <Х3х-\-(Іу (13у-\-(Т% (13з) -|- ((?2л')2+ <Х2У)2+ (^2^)2
плп
(5 — х) (13х 4- Со — У) ^У + (с — =
3 (Із (Х-з + (ЯхсРх +$у (Ру + & (13Р)-У(РхУ + (уГ-уУ + (Реу
отвергая безконечно малыя четвертаго порядка, пмѣемъ
(С) ($ — ж) сРх -|- (тг — у) (Ру + (^ — <Ря = -усІзлѴ-з
это уравненіе совмѣстно съ уравненіемъ (В) представляетъ вторую полярную линію безконечно близкую къ первой. Пересѣченіе двухъ этнхъ полярныхъ линій даетъ точку кривой возврата съ координатами т), Поэтому, еслп нзъ уравненій (А), (В), (С) и уравненій
Т(л*, У-.%) ~ о, ^(ж, у, О = о
данной крпвой двоякой крпвпзны исключимъ трп координаты ж, у, то въ результатѣ получпмъ два соотношенія между коордпнатамп Н. т,, этн соотношенія п будутъ пскомымп уравненіямп ребра возврата.
Говоря о примѣненіи дифференціальнаго исчисленія къ рѣшенію вопросовъ геометріи, посмотримъ наконецъ, какимъ образомъ можетъ быть наслѣдована кривизна поверхности въ различныхъ ея точкахъ.
X,
О кривизнѣ поверхностей. Индикатриса.
38. Составивъ понятіе о кривизнѣ какъ плоскихъ кривыхъ, такъ равно и кривыхъ двоякой кривизны, можно судить и о кривизнѣ данной поверхности въ какой либо ея точкѣ. Для этого чрезъ данную точку проведемъ по поверхности различныя кривыя линіи, которыя могутъ быть и плоскими кривыми и кривыми двоякой крпвпзны. Плоскія кривыя можно себѣ представить, какъ происходящія отъ пересѣченія данной поверхности извѣстною плоскостію, проведенною черезъ разсматриваемую точку. Если эту пересѣкающую плоскость черезъ данную точку нроведемъ такъ, чтобы она вмѣстѣ съ тѣмъ проходила и черезъ нормаль данной точки, то отъ этого пересѣченія получпмъ кривую на поверхности, которая для данной точки называется нсфлодльншіь сѣченіемъ поверхности. Пересѣченіе же всякою плоскостію, не проходящею черезъ нормаль, мы называемъ косвеннымъ сѣченіемъ поверхности.
Пусть уравненіе разсматриваемой поверхности будетъ представлено въ видѣ ё — ?(х, у}. Чрезъ точку (ж, у, г) этой поверхности проведемъ нѣкоторую кривую линію К (плоской или двойной кривизны). Длину дуги этой кривой, считаемую отъ извѣстной точки, означимъ чрезъ з. Пусть радіусъ абсолютной кривизны для этой точки (х, у^~) кривой будетъ В. Чрезъ туже точку проведемъ нормальное сѣченіе и радіусъ кривизны этой кривой означимъ чрезъ р, пусть уголъ между этими двумя радіусами въ точкѣ (ж, ?/, .$•) будетъ <р. Принимая 5 за независимое перемѣнное, изъ уравненія = ?(х, у) данной поверхности, находимъ
сІ&' (1г (Іх ( (Іу
(ІЗ (ІХ (ІЗ "г (Іу (Із
Если положимъ
(I? _ . ..
(ІХ (Іу (ІХ2 7 ’ (ІХ (Іу
то предыдущему уравненію дадимъ видъ
(І2 (ІХ ! (Іу
(ІЗ (ІЗ “ Й5
отсюда находимъ
_______йр /(1х\2 ) др (Іу (Іх , (1~х сІ82 ііх\(1з) 1 (ІусІзсІз (ІЗ2
(1% (ІХ(1у (Іх (Із (ІЗ
плп по принятому означенію
(1)
Радіусъ кривизны нормальнаго сѣченія въ точкѣ (ж, у, г) направленъ по нормали этой точки, поэтому если назовемъ чрезъ а,^,у углы, которые нормаль составляетъ съ осями координатъ, то радіусъ р составитъ съ осями координатъ углы, косинусы которыхъ суть
соэ а —
Означимъ чрезъ X, р,, ѵ углы, которые радіусъ абсолютной крпвпзны составляетъ съ осями координатъ, тогда какъ извѣстно
008 X --
1
008 V = В,
Понятно, что
СОЗ © = соз X соз а СОЗ ІЛ СОЗ р 4- СОЗ V соз у
или
СОЗ О —
я
Изъ уравненія (1) имѣемъ
(Г-х , ІГ-у (Г-з Г ісіх\- (Ъ:(Ъ/ , , /сЪА2']
Г 1 > “ (1 ' ! >--1 : “ — ' >’ 1 7 । + 2С'-,- Ѵ + І- ~1'~
(Із- (Із- (Із- Е \б?з/ ((з (Із \с/з/
Слѣдовательно
Замѣтимъ, что знакъ минусъ можетъ быть опущенъ, ибо при радикалѣ подразумѣ-ваются два знака.
Для опредѣленной точки (х,у,з), производныя р.д, г, а, і сохраняютъ постоянное значеніе; поэтому множитель прп Л въ предыдущемъ выраженіи можетъ пзмѣ-, . (ІХ (Іу „ (Іх (Іу СІЗ
няться только отъ измѣненія• н Иопропорціональны косину-
самъ угловъ, которые касательная въ точкѣ {х.уь з} къ крпвой составляетъ съ
осямп коордпнатъ, а потому провзводныя-- -, - ,
СІ О іѵ о
(ІЗ
- • останутся неизмѣнными для
всякой крпвой, проходящей чрезъ точку (ж. у,з\ лишь бы эта кривая имѣла общую касательною съ кривою К въ точкѣ (ж, у, з), слѣдовательно для всякой такой крпвой множитель прп И въ предыдущемъ выраженіи будетъ имѣть постоянное значеніе. Положимъ, что кривая X, сохраняя направленіе своей касательной въ точкѣ (ж, у. л), приближается къ нормальному сѣченію п наконецъ съ нимъ совпадаетъ, тогда для этой крпвой Л = р н ф = о, слѣдовательно соз& = '1 п для разсматри-
ваемаго случая
(3)
а потому выраженіе (2) обращается въ
И — р соз у.
Изъ этого слѣдуетъ, что если по поверхности проведены двѣ кривыя линіи черезъ одну и ту же точку одна какая либо крпвая X плоской или двойной кри-
визны и другая нормальное сѣченіе X п если онѣ проведены такъ, что въ точкѣ (ж, у,з) имѣютъ общую касательную, то радіусъ абсолютной крпвпзны крпвой К равенъ проэкціи на его направленіе радіуса кривизны нормальнаго сѣченія. Эта теорема въ
305
теоріи кривыхъ поверхностей извѣстна подъ именемъ теоремы Мёяъе. Итакъ, опредѣленіе кривизны въ направленіи всякаго косвеннаго сѣчеяія приводится къ изслѣдованію кривизны въ направленіи нормальнаго сѣчепія. Для того, чтобы упростить это изслѣдованіе, выберемъ извѣстнымъ образомъ систему осей координатъ. Возьаіемъ плоскость ху такъ, чтобы она была параллельна касательной плоскости, проведенной къ поверхности въ разсаіатрпваемой точкѣ (ж, у, г), тогда нормаль будетъ перпендикулярна къ осямъ х и у, и косинусы нораіалп съ этпмп осями будутъ равны нулю, а слѣдовательно р = о и % = о, тогда уравненіе (3} приметъ видъ
(4)
Прн такомъ расположенія осей координатъ, касательная линія, проведенная чрезъ точку (», уу а) ко всякому нормальному сѣченію, будетъ находиться въ плоскости параллельной плоскости ху\ назовемъ уголъ этой касательной къ нормальному сѣченію въ точкѣ (ж, у, г} съ осью х чрезъ Ѳ, тогда
пусть еще
тогда
I __ зес2 Ѳ
г. соз2 Ѳ -і- 2 <7. зіп Ѳ соз 6 4- і. зіп2 Ѳ г -|- 2 ста -і- іа2
плн наконецъ
Имѣя это, посмотримъ, какое изъ нормальныхъ сѣченій, проведенныхъ чрезъ точку (я, у, г) имѣетъ наибольшую пли наименьшую кривизну. Для этого находимъ
чтобы р достигло тахітит плп тіпітит, эта производная доласна обратиться въ нуль плп безконечность. Въ первомъ случаѣ
с а2 4- (г — а — сг = о
и во второмъ
При выполненіи послѣдняго условія очевидно не будетъ ни тахітит ни ті-пітит, ибо величины а сопредѣльныя съ того, которая обращаетъ знаменателя въ
нуль, не измѣняютъ знака производной ибо предыдущій трехчленъ входитъ въ знаменателя разсматриваемой производной въ квадратѣ.
Первое пзъ предыдущихъ условныхъ уравненій даетъ
Пусть числовыя значенія этпхъ двухъ корней будутъ а( ы а2. Такъ какъ уравненіе, которому удовлетворяютъ этн корнп, имѣетъ видъ
о
плп
, а слѣдовательно два нор-
то заключаемъ, что а,а2 = мальныя сѣченія, имѣющія наибольшую п наименьшую кривизну, между собою перпендикулярны. Этп нормальныя сѣченія называются ілавньгми сѣченіями.
До сихъ норъ мы условились только въ выборѣ плоскости ху, но, чтобы упростить изслѣдованіе, возьмемъ плоскость хх въ направленіи одного главнаго сѣченія, тогда одинъ изъ корней а,, а, будетъ равенъ нулю, а другой—безконечности. Птакъ, а1 = о, а2=оо.
Но
извѣстно, что еслп въ уравненіи ах2 4 &а? + с=о коеффпціентъ а = о, этого уравненія будутъ со п — Но чтобы этотъ второй корень обра-нуль, необходимо чтобы е = о; условія же а = о н е = о приводятся для
то корнп
тылся въ уравненія
къ тому, чтобы (7 = 0, а прп этомъ выраженіе (4) принимаетъ впдъ
Если н р, суть радіусы кривизны главныхъ сѣченій, то для одного главнаго сѣченія Ѳ = о н для другаго 0 = до0. Итакъ
Рі ---“і
Внося отсюда взятыя величины г и і въ предыдущее выраженіе, находпмъ
а кривизна нормальнаго сѣченія будетъ
Эта формула первоначально указана Эйлеромъ, она представляетъ зависимость между кривизною нормальнаго сѣченія и кривизнами двухъ главныхъ сѣченій.
Предположимъ, что на поверхности проведены два какія либо нормальныя сѣченія, пересѣкающіяся между собою подъ прямымъ угломъ; пусть радіуеы кривизны этихъ сѣченій будутъ и , тогда
1 _ соз2 Ѳ зіп2 Ѳ Р1 ?2
1 соз2(дэ0-]-0) зіп2(9О°Ч_0) зіп2 Ѳ соз2 0
"^2 ?1 ?2 Р1 ?2
а слѣдовательно
т. е., сумма кривизнъ какихъ либо нормальныхъ сѣченій, проведенныхъ одно къ другому подъ прямымъ угломъ, равняется суммѣ кривизнъ главныхъ сѣченій, а слѣдовательно, для данной точкп (ж, я) эта сумма есть величина постоянная.
Еслп оба главныя сѣченія будутъ имѣть радіусы кривизны рх п р2 съ одинаковыми знаками то, какъ ноказываетъ уравненіе (5), нормальное сѣченіе будетъ имѣть радіусъ кривизны р съ тѣмъ же знакомъ, поэтому всѣ нормальныя сѣченія будутъ находиться по одну сторону касательной плоскости п тогда говорятъ, что поверхность прп разсматриваемой точкѣ выпукла.
Еслп, кромѣ выше сказаннаго, радіусы кривизны рх п р2 главныхъ сѣченій будутъ между собою равны, то изъ уравненія (5) видно, что въ этомъ случаѣ р =: рх = р2 для всякаго значенія угла Ѳ. Точкп поверхности, въ которыхъ это имѣетъ мѣсто, называются точками округленія (оліілііс). Такимъ образомъ всѣ нормальныя сѣченія, проходящія чрезъ такую точку, имѣютъ въ пей одинакую кривизну и каждое изъ нихъ можетъ быть принимаемо за главное сѣченіе.
Если радіусы кривизны рх и р2 будутъ имѣть противуположные знаки, напр. если рх будетъ положительно, а р2 отрицательно, то главныя сѣче'нія должны быть _ расположены въ данной точкѣ обратно одно относительно
другаго; если одно будетъ ОМ (фиг. 43), то другое будетъ имѣть направленіе О№ п поверхность въ точкѣ О " будетъ сѣдлообразна.
/М Предполагая, что р2 отрицательно, напишемъ урав-
/ неніе' (5) въ видѣ
--------Х 1 1 1
у/ — — — соз2 Ѳ-----зіп2 Ѳ
/ ? ?1 ?2
У' 1
(у Очевидно, что въ этомъ случаѣ кривизна — нормальнаго
сѣченія, представляясь разностію двухъ чпеелъ, можетъ мѣнять знакъ, можетъ переходить отъ положительнаго значенія къ отрицательному п обратно. Понятно, что перемѣна
знака произойдетъ при такомъ углѣ 0, который будетъ удовлетворять уравненію
соз3 0 —зіп2 Ѳ — о
?1
Откуда
при этой величинѣ угла 0, кривизна —о, слѣдовательно радіусъ крпвпзны безконечно великъ и нормальное сѣченіе поверхности представляется прямого линіею.
39. Мы видѣли, что на основаніи теоремы Менье, изслѣдованіе кривизны поверхности въ данной точкѣ приводится къ изслѣдованію крпвпзны нормальнаго сѣченія; другой способъ изслѣдованія крпвпзны поверхности около данной точки указанъ К. Дюпеномъ. Этотъ способъ основывается на изученіи свойствъ особой кривой, называемой индикатрисою.
На данной поверхности м—о возьмемъ нѣкоторую точку п проведемъ чрезъ пее касательную плоскость къ поверхности; потомъ чрезъ точку, на поверхности безконечно близкую къ взятой, проведемъ плоскость параллельно выше упомянутой касательной; эта вторая плоскость пересѣчетъ поверхность и въ пересѣченіи получится та кривая, которую Дюпенъ назвалъ пндпкатрпсою.
Примемъ нормаль къ поверхности въ данной точкѣ за ось г. Начало координатъ помѣстимъ въ данной точкѣ поверхности н касательную плоскость, проведенную въ этой точкѣ, примемъ за плоскость ху. Пусть уравненіе поверхности, отнесенное къ такпмъ осямъ координатъ, будетъ
г — <р(ж, у).
Плоскость, въ которой расположена пндикатрпса, представится уравненіемъ
г ~ 7і
гдѣ А есть величина безконечно малая, порядокъ которой мы опредѣлимъ.
Фиъ< 44.
Пусть часть сѣченія поверхности плоскостью, въ которой расположена пндпктрпса будетъ аЪ№ (фиг. 44). Данную точку М поверхностп мы принимаемъ за начало координатъ. Проведемъ чрезъ точку М нормальное сѣченіе поверхности. Это сѣченіеЖЖ? будетъ проэктироватьсл на плоскость ху по прямой МК. Величину ^з=<о(ж, у) разложимъ въ рядъ по строкѣ Маклореня, тогда будемъ пмѣть
. 1 ( пд2в (12г
к — і х~ + 2 ху -. — + у2 -
2 \ дх- дхйу <1уЧ
или по обыкновенному означенію
8 — О (о, о) + Хр УѴ~г (х2Т + 2Ху$ -+ У2 І~) + Р
тдѣ Р есть сумма членовъ третьяго и высшаго порядковъ относительно х и у. Кромѣ того, .2?, 2, г, зуі должны быть вычислены для точки ЗІ, т. е. для х = а, у = о и з = о:* но такъ какъ р п пропорціональны косинусамъ тѣхъ угловъ, которые нормаль составляетъ съ осями х и у, а въ точкѣ М нормаль перпендикулярна въ плоскости ху, то понятно, ЧТО Р — О 0.^=0; кромѣ того ф(о,о) = о, ибо п —о прп х = о, у = о. Итакъ предыдущее разложеніе принимаетъ впдъ
г = (х2г + 2хуз + дН} -|- Р (6)
гдѣ 8 есть координата какой либо точкп поверхности, а вычислены для
точки ЗІ, т. е. для начала координатъ. Въ такомъ видѣ представляется уравненіе данной поверхности.
Соединимъ точку Зі съ Зі' въ плоскостп нормальнаго сѣченія ЗІЗІ'К; пзъ точкп 2ІР, въ плоскости нормальнаго сѣченія, возставпмъ перпендикуляръ ЗІС до пересѣченія съ осью г п чрезъ три точки ЗІ, ЗІ1, С проведемъ окружность, центръ которой будетъ на осп я. Тогда ОЗі1 будетъ перпендикуляръ опущенный пзъ Зі1 на діаметръ этой окружности. Мы видимъ, что ЗіС — 310 4- ОС, но ОЗІ1 есть средняя пропорціональная между частями діаметра ЗіС, слѣдовательно
ОС _03І 03Г-
ОМ^ОЗГ С'~03і
слѣдовательно
ОЗІ'2
ЗІС = ОЗІ +
1 ОЗІ
По мѣрѣ того какъ точка Зі' будетъ приближаться къ ЗІ, упомянутый кругъ будетъ приближаться къ кругу кривизны нормальнаго сѣченія для точкп ЗІ этого сѣченія. Слѣдовательно, если назовемъ чрезъ И радіусъ кривизны въ точкѣ Зі нормальнаго сѣченія,.то, приближая точку Зі! къ Зі, будемъ пмѣть въ предѣлѣ
И — Ііт
<2 озі;
но когда № становится безконечно близкою къ ЗІ и плоскость, проведенная чрезъ Зі'у параллельна плоскостп ху, какъ касательной плоскостп въ точкѣ Зі къ поверхности, тогда, въ пересѣченіи поверхности этой плоскостью, мы получаемъ пндпкат-рпсу аЗІ'Ь. Пусть значеніе ОЗІ' въ предѣлѣ будетъ и, значеніе ОЗІ въ предѣлѣ, по предыдущему означенію, есть 1і, птакъ
и2
2ІІ
и2
Такъ какъ И есть конечная величина, то, чтобы отношеніе —представляло конеч-
3_І0 _
ную величину, необходимо, чтобы м2 и Іъ были безконечно малыми одинаковаго порядка п слѣдовательно Іъ относительно и должно быть безконечно малой втораго порядка. Предыдущее отношеніе показываетъ, что радіусы кривизны различныхъ нормальныхъ сѣченій пропорціональны квадратамъ тѣхъ радіусовъ векторовъ индикатрисы, которые расположены въ плоскостяхъ этихъ нормальныхъ сѣченій. Но чтобы знать каковы этп радіусы векторы пндпкатрпсы, необходимо имѣть уравненіе индикатрисы.
Еслп въ уравненіи (6] положимъ з = 1ъ, то получпмъ соотношеніе между координатами х п у точекъ поверхности, лежащихъ въ плоскости з — 1г^ т. е. въ плоскости индикатрисы, другими словами, получпмъ уравненіе индикатрисы.
Пренебрегая величинами третьяго л высшихъ порядковъ, сравнительно съ величинами втораго порядка, найдемъ это уравненіе пндпкатрпсы въ впдѣ
О)
2?1 = ГХ2 + 2 $ ,Х у 4- Іу2
Такъ какъ 1ъ,хуууз здѣсь суть безконечно малыя велпчпны, то можемъ это урав неніе написать въ впдѣ
Из ==. — (гИх2 + 2 зсіхііу -4- і&у2)
Означимъ длину дугп 3/ЛГ' чрезъ такъ какъ эта дуга есть величина безконечно малая, то- мояссмъ принять ее за хорду; но хорда есть средняя пропорціональная между цѣлымъ діаметромъ п отрѣзкомъ прилежащимъ къ этой хордѣ, слѣдовательно
2# ММІ ~ ОМ
по нашему означенію отсюда пмѣемъ
В - ---
Вообще, (Іс2 = (Іх2 сіу2 + <Тз2, но (Із, какъ мы видѣли, есть въ нашемъ случай величина втораго порядка относительно (Іх и (Іу, а потому
(Іс2 = с?#2 (Іу2
итакъ, внося это вмѣстѣ съ значеніемъ (Із соотвѣтствующимъ индикатрисѣ въ предыдущее уравненіе, получаемъ
Еслп означимъ чрезъ Ѳ тотъ уголъ, который нормальное сѣченіе дѣлаетъ съ плоскостію хз, то = іап^Ѳ; пусть, для краткости, іап§ Ѳ=а, тогда, раздѣливъ числи-СѵѵЪ
теля и знаменателя предыдущаго выраженія на сіх2, представимъ его въ впдѣ
Такпмъ образомъ, выходя пзъ опредѣленія пндпкатрпсы, мы получили общее выраженіе радіуса крпвпзны нормальнаго сѣченія;-это выраженіе въ такомъ самомъ впдѣ мы уже нашли выше.
Уравненіе (7) пндпкатрпсы, которое мы напишемъ въ видѣ
Іі = ТХ2 + 28 Ху іу2 (8)
представляетъ собою уравненіе кривыхъ втораго порядка. Центръ крпвой находится на осп 8.
Какъ извѣстно пзъ геометріи, это уравненіе, смотря по соотношенію между г, 8 и і, можетъ представлять эллипсисъ, гиперболу, кругъ п наконецъ двѣ прямыхъ лпніп.
Еслп з2— гі <о, то ппдпкатрпса есть эллипсисъ; если з2 — гі > о она есть гипербола; еслп з = о п г = і, то индикатриса представляется кругомъ п наконецъ еслп з2—гі = о, то пндпкатрпса имѣетъ видъ двухъ прямыхъ.
Прп 82 — гі < о пнднкатрпса для точкп (х, у, я) есть эллппспсъ. Понятно, что въ этомъ случаѣ вся поверхность лежитъ около разсматриваемой точкп по одну сторону касательной плоскости п выпуклостію обращена къ этой послѣдней. Радіусы крпвпзны всѣхъ нормальныхъ сѣченій, проходящихъ чрезъ эту точку, всѣ направлены въ одну сторону; (Іа илп м, что все равно (пбо одно отъ другаго разнится величиною втораго порядка), представляетъ радіусъ векторъ индикатрисы, проведенный черезъ центръ крпвой; но мы впдѣлп, что сіа связано съ И уравненіемъ
Изъ этого мы видимъ, что вмѣстѣ съ йст и К достигаетъ своего тахітит илп тіпітит, ибо Ля для всей пндпкатрпсы величина постоянная. Слѣдовательно, въ томъ случаѣ, когда пндпкатрпса имѣетъ впдъ эллипспса, то радіусъ крпвпзны Л имѣетъ тахітит п тіпітит, пбо въ эллипсисѣ два радіуса вектора, совпадающіе съ главными осями, имѣютъ одинъ наибольшее, а другой наименьшее значеніе. Этн радіусы индикатрисы находятся въ плоскостяхъ главныхъ сѣченій.
Прп 82 — гі > о пндпкатрпса для разсматриваемой точкп поверхности есть гипербола; тогда поверхность не вся лежитъ по одну сторону касательной плоскости, проведенной чрезъ точку ЛІ. Въ самомъ дѣлѣ, радіусы векторы и гиперболы одни дѣйствительны, другіе мнпмые. Для дѣйствительныхъ радіусовъ и2 плп &>2 положительно, а потому н 7? положительно (такъ какъ прп этомъ сія положительно); для мнпмыхъ радіусовъ <?сг2 п Л отрицательны. Радіусы для точекъ поверхности, проэктпрующихся внутри вѣтвей гиперболы, будутъ пмѣть протпвуположные знаки относительно радіусовъ точекъ, проэктпрующихся внѣ вѣтвей крпвой. Этп радіусы
— 3_12__
съ разными знаками будутъ направлены въ разныя стороны. Асимптоты гиперболы будутъ разграничивать частп поверхности изогнутыя въ разныя стороны.
Еслп і — г, $^о, то индикатриса представляется кругомъ. Тогда всѣ векторы сІ<з равны, а потому и радіусы кривизны всѣхъ нормальныхъ сѣченій, проходящихъ чрезъ эту точку, равны п направлены всѣ въ одну сторону. Очевидно, что такой видъ пндпкатрнсы соотвѣтствуетъ точкѣ округленія.
Наконецъ еслп = т. е. з — ]/ті, то уравненіе (9) индикатрисы нринпмаетъ впдъ тх іу = ± \/'с ц представляетъ собою двѣ прямыя линіи, между которыми посрединѣ находится начало координатъ. Въ этомъ случаѣ всѣ векторы дѣйствительны, поэтому всѣ радіусы кривизны нормальныхъ сѣченій въ этой точкѣ направлены въ одну сторону. Наименьшій пзъ векторовъ сіе будетъ перпендикуляренъ къ параллельнымъ линіямъ; нормальное сѣченіе, проходящее чрезъ этотъ векторъ, будетъ имѣть въ данной точкѣ наибольшую крпвпзну. Наибольшій векторъ будетъ параллеленъ упомянутымъ прямымъ п будетъ равняться безконечности, а кривизна этого главнаго сѣченія будетъ безконечно мала, слѣдовательно само сѣченіе есть прямая. Такой случай можетъ имѣть мѣсто на разгибающейся поверхности, уравненіе которой, какъ мы впдѣлп, есть $2.— гі~с.
XI.
О линіяхъ кривизны на поверхности.
40. Съ радіусами крпвпзны нормальныхъ сѣченій имѣютъ тѣсную связь крпвыя, которыя Мопжъ назвалъ линіями крпвпзны (іі§лез (1е соигЬиге). Вообще нормали, проведенныя въ различныхъ точкахъ кривой поверхности, между собою не пересѣкаются, но для точекъ поверхности, извѣстнымъ образомъ выбранныхъ, это пересѣченіе можетъ пмѣть мѣсто. Если на данной поверхности и —о проведемъ лпніп такого свойства, что нормали къ поверхности, проведенныя пзъ безконечно близкихъ, между собою точекъ этпхъ кривыхъ, между собою пересѣкаются, то такія линіи называются лппіямп кривизны.
Ѳто свойство линій кривизны можно выразить еще такпмъ образомъ: для того чтобы линія, проведенная по поверхности, была для этой поверхности линіей кривизны, необходимо п достаточно, чтобы нормалп, проведенныя чрезъ различныя точкп этой крпвой къ поверхности и == о, составили собою разгибающуюся поверхность.
Пусть х, у, г будутъ координаты точкп данной поверхности. Уравненія нормали, проведенной къ этой поверхности въ точкѣ я, у, я, какъ извѣстно, будутъ
(П
е; — У + р (ц — я) “ о
гдѣ с, т;, суть соопіопіісз сонгапісз
Мы получпмъ уравненіе нормали, проведенной чрезъ безконечно близкую точку поверхности, еслп въ предыдущія уравненія нодставпмъ вмѣсто координаты х + сіх, у + сіу, г прп этомъ р и какъ функція х, у, г, измѣнятся въ р + сір, Итакъ, уравненія нормали для точки безконечно близкой къ точкѣ
х, у, з будутъ
с; — X — СІХ + (е — — сіз) = о
(2) Г, — у — сіу + + Ду) (X — * — = о
Еслп нормали пересѣкаются, то можно найтп систему координатъ которая
будетъ удовлетворять и тѣмъ н другимъ уравненіямъ, поэтому уравненія (1) п (2), прп рѣшеніи разсматриваемаго вопроса, могутъ быть принимаемы за совмѣстныя.
Вычитая уравненія (1) пзъ уравненій (2), пмѣемъ
сіх +р.Дя — сір (г — -Ю + Др.сіг = о
Ду -г- С[.СІ8 — СІ$ — г) + сіу .СІ2 = О
плн, пренебрегая безконечно малыми втораго порядка, сравнительно съ безконечно малыми перваго, пмѣемъ
сіх -у-р.сіг — сір (* — /) — о
(3) йу + - А? (; г) е
Чтобы найтн условіе пересѣченія нормалей по соотношенію между координатами х, у, г точекъ поверхностп, представляющее уравненіе кривой кривизны, теперь слѣдуетъ нзъ уравненій (1) л (3) исключить координаты разсматривая же уравненія (3), какъ уравненія нормали безконечно близкой къ нормали, проведенной чрезъ точку х,у,я, достаточно для упомянутой цѣли исключить нзъ уравненій (3) одну координату Для этого, изъ уравненій (3), имѣемъ
сіх -\-р.сІя
Др ’
поэтому
сіх р.Дг
(4)
но еслп есть уравненіе данной поверхности, то
*) Это и есть результатъ исключенія координатъ С пзъ четырехъ уравненій (1), (2). Самое исключеніе мы произвели такимъ образомъ, что комбинировали первое уравненіе нзъ (1): съ первымъ нзъ (2), второе изъ (I) со вторымъ пзъ (2), и наконецъ, комбинировали между собою два полученныя уравненія*
полагая, какъ прежде,
имѣемъ кромѣ того
плп по обычному означенію
СІХ — р.сіх + ухіу
йр — т.дх 4- $.(1у
сЦ — $.д.х + і.йу
а потому уравненіе (4) принимаетъ видъ.
(I + р2)<іх р ахіу (1 4* у2'}#!/ + р.ц-сіх
откуда легко находимъ
(5)
йу2 \рді — $(4 Ч- #)2] Ч~ &х&у[О і — О *+ #2)г]
4- сіх- [(14-р2) $ — рдг] — о
Это и есть дифференціальное уравненіе проложеній линій кривизны на плоскость ху.
Если визны есть
раздѣлимъ это уравненіе на йх2, то увндпмъ,
квадратное относительно производной
Ну а
. Эта
(ІХ
что уравненіе линіи кри-пронзводная есть тангенсъ
того угла, который касательная въ проложёніп разсматриваемой кривой на плос
кость ху составляетъ съ осью х.
Предыдущее уравненіе, будучи квадратнымъ относительно упомянутаго тан-
генса, показываетъ, что существуютъ только два направленія, по которымъ можно перейти на поверхности отъ точки М (фпг. 45) къ безконечно близкимъ точкамъ
фиі. 45.
М' и М}\ подъ тѣмъ условіемъ, чтобы нормали, проведенныя въ точкахъ дИ н Ж7, а равно въ точкахъ М и Ж-” между собою пересѣкались. Разсуждая такимъ же образомъ о точкѣ ЛГ, какъ прежде о точкѣ Л2", убѣдимся, что отъ точки подъ тѣмъ же условіемъ, можно идти только въ двухъ направленіяхъ по поверхности, напр. къ точкамъ 2Ѵ' и &, но направленія перехода отъ М1 къ У п О- будутъ различны отъ направленій перехода отъ М къ 32' и М'{, ибо въ точкѣ № частныя
производныя ру%> г, 8* і будутъ имѣть уже другія велпчпны, чѣмъ тѣ, какія они имѣли въ точкѣ ЛГ. Продолжая такпмъ образомъ, получимъ ряды точекъ ЛОГ'ЛГ...., МУСгН....' ИРМ1^11лежащихъ на кривыхъ, называемыхъ линіями кривизны-Такимъ образомъ видимъ, что всякая поверхность представляетъ двѣ системы та-кпхъ линій п что линіи первой системы, будучи проведены въ нѣкоторомъ разстояніи одна отъ друтой, пересѣченіемъ съ линіями второй системы образуютъ на поверхности криволинейные четыреугольники, на которыя раздѣлится вся разсматриваемая поверхность.
Еслп за плоскость ху примемъ плоскость параллельную къ касательной плоскости, проведенной чрезъ точку я, у, % на поверхности, то прп такомъ расположеніи системы координатъ, р = ъ н <? = о и уравненіе (5) принимаетъ видъ
Это уравненіе тождественно съ уравненіемъ (4#), по которому опредѣлялось направленіе главныхъ еѣченій, поэтому два направленія линій кривизны лежатъ въ плоскостяхъ главныхъ сѣченій, плп точнѣе, касательныя къ главнымъ сѣченіямъ суть также п касательныя къ линіямъ кривизны. Но не надо упускать изъ виду, что линіи крпвпзны вообще не совпадаютъ съ главными нормальными сѣченіями на всемъ продолженіи, ибо при переходѣ изъ точкп М въ Л/-', мы видимъ, что касательная къ линіи кривизны перемѣнитъ направленіе п въ точкѣ ЛГ будетъ совпадать съ плоскостью главнаго нормальнаго сѣченія въ этой точкѣ. Однимъ словомъ, совпаденія на всемъ протяженіи главнаго сѣченія п лпніи кривизны не можетъ быть потому, что главное сѣченіе есть плоская кривая, а линія кривизны есть вообще кривая двоякой крпвпзны.
1Г • . йу
Уравненіе лпніп кривизны, какъ квадратное, относительно имѣетъ видъ
ІР& ~ 5
+ [(1 —рцг]=о. (5
Еслп въ какой либо точкѣ
значенія
произвольно
этой производной уравненіе
поверхности это уравненіе удовлетворяется для всякаго взятаго, то для того чтобы при произвольномъ значеніи имѣло мѣсто, необходимо, чтобы отдѣльно
Р&— »(і +<г2) = °
(1 і— 0 + З2) т = о
(6)
(1 —рдг = о
Но еслп въ данной точкѣ поверхности направленіе лпніп кривизны остается неопредѣленнымъ, то нормаль къ поверхностп, проведенная въ такой точкѣ, пересѣкается съ нормалью каждой безконечно близкой точкп; въ этой точкѣ поверхность имѣетъ очевидно форму шара, плп правильнѣе, сферическій изгибъ, а самая точка, для которой выше упомянутое условіе пмѣетъ мѣсто, есть точка округленія на поверх-
ностн. Поэтому, уравненія (6) представляютъ условія существованія точки округленія. Но пзъ уравненія (6) только два существенно различны, а третье есть слѣдствіе двухъ другихъ. Въ самомъ дѣлѣ, этп уравненія могутъ быть обращены въ трп пропорціи. Наппсавъ уравненія (6) въ видѣ
(1 +
(1 +^2) 8 — рдт
рді — $ (1 д2)
раздѣлимъ первое па второе и первое па
третье, тогда получимъ
плп
Слѣдовательно
СП
это п есть аналитическое условіе существованія на данной поверхности точкп округленія. Въ этой пропорціи заключаются два уравненія; соединивъ этп два уравненія съ уравненіемъ « = о данной поверхности, получимъ трп уравненія для опредѣленія трехъ координатъ ж,у, г точкп округленія.
Еслп въ частномъ случаѣ оба уравненія (Т) между собою тождественны, то, соединяя это одно уравненіе съ уравненіемъ поверхности, получаемъ два уравненія, представляющія связь между тремя координатами; этп два уравненія представляютъ такую кривую на поверхности, которую можно назвать линіей сферической кривизны.
Указаніе лпніп кривизны иоверхности приводится къ опредѣленію направленій касательной въ каждой точкѣ крпвой. Эта задача можетъ быть рѣшена по уравненію (5^). Изысканіе уравненія крпвой кривизны въ конечномъ видѣ, на основаніи того же уравненія (5Й), составляетъ задачу интегральнаго исчисленія, но прп настоящемъ состояніи этого отдѣла анализа, мы не можемъ рѣшить эту задачу въ общемъ видѣ.
Въ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ, па основаніи чисто геометрическихъ соображеній, мы можемъ указать линіи кривизны для нѣкоторыхъ иоверхностен.
Но п по’ общей теоріи не трудно указать лпніп кривизны, напр. для поверхности вращенія. Еслп примемъ ось вращенія за ось л?, то уравненіе поверхности вращенія, какъ мы знаемъ, имѣетъ видъ
31-7
Вычисляя по этому уравненію частныя производныя р, у, г, 5, находимъ
Внося это въ уравненіе (5^) проложенія линіи крпвпзны, легко получаемъ
Для того чтобы найти направленія кривыхъ крпвпзны, мы примемъ равнымъ нулю втораго множителя: такпмъ образомъ мы удовлетворимъ предыдущему уравненію. Итакъ, для рѣшенія нашего вопроса пмѣемъ уравненіе
ѵ • • о сіу
рѣшая это уравненіе, относительно производной находимъ два корня
СѵЛ/
(Іу X _ сіу у
$Х у ’ СІХ X
Первое изъ этихъ уравненій имѣетъ видъ
у. сіу х. йх = о
интегралъ его есть
у2 хг = с
гдѣ с есть произвольная постоянная введенная, интегрированіемъ.
Второй корень можно написать въ видѣ
интегралъ этого есть
= 1§с'
или
п ли
(сі
С
У
гдѣ с' есть также постоянная, введенная интегрированіемъ. Уравненіе (Ь), совмѣстно съ уравненіемъ е = ф (а;2 У2} разсматриваемой поверхности, даетъ г= ф (с) = пост,
и представляетъ собою плоскость параллельную плоскости ху, а такъ какъ ось вращенія принята за ось а, то эта плоскость есть ничто иное, какъ всякій параллельный кругъ поверхности вращенія; такпмъ образомъ на поверхности вращенія каждая параллель есть линія крпвпзны. Уравненіе (с) совмѣстно съ уравненіемъ данной поверхности представляетъ плоскость, проходящую чрезъ ось вращенія, плп что все равно, меридіанъ поверхности вращенія; слѣдовательно на поверхности вращенія вторую спстему линій кривизны представляютъ мерпдіавы. Надо однако замѣтить, что параллель не совпадаетъ съ соотвѣтствующимъ ей главнымъ сѣченіемъ, ибо это послѣднее проходитъ черезъ нормаль разсматриваемой точкп перпендикулярно къ меридіану, какъ къ первому главному сѣченію.
Еслп для нѣкотораго частнаго вида произвольной функціи ф первый множитель обращается въ нуль, т. е., еслп
2 [©' (я?2 -|- 2/2)]3 — ф" (а?2 -4- у3) = о
. , . ... (Іу
тогда уравненіе (а) удовлетворится для всякаго значенія производной п ваправ-ленія линій крпвпзны, въ этомъ случаѣ, останутся совершенно неопредѣленными; тогда каждая точка поверхности будетъ представлять собою точку округленія. Принимая я:2-г у2 за новое перемѣнное, т. е., полагая ф (х2 ~|- у2) = ф(а), легко доказать, что этотъ случай будетъ имѣть мѣсто для поверхности сферы, но для этого доказательства необходимо пользоваться нѣкоторыми правилами интегральнаго исчисленія. Хотя мы п теперь уже произвели нѣкоторыя интегрированія, во для выполненія пхъ, почти нѣтъ надобности въ знаніи интегральнаго исчисленія.
XII.
Огибающія и огибаемыя поверхности.
41. Мы видѣли, что плоскость перемѣщаясь извѣстнымъ образомъ сообразно съ измѣненіемъ параметра, входящаго въ ея уравненіе, производить поверхность. Но при подобныхъ же условіяхъ и всякая поверхность можетъ производить другую поверхность. Если въ уравненіе поверхности входитъ параметръ, то измѣняя этотъ параметръ, мы получпмъ новую поверхность, которая съ данной пересѣчется по извѣстной крпвой; прп непрерывномъ измѣненіи параметра, геометрическое мѣсто пересѣченій послѣдующей поверхности съ предыдущею будетъ находиться на новой кривой поверхности, которая, относительно непрерывно измѣняющейся поверхности, называется огибаю-
гаею, а данная поверхность, измѣняющаяся съ параметромъ, входящимъ въ ея уравненіе, называется огибаемой. Перемѣнная кривая, представляющая пересѣченіе двухъ послѣдовательныхъ положеній огибаемой поверхности, называется характеристикой для поверхности огибающей.
Пусть дано уравненіе поверхности
Л? (а?, у, а) — о
гдѣ а есть перемѣнный параметръ, давая которому различныя значенія, мы получпмъ рядъ поверхностей, принадлежащихъ къ одному семейству съ данной. Этп поверхности, взаимно пересѣкаясь въ каждыхъ двухъ безконечно близкихъ между собою положеніяхъ, дадутъ въ пересѣченіяхъ кривыя линіи, называемыя характеристиками н представляющія собою образующія для поверхности огибающей.
Еслп уравненіе данной поверхностп есть
1? (я, 2/, г, л) = о
то уравненіе этой поверхности въ положеніи близкомъ къ предыдущему будетъ Л? (я, у, г, а -г Да) = о
Вычитая отсюда начальное уравненіе и раздѣливъ разность на Да, получимъ
Л? (ж, у, 2.. а ~]-Да) — Р (ж, у. г, а)_
Да • — °
или, давая Да значеніе безконечно малаго п переходя къ нредѣлу, имѣемъ
йа
Уравненія
ЙЛ7
совмѣстно представляютъ кривую пересѣченія двухъ положеній поверхностп; кривую соотвѣтствующую опредѣленному значенію параметра. Если же исключимъ между послѣдними уравненіями а, то получпмъ такое соотношеніе между координатами ж, у, которое будетъ представлять всякое положеніе характеристики, а слѣдовательно это и будетъ уравненіе искомой огпбающей поверхности для данной огибаемой 7Г=о.
Предположимъ, что рѣшая уравненіе
№
относительно а, имѣемъ
а = (у(ж, у, г)
тогда уравненіе огибающей поверхности получпмъ если, внесемъ эту величину въ уравненіе -Е = о огибаемой поверхности; такимъ образомъ уравненіе огибающей
будетъ
(1) -Р |>, у, *, © (я, у,0] = о
Легко видѣть, что огибающая поверхность имѣетъ общую касательную плоскость съ каждою пзъ огибаемыхъ Р[х.у,я, а) = о л притомъ во всѣхъ общпхъ точкахъ, т. е. по всеіі характеристикѣ. Въ самомъ дѣлѣ, мы знаемъ, что положеніе касательной плоскостп завпептъ отъ производныхъ
Прпнпмая а за постоянную величину н проводя касательную плоскость къ данной поверхностп, мы опредѣлимъ, напр., $ пзъ уравненія
(ІХ ' (ІЯ °
Проводя касательную плоскость къ огпбающей н опредѣляя для этого р, мы должны будемъ, какъ показываетъ уравненіе (1), считать а за функцію х и у. Поэтому, .для огпбающей поверхностп р опредѣлится изъ уравненія
сІР <ІР 7 сІР ,'сіа. , На. (Ія\
---------( ф -Р -- [------------- ~ о
ах ая «а \ах сія сіх/
(И?
но такъ какъ — —о, то отсюда для опредѣленія получпмъ уравненіе тождественное съ уравненіемъ (2); къ тому же заключенію придемъ, говоря объ опредѣленіи ц. Такпмъ образомъ для огпбающей п огибаемой въ общихъ пхъ точкахъ, т. е. на всей характерпстнкѣ р и будутъ одинаковы, а слѣдовательно обѣ поверхности въ этпхъ точкахъ будутъ имѣть общую касательную плоскость.
Еслп характеристики встрѣчаются между собою, то послѣдовательнымъ пересѣченіемъ онѣ образуютъ на огпбающей поверхностп кривую линію, называемую ребромъ возврата. Вообще характеристика представляется уравненіями
Уравненіе характеристики въ положеніи безконечно близкомъ къ этому получпмъ, еслп подобно предыдущему, возьмемъ производныя отъ этпхъ, т. е.
ЛР (РР
— о п -у-й- = о «а аа2
такимъ образомъ, для опредѣленія ребра возврата мы имѣемъ трп уравненія
исключая пзъ этпхъ трехъ уравненій параметръ а, мы найдемъ два соотношенія между координатами,, которыя п будутъ представлять собою ребро возврата.
Для поясненія этой теоріи, найдемъ уравненіе поверхности, которая огибаетъ всѣ положенія шара въ то время, какъ этотъ послѣдній, не измѣняя радіуса, пен-тромъ движится по опредѣленной кривой. Такая поверхность имѣетъ впдъ круглаго капала.
Пусть кривая, по которой двпжнтся центръ шара, представляется уравненіемч, у = а(х), гдѣ о есть произвольная функція. Пусть абсциса центра шара будетъ а; означимъ кромѣ того координату у центра шара чрезъ & но такъ какъ центръ шара постоянно остается на кривой у = э (ж), то
Уравненіе шара, центръ котораго постоянно остается въ плоскости ху, и радіусъ есть а, будетъ
- «)= + (2/ - р)= + * = а2 (1)
или по соотношенію между а и р
& _ — о (а)]2 ё>- = а? (2)
По общему правилу для составленія уравненія огибающей поверхности возьмемч, отъ послѣдняго уравненія частную производную по а, тогда получимъ
(ж — а) 4- [у — э (а)] ©' (а) = о (3)
для вывода уравненія поверхности остается исключить теперь а между этимъ уравненіемъ и начальнымъ уравненіемъ (2), но это исключеніе будетъ возможно только тогда, когда будетъ данъ частный видъ функціи <р.
Но посредствомъ частиыхч, производныхъ можно исключить перемѣнный параметръ вмѣстѣ съ его произвольной функціей и составить такимъ образомъ уравненіе огибающей поверхности для всякаго вида управляющей у = ф(ж). Для этого возьмемъ отъ уравненія (2) частныя производныя по ж и у, тогда будемъ имѣть
у. — ? (О
опредѣливъ отсюда а и <р(а), пмѣемъ
9(0
внеся это въ уравненіе (2), находпмч.
или
('I + 2? 4- д2) = а2
это н есть уравненіе искомой огибающей поверхности. Оно справедливо для всякаго вида управляющей.
Замѣтимъ, что уравненія (2) ц (3), разсматриваемыя совмѣстно н при постоянномъ а, представляютъ характеристику; на основаніи этого замѣчанія, легко указать линіп кривизны на огибающей поверхности. По уравненіямъ (4) /?°4о линіи кривизны представляются черезъ
Посмотримъ, во что обращаются этн уравненія для нашего случая. Найдемъ значенія р^ у, сір. сіу пзъ уравненій нашей поверхности. Производныя р> и <7 могутъ быть взяты пзъ уравненій (4), которыя имѣютъ впдъ
(5) .г — а 4-^ = о; у — о (а) 4- °
для опредѣленія дифференціаловъ сір и с7д, мы должны дифференцировать этп уравненія, принимая за перемѣнныя всѣ велпчпны въ нихъ входящія, ибо, какъ мы выше говорили, для огибающей поверхности а должно быть принимаемо за функцію ж, у, г. Итакъ, дифференцируя предыдущія уравненія, имѣемъ
(Іх 4- р д-г 4- & ^Р =
(Іу 4- сія 4- г (Іу = о' (а) сіа
откуда непосредственно находимъ
сір ______ сіа.
сіх 4- Р сіг г (сіх 4- р (?*)
, !р' О) -
#У + 2 (сіу 4- у <І2)
Внося это въ вышеупомянутыя уравненія лпній кривизны, пмѣемъ
но по уравненію (3) для разсматриваемой поверхностп
пли, принимая во вниманіе уравненія (5), имѣемъ
слѣдовательно, уравненіе (6) лпній кривизны для нашей поверхности имѣетъ впдъ
у сіа , р (Іа ___________
сіх + р сіг "Г” сіу у сі2
откуда
р (Іх (Р/. 4* ([ Ну (Іѵ. -р Р* Не Па -р О2 (Іа = о
но для всякой поверхности
(Із = р (Іх + (1 Ну
поэтому, предыдущее уравненіе принимаетъ видъ
(1 + Р' -г З2) с?а = °
чему удовлетворимъ, полагая
<?а = о, Нз =г- о
или
« = пост., г = пост.
Но если а есть постоянная для линій кривизны и тоже имѣетъ мѣсто для характеристика, то отсюда заключаемъ, что на разсматриваемой поверхности каждая характеристики есть линія кривизны. Другая система линій кривизны получается отъ пересѣченія огибающей поверхностп плоскостями параллельными плоскости жу, ибо, какъ мы видимъ, для линій крпвпзны з = пост.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНІЕ.
Общія понятія объ интегралахъ опредѣленныхъ и неопредѣленныхъ.
1. Въ дифференціальномъ псчпсленіп мы показали правила, по которымъ могутъ быть находимы дифференціалы различныхъ порядковъ, какъ функціи одного, такъ равно н функціи многихъ перемѣнныхъ. Мы видѣли кромѣ того, что, комбинируя уравненія съ пхъ дифференціалами, мы можемъ черезъ такія сочетанія исключать извѣстныя произвольныя количества и, такимъ образомъ, составлять такъ называемыя дифференціальныя уравненія.
Задача объ изысканіи топ начальной функціи, отъ которой данная производная происходитъ, а равно и выводъ конечныхъ соотношеніи между перемѣнными, соотношеніи удовлетворяющихъ данному дифференціальному уравненію или системѣ такихъ уравненіи, составляетъ содержаніе* обширнаго отдѣла анализа извѣстнаго подъ именемъ интегральнаго исчисленія.
Число элементарныхъ функцій, производныя и дифференціалы которыхъ мы находили въ дифференціальномъ исчисленіи было весьма ограничено. Мы составили себѣ точное понятіе о формахъ производныхъ: произведенія, дроби, степени, показательной функціи, функціи логариѳмической, тригонометрической и круговой. Но весьма часто случается, что данная производная функція никакими преобразованіями къ производной одной пзъ этпхъ функцій, плп къ извѣстному сочетанію нѣсколькихъ такихъ производныхъ, приведена быть не можетъ и тогда изысканіе начальной функціи, отъ которой данная производная произошла, представляетъ большія, а иногда и прямо непреодолимыя трудности. Очень часто нельзя найти конечную форму, отъ дифференцированія которой происходила бы данная функція, принимаемая за производную, и тогда задача интегральнаго исчисленія состоитъ въ изысканіи искуственнаго. пріема, по которому составилась бы такая функція, производная которой по числовой величинѣ наиболѣе близко- подходила бы къ данной функціи.
Изъ того, что мы сказали, не трудно заключить, что задача интегральнаго исчисленія есть обратная относительно задачи псчпсленія дифференціальнаго, а потому п интегрированіе есть дѣйствіе обратное дифференцированію.
Общій впдъ дифференціала функціи одной перемѣнной величины есть Означимъ черезъ X ту начальную функцію, отъ которой произошелъ данный дифференціалъ /\х')ах, тогда по этому означенію
аХ = Г(х)Нх
Эта начальная функція -X относительно своего дифференціала называется интеграломъ..
Въ началѣ дифференціальнаго исчисленія мы показали, что дифференціалъ постоянной величины равенъ нулю, а такъ какъ интегрированіе есть дѣйствіе обратное дифференцированію, то теперь можемъ заключить, что если дифференціалъ нѣкоторой функціи равенъ нулю, то эта функція равняется постоянной величинѣ, хотя совершенно произвольной, ибо дифференціалъ всякой постоянной величины равепъ нулю.
Предположимъ теперь, что одинъ и тотъ же дифференціалъ {[х^&х происходить отъ дифференцированія двухъ функцій и <р(.г'). т. е. предположимъ, что дифференціалъ {(х) $х имѣетъ два интеграла; тогда изъ понятія объ интегралѣ слѣдуетъ, что
/Х#) с!х — сі [2? О)]; /’(ж) сіх = Л [з- (ж)]
откуда
а [Г О)] - а [ф О)]=а рад - ? = о
в на основаніи предыдущаго замѣчанія
гдѣ подъ С разумѣемъ совершенно произвольную велпчпну. Слѣдовательно, двѣ функціи, служащія интеграломъ одному н тому же дифференціалу, разнятся между собою на постоянную величину. Поэтому, если одинъ изъ интеграловъ есть X, то всѣ прочіе содержатся въ формѣ X -ф- С. Интегралъ этого послѣдняго впда по совершенной произвольности С называется неопредѣленнымъ и означается такъ
гдѣ подъ X разумѣемъ удовлетворяющую извѣстному условію функцію х, т. е.
функція і(х); стоящая подъ знакомъ интеграла, называется подч,интегральной функціей.
Когда въ неопредѣленномъ интегралѣ дадпмъ произвольной постоянной С опредѣленное значеніе, то получпмъ интегралъ, называемый частнымъ интеграломъ.
Если интегралъ долженъ удовлетворять какому нпбудь условію, напр., еслп онъ долженъ при нѣкоторомъ частномъ значеніи х пмѣть данную опредѣленную велпчпну, то изъ этого условія можетъ быть опредѣлена произвольная постоянная величина С.
Пусть одинъ изъ неопредѣленныхъ интеграловъ даннаго дифференціала /'(%) сіх есть Е (.г); вообще же неопредѣленный интегралъ даннаго дифференціала будетъ ^?т(я)-г Положимъ, что для частнаго значенія х, именно для да = а этотъ интегралъ долженъ обратиться въ нуль, т. е. положимъ что должно выполниться условіе
Е (а) и- С = о
тогда пзъ этого условія можно опредѣлить постоянную С въ видѣ С— — Е(а). Если неопредѣленный интегралъ дифференціала {\х)сІх есть Е(х)~т- С, т. е., если
І(х) (Іх = Е (да) ~г С
то прп сказанномъ условіи
/” (ж) сіх = Е (да) — Е (а)
Это выраженіе называется опредѣленнымъ интеграломъ дифференціала ^{х)(1х. взятымъ между предѣлами х п а, и этотъ интегралъ пишется обыкновенно такъ
! І{х} сіх = Е (да) — ^7(й) а
числа х п а называются предѣлами интеграла, да— высшимъ, а а—низшимъ предѣломъ.
Итакъ, опредѣленный интегралъ получается, когда отъ одного изъ неопредѣленныхъ интеграловъ отнимемъ значеніе того же интеграла при низшемъ * предѣлѣ. Необходимо однако замѣтить, что въ предыдущемъ выраженіи буква да, которая означаетъ верхній предѣлъ интеграла и буква да., которая входитъ въ подъинте-гральную функцію существенно между собою различны. Въ извѣстныхъ случаяхъ буква да, означающая верхній предѣлъ интеграла, можетъ быть однимъ изъ тѣхъ частныхъ значеній, которое принимаетъ перемѣнное .да.
Въ опредѣленномъ интегралѣ верхнему н нижнему предѣлу могутъ быть даны значенія постоянныя. Если верхній предѣлъ есть Ъ и нижній а, то
Въ этомъ случаѣ опредѣленный интегралъ есть число независящее отъ перемѣнной, по которой интегрированіе произведено, и это число получимъ, когда въ одинъ изъ неопредѣленныхъ интеграловъ вмѣсто перемѣнной вставимъ величины верхняго, а потомъ нижняго предѣла п возьмемъ разность этихъ частныхъ значеній неопредѣленнаго интеграла.
Изъ этого опредѣленія слѣдуетъ; что каковы бы не были х и всегда
кромѣ того, нзъ упомянутаго опредѣленія выходитъ, что
т. е., что обращая предѣлы интеграла, мы измѣняемъ знакъ результата интегрированія.
Наконецъ, изъ того, что 0 = — 7? (а) слѣдуетъ, что произвольная постоянная есть значеніе интеграла взятаго при низшемъ предѣлѣ.
Понятіе объ опредѣленномъ интегралѣ можно составить еще иначе.
Пусть 1?(х) будетъ начальная функція, производная которой есть /{х). Пзъ понятія о производной функціи слѣдуетъ, что
Е(х + 70 — !<' (х)
I (ж) = Иш —---------у------— -, при 1і ~ о
Г Ь»
еслп к не есть пуль, по малая величина близкая къ пулю, то
ИЛИ
(1) І‘'{х-\-к)— = 7л[/'(я;)-|-г]
гдѣ г есть величина обращающаяся въ нуль вмѣстѣ съ к.
Пусть функція /’(ж) остается конечною и опредѣленною для всѣхъ значеній х отъ я? = а до х — Ъ. Означимъ чрезъ хг, х2......хы-і частныя значенія х по-
степенно возрастающія въ томъ порядкѣ, какъ онн написаны и пусть
хг = а 4- кг
Ъ — Х/і—і 4“ ки
пусть значенія е, соотвѣтствующія этимъ значеніямъ к, будутъ е1 , е2,...г„. Под-
ставляя послѣдовательно въ уравненіе (I) па мѣсто х его вышеуказанныя частныя значенія, получимъ
(а) =7^ [/*(«) н- Е]]
-^(^1) = ^2 (АА) с2]
1? (Р) — С^»—і) ~ 7ай [А (л'н—і) + е«]
складывая эти выраженія, получимъ
Г (Ъ) — 1? (а) = 2 7аЦж) + X Л .г
гдѣ знаки суммъ распространяются на всѣ значенія х отъ а до х,-і п гдѣ подъ 1і разумѣемъ всѣ значенія А, соотвѣтствующія частнымъ значеніямъ ж, а подъ Е всѣ частныя значенія е отъ ек до г„. Предположимъ, что 1ь есть безконечно малая величина, что частныя значенія х разнятся между собою безконечно мало, тогда въ предѣлѣ сумма ^7а.е, какъ безконечно малая втораго порядка, исчезнетъ передъ безконечно малою 7а. Поэтому
Г(Ъ) ^(а) = Ііш 2 7>ЛХі
если означимъ/і, какъ разность двухъ безконечно близкихъ .меледу собою значеній х, чрезъ Дх, то
1?(Ъ} — ^(а) = ііін Д.г
или
Р(й) — Р(а) — ііп) 2 /(я) сіх
но, по принятому условію, -7^(?') есть начальная функція относительно производной поэтому изъ понятія объ опредѣленномъ интегралѣ слѣдуетъ, что
Ъ
Р(Ъ)-Р(а)
а
Сравнивая это съ предыдущимъ, видимъ что
/(ж) сіх = Ііш Е р(х) сіх
а
Итакъ, опредѣленный интегралъ ееть предѣлъ, къ которому стремится сумма значеній его элементовъ сіх прп увеличеніи въ назначенныхъ предѣлахъ числа этихъ элементовъ до безконечности или прн уменьшеніи отдѣльныхъ частей разности предѣловъ до нуля.
Имѣя это въ виду, можно сказать, что интегрированіе есть суммованіе рядовъ, но рядовъ особаго рода, именно такихъ, въ которыхъ каждый членъ ряда безконечно малъ, а чпело членовъ безконечно ' велико, прп этомъ, всѣ члены ряда суть безконечно малыя одного и того же порядка.
Покажемъ наконецъ геометрическое значеніе опредѣленнаго интеграла.
Пусть АВ (фнг. 1) будетъ кривая линія, представляемая уравненіемъ у =
Пусть требуется найти площадь, заключающуюся между кривою АВ, осью х и
крайними ординатами А.С = уг н ВВ = у2. Пусть абсцнса точкп Л, т. е. = « н 01) = Ъ. Раздѣлимъ разность этихъ абсцпсъ Ъ-—а па нѣсколько частей 7ір Изъ точекъ дѣленія проведемъ
ординаты до пересѣченія съ кривой. При этомъ условіи
ординаты соотвѣтствующія абсцпсамъ
л. । 7^, а* 2 — а і | 7і,,.Хп—і — - — р 7ім
будутъ
Г(а + 7?./); /*(ж1 + 7і2);
или
Площади прямоугольниковъ, вписанныхъ въ площадь САВВ ограниченную кривого АВ, будутъ
пл. Сад — 7^1 [(«) пл. =1іг/{хг}
пл. ІВ<хВ кп / (ж„_і)
Если возьмемъ сумму этпхъ площадей прямоугольниковъ, то найдемъ
Искомая площадь будетъ разниться отъ этой суммы (будетъ болѣе этой суммы) на сумму элементарныхъ треугольниковъ сходныхъ съ треугольникомъ МВК. Эта сумма площадей элементарныхъ треугольниковъ можетъ быть представлена въ видѣ
7»і 4- е2 7г2 +.......+ 7>п = г 1і
еслп вообще подъ г разумѣемъ половину высоты каждаго нзъ упомянутыхъ элементарныхъ треугольниковъ. Но легко впдѣть прямо пзъ чертежа, что сумма площадей этпхъ треугольниковъ будетъ менѣе площади послѣдняго наибольшаго изъ прямоугольниковъ, а такъ какъ, произвольно уменьшая 1ь, мы можемъ сдѣлать площадь этого прямоугольника менѣе всякой данной величины, то разность искомой площади отъ суммы
сдѣлается менѣе всякой данной величины. Поэтому, въ предѣлѣ искомая площадь В Пш 2 ?(х) 1і
или Р —— Ііт 2 сіх
Ь
но Ііт =^(ж) Поэтому опредѣленный интегралъ можно разсмотри-
мъ
вать какъ величину площади, заключающейся между кривой, осью х и ординатами, соотвѣтствующими предѣльнымъ значеніямъ абсцисы, ординатами вычисленными по уравненію кривой у = [{х).
2. Всякій опредѣленный интегралъ можно разложить на нѣсколько опредѣленныхъ интеграловъ, предѣлы которыхъ суть промежуточныя числа меледу числами представляющими предѣлы даннаго интеграла.
Въ самомъ дѣлѣ, предположимъ, что данный интегралъ берется между предѣлами а и раздѣлимъ разность ап— а на произвольныя части, представимъ ее въ впдѣ
а„ — а = (а1 — а) 4- (а2 — 4- (а3 — а2) 4......4- (а« — «л-і)
Еслп данный интегралъ есть
а»
С/(ж) сіх = Р (а,,) — Р («) (2)
а
то будемъ брать отъ того же дифференціала сіх интегралы для предѣловъ указанныхъ каяадою отдѣльною частію предыдущей разности, тогда найдемъ
!(^х=&
аі
д.х = Р (а2) — Р (с^)
йі
//’(я) сіх = Р(а„} — Р («,)
л*
(&п
п(х') сіх = Р[ап) — Р (а„_4 е/
Складывая эти равенства, найдемъ
/і
+ / А (ж) Р (а„) — У?' (л)
а.,-і
Сравнивая это съ выраженіемъ (2), впдпмъ, что
Этимъ равенствомъ п подтверждается то, что мы сказали о разложеніи опредѣленнаго интеграла.
3. Еслп подъннтегральная функція имѣетъ постояннаго множителя, то этотъ послѣдній можетъ быть выпесенъ за знакъ интеграла.
Вамъ извѣстно пзъ дифференціальнаго исчисленія, что
(I [л Р (а;)] ~ а / (.г) (1х
еслп есть начальная относительно производной /(ж). Возьмемъ интегралъ отъ обѣихъ частей предыдущаго равенства, тогда
сі [а Р (а?)] — / а / (х) сіх
или
(3} но
(IР (.г) = [(х) сіх
слѣдовательно
внося эту величину Р(х) въ первую часть равенства (3), имѣемъ
а
сіх
это и показываетъ, что постоянные множители могутъ быть выпоснмы за знакъ интеграла.
4. Въ интегралѣ
/(ж) (Іх — Е (ж) + С
функція /“(ж) есть производная интеграла, но мы знаемъ, что еслп производная не измѣняетъ своего знака между данными предѣлами, то начальная функція между этими предѣлами или постоянно возрастаетъ пли постоянно уменьтается. Мы знаемъ, что если начальная функція между извѣстными предѣлами постоянно возрастаетъ, то производная между этими предѣлами перемѣннаго положительна. Итакъ, если разсмотримъ два частныя значенія ж, именно ж — Ь и ж —а, и предположимъ Ъ > а, то для положительной /’(ж) будетъ
Е(Ь) > Г (а)
I7* (&) — I7* (а) = / / (ж) (Іх
слѣдовательно въ этомъ случаѣ
Если /(х) отрицательна, то
и тогда
(Тх < о
отсюда заключаемъ что если верхній предѣлъ интеграла болѣе нижняго и если подъинтегральная функція непрерывна и не мѣняетъ знака между этпмп предѣлами, то опредѣленный интегралъ имѣетъ одинакій знакъ съ подъинтегральною функціею.
Если подъинтегральная функція одного интеграла непрерывна и остается постоянно болѣе подъинтегральной функціи другаго опредѣленнаго интеграла и если верхній предѣлъ болѣе нижняго, то первый интегралъ болѣе второго. Пусть /*(ж) >ф(ж) для значеній х заключающихся между х = а и х—Ъ. Тогда въ
ъ /->
[/(ж) — ф(ж)]йж подъпнтегральная функція не мѣняетъ своего знака
а
между предѣлами интеграла и прп томъ она положительна, поэтому
ъ ъ ъ
/|/(ж) — 9 (ж)] сіх > о, а потому / /'(ж) (Іх > / ф (ж) &х
і.' ѵ е/
а а а
Разсмотримъ опредѣленный интегралъ
Ъ /Э / / (ж) (ж) (Ъс
а
п предположимъ, что функція <р(ж) не мѣняетъ знака между предѣлами а и Ъ. Кромѣ того допустимъ, что наибольшее значеніе функціи /(х) между предѣлами а и Ъ есть Л, а наименьшее значеніе между тѣмп же предѣлами пусть будетъ В. Понятно, что А и В суть постоянныя числа. Примемъ наконецъ, что функція ф(а;) между этими предѣлами остается постоянно положительною. Понятно, что разность А — /"(ж) > о, а слѣдовательно произведеніе [А ~ /’(ж)]ф(ж), равно какъ п интегралъ
Ь
/р—/’(ж)]<?(жКж
а
имѣютъ одинакій знакъ съ ф (ж), а такъ какъ эта послѣдняя положительна, то
® (ж) 0
«
Разность I? —о, слѣдовательно знакъ ея обратный съ ф(ж) и произведеніе [Л - ГО)] ф(ж) отрицательно, а потому
Ъ
Уъ
[В — /Ха?)] ф (ж) (7х < о
л
по первому неравенству
Ъ Ъ
А(ж) сіх >'(ж) о (ж) сіх а а
по второму
слѣдовательно
Ъ
Итакъ мы видимъ, что //(я)?сйг заключается.между двумя предѣльными ве-
а
личинами и, измѣняясь между ними отъ тіаітит до тахітпт, непремѣнно сдѣлается равнымъ нѣкоторому частному значенію интеграла, соотвѣтствующему значенію функціи /"(X), взятой при нѣкоторомъ среднемъ значеніи перемѣннаго; это среднее значеніе можно представить въ видѣ а -|- Ѳ (6 — а), гдѣ Итакъ на
основаніи предыдущаго неравенства можемъ написать слѣдующее равенство
отсюда заключаемъ, что еслп подъинтегральная функція состоитъ изъ произведенія двухъ непрерывныхъ функцій, изъ которыхъ одна не мѣняетъ своего знака между данными предѣлами, то опредѣленный интегралъ равенъ опредѣленному интегралу отъ функціи не мѣняющей своего знака, умноженному на среднюю величину другой функціи.
Еслп примемъ ф (а?) = 1, то изъ предыдущаго выведемъ слѣдующую важную въ пнтегральномъ исчисленіи теорему. Прп сказанномъ допущеніи предыдущее ра-
венство принимаетъ впдъ
плп
/(.г) (Іх = (Ъ— а) Да -т- 0 — а)]
т. е. всякій онредѣлсивый интегралъ равенъ разности предѣловъ, умноженной на значеніе подъинтегральной функціи взятой прп среднемъ значеніи перемѣннаго.
II.
Различные способы интегрированія функцій.
5. Если предстоитъ интегрировать алгебраическій одночленъ, то интегрированіе всегда можетъ быть приведено къ интегрированію степени; а для этого интегрированія не трудно составить совершенно опредѣленное правило. Дифференцируя степень, мы дѣлаемъ показателя множителемъ, потомъ показателя уменьшаемъ единицей и такимъ образомъ составленную функцію умножаемъ на дифференціалъ пере-мѣннаго. Такъ какъ интегрированіе есть дѣйствіе обратное дифференцированію, то при интегрированіи должны быть произведены обратныя упомянутымъ дѣйствія и при томъ въ обратномъ порядкѣ. Поэтому, если требуется интегрировать степень, то слѣдуетъ данный дифференціалъ прежде всего раздѣлить на дифференціалъ перемѣннаго, потомъ показателя степени увеличить единицей и на новаго показателя полученную функцію раздѣлить. Итакъ, по этому правилу
м 4*і
ІИ -ф' I
Это справедливо для цѣлаго, дробнаго, ноложлтельпаго н отрицательнаго показателя т. Изъ этого однако мы получаемъ неопредѣленпое выраженіе, когда =
Но при т — — I подъинтегральная функція принимаетъ видъ а этотъ дпффе-
ренціалъ .яе можетъ получиться отъ дифференцированія степени. Изъ дифференціалъ-
наго исчисленія извѣстію, что
Г ГУ , ^-г'
сЦІо* х) = —
или удобнѣе принять
и тогда
Умѣя пнтегрир.овать степень, мы можемъ интегрировать всякій алгебраическій одночленъ. Такъ напримѣръ
/Э / СІХ і -т -г І / — = / х сТх = - - (т — 0х" /Э /Э / сТх / -1 г 1 | ГІ / —= = / х ах = 2Х- 4- С' = 2і/5 У ѵ*.) гн 4-’* / /— т / т ПіХ) . П / і/хн (Тх = 1 х (Тх = —-— + С. ] ' / чп 4- и 6, Мы знаемъ, что 4- .Г (х) + Ф (х)] = сі/(х) 4- [ плп 4- 4 Ф (я)] = © (4) сіх 4- ф (4) еслп принимаемъ, что © (ж) = /'(.г); 6 (я)'= О (• Возьмемъ отъ предыдущаго равенства интегралъ, тогда Г[© (ж) сТх 4 ф 0*0 4 Ѳ (ж) ((х) 4 4 С с4- С Х~) -г СІФ (ж) <Тх 4 Ѳ (я) г) — Ф' (ж) Г(ж)4Ф(л;) (1)
по ио. нашему условію
г? /*(о:) = о («г’) (Іх: ([ Р(.г’) = ф (а;) г?.?;; г? Ф (.т) = 0 (ж) сіх
слѣдовательно
№) = / о О ) (Іх:
1?(х} = /\(х) сіх: Ф(ж) = /0(ж) (Іх .
поэтому равенство (1) принимаетъ видъ
С
Такъ какъ всѣ этп соображенія справедливы для какого угодпо чпсла слагаемыхъ, то заключаемъ, что вообще интегралъ суммы равенъ суммѣ интеграловъ отдѣльныхъ слагаемыхъ. Мы разумѣемъ здѣсь алгебраическую сумму, а потому заключеніе справедливо п для того случая, когда отдѣльныя слагаемыя сопровождаются знакомъ минусъ.
На основаніи сейчасъ высказаннаго положенія, мы можемъ интегрировать многочлены, состоящіе пзъ одночленовъ цѣлыхъ илн дробныхъ, раціональныхъ плц ирраціональныхъ. Такъ
также
7. Когда подъинтегральная функція не представляется алгебраическимъ одночленомъ раціональнымъ плп ирраціональнымъ, а завпептъ отъ болѣе сложныхъ, функціи, плп отъ функціи трансцендентныхъ, тогда прп интегрированіи мы стараемся преобразовать ее такъ, чтобы она имѣла видъ одного пзъ извѣстныхъ намъ дифференціаловъ, плп, чтобы она представлялась суммою подобныхъ дифференціаловъ; когда это достигнуто, то интегрированіе выполняется непосредственно.
Мы знаемъ, что
(1х — —: сі е = е (Іх \ (1яіп х = соя х сіх: (1 соя х —--------------------яіп х (Іх
сі іаив х =
сіх
9
СО?" X ’
(1 агс (Ій; — х) =
а потому заключаемъ, что
&І11 Х.(ІХ = — СОЗ X
(1х
Въ весьма рѣдкихъ случаяхъ питерированіе можетъ быть выполнено нзпосредствен-но. По большей части нрпходптся, какъ мы сказали, прежде интегрированія подвергать подъпнтегральную функцію различнымъ преобразованіямъ.
8. Простѣйшее пзъ этпхъ преобразованій состоитъ въ томъ, что нодъпптег-ральпая функція разбивается на нѣкоторыя другія болѣе простыя п затѣмъ уже, если возможно, выполняется непосредственное интегрированіе. Такъ напр., еслп требуется выполнять интегрированіе, означенное чрезъ
то подъ интегральная функція въ этомъ впдѣ не представляетъ ни одного изъ выше приведенныхъ, знакомыхъ намъ дифференціаловъ. Однако, номножпвъ числителя подъпнтегральной функціи на единицу, представленную въ видѣ зіп2 х 4- соз2 ж, разобьемъ этотъ пнтегралъ на два другихъ, именно
= (ап»; х — соіе;ж 4- С = — 2. соія 2х~- С О ѵ-* 1 ч-і і
9. Другой, весьма употребительный способъ преобразованія подъинтегральной функціи, состоитъ во введеніп новаго перемѣннаго, выбираемаго подъ тѣмъ условіемъ, чтобы послѣ такого преобразованія подъпнтегральная функція упростилась п привелась къ виду одного пзъ извѣстныхъ намъ дифференціаловъ.
Предположимъ, что требуется взять интегралъ
о Гж) Нх. к \ У
Введемъ для этого въ подъпнтегральную функцію новое перемѣнное г, связанное съ
перемѣннымъ х уравненіемъ х = Нзъ этого
<? (я) — О [(/>)]; сіх = Г (г) СІ2 слѣдовательно
у -р (Л-) сіх = у*ЯЛОШ*)
но /"'(г) есть вообще нѣкоторая функція перемѣннаго г: означимъ ее чрезъ тогда но введеніи новаго перемѣннаго
Часто бываетъ, что такимъ преобразованіемъ мы достигаемъ того, что -2?(з) имѣетъ впдъ хорошо извѣстной намъ производной функціи, происходящей отъ непосредственнаго дифференцированія нѣкоторой начальной функціи ф(л), тогда интегрированіе выполняется непосредственно п мы пмѣемъ
У о (л;) (Іх =у Р+ С
Послѣ выполненія интегрированія, мы вмѣсто перемѣннаго г, легко можемъ ввести первоначальное х по соотношенію а =
Пусть, напримѣръ, требуется взять интегралъ
(ах + Ъ) .(Іх
въ которомъ подъпнтегралыіая функція пе имѣетъ вида извѣстной намъ производной. Примемъ поэтому
а.х
тогда
О (ІХ 2=: (Ц
п слѣдовательно данный питегралъ преобразовывается въ
е/
а это пнтегрпруется по извѣстному правилу, какъ степень, п мы находимъ
плп, вводя вмѣсто і его величину, получаемъ
Пусть еще требуется взять интегралъ
СІХ I \ «I
введемъ новое перемѣнное подъ условіемъ
тогда
— = <11
слѣдовательно
(И
т
(т— Г) Г
плп, вводя первоначальное перемѣнное, находпмъ
сіх
т— 1
п
10. Наиболѣе часто примѣняемый способъ преобразованія подъпнтегральной функціи состоитъ въ такъ называемомъ интегрированіи по частямъ.
Мы знаемъ, что дифференціалъ произведенія имѣетъ форму
а слѣдовательно
иѵ —
исТѵ
•откуда
иѵ —
Такпмъ образомъ, еслп данъ будетъ для интегрированія дифференціалъ исГѵ, то по .этому соотношенію, интегрированіе можетъ быть приведено къ выполненію другаго интеграла, именно у ѵсТи, который въ нѣкоторыхъ случаяхъ берется проще, чѣмъ .данный интегралъ.
Положимъ, напримѣръ, что требуется взять интегралъ
х3х Их
Разобьемъ подъпнтегралыіую функцію на два производителя, одинъ нзъ которыхъ былъ бы точнымъ дифференціаломъ данной функціи; для этого примемъ
хгс!х — СІѴ\
= и
тогда’
Слѣдовательно, формула (1) интегрированія но частямъ даетъ въ этомъ случаѣ
Успѣхъ примѣненія этого способа исключительно зависитъ отъ того, какъ мы разлагаемъ иодъіінтетральную функцію на два множителя, пзъ которыхъ одинъ долженъ представлять собою точный дифференціалъ.
III.
Интегрированіе раціональныхъ дробей.
11. Раціональной аглебрапческой функціей мы называемъ такую, которая содержитъ только цѣлыя степени перемѣннаго. Всякая раціональная функція можетъ быть разсматриваема, какъ состоящая нзъ цѣлой функціи относительно перемѣннаго-х ц изъ дроби, степень чпелптеля которой менѣе степени знаменателя.
Цѣлая часть можетъ быть интегрирована тѣмъ способомъ, который мы выше изложили. Дробная часть прежде интегрированія должна быть разложена на элементарныя дробп, общій видъ которыхъ мы показали, говоря о способахъ разложенія раціональныхъ дробей.
Предположимъ, что требуется интегрировать дифференціалъ
гдѣ Іг(х) и /’(лі) суть цѣлыя раціональныя алгебраическія функціи, Еслп степень-І‘'(х) болѣе степени /"(«), то отъ дѣленія па /’(ж) получимъ цѣлую функцію <2 и нѣкоторый остатокъ ф(ге), степень котораго будетъ менѣе степени дѣ-
лителя, такъ что
и слѣдовательно
такъ какъ ф есть цѣлый многочленъ, то мы знаемъ какъ можетъ быть найденъ интегралъ / Рг, а потому интегрированіе раціональныхъ дробей приводится къ нахожденію интеграла
Говоря о разложеніи раціональныхъ дробей, мы пришли къ тому заключенію, что если уравненіе /(л;) = о имѣетъ одни дѣйствительные неравные корни, то дробь о ( я")
—4-4- разложится на сумму дрооеп вида
/О)
гдѣ подъ « разумѣемъ каждый пзъ дѣйствительныхъ неравныхъ корней уравненія о, а подъ Л соотвѣтствующій этому корню постоянный коеффпціентъ. Еслп уравненіе /"(X) —° имѣетъ одни равные дѣйствительные корнп, то разсматриваемая раціональная дробь разложится на сумму дробей впда
(х - Ы
гдѣ Ъ есть т-кратный корень уравненія /(«)== о. Если уравненіе ^х) = о имѣетъ неравные мнимые корнп, то элементарныя дроби, соотвѣтствующія этпмъ корнямъ, будутъ
Мх 4- & \х—а}’- -г @2
Наконецъ, равнымъ мнимымъ корнямъ знаменателя данной дроби соотвѣтствуютъ элементарныя дроби формы
[(я-а)2 -Н'З’у'
гдѣ а~і,;3 мы принимаемъ за п-кратный корень уравненія /"(ж) —о. Сообразно съ этпмъ, интегралъ
/ а (.?;) (Тх
приведется къ интеграламъ впда
Для выполненія перваго интеграла,
положимъ х — а = г\ тогда (Іх — (Тг и
плп наконецъ
/А (ІХ г - 4
= \&С.(х-а)
Итакъ, еслп знаменатель данной дробп будетъ имѣть только неравные дѣйствительные корнп, то интегралъ раціональной дроби всегда приводится къ функціи логариѳмической.
Для интегрированія дробп втораго впда, примемъ опять х— Ъ=.г, тогда (Іх = дг п мы пмѣемъ
УЫх в і с _ _ Д
Ош-1+ “ („г-1)/'-1
плп наконецъ
У. (Іх В
(х — і)“ (т—
Слѣдовательно, въ случаѣ равныхъ корней знаменателя, интегралъ раціональной дробп приводится къ степени. Конечно, послѣдняя дробь, соотвѣтствующая т = 1, дастъ въ интегралѣ логариѳмическую часть.
Для интегрированія дроби третьяго вида, примемъ въ интегралѣ
х — а. = г. тогда АІх + У =: Мг 4- АІа. + 7Ѵ; (Іх = (Іг. Слѣдовательно
Остается интегрировать послѣднюю форму элементарной дробн, т. е, выполнить
придадимъ н вычтемъ въ числителѣ по Ра, тогда
, Рх + <2 л ___р і (х—и.} Дх , / (Ра 4- <2) Дх
[(г-ар+^р Х “ / [(а_йу+/?гр / [(я-ау-н^р
Чтобы взять первый пзъ этихъ интеграловъ, Ди = а (х — а) Дх. Слѣдовательно
тогда
(х — а)Дх 1
)'—। Й21"- 2
Ди
/I
СО
л--1
Для выполненія въ выраженіи (2) втораго интеграла, положимъ х—тогда Дх = @Ди, поэтому
Дх
[(л:—а)2+/?гР
Чтобы выполнить это интегрированіе, разсмотримъ
Для интегрированія по частямъ примемъ
тогда
— — (н—I) (1 ’г2)-” 2^ сІ2; ѵ — і.
слѣдовательно
придавая и вычитая въ чпслптелѣ послѣдняго интеграла по единицѣ, приведемъ его къ виду
откуда
Такъ какъ это справедливо для всякаго «, то подставляя здѣсь п—I вмѣсто «, получпмъ
отсюда, подобнымъ же образомъ, найдемъ
Продолжая такпмъ образомъ, будемъ постепенно понижать показателя въ знаменателѣ подъпнтегральной функціи п, наконецъ, найдемъ
Внося каждое нзъ этпхъ послѣдующихъ выраженій въ предыдущее, мы составимъ интегралъ, отъ котораго зависитъ выраженіе (4), т. е.
(2» —з)(2;г —5)--- з г (м— 2)(2» — 2(1 -г-?2)
(2?? —з)(27?. —5) .
(2 П — 2) ^2 П — 4) -
’ • 'I
— агс С1 - =-2)-• • 2
Внося это сначала въ выраженіе (5), а потомъ вмѣстѣ съ (4) въ выраженіе (3), мы получимъ искомый интегралъ.
12. Говоря объ интегрированіи раціональныхъ дробей, мы считаемъ заслуживающимъ вниманія тотъ случай, когда знаменатель данной дробп, будучи приравненъ нулю, представляетъ собою двучленное уравненіе. Предположимъ, что требуется взять пптегралі,
сіх
Въ теоріи разложенія раціональныхъ дробей мы нашли, что
2 V х соз ! )0] — соз (шО) П ля! X1 — 2 X СОЗ Ѳ 4“ I
гдѣ
слѣдовательно
/ г
- V / ХС05 ’О 0 — соз (ш0)
п I X-—2Х СОЗ 6 -1- 'I ( Ѵ
тождественно мы пмѣемъ
соз (тѲ) соз (т4-1) 0. соз 0 4~ зіп ) 0. зіп 0
слѣдовательно
соз (ш 4- I)0 — соз (шѲ)
Х~ — 2Х соз Ѳ 4- Т
соз (ж4- I) 0 — соз (т-г 1)0. соз Ѳ]г?д; / зіп (ш -р 1)0. зіп Ѳ ,ѵ-—2Х. СОЗ 0 —-1 I Я2—2Х. СОЗ 0 4-1
или
ж. соз (т+1) 0 — соз (ж0) ,__________
х\ ' ~ . СѵіЛг’ —
, , ПА / (л* — С08 0) ЙЖ
соз (т + 1)0 / і — д ,- 7 / + — 2 ж соз 6 + 1
Первый изъ этихъ интеграловъ выполняется непосредственно и приводится къ
соз (т +1)0
2
]^[ж2— аж соз Ѳ +
Второй интегралъ очевидно можно представить въ впдѣ
сіх
(ж— соз О)2 -{- зіл2 0
Пусть
х — соз 0 = і
тогда
А сіі
1 / зіп 0 1 {. і \
—-----л / -------7Г~ — ^“с- агс I ‘апо = -т—п )
510 0 / , , І* 8111 О X ЗІЛ 0/
/ 1 + ^~д е/ зіп 6
илп наконецъ
/ сіх 1 /\ х— соз 0\
--------------л-, к агс НК — —^-д—) / ж2 — гжсозѲ-у-'І зіл 0 \ 81Л0 /
слѣдовательно
(8)
х—соз 0 зіп О
Форма аналогичная съ той, которую мы нашли для интеграла дроби съ мнимыми неравными корнями' знаменателя.
13. Пояснимъ теперь теорію интегрированія раціональныхъ дробей на частныхъ примѣрахъ.
Возьмемъ интегралъ
подъинтегральная функція разлагается на двѣ дроби, именно
1
ах2— Ь
Мы знаемъ, что еслп пмѣемъ дробь вида
<?й
и корнп уравненія о (ж) = о суть а и неравные п дѣйствительные, то
Л В
ф(ж) я — а ' х — /3
случаѣ
плп
ііли наконецъ
Возьмемъ еще пнтегралъ
Говоря о разложеніи раціональныхъ дробей, мы уже представили эту нодъпнтеграль-ную функцію въ видѣ
А'3 4- А’2 4- 2_ 2 I 5 ! 'I 3
х (л-2 — 1 у "" ~х ~ 2 (.у: т-1 )а «ДггТТ) ’’’ (7—Т)2 ~ 4Ій‘-=ГІ)
а потому, выполняя интегрированіе, теперь находпмъ
плп
гдѣ С есть произвольная постоянная, введенная интегрированіемъ.
Пусть требуется взять еще пнтегралъ
Замѣтимъ прежде всего, что знаменатель разлагается слѣдующимъ образомъ + X- —2 = (й?2 — '| ) {X- 4- 2)
поэтому примемъ
Для опредѣленія коеффпціентовъ А, В, С, В, приведемъ вторую часть къ одному знаменателю п затѣмъ, приравнявъ числителей и сравнивъ коеффпціенты прн одинакихъ степеняхъ х, получимъ слѣдующія уравненія для опредѣленія коеффнціен-товъ А. В. С. В ' ]
Л-і-5-4С+і) = о: А~В-^В=\- 2(Лн-.В)-С=о; 2(А-В)—В = о
откуда легко получаемъ
слѣдовательно
поэтому
плп
Возьмемъ интегралъ
Замѣтимъ, что
слѣдовательно можемъ положить
(1 +«) (1 4-я?2]
Приводя вторую часть равенства къ одному знаменателю, легко составляемъ слѣдующія уравненія для опредѣленія коеффпціентовъ Л, 5, С, I)
откуда
поэтому
плп
поэтому
Возьмемъ еще интегралъ
Разлагая подъпнтегральную функцію на элементарныя дроби, приводимъ ее къ виду
приводя вторую часть къ одному знаменателю, составляемъ слѣдующія уравненія для опредѣленія коеффпціентовъ Л, 13, С п т. д.
3 (С 2?) + 25 4- Е = о
13 + 2 .4 -|- з @ "4" 4 25 -р з Е -( $ Е 1
А + гР + С+з254-2^'4-з5?’= — з
2? + 2> + ^+5?= — 2
откуда находпмъ
Л = 4-з; 2? = —1; С = 4- 1; Е ——г; Е — 4- а; слѣдовательно
Для выполненія перваго пзъ этпхъ интеграловъ, полагая въ выраженіяхъ (3), (4), (5) п (6) п — 2, имѣемъ:
(Рх•+ сіх Р
[(ж — а.)22р 2 [(ж—а)2 -Ь Р2]
Ра-ЦЭГ х—а.
' Р2 _г[(ж—а)2 -]-/32] ‘
такъ какъ
Ж2 + Ж + 1
то въ нашемъ случаѣ а
поэтому
/3
2
кромѣ
того Р
з;
Для выполненія втораго интеграла примѣнимъ выраженіе (2); въ нашемъ случаѣ
слѣдовательно
/ (х — 2) гіж 1 . г , - 5 Л 2 ж -і-1 \
Далѣе
/ 2ЙЖ 2 / сіх , ч
^(x-\-^\)2 ж-|--і’ х +1 "г#)
итакъ
У(ж2 — зж — 2) сіх 11 ж2 +18ж +1 з /ж2 + ж + 1
(ж2 + ж-г 1 )2(ж +‘О2 з(ж24-ж+-1Хж+‘') (ж+‘О2
25 Л 2ж-гГ\
----7= аго і-8— —+ С. зуз 4 уз }
Возьмемъ наконецъ интегралъ
/ ж3 сіх
/ ж6 1
23
2 А; 1
Для этого обратимся къ выраженію (8), въ которомъ 0 = —-------------тс. Такъ какъ въ
73
нашемъ случаѣ « = 6, то, по теоріи двучленныхъ уравненій, при суммованіп по Ій въ выраженіи (8), мы должны принять &=о,7г=1, Ій = 2. Замѣтимъ еще, что въ нашемъ случаѣ ш = з; тогда, въ примѣненіи выраженія (8) къ разсматриваемому интегралу, имѣемъ
— -г соз о
----СОЗ
21?
іё
х2— і.г.соз- 4-1 2
Замѣтимъ, что
соз 2тс— 1; соз — =о; зіпгт? = о; зіп —= 1; 2 2
соз
поэтому
2Х — у/з )
— ^1?(1 +»2)
+ О2+х Ѵз +1) —
і/з
2-3
агс ((§= 2х + |/з) + С
плп
+ 1) — аі/зИ(я2 + О + *]/зН-^(>2 + 1)
агс(І§ = іх— ]/з) — агс ~ 2жЧ-]/з)
плп
плп наконецъ
1
с
ІГ,
Интегрированіе ирраціональныхъ дифференціаловъ.
14. Прпетуппмъ теперь къ интегрированію ирраціональныхъ дифференціаловъ, пменно тѣхъ, которые содержатъ квадратные радпкалы пзъ многочленовъ различныхъ степеней. Нзъ этпхъ дифференціаловъ мы можемъ интегрировать въ конечномъ впдѣ только тѣ, которые содержатъ радпкалы различныхъ степеней пзъ двучленовъ первой степени и квадратные радпкалы изъ квадратныхъ трехчленовъ. Интегрпрова-ніе функцій, зависящихъ отъ квадратныхъ радикаловъ пзъ многочленовъ степени выше второй, приводитъ къ трансцендентнымъ функціямъ эллиптическимъ, ультра-эллпптпческпмъ и т. д. Дифференціалъ алгебраической функціи всегда есть алгебраическая функція, но обратно, пнтегралъ даннаго алгебраическаго дифференціала не всегда
*} Въ выраженіи
агс (I" = а)—агс (!§• = 3) = агс (іап " = у) примемъ
агс (і§ = а) = я; агс (і." = (3) = Ъ тогда
а - Ь ~ агс (Іав = у); ? = (а - 2>); 7 = Ъ
но а = I" «; 3= і" Ь, поэтому
а—3 ѵ .—I—
’ 1 + а?
бываетъ алгебраическою функціею,—онъ можетъ представлять различныя трансцендентныя функціи, не рѣдко отличныя отъ логариѳмическихъ, тригонометрическихъ п круговыхъ, съ которыми мы уже знакомы. Поэтому на интегральное исчисленіе ложно смотрѣть какъ на обильный источникъ трансцендентныхъ функцій.
Всѣ дифференціалы,-содержащіе радикалы вида
легко приводятся къ раціональной Формѣ чрезъ введеніе новаго перемѣннаго. Пусть требуется взять интегралъ вида
і
['Р [ж, (ах + &) ’ ] сіх
гдѣ означаетъ алгебраическую раціональную функцію. Для выполненія этого интеграла введемъ новое перемѣнное, подъ условіемъ
тогда
ч ах + Ь — я ;
7 1
сіх —
слѣдовательно
я
а
— я
сія
а
иодъинтегральная функція раціональна относительно г, и данный интегралъ всегда интегрируется въ конечномъ впдѣ.
Еслп функція содержитъ нѣсколько радикаловъ изъ двучлена ажЦ-5, то для интегрированія, приведя всѣ радикалы къ одному показателю, введемъ новое перемѣнное, подъ тѣмъ же условіемъ какъ въ предыдущемъ случаѣ. Такъ напр., еслп требуется взять
1 р
]Р [(аж + &) ”, (ах + 6)'“, ж] сіх
то приведя къ одному радикалу, получимъ
] Г[(ах + &)"*“, (ах + &)”"•, ж] сіх
пусть теперь
/ „ . 7 ЧИІП
(ах-\-Ь) — я
тогда
аж + & — в ; х~-----------: ах = ~г с!#
а ' а
Внеся это въ подъпнтегральную функцію, приведемъ ее къ раціональному виду относительно перемѣннаго 8.
Наконецъ, когда интегрируемый дифференціалъ содержитъ функцію впда
~уа 4- |/ тх -{- п
то его можно сдѣлать раціональнымъ относительно новаго перемѣннаго, прпнпмая за это послѣднее весь такой радикалъ. Въ самомъ дѣлѣ, пусть требуется взять
примемъ
тогда
а -{- ]/тх -г п = г2; \/тх -Ь п = г2 — а\ тх + п — (е2 — а)2
т
Внеся это въ подъпнтегральную функцію даннаго интеграла, преобразуемъ ее въ раціональную относительно перемѣннаго г.
Еслп подъпнтегральная функція завпептъ отъ радикала
то п она приводится къ раціональной формѣ, еслп за новое перемѣнное будетъ принять этотъ радикалъ. Тоже самое справедливо п для функцій, содержащихъ радикалъ
Этп функціи становятся раціональными, еслп за новое перемѣнное принимается та-жой радикалъ. Такъ, если въ подъпнтегральной функціи интеграла
приметъ
то предыдущій пнтегралъ приведется къ впду
Здѣсь подъпнтегральная функція раціональна относительно з.
Пояснимъ это на частныхъ примѣрахъ. Возьмемъ интегралъ
/ хйх
/ V Іа +
пусть
тогда
Слѣдовательно
Ух сіх _____________ 2 у (з2 — «) л? сіз _ 2 у / « \
73 “ ѵ
плп
плп, переходя къ первоначальному перемѣнному, легко находимъ
/ х сіх ______2 (2 а Ъх) п
/ - - - - ~ — ---- - - -—1 —і Су
/ “Ь ^ХУ4 Ь2у/а~\~Ъх
Возьмемъ еще пнтегралъ
тогда
х — 8г — -I; сіх — 28.3г
поэтому
СІХ ----------- = 2
—* = 2 агс (1ап§ = 8) 4
такпмъ образомъ
Пусть еще требуется взять интегралъ
проведя радикалы къ одному показателю, примемъ
в
тогда
откуда
плп наконецъ
- ]/(1 4- а;)3 -1 ]/0 + л)4 ~ ~ /О + «Г - 0 -И) 3'4 /
6 с - -• о 3________
-----1/0 “Г ж)5 — —]/'( І -г#)2 -г С
5
Возьмемъ наконецъ пнтегралъ
пусть
тогда
Для интегрированія подъпнтегральную функцію разложимъ на элементарныя дроби, примемъ
приводя вторую пасть къ одному знаменателю, составимъ уравненія для опредѣленія коеффпціентовъ 5, С и т. д. и найдемъ пзъ этпхъ уравненій
А = о: 7? = 4- 21 С = о: В = — 3: Е = о \ Е = 1:
і I < * / * *
слѣдовательно
Мы нашлп выше, что
™ — 3
2П - 2
аг
поэтому составляемъ
слѣдовательно
пли накоиепъ
Не останавливаясь болѣе на этомъ, перейдемъ къ рѣшенію болѣе труднаго вопроса, къ интегрированію дифференціаловъ, содержащихъ квадратный корень пзъ квадратнаго трехчлена относптельно перемѣннаго х.
15. Самый общій видъ алгебраической функціи, зависящей отъ радикала
В — ]/ ах2 + Ъх + с
есть
7Р г т> л Р -г Ф-К
гдѣ Р, <9, Рг и суть раціональныя цѣлыя функціи перемѣннаго х. Ирраціональность знаменателя такой функціи всегда можетъ быть уничтожена, для этого стоитъ только чпелптеля и знаменателя разсматриваемой теперь функціи умножпть на Рг — Послѣ такого умноженія будемъ имѣть
Р(х,Р) —
гдѣ. Р2 есть раціональная функція относптельно х.
Пусть
Р^^^Р _
гдѣ V и V суть очевидно раціональныя функціи отъ х. Прп такихъ означеніяхъ, разсматриваемая функція принимаетъ впдъ
Р{х. Р) = &Ч- ѴР
слѣдовательно
Выполненіе перваго пзт> этихъ интеграловъ приводится къ интегрированію цѣлыхъ-или дробныхъ алгебраическихъ функцій, но во всякомъ случаѣ—функцій раціональныхъ. На основаніи пзложеннып. пріемовъ это сдѣлать мы всегда умѣемъ. Поэтому теперь разсмотримъ только интегралъ
Гѵв.ах
Помноживъ п раздѣливъ подъпнтегральную функцію на 2?, находпмъ
КЛ2 ,
'11 (ІѴ
Числитель есть алгебраическая раціональная функція цѣлая или дробная. Означимъ ее чрезъ /'(ж), т. е. положимъ
ѴВ2 = Г(х)
тогда предыдущій интегралъ принимаетъ видъ
Замѣтимъ, что когда подъ знакомъ радикала В находится функція первой илп второй степени относительно х, тогда этотъ интегралъ преобразовывается въ интегралъ раціональной функціи, слѣдовательно приводится къ алгебраическимъ, лога-рпѳмпчсскимъ и круговымъ функціямъ.
Когда подъ знакомъ радикала В находится многочленъ относительно х третьей плп четвертой степени, тогда интегралъ, кромѣ вышеупомянутыхъ функцій, содержитъ еще другія трансцендентныя функціи, называемыя эллиптическими.
Наконецъ, когда подъ зиакомч» радикала В находится многочленъ относительно х выше четвертой степени, тогда интегралъ, если онъ не приводится кт, предыдущимъ функціямъ, содержитъ трансцендентныя, называемыя ультраэллпптичеекпми пли Абелевыми функціями.
Ііы пока будемъ разсматривать тотъ случай, когда подъ знакомъ радикала В находится многочленъ второй степени.
Въ самомъ общемъ случаѣ мы долягны допустить, что функція /'{х) состоитъ изъ цѣлой части п правильной дроби. Итакъ пусть
/(ж) = УѴ +
9 СИ Ф (ж)
гдѣ ТѴ относительно х есть цѣлая функція, имѣющая видъ
• 4- х + а0
гдѣ а„_х.........а0, суть постоянныя числа, нѣкоторыя изъ нихъ могутъ быть
п нулями. Что касается до о (я) п Ф(ж), то онѣ суть цѣлыя функціи и подчиняются тому условію, что степень ф(ж) непремѣнно ниже степени Ф(х').
Итакъ
Понятно, что выполненіе интеграла
ГѴсіх
приводится къ выполненію интеграловъ
(1)
Дро6ь
дробп впда
смотря по свойствамъ корней уравненія Ф(У) = о
разлагается на
а потому выполненіе интеграла
.приводится къ выполненію интеграловъ
слѣдовательно, говоря объ интегрированіи ирраціональныхъ дифференціаловъ, зависящихъ отъ радикала й, намъ предстоитъ показать способы выполненія интеграловъ (1) и (2).
Для выполненія всѣхъ интеграловъ (1) и (2) мы можемъ освободить ихъ подъпнтегральныя функціи отъ радикаловъ и сдѣлать такимъ образомъ раціональными. Подобное преобразованіе достигается введеніемъ новаго перемѣннаго. Положимъ напримѣръ
К = і — х
гдѣ і есть новое перемѣнное, а К = |/о- + Ьх + х-, тогда
а Ьх = і~ — 2Іх:
і2 — а
Внося это въ каждый пзъ предыдущихъ интеграловъ, мы дѣлаемъ подъпнтеграль-ную функцію раціональною относительно перемѣннаго і. По отъ подобнаго преобразованія, хотя подынтегральная функція и дѣлается раціональною, но степень цѣлыхъ п раціональныхъ функцій числителя п знаменателя значительно повышается и выполненіе интеграла становится весьма сложнымъ.
Такъ, напримѣръ, если требуется взять интегралъ
то п не приводя его къ одной пзъ предыдущихъ формъ, мы можемъ сдѣлать подъ-пнтегральную функцію раціональною относительно новаго перемѣннаго.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть
у/1 х~ — I — х
откуда
слѣдовательно
Такпмъ образомъ выполненіе даннаго интеграла приводится къ интегрированію раціональной дробп, которая разложится на пять элементарныхъ дробей и вычисленіе сдѣлается весьма сложнымъ.
Если коеффпціентъ прп х2 подъ знакомъ радпкала есть —1, т. с., еслп трехчленъ, находящійся подъ знакомъ радпкала, есть а-\-Ъх — а?2, тогда новое перемѣнное должно быть введено подъ другимъ условіемъ. Въ этомъ случаѣ мы примемъ
Л = |/а + х і
откуда, возвышая въ квадратъ, легко находимъ
слѣдовательно
Внося всо это въ данную подъпнтегральную функцію, сдѣлаемъ ее раціональною относптельно перемѣннаго і.
Пояснимъ это на частномъ примѣрѣ. Возьмемъ пнтегралъ
пусть
}/х = У
тогда данный пнтегралъ приводится къ виду
Въ нашемъ случаѣ Л = у'-\—у2, поэтому примемъ
Р =: | Іу откуда
слѣдовательно
поэтому
У СІХ 2
2 ('I -г \/%) ]/х — X2 І — -I
но такъ какъ
У
то
ялп
плп наконецъ, помня, что у=у/ху легко прпнодпмъ это къ впду
Не останавливаясь болѣе на. этомъ, не всегда удобномъ способѣ интегрированія разсматриваемыхъ ирраціональныхъ дифференціаловъ, изложимъ другіе способы болѣе быстро и просто ведущіе къ цѣли.
16. Посмотримъ какъ могутъ быть выполнены пять первыхъ пнтсграловъ пзъ -группъ (1) п (2).
Въ пнтегралѣ
Гдх
мы принимаемъ
2?2-= ах2 4- Ъх -{- с
откуда
яа.х 4- Ъ
дифференцируя это еще разъ по ж, пмѣемъ
откуда
слѣдовательно
Пусть для краткости
сІВ (Тх
тогда
(3)
итакъ разсматриваемый теперь интегралъ приводится къ интегралу раціональной функціи.
Въ частныхъ случаяхъ можетъ быть а>о, а = о п а < о. Этимъ тремъ значеніямъ коеффиціента а соотвѣтствуютъ трп различныя формы разсматриваемаго интеграла.
Прп а >. о, представимъ интегралъ въ впдѣ
Опредѣляя весьма извѣстнымъ способомъ чпслптелей этпхъ элементарныхъ дробей и выполняя интегрированіе, легко получаемъ
плп
С
ъах -г & + эТЦ/а ъах Ъ — 2І? |/ а
С
умноживъ подъ знакомъ логарпѳма числителя п знаменателя дробп на числителя,
получимъ
Логарпомъ знаменателя, какъ постоянная величина, можетъ быть отнесенъ на счетъ постоянной велпчпны интегрированія н тогда
—— 1о§ (іах Ь -і- іВ у/а) + С
у а
(4)
Прп а — о интегралъ (3) приводится къ виду
плп
(&)
Наконецъ еслп а<о, то положимъ а — — а, гдѣ а есть существенно положительная величина. Тогда
Поясомъ этп соображенія на частныхъ примѣрахъ. Возьмемъ пнтегралъ
У.
СІХ
\/ 2Х2 'I
Въ этомъ частномъ случаѣ И = ]/2х- + 1; а = 2; Ъ = о. Замѣтимъ что а > о, поэтому, примѣняя къ разсматриваемому случаю выраженіе (4), прямо находпмъ
/ / -= ~7= 1о& С4д? + 2 “! 2] "г С
I У 22 -Г 1 у 2
Пусть еще требуется взять пнтегралъ
У сіх 1/з я2 "Г ® + 'І
Въ этомъ случаѣ а=з; і=1 п такъ какъ а>о, то, примѣняя къ этому интегрированію выраженіе (4), находимъ
/ . - ~ 1о§ [6ж +1 4- 2 /дл2 4- зх 4- з] + О
/ у Зж2 4- 4- 1 уз
здѣсь а1& = о:Л—]/і -4-ж2 и такъ какъ а>.о, то выраженіе (4) даетъ
плп относя Іо^ 2 на счетъ постоянной, просто имѣемъ
Пусть еще требуется взять интегралъ
Здѣсь а = — 'I; Ъ = р и Л =)/$х — х‘ и такъ какъ а <; о, то примѣняя къ разсматриваемому случаю выраженіе (6), пмѣемъ
Разсмотримъ теперь второй изъ интеграловъ (1), т. е.
Чтобы выполнить этотъ интегралъ, возьмемъ производную отъ функціи ж"'"1 Л
Дифференцируя это, пмѣемъ
но такъ какъ
Л2 = ах2 -4- Ъх + с
то
т>
яЛ — = 2а х ах
слѣдовательно
плп
сі (а;"'"”1 Л) __ат хт , Ъ (т — I) я;"1-1 , с (т — !) хт
сіх Л г 2Л 1 Л
откуда
Первый интегралъ второй части есть искомый, а поэтому, опредѣляя его пзъ послѣдняго уравненія, пмѣемъ
посредствомъ этой формулы мы можемъ понижать степень т п привести интегралъ
СІСС (ІСС
I —— въ зависимость отъ интеграла / г Л I Л
Поясняя это на частномъ примѣрѣ, возьмемъ интегралъ
Понятно, что
Для выполненія перваго нзъ этпхъ интеграловъ, мы примемъ въ выраженіи (7) т = 2: И — }/а2 + ж2; а = 1: Ь — о; с — а2; 'тогда по этому выраженію
Для выполненія втораго интеграла, мы положимъ въ томъ же выраженіи (7) т = 4; Іі! — ]/а2ж2: а=1; & = о: с = а2, тогда
внося сюда вмѣсто послѣдняго интеграла его предыдущее выраженіе, находимъ
Внося наконецъ этотъ интегралъ вмѣстѣ съ интеграломъ (В) въ выраженіе (А.),
колупаемъ
пли, наконецъ, принимая во вниманіе выраженіе (4), окончательно получаемъ
Разсмотримъ теперь интегралы впда (2) п прежде всего интегралъ
Еслп примемъ здѣсь х— = то этотъ интегралъ приведется къ виду
гдѣ есть такая зіе функція отъ у, какъ И отъ х.
Для выполненія второго пзъ интеграловъ (2), т. е. пнтеграла
примемъ опять
тогда
плп
гдѣ
слѣдовательво
т = с + да2 ~гЪа: « — &-{- 2 аа
гдѣ
2і2 = ]/ту1 2 -г пу 4- а
Послѣдній интегралъ выполняется по формѣ (7).
Для поясненія этпхъ соображеній на частныхъ примѣрахъ, возьмемъ интегралъ
Пусть
тогда
слѣдовательно
выполнявъ послѣдній интегралъ по выраженію (4), имѣемъ
— 10^(2]/— 1
2 ѴУ' — У + 11і -г ®
вводя вмѣсто у первоначальное перемѣнное, получпмъ
Возьмемъ еще пнтегралъ
1 і гЬ
пусть х — — , тогда ах =---------, слѣдовательно
?/ 1Г
По выраженію (7), въ которомъ слѣдуетъ теперь принять
а-— 1; & = о; с = — !: 72 =}/у*— 1
находимъ
выполняя послѣдній интегралъ по выраженію (4), пмѣемъ
слѣдовательно
гдѣ-=-1о§2 отнесено на счетъ произвольной постоянной. Переходя къ первоначалъ -о
ному перемѣнному, теперь пмѣемъ
Разсмотримъ третій пзъ интеграловъ группы (2). Этому интегралу можно дать впдъ
гдѣ какъ прежде
И = у/ ах2 4- Ьх 4- о
п корнп многочлена а'х2 4- Ь'х 4- с' предполагаются мнимыми. Введемъ въ этотъ пнтегралъ новое перемѣнное подъ условіемъ
т 4- пз
тогда
ах2 4- Ъх 4- с =
ат2 4- Ът 4- о 4- [гаяш 4- Ъ (ж + «) 4- зс] е 4- (ая2 + Ън 4- с) з2
точно также
Ъ'х 4- с' —
а’иі2 4- Ь'т + с' 4- [за' тп 4- Ъ! (ж 4- 4- зс'І з 4- (а'п2 4- Ъ'п -г с') г2
Опредѣлимъ двѣ введенныя постоянныя т п п подъ тѣлъ условіемъ, чтобы преобразованный интегралъ не содержалъ въ знаменателѣ первыхъ степеней перемѣнной Это будетч, пмѣть мѣсто при условіи
ітп.а 4- Ъ (т -г- п) 2с — о
ітп.а!-\- Ь’(т 4- ??) 4- іс1— о
откуда
Ъс’ — сЪ* тн-ау~Ьа1'
слѣдовательно т п п суть корни квадратнаго уравненія.
Легко доказать, что этп значенія т п « суть всегда дѣйствительныя числа. Въ самомъ дѣлѣ, для того чтобы т п п были дѣйствительными корнями упомянутаго уравненія, необходимо, чтобы
(сс1 — ас’у- — {Ъс* — сЬ'} (аЪ1 — Ьа'] > о
Предположимъ, что и а, суть корпи уравненія «л12 4- Ъх 4- с = о, а а3 п а4— корпи уравненія а'х2 4- Ь’х 4- с' = о. Тогда, какъ извѣстно,
взявъ отсюда величины Ь1, с. с' н внося ихъ въ предыдущее неравенство, приведемъ его къ виду
а2 а12 (аг — а2) (а] — а4) (а2 — а3) (а2 — а4) > о
По нашему предположенію корни а3 н «4 мнимые, слѣдовательно онн суть сопряженные вида
а3 = и 4- ѵі;
а4 — и — ѵІ
поэтому предыдущее неравенство имѣетъ видъ
а2 а12 [(а] — и)2 4- я2] [(«, — и)2 4- г>2] > о
Каковы бы не были корни а] и а, дѣйствительные илп мнимые, это неравенство всегда удовлетворится, ибо разсматриваемое произведеніе всегда величина положительная, а потому числа т п « всегда дѣйствительныя.
Еслп т и п опредѣлены, то
, , , . аш2 4- Ът 4- с 4- [аи2 4- Ъп 4- с) г2 ах- 4- Ъх 4- с ~--------------------г——'--------------!—-—
(‘1 + г)'
«'л!24- г>’ж4- с1— а'т2^~ Ь'т~^
Пусть для краткости
а т2 -4- Ь т + с = р; а п2 + Ь и + с = $
а'іп2 -|- Ъ'пг сг=р'\ а1 и2 + Ь'п -|- с‘=
тогда
ах- + Ьх + с = тл—
Кромѣ того
поэтому
{Ех + Ня ___________ / (-^1^ + •Р’э)
(а’х2 + Ѵх + с'] Ё ~~ I
гдѣ
(« — ??і) (Еп Е); = (п — т) (Ет + Е)
Итакъ разсматриваемый интегралъ распадается на два, именно
Пусть
тогда
р = В2
поэтому первый изъ этпхъ интеграловъ приметъ впдъ
Мы умѣемъ выпоанпть этотъ интегралъ, по о подъ знакомъ его находится раціональная функція отъ перемѣннаго В.
Принимая р + , мы находимъ
дифференцируя это еще разъ, получаемъ
откуда
Кромѣ того выраженіе (8) даетъ
но Б2 =2} + С-2’ слѣдовательно
откуда
Слѣдовательно второй изъ разсматриваемыхъ интеграловъ принимаетъ видъ
(9)
Въ этомъ пнтегралѣ подъпнтегральиая функція пмѣетъ раціональную форму отно-сптельно производной -у-, а потому этотъ пнтегралъ легко можегъ оытъ выполненъ.
Для поясненія изложенной теоріи на частномъ примѣрѣ, возьмемъ интегралъ
Переводя радикалъ въ знаменателя, пмѣемъ
плп
Мы уже много разъ видѣли, что
Для выполненія второго интеграла, замѣтимъ, что по выраженію (9)
(10)
гдѣ I?2 — р + дг-. Въ нашемъ случаѣ
р = !; у =4У =2; = 1; #2 = 1 -+-хі
слѣдовательно
а потому
-р-10§ [х + ]/ I 4- Л’“) 4-
Возьмемт» еще интегралъ
с
Пусть согласно съ общей теоріей
тогда
т2 4- т -г 'I + (2»н«. + т -г « 4- 2) у +• (и-2 4- п 4- ‘1) у/2
Опредѣлимъ т п п пзъ условія, чтобы первыя степени перемѣннаго не входили въ подъпнтегральную функцію. Для этого, какъ видно, необходимо
т п 4- і = о
и 4- ш + п 4- 2 — о
отсюда пмѣемъ
т = I;
слѣдовательно
первый пзъ этпхъ интеграловъ берется по формѣ (10). Въ нашемъ случаѣ
р' — з; я' — і ; р — і; а = 15 Б3 = і 4- у2 поэтому
Для того чтобы взять второй пзъ интеграловъ въ выраженіи (В), мы замѣ-
ТИМЪ, что
СП)
поэтому
пдн
слѣдовательно
ходимъ
слѣдовательно, возвращаясь къ первоначальному перемѣнному, на-
агс
Возьмемъ наконецъ интегралъ
(х2 — I) (ІХ х(х2 4- 'І)-/.г'2 -г I
Прежде всего замѣтимъ, что
Для опредѣленія числителей элементарныхъ дробей пмѣемъ уравненія
слѣдовательно В = а; поэтому
я2 — 1 1 2Я
х (я2 Н-1) х 1 + я2
Такимъ образомъ разсматриваемыіі интегралъ принпмаетъ впдъ
Послѣдній пнтегралъ берется по формѣ (11). Въ вашемъ случаѣ
р' = I ; = I ; р - 1 ; 2=1; -К2 — ~г х1
слѣдовательно по упомянутой сеіічасъ формѣ
Для выполненія перваго пнтеграла
примемъ я — —, тогда
а потому псбомып пнтегралъ есть
Разсмотримъ наконецъ послѣдній пзъ пнтеграловъ (2), т. е. интегралъ
гдѣ
Д2 = «я2 + Ъх 4- с
Этотъ пнтегралъ представляется въ видѣ
Принимая какъ прежде
находимъ
ах2 + Ъх + с —
гдѣ р', д< по отношенію къ а, Ъ, с.........т п п имѣютъ тѣже значенія какъ
прежде. Кромѣ того, такъ какъ
то разсматриваемый интегралъ легко приводится къ виду
А = вт + Н-, В=вп + Н
гдѣ
Такъ какъ
то понятно, что выполненіе предыдущаго интеграла приведется къ выполненію интеграла впда
гдѣ К2 = р + д#2. Этотъ интегралъ распадается на два.
Разсмотримъ сначала интегралъ
такъ какъ В2 =р д^3, то
, Я (ІЯ , Я2—р я ая —------: ё2 —--------—
<1 ' а
поэтому
Этотъ интегралъ выполняется пониженіемъ степени 1і по формулѣ (6) стр. 346.
Обращаясь къ интегралу
замѣтимъ, что выше мы уже нашли
что, очевидно, приводится къ интегрированію раціональной дробц.
Пояснимъ это на частномъ примѣрѣ. Возьмемъ интегралъ
Переводя радикалъ въ знаменателя, находпмъ
Разлагая раціональную дробь, представимъ ее въ видѣ
отсюда извѣстнымъ образомъ находимъ
Л = Я = —1; сг=о; В =--1; ^ = о; Г—о
слѣдовательно
Въ этомъ случаѣ р — I; д = 1 У = 2; д' = 1 л для перваго интеграла 1» — а, а для втораго Л —3, поэтому, принимая кромѣ того =3/, по выраженію (12)
С ѵ іЛ
составляемъ
слѣдовательно
функцію на простыя дроби, примемъ
Разлагая подынтегральную
но
слѣдовательно искомый пнтегралъ есть
________ ____________________________________
(1 -|- ж2) сіх _ (я3 + ба:) ]/1 -|- х- ( 5 х +]/ । Ч- х2
(2 + Х2у* у/ I -у- З2 "Ь 2)2 64 |/2 Ь _Х — ]/ 2 у/ I ф Х-.
17. Къ тому, что мы говорили до спхъ поръ объ интегрированіи ирраціональныхъ дифференціаловъ, прибавимъ еще нѣсколько словъ о выполненіи пнтегра-
ловъ вида
гдѣ И = ]/ах1 4- Ьх -г с. Легко впдѣть, что подобные
интегралы всегда берутся
въ конечномъ видѣ. Такъ какъ И2 = ах1 Ъхс, то
= яах 4- Ъ
откуда
2а
слѣдовательно данный интегралъ приводится къ виду
сІП
20
2а
сіх 2 ар — Ът і сіх
+1 2(1 Т?2"''
т
а
(ЦК) 2ар — Ът I сіх ~ 2<Г I
первый пзъ этиіъ интеграловъ выполняется непосредственно, ибо подъпнтегральная функція есть дифференціалъ степени.
Для того, чтобы взять второй интегралъ, замѣтимъ, что
(13)
СІХ
(сІРЛ \сІх/
кромѣ того мы имѣемъ
2 -г- Ъх
сІК
СІХ
п внеся величину я, взятую пзъ втораго уравненія, въ первое, легко получаемъ
слѣдовательно
но такъ какъ
то предыдущее, вмѣстѣ съ выраженіемъ (13), даетъ
Слѣдовательно, разсматриваемый интегралъ
(тх -г $} (Іх
т
а (2 п—І)!!?2”-1
(14)
4"(2«7; — Ът} / ” г Г &В,
2а(4ас —і2)“ / [ \<1х) ] \йх.
На основанія этпхъ соображеній, возьмемъ интегралъ
УИх (ах2 4- Ъх 4- с)5
Въ этомъ случаѣ яг = о, 2»4-1=3 п ??=1. Поэтому выраженіе (14)
даетъ
/______(Іх ___________4___(ІИ । с____ 2 (2 ах 4- Ъ) ,
!(ах2+Ъх^суі А-ас—Ъ2 сіх (4«с — Ъ2)]/ах2 4-6х 4- с Т
Интегралы, приводимые къ эллиптическимъ.
18. Перейдемъ теперь къ изученію свойствъ алгебраическихъ ирраціональныхъ дифференціаловъ, содержащихъ квадратные корни изъ многочленовъ третьей п четвертой степени относительно перемѣннаго х. Покажемъ, что интегрированіе такихъ дифференціаловъ приводитъ къ такъ иазываемымъ эллиптическимъ интеграламъ.
За общій впдъ разсматриваемыхъ дифферепціаловъ мы можемъ принимать
____________............
1; ]/л Т 1зх+Ё& + Ёх*
ИЛН
ГОА ?{Х}&Х
|/ Л -ф- Вх + &хі “г ~&хі
гдѣ есть цѣлая пли дробная, нр раціональная функція отъ х. Второй пзъ этпхъ дифференціаловъ есть частный случай перваго и, кромѣ того, онъ къ первому всегда можетъ быть приведенъ. Въ самомъ дѣлѣ, извѣстно, что многочленъ третьей степени всегда имѣетъ дѣпствптельяаго множителя первой степени, соотвѣтствующаго дѣйствительному корню того уравненія, которое получпмъ, еслп этотъ многочленъ приравняемъ нулю. Отдѣливъ этого множителя, получпмъ
Ц — ]/{Вх2 -г Вух + Су) (х -ф- а)
Еслп положимъ #н-а = ?/2, то дадимъ разсматриваемому радикалу такой видъ
•К = У Ѵ'Ву'1 + ДУ2 -г о2
а дифференціалъ (2) приметъ слѣдующую форму
—• а) Йу
У ѴІ>У* + І?2Л“
гдѣ многочленъ подъ радпкаломъ будетъ четвертой степени. Поэтому далѣе мы будемъ разсматривать только дифференціалъ (1), въ которомъ подъ радпкаломъ находится многочленъ четвертой степени.
Полагая
В,2 = Л + Вх 4- С'я2 + + Ех>
легко видѣть, что какіе бы корни не имѣло уравненіе Л2 = о: дѣйствительные, мнимые, плп тѣ и другіе вмѣстѣ, всегда подърадпкальную функцію можно разложить на два дѣйствительные множителя второй степени относительно х; и поэтому разсматриваемый дифференціалъ всегда можно представить въ видѣ
{(х) сіх
]/(а -г 2рж + у.г2) (о ~ 2 гх н- А#2)
Введемъ въ этотъ дифференціалъ новое перемѣнное я, подъ условіемъ
и опредѣлимъ р и з такъ, чтобы подрадикадьная функція не содержала первыхъ степеней перемѣннаго г. Такъ какъ
то разсматриваемый нами дифференціалъ обращается въ
Vх 01 + 2^ + (А + + Л^2)
гдѣ 2?(я) есть раціональная функція новаго перемѣннаго я, а коеффиціенты аг, ........\ зависятъ отъ прежнихъ коеффпціентовъ а, р,...........Ли постоян-
ныхъ р и (/. Такъ какъ этп послѣднія, по сдѣланному нами условію, должны быть опредѣлены изъ уравненій рг=о и — о, то разсматриваемый дифференціалъ приведется къ виду
Здѣсь подъ мы разумѣемъ выраженіе
которое можно представить въ впдѣ
илп въ впдѣ
гдѣ подъ 5, Т, V п V разумѣемъ цѣлыя алгебраическія функціи только съ четными степенями перемѣннаго я. Умноживъ числителя п знаменателя дроби на СГ—Ѵг, находпмъ
К+ Лгя
гдѣ и суть опять четныя функціи отъ я. Имѣя это, разложимъ интегралъ разсматриваемаго дифференціала на сумму двухъ такихъ интеграловъ
Р Мсіз дУяі/я
/ ]/а + Ъг2 Ч- ся4 • / \/ а + Ъз2 сг*
Если примемъ я2 — і, то послѣдній интегралъ приметъ форму
гдѣ ф (і) есть раціональная алгебраическая функція перемѣннаго і\ поэтому послѣдній интегралъ, какъ мы теперь знаемъ, можетъ заключать въ себѣ только алгебраическія плп пзъ трансцендентныхъ только логариомпческія, круговыя п тригонометрическія функціи. Этотъ интегралъ взять мы умѣемъ. Разсмотримъ только первый интегралъ предыдущей суммы, т. е. интегралъ
М(1г у«4-5я2 4- С2 І
Предположимъ, что уравненіе а 4- Ъз24- сз^ = о рѣшено относительно з2 и имѣетъ корни іп и », тогда К2 = с (з2 зр т) (з2 зр гі).
Различныя комбинаціи знаковъ прп т н п представляютъ здѣсь три существенно различные случая
1) В2 = с (я2 -|- т) (я2 4- «)
2) К2 = с (я2 — т) (я2 4“
3) К2 = с (я2 — (я2 — «)
Разсматривая эти случаи, мы будемъ предполагать, что корни уравненія К2 — о неравные, Пусть поэтому въ первомъ случаѣ т< п и я2==т і§2 ф, тогда, полагая
-----— = Ъ2 п слѣдовательно, принимая о < к2 < 1, находимъ
іг
сіз _ йр
]/сп]/ -| — А2 5ІИ2 ф
Принимая 7і2 = е(я2— т)(я24-«), мы имѣемъ такое соотношеніе, въ которомъ я2 можетъ быть п больше и меньше т. Если я2 < т, то пусть
я2 — т соз2 ф;
тогда
йя___
— йо I
81ІГ ф
при я2 >т, пусть
2 ІП
1 >---------
СОЗ2 ф
~ = к2-,
тогда
(Із____
Ну
|/ С (т я) |/ *1 — к2 5111'-’ О
При Л2 — е (з2 — т) [г2 — я) могутъ быть три случая:
1) когда ^2 < ягс я, то положивъ
з2 — т зіи2 ф;
находимъ
_________
В, у сп У1 — /г2 зіи2 <р
2) когда 'іп < з2 < я, то положивъ
2.__ »пя _________________ ягя ,2___п— т
п С082 О + т 8Іц2 <? п — 0г — т) 8І112 Ф 1 И
имѣемъ
сіз Иф
~._________________»._________
У — СП У'\ — к2 5ІІ? с
3) когда з2 > п > т, то положивъ
, я т , „ з - -^т,— ; — = к~
81ІГ <р п
и тогда
Из _ —
У пс ]/1 — к2 зіи2 о
Итакъ, во всѣхъ случаяхъ, когда радикалъ К есть дѣйствительная величина, дпф-
, . (ІЗ
ференціалъ приводится къ виду
]/‘\ — к2 зіи2 <р
гдѣ к2 всегда менѣе единицы.
Разсматривая формы, которыя можетъ принимать з2 въ указанныхъ частныхъ случаяхъ, заключаемъ, что всѣ эти формы содержатся въ выраженіи
2__а + Р зіи2 <р
А + и. аіп2 Ф 1 I А
Поэтому въ интегралѣ
/ Мйз
У а -|- Ьз2 сз*
функція ЗУ, содержащая только четныя степени перемѣннаго я2, обращается теперь въ раціональную функцію отъ зіп2 о, а весь пнтегралъ въ
/ /(біп2?)#?
/ |/і — 7с2 зіп2 о
Мы сказали, что /(зін2 ф) есть раціональная функція отъ зіп2®; такая функція, .въ самомъ общемъ смыслѣ, состоитъ пзъ суммы цѣлой п дробной функціи. Послѣдняя можетъ быть разложена на элементарныя дроби, поэтому можно сказать, что /'(зіп2 ®) состоитъ пзъ совокупности членовъ вида
Зф + 5ІИ2Ф)!Л
гдѣ (А можетъ имѣть значеніе всякаго положительнаго или отрицательнаго числа и даже нуля, а подъ п Іъ разумѣемъ нѣкоторыя постоянныя величины. Итакъ, разсматриваемый нами пнтегралъ приводится къ виду
дѴ (Л. 4- зіп2 ф) с?ф )/ і — к2 зіп2 ф
Пусть для краткости Дф = |/*І—&2зііі2ф. Чтобы видѣть, какія функціи заключаются въ этомъ интегралѣ, обратимся къ тождественному выраженію впда
I
зін2 о) зіп о соз ф Д® ~
исполняя дифференцированіе подъ знакомъ интеграла, имѣемъ
р- і г ।
-4 зіп2 о) зін ф соз о Дф ~ / 2 іл (Л 4- зіп2 ф) зіп2 ф соз2 ф Дф
?А I , . . , . к2 8І112 фСО32.Ф
I |С052 ф Дф — 8)П2 ф Дф------------------—
<$ф
Помножимъ и раздѣлимъ функцію подъ знакомъ интеграла на Дф, тогда
И-
(7* -}- 8)И2 ф} 8ІП ф СО8 ф Дф =
8ІІ12 ф С082 ф (Дф)2 ~
(3)
р. I
|СО82 ф (Дф)2 — 8І112 ф (Дф)2 — 7ь2 8ІП2 Ф С082 ф|
Полагая для краткости имѣемъ
к + зіп2 <р = ѵ
зіп2 ф~ і) — К- соз2<р—1— ѵ + 7і; (Дер)2 = 1 — й2 ѵ 4- к21ъ подставивъ это во вторую часть тождественнаго уравненія (3), пмѣемъ
ГЛ 1 и-Г -Л ”+’
(ІЪ + 8І112 8ІП 2 СОЗ О Дф — / 1—211. Аѵ 4~ (2р. 4" 1 ) Вѵ -----(2[А -}- з) Сѵ
гдѣ
А = к (1 + к) (1 + к2 к)
В =п 1 4- як 4~ ік2 к + ^к21ъ2
С — 1 + 7г2 4- Зй2 к
Пусть для краткости
тогда предыдущее тождественное выраженіе принимаетъ впдъ
и
(7і 4~ зіп2 <р) ?*п ? соз о Дф =
= —2^А , + (2{А 4- 1) В 71Х — (гр. + а) С +1 4- (2<Л 4- з) ^.+±
откуда
у = + 5™г ?)
р+г ( 2[Л 4- з)к2
зіп (? соз © Дз +
2р к (2р.4-з)/й2
(С
полагая здѣсь р. — о, 1, 2, 3....., находимъ
тг 1 л Г I 2 тг
зіп <р созф Дф 4
Отсюда впдпмъ, что Р2 выражается чрезъ Ѵо и Р”,; интегралъ Ра выражается чрезъ Ѵо, Ѵ\, Р21 но V, выражается чрезъ Ѵо и Рг, слѣдовательно К3 окончательно выражается также чрезъ Ѵо и Ѵг и т. д. Изъ этого заключаемъ, что интегралъ для всѣхъ положительныхъ значеній р. выражается только чрезъ два интеграла Ро н Ѵ1.
Рѣшивъ уравненіе (4) относительно интеграла V (, находимъ
|Л-І
2(Л А
полагая здѣсь р.=—1, — 2, — з и т. д., получаемъ
8ІМ ф СОЗ 9 До
2 А (А -г зі и2 <р)
у. ___ 8ІПСрС08фАф З-В-ГЛ
~а 4-Л.іА~і-8Іп1 2 ф)2 4-А -2
зіи соз о Дер 6Д(А -р зіи2 ф)3 ‘
Отсюда видимъ, что Т<_, выражается чрезъ п V ; Ѵ_3 выражается чрезъ
Р_1 > 'о П '—і > НО ' — 2
Р_3 выражается чрезъ Р_2,
само выражается чрезъ Ѵг и V. , слѣдовательно Ко, Рг н т. д. Такпмъ образомъ всѣ интегралы
Р въ которыхъ р. имѣетъ отрицательное значеніе, зависятъ только отъ трехъ интеграловъ Ѵ_г, Ро, Рг, а слѣдовательно всѣ интегралы V’ , какъ для положительныхъ такъ и для отрицательныхъ значеній [л, зависятъ только отъ трехъ интеграловъ Р_ , Ио, Ѵг. Такимъ образомъ интегралъ
(5)
приводится въ зависимость отъ интеграловъ
первый нзъ этихъ интеграловъ представляется въ видѣ
1 / сіір
/ ( I -г «5Іи2 9) Дф
гдѣ « = -=-• Полагая ---.----= —I- 3 Дф, находпмъ
Л Дз Дф
ЗІП2 ф)
откуда
пли
слѣдовательно послѣдній изъ интеграловъ (6) приводится къ
Итакъ разсматриваемый нами интегралъ (5) окончательно приводится въ зависимость отъ трехъ слѣдующихъ интеграловъ
которые принимаются обыкновенно за нормальныя формы эллиптическихъ интеграловъ перваго, втораго и третьяго видовъ. Лежандръ означилъ эти интегралы символами
Г(ф); П(«,<р)
первые два интеграла зависятъ отъ двухъ величинъ й и ф, называемыхъ модулемъ н амплитудой, третій, кромѣ того, завпсптъ отъ величины м, которая называется параметромъ.
Еслп положимъ 8 = зіп ф, то
, , т йя сіз
із = соз ф аъ; а® =------= —=====
СОЗ ф \/ I — з2
и предыдущіе интегралы примутъ впдъ
- к2 з2 ’
(?)
Полагая
(8)
Якоби разсматриваетъ предѣлъ интеграла какъ функцію самаго интеграла, означаетъ эту зависимость чрезъ и называетъ <р амплитудою и при модулѣ
7ѵ, а самое и аргументомъ своей амплитуды, тогда
0 ” ЗІП
]/-І — = соз ат («) ]/*1 — Л2 22 “ А ат («)
Послѣ этого видно, что подъпнтегральныя функціи въ интегралахъ втораго и третьяго видовъ составляются извѣстнымъ образомъ пзъ зіпат (г#), соз ат (и) в Ьат(и)\ эти послѣднія называются элементарными эллиптическими функціями.
Такъ какъ пзъ выраженія (8) непосредственно слѣдуетъ, что
<?□
I
</«
то, по означенію Якобп, это выраженіе представляется въ впдѣ
И ат («) Ни
= Д ат [и]
Такъ какъ —Д аш(и] Ни, то легко видѣть, что по означенію Якобп эллипти
ческіе интегралы втораго и третьяго видовъ принимаютъ форму
Такпмъ образомъ эллиптическіе интегралы втораго и третьяго видовъ, можно раз
сматривать какъ функціи эллиптическаго интеграла и перваго впда.
VI.
Интегрированіе -дифференціальныхъ биномовъ.
19. До сихъ поръ мы разсматривали такіе ирраціональные дифференціалы, которые содержатъ подъ знакомъ радикала многочлены второй и четвертой степени перемѣннаго. Въ конечномъ видѣ мы можемъ интегрировать только функціи, содержащія радпкалы второй степени, по есть родъ, такъ называемыхъ биномовъ, интрег-ралы которыхъ могутъ быть получаемы въ конечяомч, видѣ, хотя степень радикала, входящаго въ такіе дифференціалы, будетъ выше второй; подърадикальная функція въ такихъ дифференціалахъ состоитъ изъ двучлена и одпнъ пзъ этихъ членовъ содержитъ перемѣнное въ степени высшей второй.
Двучленными дифференціалами или биномами называются дифференціалы впда
гдѣ т и п суть цѣлыя положительныя или отрицательныя числа, ар—число дробное; если бы т и п были числа дробныя, то тогда разсматриваемый дифференціалъ легко можетъ быть преобразованъ въ дифференціалъ таксго же вида, но съ соотвѣтствующими показателями цѣлыми.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть
т =
и п — — ѵ
гдѣ г, $, «, ѵ цѣлыя числа, а — и 5
таго преобразованія примемъ
гі ѵ
суть несократимыя дроби. Для упомяну-
тогда
Ах
8Ѵ Аз
и предыдущій дифференціалъ принимаетъ впдъ
Ь V
гдѣ гѵ + зѵ + 1 и мз суть числа цѣлыя.
Кромѣ того, еслп въ дифференціалѣ
Аи = а;1"(а -|- Ъх'У Ах
п есть отрицательное число, то легко представить дифференціалъ въ такомъ впдѣ, гдѣ подъ знакомъ радикала у перемѣннаго показатель будетъ положительный. Въ
самомъ дѣлѣ, если и есть отрицательное число, то примемъ п= — р., гдѣ р. есть число существенно положительное. Тогда
сіи — хт (а -г Ъх ,Л/
плп
пли наконецъ
>н —[>.?
сіи — х
ах'* Ъ (Іх
Принимая все это во вниманіе, заключаемъ, что данный дифференціальный биномъ всегда можетъ быть преобразованъ такъ, что въ немъ, нрн оставшемся безъ измѣненія показателѣ р, показатели т н п будутъ числа цѣлыя, а показатель при неизвѣстномъ подъ радикаломъ—число положительное.
Не трудно показать случаи, въ которыхъ дифференціальный биномъ можетъ быть освобожденъ -отъ знака радикала, т. с. нрнвсденъ къ раціональной формѣ. Это будетъ возможно пріг извѣстномъ соотношеніи между тремя показавелями даг, « и Р п притомъ только въ двухъ случаяхъ. Это будетъ возможно во 1-хъ, тогда, 1 „ т + пр 4-1
когда-------будетъ цѣлое число, а во 2-хъ, тогда, когда --------будетъ цѣ-
и ' и
лое чпсло.
Въ самомъ дѣлѣ, мы принимаемъ, что въ дифференціалѣ
(Іи = хт (а + Ьх")ѵ сіх
показатель р есть несократимая дробь. Примемъ ^9 = ^, гдѣ а. п Р суть цѣлыя
Р числа.
Пусть
а 4~ Ъх" =
тогда
1 ж
слѣдовательно
. „ . т 4-1
а это выраженіе оудетъ раціональное, если -------- есть цѣлое число.
Представимъ данный дифференціалъ въ видѣ
Ни — хя',+иі [ая " + Нх
пусть
тогда
слѣдовательно
Д ап
а 4-0— 1
Ну
Это выраженіе также будетъ раціонально, еслп
пр 4- т +1 только —1-----------
п
есть цѣлое
число.
Въ тѣхъ случаяхъ, когда ни одно изъ этпхъ двухъ условій не удовлетворяется, данный двучленъ не можетъ быть освобожденъ отъ радикала и тогда для интегрированія дифференціальный биномъ долженъ быть прпведенъ къ такому виду, въ которомъ плп степень р будетъ понижена, пли показатель ш будетъ сдѣланъ менѣе п.
Пусть требуется интегрировать дифференціалъ
VI /* • ѵ Л ѵ
х [а 4- ох ) ах
Будемъ пнтегрировать это выраженіе по частямъ; имѣя для этого въ виду общее выраженіе
у у Ни =. иѵ •— /*и Нѵ
примемъ въ нашемъ частномъ случаѣ
хт Нх = Ни; (а 4- Ъхп} = ѵ
тогда
слѣдовательно
Хотя здѣсь степень р понижена единицею, но за то степень т увеличилась на п. Рѣшая это уравненіе относительно послѣдняго интеграла, находимъ
Кромѣ этого мы имѣемъ тождество
Помноживъ предыдущее выраженіе па Ъ п складывая произведеніе съ послѣднимъ выраженіемъ, легко получаемъ
(3) /х (а + Ъх’У сіх = г----— I + Ьх»у-і
г пр + т + і пР + т ~г 1 /
Этимъ выраженіемъ и слѣдуетъ пользоваться, если хотимъ понизить степень р. не измѣняя степени «и
Сравнивая выраженія (1) и (3), находимъ
йх~
Такъ какъ это выраженіе справедливо для всякаго р и ш, то замѣнимъ въ немъ р чрезъ _р+ 1, а т чрезъ ш— п, тогда найдемъ
/Л
— п 4-1)
откуда
У, х"‘ (а ~г Ьхп)р сіх —
(4)
^»у>Н а(т----------П-І-'І) Г I 7 "V» 7
— -----------—----------у-----------; -—-г / X {(1-\-ЬХ У (ІХ
о {пр Ц- т 13 Ь \ пр т 4- 1) ! ѵ
Эта формула служитъ для уменьшенія показателя ?п, безъ измѣненія показателя р.
Если показатель р отрицательный, то пониженіе степени радикала соотвѣтствуетъ увеличенію р. Для этого поставимъ въ уравненіи (3) величину р вмѣсто р и опредѣлимъ пзъ полученнаго интегралъ второй части. Такимъ образомъ найдемъ
ж"+1 (а
ап {р 4- 1)
(а -4- Ъх^11
(Іх
(5)
Эта формула должна служить для пониженія степени р, еслп р есть число отрицательное.
Въ этомъ заключаются всѣ теоретическія соображенія, относящіяся къ интегрированію биномовъ.
Пояснимъ все изложенное на частныхъ примѣрахъ.
Возьмемъ интегралъ отъ
сіи — ж5 (1 жзу (Іх
2
Въ этомъ случаѣ 7/1 = 5; и = 35 Р~~\ « = 1; Ь~\ и мы видимъ, что
3
4- 1
------есть цѣлое число, а потому данный дифференціалъ можетъ быть приведенъ
къ раціональной формѣ. Пусть для этого
1 х2 — у2 отсюда
ж = (?/3—1)3; ( I 4-ж3)3 = ?/2; х3 = (у3 — 1 )3
(Іх = {у2~ 1) *у2(1у
а слѣдовательно
откуда
С.
Возьмемъ еще интегралъ отъ
Ии = (I
т -}- I
—— = цѣлому числу не
въ этомъ случаѣ т — 3; « = 8; р = — Условіе
„ пр 4- «г 4- -I удовлетворяется, но выполняется второе условіе, ибо ------------есть цѣлое число.
Въ самомъ дѣлѣ, Въ виду этого, предыдущій дифференціалъ при*
водится къ раціональной формѣ. Но прежде введенія новаго перемѣннаго, мы должны представить этотъ дифференціалъ въ впдѣ
(Іи = хт~гпр {ах " + Ь)р (1х
Въ нашемъ случаѣ
Пусть теперь
откуда
(,Г Ь5 ~={уг‘—'О*', СІХ=~— {у2—1) *у Ну
слѣдовательно
пли
откуда, по извѣстному намъ способу,
или
плп наконецъ
+ }/! + ж8] + С
Возьмемъ еще пнтегралъ какъ бинома
хотя здѣсь разсматриваемый дифференціалъ есть раціональный.
Въ этомъ случаѣ
ш = 8; ?г = з; р= — ^ а = уу Ъ = 2
и условіе —--
= цѣлому числу удовлетворяется. Поэтому примемъ
тогда
2«3 4- з = у
слѣдовательно
что проще начальнаго выраженія п легко интегрируется. Возьмемъ еще пнтегралъ отъ а
сіи = х~' (1 — л?3)3 сіх
Въ настоящемъ случаѣ два вышеупомянутыя условія для приведенія дифференціала къ раціональной формѣ не удовлетворяются, а потому для интегрированія
примѣнимъ формулы пониженія. Въ машемъ случаѣ т = уу п=^\ р = —; а =
Ъ = —поэтому формула (3) даетъ
1 з и = я8 (I — ж8)3 + 5
принимая снова въ выраженіи (3) ш = 7; « = з; р = —\ а=І; Ъ — — 1; находпмъ
Для упрощенія послѣдняго интеграла, обратимся къ выраженію (4) п посредствомъ 26
него* будемъ понижать показателя т. Теперь т выраженіе (4) даетъ
п—’з; р — ——, а потому
1
3*^ I
Для упрощенія послѣдняго интеграла, обратимся
снова
къ
формулѣ (4), въ которой
теперь примемъ т — 4; п = 3; р —-------, тогда
3
л сіх
Итакъ интегрированіе даннаго дифференціала приводится
къ выполненію интеграла
ХСІХ
7...~з
но этотъ интегралъ въ конечномъ видѣ не выполняется.
20. Къ интегрированію бинома приводится также интегрированіе выраженія
Въ самомъ дѣлѣ, для интегрированія по частямъ, положимъ
тогда
ѵ —
а потому общее выраженіе
иѵ
даетъ
(Ъ 4- 2СХ) сіх
плп
іг”'(а+Ъх+^У&с= іхт^ (а+Ы-сж2/"1 Зх
т 4- 1 т+1 /
2С& / хт^~\а 4-Ъх + сх2У 1 сіх
Это справедливо для всякаго т н для всякаго р, а потому поставимъ здѣсь р-\-і п т — 2 на мѣсто р п т, и кромѣ того примемъ для краткости
а + Ъх 4- сх2 = X
тогда получимъ
но
Представивъ въ такомъ впдѣ первую часть предыдущаго выраженія, получимъ изъ него
/ Хр сіх =
(6)
»_ ж X ______________Ъ (ж + р) / „(_і уР ________а (ш 1) / т~г
с(ж4-2р+'О с(ж+гр-}-4) I ' с{т-^2р-\-‘\')^
Если нп есть положительное цѣлое число, то выполненіе разсматриваемаго интеграла приводится плп къ выполненію интеграла
[ х Х'’ сіх
илп къ выполненію интеграла
ХЧх
Но легко впдѣть, что предыдущій интегралъ приводится къ послѣднему. Въ самомъ дѣлѣ, принимая въ выраженіи (6) яі='і, находимъ
(7)
Итакъ, интегрированіе разсматриваемаго дифференціала приводится къ интегрированію
Такъ какъ
17 1 2 ( •> 17 _і_ & V > 4-йс — Ъ-"
а 4-Ъх 4- сх2 = с я- Ч— М— = с жН-----------------14---------/—
\ С С7 ІА 2С? 4С 3 то полагая
, Ъ 4«С — Ъ2
Л’Н----~у\ -----2— = [Л
2С 4-СГ 1
находимъ сіх — Ну, слѣдовательно
а 4 Ъх 4- сх2 = с (у2 4- и-)
а потому
послѣдній интегралъ можетъ быть разсматриваемъ какъ интегралъ бинома, въ которомъ т = о; п — а.
Если т есть, число отрпцательиое, то для выполненія интегрированія въ выраженіи (6) поставимъ т-|-2 вмѣсто т, и тогда это выраженіе (6) приметъ впдъ
Послѣдовательное примѣненіе этой формулы приводитъ наконецъ къ выполненію двухъ интеграловъ
/ "V7' /
I ~ (Іх п / Хр (Іх
Мы умѣемъ взятъ послѣдній изъ этпхъ интеграловъ, остается показать способъ выполненія перваго.
Понятно, что
Поставивъ въ выраженіе (7) р— 1 на мѣсто р, получпмъ для выполненія одного пзъ этпхъ интеграловъ
внося это въ послѣдній членъ предыдущаго выраженія, получпмъ
послѣдній пнтегралъ имѣетъ форму интеграла (8) п можетъ считаться извѣстнымъ, а слѣдовательно этой формулой пнтегралъ
приводится къ болѣе простому интегралу впда
VII.
Интегрированіе трансцендентныхъ функцій,
21. Перейдемъ теперь къ интегрированію трансцендентныхъ функцій. Прп рѣшеніи этого вопроса можно указать немного общихъ пріемовъ п по большей части приходится выполнять интегрированіе плп по частямъ плп введеніемъ новаго перемѣннаго.
Предположимъ, что требуется интегрировать дифференціалъ
Р сіх
гдѣ одна пзъ функцій Р, <2 есть алгебраическая функція отъ х, а другая есть функція того же перемѣннаго, но трансцендентная. Будемъ интегрировать этотъ дифференціалъ по частямъ. Пусть
и = <2“; = Р сіх
тогда
поэтому общая формула интегрированія по частямъ
гі <1ѵ — иѵ — I ѵ Аи
въ примѣненіи къ нашему случаю даетъ
<2’‘ Р Ах
Ф" / Р сіх — п ! <2
1 - - сіх / Р Ах г! Ж
Пусть
Р сіх = Рх; / Д сіх = Р2
тогда
Р О" сіх = <2" - п ІР. (Г'1
1 I ах
Будемъ послѣдній интегралъ снова пнтегрпровать по частямъ п примемъ
гі = (2””1: сіѵ =- Рг -$ сіх к ах
тогда.
л общая формула интегрированія по частямъ даетъ при этомъ
плп
Прпппмая здіісь
подобно предыдущему, находпмъ
Внося послѣдующій интегралъ въ предыдущій, составимъ
іРЯп сіх — Рг Яп — п -Р2(2'‘-1 +« (« — 1)Р3(2“-2—...=±1.2.3... я. (1)
гдѣ
Пояснимъ это на частномъ примѣрѣ. Пусть требуется интегрировать дифференціалъ
сіи = хт 1 [1^ л.’]" сіх
Примемъ
Я —
тогда
>>і т іи
р __& . р ______. р ________
і— т ' 2~т2' а~т2
а потому общая формула даетъ
ш
т
и
1ІІ—1
" 1
— к - --
9 вв
Г)
Ж“
т
п т
Пусть еще требуется взять интегралъ
Пусть
тогда
9
*
?
2
2
поэтому общая формула въ примѣненіи къ разсматриваемому случаю даетъ
и
Па основаніи общихъ соображеній, выше изложенныхъ, возьмемъ интегралъ отъ
Й + гг2) ак = —-------—- ах
х2
Для примѣненія формулы (1) къ этому интегрированію, мы примемъ
Такъ какъ въ этомъ случаѣ »=1, то изъ всего ряда (1) останутся только два первые члена. Мы впдпмъ, что
Замѣтивъ еще, что въ нашемъ случаѣ прн п=4; 1='І, получаемъ искомый
интегралъ
С'1 + г сі \ । г> и =------—--------- 2 агс {Чапц = ж) 4- ѵ
Возьмемъ еще интегралъ
/)§ (ж2 -|- х 4- 4) сіх.
Въ этомъ случаѣ _Р — 4; <2 = (я2 4- ® + "1); « = 1, поэтому
Для выполненія послѣдняго пнтеграла, сначала исключимъ пзъ неправильной дробп цѣлое число, тогда увидимъ, что
Слѣдовательно
Для выполненія послѣдняго пнтеграла, обратимся къ выраженію (2) (стр. 345] п для нашего случая примемъ
М=4; &т=-\-2: =----/3^^-
2 2
тогда
слѣдовательно искомый интегралъ
Іаі^ =
Возьмемъ еще интегралъ отъ
Примѣняя къ интегрированію этого
дифференціала выраженіе (1), примемъ
СІХ
тогда
ни е
т
ш.і: е
о ~
е , 3=—-т п т. Д. 3 яг3
такимъ образомъ по выраженію (1) составляемъ
тх
т2
м. 7)1
Если
въ этомъ выраженіи водъ т будемъ разумѣть составное число
гдѣ і есть
мнвмый множитель і/ —1, то
пусть а = р сова;
р зіп а, тогда
е
т
п—1
п
п 71
т
п—2
л—2
п
слѣдовательно
2
а — Ы
__Г______ 1 .. ...... :1
аа — Ы а — гзіца Іл
и кромѣ того
«л' іЪх ах / 7 ••♦7ч
е =е е —е (созш;-}- г зіл Ъх}
слѣдовательно предыдущій интегралъ можетъ быть представленъ въ впдѣ
[соз Ъх і зіп &гс] Нх =
ах . , . . , е ’я 11 пе 2,Я«-г п(п — 1)е и-2
е (соз Ьх -і- г зіп Ьх}---------х----------»— х -)-------------------х
I р р2 р3
но
е &1а (соз Ъх + і зіп Ъх} = (соз 7са — і зіп Ла) (соз Ъх і зіп Ъх}
слѣдовательно
п
х" I
— ] соз (Ъх — а) + ізіп
пх
20.}
Сравненіе въ этомъ выраженіи отдѣльно дѣйствительныхъ п мнимыхъ частей приводитъ къ уравненіямъ
ц ах у т ах
е соз Ъх ах — е
” еат зіл Ъх сіх = е
іі н —1
ж . пх
у соз (Ъх — а.}--------соз (Ъх — аа)
. пхп .
— зіл (Ъх — а)-—зіп (Ъх — 2а)
Принимая въ частномъ случаѣ п = о, находимъ
е соз Ъх (Іх ~ — соз (Ъх — а) 4~ С =е
(А)
е зіи Ъх (Іх —
«л- а зіи Ъх — Ъ соз Ъх
Посредствомъ этихъ выраженій легко могутъ быть интегрированы, дифференціалы вида
т агс Сеііі = дО /»і агс [соз = а?)
аи ~ е ах ; аѵ = е ах
Въ самомъ дѣлѣ, иривпмая х = зіп#
п х = ооз у находпмъ
сіи — е
іп у
соз у (Іу
т соз у , аѵ = — е ыпуау
Для интегрированія перваго пзъ этихъ дифференціаловъ, положимъ въ первомъ пзъ выраженій (А) а = т; Ъ = 1; тогда находпмъ
?п агс (5ІП =;&) —-----
[ж -\-т у I — х
1 4~ Ш2
Вообще посредствомъ интегрированія по частямъ мы часто удачно приходимъ къ цѣли въ интегрированіи функцій, составленныхъ пзъ алгебраическихъ и трансцендентныхъ .
Возьмемъ, напримѣръ, интегралъ
Обращаясь для этого интегрированія къ формулѣ (1) интегрированія по частямъ, примемъ въ ней
;г = 1; Р = 1;
тогда
(ІХ
а,
х2 — ъах 4~ 2#2 ’
ах (Іх
ъах 4- аа2
поэтому
Послѣдній интегралъ легко выполняется. Въ самомъ дѣлѣ, придадимъ и вычтемъ въ числителѣ подъ знакомъ пнтеграла по.а&с, тогда приведемъ послѣдній интегралъ КЪ виду
'I / 2 Я (ІХ — 2(6 СІХ
2 ! X- — 2С6Х 2«2
поэтому
Гдѣ интегрированіе по частямъ не ведетъ къ желаемому результату, тамъ не рѣдко достигаемъ цѣли введеніемъ новаго перемѣннаго. Такъ, напр., если требуется
взять пнтегралъ
то посредствомъ пнтегрпрованія по частямъ здѣсь не упростимъ дѣла; но еслп введемъ новое перемѣнное, то приблизимся къ результату. Пусть 1 -}-х — ё7 тогда
выполняя въ первомъ пзъ этпхъ интеграловъ интегрированіе по частямъ п принимая нрп этомъ въ общей формулѣ
и = —; (Іѵ~е сіз\ с!и =------
%
находпмъ
а слѣдовательио
поэтому
Все изложенное объ интегрированіи трансцендентныхъ функцій не представляетъ собою развитія какого либо общаго пріема интегрированія, а указываетъ только на то, что въ извѣстныхъ случаяхъ интегрированіе ло частямъ можетъ вести къ нахожденію интеграловъ трансцендентныхъ функцій въ связи съ алгебраическими.
22. Пзъ безчисленнаго множества трансцендентныхъ функціи общіе пріемы интегрированія можно предложить только для интегрированія дифференціаловъ
ешХ /(.г) дх ; [(зіп ж, созх) дх н е /"(зіп ж, соз ж) дх
гдѣ подъ / мы разумѣемъ алгебраическую раціональную функцію. Разсмотримъ общій способъ интегрированія дифференціала
Т (ж)
Мы предполагаемъ, что ?(х) есть раціональная функція; она въ извѣстныхъ случаяхъ можетъ быть разложена на цѣлую функцію и раціональную дробь. Эта раціональная дробь въ свою очередь разлагается на элементарныя дроби. Еслп знаменатель раціональной дробп имѣетъ равные и неравные корпи (дѣйствительные или мнимые—все равно), то функція /(х) послѣ исключенія цѣлой части можетъ быть представлена въ впдѣ
/'(ж)^Р(ж) +
гдѣ суммы относятся къ различнымъ корнямъ.
Попятно, что
и т. д.
слѣдовательно
йс— а
1 сіх
2
со
“ (Іх
гдѣ 5г, Вг п т. д. имѣютъ простую связь съ числителями элементарныхъ дробей, именно
2 »
_^з.
2“
3 ----
Если внесемъ выраженіе (2) въ
данный дифференціалъ,
то приведемъ его
къ виду
в™ я» Ах =
е
Г (ж) сіх +
(Іи
1 (ІХ
2 (Іх2
" ~Г~п (іх ах 3
рядъ съ множителемъ е преобразуемъ въ подобный же рядъ, но въ производныя брались бы не отъ функціи «, а отъ другой функціи
1
Послѣдній которомъ умноженной на показательную. Пусть эта другая функція будетъ ѵ — ие , откуда ~<і>ж ѵ и^=ѵе , слѣдовательно
(Іи —шх/’ (Іѵ сіх ~ \ сіх
— их/' (Рѵ е
(ІѴ (ІХ
— <о® / (Рѵ А2Ѵ
-С —ЗН)3—
\Их3 сіх-
(ІѴ (ІХ
Внося это въ выраженіе (3), проведемъ его
къ виду
(ІѴ ------- О)Ѵ
ах
Л2ѵ (Іѵ
— 2<Л>^-(ІХ
2 сіх2
СІ2Ѵ
(13ѵ
3 Ах3 сіх
(Іѵ
СІХ
йх
е
з
*) Ыы дли краткости пропустили здѣсь знаки суммъ, которые прп каждомъ членѣ рода подразумѣваются.
плп
— е°х3?(ж) сіх -г-
ѵ Аг — .В^о Д/о2 — 73эсоа + •
СІѴ сіх
2іо732 4~ за)2 Вэ —.........
..... СІХ
с?3у
сіх3
Положимъ для краткости
С = Л. — Д со 4-К, ш2 — К, ыэ +.
С\ = Вг — 20>ВіЛ- 3&02 -Д —.............
С', — В2 — 3<и ЗВ.. .........
С, = 13, —........
О о
Легко впд'Ьть, что
сІС
_1_Й3С 2.3 С?СО3
Послѣ этого разсматриваемый дифференціалъ принимаетъ видъ
СО
еОІ'ѵ / (ж) йх
гдѣ
1) = гі & ;
Слѣдовательно интегрированіе разсматриваемаго дифференціала приводится къ выполненію тредъ существенно различныхъ интеграловъ, именно
два послѣдніе очевидно имѣютъ впдъ
есть функція цѣлая алгебралясская, а потому интегралъ
1 легко выполнять по частямъ. Примемъ сііѵ — сіх; і = тогда Ш.7? гѵ~е—-; сіі~2< <0 и общее выраженіе у і сію = гѵі — $г даетъ /Э / е™ Г (ж) сіх - — 3? 0) — -г 7 (.о' і также Г* шг* / е°х ИЧіс) сіх = — Г' (ж) — -/ со { и Т. д. слѣдовательно / ,, ®;ѵГ1?О) 1?!(х / е ± (х\ ах — е —— V 1 1 (0 СО- Чтобы взять второй пзъ интеграловъ, т. с. / —-— СІХ ! х—а положимъ со 0 — а) — у тогда У 1 со х~а — —: — — со1 х — а і/ 1Г (г) " (Л) (ІХ О(ІІ 1 / е^х г :о 1 1 / ([Х 0 1 ) _Е _ ' СО3 ; * = со
слѣдовательно
Пусть е'1 =^, тогда у — І052; =
поэтому
есть особая трансцендентная функція, извѣстная подъ пмепемч» инте-
гральнаго логариѳма и означается чрезъ 1і(<0; итакъ
гдѣ ^ = еш1,г' . Эта трансцендентная функція ііи) можетъ быть вычисляема не иначе какъ посредствомъ ряда.
Остальной интегралъ берется непосредственно. Очевидно
Еслп
слѣдовательно
или
также
л т. д.
Въ этомъ состоятъ всѣ общія соображенія объ интегрированія дифференціала
еѵ>я? (д;) сіх
Пояеппмъ эту теорію на частныхъ примѣрахъ. Возьмемъ интегралъ
/ еа)'> (ж3 4- л2) сіх
1 (ж — а)3
Разлагая раціональную дробь па элементарныя, представляемъ ее въ впдѣ
опредѣляя извѣстнымъ образомъ числителей элементарныхъ дробей, находимъ
а = аа2;
слѣдовательно
х2 4- а2 2а2 ч 2а
(ж — а)3 (х — а)3 (ж — а)2
плп
поэтому
По означенію общей теоріи
ѵ = -----Сравнивая предыдущее съ
.выраженіемъ (3), впдпмъ
что въ нашемъ случаѣ
== ‘I; 2?! = — га; — а2
слѣдовательно въ разсматриваемомъ случаѣ
С = 'I гщо + а2 ш2 = (1 Ч~ «со)1
(ІС
(іШ
(1 ~ ааі) а;
Такъ какъ для данной дроби ^(ж) —о, то выраженіе (4) принимаетъ впдъ
пли
Первый изъ этихъ интеграловъ
выполняется; остальное даетъ
въ конечномъ впдѣ не
что и представляетъ собою интегралъ даннаго дифференціала.
Пусть еще требуется взять интегралъ
/__ П Л Л / ч ах/ ' Ъх;
Прежде всего замѣтимъ, что
А, _ Л, _ .Г) == -і _ ±+ ‘ 1 . 11
X ах / X Ъх/ аЪ х ' аЪ х~
__ а 4- Ъ I , 1 (л: /
аЪ х аЬ сіх
слѣдовательно въ этомъ случаѣ
По сравненію съ уравненіемъ (3), впдпмъ, что
поэтому
но такъ какъ въ настоящемъ (4) даетъ
случаѣ со = а Ъ, то С = о п поэтому выраженіе
ах
аЬ дх
откуда
ах)
аЬ
с
аЪх
На основаніи подобныхъ же соображеній могутъ быть интегрированы функціи
]? (ж) аіи х дх и # (ж) соз х дх
еслп есть алгебраическая раціональвая функція цѣлая плп дробная. Въ самомъ дѣлѣ, въ этомъ случаѣ зіпж п созж могутъ быть замѣнены показательными функціями. Но интегрированіе подобныхъ дифференціаловъ въ случаѣ, еслп -^(ж) есть цѣлая функція, можетъ быть выполнено и на основаніи болѣе простыхъ соображеній. Въ самомъ дѣлѣ,
Р (ж) 8Іп х дх = — Р (.г) д (соз .г-): Р (.г-) соз х дх = Г (о;) д (зіи х)
Черезъ интегрированіе по частямъ находпмъ
/ Е (.г) д (соз ж) = — Т7(.«) соз х у Т*1' (ж) соз х дх / Р1 (ж) соз .г дх = Р1 (ж) зіи х — / Р1’ (ж) зіп х дх / .^''(ж) зіи х дх — — Р,! (.г) соз х 4- /Р1’’ (о?) соз х дх
и т. д.
поэтому
ГР(г') зіи х дх = [.Р1 (х) — Р" (ж) 4- (х) —
— [.Р (ж) — ^"(.т) 4-.......
СОЗ X
точно также
] ЗІП X
? (ж) соз х дх = [і'4 (.г) — д?!"[х) -р...........] соз х
4- [Т*1 (ж) — (ж) 4“......... ] 5ІЦ X.
Посредствомъ этпіъ выраженій могутъ быть взлты интегралы вида у /'[агс (зіп = я)] Ах
Въ самомъ дѣлѣ, пусть
агс (зіп ~ .г) =-у
тогда х = зіп у, слѣдовательно Ах = соз у Ау Поэтому
/"/'[агс (зіп — .г)] Ах = / /(у) соз у Ау
Примѣняя къ этому интегрированію второе пзъ выраженій (6), имѣемъ
у) соз у Ау = «'(у) — /'" (у) и-...........] соз у + [/'(у) — Г (у) +............] зіп у
переюдя къ первоначальному перемѣнному и помня, что зіп у — х\ созу = )/і—яа, пмѣемъ
/(агс зіп .г) Ах — [/*' (агс зіп .г) — /7" (агс зіп .г) 4-
4- [/'(агс зіп з;) — /*" (агс зіп а?) 4"........] х 4- С.
23. Обратимся къ дифференціалу
Аіс = /*(зіп х. соз х) Ах
Для интегрированія этого выраженія всегда удобно ввести новое перемѣнное. Мы знаемъ, что
ІХ | - •
е = соз х + г зіп а:;
соз а; — / зіп х
откуда
соз х —
Пусть
тогда
гг2 4-1
соз X =----------ѵ- ;
23
. з2 — 1
ЗІП X —---------
21 3
кромѣ того іх — Ах = - —, слѣдовательно
2 ІЗ 1
з2 4- -І\ Аз 3?(з)
23 ) із Ф (з)
Такпмъ образомъ интегрированіе разсматриваемаго дифференціала этимъ способомъ приводится къ интегрированію раціональной дроби.
Тотъ же дифференціалъ можно интегрировать п не прибѣгая къ мипмымъ показательнымъ.
Введемъ новое перемѣнное подъ условіемъ
пзъ этого находимъ
соз — 2
8І11 -
2
ЗІП X
1 -ф- СОЗ X
также
I — СО8Й? зіп X
поэтому
8ІІ1 X — 15 СОЗ X = г
г зіп х + созя = 1
откуда
С08 3? =
сі (зіп X) — СОЗ X (ІХ =
поэтому
Такимъ образомъ разсматриваемый пнтегралъ приводится къ
что имѣетъ алгебраическую п раціональную форму относительно
Для поясненія этого на частномъ примѣрѣ, возьмемъ пнтегралъ
/
/ а -|- Ь соз х
Принимая здѣсь, согласно съ предыдущей теоріей,
(апс;
находпмъ, что данный интегралъ обращается въ
Прп Ъ > а этотъ пптсгралъ принимаетъ мнимую форму; по это устранимъ, если прп Ъ > а дадпмъ интегралу форму логарпома.
Для этого интегралъ (а) представимъ въ видѣ
частныя дроби, имѣемъ
иодставляя сюда вмѣсто с его значеніе, окончательно пмѣемъ
—выраженіе остающееся дѣйствительнымъ прп Ь >. а.
42.5
Возьмемъ еще интегралъ
(Іу:
8І11 X +.& СО8 х
Введемъ опять новое перемѣнное подъ условіемъ
е -- іаіщ ' 2
тотда этотъ интегралъ принимаетъ впдъ
что можно представить въ видѣ
а это можетъ быть интегрировано какъ раціональная дробь п такъ какъ корнп знаменателя дѣйствительные, то интегралъ будетъ имѣть логариѳмическую форму.
п г „ а а2 -4-й2 ,
Въ самомъ дѣлѣ, пусть г~т-=^у\ —ѵ-—тогда предыдущій интегралъ
принимаетъ впдъ
или
Интегралъ
/5
/ ах
і а «іи х т Ъ ссі х
можетъ быть взятъ на основаніи болѣе простыхъ соображеній- Пусть
а = асо&0; ^ = азіпО
такпмъ образомъ постоянныя а и Ь замѣнены постоянными а и 0. Тогда
/ , (Іх 1 у (Іх
I а 8іи х + Ь ссз х а / $іп (а; Ѳ)
что интегрировать легко. Въ самомъ дѣлѣ,
слѣдовательно
-• 1о&- (апй ОС
Точно также можетъ быть взятъ болѣе общій пнтегралъ
/Э
/ (ІХ
і а зіп х 4- Ъ соз х 4- с
Полагая сначала
а = а 8Іп 0; Ъ = а соз 0 имѣемъ
а зін х Ь соз х = а со8 (х — Ѳ)
пусть для краткости х — Ѳ = у, тогда
а 8іп х + Ъ соз х + с = с -|- а СО8 у
п данный пнтегралъ приводится къ
/ (ІХ г с + а соз у
который взять мы умѣемъ.
Наконецъ, что касается до интегрированія послѣдняго пзъ вышеупомянутыхъ дифференціаловъ, т. е. дифференціала
а>Х С
І($1\\Х, соз я) (ІХ
то замѣнимъ
ІХ —1> ІХ С _—іх
(> __1_ 0
въ немъ зіп х п соз х чрезъ--------------------.---- и---------------
2г 2
примемъ
<о = а|/—1 и потомъ введемъ новое перемѣнное ех = е. Тогда данный дифференціалъ приметъ алгебраическую раціональную форму относительно перемѣннаго а и легко можетъ быть интегрированъ.
24. Перейдемъ теперь къ интегрированію такихъ функцій, которыя зависятъ отъ произведеній синусовъ и косинусовъ, или отъ произведенія ихъ степеней.
Возьмемъ интегралъ
_ • т я )
5іп х соз х ах
гдѣ подъ т и п мы разумѣемъ какія либо цѣлыя приводится къ интегралу бинома’. Въ самомъ дѣлѣ,
1
числа. Этотъ интегралъ легко положимъ зіп х = ?/, тогда
н
7
слѣдовательно Нх =
потому даннын интегралъ принимаетъ впдъ
я — 1 ^0
(»)
можно дать раціональную форму, обратится въ
и если « есть нечетное число, то подъинтегральная функція пмѣетъ раніональную форму и интегрированіе легко выполняется. Еслп бы въ данномъ интегралѣ т было нечетное число, то подъинтегральной функціи принимая соз х — г и тогда данный интегралъ
(Ь)
что
ИЛИ
рое
интегрируется какъ дифференціальный бпномъ. Итакъ, еслп одно изъ чиселъ т п нечетное,
Замѣтимъ наконецъ, что еслп оба числа т и п четныя, то выполняется вто-усяовіе при которомъ биномы приводятся къ раціональной формѣ. Въ самомъ
дѣлѣ, тогда т = цѣлому числу; или для формулы (Ь)
т — 1 п 4- 1 ѵі 4- п имѣемъ —-------]-----— = —-— = цѣлому числу.
то интегрированіе выполняется легко.
Въ частномъ случаѣ, когда сумма т п есть цѣлое четное и отрицательное число, т. е., когда удовлетворяется условіе
т 4~ « = — 2«
гдѣ р есть величина существенно положительная, интегрированіе выполняется легко. Въ самомъ дѣлѣ, тогда
8ІіГ" х СО8 " х Нх =
• т 81И X -------СОЗ соз"'я
но
слѣдовательно
Данный интегралъ принимаетъ такпмъ образомъ форму
плп
/ (ан§" я[1 4* Іа и 52 я]*’"1 (I (Іан§ я) е/
Полагая здѣсь Іаіщя = пмѣемъ
что интегрируется непосредственно.
Замѣтимъ еще, что, еслп т п п оба суть числа четныя, то, не приводя данный дифференціалъ къ формѣ бинома, можемъ пользоваться формулой пониженія. Въ самомъ дѣлѣ, еслп въ общемъ выраженіи
1 ІКІѴ-: иѵ примемъ >* —1 и — соз х: аѵ 1 то (Іи = — (п — ‘1) соз" х з а слѣдовательно ( „ '<—1 ті / . >1 , СОЗ X 8111 X / зіи х соз х ах = — • г т + 1 но • :дг-|-2 • тя 5Ш Т X =3111 поэтому / ‘ Ш-ГІ п —1 / . 8111 Я СОЗ / 5111 X 005 = ——— “—; ] т '1 — / V (Іи С* = 5І11’" X СОЗ X (ІХ * пг 4* 1 8111 к X іи х ах; ѵ = т 4-1 4- 4 т / зіи я соз хах (7П 4* 1) / я['І — соз2 я] я 1 и — ‘1 / . и—2 , - 4 / зіи ясоз хах т 4“ '! / “ і */ - «і » і і 5іи ясоз хах т ч- 1 /
плп
по
• ’»т1
81П X С08 X (ІХ = 8111 т X С05
* гі] /I —
8111 #С05
* ін и— 8111 ЯС08
• 1 П—2
8Ш Ж.С08
Если въ общей формулѣ интегрированія ио частямъ примемъ
и — зі и'" 1 х; Нѵ — с оз" 2 х (I (с 08 х~)
Ни == («г — 1) зіи'" 2 х соз х (Іх\
л л /[—1 СОЗ X
то составимъ
ясоз" 2жй(созж)
итакъ
т
п
п— 2 * ПІ 7
со 5 а; 8іп х ах
откуда
слѣдовательно
’ Лі л « 7
зін ж соз хах =
зін1""1’1 х сов" 1 х (??• — I) зіп'" 1 х соз" 1 х т -|- п т -|- п т п — г
плп
• — 1 ~ —I
. , 8111 ,г-С08
81И Х'С08 хах~---------------— - т—
8І1Г х-----—--------
т н — 2
(8)
(т
• — 2 7
8ін а; соз хах
п
Такпмъ торомъ въ концѣ данный интегралъ въ зависимость отъ одного
ооразомъ данный интегралъ приводится въ зависимость отъ другаго, въ ко-показатели понижены двумя единицами. Такпмъ пониженіемъ мы приведемъ изъ слѣдующихъ:
ній
Еслп
показатели т п н четные, то послѣдній
интегралъ оудетъ
*•)
т п п суть числа нечетные, то послѣдній интегралъ будетъ
7 зіп2 х зіп х соз .т сіх —-------- -
3) Если интегралъ
одинъ изъ показателей т п п четный, а другой нечетный, то послѣд-будстъ
СОЗ .V СІХ = 8І11 X
плп
Соображеніями, подобно предыдущимъ, можно руководствоваться при выполненіи интеграла-
, • ж
8111 X
Этотъ интегралъ можно представить въ впдѣ
у 8ІіГ”аі соз"” х сіх
Для разложенія этого интеграла обратимся къ формулѣ (7): поставимъ вч> пей —п вмѣсто п и тогда будемъ пмѣть
/і /Э
/ - ... 1 8іп .г*соз ГІх я-Н / . -(и-і-2) 7
/зіп я.соз х ах —---------------------------------- /зіп х соз сіх
/ т — п т—п /
Поставивъ здѣсь п—2 вмѣсто я,'получпмъ
откуда
Когда мы выводили формулу (7), то мы понижали въ интегралѣ
- 41 » 1
8111 X С08 X ах
степень п- но тотъ же пріемъ мы могли бы примѣнить п къ пониженію стспенп т. Для этого стоило бы только подъпнтегральную функцію написать въ видѣ
• іи-1 и ? г ~ і
— зіи ж соз я?а(сО5^
тогда послѣ преобразованій подобныхъ тѣмъ, черезъ которыя мы пришлп къ фор-
мулѣ (7), мы пришли бы къ уравненію
зіи"' х соз" х (ІХ
С9)
Поставпмъ въ этомъ выраженіи —«+2 вмѣсто я, тогда будемъ имѣть
Внося это въ интегралъ (7), получпмъ
или просто
Это п есть искомая формула пониженія.
Если т — п есть четное число 2&, то интегралъ (10) приводится къ виду
+ (—І)А 1 (аіц;# + (—1)*я
Еслп т — п есть нечетное число, то талсе формула (10) даетъ
Ік—3
Примѣненіе формулы пониженія (10) вообще приводитъ къ одному пзъ впда
пнтеграл овъ
$іп'’.г (Іх
008 X
С082 X
>
8І1/ ;1' (ІХ =
С05Р X 8І11 X
С? (СО8 Л
СОЗ
СО8 3.
Прп п = I формула (10)
не приложима, но
тогда
8І1і"' X (ІХ соз X
С08“ X
5І11’“й?<7($І11.г)
•| — 8І1Г- X
п принимая здѣсь $іп х — у, прнводпмъ интегралъ къ
впду
что легко выполняется.
Чтобы взять интегралъ
и
СОЙ X
обратимся къ выраженію (8); ходимъ
замѣняя въ
немъ т н п чрезъ — т
п —іі' на-
(ІХ
8111
(ІХ
2 к
2 к — 2
_ у____1
2 П
2
2
8І11"' X СОЗ X (ІХ
5111”’
и X 005
поставивъ здѣсь т— 2 и п—ч вмѣсто т и к, легко найдемъ
сіх т+п- 2 1
8ІЦтй5 С081'X (Ш—|)(зг— I) ЗІ1Г~3® соз'-1# 0» —1) 8І11'"-1а?С05"_аЯ:
(11)
/Э
(т-т-п— 2)('іп-\-п — 4) / сіх
(іп I) (« '1) / 5Іп”,-2д; соз"-2#
Эта формула не примѣнима въ случаѣ т—'\ плп «=І, по тогда.
Что касается до интегрированія дифференціаловъ со^хсіх п 8Іп'“яйл:, то пхъ интегралы легко находимъ но выраженіямъ (7) и (9). Въ самомъ дѣлѣ, принимая въ выраженіи (7) т = о, получаемъ
Принимая въ выраженіи (9) п = о, находимъ
Для интегрированія выраженій
Нх
>Г ’ СОЗ X
Нх
. III 8111 X
МЫ
составимъ выраженія по
послѣднимъ двумъ. Прн постановкѣ —п вмѣсто », выраженіе (12) даетъ
замѣняя здѣсь п чрезъ п—2, получаемъ
(14)
Такпмъ же образомъ получпмъ изъ выраженія (15)
іх созж , (ш— 21
іх
- ЛІ г < \ Ш —1
5111 X (да—I ) 81П X
(_т — 1)/&іп’" 2х
Къ этпмъ интеграламъ приводится
сіх
Въ самомъ дѣлѣ, полагая здѣсь
а = к зіп 1-, Ь = к соз I
приводимъ этотъ интегралъ къ виду
іх
кя зІіГ (х 4 /)
Что касается до интеграла
ІХ
а 4 Ъ соз жГ
то въ общемъ случаѣ онъ можетъ быть взятъ по формулѣ пониженія.
Допустимъ, что
іх А зіп х , / В 4- С соз х
[а 4-Ъ созя?]'* 1 (а+&созл?)” 1 /(атісозя)" 1
гдѣ коеффиціенты А, В и С должны быть опредѣлены подъ тѣмъ условіемъ, чтобы предыдущее уравненіе представляло собою тождество.
Дифференцируя предыдущее уравненіе, имѣемъ
сіх _ А (я-}-й соз хУ 1 соз х + АЪ (п—1) (я 4 соз х}’' 2зіп2жйж
(а 4 & соз ж)2'* 2 (В-\-С соз х)іх
(а 4 Ь соз ж)"
плп по сокращеніи п приведеніи къ одному знаменателю
1 == А (а 4 Ь соз ж) соз х 4 АЪ (п — 1) зіи2 х 4 (В 4 (а 4 Ъ соз х)
Замѣнялъ здѣсь зіп2 х чрезъ I—соз2# и замѣтимъ, что уравненіе должно быть справедливо для всякаго соз#, а потому это условіе выполнятся прп
(я — 1) АЪ + ѣа = 1
Аа -р ВЪ Са = о
А — (гі —~ I) А “I- С — о
откуда выводимъ
а потому данный интегралъ приводится къ виду
/ сіх ________ 1 у Ъ \ зіп х
у (а4-2» соз#)'1 п—”1 ^аі— & ) соз#)"-1
•1 I / \п—1)а — (п-—гіісоз# т
-і------=---= / і———-----——-—=4--------ах
п—1а—Ъ I (а+йсоз#)”
Еслп въ числителѣ подъ знакомъ интеграла придадимъ и вычтемъ по (п— г) а, то легко приведемъ подъпнтегральную функцію къ виду
(п—1)а—(п—2)&С05#________ (п— 2) ! (2» — з) а
(а + Ъ соз #)"-1 (а + Ъ соз #)'1-2, (а 4- Ъ соз#)'1-1
Такимъ образомъ данный интегралъ принимаетъ видъ
/ Ах __________ Ъ зіл #
/ (а + Ъ соз #)" (я — I) («2— Ъ2) (а + Ъ соз #)"-1
п— 2 / Ах (гя— з)а /. сіх
(я — 1) (а2 —&}/ (а+ъсо5ж)—2 (я —4)(а2 —62) / соз#)'1-1
послѣдовательными примѣненіями этой формулы, мы понизимъ степень двучлена въ данномъ интегралѣ до единицы и приведемъ интегрированіе къ интегрированію дифференціала
Ах
а-^Ъ соз#
Прп интегрированіи дифференціаловъ впда
Я1 - Я 1 # ЗІП # ах
нрп яі н л цѣлыхъ и положительныхъ, слѣдуетъ зіп"# выразить суммою косинусовъ кратныхъ дугъ перемѣннаго прп п четномъ, и суммою синусовъ кратныхъ
дун> перемѣннаго иріі п нечетномъ; тогда интегрированіе разсматриваемаго дифференціала проводится къ интегрированію дифференціаловъ такого вида
хт с о& (Іг х) (іх и хз і и (к х) сіх
а такіе дифференціалы мы интегрируемъ по формуламъ (6) ив 22, еолп примемъ предварительно 1гх~у.
Въ интегралахъ
прп показателѣ т цѣломъ, можемъ понизить этого послѣдняго до единицы, ибо-чрезъ интегрированіе по частямъ находпмъ
Прп т= I этп выраженія не примѣнимы, но когда т будетъ понижено до единицы, тогда интегрированіе приведется къ выполненію интеграловъ
по этп интегралы суть особые трансцендентные, называемые интегральнымъ синусомъ и косинусомъ п въ конечномъ впдѣ по х не выражаются.
Что касается до интегрированія дифференціаловъ впда
зіп (иі.т) соз (мх) сіх
то замѣтимъ, что
поэтому
зіп (мэ;) соз (на;) сіх = —
1 Ісоз (т -|' и) х
2 I т + п
25. Особаго вниманія заслужпваютъ'дифференціалы, въ которыхъ, кромѣ синусовъ, п косинусовъ въ различныхъ степеняхъ, входятъ еще синусы п косинусы кратныхъ, дугъ перемѣннаго. Въ этомі» случаѣ общій иріемл> интегрированія трудно указать.
Если тригонометрическія линіи кратныхъ дугъ входятъ въ числителя подъпн-тегральиоіі функціи (въ наиболѣе простыхъ сочетаніяхъ), то для интегрированія можетъ быть предложена нѣкоторая формула пониженія.
Еслп синусы п косинусы кратныхъ дугъ составляютъ знаменателей подъпн-тегральной функціи, тогда этн тригонометрическія функціи должны быть представлены степенями синусовъ и косинусовъ дугъ простыхъ.
Въ дифференціальномъ исчисленіи мы видѣли, что синусъ кратной дугп, будучи выражаемъ по степенямъ спиусовъ простои дуги, имѣетъ двѣ различныя формы, смотря по тому, будетъ лп коеффпціентъ кратности четнымъ плп нечетнымъ числомъ. Косинусъ кратной дуги по степенямъ косинуса простой дугп выражается одною формою, которая справедлива какъ для четнаго такъ и для нечетнаго коеффиціента кратности. Въ виду этого, достаточно разсмотрѣть способы интегрпрованія трехъ такихъ дифференціаловъ
соз''# , соз'1 х . соз''# , ———--ах\ ах; -ѵ—-------, ах
соз (то.) зіи (2»ж) зіп (2?г 1) х
гдѣ т и п суть какія угодно числа четныя, плп нечетныя.
Представляя спнусы и косинусы кратныхъ дугъ произведеніями, мы нашли
зіп (27?—I—1) # — зіи х (соз2 х — соз2а) (соз2#— соз2 га).(соз2#— соз2?га)
гдѣ
Г==( —а =—-—
2 П -ф- 1
8ІІ1 (гі?#) — бгЗІП# СОЗ#[СО82# — СО32р] [СОЗ2# — СОЗ2 2^3].[СОЗ2#— С032(и —1)]31
гдѣ
&=(-1)"-15; Й= —
211
и наконецъ
соз(тх) — С[соз#—созу][соз#—соз зу]...[соз#—соз (?т — 1)у]
гдѣ
• 2т
На основаніи этого, разсматриваемые дифференціалы могутъ быть разложены на элементарныя дробп.
Начнемъ съ дробп
соз'' # с оз (тх) знаменатель ея можетъ быть представленъ въ впдѣ
1
соз(«і#)=С || [соз#—СОЗ(27с-ф 1)у]
слѣдовательно
со8ра? __ -40
СОЗ (тх) ~ С08Ж-— СОЗ у ' С08Ж— СОЗ Зу
опредѣляя ея числителей по
общему правилу, найдемъ
лі—1
008 X — СОЗ (27»
/со8ра;
И (соз тж) ’ Н (сова;)
Н (сова;)
й (созтпл:)
<2 (соз я)
Н (соз тх)____й (соз тх)
Нх
,-Т- —< —-----л----- л~7----ч , а Таа,Ь ЬйКЪ
а (соз а:) Нх а(соз я)
Н (соз а;) = — зіп х Нх, то -ту-—
слѣдовательно
(?(соза;)
т зіп (тх) зіп X
1 ----
поэтому
/соз’’#. зіп X т зіп (тпа;)
соз'’а:. 8ІПД7 т зіп (тх)
и т. д.
а такъ какъ т = —, то ' атп
т
* 3^ р( 3
ЗІП — 008 —
2»г Х27»
— т
поэтому вообще
а слѣдовательно
к=.т— 1
С08Г Ж __ V (—1 ЗІП [(Й& -}-1) у] СО8Р [(2& +1) Т]
С08(?П®) т |СО8 X — СОЗ [(й/с -М ) у]}
й=о 1
Положимъ для краткости (й7с-|- 1.)у=6, гдѣ в есть постоянная величина, тогда
созОад)
С08 X , 1
ах = — т
созж — созѲ
Для выполненія входящаго
сюда интеграла положимъ
тогда, какъ мы знаемъ.
СОЗ Я =
Ах
1 -\-уг
слѣдовательно
&х _______ д (іу_____________________ д (Іу__________
соз X —Г С08 9 1 —у2 — (I + у2) С08 Ѳ . 1 — соз Ѳ — О-)- соз Ѳ) у2
или
(ІХ
С08Ж----С08Й
Пусть для краткости
соі§ — = а
тогда
1 _ 1 1
1 —а? у- 2 {ау Н- 1) 2 (ау — 1)
поэтому
Слѣдовательно
плп
гдѣ Ѳ = (ак -4- 1) ѵ п у — —
4 ’ ‘ ат
Будемъ теперь интегрировать дифференціалъ
соз*’ х д.х зіи (а пх)
Принимая во вниманіе вышеприведенное выраженіе зіп(2«х), представимъ дробь, входящую въ разсматриваемый дифференціалъ, въ впдѣ
созр х соз’’ 1х
зіп (2 пх) (? зіпа;(со82 х— соз2 Д) (соз2 х—соз2 2/?)............(соз2 х — соз2 [(«—1)^3])
помножая числителя и знаменателя второй части на зіп х, представляемъ это, выра-
женіе въ впдѣ
— соз1' 1
соз1’я; __
1(2 пх) 6-(соз2я—1)(соз2ж—соз2/?)(соз3ж— соз2 аР) • ••(соз2ж—соз2[(и—4)/?])
Имѣя это въ виду, мы будемъ разлагать яа элементарныя дробп не данную, но дробь
соз’’ х
ЗІИ (2 П х) ЗІП X
и допустимъ, что
С08РЖ ЗІП (2 пх) ЗІП X
соз х + соз к ,3
1й=П-1
. у
соз х — соз Л/3 к—о
Замѣтимъ, что, еслп корни уравненія соз я;—со$кв=о суть х = кв, гдѣ 0 = — ' йп то корни уравненія со8ягн-созйр = о суть х = л — 1ф.
Слѣдовательно
С08ГЖ
(I [зіп (2 ПХ) ЗІП X «Г(соз х)
/соз’’ ж
$ [зіп (2 «ж) зіп ж іЦеозж)
.т=/.-р
ЙО
Й [зіп (2 пх) ЗІП ж] С? [зіп (2 ПХ) 8ІП ж] (ІХ _ 2П СОЗ (2 ПХ) ЗІП X+ЗІП (2 ПХ) 00847
й(созж) (Іх <?(созж) —зіп х
слѣдовательно
— соз^ж зіпж 2 П СОЗ (2 Пх) ЗІП Ж + 8І11 (2 ПХ) СОЗ Ж
х=к~ 7;3
И)
— соз₽ х зіп ж 2 п СОЗ (2 нх) ЗІП X 4* ЗІП (2 пх) соз ж
Для опредѣленія коеффпціентовъ Со н Со', надо принять й = о и подставлять въ эти выраженія ж = тс п ж = о; но прн этихъ подстановкахъ оба коеффиціента Со
н Сц1 принимаютъ форму —, а потому прежде подстановки возьмемъ производныя
по ж отдѣльно отъ числителя и отъ знаменателя и въ эти производныя подставимъ ж = тг для Со и ж — о для Сог. Тогда легко найдемъ
(— пр+1 1
0 4» 0 4«
Для всѣхъ значеній А, отличныхъ отъ нуля, прямо по выраженіямъ (А) легко получаемъ
(7 _ у+*+іс08? С^)
, к+1 соз*1 (к@)
* 2П
слѣдовательно
созр ж (— 1 у-*-1 1
ЗІП (2 пх) зіп ж ~ 4«(созж -Ь 1 )' 4«{сОЗЖ^Т)
соз’’ (к&)
X — соз&$)
откуда
СО8Р2(?2 (--1 )РЙ (сОЗж) б?(сО8 2)
8Іп(2«2) 4» (соз X + 1 ) "+ 4«(сО8 2— 1}
Интегрируя это, находимъ
СО8Р2 (ІХ_(— 1 )Р (СО8 2 4" 1) 4“ ]§ (соз X-1)
зіп (2^23 4>г
« —1
(— 1 )* С05Р (Іс/З) [(— 1 )р ІК (СО8 X 4- с08 ЪР) + 1^ (С08 X — С08 &/?)] + С
Остается интегрировать дифференціалъ
С03Р2 ЗІП (272 4- 1)2
Такъ какъ
8І11 (221 + 1)2= Р 8ІП X (соз1 X— С082 а)(С082 2— С082 2а)....(соз2х—соз2 «а)
гдѣ а = —-— , то очевидно
2П + 1
/ С08Р X д,х ___
/ ЗІП ( 2П 4- 1) X
__ 1 /__________________________С0$Р2 (С08 2)_______________________ ____ Р I (С082 2— 1 ) (соз2 2 —С082 а) (С082 2 — СОЗ2 2а)..................(С082 2 — соз2 иа)
и этотъ интегралъ найдется также какъ предыдущій посредствомъ разложенія на элементарныя дроби, пріемомъ совершенно подобнымъ предыдущему.
26. Что касается до интеграловъ вида
то для выполненія ихъ легко составить особую формулу пониженія. Въ самомъ
дѣлѣ,
хйх________ / х(1 — СОЗ2 ж) (ІХ______________ / хйх / ж соз ж с? (зіп ж)
» п / • я4-2 ' / * я-|-2 / • т»4“2
Зіи X / 81П X Г 8)11 X / зіп X
но полагая
Й(ЗІП Ж)
- л4“2 51П X
==
X СОЗ X = и ;
и выполняя второй интегралъ по частямъ, находимъ
ЖСОЗ ЖЙ(зІП ж)_ ЖС05Ж , 1 / (С08 Ж—Ж8ІПж)ЙЖ
ЗІп’^Ж (п-Ь 1 ) 8Іп"+1Ж / 5Іп"+1Ж
__ ЖС05Ж 1 1 / Х(ІХ (п +1) зіп""1”1 ж п(п^-1) зіп" ж / зіп" ж
Внося это въ начальное равенство, имѣемъ /жйж _ / ЖЙЖ пхСОЗЖ—}—8ІПЖ 1 / х&х
/ зіп" ж /зіп^^ж п (и + 'І) зіл"+1ж л-І-1 / зіп" ж
откуда
/Х^Х _______ п X СОЗ Ж Ч- ЗІП Ж п I Х(1х
зіп"”1”2 ж п (п + 1) 8Іп"+1 Ж п Н- 1 і зіп" ж
Такъ какъ это справедливо для всякато п, то поставивъ здѣсь п—г вмѣсто получимъ
(п — а) ж соз ж + зіп ж (и—гДп—1)зіп"-1 ж
Примѣняя послѣдовательно эту формулу, мы придемъ къ двумъ существенно различнымъ результатамъ, смотря по тому, есть-ли п чисто четное или нечетное. Если п число нечетное, то послѣдній интегралъ будетъ
который въ конечномъ видѣ по х не выражается. При п четномъ предпослѣдній пнтегралъ будетъ
который можетъ быть взятъ по частямъ. Въ самомъ дѣлѣ, еслп въ общей формулѣ
примемъ
ѵ = ж;
д.х ЙІП^ X
то
сіѵ~<1х\ и — — со(§ х
слѣдовательно
со(§ х да
или
Подобно предыдущему, найдемъ
5Ж<?Ж ___ ЯЖЗІНЖ—СОЗЖ п / хИх
соз"’1'2 Я п^п-т-'і ) СО8,,+І X « + 'I / СОЗ*'Ж
откуда
X СІХ ___ (я —2) X ЗІП X — СОЗ X
соз"ж (?г — а) (я “М) соз*1-1 х
Послѣдовательнымъ примѣненіемъ этой формулы при п четномъ придемъ къ интегралу
= х х + 1о§ соз х
Прп п нечетномъ послѣдній интегралъ имѣетъ впдъ
п въ конечномъ видѣ по х не представляется.
27. Интегралы
/ сое (пх)сіх / соз (пх)сіх / зіп (??ж) ^х, / зіп (пх) сіх
] СОЗ7’ X I ЗІП7’ X 1 / СОЗ7' X I зіп7’#
могутъ быть взяты на основаніи особыхъ формулъ пониженія.
Въ самомъ дѣлѣ, мы знаемъ, что вообще сумма п разность синусовъ и косинусовъ представляется чрезъ произведеніе этихъ тригонометрическихъ линій, поэтому
соз (пх) = 2 соз[(п — 1) ж] СОЗ X — соз[(« — 2) ЖІ
СОЗ («ж) = —2 ЗІП [(« — 1 ) ЖІ ЗІП X 4" соз [(« — 2) ж]
зіп (пх) = 2 зіп [(« — 1) ж] соз х — зіп [(« — 2) ж]
ЗІП (пх) = 2 СОЗ [(« — 1) ж] ЗІП X 4" 8ІП [(« — 2.) ж]
Посредствомъ этого разсматриваемые интегралы могутъ быть представлены въ видѣ
соз (пх) сіх__ / соз [(« — 1) х] &х
Р ^9 9^1
СОЗ X / СОЗ X
СОЗ [(» — 2) ж] СІХ СОЗ7' X
зіп (пх) сіх
СОЗ7’ X
соз
СОЗ X
Послѣдовательнымъ примѣненіемъ этихъ формулъ
данные интегралы упрощаются.
и приводятся къ интеграламъ вида
которые мы брать умѣемъ. Пояснимъ это на частныхъ примѣрахъ.
Возьмемъ пнтегралъ
і
соз(з®) соз4 х
Ах
Примѣняя къ этому интегрированію первую пзъ предыдущихъ формулъ,пониженія, мы примемъ въ ней « = з и р = 4; тогда
со 8 х
с?# — 2 / -----------
/ соз3
Ах соз3#
Для выполненія перваго пзъ пониженія, принимая въ ней
этпхъ интеграловъ, мы пользуемся тою же формулою п — 2 и р = з, тогда
слѣдовательно
соз(3®) Ах соз4 х
Ах
соз®
Ах соз3 х
Для выполненія послѣдняго пзъ этихъ интеграловъ, мы пользуемся формулою (14) стр. 433 п находимъ
слѣдовательно
соз (3®) Ах соз4 х
СОЗ2 X
зіп х
Представимъ послѣдній интегралъ въ впдѣ
или
= іо§ іапё
Итакъ
008 X
2 С082О!
вниманіе
Считаемъ не лишнимъ обратить ваніе дифференціаловъ вида соз х іх ____________________________ I п>
на
одинъ частный случаи,—на интегриро-
зіп хіх
п _________
Пусть
і 008 X Іх
?/ = / ----------------
»' П _______
'У у/008 (пх)
8ІП X ІХ м ________
Помножая второй изъ этихъ интеграловъ его съ первымъ, а потомъ пзъ перваго вычтемъ. Тогда
на
мнимаго множителя г, сначала сложимъ
008 07 -Н г зіп X , —— ----------- ах
п
у/ 008 (пх)
С08 X — І ЗІП X , --п----------- ]/008 (пх)
Первый изъ этихъ интеграловъ, возвышая числителя въ и'ую степень и извлекая корень п-°й степени, представляемъ въ видѣ
у — І2 =
=/^+і№)йх
полагая здѣсь 1г іап§ (ия:) = 2«", находимъ і$с2(пх)іх = яи” іи, откуда
.. ни іи
іх = . . —- — г 8пг (пх)
2«п 1 іи
г хи' — 1 \ 2'
2ип іи
і [4и" — 4и2”
г
Внося это въ разсматриваемый интегралъ, имѣемъ
п __
\/ 2 и" іи
м ___
2
іи
Л д
и — 1
Точно также полагая 1—Папб(ш;)= 2»п, получаемъ
Выполнивъ указанныя здѣсь интегрированія, мы поставимъ вмѣсто и н ѵ ихъ величины; затѣмъ изъ полученныхъ двухъ уравненіи найдемъ интегралы у н г.
28. Для нахожденія пнтеграловъ
/соз (рж) сіх /зіп (рх) Ах /соз (рж) Ах /зіп(рж) Ах соз (;;ж) ’ I соз(пж) ’ / зіп (»ж) ’ / 8І1і(Яж) ’
мы примемъ одно п тоже перемѣнное
|.Г С — Н
Введя это перемѣнное, мы приводимъ подъпнтегральвыя функціи къ алгебраическимъ, раціональнымъ формамъ. Въ самомъ дѣлѣ,
л|>»' л-‘>г № _Ь I 4 1 „,2р
СОЗ Г ‘Ох'і = — = : Ѵ 2 ріхР _ р-^ р2іРх _ ЗІИ (ѵХ) = ; — . — точно также 1 1 2н 1 + и СОЗ (ШО — 51И (»ж) — 2і(" п кромѣ того , . Аи ах= — г — и слѣдовательно /Э р /соз (рж) . / ’І + «2,? / соз («ж) ~ /'14- ип і зіп (рх) (ІХ 1 1 — «2|' / со8(??ж) / і соз (рж) йж / 1 + іГГ / зіп (пх) Г -| н2п Г>іп (рж) йж . / І — ир / зіи(«ж) — г! .^—иа 2 ир 1 _ ир— 4 2п । а — 1 2 і и” - Аи И— р— 1 7 - и аи - и1-11-1 Аи ип~р 1 Аи.
ѴШ.
Теорія опредѣленныхъ интеграловъ.
29, Приступимъ теперь къ рѣшенію труднаго и имѣющаго большое значеніе въ прикладныхъ наукахъ вопроса объ изысканіи велпчпны интеграловъ взятыхъ между извѣстными предѣлами перемѣннаго, или, какъ говорятъ, къ изысканію величинъ опредѣленныхъ интеграловъ.
Всякііі опредѣленный интегралъ можетъ быть разсматрпваемъ какъ частное значеніе соотвѣтствующаго неопредѣленнаго пнтеграла. Такпмъ образомъ
/ (я) Их
а
можно разсматривать какъ частное значеніе пнтеграла
Величина разсматриваемаго опредѣленнаго интеграла получится пзъ послѣдняго выраженія подъ тѣмъ условіемъ, что постоянной С будетъ дано нѣкоторое частное значеніе Сг. Такъ что
х
і?(х)&с = у(х)+(1)
а
Мы знаемъ, что
а
представляетъ собою площадь, ограниченную кривою у — осью# и двумя ординатами этой кривой, пзъ которыхъ одна соотвѣтствуетъ абсцисѣ равной низшему предѣлу интеграла. Слѣдовательно если во второй части выраженія (1) сдѣлаемъ х = а, то найдемъ величину такой площади, которая равна нулю. Итакъ изъ выра-женія (1) имѣемъ
о = ? С«) -г Сі
Вычитая это изъ выраяіенія (1), получимъ
/ (#) (іх = ф (#) — о (а)
Итакъ для того чтобы получить величину опредѣленнаго интеграла, слѣдуетъ въ неопредѣленный интегралъ подставить послѣдовательно значенія перемѣннаго соотвѣтствующія высшему п низшему предѣлу интеграла и изъ результата первой подстановки вычесть результатъ второй.
По этому правилу если
/У (ж) йж = ф (ж) 4- С
то
Ъ
/ (ж) йж = о (&) — ф («)
а
Изъ приведеннаго правила непосредственно слѣдуетч», что перестановка предѣловъ интеграла влечетъ за собою измѣненіе знака опредѣленнаго интеграла
Предѣломъ интеграла можетъ быть и безконечность, п прп этомъ интегралъ въ извѣстныхъ случаяхъ можетъ представлять собою конечную величину. Нельзя дать общаго признака, по которому можно было бы судить остается лп извѣстный интегралъ конечнымъ и опредѣленнымъ въ то время, когда одинъ пзъ предѣловъ стремится къ безконечности; но тѣмъ не менѣе п касательно этого можно сдѣлать нѣкоторыя указанія.
Предположимъ, что нѣкоторая функція /"(ж) для всѣхъ значеній х заключающихся между предѣлами ж0 п4-со остается конечною. Еслп при этомъ для всѣхъ величинъ ж, большихъ извѣстнаго количества а, абсолютная величина произведенія х'/(х) при п > I постоянно остается менѣе нѣкотораго даннаго числа X, то интегралъ
X
І[(х) СІХ
будетъ стремиться къ конечной величинѣ въ то время, какъ X будетъ возрастать до безконечности. Напротивъ еслп для величинъ ж большихъ а функція /’(ж) сохраняетъ свой знакъ и произведеніе ж” /(ж) прп п = 1 или п < 1 постоянно остается болѣе X, то тотъ же интегралъ обращается въ безконечность когда, X обращается въ безконечность.
Чтобы доказать это предложеніе замѣтимъ, что
Ха X
СГ(ж) ЙЖ= С^(ж)Йж+
#0 (^0 (X
первый изъ этихъ интеграловъ, въ томъ предположеніи, что ((х) остается непрерывною и конечною между я0 и а, есть опредѣленная конечная величина; поэтому разсмотримъ только второй интегралъ.
Если для величинъ х, заключающихся между предѣлами а и 4-со, произведеніе х1 /'(х') при п > 1 менѣе конечной величины X, т. е. если
то также
х ?(х) < К
гм * V
и на основаніи теоремы, доказанной нами въ 3 имѣемъ
но
или
а это при X = со и при п > 1 обращается въ
въ конечную опредѣленную величину, но этотъ интегралъ болѣе интеграла
Ср(х)сІх
а
а потому этотъ послѣдній а Готііогі имѣетъ конечное значеніе, кавовое слѣдовательно имѣетъ и данный интегралъ.
Если абсолютная величина произведенія х" [(х) для значеній х заключающихся между а и со болѣе X, то
и слѣдовательно
но
то
при « < '1; если же п т=
сіх — X Іо
но въ томъ и другомъ- случаѣ этотъ интегралъ ирп X ~ со обращается въ безконечность, а слѣдовательно л интегралъ
/ /‘(х) сіх
•»’о
въ этомъ случаѣ обращается въ безконечность.
Доказанная теорема справедлива и въ томъ случаѣ, когда X стремится къ — со, ибо перемѣняя х на — к, имѣемъ
о
Разсмоі римъ напримѣръ
Пусть н будетъ произвольно большое положительное число и X пусть будетъ нѣкоторое данное положительное число. Абсолютная величина хп е~х стремится къ нулю, когда х стремится къ 4-со или къ — со, слѣдовательно всегда можно выбрать та-кое значеніе а;==а, при которомъ х е ' будетъ менѣе данной величины X, а по-
тому заключаемъ, что интегралъ
е х сіх
имѣемъ конечную величину. Ниже мы опредѣлимъ эту конечную величину.
Обыкновенно, находя опредѣленный интегралъ, мы предполагаемъ, что подъ-пнтегральная функція между предѣлами интеграла остается непрерывною. Но бываютъ случаи, что подъинтегральная функція между предѣлами интеграла претерпѣваетъ нарушеніе непрерывности. Въ этпхъ случаяхъ интегралъ не всегда представляетъ собою опредѣленную величину, а еслп и имѣетъ ее, то обыкновеннымъ способомъ перехода отъ неопредѣленнаго интеграла къ опредѣленному, величина этого послѣдняго не всегда можетъ быть
Такъ напр. если приложимъ
между предѣлами
найдена.
обыкновенный способъ къ интегрированію диффе-ж = — 1 п я: = 4-1, то найдемъ
ренціала х 2 сіх
Ах
—= — 2
такпмъ образомъ
тѣмъ какъ всѣ
для этого интеграла мы получаемъ отрицательную величину, между сіх
элементы, которые суммуются въ интегралѣ, т. е. —=- остаются
постоянно положительными, поэтому очевидно, что число — 2 въ данномъ случаѣ не представляетъ собою величины разсматриваемаго опредѣленнаго интеграла.
Чтобы представить себѣ происхожденіе отрицательнаго п даже мнимаго значенія интеграловъ съ положительными элементами, замѣнимъ первоначальное перемѣнное другимъ мнимымъ перемѣннымъ, но выбраннымъ такъ, чтобы на предѣлахъ интеграла это перемѣнное обращалось въ дѣйствительное. Посредствомъ этого искуственнаго пріема мы дадимъ пнтегралу значеніе суммы конечныхъ мнимыхъ элементовъ.
Равмотрпмъ напр. интегралъ нѣсколько болѣе общій чѣмъ предыдущій, именно интегралъ
(Іх
2»
гдѣ подъ п разумѣемъ цѣлое п положительное число. Введемъ въ этотъ интегралъ новое перемѣнное ф подъ условіемъ
гдѣ і есть мнимый множитель. Такъ какъ
’-ф і • •
х = е т = соз ф 4- 15ів ф
то при ж =—1, ф = тг, а при = 1, ф=:о. Такимъ образомъ на предѣлахъ
пнтеграла перемѣнное имѣетъ дѣйствительныя значенія. Мы видимъ кромѣ того, что
, . іѵ СІХ . —Сі»->)*? 7
Зх = іс 1 йф; —-- = ге йф
х
слѣдовательно данный интегралъ по новому перемѣнному преобразовывается въ
е
йф
о
но
іъ
г
ъп — 1
С0§[(2«— 1}ф] — ЙІП[(2П— 1)ф]
слѣдовательно
е
сй; ——
о
такимъ образомъ
Ах
2п
2
2« -- 1
посредствомъ этого мы видимъ какимъ образомъ получается отрицательное значеніе интеграла, мы видимъ, что при суммованіп элемента
— ІС08[(2Й — 1)ф]йф — ЗІН [(2 — 1) ф] Йф
мнимая часть сократилась, а дѣйствительная сама по себѣ отрицательна. Для поясненія мнимыхъ значеній интеграловъ возьмемъ интегралъ
еслп возьмемъ этотъ интегралъ между предѣлами —1 и +1, то получимъ
— — 1)
пусть ж = ео8<р4-гзіп<р = е •, тогда предѣлами интеграла по <р будутъ о и к, но такъ какъ йж = іе? , то
+ 1 о
У. /*
— г. < аір — — —г
— । -
здѣсь мнимый элементъ интеграла приводитъ естественно къ мнимой суммѣ.
30. Легко видѣть, что въ томъ случаѣ, когда подъинтегральная функція между предѣлами интеграла претерпѣваетъ нарушеніе непрерывности, то одинъ и тотъ же интегралъ при различныхъ условіяхъ касательно постоянныхъ, входящихъ въ подъпнтегральную функцію, можетъ быть и конечнымъ п безконечно большимъ и представлять собою совершенно неопредѣленную величину.
Разсмотримъ интегралъ
4-а
/б'ж ж" — а
гдѣ а и а суть существенно положительныя числа, а слѣдовательно перемѣнное х измѣняясь отъ х = — а до х = 4- а, т. е. изъ отрицательной въ положительную величину, переходитъ черезъ нуль, но при х — о подъинтегральная функція 1
— обращается въ безконечность, претерпѣваетъ нарушеніе непрерывности. Чтобы х
выпустить въ суммованіп, выражаемомъ интегрированіемъ, элементъ соотвѣтствующій ж = о, мп[ разобьемъ разсматриваемый интегралъ на два, въ одномъ будемъ интегрировать функцію отъ — а до нѣкотораго безконечно малаго отрицательнаго значенія перемѣннаго, въ другомъ будемъ брать интегралъ отъ безконечно малаго значенія положительнаго до 4"Такимъ образомъ въ суммованіп выпускается элементъ соотвѣтствующій х — о. Итакъ предполагая, что & п 7) суть двѣ положительныя величины неограниченно уменьшающіяся до нуля, мы можемъ написать
Выполняя интегрированіе обыкновеннымъ способомъ п переводя по извѣстному уже правилу- отъ неопредѣленнаго къ опредѣленному интегралу, получимъ
+ «
еслп только « < 1. Такимъ образомъ +«
— а
но въ предѣлѣ е = о н 7] = о, а такъ какъ I —?? > о. то въ предѣлѣ также ( — е)1-,| = о; = поэтому
— а
Слѣдовательно прп п 1 данный интегралъ имѣетъ опредѣленное значеніе. Еслп же п > 1. то интегралы (А) представляются въ впдѣ
обращаются въ безконечность и въ этомъ случаѣ данный
безконечно большую величину.
пнтегралъ представляетъ
Прп п = 1 данный интегралъ представляется подобно предыдущему въ видѣ
— а
— а
чтобы избѣжать отрицательныхъ предѣловъ въ первомъ интегралѣ, мы измѣнимъ знакъ перемѣннаго, т. е. примемъ х —— і\ сіх =— (Н, но такъ какъ при х =— а и х =— е, і! = а и і = то понятно, что
также
слѣдовательно
или наконецъ
но второй членъ въ предѣлѣ принимаетъ видъ —, а потому и разсматриваемый интегралъ при п = 4 ееть совершенно неопредѣленная величина.
Разсматривая интегралы, подъинтегральная функція которыхъ между предѣлами интеграла претерпѣваетъ нарушеніе непрерывности, Коши ввелъ въ анализъ понятія особыхъ интеграловъ л главныхъ значеній интеграловъ.
Если въ интегралѣ
/ І(х)(1х
<т0
подъинтегральная функція для нѣкотораго частнаго значенія х = х^ заключающагося между ж0 и X претерпѣваетъ нарушеніе непрерывности, то представимъ интегралъ въ видѣ
а; г X
/(х)сіх-т-і і(х)Лх
/"(х) (ІХ = 1І01
прц т] = г мы пмѣемъ
/ (ж) сіх — Ііт
/ (х) сіх
О
этотъ предѣлъ, къ которому стремится разсматриваемый интегралъ, въ то время какъ е уменьшается до нуля, Августинъ Коши назвалъ главнымъ значеніемъ опредѣленнаго интеграла
Уэ
У (ж) СІХ
хо
Такпмъ образомъ въ выше приведенномъ примѣрѣ главное значеніе опредѣленнаго интеграла
+а
У 5 сіх
X
— а
т. е. его значеніе при е = л (плп прп 1о§— = о} будетъ Іо^—.
7} а
Если интегралъ
?(х}сіх
пмѣемъ конечную и опредѣленную величину, то понятно, что эта величина будетъ предѣломъ, къ которому стремится сумма
— |ЛЕ X
(В) г(аО<йк-Ь({х)сіх
3,4-).е
при совершенно произвольныхъ положительныхъ величинахъ X п р,, въ то время какъ, е стремптся къ нулю. Поэтому разность этой суммы и суммы
Х.~ е
/ (х) сіх Ц- / { (я;} сіх
т. е. разность
(С)
/ Г
= / [(х) СІХ т I І(л) сіх
а?,— е ®(4-Хг
должна обращаться въ нуль, ибо величина опредѣленнаго интеграла, еслп она есть конечная и опредѣленная, изыскиваемая по формѣ (В), не можетъ завпспть отъ совершенно произвольныхъ количествъ А и р., отъ которыхъ упомянутая разность непремѣнно зависитъ.
Величину интеграла, опредѣляемую по формѣ (В), въ которой X и [х отличны отъ едпнпцы А. Коши называетъ общимъ значеніемъ опредѣленнаго пнтеграла, и заключаетъ, что еслп опредѣленный интегралъ можетъ имѣть опредѣленную конечную величину, то разность его общаго и главнаго значенія должна равняться нулю.
слѣдовательно
•) Предположимъ, что
тогда
тадзке
слѣдовательно
Для интеграла
— а
въ которомъ подъинтегральная функція при ж = о претерпѣваетъ нарушеніе непрерывности .?г = о. Слѣдовательно, для этого интеграла разность (С) принимаетъ видъ
что для произвольныхъ значеній Л и и не можетъ обратиться въ нуль; а слѣдовательно интегралъ (а) не можетъ пмѣть опредѣленнаго значенія.
На основаніи этпхъ соображеній сдѣлаемъ заключеніе о величинѣ опредѣленнаго интеграла
(ІХ
Ъ С08.Т
о
При значеніи я удовлетворяющемъ уравненію
а + Ъ соз л: = о подъинтегральная функція претерпѣваетъ нарушеніе непрерывности. Слѣдовательно, если величина &=0, удовлетворяющая предыдущему уравненію такова, что осО^'й, то является сомнѣніе въ томъ, можетъ ли этотъ опредѣленный интегралъ имѣть опредѣленное значеніе. Изъ предыдущаго уравненія находимъ
созх ~
слѣдовательно Ѳ = агс соз =
но если
а а
то
. о 5111 —=
и если Ъ а, то для дѣйствительныхъ значеній » и Ъ найдемъ значеніе 0, удовлетворяющее условію о < 0 < к.
При Ъ > а какъ мы видѣли
а 4-і соз .г т/62 — а2
уЬ — а зіп — -г ]/д 4~ а соз —
]/& — а зі іі ~ — \/Ъ + а со§
принимая, что
а а
— — — соз о
ь
представимъ это въ видѣ
. х Ѳ х . О
Зіп — СОЗ---------СОЗ — 8111 —
2 2 2 2)
. х 0 х . О
зіп — соз —г соз — зіп — 2 2 2 2
ПЛИ
(ІХ ______ 1
а Ъ соз х і/'ё2^— а2
. (х 4- 0\
ЯШ I ---- !
Такъ какъ подъинтегральная функція между предѣлами интеграла при х = 6 претерпѣваетъ нарушеніе непрерывности, то напишемъ этотъ интегралъ въ видѣ
9-?.е
пли
или
переходя къ предѣлу, т. е. полагая з = о, мы получпмъ подъ знакомъ логариѳма . о
•выраженіе -, но легко видѣть, что истинное значеніе отношенія
прн г = о есть у- слѣдовательно общее значеніе разсматриваемаго интеграла есть Л
что для произвольныхъ значеній р. п X представляется совершенно неопредѣленною величиною.
Изъ этого общаго значенія мы получпмъ главное значеніе пнтеграла, если примемъ Х=р.=1, тогда главное значеніе разсматриваемаго пнтеграла очевидно равно нулю.
Основываясь на понятіи о главномъ значеніи пнтеграла, мы можемъ также трактовать интегралы съ безконечными предѣлами. Такъ, если чрезъ Хны. означимъ какъ прежде произвольныя числа, отличныя отъ нуля, а чрезъ е величину въ предѣлѣ, обращающуюся въ нуль, то общее значеніе пнтеграла
+ -
+ со [лг е
будетъ Ііту /'(я) его главное значеніе есть Р = 1іш еслп
—со _і г
Хб е
разность общаго значенія съ главнымъ прп е = о содержитъ произвольныя чпела X п и., то разсматриваемый интегралъ не имѣетъ опредѣленнаго значенія.
Разсмотримъ пнтегралъ
I х ах / А , 2л / 1 х
—со
опредѣлимъ его главное значеніе. Замѣнимъ безконечные предѣлы величинами — п Ц.Е
г— гдѣ X п и. суть произвольныя существенно положительнаго числа, а е въ пре-дѣлѣ обращается въ нуль. Такимъ образомъ еслп с достигаетъ предѣла, то чпело обращается въ °°» а число
Итакъ
въ
— СО
Уравненіе 1 -р — о не имѣетъ дѣйствительныхъ корней, оніі всѣ суть мнимые сопряженные и неравные, ибо мы знаемъ, что двучленное уравненіе равныхъ кор-
ней не имѣетъ. Итанъ корни уравненія
2п
будутъ вида
—1 п а—р|/—1
слѣдовательно дробь -------- разложится на сумму дробей вида
Итакъ
. А — 3]/— 1 х — а — $]/ — 1
гдѣ знакъ суммы распространяется на всѣ корни уравненія 1 я2" = о. Предыду-
щее выраженіе можетъ быть представлено въ видѣ
(П
коеффпціенты А и Б должны быть найдены по извѣстному способ) опредѣленія числителей элементарныхъ дробей.
Выполнимъ указанное интегрированіе
взявъ этотъ интегралъ между указанными предѣлами, подучимъ
I
или
і
Хе
переходя къ предѣлу, имѣемъ
!
а слѣдовательно
I
Хе
ибо знакъ суммы распространяется на всѣ корни знаменателя, каждому корніо сосоотвѣтствуетъ свой числитель элементарной дробп, а Л и и. одни п тѣже для всѣхъ элементарныхъ дробей.
Обратимся теперь ко второй части плп ко второму члену интеграла (1). Для этого имѣемъ
2.В агс
слѣдовательно
или
при г = о п тотъ л другой тангенсъ обращается въ безконечность, а дуги этпхъ 7й
тангенсовъ суть -, сумма ихъ есть итакъ
и потому, подобно предыдущему
।
1|"7 2 +й>
= 2-іг 22?
і
Теперь, принимая во вниманіе это и выраженіе (2), находпмъ, что интегралъ (1)' есть
— са
слѣдовательно этотъ интегралъ будетъ имѣть опредѣленную величину только тогда, когда будетъ независимъ отъ произвольнаго числа 1§ —, т. е.. когда первый членъ обратится въ нуль, а это при совершенно произвольныхъ А и [Л будетъ тогда, когда 2Д = о; посмотримъ, можетъ лп это имѣть мѣсто въ нашемъ случаѣ. Для этого надо знать значенія величинъ 2 А и 23, т. е. надо опредѣлить числителей элементарныхъ дробей.
Какъ извѣстно, корни уравненія 1 +ж2п=о суть
посредствомъ этого мы получпмъ всѣ корни, давая к всѣ цѣлыя значенія отъ нуля до п — 1.
Мы предполагали выше, что корни уравненія 1 + хіп = о суть х = а +
х = а — слѣдовательно теперь
== ЗІП
Но мы знаемъ, что еслп для раціональной дробп уравненіе /(х)— о имѣетъ корень а + @ ]/ — ‘I і то чпслптель элементарной дроби, соотвѣтствующій этому корню, опредѣлится по выраженію
А— В\/—1
В (а 4- । ]/ — 1)
Г (а 4- 0 Ѵ^)
Въ нашемъ случаѣ В(ж) = ж2"'• ((ж) — 1 + г”. Слѣдовательно (ж) = 2« ж2”"1 птакъ
плп
плп
пусть для краткости
тогда
—(а—1) (2Й4-1)
но
соз [(а — 1) (гй 4- 1)іг] = соз [а (2& 4-1) — (г7с 4-1) іг] = — соз[а(2& 4~ 1) і?1
зіп [(а — 1) (гй 4- 1) іг] — — зіп [а (г& 4- 1) іг]
слѣдовательно
(А)
А~Ву/-~ 1 —
2Я
[соз [а (2& 4- 1) і?] 4~ > зіп [й (2^ 4-1 )і*
поэтому
— соз [аГгй 4’ 1 ]і?ь В =-------зіп ГаГгй 4- Лі?
2П 1 -1 2П и 4 7
Теперь слѣдуетъ суммовать этп выраженія отъ 7с — о до Іс^п— 1. По выраженію (А) составляемъ
2я [2 А — і/=7Г 2 Б]_
_________________________________ (2.ІС + 1) V — 1 =— 2со8[(2?с 1) атс] — ]/— 1 28Іп[(2Й-|-1)аіѵ] = — Хе
гдѣ суммованіе распространяется на всѣ значенія Іс отъ Іс = о до Іс = п — 1. Такпмъ образомъ
пусть для краткости атс]/—1 = у, тогда
(2.п—і)а- у' — і е
май
/ —у «я I/ — і — а- V — і
е — с “ с — е =2]/ — 1 зіп а~
•слѣдовательно
но
2П7
]/--1 — (2Ш 4- 1) 7Г|/— 1
2«у = 2патс |/ — 1 = 2П
•слѣдовательно
гну (гт-Ь і) к V — і ____
е = е = соз (2т 4- 1) “ 4~)/—1 зіп (гт 4~ “1) я = — 1
поэтому
—1 зіл атс зіп агс
•откуда заключаемъ, что
ХЛ = о. 2п%.В = —---------
зіп атг.
Итакъ разсматриваемый интегралъ не завпсптъ отъ произвольныхъ величинъ X п р.
и имѣетъ слѣдующее, совершенно опредѣленное, значеніе
+ со
Такъ какъ подъинтегральная функція есть функція четная, то пзъ этого имѣемъ
со
о
откуда
2Ж Н-1 пусть--------— а, тогда
Этимъ примѣчательнымъ выраженіемъ мы будемъ пользоваться ниже.
31. Не останавливаясь болѣе на этомъ вопросѣ, покажемъ самый общій п наиболѣе простой выводъ теоремы Тейлора, вытекающій пзъ понятія объ опредѣленномъ интегралѣ въ томъ предположеніи, что подъинтегральная функція остается непрерывною между предѣлами интеграла.
Если
йх
то
слѣдовательно
/ Г (ж) сіх = Нх) 4- С
р (ж) сіх = /• (X 4- Л) - /(X)
пусть
х = X -|- Іъ — г
Такъ какъ X п X + Іъ суть данныя постоянныя значенія перемѣннаго, между которыми производится интегрированіе, то
Ах = — Аг
Кромѣ того, пзъ соотношенія х — Х-\-1ъ— г видно, что при х = X пмѣемъ 8=1ъ и при х = X + Іъ необходимо г = о, слѣдовательно если замѣнимъ перемѣнное х чрезъ г, то предѣлами интегрированія по 8 будутъ о и Іъ. Такимъ образомъ
Х+Л о
(ж) Ах =
X Іъ
плп
слѣдовательно
к
о
Выполнимъ этотъ интегралъ по частямъ, нри этомъ въ общемъ выраженіи
примемъ
Аѵ = Ая • и = /' (X + 1і — г) тогда
ѵ = 8\ Аи = — (X -у- Іъ — 8} А8 Слѣдовательно
поэтому
о
о
итакъ
к
/{X 4- к) - ?(Х) = к Р(X) +/г.Л'(X + к-г) &
о
Подобнымъ лсе образомъ, чрезъ интегрированіе по частямъ, находпмъ
« Р ( X 4- к — г) Ля
откуда
слѣдовательно
ЛХч-7»)-Г(Х) = л.ГОТ
Вообще
ах+к)~гт= к
(Х-\-к—
о
Очевидно, что эта строка представляетъ строку Тейлора; остается опредѣлить форму остаточнаго члена, который здѣсь представляется опредѣленнымъ интеграломъ. Пусть этотъ остаточный членъ
(а)
к
о
Если V есть среднее значеніе функціи (X 4- к —- я), т. е. значеніе функціи, взятое нрп нѣкоторомъ среднемъ значеніи перемѣннаго между предѣлами интеграла, то на основаніи теоремы, доказанной въ п[) 3, стр. 335
к
Значенія перемѣннаго г, соотвѣтствующія предѣламъ интеграла, суть о п Л, слѣдовательно среднее значеніе перемѣннаго есть X -4- ОЛ. Итакъ
V = /п (Л + 071)
поэтому
о
плп
7 п
К = -—— Г(х + ѳл).
Форма совершенно согласная съ одною пзъ найденныхъ выше.
Чтобы получить остаточный членъ въ другой формѣ, возьмемъ подъпнтеграль-ную функцію
(П—I)
прн среднемъ значеніи перемѣннаго, т. е. прп я = Ѳ7і п вынесемъ ее всю за знакъ интеграла, тогда остаточный членъ представится въ видѣ
к
о
пусть 1—0 = 0!, гдѣ о < 0! < 1. Тогда
Это, какъ мы знаемъ, есть другая форма остаточнаго члена строки Тейлора.
32. Приступимъ теперь къ изложенію способовъ, посредствомъ которыхъ могутъ быть находимы опредѣленные интегралы.
Бываютъ случаи, въ которыхъ, не выполняя интегрированія, мы можемъ по свойствамъ подъинтегральной функціи указать значеніе опредѣленнаго интеграла. Такъ напримѣръ, еслп разсматриваемъ такую функцію /‘(ж), которая пмѣетъ свойство, выражающееся уравненіемъ
/ (а + г) - — [(а — з)
слѣдовательно есть функція нечетная, мѣняющая знакъ вмѣстѣ съ пзмѣневіемъ
знака перемѣннаго, то
а+&
а—Ъ
Доказать это предложеніе не трудно.
Введемъ вмѣсто х новое перемѣнное подъ условіемъ х = а -}- прп х = а,— 6, г — — Ъ\ прп ® = в-]-&) г= + &, слѣдовательно предѣлами интеграла'по перемѣнному з будутъ — Ъ п 4-5, поэтому
а+Ъ Ч-Ь
С’(ж) д,х = I *(а 4- г) Не л—й —Ь
ибо Нх =
Но понятно, что
+ Ь о +Ъ
(а 4- "г
—Ь —Ь о
ПЛП
(1)
Но еслп пмѣемъ интегралъ
а
/(ж) (ІХ
о
и положимъ х = — уу то предѣлами по перемѣнному у будутъ о п —а, кромѣ того (Іх = — Ну. Итакъ
а
Поэтому, еслп въ первомъ членѣ второй части въ выраженіи (1) замѣнимъ г чрезъ — я, то можемъ написать
но такъ какъ по свойству подъинтегральной функціи /(а -}-«;)= — — я), то
въ разсматриваемомъ случаѣ
На основаніи этой теоремы
—а
пбо функціи
удовлетворяютъ вышеупомянутымъ условіямъ: обѣ онѣ прп ж — о обращаются въ нуль, обѣ суть функціи нечетныя.
Еслп /'(ж) есть четная функція ж, т, е. не мѣняетъ знака съ измѣненіемъ знака перемѣннаго п еслп интегрируемъ такую функцію между предѣлами равными по числовой величинѣ, но съ протпвуположными знаками, то
+ а а
(ж) СІХ = 2 /^(ж) СІХ
— а о
Въ самомъ дѣлѣ о +<г
^0) йж = Лх 4- //(ж) —а —а о
илп полагая х = — х'
илп наконецъ
поэтому
+а а
—а о
Легко видѣть, что преобразованіе опредѣленнаго интеграла, подобное указанному, возможно п въ томъ случаѣ, когда предѣлы интеграла не равны между собою по числовой величинѣ, лнгпь бы подъинтегральная функція была четная. Въ этомъ случаѣ предѣлы преобразованнаго интеграла должны быть выбраны извѣстнымъ образомъ.
Въ самомъ дѣлѣ разсмотримъ интегралъ
Цх) (ІХ
а
въ которомъ /То;) имѣетъ вышеупомянутое свойство. Этотъ интегралъ можно пред-
ставить въ видѣ
Пусть для краткости —у-— = с, примемъ кромѣ того х — с— г для перваго интеграла и ж = с + я для втораго, тогда, вводя предѣлы, соотвѣтствующіе этимъ значеніямъ я, найдемъ
Ь о Ь—с
[[[х} сіх = —(с — г'} + я) йя
а с—а о
но легко видѣть, что с — а — Ъ — с, поэтому
Ъ о Ь—с
[/(х} ~ “Ь\й +
а Ь—с о
но по условію относительно довательно
подъпнтетральной функціи /(с — я) = /(с + я), слѣ-
а
о
принимая здѣсь с4-я=ж, находпмъ
точно также нашли бы
а
а
Въ извѣстныхъ случаяхъ мы можемъ, не выполняя интегрированія, указать тѣ предѣлы, между которымп заключается величина даннаго опредѣленнаго интеграла. Это не рѣдко бываетъ особенно полезно въ тѣхъ случаяхъ, когда мы не можемъ найтп неопредѣленнаго интеграла.
Предположимъ, что мы умѣемъ интегрировать дифференціалы
Ф (ж) сіх и ]? (ж)
притомъ допустимъ, что для всѣхъ частныхъ значеній я, заключающихся между и X, числовая величина функціи /{х} заключается между числовыми величинами функцій Ф(х) и ^(х), такъ что прп измѣненіи х отъ а?0 до X всегда сохраняется неравенство
Ф (гс) < /(х) < Р (ж)
тогда, на основаніи теоремы, доказанной въ п° 3 стр. 334, пмѣемъ
[ /X3') — $ (я)] Йіг >- о ; / [ [(х) — 1? (х) ] сіх \ о
д о
откуда
Такъ какъ по предположенію мы умѣемъ интегрировать дифференціалы Ф[х)(1х и Р(х')сІх, то можемъ указать предѣлы, между которымп заключается величина
интеграла
Мы не можемъ выполнять въ конечномъ видѣ эллиптическихъ интеграловъ,
но на
477
основаніи сейчасъ упомянутаго неравенства можемъ указать предѣлы, въ которыхъ заключаются интегралы
к
о
4
к'2 зіп2 <р йо
о
Въ самомъ дѣлѣ, если н о < <р < —, то прп 7с—о мы имѣемъ |/1—А2 зіп2 <р = 1
и при 7с = 1 находимъ |/'І— /с2 зіл2 <р = соз о. Слѣдовательно для всѣхъ значеній © 7С отъ о до — пмѣемъ 2
1 > 1/Г| — 7с2 зіл2 © > соз о V і і
(В)
по этому неравенству мы можемъ писать для веѣхъ значеній © между о и —
ЗІЛ2 © с®8 9
Въ нашемъ случаѣ Ф (ж) — I
— : Р (ж) =-------. Слѣдова-
I ф соз©
тельно
Мы знаемъ, что
а потому заключаемъ, что
точно также по неравенствамъ
(В) заключаемъ, что
о
о
пли
ф і> / |/1 — зіп1 р Ну > 81И ф
о
33. Послѣ этпхъ предварительныхъ замѣчаніи перейдемъ къ изложенію способовъ нахожденія опредѣленныхъ интеграловъ. Такихъ способовъ главнымъ образомъ можно указать четыре: 1., интегрированіе чрезъ разложеніе въ ряды, 2., интегрированіе посредствомъ дифференцированія подъ знакомъ пнтеграла по параметру, 3., интегрированіе подъ знакомъ интеграла, 4., механическое интегрированіе, пли способъ механическихъ квадратуръ, заключающійся въ вычисленіи опредѣленнаго интеграла по нѣкоторымъ частнымъ значеніямъ подъпнтегральной функціи; къ этому еще надо прибавить нѣкоторые частные пріемы изысканія опредѣленныхъ интеграловъ, предложенные Фрулани, Копіи, Фурье, Якоби и другими. Но изъ всѣхъ этихъ способовъ наиболѣе существенны только два: способъ интегрированія посредствомъ рядовъ п способъ механическихъ квадратуръ.
Вопросы объ изысканіи опредѣленныхъ интеграловъ и изслѣдованіи сходимости рядовъ находятся въ весьма тѣсной зависимости одинъ отъ другаго.
Эта зависимость наиболѣе ясна въ теоремѣ А. Коиш о сходимости безконечныхъ рядовъ.
Въ виду этого мы прежде всего остановимся на описаніи тѣхъ признаковъ, по которымъ можно судить о сходимости даннаго ряда, или другими словами, о его пригодности къ рѣшенію вопросовъ анализа. Различными учеными указаны многіе признаки, по которымъ можно судить о сходимости рядовъ, но между ними заслуживаютъ исключительнаго вниманія теорема предложенная Авгуетиномъ Коши и признакъ указанный профессоромъ Ермаковымъ. Этотъ послѣдній признакъ долженъ считаться за наиболѣе чувствительный пзъ всѣхъ доселѣ извѣстныхъ.
Мы говорили, что безконечнымъ рядомъ называется сумма членовъ, составляемыхъ по опредѣленному закону, по которому впдъ каждаго члена опредѣляется по мѣсту, занимаемому имъ въ ряду и слѣдовательно величина каждаго члена есть функція указателя. На основаніи этого въ ряду
4- и2 иэ ......................-}- 4~
членъ
= Я»
и самъ рядъ можетъ быть написанъ въ видѣ
/(’) + ГЫ + Г(з) +................+ Ж) +
Для опредѣленія сходимости рядовъ А Коши доказалъ слѣдующую теорему, если помножимъ общій членъ ряда на дифференціалъ перемѣннаго и возьмемъ
интегралъ въ предѣлахъ отъ нѣкоторой постоянной величины до безконесности, тогда еслп разсматриваемый рядъ есть сходящійся, то упомянутый опредѣленный интегралъ долженъ пмѣть конечную и опредѣленную величину.
Такимъ образомъ, если возьмемъ рядъ
# = /(а) Ц- [(а + 1) + ?(а + г).........
’съ общимъ членомъ /‘(я) и интегралъ
со
г (я)
а
то по теоремѣ Коши рядъ и интегралъ будутъ въ одно время сходиться и расходиться.
Изъ самыхъ общихъ представленій о сходящемся рядѣ слѣдуетъ, что /(х) постепенно уменьшается съ возрастаніемъ х. Слѣдовательно если , то
/'(ж) > /(х) > /(иг Ч- 1)
на основаніи извѣстной теоремы, доказанной въ >п-н »»+1 ?»4-і /э /• / /'(т) Ах > / / /(т - 7» ш илп ш 4- г т 4-1 іх >іх > {(т + т т ПЛИ т + < [ (т) > іх > / (т ч~ 1} т Въ примѣненіи къ ряду 5 = /'(«) + /'(«+ 1) + /’(а+ 2) примемъ въ послѣднемъ неравенствѣ послѣдовательно іп = 1) йх »»+1 \іх т = а, а Ц- 1, а -Ч 2 п т. д.
тогда по этому неравенству напишемъ рядъ такихъ неравенствъ
/(а) > / /*(«) йх > [{а 4-
а
а+ г
а+з
У.
/[х}Пх^> /(«+ з)
Л- + з
н т. д. до безконечности.
Еслп возьмемъ сумму этпхъ неравенствъ, то найдемъ
а+і а + г ®+з
/• (* Р
/(ж) Пх 4- / А (я) Пх / ?{х) Пх 4-.....>• 8 — /(»)
а а+і а+г
гдѣ подъ 8 какъ прежде разумѣемъ сумму всѣхъ членовъ разсматриваемаго ряда. Если суммованіе распространяется на всѣ члены ряда до безконечности, то предыдущее неравенство должно написать въ впдѣ
/’(«) Пх > 8 — /(а)
а
здѣсь мы пмѣемъ два неравенства
и
слѣдователь™ ложемъ написать
Еелп входящій въ этп неравенства опредѣленный пнтегралъ представляетъ собою конечную опредѣленную величину, то первая п третья часть этого неравенства суть конечныя опредѣленныя велпчпны, а потому п сумма разсматриваемаго ряда, заключающаяся между двумя конечными величинами, сама есть конечная п опредѣленная, другими словами, данный рядъ есть сходящійся. Такимъ образомъ послѣднимъ неравенствомъ подтверждается теорема Коши.
Для поясненія этой теоремы на частномъ примѣрѣ разсмотримъ рядъ
3? = 02
X = а
чтобы судить о сходимости этого чину опредѣленнаго пнтеграла
ряда по теоремѣ Коши, мы должны найти вели-
сіх
ук
пусть І05 (1о§ я] = у; п кромѣ
а
того Іо§ж = і, тогда 1о§ і = у, откуда
ио такъ какъ
(Іх
слѣдовательно виду судить о
разсматриваемый сходимости даннаго
пнтегралъ, по своиствамъ котораго мы пмѣемъ въ ряда, принимаетъ впдъ
с?у ~Т
-1 а
ИЛИ
1-к
аі = —. то
У
к
очевидно, что это будетъ представлять конечную величину пры условіи &>І., еслп же 1с = 1 плп 1с <1, то данный рядъ будетъ расходящійся.
34. Разсмотримъ теперь тотъ признакъ сходимости рядовъ, который указанъ профессоромъ Ермаковымъ.
Возьмемъ какую либо функцію <р(ю), удовлетворяющую слѣдующимъ условіямъ: для велпчпнъ ж, ббльшпхъ нѣкоторой постоянной велпчпны, эта функція положительна, съ возрастаніемъ х постепенно увеличивается и стремится къ безконечности. Такихъ функцій можно указать безконечное множество, этими свойствами обладаютъ напр. функціи
пх, х\ Іо^ю; е* п т. д.
Условившись въ этомъ, разсмотримъ опредѣленный интегралъ
а
п измѣнимъ въ немъ перемѣнное г на х по соотношенію ё = у(х). Нижній предѣлъ а есть одно пзъ частныхъ значеній перемѣннаго я, пусть частное значеніе х, соотвѣтствующее г = а, будетъ а, тогда а = р(а), слѣдовательно, послѣ замѣны перемѣннаго предыдущій пнтегралъ приметъ впдъ
оо СО
//4/)^ = I Г[ф О)] <р' (я) СІХ
а ср (а)
оба эти опредѣленные интеграла равны между собою, а потому они оба одновременно плп сходятся къ опредѣленному значенію плп расходятся. По теоремѣ же Коши заключаемъ, что еслп предыдущіе интегралы сходятся, то и ряды
Н«) -г- /"(а т О + Г(а-г 2) +......
ф' (а) Г[ф (а)] -Г ф' (а + 1) Г[ф (а + 1Л +.
будутъ сходиться. Еслп два упомянутые интеграла расходятся, то расходятся и два послѣдніе ряда. Эти два ряда, сходящіеся и расходящіеся одновременно, называются сопряженными рядами. Функція <р(ж), обладающая выше упомянутыми свойствами, называется сопряженною функціею.
Сопряженныя функціи называются функціями перваго рода, еслп онѣ удовлетворяютъ условію ф(ж) > х\ функціями втораго рода называются функція, удовлетворяющія неравенству ф (я) < х. Какъ на сопряженныя функціи перваго рода можно указать на функціи
х + 1; 2х; х~\ еа и т. д.
функціи втораго рода суть
2
Мы знаемъ по теоремѣ Еошп,
что рядъ 8 = У /'(%) есть сходящійся, еслп
а
•опредѣленный интегралъ
со
/ («) сіх
имѣетъ конечную опредѣленную величину, слѣдовательно сходимость ряда зависитъ отъ сходимости этого интеграла
Пусть <р (ж) будетъ сопряженная функція перваго рода, тогда не трудно доказать слѣдующую теорему:
со
Опредѣленный интегралъ [[х)<Іх будетъ опредѣленною конечною велп-а чиною, еслп отношеніе
ііМУіМІ гп
ГЮ 1'
съ возрастаніемъ х до безконечности стремится къ предѣлу меньшему единицы.
Въ этомъ состоитъ признакъ сходимости рядовъ, указанный Ермаковымъ.
Въ самомъ дѣлѣ, еслп отношеніе стремится къ предѣлу меньшему единицы, то можно найти такую величину а 1, что для всѣхъ значеніи а; большихъ извѣстнаго числа а отношеніе
О)]
или
<?' («)/[? (01 < а/(я)
откуда
со со
?' (ж) я? (ж)] а
а а
Введемъ въ первый пзъ этпхъ интеграловъ новое перемѣнное у подъ условіемъ
Такъ какъ а есть одно изъ частныхъ значеній х, то означая соотвѣтствующее частное значеніе у чрезъ ш, будемъ пмѣть = <р (а). Эта величина т будетъ очевидно нпсишмъ предѣломъ преобразованнаго интеграла. Притомъ замѣтимъ, что по свойству функціи <р (я) необходимо т > а.
Итакъ предыдущее неравенство съ преобразованнымъ интеграломъ первой частп будетъ пмѣть видъ со оо
/"(у) йу <а
а но если то оо оо у г(у) г(у} (ІУ — т а слѣдовательно ОО т 1 Ку)^у— 1 а а । откуда оо оо с(у)йу — а Сг{х)с1х < а а ио по свойству опредѣленныхъ интеграловъ оо оо у Г(у) $У =(Г(я) а а поэтому СО 7? у г а а т 1 {(У)&У а со I /(х) сіх а т г* / /(у) &У а | Лх ъ {у}.^у
Вторая часть этого неравенства величина конечная н положительная, ибо т^а
и а <; 'I, а слѣдовательно и первая часть, т. с. опредѣленный интегралъ
со
а
будетъ также величина конечная и опредѣленная, а потому п рядъ
будетъ сходящійся.
Легко также доказать, что опредѣленный пнтегралъ
со.
а
не будетъ пмѣть конечной величины, плп будетъ расходящійся, еслп отношеніе (1) для величинъ х, превосходящихъ постоянную величину а, будетъ постоянно больше плп равно единицѣ.
Въ самомъ дѣлѣ, еслп О1 0) /-[о (а)] > и*) = то со оо С/ (ж) /[ф (ж)] (Іх ! г(ж) сЬ а а ;полагая въ дервой части у — о (я) п прпнпмая, что т = •функцій <р (ж) величина т > а, находпмъ СО СО Цу) &у ѵі а дли со іп со /3 /3 / Ну)йу—І Ну)йу=І Нх)<- (2) - о (а), гдѣ но свойству Іх
плп что все равно
это неравенство ^удовлетворяется никакого конечною величиною опредѣленнаго интеграла
оо
// (ж) <1х а
а слѣдовательно этотъ пнтегралъ прп условія (2") будетъ безконечно большою величиной и рядъ
СО з = V а расходящійся.
Если возьмемъ ф (ж) т. е. сопряженную функцію втораго рода, то легко доказать, что опредѣленный интегралъ
ОС //‘(ж) сіх
а будетъ величиною конечною, если отношеніе
(3)
съ возрастаніемъ х до безконечности будетъ стремиться къ 'величинѣ большей единицы.
Еслп отношеніе (3) для величинъ х превосходящихъ нѣкоторую величину а будетъ болѣе ]3, которая сама болѣе единицы, т. е. если
ф’ (ж) /'[ф(ж)
то
откуда
ф' (ж) /'[ф (ж)] > (3 /-(ж)
пусть у = ф (я), т — ф (а), тогда оо оо
У.
/(у) > 3 / І{^) сіх
пі а
такъ какъ ф(я) есть сопряженная функція второгорода, то ш < а, слѣдовательно
поэтому
откуда
такъ какъ т<а п |3>1, то вторая часть полоясптельная п конечная, слѣдовательно п опредѣленный пнтегралъ
со
а
будетъ велпчпна конечная п рядъ 8 = Ѣ/'(х) сходящійся.
Докажемъ наконецъ, что опредѣленный пнтегралъ С/(х)<1х перестаетъ быть конечною величиною плп сходящимся, еслп отношеніе (3) для величинъ х превосходящихъ а само будетъ равно нлп менѣе едпнпцы.
Въ этомъ случаѣ для значеній х большихъ а пмѣемъ
Ф* (аО /1ФIX)] 5 И®)
слѣдовательно
СО
ф' (л?) /'[ф < / /(х} СІХ
пусть у = ф (л ); ш = ф (а) ; гдѣ слѣдовательно т < а, тогда
плп
это неравенство показываетъ, что опредѣленный пнтегралъ
а
безконечно великъ п рядъ расходящійся.
Найденные прпзнакп сходпмостп п расходимости могутъ быть представлены еще въ другой формѣ.
Возьмемъ двѣ произвольныя сопряженныя функціи <р (ж) п Ф (х) перваго рода п въ выраженіе
Р'ІУ) Д ?(?/)]
Ку)
введемъ новое перемѣнное х подъ условіемъ $/— Ф(ж), тогда
О)
?' ОДДфОДІ ф<*)] Д?С<М]'
Ку) - ДФИ
понятно, что о[Ф(ж)] есть сама сопряженная функція, означпмъ ее чрезъ 0(ж), т. е. положимъ
(5) ф [Ф (я)] = 0 (ж)
взявъ отъ этого производную, найдемъ
ф1 \ Ф (ж)] Ф' (ж) = 0' (ж)
откуда
< [ * М] =
внося это вмѣстѣ съ (5) въ тождество (4), получпмъ
Ф1 (у) Д? (у)] _ Дб ОД] Ку) Ф'(х) /[Ф(ж}]
Мы знаемъ, что если съ возрастаніемъ х отношеніе
<рЧХ)Г[?О)] №
стремится къ предѣлу меньшему единицы, то рядъ 5 = X /'(х) есть сходящійся, а поэтому на основаніи предыдущаго равенства заключаемъ, что, если Ѳ(я) и Ф(а?) суть двѣ сопряженныя функціи перваго рода, т. е. 0(ж)> Ф(ж), то опредѣленный интегралъ
[\(х} йх
а
и рядъ 8 = Ѣ/(х) будутъ сходящимися, еслп отношеніе (4), или что тоже
Ф'(Х)
съ возрастаніемъ х стремится къ предѣлу меньшему единицы. Еслп же это отношеніе стремится къ предѣлу большему плп равному единицѣ, то рядъ расходящійся.
За одну пзъ наиболѣе простыхъ .и чувствительныхъ сопряженныхъ функцій перваго рода слѣдуетъ считать при изслѣдованіи сходимости рядовъ функцію <?“, соотвѣтствующая ей какъ обратная функція втораго рода есть Іо§ х, поэтому можемъ заключить, что опредѣленный интегралъ
со
СГ (х) СІХ
а
л рядъ 8 = Ъ?(х) будутъ сходиться, еслп отношеніе
/'&)
съ возрастаніемъ х до безконечности стремится къ предѣлу меньшему единицы, еслп же это отношеніе для величинъ х, превосходящихъ нѣкоторую постоянную величину, болѣе пли равно единицѣ, то рядъ п пнтегралъ расходятся.
Также опредѣленный интегралъ п рядъ /"(У) будутъ сходиться, еслп отношеніе
Ня)
съ возрастаніемъ х до безконечности стремится къ предѣлу большему единицы и наоборотъ рядъ п пнтегралъ будутъ расходящимися, еслп это отношеніе для величинъ ж, превосходящихъ нѣкоторое число, съ увеличеніемъ х будетъ стремиться бъ предѣлу равному единицѣ, плп меньшему ея.
Пояснимъ этп общія соображенія на частныхъ примѣрахъ. Возьмемъ рядъ
п носмотрпмъ будетъ лп онъ сходящійся, плп расходящійся.
Для сходпмостп прп сопряженной функціи перваго рода необходимо, чтобы
мъ! примемъ <р(а;) = ех\ въ нащемъ случаѣ Да) ~ ~ , слѣдовательно для раз-
сматриваемаго ряда
е
<р' О) Д? __ 1108 ОО
Л*)
что прп X = СО теля, находпмъ
Іод х
обращается въ ; взявъ производныя отъ чпелптеля и знамена
обращается въ безконечность. Поэтому разсматриваемый рядъ есть
что прп х = СО расходящійся.
Прп сопряженной фуякціи ф(я) втораго ряда для сходпмостп необходимо, чтобы при х ~ со
Ф' (х) Дф (ж)] /О) примемъ ф (#) = 1о§х, тогда для нашего случая
ф* О) Дф (а?)] _ 1#1о§(1ое®), _
О
жіо^ (1о§ #)
Іо^я
Взявъ производныя отъ числителя и знаменателя, находпмъ
что при #=оо обращается въ пуль, а потому заключаемъ, что разсматриваемый рядъ есть расходящійся.
Разсмотримъ еще рядъ
X = со
х ~ I
для сопряженной функціи ф (ж) = имѣемъ
<?' (ж) (ж)]
взявъ производныя отъ числителя п знаменателя, находпмъ, что эта дробь есть аж2 и прп ж=со обращается въ безконечность, а потому разсматриваемый рядъ есть расходящійся.
Для сопряженной фуякціп второго рода, т. е. для ф(ж) = І05ж пмѣемъ въ нашемъ случаѣ
4 1о^(1о§ж)
ф' (ж) /фф (ж)]__ж 1о$ ж ________Іо§ (1о^ ж)
/фж) /Іо§ж\ — (1о§ж)2
Взявъ производныя отъ числителя п знеменателя, впдпмъ, что эта дробь принимаетъ
впдъ
1 2І0§ж’
ЧТО прп Ж = со
обращается въ нуль,
а потому согласно съ преды-
дущимъ заключаемъ,' что разсматриваемый рядъ есть расходящійся.
Разсмотримъ наконецъ рядъ
Взявъ сопряженную функцію перваго рода ® (ж) = сг, составляемъ
о'(ж)/[д> (ж)] _ ж2 с"
взявъ производныя числителя и знаменателя, приводимъ эту дробь къ —, что прп ех
ж = со обращается въ яуль; слѣдовательно разсматриваемый рядъ есть сходящійся.
Для функціи второго рода ф(ж)==1о§ж, пмѣемъ
ф' (ж) /[ф (ж)] ж /(ж) (1о§ ж)2
опредѣляя пстпиное значеніе этой дробп прн ж = оо, находимъ, что она обращается въ безконечность, а потому заключаемъ, что разсматриваемый рядъ есть сходящійся.
35. Имѣя въ виду положенія, на основаніи которыхъ мы можемъ судить о схо-дпмостп рядовъ, можно пользоваться этпмп послѣдними для вычисленія величинъ опредѣленныхъ интеграловъ.
Прежде всего докажемъ, что если пмѣемъ рядъ
(1) «о + «і + «2.....
члены котораго суть функціи х непрерывныя между предѣлами ж=:ж0 п х~Ху п данный рядъ сходящійся, то в рядъ
также будетъ сходящійся для всѣхъ величинъ ж, заключающихся между ж0 и X, кромѣ того, еслп сумма ряда (1) представляется функціею /’(ж), то сумма послѣдняго ряда будетъ представляться опредѣленнымъ пнтеграломъ
X
//4Ж) <?ж
гдѣ х есть нѣкоторое значеніе ж, заключающееся между ж0 п X.
По нашему означенію
/ (ж) = к0 4* + и? +
4~ 4- і'п
гдѣ гп остаточный членъ. Пзъ этого выраженія мы получаемъ
еслп означимъ чрезъ р„ среднее значеніе между тѣми, которое принимаетъ г„ въ то время какъ ж измѣняется отъ ж0 до X, то по извѣстной теоремѣ
но еслп разсматриваемый рядъ есть сходящійся, то прн п = со остаточный членъ
гм обращается въ нуль.
Тоже справедливо п для рп. Слѣдовательно въ предѣлѣ,
т. е. прп п = со
а
Ііт / г сіх ~ о < т»
а потому X XXX
Лх д "і*......
Хд Х^ Хц
этимъ подтверждается то, что мы сказали.
Эта теорема даетъ возможность выражать интегралы рядами.
Предположимъ, что /(х) можетъ быть разложена въ сходящійся рядъ, напр. по теоремѣ Маклореня, тогда
Кх} = /(о) + X Г (о) + ~ г (О) +
еслп помножимъ это на сіх п будемъ интегрировать между предѣлами о и х, то на основаніи предыдущей теоремы получпмъ
Пусть напр. требуется найти пнтегралъ
і
о
Замѣтимъ, что подълнтегральная функція
прп высшемъ предѣлѣ инте-
грала, т. е. прп х = 1 не претерпѣваетъ нарушенія непрерывности; легко видѣть
что
прп х = 1 обращается въ — 1, а не въ безконечность.
Разлагая подълнтегральную функцію въ рядъ, находимъ
___И х _|_ Д.2 I Д.З I
• 11о5 х
такимъ образомъ выполненіе даннаго интеграла приводятся къ выполненію интеграла
х" 1о§ х сіх
о
интегрируя по частямъ, пмѣемъ
х" 1о§ хЯх
между предѣлами о п 1 первый членъ прн х = о обращается въ о.оо, но
взявъ производныя чпслптеля п знаменателя, пмѣемъ
въ нуль. Итакъ мы пмѣемъ
что при іг = о обращается
і
о
слѣдовательно
і
о
легко покатъ, что это представляется въ конечной формѣ.
Для этого возьмемъ интегралъ
О
подобно предыдущему ] I
/"+ 4+4+-) I ' —л / 3 о
о о
ибо выполняя этотъ интегралъ, мы должны давать въ общемъ выраженіи і
/гп )о§ х йх = — -— (и +1/
о величинѣ п только четныя значенія м — о, 2, 4.
Возьмемъ еще интегралъ
предполагая что о < а < 1. Извѣстно, что
поэтому
___1 1 _ 1 1 ( -1 ( ~~ а 1 — а 1 + а 2 — а ' 2 а ' .........................
но этотъ результатъ интегрированія можно представить въ конечной формѣ.
Въ дифференціальномъ исчисленіи мы видѣли, что
С08(р2’) ~
ЗІП2 3 -Г
1.2.3.4
ЗІП4 3 —
р.2 (р2 — 22) (р2--------42)
1.2.3.4.5-6
ЗІП6 3 Н-........
кромѣ того по формулѣ (13) стр. 433 мы легко находимъ для п четнаго
зіп” х дх —
созл; . п-і . п — 1 . з
—------ Зіп X Ч----------------8111 X -I- - -
П П — 2
откуда заключаемъ, что вообще
зіп" X СІХ =
2
поэтому
О
принимая это во вниманіе, помножимъ выраженіе (А) на дз п возьмемъ пнтегралъ
по з между предѣлами о и
—, тогда получимъ
примемъ, здѣсь р. = 2Л, тогда это обратится въ
зіп (Хтг) =
л® _ Х2(12 —X2) Х2(12— Х2)(22^Х2) _ X2 (-12—X2) (22^А2) (32—X2)
12 12.22 12.22.32 12.22.32.42
Этотъ рядъ послѣдовательно можемъ преобразовать въ безконечный рядъ производи-
телей, въ самомъ дѣлѣ легко находпмъ
плп
зіп (Хте) = Хк (і — (і - (і — ........
или еще
зіп (Хк) = Хіі (1 - Х)И + А) (і - (і + (і — (’І +
поэтому въ примѣненіи къ нашему случаю
зіп (ак) = я* О — а) О + «) (і — |) ( । + |) ( 1 — (1 + “)
и слѣдовательно
1о§ зіп (як) = 1о§ (ак) + Іо§ (1 — а) + 1о§ (1 4- а) 4-....
откуда
Й1о§(зіпіга)___1 1,1 1 1
йа а 1 — я " — я 2 — а ' 2 4- а
(А.)
а поэтому заключаемъ, что і
/ж“-1— х~а , Іод (зіп та) , , ,
--г~------ (ІХ =---=-----= 71 СОщГбИѵ}
1 — х аа
о
По выраженію (АЛ) пмѣемъ, принпмая а = х
11111 и соіё (-йж) = - 4-- Ч-— 4-1- — 4
X X — 1 X 4- 1 х — 2 X Н- 2
дифференцируя это относительно ж, находимъ
*3 — 'I I _ 1 I 1
зіп2 (та) аз2 (я—1)2 (я + 1)2
1
принимая х = —, отсюда выводимъ
32
ио выше мы нашлп
і
о
поэтому заключаемъ, что
і
о
Зпая этотъ пнтегралъ, можемъ въ конечной формѣ получить пнтегралы
о о
Пусть для краткости
I
о
введемъ сюда для интегрированія новое перемѣнное подъ условіемъ
Хг=.%\ 2 ІО§ X = І0§ '2Х.(ІХ = сЪ
тогда слѣдовательно также (В) складывая выраженія і / Іогжйя (С) / 1-^ ] 1 / ]о^.&? р. 4 / 1 — 2 ~~ ' о 1 / ІОК X СІХ 1 'і-я 0 т : тс2 / х Іод’ х сіх 8 “ / 1—г’2“‘
о
о
получаемъ
принимая во вниманіе выраженіе (В), имѣемъ
2
К
8
нлн
слѣдовательно искомый пнтегралъ
точно также вычитая выраженія (С), находимъ
такпмъ образомъ мы нашли конечныя выраженія такихъ опредѣленныхъ интеграловъ, для которыхъ конечныхъ величинъ въ неопредѣленной формѣ мы не знаемъ.
36. Второй пріемъ нахожденія опредѣленныхъ интеграловъ состоитъ въ дифференцированіи- даннаго интеграла по какому лпбо параметру, входящему въ подъпите-гральную функцію. Всякій опредѣленный интегралъ можно разсматривать какъ функцію нѣкоторой произвольной постоянной, входящей въ подъпнтегральную функцію. Допустивъ это, мы не рѣдко можемъ находить опредѣленный пнтегралъ посредствомъ измѣненія упомянутой произвольной постоянной. Этотъ способъ изысканія опредѣленныхъ интеграловъ вытекаетъ пзъ той простой мысли, что функція /(X У) двухъ независимыхъ перемѣнныхъ можетъ иногда дать простыя дифференціальныя соотношенія по перемѣнному у легко интегрируемыя, между тѣмъ какъ по перемѣнному х мы не въ состояніи интегрировать дифференціалъ /*(?«, у) Ах въ конечномъ видѣ. Молено предположить, что оба предѣла интеграла, плп одинъ пзъ нихъ, зависятъ отъ постоянной, по которой производится дифференцированіе. Но мы для нашей цѣли разсмотримъ только тотъ случай, въ которомъ предѣлы интеграла и параметръ входящій въ подъпнтегральную функцію, принимаемый за перемѣнное прп дпффорепцпроваиін, суть величины между собою незавпепмыя.
Этотъ пріемъ интегрированія основывается па слѣдующей теоремѣ. Еслп пнтегралъ
С\х,у)(1х
.т0
берется относптельно х, а у прп этомъ разсматривается какъ постоянная величина, то, для дифференцированія опредѣленнаго пнтеграла относптельно у, достаточно дифференцировать по этому перемѣнному подъпнтегральпую функцію.
Для доказательства этой теоремы дадимъ у приращеніе Ду. Тогда
х X X
ду у) (Іх =с(х, у + Ду) сіх — С(\х, у) сіх а.'о л’с ггп
ПЛП х х х
р р р
Д» / /О, У) (Іх = / |/О, у + Ду) — {(х, у)] сіх == / Да /'О, у) сіх
ха ,ТО
раздѣлимъ обѣ части па прпращепіе Ду, тогда
Мы вводимъ во второй части дѣлителя Ду подъ знакъ пнтеграла, пбо интегрированіе производится по х, а у при этомъ интегрированіи разсматривается какъ величина постоянная.
Переходя къ предѣлу, находимъ
Итакъ еслп пмѣемъ
X
«0_____________ / (I у)
&У / (іу
ло
ь
и =у(‘(ху г) сіх
гдѣ г есть величина независящая отъ а и Ъ, то
(Іи (Іг
Л Ах
(Іг
а
Для поясненія этого на примѣрѣ
возьмемъ пнтегралъ
(Іх
и
о
дифференцируя его
по г,. находимъ
оо
(Іи
соз гх. (Іх
о
Когда мы говорили
объ интегрированіи трансцендентныхъ функцій, мы показали
что
у -кх (к.СОЗ гх —г зіп гх} с оз гх. ах = — е --------ттг-:—5------
этотъ пнтегралъ между предѣлами о и оо, то прп х = со
еслп будемъ брать
обращается въ нуль, а прп х = о въ
онъ
2 + к2
слѣдовательно
(Іи
кх ъо&гх йх
о
поэтому искомый пнтегралъ и мы
можемъ опредѣлить теперь пзъ уравненія
(Іи йт
откуда
слѣдовательно 03
/_а.л8ІПГЖ , Л г\
е ------— ііѵ = агд' іап^ = т I
х ѵ Л/
о
Пусть еще требуется взять пнтегралъ
сс
/ —.т , —пт
/ С — С 7
I----------ах
1 х
о
дифференцируя это по параметру г, имѣемъ
” / е сіх — -(ІГ I г
о слѣдовательно со
/ — хг —гх
/ в — € гі = І05 г п /-------------сіх = ]о§ г.
о
Иногда дифференцированіе подъ знакомъ интеграла приводитъ къ такой функціи, пнтегралъ которой столь же неизвѣстенъ какъ п функціи данной, но прп этомъ между выраженіемъ полученнымъ по дифференцированію п первоначальнымъ интеграломъ открывается такая зависимость, которая даетъ возможность опредѣлить интегралъ первоначально предложенный. Въ самомъ дѣлѣ, пусть
со
(а) гі = / е ах
□
дифференцируя это по параметру а, пмѣемъ
со
Введемъ для интегрированія по х
новое перемѣнное. Пусть
а а . 1 „ а2
— — — —=ах~аз\ х* = -=
х х2 г2
Сообразно съ этимъ нужно измѣнить и предѣлы интеграла; при «=оо, и
при х = о, #=оо, слѣдовательно пнтегралъ по г должно брать отъ со до нуля
итакъ
плп
сравнивая это съ даннымъ интеграломъ 00, впдпмъ, что
(ігі
-V -= — 211 аа
слѣдовательно
□лп
йа.
(Ігі
— = — 2 и
—2<1 с і 2
и = е . е с' е
]*»= — 2а-|“с
для опредѣленія постоянной с1, означимъ величину гіу соотвѣтствующую « = о чрезъ гг0, тогда гі0 = с', но прп а=о данный пнтегралъ обращается въ
О ---
СІХ
о
Мы увпдпмъ нпясс, что этотъ лнтсгралъ есть
, поэтому
Слѣдовательно искомый пнтегралъ есть
2
37. Третій пріемъ нахожденія опредѣленныхъ интеграловъ заключается въ интегрированіи подъ знакомъ пнтеграла.
Докажемъ прежде всего, что для интегрированія по у опредѣленнаго интеграла
X
достаточно пнтегрпровать по у подъпнтегральную функцію, предварительно умноживъ ее на &у\ мы знаемъ, что
тогда
= ^{х%у}д,у
внося это въ выраженіе (Ь), пмѣемъ
X
откуда
#0
Чѣмъ п подтверждается то положеніе, которое мы высказали выше. Кромѣ того это уравненіе показываетъ, что если мы должны пнтегрпровать дифференціалъ / (ж, у) (Іх йу, то это интегрированіе мы можемъ выполнить въ какомъ угодно порядкѣ. Можемъ сначала интегрировать но ж, а потомъ по у и на оборотъ. Но это
заключеніе справедливо только до тѣхъ поръ, пока предѣлы обоихъ интегрированій независимы между собою.
Для поясненія этихъ соображеній возьмемъ пнтегралъ
со
/ —а;2 и — / е ’ Нх
о
прежде интегрированія введемъ новое перемѣнное подъ условіемъ ж = у]/а, тогда
сіх = \/а Ну; х2 = ау2
предѣлы питегрпрованія по у остаются тѣже, ибо прп ж=о п у=о, при ж=со и у=оо. Итакъ интегралъ преобразованный по у, есть
о
Помножимъ обѣ части этого уравненія на е “йа п возьмемъ пнтегралъ по а, также въ предѣлахъ о п оо, тогда со оо со
і е аа гъ / ~ О но о О слѣдовательно со /і / / е и / е/ 0 Для интегрированія въ первой частп а = ^г; тогда оо Г е~асіа / Ѵа ! « С1 о о йа = _Ь_ 1 + у2 со На і Ну а Л'+ѵ* О по а введемъ перемѣнное я подъ условіемъ со ГІ 2 / е " Ле = 2Ы
о
о
слѣдовательно предыдущее выраженіе принимаетъ впдъ
но
слѣдовательно
2 и-
плп
поэтому искомый пнтегралъ
Не рѣдко интегрированіе подъ знакомъ пнтеграла даетъ возможность по одному опредѣленному интегралу находить другіе.
Мы знаемъ, что
со
о
еслп помножимъ обѣ части этого уравненія на сіа п возьмемъ пнтегралъ по а въ предѣлахъ отъ а = а до а = то будемъ пмѣть
со
о
Если примемъ а = о и ]3 = оэ, то предыдущее выраженіе обратится въ
со
итакъ, посредствомъ одного опредѣленнаго интеграла, мы нашли другой и прп томъ такой, который, какъ неопредѣленный, въ конечной формѣ намъ неизвѣстенъ.
Мы видѣли, что еслп предстоитъ интегрировать дифференціалъ /"(ж, у) (Іх (Іу двухъ независимыхъ перемѣнныхъ, то это интегрированіе мы можемъ выполнить въ какомъ угодно порядкѣ. На основаніи этого непосредственно приходимъ къ слѣдующему положенію. Если имѣемъ нѣсколько функцій /{х}, .....незави-
симыхъ перемѣнныхъ ж, у^ з еслп умножимъ каждую ла дифференціалъ соотвѣтствующаго перемѣннаго и возьмемъ интегралъ отъ каждаго полученнаго дпффе-ренціала между извѣстными предѣлами, то взявъ произведеніе этпхъ интеграловъ, можемъ замѣнить это произведеніе однимъ кратнымъ интеграломъ. Такпмъ образомъ, еслп перемѣнныя я, у, з.......суть независимыя, то
У -[{х} сіх<у1? {у} <1у(/) ...........у у у • - • ?(х) рО) • • • сіх сіу сіз
Въ нѣкоторыхъ случаяхъ такое преобразованіе позволяетъ найти пнтегралъ.
Такъ, напримѣръ, если положимъ
о
то можемъ написать
Пусть у=хі и такъ какъ х и у суть перемѣнныя, по предположенію между собою независимыя, то поэтому
слѣдовательно
о
Пусть еще требуется взять интегралъ
Возьмемъ кромѣ этого уже найденный пнтегралъ
оо
о
тогда, на основаніи выше упомянутаго положенія, можемъ наппсать оо
о
примемъ х — іу, прп этомъ (Іх = у сіі, слѣдовательно ОО СО
АВ =^(ІІ У у С08(^2?/2) (Іу о о
Если выполнимъ второй пзъ этигъ интеграловъ, интегрируя по частямъ, то легко получпмъ
/2 ~~у~
~У* у соз (іг уг) (Іу = 2 р зіп (і* у2) — С05 (і2 у2)]
взявъ этотъ пнтегралъ по у, какъ показано, между предѣлами о п оо, имѣемъ
со
о
поэтому
по мы впдѣлн, что
со
Въ нашемъ случаѣ яг —о п зг = 2, поэтому
со
такимъ образомъ
іи
4 )/а
но мы видѣли также, что В —
, слѣдовательно
о
38. Четвертый, наиболѣе существенный пріемъ вычисленія опредѣленныхъ интеграловъ (по приближенію) заключается въ примѣненіи къ интегрированію такъ называемаго способа механическихъ квадратуръ. Въ этомъ способѣ пнтегралъ вычисляется по частнымъ значеніямъ подъинтегральной функціи.
Многими учеными даны формулы для приближеннаго вычисленія опредѣленныхъ интеграловъ, мы знаемъ формулы квадратуръ предложенныя Иваномъ Бернулли, Эйлеромъ, Котесомъ, Гауссомъ, Симпсономъ, Чебышевымъ и другпмп. Наиболѣе простая, точная п въ высшей степени остроумная по теоретическимъ соображеніямъ принадлежитъ К. Ф. Гауссу. Что касается до формулы Чебышева, то она есть видоизмѣненіе формулы Гаусса. Мы остановимся на развитіи только этой послѣдней.
Предположимъ, что требуется вычислить опредѣленный пнтегралъ
9 (ж) (Іа
(1)
а
Замѣтимъ прежде всего, что преобразованіемъ перемѣннаго предѣлы пнтегрпрованія могутъ быть измѣнены. Еслп бы былъ данъ интегралъ, взятый между предѣлами а
и Ь п требовалось бы его преобразовать въ пнтегралъ съ другими предѣлами а п р, то этого легче всего достигнуть линейнымъ преобразованіемъ, вводя новое перемѣнное соединенное съ первоначальнымъ соотношеніемъ
гдѣ X п Х1 суть функціи отъ «г, которыя должны быть выбраны такъ, чтобы прп х = а одна пзъ этпхъ функцій, паир. X, обращалась въ единицу, а другая въ нуль; а прп х = Ъ функція Х2 должна обращаться въ единицу, а X въ нуль, Этого достигнемъ, еслп примемъ
тогда
ж — а д , Ъ — х и = т-----р + ч------а
Ь — а 1 о— а
и прп х = а очевидно 2 = а, прп х = Ъ, и =
Еслп бы предѣлы интеграла были о и со, то введеніемъ новаго перемѣннаго предѣлы могутъ быть обращены въ пуль п единицу. Въ самомъ дѣлѣ, еслп данъ интегралъ
о
1 то полагая г = -—— мы приводимъ этотъ пнтегралъ къ впду
1 СР (г) Ни
а
пбо прп ж = о, г = 1 п прп ж = сс, и=о. Предѣлы же о п 1 предыдущимъ линейнымъ преобразованіемъ обращаются въ произвольные а н р.
Итакъ, предположимъ что для вычисленія по частнымъ значеніямъ подъпп-тегральнон функціи дапъ интегралъ (1). Предположимъ, что онъ представляется выраженіемъ 2
(2) /9 (ж) сіх = А <р (я) -г -В <р (&) +.....+ В 9 (?) 4- В
а
гдѣ В, обращается въ нуль,' еслп пренебрежемъ нѣкоторыми малыми величинами. Что касается до А, В,........ В, то это суть постоянные коеффиціенты, независящіе отъ вида функціи <р(ж). Величины а, і,..........I суть частныя значенія пере-
мѣпнаго ж, заключающіяся между а и р и опредѣляемыя подъ извѣстными условіями, но не выбираемыя произвольно, какъ это имѣетъ мѣсто во многихъ другихъ формулахъ квадратуръ. Функція В можетъ быть разсматриваема какъ остаточный членъ, представляющій ту погрѣшность, которую мы дѣлаемъ въ вычисленіи интеграла, принимая во вниманіе только извѣстное опредѣленное число а, частныхъ значеній перемѣннаго.
Чтобы оправдать сдѣланное предположеніе, необходимо и достаточно показать пріемъ опредѣленія величинъ Л, 22,.........Д а, Ъ..........1.
Допустимъ, что функція <р (ж) разложена по
степенямъ х въ рядъ впда
тогда
Еслп а, Ъ,.....I суть нѣкоторыя частныя значенія перемѣннаго ж, то по
выраженію (3) мы имѣемъ
<р(Ь) = 7г0 + 7^ &2 Ч- . . . .+1йлЪп + • . . .
,>(!) = *<, + &,I+ Ѵ+. . . . + Ѵ‘ + . . . .
Помножая первое пзъ этихъ уравненій на Л, второе на 2? и т. д., послѣднее на I/ п складывая всѣ произведенія, составляемъ
Аф(а) 4- 2?<р (2>) + • • • -В(Т) = кй(А -4- В А- • • • • + I)
Ч- (Ал —|— ВЪ-1- • - • . Віу
Ч- Д (Ла2+ ВЪ2 + . . - + ВІ2}
+ К (Аа + ВЪ" 4-. . •+!//") Слѣдовательно по выраженію (2) пмѣемъ
(х) (Іх = Д (X 4- В± • . • 4Д + (Аа -|- ВЪ 4 . . - ~гВІ) Ч- • • * а.
Сравнивая это съ выраженіемъ (4), имѣемъ
[3 — а = Л + 2?-}- - • • • 4- Ъ
^Аа + ВЪ+ • - • • -\-ІЛ
~ = Аа? 4-Б62 4- • • -4- Ы'
п
.. „о—1
• • -4-ХІ
Этн выраженія совершенно независимы отъ вида функціи <р (я) п могутъ служить для опредѣленія коеффпціентовъ Л, В.........X; по даннымъ частнымъ значеніямъ
а, &,..♦/ и предѣламъ а п |3. Такимъ образомъ приближенная величина даннаго интеграла можетъ быть вычислена по частнымъ значеніямъ ср (&)••• <р (/) подъинтегральной функціи.
Еслп бы мы выбрали для а, Ъ, ••• I произвольныя величины, заключающіяся между предѣлами а п даннаго интеграла, то изъ этпіъ уравненій (5) мы вычислили бы соотвѣтствующія пмъ значенія коеффпціентовъ Л, и нашли бы
по выраженію (2) величину опредѣленнаго интеграла съ извѣстною степенью точности, которую можно указать.
Для этой послѣдней цѣли помножимъ первое изъ уравненій (5) на —, второе * Д/
на—, третье на-^ л т. д. п сложимъ произведенія почленно, тогда получпмъ
Имѣя это,
разложимъ
въ ряды логариѳмы
тогда
падучимъ
Сравнивая это съ выраженіемъ (6), видимъ, что первая часть этого уравненія (6) представляетъ разложеніе
этпхъ логариѳмовъ вѣрна до членовъ
порядка — включи-
тельно. Во второй части
того же уравненія (6) коеффиціенты
суть разложенія функцій
вѣрныя
до членовъ
вклю-
и
чительно. Въ самомъ дѣлѣ простымъ дѣленіемъ
легко убѣдиться, что
а2
1 а
__ч
Такпмъ образомъ уравненіе (6) молено написать въ видѣ
гдѣ е, п т. д. суть нѣкоторыя постоянныя величины. Полагая для краткости
представимъ предыдущее въ видѣ
(П
гдѣ знакъ суммы распространяется на всѣ резсматриваемыя частныя значенія а, Ь, • • с, перемѣннаго ® и соотвѣтствующіе имъ коеффиціенты.
Замѣтимъ прежде всего, что сравненіе выраженій (7) и (5) указываетъ намъ на условіе, подъ которымъ по выраженіямъ (5) опредѣляются коеффиціенты А, 33......Д если а, Ъ......I остаются произвольными. Это условіе состоитъ въ томъ,
что раціональная дробь
А В х — сі х — Ь
и трансцендентная функція
однимъ и тѣмъ же разложеніемъ должны
1
представляться вѣрно до членовъ порядка — включительно. х
зз
5Н
Гауссъ не оставляетъ выборъ частныхъ значеній а, Ъ • • • • I произволъ' нымъ, по располагаетъ этпмп величинами такъ, чтобы постоянныя г, г' • . • числомъ п, обращались въ нулп, т. е. чтобы е = о, е' = о, • • • •г"-1) = о> тогда
остаточный членъ представится величинами относптельно
2 X
порядка іп и высшихъ,
а не порядка —какъ прежде. Еслп прп выборѣ подъ такпмъ условіемъ значеній х
а, Ъ • - - I будутъ опредѣлены косффпціспты X для выраженія (7), то это послѣднее представится въ впдѣ
Посмотримъ какъ опредѣляются и въ какомъ впдѣ представляются косффпціспты А, входящіе въ это выраженіе. Такъ какъ этп коеффиціепты тождественны съ коеф-фпціентамп выраженія (2), представляемаго также въ впдѣ
то опредѣливъ подъ упомянутымъ условіемъ этн коеффиціенты, мы рѣшимъ вопросъ о вычпеленіп опредѣленнаго пнтеграла по частнымъ значеніямъ подъпнтегральной функціп.
Переходя къ опредѣленію коеффпціентовъ А, подъ упомянутымъ условіемъ, разсмотримъ раціональную дробь
1_______
0—
гдѣ функція пока предполагается произвольною.
Предполоапімъ, что корни уравненія 7*1(ж) = с суть а, . • • I. Такпмъ образомъ
1 ____________________________1______________________
(1—х2} [-Р(ж)]2 (1—х) (I -|-х) (х — а)г(х—Ь)2(х—с)2 • • • (х—I)2
Эта дробь, какъ извѣстно, разлагается на элементарныя н представляется въ впдѣ
что при сдѣланномъ выше означепіп представится въ впдѣ
1
гдѣ знакъ суммы распространяется на всѣ корнп уравненія .?(«:) = о и соотвѣтствующіе имъ коеффпціенты.
Чтобы опредѣлить коеффнцІенты р, д, А, Аг поступимъ обыкновеннымъ образомъ. Для вычисленія р умножимъ обѣ части уравненія на 'I — х, тогда
•Слѣдовательно при х = 1, пмѣемъ
Точно также найдемъ
Для опредѣленія коеффнціеитовъ А п Аг положимъ
Р (х) = (х — а) ф (х)
что можемъ сдѣлать, предполагала что а есть корень уравненія — уравненіе (8) даетъ
(9)
Тогда
(10)
гдѣ подъ ЛГ разумѣемъ сумму всѣхъ элементарныхъ дробей за исключеніемъ
-—Ирп х = а отсюда имѣемъ
дрооп
Но дифференцируя уравненіе (9), получаемъ
(1 -
Для опредѣленія коеффпціентовъ Аг выдѣлимъ пзъ суммы
(х — Ь)2
г(ж-г/
дробь —, остальную сумму означимъ чрезъ тогда уравненіе (10) можно пред-X — сь
ставить въ впді?
(х — й)2
1
I
М =
I 7
Р
дифференцируя ото относительно ж, имѣемъ
*
= (ж — а)2
йж
а) '
г , <ч ,«-
— а ‘ ~ 2 — а)-^1
или
= (ж — а)2
Йж
'-г + ~у7 (# — а)’ -Ь 2 (ж — а) 1М\
что ири х = а обращается въ
(13)
гаф (а) — 2 ( I — а2) ф’ (а) (. і — а2}2 [Ф і®)]3
Дифференцируя по х уравненіе (11) находпмъ
зф'(ж) 4- (ж — а) ф'' (ж) = 1?“ (ж)
что прп ж —а даетъ
2 ф' (а) — Г" (а)
Кромѣ того мы видѣли, что ф(а) = 2г'(а), слѣдовательно выраженіе (13) можно представить въ видѣ
,11Ч га .Р'(а) + (а2 — 1) ^’Гя)
(14) --------------------------=
Функція (ж) до сихъ поръ остается произвольною; выберемъ се такъ, чтобы разложеніе дроби
•I
(I— ж2) [_/*’ (Ж)Р
♦ ( X —
совпадало съ разложеніемъ логариѳма 1о§ | представленнымъ въ формѣ (7Й),
тогда коеффиціенты А опредѣлятся, какъ сейчасъ увидимъ, йодъ вышеупомянутыми условіями.
Если предположимъ, что данный пнтегралъ берется между предѣлами — 1 и 4- I, то а ——I іі р = -4-‘І, Принимая ото, напишемъ выраженіе (7) съ впдѣ
“ а а % г -г
дифференцпруя это но ж, паюдпмъ
Разсматривая уравненіе (15), заключаемъ прежде всего, что Р(х} должна - -- Ч — 1™ А. »е.
мые по формѣ (14), обращались въ нули; пбо какъ показываетъ выраженіе (15) въ раз-•сматрпваемомч» разложенія нѣтъ дробей съ знаменателями соотвѣтствующими первымъ степенямъ корней. Всѣмч» этпмч> условіямъ мы удовлетворимъ, если подъ функціей -7*'(#) будемъ разумѣть извѣстную функцію Лежандра, т. е. примемъ ^*(я;) = Хп тдѣ
ахя
л 2Ѵ, какъ извѣстно, опредѣляется подъ тѣмъ условіемъ, что для я: =4, X='І. Мы Видѣли, что
а потому, если ^'(х) = Х(і, то
_ -I
I)]’
1
Жы знаемъ кромѣ того, что Лежандрова функція -Хн удовлетворяетъ уравненію
(Xй — I) -Р’” (ж) -т- 2Х І?1 (а) — п (п 4* 1) 1? (х) = о
Такъ какъ а по нашему предположенію есть какой либо пзъ корней уравненія .^(ж) —о, то ^(а)—о, н при х = а на основанія этого послѣдняго уравненія числитель выраженія Л1Э т. е. выраженія (14) обращается въ нуль; слѣдовательно Лх = о и второе условіе для выбора произвольной функціи выполняется.
Посмотримъ наконецъ, какого порядка величиною будетъ остаточный членъ въ выраженіи
•если за функцію -Р’(х) прп опредѣленіи коеффпціентовъ А будемч> считать функцію Лежандра.
Внося найденныя величины р, А н А} въ уравненіи СВ), получимъ
2 I і V1 2
С'І — ж2) [_?’(д?)]2 х 4 I х — I С । — я2) (ж — «)2 [•?’ '(Я)Р
умноживъ обѣ части этого выраженія на (Іх п взявъ интегралъ, получимъ
/2 сіх _____________________, л х 4 I 2
(Т^2) = ~ (Т^Ѵ) (ж - «) [^'С«)]‘2
Возьмемъ этотъ пнтегралъ между предѣлами ж=оо и х, тогда интегралъ при нпешенъ предѣлѣ, т. е. при х = оо обращается въ нуль, ибо
прп ж —оо обращается въ Іо§ 1 — о.
Еслп 1? (ж) есть цѣлый многочленъ кой -степени относительно ж, то функція С'І—ж2) [2? (ж)]2 будетъ цѣлымъ многочленомъ степени 2« + 2 относительно того же перемѣннаго. Такпмъ образомъ можемъ вообще принять
(I — ж2) [-?' (ж)]2 — ж2"+2 4 а ж2"^1 4 Ъ ж2” ~-
- іх -|- и
нѣкоторые пзъ коеффпціентовъ а, &.... могутъ быть пулями. Простымъ дѣленіемъ находимъ
I _________ 1 а і а2 — Ь
С'І — ж2) [Г (ж)]2 “ + ~х^ .....
слѣдовательно
/ сіх _ 1 а
СІ ж2) I1 С#)2 (гп 4 I) ж2”^1 С2/2 4 2) ж2"'*'2 со
плп полагая для краткости
а
С2?г -|- 2|
пмѣемъ
С
со
принимая это во вниманіе, даемъ выраженію (16) видъ
#4- Л ________ VI ___________________2__________ 2?\. . 2'Л1
х — I) “ 2л С’ ~а3» О~ #)И' 1«)]2 + ж2'*’
плп такъ какъ
то
Итакъ еслп опредѣленіе коеффпціентовъ А сдѣлаемъ прп помощи функціи Лежандра,
опредѣленныхъ
н за частныя значенія перемѣннаго въ подъплтсгральноп функціи даннаго интеграла примемъ корнп уравненія — о, то прп коеффпціентахъ А, такимъ образомъ 2А
будетъ разнпться отъ логариѳма 1о§
на величины только порядка ——
Принимая за 1? (.г) функцію Лежандра мы нашли коеффпціенты А въ формѣ (12), н такъ какъ при
4“ •
а = — I и — 4- -1 ; р (х) (Іх = 2 2 А о (а),
— і
то прнппмая во вниманіе выше указанную форму для А имѣемъ +- ।
//•47 V 2Ф(а)
© (х) сіх — ’ 72 (17)
— і
-I
гдѣ Іі есть величина порядка —Что касается до знака суммы, то онъ распро-
страняется на всѣ корнп уравпенія ^(ж) —о, пли Х,( = о.
Послѣднее выраясеніе (17) есть формула данная Гауссомъ для приближеннаго вычисленія опредѣленныхъ интеграловъ по частнымъ значеніямъ подъпнте тральной функціи.
Порядокъ вычисленія опредѣленнаго интеграла по способу Гаусса таковъ. Прежде всего находпмъ корнп уравненія = о для такого значенія п, для какого хотимъ произвести вычисленіе; выборъ значенія п соотвѣтствуетъ. той степенп точности, которую мы имѣемъ въ виду. Числомъ п опредѣляется чпело частныхъ значеній перемѣянаго, для которыхъ хотимъ вычислять значенія подъпнтегральной
функціи. Функція Х> для различныхъ значеніи п имѣетъ слѣдующій видъ для п — і ..... = х
сообразно съ этомъ корнп уравненій = о для первыхъ пятп значеній п суть:
Для п = і, .г = о
» = 2, х = + 0-5773500, х=: “0-5773500
„ и = з. х = о, х = + 0.7745965; я- = - 0.7745965
„ » =4, х — 0.33998'11, ® = — 0.3399811, х — + о.8611361, « . : — о.8611361
п я = 5, х = о, х= + 0.906180с, х— “ 0.9061800, х-т + 0.5384691, х= — 0.5384691 имѣя корнп, вычисляемъ соотвѣтственно каждому пзъ нихъ коеффпціепты А, В....
А — 2 7?— 2
“ СІ __ а2) рЛ(«)Г' ( I “ Т’ Л’
гдѣ производная Функція, входящая въ знаменателя, есть частное значеніе производной
(ІХ соотвѣтствующее данному корню.
Имѣя коеффиціенты п корнп, составляемъ произведенія Ау (а), Ву(Ь') и т. д.
По формулѣ (17) вычисляется пнтегралъ взятый между предѣлами —1 п 4- 1, но еслп бы данъ былъ интегралъ взятый между другими нѣкоторыми предѣлами а и р, то онъ, какъ мы видѣли, легко можетъ быть преобразованъ въ соотвѣтствующій интегралъ взятый между предѣлами — 1 н + 1: для этого стоитъ только вмѣсто
г въ интегралѣ / ? (г) д-% поставить в + а в — а 2 = - ! х 2 2 ибо при 2 = а, какъ показываетъ это уравненіе х = -Итакъ 3 + р—а [ гр + » 6- (А.) / 2 " / 2 +Г, -1, при — р; х = 4- -I. -а "I .. — х ах і
Мы видѣли, что для и = ?г = 2, = уравненія Х„ = о имѣютъ видъ
корни этихъ уравненій суть
и поэтому частныя значенія & составленныя по соотношенію
будутъ:
для п — 1
и т. д.
Пояснимъ изложенный способъ Гаусса вычисленія опредѣленныхъ Интеграловъ по частнымъ значеніямъ подъинтегральной функціи на частномъ примѣрѣ.
Вычислимъ интегралъ
который представляетъ собою Неперовъ логариѳмъ ... . . • -1
пять частныхъ значеній функціи —-—, взятыхъ 1 х
двухъ. Разсмотримъ для этого
для корней уравненія Х5 = о.
Мы впдѣлп, что
•Слѣдовательно за уравненіе Хв = о въ этомъ случаѣ мы должны считать
7-9-^5 — 5*7-2'х3 + 3-5-ж = о
корнп этого уравненія суть
ж0 = о; .г, = 4- о. доб'18оо;
— — 0.9061800, ^ = 4-0.5384694; .^ = —0.538469'1.
Предѣлы интеграла въ разсматриваемомъ случаѣ отличны отъ — 4 и 4* 4, а потому будемъ пользоваться преобразованнымъ выраженіемъ (Л). Принимая
гдѣ въ нашемъ случаѣ 0=4 и а = о, слѣдовательно
будемъ вычислять интегралъ на основаніи выраженій (А) и (17) но формулѣ
-ь і
о
гдѣ подъ х разумѣемъ каждый пзъ выше приведенныхъ корней и суммованіе распространяется па значенія х въ впдѣ этихъ корней.
Замѣтимъ прежде всего, что въ нашемъ случаѣ
а потому для пяти выше упомянутыхъ значеній х имѣемъ
]?’ (а-0) = 4.8750000 = 4* 6.8703353
— 2.4258887
поэтому коеффпціецты частныхъ значеній подъинтегральной функціи въ лога-
риѳмахъ суть
9-4539974 —ІоМ
1
(4 — -Ч42 М!
1
(4—ж3‘2)[Г’(«2)]2
= 9.0735844 = 1о§23 = Іое С
= 9.3789687 =ІОЙ^
1о§ 6?
наконецъ частныя значенія <р(^) соотвѣтствующія разсматриваемымъ корнямъ въ логариѳмахъ суть
= 98239087; ©(«/!) = 9.7092777 ; І0ёф(#2)я= 9 9800907
о (.Уз) = 9.7522446; • Іо* <р (у4) = 9.9098247.
а потому
о
— Лу ^0) + .В? (Уі) + Су + Гф (Уз) + Су (у4) = 0.693! 471
что л представляетъ Іод 2 съ точностію одной едпнпцы седьмаго десятичнаго знака, ибо, какъ извѣстно,
]о& 2 — 0.69344718056.
Интегралы Эйлера.
39. Два опредѣленнныхъ интеграла
і
о
о
пзъ которыхъ одинъ исключительно зависитъ отъ двухъ параметровъ р и 2, а другой только отъ одного параметра _р, называются въ анализѣ Эйлеровыми интегралами перваго н втораго вида.
Первый изъ этихъ интеграловъ означается символомъ В{р, 2), а второй символомъ Г (2), такъ что
I со
В{руц)—С—ж)д-1йж; Г Ср) сіх
о о
Легко показать, что интегралъ перваго впда приводится къ интегралу втораго вида.
'Гакъ какъ величина втораго Эйлерова интеграла зависитъ исключительно отъ ру то можемъ написать
СО
Г (р) —СГ5 г’’-1 )
пусть теперь # —а# п за новое перемѣнное примемъ а, тогда б?я = ж?а, слѣдовательно
со
Г Срі =ах а? 1 х$ ди
о
но х разсматривается въ этомъ выраженія какъ постоянная величина, поэтому хѵ можетъ быть взята за знакъ интеграла п тогда
Второй Эйлеровъ пнтегралъ для параметра # имѣетъ впдъ
лли
Вводя
со
о
сюда вмѣсто —- его величину пзъ выраженія (2),
пмѣемъ
о
о
Освобождая отъ знаменателя п перемѣняя порядокъ интегрированія, что допустимо, т. е. интегрируя сначала по ж, а потомъ по а, имѣемъ
е
(3)
дх
о
о
Еслп въ выраженіи (1) поставимъ р 4- <7 вмѣсто р, то будемъ пмѣть
ОО
52п
пусть здѣсь # = #(0 + Разсматривая а какъ постоянную величину, имѣемъ
& = (1 + а) (Іх
тогда
со
г (1> + і) =ч°~х{'+0) *р+1~' с +«/+г *
о
такъ какъ интегрированіе производится но ж, то (1 + а)1'"*’7 есть постоянная величина, которая можетъ быть взята за знакъ интеграла, поэтому
со
Г^ + д) __ / -а,-(<+з) »+2-і ,
(ц-«Г+’_е/ ’’
о
Внося это въ выраженіе (3), находимъ
г(2>)гй) = /«’- с1*
/ 0 4- ау7'
о
плп
оо
Г О) Гр?) _ /
Г (23 4- / (1 + аУ’4'"
Обращаясь теперь къ первому Эйлерову интегралу, введемъ въ него новое перемѣнное подъ условіемъ
откуда
первое пзъ этихъ выраженій показываетъ, что прп а?='І, у=оо, а прп я = о и у = о, поэтому предѣлы интегрированія по у будутъ со и о; слѣдовательно первый Эйлеровъ пнтегралъ, будучи преобразованъ но у, принимаетъ видъ
со
также
в^-2)= 7ГГ^Лл О а потому выраженіе (4) принимаетъ впдъ
Г(2> + г)
отсюда мы заключаемъ, что первый Эйлеровъ интегралъ можетъ быть выражепъ посредствомъ втораго интеграла. Въ впду этого мы разсмотримъ главнѣйшія свойства втораго Эйлерова пптеграла.
40. Мы принимаемъ со
(5) Г (р) —! “іГ хѵ~г сіх
и
поставимъ здѣсь р -|-1 вмѣсто ру тогда ОО
Г (р 4- 4 ) о интегрируя это по частямъ, находпмъ со
Г (р + 4) = [— х" +рСя'1-1 йх
о
первый членъ между предѣлами интеграла обращается въ нуль и остальное даетъ Г(^+ 4)=рГ(2?) поэтому
Г (р') = (р 1) Г [р —• 1)
Г (уэ — 1) = {р — 2) Г {Р — 2) и т. д.
Еслп въ выраженіи (5) примемъ р = I, то
Г (4) ==СГ* сіх — 'і
а потому по предыдущимъ соотношеніямъ заключаемъ, что
Г(к 'I) = і .2.3.4....и
Чтобы показать второе примѣчательное свойство функціи Г(^), положимъ г • 4
въ общемъ ея выраженіи р =^= —, тогда
о
пусть здѣсь х = уг, тогда
о
но мы выше видѣли, что
о
поэтому
свойство втораго Эйлерова пнтеграла.
Разсмотримъ еще одно
Принимая въ выраженіи перваго пнтеграла р = д, находимъ
о
что можетъ быть также представлено въ впдѣ
і
о
Подъпитегральпая функція не измѣняется, еслп въ нее вмѣсто х будемъ вносить величины большія и меньшія половины, но отъ половины одинаково отличающіяся. Такъ что еслп положимъ
то очевидно
а потому въ предыдущемъ интегралѣ верхній предѣлъ можно замѣнить чрезъ —, удвоивъ интегралъ. Такпмъ образомъ принимая _р = 0, пмѣемъ
і
о
Введемъ сюда новое перемѣнное подъ условіемъ
Д ___ х _ Ѵ_у 2 2
тогда
Прп х ——, у = о; прп х = о, у = I слѣдовательно высшій предѣлъ пнтегрпро-2
ванія по у есть нуль, а низшій единица, поэтому
і
о
но еслп
о
г
слѣдовательно
о
Выражая прп помощи извѣстнаго соотношенія первый Эйлеровъ пнтегралъ посред-
стволъ втораго, имѣемъ
[го?)р,
но мы видѣли, что
впдъ
==]/“, поэтому предыдущему выраженію легко даемъ
(6)
таково третье примѣчательное свойство Эйлерова интеграла втораго впда-
41. Мы не можемъ примѣнить обыкновенныя правила къ дифференцированію функціи Г (ж), но еслп ж есть число соизмѣримое, то можемъ составить себѣ понятіе о производной
сіх
Эйлеровъ второй пнтегралъ аргумента х есть
ж~’ йа
Если будемъ дифференцировать это выраженіе по ж, то во второй части достаточно дпфферепцпровать п о дъпнтегр ал ь ную рется по а. Итакъ
функцію по х^ ибо указанный пнтегралъ бе-
сі Г (х)___
сіх
о
Выраженіе (2) для нѣкотораго перемѣннаго г можемъ написать въ видѣ
— аз
еслп положимъ р — I п замѣтимъ, что
Г ('!)== I, то имѣемъ
а.
а
о
— а
о
е
2
еслп помножимъ это на (7а и возьмемъ интегралъ по а отъ 1 до а, то легко получаемъ
о
Замѣняя въ выраженіи производной —— логариѳмъ 1о§ % этпмъ его выраженіемъ, находпмъ
измѣняя порядокъ интегрированія, можно
также представить это въ впдѣ
Первый пзъ интеграловъ, заключающихся въ скобкахъ, есть второй Эйлеровъ интегралъ аргумента х. второй пзъ интеграловъ, находящійся въ скобкахъ, по выраженію (Зй) можетъ быть представленъ въ видѣ
Г (.г) (14-
слѣдовательно
откуда
<7 Іо* Г (а?) (ІХ
О
Замѣтивъ, что Іо* Г (1) = Іо* (1) = о, умножимъ все выраженіе на сіх и будемъ интегрировать его по х въ предѣлахъ отъ 1 до х, тогда весьма легко получпмъ
(?)
Мы знаемъ, что вообще
г О + 'О =.р г (.р) полагая здѣсь р = 1, имѣемъ
Г (2) = Г(1)
слѣдовательно 1о& Г (2) = іо^: Г (1) = о. Поэтому, принимая въ выраженіи (7) х = 2,
находимъ
о
Помноживъ это на х— 'I, вычтемъ произведеніе нзъ выраженія (7), тогда будемъ пмѣть
оэ
о
Введемъ вмѣсто г новое перемѣнное а подъ условіемъ 1о$(1 -|- 2) = а; тогда 2 = еа— 1. Прп 2= со, <х=оо; при 2 = 0, а = о, слѣдовательно предѣлы интегрированія по а остаются тѣже какъ п предѣлы пнтегрпрованія по 2. Такпмъ образомъ помпя, что Й2 = е“йа, находимъ
□
.Дифференцируя это два раза по ж, находимъ
со
о
Мы знаемъ что
поэтому
со со со
р р р
/ —ал , , / — а(а4“і) 7 . / — а(я + '2) 7 .
---° оч 7 = / в а аа 4- / с ^ }ааа± I е ' а. аа. 4- -ах2 I 1 ]
оо о
по выраженію (2) мы пмѣемъ ОО
1 X1'
о
принимая здѣсь р == 2 п помня, что Г (а) = Г (1) = 1, отсюда находпмъ
о
поэтому
такпмъ образомъ предыдущее выраженіе второй производной принимаетъ впдъ
сі2 Іо^ Г (я)___ 1 I I
Ах2 х2 ' (ж + 1 )2 (ж + 2)2 ~г
этотъ рядъ сходится для всякаго значенія х, исключая цѣлыхъ отрицательныхъ.
Если помножимъ это выраженіе на (Іх п возьмемъ пнтегралъ въ предѣлахъ отъ I до ж, то получпмъ
д, 1о& Г (ж) йх
— 1о^іл =
гдѣ Іо^р. есть постоянная, введенная интегрированіемъ. Постоянная—1о^ [X есть
АІ05 Г (ж)
очевидно та величина, которую принимаетъ производная -------—-— прп X — I; при
СІХ
такомъ положеніи
о І05 [Л —
42. Не останавливаясь болѣе на этпхъ теоретическихъ соображеніяхъ, покажемъ примѣненіе Эйлеровыхъ интеграловъ къ нахожденію нѣкоторыхъ опредѣленныхъ интеграловъ.
Интегралъ вида
і
о
выражается чрезъ функцію Г (я). Въ самомъ дѣлѣ, положимъ тогда разсматриваемый интегралъ принимаетъ впдъ
[
о
пли по извѣстному соотношенію между функціями Г п В пмѣемъ
если положимъ, напрпмѣръ, р = 3, д=— и т = 4, то найдемъ
Интегралъ 4-/>“2 «1—1 * «—1 л
8і л я. соз х.ах
о
также приводится къ Эйлеровымъ. Въ,самомъ дѣлѣ, полагая
8ІП х = у
находпмъ
□
плп
і
о
положимъ здѣсь у2 = тогда
2 1
о о
слѣдовательно
Посредствомъ функціи Г могутъ быть выражены интегралы впда
со оо
1 * с ^созйяйя, / і 0 0 Мы знаемъ, что по выраженію (2) оо / —ах а — і , / е х' га = 0 пусть а = а + Ъ ]/ — 1, тогда это обращается въ со / —ах — Ъхѵ — г іл — і , , / е е х' аЛ — 0 ПЛИ оо 1 е ~ах хѵ'~' (соз Ъх — і зіп Ъх) сіх г‘" ‘ с "зіп Ъх сіх г 0) . Г С{Л) (и + г,у_і)|' = г(ро[«—&|/—1]^ (а1 + Ъг/
о
пусть а = рсо§0, & = р8ІпО, тогда а2 + Ъ'2 = р2
а — ІЪ = р (соз 0 — і зіп Ѳ) = ре-,й
слѣдовательно
у, |А —/ілО у»
(а — іЬ) = р е = р (соз р.0 — і зіп {л.Ѳ)
Внося это въ предыдущее выраженіе п сравнивая отдѣльно дѣйствительны я п мнимыя части, находпмъ со
/ е их х^' 1 соз Ъх (Іх = —ооз р.0 / 0‘
€/ Г
О
оо
/—СЖ р— I » у Г ГУ») • л
е аг зіп Ъх сіх = —8Ні ,-л О
о
Остановимся еще на одномъ частномъ случаѣ: разсмотримъ пнтегралъ !
Р а— і . ( .3— і
/ X ( I — Я?Г /-----------ах
(ж + а)а + ?
О
Вводя новое перемѣнное у подъ условіемъ х
легко приводимъ этотъ пнтегралъ къ виду со /* «— I т
У Ну
[О + а)У-г а]“ + ? о
пусть наконецъ здѣсь (1 а) у = а,#тогда этотъ пнтегралъ прпипмаетъ впдъ
что по выраженію (4) обращается въ
1 Г(«)Г(0)
а? [< + <»]“ Г(а+|3)
Итакъ
Геа~'( I — ах = 1 Г(«)Г(|3)
(а.’4-а)в+^ а'1 [14- а]а Г(а+{3)
О
43. Къ тому, что мы говорили до сихъ поръ объ Эйлеровыхъ функціяхъ, намъ остается прибавить нѣсколько словъ о вычисленіи пхъ. Мы уже имѣемъ выраженіе, которымъ слѣдуетъ пользоваться для вычисленія функціи Г для всѣхъ цѣлыхъ, и положительныхъ значеніи аргумента. Это выраженіе есть
Г (•>? + 1) — я Г («).
Вычисленіе функціи для положительныхъ дробныхъ значеній аргумента можетъ основываться на слѣдующихъ соображеніяхъ.
Возьмемъ пнтегралъ
о
помножая обѣ частп на а" 1 <7а п интегрируя по а между предѣлами нуль и безконечность, получаемъ
(8)
Но мы впдѣлп на стр. 468, что
Для выполненія интеграла первой частп представимъ его въ впдѣ
пусть а х = 0, тогда
поэтому
Вообще
о
полагая здѣсь р — 1 = — пмѣемъ
— я)
О
итакъ
со
о
поэтому уравненіе (8) дастъ
Г (и) Г (1 — я) =
$111 (Я (ѵ)
(9)
посредствомъ этого выраженія можно вычислять функцію Г для всѣхъ значеній аргумента, заключающихся между -- и 1, если значенія функція для аргументовъ, |
заключающихся между нулемъ п — , будутъ извѣстны. Поэтому остается рѣшить . 1
вопросъ о вычисленіи функціи Г (я) для значеній я, заключающихся между о и —. Для этого мы обратимся къ вышеуказанному третьему свойству функція Г (я). Это свойство выражается уравненіемъ (6), которое можетъ быть написано въ впдѣ
2 м
Г (зя)
(10)
Поставимъ въ выраженіи (9) вмѣсто п величину
т—, а въ послѣднемъ выра-
, п
женш поставимъ — вмѣсто п, тогда получпмъ
Раздѣливъ одно изъ этпхъ выраженій па другое, получимъ
(И)
Пзъ этого видно, что когда п измѣняется отъ — до
2
—, вторая часть предыдущаго
выраженія подъ знакомъ Г содержитъ аргументы, заключающіеся между -х п —. Слѣ-о 3
довательно къ функціямъ съ такпми аргументами могутъ быть приведены всѣ функ-
ціп Г, аргументы которыхъ заключаются менаду — и —. Чтобы сдѣлать подобное же 3 3
приведеніе функціи съ аргументами, заключающимися между нулемъ и , будемъ
пользоваться выраженіемъ (10), которое представимъ въ видѣ
4 1 4 2
если п заключается между нулемъ п —, то ~+ п будетъ заключаться менаду — и
Такимъ образомъ достигается то, чего мы желали; ио что касается до Г (а?г), то
„ , I
относительно этой функція могутъ представиться два случая: плп ъп > — или
4
2» < ~; для вычисленія функціи съ этимъ послѣдппмъ аргументомъ мы бу-
демъ пользоваться выраженіемъ (10), замѣняя въ мемъ п чрезъ 2П‘, если
1
2В>6’
то задача о вычисленіи функціи Г рѣшена; еслп нѣтъ, то по той-же фор
мулѣ (10) функцію Г(4«) приведемъ въ зависимость отъ функціи Г(8и), п такъ далѣе. Въ такомъ видѣ представляется рѣшеніе вопроса о вычисленіи функціи Г для всѣхъ положительныхъ значеній аргумента цѣлыхъ п дробныхъ, начиная отъ нуля. Остается сдѣлать одно замѣчаніе о функціи Г для отрицательныхъ аргументовъ.
О значеніи функціи Г (я) въ томъ случаѣ, когда п отрицательно, мы можемъ сдѣлать заключеніе по выраженію
Г (1 4" п) = п Г (я)
Въ еамомъ дѣлѣ, полагая здѣсь п — —— пмѣемъ
или
О)
о
при п=—— имѣемъ по тому же выраженію (а)
плп по (Ь)
Итакъ, функціи отрицательныхъ дробныхъ аргументовъ приводятся къ функціямъ положительныхъ дробяыхъ аргументовъ.
Такъ какъ
прп п = о даетъ
Г (о) = со
(О
то отсюда заключаемъ, что функціи цѣлыхъ отрицательныхъ аргументовъ всѣ должны считаться равными безконечности. Въ самомъ дѣлѣ прп п = —I пмѣемъ по выраженію (с)
Г (— I ) — — Т (о) = — со
точно также
Г С— і’І
Г (— а) = —.....- = со и т. д.
— 2
Всего сказаннаго считаемъ достаточнымъ для уясненія главнѣйшихъ свойствъ Эйлеровыхъ интеграловъ.
Періодическіе ряды. Интегралы Фурье.
44. Предположимъ, что функція ^(Х), обращающаяся въ безконечность для нѣкотораго частнаго значенія г — с, расположена въ рядъ по цѣлымъ положительнымъ п отрицательнымъ степенямъ — с п представлена такпмъ образомъ въ впдѣ
/"(У) — ай «1 (з — с) -г а2 С/ — с)2 +...................
4- й_і — с)~1 + «_2 (* — с)~2
Если бы зтотъ рядъ не содержалъ отрицательныхъ степеней разностп г—с, то онъ не представлялъ бы эту функцію, пбо онъ не обратился бы въ безконечность прп $ - с.
Положимъ кромѣ то_го
е — с = те1'
тогда предыдущій рядъ п функція пмъ выражаемая примутъ впдъ;
/"(с 4“ ге'р) = с0 + аг тер 4-а2е,р +.
СП
, — 1 —1« — 2 — 2ф ,
+ а-і г . е + а_2 Г е "Г...............
Еслп во второй частп этого равенства замѣнимъ р чрезъ р 4- гдѣ 7с есть какое угодно цѣлое чпсло, то общій членъ
пір
я а г е л
разсматриваемаго ряда, гдѣ п есть какое угодно положительное цѣлое чпсло, послѣ такой подстановки приметъ впдъ
я я г (м-ні*) а г в л
что молено представить въ формѣ
я + л г , 7 . ... . т '.л
а, г е = ап г | соз (рр -г 2«/ск) ъ зіп (пр 4- гп/ст:)]
— апг” 1е08 С«Р) 4"2 8^п С’У?)}—а„г*е>,1,>
Итакъ пзъ этого мы впдпмъ, что вторая часть равенства (1), т. е. разсматриваемый рядъ не измѣняется отъ подстановки р 4- 2^ вмѣсто перемѣннаго р\
поэтому этотъ рядъ есть періодическій съ періодомъ гі>, а потому п функція пмъ представляемая должна быть періодическою съ періодомъ гтс, т. е. эта функція должна имѣть свойство, выраженное уравненіемъ
I? (.р) = (р “Г 2&и)
Мы ввели здѣсь знакъ представляя пмъ, что функція содержитъ одно перемѣнное р.
Такимъ образомъ мы видимъ, что функція составнаго перемѣннаго тер съ постояннымъ модулемъ г, всегда есть періодическая функція съ періодомъ относительно аргумента р.
Еслп возьмемъ общій членъ предыдущаго періодическаго ряда, помножимъ его на етір йр п возьмемъ пнтегралъ отъ произведенія въ предѣлахъ о п гтс, то такпмъ образомъ составимъ выраженіе
прп — п это обращается въ
а г". 2-й. ГІ
Для всякаго другого значенія «г, отличнаго отъ —п, сумма т-\-п будетъ нѣкоторое положительное плп отрицательное число % п для такого значенія суммы ([ выраженіе (1) обращается въ нуль. Въ самомъ дѣлѣ, еслп —т0
п апг
др — а (г" / [соз (да) + г зіп (да)] ф = °
Итакъ, еслп помножимъ выраженіе (1) въ обѣихъ чаетяхъ на е~,пр сія п возьмемъ отъ каждаго члена интегралъ по р въ предѣлахъ о п 2-ге, то всѣ члены ряда, за исключеніемъ того члена, у котораго коеффиціентъ есть а , обратятся въ нули, а этотъ члеяъ съ коеффиціентомъ а по пнтегрнрованіп приведется къ а№гп2~, Итакъ послѣ сказаннаго умноженія п пнтегрироваиія пзъ всего ряда (1) останется
/(с 4- ге,р) е ’ир сір = 2тгг"
5іг
откуда находимъ косффиціептъ общаго члена ряда въ впдѣ
~з
о
Принимая, какъ .мы условились
Р(р)^Г(е^геіг>)
дадимъ ряду (1) тригонометрическую форму
Р (р) = + аі г (с°5 Р + * зіпд?) + а27'2 (С0!? 2Р + * 2^) +.......
-[- а_, Г (созр — І 8І1І_р) 4- «_2 г"4 (со» 2}) — і 5ІП 2^) 4"......
плп
Р (р) ~ й0 4- («! г 4- а г”1) соз^ 4- («2 г2 4- а_2 г“2) соя 2р 4-...........
4- і (лг г — а г-1) яіп/) 4- і (а, г2 — а_2 г~2) зіп 2р 4-......
иусть.
тогда
Р (2?) = у 4- а} соя/» 4- а2 соз 2р 4-......
+ Рх зіи_р $2 8Іп ар 4-.........
Если, какъ мы предполагаемъ, г есть постоянная величина, то положивъ г = 1, представимъ рядъ (1) въ видѣ
Р (р) ай 4~ а2 е1' 4- а2 с2,;' 4~.....
4- а_х е~,р 4- а,_ с~Ър 4-......
по предыдущему коеффпціентъ общаго члена этого ряда есть
2“
О
еслп выполнимъ это интегрированіе между показанными предѣлами, то пандемъ та-
кое выраженіе аи, которое будетъ функціей одного п и не будетъ зависать отъ перемѣни аго р.
Итакъ, если пмѣемъ рядъ
(ф) =а0 + аі + а2 6
то за общій членъ этого ряда должны считать
2К 2“
Слѣдовательно весь рядъ можно представить въ видѣ
27Г
о
, разлагая остальное на двѣ другую отрицательнымъ значе-
и
Выдѣливъ отсюда слагаемое, соотвѣтствующее п = о суммы, одну соотвѣтствующую положительнымъ ніемъ я, получпмъ
2К
?2=!
О
О
II— — со
О
пли
*(?)=
о
о
2П
,«* (Ъ -р)
2“
1? Ср) [соз п (?
о
плп еще
2
О
27Т
О
2 л,
П
О
но соз [я (р—2?)] — соз [—«(р— 2?)];
зіп [ — п (р — р)] — — зіп [я (р —р)]
поэтому мнимые члены, завпсящіе отъ синусовъ, взаимно сокращаются, а члены, зависящіе отъ косинусовъ, даютъ удвоенную сумму. Итакъ остается
Въ такомъ общемъ впдѣ представляется всякій періодическій рядъ. Очевидно, что онъ состоитъ изъ двухъ рядовъ, ряда синусовъ п ряда косинусовъ съ дѣйствительными коеффпціентамп. Въ самомъ дѣлѣ, помня, что интегрированіе относится къ р, представляемъ предыдущее въ водѣ
277
?1=І
(4)
О
О
3 і.
8111 Пф
Р (р) зіп (пр) йр
О
45. Разлагая функцію въ періодическій рядъ, мы предполагали, что это разложеніе возможно и въ этомъ предположеніи опредѣлили коеффпціенты ряда. Теперь постараемся доказать, что это разложеніе при извѣстныхъ условіяхъ дѣйствительно возможно, что рядъ, простираясь въ безконечность, стремптся въ суммѣ къ конечному предѣлу и этотъ послѣдній представляетъ собою разлагаемую функцію.
Имѣя это въ виду, опредѣлимъ сумму извѣстнаго члсла членовъ ряда, напр. сумму гп + 1 первыхъ членовъ. Означимъ эту сумму чрезъ опредѣлимъ ее и найдемъ ея предѣлъ при п = со. Пусть разлагаемая функція будетъ /"(ж), то сумма первыхъ 2П + '1 членовъ можетъ быть па основаніи предыдущаго написана въ
впдѣ
8„ = -г созж + Х2 соз 2ж 4-...............+ А„ соз пх
4- Т>г зіп х 4- зіп чх 4-......4- зіп пх
по выраженію (3) эта сумма представляется въ впдѣ
8„ =—/ /(а) ['I -г 2 соз —а) 4- 2 соз 2 (я — а) 4- .........4- 2 соз п (х— а)] йа
0
Разсмотримъ сумму с — •! 4- 2 соз 2р 4- 2 соз 4-.....................4~ 2 соз 2п 0 (а)
Еслп помножимъ обѣ частп этого равенства на зіп/3 п замѣтимъ, что вообще
2 СОЗ (2» 0) зіп 0 = ЗІП [(гп 4~ 1 ) 0] — ЗІП [(2П — І ) 0] то найдемъ, что
с зіп 0 = зіп 0 4- зіп з0 4- зіп 50...................4- зіп (гп 4- 1) 0
— зіп 0 — зіп 30 — зіп 50.....— зіп (агг — I) 0
по сокращеніи все это приведется къ
с зіп 0 = зіп [(г;г 4- 'I) 0],
Еслп теперь примемъ 20 = (ж— а), то выраженіе (а) обратится въ
14-2 соз (х—а)4- 2 соз 2 (ж—«)4'
4-2 соз п (ж—а)
а потому
Прежде чѣмъ
покажемъ во что обращается эта сумма въ предѣлѣ, т. е; прежде
чѣмъ найдемъ каково ея значеніе
прп п = оэ, разсмотримъ выраженіе
а
о
гдѣ «= плп а < п прп томъ всегда положительно. Предположимъ кромѣ того, что <р(Р) между предѣлами перемѣннаго (3 = о п Р = а положительна и что эта функція уменьшается въ то время, какъ Р измѣняется отъ нуля до Р = а; плп по крайнѣй мѣрѣ что прп этпхъ измѣненіяхъ перемѣннаго функція пе возрастаетъ. Найдемъ предѣлъ, къ которому стремптся 7?,, въ то время, какъ п возрастаетъ до безконечности. Пусть
(2» -ф-1) р — г;
поэтому
(гп + і) а
Предположимъ, что п есть достаточно большое число, что тк есть такое кратное отъ ~ чпсло, которое наиболѣе близко подходитъ къ (2п-]--|)а, оставаясь меньше этого послѣдняго. Положимъ для краткости
тогда предыдущее выраженіе можно представить въ впдѣ
Разсматривая этотъ рядъ, мы впдпмъ, что онъ состоитъ пзъ членовъ постепенно уменьшающихся и поперемѣнно измѣняющихъ своп знаки. Въ самомъ дѣлѣ, функція 7? (У), стоящая подъ знаками интеграла, уменьшается прп переходѣ отъ одного ѵ г ЗІЛ
члена къ слѣдующему, ибо во всѣхъ членахъ имѣетъ одну п ту же
величину; функція же
по условію уменьшается плп сохраняетъ одно и тоже значеніе по мѣрѣ того, какъ $ измѣняется отъ о до а, наконецъ, производитель зіп т"—возрастаетъ отъ одного пнтеграла до другаго, ибо г возрастаетъ прп переходѣ отъ одного пнтеграла къ другому, слѣдовательно члены ряда Д, идутъ, уменьшаясь; наконецъ легко убѣдиться, что этотъ рядъ есть знакоперемѣнный. Въ самомъ дѣлѣ, множитель
всегда положительный по первоначальному условію, множитель йіп е положителенъ въ предѣлахъ измѣненія % отъ о до іг, отрицателенъ въ предѣлахъ отъ т. до 277 п т. д.
Итакъ представленъ такпмъ знакоперемѣннымъ рядомъ (5), въ которомъ члены идутъ, постепенно уменьшаясь. Извѣстно, что останавливая такой рядъ на какомъ лпбо опредѣленномъ членѣ, мы дѣлаемъ погрѣшность, которая по числовой величинѣ меньше чѣмъ первый отбрасываемый членъ,•поэтому, выбпрая довольно большое число 7с, можемъ на писать
1;-
О ~ {Іъ •— | ) “
гдѣ
а слѣдовательно пра достаточно большомъ 7с, плп что все равно прп довольно большомъ «, погрѣшность ш можетъ быть сдѣлана менѣе данной велпчпны. Замѣтимъ, что можно представить въ видѣ
Въ предѣлѣ, т, е. прп п — со
Здѣсь подъ <р(е) мы разумѣемъ ту величину функціи <р» которую принимаетъ эта функція, когда «—со, плп # —о. По мы пишемъ въ предѣлѣ ср(е) вмѣсто <р(о), чтобы означпть, что по мѣрѣ того какъ ——- приближается къ нулю, 2^ —р !
функція <р остается положительною, ибо еслп бы функція ®(да) прп х — о претерпѣвала нарушеніе непрерывности, то она прп да —о можетъ пмѣть разныя значенія, смотря потому, переходитъ ли да черезъ нуль отъ положительныхъ, илп отъ отрицательныхъ величинъ. Итакъ
8ІП 3
т / 8ІН 8 ІІШ хЬц —• /
8І11 Я
о г. (к—і)~
Повторяемъ, что увеличивая Іс, мы можемъ сдѣлать здѣсь менѣе всякой данной величины. Въ этомъ легко убѣдиться между прочимъ по послѣднему члену, на которомъ останавливаемъ рядъ. Этотъ членъ есть
Пусть # — (к— і)т?-Ру, гдѣ у есть перемѣнная величина, вводя это перемѣнное представляемъ разсматриваемый членъ въ видѣ
8ІП у
О
числовая величина этого члена, независимо отъ знака, менѣе чѣмъ
о
но эта величина, при возрастающемъ Іс, можетъ быть сдѣлана менѣе всякой данной
величины.
Итакъ, полагая Іс = оо, мы можемъ написать
о
но мы видѣли, что
поэтому
До сихъ поръ мы предполагали, что <р (р) положительна и уменьшается въ то время, какъ перемѣнное измѣняется отъ о до а. Допустимъ теперь, что функція <р (р) отрицательна и уменьшается (т. е., что числовая величина ея возрастаетъ). Принимая, что функція о(р) не обращается въ безконечность, мы всегда можемъ выбрать постоянную С такъ, чтобы сумма
с + ?(Ю
была положительна въ то время, какъ р измѣняется отъ нуля до а. Эта сумма будетъ постоянно уменьшаться и если ею замѣнимъ <р(р) въ предыдущихъ формулахъ, то сдѣланныя заключенія останутся вѣрными п мы будемъ пмѣть
а
|.т Ліі (2П + 1 ) 0 [с + ? (₽}] = Л. [С + ? (₽)]
9 01«I рх ~
о
илп
а а
Г 5ІП + 11 Вйр . / 8ІІІ (2М + 1 ) 6 ГОУ .0 ~ Г/*і . /Длі
1'У°- + "уф(М=ѵ[0 + ?№]
о о
НО
(Ь)
зіп Г о.п -4-1) р зі п г &е
а такъ какъ въ предѣлѣ
о
о
поэтому выраженіе (Ь) прпнпмаетъ впдъ
а
о
НЛП
а
Ііт Пл =;1ііп(? (Ю $ = “ ? (Р)
О
Такимъ образомъ мы впдпмъ, что то выраженіе, которое мы нашли для Ііш въ предположеніи, что о (Р) положительна н уменьшается между извѣстными предѣлами перемѣннаго, остается справедливымъ и для случая, когда <р(Р) отрицательна.
Еслп функція о (р) положительна и возрастаетъ, то, чтобы придти къ заключеніямъ касательно Кпі2?„, стоитъ только въ предыдущихъ формулахъ измѣнить знакъ, т. е. принять, что С есть достаточно большое отрицательное число п тогда окажется, что величина предѣла Ит И„ будетъ та же, но знакъ ея будетъ отрицательный.
Итакъ заключенія, къ которымъ мы пришли, справедливы во всякомъ случаѣ, если только функція о (р) между извѣстными предѣлами перемѣннаго плп постоянно увеличивалась плп постоянно уменьшалась. Ио легко убѣдиться, что теорема, доказанная касательно предѣла Н„, справедлива и тогда, когда ср (Р) между извѣстными предѣлами перемѣннаго то возрастаетъ, то уменьшается, лишь бы она между этими предѣлами не обращалась въ безконечность.
Мы видѣли, что
«
о
для п= со. Еслп замѣнимъ предѣлъ а величиною 5, выбранною прп условіи Ъ < а, то очевидно
Ь
іш Гъ (?) =л (е)
1 ЗІП р » Г 2 ч-п
О
ибо а и & произвольны и только а < Вычитая это выраженіе изъ предыдущаго,
полупимъ
а
Ііш ф (Р) <гр = о
/ 5І1І р
1)
(0
Допустимъ, что функція <р(р) измѣняется такъ, что то возрастаетъ, то уменьшается прп измѣненіи перемѣннаго р отъ нуля до «, Прп этомъ мы можемъ пнтегралъ, взятый между предѣлами о л а, разложпть на нѣсколько другихъ такпмъ образомъ, чтобы для каждаго пзъ этпхъ подраздѣленій <р (р) плп только возрастала, пли только уменьшалась между предѣлами каждаго отдѣльнаго интеграла. Поэтому, полагая для краткости,
8-іп^+пД (Ю = гг₽)
8111 р
змѣемъ
Ъ с а
г*
ПшД, —ііш / ^(Р)^р^/^(Р)йр^.........+ / г(р)йр
о Ъ 1ь
но по выраженію (с) всѣ интегралы этого ряда кромѣ перваго обращаются въ нулп н остается, что
Ъ
Ііш Яп = Ііш / Г (Р) ? (с)
о
Дѣлая всѣ этп заключенія о предѣлѣ, къ которому стремится функція Ип> по мѣрѣ того какъ п стремится къ безконечности, мы предполагали что а <. —плп по большей мѣрѣ Допустимъ теперь, что а > —, но а < тг, тогда мо-
жемъ принять
а — ~ — Ъ гдѣ Ъ <. — тогда 2
аза
у?(₽)$=Г(Й^+/Р(М О О -
но, полагая (3 —~ — у, п вцдя, что прп р — -у = —, а прп р=а;
у = -я — а — Ъ, находимъ
л
I-о
Ъ 2
/ 8ІІі[(2Н -Н Оу] , . , , / 8ІП[{2Я 4- 1)у] , , ,
—' /---_И__-------Ш_т Г-т: — у) ({у — ' /-------к!—-------Ш_ф _ у) йу — о
] 5111 у ' і- і / 5111 у тч м (
г. Ъ
2
конечно это имѣетъ мѣсто въ предѣлѣ, ибо при Ь <“ выраженіе (с) примѣнимо.
Итакъ если а > но а < тт. то и тогда 2
ИіП Ии — «*ѵ* а г
ііт и (₽) й₽ = 1ІШ АіК?»_±2)Аѳ (й = Л. О (Е)
/ 8І11 р / 5І11 р ' 2
О О
итакъ положеніе, что
Ііт = — ф (г), справедливо, какова бы не была функція лить бы она не обращалась въ безконечность между предѣлами |3 = о и (і'=а, гдѣ а <
Имѣя это, возвратимся къ нашей суммѣ 2« -г 1 первыхъ членовъ періодическаго ряда, т. е. къ суммѣ 2Г
2П -Р 1
8п^— — 21Г / , X- / 5111 0 Пусть здѣсь ——— = Р; # — а — 2р; < СЕ 2 И 5„=± Д1Й5+1) 75 у 5ІІІ р 2 /(а) йа 2 ^а, — —2(?р; тогда — 2р)сф
Предположимъ сначала, что я заключается между предѣлами о а 2^, плп ~ между предѣлами о и к. Тогда
ІС ж _
—““ 2 2
5„=± Дм(2!і±2Ш Кх _ =й ± +1Ш-лз- зЮ а?
1 зіп р / зіп р
о о
ПЛП
X —' X
3 т: ——
5,,=А /5іі'Ки+1)Я^_^дв+1 8ІПр ,и/ 8ІПр
О о
ибо вообще
о о
(0
осли поставимъ—р вмѣсто + р
Интегралы выраженія (Г) мы выше разсматривали, ибо — < Слѣдовательно, предполагая, что функціи /’(ж — 2@) п /(ж+зр) не обращаются въ безконечность между предѣлами интеграловъ, получимъ
Ііш 8„ 8 =
Дж~ё) + -“/(я-і-е)
плп
АО -Н) -г —<9
гдѣ /(ж + е) есть величина функціи для аргумента ж, когда перемѣнное достигаетъ этой велпчпны, уменьшаясь; а /(%—а) есть величина функціи, когда перемѣнное достигаетъ ж, увеличиваясь. Но это разграниченіе нужно только для функцій способныхъ претерпѣвать нарушеніе непрерывности.
Если функція есть непрерывная, тогда/(жа) =/(ж — а) = /,(ж) и
8 =
отсюда заключаемъ, что разсматриваемый періодическій рядъ представляетъ ту функцію, для которой мы опредѣляли коеффпціенты ряда.
Для -г —о изъ выраженія (е) находимъ
о
П- =₽) <?₽
пли по предыдущему замѣчанію
пусть въ послѣднемъ интегралѣ 2р = 2(тг— у), тогда
Предполагая, что функція [(х) остается конечною между двумя извѣстными предѣлами перемѣннаго и примѣняя къ этому случаю предыдущія заключенія, выводимъ, что
Еслп разсматриваемая функція непрерывна, то
Ит 8„
2 Ь
Если эта функція, кромѣ того, періодическая еъ періодомъ атс, то очевидно
ы ээо
/(о) =/(атс) и тогда
5 = Г(о).
Такпмъ образомъ молено считать вполнѣ доказаннымъ, что прп извѣстныхъ условіяхъ періодическій рядъ представляетъ ту функцію, по которой опредѣлялись коеффпціенты этого ряда.
46. Опредѣляя коеффпціенты Ао, Ак, Вк разложенія функціи въ періодическій рядъ, мы предполагали, что функція остается конечною между предѣлами перемѣннаго о п іг, еслп же разсматриваемая функція остается конечною только въ болѣе тѣсныхъ предѣлахъ измѣненія перемѣннаго, напр. для значеніи х содержащихся между х == о п ® = «, гдѣ а < т;, то, чтобы сдѣлать предыдущія соображенія примѣнимыми п въ этомъ случаѣ, слѣдуетъ преобразовать функцію ?(х) по новому перемѣнному. Въ самомъ дѣлѣ, еслп /(гс) остается конечно меледу х = о и х = а, то, вводя неремѣнное х, подъ условіемъ х — будемъ пмѣть функцію , К0‘ торая по перемѣнному у будетъ конечна для всѣхъ значеніи у, заключающихся между у = о и у~~, если только функція /[х] конечна по перемѣнному х между ж = о и ж — а, ибо прп у=о, х=о: при у = ~, х = а. Введя въ данную функцію перемѣнное у, допустимъ, что эта функція разложена въ рядъ
/* = Л-о 4- Аг созу 4* Л 2 соз ъу 4-.....
-г и у -г 5ІІ1 2У 4-...........
откуда 4 »
Л>= ъг // \~г) &У; = — // соз ку сіу
іи / \ і* / і'т I V іи /
О О
2 / . /'ау\ . 7 ,
Вк=~ / / I “) 81“ ку ау іи / \ и /
О
Возвращаясь къ первоначальному перемѣнному х, находимъ
гдѣ
а
‘I /
о
47. Примѣнимъ изложенную теорію къ развитію нѣкоторыхъ функцій въ періодическіе ряды.
Разложимъ въ періодическій рядъ соз рх. Такъ какъ, косинусъ есть функція четная, то рядъ необходимо долженъ зависитъ только отъ косинусовъ и будетъ имѣть форму
соз рх
+ аЛ соз а- 4“ а., соз га
» т
4- а „ соз пх
По общему вышеуказанному выраженію
2“ Г.
соз рх соз пх. йх — / соз у.х соз пх. (Іх
□ о
гдѣ р есть какое угодно
число, а п есть цѣлое число. Мы знаемъ
2 соз рх соз пх = соз ( р -г «) х + соз (р — п) х
слѣдовательно
соз р..т соз пх Лх
зіп (р. -г п) х . зіп (р- — п) х
[у. [зіп (р 4- гі) х + зіп (р — п) а,'] -р «[зіп (р — х — зіп (р. п) а] 2 (р? — я2)
___р зіп ах. соз пх п зіп пх . соз у-х р? — пг р? — пг
слѣдовательно
/ , зіпрк.СОЗ ЛК , 8111 Р“
/ соз ах. соз пх (Іх = у. —Ц-;— = (—1) р —5—-—
/ г р?— я2 1 р2—п2
о
и наконецъ
аи = 1Г
2р. ЗІП р.К 7С р.2 — П2
Давая здѣсь п всѣ значенія отъ о до со, пмѣемъ
2 зіп ил, 2 а зіп рк
йу =-----; а, =---------'--Н—г
и ч; р. 1 тс /л-— 1
ар зіп ик
«2 ~----Г5—
2 т? Р—4
и т. д.
Если бы мы написали разложеніе косинуса созр-ж въ впдѣ
€05 Ц.Ж = — -р аг €05 ж Ч- ^2 соз 2Ж ~г &3 соз 3х ~г....
і
4- &г ЗІП X -г &2 зіп 2Ж 4- &3 ЗІП ЗЖ -Г..
то, представляя по предыдущей теоріи общій коеффпціентъ синусовъ въ видѣ
П -----
соз Ц-х зіп пх сіх
о
подобно предыдущему, легко убѣдились бы, что &„ = о.
Птакъ
8111 ил? 20. 8111 О.7С 20. 8111 ОЯ
соз ОЖ =------'-5—!—г СОЗ Ж 4-- ~1-СО5 2Ж —
о~ я о/ — I т: и." — 4
11 *
ПЛИ
СОЗ и-Х
ЗІП О.” 20" 2 0.-
---5-- -1---4—7 СОЗ Ж 4---4---СОЗ 2Ж —
и.7й _ • и2— I О.-—4
Это п есть искомый періодическій рядъ для созр,ж.
Положимъ ж = я, тогда этотъ рядъ обращается въ
слѣдующій знакопостоянный
пусть еще
8111 Ц-Тс
СОЗ Ци =------------1---
Ь II
ягіл = и, тогда
соія и = — 1 и _
2 и.2 к
и.
2 и.2
7
2“2
1 «2— -к2
2гЧ и2 — 4. я2
2
пли
1 , 2^
I ►! 4
гі и- — іг
2« )
«2 — дк2 “
*
Это есть безусловно сходящійся рядъ, представляющій разложеніе котангенса.
Помноживъ этотъ рядъ на п взявъ пнтегралъ, получпмъ
зіп и = 1<* и 4- 1$ (гі~ — я:2) 4-1* (и2 — 4~2) 4-...........................1* С
гдѣ С есть произвольная постоянная. Поэтому
зіп и= С. и {и2 — я2) (?«2 — 47С2) (и2 — д~2)............
откуда
*
82Л1{ С _ я2) (и2 — 4~2} (и* —
/811)
но такъ какъ прп и — о, ]нп 1 = 1, то, прп « — о, предыдущее выраженіе принимаетъ впдъ
'I == С( — ~2)(— 4^2)(— 9~2).......
Слѣдовательно
«
прп гі — ~ отсюда получаемъ слѣдующее выраженіе для опредѣленія
2
Разложимъ еще въ періодическій рядъ функцію
Такъ какъ разсматриваемая функція есть четная, то представимъ ее въ впдѣ
Г(х)~ “ -г е-яд! = Ас -|- А1 сс8 х 4- А2 соз 2х Ц- А? соз зх -р.
На основаніи вышеприведенныхъ общихъ формулъ для' опредѣленія коеффпціентовъ Ао п Ак пмѣемъ
Г. г.
л 1 / ( ах . — ах. -1 , 2 1 , ах , — а:с-. 7 >
Ло=~ / (е +е )ах; Ак =—/Се +е )ѵ>азкхах о о
Первое пзъ этпхъ выраженій прямо даетъ
А=~(|? ~е )
Для опредѣленія Ак замѣтимъ, что мы имѣли выше
(а. соз кх + к. зіп йж) + С
(а. соз кх к. 5Іп кх) -}-
С
Взявъ этп интегралы между предѣлами, находпмъ
слѣдовательно
о
о
соз кхах = —
откуда выводимъ
р сі<. к (а2 4- 12)
слѣдопательно
2«
соз Ісхсіх =
— (ІТ,
- а~ —а~ѵ е —е
2Л г а~ —а~
п(«2 4
г ах , -~ах-,
й & 4- с 1 005 X , СОЗ 2Х СОЗ $Х
2а а-_____ ~ат. ~2а2 12 4- а- ”г 22 — а2 з24т«2
откуда и выводится искомое разложеніе разсматриваемой функція /(ж) въ періода ческін рядъ.
4-8. Говоря объ опредѣленныхъ интегралахъ п періодическихъ рядахъ, нельзя не упомянуть о теоремѣ Фурье, въ которой знаменитый французскій геометръ показалъ, что всякую функцію можно представить опредѣленнымъ интеграломъ.
Разсмотримъ два двойныхъ интеграла вида
7 Л-
! (ІгСоз (г?/) соз (ж?/) (Іу = -Р о о
О О
(а)
мы предположимъ, что предѣлы интеграловъ постоянны п /* («) непрерывна между предѣлами перемѣннаго х ~ о п х = I. Прп томъ мы допустимъ, что эта функція однозначна между указанными предѣламп. Прп существованіи этого послѣдняго условія можно даже допустить, что функція /’(ж) претерпѣваетъ нарушеніе непрерывности между предѣламп интеграла.
Представимъ два разсматриваемые пнтеграла въ впдѣ
г к
Р = С03 + 008 (?/ +ж))] &У
о о
$ = -? / / [соз (у (г—х))— соз {у (г-(-я))] йу
О О
выполняя интегрированіе по у, пмѣемъ
I I
Р = і Сг-ГВД& + 1 ДШг+^1 ахі іх
2 I У — X 2 I (Г + X)
О О
ГО , г
<2 = 1 Г^[к (г- и)] мах_ 2 йх
2 9 'У СО 2 9
О о
Положимъ здѣсь тогда д,х=Ле\ прп я=о, г=<у п прп х—1>^
слѣдовательно предѣлы интегрированія по д будутъ т п г + ?, итакъ
I г 4-1
/зіп к (г Ч- жі .. . _ / зіп кз .Г . ,
/-----Ч-----С Г (ж) (Іх — /----- Г (— г)
! г-}-х ! .& ѵ
о т
Кромѣ того, пусть г—х=у, тогда понятно, что предѣлы интегрированія по у будутъ у = г и у = г — I. Слѣдовательно
I т-і
/ зіп к(г — «)/.,. 7 / зіпку . 7
/------—= — / -т~ / (»’ — У) &У
9 * 9 1)
о т
пли измѣняя знакъ прп у, мы должны измѣнить знаки предѣловъ, тогда г і~т
/=^~ Г (г + й лѵ = о — V
— г I—г
о
о
или
I 1-г
О оо
пли измѣняя въ послѣднемъ интегралѣ знакъ прп у, пмѣемъ
I 1-г
О 0 0
Слѣдовательно выраженіямъ (а) можно дать впдъ
» I — г г+1
0 0»'
>• I— Г г—1
о о г
еслп предположимъ, что 1: есть большое число, то этп интегралы могутъ быть подвергнуты извѣстному приведенію
Мы уже впдѣлп, что
а Ь
ѵ / ЗІП П „ / ЗІП
Ііш / —-— х(х) (іх — — л- (о); 1іпі / —;— -с- (ж) ах = о
9 & 2 7 Л/
О а
прп 1і = со.
Допустимъ, что Іс есть очень большое чпело п примѣняя этп выраженія къ вычисленію предыдущихъ функцій Р и мы находимъ
слѣдовательно
Выраженія функцій Рп 0, данныя въ впдѣ (а), могутъ быть написаны въ впдѣ
к 1
Р =;оз (гу) сіус'(я) со 5 (ху} (ІХ
о о
?.• 1
/і р
(>= / ЗІП (ту} (Іу I {(я) 8І11 (ху} (ІХ
о о
еслп примемъ здѣсь & = со, то вмѣсто Р п <2 можемъ поставить пхъ предыдущія значенія, п тогда будемъ имѣть
(А)
СО /
/соз (гу) (Іу Сс (х} СОЗ (ху) СІХ — / (г)
с> о
СС. I
і 1 77
/ ЗІИ (г?/) (Іу I /(X) ЗІП (ху)(1х= — /(»•) / / 2
о о
пзъ этого мы заключаемъ, что произвольная функція /*(>•) можетъ быть выражена опредѣленнымъ интеграломъ, въ которомъ перемѣнное г войдетъ не пначе какъ подъ знакомъ епнуса плп косинуса.
Предѣлъ 7 можетъ возрастать неограниченно и предыдущія выраженія останутся справедливыми. Поэтому можно написать, что
со
/(х} СОЗ (Ху} (ІХ — /{г}:
о о
соз 07)^
гм соз (ту} соз (ху} (Іу (ІХ = — /(г)
о
О
зіп (ту} сіу / {(х} зіп (ху} (Іх —
о о
зіп (ту} зіп (Ж?/) (ІХ (Іу — '4-{ (’*)
о о
Еслп поставимъ — у, вмѣсто у, то функціи соз (ту} соз (ху} п зін (ту} зіп (ху}, т. е. подъпптегральныя функція не измѣнятся, поэтому упомянутыя функціи должны считаться за четныя функція отъ у, слѣдовательпо предыдущія выраженія можно на-
писать въ видѣ
3/=+со ,т=гоо
СО <Т=О
(0)
у=+со #=СО
//«>«'' '"'=-ги
2/™—оо гс=о
эти два уравненія, показанныя въ первый разъ французскимъ геометромъ Фурье, даютъ возможность находить нѣкоторые опредѣленные пнтегралы.
49. Чтобы показать это примѣненіе интеграловъ Фурье, разсмотримъ нѣсколько частныхъ случаевъ.
Наппшемъ пнтегралы Фурье (А) въ видѣ
2 г г
— I I 1? (7) соз (_«?<) соз (гіі) Ни сіі
о
□
(В)
Примемъ въ первомъ интегралѣ = тогда понятно, что п = пополняя въ остальномъ интегрированіе по і между предѣлами о н I, пмѣемъ
гі
откуда
и
о
Сё)
Такпмъ образомъ мы получили величину опредѣленнаго пнтеграла, значенія котораго въ неопредѣленномъ впдѣ мы не внаемъ
Въ этомъ же первомъ пзъ интеграловъ (В) примемъ Р (ж) = т, тогда Р(і) — і слѣдовательно
о о
чтобы выполнить интегрированіе по і замѣтимъ, что
II 'Г
и2
и
о
о
--- — 2 и
и
Поэтому разсматриваемый пнтегралъ принимаетъ впдъ
поставивъ здѣсь вмѣсто перваго пптеграла его найденную
выше величину пмѣемъ
Поставивъ здѣсь 2? вмѣсто имѣемъ
Такпмъ образомъ получаемъ значеніе другаго опредѣлеппаго интеграла. Въ томъ же интегралѣ (В) примемъ ь ъ
Р'(х}='і ^(у)е~хѵ<Яѵ, тогда Р(і)=Сс(ѵ)еГіѵ &ѵ а а
поэтому
со»
со со о
Ш/'-о о а
Выполняя интегрированіе по і, замѣтимъ что
ь
“ XV 7 аѵ
V
I я,2
о
слѣдовательно предыдущее приводится къ
2 / / ѵ со5 (и%) сіи сіѵ
я / / гР 4- г;2
о а
С/ •?
е аѵ
ОО
еслп примемъ здѣсь ж = о п /'(ѵ) =
= , кромѣ того выберемъ предѣлы а п Ъ такъ, что положимъ а = о; 5 = 1. то тогда предыдущее обращается въ
СО I
09
тдѣ предѣлы интегрированія о и 1 относятся къ перемѣнному ѵ\ выполняя интегрированіе по этому перемѣнному, сдѣлаемъ подъпнтегральную функцію раціональною, для этого по извѣстному, правилу примемъ 1 — ѵ2 — ^2, тогда пнтегралъ отно-сптельно ѵ приметъ впдъ
/ V сіѵ __ і — сія
I („2 _|_ ^/Т^Ѵ2 + 1 — г2
,пусть для краткости г<? -}- 1 — д2, тогда разсматриваемый пнтегралъ обращается въ
/ сЪ
/ 82 — а2
Разлагая входящую сюда раціональную дробь н интегрируя, легко получаемъ
ѵИѵ
слѣдовательно
і
о
Поэтому выраженіе (к) обращается въ
Полагая здѣсь « = (апЕл;, пмѣемъ і/‘І =
сіи 1
сіх СО52 х'
При и о п
я=о, прп «=со; х = -~— поэтому предыдущій пнтегралъ принимаетъ впдъ
~{-СО8йГІ 8.Х 7і2
— СОЗ Я.І С08 X 2
о
ПЛИ
и
о
Наконецъ примемъ еще въ выраженіи (1і), Тогда это выраженіе обратится въ
008 Л'
Ь = 1; а =о,
ил п
О)
Для того чтобы выполнить интегралъ по ѵ, разложимъ раціональную дробь на двѣ другихъ, именно пусть
ѵ _________ Аѵ Вѵ
(и~ + ѵ2) (Д + ѵ2) 1 4- ѵ2 и2 -|~ ѵ2
Для опредѣленія А и В пмѣемъ уравненія
А 4-^ = о; 4«2+7?=И
откуда
слѣдовательно
поэтому
-2 1ое02-г <1
и
итакъ
і
о
поэтому выраженіе (к) принимаетъ впдъ
со
о
Это считаемъ достаточнымъ для поясненія значенія въ анализѣ интеграловъ Фурье.
XI.
Опредѣленіе длины дугъ кривыхъ линій, величины площадей ограниченныхъ кривыми линіями и объемовъ тѣлъ.
50. Еслп означимъ чрезъ 8 длину дугп плоской крпвой, считаемую извѣстнымъ образомъ, то элементъ этой длпны, какъ мы знаемъ, представляется въ впдѣ
Если уравненіе разсматриваемой крпвой лпніп дано въ впдѣ у=/’(а;), то
опредѣливъ пзъ него производную
сіу Нх
въ функцію я, внесемъ ее въ предыдущее
выраженіе, которое послѣ этого во второй частп сдѣлается функціею одного перемѣннаго х, по этому послѣднему п должно быть выполнено интегрированіе между данными предѣлами. Предположимъ, что мы хотимъ знать длину такой дуги, одному концу которой соотвѣтствуетъ абсцпса л'о, а другому—абсцпса ж1, тогда прн интегрированіи по х этп значенія х0 п хг должны быть приняты за предѣлы искомаго интеграла. Итакъ искомая длпна дуги будетъ
Примѣнимъ этп простыя соображенія къ рѣшенію частныхъ вопросовъ.
Найдемъ длину дуги параболы. Уравненіе параболы есть у2 — ц)ху откуда
слѣдовательно длпна нѣкоторой дуги
параболы представится въ впдѣ
для интегрированія этого выраженія, слѣдуя извѣстному правилу, введемъ новое перемѣнное і подъ условіемъ
тогда
итакъ
поэтому
Еслп условимся считать длину дуги параболы отъ начала координатъ, то должны будемъ принять прн х=о п з — о; опредѣляя подъ этимъ условіемъ постоянную, находимъ что она равна нулю, въ самомъ дѣлѣ, вводя въ предыдущее выраженіе вмѣсто і его значеніе въ зависимости отъ х, находимъ
очевидно, что при ж = о и $=о, также и С —о; слѣдовательно
таково выраженіе длины дуги параболы.
Для вычисленія длины дуги эллипсиса, въ уравненіе кривой введемъ новое перемѣнное. Разсмотримъ на данномъ эллипсисѣ точку Лт (фпг. 2). Опишемъ пзъ начала координатъ радіусомъ большой полуоси дугу СВІВ. Проведемъ чрезъ данную
с А
О Р В
точку Лт ординату 2ѴРп продолжимъ ее до пересѣченія съ описаннымъ кругомъ въ точкѣ ЛГ, эту послѣднюю соединимъ съ началомъ координатъ, тогда построится угломъ 0021/=©, который примемъ за новое перемѣнное. Этотъ уголъ служатъ дополненіемъ до 900 углу, называемому въ геодезіп приведенной шпротой точки Л7". Прп этомъ перемѣнномъ х = ОР — ОЛГзііі ОЬІР = а зіііф, если подъ а разумѣемъ большую полуось эллипсиса. Изъ уравненіи
эллипсиса
имѣемъ
?/ = ~)/а2 —х-
ио по фпг, 2 впдпмъ, что \/а2 — х-= ЛІР2 п пзъ треугольника ОМР имѣемъ МР = а соз ©, поэтому у = Ъ соз ф. Итакъ
х = а зіп ф ; у = Ъ соз © к 7 I
откуда
да = а соз ф б?©; сіу — — Ъ зіп ф <7<р
слѣдовательно общее выраженіе длины дуги, въ примѣненіи къ этому случаю даетъ
$ = / ]/а2 соз2 © + Ь2 зіп о2 (іф
но Ъ2 — а2 (1 — е2), слѣдовательно
]/'І —е2 зіп2 о с?ф
этотъ пнтегралъ есть эллиптическій втораго вида,, въ конечномъ видѣ онъ взятъ быть не можетъ. Въ виду важности вопроса объ опредѣленіи дуги эллипсиса для математической фигуры земли, мы покажемъ способъ интегрированія этого выраженія посредствомъ ряда, который при малой величинѣ эксцентриситета земнаго меридіана имѣетъ весьма быструю сходимость.
Мы знаемъ, что
І® — І'Д С ' — С
5111 О — —--------.------
‘ 2І
если с есть основаніе натуральныхъ логарпомовъ. Поэтому
Разложимъ послѣдній трехчленъ на два множителя п представимъ его въ видѣ
при этомъ для опредѣленія коеффнціентовъ а и по сравненію съ предыдущимъ выраженіемъ имѣемъ уравненія
откуда находимъ
Означимъ чрезъ 6 уголъ эксцентриситета, опредѣляемый пзъ условія е = зіп 0, тогда
1 -г соз 9 о I — соз О а =------------; =------------
2 2
слѣдовательно <> 0 л - ч а = соз* —: р = зіп- - 2 ' если положимъ . ’ Ѳ іа — =Р ТО 1 — с2 зіп2 ф = а2 II с21'1) Сі - поэтому 2 6 / ЗІ*/Н Г 8 = а со$ — / I -н >7 с 1 1 + і 2 I ь 2 Ь но Г < 1 2 ?Ъ’ і ( , 1 , 4 о 4Н5 . 4 •: 14-яс • = I И рс ‘ 4 р2с -]——- І_ _1 2 2.4 2-4 ". . — 2&ЛЙ ( , 1 *— 1+рс * =1+-Г7?С +—ІГС 1. 2 2.4- 5. 2 — 2І©\ * ”11 — 2І0 2 -г >с 1 а© ь 1 1 • 3 я
перемноживъ эти ряды, легко найдемъ
Пусть для краткости
—р Ч— — А + -------—р3
2 2 2.4 2.4 2.4.6
2.4,6
п т. д.
тогда, помня, что
.—. % ^1^5
С • = 2 СОЗ 2Ф і
= 2 СОЗ 4ф
получаемъ
і
21Ф
— А 4- -4 2 008 2® -4- Л4 СОЗ 4® -Г А С08 бф
слѣдовательно, выполняя интегралъ входящій въ выраженіе дуги 8 по о въ предѣлахъ нуля и ф, пмѣемъ
8 = а соз2
— зіп 2® -?-----------зіп 4® 4
2 ‘4.
гдѣ А есть величина нулеваго порядка относптельно эксцентриситета, А— величина втораго порядка, А ~~ величина четвертаго порядка п т. д. Такимъ образомъ прп незначительномъ эксцентрпсптетѣ этотъ рядъ быстро сходится.
Найдемъ длину нѣкоторой дуги гиперболы; уравненіе этой крпвоіі есть
Въ гпперболѣ абсцпса всякой точкп болѣе большой полуоси, а потому примемъ
а
8ІІІ & I
Внося это въ предыдущее уравненіе, получпмъ
?/-— Ъ соіяф
слѣдовательно
, а сі>8 о , ах =----------- «ф ;
8ІІГФ
Ь йф 8 іи2 ф
такимъ образомъ
йз =
8111“ Ф
или
, і/а- -т-Ъ2 — а2.8ііі“ф
й$ ,-----—-
811г Ф
а- . , —— 811г о
ЙФ
81 ІГ (р
Пусть для краткости
а2
а2 -?
тогда
(ІЗ =
— к- я»2 р ,
-----------
81 И- 9
Чтобы видѣть геометрическое значеніе ф, изъ начала координатъ О (фпг. 3)
Фпі. 3.
опишемъ окружность АВТ и пзъ конца разсматриваемой абсцисы В приведемъ къ этой окружности касательную -Р71, тогда уголъ ВОТ ибо прп этомъ построеніи
а
Х зіп ф
Теперь очевцдно, что съ возрастаніемъ дуги з на гпперболѣ уголъ ф уменьшается, а потому при радикалѣ
слѣдуетъ принять знакъ минусъ. Птакъ
, С^1
аз —----
— Іі* 8І11“ о
8ІІ12 ф
Означимъ чрезъ а уголъ касательной ЛПГ къ гпперболѣ съ осью .г*, тогда
дх
Въ пашемъ случаѣ
(Іу____ Ь
(Іх а соз ф
1
слѣдовательно
, Ъ
[апга=---------
- асозф
I
Опредѣляя посредствомъ этого 8Іпа, находимъ
Іапга Ъ Ь
81 п а =------ — = ------=------ ----------
У I 4- Іапё2 а |/а2 со§2 о -р 62 су\ — к2 8Іп2 ©
Пусть отрѣзокъ касательной тогда
2 — -_Д-—. — с СОІЯ 0 і/'І — Л2 8ІИ2 ф зіп а ° • ѵ
дифференцируя это выраженіе, находимъ
, С (1(й -[/ ‘1 — к2 8І112 ф С к2 СО82 Ф ЙФ сіз =------———............................т =
8П1-© |/-|—к,2 8ІЦ2 О
Придавая п вычитая въ числителѣ послѣдней дроби по сйэ, находимъ
? су-\ — 7?8І!і2<р , с(І-’ к2)<1® 7 ----=^-7—
аз =------------—--------ь «о -4---— —— — е а© і/1 — к2 зіп2 ф
8іп2ф ‘ у1 — к2 8ІП2 Ф
обращая вниманіе на выше найденное выраженіе элементарной дуги гиперболы, находимъ
7 і С('І — 7и2)<?Ф -----тт—,
сіз = а$ -4----------— с і/ I — к- зпг © йф
/ 1 7 • 9 г 1
1/1 — к- 81П2 о Г 1
откуда
5 = г -|- с Е (7<;, ©) — с (1 — к2) Е(к, ©)
гдѣ Е {к, о) п Е(к, ©) по означенію Лежандра суть эллиптическіе интегралы втораго и перваго вида.
.Таково выраженіе длины дуги гиперболы.
Выраженіе элемента длины дуги въ полярныхъ координатахъ есть
7 7 1/^ Л?ГѴ
(І8 = й© I/ Г- -4- ( -ѵ-
1 У \сІу/
Примѣняя это выраженіе къ рѣшенію вопроса о длинѣ крпвой, опредѣлимъ длину дугп архимедовой спирали, уравненіе которой есть
г = а<р
откуда
= а, слѣдовательно для архимедовой спирали
(І8 = ау 1
о2 г7ср
пптегрпруя это въ предѣлахъ отъ нуля до <р, пмѣемъ
<? )/і 4- ?2 + (Ф + ]/?2 + '!)
Лрн опредѣленіи длины дугп крпвой двоякой крпвнзны (не расположенной въ одной плоскостп) мы должны пользоваться выраженіемъ элемента, представляемымъ по тремъ коордпнатамъ въ впдѣ
сіз — ]/ сіх1 + Ну- 4- <№
Примѣнимъ это выраженіе къ опредѣленію длппы дугп кривой, происходящей отъ пересѣченія двухъ какпхъ лпбо кривыхъ поверхностей.
Два параболпческпхъ цилиндра, представляемыя уравненіями
у- — 2Сіх: з2 = 2Іх
пересѣкаясь, даютъ въ пересѣченіи кривую линію, координаты точекъ которой удовлетворяютъ совмѣстно предыдущимъ двумъ уравненіямъ. Этп два уравненія совмѣстно и представляютъ разсматриваемую кривую. Паппіиемъ предыдущее уравненіе элемента крпвой въ видѣ
Пзъ уравненій крпвой находпмъ
плп представляя обѣ производныя въ завпспмостп отъ одного перемѣннаго х, находимъ
слѣдовательно
, и-х ч / 2.г 4- а 4- Ъ .
й8=7? I ——
Пусть
2,г 4- а 4- Ь _
тогда
а 4- Ъ (а 4- Ь') 2і сіі
х = ; ах =-----------------
і- — 2 (г — 2)2
слѣдовательно
|/ г(а 4- &) Р сіі
что можно представить въ впдѣ
Пользуясь вышеприведенною формулою пониженія [см. стр. 346 уравненіе (6)]
плн вводя первоначальное перемѣнное, получаемъ
]/ 2% 4- а -г- Ь — ]/2ж
Еслп хотимъ представить элементарную длину дуги кривой двоякой кривизны по полярнымъ координатамъ, то примемъ
V 005 Ѳ СОЗ О У — г СОЗ О ЗІП <р г = Г8ІП 6
откуда
(ІХ = СОЗ О СОЗ Ф (ІГ — Г.ЗІП Ѳ СОЗ ф <?Ѳ — Г СОЗ О ЗІП Ф с?э < < <4
(Іу == СОЗ Ѳ ЗІП <р (ІГ — г зіп Ѳ ЗІП Ф 6? 6 + г соз 0 соз Ф с?ф
(ІЗ — 8ІП О (ІГ -г Г СОЗ О
поэтому
(Із2 = (ІГ2 + г2 с?Ѳ2 4- г2, соз2 О (?Ф2
Примѣнимъ это выраженіе къ опредѣленію длины крпвой, происходящей отъ пересѣченія сферы и эллиптическаго цилиндра.
Предположимъ, что пзъ начала координатъ радіусомъ с описана сфера
х2 -г У2 + = с
п что на плоскостп ху съ центромъ въ началѣ координатъ описанъ эллипсисъ, полу-)сп котораго суть а п Ъ. Прямая, движущаяся по этому эллипсису и остающаяся въ движеніи параллельною оси з. произведетъ цилиндръ; уравненіе этого цилиндра
будетъ
00
въ пересѣченіи этпхъ поверхностей получится кривая, называемая сферическимъ эллипсисомъ. Уравненіе этой крпвой представится совокупно уравненіями (а) и (Ь).
Найдемъ длину дуги сферическаго эллипсиса. Представимъ его уравненія въ полярныхъ координатахъ. Пусть какъ прежде
х — г соз Ѳ 608 о у = у С08 О ЗІП ф
3 = У ЗІП Ѳ
Такъ какъ весь сферическій эллппспсъ будетъ расположенъ на поверхностп сферы, то для всѣхъ его точекъ г будетъ постоянная величина. Итакъ, въ этомъ случаѣ одно пзъ уравненій разсматриваемой' крпвой будетъ
у = с
Внося полярныя координаты въ уравненіе (Ь), представимъ это уравненіе въ видѣ
(О
(&2 соз2 9 -т- а2 зіп- ф) соз2 0 = • -
Такъ какъ въ этомъ случаѣ (?г = о, ной дугп приметъ видъ
то предыдущее выраженіе
длпны элементар-
(0
I
СОЗ2
Для опредѣленія у- будемъ дифференцировать уравненіе (с)
въ предположеніи
т ~ пост., тогда находпмъ
сІѲ__ (а2 — 62) зіп © соз 9 соз О
Ь а2 зіп2 <р) зіп О
чтобы сдѣлать эту производную функціей одного перемѣннаго 9, исключимъ 0 посредствомъ уравненія (с). Изъ этого уравненія пмѣемъ
СОЗ 0 =
аЬ
зіп 0 --
Внося это въ предыдущее уравненіе, приводимъ его къ виду
сіЬ__ аЪ(а- — &2) зіп 9 соз 9
^9 (&2 соз2 ф -ь а2 зіп2 ©)]/с2(&2 соз2 9 -|- а2 зіп2 9) — а2 &2
Внося это вмѣстѣ съ предыдущимъ выраженіемъ соз Ѳ въ выраженіе (0, послѣ сокращеній находпмъ
_ а&т/а4(с2 — &2) зіп2 9 + &* (с2 — а2)соз2Ф ,
(а2 зіп2 ф + &2 соз2 9) і/«2 с2 зіп2 о + &2 о2 соз2 о — агЬ2 1
Это выраженіе можетъ быть интегрировано въ конечномъ впдѣ только въ томъ случаѣ, когда радіусъ сферы будетъ равенъ большой полуоси управляющей цилиндра.
Въ самомъ дѣлѣ прп с = а это выраженіе принимаетъ видъ
, а2 Ъ 3$
“5 = ---Г~Гі—т
а15іи* ф -Ь о1 со8і ф
• I
илп
Л а (Іу
I Ъ С082 О
5 = а I-------—=------
У 'I + ~ (ал§2 <р
поэтому
Л А
з = а. агс Нап§ — ѵ Іап$ © \
Чтобы получить длину четвертой части кривой, слѣдуетъ взять этотъ интегралъ между предѣлами о п —, тогда очевидно найдемъ, что эта четверть есть а потому длина всей кривой составляетъ гка. Такпмъ образомъ длпна сферическаго эллипсиса (въ разсматриваемомъ частномъ случаѣ) равна' длинѣ окружности большого круга сферы.
Не останавливаясь болѣе на этомъ, перейдемъ къ опредѣленію величины площадей, ограниченныхъ кривыми линіями.
51. Мы видѣлп, что элементарная площадь, выраженная прямолинейными координатами, есть у&х, слѣдовательно конечная площадь представится интеграломъ
взятымъ между извѣстными предѣлами.
Примѣнимъ это выраженіе къ опредѣленію площадей, ограниченныхъ нѣкоторыми кривыми линіями.
Для круга, уравненіе котораго есть ?/24-а;2 = а2, имѣемъ у = -\/аі— я2, гдѣ а есть радіусъ разсматриваемаго круга. Итакъ въ этомъ случаѣ
интегрируя это по частямъ, получимъ
придавая и вычитая въ числителѣ подъ знакомъ интеграла по а2, получимъ
пли
(1)
плп еще
ху а
2 2
а агс зіп = -
Первый членъ Фиі, 4.
представляетъ собою площадь треугольника ОАВ (фпг. 4), второй— площадь сектора СОА. Такпмъ образомъ весь пнтегралъ, взятый по х между предѣлами х—о п х—ОВ, представляетъ площадь САВО. Чтобы вычислить ио этому выраженію четверть площади круга, слѣдуетъ взять интегралъ (1) по х въ предѣлахъ отъ х=о до х=а, тогда найдемъ, что четверть площади круга есть —, а слѣдовательно цѣлая площадь круга предста
вится чрезъ сгті.
Найдемъ величину площади эллипсиса. Ордината эллипсиса есть
У
2
слѣдовательно
Площадь круга, описаннаго около начала координатъ радіусомъ а, равнымъ большой полуоси эллипсиса, есть
Слѣдовательно
Но _Р = т:а2, слѣдовательно площадь, ограниченная эллипсисомъ, есть
Всѣ кривыя, представляемыя уравненіемъ у =рх гдѣ гл и « суть положительныя различныя между собою числа, условно называются параболами. Найдемъ площадь ограниченную кривой линіей, представляемой этимъ уравненіемъ. Эта площадь по общему выраженію будетъ
пли
тр'“ х
т.ху
п -}- т
Но произведеніе ху есть очевидно площадь прямоугольника, построеннаго по координатахъ х и у, т. е. площадь ОР(^М (фиг. 5). Вычитая изъ этой площади пло-
Фм. 5. щадь выше найденную, получаемъ площадь г^=0(2М; итакъ
т ху п ху
и —ху--------—---------~
т ~і~ п т-}- п
откуда заключаемъ, что Р__________________________т
и п
Такимъ образомъ парабола дѣлитъ площадь прямоугольника, построеннаго на ординатѣ, на двѣ части, относящіяся между собою какъ т относится къ и. Въ обыкновенной квадратной иараболѣ іп = 2 и п = 1, слѣдовательно въ обыкновенной параболѣ площадь ОМР составляетъ -| прямоугольника О(^МР.
Найдемъ площадь, ограниченную нѣкоторою дугою гиперболы. Изъ уравненія гиперболы, отнесенной къ центру, пмѣемъ
слѣдовательно искомая площадь будетъ
Интегрируя это по частямъ, выводимъ
2
2 -г- а2 — а-
а2
плп
2
— а2-
Для интегрированія въ послѣднемъ членѣ введемъ новое перемѣнное е подъ условіемъ
тогда
х йх
слѣдовательно
(ІЗ (Іх
Итакъ
пли
Слѣдовательно искомая площадь представляется выраженіемъ
Постоянная опредѣляется пзъ условія, что прп низшемъ предѣлѣ, т. е. при х = а == 0.-1 (фпг. 6) пнтегралъ обращается въ нуль. Итакъ
аЪ
а
2
откуда
а2
2
Слѣдовательно
Ъх ]/х'2 — а- аЪ 2
2Й
аЪ
2
э
плп
хи аЪ . (х , у\
— ($____и г.
2 2 ЧІ ‘
Искомая площадь есть ЛдИР п она теперь представляется разностію двухъ площадей; площади треугольника 0МР- — (фпг.6) л площадп ОМА — ~ (— 4
2 \«
Выраженіе элементарной площади по полярнымъ координатамъ имѣетъ впдъ
>1 (Іи — — р2 сіы 2 г
гдѣ подъ р разумѣемъ радіусъ векторъ п подъ со его-уголъ съ нѣкоторой постоянной прямой.
Примѣнимъ это выраженіе къ опредѣленію площади ограниченной частію гиперболы. Разсмотримъ равностороннюю гиперболу, для которой оси а — Ъ и примемъ
ихъ за единицу, тогда уравненіе равносторонней гиперболы представится въ видѣ ж2 — у2 = 1.
Примемъ за полюсъ начало координатъ, тогда радіусъ векторъ будетъ разстояніе точкп гиперболы отъ начала координатъ. На фиг. 6 для точки Ж радіусъ векторъ р — ОМ. Пусть со = ЖОж, уголъ со будемъ считать отъ осп х въ ту п другую сторону. Координаты точки Ж будутъ ж = рсо$со, у = рзіпсо. Слѣдовательно уравненіе равносторонней гиперболы въ полярныхъ координатахъ будетъ
р2 (соз2 со —зіп2 со) — 1
поэтому элементарная площадь гиперболы представится въ видѣ
, с/со
и>и — ; - -
2 (С05" СО — 51В2 со)
Интегрируя это, пмѣемъ
. разлагаЛ’ дробь на элементарныя и пнтегрпруя, пмѣемъ
и —
Вычислимъ по этому выраженію площадь, ограниченную дугою Ж4Ж', состоящею пзъ одинаковыхъ частей АМ' п АМ по ту п другую сторону оси х. При такомъ условіи, предыдущій пнтегралъ по перемѣнному со, долженъ быть взятъ между предѣлами — со и 4- со. Означимъ эту площадь чрезъ «?, тогда
ѵ =-
Іа со
Іаіщ со
О
1 — Іап^со \
1 (ап§ со А
ллп
пли наконецъ
"I і / '• + Іаіщ со \2
— ] (г ( --------- 1
4 ° \ 1 — (ап§ со }
1 и ( 1 + іаіІоф\
2 ® \ 1 — (ал§ со 7
•откуда
Іап§ со
помноживъ чпелптеля и знаменателя дробп во второй часто на с \ находпмъ
Это равенство послужило основаніемъ къ названію функцій
соотвѣтственно гиперболическимъ синусомъ, косинусомъ и тангенсомъ.
Весьма примѣчательное свойство имѣетъ площадь Декартова листа. Уравненіе Декартова листа есть
жэ — залу ~ о
Мы видѣли, что эта кривая имѣетъ асимптоту (фпг. 7), уравненіе которой есть
Фиг. 7.
.Г У 4" а “ 0
Для опредѣленія площадп ограниченной кривой, введемъ полярныя координаты. Пусть
X = О, СОЗ <0, у = р. 8І11 <0 тогда уравненіе крпвой, представленное въ полярныхъ координатахъ будетъ
3 а. зіп <о. соз со г" зіп® оо С08® оо
Уравненіе асимптоты въ тѣхъ же координатахъ есть __ — а
ЗІП (О 4- СОЗ оо
Сначала опредѣлимъ площадь, ограниченную сомкнутою кривою ОаМЪ (фпг. 7); для этого будемъ интегрировать выраженіе
(Іи —
которое представимъ въ видѣ
З2 а2 зіп2 со. соз2 со <7со 2 (8І11Э СО -|- С08а со)2
Если положимъ іап§ со = я, то предыдущій дифференціалъ приметъ видъ
откуда
или
___________________ь О
2 (Л-}- іапц3<і)} '
Сомкнутая часть кривой вся заключается въ нормальномъ углѣ п для нея ю измѣняется въ предѣлахъ отъ со = о до со = ~ , слѣдовательно пнтегралъ, взятый’ по со въ этихъ предѣлахъ, представитъ площадь, ограниченную сомкнутою кривою Оа МЪ Если означимъ эту площадь чрезъ гі1У то получимъ
и. = — й2
А 2
пбо при высшемъ предѣлѣ интегралъ обращается въ нуль.
Внося въ общее выраженіе элементарной площади (Іи =. — р2, Лоо веѣсто р его величину, взятую пзъ уравненія аспмптоты, т. е. выраженіе (Г), мы получпмъ элементарную площадь
. «2 йсо
«« = —г~------;------гл
2 (§)П (О -|- СО8СО)" заключающуюся между двумя безконечно близкими положеніями радіуса вектора и асимптотой. Представимъ это въ видѣ
, с?со «—-— , соз2 со
а и -—— ----------
2 (1 -г 1ап§ со)2 интегрируя это, находимъ
2 (_'! -р (ап§ ш)
Еслп возьмемъ этотъ пнтегралъ въ предѣлахъ и соэ, то найдемъ
I
это будетъ выражать собою конечную площадь треугольника, заключающуюся между радіусами векторами АО, 013 п асимптотою; еслп только углы и с^ суть углы составляемые радіусами векторами АО п ВО съ отрицательною осью іс.
Еслп возьмемъ меледу тѣмп же предѣлами сог п со2 пнтегралъ (§), то получпмъ
Это будетъ выражать собою конечную площадь сектора О[д, заключающуюся между
радіусами векторами О/1, Од п той вѣтвью кривой, которая стелится въ лѣвомъ верхнемъ углѣ осей координатъ. Вычитая два послѣднія выраженія одно изъ другого, находимъ
а2 Г 1 3 ( зѴ
и — 7Л = — ------------—--------—— — I ---------------—-—~ )
1 2 1_ '1 + І§ 1 4- |§3 (1)1 \ 1 4" ^5 4 + Ш2 ' -
Я
но
1____________з____= 4______________________з______________
'I-Не 14- 1§3 со, 14-15(14 ('I — (§0)! 4- (§2соІ)(1
ПЛП
4____________з __....... '!____/1____________3________\
14(504 I 4- і§3 со, 141504 \ 1 — (§со, + І#2 ш,7
І52 ы, — (14 — 2_ _ _____________— 1 — ((5 со, 4 1)
(1 4- І5 ы,) (1 — Іе со, 4-152 <о,) (1 4- іе со,) (1 —15 со, 4-І52 со,)
± 1) (іе(О, — 1) — Си<01 + І) _ І5 со, — 2________
(1 4- И — ге<о, 4- иа €0,) I — (501,4 І52со,
итакъ
Это выраженіе представляетъ конечную площадь А/дВ, заключающуюся между асимптотой, крпвой п двумя радіусамп векторами. Радіусъ векторъ, проведенный къ безконечно удаленной точкѣ кривой, параллеленъ асимптотѣ, слѣдовательно состав-3~
ляетъ съ положительной осью х уголъ , поэтому, если примемъ въ предыду-
щемъ выраженіи со2 = ~ и со, = п, то разность и — иг представить собою пло-4
щадь заключающуюся между прямою Ок, прямою кА (т. е. частію асимптоты)
и частію крпвой Од/---, величина этой площади есть — , такая же площадь меж-2
ду кривой и асимптотой заключается въ четвертомъ углѣ. Сумма этихъ площадей есть а2. Если къ этой суммѣ придадимъ площадь треугольника Ой?, т. е;
а2
—, то получимъ полную площадь, заключающуюся между асимптотой и крпвой, эта площадь есть, такимъ образомъ, ---- и мы впдпмъ, что площадь, заключающаяся между асимптотой и кривой, въ точиостп равняется площади ограниченной сомкнутою частію кривой.
52. Площадь ограниченную двумя кривыми линіями, или находящуюся внутри замкнутаго криволинейнаго контура, можно опредѣлить еще па основаніи другихъ' соображеній, разлагая ее на безконечно малыя прямоугольники и суммуя всѣ эти элементарныя площади между извѣстными предѣлами.
Опредѣлимъ такпмъ образомъ часть плоскости, заключающуюся между двумя кривыми линіями, представляемыми уравненіями у — /(х) и у — <р (я) и орди-
натами этихъ кривыхъ, соотвѣтствующими опредѣленнымъ абсцисамъ х = а и х — Ъ. Пусть уравненіе у = представляетъ кривую (фпг. 8) и уравненіе у = ср (х)
пусть представляетъ крпвую Ърді. Пусть а = ОМ, Ь — О№. Разсмотримъ внутри площади точку 5 и координатамъ ея х и у дадимъ приращенія Дж и Д?/, на этихъ приращеніяхъ построимъ безконечномалый прямоугольникъ з/Ѵу. Предѣлъ суммы такпхъ прямоугольниковъ, взятой вдоль линіи рРу выразится очевидно чрезъ
у ~ РР
Ьх(РР—= Іу
у = Тр
Такимъ образомъ площадь съ конечнымъ основаніемъ Рр и безконечно малой высотой Дж выразится чрезъ
<?(ж)
или чрезъ
Дж|/(ж) —ф(ж)]
Это выраженіе есть функція ж, что такъ п должно быть, ибо эта площадь будетъ различна для различныхъ значеній ж. Возьмемъ теперь сумму такпхъ площадей для всѣхъ значеній ж отъ х — а до х = Ъ. Предѣлъ такой еуммы, выражающій собою .всю искомую площадь ЪВЕі = и, представится интеграломъ
гс ='/ (ж) — <р (ж)] &х
х—а
Это выраженіе есть результатъ двойнаго интегрированія произведеннаго въ выраженіи
х—Ь у=/(•«)
Для поясненія этпхъ соображеній опредѣлимъ площадь, заключающуюся между .гиперболой, радіусомъ векторомъ ОМ (фиг. 6) точки М и осью ж; т. е. опредѣ-
лпмъ площадь (Ж4. Пусть Ж1Р = |3 и (Э_Р = а. Уравненіе Ливіи ОМ есть
уравненіе гиперболы даетъ
2
Уравненіе и тойп другой линіи ограничивающей искомую площадь мы рѣшили относительно о;, а потому первое интегрированіе произведемъ по %, и означивъ площадь ОМР чрезъ и, имѣемъ
_ а@ ]/7>2 4- |32 аЪ )/р2 4- Ъ2 _ ар
2І "Г 2 & 5 2
Замѣтивъ, что для точки координаты которой суть ж = а и # = изъ урав-
ненія гиперболы имѣемъ
приводимъ предыдущее выраженіе къ виду
тотъ же результатъ, который мы нашли выше.
Разсмотримъ еще одинъ частный случай. Опишемъ около начала координатъ О кругъ АВС (фиг. 9) радіусомъ аа. Примемъ въ тоже время начало координатъ за фиі. д, фокусъ параболы и вершину параболы помѣстимъ въ
точкѣ I) на разстояніи 02) = а отъ начала координатъ. Тогда парабола пройдетъ чрезъ точку В круга лежащую яа оси у. Вычислимъ площадь АВВ, заключающуюся между параболой и кругомъ.
Въ нашемъ случаѣ уравненіе круга есть х2-\-у2= да2 и уравненіе параболы, отнесенное къ фокусу, есть
у2 = 4а (а 4- а?). Предѣлами интегрированія по у будутъ очевидно о и аа, предѣ-
лами интегрированія по ж будутъ
ж =— уА-Ог — у1
и
4<х
первое есть уравненіе круга, рѣшенное относительно ж, а второе—уравненіе параболы, рѣшенное относительно того же перемѣннаго. Итакъ искомая площадь и есть
У--4«3
ча ца 2а
поэтому
аа2 агс
о
53. Перейдемъ теперь къ измѣренію ‘площадей на кривыхъ поверхностяхъ.
Пусть дана поверхность
и = г(%, — о
и требуется опредѣлить площадь этой поверхности.
Пересѣчемъ эту поверхность плоскостями координатъ и предположимъ, что пересѣченія на поверхности представляются кривыми линіями АВ, АС и ВС
Фиѵ 10.
разсматриваемой поверхности вырѣжптся
(фиг. 10). Разсмотримъ на этой поверхности точку В и проложимъ эту точку въ р на плоскость ху. Дадимъ координатамъ точки р безконечномалыя приращенія сіх п сіу. Такъ что ар — сіх; Ър — сіу. На этихъ приращеніяхъ построимъ безконечно малый прямоугольникъ аЬср\ площадь его очевидно будетъ сіх. сіу. Если чрезъ точки а и р проведемъ плоскость параллельную плоскости жг, чрезъ точки Ъ и р—плоскость параллельную плоскостп уя, кромѣ того чрезъ точки Ъ и с проведемъ плоскость параллельную плоскости хг и чрезъ' точки а и с—плоскость параллельную плоскостп уя, то этими плоскостями на безконечно малый четыреугольникъ В?д1ь.
Четыреугольникъ аЪср будетъ служить проложеніемъ четыреугольнику /Рдіь. Если чрезъ точку Р проведемъ касательную плоскость къ поверхности и — о, то можемъ принять, что весь безконечномалый четыреугольникъ Ррдіь лежитъ въ этой касательной плоскости, съ ней сливается.
Уголъ касательной плоскости съ плоскостію ху равенъ углу нормали съ- осью з. Этотъ послѣдній уголъ мы означимъ чрезъ у; какъ мы знаемъ, косинусъ этого угла есть
соз у “--------------- —~
V 'I + Р2 4-
гдѣ, какъ обыкновенно, р =
(1.3
(Іх'
Точно также углы а и р касательной плоскости съ плоскостями уз и зх опредѣляются по косинусамъ
соза =
Еслп означимъ элементарную площадь Р/^й чрезъ то понятно, что
(Іх. йу — (Іи. соз у йу.йз =(1и. соз а (Ізліх (Іилоз (3
Возвышая этп уравненія въ квадратъ и складывая пхъ, получпмъ
й«2 — ((ІхлІуУ 4- ((Іуліз)2 4- (д.з.Их}~
откуда
йи = сіх ліу
а искомая величина площади крпвой поверхности представится въ видѣ
(2) и =Г(Іх (Іу]М 4- рг 4* #2
гдѣ интегралы по х и у должны быть взяты между предѣлами, сообразно съ условіями вопроса.
Иногда бываетъ удобно представить координаты х и у въ зависимости отъ полярныхъ р и со по соотношеніямъ
а?—р. соз со; у = р. зіп со
Чтобы преобразовать предыдущее, выраженіе по этимъ координатамъ, мы составимъ на данной поверхности элементарный четыреугольникъ. Опишемъ около
оси 8 двѣ цилиндрическія поверхности пересѣкающіяся плоскостію ху по кругамъ
АВ и СВ (фиг. 11), радіусы которыхъ будутъ р и р + йр. Кромѣ того пересѣ
чемъ поверхность двумя плоскостями проходящими чрезъ ось г и составляющими
Фиг. 11,
меледу собою элементарный уголъ ВОО- = йсо. Тогда на плоскости ху составится четыреугольникъ аЪВ(т котораго нлощадь представится произведеніемъ элементарной дуги <з$ = р.с?со и элементарной прямой а^?=йр. Такпмъ образомъ эта элементарная площадь выразится чрезъ р.йр.йсо, она будетъ проложеніемъ элементарной площади кітп, вырѣзанной на данной поверхности двумя упомянутыми цилиндрическими поверхностями п двумя плоскостями, проведенными черезъ ось 8. Эта элементарная площадь совпадаетъ съ касательною плоскостію, проведенною черезъ точку к поверхности « = о. Ко-
синусъ угла этой
касательной плоскости съ плоскостію ху есть
Слѣдовательно, еслп означпмъ площадь элементарнаго четыреугольника кітп па поверхностп и—о чрезъ то
(ІѴ
4" ?2
— р. йр.йсо
откуда
ѵ — Гйсо ]/1 4-
изъ уравненія поверхностп рѣшеннаго относительно 8, т. е. изъ уравненія
8 = ]? (ж, у)
имѣемъ
Из =р. йж 4~ 2 • &У
но
йж = созсо.сір— р.8Іп со.йсо
Ну = 8ІП СО .Йр 4- р . СО8 СО . ЙСО
слѣдовательно
д.8— (р. 008 СО 4" со) йр + р((/. СО8СО—р. 8ІН со) йсо
откуда
Не
=р, соз СО + ? • 81П ш‘, ар
1 Из
р йсо
— (2. соз со — р. зіп со)
Возвышая эти уравненія въ квадратъ и складывая, получаемъ
слѣдовательно
Вели разсматриваемая поверхность есть поверхность вращенія, то одно изъ интегрированій, указанныхъ въ выраженіи (2), можетъ быть выполнено еще въ общей формулѣ, и вычисленіе площадп такой поверхностп въ каждомъ частномъ случаѣ будетъ зависѣть отъ одного пнтегрпрованія.
Предположпмъ, что поверхность вращенія происходить такимъ образомъ, что по управляющей крпвой у = /(ж), расположенной въ плоскостп жу, напр. по кривой О А (фпг. 12), двпжится кругъ параллельный плоскости уг. Пусть этотъ кругъ постоянно касается управляющей п центръ его пусть остается на осп ж,
12. а радіусъ измѣняется, удовлетворяя условію прикоснове-
нія къ управляющей у = у(ж). Итакъ уравненіе управ-ляющей есть у = У(ж) и г = о. Уравненіе образующаго
• круга будетъ
; уг -і- я2 ~г2; х=а
х исключая пзъ этихъ четырехъ уравненій три координаты, у л .мы найдемъ соотношеніе между перемѣнными параметрами
'У “ а и г. Уравнеаія у2 + ^2 = г2 п г —о даютъ у =
слѣдовательно, принимая во вниманіе, что ж=а, изъ уравненія управляющей находпмъ г = /“ (а), а отсюда посредствомъ уравненій у1 -г- з- = гг и х = а получаемъ
У2 + * = |/(Хі]г уравненіе поверхности вращенія. Осью этой поверхности служитъ ось х.
Изъ этого уравненія выводимъ
. уйу 8СІ8 — У (ж) У' (ж) . СІХ
откуда
сія___{(х) У'(ж) йя _ _ у
сіх г ’ &у 8
а слѣдовательно общее выраженіе (2) для случая поверхностп вращенія можно представить въ видѣ
или такъ какъ г2 = [/(ж)]2— у\ то
]/[Яа)]2 — у2
что можно представить также въ видѣ
2
(4)
гдѣ послѣдній интегралъ относится исключительно къ перемѣнному у. Этотъ интегралъ по у долженъ быть взятъ отъ у = о до у = /'(ж), но
о
X
поэтому
гі = — 2
/ѴОі/'і + І/Ч#)]2 йж
Такъ какъ это представляетъ собою ту часть поверхности, которая заключается только въ нормальномъ углѣ между плоскостями координатъ, то полная поверхность получится отъ умноженія этого выраженія на четыре.
Основываясь на этихъ теоретическихъ соображеніяхъ, опредѣлимъ поверхности сводовъ: цилиндрическаго круговаго, цилиндрическаго эллиптическаго и сферическаго или паруснаго.
Происхожденіе цилиндрическаго круговаго свода можемъ представить себѣ та:
Фи». із.
кимъ образомъ: прямой круговой цилиндръ съ образующею параллельною оси у пересѣченъ плоскостію, проходящею чрезъ ось в и составляющею съ плоскостію яж уголъ- СОВКІЯ (фиг. 13), тогда на поверхности цилиндра будетъ вырѣзана часть АВС^ площадь которой и требуется опредѣлить.
За уравненіе цилиндра слѣдуетъ считать уравненіе окружности, расположенной въ сѣченіи перпендикулярномъ оси, напр. въ сѣченіи плоскостію вОх. Уравненіе этой окружности будетъ
(ж — а)2 4- (в —15)2 (а)
Уравненіе плоскости АОС будетъ ?/= ж. Л7. Пусть СВ = Ъ и ОВ^=ау
тогда
Іапк .У = - -а
и слѣдовательно
і/ = —'. х а
Уравненіе (а) даетъ
(Із _ (а;— а} дз __
дх — (я — р) ’ ду “" °
пли
дз х — а.
дх |/г-_ (X —а)2
Поэтому выраженіе (2) въ этомъ частномъ случаѣ принимаетъ видъ
/ / дх.ду и — г / / — —. - - ~ т-—
Ъ интегрированіе по у должно оыть произведено въ предѣлахъ отъ о до - х^ поэтому
этотъ интегралъ по х долженъ быть взятъ въ предѣлахъ отъ о до а, поэтому
Вычислимъ теперь поверхность свода, образованнаго эллиптическимъ цилиндромъ. Расположимъ осп координатъ такъ, чтобы ось у была параллельна образующей этого цилиндра. Центръ управляющаго эллппснса пусть находится въ на-.
чалѣ координатъ. Полуоси сѣченія цилиндра плоскостію хе пусть будутъ Ь = АО ц а = ОВ (фпг. 13). Уравненіе такого эллипсиса есть
ж2 __
а- + V '
Пусть ВС^Іі, тогда уравненіе пересѣкающей плоскостп, проходящей чрезъ ось г будетъ
Такъ какъ въ разсматриваемомъ случаѣ
то выраженіе (2) принимаетъ впдъ
но
г = — і/а2 — х2 а
поэтому
что представляется въ видѣ
а2 — Ь2
положимъ
п замѣтимъ еще, что интегралъ по ?/ долженъ быть взятъ въ предѣлахъ отъ у = о
до
слѣдовательно
Положимъ а2 — х2 — а2і2, тогда — х. сіх = а2ілІі; д/а2 — х2 = а.і] е2х2 = е2а2—а2е2і2. Замѣтимъ еще, что прп я?—о, 1; при х = а,
плп
о, поэтому
1
о
— е- . сіі
положимъ для краткости
о
тогда
о
Извѣстно, что
1
поэтому
о
ПЛП
I
о
а потому
Опредѣлимъ величину площади паруснаго свода н къ рѣшенію этой задачи примѣнимъ выраженіе (4).
Представпмъ себѣ сферу, описанную около начала координатъ радіусомъ г. Опредѣлимъ часть поверхности сферы, вырѣзанную плоскостями координатъ хг п яу п двумя плоскостями пмъ параллельными. Уравненіе одной изъ этпхъ плоскостей будетъ х = ал уравненіе другой у=1>. Опредѣлимъ величину поверхности Ъітп (фиг. 14). Эту поверхность можно представить себѣ какъ часть топ поверхности
вращенія, которая образуется при движеніи плоскости круга, остающагося парал-
Фиг. іа. лелыіымъ плоскости уг\ центръ этого круга остается на оси
х. а радіусъ измѣняется какъ ордината кривой 7с 7, расположенной въ плоскости хг\ эта управляющая кривая въ нашемъ случаѣ есть дуга круга, уравненіе ея есть х2 Ч- г2 = г2; слѣдовательно, въ нашемъ случаѣ, я = р'г2— ж2 — /’(ж); предѣлы интегрированія по у суть у = о и у = Ъу предѣ-« лы интегрированія по х суть #=о и х — а. На фпг. 14
Ъ—ОМ, а=0Р.
Итакъ, въ пашемъ случаѣ
Г(х) = У г2- х2;
поэтому уравненіе (4) теперь принимаетъ впдъ
плн
Интегрируя по частямъ, находпмъ
чтобы взять послѣдній пнтегралъ, замѣтимъ, что
чтобы взять остающійся интегралъ, введемъ новое перемѣнное 0 подъ условіемъ
я = зіп О |/г2 — й2
откуда
(ІХ = соз 6 ]/г2 — &2 ЙО
прп этомъ
г2 йѲ
Ъ2 зіп2 Ѳ г2 соз2 О
но такъ какъ
5ІП2 0 = -у--Г2 —
ТО
поэтому
Взявъ найденные интегралы между предѣламп х = о и х = а н внося все въ выраженіе (А), получаемъ
— г2 агс (Іап§=
Дадимъ этому выраженію нѣсколько другой видъ. Пусть
агс I (апл = —_..... - ) = і
к й Г|/Г2__&2_ &)
тогда
но
поэтому
аЪ
плп
. , аЪ аЬ
51 п і = ____ —.------------------------— ------
У Г2 _ а2 (,.2 — (у2 _ Ь2у
поэтому
/, аЪ \ / . Ъа
агс [ Іап§ =---- ~:— ] = агс (зіп = ..............-
\ ° г }/г2— Ъ2 — а2) \ ]/(гг — а2)(г2 — Ъ2)
Такпмъ образомъ
« = аг агс (зіп = ___4- Ът агс (зіп — ,
к і/г2-а2) V ]/^Ь27
— г2 агс
Еслп положимъ
агс
агс
то
:= аг, А + Ьг.В — г2. С
гдѣ С опредѣляется пзъ условія
зіп А. зіп В = зіп С
пбо еслп
то
= зіп В
агс
= агс (зіп = зіп А зіп В)
Мы приняли
С — агс । зіп =
поэтому
С = агс (зіп = зіп А. зіп В~)
илп
еіп С = зіп А. зіп В
Покажемъ .наконецъ примѣненіе выраженія (3) къ рѣшенію вопросовъ объ опредѣленіи площадей кривыхъ поверхностей. Опредѣлимъ площадь сферическаго прямоугольнаго треугольника.
Оппшемъ около начала координатъ сферу радіусомъ В. На пересѣченіи эуой сферы плоскостію ху возьмемъ одну сторону сферическаго треугольника. Пересѣчемъ
Фиъ. 15.
г
эту сферу плоскостями еще двухъ большихъ кру--говъ. Одинъ изъ этихъ большихъ круговъ проведемъ черезъ ось е. На этомъ кругѣ, перпендикулярномъ къ плоскости ху и представленномъ на фиг. 15 дугою АВУ будетъ лежать "другая сторона сферическаго треугольника. Пересѣчемъ сферу плоскостію, проходящею черезъ ось. х и составляющею съ плоскостію ху уголъ ВСА = С. Эта плоскость пересѣчется со сферой по дугѣ СВК большаго круга. Такимъ образомъ на поверхности сферы составится сферическій треугольникъ АВСУ прямоугольный
при А. Сторона треугольника ВС будетъ пролагаться на плоскость ху по дугѣ СВ эллипепса. Весь треугольникъ АВС въ проложеніи на плоскость ху представится
площадью ВС А.
Уравненіе сферы будетъ
X2 г уг = Д2
I 9 1
Уравненіе плоскости, въ которой лежптъ сторона ВСУ представится уравненіемъ слѣда этой плоскости на плоскости уя, т. е. уравненіемъ прямой ЩИ". Мы предполагаемъ, что упомянутая плоскость пересѣкается съ плоскостію у г по прямой МО, Такъ какъ уголъ МОу=С, то уравненіе прямой МО или плоскости МВС‘ будетъ
я =у 1ап§ С
Соотношеніе между координатами х и уу удовлетворяющими уравненію сферы и этой плоскости, представитъ собою уравненіе проложенія большаго круга МВС на плоскость ху. Слѣдовательно, если исключимъ я меладу двумя предыдущими уравненіями, то получимъ соотношеніе между х и у, которое будетъ уравненіемъ кривой ВС. Результатъ этого исключенія .есть очевидно
соз2 С
и представляетъ собою уравненіе эллипсиса. Дуга ВС принадлежитъ этому эллипсису и представляется предыдущимъ уравненіемъ.
Вмѣсто прямоугольныхъ координатъ х и у введемъ полярныя р и со, такъ что
X— р. 608 СО, у=р'. 8ІПС0
Подъ х и у мы разумѣемъ координаты какой либо точки площади РСА. Если внесемъ полярныя координаты въ предыдущее уравненіе эллипсиса, то изъ преобразованнаго уравненія получимъ значеніе р, соотвѣтствующее только точкамъ кривой РС. Пусть это значеніе р будетъ р0. Итакъ предыдущее уравненіе эллипсиса даетъ
___ Р . С08 С
0 ]/ і — зіп2 С соз2 со
(В)
Итакъ, предѣлами интегрированія по р, будутъ р = р0 и р = 72, ибо значенія р, соотвѣтствующія дугѣ АС, будутъ имѣть постоянную величину, будутъ равны радіусу сферы.
Предѣлами измѣневія угла со будутъ, очевидно, со = о и со — СОА. Если означимъ, какъ обыкновенно, сторону АС чрезъ Ъ, то Ъ = Р (СОА), откуда за-
ключимъ, что высшій предѣлъ интегрированія по со будетъ со — .
Чтобы пользоваться выраженіемъ (3), остается только составить радикалъ,
входящій въ это выраженіе, или, что все равно, составить производныя и
Еслп внесемъ въ уравненіе сферы вмѣсто х п у полярныя координаты, то г сдѣлается ихъ функціею. Поэтому
Аг______ сіз (Іх . &2 (Іу
<і? сіх йр (Іу сі?
д,2 йг (Іх . <І2 сіу
СІЫ (Іх ЙСО (Іу с/со
Но изъ уравненія сферы
1
илп
(іу “ ]Лй2
или
~*у 1/р?
уСй2
Р2
Кромѣ
того
СІХ
—- =: СОЗ со;
(ІХ (Іш
= зіп со; -ѵ^ — р. созсо ясо ‘
слѣдовательно
Такпмъ образомъ
р4 _______ р-В
К2 - р2 ~~
Поэтому для нашего случая выраженіе (3) принпмаетъ впдъ
Ъ
1І И
У л ѵі,г-?г
О Р»
гдѣ р0’ опредѣляется по выраженію (В). Мы знаемъ, что
= — В \/В2 - р2
поэтому
и
Ро
слѣдовательно, принимая во вниманіе выраженіе (В), легко находимъ
ѵ —
В2 зіп С зіп со йсо |/іГ — зіп2 С соз2 со
о
но
В2 зіп С зіп со йш |/1 — зіп2 С соз2 со
В2 агс (зіп ~ зіп С соз со)
слѣдовательно
ѵ — В2 С — агс (зіп = зіп С соз
По извѣстной формулѣ сферической тригонометріи для прямоугольнаго треугольника АВС имѣемъ
зіп С соз -=• = соз В
или
8111 С соз
слѣдовательно
агс 8111 = 8111
а потому искомая площадь есть
ѵ=^1Ѵ
54. Приступимъ наконецъ къ опредѣленію объемовъ тѣлъ, ограниченныхъ кривыми поверхностями.
Опредѣляя величину площадп, ограниченной извѣстной кривой, или различными кривыми, мьг, между прочимъ, разлагали эту площадь на элементы втораго порядка кх&у\ подобно этому и объемъ тѣла, ограниченнаго кривыми поверхностями, мы можемъ опредѣлить, разлагая этотъ объемъ на элементарные прямоугольные паралле-пипеды іья&х&у и суммуя эти параллепипеды между извѣстными предѣлами въ трехъ между собою перпендикулярныхъ направленіяхъ. Такая -сумма въ предѣлѣ выразитъ V объемъ даннаго тѣла, который такимъ образомъ представится тройнымъ интеграломъ вида
Ѵ= /* /* / (ІхНудз
гдѣ интегралы берутся относительно перемѣнныхъ а?, у, я между извѣстными предѣлами, указанными условіями вопроса.
Вычисленіе объема тѣла, ограниченнаго кривою поверхностію, приводится къ выполненію двойнаго интегрированія, если весь объемъ представимъ себѣ какъ сумму безконечно тонкихъ призмъ. Основаніемъ каждой такой призмы служитъ элементарная площадь ДжДу, а высотою ордината я разсматриваемой точки поверхности. Объемъ такой элементарной призмы представится произведеніемъ яДхДу. Сумма такихъ элементарныхъ призмъ въ предѣлѣ представитъ объемъ даннаго тѣла, который такимъ образомъ выразится чрезъ
гдѣ г должна быть взята изъ уравненія поверхности # = у), а предѣлы инте-
грированія по х и у должны быть назначены сообразно съ условіями вопроса.
Чтобы найти выраженіе объема въ зависимости отъ полярныхъ координатъ, остановимся на слѣдующихъ общихъ соображеніяхъ.
Предположимъ, что двойной интегралъ
V— $ Г РйхИу
•гдѣ. Р есть нѣкоторая функція х и у, требуется преобразовать такъ, чтобы вмѣсто
х и у вошли въ это выраженіе новыя перемѣнныя и и ѵ, находящіяся съ координатами х и у въ данной зависимости.
Изъ данныхъ соотношеній между ж, у, гі н ѵ функціи х и ѵ. Пусть такпмъ образомъ найдено
мы можемъ
опредѣлить у въ
(а)
у = /’(ж, ѵ)
Данный интегралъ мы можемъ представить въ впдѣ
гдѣ послѣдній пнтегралъ берется относительно у, а х разсматривается прн этомъ какъ постоянная величина. Если въ этомъ послѣднемъ интегралѣ замѣнимъ у его величиною (а), то (Іу придется замѣнить чрезъ
, 7
ау = - у • (Іѵ аѵ
пбо х прп интегрированіи по у илп ѵ разсматривается какъ постоянная величина.
Такпмъ образомъ этотъ послѣдній пнтегралъ приметъ впдъ
/ т> 3
/ 2 • ' - аѵ I (IV
гдѣ интегрированіе выполняется ио новому перемѣнному ѵ, между значеніями ѵ соотвѣтствующими тѣмъ значеніямъ у, которыя прежде служили предѣлами интеграла. Такимъ образомъ
Пусть данное соотношеніе между х и новыми перемѣнными и и ѵ будетъ
х = -?'(««, ѵ)
теперь
1 сІР
ах = - аи
аи
пбо ѵ прп интегрированіи по х разсматривается какъ постоянная величина. Такпмъ образомъ
(Ь)
тл С /р № 7 7 У — / / / -, - сіи (Іѵ
II аѵ агі
Но еслп въ уравненіи у —/(л;, г?) будемъ разсматривать у п х какъ функціи гі и ѵ, какъ это п должно быть, то
(ІѴ аѵ
откуда заключаемъ, что
сіу сі/ (ІХ
сіи сіх (Іи
• „ Сс)
сіу___ (1/ СІХ , (/
СІѴ ~ (ІХ (ІѴ "Т” (ІѴ
ио сіх (ІВ сіи сіи
слѣдовательно первое нзъ предыдущихъ уравненій принимаетъ впдъ
сіу
(/____ (Іи
'сіх ” сІВ
(Іи
внося это во второе изъ уравненій (с), находимъ
(ІВ сіу сіу сіх (I/ сІВ сіи (Іѵ (Іи (Іѵ сіѵ сіи
или такъ какъ
сІВ___(Іх
сіи сіи*
то
сіх сіу (Іу (Іх сІВ сіи (Іѵ сіи сіѵ сіѵ (Іи
поэтому интегралъ (Ъ) принимаетъ впдъ
__ / / / сіх йу сіг/ (Іх\ ,
К=/ / Р сіидѵ
I г \аи сіѵ сіи сіѵ/
Предположимъ, что новыя перемѣнныя суть полярныя координаты р п со, чрезъ которыя х п у опредѣляются по соотношеніямъ
я = р соз со; у —р зіп со
тогда
г=/
ио
СІХ СІХ
-(Г?= С05 ?
Внося это въ предыдущее выраженіе К, имѣемъ
== зін со:
со
зіп со:
у у Рр с/р сіы
(6)
гдѣ Р какъ функція хну теперь предполагается преобразованною въ функцію р п со.
Фиг. 16.
Составимъ формулу, по которой объемъ тѣла можетъ быть -вычисляемъ прп помощи трехъ полярныхъ координатъ.
Предположимъ, что какая нпбудь точка, взятая внутри тѣла, находится отъ начала координатъ на разстояніи г, пусть этотъ радіусъ составляетъ съ осью в уголъ Ѳ, а проложеніе радіуса на плоскость ху пусть составляетъ съ осью ж уголъ ф, тогда г, Ѳ п ф будутъ три полярныя координаты разсматриваемой точки М (фиг. 16). Дадимъ г безконечно малое приращеніе йг, тогда отъ точкп М перейдемъ по направленію радіуса г къ безконечно близкой точкѣ X. Если, не измѣняя угла Ѳ, измѣнимъ безконечно мало уголъ ф, то линія г + &г приметъ положеніе 02Г и элементарная длина йг прп этомъ перемѣщеніи радіуса на уголъ йф опишетъ безконечно малую площадь МУЖМ1, эту площадь мы можемъ принимать за безконечно малый прямоугольникъ, площадь котораго выразится произведеніемъ МУ.ЛГЭ/'; линія ІИІУ = &т, а сторона ММ есть элементарная. дуга круга параллельнаго плоскости ху, радіусъ этого круга есть очевидно г зіп 0, такимъ образомъ элементарная дуга ЛО1' = г8ІпѲйф; слѣдовательно элементарная площадь = г зіи Ѳ йф йг.
Если измѣнимъ уголъ 0 на безконечно малую величину Й0, то площадь при этомъ измѣненіи координаты 0 образуетъ элементарный объемъ величину котораго получимъ, если площадь
гзіпѲйфйг умножимъ на элементарную длину тМ, Ко эта элементарная дуга радіуса г, соотвѣтствующая безконечно малому углу йѲ будетъ очевидно г йѲ, а потому означивъ вышеупомянутый элементарный объемъ чрезъ йу, получимъ йѵ = г2 зіп Ѳ Й0 йф йг. Поэтому объемъ тѣла по этой формѣ элемента объема будетъ вычисляться по выраженію.
ѵ = У Г г2 зіп 0 йѲ йф йг
Предположимъ, что начало координатъ находится внѣ того тѣла, объемъ котораго вычисляемъ, тогда интегрированіе по г должно быть выполнено между двумя значеніями и г, перемѣннаго г, извѣстнымъ образомъ выбранными и соотвѣтствующими поверхности разсматриваемаго тѣла. Такимъ образомъ
ѵ
— г03) зіп 0 йѲ йф
Интегрированіе по 0 должно быть выполнено между значеніями 0 = и 0 = Ѳо соотвѣтствующими предѣламъ того объема, который вычисляемъ. Эти значенія Ѳо и 0х будутъ функціями ф. Наконецъ интегрированіе по ф должно быть выполнено между значеніями ф = ф0 и ф = фх, соотвѣтствующими двумъ плоскостямъ проходящимъ чрезъ ось г. Эти плоскости будутъ указывать границы тѣла въ томъ направленіи,
по которому считается координата ф. Итакъ
ѵ = С2фг-^ — г08) зіп 0 йб
Фо «о
Если начало координатъ взято внутри разсматриваемаго тѣла, то низшимъ предѣломъ интеграла по г будетъ г = о; интегралъ по 6 долженъ быть взятъ въ ЭТОМЪ СЛуЧаѢ ОТЪ О ДО ІС, II ПО ф ОТЪ О ДО 27Г.
Пояснимъ эти общія соображенія на частныхъ примѣрахъ.
Вычислимъ объемъ трехъоснаго эллипсоида. При этомъ будемъ пользоваться того же формулою, какъ и въ предыдущемъ случаѣ. Мы предположимъ, что начало координатъ расположено въ центрѣ эллипсоида. Уравненіе поверхности есть
уравненіе пересѣченія этой поверхности плоскостію ху есть
Мы будемъ вычислять ту часть тѣла, которая находится въ нормальномъ углѣ осей координатъ. Тогда предѣлы интегрированія по г будутъ ^ = о и
1 / л у~
& с I/ 1 2 —
у иг Ь~
предѣлы интегрированія по у представятся чрезъ
у = о и у = ~ т/аг — хг а '
наконецъ предѣлы интегрированія по х будутъ х = о и % = Итакъ
илп
о о
Пусть для краткости 1---------^=М2 и эта величина М прп интегрированіи по у
съ
должна приниматься за постоянную, тогда интегрируя по частямъ, находимъ
придавая и вычитая въ числителѣ послѣдняго пнтеграла по №, находпмч»
поэтому
птакъ
еслп помножимъ это на 8, то найдемъ объемъ полнаго эллипсоида, который такпмъ образомъ будетч»
— аЪс т.
прп а = Ь — с — Р получаемъ пзъ этого объема шара, т. е. тсР'3.
Рѣшпмъ ту же задачу по формулѣ (6). Въ этомъ случаѣ подъ Р мы должны разумѣть ординату опредѣляемую изъ уравненія поверхности эллппсопда. Эта ордината есть
Мы принимаемъ ® = рсозш, ^ = р8іп(о, а потому Р выраженное по полярнымч» координатамъ будетъ
а* Ь2 ’
итакъ
ѵ=‘//V1 -?г 5І"2 СС5Д ? й?
Иш
будемъ сначала выполнять пнтегралъ по р; при этомъ со должно считать постоянной величиной, пусть поэтому.
а2 ы’п2 со —н і2 соэ2 со
а2“&2 71
тогда
Предѣлами интегрированія по р должны служпть р = о и значенія р соотвѣтствующія точкамъ пересѣченія поверхности эллппсонда съ плоскостію ху. Поверхность эллппсопда пересѣкается съ плоскостію ху по кривой
х2 у2
2
что въ зависимости отъ разсматриваемыхъ полярныхъ координатъ принимаетъ видъ Л /а2 зіп2 со -I- Ь2 соз2 <о\
слѣдовательно предѣлами интегрированія по р будутъ р — о п аЪ I
? =
соз2 а)
Что касается предѣловъ интегрированія по со, то если условимся вычислять какъ прежде часть объема, заключающуюся въ нормальномъ углѣ координатной системы, то примемъ за предѣлы интегрированія по оо значенія со — о я
—. Итакъ
V = С І&Ю\
о о
НО
ч
"і 'м2 _
1 — М2 р2
поэтому
й2?2 рйр^--.
о
слѣдовательно
йсо
ІГ
плп
с
3
г?ш
V —
а2 зіп2 оо + Ь2 соз2 о)
о
Пусть Іап§со = и, тогда предѣлы интегрированія по и будутъ о и со, слѣдовательно
оо
а2с
Ли
поэтому
ѵ~
аЬс
аЪс ѵ~- - т, б
результатъ тотъ же какъ прежде.
Рѣшимъ еще слѣдующій вопросъ.
Представимъ себѣ прямой цилиндръ съ круглымъ основаніемъ, располояшннымъ въ плоскости ху. Пусть радіусъ основанія будетъ г. Центръ основанія пусть лежитъ на оси х въ разстояніи отъ начала координатъ равномъ радіусу. Прп такомъ условіи ось а будетъ расположена на поверхности цилиндра. Пересѣчемъ этотъ цилиндръ двумя плоскостями, проходящими черезъ ось у и составляющими съ плоскостію ху углы, тангенсы которыхъ суть а и Ъ\ пусть Ь > а. Опредѣлимъ часть объема цилиндра, заключающуюся между этими плоскостями. Уравненіе цилиндрической поверхности будетъ
плп
Ж2 + у2 — 2ГХ = о
уравненія пересѣкающихъ плоскостей будутъ: одной е = Ъх и другой в = ах. Такпмъ образомъ, если для опредѣленія упомянутаго объема будемъ пользоваться выраженіемъ
ц =
то предѣлы интегрированія по & будутъ а ~ ах и 2 = Ъх. Предѣлы интегрированія ло у будутъ очевидно
У = -|- ]/2ТХ — Хг И у — — 2ТХ — Хг
наконецъ предѣлы интегрированія по х
будутъ х = о п х = 2г. Итакъ
поэтому
но
пусть
2Г
X — г = і
Замѣтимъ прп этомъ, что предѣлами пнтеграла по і будутъ 2 =— г и і — г, ибо при я=о, і— — г, при ж = 2?-, і = г, такпмъ образомъ
г
—г
Мы знаемъ, что
поэтому
Чрезъ интегрированіе по частямъ находимъ
пли
поэтому
ц
слѣдовательно искомый объемъ есть
V — г3 — а) и
Найдемъ наконецъ часть объема трехъоснаго эллипсоида, заключающуюся внутри эллинптическаго цплпндра.
Примемъ центръ эллипсоида за начало координатъ, ось х направимъ по большой оси эллипсоида, ось у— по оси Ъ п ось г— по оси с. Осью пересѣкающаго цилиндра пусть будетъ ось г; полуоси основанія эллиптическаго цилиндра означимъ чрезъ т и п и для простоты допустимъ, что эллипсисы сѣченія эллипсоида и цилиндра плоскостію ху между собою подобны, т. е. что
а „т Ъ ~ п
Кромѣ того замѣтимъ, что такъ какъ цилиндръ пересѣкаетъ эллипсоидъ, то необходимо т < а и п < Ъ\ наконецъ примемъ, что полуоси а и т равно какъ Ъ и п по направленіямъ совпадаютъ. Уравненіе поверхности эллипсоида есть
уравненіе поверхности пересѣкающаго цилиндра будетъ
Для опредѣленія искомаго объема будемъ пользоваться выраженіемъ
которое въ нашемъ случаѣ принимаетъ видъ
• - '//г -і-і
Ахсіу
будемъ вычислять восьмую часть всего вырѣзка, заключающуюся въ нормальномъ углѣ. При такомъ условіи очевидно, что предѣлами интегрированія по у будутъ
предѣлами интегрированія по х будутъ х = о и х=> т. Итакъ
я?
о о
Выполнимъ сначала интегрированіе по у, полагая для краткости 'I----------- ~ п
интегрируя по частямъ, находпмъ
пли, подвергая это вліянію предѣловъ, легко составляемъ
но помня, что по условію подобія эллипсисовъ ап = Ът, легко преобразовываемъ
это въ
2»“
Уі
о
слѣдовательно
о
по мы знаемъ < что
я?
слѣдовательно
о
итакъ
т
частямъ, для того въ общей формулѣ
возьмемъ послѣдній пнтегралъ по
о
примемъ
сіі = (а2 — ж2)
и - агс
поэтому
если возьмемъ этотъ интегралъ между предѣлами х — т и х = о, то членъ внѣ знака интеграла какъ при высшемъ, такъ п при низшемъ предѣлахъ обращается въ
нуль и предыдущее выраженіе вычисляемаго объема принимаетъ видъ
придадимъ п вычтемъ въ числителѣ перваго пзъ этпхъ интеграловъ по 2а2, тогда пмѣемъ
если примемъ здѣсь х = яі8Іп(р, то йа: = тсо5Ф^Ф и предѣлы интегрированія ПО Ф будутъ 0 = 0 п ф = —пбо прп X — о и <р = о, а при X — іп\ біп Ф= 1;
Ф = —Итакъ
2
о
о
6Н
поэтому предыдущее выраженіе объема принимаетъ видъ
ѵ — 7й
Ъст2
у/а? — т2 -|-
0
мы знаемъ, что
'У
поэтому
о
Послѣдній пнтегралъ представимъ въ впдѣ
поэтому
йф
I
а2 зіп2 <р -|- а2 соз2 <р — тг зіп2 <р
Взявъ этотъ пнтегралъ между предѣлами — но, имѣемъ
7Г
за у/а2—т2
поэтому предыдущее выраженіе опредѣляемаго объема прпвпмаетъ видъ
у а2 — т2 ъЪст2 у/а2 — т2 -кЪс ]/а2 — яг2 к ішЬс
24а2
или
'каЪс ѵ ——-—
яг2) |/ а2 — т2
Это есть восьмая часть объема эллипсоида заключающагося внутри пересѣвающаго цилиндра. Весь
объемъ выразится чрезъ
ѵ = —- -каЪс
яг2) ]/й2 — яг2 3«2
если положимъ
здѣсь т=а. то найдемъ я —
объемъ полнаго
ѵ —
, т.
эллипсоида.
ИНТЕГРИРОВАНІЕ ДИФФЕРЕНЦІАЛЬНЫХЪ УРАВНЕНІИ.
Дифференціальнымъ уравненіемъ называется аналитическое соотношеніе между производными различныхъ порядковъ, въ которое могутъ также входить п сами перемѣнныя, какъ зависимыя, такъ и независимыя, а равно и постоянныя величины.
Дифференціальныя уравненія, въ которыхъ всѣ входящія производныя берутся относительно одной п той же независимой перемѣнной, называются обыкновенными дифференціальными уравненіями, въ отличіе отъ уравненій съ частными производными.
Дифференціальныя уравненія, представляющія аналитическую связь между частными производными, взятыми относительно различныхъ независимыхъ перемѣнныхъ, называются уравненіями съ частными производными.
Наконецъ, еслп данное дифференціальное уравненіе содержитъ ноляые дифференціалы всѣхъ зависимыхъ перемѣнныхъ, то такое уравненіе называется полнымъ дифференціальнымъ уравненіемъ.
Полный дифференціалъ функціи многихъ перемѣнныхъ, напр. функціи
и ~ у, я...........)
равенъ суммѣ ея частныхъ дифференціаловъ и есть , ди , .ди , . ди
• ах
Если функція и извѣстна, то каждая пзъ ея частныхъ производныхъ, входящихъ въ составъ этого выраженія, легко опредѣляется. Наоборотъ, еслп даны всѣ производныя этой функціи, какъ удовлетворяющія извѣстнымъ условіямъ, то по иимъ можно опредѣлить функцію и.
Могутъ быть даны не самп частныя производныя, но уравненія между нпмп. Если число этихъ уравненій равно числу частныхъ производныхъ и еслп коеффпціенты этпхъ уравненій составлены только изъ тѣхъ перемѣнныхъ х, у, з......,
отъ которыхъ, пли по которымъ производныя берутся, то функція и можетъ быть найдена. Если же число вышеупомянутыхъ уравненій будетъ менѣе числа пропзвод-
ныхъ, входящихъ въ этп уравненія, то такія уравненія называются уравненіями съ частными производными.
Дифференціальное уравненіе, содержащее двѣ перемѣнныя, относится всегда къ обыкновеннымъ дифференціальнымъ уравненіямъ. Дифференціальное уравненіе, содержащее трп перемѣнныя, можетъ быть обыкновеннымъ дифференціальнымъ уравненіемъ, уравненіемъ съ частными производными п полнымъ дифференціальнымъ уравненіемъ.
Такъ, напр., уравненіе
есть обыкновенное дифференціальное уравненіе.
Уравненіе
Гр 4- Ф 2 = В
, есть уравненіе съ частны-
ми производными, ибо мы предполагаемъ, что для опредѣленія (І2 (І2
ныхъ , кромѣ этого уравненія, не дано еще никакого
ношенія между ними.
гдѣ Р, (Э, И суть функціи .-с, 2/, Р =
частныхъ производ-
аналнтпческаго соот-
Наконецъ уравненіе
х. (Іг 4- у • (Іх (Іу = о
если х п у суть перемѣнныя независимыя, а г ихъ функція, есть полное дифференціальное уравненіе.
Кромѣ того, дифференціальныя уравненія дѣлятся относительно порядка высшей производной на дифференціальныя уравненія I'1'0 поряка, 2*го порядка и т. д. Наконецъ’ дифференціальныя уравненія дѣлятся по -степени высшей производной на дифференціальныя уравненія 1-°й, 2’°" и т. д. степени. Чтобы судить о степени дифференціальнаго уравненія, необходимо чтобы это уравненіе было алгебраическое относптельно высшей производной, чтобы оно было освобождено отъ радикаловъ надъ этою производною и приведено къ виду алгебраическаго уравненія, расположеннаго по степенямъ высшей производной.
Общій видъ дифференціальнаго уравненія съ двумя перемѣнными (обыкновен наго уравненія) есть
_ ( (Іу (Р у (Гу \
Ѵ'ЛІ' а?........7/)“°
это есть обыкновенное дифференціальное уравненіе «’г0 порядка.
Уравненіе
«отъ дифференціальное уравненіе перваго порядка и 2‘ЛЙ степени.
Уравненіе
есть дифференціальное уравненіе втораго порядка и первой степени.
Интегрировать данное дифференціальное уравненіе значитъ найти между входящими въ него перемѣнными такое уравненіе безъ производныхъ высшаго порядка, которое удовлетворяло бы данному дифференціальному уравненію какъ значеніями зависимыхъ- перемѣнныхъ, такъ п пхъ производныхъ (взятыхъ прп всѣхъ значеніяхъ независимыхъ перемѣнныхъ) и которое имѣло бы съ даннымъ дифференціальнымъ уравненіемъ одинакую степень общности.
Чтобы пояснить то, что мы разумѣемъ подъ словами одинакую степень общности, разсмотримъ геометрическое значеніе дифференціальнаго уравненія Vго порядка. •Общій впдъ дифференціальнаго уравненія 1’г0 порядка есть
•откуда
йу
(ІХ
? О, У)
Г. > - с
Еслп у означаетъ ординату точки нѣкоторой кривой, а х ея абсцпсу, то
-есть тангенсъ угла, составляемаго осью х съ касательной, проведенной къ этой кривой .въ точкѣ (а?, у). Данное дифференціальное уравненіе пли, что все равно, уравненіе
й=* О'й
.выражаетъ нѣкоторое свойство касательной къ искомой крпвой, которой уравненіемъ служитъ искомый пнтегралъ даннаго дифференціальнаго уравненія.
По этому свойству касательной можно построить кривую, еслп только условимся въ положеніи нѣкоторой точкп этой крпвой,—точкп, принимаемой за начальную.
Пусть въ уравненіи = ср (ж, у} координатамъ я, у будутъ даны произволь-
ныя значенія х—а п у = Ь. Пусть а>— ОР\ Ь — МТ (фпг. 17). По этимъ част-
иымъ значеніямъ а
7 • ду.
п Ъ пзъ уравненія
Фиі. 17.
найдемъ
сіу
сія'
т. е.
направленіе касательной въ точкѣ
(а, 6); пусть это направленіе будетъ МТ. Такъ какъ элементъ касательной п элементъ крпвой вблизи точки прпкосяовенія совпадаютъ, то точку ЛГ’, лежащую на касательной МТ весьма близко къ ЛГ, можемъ счптать за точку самой крпвой. Пусть координаты этой точки М1
Это соотноше-Но вполнѣ-лп п прп какихъ общности?
будутъ а1 и тогда изъ уравненія
СІУ Г I 7 1'
-^ = &(аІ і') ах т
вычпслпмъ новое направленіе касательной, которое она имѣетъ въ близкой точкѣ крпвой М(. Пусть это направленіе будетъ М'Т1. На этомъ направленіи возьмемъ точку №, весьма близкую къ 21Р, п по координатамъ точкп И'І" опредѣлимъ новое направленіе касательной п т. д. Такимъ образомъ получпмъ ломанную линію .............., которая тѣмъ ближе будетъ подходить въ нѣкоторой кривой, чѣмъ меньше будутъ отдѣльныя частп составленной ломанной.
Еслп бы мы какпмъ нпбудь образомъ нашли соотношеніе между координатами х и у построенной кривой, то это соотношеніе можетъ замѣнить данное дифференціальное уравненіе, пбо по немъ мы также можемъ строить кривую, ніе представляло бы пнтегралъ даннаго дифференціальнаго уравненія, замѣняетъ найденное соотношеніе данное дифференціальное уравненіе условіяхъ оно съ этпмъ послѣднимъ можетъ имѣть одинакую степень
Еслп бы мы въ уравненіи (я, у) дали другія произвольныя значенія координатамъ х п у, “напр. приняли бы я = а; у = $, то это значило бы, что мы взяли другую произвольную точку за начальную и исходя пзъ нея мы нашли бы совсѣмъ другую кривую, иначе расположенную и инаго вида, а потому данное дифференціальное уравненіе принадлежитъ безчисленному множеству кривыхъ, разнящихся между собою не только положеніемъ, но п видомъ; крпвая же, начинающаяся въ точкѣ М, составляетъ частный случай этихъ кривыхъ. Но для того, чтобы начало крпвой оставалось произвольнымъ, стоитъ только въ найденное конечное соотношеніе между х и у ввести произвольную постоянную, не входящую въ данное дифференціальное уравненіе; тогда для данной величины соотвѣтствующая,
ордината, будучи извѣстною функціею я, останется совершенно произвольною. Прп такомъ введеніи постоянной, конечное соотношеніе между х и у будетъ принадлежать безчисленному множеству кривыхъ, имѣющихъ свойство, выражаемое дифференціальнымъ уравненіемъ, п будетъ съ этпмъ послѣднимъ имѣть одинакую степень общи ос тп.
Такое конечное соотношеніе между х и у, содержащее произвольную постоянную, не входящую въ данное дифференціальное уравненіе, называется общимъ интеграломъ даннаго дифференціальнаго уравненія. Общій пнтегралъ составляетъ уравненіе, отъ дифференцированія котораго, цо исключеніи произвольной постоянной, получается данное дифференціальное уравненіе.
Итакъ, общій пнтегралъ долженъ удовлетворять двумъ условіямъ:
1) Значенія у п его производной у-, будучи опредѣлены пзъ общаго интеграла и вставлены' въ данное дифференціальное уравненіе, должны ему удовлетворять, т. е. —обращать его въ тождество.
2) Общій пнтегралъ долженъ содержать постоянную величину, не входящую въ данное дифференціальное уравненіе.
Пусть ^(ж, ?/, с) — о, гдѣ с есть произвольная постоянная, представляетъ-собою общій пнтегралъ дифференціальнаго уравненія перваго порядка
Постоянная с не должна входить въ послѣднее уравненіе, поэтому дифференціальное уравненіе составится чрезъ исключеніе постоянной между уравненіемъ
(ж, у, с) = о
п его первой производной, имѣющей впдъ
Такъ, напр., пзъ уравненія
(у ~ с)2 =2ря
(О
дифференцируя находпмъ
внося отсюда величину
въ уравненіе (1), находпмъ
.дифференціальное уравненіе, которому (1) служитъ общимъ интеграломъ.
Можетъ случиться, что дифференцированіе прямо приведетъ къ исключенію
•постоянной с. Въ такомъ случаѣ первая производная отъ уравненія ^(ж,^, с) = о
должна быть тождественна съ уравненіемъ
Если въ общемъ интегралѣ произвольной постоянной дадимъ какое нлбудь частное значеніе, то соотношеніе между ж и ?/, полученное прн этомъ изъ общаго интеграла, удовлетворяющее данному дифференціальному уравненію, называется частнымъ интеграломъ. Бываютъ случаи, что дифференціальному уравненію удовлетворяютъ уравненія съ производными низшаго порядка, чѣмъ тѣ, которыя содержатся въ дифференціальномъ уравненіи, но этп уравненія, не заключаютъ иногда въ себѣ произвольныхъ постоянныхъ и не могутъ быть выведены пзъ общаго пнтеграла по частному значенію произвольной постоянной. Такія рѣшенія дифференціальныхъ уравненій называются осоошім интегралами или особыми рѣшеніями,
Прежде чѣмъ перейдемъ къ изложенію способовъ интегрированія уравненій, сдѣлаемъ еще одно замѣчаніе. Если первообразное уравненіе содержитъ двѣ постоян-
выхъ, то оно моасетъ происходить отъ доухъ различныхъ дифференціальныхъ уравненій. Въ самомъ дѣлѣ, если имѣемъ уравненіе
(1)
ТО
(2)
Пх
их
= еае
исключая пзъ этпхъ двухъ уравненій с, находпмъ
Ли
Пх
для котораго уравненіе (1) служитъ общимъ интеграломъ. Исключая же между уравненіями (1) и (2) постоянную а, получимъ
<!ѵ _ V !„ А
Лі ~ . А ° С
другое дифференціальное уравненіе, которому уравненіе (I) служитъ также общимъ интеграломъ.
Основные пріемы интегрированія уравненій.
1. Перейдемъ теперь къ обзору способовъ интегрированія уравненій. Начнемъ съ интегрированія обыкновенныхъ уравненій перваго порядка и первой степени. Общій впдъ такихъ уравненій, какъ мы замѣтили, есть слѣдующій:
рѣшая это уравненіе относительно входящей въ него производной, пмѣемъ
Лх
0 (*» У)
Пусть у) =
гдѣ
М л 2Ѵ суть нѣкоторыя функціи х п у. Тогда
йу М __
Лх + “
или
Если бы йИ была функціей одного я, а йУ функціей одного у, тогда, какъ говорятъ, перемѣнныя были бы раздѣлены и общій пнтегралъ уравненія представился бы въ видѣ
М. Лх
Но интегрированіе легко можетъ быть выполнено и въ томъ случаѣ, когда перемѣнныя не раздѣлены, но какъ Л, такъ и 7Ѵ состоятъ изъ отдѣльныхъ множителей, каждый изъ которыхъ зависитъ только отъ одного перемѣннаго. Такъ, напр., еслп данное дифференціальное уравненіе имѣетъ видъ
1 найдемъ
гдѣ и _Х2 суть функціи одного х^ а 3^ и У2—функціи одного у\ тогда, раздѣливъ все уравненіе на Тг.Х2,
Ну ~ О
гдѣ перемѣнныя уже раздѣлены, множитель при Ну есть функція быть выполнено.
Возьмемъ, напр., уравненіе
ибо множитель при Нх есть функція одного ху а одного у, а потому интегрированіе легко можетъ
Раздѣливъ все на произведеніе у-(а— а;), найдемъ х Нх ,, . Ну
~У) тт ~
Такимъ образомъ перемѣнныя раздѣлены. Представимъ зто въ видѣ
а.Нх — (а — х}Нх --------------------
и интегрируя, получпмъ
общій интегралъ даннаго уравненія.
Перемѣнныя также легко раздѣляются въ извѣстныхъ случаяхъ посредствомъ нѣкоторой подстановки; такъ, напр., если дано уравненіе
то вводя новое перемѣнное з подъ условіемъ у^^-хз, раздѣлимъ перемѣнныя. Въ самомъ дѣлѣ, пзъ условія у-~хзу имѣемъ
а потому предыдущее преобразовывается въ
I.
или въ
Нх
откуда
С-
есть общій пнтегралъ, который послѣ введенія первоначальнаго перемѣннаго принимаетъ ВПДЪ:'
1д х + ~ = С.
2. Раздѣленіе перемѣнныхъ всегда возможно въ томъ случаѣ, когда коеффп-ціенты прп дифференціалахъ Ах п Ау суть однородныя функціи одного и того же измѣренія. Положимъ, что въ уравненія
М Ах + Лг Ау = о
коеффпціенты Л п 2\г суть однородныя функціи т*° измѣренія, тогда пхъ можно представить въ впдѣ
х"г =х"р ®
а потому уравненіе принимаетъ впдъ
Пусть
тогда Ау ~х.Аз + з .Ах п мы получпмъ пзъ даннаго уравненія
${з) Ах Р (г) (х. Аз г. Ах} = о
плп
[/"(У) -г г. Р (X] + хР(з} Аз = о
откуда
Ах Р (з) Аз
х + /(з) 4- з.Р(з}~~
пли общій пнтегралъ
пусть
Р^}
2Аз — ]§ С, плп х=^Се
Пояснимъ это на частныхъ примѣрахъ.
Пусть требуется интегрировать уравненіе
х Аз 4* У Ау — пу Ах = о
примемъ у = я я, тогда данное уравненіе обращается въ (1 — пя г2) Лхх г Ли ~ <з откуда
х і — пг-\-0-
придадимъ н вычтемъ въ числителѣ послѣдней дроби по — тогда интегрируя по-лучпмъ
1 I 1 1 ,, , « / & П
х 4- -('і — пг 4-г2) + - / --------------—5- = С
2 2 і 1 —
послѣдній пнтегралъ имѣетъ подъпнтегральную функцію раціональную дробь и легко можетъ быть выполненъ въ логариѳмическомъ впдѣ, еслп — > 1, пли въ круговомъ п
•если — < 1.
2
Пусть еще требуется интегрировать однородное уравненіе
(х2 — у2) Лу — ъху йж = о
пусть у~іх, откуда Лу — х Ліі Лх\ послѣ такого внесенія все уравненіе сократится на х2 и мы получпмъ
0 — #2) (х ЛІ + І Лх) — 2І Лх — о илп
— і2) Лі Лх
і2) х °
множитель прп Лі разлагается на двѣ дроби, именно
1 — І2 1 2.І
~ 0Г-Р-”і2) ’= ~і ”1~+ і2'
поэтому общій пнтегралъ уравненія будетъ
1 о§ і — 1о$ 0 4~ ^2) —105 ж = І05 С или
вводя наконецъ вмѣсто і первоначальное перемѣнное, находимъ
Дабы интегрировать по тому же способу уравненіе
(х — ]/ху — у)Лх + ]/ху Лу — о
положилъ
откуда
Ау = іг Ах оіх Аі; р у — I]/ х
Послѣ внесенія этого въ данное уравненіе н сокращенія его на ж, находимъ (1 — і— Іг 4* зі2 х Аі = о
или, раздѣливъ перемѣнныя, имѣемъ
Ах х
1 — І — 0 — 2 ( I — 0^2 (1 + О
поэтому пнтегралъ предыдущаго уравненія есть
4- 1о§ )/'(1 — і)3 (1 4- I) = Іо? С
Іо? (I — і) у I — і2 = Іо? О
I — і
X 0 — ]/ 1 — ?
слѣдовательно
х —------
(1 — і] ]/і — і2
или, вводя перемѣнное у, получаемъ искомое соотношеніе между х и у въ видѣ
0/л; — 1/ у} -\/х —• у — Се
Для интегрированія уравненія
(Ь/ У Н- VА’2 Н" У1
сіх
примемъ опять у — хг^ тогда
Ау__ Аг
Ах ~ Ах
послѣ этой подстановки данное уравненіе принимаетъ впдъ
интегралъ этого уравненія есть
+1/1 -р я- = Сх.
3. Въ нѣкоторыхъ случаяхъ введеніемъ новаго неремѣннаго данное диффе-
ренціальное уравненіе можетъ быть приведено къ виду однороднаго. Въ самомъ дѣлѣ,
если въ уравненіе
о вмѣсто у введемъ новое перемѣнное подъ усло-
віемъ у = з , гдѣ а есть нѣкоторая постоянная, п еслп можемъ опредѣлить а такъ, чтобы преобразованное уравненіе было однородно относительно з и х, то понятно, что если въ обыкновенномъ однородномъ уравненіи чрезъ введеніе перемѣннаго і подъ
?/ 2й условіемъ — = і
перемѣнныя раздѣляются, то въ нашемъ преобразованномъ урав
неніп однородномъ относительно з и х для раздѣленія перемѣнныхъ слѣдуетъ при-
I
& ш $ ш д ін «ю а
нять •— = т , но если — = т , то у — х~ пли у = т х . Такъ какъ т х х
1 «
совершенно произвольно, то полагая т = —, пмѣемъ у = ~х , гдѣ т есть пере-(X
мѣнная величина; что же касается до а, то она опредѣляется подъ выше упомянутымъ условіемъ. Уравненія, для которыхъ а можетъ быть опредѣлено подъ условіемъ, чтобы преобразованное уравненіе было однороднымъ относительно перемѣнныхъ з п х, называются обобшенишш однородными уравненіями.
Пояснимъ эти общія соображенія на частныхъ примѣрахъ. Возьмемъ уравненіе
т п т
(ах у -г о) у сіх -Ь (/х у + д)хау = о
примемъ у = 8 , тогда это уравненіе обращается въ
ж сш а т ан а—I
(аа; 8 4- Ь') 8 4- а (/х 8 д}хз сІг = о
по сокращеніи на з\ имѣемъ
Ж т аи — і
(аж з Ъ) <1х + а (/х з -\-д)хз (Із = о
члены Ъсіх п ад хз аз суть величины нулеваго измѣренія относительно з и х, слѣдовательно чтобы уравненіе по я п х было однороднымъ, необходимо выбрать Ш 014
а такъ, чтобы х з было величиной нулеваго измѣренія, т. е. чтобы т-Ь«а = о, откуда, а =--------. Слѣдовательно, въ данномъ уравненіи перемѣнныя раздѣлятся,
т
если примемъ въ немъ у = тх п. При этомъ
т
ду — х п д~—ІП-~х п сіх и
п данное уравненіе обращается въ
т т т
с ~п і 11 л । (гя і \г и 1 7 т 11 7 1
(ат 4-о)т.я ах-\-{[~ 4- У) [я йт---------}7~'х г/ж] = о
плп
(а~ + т сіх + (Л +/7)[^^"——-тйл*] = о
откуда получпмъ п
дх . (/т д') сіх _______
х ”г, « . 7Х Ж г. » , ч ”'
(ат ч-г>)т—--(/т -4.?)т
уравненіе,’ въ которомъ перемѣнныя раздѣлены.
Возьмемъ еще уравненіе
у (1 -г- ]/х2 уі -г I) дх 4* 2х ду = о
полагая здѣсь у = лг°, пмѣемъ
сокращая на за, находпмъ
(1 4* + 1) дх 4- 2ах 2~1 дя = о
какъ п въ предыдущемъ случаѣ, въ этомъ уравненіи члены дх п 2ая;^—'й^ суть нулсваго измѣренія относптельно х и г, а потому для однородности уравненія нообхо-^ дцмо, чтобы х2г* была величиной кулеваго измѣренія, что очевидно будетъ прн
1 гг
2 4а = о; откуда а = -——. Поэтому заключаемъ, что перемѣнныя раздѣлятся
въ данномъ уравненіи, если примемъ у = хх \ откуда ду — х ~ сіт------------х 1 дх,
^2^
при этомъ, какъ весьма легко видѣть, данное уравненіе принимаетъ впдъ
гдѣ перемѣнныя раздѣлены.
Подобнымъ же преобразованіемъ перемѣнныя въ нѣкоторыхъ случаяхъ могутъ быть раздѣлены п въ уравненіи
Му1
\сіхЗ ' 'і
Положимъ здѣсь у — гл, тогда
= «/-(*) ах X «л*/
слѣдовательно, данное уравненіе принимаетъ впдъ
Й 7<і(«— О л т а)і р а$
а г \ I = Ах 2 4- ЗЗх г \ах)
это уравненіе будетъ однороднымъ прп условіи
Іс (а — 1) — т 4- ««—р -г
въ этомъ заключаются два уравненія, п потому кромѣ а извѣстному условію должна удовлетворять еще одна величина, напр. к, посмотримъ каково должно быть к для того, чтобы вышепоказанное преобразованіе привело къ раздѣленію перемѣнныхъ. Если исключимъ а изъ двухъ предыдущихъ уравненій, то найдемъ
___ ту — пу ѵ т + п —р — 2
Еслп для даннаго уравненія это условіе удовлетворяется, то значеніе а опредѣлится по выраженію
т — р а -------і-
' 2 — п
и въ данномъ уравненіи перемѣнныя раздѣлятся, еслп введемъ новое перемѣнное т подъ условіемъ
т—р 7—н
у — т#
Пояснимъ это на частныхъ примѣрахъ. Посмотримъ, прп какпхъ условіяхъ можетъ быть сдѣлано раздѣленіе перемѣнныхъ въ уравненіи
2г3?/—зж2
\ах!
Найдемъ значеніе к, прп которомъ указанное преобразованіе приведетъ къ цѣли. Въ нашемъ случаѣ т — з; п = 1; у — 2: у = о. Поэтому к — — 1 п а = — 1, слѣдовательно отдѣленіе перемѣнныхъ возможно будетъ только въ уравненіи
сіх
2х3у — з#2
} т*
полагая здѣсь у — -сх~ , имѣемъ сіу — (Іх, п послѣ этой подстановки
предыдущее уравненіе принимаетъ видъ сіх (э~ — з)
гдѣ перемѣнныя раздѣлены.
Въ уравненіи
мы имѣемъ т ~ 1; п — 2; р — о; 5 = 1, слѣдовательно — —. Только при та-2
комъ 1і преобразованіе возможно, но прп 7; = --• данное уравненіе имѣетъ впдъ
<??/ = (г.т?/2 + у}2 (Іх
Прп выше упомянутыхъ значеніяхъ ж, п, р, % мы имѣемъ кромѣ того а = — 1. Слѣдовательно, для раздѣленія перемѣнныхъ слѣдуетъ нолояшть у — - тогда предыдущее уравненіе обращается въ (1~ (ІХ
~ ~Г ( 2Т* + Т}2 X гдѣ перемѣнныя раздѣлены.
4. Къ однороднымъ уравненіямъ въ извѣстныхъ случаяхъ могутъ быть приводимы уравненія впда
{ах 4- Ъу -г І) (Іх 4- (Ах -{- Бу А- Б] Ну = о чтобы привести коеффпціенты прн дифференціалахъ къ однородной формѣ, примемъ
тогда Нх = сІІ,; сЪу~сІть а потому уравненіе преобразовывается въ
(а% Ъті 4- ая 4- 4- /") г7<* 4- (А% 4- Бт] 4- Ах 4- Бр 4- Б) Л, = о
чтобы уничтожитъ въ коеффпціентахъ члены нулеваго измѣренія, опредѣлимъ постоянныя а п ,3 пзъ условій
ах 4- Ъ$ 4" У = °
Ах 4-^4-Г=о
тогда остальное получитъ однородную форму
(««; 4- •+" 4- Бт/} (Іт( ~ о
и если примемъ — = і, то перемѣнныя здѣсь будутъ раздѣлены.
Этотъ пріемъ остается однако не примѣнимымъ въ томъ случаѣ, когда аБ—АЪ о, ибо тогда для а и получаются безконечныя величины, по если это
есть, то, полагая Л = на, будемъ имѣть = а поэтому въ разсматриваемомъ случаѣ
Ах 4- Ру — и (ах Ьу)
и данное уравненіе принимаетъ впдъ
(ах 4- Ъу -г /4 дх 4~ [я (ах 4- Ъу) 4-Р] ду — о
пусть здѣсь ах-±-Ъу — з, тогда
Ь ду — дз — а дх
а потому предыдущее уравненіе обращается въ
& (з 4- Л дх -4 (ялг 4- Р) (дз — а дх') = о
гдѣ перемѣнныя легко отдѣляются п общій пнтегралъ представляется въ впдѣ
5. Слѣдующій классъ дифференціальныхъ уравненій, который намъ предстоитъ разсмотрѣть, составляютъ такъ называемыя линейныя уравненія перваго норядка. Дифференціальное уравненіе перваго порядка называется линейнымъ, если въ него неизвѣстная функція н ея производная входятъ въ первыхъ степеняхъ и не перемножаются между собою. Общій впдъ этпхъ уравненій есть
гдѣ Р и <2 суть нѣкоторыя функціи одного х.
Этп уравненія могутъ быть интегрируемы: плп чрезъ введеніе новыхъ перемѣнныхъ, пли по предложенному французскимъ геометромъ Лагранжемъ способу пзмѣ-.ненія произвольныхъ постоянныхъ.
Примемъ у — зі, тогда ду — зді-\-ідз и наше уравненіе обращается въ
з ді 4- ідз 4" з і Р дх = дх
для того чтобы пмѣть условія для опредѣленія составныхъ частей з и примемъ
і дз 4- з іР дх = о
•пли
дз ~ з Рдх = о (2)
•остальное даетъ
зді — §дх (3)
изъ (2) находимъ
гдѣ е есть основаніе Неперовыхъ логариѳмовъ. Уравненіе (3) послѣ этого приводится бъ виду
/ РЛх
сіі = §<>'' сіх
плп
гдѣ С есть произвольное постоянное, а потому общій интегралъ даннаго уравненія будетъ
Другой способъ интегрированія линейныхъ уравненій предложенъ Лаграняіемъ п извѣстенъ подъ именемъ способа измѣненія произвольныхъ постоянныхъ. Сущность этого способа заключается въ слѣдующемъ. Будемъ интегрировать уравненіе
сначала въ томъ предположеніи, что вторая его часть, т. е. о. Тогда остальное, будучи представлено въ впдѣ
^4-Рйж=--о
У
даетъ въ интегралѣ
У + у -? = іо§ С или
У=Се
гдѣ С есть произвольная постоянная, введенная интегрированіемъ. Разсматривая теперь С не какъ постоянную, а какъ нѣкоторую функцію а?, опредѣлимъ ее нодъ тѣмъ условіемъ, чтобы найденный пнтегралъ, сохраняя свою форму, удовлетворялъ полному линейному уравненію (1), въ которомъ вторая часть отлична отъ нуля. Дифференцируя пнтегралъ (5) по х п принимая при этсмъ С за функцію х, находимъ
(Іу сІС “ I Р(1х рс]х
— СРе'7 ах ах
внося это вмѣстѣ еъ величиной у, взятой пзъ (5) въ данное уравненіе, получпмъ
плп
откуда
гдѣ Сг есть произвольная постоянная; итакъ интегралъ (5), удовлетворяющій данному дифференціальному уравненію, будетъ
результатъ тотъ же, какъ прежде найденный.
Принимая во вниманіе предыдущія теоретическія соображенія, будемъ интегрировать уравненіе
здѣсь искомая функція у п ея пропзводная входятъ въ первыхъ степеняхъ, слѣдовательно это уравненіе есть линейное. Представивъ его въ формѣ
Ну , у 1 , 1
-г- Ч- ~ — — Іо5 --------
ах х х і — х
мы впдпмъ, что въ этомъ случаѣ
поэтому, составляя общій интегралъ по формѣ (4), находпмъ
что очевидно приводится къ
плп
но интегрируя по частямъ, имѣемъ /» л
Іод ( I — гг) = х Іод (1 — л') 4- / -
/ I — ОС
для выполненія послѣдняго интеграла положимъ 1 —х = і\ тогда сіх= —сіі’, х= 1 — і слѣдовательно
1 — X
4- 1 — х
итакъ
Цг- И — Н (1 — ж)]
есть искомый общій пнтегралъ даннаго уравненія. Будемъ еще интегрировать уравненіе
по общему выраженію (4) интеграла имѣемъ для этого
Мы знаемъ, что
слѣдовательно
остается выполнять послѣдній пнтегралъ. Мы впдпмъ, что
ГС
х
послѣдній пнтегралъ возьмемъ по частямъ. Въ общей формулѣ
положимъ
поэтому
к
слѣдовательно
Вслѣдствіе этого искомый общій пнтегралъ принимаетъ впдъ
X
6. Къ линейнымъ уравненіямъ приводятся нѣкоторыя другія.
Уравненіе
55 + ру=а<г
гдѣ. Р п <2 суть функціи одного х, пріемомъ подобнымъ выше изложенному легко интегрируется.
Пусть
тогда данное уравненіе принимаетъ впдъ
~ і" = о
Такъ какъ одно пзъ перемѣнныхъ г плп і пока произвольно,; то опредѣлимъ подъ тѣмъ условіемъ, чтобы
его
(6)
(II
На
тогда остальное принимаетъ впдъ
—----О я г — о
ах
пзъ условнаго уравненія (6) находимъ
такимъ образомъ і есть функція одного х. Отдѣляя неремѣнныя въ оставшемся уравненіи, пмѣемъ
(Іх = о
интегрируя это, получаемъ
1—п
'I — п
плп
я
1 — п
у во я — плп
.V
поэтому пнтегралъ
даннаго уравненія будетъ
(’)
Составимъ по этой формулѣ общій интегралъ уравненія
Въ этомъ случаѣ
п = 2
слѣдовательно
Рііх = 1о§ х\
Поэтому вырал:еніе (7) даетъ
что и представляетъ искомый общій пнтегралъ даннаго дифференціальнаго уравненія.
Самое общее трехчленное уравненіе, приводимое къ линейному, имѣетъ видъ-
Т' (у) % 4- ? © (у) = <2 [® Сѵ)]"
Въ самомъ дѣлѣ, полагая здѣсь <р(^) = г, имѣемъ Лг = ф'(у)(Іу. слѣдовательно, предыдущее уравненіе принимаетъ видъ
Л
и интегрируется по изложенному выше способу. Возьмемъ напрпмѣръ уравненіе
, х+
- __ 4 —- р
Нх
помноживъ это на — ае . имѣемъ
— 2е
Ну , —ѵ/ •
-г 26 — — 26
ах
•полагая здѣсь
—гу
^приводимъ уравненіе къ виду
Пг
Нх
2 «Г = ------------- 26
чтобы интегрировать это уравненіе по выраженію (4), замѣтимъ, что здѣсь
— 26
•слѣдовательно
Р Пх — 2х;
2 З.Х Пх =-------------с
Интегралъ (4) принимаетъ видъ
2 За* — е
или
— 20
но мы приняли е
поэтому искомый пнтегралъ будетъ
Найдемъ еще общій пнтегралъ уравненія
это легко приводится къ виду
—у
пусть е ‘ тогда это уравненіе принимаетъ видъ
(а)
(ІЯ а 1
примѣняя къ интегрированію этого уравненія выраженіе (4), мы должны принять
слѣдовательно
такимъ образомъ ио выраженію (4) пнтегралъ уравненія (а) представляется въ-видѣ
или въ видѣ
г — 'I Сх
у 1
но мы приняли е = а потому оощлі пнтегралъ даннаго уравненія есть
у__ 1
6 “ 1 4- Сх
7, Въ извѣстной связи съ уравненіями, интегрированными до сихъ поръ, находится уравненіе вида
(А) §;++ну+я = о
гдѣ <2, В, суть нѣкоторыя функціи отъ х. Вообще мы не умѣемъ пнтегрпровать этого уравненія, но въ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ можетъ быть найденъ его общій пнтегралъ.
1., Это уравненіе легко интегрируется, если -Р, <2, И суть постоянныя велпчпны. Тогда помноживъ это уравненіе на (Іх п раздѣливъ его на трехчленъ.
Ру2 + мы представимъ его въ впдѣ
(Іу , л
5у+ о!/+'в“+ х ~°
здѣсь перемѣнныя раздѣлены л общій интегралъ легко находится.
2., Это уравненіе легко интегрируется, еслп Р, <2, В суть функціи х, но находятся между собою въ постоянномъ отношеніи. Въ саномъ дѣлѣ предположимъ, что
гдѣ а и Ъ суть постоянныя величины, тогда
ф = аР; 2?=5Р
слѣдовательно данное уравненіе можетъ быть представлено въ впдѣ
+ +«У+&) = <>
гдѣ Р есть функція х. Отсюда подобно предыдущему находимъ уравненіе
Ну , Т> .1
—--------7- -к Р СІХ — о
У + ау+ ь
въ которомъ перемѣнныя раздѣлены п общій пнтегралъ можетъ быть найденъ.
3., Едвалп есть надобность упоминать о томъ, что уравненіе интегрируется, когда .К = о, ибо въ этомъ случаѣ уравненіе (А) прямо имѣетъ видъ уравненія (8).
4,, Наконецъ уравненіе, о которомъ теперь говоримъ, можетъ быть интегрировано і т. е. можетъ быть найденъ его общій интегралъ, когда будетъ- извѣстенъ какой либо его частный интегралъ. Мы уже сказали выше, что частный пнтегралъ не содержитъ произвольной постоянной и можетъ быть полученъ пзъ общаго интеграла, если въ этомъ послѣднемъ произвольной постоянной будетъ дано нѣкоторое частное значеніе.
Итакъ предположимъ, что извѣстна нѣкоторая функція х, которая, будучи подставлена въ данное дифференціальное уравненіе вмѣсто у, удовлетворяетъ этому уравненію. Пусть эта функція будетъ У, и подстановка у = У въ данное уравненіе обращаетъ его въ тождество.
Легко показать, что отъ подстановки у = У 4- я, гдѣ г есть новое перемѣнное, въ данномъ уравненіи, при сказанномъ условіи относительно У, перемѣнныя раздѣляются, и общій интегралъ-уравненія легко можетъ быть найденъ.
Въ самомъ дѣлѣ, еслп
ТО
У=?+^
Са)
Но
гдѣ
если Г удовлетворяетъ данному уравненію, то пзъ него имѣемъ
+ + Я = -
Р, Р, Г суть нѣкоторыя функціи ОТЪ X.
ду
Подставляя въ данное уравненіе вмѣсто у и.-,'- пхъ велпчпны по (а), на-ах
ходимъ
(ІХ ' сіх
ПЛП
дх 1 дх ѵ ' '
но принимая во вниманіе условіе (Ь), отсюда пмѣемъ только слѣдующее уравненіе
дх 1 ------' 1
Такъ какъ 2РГ + Ф п Р суть функціи одного я, то это уравненіе легко интегри-2 1
руется; для этого стоитъ только все уравненіе раздѣлить на з1 и принять — за
&
новое перемѣнное.
Пояснимъ эту теорію на частныхъ примѣрахъ.
Разсмотримъ уравненіе
частный пнтегралъ этого уравненія есть у — х: поэтому для интегрированія примемъ у = тогда данное уравненіе, преобразованное по г, принимаетъ впдъ
— = хг ах
пли
пусть
14.
— = ді
слѣдовательно предыдущее уравненіе принимаетъ впдъ
ді
—- + хі = — і дх
линейнаго уравненія, но общій пнтегралъ этого уравненія по формулѣ (4) зависитъ
отъ квадратуры
а?5
е2 дхл
которая въ конечномъ впдѣ выполнена быть не можетъ.
Найдемъ еще общій интегралъ уравненія
О — О2= (У — - 1)
частное рѣшеніе этого уравненія очевидно есть $/=1. Поэтому для интегрированія примемъ у=1 тогда данное уравненіе обращается въ
или въ
(Іг е2 ( г сіх ~ 1 — х2 "и 1 — х
1
Раздѣливъ на г2 и полагая — ~ і, находимъ
2
Примѣняя къ интегрированію этого уравненія формулу (4), принимаемъ
слѣдовательно
С 3?с1х~ — 1о§ (1 — х] поэтому
или
НЛП
слѣдовательно
. и наконецъ искомый общій пнтегралъ даннагб уравненія есть _ 2 (7(1—х)г + 1 —2Х
V яС (1 — а-’У — 1
В. Къ тому же классу уравненій, о которыхъ мы сейчасъ говорили, принадлежитъ уравненіе извѣстное подъ именемъ уравненія Р«я«аяш; оно имѣетъ видъ
Лу г । т т — — а іг 4- Ъх
(Іх '
гдѣ а и Ъ суть постоянные коеффиціенты. Если ?п—о, то это уравненіе легко интегрируется, тогда оно представляется въ впдѣ
Лу
Лх
= ау~ + і
Раздѣляя перемѣнныя, находпмъ
Лу ау2 -г Ъ
— (ІХ
послѣ чего общій пнтегралъ легко
получается, онъ имѣетъ впдъ
Итакъ, если хотимъ интегрировать уравненіе Рпккати, то должны преобразовать его въ другое, въ которомъ показатель соотвѣтствующій т равнялся бы нулю.
Чтобы видѣть въ какихъ случаяхъ это преобразованіе возможно, введемъ для интегрированія новое перемѣнное г подъ условіемъ
откуда получаемъ
Подставляя это въ данное уравненіе, легко находпмъ
(О
еслп ж =—а, то уравненіе приводится къ виду
Лг
Лх = ~а
в легко интегрируется какъ однородное.
Въ самомъ дѣлѣ, полагая - — і, пмѣемъ Лз — і Лх 4- х Лі, илв X
Лі
ХТх
Внося это въ предыдущее уравненіе, имѣемъ
(ІІ (ІХ
аі'2 -у- і Ъ х
что легко интегрируется.
Итакъ, прп помощи этого преобразованія уравненіе Риккати интегрируется въ томъ случаѣ, когда т = —2.
Уравненіе (с) не имѣетъ формы первоначальнаго уравненія, но оно еще однимъ преобразованіемъ можетъ быть приведено къ виду уравненія Рпккатп.
Полагая въ уравненіи (с) х = — , пмѣемъ
(4)
Это уравненіе имѣетъ форму первоначальнаго уравненія Рпккати, въ которомъ показатель т замѣненъ чрезъ —т—4. Уревненіе Рпккати интегрируется прп т=о, а потому заключаемъ, что при помощи этого преобразованія уравненіе Риккати будетъ .интегрироваться въ томъ случаѣ, когда —т—4 = 0, т- е- когда т = — 4, т. е. будетъ интегрироваться уравненіе вида
I=+ Ъх~‘
Подставимъ въ уравненіе Рпккатп
= ауг -4- Ьх"1
вмѣсто у, величину —, тогда оно приметъ видъ
положимъ здѣсь ж'"'*’1 = и, тогда х"1, (Іх = ——п предыдущее
уравненіе обра-
щается Въ
а
<1и
ПІ
Ні-г
Это уравненіе имѣетъ форму' уравненія Риккати, но мы видѣли сейчасъ, что это послѣднее интегрируется прп т = — 4. Сл ѣдовательно уравненіе (е) интегри
руется прп
т
т +1
плп. прп т = —
Уравненіе (й) имѣетъ форму уравненія Рпккатн, но мы видѣли сейчасъ, что уравненіе Рнккатп интегрируется прп т = — -- , слѣдовательно уравненіе (й) бу-3 4 8
детъ интегрироваться прн — т — 4 = — или прп т =---------------
3 3
Уравненіе (е) имѣетъ форму уравненія Рнккатп, но мы видѣли, что уравне-ц
ніе Рпикатп интегрируется при т =---------, слѣдовательно уравненіе (с) будетъ ин-
тегрироваться прп
т _____ 8
5?г + 1 “ з 8 пли прп т =----------
5
Уравненіе (й) имѣетъ форму уравненія Рнккатп, но мы видѣли, что это пос-д
лѣднее пнтегрпруется прп т =---------, слѣдовательно уравненіе (й) интегрируется
5
прп 8 — т — 4 =----------------------------------------
5
1 2 плп прп т ~ —........
5
1 2
Еслп уравненіе Рпкаттп интегрируется прп т —— - •, то уравненіе (с) нн-5 тегрпруется прн т 12
«г. + I ~ у 1 2 плп прп т = —— п т. д.
Продолжая такпмъ образомъ, мы найдемъ, что уравненіе Рнккатп интегрируется прп слѣдующихъ частныхъ значеніяхъ т:
4 8 8 12 12 '16
Всѣ этп числа заключаются въ одной общей формѣ
4«
т =-------—т
2П І
адѣ п имѣетъ значеніе всѣхъ положительныхъ цѣлыхъ чпселъ. Прп п = оо; т= — 2. Итакъ уравненіе
2=*+Ъх~^1 пнтегрпруется прп всѣхъ цѣлыхъ и полояіптельныхъ значеніяхъ «, отъ п = о до п = со.
Пояснимъ интегрированіе уравненія Риккати на частномъ примѣрѣ. Пусть требуется .интегрировать уравненіе
$ = У' + 2ж * (А)
ах
д При т= — — интегрируется уравненіе ((I).
Преобразованіе посредствомъ новыхъ перемѣнныхъ, соотвѣтствующихъ этому уравненію, состоитъ въ подстановкѣ
(а)
Въ нашемъ случаѣ а=1 и мы означимъ новыя перемѣнныя чрезъ х1 и ух, полагая
тогда
Слѣдовательно, уравненіе (А) послѣ введенія перемѣннаго ух принимаетъ видъ
; (Іх = - ,
внося это
въ послѣднее уравненіе, приводимъ его къ
виду
3
Ах
Въ этомъ уравненіи ж = , прп такомъ значеніи т интегрируется уравненіе (е).
Преобразованіе введеніемъ новыхъ перемѣнныхъ для этого уравненія выполняется посредствомъ соотношеній
Въ нашемъ случаѣ т =-------и мы примемъ
1 >»+і -і
ух =-----------; хх = а?2, или хх — ж2
у <>
Вводя эти перемѣнныя въ уравненіе (В), мы приводимъ его къ виду
64Я
здѣсь т = —4; при т = — 4 интегрируется уравненіе ((I), поэтому вводя для дальнѣйшаго преобразованія новыя перемѣнныя ж3 и у3 н помня, что въ нашемъ случаѣ а — — б, мы, подобно предыдущему по формѣ (а), должны теперь принять
____
• 6х2 х.2 ’
тогда предыдущее уравненіе легко приводится къ впду
пнтегралъ этого уравненія есть
агс(Іап* — у3 $/2) 4- С
Теперь остается только отъ перемѣнныхъ ж3 н у3 перейти къ перемѣннымъ даннаго уравненія (А), т. е. къ перемѣннымъ ж п у. Для этого пмѣемъ соотношенія
Кромѣ того
но по соотношеніямъ между перемѣнными ж пмѣемъ
слѣдовательно
Мы приняли
слѣдовательно
поэтому
2
или по сокращеніи на ж:і приводимъ это къ виду
Кромѣ того имѣемъ
Слѣдовательно найденный интегралъ принимаетъ видъ
~ агс
это и есть общій пнтегралъ уравненія (А).
9. Итакъ, мы видимъ, что интегрированіе даннаго дифференціальнаго уравненія. выполнится, если перемѣнныя будутъ раздѣлены. Но если - данное уравненіе представляетъ точный дифференціалъ, то интегрированіе можетъ быть выполнено и безъ раздѣленія перемѣнныхъ. Посмотримъ какому условію должны удовлетворять коеффпціенты М н Л7 въ уравненіи
для того, чтобы это уравненіе представляло собою точный дифференціалъ. Еслп первая часть есть точный дифференціалъ нѣкоторой функціи и = [(х,у}, то это выраженіе должно быть тождественно съ выраженіемъ
а для этого необходимо, чтобы
Ли ау
откуда
<!№__ у 2и_ <™т _ йу Лх Лу ’ Лх Лх Лу
слѣдовательно, для того чтобы нервая часть уравненія
МЛх 4- — о
представляла точный дифференціалъ, необходимо чтобы выполнялось условіе
аМ_ ах
ау ах
Если это условіе выполняется н данное уравненіе представляетъ собою точный дифференціалъ, то интегрированіе безъ раздѣленія перемѣнныхъ можетъ быть произведено по слѣдующимъ соображеніямъ.
Еслп данное уравненіе МЛх -г У ау = о есть точный дифференціалъ нѣкоторой функціи и, то
। лт л Ли , Ли у мах -р л ау — ах + ау ах ау
и выраженіе и = С было бы общимъ интеграломъ даннаго дифференціальнаго уравненія. Чтобы опредѣлить эту функцію «, обратимся къ уравненію
— — Ъ1 нлп ах
Ни = М (Іх
откуда
и = / МНх 4 У
гдѣ интегрированіе производится только по х п къ интегралу прибавляется произвольная функція У одного перемѣннаго у, которая печезла прп дифференцированіи по х. Теперь предстоитъ опредѣлить эту функцію У. Дифференцируя по у предыдущее уравненіе, пмѣемъ
Но
(Іи йу
= слѣдовательно для опредѣленія У пмѣемъ уравненіе
М(1х
откуда интегрируя по у, находимъ
слѣдовательно
и общій интегралъ даннаго точнаго дифференціальнаго уравненія будетъ
Пусть дано для интегрированія уравненіе
сіх ( у2 сіх у (Іу , (у (Іх — х (Іу} —2 і &У
х "и х3 х2 х3 * & ' іу
Въ этомъ случаѣ
откуда
легко убѣдимся, что сіМ_________________________сІУ____эу х2 + зу2
йу ~ (1х~ х3~ х3 |/^-Г^2
а потому заключаемъ, что данное уравненіе представляетъ точный дифференціалъ и можетъ быть интегрировано по изложенному способу.
Въ нашемъ случаѣ
но
По этому составляемъ
слѣдовательно для разсматриваемаго случая выраженіе /V Л /*Мсіхл
даетъ
а потому общій интегралъ даннаго дифференціальнаго уравненія будетъ
Объ интегрирующемъ множителѣ дифференціальнаго уравненія.
10. Можетъ быть, что данное дифференціальное уравненіе получено не пряло отъ дифференцированія, но возникло послѣ сокращенія нѣкоторыхъ множителей и тогда оно непосредственно интегрироваться не можетъ; тогда, чтобы сдѣлать его точнымъ дифференціаломъ, необходимо ввести этихъ опущенныхъ множителей.
Предположимъ, въ самомъ дѣлѣ, что мы пмѣемъ уравненіе впда
у— сх — о
откуда
йу — ссіх = о
исключая отсюда постоянную с посредствомъ начальнаго уравненія, получаемъ дифференціальное уравненіе
хсіу — усіх — о
которое не удовлетворяетъ условіямъ точнаго дифференціала, ибо въ этомъ случаѣ
и такпмъ ооразомъ условіе
сіу <ІХ
М= — у; — х;
не выполняется.
. Ш сІХ
Но если данное уравненіе
У получпмъ — = с, откуда
у — сх=о рѣшимъ относптельно постоянной, то
и въ этой формѣ
____у ______1 _ 1 ___(IX
~~х^ ~х} 7^~~хі~'7Гх
условіе точнаго дифференціала удовлетворяется. Слѣдовательно, для уравненія 1
хсіу — усіх = о, дробь есть тотъ множитель, который обращаетъ это уравненіе Л*
въ точный дифференціалъ. Такой множитель называется- интегрирующимъ множителемъ. Легко убѣдиться, что для всякаго уравненія перваго порядка и первой степенп существуетъ интегрирующій множитель.
Пусть уравненіе Мсіх -ф- Хсіу = о имѣетъ интегралъ /(х, у, С) = о, тогда черезъ дифференцированіе изъ этого интеграла находимъ
(1)
сіх 1 сіу сіх
откуда
М
'сіхУ
а изъ даннаго уравненія имѣемъ
слѣдовательно
І^Г\
И _ ѴНх/ '(Ц'\ \(1у}
п М
Пусть=р, тогда -?- = р
Уравненіе (1) есть несомнѣнно точный дифференціалъ; посмотримъ,, въ какомъ отношеніи находится къ нему данное уравненіе ѣісіх 1Т(Іу=^ о. Уравненію (1) по послѣднему соотношенію можно дать видъ
, й/* сіу
1 Ну ‘ сіу сіх
пли
>или
сіу (Іх/
діли наконецъ
{НГХ к сіи / ~Ѣ~
(Мсіх + Лт Ну} ==
о
Въ такомъ видѣ представляется точный дифференціалъ (1), и мы видимъ, что данное дифференціальное уравненіе получается пзъ него по сокращеніи множителя
Этотъ множитель обращаетъ такимъ образомъ данное уравненіе въ точный дифференціалъ п называется интегрирующимъ множителемъ. Но но этой формѣ интегрирующій множитель могъ бы быть опредѣленъ только тогда, когда былъ бы извѣстенъ видъ фпнкціп /г(ж, у. С) = о, т. е. когда былъ бы извѣстенъ, общій интегралъ даннаго уравненія, чего однако не предполагаемъ прп изысканіи интегрирующаго множителя.
Еслп мы знаемъ одного интегрирующаго множителя, то легко видѣть, что можемъ по немъ составить безчисленное множество такихъ множителей. Пусть іл будетъ интегрирующій множитель уравненія 3/Нх Ц- У сіу — о, тогда
[Л (Мсіх + У сіу} — сіх -+• сіу
1 ѵ 1 '/У СІХ Сіу
если « — о есть интегралъ даннаго уравненія. Слѣдовательно
р. (2ЛНх + У Ну} = сіи
пусть о («) будетъ произвольная функція отъ и, тогда
<л 9 («) (ЗГсіх + ЗГ Ну} = о (и) (Іи
Но ^(и}сІи всегда есть точный дифференціалъ, а потому посредствомъ множителя и,о(«) данное уравненіе обращается въ точный дифференціалъ, и для него ілъ(и} есть интегрирующій мнолсптель.
Посредствомъ множителя ц., который обращаетъ выраженіе 3/ Нх 4- дУсіу въ точный дифференціалъ, можетъ быть найденъ не только общій пнтегралъ уравненія
Мсіх + дУ сіу = о
но посредствомъ него можно найти также н частное рѣшеніе этого уравненія, еслп для него такое частное рѣшеніе существуетъ.
Въ самомъ дѣлѣ, еслп |л есть интегрирующій множитель для даннаго уравненія, то
и. (31 сіх У Ну} — сіи == о
поэтому
1 ,
-• аи — о р*
но этому удовлетворимъ, полагая
, 1
аи = о и — = о
Н-
изъ перваго получаемъ общій пнтегралъ, во второмъ заключаются частныя рѣшенія.
Уравненіе
у Нх — хсіу — о
1 имѣетъ интегрирующаго множителя —. Слѣдовательно въ этомъ случаѣ уравненіе
— = о принимаетъ впдъ ху^о п это послѣднее иредставляетъ систему двухъ частныхъ к
рѣшеній ж = о у=о, Этп частныя рѣшенія дѣйствительно получаются пзъ общаго интеграла даннаго уравненія прп частныхъ значеніяхъ, произвольной постоянной. Въ самомъ дѣлѣ, если иомножимъ данное уравненіе на упомянутаго интегрирующаго мно
жителя, то перемѣнныя раздѣлятся и мы будемъ имѣть
сіх (Іу____
,г У
откуда
\$х — ]$у = 1%С
лли
-=с
У
это есть общій пнтегралъ даннаго уравненія. Принимая здѣсь С = о, мы находимъ одно частнне-рѣшеніе-х = о; .принимая'„О — со мы получаемъ другое частное рѣшеніе у=о.
Точно также уравненіе
|/ у дх — х ду — о
1
имѣемъ интегрирующаго множителя —~; а слѣдовательно частныя рѣшенія должны )/ ху
заключаться въ уравненіи — о. самомъ дѣлѣ, представляя данное уравненіе въ видѣ
/ (Іх- ду \
~ І7Т7 =0
зіы ему удовлетворимъ, полагая дх ду
-- = О II уху ~ О 1/х у у
.первое даетъ общій интегралъ, а во второмъ заключаются частныя рѣшенія.
Посмотримъ наконецъ, въ какихъ случаяхъ можетъ быть найденъ интегрирующій множитель. Еслп р. есть интегрирующій множитель уравненія Мдх №ду = оу то
р. М дх р- -А7 ду = о
•есть точный дифференціалъ п необходимо удовлетворяется условіе
с?(р.М) д (р. .А7) ду ~ дх
.но это можетъ быть представлено въ впдѣ
;п ли
-Это уравненіе.и служить для опредѣленія интегрирующаго множителя,
оно но есть
уравненіе съ частными производными и интегрированіе его составляетъ болѣе слож ную задачу, чѣмъ интегрированіе даннаго уравненія.
11. Только въ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ мы можемъ съ извѣстной простотой примѣнить это уравненіе къ изысканію интегрирующаго множителя. Такъ наир., еслп для дифференціальнаго уравненія существуетъ такой интегрирующій мно-житель, который есть функція одного л, то для такого множителя ~^- = о, и изъ предыдущаго уравненія остается
<іх ' \<Іу СІХ /
откуда
если вторая часть есть функція одного я, то зто уравненіе можно интегрировать и тогда
Пусть, напримѣръ, требуется интегрировать уравненіе
(з#2 4- бху + ЗУ2) + (же2 -|- 3ЖУ) ау = о
Здѣсь
ЪІ = %х2 - Н бху + зу2 2^ = 2х2 4* $ху
ам с с ая
17 = &+бг'’
слѣдовательно
ам_ №
сі у ах 2Х 4- 3 у 1
27 2 х1 + з ху х
поэтому для разсматриваемаго случая
/ ж іегж ре. = е = е = х.
*•) Замѣтимъ, что если
Ау Ах
~ о, то, какъ доковываетъ это
рирующій множитель есть постоянная
величина,
АМ АХ
есть
уравненіе, интег-
условіе точнаго
дифференціала; такимъ образомъ если данное дифференціальное уравненіе есть точный дифференціалъ, то интегрирующій его множитель есть постоянная величина.
Итакъ, умножая данное уравненіе на к, мы дѣлаемъ его точнымъ дифференціаломъ. Послѣ этого умноженія получаемъ
(з#3 4~ б#2у 4- зжу2) Нх -ф- (га;3 4- з#2у) &У — 0
Теперь
/МНх = — а4 4- ^У 4- — лРу2 4 2 /
и кромѣ того
й / МНх
Ну
—- 2а:3 4- З^У — 2x33Х*У = °
слѣдовательно общій интегралъ даннаго уравненія будетъ
4- 2«3« 4" ~ я2 У2 — 2
Если интегрирующій множитель есть функція суммы а; 4* У» т. е. р,=<р(х 4- у) то понятно, что
йр.___йр.
Нх Ну
и тогда изъ общаго уравненія (2), служащаго для опредѣленія интегрирующаго мно
жителя, имѣемъ
/ОГ НЯ\
^р. _ <?р. *\ йу йж /
Іх ~ Ну ~ Л —ЛГ
но такъ какъ вообще
то въ нашемъ случаѣ
йр. Нх
или
- ' \(іу Нх ) з , , .
- —л-л; л
если
есть функція (т 4- у), то интегрированіе возможно и мы находимъ
/ \ о??/ .
,] Кг—М ^(Л4*у)
р. = С
Пусть напр. требуется пнтегрпровать уравненіе
(ж2 4" %2У + 2ту — у2 — у3) Нх 4- (у2 + .ту2 4- ъху — а'2 — я3) г?у — о
Легко впдѣть, что въ этомъ случаѣ
= Ѵ 0 4-2) = 1§ [(а? 4-у) 2 0 4- у 4- г) ] поэтому
— 1
‘ О + у)2 О 4~ У 4~ 2)2
умноживъ на это данное уравненіе, получимъ слѣдующій точный дифференціалъ
пли
О + у)2 — ау2 4- у О — у) О 4- у)
(X 4- у)2 (ж -г у 4* 2)2 ( Х
Это должно быть интегрировано по изложенному выше способу Коши.
Можно указать случаи, когда интегрирующій множитель будетъ функціею произведенія ту перемѣнныхъ, т. е. когда р, — Ф(и), гдѣ м = ту. Опредѣлимъ видъ множителя для этого случая по общему уравненію (2), служащему для нахожденія интегрирующаго множителя. Для этого составимъ
Пи- Ни
Ну Ни Ну
Внеся это въ выраженіе (2), полупимъ
откуда
сІН АМ
1 СІи. (ІХ Ау р Аи Мх — Ну
пли
АН АМ
(3)
Такъ какъ первая часть есть точный дифференціалъ, то это выраженіе будетъ возможно только тогда, когда множитель прп Аи во второй части будетъ функціей одного и, т. е. когда
АИ АМ
Ах Ау , ч
--у------ — о («) (4)
Ж — Ну • 1 ѵ
и кромѣ того когда Мх— Ну не обращается въ нуль;
еслп это будетъ имѣть
мѣсто для даннаго уравненія, то для него интегрирующій множитель опредѣлится
по выраженію
Аи.
и
= о («) Аи
или по выраженію
! ®(?{) Аи ^=е
.легко видѣть, что условіе (4) будетъ удовлетворяться для уравненія вида
?//ХгО х И (и) Ау = о
н'дѣ и — ху.
Въ саномъ дѣлѣ въ этомъ уравненіи
М=у/'(и')\ Н = хА?(и)
•слѣдовательно
АМ л. . , сі? Аи АН , АП сіи
уг- = / ѴО -т- у -г -т-; - = Г 00 -г* я -5-
Ау сіи сіу Ах Аи сіх
но и = ху, слѣдовательно
АМ А/
/ Си) + ХУ зі А у 1 1 А и
-ах=Г(-и> + Х!/ій
плп
(іу
сігі'
= АОО + и
Кромѣ того въ нашемъ случаѣ
Мх — .Уу — ху [ («) — ху Р («) = и [ (гі) — гі Р («)
птакъ условіе (4) въ этомъ случаѣ принимаетъ впдъ
ГГ > Г Г Л <^\
-Г и - г м + »
и [(и) — и-Р (и)
ф («)
что очевидно справедливо, ибо первая часть этого уравненія есть функція «. Мы впдпмъ, что за исключеніемъ знака чпслптель предыдущаго выраженія есть производная знаменателя, а потому еслп положимъ и [(гі)— и Р(гі) = ф (ге), то предыдущее выраженіе принимаетъ впдъ
поэтому для разсматриваемаго случая выраженіе (5) принимаетъ впдъ
[У (и) , у ФиО р. —е
пли
1 или
Разсмотримъ, для поясненія этихъ соображеній на частномъ примѣрѣ, уравненіе
уг Нх 4- (ху — 1) д,у = о.
Въ этомъ случаѣ М—у\ Лг=жу~'1. Поэтому
Ш ах
= гу; —— = гі
(Іу &х
слѣдовательно въ этомъ случаѣ
ах ам ах ау
^Іх — Ху
а потому выраженіе (3) даетъ
— и р. = е-
пли
— ху
р. = е
Таковъ интегрирующій множитель разсматриваемаго уравненія; будемъ посредствомъ него интегрировать данное уравненіе по способу Коши, т. е. составимъ общій пнтегралъ по формѣ (А) стр. 648, сдѣлавъ предварительно данное уравненіе точнымъ дифференціаломъ, т. е. введя этого мноясптеля.
Съ этимъ множителемъ данное уравненіе нринимаетъ видъ
- ху — ху
е у2 (Іхе (ху — 1) Ну = о здѣсь
— ху —ху
М=е у2-, У = е (ху — 1) слѣдовательно въ нашемъ случаѣ
у2 (іх
при этомъ интегрированіи у принимается за постоянную величину, поэтому въ нашемъ ^случаѣ
слѣдовательно по формѣ (А) общій пнтегралъ даннаго уравненія есть
Разсмотримъ наконецъ тотъ случай, когда уравненіе М<1х 4- У Ну = о имѣетъ интегрирующимъ множителемъ однородную функцію.
Еслп интегрирующій множитель есть однородная функція нулеваго измѣренія, то онъ будетъ имѣть видъ
или полагая — — іу имѣемъ [л —При этомъ
слѣдовательно
_ ю> т = П1 (О
(ІХ Нх X1
и уравненіе (2), служащее для опредѣленія интегрирующаго множителя, въ этомъ случаѣ ирпянмаетъ видъ
,,©'(/) , ткт ф'М
пли
аМ (ІК
Ф' (О ,
<? (О
(Іу (ІХ л
Мх -г Ку
умножпвъ это на (И, представимъ это въ видѣ
(ІК _ аМ
,г [|о« ? ™-Ѣ г’д
такъ какъ первая пасть есть точный дифференціалъ, то это уравненіе будетъ возможно только тогда, когда дробь
’(?ЛТ _ ДМ' _ ах ау _ Мх н- Ку
будетъ функціей плп функціей т, е. когда эта дробь будетъ однородной функціей нулеваго измѣренія.
Подобнымъ же образомъ легко найти условіе, при которомъ интегрирующій множитель будетъ однородною функціею какого либо измѣренія »»•. Въ этомъ случаѣ онъ долженъ имѣть впдъ
т
и. — х о (/)
отсюда
а и. «і - і
-А- — тх ах
х ? (ІХ.
илп
(Іи. »г— г иі —2 , .
—1- = тх о (7) — х уъ (О
ах 1
Внося это въ извѣстное уравненіе съ частными производными, служащее для опредѣленія интегрирующаго множителя, пмѣемъ
ф'(#) [Л/з" 2Ѵ>/) — т Кх ® (і) == х2 © (7)
а_к __ а_м (Іх аи
или
й 1о§ [<р (0] —
(а& (ім\
X (Іх а?/ ) ...
—--------—йі
(а)
такъ какъ первая часть есть точный дифференціалъ, то чтобы это уравненіе было возможно, необходимо, чтобы множитель прн аі во второй части былъ функціей і, или, что все равно, однородною функціею нулеваго измѣренія.
Для поясненія этой теоріи на частномъ примѣрѣ будемъ интегрировать уравненіе
(га;3 “|- з#2 у + у2 — уг) йл; 4“ (ау3 4- ^ху2 4- х2 — я3) (Іу = о
здѣсь
(Ш. > ,
=зл-+2і,_зг;
СІХ (ІХ
= ^у2 4- 2х — зж'
слѣдовательно
ам ах ау
— бу2 — бх2 4- 23 — 2У
кромѣ того
Мх 4- Яу = -г у) С2#3 + 2уэ -г ху)
Слѣдовательно въ нашемъ случаѣ
„ . . гаж ам\ т Ух 4- х2 (---=—
х ах а у /
ЛІх 4- Яу
2т ху3 4- $тх2у2 4- }ііх3 — тх* 4- бу2х2 — бх* -4- 2х3 — ъух2
{X 4- у) (233 4- 2у2 4-. ху)
Здѣсь т есть совершенно произвольная величина; дадимъ ей такое значеніе, прп которомъ вторая часть сдѣлалась бы функціей одного і (т. е. была бы однородною функціею и при томъ одного и того же измѣренія въ числителѣ и знаменателѣ). Въ впду этого наобходпмо принять т = — а, тогда
4зуэ 4*- 4Х* 4~ ях2У и + У) (233 + 2у3 4- ху)
2Х (.х^у)
Слѣдовательно уравненіе (а), служащее въ этомъ случаѣ для опредѣленія интегрирующаго мнолсителя, принимаетъ впдъ
й [Іо? ф (0] = -
I “Г’ ѵ
откуда
іой ф (О
Мы приняли, что интегрирующій множитель р. имѣетъ форму
іи
что въ нашемъ случаѣ обращается въ
Помноживъ на этого множителя данное уравненіе, будемъ пмѣть въ немъ
2жэ 4- з#2у -Ь у2 — у3 ,, 2 у3 4 з^у2 4" хг — х* {х 4- у)2 ’ (ж 4~ у у
плп
Замѣтимъ, что
уа
(Л 4- У У
2Л' — у 4-
слѣдовательно для интегрированія по способу Коши составляемъ
2
х -г У
откуда
2ХѴ
слѣдовательно
2уэ 4- злу
з
2
2______ />*Э
I
поэтому
М Лх4
п общій
пнтегралъ даннаго уравненія есть
2
У2
3 і ^3
Разборъ подобныхъ совершенно частныхъ случаевъ не приведетъ однако къ раскрытію общаго пріема для изысканія интегрирующаго множителя, а потому не будемъ болѣе на этом7> останавливаться.
III.
Интегрированіе уравненій перваго порядка и высшихъ степеней.
. Лу
12. Общій впдъ уравненій, содержащихъ высшія степени производной -у-, есть
гдѣ .........суть функціи х и у.
Чтобы понять составъ общаго интеграла подобныхъ уравненій, посмотримъ отъ какпхъ начальныхъ онп могутъ происходить.
Когда начальное уравненіе содержитъ произвольную постоянную въ первой степени, какъ напримѣръ уравненіе
и -|- Сѵ — о
гдѣ и и ѵ суть нѣкоторыя функціи х п у, то исключеніе этой постоянной можетъ быть выполнено непосредственно; въ самомъ дѣлѣ, представивъ это уравненіе въ впдѣ г( = — Сѵ п взявъ производную по ж, имѣемъ
Ли ( Ли Лу Лх ”г Лу Лх
<Лх Лу Лх)
п затѣмъ раздѣливъ это почленно на начальное уравненіе «=—Сѵ, получпмъ
1 Ли 1 Лѵ_____Г 1 Лѵ 1 Лгі~\ ' Лу
и Лх ѵ Лх I ѵ Лу и Лу\ \ Лх/
результатъ исключенія произвольной постоянной п вмѣстѣ съ тѣмъ дифференціаль
ное уравненіе первой степени относительно производной
Но еслп начальное уравненіе
(х, у, С) = о
-У
Лх'
содержитъ произвольную постоянную въ иной какой либо формѣ, тогда исключеніе этой произвольной постоянной между даннымъ начальнымъ уравненіемъ и его дпффе* ренціаломъ приведетъ къ дифференціальному уравненію
которое не будетъ уже уравненіемъ первой степени относительно производной
этотъ результатъ исключенія послѣ освобожденія отъ радикаловъ вообще приводится въ такомъ случаѣ къ виду (1).
Еслп данное уравненіе Е(ж, у, С) = о рѣшимъ относительно произвольной постоянной, то въ результатѣ рѣшенія получпмъ для этой постоянной различныя
велпчпны, представляющія собою различныя функціи х и у, такъ что рѣшая данное уравненіе относптельно произвольной постоянной, мы найдемъ
С, ~ и.; = ......С — и
гдѣ С1 С2.....Сп суть различныя значенія постоянной С, а иг и2... .г?п различныя функціи отъ х и у. Данное начальное уравненіе можетъ быть замѣнено начальнымъ впда
(3) {С —«іКС —«2).........(С—гЛ) = о
чему удовлетворимъ, полагая отдѣльно
(4) С — 2^ = 0; С—и2 — о.......... С—г/( = о.
По калцому изъ этпхъ начальныхъ уравненій моясетъ быть получено дпфференціаль-.. < &У т
пое перваго порядка и первой степени относптельно производной - Такпмъ оора-зомъ по начальнымъ 'уравненіямъ составятся дифференціальныя впда
гдѣ рх р2... .рп суть различныя значенія
ду X ’
пропзводнои -/•, представленныя функці? (ІХ
ямп х п у п удовлетворяющія уравненію (1). Слѣдовательно, данное уравненіе (1) можетъ быть замѣнено уравненіемъ
(8)
которому уравненіе (3) служитъ интеграломъ.
Изъ всего этого заключаемъ, что для интегрированія уравненія высшей степени, но перваго порядка слѣдуетъ рѣшить это уравненіе относительно производной п разложить данное уравненіе па мнолштели; тогда оно представится вч> впдѣ (6), приравнивая затѣмъ нулю отдѣльныхъ множителей, будемъ отдѣльно интегрировать полученныя уравненія впда (о). Перемноживъ отдѣльные интегралы, получпмъ общій пнтегралъ даннаго уравненія въ видѣ (3).
Мы можемъ рѣшать въ радикалахъ п находить аналитическія формы рѣшеній только для уравненій не выше четвертой степени, а потому изложенный общій пріемъ интегрированія примѣнимъ только къ уравненіямъ не выше четвертой степени.
Для поясненія изложенныхъ общихъ соображеній будемъ интегрировать уравненіе
/ (Іу\2 ху
\Ах) а2
Рѣшая это уравненіе, разлагаемъ его на мнолштели впда
общіе интегралы отдѣльныхъ множителей суть
а потому
13. уравненіе
полный пнтегралъ даннаго уравненія будетъ
На основаніи выше изложеннаго общаго пріема данное дифференціальное высшей степени
-г-, но можетъ случиться, женіямъ, плн представится х плп у весьма просто. Въ такомъ основаніи слѣдующихъ соображеніи.
для интегрированія рѣшается относительно производной что такое рѣшеніе приведетъ къ весьма слоимымъ выра-прямо невозможнымъ, тогда какъ рѣшеніе относительно случаѣ интегрированіе можно выполнить на
Пусть требуется интегрировать это уравненіе можетъ быть рѣшено видѣ
• г ( &У\ тт
уравненіе у I ж, у, ) = о. Предположимъ, что
относительно у и рѣшеніе представляется въ
принявъ за новое перемѣнное, положимъ= я, тогда данное уравненіе, рѣшенное относительно у, приметъ видъ у = <р (я, з). Дифференцируя это уравненіе по перемѣннымъ х п з, имѣемъ
но слѣдовательно
(1)
это уравненіе зависитъ отъ двухъ перемѣнныхъ и имѣетъ форму
Если мы можемъ интегрировать это уравненіе, то найдемъ его полный пнтегралъ въ впдѣ ж, С) = о, исключая пзъ этого уравненія и уравненія у = ©(ж, я)
* Ф
перемѣнное г, т. е. производную —, мы получпмъ соотношеніе
которое будетъ общимъ интеграломъ даннаго уравненія.
Тоже самое слѣдуетъ повторить касательно уравненій, рѣшаемыхъ относительно х. Въ самомъ дѣлѣ, еслп данное уравненіе /(х> у, = о рѣшимъ отво-
СПТСЛЬНО X II положимъ
(Ту
какъ прежде — : - = ^, то приведемъ \С іА>
его подобію предыду-
щему къ впду я = г); откуда
но по положенію (Тх
слѣдовательно данное уравненіе принимаетъ впдъ
если можемъ найтп общій пнтегралъ этого уравненія, то исключая между этпмъ общпмъ интеграломъ п даннымъ уравненіемъ перемѣнное я, получпмъ общій пнтс-
гралъ даннаго уравненія.
Пояснимъ этп общія соображенія на частныхъ примѣрахъ. Рѣишмъ для этого слѣдующій вопросъ. Прямая постоянной длпны скользптъ концами по осямъ координатъ п прп этомъ остается всегда касательною къ нѣкоторой крпвой; требуется по этому условію опредѣлить видъ этой крпвой, т. с. составить ея уравненіе. Пусть постоянная длина прямой будетъ «, такъ что 3'Ш = а (фпг. 18), тогда условіе задачи выразится чрезъ 310г + Зт0г = а1. Прп
этомъ (ап5 (ЗІЗТх) = ~ (Т
удовлетворять искомому уравненію крпвой
Фиг, 18.
Н X ДОЛЖНЫ
Очевидно, что
031 = ОС + ЗІС = у - х
(Тх
031= — О Я
поэтому
слѣдовательно
плп принимая = пмѣемъ
рѣшая это уравненіе относительно $/, находимъ
Дифференцируя это относительно •«, получаемъ
й?/
до= я, поэтому отсюда выводимъ
этому удовлетворимъ, полагая или
сТе а
— == О, ПЛИ X + ---------------7 = О
(1 +
первое по интегрированію даетъ С
гдѣ С есть произвольная постоянная; исключая посредствомъ этого # изъ даннаго уравненія (2), находимъ
общій пнтегралъ даннаго уравненія.
Другое рѣшеніе содержится въ уравненіи
внося взятую отсюда величину х въ данное уравненіе (2), пмѣемъ
Пч?3
возвышая какъ эту величину і/, такъ н величину х, выводимую пзъ предыдущаго , 2
уравненія въ степень —, получаемъ
складывая эти выраженія, находпмъ
2 .2 2 >
это соотношеніе между перемѣнными удовлетворяетъ данному уравненію, по не содержитъ произвольной постоянной п потому не можетъ быть выведено изъ общаго-интеграла, а слѣдовательно пе можетъ быть разсматриваемо какъ частный интегралъ.. Оно представляетъ уравненіе искомой крпвой.
Будемъ еще интегрировать уравненіе
(Іх
Для интегрированія это уравненіе йі/ это п полагая пмѣемъ
СІХ
проще всего рѣшпть относительно х. Сдѣлавъ.
(3)
22/
л? 4^
Дифференцируя это, пмѣемъ
г2
4У2
но по положенію = —, поэтому пмѣемъ
плп
что представляется въ видѣ
этому удовлетворимъ, полагая
(1)
интегрируя послѣднее, пмѣемъ
— 1о§?/ —1о&г = 1ое С 2
откуда
подставляя эту величину въ данное уравненіе (3), имѣемъ*
что п представляетъ собою общій интегралъ даннаго уравненія. Что касается до перваго пзъ выраженій (4), то посредствомъ него безъ пнтегрпрованія получаемъ соотношеніе между х п у. Въ самомъ дѣлѣ, внося величину гг, взятую пзъ перваго уравненія (4), въ уравненіе (3), находпмъ
27
Но это соотношеніе пзъ предыдущаго общаго пнтеграла нп прп какомъ частномъ значеніи произвольной постоянной выведено быть не можетъ и представляетъ собою такъ называемое особое рѣшеніе даннаго дифференціальнаго уравненія. Объ особыхъ рѣшеніяхъ дифференціальныхъ уравненій подробнѣе мы будемъ говорить ниже.
14. Итакъ мы можемъ пнтегрпровать данное уравненіе, не рѣшая его относптельно производной, еслп можемъ рѣшить относптельно одной пзъ перемѣнныхъ х плп у. Частный случай уравненій, рѣшаемыхъ относптельно перемѣнныхъ, представляютъ тѣ уравненія, въ которыхъ этп перемѣнныя входятъ въ первой степени. За общій видъ такпхъ уравненій можно принять уравненіе впда
предположимъ, что мы рѣшплп это уравненіе относптельно у п привели его къ виду
йл положимъ — - — тогда
$х
у = х ф (>) -р ф О)
Дифференцируя это уравненіе, пмѣемъ
(Іу == <р (г) сТх + [я ф' -г ф'О)] .но сіу — ейх, поэтому
2 (Тх = ф (г) йіг -ф- [х ф' (г?) -ф- ф' (г)] йг
откуда
[ф (г) — г] (іх + [х ф' (2) -ф- ф' (г)] йг = о
плп
«что имѣетъ видъ
гдѣ Р и суть функціи 2. Такамъ образомъ мы пмѣемъ линейное уравненіе относительно х, которое легко можетъ быть интегрировано по формулѣ (4) стр. 632,
Что касается до г, то оно въ этомъ уравненіи разсматривается какъ независимое перемѣнное. Интегралъ этого уравненія, составленный по упомянутой формулѣ, будетъ
Выполнивъ здѣсь указанныя интегрированія и исключивъ з между этимъ пнтегра ломъ и даннымъ уравненіемъ (о), получпмъ общій интегралъ этого послѣдняго.
Въ томъ частномъ случаѣ, когда = уравненіе (5) принимаетъ видъ
(6)
и извѣстно подъ именемъ уравненія Клеро. Дифференцируя это уравненіе, находпмъ (Іу =.Х(ІЗ 4- з сіх 4- ф' (4) (Із
но такъ какъ (Іу = зіІх, то этотъ дифференціалъ приводится къ виду
“г ф1 (Л)] — о
чему удовлетворимъ, полагая
(Тз = о, пли х 4- ф’ V?) = о
первое пзъ этпхъ уравненій даетъ з = С, подставляя это въ данное уравненіе (6), пмѣемъ
у = хС 4- ф (С)
такъ представляется общій пнтегралъ уравненія Клеро. Изъ этого заключаемъ, что
еслп въ уравненіи Клеро производную —замѣнимъ произвольной постоянной, то
получпмъ общій пнтегралъ этого уравненія; обращаясь затѣмъ ко второму изъ уравненій (7), опредѣлимъ пзъ него з, п эту величину производной внесемъ въ данное уравненіе, тогда получпмъ такое соотношеніе между х и у, которое будетъ ничто иное какъ особое рѣшеніе уравненія Клеро. Мы увидимъ потомъ, что примѣняя къ уравненію Клеро правило для нахожденія особыхъ рѣшеній (объ этомъ правилѣ будемъ говорить ниже), мы получимъ результатъ тождественный съ результатомъ сейчасъ упомянутаго исключенія.
Пояснимъ этп соображенія на частныхъ примѣрахъ. Возьмемъ интегралъ уравненія
Это уравненіе имѣетъ линейную форму относительно перемѣнныхъ х п у, а потому интегрированіе молсетъ быть приведено къ интегрированію линейнаго уравненія перваго порядка.
Полагая = з и дифференцируя данное уравненіе, находимъ
2 сіз сіз
но сіу ^з сіх и по данному уравненію
____9
(1>3~
поэтому найденному дифференціалу молено дать впдъ
т аз2 газ сіз ~----
плп
сіх
аз
принимая здѣсь
приводимъ это къ виду
СІХ
такъ какъ Р и $ здѣсь суть возьмется по формулѣ (4) стр. ненія будетъ
функціи одного з^ то интегралъ этого уравненія
6.32; такпмъ образомъ общій пнтегралъ этого урав-
1
аз
~ То
Остается выполнить входящія сюда квадратуры.
Полагая
2
имѣемъ А = 1; Р = — I; (7 = о слѣдовательно
— ІО2
2 °
поэтому
аз
слѣдовательно
х =
о
исключая з между этпмъ интеграломъ и даннымъ уравненіемъ, плп, что все равно, между уравненіемъ аз1 = уз -\-хл находимъ общій интегралъ даннаго уравненія.
ДлЯ поясненія способа интегрированія уравненій, имѣющихъ впдъ уравненія Елеро, рѣшимъ слѣдующую геометрическую задачу. Изъ данныхъ двухъ точекъ 19) опустпмъ перпендикуляры на касательную къ нѣкоторой крпвой, подъ тѣмъ условіемъ, чтобы разстояніе между точками Тп Т1 пересѣченія перпендикуляровъ съ касательной было средней пропорціональной величиной между длинами этнхъ перпендикуляровъ, т. е. чтобы для искомой крпвой существовала пропорція
19.
ТТ’
Мы впдпмъ, что ТТ' = І?!?1 примемъ прямую
соединяющую точкп Р н ]?' за ось х. Начало координатъ расположимъ на срединѣ этой прямой въ точкѣ О п положимъ ОР=с, слѣдовательно по условію 03?' = с. Тогда ТТ' = 2С зіп а>; но
. Іаіщсо
8111 СО = —. — —— т/1 -Ь Іап§2
я такъ какъ
і &У
соіг со —-----
° сіх
то
ТТ' =
2С
2
Опредѣлимъ длпны перпендикуляровъ 1?Т и Р'Т. Уравненіе касательной линіи, проведенной чрезъ точку Ж (ж, у) крпвой есть
сіх
такъ какъ координаты точки 1? суть ж — с и у = о и кромѣ того тангенсъ угл а
лт йж
составляемаго перпендикуляромъ 1’1 съ осью х есть ——, то уравненіе перпен-днкуляра І?Т можетъ быть написано въ впдѣ
йж
координаты с; п 7], удовлетворяющія совмѣстно уравненію касательной п этому
уравненію, будутъ координатами точки# пересѣченія перпендикуляра съ касательной. Опредѣляя координаты 2 и Г| пзъ этпхъ двухъ уравненій, пмѣемъ
Если координаты точкп Т суть и 7), а координаты точкп # по условію х = с и у = о. то #У2 = (е — ^)2 + ^'2- До вычитая въ первомъ пзъ предыдущихъ уравненій въ обѣпхъ частяхъ по с, находимъ
слѣдовательно
Такъ какъ для точкп # координата х ——с, то длину другаго перпендикуляра получпмъ пзъ предыдущаго выраженія, поставивъ въ немъ — с вмѣсто с. Итакъ
Поэтому дифференціальное уравненіе, изъ котораго долженъ быть опредѣленъ видъ кривой, будетъ
это есть уравненіе Клеро в общій интегралъ его, какъ мы знаемъ, имѣетъ видъ
чтобы получить особое рѣшеніе, положимъ въ уравненіи (А) для краткости
СііС
тогда пмѣемъ
(В)
I „2
взявъ отъ этого уравненія производную по находпмъ
О = «33
Исключимъ меледу этпмъ п предыдущимъ уравненіемъ я, для этого внесемъ величину х изъ послѣдняго уравненія въ уравненіе (В), тогда получпмъ
пзъ этого п предыдущаго уравненія пмѣемъ
а?2 с2
9
4С2
!_ Х'2
складывая
это, получаемъ
>2
т
.У2 _ 4С2
эллппспса, оолыпая
уравненіе
крпвая есть эллппспсъ пзвѣетнымъ
ось
котораго совпадаетъ съ осью у. Итакъ искомая образомъ расположенный. •
15. Съ вопросомъ объ интегрированіи дифференціальныхъ уравненій перваго порядка связанъ геометрическій вопросъ о такъ называемыхъ траэкторіяхъ. Этотъ вопросъ заключается въ слѣдующемъ: дана система кривыхъ, выраженныхъ однимъ уравненіемъ съ перемѣннымъ параметромъ, п требуется найти кривыя, которыя пересѣкали бы данныя подъ однимъ и тѣмъ же угломъ, напримѣръ подъ угломъ а.
Пусть уравненіе данной системы кривыхъ будетъ у, |3) = о, гдѣ р есть перемѣнный параметръ.
Касательная, проведенная въ точкѣ («, у) къ данной крпвой, составляетъ съ осью х уголъ, тангенсъ котораго означимъ чрезъ &, этотъ тангенсъ по данному уравненію опредѣлится какъ извѣстно въ впдѣ
Тангенсъ угла, который касательная въ той же точкѣ къ искомой крпвой состав-
ляетъ съ осью я, означимъ чрезъ с, тогда
Уголъ, йодъ которымъ данная крпвая пересѣкается съ искомою, есть а, поэтому
пли
или
еслп положимъ (ал§ а — К,
(ап§ а =
(ап§ а =
сіу сІГ (V? сіх сіу г (Іх аіуУіу а? сіу СІХ (ІХ
СП
то послѣднее уравненіе представится въ впдѣ
сіяуіу -
(ІХ ) СІХ "Г (ІХ сіу
если исключимъ перемѣнный параметръ |3 между этпмъ уравненіемъ и уравненіемъ данной кривой, т. е. уравненіемъ 1? (х, у, — о, то получпмъ дифференціальное уравненіе
Ф (ху у„ =о \ сіх.1 искомой крпвой.
Еслп траэкторіи должны быть ортогональными, т. е. еслп искомыя кривыя должны пересѣкаться съ данными подъ прямымъ угломъ, то іаи§а= Е —со. Это условіе удовлетворится, если, какъ показываетъ выраженіе (1), будетъ существовать уравненіе
(Іу СІХ СІХ 0 }
Уравненіе ортогональной траэкторіп получпмъ, еслп исключимъ перемѣнный параметръ между этпмъ уравненіемъ п уравненіемъ данной крпвой 1?(ху у, $) — о.
Для поясненія этой теоріи найдемъ ортогональныя траэкторіи гомо фокальныхъ эллипсисовъ. Уравненіе системы гомофокальныхъ эллипсисовъ можетъ быть представлено въ видѣ
гдѣ р есть перемѣнный параметръ. Это уравненіе соотвѣтствуетъ уравненію у, (3) = о общей теоріи, поэтому для разсматриваемаго случая
сі]? хх сі]? ъу сіх р-1 . сіу р2 — с
и условіе ортогональныхъ траэкторій по уравненію (2) представляется въ впдѣ
У______з?йу _
р2 — с2 р2 сіх
пзъ этого уравненія пмѣемъ р2 _________________________________________х сіу
р2 — с2 у сіх
плп
2___ с2 х сіу
* хсіу — у СІХ
Для исключенія параметра внесемъ это въ уравненіе (.а), тогда получимъ
<1>)
.этотъ результатъ исключенія представляетъ собою дифференціальное уравненіе траэкторіи. Дифференцируя это по х, имѣемъ
•ЯЛП
к\СІХ/ СІХ сіх2 сіх2
;Но уравненіе (Ь) представляется въ впдѣ
сіх} _
Внося это въ предыдущее уравненіе» приводимъ его къ виду
пли
ху
Раздѣливъ все на отсюда находимъ
помноживъ на сіх и взявъ пнтегралъ, имѣемъ
чі')
-Н?у —!§« = 1§ О
илп
гдѣ С есть произвольная постоянная.
Опредѣляя отсюда производную -у- п внося!
ее въ данное дифференціальное уравненіе (Ь), получаемъ общій интегралъ этого послѣдняго въ видѣ
Сх2 — у*—
Сс*
-I + С
что представляетъ собою уравненіе гомофокальныхъ гиперболъ. Итакъ ортогональными траэкторіями гомофокальнымъ эллипепсамъ служатъ гомофокальныя гиперболы..
IV.
Объ особыхъ рѣшеніяхъ дифференціальныхъ уравненій перваго порядка.
16. Еслп въ общемъ интегралѣ дифференціальнаго уравненія произвольной1-постоянной будемъ давать частныя значенія, соотвѣтствующія условіямъ вопроса, то будемъ получать такъ называемые частные интегралы даннаго дифференціальнаго уравненія. Но бываютъ случаи, что существуютъ такія конечныя соотношенія между
перемѣнными, которыя не содержатъ произвольной постоянной, но удовлетворяютъ данному дифференціальному уравненію. Такъ какъ этп соотношенія не содержатъ произвольной постоянной, то они пе могутъ быть выведены нзъ общаго интеграла какъ частные интегралы н называются особыми рѣшеніями даннаго дифференціальнаго уравненія.
Пусть данное дифференціальное уравненіе будетъ /1 х, у
пусть
Р (ж, у>С) = о будетъ его общій пнтегралъ. Дифференцируя его, получпмъ
(ІР , (ІР (іу (іх <1у (Іх
о уравненіе, которое становится тождественнымъ съ даннымъ диф-
ференціальнымъ уравненіемъ по псключеніп произвольной постоянной прп помощи уравненія Р (ж, у, С) — о. Прн этомъ понятно, что въ результатѣ исключенія О между уравненіями
Р(ж, у, С) = о и
мы получпмъ одно и тоже дифференціальное уравненіе, какое бы значеніе не приписали исключаемой величинѣ С. Слѣдовательно, не нарушая дифференціальнаго уравненія, мы можемъ разсматривать С какъ перемѣнную величину, какъ функцію ж п у, лишь бы измѣненія С были таковы, чтобы уравненіе
(ІР
(ІХ
при этпхъ измѣненіяхъ не измѣняло своего вида.
прп
А.
Посмотримъ, какимъ образомъ можно опредѣлить С, какъ функцію х и у, . (ІР (іР (Іу
томъ условіи, что уравненіе-=—Н-/—у- = о сохраняетъ свои впдъ въ то
время, какъ постоянная въ интегралѣ Р(ж,у, С) —о разсматривается какъ функція х и у.
Если въ уравненіи Р(х, у, С)—о постоянная разсматривается какъ функція жл у, то взявъ полный дифференціалъ, получпмъ
(ІР у , (ІР т , (ІР (ІС т , (ІР (ІС т ах 4- ау -+- -Ѵ7Ѵ -і - ах 4- <Ту — о
(ІХ ' (іу 17 • (ІС (іх (ІС (іу
плп
(ір г , ар т ар \ас т , (Ю ах 4- — (Іу 4- ѵЛ • ѵ~ «х 'Г ~Г (Іх (Іу (ІС Ь<7ж (іу
что можно наппсатЬ' еще въ впдѣ
поэтому если С какъ функція х п у будетъ такого свойства, что будутъ удовлетворяться условія
(ІС) (ІС
СІ)
то послѣднее уравненіе будетъ тождественно съ уравненіемъ
(ІР , (СР (Іу (Іх ~ (Іу (ІХ
получаемымъ пзъ пнтеграла Р(х, у, С) — о въ томъ предположеніи, что С есть постоянная, а потому результатъ исключенія С между уравненіями
будетъ одпнъ к тотъ же, будемъ лп мы считать С за постоянную плп за функцію х и у, лишь бы удовлетворялись условія (1).
Этп условія могутъ быть выполнены различно.
1) Мы пмъ удовлетворимъ, еслп примемъ
(Ю (ІХ
«С (Іу
о, но тогда С
не содержитъ нп х нп у. а слѣдовательно С есть дѣйствительно произвольная
постоянная п Р(ж, у, С) —о есть общій пнтегралъ.
2) Мы удовлетворимъ упомянутымъ условіямъ, если примемъ
сІР
(ТО ~ °
пли, что все равно,
(іР^у, С) (ІС
откуда
Р&, У, С) = 0 0, У)
гдѣ Ф(х,у) не содержитъ С п пзъ этого уравненія опредѣлится С какъ функція
х и у, т. е. получится
С —
а слѣдовательно общій пнтегралъ
Р(х, у, С) — о
приметъ впдъ
Г [я, у, у)] = о.
Этотъ пнтегралъ будетъ удовлетворять данному дифференціальному уравненію, но такъ какъ онъ не содержитъ произвольной постоянной, то не моягетъ быть выведенъ нзъ общаго пнтеграла Р(х, у,.С) = о посредствомъ какихъ лпбо частныхъ
значеній постоянной С. Поэтому
Г [я, у, © (ж, у)] = о будетъ особымъ рѣшеніемъ даннаго дифференціальнаго уравненія.
3) Мы удовлетворимъ условіемъ (1) принимая
75^ = ° "
\&с 1 \&ц /
величина С, опредѣляемая пзъ этпхъ уравненій, вообще дастъ особое рѣшеніе.
Въ теоріи огибающихъ п огибаемыхъ мы впдѣлп, что еслп уравненіе огибаемой есть 7? (ж, ул С) = о, то точка пересѣченія двухъ безконечно близкихъ положеній1 огибаемой опредѣлится пзъ уравненій
СЮ
1? (ж, у у С) = о
Эта точка лежитъ на огибающей лпніп, чтобы получить уравненіе этой послѣдней,, слѣдуетъ, какъ мы видѣли въ геометріи, найти пзъ этихъ уравненій такое соотношеніе между координатами ж п у, которое было бы независимо отъ положенія огибаемой, Такъ какъ положеніе огпбаемоп характеризуется параметромъ С, то псклю-
чая этотъ параметръ между уравненіями Е (ж, у, О) = о п — = о, мы полу-бі С/
чимъ искомое уравненіе огибающей въ впдѣ Ф (ж, у) = о.
Уравненіе ^(ж, у, С) = о теперь мы разсматрпваемъ какъ общій интегралъ-< IX- •
нѣкотораго дифференціальнаго уравненія, тогда -5-^ = 0 будетъ пропзводная этого-(І
интеграла по произвольной постоянной; исключеніе произвольной постоянной изъ уравненій (а) приводимъ къ особому рѣшенію даннаго дифференціальнаго уравненія, и мы теперь видимъ, что геометрически это особое рѣшеніе представляетъ огибающую-кривую, для которой общій интегралъ представляетъ огибаемую.
Поясяпмъ этп общія соображенія на частномъ примѣрѣ. Пусть дано дифференціальное уравненіе
уйж — жйу — а у/сіх2 4- сіу2
представимъ это въ видѣ у~га-}-а у/] г?2, гдѣ какъ прежде,
Такимъ образомъ данное уравненіе есть уравненіе Клеро.
На основаніи общаго правила объ интегрированіи уравненій этого вида заключаемъ, что его общій интегралъ есть
у = Сж а ]/і + С2.
Чтобы найти особое рѣшеніе на основаніи общихъ соображеній, только что
Л развитыхъ, слѣдуетъ составить уравненіе сі О
ла производную по С, приравнять ее нулю и 9
С какъ функцію ж и у; въ нашемъ случаѣ СІЕ
= о, т. е. взять отъ оощаго пнтегра-пзъ полученнаго уравненія опредѣлить
а слѣдовательно въ разсматриваемомъ случаѣ уравненіе = ° принимаетъ впдъ
откуда
С =
внося ату величину С въ общій пнтегралъ
С2
получимъ
2
Найдемъ кривую линію
Фі«. 20.
особое рѣшеніе, которое удовлетворяетъ данному дифференціальному уравненію, но не можетъ быть выведено пзъ общаго пнтеграла, какое бы частное, но постоянное значеніе нп давалп велпчлнѣ С.
Примѣняя изложенную теорію, рѣшпмъ еще слѣдующую геометрическую задачу. , нормаль которой есть средняя пропорціональная между отрѣзкомъ осп х отъ начала координатъ до нересѣченія съ нормалью п нѣкоторой постоянной величиной а.
Пусть АВ (фпг. 20) будетъ искомая кривая, М—ея точка съ координатами я, у. Пусть АГС будетъ нормаль въ разсматриваемой точкѣ, тогда по условію вопроса
ОС САГ тп пп плп САР = ОС.а.
и
Мы знаемъ, что Іап§ (А[СВ)~-----------
кромѣ того, .3/7) = СЛГзіи (ДГС-О);
но такъ какъ
зіп (3/ОР) =
1/і+<*У г----------
п-иг г 'Лу ) 1/л (Лу\2
ѵ - ч71+и)
с?у
что касается отрѣзка ОС, то ОС =01)— СІ), плп
„„ Л)П)
ОС = Х — -----ТТгТѵп ѵ пли ОС = ж 4- у
іаінг (ДГС-О) Лх
итакъ дифференціальное уравненіе кривой будетъ
у2 (1 + У'2) = (х + У-У1} а
откуда
(1) ах = у2 (1 4- у'2)—ауу'
, , Лу
ГДѢ »' = ^-
Чтобы интегрировать это уравненіе, будемъ его дифференцировать по х п получпмъ
а Лх = зу (1 ~ у’2) Лу 4- 2^2 у' Лу’ — ау' Лу — ау Лу’
, Лх Лу а Лу
но а ах = а —~~ =- —слѣдовательно все можно представить въ впдѣ
* У У
о = зуу’ (1 + У12) Лу 4- зу2 у'2 Лу' — ау’2 Лу — ауу' Лу’ — а Лу
или
о = зуу' (1 4* У'2) Лу 4- (зу2 У'2 — а УУ!) ЛУ — а (1 4" У2) Лу
или
о = (зуу’ — «) (1 + У!2) &Ѵ ~т" УУ &УУ1 ~ а) ^У
плп наконецъ
о = (ъуу' — а) [(1 4- Уа) Лу + уу’ Лу’}
Такпмъ образомъ данное уравненіе разлагается на два:
уУЛу’ 4* И + У2} Лу = о п 2уу' = а
интегрируя первое, получаемъ
- іе(і 4- у2) 4- =и С
плп
откуда
Исключая посредствомъ этого у' пзъ даннаго дифференціальнаго уравненія (1), наюдпмъ
С~ = ах + а -у/ С2 — у2
это и есть искомый общій пнтегралъ. Полагая здѣсь С2 = асу представимъ этотъ общій пнтегралъ въ впдѣ
(х — с)2 4- у2 — ас. (2)
Слѣдовательно, въ нашемъ случаѣ
Е(ж, у, С) = (х — с)2 -у- у2 — ас ~ о
откуда
ас~ 2(ж
е) — а
по правилу изысканія особыхъ рѣшеній, мы должны положить эту производную равною нулю и пзъ полученнаго уравненія опредѣлить с. Сдѣлавъ это, найдемъ
с — х -г
а
2
Внося эту величину с въ общій
пнтегралъ (2), получпмъ
(3)
особое рѣшеніе даннаго дифференціальнаго уравненія.
Общій интегралъ выражаетъ систему окружностей, центры которыхъ лежатъ на осп х. Всѣ этп окружности огибаетъ парабола, уравненіе которой есть особое рѣшеніе даннаго дифференціальнаго уравненія, имѣющее впдъ
Казалось бы, что изложеннымъ способомъ всегда можно найти по общему интегралу особое рѣшеніе даннаго дифференціальнаго уравненія, но въ дѣйствительности можно достигнуть этого только въ сравнительно рѣдкихъ случаяхъ. Мы не
найдемъ особаго рѣшенія: 1) когда пзъ уравненія -у^=о не можетъ быть опредѣ-и С/
лена постоянная; 2) когда она опредѣлится пзъ этого уравненія какъ постоянная, а не какъ функція перемѣнныхъ х и у\ 3) когда можно опредѣлить пзъ упомянутаго уравненія постоянную какъ функцію х п у, но соотвѣтствующій пнтегралъ будетъ частный, получающійся пзъ общаго черезъ подстановку вмѣсто произвольной .постоянной частнаго ея значенія.
Мы сказали, что въ нѣкоторыхъ случаяхъ постоянная не можетъ быть опре-
дѣлена пзъ уравненія
Такпхъ случаевъ можно указать много. Еслп, напр.,
общій пнтегралъ имѣетъ впдъ
(Ю
у — с — }/с2 — X2
. (1Р то уравненіе -у—, а С
въ этомъ случаѣ будетъ
)/ с2 — х2
откуда
С- — X- = С"
п постоянную с въ функціи х пзъ этого соотношенія опредѣлить нельзя. Такпмъ-образомъ дифференціальное уравненіе
которому выраженіе (а).служитъ общимъ интеграломъ, особаго рѣшенія не имѣетъ.
17, Мы выводили до сихъ поръ особыя рѣшенія нзъ общихъ интеграловъ, номы не всегда умѣемъ находить общіе пнтегралы, тѣмъ не менѣе особыя рѣшенія, еслп они существуютъ, могутъ быть выводимы пзъ данныхъ дифференціальныхъ-уравненій, независимо отъ общихъ интеграловъ. Пусть [(х, у, у1') —о будетъ данное дифференціальное уравненіе; пусть К(я, у, с) = о будетъ его общій пнтегралъ. Пусть производная непосредственно выводимая пзъ этого пнтеграла (до исключенія: произвольной постоянной) будетъ
У, У, с) = о.
Такъ какъ этп трп уравненія должны существовать совмѣстно, то мы можемъ разсматривать общій пнтегралъ какъ результатъ исключенія производной у1 изъ-ур авненій
ЛХр, 3/') = ° н 9 У, У\ с) = о.
Предположимъ, что пзъ послѣдняго уравненія, т. е. изъ © (ж, у, у\ с) = о рѣшая: его относительно у', мы находпмъ
у' = ф(«, у, с) = «
Подставляя эту величину у' въ данное дифференціальное уравненіе, мы получимъ, его общій пнтегралъ въ впдѣ
/(х, у, и) = о
гдѣ произвольная постоянная заключается въ и. По предыдущей теоріи особое рѣшеніе получпмъ, исключая с между общимъ интеграломъ и его производной относптельно с, т. е. между
с, -, Ли
!),«-} = о и 5--=о
плп между
/“(«г У, «) = °
У И = о
аи
(пбо въ пуль не обращается, въ противномъ случаѣ и не содержало бы с), но
и ~у\ слѣдовательно особое рѣшеніе получится какъ результатъ исключенія производной у1 между
у, у') = о
Пояснимъ это на частныхъ примѣрахъ. Пусть требуется найтп особое рѣшеніе уравненія
/(г, У, У') = + у2 — 2» (ж 4- уу') + (ж -г УУ')2 "Ь & = °
не интегрируя этого уравненія. Изъ этого уравненія пмѣемъ
сіу1
ТІІ
-г Ті О + ууЭ
Сѵ
Слѣдовательно особое рѣшеніе получится какъ результатъ исключенія у1 пзъ уравненій
^2 + У2 — 23 (# + УУ1) + “ (» -г УУ1)2 -г & = о
27/
-т(« + уу') — 2Ж^^0
послѣднее даетъ
х ’+ уу' = а2 х.
Внося это въ данное дифференціальное уравненіе, получаемъ
х2 4- у2 — а- х2 Ъ о особое рѣшеніе даннаго уравненія.
Хотя мы показали способъ, по которому пзъ даннаго дифференціальнаго уравненія можетъ быть выведенъ особый пнтегралъ, но легко понять, что п здѣсь существуютъ извѣстныя ограничивающія условія, легко показать, что п здѣсь такой выводъ далеко не всегда возможенъ.
Еслп дано дифференціальное уравненіе /"(я;, у, у'} = о, то хотя общій пнте-тралъ не найденъ п найтп его не можемъ, но онъ во всякомъ случаѣ существуетъ. Пусть этотъ пнтегралъ будетъ 1? (х, у, С) = о. Еслп опредѣлимъ пзъ этого общаго интеграла у п у' п внесемъ пхъ выраженія въ данное уравненіе /'(ж, у, у') = °, то оно будетъ содержать произвольную постоянную не иначе какъ въ зависимости отъ у п у'. Еслп особое рѣшеніе существуетъ, то данное уравненіе послѣ сказанной подстановки удовлетворптся, будемъ лп разсматривать введенную такпмъ образомъ въ него величину С какъ постоянную, плп какъ функцію х п у.
Еслп разсматриваемъ С какъ постоянную п возьмемъ отъ преобразованнаго даннаго уравненія производную по ж, то будемъ имѣть
пропзводная по я отъ того же уравненія, въ предположеніи что С есть функція х будетъ
(ІХ
(Іу' (Іх (Іу (Іс (Іх "Г" сіу1 (ІС (Іх
п эта пропзводная должна быть тождественна съ предыдущей. Такое условіе удовлетворится, когда будетъ существовать уравненіе
У (1у + _ о
(Іу (Іс ' (Іу1 йс
откуда
№
Для опредѣленія особаго интеграла по общему мы пользовались уравненіемъ —- = о, и С
гдѣ Р — о принимаемъ за общій пнтегралъ. Но еслп для существованія особаго
, с№ сіу
интеграла неооходпмо ,—• = о, то равнозначнтельно съ этпмъ-7^=0, поо рѣшивъ общій интегралъ относптельно у, пмѣемъ
откуда
сіу (I Ф 3 О = '(ІС
Но еслп -уу; — о, то по уравненію (Ь) также
(О
это п представляетъ второе условіе существованія особаго интеграла.
Раздѣливъ уравненіе (а) на -=- имѣемъ
(Іх ~ (Іу (ІХ йГ
сіх (Ц
по предыдущему условію второй членъ этого уравненія условіе существованія особаго интеграла представляется
(Іх 1 Ну Зх л7
ооращается въ нуль п третье въ впдѣ
Итакъ для существованія особаго пнтеграла должны быть совмѣстны данное дифференціальное уравненіе /‘(я, у, у') —о п уравненія (с) и Еслп у п уг удовлетворяютъ этпмъ тремъ уравненіямъ, то особый пнтегралъ существуетъ; но извѣстно, что двѣ величины не всегда могутъ удовлетворять тремъ уравненіямъ, а потому не всегда и данное дифференціальное уравненіе пмѣетъ особое рѣшеніе. Еслп найденныя значенія.у и у' обращаютъ въ нуль производную , то условіе (с) принимаетъ
0
форму — и найденное значеніе у не можетъ быть разсматриваемо какъ общій пнтегралъ.
Возьмемъ напрпмѣръ уравненіе
V - а,> -2т->^-х1=а-
Для того чтобы это уравненіе пмѣло особое рѣшеніе, необходимо чтобы совмѣстно съ нимъ существовали условія (с) и плп что все равно
<=0 л
Ну' (Іх Ну Зх
первое пзъ этихъ условій для разсматриваемаго случая
имѣетъ впдъ
— ху=о
і
пзъ даннаго уравненія находпмъ
/ 2У
--2Х-^~ ах
слѣдовательно второе изъ условіи приводится къ виду
1,
Такпмъ образомъ для опредѣленія у п у] = -~ мы имѣемъ уравненія
(ж2 —
2Ху — хг
ху = о
(А)
Ну X
послѣднее даетъ -і- =-----
ах у
(А), имѣемъ
подставляя эту величину во второе изъ уравненій
откуда
ж2 у2 = а2
у ~ |/ д2 — х2
что п должно быть разсматриваемо какъ особое рѣшеніе, еслп найденныя величины
удовлетворяютъ всѣмъ тремъ уравненіямъ. Мы опредѣлили этп величины изъ двухъ послѣднихъ уравненіи (А), но еслп внесемъ ихъ въ первое, то увидимъ, что оно дѣйствительно тождественно удовлетворится; поэтому заключаемъ, что
есть дѣйствительно особое рѣшеніе даннаго дифференціальнаго уравненія.
Интегрированіе уравненій высшихъ порядковъ (не линейныхъ).
18. Приступимъ теперь къ рѣшенію вопроса объ интегрированіи уравненій высшихъ порядковъ съ двумя перемѣнными величинами.
Еслп пмѣемъ соотношеніе между7 ж, у л п произвольными постоянными ег е2 с3...с„, представленное уравненіемъ
(1)
© Уу ^2.............> йп) '—~ ©
то дифференцируя это уравненіе послѣдовательно 'п разъ по ж, найдемъ п уравненій вида
91 У’ У1»йі> @2 .............с„) — о
®2 У> У'-, у") ЙП й2 ........С») = 0
©3 О, У,у\ у", У1"-. с„с2...с„) = о
о„(х,у.у'......с,.... с„) = о
гдѣ для краткости полагаемъ
у - у« = .....,,м -=
7 Лх’ у (Іхг’ ѵ дх"
Такимъ образомъ мы будемъ имѣть вмѣстѣ съ начальнымъ п 4- 1 уравненій. Если изъ этихъ п + 1 уравненій исключимъ п постоянныхъ, то въ результатѣ исключенія нол учимъ уравненіе вида
/*(я, У> у\ у"...У'н}) = о
которое называется дифференціальнымъ уравненіемъ «•г0 порядка съ двумя перемѣнными. Начальное уравненіе (1) служитъ ему полнымъ конечнымъ интеграломъ.
Интегралъ (соотношенія между перемѣнными х и у удовлетворяющее данному дифференціальному уравненію), содержащій постоянныя произвольныя въ меньшемъ числѣ, чѣмъ полный интегралъ, называется частнымъ интеграломъ дифференціальнаго уравненія.
Разсматривая уравненія (1) п (2) какъ совмѣстныя, пзъ совокупности даннаго уравненія (1) п первыхъ п — 1 уравненій (2) (т. е. пзъ совокупности п уравненій) опредѣлимъ п произвольныхъ постоянныхъ, тогда мы получпмъ п дифференціальныхъ уравненій «—Гг0 порядка впда
(ж, 2/, у', уи..^,,-1)) =
(ж, у, у1, у"...у^Ѵ) — С2
(ж, у, у1, у"..........уСя~і)') = С„
каждое пзъ этихъ уравненій содержитъ одно постоянное. Такія уравненія называются первыми интегралами даннаго дифференціальнаго уравненія «'го порядка.
Чтобы удостовѣриться въ томъ, что соотношеніе между перемѣнными х, у и производными у1 уц.... 3Д4-1) есть интегралъ уравненія «*го порядка, мы напишемъ этотъ пнтегралъ въ впдѣ
у, у'у”.....у(”-ѵ)=С (3)
и возьмемъ отъ него дифференціалъ по всѣмъ входящимъ въ него перемѣннымъ, тогда получимъ
раздѣливъ это на будемъ имѣть
№,№ду д1Уду<. ,
ду дх ' ду’ дх "г ді/п~1} дх
но по нашему означенію
<7« , ду’ ,, ду^ѵ ,,
дх дх~у дх ~у
слѣдовательно предыдущій полный дифференціалъ представляется въ впдѣ
Это выраженіе,-не содержащее произвольной постоянной, должно быть тождественно съ даннымъ дифференціальнымъ уревненіемъ и-™ порядка, если (3) есть первый пнтегралъ этого уравненія. Убѣдиться въ тождествѣ уравненія (4) съ. даннымъ дифференціальнымъ уравненіемъ мы моліемъ, разрѣшивъ и то и другое относительно производной Еслп оба этп уравненія даютъ для одпнакія значенія, то оба уравненія меледу собою тождественны п уравненіе (3) есть первый пнтегралъ даннаго уравненія.
Зная п первыхъ интеграловъ днфференціальнго уравненія и'г° порядка, мы можемъ составить полный пнтегралъ этого уравненія, для этого стоитъ только изъ данныхъ интеграловъ исключить п—-I производныхъ, въ .результатѣ получимъ зависимость между ж, у и п произвольными постоянными, это соотношеніе п представитъ искомый полный интегралъ.
Если извѣстны не всѣ первые интегралы, а только нѣкоторые, то посредствомъ нпхъ мы можемъ понизить порядокъ интегрируемаго уравненія. Такъ нанр. еслп извѣстны два первые пнтеграла уравненія «'го порядка, то исключивъ пзъ нпхъ высшую производную (въ нашемъ случаѣ производную «'го порядка, получимъ дифференціальное уравненіе п — 2’г° порядка, содержащее двѣ произвольныхъ постоянныхъ. Такое уравненіе' называется вторымъ интеграломъ уравненія ;гГ0 порядка. Этотъ второй интегралъ долженъ удовлетворять тому условію, что по исключеніи двухъ произвольныхъ постоянныхъ изъ него и его двухъ производныхъ, получается данное дифференціальное уравненіе.
19, Интегрированіе дифференціальныхъ уравненій высшихъ порядковъ прп настоящемъ положеніи анализа возможно только въ частныхъ случаяхъ. Изъ этихъ частныхъ случаевъ мы разсмотримъ прежде всего слѣдующіе. 1., когда данное уравненіе содержитъ только одну высшую производную и независимое перемѣнное, т. е. когда это уравненіе имѣетъ видъ —есть функція только одного &х"
независимаго перемѣннаго х. 2., когда высшая производная выражается по производной порядка единицею' низшаго, т. е. когда данное уравненіе имѣетъ видъ й"?/ / й"*1 ?л
—И,1И въ частномъ случаѣ у" Функція /(у1) не
йж” х йх /
ж х - &У о
содержитъ перемѣнныхъ кромѣ производной -А 3., когда высшая производная выра
жается по производной порядка двумя единицаминизшаго п уравненіе имѣетъ видъ
й”у /й'1“г$А йгу г ,
—~—Т\—^“1, въ частномъ случаѣ когда = 4., когда высшая про -
сіх х сіх '/ “ЯГ
изводная выражается по непосредственно низшей и независимому перемѣнному, т. е.
аУ ( и *
когда данное уравненіе имѣетъ видъ——~Т въ частномъ случаѣ когда
йяп V йхп /
и наконецъ въ 5., когда дана въ видѣ дифференціальнаго уравненія зависимость
между тремя послѣдовательными производными, когда уравненіе имѣетъ видъ
въ частномъ случаѣ когда данное уравненіе представляется въ формѣ
Разсмотримъ первый случай въ примѣненіи къ уравненіямъ втораго порядка. Пусть требуется интегрировать уравненіе
Это тождественно съ
откуда
а (г0=
интегрируя это, имѣемъ
(і)
интегрируя это еще разъ, находимъ
= Лйс /(х)скс
-ф- С,х С2
(2)
Выраженіе (1) есть первый интегралъ даннаго дифференціальнаго уравненія, кромѣ этого перваго интеграла мы можемъ получить другой первый интегралъ, исключая Сг между (1) п (2). Въ самомъ дѣлѣ опредѣляя Сг изъ уравненія (1) и внося полученную величину въ уравненіе (2), находимъ
Во второмъ случаѣ, когда уравненіе содержитъ двѣ послѣдовательныя пропз водныя и имѣетъ впдъ
положимъ
тогда
__(Ір
Ихн ~
слѣдовательно данное уравненіе принимаетъ впдъ
= о
положимъ, что это уравненіе рѣшается относптельно -г- и въ результатѣ получается
<&=?г
тогда отсюда пмѣемъ
(Ір
(ІХ ~------?'
пли интегрируя, нагодпмъ
относптельно (замѣтимъ, что вторая часть есть
если это уравненіе рѣшимъ только функція то получпмъ
Р — ^ (ж)
а такъ какъ р =------
йхп
то
дх
Разсматривая первый случай, мы видѣли какъ интегрируются уравненія такого вида. Мы интегрировали уравненіе
Ѵ?Ж2 ’ (ІХ
приняли въ йенъ у- ~р п предположили/ что данное уравненіе рѣшено относи-
&р *
тельно -у-, и представлено въ впдѣ
=Нр)
Но еслп мы не можемъ рѣшить данное уравненіе относительно высшей производной,
*) Всѣхъ произвольныхъ постоянныхъ въ интегралѣ будетъ одна входитъ въ Функцію Р&) п (я— )) введется интегрированіемъ уравненія (3).
а рѣшилъ его относительно р, то и въ этомъ случаѣ интегрированіе можетъ быть выполнено.
Положимъ (ІХ
~ и предположимъ, что данное уравненіе рѣшено
СлХ
относительно р и представлено въ видѣ
Р — <р (2)
дифференцируя это, найдемъ
&Р = ?' (2) (Тс1
кромѣ того (Іх = —, слѣдовательно ^7
й =
2
помножимъ
— но
СІХ
(Іх 1 раженіе
обѣ части этого уравненія на -ч—, тогда получпмъ сіу = (лХ
9 (<?) <?' (<?) х
л————интегрируя это послѣднее вы-
Р = <р поэтому сіу =
и предыдущее получимъ
и
®’ (у)
„ _ / 9 (2) 91 (2) г
// I ~ I ^2
<7
гдѣ Сг п С2 двѣ произвольныхъ постоянныхъ. Выполнивъ указанныя здѣсь квадратуры, мы представимъ х и у въ функціи Исключивъ между двумя полученными уравненіями производную ц, мы найдемъ соотношеніе между х и у, содержащее двѣ произвольныхъ постоянныхъ п представляющее полный пнтегралъ даннаго дифференціальнаго уравненія, ч
Пояснимъ эти общія соображенія на частномъ примѣрѣ.' Пусть требуется интегрировать уравненіе
Это уравненіе представляетъ соотношеніе между двумя послѣдовательными производ-
ными
ах2
п относится къ разсматриваемому случаю.
Слѣдуя общей теорія,
п
положимъ
<7ау
(Іх2 &
тогда
(12 у __ (Ір
(Іа? (Іх
слѣдовательно данное уравненіе принимаетъ впдъ
откуда
<у>
интегрируя это, имѣемъ
(5)
откуда
но
слѣдовательно
сТх
плп наконецъ
это и есть общій пнтегралъ даннаго уравненія съ тремя произвольными посто
янными.
Тоже уравненіе можно пнтегрпровать еще иначе. Какъ скоро выраженіе (4)
найдено, то замѣтивъ, что
(ІХ
находпмъ
исключая во второй части посредствомъ (4), пмѣемъ
Чтобы выполнить это интегрированіе, придадимъ п вычтемъ въ числителѣ подъ зна-
комъ пнтеграла единицу, тогда представимъ разсматриваемый пнтегралъ въ впдѣ
выполняя первый пзъ этпхъ интеграловъ по частямъ, имѣемъ
плп
поэтому
~V1 н-1>2 — 7ІР + і/^+Р) 4- Сг
откуда по уравненію (4)
йу = — р2 (Гр — -—?1о§ (р + і/‘і -г#2) +
2 2 у/1 -Н)2
Сгар ар
интегрируя это (прп этомъ въ среднемъ членѣ выполняемъ интегрированіе по частямъ), получаемъ
Чтобы получить теперь общій пнтегралъ даннаго уравненія, представляющій зависимость между », у п постоянными С, Сх, С2, стоятъ только исключитьр пзъ послѣдняго уравненія посредствомъ уравненія (5); это исключеніе выполнится очень просто.
Какъ частный случай къ разсматриваемому относится пнтегрпрованіе уравненія вида ?/" = ^(у)5 гдѣ /(^') не содержитъ другпхъ перемѣнныхъ кромѣ у'. Понятно что
л (с^-1
<(1х) (Іу'
?/’’ ------------------
(Іх ах
что можно представить еще въ такомъ видѣ
итакъ
поэтому данное уравненіе уи = ({у'} обращается въ
У' ^7 = №')
откуда
(6)
у'Лу‘ , р
Г(у>)+ 1
Кромѣ того, такъ какъ у11— — * С\Х
то данное уравненіе получаетъ впдъ
откуда
еслп между выраженіями (6) п (7) исключимъ у\ то получпмъ общій пнтегралъ даннаго уравненія съ двумя произвольными постоянными.
Для примѣра, относящагося къ этому случаю, будемъ интегрировать уравненіе
Нзъ этого уравненія, помня что у" = —, находпмъ (ѵХ
(Іъ =
плп
разлагая лодъпнтегральную функцію
на элементарныя дроби, представимъ ее въ впдѣ-
откуда легко получаемъ С= о; А= — 7? = 1 ,слѣдовательно
такпмъ образомъ
с, -ь х = а 1о5 -===, (а) гдѣ Су есть произвольная постоянная, введенная интегрированіемъ.
Мы знаемъ кромѣ того, что уп — - , а потому данное уравненіе можно
представить въ впдѣ
п.іп
откуда
у = а агс (іап§ = у'} 4- С
плп
У = іапе
Внося это въ уравненіе (а), исключаемъ производную у' п находпмъ зависимость меледу х п у въ впдѣ
пли
что и представляетъ собою общій интегралъ даннаго дифференціальнаго уравненія.
Разсмотримъ теперь третій случай, именно, тотъ, когда данное уравненіе имѣетъ видъ
Интегрированіе этого уравненія всегда приводится къ интегрированію уравненія втораго порядка. Въ самомъ дѣлѣ положимъ
(Іх
тогда данное уравненіе приводится къ виду
я-2
ли
слѣдовательно
= №)(Тх
помножая это на находимъ ах
интегрируя это, получаемъ
(|У==/ляф+с1
откуда
и
(8)
Чтобы найти общій интегралъ даннаго уравненія въ видѣ
Г (х, у, с, с.
С„) =0
замѣтимъ, что
сТхи сіх
откуда
что можно представить въ видѣ
но понятно, что
< сіх
11
2
отсюда находпмъ
а V
4-----< (ІХ —
С&"-1
м—2
У г и—2 " ’
точно, также
плп
и—
У\__________
1/ 2 /Кр)<%
но по выраженію (9) мы впдпмъ, что производная —представлена уже функ-сТх‘
ѴХ У
ціеіі одного слѣдовательно производная получается по выраженію (10) (.Іх"
въ зависимости отъ выполненія простой квадратуры.
Подобно предыдущему составимъ
у >1 — 2
ІХ
•п—
(10)
ли—3
д у
Т п—3
9
/АО) Ф -г С2
продолжая такпмъ ооразомъ, найдемъ наконецъ
если по выполненіи интегрированія .псялючимъ нзъ полученнаго интеграла производную р посредствомъ уравненія (8), то получпмъ общій пнтегралъ даннаго уравненія съ надлежащимъ числомъ произвольныхъ постоянныхъ.
Интегрируя въ разсматриваемомъ случаѣ данное уравненіе, мы предполагаемъ, что оно рѣшено относптельно высшей производной. Но если уравненіе
удобнѣе рѣшить относительно у, то интегрированіе должно быть произведено слѣдующимъ образомъ. Пусть
л предположимъ, что данное уравненіе рѣшено относительно у\ такъ что
(11) У = <?(<?)-
Дифференцируя это, имѣемъ
^ = ©'(2)^
„ т Р &Р
но мы уже видѣли, что ау~-—•, слѣдовательно
р ар = <і ф' (з) аа
Въ этомъ уравненіи перемѣнныя раздѣлены, п интегрируя его, находпмъ
пли
I/2 /
кромѣ того пмѣемъ
а потому
откуда
Еслп выполнимъ показанную здѣсь квадратуру и затѣмъ исключимъ д между этнмъ уравненіемъ и уравненіемъ (11), то получпмъ общій пнтегралъ даннаго уравненіи, зависящій отъ двухъ произвольныхъ постоянныхъ.
Чтобы пояснить изложенную теорію на частномъ примѣрѣ, найдемъ уравненіе крпвой, для которой радіусъ кривизны пропорціоналенъ кубу пормалп.
Какъ извѣстно пзъ геометріи нормаль выражается чрезъ
а радіусъ крпвпзны представляется въ впдѣ
сТх-
иоэтому дифференціальное уравненіе пскомой крпвой будетъ
сТх-
гдѣ а есть нѣкоторая данная постоянная величина.
Это уравненіе приводится къ впду
(Ру___ 1 (Ту1 _ 1
1а?~ Иру3' ПЛП «х~~ ~а7у* умноживъ это на у’ сіх = сТуу находимъ
откуда
дли
сіх ау
•слѣдовательно
.интегрируя это, пмѣемъ
это п есть обіцій пнтегралъ. даннаго уравненія.
Разсмотримъ четвертый пзъ упомянутыхъ случаевъ, въ которомъ данное уравненіе имѣетъ впдъ
.пусть какъ прежде
тогда данное уравненіе обращается въ
- /’Сж, 1)}
а это относительно р есть уравненіе перваго порядка. Пусть его общій интегралъ будетъ
рѣшая это уравненіе относительно р., находпмъ
а такъ какъ-------— то
(ІХ”
интегрируя это « разъ по х, получпмъ общій пнтегралъ даннаго уравненія съ надлежащимъ числомъ произвольныхъ постоянныхъ.
Примѣнимъ этп общія соображенія къ рѣшенію слѣдующей геометрической задачи. Опредѣлимъ впдъ крпвой ношеніи къ точкѣ этоіі
длпна дуги которой находится въ постоянномъ от-отрѣзку, отсѣкаемому на осн у касательною, проведенною въ конечной
Фиг. 21
Пусть АВ (фиг. 21) будетъ дуга разсматриваемой крпвой. Означимъ эту дугу’ чрезъ 8. Пусть касательная, проведенная въ конечной точкѣ, будетъ, пмѣть направленіе 531. Тогда ио условію вопроса.
Пусть координаты точкп 5 будутъ х и уу тогда 0№=у+МХ плп ОМ
=а , плп
дифференцируя это по х, находпмъ
<18 сіу йу
’=а-т~ — а -у— аж сіх ах сіх
сіх2
или
— ах^-: СІХ2
-ч-, слѣдовательно. сіх
Таково дифференціальное уравненіе искомой крпвой. Пусть -~=:ру тогда это урав-СѵХ
= С)
ом—а
веніе принимаетъ водъ
сір Ах
откуда
+ Р2
х
интегрируя это, получаемъ
1§я = — -г “г 'о <7
Пусть — ~ ??, тогда
]§ (Р -г}/ '1 ~г Р3) = п Р§ С — х
или
откуда
это и есть обіцііі интегралъ даннаго уравненія.
Разсмотримъ, наконецъ, послѣдній пзъ вышеупомянутыхъ случаевъ, въ которомъ уравненіе высшаго порядка можетъ быть интегрируемо.
20. Еслп данное уравненіе содержитъ только искомую функцію у п ея послѣдовательныя производныя, а главное перемѣнное въ данное уравненіе не входитъ, то порядокъ такого уравненія можетъ быть пониженъ. Итакъ возьмемъ уравненіе
І(У> У',у".....і/а>) = о
гдѣ по принятому означенію
йх сіх Ах
слѣдовательно
7 &У = -4;
У'
поэтому
принимая въ послѣднемъ выраженіи п— 2,3 и т. д.» наюдпмъ
„ ^у' ,,, ,йу" Лу'ц
у" = у'^-'. у',, = у,-~-‘ у"' = у'~— и т. д. ііу 1 сіу ’ 17 (Іу
но
слѣдовательно
Такпмъ образомъ всѣ производныя 2/", у'"......у^1’ выразятся посредствомъ у’ и
ея производныхъ до производной п—1 порядка включительно; слѣдовательно данное уравненіе
КУ.У1, У"......У^^о
преобразуется въ уравненіе
) У ’ .7-. 1
Интегрируя это уравш , мы. получимъ соотношеніе между у, у! п п — 1 произвольными постоянными. Такое соотношеніе можно интегрировать, рѣшивъ его плп относптельно $/, плп относительно у.
Примѣнимъ этп соображенія къ интегрированію уравненія втораго порядка» именно уравненія
Ку'\у\ У) — 0
* и ,
мы впдѣлп, что у11 = у'
находпмъ
а потому рѣшая данное уравненіе относптельно у”,
это есть уравненіе перваго порядка относительно у', а потому порядокъ интегрируемаго уравненія можно считать пониженнымъ. Интегрируя послѣднее уравненіе,г получимъ общій пнтегралъ въ впдѣ
У. С} — °
илп
У{ — ф (У, С)
т. е.
(ІХ
откуда общій интегралъ даннаго уравненія получится въ впдѣ
Для поясненія этой. теоріи найдемъ видъ крпвой, для которой радіусъ крпвпзны пропорціоналенъ нормали. Дифференціальное уравненіе кривой будетъ имѣть впдъ
(ІХ2
откуда
по
поэтому предыдущее принимаетъ впдъ
г сіу'_1 4- у'2
сіу пу
откуда
I &у у' (Іу'
пли
1^ у + 18 С = + у'2)
плп еще
і
Су” =]/і у'-
слѣдовательно
поэтому
Входящая сюда квадратура можетъ быть выполнена только тогда, когда будетъ дано частное значеніе п, Прп п — — о. имѣемъ
итакъ
— агс 2
это есть уравненіе циклоиды п вмѣстѣ съ тѣмъ общій пнтегралъ даннаго уравненія при п - — 2.
Прп п = 2 имѣемъ
слѣдовательно
* -г С. = ’
уравненіе гиперболы
Будемъ еще интегрировать уравненіе
(12у___ « Л2у Ау
(Іх2 (Іх2 сіх пусть
тогда
сТлу___сіу
(Іх2 <Іх
и при этихъ означеніяхъ даняое уравненіе принимаетъ впдъ
пли
у Пу
слѣдовательно
откуда
но
слѣдовательно
поэтому
или
такямъ образомъ
откуда наконецъ
= Сг
1 = ^0^^+ о, I &»ѵ
это п есть общій интегралъ даннаго уравненія, содержащій, какъ н должно быть, трп произвольныхъ постоянныхъ.
Разсмотримъ еще другіе случаи, въ которыхъ порядокъ интегрируемыхъ уравненій можетъ быть понижаемъ. Порядокъ интегрируемыхъ уравненій можетъ быть понижаемъ еще въ томъ случаѣ, когда этп уравненія будутъ однородны. Но въ примѣненіи къ уравненіямъ высшихъ порядковъ понятіе объ однородности является условнымъ.
По большей частп за перемѣнныя а? п у мы принимаемъ величины одного измѣренія, такъ, напр., координаты. Имѣя это въ виду, условимся въ томъ, что
будемъ считать за измѣренія производныхъ. За измѣреніе дифференціала мы будемъ принимать измѣреніе перемѣннаго, отъ котораго этотъ дифференціалъ берется. По этому условію всѣ дифференціалы вида
(Іх, (Іу, (Ру и т. д.
мы будемъ считать за величины перваго измѣренія, пбо онп берутся отъ х и у
въ первыхъ степеняхъ.
П • г
Первая пропзводная -у- по тому же условію будетъ
чину нулеваго измѣренія. Вторая производная -=-^ будетъ
всегда считаться за вели-считаться величиною из-
мѣренія минусъ единицы, пбо числитель по принятому условію есть величина перваго измѣренія, а въ знаменателѣ входитъ (Іх въ квадратѣ, п есть величи-(Ру <
на втораго измѣренія. Третья пропзводная будетъ считаться величиною измѣ-
ренія минусъ два п т. д.
Прп таких7> условіяхъ однородныя дифференціальныя уравненія будутъ сохранять характеръ однородныхъ функцій, т. е. всякое однородное дифференціальное уравненіе, послѣ умноженія перемѣнныхъ на постоянный множитель і, будетъ содержать эту постоянную величину общимъ множителемъ въ нѣкоторой степени. Прп такомъ умноікеніп перемѣнныхъ на постоянную величину первая пропзводная будетъ оставаться безъ перемѣны, вторая пропзводная получитъ множителя і~\ третья пропзводная явптся съ множителемъ п т. д. Еслп по сокращеніи на нѣкоторую степень і уравненіе вовсе не будетъ содержать въ себѣ этого множителя, то оно называется однороднымъ дифференціальнымъ уравненіемъ. Кромѣ того само собою понятно, что еслп въ однородномъ уравненіи выведемъ нѣкоторую степень главнаго перемѣннаго х общимъ множителемъ, то сумма, прп которой эта степень х состоитъ множителемъ, будетъ заключать вт> себѣ только величины нулеваго измѣренія.
Такъ уравненіе
есть однородное уравненіе перваго измѣренія. Еслп возьмемъ х общимъ множителемъ, то по сокращеніи этого множителя, что все равно, по раздѣленіи всего уравненія на х будемъ имѣть
однородное уравненіе нулеваго измѣренія.
Также уравненіе
> сіу
пх? у2 2X11 -
(Іх1 (ІХ
= о
есть уравненіе втораго измѣренія. Еслп раздѣлимъ его на ж2, то получпмъ
сІгу У1 У
пх ------------5 + 2 - -/-і т I — о
сіх х2 х (Іх \ахІ
однородное уравненіе нулеваго измѣренія.
Итакъ однородное дифференціальное уравненіе, понимаемое въ объясненномъ смыслѣ, будучи раздѣлено на нѣкоторую степень х, приведется къ виду
~сІх'
сіх2' Х сіх2 ’
Для интегрированія этого уравненія примемъ
п -
послѣднее представляется также въ впдѣ
і у — 2С
откуда
сіу — с сіз -т-ез сіі
п кромѣ того сіх — е иі. Такпмъ образомъ первая производная представится въ видѣ
сіу___СІ2
сіх сіі ""Г" "
Чтобы найтп соотвѣтствующее выраженіе второй производной, будемъ дифференцировать послѣднее уравненіе и тогда получпмъ
производную получпмъ, еслп раздѣлимъ это на сіх, такимъ образомъ
внося во второй частп вмѣсто (Іх его величину по і, пмѣемъ
подобнымъ же образомъ дифференцируя это, найдемъ
(I
&у\ сіх2)
раздѣливъ это на (Іх, пмѣемъ
внося во вторую часть е (II вмѣсто (Іх, находпмъ
Такъ
п т. д.
какъ производныя
с/3?/ (ІХ3
и т. д.
входятъ въ данное уравненіе по-
множенныя на х, X' и т. д., то помня, что х^= е ,
находпмъ
(Ру <? ~х с7> а (ігу (Г6 г (І2
х (іх2 (іі- (й ’ я <іх3 <іі3 (Ц
II Т. Д.,
а потому, послѣ введенія новыхъ перемѣнныхъ, данное дифференціальное уравненіе принимаетъ впдъ
Порядокъ этого уравненія относительно даннаго уравненія еще не пониженъ > но уравненіе приведено къ такому виду, гдѣ входятъ уже только функція г и ея производныя, а главное перемѣнное болѣе не входитъ. Порядокъ такпхъ уравненій понижать мы уже умѣемъ (см. стр. 703, 704, іі 20).
Для поясненія этой теоріи на частномъ примѣрѣ будемъ пнтегрпровать уравненіе (А) (стр. 709), на которое мы выше указывали.
Это уравненіе представляется въ впдѣ
Г»_уЛ’=0
(ІХ1 \ X (ІХ/
полагая здѣсь х = е и ^=.^, какъ мы видѣли, имѣемъ
(І2у (Г-х (Іх . йу (Іх
Х (Іх1 ІІІ' (Іх (Іі
поэтому данное уравненіе обращается въ
вателько, разсматриваемое
„ .Ня И2# Ни
Для пониженія порядка этаго уравненія положимъ тогда -=^ — -=т
(Ьѵ Сѵѵ Сѵѵ
уравненіе $ ио перемѣнному принимаетъ видъ
слѣдо-
п
_Ні
и
2
откуда
п Пи
Ні = ~5----
и — пи
что извѣстнымъ образомъ
представляется въ впдѣ
Ни Пи
Ні —--------------
гі — п. и
интегрируя это, найдемъ
илп
і и — п
Се —-------
и
откуда
п и — ~
но и — -ѵ-, слѣдовательно аі
п
п Ні
Ні
но мы приняли е = ж, слѣдовательно і = 1§ж; = — и потому
п. йж
плп
п Нх Сп Нх
откуда
я = п ж — п 1§ (1 — (7ж) -+- п Сг
гдѣ Сх есть вторая постоянная, введенная интегрированіемъ. Итакъ
но г = —, слѣдовательно
С'ж
это и есть общііі интегралъ даннаго уравненія.
Еще мы можемъ помпзпть порядокъ интегрируемаго уравненія въ томъ случаѣ, когда оно будетъ однородно только относительно функціи л ея производныхъ. При этомъ, опредѣляя ніе,
однородность, перемѣнное х мы можемъ не принимать во випма-плп считать его за величину нулеваго измѣренія. Тогда, очевидно, у п всѣ ея п т. д. будутъ величинами перваго измѣренія, еслп пзмѣре-
(В)
производныя ~ СѵХ
нія дифференціаловъ будемъ понимать такъ какъ прежде.
При этомъ второмъ условіи, напримѣръ, уравненіе
2 $2Ѵ .. $У
х2 + х ------у
алт ах
будетъ однороднымъ перваго измѣренія относительно у п его производныхъ. Если въ подобномъ уравненіи возьмемъ общимъ множителемъ нѣкоторую степень у, то сумма, прп которой эта степень у будетъ состоять множителемъ, будетъ заключать въ себѣ только величины нулеваго измѣренія.
Еслп все это уравненіе сократимъ на упомянутую степень 2/, то оно приведется къ виду
Чтобы понизить порядокъ такого уравненія, мы введемъ перемѣнное г подъ условіемъ
откуда
При этомъ положеніи производныя выражаются такпмъ образомъ
— ее
<1х
Ох* е
г/я5
СІХ 1
н т. д.
поэтому
у СІХ
у СІХ? <ІХ
СІХ2
СІХ
(I)
Такимъ образомъ, каждая производная представляется черезъ производную порядка единицею низшаго. Если внесемъ этп величины въ данное уравненіе, то получимъ уравненіе, преобразованное по перемѣнному з п порядокъ интегрируемаго уравненія прп этомъ будетъ пониженъ единицею.
Для примѣра будемъ пнтегрпровать выше приведенное уравненіе (В). Для приведенія его къ нулевому измѣренію, раздѣлимъ на у и тогда найдемъ
у СІХ
внося сюда вмѣсто — п —игъ формы (1) по имѣемъ у ах‘ у ах
помноживъ это на сіх п
раздѣливъ на ж, полудимъ
пли
сіх
откуда
.2 -2
пусть хя = і, тогда
сіх сіі
интегрируя это, имѣемъ
2
2
или
.2
46
отсюда
_ж2 — С__
3 х (х2 -г С)
1 Ну
но — ѵ-, слѣдовательно
уНх
Ну (х2 — С) Пх у х(х- н- О)
нлп
Яу___ IX сіх сіх
у х2 Н- С х
откуда
-Ь = 1§(х2 + С) —
плп
С±х2
V ~~ х Сг
ото п представляетъ йодный пятегралъ даннаго уравненія.
Наконецъ порядокъ интегрируемаго уравненія можетъ быть пониженъ, еслп оно будетъ однороднымъ въ томъ случаѣ, когда х п сіх будемъ разсматривать какъ величины перваго измѣренія, а у и ея дифференціалы сІул сРу, с12у.............сГу какъ
величины измѣренія |л. Это конечно приводится къ тому, чтобы разсматривать
функцію у какъ величину измѣренія р., а ея производныя какъ величину лзмѣ-
Се**//
. Л2у . , сГу
ренія у.— 1; — какъ величину измѣренія (л—2 п т. д., воооще —какъ
Нх (Іх‘
величину измѣренія (а— п.
Уравненіе, представляющееся однороднымъ при такомъ условіи, мы можемъ привести къ выраженію нулеваго измѣренія, для этого стоитъ только взять х въ яѣкоторон степени общпмъ множителемъ во всѣхъ членахъ уравненія. Послѣ этого уравненіе представится въ впдѣ
Ну
СІХ
плп
(2)
Нх
1 сіу
Для упрощенія такого уравненія примемъ
і и*
х = е; у~& г
Посмотримъ какъ выразятся по новымъ перемѣннымъ і и г, величины, входящія
гг V
въ составъ даннаго уравненія. Прежде всего мы впдпмъ, что ~— = я, кромѣ того, дифференцируя предыдущія два уравненія, пмѣемъ
<7й? =.с ді\ ду = е!Л# де -|- ие!^ г ді
•откуда
дифференцируя это, пмѣемъ
раздѣливъ вторую часть этого уравненія на е ді. получпмъ
Подобнымъ образомъ найдутся и дальнѣйшія производныя. По подстановкѣ ихъ вмѣстѣ съ различными степенями ж, выраженными по новому перемѣнному і, приведемъ данное уравненіе (2) къ впду
Хотя порядокъ уравненія еще не-пониженъ, но введеніемъ новыхъ перемѣнныхъ достигнуто то, что въ данное уравненіе входитъ функція г и ея производныя, а главное перемѣнное не входитъ. Какъ извѣстно, порядокъ такихъ уравненій можетъ •быть понижаемъ.
Пояснимъ этп соображенія на частномъ примѣрѣ. Возьмемъ уравненіе
(А)
•очевидно, что это уравненіе будетъ однороднымъ, еслп х будетъ считаться за величину перваго измѣренія, а у за величину втораго измѣренія. Чтобы ирнвестп это уравненіе къ суммѣ членовъ нулеваго измѣренія, очевидно, необходимо взять общимъ множителемъ .г4, тогда получимъ
4 (^У
\с7ж2 х дх хл дх "и * хЧ
ло сокращенія на х4 пмѣемъ уравненіе
д2у 1 ду у ду , у2
дх2 х дх х? дх я4
СВ)
которое прп принятомъ счетѣ измѣреній представляется суммой нулеваго измѣренія.
Мы сказали, что разсматриваемое уравненіе является однороднымъ, если примемъ у за величину втораго измѣренія, а потому въ нашемъ случаѣ }д=2. Это значеніе р. можетъ быть опредѣлено еще иначе; помножимъ х на постоянную Л, а у на 7>;',Л, т. е., напишемъ въ нашемъ уравненіи кх вмѣсто х и кѵ'у вмѣсто у п посмотримъ, прн какомъ значеніи р. уравненіе не будетъ содержать множителя к-Сдѣлавъ эту подстановку въ уравненіе (А), получимъ
Ар. + 2 = •+ 1 х у2
ъѴіЛ/
очевидно, еслп примемъ здѣсь р = 2, то все уравненіе можно будетъ сократить-на /с4 и уравненіе этого постояннаго множителя содержать не будетъ. Итакъ р-—2, а потому для пониженія порядка’интегрируемаго уравненія мы должны ввести перемѣнныя і п з подъ условіемъ
При р. = 2 предыдущія
общія- выраженія производныхъ, представленныя въ-
зависи мости отъ перемѣнныхъ
п з, принимаютъ видъ
Внося это вмѣстѣ съ предыдущими выраженіями х и у въ уравненіе (В), по сокра-щенш йа е получпмъ
или просто
помножая это на Ні и взявъ пнтегралъ, получпмъ
плп
сіз
Ж
= (я — 1 )2 4- Сх
гдѣ за постоянную принимаемъ Сг—С •— 1. Отсюда пмѣемъ
или
слѣдовательно
еслп бы Сх была отрицательная величина, то интегралъ имѣлъ бы логариѳмическую форму. Предыдущему интегралу можно дать видъ
йг — 1 = іапё [0 + С2) ]/7\]
но г ~ ; і = х; поэтому полагая С’2 = С находпмъ
у = х1 4- я2 ]/С\ (апе [}/Сг Іе (С' я)]
этп и есть полный пнтегралъ даннаго дифференціальнаго уравненія.
ГІ.
Интегрированіе линейныхъ уравненій высшихъ порядковъ.
21. Линейнымъ уравненіемъ высшаго порядна называется такое уравненіе, въ которое входятъ производныя различныхъ порядковъ одной п той-же функціи п при томъ не иначе какъ въ первыхъ степеняхъ и не перемножаются между собой. Коеффп-ціентамп прп этихъ производныхъ могутъ быть или постоянныя величины, или функціи, но не иначе какъ одного независимаго перемѣннаго. Еслп такое уравненіе содержитъ членъ, независящій отъ той функціи, производныя которой берутся, но заключащій въ себѣ независимое перемѣнное, то такое уравненіе называется полнымъ плп уравненіемъ съ послѣднимъ членомъ.
Общій видъ полнаго линейнаго уравненія высшаго порядка есть слѣдующій-
и—2 У
Г„л—2
г л—1 ах
сіх
4- Рпу=Ѵ
(1)
гдѣ Р± Рг.......Р„ суть функціи одного х, или постоянныя величины, а У функ-
ція одного х, Еслп V = о, то уравненіе называется уравненіемъ безъ послѣдняго члена плп однороднымъ п имѣетъ впдъ
+ Р..1| + Л<, = о (2)
Говоря объ интегрированіи линейныхъ уравненій высшихъ порядковъ, мы прежде всего докажемъ два слѣдующихъ положенія:
1., Порядокъ однороднаго уравненія, или уравненія безъ послѣдняго плена всегда можетъ бытъ пониженъ.
Въ самомъ дѣлѣ введемъ въ уравненіе (2) новое перемѣнное подъ условіемъ
гдѣ г есть, равно какъ и у, функція находимъ
одного х. Дифференцируя это уравненіе по
п т. д.
Птакъ мы впдпмъ, что каждая производная функціи у выражается черезъ производную отъ функціи г, но порядка единицею нпзінаго. Если внесемъ выраженія этпхъ производныхъ отъ у въ данное уравненіе «’го порядка н результатъ подстановки /
сократимъ на е , то останется уравненіе по 2, но порядка п — 1, хотя уже не линейное.
Положимъ напр. что дано однородное уравненіе третьяго порядка
находимъ изъ этого уравненія
уравненіе втораго порядка, хотя п не линейное. Еслп будетъ найденъ общій пнтегралъ этото уравненія, то интегралъ даннаго уравненія опредѣлится по выполненіи
квадратуры
Итакъ подстановкою (4) пптегрпрованіе уравненія (3) третьяго порядка приводится къ интегрированію уравненія (5) втораго порядка.
2., Полный интегралъ линейнаго дифференціальнаго уравненія высшаго порядка безъ послѣдняго члена равенъ суммѣ интеграловъ частныхъ.
Пусть уравненію
удовлетворяетъ нѣкоторое частное рѣшеніе у — уг, т. е. пусть уг будетъ такая величина, которая,- будучи внесена въ предыдущее уравненіе вмѣсто у, обращаетъ это уравненіе въ тождество. Тогда этому уравненію будетъ удовлетворять п величина у = С1у1, гдѣ есть произвольная' постоянная. Въ самомъ дѣлѣ, еслп у = Сг у1ь то
Пх 1 сіх ’ йж2 1 йж2
внося это въ данное уравненіе, получимъ
но если уг есть частное рѣшеніе даннаго уравненія, то величина, заключающаяся въ скобкахъ, обращается въ нуль и мы видимъ, что значеніе у = С1 уг удовлетворяетъ данному уравненію. Произведеніе называется частнымъ интеграломъ даннаго уравненія.
Предположимъ, что
Уг > Уг-> Уз.Уп—і, уп
суть іг частныхъ рѣшеній даннаго уравненія, тогда
^1^1’ ^зУз-> ^и'Уи
будутъ частные интегралы даннаго уравненія. Легко видѣть, что сумма пхъ также будетъ удовлетворять данному уравненію. Эта сумма
у = С.ѵ, -|- СлУл “Ь............-|- С іУ і И- О у
I 2 I I м — 1 1 !!*/«
если содержитъ п различныхъ произвольныхъ постоянныхъ, то называется полнымъ интеграломъ линейнаго уравненія М’го порядка.
Чтобы показать, что эта сумма удовлетворяетъ данному уравненію и есть слѣдовательно его полный пнтегралъ, возьмемъ послѣдовательныя производныя
Внося величины этпхъ производныхъ вмѣстѣ съ начальной функцій у въ данное уравненіе, составляемъ
такъ какъ у2, у2....уп суть частныя рѣшенія даннаго уравненія, то суммы, заключающіяся въ скобкахъ, тождественно обращаются въ нулп п уравненіе удовлетворяется; это мы н пмѣлп въ виду доказать.
Еслп между частными рѣшеніями, помноженнымп на нѣкоторые постоянные коеффпціенты, существуетъ завпспмость, выражаемая уравненіемъ, то этп частныя рѣшенія не могутъ считаться различными между собою. Еслп для линейнаго уравненія ігт0 порядка мы знаемъ п частныхъ рѣшеній уг, Уі'--'Упі ио между этпми рѣшеніями существуетъ соотношеніе, представляемое уравненіемъ вида
ТО
(6)
<Мі + <М2 + • *
. -4- я у = о
1 »І
У = + Сгу2 +........4- Сп уя
не можетъ болѣе считаться полнымъ интеграломъ даннаго уравненія.
Въ самомъ дѣлѣ пзъ уравненія между частными рѣшеніями находимъ напримѣръ
а, а»
у, -у, -
Внося это въ выраженіе (6), получаемъ
V = ( - V + ( °> - Г °0 У- +...............+ с- - Г С'К
н это выраженіе содержитъ только п—1 произвольныхъ постоянныхъ, ибо каждая разность, заключенная въ скобки, должна быть принята за одну постоянную, а потому послѣднее выраженіе не можетъ считаться полнымъ интеграломъ уравненія и*г0 порядка.
22. Если извѣстенъ частный пнтегралъ однороднаго линейнаго уравненія высшаго порядка, то порядокъ соотвѣтствующаго полнаго интегрируемаго уравненія можетъ быть пониженъ.
Возьмемъ не однородное линейное уравненіе п'го порядка впда
пусть ух будетъ частный пнтегралъ соотвѣтствующаго однороднаго уравненія, такъ что
Положимъ въ уравненіи (7)
гдѣ 2 есть новое перемѣнное. Опредѣляя по этому соотношенію п при помощи теоремы Лейбница послѣдовательныя производныя функціи у, находпмъ
А" у А" г й"-12 г?’1 ух
--- = у------п ~г~------- 4-................2 ---7
Ах Ах Ах"~ Ах
А"-1 у А”-12 , г , сГ~гух
-----= у. ——- + (п — 1) ------ Н---к г-----
1 Ахп~г <& Ах"'2 Ах-1
Ау_ А2 ^Ау^ Ах^^Ах^'^ Ах
Внося это въ данное уравненіе (7), находимъ
+ Л-і
Аз
іуС Ах.
Еслп расположимъ это уравненіе по производнымъ новаго перемѣннаго з, то получпмъ уравненіе, вида
Принимая во вниманіе уравненіе (8), мы видимъ, что множитель прп г, въ томъ предположеніи, что уг есть частное рѣшеніе однороднаго уравненія, обращается въ нуль п остается только уравненіе
(3)
(ІЗ
(ІХ
тогда это уравненіе приметъ впдъ
въ которое г не входитъ, а входятъ только его производныя. Что касается до <2і <?!••• то онѣ зависятъ отъ х и уг, но уі какъ частное рѣшеніе есть данная функція ж, а потому <2,-суть функціи одного х.
Порядокъ полученнаго уравненія (9) можетъ быть пониженъ положеніемъ (ІЗ
Ох=8'
(10)
но еслп
(ІЗ
= 5, ТО 3 —
(ІХ
з(Іх^ а слѣдовательно положеніемъ
У — Ух! 8(<х
уравненіе (7) преобразовывается въ уравненіе того же вида, но порядка единицею низшаго, при этомъ вторая часть преобразовываемаго уравненія оетается безъ перемѣны.
Еслп частные интегралы уравненія (10) суть $1, $2.....з„_і, то полный пнтегралъ есть
гдѣ С2, С3,......С„ суть произвольныя постоянныя. По сдѣланному означенію
(ІЗ
— = з, слѣдовательно ах
і>—і
откуда интегрируя находимъ
по у = у1,з, слѣдовательно
У — ^і^і+ ^2^1/ 5і^ +.........+ С»Ѵ\ / (10
Если извѣстенъ еще второй частный пнтегралъ у2 однороднаго уравненія, соотвѣтствующаго данному полному, то можемъ еще единицею понизить порядокъ интегрируемаго уравненія. Если первый частный интегралъ есть уг, то, какъ впдпмъ второй есть
откуда
Уг = Уі / 5і $х
гдѣ очевидно есть частный пнтегралъ уравненія (10). Посредствомъ этого интеграла понизимъ единицею порядокъ уравненія (10). Для этого положимъ
5 = і (Іх
гдѣ і есть новое перемѣнное. Пусть для краткости
і (ІХ
тогда 5 = 5 зг Внося это въ уравненіе (10), подобно предыдущему получимъ
і, поэтому порядокъ этого уравненія понижается п оно приводится къ впду
(12)
Если уг есть частный пнтегралъ даннаго уравненія п. если 5 есть общій пнтегралъ уравненія (10), то общій пнтегралъ даннаго уравненія можетъ быть представленъ въ впдѣ
гдѣ остальныя п — 1 произвольныхъ постоянныхъ содержатся въ выраженіи 5.
Подобно этому общій пнтегралъ выраженія (10) можетъ быть представленъ въ впдѣ
$ = С2 $) + 5гу і сіх
гдѣ есть частное рѣшеніе уравненія (10). Внося это въ предыдущее выраженіе у, находимъ
плп
но мы впдѣлп, что
поэтому
Еслп извѣстенъ еще третій частный пнтегралъ даннаго уравненія, то порядокъ интегрируемаго уравненія можетъ быть пониженъ еще единицею. Мы принимаемъ что одпнъ частный пнтегралъ даннаго уравненія есть тогда два другіе, предполагаемые извѣстными по уравненіи (11), суть
откуда
Посредствомъ этпхъ частныхъ интеграловъ найдемъ частный пнтегралъ уравненія (12). Если одпнъ частный пнтегралъ уравненія (10) есть то другой есть очевидно я2 = згГ іу (Іх, откуда
Полагая і = іг/ и сіх, можемъ еще понизить порядокъ уравненія (12). Пусть і — гдѣ = / и<Іх\ тогда уравненіе (12) преобразовывается въ
г-3
но
(ІХ
слѣдовательно это уравненіе относптельно и имѣетъ видъ
(14)
Лп—3 а и
(Т^и
8п—г - X
общій пнтегралъ уравненія (12) можетъ быть представленъ теперь въ видѣ і = С3 іу 4“ йіе
гдѣ и должно быть опредѣлено какъ общій пнтегралъ уравненія (14).
Посредствомъ этого общій интегралъ даннаго уравненія получпмъ, если внесемъ эту величину і въ выраженіе (13). Тогда найдемъ
плп
у = С1 Уі + ^2Уг + Уі/31у Ч
ах 4- Уі
но мы видѣли, что
у$2ах-^
поэтому третій членъ можно представить въ видѣ
сз У1 /31 У —СзУ\/ 8г= Сз Уз итакъ по тремъ извѣстнымъ частнымъ рѣшеніямъ общій пнтегралъ даннаго уравненія представятся въ впдѣ
У = Уі + сіУз + сзУз^Уг/8і/*ЧіТх
Продолжая такпмъ образомъ, можемъ заключить, что зная п—1 частныхъ рѣшеній'мы представимъ общій пнтегралъ даннаго уравненія въ видѣ у — Уі + у 2 + с3 у3 -+-.с„_і у«-і + УтС ах1\ ах.^гоах
гдѣ го есть общій пнтегралъ уравненія
Г^+71Я, = Х (15)
ах
послѣдняя м ЛН произвольная постоянная заключается въ общемъ интегралѣ го уравненія (15).
Прослѣдимъ этотъ способъ пятегрпроваяія на -общемъ уравненіи третьяго порядка, которое представимъ въ впдѣ
предположимъ, что извѣстны трп • частные интеграла уг, у2, уъ соотвѣтствующаго однороднаго уравненія и требуется найти общій пнтегралъ даннаго неоднороднаго-уравненія.
Полагая у = гдѣ з есть функція а?, находпмъ
Такъ какъ уг есть частный интегралъ соотвѣтствующаго данному однороднаго урав ненія, то
4. Р » р
СІХ* 1 СІХ2 2 СІХ
+ Ру г —о
а потому данное уравненіе, преобразованное по перемѣнному г, будетъ
(л Уі +
пусть
тогда предыдущее прпнпмаетъ впдъ
понижая порядокъ этого уравненія, примемъ
тогда предыдущее уравненіе обращается въ
прп чемъ, какъ мы знаемъ, общій интегралъ даннаго уравненія въ зависимости отъ общаго интеграла послѣдняго уравненія представляется въ видѣ
полагая
находпмъ
п предполагая, что есть частный пнтегралъ уравненія (А), приводимъ это послѣднее къ виду
(ВЗ
тдѣ
но такъ какъ то уравненіе (В) принимаетъ впдъ
(ГД/
есть частный пнтегралъ уравненія (А), то общій пнтегралъ его есть
гдѣ і есть общій пнтегралъ уравненія (С), а это послѣднее пнтегрпруется непосредственно и его общій пнтегралъ есть
слѣдовательно
и наконецъ искомый общій пнтегралъ даннаго уравненія есть по выраженію (а)
Однородное уравненіе, соотвѣтствующее уравненію (С), т. е. уравненіе
имѣетъ рѣшеніе
Слѣдовательно представивъ предыдущее въ видѣ
проводимъ это къ
С2 $г (Іх -р
поэтому предыдущій общій интегралъ приводится къ виду
что п представляетъ собою требуемый общій пнтегралъ.
Мы предполагали, что извѣстны трп частные интеграла у2, у3, во въ этомъ очевидно нѣтъ надобности, пбо по двумъ интеграламъ у2 третій опредѣляется.
Въ самомъ дѣлѣ мы видѣли, что
но посредствомъ этого опредѣляется только по двумъ интеграламъ и у,.
Выраженію (Ь) можно дать видъ
сравнивая это выраженіе съ выраженіемъ (с), видимъ, что третье частное рѣшеніе-однороднаго уравненія по двумъ даннымъ опредѣляется изъ выраженія
П9і
по выраженію (с) можемъ заключить кромѣ того, что если въ атомъ выраженіи примемъ всѣ произвольныя постоянныя равными нулю, то найдемъ
частный интегралъ даннаго уравненія. Такимъ образомъ мы можемъ заключить, что общій интегралъ даннаго полнаго уравненія (1) равенъ общему интегралу соотвѣтствующаго однороднаго уравненія, сложенному съ частнымъ интеграломъ даннаго полнаго уравненія.
Если извѣстно одно частное рѣшеніе уравненія съ послѣднимъ членомъ и если это частное рѣшеніе означимъ, чрезъ У, то полагая у = У + я, гдѣ я есть функція ж, найдемъ послѣдовательныя производныя у въ видѣ
(ІХ (ІХ ' (ІХ ’ (ІХ2 (ІХ2 1 (ІХ2 ’
/у _ / У , <Гя
(ІХк (ІХк "Т” 1
внося это въ данное уравненіе, представимъ его въ видѣ
но такъ какъ У есть частное рѣшеніе даннаго уравненія, то
поэтому пзъ предыдущаго остается только
Р„я = о
итакъ, нахожденіе полнаго интеграла даннаго уравненія по одному частному рѣшенію этого даннаго неоднороднаго уравненія сводится къ опредѣленію я, пли къ интегрированію уравненія того же порядка какъ данное, но безъ послѣдняго члена. Итакъ, при помощи одного частнаго рѣшенія мы замѣняемъ данное уравненіе однороднымъ, не понижая его порядка. Этимъ подтверждается также и то, что мы сказали выше; именно еслп къ частному интегралу линейнаго неоднороднаго уравненія прибавимъ полный интегралъ того дке уравненія безъ послѣдняго члена, то получимъ полный интегралъ даннаго неоднороднаго уравненія.
Если въ уравненіи
отношеніе р- = пост., то у^=--р будетъ частнымъ -ь н II
самомъ дѣлѣ если это условіе выполняется, то всѣ сительно х, обращаются въ нули п пзъ даннаго
Р„ у = X, которое удовлетворяется при у = .
у = -- есть частное рѣшеніе полнаго уравненія, то и
выше сказанному преобразуемъ данное уравненіе въ
Замѣтимъ еще, что еслп отношеніе
ах -г Ъ п еслп въ данномъ уравненіи
водной, т. е. еслп Р„_3=о, то ™
-*• /I
рѣшеніемъ этого уравненія: въ
производныя у, взятыя отно-уравиенія остается уравненіе
Еслп прн сказанномъ условіи
полагая у = у- -р мы по однородное уравненіе по
есть линейная функція отъ х вида п
пѣтъ члена, зависящаго отъ первой прот-
естъ частное рѣшеніе даннаго уравненія, ибо
исключеніемъ первой (которой въ данномъ
тогда всѣ пропзводныя отъ у = -- за уравненіи не предполагается) обращаются въ нули и остальное уравненіе удовлетворяется этпмъ рѣшеніемъ. Если нрн сказанныхъ условіяхъ есть частное рѣшеніе полнаго уравненія, то по выше сказанному положеніемъ
и
данное уравненіе преобразовывается въ однородное по г. Напримѣръ въ уравненія
г/г2
для котораго удовлетворяются выше упомянутыя условія, полагая
а-
, приводимъ данное уравненіе къ виду
2
йж2
23. Послѣ этпхъ неиіе втораго порядка.
гдѣ 1', 1'2 суть
этого уравненія, тогда
общихъ соображеній разсмотримъ однородное линейное урав-Такое уравненіе представляется въ впдѣ
ах* ‘ ах
нѣкоторыя функціи х. Пусть ух будетъ частное рѣшеніе полагая
имѣемъ
№
Внося это въ данное уравненіе, приведемъ его къ впду
Такъ какъ ух есть частный пнтегралъ даннаго уравненія, то принимая во вниманіе данное уравненіе, впдпмъ, что послѣдній членъ обращается въ нуль и остальное приводится къ линейному однородному уравненію перваго порядка, т. е. къ уравненію
интегралъ этого уравненія, какъ мы знаемъ, есть
гдѣ С есть произвольная постоянная. Внося эту величину въ выраженіе (16), получимъ одинъ частный пнтегралъ даннаго уравненія, другой частный пнтегралъ по нашему предположенію есть С1у1^ а потому полный интегралъ даннаго уравненія будетъ
Другая произвольная постоянная входитъ въ выраженіе г.
На основаніи этпхъ соображеній будемъ интегрировать уравненіе
2(1 —
X , Г 1 '“У
х)у -г (« — 2)^-ах
Частное рѣшеніе этого уревненія есть т/1=;а:2. Кромѣ того, въ нашемъ случаѣ
Р=(г—х)х\ Р1 = ж2— 2;
Л = 2
слѣдовательно
7.12
Кромѣ того легко впдѣть, что
2Х— б. 3 1
X (X — 2) X X — 2 слѣдовательно
а потому
а слѣдовательно полный пнтегралъ даннаго уравненія будетъ
у — х2 / Со <іхС, х2
/ \ X3 / д
но легко впдѣть, что
слѣдовательно
есть общій пнтегралъ даннаго уравненія.
Будемъ еще интегрировать неоднородное уравненіе вида
частное рѣшеніе соотвѣтствующаго уравненія безъ послѣдняго члена есть у —ж, поэтому для пониженія порядка интегрируемаго уравненія положимъ у —Тогда
(ІХ
(ІХ
йіг2 2
сіх2
Подставляя это въ данное уравненіе, приводимъ его къ виду
скс2 х (Іх х2
полагая здѣсь -г-=8, приводимъ вопросъ къ интегрированію уравненія перваго
порядка 5 _____________________________________________ 1
СІХ X ~~ х1 •
Мы знаемъ, что полный пнтегралъ даннаго уравненія будетъ
У — Сі 2/і + Уі Г5
гдѣ подъ 5 разумѣемъ полный пнтегралъ предыдущаго уравненія. Подъ $ мы разумѣемъ здѣсь полный пнтегралъ, а не частное рѣшеніе, поэтому вторая постоянная входптъ въ завпспмостп отъ з. Для опредѣленія з будемъ интегрировать уравненіе (Л) по извѣстному уже способу. Въ примѣненіи къ этому случаю въ уравненіи (4) стр. 632, мы должны считать Р = — , 9 — п тогда находимъ
слѣдовательно
полный пнтегралъ даннаго уравневія.
24. Другой способъ интегрированія полныхъ линейныхъ уравненій предложенъ Лагранжемъ и, какъ мы уже говорили, носптъ названіе способа измѣненія произвольныхъ постоянныхъ
Возьмемъ опять общее уравненіе
тогда данное уравненіе представляется въ впдѣ
Ф(й=г (1)
Предположимъ, что полный пнтегралъ уравненія Ф (у) = о
есть
(3) у = С1у1 Ч- С2у2 4-........-г Сиу„
Еслп величины Сг. С2‘^С„ будемъ считать за функціи х, то этп произвольныя функціи можно подобрать такъ, чтобы интеграломъ (3) удовлетворялось полное уравненіе (I), въ которомъ К есть функція х. Чтобы имѣть достаточное число уравненій, изъ которыхъ опредѣлились бы С2, Са С» какъ функціи ху будемъ требовать, чтобы производныя отъ у до я—1’ий включительно сохраняли свою форму какъ въ тонъ случаѣ когда С,, С2 • - Сп разсматриваются какъ постоянныя, такъ и въ томъ случаѣ когда С1, С2--‘С„ принимаются за функція независимаго перемѣннаго х.
Пропзводная отъ у взятая въ томъ предположеніи, что С1У (?,,••• суть постоянныя, есть
(4)
$У_ ._ р I АІ , 7"Т Пул
(Іх ' Пх 2 (Іх 1 " (Іх
еслп же Сг, С2,--- С„ считаются за функціи х, то пропзводная будетъ
__р---------. р і і Г о — П
(Іх Пх ' Пх
ПСп Пх
Чтобы этп выраженія были тождественны необходимо, чтобы
тогда пропзводная п въ томъ и въ другомъ случаѣ будетъ имѣть одпнъ п тотъ же
впдъ. Еслп возьмемъ отъ вырааіенія (4) производную по ж, то получпмъ
~Пх2" 1 Пх~ 1 2 Пх2
іуг ПС2 ' Пу2 ПС
Пх Пх Пх Пх
। лі г/н
Т" Ѵй
(ІХ2
Яуп ПСП 1 Пх Пх
Чтобы эта производная сохраняла свой видъ въ обоихъ случаяхъ, необходимо чтобы
Пу2 сІСг , Ну, ПС12
Пх Пх Пх Пх
Пу„ ПСП
Пх Пх
Понятно, что для того чтобы третья производная сохраняла свой впдъ въ обоихъ случаяхъ, необходимо чтобы
<&Уі , (?У2 ПС2
(Іх2 Пх Пх2 Пх '
н2уп ас^ _
Пх2 Пх
наконецъ для того, чтобы п—1і,’я пропзводная сохраняла свой впдъ въ обоихъ слу-
чаяхъ, необходимо чтобы
сГ~ V (ІС. сГ~2у, (ГС, ах ах ах (ІХ
Слѣдовательно для опредѣленія п функцій С2, С,, С.(.............
п—1 такпхъ уравненій:
С„ будемъ имѣть
(ІС
(ІХ (ІХ ~ (ІХ (ІХ
. (Іуп (ІС„
<кх (Іх
(5)
<Г‘~у„ (Юг , (Т'~2у2 сЮ2 іхп~2 "и Охп~2 <&'
а общій пнтегралъ п его п—1 производныхъ будутъ пмѣть. впдъ
У— Уі “г Уі Н“. і Уч
I
1 (Іх
(6)
лгі—1 -ТН — 1 7«—1
«____У = а У1 ѵ «________________У 2
<кх'-і (ІХ>1~2 1 (Іх~~г
Такъ-какъ для п*ой производной мы не принимаемъ условія, чтобы она сохраняла свою форму какъ въ томъ, такъ п въ другомъ случаѣ, то счптая С.. С, .....Сл за функціи х п взявъ отъ послѣдняго уравненія производную по х, мы получаемъ
а
тг /I ах
Мы составили п—1
(Іх'-1 (ІХ &х"~2 іх
(ісл вх'1~2 <іх
уравненій (5) для опредѣленія производныхъ
(ІС2
СІХ ' (ІХ
(^Си.
(ІХ 5
но такъ какъ этого числа уравненій мало, то « ое уравненіе получимъ, внося выра-ясенія (6) и (7) въ данное уравненіе
ф{у)=ѵ
Результатомъ этой подстановки будетъ
с. Ф &,) + с, Ф (</,) і
1 “Т*
йп~гу^Сг , , Ап~2уп(ІСп
СІХ"-2 Ах ' сІха-2 (іх
но если Уч..........У» суть частныя рѣшенія уравненія Ф(у) = о, то первые п
членовъ послѣдняго уравненія тождественно обращаются въ нуль п остается уравненіе
(*)
(Ѵ-'у^С, йп~уу2ЛС, Лха~1 +
Уравненій (5) вмѣстѣ
съ уравненіемъ (,8) совершенно достаточно для опредѣленія
всѣхъ производныхъ
СІХ ’ (ІХ
аа сіх
. Такъ какъ этп уравненія суть линей-
ныя относптельно этихъ неизвѣстныхъ, то рѣшимъ пхъ по способу Везу.
Помножимъ уравненія (5) соотвѣтственно на неопредѣленныхъ множителей Хо, . Х„_2 и сложимъ произведенія съ неизмѣненнымъ уравненіемъ (8),
тогда въ суммѣ получпмъ
плп
Полагая
9 О2) = о,<Р 03) =
• 9 ІУ»} = о
будемъ имѣть п—1 уравненій для опредѣленія п—1 множителей Ло. \ и остальное, т. е.
- Л</-2
(ІС
ах
? Оі)= V
послужитъ для опредѣленія производной Еслп положимъ всѣ функціи (ЛиЛ/
ас
равными нулю за исключеніемъ 9(#2)> то производная —у-2- опредѣлится пзъ уравненія
лс. с ' _
п т. д. Такъ какъ всѣ частныя рѣшенія уѵ, у2, . . - у„ даются какъ функціи х п V есть функція х, то функціи С1, С2 • • • • С,, найдутся посредствомъ квадратуръ
а потому полный интегралъ, удовлетворяющій уравненію
Ф (у) = V
будетъ
У — Уі “Н • • • • • сяуп
•Пояснимъ этп общія соображенія на частномъ примѣрѣ. Пусть требуется интегрировать по способу измѣненія произвольныхъ постоянныхъ уравненіе втораго порядка слѣдующаго вида
Частныя рѣшенія уравненія безъ послѣдняго члеяа, т. е. уравненія
йгу 1 Ау 1
—~------'-----ѵ — о
Лх2 хсіх^ у2
какъ мы видѣли, суть
Уі = х\ у,=х\$х
слѣдовательно полный пнтегралъ уравненія безъ послѣдняго члена есть
у= С3ж+ С2х1§х
►откуда
‘^ = €,^-€,(1^+1) (10)
СѵА'
л уравненіе для опредѣленія Сг п С, въ функціи х есть
Ах
АС
(И)
Такъ какъ данное уравненіе втораго порядка, то только первая пропзводная должна •сохранять свой впдъ какъ въ случаѣ постоянныхъ’ С2 п С2, такъ и въ случаѣ •функцій х\ а слѣдовательно вторая пропзводная отъ у получится пзъ уравненія (10) въ впдѣ
внося величины .у, у и у, въ данное уравненіе, по сокращеніи получимъ
АСХ , АС, . 1
-у- Н—(к х ± 1) = —
Ах Ах . х
.это уравненіе вмѣстѣ съ уравненіемъ (11) служитъ для опредѣленія
асг
Ах
Изъ этихъ уравненій находимъ
СІСу __ ___ 1
сіх х ’ сіх х
откуда
I
Су = — - (Іея;)2 + с2—]§л-4-с2
а потому общій интегралъ полнаго уравненія будетъ
Такимъ образомъ мы видимъ, что еслп извѣстны всѣ частныя рѣшенія уравненія безъ послѣдняго члена, то общій интегралъ полнаго уравненія легко находится, Но рѣдко всѣ частныя рѣшенія прямо могутъ быть указаны. Если же извѣстны только нѣкоторыя частныя рѣшенія, то порядокъ интегрируемаго уравненія во всякомъ случаѣ можетъ быть пониженъ. Легко показать, напр., что еслп для уравненія п'то порядка будемъ знать п—1 частныхъ рѣшеніи, то интегрированіе полнаго уравненія приведется къ интегрированію уравненія 2*го порядка.
Предположимъ, что требуется интегрировать уравненіе
(12)
Предположимъ, что для соотвѣтствующаго уравненія безъ послѣдняго члена извѣстны п—1 честныхъ рѣшеній, которыя суть у у, у2,......у»-і. Понятно, что выраженіе
У — “Г* ^2Уа •'
будетъ удовлетворять уравненію безъ послѣдняго члена, но не будетъ его общимъ интеграломъ, ибо въ общемъ интегралѣ уравненія ?гто порядка должно содержаться п произвольныхъ постоянныхъ, въ предыдущемъ же выраженіи ихъ только п—1. Тѣмъ не менѣе посредствомъ этого выраженія въ зависимости отъ интегрированія уравненія втораго порядка можетъ быть найденъ полный интегралъ даннаго уравненія съ послѣднимъ членомъ
Прн рѣшеніи этого вопроса намъ предстоитъ опредѣлить —1) величинъ , С2.... С„~у въ впдѣ функцій ж, а потому число уравненій, необходимыхъ
«для этого, будетъ единицею меньше чѣмъ въ предыдущемъ случаѣ; поэтому будемъ
требовать, чтобы не всѣ производныя у до п—1 включительно, а только всѣ
до п— 2 включительно сохраняли свою форму какъ въ томъ случаѣ, когда Ср С2........Сл_і разсматриваются какъ постоянныя, такъ и въ томъ случаѣ
когда онѣ принимаются за функціи Итакъ, для опредѣленія (к—1) производ-
ныхъ
сІС у СІХ
сІС9 іг
СІХ
(ІС,.-і сіх
первоначально будемъ имѣть «—2 условныхъ урав
неній вида
АС, сІС,
Уі Ах~ + У- сіх'
Ау, АС, , (Іу2 АС, сіх сіх сіх сіх
сІУп-і АС„г _ Ах Ах
(13)
А"-ау,АС, , Ап-лу2АС, і , А‘,-Зуй_і<№1_2 ^°
Ах”~3 Ах Ах"~а сіх ' "Т" Ах”~а Ах
а производныя, сохраняющія свой впдъ для того п другаго предположенія, будутъ &У. р । р , і Ау„-і „ СІХ~ Ах Ах 2 ' ’ * ‘ Ах п'г
А2у_А2у,п , А2у,г . , А'Ун-л г
Ах2 “ сіх2 1 ’ Ах* 2 1 • • • 1 $Х2 ’-'-і (14)
остальныя двѣ производныя будутъ зависѣть отъ производныхъ С,, С2 - < • • С„_і взятыхъ относптельно х н будутъ имѣть видъ
пП—1 я»—1 іЦ — 1 тП—1
А у _А у, п , А у, п , , А у„_г п
‘ ‘ »~і — “Гі-Т т т °2 -г ’ -і „ "і • ь„_і
сіх сіх сіх Ах
А”~2у, АС, , Ап~~у, АС, сІхп~2 Ах Ах"~' Ах
А" ^Уи-г сі С,»і
Ахп~2 сіх
с? . 0 1.. ।
Ахп Ах" 1 Ах” г Ах"
2 Г сГ^у, АС, сГ-'у, сІС, , . . , А^у^сІС,.^
, йл’1-1 Ах сіх"~х Ах ' Ах"~г Ах
А"'2у, А2С, . Ап~2уп^А2Сп^
+ Ах”~2 Ах2 ' Ах"'2 Ах2
Чтобы получить уравненіе достаточное вмѣстѣ съ уравненіями (13) для опредѣленія
. АС, АС2 АСп-г
всѣхъ производныхъ ~ .... —-—•, внесемъ этп двѣ производныя вмѣстѣ (ѵЗС (ІХ (ІХ
съ производными (14) и начальной функціей у — у, С, -і-у, С, • . . . + У»-і С»-і
въ данное уравненіе (12), тогда получпмъ
Лз”-1 Лх
' (Г~2ул & С\ . СІх‘^~ сіх1
р . р >
. лх 1-г '<и 2 1
, (1-Ѵп-г
Ах
1 —1
Собирая въ этомъ уравненіи коеффиціенты прп Сг, С2 • • • С'„_і, убѣдимся, что этп коеффпціенты суть результаты внесенія велпчпнъ уу, уг • • • • у«_і въ уравненіе
а потому эти коеффиціенты тождественно обратятся въ нулп и оставшееся уравненіе будетъ имѣть видъ
(И)
.Лх"'1 (Іх
й” / У,.-і ^<-1 (Іх“ ~1 Лх
Этого уравненія вмѣстѣ съ уравненіями (13) достаточно для опредѣленія всѣхъ
СІ Су СІ С, производныхъ • •
((X (а>Э&
дующимъ образомъ.
Изъ п—2 уравненій (13)
сІС _
—г-— . Мы поступимъ для рѣшенія задачи слѣ-
Сѵ>С
мы опредѣлимъ п—2 производныхъ по остальной; опредѣлимъ напр. п—2 производныхъ
сІС, сІС, ± о
СІХ ’ СІХ
№...
СІХ
по производной -у! и этп выраженія производныхъ (ѵЭС
внесемъ
сІС.
СІХ
сІС, сІС2 сіх ’ &х
въ уравненіе (15), тогда
сГ'С,
п будетъ имѣть видъ
оно
сІС..-
СІХ
будетъ содержать только производныя
и
, ас,.
Лх1 ‘ 4 Лх ~
гдѣ .Р, <2 п X суть функціи одного х-, интегрируя это уравненіе втораго порядка относительно Сг, найдемъ выраженіе Сг въ зависимости отъ двухъ произвольныхъ постоянныхъ. Такпмъ образомъ въ интегралъ
У У 2 ^2
п — 1
будутъ входить п произвольныхъ постоянныхъ п такъ какъ С\, С2 . . . . С„-і будутъ опредѣлены надлежащимъ образомъ какъ функціи х, то этотъ интегралъ будетъ удовлетворять полному уравненію (12).
Пояснимъ эти общія соображенія на частномъ примѣрѣ.
Пусть требуется пнтегрпровать линейное уравненіе втораго порядка
Предположимъ извѣстнымъ одно частное рѣшеніе уравненія безъ послѣдняго члена, т. е. уравненія
это частное рѣшеніе есть у — х. Такимъ образомъ въ нашемъ случаѣ
Поэтому для опредѣленія произвольной постоянной Сг въ функціи х составимъ уравненіе по формѣ (15), которая въ примѣненіи къ разсматриваемому случаю даетъ
или такъ какъ = х, то это обращается въ
откуда
(12Сі , —зх __ 'I
(Іх2 ’ аг(1§а*—І) (Іх х- —-I)
Пусть для краткости
(ІС, 2.г’]»я — за- _ 1
-у— —1>; —й - г------- - = Р; ' і— .у---------“ 1
ах ягіЩ-*'— 1) ?ж к«—'I)
< О ✓ О \ О У
тогда уравненіе для опредѣленія въ функціи % будетъ имѣть видъ
но мы знаемъ, что
или
Выполнимъ пнтегралъ
Этотъ интегралъ можно представить въ видѣ
поэтому
слѣдовательно
Выполнимъ вюдящій сюда интегралъ. Положимъ
= тогда х = <?Л,
поэтому
Разложивъ дробь
- на элементарныя,
получимъ
слѣдовательно
интегрируя первый членъ по частямъ, примемъ въисіѵ — иѵ— / ѵсіи
Е СІЗ
очевидно
— 1
слѣдовательно
поэтому
. (ІС.
во такъ какъ ?_> = —то сіх
но
Остается выполнить пнтегралъ
выполнимъ это интегрированіе ио частямъ, примемъ въ / —«у— / ѵ сіи
тогда
слѣдовательно
поэтому
и такъ какъ у = Сгх, то общій пнтегралъ даннаго уравненія будетъ
у = — С Іо § я
Послѣдняя квадратура въ конечномъ видѣ не выполнима.
25. Приступамъ теперь къ интегрированію линейныхъ уравненій выешихъ порядковъ но съ постоянными коеффпціентамн.
Вообще эти уравненія имѣютъ такой впдъ
<Іх~ ’
гдѣ Лг, Л2.....Л„ суть постоянныя величины, а V нѣкоторая функція х. Будемъ
интегрировать сначала соотвѣтствующее уравненіе безъ послѣдняго члена, т. е. уравненіе
положимъ здѣсь
мх
тогда
п ѴіХ — т- е
поэтому данное уравненіе обращается въ
в#”[»п', + Л»»’М + Лгт
-Ь Л„_і т Ч- Л„] = о
очевидно, что у = епх удовлетворитъ данному уравненію, если т будетъ одпнъ пзъ корней уравненія
Л | 4 Л п—1 , 4 Л п
т -г А іп + А 2 ш
Л„_1т + Л,, = о
пбо тогда этотъ корень обратитъ втораго изъ множителей въ нуль.
Но послѣднее уравненіе есть относптельно т уравненіе и'01"’ степени п должно имѣть п корней. Пусть этп корнп будутъ
яіх, т2, т3............т„
тогда
^ = <3
'«л
тис □
будутъ частные интегралы даннаго уравненія и полный интегралъ будетъ
еслп характерпстическое уравненіе (1), которое означимъ чрезъ /’(ж) = о, будетъ пмѣть мнимые корни, то этп корни должны быть по парно сопряженные. Посмотримъ какую форму принимаетъ въ этомъ случаѣ общій пнтегралъ. Пусть корнп інх п т2 будутъ мнимые сопряженные, именно тѵ = а-|- т.і = а>—Ъі, тогда
(а+Ы)х
С, е -г <А е
3
(а+Ь»)а; (а-Ы)х ах Ых -Ъі х 4^ С, б —б (С^б 4- С<>б
аж . . ,
= б [С1 (соз Ъх 4- і зщ Ъх~) -г С2 (соз Ъх — і зіп лг))
аж
= с [( Сг 4* С2) соз Ъх 4- і (С2 — С2) зіп і.-г]
пусть С2 4- С, = р. соз ѵ
і (С2 — С2) ~ — р. зіп ѵ
тогда
(«+&») ж п (а~Ъі)х - ах
С\ б 4" С2е = е іл соз [Ъх 4- ѵ)
п общій пнтегралъ принимаетъ форму аж яіэж ,т х
у — о. е - соз (Ъх 4- ѵ) 4- Сэ е 4- • • • 4“ С„ е
гдѣ постоянныя р. и ѵ замѣняютъ собою прежнія постоянныя Сг п С2.
Если характеристическое уравненіе /(т) = о имѣетъ два равные корня, напр. ш1 = »п2, то интегралъ принимаетъ впдъ
г „ . П ч тіХ , П «'я® . , „ тПХ
у — ( С2 "7“ Со) б 4- С2 с “Iй" • * * • —р" С,, б
п такъ какъ сумма Сг 4- С2 должна быть принимаема за одну постоянную, то этотъ пнтегралъ уравненія п10 порядка содержитъ только п—I постоянныхъ и потому не можетъ считаться общимъ интеграломъ даннаго уравненія, но общность этого интеграла легко возстановить.
Пусть
тогда данное уравненіе имѣетъ впдъ
тх
принимая у = е . мы пмѣемъ тождественно
тх
Будемъ дифференцировать это уравненіе но т, тогда
С^)
«іж
е
но такъ какъ т п х между собою независимы, то
тх
такъ какъ у — е , то
ау тх
~ = хе , слѣдовательно по ур. (2)
сіт
тх тх тх
Ф(х& ) = х е і (ж) Н- е р (ж)
но еслп т1 есть равный корень уравненія /'(т), то не только = но и р(т1} = о. Поэтому послѣднее даетъ
итакъ
тгѵ х е
есть частный пнтегралъ уравненія </>(у) = о, а вмѣстѣ съ тѣмъ не1* есть также частный пнтегралъ, поэтому часть общаго пнтеграла, соотвѣтствующая корнямъ тг = т2, будетъ
тлх тлх
Су е + С2 х е
Еслп бы характеристическое уравненіе /(ж) = о имѣло трп корня равныхъ ж1 = ж, = ж3, то удовлетворялись бы уравненія
Тогда имѣли бы
<р _г?2 [е Л»] сйп2 сйп-
БЛП
ф (= (*2 Iе СЛ»)] \(1т2} (Іт2
•ІП^Х
но такъ какъ
(Іт2
, то
плп
слѣдовательно кромѣ частныхъ интеграловъ
т у Сге
п «•ч-'С
у = С2 х с
данное уравненіе имѣло бы частный интегралъ
у = Со х- е
п общій пнтегралъ былъ бы
»? .ГВ
у = е ( С, 4- х Со +‘Ж2 Со) -і-
26. Неоднородныя линейныя уравненія съ постоянными коеффпціентамп могутъ быть интегрированы на основаніи тѣхъ же общихъ соображеніи какъ п уравненія съ перемѣнными коеффпціентами т. е. 1., черезъ пониженіе порядка интегрируемаго уравненія посредствомъ извѣстныхъ частныхъ интеграловъ соотвѣтствующаго однороднаго уравненія и 2., по способу измѣненія произвольныхъ постоянныхъ.
Общія соображенія перваго способа безъ дальнѣйшихъ измѣненій могутъ быть примѣнимы къ случаю уравненія съ постоянными коеффпціентамн. Прослѣдимъ такой методъ интегрированія на частномъ примѣрѣ.
Возьмемъ интегралъ уравненія
гдѣ X есть нѣкоторая функція х.
Укажемъ прежде всего частныя рѣшенія соотвѣтствующаго однороднаго уравне-нія. Принимая у~е , находимъ для уравненія
характеристическое уравненіе вида т2-\-аі = о^ которое имѣетъ мнимые корни, а потому частныя рѣшенія уравненія (а) суть
уг = соз ах и у2 — зіп ах
Пользуясь первымъ частнымъ интеграломъ, положимъ
У — У\§5 т. е. у=^й^ахІ'8
откуда
$У / Т .
ѵ = — а зіп ах / 8 Пх 4- 8 соз ах
ах у
&У о Г Т . Й8
г-» = — а* соз ах і зах — эз а.зіп ах 4- соз ах -=—
Пх2 а 1 ах
Внося это въ данное уравненіе, приведемъ его къ виду
(Тз
— 2а 5.8іи ах -т- со§ ах-.-
<м
и такъ какъ
У —
уѵ 4- У г
I 3 СІХ
гдѣ $ есть общій интегралъ предыдущаго уравненія перваго порядка, то изысканіе общаго интеграла даннаго уравненія привелось теперь къ интегрированію уравненія (Ъ), что выполняется непосредственно, и къ выполненію квадратуры ^8сіх
Общій пнтегралъ уравненія (Ь) есть
/’зт
2а / ------
7 соз ах
$ = е *
ло легко видѣть что
/ето ах --------ах соз ах
1
—г—; со8“ ах
/Віи ах , ——- ах соз ах 7
ѵ = соз2 ах
поэтому
дли
даннаго уравненія есть
но уг = 008 а#, поэтому общій пнтегралъ
у = Сі соз ах С2
зіп ах а
27, По способу измѣненія произвольныхъ постоянныхъ пнтегрпрованіе уравненія съ послѣднимъ членомъ приводится къ интегрированію уравненія подобнаго же, но безъ послѣдняго члена.
Разсмотримъ два уравненія
Предположимъ, что частныя рѣшенія послѣдняго уравненія суть
* — >
з — зп
частные пнтегралы этого втораго уравненія будутъ
2 --- (?і ,
С 2 ^2 2 ’
гдѣ С2 С2.......Сл суть произвольныя постоянныя, а слѣдовательно полный инте-
гралъ втораго уравненія будетъ
Всегда молено опредѣлить п функцій и17 и2 наго х такпмъ образомъ, чтобы сумма
ип независимаго перелѣн-
у = -4- и2 • • • • • + ия зл = 2 (« г")
удовлетворяла первому уравненію съ послѣднимъ членомъ.
Для опредѣленія п функціи иг...... ип долліно имѣть п уравненій, возникающихъ пзъ какихъ лпбо дополнительныхъ условій; примемъ за этп дополнительныя условія то что п—-I производныхъ сохраняютъ свою форму, какъ для того случая когда функціи «р г<2......и„ разсматриваются какъ постоянныя, такъ и
для того случая когда и1ь и,.....гі„ считаются функціями х. Пзъ этпхъ условій
возникнетъ п—1 уравненіе п одно уравненіе еще составится пзъ того условія, что предыдущее выраженіе у удовлетворяетъ уравненію съ послѣднимъ членомъ.
Принимая
У — 2 {из}
находпмъ
плп просто
(2)
прп условіи
Дифференцируя выралсеніе [2) еще разъ, пмѣемъ
плп просто
при дополнительномъ условіи
ігі Із
(Іх Іх
п — 1 производная отъ у будетъ
прп уеловіп
а у а %
----= Іи---------
ІХ^ (ІХ^1
(О
Дифференцируя п — 1 производную отъ у еще разъ по х, пмѣемъ
сГ'у „ ія з , іи і”-1 г
—~~ —- ъгі-----— / — —-— (о I
ІХ* (ІХ* — (^х ІХ 1
подставляя всѣ найденныя производныя (2), (3), (4)....(5) въ уравненіе съпослѣд-. нпмъ членомъ, получимъ
сТ'-18 іх~г
сіи сГ 1 іх іх
первая сумма обращается въ нуль вслѣдствіе втораго взъ уравненій (1), т. е. уравненія безъ послѣдняго члена, пбо она представляетъ результатъ подстановокъ частныхъ рѣшеній и2з2'. и383 и т. д., въ упомянутое уравненіе. Итакъ взъ предыдущаго остается уравненіе
(6)
къ этому для опредѣленія всѣхъ и въ функція х прибавляются п — 1 ній впда
уравяе-
= о;
— о •
положимъ для удобства
гдѣ Ѵі есть перемѣнное, замѣняющее собою «,•, тогда уравненія (7) н (6) прпмутъ
видъ
(9)
• 4 #л Ѵ„ ~ о
Тг„
(Тх
пзъ этпхч» уравненій опредѣлятся всѣ значенія ѵг, ѵ2..ѵ„ въ функціи х. Послѣ
этого пзъ уравненій (8) находимъ
иг — С1-\- $ѵг X Тх \ и2 — С2-\- Сѵ2ХТх\...........
= С„ 4/ ѵ„ X <Тх
слѣдовательно полный интегралъ уравненія съ послѣднимъ членомъ будетъ
у = гл (Сг 4 ѵ2 X Тх) 4 г2{ С2 4(*ѵ2 X Тх) 4........
4 (С. 4 [ ѵп X Тх)
Все то, что мы до сихъ поръ говорили, примѣняется икъ тому случаю, когда коеф-фиціенты даннаго уравненія неремѣнные, т. е. функціи ху потому что мы но дѣлали никакихъ ограниченій касательно этихъ коеффпціентовъ при выводѣ.
Если коеффпціенты уравненій (1) постоянные, то положимъ
тіХ тах іи х
яг = е , г2 = е ................^» = е
этн выразсенія будутъ частными рѣшеніями втораго изъ уравненій (1), если ті> будутъ корнями характеристическаго уравненія
т 4 -А-іт 4 Л2 т ...................т 4 = о.
Пусть въ томч> же предположеніи
тлх г?1 — ѵ1 е =
т3х
ѵ.,г, =ѵ„е = Л,
1«лЖ
Ѵ/І -----
тогда уравненія (9) примутъ впдъ
X, 4" Х2 4-................. • • — о
Хх ті 4- \ іп2 4"...............4- X т» = °
(Ю)
» 1 к *Ч ТІ—’І ,
А, т1 4~ А, т2 4-
г Аи М* 1 = 1 .
Общій пнтегралъ перваго пзъ уравненій (1) представляется въ впдѣ
«І.ГС _ Г — ®і® . ТОвГЕ , . Г -г, — ШЯ! _ „
у = е (С'14-Хх / Хе <Гх)4_в (С24-Л, уХе <&)+
(И)
ягж , - - Г —яі„®
.....-Не '* (С„+Л„ I Хе " (&)
Уравненія (10) показываютъ, что всѣ X суть постоянныя величины, а потому мы всѣ пхъ п вынесли за знаки интеграловъ. Примѣнимъ этп общія соображенія къ интегрированію уравненія втораго порядка слѣдующаго впда
въ уравненіи безъ послѣдняго члена
б а2# — о
ПОЛОЖИМЪ
тх у — е.
тогда характеристическое уравненіе будетъ
«г2 4~ — б а2 = о
корнп его суть: = га; т2 =— 3а, такъ какъ въ нашемъ случаѣ п = 2, то уравненій служащихъ для опредѣленія X, составленныхъ по формѣ (10) будетъ два, именно
X! -г А, — о гаХх — заХ2 = 1
откуда
а потому общій пнтегралъ, составленный по формѣ (11), будетъ
бъ выраженіи / гссІѵ=-г(ѵ— / ѵсТи^ полагая
находпмъ
сіх
поэтому
откуда
подобнымъ же образомъ
слѣдовательно
илп
Какъ другой примѣръ интегрированія уравненія съ постоянными коеффпціен-тамн, разсмотримъ вычисленіе опредѣленнаго интеграла вида
со
сіі
о
интегрированіе должно быть произведено по перемѣнному і, а потому дифференцированіе по х можетъ быть выполнено подъ знакомъ интеграла. Итакъ
Если помножимъ начальное выраженіе на — к2 п сложимъ со второй производной,
то легко найдемъ
Въ главѣ объ опредѣленныхъ интегралахъ мы нашли со
/~рз: зіп ТХ (. т\
в * ------(Іх = агс ! [с = —
х \ р)
о
Такъ какъ это справедливо для всякаго р, то полагая здѣсь р — о, пмѣемъ
/8ІП тх , , 1і
-----ах — агс (Ія = со) = — х----4 ' 2
о
Слѣдовательно для вычисленія даннаго опредѣленнаго интеграла, или для опредѣленія у мы должны будемъ интегрировать дифференціальное уравненіе
Уравненіе безъ послѣдняго тлена есть
тх пусть у = е , тогда характеристическое уравненіе будетъ
“>П~ — к2 — о откуда
«ц = 4- к; т2 = — к
Слѣдовательно уравненія служащія для опредѣленія X будутъ
Х| 4” Х9 о н —— 1
поэтому
\ = Х, = -і 2/6 2/6
Кромѣ того Х =поэтому общее выраженіе (11) въ примѣненіи къ раземат-
рпваемому частному случаю даетъ
пли
опредѣлимъ постоянныя
ченія х функція у п ея
Сг п О, подъ тѣмъ условіемъ, что для даннаго зна-производная -у- принимаютъ опредѣленныя значенія.
Въ нашемъ случаѣ прп х — о данное выраженіе
о о
обращаются въ
слѣдовательно прпнпмая въ найденномъ интегралѣ и его производной х — о, на-юдпмъ
откуда
Поэтому искомый интегралъ есть
VII.
Интегрированіе уравненій со многими перемѣнными.
28. Мы знаемъ, что еслп р и въ выраженіи
сіз = р сіхд (Іу (1)
суть функціи двухъ только независимыхъ перемѣнныхъ х и у и если кромѣ того функціи р и <7 удовлетворяютъ условію
Пр___сід
сіу сіх а
то г пзъ уравненія (1) опредѣляется посредствомъ двухъ квадратуръ.
Посмотримъ теперь какъ н при какпхъ условіяхъ можетъ быть изъ уравненій (1) найдена функція г, если р и д кромѣ х и у будутъ содержать въ себѣ и функцію г.
Простѣйшій случай прн рѣпіеніп этой задачи очевидно будетъ имѣть мѣсто тогда, когда въ функціяхъ р н д перемѣнныя будутъ раздѣлены, когда р и д будутъ имѣть видъ
д=2$
гдѣ 2 будетъ функціею одного только перемѣннаго я, а Р и @ предполагаются функціями х и у. Тогда уравненіе (1) принимаетъ впдъ
к интегрируется, если Р и <2 удовлетворяютъ условію
сІР__ (Щ_ сіу СІХ
Разсмотримъ теперь общій случай. Если имѣемъ уравненіе
Р(ж, у, г, с) = о
гдѣ с есть постоянная величина, то дифференцируя это уравненіе, получпмъ
уравненіе лпнейное относительно (Іх, (Іу, (Іг. Если въ коеффиціенты при диффе-ПР ПР ПР
ренціалахъ ах, сіу, аз, т. е. въ -г~, -5—, внесемъ вмѣсто с ея величину, &&
взятую изъ начальнаго уравненія, то уравненіе сохранитъ линейную форму относительно дифференціаловъ н будетъ имѣтіі видъ
Р сіх + ф сіу + Р (Іг = о
(3)
гдѣ Р, ф, Л будутъ функціями перемѣнныхъ ж, у, з.
Начальное уравненіе 3? (ж, у, зу с) — о называется полнымъ пнтеграломъ уравненія (3). Понятно поэтому, что полный пнтегралъ уравненія (3) представляетъ нѣкоторую поверхность.
Полный пнтегралъ уравненія (3) далеко не всегда можетъ быть найденъ. Посмотримъ прежде всего, прн какпхъ условіяхъ можно получить полный пнтегралъ уравненія съ тремя дифференціалами.
Предположимъ, что данное уравненіе (3) съ тремя дифференціалами происходитъ отъ начальнаго
3?(ж, ?/, «, с) = о.
Опредѣляя пзъ уравненія (3) дифференціалъ (Із^ имѣемъ
Но еслп данное уравненіе пмѣетъ полный пнтегралъ, то этотъ послѣдній представляетъ собою нѣкоторую* поверхность п изъ уравненія этой поверхности з можетъ быть опредѣлена какъ функція перемѣнныхъ ж п у. Еслп же з есть функція перемѣнныхъ х п у, то сй, какъ извѣстно, выражается въ впдѣ
(4)
Это выраженіе п предыдущее должны быть тождественны,
что будетъ имѣть мѣсто
прп
Такъ какъ выраженіе (4) есть полный дифференціалъ, то теперь заключаемъ, что для того чтобы данное уравненіе имѣло полный пнтегралъ необходимо, чтобы удовлетворялось условіе полнаго дифференціала, представляющееся теперь очевидно въ формѣ
(6)
Помня, что Р, В суть функціи ж, у, з и что з разсматривается какъ функція двухъ независимыхъ перемѣнныхъ х п у, пмѣемъ, выполняя дифференцированіе
\1і/ \Л/ аз______ \Л/ аз
Ну сіз Ну сіх ’ сіз Нх
гдѣ въ первыхъ членахъ той и другой части пропзводиыя берутся относительно у л • р ’ <2
л. ж, входящихъ въ функціи -іу п явио, а не въ завпспмости отъ з.
Выполняя въ послѣднемъ уравненіи показанныя дифференцированія, находпмъ
„аР а$ пйК\(І2
^Оу Оу^К й0 &)с1у~ (1х * ах^\ й0 Ѵ а.г) ах
но такъ какъ по предположенію
_____ Р а# () ах в ’ ау в
то предыдущее принимаетъ впдъ
^ар ав /^ар -рШі\_ а$ ?{ъ&Я
ау ау в \ а# а?) ах ах в \ а^ а#) откуда
^^<2 ав\ , Л /ав ав\ г -/ар а$\
Р{-^—^-+$(~--------------?~+Мл----------гЧ~° СО
\а^ ау/ \ах аг / \ау ах) ѵ '
Эта зависимость выведена изъ уравненій (5), обусловливающихъ существованіе полнаго пнтеграла даннаго уравненія (3), слѣдовательяо тождество (7) выражаетъ условіе, необходимое для того, чтобы уравненіе съ тремя дифференціалами пмѣло полный интегралъ. -Это тождество называется условіемъ Эйлера.
Еслп же условіе (6) не выполняется для даннаго уравненія, то пнтегралъ такого уравненія не можетъ быть представленъ однимъ соотношеніемъ между перемѣнными хь у, в., содержащими кромѣ того постоянную с.
Если для даннаго дифференціальнаго уравненія предыдущее условіе выполняется, то интегрированіе его можно основать на слѣдующихъ соображеніяхъ. Сначала одно пзъ перемѣнныхъ, напр. будемъ разсматривать какъ постоянную величину, тогда а» = о и уравненіе
Р ах + ф ау в аг = о
принпмаетъ впдъ
р ах + $ ау = о
Это уравненіе съ двумя перемѣнными, пбо 0 входящее въ Р и <2 разсматривается какъ постоянная величина. Предположимъ, что по введеніи интегрирующаго множителя и. это уравненіе становятся точнымъ дифференціаломъ. Тогда
р. (Рйя + <? йу) = &Ѵ=
(А)
интегралъ его будетъ
гдѣ /'(0) есть произвольная функція 0, замѣняющая собою произвольную постоянную. Мы принимали 0 за постоянную п эта функція прп дифференцированіи исчезаетъ. Теперь остается опредѣлить эту функцію ?(0) такъ, чтобы К—/(0) = о было полнымъ интеграломъ даннаго уравненія. Дифференцируя разность V—/(0)
по всъмъ тремъ перемѣннымъ, мы имѣемъ
л это должно быть равно первой части даннаго уравненія, умноженной на интегрирующаго множителя р.. Итакъ должно быть
сІ2 — р. (-Р (Іх 4- <9 “г В
но мы видѣли, что
(IV (ІХ
Слѣдовательно остается пзъ предыдущаго
а 2
первая часть есть функція одного 2, Интегрируя это, находпмъ
(8)
Прн такомъ значеніп /{г) уравненіе
У—/’(г) = о
представитъ пнтегралъ даннаго уравненія.
Если вторая часть уравненія (8) есть функція одного перемѣннаго г, то интегрированіе возможно. Такпмъ образомъ это условіе можно считать замѣняющимъ собою условіе (7). Чтобы убѣдиться въ этомъ аналитически, разовьемъ условіе, что
(IV р
есть функція одного 2 и посмотримъ къ чему приводится это условіе. Чтобы эта функція была функціей одного 2 необходимо, чтобы
(9)
но изъ уравненія (А) имѣемъ
сіх
слѣдовательно отсюда находимъ
Поэтому условія (9) можно представить
(І2 СІТ ‘
Сѵм
Кромѣ того пзъ уравненія (А)
въ
впдѣ
видно, что
сЦрР) й(р0
сія СІІ/
по условію точнаго
сШ р -5- == О
дифференціала
СІХ ’
Развивая вполнѣ это уравненіе ГйР
[сІВ
.. Г^_
сіу СІХ
н два предыдущія, находимъ
^"1 рс7р
~Г " г + ' ч, и
(.Іх 2 ау ах
। т? т> л
ф (7р.
складывая, находимъ
Умножая послѣдовательно этп уравненія на В, <2 п Р п уравненіе (7). Итакъ, если данное дифференціальное уравненіе имѣетъ полный пнтегралъ, представляемый однимъ соотношеніемъ между перемѣннымп, то условіе, прп которомъ возможно опредѣленіе /(е), выполняется.
Пояснимъ этп общія соображенія на частныхъ примѣрахъ.
Будемъ интегрировать уравненіе
о
примемъ за постоянную ж, тогда сіх —о и остальное даетъ .,2
Раздѣливъ
тель ~2,
все на у2, плп, что все равно, помноживъ на интегрирующій множп-раздѣлпмъ перемѣнныя п приведемъ это уравненіе къ виду
интегралъ
этого уравненія будетъ
Дифференцируя это вполнѣ, имѣемъ
плп
(а)
— — Л /“(ж)
^/{^)4
Л8
Такъ какъ мы ввели интегрирующаго множителя , то вводя этого множителя въ данное уравненіе, пмѣемъ
(Ь)
у сіх — хЛу
Сравнивая теперь для опредѣленія ((х) уравненія (а) и (Ь), находимъ Л / (х) = о
слѣдовательно і(х) = С, а потому искомый пнтегралъ есть
= С
У
Возьмемъ еще уравненіе
(у1 4* У2} $х 4- 4- я2) $У 4- (у2 — ху) Лг = о
Примемъ в за постоянную, тогда Лг = о и остальное даетъ
(У2 4- Уг) 4“ ^хз + ^2) $У — °
илп
У (.У + #) $х -г я (х + г) Лу = о
еслп умножимъ это на
лучимъ
1
У Су + 4- ’
то перемѣнныя раздѣлятся и мы ио-
Лх , зЛу (х + з) ' у Іу ~і~ я)
Слѣдовательно въ разсматриваемомъ случаѣ множитель.
есть
интегрирующій
Разлагая дробь
имѣемъ
откуда легко находпмъ
Слѣдовательно разсматриваемое теперь уравненіе представляется въ впдѣ
или
плп
Это уравненіе соотвѣтствуетъ въ общей теоріи уравненію Г — /О) = о слѣдовательно въ нашемъ случаѣ
У т г Поэтому по уравненію (8) пмѣемъ для опредѣленія
1 м такъ какъ Р- —-— -------~—;> то все это приводится къ
У {У 4~ #) “г #)
ГО) - С
плп къ
итакъ пнтегралъ даннаго уравненія будетъ
У(^-г-^_с у 4- г
Еслп данное уравненіе
-Р дх 4- <2 ду 4- 7? де — о
однородно относптельно а?, у п еу то интегрированіе его можетъ быть упрощено. Пусть въ этомъ случаѣ
х = иеу
у = ѵг
означпмъ чрезъ Рх, 7?г тѣ функціи, въ которыя обращаются Р, $ и В по вставкѣ въ нпхъ вмѣсто х п ѵе вмѣсто у; тогда данное уравненіе получаетъ -ВПДЪ
Рх (и де 4- дгі) 4- <?! (ѵ де 4- я дѵ) і- Вг де = о
плн
(1\ и + ѵ + -^і)Нз + (•?! $и + ^у) 2 = о
откуда
(Ю)
сіз Рг Ни + <2і з Р-^и 4- <2іѵ 4-
Первая часть этого уравненія есть точный дифференціалъ, слѣдовательно л вторая часть должна быть точнымъ дифференціаломъ, еслп только данное уравненіе имѣетъ полный пнтегралъ, представляемый однимъ соотношеніемъ перемѣнныхъ, плп еслп удовлетворяется для него условіе (7). Когда интегрированіе будетъ выполнено, то останется только вмѣсто и п ѵ поставить пхъ значенія по х п у, Будемъ на осно-ваніп этпхъ общихъ соображеній интегрировать уравненіе
(У + У3 + ^2) 4" Сг'2 4~ + •?2) &у + (ж2 + %У + У2) = °
въ этомъ случаѣ
р=у2 -|- уз 4- я2; <2 ~ 4- #2); Р. ~ х2хуу2
принимая х — из и у=ѵз, пмѣемъ
Р}—з2 (у24"У“Н)і <2і = {и2 4- и 4- 1)з2; Рг2 = з2 (и2иѵ + ѵ2) слѣдовательно уравненіе (10) въ этомъ случаѣ принимаетъ впдъ
Нз____ (у2 4~ ѵ 4~ 'і)^« 4- (и2 4- и 4- ‘1) Нѵ
з (« 4- о -|~ 1) (и 4- иѵ 4- у)
плп
сіз (у2 4- ѵ 4- ‘і) Пи (и2 4- « + 'I) Нѵ
з ~~ (« 4- » 4~ 1) (« + иѵ 4- у) (« 4- ѵ 4“ 1) (и 4- иѵ 4“ у)
пусть
(и 4- « 4- 'I) (и “Ь «ѵ 4“ и 4- ѵ 4- '1 . и 4" му + ѵ тогда
Р— / 1 — 'І + Р
/ и 4- ѵ 4- 'I ѵ >4- ѵ 4- і
— ѵ и —----
I + V
слѣдовательно
1 ____________ — 1 1 4- у
{и 4- ѵ 4-1) (г$ 4*иѵ + у) (у2 4_ у 4-1) (« 4- у 4" 1) (у2 4- у 4- 'I) (^ + «у 4- у)
точно также для второй дробп, разсматривая какъ перемѣнное -у, найдемъ
__________________1___________________ С Р (и -|- ѵ 4 1) (и 4 иѵ 40)________________________________________________(г? 4 и 4 1) ’ и 4 «г 4 ѵ
гдѣ
слѣдовательно
сіг__ (Іи ('І4г»)с?« ( сіѵ
г и-^-ѵ 1 и 4 иѵ 4~ ѵ ' и 4 ѵ 4 1 и гіѵ 4 ѵ
плп
(Іг___ (Іи + сіѵ (1 4 ѵ) (Іи 4 (1 4 и) (Іѵ
г и 4 ѵ 4 1 ѵ 4 иѵ -р у
откуда
плп
к>§ з = 1о§ (и 4 ѵ 4 1) — 1о§ (и -р иѵ + 4- І°ё
или наконецъ пнтегралъ даннаго уравненія представляется въ впдѣ
хі/ 4- у2 -\тЗХ_ х 4 у ч~ г
Приведемъ еще одинъ примѣръ интегрированія, уравненія съ тремя перемѣнными. Будемъ пнтегрпровать уравненіе
(ж2 — у1 4 2г') сіх — г1 сіу 2 (у — х)сІё -|---(уг — х2) сіз == о
мы останавливаемся на этомъ частномъ случаѣ въ впду того, что интегрированіе .представляетъ нѣкоторыя поучительныя особенности.
Это уравненіе однородное. По означенію общей теоріи въ немъ
примемъ
х = из :
у = ѵз
тогда
Рг (г? — ѵ2 4- 1) 22; = — г2; — 22 (у — и) 4-и (V — «а)
имѣя это, мы можемъ составить форм>т (10), но оказывается, что въ этомъ частномъ случаѣ
Р^ и 4- фу Ѵ 4- Рг = о
слѣдовательно остается
Рг Ли 4- <3Х Лѵ = о
что въ нашемъ случаѣ принимаетъ видъ
(г?2 — ѵ2 і) Ли — Лѵ = о
Легко впдѣть, что частное рѣшеніе этого уравненія есть и = ѵ, т. е. у=х. Но вообще пріемъ интегрированія уравненіи однородныхъ здѣсь не примѣнимъ.
Посмотримъ прежде всего, происходитъ ли данное уравненіе отъ одного начальнаго.
•ЛО ЛИ ъх
= — 22 ; = г -і----у
Лг Лу &
слѣдовательно
ЛО ЛИ 2 ѵ
-у-----— — — 32 — -у
Лі Лу 2
далѣе
ЛИ .у2 — з«2 ЛР
~ 2 4-----------; — 22
ЛХ 2 Л2
итакъ ЛН ЛР________________________________ , у2 ух2
Лх Лх 2 2
наконецъ ЛР ЛО
Лу Лх
а потому уеловіе (7) выполняется и данное уравненіе имѣетъ полный пнтегралъ, представляемый однимъ соотношеніемъ перемѣнныхъ.
Примемъ 2 за постоянную. Тогда Л2 = ь и остальное уравненіе
— у2 4- г2} Лх — 22 Лу = о
удовлетворяется частнымъ рѣшеніемъ у=-х. Но чтобы нантп общій интегралъ этого выраженія, введемъ вмѣсто у новое перемѣнное г/, подъ условіемъ
откуда
5^2 0 7*^^ 2^
сіу = сіх — \сІи; у- = х2 + ~^- 4-
* и и и
внося это вмѣсто &у и у2 въ предыдущее уравненіе,- легко приводимъ его къ виду
сіи гх
-----.. и — -|
СІХ 3“
такъ какъ з прп этомъ интегрированіи принимается за постоянную величину, то относптельно и это есть линейное уравненіе и можетъ быть интегрировано по формулѣ (4) стр. 632, въ которой теиерь слѣдуетъ. принять
2=-™, <2=1
з-
п вмѣсто постоянной С поставить /(г). Такимъ образомъ получимъ
откуда
илп вводя вмѣсто и его значеніе, находпмъ
(В)
Теиерь для опредѣленія мы должны дифференцировать вполнѣ это выраженіе и сравнить найденный дифференціалъ съ даннымъ дифференціальнымъ уравненіемъ. Дифференцируя вполнѣ предыдущій интегралъ, находпмъ
выполняя входящій сюда пнтегралъ по частямъ, пмѣемъ (я прп этомъ интегрированіи по х должна разсматриваться пакъ постоянная величина):
внося
во вторую часть вмѣсто / е (Іх его
величину пзъ уравненія (В), пмѣемъ
Внося это въ уравненіе (С), находимъ
плп
— /(я) СІ2
а
илп наконецъ
Сѵ — *)2
*<УО) ~~ Т (Ь &
Сумма, заключающаяся въ скобкахъ, обращается въ нуль вслѣдствіе даннаго уравненія, а потому должна быть опредѣлена пзъ условія
откуда
г $ К2) — Г(.2) — о
(I /"(л ) _(/$
/(г) ~ г
пли
№ = 0,
гдѣ С есть произвольная постоянная, введенная интегрированіемъ. Такпмъ образомъ уравненіе (В) представленное въ видѣ
есть общій пнтегралъ даннаго дифференціальнаго уравненія..
Эйлеръ дѣлаетъ справедливое возраженіе противъ этой формы интеграла. Онъ говоритъ, что постоянная, прибавляемая къ неопредѣленному интегралу первой частп, можетъ быть функціей г, пбо эта перемѣнная прн интегрированіи по х разсматривается какъ постоянная. Ио это возраженіе можно устранить, введя новое перемѣнное. Въ самомъ дѣлѣ, раздѣливъ все выраженіе на г, положимъ
тогда найденный пнтегралъ преобразуется въ
остающійся для выполненія пнтегралъ завпептъ теперь только отъ одной перемѣнной п къ нему по интегрированіи придется придать дѣйствительно произвольную постоянную величину, а не произвольную функцію-
29. Если для даннаго уравненія
РИх -г ф сіу В & = о
не удовлетворяется условіе Эйлера, то это уравненіе не можетъ считаться происходящимъ отъ одного начальнаго соотношенія между перемѣнными, и тогда нѣтъ такой геометрической поверхности, извѣстныя свойства которой представлялись бы даннымъ дифференціальнымъ уравненіемъ, но въ такомъ случаѣ данное уравненіе можетъ выражать свойства кривой линіи, и тогда оно можетъ удовлетворяться не однпмъ, а двумя уравненіями. Мы знаемъ, что всякая крпвая двоякой крпвпзны представляется пересѣченіемъ двухъ поверхностей, а потому за уравненіе такой лпніп надо считать два уравненія, представляющія двѣ пересѣкающіяся поверхностп. Пусть этн двѣ пересѣкающіяся поверхностп представляются уравненіями
І(х, у, з) = о п 1? (я, у, З’) = о
Координаты, удовлетворяющія этпмъ уравненіямъ, будутъ принадлежать точкамъ пересѣченія этпхъ поверхностей.
Чтобы интегрировать уравненіе Р(Іх + ф ііу 4- 2? йя = о въ томъ случаѣ, когда для него не удовлетворяется условіе (7), мы выберемъ одну пзъ поверхностей (пересѣкающихся) произвольно, а другую поверхность будемъ искать подъ тѣмъ условіемъ, чтобы ея уравненіе я уравненіе произвольно взятой поверхности въ сово-
геометромъ Монжемъ. Первоначально жо пріемъ интегрированія уравненіи не удовлетворяющихъ условію (7) указанъ Ньютономъ. Мы уже сказали въ чемъ состоитъ этотъ способъ; по способу Ньютона напередъ взбирается произвольная функція ж, у, .г н посредствомъ ея исключается одно пзъ перемѣнныхъ п его дифференціалъ пзъ даннаго уравненія. Чтобы пояснить на частномъ примѣрѣ способъ Ньютона, будемъ пнтегрпровать уравненіе
предположимъ, что оно представляетъ рядъ линій извѣстнымъ образомъ проведенныхъ на поверхностп трехоснаго эллипсоида. Это предположеніе соотвѣтствуетъ выбору произвольной функціи впда
откуда
(О
чтобы найти еще дифференціалъ Фз, будемъ дифференцировать произвольно избранную функцію п тогда получимъ
исключая весь радикалъ изъ (с) посредствомъ имѣемъ х (Іх -4- у Фу -|- з Фг = о
исключая отсюда яФв посредствомъ пмѣемъ
пнтегралъ этого уравненія есть
уравненіе цплппдра. Итакі» интеграломъ даннаго уравненія служатъ уравненіе элпп-сопда и уравненіе цилиндра, а кривая, представляемая даннымъ дифференціальнымъ уравненіемъ, есть пересѣченіе этпхъ двухъ поверхностей.
Для интегрированія уравненія
примемъ = тогда остальное ио интегрированіи даетъ
(Ь) да2 + у2 = 9 О)
Принимая во вниманіе общее уравненіе
мы видимъ, что въ нашемъ случаѣ
а у
поэтому для разсматриваемаго случая предыдущее уравненіе принимаетъ впдъ
да
это уравненіе вмѣстѣ съ уравненіемъ (11) представляетъ пнтегралъ даннаго уравненія для всякой произвольной функціи <р (г). Посмотримъ, какой впдъ пмѣетъ эта функція, еслп разсматриваемая кривая проводится по поверхностп трехоснаго эллипсоида, уравненіе котораго есть
а2
Для опредѣленія 9 (г) исключимъ ж п у пзъ уравненія (к) посредствомъ этого. Въ результатѣ исключенія получимъ
(?ф (2Г)
25
откуда
9 (я) = — я3 4- С
а потому уравненіе (]і) принимаетъ впдъ
ж2 4- у2 4- г2 = С
О)
эта поверхность, пересѣкаясь съ эллипсоидомъ, даетъ искомыя кривыя лпніп.
Это рѣшеніе тождественно съ тѣмъ, которое представляется уравненіямп
Въ самомъ дѣлѣ, умноживъ первое пхъ этпхъ уравненій на с2 п складывая со вторымъ, найдемъ уравненіе
х2
г у2 4- г2 — с2 4- О
тождественное съ уравненіемъ (I).
30. Прослѣдимъ теперь способъ интегрированія уравненій со многими перемѣнными. Предположимъ, что начальное уравненіе представляетъ зависимость между функціей 8 п независимыми перемѣнными жг, жй, ж3,.........ж,„ такъ что въ него .
входятъ п 1 перемѣнныхъ; полный дифференціалъ искомой функціи есть
(А)
пусть
гдѣ Хр Х2......Хп суть извѣстныя функція всѣхъ «4* 1 перемѣнныхъ.
Посмотримъ прежде всего, въ чемъ состоптъ условіе того, что данное уравненіе происходятъ отъ одного начальнаго п есть точный дифференціалъ. Разсмотримъ какія нлбудь двѣ производныя
дифференцируя первую по хг, а вторую по пмѣемъ
(Рг___________(IX,. ( (?ХГ (Та
сСхг ііх* <Тхг ' (І2 (ІХ,
(Ре - сІХ; ( ^Хѵ де
сіх3 (Іх,- ~~ (Іх,- "Г сГ# (Тхт
•такъ какъ этп два выраженія должны быть тождественны, то условіе полнаго дифференціала представится въ видѣ
. (ѴХГ , (IX,- (І2 (1ХЛ ( сіе
' (ІХ* ~Г (І2 (ІХ* (ІХ,- Т (І2 (ІХ,-
такихъ условныхъ уравненій получптся очевидно столько, сколько можно сдѣлать -сочетаній пзъ п перемѣнныхъ по двѣ. Число этпхъ сочетаній, какъ мы знаемъ, есть —ь---------, Таково число условія, которымъ должны удовлетворять коеффи-
1.2
ціенты даннаго уравненія для того, чтобы данное уравненіе представляло точный дифференціалъ.
Еслп эти условія для даннаго уравненія удовлетворяются, то интегрированіе можетъ быть выполнено на основанія слѣдующихъ соображеній.
Предположимъ, что извѣстно соотношеніе между перемѣнными г, жі, х2.....хг,
соотношеніе содержащее постоянную а. Пусть это уравненіе удовлетворяетъ первымъ г изъ уравненій
О)
Въ это уравненіе могутъ входить остальныя неремѣнныя хг±и х,-^.........хп, но
они разсматриваются какъ постоянныя величины. Предположимъ, что общій пнтегралъ уравненія (А) есть
/{г, х1, х2....хг, х,±г.....%>>• С) = о
Примемъ х за постоянную и йіг = о, тогда остальное уравненіе есть х (Іу + У = о
1
Чтобы раздѣлить перемѣнныя, мы помножимъ это уравненіе на —, такпмъ ооразомъ въ этомъ случаѣ а = -,-; послѣ этого послѣднее уравненіе пнтегрир,\ется л пнтегралъ его есть
х 1о^ у -т- 2 = С
дгобы это было интеграломъ даннаго уравненія, мы должны считать С за функцію х. Такпмъ образомъ интегралъ даннаго уравненія будетъ
х у 4- з = ср (х) (а)
гдѣ <? (я) есть совершенно произвольная функція.
Такъ какъ мы принимаемъ йя=о, то въ нашемъ случаѣ уравненіе (12) измѣнится въ слѣдующее
сіа (ж ) сІЛ
сіх сіх
въ нашемъ случаѣ
слѣдовательно для нашего случая послѣднее уравненіе обращается въ
(я) _ у Іоб У — *
СІХ у 1
это уравненіе вмѣстѣ еъ уравненіемъ (а) представляетъ пнтегралъ даннаго уравненія. Чтобы убѣдиться въ этомъ, стоитъ только исключить произвольную функцію между уравненіями (а) л (Ь) п тогда въ результатѣ исключенія получается данное дифференціальное уравненіе. Для этого исключенія будемъ вполнѣ дифференцировать уравненіе (а) п тогда найдемъ
іой ухіх х^ И- сіе = йф (я)
а пзъ уравненія (Ь) пмѣемъ
сравнивая это, получаемъ х «У “И У г сіх = о
т. е. данное уравненіе.
Этотъ пріемъ интегрированія подобный тому, который мы употребляли для интегрированія уравненія удовлетворяющаго, условію (7), предложенъ французскимъ
тѣ
примемъ въ немъ всѣ перемѣнныя, начиная съ а,-4-1, за постоянныя и представимъ его въ впдѣ ......ж,., а) —о, гдѣ а есть постоянная величина, п величины ж^і,....................хп-> принимаемыя теперь за постоянныя, могутъ заключаться въ а.
Итакъ соотношеніе, о которомъ говорили, будетъ
/"С®!, ®2.......®.-, а) ~ о
Опредѣлимъ а какъ функцію подъ тѣмъ условіемъ, чтобы это уравненіе удовлетворяло не только г первымъ изъ уравненій (1), но и уравненію (г-|-1)-му.
Замѣтимъ, что пропзводная отъ уравненія (2) по одному изъ перемѣнныхъ въ него входящихъ, напр. по ®л), гдѣ < г, есть
й/* й/* йз
йж„, сія СІХт
Если (2) удовлетворяетъ первымъ г уравненіямъ (1), то предыдущее уравненіе удовле-
• йя
творится тождественно, какъ скоро внесемъ въ него вмѣсто -=— величину Хт пзъ й®„,
даннаго уравненія и псключпмъ г посредствомъ уравненія (2); птакъ должно быть тождественно
ЙЖЛ|
Мы требуемъ, чтобы въ предположеніи, что а есть функція уравненіе (2 удовлетворяло (г-{- 1)-му уравненію. Поэтому еслп въ производную отъ (2) взятую по ®г.р, т. е. въ уравненіе
й/7 й/" сія ! с?/1 йа
(ІХг+і йя йж,.+і "И йа йжг.
(3)
внесемъ вмѣсто —----- величину изъ даннаго уравненія п я пзъ уравненія (2),
то это уравненіе должно удовлетвориться, но мы сейчасъ увидимъ, что послѣ такого внесенія это уравненіе сдѣлается функціей только а п и пзъ него опредѣлится а въ функціи Произвольная постоянная, введенная этпмъ интегрированіемъ, можетъ быть разсматриваема какъ функція хг^ хг^..........®л-
Легко доказать, что послѣ упомянутыхъ внесеній уравненіе (3) не будетъ содержать другихъ перемѣнныхъ кромѣ и а. Чтобы показать это, опредѣлимъ изъ • йа
уравненія (3) производную -у---,
Іѵ«Л< I* <-Г»1 по какой либо перемѣнной, напр.
йа и еслп докажемъ, что производная отъ -=---взятая
по ®ЛІ, будетъ равна нулю, т. е. еслп
то теорема, о которой мы говорили, будетъ доказана.
7'70
купностн представляли интегралъ даннаго уравненія, что очевидно будетъ пмѣть мЬсто въ толъ случаѣ, когда двѣ перелѣнпыя опредѣленныя изъ этихъ уравненіи, будучи внесены въ начальное, обратятъ его въ тождество.
Предположимъ, что произвольно выбрана поверхность
ф (х, у. г) — о
откуда
* — Г(я.у)
слѣдовательно
Т 1 & т
СІЗ — ~ (Іх -г СІу сіх сіу
этп величины е п (Г* подставпмъ въ данное уравненіе Рсіх 4- $ сіу -ф- И сіе — о, тогда получится уравненіе перваго порядка съ двумя перемѣнными х п у\ общііі интегралъ этого новаго уравненія будетъ Р(х^у, С) — о, п мы можемъ сказать, что уравненія е^=^(х,у) и Р(х,у,С) — о представляютъ пнтегралъ даннаго уравненія.
Птакъ, произвольно выбпрая зависимость между тремя перемѣнными х, у, е, мы интегрируемъ данпое уравненіе. Это интегрированіе посредствомъ произвольной функція можно представить себѣ еще такимъ образомъ.
Допустимъ, что
1?(х,у, г) = С
есть пнтегралъ даннаго уравненія въ томъ предположеніи, что е есть постоянная величина, плп что сіе = о, т. е. есть интегралъ уравненія
Р сіх + <3 сіу = о
тогда пнтегралъ даннаго уравненія будетъ
(11) (ж, у, е) = ф (г)
гдѣ о (г) есть совершенію произвольная функція; по координаты х, у должны удовлетворять условію (8) илп, что все равно, условію
(12) =
сіе с(е ‘
гдѣ р. есть интегрирующій множитель для уравненія Р сіх $ сіу = о. Уравненія (11) и (12) должны считаться за пнтегралъ даннаго уравненія при совершенно произвольной функціи о(г).
Предпололсимъ, что требуется интегрировать уравненіе
г сіх 4- х сіу у сіе — о
очевидно, что для него условіе (7) не удовлетворяется.
Изъ уравненія (3) опредѣляемъ производную —------ въ видѣ
ІІ'І.
Г’Т~
п отсюда выводимъ
й2а
Предполагая, что данное уравненіе происходитъ отъ одного начальнаго л что извѣстныя условія для него удовлетворяются, мы допустимъ, что это начальное имѣетъ видъ
/*СЛ'ц ,”**•’ Л», 2^ 0} —О
гдѣ С есть дѣйствительно постоянная величина. Пзъ этого уравненія выводимъ
плп
а потому* пзъ предыдущаго уравненія заключаемъ, что если будетъ существовать уравненіе
сГ-а.
(Іх,» сіх,±і
обратится въ нуль,
(С)
(і{ Г бГѴ , СІ2Г • (іг ! (І2_ х
(Іі (іх,^ (Іхт ' (іхг^ (іг (іх,п Т йг сІхт г+1 ‘ (Іх„,
1 сіг (іхт ’ (Іг (Іг (іхт.
но мы видѣли, что уравненіе
должно удовлетворяться тождественно, а потому дифференцируя это по имѣемъ
(1^____(іг_
(іх,„ (Іг (Іх,.^
(ІИ (ІХи1 (іг
(ІХ„, (Іг (Іг (Іх,-+-\
помня, что
отсюда пмѣемъ
с?2/- ,
опредѣляя отсюда сумму + &—-г
имѣемъ
Х,.ц_і л внося ее въ уравненіе (С),
ф (Ч Г
Ихг-І-} I
т
но еслп данное дифференціальное уравненіе происходитъ отъ одного начальнаго, то сумма, заключающаяся въ скобкахъ, обращается въ нуль, вслѣдствіе выполненія условія (В). Мы предполагаемъ, что данное уравненіе происходить отъ одного начальнаго, а потому должны допустить, что предыдущее' уравненіе удовлетворяется тождественно, а потому заключаемъ, что если условіе точнаго дифференціала удовлетворяется, то
поэтому уравненіе (3) будетъ содержатъ только а п яѵ_і_і л изъ него опредѣлится а въ функціи хгц-г п постоянной, которая затѣмъ будетъ считаться функціей остальныхъ независимыхъ перемѣнныхъ, начиная съ Жгд-з.
Самое интегрированіе даннаго уравненія должно быть произведено въ слѣдующемъ порядкѣ. Интегрируемъ сначала первое пзъ уравненій
(4)
разсматривая какъ перемѣнныя и е. Пусть интегралъ этого уравненія будетъ
/ я, а) = о
потомъ опредѣлимъ пзъ уравненія (3) постоянную а въ функціи ж2. Прп этомъ принимается г =4. Пусть постоянная, введенная интегрированіемъ уравненія (3), будетъ такъ что пнтегралъ будетъ имѣть впдъ
ЛА ж, г, 3) = о
Поставивъ затѣмъ въ уравненіи (3) постоянную 3 вмѣсто а, опредѣлимъ эту постоянную 3 въ функціи ж3 и новой постоянной у. Такъ что въ этомъ случаѣ получится соотношеніе
/ (^1 1 Ч ^3 ’ ** 5 у) - О
которое будетъ удовлетворять тремъ первымъ нзъ уравненій (4). И такъ далѣе.
□о
Пояснимъ эти общія соображенія па частномъ примѣръ. Будемъ интегрировать уравненіе
слѣдовательно
эти уравненія въ общей теоріи соотвѣтствуютъ уравненіямъ (4) п въ нихъ
Для разсматриваемаго дифференціальнаго уравненія условія (В) удовлетворяются, а потому данное уравненіе представляетъ собою точный дифференціалъ.
Разсматривая въ первомъ изъ уравненій (а) какъ перемѣнныя только г п хг, будемъ интегрировать это уравненіе.
Представимъ его въ впдѣ
(1г ___
пусть
гдѣ очевидно
итакъ если положимъ для краткости
то разсматриваемому первому уравненію можно дать видъ
йг ііг сіх. &Х.
( 1-1-— о аг а(а-і-г)-ах\ а (а 4-
откуда
1" С 4- 1г г 4- = Ій (а 4- г} 4- І5 (а -у л^)
пли
Сг X} = (а 4- г) (а 4-
гдѣ С есть произвольная постоянная, введенная интегрированіемъ. Итакъ, за интегралъ перваго изъ уравненій (а) можно считать выраженіе
Сгхі — -у х3 ч- дг) (ігі,4' х2 4' ®з)
Легко видѣть, что этому же первому изъ уравненіи (а) удовлетворяетъ пнтегралъ другой формы. Прп томъ означеніи, которое мы сдѣлали, первому изъ уравненій (а) можно дать впдъ
йг . (Іх, —-------- —1-------±.---— 0
г (а + 2) «і (а 4- х3)
введемъ два новыхъ перемѣнныхъ ѵ и у вмѣсто х3 п г подъ условіемъ
й4-а?і + ^ = 'у> %іг — у
тогда разсматриваемому уравненію можно дать видъ
(І2 , $х,
---------- Ч-----—-—- =- о-
2 (у — Х^) хг (у — 2)
пли
хг (ѵ — г) СІ2 + 2 (у — (ІХ} — О
плп
ѵ (44 (Іг 4- 2 дх^) — хг2 Сс7ж1'+ = о.
но
ж1 (І2 4- 2Х&1 = йу (Іхг + (І2 = (ІѴ
поэтому разсматриваемое уравненіе принимаетъ впдъ
ѵ (Іу — у (Іѵ = о
откуда интегрируя находпмъ
а..у — ѵ
плп
а,хг2 — х2-\-х3-\- хг-у 2
гдѣ а есть произвольная постоянная. Очевидно, что одинъ пзъ найденныхъ интеграловъ есть функція другаго. Допустивши зависимость между произвольными постоянными Спа. мы изъ одного пнтеграла получаемъ другой. Мы нашли, что разсматриваемому дифференціальному уравненію удовлетворяютъ пнтегралы
С,хг2 = (а + жі) (А ~Н п а..хг2 = а 4- хг 4- г
допустимъ, что между произвольными постоянными а и С существуетъ зависимость
С = а.а 4- 'I
тогда первый пнтегралъ представляется въ формѣ
(аа 4- 1) хг 2 = (а (а 4- 2~)
откуда прямо получается второй пнтегралъ, еслп только едѣлаемь умноженіе й сократимъ.
Примемъ
у..хх2-- ж1 4- х2 4- х3 4- (Ь)
за форму интеграла перваго пзъ уравненій (а).. Опредѣлимъ теперь постоянную а какъ функцію х2 подъ тѣмъ условіемъ, чтобы этотъ интегралъ удовлетворялъ втсн рому изъ уравненій (а). Дифференцируя интегралъ (Ь) по и разсматривая а какъ функцію хи имѣемъ
(с)
г.хг
СІЯ
&с2
Замѣтимъ, что хг п х2 разсматриваются какъ независимыя перемѣнныя. Принимая а за функцію х2, мы требуемъ, чтобы интегралъ (Ь) удовлетворялъ первому и вто-.„ г ч . , ч „ сія • л
рому пзъ уравненій (а), а потому еслп внесемъ въ уравненіе (с) вмѣсто ..его-
величину пзъ втораго уравненія (а), а вмѣсто я величину пзъ интеграла (Ь), то уравненіе (с) должно тождественно удовлетвориться. Послѣ этого внесенія уравненіе (с) принимаетъ впдъ йа
Такимъ образомъ результатъ исключенія (какъ я должно быть на основаніи общей теоріи) есть функція толькоча и х2. Интегрируя это уравненіе, находпмъ
а = р.х2
гдѣ есть постоянная, введенная интегрированіемъ. Поэтому пнтегралъ (Ь), теперь удовлетворяющій двумъ первымъ пзъ уравненій (а), будетъ
СП
Будемъ разсматривать 0 какъ функцію х3 и- опредѣлимъ ее подъ тѣмъ условіемъ,, чтобы этотъ интегралъ удовлетворялъ наконецъ и третьему изъ уравненій (а). Дифференцируя уравненіе (?) относительно ж3, находимъ
сія (Іх3
Исключая отсюда находпмъ
сія
сіх, и
я посредствомъ третьяго изъ уравненій (а) и уравненія (?)7
и
откуда
гдѣ С есть постоянная введенная интегрированіемъ. Поэтому интегралъ (?) принимаетъ форму
онъ удовлетворяетъ всѣмъ тремъ уравненіямъ (а) и есть вмѣстѣ съ тѣмъ общій интегралъ даннаго уравненія.
Будемъ ещё интегрировать уравненіе
з (У + я) “Ь е (« — ж) $У 4- у (х — гі) Нз + (у + з) Ни = о.
Бъ этомъ уравненіи мы принимаемъ ху у, и за независимыя перемѣнныя и з. за ихъ функцію. Изъ даннаго уравненія имѣемъ
&з ^(^4-^), &з_з\ Нз
Нх у (х —и), Ну у ’ Ни (х— и)
Будемъ интегрировать первое изъ этихъ уравненій, принимая въ немъ у и и за постоянныя величины. Тогда, раздѣливъ перемѣнныя', получаемъ
Нз Нх
з{у ’-\-з) у {х — гі) но тождественно
1 _ 1 . 1
<У+*)~ у* у 0+0
Поэтому предыдущее уравненіе можно представить въ видѣ
Пз Нз Нх ____
ув У{у-тй)' у[х—и) ~ °
откуда интегрируя, находимъ
І&а 4- з — ]§ (у з) +(ж — и) = о
или
(2)
здѣсь а предполагается функціей остальныхъ перемѣнныхъ, т. е. у и и. Для опредѣленія этой функціи, возьмемъ отъ найденнаго интеграла .(2) производную по у; тогда имѣемъ
или
Внося сюда вмѣсто производной — ея значеніе по второму изъ уравненій (1), на
ходимъ
(х — гг) з ~ = 1 + [1—- а (х — «)] —
4 Ну 1 4 у
П2
исключая отсюда х? посредствомъ интеграла (2), молу чаемъ
Такъ какъ я, « п у суть перемѣнныя независимыя, то этому удовлетворимъ, полагая ~ ~ о, откуда заключаемъ, что а не содержитъ перемѣнной у. Остается опредѣлить а какъ функцію и. Для этого возьмемъ отъ пнтеграла (2) производную
но «, тогда получпмъ
исключая отсюда производную посредствомъ третьяго пзъ выраженій (1), на-
ходимъ
или
исключая отсюда » посредствомъ интеграла (2), имѣемъ
откуда
іТа. ііи
пнтегралъ этого уравненія есть и-^С=-----------, слѣдовательно
ОС
1
а —--------г-77
и + о
Внося это въ пнтегралъ (2), находпмъ
% _____у %
С -|- и и — х
что п представляетъ собою общій пнтегралъ даннаго дифференціальнаго уравненія.
ѴПІ.
Интегрированіе совмѣстныхъ дифференціальныхъ уравненій.
31. До спхъ норъ мы рѣшали такіе вопросы, въ которыхъ требовалось интегрировать одно дифференціальное уравненіе съ извѣстнымъ числомъ перемѣнныхъ и извѣстнаго порядка. Но не рѣдко связь между перемѣнными независимыми пхъ функціями и производными этпхъ послѣднихъ представляется нѣсколькими дифференціальными уравненіями. Если данныя для интегрированія уравненія представляютъ соотношеніе меледу нѣсколькими зависимыми перемѣнными и однимъ главнымъ илп независимымъ, то такія уравненія называются совмѣстными. Еслп дано будетъ п уравненіи, содерлсащпхъ п зависимыхъ перемѣнныхъ п одну главную, всего п уравненій съ п + I перемѣннымъ, то такую систему молено назвать системою опредѣленныхъ совмѣстныхъ уравненій. Задача интегрированія пхъ состоитъ въ томъ, чтобы найти выраженіе каждой зависимой перемѣнной въ функціи главной и извѣстнаго числа произвольныхъ постоянныхъ.
Чтобы проще представить себѣ рѣшеніе трудной задачи объ интегрированіи системы совмѣстныхъ уравненій, прослѣдимъ интегрированіе двухъ совмѣстныхъ уравненій. Въ эти два уравненія должны входпть двѣ зависимыя перемѣнныя у и г и одна независимая х. Разсматриваемыя два уравненія можно представить въ слѣдующей общей формѣ
гдѣ Р, (), Р, Рг, суть функціи я, у, г, илп въ частномъ случаѣ нѣко-
торыя пзъ нпхъ содержатъ не всѣ этп трп перемѣнныя, наконецъ этп коеффпціен-ты могутъ быть и постоянными величинами.
Рѣшая этп уравненія относительно Лу и находпмъ
Лу _ ДРі — . (І2 Р<Э, — $РГ / . '
(Іх — Рфх’ Лх
или, такъ какъ Р, Р:, и т. д. суть функціи х, у, 2, то въ результатѣ такого рѣшенія получаемъ
дифференцируя первую нзъ этпхъ производныхъ по х еще разъ и помня прп этомъ, что какъ г такъ равно п у считаются функціями ж, пмѣемъ
Л2у ЛФ ( (IФ Лу ЛФ (І2
Лх2 Лх ' Лу Лх Лг Лх
Исключимъ пзъ этого уравненія
Лг
Лх
посредствомъ втораго пзъ уравненій (1) п г
посредствомъ перваго изъ уравненій (1), тогда въ результатѣ исключенія получится уравненіе втораго порядка съ двумя перемѣнными: главнымъ х и его функціей у. Интегралъ этого уравненія втораго порядка пусть будетъ
у = Г(х, Сгі С2)
такимъ образомъ опредѣляется у въ функціи х. Чтобы найти г въ функціи ж, продифференцируемъ этотъ пнтегралъ относптельно ж, тогда
Ну___^^(ж. Сг, С2)
(?Ж &х
Сравнивая это съ первымъ изъ уравненій (1), находимъ уравненіе
,, . №\х. С.. С2)
Ф Гж, «, г) — -—ѵ 1—
4 ? ах
которое послужитъ для опредѣленія я въ функціи ж. Итакъ уравненія
(2)
= С, Сг)
и Ф(ж, у, —
а?(х, с\, с2) б?Ж
представляютъ собою интегралъ данныхъ уравненій и содержатъ въ себѣ двѣ произвольныхъ постоянныхъ.
Итакъ мы видимъ, что по этому способу, предложенному Якобн, интегрированіе двухъ совмѣстныхъ уравненій приводится къ интегрированію одного уравненія 2-го порядка съ двумя перемѣнными главнымъ ж и его функціей у.
Уравненія (А) замѣняютъ собою данную систему уравненій; ихъ можно написать въ болѣе симметричной формѣ, въ впдѣ трехъ пропорцій вида
йж ______ Ну Ня
—’-Йфі ИРг—
а интегралы ихъ (2) очевидно могутъ быть представлены въ формѣ «
/(ж, у, я) = ф(ж,^,«)=^С2
Пояснимъ эту общую теорію небольшимъ частнымъ примѣромъ.
Пусть для интегрированія будутъ даны два уравненія вида
гдѣ ^ ееть главное перемѣнное, а ж и у двѣ его функціи. Дифференцируя относи тельно і первое изъ этихъ уравненій, имѣемъ
й2ж аГж , Ну
--— -- □ -И Д- —~~~ О
а? аі
исключая отсюда.
Ні
посредствомъ втораго
изъ начальныхъ уравненій, а потомъ
посредствомъ перваго изъ начальныхъ, находимъ
(Рх СІХ ,
_ — 4™. + 4д;_О
къ интегрированію этого уравненія и приводится интегрированіе данной системы. Выраженіе
ті х = е
будетъ частнымъ рѣшеніемъ интегрируемаго уравненія, если т будетъ одинъ изъ корней уравненія
т2 — 4т 4- 4 = о
это уравненіе имѣетъ два равныхъ корня, пзъ которыхъ каждый равенъ 2, а потому полный интегралъ предыдущаго уравненія втораго порядка будетъ имѣть видъ
х^={С-\-С>і)&2І
откуда
~ = 2{С^гСіі}еі + е2* С' (лу
подставляя найденное значеніе х и его производной въ первое изъ начальныхъ уравненій, имѣемъ
у~(С — С'4- СЧ)в2І
эти выраженія х п у составляютъ полное рѣшеніе данныхъ двухъ совмѣстныхъ уравненій.
32, Изложенный способъ интегрированія двухъ совмѣстныхъ уравненій легко распространить на какое угодно число уравненій перваго порядка и первой степени.
Предположимъ, что имѣемъ п уравненій съ п + 1 перемѣнными, изъ которыхъ одно независимое, а остальныя п его функціи. Пусть каждое изъ этихъ уравненій имѣетъ впдъ
Р Лх Рг (іх1 Ц- Р2 .......................-Н Р« == °
гдѣ Р, Р15 Р2.......Р„ суть функціи отъ ж, хг,ж2• , Одно изъ этихъ пере-
мѣнныхъ, напр. х разсматривается какъ независимое, а остальныя принимаются за его функціи. Изъ этпхъ п уравненій можемъ опредѣлить п дифференціаловъ (7^, <Іхг,......$х„ въ зависимости отъ Дх. Тогда нашей системѣ уравненій мо-
жемъ дать такую симметричную форму
или можемъ написать эти уравненія въ такомъ видѣ
ЙЛЦ -^2 $Хп X
сіх X ’ (іх X' .................гіж X
Будемъ дифференцировать первое изъ этихъ уравненій п—1 разъ, разсматривая х какъ независимое перемѣнное; прп каждомъ такомъ дифференцированіи будутъ входить
производныя
, которыя послѣ каждаго дифференцированія немед-
ленно должны быть замѣняемы пхъ величинами, взятыми пзъ остальныхъ уравненій.
Такимъ образомъ прп п—1 послѣдовательныхъ дифференцированіяхъ мы получимъ
п производныхъ
Их-і д-Ху й5.?, (Гх-і
сіх ' сіх1' сіх3 (Іх”
представленныхъ въ функціи х, х1, х3.......хи. Исключая пзъ этпхъ п уравненій
п—1 перемѣнныхъ , х3............х„, получпмъ одно уравненіе такого впда
О)
которое есть обыкновенное дифференціальное уравненіе п’го порядка съ двумя перемѣнными х п хт.
Это обыкновенное уравненіе имѣетъ п первыхъ интеграловъ впда
СІХ, Т’ е’
Мы видѣли, что послѣдовательныя производныя отъ хг,
С?'1
д,хп~1
выражены въ функціяхъ перемѣнныхъ Подставляя этп выра-
женія производныхъ въ предыдущіе п первыхъ интеграловъ/ мы• получимъ уравненія вида
О =
(6)
всѣхъ этихъ уравненій п л они представляютъ собою интегралы илп рѣшенія данной системы дифференціальныхъ уравненій и заключаютъ въ себѣ надлежащее число-произвольныхъ постоянныхъ. Отсюда можно вывести замѣчательное слѣдствіе.
Возьмемъ полные дифференціалы послѣднихъ
уравненій, тогда получимъ
—~ —- о
ахп
Такъ какъ въ эти уравненія не входятъ постоянныя Сг, С2...........Сп, то эти
уравненія тождественны съ уравненіями
-Л-и
а потону еслп въ предыдущія уравненія поставимъ вмѣсто йя, &хх........Ихп вели-
чины имъ пропорціональныя, то получпмъ уравненія, удовлетворяющіяся сами собой п имѣющія впдъ
гдѣ 7г должно послѣдовательно пмѣть всѣ цѣлыя значенія отъ 1 до и. Отсюда заключаемъ, что интегрированіе совокупныхъ уравненій
сводится на нахожденіе п различныхъ функцій Ф, удовлетворяющихъ уравненію съ частными производными
<ІФ йх
Наоборотъ, интегрированіе линейнаго уравненія съ частными производными перваго порядка можно привести къ интегрированію совокупныхъ дифференціальныхъ уравненій при всякомъ числѣ перемѣнныхъ. Пусть уравненіе съ частными производными имѣетъ п 1 перемѣнныхъ
я.,.
изъ которыхъ х разсматривается какъ функція остальныхъ и уравненіе съ частными про взводными имѣетъ впдъ
пусть интегралъ этого уравненія будетъ Ф = о, гдѣ Ф ;есть функція всѣхъ пере-
мѣнныхъ. Дифференцируя уравненіе Ф = о по каждой пзъ независимыхъ перемѣнныхъ, получимъ п уравненій вида
аф
Аа\
АФ Ах Ах Ахг
&Ф АФ Ах Ах2 ' Ах Ах,,
опредѣляя отсюда
Ах
Ахх'
Ах
Ах2
АФ
Ахп
АФ Ах
Ах Ахн
Ах
Ахп
п вставляя въ уравненіе (7), получимъ
а это уравненіе, какъ мы видѣли, удовлетворяется п различными функціями Фъ, Фг.......Ф«, которыя, будучи приравнены постояннымъ, служатъ интегралами
совокупныхъ уравненій
Ах
X
Замѣтимъ еще, что рѣшая данную систему уравненій, на самомъ дѣлѣ нѣтъ необходимости искать всѣ первые интегралы уравненія (4). Достаточно знать только полный интегралъ этого уравненія. Пусть этотъ полный интегралъ будетъ
х2 — ©(х, С2, С2
•С„)
тогда дифференцируя п—1
разъ это уравненіе по х, найдемъ выраженія произ
водныхъ
Ахг А-хх А3хг
Ах ’ АХг ’ Ах3
Сравнивая этсг выраженія съ выраженіями этпхъ же производныхъ, представленныхъ въ функціяхъ ж, хг,х2........хп и полученныхъ изъ уравненія
Ахг___Х1
чрезъ послѣдовательныя его дифференцированія п—1 разъ, найдемъ п—1 уравненій, которыя вмѣстѣ съ уравненіемъ
X] — Ф [х, С2, С2.....Сц)
доставятъ систему п уравненій, составляющихъ рѣшеніе данной системы совокупныхъ дифференціальныхъ уравненій.
Изъ всей этой общей теоріи вытекаютъ слѣдующія предложенія:
1) Полное рѣшеніе системы п совокупныхъ уравненій съ п 4- 1 перемѣнными зависитъ отъ интегрированія дифференціальнаго уравненія «‘г0, порядка.
2) Рѣшеніе выражается системою п уравненій, содержащихъ кромѣ перемѣнныхъ еще п произвольныхъ постоянныхъ.
3} Интегрнрованіе п совокупныхъ уравненій перваго порядка сводится на изысканіе п различныхъ функцій, удовлетворяющихъ уравненію (8) съ частными производными перваго порядка.
4) Наоборотъ, интегрированіе уравненія съ частными производными перваго порядка и первой степени съ «4-1 перемѣнными приводится къ интегрированію п совокупныхъ дифференціальныхъ уравненій перваго порядка.
Мы сказали, что интегрированіе п совокупныхъ уравненій перваго порядка приводится къ интегрированію уравненія «’то порядка съ двумя перемѣнными и интегралъ заключаетъ въ себѣ п произвольныхъ- постоянныхъ. Можетъ однако случиться, что порядокъ конечнаго уравненія будетъ менѣе п и интегралъ этого уравненія будетъ содержать менѣе, чѣмъ п постоянныхъ; но тогда, чтобы получить остальныя зависимыя перемѣнныя, придется выполнять нѣкоторыя интегрированія и этими послѣдними дополнится число недостающихъ постоянныхъ.
Пояснимъ это на частномъ примѣрѣ. Предположимъ, что ищутся интегралы уравненій
Нх й?/ , Пз
По общему правилу надо брать еще двѣ производныхъ отъ перваго уравненія по і, исключая мослѣ всякаго дифференцированія, входящія первыя производныя посредствомъ остальныхъ двухъ уравненій.
Дифференцируя первое уравненіе еще разъ по і, имѣемъ
Нгх____Ну іг
с№ (Іі сіі
исключая отсюда, производныя посредствомъ двухъ остальныхъ уравненій, имѣемъ
й2х .
слѣдовало бы еще разъ дифференцировать это уравненіе по і и опять исключить производныя, но въ этомъ дифференцированіи нѣтъ надобности, пбо перемѣнныя у и з прямо исключаются между уравненіями
Пх , дРх .
й=у + г “
результатъ этого исключенія есть
д?х___Пх
что и должно быть принимаемо за окончательное уравнеиіе. Оно есть уравненіе вто-раго порядка. Для интегрированія его положимъ тогда
Сѵ V
Лр
37
откуда
гдѣ С есть произвольная постоянная, введенная интегрированіемъ. Слѣдовательно
интегрируя это, имѣемъ
Этотъ пнтегралъ содержитъ только двѣ произвольныхъ постоянныхъ, но такъ какъ
(Іх і іи = Сс
то для опредѣленія двухъ другихъ перемѣнныхъ имѣемъ только одно уравненіе
пзъ него находпмъ
подставляя найденныя величины ходимъ
второе изъ начальныхъ уравненій
на-
-у = О, -+ 2 Се —у аі 1
такимъ образомъ въ этомъ случаѣ для опредѣленія у приходится пнтегрпровать линейное уравненіе перваго порядка. Это уравненіе, имѣетъ впдъ
это
(іі
гдѣ для нашего случая Р = 1 го уравненія представляется въ
и 2 — -і- 2 Се . Какъ извѣстно, интегралъ
впдѣ
это-
что при нашихъ значеніяхъ Р
РДі
п <2 принимаетъ впдъ
2
такимъ образомъ рѣшеніе данной системы составляютъ выраженія
которыя, какъ и быть должно, заключаютъ въ себѣ три произвольныхъ ‘пбетоян ныхъ.
33. Совмѣстныя дифференціальныя уравненія называются линейными, когда имѣютъ форму
гдѣ <9^ <22, Р2 и Т суть функціи одного независимаго перемѣннаго і. Въ линейныя уравненія зависимыя перемѣнныя, равно какъ п пхъ производныя, должны входить только въ первой степени; коеффпціентамп прп нпхъ могутъ быть функціи только одного независимаго перемѣннаго, плп постоянныя количества. Если же зависимыя перемѣнныя и пхъ производныя помножаются на постоянныя величины, то линейныя уравненія называются уравненіями съ постоянными коеффпціентамп.
Указывая на форму линейнаго уравненія, мы привели уравненіе съ двумя зависимыми перемѣнными х и но этп уравненія могутъ содержать произвольное число зависимыхъ перемѣнныхъ лишь бы число пхъ равнялось числу уравненіи п лишь бы вышеупомянутыя условія относптельно степеней п коеффпціентовъ выполнялись.
Линейныя уравненія, составляя частную форму совмѣстныхъ уравеній Гг0 порядка, могутъ быть интегрированы по общему вышеизложенному способу.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть будутъ даны для интегрированія слѣдующія два совмѣстныя линейныя уравненія
дифференцируя первое уравненіе еще разъ по і, получпмъ
сГ’х____ сіх - , сіу
~(іі? а сіі "т” сіі
исключая отсюда производную
посредствомъ втораго уравненія, находимъ п &
исключая наконецъ Ъу посредствомъ перваго изъ начальныхъ уравненій, пмѣемъ
сГ-х
Ж
СІХ' сіі
-I- (аЪ' — Ъа') х — Ъс' — сЪ'
Полагая здѣсь
с іс' — сЬ' ж — + гіг—ЬаІ
отсюда выводамъ
Это линейное уравненіе втораго порядка съ постоянными коеффиціентами и есть окончательное уравненіе, отъ интегрированія котораго зависитъ рѣшеніе вопроса.
Чтобы интегрировать это уравненіе, поступимъ извѣстнымъ образомъ, примемъ г ті
тогда характеристическое уравненіе будетъ имѣть впдъ
тг — (а Н- &') т 4- аЪ1 — Ьа’ = о
пусть корни этого уравненія будутъ тг п т2, тогда полный интегралъ разсматриваемаго' уравненія будетъ
еслп корнп характеристическаго уравненія дѣйствительные и неравные.
Зная находпмъ х. Дифференцируя это выраженіе х одинъ разъ по I п сравнивая полученную производную съ первымъ изъ начальныхъ уравненій, получимъ уравненіе для опредѣленія у. Такимъ образомъ для опредѣленія у имѣемъ
тг е + т2 С2е = ах + Ьу + О
гдѣ вмѣсто х должно быть поставлено выраженіе
»і,« т.2і Ъс1 — СЪ' +с’е +
Такъ рѣшается по этому .способу вопросъ объ интегрированіи двухъ данныхъ совмѣстныхъ линейныхъ уравненій.
34-- Второй способъ интегрированія совмѣстныхъ линейныхъ уравненій съ постоянными коеффиціентами есть способъ Даламберта, основывающійся на введеніи неопредѣленныхъ множителей.
Разсмотримъ п уравненій съ п зависимыми перемѣнными ?/, и, ѵ............и
однимъ главнымъ х. Эти уравненія-имѣютъ, видъ
здѣсь а, 5, с суть постоянные коеффиціенты, а Хг..........суть функціи одного х.
Для интегрированія этпхъ уравненій помножимъ второе на неопредѣленный множитель Рі, третье на и т. д. послѣднее на и произведенія сложимъ. Введя такимъ образомъ п — 1 произвольныхъ множителей, положимъ
Н” ^2 Р1 “Ь ®3 Рі ""Ь.............Р
&2Р1 “Ь Рй-Ь ' * ' ‘ “РРі сі ~Ь ^гРі ез Рг “Ь...............= РРг
(9)
и тогда въ суммѣ найдемъ
І + Р[г/ + іѴ + А« + •] = * или
такъ какъ X есть функція одного х и $ постоянная, то это есть линейное уравненіе перваго порндка, интегралъ котораго, какъ извѣстно, представляется въ видѣ
г п ( Г -а- у 1 Г9
? = е ІС-Ь/Хе Іа*)
Этимъ выраженіемъ рѣшается вопросъ, но спрашивается только, возможно ли вычисленіе неопредѣленныхъ множителей посредствомъ уравненій (9).
Уравненія (9), начиная со втораго изъ нихъ, могутъ быть представлены въ нидѣ
СгР1_І_(С3 РЭРзЧ" * ' ' ’ ------
(10)
всѣхъ такихъ уравненій будетъ (п—1) и они будутъ служить для опредѣленія всѣхъ неопредѣленныхъ множителей .........Ря_х въ функціи данныхъ коеффи-
ціентовъ а2, 6,, с2... н величины |3.
Предположимъ, что эти уравненія рѣшены относптельно (З'х 02....; вне-
семъ эти величины найденныхъ неопредѣленныхъ множителей въ первое изъ уравненій (9), то это уравненіе будетъ содержать только данные постоянные коеф-фиціенты и неизвѣстное р. Относительно этой неизвѣстной |3 полученное уравненіе будетъ п'0& степени *) и будетъ имѣть видъ
др' + +........+ лгр+=о (И)
*) "Въ самомъ дѣлѣ, опредѣляя величины 0( р3*^*РЛ^і изъ уравненій (10), мы получимъ для нихъ такія выраженія, въ знаменателѣ которыхъ 0 будетъ входить въ
степени п—1; внося эти величины 04 0а...................і въ первое изъ уравненій (9), мы по-
лучимъ уравненіе степени относительно 0»
такое уравненіе будетъ удовлетворяться п корнями. Понятно, что каждому корню въ уравненіяхъ (10) будетъ соотвѣтствовать своя опредѣленная система величинъ Р, Р2......рп-і- Внесемъ одну такую систему, соотвѣтствующую одному опредѣ-
ленному корню въ интегралъ (9#), тогда получпмъ
(12)
У + & г -І- Р2 « +
-М’ . ГЛг Р-г* т = с С + / Л е (Тх
каждой величинѣ р будетъ соотвѣтствовать одно такое уравненіе, всѣхъ уравненій п п они будутъ содержать п различныхъ произвольныхъ постоянныхъ. Такпмъ образомъ выраженія (12) будутъ общими интегралами данной системы совмѣстныхъ уравненій.
Предполагая, что п корней уравненія (11) найдено, изъ уравненій (10) для каждаго корня получпмъ
Рі = (Р)? Р2 = ?2 (Р).............Р,»_і = ?„_і (Р)
гдѣ фт(Р), ?2(Р).......<?к_і (Р) для каждаго пзъ корней уравненія (11) различны.
Предполагая это, можемъ написать пнтегралъ (12) въ формѣ
(Р)+«?2(Р) +
. А За:
С 4- / X е (Тх
пли еще
Посмотримъ, что будетъ въ томъ случаѣ, когда нѣкоторые пзъ корней уравненія (11) будутъ мнимые илп равные. Предположимъ, что въ системѣ Р’Р” ••Р",) двѣ мнпмыя п такъ какъ они корни одного и того же уравненія, то они должны быть сопряженныя. Пусть этп мнпмыя сопряженныя величины будутъ Р' и р", такъ что
рг = Л + ^/—1; р" = Х —
Поэтому первый пзъ интеграловъ (13) приметъ видъ — 1 =о; а второй
будетъ имѣть сопряженную съ этпмп форму ®—іо у/—1=0 п эти два уравненія вмѣстѣ съ остальными и—2 должны служить для опредѣленія у, $ п т. д,, но очевидно, что эти два уравненія однозначптельны съ уравненіями » = о и гѵ — о, Такпмъ образомъ и въ случаѣ мнимыхъ корней будемъ пмѣть надлежащее число интеграловъ п всѣхъ ихъ будетъ п.
Посмотримъ, каковы будутъ интегралы въ случаѣ равныхъ корней. Означимъ для краткости первую часть общаго интеграла (13) чрезъ -Р(р) Этотъ интегралъ будетъ слѣдовательно имѣть впдъ 2?(Р) —о. Означимъ чрезъ р’ и р" =Р'-|-7г два значенія р. Тогда интегралы соотвѣтствующіе этимъ значеніямъ будутъ
2?(р')=:о и
о
во
Р (0, _|_ /і) = ЪР> (р' 4-е70
-а такъ какъ Р ($' + 70 = о, то
7^'(Р' + 2^) = о
что по произвольности 1і даетъ
.Е' (р 4- е70 — о
когда коряи р' и р" дѣлаются равными, тогда 7& = о и два сравнявшіеся интеграла замѣняются черезъ и Р' (р') = о. Если три корня дѣлаются равными,
тогда р' — р" •== р'". При двухъ равныхъ корняхъ ^(р1) —о;-Р'(р') — о, если же р"’р',то третіи интегралъ дѣлается тождественнымъ съ первымъ. Пусть Рш=р'4-7і, тогда
Г (р"') = Г (Р> 4- 70 = Г(Р') 4- 7г Р' (р') -г — (I3' -Ьа/0
1 < 2
поэтому третій интегралъ будетъ
7>2
Р (р') + П Р< (р') + Р" ( Р' 4 с7і) =: О
но Г(р')х=о п Р1 (рэ — о и потому
Р" (Р' 4- е7г) = О
•еслп третій корень сравнивается съ первымъ п вторымъ, то 7г==о и тогда ,У"(р)=о. Слѣдовательно въ случаѣ трехъ равныхъ корней интегралы, соотвѣтствующіе этимъ корнямъ, будутъ
^(р') = о: Г'(р') = о; Р“ (Р') = о и т. д.
Пояснимъ эту теорію частными примѣрами. Будемъ интегрировать два совмѣстныхъ уравненія вида
9 і—Г 4 з- 'Н З7! У + 11^ = 0
(Іх Лх 3
Лу Лз , .
7 з- 4- 3 ~5- + 24У 4- 8* = я
‘ Лх 3 Лх
рѣшая эти уравненія относительно -- п
СіДг
Ли з-, находимъ Лх
^4-ЗУ-* = 4*
Для интегрированія посредствомъ неопредѣленнаго множителя помножимъ второе уравненіе на рх п сложимъ съ первымъ, тогда получпмъ
+ + (3 4-^кѵ + (5рі —
пусть
3+Рі=0
СЮ 50, -1 - 00,
тогда уравненіе принимаетъ впдъ
4х + а + & + = "" х
или полагая ^^у + р^, имѣемъ
| +05 = (4-90,)»
ко такъ какъ Р1=Р — 3, то это приведется къ
^| + ^ = (зі -эЮ*
гдѣ
1 — у + (Р~ 3> исключая пзъ уравненій (а), находпмъ для опредѣленія Р уравненіе Р2 — 8р 4~ Іб — о плп ф — 4)2 = о итакъ это уравненіе имѣетъ два равные корня р—4.
Въ вашемъ частномъ случаѣ
X —(з1 — др)я слѣдовательно
Л и (іу (З'І — 9р) 3'1 —ѳР
/Хе (Гл = / (зі — дР) хе <$х = -----------„-—— хе-----------—- е
р р*
итакъ, принимая С'Р2 за одну произвольную постоянную, по формѣ (12) составляемъ
(Ь) р2у-г (р3 — зр2)^=Се + (зФ~ эР2)я—(з1—ѳР)
такъ какъ корни уравненія, пзъ котораго опредѣляется Р равные, то чтобы получить другой общій интегралъ возьмемъ отсюда производную по Р п тогда найдемъ
_ йф /7” —— Яф
(с) 2р^ + (зР2 — бР)г = — Схе е + (з1 — 18р)л + 9
х ас п,
гдѣ должна быть разсматриваема какъ новая постоянная; положивъ^- — С' и
внеся въ уравненія (I)) п (с) значенія корня Р = 4, получимъ
1 бу 4* 'І = С е — 2о« -|- 5
— 4а: — 4-т
ъу + 24г — — Схе 4*С'е — 41 х 4- 9
откуда
это и есть интегралы данныхъ дифференціальныхъ уравненій. Будемъ еще интегрировать уравненія слѣдующаго вида
помножимъ второе уравненіе на 0Х и сложимъ съ первымъ, тогда получпмъ
пусть
3 ч- Рі = Р
— 2 =- РіР (<О
ѵ + 0^ = ^
тогда разсматриваемое уравненіе принимаетъ видъ
исключая 0Х пзъ первыхъ двухъ уравненій (4), для опредѣленія 0 находимъ квадратное уравненіе
02 — 80 4- 17 = о корни этого уравненія суть
0' = 4 + ]/ — 1 и 0" = 4 — V— •»
IIЫ ВИДИМЪ, ЧТО 02 = 0—3, поэтому
1 — у + С0 — з> х 4- (0 — з)е ' я слѣдовательно
/*? /*г ігД т 1 і 0 — 3 О3*1)*
} йх^-] [ж + (0-3)е ]е е. _ е
и общій интегралъ, составленный по формѣ (12), будетъ имѣть видъ
у + (0 — з)я — е (С 4- О, ]/ — -1) 4—^--------4- ^21) еХ
1 1И ^0 Р2 (0+П
но р — 4 -1~)/ — 1, поэтому найденный интегралъ прнномаетъ впдъ
У -г О тV — \}2 — е (соз а; —у — 1 зіпх) (С + Сі]/ — 1) +
। ^(4 —, 3 Н- 2 х
17 І72 >3
откуда, сравнивая отдѣльно дѣйствительныя и мнимыя части, получаемъ
е
= (Сг со8 х — С зіп х) е
X в
I
вычисленныя отсюда величины у п з составятъ общіе интегралы данныхъ уравненій.
35, Перейдемъ къ интегрированію линейныхъ совмѣстныхъ уравненій съ перемѣнными коеффпціевтамп. Въ этомъ случаѣ можетъ быть примѣненъ и общій способъ п способъ Даламберта.
Разсмотримъ сначала случай двухъ совмѣстныхъ уравненій съ тремя перемѣнными однимъ независимымъ и двумя его функціями. Пусть независимое перемѣнное' будетъ і и его функціи аг п у. Тогда уравненіямъ можно дать впдъ
гдѣ РР' <№' V и Р суть функціи одного і.
Будемъ сначала интегрировать этп уравненія по общему способу. Дифференцируя первое пзъ этихъ уравненій еще разъ по находпмъ
д?х ^Лх . ~ Лу ЛР Л§ ЛѴ
Лі2 Лі'ѵ Лі Лі * Лі^ Лі
неключимъ отсюда посредствомъ втораго пзъ данныхъ уравненій, а у посредствомъ ІѴѵ
перваго, тогда результату исключенія легко дадимъ впдъ
- (р + Ч' + + (?«' - р<2 + 2 -ГІ’” 6 X =
ѵ л\о^ ’ Лі
Такимъ образомъ рѣшеніе вопроса сводится къ интегрированію обыкновеннаго дифференціальнаго уравненія 2^ порядка, имѣющаго видъ
(14)
гдѣ 7’1, Т2, Т.ІУ суть функціи одного независимаго перемѣннаго і.
Легко показать, что въ частномъ случаѣ рѣшеніе вопроса еще можетъ быть упрощено, оно можетъ быть приведено къ интегрированію двухъ уравненій перваго порядка. Въ самомъ дѣлѣ пусть
аі~Рх^'- (1э)
откуда
но принимая во вниманіе тѣ значенія, которыя имѣютъ Тг п Т2, легко убѣдиться, что
Р2 + ртг _1_ р, = — дрі. (Іѵ
Слѣдовательно предыдущее уравненіе приводится къ впду
II- ь» \ (.1 ь» /
откуда увидимъ, что если <2 —о плп Р' = о, то ннтегрпруемое уравненіе принимаетъ видъ
это есть линейное уравненіе перваго порядка, пнтегралъ котораго легко находится. Итакъ если въ одно пзъ совмѣстныхъ уравненій входитъ только одно зависимое перемѣнное, то рѣшеніе вопроса приводятся къ интегрированію двухъ линейныхъ уравненій перваго порядка, т. е. къ интегрированію (16) и по найденной пзъ интеграла величинѣ ? къ опредѣленію ж изъ уравненія (15), что также зависитъ отъ .тегко выполнимаго интегрированія линейнаго уравненія перваго порядка.
Другой способъ интегрированія уравненій
= Рх +^+ V;
Нѵ и &
состоитъ въ слѣдующемъ: помножимъ второе пзъ этихъ уравненій на нѣкоторую функцію з независимаго перемѣннаго п сложимъ съ первымъ, тогда получпмъ
пусть
тогда
(йг (7?/ сСѵ (І2
— 4- г ——--------------« —
сіі (II гіі (Іі
поэтому предыдущему уравненіе можно дать впдъ
-77 - У ~77 = (-Р + (У - + М + у + V + * Г'
Сіѵ СѵС*
или
опредѣлимъ функцію подъ тѣмъ условіемъ, чтобы
плп
(18)
# (Р — 4- <Э — °*
Это уравненіе нелинейное, но намъ достаточно знать два частныя рѣшенія его. Пусть эти частныя рѣшенія будутъ г, п г2 тогда оставшееся въ уравненіи (17) даетъ
-;=(Р+Р'^+ г+ѵ77
(ІГ
Интегрируя этп два линейныя уравненія, мы находимъ ѵх и ѵ2 съ двумя произвольными постоянными. Интегралами данныхъ уравненій будутъ
ѵ2 — X 4- у\ Ѵ2=&-\- В2у.
Пояснимъ эту теорію на частномъ примѣрѣ. Будемъ пнтегрпровать уравненія
помножимъ второе уравненіе на г и сложимъ съ первымъ, замѣтивъ прп этомъ, что въ нашемъ случаѣ
Р = -5; 2^-1, Р' = +1, —— 3, =
по уравненію (18) составляемъ для опредѣленія г
/7&
(20) —- 2г 4- 23 — 1 = о
плп
СІІ
откуда
Ті.
- — сіі;
гдѣ С есть произвольная
постоянная введенная интегрированіемъ. Послѣднее даетъ
вспомогательнаго уравненія; чтобы звать два частныхъ дадимъ произвольной постоянной два частныхъ значенія.
это есть общііі пнтегралъ рѣшенія уравненія (20), При С — со и С = о получаемъ частныя рѣшенія
и
посредствомъ этихъ величинъ по уравненіямъ (19) составляемъ
—- -4- 4Л\ — і 4-
сіи, 4.1 + 1
сіі і Ъі
общій впдъ интеграловъ этпхъ линейныхъ есть
уравненій перваго порядка, какъ извѣстно
Въ нашемъ случаѣ Р имѣемъ значенія
и
а <2 есть і 4- і2 и іг. Такпмъ образомъ интегралы нослѣднпхъ уравненій будутъ
г>1=е 4 { -М2) е4 сГС+С,}
Г 4*
' / і3 е сіі 4- С2р
Интегралы данныхъ уравненій составятся по формамъ
ѵг а: 4- У\ ѵ^х + ^у
и въ нашемъ случаѣ будутъ:
е 4 у (і 4- і2) е4 & 4- Сг = х -4- у
— дИ Г 4^ 1
е у і3 е (II -ь С2 : = іх 4- (і — ’І) у
остающіяся здѣсь квадратуры, какъ извѣстно, выполняются легко.
IX.
Итерированіе уравненій съ частными производными перваго порядна.
36. Полный дифференціалъ функціи и = у, г.,..) многихъ перемѣнныхъ равенъ суммѣ всѣхъ ея частныхъ дифференціаловъ. Если эта функція и дана, то каждая изъ ея частныхъ производныхъ легко опредѣлится. Наоборотъ, если будутъ даны всѣ частныя производныя нѣкоторой функціи, то черезъ интегрированіе полнаго уравненія, составленнаго по этимъ производнымъ, опредѣлится сама функція и. Вмѣсто отдѣльныхъ частныхъ производныхъ могутъ быть даны уравненія необходимыя и достаточныя для опредѣленія всѣхъ пхъ. Но если число этихъ уравненій будетъ менѣе числа производныхъ, входящихъ въ этп уравненія, то всѣ производныя опредѣлены быть не могутъ. Дифференціальныя уравненія представляющія зависимость между частными нропзводяымп, по числу недостаточныя для опредѣленія этпхъ послѣднихъ, называются уравненіями съ частными производными. Интегрированіе уравненій съ частными производными представляетъ труднѣйшую задачу математическаго анализа.
Различіе между интегрированіемъ уравненій съ частными производными и уравненій обыкновенныхъ зависитъ отъ недостатка условій для вычисленія всѣхъ частныхъ производныхъ опредѣляемой функціи. Слѣдовательно вопросы, выражающіеся уравненіями съ частными производными, стоятъ въ такомъ же отнощеніи къ вопросамъ, выражающимся обыкновенными дифференціальными уравненіями, въ какомъ вопросы неопредѣленные стоятъ къ вопросамъ опредѣленнымъ.
Изъ того что мы сказали легко понять, что рѣшенія или интегралы уравненій съ частными производными должны удовлетворять кромѣ данныхъ условій еще условіямъ совершенно постороннпмъ относительно тѣхъ, которыя представляются данными уравненіями. Дѣйствительно, какъ увидимъ ниже, общіе интегралы уравненій съ частными производными содержатъ въ себѣ произвольныя функціи. Давая этимъ послѣднимъ различные виды, можно удовлетворять разнообразнымъ дополнительнымъ условіямъ.
Уравненіемъ съ частными производными перваго порядка называется соотношеніе между извѣстнымъ .числомъ независимыхъ перемѣнныхъ, неизвѣстной ихъ функціей и частными производными перваго порядка этой послѣдней.
Пусть Жл х2......х„ будутъ п независимыхъ перемѣнныхъ, 2 неизвѣстная
ихъ функція и р1У р2......рк частныя производныя этой функціи, взятыя относи-
тельно независимыхъ перемѣнныхъ, такъ что
ІІ2
Рк~~^к
гдѣ? подъ Ъ разумѣемъ каждое изъ цѣлыхъ чиселъ ряда отъ 1 до п.
Уравненіе съ частными производными перваго порядка (нелинейное), какъ мы уже видѣли, можетъ быть представлено въ слѣдующемъ общемъ видѣ
1 ^2 Хпу 2, Руі Р2..........Рп) ~~~ (1)
Задача интегрированія этого уравненія состоитъ въ опредѣленіи наиболѣе общаго выраженія функціи 2 подъ тѣмъ условіемъ, чтобы эта функція 2У будучи подставлена въ уравненіе (1), обращала его въ тождество.
Прежде чѣмъ изложимъ способъ интегрированія уравненія (1), посмотримъ отъ какихъ видовъ первоначальныхъ соотношеній меледу хХУ хг---*-,>хп и-2 мо-лсетъ возникать уравненіе (1).
Самая простая форма такого соотношенія есть выраженіе 2 въ впдѣ явной функціи независимыхъ перемѣнныхъ и столькихъ пропзвольныхъ постоянныхъ, сколько входитъ въ уравненіе независимыхъ перемѣнныхъ. Такпмъ образомъ простѣйшая форма соотношенія, изъ котораго молеетъ возникать уравненіе (І), есть
2^=/(хх,х2У........хп, а2.........а„). (2)
Дифференцируя 2 относительно каждой независимой перемѣнной, мы составимъ по соотношенію (2) п частныхъ производныхъ вида
(І2 __ (I/ (І2 __ д,/ (ІЯ
^хх • Яхх ’ (Іх2 Лх2 ’ ” Ихп сІха‘ '
Исключая между уравненіями (2) и (3) (которыхъ будетъ п 4- 1) п постоянныхъ величинъ аХу а2......аи въ результатѣ исключенія получимъ уравненіе формы (1).
Если этотъ результатъ исключенія постоянныхъ дѣйствительно будетъ тождественъ съ уравненіемъ (1), то выраженіе (2) долліно считаться интеграломъ уравненія.(1). Этотъ интегралъ, содержащій въ себѣ столько же произвольныхъ постоянныхъ, сколько данное дифференціальное уравненіе содержитъ независимыхъ перемѣнныхъ, названъ Лагранжемъ полнылег гінт&іраломъ уравненія съ частными производными.
Но легко понять, что полный интегралъ (2) не представляетъ еще собою наиболѣе общаго выраженія функціи я, которое молсетъ удовлетворять уравненію (1). Въ самомъ дѣлѣ уравненіе (1) выводится изъ уравненія (2) посредствомъ уравненій (3) и, если эти уравненія (3) не измѣняютъ своего вида, какъ бы не измѣнялось значеніе постоянныхъ а2..........ап, то уравненія (2) будетъ представлять
собою интегралъ уравненія (1) ири всякихъ значеніяхъ постоянныхъ. Если даже предположимъ, что ах, а2......ая суть санп такія функціи независимыхъ перемѣнныхъ х1У х2................хп, при которыхъ производныя (3) не измѣняютъ своей первог
начальной формы, какъ въ такомъ случаѣ, когда аг, а2...........ап разсматриваются
какъ дѣйствительно постоянныя величины, такъ и въ томъ случаѣ, когда онѣ принимаются за функціи перемѣнныхъ ж2.............ж„, то и тогда уравненіе (2) будетъ,
интеграломъ уравненія (1).
Итакъ все равно, будемъ-ли принимать ап аг........а„ за дѣйствительно посто-
янныя илп за функціи независимыхъ перемѣнныхъ, лишь бы производныя (3) сохраняли свою форму. Посмотримъ, при какомъ условіи въ послѣднемъ предположеніи ати производныя сохраняютъ свою форму.
Дифференцируя уравненіе (2) по каждой независимой перемѣнной п принимая а1, а2......а„ за функціи х{, х2.......х„, получимъ
__ сіе А/ &/ ааг ( сі/ йа2 а/ йа» Ях> ах, Лах &Хі "1" Ла2 ах,- За,, &Х(
гдѣ подъ г разумѣемъ каждое пзъ цѣлыхъ чиселъ 1, 2, з..........п. Это выраженіе
будетъ тождественно съ формулой (3), еслп функціи а2...........а„ таковы,
что будутъ удовлетворять условію
,,, а/ ааг а/ аа2 , ( а/ йа„_____
аах сіХі аа2 йХі "и <іаи ах; ° ‘
Давая здѣсь указателю і значенія всѣхъ цѣлыхъ чиселъ отъ 1 до и, мы составимъ ч
п подобныхъ 'уравненій, которыя представятъ собою систему линейныхъ уравненій а/ а/ а/ „
относительно частныхъ производныхъ -г- > ......— • Посмотримъ на какія
сйгг йа2 Лап
значенія постоянныхъ а,, а2........а„ указываютъ эти линейныя уравненія.
Этп линейныя уравненія удовлетворятся, если
“ — °’ = О - - • • -Г-
йХі сіХі ах,-
т. е. они удовлетворятся, когда мы будемъ. разсматривать величины а,, а2 • • а„ какъ произвольныя постоянныя, независящія отъ хг, х2 • • • х„. Слѣдовательно этотъ случай соотвѣтствуетъ полному интегралу.
Уравненія (4) удовлетворятся еще въ томъ случаѣ, когда
а/. а/ а/
= О, ~~=:о. . . . -у-=О.
ааг аа2 аа„
Если прп помощи этихъ уравненій исключимъ изъ интеграла (г) всѣ п произвольныхъ постоянныхъ, то получимъ въ результатѣ исключенія такое рѣшеніе даннаго уравненія (1), которое не будетъ заключать въ себѣ никакихъ произвольныхъ величинъ; такое рѣшеніе уравненія (1) называется особымъ интеграломъ.
Если мы предполагаемъ, что. а2 • • . ап суть функціи всѣхъ пли только нѣкоторыхъ изъ перемѣнныхъ х2 • х„, то понятно, что можемъ также предположить, что между величинами аг а2 • • -а* существуетъ зависимость, что этп величины связаны между собою нѣкоторыми произвольными соотношеніями.
Допустимъ, что. число этихъ соотношеній есть п— 1; тогда*изъ этихъ соотношеній мбжемъ опредѣлить п — 1 величинъ ап а2 • • • ап_і и представить ихъ функціями октальной величины ап. Выполнивъ это, мы' получимъ соотношенія вида
М» = *?2 (««)
®П — 1 фя—I
Если будемъ дифференцировать интегралъ (%) относительно Х(, принимая а1ъ а2 • • -а за функціи х2 дущихъ соотношеній
Г <
п преды-
< • ял, то въ полученный дифференціалъ на основаніи будетъ входить членъ
_$а
Зал За2
Зап За. Зап
с?/’ Зл
За Зап \(іХі
I Т
п
1
еоли приравняемъ нулю общій коеффпціентъ
Зап
при производныхъ
2
или что все равно коеффиціентъ при для какого либо и. то производная интеграла (2), взятая относительно къ виду
г, измѣняющагося отъ
1 до дется
перемѣннаго х,, приве-
сйг,-
т. е. къ такому виду, какой имѣла бы эта производная, если бы разсматривали величины й1, а2 - • . ап какъ постоянныя и исключеніе величинъ ах, а2 • - • аи между уравненіями (2) и (5) опять привело бы къ уравненію (1) съ частными производными.
Слѣдовательно мы получимъ также рѣшеніе уравненія (1) съ частнымп производными, если исключимъ величины а1У а2 - - -ап между, уравненіемъ (2) и уравненіями
. (
гдѣ подъ (-=—I разумѣемъ производную, взятую отъ интеграла (/} относительно
ап въ томъ предположеніи, что 04, а2 • • • а,,_і суть функціи отъ а„. Эта производная представляется суммой, заключающейся въ скобкахъ выраженія (4В).
Этотъ результатъ исключенія, содержащій п—1 произвольныхъ функцій, называется общимъ интеграломъ даннаго уравненія (1).
Если вмѣсто п — 1 соотношеній между аг,. а2 • • ♦ аЛ существуетъ только п—2 соотношеній, то изъ этихъ соотношеній мы можемъ опредѣлить п—г постоянныхъ въ функціяхъ двухъ остальныхъ, такимъ образомъ изъ этихъ п — 2 соотношеній получимъ
®2 — 11 ^2 — ?2 .... &п_2 — фп—2 —1 >
тогда производная пнтеграла (2), взятая относительно будетъ содержать члены
(6)
Д/* Да2 сіа.^ Аап—і
А/ Аап~-і
Дйі,_2 Д^і,—1
Д/ П Дау_
Аа»—] Да?,*
Ааі Д/ Ааг ,
Аа. сіа» да, Аа„
1 «м
А[ йая—2 А[ Я сіа»
сІа»_2 А а» дап\ АХі '
„ Дй,,______।
Приравнивая нулю суммы, заключающіяся въ скобкахъ, мы приведемъ производныя пнтеграла къ виду (5). Исключеніе величинъ а2, а2 • • • а„ между уравненіями (2) и (5) опять привело бы насъ къ данному уравненію съ частными производными..
Такимъ образомъ данное уравненіе можетъ имѣть второй общій интегралъ, содержащій п—2 произвольныхъ функцій; этотъ второй общій интегралъ представляется уравненіемъ (2) совмѣстно съ уравненіями
гдѣ послѣднія уравненія представляютъ собою приравненныя нулю суммы, заключающіяся въ скобахъ выраженія (6).
Продолжая эти заключенія убѣдимся, что уравненіе съ частными производными можетъ имѣть общій интегралъ съ п—3, л = 4 и т. д, произвольными функціями.
Итакъ рѣшеніе уравненія съ частными производными представляется или полнымъ, или особымъ, или общимъ интеграломъ, прп томъ два послѣднія выводятся изъ перваго.
Легко доказать, что не существуетъ рѣшеній уравненія (1) съ частными производными, которыя были бы отличны отъ указанныхъ и которыя не выводились бы изъ общаго интеграла^
Допустимъ, что кромѣ интеграла (2) еще функція
(’)
К = ф ‘
удовлетворяетъ уравненію (1). По свойству интеграла (2) и предполагаемаго рѣшенія (7), мы получимъ изъ уравненія (1) тождественно
(8)
Докажемъ, что въ интегралѣ (2) величины а1яа2 • • (і„ могутъ быть опредѣлены такимъ образомъ, чтобы онъ былъ тождественъ съ рѣшеніемъ (7); для этого величины а15 а2 • • а„ числомъ п должны быть выбраны такъ, чтобы они удовлетворяли п 1 • уравненіямъ
(9)
Дф Д/" Дф Д/4 Дф
Да?! ’ Дя2 Дд?2 ’ ' ’ Ахп Ах»
но легко видѣть, что какое либо одно изъ этихъ уравненій есть слѣдствіе всѣхъ остальныхъ, ибо если возьмемъ такія аг, а2 • • а„, которыя удовлетворяютъ п послѣднимъ изъ этихъ уравненій, то по уравненіямъ (8) прямо видимъ, что удовлетворяется и уравненіе У=ф. Итакъ, чтобы возстановить тождество между интеграломъ (2) и рѣшеніемъ (7) достаточно выбрать аІУа2 • • • ап такимъ образомъ, чтобы онѣ удовлетворяли системѣ п послѣднихъ изъ уравненій (9), но это сдѣлать всегда возможно, обо изъ п уравненій всегда можно опредѣлить п величинъ.
Если при этомъ опредѣленіи величины а2, а2---а„ окажутся дѣйствительно постоянными, то рѣшеніе (7) будетъ представлять первый изъ разсмотрѣнныхъ нами случаевъ, рѣшеніе (7) будетъ полнымъ интеграломъ даннаго уравненія.
Если же при упомянутомъ опредѣленіи окажется, что аг, аг - • • а„ будутъ пе-ревЬнныя зависящія отъ жх, ж2---ж„, то разсматривая ихъ таковыми, мы должны будемъ представить послѣднія п изъ уравненій въ видѣ
ЛУ с?У
Лхг Лаг Лхг
Л/ , ЙУ (
Лх2 ” йа2 Лх2
, с?У йа„ __ йф
Лап Лх1 ~~ Лх1
, Л/ Ла„___ЖЪ
г йа„ Лх2 Лх2
Л/ А/
Лх„ Лаг йх„
Л/ Ла„ _ йф Ла„ йж„ <%х„
но принимая во вниманіе уравненіе (9), приводимъ предыдущія уравненія къ виду
йу Лаг Л/ Ла2
Лаг сІхг &а2 Лхг
Л/ Ла„ Ла„ Лх.
Л/ Лаг Л/ Лаг ( Л/ Ла„
Лаг Лх,, Ла2 Лх„ Ла„ Лхп
откуда заключаемъ, что величины ах, а2- — а„ удовлетворяющія уравненіямъ (9), вмѣстѣ съ тѣмъ удовлетворяютъ и уравненіямъ (4), а при этомъ рѣшеніе (7) необходимо приводится къ одному изъ разсматриваемыхъ выше и новой формы не представляетъ.
37, Послѣ этихъ предварительныхъ соображеній приступимъ къ изложенію способовъ интегрированія уравненій съ частными производными. Прежде всего покажемъ пріемъ, посредствомъ котораго могутъ быть находимы интегралы линейныхъ уравненій съ частными производными.
Въ дифференціальномъ исчисленіи мы говорили о происхожденіи линейныхъ уравненій съ частными производными, но тамъ мы ограничивались случаемъ трехъ перемѣнныхъ ж, у и ихъ функціи в.
Мы видѣли, что если дано соотношеніе вида
ЛІ=У(хѴ),
гдѣ М й 27" суть двѣ извѣстныя функціи перемѣнныхъ а?, у, з, а /" произвольная функція, то исключеніе произвольной функціи приводитъ къ линейному уравненію съ частными производными вида
гдѣ $ — а Р, <2 и V суть нѣкоторыя функціи ж, у, з (си. стр. 81).
Разсмотримъ теперь болѣе общій случай. Пусть ѵх, г>2 •••*>„ будутъ нѣкоторыя функціи независимыхъ перемѣнныхъ хг, х2 • • • хл и пхъ функціи з. Подобно предыдущему допустимъ, что между этими функціями существуетъ нѣкоторая зависимость, представляемая уравненіемъ
^{у1Уѵ2 . . • -!>„) = о
гдѣ / есть совершенно произвольная функція. Исключая эту произвольную функ' цію, составимъ линейное уравненіе съ частными производными. Для этого возьмемъ отъ предыдущаго уравненія п частныхъ производныхъ по независимымъ перемѣннымъ ж1, я2‘••Хп, Всѣ эти частныя производныя будутъ заключаться въ формѣ
Аѵп
гдѣ і можетъ имѣть значенія каждаго изъ .цѣлыхъ чиселъ отъ 1 до п. Поэтому подобныхъ уравненій будемъ пмѣть п. Предыдущее уравненіе представляется въ видѣ
А/ Аѵг А{ Аѵ2
Ах, Аѵ2 Ахі
А[ (іѵ^ А/ Аѵ2
. Аѵ2 Аз । Аѵ2 Аз ‘
А/ Аѵп Аѵп Ах(
А[ Аѵп~ Аѵп Аз _
о
и такихъ уравненій, какъ мы сказали, имѣемъ п. Пусть для краткости
(10)
А? Аѵх А/ Аѵ2 (
Аѵ. Аз ~ Аѵ,. Аз п А д
> ^Ѵа г Аѵ„ Аз
тогда каждое изъ п разсматриваемыхъ уравненій приметъ видъ
(11)
й/* Аѵу А/~ Аѵ2
Аѵх Ахі Аѵ2 Ахі -
А/ Аѵа
Аѵа А%і
Нрі = о.
Чтобы изъ этяхъ уравненій исключить производныя произвольной функціи, введемъ неопредѣленныхъ множителей, помножимъ уравненіе (10) на произвольный мвожи*-тель X, а уравненія (11) на произвольныя множители X, и произведенія сложимъ. Тогда въ суммѣ получимъ
(12)
п
і ~ 1
с?/* Гійу2
І ~ я
<У
І ~ 1
I
Опредѣлимъ множителей Х2.»-Хи, 2. подъ тѣмъ условіемъ, чтобы коеффи-ціенты при производныхъ произвольной функціи . обращались въ нули. Тогда условія, при которыхъ опредѣляются произвольные множители, представятся уравненіями
(13)
г — і
і — п
и при существованіи этихъ условій отъ уравненія (12) останется соотношеніе
Рі + ^2^2 Н"* '
“Г Хпрп ~~ --О
(14)
гдѣ какъ прежде
СІЯ; ‘
Функція ,Н~ въ нуль не обращается, ибо Н есть ничто иное какъ производная произвольной функціи взятая по 2 и, если бы эта производная обращалась въ нуль, То это значило бы, что функція неремѣнной 2 не содержитъ, но этого мы не предполагаемъ, а потому для того, -чтобы уравненіе (14) удовлетворилось, необходимо, чтобы второй множитель обращался въ нуль т. е. чтобы существовало уравненіе
Х2р2 + .... -іг.Хпрп = 2 (15)
итакъ если даны п функцій отъ » + 1 перемѣнныхъ н эти функціи связаны меледу собою произвольною зависимостью, то результатомъ исключенія этой послѣдней произвольной функціи является линейное уравненіе (15) съ частными производными перваго порядка.
Для опредѣленія коеффиціентовъ Х2 • . • X, -2, которые вообще суть функціи иеремѣнныхъ я?2 . . • а;,,, г, служатъ уравненія (13), но этпхъ уравненій недостаточно для опредѣленія всѣхъ коеффиціентовъ, ибо число'этихъ послѣднихъ есть »+ 1, тогда какъ число’ уравненій (13) есть Поэтому изъ уравненій (13) мы опредѣлимъ отношенія
затѣмъ принимая 2 — 1 пли полагая 2 равнымъ нѣкоторой произвольной функціи, получимъ коеффиціенты Ха, Х2 • • Х„.
Если мы будемъ, дифференцировать каждую пзъ данныхъ функцій ,ѵ2- • ѵп по всѣмъ перемѣннымъ п этп дифференціалы приравняемъ нулю, то получитъ уравненія
(16)
? -- п
і -2 [
і — п
*
7 = [
совершенно подобныя уравненіямъ (13) съ тою только разницею, что въ этпхъ послѣднихъ вмѣсто функціи 2, X,- поставлены дифференціалы соотвѣтствующихъ перемѣнныхъ й? п сйг,.
Раздѣливъ систему уравненій (13) на 2, а систему уравненій (16) на сія и вычптая потомъ соотвѣтственно уравненія (16) пзъ уравненій (13), получпмъ
сксЛ <1ѵх Иг )
сІхД (Іѵ2 к Иг ) (1%, п
(Іх2
/ X, _ ЯхД сіѵ,
\ 2 сія / Пх,,
/ Х„ СІХ„\ (ІѴ2
\ 2 (ІЯ / (ІХ„
(Х1 сіѵ» /Х2 (ІхД сіѵ,, к 2 йя ) д,хг \ 2 сІя / сІх2
(Іѵп (ІХ„
Такчі какъ это должно быть справедливо для произвольнаго впда ѵг, ѵ2 ♦ - г»„, то этимъ уравненіямъ удовлетворимъ только полагая
функцій
откуда
при этомъ условіи знаменатели Х2 • • . X будучи поставлены вмѣсто дифференціаловъ въ уравненія (16) обратятъ піъ въ уравненія (13).
Итакъ мы видимъ, что еслп ѵ2 . • . ѵ„ суть данныя функціи перемѣН’ н ііъ г, л.\, х2 • • х„ н если / представляетъ собою произвольную функцію, то уравненіе
/" ('У) , ѵ2,
при исключеніи произвольной функціи приводитъ къ линейному уравненію (15) съ частными производными.
Рѣшимъ теперь обратную задачу. Предположимъ, что дано уравненіе (15), опредѣлимъ функціи , ѵг . . • ѵ„ подъ тѣмъ условіемъ, чтобы выраженіе (17) было общимъ интеграломъ уравненія (15).
Дифференцируя уравненіе (17) по каждой независимой перемѣнной, мы получимъ п уравненій вида
сіѵ. (Із\ , А/ ( Аѵп . Аѵ„Аз\
—_ і і -Д----2 _— ---— I .---р ------| ~ О
СІѴХ \«Л.\ (ІЗ Ах^.' СІѴ,, \Ах1 (12 (Іхі/
А/ {сіѵ І ( Ас\ ^2\ . (' - ^ѵп ______о
'«?Х2 "И сіз Ах2/ ~г "г Аѵ„ \сІх2 ' (ІЗ (ІХ2/ (18)
<7/ /'(Іѵ1 , йу, Аз\ (Іѵг \ (ІХ„ (ІЗ (ІХ„}
А/ / Аѵп ] Аѵ„ Аз (ІѴН \сІХ„ ’ СІЗ Ихя/
Если функція понятія объ
уравненію (15) какъ пнтегралъ, то пзъ . Аз
что исключеніе производныхъ р. = ——
изъ уравненій (15) п (18) должно нрпвестп къ тож-
(17) удовлетворяетъ интегралѣ слѣдуетъ,
х 2 Ах, деству.
Чтобы выполнить это исключеніе, помножимъ уравненія (18) соотвѣтственно на Хр Х2 • • X. и произведенія сложимъ, тогда найдемъ
Аѵг [ сІхг 1 "Т" Ах, 2 1 "и Ах„ " Аг ' '1 1 22
2
А/ ~Аѵ2 Аѵ2 у. Аѵ2 1 "г Ах2 л
Но принимая во внпманіо уравненіе (15), мы представимъ это въ видѣ
Это уравненіе удовлетворится для всякоіі произвольной функціи /, если коеффпціенты при производныхъ этой произвольной функція будутъ отдѣльно равны нулю, т. е. еслп будутъ существовать уравненія
(19)
сіе
•. V • 7?0'1
1 “ (ІХ,,^ (І2
(20)
у сіѵ, , СІѴп 1 “* 2 сіхг ф'
Пусть какая либо пзъ функцій гц, ѵг •
гдѣ Сй есть постоянная, будетъ однимъ пзъ интеграловъ системы уравненій
__ __(І2
-Х2 2
Взявъ полный дифференціалъ отъ уравненія
имѣемъ
Поставивъ получпмъ
аф , аф ,
т— сіх. 4- — ах, ах1 «х2
здѣсь вмѣсто (ІХ., .
1 ах.
аф
2 ах.
аф ах„
аф а&
• - (іхп величины имъ пропорціональныя,
(ІХН
АФ
и такъ какъ здѣсь подъ Ф разумѣемъ каждую пзъ функцій • • • • ѵп, то заключаемъ, что уравненія (19) удовлетворятся, еслп »1 = с1, ѵ, = с,- • -ѵа = сп будутъ интегралами системы тѣхъ совмѣстныхъ уравненій (11), знаменателями которымъ будутъ служить коеффпціенты при частныхъ производныхъ въ данномъ линейномъ уравненіи.
Слѣдовательно если проинтегрируемъ совокупныя уравненія (20) и интегралы рѣшимъ относительно произвольныхъ постоянныхъ, то эти интегралы, представленные въ такомъ видѣ, будутъ пскомыя функціи , ѵ2 • • • ѵ„.
Такимъ образомъ интегрированіе линейнаго уравненія съ частными производными приводится къ интегрированію системы совокупныхъ уравненій 1-го порядка.
На основаніи этихъ соображеній мы приходимъ къ слѣдующему заключенію: для интегрированія линейнаго уравненія съ частными производными перваго порядка должно составить совокупныя уравненія, знаменателями которыхъ были бы коеффиціенты при производныхъ въ данномъ линейномъ уравненіи съ частными производными; проинтегрировавъ эти совокупныя уравненія, должно рѣшить интегралы относительно произвольныхъ постоянныхъ. Произвольная зависимость между этими интегралами будетъ общимъ интеграломъ даннаго линейнаго уравненія съ частными производными. Пояснимъ изложенную теорію, на частномъ примѣрѣ.
Будемъ интегрировать уравненіе
Лз Лз
зхр + угц = ху, гдѣ р = ; ц =
По найденному правилу составляемъ для этого уравненія совокупныя и получаемъ
Лх____сіу_____Лз
зх уз ху
поэтому для опредѣленія функцій ѵ1=с1 и ѵ2 = с2 предстоитъ интегрировать совокупныя уравненія
ху Лх = зхЛз~, ху Лу~ уз Лз
у
— = и, тогда
сіх = з Лі -|- і Лз’, Лу = зЛи-\-и сіз
и кромѣ того
ху=з2іщ зх = з2і\ зу~з2и.
Такпмъ образомъ предыдущія уравненія обращаются въ
з2 іи (зЛі + і Лз) — з2 іЛз — о
з2 іи (я Ли и Лз) — з2 и Лз = о
или
и(зЛі-\-іЛз)— Лз = о\ і^зЛи-^иЛз)— Лз=о
-откуда
( I — іи) Лз — из Лі = о\ (1 — іи) Лз — із Ли = о
слѣдовательно
поэтому
и — і (Іи — о
пнтегралъ этого уравненія есть
і —и = с, или — = сг
•исключая посредствомъ этого і пзъ уравненія (а) приводимъ его къ виду
(Іг схи (Іи
г 1 — Сд и-
ннтегрпруя это, находпмъ
г = — --15 (1 — с1 и2) 4- -15 с2
плп
5]/і ~ С1 И2 = [/(!,
I
исключая отсюда сг посредствомъ пнтеграла — = с1, имѣемъ
г-|/і — =}/с2
возвращаясь къ первоначальнымъ перемѣннымъ, представляемъ найденные интегралы въ впдѣ
плп
Л* О
=сх; г- — ху = с2
слѣдовательно общій пнтегралъ даннаго уравненія будетъ пмѣть впдъ
гдѣ 9 есть пропзвольвая функція.
Если для даннаго линейнаго уравненія съ частными производными та функція, которую мы означилп чрезъ равна нулю п уравненіе имѣетъ впдъ
А1 Х2 р2 4- ... 4- Хп р„ = о
то такое уравненіе называется однороднымъ. Для такого уравненія совокупныя уравненія, по которымъ должны быть опредѣлены функціи у, ѵ1, ѵ2- • • і>„, могутъ быть написаны въ видѣ
(Іх-,_(Іх2 ііх„___________сіг
соединяя послѣднее изъ этихъ отношеній съ которымъ либо изъ остальныхъ, мы
получпмъ
сія = о и г - с
это есть одинъ изъ интеграловъ совокупныхъ уравненіи. Функціи , Х2 - - • Х„ щлбще содержатъ г, если мы опустимъ послѣднее отношеніе въ совокупныхъ уравненіяхъ, а въ остальныхъ положимъ я = с и будемъ интегрировать эти остальныя Совокупныя уравненія, то интегралы ихъ числомъ п—1 будутъ
> ^2—' ^2 . . - - -- С,і—1
и функціи , ѵ2 • • • -у„_і уже не содержатъ перемѣннаго г. Въ этомъ случаѣ произвольная зависимость меледу функціями ѵ2, ѵ2 • • • г?,(_ъ представляющая общій интетралъ даннаго уравненія, можетъ быть написана въ впдѣ
«2, ѵ.л • • .
Такпмъ образомъ, чтобы найти общііі интегралъ однороднаго лпнейнлго уравненія съ частными производными слѣдуетъ, пользуясь функціями Х2 • - -Х„ составить соотвѣтствующія совокупныя уравненія и найти всѣ ихъ интегралы, принимая 2 за постоянную величину. Приравнивая потомъ я произвольной функціи найденныхъ интеграловъ, получимъ искомый общій пнтегралъ даннаго однороднаго уравненія.
Такъ напрпмѣръ для уравненія
рх ду = о
пмѣемъ совокупныя
сіх _ сіу СІ2 х у о
послѣднее даетъ г — с: ; остальное даетъ уравненіе
х сіу — у сіх = о
интегралъ котораго имѣетъ форму
слѣдовательно общій пнтегралъ даннаго уравненія есть
( У\
2 = ф I —
‘ \Х }
подобнымъ же образомъ для уравненія ру — дх = о найдемъ общій пнтегралъ въ видѣ
38. Приступимъ теперь къ изложенію способа пнтегрпрованія нелинейныхъ уравненій съ частными производныхъ т. е. такихъ уравненій, которыя содержатъ степени частныхъ производныхъ п произведенія этпхъ послѣднихъ.
Общій видъ этихъ уравненій, какъ мы знаемъ есть хг ’ • • Рч • • •л)^0’
Еслп получимъ возможность опредѣлить всѣ частныя производныя р1л р2 . . -ря функціи я, то внося ихъ выраженія въ дифференціалъ
(1) йг = Рі д,х2 -Ь р2Лх2 .... -\-ри$хи
и интегрируя затѣмъ это полное уравненіе, получимъ искомый полный интегралъ даннаго уравненія съ частными производными.
Предположимъ, что этотъ интегралъ найденъ; рѣшая его относительно одной изъ постоянныхъ, получпмъ
(2)
дифференцируя это уравненіе относительно каждой пзъ независимыхъ перемѣнныхъ,
найдемъ
(3)
(ІХ„ ' (І21 “
гдѣ какъ прежде
<ія
Р*
Изъ послѣднихъ уравненій находимъ
йхл ^х„
..........Рп==~^г йя........Ля
эти производныя могутъ заключать въ себѣ п—1 произвольныхъ постоянныхъ, ИЫСНМО
Кронѣ того мы знаемъ, что для того, чтобы существовалъ полный интегралъ вида (2), необходимо, чтобы производныя р2, р2 • • -рп удовлетворяли условію интегрируемости, имѣющему видъ
/ <Фі >> __ { $Рк\
\Лхк ' \&Хі/
развивая это вполнѣ, представимъ такое условіе въ видѣ
(4)
— $рк । а&к йхк ' ЙЯ (ІХ, '
гдѣ подъ і и Ъ разумѣемъ различныя между собою числа, заключающіяся въ ряду цѣлыхъ чиселъ отъ 1 до п. Такимъ образомъ, составляя подобныя уравненія, мы
для каждаго уравненія будемъ изъ чиселъ 1,2.
п(п —11 что изъ п чиселъ можно составить —----------—
1.2
• • п брать по два числа. Извѣстно, сочетаній по два, а потому число
уравненій, составленныхъ по формѣ (4) будетъ равно ———• Чтобы опредѣлить п производныхъ р1ч р2 - • ‘Р„, при которыхъ послѣ интегрированія уравненія (1), мы получпмъ полный интегралъ (2), необходимо имѣть п уравненій между этими функціями и перемѣнными хг, х2 • - • х„, одно такое уравненіе мы имѣемъ, это есть данное уравненіе съ частными производными, остается составить еще п — 1 уравненій.
Если мы будемъ дифференцировать полный интегралъ (2) по каждой изъ перемѣнныхъ, то мы составимъ п уравненій вида (3). Въ эти уравненія входятъ про-изводныя- -=г~ и —, содержащія п — 1 произвольныхъ постоянныхъ, если изъ этихъ уравненій опредѣлимъ всѣ п — 1 произвольныхъ постоянныхъ, то получимъ уравненія вида
3?1 -—— Л^, 3?2 ^2 •••••• 3?и—.1
гдѣ 2^2, 1?2. . • • будутъ такія функціи, которыя не содержатъ болѣе произвольныхъ постоянныхъ; къ этимъ уравненіямъ (5) прибавимъ еще данное уравненіе и тогда будемъ имѣть п уравненій для опредѣленія п производ-
ныхъ Рі,р2- • 'рп> Такимъ образомъ вопросъ объ опредѣленіи-я производныхъ РцР2 • • ''рп приводится къ опредѣленію п — 1 функцій 1?2* • - 2г',і-і, изъ которыхъ каждая зависитъ отъ ъп 1 перемѣнныхъ, то есть отъ х1, х2 • • х„, я, р2, р2 • • • рл, но не содержитъ совсѣмъ произвольныхъ постоянныхъ.
Для опредѣленія производныхъ рг, р2 • . .ра необходимо существуютъ условія (4); посмотримъ каковы должны быть функція Е2• . • 1?„-і для того, чтобы опредѣляемыя посредствомъ нихъ производныя удовлетворяли условіямъ (4).
Возьмемъ два какія либо изъ уравненій (5), напр. уравненія Рі = а.і и = дифференцируя каждое изъ этихъ уравненій по каждой изъ независимыхъ перемѣнныхъ, мы составимъ уравненія:
(Ір„ \(Ихп)
гдѣ символически означено
йУ,-
{&рт\ $р,л , (ІРт
ГІХ2 И Т‘ Я
исключивъ изъ первой пары предыдущихъ уравненій производную'-~-1 і, изъ второй \ ьі *-Ѵ '
пзъ послѣдней пары производную^^, результаты этпхъ
пары -~ \(ІХп
исключеній получпмъ въ видѣ
(ІЕі ИГк <11Д (ІЕі <
(ірп-і. (Ірп (Тр„ (Ірп-і V (Іх„
(ІРі сіріе . ,,
сложимъ этп уравненія п замѣтимъ, что производныя —— п имѣютъ коеффп-
СІХк (ІХ;
ціенты одинакіе п съ противоположными знаками, но этп производныя по условію интегрируемости равны меацу собою, слѣдовательно всѣ тѣ члены, которые имѣютъ гфг
множителями -^р-, исчезнутъ нзъ суммы и останутся только по два первыхъ члена
взъ паянаго предыдущаго уравненія, такимъ образомъ вся сумма приведется къ впду
(сі&д азъ _ (іЕі (агл к (Іру (Ір1 \ СІХ\ /
такое уравненіе долашо удовлетворяться каждымъ нзъ сочетанііі по двѣ функціи, представляющія первыя части уравненій
-?1 —- О , ЗД ‘‘’ Со
* * -^я—1 -- Си—!•
Уравненіе (6) символически представляется въ впдѣ
(Г,-, ІГД — о
гдѣ подъ і и 7с разумѣемъ какія либо два не одинакія числа изъ ряда цѣлыхъ чиселъ отъ о, 1, 2....П—I. Слѣдовательпо такихъ уравненій будетъ столько,
сколько условій интегрируемости т. е.
п(п — 1)
1.2
Еслп одна пзъ входящихъ въ уравненіе (7) функцій дана, то другая пзъ этихъ функцій опредѣлится чрезъ интегрированіе уравненія (7) линейнаго относительно частныхъ производныхъ этой другой неизвѣстной функціи. Одна пзъ этпхъ функцій дѣйствительно дана, именно функція 7?; итакъ принимая въ уравненіи (7) Т**,. = Т*1, мы будемъ пользоваться этимъ уравненіемъ для опредѣленія функціи Это уравненіе (7), будучи вполнѣ развито, представляется въ впдѣ
пли
йРі \ (ІВі І&Е (Ц? _
(Іг ^п) (Ірп дрп \сІх„ (Іг ®л.> °
<?7? ,
([х1 <Ір2 (Іх2 1 Лр„ СІХп
(8)
гдѣ подъ символомъ мы разумѣемъ
Уравненіе (8) есть неоднородное линейное относительно частныхъ производныхъ функцій 7?,-. Интегрированіе его приводится, какъ мы знаемъ, къ интегрированію совокупныхъ уравненій; частныя производныя въ нашемъ случаѣ берутся относительно перемѣнныхъ хг х2 • -хп, гу ру р2 • • -рау а потому совокупныя уравненія, соотвѣтствующія разсматриваемому линейному, какъ легко видѣть, будутъ
Имѣя въ виду этп теоретическія воображенія, прослѣдимъ общій ходъ интегрированія для двухъ независимыхъ перемѣнныхъ т. е. для случая, когда въ системѣ ж1. х2 • • • ха указатель. п = 2. Тогда уравненіе, данное для интегрированія, имѣетъ видъ
Гх2У гу рг р2) — о
ГДѢ
сіз ’
&г\ ’ ~ о&2
По изложенной теоріи для интегрированія достаточно составить еще одно уравненіе
Рг(хгя2, =
гдѣ а1 есть произвольная постоянная; первая часть въ этомъ случаѣ должна удовлетворять уравненію
И) = °
это уравненіе есть линейное относптельно частныхъ производныхъ функціи и совокупныя уравненія, соотвѣтствующія этому линейному, суть
(3)
достаточно найти одпнъ только интегралъ этой системы, который содержалъ бы производныя рг и р2 и кромѣ того произвольную постоянную аг Посредствомъ этого пнтеграла и даннаго уравненія ^=о опредѣлятся производныя^ и р2. Подставляя этп величины рг и р2 въ выраженіе
Лг = рх + р2 (Іх2
и интегрируя это полное уравненіе, получимъ полный пнтегралъ даннаго уравненія съ частными производными.
Для поясненія этой теоріи на частномъ примѣрѣ будемъ интегрировать уравненіе
(Р2 + д2) У =
«=-йу
х2, 2г, р2і р^ = о
уравненіе соотвѣтствуетъ уравненію
только въ нашемъ случаѣ хг=х;
^2 — 2/і Рі=Р\ Рг = <1-
По данному уравненію составимъ производныя
сіі? <№
•Слѣдовательно уравненіе (9) для нашего случая принимаетъ впдъ
но такъ какъ по данному уравненію (р1 т 21) = то предыдущія совокупныя уравненія приводятся къ
сіх сіу _______________ ф____
яру ^у—г" р^~ р2
сравнивая два послѣднія отношенія, находимъ
Р &Р + Ч &Ч. = °
откуда
р- ср = а2
гдѣ а есть произвольная постоянная введенная интегрированіемъ. Изъ этого интеграла совмѣстно еъ даннымъ уравненіемъ опредѣляемъ двѣ частныя производныя р и д и находимъ
а потому полный дифференціалъ функціи т. е.
=р с&-\- дЦу
въ нашемъ случаѣ будемъ имѣть видъ
Для интегрированія этого полнаго уравненія примемъ сначала х за постоянную величину т. е, положимъ йіс = о, тогда
з2 = а2 у* + X (В)
гдѣ X есть неизвѣстная функція отъ х. Но изъ уравненія (А) имѣемъ
пзъ интеграла (В) находимъ
~ _ сГХ
(Іх (Тх
п кромѣ того X = г2— а2 у2, Поэтому уравненіе (С) обращается въ
откуда
гдѣ р есть произвольная постоянная слѣдовательно уравненіе (В) принимаетъ теперь впдъ
з — а2 у2 4* (а^ Р)2
это и есть полный пнтегралъ даннаго уравненія,
Буденъ еще интегрировать уравненіе
рд
гдѣ р іі 2 имѣютъ тѣ-же значенія какъ въ предыдущемъ примѣрѣ. Въ этомъ случаѣ данное уравненіе .Х=о есть а—рс[ — о\ поэтому
(11? <11? <11? <11? гіУ
-- = I; — 2: -- — — р; --- — о- --- — о
сія <1р * еГд * сіх Ну
слѣдовательно совокупныя уравненія, составленныя по формѣ (9), въ этомъ слу”тв будутъ
_ (Іу _ <1р <1д
д~~ Р ~~ зрц ~~ р “ $
пзъ сочетанія перваго съ послѣднимъ отношеніемъ имѣемъ сіх-—йд —о, откуда интегрируя находимъ $ = х-]-а, гдѣ а есть произвольная постоянная; внося эту величину 2 въ данное уравненіе, находимъ
Р ——;—
х 4- а
слѣдовательно полный дифференціалъ искомой функціи т, е. (Із^р.сіхцсіу въ этомъ случаѣ принимаетъ г>пдъ
для интегрированія этого уравненія примемъ у за постоянную величину; тогда сіу—о и остальное по интегрированіи даетъ
(а) 1о§^ —Іо? (х 4- а) Ч- Іо? Г
гдѣ У есть функція у. Дифференцируя это по у, находпмъ
1 (І2 і сТУ
а сіу У сіу
плп
а , (ГУ
но д — х 4- поэтому
х 4- а _ (ІУ
но по интегралу (а) имѣемъ У— ——, слѣдовательно предыдущему можно дать
ОС {— сь
впдъ сіу = ИУ; откуда У = у Ъ, гдѣ Ь есть произвольная постоянная. Такъ какъ
интегралъ (а) имѣетъ впдъ г — (я 4- а) Г, то теперь
а — {х 4- с) (у + Ь)
это и есть полный пнтегралъ даннаго уравненія.
39. Изложенный пріемъ интегрированія уравненіи съ частными производными можетъ быть распространенъ на случаи многихъ перемѣнныхъ. Но прежде чѣмъ изложить общій способъ Якобн интегрированія уравненій счі частными производными и многими перемѣнными, мы преобразуемъ интегрируемое уравненіе. Мы предполагали до сихъ поръ, что въ интегрируемое уравненіе входитъ п независимыхъ перемѣнныхъ, искомая функція ихъ г п п частныхъ производныхъ, взятыхт» отч> искомой функція г по независимымъ перемѣннымъ. Такое уравненіе можетъ быть преобразовано въ томъ смыслѣ, что въ него не будетъ болѣе входить функція независимыхъ перемѣнныхъ, а только ея производныя; но чпело независимыхъ перемѣнныхъ при этомъ однимъ увеличивается.
Предположимъ какъ прежде, что уравненіе, которое предетонтъ пнтегрпровать имѣетъ впдъ
* 1 2 , _Рі 1 1 * * ’ ) — О-
Интегралчі этого уравненія представимъ въ впдѣ
Ф , х2 • -х„, я) = о
Дифференцируя этотъ интегралъ по каждой незавпепмой перемѣнной получпмъ
(1Ф , ИФ
Ихі ' іНг
&Ф (іх,-ІФ
Внося этп величины частныхъ производныхъ въ данное дифференціальное уравненіе, получпмъ
йФ\ / (ІФ\
(ІХу / к (ІХг )
~(ГФ ' (Іг
Въ-это уравненіе входятъ только частныя производныя
&Ф (ІГ (ІФ (ІФ
(Іхг ’ &х2 (ІХп ! (І2
п перемѣнныя х2. . г, а функція Ф, отъ которой частныя производныя берутся, сама не входитъ, п прп этомч> всѣхчі перемѣнныхъ теперь ибо
величины . х2 . . . а'и, г мы должны разсматривать теперь какъ независимыя перемѣнныя.
Имѣя это въ виду, мы будемч. далѣе пнтегрпровать уравненіе
(^1 1 і 7^2 ' * " 2^’0 — &
(О
гдѣ какъ прежде
сія
ФХі '
Здѣсь Н означаетъ функцію, представляющую уравненіе данное для интегрированія; а есть опредѣленная постоянная, которая можетъ также равняться нулю.
Интегрированіе даннаго уравненія приводится къ составленію п— 4 уравненіи вида
(2) = Н2 = а2 • • • -Д,
необходимыхъ вмѣстѣ съ даннымъ уравненіемъ Н=а, для опредѣленія п частныхъ производныхъ _р3, р2 • • -рп. Въ этпхъ послѣднихъ уравненіяхъ аг, а2 • • а„_і
суть произвольныя постоянныя; Д, Н2 • • Д>_і подобно Н суть функціи неремѣнныхъ ху, х2 • . хп и частныхъ производныхъ р1у р2 • • • 'Р„. Функціи Д, Н2 > • • Д,-і не содержатъ произвольныхъ постоянныхъ а3, а2 • • • а»_і. Функціи Нг, Н2 • • • Д_і подобно предыдущему (подобно тому какъ опредѣлялась функція должны быть составлены такъ, чтобы опредѣленныя изъ системы
уравненій (1) п (2) частныя производныя р2, р2 • • -р и поставленыя во вторую часть уравненія
(3) й^=руйхг -\-р2(іх2 . • • . +рп(Іхп
обращали ее въ точный дифференціалъ. По предположенію функціи Д Д, Д • • - Д-і не содержатъ перемѣннаго я, поэтому величины р2, р2 • - ‘Рп, вычисленныя изъ уравненіи (1) и (2), будутъ выражаться только чрезъ независимыя перемѣнныя хг, х2 • - • ха п условія точнаго дифференціала второй части выраженія (3) представятся теперь въ видѣ
(4) $Рі — арк -
Ѵ (ІХк (ІХі
Когда мы пнтегрпровалп уравненіе
ДС^І ’ •^'2 > & > Р\і ^п) О
то для опредѣленія-двухъ производныхъ рг и р2 мы составляли еще уравненіе
-Д *^2 ’ & > Ру і Рг)
опредѣляя функцію Д изъ уравненія (ГД) —о.
Если бы требовалось интегрировать уравненіе
1 ’ Ж3 ’ % » Ру ’ Рі ’ Рз) “ О
то для опредѣленія трехъ производныхъ пришлось бы составить еще два уравненія, пришлось бы опредѣлить двѣ функціи Д и Д, удовлетворяющія условіямъ
(ГД) — о; (ГД) = о; (ДД) = о.
Прежде всего предстояло бы опредѣлить функцію Д, которая удовлетворяла бы уравненію (ГД) — о и была бы независима отъ функціи Г. Послѣ этого пришлось бы опредѣлить функцію Д, которая удовлетворяла бы двумъ уравненіямъ
(ГД) —о и (ДД) — о
и была бы независима отъ функцій Г и Д.
Отсюда уже можно заключить, что интегрируя уравненіе
С®1 ’ ^2 ’ '
• -^«,^1, Р2 ‘ * -Р») = а
мы должны будемъ составить п— 1 функціи Н2. . . которыя въ сочетаніяхъ по двѣ должны удовлетворять уравненіямъ вида
(7Л, ЯЛ) = о
или, что все равно, уравненіямъ
№ анк ан( сінк <Ші анк аи анк
сІ23і (Фі ^Рг Фг ^2
ані анк аН; анк (ІХп арп &Рп
такъ какъ пзъ п функціи сочетаній по два можно
составить
то
таково
будетъ число уравненій предыдущей формы. Эти уравненія суть
(Я,Я1) = о, {Я, Я2)=о, (Я, Я3) —о- . - .{Я, Я,,„і) = о
о, (Я1( Яд) о • • . (Я"2, Яя——'О
(Я2, Я3) = о • . • . (Я2, ЯП_1) = о (5)
(Яд—2,
і) — о*
Мы впдѣлп уже, что еслп величины р^р2 • -р*, выведенныя изъ уравненій (2), удовлетворяютъ условіямъ интегрируемости (4), то сами фуякціп Яп Я. . • Я„_х удовлетворяютъ уравненіямъ (5). Но чтобы пользоваться уравненіями (5) для опредѣленія функцій Яп Я2 - • • Я,,_ъ нужно прежде убѣдиться, что обратная теорема справедлива, нужно доказать, что есля независимыя между собою функціи Я, Яг Я2. . Я„^і удовлетворяютъ уравненіямъ (5), то, приравнивая этп функціи произвольнымъ постояннымъ, мы получимъ уравненія, пзъ которыхъ можно опредѣлить производныя рг, р2 • • -рп, удовлетворяющія условіямъ интегрируемости или условіямъ точнаго дифференціала (4). Въ этомъ заключается основная теорема способа Якобп.
40. Прежде, чѣмъ докажемъ эту теорему, разсмотримъ нѣкоторыя свойства Пуассонова символа.
Пусть ф и ф будутъ функціи двухъ системъ перемѣнныхъ
хг > х2 ‘ * х« и Рг-> Рі‘ ’ -Р»
составимъ для функцій ф и ф два ряда частныхъ производныхъ, одинъ рядъ взятый по перемѣннымъ х и другой по перемѣннымъ р. Такимъ образомъ будемъ имѣть
йф Йф йф йф _
йх2 ’ йх’2 ’ йх2 ’ йх2 ’
йф йф йф Йф .
Йф йф (ІХп ’ йхп
Йф йф
йр>> ’ арп ’
Затѣмъ составимъ пзъ этпхъ производныхъ функцію
сГ-э <?ф <?ф . Ф <^Ф
сіхг <7^! ф, (?хі ^2 Фг означимъ эту функцію чрезъ
(Іу бГф <7ф сГф <Ту (Т^>
<1р2 с(х2 (Тх„ сІрп (Ір„ (Тх„
і = п
сГр сГф <7о йф"
_ (ІХ; (Трі (Ір,- (ІХ; .
это выраженіе называется символомъ Пуассона.
Пзъ этого означенія прямо слѣдуетъ, что
(?,?) = о, (ф, ф) = — (ф, <р); (— ф, ф) = — (<?, ф)
(если а есть постоянная величина): =— (р,-, я,) = 1.
О, Хк) — (р{, рк) = (Х;, рк) —О.
Пусть и будетъ нѣкоторое перемѣнное, входящее въ о п ф т. е, одна пзъ перемѣнныхъ .гр х2 • х„, р1Ур2 • • ‘Р„. Тогда, взявъ отъ обѣихъ частей уравненія (6) производную по этой перемѣнной, получпмъ
І —- 11
(?($>, ф)____V Г <?2о сГф (7® г?2ф <?2о (7ф (Іу й2ф
(Іи \_сГх; (Іи ([р; 1 (ІХ; (Ір, сіи сІр;(ІисІХ; сІр;(Тх;(Іи^
І ~ I
плп полагая для краткости
і =
представимъ это въ впдѣ
і — і
нлп по означенію Пуассона
плп
(?)
плп еще
(7*)
въ такомъ впдѣ представляется производная символа Пуассона.
измѣняется отъ 1 до г, п этп величины
Предположимъ, что перемѣнныя Хі п рі, гдѣ подъ і разумѣемъ всѣ цѣлыя числа отъ единицы до «, не входятъ явно въ функцію ф. Пусть ф будетъ сама функціею нѣкоторыхъ величинъ гдѣ Іа ак пусть будутъ функціи хі и ріл тогда
с!аг йір с?а2 сіа. сіх-, ~ сІа2 сіХі
, бГо (Іа
Г < ___
у ««.*
I
Внося это въ выраженіе (6), получпмъ
(Іаг сУфІ г Г(Га2<#ф сІа2 йф
Прі сіх А ~ сІа21 сіХі сір; сірі сІХі
г = п к=г
г = і Іс = і
или принимая во вниманіе означеніе (6), представляемъ это въ впдѣ
1с — г
к — I
(8)
Еслп въ свою очередь функція ф содержитъ перемѣнныя х,, р> только въ зависимости отъ величинъ &і, гдѣ I можетъ пмѣть всѣ значенія отъ I— 1 до ? = §, то совершенно подобно предыдущему убѣдимся, что
гдѣ Ъі) равно какъ и (ак, ф) въ предыдущемъ суть символы Пуассона, имѣющіе впдъ
и знакъ суммы распространяется на всѣ значенія і отъ « —I до і = п.
Внося выраженіе (8#) въ выраженіе (8), получимъ
р) с?. и=2 ад
«Ы «Ы (лѵі к I
такъ представляется символъ Пуассона, если ф н ф суть функціи отъ функцій.
Если функція ср представляется суммою функціей а*, прямо зависящихъ отъ перемѣнныхъ х( и р{, такъ что '© = аг 4 а, 4 а34 > • * + а* 4* • • • , то
Л =.| іІак
и слѣдовательно еслп представимъ выраженіе (8) въ впдѣ
то прп упомянутой формѣ зависимости ф отъ а* пмѣемъ
(10) (ах 4* а,: 4 а3 4 - . - , ф) = (ап ф) 4 («2, ф) 4 («3, ф)4 • • • •
Еслп зависимость функціи о отъ функній а* представляется произведеніемъ, напр. о = а1а2У то, давая сначала въ выраженіи (8) указателю Ъ значенія і и 2, представимъ для разсматриваемаго случая это выраженіе (8) въ впдѣ
(10*) (о. Ф) = у- (а.,Ф) 4 ф)
і. р .? . 2 ГУ
сіо (?а
но еслп о = «,«,. то -— = «-> п 4^л,, поэтому ааг ~ аа., 1
(<р, ф) = «,(«!, ф)4«і («2, Ф)-
Разсмотримъ наконецъ тотъ случаи, когда перемѣнныя Хі п р> входятъ въ функціи о и ф п явно и въ зависимости отъ ак н Ъі. Итакъ примемъ, что
Ф = Г(ж1, ж,. • ‘Хя,РѵРг - ‘.'Рпу «ѵ «2 • * •«»•)
ф = , х3 . . • х„,р1л р2 . • -р,„ &!,&,• • Ы)
гдѣ какъ прежде ак и Ъі суть нѣкоторыя функціи отъ хг, х2 . • ж,„ Рі,р2 • •_?>»>.
тогда
йф_____йР ' "V йР сІак
сіх, (ІХі -г (Іак сІХ{'
к
(Т'Ь___сі/" "V сі/ сІЪі
(ІХ( СІХі 1 СІгЪі СІХ;'
I
но по сдѣланному означенію
сі]? &ік (Іак сірі
сі? сІЪі сІЪі с^2Ь
к
I
ОРсІ/Х сірі (ІХі)
ъ
слѣдовательно
(7/ йл* иак сіХі
сірі сіЪі (Ір; I
плп
к
(1Е (Іак (Іак сірі
I
(1?
(ІЪі (Іхі
[Г, г\ = (Л Г) 4'2 2 і 7г
сІЕ Г(Іак (І? (Іак
сіак \ сіх, сір; (Ір, (Іх,)
У У У ^Е йЪ\
’ (ІЬі \(ІХі(Ірі сІріСІХ;) ""и (Іак (ІЪ; V ЙІГ/ (.Ір, (Ірі&Хі),
Ъ 1. І к 7
что по означенію Пуассона представляется въ впдѣ
п=(г. п+2^ ^+21^- »')+22<І(л*’ <12> к г к I
Здѣсь прямыя скобки отличаются отъ круглыхъ. Первыми означается полное измѣненіе функцій Е н / относительно перемѣнныхъ Хі п р,> входящихъ какъ явно, такъ равно п въ зависимости отъ величинъ ак п Ъ/. Круглыми скобками означаются измѣненія относительно перемѣнныхъ, входящихъ только явно.
Въ послѣднемъ выраженіи суммованіе по Ій производится отъ А'= 1 до к=г и по I отъ 7=1 до І — з. Еслп г = 8 и кромѣ того аг = Ъг; а2 = Ь2 • • • «г = ЪГ, то предыдущему выраясенію можно дать прп такомъ условіи пной впдъ. Въ самомъ дѣлѣ
\Оа,ІЬ^ ‘'ъ^~ І'ь^+ ' + Оа1 сіі,С 1 ’Ь’
(1Е (I/ , 7 (ІЕ 7 сІГ (I/ ,
+ <1аг + <йг йЪ, ' г И ' ' + ааг ІІъЕ^ +
,,, ,ЛРЛГ
+ ~Г~ ~ТГ («•- ) + -7~ ТГ С»Г, см+ • • ’ + з--зГ
$аг(ІЬ2 ' 17 сІагсІЬ2 2 (ІагСІЪ;
прп а = Ъ и г = 8 всѣ члены этой суммы начиная съ перваго расположенные по діагонали до послѣдняго включительно обращаются въ нулп,' пбо множители (а1, іх), («2, &2) ’ ' • (ап Ъі) прп г = 8 обращаются въ нулп. Такпмъ образомъ вся сумма - діагональю нулей раздѣляется на два треугольника. Всю совокупность членовъ, составляющихъ нижній треугольникъ, можно представить суммами по вертп-
кальнымъ столбцамъ въ видѣ
к == у 7с у 7с -— у
послѣдней суммой представленъ одпнъ членъ; такъ какъ а — Ьу то эту сумму можно еще написать въ впдѣ
у у (11? т
Лші СІПк $а>і
®>‘)
еслп суммовапіе по і производится отъ і = I до і = г •— 1, а суммовапіе по Іс отъ значенія Л на' едпппцу большаго разсматриваемаго значенія і до 7с — г.
Подобнымъ же образомъ совокупность членовъ въ верхнемъ треугольникѣ
можно представить суммами
і=і і — 2
7=і 7=1
что можно представить въ видѣ
і к
гдѣ суммовавіе по Іс п по г производится подобно предыдущему. Итакъ прп а = Ъ п т=з выраженію (13) можно дать впдъ
ъ к і к х п
Во второй часто суммы берутся по Іс л і такъ, какъ сейчасъ упомянуто. Такъ какъ (а*, а,) =— (а^ ак), то предыдущее принпмаетъ видъ
Ъ к 1 к
'му _сіе сіаі с!ак с(.ак сіа,-
I—I —
(^І. Лл*),
а слѣдовательно все выраженіе (12) можно представить въ впдѣ
ІЛ л -
Еслп функціи 1? и ? не содержатъ явно перемѣнныхъ хг. х2 - • • • хя, Р1УІ)2‘ • * а эты послѣднія входятъ въ упомянутыя функціи только въ за-
ВПСИМ0СТ11 ОТЪ а,:, то
(П.)
г к
Если функція В содержитъ перемѣнныя хѵ. х2 • • •%, 2^, р2 -рп только явно, а { содержитъ пхъ только въ зависимости отъ то
(ІР ав
--- = о; -—• = о сіа: аа-і;
въ этомъ случаѣ пзъ выраженія (14) остается только пли
[К Д = (о,) + (Е,а,} ^ + . . . + (^ М (15)
ПмѢя въ виду этп свойства символа Пуассона, докалимъ двѣ основныя теоремы теоріи предложенной I. Я. Якоби для интегрированія уравненій съ частными производными.
41. Первая пзъ этпхъ теоремъ заключается вт> томъ, что какія бы нп былп трп функціи Л, В, С перемѣнныхъ гс,-, 2’.-> для нпхъ тождественно удовлетворяется уравненіе
[Л, (В, 0] + [В, (С, Л)] + [С, (Л, В)] = о.
Для доказателества этой теоремы замѣтимъ прежде всего, что принимая во вниманіе составъ символа Пуассона, мы можемъ написать
[В,(Л,В)] =
рс <г(л, в) _ ас а (А, в)
(Ірі <(рі (ІХ,
Примѣняя къ этому извѣстное намъ правило дифференцированія символа Пуассона, находпмъ
г
Пусть для краткости
(ІА____ сІВ____________ с?Л______ ' йВ
сіХі *’ (ІХі ,1: Пре " (Ірі
тогда предыдущему дадимъ впдъ
[с, (л ,в)]=(л,„ В) - сРс^, в)] + 2[сдл,в?)
і і
С^А-.В.^] (16)
о «э «-<
точно также составимъ
[Л, (В, С)] = 2[X {(В,„ С) -г (В, С,,)] - А,, {(В.т, С) + (В, С'Д ] ?
но мы знаемъ, что
(в,„ С) =
(7ВР д. С (ІВр (ІС с1Ву „ $В}, (Іх Пр Йр Пх (Іх ’’ Пр
развивая по этой формѣ каждую пзъ круглыхъ скобокъ, составимъ
Но понятно, что
г?В;,___<?В.Г
Пх Пр ’
поэтому
' , ™г_А ас,\ ( <?С <?СЛ
'х ' & Л' ~Лх) ' іх)
что очевидно представляется въ впдѣ
(17) [А,(В,О] = 2[СДА,Ва.)-СДА,В/,)]-Е[(А,Ся)В/,-(А, СДВ.] точно также составимъ (
(18) [В,(С, А)] = 2[А,(В, С*)- АЯ(В, С,)] - 2[СДВ, А,) - СГ(В, А,,)].
Еслп сложимъ трп символа (16), (17) п (18), то въ выраженіи этой суммы произойдутъ сокращенія и мы получпмъ
[А, (В, С)] + [В, (С, А)] + [С, (А, В)] = Х[А„ (В, С.) - Ая (В, С/()] -- 2[В,, (А, Ся) - ВДА, С,,)].
Посредствомъ круговой перестановки буквъ по этому составляемъ
[В, (С, Л)] + [С, (Л, В)] + [Л, (В, 0)] = Ъ[В, ( С,Х) - ЗД С, Л,)] -
- 2[С,(В,Л) - СДВ.А,,)]
[С, (Л, В)] + [А, (В, СЛ + [В, (С, Л)] = Е[С,(Л,В,) - СДЛ.В,,)] -
-2[Л,(С,В.) -Л,(С,В,)].
Сложивъ этп три выраженія и обращая вниманіе на выраженія (17) и (18), непосредственно получаемъ
3 {[А, (В, С)] + [В, (С, А) ] + [С, (А, В)]] = [А, [В, С)] 4~ [В, (С, А)]
Ь 2 [Вр ( С, Ат) - ВД С, А,,)] - 2[А, ( С, В.) - Ах ( С, В,)].
(19)
Еслп означимъ чрезъ 11 сумму двухъ послѣднихъ членовъ, то очевидно
у іДО (ІА.г (ІВ _ сЮ (ІА. (1В_(ІВ<1С (ІА, (ІВ (ІС (ІАР
(ірі (ірі (ІХі (Ірі (ІХі (іх, (Ірі ' (ІХ, (Ірі СІХ(
(ІС(ІВ.Г(1А ( (ІС(ІВ.(ІА (ІА1С1В,, (ІА(1С(1ВР
(ІХ; Ір: (ірі (Ір< (і^і (ірі ' (ІХі (ІХ/ (ірі (ІХ, (ірі (Іх,
но такъ какъ (1А.Г ІА, (ІВ. (ІВ, (Ірі (ІХі ' (ірі (ІХі
л
то соединяя первый членъ съ третьимъ, второй съ четвертымъ и т. д.< легко представить выраженіе К въ видѣ
В= Е[С.Г (А,,, В) - СР [А., В)] + 2(0, (А, Вр) - СР [А, Вх)]
п принимая во вниманіе выраженіе (16) заключаемъ, что
К = [С, [А,В)]
слѣдовательно выраженію (19) можно дать видъ
3 [А,(В._О] 4- [В, (С,А)] + [С,(А,В.)] — [А,(В, С)] + [В,(С,А)] + [С,(А,В)] откуда
[А, (В, С)] 4- [В, (С. А)] -ь [С, (А, В)] = о (20)
это мы п имѣли въ впду доказать.
Вторая теорема заключается въ слѣдующемъ:
Еслп и дифференціальныхъ уравненій
Н—• ((, Ні —• (і'і • - —і
гдѣ а, (ц . • . ♦«„_! суть п произвольныхъ постоянныхъ, пмѣютъ общій для нпхъ т. е. одпнъ п тотъ же полный интегралъ, то функціи 11, И,- • • • В,-і удовлетворяютъ уравненію.
[Ні, Д,) = о
гдѣ і п к суть какія либо два различныя между собою чпсла нзъ ряда о, 1, г, - —1.
Мы предполагаемъ, что 11, 11г • • • В(-і суть функціи перемѣнныхъ • • хп, РI • Р? ' ’ Р" •
Предположимъ, что дано дифференціальное уравненіе вида
которое для краткости будемъ писать въ видѣ Н=с, гдѣ с есть произвольная постоянная, которая въ частномъ случаѣ можетъ быть равна нулю. Полный интегралъ этого уравненія пусть будетъ
гдѣ а, а,, а2, • - • суть произвольныя постоянныя введенныя интегрированіемъ и не содержащіяся въ данномъ дифференціальномъ уравненіи. Взявъ отъ этого пнтеграла частныя производныя по всѣмъ независимымъ перемѣннымъ, получимъ
(21)
г?1
(Іѵі ' ' ' ' І{Х)1
гдѣ по обыкновенному означеяію
Еслп этп послѣднія уравненія (21) допускаютъ рѣшеніе относительно всѣхъ п произвольныхъ постоянныхъ а. а2, а2 - • то рѣшая этп уравненія по-
лучпмъ
-Н' — Д, і ““ • ' “ * 1 .
Одно пзъ этпхъ уравненій напр. первое должно быть тождественно съ даннымъ уравненіемъ, ибо пзъ полнаго интеграла данное уравненіе получается по исключеніи произвольныхъ постоянныхъ.
Изъ сказаннаго мы заключаемъ, что если мы можемъ для даннаго дифференціальнаго уравненія найти полный интегралъ, то по этому интегралу можемъ составить еще п — 1 дифференціальныхъ уравненій (съ частнымп производными) впда
которыя вмѣстѣ съ даннымъ уравненіемъ имѣютъ одинъ и тотъ же полный интегралъ.
Посмотримъ теперь, какое условіе должно удовлетворяться для того, чтобы нѣсколько уравненій имѣли одинъ и тотъ же полный интегралъ.
Предположимъ, что два уравненія Н=а и Н1 = а1 имѣютъ одпнъ и тотъ же пнтегралъ, -который удовлетворяя имъ, не удовлетворяетъ никакому третьему уравненію, не содержащему новыхъ произвольныхъ постоянныхъ.
Если уравненіе Н—а и іГ1=а1 имѣютъ одпнъ п тотъ же пнтегралъ, то функція рг, р2 • • -р» должны совмѣстно удовлетворять этимъ уравненіямъ и кромѣ того должны быть таковы, чтобы составленное по нимъ выраженіе
р1 + р2 сСг2 + ♦ +2?» $ха
•шло полнымъ дифференціаломъ. Какъ мы знаемъ это будетъ тогда, когда функція Р11 Рі' • 'рп будутъ удовлетворять условію
фр. _ сІр~, СІХ., СІХ.к '
Разсматривая рх, ...... рп какъ функціи независимыхъ перемѣнныхъ
.і;1, х2. . . . хп и взявъ пзъ данныхъ дифференціальныхъ уравненій полныя производныя по х{, получимъ
і — п
Ш V сШсІрк
(Іх, м арк (ІХі
к — і
умножая первое пзъ этпхъ уравненій на произведеніе пзъ другаго, тогда
к — п
сіХі сірі йхг Пр,'
к — і
7ь л
сШ, , у сШх с!рк _ р
йХі "Г врк СІХі
к- і
—— , а второе на -у—, вычтемъ одно
Ф.- г (Ірі
^<іН1_сІД2 ЛЯ] сірк _
)к йрі сІрк ф,_| сіх.
Составивъ сумму подобныхъ выраженій по і отъ і =
до і = п, получпмъ
І—п ъ—пк—п
у у у Г анх сшг пн
Лл \(ІХі сірі (ксі сірі} м м (Ірк (Ір, сІрк (Ірі _ і — і і— і к= і
(22)
Легко впдѣть, что двойная сумма обращается въ нуль. Въ самомъ дѣлѣ, еслп выполнимъ суммованіе какъ по такъ и по г, то понятно, что еслп въ полной суммѣ есть ^ленъ
'сШ
то непремѣнно будетъ п членъ впда
Каждая такая пара членовъ можетъ быть соединена въ выраженіе вида
[(Ш (ШсШ;
\йх^ сір., Ару
но такъ какъ по условію интегрируемости
Аху (Іх^
то веѣ члены двойной суммы будучи извѣстнымъ образомъ соединены въ пары
обратятся въ нули н выраженіе (22) приметъ впдъ
г ~ и
&Н.йНг &НЛ сІН\
\&Хі сірі Ах, Прі
что до означенію Пуассона представляется въ формѣ
(Н,Д) = о.
Итакъ, еслп уравненіе Н~а п Н2 = ах имѣютъ общій пнтегралъ, то функція Н.л Нх удовлетворяютъ уравненію (Н, Н^ — о. Понятно, что еслп уравненія Н— а п Н2 = а2 имѣютъ общій пнтегралъ, то функціи Н и Н2 на основаніи этой теоремы должны удовлетворять уравненью (Д, і?2) = о и т. д. Такпмъ образомъ распространяя эту теорему на случай многихъ уравненій заключаемъ, что если дифференціальныя- уравненія
имѣютъ одинъ и тотъ же пнтегралъ, который кромѣ ихъ не удовлетворяетъ никакому другому дифференціальному уравненію, не содержащему тѣхъ же постоянныхъ, то символъ Пуассона, составленный но двумъ какпмъ либо изъ функцій Н, Нѵ Н2- • • • Н„_і обращается въ нуль.
Докажемъ теперь обратную теорему. Докажемъ, что еслп символъ Пуассона, составленный пзъ какихъ либо двухъ функцій Н, Нг, Н2 • • • • обращается въ нуль, то уравненія Н.= а, Н2 = а2* • — а„_і имѣютъ
одинъ и тотъ же общій пнтегралъ. Еслп этпмъ уравненіемъ удовлетворяетъ одинъ пнтегралъ, то величины^, р2 • • -7?„, опредѣленные нзъ нпхъ, должны представлять собою частныя производныя одной и той же функціи, тогда выраженіе
Ох^ Ч-:^2 <іх2 -н • • - -
должно быть точнымъ дифференціаломъ п слѣдовательно должно удовлетворяться условіе
йрі _ сІрк
СІХк Лхі '
Итакъ докажемъ, что если [Н,, 27'*) = о, то и рк, вычисленныя пзъ уравненій Ні = а; п Нк — ак удовлетворяютъ предыдущему условію интегрируемости.
Предположимъ, что уравненія Н—а, Нх=аг- < « -Нп~і — а„_і рѣшены относптельно р2, _р2 • - < • рп, тогда пмѣемъ
(23)
~~~~ Ф(«1 5 ’ * * Хя , 06, " ’ * ).
Если разсмотримъ этп функція, которыя содержатъ перемѣнныя «1, х2 - ~х„ явно и въ зависимости отъ а, аг . • . а„ .і (гдѣ подъ а, аг • • • а„_г разумѣемъ
какія либо функціи упомянутыхъ перемѣняытъ), то символъ Пуассона, составленный изъ этихъ функцій по выраженію (14) долженъ имѣть впдъ
г
Йф йа.
(?*)
V V Г йф йф йэ йф
г [йа, йаА йаА йа.
і к
Еслп въ уравненія (23) внесемъ вмѣсто а, аг, а2 • • • пхъ величины Н,г Н2 ♦ • Д,_г по уравненіямъ Н.— а, • - 2Г„_і = а»_і, то
уравненія (23) обратятся въ тождества, функціи ф п ф обратятся въ велпчпны рі п у*, а слѣдовательно символъ [ф, ф] обратится въ [уэ/, ^], что, какъ мы замѣтили (стр. 826), тождественно равно нулю. Слѣдовательно послѣ упомянутой подстановки вторая часть предыдущаго уравненія должна обращаться въ нуль.
Первый членъ (ф, ф) составляется, какъ извѣстно, такимъ образомъ, что
а, а1, а2 • • • а„_і принимаются за постоянныя величины, въ этомъ предположеніи функціи ф и ф не содержатъ перемѣнныхъ рр р2 • • *ра, слѣдовательно пропз-
ЙФ водныя V-арі
равны нулю, а потому п (ф, ф) = о. Еслп Н, = а,- п Н* = а*,
то («,, ак) = (Д-, КЛ), но по предположенію (Л,, ИІ:) = о (ибо исходя пзъ этого положенія мы хотимъ доказать, что существуетъ прп этомъ условіе интегрируемости
выражаемое равенствомъ -~—
. Такпмъ образомъ уравненіе (24) приведется
къ виду
но
и такъ какъ ф перемѣнныхъ р1У р2. • -2?,, потому
ЙФ явно не содержитъ, то -~ = о,
а
к ““
(ф, а,-) --
Йф Й«і СІЯ/с йрк
Умноживъ это на
йф
д— и взявъ сумму произведеніи по г, находпмъ
| жи—2 к ------- 71
X) йф й«і йХк СІрк к = ,
плп
т. е.
8.38
с?ф (ІЭ с?ф да да,- дхг \ да д^>1
да .’^ф да г с?ф даг 1 дх2 \да др2 ' с?а , др2
, дя (<7ф да , (7ф да2 ' дга [\~да дрп 1 дал др»
д'Ъ
4
да„_-і.
слѣдовательно
іп — п
?Н - I
а еслп въ функціи ф(х1? х2 • • • >ж„. а, ах, а2 • • а„_і) примемъ а — Н, <ас1 = > • • а„_і = //„_], то ф обратится тождественно въ рк п тогда
г т
М г 7
Но понятно, что множитель обращается въ единицу прн /г — т п въ нуль для всякаго другаго к отличнаго отъ т (ибо р2 • • разсматриваются какъ перемѣнныя между собою независимыя), поэтому
^ф д<?
да, дхк
точно также докажемъ, что
_______ ___ц
да,) дх.
г
поэтому (25) обращается въ
дЬ сГф
(ІХк дХі
илп въ
йрі _ йрк
(ІХк
отсюда заключаемъ, что если символъ (Н*, Ні} составленный пзъ сочетанія какихъ либо двухъ изъ функціи ІІ2 - • Іі„-і обращается въ нуль, то значенія
рг, Рг ' • 'Р* опредѣляемыя изъ уравненіи
1Р — (С , --(1>і , -^2 ^2 ' ' ' —1 '— 1
обращаютъ выраженіе
р2 -ф р2 ((х2 + - • • -ф- р„ Рх„
въ точный дифференціалъ и функціи рг, р2> • -р,, такпмъ образомъ опредѣленныя представляютъ собою производныя одной и той же функціи з.
42. Послѣ этпхъ предварительныхъ соображеній приступимъ къ рѣшенію главнаго вопроса, къ интегрированію уравненій съ частными производными въ случаѣ многихъ независимыхъ перемѣнныхъ.
Если желаемъ интегрировать уравненіе
- .х„\ р2,р2 • • -р^ — а
то мы должны составить еще п—1 подобныхъ уравненій для опредѣленія производныхъ\ р2, р2. . .рп. Если всѣ этп уравненія будутъ удовлетворяться однимъ и тѣмъ же полнымъ интеграломъ, то производныя рх, р2 • * -у?,,, опредѣленныя изъ этпхъ уравненій РР1 — а1 . • • Я„_і = а„_г, обратятъ выраженіе
рг Рх2 -ф- р2 <Рх2 -п • • • + рп (Ххп
въ точный дифференціалъ п тогда, интегрируя полное уравненіе
сіз =рх (Тхх р2 сіх2 -ф-р„ (Іхп
найдемъ
® —- А0^1 1 1 0С2 ....
какъ полный пнтегралъ даннаго уравненія.
Для интегрированія даннаго уравненія на основаніи этихъ соображеній, опредѣлимъ функцію Н1, которая удовлетворяла бы уравненію (Я> — о, потомъ
опредѣлимъ функцію Я2, которая удовлетворяла бы двумъ уравненіямъ (Я2,Я) — о; [Н2^Н^ = о п была бы отлична отъ И п и т. д. Если функціи эти будутъ дѣйствительно найдены, то изъ уравненій
• • • Ни— 1 :' &л—1
опредѣлятся такія значенія , р2. • -рв, которыя по доказанной выше теоремѣ будутъ частными производными одной п той же функціи з.
Для опредѣленія функцій Нх 272 • • . • 27„_і, удовлетворяющихъ уравненію (Ді, Яі)=о (гдѣ подъ і п Іс разумѣемъ два какія либо различныя между собою числа изъ ряда о, 1,- • • - л—і), замѣтимъ, что каждая пзъ этихъ функцій должна удовлетворять уравненію
(2,Н.) = о
если будетъ подставлена на мѣсто 2. Такпмъ образомъ функція 2 плп, что вса равно, каждая пзъ искомыхъ функціи , Н2 . . . Нп^\ должна удовлетворятъ-линейному уравненію съ частными производными вида
п
V 'СІ2 (Щ с!2 (Ш\
—1 \(ІХі ((})і (Грі (ІХі 1
I ~ ]
Мы знаемъ, что интегрированіе этого уравненія приводится къ интегрированію обыкновенныхъ совокупныхъ дифференціальныхъ уравненій вида
Г26'І __—(^Рі______іТх* _ —^2________ _
Ѵ ; <ІН ~ ((Я — МГ “ ’ ‘ — Яі
Др2 ^х2 ^Рп (?Х"
Прп интегрированіи даннаго уравненія будемъ пользоваться этой системой совмѣстныхъ уравненій для опредѣленія функціи Ят. Въ виду этого найдемъ одинъ пзъ интеграловъ этой системы. Предположимъ, что этотъ пнтегралъ есть
<5 (хг, х2 • > • .г„, 2?!, р2. • -2>*) = пост.
Эту функцію, какъ удовлетворяющую уравненію (77, Д) —о, мы можемъ принять за искомую функцію Нх и положивъ • Д = 7^ = , будемъ кромѣ даннаго пмѣть еще одно уравненіе — для опредѣленія производныхъ^,^,. • -рп,
Тенерь предстоитъ по двумъ функціямъ Іім Нг опредѣлить третью 272, удовлетворяющую уравненіямъ
(7Д,Я) = о; (Я„Я,) = о.
Для этого обратимся къ уравненіямъ (26) и найдемъ еще одинъ пнтегралъ отличный отъ функцій 27— а и Я2 = аг. Пусть этотъ пнтегралъ будетъ
ж,. . . хп, 2)г, р2 - • -2>п)~ пост.
Такъ какъ это есть интегралъ уравненія (26), то функція ф удовлетворяетъ уравненію (ф, 27) — о. Если бы кромѣ того эта функція удовлетворяла уравненію (ф, 27а) = о, то функція ф была бы искомая функція ,272. Но функція ф, удовлетворяя уравненію (ф, 27) — о, можетъ не удовлетворять уравненію (ф, 27^=0. Во всякомъ случаѣ символъ (ф, 27т), если и не обращается въ нуль, то представляетъ собою нѣкоторую новую функцію, которую означимъ чрезъ ф15 такъ что (ф, подобно этому составимъ рядъ новыхъ функцій ф2, ф8 • • • фі въ видѣ
(27)
—Фз ' ’ * Срі-1) -^1) ф*
Докажемъ прежде всего, что функціи ф14 ф2, ф3 и т. д. удовлетворяютъ-уравненію (Я, Д) = о, если будутъ поставлены на мѣсто Д; докажемъ, что уравненія
(Я,ф,) = о; (Я,ф2) = о; (Я, ф5) = о
удовлетворяются. Для доказательства этого предложенія возьмемъ тождество Якоби
[Л, (В, О)] 4- |К, (С, 4)] + [С, м, -В)] = о
которое существуетъ, какія бы функціи мы нп разумѣли подъ Л, Я, С. Поэтому примемъ въ этомъ тождествѣ А = Я, Я = Н,, тогда оно обратится въ
[Я,СО] = И,(О, Я)| + [С, (Я,Я,)] = о
но (Я, Яг) = о, поэтому остается только
[Я, (Я„ С)] Ф [Я„ (С, Я)] = о (28)
положимъ, здѣсь О = ф, тогда изъ этого получимъ
[Я, (Я2, <р)] + [Д, (ф, Я)] = о,
а такъ какъ (<р,Я) = о, то остается
[Я, (Я,, <р}] = о
но (Я1,ф) = Ф1, слѣдовательно
(Я, ф7) = о
положимъ въ уравненіп (28) 0 = ©^ тогда это‘равенство принпмаетъ впдъ
[Я, (Я„ Т1)] + [Я„ (Т1, Я)] = о,
но (Я,ф1) = о, слѣдовательно [Я, (Я2, ф2)] = о, что по нашему означенію (Ях, ф1) = ф2 обращается въ (Я, ф2) = о; полагая въ (28) С = ф2 найдемъ (Я, <р3) = о п т. д. Что мы п хотѣли доказать.
Итакъ мы видимъ, что каждая изъ функцій ©, ©П <р2 • • • удовлетворяетъ уравненію (Я, Д) = о, если будетъ поставлена на мѣсто Д; такямъ образомъ каждая изъ функцій <р, Фі» <р2 • • есть частный интегралъ уравненій (26). Но такъ какъ этп совокупныя уравненія имѣютъ опредѣленное число частныхъ интеграловъ, то понятно, что, продолжая составлять рядъ функцій ©, <р1, ©2. • . , мы дойдемъ наконецъ до такой, которая новой функціи представлять собою не будетъ, а будетъ выражаться уже чрезъ прежде найденныя функціи. Такъ что получимъ
ф,- = Я (Я, Яп ф, фі • ф,-_і). (29)
Имѣя въ виду, что каждая изъ функцій ф, фц ф2 • • • удовлетворяетъ уравненію (Я, Д) = о, если, будетъ поставлена на мѣсто Д, опредѣлимъ теперь функцію Д, пользуясь найденными такъ, чтобы она удовлетворяла уравненію (Я^ Д) = о. Итакъ означимъ чрезъ Д искомую функцію и положимъ
= А А, ф, Фі • • • ф.^і) (29#)
54
правимая это во вниманіе, дадимъ символамъ (/2,ІГу и или, что все равно, символу (/д, іГ,) по уравненію (15) слѣдующій видъ
(Д, Н) =
=сд^^+(л.^|;+^щ^+(ФпЯ)^+.. .+(Тм,а)_^ (Д, Л) =
= да « 1 + А) + • + (?<->. А)
НО (-2ДД)=оі (7і,/і) = 0
и кромѣ того мы приняли
(<?, А) = фх; (<Р1, Д) = <р2.......(ф,„ 1, Д) = ф,-
слѣдовательно послѣднее обращается въ
у г у___ ^/2 I
С/7 А)—<Рі -г ъ ^~+
а потому уравненіе (^2,Д) = о есть
І
илп, принимая во вниманіе уравненіе (29), напишемъ это въ впдѣ
(30)
это линейное уравненіе съ частными производными относительно Д п должно служить ля опредѣленія функціи Д. Это линейное уравненіе не содержитъ первоначальныхъ перемѣнныхъ хѵ х2 • • • хп, рг, р2 • • -у;п, а зависитъ только отъ новыхъ перемѣнныхъ И, ф, фх - • • фі—і, кромѣ того въ него не входятъ частныя производныя искомой функціи Д, взятыя относительно перемѣнныхъ И и Д, а потому эти величины Н и Д могутъ быть разсматриваемы какъ постоянныя и въ линейномъ уравненіи (30). онѣ могутъ быть замѣнены постоянными а и ах, ибо мы принимали Н = а и /Д -- аг -
Изъ теоріи интегрированія линейныхъ уравненій съ частными производными мы знаемъ, что функція Д, будучи приравнена произвольному постоянному, есть одинъ изъ интеграловъ обыкновенныхъ совмѣстныхъ уравненій
(31)
или уравненій
с?Ф __йфх
Ф1 ?2
г?ф____<ГфІ
?7“ ф7
Ф/
Какъ извѣстно эта система уравненій можетъ быть замѣнена однимъ уравненіемъ высшаго порядка і. Введемъ новое перемѣнное т п означимъ • чрезъ а~ общую величину всѣхъ этихъ отношеній т. е. положимъ
€^ф^^2 1
Ф1 <?2 9--1
и?ъ этого получаемъ
^Ф __т . ^Фі_^Ф_т . —т
ЙТ СІХ ЙТ2 ^2’ (ІХ йт3 і3
п вообще
йф<2___й,-1ф
ах ~ с(х^ѵ
а®і-і (і'ф _,г
аг, (?, <?ѵ Ф2 • • ф.-і)
Ох Ох
это можно еще представить въ видѣ
предположимъ, что одинъ изъ первыхъ интеграловъ
этого обыкновеннаго уравненія
есть
пост.
если внесемъ сюда вмѣсто производныхъ ихъ предыдущія величины, то найдемъ
Ф(<р, фі ср2 -
. ф,-_і) = пост.
п мы можемъ принять Ф == ^г. Означая чрезъ а2 третью произвольную постоянную будемъ пмѣть теперь три уравненія съ частными производными именно
Д----Л, В"і ---У Н2 ------------------ ®2
эти три уравненія будутъ служить для опредѣленія частныхъ производныхъ, входящихъ въ данное уравненіе. Понятно, что функціи Д такимъ образомъ опредѣленная будетъ удовлетворять уравненіямъ ІГ) — о и Я’1) ==о,
Примѣчаніе. Прежде чѣмъ покажемъ способъ опредѣленія слѣдующихъ функцій Н3, Д4 и т. д. необходимыхъ для вычисленія производныхъ р2, • ’ Раз’ смотримъ тѣ частные случаи, которые могутъ встрѣтиться при составленіи функціи /, = Я2.
1) . Вели, составляя рядъ функцій <р1( ф2, - • - ф,-_і, ф,-, мы наконецъ получимъ такую, которая обращается въ нуль яапр. если ф,- = о, то <р,_і есть искомая и тогда Д находится прямо безъ интегрированія уравненія (30). Въ самомъ дѣлѣ, мы знаемъ, что ф< — (ф»-іі Ді)і но если ф{ = о, то (фі-і, Н1) = о, а это и
показываетъ, .что функція і есть искомая, ибо она удовлетворяетъ уравненіямъ = оп (/2,Н1') = о, еслп будетъ поставлена на мѣсто Д. Первому уравненію она удовлетворяетъ, потому что всѣ функціи ряда <рп ф2, <р3 удовлетворяютъ этому уравненію (Д, .Н*) = о, будучи-поставлены на мѣсто а уравненію (/^,2^) = о функція <р,_і удовлетворяетъ, какъ мы сейчасъ сказали, потому что <р, = о.
2) . Если одна пзъ ряда функцій фг ф2, • • <р> напр. функція ф< окажется, равною постоянной величинѣ С, тогда изысканіе функціи /2 также упрощаете^. Мы видѣли по уравненіямъ (31), что
но еслп ф,- = С, то это уравненіе обращаетъ въ
интегралъ чего есть
2<7ф,_2 — (фі-1)2 = пост.
и такъ какъ эта разность равняется постоянной, то на основаніи предыдущаго примѣчанія вся эта разность можетъ считаться искомою функціею, такъ что можно положить
Л =?= гС’фі-г — (ф.-і)2 — л2-
3) . Изложеннымъ способомъ данное уравненіе не интегрируется, когда функція ф] обращается въ постоянную величину или выражается чрезъ предыдущія функціи. Если фг = 2Г, гдѣ 2Г есть постоянная илп функція отъ ф, то изъ уравненія (30) остается 91^^° или^^~0’ 9Т0 поаазываетъ» что Г2 ае содержитъ ф и по формулѣ (29*) имѣемъ Н2 = Д (22, Д). Опредѣляемая такимъ образомъ функція не годится для нашей цѣли, она не можетъ вмѣстѣ съ функціями 22 и Д служить для опредѣленія производныхъ р^ р2 • • -рп, ибо она не есть независимая отъ нихъ и уравненіе Н2 — а2, составленное по такой функціи, не есть самостоятельное,, отличное отъ уравненій Н.— а и Я1 = а1.
Если такой случай встрѣтится на практикѣ, то слѣдуетъ снова обратиться къ совокупнымъ уравненіямъ (26) и искать изъ нихъ еще интегралъ независимый отъ интеграловъ Н— а, Нг = аг и <р = а'. Съ этимъ новымъ интеграломъ надо повторить всѣ описанныя дѣйствія.
4) . Если случится, что найденный Вновь интегралъ Ѳ —а'1, опять выражается чрезъ предыдущія или есть постоянная величина, тогда не только фх — 2Г, но и 0Х = 2), гдѣ 2Г л 2) суть постоянныя или выражаются чрезъ предыдущія функціи. Если ф1 = (271,ф), то точно также Ѳ1 = (2?1,6), если по предположенію
Въ этомъ случаѣ функція Н2 легко находится. Легко видѣть, что въ этомъ случаѣ
Бъ самомъ дѣлѣ, принимая послѣднее выраженіе, мы составляемъ по формулѣ (15)
(А,я) = Сф,я)> + (9,я)^ I
(/•„Я1) = (Т,Я1)|+(9,ЯІ)^
но (<р, Н) =•? о и (В, 2Г) = о, ибо <р и В суть интегралы уравненій (26) и слѣдовательно при принятой формѣ (/2, Я.) — о; мы ищемъ подъ условіемъ, чтобы удовлетворялось уравненіе (^2,^) = о, а это по послѣднему изъ предыдущихъ уравненій теперь принимаетъ видъ
I
иля
аѵ слѣдовательно Д опредѣлитея какъ интегралъ уравненія йр_________________________________________ЙО
гдѣ К и Ъ суть постоянныя величины
или функція -К отъ <р и X отъ В, слѣдо-
вательно интегрируя это находимъ
и
Не останавливаясь болѣе на разборѣ этихъ частныхъ случаевъ, будемъ продолжать интегрированіе даннаго уравненія, найдемъ по тремъ теперь извѣстнымъ фуркціямъ Н-, Н2 четвертую, которая, будучи приравнена постоянной, представила бы еще одно уравненіе для опредѣленія производныхъ • -рп. Мы
знаемъ, что эта функція должна совмѣстно удовлетворять тремъ уравненіямъ
(Я„Я) = о; (Я„А) = о; (Я3,Л) = о.
По изложенному уже способу будемъ искать' функцію, которая удовлетворяла бы двумъ какимъ либо изъ этихъ условій напр. двумъ первымъ. Для этого достаточно найти еще интегралъ уравненій (30) или, что все равно, интегралъ урав-
-п ,
ненія —Р отличный отъ найденнаго уже и примѣненнаго интеграла Ф = пост.
Представимъ этотъ новый интегралъ въ видѣ
-®3---Ф (®11 ®2’ ' ’ ’ Ріі ‘
Итакъ предположимъ, что функція ф, удовлетворяющая уравненіямъ (ф,77) = о, (ф,75^) = о, найдена; еслп символъ (ф, Н2~) = о тождественно обращается въ нуль, то ф = Н3 будетъ искомая четвертая функція, еслп же онъ не обращается въ нуль, то вообще онъ представляетъ нѣкоторую функцію ф1 = (ф, посредствомъ этой функціи ф1 составляемъ рядъ
Фг— С-^25 Фі)і Фз— 0^25 Фг) ‘ ' • Ф*—(Дг* Ф*-1)-
Въ этомъ ряду непремѣнно найдется такая функція ф*, которая будетъ представляться чрезъ предыдущія, ибо подобно предыдущему легко видѣть, что функція фп ф2 • • «суть пнтегралы уравненій
(Я3,Н) = о; (Я3.А) = о
всѣ они удовлетворяютъ этпмъ уравненіямъ, если будутъ поставлены на мѣсто
Это легко доказать. Для этого возьмемъ тождество Якоби
[4, (В, О)] + [В, (О, А)] + [О, (4, В)] = о примемъ въ немъ сначала А = Н и В = а потомъ А = н В = /ІУ тогда составимъ
[Я, (Д, С)] + к, (с, Я)] + [ с, (Я, 4)]=о
[А. (4. ОД + [А. (о, А)] + [О,(А, А)]=°
но (АіЛ) —° п (^/2) = °, слѣдовательно пзъ этого остается
[я,(А,с}] + [А,(с,я)]=о
[АДА- <?)] + [а, [О, А)] = о
принимая здѣсь С = ф, находпмъ
[я,(А,ф)] + [А.(ф.яі] = °
[А.(А,ф)] + [А.(ф.А)]=°
но (ф,2?) = о и (ф, Д) — .о, поэтому остается
ША.Ф)] = °; [А,(А2,ф)] = °
но (Л^Ф) —Фі слѣдовательно
(я>Фі) = °; (А>Фі) = °
принимая въ уравненіяхъ (32) С = фп находпмъ [Н, (А.Фі)]+ [А. (ф„Я)]=о [А. (А.Ф.)]+ [А»(ф„ А)]=о
но (фп 2Г) и (фпА) — о, поэтому остается
[Я, (Д, ф,Д = о; [А, (А, Фі)] = о
но (/.2,фх) ~Фг слѣдовательно
(71,ф2) = °5 (А'Фз) —° и т. д.
такимъ образомъ видимъ, что всѣ функціи ф, фх, ф2 - < -удовлетворяютъ уравненіямъ (К, У) —о, (/’пУ)=іо, если будутъ подставляемы намѣсто У. Остается изъ ряда этпхъ функцій выбрать такую, которая удовлетворяла бы и уравненію (Д, У) = о, если будетъ подставлена на мѣсто У. Когда такая функція будетъ опредѣлена, она будетъ искомою функціею Н3.
Предположимъ, что въ ряду функцій фп ф2 • • • найдена такая функція фк, которая выражается чрезъ предыдущія, такъ что
фк — 0(ф, фх, ф2 - - - фл-і).
Составимъ изъ этой функціи и функціи /2 символъ Пуассона. Этотъ символъ по выраженію (15) имѣетъ видъ
Ф*) ~ Ф) “Щ7 + Фі) + • • • + (Л' Ф^і) ^7}“
или
(Л>ф<> = ф]7^ + ф2^+‘ • -+ФЛ^~;
слѣдоватедьно фк какъ функція, удовлетворяющая уравненію (/з,фк) = о, опредѣлится изъ линейнаго уравненія
если фк удовлетворяетъ уравненію (/‘2,фк) = о, то она можетъ быть принята за четвертую искомую функцію; такимъ образомъ эта искомая функція опредѣлится чрезъ интегрированіе линейнаго уравненія съ частными производными
которое содержитъ только перемѣнныя ф, фх, • • фк-і.
Эта искомая функція опредѣлится какъ одинъ изъ интеграловъ системы' совмѣстныхъ уравненій
Полагая [3 — Н3 = а3, мы будемъ имѣть уравненіе, которое совмѣстно съ данными Н — а и уже найденными Нх = ах, Н2 == а2 будетъ служить для вычисленія частныхъ производныхъ 2>х, р2, . - -_р„.
Все изложенное можно считать достаточнымъ для развитія теоретическихъ соображеній, касающихся опредѣленія функцій НХУ Н2У - - • посредствомъ данной функціи И. Эти функціи такимъ образомъ найденныя всѣ будутъ удовлетворять
уравненію (Н-, НЛ = о и, будучи приравнены произвольнымъ постояннымъ, послужатъ для опредѣленія производныхъ _р1, р2 • • ~рп подъ тѣмъ условіемъ, чтобы вторая часть выраженія
сіг = + р2 йіг24- • • • 4-/р„ $х„
была точнымъ дифференціаломъ.
Поясномъ изложенную теорію на частномъ примѣрѣ.
Будемъ интегрировать уравненіе
(^Рі + ^р*) а3 4- ар3 (д — р2) = а
это уравненіе содержитъ трп независимыхъ перемѣнныхъ , ж2, х3 и трп пропзвод-$0 $0 $0 _
ныхъ рг = р2 = ~; р3 = —. Для интегрированія этого уравненія не-
обходимо кронѣ даннаго составить еіце два уравненія Нх = а* и Н2 = а2, которыя вмѣстѣ съ даннымъ будутъ достаточны для опредѣленія трехъ производныхъ рх, р2, р3.
По изложенной теоріи найденъ прежде функцію удовлетворяющую уравненію (Я, Н1) = о. Въ нашемъ случаѣ это уравненіе есть
йя^я. ля<?я , <?яйя ^я<гя , ляля. ляля
. » . —_„—, , — “——- | 1 —•—— «—• — —— ———— ~ о
фг ф1 <іхх <іх2 йр2 ф2 &рг <Іх3 Ир3 Ир3 <Ях3
и Нх должна быть опредѣлена чрезъ интегрированіе этого уравненія линейнаго осносительно производныхъ функціи Яр обывновеяныя совмѣстныя уравненія, соотвѣтствующія этому уравненію съ частными производными, суть:
Ф, ф„ фа Ф, &Х2
Ф, Ф2 с!х3 Дрх <ір2 Лр3
Для даннаго уравненія
поэтому въ нашемъ частномъ случаѣ предыдущія совмѣстныя уравненія принимаютъ впдъ
фг ____ ф2 ___ ф3 ___________ — __ — $х2 __ — йх3
хзРі — Рі~+ ж2х3 + ар3 ” ххх3 — хр3"" а(рх —р2)
помня, что сумма предыдущихъ такъ относится къ суммѣ послѣдующихъ, какъ каждый предыдущій къ своему послѣдующему, пзъ первыхъ двухъ отношеній имѣемъ
Фі + Фг _ Фг ^3-2^2 4“ Я'З.Рі ^1^3
849
также четвертое и пятое отношеніе даютъ — йя2)_________________________________________ —
яо такъ какъ по первоначальнымъ пропорціямъ
йр2 ___ — вГ®1
Л жз ~ " а^з
то очевидно
Д(Рі 4- уг) + а?г)
интегралъ чего есть
Оі -і-і’з)+]е Оі+=ис
или
Оі + Рг) Оі + — ПОСТ,
слѣдовательно можемъ принять
4- я2) Ог + р2).
Теперь слѣдуетъ опредѣлить функціи Нг, совмѣстно удовлетворяющую уравненіямъ (.К, .Н2) = о и Н2) = о, Для этого, слѣдуя общей теоріи, найдемъ интегралъ уравненій (А) отличный отъ найденнаго интеграла = ах.
Первое' и второе отношеніе изъ пропорцій (А) даетъ
Рі -Рг
интегралъ этого есть
Р12
Рі
пост
слѣдовательно та функція, которую мы означили въ общей теоріи чрезъ (р, есть
2 2
Пользуясь этой функціей, нужно составить символъ ф). Въ нашемъ случаѣ
йф
ЙФ
Такимъ образомъ
Фі — <Р) = Оі + Га)і>і — (.Рі + Рг)Р2 —Рі2 —Ръ*
п мы впдпмъ, что
91= А2— І>2
паи
9і = 29
слѣдовательно функція <р1 не есть новая функція, а выражается чрезъ <р п на основаніи выше сдѣланнаго замѣчанія найденная функція <р не годится для опредѣленія Н2. (Мы показали, что еслп въ ряду фА, ф2 - • - функція пыражается чрезъ
предыдущія, то посредствомъ функціи функція Н2 опредѣлена быть не можетъ).
Въ впду этого найдемъ пнтегралъ уравненій |^А) отличный уже отъ найденныхъ интеграловъ Нг п <р.
Еслп въ двухъ первыхъ отношеніяхъ возьмемъ отношеніе разяостп предыдущихъ къ разности послѣдующихъ, то это отношеніе посредствомъ послѣдней пропорціи можетъ быть написано въ впдѣ
Л (Рі — Рі) _ ~ ^3
— *з Оі—Ю « (Л — р2) откуда пнтегралъ будетъ а а (2?! — р2) — = пост.
что по означеніи общей теоріи должно быть принято за б. Итакъ
составимъ символъ Мы впдпмъ, что
ЙО _ . ЙО __ ЙѲ __ . ЙѲ __ ЙѲ _ ЙѲ _
й^”0’ йя,~°’ йа;3“ йр^*' Лр2~ ‘Л; йр3“ °
поэтому легко видѣть, что
(Яг0) = о
а слѣдовательно функція 0 можетъ быть принята за Н2. Итакъ для опредѣленія производныхъ 2?х, р2, р2 пмѣемъ уравненія
Я = {х2рх + х2р2) хз + «Рз Оі — Рг) — а
Д = (А + ж2) (^ +^2)= «і
#2 = «(^і ~Р2} аі‘
Изъ этпхъ уравненій, рѣшая ихъ относптельно рѵ р2 п р2, легко находпмъ
такпмъ образомъ полный дифференціалъ
йг =р2 -г $2 Йг2 + Рз ^хз
въ настоящемъ случаѣ приникаетъ впдъ
(В)
Опредѣливъ функцію 77,} мы можемъ идти къ интегралу даннаго уравненія другомъ путемъ, примѣняя послѣдовательно тотъ же изложенный способъ Якобп. Мы можемъ за исходную точку изысканія функціи Н2 принять уравненіе (Нл,И2)=о. Этотъ нуть нѣсколько длиннѣе указаннаго, но на немъ удобнѣе прослѣдить всѣ пз-
<• <т <• гп (ІИі іІІ'І
гиоы изящнаго спосооа Якоои. Такъ какъ ——- = о л 1 = о, то уравненіе
КГЕ3 «р 3
(Н^Н2} — о приводится къ
плп къ
интегрированіе этого уравненія относительно Н2 приводится къ пнтегрпрованію уравненій впда
(ІРі _____ — (Іхг _______ йр2 _________ — Іх2
сравненіе перваго отношенія съ третьимъ по интегрированіи даетъ
Рі —Рі— пост.
слѣдовательно за функцію ф въ этомъ случаѣ можемъ принять
о = ~Р2
составляя по указанію общей теоріи
фі = (Н, ф)
имѣемъ
сіф___йф _о, Йф_______________ Йф _________ йф _ Йф
(Іхг ’ йгс, ’ йж3 1 йр1 ’ (Ір2 ’ йр3
Производныя II мы нашлн выше п теперь посредствомъ пхъ составляемъ Фі = (Д>= хз (Л— Рі)
слѣдовательно
?і — — х3
это есть новая функція п вмѣстѣ съ тѣмъ интегралъ уравненія (#г, Н^=. о.
По общей теоріи теперь слѣдуетъ составить функціи ф2 = (іГ, фг). Мы видѣли, что
йф, йо,
слѣдовательно
?2 = (А ~ Р2) *з2 + * (Рі —1\)г что очевидно представляется въ видѣ
итакъ функція ф2 не представляетъ собою новой функціи, а выражается чрезъ предыдущія, поэтому дальнѣйшихъ функцій <р производить не будемт, и для опредѣленія функціи удовлетворяющей совмѣстно уравненіямт. А) = ° 11 (^ А) = о, мы должны обратиться теперь къ уравненію (30) общей теоріи. Уравпепію (Н, А) = какъ мы знаемъ, удовлетворяетъ каждая пзъ функцій Н, Фи <р2, будучи подставлена намѣсто А- Функція же А, удовлетворяющая уравненію (/71,А)=о, опредѣлится по уравненію (30), которое въ нашемт. случаѣ принимаетъ видъ
или
интегрированіе этого линейнаго уравненія приводится, какъ мы знаемъ, къ интегрированію обыкновеннаго уравненія вида
Теперь общую величину этихъ двухъ отношеній слѣдовало бы положить равною и интегрированіе этого уравненія привести къ интегрированію уравненія втораго порядка относительно <р, но проще интегрировать это уравненіе посредствомъ введенія новаго перемѣннаго. Написавъ предыдущее уравненіе въ впдѣ
, а ?_2 Ф Ф,
положимъ
<р! -- и<р
тогда
Йф, йм
~ = г; + ф -г-ЙФ ЙФ
ь <
и разсматриваемое уравненіе пронимаетъ впдъ
ЙЗ^ Ф з з
и _і_ л = и Ч- а —, плп и агс =^а.аа гйф и
откуда
а<р — — + поет.
плп
Ф,г
Лф — ~ пост.
т 2ф2
Такпмъ обрамомъ
тг ф? г -\ жз2
Я2 = а<р — = а (X — Р2)~ ~
то же, что нашли пнымъ путемъ выше.
Для полнаго рѣшенія задачи остается пнтегрпровать уравненіе (В). Примѣняя къ этому случаю выше изложенный способъ пнтегрпрованія тотальныхъ уравненіи со многпмп перемѣнными, находпмъ
г + А = — Іг (я, + ж2) Ч-----------(я, — %-,) І Ч—Ч-
г 2« \ г 7
Ч- агс (іаи^ = • Л. — —(га2 гг22)
]/®2 V 2аг7 2
что п представляетъ собою полный пнтегралъ даннаго уравненія съ частными производными;' этотъ интегралъ, какъ н должно быть, содержитъ трп произвольныхъ постоянныхъ А. а, а„. * А
43. Разсмотримъ нѣкоторые нзъ тѣхъ случаевъ, въ которыхъ интегрированіе даннаго уравненія съ частными производными можетъ быть упрощено.
Предположимъ, что данное уравненіе представлено въ впдѣ
, Д?2 • ♦ ‘Я#, Рі, р2 ’ • ' Рпу фз 5 Р2 ’ ’ • фш) — ® (1)
гдѣ ф], ф2 • . • фІЦ суть функціи перемѣнныхъ я;2 > • • ж„, _рх, р2 • 2>п,
удовлетворяющія условію
(ф(.}Ф,)=° (2)
для всѣхъ значеніи г п з, представляемыхъ числами 1,2. . . т. Посмотримъ, при
елепхъ условіяхъ функціи ф2, ф2 < * ФК1 при интегрированіи даннаго уравненія могутъ бытъ разсматриваемы какъ постоянныя величины.
Мы знаемъ, что для интегрированія уравненія (1) по способу Якоби нужно составить еще п—1 уравненій, необходимыхъ для опредѣленія всѣхъ производныхъ _Рі, р2 . • -р„. Предположимъ, что разсматривая ф2, <р2 4 • 4 какъ постоянныя извѣстнымъ намъ пріемомъ составлена часть этихъ уравненій, именно
(3)
Я^ ----, Я^ ------- * * 4 -Яг -—
гдѣ I < «. Функціи Нг, Н2 • • • Ні не содержитъ постоянныхъ аг, а2 • > . аі, но могутъ содержать въ себѣ функціи ф2, ф2 • 4 ®слп уравненія (1) и (3) имѣетъ, какъ мы предполагаемъ, общій пнтегралъ, то, какъ извѣстно,
(Я.-, Нк) = о
гдѣ подъ і и к можно разумѣть каждое пзъ чиселъ о, Я0 = Я).
• • принимая, что
Мы знаемъ, что если функціи Я,- и Я* содержатъ перемѣнныя , х2 • ♦ • ж„, рг, явно и въ зависимости отъ нѣкоторыхъ величинъ ф1, ф2 • * • Ф»и
то по выраженію (14) (стр. 830) имѣемъ
Мы знаемъ, что (Я,, Я*) = о въ предположеніи, что ф2, ф2 • • • ф„, суть постоянныя величины; эти функціи ф:, ф2 и т. д. при интегрированіи даннаго уравненія могутъ быть разсматриваемы какъ постоянныя величины, если [ЯІ-,Я*] = о. Такое условіе удовлетворится, если вторая часть предыдущаго уравненія обращается въ нуль: первый и третій членъ обращается въ нуль по принятымъ допущеніямъ т. е. по предположенію (Я/, Я*)—о и (©г, ф,) = о, а потому условіе [Я/, Я*] —о удовлетворится, если
(Я,-, фг) = о
гдѣ г = о, 1, 2. . . 1-у г = 1, 2- • т.. Для і — о это условіе приводится такпмъ образомъ къ
(Я, фі) = о, (Я, э2) = о - . . (Я, ф„() = о.
Итакъ для того, чтобы при интегрированіи уравненія (1) можно было разсматривать фі, ф2 • • - ф„, какъ постоянныя величины, необходимо, чтобы эти функціи удовлетворяли условіямъ
(4) (Я,©г) = о и (фг,ф4)=о.
Еслп дано уравненіе
Н(х^х2- - -ж,-, рг,рг- = ° (5)
содержащее независимыя перемѣнныя хг, ж2. . • ж,-, ж,^і • • • ж» и производныя рг^р2- ' 'Я*, Р»-н ’ ' ‘Рп' но такимъ образомъ, что <р есть функція только остальныхъ перемѣнныхъ х^ • • -жп; Рі+і 'рп то понятно, что для того, чтобы можно было принять при интегрированія функцію ф за постоянную величину, необходимо, чтобы удовлетворялось только первое изъ условій т. е. чтобы (27, ф) —о. Въ разсматриваемомъ случаѣ, такъ какъ <р перемѣнныхъ жѵ ж2 • • • ’Рі
не содержитъ, это условіе непремѣнно выполняется.
Въ самомъ дѣлѣ
что можно написать въ впдѣ
А
^Хк
первая пзъ этпхъ суммъ обращается въ нуль, потону что производныя л
для всѣхъ значеній к отъ к = і до к = і обращаются въ нули, ибо ф по предпо
ложенію не содержитъ перемѣнныхъ ж,, ж2 • . .ж,-, • 'р;- Вторая сумма
выраженія (6) обращается въ нуль, потому Что для всѣхъ значеній к отъ й=і-|-‘1
до 7г = « производныя
<1Н (ІХк
(Ш
обращаются въ нулп, ибо функція Н. сама по
п
себѣ или явно перемѣнныхъ ж^і • • ж„, • • «у?,, не содержитъ. Такимъ
образомъ (И, ф) = о и въ разсматриваемомъ случаѣ мы можемъ принять ф = с,
тогда вмѣсто даннаго будемъ интегрировать уравненіе
Н(жх,ж2. - • ж,, рг,р2- • • с) = о (7)
принимая прп этомъ .
ф(ж,+і. . .ж„, • *рп) = с. (8)
Если интегралы уравненій (7) и (8) суть
0 — ф (Ж/-І-1 • • ♦ Жп , * * * ®л)
то интегралъ уравненія (5) будетъ # = /“-1-11/, пбо это выраженіе удовлетворяетъ данному уравненію и содержитъ надлежащее число произвольныхъ постоянныхъ.
Итакъ если въ данномъ уравненіи перемѣнныя въ упомянутомъ смыслѣ раздѣлены, то интегрированіе этого уравненія • замѣняется интегрированіемъ уравненій
(7) п (8) отдѣльно. Каждое пзъ этпхъ отдѣльныхъ уравненій содержитъ меньшее число перемѣнныхъ чѣмъ данное уравненіе п интегрированіе упрощается.
Интегрированіе уравненія съ частными производными упрощается еще въ томъ случаѣ, когда въ него не входятъ нѣкоторыя пзъ независимыхъ перемѣнныхъ. Въ этомъ случаѣ производныя функціи я, взятыя по этпмъ перемѣннымъ, могутъ быть замѣнены въ данномъ уравненіи произвольными постонииымп величинами.
Предположимъ, что дано для интегрированія уравненіе
„ ( Лг Лг Лг
Предположимъ, что пнтегралъ этого уравненія есть
(Ю
2= а. я, 4- «о + * * • + и
Да лг агі
гдѣ и есть нѣкоторая функція перемѣнныхъ • • -хп. Въ такомъ предположеніи выводъ полнаго интеграла даннаго уравненія приводится къ опредѣленію функціи и.
Еслп (9) есть общій пнтегралъ даннаго уравненія, то частныя производныя отъ г, выведенныя по этому интегралу, должны удовлетворять данному уравненію, но этп частныя производныя суть
Ля Лг
Лх, Лх<
А
сіе _____ Ли
Лг Ли
Лхп ~” Лхп
пбо перемѣнныя ж.-^і • . -жп прп формѣ (9) общаго пнтеграла содержатся только въ и. Этп производныя должны удовлетворять данному уравненію, а потому для опредѣленія и получпмъ уравненіе, еслп предыдущія величины производныхъ внесемъ въ данное уравненіе. Результатъ этой подстановки будетъ
(10)
итакъ интегрированіе даннаго уравненія въ разсматриваемомъ случаѣ приводится къ интегрированію уравненія (10.), а это послѣднее получится, какъ впдпо пзъ даннаго, еслп въ немъ частныя производныя по не входящимъ въ него независимымъ перемѣннымъ замѣнимъ произвольными постоянными величинами.
Пояснимъ этп общія соображенія на частномъ примѣрѣ.
Будемъ пнтегрпровать уравненіе
(А) (х^ + хур^ ж3 + (^ — рД [2?/ + О5 +
Въ этомъ уравненіи перемѣнныя#^, #5_р5, #6^в составляютъ отдѣльную группу, а потому на основаніи предыдущихъ теоретическихъ соображеній функція этпхъ перемѣнныхъ въ данномъ уравненіи можетъ быть замѣнена произвольной постоян
ной величиной, которую означимъ чрезъ а. Тогда интегрированіе даннаго уравненія приведется къ интегрированію двухъ уравненій вида
[я-іРх 4" ^1^2) »9 4“ Ѵъ Рг) а — я я
Рі + (?» 4- + хь}Рь = а-
Второе изъ этихъ уравненій интегрируется весьма просто безъ примѣненія способа Якоби. Прежде всего замѣтимъ, что въ немъ перемѣнное х. не входптъ, а потому пропзводная р& можетъ быть замѣнена произвольной постоянной р. Итакъ вмѣсто втораго пзъ (В) будемъ интегрировать уравненіе
2Ѵ + (Р -г О3 4- *6) Р6 = а (С)
принимая р. = р.
Въ этомъ уравненіи перемѣнныя хер% составляютъ отдѣльную группу, а потому ее замѣнимъ произвольной постоянной у и вмѣсто уравненія (С) будемъ интегрировать два уравненія вида
(Р 4- #6) Рб = Т
Рі2-г (Р 4-я?4)Т = *
отсюда находимъ
^6 = ут; ~ ’ Рі = - (0 4- *4) т-
Вообще функція удовлетворяющая второму пзъ уравненій (В), должна быть опредѣлена по уравненію
=р4 &х4 -|- Рь Ихь 4- р6 ^х6
что въ нашемъ случаѣ принимаетъ впдъ
откуда
6
интегралъ перваго пзъ уравненіи (В) мы нашли выше по способу Якобп, а потому полный пнтегралъ уравненія (А) будетъ
гдѣ двѣ произвольныя постоянныя А -[- А1 должны быть приняты за одну и тогда этотъ полный пнтегралъ содержитъ, какъ и должно быть, шесть произвольныхъ постоянныхъ: А-\-Аг, аѵ а2. а, р, у.
Интегрированіе каноническихъ уравненій.
44. Вопросы объ ивтегрярованіи совмѣстныхъ дифференціальныхъ уравненій я уравненій съ частными производными находятся между собою въ тѣсной связи.
Система совмѣстныхъ дифференціальныхъ уравненій перваго порядка, представляющая соотношеніе между перемѣннымъ независимымъ і и 2» его неизвѣстными функціями а?!, х2 • < . • хп, уг, у2 • • • - у», вообще можетъ быть представлена въ впдѣ:
гдѣ Аг, А2 • • А„, Вг, В2. . • В„ суть данныя функціи независимой перемѣнной і я зависимыхъ хг, х2 • ♦ х„, уг, у2 • - • уп.
Канонической системой уравненій называется частная форма предыдущей общей, именно такая форма, въ которой функціи Аг, А2- • . А„, Вг, В2- • . В„ суть частныя производныя одной и той же функція Н, гдѣ
іГ== ВХі, х2 • • хп, уг, у2 • • •
частныя производныя взятыя относительно зависимыхъ перемѣнныхъ я имѣющія слѣдующій опредѣленный видъ:
А — — п ~ ~ НХ;
гдѣ г есть каждое изъ цѣлыхъ чиселъ отъ 1 до п..
Такимъ образомъ каноническая система будетъ имѣть слѣдующій общій видъ
Нх2___НН Нх2_______ПН Нх„ ____________ сШ"
. Ні ~ Ну Ні ~ Ну2 ’ * * ’ ~Ні "Н^
Нуг _ _ НН Ну2 _ __ НН Ну„. __ НН
Ні Нхг' Ні- Нх2 ’ Ні Нхп'
Интеграломъ эт.ой системы называется уравненіе
К = а I *
•.ъ которомъ а есть произвольная постоянная и V функція отъ і, хх, х2 • • • ж„, у , у2 . . . у,,, не содержащая постоянной а и при томъ такая функція, полная производная которой относительно і приводится тождественно къ нулю, если изъ нея исключимъ посредствомъ каноническихъ уравненій производныя, взятыя отъ # . • • хп, Уі, у• • У« относительно главнаго перемѣннаго і. Если извѣст-
ный вопросъ приводится къ интегрированію канонической формы, то рѣшить его значитъ найти 2» интеграловъ вида Г’=а; эти ъп уравненій дадутъ возможность выразить каждое изъ перемѣнныхъ хх, х2 • ♦ х„, ух, у2 • • • уп въ зависимости отъ главнаго перемѣннаго і.
Полная производная функція V относительно і есть
АѴ_ АѴАхх
ді \Аі/' Ахх Аі
АѴ Аха АѴ Ау„ Ахп Аі Ауя ді
слѣдовательно если К=а есть одинъ изъ интеграловъ канонической системы, то, дхп Ауя _
-чт-, -уг посредствомъ канонической
исключая отсюда производныя . •
системы, мы должны тождественно имѣть
Аі) Ахх Аух Аух Ахх
АѴАН АѴАН Ах„ Ау„ Ау„ Ах„
или по означенію Пуассона
(2)
это есть крятеріумъ того, что Ѵ=а есть интегралъ канонической системы, именно если V удовлетворяетъ этому уравненію съ частными производными,- то она есть интегралъ канонической системы.
Полное рѣшеніе системы (1) состоитъ изъ гп различныхъ между собою интеграловъ содержащихъ яп произвольныхъ постоянныхъ. Рѣшаа эти интегралы относительно произвольныхъ постоянныхъ,, приведемъ ихъ къ виду
фг = аг, ф2 = а2
Фі — Ъх, ф2 = Ь2 • . • ф„ = К
гдѣ <34, аа • • • ап Ъх, й2. • • • Ъп суть произвольныя постоянныя п ф,, ф2 ’ * •
, ^2 • • • суть нѣкоторыя функціи отъ і, хх, х2. . . Хп, ух>у2' • • Уп .
Пуассонъ показалъ, что если ф = а и ф = й суть два изъ интеграловъ урав’* неній канонической системы, то символъ (ф, і|>) приравненный произвольной постоянной есть также интегралъ этой системы. Для доказательства этой теоремы Пуассона,
замѣтимъ прежде всего, что па основаніи предыдущей теоремы, еслп 9 п ф суть пнтегралы каноническихъ уравненій, то тождественно должны удовлетворяться уравненія
<?9
Иі
4- (©, Я) = о;
Еслп (9, ф) = пост. есть также пнтегралъ канонической системы, то подобно этому должно тождественно удовлетворяться уравненіе
по выраженію (7) (стр. 826) пмѣемъ
но по выраженіямъ (3)
= -(?, II) - )Н = - (ф, Н) = (Н, ф)
слѣдовательно предыдущему можно дать впдъ
^|^’=[(Я,?).ф]+[?,(Яф)]
слѣдовательно уравненіе (4) прпнпмаетъ видъ
[(Я, о), ф] 4- [©, (Я, ф)] 4- ((<р, ф), Я] =• о
или
[(Я, 9), Ф] + [Ср, Ф), Я] - [(Я, ф), <р]=о.
пли наконецъ
[(Я, <р), ф] 4- [(9, ф), Я] 4- [(ф, Я), <р] = о.
что по теоремѣ Якоби (20) (стр. 833) дѣйствительно обращается въ нуль, слѣдовательно отъ подстановки (9, ф) вмѣсто V въ уравненіе (2) это послѣднее тождественно удовлетворяется п (о, ф) есть слѣдовательно интегралъ канонической системы.
Пользуясь теоремой Пуассона, мы можемъ въ извѣстныхъ случаяхъ по двумъ интеграламъ каноническихъ уравненій находить новый интегралъ тѣхъ же уравненій. Но мы получимъ такимъ путемъ новый интегралъ только тогда, когда символъ (9, ф) не обращается тождественно въ нуль и не есть опредѣленная постоянная величина.
4-5. Помня, что
~~ хі " * ' Л7«, У\5 у2 • * * у»)
(5)
опредѣлимъ величины у^ у2 • ‘У» изъ уравненій
Ф1 = ап <?2=Й2- - *<рн—«Л (6)
п подставивъ пхъ въ уравненіе (5), означимъ .результатъ этой подстановки чрезъ (Л). Легко видѣть, что функція
уг сІхг -|- У2 + • • 4“ У» ^Хи — (-Ю
есть точный дифференціалъ. Чтобы доказать это, достаточно, какъ извѣстно, доказать, что
И (И] _ Фуі
Нхі Ні
для всѣхъ значеній і отъ 1 до п.
Ио если (Л) есть’ результатъ подстановки всѣхъ у въ Л, то (Л) будетъ содержать х> двояко, явно п въ зависимости отъ у. Итакъ
(?{Л) _^Л\ [ ПН Нуу , . к
(ІХі \Нхі) Ну1 Нх( "и "и &Уп <І%І '
еслп (6) суть интегралы уравненій (1), то они должны удовлетворять условію (<рг, ф*) — о
а еслп это существуетъ, то какъ извѣстно существуетъ равенство сіу; (ІУк
Нхк (ІХі
имѣя это въ виду, преобразуемъ уравненіе (7) посредствомъ канонической системы и прпведемъ его къ виду
(ІХі Ні Ні Нхі ’ 1 Ні Нхі
что посредствомъ предыдущаго условія приведется къ виду (ЦП) _ йуі (Тхг сіуі , , Нх„ Нуі
(ІХі Ні Ні Ях-і "т” п” Ні Нхп
посредствомъ (6) каждую изъ величинъ Уі мы представимъ въ впдѣ функціи отъ і п х1У х2 • • -ж„, слѣдовательно
(ІУі ((іуі\ Нуі Нхг ( Нуі Нхп
Ні \Ні / Нхг Ні "И" 1 (іха Ні
подставляя это въ предыдущее уравненіе, получимъ _ ((іуі\
Нхі \ Ні
этимъ п подтверждается то, что
Уі сІхг + у2 &с2 4- . • • -Н У я <^хп — (И) сіі
есть точный дифференціалъ. Пусть функція, отъ которой онъ происходитъ, есть V. Слѣдовательно V есть интегралъ предыдущаго выраженія, представляющійся функціей і, я?15 х2 • • хп и произвольныхъ-постоянныхъ а1, а2 • • а„. Итакъ
(8)
уг (Іхг 4- у2 СІХ2 4- • • • + у» $Хи — [Н] СІІ =: СІѴ
откуда заключаемъ, что
(9)
аѵ
да.
Предположимъ, что функція Рг чрезъ интегрированіе точнаго дифференціала, найдена, тогда еслп возьмемъ частныя производныя этой функціи относительно каждой постоянной въ него входящей п каждую частную производную приравняемъ новой произвольной постоянной,' то выраженія такпмъ образомъ составленныя будутъ интегралами уравненій канонической системы. Докажемъ эту теорему. Убѣдимся, что
(ГѴ #7
(Таг “ сІа2 “ 2 ' ’ ‘
суть интегралы уравненій канонической системы. Эта теорема будетъ доказана, еслп покажемъ,
сІап
что полный дифференціалъ относительно і, взятый отъ первыхъ частей этпхъ уравненій по исключеніи производныхъ
—тт, ~тг • - посредствомъ уравненій (1) тождественно обращается въ вуль. «Г (7 и (ІѴ
Понятно, что
тс7У а-ѵ— т аа; ссхп
(Іх„ Лі
гдѣ первый членъ есть производная функціи V, взятая относптельно і входящаго явно. Измѣняя здѣсь порядокъ частнаго дифференцированія функціи V, имѣемъ
г?—— , ах^ (Іхг
(Іаі сіі
йа, (И
но принимая во вниманіе уравненія (9) и исключая
сіх2 сіх2 сІхп
сіі ’ сіі <Іі
посредствомъ уравненій (1), находпмъ
7 —
а йа: = сІ(Н) ді да,;
дуг сіи да,- сіуі
дуп сіи (Іа; Луп
но еслп (Я) получается пзъ Я по исключеніи ук посредствомъ уравненія <р*== <и, то (/Г) будетъ содержать ак только въ зависимости отъ ук. Итакъ.
(Г (Я) __ (Ш (Іу,
(Іаі сіуу (Іа, ' (Іуі сійі
(Ш3уп
•” $улсІаі
внося это въ предыдущее уравненіе, видимъ, что вторая часть его тождественно обращается въ нуль, поэтому
3
ЗѴ
За,
Зі
а
слѣдовательно
(Іаі
Ъі есть интегралъ уравненій канонической системы.
Итакъ мы приходимъ къ двумъ такпмъ заключеніямъ:
1). Задача интегрированія канонической системы будетъ рѣшена, если знаемъ функцію V, ибо тогда уравненія
ЗѴ (іхх У1’
представляютъ полную систему
ЗѴ __
(ІХ2 ^2 (ІХп
зѵ _ зѵ_
Заг~ 2...........Зап~~ "
2« интеграловъ данныхъ уравненій канонической
системы.
2). Функція V непосредственно можетъ быть опредѣлена слѣдующимъ образомъ. Уравненіе
(IV
должно удовлетворяться тождественно, но второй членъ этого уравненія т. е. (Я) есть результатъ подстановки въ функцію
величинъ у1У у2- • . уя взятыхъ пзъ уравненій
Ірі — •-^2 ‘ * * ФЛ —- Зі
эти величины тождественны съ величинами
Слѣдовательно функція V должна удовлетворять уравненію
ЗѴ . _
Х>" &Х1 Зхп/ °
Сіо)
но V кромѣ перемѣнныхъ І, хѵ х2 • > хл должна содержать п произвольныхъ постоянныхъ а2 • • • ай, слѣдовательно V должна быть опредѣлена какъ одинъ пзъ полныхъ интеграловъ уравненія (10) съ частными производными перваго порядка.
46. Примѣнимъ эту общую теорію къ рѣшенію вопроса о движеніи матеріальной точки при дѣйствіи центральной силы; прп этомъ допустимъ, что сила есть функція разстоянія.
Итакъ пусть сила, направленная къ неподвижному центру, представляется уравненіемъ
Г = ? (г)
проложенія этой силы на осп координатъ будутъ
— 7 ® (г); — 7 ф (»•); — 7 ф (»•)
а потому уравненія движенія представятся въ видѣ
легко видѣть, что этп уравненія приводятся къ канонической формѣ, ибо легко составить такую функцію 77, посредствомъ которой выполнится это преобразованіе.
Для составленія функціи И, помножимъ первое уравненіе на , второе на
Сѵѵ
(4Г
третье на —- и, сложивъ произведенія, найдемъ
плп
интегрируя это, получимъ
(И)
ф (г) = ІЪ = пост.
легко впдѣть, что это л есть та функція (і?), посредствомъ которой уравненія дви-
женія приводятся къ канонической формѣ. Въ самомъ дѣлѣ если положимъ г. — сГС ’ Лі У ' Лі"'"
и кромѣ того примемъ
то замѣтивъ, что / <р(»•)€&* какъ функція г производныхъ а/, у', г’ не можетъ, получимъ
содержать
(12)
(13)
ш а /ч и * *• г
сіг йт йг г
слѣдовательно данныя уравненія представятся въ формѣ
Л2х___ ЛИ Л2у____ СІИ Л23 ЛИ
Лі1 сіх ’ Лі2 Лу ' сК2 Лз
кромѣ того еще имѣемъ уравненія (12). Тѣ и другія при сдѣланномъ означеніи приводятся къ виду
сіх__ЛИ сіу___ЛИ Лз____ЛИ
Лі Лх'' Лі сіу'' Лі сіз1
Лх'__ сІН сіу'___ ЛИ Лз1 ЛИ
Лі Лх' сіі. Лу' Лі ~~ Лз
эти уравненія и составляютъ каноническую систему уравненій движенія.
Интегралы этой системы, соотвѣтствующія интеграламъ общей теоріи
Ф1 = а1, ф2 = #2 > Фз=
получить легко. Въ самомъ дѣлѣ извѣстными сочетаніями находпмъ
Лу' Лх' ЛИ ЛИ
~ — У~з------Х~Г~
Лі Лі Лх Лу
Лх' Лз' сіН ЛИ
з-гг — х-ут ~х~--------е-—-
Лі Лі Лз Лх
но по уравненіямъ (13) это приводится къ виду
интегрируя это, пмѣемъ
ху' — ух? = аг зх' — хз' — а2 уз' — зу'^=а3.
Чрезъ простое исключеніе производныхъ нзъ этпхъ уравненіи получаемъ уравненіе плоскости орбиты.
Примемъ эту плоскость движенія за плоскость ху, тогда третья координата движущейся точки, считаемая по оси з, будетъ равняться нулю п движеніе будетъ представляться системою уравненій
(14)
_ (ІН
(Іі сіх '
йх _ (ІН
аі (Іх'1
(Іу1 (ІН
<іі (іу
(Іу (ІН
сіі (Іу'
гдѣ
и теперь г2 = х2 + у2.
ѵ . (Іх' (ІН (Іу’ (ІН _
Уравненія ~ =— и -~ = —-г- легко интегрируются. Въ самомъ (ІЪ (лО& (іѵ (л'У
дѣлѣ, помножимъ первое уравненіе на у, а второе на х п вычтемъ первое произведеніе пзъ втораго, тогда получпмъ
(Іу' (Іх1 (ІН (ІН
х^ — у — ^у-^------------х~-
аі аі ах (Іу
принимая во вниманіе уравненія (13) впдпмъ, что это обращается въ
пнтегралъ этого уравненія есть
ху' — ух' = а
этотъ ивтегралъ будетъ соотвѣтствовать интегралу фх = аг общей теоріи. Итакъ
Ф - ху' — ух’ — а
интегрированіе уравненій (14) будетъ зависѣть отъ интегрированія уравненія
уг(Іх1’}-угсІхі-\-. сіі —(IV (15)
первая сумма будетъ точный дифференціалъ, если удовлетворится условіе
(Я, о) = о
посмотримъ, къ чему приведется это условіе въ нашемъ случаѣ. У насъ
, „ х сІН сіу сІН сіу йН (Іу ' (ІН (1<у
(Іх сіх' сіх' сіх ‘ сіи сіи’ сіи1 (Іи
кромѣ того въ нашемъ случаѣ
— = ф (г) —
ах т г
Слѣдовательно
что дѣйствительно обращается въ нулъ, слѣдовательно условіе
(Я, ф) = о
выполняется, а потому заключаемъ, что величины х‘ и у' опредѣленныя изъ уравненій
ху1—ух’ = а\ ~-(®'2 + уІ2)+ А (г) (Іг = & (16)
дѣлаютъ сумму х'сіх-^у1 сіу точнымъ дифференціаломъ. Эта сумма нужна намъ
для составленія уравненія (15), которое въ нашемъ случаѣ принимаетъ видъ:
х' (Іх + у' сіу — 7і (И = сѴѴ
чтобы найти х'у исключимъ у1 изъ втораго уравненія (16) посредствомъ перваго, тогда
получпмъ
Ф (г) (ІТ
пли
(ж2 + у2) X12 + 2Й1/ X1 = 2
(ІГ
х2 — а2
но
— г
поэтому
ау :±:хВ
плн
гдѣ
также точно найдемъ
слѣдовательно уравненіе (15) въ нашемъ случаѣ обращается въ
это п есть полный пнтегралъ уравненія (15), заключающій въ себѣ двѣ произвольныхъ постоянныхъ а п к. Интегралы уравненій движенія получпмъ, если этотъ пнтегралъ продифференцируемъ по произвольнымъ постояннымъ н полученныя производныя приравняемъ новымъ произвольнымъ постояннымъ.
Итакъ интегралы уравненій движенія будутъ
гдѣ Ъ н д суть новыя произвольныя постоянныя. Легко видѣть, что
2
йк
(Іа
слѣдовательно два полученные интеграла суть
агс іа ля
слѣдовательно
или
поэтому
пусть
тогда
числителя п знаменателя
на
а
2/1
аг
7л
При дѣйствіи силы по закону Ньютона
— аа
помножимъ
— е2
------—тогда получпмъ
пусть
тогда
а слѣдовательно
но танъ какъ
то легко впдѣть, что
поэтому первый пзъ двухъ найденныхъ интеграловъ принимаетъ впдъ
'V
агс Іаи§ агс (соз = ф) — Ъ
пусть х — г соз ѵ \ у = г зіп у, тогда
У 4
—= іап§ ѵ
а слѣдовательно
агс іаид
поэтому предыдущій пнтегралъ (удерживая въ немъ знакъ —) даетъ ѵ — Ъ = агс (соз = ф) илп
а (1 — е2) --------------
1 4*е соз (ѵ — 0)
уравненіе коническаго сѣченія п вмѣстѣ съ тѣмъ аналитическое представленіе втораго закона Кеплера.
Чтобы выполнить второй изъ интеграловъ (17), замѣтимъ, что
но но принятому означенію
поэтому
полагая здѣсь а — г = ае соз и пмѣемъ
а(1 — е соз и) йи
слѣдовательно второй пзъ интеграловъ (17) принимаетъ видъ
Я о
і 4- д = ' (и — е зіп и
V* Н
и представляетъ собою извѣстное уравненіе Кеплера, по которому выводится третій Кеплеровъ законъ.
Опечатки.
Стр.
24
50
103
115
116
129
139
162
186
199
203
214
217
247
318
382
386
475
489
489
494
514
515
521
643
653
653
661
836
Строка.
12
16
4
16
4
5
1
4
16
2
9
6
5
8
15
11
4
6
5
5
3
3
4
5
11
8
1
7
13
Напечатано.
сверху пусдь
Л л л
Л снизу сверху
л снизу
» сверху
Л
частомъ
общее
противъ уравненія
= я х
ІЕ
суть а: — о х ~ — а слѣдоватегьно оспуптотой по крайнѣй
<?«да ’і/
Нх (Ір
Должно бытъ. пусть частномъ + л ( ± + 2Л _
5 Ѵг* 3“/ общѣе
пропущенъ нумеръ (1).
да іГ
Ш.
суть да - - о, да — — а слѣдовательно асимптотой по крайней
{1>Т + п .......—'
снизу сверху снизу
л
Л
л
сверху
снизу
л
л
л
сверху
л
л
снизу
я
сверху
СКПФОНДЫ квадрадъ 9 («)
СКПФМІДЫ квадратъ
подърадпкальную Ь—с
Г/'(с-—г) (1г
т. е. 9 (да) > Ф (да)
/'(•ѣ)
легко покатъ
под ради кальную
Л — с
о
а притомъ <1 (да) > Ф(да) /'(ІО&-Ѣ)
а- Л®}
легко показать
Уревненіе частнне оно но необходимо тѣхъ же
Уравненіе частное но оно необходимо новыхъ