Ernesto Cesrro
5ЛЕМЕНТДРНЫЙ УЧЕБНИКЪ
ДЛГЕБРДИЧЕСКДГО ДНДЛИЗД
И ИСЧИСЛЕН1Я БЕЗКОНЕЧНО МДЛЫ?(Ъ

Зрнесто Чезпро
ПРОФЕССОРЪ УНИВЕРСИТЕТА ВЪ НЕППОЛЬ
ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ УЧЕБНИКЪ
ПЛГЕБРНИЧЕСКНГО ДННЛИЗД
И ИСЧИСЛЕН1Я БЕЗКОНЕЧНО МДЛЫ?(Ъ
СЪ МНОГОЧИСЛЕННЫМИ ПРИМЬРПМИ ДЛЯ УПРПЖНЕН1Я
ЧПСТЬ ВТОРПЯ
Переводъ съ HtMennaro съ примйчашями и дополнен1ями профессора
К. R. ПОССЕ
СЪ 71 ЧЕРТЕЖЕМЪ
Одессп 1914

ОДЕССЛ
Типограф1я Якцюнернаго Южно-Русскаго Общества Печатнаго ДЪла
(Пушкинская ул., собств. домъ № 18).

Отъ редактора русскаго перевода.
При обработк-fe второй части учебника Чезаро мы изменили
систему, которой придерживались въ первой части, а именно вмЪ-
сто того, чтобы выделять наши примъ-чашя и дополнешя въ особые
отделы въ конц-fe каждой книги, мы помЪщаемъ здъть эти прим-Ь-
чашя и дополнешя непосредственно за гЬми местами текста, къ
которымъ они относятся, отмечая ихъ прямыми скобками [ ].
Кромъ1 того, некоторые §§ оригинала, въ которы.хъ слиш-
комъ сжатое изложеше могло бы повести къ недоразумЪшямъ,
изложены нами въ измененной и болЪе подробной редакши. Наи-
Наиболее существенному изменен™ въ этомъ отношенш подвергся
§ 714, трактующШ объ услов1яхъ интегрируемости функщй, а
§§ 708а и 736а вставлены цЪликомъ для пояснешя сл'вдующихъ за
ними статей.
Глава о дифференщальныхъ уравнен1яхъ представляетъ собою
не бол-fee, какъ конспектъ, который можно разсматривать лишь
какъ введете къ этому важному и обширному отделу анализа; для
подробнаго его изучешя необходимо обратиться къ одному изъ
указанныхъ самимъ авторомъ, въ предисловш къ первой части его
учебника, сочиненШ.
Изъ авторскаго дополнешя къ его учебнику (Anhang) мы
исключили §§ 815 — 825, въ которыхъ сообщаются некоторый
св^д^мя о варшщонномъ исчислен1и, потому что краткое изложеше
началъ этого исчислешя, данное авторомъ, мы считаемъ малодоступ-
нымъ, а развивать эти начала подробнее, что увеличивало бы раз-
размеры и безъ того очень большой книги, мы не считали необходи-
мымъ, въ виду отдаленной связи этого отдела съ остальнымъ
содержан1емъ книги.

VI ОТЪ РЕДАКТОРА.
Въ подстрочномъ примЪчаши къ § 815, авторъ рекомендуетъ
для подробнаго ознакомления съ вар1ащоннымъ исчислешемъ
Ш-й томъ „Cours d'Analyse", С. Jordan'a и статью Hadamard'a
въ „Bulletin des sciences mathematiques et astronomiques", 1901,
стр. 5, содержащую въ ce6t критику началъ вар^ацюннаго исчис-
лешя. Современное изложеше этого исчислен1я читатель найдетъ въ
книг-fe О. Bolza „Vorlesungen uber die Variationsrechnung", 1909.
X. Jfocce.

оглавл emie
Стр.
Отъ редактора V—VI
Книга шестая: Дифференциальное исчислеше.
1. Дифференцироваше 3-- 51
Функцш огь одной независимой переменной 3— 21
Функцш отъ н1;сколькихъ перемЪнныхъ 21—37
Неявныя функцш 37—51
2. Приложешя къ плоскимъ кривымъ 52 — 138
Дифференшалъ дуги 52— 56
Касательная и нормаль 56— 71
Кривизна 71— 92
Асимптоты 92—103
Особенности плоскихъ кривыхъ . . . , 103 — 119
О касанш плоскихъ кривыхъ 119—125
Огибающ1я кривыя 125—138
3. Приложеше къ кривымъ двоякой кривизны 138 — 177
Основныя формулы 138—148
О первой и второй кривизн^ 148—151
ИзслЪдоваше кривыхъ двоякой кривизны 151 — 160
KacaHie кривыхъ съ поверхностями 160—177
4. Приложен1я къ Teopin поверхностей 178 — 233
Основныя поняия 178—185
Линейчатыя поверхности 185—192
Огибаюшдя поверхности 192 — 202
Кривизна 202-216
Опред'Ьлешя и свойства замЪчательныхъ кривыхъ на поверхности 217—233
Книга седьмая: Интегральное исчислеше.
1. Интегрироваше 237—323
Основныя поняия 237—258
Правила интегрировашя <258—292
Кратные интегралы 292—323

VIII 0ГЛАВЛЕН1Е.
2. Приложен1е изложенныхъ пр1емовъ къ нахождешю
нЪкоторыхъ зам4чательныхъ классовъ интеграловъ 323—368
Интегрироваше ращ'ональныхъ дифференщаловъ 323—329
Интегрироваше иррацюнальныхъ дифференщаловъ 330—342
Интегрироваше трансцендентныхъ дифференщаловъ .... 343—346
Замечательные определенные интегралы 346—368
3. Приложен1я къ геометрическимъ изм4рен1ямъ . . . 368—410
Длины дугъ 368—373
Площади плоскихъ кривыхъ 374—386
Поверхности и объемы тЬлъ вращешя 386—392
Центры тяжести 392-396
Поверхности и объемы какихъ угодно гЬлъ 397—410
4. Дифференшальныя уравнен1я 410—455
Уравнения съ двумя перемънными 410—424
Геометрически приложен1я . 424—435
Линейныя дифференц^альныя уравнен1я 435—446
Уравнешя со многими переменными 447—455
Прибавлеме 459-480
Функция Вейерштрасса 459—462
Н-Ькоторыя CBtfltHiH объ исчислеши конечныхъ раз-
разностей 462-469
Свойства Бернулл1евыхъ чнселъ 469—472
Послъдо вательныя производныя функц1и отъ функции 473—475
Предметный указатель 477—480

КНИГИ ШЕСТАЯ

КНИГД ШЕСТДЯ.
Дифференц1альное исчислен1е,
ДИФФЕРЕНЦИРОВПШЕ.
Функц!и отъ одной независимой переменной.
546. Безконечно малыя и безконечно 6ольш1я. Без ко-
конечно большимъ или просто безконечнымъ, какъ мы уже
знаемъ, называютъ переменное число, стремящееся превзойти по
абсолютной величин^ всякую границу, какъ бы велика она ни была,
а безконечно малымъ называютъ всякое переменное число, имею-
имеющее пределомъ нуль '). Итакъ, поняле о безконечно маломъ, равно
какъ и понятсе о безконечномъ (см. § 254, Ь), заключаетъ само
въ себе понят1е объ изменяемости. Такъ, напримеръ, объемъ
твердаго гЪла, подвергающагося таянью, можно назвать безконечно
малымъ, а объемъ неизменнаго атома во вселенной таковымъ на-
назвать нельзя. Въ самомъ деле, если бы мы попытались сравнивать
объемъ атома съ объемомъ вселенной, предполагая последнШ без-
безконечнымъ, то принуждены были бы принять, что единица меры
безпредельно возрастаетъ, и каждому значешю этой единицы соот-
соответствовало бы некоторое число, служащее мърою объема атома
и убывающее безпредельно. Следовательно, не самый объемъ атома,
а число, служащее для его измерешя, было бы переменнымъ и
безконечно малымъ. Однако, стать на такую точку зрешя мы не
J) А. Кош и (Cauchy), „Алгебраичесый анализъ" A821). Въ '„Bulletin
de la classe des Sciences de l'Academie de Belgique" A901, p. 549) цЪлыхъ
40 страницъ посвящены опроверженда этого, будто бы „совсЬмъ плохого
опредЪлешя". На самомъ же д-Ьл-b аргументы автора этой статьи могутъ
служить, и то только отчасти, указашемъ на недостаточность н-Ькоторыхъ
общепринятыхъ опред'ЬленШ (вероятностей и т. д.), восполнеше которыхъ
именно и требуетъ устранешя всякого иного толковашя термина „безко-
„безконечно малое".

4 VI, 1. ДИФФЕРЕНЦИР0ВАН1Е. §§ 546—547
можемъ, потому что во всякомъ вычисленш всЬ входяийя въ него
числа должны быть отнесены къ одной и той же единицъ1 мъры.
Какъ бы велика ни была эта единица, объемъ атома всегда выра-
выразится опред'вленнымъ числомъ, можетъ быть, весьма малымъ, но
постояннымъ. Для яснаго понимашя исчислешя безконечно малыхъ
никогда не слЪдуетъ упускать изъ вида, что безконечно малыя и
безконечно болышя числа—величины по самому существу своему
перем'Ьнныя, и что ихъ надо, говоря словами Ньютона, разсматри-
вать, какъ „ quantitates magnitudine determinatas, sed cogita semper
diminuendas sine limite", т. е. какъ безпредъльно убываюии'я, разу-
разумеется по абсолютной величин^.
547. Двъ1 безконечно малыя величины называются величинами
одного и того же порядка, если отношен!е ихъ стремится къ ко-
конечному пределу, отличному отъ нуля. Если же отношеше одной
безконечно малой ft къ другой а стремится къ нулю (такъ что ft
есть произведете а на величину также безконечно малую), то гово-
рятъ, что ft безконечно малая порядка высшаго, чъ'мъ а. Въ
противоположномъ случай, когда отношеше ft къ а безпредЪльно
возрастаетъ по абсолютной величин^, ft будетъ порядка низшаго,
чЪмъ а. Не всегда, однако, возможно, на основанш этихъ опредъ1-
лен1й, решить, будутъ ли данныя двЪ безконечно малыя одного и
того же порядка, или нъ-тъ, потому что отношеше ихъ не всегда
стремится къ определенному пределу. Такъ, наприм'връ, число
ft = a sin —, очевидно, безконечно мало одновременно съ а, но нельзя
сказать, стремится ли ft къ нулю столь же быстро, какъ а, или
быстрее *). "Гбмъ не мен^ве, если отношеше /3 къ а постоянно ко-
колеблется, по абсолютной величин*, между двумя положительными
границами, то принято считать ft и а безконечно малыми одного
и того же порядка. Когда разсматриваютъ одновременно не-
несколько безконечно малыхъ, то обыкновенно одну изъ нихъ,
скажемъ а, выбранную по произволу, называютъ главною без-
безконечно малою, и разсматриваютъ отношешя другихъ къ а и раз-
личнымъ ея степенямъ. При этомъ называютъ безконечно малыми
порядка п (п > 0) Tt изъ нихъ, порядокъ которыхъ равенъ по-
порядку ап **). Такъ, напримъ-ръ, log A + a), sin а, tg а — без-
безконечно малыя перваго порядка, если а главная безконечно
малая. ДалЪе, 1 — cos а — второго, а — sin а — третьяго,
а sin (sin а) —sin 2 а — шестого, tg (sin а) —sin (tga)— седьмого
порядка и т. д. '). Впрочемъ, надо заметить, что не всегда воз-
*) Иными словами, будетъ ли /? одного порядка съ а, или высшаго,
такъ какъ отношеше /?/а ни къ какому предълу не стремится.
О
**) Иными словами, 0 будетъ порядка п, если lim — существует* и
яе равенъ 0.
!) См. упражнешя въ „Mathesis" 1898, стр. 31 и 1902, стр. 145.

§§ 547—548 функши отъ одной независимой перем-ьнной. 5
можно определить порядокъ данной безконечно малой. Такъ, напри-
-- 1
меръ, при а безконечно маломъ, е °" и р— также безконечно ма-
лыя, но въ то время, какъ отношеше первой къ ап (§ 312, а)
стремится къ нулю, каково бы ни было число п, отношеше второй
къ ап возрастаетъ безпредельно по абсолютной величине, и нельзя
сказать, какъ великъ порядокъ первой и какъ малъ порядокъ вто-
второй. Безконечно малыя величины
-, , ..., У a, sin а,
log log -^ log -^
_ ? I
1 — cos а, а — sin а, . . . , е , е , ...
расположены въ такомъ порядкъ, что каждая изъ нихъ безконечно
мала относительно всехъ предыдущихъ. Поэтому, считая справа на-
налево, находимъ, что порядокъ безконечно малыхъ, начиная съ про-
произвольно большого значешя, убываетъ и стремится къ нулю. Анало-
Аналогично этому можно классифицировать безконечно болышя величины *).
548. Заметимъ здесь же, что несправедливо было бы считать,
что всякая безконечно малая или безконечно большая величина полу-
чаетъ определенное место въ подобной скале сравнешя. Такъ,
напримеръ, нельзя сказать, чему равно число п, определяющее
порядокъ величины /?= • Въ самомъ деле, съ одной стороны,
9 1
ясно, что п должно было бы быть больше 1 (потому что — = j
* ' a logo
стремится къ нулю вмъсте съ а), а съ другой стороны, невозможно,
чтобы п было больше 1, такъ какъ при любомъ и^>1 отношеше
~ = "^ИГ] возрастаетъ безпредельно съ приближешемъ а къО**).
Въ извъстномъ смысле (§ 169) можно, пожалуй, сказать, что въ
скйле сравнешя, состоящей изъ последовательныхъ степеней а,
число -. лежитъ справа отъ а, и что порядокъ его равенъ 1+0.
Точно такъ же тщетно было бы искать место, которое занимаетъ
безконечно малая /3, связанная съ а, соотношешемъ /? = a2log-g--
Действительно, положивъ a = flt, найдемъ /? = 72l—}' а==Т\—}'
откуда видно, что / должно возрастатъ безпредельно, чтобы а и /?
*) Разсмотрън!е ихъ, однако, всегда можно заменить pa3CMOTptHieMb
безконечно малыхъ, зам-Ьтивъ, что при а безконечно большомъ, — безконеч-
безконечно малое.
**) Потому что при ,№>0 lim a» loga=0,

6 VI, 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНШ. § 548
стремились къ нулю. Замечая теперь, что -~ = tn~% (log /) п~1, ви-
димъ, что при п Ё= 2 это отношеше безпредЪльно возрастаетъ, а
при п < 2 стремится къ нулю. Поэтому ft лежитъ, такъ сказать,
слЪва отъ а2, т. е. стремится къ нулю не столь быстро, какъ а2,
но быстр-fee, чъ-мъ всякое ап при и<2; если угодно, можно ска-
сказать, что порядокъ /? равенъ 2 — 0. Обобщая эти замЪчашя, поло-
жимъ, что существуютъ вообще два числа п' и п", для которыхъ
3 в
lim —, = 0, lim —г, - + со .
а" а"
Въ такомъ случаъ-, очевидно, можно заменить въ этихъ равенствахъ
всякое число п меньшимъ, а всякое п"—большимъ числомъ. Ясно
поэтому, что числа п' образуютъ ансамбль, имъчощдй верхнюю гра-
границу /л, (§ 172), а числа п" — ансамбль, имъ-ющ1й нижнюю границу
Я, при чемъ, очевидно, A 2g (i. Если случится, что значешя Я и (i
совпадаютъ, и общая ихъ величина равна п, то можно сказать, что
порядокъ /9 равенъ п, когда п не принадлежитъ ни тому, ни дру-
гому ансамблю, хотя и не существуетъ предала для -1— ¦ Но можетъ
случиться, что п наибольшее изъ чиселъ п (т. е. принадлежитъ къ
первому ансамблю) или наименьшее изъ чиселъ п" (т. е. принадле-
принадлежитъ ко второму анса'мблю); тогда наверно порядокъ числа /? не
равенъ п. Его можно было бы изобразить въ первомъ случаъ1 че-
резъ и + 0, во второмъ черезъ п — 0. Наконецъ, можетъ случиться,
что Я не = jti, и тогда исчезаетъ всякое средство измерить поря-
порядокъ числа /9 какимъ нибудь числомъ. Достаточно привести прим+>ръ
безконечно малой
для которой
О въ случа-fe п < 1,
lim !J =
а»
± ее въ случа-Ь п > 2.
Зам'вчаемъ, что --- не стремится къ нулю, потому что принимаетъ
безчисленное множество разъ значеше 1, когда а проходить рядъ
значешй 1, 4, 4, +, .... Отсюда слъ\ауетъ, что /*=1. Точно
также -^ не стремится къ + ехэ, потому что это отношеше остается
< е, когда а проходитъ рядъ значенШ
_ _
log 2 log 3 log 4 log 5
Следовательно, Я = 2. Для всякаго значения п между 1 и 2, отно-

§§ 548-550 функши отъ одной независимой переменной. 7
uieHie можетъ принимать сколь угодно малыя и сколь угодно
болышя значешя, и невозможно указать числа, служащаго мерою
порядка /?.
549. Основная теорема. Когда говорятъ, что две безко-
безконечно малыя отличаются одна отъ другой на безконечно
малую высшаго порядка, или, что отношеше ихъ стремится
къ пределу, равному единице, то этимъ утверждаютъ два
положешя, въ сущности равносильныя, потому что каждое изъ
равенствъ
есть crc'bflcTBie другого *). Зам'втивъ сказанное выше, легко доказать
следующую, основную для дифференц1альнаго исчислешя, теорему:
Пред-Ьлъ отношен1я двухъ безконечно малыхъ не изменится,
если эти безконечно малыя заменить другими, имъ эквива-
й
лентными. Действительно, если нужно вычислить предъ\пъ -- , и
известно, что /?' отъ /9, а' отъ а отличаются на безконечно малыя
высшаго порядка, то достаточно вычислить пределъ -~ , и заме-
заметить, что
lim —- = lim — ¦ -~- • — = lira —
а [г а а а'
550. Положимъ теперь, что дано некоторое уравнеше между
двумя безконечно малыми а = Д, которымъ нужно воспользоваться
съ следующей целью: разделивъ обе части равенства на прилично-
выбранную безконечно малую у и переходя къ пределамъ, вывести
равенство а = Ь между двумя постоянными величинами. Обыкновенно
уравнеше а = /? имеетъ сложный видъ, неудобный или даже недо-
недоступный для применешя обыкновенныхъ правилъ вычислешя преде-
ловъ; въ такомъ случае доказанная теорема и оказывается полезною
потому, что позволяетъ въ обеихъ частяхъ равенства отбросить
слагаемыя, безконечно малыя высшаго порядка относительно гЬхъ,
которыя останутся. Такимъ образомъ получается новое уравнеше
а/ = /3/, это уравнеше будетъ, вообще говоря, не точное, а, какъ
говорятъ, верное до безконечно малыхъ высшаго порядка. Это обстоя-
обстоятельство, однако, никакого вл1яшя не оказываетъ на тотъ результатъ,
который желаютъ вывести изъ даннаго уравнешя. Действительно,
разделивъ обе части новаго уравнешя о! = fl' на у (или даже на
другую безконечно малую у', эквивалентную у) и переходя къ преде-
*) Безконечно малыя а и [3, удовлетворяюиця такимъ равенствамъ,
называютъ эквивалентными.

8 VI, 1. диФФЕРЕНЦировАнге. §§ 550—551
ламъ, мы все таки получимъ искомое равенство а = Ь, потому что
lim —г = hm — , и hui —=- = hm
У У У 7
Заметимъ, однако, что не въ этомъ состоитъ сущность дифферен-
щальнаго исчисления. Дифференщальное исчислеше пользуется си-
стематическимъ применешемъ некотораго символа, съ помощью
котораго достигается то, что можно a priori быть ув"Ьреннымъ, что
полученное указаннымъ путемъ равенство а' — /?' будетъ также
точнымъ, а не только вт,рнымъ до безконечно малыхъ высшаго
порядка. Такимъ образомъ оказывается, что при замене чиселъ
а и /3 числами а' и /?' мы отбрасываемъ въ обЪихъ частяхъ равенства
действительно равныя между собою безконечномалыя высшаго порядка,
сами того не замечая, и прямо получаемъ безконечно малыя а' = ау',
f}'=b/. А тогда переходъ къ пред-вламъ становится уже не
нужнымъ, потому что равенство а' = /?' непосредственно даетъ и
а = Ь. Вычислеше пpeдtлoвъ отходитъ, следовательно, на задшй
планъ, чтобы уступить м-бсто дифференц!альному исчислен!ю, кото-
которое, конечно, т+.мъ не менъе, основывается на поняли о предъл-fe *).
551. Разсматривая дифференщальное исчислеше съ нам-Ьченной
точки 3ptHifl, можемъ сказать, что оно обязано своимъ происхо-
ждешемъ ген1ю Лейбница. До настоящего времени эта наука сохранила
ту самую форму, въ которой она была изобретена Лейбницемъ;
сохранились rb же назван1я и т-fe же символы, изобретете кото-
рыхъ надо приписать не столько удачно сделанному выбору, сколько
остроумш изобретателя. Тщательность, съ которою Лейбницъ де-
лалъ выборъ техъ или иныхъ обозначенШ, видна изъ того факта •),
что, сравнивая свою методу съ методою Ньютона (одновременно
съ Лейбницемъ открывшего дифференщальное исчислеше) и защи-
защищая ея преимущества передъ последнею, онъ говорить, что „спо-
собъ обозначешй есть важная, бросающаяся въ глаза, часть искусства
изобретать, и намъ кажется, что наши обозначения лучше осве-
щаютъ сущность дела" (donnent plus d'ouverture). (Oeuvres math.
t. V, p. 307). Въ недавнее время, важное значеше номенклатуры и
обозначешй снова было выставлено на видъ Эрнестомъ Махомъ
(Mach), въ его „Популярно-научныхъ лекщяхъ", где онъ говорить, что
„способъ выражешя и целесообразная система символовъ и техни-
ческихъ терминовъ иредставляютъ собою не только необходимое
noco6ie для совместной работы ученыхъ и для передачи добытыхъ
результатовъ изъ поколёшя въ поколен1е, но въ то же время они
представляютъ собою прежде всего единственное средство избавить
человеческую память и человеческШ умъ отъ всякаго излишняго
*) Намеченная здЪсь въ общихъ чертахъ мысль подробнее разви-
развивается далЪе въ § 556.
!) См. P. Mansion „Resume du Cours d'Analyse" (стр. 209).

551 —552 функщи отъ одной независимой перемънной. 9
бремени и труда и такимъ образомъ сберечь ихъ для более важ-
ныхъ и более существенныхъ актовъ ихъ деятельности. ВсякШ, кто
занимался математическими работами, испытывалъ такое чувство,
какъ будто формулы и символы берутъ отчасти на себя трудъ
работать за него, или, употребляя слова знаменитаго Эйлера, что
„его карандашъ иногда бываетъ остроумнее его головы". „Какъ
бы страннымъ это ни казалось", говоритъ Махъ, „но сила матема-
тическихъ наукъ основана главнымъ образомъ на томъ, что имъ
посчастливилось устранить всякую лишнюю работу ума и довести
эконом1ю умственныхъ силъ до крайнихъ предътшвъ. Къ этому
идеалу стремятся и естественныя науки, особенно наиболее разви-
развития вЪтви ихъ" ').
552. Первый дифференц!алъ. Изъ опредълешя (§ 281) про-
производной некоторой функщи у отъ х слъ-дуетъ, что ду=у'дх-\-ддх
для всякаго даннаго значешя х, при чемъ q стремится къ нулю,
когда, при фиксированномъ значении х, будемъ приближать дх къ
нулю. Такъ какъ разность между ду и у'д х безконечно малая по-
порядка высшаго, чЪмъ дх, то при разысканш пределовъ можно
заменить ду черезъ у'д х. Мы вскор-fe убъдимся въ большой пользе
такой замены. Величину у'д х, въ томъ предположены, что х неза-
независимая переменная, мы будетъ обозначать черезъ dy и называть
дифференц!аломъ функщи у. Итакъ, дифферениЛаломъ функ-
функщи называется произведете производной функщи на
безконечно малое приращеше, произвольно приписанное
независимой переменной*). Изъ этого определешя тотчасъ
вытекаютъ нижеследуюшдя слъ-дств1я:
a) Дифференщалъ независимаго перем-вниаго х есть не что
иное, какъ произвольное приращеше, которое приписываютъ каждому
значению х и разсматриваютъ, какъ переменное число, стремящееся
къ нулю. Въ самомъ д-Ьле, при у = х имеемъ у' = 1, и, по опре-
дЪлешю дифференщала (dy =у'дх), получимъ dx = дх.
b) Равенство, определяющее дифференщалъ, обращается теперь
въ dy=y'dx, откуда получается
Это новое обозначеше производной и употребляется въ дифферен-
шальномъ исчисленш. Производныя представляются теперь уже какъ
отношешя, а не какъ пределы отношеюй двухъ безконечно
малыхъ.
c) Общнее, отношен1е дифференц1аловъ двухъ функ-
Ц1й изображаетъ производную одной функцш, взятую по
1) Изъ рецензш G. Vailati (Rivista speriraentale di Freniatria, 1896).
*) Собственно говоря, приращеше д х независимой переменной есть
совершенно произвольное число, и лишь въ виду приложешй его обыкно-
обыкновенно разсматриваютъ, какъ безконечно малое.

10
VI, 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАН1Е.
552-554
другой. Въ самомъ деле (§ 284), если у =/(и), где и функщя
отъ независимой переменной х, то
dy
x =/' (и) и'^* =/' {и) du, f (и) = ^
Sx-dx H H, Н'
Рис. 27.
553. Геометрическая интерпретация. На кривой линш,
изображаемой уравнешемъ y=f(x), въ смежности съ данною непо-
неподвижною точкою М, имеющею
абсциссу х, разсмотримъ другую
точку М', абсцисса которой пусть
будетъ х-\-дх. Предположить дх
безконечно малымъ значитъ (§ 546)
представить себе, что точка М'
движется по кривой и стремится
совпасть съ М. Пусть Н и Q
будутъ точки пересечешя орди-
ординаты точки М' съ двумя прямыми,
проходящими черезъ М, при чемъ
первая изъ этихъ прямыхъ параллельна оси л>овъ, а вторая — каса-
касательная къ кривой. Если х—независимая переменная, то, очевидно,
будемъ иметь (§ 293).
М Н = d х = д х, Н Q — dy, И М' — ду.
Следовательно, подставить dy вместо ду, значитъ пренебречь
отрезкомъ Q М' или заменить точку М' точкою Q для всехъ по-
ложешй точки М' въ смежности съ точкою М, иначе говоря,
заменить кривую ея касательного въ смежности съ каждою
данною ея точкою. Впрочемъ, какова бы ни была независимая
переменная, точка (x-\-dx, y-\-dy) всегда принадлежитъ касательной,
тогда какъ точка (x-{-fix, у-\-бу) всегда принадлежитъ кривой.
Но при данномъ положенш второй точки М' первая (x-\-dx, y-\-dy)
можетъ быть въ Q, въ Q, или въ иномъ положенш на касательной,
смотря по тому, будетъ ли независимая переменная х, у или какая
нибудь другая *).
554. Правила дифференцирования. Чтобы дифференци-
дифференцировать данную функщю, т. е. вычислить дифференщалъ какой-
нибудь функщи отъ х, достаточно, на основанш определешя диф-
ференщала, вычислить производную и умножить ее на dx- Такимъ
образомъ получаемъ
dex — ех dx, d sin дг=cos x dx, d cos x — — sin xdx.
,. dx , dx , , dx
dlogx= -i dtgx = —=—> a arc tg x =-r-•;—5
s x & cos2.r 6 l+x1
*) Т. е., смотря по тому, будетъ ли ёх — dx, или dy = dy, или ни то,
ни другое.

§§ 554—555 функцш отъ одной независимой перем-ьнной. 11
, . dx
a arc sin х = —— и т. д.,
V\-x*
хотя бы л: и не было независимою переменною (§ 552, с). Изв-fe-
стныя правила разыскашя производныхъ также легко переводятся
въ соотв-Бтствуюийя правила дифференцироватя. Такъ, наприм-връ,
чтобы дифференцировать сумму двухъ или нЪсколькихъ функщй,
надо сложить дифференциалы всбхъ слагаемыхъ. Дифференщалъ
произведешя двухъ функщй получится, когда умножимъ каждую
функщю на дифференщалъ другой и сложимъ полученный произве-
ден!я, и т. д. Въ самомъ дътгЬ, мы имеемъ
du v = {uv)'dx — itv'dx-\-vu'dx = udv-\-vdu,
,u I u\' , vu'—uv' , vu'dx — uv'dx vdu --udv
d — = — dx = з dx —
V \ V ] V1 V*
и т. д. *).
555. Последовательные дифференц!алы. Прежде,
идти дал'ве, намъ надо несколько ближе заняться разсмотр"Бн!емъ
смысла, который имЪетъ дифференшалъ независимой переменной.
При данномъ х дифференшалъ dx есть безконечно малая величина,
которую мы предварительно предположимъ зависящею отъ неко-
некоторой другой безконечно малой а, выбранной за главную. Когда
мы переходимъ отъ одного значешя х къ другому, то нЪтъ ника-
никакого основашя считать, что произвольный законъ, выражающШ за-
зависимость dx отъ а, остается безъ изм^не^я. Поэтому dx можно
разсматривать какъ функщю не только отъ а, но и отъ х:
B) dx = q'(x, a)
Если представимъ себъ1, что ось х-овъ можетъ деформироваться,
при чемъ всякая точка х переходить въ x-\-dx, то уравнешя B)
можно разсматривать, какъ выражеше закона, по которому точки
деформированной оси возвращаются въ первоначальныя положешя
съ приближешемъ а кънулю**). Произвольная функщ'я <р подчи-
подчинена лишь тому ycnoBiio, чтобы она стремилась къ нулю вм^стЬ съ а
и имела последовательный частныя производныя (§ 368) по пере-
переменной х. При этихъ услов1яхъ dx, какъ функщ'я отъ х, также
*) Однимъ словомъ, правила дифференцироваюя получаются изъ
правилъ разыскания производныхъ, если въ формулировке последнихъ за-
мЬнимъ слово „производная", словомъ „дифференшалъ". На этомъ основати
на русскомъ язык* терминъ „дифференцироваше" употребляется какъ въ
смысл* разыскашя производной, такъ и въ смысле разыскашя дифференшала.
**) Деформашю оси #-овъ надо себВ представить состоящей въ томъ,
что сама ось остается неподвижною, а отдельныя ея точки по ней переме-
перемещаются (in sich deformierbar).

12 VI, 1. дифференцирована. § 555
имЪетъ дифференщалъ, который называется вторымъ дифферен-
ц1аломъ отъ х и обозначается знакомь сРх:
C) d2x = ddx — q>xr (х, a) dx = q> (x, a) ¦ q>x' (x, a).
Теперь мы установимъ одно соглашеше, имЪющее^ первостепенное
значение для всего последующего. Первымъ д'Ьломъ мы примемъ,
что оба свойства, которыми пользуется dx, а именно стремлеше къ
нулю вместе съ а и зависимость отъ х, являются отделенными
одно отъ другого въ выраженш B). Для этого достаточно положить:
D) dx = а%(х'{),
при чемъ на минуту мы еще будемъ считать % (х) за произвольную
функщю отъ х. Такимъ образомъ, dx является въ виде произведе-
шя одной безконечно малой, независящей отъ х, на функщю отъ х;
следовательно, dx будетъ безконечно малою перваго порядка, и ее
отнынъ- мы и примемъ за главную. Дифференцируя дал-fee, мы най-
демъ одинъ за другомъ трет1й, четвертый и т. д. дифференщалы:
d»x = а8 (хх/2 + XX"), Л^х = аНхх'ъ + 4х2х'х" + ГУ"),
Дифференщалъ порядка п, т. е. результатъ п послъ-довательныхъ
дифференцирован1й, обозначается знакомъ dnx и будетъ безконеч-
безконечно малою и-го порядка. Какъ видимъ, результаты посл'вдовательныхъ
дифференцирован!й быстро усложняются, и мнопя преимущества
дифференщальнаго исчислен1я были бы потеряны, если бы мы pt-
шили оставить функщю %(х) произвольною. Гораздо цъ-лесообразн-Ье
будетъ положить %(х) = \, такъ какъ тогда будемъ имъть:
E) rf2* = 0, (/3дг = 0, rf** = O, •¦•
и Bet вычислещя, какъ скоро окажется, значительно упростятся.
Въ этомъ и состоитъ основное соглашеше. Его можно формулиро-
формулировать такъ: Первый дифференц!алъ независимой переменной
предполагается независящимъ отъ этой переменной. Теперь
легко вычислить последовательные дифференшалы любой функщи
и показать, что и-тый дифференц1алъ есть безконечно малая
п-то порядка:
= d(y'dx) = dy' ¦ dx =y"dx • dx =y"dx\
d3y = dd\y = d(y"dx*) = dy" ¦ dx2 =y'"dx ¦ dx2 =y'"dx^
и т. д. Вообще дпу=у(пЫхп, если условимся писать dxn вместо
(dx)n *). Такимъ образомъ, прихрдимъ къ соотношешю
*) Чего не надо смешивать съ d(xn) =nxn 1dx.

§§ 555—556 функши отъ одной независимой перем-ьнной. 13
включающему въ себе и равенство A) (при п = 1). Итакъ: произ-
производная порядка п некоторой функщи, взятая по незави-
независимой переменной, равна отношешю и-аго дифференшала
функши къ и-ой степени дифференшала независимой пе-
переменной. При этомъ (§ 552, с), при я = 1, можно опустить ого-
оговорку, что переменная независима, а при п > 1 этого сделать
нельзя, потому что при посл'вдовательныхъ дифференцировашяхъ dy
мы пользовались формулами E), а онъ не будутъ иметь места,
если х не независимая переменная.
556. Теперь мы въ состояши понять то, на что въ § 550
былъ данъ только намекъ. Равенство между безконечно малыми
а' — /?' (полученное черезъ устранеше безконечно малыхъ выс-
шаго порядка изъ равенства а = /9) — будетъ наверно точнымъ,
если въ него не входятъ никак1я друпя безконечно малыя,
кроме такихъ, которыя получены при помощи дифферен-
дифференцирований, предполагая, что это уравнеше (приведенное къ целому
виду) сделано однороднымъ, такъ что въ немъ остались только
члены наинизшаго порядка п. Въ самомъ деле, чтобы получить
точное уравнеше надо было бы разделить обе части на dxn и пе-
перейти къ пределу. Но этотъ переходъ къ пределу сделался уже
излишнимъ, потому что отношен1я между степенями диффе-
реншаловъ, когда эти степени будутъ безконечно малыми
одного и того же порядка, равны своимъ пределамъ, такъ
что искомое точное равенство какъ разъ и будетъ а''/ dxn = fi'jdx"
или а' = /?'. Въ этомъ и заключается весь секретъ дифференщальнаго
исчислешя. Кроме того, однородность окончательныхъ соотношешй
между дифференщалами служитъ средствомъ контроля въ практике
вычисленШ. Теперь понятно, насколько важно разыскаше диффе-
реншальныхъ безконечно малыхъ, получаемыхъ отъ пренебрежешя
безконечно малыми частями высшаго порядка въ техъ безконечно
малыхъ, которыя являются при вычислешяхъ. Для каждаго а суще-
ствуетъ безчисленное множество безконечно малыхъ, отличающихся
отъ а на безконечно малыя высшаго порядка, но между ними нахо-
находится только одна, равная дифференщалу некоторой функщи и.
Въ самомъ деле, если для другой функщи v, разность а — dv,
какъ и а — du, была бы безконечно малою высшаго порядка, то
было бы достаточно отброситъ эти безконечно малыя въ равенстве
du = dv -\- (а — dv) — (а — du),
чтобы придти къ равенству du = dv, наверное точному. Следова-
Следовательно, дифференщальныя безконечно малыя, т. е. du и dv, совпа-
даютъ по величине, функщ'я v существенно не отличается отъ и,
потому что d(u — ¦z/) = 0, откуда и—v = постоянной. Въ практиче-
скомъ вычисленш всегда стараются представить а въ форме прира-
щешя некоторой функши и (§ 552) и тогда единственная диффе-
ренщальная безконечно малая, которую можно подставить вместо а

14 VI, 1. ДИФФЕРЕНЦИР0ВАН1Е. § 556
и будетъ именно du. Такимъ образомъ, съ помощью символа опе-
рацш d, дифференциальное исчислеше достигаетъ полной точности,
такъ какъ оно единственнымъ образомъ заменяетъ встречаемыя
при вычисленш безконечно малыя другими, получаемыми при помощи
дифференцировашя определенныхъ функщй. Эти новыя безконечно
малыя связаны теми же соотношешями, каюя существуютъ между
теми безконечно малыми, которыя ими заменяются.
[ Прим"Ьчан1е. Разсуждешя § 556 могутъ показаться не вполне
ясными для лицъ, впервые знакомящихся съ дифференщ'альнымъ
исчислешемъ, но съ применешемъ этихъ разсуждешй мы встретимся
лишь въ геометрическихъ приложетяхъ дифференщальнаго исчи-
слешя, где они и представятся въ более ясномъ свете. Здесь же
мы ограничимся нижеследующими замечашями. Всякое однородное,
въ указанномъ выше смысле, соотношеше между дифференщалами
некоторыхъ функщй у, z, . . . отъ одной независимой переменной х,
въ которое можетъ входить и dx, въ сущности представляетъ со-
отношеше между производными этихъ функщй, взятыми по х,
только переписанное съ помощью новыхъ, дифференшальныхъ
обозначенШ этихъ производныхъ, указанныхъ формулою F). Чтобы
перейти отъ соотношешя между дифференщалами къ соотношешю
между производными, стоитъ только разделить все члены перваго
соотношешя на одну и ту же надлежащую степень dx. Обратно,
чтобы отъ соотношешя между производными перейти къ соотно-
шешю между дифференщалами, стоитъ только написать выражешя
производныхъ по формуле F) и затемъ помножить все члены на
одну и ту же степень dx. Напримеръ, соотношеше
dy2
равносильно
или
соотношеше
равносильно
равенству
равенству
dy
dx
[dx)
d2z
' dx2
i+y2;
izd2y —
dz d2y
dx ' Ix2
f
dx3
= 1
или
y'z" - г'у" = 1.
При такомъ разсмотренш соотношешй между дифференщалами, во-
просъ о томъ, будутъ ли эти соотношешя точными, или только
верными до безконечно малыхъ высшаго порядка, отпадаетъ самъ
собою. Соотношен1я эти, будучи равносильными соотношен1ямъ
между производными, т. е. соотношежямъ по самому существу

§§ 556—557 функцш отъ одной независимой перем-ьнной. 15
своему точнымъ, какъ не заключающимъ въ ce6t никакихъ безко-
нечно малыхъ, будутъ, конечно, и сами точными. Вмъхтъ съ гЪмъ
легко видъть, что неоднородны я соотношешя между дифферен-
щалами не имЪютъ смысла. Въ самомъ д'Ьл'Ь, если бы такое соот-
ношеше им-Ьло мъсто, то перенеся въ одну часть равенства члены
наинизшаго порядка п, а въ другую всб остальные, и раздътшвъ
обе части на dxn, получили бы невозможное равенство между н"Ь-
которьшъ опредт.леннымъ числомъ, не равнымъ нулю, съ одной
стороны, и перемъннымъ безконечно малымъ числомъ — съ другой].
557. Изм11нен1е независимой переменной. Формула F),
при п ]> 1, выведена въ томъ предположены, что переменная х
независима. Поэтому, если желаютъ ввести новую независимую
переменную (что часто бываетъ нужно), то прежде всего необхо-
необходимо вернуть этой формуле ея общность и потомъ только присту-
приступить къ замене прежней переменной новой. Съ этой целью доста-
достаточно повторить послъдовательныя дифференцировашя выражешя dy,
выполненныя въ § 555, но не пользоваться при этомъ формулами E).
Такимъ путемъ найдемъ
d*y == d(y'dx) = dy'dx+y'ddx =y"dx"- +y'd*x,
дал te
d*y =y'"dx* + 3y"dxd2x+y'd*x,
d±y =yirdxi + 6/"rfx2rf2# -b 2>y"d?-x'1 + \y"dxd*x +y'
и т. д. Изъ перваго равенства находимъ
d*-y
~y
У ~
dx>-~ dx*
Точно также
и т. д. Къ тт>мъ же результатамъ можно скор-fee придти, диффе-
дифференцируя несколько разъ подъ рядъ формулу A), справедливую
безъ всякихъ ограничен^. Действительно, тогда получимъ
ydx~di = 7t—,
J dx dx±
откуда вытекаетъ формула G). Дифференцируя G), найдемъ
dx(dxd*y - dyd*x) - 3d2x (dxd'jy - dyd2x)
V (Л ОС — j—"j ~ ~"— )
¦* dx*
откуда получится (8) и т. д. Впоследств1и намъ иногда случится
разсматривать -^- какъ символъ операши, состоящей въ ра-
зыскан!и производной, взятой по х. Сообразно вышесказан-

16 VI, 1. дифференцированш. §§ 557—558
ному, если мы эту операщю еще разъ хотимъ повторить, не
назначая независимой переменной, то должны применить символъ
<* d , d* . ,
-j- -j- ) между тъмъ, какъ символъ -т—^ будетъ обозначать ту же
операшю, когда за независимую перем-Ьнную взято х. Въ самомъ
, изъ G) мы имъемъ
d d, ^
^ _
dxix ~J^i~ Их* dx
Точно такъ же изъ (8) получимъ
,n. d d d rf3 d2x d2 I d'-x- d^x\ d
v ' dxdxdx dx9 dx2dx2 \ dx^ dx* dx
558. Упражнешя. а) Если въ н-Ькоторое выражен1е, содержащее въ
себъ производный отъ у по х, желаемъ ввести производный отъ у, взятыя
по другой переменной /, то можно воспользоваться выведенными въ преды-
дущемъ § выражешями у', у", у'", . . ., если х задана, какъ функшя отъ t,
и, следовательно, извъстны производныя -ут • —га > • • • • Действительно, та-
ut aP
кимъ путемъ найдемъ
dx , dy (dxY „ dxd*y dyd*x
dty ~ dt \dtjy dt dp dt df-
dxV> ,„_ fdx\2d%l__-id^<^d^^-xdy_ (d^A2_ dxdyd*x
!Tt)y ~~ \dij dfi dt dP df- + dt \dW) dt ~dt dp
и т. д. Если же, наоборотъ, новая перемзнная t задана, какъ функшя отъ х,
и мы хотимъ принять / за независимую, то будемъ имъть всегда
по) v'--y- -.tJ-iL-tyf
КЩ у ~ dx dtdx dt1-
Далъе, чтобы выразить у", можно воспользоваться формулоюG), заметивъ пред-
предварительно, что вслъдсте равенства dzt — 0 должно быть t"dxi-\-t'dix = Q *),
и слздовательно,
(И) rf*-^^
Отсюда, по формул-Ь G), найдемъ
A2) y.
Это соотношен1'е можно легче получить, взявъ производныя по х отъ об%ихъ
частей равенства A0). Поступая аналогично этому съ формулой A2), найдемъ
*) dt — t'dx, d2l — f'dx2-\-t'd2x = 0, такъ какъ t принято за незави-
независимую перемзнную.

§ 558 функцш отъ одной независимой перем-бнной. 17
Къ этому же результату можно придти и съ помощью формулы (8), но не
столь просто, присоединивъ къ A1) еще формулу
Г> 411 2 f 1ГГ1
A3) d*x = fb dfi,
которую получимъ, написавъ, что «?3/ = 0 или, дифференцируя вторую фор-
формулу A1), и т. д.
Ь) Положимъ, что желаютъ принять за независимую переменную самую
функщю у и вычислить производныя х', х", х'", . . . отъ х, взятыя по у.
Формулы A1), A3) и т. д. дадутъ
Х у ул ' Х у г,
Ихъ можно получить проще, взявъ послЪдовательныя производныя отъ
обЪихъ частей перваго равенства х' = •— . Можно также воспользоваться
формулами G), (8) и т. д., выразивъ равенствами d2y = 0, d3y = 0
что у взято за независимую переменную. Такимъ путемъ приходимъ къ
форму ламъ
, 1 „ X" ... 3* _ Х'хш
у х' У х'Ъ У х'ъ
которыя отличаются отъ предыдущихъ только зам*ною буквы х на у и
обратно. Впрочемъ, заранее было очевидно, что эти соотношешя должны
быть симметричны относительно х и у, и действительно имъ можно дать
вицъ:
х'у' = 1. х"х'~%+у"у'~$ = О,
Зх- 2х'х'" Зу - 2у'у'" _
+ и
уз + уз "и- •¦•-
или друпе аналогичные, прямо получаемые дифференцирован1емъ перваго
равенства х'у'— 1. Смотря по тому, примемъ ли х или у за независимую
переменную при этой операши, получимъ первое или второе изъ нижеслъ1-
дующихъ уравненШ:
х'у" + х"у' 2 = 0, у х" + у" х'ъ = 0.
1 1
Умножая первое на х'^ или второе на у'^, получаемъ
х"у'$+у"х'$ = 0.
Дифференцируя же первое по у, а второе по х, найдемъ
х»>уг + Зх"у"+у'"х'2 = О,
и т. д.
с) Легко показать, что dxtPy — dyd2x выражается черезъ первыя
и вторыя ироизводныя отъ х и у относительно какой угодно переменной t
и черезъ первый дифференщалъ t. Поэтому, при вычисленш этого выра-
жен1я въ различныхъ частныхъ случаяхъ, можно, для упрощешя выкладки,
принять t за независимую переменную, и заранее быть ув-вренными, что
результатъ будетъ справедливъ и тогда, когда / не будетъ независимою пе-
переменною. Въ самомъ деле, мы имеемъ

18
VI, 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАШЕ.
.§ 558
dx cfix
dy
т,"
dfl
dt
dy
dt
dt
dx
Tt
Tfi
dy d2y
Tt Tfi
dfi
или
dx
dJ> ^\
dt dfi)
Это замЪчаше применимо вообще ко всякому определителю «-го порядка,
въ которомъ v ый столбецъ состоитъ изъ v-ыхъ дифференшаловъ « функшй.
НапримЪръ *),
dx d-x
dy d2y
ds d2z
dx
dt
dy
dt
dz
dt
d2x
Tfi
d2y
Tfi~
d2z
dfi
d^x
dfi
d»y
dfi
cfiz
dfi
dfi.
Возвращаясь къ выражешю dx d2y — dy d2x, положимъ, что х и у обо-
значаютъ Декартовы координаты точки на плоскости и предложимъ себе
преобразовать его къ полярнымъ координатамъ г и 9. Пользуясь предыду-
щимъ замЪчашемъ, можно, для упрощешя выкладки, принять 9 за неза-
независимую переменную, и въ такомъ случае изъ равенства х = г cos 9,
у = г sin 9, находимъ
d х = cos 9 • dr — г sin 9 • d 9, dy = sin 9 • dr -f- r cos 9 ¦ d 9,
d2 x = cos 9 • d2 r - 1 sin 9 • d r d 9 - r cos 9 • d 62,
d2y = sin 9 • d2 r + 2 cos 9 • d r d 9 - r sin 9 • d 92.
Откуда видно, что
dx d2 x
dy d2y
dr
rdb
и окончательно
14) dxcfiy -
— dyd2x =
r2d
93 +
¦-rdB2
cos (
— sin 9
sin 9
cos 9
2 r'2 -
Хотя этотъ результата полученъ въ предположен^ d2B = 0, но онъ остается
справедливымъ независимо отъ этого, конечно, предполагая, что подъ г"
d?r d dr cfir ,d2b
понимается не -гг2 > a -jr -r- = -rp — г ,„2 •
d) Предложимъ себе преобразовать выражеше рад1уса кривизны
(§ 348, е)
_ A 4-У2)^
в" у/
Это выражен1е не требуетъ, чтобы непременно х было независимою пере-
переменною, если только подъ у" будемъ подразумевать ея общее выражеше G).
Такимъ образомъ, применяя еще формулу A), получимъ
*) Это вытекаетъ изъ основныхъ свойствъ определителей (§ 17).

§§ 558—559 функцш отъ одной независимой перемънной. 1 9
Въ полярныхъ координатахъ имЪемъ
dx2 + dy2 = (cos 8 ¦ dr - r sin 8 • d9J + (sin 8 • dr + r cos 8 • dbJ
а потому, припоминая A4) и разделяя числителя и знаменателя на rf83,
(г2 + г'2M
0 = г2 + 2 г'2 - гг" '
Этому выражешю можно дать более простую форму, полезную въ прило-
жешяхъ. Мы къ ней придемъ, принимая, что уравнеше кривой дано въ видз
г = 1 //(8) и выражая q въ функцш отъ /, /', /"; мы тотчасъ находимъ
откуда
6 =(/+/'l7s'
е) Къ другимъ замъчательнымъ формамъ для д придемъ, если вве-
демъ новую переменную s, удовлетворяющую уравненш ds2 = dx2 + dy2
и обозначающую, какъ увидимъ BnocflticTBiH, длину дуги кривой, отсчи-
отсчитываемую отъ некоторой данной точки. Исключая d2x или d2y изъ фор-
формулы A5), съ помощью соотношешя
dsd2s = dxd2x + dyd2y,
получимъ формулы
dyds2 dxds2
dsd'-x — dxd2s " dsd2y — dyd2s
которыя, на основанш (9), можно написать такъ
d dx I dy d dy 1 dx
ds ds gds ds ds q ds
Эти формулы, которыя впослвдствш (§ 591) окажутся очевидными, осо-
особенно полезны въ вопросахъ Механики. Возвышая ихъ въ квадратъ и скла-
складывая, найдемъ
~ф~ \ds~d~s) +[dsds) '
или, на основанш соотношешя (9),
J_ _ (^\21 (^У\2^ (d2s\2
Q2~\ds2j + \ds2) \ds2)'
559. Прим"Ьчан1Я. а) Обыкновенное дифференщальное исчи-
слен1е всецело основано, какъ мы видЪли въ § 555, на услов1и D),
съ присоединешемъ къ нему дальнъйшаго: %{х) = 1. Безконечно
различный формы, которыя можетъ принять дифференщальное исчи-
слеме соответственно различнымъ формамъ функцш %(х), вс^Ь
сводятся къ одной, потому что переходъ отъ одной функцш %(х)
къ другой равносиленъ измт>нен1ю независимой переменной въ

20 VI, 1. дифференцированш. § 559
обыкновенномъ дифференщальномъ исчисленш. Чтобы въ этомъ
убедиться, надо предпослать, что (какъ будетъ показано въ начале
седьмой книги), въ силу необходимой непрерывности функщи %(х),
всегда существуетъ некоторая функщя / отъ х, производная кото-
которой равна %{х). Въ томъ дифференщальномъ исчисленш, въ основе
котораго лежитг функщя %{х), дифференщалы функщи t будутъ
dt = V dx = —y-r ¦ az{x) = a, d*t = d*t = ¦ ¦ ¦ = 0,
X (x)
т. е. свойства E) переносятся съ х на /, и разсматриваемое диффе-
реншальное исчислеще не отличается отъ обыкновеннаго, въ кото-
ромъ за независимую переменную взята /. Поэтому естественно съ
самаго начала приписать независимой переменной свойство, состо-
состоящее въ томъ, что ея дифференщалъ число постоянное. Противъ
этого соглашешя, издавна возстаетъ сонмъ метафизиковъ, не отдавая
себъ разумеется яснаго отчета въ смысле оспариваемаго услов1я.
Иные понимаютъ его такъ, что полагая dx постояннымъ, надо счи-
считать, что dx имеетъ одно весьма малое фиксированное значеше;
друпе, что х скачками переходитъ въ х -\-dx, x -\-2 dx, x-\-3dx, ...;
третьи, что dx остается безъ изменешя лишь отъ одного диффе-
ренцировашя до другого; наконецъ, есть и тайе, которые делаютъ
видъ '), что принимаютъ все эти нелепыя и вздорныя интерпре-
тащи вместе. Противъ всего этого нужно подчеркнуть следующее:
смыслъ услов1я, что dx—постоянное, состоять въ томъ, и только
въ томъ, что dx отъ х не зависитъ. Когда говорятъ, что dx
стремится къ нулю, то это можно себе представить происходящимъ
следующимъ образомъ: ось х-оъъ, будучи передвинута, какъ твер-
твердый стержень вдоль самой себя, стремится принять прежнее
положете.
Ь) Однако возможность существовашя такого дифференщаль-
наго исчислешя, въ которомъ не существуетъ никакой переменной,
имеющей постоянный дифференщалъ, не исключается. Для того,
чтобы дифференщалъ некоторой функщи / отъ х былъ постоян-
постояннымъ, необходимо, чтобы ffdxi-\-t' dix = 0; следовательно, раз-
d^x d
деляя C) на B), находимъ, что ->—g = -j- log д) (х, а) должно за-
d2x t"
висеть отъ х и только отъ х (потому что "т~~2=~775' гд'^г'ФУнк'
щя одного х). Отсюда вытекаетъ, что <р (х, а) = % (х) ip (а), где
ip (а) — безконечно малое при а безконечно маломъ. Ничто не ме-
шаетъ обозначить эту безконечно малую просто черезъ а, и мы
приходимъ опять къ формуле D). Если отбросимъ это yoioeie
(характеристичное для дифференщальнаго исчислен1я Лейбница), то
х) „Nuove considerazioni sulla metafisica del Calcolo infinitesimale"
(Memorie della R. Accademia delle Scienze dell' Istituto di Bologna, 1895,
p. 309).

§§ 559—560 функцш отъ одной независимой перем-бнной. 21
вычислешя § 557 по формЪ останутся не тронутыми, но произойдутъ
измънешя, глубоко затрагивающая свойства посл-Ьдовательныхъ диф-
ференщаловъ. Такъ, наприм+>ръ, если положимъ dx = aettx, то
d2x = a2eaxdx = аге2ах, d%x = 2a*e2axdx = 2аъе3ах и т. д., такъ
что dnx будетъ безконечно малою порядка 2и — 1, а не п, относи-
относительно а, и вмътто F) будемъ имъть, при п ^> 1,
J 0=0 dxn
при чемъ символъ Игл нельзя отбросить. Точно такъ же, если бы
X
мы положили dx = ае "¦ и условились, что безконечно малое число а
всегда сохраняетъ знакъ числа х, т. е. что — > 0, мы нашли бы,
что и-ый дифференшалъ будетъ quasi w-го порядка (въ смысл-fe
§ 548) относительно dx, но равенство F) уже не имътю бы мъхта.
Действительно, отношен1е -^ будетъ безконечно большимъ, по абсо-
абсолютной величинт,, и вмъхто F) при всякомъ п будемъ им+,ть
такъ какъ при dx — ае а (— > 0 имъемъ dlx = — ае ", d^y —
= у"ах* + у а'*-; ->,- = — у ¦ а-\- у , lim -— = у и т. д. По-
добное дифференщальное исчислен1е, можетъ быть, и представляло
бы нтзкоторыя выгоды, но оно наверно потеряло бы тт», которыми
обладаетъ обыкновенное, благодаря простоте и однородности его
формулъ и точной оценке порядка безконечно малыхъ. Исчезло бы
главнымъ образомъ то обстоятельство, въ которомъ можно усмо-
усмотреть (согласно сказанному въ § 556) настоящую причину суще-
ствовашя дифференщальнаго исчислешя. А именно, отношешя между
такими степенями дифференщаловъ, которыя будутъ безконечно
малыми одного и того же порядка, не были бы уже равны пре-
деламъ этихъ отношешй, и исчислеше предътювъ не оказалось бы
поглощеннымъ въ этомъ новомъ исчислен!и.
Функщи отъ н'Ьсколькихъ перем-Ьнныхъ.
560. Частные дифференщалы. Положимъ, что въ функши
f(x, у, z, ...) переменнымъ х, у, z, ..., которыя считаемъ неза-
независимыми, даны произвольныя приращешя дх, ду, dz, .... Раз-
сматривая данную функщю, какъ функщю одного х, одного у и т. д.
(срав. § 367), можемъ искать ея дифференщалы

22 VI, 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНА. §§ 560—561
называемые частными дифференциалами. Сумма ихъ называется
полнымъ дифференцдаломъ и обозначается символомъ df. За-
мЪтимъ прежде всего, что полные дифференщалы независимыхъ
перем'Ьнныхъ будутъ не что иное, какъ произвольный ихъ прира-
щешя дх, ду, dz, .... Въ самомъ деле, полагая f = х, им-Ьемъ
/х = 1, /у =/г = • • • = 0, сл-Ьдовательно, dx = дх, и т. д. Поэтому
формулы, определяются частные дифференциалы, дадутъ:
Jx dx Jy dy Js dz
Такимъ образомъ, каждая частная производная представляется ,въ
видъ отношен1я двухъ безконечно малыхъ. Для упрощешя письма
можно отбросить указатели х, у, z, ... въ числителяхъ. При этомъ
нечего опасаться какого-либо недоразумъшя, потому что каждый
df въ числителе будетъ изображать частный дифференщалъ, взя-
взятый по той переменной, которая написана въ знаменателе. Впро-
чемъ, такъ какъ иногда (см. § 561) все-таки возможно смешеше
частныхъ дифференшаловъ съ ихъ суммою df, то принято *) при
частныхъ дифференцирован1яхъ употреблять символъ д вместо d
и писать
л=4?, л = -^. г = ^
Jx дх Jv ду и dz
Въ этомъ виде частныя производныя и будутъ изображаемы въ
дальнейшихъ вычислен1яхъ.
561. Полные дифференц)алы. По определен1ю полнаго диф-
ференщала имеемъ
06) df-*Ldx+*Ldy+.
когда х, у, z, ... независимыя переменный. Но важно заметить,
что соотношеше A6) остается справедливымъ и тогда,
когда переменный, въ которыхъ выражена функцдя f не
независимыя переменны я. Разсмотримъ, въ самомъ деле, функ-
шю/(м, v, w, ¦..), въ которой и, v, w, ... функцш отъ какого
угодно числа другихъ переменныхъ х, у, z, . . ., уже независимыхъ
одна отъ другой. Ясно, что частныя производныя функцш f по
и, v, w, ... всегда можно обозначать такъ:
г=д-1, Г = ^, /' = */... ,
Ju ди Jv dv Jw dw
потому что, при вычислении этихъ производныхъ, и, v, w, •¦•
разсматриваются, какъ переменныя независимыя. Но пока мы еще
*) По примеру Якоби, но не всЬми авторами.

§ 561 ФУНКЦ1И ОТЪ НЪСКОЛЬКИХЪ ПЕРЕМ-БННЫХЪ. 23
не въ праве утверждать, что определяемый формулою A6) полный
дифференщалъ можетъ быть выраженъ и формулою
A7) df= dfduJrJ-dv + /-
J ди dv dw
чтобы доказать справедливость этой формулы, замт»тимъ следу-
следующее. Если мы возьмемъ производный отъ функщи f въ томъ
предположена, что изменяется только х, или только у, и т. д.,
то по правилу разыскашя производной сложной функщи (§ 369),
найдемъ
д/_д/ди д/ dv df dw
dx dudx dvdx dw dx
df__dfd_u. df dv ,d?dw_,_
dy dudy dvdy dwdy
Подставляя эти выражешя въ A6) и замечая, что
, du , ди , , ди ,
аи = г— ах + -;-- dy + . а г + • ¦ •
dx dy as
dv dv dv ,
dv = 3- dx + з - dy + -— ds + • • •
dx dy J ds
мы и получимъ формулу A7). Ее надо разсматривать, какъ основ-
основную для всего дифференщальнаго исчислешя. Важное ея значеше
зависитъ именно отъ того обстоятельства, что для составлешя пол-
наго дифференщала не нужно знать ни того, каюя переменный
приняты за независимыя, ни того, какъ велико число этихъ пе-
ремт>нныхъ. Если въ частномъ случат, jy, z, ... будутъ функщи
отъ х, то м/(х,у, z, ...) будетъ функщ'я отъ х, производную
которой получимъ, раздътшвъ обе части формулы A6) на dx:
df = df dfdy dfdz
dx дх dy dx de dx
Это замечаше объясняетъ пользу введете символа д вместо d;
потому что -,- вообще не равна -^- *).
*) Иногда -j- называютъ полною производного отъ f{x,y, z, . . .),
а ~ — частного производной; при вычисленш первой принимается во
вниман!е, что у, г, . . . функщи отъ х; при вычислеши второй, у, з, . . .
разсматриваются, какъ постоянныя. Наприм^ръ, для / = х2 + ху +у2,

24 VI, 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. §§ 562—563
562. Геометрическая интерпретац!я. Чтобы указать гео-
геометрическое значеше полнаго дифференщала, по крайней мере,
для случая двухъ независимыхъ перемъ'нныхъ, разсмотримъ функщю,
определяемую уравнетемъ z = /(х, у). Это уравнеше изображаетъ
въ Декартовыхъ координатахъ некоторую поверхность въ простран-
пространстве. Положимъ, что некоторая дуга ММ' кривой, лежащей на
поверхности, между точками М (х, у, z) и М' (х + dx, у + dy,
z-\-dz), проектирована параллельно оси л-овъ на касательную пло-
плоскость (см. § 659, уравнеше C)) къ поверхности въ точке М, и
пусть проекщя точки М' будетъ точка Q. На параллелограмме
РА'Р'В', лежащемъ въ плоскости (ху), у котораго точка Р
имъетъ координаты (х, у, 0) и стороны РА' = dx, РВ' = dy
(dx и dy произвольный приращешя х и у), построимъ паралле-
лопипедъ съ ребрами, параллельными OZ, и положимъ, что эти
ребра пересЪкутъ касательную плоскость (кромЪ точекъ М и Q,
въ которыхъ эта плоскость пересекается съ ребрами РМ и P'Q)
въ точкахъ А и В. На касательной плоскости получится паралле-
лограммъ MAQB, д1агонали котораго М Q и А В пересекутся
въ точк^, лежащей на средин^ той и другой. Поэтому будемъ
имъть MP-\-QP' = АА'-\-ВВ'. Съ другой стороны, припоминая
сказанное въ § 553, будемъ имъть
МР=з, AA'=z + -^dx, В В' = z Jf^-dy.
Следовательно, QP'= z + -j~dz + -r~dy = z + dz. Иными сло-
словами, dz есть приращеше HQ *) ординаты касательной плоскости,
въ то время, какъ dz есть приращеже НМ' ординаты самой поверх-
поверхности. Замена dz на dz равносильна, следовательно, замене по-
поверхности въ окрестности точки М касательного плоскостью въ
этой точке.
563. Последовательное дифференцирован^. Если въ функ-
цш fix, у, 0, . . .) будемъ разсматривать одну изъ перемънныхъ,
х — напримеръ, какъ единственную переменную, то все сообра-
жешя, которыми мы пользовались, когда говорили о последователь-
ныхъ производныхъ функщй отъ одной переменной, остаются въ
силе; поэтому мы можемъ изображать последовательныя частныя
производныя отъ f по х въ видЪ
условившись считать произвольныя приращен1я dx, dy, dz, ...
независящими отъ х, у, z, .... Далее, мы видели (§ 368), что
*) Н—точка пересЬчешя ординаты М'Р' съ плоскостью, параллель-
параллельною плоскости (ху), проходящею черезъ М.

§ 563 ФУНКЦ1И ОТЪ НЪСКОЛЬКИХЪ ПЕРЕМЪННЫХЪ. 25
при выполненш извъттныхъ условШ, въ обыкновенныхъ вычисле-
шяхъ вообще всегда имЪющихъ мътто, результатъ п послъ\дова-
тельныхъ частныхъ дифференцирован^, въ которыхъ берутъ i—разъ
производную по х, j—разъ по у, и т. д. (*'+/+ • • • = п)
не зависитъ отъ порядка д-вйсшй. Поэтому можно считать, что
сперва взяты г — разъ производный по х, загЬмъ j — разъ по у
и т. д. Результатъ п послътювательныхъ дифференцирований усло-
условились обозначать такъ:
dnf
дх1ду>дгк... '
Напримъ'ръ, частныя производныя отъ z — функц1и отъ х и у —
будутъ
dz дг д*г d*z fc #г №а д^г д*г
dx dy dx2 dxdy dy2 dx3 dx2dy dxdy2 dy3
Первыя пять, часто встречающаяся въ теорш поверхностей, обыкно-
обыкновенно обозначаютъ для краткости просто буквами р, д, г, s, t.
Переходя отъ разыскашя производныхъ къ разысканш диффе-
ренц1аловъ, беремъ равенство A6) и дифференцируемъ его, раз-
сматривая при этомъ dx, dy, dz, . . ., какъ величины, независягщя
отъ х, у, z, .... Тогда получаемъ
-J- dy +¦"¦]¦ ^х + -г— \-^- dx + ~r~dy-\- ¦ ¦ ¦ I - dy -\- ¦
dy j dy \dx dy I
d2f d2f , „ _ d2f
= -r—5 dx2 + -Лаг + • • • -f- 2 -—^— dx ay -j- ¦ • ¦ •
dx* 6y% dxdy
Такъ какъ операщю d можно изобразить независимо отъ той
функцш, надъ которою эта операщя производится, написавъ
dy + ^.dz+.-,
dxdy-
J
то
или
dx
видимъ, что
символически
• dx ~\
Ъу2'
d
Vdy
df
dxdy
id d d \2
d2 — I-— ¦ dx + —— • dy 4- -7— ¦ dz 4- • • • \ ¦
\dx dy y дз I
Дифференцируя еще разъ и продолжая такъ же дал^Ье, очевидно,
придемъ къ символической формуле:
dy J dz
которая предполагаетъ (при п~^>\), что х, у, z, ... независимыя

26 VI, 1. ДИФФЕРЕНЦИР0ВАН1Е. §§ 563—565
переменный. Если же, напротивъ того, имЪемъ, напримеръ, z=/(x, у),
гд-Ь х и у функщи отъ лругихъ независимыхъ перемЪнныхъ, то
последовательное дифференцироваше дастъ:
dz = d_Ldx+fdy, dz = (Hdx + 4 dyff+/ &х+
дх ду ' \дх ду J ]J дх ду
d +
A. dx + ~- dy)f+3^4 dxdx + 3-^(-
дх ду I дх2 дхду
^fdx + f d*y + 3 ^ dy d^v + 3 J?- dxd2y,
дх ду ^ ду2 J дудх
564. Формула Тэйлора. Дифференщальное обозначен!е даетъ
возможность написать формулу Тэйлора (§ 330) въ замечательно
простомъ виде, применимомъ одинаково какъ въ случай одной,
такъ и въ случай нътколькихъ переменныхъ, а именно
A8) Л/=rf/+i<]p/+i rfB/+A #/+....
Ограничиваясь для большей ясности случаемъ одной переменной,
заметимъ, что формула (8) § 330 можетъ быть написана въ сле-
следую щемъ виде:
A9) д/(х) =
(полагая х — а = да, f(x)—f(a) = df(a) и заменяя затемъ
букву а буквою х). Если примемъ х за переменную независимую,
то дх = dx, f^(jxNxn = dnf, и формула A9) принимаетъ видъ A8).
Эта последняя, очевидно, справедлива вообще (т. е. когда х не
независимая переменная), потому что каждый членъ формулы A8)
имеетъ определенное значеше, не связанное съ темъ или инымъ
выборомъ независимой переменной. Это замечаше необходимо, по-
потому что ошибочно было бы сказать, что и въ общемъ случае
d"f
п-ый членъ формулы A9) равенъ -^-¦ Чтобы и въ общемъ случае
получить изъ формулы A9) формулу A8) надо было бы взять
выражеше
возвысивъ его во 2-ую, 3-ью и т. д. степени, написать
d/=(dx+i d*x f i d*x + ¦ ¦ ¦ )f+ i (dx* + dxePx + - ¦¦ )/"+ ¦ • •
и собрать затемъ безконечно малые члены одного и того же порядка:
fdx = df, i Wd*x +f"dx*) = | d*f,
i (fcPx + 3/' dxd^x +f'"dx* )= % d3/, . . .
565. ИзмЪнен1е перем-Ьнныхъ независимыхъ. Если хотимъ
выразить частныя производныя функщи f(x,y, z, . . .) по х, у, z, . . .
въ новыхъ переменныхъ и, v, w, . . ., число которыхъ равно числу

§§ 565—566 ФУНКЦ1И ОТЪ НЪСКОЛЬКИХЪ ПЕРЕМ-ЬННЫХЪ.
27
прежнихъ, то, разсматривая х, у, z, . . . какъ функщй отъ и, г>, ик ...
и изменяя сперва одно м, загЪмъ одно v и т. д., найдемъ
1^ + ^ + — —
дхди дуди дзди
dv dxdv дуdv дз dv
dw dx dw ду dw д s dw
Эта система линейныхъ относительно —^ . -г-
д х д
ределитъ эти функщй, если определитель
дх ду дг
д и д и д и
дх ду дз
3 = д v dv dv
d x d у d з
dw dw dw
df
уравнешй оп-
не равенъ нулю1). Этотъ определитель называется функилональ-
нымъ определителемъ или Якоб1аномъ системы функщй х,у, z, ...
относительно перемвнныхъ и, v, w, .. . и обозначается обыкно-
обыкновенно следующимъ образомъ:
= d(x, у, z, ...)
d (и, г1, да, . . .)
Р"Ьшая разсматриваемую систему, найдемъ:
B0)
и точно также
d/=J_
dx 3 d (и, v, iv, . . . )
tL - _Lд(*' /¦ a' • • •), <LL - i_д(x< y>/¦ ¦-)
dy 3 d (u, v, iv, .. . ) д з 3 d (u, v, w, . . .)
Для получешя слЪдующихъ частныхъ производныхъ B-хъ, 3-хъ
и т. д.), надо поступить съ найденными первыми такъ, какъ было
поступлено съ функщею /.
566. Къ разсматриваемой задаче приводитъ вопросъ о преоб-
разованш даннаго уравнешя или выражешя, содержащаго произвол-
J) Мы вскор-Ь увидимъ, что услов1е это будетъ выполнено, если
х, у, z, ... независимы одно отъ другого.

28 VI, 1. дифференцирована. §§ 566—567
ныя отъ f по х, у, z, ... такимъ образомъ, чтобы въ него вошли
производный по нтзкоторымъ другимъ перемЪннымъ. Тогда надо
д/ д/ д/ д/
выразить - -! -^-, • ¦ ¦ черезъ —-1 , > ¦ • • > и если х, у, z, . . .,
д х ay v ди dv -/'
заданы въ видт> функцШ отъ и, v, w, . . ., то вышеизложенный
процессъ предпочтительнее всякаго другого. Иногда случается, что,
наоборотъ, и, v, w, . . . заданы, какъ функщи отъ х, у, z, . . .
Тогда можно непосредственно написать:
Bп ?=.LJ! + f.iL + iLJ?+....
дх д ид х д v д х div д х
Аналогично этому найдутся и -J- > -J- > • • • и т. д. Чтобы пока-
ау о z
зать, какимъ образомъ эти формулы сводятся къ формуламъ пре-
дыдущаго параграфа, дъ\чаемъ последовательно f=x, f=y, f—^i • • • >
предполагая, что проверена (пр1емомъ, который будетъ изложенъ
въ следующей главт») возможность разсматривать и х, у, z, . . .
какъ функцди отъ и, v, ги, . . ., им%ющ1я производный. Тогда
найдемъ
_дхди dxdv дх dw
Ъидх dvдх dwдх
. _ ду ди ду dv ду dw
ди дх dv дх dwдх
dzdu dzdv d г dw
du dx dvdxdwdx
Изъ этихъ уравнешй находимъ
д и _ 1 д {у, z, ...) d v _ 1 д (у, z, ...) dw_ _ I д (у, г, . .'.)
д х ~ 3 d (v, w, ...) ' d x ~ 3 d\u, iv, ...) ' д x ~~ 3 d (w, v, ¦ ¦.)
а подставляя эти выражешя въ B1) мы и получимъ формулу B0),
въ которой, впрочемъ, заключаются и послъдшя формулы, если по
очереди положимъ f=u,f=v,f=w, ....
567. Можно и другимъ путемъ придти къ формул^ B0). Мы
его здъть укажемъ, чтобы съ очевидностью обнаружить, что и част-
частная производная есть не что иное, какъ некоторое отношете,
а именно отношеше двухъ частныхъ дифференщаловъ. Такъ, напри-
мЪръ, чтобы получить -р- > можно разделить дифференщалы
JLdu+-fdv+-; dx = /
du dv du

567-568 функщи отъ нъсколькихъ перемънныхъ.
29
первый на второй, обративъ ихъ предварительно въ частные, при-
принимая dy = 0, dz = 0, .... Такимъ путемъ получимъ
df djx__ df\ !df_ dx df
dxdu duj"" ' \dxdv dv) \dxdw dw
при условш. что du, dv, ¦ ¦ . связаны соотношешями
• ¦ =0,
О,
ди
dv
dw
-.- du-\-^--du + з— dw •
du dv dw
= 0,
(выражающими, очевидно, равенства dy = 0, dz = 0,
чая du, dv, dw, . . ., находимъ
1 dfdx df dy ds
dxdu du du du
.). Исклю-
dfdx
dxdv
dfdjc
dx dw
df dy ds
dv dv dv
dj dy^ d0
dw dw dw
= 0,
откуда и получается выражеше B0) для -—¦ •
568. Производная по данному направлен1ю. Чтобы имтлъ
д"Ьло съ опред+леннымъ случаемъ, допустимъ, что дана функщя
f(x, у, z) отъ трехъ независимыхъ перем+,нныхъ, т. е. величина,,
значеше которой дано для всякой точки (х, у, z) пространства.
Самый естественный способъ обобщещя поняия производной, когда
отъ функщй отъ одной переменной переходятъ къ функщямъ отъ
нътколькихъ перем^нныхъ, состоитъ въ нижеслъ'дующемъ. Разсмат-
риваютъ приращен1е, получаемое функщею при переход^ отъ одной
точки М къ другой М'', и ищутъ пред1>лъ отношен1я этого прира-
щен1я къ длинъ h отръзка ММ', въ предположен!и, что точка М
остается неподвижною, а М' стремится къ совпаденш съ М. При
этомъ направлеше ММ' считается извъхтнымъ и определяется ко-
косинусами а, /?, у угловъ, образуемыхъ имъ съ положительными
направлешями осей координатъ. Этотъ пред+,лъ и называется про-
производной данной функщи по данному направлент. Въ каж-
каждой точкъ, следовательно, существуетъ безчисленное множество
производныхъ, соответствующихъ различнымъ направлешямъ, но-
новее оне связаны между собою простымъ и замечательнымъ соотно-
шен1емъ. А именно, производная по направлешю (a, ft, у) равна
lira7-
у к) -f{x,y,z)
= lim [a/, (x + bah, ...
fc=0
ds

30 VI, 1. дифференцированш. §§ 568—569
При этомъ частныя производный, предполагаемый непрерывными,
вычислены для точки М. Представимъ Себе теперь безконечно малую
длину do, отложенную отъ точки М по прямой, проведенной че-
резъ М въ направленш (а, /?, ;')¦ Производную по разсматривае-
мому направленш принято обозначать черезъ —!- > такъ что
да д х ду д z
Теперь фиксируемъ определенное направлеше, направляющее коси-
косинусы котораго а0, /?0, у0 пропорцюнальны первымъ частнымъ про-
изводнымъ функщи /, такъ что
дх ду ds
Обозначая черезъ 9 уголъ между направлешями (а, /?, у) и
(о0, /?0, у0), будемъ им-Ьть
^ 0+ у Го) VAf = cos 6 ¦
Если по направлент (а0, ^0, у0) отложимъ отр^Ьзонъ, равный
VЛ/, то проекция этого отрезка на любое направлеше
изм^ряетъ величину производной, взятой по этому напра-
направлен! ю. Отсюда, между прочимъ, огЬдуетъ, что (а0, ^0, у0) есть
то направлеше, по которому функщя изменяется всего быстръе.
Напротивъ того, по безчисленному множеству направлен^, перпен-
дикулярныхъ къ (а0, /30, у0), функц1я имт>етъ стремлен1е оста-
оставаться постоянною.
569. Дифференфальные параметры. Такъ называются Tt
выражен1я, составленйыя изъ частныхъ производныхъ функщи, кото-
который пользуются свойствомъ инвар1антности, т. е. независимости
отъ выбора координатныхъ осей. Понятно, что подобныя выражешя
имт>ютъ весьма важное значеше въ Геометр1и, Механикт», Физикт» и
вообще везд^Ь, гд-Ь д-Ьло идетъ о соотношен1яхъ и свойствахъ, не
имт>ющихъ никакого отношен1я къ гЬмъ осямъ, который выбираются
за координатныя *). Такъ, первыя частныя производныя отъ'/, оче-
очевидно, связаны съ координатными осями и изменяются вместе съ
ними; а сумма ихъ квадратовъ Л/ остается безъ измтэнешя, и
на этомъ основанш называется дифференц1альнымъ парамет-
ромъ перваго порядка. Въ самомъ д+ле, мы видели въ преды-
!) Въ этомъ направлен1и разработано, такъ называемое, „абсолютное
дифференщальное исчислен!е" (Calcolo diff. assoluto), изобретенное Q. Ricci
(Риччи), проф. Падуанскаго Университета (Bulletin des sciences math, et astr.,
1892, p. 186).

§§ 569—570 функщи отъ нъсколькихъ перем-ънныхъ. 31
дущемъ параграф^, что Л/ равно квадрату отъ -;—> взятой въ на-
правленш наибыстр-вйшаго изм-Ьнетя f. Это направлеше, оче-
очевидно, зависитъ только отъ значенШ функщй /, а не отъ системы
осей, выбранной за основу вычисленШ *). Точно также инвар1антно
выражеше
называемое дифференилальнымъ параметромъ 2-го порядка.
Действительно, взявъ еще разъ производную по направленш (а, /3, у),
получимъ
do2 <)лг \ rfx djy
Общее м^Ьсто точекъ, для которыхъ эта вторая производная -^~
равна нулю, будетъ конусъ второго порядка:
(а, /3, у разсматриваются, какъ координаты точекъ на конусЬ, а
х, у, z, какъ постоянныя). Ясно, что этотъ конусъ не зависитъ отъ
выбора осей. Поэтому дискриминантъ квадратичной формы B2)
(относительно а, /3, у), равный опредътштелю Гессе функщи /,
будетъ инвар1антомъ, и тъмъ же свойствомъ инвар1антности (§ 89)
пользуются суммы его главныхъ миноровъ перваго и второго по-
порядка, а въ частности и Л2/. Функщи, для которыхъ всегда Д*/= О,
(уравнеше Лапласа) называются гармоническими функщями (см.
§ 401) и играютъ весьма важную роль въ приложешяхъ. Гармониче-
Гармоническою функщею будетъ, напримъ'ръ, температура тъ\ла, находящагося
въ термическомъ равновЪсш, потенщалы BHt пространства, зани-
маемаго действующими массами и т. д. **).
570. Предыдущая соображен1я бросаютъ новый св^тъ на во-
вопросы изслъ\довашя о maxima и minima функщй отъ нътколькихъ
перем'Ьнныхъ. Если проведемъ черезъ точку М прямую и будемъ
разсматривать только тъ значешя функщи /, которыя она прини-
*) Легко непосредственно провЪрить, что
А
дх
(Л
если х, у, г связяны съ х', у', г' изв-Ьстными формулами преобразован1я
прямоугольныхъ координатъ.
**) Teopifl гармоническихъ функщй и ихъ приложешя подробно раз-
развиты въ сочиненш Weber-Riemann, Partielle Differentialgleichungen der
mathem. Physik, 5-ое изд. 1911.

32 VI, 1. дифференцированш. §§ 570—571
маетъ въ точкахъ на этой прямой, то ясно, что функщя f въ
точкъ М — навърное будетъ maximum или minimum, если въ этой
точкъ — = 0, а ~ не равно 0. Такъ какъ уравнеше -г^ = 0 удо-
д а ' да2 да
влетворяется для безчисленнаго множества направлен^, перпенди-
кулярныхъ къ (а0, /?0, y0), то мы видимъ, что черезъ каждую
точку М въ пространств^ можно провести безчисленное
множество прямыхъ, лежащихъ въ одной плоскости, вдоль
которыхъ функц1я f въ точкъ М будетъ maximum или
minimum; исключеше могутъ представлять только некоторый пря-
д2 f
мыя, а именно образуюиля конуса B2), на которыхъ и -г-^ = 0. Все
это относится къ тому предположент, что въ точкъ М не равны
нулю одновременно всъ три первыя частныя производныя отъ f по
х, у, z; въ противномъ случаъ -J- была бы равна нулю по всякому
направлешю (а, /?, у), и функ1ия f въ такой точк-Ь М была
бы maximum или minimum вдоль всевозможныхъ прямыхъ,
черезъ нее проходящихъ, за исключешемъ, можетъ быть, гёхъ,
которыя лежатъ на поверхности конуса B2). Если этотъ конусъ
d2f
мнимый, то такихъ исключений не будетъ, и -^ сохраняетъ посто-
постоянный знакъ для всъхъ направлешй, такъ какъ эта производная
функщя непрерывная, не обращающаяся въ нуль для вещественныхъ
значешй а, /?, у. Отсюда ясно, почему функщя /, имъющая въ
точкъ 71/ либо всегда maximum, либо всегда minimum по всякому
направлешю, действительно будетъ и въ пространств^ maximum
или minimum въ точкъ М. Если, наоборотъ, конусъ B2) веще-
вещественный, то въ М не будетъ ни maximum, ни minimum функцш fy
такъ какъ вдоль нъкоторыхъ прямыхъ f будетъ maximum I-~\ < 0j(
а вдоль другихъ minimum (^ > 0j; конусъB2)служитъ границею,
отделяющею область однъхъ прямыхъ отъ области другихъ. Въ ча-
стномъ случаъ гармоническихъ функщй, для которыхъ сумма вторыхъ
частныхъ производныхъ Л2/ равна нулю, эти производныя не мо-
могутъ имъть вс-Ь три одинъ и тотъ же знакъ, а потому конусъ B2)
будетъ вещественный. Отсюда слъдуетъ, что гармоничесшя функцш
нигдъ не имъютъ ни maximum'a, ни minimum'a.
571 Упражнетя. а) Предложимъ себ-fe выразить дифференщальные
параметры функщй f(x, у) отъ Декартовыхъ координатъ точки на плоскости
въ полярныхъ координатахъ. Мы имЬемъ х = г cos 9, у = г sin 8, и
'дг
Следовательно,
B3) ^ =
дхС0&
-~- cos t
дг
) + djSiU
Y д G
1
г
in e,
dv
= -
д
~~д
- -J- sin 6
дх
г
1
1
з-cos
%cos

§ 571 ФУНКЦ1И ОТЪ Н-ЪСКОЛЬКИХЪ ПЕРЕМЪННЫХЪ. 33
Впрочемъ, послЪдшя формулы можно получить прямо (см. § 566), какъ и
первыя, замътивъ, что изъ равенства г- = х2 + у2 и 6=arctg^ . получается
д г х
т- = — = cos 8,
дх г
д г у
-г-- = — = sin 8,
ду г
Возвышая въ квадратъ и складывая выражешя B3), находимъ
дЧ
дх
de
dr
X
¦ r2
У
r2
cose
г
sin 8
г
Применяя теперь формулы B3) къ ~ и -—- > вместо /, получимъ
ох о у
d2/ d (df „ 1 df . A n 1 d (df „ 1 d/ . \ . „
-t-^ = — -r^ cos 8 r^ sin 9 ¦ cos 6 (~- cos 9 ^ sin 9 • sin 9,
дх2 dr\dr rdti J rd8\dr rd8 J
d2/ d (df . „ Id/ \ . в , 1 d (df . n Id/ \
^4 = — -r^- sin 8 -I -ri cos 8 • sin 8 -\ — I-*- sin 6 -I -4 cos 8 • cos 0,
djv2 dr\dr r dB / »• iJ!\i)c 'rd9 /
т. e.
—4, = -Л sin2 8 — 2 U^( —{-) sin6 cos8 + I— -J- + ——^ J cos2 8,
dy2 dr2 \r2 d8 r drd 8/ \ r dr r2 d ря|
Следовательно,
д21 = 1AL
d82 d\
Въ случай я перем'Ьнныхъ, если/ функщя одного г = "j/".r2+jy2+s2 + • • •,
будемъ имъть
д? _ ^ rf/^ д?-У_'И д1 _ ? rf/,
dx r dг ду г dr дг г dr
дал%е
da/ I rf/ д:2 rf /I rf/\
^4, = — -/ Ч -г- I- -,- и т. д.
Сл-Ьдовательно,
\drj r dr dr\r dr] rn—1dr\ dr
Последняя формула показываетъ, что если хотимъ им*ть гармоническую
функшю отъ одного г, то должны положить гп~1 -, = постоянному числу.
Поэтому, при «=2,/должно быть вида C\ogr-\-Cb а при п =а 2, /=С2г2~п+Св,
гд* С, Сх, С2, С3— постоянныя.

34 VI, 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАШЕ.
b) Чтобы вычислить определитель Гессе Н =
§ 571
еще знать
I d2 f \
4 та — т——
dx2dy2 \dxdyj
. надо
д2 f д (д f 1 д f ,
-^—=т- = -т— Иг- cos 9 d sin e • sin I
дхду д г\д г г дВ
"*" г д 8 \дг
Если положимъ дпя сокращешя
1
1 д/
34s
г д 6
cos 8.
то найдемъ
г д г г2 д№} и r2db r
= да sin 2 8 — ip cos 2 9.
дхду
Найденныя въ предыдущемъ упражненш выражен!я можно также написать
'— да cos 2 0 — у sin 2 3.
о2 f 1
-~ = -^ ^/2/+ да cos 2 8 +1/) sin 2 (
СлЪдовательно, Я =
. или
<Э2/
с) Перейдемъ теперь къ разыскан!ю выражен1й вторыхъ частныхъ
производныхъ функши f(x, у), взятыхъ по х и у въ какихъ угодно новыхъ
перем'Ьнныхъ и и v. Поступая, какъ въ § 565, получимъ
B4)
ЗагЪмъ изъ Соотношен1й
йдг 3 VdMdw $vdu)' ду d\dvdu dudvj
ди2 дх2\ди) дхду диди ду2\ди/
с д2/ дхдх д2/ (дхду дхду\ д2/ ду ду ,д/ д2 х д/ д2 у
v dx2dudv дхду\ди dv dvdu) дуг dudv дх dudv ду dudv
dudv
dv2 ~ dx2\dv/ ~*~ дхду dvdv^~ ду2 \dv) """ dxdv2
d2fd2fd2f
надо будетъ найти —^ > . •; и -т-^- Определитель этой системы будетъ
дх1 дхду дуг
(§ 27, а)
ди
ди д и
ду\*
ди)
дхдх дхду дхду дуду
dudv dudvdvdu dudv
dv)
dv
ду (ду\г
Jv~ \dv)

§ 571
ФУНКЩИ ОТЪ НЪСКОЛЬКИХЪ ПЕРЕМЪННЫХЪ.
35
Алгебраичесюя дополнешя его элементовъ будутъ равны гомологичнымъ
элементамъ определителя
-2"
ду\*
dvj
ду ду
д и dv
dyf
ди)
дх
ди
dx
dv
dy
dv +
дх
ди
ду
d~u~
дх
dv
ду
О и
ду
Jli
[dvj
_ дх дх
ди dv
\ди)
умноженнымъ на 3 *)¦ Отсюда слЪдуетъ (на основаши правила Крамера)
Щ Щ (
dv] \диг \дх
" dy d u2j
___ df d2y
\du] \d v2 \dx dv2 dy дчР
ду ду г ay ,df (px af
df
dx d
dudv \dudv \d x dudv^ д у dudvj
и т. д.,
куда вмЪсто -^- и . - надо подставить выражен1я B4). Но мы быстр-fee и
прям-fee придемъ къ ц*ли, если (какъ въ первомъ упражненш) прим^нимъ
формулы B4) къ -~ и ~, вместо /. Такимъ путемъ получимъ
~ 3dvdu\3dv' ди Зди'ду)
1 ду д /1 dy д/ 1 ду д/
~~ 3 dttb~v\3dv Ъ~п ~ ~д dli ' Wv
1
д х
П 1?
д v) 3 и2
dudv dudv
d у2 J
1 \dy d 11 du\ dj_d__
3" [dvTu \3 dvj ~'dudv\~3 J~vj\ Wu
l \ду д I 1 dy\ dy d^ I 1 dy\~\ df
J [d~u d~v \JJ~uj ~~ dv du \W Jlij] dv
3
и аналогично этому
2 (Pf
З2 \\dvj ди2 " dudv dudv + \ди)
J_
' ~3 [d~v д~и [3 dvj ~ dudv\J Jv
1 р х д 11 д х\ д_х _й_ / 1 д х\Л df
J'[дпдЪ\3~д~п) ~ д vWu \3 dlij\ d~v '
*) Т. е. имЪющимъ rt же указатели строкъ и столбцовъ, такъ что
(дх\2 1ду\2„
-г—I равно l-p-J 3 и т. д.

36 VI, 1. диФФЕРЕНЦИРОВАнге. § 571
d) Теперь мы им-Ьемъ возможность выразить первый и второй диф-
ференщальные параметры f въ новыхъ перемЪнныхъ и и v. Въ эти выра-
жешя войдутъ, какъ мы увидимъ, функцш
-(дЛа\*-и(д-У\г h - (д-*\2 л. (д-У\2 _дхдх dydy
а \ди)+[ди)' [dv) +[dv)' °~dudv + dndv'
которыя являются въ преобразовали ds2 = dx2 + d^>2 къ виду
B5) ds2 = adu2 + 2c du dv + bdv2.
Сперва, путемъ возвышешя въ квадратъ и сложешя, изъ формулъ B4)
получимъ
Дал^е изъ посл-Ьднихъ формулъ предыдущаго упражнен1я получается путемъ
сложешя
3 [\du 3 dv3jdu^\dv3 диЗ/dv
или
A.±- JL±\IL\
d3 3 j д \
3 \bu\3 on 3
dv\3 dv 3 би
это весьма важная формула Лямэ (Lame). Къ этой формулъ1 можно придти
также, следуя пути, указанному въ § 566. Тотчасъ найдемъ
x бх Оу dyj dv2 riu dv
Съ другой стороны, вслЪдств1е соотношен1й
(
)
будемъ им-Ьть
д и
Jx^
откуда
1
Л
1
0 =
ду
и =
дх
дн
ду
ди
du
д~х
ди
d~x~
dv
d~x~ =
b
^ dv
d-y
+ dv
1
= ~?
d и д v
дх dx
ft У
1Гх"
dv
ду
ди '
ди
г ду
0 =
1 =
ди
д у
dv
dx
ди
ду
ди
= -
= —
ди
ди
Ту~
1
~
с
О V
,ду
+ б7
dx
д v
Av-
dv
JJ'
д v
JJ'
dv
а
1 дх
~3 ди
.„ \ I d b д c\ A9 \ I д а д с
Ac -и = I - - - - » A" 7) = - —
3 \du 3 dv 3 j gf\dt'oJ du 3
и т. д. Если построимъ кривыя и и v ,(§ 413), то здачешя а, Ь, с въ каждой
точит} получатся прямо изъ геометрическихъ соображешй. Действительно,
изъ B5) видно, что ~\fa • du и "Yb ¦ dv изображаюсь ds соответственно для

§§ 571—572 неявныя функщи. 37
кривыхъ v = const, и и = const. *). Если аи/} обозначаютъ углы этихъ
кривыхъ въ точке М съ осью #-овъ, то
Г дх . 1 dv , 1 дх . ~ 1 ду
cos а = —== . - > sina= , -r^-> cos ,3 = —-^-—> sin д =—=^г~>
У а " и У^г " и V~b " v ~\^Ь д v
а уголъ а между кривыми определяется формулою
cos ы = cos (,? — a) = —== .
у ab
а такъ какъ очевидно, З2 = аЬ — с2, то можно также написать sin а = ——'
Vab
Наприм-Ьръ, полагая въ случа-b полярныхъ координатъ и = г, v — 6, прямо
изъ чертежа видно, что а = 1, 6 = г2, с — Q и формула Лямэ сейчасъ же сво-
сводится къ выражешю, данному въ первомъ упражненш. Вообще для всякой
ортогональной системы кривыхъ (т. е., когда с = 0) формула Лямэ прини-
маетъ слЪдующШ, чрезвычайно простой видъ
Tdv
~ лГаЬ I'd» \ У а ди' дъ
Неявный функщи.
572. Если въ уравнен1и f(x, у) = 0 мы будемъ разсматривать
V, какъ функщю отъ х, то правило разыскашя производной слож-
сложной функщи тотчасъ дастъ уравнен1е
изъ котораго при ~^0 и находимъ значен1е у'. Но, поступая
такимъ образомъ, мы молча предполагаемъ, что производная у'
существуетъ, между тЪмъ какъ мы еще не имЪемъ основан1я
a priori утверждать ни того, что у существуетъ, ни даже того, что
вообще можно разсматривать у, какъ функщю отъ х. Однако (при
изв-бстныхъ услов1яхъ), эти утверждешя допустимы. Положимъ, въ
самомъ д'Ьл'Б, что (х0, у0) есть некоторая пара значенШ х и у,
удовлетворяющихъ уравнен!ю f(x, у)= 0, и примемъ, что f'x и f'y
будутъ непрерывны, когда х изменяется въ интервал-fe (xe — h,
х0 + ^)| а У въ интepвaлt (у0 — k, у0 + k). Кромъ того, предпо-
ложимъ, что h и k достаточно малы для того, чтобы /„ сохраняла
знакъ числа fy(x0, у0)^5~0, въ указанныхъ интервалахъ. Такое
предположеще возможно всл"Бдств1е непрерывности f'y. Далъ-е ясно,
что въ силу нашихъ предположено отношен!е f'y къ fx не можетъ
быть какъ угодно мало по абсолютной величин-fe и потому суще-
существуетъ такое положительное число а, для котораго [/у |^
*) ds есть дифференщалъ дуги кривой (см. § 582).

38
VI, 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНА.
§ 572
когда х и у остаются въ разсматриваемыхъ интервалахъ. Если А,
которое можно взять сколь угодно малымъ, будетъ меньше ka, то
будемъ иметь
h\fi\<ka\f'x\<k\fy
Отсюда слЪдуетъ, что въ равенстве
±
Ы),
(О < 0 < 1) которое даетъ формула Тэйлора въ силу равенства
f(x0, у0) = О, для всякаго значешя |, лежащаго между — h и -\- h,
первый членъ правой части будетъ меньше второго по абсолютной
величин^. Поэтому знакъ числа / (х0 + ?, уа + k) будетъ совпадать
со знакомъ числа + kfy (х0 + Q ?, у0 + 6 k), а такъ какъ f'v coxpa-
няетъ постоянный знакъ, то приходимъ къ следующему заключенш:
при фиксированномъ ?,/(#„ + ?,у)
..---" ¦--.. есть функшя одного у, имеющая
.-'' - разные знаки при у =у0 — k и
у =уа -f- ^- Но эта функшя не-
непрерывна, потому что имеетъ
производную f'y. Следовательно
(§ 275), она обращается въ нуль
для некотораго значешя у=7),
лежащаго въ интервале (уи — k,
уо-\-k); при томъ она не можетъ
обратиться въ нуль более одного
раза въ этомъ интервале, потому
что производная f'y сохраняетъ въ
немъ знакъ и, следовательно,
f(x0 -\- ?, у) либо постоянно убы-
ваетъ, либо постоянно возрастаетъ. Итакъ, справедливо, что, выбравъ
по произволу значеше х = хо-\- Ц— h ё ^= h). мы найдемъ одно
и только одно такое значеше у = jy0 -)- ^ (— ^ < ^ < fe), что для этой
пары значенШ будемъ иметь f(x, у) = 0. Следовательно, въ ука-
занныхъ границахъ данное уравнеше, действительно, определяетъ у,
какъ функшю отъ х. Функщя эта притомъ непрерывна, потому что,
если въ уравненш f(x0 + ?, у0 + щ) = 0, т. е. въ уравненш
§ будетъ стремиться къ нулю, то и ц будетъ стремиться къ нулю,
потому что f'y 32 0. Наконецъ, эта функшя имеетъ производную,
потому что съ приближешемъ къ нулю, имЬемъ
Рис. 28.
,. ц .. /Лхо +
hm -4- = — lim —r
/х(хо> У а)
Такимъ образомъ, исходя изъточки (х0, у0), мы нашли безчисленное
множество точекъ, координаты которыхъ удовлетворяютъ уравнен1ю

§§ 572-574
НЕЯВНЫЯ ФУНКШИ.
39
J(x,y) = O, лежащихъ въ прямоугольник^, опред'Ьляемомъ вершинами
(х0 + h, у0 ± k), и всъ эти точки находятся въ тъхъ же услов1яхъ,
какъ и точка (х0, у0). Последнее вышеприведенное заключен1е по-
поэтому приложимо ко всЬмъ этимъ точкамъ, и формула B6) доказана.
ЗамЪтимъ наконецъ, что въ силу непрерывности f'x и f'y и услов1я
fy^O, функщя у' также непрерывна.
573. Можно высказать и болъе обшлй результатъ. Если со-
отношеше
B7) f(x,y.s , и)-0
удовлетворяется значешями х0, у0, з0, . . ., щ перемт>нныхъ, и въ
окрестности этихъ значешй первыя частный производныя функцш f
существуютъ и непрерывны и, кром^Ь того, для этихъ значенШ
уЛ^О, то можно утверждать, что и есть функщя отъ перемЪн-
ныхъ х, у, г, ¦ ¦ ., имъющая непрерывный первыя частныя произ-
производныя. Он-fe получаются, если возьмемъ частныя производныя отъ
функщ'и J(x, у, z, . . ., и), разсматривая и, какъ функщю отъ
х, у, z, . . ., и приравняемъ ихъ нулю*).
д х д и д х
дЛ . if.д и = о ?./ . PL dJL
ду д и д у ' д з д и д з
Доказательство ведется точно такъ же, какъ въ разсмотрънномъ
выше частномъ случат,.
574. Дальнъйипя дифференцирован1я дадутъ посл-Ьдовательныя
производныя функши^>. Наприм-Ьръ, въ случат» уравнен1Я f(x,y)= О,
надо продифференцировать ¦—- dx -\- ~^~- dy = 0, чтобы получить у".
А именно—мы получимъ
д у- ¦ ду '
откуда, послъ подстановки значешя у', взятаго изъ B6), тотчасъ
найдемъ
ЧЛ2
или
ду) Ох'-\ду) " дхду д х ду ду'1 \д х
о d-L -V
д х ду
dJL dlL d'f
J-) дх дх' дхду
д v '
ду дудх бу-
и т.д.
*) Говоря короче, дифференцируя уравнеше B7).

40
VI, 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ.
§ 574
Р-Ьшимъ еще вопросъ о вычисленш частныхъ производныхъ р, q,
г, s, t функщи 0, неявно определяемой уравнешемъ f(x,y, z) = 0.
Первыя две найдутся изъ уравнений
B8)
ах
' ду ^ дз
получаемыхъ изъ уравнешя f — 0, если возьмемъ частныя произ-
водныя отъ обЪихъ частей равенства по i и по у. Дифференцируя
по х первое и по у второе уравнеше, получимъ
о у*
'•<&& + ¦,
>+&<¦
откуда для г и / получаются (посл-fe подстановки вместо р и q
ихъ значен1й) слЪдуюиш выражен1я
у =
д*)
д х д z
df
дЧ
дх д х2 dxdz
df дЧ d4
д з дздх д z2
t
дг)
0
df. d-L
д у д з
dj_ <Р? дЧ
ду ду2 дудз
df д2/ д2/
дг деду д s2
Если продифференцируемъ по у первое или по х второе изъ уравне-
нШ B8), то получимъ
1
дх дз
dfj
дз]
ду дудх дудз
д/ д2/ д2/
дз дгдх
дз2
Заметимъ, что вышенаписанные три определителя получаются изъ
определителя
дх ду дз |
df d2f d2f д2/
dx dx2 dxdy dxde
df d4 d2f d2f
ду dydx djy2 dyds
dj_ d2f d'4 d4
dz dzdx azdy

§§ 574—575 неявныя функцш. 41
л ¦ ¦ д'2/ д2/ dif
если возьмемъ алгебраичесюя дополненш элементовъ-т~' — -г—~— > -т-4
ау1 дхду ах1
посл-Ьдняго. Отсюда, по изв-Ьстному свойству определителей (§ 38),
слЪдуетъ
D
575. Можно доказать еще бол-fee общ№ результатъ, а именно:
если даны т уравнешй
B9)
f{x, у, г, . . ., и, v, w, . . .) = О,
(р (х, у, Z, . . . , U, V, W, . . .) = О,
\\){х, у, s, . . ., и, v, w, . . ) = О,
которымъ удовлетворяютъ значен1я х = х0, у = у0, . . ., и =ии,
v = v0, . . ., то можно разсматривать т перемъ-нныхъ и, v, w, . . .,
какъ функцш отъ п перемЪнныхъ х, у, z, . . . и эти функцш
им^ютъ первыя частныя производныя по вс-Ьмъ перемъннымъ. При
этомъ, однако, предполагается, что первыя частныя произ-
производныя функцдй f, q>, 1/), ... непрерывны и, кром-fe того,
что для разсматриваемыхъ значенШ перемт>нныхъ Якоб!анъ
g =
д (и, v, w, . . .)
не равенъ нулю. При т = 1, мы имЪемъ уже известную намъ
теорему § 573. Чтобы доказать общую теорему, достаточно пока-
показать, что она будетъ справедлива для т уравненШ, если допустимъ
ея справедливость для т — 1 уравнетй. Такъ какъ предполагается,
что въ точк-Ь (х0, у0, ¦ . ., uOt v0, . . .) З35О, то можно быть
увъ^еннымъ, что, по крайней мЪрЪ, одна изъ производныхъ
/i /i /i ••¦ въ этой точк-fe не равна 0. Положимъ, что
аи dv aw
~- s 0. Тогда, принимая во внимаше наши предположен1я и тео-
О 14
рему § 573 *), мы можемъ утверждать, что и есть функщя отъ
перемънныхъ х, у, г, . . ., v, w, ¦ . ., имъющая непрерывныя пер-
первыя частныя производныя. Если представимъ себъ-, что это выра-
жен1е и подставлено въ остальныя уравнения системы B9), то
получимъ новую систему
C0)
rpi(x, у, з, . ., v, w, . . .) = 0,
Vi(*. У. г, . . ., v, w, . . .) = 0,
*) Применяя ее, мы разсматриваемъ первое изъ уравнешй B9).

42 VI, 1. дифференцирована. §§ 575—576
Система C0) состоитъ изъ т—1 уравнешй, связывающихъ т — 1
перемЪнныхъ v, w, . . . съ п остальными. Первыя частныя произ-
водныя функцш <р,, ipt, ... существуютъ и непрерывны, потому что
д (fi dip д(р ди д g9j д<р dtp ди
дх дх дидх ду ду dud у
(что вытекаетъ изъ самаго происхождешя функшй gct, tpx, . . .).
Мы сейчасъ покажемъ, что Якоб1анъ системы <рх, ipx, ... относи-
относительно V, W, ...
01 c)(v, iv, . . .)
не равенъ нулю. А тогда система C0), по предположена, опред-Ь-
ляетъ v, w, . . ¦ какъ функщи отъ х, у, z, . . ., и эти функщи
HMtroTb первыя частныя производныя. Но то же самое можно ска-
сказать и объ и, если представимъ ce6t, что въ его выражеше, полу-
полученное изъ перваго уравнешя системы B9), подставлены выражешя
v, w, . . ¦ изъ системы C0). Такимъ образомъ и получается, система
функшй и, v, iv, . . . , принимающихъ значешя и0, v0, w0, . . . при
х = х0, у=Уо) ¦ ¦ ¦ и им-бющихъ въ окрестности послъ-днихъ значен1й
первыя частныя производныя. Все дътю сводится, сл-вдовательно, къ
тому, чтобы доказать, что 31 ^5 0. Для этого представимъ себ-fe,
что въ опред'Ьлител'Б 3 элементы перваго столбца по умноженш
ихъ на — прибавлены къ элементамъ второго столбца, зат%мъ
. ди ,
т-fe же элементы, по умноженш на -г—, прибавлены къ элементамъ
третьяго столбца и т. д. Тогда элементы новаго определителя будутъ
du
d(p
d~ii '
dip
du
dv '
dip
dv '
dip
0~v~
du dv
dipdu
du dv "
dip du
du dv~
d,
d
d
~d
<Pi
V
Vi
V
div ди dw '
д(р дер д и дср±
dw ди dw 0w
dtp dipdu dipx
dw du dw dw
и мы находимъ 3 = 3. /-. Такъ какъ / величина конечная, а 9
1 du du
не равно нулю, то и 3t не равно нулю.
576. Доказавъ существовате первыхъ частныхъ производныхъ
отъ функщи, опред"Ьляемыхъ системою B9), мы можемъ теперь
весьма легко вычислить эти производныя. Для этого нужно только
дифференцировать по каждой изъ независимыхъ перемъ'нныхъ каж-
каждое изъ уравненШ системы B9). Такъ, наприм'Ьръ, взявъ произвол-

§§ 576-577
неявный функщи.
43
ныя по х, получимъ сл-Ьдующую систему линейныхъ уравненШ
ди dv div
относительно —- > -г-
ох ох
-г— >
ох
dJ_ , U. д-.и.
dxdudx
dvdx
dtp д (f д и д<p д v
dxdndxdvdx
д ip д у ° u ду д v
д!к ~дп Ъ~х ~b~v ~o~x
dw д х
д ср div
dwdx
д »/.> д w
~ '
определитель которой 3 не равенъ нулю. Отсюда, по правилу
Крамера, получимъ
ди _ 1 д (/, у. • ¦ ¦) dv
дх 1Г Ъ(х. г, . . .) ' dTv
1 <Э (/. 7-,
3 d (и, х, . . ¦)
577. Упражнешя. а) Вычислить уголъ между двумя плоскими кри-
кривыми се = 0, ip = 0, пересекающимися въ точк% (х, у). По формула B6)
угловые коэффищенты касательныхъ къ этимъ кривымъ определяются
формулами
д д
откуда
д х
tg а = — -т- -
ь dtp
ду
1 dtp
sin « = - — j
¦ п \ dip
Sin P = -= -—- ,
. д х
ь dip
6у
cos a =
дер
-, 1 д w
COS ,? = - —- —:• ,
Yidjy
сл-Ьдовательно (см. § 571, d),
sin о, = sin 03 - а) = _ -J== д^
Зам%тимъ, что к аса Hie этихъ кривыхъ (о; = 0) характеризуется гёмъ, что
Якоб!анъ системы функщй q> и \р обращается въ нуль.
Ь) Если плоская кривая задана уравнешемъ
f{x, у, и. v, . . .) = 0,
гд'Б it, г/, ... определяются, какъ неявныя функщи отъ координатъ х и у,
п уравнешями
<р (х, у, и, v, . ..) = 0, v (дг, у, и, v, . ..) = 0, ...
и требуется построить къ этой кривой касательную въ данной точк^Ь, то
нътъ надобности исключать и, v, w, ... изъ п -\- 1 данныхъ уравненШ, съ
тЬмъ. чтобы получить уравнеше между одними х и у. Можно разематривать
у, и, v, iv, . . . какъ неявныя функщи отъ х, опредъ\пяемыя данными урав-

44 VI, 1. дифференцирование. § 577
нещями, взять производныя по х, и изъ полученной системы линейныхъ
уравненШ (относительно -— > -г- • -,— > • ¦ •) исключить производныя функ-
шй и, v, w, . . .. Одно изъ важнъйшихъ преимуществъ дифференщальнаго
исчислешя и состоитъ въ томъ, что оно позволяетъ избътать практически
невыполнимыхъ исключешй (неизвт>стныхъ изъ системы не линейныхъ и
сложныхъ уравнетй). Оно всегда при помощи дифференцировашя приво-
дитъ къ систем^ линейныхъ уравнешй, которыя всегда можно решить.
Такъ, въ разсматриваемомъ случай получается формула
dy_
dx ' _^
д {у, u,v, . . .)
представляющая, очевидно, обобщеше формулы B6).
с) Подобнымъ же образомъ, положимъ, что некоторая поверхность
задана двумя уравнешями съ четырьмя перем-внными. Тогда можно пред-
представить себъ1, что соотношеше между тремя координатами х, у. г получается,
какъ результатъ исключешя и изъ уравнетй
Ф (х, у, г, и) = 0, ip (x, у, z, и) = 0.
Положимъ, что требуется вычислить р, q, r, s, t, т. е. первыя и вторыя част-
ныя производныя отъ г, разсматриваемой, какъ функщя двухъ независимыхъ
перемъ-нныхъ х и у. Взявъ производныя отъ данныхъ уравнен!й одинъ разъ
по х, другой разъ по у, получаемъ системы
д{х,
d(f,
<Р, Ч>>
и, v,
ф. ip,
••¦)
дф дсрдг дфди
дх дг дх дидх
dip дгрдз dipdu
дх 0 г дх ди дх
дф¦ дгрдs дер ди _ „
ду д s ду д и ду
dtp dip дг dip ди _
ду д z ду д и ду
изъ которыхъ черезъ исключен1е производныхъ отъ «, находимъ
д ((p. ip) д ((р, ip)
д (у, ip) q д (ф, ip)
д (г, и) д {z, и)
Друпя три производныя можно найти или непосредственно вычисляя произ-
производныя отъ р и q помощью полученныхъ ихъ выражешй, или съ помощью
рЪшенШ линейныхъ уравнешй, получаемыхъ черезъ дифференцирован1е
уравненШ вышеприведенныхъ двухъ системъ. Въ частности, если поверх-
поверхность задана уравнешемъ s =*f(x, у, и) гдЪ и определяется, какъ неявная
функшя отъ х и у ураввешемъ <р (х, у, г») = 0, то тотчасъ находимъ
р = iL + - / - - , ^ + — --- = 0
дх дидх дх дидх
следовательно,
дif д/ дер df дер d(f, ср)
__ д/ д/дх_дхди дидх _ д (х, и)
дх ди дер дф дф
ди ди О и

577-578
НЕЯВНЫЙ ФУНКЦ1И.
45
Отсюда сл-Ьдуетъ
_др_д2/ d"f ди <Vf /ди\* д/ 62и
Г ~~ dlx ~ ~дх2 + dx~dlt д~х + JU2 \дх) + аи Тх*'
^ . ди д*и
гд-fe вм-Ьсто -— и . 2 надо подставить ихъ выражены, получаемыя изъ
уравненШ
dtp ,д<р ди
дх ди дх
р ди д2а> 1ди\2 дсрд^и
— — + -г^ъ X" + г т~» = 0 и т. д.
яг ди2 \dxj ди дхг
578. Когда даны т функшй ух, у.г, . . ., ут отъ п незави-
независимыхъ перем-Ьнныхъ
хг
хп, то весьма важно бываетъ
установить, что эти функщи независимы, т. е., что ни одна изъ
нихъ не будетъ функщей другихъ. Для этого достаточно изслЪдо-
вать Якоб1еву матриссу системы, т. е. матриссу
дхх дх2 dxz дхп
ду2 ду2 дуп д у2
дх-, дх„ дх, дх„
дУт дУт д_Ут д_Ут
д х1 д х2 д х?1 д хп
элементы которой предполагаются непрерывными функщями. Если
fi, есть рангъ этой матриссы, то данная система заклю-
чаетъ въ себ+> /л независимыхъ функц1й, а остальныя т—fi
будутъ функциями отъ этихъ /л. Эту важную теорему мы
теперь и докажемъ
а) Можно предположить, что Якоб1анъ
Уч Уи)
не равенъ нулю, потому что, по услов1ю, Якоб1ева матрисса содер-
житъ въ себъ, по крайней Mtpt, одинъ опредЬлитель порядка /t,
не равный нулю. Представивъ себтз, что т% именно /л функщй у
и независимыхъ перемЪнныхъ х, который входятъ въ этотъ опреде-
определитель, нумерованы указателями 1, 2, ...,/*, мы и придемъ къ
тому, что 3 есть одинъ изъ определителей, не равныхъ нулю.
Пусть выражетя данныхъ функщй будетъ
Х2 "'н\У2^Л(ж1> Х2> ¦ ¦ ¦' хп)
Положимъ
ср,-(хи х2, . . ., хп,
и разсмотримъ систему
C1) <Р!
у2,
-l, х2, .... хп) -

46 VI, 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. § 578
На основами сказаннаго въ § 575, эта система способна опреде-
определить переменный
C2) xltxs,..., Xfi, у/г+1, уц+2, ...,ут,
какъ неявныя функцш остальныхъ
C3) УпУг. ¦¦ ¦< -V Vfi' *VH' ' • '' *»'
такъ какъ для этого нужно только, чтобы функциональный опре-
определитель
д (xlt х2, . . ., хц, yfJ+1, yfl+,, ..., ут)
не былъ равенъ нулю, а это такъ и будетъ, потому что
и разсматриваемый опред-Ьлитель приводится къ(— 1)т~'13. Поэтому,
если Ь{, Ь2, . . ., Ът будутъ значешя функщй yt, у%, . . ., ут въ
точк-б (ах, аг, . . ., а„), въ окрестности которой мы допускаемъ
существован1е и непрерывность первыхъ частныхъ производныхъ
функщй у,, /г /т, то система C1) опред-Ьляетъ величины C2),
какъ неявныя функцш отъ остальныхъ перем-внныхъ въ окрестности
точки (bu b2, ..., Ьц, а„+1, ац+2, ..., а„). Другими словами,
каждой систем-fe значешй, по произволу выбранныхъ для чиселъ C3),
лишь бы эти значешя находились въ изв-Ьстной близости къ точк-fe
(bv b2, ..., b^, Яц+1, й/4-1-21 • ..,аи),мы получимъ вполн-fe опред-кпенныя
значен1я для чиселъ C2). Следовательно, если представимъ себе, что
первымъ ц изъ переменныхъ х даны именно эти только что упомяну-
тыя значен!я, а остальнымъ п—ц, данныя имъ первоначально значешя,
т0 У\ 1 У I' ¦ ¦ •¦> Уч примутъ назначенныя имъ значения, который можно
выбрать по произволу въ изв-Ьстныхъ границахъ. Итакъ, первыя /л
функщй у действительно независимы одна отъ другой.
Ь) Остается еще показать, что остальныя т — /л будутъ
функщями первыхъ /л. Изъ предыдущего видно только, что каждая
изъ нихъ есть функщя отъ у,, у2, . . ., уЬ1 и xM_)_i, x^+2, ¦ ¦ ., хп.
Следовательно, достаточно показать, что если i и j больше ц, то
функщиjVj не зависятъ отъ Х{. Но, взявъ производныя по xt отъ ура-
внен1й C1), продолжая при этомъ разсматривать величины C2),
какъ функщи отъ величины C3), получимъ
д x дх дх д х '
д хг д Xf д х2 д xt дх дх( д х(
д/2 дх1 д/2 дх2 д/2 дх д/2
дхг dxt дх2 дх{ дх dxt dxt ~ '
дх1 д xt ¦ д х2 д Х( дх^дх{ дх{
д хг дх{ д х2 д х{

§§ 578—579 неявныя функцш.
откуда, исключая производныя отъ х{, хг,
дхх д х2 дх^ дх{
<1х2
Охх д х2
д х.
дхи дх,
ду
47
Хц по Xi, находимъ
= 0,
т. е. 3' = 0, и наконецъ, -г—- = 0 (что и показываетъ, что
дх,
дх,
не зависитъ отъ х{, при г и j >,«)*).
579. Сл"Ьдств1е. Необходимое и достаточное услов1е
для того, чтобы п функц1й и, v, w, . . . отъ п перем+>нныхъ
х, у, z, ... были независимы между собою, состоитъ въ
томъ, чтобы
д (и, у, w, . . .) ^ 0
о (х, у, z. . . .) "'
Здъть также предполагается, что разсматриваемыя функцш им-Ьютъ
непрерывный первыя частныя производныя.
[Прим'Ьча^е. Относительно теоремъ §§ 578 —579 надо за-
заметить слъ-дующее (ср. G. Kowalewsky, „Einfiihrung in die Determi-
nantentheorie", § 127). Рангъ матриссы Якоби (§ 578) можетъ имЪть
различный значешя въ различныхъ точкахъ разсматриваемой области.
НапримЪръ, Якоб1ева матрисса функщй xf, х22, . . ., хп% им-Ьетъ
рангъ и, когда всЬ Xi отличны отъ нуля, и рангъ п~р, когда р
изъ нихъ равны нулю. Точку, въ окрестности которой рангъ
матриссы Якоби не постояненъ (сколь бы малой ни сделать эту
окрестность), назовемъ особенной. Теорема §§ 578 — 579 не
имъ-етъ мъхта въ окрестности особенныхъ точекъ. Такъ, напримъ-ръ,
функщя хх2 и х2, очевидно, независимы въ окрестности точки
.^, = 0, х2 = 0, а функциональный опред%литель
2 хх
0
равенъ нулю въ этой точкЪ и во всЬхъ точкахъ, для которыхъ хх = 0.
Точки эти особенны я, потому что въ нихъ рангъ матриссы Якоби
равенъ 1, а въ окрестности ихъ, гд-fe хх отлично отъ нуля, рангъ
равенъ 2.]
*) Другой определитель изъ гЬхъ двухъ, на которые разлагается
предыдущШ, будетъ равенъ нулю, потому что его порядокъ /л + 1 больше
ранга матриссы.

48 VI, 1. дифференцированш. §§ 580—581
580. Укажемъ въ заключеше еще одно замечательное свойство
функшональныхъ определителей, которое можно разсматривать, какъ
обобщете правила разыскашя производной функщи отъ функцш.
Положимъ, что переменный yj выражаются функщями отъ перем^н-
ныхъ %г черезъ посредство другихъ функщй nlt u.lt . . ., ип. Такъ
какъ по правилу дифференцировашя функщи отъ функщй
дУ] _ дУ1 <^h дУ?диг ^ dyj д«п
dxt дих дх{ ди2 dxi ' d tin d x{ '
то теорема объ умноженш определителей тотчасъ показываетъ, что
произведете опредълителей
Уч У„) t ^К,  ип)
, щ, ..., и„) ' o(xlt х2, • • ., хп)
будетъ равно функщональному определителю функц1й yj по отно-
шен1ю къ перемённымъ х%, т. е.
C4) д(УиУг- ¦ ¦ •¦¦>>) = д(У1> Уг- ¦ - ¦> У„) . d('h-  ип).
d(xv х.г хп) d{uv и2, . . ., мя) д(х1, х2 х„)
Въ частности, имеемъ
C5) dj^j^^.^j^,) д (yiov ^^n) = j „,
д(у-1,Уч, -...У,) Ufa, х2, ...,х„)
581. Упражнешя. а) Формула C4) заключаетъ въ себ%, другую, вы-
выведенную нами раньше. Если хотимъ, напримъръ, ввести новыя перем-Ьнныя
въ функщю /, то можемъ написать
^jf^^j) . С (.г, .г. г, . . .) ^
д (и, v, ы, . . .) д (х, у, s, . . .) д (и, v, w, . . .)
а такъ какъ первый множитель въ правой части, очевидно, приводится къ
-~ , то будемъ им-Ьть снова формулу B0)
д/ д (и, v, w. . . .)
дх д (х, у. г. . . .)
д (и, v, iv, . . .)
Аналогично этому получимъ
д (/, у, *, ¦ ¦ ¦)
д (/, <р) __ д (/, у, г, . . .) _ d (и, г/, ги. . . .)
д{х, у) д (х, у, г, . . .) д (х у, -г, . . .)
д (и, v, w, . . .)
*) Последняя формула есть обобщен1е правила разыскашя производ-
производной обратной функщи.

§ 581
НЕЯВНЫЯ ФУНКЦ1И.
49
и, въ частности,
C6)
д
0
(ч,
(х,
V)
У)
д
д(з, . .
д (w. . ,
(х, у, з,
¦)
.)
¦ ¦ •)
и т. д.
д (и, v, w, . . .)
Ь) Чтобы показать пользу этихъ форму чъ, ограничимся случаемъ
трехъ перемЪнныхъ .v, у, з, заданныхъ въ вид* явныхъ функщй отъ
и, и, w, и вычислимъ производный отъ и, v, w по х, у, з, не выводя
предварительно явныхъ выражен1й и, v, ги черезъ х, у, в. Мы пред-
положимъ, что какъ х, у, г, такъ и и, v, w независимыя перем%нныя, т. е.
О (и, v, w)
Формула B0) тотчасъ дастъ
ди _ 1 д(у, г) <)и \ <)(г, х)
' ' Jx = Т ~) (г', -а') ' dy'~Td(v, гч)
dv 1 д(у, z)
и задача решена. Зам-Ьтимъ, что нътъ надобности знать эти производный,
чтобы вычислить функщональный опред-Ьлитель системы и, v, zv относительно
х, у, s, такъ же какъ и его миноры второго порядка, потому что въ силу
формулъ C5) и C6) или формулы C7) будемъ иыЪть
г) (и, v, w) 1 0{v. w) 1 <)х д (it, w) I dv
(Hv. у, «j ~ "З" f>\v, 3) ~~ 3 du' d(s, x) ~ 1} ди'
Если требуется вычислить дифференщалы функщй и, v, iv, то можно
сперва написать полные дифференщалы отъ х, у, z. ЗагЬмъ формулы
C8)
дх
дх
дх
dw.
дз , ()з , дз ,
ds = —- du -|- dv + ^— d;v
c) n д v a w
дадутъ значешя
, 1 \д(у, s) d(~, x) d(x, y) , ]
du = -jr- ———- dx + -r-. rfv + т1—"Ц- d3\ и т- Д-
3 [ о (v, iv) д (v, ги) - 0 (у, zv) J
Изъ нихъ снова получаются формулы C7).
с) Въ нЪкоторыхъ приложен1яхъ примъ-няютъ формулу C8) для вы-
числешя суммы dx2 + dy2 -f ds2, которая тотчасъ и преобразуется въ
выражеше
a du2+ bdv2 + с dw2 + Ifdv dw
zvdu + 2k dudv,

50 VI, 1. дифференцирована. § 581
гдъ для сокращешя положено
Важно заметить, что когда извъстны шесть функцШ а, Ь, с, /, g, h, то и
функциональный определитель 3 будегь извъстенъ, а именно:
a h g
(ЗУ) 32= h b f
g f с
Подобнымъ же образомъ найдемъ и суммы
X~ildu\2 v~r/^^\2 \~idvdw
¦^-j \dx] ^J \dx] ^-—' dxdx
значеюя которыхъ равны соответственно минорамъ be - /-, с а — g2
gh — а/, . . ., раздъленнымъ на З2 **)¦ Особенно зам!чателенъ тотъ случай,
когда /, g, h тождественно равны нулю. Тогда на основаши послъднихъ замъ-
чан1й получимъ Л и = — и т. д., и, кромЪ того, можно доказать, что
_ 1 d 3 42 ) _ 1 д 3 .,„ | _ 1 д 3 _
3 ди а ~ 3 dv b 3 dw с
Отсюда слъдуетъ i см. §571, d), что, применяя операцш Л2 къ любой функ-
щи, можно написать
V-t/ , д2 , <)\ 1 \^г д 13 d \
А — > J« • -г-. + /Р и ¦ т" I = "Я" / -ч—\—-, ¦
4—*\ ди1 ди) 3 -^ ди\а duj
или
Это формула Лямэ для пространства.
d) Если х, у, z зависягь еще отъ одной перем-Ьнной /, независящей
отъ и, v, w, то опред-Ьлитель 3 будегь вообще зависать отъ /, и можетъ
встретиться надобность вычислить производную 3', взятую по /. Обозначая
*) Какъ зд-Ьсь, такъ и во всемъ далыгЬйшемъ, постоянно встречаются
суммы, состоящ1я изъ трехъ слагаемыхъ, получаемыхъ одно изъ другого
черезъ круговую подстановку осей х-въ, jv-овъ и г-въ, и всЬхъ другихъ
буквъ, соотв"Ьтствующихъ этимъ осямъ. Въ такихъ случаяхъ, для сокращешя
письма, вводится символъ 2, подъ которымъ выписывается лишь одно изъ
трехъ слагаемыхъ. Напримъръ, если разематриваются три группы буквъ
(х, у, »), (и, V, w), (Я, ,<»., )'), то
Y~i. 1ду д z\ . idy д g\ Ids дх\ 1дх д у\ .
-*—' \dv dii<)~"\dv dw) \ди> ди) \ди dv)'
v . дх д х . дх дх ду ду д г dz
¦<—J dv dw " dv dw dw ди dit dv
**) Cm. §§ 29 и 30.

§ 581 неявный ФУнкцш. 51
знакомъ ' производныя, взятыя по /, и применяя правило дифференциро-
вашя определителей (§ 373). получимъ
О [и, v, w) д (и, v, к>) д (и, v, w)
Разделяя на 3, получимъ формулу
встречающуюся въ Гидродинамике. Мы воспользуемся ею, чтобы инымъ
путемъ вывести формулу Лямэ'). Представимъ себе х, у, г, какъ функши
отъ независимыхъ переменныхъ с, »?, ?, /, и производныя х\ у', г\ взятыя
no t, какъ известный функцш отъ х, у, z. Ясно, что a, v, iv, какъ функцш
отъ х, у, s. также зависятъ отъ t, ij, С и t, Производныя ихъ по / связаны
съ .г', у', г' соотношешями
, , дх ,дх __ ;дх
б и dv dw
Если возьмемъ за х', у', г' частныя производныя некоторой функши
<р (х, у, г), то получимъ
ди ди ди ди
Отсюда, обозначая черезъ о„, Ьо, . . ., h0 алгебраичесюя дополнен1'я элемен-
товъ а, Ь, ..., h въ определителе C9), разделенный на 3, выводимъ, что
3 и' = а,, -^- + кл -,—V а\\ -,-
ди dv dw
Установивъ это, применимъ формулу D1) къ первому и третьему опреде-
определителю въ равенстве
д (х, у, г) д (х, у, s) д (и, г/, w)
заметивъ предварительно, что формула D1) уже не применима къ опреде-
определителю 3, такъ какъ к, v, w зависятъ отъ t. Тогда получимъ
дх' , ду' , дз' ,,...„, , ди' , dv' dw'
т. e.
yi> ^ \ д I dqi . dw д w\ , 1
** =J [cTU(a°fu+h»Jv+Z°dlv)+ ¦ • ¦ j •
Въ частности, когда / = g = h = 0, имЪемъ
3=Vabc, aQ^Ybcla, bo=V7afb, c0 = У~аЪ]~с, /0 = g0 = h0 = 0
и находимъ снова формулу D0).
l) Beltrami. Memorie dell' Accad. di Bologna, serie 3», t. I, стр. 467.

52 VI, 2. приложены къ плоским ь кривым ь. §§ 582—583
ПРИЛОЖЕНЫ КЪ ПЛОСКИМЪ КРИВЫМЪ.
Дифференц1алъ дуги.
582. Строгое опред'кгеше длины дуги кривой линш требуетъ
р-Ьшешя н-Ькоторыхъ весьма трудныхъвопросовъ *), которые здесь
мы постараемся обойти. Мы допустимъ, что им-Ьемъ уже интуитив-
интуитивное представлеше о длине дуги, по крайней мере, для гёхъ немно-
гихъ плоскихъ кривыхъ, который встречаются въ приложешяхъ.
Для этихъ кривыхъ, который Bet могутъ быть изображены геоме-
геометрически, можно сделать еще следующее допущеше: Всякая дуга
можетъ быть раздоена на таюя части ММ', что въ то время,
когда одинъ ея конецъ М' стремится къ совпаденш съ другимъ
неподвижнымъ М, разсматриваемая дуга ММ' все время обращена
вогнутостью въ одну и ту же сторону. Длина такой дуги будетъ
тогда заключаться между длиною ея хорды ММ' и суммою
отрЪзковъ на касательныхъ въ точкахъ М и М', между точками
касашя и точкою Q пересЬчешя касательныхъ. Предполагая произ-
производную у' отъ ординаты по ^абсциссе непрерывною, мы можемъ
сказать, что съ приближешемъ точки М' къ М, прямыя QM' и
ММ' будутъ стремиться къ совпадещю съ QM, а поэтому, при
безконечно маломъ ММ', углы QMM' и QM'M будутъ также
безконечно малы. Отсюда слъ\цуетъ, что отношеше отр-Ьзковъ QM
и QM' къ ихъ проекщямъ на ММ' стремится къ 1, и поэтому
(§ 549) эти отрезки отличаются отъ своихъ проэкщй на безконечно
малыя высшаго порядка. Поэтому и сумма QM-\-QM', а гёмъ
бол-fee и длина дуги ММ', отличается отъ хорды ММ' на безко-
безконечно малую высшаго порядка и, следовательно,
,. дуга ММ' ,
hm — ,.... = 1.
хорда ММ
583. Обозначимъ теперь черезъ s длину дуги, у которой
одинъ конецъ помещается въ произвольно выбранной неподвижной
точкЪ А на кривой, а другой въ точке М. Ясно, что s будетъ
изменяться вместе съ координатами х и у точки М. Когда точка М
придетъ въ точку М', координаты которой равны х-\-дх и у + ду,
то длина дуги 5 переходитъ въ s-|-E.9, такъ что ds будетъ равно
длине дуги ММ'. Обозначая черезъ / длину хорды ММ', которая
отличается отъ ds, а следовательно, и отъ ds (§ 552) на безко-
безконечно малыя высшаго порядка, будемъ иметь /2 = дхг -\- ду2.
Заменяя здесь /, дх и ду соответственно величинами ds, dx и ay,
мы пренебрегаемъ въ обеихъ частяхъ равенства безконечно малыми
высшаго порядка. Но такъ какъ въ полученномъ такимъ образомъ
соотношении
A) dsn- = dx'1 + dyl
х) См., напр., „Cours d'Analyse" par. С. Jordan B-е изд., 1-й томъ
стр. 90-107).

§ 583 ДИФФЕРЕНЩАЛЪ ДУГИ. 53
не входятъ никаюя безконечно малыя, кроме дифференцдаловъ,
то (§ 556) можно быть увереннымъ, что это соотношеше точное.
[ Прим"Ьчан1е. Если желаемъ получить формулу A), не ссы-
ссылаясь на соображешя § 556, то можно поступить сл4дующимъ
образомъ: Изъ формулы Р = дх*-\-ду* находимъ
—I = 1 + ( г~ 1 или l-i— • -.
их] \ох/ \д s ох
Переходя къ пределамъ и припоминая, что lim Iv— I = 1, получаемъ
\dx) \dx)
а умножая обе части равенства на dx2, находимъ
ds2 = dx2+dy2].
Эта важная формула и служитъ для вычислешя s. Она показываегь,
что, разсматривая 5, какъ функщю, отъ х, получимъ для производной
отъ 5 по х выражеше \^1-\-у'2, а въ седьмой книге будетъ пока-
показано, какъ определяется функщя по данной ея производной. Если х
независимая переменная, то (§ 553) ds изображаетъ длину отрезка
на касательной въ точке М, между М и точкою .пересечешя
касательной съ ординатою точки М'. Величина ds лишь тогда
равна длине дуги ММ', когда 5 взята за независимую переменную.
Вообще же ds есть отрезокъ касательной между точками (х, у) и
{х + dx, у + dy).
[ Прим^чан^е. Координаты произвольной точки М (х, у) на
всякой плоской кривой можно разсматривать, какъ функщи одного
независимаго параметра, t и задавать кривую двумя уравнешями
х = <р (/), у = 1/> (/). Функщи д> и хр мы всегда будемъ предполагать
непрерывными и имеющими непрерывныя первыя производныя <p'{t)
и гр'((). Въ частномъ случае, когда за параметръ t взята абсцисса х,
получаемъ изображеше кривой однимъ уравнемемъу=1р(х). Вообще
каждому значешю / соответствуем определенная точка на кривой.
Выбравъ точку А, соответствующую некоторому значенш t=t0, за
начало счета дугъ, мы выбираемъ также по произволу направлеше
возрастающихъ или положительныхъ дугъ; обыкновенно это напра-
влен1е выбирается такъ, чтобы дуга AM возрастала, когда точка М
движется по кривой въ ту сторону, въ которую надо подвинуться,
чтобы параметръ / также возрасталъ. Подъ буквою 5 мы всегда под-
разумеваемъ алгебраическую длину дуги AM, т. е. s = -\-AM,
когда направлеше отъ А къ М совпадаетъ съ положительнымъ
направлешемъ на кривой, и s = — AM въ противоположномъ случае.
При такомъ условш 5 будетъ функщя отъ t, равная нулю при t = t0
(когда М совпадаетъ съ А), и принимающая какъ положительный,

54
VI, 2. ПРИЛОЖЕНЫ КЪ ПЛОСКИМЪ КРИВЫМЪ.
583-584
такъ и отрицательныя значешя. Формула ds2 = dxi-\-dyi A) остается
справедливою, какъ бы мы ни выбирали направлеше возрастающихъ
дугъ, но переходя отъ нея къ формулъ
ds
Jf~ V \dtj^ \dtj
и, въ частности (при t = x) къ формулъ
мы должны взять положительное или отрицательное значеше корня,
смотря по тому, возрастаетъ ли 5 или убываетъ при возрастанш t
(или х). То же замъчаше относится и къ формул!;
ds
f г'
выведенной въ концъ § 584, когда г =/(9) есть уравнеше кривой
въ полярныхъ координатахъ. ]
584. Преобразовывая формулу A) къ полярнымъ координа-
тамъ, получимъ (§ 558, d)
B) ds2 = dr1 -f r'2db2.
Къ этой формулъ можно, впрочемъ, придти, какъ и къ A), непо-
непосредственно изъ геометрическихъ соображенШ. Отложимъ на рад1усъ-
векторъ ОМ' длину ОМ"=ОМ=г-,
и пусть Р будетъ проекщя точки М
на прямую ОМ'. Тогда будемъ имъть
Р=РМ'2+МР2. Въ этомъ равен-
ствъ можно заменить / черезъ ds,
MP=rsind§ сперва черезъ гбб, затъмъ
черезъ гй?0, а РМ\ черезъ М"М' = дг,
пренебрегая безконечно малою 2-го по-
порядка РМ"—гA— соей9), и оконча-
окончательно черезъ dr. Тогда и получимъ
соотношеше B), которое навърно бу-
будетъ точнымъ, потому что заключаетъ
въ себъ одни дифференщалы. Можно
также исходить изъ равенства
Р = г2 + (г + drf - 2г (г + дг) cos 6 е,
р „о и можно a priori быть увъреннымъ, что
въ правой части сократятся, какъ конеч-
конечные (т. е. не безконечно малые) члены, такъ и безконечно малые
перваго порядка, и что ds2 будетъ въ точности равно суммъ без-

§§ 584—585 диффервищадтв дуги. 55
конечно малыхъ членовъ 2-го порядка, когда въ ней останутся одни
лишь дифференщ*алы. И действительно, предыдущее выражеше све-
сведется къ следующему
р= дг2+ 4r(r + dr) sin2 ~ •
Заменяя здесь / черезъ ds, dr черезъ dr, sin -у черезъ -=- db и
отбрасывая г dr d$%, вновь получаемъ формулу B). Этою формулою
также пользуются для вычислешя s, замЪтивъ, что она даетъ для
производной отъ'5 по 9 выражеше ]/V2 -\- г7*.
585. Мы покажемътеперь, что разность между безконечно
малою дугою и соответствующею хордою, вообще говоря,
будетъ безконечно малою третьяго порядка относительно
самой дуги*). Действительно, (§ 564) формула Тэйлора даетъ
C) Лх = dx + i dsx + i d'Ax + ¦ ¦ ¦, ду = dy + | d2y + i d8y + ¦ ¦
какова бы ни была независимая переменная. Если 5 взята за неза-
независимую переменную (§ 558, е), то
а двукратное дифференцироваше перваго изъ этихъ уравнешй даетъ
Q2
Следовательно,
Пренебрегая безконечно малыми высшаго порядка и заменяя въ
частности въ равенстве
ds-\-l черезъ 2ds, находимъ
или въ точномъ виде
w ММ'— хорда ММ' _ 1
Для поверки этого результата въ частномъ случае раземотримъ на
окружности круга pafliyca q дугу ММ' =2 да. Длина хорды
*) Въ н'Ькоторыхъ особенныхъ точкахъ, какъ увидимъ дальше, поря-
докъ можетъ повыситься или понизиться.

56 VI, 2. приложешя къ плоскимъ кривымъ. §§ 585—586
ММ = 2 о sin а, и левая часть предыдущаго равенства приводится къ
.. а — sin а _ 1
Относительно разсматриваемаго здесь вопроса можно, следовательно,
сказать, что въ окрестности съ точкою М кривая лишя уподобляется
своему соприкасающемуся кругу (§ 348, е).
Касательная и нормаль.
586. На кривой линш, изображаемой уравнешемъ Y=f{X)
въ прямоугольныхъ Декартовыхъ координатахъ, возьмемъ некоторую
точку М, координаты которой обозначимъ черезъ х и у. Уравнеме
всякой прямой, проходящей черезъ М, будетъ Y— у — т{Х — х),
и, какъ известно (§ 293), для касательной т—у и, следовательно,
т= 7 для нормали. Поэтому уравнеше касательной и нормали
будутъ соответственно
D) Y-y = у (Х-х), Y-y=- ~ (Л'-х).
v
гд-fe у' или f (х) есть значеше f (X) въ точке М. Въ Диффе-
ренщальномъ Исчисленш касательную разсматриваютъ съ более
простой точки зрешя, а именно (§ 553), какъ прямую, соединяющую
точки (х, у) и (x-\-olx, y-\-dy). На основанш этого замечан!я
можно прямо написать уравнетя касательной и нормали въ видт,
E) 1^=1^У, {X-
отъ котораго тотчась можно перейти къ D), написавъ y'dx
сто dy и сокративъ на общШ множитель dx. Формулы E) оказы-
оказываются особенно удобными въ томъ случае, когда кривая задана
уравнешемъ X=<p(t), Y=ij)(t). Если дал-fee кривая задана уравне-
шемъ /(X, Y) = 0, то для всякой ея точки имЪемъ
dJdx + dfdy=,o,
дх ^ ду
и уравнен1я E) принимаютъ видъ
д х ду
И къ этимъ уравнен1ямъ можно придти непосредственно. Действи-
Действительно, направлеше, по которому функщя f(X, Y) стремится со-
сохранить то значеше, которое оно имеетъ въ точке (.г, у), т. е.

§§ 586-587 КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ. 57
значеше, равное 0, есть направлеше касательной, а потому (§ 568)
косинусы угловъ, образуемыхъ нормалью съ осями координатъ,
пропоршональны частнымъ производнымъ функцш f, вычисленнымъ
для точки (х, у), при чемъ предполагается, что эти производныя
не равны нулю одновременно. Впрочемъ, первое изъ уравнешй F)
можно разсматривать, какъ уравнеше, къ которому приводится ypa-
ypaBHeHie самой кривой, если мы отбросимъ безконечно малыя высшаго
порядка въ выражешяхъ координатъ точекъ, смежныхъ съ (х, у), и
примемъ во внимаше, что въ уравненш
/(X, У) =/(*, у) + (Х-х) д? + (Y-y)dJy + • • •
f(x, у) равно нулю. Действительно, мы уже заметили раньше (§ 553),
что при упомянутомъ условш, кривая, въ окрестности точки касашя,
заменяется касательного прямою. Въ приложёшяхъ полезно запомнить
уравнеше касательной и нормали во всъхъ трехъ формахъ D), E)
и F), и приминать ту или другую, смотря по тому, которая будетъ
удобн-fee.
587. Полезно также уметь написать уравнеше касательной къ
алгебраической кривой въ однородномъ виде. Положимъ,
что дано уравнен1е кривой /(X, У) — 0 въ цътюмъ рацюнальномъ
вид+>. Известно, что для приведешя его къ однородному виду надо
оставить безъ измтэнешя члены наивысшей степени п, и умножить
члены (и—1)-ой, (п — 2)-ой и т. д. степени соответственно на
Z, Z% и т. д. Такимъ путемъ уравнен!е приведется къ однородному
виду /(X, Y, Z) = 0, и стоитъ только положить Z=l, чтобы
снова получить первоначальное ypaBHeHie. Для точки (х, у, z), ле-
лежащей на кривой, имЪемъ /(х, у, z) == 0, и по теоремъ- Эйлера
(§ 372)
Припомнимъ теперь, что въ неоднородныхъ Декартовыхъ коорди-
натахъ ypaBHeHie касательной было
¦т^-) и I .--I обозначаюсь результагь подстановки г=\ въ
dxji \ду!1 к
-е- и — • Поэтому будемъ иметь
и последнее уравнеше обращается въ

58 VI. 2. приложены къ плоскимъ кривымъ. §§ 587—588
или, дЪлая его однороднымъ, въ
Xd/+Yd/~ + Zd/ = 0.
дх ду дг
588. Уравнешями касательной и нормали пользуются тогда,
когда эти прямыя встръчаются въ вопросахъ Аналитической Геоме-
трш. Если же требуется только построить касательную и нормаль
въ данной точктз М {х, у) на кривой, то достаточно указать еще
только одну точку, которую надо соединить съ М, чтобы получить
касательную или нормаль. Съ этой ц-Ьлью часто вычисляютъ длины
нтэкоторыхъ отр-Ьзковъ, называемыхъ подкасательною и под-
поднормалью. Если Р есть проекщя точки М на ось х-оъъ, а Т и N
точки пересЪчешя касательной и нормали съ тою же осью, то
отртэзокъ ТР называютъ подкасательною, PN поднормалью. Изъ
чертежа (который читатель легко сдътшетъ самъ) тотчасъ находимъ
ТР = у cot <r = -7' рх = У tg <Р = УУ!-
[ Прим-Ьчан1е Для опредълешя положен)я на оси л:-овъ то-
чекъ JV и Т, которыя надо соединить съ точкою М на кривой,
чтобы построить нормаль и касательную, недостаточно знать абсо-
лютныя значешя отръзковъ PN и Р Т; необходимо еще знать
направлеше, въ которомъ надо отложить длины этихъ отрЪзковъ
отъ точки Р, для получешя точекъ N и Т. Условимся считать
PN и]РТ положительными или отрицательными, смотря по тому,
будутъ ли направлешя отъ Р къ N и отъ Р къ Т совпадать съ
положительнымъ или съ отрицательнымъ направлешемъ оси д--овъ.
Тогда, какъ известно изъ Аналитической Геометрш, всегда будемъ
имъть PN = |д- — х, Р Т = ?т — х, rflt |.v и |г будутъ абсциссы
точекъ N и Р, т. е. значешя X, получаемыя изъ уравнешя нормали
и изъ уравнен1я касательной при F=0. Уравнен1е нормали
даетъ при F=0, ^N—x=yy', а уравнеше касательной
при томъ же предположена §г — х = — -^ ¦ Слъдовательно, будемъ
им^ть по eeflH4HHt и по знаку PN—yy', PT= 7- Отсюда
видимъ, что, если въ точки М у и у одинаковыхъ знаковъ, то
точка N лежитъ съ положительной, а точка Т съ отрицательной
стороны отъ Р; противоположное расположеше получимъ, когда
у и у'— разныхъ знаковъ. ]

§ 588 КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ. 59
При употреблении полярныхъ координатъ, для построешя ка-
касательной, полезно знать уголъ со, образуемый касательного съ
рад1усомъ векторомъ точки касашя. Въ треугольник^ МРМ',
который мы разсматривали въ § 584, имъемъ
М Р MM" rdb r
tg « = lim igOM'M = lim p-M, = lira -^щг = lim--^ = —
Если изъ полюса О проведемъ перпендикуляръ къ pafliycy вектору
и замЪтимъ точки Ти N, въ которыхъ онъ пересЬкаетъ касательную
и нормаль, то отръзакъ ОТ называется полярною подкасатель-
ною, а отрЪзокъ ON полярною поднормалью. Длины ихъ,
очевидно, выражаются формулами
—,>
Подъ длиною нормали подразумевают абсолютную длину отрезка
нормали между точкою М на кривой и точкою перееЬчешя нормали
съ осью абсциссъ, въ случай Декартовыхъ координатъ, и съ перпен-
дикуляромъ изъ полюса къ радиусу вектору, въ случай полярныхъ
координатъ. Очевидно, длина нормали равна соответственно
у У\ -У у''1 или У г'1 + г'2.
[ Прим"Ьчан1е. Въ формуле tg со = —t подъ со подразумЪваемъ
острый или тупой уголъ, смотря по тому, будутъ ли г и г' одина-
ковыхъ или разныхъ знаковъ. Нетрудно убедиться, что формулы
ОТ = — и ON = г' будутъ всегда справедливы, если будемъ счи-
считать ОТ положительнымъ, когда направлеше отъ О къ Т соотвт>т-
ствуетъ углу 0 — —- > а ON положительнымъ, когда направлеше
отъ О къ N соответствуем углу й + у' и, конечно, отрицатель-
отрицательными въ противномъ случай. Для дальнЪйшаго важно заметить еще
следующее: при изследованш кривыхъ, заданныхъ уравнен1ями въ
полярныхъ координатахъ, мы будемъ считать, что какъ уголь 0,
такъ и рад1усъ векторъ г могутъ принимать всевозможныя значетя
отъ —оо до -|-оо. При этомъ, если какому-нибудь значешю 0 = 9i
соответствуем положительное значен1е Q = Qt, то для построешя
точки (gj, 0,) мы отложимъ длину р, отъ точки О въ томъ напра-
вленш, которое определяется угломъ Oj, a если при f)=6i, значен1е
q = Qi будетъ отрицательно, то мы отложимъ длину (— gt) по
направлен1ю противоположному. Это соглашен1е даетъ возможность
весьма часто однимъ и темъ же уравнешемъ изобразить различныя
ветви кривой, которыя иначе потребовали бы различныхъ уравнешй
для своего изображен1я. Для ббльшихъ подробностей мы можемъ

60
VI, 2. приложены къ плоскимъ кривымъ. §§ 588—589
рекомендовать читателю Briot et Bouquet „Legons de Geometrie
analytique" 16-е издаже A897 г.), стр. 452, гд% приведены
мнопе примеры построешя кривыхъ, заданныхъ въ полярныхъ ко-
ординатахъ. ]
589. Упражнешя. а) Для параболы второго порядка построеше
нормали особенно просто (см. § 294, а). А именно, если примемъ ось пара-
параболы за ось абсциссъ, то най-
демъ, что поднормаль — вели-
чина постоянная. Эго свойство,
кромЪ того, характерно для
этой кривой, потому что изъ
уравнешя у у' = а слЪдуетъ
JrjV2 = ах -f- const., а помЪстивъ
начало координатъ на кривой,
получимъ у2 = 2 а х.
Ь) Для какой кривой под-
касательная— величина посто-
постоянная?
У
По условш —, = а, т. е про-
Л'-а
У
быть
Рис. 30.
изводная log у должна
равна постоянной — Припоми-
Припоминая, что две функши, имЪюшш
равныя производныя, отличаются одна отъ другой лишь постояннымъ слагае-
мымъ, находимъ
У
ТР-п
log у = (- const.
Постоянную можно взять рав-
равною log а, выбравъ подлежа-
щимъ образомъ начало коорди-
координатъ на оси л-овъ, и получаемъ
логаривмическую кривую
у = пе"
с) Одна изъ весьма интересныхъ кривыхъ (уже разсмотрънная въ
§ 527, f) изображается уравнен1емъ у = a ch — или (§ 408)
У = Т V
Она называется цгьпною лишею, потому что гибкая, нерастяжимая нить,
тяжелая и однородная, какъ доказывается въ Механик^, принимаетъ форму
этой линш, будучи привЪшена за оба конца. КромЪ того, та же лишя, по-

§ 589
КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ.
61
вернутая вершиною А къ верху, даетъ профиль свода безъ трен1я.
Мы И1кГЬеМЪ ЗД+iCb
У= sh~ = tg<p,
где <р — гиперболическая амплитуда (§ 409) отъ -'- • Отсюда сл^дуетъ
, х
ch — = sec <р и у cos <р = а,
т. е. проекцдя ординаты
на нормаль есть вели У
чина постоянная. Кроме
того, изъ
ds
dx
1
COS (
имеетъ ds = ad у', откуда
^ = a tg <p, если дуга отсчи'-
тывается отъ вершины А.
Следовательно, для спря-
млен1я дуги AM, надо
проектировать ординату
точки М на касательную
въ этой точк-Ь.
Директриса
Рис. 32.
d) Въ Механике также доказывается, что существуетъ такое распре-
плотности нити, при которомъ она въ каждой точке представляетъ
одинаковое сопротивлеше разрыву. Но тогда нить принимаетъ иную форму,
форму кривой, носящей назваше, соответственно вышеуказанному свойству,
щьпной лиши равного сопротивлетя. Она изображается уравнешемъ
у = — a log cos — ¦ Она состоитъ изъ безчисленнаго множества ветвей,
одна изъ нихъ лежитъ между асимптотами1) х= + -~- а и касается оси
абсциссъ въ начале координатъ; друпя получатся, если будемъ передвигать
эту первую ветвь параллельно оси абсциссъ въ обе стороны на величину
1ла сколько угодно разъ. Центральная ветвь, обращенная вершиною къ
верху даетъ профиль свода безъ перегрузки.
e) Весьма замечательна логаривмическая спираль, т. е. кривая, пере-
пересекающая подъ однимъ и темъ же угломъ пучокъ прямыхъ, выходящихъ
изъ одной точки*). Если уголъ го величина постоянная, и положимъ m=cotg ю,
то изъ уравнешя tg » = — получимъ — = т, откуда log г = тЪ -\- log a
и, наконецъ, г=ает , где я также постоянная величина. Это и есть (знакомое
уже на основаши сказаннаго въ § 412) уравнеше логариемической спирали.
]) Объ асимптотахъ. о которыхъ читатель уже знаетъ изъ Аналити-
Аналитической Геометр1и, подробнее будетъ сказано въ § 596.
*) Если этотъ уголъ равенъ -~ > логаривмическая спираль, очевидно,
обращается въ окружность круга.

62
VJ, 2. ПРИЛОЖЕНЫ КЪ ПЛОСКИМЪ КРИВЫМЪ.
§ 589
**2 у
Полярная поднормаль rr=mr, полярная подкасательная — = — > следова-
следовательно, и та и другая пропорцюнальны рад1усу вектору. Далее, имеемъ
ti
COS 01
= МТ.
Рис. 33.
Следовательно, когда точка М описываетъ кривую, то длина дуги спирали,
отсчитываемая отъ полюса, въ каждый моментъ равна длине отрезка МТ.
Изъ этого свойства непосредственно вытекаетъ другое, благодаря которому
л огариемическою спиралью и пользуются на прак-
практике, а именно: когда спираль катится безъ
скольжен1я по некоторой прямой, то полюсъ
ея описываетъ также прямую. Наконецъ, эта
кривая даетъ случай заметить, что при некоторыхъ-
услов1яхъ отношеше безконечно малой дуги къ ея
хорде (см. § 582) можетъ и не стремиться къ 1.
Действительно, когда точка М. двигаясь по спирали,
стремится къ совпаденш съ полюсомъ О, то отно-
шеше хорды ОМ къ дуге ОМ остается постоянно
равнымъ cos ю. Надо, однако, заметить, что въ
точке О не существуетъ касательной *).
f) Чтобы получить кривую, имеющую посто-
постоянную полярную поднормаль, надо положить
г' = а. Отсюда, прилично выбирая иоложеше по-
полярной оси, будемъ иметь г = я 9. Кривая, изобра-
изображаемая этимъ уравнешемъ, называется Архимедовой
спиралью. При возрастанш 9 отъ 0 до ос, м возра-
стаетъ отъ 0 до —- > такъ какъ tg oj = б. Следова-
Следовательно, кривая касается полярной оси въ полюсе, а затемъ пересекаетъ
различные рад1усы векторы подъ углами, все более и более приближающи-
приближающимися къ прямому, т. е. стремится сделаться нормальною къ радгусу вектору.
Концы N полярныхъ поднормалей, очевидно,
лежатъ на окружности круга рад1уса я съ
центромъ въ полюсе. Изъ каждой точки
окружности этого круга можно провести без-
численное множество нормалей къ кривой,
точки встречи которыхъ съ кривою лежатъ
на прямой, проходящей черезъ полюсъ. Это
свойство, однако, далеко не характеризуетъ
Архимедову спираль. Темъ же свойствомъ
обладаютъ, напримеръ, кривыя, изображаемыя
уравнешемъ
9 = — + k log — >
я ^ s a
къ которымъ, при k = 0, принадлежитъ и
Архимедова спираль. Другое свойство можетъ
быть прямо выведено изъ уравнешя г = я 9.
Построимъ кругъ, концентрически съ кру-
Рис. 34.
*) Собственно говоря, полюсъ О не принадлежитъ кривой, потому
что ;- никогда не равенъ нулю, а приближается къ нулю безпредельно, когда
в стремится къ — со (при пг>Ь). Следовательно, полюсъ есть асимптоти-
асимптотическая точка, къ которой кривая безпредельно приближается, делая около
нея безконечное число оборотовъ.

§ 589
КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ.
63
гомъ рад1уса а, при чемъ рад1усъ второго круга можно выбрать по произ-
произволу, лишь бы онъ былъ больше а (фиг. 35). Продолживъ рад1усы векторы
ОМ и ОМ' до встречи съ окружностью этого круга въ точкахъ Q и Q',
проведемъ изъ этихъ точекъ касатель-
ныя QP и Q'Р' къ первому кругу.
Треугольники OPQ и OP'Q', оче-
очевидно, между собою равны, а потому,
уголъ POP' равенъ углу QOQ'= <58.
Поэтому длина дуги РР' = яд 8 = дг.
Принявъ неподвижную точку А на
окружности внутренняго круга за на-
начало дугъ, будетъ t
Рис. 35.
^PP' = w AP'—^AP,
fir = OM'- OM =QM - Q'M',
а отсюда, складывая съ равенствомъ
PQ = P'Q', получимъ
¦ QM = w АР' + P'Q' + Q'M',
т. е. сумма \j AP-\- PQ + QM остается постоянной при движенш М по
спирали. Поэтому эту точку М можно связять съ неподвижною точкою А
гибкою нерастяжимою нитью, которая, оставаясь всегда натянутою, должна
навертываться на окружность внутренняго круга и проходить черезъ точку Q,
двигающуюся по окружности внъшняго круга. На этомъ основано устрой-
устройство простого прибора, служащего для черчешя Архимедовой спирали 1).
На томъ же свойствъ (дг = яд в) основано приложеше Архимедовой спирали,
какъ профиля эксцентрика, предназчаченнаго для производства равномърнаго
движеюя.
| ПрилгЬчаше. Упомянутое выше свойство Архимедовой спирали,
вытекающее прямо изъ постоянства полярной поднормали, можно формули-
формулировать слъдующимъ образомъ: нормали во всъхъ точкахъ спирали, лежащихъ
на одномъ и томъ же рад1усъ векторъ, пересъкаются въ одной и той же
точк-Ь на окружности круга рад!уса а, съ центромъ въ полюсъ^ О. Анало-
Аналогичное свойство кривой
A)
f Т
О = — + k log —
а ь а
состоитъ въ томъ, что нормали во всъхъ точкахъ кривой, лежащихъ на
одномъ и томъ же pafliyct вектор*, пересъкаются въ одной и той же точкъ-
на окружности круга радиуса я|^1+?2 съ центромъ въ полюсЬ О. Доказать
это свойство можно сл1здующимъ образомъ. Зам-Ьтимъ сперва, что вс-fe точки,
лежащ!я на одномъ и томъ же рад1'усъ векторъ соотвътствуютъ значен1ямъ 9,
отличающимся одно отъ другого на 2 In, гд4 / цълое число. Вопросъ, оче-
очевидно, сведется къ тому, чтобы показать, что нормали въ точкахъ (rt, 8,) и
(г2, в2), гдъ 02 = 8,+2/гг, nepectKyTcfl въ точкъ (X, У), гдъ А* и г не
за'висятъ отъ / и удовлетворяютъ ypaBHeHiro Х2-^ У2= а2 A + к2). Обозначая
черезъ х и у Декартовы координаты любой точки (г, 8) по кривой A), и
V
полагая— = /, получимъ х = a^cos {t + k log/), у — a^sin (t + k log/). Обо-
Обозначая черезъ /1 и U значения мараметра /, соотвътствуюиия значешямъ 6j и 82
угла 9, и составляя уравнешя нормалей въ этихъ точкахъ по формулъ
(X — х) dx + (Y - у) dy = О,
*) См. Клиффордъ „Здравый смыслъ въ точныхъ наукахъ", перев.
Кулишера (Москва 1910), стр. 196.

64
VI, 2. приложенш къ шюскимъ кривымъ.
§ 589
найдемъ для нормали въ точке Aг) уравнеше
B) МХУ+Л\Х ^at,,
Мг = (tx -\- k) cos 8t + sin 8j,
N-y = cos 8Х — (tx -\- k) sin 6] ,
а для нормали въ точке (t2) уравнеше
где
М2 = (А> + k) cos 8: + sin 91,
Лг2 = cos 9, — (/2 + k) sin 9j,
такъ какъ
замечаемъ, что
Мх sin 8t -4- Л^ cos 8j = 1, M2 sin 8a + .V2 cos 8-, — 1,
cos 92 = cos 9t, sin 92 = sin 8t;
Въ силу этихъ равенствъ, для ординатъ точки (X, Y) пересъчешя нормалей
B) и C) получимъ выражешя
X — a (sin 9j — k cos Gj), Y = я (cos 6j — A sin Bj)
- = a2 A + «-),
что и требовалось показать ].
g) Разсмотримъ теперь кривую, характеризуемую свойствомь иметь
постоянную полярную подкасательную. Она называется гиперболиче-
гиперболическою спиралью и изображается уравнешемъ гЧ = а. Съ приближешемъ
9 къ 0, г возрастаетъ безпредельно; сле-
следовательно, кривая имеетъ безконечную
ветвь, постоянно приближающуюся къ
прямой, отстоящей отъ полярной оси въ
разстоянш а, потому что
lim r sin 8 = а.
Наоборотъ, при безпредельномъ возра-
станш 8, г стремится къ нулю, постоянно
убывая, т. е. кривая оборачивается во-
кругъ полюса безконечно большое число
разъ, никогда его не достигая. Точки Т,
концы полярныхъ подкасательныхъ, оче-
очевидно, лежатъ на окружности круга ра-
Д1уса а съ центромъ въ полюсе. Изъ каждой точки этой окружности можно
провести безчисленное множество касательныхъ къ кривой, точки касашя
которыхъ лежатъ на прямой, проходящей черезъ полюсъ. Полная неопреде-
неопределенность касательной въ полюсе (условно причисляемой къ точкамъ на
кривой), становится такимъ образомъ, очевидною.
h) Последнее свойство гиперболической спирали принадлежитъ и дру-
гимъ кривымъ, и между прочимъ, такъ называемой, кохлеоидп, (Kochleoide),
изображаемой уравнешемъ г = а —-— • Действительно,
Рис. 36
г' 1
cotg a) — — = cotg 8 — -- >
т. е.
sin (со - 8) sin 9
г
а

§ 589
КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ.
65
Съ другой стороны (рис. 37), если проведемъ прямую OS, симметричную
съ полярного осью О А относительно pafliyca вектора ОМ, и отмътимъ
точку S пересъчешя этой прямой съ каса-
тельною въ точкт> М, то въ треугольник-fe
О MS будемъ им-Ьть
OS =
г sin и
sin (w — 8
Рис. 37.
вектору, проведенномъ
т. е. S лежитъ на окружности круга радь
уса я съ центромъ въ полюсе. Следовательно,
касательныя въ безчисленномъ множестве то-
чекъ, лежащихъ на одномъ и томъ же рад1усе
векторе, встречаются въ одной точке S
упомянутаго круга, подобно тому, какъ это
имеетъ место въ гиперболической спирали.
Но въ кохлеоиде точка S симметрична съ
вершиною А F = 0) относительно рад1уса
вектора, а въ гиперболической спирали
точка S лежитъ на перпендикуляре къ рад1'усу
черезъ полюсъ.
г г, , .... . . sin 9
[ Примъчаше. Изследоваше уравнешя г = а ——- показываетъ, что
6
кохлеоида проходитъ черезъ точку А на полярной оси въ разстоянш а отъ
полюса, затёмъ проходитъ безчисленное множество разъ черезъ полюсъ,
касаясь въ немъ полярной оси, и въ то же. время постоянно и безпредельно
къ нему приближается. Кроме того, она симметрична относительно поляр-
полярной оси.]
я8
i) Кривая, изображаемая уравнешемъ г = —— i называется квадра-
трисою (Динострата) (рис. 38). Она состоитъ изъ безчисленнаго множества
ветвей, изъ которыхъ одна, лежащая между
асимптотами х — ± па, имеетъ некоторое
сходство съ одною изъ вътвей цепной лиши
равнаго сопротивлешя. Эта кривая замеча-
замечательна по тому употребленвд. которое изъ
нея делали древте въ вопросе о квадра-
квадратуре круга1). Построеше нормали въ
данной точке основано на томъ замечанш,
что проекц1я полярной нормали на
полярную ось есть величина постоян-
постоянная Действительно, изъ уравнешя г sin Ь — а 8
получается путемъ дифференцировашя
rcos i
г' sin Ь — а.
Изъ уравнешя въ Декартовыхъ координа-
тахъ 1_у = arcotg — I увидимъ, пользуясь раз-
х х2
ложешемъ въ рядъ: л-cotg — = а — =¦—Ь • • ¦ ¦
а о (х
что въ окрестности вершины кривая эта уподобляется парабол^ х2 — 3 ау.
Рис. 38.
!) См.
Казань 1898.
„Лекщи по избраннымъ вопросамъ элементарной геометрш".

66
VI, 2. ПРИЛ0ЖЕН1Я КЪ ПЛОСКИМЪ КРИВЫМЪ.
§ 589
j) Если увеличимъ или уменьшимъ каждый рад1усъ векторъ некоторой
кривой на постоянную длину, то получимъ новую кривую, которая назы-
называется конхоидою данной кривой. Такъ какъ г' не меняется отъ увели-
чешя или уменьшешя г на постоянную, то тотчасъ видимъ, что нормали
всЬхъ конхоидъ данной кривой въточкахъ, лежащихъ на одномъ
и томъ же pafliyct векторе, пересекаются въ одной точке, лежа-
лежащей на перпендикуляре къ радиусу вектору, проведенномъ че-
резъ полюсъ. Это свойство даетъ средство для построешя нормали къ
данной кривой, если известно построение нормали къ одной изъ ея конхоидъ.
' ----/"¦¦¦
0 I
-л
/
A
Рис. 39.
Интересно заметить, что все конхоиды Архимедовой спирали относительно
полюса будутъ равныя между собою спирали, изображаюпн'я безчисленное
множество положешй, которыя можетъ принять данная спираль при вращенш
ея около полюса Замечательна кривая — называемая прост© конхоидою,
т. е. конхоидою прямой линш. Она имеетъ различный видъ въ зависимости
отъ того, будетъ ли постоянная длина, откладываемая по рад1усамъ векто-
рамъ больше или меньше разстояшя отъ полюса до прямой. Эта кривая
была изобретена древними для решетя задачи о трисекции угла у).
к) Еще важнее конхоида окружности круга относительно точки, ле-
лежащей на самой окружности: г — a cos 9 + 6 (рис. 40) (я — д1аметръ круга).
Она называется улиткою (Schnecke) и принимаетъ три различныя формы,
въ зависимости отъ того, будетъ ли длина Ь (считаемая всегда положитель-
положительною) меньше а, или больше я, но меньше 2 а, или, наконецъ, больше 2 а.
При Ь = а получается частный случай улитки, такъ называемая кардюида,
составляющая какъ бы границу, отделяющую типъ улитокъ, на которыхъ ле-
житъ полюсъ и которыя образу ютъ внутреннюю петлю (Ь<а), и другой типъ
(Ь > а), въ которомъ полюсъ не лежитъ на кривой. Впрочемъ, чтобы узнать
лежитъ ли полюсъ на кривой и определить прямую, которой она въ этомъ
случае касается въ полюсе, нужно только положить г = 0. Тогда находимъ
дающее для 9 вещественное значеше при Ь ? а.
cos 9 = • уравнеше,
Чтобы узнать, пересекаетъ ли кривая полярную ось въ другихъ точкахъ,
надо положить 9 = ли, и отложить отъ полюса длины
г = ( — \)па + Ь
!) См. Клейнъ „Лекцш и т. д.". Большое число кривыхъ описаны и
проанализированы въ сочиненш G. Loria rSpezielle algebraische und trans-
cendente Kurven" (Leipzig, Teubner).

§ 589
КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ.
67
въ положительномъ или отрицательномъ направленш по полярной оси,
смотря по тому, будетъ ли я четное или нечетное. Такимъ образомъ полу-
получаются две точки, въ разстояшяхъ а + Ь и Ь — а отъ полюса, и делается
очевиднымъ, что при Ь > а кривая окружаетъ полюсъ со всъхъ сторонъ.
Ниже мы увидимъ, что лишь при Ь 2: 2а кривая везд-fe вогнута въ сторону
даннаго круга. Для построен1я нормали въ данной точке М доста-
достаточно соединить точку М съ точкой на окружности даннаго круга,
д(аметрально противоположною точке пересъчешя окружности
съ рад!усомъ векторомъ точки М.
1) Если одновременно съ кривою лишею г =./F) будемъ разсматри-
вать другую кривую, определяемую уравнешемъ
a +/(9)
г- /'2
то достаточно заметить, что , = , , чтобы убедиться, что касательныя
къ обеимъ кривымъ, въ точкахъ, соответствующихъ одному и
тому же значен!Ю 6, пересекаются на перпендикуляре, проведен-
номъ изъ полюса къ рад1усу вектору. Между кривыми, соответствую-
соответствующими прямой линш г = —-—- . находится, между прочимъ, коническое
сечете г — -. , г > и мы получаемъ такимъ образомъ способъ постро-
1 + k cos 6 J r v
ен1я касательной къ коническому сечешю, равносильный въ сущности сле-
следующему известному свойству: если две прямыя пересекаются подъ
прямымъ угломъ въ одномъ изъ фокусовъ коническаго сечентя,
то каждая изъ нихъ пересекаетъ директрису, соответствующую
этому фокусу, въ полюсе другой прямой.
Р
{ Прим%чан1е. Уравнен1е г = —-—- , очевидно, изображаетъ дирек-
трису коническаго сечешя г == —•
т. е. поляру фокуса F. Прове-
1 + k cos (
демъ рад1усъ векторъ F М данной точки на коническомъ сеченш и продол-
жимъ его до встречи съ директрисою въ точке К; затемъ проведемъ ра-

68 VI, 2. приложенш къ плоскимъ кривымъ. §§ 589—590
д1усъ векторъ FL j_ FM и продолжимъ его до встречи съ директрисою
въ точке 7. Соединивъ М съ Т, получимъ касательную МТ въ точке М,
потому что FT будетъ общая полярная подкасательная для прямой KL въ
точке К и коническаго сечешя въ точке М. Вместе съ темъ, очевидно,
Т будетъ полюсъ прямой FM, а К полюсъ прямой FL.
т) Синусъ-спиралями (Sinusspiralen) x) называютъ кривыя, изобра-
жаемыя уравнешемъ rm = о'" sin m 8. Такъ какъ
г-1 г' = am cos т 8, tg ш = % = tg m 6,
то oh какъ видимъ, изменяется пропоршонально 8. Поэтому имеемъ такую
теорему: когда рад1усъ векторъ равном'Ьрно вращается около по-
полюса, тогда и касательная равномерно вращается около точки
касашя. На этомъ основанш синусъ
спирали называются также кривыми
пропорцшнальнаго изгиба. Къ
числу ихъ принадлежать некоторыя
известныя кривыя, какъ напримеръ,
парабола (съ фокусомъ въ полюсе)
при m=~i, равносторонняя ги-
гипербола (съ центромъ въ полюсе)
при т — — 2. При т = 1 получаемъ
опять кардюиду. при т = 2 другую
замечательную кривую лемнискату
(рис. 41). Она проходить, какъ и
всякая синусъ-спираль, при т > 0,
' ис- 41. черезъ полюсъ и вся помещается въ
конечной части плоскости. Наоборотъ,
синусъ-спирали, соответствующая отрицательнымъ т, имеютъ безконечныя
в^тви и не проходятъ черезъ полюсъ.
590. Основная теорема дифференшальнаго исчислешя (§ 549)
и въ геометрической форме имеетъ полезныя приложешя. Положимъ,
напримеръ, что дело идетъ о построенш касательной къ кривой
линш въ некоторой точке М. Въ такомъ случае можно заменить
точку М', безконечно близкую къ М, точкою М", безконечно
близкою къ М', если только разстояше М'М" будетъ безконечно
М'М"
мало относительно ММ', т. е., если lim -ггщ- = 0- Действительно,
если существуетъ касательная въ точке М, съ которой стремится
совпасть прямая ММ', то и прямая ММ" стремится къ тому же
предельному положешю, потому что въ треугольнике М'ММ",
каковъ бы ни былъ уголъ при М", всегда имеемъ
lim sin M'MM"= lim ДСттг sin MM"M' = 0 .
Приведемъ теперь же несколько примеровъ на приложеше этого
npieMa 2).
1) О свойствахъ этихъ и аналогичныхъ имъ кривыхъ см. G. Loria
A. с.) или Е Cesaro „Vorksungen iiber naturlich3 Geometrie", стр. 54.
'-) Читатель найдетъ многочисленныя приложешя этого принципа въ
старомъ. но до сихъ поръ интересномъ сочиненш Duhamel „Elements du
Calcul infinitesimal" (t. I. livre 1.) (имъется и въ русскомъ перевод-Ь), а также
въ „Дифференшальномъ исчислеши" Ж. Бертрана (руссмй переводъ
Пирожкова, СПБ. 1910, глава 1).

§ 590 КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ. 69
а) Когда кругъ катится безъ скольжешя по прямой, то каждая точка
его окружности описываетъ кривую, называемую циклоидою. Пусть N и N'
будутъ гЪ точки, въ которыхъ кругъ, разсматриваемый въ двухъ различныхъ
положешяхъ, касается прямой, а М и М' соотв'Ътствуюиия положешя точки,
описывающей циклоиду. Чтобы осуществить переходъ изъ М въ М'', оче-
очевидно, можно себЪ представить, что кругъ сперва вращается около своего
центра такимъ образомъ, что точка М переходить въ L, при чемъ она
отдалится отъ точки Лг (на прямой) на длину дуги ML, равную отрезку NN'.
ЗагЪмъ, кругъ передвигается параллельно прямой и этимъ переносится въ
новое положеше, при чемъ точка М, уже находящаяся въ L, перейдетъ
въ М'', описавъ отръзокъ LM' = NN1. На этомъ отръзкЪ и можно заменить
точку М' точкою М", для которой LM" = LM, потому что при этомъ мы
пренебрегаемъ разностью
LM' - LM"= ^ L М хорда LМ.
Рис. 42.
т. е. безконечно малою 3-го порядка. Теперь, следовательно, можно разсма-
тривать нормаль къ циклоиде въ точкЪ М, какъ предъльное положе-Hie
перпендикуляра, опущеннаго изъ точки L на прямую ММ". Если проведемъ
прямыя. параллельныя неподвижной прямой, черезъ точки L и М, и замЪ-
тимъ точки Р и О ихъ пересъчешя съ окружностью круга, то увидимъ, что
перпендикуляръ изъ L на ММ' разд'Ьлитъ дугу MNP пополамъ, потому
что треугольникъ LMM" равнобедренный. Слъдовательно, нормаль въ
точкЪ М— предъльное положеше этого перпендикуляра — раздълитъ дугу MNQ
пополамъ, т. е. пройдетъ черезъ точку N. Впосл-Ьдствш этотъ резуль-
татъ мы провърймъ вычислен1емъ (§ 595, п).
Ь) Разсмотримъ еще кривую лишю, которую описываетъ вершина М
угла постоянной величины (рис.42), стороны котораго двигаются, оставаясь
всегда касательными къ двумъ даннымъ кривымъ. Пусть Р и О будутъ
точки касашя сторонъ даннаго угла въ даниомъ положенш, Р' и Q'— ана-
логичныя точки для другого положешя, когда вершина угла находится въ
точкъ М', безконечно близкой къ М. Проведемъ черезъ Р и Q прямыя,
параллельныя сторонамъ угла въ новомъ его положенш, и пусть М" будетъ
точка пересъчешя этихъ прямыхъ. Замътимъ теперь, что разстояшя точки М"
отъ сторонъ угла въ новомъ его положен1и будутъ безконечно малыя не
ниже 2-го порядка, потому что они соответственно равны разстояшямъ
точекъ на кривой, безконечно близкихъ къ точкъ касашя, отъ касательной
въ этой точкъ *). Отсюда легко заключить, что разстояше М'М" будетъ
5) А именно, точки Р отъ касательной въ Р', и точки О отъ каса-
касательной въ Q'.

70
VI, 2. ПРИЛОЖЕН1Я КЪ ПЛОСКИМЪ КРИВЫМЪ.
§ 590
Рис. 43.
также безконечно малая высшаго порядка относительно ММ'. Поэтому
искомая касательная будетъ предельное положеше для прямой ММ". Но
углы при М и М" равны между собою (по условш), следовательно. М"
лежитъ на окружности круга, проходящего черезъ три точки М, Р и О. и
предельное положеще прямой ММ" есть
касательная въ точке М къ окружности
этого круга Поэтому, для построен1я
нормали къ общему месту точки М
надо соединить эту точку съ точ-
точкою пересечена нормалей въ дан-
ныхъ кривыхъ въ точкахъ Р и О.
с) Подэрою (Pjdaire, Fusspunkt-
kurve) данной кривой относительно точки О
называютъ общее место основанШ пер-
пендикуляровъ, опущенныхъ изъ точки О
на касательныя къ данной кривой. Если М
есть точка на данной кривой, а Р про-
екщя точки О на касательную въ М, то
нормаль къ подэре въ точке Р получимъ,
соединивъ /-" съ серединою ОМ.
Это построен1е тотчасъ выводится изъ
предыдущего, если замътимъ, что разсма-
триваемый случай есть частный случай
предыдущего, а именно, соответствующий
предположенш, что данный уголъ здесь
прямой, и одна изъ данныхъ кривыхъ
обращается въ точку О.
[ ПриигЬчаше. Действительно, если вторая кривая обращается въ
точку О, то касательная къ этой кривой въ точке О, проведенная изъ
точки Р, будетъ прямая ОР, нормаль—перпендикуляръ къ ОР въ точке О,
а нормаль къ данной кривой въ точке М— прямая, параллельная 01'. Точка
пересечешя К нормалей будетъ, следовательно, вершина прямоугольника,
построеннаго на МР и ОР, а потому д1агональ его РА"—нормаль къ подэре
въ точке Р —пройдетъ черезъ середину д1агонали ОМ. Въ цитированномъ
уже ,.Дифференщальномъ Исчисленш" Бертрана читатель найдетъ простое
доказательство указаннаго построешя, независимое отъ ностроешя въ общемъ
вопросе, разсмотренномъ въ пункте Ь). Наконецъ, полезнымъ упражнен1емъ
будетъ аналитическое доказательство того же построен!я, основанное на
общихъ выражешяхъ координатъ точки Р (X, Y) черезъ координаты
точки М(х, у) на данной кривой, и на разсмотренш уравнешя нормали къ
общему месту точекъ Р. ]
Такимъ путемъ можно, напримеръ, найти известное уже (§ 589, к)
построеше нормали къ улитке. А именно, легко убедиться, что кривая лишя
г = a cos 9 -|- Ь есть подэра окружности круга рад1уса Ъ относительно точки,
отстоящей отъ центра на разстоянш, равномъ а. Если, въ частности, имеемъ
две касающ!яся взаимно окружности круговъ, изъ которыхъ одинъ окру-
жаетъ другой и имеетъ вдвое больш)й рад1усъ, то подэра внъшняго круга
относительно точки касашя есть конхоида внутренняго круга, и именно
кардюида.
d) Въ заключеше разсмотримъ эллипсъ. Пусть М и М' две безконечно
близтя точки на кривой, F и F'' — ея фокусы, Р проекщя М на M'F и
Р' проекщя М' на MF'. Съ точностью до безконечно малыхъ 2 го порядка
можемъ написать:
М'Р = M'F - MF, МР' = MF' - M'F',
М'Р - МР' = (M'F + M'F') - (MF+ MF') = 0.

§§ 590-591 кривизна. 71
Следовательно, М'Р — МР'. Раздъмшвъ -на ММ', находимъ
cos MM'F = cos M'MF',
а переходя къ пред-Ьлу z.TMF= /_ TMF', т. е. касательная одинаково
наклонена къ рад1усамъ векторамъ точки касан!я, выходящимъ
изъ фокусовъ. Это свойство характеризуетъ эллипсъ, потому что изъ
послЪдняго равенства, идя обратнымъ путемъ, получимъ точное равенство
dMF + dMF'=Q, т. е. МF + MF'= Const. Такимъ же образомъ ведется
доказательство аналогичнаго свойства касательной къ гиперболт>. и еще проще
для параболы.
Кривизна.
591. Определения. Угломъ смежности называется диффе-
ренщалъ, эквивалентный (§ 556) углу между касательными въ двухъ
безконечно близкихъ точкахъ на кривой. Отношеше угла смежности
къ дифференшалу дуги называется кривизною кривой въ разсма-
триваемой точке. Ясно, что если <р есть уголъ наклонежя касатель-
касательной къ некоторой неподвижной прямой, то dg> есть уголъ смеж-
смежности, а кривизна, следовательно, равна производной отъ у>, взятой
по дуге 5. Чтобы оправдать установленное здесь опредълен!е кри-
кривизны, зам^тимъ следующее. Если, кром-fe данной точки М на кривой,
возьмемъ еще точку М', достаточно близкую къ М, чтобы дуга ММ'
на всемъ своемъ протяжен1и была вогнута въ одну и ту же сторону
(§ 552), то естественно будетъ принять, что при данной длин%
этой дуги ds, кривизна ея будетъ тЪмъ больше, чъмъ больше уголъ
между касательными въ крайнихъ ея точкахъ М и М''. Поэтому,
естественно принять за м%ру кривизны этой дуги отношение *;— >
а это отношеше и стремится къ пределу -^р > когда, при фиксиро-
фиксированной точк-fe М, точка М', двигаясь ао кривой, стремится совпасть
съ М. Возьмемъ теперь за неподвижную прямую ось абсциссъ.
Направляюшде косинусы касательной изобразятся тогда формулами:
iix /I у
, — COS @, -'- = Sin W,
ii s as
откуда, взявъ производныя, находимъ
d-x d (f d''v da,
ds* . ds d sl ds
а, следовательно (§ 558, d),
1 _ dxd2v - dvd-x _ dcp
1 ' ^ ~ ~dl^ ds '

72 VI, 2. приложенш къ плоскимъ кривымъ. § 591
Въ частномъ случае, когда разсматриваемая кривая есть окружность
круга pafliyca Q, формула эта выражаетъ, что кривизна во всЬхъ
точкахь одинакова и равна — Поэтому, мы можемъ высказать
следующее положеше: кривизна какой угодно кривой въ
данной на ней точке измеряется кривизной соприкасаю-
щагося въ этой точке круга данной кривой (§ 348, е).
На этомъ основанш рад1усъ и центръ соприкасающегося круга на-
зываютъ рад1усомъ и центромъ кривизны данной кривой въ
данной точке.
[ ПримЪчаше. Направляющими косинусами касательной, какъ
для плоскихъ, такъ и для неплоскихъ кривыхъ, мы будемъ называть
косинусы угловъ, образуемыхъ положительнымъ направлешемъ каса-
касательной съ положительными направлешями координатныхъ осей.
За положительное направлете на касательной всегда будемъ выби-
выбирать то, которое идетъ въ сторону возрастающихъ дугъ, при чемъ
последнее можемъ выбирать по произволу. Обозначая, въ случай
плоской кривой, черезъ а и /2 направляющее косинусы касательной,
мы—при установленномъ выше условш — будемъ иметь по вели-
величине и по знаку
dx , dv
а = - - • ,1 = 7--
Для доказательства, проведемъ секущую черезъ разсматриваемую
точку (s) на кривой и черезъ точку (s + ds), расположенную на
кривой съ той стороны отъ первой точки, въ которую возрастаютъ
дуги (такъ что ds > 0). Если мы направимъ эту секущую въ сторону
возрасташя дугъ, т. е. отъ точки (s) къ точк+i (s + ds), то ея
направляющее косинусы выразятся такъ:
дх ду
+ fyu + V?> х2 + ду-
души
6 х д s ; 6 у д s
Такъ какъ ds > 0, а отношете длины дуги къ длине хорды стре-
стремится къ единице (§ 582), то въ пределе для направляющихъ ко-
синусовъ касательной, направленной въ сторону возрасташя дугъ,
мы и получимъ указанныя выше выражешя. Заметимъ еще, что въ
большинстве курсовъ дифференщальной Геометрш рад1усъ кри-
кривизны q считается числомъ положительнымъ, и определяется фор-
1 ! d (p .
мулою — = | -?- ; въ настоящемъ же сочиненш q определяется
, 1 d (p ~
формулою — = -j- и можетъ быть, какъ положительнымъ, такъ и
отрицательнымъ числомъ. ]

§ 592 кривизна. 73
592. Опредъчлеше кривизны можно еще иньшъ образомъ оправ-
оправдать, если предварительно согласиться принять за мЪру кривизны
круга обратную величину его рад1уса. Такое соглашеше совместимо
съ обыденнымъ понят1емъ о кривизнт,, по которому круги малаго
pafliyca искривлены больше, чЪмъ круги большого pafliyca. Осно-
Основываясь на этомъ и переходя къ измЪренш кривизны любой кривой
въ данной на ней точктэ М, разсмотримъ eefe круги, касаюшдеся
этой кривой въ точкЪ М, и обращенные выпуклостью въ ту же
сторону, какъ и данная кривая въ этой точкЪ. На основанш того
же интуитивнаго представлешя, которое мы им-Ьемъ о кривизн^,
можемъ, очевидно, сказать, что кривая въ точкЪ М имЪетъ кривизну
большую, чтэмъ кривизна внЪшнихъ круговъ и меньшую, чЪмъ
кривизна внутреннихъ круговъ. Подъ внешними кругами пони-
понимаются Tt, окружности которыхъ проходятъ между касательного и
данною кривою, а подъ внутренними rfe, относительно которыхъ
кривая и касательная лежатъ съ одной стороны. Если покажемъ,
что соприкасающейся кругъ составляетъ границу, отделяющую
BHtuiHie круги отъ внутреннихъ, то и придемъ къ утвержденш,
что кривизна данной кривой равна кривизнт» соприкасающагося круга.
Чтобы доказать упомянутое свойство соприкасающагося круга, обо-
значимъ черезъ г рад1усъ какого нибудь изъ круговъ, касающихся
данной кривой въ точкЪ М (х, у), а черезъ h алгебраическую
величину разстояшя точки М' (х -f- дх, у -f- ду) на данной кривой
отъ окружности выбраннаго круга. Тогда имъ-емъ
B г + К) h = (дх + г sin iff + (ду - г cos q,f - r'K
[ ПриМ"Ьчан1е. Разстоян1е точки М' отъ окружности откла-
откладывается по нормали къ окружности и берется со знакомъ -|-,
если точка М' лежитъ внт> этой окружности, и со знакомъ — ,
если М' внутри ея. Если С есть центръ выбраннаго круга, то при
сдтзланномъ соглашенш о знакт, h, на основан1и извъхтныхъ теоремъ
элементарной Геометр1и, будемъ имъ-ть въ обоихъ случаяхъ
Br + h)h = СМ'* - I*.
Замечая еще, что координаты (^, rf) центра разсматриваемаго круга
определяются формулами
i = x — r sin <р. >) = v -j-r cos q>,
гдт> ц) уголъ касательной къ данной кривой въ точк-fe М съ осью
х-въ, находимъ СМ"* = (дх + г sin g>J -f- (ду — г cos cpy и, следо-
следовательно,
B г + h) h = (fix + у sin (pf +¦ (ду — r.cos q>f — r2.
Обозначая черезъ / длину хорды ММ' и припоминая, что

74 VI, 2. приложешя къ плоскимъ кривымъ. § 5t
cos (p = 'r I sin 9? = /^ .
найдемъ
as
т. е.,
2 г* + Ifi =1* + r<
Отбрасывая безконечно малыя выше 3-го порядка (относительно ds),
и припоминая сказанное въ § 585, мы можемъ заменить /2 черезъ
ds1, и получимъ
_ ds2 _ <Ул: (Ру - dy d-.x dx dsy — dy d\x
1r 'Ids 6 d s
Принимая теперь 5 за независимую переменную, находимъ
dsx 1
dx d-y — dy d'^x = • dx d':iv — dy dix = dsi]d —
Q 9
и окончательно
ds2 I I 1 \ rfs2 dg
1 \r q J 6q2
_(_
Мы видимъ, что h будетъ вообще безконечно малою 2-го порядка;
при этомь въ смежности съ точкою М, h > 0 при г < о, и
А < 0 при г > Q, т. е. точки AT, достаточно близюя къ М, лежать
всъ внъ или вс^Ь внутри касательнаго круга, смотря по тому,
будетъ ли этотъ кругь внутри или внъ соприкасающаяся
круга. Если же г = q (т. е. касательный кругъ совпадаетъ съ
соприкасающимся кругомъ), то h будетъ порядка выше второго 'и
им-Ьетъ знакъ, одинаковый съ dg. Отсюда
вытекаетъ следующее: Положимъ, что
въ точк-fe М -т^- непрерывна и неравна
нулю; представимъ себъ, что мы пере-
передвигаемся по кривой въ направленш
возрастающихъ дугъ, т. е. что ds < О
для точекъ, предшествующихъ М, и
ds > 0 для точекъ, слъдующихъ за М.
Если въ точкЪ М -Л- > 0, т. е. д воз-
растаетъ, а кривизна убываетъ (рис. 44),
то знакъ dg, а, следовательно, и h, переходитъ изъ — въ -|-, и
точки, предшествующ)я М, будутъ внутри, а слъдуюшдя за нею
внъ соприкасающагося круга. Какъ разъ противоположное будетъ
имъть место въ случай -у^- < 0 въ точке М. Итакъ, вообще
соприкасающ1йся кругъ пересекаетъ кривую въ той точке,
Рис. 44. ds

§§ 592-594 кривизна. 75
въ которой онъ съ нею касается. Исключеше могутъ предста-
представить лишь таю'я точки, въ которыхъ -~ = О, и для которыхъ h
безконечно малая не ниже 4-го порядка. Во всЬхъ случаяхъ безъ
исключешя соприкасаюшлйся кругъ характеризуется темъ,
что точки Ж', безконечно близюя къ М, на данной кривой,
отстоять отъ него на безконечно малыхъ разстоян1яхъ не
ниже второго порядка.
593. Пусть Н есть точка перееЬчешя нормалей въ точкахъ
М и М', легко показать, что центръ кривизны въ точк-fe М есть
предельное положете точки Н, съ которымъ она стремится совпасть,
когда точка М' стремится совпасть съ точкою М, остающеюся на
м-fecrfe. Въ самомъ деле, если п обозначаетъ длину МН, то раз-
стояше точки М отъ нормали М'Н, очевидно, равно п sin (д (р);
съ другой стороны, то же разстояше равно проекцш ММ', т. е.
сумм% проекщй дх и ду на касательную въ точке М'. Следовательно,
a sin dq> = cos (ер -\-[д<р) ¦ fix -\- sin (q + dq) ¦ ду.
Обозначая предельное значеше п черезъ q, получаемъ отсюда
<jd<p = cos qi ¦ rf.r-f sin (/.' ¦ dy = ds,
т. e. q равно pafliycy кривизны, а такъ какъ центръ кривизны ле-
житъ на нормали МН, то теорема и доказана. На этомъ основанш
можемъ утверждать, что нормали въ точкахъ, безконечно
близкихъ къ М, проходятъ въ безконечно малыхъ раз-
стоян1яхъ отъ центра кривизны въ точке М. Легко и вычи-
вычислить эти разстояшя; стоитъ только заметить, что, пренебрегая
безконечно малыми высшаго порядка, имеемъ:
. , d.x ¦ dx+dy ¦ ду (is d-s
n = (cos w ¦ dx + sm w ¦ ду) cot д w = -.—.—-—- = -у- -f г-—*)
dsdq dq ' 2 dcp
и, наконецъ, n = Q-\-\dg, если выберемъ q за независимую
переменную.
594. Формула G) заключаетъ въ себе все друпя, служашш
для вычислен1я кривизны, и зачастую превосходитъ ихъ въ смысле
простоты и удобства вычисленШ. Если положимъ
q = arctgj' или q> = 9 -b'arctg —r >
смотря по тому, Декартовы ли или полярныя координаты желаемъ
применить, то, дифференцируя, найдемъ
d <р _ у" dfP __ 1 , г'2 — г г"
dx l+У2 db ^ r2 + r'2
*) Потому что cos <рду — sin q дх — безконечно малая высшаго порядка.

76
VI, 2. ПРИЛОЖЕНЫ КЪ ШЮСКИМЪ КРИВЫМЪ.
§ 594
а такъ какъ ds = Y^ + у'2 ¦ dx = J/V8 + г'г d§, то снова и по-
лучимъ выражешя
\ .. - (^ + Г'^ .
(8)
0= (L±
г2+ 2 г'2 — ;т"
Если кривая задана уравнетемъ f(x, у) = О, то достаточно обра-
обратиться къ выведенному уже раньше (§ 574) результату, чтобы изъ
первой формулы (8) получить
(9)
д х
~дх*
ду
дхду
д v дудх д V2
Но и этотъ результатъ можно получить непосредственно изъ G).
Разсматривая др, какъ функщю отъ х и у, которыя сами суть
функцш отъ s, имЪемъ
d w д w d х () w d v
ds дх ds ду ds
д w . да,
dx dv
следовательно,
1 0 . д
— = ч— Sin <Г- — т— COS W .
g дх ду
Съ другой стороны, известно (§ 586), что косинусы угловъ нормали
съ осями Ох и О у выражаются формулами
A0)
Поэтому
или
(И)
1 д/
— Sin <p --- _^z -- -
УAf')x
COS en =
df
dJ d
dy\y~Zfdy J
YAf дхдх
Это есть весьма важная формула Бонне (Bonnet). Простое вычи-
слеше дастъ
df д 1 df д 1
дхОх у/if дуду У/If
> d'2/ °XdJ_ i д1? 1<LL
' dxdv дх dv ду- \ду
J
[д .v2 \д xj ~*~

§§ 594-595 кривизна. 77
а такъ какь
то мы и приходимъ къ формул^
9
дхдУ дх дУ дУ
совпадающей съ (9). Что касается формулы A1), то она важна
потому, что ею обнаруживается инвар1антный характеръ кривизны.
Действительно, инвар1антный характеръ перваго члена уже изв"Ь-
стенъ (§ 569); поэтому достаточно будетъ показать, что сумма
двухъ другихъ имъетъ геометрическое значеше, независимое отъ по-
положения координатныхъ осей. Обозначая для краткости функшю г _,
черезъ g, и проведя черезъ произвольную точку М кривую, для
вс^хъ точекъ которой g равно постоянной, легко будетъ вычи-
вычислить уголъ, образуемый этою кривою съ данною. А именно, при-
применяя формулы A0) ко второй кривой, тотчасъ найдемъ (см. § 577, а)
выражеше
COS О) = ,
У А/ ¦ А !' \f)х с>х ()У °У
и формула A1) принимаетъ видъ = -^~.-.-{-УJ/¦ Jg ¦ cosro.
595. Упражнен1Я. а) Мы поставимъ себЪ задачей построить центры
кривизны гЬхъ плоскихъ кривыхъ, который чаще всего встречаются на
практик-fe. Начнемъ съ простейшей изъ нихъ после окружности круга, а
именно съ логариемической спирали (г=ает®), приводящейся къ окру-
окружности круга при т = 0. Такъ какъ г' = mr, v"=mr' = m2r, то r'2—rr",
и вторая изъ формулъ (8) тотчасъ дастъ д = Уг2-\-г'2 = п. Еще скоръе при-
демъ къ этому результату съ помощью формулы G), если замътимъ, что
изъ (р = 6 + т слт>дуетъ dq> = du (ы = const.), а такъ какъ ds = ndb, то и
получимъ Q=n, т. е. въ логариемической спирали рад1усъ кри-
кривизны равенъ длине полярной нормали. Следовательно (см. § 589, е,
рис. 33), центръ кривизны находится въ точке N. Это свойство является
очевиднымъ, если припомнимъ сказанное въ § 593, изъ котораго следуетъ,
что точка пересечения Н нормалей въ М и М' лежитъ на окружности
круга ОММ', потому что z ОМН = Z ОМ'Н (по определенно спирали:
со — const.). Когда М' приближается къ М, кругъ ОММ' стремится сде-
сделаться касательнымъ къ кривой въ точке М, а точка //стремится къ точке N,
д1аметрально противоположной М на пределькомъ положенш окружности
круга. Раньше мы заметили, что длина полярной касательной МТ равна
длине дуги ОМ, а теперь обратимъ внимаше на соотношев1е q = ms, ко-
которое, такъ сказать, можно прочитать въ треугольнике NMT. Для всякой
плоской кривой можно аналогичнымъ образомъ разсматривать соотношете
между q и а-. Оно называется „натуральнымъ уравнешемъ кривой"
и вполне достаточно, чтобы определить фигуру кривой Ц.
См. „Naturliche Geometrie', стр. 2.

78 VI, 2. приложешя кь плоскимъ кривымъ. § 595
[ Прим^Ьчате. Допустимъ, что двЪ кривыя С1 и С2 имЪютъ одно и
то же натуральное уравнеше
и покажемъ, что оиЬ конгруентны. Отличая указателями аналогичные эле-
элементы обЪихъ кривыхъ, мы будемъ имЪть—при равныхъ значешяхъ дугъ —
_1_ = 1_ _
откуда, въ силу G),
(I) "rfF = 'с/7^
Перенесемъ одну изъ кривыхъ такъ. чтобы совпали точки, отъ которыхъ
на Ct и Со, отсчигываются дуги, а загёмъ повернемъ эту кривую такъ,
чтобы совпали и положительныя направлешя касательныхъ въ этихъ точкахъ.
Тогда, при -•) = 0
(II) *!=**. Уу=Уг-
(III) q>x = срг .
Изъ равенства (I). въ силу § 307, Ь, вытекаетъ, что q^ и гр2 могутъ отли-
отличаться лишь на постоянную; но, въ виду равенства (III), эта постоянная
равна нулю, такъ что равенство (Ш) им'Ьетъ мЪсто для всЬхъ значен!й s.
Въ такомъ случай, для всЬхъ же значешй s,
d x, d x.,
—}— = COS <Py = COS (p<> = —j~~
d s d s
d y, . dy2
ds 1 * ds
откуда аналогичнымъ образомъ заключаемъ, что и равенства (II) имЪютъ
Mtcro всегда, т. е. кривыя совпадаютъ. Итакъ, кривыя, им-Ъюцп'я одно и
то же натуральное уравнеше, могутъ отличаться только по положен1ю,
видъ же ихъ этимъ уравнешемъ определяется вполне. На этомъ и основана
важная роль натуральныхъ уравнешй ].
Ь) Для логариемической кривой (у — аеа; рис. 31) имЪемъ
Первая изъ формулъ (8) дастъ
v
у" cosa ц> sin <p ¦ cos2 <p sin q> cos q
Пусть Т и N будутъ точки, въ которыхъ касательная и нормаль встр-Ъчаютъ
асимптоту. Если перпендикуляръ къ асимптотъ1, возставленный въ точкЪ 7",
встр'Ьтитъ нормаль въ точк% Н, то, на основан!и предыдущей формулы,
q = NН. Поэтому мы найдемъ центръ кривизны С, если отложимъ по
нормали длину НС = MN.
с) Въ разносторонней гипербол*, отнесенной къ асимптотамъ, имъхмъ

§ 595
КРИВИЗНА.
79
Следовательно, zMTO = $ (рис. 45), т. е. углу между рад1усомъ векторомъ
и полярной осью (осью #-овъ). Далее,
У -
2 я2 _ 2 у
гз .
следовательно, рад1усъ кривизны въ точке М пропорцшналенъ
кубу д1аметра, проходящаго черезъ М. Чтобы построить центръ кри-
кривизны, замтэтимъ, что
2 а2 l xy sin 29
= МО.
Следовательно, МС = MQ, т. е. центръ кривизны лежитъ симме-
симметрично съ Q относительно М. Къ тому же результату придемъ съ
помощью формулы Gj, зам"Ётивъ, что <р = л;— 6, откуда d(f = —dfi, и g = —«
(где и—длина полярной нормали). Заметимъ здесь еще следующее: если
вспьмемъ еще две точки М' и М" на гиперболе и соединимъ центръ круга
М М'М" съ ортоцентромъ треугольника М М'М", то центръ тяжести этого
треугольника разделитъ эту прямую на два отрезка, относящихся одинъ къ
другому, какъ 1 къ 2, а съ другой стороны, по известному свойству равно-
равносторонней гиперболы, ортоцентръ лежитъ на кривой (см. примечаше). Когда
М' и М" приближаются къ М, то центръ тяжести треугольника стремится
къ М, а центръ описаннаго около него круга къ С (центръ соприкасающегося
круга), откуда ясно, что ортоцентръ стремится къ совпаденш съ точкою
пересечешя /У нормали съ другою вътвью гиперболы, и что МН=2д.
Иными словами: д1аметръ соприкасающагося круга въ любой
точке равносторонней гиперболы равенъ отрезку, отсекаемому
самою кривою на нормали въ точке М.
[ Прил/гЬчаше. Ортоцентромъ треугольника называется точка пере-
сЪчетя его высотъ, центръ тяжести G — точка пересечения мед1анъ, центръ
описаннаго круга С\ — точка пересечешя перпендикуляровъ къ сторонамъ,
возставленныхъ изъ ихъ серединъ. Эти три точки лежатъ на одной прямой,
и если К есть ортоцентръ, то GK = 2 GC1 (см. „Сборникъ геометрическихъ
задачъ" Пржевальскаго. Москва, 1894. Отд. III. Теорема 52 на стр. 66;
доказательство на стр. 263). Свойство равносторонней гиперболы, упомянутое
въ 595. с, читатель легко докажетъ самъ, или найдетъ въ „Anal. Geometrie
der Kegelschnitte" Salmon-Fiedler D-е изд. 1874 г., стр. 289, § 236). Предель-
Предельное положеше ортоцентра К находится на нормали въ точке М, потому
что К на перпендикуляре къ М'М'', а предельное положеше М'М'' есть
касательная въ М. \

80
VI, 2. ПРИЛОЖЕН1Я КЪ ПЛОСКИМЪ КРИВЫМЪ.
§ 595
d) Кардшида прежде всего замечательна т-Ьмъ, что она особенно
просто спрямляется. Изъ уравнешя г = а A + cos 6) последовательно находимъ
г = — a sin i
ds
72 = 2 a cos -=- > s = 4 a sin -y •
если за начало дугъ примемъ вершину A(s = Q при G = 0). Если рад1усъ
векторъ ОМ встрЪчаетъ въ точке L окружность круга рад1уса ОА — 1а
съ центромъ въ полюсе О, то изъ предыдущей формулы получаеыъ, что
длина дуги AM равна длине прямолинейнаго отрезка A L.
Въ частности, оттуда же сл^дуютъ, что длина всей кардюиды равна 8 а.
Кромъ того, имъемъ
1 п'А 2
v" = — о cos 6, v'- — rr''= а- A + cos $) = -—¦ ф, д — = — и
1
cos $) = -—¦ ф, д —
О
Следовательно, центръ кривизны въ точкъ М дълитъ длину поляр-
полярной нормали въ отношеюи 1 къ 2. Это свойство еще скоръе выводится
изъ формулы G), если построеше нормали уже известно. Действительно,
опишемъ кругъ Д1аметра, равнаго а, конхоида котораго (§ 589, к) относи-
относительно точки О на его окружности и будетъ данная кардюида. Пусть И,
будетъ центръ этого круга, Р та точка на его окружности, которая лежитъ
на paAiyct векторе ОМ, a Q — точка, д1аметрально противоположная точке 'Р.
Тогда MQ, какъ известно, будетъ нормаль къ кардюиде (§ 589, к). Изъ
того что, какъ треугольникъ MPQ, такъ и треугольникъ ОНР равнобед-
равнобедренны, следуетъ, что z PMQ = %Ъ, а потому нормаль наклонена къ по-
полярной оси подъ угломъ f 6; следовательно, dq> = f ilb и д = J». Пусть N
будетъ другая точка окружности нашего круга, лежащая на MQ. Такъ
какъ треугольникъ МРО равнобедренный, то точка N—проекш'я точки Р
Рис. 46.
на МО — очевидно делитъ отрезокъ MQ пополамъ. Пусть М' будетъ точка,
симметричная съ Р относительно N. Прямая НМ' пересечетъ нормаль MQ
въ центре кривизны С. Действительно, построенная такимъ образомъ
точка С есть центръ тяжести треугольника РОМ', следовательно,
МС = MN
= i MN = f MQ.
Наконецъ, заметимъ, что натуральное уравнеше кардюиды есть s2+Pj?2=const.
Если будемъ отсчитывать дуги отъ полюса, то найдемъ, что длина дуги
ОМ равна
*• = 4 а { 1 — sin 4,

§ 595 кривизна. 81
Съ другой стороны, хорда ОМ равна
s2
г = я A -\- cos D) = s — =— •
8 а
Къ этому соотношенш легко придти и геометрическимъ путемъ съ помощью
следующего замечашя: изъ уравнешя кардюиды видно, что перпендикуляръ,
опущенный изъ А на ОМ, проходитъ черезъ точку, симметричную съ L
относительной/. Следовательно, A L2=--A а ¦ 2 ML, т.е. D я—sJ = 8 я Bя — г)
и т. д. Отсюда следуетъ, что съ приближешемъ М къ О, разность между
дугою ОМ и хордою ОМ будетъ безконечно малою не 3-го порядка
(см. § 585), а только 2-го. Это объясняется темъ, что въ точке О кривизна
безконечна.
e) Изъ уравнешя синусъ-спиралей г"' = a"' sin т 6 выводимъ
(т—\)г'2-\- гг"'— — тг~, и наконецъ, г'- — rr"= mi/l\ r'2). Поэтому
-' A4 т) (г2 + г'-) 1 + т 1 + in '
результатъ. очевидный по формуле G), потому что дз= 9-)-а> = A + »/) в.
Отсюда следуетъ, что рад1усъ кривизны пропорцшналенъ длине
полярной нормали. При т = — 2 и т = .V снова находимъ известное уже
построеше центра кривизны въ равносторонней гиперболе и кардюиде.
При т = 2 получается аналогичное построеше для лемнискаты. При
т= — ^ находимъ, что въ параболе рад!усъ кривизны делится пополамъ
перпендикуляромъ, возставленнымъ изъ фокуса къ paAiycy вектору, и т. д.
Если, нгконецъ, положимъ т = 0, то снова получаемъ извъстное nocTpoeHie
для логариемической спирали. На этомъ основанш, несмотря на то, что при
ш=0 ypaBHeHie rm = ат sin т Э теряетъ смыелъ, логариемическую спираль
разсматриваютъ, какъ частный случай синусъ-спиралей, соответствуюццй
значен1ю указателя т = 0. Она представляетъ некоторымъ образомъ границу,
отделяющую одинъ классъ синусъ-спиралей, не выходящихъ изъ конечной
части плоскости, отъ другого, въ которомъ спирали распространяются вь
безконечность.
f) Одинъ классъ синусъ-спиралей получается изъ другого посред-
ствомъ такъ называемаго преобразован 1я при помощи взаимныхъ
рад*усовъ векторовъ или обращешя (inversion). Подъ этимъ назва-
шемъ понимаютъ такое геометрическое преобразован1е, въ которомъ каждой
точке на плоскости соответствуете взаимная съ нею относительно некотораго
постояннаго круга. Если г =/(в) есть уравнение некоторой кривой, то
г = -г-гтт есть уравнеше кривой, полученной ея обращен1емъ относительно
круга pafliyca я съ центромъ въ полюсе. Такимъ образомъ. Архимедова
спираль и гиперболическая спираль, кохлеоида и квадратриса, равносторон-
равносторонняя гипербола и лемниската, парабола и кардтида, и вообще две синусъ-
спирали съ указателями, равными по величине и противоположными по знаку,
представляютъ собою пару взаимнообратныхъ кривыхъ. Поэтому полезно
знать, какимъ образомъ можно построить центръ кривизны для одной изъ
взаимнообратныхъ кривыхъ, когда известно построеше для другой. Мы пре-
достзвляемъ читателю доказать, что въ двухъ соответствующихъ точкахъ
взаимнообратныхъ кривыхъ касательныя антипараллельны относительно ра-
д1уса вектора, и центры кривизны лежатъ на одной прямой съ
центромъ обрашен1я (т. е. центромъ постояннаго круга).
g) Астроидою называется кривая, уравнеше которой въ прямоуголь-
ныхъ Декартовыхъ координатахъ есть ли +_ys = я ¦ Она симметрична

82
VI. 2. ПРИЛОЖЕШЯ КЪ ПЛОСКИМЪ КРИВЫМЪ.
§ 595
относительно координатныхъ осей и состоитъ изъ четырехъ равныхъ между
собою дугъ, касающихся координатныхъ осей въ крайнихъ своихъ точкахъ
(рис. 47). Пусть А В будетъ одна изъ этихъ четырехъ дугъ; примемъ за
а
начало счета дугъ середину ея, т. е. точку х = у =т^ГПл' Мы найдемъ
изъ уравнетя кривой
: 2 /2 '
= -у (яд;2) — — я.
Отсюда, въ частности, вытекаетъ, что длина всей астроиды равна 6 я.
Далъ-е, имъемъ
У-^Кху-)' »"
Простое вычислеше покажетъ, что натуральное уравнеше кривой есть
4 ?2 + q2 = 'i я2. Различныя свойства кривой, однако, легче обнаруживаются,
если будемъ ее разсматривать,
какъ геометрическое мъхто то-
чекъ, получаемыхъ слъмгующимъ
построешемъ. Опишемъ около
начала координатъ рад1усомъ
О А = я окружность круга и
каждую ея точку Лг спроекти-
руемъ сперва на координатныя
оси въ Р и Q, а затъмъ на PQ
въ точку М. Общее мъсто то-
чекъ М и будетъ астроида.
Действительно, если обозначимъ
черезъ 9 уголъ N О А, то
МР = я sin2 9, MQ = я cos2 9,
а координаты точки М будутъ
х — MQ ¦ cos 9 = a cos3 9,
у = МР ¦ sin 9 = a sin3 9,
~В'
Рис. 47.
перь замътимъ, что
dx = — 3 a sin 9 cos2 9 rf9, dy = 3 я cos 9 sin2 9 rfe, o\s|= 3 я sin 9 cos 9
и удовлетворяютъ, какъ видимъ,
уравнешю дг3+_у*=я^'. Те-
ТеСледовательно, угловой коэффищентъ касательной въ М равенъ — tg9, т. е.
прямая РQ и есть касательная. Отсюда тотчасъ слъдуетъ, что отръзокъ,
отсЬкаемый координатными осями на касательной, постоянно
равенъ я. Далъе, если за начало счета дугъ примемъ середину дуги АВ,
то найдемъ, что s = — :,f я cos 2 9, а поэтому
дуга М A =;J я A - cos 2 6) = f fljsin2 9 = | МР.
Следовательно, чтобы спрямить дуги МА и MB, стоитъ только продолжить
каждый изъ отртззковъ МР и М Q по касательной на половину его длины.
Наконецъ, рад1усъ кривизны, независимо отъ знака, будетъ
ds

§ 595 кривизна. 83
и мы тотчасъ видимъ, что 4 s2 + д2 = f а2, какъ было сказано выше. Заме-
Замечая еще, что МN = a sin 8 cos 9, получаемъ д = 3 МN. Следовательно,
рад1усъ кривизны равенъ утроенной длине MN. Если обозначимъ
черезъ N' другую точку пересЬчешя нормали съ окружностью круга, то
можно также сказать, что центръ кривизны С симметрично распо-
ложенъ съ .V относительно М.
h) На коническомъ сгьчент (съ центромъ) кривизна изменяется
пропорцшнально кубу разстояшя отъ центра до касательной.
Разсмотримъ для определенности эллипсъ, отнесенный къ его осямъ; изъ
уравнешя Ь2 х1 + а2у2 = а2 Ь2 последовательно получимъ
62 x _j_ a2yy'= 0, b2 + a2jv'2 + я2ху" = О, а2у3у"= — bK
Введя разстояше отъ центра до касательной
У~\ + у'2 у y^i +y'2
и, выбравъ надлежащимъ образомъ знакъ д, получимъ
Друпя формы для д получимъ, вводя въ разсмотреше, вместо h, длину /
сопряженнаго съ ОМ полуд1аметра, или длину я отрезка нормали М N
между точкою на кривой и осью, проходящею черезъ фокусы. Стоитъ
только заметить, что lh = ab и nh = b2, чтобы получить
Р Ф
где, какъ обыкновенно, р = ЬР/а. Последнее выражеше для д весьма удобно
получается при помощи полярныхъ координатъ. Полярное уравнеше кони-
ческаго съчен1я, если полюсъ пом-Ьщенъ въ одномъ изъ фокусовъ, а
полярная ось по оси кривой, проходящей черезъ фокусы, имеетъ видъ
г = ^ . и известная формула (§ 558, d), въ которой надо положить
тотчасъ дастъ
{у- — 2kr2 cos 8 + k2 r2f
_
Заметимъ вместе съ темъ, что въ треугольнике FMF1', въ которомъ нор-
нормаль MN делить уголъ М пополамъ, им'Ьемъ
FN F М
Ц^ = '- --, FN = kr, п2 = г2 - 2 kr2 cos 8 + k2 r2,
'Ik a la
припоминая, что MF-\~MF'=2a, N F + NFf=2 ka. Такимъ образомъ
снова получаемъ упомянутое выражеше д.
i) Теперь мы интерпретируемъ геометрически это выражете и поста-
постараемся построить центръ кривизны въ данной точке коническаго сечешя

84
V, 2. ПРИЛ0ЖЕН1Я КЪ ПЛОСКИМЪ КРИВЫМЪ.
§ 595
(рис. 48). Прежде всего замзчаемъ, что, проектируя FN М на FМ, находимъ
п cos щ> = г — kr cos 8 = р ,
т. е. проекция нормали на рад1усъ векторъ величина постоянная,
равная р. Замъ-тивъ это, получаемъ дaлte
Итакъ, возставимъ пер-
перпендикуляръ къ нормали
въ ючкъ N и продолжимъ
его до точки встръчи Р съ
однимъ изъ рад1усовъ век-
торовъ точки М : затъмъ,
возставимъ въ точкъ- Р
перпендикуляръ къ рад1у-
су вектору; этотъ перпен-
перпендикуляръ пересъчетъ нор-
нормаль въ центръ кривизны
точки М. Къ тому же резуль-
результату можно придти съ помощью
нъкоторыхъ замъчашй, относя-
относящихся къ приложешю безко-
нечно малыхъ въ Геометрш
(§ 590, d), а именно, положивъ
MF = v, MF'=r' и обозначая
черезъ вив' углы при верши-
нахъ F и Р въ треугольник*
MF F', можемъ написать
rdb = — г'db'= cos ?/> • ds .
Такъ какъ уголъ наклонешя нормали къ оси FF' измеряется числомъ 6 -f щ>
или дополнешемъ до л числа в'-f-V. то Для Угла смежности drp, очевидно,
получимъ
d ц> = d в -(- d у>, — d <р = d V -\- d у>.
Отсюда, вычитая одно равенство изъ другого и разделяя на ds, находимъ
q ds ds
Съ другой стороны, фокусы разделяются гармонически касательного и нор-
нормалью, а потому ихъ проекши на нормаль дёлятъ гармонически отръзокъ н,
такъ что
П Г COS 1/1 Г'COS 1A О COSa 1/}
или д cos2 v' = " и т. д. При помощи самыхъ простыхъ геометрическихъ
соображений указанное nocTpoeHie можно превратить въ другое, не менъе
полезное, данное Маннгеймомъ (Mannheim)x) (рис. 49). Лоложимъ, что пер-
перпендикуляръ, опущенный изъ С на FF' встръчаетъ РР' (.перпендикуляръ
къ нормали МN) въ точкъ Q, а прямая, проведенная черезъ О парал-
параллельно FF', иерес%каетъ MF и МР въ точкахъ G и С. Такъ какъ углы
l) „Cours de Geometrie descriptive", p. 175.

§ 595
КРИВИЗНА.
85
CPG и CQG прямые, то точки С, Р, Q, G лежатъ на окружности
круга; а потому z CGQ = z CPQ. Такимъ же образомъ доказывается,
что z С G' Q = z CP'Q, а такъ какъ, очевидно, zCPQ=zCP'Q,
то и z CGQ= z CG'Q, т. е. треугольникъ CGG' равнобедренный и Q,
следовательно, дЪлитъ G С пополамъ. Отсюда сл-Ьдуетъ, что прямая
MQ проходитъ черезъ середину FF', т. е. черезъ центръ кони-
ческаго съченЫ. Такимъ образомъ и получается следующее построен!е
Рис. 49.
Рис. 50.
(рис. 50): изъ точки Лг возставимъ перпендикуляръ къ нормали
до пересЬче!пя его въ точке Q съ д1аметромъ, проходящимъ
черезъ М; затъмъ изъ точки О опускаемъ перпендикуляръ на
прямую F F'; этотъ перпендикуляръ перес^четъ нормаль въ
центръ кривизны С.
j) Первое построеше центра кри-
кривизны коническаго сЬчешя даетъ намъ
средство решить следующую задачу:
Извъстно построеше центра
кривизны нъкоторойданной кри-
кривой. Требу ется построитъ центръ
кривизны въ соответствующей
точкъ подэры данной кривой от-
относительно данной точки (рис.51).
Положимъ, что точкЪ М на данной
кривой соотвътствуетъ точка Р на
подэр-fe, т. е. Р есть проекщя непо-
неподвижной данной точки 0 на касатель-
касательную къ данной кривой въ точкЪ М.
Пусть О будетъ проекшя центра кри-
кривизны С данной кривой на ОМ. Про-
ектируемъ Q на нормаль МС, и полу-
полученную точку Л соединимъ съ О.
Центръ кривизны подэры въ то-
4Kt Р находится въ точкъ пере-
съчен1я К прямой ON съ нормалью къ подэрЪ въ точкъ Р.
Въ'самомъ д%лтэ, пренебрегая безконечно малыми высшаго порядка, можно
заменить данную кривую въ смежности съ точкою М соприкасающимся ея
кругомъ (§ 592) или какою нибудь другою кривою, имъ-ющею тотъ же
центръ кривизны С. На мъсто подэры данной кривой относительно точки О,
въ смежности съ точкою Р, явится тогда подэра новой кривой, но положеше
центра кривизны К не изменится. Въ Аналитической Геометрш доказывается,
Рис. 51.

86
VI, 2. приложена къ плоскимъ кривымъ.
§ 595
что подэра коническаго сЪчешя относительно ея фокуса есть окружность
круга, построеннаго на большой оси коническаго съчешя, какъ на д1аметре *).
Поэтому мы можемъ утверждать, что К есть центръ коническаго съчешя,
одинъ изъ фокусовъ котораго лежитъ въ О, которое проходитъ черезъ М
и имеетъ соответствующей центръ кривизны въ точкъ С. Но изъ построешя
совершенно ясно, что для этого коническаго съчешя прямая ON есть ось,
проходящая черезъ его фокусы. Следовательно, К лежитъ на ON, что и
требовалось доказать. Полезнымъ упражнешемъ для читателя будетъ прило-
жеше доказаннаго построешя къ лемнискатъ, разсматриваемой, какъ подэра
равносторонней гиперболы относительно ея центра и къ кардюиде, какъ
подэръ окружности круга относительно некоторой ея точки. Съ помощью
простыхъ геометрическихъ соображешй онъ найдетъ уже раньше указанны я
спещальныя построешя.
к) Применяя къ параболе первое построеше центра кривизны кони-
коническаго съчешя, легко заметить на основанш равенства отмъченныхъ угловъ,
что треугольники MFN и PFN рав-
равнобедренны (рис. 52), откуда следуетъ,
что F дълитъ -и Р пополамъ. Такимъ
образомъ мы приходимъ къ найден-
найденному уже построение, на основанш
котораго можно сказать, что парабола
есть синусъ- спираль съ полю-
сомъ въ фокусе. Если вмъсто фо-
фокуса дана директриса,то указанное
построеше надо заменить другимъ,
которое мы выведемъ весьма просто
изъ предыдущего. Проектируемъ М
въ G на директрису, и пусть S —-
точка пересъчешя нормали съ дирек-
директрисою. Прямоугольные треугольники
MFL и MGS равны между собою,
потому что углы при М между собою
равны, и MF = MG, по извъстному
свойству параболы. Следовательно,
гипотенузы ML и MS также между собою равны. Отсюда слъдуеть, что
рад1усъ кривизны равенъ удвоенному отръзку нормали между
точкою на кривой и директрисою. Кривыя линш, въ которыхъ рад1усъ
кривизны пропорщоналенъ длин-fe нормали въ Декартовыхъ координатахъ,
называются кривыми Рибокура (Ribaucour) Поэтому можно сказать, что
парабола есть кривая Рибокура.
1) Къ числу ихъ принадлежитъ, между прочимь, цъпная лин!я. Въ
самомъ Д'Ьлъ, мы доказали раньше (§ 589, с), что (рис. 32) въ прямоуголь-
номъ треугольнике MPN проекщя MQ длины МР{ = у) на гипотенузу
МN( — п) равна а, такъ что у2 = an, а изъ уравнешя кривой получимъ
У"=- .т.
Следовательно, центръ кривизны расположенъ симметрично съ .V
относительнб М. Мы видели раньше также, что дуга а-, считаемая отъ
вершины А, равна PQ. Отсюда слъдуетъ, что въ треугольник^ MPN
имъемъ s- = MQ -^QN. А такъ какъ п = MQ + ON, то оказывается, что
~ 52
натуральное уравнен1е цепной лин!и будетъ о = я -\ •
*) См. Salmon-Fiedler „Kegelschnitte" A878), стр. 252.

§ 595
КРИВИЗНА.
87
m) Для цъпной лиши равнаго сопротивлен1я
у = — a log cos —
имъемъ
х
а
:
COS —
я
У = -
X
a cos2 —
а
cos —
т. е. д cos <p = я. Слъдовательно, проекц1я радиуса кривизны на ось
симметр1и кривой равна постоянной величин^ а. Вычислеше длины
дуги s не такъ легко, мы его выполнимъ въ сл-Ьдующей книг%. Тогда мы
увидимъ также, что натуральное уравнеше нашей кривой есть
п) Еще одна весьма важная изъ кривыхъ Рибокура есть циклоида
(§ 590, а). Обращаясь къ рис. 53, зам-Ьчаемъ, что (по опредЪлешю)
ON—\jMN=ab, а потому координаты точки М будутъ
х = О N — PN = а (е - sin 9), г = РН + ИМ = а (\ - cos 9).
Рис. 53.
Отсюда слъдуетъ
dx = а A - cos 9) rf 9 , rfy = a sin 9 rf 9,
а потому - -^ = cot—• Съ другой стороны, /_MLN = }, Z.MQ N = А 9. Слъ-
довательно, ML —касательная, а поэтому MN—нормаль къ кривой въ
точкъ М. Возвышая въ квадратъ и складывая выражешя dx и dy, полу-
чаемъ d s2, и изъ него последовательно
9 / 0 \ 9
ds = 2 a sin -у д 9 , s = 4 а 11 — cos г-1 = 8 а sin2 -^- •
если условимся отсчитывать дуги отъ точки О. Длину цълой вътви
циклоиды, т. е. такой ея дуги, которую опишетъ точка катящегося круга

88
VI, 2. приложешя къ плоскимъ кривымъ.
§ 595
5 = 4 a cos -=- >
и тотчасъ получаемъ натуральное
по совершенш имъ полнаго оборота, получимъ, положивъ 9 = 2 .т. Эта длина
оказывается равною 8 я, т. е. учетверенному Д1аметру катящегося
круга. Далъ-е, такъ какъ уголъ смежности, независимо отъ знака, равенъ^й?6.
то тотчасъ находимъ q = 4 a sin -=-, т. е. д = 2 и (п — MN). Итакъ, центръ
кривизны расположенъ симметрично съ М относительно Лг. Это
свойство почти очевидно noorfe сказэннаго въ § 593 и § 590, а 1). Наконецъ,
если перенесемъ начало счета дугъ въ вершину А, середину полной дуги
циклоиды, то найдемъ
уравнеше циклоиды: s2 + <э2 = const.
о) ВеЬ кривыя лин!и, описываемыя какою нибудь точкою кривой, ка-
катящейся безъ скольжешя по другой неподвижной плоской кривой, называ-
называются рулеттами (Rollkurven). Bet рулетты
обладаютъ тЪмъ свойствомъ, которое мы
заметили въ циклоидтз, а именно, что нор-
нормаль къ рулеттЪ всегда проходитъ
черезъ мгновенную точку касашя под-
подвижной и неподвижной кривой *)х
Когда неподвижная кривая обращается въ
прямую лин1ю, а подвижная въ окружность
круга, то рулетта и будетъ циклоидою. Въ
обратномъ случа-Ь, когда подвижная прямая
катится безъ скольжешя по неподвижной
окружности круга, каждая точка прямой опи-
сываетъ кривую, которая называется эволь-
эвольвентою круга (или разверткою круга). Если
8 есть уголъ, на который подвижная прямая
повернулась въ сторону, противоположную
движешю часовой стрелки, начиная съ того
момента, когда точка этой прямой, описыва-
описывающая эвольвенту круга, находилась въ А ,
то координаты точки М, когда О А примемъ за ось аебциесъ, будутъ **)
Рис. 54.
Поэтому
х = a (cos 0 + 6 sin 0) , у = a (sin В — 9 cos 9).
dx = a 8 cos 8 rf8 , rfv = a 8 sin 8 rf9 , --- = tg 8 ,
dx
, . , л d s
ds = «!«!, Q — -j-r- = n 5 .
d 9
Сл-Ьдовательно, кривая остается постоянно нормальною къ подвижной прямой,
и центръ кривизны всегда находится въ точкъ1 касашя подвижной прямой
съ неподвижнымъ кругомъ. Длина дуги // М есть v = \ а 82, а потому нату-
натуральное уравнеше эвольвенты круга есть g- = 2as. Изъ него мы можемъ
получить следующее: Если прямая МО, соединяющая М съ точкою С,
Д1аметрально противоположною трчкЪ С, перееЪкаетъ окружность круга въ
точкт> L, то прямая С L отсЪчетъ на касательной отъ точки М отрЪзокъ,
равный s.
l) Duhamel: „Elements du Calcul", т. 1, стр. 177.
*) См. Cesaro „Naturliche Geometrie". § 57.
**) X = проекцш О М = пр. ОС + пр. С М на Ох и т. д.

§ 595
КРИВИЗНА.
89
р) Когда и неподвижная и подвижная кривыя будутъ окружности кру-
круговъ, то рулеттами будутъ гипоциклоида или эпициклоида, смотря по
тому, будетъ ли касаше круговъ внутреннее или внешнее. Мы ограничимся
здъсь изследовашемъ этихъ спещальныхъ рулеттъ, имъющихъ важное при-
ложеше въ теорш механизмовъ. Чтобы иметь дело съ опредъленнымъ слу-
чаемъ, допустимъ, что кругъ рад1уса та катится безъ скольжешя по другому
кругу pafliyca а, при чемъ касаше
круговъ будетъ внешнее (рис. 55).
Результаты, которые получимъ, бу-
будутъ относиться къ эпициклоидамъ,
если предположимъ tn > О, но тъ
же формулы будутъ относиться къ
гипоциклоидамъ, если предположимъ
т < 0. Мы предположимъ, что под-
подвижная точка М находится сперва
въ точке А на окружности непо-
движнаго круга, имеющего центръ
въ О, и направимъ ось абсциссъ
по прямой О А. Подвижный кругъ
рад1уса та, съ центромъ въ Q,
катится безъ скольжешя въ сто-
сторону, противоположную движешю
часовой стрълки. Разсмотримъ его
въ томъ новомъ положенш, въ ко-
которое онъ придетъ, когда лишя
центровъ обоихъ круговъ повер-
повернется на уголъ т 9 около точки О.
Пусть Л'" буцетъ тогда точка касашя крутвъ. Теперь примемъ во внимание,
что по услов1ю движешя дуга ^Ог=дуге MX, а следовательно, уголъ NQM
необходимо равенъ 6. Отсюда получается, что координаты точки М будутъ
х = а { A + т) cos пг 6 — т cos (в + *п 9) } .
у = а { A + т) sin >яв — т sin (9 -f m 6) J .
Следовательно,
Рис. 55.
d х = 2 т A + w) я sin _- cos I +'«
dy = 2 пг A -\- in)a sin -—- sin I -y + m 9 I
и. наконецъ,
dx
tub
(Is
dJ
- in) a sin -^r- •
Итакъ, уголъ наклонен1я касательной къ оси х-оъъ есть q>— - -\->пЪ.
Если
соединимъ точку М съ точкою L, Д1аметрально противоположною точкъ N
на подвижномъ кругъ, то уголъ наклонешя ML къ оси лг-овъ будетъ равенъ
суммъ угловъ OLM=i 0 и AON'= тЬ. Следовательно, ML — касательная,
а потому MN — нормаль. Дал%е, если будемъ считать дуги отъ А, то,
очевидно, будемъ им^ть
(Л 1 Л
1 — cos у) = 8 т A +;«) a sin2-j- >
и поэтому длина полной дуги эпициклоиды равна 8т(\-{-т)а.

90 VI, 2. приложена къ плоскимъ кривымъ. § 595
Если, напротивъ, будемъ считать дуги отъ середины полной дуги (s = 0
при в = .-г), то будемъ имъть
о
.< = -4»(l-f i«)fl cos -у >
а такъ какъ, съ другой стороны.
_ d s __ 2 ds _ 4 w A + w) . О
Q ~ T7f!~ 1 +2 w d 6 ~ ~Г+~27«~ a Sm T '
то натуральное уравнеше эпициклоидъ и гипоциклоидъ будетъ
-?2 + A + 2 даJ е2 = const.
Чтобы построить центръ кривизны, замътимъ, что отрЪзокъ нормали MN
имъетъ длину п = 2 та sin -х- • Другой отръзокъ нормали Л/Л"', отсъкаемый
неподвижнымъ кругомъ, имъ-етъ длину «', которую можно вычислить съ
помощью пропорщи
Зам'Ьтивъ это, имъемъ
«' ~ п а ,
помощью пропорщи — > откуда и получаемъ /;/«' = A + /«)«.
2A + '«) « 2 11
1 + 2 w у « «
Следовательно, точка С гармонически сопряжена съ М относительно ЛГЛ'',
т. е. центръ кривизны въ каждой точкЪ М лежитъ на поляр-Ь
этой точки относительно неподвижнаго круга. Это свойство тотчасъ
преобразуется въ другое, если примемъ во внимаше следующее замтзчан1е.
Рад1усъ ON', очевидно, параллеленъ ОМ. Если проектируемъ четыре гар-
гармонически сопряженныя точки М, N, С, N' изъ О на ОМ, то проекщя N'
будетъ въ безконечности, а потому проекщя N, т. е. точка О, цолжна
делить пополамъ проекщю МС, т. е. С проектируется въ точку, симметрично
расположенную съ М относительно Q. Иными словами: центръ кривизны
въ точк% М лежитъ на томъ изъ д]аметровъ неподвижнаго
круга, который проходитъ черезъ точкуАР, д1аметрально проти-
противоположную точкъ М на окружности подвижнаго круга.
q) Въ предъльномъ случаъ т = 0 , при чемъ предполагается, что съ
приближешемъ т къ нулю, та остается постояынымъ, а следовательно, а
безпред-Ьльно возрастаетъ, получимъ циклоиду {д = 2 п). Наоборотъ, при
»-г=со, при чемъ предполагается, что тЛ сохраняетъ постоянное значеше $¦,
снова находимъ свойства эвольвенты круга (д — и).
о hi
о = 2я lim in sin -^ = a i), s = 8 a lim m A -f- in) sina - = ,.- a !)-.
Впрочемъ, ясно, что въ этомъ случаъ, вслъдеше совпадешя точекъ Л" и Л"', и
точка С должна съ ними совпасть. При т = — \, получимъ о = •*>, т. е.
гипоциклоида обращается въ прямую линш, что можно также видеть, вы-
выполняя nocrpoeHie нормали или центра кривизны. Иными словами: если
нъкоторый кругъ, внутренне касаясь другого, вдвое большего
круга, катится по этому неподвижному кругу безъ скольжешя.
то каждая его точка движется по Д1аметру неподвижнаго круга
(рис. 56) Это свойство, которое можно прямо прочесть на чертежъ, приме-
применяется въ нъкоторыхъ зубчатыхъ колесахъ. Кардшиды также принадле-
принадлежать къ роду эпициклоидъ, что видно изъ общихъ формулъ, если въ нихъ
положимъ т=\. Впрочемъ, то же самое можно видъть и на рис. 46.

§ 595
КРИВИЗНА.
91
Въ самомъ деле, принимая во внимаше, что z РНК вдвое больше угла
PQN и, следовательно, равенъ 9, мы видимъ, что прямая HN\\OM и
проходитъ поэтому черезъ точку К — середину ММ', такъ какъ HN делить
Р М' пополамъ. Отсюда следуетъ, что окружность круга, построеннаго
по М М', какъ на д1аметръ\ касается въ точке Лг окружности неподвижнаго
круга. Съ другой стороны, очевидное равенство угловт> ОН N и MKN
показываетъ, что и дуги ON a MN обоихъ круговъ равны между собою.
Итакъ, кардтиду можно разсматривать, какъ рулетту, описыва-
описываемую точкою подвижнаго круга, катящагося безъ скольжешя
по другому равному ему кругу. ОбщШ пр1емъ псстроешя центра
кривизны приведется въ нашемъ случай къ указанному уже раньше спе-
шальному построешю. Наконецъ, въ случае т=- -I получаемъ астроиду
(рис. 57). Чертежъ тотчасъ показываетъ, что кругъ построенный на поло-
винъ- L N pafliyca ON, какъ на Д1аметр-Ь, проходитъ черезъ точку М на
астроид^. Такъ какъ уголъ МК]\, очевидно, вчетверо больше угла АО К,
то дуга MN внутренняго круга всегда равна дуг* AN вн-Ьшняго круга.
Рис. 56.
Рис. 57.
Поэтому астроиду можно разсматривать. какъ гипоциклоиду, опи-
описываемую точкою круга, катящагося (внутренне) безъ сколь-
жен1я по другому неподвижному вчетверо большему кругу.
ОбщШ способъ гюстроешя центра кривизны приводится здъть къ известному
уже изъ предыдущего спещальному, потому что на основанш извъхтнаго
соотношешя между отрезками, отсекаемыми трансверсалью О С на сторо-
нахъ треугольника MKN, им-Ьемъ„
л.„ KM' ON ,.п 2 ,,,. 3 !Г. „ ....
г) Первый способъ построен1я центра кривизны въ эпи- и гипо-
циклоидахъ, указанный въ упражнен1и р), наводитъ на мысль изеледовать
кривыя, определяемый следующимъ свойствомъ: въ каждой точке М
на кривой рад1усъ кривизны пропорцтналенъ отрЬзку нормали
между точкою М и полярою точки М относительно неподвиж-
неподвижнаго круга. Мы предложили бы это изеледоваше читателю для упражнешя.
Кроме названныхъ выше, этимъ свойствомъ пользуется безчисленное мно-
множество другихъ кривыхъ и, между прочимъ. коническ1я сечен1я. Для
нихъ неподвижный кругъ есть кругъ Монжа (Monge), т. е. кругъ, кон-
центрическ1й съ коническимъ сечешемъ, и рад(уса. равнаго ~[^a2 -f- Ь'г. Если

92 VI, 2. приложены къ плоскимъ кривымъ. §§ 595—597
въ общемъ случаъ неподвижный кругъ сведется къ точкЪ, то получимъ
снова синусъ-спирали. Если, наоборотъ, этотъ кругъ сведется къ прямой
лин1и, то получимъ кривыя Рибокура. Следовательно, въ числъ кониче-
скихъ сЪчешй содержится одна синусъ-спираль и одна кривая Рибокура.
Первая получится, если положимъ а2 + 62 = 0; это будетъ, слъдовательно,
равносторонняя гипербола. Вторая получится, если будемъ увеличивать
а2 + Ь2 до оо, или если представимъ себЪ, что центръ кривой удаляется въ
безконечность: это будетъ парабола.
Асимптоты.
596. Представимъ ce6t двъ- точки, двигающаяся по двумъ
кривымъ и стремяшляся къ совпадежю, въ то время, какъ прямая,
ихъ соединяющая, уходитъ вь безконечность или безостановочно
вращается около неподвижной точки. Когда подобное обстоятельство
имЪетъ мЪсто (при чемъ не исключается возможность, что при нЪ-
которомъ опредтзленномъ соотв^Ьтствш между разсматриваемыми
точками оно можетъ и не имъть мЪста), то говорнтъ, что кривыя
лижи будутъ асимптотами одна относительно другой, или что онЪ
расположены асимптотически одна къ другой. Представимъ ce6t,
напримъ-ръ, что некоторая точка М удаляется въ безконечность,
двигаясь по кривой у = f(x), такъ что разстояше ея отъ начала
координатъ возрастаетъ безпред"Ьльно. Тогда, по крайней Mtp+i,
одна изъ ея Декартовыхъ координатъ будетъ также безпредътшно
возрастать. Если только одна изъ координатъ возрастаетъ безпре-
д-вльно, то всегда можно предположить, что этою координатою
будетъ именно абсцисса, потому что другой случай всегда сведется
къ этому путемъ замены у на х и обратно. Предпославъ сказанное,
разсмотримь на другой кривой, y=g{x), точку, имеющую для
каждаго положешя М общую съ точкою М абсциссу х. Предпо-
ложимъ далъе, что съ приближешемъ х къ + оо, т. е. при без-
предвльномъ возрастан1и | х |, разность f(x) — g (x) стремится къ
нулю. Тогда можно утверждать, что разсматриваемыя кривыя рас-
расположены асимптотически одна къ другой, и то же самое можно
сказать о кривыхъ, полярныя уравнешя которыхъ будутъ г ~ /F)
и г = g (f)). Такъ какъ при этомъ (§ 308, с) и разность /' (х) — g' {х)
стремится къ нулю, если она вообще къ какому-нибудь пределу
стремится, а не колеблется постоянно, то оказывается, что обЪ
кривыя не только стремятся пройти черезъ общую точку, но, во-
вообще говоря, стремятся также прюбрътти общую касательную,
однако, последнее обстоятельство необходимо всегда тщательно
изслъдовать.
597. Обозначимъ въ дальн"Бйшемъ черезъ х и у координаты
точки М, стремящейся въ безконечность при движенш по данной
кривой. Если удастся определить постоянныя тик такъ, чтобы
у — tnx — h стремилось къ нулю съ приближешемъ х къ + оо ,

§§ 597—598 асимптоты. 93
то можно будетъ сказать, что прямая Y'= т X -\- h будетъ асимп-
асимптотою данной кривой. Разыскашемъ этихъ прямолинейныхъ асимп-
тотъ мы и займемся подробнее. Изъ уравнешя
lim (у — nix — h) = 0
тотчасъ сл^дуетъ у -- тх или х I- т) стремится къ конечному
\ X j
пределу h. Такъ какъ первый множитель х безпред"Бльно возра-
стаетъ по абсолютной величине, то второй — — т необходимо
' г х
долженъ стремиться къ нулю. Следовательно,
Л!
lim =— = т, lim (у — тх) -— //.
Въ посл'Ьдовательномъ прим-feHeHiH этихъ равенствъ (геометрически
очевидныхъ) и состоитъ правило разыскатя асимптотъ кривыхъ,
заданныхъ уравнешями въ Декартовыхъ координатахъ. Въ поляр-
ныхъ координатахъ асимптоту можно определить угломъ а ея накло-
нен1я къ полярной оси и разстоямемъ ея q отъ полюса. Сперва
зам+зтимъ, что если — = /"@) есть уравнеше данной кривой, то
У@) стремится къ нулю, когда М удаляется въ безконечность.
Следовательно, если эта функшя непрерывна, то углы, образуемые
полярною осью съ асимптотами будутъ корнями уравнешя f(§) = 0.
Для полнаго определешя асимптоты, соответствующей некоторому
данному корню а этого уравнешя, достаточно заметить, что раз-
стояше точки М отъ асимптоты должно стремиться къ нулю, а
потому на основами определешя f (а) должны иметь
[ ПримЪчаше. Определяя q формулою q = lim r sin (Q — а),
нужно подъ q подразумевать разстоя1не, взятое съ -|- или —,
смотря по тому, слева или справа отъ полюса О асимптота
пересекаетъ полярную ось, при общепринятомъ въ Аналити-
Аналитической Геометрш счете угла 6. Въ этомъ легко убедиться, по-
строивъ изъ О перпендикуляръ OQ къ асимптоте, и прямую ОК,
параллельную асимптоте, а черезъ точку М прямую, параллель-
параллельную OQ, пересекающую О К въ точке К, а асимптоту въ точке N.
Тогда OQ = lim MК равно lim г ¦ sin @ — а) въ первомъ случае
и равно lim г ¦ sin (а — 0) во второмъ. ]
598. Теперь мы докажемъ следующую теорему: Если съ
удален1емъ точки М въ безконечность касательная въ
этой точке стремится къ некоторому предельному поло-

94 VI, 2. приложенш кь плоскимъ кривымъ. §§ 598-599
жен1ю, то это предельное положен1е есть асимптота
кривой. На этомъ основами въ Аналитической Геометрш асимптоты
и разсматриваютъ, какъ касательныя въ точкахъ перес-Ьчешя кривой
съ безконечно удаленною прямой. Чтобы доказать эту теорему,
сравнимъ уравнеше касательной Y=у' Х-{- (у— ху') съ уравнешемъ
ея предельнаго положешя Y— mlX-{-hi. Допустить существоваше
этого предельнаго положешя значитъ предположить, что при без-
пред+эльномъ возрастали \х\ существуютъ пределы чиселъ у и
у — ху', такъ что
\\ту' — ;«!, lim О' — ху') = h1.
Въ то же время теорема Лопиталя даетъ
т = Mm ¦- = !imу' = т{ .
и далее,
v
щ
h = lim (у — тх) = lim ¦ = lim (у — ху') = hx,
что и доказываетъ теорему. То же самое можно столь же просто
вывести, пользуясь полярными координатами. Въ самомъ д-влЪ, раз-
стояше отъ полюса до касательной, если его считать, какъ сказано
въ прим"Ьчанш къ предыдущему §, равно — rsinw [« = /3 — 9, при
чемъ /? есть уголъ между касательной и полярною осью] и можетъ
стремиться къ конечному предълу qi лишь въ томъ случай, когда ы
стремится къ пред-влу птс, гдъ п ц^лое число. Отсюда вытекаетъ
слъдующее: если предельное положеше касательной наклонено къ
полярной оси подъ угломъ j]t, т. е. если /? = 0 + w имЪегъ пред^лъ
/?,, то существуетъ и а = lim 9 = /?, — пя и, кроме того,
1 г-
q = lim -т^тлт = — lim —— = — lim r tg &> = — lim r sin ш = qx.
COS X
599. Упражнен1я. а) Кривая у = . очевидно, асимптотична от-
относительно каждой изъ осей координатъ Но въ то время, какъ одна изъ
асимптотъ, ось у-оъъ, можетъ быть рассматриваема, какъ предельное поло-
положеше, съ которымъ стремится совпасть касательная въ точке М при без-
предельномъ возрасташи у, о другой, оси дг-овъ, этого сказать нельзя, потому
что у— ху' ни къ какому пределу не стремится при безпредельномъ воз-
растанш | х \. Иными словами, касательная постоянно колеблется, что,
впрочемъ, видно и изъ того, что касательныя къ кривой въ безчисленномъ
множестве точекъ пересечешя кривой съ осью дг-овъ проходятъ по очереди
черезъ точки у = 1 и у — — 1 на оси jy-овъ. Итакъ, при известныхъ
услов1яхъ асимптота можетъ и не быть предельнымъ положе-
Н1емъ касательной и теорема, обратная доказанной въ преды-
дущемъ §, не справедлива.

§ 599
АСИМПТОТЫ.
95
b) Въ предыдущемъ пример* касательная, хотя и не имЪетъ предЪль-
наго положешя, стремится, однако, сделаться параллельною асимптот*.
Иное дйло будетъ у кривой
которую мы разсматривали раньше (§ 294, f). Здесь направлеше касательной
колеблется такъ, что она безчисленное множество разъ делается перпендику-
перпендикулярною къ асимптоте. Для кривой ху = [х] получается опять новое обсто-
обстоятельство : при безконечномъ х им*емъ 1) lim у = 1 , 2) lim у' = 0 и
\х]
3) lim {у—ху') — 2 lim -— = 2, т. е. касательная стремится къ пре-
предельному положешю (у = 2), но это положеше не совпадаетъ
съ асимптотою (у = 1). Этотъ результатъ не противор*читъ теореме,
доказанной въ предыдущемъ §; действительно, при доказательстве ея мы
применяли теорему Лопиталя, следовательно, молча предполагали, что про-
производная у'— единственна; между темъ какъ въ данномъ пример* про-
производная слева совсемъ не существуетъ для всехъ точекъ, абсцисса кото-
рыхъ ц*лое число. Этотъ прим*ръ
показываетъ только, что надо быть
всегда осторожнымъ въ примененш
теоремы, и не забывать проверить,
выполнены ли все ограничешя, при
которыхъ она страведлива.
с) Чтобы разыскать асимп-
асимптоты кривой, заданной уравнешями
х cos 0=o, y = b(tgO — 9) (рис. 58)
(профиль развертывающагося гели-
геликоида), или точнее говоря, той ветви
кривой, которая соответствуетъ зна-
/ я п\
ченшмъ 0 въ интервале! — —. + -=
надо прежде всего заметить, что для
безпредельнаго возрасташя той или
другой нзъ координатъ х и у необхо-
необходимо приближать 6 къ + -=¦ • При
Рис. 58.
этихъ услов1яхъ им*емъ
lim I у Т - - х) = b lim
= lim - - = —- lim (sin 8 — 8 cos 8) = -\- -— •
x a ' '" a
—
a
sin
6 cos 8 + 1 , ,. „ 1
— = — b lim 9 = + iy
Следовательно, искомыя асимптоты будутъ прямыя, изображаемыя уравне-
х у .1
ншми — + v = -тг •
a b 2
d) При разысканш асимптотъ не надо забывать изм-Ьнять х не только
до + сю, но и до — со , потому что въ обоихъ случаяхъ могутъ получиться
различныя асимптоты. Напримеръ, для кривой у = х-
когда х стре-
мится къ + со, получаемъ
т = hm = ± 1 ,
х ~х
= lim (у + х) = + lim
2х
2*+\
= 0,

96
VI, 2. приложена къ плоскимъ кривымъ.
§ 599
и кривая асимптотична къ прямымъ, дЪлящимъ пополамъ углы между осями
координатъ (рис. 59). БолЪе простой примЪръ даетъ кривая у = arc tg х.
РазсмотрЪше обоихъ случаевъ необходимо и для того, чтобы знать, по
одному или по обоимъ направлешямъ кривая приближается къ асимптогЬ.
е) Кривая у = / 1 \ имЪетъ въ начал-fe координатъ двЪ касатель-
\1 + e*J
ныя (рис. 60), потому что (§ 282, с) слъва отъ начала у'= 1, а справа у' -=0.
Рис. 60.
Съ приближешемъ х къ
у | возрастаетъ безпред-Ьльно. Но o6t в-Ьтви
кривой, получаемыя такимъ образомъ, им'Ьютъ одну и ту же асимптоту,
1 /1
потому что \\тет=\ , Нт х \ех — 1/ = 1, и следовательно,
т = lim
1
1
1+е*
1 \ 1 ,. 1-е1
у ~ ~т х; y 1
при ж=+со. Поэтому уравнеше асимптоты будетъ х — 2у — \. Къ тому же
результату еще проще придемъсъ помощью разложешя^ въ безконечный рядъ
48 х2
+ ¦

§ 599 асимптоты. 97
f) Разложешя въ ряды весьма полезны при изсл^Ьдованш безконечныхъ
л.
вЪтвей кривыхъ. Такъ, напримт>ръ, для кривой у =хех достаточно заметить,
что у = х + 1 -(- -=— + • • •, чтобы тотчасъ обнаружить асимптоту: у = х+1.
Такъ какъ при этомъ у безпредЪльно возрастаетъ и тогда, когда х стремится
къ нулю убывая и, наоборотъ, стремится къ нулю, когда х приближается къ
нулю возрастая, то мы видимъ, что об-fe в-Ьтви кривой им-Ьютъ найденную
выше асимптоту, а кром-b того, одна вЪтвь имЪетъ еще асимптотою ось_у-овъ,
а другая вЪтвь исходить изъ начала координатъ. Подобнымъ же образомъ
легко убедиться, что кривая у = х2ех имЪетъ единственную прямолинейную
асимптоту — ось _у-овъ (для одной правой вЪтви), но зато имт>етъ еще па-
рабочическую асимптоту у = х2 -\- х + $, распространяющуюся внутри л-Ьвой
и вн-Ь правой в-Ьтви. Замечательна, дал-Ье, кривая у = , весьма похо-
жая на параболу и стремящаяся по Mtpt удален1я въ безконечность совпасть
съ параболою у = ?B х2— х). Если мы эту параболу передвинемъ по плос-
плоскости такъ, чтобы вершина ея попала въ начало координатъ, то въ этой
точк^Ь обЪ кривыя—данная н парабола, будутъ касаться одна другой и въ то же
время пересЬкаться, потому что справа отъ начала у < ^ х2, а ел tea ^2
g) Применяя къ гиперболической спирали (г8 = а) формулы, выве-
денныя въ концЪ § 597, получаемъ
и находимъ такимъ образомъ снова асимптоту, параллельную полярной оси,
иа которую уже указывали раньше (§ 589, g). Такимъ же образомъ для
квадратрисы (§ 589, i) получимъ
sinB .. 9 cos 8 — sin 9 ,
/(9) пп д {\
Аналогично этому показываютъ, что синусъ-спирали (§ 589, т) лишь при
т < — 1 имт>ютъ асимптоты въ конечной части плоскости и въ этомъ
случа-fe Bet эти асимптоты проходятъ черезъ полюсъ и образуютъ съ поляр-
полярной осью углы
' т т т
Р
h) Для коническаго сЬчешя, заданнаго уравнен1емъ г = ^ ¦« •
имЬемъ
Лишь для гиперболы, т. е. при к > 1, а — вещественное; безчисленное мно-
множество угловъ, которыхъ косинусъ равенъ -у • опредЪляютъ всего два раз-
личныхъ направлен!я, антипараллельиыхъ относительно фокальной оси ги-
Ь2 Ь2
перболы. Въ этомъ случа* /> = • k2 — 1 = —^ • поэтому q = ± Ь или
q — ± kasina. Сл-Ьдовательно, o6t асимптоты проходятъ черезъ центръ и
отстоять отъ полюса, т. е. отъ фокусовъ, въ разстоянш Ь.

98 VI, 2. приложена къ плоскимъ кривымъ. §§ 599—6С0
i) Если при изслЪдованш кривыхъ въ полярныхъ координатахъ оказы-
оказывается, что г стремится къ пределу а, когда S изменяется до + со, то можно
утверждать, что кривая HMterb асимптотически кругъ рад|'уса а съ
центромъ въ полюсе. Полезно заметить, что обыкновенно (§ 308, с) съ
приближешемъ г къ а, производная г' въ то же время стремится къ нулю,
такъ что <у стремится къ -— > а следовательно, кривая стремится сделаться
касательного къ кругу. Въ частности, когда а = 0 получается асимптоти-
асимптотическая точка. Этотъ случай имЪетъ место для различныхъ разсмотрен-
ныхъ раньше кривыхъ (§ 589, е, g, h). а именно для логариемической и
гиперболической спиралей и для кохлеоиды. Достаточно построить конхоиды
(§ 589, j) этихъ кривыхъ относительно полюса, чтобы получить друпя кри-
выя, имеюшдя асимптотическ1е круги. Особенно замечательны конхоиды ло-
логариемической спирали, которыя для одной и той же данной спирали все
другъ другу подобны. Въ самомъ деле, если направимъ полярную ось отъ
полюса данной спирали къ точке ея пересечешя съ асимптотическимъ кру-
гомъ одной изъ ея конхоидъ, то уравнение конхоиды необходимо будетъ
вида г— а(ет^ + 1), где только а — рад1усъ асимптотическаго круга— про-
произвольно. Ветвь, соответствующая знаку +, лежитъ вне этого круга и
обвиваетъ его безконечное число разъ. Другая ветвь проникаетъ внутрь
круга, проходитъ черезъ полюсь, въ смежности съ которымъ она имеетъ
видъ, подобный Архимедовой спирали {г—-та§), а затемъ удаляется отъ него
безконечнымъ числомъ оборотовъ, безпредельно приближаясь къ окруж-
окружности круга.
600. Займемся теперь подробнее асимптотами алгебраическихъ
кривыхъ, и начнемъ съ т%хъ, которыя параллельны оси jy-овъ.
Съ этой цъ-лью расположимъ уравнеше кривой, которое предполо-
жимъ приведеннымъ къ цътюй рацюнальной форм-fe, по убывающимъ
степенямъ у.
уп v (*) + У vi (*) + уп~2 % (*)+•¦¦+ v. (*) = о.
При безконечномъ у величина х должна стремиться къ конечному
пределу /, къ вычислению котораго и сводится вопросъ. При этомь
непрерывный функцш \р{х), 1р{(х), . . . будутъ стремиться къ ко-
нечнымъ пред%ламъ ip (/), ip^ (I), . . . Если раздЪлимъ вс% члены
уравнешя на у11 и будемъ увеличивать \у\ до оо , то найдемъ, что
ч/;(/) = 0. Это и есть уравнеше, каждому корню / котораго соот-
вътствуетъ асимптота X = I. Оставляя теперь въ сторон* асимптоты,
параллельныя оси у-овъ, расположимъ уравнен1е данной кривой по
однороднымъ группамъ членовъ одинаковой степени. Положивъ
у = tx, можемъ написать
A2) хп q> (t) + хп-х Vl (tf+ хп <р2 (/) + • • -Н- 4>н @ = 0.
Но т = lim^ и т число конечное; следовательно, если раздътшмъ
ypaBHeHie A2) на х", то при безконечномъ х найдемъ <р(т) =0.
Это уравнен1е надо ръчиить, чтобы найти угловые коэффищенты
асимптотъ. Предположимъ сперва, что т простой корень уравнешя
<р(т) = 0, такъ что д9'(ж)^0, и постараемся найти соотвътству-

§§ 600—601 асимптоты. 99
ющее значеше h. Раздътшвъ уравнеше A2) на хп~1, получаемъ
A3) x<[(t)+(ri(/)+^+ ... =0;
дал-fee, замечая, что
Нт х (/ — т) = Нт (у — тх) = h,
и принимая во внимаше, что <р{т) = 0, находимъ
Нт х<р (t) = Нт ж (t - т) ¦ Нт ~~^- = hq>'(m),
на основанш опредЪлешя <р'{т). Итакъ, уравнеше A3) приводится къ
hcp'(m) + 'Pi im) = 0 и даетъ h — — \ —- •
Если т кратный корень ц>, то др'(ш) = 0, и если при этомъ <р^{т)
не равно 0, то можно сказать, что асимптота удалена въ безконеч-
ность. Если при gr/(m) = 0 и (pt(m)=0, то предыдущее уравнеше
не опредЪляетъ h, и надо возвратиться къ уравнетю A2). Разд%-
ливъ его на хп~2, получимъ
A4) л%- (О + x(Pi (t) + <Ря W +M1J + ¦ ¦ ¦ = 0.
X
Теперь
lim x2 ^ (/) = lim x2 (t - отJ • lim _ ^ = — A2 <jp"
и ypaBHeHie A4) при безконечномъ х приводится къ
A5) 4 Л2 <р" (от) + /г у/ (т) + ф2 (»») = 0
и даетъ два значешя для h, соответствующая двумъ (вещественнымъ
или мнимымъ) асимптотамъ (предполагая, конечно, что <р" {т) не
равно 0). Если т тройной корень функцш др, то, вообще говоря,
одна изъ соотвътствующихъ асимптотъ находится въ безконечности;
o6t будутъ въ безконечности, если и <рх' (т) = 0; наконецъ, если
всъч коэффищенты уравнешя A5) равны нулю, то надо снова раз-
смотрЪть уравнен1е A2), разделить его на х"~3 и затЪмъ перейти
къ пределу при безконечномъ х, что даетъ
р'" (т) + J- h2 ср{' (т) + h ч.{ (т) + щ (т) = 0
и т. д.
601. Съ помощью однородныхъ координатъ разыскаше асимп-
асимптотъ алгебраическихъ кривыхъ можно провести проще, пользуясь
теоремою, доказанной въ § 598. Прежде всего замЪтимъ, что
результатъ, выражаемый уравнешемъ g9(w)=0, можно формули-

100 VI, 2. приложена къ плоскимъ кривымъ. §§ 601—602
ровать слъдующимъ образомъ: если въ уравненш кривой и-го по-
порядка откинемъ всъ члены степеней ниже и, то полученное уравнен1е
будетъ изображать систему прямыхъ, проведенныхъ черезъ начало
координатъ параллельно п асимптотамъ кривой; эти прямыя могутъ
быть вещественными или мнимыми, различными или совпадающими одна
съ другой. Это сделается, такъ сказать, очевиднымъ, если положимъ
Ф (х, у, е) = хп
чтобы привести уравнеше кривой къ однородному виду, и замътимъ
потомъ, что написать уравнеше д> = 0- все равно, что положить
z — 0 въ уравненш Ф = 0, т. е. разсмотръть п точекъ пересъчешя
кривой съ безконечно удаленною прямою. Теперь напишемъ урав-
неше касательной (§ 587)
A6) X** + Yd* + Zd*- = 0
' д х ду д z
и, чтобы выразить, что точка касашя уходитъ въ безконечность,
положимъ въ коэффищентахъ этого уравнешя г = 0. Получится
уравнеше, однородное относительно х и у. Изъ этого уравнешя и
того, которое получится изъ Ф = 0 при z = 0, исключаемъ отно-
шеше — • - Въ результатъ и получится уравнен1е, изображающее
совокупность асимптотъ. Въ сущности, эта метода не отличается
отъ изложенной выше. Въ самомъ дълъ, при z = 0, имъемъ
Ф = хпд>{~-) > т. е. Ф = 0, когда — принимаеть значеше, рав-
\ х I х
ное т, удовлетворящее уравнежю ц>{т) = 0. KpoMt того, имъемъ
(при 2 = 0)
ду ду
следовательно,
и уравнен1е A6) въ неоднородныхъ координатахъ принимаетъ видъ
602. Упражнен1я. а) Дана кривая хъ-\-уг — Ъаху — 0, носящая на-
зван1е Декартова листа (Folium Cartesii). Для разыскашя углового коэф-
фиц1ента асимптоты им*емъ уравнеше 1 -)- п& = 0, имеющее одинъ веще-
вещественный корень т = — 1; далЪе,
, <Pi(m) _ 3 та _

§ 602 АСИМПТОТЫ. 101
Следовательно, кривая имЪетъ только одну вещественную асимптоту, изобра-
изображаемую уравнен!емъ х + у + а = 0. Въ приложешяхъ н-Ьгь надобности
помнить формулы, выведенный въ § 600; достаточно помнить только пр!емъ,
съ помощью котораго эти формулы были выведены. Такъ, въ нашемъ при-
примере, замътивъ, что х -\-у единственный вещественный множитель сово-
совокупности членовъ наивысшей степени х3-\-у3, можно прямо написать урав-
HeHie асимптоты
Къ тому же результату придемъ, пользуясь разложешемъ у въ рядъ:
я4
3 х2 Зх3
b) Разсмотримъ более общее уравнеше
(х+у) (ж2 - 2 kxy +У) = 2 A + k) axy,
дающее при k — \ опять Декартовъ листъ, а при k = 0 другую важную
кривую — логоциклику. При ?2 < 1 существуетъ только одна вещественная
асимптота, изображаемая уравнешемъ
y = l 2(\+k)axy
такъ что Bet кривыя, соотвЪтствукищя различнымъ значен!ямъ k, им^готъ
общую асимптоту х -\-у + а = 0. Напротивъ" того, вст> кривыя, для кото-
р>:хъ ?2>1, им-бютъ еще дв-fe друг1я вещественныя асимптоты, параллельныя
прямымъ
х2— 2 kxy +jv2= {y — mx)(y — mfx) = 0,
гдъ т — k ± у № — 1, Уравнен1е одной изъ асимптотъ есть
2(\ + k)axy \ 2(\+k)ma
— тх =
у тх (\+т)(т-т') т-1
такъ что для изображешя обЪихъ асимптотъ получается уравнение
y = kx + ~a± [x + J^I/^^TT.
Эти асимптоты пересекаются въ точке х — у= — -^-г—г- и образуютъ
уголъ, косинусъ котораго равенъ -г- Только при k = 2 всЬ три асимптоты
проходятъ черезъ одну точку и соответственно параллельны сторонамъ
равносторонняго треугольника.
с) Чтобы показать применеше однородныхъ координатъ, разсмотримъ
снова Декартовъ листъ и положимъ
Ф(х, у, s) — Xs +jy3 — 3 axy г,

102 VI, 2. приложенш къ плоскимъ кривымъ. § 602
чтобы загЬмъ приложить сказанное въ предыдущемъ §. При z = 0 имЪемъ
, , = 3 х2, — = 3 v2, , = — 3 а ху
д х ду д г
у
и уравнен1е всъхъ асимптотъ получится черезъ исключеше — изъ уравнешй
*з + у» = 0, Хх2 + Yyn- — алг.у = 0,
или, черезъ исключеше т изъ уравнешй 1 + тъ = 0 и х + w2jv = та
(если обозначимъ текущая координаты X и У буквами лг и jv). Выполняя
это нсключеше, получимъ уравнеше
Xя +уя + я3 = 3 ялу,
которое разлагается на слъдукнщя три
х -\-у + а = 0, х '+ <иу + оJ я = 0, -г+ w2jy + as = 0,
гд-fe а — мнимый кубичесюй корень изъ 1. Следовательно, Декартовъ листъ,
кромЪ вещественной асимптоты х-\-у-\-а — 0, имъетъ еще двъ мнимыя,
пересЬкакищяся въ точк-fe (я, я). Полученное уравнеше можно было бы
прямо написать, исходя изъ того замЪчашя, что общее уравнеше всЪхъ
асимптотъ алгебраической кривой и-го порядка должно получиться изъ урав-
нен1я самой кривой, если въ немъ измънимъ коэффищенты при членахъ
ниже (п— 1)-го порядка такимъ образомъ, чтобы уравнеше разложилось на
п линейныхъ уравнешй. Въ случай Декартова листа это замъчаше прямо
приводить къ ц*лн, потому что, какъ мы уже знаемъ (§ 473), достаточно
прибавить а3 къ хя -\-у3 — Заху, чтобы получить значеше циркулянта
(х, у, а), который разлагается на три линейныхъ множителя.
d) Положи мъ еще
Ф(х, у, z) = ах'1 + by1 + cz- + 2/yz + 2gzx -\- 2 hxy.
Уравнеше касательной будетъ
(ах + hy +gs)X + (hx + by +/s) Y-+ (gx +/y + cz) Z = 0.
Положивъ e = 0 и Z — 1, получаемъ
(a X + hY+g)x + (hX + bY+/)y = 0
v
и надо будетъ исключить — изъ этого уравнен1я и уравнен1Я
ах2 + by2 + 2 hxy = 0.
Тогда, замЪнивъ опять X и Y черезъ хну, получимъ
a (hx + by +/J+ b(ax + hy -\-gf - 2h(ax + hy +g)(hx + by +/) = 0
или
a h ax + hy -\- g
h b hx+by+f
ax + hy -\-g hx + by + f 0

§§ 602-603
ОСОБЕННОСТИ ПЛОСКИХЪ КРИВЫХЪ.
103
Вычитая изъ послЪдняго столбца первый, умноженный на х, и второй, умно-
умноженный на у, и поступая также со строками, находимъ
a h g
h b f
g f с- Ф
= 0.
Итакъ, уравнете совокупности всЬхъ асимптотъ коническаго сЬчеш'я
ах2 + Ьу2 + с + 2/у + 2gx + 2 lixy = 0
получимъ, поставивъ въ правой части вместо нуля —
D дискри-
ab-Ш
минантъ формы Ф. Къ этому результату можно придти быстрее, пользуясь
гЬмъ же замЪчашемъ, которое мы применили въ предыдущемъ прим^рЪ;
оно приводитъ къ замЪн'Ь числа с, такимъ числомъ с', чтобы уравнеше
разложилось на два линейныхъ. Для этого необходимо, чтобы новый дис-
криминантъ
a h g \ \ a h g
h b f \=\ h b f
g f с
/
a h 0
h b 0
g f с'- с
обратился въ нуль, откуда и получаемъ с'= с —
В
a b //-''
Особенности плоскихъ кривыхъ.
603. Точки изгиба (Wendepunkte). Н%которыя особенности,
проявляющаяся въ извЪстныхъ точкахъ кривой, и вл1як>1щя на ея
форму, даютъ основан1е называть эти точки особенными (singu-
iare Punkte). Такъ, наприм-Ьръ, въ тЪхъ точкахъ, въ которыхъ у' ¦= 0,
является та особенность, что ордината кривой, вообще говоря, бу-
детъ максимумъ или минимумъ, однако, так1я точки не причисляются
къ особеннымъ, потому что достаточно изменить направлен1е осей,
чтобы эта особенность передвинулась въ другое мъхто. Но это уже
не относится къ такимъ точкамъ, въ которыхъ у" =0; эти точки
называются точками изгиба и будутъ особенными, потому что
въ нихъ кривизна равна нулю, т. е. он% обладаютъ свойствомъ,
которое нельзя уничтожить переменою координатныхъ осей. Впро-
чемъ, легко показать и непосредственно, что въ смежности съ
точкою М кривая не такъ расположена относительно касательной,
какъ въ смежности съ обыкновенными точками. Если перенесемъ
начало координатъ въ М и направимъ координатныя оси по каса-
касательной и по нормали, то по опред/клетю у", какъ производной

104 VI, 2. приложена къ плоскимъ кривымъ. §§ 603—604
отъ у', будемъ имъть lim — =0*), и по теорем* Лопиталя Hm -^-s = 0..
Следовательно, разстояше отъ касательной въ точк* М до безко-
нечно близкихъ къ М точекъ на кривой будетъ безконечно
малымъ выше 2-го порядка, такъ что можно сказать, что въ
смежности съ точкою изгиба кривдя тъ-снЪе примыкаетъ къ каса-
касательной, ч*мъ въ обыкновенныхъ точкахъ. Далт>е, чтобы оправдать
назваше точки изгиба, замЪтимъ, что у", обращаясь въ нуль,
вообще говоря, измЪняетъ свой знакъ, а поэтому'(§ 348, d), при
переход* черезъ такую точку выпуклость кривой переходитъ въ
вогнутость и наоборотъ. Следовательно, здъхь действительно про-
происходить изгибъ кривой въ обыкновенномъ смысла слова, и каса-
касательная перест>каетъ кривую. Это обстоятельство, однако, не будетъ
имЪть мЪста, если у" сохраняетъ постоянный знакъ въ смежности
съ М, и когда нуль есть максимумъ или минимумъ функцш у".
Отсюда слт>дуетъ, что абсциссы точекъ, въ которыхъ касательная
пересЬкаетъ кривую, будутъ простыми корнями, или корнями
нечетной кратности функцш у" (§ 313). Это объясняется также
весьма просто тъмъ, что эти значешя х дълаютъ у1 максимумомъ
или минимумомъ, т. е. будутъ абсциссами тъхъ точекъ на кривой,
въ которыхъ касательная перестаетъ вращаться въ одномъ напра-
влеши и начинаетъ вращаться въ другомъ. Это ясно видно и изъ
формулы G).
604. Чтобы разыскать точки изгиба кривой у =у"(д;), надо
Tb уравнеше f'\x) = 0 или другое (§ 594), ему равносильное,
выражающее, что кривизна равна нулю. Если, напримъ'ръ, кривая
задана уравнешями х = <р (/), у = ip (/), то вместо у" = 0 удобнее
взять уравнение dxс1гу—dyd2x = Q, иными словами, точки изгиба
соотвътствуютъ тъмъ значешямь t, которыя обращаютъ въ нуль
функщю op'(t)i})"(t)— <p"{t) ip'(t). Если же кривая задана въ полярныхъ
координатахъ, то надо пользоваться уравнешемъ гг-\-2 г'* — гг" = 0,
исключая корни уравнешя г = 0 (очевидно, кратные), а если урав-
неше кривой задано въ вид! —=y(Q), то надо решить уравнение
"=0.
[ Прим1>чан1е. По формул-fe (8) — = 0, когда
A) г>- + 2 г'2 - гг" = 0,
а г1-\-г не равно 0; поэтому и надо исключить корни уравнешя
г = 0, для которыхъ при условш A) и г'= 0. Если г = --:, то
уравнеше A) обратится въ f-\-f"=Q, при f не равномъ 0.]
*) Потому что при нашемъ выбор-fe осей учу' равны 0 при х = 0.

604
ОСОБЕННОСТИ ПЛОСКИХЪ КРИВЫХЪ.
105
Если, наконецъ, кривая задана уравнешемъ f(x, у) = 0 въ
Декартовыхъ координатахъ, то уравнение, дающее точки изгиба,
¦будетъ
дх*
дЧ
дхду
д~х~
дхду
дЧ
и
дх
df
ду
0
= 0
|по формул^ (9)], при чемъ исключаются rfe точки, для которыхъ
и Л/=0. Въ случаЪ алгебраическихъ кривыхъ уравнеше A7)
можно представить въ замечательной формъ, предполагая, что урав-
нен1е кривой приведено къ однородному виду. Пусть п будетъ
степень уравнешя; умножимъ въ написанномъ выше опредълителЬ
послъднШ столбецъ на п — 1, затъмъ вычтемъ изъ него первый
столбецъ, >множенный на х, и второй, умноженный на у\ потомъ
повторимъ тъ же операцш со строками. Первые два элемента по-
сл^дняго столбца или последней строки обратятся тогда (§371) въ
д х
дхду!
г дЧ ,
dxdz
v 'ду Гдудх
а последнШ элементъ въ
дуде
dyds)
д2 f
что приведется къ z1 jA,. Разсматриваемое уравнен1е приметъ, следо-
следовательно, видъ
дх2 дхду dxdz
dydx dy2 dydz
= 0.
дгдх дзду дг2
Итакъ, чтобы определить точки изгиба алгебраической
кривой у=0, надо приравнять нулю Гесаанъ Н функщиу,
приведенной къ однородному виду (см. §§378 и569). Кривая Н=0
называется кривою Гессе отъ данной кривой/= 0. Точками изгиба
данной кривой будутъ, следовательно, точки пересечещя данной

106 VI, 2. приложенш къ плоскимъ кривымъ. §§ 604—605
кривой съ ея кривою Гессе; а такъ какъ последняя порядка 3(и — 2),
то число точекъ изгиба, вообще говоря, равно Зп(п — 2). Такъ
напримЪръ, коничесюя съчетя совсъмъ не имъютъ точекъ изгиба;
кривыя 3-го порядка имъютъ ихъ девять (изъ коихъ 6 всегда мни-
мыя) и т. д. Надо заметить, припоминая формулу (9), что всякая
общая точка кривыхъ /"= 0 и //=•() только тогда будетъ точкою
изгиба, когда ея координаты не обращаютъ въ нуль Л/, т. е. когда
первыя производныя отъ f не равны нулю одновременно. Услов1е
Л/=0, одновременно съ /=0, даетъ друпя особенныя точки,
которыя также удовлетворяютъ уравнению A7) и потому лежатъ
на кривой Гессе. Объ этихъ точкахъ мы вскоръ будемъ говорить
(§ 606); здъсь замътимъ только, что ихъ существоваше уменьшаетъ
число Ъп{п — 2) точекъ изгиба.
X
605. Упражнешя. а) Для квадратрисы у = х cotg -1— имеемъ
у" = —— ' и уравнение, определяющее точки изгиба будетъ у = а,
a2sin2--
а
предполагая, что х-зО. Следовательно, центральная ветвь не имеетъ точекъ
изгиба, но касательная въ вершин^ пересъкаетъ ect друпя вътви въ соот-
в-Ьтствующихъ точкахъ изгиба. Нормали къ кривой во всЬхъ этихъ точкахъ
проходятъ черезъ начало координатъ.
b) Фигура кривой, изображаемой уравнен1емъ у = х (§ 599, d)
обнаруживаетъ две точки изгиба, симметричныя относительно оси у-овъ; и
действительно, уравнен1е у"= 0 приводится къ у=1 — уравнешю прямой,
пересекающей данную кривую въ двухъ точкахъ изгиба
1
c) Для кривой у = .v2 — уравнеше точекъ изгиба слишкомъ ело-
жно, чтобы можно было съ пользою ихъ применить. Но о форме кривой
можно составить заключеше, заметивъ, что эта кривая (рис 61) проходитъ
черезъ начало координатъ, касаясь въ немъ оси хокъ (см. § 294, Ь), и
уходитъ въ безконечность, имея асимптотою прямую у = \х. Кроме того,
разложеше
х 1
у = у - Тх + ¦ ¦ ¦
показывае1ъ еще. что кривая асимптотична къ гиперболе х2 — 1 ху = \.
Это облегчаетъ ея приближенное вычерчиваше и даетъ основаше предполо-
предположить, что кривая въ трехъ точкахъ, въ томъ числе въ начале координатъ,
образуетъ изгибы. Однако, должно заметить, что точка О не будетъ точкою
изгиба, и такимъ образомъ получае ся примеръ кривой, которая пересе-
каетъ свою касательную къ точке, не принадлежащей къ точкамъ
изгиба. Действительно, мы знаемъ (§ 314, i), разематривая у", какъ произ-
производную отъ у' справа и и слева, что при х = 0, у" = + 2 или у'1'— — 2.
Достаточно, впрочемъ, заметить, что lim (Дн = + 1, чтебы увидеть, что

605
ОСОБЕННОСТИ ПЛОСКИХЪ КРИВЫХЪ,
107
точке О не достаетъ существеннаго признака точекъ изгиба, а именно
разстоян1е между касательной въ точкъ О и точками, безко-
Рис. 61.
нечно близкими къ О на кривой, есть безконечно малая не выше
2-го порядка, а именно 2-го, какъ для обыкновенныхъ точекъ.
d) Чтобы убедиться, насколько полезно имъть верный аналитически
признакъ точки изгиба (>'"= 0) достаточно построить кривую у = ех + sinx,
прибавляя къ каждой ординат* логариемической кривой величину sin*.
Грубый чертежъ привелъ бы къ заключенш, что кривая при х>0 изгибается
безконечное число разъ, между тЪмъ это несправедливо, потому что функщя
у"= ё*— sin х положительныхъ корней не имЪетъ, такъ какъ при х > О
<г*> 1 a sin л;. Наоборотъ, при х < 0 кривая имъетъ безчисленное множество
точекъ изгиба, а именно въ точкахъ пересЪчешя кривыхъ у = е* и у = sin x.
е) Для улитки {г —- a cos 6 -\-by легко найдемъ
гч + 2\г'* - rr"= 2a* + P + 3ab cos 9.
Чтобы эта функщя отъ 8 могла им*ть вещественные корни, необходимо,
чтобы 2 а2 -\- Ьй были не больше 3 a b; следовательно, b должно заключаться
въ интервал^ (я, 2 а), но нижнюю границу а надо исключить, потому что
при Ь—а получаемъ 8=я, а это двойной корень функщ'и г. Следовательно,
(см. § 589, к) единственныя улитки, имъкжия точки изгиба, будутъ т1>, для
которыхъ b > а и 5 2 а.
f) Изъ всъхъ конхоидъ прямой линш (§ 589, j) разсмотримъ тъ, ко-
торыя проходятъ черезъ полюсъ. Изъ ихъ уравнешя (г—a) cos 9=я находимъ
для опредълешя точекъ изгиба уравнеше cos3 6 + 3 cos2 8 — 2 = 0, дающее для
cos 9 значешя —1, — 1 +У^3, —1 —1^3. Первое значеше надо отбросить,
потому что оно обращаетъ въ нуль г и г'', послъднее не даетъ веществен-

108 VI, 2. приложешя къ плоскимъ кривымъ. §§ 605—606
наго значен1я для 0; остается второе, дающее г — -=- C + V& )• Это число
есть рад1усъ того круга, съ центромъ въ полюс*, который пересвкаетъ
кривую въ двухъ ея точкахъ изгиба. Легко показать, что точки изгиба
всЬхъ конхоидъ одной н той же прямой относительно одного и того же
полюса лежатъ на полукубической параболъ х& = 4 ау2.
g) Въ заключеше предложимъ себъ вопросы могутъ ли конхоиды
логариемической спирали (§ 599, i) имъть точки изгиба, хотя a priori кажется,
что такихъ точекъ не должно быть? Изъ уравнешя г = а(ет®±1) выводимъ
г2 + 2 г'2 - »-г"= A +¦ т2) г2 + 2 т2 аг + 2 т* а2
и видимъ, что при т2 < 8 этотъ трехчленъ для вешественныхъ г въ нуль
не обращается. Отсюда слъ\дуетъ, что искомыя спирали будутъ въ чисдЪ
тъхъ, которыя пересЬкаютъ рад1усы векторы подъ достаточно малымъ угломъ,
а именно такимъ, синусъ котораго меньше 1/3. Каждая изъ этихъ конхоидъ
и\|Ъетъ двЪ точки изгиба, соотвътствуюшдя значешямъ г, лежащимъ между
а и 1а. Дуги безчнсленнаго множества конхоидъ одной и той же спирали,
концы которыхъ лежатъ въ точкахъ изгиба, видны изъ полюса подъ посто-
яннымъ угломъ, который при т = 2 |^2 равенъ нулю, и при очень боль-
шомъ т весьма малъ.
606. Кратный точки. Для опредЪлешя касательной въ точкЪ,
лежащей на кривой f(x, у), какъ известно (§ 572), имЪемъ уравнение
A8) ^+у|/=о,
дх ду
¦ , ¦ д/ ¦ д/
которое даетъ значеше у въ предположенш, что -^~ и ~- непре-
непрерывны и, кромЪ того, -р- ^ 0. Если же въ точк-fe М -р- = 0, то
нельзя уже утверждать, что въ смежности съ М у есть функщя
отъ х, т. е., что каждому значенш х соотв-Ьтствуетъ одно и только
одно значение у; но вслЪдсте предположенной непрерывности, для
точекъ въ смежности съ М это будетъ справедливо, т. е. для
точекъ М', безконечно близкихъ къ М, производная у существуетъ
и определяется уравнетемъ A8). Когда М' стремится къ М,
-р стремится къ нулю, между тЪмъ, какъ —- стремится къ пределу,
вообще говоря, не равному нулю, такъ что у' стремится къ безко-
нечности. Отсюда слЪдуетъ, что въ точк% М касательная парал-
параллельна оси jy-овъ, и въ этомъ никакой особенности не заключается.
Но если и -J- стремится къ нулю, то безъ особаго изслъдовашя о
значенш у' въ точк-fe М ничего сказать нельзя. Уравнеше A8)
обращается въ тождество, и надо прибегнуть къ новому диффе-
ренцированш, которое дастъ
дх2

§ 606 ОСОБЕННОСТИ ПЛОСКИХЪ КРИВЫХЪ. 109
Допустимъ, что съ приближешемъ М' къ М у' стремится къ ко-
конечному пределу и постараемся его найти. Замътимъ при этомъ,
что если бы у' стремилось къ безконечности, то достаточно было
бы вместо -^- разсмотръть отношеше -j— (стремящееся къ нулю),
чтобы убъдиться, что нижеследуюшде результаты остаются справед-
справедливыми. Теперь докажемъ прежде всего, что у" -J- не можетъ
стремиться къ пределу, отличному отъ нуля. Для этого воспользу-
воспользуемся теоремою Лопиталя и напишемъ
У ду
Х\ту'' — lim ;: = lim
ду
У
У+-А
ду
dx ду l
Такъ какъ функщя
dxdy дхду^у ду2
по предположен1ю, конечна, то limjy" -у- = 0. Поэтому, при пере-
ход-fe къ предълу, уравнеше A9) обращается въ
гдъ вторыя производныя функц1и f относятся къ точкъ М, а у'
обозначаетъ пред%лъ, къ которому стремится у', когда точка ж
стремится къ М. Следовательно, для у' въ точкъ М им%емъ два
значешя, т. е. кривая въ точкъ Л/'имъетъ двъ касательныя, которыя
могутъ быть вещественными и различными или совпадающими въ
одну, или мнимыми, что зависитъ отъ знака определителя
B1)
дх2 дхду :
дхду ду2
Въ первомъ случаъ точка М называется двойною, во второмъ
точкою возврата (Riickkehrpunkt или Spitze), и въ третьемъ
уединенною или изолированной точкою, такъ какъ въ смеж-
смежности съ нею нътъ вещественныхъ точекъ кривой (рис. 62). Дей-
Действительно, если определитель B1) положительное число, то, какъ
известно (§ 379;, функщя f въ точке М имеетъ максимумъ или
минимумъ, а такъ какъ ея значеше въ М равно нулю, то въ смеж-
смежности съ М функщя f постоянно меньше 0 или постоянно больше О
(изолированная точка). Если, напротивъ того, определитель B1) мень-
меньше 0, то угловое пространство около М разделяется (см. § 570) на две

110 VI, 2. приложена къ плоскимъ кривымъ. §§ 606—607
области: въ одной изъ нихъ вблизи М f^>0, въ другой J < 0, и
эти области вполнЪ разграничиваются тъми прямыми, по направлешю
которыхъ f стремится сохранить значеже нуль. Эти прямыя и будутъ
какъ разъ двЪ касательныя къ кривой f= 0 въ точк-fe М *). Пре-
Рис. 62.
дыдущее изслЪдоваше, однако, не достаточно строго. Чтобы его
провести съ полною строгостью надо было бы руководиться сообра-
соображениями, аналогичными тъмъ, которыми мы пользовались въ § 572 ').
607. Резюмируя изложенное выше, можемъ сказать, что при
разысканш разсматриваемыхъ особенныхъ точекъ на кривой / = 0,
надо приравнять нулю гшрвыя производныя отъ f по х и по у,
найти всъ ръшешя х = а, у = Ь этихъ уравнешй и удержать Tt
ръшешя, которыя удовлетворяютъ и уравнен1ю кривой. Подставляя
эти ръшешя во вторыя частныя производныя функщй f, надо раз-
смотр^вть случай т~20 и -г4 = 0. Если , 220,то получается двой-
двойная точка, точка возврата или изолированная точка, смотря по тому,
будетъ ли функщя B1) т. е. j^j^-U-l-\ <0, =0 или >0.
д2 f д-f
Если, далъе, ^^2=0, но j~f~ зг 0, то уравнеше B0) им*етъ
одинъ безконечный корень, и получается двойная точка, въ которой
одна изъ касательныхъ параллельна оси у-овъ. Если въ точкъ (а, Ь),
~j = 0, и g—4-, = 0, но р^0, то уравнен1е B0) имъетъ оба
безконечныхъ корня, и получается точка возврата съ касательною,
параллельною оси у-овъ. Наконецъ, можетъ случиться, что всъ три
производныя 2-го порядка обратятся въ нуль въ точкъ х —а,у = Ь.
*) Точка возврата соотвЪтствуетъ тому случаю, когда определитель
BЬ) равенъ 0, и уравнеше B0) имЪетъ равные корни.
х) См. D'Arcais. „Corso di Calcolo infinitesimale" vol. 1, pp. 509—515.

§§ 607—608 особенности плоскихъ кривыхъ. 111
Тогда уравнеше B0) обращается въ тождество и надо прибегнуть
къ следующему
Это уравнен1е даетъ вообще три значешя для у', такъ что полу-
получается тройная точка. Продолжая идти темъ же путемъ приходимь
къ понятто о т — кратной точк-fe или кратной точке порядка /;/.
Она характеризуется геометрически темъ, что принадлежитъ т
ветвямъ кривой, вещественнымъ или мнимымъ, а аналитически темъ,
что въ ней обращаются въ нуль все частныя производный порядка
ниже т и, по крайней мере, одна изъ производныхъ порядка т
не равна нулю. Если приведемъ уравнеже кривой къ однородному
виду, то проще еще можно сказать, что т — кратная точка харак-
характеризуется темъ, что въ ней обращаются въ нуль все частныя
производныя порядка (т — 1)-го. Въ заключеше заметимъ еще, что
все кратныя точки, какъ и точки изгиба, лежатъ на кривой Гессе,
и можно сказать, что оне и для этой кривой будутъ кратными
точками.
608. Точки возврата. Изъ двойныхъ точекъ наиболее заме-
замечательны точки возврата, потому что въ смежности съ ними, какъ
и съ точками изгиба, расположеше кривой относительно касательной
является исключительными Въ самомъ деле, если примемъ разсма-
триваемую точку за начало координатъ и направимъ координатный
оси по касательной и по нормали, то ясно, чтъ вместе съ х и у
функщ'я f и ея первыя и вторыя частныя производныя, за исклю-
чешемъ -г-^, должны обратиться въ нуль, потому что уравнеше B0)
должно иметь двойной корень у' = 0. Далее, такъ какъ вообще -^
не равно 0 въ начале координатъ, то уравнеше кривой должно
принять видъ уг — kxs, если отбросимъ безконечно малыя выше
3-го порядка. Это значить, что въ смежности съ точкою возврата
кривая имеетъ форму,весьма близкую къ полукубической параболе
(у2 = kx*), и потому лежитъ по одну лишь сторону отъ нормали,
разветвляясь на две ветви, отделенныя одна отъ другой касательного.
Это общШ случай и, когда онъ имеетъ место, говорятъ, что имеемъ
точку возврата перваго рода, сохраняя назваше точки воз-
возврата второго рода для исключительнаго случая, когда ветви
кривой не отделяются касательного. Этотъ случай можетъ наступить
лишь тогда, когда и г-^ = 0 въ разсматриваемой точке. Въ общемъ
случае liml—0| = со, такъ что кривая сильнее удаляется отъ
касательной, чемъ въ обыкновенной точке. Отсюда заключаютъ,
что въ точке возврата кривизна вообще безконечна; иными

112 VI, 2. приложены къ плоским ь кривымъ. §§ 608—610
словами, рад1усъ кривизны равенъ нулю, а такъ какъ, обращаясь
въ нуль, онъ вообще мЪняетъ знакъ, то и инымъ путемъ становится
ясно, почему точки возврата 2-го рода являются, какъ исключеше.
609. Теперь уместно будетъ вернуться на минуту къ вопросу
о разысканш точекъ изгиба кривыхъ, заданныхъ уравнешями въ
полярныхъ координатахъ. Въ § 604 мы исключили тъ значешя В,
которыя, обращая въ нуль функщю г* -f-2 г'г—г г", одновременно
обращаютъ въ нуль г, потому что они обрашаютъ въ нуль
и г', а следовательно, и >¦' + г'г, такъ что ничего нельзя ска-
сказать о томъ, что тогда делается съ кривизною. Не трудно-
даже показать, что кривизна, вообще говоря, не только не стре-
стремится къ нулю, а напротивъ, возрастаетъ безпредЪльно, такъ что-
вмъсто точки изгиба получается точка возврата. Итакъ, чтобы
узнать, будетъ ли полюсь точкою изгиба, надо приравнять нулю
полное выражеше кривизны, а не одного числителя этого выражешя,
или непосредственно изслъдовать ходъ кривой около полюса.
Положимъ, что г — 0 при б = о, и разсмотримъ въ смежности съ
полюсомъ точку на кривой, имеющую координаты х = г cos (Q — а),
y=rsinF — а), если координатныя оси направлены по касательной
и по нормали въ полюсе. Очевидно, что съ приближешемъ б къ о,
.. х2 ,. rcos2(9-a) 1 ,. г 1 .
e = llm=llmllm = >'
на основанш опредълешя производной г1, которую надо вычислить
для Q = о. Впрочемъ, и вторая изъ формулъ (8) приводится при
г—0, г'50, къ равенству р = ?г'. Следовательно, если г' обра-
обращается въ нуль вмъстъ съ г при б = к, то р = 0. Чтобы получить
точку изгиба, надо было бы имъть г'= оо.
610. Упражнешя. а) Для Декартова листа, изображаемаго уравне-
шемъ xs-\-ys = Zaxy, начало координатъ двойная точка, потому что-
-тг -J- = х2— ау, —- -if- = у2— ах обращаются въ нуль при х = у — 0 (какъ-
при х = у = а, но послЪдшя значешя не удовлетворяютъ уравнешю кривой).
Id2/ 1 д2 f 1 д2 f
Дал-Ье, -»- v4 = 2 х, -=- , г, = — а, -=¦ -г-4, = 2у. Сл-Ьдовательно, урав -
3 дх2 3 дхду 3 ду2 J J r
нете B0), приводящееся здЪсь къ 0 +jv'+ 0 'У'2 = 0 имЪетъ одинъ кореньг
равный 0, а другой — безконечный. Кривая, сл-Ьдовательно, касается об-Ьих-ь
координатныхъ осей въ начал-fe коордннатъ (рис. 63). Впрочемъ, чтобы придти
къ этому результату, вовсе нъть надобности прибътать къ общей метод*.
А именно, если допустимъ, что съ приближешемъ х къ нулю у' стремится1
къ некоторому конечному пределу, и напишемъ уравнеше кривой въ вид*
/ У \2 V I V\
х -\-у — I =3 а —, то тотчасъ же увидимъ, что этотъ пред-Ьлъ равный lim —\
\ X I X \ а^о X f
равенъ нулю. Следовательно, кривая касается оси л>овъ въ начале коор-
координатъ, а по причин* симметрш, она касается и оси jy-овъ. Если желаемъ
составить себе noHHTie о фигур* кривой въ смежности съ началомъ коорди-
у
натъ, то достаточно приближать лг къ нулю такъ, чтобы н — стремилось къ-
X

610
ОСОБЕННОСТИ ПЛОСКИХЪ КРИВЫХЪ.
113
нулю и отбросить въ уравнеши кривой безконечно малыя выше 3-го порядка.
Тогда увидимъ, что ветвь, касающаяся оси д:-овъ уподобляется парабол-Ь
х2—3ау, а следовательно, ветвь, касающаяся оси у-овъ— параболе jy2=3ax.
Рис. 63.
Къ подобнымъ же заключетямъ приводить изслЪдоваше логоциклики и
общихъ кривыхъ, разсмотр'Ьнныхъ въ § 602.
Ь) Кривая х* = (х2 — у2)у (ццс. 64) имеетъ въ начале координатъ
тройную точку, что можно показать съ помощью изложенной въ § 607 ме-
У I У \3
тоды, или проще и скорее, написавъ уравнена кривой въ виде х=— — I—I
X \ X I .
Приближая х къ 0, получимъ уравнеше
у'_ у/з:=о, откуда для у' въ началъ
координатъ получаются три значешя
О, 1 и —1. Для построешя кривой полезно
у
взять за независимую переменную t— —
и заменить уравнеше кривой двумя урав
нешями х — t — fl и у = t2 — t4-. На
чертеж-fe указаны границы интерваловъ,
въ которыхъ изменяется /, когда
движущаяся точка, выйдя изъ безко-
нечности, онисываетъ данную кривую-
чтобы снова удалиться въ безконечность,
три раза пройдя черезъ начало коорди-
координатъ (/= — 1, 0, 1).
Рис. 64.
С' У кривой хь + у'0 = 5 ах2у2 находимъ въ начале координатъ
четырехкратную точку, происходящую отъ соединешя двухъ точекъ возврата.
Более общее уравнеше
+i у+1 = B м + 1) ах«у"

114
VI, 2. ПРИЛ0ЖЕН1Я КЪ ПЛОСКИМЪ КРИВЫМЪ.
§ 610
изображаетъ кривую, принадлежащую къ тип} предыдущей кривой или къ
типу Декартова листа, смотря по тому, будетъ ли я число четное или
нечетное. Это находится въ связи съ положешемъ единственной веществен-
вещественной асимптоты х -\-у = (— 1)" л.
Рис. 65.
d) Примеры точекъ возврата встречались уже въ разсмотрънныхъ
раньше кривыхъ (кардюид*, эвольвент* круга, астроид-fe, циклоид* и т. д.).
Читатель можетъ для упражнешя проверить, что упомянутыя кривыя въ
смежности съ такими точками уподобляются полукубической парабол* въ
смежности съ ея точкою возврата Я показать, что во вс*хъ этихъ точкахъ
рад^усъ кривизны равенъ нулю. Такъ, наприм*ръ, для вертикальнаго про-
профиля развертывающегося геликоида (§599, с), пом*стивъ начало координатъ
въ точку возврата, найдемъ
такъ что при безконечно маломъ 9, уравнеше кривой стремится совпасть
съ уравнешемъ 9 а3у2 = 8 Ь2 ж3. На кривой (у — ж2J = х5 находимъ точку
возврата второго рода (рис. 66). Чтобы у былъ вещественнымъ, очевидно,
необходимо, чтобы х былъ больше 0. Если напишемъ уравнеше такъ:
у = х2 (l ± Ух), то увидимъ, что кривая состоитъ изъ двухъ в*твей, ка-
касающихся оси ж-овъ въ начал* координат ь. Но по отношенш къ касательной
въ этой точк* кривая нм*етъ тотъ же характеръ, какъ и въ обыкновенной
точк*, потому что lim -=^ = 1, откуда сл*дуетъ, что кривизна въ этой точк*
изм*ряется числомъ 2. Добавимъ къ этому еще, что одна в*твь кривой
параболически распространяется въ безконечность, а другая поел* изгиба
въ точк* х = \ye
\15
перес*каетъ ось ж-овъ
въ безконечность.
- / 4 \2
им*етъ наибольшую ординату въ точк* х — уг) >
при х = 1, и зат*мъ также параболически уходитъ

610
ОСОБЕННОСТИ ПЛОСКИХЪ КРИВЫХЪ.
115
е) Замечательный примЪръ кривой съ точками изгиба и точками воз-
рата представляетъ такъ называемый двурогъ (Zweihorn, cocked bat);
Я уравнеше
а2 — х2
у = 2 % + у-аг2г& ¦
Чтобы применить методу § 607, надо было бы привести уравнеше къ целому
рацюнальному виду. Но здесь удобнее будетъ оставить его въ томъ виде,
въ какомъ оно написано, и заметить, что кривая состоитъ изъ двухъ ветвей,
Воответствующихъ двумъ различнымъ знакамъ въ знаменателе. Кратными
точками, очевидно, будутъ те, для которыхъ два различный определения у
Совпадаютъ. Это будетъ при х2=а2, гдв_у = 0. Чтобы вычислить значешя^'
въ этихъ точкахъ ( ± а, 0), можно и не прибегать къ дифференцированш,
в заметить, что по определен1ю производной получается
У
-- lim ¦/~- = + 2 a lim
;= =F 1,
т. е. у' = — 1, при х — а, и у' = 1, при х — —а, Такъ какъ въ обеихъ
точкахъ касательная оказывается единственною, то точки эти будутъ точками
возврата. Касательныя въ этихъ точкахъ пересекаются въ одной изъ вершинъ
кривой @, а) (рис. 67). Кривизна въ этой вершине также вычисляется съ
помощью примъненнаго выше npieMa, а именно:
1 ..а—у 1
=— = lim —5 =
2 д ,_, х* а
х2
3
т,—
2 а
Следовательно, д~$а; поэтому, если А' @, | а) есть другая вершина
кривой, то соприкасаюиийся кругъ въ точке А будетъ кругъ, построенный
на А А' какъ на д1аметре. Что касается точекъ изгиба, то, положивъ у" = 0,
Йаходимъ ЗУ~а2 — х- ± 2 а = 0,— уравнен1е, которое удовлетворяется (если
Удержимъ знакъ —) значешемъ х — ±\аУ~Ь , откуда у — -J а. Следова-
Следовательно, точки изгиба находятся въ пересЬченш касательной въ вершине А'
еъ кривою.
f) Применяя методу § 607 къ уравнешю, изображающему совокупность
Ивухъ кривыхъ (ф = 0и v = 0), мы получимъ, кроме кратныхъ точекъ, также
И точки ихъ пересЪчешя. Въ самомъ деле, если/=д;. у>, то -~- и ~^—>

116 VI, 2. ПРИЛ0ЖЕН1Я КЪ ПЛОСКИМЪ КРИВЫМЪ. §§ 610—611
очевидно, обратятся въ нуль вмъстъ # съ / всяий разъ, какъ <р и р одно-
одновременно обратятся въ нуль; а такъ какъ въ разсматриваемомъ случаъ,
' того
д"-/ 1 ! д<р дер
дхду дх ду
дц> д ц>
д х ду
¦ дхОу ду2
то, какъ видимъ, точки, обида двумъ кривымъ, представляются, какъ настояцця
кратныя точки. Въ частности, когда правая часть обрашдется въ нуль, что
имЪетъ мъхто (§ 577, а) когда кривыя qp = 0 и %р — 0 взаимно касаются одна
другой, исчезаетъ и лЪвая часть, и точки пересЬчешя кривыхъ предста-
представляются въ вид-fc точекъ возврата, хотя кривыя и располагаются по обЪ
стороны отъ нормали.
611. Алгебраичест кривыя никакихъ другихъ особенныхъ
точекъ, кромъ раземотрънныхъ выше, не имъютъ, если за элементъ,
образующШ кривую, принимается точка. Если введемъ въ раземо-
трёше тангенщальныя координаты и, вмъсто точекъ на кривой,
будемъ разематривать касательныя къ кривой, то, по принципу
двойственности, можно вполнъ дуалистически повторить все выше-
вышеизложенное изелъдоваше. Вмъхто двойныхъ, тройныхъ и д. т. точекъ
получаются двойныя, тройныя и т. д. касательныя. Но никакихъ
существенно новыхъ особенностей при этомъ не получается. Полу-
Получаются касательныя возврата и касательныя изгиба, но
первыя будутъ не что иное, какъ касательныя въ точкахъ изгиба,
а вторыя — касательныя въ точкахъ возврата. На этомъ основанш
число v точекъ возврата и число /и точекъ изгиба соотвътствуютъ
другъ другу совершенно такъ же, какъ соотствътствуютъ другъ
другу число v' двойныхъ точекъ и число [л' двойныхъ касательныхъ,
порядокъ п кривой и ея классъ т. Другое весьма важное, само
себъ соответствующее число, есть такъ называемый родъ (Gesch-
lecht, genre") кривой; оно обыкновенно обозначается буквою р.
Доказывается, что для кривой я-го порядка, не имеющей кратныхъ
точекъ, это число равно ^ '- х). Извъстно также, что при
томъ же условш классъ т кривой равенъ п(п— 1), а число [ь
точекъ изгиба (§ 604) равно Ъп(п — 2). Но можно показать, что
существоваше v' двойныхъ точекъ и v точекъ возврата уменьшаютъ
упомянутыя три числа на v-\-v\ 2>v-{-2v' и 8v + 6v'. На основанш
принципа двойственности находятъ поэтому, что если изъ чиселъ
\{т— \)(т — 2), т(т — 1) и Ът(т — 2) вычтемъ соответственно
/* + /*', 3/А-(-2/г' и 8/*+6/а', то получимъ число р, п и v.
Формулы, къ которымъ такимъ образомъ приходимъ, называются
формулами Плюккера (Pliicker). Изъ нихъ легко выводится,.
!) Для подробнаго изучен1я теорш плоскихъ алгебранческихъ кривыхъ
читателю рекомендуется первый томъ „Cours d'Analyse" par. С. Jordan.

§§ 611-612
ОСОБЕННОСТИ ПЛОСКИХЪ КРИВЫХЪ.
117
что для кривой порядка п, класса т и рода р, числа особенныхъ
точекъ и касательныхъ будутъ
v = 2 (и + р — 1) - т, ¦/= i(n - \)(п -6)
т — Яр,
я — 3/>,
если не существуетъ другихъ болЪе сложныхъ особенностей. Осо-
Особенно замечательны кривыя нулеваго рода (^=0), имЪюиця
характеризующее ихъ свойство быть уникурсальными (unicursale);
это значитъ, что координаты ихъ точекъ х и у, выражаются paui-
ональными функциями отъ третьей переменной. Къ числу ихъ
принадлежатъ, напримЪръ, коничетя сЪчешя и первый три изъ
разсмотрЪнныхъ въ предыдущемъ § кривыхъ.
612. Трансцендентныя кривыя могутъ им-Ьть и друпя особенности,
кромЪ перечисленныхъ выше.
а) Прежде всего легко убедиться, что тамя кривыя могутъ имъть
безчисленное множество особенныхъ точекъ. Это мы уже видЬли на примЪрЪ
квадратрисы (безчисленное множество изгибовъ), циклоиды (безчисленное
число точекъ возврата) и т. д. Теперь добавимъ, что кривая у2 = х sin2 x
Рис. 68.
[рис. 68) HMterb точку возврата въ начал* координатъ, безконечное число
иединенныхъ и безконечное число двойныхъ точекъ на оси х-овъ. ВнЪ этой
оси кривая имЪетъ безконечное множество точекъ изгиба, абсцисы которыхъ
!довлетворяютъ уравненш 1 + 4 х2 = 4 х cotg x. Эти точки безпредЪльно
Вриближаются къ оси д;-овъ по Mtpt удалешя отъ начала координатъ по
¦аправлешю положительныхъ д;-овъ, располагаясь все ближе и ближе къ
¦очкамъ кривой ху2= 1. Кром-ь того, данная кривая безконечное число разъ
касается параболы у1 = х *).
Ь) Безконечное множество точекъ изгиба, и притомъ въ конечномъ
ВИтервал-fe, HMterb кривая у = х sin — > съ асимптотою, параллельною оси
IP-въ (у = 1). Такъ какъ здъхь х*у"= —у, то всЬ изгибы лежатъ на
ВСИ л-овъ. KpOMt безчисленнаго множества касательныхъ возврата**), схо-
*) Эти зам^чаюя принадлежатъ бывшему ученику Чезаро, д-ру
Ш. ДЕскамаръ (V. d'Escamard) и помещены во 2-мъ изд. A905 г.) Elementi
Ш Calcolo infinitesimale (E. Cesaro) въ вид-fe поправки.
**) Т. е. касательныхъ въ точкахъ изгиба.

118
VI, 2. ПРИЛ0ЖБН1Я КЪ ПЛОСКИМЪ КРИВЫМЪ.
§ 612
дящихся въ двухъ точкахъ на оси у-овъ), кривая им-Ьетъ еще две особенныя
касательныя, а именно прямыя, делящй* пополамъ углы между координатными
осями, которыхъ она касается въ безконечномъ числе точекъ. Эта же кривая
замечательна еще слъдующимъ свойствомъ: изъ каждой точки на оси у-овъ,
лежащей въ интервале (—1, 1), можно провести безчисленное множество
касательныхъ, точки касашя которых и лежатъ на прямой, проходящей
черезъ начало координатъ. Аналогичными свойствами обладаетъ кривая
/ 1 \
у = х sin2 I—)> имеющая асимптотою ось х-овъ.
\ ,
с) Точкою прекращен!я называютъ такую точку, въ которой вне-
внезапно прекращается некоторая вЪтвь кривой. Такою точкою будетъ, напри-
1
мъръ, начало координатъ для одной изъ ветвей кривой у = е х, имъющей
еще точку изгиба при х = ± (рис. 69) и асимптоту у = 1. Кривая
У =
состоитъ также изъ двухъ ветвей, прекращающихся на оси у-овъ въ точкахъ
у— ±1, имъющихъ точки изгиба на прямой у = 2х, и асимптоту —
ось х-овъ. Кривая у = x\ogx также даетъ очень простой примЪръ точки
Рис. 69.
прекращения, а именно въ начал-fe координатъ, гд-fe она касается оси >>-овъ.
Друг1е примеры даютъ кривыя
каждая изъ нихъ имъетъ ветвь, прекращающуюся въ начале координатъ.
Это происходитъ отъ того, что первая кривая не имеетъ вещественныхъ
точекъ при х < 0, а вторая при х <у. Для первой кривой начало коорди-
координатъ по отношенш къ касательной въ этой точке играетъ роль какъ будто
точки изгиба, потому что (см. § 548)
У У
lim ^~г = О, но при п > 2, lim -^ = оо ,
X2 X
а для второй—какъ будто точки возврата, потому что
lim А, = с
У
но при п<% Нт -^ = 0 .

612—613
О КАСАНШ ПЛОСКИХЪ КРИВЫХЪ.
119
Обе кривыя имеютъ еще другую ветвь, для первой кривой съ асимптотою
х=\, а для второй съ асимптотою лг — у = 1.1*Эти ветви затЪмъ опять
распространяются до безконечности, при чемъ обращены выпуклостью постоянно
къ оси *-овъ, отъ которой минимальное ихъ разстояше равно 2е.
d) Когда две различныя ветви встречаются (подъ угломъ, не равнымъ
нулю), въ одной точке М и въ ней прекращаются, то получается такъ назы-
называемая угловая или выдающаяся точка (springender Punkt, point anguleux
ou saillant). Въ точке М кривыя касаются
двухъ прямыхъ, какъ и въ двойной, но каж-
каждая ветвь лежитъ, какъ въ точке возврата,
лишь по одну сторону отъ соответствующей
нормали. Угловую точку мы уже встретили
X
(§ 599, е) у кривой у = j > а другой
очень простой примеръ мы имеемъ (§ 282, Ь)
при х = 0 у кривой у = х arctg — ¦
ОС
е) Далее, если изъ двухъ ветвей лишь
одна прекращается въ общей точке, то полу-
получается такъ называемая точка соединен1я
(VereinigungspunktI). Здесь кривая предста-
вляетъ какъ бы разветвлеше дорогъ для
точки, пробегающей кривую въ известномъ
направленш. Чтобы составить примеры та-
кихъ точекъ, достаточно въ уравненш кри-
кривой, имеющей двойную точку, напримеръ,
1 Рис. 70.
хъ-\-уг — Заху = 0 прибавить къ у функщю е х
или х log х или \х]. Такимъ образомъ удается уничтожить или переместить
одну изъ четырехъ ветвей, выходящихъ изъ двойной точки. Очевидно, такой
пр1емъ позволяетъ уничтожить две, три или все четыре ветви и построить,
следовательно, кривыя съ угловыми точками или точками прекращешя или
изолированными точками.
О касаши плоскихъ кривыхъ.
613. Порядокъ касашя. Въ смежности съ обыкновенной}
точкою М, общею двумъ кривымъ, возьмемъ двъ точки Р и Q,
одну на одной, другую на другой кривой. Представимъ себе, что
Р и Q одновременно приближаются къ М (оставаясь, конечно,
каждая на своей кривой), и для определенности допустимъ еще
(хотя это и не необходимо), что при этомъ прямая PQ стремится
къ некоторому предельному положешю, которое образуетъ съ кри-
кривыми лимями, т. е. съ касательными къ нимъ въ точке М, углы
!) Объ этихъ особенностяхъ, указанныхъ летъ 30 тому назадъ бель-
пйскимъ физикомъ Плато (Plateau), см. статью Mansion'a въ „Mathesis*
1883 г., стр. 193.

120 VI, 2. приложена къ плоскимъ кривымь. § 613
а и /?, отличные отъ нуля'(и отъ л;). Прежде всего, легко видеть,
что дуги МР и MQ будутъ безконечно малыми одного и того же
порядка. Въ самомъ деле, предать ихъ отношешя будетъ
,. МР ,. sin MQP sin,?....
MQ sm MPQ sin a
т. е. число конечное и не равное нулю, на основанш нашего пред-
положешя. Если примемъ за главную безконечно малую МР или
MQ и обозначимъ черезъ со уголъ, подъ которымъ кривыя пере-
пересекаются въ М (т. е. уголъ между касательными къ кривымъ въ
этой точке), то
P_Q__Y %inPMQ
Щ) ~ I
и отсюда видно, что разстояше PQ будетъ безконечно малымъ
перваго или высшаго порядка, смотря по тому, будетъ ли sin a>
отлично отъ нуля или равно нулю, т. е. смотря по тому, пересе-
пересекаются ли или касаются данныя кривыя въ точке М. Итакъ, то
обстоятельство, что PQ будетъ порядка выше перваго характери-
зуетъ касан1е кривыхъ. Естественно теперь принять за мерило
бол^е или менее теснаго касашя, которое могутъ иметь кривыя въ
точке М, именно порядокъ безконечно малой PQ. Сообразно этому
мы будемъ говорить, что KacaHie будетъ порядка п, если PQ
будетъ безконечно малой порядка и-)-1**). Однако, прежде
чёмъ принять такое определеше надо показать, что число п будетъ
одно и то же для безчисленнаго множества различныхъ способовъ,
которыми можно выбирать точки Р и Q, стремящ1яся къ совпадешю
съ М. Положимъ, что точку 8, стремящуюся къ М, мы соединимъ
не съ Р, а съ другою точкою Р', которая тоже стремится къ М
такъ, что предельное положеше fQ не совпадаетъ съ касательного
въ точке М къ даннымъ кривымъ. Когда Р и Р', двигаясь по данной
кривой, стремятся къ совпадешю съ одною и тою же точкою М,
то, какъ известно (§ 348, с), прямая РР' стремится совпасть съ ка-
сательною въ точке М къ данной кривой. Поэтому
PQ sin PP'Q _ sin a/
Р' Q sin P'PQ sin a
и PQ будетъ безконечно малою того же порядка, что и PQ.
*) Напоминаемъ читателю, что при вычисленш предала отношетя
дугъ всегда можно заменить отношеше дугъ отношен1емъ соответственныхъ
хордъ, такъ какъ oTHomeHie дуги къ стягивающей ее хордЪ стремится къ
единиц* (§§ 582, 549).
**) Такъ что KacaHie нулевого порядка есть простое пересечете.

§ 614 о КАСАН1И ПЛОСКИХЪ КРИВЫХЪ. 121
614. Весьма легко найти аналитичесюя услов1я касашя п-го
порядка двухъ кривыхъ, заданныхъ уравнениями Y = ср (X) и
Y = ip(X) въ Декартовыхъ координатахъ. Мы предположимъ, что
кривыя имЪютъ въ точк% М общую касательную, не параллельную
оси _у-овъ, и пересъчемъ эти кривыя въ смежности съ М прямою,
параллельною этой оси; пусть Р и Q будутъ точки пересЪчешя
этой прямой съ данными кривыми. ЗамЪтимъ, что если бы общая
касательная была параллельна оси jy-овъ, то достаточно переменить
оси, а, следовательно, и координаты, одна на другую, чтобы имЪть
возможность остаться при сдътшнномъ предположен^. Если теперь х
есть абсцисса точки М, a x-\-h абсцисса (общая) точекъ Р и Q,
то ясно, что h будетъ безконечно мавдю того же порядка, какъ МР
или MQ, т. е. перваго, потому что отношете h къ МР или MQ
стремится къ величин^ косинуса угла, образуемаго касательного въ
точкъ М съ осью лг-овъ, а косинусъ этотъ, при нашемъ предполо-
женш, не равенъ нулю. По тому же предположена и прямая PQ
не стремится къ совпадешю съ касательного въ точкЪ М. Следо-
Следовательно, yaiOBifl касан1я и-го порядка заключаются вс-fe въ одномъ:
чтобы PQ было безконечно малою порядка и —j— 1, а такъ какъ,
полагая % (х) = ср (х) — ip (x), им%емъ
PQ = х (•»• + h) = х(х) f НхЦх) + j &х" (*) Н Y^hn Z(n> (-v) +
0 < 8 < 1, то и видно, что для выполнешя вышеупомянутаго
услов1я необходимо и достаточно, чтобы
B2) *(*) = <>. z'W=0, ..-, Zw(^) = 0, zl»+4(*)s0.
Итакъ, чтобы данныя кривыя им^ли въ точк% М KacaHie
порядка п, необходимо и достаточно, чтобы
ср (х) = V (х), ср' (х) = ,;>' (*), .... <р'п) (х) = W<n) (х).
т. е., чтобы первыя п производныхъ ординаты, взятыя по абсцисс^,
им"Ьли въ точк% М одинаковыя, а (и + 1)-ыя производный — раз-
различный значетя. Зам-Ьтимъ, что первое изъ вышеприведенныхъ
равенствъ выражаетъ, что кривыя въ точк% М встречаются, а второе,
что он-fe въ ней касаются.
*) Мы предполагаемъ здЪсь существоваше и + 1 производныхъ отъ
функшй ср и яр въ окрестности точки х и непрерывность въ этой точкъ
(я+1)-ыхъ производныхъ. Остаточный членъ въ формул* Тэйлора мы беремъ
въ формъ Лагранжа.

122 VI, 2. приложены къ плоскимъ кривымъ. §§ 615—616
615. Зам?тимъ, что въ случай п нечетнаго найденный
ycnoBiq совпадаютъ съ тъми, которыя выражаютъ (§ 313), что
функщя %{Х) при Х = х им%етъ maximum или minimum; а такъ
какъ эта функщя при X = х равна нулю, то въ смежности съ М
она будетъ сохранять постоянно одинъ и тотъ же знакъ -(- или —,
и, следовательно, кривыя въ точке М не пересекаются. Наобо-
ротъ, если п число четное, то %(Х) при X = х не будетъ ни
максимумъ ни минимумъ, а потому g>(X)^>ip(X) по одну сторону
оть М, и (р(Х)<^1р(Х) — по другою, т. е. кривыя въ точке М
касаются и пересекаются. Уже одинъ тотъ фактъ, что кривыя,
касаясь другъ друга, въ то же время пересекаются, заставляетъ
заключить, что касание будетъ высшаго, по крайней мере, второго
порядка. Однако, это заключеше подчинено необходимому предпо-
ложенш, а именно, что функши (р и тр имеютъ вполне опреде-
ленныя, единственныя, последовательныя производныя въ точке М.
Такъ напримеръ, въ § 605 мы встретили кривую, которая въ начале
координатъ пересекаетъ свою касательную, хотя касаже обеихъ
линШ здесь простое, т. е. 1-го порядка. Аналогичный случай предста-
2
х
2
х
вляетъ кривая jy= , которая касается и пересекается съ пара-
1 + е*
болою у = ^хг въ начале координатъ (§ 599, f), хотя и здесь
будетъ простое касаше обеихъ кривыхъ. Далее, надо еще заметить,
что влево отъ начала координатъ эта кривая имеетъ простое касаше
съ своею касательною, а справа — нельзя сказать, какъ высокъ
будетъ порядокъ касашя.
616. Услов1я B2), разсматриваемыя съ алгебраической точки
зрешя, выражаютъ, что уравнеше %{Х) = 0 имёетъ {п-\-\) —
кратный корень Х = х, а такъ какъ это же уравнение определяетъ
абсциссы точекъ пересечешя данныхъ кривыхъ, то можно сказать,
что въ точке М соединены п -\- 1 общихъ точекъ обеихъ кривыхъ.
Такое представлеше геометрически оправдывается следующимъ со-
ображешемъ. Если черезъ точку М на кривой^ =f(X) проведемъ
переменную кривую у = д> (X), уравнеше которой содержитъ
более п произвольныхъ параметровъ; если затемъ распорядимся
этими параметрами такъ, чтобы вторая кривая прошла черезъ п
другихъ точекъ М', М", . . . первой кривой, и наконецъ, заста-
вимъ эти п точекъ стремиться къ совпадешю съ М такъ, чтобы
при этомъ переменная кривая стремилась къ определенному предель-
предельному положенш, то въ этомъ предельномъ положенш вторая кривая
будетъ иметь съ первою касаше вообще порядка п. Положимъ, въ
самомъ деле, что п-\-\ параметровъ переменной кривой определены
такъ, что выполнены услов1я

§§ 616—617 о КАСАН1И ПЛОСКИХЪ КРИВЫХЪ. 123
гд-fe х, xiy хг, . . . абсциссы точекъ М, М', М", . . .. Тогда,
какъ известно (§ 347), можно написать
g: (X) = f(x) + (X-x)f(x, дг,) 4- (Х-х) (Х-хл)/{Х, Xl, хг) + ¦ • •
+ (X-x)(X-Xl) . . . (X-x^fix, Xi, . . ., xn)
+ {X-x){X-x1) . . . (X-xJ^-^1,
при чемъ | обозначаетъ число, лежащее между наименьшимъ и наи-
большимъ изъ чиселъ X, х, xit . .., хп- Намъ известно также,
что, когда xit х2) ¦ ¦ ¦, х„ одновременно стремятся къ л-, то
/'W (х)
\\т/(х, хг, х2, . . ., xv) = —-, - ¦
Следовательно, обозначая черезъ | число, среднее между X и х,
будемъ имЪть
q- {X) =f(x) + (X~x)f--lxx) + (X - xf-^{f + ¦ • •
i / г _ v\« I
n\ +( ' (n+\)\
Съ другой стороны, если g0 также некоторое число между X и х, то
/(X) =/(*) + (X -х)?р + (Х~ xf^ + • • •
Поэтому
Итакъ, разность /(X) — (р (X) будетъ безконечно малая порядка
выше и, и обЪ кривыя имЪютъ въ точк^Ь М касанле порядка не
ниже п. Порядокъ можно сделать выше п, если еще друпя точки
перес*чен1я кривыхъ, кром^ разсмотр^нныхъ выше, также совпадутъ
съ М- Разумеется зд^Ьсь п всегда разсматривается, какъ ц^лое
число, между тЬмъ какъ при опредЪленш порядка касан1я нечисклю-
чается возможность дробнаго порядка касашя. Такой случай встре-
встречается, между прочимъ, при касанш кривой и ея касательной изгиба
(въ точк% возврата), гд-fe порядокъ касан1я вообще (§ 608) равенъ \.
617. Соприкасан1е (Oskulation). Положимъ, что требуется
черезъ некоторую точку (х, у) на данной кривой f(X, Y) = 0
провести другую кривую, имеющую съ данною въ точк-fe (х, у)
касан1е порядка п и принадлежащую къ семейству кривыхъ, опре-

124 VI, 2. приложена къ плоскимъ кривымъ. §§ 617-618
являемому уравнетемъ вида <р (X, У) = 0, содержащимъ бол%е п
произвольныхъ параметровъ. Для этого нужно будетъ дифференци-
дифференцировать оба уравнетя п разъ подъ рядъ такъ, какъ это дЪлаютъ
съ ц'Ьлью опредЪлешя послЪдовательныхъ производныхъ отъ Y по X
до порядка и включительно. ЗагЬмъ надо будетъ выразить, что въ
обоихъ рядахъ полученныхъ уравнежй эти производныя при Х = х
и Y—у имЪютъ одинаковыя значения. Такимъ образомъ получимъ
п -j- 1 уравнетй, причисляя къ нимъ и то, которое получается, когда
въ уравненш искомой кривой, положимъ X = х, Y = y (выражая
этимъ, что она проходить черезъ точку {х, у)). Эти уравнешя
послужатъ для опредЪлешя п -\- 1 параметровъ, и, вообще говоря,
только при числЪ параметровъ, превосходящемъ п, можно получить
касаше и-го порядка. Если распорядимся всЪми параметрами такъ,
чтобы получился наивысппй возможный порядокъ касашя, тогда
говорятъ, что нашли соприкасающуюся къ данной кривой
/(X, Y) = 0 въ данной точк% кривую даннаго вида q> (X, Y) = 0.
При этомъ не исключается возможность того, что вслЪдсгае какой
либо особенности, представляемой данною кривою, ожидаемый мак-
максимальный порядокъ касашя повысится. Тогда говорятъ, что въ
данной точкЪ кривыя имЪютъ пересоприкасаше (superoskulation).
Чтобы опредътшть, въ какихъ точкахъ оно возможно, надо еще
разъ дифференцировать данныя уравнешя и изъ нихъ исключить
всЬ параметры. Получится уравнеше между х и у, которое и опре-
д%ляетъ искомыя точки.
618. Прим-Ьры. а) Къ данной кривой въ данной точки требуется
провести соприкасающуюся прямую. Такъ какъ въ уравнеши прямой
Y= m X -\- h два произвольныхъ параметра, то вообще можно достигнуть
только простого касан!я (аерваго порядка). Применяя изложенную въ пре-
дыдущемъ § методу, получаемъ услов1я: у = тх + А, у' = т, при чемъ
надо помнить, что х, у и у' относятся къ данной кривой. Отсюда для
параметровъ получаются значешя т= у', h =у — ху', и мы находимъ урав-
уравнеше искомой прямой (см. § 586): Y=Xy'+y — ху' или Y—y=y'{X — x)
(соприкасающаяся прямая есть касательная). Для повышешя порядка касашя
необходимо услов1еу=0, и отъ данной кривой зависитъ можетъ ли такое
повышеше произойти. Мы видимъ, что только въ точкахъ изгиба можетъ
произойти касате выше 1-го порядка. Оно будетъ вообще второго порядка,
и касательная будетъ пересекать кривую; но, чтобы это действительно
случилось, необходимо и достаточно, кроме услов1я у"—0, еще чтобы первая
изъ последовательныхъ производныхъ у'", yTV, ... не обращающаяся въ
нуль, была нечетнаго порядка. Геометрически можно сказать, что въ точкЪ
изгибя соединены, по крайней Mtpt, три общ1я точки кривой и касательной,
и что во всякомъ случае число скопившихся въ М точекъ будетъ нечетнымъ
или четнымъ, смотря по тому, пересЬкаетъ ли или не перес4каетъ каса-
касательная кривую.
Ь) Кругъ съ центромъ (|, щ) и рад1усомъ q изображается уравнешемъ
(X — ?J + (У— ц)г = е2. Дифференцируя и подставляя Х = х, Y=y и т. д.,
получаемъ
B3) (х - д? + (у- п? = О2. х - I + Су-Ч)У = 0.
1+У2 +(.у-->/)/'= о,

§§ 618—619 0ГИБАЮЩ1Я кривыя. 125
откуда последовательно находимъ
У - ч - yi ' х s -У у е - ± у
Такимъ образомъ мы снова находимъ тотъ кругъ, который мы уже раньше
назвали соприкасающимся, и видимъ, что порядокъ его касашя съ кривою
будетъ, вообще, равенъ 2. Отсюда слъдуетъ (см. § 592), что соприкасаю-
соприкасающейся кругъ въ той точкъ, въ которой онъ касается кривой, ее и
пересъкаетъ. Основываясь на сказанномъ въ §616, можно также сказать,
что соприкасающийся кругъ проходитъ черезъ три смежныя точки кривой,
и полезно припомнить, что именно такимъ образомъ соприкасающШ кругъ
и встрътился намъ въ первый разъ (§ 348, е).
с) Если желаютъ, чтобы кругъ съ данною кривою имълъ касаШе выше
2-го порядка, то нужно, чтобы еще удовлетворилось уравнеше, получаемое
черезъ дифференцироваШе послъдняго изъ уравненШ B3), т. е.
ЗУ/'+ (у - П)У"= 0 или ЗУУ'2 = A +У'-)у'"-
Будетъ ли это уравнеше удовлетворяться или нътъ, зависитъ отъ природы
данной кривой въ той точкъ (х, у), которую разсматриваемъ. Замътимъ,
что производная отъ q именно равна
-(ЗУУ2-A+У2)У).
у--
Представляя себъ, следовательно, что точка М(х, у) описываетъ данную
кривую (см. § 592), мы видимъ, что соприкасающейся кругъ тамъ бу-
будетъ имъть KacaHie выше 2-го порядка съ данною кривою, гдъ
рад1усъ кривизны будетъ maximum или minimum. Этимъ, однако,
не исключается возможность того, что пересоприкасаше будетъ и тамъ,
гдъ д не будетъ ни maximum, ни minimnm.
Огибакищя кривыя
(Enveloppen).
619. Опред1>лен1е. Положимъ, что дано уравнен1е семейства
кривыхъ f(x, у, а) = 0, при чемь каждому значешю параметра а
соотвътствуетъ определенная кривая этого семейства. Мы предпо-
ложимъ, что f{x, у, а) непрерывна относительно а и имъетъ не-
прерывныя первыя производныя по вctмъ перем^ннымъ. Пусть М
есть точка пересЪчешя кривыхъ (а) и (a-\-h), т. е. кривыхъ, соот-
вътствующихъ значен1ямъ параметра а и a-\-h. Если, фиксируя а,
станемъ приближать h къ нулю, то кривая (а + А) будетъ посте-
постепенно приближаться къ кривой (а) и можетъ случиться, что точка М,
передвигаясь по кривой (а), будетъ стремиться къ некоторому пре-
предельному положешю А. Если кривыя (а) и (a+h) не пересека-
пересекаются, то, несмотря на это, можетъ случиться, что на кривой (а)
существуютъ точки А, обладакшпя следующимъ свойствомъ: если
вторая кривая (a-\-h) отсекаетъ на нормали къ первой (а) въ
точке М некоторый отрезокъ, безконечно малый при h безконечно

126 VI, 2. приложена къ плоскимъ кривымъ. §§ 619—620
маломъ, то въ точкЪ А этотъ отрЪзокъ будетъ безконечно малымъ
выше перваго порядка относительно h. Ташя точки наисильнЪй-
шаго безконечнаго сближешя кривыхъ (а) и (a-\-h) можно
разсматривать также какъ точки, обшдя двумъ кривымъ, если прене-
пренебречь безконечно малыми высшаго порядка. Общее мЪсто точекъ А
называютъ огибающею кривыхъ f (х, у, а) = 0.
620. Уравнен1е огибающей. Предположимъ, что А не
кратная точка кривой (а); вслЪдеше предположенной непрерывности
первыхъ производныхъ функщи f, и въ смежности съ А — кратныхъ
точекъ не будетъ. Поэтому, если возьмемъ на кривой {а) точку М
достаточно близко къ А, то въ точк% М нормаль къ кривой (а)
будетъ имъть вполнъ1 определенное направлеше, и косинусы угловъ,
образуемыхъ этимъ направлешемъ съ координатными осями, будутъ
безконечно мало отличаться отъ соогв%тствующихъ косинусовъ
угловъ нормали въ точкъ1 А. Обозначая черезъ а и /? косинусы
угловъ нормали въ точк-fe М съ осями, будемъ, слъ\довательно, им%ть
(х и у — координаты точки А). Обозначимъ, далЪе, черезъ ? и v\
координаты точки М, стремящаяся къ х чу — координатамъ точки А,
при безконечно маломъ h. Пусть также / обозначаетъ отр%зокъ ММ',
отсъкаемый кривою (a-\-k) на нормали въ точк% М къ кривой (а).
Если М есть точка пересЬчешя кривыхъ, то / надо положить рав-
нымъ нулю. Во всЬхъ случахъ координаты точки М' будутъ | -(- 1а,
г) + //3. Эти числа должны удовлетворять уравненш/(:г,_у, а+А) = 0.
Следовательно,
f(t + la, ¦) + /,9, а+й) = 0.
Отсюда, принимая во внимаше, что _/(|, Ч, а) = 0, и отбрасывая
безконечно малыя высшаго порядка относительно h, находимъ
/дх г'с
а потому / = y=z~- Такъ какъ кратныя точки исключены (т.е.
Л/ не равна 0), то, для того чтобы / было высшаго порядка,
чЪмъ h, необходимо и достаточно, чтобы было -р = 0. Итакъ,
уравнен1е огибающей получается черезъ исключен1е а изъ
уравнешй
B4) f{x, у, а) = 0, Л(х,у,а)=0*).
*) Вообще, получаемое указаннымъ путемъ уравнен1е будетъ изобра-
изображать либо огибающую, либо общее Mtcro особенныхъ точекъ кривой.
См. Гурса „Курсъ Математическаго Анализа". Москва 1911, стр. 460.

§§ 621—622 огибающш кривыя. 127
621. Характеристическое свойство огибающей. Можно
сказать, что уравнеше даннаго семейства кривыхъ, т. е. первое изъ
уравненШ B4) и есть уравнеше огибающей, если въ этомъ уравненш
f[x, у, а) = 0 будемъ разсматривать а, какъ функщю отъ х и у,
определяемую уравнетемъ -^- = 0. Дифференцируя первое изъ
уравнешй B4) при сд%ланномъ условш, находимъ
B5) ^+д/у+/^ = 0,
дх dyJ да dx
которое, въ силу второго изъ уравненШ B4), приводится къ
-J- -\- -J-у'= 0, т. е. къ уравнешю, определяющему значеше у'
для кривой (а). Следовательно, огибающая касается каждой
изъ кривыхъ даннаго семейства. Въ этомъ состоитъ характе-
характеристическое свойство огибающей. Действительно, какова бы ни
была кривая, которая должна касаться всЪхъ кривыхъ даннаго се-
семейства, всегда можно считать, что ея уравнеше есть уравнеше
f (х, у, в)=0, где а неизвестная функщя, которую надо опреде-
определить надлежащимъ образомъ, чтобы удовлетворить поставленному
требовашю. Это определеше должно быть сделано такъ, чтобы
уравнеше B5) давало то же самое значеше у', которое получается
для всякой кривой (а), каково бы а ни было. Поэтому необходимо
должно быть -р = 0, и искомое уравнеше совпадаетъ съ темъ,
которое получается исключешемъ а изъ уравнешй B4).
622. Уравнеше f(x, у, а) = 0 распределяетъ точки плоскости
по кривымъ, лежащимъ обыкновенно по одну сторону отъ огиба-
огибающей, которая такимъ образомъ является границей области, запол-
заполненной кривыми даннаго семейства. Разсмотримъ теперь два уравнешя
B6) f(x,y, а, Ь) = 0, g(x,y,a,b) = 0.
Эти уравнетя, вообще говоря, устанавливаютъ некоторое соответ-
CTBie между каждою парою значешй независимыхъ параметровъ и
точками (х, у) на плоскости. Вопросъ объ определенш границъ
той области, которая занята этими точками, приводитъ къ разыскашю
огибающей семейства кривыхъ, изображаемаго, напримеръ, первымъ
изъ уравнешй B6), если въ немъ будемъ разсматривать а, какъ
единственный произвольный параметръ, а Ь, какъ функщю отъ
х, у и а, определяемую вторымъ изъ уравнешй B6). Поэтому
будемъ иметь -р -)- jt -j- =0, где -г- определяется изъ уравнешя

128 VI, 2. приложена къ плоскимъ кривымъ. §§ 622—624
Отсюда слЪдуетъ, что
Исключая а и Ъ изъ уравненШ B6) и B7) мы и получимъ урав-
HeHie искомой кривой. Одно изъ уравнешй B6) можетъ и не
содержать въ себе х и у, и тогда снова приходимъ къ случаю
одного независимаго параметра, потому что другой надо разсматри-
вать какъ функщю перваго. Но уравнеше B7) остается справедли-
вымъ. Общн%е, если им%емъ т уравнешй
f(x, у. а, Ъ, с, ...) = 0, g (х, у, а, Ь, с, ...) = 0, ...
съ п параметрами, связанными п — т соотношешями
Ф (а, Ь, с, ...) = 0, у) (а, Ь, с, ...) = 0, ..,
то, дифференцируя вс% данныя уравнешя (т. е. первыя п и условныя
п — т) относительно параметровъ, и исключая da, db, dc, . . .,
найдемъ, что функциональный определитель/, g, ..., (р,\р, ... относи-
относительно а, Ь, с, ... долженъ быть равенъ нулю. Исключая п пара-
параметровъ изъ п-\-1 уравненШ, мы и получимъ уравнеше огибающей.
623. Эволюты и эвольвенты. Эволютою плоской кривой
называютъ огибающую ея нормалей. Всякая кривая называется
эвольвентою своей эволюты. На основами сказаннаго въ § 593,
можемъ тотчасъ сказать, что эволюта плоской кривой есть
общее м*сто ея центровъ кривизны. Эту теорему можно также
доказать путемъ, указаннымъ въ конц% § 620. Применяя указанный
пр1емъ къ уравнешю нормали X—х -\-у (У—у) = 0, получаемъ
Координаты точекъ касашя нормалей съ ихъ огибающей определя-
определяются, следовательно, формулами
Съ другой стороны, какъ мы вид%ли въ § 618, если § и г\ — коор-
координаты центра кривизны, то
1 + у'2
Ь — J у, 'У Ч у,
Итакъ, X = t Y= r].
624. Если напишемъ координаты центра кривизны въ виде
? = л; — psinip, г) = у+ q cos qp,

§ 624
0ГИБАЮЩ1Я КРИВЫЯ.
129
то отсюда выведемъ
d?, = dx — pcos qp -d(p — sin qp ¦ dg, dr) = dy — ,q simp -d<p + cosy -dg.
Припоминая теперь,что dx = cos<p ¦ ds, dy = sing) ¦ ds и ds = Qdq>,
находимъ u?| = — sin q> ¦ d g, dr\ — cos q> dg. Эти формулы показы-
ваютъ, что элементъ СС дуги эволюты (рис. 71) можно разсма-
тривать, какъ лежащШ на нормали къ эвольвент^ и им%ющ1й длину
da = dq. Отсюда опять сл%дуетъ, что касательныя къ эволют* —
нормали къ эвольвент%. Кром% того, равенство d(o — q) = О
Рис. 71.
Рис. 72.
показываетъ, что a—Q = const. Поэтому, если возьмемъ некоторую
дугу Сх Сг= а2 — ff, на эволюгЬ и положимъ, что рад1усы кри-
кривизны данной эвольвенты въ концахъ дуги СХС^ им-Ьютъ значешя
g, и q%, то ffj — g, = а%— q%, т. е. а2— el= gs— g,. Иными
словами
B8) Дуга Q С2 = М2С2 - М^СХ (рис. 72).
[ Прим"Ьча|ие. Изъ формулъ <i^ = — sin 95 - dg, dr\ = cos cp ¦ dg
получаемъ d?*-{- drf= da2 = dq2, откуда da= + dg. Если при
движенш точки М отъ Мх къ Мг а и q одновременно возрастаютъ
или убываютъ, то d6 = dg; если же, при возрастали а, д убываетъ,
то d(а-(-д) = 0, т. е. а + g = const. Заключен!е, что w CiC2 равна
разности рад1усовъ кривизны + {М^С%— МгС\), справедливо въ
обоихъ случаяхъ. Если же, при движенш М отъ Mi къ Мг, -Я
м'Ьняетъ знакъ, то предыдущее равенство не справедливо. Въ этомъ
случа-fe дугу МхМг надо разделить на части, въ которыхъ -~
сохраняетъ знакъ, и применить доказанное равенство, съ соотвът-
ствующимъ знакомъ, къ каждой части отдельно. Наприм'Ьръ, если

130 VI, 2. приложЕН1я къ плоскимъ кривымъ. §§ 624—625
на параболе точки Мх и Мг лежать по разныя стороны отъ вер-
вершины О, центръ кривизны въ которой есть точка С на оси, то
Укажемъ н%которыя замечательный слЪдств1я этого свойства:
a) Если дуга Мх М2 достаточно мала для того, чтобы ея
кривизна изменялась отъ одного конца къ другому въ одномъ и
томъ же направленш (т. е. или постоянно возрастала или постоянно
убывала), то окружности соприкасающихся круговъ въ точкахъ
М% и М% не могутъ пересекаться, потому что онЪ отделяются одна
отъ другой именно дугою Мх М^ (см. § 592). Легко, впрочемъ,
вычислить разстояше между этими окружностями, равное разстояшю
между точками Qt и Q2, лежащими на линш центровъ СХС%
между Л/, и М2 (рис. 72). Мы им%емъ
QiQ* = Q*C2- (ftQ + Q Q = M2C2 - Mx(\ - CiQ
или QxQ<i= дуга С\С%— хорда CtC2>0- Следовательно, ясно, что
окружности двухъ достаточно близкихъ соприкасающихся круговъ
пересекаться не могутъ. Но мы можемъ сказать еще более, а именно,
что эти окружности не могутъ иметь (§ 585) и общей
точки, и разстояюе между ними есть безконечно малая
третьяго порядка относительно разстояшя между ихъ
центрами.
b) Изъ" формулы B8) вытекаетъ еще следующее: представимъ
себе, что на некоторую плоскую кривую навита нерастяжимая нить;
закрёпивъ одинъ ея конецъ и удерживая нить всегда натянутою, бу-
демъ свивать нить съ кривой въ ея плоскости, тогда всякая точка нити
будетъ описывать эвольвенту данной кривой. Итакъ, всякая кривая
имеетъ безконечное множество эвольвентъ, представляющихъ систему
параллельныхъ равноотстоящихъ одна отъ другой кривыхъ. Эволь-
Эвольвенты данной кривой можно также разсматривать, какъ рулетты,
описываемыя точками' прямой, катящейся безъ скольжетя по данной
кривой.
625. Для полнаго изучешя эволюты данной кривой остается
еще определить ея кривизну. Съ этою целью заметимъ, что уголъ
смежности для обеихъ кривыхъ, очевидно, одинъ и тотъ же. Отсюда
тотчасъ следуетъ, что рад1усъ кривизны эволюты равенъ g-~*).
Поэтому, вообще каждой точке эвольвенты, въ которой кривизна
*) Потому что рад1усъ кривизны эволюты равенъ -=— > гдЪ da = dg,
ds
aw = — •
Q

§§ 625—626 0ГИБАЮЩ1Я КРИВЫЯ. 131
максимумъ или минимумъ, на эволют-fe соотвтугствуетъ точка воз-
возврата, а точки возврата эвольвенты (по крайней ivrfep-fc, перваго рода)
сами принадлежать эволют-fe, потому что при р = О точка М эволь-
эвольвенты и точка С эволюты совпадаютъ съ одною и тою же точкою А.
Кром% того, если а есть рад1усъ кривизны эволюты въ точки А,
,. do
то изъ уравненш limp—- = а, перенеся начало счета дугъ на
эвольвент-fc въ точку А и применяя теорему Лопиталя, тотчасъ
получимъ
lim ?- = 2 а .
s
Следовательно, въ смежности съ точкою А, эвольвента имЪетъ
приблизительно форму кривой, натуральное уравнеше которой есть
^=2 as, т. е. (см. § 595, о) форму эвольвенты круга рад1уса а
въ смежности съ ея точкою возврата.
626. Упражнешя. а) Уравнеше у = (х — яK изображаетъ семейство
равныхъ между собою кубическихъ параболъ, огибаемыхъ осью д;-овъ. Эта
прямая касается всъхъ параболъ въ точкахъ изгиба ихъ, а потому и не
дълитъ плоскость на двЪ области — одну, въ которой находятся вс4 огиба-
емыя, и другую, въ которой ихъ вовсе нътъ, какъ это бываетъ въ большин-
большинства случаевъ (см. § 622). Точно такъ же огибающая параболъ у=а2(х—оJ
состоитъ изъ оси л; овъ и кривой 16у = х*. Но эта кривая касается каждой
изъ параболъ въ точкъ1 х = 2я, и пересЬкаетъ каждую изъ нихъ въ двухъ
другихъ лг= — 2 я ± 2aY*l. Следовательно, область, заполняемая данными
параболами, ограничена только осью х-овъ.
Ь) Найдемъ огибающую подвижной прямой, которая движется по
плоскости такъ, что дв* ея точки постоянно находятся на сторонахъ даннаго
прямого угла. Если обозначимъ черезъ / разстоян1е между этими точками,
х у
то уравнеше прямой будетъ + -4—z = /, и 9 можно разсматривать, какъ
параметръ, каждому значен™ котораго соотв*тствуетъ опред-Ьленное поло-
жеше прямой. Дифферевцируя по 6, получимъ
у xlcos 0 _ ylsm 0 _ .
nM ИЛИ cos2 6 = sin2 9 ~ '
ч 5 _2.
сл-Ьдовательно, х = /cos8 8, jy = /sin39 и х* +yt = I3 ¦ Итакъ, огибающая
подвижной прямой есть астроида (§ 595, g).
с) Астроида будетъ также огибающая всбхъ эллипсовъ, описываемыхъ
каждою другою точкою той же прямой (рис. 73). Действительно, если раз-
.дЪлимъ / на дв^Ь части а и Ь, такъ что а + Ь = /, то точка дЪлешя опишетъ
х2 v2
эллипсъ ™2 + 4г = 1- Дифференцируя по параметрамъ а и о, и принимая
во вниман!е, что da + db = 0, получимъ
х* У2 а2
^о ИЛИ
3
-» = ^о ИЛИ = —г
я3 о3 а о

132 VI, 2. ПРИЛОЖЕНИЯ КЪ ПЛОСКИМЪ КРИВЫМЪ. § 626
откуда последовательно
х2 = я3//, у2 = б8//, х*+у% = Д.
Если же, вместо этого, полуоси будутъ связаны услов1емъ а2 -\- № = Р, то
подобнымъ же образомъ найдемъ, что огибающая будетъ состоять изъ че-
Рис. 73.
тырехъ прямыхъ ± х ±у = /, т. е. все эллипсы, имеюиие общ1Я оси (по
направлешю) и общШ кругъ Монжа, вписаны въ одинъ и тотъ же квад-
ратъ (рис. 73).
d) Между эвольвентами цепной линш особенно замечательна та,
которая беретъ начало въ вершине кривой и носитъ назваше трактрисы
(рис. 74). Извъстныя свойства цепной лин1и
(§ 595,1) приводятъ тотчасъ къ установлен^
нижесл'Ьдующихъ свойствъ трактрисы: отръ-
зокъ, отс-Ькаемый асимптотою на каса-
касательной, считаемый отъ соответству-
соответствующей точки касан1я — величина посто-
постоянная; центръ кривизны лежитъ на
перпендикуляре, возставленномъ къ
асимптоте изъ точки пересечешя ея
съ касательного.
е) Какъ аналитически, такъ и геометри-
геометрически легко доказать, что эволюта циклоиды
равна своей эвольвенте (только сдвинутой
съ места), эволюта кардюиды есть втрое
меньшая кард1Оида, эволюта астроиды вдвое
большая астроида и т. д. Общнее можно
доказать, что за исключешемъ эвольвенты
круга, все эпи- и гипоциклоиды подобны своимъ эволютамъ, и если т есть
отношение рад1уса подвижного круга къ рад1усу неподвижнаго, то отношеше
подоб4я (постоянное отношеше между пропорщональными длинами) эволь-
эвольвенты и эволюты равно 1 + 2и, т. е. равно соответственно 1, 3, \ и т. д.
для циклоиды (т = 0), кардюиды (т = 1), астроиды (т = — \) и т. д.
Рис. 74.

§§ 626—627 огиБАЮЩм кривыя. 133
f) Будемъ искать огибающую семейства круговъ, зная кривую, на
которой находятся центры всЪхъ круговъ, и законъ измънешя рад1уса вдоль
этой кривой. Положимъ, что ?, т) и д — координаты центра и рад1усъ, за-
заданные, какъ функцш дуги а кривой — общаго мъста центровъ, тогда надо
будетъ дифференцировать уравнеше (х — ?f -\- (у — цJ = д2 по а, разсма-
тривая при этомъ х и у, какъ постоянныя. Мы получаемъ
и видимъ, что круги касаются огибающей въ точкахъ, лежащихъ на пря-
прямой, параллельной нормали къ линш центровъ, проведенной на разстоянш
— д -г^ отъ центра. Чтобы огибающая была вещественною, необходимо и
da
достаточно, чтобы ] dg | была не больше \da\. Иными словами, огибающая
только тогда вещественна, когда скорость, съ которою движется центръ, не
меньше скорости, съ которою кругъ растягивается или сжимается. При
| dQ | < | da \ огибающая состоитъ изъ двухъ вЪтвей, совпадающихъ въ одну,
когда dg = ± do. Въ этомъ случай касательная къ общему мЪсту центровъ
будетъ нормальна къ огибающей, и кривая (|, щ) есть не что иное, какъ
эволюта кривой (х, у). Иными словами, услов!е dg = ± da, необходимость
котораго была установлена въ § 624, будетъ и достаточнымъ для того,
чтобы круги нЪкотораго семейства были соприкасающимися
кругами плоской прямой.
[ ПримЪчаше. При
da
dg
da
и прямая (I) не имЪетъ
общихъ точекъ съ окружностью круга рад!уса д, следовательно, нъть и
dg)
вещественной огибающей. При
da
1, прямая (I) перегёкаетъ окружность
круга въ двухъ точкахъ: одна опишетъ при изм-Ьненш а одну, другая другую
dg
вътвь огибающей. При
da
= 1, прямая (I) касается окружности огиба-
емаго круга и точка касашя опишетъ единственную вЪтвь огибающей. Кромъ
того, касательная къ линш центровъ будетъ перпендикулярна къ линш (I),
т. е будетъ нормалью къ огибаемой. ]
627. Подэры и антиподэры. Мы уже сказали въ § 590, с,
что подэрою данной кривой относительно точки Q называютъ
общее м%сто проекцШ точки Q на касательной къ данной кривой.
Если кривая (М) есть подэра кривой (Ж,) (рис. 75), то кривая G1/,)
называется антиподэрою кривой (М) относительно точки Q. Ясно,
что антиподэру некоторой кривой относительно точки Q можно раз-
сматривать, какъ огибающую перпеидикуляровъ MMlt возставлен-
ныхъ къ различнымъ прямымъ, проходящимъ черезъ Q, въ точкахъ
пересъ-четя этихъ прямыхъ съ данною кривою G1/). Это зам-Бчан1е
и указываетъ путь для опред"Блен1я антиподэры данной кривой.
Пусть М — некоторая точка на данной кривой, а Мх — соответ-
соответствующая ей точка на искомой антиподэрё. Напишемъ уравнен1е
огибаемой прямой въ вид%
л1 cos 6 -{-у sin в = г.

134
VI, 2. приложены къ плоскимъ кривымъ.
§ 627
Дифференцируя его по Q, находимъ
— л- sin в -\-у cos 9 = г\
Это есть ypaeHeHie прямой, перпендикулярной къ ММ1} проходящей
черезъ конецъ N полярной поднормали данной кривой (§ 588).
Координаты точки Мх удовлетворяютъ обоимъ уравнешямъ, следо-
следовательно, точка М, антиподэры данной кривой, соответ-
соответствующая точке М, есть проекция точки N на прямую MMt.
Изъ полученныхъ двухъ уравнешй находимъ для координатъ
точки Мх выражешя
х = г cos 9 — г' sin 9, у = г sin 6
cos (
Исключая Q изъ этихъ двухъ уравнешй, при чемъ г к г будутъ
известный функщи отъ 9) опредъляемыя полярнымъ урэвнетемъ
данной кривой, мы и получимъ урав-
уравнение антиподэры въ Декартовыхъ
координатахъ. Если, обратно, дана
будетъ кривая (Л/,), то изъ опредЪ-
лен1я ея подэры (М) известно будетъ
положеше точки М, соответствующей
точкъ Mt, и вышеизложенныя сооб-
ражешя даютъ возможность другимъ
путемъ придти къ построешю каса-
касательной въ точк% М на подэре (М).
Въ самомъ деле, эта касательная пер-
перпендикулярна къ нормали MN, а
прямая MN получится, какъ прямая,
проходящая черезъ М и середину
М
Рис. 75.
QMX. Далее, если желаемъ знать рад1усъ кривизны кривой {^
въ точке Мх (на антиподэре данной кривой (М), предполагая
известнымъ рад1усъ кривизны последней), то замечаемъ, что
Такъ какъ d§ есть уголъ смежности для кривой (Л/,), то ея рад1усъ
кривизны gt = г -\- г" *). Итакъ, достаточно продолжить прямую MXN
на длину 7VC, = г", чтобы получить въ точке С, искомый центръ
кривизны. Этотъ результатъ обыкновенно представляютъ въ другомъ
виде, выражая @, черезъ рад1усъ векторъ rt = QM^ и рад1усъ
*) Въ самомъ дъл-fe, <?9 эквивалеитенъ углу между двумя перпенди-
перпендикулярами къ двумъ безконечно близкимъ касательнымъ къ кривой (A/j),
. .. , d s У dx2 -f dy2
поэтому dH = dcp, ei=-r- = __^_ =

§§ 627—628
ОГИБАЮЩЩ КРИВЫЯ
135
кривизны q данной кривой (М). Выражение q получимъ по второй
изъ формулъ (8), а именно
Q =
Отсюда получается соотношеше
B9)
(W
которое и даетъ возможность построить С,, когда известно поло-
жеше центра кривизны С данной кривой (М). (См. § 595, j).
628. Каустики (Kausticae). Представимъ себе, что изъ неко-
некоторой точки Q выходятъ световые лучи, падаютъ на зеркало (М)
и отъ него отражаются *) (рис. 76). Пред-Ьльныя положешя точекъ
пересЬчешя каждыхъ двухъ безконечно
близкихъ отраженныхъ лучей образуютъ
светящуюся лин1ю, называемую каусти-
каустикою по отражент (катакаусти-
кою). Каустика кривой {М) относи-
относительно полюса Q будетъ, следовательно,
огибающей лучей, выходящихъ изъ Q
и отражающихся отъ (М) по известному
закону равенства угловъ паден1я и отра-
жен1я. Лучъ, отраженный въ точке М,
пройдетъ черезъ точку Z.,, симметрично
расположенную съ Q относительно ка-
касательной въ точке М {MLX = QM,
QMX =MXL^). Разсматривая еще кривую
(Z.) —общее место точекъ L, симметрич-
ныхъ съ Q относительно точки М {ML = MQ), — легко видеть,
что кривая (/.,) есть подэра кривой (Z.) относительно полюса Q.
[QLi ±LLX, касательная къ (L) LLt\\MMx]. Поэтому (§ 627)
нормаль къ кривой (Lx) въ точке Lx пройдетъ черезъ середину QL,
т. е. черезъ точку М. Следовательно, все отраженные лучи нор-
нормальны къ кривой (/.,), и огибающая ихъ есть эволюта этой кривой.
Итакъ, каустика данной кривой есть эволюта подэры кри-
кривой, подобной данной, относительно светящейся точки.
Отсюда следуетъ, что построеше точекъ каустики приводится къ
построена центровъ кривизны (см. § 595, j) подэры кривой (Z.)
относительно точки Q. При этомъ построеши, какъ легко видеть,
*) Точка Q, зеркало (М) и пучекъ падающихъ лучей предполагаются
лежащими въ одной плоскости.

136 VI, 2. приложешя къ плоскимъ кривымъ. § 628
можно замънить кривую (Z.) данною кривою (М) *). Въ томъ слу-
случай, когда световые лучи параллельны (светящаяся точка въ безко-
нечности) построеше каустики особенно упрощается, потому что
тогда имъетъ мъсто теорема: нормали къ каустикъ, происхо-
происходящей отъ пучка параллельныхъ лучей, дтзлятъ пополамъ
рад1усы кривизны зеркала въ соотвтзтствующихъ точкахъ.
[ ПримЪчаше. Теорему эту нетрудно доказать аналитически.
Направимъ ocbjy-овъ параллельно лучамъ, падающимъ на зеркало {М),
и пусть у = f(x) данное его уравнеше. Уголъ а, образуемый нор-
нормалью къ зеркалу въ точкъ М съ падающимъ лучемъ, равенъ углу,
образуемому касательного съ осью дг-овъ, такъ что tga =y'=f'(x).
Уголъ между падающимъ и отраженнымъ лучемъ будетъ равенъ 2а,
а потому уголъ /?, образуемый отраженнымъ лучемъ, будетъ равенъ
2 a + -=- (что прямо видно изъ чертежа); следовательно,
*'-т (¦>"¦-?
и уравнеше отраженнаго луча будетъ
О)! у-Ку=-1-(у--!-
Если присоединимъ сюда уравнен1е, полученное изъ A) дифферен-
цирован^емъ по параметру х, и изъ полученныхъ двухъ уравнешй
исключимъ х, то получимъ уравнеше каустики. Это второе уравнен1е
будетъ X— лг= — ^тг„ въ силу чего A) даетъ У—у\= — y—zn- ¦
Поэтому, обозначая черезъ (§, г\) координаты точки Р на каустик^,
соотв-Ьтствующей точке М(х, у) на зеркал^, будемъ
v' v'2 — 1
B) ? = *-^'Ч=.У-^уг--
Нормаль къ каустик% въ точкъ (§, г\) перпендикулярна къ огиба-
огибаемой A), следовательно, уравнен1е этой нормали будетъ
C) 2
Самое простое вычислеше покажетъ, что этому уравнен1ю удовлетво-
*) Это утверХсдеше не совсЬмъ точно. Точная формулировка получен-
наго результата состоитъ въ сл"Ьдующемъ: эволюта подэры данной кривой
и ея каустики относительно одной и той же данной точки суть двЪ подобныя
и подобнымъ образомъ расположенныя кривыя, при чемъ центръ подоб1я
лежитъ въ данной точктэ, а отношеше подоб!я равно 1:2. (См. Е. Weyr,
„Ueber die Identitat der Brennlinien mit den (Evoliiten der) Fusspunktskurven".
Zeitschrift fUr Math, und Physik, 1869, pag. 376).

§§ 628—629 огиБАЮцня кривыя. 137
A4-v'2)v'
ряютъ значешя X = \{х^-\-х), Y=^{yl-\-y), та.ъ хх = х — -— „ •
У
I 1+У /-• j.
jVt ==jv H „¦— , координаты центра кривизны С зеркала въ точке
(х, у), что и доказываетъ теорему. Построеше точки Р сводится
къ построешю перпендикуляра изъ середины СМ къ отраженному
отъ точки М лучу. ]
Возвращаясь къ общему случаю точки Q на конечномъ раз-
стоянш отъ зеркала и припоминая теорему о длине дуги эволюты
(§ 624), приходимъ къ следующему заключешю: Если Р и Р—
точки каустики, соответствующая точкамъ М и М' зеркала,
то w PP =±{ (QM+ МР) - (QM'+ М'Р) } . Действительно,
QM-\~MP=LtP, т. е. рад1усу кривизны кривой (/.,) въ точке /.,,
и аналогичное значеше-имеетъ сумма QM'-\-M'P', откуда и слё-
дуетъ вышесказанное на основанш § 624. Полученный результатъ
можно формулировать такъ: длина дуги каустики равна разности
между длинами путей, которые светъ проходитъ отъ светящейся
точки до одного и другого конца дуги. Если, каковы бы ни были
точки М и М' на зеркале, w PP = 0, тогда
QM + МР = QM'+ М'Р,
и получается такое следсше: если хотимъ, чтобы лучи, выходяшде
изъ точки Q, по отраженш отъ зеркала М, сошлись въ одной
точке Р, то необходимо, чтобы зеркало имъ-ло форму эллипса
съ фокусами въ Р и Q.
629. Упражнешя. а) Возвращаясь къ вопросу объ антиподэрахъ,
положимъ, что данная кривая есть улитка: г = a cos 9 + b. Изъ этого урав-
нен1я вытекаетъ: г + r"= b, а этого достаточно, чтобы утверждать, что
антиподэра есть кругъ рад1уса Ь. Точно такъ же, если данная кривая —
спираль Архимеда: г = «9, то г'=а, г"=0; точка N (рис. 75) есть центръ
кривизны антиподэры (М^), потому что г" = 0, и всегда остается на окру-
окружности круга рад1уса а, потому что г'= а. Итакъ, Архимедова спираль
есть подэра эвольвенты круга. Это свойство, которое можно считать
очевиднымъ (см. рис. 54), даетъ простой способъ построешя центра кривизны
въ данной точкт> М на Архимедовой спирали.
| ПрилгЪчаше. Отложивъ на перпендикуляр* къ рад1усу вектору|Л/??
(рис. 75) длину QN=a, строимъ прямоугольникъ MQNM1 и проводимъ
его Д1агонали MN и M^Q, проектируемъ N на QMy въ точку Н и точку Н
на NM1 въ точку L. Центръ кривизны С будетъ точка пересЬчешя прямыхъ
LQ и MN. Это прямо вытекаетъ изъ построеюя центра кривизны подэры,
указаннаго въ § 595, j. Полезно проверить это построеше съ помощью
второй формулы (8) для д, которая въ данномъ случат, даетъ
Ь) Найдемъ антиподэру прямой лиши относительно данной точки Q
(рис. 77). Примемъ данную прямую за ось у-овъ, а перпендикуляръ къ ней
изъ точки Q за ось дг-овъ. Тогда уравнеше прямой MMi будетъ ту=т2\^р

138 VI, 3. приложенш къ кривымъ двоякой кривизны. §§ 629—630
гдъ1 т обозначаеть угловой коэффищентъ (перемтшный), а \р — длину от-
р-Ьзка OQ (постоянную). Дифференцироваше по т даетъ у=тх, а исклю-
чен1е т даетъ лалЪе у2=2рх. Следовательно, антиподэра прямой относительно
данной точки есть парабола съ фокусомъ
въ данной точк-Ь, касающ.яся данной
прямой въ вершинЬ. Этотъ результатъ,
впрочемъ, можетъ быть выведенъ изъ
построешя касательной, даннаго въ § 627.
Въ самомъ дъпЪ, это построеше даетъ
Z Q M±N = /_ NMH, такъ что нормаль
дЪлитъ уголъ QMytl пополамъ; а съ дру-
другой стороны, на основаши сказаннаго въ
§ ^0, ^ вытекаетъ, что это свойство
принадлежитъ исключительно параболъ-.
Замътимъ еще, что въ настоящемъ
случаъ1 формула B9) обращается въ
rg1=2rl2 (е=оо), такъ какъ въ прямоуголь-
^ LQM 2LM
м
0
У
\ /
4^-
7\
g1l (е) ру
Рис. 77. номъ треугольник^ LQMi — ri2=r-LM1,
то точка L дЪлитъ рад1усъ кривизны по-
пополамъ. Такимъ образомъ снова получаемъ
изв-Ьстное уже построеше (§ 595, к).
с) Когда св-Ьтовые лучи.. выходящ1е изъ Q, отражаются отъ кругового
зеркала, то кривая (L) будетъ также кругъ, а слътювательно, кривая (Lj) —
улитка (§ 590, с). Въ частности, если точка Q лежитъ на окружности дан-
даннаго круга, то она лежитъ и на окружности круга (L), и улитка будетъ
кардюидою, эволюта которой будетъ другою кардюидою, втрое меньшею
первой и обратно расположенною. Итакъ, каустика кругового зеркала,
для пучка лучей, выходящихъ изъ некоторой точки самого зер-
зеркала, есть кардшида, касающаяся зеркала въ свътящей точкЪ Q\ точка
возврата этой кардюиды дЪлитъ Д1аметръ, выходяццй изъ?), въ отношенш 2:1.
Если же лучи выходятъ изъ безконечности, то, какъ мы вид-Ьли раньше, нормаль
къ каустик* въ точкт, Р, соотв*тствующей данной точк* М, на которую
падаетъ лучъ, проходитъ черезъ середину Л^ рад1уса ОМ. Поэтому, когда
построены окружности круга, проходящаго черезъ Л^ съ центромъ въ О, и
круга съ д1аметромъ MN, то, какъ видимъ, кривую (Р) можно разсматри-
вать какъ рулетту, описываемую точкою Р, когда второй кругъ безъ
скольжешя катится по первому. Итакъ, каустика кругового зеркала
для пучка параллельныхъ лучей есть эпициклоида съ двумя
точками возврата.
ПРИЛОЖЕНЫ КЪ КРИВЫМЪ ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ*).
Основныя формулы.
630. Касательная прямая и нормальная плоскость.
Касательного въ данной точки М какой угодно плоской или не
плоской кривой называется прямая, съ которою стремится совпасть
сЬкущая ММ', когда, фиксируя точку М, заставимъ точку М'
*) Неплоская кривая называется кривою двоякой кривизны по при-
чинЪ, которая выяснится впослЪдствш (§ 638). На нт>мецкомъ языкъ1 не-
плосюя кривыя называются витыми кривыми (gewundene Kurven), на фран-
цузскомъ — косыми (courbes gauches). На русскомъ ни то, ни другое назваше
не вошло въ употреблеше.

§ 630 основныя формулы. 139
безпредъльно приближаться къ М, оставаясь на данной кривой.
Мы ограничимся зд-Ьсь изучешемъ такихъ кривыхъ, для которыхъ
им'Ьетъ мъсто равенство:
.. ^ ММ' ,
хорда ММ'
подобно тому, какъ это имЪло место для плоскихъ кривыхъ въ
предыдущей главе. Такъ какъ направляющее косинусы секущей
равны разностямъ дх, ду, 6z между координатами точки М и
координатами (х,у, z) точки М, д%леннымъ на длину отрезка ММ'>
то, переходя къ пределу и заменяя хорду ММ' дугою ММ' — ds,
найдемъ, что направляюиие косинусы касательной въ точк-Ь-
(х, у, z) определяются формулами
/,ч dx , dy dz
A) а = -¦=- > b = -f- • с = j- *).
v ' ds ds ds
Формулы эти относятся къ положительному направленш каса-
касательной, которое всегда выбираемъ идущимъ въ сторону возраста-
ющихъ дугъ 5. Возвышая равенство A) въ квадратъ и складывая,
найдемъ
B) ds2 = dx>- + dy4- + dzK
Если координаты х, у, z заданы, какъ функщи н-Ькотораго пара-
параметра t, то сперва вычисляемъ ds по формул-fe
ds = Ydx-
а зат-вмъ по формуламъ "A) находимъ и направляющее косинусы
касательной. При этомъ беремъ положительное или отрицательное
значешя корня квадратнаго, смотря по тому, будетъ ли 5 возра-
возрастать или убывать при возрастанш t. Уравнен1я касательной будутъ
Х-х _ Y-y Z-z _
dx dy ~ ds
Ихъ можно прямо писать, какъ уравнен1я прямой, проходящей
черезъ точки (х, у, z) и {x-\-dx, у + dy, z -\- dz). Полезно
заметить еще другую форму уравнешй касательной, применяемую
съ удобствомъ въ томъ случай, когда кривая задана двумя уравне-
шями вида:
<р{х, у, s) = 0, у>(х,у,з) = 0.
*) Для вывода этихъ формулъ можно воспользоваться разсуждешями,
совершенно аналогичными тЪмъ, которыя приведены въ прим-Ъчанш къ § 591.

140
VI, 3. ПРИЛОЖЕНИЯ КЪ КРИВЫМЪ ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ. §§ 630—631
Такъ какъ X— х, Y—y, Z — z пропорциональны дифференцдаламъ
dx, dy, dz, который связаны соотношешями
дт , , дер дт
-^- dx + ~ dy + ~i-1
дх ду ¦* dz
= 0
то будемъ им-Ьть
д<р
p
ду
'-у)
Это и будетъ уравнеше касательной. Нормальною плоскостью
въ точке М называютъ общее место нормалей къ кривой въ этой
точке, т. е. перпендикуляровъ, возставленныхъ изъ М къ касательной.
Уравнеше нормальной плоскости есть
(Х-х) dx + {Y-y) dy + (Z-z) dz = 0,
или, если кривая задана уравнешями <р = 0, ^ = 0, то
д т д ip
Л. — Л — -г
д х о х
Y— д У дщ>
ду ду
Z — z
д у)
= 0.
631. Бинормаль и соприкасающаяся плоскость. Главная
нормаль и спрямляющая плоскость. Когда точка М' стремится
къ совпадению съ М, то плоскость, проходящая черезъ касательную
въ М и параллельная касательной въ М', можетъ и, вообще
говоря, будетъ стремиться къ нъкоторому предЪльному положенш.
Это предельное положеше определяемой указаннымъ образомъ
плоскости называютъ соприкасающеюся плоскостью (oskulierende
Ebene) въ точке М. Одна изъ безчисленнаго множества нормалей
въ точке М лежитъ въ этой плоскости и называется главною
нормалью, другая перпендикулярна къ этой плоскости и называется
бинормалью, потому что ее можно разсматривать, какъ перпенди-
куляръ къ двумъ безконечно близкимъ касательнымъ, т. е. какъ
предельное положеше общаго перпендикуляра къ касательнымъ въ
точкахъ М и М'. Плоскость, проходящую черезъ касательную и
бинормаль, называютъ спрямляющею плоскостью (rektifizierende
Ebene).

631-632
основный формулы.
141
[ ПримЪчаше. На главной нормали и на бинормали, такъ же
какъ на касательной, и вообще на всякой прямой, выбираютъ по
произволу определенное направлеше, которое называютъ положи-
тельнымъ, и когда говорятъ объ зтихъ прямыхъ, то всегда подра-
зумъваютъ это направлеще, если не сказано противоположнаго.
Вмъстъ съ тъмъ различаютъ на нормальной, соприкасающейся, спря-
спрямляющей плоскости положительную и отрицательную сторону, при
чемъ положительною называютъ ту, которая обращена въ ту же
сторону, куда идетъ положительное направление перпендикуляра къ
той или другой плоскости. То же самое относится и къ координат-
нымъ плоскостямъ.]
п
Нормальная
плоскость
Соприкасающаяся
плоскость
Рис. 78.
Спрямляющая
плоскость.
Рис. 79.
Три прямыя (касательная, бинормаль и главная нормаль) и три
плоскости (нормальная, соприкасающаяся и спрямляющая) предста-
вляютъ собою соответственно ребра и грани трехграннаго угла,
съ вершиною въ точкъ М, который называется фундаменталь-
нымъ или основнымъ тр1эдромъ. Мы увидимъ впоогЬдствш,
что для определения относительнаго положешя основныхъ тр!эдровъ
въ двухъ безконечно близкихъ точкахъ М и М' достаточно будетъ
знать две безконечно малыя величины е и ц, опредъляемыя слЪ-
дующимъ образомъ: s есть дифференщалъ, эквивалентный углу
между касательными въ точкахъ М и М', a rj—дифференщалъ,
эквивалентный углу между бинормалями въ этихъ точкахъ. Первый,
s называется угломъ смежности, второй г\ — угломъ кручешя.
632. Теперь намъ нужно сделать небольшое отступлеше.
Положимъ, что дана некоторая прямая, направляющее косинусы
(А, В, С) которой непрерывный функщи независимой переменной.
Всегда можно найти дифференщалъ, эквивалентный безконечно ма-
малому углу между направлешями (А, В, С) и (А -\- дА, В-\-дВ,

142 VI, 3. приложения къ кривымъ двоякой кривизны. §§ 632—634
С-\-дС), т. е. направлешями, соответствующими значешямъ t и
t -\- dt независимой переменной. Для этого представимъ себе шаръ
рад1уса, равнаго 1, съ центромъ въ начале координатъ О, и про-
ведемъ радиусы ОР и ОР', въ данныхъ направлешяхъ {А, В, С)
и (А -\- дА, В -\- ЬВ, С + дС). При изм-Ьненш t точка Р опишетъ
на поверхности шара некоторую кривую. Уголъ между данными
направлешями измеряется дугою большого круга PP. Ясно, что
эта дуга эквивалентна хорде РР', которая въ свою очередь экви-
эквивалентна дуге РР' кривой линш, описываемой точкой Р; наконецъ,
дуга РР1 этой кривой эквивалентна дифференщ'алу дуги а той же
кривой, отсчитываемой отъ произвольно выбраннаго на кривой начала.
Замечая теперь, что А, В, С будутъ, очевидно, равны координатамъ
точки Р (потому что ОР—1), по формуле B) найдемъ
C) da2 = dA2 + dB2 + dC2.
Къ другому замечательному выраженго da придемъ, заметивъ, что
А2+В2+С2=1, AdA-\-BdB+CdC = O, вследств!е чего (§30)
А В С
dA dB dC
2А2 2A dA
IAdA Id A2
do0-,
а потому
D) da2 = (BdC- СdBf +{CdA-AdCJ + {AdB - BdAf.
633. Обратимся теперь къ определенда направлешя главной
нормали. Съ этой целью замечаемъ следующее: если направлеше
{А, В, С) совпадаетъ съ направлешемъ касательной (а, Ь, с) къ
данной кривой въ точке М, то плоскость ОРР' будетъ параллельна
касательнымъ въ точкахъ М и М', и съ приближетемъ М къ М
(при чемъ и Р стремится совпасть съ Р, если а, Ь, с непрерывныя
функщи отъ f), будетъ стремиться къ совпаденш съ соприкасаю-
соприкасающеюся плоскостью. Предельное положеше прямой РР' будетъ
касательная къ кривой (Р) въ точке Р и потому перпендикулярно
къ О Р. Следовательно, предельное положеше прямой РР будетъ
параллельно не только соприкасающейся, но и нормальной плоскости,
т. е. параллельно главной нормали. Применяя теперь формулы A)
къ кривой (Р) (при чемъ da = s, а х, у, z надо заменить черезъ
а', Ь, с), находимъ для направляющихъ косинусовъ главной нормали
формулы
.da db dc
E) А = — • и = — > i> =
J ее s
634. После этого можно определить и направлеше бинормали.
Оставляя пока положительное направлеше бинормалиу неопределен-
нымъ, обозначимъ направлянлше косинусы бинормали черезъ a, fi, у.
Эти величины удовлетворяютъ услов1ямъ ортогональности относи-
относительно касательной и главной нормали
2аа = аа + $Ь +ус = 0, 2ак = al + Рр + yv = 0.

634
ОСНОВНЫЯ ФОРМУЛЫ.
143
Присоединимъ къ этимъ двумъ уравнешямъ еще третье — yoioeie
перпендикулярности касательной и главной нормали
IaX = аХ
cv = 0.
Эти три уравнетя выражаютъ ортогональность определителя девяти
основныхъ косинусовъ
а Ь с
а Р у
X рь v
Значеже этого определителя будетъ, следовательно, равно + 1.
{§ 69). Но всегда можно *) выбрать положительное направлеше
бинормали такъ, чтобы имело место равенство
а Ь с
а Р у
X /л v
Геометрически такой выборъ положительнаго. направлешя бинормали
сводится къ следующему предположенш: Если мы совместимъ
основной тр1эдръ съ тр!эдромъ координатныхъ осей такимъ обра-
зомъ, что положительныя направлешя касательной и главной
нормали (выбираемыя по произволу) совпадутъ соответственно съ
положительными направлешями осей дг-овъ и s-овъ, то положи-
положительное направлеше бинормали совпадетъ съ положительнымъ на-
правлен!емъ оси jy-овъ. Намъ известно, что при вышеуказанномъ
услов1и (§ 70) каждый элементъ определителя F) равенъ
своему алгебраическому дополнен1ю. Поэтому, пользуясь
формулами E), найдемъ, что направляющее косинусы бинор-
бинормали определяются формулами
а Р у 1
bdc — cdb cda — adc adb — bda e
Теперь мы можемъ написать и уравнеше сокрикасающейся плоскости,
а именно: 2(bdc — cdb) (X— х) = 0, или подробнее
(bdc- cdb) (Х- х) + (cda - adc) (Y-y) + (adb - bda) (Z - z) = 0.
На основанш формулъ A) мы можемъ написать это уравнеше еще
въ следующемъ виде:
X — х dx d2x
Y — у dy d2y
Z~z dz
= 0.
*) Изменяя, если понадобится, знаки чиселъ а, 13, у.

144
VI, 3. приложешя къ кривымъ двоякой кривизны. §§ 634—635
Отсюда видимъ, что соприкасающуюся плоскость въ точкъ (х,у, z)
можно разсматривать, какъ плоскость, проходяшую черезъ касатель-
касательную в1> этой точкЪ и черезъ точку
(x + dx + \d2x.
dz
[ Прим1>чан!е. Для того, чтобы уравнеше соприкасающейся
плоскости могло быть представлено въ указанномъ вид-б, необходимо,
во всякомъ случай, предположить, что не всЬ коэффищенты при
X — х, Y—y, Z—z, т. е. не вс-fe три минора, составленные изъ
двухъ послъднихъ столбцовъ, равны нулю. При этомъ предполо-
предположен^ легко доказать существоваше соприкасающейся плоскости,
которое мы выше допустили. Въ самомъ дълъ, уравнеше плоско-
плоскости, проходящей черезъ касательную въ точки (х, у, z)
Х-х Y-y Z-z
dx
dy
dz
и параллельной касательной въ точкЪ (х-\-дх, у-\-ду, z-\-6z)
Х-(х + дх) Y-(y+dy) Z-(s + de)
(И)
dx + д dx
dy + й dy
dг + 6 dz
можетъ быть написана въ сл-Ьдующемъ вид-fe:
(III)
X — х dx dx + б dx
Y—y dy dy + 6 dy
Z—z dz dz-\-dds
О или
X — x dx д dx
У—у dy д dy
Z — г dz д dz
= 0.
РаздЪливъ послъ-дшй столбецъ на ds, переходя въ лЪвой части къ
пределу при ds = 0 и вновь умноживъ посл'Ьдшй столбецъ на
ds = ds, мы и придемъ къ уравнешю
X - х dx d*x
Y—y dy d2y
Z—z dz d2z
= 0.
Такъ какъ, по сдъ-ланному предположенш, это равенство, действи-
действительно, является уравнешемъ, то существоваше соприкасающейся
плоскости доказано. ]
635. Формулы G) и E) даютъ возможность вычислить на-
правляюцпе косинусы бинормали и главной нормали по даннымъ
косинусамъ а, Ь, с, опредъ-ляющимъ направлеше касательной, такъ
какъ уголъ смежности е можетъ быть вычисленъ по одной изъ
сл'вдующихъ формулъ:
F2=da2+db2+dcZ, e2= {bdc - cdbf + (cda - adcf + (adb - bdaf.

§ 635 основныя формулы. 145
При этомъ знакъ, съ которымъ беремъ отсюда е, остается произ-
вольнымъ, потому что изм-Ьнеше этого знака въ формул^ G) и E)
влечетъ за собою измънеше знаковъ чиселъ a, ft, у и Я, fi, v,
такъ что значеше определителя F) не измъняется. Если вмъхто а, Ь, с
были бы даны a, ft, у, то можно было бы вычислить уголъ кру-
чешя у] по формуламъ
,f = da? + d^ + df-, -jj2 = (fidy - ydfif + (yda - adyf + (ad0-0daf,
а загёмъ, зная rj, съ помощью формулъ, аналогичныхъ G) и E),
опредълить направлеше двухъ другихъ реберъ основного тр1эдра.
Въ самомъ дЪлЪ, дифференцируя равенства 2аа = 0, 2аг—1,
при помощи E) найдемъ
2ada= — 2 ada = — eSal = O, 2ada = 0,
Следовательно, -^ = — = -- = ± 1I или> выбирая надлежащимъ
образомъ знакъ у »у,
(8) Я = —' /I = — > v = — •
ч ч ч
Далъе, /?а?у — fdft = (ftv—YlJI')r} = я'»} и т- Д-> т- е-
^ ,3 d у-у d$ = 7^«~ arfy = luff^Jda = ^ '
Зам'Ьтимъ и зд%сь, что измЪнеше знака ?j или знаковъ a, ft, у
въ (8) и (9) не нарушаетъ равенства F).
[ Прим1>чаше. Обращаемъ внимаше читателя на одну особен-
особенность въ изложенш Чезаро, отличающую его от_ъ принятаго въ
большинства руководствъ по Дифференц1альной Геометрш. Разсма-
тривая Bitftcrt съ данною кривою (М) сферическую кривую (Р),
о которой здъть говорится въ §§ 632—633, или такъ называемую
сферическую указательницу, ставятъ услов1емъ, что дифферен-
щалъ ея дуги da берется съ тъмъ же знакомъ, съ какимъ берется
дифференщалъ ds дуги данной кривой, т. е. что a a s одновре-
одновременно возрастаютъ и убываютъ (см., наприм-Ьръ, Гурса „Курсъ
математическаго Анализа", переводъ подъ ред. проф. Б. К. Млод-
з^евскаго, т. I, стр. 506). Въ силу этого услов1я отношеше ~
или —, такъ называемый рад^усъ первой кривизны Q, оказы-
оказывается всегда числомъ положительными Вм-fecTt съ т^мъ за поло-
положительное направлеше главной нормали берется положительное на-
правлен1е касательной къ сферической указательниц-Ь, которое не
зависитъ отъ выбора положительнаго направлешя на данной кривой
(см. Гурса стр. 509). Чезаро этого услов1я не ставить и разсма-

1 46 VI. 3. ПРИЛ0ЖЕН1Я КЪ КРИВЫМЪ ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ. §§ 635—636
триваетъ Q, какъ алгебраическое количество, которое можетъ быть
какъ положительнымъ, такъ и отрицательнымъ, и оставляетъ выборъ
положительнаго направлешя главной нормали, равно какъ и поло-
жительнаго направлешя касательной произвольнымъ, определяя лишь
положительное направлеше бинормали, при сдЪланномъ выбора
первыхъ двухъ, услов1емъ F), которое можно назвать услов1емъ
конгруэнтности основного тр1эдра Mt, Mb, Mn (рис. 79) съ
тр1эдромъ координатныхъ осей Ox, Oy, Oz. Подобная точка зрЪшя,
конечно, допустима и ни къ какимъ противоръ^ямъ не ведетъ, но
врядъ ли оправдывается какими нибудь особыми выгодами; н-Ько-
торыя изслЪдовашя (какъ наприм'Ьръ, изсл'Ьдован1я § 643) даже
усложняются. Относительно услов!я F) зам"БТимъ еще следующее.
Когда положительныя направлежя Mt, Mb, Mn совпадутъ съ по-
положительными направлениями Ox, Oy, Oz (и точка М съ О), то
а= 1, b = с = 0; /9=1, а = у = О, v = 1, Я^=^ = 0 и опред%литель
F) = + 1. Это значеше онъ сохранитъ и при всякомъ другомъ
положенш основного тр!эдра, потому что, будучи ортогональнымъ,
онъ можетъ им-бть только значешя -)- 1 или —1, а не обращаясь
въ нуль и будучи непрерывною функщею отъ своихъ элементовъ,
не можетъ менять знака.]
636. Формулы Френё. Дифференцируя равенства 2аХ = О,
2аХ = 0 и 2Х1 = 1, принимая во внимаше формулы E) и (8),
найдемъ
2adl= - IXda = -eIX2= -e,
Sadl= - Iida = -'nZl2= -4
и 'EXdX = 0. Следовательно, dX, dpi, dv удовлетворяютъ систем-fe
уравнешй
adX + bdpb + cdv = — e
ad X + fld(i + ydv= — i)
XdX + [idfb + vdv^ 0.
Опредълитель этой системы равенъ опредълителю F); значен!е его
равно 1 и каждый элементъ равенъ своему алгебраическому допол-
нешю. Отсюда тотчасъ получаемъ формулы
A0) dX = — ае — at), d/л = — be — /?¦>), dv = — се — у ц,
изв^Ьстнын подъ назван1емъ формулъ Френё. Въ совокупности съ
формулами E) и (8) онЪ показываютъ, что дифференшалы
девяти фундаментальныхъ косинусовъ выражаются линей-
линейными функц!ями самыхъ косинусовъ; коэффищенты въ этихъ
выражешяхъ зависятъ только отъ е и г). Если обозначимъ еще че-
резъ а> дифференщалъ, эквивалентный углу между двумя безконечно
близкими главными нормалями, то изъ формулъ A0) черезъ возвы-

§§ 636—637 основный формулы. 147
шеше ихъ въ квадратъ и сложеше получимъ co2 = e2-|-?ja. Свойство,
выражаемое этимъ равенствомъ, легко получаемое также геометри-
геометрически, известно подъ именемъ теоремы Ланкрё (Lancret).
637. Полезно замътить, что формулы, аналогичныя предыду-
щимъ, им-Ьютъ м^сто для всякой системы трехъ ортогональныхъ
направленШ. Разсмотримъ сперва два произвольныя перем-Ьнныя
направлешя и назовемъ вращен1емъ перваго направлен1я отно-
относительно второго дифференщалъ со, эквивалентный безконечно
малому измЪнешю направлешя проэкщи перваго направлешя на
плоскость, параллельную обоимъ *) Предложимъ себ-fe вычислить со
по даннымъ косинусамъ [А, В, С) и (А', В', С), опред-Ьляющимъ
первое и второе направлешя. Проведемъ черезъ начало координатъ
четыре прямыя, параллельныя и одинаковонаправленныя съ(А, В, С),
{А', В, С), (А + дА, В+дВ, С+дС) и проекщею послъдняго
направлешя на плоскость, параллельную первымъ двумъ**). Пусть
Р, Р'', Р" будутъ точки пересЪчешя первой, третьей и четвертой
прямой съ поверхностью шара рад1уса, равнаго единицт,, съ центромъ
въ началЪ координатъ. Тогда {А, В, С) будутъ координатами
точки Р, (Л-}-дА, В-\-дВ, С + Сд) координатами точки Р',
а потому ЬА, дВ, дС будутъ, очевидно, проекши элемента РР'
на координатныхъ осяхъ. Элементъ РР" эквивалентенъ дифферен-
Ц1алу со, согласно опредЪлешю послЪдняго. Этотъ элементъ можно
разсматривать какъ проекщю элемента РР' на направлеше (/, т, п)
элемента РР", очевидно, перпендикулярное къ (А, В, С) ***).
Поэтому, удерживая однЪ лишь дифференщальныя безконечно малыя,
найдемъ
ы = idA + tndB + ndC.
Дал-fee, если назовемъ черезъ (р уголъ между направлешями {А, В, С)
и (А', В\ С), то, очевидно, будемъ им-Ьть
А' = A cos ср + / sin <р, В'= В cos q> -\- т sin q>, Су= С cos (р + п sin <p ****).
Умножая посл^дтя равенства соответственно на dA, dB, dC и
складывая, тотчасъ найдемъ
со sin <р = A'dA + B'dB+ С dC.
Это и есть та формула, которая оказывается весьма полезною въ
геометрическихъ и механическихъ приложешяхъ. Если теперь напра-
*) Точнее говоря, безконечно малому углу между начальнымъ и измЪ-
неннымъ направлен!емъ этой проекши.
**) Величины 6А, дВ, дС им-Ьютъ здЪсь то же значеше, что и
въ § 632.
***) РР" есть проекщя элемента РР' на направленш элемента РР",
потому что Р'Р" ±_ плоскости ОРР'\ а следовательно, и къ РР".
****) Проектируемъ на оси Ox, Oy, Os стороны прямоугольнаго тре-
треугольника, въ которомъ гипотенуза имЪетъ направлеше (А', В', С) и катеты
направлешя (А, В, С) и (/, т, п) и уголъ дэ противолежитъ катету (/, т, п).

148 VI, 3. приложена къ кривымъ двоякой кривизны. §§ 637—638
влешя {А', В', С) и {А", В", С") образуютъ съ направлешемъ
{А, В, С) ортогональную систему съ опредълителемъ, равнымъ
единиц-в, то, обозначая черезъ со' и со" соответственно вращешя
направления (А, В, С) относительно [А', В', С) и {А", В", С")
на основании вышеприведенной формулы будемъ имъть
\2 A dA = 0, 2A'dA = a', 2 A"dA = со",
откуда выводимъ
dA = A'co'+A"m", dB = В'ы''+ В"ы", dC = С'ы'+ С"ы".
Далее, если обозначимъ черезъ ы дифференщалъ, эквивалентный
абсолютному изменен!ю направлен!я (А, В, С) вь про»
странств%, то съ помошью формулы C) § 632 и предыдущихъ
получимъ w2= co'a-j- ы"а. Въ частности, формулы E) и (8) пока-
зываютъ, что абсолютное H3MtHeHie направлен1я касательной приво-
приводится къ вращешю е относительно главной нормали, абсолютное
изм^неше направлешя бинормали къ вращению г/ около той же
главной нормали. Формулы A0) показываютъ, напротивъ того, что
абсолютное измЪнеше направлешя главной нормали м составляется
изт- двухъ вращенШ — ей — г) этой прямой относительно пер-
выхъ двухъ.
О первой и второй кривизн^.
638. Какъ для плоскихъ, такъ и для неплоскихъ кривыхъ
Mtpoio первой кривизны или просто кривизны (Flexion) служитъ
s da . и
отношена -з— или -т~\ аналогично этому отношена --/- принимается
за Mtpy второй кривизны или кручен!я (Torsion) данной кривой
въ данной точкъ\ Она не встречается при изучеши плоскихъ кри-
кривыхъ, потому что для нихъ она всегда равна нулю. Удерживая
дал^е назваше рад1уса кривизны для отношен!я —, условились
s
называть рад1усомъ второй кривизны или кручен!я отно-
шен1е * = — • Введете опредъленныхъ q и ъ во Bet предыдуипя
формулы, вместо безконечно малыхъ е и г\, делается съ ц^блью
придать этимъ формуламъ болЪе точную форму. Формулы E), (8)
и A0) принимаютъ видъ
(П)
da
Ts
db
ds
dc
ds
Я
о
,«.
~ Q '
V
da
ds~
dil
ds
dt
ds
t.
V
г
dl
ds~
dji
dv
ds
a
¦ Q
b
Q
С
Q
a
г
1
г

§§ 638—639 о первой и второй кривизн-ь. 149
Принимая во внимаше формулы A), можно написать три формулы
перваго столбца иначе, а именно:
.,„. , d dx d dy d dz
K ' ds ds ds ds ds ds
или, если угодно, такъ:
, ¦ IcPx dxd^s\ td*y dy d2s\ ld*z dzd*s
я = в\)- »=e\y v = Q\-T
Точно такъ же, на основанш формулъ A), можно написать форь
мулы G) слъ-дующимъ образомъ:
,,., idzcPy dycPz\ IdxcPz dz d?x\
\rfsrf.?2 dsds2j \dsds2 dsds2/
_ ldyd%x
1 Q~
639. Вычислен!е первой кривизны. Формулы A), A2) и A4)
даютъ выражешя девяти фундаментальныхъ косинусовъ въ первыхъ
и вторыхъ производныхъ отъ координатъ точки (х, у, г), считая
изв-Ьстнымъ значен1е д. Это значен1е получится изъ гбхъ же фор-
формулъ, потому что, возвышая въ квадратъ и складывая равенства A2),
получаемъ
' 1 / d dx\* I d dyV I d
\ + +\
или, если угодно, на основан1и A3),
1 _ IcPxV* ld2y\z lePzf
F " \d&) \d&) \d&)
Если примемъ 5 за независимую переменную, то nocfltflHift членъ
обратится въ нуль, и мы увидимъ, что и здъхь, какъ и въ плоскихъ
кривыхъ (§ 558, е), квадратъ кривизны равенъ сумм^в квад-
ратовъ вторыхъ производныхъ отъ координатъ, взятыхъ
по дуг^в. Если возвысимъ въ квадратъ равенства A4) и сложимъ,
то получимъ другое выражеше для о:
A6)
Y(dy сРг - dz cPyf + {ds d2x — Jxdtzf + (dx cPy - dy
При постоянномъ z оно заключаетъ въ ce6t, какъ частный случай,
извъстное выражен1е для д, чаще всего прилагаемое въ изслъдованш
плоскихъ кривыхъ. Изъ формулъ A5) тотчасъ сл^вдуетъ, что прямая
есть единственная лин1я, имеющая кривизну, равную нулю
(во всбхъ точкахъ). Въ самомъ д^л^б, — лишь тогда постоянно

150
VI, 3. ПРИЛОЖЕНА КЪ КРИВЫМЪ ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ. §§ 639—640
равно нулю, когда всЬ три вторыя производный координатъ по s
одновременно равны нулю. Тогда первый производный равны посто-
яннымъ а, Ь, с, а отсюда, обозначая черезъ х0, у^, zQ координаты
точки, отъ которой считаютъ дуги 5 (т. е. такой, что при х = х0,
У =Уо> z = zo и 5 = °)> найдемъ х = as -{- х0, у = bs + 1>0,
z = cs -\- с„. Исключая 5, получаемъ
х-х0 yj-jyo з — z0
уравнен1я прямой, проходящей черезъ (х0, у0, s0) въ направлен^
(а, Ь, с).
640. Вычислен!е крученая. Изъ второго столбца фор-
мулъ A1), путемъ умножешя на Я, рь, v и сложен1я, получаемъ
da
ds
Съ другой стороны, дифференцируя формулу A4), имЪемъ
da tdzd^y dy das\ [a dg
rfi'= Q [is Js* ~ Ts Js*J + 7 ^5 И T' Д'
Отсюда, принимая во внимаше формулы A3), получаемъ
?!
dx
Ts
dy
ds
ds
ds
dz rfSj
d s ds
Ts?
(i S
d s^
) dy
dlP
%
d$s
d*z
ТФ
или
A7)
Эта важная формула даетъ величину кручешя, когда известна кри-
кривизна. Подставляя сюда выражеше q по формулъ A6), можемъ
также написать
{dy
(ds d?-x —
(dx d\y - dy d^x
(dy cPs - ds cPyf + (dz Wx'^
dy cPxf
Это и есть искомое выражеше величины кручешя. Изящнее можно
представить его въ видТз
dx dy ds
1
dx dy dz
d"-x d2y d^s

§§ 640—642 ИЗСЛЪЦОВАШЕ КРИВЫХЪ ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ.
151
Для плоскихъ кривыхъ, очевидно, кручеше постоянно равно нулю,
если исключимъ прямую линш, для которой кручеше величина не-
неопределенная, такъ какъ всякую плоскость, проходящую черезъ
данную прямую, можно разсматривать какъ соприкасающуюся пло-
плоскость. Полезно заметить, что плосюя кривыя суть единственныя,
для которыхъ кручеше постоянно равно нулю. Въ самомъ дълъ,
если кручеше постоянно равно нулю, то определитель въ правой
части формулы A7) постоянно равенъ нулю, а отсюда (§ 375)
слъдуетъ, что при надлежащемъ выборъ трехъ постоянныхъ a, /?, у,
сумма 2adx = 0, а потому Пах, т. е. ах-\-@у -\- yz = const.,
и кривая лежитъ въ плоскости. Это заключеше, равно какъ и заклю-
чеше, приведенное въ концЪ предыдущаго §, можно вывести также
непосредственно изъ первыхъ двухъ столбцовъ формулъ A1)*).
641. Вычисление кручешя можно вести также тъмъ путемъ,
какимъ было выведено выражеше A5) для кривизны. Действительно,
изъ формулъ A2) съ помощью дифференцировашя получимъ
1 d \ /я , а\ 1 d d dx
Я -j — - = -г- -j- -j- и т. д.,
ds g \q t, j Q dsds ds
a зат'Ьмъ, возвышая въ квадратъ и складывая, найдемъ
— IXл. A
\
d dx\2
ds ds)
d
d dy\f I d d rfe\2
ds Ts~d~s) +\~ds~ds~ds)'
Q/ \Г *3/ Q-
Къ этой формул*, которая также дастъ *, когда р известно, можно
также придти, возвышая въ квадратъ равенство A7), представивъ
сперва правую часть въ болъе общемъ видъ
dx d dx d d dx
d s ds ds ds ds ds
dy d dy
ds ~ds ds
ds
Is
d ds
ds ds
ds ds ds
d_ d ds
ds ds ds
что всегда возможно (§ 558, с).
ИзслЪдоваше кривыхъ двоякой кривизны.
642. [ ПрилгЬчаше. Въ дальнъйшихъ изслъдовашяхъ мы усло-
условимся разъ навсегда, что взаимное расположеше координатныхъ
осей характеризуется слъдующимъ образомъ: Представимъ ce6t
наблюдателя, стоящаго на плоскости О ху по направленш положи-
положительной оси з-овъ и смотрящаго по направлен1ю положительной
*) Этотъ выводъ им-Ьлъ бы то преимущество, что не нужна была бы
ссылка на теорему Вронскаго [см. часть 1, прим. XLIV (къ § 375) на стр. 428].

152 VI, 3. ПРИЛОЖЕНЫ КЪ КРИВЫМЪ ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ. §642
оси лг-овъ; мы условимся, что для этого наблюдателя положительная
ось jy-овъ направлена вправо; иными словами, положительную ось
_у-овъ надо повернуть на уголъ въ 90° въ направленш, противопо-
ложномъ движению часовой стрелки, для того, чтобы она совпала
съ положительною осью я>овъ. При этомъ условш, согласно условш
конгруентности F) § 634, расположеше реберъ основного тр1эдра
будетъ именно такое, какое изображено на рис. 79, а именно на-
наблюдатель, стоящдй на спрямляющей плоскости по положительному
направленш главной нормали и смотря щШ въ положительномъ на-
направленш касательной, увидитъ положительное направлеше бинормали
вправо отъ себя. Такое соглашение делается для того, чтобы можно
было кратко и определенно формулировать мнопе изъ дальнЪйшихъ
результатовъ. ]
Когда известны кривизна и крученое въ данной точке М на
кривой, то определится и положеше основного тр1эдра въ точке М',
безконечно близкой къ М. Чтобы это показать, вычислимъ сперва
разстояше 2Адх отъ точки М' (х-\-дх, у ~\-ду, з + dz) до
плоскости, проходящей черезъ М и перпендикулярной данному
направленш (А, В, С). При этомъ подъ разстоятемъ М отъ
этой плоскости понимается его алгебраическая величина, т. е. раз-
стояте, взятое съ -р-> яля точекъ, лежащихъ съ одной стороны
отъ плоскости и съ —, для точекъ съ другой стороны. Перемена
знака этого разстояшя обозначаетъ переходъ точки М' съ одной
стороны на другую. Разлагая Ьх, бу, 6z по формуле Тэйлора
(§ 564), всегда можно принять за независимую переменную дугу s
данной кривой; при такомъ предположенш формулы A1) дадутъ
dx _ <Рх_Х_ <Рх _ d_\
as ds1 q ds* ds q
а потому
и окончательно
A8)
2
где d., oB, S обозначаютъ косинусы угловъ направлен1я (А, Б, С)
съ ребрами основного тр1эдра, т. е.
Только при ?1 = 0 правая часть формулы A8) есть безконечно
малая второго порядка (относительно ММ' = ds), и делается без-
безконечно малою выше второго порядка когда, кроме того, еще и
S = 0. Отсюда видимъ, что разстояше точки М' отъ всякой пло-
плоскости, проходящей черезъ касательную въ точке М, вообще

§§ 642—643 изсл-ьдованш кривыхъ двоякой кривизны.
153
безконечно малая второго порядка относительно дуги ММ'; лишь
одна изъ веЬхъ этихъ плоскостей отстоитъ отъ М' на безконечно
маломъ разстоянш, по крайней мъръ, третьяго порядка, а именно
соприкасающаяся плоскость (при d. — О, © = 0, направлеше
{А, В, С), очевидно, параллельно бинормали). Итакъ, можемъ
сказать, что соприкасающаяся плоскость тъснъе всЬхъ другихъ
плоскостей примыкаетъ къ кривой въ смежности съ точкою М.
643. Формулы A8) тотчасъ дадутъ выражешя координатъ
и, v, w точки М' относительно основного тр1эдра. Стоить только
последовательно совмещать направлеше (А, В, С) съ касательного
(?1=1, & = © = 0), бинормалью (SB = 1, а = © = 0) и главною
нормалью (<2 = 1, SL = SB = 0), чтобы получить; в-Ьрно до безко-
безконечно малыхъ третьяго порядка (относительно ds) включительно,
координаты точки М' относительно нормальной, соприкасающейся
и спрямляющей плоскости, а именно:
A9)
и = ds —
dss
2{5 6{52
Эти формулы даютъ возможность изслъ\цовать ходъ кривой въ
смежности съ точкою М. Мы предположимъ, что въ этой точкъ
ни первая, ни вторая кривизна не равны нулю и замЬтимъ, что
знаки чиселъ и, v, w при достаточно маломъ ds определяются
Рис. 80.
знакомъ члена наинизшей степени. Наблюдатель, идущШ по кривой
въ положительномъ направленш касательной такъ, что положительное
направлен!е главной нормали проходитъ отъ ногъ къ голов*, очевидно,
увидитъ, что въ точк% М кривая поднимается или опускается,
смотря по тому, будетъ ли q > 0 или < 0 (w > 0 или < 0), и

154 VI, 3. ПРИЛ0ЖЕН1Я КЪ КРИВЫМЪ ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ. § 643
закручивается вл"Ьво или вправо, смотря по тому, будутъ ли «• и q
одинаковыхъ или противоположныхъ знаковъ (г> < 0 или v > 0).
KpOMt того, замечая, что замена ds на —ds мЪняетъ знакъ v,
не мтзняя ни знака w, ни знака разстояшя 2Лдх вообще, если
?1 = 0, а © не =0, мы видимъ, что Bet точки достаточно
малой дуги, въ смежности съ точкою М, лежатъ по одну
сторону отъ всякой плоскости, проходящей черезъ каса-
касательную, за исключеюемъ соприкасающейся плоскости,
которую кривая пересъкаетъ. Четыре различныхъ вида, пред-
ставляемыхъ кривою въ смежности съ точкою М, въ зависимости
отъ знаковъ д и *, могутъ быть изображены такъ, какъ это сделано
на рис. 80, гдтз пунктиромъ отмечены дуги, лежания влЪво отъ
нашего наблюдателя. Такимъ образомъ обнаруживается, что при
г<0, наблюдатель увидитъ кривую (при касанш съ соприкасаю-
соприкасающеюся плоскостью), переходящею съ лъ-вой ея стороны на правую
поднимаясь или съ правой стороны на лЪвую опускаясь, такъ что
въ обоихъ случаяхъ кривая будетъ вправо завитою или правою
(dextrorsum). Это значитъ, что движете точки, удаляющейся по
кривой въ положительномъ направленш, представится глазу наблю-
наблюдателя происходящимъ по направленш движетя часовой стрелки.
При *>0, наоборотъ, кривая будетъ влъво завитою или лъвою
(sinistrorsum). Итакъ, въ смежности съ обыкновенного точкою
(гд-fe ни —, ни — не равны 0), кривая будетъ правою при
г<0 и л-Ьвою при г>0. Легко также убедиться, что тотъ или
другой характеръ кривой не зависитъ отъ положешя наблюдателя
въ пространств^. Примъры кривыхъ съ положительнымъ или отри-
цательнымъ кручешемъ встръчаются въ природъJ): XMtflb завивается
вл+во, а виноградная лоза вправо.
[ Прим1>чан!е. Понят1е о правой и лъвой кривой есть обоб-
щен1е изв"Ьстнаго понят1я о правомъ и лъвомъ BHHTt. Обыкновенная
наръ-зка даетъ правую винтовую лишю, моделью которой можетъ
служить штопоръ. Нужно заметить, однако, что опред-Ьлешя правой
(dextrorsum) и л"Ьвой (sinistrorsum) кривой не установлены вполнЪ
определенно въ математической литератур^: одни называютъ правою
такую кривую, которая у другихъ называется левого. Необходимо
замътить, что установленное въ § 643 соотв%тств!е между знакомъ
кручен1я ъ, опредЪляемаго формулою A7), и характеромъ (правымъ
или левымъ) кривой, изменится на противоположное (т. е. при
г>0 — правая, а при г<0—л^Ьвая), если измъ-нимъ взаимное рас-
положен1е координатныхъ осей или способъ совмЪщешя основного
тр1эдра съ координатнымъ тр1эдромъ, т. е. условие F). (См., напр.,
Гурса „Курсъ" стр. 316). Зам-Ьтимъ еще, что изсл-Ьдоваше § 643
значительно упрощается, если условимся (какъ это обыкновенно и
Maxwell. „Lehrbuch der Electricitat und des Magnetismus'l (Bd. I. § 25).

§§ 643 — 644 ИЗСЛ-6Д0ВАН1Е КРИВЫХЪ ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ. 155
делается) направить положительную главную нормаль въ ту сторону
отъ спрямляющей плоскости, съ которой лежатъ вс+> точки кривой,
смежныхъ съ М. Тогда го>0, а следовательно, и о>0, и достаточно
разсмотрЪть верхнюю часть рис. 80, и различать два случая г < 0
и *>0, вм%сто четырехъ. При * = 0 кривая плоская и не выходить
изъ соприкасающейся плоскости, т. е. плоскости самой кривой.
При *<0 кривая перееЬкаетъ соприкасающуюся плоскость, переходя
съ лЪвой стороны на правую для нашего наблюдателя (знакъ v
переходитъ изъ "— въ -\- при изм^ненш знака ds изъ — въ -{-),
при «• > 0 — наоборотъ. ] -
644. Съ помощью гЬхъ же формулъ A9) можно еще под-
подробнее изслъ\довать кривую въ смежности съ данною точкою М-
Для этого замътимъ сперва, что, помъ'стивъ начало координатъ въ
точку М, считая эту точку за начало счета дугъ, совмъхтивъ Tpi-
эдръ координатныхъ осей съ основнымъ тр1эдромъ въ точкт, М
и пренебрегая безконечно малыми выше третьяго порядка, мы мо-
жемъ дугу данной кривой ММ' разсматривать, какъ дугу кривой,
изображаемой уравнешями
X S У 3 = '
которыя получаются изъ A9) заменою буквъ и, v, w буквами
х, у, SH ds черезъ 5. Значешя q, * и ~, входяин'я въ эти урав-
нен1я, конечно, обозначаютъ частныя значен1я этихъ функщй при
s = 0, въ точк% М. Исключая переменную 5 всеми возможными
способами, получимъ
У 9 г2 L 2q 6g2ds У бдг
Изъ этихъ уравненШ видно, что проекшя данной кривой на нор-
нормальную плоскость (Myг) имЪетъ въ М точку возврата, проекщя
на соприкасающуюся плоскость (Mxz)—обыкновенную точку, а
проекщя на спрямляющую плоскость (Myг) — точку изгиба. Дал"Ье,
такъ какъ направляюшде косинусы касательной въ точк% М' равны
производнымъ отъ х, у, г по 5, а эти производный, какъ легко
. . 2 s2
видъть, пропорцюнальны числамъ х ^-s, у, z — =~ > то коорди-
координаты любой точки (|, 7], д) на этой касательной можно изобразить
формулами
Отсюда находимъ, что касательная въ точк% М' пересЬкаетъ со-
соприкасающуюся ВЪ ТОЧКЪ1 М ПЛОСКОСТЬ (Т. е. ПЛОСКОСТЬ 7] = 0)

156 VI, 3. ПРИЛОЖЕНП КЪ КРИВЫМЪ ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ. §§ 644—645
/2 s2 \
въ точке -o-s, д— , лежащей съ той же стороны отъ спрямляющей
,3
плоскости, съ которой лежитъ М'. Спрямляющую плоскость (f=0)
эта касательная пересЬкаетъ въ разстоянш — \у отъ соприкасаю-
щейся плоскости (изъ уравн. ?=0 получаемъ k= ^ = — уН )•
6(?
Отсюда сл%дуетъ, что касательныя въ двухъ безконечно
близкихъ точкахъ не пересекаются и кратчайшее разсто-
ds3
ян1е между ними равно у^ Эта теорема принадлежитъ
Бонне (Bonnet).
645. Изъ предыдущихъ формулъ также выводимъ, что
dg 1 ,
Если замтэнимъ здесь дугу s (ММ') хордою ея, т. е. s черезъ
х%-{-у%-\- z2, то . увидимъ, что эту дугу можно разсматривать, какъ
дугу, лежащую на поверхности шара, изображаемаго уравнешемъ
vat oRl= q2-\- (« j-e-J • Шаръ paaiyca 91 съ центромъ въ нормальной
плоскости и въ разстояшя -^ ид оть соприкасающейся и спрям-
спрямляющей плоскости называется соприкасающимся шаромъ къ
данной кривой въ данной точкъ М. Этотъ шаръ, по сравнетю со
всЬми другими шарами въ пространств-в, т^сн^е всего примыкаетъ
къ данной кривой. Если бы мы отбросили и безконечно малыя
3-го порядка, то дугу ММ' можно было бы разсматривать, какъ
плоскую, лежащую въ соприкасающейся плоскости, а если отбросимъ
и безконечно малыя 2-го порядка, то дугу ММ' можно разсматри-
разсматривать просто, какъ прямолинейный отрЪзокъ на касательной. Поэтому
въ изслЪдовашяхъ, въ которыхъ можно не обращать внимашя на
безконечно малыя высшихъ порядковъ, позволительно разсматривать
кривую, какъ ломанную ММ'М"М'". . . съ безконечно малыми
сторонами, и разсматривать касательную, какъ прямую, на которой
лежитъ одинъ элементъ ММ', соприкасающуюся плоскость, какъ
плоскость, определяемую двумя последовательными элементами
ММ' и М'М", или тремя точками М, М', М", и, наконецъ, со-
прикасающШся шаръ, какъ определяемый четырьмя точками М, М',
М", М'"¦ Такая точка зрешя и такой способъ выражешя, хотя и
не вполне правильные, темъ не менее могутъ быть полезны въ
техъ случаяхъ, когда хотятъ интерпретировать геометрически те

§ 645
ИЗСЛ-6Д0ВАН1Е КРИВЫХЪ ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ.
157
или друпе результаты Дифференщальнаго Исчислешя. Мы можемъ
теперь легко констатировать, что для перехода отъ положешя фун-
даментальнаго тр1эдра съ вершиною въ М къ смежному, съ
вершиною въ М'', надо сперва передвинуть вершину по касательной
Рис. 81.
на величину ds, а загЬмъ дать ребрамъ его таюя вращешя около
вершины, чтобы косинусы ихъ направлен^ относительно первона-
чальныхъ t, b, n, получили бы спЪдуюиия значения:
/' :
Ь' :
п' :
1
0
— 8
0
1
-V
е
п
1
Это выводится изъ формулъ E), (8) и A0), если положимъ въ
нихъ a=fl = v=\, b = c = y = a = X = n = Q, или еще строже съ
помощью соображенШ § 637.
[ ПримЪчаше. Для пояснешя сказаннаго разсмотримъ, напри-
м%ръ, главную нормаль, направляюгш'е косинусы которой обозначены
черезъ Я, /j,, v. Когда совмЪстимъ основной тр1эдръ точки М съ
координатнымъ тр1эдромъ такъ, какъ сказано въ § 634, т. е.
Mt съ Ox, Mb съ Оу, Мп съ Oz, то получимъ я=1, Ь=с = О;
^=1, а = у = 0; v =1, Х = (i = Q. При переход^ отъ М къ М'
X, [х, v обратятся въ X-\-dX, fi-\-d(i, v-\-dv, гд-fe dX, d[i и dv
определятся по формуламъ A0), а X, /л, v им^ютъ указанныя выше
начальныя значен1я, следовательно
А + (/Я = О— 1-е—О.чг е
,и + df.i = 0 — 0.6— 1. ?j = — щ
Эти значешя и даны въ таблиц^ косинусовъ главной нормали п'.
Такимъ же образомъ получаются значеш'я косинусовъ для f и Ъ'
изъ формулъ E) и (8). ]

158 VI, 3. ПРИЛ0ЖЕН1Я КЪ КРИВЫМЪ ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ. § 646
646. Особенности. Все, сказанное въ предыдущихъ §§, спра-
справедливо лишь въ томъ предположенш, что разсматриваемая точка
на кривой есть обыкновенная точка. Выведенныя заключемя
теряютъ силу для точекъ, координаты которыхъ удовлетворяютъ
условш
dx cPx (fix
B0)
dy d2y d$y
dz <Pz d3s
= 0
(cm. § 604). Ташя точки аналогичны точкамъ изгиба плоскихъ кри-
выхъ; въ нихъ, на основанш формулы A7), по крайней Mtpt, одна
изъ кривизнъ равна нулю, а потому координата v будетъ безко-
нечно малою порядка, выше третьяго. Чтобы вычислить эту коорди-
координату, надо продолжить вычислеше, начатое въ § 642. Изъ выражешя
dx
-3-3 и формулъ A1) найдемъ
,„.. d*x о a d /1 \ d ( 1 \ , , \d2 / 1 \ /1 , 1 \ 11
d 54 q ds\g) ds\t,Q2) [ds2 \о j \д2 ъ1] д J
Отсюда, на основанш условШ
тотчасъ находимъ
1 _ nds3
24 24
в%рно до безконечно малыхъ четвертаго порядка включительно.
Следовательно, если
— = 0, но rf — з= 0, то v = — —- d —
д \д) 12». \"
а если
Изъ этихъ формулъ вытекаетъ следующее заключеше: Точки кри-
кривой, смежныя съ точкою М, удовлетворяющею условт B0),
лежатъ по одну сторону отъ соприкасающейся плоскости
(v не м%няетъ знака при зам-вн^ ds на —ds). При этомъ,
Bet эти точки лежатъ сл%ва отъ соприкасающейся плос-
плоскости (для наблюдателя § 643), если та кривизна, которая
равна нулю въ точкъ1 М, принимаетъ затЪмъ знакъ, оди-
*) Выражеше v можно написать и такъ:
ds* d l\\ d& d l\
V = — .„--j- — ИЛИ V = — =~— -j- —

§ 646 ИЗСЛ-ВД0ВАН1Е КРИВЫХЪ ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ. 159
наковый со знакомъ другой кривизны въ точк-Ь М, и
. , ^ „ 1 d I I \
справа, въ противномъ случаъ (г»<0, если — и -=-{ — 1 въ
точкъ1 М одинаковыхъ знаковъ, v > 0, въ противномъ случаъ).
Если въ точкъ М o6t кривизны равны нулю, то v будетъ безко-
нечно малою не ниже пятаго порядка. Действительно, дифференцируя
формулу B1), при сд-Бланныхъ предположешяхъ, легко найдемъ
1 „ ,. ds* , 1 , 1
120 40 q f
или
ds? с
V = ~~ lo~ ' d
Отсюда видимъ, что въ данномъ случай соприкасающаяся плоскость
въ точк+э М пересЬкаетъ кривую, какъ въ обыкновенной точк"Б, и
данная точка М будетъ точкою изгиба и для проекцш данной
кривой на нормальную плоскость *). Изъ всЬхъ точекъ, для кото-
которыхъ имъ-етъ мъсто услов1е B0), особенно замечательны Tt, для
которыхъ только первая кривизна — равна нулю. Въ нихъ проис-
происходить прямо противоположное тому, что им%етъ м-Ьсто въ обык-
новенныхъ точкахъ, а именно: кривая пересЬкаетъ вс% плос-
плоскости, проходящ1я черезъ точку М, за исключен1емъ
соприкасающейся. Это происходитъ отъ того, что въ то время,
какъ v будетъ, какъ мы видЪли, безконечно малою четвертаго
порядка, w будетъ третьяго порядка, и мЪняетъ вмъ-crfe съ и свой
знакъ при замЪнъ1 ds на — ds. Отсюда далЪе сл%дуетъ, что
точка М будетъ точкою изгиба для проекцш кривой на соприка-
соприкасающуюся, а не на спрямляющую плоскость. Таюя точки действи-
действительно, въ силу этого обстоятельства, аналогичны точкамъ изгиба
плоскихъ кривыхъ. Дал+эе, точка М будетъ точкою возврата для
проекцш кривой на нормальную плоскость, какъ въ случай — = 0,
такъ и въ случай — = 0 I при — s 0); но въ первомъ случай это
будетъ точка возврата перваго, а во второмъ — второго рода (§ 608).
Трудн-fee изсл-вдоваше кривыхъ въ такихъ особенныхъ точкахъ, въ
которыхъ р и i обращаются въ нуль, потому что тогда теряютъ
смыслъ вышеприведенныя разложешя координатъ и, v, w, такъ
какъ при вывода ихъ мы пользовались формулами, въ которыхъ
существенную роль играетъ предположеше, что об% кривизны
числа конечныя.
*) Въ этомъ легко уб-Ьдиться, составивъ уравнеше этой проэкщи
подобно тому, какъ это было сделано въ § 644.

160 VI, 3. ПРИЛОЖЕНЫ КЪ КРИВЫМЪ ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ. §§ 646—647
[ Прим1>чан1е. Для пояснешя изложеннаго положимъ, что въ
точке М— = 0, а — > 0. Такъ какъ по условш -г- (—) не равно
нулю, то — непременно измЪняетъ знакъ при переходе отъ точекъ,
для которыхъ ds < 0 къ тъмъ, у которыхъ ds > 0, т. е. при дви-
женш въ положительномъ направленш по кривой. Если знакъ --
переходитъ изъ — въ -)-, т. е. принимаетъ знакъ, одинаковый
съ —, то — возрастаетъ и ^- (—) > 0, а тогда формула
ds^ d_ t\_
V ~ 127 Is \q
даетъ г><0, каковъ бы ни былъ знакъ ds. Следовательно, все
точки, смежныя съ М, будутъ съ левой стороны отъ соприкасаю-
соприкасающейся плоскости (со стороны отрицательнаго направлешя бинормали).]
Касание кривыхъ съ поверхностями.
647. Въ заключеже сдълаемъ нъкоторыя указашя по вопросу
о касанш кривой лин1и съ поверхностью, отсылая читателя для под-
робнаго ознакомлен1я съ вопросами о касанш кривой линш съ
поверхностью или съ другою кривою къ другимъ сочинешямъ *)»
Чтобы развить по возможности быстро и наглядно Teopiio касанШ,
мы будемъ опираться на некоторые результаты, полученные нами
раньше (§ 616) при изученш касашя плоскихъ кривыхъ. Мы будемъ
сообразно этому говорить, что некоторая поверхность имеетъ съ
данною кривою въ точке М касаше и-го порядка, если эту поверх-
поверхность можно разсматривать, какъ предельное положеше поверхности,,
проходящей черезъ точку М и п другихъ точекъ той же кривой,
когда эти п точекъ (и никаюя друпя) стремятся къ совпадешю съ
точкою М. Если эта поверхность принадлежитъ къ числу техъ,
которыя въ трехмерномъ пространстве определяются п-\-\ точками,
или, что сводится къ тому же, если эта поверхность принадлежитъ
къ семейству, общее уравнеше котораго заключаетъ въ себе п-\-\
произвольныхъ параметровъ, то порядокъ касашя вообще не можетъ
быть больше п. Когда этотъ порядокъ касашя достигнуть, то гово-
рятъ, что разсматриваемая поверхность, есть соприкасающаяся
къ данной кривой въ данной точке. Чтобы получить аналитически
услов1я соприкасашя поверхности съ данною кривою въ данной
точке, очевидно, достаточно продифференцировать уравнеше поверх-
поверхности столько разъ, сколько нужно для получешя достаточнаго для
См., напр., Hermite „Cours cTAnalyse" (p. 116).

§§ 647—649 KACAHIE КРИВЫХЪ СЪ ПОВЕРХНОСТЯМИ. 161
опредЪлешя параметровъ числа уравнешй, и написать, что вс% эти
уравнешя удовлетворяются координатами точки М (х, у, z) и ихъ
дифференциалами. Такимъ образомъ, действительно, пользуясь обык-
новеннымъ условнымъ способомъ выражешя (§ 645), мы выражаемъ,
что поверхность проходитъ черезъ точку М и п безконечно близ-
кихъ къ ней точекъ М', М" ... на кривой.
648. Соприкасающаяся плоскость. Общее уравнеше
плоскости
содержитъ въ действительности три произвольныхъ параметра, а
именно: отношешя трехъ коэффищ'ентовъ къ четвертому, не рав-
равному нулю. Выражая, что это уравнеше и два другихъ, получен-
ныхъ дифференцировашемъ по дугъ 5 данной кривой, удовлетворя-
удовлетворяются координатами х, у, z точки М на кривой, получаемъ
B2) Ax-\-By + Cs±D=u, Aa + Bb+Cc = 0, AX + Bfi+Cv^Q.
гдЪ a, b, с. Я, fi, v им-Ьютъ известный изъ предыдущихъ §§
значения. Первое уравнете требуетъ только того, чтобы плоскость
проходила черезъ точку М', если присоединимъ второе, то плос-
плоскость будетъ уже проходитъ черезъ касательную въ точк% М.
Поэтому всякую плоскость, проходящую черезъ эту касательную,
можно назвать касательного плоскостью, какъ имеющую съ
кривою касате перваго порядка; разстояше точки М', безконечно
близкой къ М на кривой, отъ этой плоскости будетъ безконечно
малою 2-го порядка относительно ММ'. Если присоединимъ еще
третье изъ уравнешй B2). то разсматриваемая плоскость должна
будетъ пройти и черезъ главную нормаль, т. е. совпасть съ тою,
которую мы уже раньше назвали соприкасающеюся плоскостью.
Порядокъ касан)'я съ кривой равенъ двумъ, но въ исключительныхъ
точкахъ можетъ быть и выше. Тогда плоскость будетъ им-Ьть съ
кривою пересоприкасан1е или, какъ иначе говорятъ, будетъ
стацшнарною соприкасающеюся плоскостью*).
649. Сташонарная соприкасающаяся плоскость получается,
очевидно, въ тъхъ особенныхъ точкахъ, которыя характеризуются
услов1емъ, получаемымъ черезъ исключеше А, В, С изъ урав-
ненШ B2) съ присоединешемъ къ нимъ того, которое найдемъ
продифференцировавъ последнее изъ нихъ. Но, чтобы быть увърен-
нымъ, что ни одинъ изъ возможныхъ случаевъ не будетъ пропущенъ,
надо сперва заметить, что дифференцироваше второго изъ уравнешй
B2) даетъ, собственно говоря, следующее уравнеше
B3) (Ак + Bn + Cv)—*=u.
*) Гурса. „Курсъ математическаго Анализа", стр. 491.

162 VI, 3. приложены къ кривымъ двоякой кривизны. §§ 649—650
Поэтому следующее дифференцироваше дастъ (принимая во внимаше
формулы A1) и второе изъ уравнений B2))
d S Q Qf,
Если — не равно 0, то 2АХ = 0, а потому можно положить А = а,
В = /?, С = у, и yoioeie B4) дастъ тогда —=0. Въ протнвномъ
случай I— = 01 уравнение B3) удовлетворится при произвольныхъ
значешяхъ А, В, С. Тогда всякая касательная плоскость будетъ
им-бть касаше 2-го порядка съ кривою. Изъ этихъ плоскостей со-
соприкасающеюся будетъ та, для которой выполнено yaiOBie B4).
Такъ какъ это услов1е вообще (т. е., если -= не равно 0)
принимаетъ опять видъ 2AX — Q, то получается опять соприкасаю-
соприкасающаяся плоскость, но касаше будетъ, по крайней Mtpt, 3-го порядка.
Всегда нужно при этомъ помнить, что всЬ прим%няемыя здъхь
формулы и выводимыя изъ нихъ заключешя только тогда справед-
справедливы, когда об% кривизны конечны. Итакъ, сташонарныя сопри-
касаюийяся плоскости получаются въ т%хъ точкахъ кри-
кривой, въ которой, по крайней м-fept, одна изъ кривизнъ
равна нулю, т. е., когда выполняется yMOBie B0). Впрочемъ,
если оставимъ въ сторон^ вопросъ о различныхъ положен1яхъ кри-
кривой относительно пере-соприкасающейся плоскости, то можемъ
быстрЪе получить услов1е B0) при помощи дифференцировашя,
написать второе изъ уравнешй B2) въ вид% 2Adx= 0 и исключая
А, В, С изъ этого уравнешя и слЪдующихъ двухъ: 2АсРх= 0,
650. Соприкасающейся шаръ. Исходя изъ общаго уравнешя
поверхности шара
(Х-& + (У- п? + (Z- й2 = SI2
(гд-fe ?, г), f, 91 параметры, которые надо надлежащимъ образомъ
определить), дифференцируя по дугЬ s данной кривой и подставляя
вместо X, Y, Z координаты точки М(х,у, z) на кривой, найдемъ,
применяя H3BtCTHbifl обозначен1я, сл%дующ1я уравнешя
B5)
+Ь{у-П) + c{z-'Q =0,
+fi(y-V) +v(s-0 =-e,
v) +у(г~0 =*~-

§§ 650—651 KACAHIE КРИВЫХЪ СЪ ПОВЕРХНОСТЯМИ. 163
Изъ трехъ последнихъ уравненШ получаемъ, припоминая сказанное
объ определителе F),
/or\ I ., „ i о ^д
откуда и находимъ координаты ?, 7), f центра шара. Подставляя
вь первое уравнеше, получимъ для величины рад!уса формулу
\?1) опт — д -
Определенный такимъ образомъ шаръ и есть тотъ, который намъ
встретился въ начале § 645, это видно изъ того, что последшя
три изъ уравнешй B5) выражаютъ, что центръ шара лежитъ въ
нормальной плоскости, въ разстоянш q отъ бинормали и —1-~
ртъ главной нормали. Этотъ шаръ есть предельное положеже шара,
проходящаго черезъ М, М', М" и М"\ когда последшя три
точки стремятся къ совпаденш съ первою. Предельное положеше
круга ММ'М", очевидно, есть кругъ, лежашлй на поверхности
предельнаго шара, а такъ какъ плоскость этого круга стремится
къ совпаденш съ соприкасающеюся плоскостью, то соприкасаю-
соприкасающейся кругъ есть пересечен!е поверхности соприкасаю-
соприкасающагося шара съ соприкасающеюся плоскостью. Следова-
Следовательно, q есть рад1усъ соприкасающагося круга, и первая кривизна
.какой угодно кривой равна кривизне соприкасающагося
круга, какъ и для плоской кривой. Возвращаясь къ ycлoвiямъ
B5), заметимъ, что первое заставляетъ шаръ пройти черезъ М,
второе — касаться кривой въ точке М, третье — проходить черезъ
соприкасающШся кругъ. Четвертое же услов1е изъ всехъ шаровъ,
касающихся кривой въ точке М и тамъ же ее пересёкаю-
щихъ, выделяетъ одинъ, который кривую не пересекаетъ,
такъ какъ имеетъ съ нею касаше вообще третьяго порядка; это и
есть, соприкасающейся шаръ.
651. Чтобы узнать, лежитъ ли кривая въ смежности съ точ-
точкою М вне или внутри соприкасающагося шара, вычислимъ раз-
стояше h точки М отъ его поверхности. Предполагая рад1усъ Ш.
конечнымъ, изъ равенства
(?Ц + АJ = {х -1+ dxf + (у - п + dyf + (*-?+ dsf,
Пренебрегая безконечно малыми выше 4-го порядка, выводимъ
ZHh = Z{x-?;)dx-

164 VI, 3. приложены къ кривымъ двоякой кривизны. §§ 651 — 652
Обозначая опять, какъ въ § 643, черезъ и, v, w координаты
точки М' относительно фундаментальнаго тр!эдра, имЪемъ
дх = аи + av + ^«j> ду = bu -\- ftv -\- (iw, 6z = си -f- yv + vw,'
а принимая формулы B6) и услов1я ортогональности, найдемъ
&h = _ WQ + vt ps + i- («2 + V2 + Ю2).
Въ этой формул*, на основан1и A.9), можно пренебречь числомъ гД
ограничиться первымъ членомъ въ w2, и вычислить и только до
членовъ 3-го порядка; но въ w и v надо знать и члены 4-го по-
порядка, а этого легко достигнуть съ помощью формулы B1). Мы
найдемъ
Полагая для сокращешя x = — + -у- U -т-е), легко находимъ
г a S \ a s/
а такъ какъ дифференцирован1е формулы B7) даетъ еще
B9)
то окончательно находимъ
"~~24
Итакъ, если исключимъ rfe точки, въ которыхъ dg = 0, то доста-
достаточно малая дуга кривой, взятая въ смежности съ М, будетъ вся
внъ или вся внутри соприкасающагося шара въ точкъ М, смотря
по тому, будутъ ли объемъ шара и площадь соприкасающагося
круга одновременно возрастать или убывать или изменяться въ раз-
личномъ смысл%.
652. Чтобы найти yaioeie, при которомъ происходитъ пере-
соприкасаше шара съ кривой, т. е. при которомъ порядокъ касашя
кривой съ ея соприкасающимся шаромъ будетъ выше третьяго,
нужно только продифференцировать последнюю изъ формулъ B5),
принимая во внимаше и веЬ предыдущая. Но, чтобы не пропустить
ни одного случая, надо сызнова выполнить вс% дифференцирования,
не мЪняя формы послЪдовательныхъ результатовъ (т. е. не сокращая

§§ 652—653 КАСАНШ КРИВЫХЪ СЪ ПОВЕРХНОСТЯМИ. 165
въ нихъ общихъ множителей). Выполняя сказанное, получимъ по-
сл-бдшя два услов1я B5) въ виде
C0) — 2А(*-|) = - I, J-va(a._D= J_^?.
' Q Qt Q ds
Дифференцироваше посл-бдняго дастъ — = 0. Къ тому же резуль-
Q ъ
тату тотчасъ приходимъ, замечая, что найденное ycnoeie содержитъ
въ себе все то, что, на основанш формулы B8), необходимо и
достаточно для того, чтобы h было безконечно малою выше 4-го
порядка. Такъ какъ предположеше — = 0 исключено (потому что
oR предполагается конечнымъ), а также и предположеше — = 0 при
ъ
dg s 0 (на томъ же основанш), то мы придемъ къ следующему
заключенш. Кроме точекъ, для которыхъ х = 0, пересопри-
касаше шара съ кривою можетъ произойти и въ другихъ
точкахъ, характеризуемыхъ тъмъ, что въ нихъ вторая кривизна
равна нулю, хотя рад1усъ соприкасающегося шара остается конеч-
конечнымъ. Въ этихъ посл+зднихъ точкахъ второе изъ условШ C0) вы-
выполняется тождественно, и кривая имЪетъ касание 3-го порядка со
всеми шарами, проходящими черезъ соприкасаются кругъ. Но
лишь одинъ изъ этихъ шаровъ можетъ быть названъ соприкасаю-
соприкасающимся, а именно тотъ, который мы определили въ начале. Следо-
Следовательно, условие а = О достаточно, но не необходимо для пере-
соприкасашя; формула же B9) показываетъ, что во всехъ случаяхъ,
если dg не равно нулю, daH непременно равно нулю. Отсюда въ
частности такое следств1е: Кривая пересекаетъ соприкасаю-
щ1йся шаръ въ томъ случае, когда его рад1усъ будетъ
maximum или minimum, или когда этотъ шаръ пересекаетъ
стационарную соприкасающуюся плоскость по окружности
круга, рад1усъ котораго будетъ maximum или minimum.
Вь этомъ последчемъ случае происходить какъ разъ противопо-
противоположное тому, что бываетъ въ обыкновенной точке, а именно: кривая
не пересекаетъ ни одного изъ другихъ шаровъ, проходящихъ черезъ
соприкасающейся кругъ.
653. Разсмотримъ теперь какую нибудь сферическую кривую,
т. е. лишю, лежащую на поверхности шара pafliyca R. Въ каждой
точке ея, очевидно, не можетъ быть иного соприкасающегося или
даже пересоприкасающаго шара, кроме того, на поверхности котораго
она находится. Поэтому, такъ какъ въ нашемъ случае $t = i? = const.,
формула B9) дастъ либо х = 0, либо dg — О, а последнее требуетъ,
какъ уже было замечено въ § 655, чтобы —=0 (иначе 91 былъ бы
безконечнымъ). Но при dg = O и —=0 необходимо и я = 0. Сл"Ь-
довательно, услов!е х = 0 необходимо для того, чтобы кривая была

166 VI, 3. приложенш къ кривымъ двоякой кривизны. §§ 653—654
сферическая. Оно будетъ и достаточнымъ. Чтобы въ этомъ убе-
убедиться продифференцируемъ уравнеше B6). Изъ перваго, пользуясь
формулами Френё, получимъ
d\ , dg d I dq\ I a , a\ . dg
ds ds ds\ dsi \g «/ ds
следовательно,
„n rf? dti . d ?
C1) —5=— xa, -TL = -xft, ~^ = — xy.
' ds d s ds
Если и = О для всЪхъ точекъ кривой, то изъ формулы B9) видимъ,
что SI равно некоторому постоянному R, а изъ C1), что ?, г], j
также постоянныя, т. е. что все точки кривой находятся въ одномъ
и томъ же разстоянш R отъ неподвижной точки (^, г), ?) — и кри-
кривая лежить на сфер-fe рад1уса R, съ центромъ въ (|, tj, f). Итакъ,
услов1е, необходимое и достаточное для того, чтобы кри-
кривая была сферическою, состоитъ въ томъ, что
654 *). Возврашаясь къ общему случаю, замечаемъ, что фор-
формулы C1) выражаютъ следующую теорему: касательный къ
общему месту центровъ соприкасающихся шаровъ парал-
параллельны бинормалямъ данной кривой, такъ какъ
Возвышая въ квадратъ формулы C1) и складывая, найдемъ
da2=x?ds2, если а — дуга общаго места центровъ соприкасаю-
соприкасающихся шаровъ. Отсюда do — +xds\ если возьмемъ
C2) rfo = - * ds,
то формулы C1) дадутъ
d'e di-j 0 rfC
da do da
т. е. при условш C2) положительное направление касательной къ
общему месту центровъ соприкасающихся шаровъ совпадаетъ съ
положительнымъ направлетемъ бинормали къ данной кривой. Раз-
смотримъ теперь зависимости между основными тр1эдрами данной
кривой, которую будемъ называть первою, и общаго места центровъ
*) Въ подлинник-fe въ этомъ § есть некоторый неточности, а потому
здЪсь онъ изложенъ въ другой редакщи.

§ 654
KACAHIE КРИВЫХЪ СЪ ПОВЕРХНОСТЯМИ.
167
соприкасающихся шаровъ, которое будемъ называть второю кривою.
Удерживая прежшя обозначения для первой кривой, обозначимъ
соотвЪтствуюийе элементы второй гёми же буквами со значкомъ 1.
Мы уже вид-бли, что, при условш C2), ах = а, Ьх = /?, сх = у.
Теперь замЪтимъ, что главныя нормали нашихъ двухъ кривыхъ въ
соотвЪтствующихъ точкахъ параллельны между собою. Действи-
Действительно, формулы (8) § 635 даютъ
_
da
V
Ту
а формулы E) § 633, примененный ко второй кривой, дадутъ въ
силу вышеупомянутыхъ равенствъ,
А.
da
dy
откуда и слЪдуетъ сказанное. Какъ слЪдсте, отсюда вытекаетъ, что
касательныя къ первой кривой параллельны бинормалямъ второй.
Итакъ, будемъ имЪть
Aj ± = Я, ,((-! ± = /«-, ^ = ± V, И
ах=±а, РХ=±Ь, •/1=±с.
Знаки въ этихъ формулахъ мы можемъ выбрать по произволу, но
если поставимъ ycnoBie, чтобы и для второй кривой им%ло м%сто
равенство
F')
ах,
7i
= + 1,
аналогичное F), то, положивъ
ах = ах, i
к = — I и.
должны взять
¦»л = — V.
т. е. взять положительное направлеше главной нормали второй
кривой противоположнымъ положительному направленда главной
нормали первой кривой. Тогда действительно,
я,
ь,
7
с
V
я,
а,
я,
ь,
а.
а,
с
У
V
= +1.
—Я, —fi, —v
При условш F') можемъ применить теперь формулы Френё A1)

168 VI, 3. приложенш къ кривымъ двоякой кривизны. §§ 654—655
какъ къ первой, такъ и ко второй кривой. Тогда найдемъ
т.
2)
т.
е.
е.
н —
01 =
XQ.
Хъ,
q d s
At dax
Qi da
и наконецъ
С da
da
х ds
, d I do\
ft = 9 + * j— * -j~ I • ъъ\ = 9Qi ¦
Особенно замечательны такъ называемые косые круги, т. е. кри-
выя съ постоянною первою кривизною и не равною нулю второю
q=R, —^0). Для нихъ всъ соприкасающееся шары между собою
равны (Ш, = д) и центры ихъ лежатъ на другомъ косомъ круг в
(gt = q). Косые круги—единственныя кривыя, съ которыми
соприкасается безчисленное множество равныхъ между
собою шаровъ, потому что по формулъ B9) при q непостоянномъ
iR не можетъ быть постояннымъ, если х не равно 0, а въ посл^вд-
немъ случай, какъ мы видъли, всъ соприкасающееся шары совпа-
даютъ въ одинъ, на поверхности котораго и лежитъ данная кривая.
Возвращаясь къ общему случаю, замътимъ въ заключеше, что съ
помощью формулъ B9) и C2) легко вычислить уголъ dd" между
поверхностями двухъ безконечно близкихъ соприкасаю-
соприкасающихся шаровъ (т. е. между касательными къ нимъ плоскостями
въ точкахъ М и Мх). Действительно, изъ очевидной формулы
получаемъ
ds iR3 ъ dlogQ
Это oTHomeHie, которое Демартръ (Demartres) назвалъ сфериче-
скимъ кручен1емъ, есть также полезный для изучешя не плоскихъ
кривыхъ элементъ.
Упражнешя.
655. Винтовыя лин1И. а) Разсмотримъ сперва обыкновенную или
круговую винтовую лHHiro, т. е. кривую лишю, определяемую свойствомъ
пересекать вс% образующ1я прямого кругового цилиндра рад!уса г подъ
постояннымъ угломъ ср. За ось .г-овъ возьмемъ ось цилиндра, а ось лг-овъ
проведемъ перпендикулярно къ оси -г-овъ черезъ некоторую точку А на
кривой. Пусть 9 обозначаетъ уголъ, образуемый проекщею ОМ на пло-

§ 655
KACAHIE КРИВЫХЪ СЪ ПОВЕРХНОСТЯМИ.
169
\-dJl
число посто-
скость ху съ осью #-овъ. Такъ какъ, по опредълешю, с
янное и равное cosqs, то будемъ имъть <r = scosg9, если условимся отсчи-
отсчитывать дуги отъ точки А; уголъ <р предполагается острымъ и, следовательно,
5 возрастаетъ вмъсгб съ г. Координаты точки М будутъ х = г cos 9,
у = г sin 8, г = s cos <р. Дифференцируя, получимъ
dx = — г sin 9 </8, dy = г cos I
dz
cos (
а отсюда, возвышая въ квадратъ и складывая, находимъ rf52=r2rf83+cos2q9 tfs
и далъе
rrfO r 8
sin qp
sin rp
Соотношеше z = s cos <p уже показываетъ, что если Т есть пересъчеше ка-
касательной МТ съ плоскостью (лгу), то длина МТ какъ разъ равна *-> АМ\
теперь же мы видимъ, что если Р есть проекшя М на ту же плоскость, то
РТ — s sin <р = гЪ = дугЪ круга ^4Р. Поэтому, когда М описываетъ винто-
винтовую лишю, точка Т опишетъ эвольвенту круга. ДалЪе, направляющ1е коси-
косинусы касательной будутъ
а = — sin <p sin 8, Ъ = sin <p cos 6, с = cos <p,
Рис. 82.
откуда, съ помощью дифференцировашй, на основанш перваго столбца фор-
мулъ A1), получимъ
I sin2<pcos8 /(- sin2g9sin8
и далъе
9 =
А = — cos 8, ^ = —sin9, и = 0.
Игакъ, главныя нормали винтовой лиши встръчаютъ ось цилиндра подъ

170 VI, 3. приложенш къ кривымъ двоякой кривизны. § 655
прямымъ угломъ (^=0). KpoMt того, замътимъ, что рад!усъ первой кри-
кривизны число постоянное. Направляющее косинусы бинормали будутъ
а=сц= — cos q> sin 6, /? = — сХ = cos <p cos 9, у = ЬХ — ац = — sin q>,
и достаточно продифференцировать а и #, или одинъ изъ косинусовъ глав-
главной нормали (припоминая остальныя формулы A1)), чтобы найти рад1усъ
кручешя ъ= • Какъ видимъ, и рад1усъ второй кривизны
V* Sill <p COS (f < Г J V V
число постоянное. Въ данномъ случаъ его величина число положитель-
положительное, потому что (§643) разсматриваемая винтовая лишя будетъ sinistrorsum.
Впрочемъ, Bet выведенныя формулы будутъ справедливы и для винтовой
лиши dextrorsum, если въ нихъ положимъ sin 1 <р < 0.
Ь) Укажемъ теперь двЪ замечательный поверхности, къ которымъ
приводить изучеше круговой винтовой лиши- Первая есть общее м^Ьсто
касательныхъ винтовой лиши, и называется развертывающимся гели-
коидомъ. Мы уже видъли, что плосмя съчешя этой поверхности, перпен-
дикулярныя къ оси цилиндра, всЬ равны одной и той же эвольвентЬ круга
pafliyca г. л Чтобы отдать себЪ отчетъ о видъ поверхности, полезно знать
также ея профиль, т. е. съчеше поверхности плоскостью, проходящею черезъ
ось. Уравнешя касательной будутъ
х — г cos 6 _ у — г sin 6 _ г — R 9
— sin 8 cos 0 cot qp
если обозначимъ черезъ R постоянное число г cotg qp. Полагая у=0, получимъ
COS 0 \ ь /
Это уравнешя, въ плоскости (xz), уже известной кривой (§ 599, с). Глав-
Главны я нормали винтовой лиши образуютъ другой геликоидъ, называемый
косымъ, или геликоидомъ съ направляющею плоскостью, такъ
какъ всъ образующая его параллельны одной и той же плоскости. Уравнешя
главной нормали: y — xtgb, s = Rb; исключая 9, получаемъ уравнеше
косого геликоида: у — х tg -= •
с) Вычислен1Я перваго упражнен1я можно обобщить на случай г,
равнаго какой нибудь функщи отъ 6, т. е. на случай любой цилиндрической
винтовой лиши, начерченной на поверхности какого угодно (не кругового)
цилиндра и встречающей всЬ образующая подъ постояннымъ угломъ q>.
Вместо того, чтобы повторять всъ вычислешя, мы можемъ, идя болЪе крат-
кимъ путемъ. вывести то, что нужно для раскрыпя одного важнаго и харак-
теристичнаго для этихъ кривыхъ свойства. Напомнимъ формулы
d с v dy v d v су
ds q ds ъ ds q ъ
и зам%тимъ, что при с постоянномъ получается изъ первой формулы ^ = 0,
поел* чего вторая даетъ у — const. Такъ какъ всегда с2 + у2 -f v2 = 1, то
при с = cosg?, можно положить
у = cosU + yj = - sin,<p,

§ 655 KACAHIE КРИВЫХЪ СЪ ПОВЕРХНОСТЯМИ. 171
Уголъ q> мы отсчитываемъ въ спрямляющей плоскости отъ касательной въ
такомъ направлеши, которое для наблюдателя, находящагося на положитель-
положительной главной нормали, совпадало бы съ направлешемъ, противоположнымъ
движен!ю часовой стрелки. Условившись въ этомъ, изъ третьей изъ преды-
дущихъ формулъ, получаемъ tg® = — > и видимъ, что отношеше двухъ
кривизнъ число постоянное. Обратно, положимъ, что для некоторой
кривой отношеше кривизнъ число постоянное. Проведемъ черезъ точку М въ
спрямляющей плоскости прямую, определяемую косинусами /=я cosip—a sing),
т = Ъ cos да — 0 sin q>, m = с cos да — у sin gr, при чемъ постоянный уголъ q>
определяется формулою tg ж = — • Ha основанш формулъ A1) найдемъ тогда
dll. dm I dn I cos да sin да ,
-=-//=—7- /,<* = , jv-= - = 0,
dsj ds I' dsi g ъ
Следовательно, /, т и п числа постоянныя, а кривая будетъ цилиндриче-
цилиндрическою винтовою лишею, потому что она начерчена на цилиндре *) и встре-
чаетъ все ею образующая подъ постояннымъ угломъ да. Итакъ, для того,
чтобы кривая была цилиндрическою винтовою лишею, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы отношеше ея двухъ кривизнъ было
числомъ постояннымъ. Если далее каждая изъ кривизнъ число постоян-
постоянное, то винтовая лишя необходимо будетъ круговою: она будетъ лежать на
круговомъ цилиндре, рад1усъ котораго равенъ g 9 Мы предоставляемъ
читателю трудъ доказать эту теорему, найденную Пюизэ (Puiseux).
d) Коническою винтовою лишею называютъ такую, которая пере-
сЬкаетъ подъ постояннымъ (но не прямымъ) угломъ ip все образующая
конуса. Если конусъ круговой, то винтовая литя пересекаетъ, очевидно,
также подъ постояннымъ угломъ <р образующая цилиндра, проектирующего ее
параллельно оси (притомъ, если у есть уголъ наклонешя образующихъ конуса
къ оси, то cos да = cos у cos у). Поэтому винтовая литя будетъ въ то же
время и цилиндрическою, а потому и называется цилиндро-коническою
винтовою лишею. Это, можно сказать, логариемическая спираль .про-
.пространства. Если возьмемъ вершину конуса за начала координатъ, а ось его
за ось г-овъ, и обозначимъ черезъ R разстояше точки М отъ вершины,
то должны иметь
х dx у dy z dz
dR
или cos ц> = —г— • Такъ какъ, по предположенш, cos ip не равно 0 (иначе
имели бы R = const., и кривая лежала бы на поверхности шара), то
R = s cos ip, если считать дуги s отъ вершины. Съ другой стороны
г — R sin х *), следовательно, r = ntssimp, где для сокращешя положено
т = sin/cotg?/;. Вместе съ темъ, координаты точки М будутъ х = г cos 8,
у = г sin 8, г = г cotg у; поэтому имеемъ
dr2 = ma sin2 ip (dr2 + r2d$2 + da2) = cos2 ip dr2 + m2r2 sin2 ip d№,
откуда dr = mr du, log r = m8 -f const. Итакъ, прямое сечете того ци-
*) Образующая цилиндра параллельны направленш (I, т, п), а коси-
нусъ угла между касательного {а, Ь, с) и образующими (/, т, п) равенъ
al-\-bm-\-cn = cos ср.
**) г ~~ разстояше проекши точки М на плоскость (ху) отъ начала
координатъ (вершины конуса).

172 VI, 3. приложена къ кривымь двоякой кривизны. §§ 655—656
линдра, на которомъ данная лишя есть винтовая, есть логариемиче:кая спи-
спираль. Если теперь замътимъ, что
dr . d 6 1 d r sin w 1
—,-¦ = m sin w, - — = — = = — >
as ds mrd s r ms
то легко найдемъ направляющее косинусы касательной:
а = (т cos в — sin 0) sin ^, b = (т s'mfi -{- cos 6) sin гр, с = cos <p,
а, дифференцируя еще разъ, найдемъ и косинусы главной нормали
л = — (cos 9 + m sin в) . /(. = — (sin 0 — т cos в) — > v = 0.
ms v ' m s
Итакъ, главныя нормали перпендикулярны къ оси конуса, но ее не пересъ-
каютъ: онЪ нормальны къ поверхности цилиндра, а не конуса.
Возвышая въ квадратъ и складывая послт>дшя формулы, и замечая еще,
, , „ sin2 q>
что \-\-mi=-T-T,— > получимъ значеше д, а изъ него тотчасъ и г = q tg q:,
а именно:
/и s m s
sin <p ъ cos ц>
Сл-Ьдовательно, рад1усы первой и второй кривизны цилиндро-кони-
ческой винтовой лиюи пропорц1ональны дугт., отсчитываемой
отъ вершины конуса. Можно доказать, что, обратно, им-Ьетъ мътто сле-
следующая теорема: если для некоторой кривой д = ks, ъ = k's, гд% k и к'
постоянныя, то эта кривая необходимо должна быть цилиндро-коническою
винтовою лишею, лежащею на круговомъ конусЪ, въ которомъ уголъ %
между осью и образующими определяется формулою
tg х = k'2
656. Представимъ ce6t плоскость въ вид% гибкой, но нерастяжимой
матер1альной поверхности и дадимъ ей при помощи сгибашя, не м%няющаго
длины лиши, на ней начерченныхъ, форму какой нибудь цилиндрической
поверхности. Прямыя лиши нЪкотораго опредЪленнаго направлен)я обратятся
тогда въ образующ!я цилиндра, все друпя въ цилиндричесмя винтовыя
лин1и. Огр^зокъ всякой такой лиши будетъ давать кратчайшее раз-
стояте между двумя достаточно .близкими точками на поверхности цилиндра.
Такъ же, какъ отр%зокъ прямой, которая nocnt сгибашя обратилась въ
винтовую, давалъ кратчайшее разстояше между двумя точками на плоскости.
Въ силу этого свойства цилиндрическую винтовую лишю называютъ геоде-
геодезическою лишею на поверхности цилиндра. ВпослЪдств'ш мы разсмотримъ
геодезичесия лин!и. съ другой точки зр4шя и обобщимъ ихъ опредтзлеше
для какой угодно поверхности. Но и теперь уже мы можемъ изслътювать
геодезичестя лиши на поверхности конуса, т. е. rfe линш, въ которыя обра-
обращаются прямыя линш на плоскости, когда при помощи одного сгибашя мы
дадимъ этой плоскости коническую форму. Зам'Ьтимъ тотчасъ же, что кони-
чесюя винтовыя линш ни въ какомъ случай не будутъ геодезическими,
потому что, какъ мы уже знаемъ изъ предыдущего онъ происходятъ изъ
логариемическихъ^спиралей съ полюсомъ въ вершин'Ь конуса. Ограничиваясь
случаемъ прямого кругового конуса, положимъ, что А есть проекщя вершины
конуса О на ту прямую, которая при сгибаши плоскости обращается въ
геодезическую лишю, / длина отрЪзка О А и R — разстояше отъ точки О

§ 656 KACAHIE КРИВЫХЪ СЪ ПОВЕРХНОСТЯМИ. 173
до какой нибудь (переменной) точки М по той же прямой. Тогда R2=s2-{- P,
если условимся считать дугу геодезической кривой отъ точки А, потому что
длина отръзка AM при сгибаши не меняется. Далъе, если обозначимъ
черезъ <р уголъ ОМА (въ пространств^ это будетъ уголъ между образую-
образующей конуса, проходящей черезъ Л/, и касательной къ кривой въ точкъ М),
то, очевидно, будемъ имъть
dR s . I dw sin о?
Выбравъ теперь координатный оси такъ же, какъ въ предыдущемъ§ 655, d,
получимъ для координатъ точки М выражешя x — rzos, 9, jy = rsin9, z = rcotgx-
гдъ ¦/_ уголъ между образующими конуса и его осью, г и 8 полярныя коор-
координаты проекши точки М на плоскости О ху. При этомъ, очевидно, будемъ
имъть г = i? sin х- Дифференцируя выражешя х. у, г, найдемъ
dx = cos б dr — г sin fl db, dy = sin 8 dr -f r cos 8 rf8, dz = cotg % dr и
_ d 9 sin w
Откуда, далте, — = , если * и 6 одновременно возрастаютъ, что всегда
можно предположить. Изъ тъхъ же выраженШ для dx, dy, dz легко най-
найдемъ направлякише косинусы касательной, а именно
а — — sin <p sin 6 -\- cos <p cos 8 sin %, Ь — sin r/; cos 9 -f- cos <p sin 9 sin /_,
С = COS ф COS X-
Дифференцируя еще разъ, получимъ направляклше косинусы главной нормали
л— г,- sm2q> cot ¦/_ cos x cos 8, ц = — „- sin2® cot z cos r sin 8,
Jx К
V = - Sin209 COS/
или
Я = — cos ^ cos 8, ,н = — cos ? sin 8, v = sin %,
если зам'Ьтимъ (возвышая предыдуийя формулы въ квадратъ и складывая), что
1 sin2(p
Главныя нормали, следовательно, перпендикулярны къ образующимъ и пере-
съкаютъ ось конуса: он% нормальны къ поверхности конуса*). Напра-
вляющ!е косинусы бинормали будутъ
о = — cos gc sin S — sin <p cos 8 sin %, /? = cos fp cos 6 — sin <p sin 8 sin /,
у = — sin cp cos x-
*) Мы увидимъ впослъдств1и, что это есть характеристическое свой-
свойство геодезическихъ лиши на всякой поверхности.

174 VI, 3. приложены къ кривымъ двоякой кривизны. §§ 656—657
Достаточно продифференцировать последнее уравнен)е, чтобы найти вели-
величину кручешя
1 sin w cos w Is
— = и cot x = m c°t X ¦
г J\ tip
Зам-Ьтимъ соотношеше s<o = Iq. Можно доказать, что тоже соотношеше
справедливо для геодезической лиши на любой конической поверхности и
не справедливо для другихъ лиши на той же поверхности. Итакъ, геоде-
зическ1я лин1и на поверхности конуса характеризуются т'Ьмъ,
что отношеше первой кривизны ко второй изменяется обратно
пропоршонально длине дуги.
657. Изследуемъ еще кривую, заданную уравнешями
х = -~- (г9 + е~^) cos 8, у — — (г9 -\-е~}) sin в, г = R в.
Прежде всего заметимъ, что, въ силу равенствъ у = #tg8, z = Rb, кривая
лежитъ на косомъ геликоиде (§ 655, Ь). Съ другой стороны, проекщя кривой
на плоскости (ху) есть спираль, изображаемая въ полярныхъ координатахъ
уравнен) емъ
а такъ какъ z — Rft, то кривая лежитъ также на поверхности вращешя
R I 4- -4\
Эта поверхность есть катеноидъ, образуемый вращешемъ цЪпной лиши
около оси г-овъ (ея директрисы). Разсматриваемая кривая, следовательно, есть
пересечете косого геликоида съ катеноидомъ. Дифференцируя выражешя
координатъ, находимъ
-Л = -s- [(«" — е~^) sin 8 + (г9 -\- е"9) cos 8J, -^- = R,
отсюда
полагая, что s = 0 при 9 = 0. Поэтому направляюще косинусы касательной
будутъ
" — (? cos в — sin 9), 6 = ——тг (* sin в -f cos 9), с = ——; •
e9 - ^9
если обозначимъ для сокращешя k = — • Такъ какъ
— я sin в + Ъ cos 8 = ——- ¦

§§ 657—658 KACAHIE КРИВЫХЪ СЪ ПОВЕРХНОСТЯМИ. 175
то находимъ, что кривая пересЬкаетъ параллели катеноида подъ
d k
угломъ въ 45°. Замечая, далъе, что j~s=1~^> и дифференцируя еще
разъ, получимъ .
dc _
~db еЬ _|_ g—fl
Отсюда, возвышая въ квадратъ и складывая, получимъ e = ?rf9, а потому
_ 1 ds - R И + *~6J 2.R2
е ~ k dd~ у~2 еч — е~9 ~ 5 s
и
1 1 VI.
А = —(sine + ?cose), u = -—(cosO — ksinb), v= fl-~^rs'
Наконецъ, получимъ еще
2cos9 . 2 sin8
Такъ какъ — = tg 8, то бинормаль, очевидно, пересъкаетъ ось «-овъ, и
следовательно, норма тьна къ поверхности катеноида*). Для вычис-
лешя второй кривизны достаточно теперь взять одну изъ формулъ A1),
. dy v
напримъръ, гг~ = — .и изъ нея получить
R S2
« = -4- (е + е У = R + 2^ •
Легко показать, что * равно отрезку бинормали между кривою и
осью «-овъ. Въ самомъ деле, на основанш известныхъ свойствъ цепной
2
лити (§ 589, с), этотъ отрезокъ какъ разъ равенъ -= т. е. *. Заметимъ,
is.
наконецъ, что отношен1е первой кривизны ко второй изменяется
прямо пропорцшнально длине дуги (обратное тому, что было сказано
для геодезическихъ лиши на конусе въ § 656).
658. Кривыя Бертрана, а) Предложимъ себе решить вопросъ:
могутъ ли главныя нормали одной кривой (А/) быть въ то же время глав-
главными нормалями другой кривой (il/j)?**). Каждой точке М(х, у, s) данной
кривой соответствуем точка Мх на другой кривой, координаты которой
будутъ
С) Xt=X + Ap, yx=y-
*) Это частный случай общаго свойства поверхностей вращешя:
нормаль къ поверхности пересъкаетъ ось вращешя.
**) Для плоскихъ кривыхъ, очевидно, нормали къ одной кривой будутъ
нормалями ко всъмъ кривымъ, ей параллельнымъ; для кривыхъ не плоскихъ,
какъ увидимъ, данная кривая должна удовлетворять извъстнымъ услов!ямъ,
чтобы ея главныя нормали были общими съ другою кривою.

176 VI, 3. ПРИЛОЖЕНШ КЪ КРИВЫМЪ ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ. § 658
гд* р обозначаетъ разстояше ММХ, a I, ft, v— направляющее косинусы
общей для двухъ кривыхъ главной нормали. Положительныя направлешя
касательной Mt въ точкЪ М къ кривой (Ж) и касательной М^ въ точк* М1
къ кривой (Л/j) будутъ перпендикулярны къ направлешю Мп — общей
главной нормали, но, вообще говоря, не будутъ совпадать. Обозначимъ че-
резъ ip уголъ, на который надо повернуть полупрямую М^ около точки Mv
чтобы М^х сделалась параллельною Mt, при чемъ вращеше происходитъ
въ томъ же направленш, въ которомъ надо повернуть Mt на уголъ въ 90°,
чтобы Mt совпало съ положительнымъ направлешемъ бинормали Mb. При
такомъ условш о счегв угла ip, какъ легко убътшться, направляюгше коси-
косинусы касательной M-J, выразятся формулами
(II) a-L— a cosi/j — a sin ip, Ь1 — Ь cos ip — j) sin ip, tj = с ccs ip— у sini/j,
Съ другой стороны, им^емъ, по формуламъ (I) и A1) § 638,
dx, (a a\ .dp
-j--1 = а— )р + X-f и т. д.
ds \q ъ]г ds
и a-i = -т-i i гд-b s1—дуга кривой (Л/j). Отождествляя выражен)е а1=~т^ " j—
съ т^Ьмъ, которое даютъ формулы (II), т. е. приравнивая коэффищенты
при я, при а, и независимые отъ а и а члены въ обоихъ выражешяхъ,
получимъ
C3)
такъ что
C4)
dp
ds
= 0,
1
Р =
9
-- const.,
ds,
'ds
1
0
COS Ip,
cot ip
p_ =
г
1
P
ds,
ds
sin
Полученныя формулы выражаютъ только то, что главиыя нормали кривой (М)
будутъ некоторыми нормалями кривой (Л/j); чтобы он* были именно
главными нормалями и для второй кривой, необходимы еще услов1я
d Я| Я d 61 ft d
Замечая, что
находимъ
da, /cos w sin u>\ , , . . dip
-r-1 = Я — (a sin w + a cos ip) -7х и т. д.,
ds \ q г I 'as
dip 1 rfsj cosy sin v
ds q-l ds q 1
т. e. ip = const.; а это показываетъ, что основные тр1эдры об*ихь
кривыхъ должны быть неподвижно связаны между собою (т. е-
относительныя положен!я реберъ этихъ тр1эдровъ не изм-Ьияются при пере-
ход* отъ одной точки на кривой къ другой). КромЪ того, на основаши фор-
формулы C4), между обеими кривизнами данной кривой (М) должно
существовать линейное соотношен1е съ постоянными коэффи-
шен тами. Мы видимъ, такимъ образомъ, что кривая (М) не произвольна:
она должна быть кривою Бертрана: такъ называются кривыя, между
кривизнами которыхъ существуетъ соотношен1е вида
C6) р q
гд^в р и q — постоянныя.

§ 658 KACAHIE КРИВЫХЪ СЪ ПОВЕРХНОСТЯМИ. 177
b) Нужно замътить, что и обратно, если дана кривая Бертрана (А/),
то всЪ найденныя выше услов1я выполняются, такъ что существуетъ другая
кривая (Mj), имеющая съ данною обпия главныя нормали въ соотвЪтству-
ющихъ точкахъ. Эти двЪ кривыя опредъ'ляютъ на общихъ главныхъ норма-
ляхъ отрезки равной длины р, а касательныя въ концахъ каждаго отрезка
образуютъ между собою постоянный уголъ ip = arctg — • Очевидно, вторая
кривая будетъ также кривою Бертрана, удовлетворяющею уравнешю, полу-
получаемому изъ C6) заменою р на —р. Это обстоятельство позволяетъ весьма
просто вычислить обЪ кривизны кривой (М{), такъ какъ формула C3) даетъ
dst Ур2 + a* ds |/>2 4- q2
-~ = -L-i—LJL- , а также аналогично этому -=— = -^-—-— , откуда
d s t, J dSi ъх
l^i=/2 + ?2> T- e- произведете вторыхъ кривизнъ въ соотв-Ьт-
ствующихъ точкахъ объ-ихъ кривыхъ — величина постоянная.
Применяя дал-fee формулу C6) къ кривой (Л^), получимъ
т. е.
C7) — = , .„ ,—=¦— '
Pi \Р + q) р
что можно также получить изъ второй формулы C5). Наконецъ, замътимъ,
что отвъть, полученный нами на поставленный вопросъ, теряетъ смыслъ
при р — 0, т. е. для кривыхъ съ постояннымъ (не равнымъ нулю) кручешемъ
и перем-Ьнною первою кривизною. Въ этомъ случа-fe кривыя М и (М±) сов-
падаютъ. Это заключен1е не распространяется на кривыя съ кручешемъ,
равнымъ нулю (т. е. плосыя кривыя); въ этомъ случаъ1 имЪемъ ip — 0, и
формулы C3) и C5) приводятся кь извъхтнымъ результатамъ:
относящимся къ систем-fe параллельныхъ кривыхъ (§ 624, Ь). Полученный
результатъ не имЪетъ м*ста и въ томъ случай, когда об-fe кривизны посто-
постоянны, потому что тогда уравнеше C6) удовлетворяется безчисленнымъ мно-
жествомъ паръ значешй р и q. Это значить, что круговую винтовую
лишю можно безчисленнымъ множествомъ способовъ разсматри-
вать, какъ кривую Бертрана. Мы видимъ, что круговыя винтовыя
линш, отъ вс-Ьхъ другихъ линШ двоякой кривизны, отличаются тЬмъ, что,
подобно плоскимъ кривымъ, имЪютъ общ1я главныя нормали съ безчислен-
безчисленнымъ множествомъ другихъ кривыхъ. Эти друпя кривыя, разумеется, тоже
круговыя винтовыя и между ними одна должна приводиться къ прямой.
Она соотвътствуетъ тЬмъ значешямъ р и q, которыя удовлетворяютъ урав-
нешямъ C6) и C7) при gj=oo, т. е.
Q2 + t,2 * Q2 + *2
и есть не что иное, какъ общая ось всЬхъ цилиндровъ, на которыхъ лежатъ
круговыя винтовыя линш.

178 VI, 4. приложенш къ тборш поверхностей. § 659
ПРИЛОЖЕНЫ КЪ ТЕОР1И ПОВЕРХНОСТЕЙ.
Основныя гкхнятчя.
659. Касательная плоскость. Ко вс-Ьмъ кривымъ, проходя-
щимъ черезъ точку М на поверхности, проведемъ касательный
прямыя: онЪ называются касательными къ поверхности. Напра-
влете каждой изъ нихъ определяется косинусами, которые (§ 630)
пропорцюнальны дифференшаламъ координатъ х, у, z точки М,
если представимъ себе, что эта точка передвигается по одной изъ
кривыхъ на поверхности. Если поверхность задана уравнешемъ
f(X, Y, Z) — 0, то упомянутые дифференщалы связаны уравнешемъ
Это уравнен1е выражаетъ, что всякая касательная, къ какой бы
кривой на поверхности черезъ точку М она ни была проведена,
перпендикулярна къ прямой, направлеше которой определяется
косинусами
yj/дх y.ifdy Y.ifds
Следовательно, все касательный въ точкЪ М лежатъ въ одной
плоскости. Она называется касательной плоскостью къ по-
поверхности въ точке М, а прямая, къ ней перпендикулярная, воз-
ставленная изъ той же точки М— нормалью къ поверхности.
Касательная плоскость изображается, следовательно, уравнешемъ
B) (A--.v)^ + (y-^)g + (Z-c)^-0.
Если хотимъ ввести въ вычислеше частныя производныя отъ z по
яг и по у, обозначаемый буквами р и q, то косинусы направлен1я
нормали выразятся формулами
Vl + /.2 + ф Y\ + pi + qi Y\ + pi
а уравнен1е касательной плоскости приметь видъ
C) Z-z^p {X -x) + q{ Y-y).
*) вытекающими изъ уравнешй f^+Pf-^O, /' + ?//= 0.

§§ 659—660 основныя понятш. 179
Сближая сказанное въ § 568 съ настоящими выводами, мы видимъ,
что нормаль къ поверхности f = 0 въ точке М и есть та прямая,
вдоль которой функщя f стремится изменяться всего быстрее,
между тЪмъ, какъ вдоль касательныхъ эта функщя стремится со-
сохранить значеше 0; действительно, въ точкахъ М', лежащихъ въ
касательной плоскости, функщя f имЪетъ значешя, безконечно малыя
второго порядка относительно ММ'.
660. Полезно иметь также формулы для непосредственнаго
вычислешя косинусовъ ?, ?>ТС, Эс въ томъ случай, когда поверх-
поверхность задана уравнешями
X = If (//, <¦), у = у_ (И, V), Z = 1\i {U, V).
При этомъ параметры и и v изменяются независимо одинъ отъ
другого. Чтобы эти три уравнения изображали поверхность, необхо-
необходимо, чтобы две изъ функщй х, у, z были независимы, а слъ\до-
довательно (§ 578), чтобы въ матриссЬ
д х ду д z !
д и а и d и
дх д_у^ дс '
д v д v д v ;
не все миноры второго порядка равнялись нулю. Если теперь v
остается постояннымъ, то ланныя три уравнешя изображаютъ кривую
д х д v ' д г ,
лин1ю на поверхности; -у . . > - -• будутъ пропорцюнальны на-
правляющимъ косинусамъ касательной къ этой кривой въ разсма-
триваемой точке; точно такъ же •/ > -~\- > ," будутъ nponopui-
ональны косинусамъ касательной къ другой кривой, которую
получимъ, разсматривая и, какъ постоянное. Услов1я перпендикуляр-
перпендикулярности нормали къ обеимъ касательнымъ даютъ
д v
Изъ нихъ вытекаетъ, что 2, ЭГС, 9с пропорцюнальны вышеупомя-
нутымъ минорамъ, а такъ какь сумма квадратов ь этихъ миноровъ
равна квадрату матриссы, т. е. ас — Ь2, где
д х X1 , v-r /г) х \2 -^д х д х
, b = У [ , с = У -. — 1
то, очевидно, будемъ иметь
n b - ,* д ("• г>1 ^ Га b~c'ilj (". vi " }ra b-fi

180
VI, 4. ПРИЛОЖЕН1Я КЪ ТЕОР1И ПОВЕРХНОСТЕЙ. §§ 661—662
661. Упражнения. Найдемъ уравнение конуса, описаннаго около-
околоповерхности f\X, Y, Z) = 0 съ вершиною въ данной точке Q (?, ¦>;, ?),
т. е. того конуса, образующая котораго будутъ касательными къ поверх-
поверхности, проведенными изъ точки Q. Уравнешя, вы-
ражакишя, что точка М (х, у, з) лежитъ на поверх-
ности, и что касательная плоскость въ точке [М
проходить черезъ Q, будутъ
D)
f(x, у, г) = О,
Если въ этихъ уравнешяхъ будемъ разсматривать
х, у, з, какъ переменный (текуцця) координаты, то
эти уравнешя изобразятъ кривую каса Hi я ко-
Рис. 83. нуса съ поверхностью. Такимъ образомъ въ прило-
жешяхъ определяется, такъ называемый, видимый
контуръ поверхности для наблюдателя, смотрящаго
на нее изъ точки Q, т. е. кривую, отделяющую видимую изъ точки Q
часть поверхности отъ невидимой или лишю, отделяющую светъ отъ тени
иа поверхности, погруженной въ пучекъ световыхъ лучей, исходящихъ изъ
точки Q. Если хотимъ определить тень, бросаемую данною поверхностью
на другую, то должны къ уравнение этой поверхности присоединить урав-
неше описаннаго конуса, чтобы получить контуръ. ограничивающей эту тень.
Уравнейе этого конуса получимъ, если исключимъ х, у, з изъ уравнешй D)
и уравненШ образующей QM конуса
х-$ у — 1) г-С,
Въ частномъ случае, когда Q находится на безконечности, черезъ исклю-
чеше х, у, z изъ уравнешй
.
-У
Z- г
получимъ уравнение цилиндра, описаннаго около поверхности съ
образующими, параллельными направлешю {А, В, С). Возвращаясь къ об-
общему случаю (конуса), заметимъ, что исключеше х, у, z можно произвести
весьма просто, разсматривая функшю
и замечая, что второе изъ уравненШ D) обращается въ F'it) = 0. Следова-
Следовательно, уравнен1е описаннаго конуса получится черезъ исклю-
исключеше / изъ уравнен^ F(t) = 0 и F'(f) = 0.
662. Особенности. Во всемъ предыдущемъ подразумевалось,
что въ точке М{х, у, z) не все первыя производныя отъ f по
х, у и z равны нулю. Иначе условие A) обращалось бы въ тож-
тождество и не давало бы никакой связи между dx, dy, dz. Если
E)
дх ду

§§ 662—663 основный понята. 181
то М будетъ особенная точка, в-ь томъ отношенш, что всъ каса-
тельныя къ поверхности въ точкъ М, вместо того, чтобы лежать
въ одной плоскости, образуютъ коническую поверхность. Это можно
тотчасъ увидъть, если напишемъ уравнете поверхности для точекъ,
{X, Y, Z), безконечно близкихъ къ М, въ видъ (§ 376)
_ df д/ д/ ,,
Ьсли ~-> ~' ~> вычисленныя для точки М, не равны нулю
одновременно, то, отбрасывая безконечно малыя высшаго порядка,
видимъ, что въ смежности съ М поверхность уподобляется плос-
плоскости B); такимъ путемъ можно прямо получить уравнете каса-
касательной плоскости. Если же, наоборотъ, координаты .точки М
удовлетворяютъ уравнешямъ E), то, пренебрегая безконечно малыми
выше 2-го порядка, можно разсматривать точки поверхности, смеж-
ныя съ М, какъ лежащдя на поверхности конуса второго
порядка.
и т. д. Разыскаше особенныхъ точекъ поверхности (которыя назы-
называются также коническими, или двойными, тройными и т. д.
точками) производится путемъ, аналогичнымъ тому, которому мы
слъдовали при изученш плоскихъ кривыхъ (§ 607); характеръ
особенной точки определяется- разсмотръшемъ плоскихъ съчен1й
поверхности въ смежности съ разсматриваемой точкою. Надо замъ-
тить, что на поверхности особенныя точки могутъ примыкать одна
къ другой непрерывно и образовать особенныя линш. Если, на-
примъ-ръ, будемъ проектировать какую нибудь плоскую кривую изъ
точки, нележащей въ ея плоскости, то получимъ коническую поверх-
поверхность, на которой кратными лишями будутъ веб тъ образующая,
которыя проходятъ черезъ кратную точку разсматриваемой кривой;
точно также кратными лишями поверхности вращешя будутъ всъ
параллели, образуемый кратными точками мерид1'ана и т. д. Другого
рода особенности, аналогичный точкамъ изгиба плоскихъ кривыхъ,
вскоръ намъ встретятся.
663. Соприкасающаяся прямыя. Возвращаясь къ обыкно-
веннымъ точкамъ, изучимъ форму поверхности въ смежности съ
такою точкою. Возьмемъ уравнеше касательной плоскости въ
формъ C) и вычислимъ алгебраическое разстоян]'е h отъ этой

182 VI, 4. ПРИЛОЖЕНЫ КЪ ТЕОРШ ПОВЕРХНОСТЕЙ. § 663
плоскости до безконечно близкой къ М точки на поверхности.
Это разстояше выражается такъ
dz — рдх — q ду
(гдъ дх, ду, dz разности между координатами М и М). Мы
имЪемъ,
дг = р дх + q ду + i (/- дх2 + 2 5 дX ду + / ду2) + • ¦ •,
гдъ р, q, r, s, t им-Ьютъ H3BtciHbiH (§ 563) значешя и вычисляются
для точки М. Отбрасывая безконечно малыя выше 2-го порядка,
имЪемъ, сл*довательно,
, . г dx2 + 2sdxdy + t dy2
Всякая пара значен1й dx и dy, съ соотвтэтствующимъ ей значешемъ
dz = p dx -\- q dy опредт,ляетъ направлен1е прямой — касательной
къ одной изъ безчисленнаго множества кривыхъ, проходящихъ че-
резъ М по поверхности, и точку М' всегда можно предположить
лежащею на одной изъ этихъ кривыхъ. Вращая касательную въ
касательной плоскости въ точк-fe М, мы можемъ достигнуть того,
чтобы точка М' приняла любое положеше внутри некоторой,
достаточно малой части g поверхности, составляющей окрестность
точки М. Во время полнаго оборота касательной она два раза
приметъ такое положеше, при которомъ h сделается безконечно
малою выше второго порядка. Это будутъ rk направлешя, для
которыхъ числитель выражешя F) обращается въ нуль. Такимъ
образомъ, между безчисленнымъ множествомъ касательныхъ, прохо-
проходящихъ черезъ точку М, можно отличить дв-fe прямыя, которыя
называются соприкасающимися прямыми, потому что изъ всбхъ
прямыхъ, проходящихъ черезъ М, онт, тт,снт,е всего примыкаютъ къ
поверхности въ смежности съ М. Эти прямыя будутъ мнимыми
или вещественными, смотря по тому, будетъ ли rt — sa > О
или < 0 *). Въ первомъ случат, точка М называется эллиптиче-
эллиптическою, во второмъ гиперболическою. При rt — s2 = 0 сопри-
соприкасающаяся прямыя совпадаютъ, и точка М называется параболи-
параболическою. Если М эллиптическая точка, то h сохраняетъ oripeAt-
ленный знакъ для всЪхъ направлежй, и вся часть с поверхности
лежитъ съ одной стороны отъ касательной плоскости.
Можно поэтому сказать, что М изолированная точка для линш
перестэчешя поверхности съ касательного плоскостью. Если же М
*) Услсшя мнимости или вещественности гЪхъ значешй -.- , при ко-
торыхъ г dx- + 2 .s dx dy + / dy- = 0.

§§ 663—664 основныя ионятш. 183
гиперболическая точка, то вещественныя соприкасающаяся прямья
опредЪляютъ на касательной плоскости ташя двъ1 области, что въ
одной изъ нихъ /г>0, а въ другой А<0; следовательно, въ этомъ
случай касательная плоскость пересвкаетъ д. Дал-fee, если М'
лежитъ въ этой плоскости, или общн^е, если она лежитъ на кривой,
для которой касательная плоскость въ М будетъ соприкасающеюся
плоскостью, то разстояше h будетъ либо нуль, либо безконечно
малою не ниже 3-го порядка, а потому числитель въ выраженш F)
долженъ обратиться въ нуль. Отсюда вытекаетъ, что соприкасаю-
соприкасающаяся прямыя будутъ касательными къ тъмъ кривымъ, для которыхъ
соприкасающаяся плоскость совпадаетъ съ касательною плоскостью
къ поверхности *). Въ частности, пересечете поверхности съ каса-
касательною плоскостью имЪетъ дв-fe ветви, проходящая черезъ М и
касаюшдяся въ ней соприкасающихся прямыхъ. Следовательно,
М будетъ двойною точкою для этой кривой. Обратно, какъ только
нъкоторая кривая на поверхности касается въ точкъ М соприкасаю-
соприкасающейся прямой, h дътгается безконечно малою выше 2-го порядка, и
касательная плоскость будетъ соприкасающеюся плоскостью для
такой кривой, или (§ 646) первая кривизна кривой въ этой точкЪ
равна 0. Наконецъ, замътимъ еще, что если функщя ft — s1 непре-
непрерывна, то эллиптичесюя и гиперболичесюя точки заполняютъ таюя
области на поверхности, которыя разграничиваются лишями, обра-
образованными параболическими точками. Эти лиши будутъ лишями
пересъчешя данной поверхности съ поверхностью rt — s2 = 0
(ср. съ § 604).
664. Указательница (индикатриса) Дюпена (Ch. Dupin).
Чтобы ближе разсмотрЪть, что происходить въ окрестности съ точ-
точками двухъ различныхъ родовъ, помъстимъ начало координатъ въ
точку М, а ось s-овъ направимъ по нормали къ поверхности.
Знакъ выражешя rt — s2 при этомъ не изменится, потому что, какъ
мы видътш, этотъ знакъ характеризуетъ так!я геометричесюя свой-
свойства поверхности, которыя отъ выбора координатныхъ осей, оче-
очевидно, не зависятъ. При сдЪланномъ выбора мы будемъ имъть
р = 0 и q = 0 (§ 659) и въ смежности съ точкою М данная поверх-
поверхность уподобляется параболоиду z = \(гх% -f- 2sxy -f- ty2), эллип-
эллиптическому при rt — s2 > 0, гиперболическому при rt — s2 < 0.
Соприкасающ!яся прямыя будутъ rb именно, мнимыя или веществен-
вещественныя, прямолинейныя образующ1я параболоида, которыя лежатъ въ
плоскости з = 0. Если rt — s1 =0, то М — параболическая точка
и параболоидъ обращается въ параболичесюй цилиндръ. ПересЬчемъ
теперь поверхность двумя плоскостями z = + /, параллельными ка-
касательной плоскости (з = 0) и безконечно къ ней близкими. Урав-
нен1я сЪчешй будутъ
гх2 + 25 ху + ty- = ± 2 /
*) См. дальше § 665.

184 VI, 4. пРиложЕнт къ теорш поверхностей. §§ 664—665
и изображаютъ либо пару эллипсовъ (одинъ вещественный, другой
мнимый), либо пару дополнительныхъ гиперболъ, смотря по тому,
будетъ ли точка М эллиптическая или гиперболическая. Проекти-
руемъ эти сЪчешя на касательную плоскость и представимъ себе
ихъ растянутыми по направлешю изъ центра, такъ, чтобы ихъ
уравнеше обратилось въ уравнеше rx2-\-2sxy-{~(у*= + 1. Веще-
Вещественная часть этой пары коническихъ сЬченШ называется указа-
тельницею или индикатрисою Дюпена *). Она пересекается
каждымъ д!аметромъ въ двухъ вещественныхъ точкахъ и ея асимп-
асимптоты— вещественный или мнимыя — совпадаютъ съ соприкасающи-
соприкасающимися прямыми къ поверхности.
665. Замечательный кривыя на поверхности. Изъ всъхь
лиши, которыя можно провести на поверхности, особенно замеча-
замечательны асимптотическ1Я лин!и. Это rfe кривыя, которыя въ
каждой свой точке касаются соприкасающейся прямой, т. е. асимп-
тотъ индикатрисы. Асимптотическую лишю можно себе представить
произведенною движешемъ точки М, которая двигается по сопри-
соприкасающейся прямой въ М до точки М'', загЬгь по соприкасающейся
прямой въ М' до точки М" и т. д. Если наша точка М, вместо
того, чтобы двигаться последовательно по соприкасающимся пря-
мымъ, т. е. постоянно тангенщ'ально къ асимптотамъ индикатрисы,
двигалась бы постоянно тангенщально къ осямъ индикатрисы, то
описываемая ею лишя была бы такъ называемая лин1я кривизны.
Всякая поверхность, следовательно, покрыта сетью двухъ системъ
лиши кривизны, которыя всегда вещественны. Черезъ каждую точку
поверхности проходятъ одна лишя одной и одна лишя другой си-
системы, пересекаясь притомъ ортогонально. Черезъ каждую точку
поверхности проходятъ также две асимптотическ1я лиши (веще-
ственныя или мнимыя), одинаково наклоненныя къ обеимъ лишямь
кривизны (какъ асимптоты гиперболы къ ея осямъ), и образуют ь
между собою, вообще, не прямой уголъ. По сделанному въ § 663
замечашю соприкасающаяся плоскости асимптотической лиши будуть
касательными пдоскостями поверхности, если только не постоянно
— = 0; въ последнемъ случае лишя будетъ прямою (§ 639), отно-
относительно которой касательная плоскость всегда можетъ быть раз-
сматриваема, какъ соприкасающаяся къ ней (§ 646). Следовательно,
для асимптотическихъ лин1й главная нормаль всегда ле
житъ въ касательной плоскости къ поверхности. Съ другой
стороны, черезъ каждую точку поверхности проходитъ безчисленное
множество кривыхъ, такъ называемыхъ геодезическихъ лиши,
для которыхъ главная нормаль есть нормаль къ поверхности.
Мы увидимъ впоследствш, что кратчайшШ путь по поверхности
между двумя ея точками (если разстояше между ними не превос-
*) ФранцузскШ геометръ, ученикъ знаменитаго Монжа.

§§ 665—667 ЛИНЕЙЧАТЫЯ ПОВЕРХНОСТИ. 185
ходить извЪстнаго предела) есть именно дуга геодезической лиши,
черезъ нихъ проходящей. Очевидно, прямая лишя есть и геодези-
геодезическая и асимптотическая на всякой поверхности, потому что каждая
ея нормаль можетъ быть разсматриваема, какъ главная.
Линейчатыя поверхности.
666. Когда прямая лимя, двигаясь въ пространстве, последо-
последовательно занимаетъ простую безконечность (оо1) различныхъ поло-
жешй, то она образуетъ такъ называемую линейчатую поверхность.
[ Мы говоримъ, что прямая занимаетъ оо' положенШ, когда
коэффициенты въ ея уравнешяхъ зависятъ лишь отъ одного неза-
висимаго параметра. Если бы эти коэффициенты зависали отъ двухъ
независимыхъ параметровъ, то мы сказали бы, что она занимаетъ
оо2 различныхъ положешй и образуетъ конгруеншю прямыхъ,
а не линейчатую поверхность. ]
Фиксируя образующую прямую въ нъкоторомъ положенш д,
разсмотримъ другое ея положеше д', безконечно близкое къ д.
Обип'й перпендикуляръ къ прямымъ g и д' встръчаетъ прямую д въ
некоторой точке, которая передвигается при движенш д' и стре-
стремится къ некоторому предельному положенш Q, съ которымъ и
совпадетъ при совпаденш прямой д' съ д (рис. 84). Эта точка Q
v M
называется центральною точкою образующей. Если кратчайшее
разстояше h между двумя безконечно близкими образующими бу-
детъ безконечно малою перваго порядка относительно дуги QQ'
кривой (Q) — общаго места центральныхъ точекъ, то поверхность
называется косою (windschief) (это и будетъ въ общемъ случае),
а кривая (Q) — ея горловою или стрикцшнною лишею (Strik¦
tionslinie). Если же, наоборотъ, h безконечно малая высшаго порядка,
то поверхность называется развертывающеюся (abwickelbar), a
кривая Q ея ребромъ возврата (Riickkehrkante).
667. Положимъ, что (а, Ь, с) обозначаютъ направляюии'е,
косинусы образующей, а (х,у, z) координаты какой нибудь точки

186 VI, 4. ПРИЛ0ЖЕН1Я КЪ ТЕОРШ ПОВЕРХНОСТЕЙ. § 667
на ней лежащей. Изъ Аналитической Геометрш известно, что
уголъ (р между прямыми g и д' определяется по формуле
sin2<p = I{Ьдс —cdbf = (Ьдс -c6bf + (с6а- adcf + (adb — bdaf,
где символъ д обозначаетъ приращешя входящихъ сюда величинъ
при переходе отъ g къ д'. Но Л есть проекщя отрезка между
точками (х, у, г) и (х-\-дх, у + ду, z + dz) на общШ къ пря-
мымъ g и д' перпендикуляръ, а направляющее косинусы этого пер-
перпендикуляра пропорциональны числамъ Ьдс — сдЪ, еда — аде,
adb — bda, поэтому h определяется формулою
\ а 6 а 6х
¦^••Ьдс — гдЬ 1 , „, .
Л = У г дх = — •- b 6b 6v
^—J sin (p sin у
с 6 с йс
или короче
// sin (f = [а, да, дх],
[а, да, 6х\ =
а да 6 х
b 6 b ду
с дс 6 s
Пренебрегая въ обеихъ частяхъ равенства безконечно малыми выше
третьяго порядка, получимъ
h<p = [a, da, dx] + I [a, da, d2x] -f -i [a, d2a, dx] + • • • .
Для того, чтобы h было безконечно малою выше перваго порядка,
необходимо и достаточно, чтобы [a, da, dx] =0. Это равенство
и выражаетъ услов1е, необходимое и достаточное, чтобы
поверхность, образуемая прямою
X - х __ У- у _Z-s ^
a b с
где {а, Ь, с) и (х, у, г) функщи отъ одной независимой
переменной, была развертывающеюся. Следуетъ заметить,
что это yanoBie не изменится, если заменимъ косинусы а, Ъ, с
какими угодно пропорцюнальными имъ числами. Заметимъ еще, что
при выполненш этого услов1я въ выраженш hg) пропадутъ и члены
третьяго порядка, потому что
[a, da, d2x] + \a, d2a, dx\ = d[a, da, dx].
Следовательно, въ развертывающейся поверхности кратчай-
кратчайшее разстоян1е между двумя безконечно близкими обра-
образующими есть безконечно малая не ниже третьяго порядка
относительно дуги ребра возврата.

§ 668 ЛИНЕЙЧАТЫЯ ПОВЕРХНОСТИ. 187
668. TeopiH кривыхъ двоякой кривизны тотчасъ дастъ намъ
примЪръ развертывающихся поверхностей. А именно, ясно, что
общее место касательныхъ къ кривой двоякой кривизны есть раз-
развертывающаяся поверхность, для которой данная кривая служитъ
ребромъ возврата, потому что если (х, у, з) есть точка на кривой,
то элементы третьяго столбца въ определителе [a, da, dx] npo-
иорцюнальны элементамъ перваго (§ 630) и определитель равенъ
пулю. Обратно, если определитель [a, da, dx] = 0, то всегда
можно на поверхности, образуемой прямою
X - х _ Y — y _ Z— г
a b с
найти такую кривую, касательныя которой о'удутъ образующими
поверхности. Действительно, координаты любой точки на образующей
можно представить формулами
X = x + av, Y = y-\-bv. Z = z-\-cv,
где у алгебраическая длина отрезка между разсматриваемою точкою
и точкою (х, у, z). Разсматривая v, какъ функщю отъ той же
независимой переменной, отъ которой зависятъ числа х,у, z, a, Ь, с,
мы можемъ разсматривать X, Y, Z какъ координаты точекъ неко-
некоторой кривой на данной поверхности. Направляющее косинусы
касательной въ этой кривой въ точке (X, Y, Z) пропорцюнальны
числамъ dX = dx -\- v da -\- adv, dY= dy -\- v db -\- b dv,
dZ = ds-\-vdc-\- cdv. Чтобы касательная совпала съ образующей,
необходимо и достаточно, чтобы можно было определить v такъ,
чтобы эти числа были пропорцюнальны числамъ а, Ь, с, т. е.
чтобы было
dx-\-vda dy-\-vdb dz-^vdc
А при условш [a, da, dx] = 0 это всегда возможно, потому что
оно есть не что иное, какъ услов!е совместности написанныхъ двухъ
уравненШ съ одною неизвестною v. Итакъ, всякую разверты-
развертывающуюся поверхность можно разсматривать, какъ общее
место касательныхъ къ кривой двоякой кривизны.
[ ПрИйгЬчаше. Въ частномъ случае, эта кривая можетъ обра-
обратиться въ точку, черезь которую тогда и проходятъ все образую-
образующая, такъ что получается коническая поверхность; эта въ свою
очередь превращается въ цилиндрическую, когда вершина конуса
удаляется въ безконечность и образующая делаются параллельными
между собою.
Можно отдать себе отчетъ въ этомъ свойстве, заметивъ сле-
следующее. Если мы проведемъ черезъ g плоскость, параллельную д',
то разстояше точки Q отъ этой плоскости будетъ равно h, а такт>
какъ h третьяго порядка, то, вообще говоря, проведенная нами

188 VI, 4. приложенш къ теорш поверхностей. §§ 668—669
плоскость совпадетъ съ соприкасающеюся плоскостью къ ребру
возврата въ точке Q (§ 642). Чтобы доказать, что g — касательная
¦къ ребру возврата достаточно показать, что разстояше между g и
лроекщею точки Q' на соприкасающуюся плоскость будетъ безко-
нечно малою выше перваго порядка. А такъ какъ это разстояте
равно произведена QQ' на безконечно малый уголъ, то теорема
и доказана.
669. Положимъ теперь, что х, у, z обозначаютъ координаты
центральной точки и поставимъ себе задачей определить касательную
плоскость въ какой нибудь точкъ М линейчатой поверхности.
¦Образующая g определяется координатами х,у, z и направляющими
косинусами а, Ь, с. Bet эти величины, какъ уже было сказано,
будутъ функщями отъ одной независимой переменной и, за которую
можно принять дугу ребра возврата или стрикцюнной лиши, отсчи-
отсчитываемую отъ произвольной начальной точки А на кривой. Точка М
на данной образующей определится тогда ея разстоятемъ v отъ
центральной точки. Следовательно, координаты точки М выражаются
въ двухъ параметрахъ и и v формулами
X = х + civ, Y=y + bv, Z = s + cv.
Кроме того,
,_. дХ dx da dY dy dv dZ de dc
du du du du ~du du du du dn
dX dY , dZ
.-=a, -^—= o, з— = c.
в v в v a v
_ dx da Я
Если поверхность развертывающаяся, то -^- = я, -у-= — и т. д.,
¦а последн1я формулы обращаются въ
дХ
дТ,~с
vl
1 ~о~ '
dY
Jit ~~
9
dZ
д~п
= С -
Вместе съ темъ направляюшде косинусь! 2, 01t, 91. нормали къ
¦поверхности (§ 660) будутъ пропорцюнальны определителямъ
d(Y, Z) d(Z, X) д(Х, Y)
д {и, v) д (и, v) Ъ (и, v)
«оторые сами пропорц1ональны определителямъ матриссы
I a b с
Я \i 1
т. е. косинусамъ а, /?, у бинормали. Какъ видимъ, 2, 911, 91 не
зависятъ отъ v. Следовательно, касательная плоскость въ
точке развертывающейся поверхности касается поверх-

§§ 669—670 ЛИНЕЙЧАТЫЯ ПОВЕРХНОСТИ.
ности вдоль всей образующей, проходящей черезъ эту
точку, иными словами, во всъхъ точкахъ данной образующей каса-
касательный плоскости совпадаютъ въ одну.
670. Въ случай косой линейчатой поверхности 2, 2Яс, 91,
на основанш тъхъ же формулъ § 660, будутъ пропорщональны
числамъ
+ dc) — c(dy^rvdb) = (bdz — cdy)-\-v{bdc — cdb) и т. д.
Въ то же время, обозначая черезъ а, /?, у направляющее косинусы
общаго перпендикуляра къ g и д', имъемъ
а # у 1
bdc — cdb cda — adc adb—bda <p
и аналогично, обозначая черезъ Я, (г, v направляющее косинусы
общаго перпендикуляра къ g и QQ', также имъемъ
А /г v 1
bdz — cdy cdx—adz ady — bdx h
Поэтому, положивъ h = R(p, находимъ, что 2, 9П, 1Я, nponopuj-
ональны числамъ X + -^a, fi + ^/?, v -\--rY и совпадаютъ съ
Я, fi, v при v — 0. На основанш сказаннаго, нормали къ поверх-
поверхности, соотвътствукишя значешямъ 0 и v параметра v, составляютъ
между собою уголъ ip, определяемый формулами
®lv, sin ц> = ?a
Изъ равенствъ
2 Ж. 9Г
v ? л- — '
'R1' + R '
= cos у
(потому что X*-\-[л1-\-V* — \, Xa-j-{ift-\-vy = 0), найдемъ
? = IA j- у- a) cos гс, @Т1 = т + -п Д) cos v, 9? = (^ + ~гг 5') cos i/j ,
а умножая на а, /?, у и складывая, получимъ
V
sin чу = -=¦ cos w,
т. е.
Эта формула, найденная Шалемъ (Chasles) показываетъ нижесл*-
дующее. Когда точка касашя, выйдя изъ начальнаго положен!я на

190 VI, 4. приложешя къ теорш поверхностей. §§ 67ft—672
горловой линш, описываетъ образующую косой линейчатой поверх-
поверхности, то касательная плоскость поворачивается на уголъ, тангенсъ
котораго пропорцюналенъ пройденному пути. Для опредтзлешя по-
ложенШ безчисленнаго множества касательныхъ плоскостей въ раз-
личныхъ точкахъ одной и той же образующей достаточно знать
число R, которое поэтому и называется параметромъ распре-
деле Н1Я касательныхъ плоскостей. Чтобы интерпретировать геоме-
трическШ характеръ теоремы Шаля, примемъ за ось д:-овъ прямую д,
за ось у-оъъ предельное положеще общаго перпендикуляра къ пря-
мымъ g и д'; тогда уравнешя нормали въ точке М примутъ видъ
X = v, Y— Z tg ip
и формула Шаля дастъ X Z = RY. Следовательно, нормали къ
косой линейчатой поверхности вдоль одной и той же обра-
образующей лежатъ на поверхности гиперболическаго пара-
параболоида.
671. Обращаемся снова къ развертывающимся поверхностямъ
и замтзтимъ следующее. Если кривая (М), координаты точекъ кото-
которой X, Y, Z опредЪляются формулами
X^.v + av, Y = y-\-hv, Z = c + cv,
перес+зкаетъ Bet образующ1я подъ прямымъ угломъ, или, какъ го-
ворятъ, будетъ ортогональною траектор1ей образующихъ, то
по услов1ю ортогональности будемъ им+зть
а<1Х + bdY+ cd Z = lad X = 0.
Но по формуламъ G), им+.емъ
dX = Id -4- -"--1 dit + ndv и т. д.
\ Q I
такъ что HadX= d{u -\- v) и услов1е 2adX = 0 даетъ и -\-v = const.,
т. е. ^ AQ -\- QM = const. Отсюда слъ\цуетъ, что всякая ортого-
ортогональная траектор1я отсекаетъ на любыхъ двухъ образующихъ
отрезки, разность которыхъ равна длинт> дуги ребра возврата
между точками касашя этихъ образующихъ*). Поэтому, если им'Ьемъ
гибкую нерастяжимую нить, закрепленную въ точке А и натянутую
по ребру возврата, и будемъ постепенно свивать эту нить, удер-
удерживая ее постоянно натянутою, то каждая ея точка будетъ описы-
описывать некоторую ортогональную траекторга (М). На этомъ основанш
кривыя (М) называютъ эвольвентами (развертками) ребра возврата,
которымъ можетъ быть какая угодно кривая.
672. Обратно, ребро возврата называется эволютою каждой
изъ кривыхъ G1/), потому что (какъ и въ плоскихъ кривыхъ) ея
) ^ЛО + QM = ^AQ'+Q'M', ^>QQ' =QM - Q'M'.

*§ 672 ЛИНЕЙЧАТЫЯ ПОВЕРХНОСТИ. 191
касательныя будутъ нормали кривыхъ (М). ИзслЪдуемъ теперь,
относя все къ основному Tpiaflpy одной изъ кривыхъ (М), какому
условгю должны удовлетворять нормали этой кривой, для того,
чтобы он* могли образовать развертывающуюся поверхность. Раз-
сматривая одну изъ этихъ нормалей, обозначимъ, черезъ ср уголъ,
образуемый ею съ главною нормалью, тогда направляюшде косинусы
разсматриваемой нормали определятся формулами
I = a sin </ -\- ). cos <f ц т = •] sin ср + ц cos ср, и = у sin ц + v cos ip,
а формулы
/'= a cos cp — }. sin i/., ;;/'= jJ cos у — /i sin q , n'— у cosrp — v sin <p
опред'Ьлятъ косинусы другой нормали, которая вм^ст-Ь съ первою
и съ касательного образуетъ ортогональный тр1эдръ, удовлетво-
(ряющ1й услов1ю
'а V I
! ь т' т — l.
j С 1l' П \
Но мы уже видели (§ 667), что разсматриваемая нормаль, при
передвиженш точки М по кривой {М) образуетъ развертывающуюся
поверхность тогда и только тогда, когда [/, с//, а] = 0. Замечая,
что dl = (о cos <p — X sin <p) dip + sin cp da -f cos c/ dX и пользуясь
формулами Френе (§§ 635, 636) da = Aij, dh =— пе — oi^, найдемъ
dl= /'(dtp — i)) — at cos (p и т. д.
Поэтому определитель [/, dl, а] приведется къ [/, /', a](d<p— r\),
т. е. къ г) — dq>, такъ какъ [/, /', а] = — 1. Вышеупомянутое
ycnoeie приведется, следовательно, къ i) = d<p или
(8) ^/ = 1*,.
Геометрическое значен!е этого услов1я можно обнаружить, введя
въ разсмотреше величину вращешя со разсматриваемой нормали
относительно главной. Согласно опредт>лешю этой величины, данному
въ § 637, мы имЪемъ
о) sin (р = I). ill — (dip — ri) ~ 11' = {¦>) — d(f) sin <¦/¦,
откуда to=rj~dcp, что очевидно само по себе. Поэтому наше
услов1е требуетъ, чтобы со было равно нулю, а это значитъ, что
*) Отсюда, между прочимъ, слЪдуетъ, что <р не равно постоянному,
если кривая не плоская, а потому ни главныя нормали, ни бинормали не
могутъ образовать развертывающейся поверхности.

192 VI, 4. приложена къ теорш поверхностей. §§ 672—674
въ то время, какъ некоторая точка движется по кривой двоякой
кривизны, развертывающдяся поверхности описываетъ всякая ея нор-
нормаль, двигающаяся въ нормальной плоскости (въ которой фиксиро-
фиксирована главная нормаль) такъ, что въ пространстве она передви-
передвигается перпендикулярно къ этой плоскости.
673. Въ заключеше докажемъ еще две теоремы, непосред-
непосредственно вытекаюшдя изъ предыдущего:
- а) Изъ послъдняго замЪчашя слъдуетъ, что движете образую-
образующей происходитъ такимъ образомъ, что соприкасающаяся плоскость
къ ребру возврата (Q) всегда остается перпендикулярною къ нор-
нормальной плоскости кривой (М) *). Иными словами, нормальная
плоскость къ эвольвенте совпадаетъ со спрямляющею
плоскостью эволюты.
Ь) Найдя одну функщю (р, удовлетворяющую услов1ю (8),
мы получимъ безчисленное множество другихъ, удовлетворяюшихъ
тому же условш, прибавивъ къ найденной функщи произвольную
постоянную. Отсюда вытекаетъ, что образующая развертываю-
развертывающейся поверхности не перестаютъ быть таковыми, если
повернемъ ихъ все на произвольный уголъ около одной
изъ ихъ ортогональныхъ траектор1й. Ребра возврата полу-
чаемыхъ такимъ образомъ развертывающихся поверхностей пред-
ставляютъ безчисленное множество эволютъ данныхъ кривыхъ.
[ ПриатЬчан^е. Аналитическую Teopiro эволютъ и эвольвентъ
(развертывающихъ и развертокъ) читатель можетъ найти у Гурса
„Курсъ математическаго анализа", стр. 520, § 231, т. I. ].
Огибаюи^я поверхности.
674. Разсмотримъ семейство поверхностей, изображаемое урав-
нешемъ f(x, у, z, а) = 0, где а независимый переменный параметръ.
Любая изъ поверхностей семейства, соответствующая данному зна-
neHiro а, вообще говоря, пересекается съ другою, соответствующею
значению a -f- h того же параметра, по некоторой кривой. Эта
кривая, съ приближешемъ h къ нулю, можетъ стремиться къ неко-
некоторому предельному положенто на первой поверхности. Въ этомъ
предельчомъ положенш она называется характеристикою данной
поверхности разсматриваемаго семейства. Общее место характери-
стикъ всехъ поверхностей даннаго семейства называется огибающею
*) Потому что соприкасающуюся плоскость къ кривой (Q) въ точкЪ Q
можно разсматривать, какъ плоскость, проходящую черезъ образующую Q М
и безконечно близкую точку Q'.

§§ 674 — 675 0ГИБАЮЩ1Я ПОВЕРХНОСТИ. 193
(Enveloppe) всЪхъ этихъ поверхностей. Можетъ также случиться,
что поверхности (а) и (a-\-h) не пересекаются, какъ бы мало h
ни было, но на поверхности (а) могутъ быть точки наибольшего
сближешя сь поверхностью (a-\-h) (ср. съ § 619), т. е. точки,
которыя можно разсматривать, пренебрегая безконечно малыми по-
порядка, высшаго чт>мъ h, какъ точки, обшдя обтжмъ поверхностямъ.
Въ этихъ случае характеристика поверхности (а) есть предельное
положен1е общаго места этихъ точекъ при безконечно маломъ А.
' Съ помощью соображешй, аналогичныхъ гЪмъ, которыми мы поль-
пользовались при разысканш огибающей плоскихъ кривыхъ, тотчасъ
доказывается, что уравнеше огибающей поверхности полу-
получается черезъ исключеьпе параметра а изъ уравнешй у=0
и -~ = 0. Легко также доказать, что всякая поверхность се-
семейства касается огибающей вдоль всей своей характери-
характеристики. Для этого стоитъ только замт>тить, что уравнеше огиба-
огибающей есть не что иное, какъ уравнеше самого семейства поверхностей
f{x,y, з, а) = 0, если въ немъ а разсматривяется, какъ функщя
отъ координатъ, удовлетворяющая услов1ю -е^ = 0. Первыя произ-
производный -левой части уравнешя огибающей будутъ, следовательно,
д_/ д/да^ д/ д/да д/ д/да
дх да дх ду даду' де дадг
д/ д/ д/ , „ч
и приводятся къ ~ I ¦'-1 -^-; какъ и въ случае а постояннаго *).
675. Примеры. Замечательный прим'Ьръ огибающей даетъ семейство
плоскостей. Характеристика плоскости, очевидно, прямая лишя, следовательно,
огибающая будетъ линейчатою поверхностью, а на основаши посл-вдней тео-
теоремы, она касается каждой изъ плоскостей семейства вдоль всей образу-
образующей, а потому она будетъ развертывающеюся поверхностью. Обратно, на
основами сказаннаго въ § 669, всякая развертывающаяся поверхность есть
огибающая соприкасающихся плоскостей некоторой кривой (ребра возврата).
Исходя изъ этого, легко вывести важный аналитически характеристически
признакъ развертывающихся поверхностей. Уравнеше касательной плоскости
къ любой поверхности есть
Z = pX + qY+(s-px- qy).
Чтобы поверхность была развертывающеюся, необходимо и достаточно,
чтобы р, q, z — рх — qy были функщями одного независимаго параметра.
А для этого .необходимо и достаточно (§ 578), чтобы Якоб1ева матрисса
этихъ трехъ функщй имъла всъ миноры второго порядка, равные нулю.
Такъ какъ
др да д , „
Jx = r' Jx = S' -d-x{s-pX-qy) = -{rX+Sy)'
*) Откуда и слъдуетъ, что въ любой точке характеристики касательныя
ПЛОСКОСТИ къ огибающей и огибаемой совпадаютъ.
13

194 VI, 4. приложенш къ теорш поверхностей. §§ 675—676
то эта матрисса приводится къ
г 5 rx-\-sy
s t sx + ty
и эквивалентна къ
Чтобы всб миноры второго порядка были нулями, необходимо и достаточно,
чтобы rt — s2 было равно 0. Итакъ, развертываюипяся поверхности
характеризуются т*мъ, что для нихъ rt — s2 = 0. Иными словами,
это единственныя поверхности, всЬ точки которыхъ параболическ1я (§ 663).
Зам'Ьтимъ, что для косыхъ линейчатыхъ поверхностей всегда rt — s2 < 0,
потому что черезъ каждую точку ихъ всегда проходитъ вещественная асимп-
асимптотическая лия1я, а именно, прямолинейная образующая. На развертыва-
развертывающейся поверхности оба семейства асимптотическихъ лиши совпадаютъ въ
одно — семейство прямолинейныхъ образующихъ; но, кромътого, существуетъ
еще одна изолированная асимптотическая литя - ребро возврата. Это не
противоречить ранъе сказанному, такъ какъ легко показать (см. § 693, Ь),
что на ребр* возврата г, s и t обращаются въ безконечность.
676. Положимъ теперь, что разсматривается дважды безконечная
система поверхностей, изображаемыхъ уравнешемъ /(х,у, з, а, Ь) — 0
для всевозможныхъ паръ значенШ независимыхъ параметровъ а и Ъ.
Фиксируемъ одну изъ этихъ поверхностей 5, соответствующую
данной паре значенШ (а0, Ьо) параметровъ, и, выбравъ произвольно
HtKOTOpyro функцто (р, положимъ
* = К + Ч>(а) - д>{о0).
Такимъ образомъ разсматриваемый случай сведется къ разсмотр^Ьн-
ному въ предыдущемъ §, и на поверхности 5 получится некоторая
характеристика, сооотвътствующая выбранной функц!и <р. Безчи-
сленному множеству функщй ср соотв-Ьтствуетъ безчисленное мно-
множество характеристикъ; всЬ эти характеристики проходятъ черезъ
некоторый опредъленныя точки на поверхности 5. Дей-
Действительно, характеристика, соответствующая некоторой функцш ср,
удовлетворяетъ услов1ю
и на ней лежать те точки 5, для которыхъ -^ = 0, —~ = 0. Эти
аа д о
точки, какъ видимъ, не зависятъ отъ выбора функщй д>. Въ нашемъ
случае, въ противоположность первому, на поверхности 5 не суще-
существуетъ лиши, образующей, при переходе отъ 5 къ другой поверх-
поверхности системы, огибающую, и лишь отдельныя точки, общее
место которыхъ при томъ же переходе и будетъ огибающею
поверхностью данной системы *). Уравнеше этой огибающей полу-
получается черезъ исключеше параметровъ а и Ъ изъ уравнешй
J da <>b
*) Ее называютъ огибающею второго рода.

§§ 676—678 огиБАЮиш поверхности. 195
И въ этомъ случай огибающая касается всЬхъ огибаемыхъ.
Въ частности каждую поверхность можно разсматривать, какъ оги-
огибающую ея касательныхъ плоскостей.
677. Иногда система поверхностей задается уравнешемъ
f(x,y, z, а, Ь, с, . ¦.) = 0, при чемъ между п параметрами а, Ь, с,
существуетъ v соотношенШ, гд-fe v = п — 1 или п — 2, смотря по
тому, имЪемъ ли дЪло съ семействомъ поверхностей, зависящихъ
отъ одного произвольнаго параметра, или съ системою, зависящею
отъ двухъ такихъ параметровъ, или, какъ говорятъ, съ простою
или двойною безконечностью поверхностей. Чтобы и здтэсь получить
уравнеше огибающей, надо выразить, что въ матриссЬ
д)г д/ д? . . \
да db д с
дер дер дер
да д b д с
dip dip dip
О а дб д с
eefc миноры порядка v -\-1 равны нулю. Такимъ образомъ получа-
получаются п—v уравнешй и искомое уравнеше получится черезъ исклю-
чеже п параметровъ изъ уравнен1я поверхности, данныхъ v соот-
ношен1й между параметрами, и п — v полученныхъ уравнен1й.
Можетъ также случиться, что въ уравнеше системы или семейства
поверхностей параметры и координаты входятъ неявно, т. е. что
уравнеше это им-Ьетъ видъ /(и, v, w, . . .) = 0, гд-fc и, v, w, ...
функцш отъ х, у, z и параметровъ; но въ этомъ случаъ1 ясно, что
частныя производныя по параметру а получатся по формуламъ
д/ = д/ди dfdv д/_dw и т_ д_
да дида dv да дгида
678. Упражнешя. а) Найдемъ огибающую всЬхъ поверхностей, го-
мотетическихъ съ данною поверхностью f(x, у, з) = 0 относительно нЪко-
тораго центра Q. Для этого сперва замЪтимъ, что если |, щ, 'С будутъ
координаты точки Q, и положимъ
то уравнеше F{t) = 0 при всякомъ t изображаетъ одну изъ разематриваемыхъ
поверхностей, и въ частности при /"=1 данную поверхность. Такъ какъ
уравнеше искомой огибающей получается черезъ исключеше t изъ уравнен1й
F (f) =0 и F'(t) = 0, то оказывается, что (§ 661) эта огибающая будетъ
конусъ, описанный изъ данной точки около данной поверхности. Если дан-
данная поверхность будетъ, напримъ'ръ, поверхность эллипсоида, отнесенная къ
его осямъ, то, полагая
*' л —1+27!' л —

196 VI, 4. приложенш къ теорш поверхностей. § 678
находнмъ F(t) = (/ 4-/о — 2/i) t2 — 1 (/0 —/i) t +/ol достаточно приравнять
нулю дискриминантъ /у0 — /t2 этого уравнешя, чтобы получить уравнеше
описаннаго около эллипсоида конуса
b) Каналомъ называютъ поверхность, огибающую семейство шаровъ
одного и того же paaiyca, центры которыхъ находятся на данной кривой.
Взявъ уравнеше поверхности шара
(X - *J + ( Y-УJ + (Z - *J = Я2,
въ которыхъ координаты центра х, у, z можно разсматривать, какъ функщи
одного параметра, а именно длины дуги лиши центровъ, и, дифференцируя
его по этому параметру, получимъ уравнеше
и видимъ, что характеристика лежитъ въ нормальной плоскости
лнн1и центровъ. Отсюда сл"Ьдуетъ, что каналъ можно разсматривать, какъ
поверхность, образуемую окружностью постояннаго круга, двигающегося
въ каждое мгновеше по направлешю, перпендикулярному къ плоскости этого
круга. Уравнеше канала получимъ, исключая параметръ s изъ уравнешя шара и
уравнешя (9), въ которыхъ х,у, z, а,Ъ,с — функши отъ s. Аналогичнымъ обра-
зомъ поступаютъ при разыскаши огибающей любого семейства шаровъ (т. е.
системы шаровъ, въ уравненш которыхъ всъ- коэффициенты функши одного
независимаго параметра). Въ правой части уравнешя (9) надо будетъ поставить
вмътто нуля выражеше — R —=— . Въ общемъ случай характеристика уже
не будетъ большимъ кругомъ шара и тогда только будетъ вещественною,
когда абсолютная величина -у- не > 1 *). Иными словами, не существуетъ
вещественной огибающей, когда увеличеше или уменьшеше объема шара идетъ
быстрее, чЪмъ передвижеше его центра. Въ частности, когда R = s + const.,
-т— = 11, огибающая обращается въ кривую лишю — эвольвенту линш
центровъ (§ 671), и огибаемые шары будутъ аналогичны соприкасающимся
кругамъ плоской кривой (срав. § 626, f). Напротивъ того, соприкасающееся
шары кривой двоякой кривизны всегда имЪютъ огибающую поверхность,
а именно—общее мъхто соприкасающихся круговъ данной кривой.
с> Предложимъ себ"Ь найти огибающую B-го рода) плоскостей
ах -\- ,3у + yz = 1, предполагая, что разстояше / отъ начала координатъ
связано съ косинусами а, /9, у соотношешемъ
р. — а2 Т р _ Ь2 "Г р _ С2 - " •
Зд^сь а, Д, у, I — параметры, удовлетворяющее соотношешю A0) и отЬдую-
*) Изсл*дован1е здъхь аналогично изслрЬдован1ю въ § 626, f.

§ 678
0ГИБАЮЩ1Я ПОВЕРХНОСТИ.
197
щему: а2+/32+72= 1. Поэтому намъ нужно (§ 677) разсмотрЪть матриссу
p
a
X
a
— «2
P
P
У
||?
—
b2
p
7
z
7
— ?2
0
1
с
гдЪ для сокращешя положено
/а2
/у2
(/2 - а2J ^ (/2 _ ?2,2 Т (/2 _ С2J
При помощи извЪстныхъ преобразован!й эту матриссу можно представить
въ вид*
X
— a -
a
1
1
I
p-
a2
P
1
1
Л2
1
P — b2
P
<¦
7
1
1
C2
/2— С2
Для того, чтобы всб ея миноры 3-го порядка обратились въ нуль, мы
должны им~Ьть
J у 1 _ г 1_^_ _
0 ~ Р — Ь2 ~~ у ° Р — с2
^°-w-^2-
Общую величину этихъ трехъ чиселъ получимъ, умножая первое на а2,
второе на /З2, третье на у2, и складывая. Принимая во внимаше равенство A0)
получимъ такимъ образомъ, что искомая величина есть la, такъ что
1
1
2_Я2
Возвышешемъ въ квадратъ и сложешемъ найдемъ еще
^2 + „!1 ^2 = ^2 + V. У- _^_ + 1 У1 "I
1.
la
Поэтому можно написать
следовательно,
¦ = la
г2 — а*~~Р-а2'
У
/2 _
х2+у2+22—с2 12—с2
Умножая еще на tj, ги складывая, находимъ уравнеше
1-Я2
/а2
/2 - а2 '
(Р-а*J~

198 VI, 4. приложенш къ теорш поверхностей. §§ 678—679
которое легко приводится къ бол^е простому виду
х2+у2+~г2-а? + х2 +у2 + s2-b2 + x2+y2 + s2-c2
Искомая огибающая есть, следовательно, поверхность волны (§ 384, d).
679 *). Мы получимъ полезное приложеше изложенной выше
теорш, темъ более важное, что въ немъ заключается дополнеше
къ теорш кривыхъ, занявшись разыскан1емъ поверхностей,
огибающихъ грани основного тр1эдра какой нибудь данной
кривой. Возьмемъ три уравнешя
изображающ1я соответственно плоскости: нормальную, соприка-
соприкасающуюся и спрямляющую. Величины х, у, . . ., /л, v, въ нихъ
входящ1я, будутъ функщи дуги s, удовлетворякшпя изв-Ьстнымъ
соотношен1ямъ (§ 638)
dx da X da Я d). a a
-,- = a, -j- = — ' -г = — • -j- = и т. д.
us as о us ъ us q t-
Дифференцируя по 5 уравнешя разсматриваемыхъ плоскостей, полу-
получимъ соответственно
A1)
где въ посл-Ьднемъ уравнен1и положено
A2) /'= a sin ц> -f a cos <р, т' = b sin q> -\-,3cos gp, n'= с sin q>-\- ¦/ cos <p,
при чемъ tg (p =—. Разсматривая эти уравнешя, приходимъ къ сл^Ь-
дующимъ заключешямъ:
а) Огибающая соприкасающихся плоскостей, какъ и следовало
ожидать, есть такъ называемая развертывающаяся касательныхъ,
т. е. такая развертывающаяся поверхность, ребро возврата которой
есть данная кривая. Действительно, уравнешя образующей (харак-
(характеристики) въ данномъ случае будутъ:
Ихъ можно написать въ виде
Х~х _ Y-y Z-z
(Зг —/ly yX — va afi — Xji
или, по формуламъ
а — &v — fiy, b = yX — va, c = a/.i — X3,
*) Этотъ § изложенъ зд-Ьсь подробнее, ч-Ьмъ въ оригинал-Ь.

§ 679 0ГИБАЮЩ1Я ПОВЕРХНОСТИ. 199
вытекающимъ изъ формулы F) § 634,
Х-х Y~y Z-s
Следовательно, образукмщя будутъ касательными къ данной кривой,
что и надо было показать
Ь) Огибающая нормальныхъ плоскостей называется полярною
поверхностью (Polardeveloppable); ея образукшйя суть оси со-
соприкасающихся круговъ, т. е. прямыя, проходяиия черезъ
центръ кривизны *) перпендикулярно къ соприкасающейся плоскости;
ихъ называютъ также полярными прямыми. Действительно, въ
данномъ случай, уравнешя образующей будутъ
2 а (X — х) = О, 2П/. (X - х) = д
и, очевидно, изображаютъ прямую, перпендикулярную къ касатель-
касательной (а, Ь, с) и главной нормали (Я, [л, v), т. е. къ соприкасаю-
соприкасающейся плоскости; кроме того, эта прямая проходитъ черезъ точку
хх = #-|-А(), ух=у-\-fj,Q, г,— z-\-vq, т. е. черезъ центръ кривизны
данной кривой въ точке (х, у, z), такъ какъ оба уравнешя ея
удовлетворяются значешями X — хх, Y = ylt Z = zx. Мы видели
(§ 673), что существуетъ безчисленное множество нормалей къ
кривой, образующихъ развертываюццяся поверхности, у которыхъ
ребрами возврата будутъ эволюты данной кривой. Нетрудно вид%ть,
что всякая такая нормаль можетъ касаться ребра возврата образу-
образуемой ею поверхности только на полярной прямой, а отсюда тотчасъ
следуетъ, что полярная поверхность будетъ также общимъ ме-
стомъ всехъ эволютъ данной кривой. Действительно, точку
касашя нормали къ эвольвенте можно разсматривать (пренебрегая
безконечно малыми высшаго порядка), какъ точку пересечешя двухъ
безконечно близкихъ нормалей, очевидно, лежащую на прямой, по
которой пересекаются две безконечно близюя нормальныя плоско-
плоскости, а предельное положеше этой прямой и есть полярная прямая.
Впрочемъ, это заключете можно проверить и вычислешемъ.
[ Прим1>чан1е. Пусть М(х,у, z) есть данная точка на данной
кривой, ММ' нормаль, образующая развертывающуюся поверх-
поверхность и составляющая уголъ (р съ главною нормалью Мп, точка
Л^'(?> "Цу С) точка касашя этой нормали съ эволютою и М'Р —
перпендикуляръ къ Мп, проектирующей М' на главную нормаль.
Ясно, что М'Р параллельна бинормали Mb, потому что лежитъ
въ нормальной плоскости и перпендикулярна главной нормали.
Надо показать, что М'Р есть полярная прямая, т. е., что Р —
*) т. е. черезъ центръ соприкасающагося круга, представляющего,
какъ известно (§ 650), пересъ-чен1е соприкасающагося шара съ соприкасаю-
соприкасающеюся плоскостью.

200 VI, 4. приложены къ теорш поверхностей. § 679
центръ кривизны, т. е., что отрЪзокъ МР = (?*). Такъ какъ ММ'
есть касательная къ эволюгЪ, то
d'S, dn dt
1-Х Ч)-у ?—8
ИЛИ
(I) dS=k(?-x), drj = k(v-y), rff=*(f— z)-
Съ другой стороны, проектируя ММ'Р на координатныя оси,
найдемъ
с, — x-\-hX-\-hig(pa
(II) r)=
Дифференцируя эти равенства,пользуясь формулами Френе (§638,A1)),
и подставляя въ формулы (I), получимъ
а [\ _ А\ ds + Я [dh + H-XSl(P ds — kh\ + a[d(htg<p)-~ds~kh tg ,p\= 0
\ Q I \ г I \ *¦ I
и два подобныхъ же уравнешя, получаемыхъ отсюда заменою
а, X, а на b, (I, ft и с, v, у. Такъ какъ определитель этой системы
уравнен1й
a X a
b u ^
с v •/ I
по услов1ю F) § 634 не равенъ нулю, то изъ этой системы получаемъ
h . ,, h t^> w , , , .
1 = 0, dh + — ds — kh = 0.
Q ъ
d(htgcp) ds — k h tg q> = 0 .
Первое уравнеше даетъ h = Q, что и требовалось показать. Исклю-
Исключая k изъ другихъ двухъ, легко найдемъ ? = известный уже
раньше результатъ. ]
Пользуясь замЪчатемъ, сдъланнымъ выше (§ 673, а), можею
еще утверждать, что эволюты данной кривой будутъ геодеэиче?
скими лин!ями полярной поверхности. Д-Ьйствительно, нормальии
плоскость эвольвенты (данной кривой) совпадаетъ съ спрямляющею
плоскостью эволюты, сл-Ьдовательно, бинормаль последней лежит*
въ нормальной плоскости данной кривой, а потому главная нормаль
эволюты, перпендикулярная къ ММ', перпендикулярна къ этой пло»
скости, т. е. къ плоскости, касательной къ полярной поверхности.
*) См. Гурса (руссвдй переводъ, стр. 521).

§ 679 ОГИБАЮЩШ ПОВЕРХНОСТИ. 201
Иными словами, главная нормаль эволюты совпадаетъ съ нормалью
къ полярной поверхности, что и требовалось показать. Составимъ,
наконецъ, уравнешя ребра возврата полярной поверхности. Для
этого, какъ известно, надо къ уравнешямъ образующей присоеди-
присоединить еще третье уравнеше, получаемое дифференцировашемъ второго.
Въ этомъ состоитъ общШ способъ вывода уравненШ ребра возврата,
вытекающШ изъ самаго опредълешя его, какъ кривой, къ которой
Bet образующш будутъ касательными. Мы получимъ, такимъ обра-
зомъ, уравнешя
которыя даютъ для X, Y, Z значешя (|, щ, ?) центра соприка-
соприкасающегося шара (§ 650). Итакъ, ребро возврата полярной
поверхности есть общее мт>сто центровъ соприкасающихся
шаровъ.
с) Разсмотримъ, наконецъ, огибающую спрямляющихъ плоско-
плоскостей. Данная кривая, очевидно, лежитъ на этой поверхности, потому
что значешя Х = х, Y=y, Z = z удовлетворяют уравнешямъ
образующихъ 2Х(Х — х) = 0, 2Р(Х—х) = 0. На этой поверх-
поверхности данная кривая есть, очевидно, геодезическая линля, потому
что ея главная нормаль перпендикулярна къ спрямляющей плоскости
кривой, т. е. къ касательной плоскости разсматриваемой поверхности.
Данная кривая пересЬкаетъ образукищя подъ угломъ, вообще
говоря, перемъ'ннымъ, но зависящимъ лишь отъ отношешя двухъ
кривизнъ —, которымъ опредт>ляется уголъ ср. Если хотимъ опре-
определить ребро возврата этой огибающей поверхности, то можемъ
это сд%лать, опредЪлйвъ алгебраическую величину отрезка t,
отсЬкаемаго данною кривою на образующей, считая этотъ отр-Ьзокъ
отъ точки на ребрт> возврата. Для этого замЪтимъ сперва, что изъ
уравненШ образующей тотчасъ получаемъ направлякнще косинусы
ея, представивъ ея уравнешя въ видъ
Х- х ^ Y-у Z -з |
I m n
и получаемъ
/ = a cos <р — a sin <р, т = b cos <p — 0 sin <p, п = с cos <р — у sin <p.
Уравнешя ребра возврата будутъ
(III) 2Ь(.Х-х) = 0, 2l'{X-x) =
Изъ выражен1й Г, т , п' им-Ьемъ
\S^ + C^^\ ds.
[ q J

202 VI, 4. приложенш къ теорш поверхностей. §§ 679—680
fsin <р
\——
L 0
cos ф] , , . , ("sin w , cosipl
-ids, dn'= ndcp-\-v — *^ — rfs,
* J L Q * J
'= sinq>.
Поэтому последнее изъ уравненШ (III) даетъ
Jf -*) = sing?,
или
/ . dtp = sin q> ds.
Такъ какъ al -\-bm -{¦ en = cos g), то go = arc tg — и будетъ уголъ,
подъ которымъ данная кривая пересЬкаетъ образующдя. Изъ ска-
заннаго, между прочимъ, ясно, что только для цилиндрическихъ вин-
товыхъ лин1й (§ 655, с) огибающая спрямляющихъ плоскостей есть
цилиндрическая поверхность. Действительно, для этихъ линШ
ср — постоянная, не равная нулю, /, т, п — также постоянныя, какъ
было показано въ § 655, с, и образуюиш параллельны между
собою, а ребро возврата будетъ точка въ безконечности. Обратно,
чтобы t=oo, необходимо, чтобы ~ = 0, т. е. (р = const.
Кривизна.
680. Теорема Менье (Meusnier). Приступимъ теперь къ изу-
ченш кривизны лин1й на данной поверхности. Разсмотримъ кривую,
проходящую черезъ данную точку М на поверхности; пусть (а, Ъ, с)
будутъ направляюипе косинусы касательной къ этой кривой, и
д) — уголъ, образуемый ея главною нормалью съ нормалью къ по-
поверхности. Возьмемъ точку М' на той же кривой, безконечно
близкую къ М, и пусть Р есть проекщя М' на касательную пло-
плоскость въ точк-fe М, a Q—проекщя М на касательную прямую.
Пренебрегая безконечно малыми выше 2-го порядка, мы можемъ
разематривать М', какъ лежащую въ соприкасающейся плоскости
(§ 645), такъ что M'Q будетъ параллельна главной нормали (рис. 85),
а М'Р, очевидно, параллельна нормали къ поверхности въ точк-fe М.
Следовательно, въ треугольник* M'PQ уголъ при М' равенъ (р,
сторона М'Р им*етъ длину (§ 663)
rdx2 + 1 sdx dy +
а сторона M'Q равна — (см. § 643, выражеше w), если da обо-

§§ 680-681
КРИВИЗНА.
203
значаетъ дифференщалъ, эквивалентный дугЬ ММ'. Подставляя
эти величины въ соотношеше М'Р = M'Q ¦ cos q>, получаемъ
A3)
cos?) _ га2 -\-2sab
Разсмотримъ теперь всЬ кривыя на поверхности, имт>ющ1я общую
касательную въ точк-fc М, и между ними отличимъ ту, которая
лежитъ въ плоскости, определяемой общею касательного (а, Ъ, с)
и нормалью къ поверхности. Эта кривая называется нормальнымъ
сЪчен1емъ поверхности въ данной точкъ М. Для всъхъ этихъ
кривыхъ правая часть равенства A3) имЪетъ одно и то же значеше,
поэтому то же самое можно сказать и о лЪвой. Следовательно,
если д0 — paдiycъ кривизны нормальнаго свчетя (д> = 0), то будемъ
имт,ть
COS ф 1
= — • т. е. д = ?>0 cos q>,
Q Qo
предполагая q0 конечнымъ. Итакъ, центръ кривизны какой
угодно кривой на поверхности въ данной точкЪ М есть
проекшя на соприкасающуюся плоскость этой кривой
центра кривизны нормальнаго сЪчен^я поверхности, касаю-
ЩагОСЯ ДанНОЙ КрИВОЙ ВЪ TO4Kt М.
681- Примеры, а) На шар-fe нормальный ctneHiH больш1е круги и
общШ ихъ центръ кривизны есть центръ шара. Отсюда, на основанш теоремы
Менье, атЬдуетъ, что центръ кривизны всякой сферической кривой
въ данной точк-fe есть проекшя центра шара на соприкасающуюся
къ данной кривой плоскость въ данной точкЪ. Это слЪдуетъ также
изъ того (§ 650), что для всякой кривой соприкасающейся кругъ есть пере-
сЪчеше соприкасающагося шара съ соприкасающейся плоскостью.

204 VI, 4. приложенш къ теорш поверхностей. §§ 681—682
Ь) На поверхности вращешя параллельные круги будутъ, вообще,
наклонными (а не нормальными) сЪчешями. Центры ихъ кривизны лежать
на оси вращешя, а такъ какъ ихъ плоскости перпендикулярны къ этой оси,
то и центры кривизны нормальныхъ сЪчешй, касающихся параллелей, будутъ
также лежать на оси. Замечая, что сЬчеше поверхности плоскостью, про-
проведенною черезъ данную на поверхности точку М перпендикулярно къ ка-
касательной къ мерид1ану въ точкъ1 М, будетъ, очевидно, нормальнымъ сЬче-
шемъ, касающимся параллели въ точкъ- М, заключаемъ, что центръ кри-
кривизны плоскаго съ-чешя поверхности вращен1я, проведеннаго
перпендикулярно къ мерид1ану черезъ точку М, соотвъ-тствую-
Щ1й этой точкЪ, лежитъ на оси вращен1я.
682. Для асимптотической кривой, равно какъ и для всякой
кривой, касающейся ея въ точкЪ М, правая часть равенства A3)
cos <р _ ~
равна нулю, а потому и = 0. сэто соотношеше удовлетворя-
удовлетворяется въ каждой точкЪ асимптотической линш, такъ какъ въ ней <р = -у
(главная нормаль кривой перпендикулярна нормали къ поверхности),
а — вообще не равно нулю. Напротивъ того, для всякой кривой,
касающейся въ точкЪ М съ соприкасающеюся прямою, но имЪющей
соприкасающуюся плоскость, не совпадающую съ касательного пло-
плоскостью къ поверхности, д>, вообще говоря, не равно нулю, а
потому — должно быть равно нулю, какъ мы это уже видели въ
§ 613, на основами другихъ соображенШ. Такъ, напримЪръ, всякое
с^чеше поверхности плоскостью, проходящею черезъ одну лишь
изъ соприкасающихся прямыхъ въ точк-fc М, будетъ им-Ьть въ этой
точкЪ кривизну, равную нулю. Если же разсмотримъ, наоборотъ,
сЬчеше поверхности касательного плоскостью въ точк-fc М (гипер-
(гиперболической), то окажется, что каждая вЪтвь этого сЬчен1я бу-
будетъ им-Ьть въ точк-fe М кривизну, равную f кривизны
асимптотической лин1и, касающейся разсматриваемой в-Ьтви
въ точкЪ М. Эту интересную теорему Бельтрами г) мы докажемъ
въ § 704. Мы видимъ изъ сказаннаго, что теорема Менье не при-
применима къ кривымъ, касательнымъ къ соприкасающимся прямымъ,
потому ли, что тогда вышеприведенное геометрическое построеше
оказывается не выполнимымъ, или потому, что безчисленное мно-
множество кривыхъ, взаимно касающихся и им-Ьющихъ соприкасающуюся
плоскость, совпадающую въ данной точкЪ съ касательного пло-
плоскостью къ поверхности, имЪютъ различную кривизну*).
!) „Nouvelles Annales de Mathematiques" 1865, стр. 258. См. также
.NatUrliche Geometrie" E. Cesaro, стр. 223.
*) Теорема Бельтрами даетъ примъ'ръ такихъ кривыхъ, а именно
плоской кривой, по которой поверхность пересвкается касательного пло-
плоскостью въ гиперболической TO4Kt M и асимптотической линш, касающейся
этой кривой въ той же точк-fe.

§ 683 кривизна. 205
683. Нормальная кривизна и геодезическая кривизна.
Величина —-, дающая кривизну нормальнаго сЬчешя, касающагося
данной кривой въ данной точке, называется нормальною кри-
кривизною данной кривой въ данной точке, а величина ^JL ея гео-
геодезическою кривизною. Ось соприкасающегося круга (полярная
прямая) пересЪкаетъ плоскость нормальнаго
еЪчешя въ некоторой TO4Kt Со (рис. 86), а
касательную плоскость въ некоторой точк* С,.
Кривизны, нормальная и геодезическая, оче-
очевидно, измеряются обратными величинами
отрезковъ МС0 и МС-1- Точки Со и d на-
называются соответственно центрами, а прямыя
М Со и МСХ — рад1усами нормальной и
геодезической кривизны. Зам-Ьтимъ, что гео-
геодезическая кривизна есть не что иное, какъ
кривизна проекщи данной кривой на каса-
касательную плоскость. Действительно, по тео-
теореме Менье, на цилиндре, проектирующемъ
данную кривую на касательной плоскости, Рис. 86.
кривизна нормальнаго сЪчешя, касающагося
данной кривой (равнаго проекши данной кривой на касательную
плоскость) равна именно ——, потому что нормаль къ поверхности
этого цилиндра перпендикулярна къ образующимъ цилиндра, т. е.
къ нормали данной поверхности. Къ понятда о нормальной и геоде-
геодезической кривизн^ всего естественнее приводитъ изучеше изменешя
направлешя касательной. Величина ея вращешя (§ 637) относительно
нормали къ поверхности равна
А' величина вращешя касательной относительно перпендикуляра къ
ней, лежащаго въ касательной плоскости и определяемаго косинусами
?', т.', SK7 будетъ
<У = IZ'da = tZQ'X = esin<p.
Поэтому изменение направлен1я касательной въ пространстве, т. е. е,
можно разсматривать, какъ равнодействующую вращенШ со и <о',
отношешя которыхъ къ ds:
а> cos <p m' sin <p
ds (> ds g
и равны нормальной и геодезической кривизне. Первая, следова-
следовательно, служитъ мерою более или менее сильнаго изгибашя кривой
въ сторону отъ поверхности, а вторая—-мерою ея изгибашя
на поверхности. Важно заметить, что въ каждой точке геоде-

206 VI, 4. приложен1я къ теорш поверхностей. §§ 683—685
зической линш (д>=0) геодезическая кривизна равна нулю, а
/ ч \
въ каждой точке асимптотической \ср = ~\ то же самое можно
сказать о нормальной кривизне. Иными словами, когда точка
движется по геодезической линш, то можно сказать, что касательная
передвигается всегда нормально къ поверхности, а когда точка
движется по асимптотической линш, то касательная движется тан-
генщально къ поверхности.
684. Кривизна нормальнаго сЬчешя выражается формулою
A4) \=~
Чтобы получить геометрическое представлеше объ измененш q,
когда еЪчеше вращается около точки М, перенесемъ начало коор-
динатъ въ точку М и направимъ ось z-овъ по нормали къ поверх-
поверхности; тогда р = q = с = 0. Если положимъ а = cos 6, а поэтому
6 = sin Q, то формула A4) приметъ видъ
A5) — = г cos2 0 +25 cose sin 9 + /sin2 6.
Отложимъ теперь на каждой касательной отъ точки М, отрЪзокъ,
равный корню квадратному изъ абсолютной величины соотвътствую-
щаго pafliyca кривизны. Конецъ такого отрезка HMterb въ каса-
касательной плоскости координаты
х = У± q ¦ cos в, у = У+ q ¦ sin 6,
которыя, въ силу A5), удовлетворяютъ уравнешю
г х1 + 2 5 ху + ty1 = + 1.
Следовательно (§ 664), въ каждой данной точке, при пере-
переходе отъ одного нормальнаго сечен1я къ другому, кривизна
изменяется обратно пропорционально квадрату соответ-
ственнаго д!аметра индикатрисы Дюпена. Въ частности, она
равна нулю для сеченШ, определяемыхъ соприкасающимися прямыми,
и достигаетъ наименьшаго или наибольшаго значешя для сечен1й,
соответствующихъ осямъ индикатрисы. Эти последшя сечен!я назы-
1 1
ваются главными; ихъ кривизны— и главными кривизнами.
685. Теорема Эйлера. Если примемь за координатный оси
#-овъ и jy-овъ оси индикатрисы, то въ уравненш A5) пропадетъ
членъ cos0 sin8, а такъ какъ при 6=0 должно быть Q = Qt,
а для 0 = -=-, о = о,, то будемъ иметь — = г, — = t и, слъ\до-
вательно,
\_ cos2 e sin2 6 _

§§ 685-686 кривизна. 207
Msin29, l_l=(l_l|cos2fl
Pi/ 02 Q \02 Oil
Въ этомъ состоитъ теорема Эйлера. Если напишемъ предыдущее
уравнеше въ одномъ изъ сл-Ьдующихъ видовъ
1 _ 1 = 11
Q <h \Q2 Qil
11
и допустимъ для определенности, что — < —, то тотчасъ увидимъ,
01 02
что всегда
1 < J^ < _1__
Qi ~ 9 ~~ 02
Въ эллиптическихъ точкахъ р, и д2 числа одинаковыхъ знаковъ,
т. е. главные центры кривизны С\ и С2 лежать по одну сторону
отъ касательной плоскости. А такъ какъ, въ силу вышеупомянутаго
ограничена q всегда должно заключаться между g, и q2, to ока-
оказывается, что центры кривизны всЬхъ нормальныхъ свченлй
лежатъ на 0Tpt3Kt C^C-i- Напротивъ того, въ гиперболической
точкЪ касательная плоскость отд'Ьляетъ d отъ С2, и q можетъ
быть положительнымъ и отрицательнымъ. Въ первомъ случа-Ь
pS:92>0, во второмъ q ^ g, < 0, такъ что центры кривизны
всЬхъ нормальныхъ с%чен1й лежатъ вн-Ь 0Tpt3Ka С, Сг.
686. Теоремы Эйлера и Менье показываютъ, что достаточно
знать об-fc главный кривизны для того, чтобы определить
кривизну въ точке М для любой кривой, проведенной по
данной поверхности черезъ эту точку, предполагая, что соприка-
соприкасающаяся плоскость къ этой кривой не совпадаетъ съ касательною
плоскостью къ поверхности въ точке М. Поэтому весьма важно
уметь определить главные рад1усы кривизны въ данной
точке на поверхности. На основанш формулы A4) вопросъ
приводится къ нахождешю минимума и максимума трехчлена
га? -\- 2 sab -\- (Ьг. При этомъ между переменными а и b суще-
ствуетъ соотношеше
A6)
получаемое черезъ исключеше с изъ а% + Ь1 -\- с1 = 1 и изъ услов1я
©ртогональности pa + qb — с = 0. Повторяя изложенное уже при
более общихъ услов1яхъ вычисление (§ 384, с), мы видимъ, что
НВДО положить
| га
[ sa
Исключая k, получаемъ еще одно уравнете между а и Ь, которое
Ий%сте съ A6), и служитъ для определешя направленШ осей инди-
¦»трисы, а следовательно, и главныхъ сЪченШ. Если, наоборотъ,
исключимъ а и Ь, то получимъ уравнеше
r-k{\+f) s-kpq
s-kpq t-k(\-\-qn)

208 VI, 4. приложенш къ теорш поверхностей. §§ 686-687
т. е.
A8) rt-S2-[(l + q°-)r-2pqs + (l+p2)t)k + (l +p2 + q*)k2 = 0.
Съ другой стороны, умножая первое изъ уравненШ A7) на а,
второе на Ъ, и складывая получаемъ
г а2+ 2 sab + tb2 = k[(l+p2)a2 + 2pq ab + (\+q2) b2] = k.
Итакъ, число k, разделенное на у 1 -f- p* -f" q3, и будетъ наимень-
шимъ или наибольшимъ значешемъ кривизны - -; а такъ какъ корни
kx и ?2 уравнешя A8) связаны соотношешями
rt-s*
то будемъ имъть
A9) -1 + -1 = 1-
Это и будутъ формулы, служапця для определения главныхъ кри-
визнъ. Полагая
/1 + />2 + ?2 У1 + Р2 + q2
съ помощью легкаго вычислешя увидимъ, что формулы A9) можно
писать и въ бол-Ье краткомъ вид*
если обозначимъ, какъ это принято, черезъ Н сумму, а черезъ К
произведете главныхъ кривизнъ.
687. Остановимся на минуту на формулахъ B0) и замъ"гимъ,.
что въ частныхъ производныхъ, входящихъ въ эти формулы, х к у
считаются перем-Ьнными независимыми. Очевидно, число Н, напри-
мъръ, можно представить также въ одной изъ слъдующихъ формъ
д<Ж dgft^ dSd д 2 _
ду д z д z дх
Но въ трехъ различныхъ видахъ выражешя Н частныя производныа
по одной и той же перем-Ьнной имёютъ различныя значен1я. Если,
наприм%ръ, вмъсто того, чтобы разсматривать z, какъ функщю отъ
х и у, хотимъ разсматривать у, какъ функщю отъ х и z, принимая

§§ 687-689 кривизна. 209
послЪдшя за независимый, и отличая скобками производный, взятыя
въ этомъ предположен^, то будемъ имЪть
а поэтому
Э? , Э9П /d?\ , /Э?\ , /dSTf
дх + дУ = (дх
Точно такъ же имЪемъ
d(x,y) q д((х,г))
Исключая производныя отъ STt съ помощью соотношенШ
Pdx + q дх ~~ дх ' Р dy + q~dy~ ду
найдемъ
д(х,у)~ q д(х,у) d((x,s)) '
688. Средняя кривизна. Понят1емъ о средней кривизн-Ь мы
обязаны Софи Жерменъ (Sophie Germain). Среднею кривизною на-
называется ариеметическое среднее \Н главныхъ кривизнъ. Чтобы
оправдать такое назваше, зам-Ьтимъ сперва следующее: если q и р'
обозначаютъ рад!усы кривизны какихъ нибудь двухъ взаимно пер-
пендикулярныхъ нормальныхъ сЬчен1й, то формула Эйлера дастъ
1 __ cos3 D sin2 8 1 _ sin2 9 cos2 9
g 0] g2 ' q' et g2
откуда путемъ сложен!я получаемъ
Разсмотримъ теперь 2 и касательныхъ, равномерно распред-Ьленныхъ
вокругъ точки М. Стоитъ только представить себъ, что всЪ он-fe
разделены на п паръ взаимно перпендикулярныхъ касательныхъ,
чтобы убедиться, что и при возрастан1и п до безконечности,
ариеметическое среднее нормальныхъ кривизнъ всегда оста-
остается равнымъ величин-fc \Н въ точк-fe М.
689. Поверхности съ постоянною среднею кривизною играютъ
важную роль въ явлешяхъ капиллярности и были получены опыт-
нымъ путемъ физикомъ Плато (Plateau) *). Особенно замечательны
v) См., наприм%ръ, „Cours de Physique" Jam in C-е изд., томъ I,
стр. 225) или 4-ю главу „Lecons sur la capillarite" H. Poincare. См. также
Е. Cesaro „Natiirliche Geometrie", стр. 233.

210 VI, 4. приложЕнш къ teopih поверхностей. §§ 689—690
поверхности, для которыхъ средняя кривизна равна нулю, т. е.
поверхности, у которыхъ въ каждой точк-fe главные рад1усы кривизны
равны между собою по абсолютной величин^ и противоположны
по знаку. Это свойство равносильно тому, что индикатриса Дюпена
приводится къ системЪ двухъ дополнительныхъ равностороннихъ
гиперболъ, что влечетъ за собою нижеследующее характеристическое
свойство разсматриваемыхъ поверхностей: асимптотичесюя лин1и
въ каждой точк-fe пересекаются подъ прямымъ угломъ.
Аналитически эти поверхности, на основанш первой изъ формулъ A9),
характеризуются сл-Ьдующимъ дифференщальнымъ уравнешемъ
Ихъ называютъ минимальными поверхностями вслъдсгае того,
что всякая сомкнутая кривая, проведенная по такой поверхности,
выд-Ьляетъ часть поверхности, меньшую ч-Ьмъ та, которую та же
кривая выделить на другой поверхности, проходящей черезъ ту же
кривую. Доказательство этого свойства относится къ вар1ацюнному
исчисленш.
690. Примеры, а) Прим-Ьръ минимальной поверхности мы тотчасъ
найдемъ между поверхностями вращешя. Мы очень скоро увидимъ, что на
этихъ поверхностяхъ одно изъ главныхъ сЬчешй есть мерид1анъ, а другое
касается параллели въ данной точк-Ь М. Главными радиусами кривизны бу-
дутъ, сл-Ьдовательно, рад^усъ кривизны мерид1ана и (§ 681, Ь) отръзокъ,
отс-Ькаемый осью вращешя на нормали къ поверхности, считаемый отъ
точки М. Для минимальной поверхности эти рад1усы должны быть противо-
противоположны по направлешю, а потому мерид1анъ долженъ быть обращенъ вы-
выпуклостью къ оси вращешя. Кром-fe того, онъ долженъ обладать свойствомъ,
что его центръ кривизны симметрично расположенъ относи-
относительно данной точки съ точкою перес-Ьчен1я нормали съ непо-
неподвижною прямою. Раньше мы вид-Ьли (§ 595,1), что такимъ свойствомъ
обладаетъ цепная лишя, а впослъ\дствш мы увидимъ, что друпя кривыя
этимъ свойствомъ обладать не могутъ. Следовательно, катеноидъ есть
единственная минимальная поверхность вращешя.
Ь) Геликоидъ съ направляющею плоскостью (косой) (§ 655, Ь)
также минимальная поверхность. Въ самомъ д-Ьл-fe, такъ какъ образующая
косого геликоида суть главный нормали круговой винтовой лиши и без-
численнаго множества другихъ винтовыхъ лиши, лежащихъ на концентриче-
скихъ цилиндрахъ (§ 658, Ь), то ясно, что эти винтовыя лиши изображаютъ
собою одну изъ системъ асимптотическихъ лиши. Другая система изобража-
изображается, какъ на всякой линейчатой поверхности, самими образующими. Уб-fe-
дившись, такимъ образомъ, въ ортогональности двухъ системъ асимптотиче-
асимптотическихъ лиши, мы доказали этимъ самымъ, что косой геликоидъ минимальная
поверхность. Обратно, на каждой минимальной линейчатой поверхности одна
изъ системъ асимптотическихъ лиши изображается ортогональными траекто-
р1ями образующихъ, и поэтому эти кривыя имЪютъ главныя нормали,
совпадающая съ образующими поверхности. Отсюда сл-Ьдуетъ (§ 658, Ь),
что каждая изъ этихъ кривыхъ им%етъ главныя нормали, обшля съ безконеч-
нымъ множествомъ другихъ кривыхъ, и потому будетъ круговою винтовою
лишею. Следовательно, поверхность (образуемая, какъ видимъ, главными
нормалями круговой винтовой линш) есть косой геликоидъ Такимъ образомъ
получается теорема, найденная Каталаномъ: Косой геликоидъ есть един-
единственная минимальная линейчатая поверхность.

§ 691
КРИВИЗНА.
211
691. Полная кривизна. Понят1емъ о полной кривизн-fc мы
обязаны Гауссу. Полною кривизною называется произведете глав-
ньцсъ кривизнъ
Г t — S2
B1) К =
Аналопя между полною кривизною поверхности и кривизною пло-
скихъ кривыхъ обнаруживается, если возьмемъ уравнеше поверхности
въ вид-fc fix, у, z) = 0 и выразимъ К черезъ частныя производныя
отъ f А именно, на основанш извъхтныхъ формулъ (§ 574),
находимъ
I
B2)
К = - ,-,
0
д/
д х
\f
ду
Jz
дх
дх"-
д-у
дудх
дгдх
д v
ду
дхду
ду
ду2
дгду
dz
оу
dxdz
дЧ
дуде
Параболичесмя точки поверхности (§ 663) оказываются аналогич-
аналогичными точкамъ изгиба плоскихъ кривыхъ; различ1е между эллипти-
эллиптическими и гиперболическими точками основывается исключительно
на томъ, будетъ ли К > или < 0. СлЪдуетъ упомянуть еще, что
Казорати (Casorati) предложилъ еще третью Mtpy кривизны по-
поверхности
т
которая какъ будто ближе передаетъ обыкновенное поняте о кри-
визн1б. Не сл-Ьдуетъ, однако, придавать слишкомъ большого значешя
разсуждешямъ о наиболее цт>лесообразномъ выбора выражен1й для
мТзры кривизны. Важно въ конц'Ь концовъ опредт>лен1е главныхъ
рад1усовъ кривизны р, и р2, или установлен1е двухъ независимыхъ
одна отъ другой функщй этихъ величинъ; и функщи A9), являю-
щ1яся аналитически наибол-fee простымъ и естественнымъ путемъ,
встречаются и въ важнЪйшихъ вопросахъ Геометрии и Механики.
Допустимъ, напримЪръ, что дана некоторая поверхность, на которую
требуется наложить другую, безъ разрывовъ и складокъ, какъ
весьма тонкую, гибкую, но не растяжимую ткань. Гауссъ доказалъ 1)
(въ знаменитомь мемуарЪ „Disquisitiones generales circa superficies
curvas"), что необходимое услов4е для возможности такого нало-
жен1я состоитъ въ сл^дующемъ: въ cooтвtтcтвyющиxъ точкахъ
двухъ поверхностей (т. е. въ такихъ, которыя при наложенш должны
1) См., напримЬръ, „Caicul differentiel", Boussinesq (стр. 298>.

212 VI, 4. приложенш къ теорш поверхностей. §§ 691—693
совпасть) полная кривизна обЪихъ поверхностей должна
быть одинакова. Следовательно, полная кривизна поверхности
въ каждой ея точке представляетъ нечто такое, что остается неиз-
мЪннымъ при деформировании поверхности помощью одного сгибашя.
Изъ теоремы Гаусса слтьдуетъ также, что единственныя поверхности,
на которыхъ (какъ на плоскости или на шаровой поверхности)
можно произвольную фигуру передвигать съ одного места на другое,
не изменяя ея формы, суть поверхности съ постоянною полною
кривизною. Эти поверхности называютъ кратко поверхностями
постоянной кривизны. Предыдущее замечаше имеетъ огромное
значение въ вопрос* объ основныхъ аксюмахъ Геометрш.
692. Примеры, а) Замечательные примеры поверхностей постоянной
кривизны даютъ некоторый поверхности вращен!я. На шаре pafliyca a
кривизна везде равна —^ • Но существуетъ безчисленное множество другихъ
поверхностей вращешя, им"Ьюшихъ постоянную (положительную или отри-
отрицательную) кривизну1) Псевдосфера, т. е. поверхность, образуемая
вращешемъ трактрисы (§ 626, d) около ея асимптоты, имеетъ въ каждой
точке кривизну, равную 5> где а обозначаетъ постоянную длину отрезка
касательной между точкою касашя и асимптотою. Въ самомъ деле, мы
знаемъ, что проекщя центра кривизны С, на ось вращешя совпадаетъ съ
точкою пересёчешя Т касательной съ осью, между темъ, какъ другой центръ
кривизны С2 лежитъ на самой оси. Но въ прямоугольномъ треугольнике
ТСС е
МСХ ¦ МС2 - МГ*, т. €
- а*.
Ь) Поверхности, которыя могутъ быть наложены на плоскость при
помощи одного сгибашя, должны иметь кривизну, равную нулю, т. е. для
каждой точки ихъ должно быть rt — sa = 0. Эти поверхности суть, следова-
следовательно, разсмотренныя выше развертываюшдяся поверхности (§ 675).
По Казорати единственною поверхностью съ кривизною, равною нулю, была
бы плоскость, а круговой цилиндръ имелъ бы кривизну, равную половине
кривизны поверхности шара того же рад1уса. Возвратимся, однако, къ Гаус-
Гауссову определенш кривизны и заметимъ, что очень важно, что геодезичесюя
лиши, когда оне представляютъ кратчайшШ путь между двумя точками на
поверхности, остаются геодезическими и после наложешя данной поверхности
на другую. Следовательно, при развертыванш поверхности на плоскость
геодезическ!я линш обращаются въ прямыя. Въ частности, всякая кривая
обращается въ прямую линш при наложении ея спрямляющей развер-
развертывающейся поверхности (§ 679, с) на плоскость, иными словами,
черезъ всякую кривую можно провести такую развертывающуюся поверх-
поверхность, при наложенш которой на плоскость кривая обратится въ прямую.
Наоборотъ, эволюты кривой (§ 679, Ь) обращаются въ прямыя при наложенш
полярной развертывающейся поверхности на плоскость. Заметимъ здесь
еще, что полярная поверхность плоской кривой всегда будетъ цилиндръ
и,следовательно, эволюты плоской кривой суть круговыя вин-
товыя линш.
693. Упражнешя. а) Для поверхности второго порядка съ центромъ,
отнесенной къ ея осямъ, можно вычислить полную кривизну съ помощью
формулы B2), положивъ
„Natiirliche Geometrie", стр. 229.

§ 693
кривизна.
213
Сперва замЪтимъ, что уравнеше касательной плоскости будетъ У~*—^ — 1,
а разстояше h этой плоскости отъ центра поверхности определяется изъ
уравнеШя
с*
Формула B2) дастъ тогда
0
X
У
X
а2
0
0
У
0
Ъ2
0
г
0
0
с'
Итакъ, им-Ьемъ следующую теорему (срав. § 595, h): Въ поверхносгяхъ
второго порядка съ центромъ полная кривизна изменяется про-
порщонально четвертой степени разстояшя отъ касательной
плоскости до центра.
Ь) Предложимъ себе теперь вычислить главный кривизны въ любой
точке М на развертывающейся поверхности. Координаты точки М можно
изобразить формулами
av,
— y-{-bv, Z = е -\- cv,
въ которыхъ а, Ь, с изображаютъ направляющие косинусы образующей,
а х, у, г координаты точки Q, въ которой образующая касается ребра
возврата. Эти шесть величинъ зависятъ исключительно отъ длины дуги и
ребра возврата, a v обозначаетъ длину отрезка ОМ. Какъ известно (§ 669),
направляющие косинусы нормали къ поверхности совпадаютъ съ косинусами
«, & -/ бинормали кривой (Q), поэтому тотчасъ находимъ, что р = >
q = — , откуда следуетъ
dv dv
ra -\- sb = sa
а следовательно,
ди г
г). 4- 5Д(- = '
оаб
d«
ob
tu,
ОД
t = —
да2
Формула B1) даетъ АТ = О. Этого и следовало ожидать, такъ какъ мы уже
видели (§675), что въ каждой точке развертывающейся поверхности rt—s2=0.
Къ тому же заключетю приводить также замЪчаше, что совпадете обеихъ
системъ асимптотическихъ лиши въ одну систему образующихъ показываетъ,
что одно изъ главныхъ сечешй, проходящихъ черезъ любую точку М есть
образующая, проведенная черезъ эту точку, потому что касательный къ
этимъ сечешямъ должны ведь делить пополамъ углы между соприкасаю-
соприкасающимися прямыми. Следовательно, одна изъ главныхъ кривизнъ равна нулю.
Другая дается первою изъ формулъ A9) и имеетъ значеше
1
JV

214
VI, 4. ПРИЛ0ЖЕН1Я КЪ ТЕ0Р1И ПОВЕРХНОСТЕЙ. §§ 693—694
Отсюда видно, что R = — v tg q>, гд% <р есть уголъ, на который касательная
къ ребру возврата должна повернуться въ опредъленномъ уже раньше на-
правлеши (§ 679), чтобы совпасть съ образующею развертывающейся поверх-
поверхности, огибающей спрямляюпш плоскости. Такъ какъ длина R откладывается
по положительному направленш бинормали, то мы видимъ, что центры
нормальной кривизны всъхъ ортогональныхъ траекторШ обра-
зующихъ развертывающейся поверхности лежатъ на поверхно-
поверхности, огибающей спрямляющая плоскости ребра возврата. Къ тому
же заключешю приводитъ и замъчаше, что образующая огибающей спрям-
спрямляющая плоскости ребра возврата есть въ то же время (§§ 673, а; 679, Ь, с)
ось соприкасающихся круговъ всъхъ ортогональныхъ траекторШ. Отсюда,
принимая во внимате теорему Менье, мы видимъ, что упомянутая образу-
образующая встръчаетъ плоскости, перпендикулярный къ образующимъ первой
поверхности, въ центрахъ кривизны соотвътствующихъ съчешй вдоль этихъ
образую щихъ.
694. Въ заключение мы обобщимъ формулы A9) такимъ
образомъ, чтобы сдълать ихъ непосредственно применимыми къ
тому случаю, когда х, у, z даны въ видъ функцШ отъ двухъ неза-
висимыхъ перемънныхъ и и v. Напомнимъ, что въ конггЬ § 660
были даны формулы
B3) ?=—=:
d(v.s)
€>П=-
1
91 =-
1
въ которыхъ
Такъ какъ
дх\2 , V7 ldx\2 уг^дхдх
\ди ¦*—' \dv] > ' ди dv
d(u,v)
1
д{х,у) d{u,v) д(х,у) Yab-c*
то по второй изъ формулъ B0) получимъ
д(?,Ж)
, д (и, v)
и т. д.
о к =}_
, g) = J
_
? d(u,v)
d{u,v)
d(u,v)
Умножая эти три выражешя соотвътственно на ?2, 91t2, 9I2 (сумма
которыхъ равна 1) и складывая, получимъ
' d (и, v) d(u,v) d(u,v)
ИЛИ
Vab-c*- K =
д и d v
~7)~V
д и
ди
dv

§ 694
КРИВИЗНА.
215
Формулу B4) можно преобразовать еще такимъ образомъ, что въ
выражеже К войдутъ явно первыя и вторыя производныя отъ
х, у, г по и и по гк Написавъ эту формулу въ видъ
^ О'. 2)
д (и, v) д (и, v)
тотчасъ увидимъ (§ 29), что правая часть равна произведена
матриссъ
дх ду dz
ди
ди ди ди
д х ду д з
dv dv dv
ди
dv dv
ди
dv
Съ другой стороны, выполняя умножеше и принимая во внимаше
уравнен!я, получаемыя дифференцирован!емъ по и и по v услов1й
ортогональности
Fc^-o, Уг?- = о,
j—j д и *—i d v
находимъ, что элементы определителя, равнаго произведешю упо-
мянутыхъ матриссъ, будутъ
-^
V
d X
d и
dx
d и
dx
dv
srid х
dv
д
д
d
?
U
?
dv
d
d
d
д
?
и
?
и
ля сокращешя,
d.r
d и
ду
ди
d г
d и
дх
dv
d
у
dv
д
d
V
д2 х
difi
ff\v
d и1
d- з
difi
V
V
V
2d x
's d'x
''dudv
A' д v д и
2д2х
di*
положено
i
\
1 do;
-
d
d
d
d
d
и
V
и
11
dx
d и
ду
' d и
ds
d и
дх д2х
dv dudv
d v d2 v
dv dudv
d s d-s
dv dudv \
у
а
"ab-c*
е
Yab-fi
У
У
д
d
д
д
д
д
е
ab—fi
X д2 X
v d V-
v д'^у
v dv2
г д- z
v д v°-

216 VI, 4. приложеню къ teopih поверхностей. §§ 694—695
Следовательно,
B5) K=j^fif
695. Подобнымъ же образомъ поступимъ для вычислешя Н,
исходя изъ первой формулы B0), при чемъ измЪнимъ знаки правыхъ
частей на противоположные для того, чтобы косинусы С, 9ТС взяты
были съ тъми знаками, каюе для нихъ получаются изъ формулы B3)
при и=х, v—у. Очевидно, имЪемъ
д? дЖ = дB,у) д(Ж,х)^11 р(С. у)
дх+ду~д(х,у) д{х.у)~ yabJ7c2®l.[d(it.v) б(и
,хп
. v) \ И Т" Д'
Следовательно, УаЬ — сг. Н можетъ быть представлено каждою
изъ трехъ разностей
) д{Ж,х) дB,у) _
d(u,v) 6{u,v) ' d{u,v) d(u,v) ' d(u,v) d(u,v)
деленныхъ соответственно на 2, 91t, Э^; умножая ихъ соответ-
соответственно на С2, 91ta, 9^а и складывая, получимъ
{и, v) д(и, v)
ИЛИ
У^*шН\(м?ы?OГЫры?
' *-* \\ dv д V] д и \ ди д и
Между темъ, при помощи легкаго вычислен1я найдемъ еще
у а [)_С2\
д z ~~ ду 1 ( д х д х
ди ди УаЬ— С2\ dv о i
Следовательно,
4 ' ^-/ [ д и ди dv dv \ди dv dvdu
и, наконецъ,
B6) я_а* + а>"-2®?.
Легко проверить, что формулы B5) и B6) приводятся къ форму-
ламъ A9), когда положимъ и=х, v=y, потому что при этихъ
предположешяхъ функщи a,b,c, <SL, SB, (В обращаются въ 1+/'г.
1 + q2, pq, r, t и s.

§696 ОПРЕДЪЛЕНШ И СВОЙСТВА зам-ЬЧАТ. КРИВ. НА ПОВЕРХНОСТИ. 217
Опред^ле^я и свойства зам^чательныхъ
кривыхъ на поверхности.
696. Лиши кривизны и точки закруглешя. Для опредъ-
лешя лиши кривизны (§ 665) на данной поверхности, мы имЪемъ
следующее уравнеше, получаемое черезъ исключеше k изъ урав-
ненШ A7) § 686, съ заменою а и Ъ на dx и dy
(l+^dx+p q_dy = Pqdx + jl+Lf-) dy
r dx -
1 г
A-sdy
s \ dx°-
pqj 1 + ^
+ (S
+ [pq 1
/
t \
+ 'I2)
sdx H
/
¦f q-
1 dy2
- tdy
r \
1 +ps)
dxd i
/•
т. e.
потому что въ уравнешяхъ A7) а и Ъ обозначаютъ косинусы
угловъ осей индикатрисы съ координатными осями х и у, а оси
индикатрисы въ каждой точкЪ касаются лиши кривизны. Представляя
себЪ, что р, q, r, s, t выражены въ независимыхъ перемтэнныхъ
х и у, получаемъ изъ уравнений B8) два уравнешя
B9) d?=<P(*.y\ g = v(.v,.r).
Изъ этихъ уравнен1й, разсматриваемыхъ одно отдельно отъ другого,
при помощи пр1ема, который будетъ разъясненъ въ kohutj этого
учебника, приходимъ къ уравнешямъ двухъ системъ цилиндриче-
скихъ поверхностей, параллельныхъ оси s-овъ, перестзкающихъ по-
поверхность по лин!ямъ кривизны. Заметим!», что уравнен!я B8)
удовлетворяются тождественно тогда и только тогда, когда коорди-
координаты х, у, z точки М на поверхности удовлетворяютъ еще двумъ
нижесл'Ьдующимъ уравнетямъ
C0)
1+Р2 Pq
Черезъ такую точку М проходитъ, следовательно, безчисленное
множество лиши кривизны. Таюя точки называются точками за-
круглен1я (Nabelpunkte, ombilics). Число ихъ, вообще говоря,
конечно. Но возможны случаи, когда онт> заполняютъ ц^лую лин1ю
на поверхности; это будетъ тогда, когда два уравнешя C0) при-
приводятся къ одному. Неопределенность направлен^ касательныхъ къ
литямъ кривизны въ точке закруглешя можетъ проистекать только
изъ неопределенности направлешй осей индикатрисы Дюпена, т. е.
изъ того, что эта индикатриса будетъ кругъ. Отсюда слъдуетъ

218
VI, 4. ПРИЛОЖЕНИЯ КЪ ТЕОР1И ПОВЕРХНОСТЕЙ.
696-697
(§ 664), что поверхность въ смежности съ точкою закруглешя упо-
уподобляется шару, потому что, если передвинемъ безконечно мало
касательную плоскость въ такой точке такимъ образомъ, чтобы
эта плоскость осталась перпендикулярною къ нормали, то на по-
поверхности определится безконечно малое круглое сечете. Это обсто-
обстоятельство позволяетъ тотчасъ заключить, что на эллипсоиде, напри-
мЪръ, находятся четыре вещественныхъ точки закруглетя. Эти
точки будутъ именно точки пересЪчешя поверхности съ д1аметрами,
сопряженными съ двумя системами круговыхъ съченШ эллипсоида.
Впрочемъ, можно непосредственно проверить, что условия C0)
равносильны условно Qi = Qi. Действительно, изъ уразнешй A9),
съ помощью простого вычислешя, получаемъ
A+ЯA+^)Г
\3
i+/2
л-р-ф
\+p2
t
2 s
Jq
откуда и видимъ, что дли существоватя равенства Ql=Q2 условия C0)
необходимы и достаточны.
697. Нормали къ поверхности, проведенныя черезъ различныя
точки некоторой кривой, лежащей на этой поверхности, или, какъ
говорятъ, нормали вдоль некоторой кривой, вообще, образуютъ
косую линейчатую поверхность, носящую назваше нормальной
поверхности или нормали (normalie). Спрашивается, н-Ьтъ ли
между безчисленнымъ множествомъ нормал1й, проходяишхъ черезъ
данную точку на поверхности, развертывающихся поверхностей?
Услов1е, необходимое и достаточное для того, чтобы нормаль въ
точке М образовала развертывающуюся поверхность при движенш
точки М на поверхности (§ 667) есть
= 0.
уште
/
Я
-1
P
'1
- 1
оть равенъ
dp dx +
dq dy +
0
0
dp
dx
dq dy
0 ds
pdz
qdz
=
dx
dy.
¦pdz
- qdz
dp
dq
Следовательно, должно существовать уравнеше
dx -]-p ds dy -f- q d~ .
C1)
dp
dq

§§ 697—698 опРЕд-ьлЕнга и свойства зам-ьч. крив, на поверхности. 219
но это уравнеше совпадаетъ съ уравнешемъ B7), въ чемъ тотчасъ
убеждаемся, замечая, что
ds=pdx-\-qdy, dp = rdx -\- sdy, dq — sdx + tdy.
Итакъ, черезъ каждую точку поверхности проходятъ две разверты-
ваюшдяся нормалш, следы которыхъ на данной поверхности будутъ
не что иное, какъ ея линш кривизны. Ребра возврата всЪхъ этихъ
нормалШ образуютъ поверхность съ двумя полами, которую можно
разсматривать, какъ общее место всЬхъ главныхъ центровъ
кривизны. Эта вторая поверхность представляетъ относительно пер-
иой до некоторой степени аналопю съ гЬмъ, что представляетъ
эволюта кривой относительно самой кривой 1). Общее место глав-
главныхъ центровъ кривизны называется эволютою данной поверхности
и состоитъ изъ двухъ полъ: одна образуется однимъ, другая дру-
гимъ главнымъ центромъ кривизны. Данная поверхность, по отно-
шешю къ своей эволюте, называется эвольвентою, по аналопи съ
кривыми лишями. Указанное выше характеристическое свойство линш
кривизны можно формулировать слъдующимъ образомъ: Всякая
лин1я кривизны есть ортогональная траектор1я образую-
щихъ развертывающейся поверхности, состоящей изъ нор-
нормалей къ поверхности, и этимъ свойствомъ не обладаетъ никакая
другая кривая на поверхности. Отсюда не трудно вывести, если
припомнимъ одну раньше доказанную теорему (§ 673, Ь), следующее
предложеше: Если некоторая лишя есть лишя кривизны на неко-
некоторой поверхности, то она сохранитъ тотъ же характеръ на всъхъ
поверхностяхъ, пересъкающихъ первую поверхность подъ постоян-
нымъ угломъ вдоль всей данной лиши. Отсюда въ частности сл%-
дуетъ, что если некоторая плоскость пересъкаетъ данную
поверхность подъ постояннымъ угломъ, то лин1я nepect-
чен1я непременно будетъ лин1ею кривизны; и обратно,
если лин1я кривизны—лин1я плоская, то ея плоскость пе-
пересъкаетъ поверхность подъ постояннымъ угломъ. То же
самое можно общнъе утверждать о сферическихъ кривыхъ, потому
что на сферъ всякая лишя есть лишя кривизны.
698. Формулы Родрига. Услов1е, необходимое и достаточное
для того, чтобы некоторая точка (дг, у, з)% данной поверхности
описывала лишю кривизны, можно прямо написать, выражая, что
нормальная плоскость разсматриваемой кривой совпадаетъ со спрям-
спрямляющею плоскостью эволюты этой кривой (§ 673, а), касательныя
которой будутъ нормали къ поверхности. Следовательно, мы должны
иметь
,321 ^ - -?L - — •
{ ' dZ ~ dm d<Dl
!) О свойствахъ эволютъ поверхностей см. ,,Naturliche Geometric",
стр. 217.

220 VI, 4. приложенш къ теорш поверхностей. §§ 698—699
Эти формулы называются формулами Родрига. Два уравнежя, ими
выражаемыя, приводятся къ одному, если примемъ во внимаше
услов1е ортогональности
? dx + Ш. dy + 91 ds = 0.
Обратно, если ycnoeifl C2) выполнены, то
? rf? dx
ЭТС d 01^ dy
dz
= 0,
т. е. (§ 667) нормаль къ поверхности образуетъ развертывающуюся
поверхность, и точка (х, у, z) описываетъ, следовательно, линно
кривизны. Можно, впрочемъ, вывести также формулы C2) изъ по-
слтздняго услов!я, потому что вызвышая предыдущее уравнение въ
квадратъ, легко приведемъ его къ виду
(d'sK. dy - dm. dsf+ {dZ ds - d<Sfl dx? + {dS\Z dx - rf? dy)- = 0,
а последнее равенство, очевидно, разбивается на два равенства C2).
ДалЪе, легко видъть, что общая величина отношешй C2) равна,
независимо отъ знака, длинъ1 соотв-Ьтствующаго главнаго pafliyca
кривизны. Наконецъ, отъ формулъ Родрига можно придти и къ
формул^ C1), дифференцируя равенства ? = — ?^-р, 9ТС = — 91^,
и замечая, что d 2 -\- рd 9t, dЖ + q d'SLт а следовательно, и
dx-\-pdz и dy -f- qdz пропорциональны dp и dq.
699. Примеры, а) На поверхностяхъ вращен1я лин!ями кривизны
будутъ мерид1аны и параллели. Действительно, нормали къ поверхности
вдоль меридиана лежать въ плоскости мерщиана, а нормали вдоль параллели
пересекаются всЬ на оси вращен1я и образуютъ коническую поверхность"
Еще проще убедимся въ сказанномъ, замечая, что плоскости каждаго мери-
д!ана и каждой параллели пересЬкаютъ поверхность подъ постояннымъ
угломъ. Впрочемъ, найдя одну изъ системъ лин!й кривизны, можно опреде-
определить другую изъ услов!я ортогональности обеихъ системъ. Две системы
лиши кривизны соответствуютъ двумъ поламъ эволюты поверхности. Одна
изъ нихъ образуется вращешемъ эволюты мерид1'ана около оси поверхности,
другая сводится (§ 681, Ь) къ самой оси. Напримеръ, катеноидъ въ сово-
совокупности съ осью вращешя образуетъ эволюту псевдосферы.
b) На развертывающейся поверхности каждая образующая есть
лишя кривизны, потому что нормали къ поверхности вдоль образующей
лежатъ въ одной плоскости. Если повернемъ образующая на прямой уголъ
около одной изъ ихъ ортогональныхъ траекторШ, то оне сделаются нор-
нормалями къ поверхности, а съ другой стороны остаются образующими раз-
развертывающейся поверхности (§ 673, Ь). Такимъ образомъ прямо получаемъ,
что ортогональныя траекторш образующихъ представляютъ вторую систему
лиши кривизны. Эволюта поверхности имеетъ одну полу на безконечности,
а другая (§ 693, Ь) есть спрямляющая развертывающаяся поверхность ребра
возврата.
c) На огибающей семейства шаровъ (т. е. системы шаровъ, въ урав-
нешяхъ которыхъ коэффищенты — функцш одного независимаго параметра)
лин1'ями кривизны будутъ характеристики, потому что (§ 674) вдоль

§§ 699—700 опРЕД-ьлЕнга и свойства зам-ьч. крив, на поверхности. 221
каждой изъ нихъ нормали къ поверхности будутъ рад1усы огибаемы хъ
шаровъ, пересЪкаюшдеся въ центрЪ Q. Отсюда слЪдуетъ, что одинъ изъ
главныхъ центровъ кривизны есть точка С\
(рис.87). Второй главный центръ кривизны, для
того случая, когда имЪемъ дтзло съ поверхностью
канала (§ 678, Ь), определится изъ того зам%-
чашя, что онъ находится на pe6ptj возврата раз-
развертывающейся поверхности, образуемой нор-
нормалью къ линш центровъ, и следовательно,
долженъ находится (§ 679, Ь) на оси соприка-
соприкасающегося круга этой кривой. Поэтому главные
рад1усы кривизны будутъ
J - cos fp
Рис. 87.
что, впрочемъ, легко получить и при помощи
вычислешя, пользуясь формулами A9) и полагая
2 Я (X — х) = cos (р, или еще проще, положивъ
и = 5, v — (f, и применяя формулы B5; и B6).
ЗамЪтимъ, наконецъ, что эволюта канала состоитъ изъ полярной поверх-
поверхности лиши центровъ и самой этой кривой.
700. Геодезическое кручеше. Найденное въ § 697 харак-
характеристическое свойство линш кривизны находится въ тътной связи
съ понят1емъ о геодезическомъ кручен1и. Это поняле введено
было Бертраномъ съ ц'Ьлью дать Mtpy вращательной составляющей
N'
ту = <
Бинормаль
Рис. 88.
въ движенш касательной плоскости, при перем-Ьщенш точки касашя
по направлен1ю касательной. Естественно принять за м^вру этого
вращетя отношен1е угла, на который повернется проекщя нормали
къ поверхности на нормальную плоскость, къ do (дифференщалу
дуги кривой). Мы уже вид-Ьли (въ § 672), что этотъ уголъ равенъ
г)—dip. Вышеупомянутое отношеше
г d s

222 VI, 4. приложешя къ теорш поверхностей. §§ 700—701
и называется геодезическимъ кручешемъ. Ясно, что характеристиче-
характеристическое свойство линШ кривизны, о которомъ идетъ рЪчь, можетъ
быть выражено тЪмъ, что для линш кривизны геодезическое кручеше
во всякой ея точк-fe равно нулю (см. § 672). Следовательно, геоде-
геодезическое кручеше имъетъ для лиши кривизны то же значете, какое
нормальная кривизна (§ 683) имт>етъ для асимптотическихъ линШ,
при этомъ, какъ нормальная кривизна, такъ и геодезическое крученое
будутъ им-Ьтъ одинаковое значеше въ данной точкЪ на всЬхъ кривыхъ,
имбющихъ общую касательную, между гЬмъ какъ геодезическая кри-
кривизна для такихъ кривыхъ меняется при измт>неши соприкасающейся
плоскости. Мы увидимъ также далт>е, что существуютъ извъхтныя
аналопи между законами изм^нетя нормальной кривизны и геоде-
зическаго кручешя при переход^ отъ одной изъ безчисленнаго
множества кривыхъ, проводимыхъ по поверхности черезъ данную
точку въ различныхъ направлешяхъ, къ другой. А именно, и то и
другое выражаются однородными квадратичными функщями отъ
косинусовъ, опредтэляющихъ эти направлешя.
701. Положимъ, что (а, Ь, с) обозначаютъ направляющее
косинусы данной касательной къ поверхности въ данной точкт> М,
(«', Ъ', с') — направляюгше косинусы другой, перпендикулярной къ
первой. Нормаль (С, STt, ?>t) къ поверхности въ точкт> М и прямая
(а', У, с'), очевидно, будутъ лежать въ нормальной плоскости къ
кривой, им-Ьющей касательную (а, Ь, с), такъ какъ въ этой пло-
плоскости лежатъ всЬ перпендикуляры къ (а, Ь, с). Поэтому, разсма-
тривая прямоугольный треугольникъ, у котораго гипотенуза равна
единиц^ и направлена по нормали къ поверхности въ точк-fe М,
а катеты по главной нормали Мп(Х, ц, v) и бинормали (a, ft, у)
къ данной кривой, и проектируя стороны этого треугольника на
координатныя оси, получимъ
2 = a sin ср -j- Я cos ср, ?>TL = /? sin (р + ,м. cos q:, ?>t = у sin q>-\-v cos <p
(ср — обозначаетъ, какъ и выше, уголъ между нормалью къ поверх-
поверхности и главною нормалью кривой, т. е. уголъ нашего треугольника,
прилегающей къ главной нормали). Точно также, замтзнивъ напра-
влеше (?, Sit, Эс) направлен1емъ {а!, Ъ', с'), очевидно, ему перпен-
дикулярнымъ, получимъ
й'= a cos <р — Я sin <f, b' — ,9 cos ср — ц sin ср, с'= у cos (p — v sin ср.
Дифференцируя эти формулы по о, пользуясь формулами A1) и
выражешемъ т, тотчасъ получимъ
Cd) -,— — COS (Г — ЯГ, —т— = COS W — Ь'т, --— = COS <1) -СТ.
а в q да о да у

§§ 701—702 опред-ьленш и свойства замъч. крив, на поверхности. 223
Это, такъ сказать, формулы Френе для ортогональной системы
трехъ направленШ, опредЪляемыхъ ортогональнымъ опредътштелемъ
о =
a a'
b b' €>Tt
с с' 9c
= 1.
Умножая формулы C3) сперва на а, Ь, с, загЬмъ на а, Ъ'', с',
получимъ путемъ сложешя
cosy \р d?
'- = — У а— ¦
о da
¦ т = - > a' -j-
da — da
А такъ какъ 2 = — €Я-р, ЭТс = — &Lq, то, принимая во внимаше
услов1я ортогональности pa-\-qb — с = 0 и paf-{-ql/—c'=0,
получимъ изъ предыдущихъ формулъ слгЬдующ1я:
Ж <lp\
da da]
da da] \ da da] da \ da da
,/ d<sK, ^dp\ , ,,/ rf©c ^~dq\ ,d^fi I ,dp , ,,dq\
г = a'\ p— \-Zfc-r-)+b'\q —z—+9t -,- -c -,- = 9t u'x+» т "
\ da do/ \ da do] do \ da da]
Первая формула есть не что иное, какъ известная уже формула A3),
для которой, следовательно, мы получили здЬсь новое доказатель-
dp dp dx , dp dy . ,
ство, потому что -j~- = -v -j—Ь x^ ¦ -y~ = яг + os и т. д., вторая
J da dx do dy do
даетъ
C4) r =
Это равенство можно привести къ формт>, аналогичной формулз A3),
замечая, что по свойству определителя Q, имт>емъ
а'= Ш.с - <2>1Ь = - 91 (b + qс) = - Ж \pqa + (l + q2) b],
b'=<$la- ?с = §1(а->грс)= ®fl |A +р*) а + pqb].
Отсюда получаемъ
l+p*) a+pqb]
и снова находимъ характеристичное для лиши кривизны yoiOBie B7),
приравнивая т нулю.
702. Если желаемъ изучить свойства геодезическаго кручешя,
то удобнее всего будетъ пользоваться выражетемъ C4).
а) Первое свойство получается тотчасъ при помощи следую-
следующего замечашя. Заменяя направлен1е (а, Ь, с) направлешемъ (а', Ь', с'),

224 VI, 4. приложенш къ теорш поверхностей. § 702
мы должны последнее заменить на (—а, —Ъ, —с) для того,
чтобы Q не изменило своего значешя, а тогда % изменить лишь
свой знакъ. Следовательно, две кривыя, пересекаюпцяся подъ
прямыЯъ угломъ, имтзютъ геодезичесюя кручешя, равныя по абсо-
абсолютной величине, но противоположныя по знаку.
Ь) Если (а1} Ь^, сх) и (а2, Ь2, с2) будутъ направлешя лиши
кривизны, то, вслЪдсше ихъ ортогональности, всегда можно положить
а = ах cos в +e3 sin 9, а' — — ах sin 9 + o:3cos 9,
b = b± cos 9 + b2 sin 9. b''= — b1 sin 9 + b2 cos 8.
Замечая еще, что
+ s(alb2 + a2^i) + ibtb2 = 0
(изъ формулы C4) при т=0), и подставляя вышенаписанныя выра-
выражения въ C4), получимъ формулу
C5) т = ( ] sin В cos 0,
\ Q P/
гд% Qt и q.2 главные рад1усы кривизны, ясно показывающую, какъ
изменяется v при вращенш кривой около данной точки.
с) Обозначимъ теперь черезъ — и — кривизны нормальныхъ
сЬченШ, касающихся прямыхъ (а, Ь, с) и (а', У', с'), т. е. нор-
мальныя кривизны первой и второй разсматриваемыхъ нами кривыхъ.
Величины — и — выразятся, какъ известно, формулами
— = (ra2 + 2sab + tb2) 9l2,
Q
-L = (гя/2+ 2 sa'b'+ tb'2) Э1А
Заметимь еще, что аЪ'—а'Ъ, очевидно, равно ©?, потому что
ab'—а'Ь есть косинусъ угла, образуемаго перпендикуляромъ къ
{а, Ь, с) и (а', Ъ'', с'), т. е. нормалью къ поверхности, съ осью
г-овъ, и, какъ легко проверить,
(га-+ 2 sab + t№)(ra'2+ 2sa'b'+ tb'2) - (raa'+ s(ab'+ ba') + tbb'f
тождественно равно (rt — si){abl'— a'b), т. e. {rt — sl) Э?\ Тогда
найдем ь следующую важную формулу
C6) Ш-*-к-ЪТ?Т??
Эту формулу можно вывести также изъ выраженгя C5) для т
и формулы Эйлера. Действительно, написавъ последнюю въ е

§§ 702—703 опредълешя и свойства зам-вч. крив, на поверхности. 225
двухъ видахъ, которые указаны были въ § 685, путемъ умножешя
тотчасъ найдемъ
такъ какъ Н= 1—-.¦
703. Асимптотическ1я линш. Теорема Эннепера. Разыс-
асимптотическихъ лиши основывается на уравнеши
C7) rdx2 + 2sdxdy + tdy2 = 0.
Оно выражаетъ, что нормальная кривизна этихъ лиши въ каждой
ихъ точк-fe равна нулю. Уравнение C7) выражаетъ также перпенди-
перпендикулярность главной нормали кривой и нормали къ поверхности,
потому что лЪвая его часть тождественно равна выражешю
— pd%x— q d%y + d2z. Уравнеше C7) можно поэтому написать и
въ слЪдующемъ болЪе общемъ ^
? сРх + Ш, еРу + <гЯ, сР-г = 0.
Если х, у, z заданы, какъ функцш двухъ независимыхъ перем^н-
ныхъ и, v, и зам'Ьтимъ, что
„ д2х , „ п д2х , , д2х , ,
сРх = —-ь d и2 + 2 -T—J- du dv + 3-5 dv2 и т. д.,
д и2 dudv dv2
то последнее уравнеше приметъ видъ
C8) adu2 + 2E dudv + Ж dv2 = 0
гдЪ SI, ой, E имт>ютъ установленныя въ конц^ § 694 значешя.
Впосл^ств1и мы увидимъ, что уравнеше C7), какъ и B8), имъющее
тотъ же видъ, характеризуетъ два семейства (съ однимъ независи-
мымъ параметромъ) поверхностей, пересЬкаюихихъ данную поверх-
поверхность по асимптотическимъ лишямъ. Впрочемъ, для изучешя асимп-
асимптотическихъ линШ на данной поверхности не неизбежно знать ихъ
уравнен1я. А именно, если извъстны главныя кривизны, то можно,
съ помощью нЪкоторыхъ формулъ найти и кривизны асимптотиче-
асимптотическихъ лиши. Не выходя за пределы, поставленные для настоящаго
учебника, мы не можемъ дать здъхь доказательство одной формулы
Бонне1), выражающей первую кривизну асимптотическихъ линШ
черезъ 0, и д2. Относительно же кручешя легко доказать следую-
следующую теорему Эннепера: Кручеше асимптотическихъ лин1й
равно корню квадратному изъ полной кривизны, взятой
съ обратиымъ знакомъ. Действительно, для асимтотическихъ
1) „Nouvelles Annales de Mathematiques" 1865, стр! 268.

226 VI, 4. приложены къ теорш поверхностей. §§ 703—704
лиши, какъ и вообще для всЪхъ кривыхъ, главныя нормали кото-
рыхъ везд^Ь одинаково наклонены къ нормали поверхности, т. е.
для которыхъ <р = const, (что имеетъ место и для геодезическихъ
лин1й) геодезическое кручеше равно абсолютному кручешю. Поэтому,
такъ какъ — = г, а — = 0, то формула C6) и даетъ ъ = +Y — QtQ2.
704. Теорема Бельтрами. Въ заключеше докажемъ теорему
Бельтрами, упомянутую въ § 682. Помъхтимъ начало координатъ
въ любой точкт> М на поверхности; затЪмъ въ касательной пло-
плоскости примемъ за ось лг-овъ касательную къ асимптотической линш,
за ось у-оъъ ея главную нормаль, а ось я-овъ (нормаль къ поверх-
поверхности) направимъ въ отрицательную сторону по бинормали. Выве-
Выведенный въ § 643 формулы A9) применимы ко всякой кривой,
которая касается асимптотической лиши и для которой соприкасаю-
соприкасающаяся плоскость въ точке М совпадаетъ съ касательного плоскостью
на поверхности. Следовательно, если (х, у, г) будутъ координаты
(и, w, —v) точки М', безконечно близкой къ М, на разсматри-
ваемой кривой, то
..у 1 .. я 1
х2 2 д х3 6 дъ
Въ частности, эти формулы справедливы для асимптотической линш,
если въ нихъ заменимъ q и * соответствующими значешями q0 и *о,
въ точке М на асимптотической линш. Съ другой стороны, урав-
HeHie поверхности въ смежности съ точкою М можно написать въ
виде (до членовъ 3-го порядка включительно)
z = Ц г д-2 -|- 2 sxy + />-2) + kxA + • • • .
Такъ какъ, по предположенш, одна изъ соприкасающихся прямыхъ
есть ось х-овъ, то г = 0. Кроме того, формула C4) даетъ s = —1).
Следовательно, при безпредельномъ приближенш М' къ М получимъ
, ,. s 1 .. у 1/1 1
X6 t-g Xi 2 О\6Ъ Ъ0
Въ частности, когда М' приближается къ М по асимптотической
лиши, находимъ k = — 5 ' Изъ сравнения двухъ выражений k
находимъ интересную формулу Бонне
+ ,
которая заключаетъ въ себе, какъ частный случай (при &= оо),
теорему Бельтрами.
1) Эти значешя г и s даютъ новое доказательство теоремы Эннепера,
ПОТОМУ ЧТО К = Г t — S2 — — 1 /Ъ(?.

§ 705 опред-ьленш и свойства зам-ьч. крив, на поверхности. 227
705. Геодезическ1я лиши; формулы Вейнгартена. Опре-
дтэлеше геодезическихъ линШ на поверхности (главная нормаль сов-
падаетъ съ нормалью къ поверхности) (§ 665) выражается уравнешями
C9) /_^:? = / Лу. ^^_
х ' dsdsdsds ds ds
гдъ s обозначаетъ длину дуги кривой. Надо заметить, что эти
уравнетя, въ сущности, приводятся къ одному, потому что
yidx J_djc = Q y?^f = 0
^—J d s d s d s ' ^-j d s '
откуда
d dx d dy dx d dx dy d dy
ds ds ds ds ds ds ds ds ds ds
ж,
dz
ds
d
ds
?
dz
ds
d
ds
m.dy-
dz
ds
такъ что второе уравнеше есть cfltflCTBie перваго. Впрочемъ, можно
прямо придти къ одному единственному уравнешю, если, вмъхто
того, чтобы выражать, что главная нормаль совпадаетъ съ нормалью
къ поверхности, выразимъ, что бинормаль лежить въ касательной
плоскости, т. е. перпендикулярна нормали къ поверхности, что прямо
даетъ уравнеше
Въ очень р-Ьдкихъ случаяхъ удается перейти отъ дифференщальныхъ
уравнешй C9) къ уравнешямъ между х, у, в и двумя произволь-
произвольными постоянными (см. интегрироваше дифференщальныхъ уравненШ),
которыя BMtcTt съ уравнешемъ поверхности изображаютъ дважды
¦безконечную систему геодезическихъ лин!й. Несмотря на это, можно
изучать геодезическ1я линш, не зная ихъ уравнен^ въ конечномъ
видъ. Для приложен1й особенно важно знать ходъ геодезическихъ
лин1й въ весьма малой части поверхности. ПомЪстимъ начало коор-
динатъ въ точку М и направимъ оси r-овъ и у-овъ по касатель-
нымъ къ лин1ямъ кривизны, проходящимъ черезъ М. Ось s-овъ
будетъ направлена по нормали къ поверхности, совпадающей съ глав-
главною нормалью геодезической лиши, а плоскости zMx и zMy совпа-
дутъ съ главными нормальными сЪчешями поверхности въ точкЪ М.
Разсмотримъ затЬмъ (рис. 89) дугу ММ'= о геодезической лин1и,
определяемую угломъ 0, образуемымъ касательною къ ней въ
точк-fe М съ осью Мх. Если, кроме того, проведемъ нормальное
съчеше, проходящее черезъ М и точку М', то получится еще дуга
другой кривой ММ'=в-\-Ь. Плоскость этого нормальнаго съчешя

228
VI, 4. ПРИЛОЖЕНИЯ КЪ ТЕОР1И ПОВЕРХНОСТЕЙ.
§ 705
на практик^ принимаютъ за соприкасающуюся плоскость геодезиче-
геодезической линш въ точке М', хотя, конечно, для того, чтобы эта пло-
плоскость действительно была таковою (т. е. совпала съ плоскостью,
проходящею черезъ Мп и касательную къ геодезической лиши),
ее нужно повернуть на некоторый уголъ е. Отсчитывая этотъ уголъ
въ направленш движешя часовой стрелки для наблюдателя, стоящаго
по оси з-овъ (главной нормали) легко найдемъ его величину, замЪ-
тивъ, что tge = ' гд-fe и и v (§ 643) обозначаютъ разстоятя
точки М' отъ нормальной и отъ соприкасающейся плоскости.
Прилагая формулы A9) § 643, съ заменою въ нихъ ds на а,
о2
тотчасъ найдемъ е=6 > т. е. уголъ вращешя е безконечно
малая второго порядка относительно а. Это заключеше, столь
простое, которое, впрочемъ, можно было предвидеть, составляетъ
тёмъ не мен^е, одну изъ основныхъ теоремъ Геодезш. Въ практик^
п.
Нормал.
сгьч.
Рис. 89.
принято также, и съ еще большимъ правомъ, пренебрегать числомъ б,
т. е. считать дугу ММ' нормальнаго съчешя за дугу геодезической
лиши. Это оправдывается доказательствомъ того, что 6 = -| аег,
такъ что разность между обеими дугами оказывается без-
безконечно малою пятаго порядка относительно а. Этотъ и
друпе важные результаты могуть быть выведены изъ формулъ
Вейнгартена, выражающихъ координаты х, у, z точки М' въ
зависимости отъ а и Q. По вышеупомянутымъ формуламъ A9)
§ 643 мы имъемъ для координатъ этой точки М' относительно
реберъ основного тр1эдра выражен1я
и — а — j—^ + ¦
d \

§§ 705—706 ОПРЕД-ЬЛЕНШ И СВОЙСТВА ЗАМЪЧ. КРИВ. НА ПОВЕРХНОСТИ. 229
а отсюда тотчасъ получаемъ z = w, и
. . . л о8 /cos 9 sin i
х = и cos 8 — v sin 9 = о cos 9 — -;—
OQ \ о г.
. . „ о3 /sin S , cos9\
i' = и sin 9 + v cos 6 = о sin 8 — -— + • • ¦ ¦
00 \ Q г. I
Съ другой стороны, замъчая, что для геодезической линш <р = 0,
следовательно, геодезическое кручен1е т равно — > а — равно кри-
визн-fe нормальнаго с-Ьчен1я, касающагося геодезической линш въ
точке М, съ помощью формулы C5) и теоремы Эйлера (§ 685)
1 _ cos2 8 sin2 8
0 01 02
тотчасъ находимъ
cos 8 sin 9 cos 6 sin 9 cos 9 sin 9
0 * 0i 0 * 02
Следовательно, получимъ
x = (о — —-—(-¦•¦) cos 9, jv = (a — r° 1- • ¦ •) sin 9, « = s \-
\ bgg I \ 6 j) 0a / 2 у
— формулы Вейнгартена *).
706. Приложение къ поверхностямъ вращешя а) Чтобы найти
асимптотичесмя лиши, выберемъ ось вращешя за ось #-овъ и пусть г =/(х)
есть уравнеше мервдана въ плоскости (xs). Уравнеше поверхности будетъ
тогда a =/(R), гд* R = У"лг2 + У2- Отсюда находимъ
р = -^ /"'G?) = .vip (Л). </ = j,f'{R) =УЧ' {R)-
дал-fee
V2 Д^ V V-
R ' R ' R
Уравнен1е C7) въ настоящемъ случай дастъ
{dx~ -{- dy~) rp (R) -)- (xdx -\-ydyJ —j=— = О
или, вводя въ плоскости 1ху) полярныя координаты,
[dR2 + R2d42) <р (R) + Rq-'{R) dR2 = О,
а потому
"ГйТй"
*) Статью Вейнгартена, въ которой даны эти формулы и различный
тя, выводимыя изъ нихъ, можно найти въ сочиненш Jordan'a
,Handbuch der Vermessungskunde" II Theil, § 76 (изд. 1878 г.).

230 VI, 4. приложения к"ь теорш поверхностей. §§ 706—707
Проще еще получимъ это уравнеше изъ C8), такъ какъ, полагая и = R,
v = i, легко найдемъ
Въ интегральномъ исчисленш узнаемъ, что изъ уравнешя D0) получается
ypaBHeHie въ конечномъ виде
изображающее два семейства кривыхъ, а именно проекцш асимптотическихъ
лиши на плоскость (ху). Все эти кривыя могутъ быть получены изъ одной
6 = F{R) при помощи зеркальнаго изображешя относительно полярной оси
и врашешя около полюса.
Ь) Лишь въ совершенно исключительныхъ случаяхъ возможно полное
определеше геодезическихъ лиши. Темъ не менее въ самомъ общемъ
случае изъ уравнешй C9) можно вывести замечательную теорему, значи-
значительно облегчающую разыскаше геодезическихъ линШ на поверхности вра-
щешя и позволяюшую проследить ихъ ходъ. Действительно, для этихъ
линШ должны иметь место равенства
d dx d dy d dy d dx
ds ds ds ds ds ds ' ds ds
следовательно,
d I dy dx\ . dy dx
— \x - — — у — =0, x --— — у — = с
ds \ ds ' ds/ ds as
где с произвольная постоянная. Пусть теперь %р обозначаетъ уголъ, обра-
образуемый геодезическою лишею съ мерид!аномъ, и заметимъ, что —sine,
cos 6, 0 будутъ направляющее косинусы касательной къ параллели, а
dx dy dz .
j— > ~' -j- направляющш косинусы касательной геодезической линш.
Тогда будемъ иметь
dx dy I / dy dx
Sin r.i = — Sin О • -j- COS в • -j- = -pr IX — У - -
ds dsR\dsds
т. e. Rsin-^—c. Геодезическ1я лин1и на поверхности вращен1я пе-
ресекаютъ мерид1аны под'ъ угломъ, синусъ котораго изменяется
пропорц1онально кривизне параллели. Эта теорема, найденная Клеро,
весьма полезна въ Геодезш. Она устанавливаетъ границы для техъ областей,
которыя могутъ быть заполнены геодезическими лишями, соответствующими
данному (не равному нулю) значешю с. Действительно, R не можетъ быть
меньше с по абсолютной величине. Поэтому, если будемъ передвигаться по
геодезической линш въ томъ направленш, въ которомъ параллельные круги
становятся все меньше и меньше, то геодезическая лишя будетъ все более
и более уклоняться отъ мерид1ана и приближаться къ параллели, чтобы въ
конце концовъ сделаться касательного къ параллели pafliyca с и не иметь
возможности за нее перейти.
707. Упражнешя. а) Асимптотическ1я лиши косого геликоида
(§ 690, Ь) намъ уже известны, но мы укажемъ здесь другой способъ ихъ
определешя, а именно способъ, основанный на npieMe, изложенномъ въ § 703.
Уравнеше поверхности есть з = а 8, где 9 = arc tg — > сложенному съ про-
X

§707 ОПРЕД-ЬЛЕШЯ И СВОЙСТВА ЗАМЪЧ. КРИВ. НА ПОВЕРХНОСТИ. 231
извольнымъ кратнымъ числа п. Отсюда следуетъ, что
.... дз ay dz ax
д х х- -\- у^ д у
Взявъ еще разъ производныя, найдемъ, что г, s, t пропорцюнальны соот-
соответственно числамъ —2лу, х-— у2, 1ху, такъ что уравнеше C7) приво-
приводится къ
- ху dx2 + (x2—y2) dx dy +xy dy2 = 0.
Оно разбивается на два следующихъ:
у dx — х dy = 0, х dx -{¦¦ у dy = 0.
Первое даетъ образуюпця (у = kx), а второе даетъ х2 +у2 = const. Дв-fc
системы асимптотическихъ лиши, следовательно, ортогональны, и поэтому
разсматриваемая поверхность принадлежитъ къ числу минимальныхъ, какъ
мы уже и раньше видели. Можно быстрее придти къ цели, положивъ u = R,
v = 6, и применяя уравнеше C8), которое приведется къ dRd%=§, потому
что ?1иоБ = 0, Q, —-а. Следовательно, асимтотичесшя лиши будутъ
R = const, (винтовыя линш) и 6 = const, (образуюшдя).
Ь) Предложимъ себе найти линш кривизны на той же поверхности.
Оне, очевидно, пересекаютъ образующая подъ угломъ въ 45°. Чтобы опре-
определить ихъ аналитически, подставляемъ значешя D1) или
р = гг sin 9, q = -=- cos 9
въ уравнеше C1). Оно приводится къ
dR „Л аа\ , _, dR . „ Л а2\
—ц- cos 9 — 1 + -г» sin 6 rf 8 -=- sin 9 -|- 1 + ~f,0 cos ' " ^
R v R-l R v ?^Z = о,
и даетъ
-p- sin 9 — cos 9 rf9 -p- cos 9 + sin 8 db
i» dtp
или + of 8 = -.- —
sin v
a2
если положимъ R — a cotg у. Правая часть есть дифференщалъ отъ
log ^g -у- (§ 292, b). Следовательно, получимъ
««¦св-«„> = tg v., /г = ~(e-h(e-e0)_eT(o-e,,)).
Все эти кривыя, проекщи лин1й кривизны на направляющую плоскость,
можно получить, вращая спираль R = -^ (е9 — е~") около полюса. Эта спи-
спираль выходитъ изъ полюса, какъ Архимедова спираль, и имеетъ стремлен1е
обратиться на безконечности въ две логариемичесмя спирали, встречаюиця
рад)усы векторы подъ угломъ въ 45°.
с) Для определения асимптотическихъ лиши катеноида, воспользуемся
формулою D0) и заметимъ, что функщя г —f{R) въ данномъ случае неявно

232 VI, 4. приложения къ теорш поверхностей. § 707
определяется уравнешемъ мерид1ана R = -=~ \еа + е ") . Изъ него, взявъ
два раза производный по R, получаемъ
f"(R) 1 ( Т , ~v) R
такъ что формула D0) переходить въ
rfe f'{R\
±
а °'ТКуда ± а
Отсюда видимъ, что проекцш асимптотическихъ лиши на плоскость горлового
круга (Kehlkreis), въ полярныхъ координатахъ, изображаются уравнешемъ,
получаемымъ путемъ замены г черезъ + а F — 0о) въ уравнен1и мерид1ана
Всъ эти кривыя получаются вращен1емъ спирали
около полюса. Сл-Ьдовательно, достаточно знать одну асимптотическую лишю,
чтобы знать вс-Ь. Уравнен!я
х = -^-(ee + e~6)cos9, у = -^-(«е + p~e)sin8, г; = я9,
изображаютъ одну изъ асимптотическихъ лин1й, и мы ее уже изслЪдовали въ
§ 657. Свойство этой кривой, состоящее въ томъ, что оно встрЪчаетъ па-
параллели катеноида подъ угломъ въ 45°, становится теперь очевиднымъ
Действительно, такъ какъ катеноидъ минимальная поверхность (§ 690, а),
то его асимптотичесмя линш должны встречать его лин1и кривизны, т. е.
мершцаны и параллели подъ угломъ въ 45°. Другое свойаво нашей кривой,
относящееся къ ея рад1усу кручешя, есть непосредственное сл-Ьдсгае тео-
теоремы Эннепера. Въ самомъ д^ле, если обозначимъ черезъ п отр"Ьзокъ нор-
нормали къ поверхности между точкою на поверхности и пересЪчешемъ нормали
съ осью вращешя, то главные рад!усы кривизны будутъ qx — и, <э3 = —я.
Формула, данная въ конц* § 703, тотчасъ и дастъ » = ±п.
d) СлЪдуетъ заметить еще асимптотическ1я линш псевдосферы
(§ 693, а). Обозначимъ черезъ у> уголъ между касательного и осью вра-
щешя, такъ что будемъ имъть R = asiny>, f (R) = — cotg y>, а потому
f'(R) = r-5 Формула D0) дастъ + db = -r-^- » откуда
' я cos v sm2 v "' sin?/) J
± (8 - 80) = log tg ^-
и, следовательно,
л 2а
Это уравнеше изображаетъ безчисленное множество положешй, принимаемыхъ
спиралью Пуансо (Poinsot) R = 2 а/(в" + е~®) при вращен1и около полюса.
И зд"Ьсь, для изучешя всЬхъ асимптотическихъ лиши псевдосферы достаточно

§ 707 опРЕД-ьлЕнга и свойства зам-ьч. крив, на поверхности. 233
изслЪдовать одну изъ нихъ. Разсмотримъ ту, которая соотвЪтствуетъ урав-
нешю — S = log tg ~- ¦ и замътимъ, что
ds dx cos2w a
-г— = a -i-_ cos \\) = — a ——- = ; \- a sin ip.
dtp dR sin»;; sin \p
Отсюда, z = — a /log tg -—¦ + cos у>\. Асимптотическая лишя, которую мы
желаемъ разсмотр-Ьть, изобразится уравнешемъ
2 a cos 6 2 я sin О
Поступая такъ, какъ въ § 657, легко найдемъ s = a8. Итакъ, всякая (не
слишкомъ большая) дуга асимптотической линш равна дуг-fe, отсекаемой
мерид1анами въ крайнихъ точкахъ на наибольшей параллели. Обозначимъ
теперь черезъ /, m, n направляющее косинусы оси вращешя относительно
фундаментальнаго тр1эдра кривой. Дифференцируя г, получимъ
dz sin w ds „
/ = — = '- -=— COS2 p.
ds a d yj
Съ другой стороны (§ 638), имЪемъ
dl n dm n
ds q ' ds ъ
а значешя т и * намъ уже известны. Д-Ьйствительно, гп = — sin ц> есть
косинусъ угла, образуемаго бинормалью (нормалью къ поверхности) съ
осью з-овъ. Кромъ1 того, изъ теоремы Эннепера имъемъ тотчасъ ъ= ± п.
Положимъ ъ = а (вл'бво завитая асимптотическая лин1я) и зам%тимъ, что
изъ второй формулы D2) вытекаетъ
d tn d m
п =а —.— = —=— = cos w sm y>.
ds db
Отсюда, подставляя въ первую формулу D2), находимъ
Зам^тимъ, что въ точкЪ касан1я асимптотической лиши съ наибольшею па-
параллелью рад1усъ кривизны равенъ \а, между гЬмъ, какъ по теорем^
Бельтрами, онъ долженъ былъ бы быть равнымъ fa. Это несоглаае объяс-
объясняется тЬмъ, что вышеупомянутая параллель (общее мъхто точекъ возврата
мерид1ана) есть особенная лишя поверхности *).
*) Для бол-fee подробнаго изучешя теорш поверхностей можно указать
на русскомъ язый переводъ Дифференц1альнаго исчислен1я Ж. Берт-
Бертрана, книга III, а на нъ'мецкомъ переводъ сочинешя Bianchi. Differential.
Geometrie. 1911 годъ.

КНИГИ СЕДЬМНЯ

КНИГД СЕДЬМДЯ.
Интегральное Исчислен!е.
интегрирование.
Основныя понятая.
708. Всякая функщя, дифференщалъ которой равенъ f(x) dx,
называется интеграломъ отъ f(x)dx и обозначается символомъ
lf{x)dx. Иными словами, когда пишутъ I f(x)dx = F(x), то этимъ
утверждаютъ, что dF{x)=f{x)dx. Такъ какъ изъ этихъ двухъ
равенствъ, исключая тотъ или другой изъ символовъ f или F,
получаемъ
Дх) dx = d Сдх) dx, I dF{x)=F (x),
то видимъ, что знаки d и I взаимно уничтожаются. Поэтому,
называя интегрировашемъ операщю, изображаемую знакомь /
и дающую F по данному J, можемъ сказать, что интегрирован1е
есть операшя, обратная дифференцированш. Намъ уже
известно (§ 307, Ь), что если F(x) есть некоторая функщя, имеющая
дифференщалъ, равный f(x)dx,то вс-fe друпя функщи, им-Ьюцця тотъ
же дифференщалъ изобразятся формулою F{x)-{-C, rat С произ-
произвольная постоянная. Если же составимъ разность значешй, при-
нимаемыхъ на границахъ нЪкотораго интервала (я, Ь) интеграломъ
f/(x)dx, соотв%тствующимъ какому угодно данному значешю С,
то получимъ вполн-fe определенное число, потому что при соста-
влен1и этой разности С сокращается. Эту разность (въ которой
уменьшаемое соотвътствуетъ верхней границ^ Ь, а вычитаемое ниж-
ь
ней а) обозначаютъ символомъ jf(x)dx и называютъ опред-Ь-

238 VII, 1. интегрированш. §§708-708а
леннымъ интеграломъ (взятымъ въ предЪлахъ а и Ь), въ
отлич1е отъ неопредЪленнаго интеграла f f(x) dx. Итакъ, им-Ьемъ
ь
f(x) dx = F(x) + С, (f(x) dx - F(b) - F(a).
a
Эти опредЪлешя, однако, неудовлетворительны, потому что ничего
не говорятъ ни о существовали интеграла, ни о способахъ его
вычислешя. Ихъ можно разсматривать лишь, какъ объяснешя симво-
ловъ, а потому мы постараемся преобразовать ихъ въ друпя, слу-
жащдя опредъ71ешемъ самой операщи, изображаемой этими символами.
708а. Чтобы избежать въ дальнъ'йшихъ разсуждешяхъ различ-
ныхъ отступлений, сдЪлаемъ сперва нЪкоторыя замЪчашя о такъ
называемомъ разложенш интервала {а, Ь) на безконечно боль-
большое число безконечно малыхъ частей, съ которыми намъ
придется имъть дЪло. Положимъ, для определенности, что а < Ъ,
и разложимъ интервалъ (а, Ь) на частные интервалы
A) (я, хх), (х1, х2\ (х2, xs), .... (хп_х, Ь)
гд% числа хх, х2 хп~\ подчинены единственному условт
Числа hx = xx — a, h2 = x2 — xiy ..., hn=b — л:я_ь положительныя
при сд%ланномъ условш, называются длинами интерваловъ A). Сумма
ихъ, каково бы ни было число и, всегда равна Ъ—а, т. е. длинЪ
даннаго интервала (а, Ь). Мы будемъ говорить, что намъ дано
разложеше
(I) (я, х1г х2, . . . , хп1, Ь) И1И (h1, к2, . . . , hn)
интервала (а, Ь) на частные интервалы At, h2, . . . , hn. Зам%няя
рядъ чиселъ х,, хг, . ¦ ., x,,-i какимъ нибудь другимъ рядомъ чиселъ
х{, хг\ . . ., x'n'—i, также расположенныхъ по порядку ихъ вели-
чинъ, получимъ другое разложеше того же интервала (а, Ь)
(II) (я, хх', х2 , . . . , х\г,_1, Ь) или lix, h'2, . . . , h'u,
на частные интервалы h/, h2'', . . ., h,,'', гдЪ hi' = х[ — Xi—\.' при
/ = 1, 2, . . . , п' (Xq = а, х'п = Ь). Продолжая такимъ образомъ, мы
получимъ нЪкоторую^ последовательность
A), (И). (Ш), . . .
разложенШ интервала (а, Ь). Мы будемъ разсматривать лишь
таюя последовательности разложенШ, въ которыхъ длины всЬхъ
частныхъ интерваловъ, или, какъ будемъ говорить для сокращешя
рЪчи, всЬ частные интервалы безпредЪльно убываютъ, т. е. стре-

§§ 708a—709 основныя понятш. 239
мятся къ нулю, при чемъ, очевидно, число ихъ должно возрастать
безпредЪльно, потому что сумма ихъ всегда остается равною Ъ—а.
Переходъ отъ одного разложемя такой последовательности къ дру-
другому, отъ него къ третьему и т. д. и называютъ разложемемъ
интервала {а, Ь) на безконечно большое число безконечно
малыхъ частей. Ясно, что существуетъ безчисленное множество
различныхъ последовательностей, удовлетворяющихъ поставленному
условш; это и выражаютъ, когда говорятъ, что интервалъ {а, Ь)
можно разложить на безконечно большое число безконечно малыхъ
частей безчисленнымъ множествомъ способовъ. Разсматривая числа
а и Ь, какъ абсциссы начала и конца нЪкотораго прямолинейнаго
отрезка А В, мы видимъ, что хи х2, . . . , хп—\ будутъ абсци-
сами точекъ, лежащихъ между А и В. Каждому разложешю интер-
интервала (а, Ъ) на частные интервалы соответствуем раздаете отрезка
АВ на частные отрезки. Числа л,, х2, . . . , x,^i мы будемъ назы-
называть, для краткости, точками делешя интервала или отрезка.
Разсматривая два последовательныхъ разложемя, мы будемъ гово-
говорить, что второе разложеме есть продолжен1е перваго, если все
точки делемя перваго разложемя входятъ въ составъ второго, иными
словами, если второе разложеме получается черезъ подразделен1е
интерваловъ (отрезковъ) перваго на более мелюя части. Когда
даны как1я нибудь два разложен1я
(а, хх', х./, . . . , *¦'„,_!, Ь) и (я, х{', х2", . . ¦ , х"п„_!, Ь),
то изъ нихъ всегда можно составить такое третье
(Я, Х\, Х2, . . . , *¦„__!, Ь),
которое будетъ продолжен1емъ какъ перваго, такъ и второго, под-
разделивъ интервалы (отрезки) перваго точками делешя второго,
или интервалы второго точками делешя перваго, при чемъ, оче-
очевидно, получается одно и то же разложеше. Числа
Х1> Х2 *„- 1
будутъ не. что иное, какъ числа
•*! , 2 i ¦ • • ' л и'—I ' Л1 ' Л2 ' • • • I л п"—\ '
расположенныя по порядку ихъ величинъ, при чемъ, конечно, если
Xi=Xk", то эти два числа дадутъ только одно число хе. Ясно, что
всяюй интервалъ перваго разложемя /г/ равенъ либо одному изъ
интерваловъ he, либо сумме несколькихъ интерваловъ третьяго
разложешя, и то же самое можно сказать и о каждомъ интервале
второго разложешя.
709. Перейдемъ теперь къ выяснешю понят1я объ определен-
номъ интеграле jf{x)dx, который, по определенда, данному въ

240 VII, 1. интегрированш. § 709
§ 708, есть разность F(b) — F{a), если F'(x) =/(х). Возьмемъ
какое нибудь разложеше интервала (а, Ь) на п частныхъ интерва-
ловъ hx, /г2, . . . , hn, гд* 1ц—%i — Xi—i, z' = 1, 2 п, хо = а,
хп = Ь, прим*нимъ къ каждому изъ нихъ теорему Лагранжа (§ 306).
Обозначая черезъ а, некоторое определенное число, лежащее
въ интервал* C*Vi, X/), получимъ (принимая во внимаше, что
F'{x)=f{x))
складывая эти равенства и полагая
п
а = *i/(cij) + АаДоа) f ¦ ¦ • + KJ\aH) = ? к,Да,),
1
получимъ
F{b) — F{a) = о.
Формула эта еще не даетъ, сама по себъ, способа для вычислешя
разности F(b) — F(a), потому что числа а{ намъ неизвъстны. Но съ
ея помощью, мы получимъ весьма важный результатъ. Сравнимъ
сумму о съ другою суммою
п
г = *i/(ft) + hf( \) + ¦ ¦ ¦ + К/Ю =2JhiM)>
1
гд-fe fit обозначаетъ любое число въ интервал* (#f_i, xi), и можетъ
быть выбираемо нами по произволу. Предположимъ теперь, что
функщя f(x) непрерывна въ интервал* (а, Ь). На основанш теоремы
Кантора (§ 279) изв*стно, что всякому, сколько угодно малому,
положительному числу е соотв*тствуетъ другое положительное
число ij, такое, что когда в с* A,, h2, ... , hn будутъ меньше г), то
1/(/?,)— /(а<) I будетъ меньше е для 2 = 1, 2, . . . , п. Поэтому
\\ ^ |,) -Да,) j < е ¦ 2Jht = {b-a)e.
i i
Зам*чая, что число е (Ь — а) можно сд*лать меньшимъ любого по-
ложительнаго числа е', взявъ е<т > приходимъ къ сл*дующему
заключен1ю: Посл*довательность значен1й суммы v
соотв*тствующихъ любой посл*довательности разложен1й
интервала (а, Ь) на частные интервалы, стремяшдеся одно-
одновременно къ нулю, стремится къ пред*лу, равному о, т. е.
опред*ленному интегралу
h
f<
f{x)dx.

§§ 709-710 основный понятш. 241
Этотъ результатъ можно формулировать бол-fee кратко, не опасаясь
недоразумъшя, послЪ всего сказаннаго выше, а именно такъ: сумма
и Ь
стремится къ пределу, равному ff(x)dx,
1 и
когда вс-fe интервалы hi стремятся къ нулю, и записать этотъ
результатъ въ сл-Ьдующемъ вид-Ь
п
llm Yh.Jif}^ (f(x)dx.
*'=°
f}^ (f(x)
Bet наши разеуждешя основаны были на томъ: 1) что существуетъ
первообразная функщя F(x) отъ f(x) и 2) что /(х) непрерывна
въ интервал*. Теперь мы отръшимся отъ этихъ предположен^ и
ограничимъ функшю f(x) только услов1емъ конечности ея въ интер-
вал-fe {а, Ь).
7tO. Опред1>лен1е интеграла. Руководствуясь вышеизложен-
вышеизложенными соображешями, мы можемъ теперь установить нижеследующее
опредълен1е интеграла: „Разложимъ интервалъ (а, Ь) какимъ угодно
способомъ на частные интервалы hx, h%, ..., hn, стремяищеся
одновременно къ нулю, при чемъ число ихъ безпредЪльно возра-
стаетъ; обозначимъ черезъ f\, /2, ...,/„ как!я угодно числа,
лежащ1я между нижнею и верхнею границами функцш f(x) въ со-
отвЪтствующихъ интервалахъ (или совпадающ1'я съ этими границами),
и составимъ сумму
Если эта сумма всегда стремится къ одному и тому же пределу,
то этотъ пред-Ьлъ называютъ опредЪленнымъ интеграломъ отъ
в
f{x)dx, взятымъ отъ а до Ь, и обозначаютъ знакомъ I f(x) dx".
а
Число а называютъ нижнимъ, а Ъ верхнимь предЪломъ интеграла.
Разсматривая зат^мъ верхн1й предЪлъ Ь, какъ число перем-Ьнное, и
обозначая его буквою х, получимъ опредЪлеше неопред'Ьленнаго
интеграла F\x) *). Какъ въ tomi, такъ и въ другомъ случай
f(x) dx называютъ элементомъ интеграла и говорятъ, что инте-
гралъ есть сумма безконечно большого числа безконечно малыхъ
элементовъ.
[ ПриигЬчаше. Точный смыслъ установленнаго зд-Ьсь опред-fe-
ь
лен1я jf{x)dx, какъ видно изъ разъяснешй, сд-Ьланныхъ въ
*) Такая терминолопя не всЬми принята; неопред"Ьленнымъ интегра-
интеграломъ отъ f(x) dx называютъ обыкновенно общее выражеше F{x)-\-C всЬхъ
функшй, дифференщалъ которыхъ есть f{x) dx.

242 VII, 1. интегрирование §§ 710-711
§§ 708а и 709, состоитъ въ слЪдующемъ: Если все последова-
последовательности
{%) Tj, Г2, Г3, . . .
значетй суммы V, соотвЪтствуюцця всевозможнымъ последова-
тельностямъ разложенШ интервала (а, Ь), для которыхъ все h;
стремятся къ нулю, им^ютъ одинъ и тотъ же предЪлъ, неза-
независимо отъ выбора чиселъ _Д- въ указанныхъ границахъ, то этотъ
ь
предЪлъ и будетъ, по определению, J/(x) dx. Если существуетъ
а
упомянутый предЪлъ, то говорятъ, что функщя /(х) интегрируема
въ интервал^ (а, Ъ). При выводе условШ интегрируемости (§ 714)
и нужно иметь въ виду вышеприведенное толковаше определешя
интеграла. ]
711. Прежде чемъ перейдемъ къ выводу условий интегри-
интегрируемости функцш f(x), заметимъ теперь же некоторыя свойства
интеграла, вытекаюиия непосредственно изъ его определешя, а именно:
* ь
I hf(x)dx = k I f(x) dx при к постоянномъ,
ff Я
* ъ ь
I (и + v 4- ¦ • -)dx = I udx + I vdx + • • •;
a a a
последнее равенство, очевидно, справедливо при любомъ, но конеч-
номъ, числе функщй и, v, .... Для доказательства стоитъ только
перейти къ пределамъ въ равенствахъ
предполагая, конечно, что интегралы отъ fdx, udx, vdx, ...
существуютъ. Далее, уместно будетъ избавиться отъ некоторыхъ
ограничен^, заключающихся въ установленномъ выше понятш объ
интеграле.
а) Чтобы избавиться отъ необходимости считать a<Cb, усло-
условимся полагать
A)
и и
/-/¦
Это услов1е вполне естественно, потому что, если считать интер-
валъ Ь—а числомъ отрицательнымъ, то и все интервалы hx, h%, ..., hn
надо считать отрицательными, между темъ какъ числа /х,/2, . ¦ ¦,/п
остаются безъ изменешя. Иными словами, каждый элементъ f(x) dx

§ 711 основный понятш. 243
имЪетъ знакъ, одинаковый съ /(х), или противоположный, смотря
по тому, будетъ ли dx положительнымъ или отрицательнымъ при
изм-вненш х отъ нижняго предЪла а до верхняго Ъ. Теперь легко
показать, что всегда будемъ имъть
Ъ с Ь
f-Ы-
а а с
Это свойство, очевидно, когда с лежитъ между а и b *); въ про-
тивномъ же случай, если, наприм-Ьръ, я<й<с, тотчасъ найдемъ,
пользуясь равенствомъ A),
Ъ
Ь) Опред-влеше f/(x) dx требуетъ, чтобы f(x) оставалась
а
конечною въ интервал-fe {а, Ь). Но это ограничеше отпадаетъ въ
случа-в, если f(x) = оо при х = с, съ помощью соглашения
Ь с—с Ь
/= lirn / + Hm / •
a a c-\-t]
с) Часто приходится также разсматривать интегралы, распро
страненные на безконечные интервалы; но ихъ надо разсма-
разсматривать, какъ пределы другихъ, распространенныхъ на конечные
интервалы. А именно, въ видь1 определений полагаютъ
i = ljm / > / = lim
•J !>—+rji,J J r —¦
a a ix
ТОГО,
*-/ +
— оо — оо а
Легко убедиться, что вышеизложенныя свойства интеграловъ при
конечномъ интервал^ распространяются и на случай безконечнаго
интервала.
*) Въ самомъ д-влЪ, если ингегралъ существуетъ, то мы мо-
жемъ выбирать точки д-Ьлешя интервала (я, Ь) по нашему произволу, а
поэтому можемъ сперва разложить его на два интервала (а, с) и (с, о) и
загёмъ разлагать дал!е каждый изъ нихъ.

244 VII, 1. интегрированш. §§711-712
d) На основанщ предыдущихъ опредЪлешй, нельзя, вообще
говоря, разсматривать интегралъ, распространенный на безконечный
интервалъ, какъ предЪлъ, къ которому стремится сумма безконеч-
наго ряда
Kh + h>ih + h/ъ +¦¦¦'
когда все hi стремятся къ нулю. Но мы укажемъ здъхь же одинъ
весьма общШ случай, когда такое разсмотрЪше законно. Положимъ,
что интервалъ (а, оо) разбить на безконечное число частныхъ
интерваловъ hi} hit h3, . . . , стремящихся одновременно къ нулю,
и для каждаго интервала hi выбрано значете fi, лежащее между
нижнею и верхнею границами функцш f(x) въ этомь интервал^.
Положимъ, что рядъ
К
сходящ1йся и сумма его стремится къ определенному пределу,
когда все hi стремятся къ нулю; обозначимъ этотъ предЪлъ че-
резъ д(а), такъ что
о (а) = lim { hx)\ + k2f2 + Л3/3 +¦••}.
Если q(x), составленная по тому же закону, стремится къ нулю
при возрастанш х до оо, то можно утверждать, что
f(x) dx = о (я).
Действительно, полагая hx = xi — a, h2—х% — :v,, • . • , hi = x — Xi->i
и т. д., мы можемъ написать, что
{) (д) = lim {(.Vj — р)/г + (x-2 — x^/2 + • ¦ ¦ + (# — xil)fl)
x
т. e. g (a) = / f{x) dx + q (x).
a
Увеличивая х до jo , и замечая, что Нгпр(.г') = 0 по услов1ю, нахо-
димъ ж==°
ст.
= ff
ff(x)dx.
а
(см. прим-Бръ е) въ § 721).
712. Изъ безчисленнаго множества способовъ разложен!'я>
интервала (а, Ь) на безконечно малые интервалы Л,, h2, 1ц, . . .>
самымъ простымъ, безъ сомн-Ьн1я, будетъ разложеше на равныя
между собою части; въ такомъ случай будемъ им-%ть
*и = А СЛ +Л

§§ 712—713 основныя понятш. 245
и, следовательно, такъ какъ Игл /г4 = lim = О,
4
x)dx.
На этомъ основанш правую часть равенства называютъ среднимъ
значен1емъ функщи f{x) въ интервал* {а, Ь). Такъ какъ вс*
числа fi лежатъ между нижнею границею Я и верхнею границею /л
функцш f{x) въ интервале (а, Ь), то въ гЬхъ же границахъ ле-
житъ среднее ариеметическое этихъ чиселъ, а потому и среднее
значен ie f{x) въ интервал^ (а, Ь) лежитъ между Аи/*. Разсмот-
римъ теперь функщю
дадимъ верхнему пределу х приращеше h и, припоминая свой-
свойство B), получимъ
F(x + h) - F(x) = Jf{x) dx = hfo>
гд% f0 есть среднее значеше f{x) въ {х, x-\-h), остающееся ко-
нечнымъ при приближены h къ нулю. Отсюда видимъ, что
lim F(x + h) = F(x),
т. е. функщя F(x) непрерывна.
713. Если интегрируемая функщя У(дг) непрерывна, то можно
сказать еше больше, потому что тогда Я и /л будутъ частными
значешями функщи /(х) въ интервал* (я, Ь) (§ 278), и функщя f(x)
при переход* отъ одного къ другому, по крайней м*р-Ь, одинъ
разъ сделается равною своему среднему значетю въ (а, Ь) (§ 276).
Поэтому, для н-Ькотораго, надлежащимъ образомъ выбраннаго,
числа | между а и Ъ, будемъ имъть
C)
Теперь легко понять, что данное въ § 710 определите интеграла
совпадаетъ съ первоначально высказаннымъ въ § 708, а именно, что
производная отъ F(x) есть /(х). Действительно, применяя фор-
формулу C) къ интервалу (х, x-\-h), получимъ F(x-{-h) — F(x) = /г/(|),

246 VII, 1. ИНТЕГРИР0ВАН1Е. §§ 713-714
гдЪ | лежитъ между х и х + h, а поэтому стремится къ пределу х,
когда h стремится къ нулю. Отсюда вытекаетъ
Изъ вышеизложеннаго ясно, что формула C) есть не что иное,
какъ формула Лагранжа, примененная къ определенному интегралу.
Только въ томъ случае, когда f(x) разрывна, прежнее и новое
опредЪлеше интеграла могутъ быть не равносильными, и действи-
действительно, можно доказать *), что существуютъ случаи, когда f{x)
имЪетъ первообразную функщю, а интеграла отъ f{x)dx, какъ
предала суммы, не существуетъ, т. е. функщя не интегрируема въ
смысле § 710. И наоборотъ, легко построить функщю, имеющую
интегралъ по новому определению, и не имеющую первообразной
функщи (для этого достаточно, напримеръ, изменить значешя не-
непрерывной функщи въ конечномъ числе точекъ). Во всякомъ случае,
изъ § 709 ясно, что если существуютъ интегралы, согласно обоимъ
определешямъ, то они совпадаютъ, такъ что определешя не про-
противоречивы.
Интегрируемость.
714. Услов1е интегрируемости функщи дается следующею
теоремою:
ь
Теорема. Для существован1я jf(x)dx необходимо и
а
достаточно, чтобы существовала такая последовательность
разложешй интервала {а, Ь) на безконечно малые интер-
интервалы А,, кг, . . ., hn, для которой сумма
где €>i обозначаетъ колебан1е*) функц1и /(х) въ интер-
интервале ht, стремится къ нулю, когда все hi стремятся къ нулю,
а число ихъ возрастаетъ безпредельно.
Доказательство, а) Если интегралъ существуетъ, то это
п
значитъ, что сумма % = у1 hifi стремится къ одному и тому же
1
пределу, независимо отъ выбора чиселъ /, въ соответствую шихт*
!) Volterra (Qiornale di Mathematiche, 1881, стр. 334).
*) Напомнимъ, что колебашемъ функши въ нъкоторомъ интервал*
называется разность между верхнею и нижнею границами функщи въ этомъ
интервал^. Число b можно считать большимъ я, т. е. всъ ht > 0.

§ 714 интегрируемость. 247
интервалахъ. Полагая одинъ разъ Л равными верхнимъ, а другой
разъ нижнимъ границамъ функщи f въ соотв-Ьтствующихъ интерва-
интервалахъ, и вычитая второе изъ полученныхъ выражежй т изъ перваго,
получимъ (переходя къ предтэламъ) limw = 0, какова бы ни была
последовательность разложешй интервала (а, Ь) на безконечно малые
элементы. Следовательно, услов1е, высказанное въ теореме, необхо-
необходимо. Достаточность его будетъ вытекать изъ слЪдующихъ трехъ
вспомогательныхъ теоремъ.
Ь) Если Ига со = О для любой последовательности разложешй
(а, Ь) на безконечно малые элементы (а не для одной только, какъ
того требуетъ теорема), то суммы
соотвътствуюция двумъ различнымъ последовательностямъ разло-
женШ интервала (а, Ь), не могутъ стремиться къ различнымъ
предтэламъ. Действительно, возьмемъ какое нибудь разложеше
(/г/, /г/, . . . , h'n>) изъ первой последовательности и какое нибудь
разложеше (/г/1, k2", . . . , hn«") изъ второй, и составимъ изъ нихъ
третье (A,, h%, . . . , hn), указаннымъ въ § 708а 'путемъ, такъ что
третье разложеше будетъ продолжешемъ какъ перваго, такъ и
второго. Всяюй интервалъ h\ будетъ состоять изъ одного или не-
сколькихъ интерваловъ hi', то же самое можно сказать о каждомъ
интервале ht". Положимъ, напримеръ, что ht' =hrJr\Jrhr-\-2-\- ¦ ¦ ¦ -\-hs.
Выберемъ для каждаго новаго интервала hi любое значеше ft
между нижнею и верхнею границею функщи f(x) въ этомъ интер-
интервале. Мы можемъ тогда написать выражеше h/f,' въ виде
'hfl = K+lfr+l + К+2/г+2 + ¦¦¦+ К /,
Вторая часть этой суммы (написанная во второй строке) не пре-
взойдетъ произведешя <Э/ на hr+i + hr+-z -\- ¦ ¦ ¦ + hs, т. е. числа
h(Q[. Складывая все ташя равенства, соответствуюшдя значешямъ
/ = 1, 2, . . . , п'', обозначая Y* hif, черезъ х, и замечая, что все
сказанное выше применимо и къ интерваламъ hi", получимъ
Т'= % 4- ?)', т"= % + Q",
где
а со' и со" значежя со для первой и второй последовательности.
Отсюда следуетъ, что
%'— т,"= о' - д", г>— %" g о)' + «".

248 VII, 1. ИНТЕГРИР0ВАН1Е. § 714
По условда at' и at" стремятся къ нулю, когда все h{ и h" стре-
стремятся къ нулю, поэтому тогда и \ х' — х" | стремится к ь нулю, а
потому х1 не можетъ стремиться къ какому нибудь пределу, если
%" не стремится къ тому же пределу.
с) Разсмотримъ теперь какую нибудь определенную последо-
последовательность разложемй и соответствующая ей последовательности
значешй т
(t) h, т2, . . . , тв>, . . .
и значенШ ы
(и) • аи а>2, . . . , «„,, ....
Мы докажемъ, что, если последовательность (со) имеетъ пределомъ
нуль, т. е. lim а>,„ = 0, то последовательность (х) имеетъ опреде-
WJ Г^ СО
ленный и конечный пределъ. Для этого намъ достаточно (§ 139)
показать, что, каково бы ни было напередъ заданное положительное
число е, существуетъ такое число k, что
если tmi и тт" — любые два члена последовательности (т), для
которыхъ указатели щ' и пг" оба больше k. Предполагая, что е
дано, мы возьмемъ такое число k, чтобы для всякаго m > k
выполнялось неравенство
это сделать можно въ виду допущешя, что lim at,,, = 0. Возьмемъ
m rz: cc
теперь два произвольныхъ цъпыхъ числа m и пг", большихъ k.
Ясно, что къ суммамъ хт< и тт" можно применить все сказанное
въ пункте Ь) о суммахъ v и х", такъ что мы получаемъ
ыт, + ыт„ < е \т', т"> k\,
что и надо было доказать.
d) Для доказательства основной теоремы этого параграфа
остается еще доказать, что, если со стремится къ нулю при
какой нибудь одной последовательности разложеюй интер-
интервала (а, Ь) на безконечно малыя части, то оно будетъ
стремиться къ нулю и при всякой другой последователь-
последовательности. -Положимъ, что дана некоторая последовательность разло-
жешй, для которой lim со = 0, и пусть h[, И<>_, ..., h'n>, система
интерваловъ въ одномъ изъ разложешй этой последовательности.
Каково бы ни было число е>0, можно считать, что со', т. е. зна-
чеше со, соответствующее этой системе, уже меньше е. Далее,
относительно интерваловъ h'i, Ii'i, . . . , h'n" какого нибудь разло-

§§ 714 715 интегрируемость. 249
жешя, принадлежащаго другой последовательности, можно предпо-
предположить, что все h'i' уже меньше -—-, где г\—другое, сколь угодно
малое, положительное число, потому что lim h',' также равенъ
нулю. Заметивъ это, разсмотримъ опять, какъ въ пункте Ь), разло-
жен1е съ интервалами /?,, 1г2, • • • , hn, составляющее продолжеше
какъ перваго, такъ и второго разложетя. Подобно тому, что было
получено въ пункте Ь), здесь будемъ иметь
h\ в', = К+х (9,+1 + Аг+, @г+а + К+з <9,-+з + • • • + К &.
+ Л,.+1 (<Э; - <Э,.+]) + hr+2 (в- - <Эг4_2) + Ь /zB (в] - в,)
или, замечая, что в,-+ь &г+2> ¦ ¦ ¦ > ®х не превосходятъ €)[, находимъ
/«I «?>; Э: Лг+1 (9Г+, + Лг+3 0,+2 +•¦• + /*, (9„. ,
а суммируя по значку г, получимъ, что co'l> о. Разсмотримъ, съ
другой стороны, число со", соответствующее разложешю на интер-
интервалы h'i, h'2, ..., h'n"- Въ выражен1е этого со" входятъ вс-fe Tt члены
суммы со (соответствующей разложен1ю на А,, /г2, . . . , hn), которые
относятся къ такимъ интерваламъ /?•', внутри которыхъ нътъ точекъ
дълен1я перваго разложешя на h\, h'2, ¦ • • , /v (потому что TaKie
интервалы h" будутъ въ то же время интервалами /г,); кроме этихъ
членовъ, въ со" вхояятъ и друпе, число которыхъ наверно меньше п,
потому что они относятся къ темъ изъ интерваловъ h[', внутри
которыхъ находится, по крайней мере, одна изъ точекъ перваго
разложетя, а число всехъ такихъ точекъ равно w'—1. Замечая,
что каждый изъ этихъ последнихъ членовъ меньше, чемъ произве-
произведете -~ на колебате функши, наверно не превышающее полнаго
колебашя <9 въ целомь интервале (а, д), мы видимъ, что сумма
всехъ этихъ членовъ меньше r\ Q. Следовательно,
<i)"< (о + t]€), а такъ какъ <ц'а oj, то ы'< ro'-f- t)Q < с + -()?).
При дальнейшемъ уменьшен!и интерваловъ h'l последнее неравенство
сохраняетъ свою силу, и го" остается меньше числа е-\-г]0, которое
можно сделать сколь угодно малымъ, распоряжаясь числами е и г\.
Иначе говоря, limw"—0, и теорема доказана.
715. Изъ доказаннаго критер1ума интегрируемости мы выве-
демъ некоторыя полезныя следств1я.
а) Если существуетъ интегралъ отъ fix) dx, то существуетъ
и интегралъ отъ \f{x)\dx. Въ самомъ деле, если функщ'я f(x)
не меняетъ знака въ интервале, то колебаше &[ функши \f(x) \,
очевидно, равно колебанш <94 функц1и f(x) въ томъ же интервале,
а если f(x) меняетъ знакъ, то €)[ < в{. Отсюда всегда <9- ^ (9,,

250 VII, 1. интегрированш. § 715
следовательно, (o'^oi, и если lim со = 0, то и lim co'= 0. Зам%-
тимъ, кроме того, что вслрЬдств1е неравенства
въ пределе получаемъ
Jf(x)dx J ^
Jf
b) Сумма двухъ и вообще конечнаго числа интегри-
руемыхъ функшй интегрируема. Эта теорема, которую мы
выше указали (§ 711), какъ непосредственное огЬдств1е опредЪлешя
интеграла, можетъ быть также выведена изъ услов1я интегрируемости.
Нужно только заметить, что колебаше суммы несколькихъ функщй
въ данномъ интервале не больше суммы колебашй слагаемыхъ въ
томъ же интервалt. Действительно, если Я' и /л'— границы функщй и,
Я" и fi,"—границы функщй v, то Х'-\- Я"^ и -\- v ^fi'-\- fi". Следо-
Следовательно, нижняя граница Я функщй и -\- v не меньше Я'+ Я",
а верхняя /х не больше /t'+ /л,", такъ что колебаше <Э функши (ti-\-v)
удовлетворяетъ неравенству <9 =|М, —Я^в'+б". FIpHMtsHflfl это не-
неравенство къ каждому интервалу hi и складывая, получимъ со^коо'-\- со",
откуда lim со = 0, если lim to' = lim со" = 0.
c) Произведете двухъ или нтэсколькихъ интегриру-
емыхъ функц1й (при конечномъ числЪ сомножителей) интегри-
интегрируемо. Въ самомъ деле *), обозначая черезъ с число, не меньшее,
чЪмъ наибольшее изъ чиселъ 0, —X, —Я", им-Ьемъ
(/.'+ с) (/."+ с) й (и + с) (v + с) й (,н'+ с) (д"+ с),
откуда,
А'А"- С(в'+ в") < UV ?? .«'/*"+ C{Q'+ в"\
а потому
в & |tt'«v- //Я"+ 2 с (<?>'+ в'О = ц'в"+ Я"(9'+ 2 с (<9'+ в"),
и наконецъ, в < k(@'-\- &"), гд-Ь ^ обозначаетъ число, большее
/л'-\-2с и Я"-(-2с. Это заключеше распространяется на всяк1й
интервалъ hi, при чемъ значения с и k остаются неизменными,
такъ какъ X'^Xh X"^X"; /и'1> щ, fi"^fi'i'. Отсюда выводится
<9(< k(O't 4- <9Г), дал-fee, w < &(<"'>'+ w"), и потому lim и = 0, если
lim (о'= 0 и lim w"= 0.
*) Читатель пойметъ, безъ дальнъйшихъ объяснен*й, смыслъ ввоаимыхъ
зд-fecb и дальше обозначешй.

§ 715 интегрируемость. 251
d) Если f{x) интегрируема, то и -п-~ интегрируема,
при условш, что т—ч остается конечною въ разсматрива-
емомъ интервале. Если, наприм%ръ, f(x) остается постоянно
большею, чЪмъ данное положительное число, то ея нижняя граница
Я > 0, и границы -^-^ будутъ Я' = —, и! = -,- . Отсюда следу-
J{X) ?1 А
етъ, что
л'- 1 -1 -А < е ¦
Я ,(l A /t /2
Итакъ, въ каждомъ интервал-fe /гг будемъ им%ть <9J ^ ->~ , поэтому и
to'^-% и, наконецъ, limw'=0, если limw = O.
e) Частное отъ д-Ьлен1я одной интегрируемой функд1и
на другую такую же есть интегрируемая функшя, при
условш, что она остается конечной въ интервалъ- интегрировашя.
Действительно, если функщи и и v, по предположен1Ю конечныя,
интегрируемы, то и--, то же конечная, по условш, интегрируема.
Следовательно и функщя —, какъ произведете и на -.инте-
-.интегрируема.
f) Укажемъ здъть еще одно непосредственное слъ-дсгае услов1я
интегрируемости, чтобы им-Ьть возможность вскорЪ на него сослаться,
а именно, что всякая конечная монотонная, т. е. изменяющаяся посто-
постоянно въ одномъ направленш функщя — интегрируема. При этомъ не
исключаются и функщи съ разрывами непрерывности (по необходи-
необходимости обыкновенными) въ пред-Ьлахъ интегрировашя. Для такихъ
функщи колебашя в,, в4, . . . , &„ равны абсолютнымъ величинамъ
разностей
которые все имеютъ одинъ и тотъ же знакъ. Сумма ихъ поэтому
равна полному колебашю' <9 функщи f(x) въ интервале (а, Ь),
т. е. абсолютной величине разности f{b) — f(a). Поэтому, если
хх, .г2, . . . , лгм—1 делятъ интервалъ (а, Ь) на равныя части, то
it
со = У7 hi0i = hQ, limw = 0.
l
Отсюда следуетъ также интегрируемость всякой конечной функщи
съ конечнымъ числомъ максимумовъ и минимумовъ въ интервале
интегрировашя; стоитъ только разбить интервалъ на тамя части, въ
которыхъ функщя монотонна, чтобы убедиться въ сказанномъ.

252 VII, 1. ИНТЕГРИР0ВАН1Е. § 716
716. Остановимся здЪсь на минуту, чтобы доказать двъ те-
теоремы, весьма полезный при изсл-Ьдованш опредЪленныхъ инте-
граловъ.
а) Понят1е о среднемъ значенш (§ 712) интегрируемой функ-
цш можно обобщить, снабжая интервалъ {а, Ь) въ каждой его
точк/fe х плотностью <р(х), которая по условш будетъ всегда
положительнымъ числомъ, или заменяя dx черезъ (р (х) dx, т. е.
считая, что величина каждаго частнаго интервала равна не hi, a hi(pi.
Такъ какъ X^fi^jjb, то будемъ имъть
потому что qp, > 0. Поэтому, предполагая, что д> (х) интегрируема,
откуда (§ 715, с) слЪдуетъ и интегрируемость f(x) (p (х), будемъ
имЪть
ъ ь ъ
?. I «г (л) dx < (f{x) q> (x) dx jS ц I q (x) dx,
ИЛИ
jf(x) q (x) dx =/0 j (f (x) dx,
f0 число, среднее между 2 и ц. Полученный результатъ извЪ-
стенъ подъ именемъ первой теоремы о среднемъ значенш.
Ь) Дал%е, положимъ, что f{x) монотонная, а (р (х) — какая
угодно интегрируемая функщя. Мы можемъ написать, что
2Jhi fi Ъ = (Л -Л)
1
+ (fn-x -Л) Vh<Ti +¦¦¦+ АЯ_1<Р„_1) +f» (*i<Pi + • ¦ ¦ + КТп)-
Такъ какъ разности у, — /!,, у,—уз> ••• вс^ одного знака, то
можно далъе написать
2Jh; A <Pi = х (/i -/»
1
к число, среднее между суммами
Замъчая (§ 715, f, с), что функшя f(x) <p (х) интегрируема, видимъ,
что, при безпредЪльномъ одновременномъ убыванш всЬхъ h-,,

§ 716
интегрируемость.
253
к должно стремиться къ некоторому пределу k, такъ что преды-
предыдущее равенство обращается въ следующее:
С
f{x)
x = k [/(я) -
+f{b)
ь
х) dx.
Число k, очевидно, имЪетъ значеше, лежащее между значешями,
принимаемыми интеграломъ / <р (х) dx при измЪненш х отъ а до Ь.
а
А такъ какъ этотъ интегралъ непрерывная функщя отъ х (§ 712),
то въ интервале (а, Ь) найдется такое число ?, что k= f(p(x)dx.
а
Съ другой стороны, въ силу свойства B) можно написать
д Ь
I (f (.r) dx = к + I <p (at) dx.
Следовательно,
х) <p(x) dx =
=f(a)C
4
Сq.
(f{x)dx+f(b) f<p(x)dx.
e. To обстоятельство, что число k содержится
между нижней границей / и верхней границей т значешй интеграла
X
J(p(x)dx, нуждается еще въ доказательстве. Если обозначимъ
а
черезъ Я;, /ль соответственно нижную и верхнюю границы значенШ
ср(х) въ интервале (.r; i, xi) съ длиною hi, то —при v= 1, 2, ... , п —
111
Въ силу же § 712
X.
hi'-r= I '((x)dx &At/itf,
•У
откуда, суммируя по значку i отъ 1 до v, получаемъ
V X V
(II) У h,)., g Пр (*) dx -^Укх !Н .
la I
Изъ соотношен1й (I) и (II) заключаемъ, что — при v=\,2, ...n

254 VII, 1. ИНТЕГРИРОВАШЕ. §§ 716 — 717
гд-fe с) =^ht&j. Отсюда
J ff (x) dx — о) ? J>j hlipi ? / ф(х) dx
l
l
и a fortiori
v
I — ы g У( /г, (pt S т +а Г)'=1, 2 я].
1
Эти же соотношетя должны быть справедливы и для средняго
значешя к:
I — a s; у. ? tn 4- м!
переходя къ пред-Ьлу и им%я въ виду, что lim со = 0, получаемъ
окончательно
Это вторая теорема о среднемъ значенм, данная Бонне.
ЗамЪтимъ, что если f(x) была бы разрывною на границахъ а и Ь,
то надо было бы вместо /(а) и f{b) писать соответственно
/(я + 0) и /F — 0), потому что посл%дн!я два числа и будутъ пре-
пределами /, и /„.
717. ПрилОжешя. а) Чтобы узнать, существуетъ ли интегралъ отъ.
f(x)dx, распространенный на интервалъ (я, Ь), когда f(x) обращается въ
безконечность въ некоторой точке с, лежащей между а и Ь, надо изслЪдо-
вать (§ 711, Ь), стремятся ли интегралы
ъ
ff(x)dx. If(x)dx
къ опредЬленнымъ предъявить съ приближен1емъ е и щ къ нулю. Для опре-
определенности разсмотримъ первый изъ этихъ интеграловъ *). Чтобы этотъ
интегралъ стремился къ определенному пределу, необходимо и достаточно
(§ 264), чтобы
с-11
j/(x)dx - Cf{x)dx = If{x)dx
e-,4
стремился къ нулю, когда а и j), одно независимо отъ другого, стремятся
къ нулю. Чтобы узнать, выполнено ли это услов1е, можно воспользоваться
первою теоремою о среднемъ значена!. Положимъ, напримеръ, что f(x)
обращается въ оо такимъ образомъ, что g{x) = (с — х)г/(х) стремится къ
конечному пределу igO, съ приближешемъ х къ с, т. е., какъ говорятъ,
что f(x) обращается въ °э порядка г при х = с. Тогда
с—а с—а с—а
/ f{x) dx = / (с - xY^ g(x) dx =g0 I (c - хГг dx -
*) Заключен1е, къ которому придемъ, не изменится и при разсмот-
ренш второго.

§ 717 интегрируемость. 255
потому что (с—х)~г слъва отъ с знака не мъняетъ, и функщя g (*¦), стремя-
стремящаяся къ предълу k, и интегрируемая (какъ произведете двухъ интегри-
руемыхъ функщй), навърно имъетъ среднее значеше g0, стремящееся къ
тому же предълу k, когда аи/? стремятся къ 0. Замъчаемъ теперь, что
(с _ x\i—г
при г si функщя (с — х)~~г имъетъ первообразную функщ'ю F(x) = - —,
а при г=1 первообразная функшя отъ (с—х)—1 будетъ —log (с—*). Поэтому
с—а
(с — х)~r dx = . при г is I
— log —, при г = 1.
Вопросъ сводится къ тому, чтобы узнать, при какомъ г а1—1" —,91~г стремится
къ 0, когда а и /? стремятся къ 0; это, очевидно, будетъ при г < 1;
при r=\, log — ни къ какому предълу не стремится. Итакъ, рагсматри-
ваемый интегралъ имъетъ смыслъ лишь тогда, когда /(х) обра-
обращается въ со порядка, мёньшаго единицы.
Ь) Поставимъ аналогичный вопросъ, когда интегралъ отъ f(x) dx,
распространенный на безконечный интервалъ (§ 711, с), имъетъ смыслъ?
ъ
Чтобы существовалъ предълъ I f{x) dx при Ь безконечномъ, необходимо и
а
достаточно, чтобы
a
f/
/(x)dx- ff(x)dx= If{x)dx
стремился къ нулю, когда ohjJ, одно независимо отъ другого, стремятся
къ ээ. Допустимъ, что при безлред-Ьльно.мъ возрастанш х, lim xrf[x) = k a 0.
Тогда » =ю
а а а
C/(x)dx = С x~rg (х) dx - ^ С x~r dx,
? Ь 'о
гдъ ^0 им^етъ пред'Ьломъ k. Следовательно, al~r — rtl~r должно стремиться
къ 0 при безпредЪльномъ возрасташи а и Д а для этого должно быть г>\.
Поэтому интегралъ jfix) dx только тогда имъетъ смыслъ, когда
а
/(*") при х безконечномъ будетъ безконечно малымъ порядка,
большего единицы.
[ ПримЪчаше. Надо заметить, что въ пунктахъ а) и Ь) разсмотръны
только тате случаи, когда существуютъ lim (с—х)г/(х) и lim x'f(x), а потому
х—с а:—х
и заключен1я относятся только къ такимъ случаямъ. ]
с) Интегралъ отъ f(x) dx, распространенный на безконечный интер-
интервалъ не имЪетъ смысла, если функщя g(x) = xf(x') стремится къ предълу,
отличному отъ нуля, при х безконечномъ, но интегралъ этотъ можетъ суще-
существовать въ иныхъ случаяхъ, когда g(x) ни къ какому предълу не
стремится, и даже наверно существует^ если интегралъ отъ этой функщй
g(x), распространенный на любой интервалъ (т. е. взятый отъ нижней до

256 VII, 1. интегрированш. §§ 717—718
верхней границы любого конечнаго интервала) будетъ по абсолютной вели-
чинЪ меньше нЪкотораго числа k. ДЪйствительно, применяя вторую теорему
о среднемъ значенш, имЪемъ
/ Дх) dx = -~ ( g(x) dx + j I g (x) dx,
а следовательно,
J\x) dx < k [ -i- + —¦) , lira / f(x) dx = 0,
lira / /(.v
при безпред-Ьльномъ возрастан!и а и ,3.
718. Критер1умъ Риманна. Риманнъ указалъ весьма простое
средство для испыташя интегрируемости функши /(х), на основан1и
теоремы, доказанной въ § 714, доказавъ, что „для интегрируе-
интегрируемости функцш необходимо и достаточно, чтобы для каж-
каждой пары сколь угодно малыхъ положительныхъ чиселъ
е и 7] можно было указать такое разложеше интервала
интегрировашя на частные интервалы, въ которыхъ сумма
тЪхъ интерваловъ, гд-fe колебан1е функции больше или
равно е, была бы меньше rj" *). Прежде всего зам^тииг, что
yaiOBie, установленное въ § 714, очевидно, равносильно следующему.
Каково бы ни было данное, сколь угодно малое положи-
положительное число а, всегда найдется такое разложен!е интер-
интервала (а, Ь) на частные интервалы, для котораго ы будетъ
меньше а. Действительно, взявъ произвольную последовательность
безпредельно убывающихъ положительныхъ чиселъ
ах, о2, а8, ...
и определяя соответствующую ей последовательность разложешй
интервала (а, Ъ) на частные интервалы, мы и получимъ такую по-
последовательность разложений, для которой lim ы = 0. Заметивъ это,
обозначимъ черезъ / сумму техъ интерваловъ въ некоторомъ раз-
ложен1и (hl, h2, ¦ ¦ ¦, hn), для которыхъ Ot^>s. Тогда, очевидно,
для этого разложешя будемъ иметь
A) <; = hiei + h.ie.i+- ¦ ¦+/*„?)„ Ые.
Отсюда прямо вытекаетъ необходимость доказываемаго услов1я.
Въ самомъ деле, если интегралъ существуетъ, то мы можемъ взять
а><Сг)в, каковы бы ни были числа е и г), а тогда изъ A) най-
демь /<'»). Достаточность этого услов1я получится изъ другого
*) Ср. Tannery, Introduction a la theorie des fonctions d'une variable
B-me edition A910), t. 2, p. 10).

§§ 718—719 основный понятш. 257
неравенства, которое вытекаетъ изъ следующего разсуждетя:
Такъ какъ ни одно изъ чиселъ &t не превосходить О (полнаго
колебашя функши f въ интервал-fe (а, Ь)), а сумма интерваловъ, въ
которыхъ колебаше меньше е, равна Ь — а — 1, то
B) со -л Ql+{b~a-T)t 5 ©/ + (& — а)ь.
Поэтому, если для разсматриваемаго разложежя I <C rj, то для того
же разложешя co^Qr)-{-(b — а)?, где вторая часть, вслъ\цсше про-
произвольности чиселъ г] и е можетъ быть сделана меньше любого
положительнаго числа а. Следовательно, существуетъ такое разло-
жеше интервала (а, Ь), для котораго со < а, а этого и достаточно
для существовашя интеграла,
719. Если, напримъръ, f{x) непрерывна, то по теореме Кан-
Кантора (§ 279), при данномъ е можно взять интервалы /г,, /г2, ..., hn
достаточно малыми, чтобы колебаше функщи f(x) въ каждомъ
изъ нихъ было меньше е. Следовательно, зд^сь 1=0, а потому
всякая непрерывная функшя интегрируема. Однако, въ то
же время ясно, и намъ уже изв-бстно (§ 715, f), что и разрывныя
функщи могутъ быть интегрируемы. Таковы, наприм^ръ, конечны я
функции, съ конечнымъ числомъ разрывовъ (§ 272, а), потому
что ихъ точки разрыва, являюиияся въ конечномъ числе, могутъ быть
заключены въ сколь угодно малые промежутки. Интегрируемы также
конечный функши съ безконечнымъ числомъ точекъ раз-
разрыва, если только число точекъ, въ смежности съ которыми нахо-
находится безконечное множество разрывовъ, будетъ конечнымъ.
Изолируя сперва эти точки сколь угодно малыми интервалами, мы
получимъ въ остальной части даннаго интервала лишь конечное
число точекъ разрыва, которыя въ свою очередь могутъ быть за-
заключены въ сколь угодно малые интервалы, и сумма / всбхъ этихъ
интерваловъ, первыхъ и вторыхъ (единственныхъ, которые могутъ
войти въ составъ /), будетъ сколь угодно мала. Во многихъ дру-
гихъ случаяхъ 4) функши могутъ быть интетрируемы, несмотря на
безчисленное множество разрывовъ въ интервале интегрировашя;
и легко доказать1), что только вполне разрывныя функщи
(§ 272, с) никогда не бываютъ интегрируемы. Во всякомъ
случае, мы видимъ, что непрерывность функц1и достаточное,
но не необходимое услов1е ея интегрируемости. Напротивъ
того, какъ мы уже знаемъ (§ 282, е, f), непрерывность функши
есть необходимое, но не достаточное услов1е для суще-
ствован1я ея производной. Совокупность интегрируемыхъ функщи
заключаетъ въ себе поэтому все функши, имеюиця производныя,
но гораздо обширнее совокупности последнихъ. Темъ не менее
практически операщя интегрировашя гораздо труднее дифференци-
Dini. „Fondamenti etc.", стр. 245—249.

258 VII, 1. интегрирована. §§ 719-720
ровашя, и въ то время какъ мы им%емъ обшдя правила дифферен-
цировашя, для интегрировашя мы им^егь лишь несколько вспомо-
гательныхъ средствъ. Эти средства, впрочемъ, достаточны для
выполнешя интегрировашй, съ которыми встречаемся на практик^,
да и въ высшей Математик искусное ихъ примЪнеше ведетъ къ
весьма важнымъ результатамъ.
Правила интегрировашя.
720. Прямое интегрироваше (суммироваже). Первое правило,
которое представляется для вычисленш интеграловъ, вытекаетъ не-
непосредственно изъ опредъ^летя интеграла, какъ предала суммы;
самый естественный способъ его прим^нетя состоитъ въ томъ, что
интервалъ интегрировашя разлагается на п частей, равныхъ h (такъ
что nh — b — а), и въ каждомъ интервалъ берется значеше функщи
на одной изъ его границъ
D)
О
Сf{x) dx = lim h {Да + h) +f(a+2 h) + • ¦ • + f(a f nh)}.
Но возможно прибегать и къ другимъ способамъ раздът1ешя Ъ — а
на части, иной разъ бол^е выгоднымъ. Если, напримъръ, а > 0, то
можно положить b=aqn*), гд% j>1 и стремится къ предълу 1
при безконечномъ п\ тогда будемъ им^ть
E)
По тому же закону можно дътшть интервалъ интегрировашя и въ
томъ случай, когда одна изъ границъ интервала лежитъ въ точкЪ 0;
тогда надо начинать съ другой границы, но надо помнить, что этотъ
пр1емъ (срав. съ § 711, d) не строгъ. Обозначая черезъ q число,
стремящееся къ 1, постоянно возрастая, находимъ
F) ff()
J
*) И вообще //, = aq'— aq1^1 = aq'^iq-1), « = 1, 2 п.

§ 721 правила интегрированш. 259
721. Примеры а) Если /(.г) = ех, то по формул-fe D) получимъ
х
Г e*dx = lim h (eh + em +¦¦¦+ ellh) = (ex-1) lim -A- = f - 1.
./ ft=i /i=o en — 1
о
Неопределенный интегралъ / exdx = ex + С
b) Теперь возьмемъ лримъръ, где полезнее будетъ формула E)
X П
fdx- = Ит п {q - 1) = lim п [У -- - l) = log — •
a
Аналогично этому найдемъ
x я
/ logA; dx = lim /\(aq' — aq*~l) \og(aq1)
* l 1
= x log x — a log a — (*• - я) lim —^ = x (log a- — 1) — a (log a — 1).
д—i I — l
Бъ неопредЪленномъ вид%
Г d ¦ Г
/ — = log.r + C, / log .r dx ~ x (log x — 1) + C.
J X J
Нужно, однако, заметить, что во всЬхъ этихъ результатахъ подразумевается
условге а'> 0, потому что въ области вещественныхъ чиселъ функшя log л
для х s 0 не существуетъ. Такъ, напримъръ, первообразная функщя отъ —
л
при х<0 будетъ log( — x), а не log л;.
с) Вышеприведенное вычислеше не применимо, когда о = 0. Но изъ
полученнаго результата, припоминая, что интегралъ необходимо непрерывная
функщя, тотчасъ найдемъ
х
I log* dx = x(log*-— 1) — lim a (logя — 1) = л;(log л; — 1).
/ a = 0
О
Къ тому же результату легко придти съ помощью формулы F)
х
*=*-lim (log a- + -—$j-\ = х (log x — 1)
ff=l \ 9 ~ L J
0
или болъе строгимъ путемъ, прилагая одну изъ выведенныхъ раньше (§ 335, с)
формулъ
X
/log х dx = lim h log (и! h")
о
x
= lim x- I n log n — n + ¦ • • + n log — = x (log x — 1).
W=OQ И \ fl j

260 VII, 1. ИНТЕГРИРОВАШЕ. § 721
2
d) Очень легко вычислить / log sin х dx, если (§ 459) известна формула
о
л . 1 я . 3 я . (я—1) я; У~п
sin =г— sm -— sin -— • • ¦ sin > —
12« я 2 я 2 я - 2"-1
Въ самомъ д1игЬ, положивъ nh = ~ , тотчасъ найдемъ
/log sin x dx = Hm й log ——- = -^r- lim log = — -^ • log 2.
л=о 2" ^ n=v> i — l *
e) Для вычислен1я интеграла Пуассона*) i е х~ dx, разложимъ интер-
о
валъ (.*, со) на равные интервалы, величину которыхъ обозначимъ черезъ Л,
и станемъ искать предъ'лъ д(х) суммы
при убыванш h до нуля. Полагая e~h'=q, легко найдемъ р@), съ помощью
формулы (§ 342, с)
Um{q
д—1
Действительно, мы им'Ьемъ
Такъ какъ
и на основанш зам'Ьчашя, сд^аннаго въ § 711, d, можно утверждать, что
00
С
V
е~х' dx = I
V
f) Точно такъ же, чтобы вычислить интегралъ Дирихле / dxt
о
достаточно знать, что
sin h + ^ sin 2/г + |sin 3/г -f • ¦ • =$(л—К),
*) Пуассону принадлежитъ одинъ изъ выводовъ значен1я этого инте-
интеграла, но другимъ путемъ онъ уже былъ найденъ Эйлеромъ,

§ 721 ПРАВИЛА ИНТЕГРИР0ВАН1Я. 261
при условш 0 < h < 2л. Отсюда тотчасъ слъ-дуетъ
со
sin х , ,. л — A n
dx = lim —^— = —
Къ тому же результату пришелъ Фурье х) подобнымъ же пр!емомъ, однако,
совершенно не строгимъ, исходя изъ формулы
1 1 Ля
sin A + -=-sin ЗА + -=- sin 5 А + • ¦ • = V(— 1) .
3 5 4
вытекающей непосредственно изъ вышеприведенной. Раздъ-ляя интервалъ
{О, oo) на безконечное число интерваловъ, изъ которыхъ первый равенъ А,
я всъ друпе вдвое больше, найаемъ, что разсматриваемый интегралъ равенъ
lim sinA + ^r- sin За + -s-sin 5А + • • • = -=— lim sin h = — •
fc=o\ 3 5 / 2 7i-o 2
Замътимъ, что такимъ же образомъ
э
'sin2 х 1 . , ,
X" jf—п it
= lim (sin 2А + ^sin4A + \ sin 6A +•••).
а следовательно,
./ & -™ ^;=o 2
о
sin2.r , ,. n—2h
- dx = lim
такъ что оба интеграла
00 СО
sin x , / sin2* ,
dx и I ;- dx
имЪютъ одну и ту же величину - , хотя элементы второго интеграла
меньше соотвътствующихъ элементовъ перваго. Это объясняется тъмъ, что
вс% элементы второго и: теграла положительны, между тЪмъ, какъ элементы
перваго по очереди положительны и отрицательны въ интервалахъ @, л),
(я, 2л), {2л, Зя;) и т. д.
1
g) Вычисляя I log (—\og х) dх по формулъ^ F), приходимъ къ разыс-
кан|ю предка
(\-q){\og(-\0gq) +
= log (- log ,)
„Oeuvres". T. I, стр. 402.

262 VII, 1. интегрироваше. § 721
съ приближешемъ q < 1 къ единиц-fe. На основаши теоремы Абеля (§ 340)
будемъ иметь
= V/ Ing -* ' 1 — lim ill [пег п\
Мы знаемъ (§ 183), что пред^лъ этотъ существуетъ и равенъ Эйлеровой
постоянной. Такимъ путемъ находимъ полученное Маскерони значеше
1
/ log (-log*) dx = — 0.577215664.. ..
и
h) Предложимъ себ-fe теперь найти значен1е весьма важнаго интеграла
?о
( х!1~х ¦ e~xdx, (i*>0)
о
носящаго название Эйлерова интеграла второго вида. Его значение равно
пределу суммы
А" (I"-1 е~ь + 2"-1 е-'гк + З''^1 eft + ¦ • •)
при безконечно маломъ h; полагая e~k = q и припоминая одинъ изъ paHte
найденныхъ результатовъ (§ 342, f), находимъ, что искомый предт>лъ равенъ
lim йи (I"' х д + 2"-1 q"- + З"-1 ?в +...) = Г(ц) lim (- '' \"= /'(/')-
Следовательно,
i) На основан1и извъхтнаго свойства (§ 464, е) Г(х) ГA—х)= ~"
sin л х
припоминая еще выведенную въ § 459 формулу, получимъ
и—1
что, впрочемъ, легко получить и изъ самаго определен1я функщи Г. Замъ--
тивъ вышесказанное, будемъ
lim
и отсюда
imh\ogr(h)rBh) ... Г(пк) = lim — { (и-1) log У re-log"|/«
=0 и=ю " 1
/ log Г{х) dx = logy я.
о
Теперь можно еще, сл-Ьдуя Л ерш у (Lerch), найти общн^е значен1е того же

§§ 721—722 ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНШ. 263
интеграла въ пред-Ьлахъ отъ ц, до ц+1, при всякомъ ft > 0. Обозначая
искомое значеше черезъ Дм) и замечая, что
/(.«) = | - / . /' (/0 = log Г(,№ + 1) - log 74,@ = log ii,
о о
найдемъ съ помощью выведеннаго раньше результата
и придемъ къ формул-fe Раабе
.«+1
log Г(х) dx = fi log ^ — ij, + log
J
722. Непосредственное интегрирован!е. Изложенная и раз-
развитая въ предыдущихъ параграфахъ метода въ большинства случаевъ
практически не выполнима, такъ какъ мы наталкиваемся при этомъ
на трудности (вычислеше предътювъ суммъ), для преодолЪшя кото-
рыхъ нужно (§ 357) знать первообразную функшю F отъ интегри-
интегрируемой функщи f. Выгоды, какъ будто представляемый двойнымъ
произволомъ въ выборт> закона раздЪлешя интервала интегрирован1я
па части и въ выбора значен1й функщи въ каждомъ интервал^ —
въ сущности ничего не даютъ. Каковъ бы ни былъ законъ подраз-
подразделения даннаго интервала на части, наилучилй выборъ значений f,
очевидно, состоялъ бы въ томъ, чтобы въ каждомъ интервал-fe было
взято такое значеше /, произведете котораго на величину интервала
равнялось бы приращенга функщи F при переход^ отъ одного
конца интервала къ другому*). Действительно, въ такомъ случаЪ
сумма, предълъ которой мы ищемъ, была бы непосредственно
равна (§ 709) значенш интеграла. Отсюда и видно, что изложенная
метода, при всей своей огромной общности, не даетъ намъ вЪрнаго
средства для преодолЪшя трудности, происходящей отъ неизвестности
первообразной функцш. Поэтому предпочтительнее будетъ избрать
другой путь, а именно воспользоваться тъ-ми результатами, кото-
которые намъ дало разыскаше производныхъ извЪстныхъ функщи
(§§ 288 — 291) и, на основанш доказанной въ § 713 теоремы, непо-
непосредственно написать нижеагЬдуюиця основныя формулы
r og|*,- , J a *_ic
/"* Л Г d ¦
j cos л; rf.r — sin я; + С, / sin x dx = — cos x + C, I —'^— =
dx , ~ Г dx . n
-—5 = arc tg x + C, I - _== = arc sin x -f С.
*) Для этого требовалось бы знать число ?, среднее между значениями х
на границахъ интервала, входящее въ формулу Лагранжа, а определить
это число никакихъ средствъ мы не имЪемъ.

264
VII, 1. интегрированш.
722-723
Эти формулы надо удержать въ памяти и стараться прилично выбира-
выбираемыми искусственными приемами сводить къ нимъ по возможности вс%
друпе интегралы, съ которыми приходится встречаться на практикъ.
723. Примеры, а) Часто встречаются интегралы вида
fdu_=Xo . , с
I и
НапримЪръ, имъемъ
tg д: dx = — / -
, , i d cos x
ie.xdx=— / = — log
ь ' cos л- &
dx= / L-ZZJ. dx = '
= 2
Г dx Г
J tgx+1-J
cos x dx 1 / cos x + sin x , ,1
sin x + cos x 2 / sin x -f cos x " 2
tg*+l
— |¦ {х + log | sin x + cos* I } + C.
b) Вычислен!е интеграла I -.
J a sin* + b cos x
положимъ
a b r n . ,«
1 I cos * — sin x ,
2 J sin * + cos x
легко производится, если
cos a sin a
Тогда интегралъ обращается въ
dx
-- 1 Г .
ya2+pj Sin
log | tgi(* + а) | + С
а его значешемъ arc tg —, найдемъ
j
dx
=
у я sin д; + b cos я; y"e2
1
2 jp7,2 *
i sin * — я cos * -f ]' a2 -\-b2
a sin x -\- b cos x
r
с) Весьма часто также встръчаются интегралы вида

§ 723 ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНЫ. 265
НапримЪръ —
xdx г— „ _
= — у 1— х- + С.
У 1-х2
/ V 1 —I— X I / 1 .0 I 1/1 /• / 1/ 1 л-'-*
= arc sin * + ~|/"l — x2 + C.
Такимъ же образомъ получимъ, замечая, что I udu = -=- + С, непосред-
непосредственно слЪдуюшде интегралы
/ arc sin * , 1 , . ,„ , „ / acr tcr -t
/ yYzra = 2"(аГС S1" ^ + ' / ^T^f rf* = i (arc tg xf + С
d) Еще прим-Ьры для упражнешя
/ tg2 * dx = / ^^— dx = / —4- - dx = tgx- x+C,
I ь J cos2* ^ cos2* / ь
/rfy /*sin2* + cos2* / rf.v / 'rf* _
—s б—= / n——-n—dx= I —r. h / . = tg*—cot*+C,
sin2*cos2* J sin2*con2* J cos2* / sin2* ь
/ cos2*rfjs; = | / A+cos 2x)dx — I*' + ^ I cos2x dx — ^ (x-\-sinxcosx) -\- C.
Общнъе, можно вычислить всяк1й интегралъ вида / cos ax. cos Дг. cos ух .. .dx,
основываясь на извъстной формул^ Тригонометр1и
cos mx cos nx =^ [cos (tn — и) *• + cos (ш + w) a-J .
Если, напримЪръ, предложено найти интегралъ отъ cos* • cos 2x ¦ cos 3* ¦ dx,
то пишемъ сперва
cos * cos 2x = | (cos * -1- cos 3*),
далЪе
cos * cos 2* cos 3x = i A + cos 2x -j- cos x4 + cos 6*)
и, наконецъ,
I cos * cos 2x cos Зл: • dx = |(x + 4 sin 2* + ? sin 4* + ? sin 6*) + С.
e) Друпе интегралы приводятся къ виду
fdu 1_
J -*nr
Положимъ, наприм'Ьръ, что требуется найти интегралъ, предложенный
Эрмитомъ !)
/х2 dx
(х cos * — sin xf
v) C. Hermite „Cours d'Analyse de l'Ecole polytechnique", стр. 260.

266 VII, 1. интегрирована. §§ 723-724
Следуя весьма простому пути, указанному W. W. Ветап'омъ, замъчаемъ
сперва, что
х cos х — sin л' = .г sin х I cot х I = cos x (x — tg x)
и разлагаемъ подъинтегральную функщю на слагаемый
1 1 1
sin3 х х- cos2 х
— 1
icot л- — —
Такъ какъ имъ-емъ
то первообразная функщя будетъ
1 1 х sin х + cos x
x
и окончательно
1 x — tg .r x cos л- — sin x igx
cot .v 1 —
Г)
/ x-_dx_ = / afc t 1 \ + с
^ (дг COS А" — Sin ХJ & \ X !
724. Интегрироваше путемъ подстановки. Для вычислешя
интеграла и = I/(x) dx часто бываетъ полезно ввести новую пере-
переменную t = cp(x). Если изъ этого уравнешя получается выражен1е
x = ip(t), такъ что dx = i[)'(t)dt, то, очевидно будемъ имъть
du = f(x) dx =
такъ что
« = С fix) dx ==
и можетъ случиться, что въ новой формъ вычислен1е интеграла
легче произвести; а тогда стоитъ лишь подставить вмъсто t функ-
шю (р (х), чтобы получить выражеше искомаго интеграла и черезъ
переменную х. Если первое интегрироваше производится между
пределами а и Ь, то второе, очевидно, надо произвести въ преде-
лахъ отъ (р (а) до <р (Ь), предполагая, что въ этихъ предълахъ пере-
переменная t изменяется постоянно въ одномъ направлеши *) и притомъ
непрерывна. Въ этомъ случае можемъ писать
G) jf(x)dx= fg(t)dt,
*) Иначе переменная х не была бы однозначною функшею отъ /.

§ 724 ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАШЯ. 267
гд-fe g(t) для краткости обозначаетъ функщю f(ip(t))ip'(t). Если же,
напротивъ того, при измЪненш х въ одномъ и томъ же направлении
отъ а до Ь, переменная t сперва изменяется въ одномъ направлении
до х = сх, потомъ въ другомъ до х = с2 и т. д., то второй инте-
гралъ надо разбить на два или на несколько другихъ, удовлетворя-
ющихъ условш, что между пределами каждаго изъ нихъ t изменяется
постоянно въ одномъ направленш; въ этомъ случае будемъ иметь
f[x)dx = Igdt)dt+ Ig2(f)dt+...;
ff
здесь gi it) обозначаетъ выражеше g'(f), вычисленное на основании
выражешя '(pi(i) переменной х въ интервале (а, с,), gi{f) выра-
жеше g(t), вычисленное для х=1р.г{1) въ интервалы (с,, с.г) и т. д.
(Въ разныхъ интервалахъ выражеше х = ip(t) можетъ быть различно).
Если, напримеръ, при измененш х отъ а до i, переменная t,
исходя изъ значешя а~(р(а), снова возвращается къ тому же зна-
чен!ю а=(р(Ь), переходя черезъ максимумъ или минимумъ @ = ср(с)>
то ясно, что значешя х въ интервале (а, с) изображаются некоторой
функшею ipl(t), а въ интервале (с, Ь) — другою ip2(t), такъ какъ
каждому значешю t, лежащему между а и /? должны соответство-
соответствовать два различныхъ значен1я х. Отсюда следуетъ, что
Ь р а 0
(x)dx= (giif)dt+ Igv
• / «/
а а /i а
Если бы мы не приняли во внимаше этого замечашя, то впали бы
въ грубую ошибку, заключивъ, что нашъ интегралъ равенъ нулю,
а
потому что/ = 0. Все это показываетъ, что при установленш пре-
пределовъ интегрировашя по новой переменной, необходимо обращать
внимаше на то, какимъ образомъ изменяется эта переменная. Если
далее, эта переменная разрывна и имеетъ, напримеръ, обыкновенный
разрывъ при х = с, то, очевидно, надо было бы писать
гр(с—О; (р(Ь) <р(Ь) ср(с-Ц))
1 /(*) dx= I g{f)dt+ I g (t) dt= I g(t) dt - jg{f) dt.
j)(o) 49(c+0) if (a) ?>(c—0)
To же самое случится, если (р(х) при х = с обращается въ безко-
нечность и меняетъ знакъ; въ этомъ случае имеемъ
Ь +™ д>(Ь)
(f(x)dx = fg(t) dt + fg{t) dt.
Такимъ образомъ получается, вообще, значен1е интеграла, отличное
отъ того, которое получилось бы при грубомъ приложенш фор-
формулы G), а именно значеше, отличающееся отъ него на величину
G(± oo) — G(+ oo), где G{t) есть первообразная функщя отъ g(f)dt.

268 VII, 1. интегрироваше. § 725
725. Примеры, а) Подставляя по очереди x = at, х= —, х = а(\ — t),
найдемъ
Г dx \ Г dt 1 . ^ , „ 1 , х „
/ ~9~, о = — / г-^о = — arc tg/+С = — arc tg \-C.
I а2+х2 a I l + t' a s а б а
Г
J у
dx 1 Г dt
НJ
rdx _ Г dt
- , —^г- = + / — = + arc cos / -(- С = + arc cos
У2ах-х°- J Yl-fi '-
a — х
4- С.
а ^ •
Въ послЪднемъ прим^р-Ь надо взять верхн1й знакъ при а > 0, а нижнШ
при а < 0. Точно такъ же въ предпослЪднемъ примЪрЪ надо взять верхн1й
или нижшй знакъ, смотря по тому, на положительныя или отрицательныя
значешя х желаютъ распространить интегрирован1е; отъ одного случая къ
другому, впрочемъ, можно перейти, замечая, что
arc cos (— х) = л — arc cos x.
Двойной знакъ получается отъ того, что подъ знакомъ интеграла находится
корень квадратный, который по предположенш всегда берется со зна-
.комъ +, такъ что имъемъ
уТд-з = ; х | У~с\ а не У~сх*\= х}гс.
Ъ) Съ помощью подстановки х = cos 9 вычисляютъ слъдуюгщ'е друпе
интегралы
1?(/* = — 2 / sin2 — rf8=-(8--sin8) + C=arcsin x + V\— x-+C
J 2
г г г
I y\ — x2dx = — I sin2 8 db = — 4-F — sin 0 cos 9) + С
J J
= | (arc sin x + xV\ - x2) + C,
I
x2dx Г
y= dx = — / cos2 0 rf9 = — J, (9 + sin 9 cos 6) + С
^l-*2 J
= \ (arc sin x — x У1 — л;2) + С.
(' dx
ь / r.
J Vl + x*
Если же хотимъ вычислить / , то лучше будетъ положить A' = cotgB,
/ у 1 + 2
при услов1и sin 9 > О, ч%мъ не ограничивается измЪняемость х. Данный
интегралъ обращается въ
Г di , ,9 „ , 1 + cos 9 , _
' =|0gcot-;r + C=log-^--r- + C.
/ sin 8 б 2 ^ s sin 9
Поэтому
dx , t , ,/—;—r,\ i q

§ 725 ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНЫ. 26&
с) Предложимъ себе вычислить
Г dx
Умножая числителя и знаменателя на у\-\-х'2 — |/ — х2, приводимъ дан-
данный интегралъ къ следующему
J_ / dx 1_ / dx , J_ / dx J_ / dx
2 J s*yi+& 2 I &y^fi + 1J УТ+& 2
if
Изъ этихъ четырехъ интеграловъ первый и второй преобразуются помощью
подстановки х — — въ слъ\дуюцце
= _ j/fi-l + c".
ТретШ вычисленъ уже раньше, а четвертый равенъ arc sin x + с'". Итакъ-
Г dx
J У
X 1
d) Для вычислеп1я / ^— -— сперва предположимъ q
^ I/ '/ —тг ' такъ что dx =y q— ~ dt и
положимъ д? + -у- =
= (x 4- -hpf 4- (q - | Я = (q - \ p2)
Тотчасъ получаемъ
dx 1
/^
J
+ C.
Если, напротивъ tor, q < —, то полагаемъ х + -?р = ^ I/ 'г—?• Данный
интегралъ преобразуется въ
¦// \ dt 1 / rf# 1
/2-l 2 1 t-\ 2 t+\ 2
/—1
деленный на V |/2—<7. Поэтому будемъ имъть

270 VII, 1. интегрированш. § 725
Г dx I
log
Впрочемъ, объ формулы эквивалентны, въ силу соотношешй
1 , 1 + гх . . I . 1 — х
27logf—r-x. log* = 2*8^
легко получаемыхъ изъ известной формулы Эйлера (§§ 406, 411).
е) Безъ всякаго, такъ сказать, вычислешя находимъ значен1е инте-
граловъ
п п
Т ~2
Г Г
I sm2xdx, I cos2xdx
о о
т
если замътимъ, что одинъ преобразуется въ другой подстановкою -» х
л
dx = — . Общая величина данныхь
2
о
интеграловъ равна, слъдовательно, -j- • Точно такъ же, заменяя х на п—х,
найдемъ
х sin х , _ Г (л—х) sin х , _л Г sin л;
~ / 1Тсой" 2 / I + cos^
/
0 0 0
= | (arctg cos*)» = -J •
f) Совершенно аналогичнымъ путемъ, найдемъ» /log sin xdx, вычи-
u
сленный уже раньше иначе (§ 721, d). Мы им-Ьемъ
л л, я
? Г 2
I log sin x dx = I log cos x dx = $ I log (sin x cos *) rfx,
и о и
т. е.. зам^яя въ послЪднемъ интеграл-Ь х черезъ \х,
л
2 я -1
/ log sin xdx = -- / log I ^ sin x\dx = — ~ Iog2 + ^ / log sin * rf**

¦§ 725 правила интегрировани. 271
Если, дал"Ье, замънимъ х черезъ я — х и замЪтимъ, что
л ~2
/ log sin х dx — I log sin x dx,
и и
IT
то можемъ также написать
log sin я- dx =—-r log 2 + -=- / logsmxdx.
о
откуда и получаемъ
log sin x dx = =- log 2.
Подобнымъ же образомъ, заменою л; на 1 - v, найдемъ
1 1 1
/ logr(*)rf^= / logr(l-.r)rf* = y /
*J г/ -^'
0 0 О
1
= ^-log га— i I log sin nx dx.
и
!!! интегралъ подстановкою пх = 0 обращается въ
log -г-^ d х
Sin я:х
1 / 9 /
— / log sin 6 rf6 = - - / lugsin 8 rfS =—Iog2.
о о
Следовательно (срав. съ § 721, i),
/'
h) Положимъ, что предложено вычислить / « ж/ dx. Приа=0
г/
О
этотъ интегралъ приводится къ интегралу Пуассона (§ 721, е). Положимъ
теперь я = О и замЪнимъ х на — '• данный интегралъ преобразуется въ

272 VII, 1. ИНТЕГРИР0ВАН1Е. § 725
будетъ, следовательно, равенъ
Полагая ,v = Л замЪчаемъ, что при измЪнеши д" отъ 0 до со, ^посто-
^постоянно возрастаетъ отъ — оз до -f-M. когда л? возрастаетъ отъ 0 до оо, заме-
заменяя букву t опять буквою л:, найдемъ
i) Чтобы вычислить / т—-—.— -—, гд-fe | А| < 1, разобьемъ интервалъ
; J 1 — ^> cos х ' '
о
интегрирован1я на flat равныя части и въ правой половинЪ замънимъ х на
л — х. Интегралъ преобразуется въ
2 .r dx
/ sin2 x dx , I sin2 x dx I sin2 x
J - cos.r _y + cos* _y —
О О У
Полагая, tgx — t, преобразуемъ полученный интегралъ въ
такъ что
j) Чтобы показать на прим^р^Ь, какъ осторожно нужно поступать при
опредъ\иенш иред^овъ новой nepeMtHHofi, вводимой взамъ-нъ прежней,
зaмtтимъ сл^ующее. Если будемъ обращать внимаше только на начальное
и крайнее значешя новой перемъ-нной, то можемъ подвергаться опасности
получить нелепые результаты, въ род4 сл"вдующаго
+1
J ! + -2 / Til""./ ]+x'2

§ 725 ПРАВИЛА ИНТЕГРИР0ВАН1Я. 273
Между т-Ьмъ ясно, что интегралъ равенъ arctg(-fl)—arc tg(—1) =-=-•
Ошибка произошла отъ того, что интервалъ (—1. -\-\) при зам^нъ1 х на —
ОС
преобразовывается не самъ въ себя, а въ сумму интерваловъ (—1, —оо)+(°о, 1),
а потому имЪемъ
1 00 1
а замЪнивъ въ первомъ изъ этихъ интеграловъ х на —х, получимъ
1 35
/dx _ Г dx _r)[n_ л^ \ п_
]+Xi-\J 1+д-2 -*\-2 ~ 4"/ ~ 2 '
(8)
к) Если встретится интегралъ вида
ь
С <p'(x)dx
/
то естественно приходимъ къ тому, чтобы взять за новую переменную
t=<p{x). Такимъ образомъ, при услов!и, что ср(х) остается конечною и непре-
непрерывною въ интервал* (а, Ь), тотчасъ получаемъ значёше интеграла
'fid)
: arc tg rp (b) — arc tg <p (я).
Но если <р(х) претерп-Ьваетъ разрывы въ интервал* {а, Ь), то надо припом-
припомнить замЪчаШя, сдЪланныя въ концЪ предыдущего параграфа. Если, напри-
мЬръ (р(х) только въ одной точкЪ с между а и Ь мЪняетъ знакъ, обращаясь
въ безконечность, то предложенный интегралъ разбивается на два и будетъ
равенъ
d&rt\gt+ I datcigt= i ± -^-— arc tg (p{a)\ + f arc tg <pF) ± -
V (o) X со
= arc tg q> (b) — arc tg q> (a) ± л.
Общн-fee, если при непрерывномъ изм-Ьненш х отъ а до Ъ функщя q> (x)
k разъ обращается въ безконечность, переходя отъ + къ —. и ?'-разъ,
переходя отъ — къ +. то получимъ
Si
4^= arc tg<f,(b) - arc tg<p(a) + (k~k<) л.

274 VII, 1. ЙНТЕГРИРОВАШЕ. § 725
x
1) Къ тс[му же типу (8) можно причислить интегралъ / - -—; >
о
потому что функщ'я х— [х] имъетъ производную 1, для нецълыхъ значетй х
и справа отъ цълыхъ значешй х, слЪва же отъ нихъ претерпъваетъ разрывы.
Вслъдств1е этихъ разрывовъ и оказывается, что для х^\ значеше интеграла
не равно arc tg (х — [х]). Въ этомъ легко убЬдиться, написавъ
v = [x]-l v+1
dx
Г dx_x a=jj f dx + f-
J + (x [x\) J -\-(x — v)- J
0 v=0 v [ж]
2-i Г dx Г dx , , , ,4 1
*J r+i^ + / r+x* = arctg{x~[x])fт"
Общн^е имъемъ
x 1 x— [x\
[fix ~ M) «?л; = M ff(x) dx + (fix) dx.
0 0
х dx
/• x dx
~r. a V7/A9 ^~^г непосредственно вычисляется, съ
помощью подстановки х2 = a2 cos2 9 -|- Ь2 sin2 9, которая преобразовываетъ
его къ / db, такъ что
х dx
Г
Точно такъ же, чтобы вычислить / I/ -. xdx, положимъ
х = a cos2 — + Ъ sin3 -^- >
откуда слъдуетъ
0 4 1
х — а = (й- a) sin2-^- > 6 — х= (Ь — a) cos2 -=- . л?л; = — F — a) sin 9
Предложенный интегралъ обращается въ
^=^ /
— 4 b sin 9 -j- (b — a) sin .9 cos 9) + C,
слъ-довательно,
"Vf^x
b — x'
(а ~3b - 2x)Y(x - а) {b-x) + С.

§ 725 ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНЮ. 275
Въ частности,
п) Ту же подстановку можно приложить къ вычисление интеграла
3=1 [(х-а)(Ь-х)] !« Ух-а^ь х) dx,
который встр'Ьтился Бельтрами въ одномъ вопросе о распространен^ тепла 1)
Но здесь мы изберемъ другой путь, указанный самимъ Бельтрами, взявъ
за новую переменную
1 / ? * - а\
\
при положительныхъ аи/?. Такъ какъ
х — a b — .v b — a
ne
то тотчасъ находимъ
dt 1,1 (ае*+ ,}е-')-
откуда
dx x — а Ъ — х а ;1 (Ь ¦ ¦ а)
¦Стоитъ только заменить t на — / и взять аривметическое среднее обоихъ
выраженШ, чтобы найти
=1/ ^—:—
Теперь естественно взять за новую переменную 6=1/ ^—:—(«' — «')> кото-
которая изменяется отъ —оо до -\-со, постоянно возрастая; тогда, припоминая
значеше интеграла Пуассона (§ 721, е), мы и найдемъ
Метопе dell' Academia di Bologna Dе serie, t. VIII).

276 VII, 1. интегрированш. § 725
о) Весьма легко представить Кронеккерову функщ'ю sgn (§ 254, е)
въ виде опред"Ьленнаго интеграла. Если въ интеграле Дирихле (§ 721, f)
заменимъ х на + kx, смотря по тому, будетъ ли k > 0 или < 0, то получимъ
я: / sin*- , / sin kx ,
-о- = / dx = ± / dx,
2 J x J x
о о
а такъ какъ при ? = 0 второй интегралъ равенъ нулю, то мы и видимъ.. что
, 2 fs'mkx ,
(9) sgn k = — / —— dx.
о
Аналогичнымъ образомъ можно доказать, что
(Ю)
Изъ этихъ результатовъ легко получаются друпе, н-Ьсколько бол-fee общ1е.
Предложимъ себ*, наприм^ръ, вычислить интегралы
00 ОО
Г. . dx Г
I sin ах ¦ cos/Зл: • , / s
J x J
d х
A1) / sin ax ¦ cos fix ¦ "" > / sin ax ¦ sin 0x ¦ —^ ,
о 6
которые соответственно при Д=0 и при /? = а приводятся къ (9) и A0).
Первый тотчасъ разбивается на два
| C™^±Mdx + X_ CsiMa-^x ^
о о
и по формуле (9) получается
/sin ах ¦ cos /?х ¦ —— = -j-{sgn (a + j?) + sgn (а — 3)}
X 4
О
Иными словами, разсматриваемый интегралъ равенъ соответственно -^-sgn а,
4- sgn а, 0, смотря по тому, будетъ ли j j3 меньше, равно, или больше |сф
Такъ же второй интегралъ A1) разбивается на
dx — I г dx

§§ 725—726 правила интегрированы. 277
и по формул* A0) имЪетъ значеше -^- A а+,3 \ — \ а—/3\). Иными словами,
если а есть наименьшее по абсолютной величин* изъ чиселъ а, /?, то
. ,-, d х 1
sin ах ¦ sin ;ix ¦ —д = -=- па sgn ji.
Съ помощью формулъ Тригонометрш изъ найденныхъ зд*сь интеграловъ
можно вывести безчисленное множество другихъ. НапримЪръ, если возвы-
симъ (§ 407) въ и-ую степень 2i sin х — егх — е—гх^ т0 ПрИ нечетномъ п
получимъ
я—1
sin"x= l_^ smnx~~sm{n— 2)x+~—--' sin(n—4)х + ¦¦¦ sin
Умножая объ1 части равенства на sin х —^ , интегрируя въ пред-Ьлахъ отъ О
до оо, и пользуясь при этомъ выведеннымъ въ конц* § 332 тождествомъ
_ JL i ^L~zh _ 4 «("-Р ¦¦¦(и-v + l) , (и
1 + 2 " ' ± 1 2 v ~~ ± "~
1 • 2 • • • v ~~ ± " 1 ¦ 2 ¦ 3 • • •
получимъ, зам^нивъ еще я на 2 я — 1 их на —>
J х
. 1 \2и . 1 • 3 - 5 • • • Bя-3) л
sin — | f/x = v ;
xj l 2.4-6---Bя-2) 2
о
При возрастанш я до °о интегралъ стремится къ 0, и притомъ асимптотически
сът
-1/--
2 К я
726. Интегрирование по частямъ. Пусть миг; двЪ функцш
отъ х. Изъ формулы d{uv) = ndv-\-vdu интегрироваюемъ
еыводимъ
A2)
/ и dv — ни — iv du.
Эта формула позволяетъ найти judv, если извЪстенъ J vdu *).
Такое вычислеше называютъ интегрирован1емъ по частямъ.
Когда предложено найти некоторый интегралъ, то подъинтегральную
функщю f(x) можно безчисленнымъ множествомъ способовъ пред-
*) Применительно къ опред'Ьленнымъ интеграламъ эта формула
принимаетъ видъ
/ udv = {uv)ba — / vdu.

278 VII, 1. интегрированш. §§ 726-727
ставить въ видъ f(x) = ср (х) ip{x), и притомъ такъ, что ip (x) dx
будетъ дифференщаломъ извъстной функцш v, но при выборъ функ-
функцш ip(x) надо руководиться тъмъ, чтобы интегрироваше v<p'(x)dx
было проще, чЪмъ интегрироваше f{x)dx. Мы видимъ, следова-
следовательно, что интегрироваше по частямъ, такъ же какъ и съ помощью
подстановки, есть не болЪе, какъ пр1емъ, имЪющШ цълью облегчить
интегрироваше, подготовляя его къ непосредственному. Нередко
встречается и такой случай, когда интегралъ, предложенный для
вычислешя, самъ появляется въ правой части формулы A2) съ
коэффищентомъ, не равнымъ единиц^; въ этихъ случаяхъ интегри-
интегрироваше по частямъ делается настоящею методой интегрировашя,
потому что формула A2) дасть тогда безъ новыхъ вычиелешй зна-
чен1е искомаго интеграла.
727. Примеры, а) Значен1еу 1^1 —ж2й?А-тотчасъполучимъ,написавъ
/•» р 2 ,
I У\ - Д-2 dx = .г- у 1 - х1 + / ;
J J У1 - х-
второй интегралъ разбивается на
— / dx = nre sin.г — / У\ — х*Aх.
Следовательно (срав. съ § 725, Ы,
/ Vl — x'i dx = i (x Y^x2 + arc sin x) + С.
b) Чтобы найти интегралы отъ sinlogxrf.r и cos log x dx, замЪчаемъ,
что интегрироваше по частямъ, примененное къ обоимъ, даетъ
I sin log x ¦ dx — х sin log x — I cos log x ¦ dx,
j cos log x • dx = x cos log x -\- j sin log x ¦ dx.
Отсюда выходить, что
х
sin log x ¦ dx = -=- (sin log x — cos log x) -\- С,
С
I
•/
/• x
cos log x ¦ dx = - - (sin log x -\- cos log x) -\- C.
Такимъ же образомъ, применяя интегрирован1е по частямъ къ ех sin x dx и
ех cos х dx, находимъ
I ex sin х dx = — ех cos x-\- I ex cos x dx,
I excosxdx= e'^sin.r— I ex sin x dx.

§ 727 правила интегрированы. 279
откуда
/ ех sin х dx = J ex (sin x — cos x) + С,
/ ех cos л- dx = 1- е-1' (sin х + cos дт) + Г.
Впрочемъ, эти интегралы не отличаются существенно отъ предыдущихъ,
къ которымъ они и приводятся подстановкою х = log t.
с) Аналогично будемъ имЪть
/ cos2xdx= I cosAfl?sin.r=sinAcosA"-f-x— I cos2xdx= i(x-}-sinxcosx)-\-C,
I x cos x dx = / xd sin x = x sin *• — I sin x dx = x sin x + cos # + C,
/ x2 sin .v dx = I x-d (— cos .r) = — д;2 cos x + 2 / x cos x rfx
= 2 .r sin ж + B — лг2) cos x -f- C,
I д?" cos д: rf.r = a"" sin x ~ n I x" ~l sin д- rfx
= „t"sin x -f и*"" cos дг — и (и — 1) / д-"^ 2 cos x dx
= (x"-«(«-l)A-n-2+...)sin.r + (K.r"-1 - n(n - 1) (« - 2) xn-3+ •••) cosa-+ C,
arc tg x dx = a- arc tg x — I - -^ = дг arc tg x — log У 1 +д-2 + С,
/ lOg О+ТЛ+А2) rfA- = Д; log (x+YT+W) - У1+А-2 + C,
/ log(y^b^ + l/"T+^)rfA=Arlog(l/r=Ar+l/T+^) + \ (arc sin x - x) + C,
CJ*Jx^ = 2 Г '^rf/е^ = 2 ^У?5^! - 2 Г
Г xdx _1 Cxd —
J «*+O*~ V ^
Отсюда, въ частности,
J V-

280 VII, 1. ИНТЕГРИРОВАН1Е. § 727
Наконецъ, подстановкою arc tg — = 8, откуда х = cotg 8, и интегрирова-
шемъ по частямъ получимъ
оо ~2
Лаге tg (—)Т dx = lim 62 cotg 6 + 2/9 cotg 8 db,
о
о
а следовательно (§ 725, f),
oo ? IF
/ [arctgj—\| dx = 2 8</logsinO = -2 / log sin 8 d 6 = я; log 2
о о о
(Посл'Ьдше два примера взяты изъ итальянскаго издашя 1905 года).
d) Чтобы взять интегралъ отъ ^~ e'dx1) примЪняемъ интегри-
роваше по частямъ
/1 + sin х х j . 1 + sin x x f\ + cos x + sin x x ,
~:—; ё d X == -z ¦ в — I TZ ; 7О— € и X ,
1 + COS X 1 + COS X J A + COS X)Z
и пишемъ послъ\цшй дифференшалъ въ видЪ
е" dx I e'swxdx dex ^ {1d ex
1 + cos лг A + cos xJ 1 + cos л- 1 + cos лг 1 + cos д-
¦Отсюда слъ-дуетъ, что
/ 1 + sin лг x _ x x ~
2
Можно было бы избежать интегрировашя по частямъ, умножая числителя
и знаменателя на 1 — cos x и разбивая полученный дифференщалъ слЪду-
ющимъ образомъ
A cos лг\ , , /1 cos х\ - . ,, х , . , ех
—s : е* dx + ^s— i' dx = — d (e cot лг) + d -. •
sin2 лг sm xj \sin x sin2 лг/ 7 sm x
e) Если требуется найти интегралъ отъ х'" log™ дг dx, при т > — 1
и п — цъ'ломъ положительномъ, то съ помощью интегрировашя по частямъ,
и повторнаго приложешя перваго получаемаго результата, найдемъ
/ лг™ log" x-dx= -—г log" лг — ¦-"—[ / х"'' log" х ¦ dx
х) Этотъ примЬръ заимствованъ изъ „Glasgow University Calendar"
A901—02), гдЪ читатель найдетъ много другихъ полезныхъ прим%ровъ.

§ 727 ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНШ. 281
Такъ какъ при всякомъ v>0 и ту — 1, функщя У1^logvл:, равная нулю
при х= 1, стремится къ нулю справа огь 0 (§ 312, а), то въ частности
¦будемъ имЪть
A3) / х'" log" х ¦ dx = ——-j ¦
6
Аналогично этому находимъ
Г х11 е~х dx = — х" «—' + п Сх"-1 е~х dx
= — {х" + пхп ~х + п (н — 1) хп~2 + • • • + и!) «"* + С ,
и въ частности, замечая, что, при всякомъ v >0, (xv е~х) 0 = 0 *),
A4) / х" е~х dx = п\ (е"')'^ = п\
Ь
Если этотъ результатъ извЪстенъ, то можно легко имъ воспользоваться
t
чтобы изъ него вывести A3): стоитъ только сделать подстановку х—е т+1.
Действительно, тогда
1 о;
f (—]\nf С —IV '
/ х"' log" х dx = -7j / /и «~г rf/ = —^-r^ ¦
Впрочемъ, формула A4) есть частный случай другой раньше доказанной
(§ 721, h), потому что и! есть значение Г(п + 1) для ц-влаго я.
f) Интегрирован1е по частямъ, прим-вненное къ интеграламъ
ап = I л:" г~т cos л; rfx, />и = I х" с~г sin *¦ dx,
о о
даетъ
а = (х" е~х sin л-)^1 — / («.г"^1 — д,-") е^ж sin x dx.
йя = (хп «"'cos .г)» + fiitx"-1 — хп) е~х cosxdx,
о
Эти соотношен1я можно соединить въ одно: сп= $ A +г) ?гсп_15 положивъ
*) Символъ (/(.*))* обозначаетъ разность /F) —/(а).

282 VII, 1. интЕГРИРОВАнш. § 727
cn — an + il>n, при & — — 1. Замечая, что с0 = Jr A + /). выводимъ отсюда
,/1- Л1*1 ,1**1 »! е^>?
2 2
Следовательно,
06mHte, при cos a > 0, им-Ьемъ
Г.г" «-IC(lsacos (a- sin a) dx = n! cos (и + 1) a,
0
x
/ .г" е-*ыа« sin (Л- sin a) dx =- «! sin (к + 1) «.
о
Изъ этихъ формулъ получаются предыдущ[Я при а ¦---- ^-т- и зам^етЬ х на
у
g) Вычимимъ / sin" х dx при я ц'Ьломъ положительномъ. Ингегриро-
0
вант по частямъ даетъ
2 ¦! а
/ sin" х dx — I sin"  x ¦ d (— cos a-) = («— 1) / sin"~2 x cos2 л- а^л-
о и о
2 ?
^ (я - 1) I sin" л- • rf.v - (н — 1) / sin11 х dx.
о
откуда
2 И а
Г « . »-1 Г ¦ «-з j («-1){«-3) /" .
i sin .г я" л- -= / sm A-rfA- = - Г _Гг^ / slr
2 2
sin"
6' о 6
такь что, въ кони* кокцовъ, приходимъ къ одному изъ двухъ интеграловъ.
'¦I 2
/ dx = ~ > I sin .r dx -^ I,
о о

§ 727 ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНЫ, 283
смотря по тому, будетъ ли и четное или нечетное. Итакъ,
I | 1-3-5---{я-1) . я
A5)
„ - _ , при и нечетномъ.
3 ¦ а ¦ 7 ¦ ¦ ¦ «
2-4-6-¦¦(«-!)
3 ¦ 5 ¦ 7 ¦ ¦ ¦ п
Отсюда легко вывести формулу Валлиса (§ 464, а), исходя изъ неравенствъ
2 2 2
I sias"+lx ¦ ,/* < / sin2" х ¦ dx < / sin2" ' х ¦ rf.r,
о о о
о о
которыя теперь обращаются въ «гЬдуюшдя
2-4-0-'2« , 1 ¦3-5---Bн-1) л 2-4-6 ¦¦¦Bн-2)
) "¦' 2 4б: ¦ ¦ 2 я 2 *"" 3 ¦ 5 ¦ 7"Bн^Т)
Отсюда с.тЬдуетъ
2 2 4 4 2и 2г;. л 2 2 4 4 Чп
¦ >г '-- т
1 3 3 5 2 га -1 2 я +1 2 " 1 3 3 5 2 я - 1
Поэтому, замечая, что отношеню = т стремится къ пределу 1 при и
Z. 'It ~\~ 1
безконсчномъ, мы и находимъ
2 13 3 5 5 7 7
Отсюда же легко заключить (§ 337, с), что, при возрастали я, оба выраже-
н1я A5) стремятся принять форму 1/ -^— , такъ что
Jim У'й / sin" x - dx = l/ :T .
n—" т/ Г 2
h) Интегралъ §Trt = I x'be x'iix при я = 0 камь уже извЬстень
(§ 721, е), а при и=1 легко вычисляется, потому что
Впрочемъ, эам-Ьна ж на у'я; даетъ, при всякомъ п, Зп=-п Г(—^—1 . Но по-
ложимъ, что это соотношен1е неизвестно; тогда при вспкомъ ц-Ьломъ поло-

284 VII, 1. ИНТЕГРИРОВАШЕ, § 727
жительномъ и интегралъ $п вычисляется съ помощью интегрирования по
частя мъ слЪдующимъ образомъ:
2 2
о
; l • з ¦ 5 • • ¦ («—l) „
9y, при ?( четномъ
2 - 4 - 6 ¦ ¦ ¦ {»—1)
~ при « нечетномъ
Чтобы вычислить теперь и сТп, замЪтимъ 1), что выражение
д<1я вс%дъ вешсствениыхъ значен^ а положительно, и что для этого необ-
необходимо eJw_.j 3tl_(.i > Эла, т. е.
®п-х К , 3» 1 ^,1 -1 Зп 2
-=— > -= , между тЪмъ, какъ -^ -„— - -— = - - ¦
Сл-Ьдовательно,
а поэтому последовательно
V Ti > я~ ;> г яТТ' lira я''"" = >/2' l!m Г^ " = x ¦
Остается подставить выражен1я A6) въ посл-Ьднек равенство, чтобы полу-
получить (§ 337, с)
1 ,. 2-4-6---2Я 1 1 ,..
Дал*е легко установить, что выражешя A6J при безпред^льномъ возрастанш н
¦стремятся принять асимптотическую форму
Stieltjes. „Nouvelles Annales de Mathematiques" A890, стр. 479).

§ 727 ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЕ 285-
i) Предложнмъ cc6t вычислить
3= ate tg '~ arc tg — dx
при а и Ь положите.!ьпыхъ, следуя пути, указанному Лершенъ (Lerch,
Qiornale di Mathematiche, мартъ 1903 г.). Значение этого интеграла при
а = Ь — \ уже известно (см. § 727, с) и мы вскорЪ снова напдемъ, что это
значен!е k = я log 2. ЗагЬмъ, при а =Ь, интегралъ равенъ ka, что прямо
получается заменою х на ах. Отсюда стЬдуетъ, что
/ (arc tg ~ + arc tg '-\dx.
теперь, что (§ 254, d)
, а , , b , (a + b)x
arc tg - -+ arc tg — = arc tg ,. —-y- ¦
6 x x x^ — ah
л- при л' < "[¦¦'"я b
О при л > У аЬ
полупимъ
* (я -h *) = у ^ - arc tg ^-^1 ^л + / Vnrc tg ^ifr
V'at
arc tg \^-^ <tx +J (arc tg ^—j dx.
о о
Для вычисления посл^дняго интеграла, зам^Ьнимь дг на — и замЪтимъ, что
X
го
1 Г!
2-J \*
О
}'
а I)
а эам%няя теперь х- г череэъ д.-, найдемъ, что искомый интегралъ при-
приводится къ
=/(a
( arc tg -^—-—^ | dx = k{a 4-o).
6

286 VII, 1. интегрирована. § 727
Следовательно,
У а»
Теперь можно было бы прямо tipHMtHHTb интегрироваше по частямъ, но
проще разбить интегралъ во второй части на два
I' ai У all
f* Г*
I arctg dx -f / arc tg -= d v
о о
и интегрироваЕнемъ по частнмъ получимъ
УаЬ
о
откуда
/. х ,—г -] Г I) а , а + b
arc tg -— dx - У а Ь arc tg I/ log — -— .
Ct f ft i D-
, (a + b)x . 1 r- , 1
arc tg 7 ., dx = —- лУ ab— _ log
о
/
о
и окончательно
[Этотъ примт^ръ взнтъ изъ итальянскаго издан1я 1905 г.].
j) Въ заключен1е покажемъ, что второй интегралъ въ формулахъ A1)
получается изъ перваго интегрировашемъ по частямъ. Такъ какъ
/sin ах ¦ sin,iJ.r\° sin ax . а ,. . -. „
I --1 -^ hm am лд1 — nlim sin ал" = 0
/. .. Лх Г . . , ,/ 1 \
sin ад1 ¦ sin я л" ., = i siti ал; ¦ sin дл; ¦ </1 1
^ J \ х!
о о
— I ((:-?sin rt*cos;9i- + п sin -ixcos nx) —
о
= i л^ {sgn [а+д) + sgn {а — д-)} + i и{ sgn C3 + я) + sgnC — a)}

•§§ 728—729 правила интегрировашя. 287
728. Интегрироваше при помощи рядовъ. Если въ нЪ-
которомъ интервал* (а, Ь) рядъ
Дх) - и^х) + щ(х) + ия(х) + ¦ ¦ ¦,
члены котораго непрерывныя функг;!и, равномерно сходя-
щ1йся, то будешь имтзть
& Ь !> Ь
I f{x) dx — I uL (x) tix + I щ (x) dx + I vs[x)dx \ ¦ ¦ ¦.
a a a- a
Въ самомъ д-ЬлЪ, мы знаемъ, что (§ 322) при данныхъ услов1яхъ/(.г),
такт> же, какъ и и,-(лг), непрерывная, а потому и интегрируемая
{§ 719) функщя. С.твдовательно, если грп{х) обояначаетъ остатокъ
даннаго ряда, то можно написать
ti Ь
Ъ i
(f{x) dx^ I щ [х) dx + I иа (r) dx + • ¦ ¦ + Г«„ (л') dx -r- j q-;l (.
Если теперь е по произволу заданное сколь угодно малое поло-
положительное число, то, какъ мы знаемъ, можно указать такое число,
что для встзхъ значегнй п большихъ этого числа, и для любого
значен!» х въ интервалъ (а, Ь), будемь имъть \q>,,(x)' < e.
Поэтому
I. Ь
I (pn (x) dx si I I ip,, {x) \ dx < (b — a) i.
a потому
I, Ь Ь is
lim / <f.u(x) dx = 0, (f(x) dx = / iix {x) dx — / иг (x) dx + ¦ • ¦.
'a « « ";
Зам"Ьтимъ, что, въ частности, всякШ степенной рядъ допускаетъ
почленное интегрирован1е.
729. Примеры, а) Интегрнрован1е при помощи рядовъ можетъ слу-
служить для разложешя функши въ степенной рядъ, если известно разложен!е
производной. Такъ, напримЪръ (§ 233, е).
arc sin .r =
_ t'_dx_ _ 1 х^_ lj_3 xr> 1-3-5 ?^
* ~ J У\^х2 ~ Х +Т ' Т + а^1 '  +2-4-б' 7 +•"¦
5
р d
+Vl+х*) = / уТ
С dx 1 ля 1 ¦ 3 .гя 1 ¦ 3 ¦ 5 л'?
log Г

288
VII, 1. интегрирована.
ПРЙ Условш, что въ правой части х2 не > 1. На основами извЪстныхъ
формул^ прнведенныхъ выше (§ 725, d) оба разложен1я эквивалентны,,
потому чт0
arc sin ix = arc tg _^= = 1 }OpY^xl— х. ^ ,:iOg \х + УПЩ-
У~Н X1 2t }П+Х? + Х
ч) Интегрироваше при помощи рядовъ часто полезно для вычислешя-
H*KOTOtJh)X'b опред%ленныхъ интеграловъ. Такъ напркм%ръ, весьма быстро
вычися*1ется ннтегралъ оть xzdx въ пред%лахъ 0 и I при помощи разложен1*
Действ нтельно, интегрируя и припоминая формулу A3), тотчасъ находимъ.
1 1
fX*dx= У'/ .T-IOg-ATrf*^ У1"^'
Въ час^ТН0СТИ зам^ТИМЪ| что
— I .Vх log л dx = / х' dx.
с) Точно такъ же для вычислен!я интеграла отъ log I ^ 1 ¦ — въ.
' 6 \ 1 — х] х
предъЛ[ахъ о и =а можно воспользоваться разложенгемъ подъинтетральиой
фун[щ ^ й Н б е *
р р
фу ^и въ степенной рядъ. Но необходимо заметить, что въ интервал*,
отъ 0 до 1 ее надо разложить по восходящимъ степенямъ х, а въ интервал*
огь 1 до со по восходящимъ степенямъ —. Однако, можно избежать этого
х
второгч0 разложен!я, ограничнвъ интегрирован1е интерйаломъ отъ 0 до 1.
Достат^очно разбить данный интегралъ на два

§ 729 правила интегрирования. 289
и заметить, что второй интегралъ при подстановка — на мЪсто х, обра-
обратится въ
f 1
х ' ,1 / , 14- -v d х
Поэтому данный интегралъ имЪетъ значеше. равное (§ 219)
' 1 + х ,/х
О О
т. е. равенъ сумм* ряда (,§ 365, а)
умноженной на 8, такъ что
d) Обратно, можно воспользоваться инторировашемъ съ помощью
рядовъ для суммирования HtjKOTopbJXb рядовъ, изображая члены этихъ ря-
довъ определенными интегралами. Такъ, наприкгЬръ, чтобы найги сумму
ряда 1 — I — \ — *¦ + т+ ' ' ' • достаточно заметить, что ея значен!е равно
определенному интегралу (§ 725, d)
n
Следовательно,
i l i_ 1, !!!, 1, 2:т
2 4 5"Г7Г8 10 11^13^ ' 3V3
Точно такъ же сумма ряда Jr —^ -J- — i + J- — -^-i- ¦ ¦ равна интегралу
1
А* - *а + дг1 - *з + ¦ - ¦) rf* = / ¦ ^^2
о

290 VII, 1. интегрирована. § 729
а потому имЪемъ
1 14-1 * ' JL _ ! + ] Ti _ 1 •т/'Т л
Т~Т + Т~"'г"8~~"9" + 11 V2 + ' ' ' ~ °8 * ~ е у? '
е) Первый изъ полученныхъ нъ пункта d) результатовъ заключается,
какъ частный случай, при с = 4j- , въ H3BtcTHofl формул* (§ 363)
A7) sin о + 4-
которая сама можетъ быть получена такимъ же нутсмъ, т. е. при помощи
интегрировашя ряда
sin а -\- х sin 2 а — х'г sin 3 а I ¦ Xs sin 4 и -|
между пределами 0 и 1. Такъ какъ sin (к — 1) o + sin (н+ 1) а — '2 sinw a cosn,
то имЪемъ тождественно
'Г. V.
A 1 х-) У л;*'^1 sin п а — sin г.г + 2 д; cos а У х"^ sin n a,
1 1
откуда вытекаетъ
Поэтому сумма ряда A7), при условж, что исключаются т-Ь значен[я, при
которыхъ sin а = 0. можетъ быть выражена такъ
1
Jsin a dx I х— cos «U , /, о \ , . , , .
-,—я i—5 = tare tg —; = arc is is -„-1 + arc tg (cot a).
о
Следовательно, искомая сумма (§254, d) равна arc tg I cotg тр), потому что
cotg atg-я- < 1. Полученное выраженге равно выражен!» A7) и изображаетъ
сумму ряда и при а, равномъ нечетному кратному отъ л. Но оно тернетъ
смыслъ при а, равномъ четному кратному отъ л, когда, какъ мы энаемъ, и
формула A7) не имЪетъ м^ста.
f) Къ другимъ эамЬчательнымъ результатамъ приводимъ интегриро-
ван!е выражен!я (IS) по а въ пред%лаз:ъ отъ 0 до какого нибудь а, при
чемъ х остается постояннымъ и лежащимъ между 0 и 1. При этомъ пред-
предположении, какъ изв-Ьстно (§ 320, Ь), рядъ A8) paoHOMtpHO сходящ1йся,
Съ помощью интегрирован1я тотчасъ находимъ
*'
J l-2a-cosn
— л,-cos а) 1 . 1— 2х
A cos««)= / Гг.j = -s
к ' J l-2a-cosn-M^ 2

§ 729 правила интегрированш. 291
т. е., заменяя а на 2а,
..j , 1 , . ч г, ,1 ч-оо i ^ | 1 —2;tCOS 2«^дг-
in- а -\—— х- sin- 2 « 4- -т- х6 sin*1 3 « 4- ¦ ¦ ¦ =-.- log — -,-. г=
2 3 4 & A— x)z
далЪе, что sin a sin 3 = sin- f _ ' ') — sin- j |, получаешь еще
s;sin « ип,3 -г ^ A'2sin :2(? sin 'IS -\~ I, a-^sin 3« sin 3,^ -f- ¦ ¦ ¦
_ _1_ 1-2 .г- cos (a 4- jj) — д-- _
!, на основании теоремы Абеля {§ 340), стЬдуетъ
. fi + tf
1 1 j sin- ¦
sin a sin ^ --—pr sin 2 a sin 2,3 |• -=- sin 3 a sin 3,3 -f ¦ ¦ ¦ = -тт 1<.'й
sin —
Эта формула даетъ намъ возможность вычислить еше другой интеграл ь,
аналогичный интегралу (И)- Съ помощью не вполне строгаго приема, уже
примтзненнаго раньше (§721, е, i, h), легко найдемъ
30
. _, </.v 1 ,
sm (t x sin ,,-f .r = — log
x 1 <i —1>
g) Вычислим!., иаконецъ, еще интегралъ Дирихле (§ 721, f), собирая
элементы, cooTBtTCTnyromie одной и той же абсолютной величин+i кш
При этомъ, когда х имЪетъ значе[[1е, лежащее между 0 и -^-, дуги дг, п — х,
2.¦[+*', Зл— х, 4я:-Ьл- и т. д. будутъ им-Ьть одно и то же значенш синуса,
а дуги :-т+х, 2л—х. Зл-—х, 4я—х и т. д. — то же значете съ обратнъшъ
энакомъ. Отсюда ел Ьдуетъ, что / ~ dx можетъ быть предстаь-левъ елтз-
и
дующимъ образомъ
1 1 1 _J 1 ,1 | . ,
О
Между т-Ьмъ (§ 464. с) рядъ въ скобкахъ имЪетъ значение
±?х-пя =? ~х~- 2я л ~^ а- - Bи+ !)л
00 i

292 VII, 1. ИНТЕГРИР0ВАН1Е. §§ 729—730
Следовательно,
а о
Это вычислеше легко сделать совершенно строгнмъ *).
Кратные интегралы.
730, Неопределенное интегрирование. Изъ предыдущих!»
изслъдоваж'Й ясно, что задача простого интегрирования въ сущности
састоитъ въ разыскаши фупкши у, когда известна ея пропнводняя
\-=f{x). Не будеч'ъ существенно новою задачею вопросъ о ра-
зысканш неизвестной фупкши отъ нъсколькихъ перемЬнныхъ по
данной частной ея производной, взятой по одной изъ перем-Ьнныхъ.
Например-!,, если требуется найти функщи z отъ *- и у. когда дана
7~- =/(д"' У)) ПРИ составлен!» которой у рассматривается, каьъ
постоянная, то такъ же на нее надо смотрЪть при интегрирован1к,
таю» что s — I/(x, y)dx. Но такъ какъ ири этомъ у считается
постояннымъ, то нодъ произвольной постоянной, являющейся при
этомъ интегрированш, надо понимать независящую отъ х величину.
Она можетъ завнсЬть отъ у и будетъ въ сущности произвольной
функшей отъ у. Точно такъ же не новыми, по существу дъла,
будутъ вопросы о нахождежи функц!и у по данной -=—[ — f(x),
или z по данной —% ~f(x, у), и вообще по данной производной
какого угодно порядка, но взятой по одной лишь переменной.
Несколько посл'Ьдоватсльныхъ интегрирован]!! по этой переменной,
при чемъ другая рассматривается, какъ постоянная, всегда приведутъ
чъ ц%ли, не требуя какихь либо добавлений кь сказанному раньше.
Новый вопросъ является лишь тогда, когда требуется найти функ-
шю з, удовлетворяющую уравнению
гдъ f данная функщя отъ независимыхъ перемънныхъ х и ¦)'•
Допуская a priori существование такой фуккши г, зам^чаемъ, что
См. „Cakolo integrate* Arcais (стр. 198),

§ 730 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 293
лъеая часть равенства A9) есть частная производная отъ —-^, взятая
по х, при составлении которой у разсматривается, какъ
постоянная, поэтому
-J—-'= / /(х, у) dx.
Интегрируя теперь по у, въ предположении, что х остается
постояннымъ, получииъ
з = / I I fix, у) ilх\ dy,
или, какъ иначе пишутъ,
* = jdyjf{x,y)dx.
Ясно, что можно разсматривать лЪвую часть равенства A9), наобо-
ротъ, какъ производную отъ —, взятую по у, и тогда аналогич-
нымъ путемъ найдемъ
з = fdx jf(x,y)dy.
Обшлй реэультатъ двухъ посл^довательиыхъ инте1рирован;й (если
¦онъ сущестпуетъ), по различнымъ, одна отъ другой независимымъ
нерем^нны.чъ называется двойнымъ интеграломъ и изображается
образомъ
B0) z = | |/(*. У) dx dy.
Надо заметить, что если существуетъ одна функшя s — F{x, у),
удовлетворяющая уравненпо A9), то существуетъ и безчисленное
множество функщй, ему удовлетворяющихъ, и общее ихъ выражеше
будетъ
z-F(.T,y) + <r{x) + гр(у),
гдф. <р(х) произвольная функиди одного х, a ty(y) произвольная
функщя одного у, Къ этому результату можно придти, выписывая
при нослЪдовательныхъ интегрирова1пяхъ произвольный постоянныя
(которыя пъ данно»лъ случаЬ будутъ произвольными функщлми отъ
той перемъ-нной, которая разематриеается, какъ постоянная при
интегрированш), но еще проще сделать нов^рку предыдущаго
равенства, которая дасть
дз д F д*г д*F
г> х 0 х ' ' 6 ж)у дх ду '
т. е. —— = f(x. у), по
их 0 у J '

294 VII, 1. интегрироеанш. § 731
731. Определенный двойной интегралт». Когда мы ищемъ
простой определенный интегралъ отъ f(x) dx въ интервал!; (а, Ь)>
где а<Ь, то ограничение, налагаемое нами на переменную х,
можно выразить неравенствомъ (х—а)(х—Ь)^0, такъ какъ этому
неравенству удовлетворяют^ все значешя х, лежащ1я въ интервале
(а, Ь) и только эти значешя. Общнт,е, всякое неравенство L{x)^=O
изображаетъ одинъ или несколько интерваловъ, совокупность кото-
рыхъ составляетъ область интегрирования. Обращаясь къ двой-
двойному интегралу B0), положимъ, что переменный х и у, оставаясь
одна отъ другой независимыми, должны удовлетворять некоторому
неравенству
B1) L(x,y)<Q.
Допустимъ еще, чтобы иметь дело съ опред'вленнымъ случаемъ,
что изъ этого неравенства, при данномъ значенш х, вытекаютъ
неравенства
B1 я) а(х) *.у
где а (х) и Ь(х) некоторый функщи отъ ,х, и что значеш'я у,
такимъ образомъ ограниченныя, сушествують для всехъ значешй х,
ограниченныхъ неравенствами
B1b) a <; х й $,
где а и $—постоянный; обыкновенно эти числа будутъ корнями-
уравнен1я а(х) = Ь{х). Интегрируя функщю f{x, у) по у въ пре-
делахъ отъу = а{х) до у = Ь{х), разсматривая, конечно, при этомъ х,
какъ постоянную, получимъ результатъ, зависящШ, воообще говоря,
отъ х
ffW = I /(x,.y)dy.
Теперь возьмемъ интегралъ отъ <p(x)dx въ пред-Ьлахъ отъ а до Д.
Полученное при этомъ число
B2)
= I dx f/{x,y)dx
называется определеннымъ дво!3нымъ интеграломъ, распро-
страненнымъ на область, определяемую неравенствомъ B1), или
равносильными ему неравенствами B1а) и B1Ь). Если F(x,y), при
х постоянномъ, есть первообразная функщя отъ f{x, у), то фор-
формула B2) даетъ для z значеше
= /
i-. Ь{х)) - Fix, n\x))\ dx.

§ 731 кратные интегралы. 295
[ Примечание. Если изъ того же неравенства B1) вытекаготъ
неравенства
B1с) tWiTS^W
ограничивающая значешя %¦ при данномъ у для всбхъ значенШ у,
удовлетворяющих!, неравенствамъ
B Id) ¦/<.)>?«,
то двойной иктеграль
B2bis) с - / dy I f{.v,y)dx,
'¦ '¦(»)
отличающШся оть B2) порядкомъ интегрировашй и пределами для
перем-Ьнныхъ, также называется двойнымъ интеграломъ, распростра-
неннымъ на ту же область B1). Изложенный до сихъ порт, сооб-
ражетя не даютъ возможности доказать, что формулы B2) и B2 bis)
даютъ для s одно и то же число, т. е. что значение двойного
интеграла отъ f(xf у) dxdy вполнт, определяется, когда дана область
интегрирован1я; результатъ этотъ вытекаетъ непосредственно изъ
новаго опрсд-Ьлешя определенна]^ интеграла, которое будетъ дапо
ниже (§ 735). Если будемь разсматривать х и у, какъ Декартовы
координаты точки на плоскости, то область, определяемую нера-
венствомъ B1), можно раэсматрипать, какъ часть плоскости, Bet
точки которой удовлетворяют!, неравенству
Наше предположен1е, состоящее въ томъ, что неравенство B1)
равносильно неравенствамт^ а(х) ^.у == Ь{х) и «?хй|3, обозна-
чаетъ, что часть плоскости ограничена двумя кривыми
J'-f7(.v). ,Y--b(X).
и двумя прямыми, параллельными оси у-овъ: а' = «, х = $, при чемъ
а{х) < Ь(х), a <i $. Предположен1е, что неравенство L(x,y)i=Q
равносильно также неравенствамъ
с (У) S х -< A{у), у?у^д
обозначаетъ, что ту же часть плоскости можно разсматривать, какъ
ограниченную двумя кривыми
х — с {у), х --• d(y).
и двумя прямыми, параллельными оси .y-о'въ: у=у, у~^, при чемъ
с iy) < d(y)i У<й. Если та часть плоскости, на которую распро-
распространяется интегрироваше, ограничена сомкнутою кривою лишею,
L {х, у) = 0, которая пересекается прямыми лишями, параллельными
осямъ, не болт^е, какъ въ двухъ точкахъ, то решая уравнеше

296 VII, 1. интегрирована. §§ 731—732
L(x,y) —0 относительно у, найдемъ два значении при данномъ х\
у = а(х), у = />(а); а и [j — пределы для х—будутъ абсциссы
точекъ касания кривой съ прямыми, параллельными оси у-оъъ, такъ
какъ эти абсциссы и будутъ наименьшимъ и наиболыпимъ значе-
нтямн X въ данной области. Р%шая то же уравнеше относительно х,
получимъ х—с(у), х = (/{_)'), а числа у и д — пред-Ьлы для у—
будутъ ординаты точекъ касанш кривой съ прямыми, параллельными
оси д:-ов"ь. Въ разсматриваемомъ случат;., какъ видимъ, неравенство
¦L(x, у) == 0 равносильно какъ неравепствамъ B1а) и B1Ь), такъ
и неравенствамъ B1с) и BId), и двойной интегралъ, распростра-
распространенный на данную область, можно представлять въ формъ B2)
или въ форм-Ь B2 bis). Наконецъ, замЪтимъ, что если разсыатри-
ваемая область интегрироваЕЙя, пыражаемая неравенствомъ L(x, )')^0,
не можетъ быть выражена неравенствами вила B1а) и B1Ь}, то мы
разбиваемъ ее на части, для каждой изъ которыхъ это требоваше
выполняется, и подъ интеграломъ, распространеннымъ на всю
область, понимаемъ сумму интегралопъ, распространенных ь на
каждую часть отдельно. ]
732. Примеры. Если область интегрирован1а задана неравенствомъ
х2 + у- -si2x, то изъ него вытекаетъ
и v будетъ веществсннымъ только при 0 ^.г< 2. Следовательно, двойкой
интегралъ, расгфостравенный на эту область, выразится формулою
+1 2 г—г'
{x, у) fly.
Но иэъ лакнаго неравенства, также вьпекаеть, что
1 - 1 ¦' 1 у2 < д- ? 1 + Т I - :>й
- 1 ±у & + 1,
поэтому интегралъ, распространенный на данную область, можно предста-
представить и такъ:
перемтлшвъ порялокъ ннтегрировашй. Отсюда вытекаетъ, что если <р[х,у)
есть первообразная функщя отъ f(x,y) при х постоякномъ, а у(х.у)
первообразная фуккшя отъ /(х, у) при у постоянномъ, то двойной инте-
интегралъ / / f(xt y)dxdy, распространенный на данную область,
быть иредстяменъ въ одномъ изъ слт!дующихъ двухъ видовъ
можетъ

§§ 732—733 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 297
у (л У'ТГЩ ~ ((. (t, л>гТГ~Р) ] rf/,
P, t)} dt
\ Такъ какъ тождественность этихъ выражетй пока вообще не доказана,
то мы можемъ здъсь лишь проверить ее на частномъ примере. Положивъ,
наприм-Ьръ, /{х,у) = ху. легко найдемъ для того и другого интеграла
значеш'е, равное нулю. ]
733. Двойной ингегралъ разематривался нами, какъ реэультатъ
интегрировашя простого интеграла. Является вопросъ, какъ
производится дифференцирование простого интеграла по пере-
мЬнной, независящей отъ переменной интегрнропан1я, или, какъ
говорятъ, по параметру, отъ котораго зависитъ подъинтегральная
функшя, и который при интегрированш разематривается, какъ по-
постоянная, Разсмотримъ функцш
(a<b)
и положнмъ сперва, что а и b отъ х незапмсятъ. [Яокажемъ сле-
следующую теорему: Если функция f (х, у) непрерывна относи-
относительно х и у для псъхъ значеи1й х и у, удовлетворяЕощихъ
неравенствам ь a-^y^kb, сй-тй^ то функихя <р (х) будеть
непрерывна въ интсрва,тЬ (с, д). Возьмемъ произвольное зна-
чен1е х = а въ интервал* (с, д) и покажемъ, что (f (x) непрерывна
для этого значен!я, Мы
(А) | q (x) (f,(a) I i- у Дх, у) - Да , у) \ ,1у,
(см. §715, а). ВслЪдсгте непрерышюсти функцЫ f(x,y), каждому
данному положительному числу с соответствуетъ такое число E, что
I/C.v. у) Да,у)\ < с,
если \х — а, <E, а потому изъ предыдущаго неравенства получаемъ
<р(х) — </¦¦(«) | < {Ь — а) е, а положивъ к = т—— , гд'Ь в' сколь угод-
угодно малое положительное число, мы находимъ, что при х — а <<3,
гр(д-) — tp(ft) | < <?', чго и доказываетъ непрерывность (f[x) при
х — а, а следовательно, и во всемъ интервале (с, д). потому что
значен!е х = а выбрано было по произволу.

298 VII, 1, интегрш'Оваше. § 733
Полученный результатъ можно обобщить на тотъ случай,
когда f{x, у), оставаясь лишь конечною имъетъ конечное число
разрывовъ для н+лкоторыхъ или даже для всъхъ значенШ х въ интер-
вал-Ь (с, д) и различныхъу въ интервал* (а, Ь).] "').
Перейдемъ теперь въ разысканию производной отъ ср (х).
Мы имъемъ
'(¦ (¦*-{•&) — Ч' (•¦*") _ / f(x + А, у) —/(л1, у) ,
j- = j k ^ их
fK(x '.-bit,у) dy, гд-fe 0 < е < 1.
Положимъ, что каждому, сколь угодно малому, положительному
числу е, соотвътствуетъ такое положительное числи д, что, при
|/г<E, всегда будемъ имЬть при |/г|<E,
каково бы ни было значен!е у въ иптервал-b (а, Ь). Тогда ясно,
что будемъ имъть
I л '
' (x — h) - <({х\ I ., . . ,
— 7 I / {X, V) " v '
а отсюда
Л—.0
Полезно заметить, что поставленное выше условие относительно J'x
всегда выполняется, если производная /*'с отъ fjr существуетъ и
конечна. Действительно, если f^{ будетъ при с^х^д, а^у^Ь
всегда меньше Ht.KOToparo дапнаго числа /, то достаточно взять
¦ h ! < -,-, чтобы им^ть
*1 См- Poussin, de la Vallee, Cours d'Analyse infinitesimale, т. II,
2-е изд. 1ЭГ2, стр. 4.
**) Формула эта выражаетъ такъ нязываемзе правило Лейбница.
***) Очевидно, также, что для выполнеШя упомянутаго услов!я доста-
достаточно, чтобы fr (х, у) была непрерывною въ данной области, какъ фуккщя
отъ диухъ перем-Ьиныхъ.

§§ 733—734 кратные интегралы. 299
Итакъ, производная интеграла, взятая по параметру, при предЪ-
лахъ, отъ него независящихъ, равна интегралу отъ произ-
производной подъинтегральной фупкш'и, взятой по этому пара-
параметру. На этомъ основан!и формула
называете» также формулою дифферепцнро ватя подъ зна-
комъ интеграла*). Если а и b не постоянныя, а фуккщи отъ х,
то производную ц/ (х) получимъ, разематриван q> {x), какъ сложную
фумкщю (§ 369), и припоминая, что производная интеграла по
одному изъ его предЪловъ равна значению подъинтсгральной функцш
(§ 713) на этомъ предал*, взятому со япакомъ + или — (§ 711, аO
смотря по тому, будетъ ли эта производная по верхнему или по
нижнему пред-Ьлу **). Применяя скааанное, получимт,
(/ (л) = fix. Ь) V - Дх, а) а>+ ( /х (х, _
у) dy.
734, Возвратимся теперь къ интегрированию KHrerpavia и бу-
демъ опять считать а и b постоянными. Предложимъ себ% интегри-
ь
ровать интегралъ <р(х) = I f (х, у) dy вт, пред^тахъ отъ а до //.
а
Если положииъ
х. Ь
V(х, у) = / /(.г-, у) dx, Fix) = I v(.f, .1') dy,
то, очевидно, будемъ имт.ть
4 i
F'(X) - / ¦;.; (.V, V) dy ™ I /(X, V) dy -= ,f (X),
а следовательно,
,? Ь I. ,rf
/ (r(x) dx = F\:,]) -Fin) - / v UJ,y) dy - jdy j/[x, y) fix.
*') 1 [ранило это выведено только для случая конечныхъ гтред-кчовъ
интеграловъ, Дальше встр-вчаются, однако, (гриложегпя его въ случай безконеч-
ныхъ пред1зловъ. Объ услов!яхъ, когда такое распространен законно, можно
прочесть, напр., у Гурса „Курсъ математически го Анализа" (т. I, стр. 395).
**) Прим-бняя это правило § 713, мы должны предположить непрерыв-
непрерывность подъинтсгральной фупкШи по у, по крайней мър-fe, мри у = а а у — Ь .

300 VII, 1. интегринованш. §§ 734-735
Итакъ, чтобы интегрировать интегралъ но параметру (т. е.
по переменной, независящей отъ переменной интегрирования пъ
данномъ ингегралъ), достаточно интегрировать по этому пара-
параметру подъинтегральную фу!жц1ю. Иными словами, подставляя
•вместо <р (х) ей выражеше, получимъ
л ь я
fix, у. dy -Сиу С fix, у) dx.
[ Прим.'Ьчаше. Эта формула поканываетъ, что значеше двой-
двойного интеграла, когда пределы интегрирован!» по обЬимъ перемт.н-
нымъ постоянны, не зависитъ отъ порядка интегрирований. Формула
эта выведена при помощи формулы дифференцировали и можетъ
считаться доказанною только въ случай конечныхъ пределовъ и
непрерывности подъннтегральной функцш. Действительно, въ этомъ
предположена, /'(д-, у) будетъ интегрируема и по х, и но у.
Далее (си, § 733), функцш f(x) и Ц>(х, у) будутъ непрерывны
(а следовательно, и интегрируемы), первая по ос, вторая по у.
КромЪ того, иэъ непрерывности f(x, у)} по ,г~ вытекаетъ (§ 713),
что 'V'z{x, у) ~/(х, у), а непрерывность /(х, у) по обЪимъ пе-
даетъ право (см. прим+.чаше у:;*) на стр. 298) применить
и
кь интегралу J %> {х, у) dy правило, изложенное въ § 733. О рас-
iH формулы на безконечные пределы см. Гурса, 1, с. ]
Случай, когда пределы а и b не постоянный числа, а функшп
отъ х, можетъ быть сведенъ къ случаю постоянныхъ пред"Ьловъ
помощью введенш новой переменной. Достаточно, при иктегриро-
ван!и по у, положитъ у — а-\-{Ь — а)/; тогда t будетъ нзм-Ьняться
отъ 0 до 1, при измЪкенш у отъ й до Ь.
735. Новое onpefl^eHie двойного интеграла. Приведенное
выше определен1е двойного интеграла страдаетъ ттлш же недостат-
недостатками, какъ данное въ началЪ этой книгт^ опред-kneHie простого
интеграла. Поэтому нужно его пидоизмЪнить так!., чтобы оно давало
возможность установить условш существован)я интеграла и, кром"Ь
того, указывало путь для вычисления его аначенш (не предполагая
известными, ни даже существующими перпообракчыя функцш <р и ip,
о которыхъ говорилось въ § 732). Л^ы предположимъ, что область
интегрирован!я конечна, т. е. что можно указать два конечныхъ
интервала (а, $) и (у, д), въ которыхъ должны заключаться соот-
соответственно зкачеши перемЪнныхъ х и у, удовлетворяющихъ нера-
неравенству L(x, 1/)й0, определяющему область кптегрировашя.
Функщю f(x, у) мы нредположкмъ конечною въ области инте-
интегрирования и условимся, что f(x,y) равно нулю для всЬхъ значенШ
х и у, лежащихъ вне области интегрировала.

§ 735 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 301
[ Прил1'1ачан1е. Подъ а и /? понимаются наименьшее и наи-
наибольшее значеше д; въ области интегрировали, подъ у и д —
наименьшее и наибольшее значение у въ той же области. Пользуясь
геометрической интерпретацией, можемъ сказать, что та часть пло-
плоскости, которая изображаетъ область интегрировашя, лежитъ вся
внутри прямоугольника, ограниченнаго прямыми х — а, х = /?,
у=у, у = E.1
Разложимъ интервалъ (а, /?) на частные интервалы hlt h%, ..., /zK,
а (у, Л) на интервалы kt, k%, . .., km. Положимъ, что какг, тъ1,
такъ и друпе, стремятся къ нулю (при чемъ, конечно, числа т и п
должны безпред-Ьлыю возрастать), не будучи связаны никакою
зависимостью. Когда х и у изменяются соответственно въ иптерва-
лахъ hi. и kj, независимо одно отъ другого, зпачен(я функцш fix, у)
остаются между некоторого нижнего и некоторою верхнею грани-
границами; выберемъ по произволу число fa, содержащееся между этими
границами, и разсмотримъ дпойную сумму
Если эта сумма всегда стремится къ одному и тому же пределу,
когда все hi и все kj стремятся къ 0, при чемъ т и п безпре-
д-Ьльно возрастаготъ, независимо отъ закона разложен1я интервалов
(a, ft и (у, д) на части, и независимо отъ выбора чиселъ fi}- въ
соотв-втетвующихъ 1'раницахъ, то этотъ пределъ и называется
опред Ьленнымъ двойнымъ интеграломъ отъ f(x, у) въ данной
облает к, и обозначается знакомъ
(x.y)d.vdj:
Выражен1е f(x, y)dxdy называется элементомъ интеграла, а инте-
гралъ есть сумма безконечно большого числа безконечно малыхъ
элементовъ. Это определеше вполне аналогично определен1го про-
простого интеграла, данному въ § 710. Положивъ его въ основаше,
можно изъ него вывести слъ\дсшя, аналогичный темъ, который были
выведены изъ опредЬлен1н простого интеграла, и въ частности изъ
него можно вывести необходимое и достаточное услов!е существо-
вашя интеграла или, иначе говоря, yeweie интегрируемости функщи
f{x, у) въ данной области (ешолн-Ь аналогичное условию интегри-
интегрируемости функции отъ одной переменной въ данной области).
Здесь мы ограничимся формулировкою определежя и для всего
прочаго отсылаемъ читателя къ подробныхъ курсамъ интегральнаго
исчислен!я *).
*) См., нaпpимtpъ, Гурса. .Курсъ математическаго анализа". Вопросъ
объ интегрируемости функиШ отъ одной или отъ двухъ нсзависимыхъ пе-
ремТзнныхъ трактуется у Гурся и аъ большинстве француэскихъ руководствъ
съ н-Ьсколько иной точки aptHifl, съ которою полезно ознакомиться,

302 VIt, 1. интегрироваше. 5 736
736. Намъ остается только показать, что если интегралъ (по
новому определенно) существуетъ, то значение его получается
изложениымъ еь § 731 способомъ, т. е. получается при помощи
двухъ простыхъ интегрирований. Предположимъ, какъ и въ § 731,
что область интегрировашя, определяемая неравенстаомъ L{x, т)™0,
совпадаетъ съ областью, определяемою нерапенстпами
а (х) 2= у ^ Ь (х), а ? х ё, jJ.
Если интегралъ, какъ пред'Ьлъ суммы, существуетъ, то мы можемъ
распоряжаться последовательностями разложенШ по произволу, на-
примёръ, сперва взять определенное разложете интервала (а, ,3)
на частные интервалы (hlt k.it . . ., /;«), т. е. считать всЬ Jij и
число п постоянпымъ. и изменять рааложенЗе интервала (у, <)) на
частные, безпредельно убывающ1е интервалы (ku &г, . . ., /г,„), при
чемъ т будетъ безпред+,льно возрастатг,; число ft, между нижнею
и верхнего 1раницами значенШ, которыя принимаетъ f{x,y), когда ж
остается неподвижнымъ въ начальной точк-fe элемента hi, а у изме-
изменяется въ интервале kj, можемъ выбирать также по произволу.
Тогда вышенаписаиная двойная сумма разложится на п простыхъ
суммь, изъ которыхъ одна, соответствующая данному г, будетъ
Прилично выбирая числа _Д,-, мы можемъ сказать, что эта сумма
равна
й
Л, f/(x,y)dy.
Действительно, разлагая интервалъ {¦/, 6) на интервалы k1, k%,..., km
мы можемъ представить интегралъ въ виде
A ;v^ rJ
f(r,y)Jj'-2L- fix, у
где f}- есть некоторое определенное число, лежащее между грани-
границами функщи /' въ интервале kj. Взявъ въ сумме (А) числа ff}-
равными этимъ _//, что мы въ праве сделать, мы убедимся въ спра-
справедливости сказаннаго. Далее, такъ какъ, по услошю, f(x, у) равна
нулю вне области интегрировашя, то можемъ написать, что
Ь (.г)
u{.z\

§ 736 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 303
потому что интервалы (у, п(х)) и (Ь(х), д) лежатъ вит, области
интегрирована. Полагая
ь
I Дх,
у),1у
и обозначая черезъ Д- значение -F(x) для х, лежащаго въ
интервала 1ц, находимъ, что наша двойная сумма равна
Ьл Fx -j-hsF,+ ¦ ¦ • + !ifl Flt.
а пред+.лъ ея, когда вст, hi стреми ica къ 0, а п возрастаетъ без-
предЪльяо, равенъ
f $ 0 Ь (icl
F(x)dx=* j dx f/{x,y)dy,
h п.(т)
т. е. выражешю B2) въ § 731.
f Примечание. Если та же самая область интегрировали
L(x,y)-^hQ моясетъ быть изображена неравенствами
с (у) ¦? х ¦? d (у), у -^ у S Л,
то совершенно такъ же убедимся, изм^нивь порядокъ суммирован!я,
что двойной интегралъ, т. е. предЪлъ двойной суммы, распростра-
распространенный на область L(x, у);=0, булетъ равенъ
B2 bis)
Отсюда и видно, что
Ъ\у) 6
f(x, у) dy
а и- (х) 7 с (у J
если неравенства
опредът]иютъ одну и ту же область интегрированы L(x,y)^0,
потому что эти интегралы равны одному и тому же определенному
числу, а именно двойному интегралу
С j' f(x,y)dxdy,
распространенному на эту область. Если область интегрировашя
определена неравенствами
а ?= х ? /?. ;.'?]) йй,

304 VII, 1. интегрироваше. .§§ 736—736а
гдЪ a, Iе?, у, й числа постоянный (т. е. изображается прямоуголь-
никомъ съ вершинами '(а, у), («> <5), ($л у) и (/3, E)), то найдемь,
что IJ f(x, y)dxdy, распространенный на эту область, можетъ
быть представленъ въ слъдуюищхъ двухъ видахъ
j {f{x.y)dxdy - / dx I f(x,y)dy -= Cdy I f{x,y)dx,
а у v a
такъ что снова получается формула § 734, выражающая теорему
объ изм^Ьненш порядка интегрирован1й. Необходимо только заметить,
что выволь ея, сделанный зд-Ьсь, нельзя считать строгимъ, потому
что онъ осиованъ на предположении о существован1и двойного'
интеграла
а услов!я этого существования не были раземотр-ёны. На основании
§ 734, мы въ правЪ лишь утверждать, что теорема эта в%рна,
когда /(.v, у) непрерывна ].
Перемена порядка интегрирован^, кякъ мы увидимъ дальше,,
есть весьма ценное средство для разшлхъ ижпЪд.ован'1р1. Не нужно
только забывать, что примъпен1е его можетъ иногда вести къ не-
в+,рнымъ результатами всл^дств]е несоблюден1я функшею /(х, у}
ограничивзющихъ ее условий, нанримЬръ, когда эта функщя раз-
разрывна въ области интегрирования, или когда эта область безконечна.
736а. Подъ двойнымъ интеграломъ, распространеннымъ на
беаконечную область, нанрим-връ, на всю полу-плоскость, лежащую
со стороны положительных"!, ораинатъ, определяемую неравенсгвомъ
0 й V < + * , — ж' < х < "f" °° i понимаютъ npeflt.>№, къ которому
стремится интегралъ, распространенный на конечную область, когда
ен граница удаляется въ безконечность, если такой пред^лъ суще-
ствуетъ. Наприм*ръ, д.чя вышеупомянутой области вычисляютъ
интегралъ, распространенный на площадь прямоугольника, ограни-
ченнаго прямыми у = 0, у— ё, х= — а, х=а и зат-Ьмъ ищутъ его
пред^лъ при возрастанш д и а до ог>. Разсматривая функц1ю отъ
трехъ независимыхъ перем-внныхъ f(x, у, z), можно установить
понят!е о тройномъ опредтэленномъ интегралт!, аналогичномъ поняпю
о двойномъ, а зат'Ьмъ и о п — кратномъ интегралъ функцш отъ п
перемЪнныхъ независимыхъ. Отсылая читателя для подробностей
къ подробным ь курсамъ интегральнаго исчислен1я, цитированнымъ
выше, мы ограничимся здЪсь несколькими замъчан1ями о тройныхъ
интегралахъ. Для наглядности мы воспользуемся геометрическими
соображешями, разсматривая х, у, г, какъ прямоугольный коорди-
координаты точки въ пространств^. Мы предположит, что точка (х, у, з)
должна всегда оставаться внутри или на границ!; нъкотораго объема,
который весь заключается внутри параллелепипеда, ограниченнаго

§ 736а кратныг: интегралы. 305
тремя парами плоскостей, соответственно параллельныхъ координат-
нымъ плоскостямъ
A) х - х0, х = Х > .г0; у-- v,-,. у - У > уA: г = sn , s = Z > зц.
Представимъ себъ затъмъ, что мы разбили этотъ параллелепипед!,
на элементарные параллелепипеды тремя системами плоскостей, со-
соответственно параллельныхъ координатнымъ плоскостямъ. Мы пред-
положимъ затемъ, что разстоянш между каждыми двумя смежными
плоскостями каждой изъ трехъ системь стремятся къ нулю, такъ
что всъ три ребра каждаго элементарнаго параллелепипеда стремятся
къ нулю. Обозначая череаъ /;.,-, kj, lg ребра одного изъ элементар-
ныхъ параллелеиипедовъ. а черезъ yi/ff произвольно выбранное
число, лежащее между [ракицами значенШ функцш J] соответству-
соответствующими точкамъ внутри или на границахъ того же параллелепипеда,
разсмотрнмъ тройную сумму
i', j, о •
распространенную на act комбинащи значковъ /, j\ g, соотвЬтству-
ющ!я всемъ элементарнымъ параллелепипедам!., на которые разло-
женъ данный параллелепипедъ, ограниченный плоскостями A).
Условимся, наконецъ, считать функщю /(х, у, г) равною нулю во
вс-Ьхъ точкахъ вн-Ji данной области. Предвлъ, къ которому стремится
сумма B), когда все /г,, kj, ly стремятся къ нулю, при чемъ число
ихь, конечно, возрастаешь безнределыт (если такой пределъ суще-
существуете—называется тройнымъ интеграломъ отъ /(.V, у, s), распро-
страненнымъ по данному объему или по данной области, и обозна-
обозначается знакомъ
f{x,у, ¦:) dx dy rfs.
Символы dx, dy, dz обозначаютъ длины реберъ элементарных!,
параллелепипедовъ, и, какъ таковыя, всегда будутъ безконечно ма-
малыми положительными числами. Затвмъ легко показать (аналогично
тому, что было показано для двойного интеграла), что вычислеше
тройного интеграла приводится къ тремъ простымъ интегрироватямъ.
Какова бы ни была область интегрированЗя, мы можемъ ее разбить
на несколько частей, ограниченныхъ слЪдующимъ образомъ: двумя
плоскостями, параллельными плоскости zy, х — хй} _г=Лг>х0; двумя
цилиндрическими поверхностями, съ образующими, параллельными
оси ?-овъ, у — (р(х), у — Ц!(х) > <р(х); и двумя поверхностями
e = F(x, у) и в — Ф(х, V) > F(x, у). При этомъ последн1я две
поверхности таковы, что прямыя, параллельныя оси з-овъ, нстрф,
чаютъ каждую изъ нихъ только въ одной точке, а кривыя у — (р(х)
и v — '*p{x) въ плоскости ху таковы, что каждая изъ нихъ встре-
встречается съ прямою, параллельною оси у-овъ, только въ одной точке.

306
VII, 1, ИНТЕГРИРОВАН»!.
§§ 736а—737
Тогда легко показать, что тройной интегралъ, распространенный на
объемъ, ограниченный такнмъ образомъ, вычислится по формуле
if IX) Ф(х.у)
<~ f dxjdy ff{x,y, s) ds,
где последовательный интегрировашя надо вести по порядку отъ
правой руки къ левой.
737. Введен1е новыхъ переменных!». Положимъ, что въ
интеграле I I f(x, у) dx dy делается подстановка х — гр (и, v),
y = ip(u, v), где и и v новый (независимын) переменныя интегри-
ровашя. Независимость функцШ х и у требуетъ (§ 579), чтобы
определитель
д х д х
д (яг, у)
д («, v)
ди dv
ду д у
д и dv
не былъ равенъ нулю. Предполагая это услов!е вьшолненнымъ, по-
положимъ, что^(м, г-1) есть та функшя отъ ц и v, которая получится,
когда въу(х,у) заменимъ х и у ихъ выражен!ями въ новыхъ пере-
м%нныхъ, и напишемъ данный интегралъ въ виде / dyjf(x, y)dx-
Кроме того, чтобы иметь дт>ло съ определеннымъ случаемъ, пред-
положимъ, что при отдельныхъ интегрирован1яхъ соответствующая
переменная постоянно возрастаетъ, такъ что дифференщалы пере-
менныхъ всегда разсматриваются, какь положительный числа. Сначала
перейдем ь отъ переменныхь х и у къ перемЬннымъ и ну; при
этомъ мы подъ v разумеемъ ту функшю отъ у и и, которая, при
условШ (§ 572) -г- ^0, определяется изъ уравнешя y—%>(it, v).
При интегрированш по х, у должно оставаться постояннымъ, т. е.
должно быть
а следовательно,
-
ди
dv
±2. |
, д х , д х , I д х о х д и '
ах -^ -— du -\- -— uv = \ -г- -. ¦ -,—
О и д v | д и av i) у
Поэтому интегралъ обращается въ
ду
dv
\дv " \dv
dy.

§§ 737—738 кратные интегралы. 307
(при чемъ, если понадобится, пределы интегрировашя по и пере-
ставимъ *)). Теперь перейдемъ отъ перемъ'нныхъ и и у къ пере-
мъннымъ и и v. При интегрировании по у, и должно оставаться
постояннымъ, поэтому
, д у , д v , д v
dy = • dи-f ^г1 dv — -' a v.
ПослЪдшй интегралъ обращается въ /dujg(u, v) <§\dv (при
чемъ опять, если понадобится, переставимъ пределы интегрирован1я
no v). Итакъ, будемъ им^ть
B3) С С fix, у) dx dy = I fg («, v) | <S> | du dv.
Общн-Ье можно доказать, что
/... /f(Xty.*,...)dxdyd*-= I ¦¦
738. Если будемъ разсматривать х и у, какъ Декартовы ко-
координаты точки на плоскости, то переходъ къ новымъ перемЪннымъ
можно геометрически интерпретировать, какъ переходъ къ криво-
линейнымъ коордииатамъ (§ 413), при чемъ область интегрировали
инымъ манеромъ разбивается на безконечно малые элементы кри-
кривыми и и кривыми v. Въ самомъ д-ктЬ, формула B3) показываетъ,
что вместо того, чтобы разбивать область интегрированш на прямо-
прямоугольники dxdy, какъ того требуеть опред^лен1е, можно ту же
область разбить вышеупомянутыми кривыми на друпе элементы.
Каждый изъ этихъ элементоьъ (если пренебрежемъ безконечно ма-
малыми высшаго порядка) можно разсматривать, какъ параллелограммъ
со сторонами da и dx, составляющими между собою уголь со,
синусъ котораго, по n3Bt,CTHofl формулъ (§ 571, d), равенъ частному
отъ дЪлешя *5) на у- ,-\ площадь такого параллелограмма равна,
слт,ловател1,но, абсолютной величин* выражетя sinm. da dv—'S'dudv.
Итакъ, формула B3) выражаетъ интегралъ, какъ сумму безконечно
большого числа безконечно малыхъ элементовъ, равныхъ произве-
денкямь площади каждаго параллелограмма на число g, среднее
между значениями интегрируемой функщн для различныхъ точекъ
этого параллелограмма. Такимъ образомъ получается обобтцен1е
Hia, даннаго въ § 735.
*) Съ тою ц-Ьльга, чтобы du было больше 0.

308 VII, 1. интегрированш. § 739
739. Примеры, а) Геометрическое изображеше области интегриро-
интегрированы значительно облегчаетъ разыскате предъмовъ. въ которыхъ надо про-
производить отдельный простыя интегрирования, какъ при перемени порядка
интегрирования, такъ и при введенш новыхъ иерем-внныхъ. Такъ, въ примере
§ 732 все становится очевиднымъ, если замКтимъ, что область интегрирования
есть кругъ рад!уса, равнаго единице, касаюшдйся оси Оу въ начал!, коорди-
натъ. Для дру! ого примера положимъ, что надо вычислить интегралъ отъ
fdxdy, распространенный на площадь треугольника, ограниченная прямыми
х — 1, у = ах, у = ,(Ух. Тотчасъ же видимъ, что
У_
1 ;?л ПН в 1
( dх ff{x,y)dy = Cdу j'fix.у) fix ¦(- jdy Cf{x.y)dx.
П ах 0 у п *у
Точно такъ же имЪемъ
fdx ^/(х, у) dy = Cdy If(x. у) dx.
on n J
b) Геометрическая интерпреташя формулы B3) do многихъ случаяхъ
избавляетъ отъ необходимости вычислять определитель vj) Наприм*ръ, при
переход^ отъ Декартовыхъ координатъ на плоскости къ полярнымъ, им^Ьсмъ
6 i3 и
C (.v, v) ' cos в — г sin О
rf(r' в> , sin 5
Поэтому
B4)
I ( f[x, у) dx dy = / (/(rcosi, r sin b) rdr d%.
Къ тому же результату приходимъ геометрически, замечая, что лин1и г и
лиши 0 делить плоскость на безконечно малые элементы, которые можно
раэсмятривать какъ прямоугольники; стороны этихъ прямоугольникооъ бу-
дутъ: отрЪзокъ dr, отсекаемый кругами радсусовъ гиг \-dr на всякой
прямоA, проходящей черезъ начало координатъ, и дуга rdi, отсекаемая
прянылкг, образующими углы 9 и 6-|-й?6 съ полярною осью, на окружности
круга pafliyca г. Площадь этого прямоугольника равна, елтздовательно,
rd'i ¦ dr.
с) Подобно этому, въ пространств^, обозначая черезъ у долготу,
а черезъ ™ широту, будемъ им1;ть
х = у cos (f cos Vi У = r si'1 4- cos >;>, г — r sin i,1',
а отсюда
cus if cos it< sin ff cos у sin у j
r-,' ' ' ~"x — >-2 — sin ir cos у cos v cos ),' 0 = r'- cos *;'.
air, if-, v)
— cos у sin ;; — sin. г); sin v,j cos у |
СлЪдователько.
/ I I f{x,y,s)dxdyds^ f I I f{rcas<f¦caswrsinqpcosyj'Siny)r-\cosip] drd<fdy.

§§ 739-740 кратныр. интегралы. 309
Къ тому же результату прмходимъ съ помощью с.тЬдующаго замечашя:
Если одно г изменится безкопечно мало, то точка М(х, у, s) опишетъ пря-
прямолинейный эяементъ MM'—dr\ если одно до возрастетъ безконечно мало,
то точка М опишетъ элементарную дугу круга ММ"-= г | cosy | dq;, въ
плоскости, перпендикулярной къ Оз; наконецъ, если одно tp возрасгаетъ на dy,
то точка М опншетъ дугу круга М М'"= г dip, въ плоскости, определяемой
угломь <р. Эти три элемента можно разсматривать, какъ ребра прямоуголь-
наго параллелепипеда ММ'М"М"\ эквивалентна™ тому тЬлу, которое
ограничено поверхностями шаров ь съ рад!усами г и г ¦+ dr. плоскостями ijr
и <p-\-dcp и конусами v и у + "Ч'- Объемъ этого гЬла, если прекебре-
жемъ бесконечно малыми выслзго порядка, будетъ, следовательно, равенъ
г \ cos ip | dq; ¦ r dy ¦ dr.
740. Упражнен1я. а) Чтобы видЪть, какимъ обрязомъ перемена
порядка интегрировашй можетъ влиять на результатъ, вычислимъ Ъ1
интегралы
11
со а он о
0 0 0 Oft i
J J
Oft
Замътимъ, что въ обоихъ случаяхъ подъинтегральная функшн обращается въ
безконечность въ точке @, 0). Несмотря па это, неопределенные интегралы
существуготъ, а именно
1 х —у х . . ч
-= — -¦ ф (х) -f \р (г), arc ш 1- да иг) + ij< (г),
Z А' ~\- у ~^ У "
но въ точке @, 0) они разрывны, потому что въ смежности съ нею могутъ
принимать любое значение.
b) Если оказывается удобнымъ при вычислен^ интеграла ввести
вместо у, наприм^ръ, новую переменную g = xy, то для применения фор-
формулы B3) надо заметить, что
Напримеръ,
11 ill 1
ЯГ Г** Г . Г * , ,
(ху)'*ахау= I sdz I — =— I я \ogsds= I 9 яс=0,7йЗ
./ J x J J
0 0 о г 0 0
Это преобразование сводится къ тому, чтобы разбить плоскость равносто-
равносторонними гиперболами, jy = const., на полосы безконечно малой ширины.
c) Можетъ случиться, что кривыя « и крнвыя v составнтъ одно
семейство кривыхъ, Положимъ, напримеръ, что разсматривается часть
плоскости, лежащая между осью Ох и равиодЪлящею угла уОх. Для

310 VII, 1. интегрирование § 740
изображены точекъ этой области можно приравнять х и у аривметическому
и геометрическому среднему новыхъ гшремЪнпыхъ и и v, т е. положить
х = \ (и-\~v), y = Yuv, Тогда будемь иметь
Чтобы одна изъ новыхъ перемЪнныхъ оставалась равною некоторому посто-
постоянному а, между х и у необходимо должно существовать некоторое соот-
соотношение, которое и получимъ, исключая другую переменную изъ выраженШ
х и у черезъ и и v. Это соотношете будетъ. следовательно: y'i= 2 ах — а2.
Оной изображаетъ единственное семейство кривыхъ и и "кривыхъ v, и
состоигь, какъ мы виднмъ, изъ всЬхъ парабалъ, им^ющихъ осью Ох, а
директрисою Оу. Значен1я и и v въ каждой точи'Ь даются формулою
х + yix?— у2. Если условимся положить и = х 4- \гх-~ у&, а следовательно,
и = х— Уxs- у2, то на парабол^ съ параметромъ а будемъ им%ть
и —\х + I х — а ,, v = х — \х — а] ,
откуда и—а при xsLanv=a при x>ia. Поэтому, если разделимъ въ данномъ
угле ^feждy Ох и прямою у=х параболу на конечную дугу между верши-
вершиною и точкою касашя съ прямою у = х, и на другую безконечную, отъ
последней точки до бесконечности, то на первой дуге и равно постоянному,
a v = 2x — а изменяется отъ 0 до «; на второй ь остается постоянкымъ,
а н = 2х—а изменяетя отъ а до <*>, Если положимъ, начрим'Ьръ, что область
интегрировашя ограничена осью Ох и параболами съ параметрами а к Ь,
то интегралъ отъ fdxdy можетъ быть представленъ одною изъ следующихъ
двухъ формулъ
/ dy I f{x,y)dx = I dx I f(x,y)dx + / dx f(x. y)dv
a«
Если же примемъ и и v за переменныя иитегрироваюя, то онъ представится
проще, а именно такъ:
/(i Ы + v), У и v) («¦ -v)d Yu d y"v
d) При помощи весьма обыкновеннаго npieMa, не вполне строгаго, но
который можно сделать строгимъ1), можно вычислить интегралъ Дирихле
(§ 729, g), замечая, что при х > 0
со
!) См., напримеръ, „Calculo integral" Gomez-Teixeira A-я часть,
стр. 94) или Дгайб d'Analyse" E. Picard (т. I, стр, 34).

§ 740 кратные интегралы. 311
а следовательно,
I silf dx= I I e~*s sin x dx dy = / dy I e
0 0 0 0 0
Такъ какъ при у > 0
(е~ '» cos x)* - - 1, (с-** sin л-)* = 0 •
то интегрирован1е по частя мъ даетъ
/ ё ~1! sin .-v dx = \ —у I e~ T!/cosxdx= 1 у? f e x!l si
о о о
A -\-у'^) j " ** sin х dx = 1,
и
о о
Подобнымъ же образомъ для вычислешя интеграла
sin xdx,
откуда
Поэтому
3=1 sin .v • log sin х dx
о
можно написать
~2
$1 = — I sin .v rf.v I coljv' rfy = - /cot >' rf_v / sin .v (?дг
*l i 0 0
= / Itg ~ - sinyj rfy = I cos.у - log cos-ij = — 1 + log 2.
0
Впрочемъ, предложенный иптегралъ легко вычислить и вь неопред%ленномъ
вид-fe съ помощью интегрирования по частямъ
У* А'
sin х ¦ log sin x dx = — cos x log sin x ¦+- log tg -я + cos x -\- С
Отсюда слъдуетъ (§ 312, b)
(x\
cos x ¦ log sin x — log tg -7J-) -= — 1 -f- log 2.
* /

ЪП VII, 1. ЛНТЕГРИР0ВАН1Е. §740
f) Чтобы вычислить интсгрялъ Пуассона $ (§ 721, е), разсмотримъ
двойной интегралъ
B5) f f <>-&-»">,Ix dy-
0 О О
в постараемся вычислить его иначе. Напишемъ
гя ее
Э2 = С е~х'~ dx С «-* dy,
о о
и зам^нимъ прк первомъ интегрирован1и (но у) V новою переменною /,
определяемою равенствомъ у — tx Тогда иолучимъ
$1 ^ С е-* х dx f е-1'** di - С dt ( е-Ч-г*'1* ¦ .v dx.
Теперь тотчасъ найдемъ
П
Замечая, что 3 должно быть больше 0, окончательно получнмъ
g) Къ тому же результату можно придти, преобразованъ сперва
интегрялъ B5.) по формулЪ B4), а потомъ уже вычисляя его. Принимая во
внимание, что г изменяется отъ 0 до м, а в отъ 0 до ~, когда .г и у
независимо одно отъ другого принимаютъ net положительныя значен^, тот-
тотчасъ находим-ь
об о
Впрочемъ, этотъ не строки пр^емъ1) не отличается существенно отъ лреды-
дущаго, что сейчасъ увидимъ, замт>тнвъ, что t = tg 9. И въ томъ и другомъ
необходимо еще доказать существование Э, а это получается тотчасъ
(§ 717, Ь; изъ того обстоятельства, что функщя .г" е~*' стремится къ 0
при х безконечномъ, каково бы ни было п.
1) Этотъ нр(емъ данъбылъ Пуассономъ и исправлент. Кейли (Cayloy)
„Quarterly Journal of Mathematics" A872, стр, 120). См. „Melanges mathema-
tiques" Mansion (стр. 15) и „Traite d'Analyse" Picard (т. 1, стр. 103).

§ 740 кратные интиграды. 313
h) Дифференцирование (§ 733) по переменной, не зависящей отъ пере-
переменной интегрировайя {по параметру, какъ говорить), часто бынаетъ
полезно при вычислеши определенныхъ интеграловъ. Такъ, наприм-Ьръ, изъ
второго интеграла A1) тотчасъ получается первый черезъ дифференциро-
дифференцирование по /?, если принять во ннимаше, что производная отъ | х \ равна sgna".
Точно такъ же изъ опред'Ьленнаго интеграла Г(а) дифференцировашемъ по а
тотчасъ получимъ C14, j)
.v'1 «Г* log х dx = (- С + 1 - ~ + \ - ^-г + ¦ ¦ ¦' Г(в).
О
Вь частности, будемъ имЪть
е-' * log х dx = — С, / е~*' log x dx = - \ Y*(С + log 4).
о
Если въ первомъ интеграл^ заменимъ х на — log^:, то снова найдемъ
интегралъ Маскероки (§ 721, g). Дифференцируя еще разъ и полагая затъ-мъ
а= 1, а = \ и т- д., найдемъ
о
И Т. Д.
i) Интегралъ
/d х л
a* sTn^ х + 6й cos^ i=2u it
о
весьма легко вычисляется съ помощью подстановки tg*= — /, если усло-
условимся ноль a v\ b понимать положительные квадратные корни изъ it'2 и Ь2.
Дифференцируя одинъ разъ по а, другой но 1>, получимъ интегралы
/ sin2 х dx л / cos
J («2 sins х + № zo^xf ^ 'АЖЬ ' J (^sin-'д;
COS'2 х dx
: + Л2 cosa xf
б
сумма которыхъ равна
2
Г
/
'J
dx
(a- sin2 х ¦
Продолжай такимъ же образомъ и обозначая для сокращешя
_ 1 -3-5- ¦ .BI-1)
" 2"U6 й~1

314 VII, 1. интегрированш. § 740
найдемъ въ конц^в концовъ
dx
f
J (e2 sin2 x + b* cos2 xf~l
о
*я e*" + *i *n-i я'!я~2 *2 + *4 *»—а а2и~4 '
»T ¦ ¦ т—r~r —
Обратнымъ путемъ (т. е. интегрировашемъ) можно вывести изт. интеграла
B6) безчисленное множество другихъ. Сперва замЪтммъ, что тождество
(Яй - б2) Sin3 ДГ = (йЗ Sin2 д; Ц_ fc2 COS2 A-J __ J2
о
откуда получается
n
a'
2
/ ° — А'Л / sina ,v dx л __ .т. Ь
/2 я sin2.* t/д-- я
a3 sin2 «^F^tos- x " а~+
Отсюда интегрирован1емъ по я въ предЪлахъ й и я, и заменою а на
вуТ^А2 получаемъ
/ 1 - ¦ k- Sin2 .Г ЙЛ- = -jr- V Я log ^
Для проверки aaMtTHMb, что последи!?! интегралъ при k = 0 обращается
въ 0. а при k= 1 равенъ — | я log 2, что уже раньше было найдено другимъ
путемъ (§ 725, f).
j) Интсгрнрован1емъ по частямъ интегралы
[ е^™ cos, bx-dx, Г е~"* sin bx-dx (a > 0)
приводятся одинъ къ другому. Въ самомъ д-Ьл-Ь, им*емъ
<Я СО ОЯ
f e^cosbx ¦ dx = {e~'asmbx)*+a ( в~а*ътЬх ¦ dx-a J е~"х плЪх ¦ dx.
% -а С e~axcosbx ¦ <&=!—a j
cos u* ¦ <fo= 1—a / c"WUIcos 6* ¦ rf^1,
5' 57

§ 740 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 315
откуда
B7)
о
Интегрируя первый по Ь въ предЪлахъ 0 и Л, или второй по а въ предт,-
лахъ отъ й до со, получимъ
ОБ
/
_„« sin Ь х , . Ь
с dx = arc tg —
Съ приближешемъ а къ нулю, въ предал* получаемъ опять формулу (9),
такъ какъ пред-Ьлъ правой части равенъ iA
к) Съ цЪлью проверки нт,которыхъ полученныхъ раньше результа-
товъ, укажемъ еще иной путь для нахожден1я интеграла Дирихле. Сперва,
однако, нужно доказать непосредственно существовали этого интеграла.
Этого мы весьма быстро достнгнемъ, опираясь на одинъ изъ прежде добы-
тыхъ результатовъ (§ 717, с) и замечая, что
sin .v dx
— I cos a — cos /? 1 s; 2.
Но. для упражнешя. мы пойдемъ 3Atcb другимъ путемъ. Очевидно, суще-
ствуетъ интегралъ
ил л
„ _ Г | sin х \ _ Г sinxdx
е« ~ J ~~i J х + (п-\)п'
A П
J J
(я—1|л П
(h-I).
2 2 ?
и значен1е его лежитъ между и г-— , потому что / sin x dx — 2.
Отсюда слЪдуетъ
2
а потому {§ 195) рядъ Зх— Э2+ Э3 — ¦ ¦ ¦ сходящГйся. Въ тоже время,
если п наибольшее цтзлое число, не превышающее — , то будемъ имЪть
а
/Si
Х
о
гд-fe 9 лежитъ между 0 и 1. Итакъ, если будемъ увеличивать а, а следова-
следовательно, и п безпредЬльно, то будетъ существовать
/а
= 3, - 32 + 33 - - • ¦ > 0.

316 VII, 1. ИНТЕГРИРОВАНА.
Установивъ вышесказанное, находимъ (§ 729. f, с)
§ 740
QE да 00 <*
я.} /sin х , /sin у , / sin х , / sin tx ,
x I y -r I x ) t
•/ *J aJ *s
0 0 fl 0
Od 00 0
Cdt С. . . dx i Г, /l rW' i
=J ~rj sm ж sm ~ = TJ g '^') "> = T '
no о
. . .
J sm ж sm
no
н, такъ какъ 3>0, 3 — i я-.
)) Положимъ, что требуется вычислить интегралъ 3=1 с~х~cos2ax - dx,
Cl
приводишься при « = 0 къ интегралу Пуассона Э0 = |Уя. Дифференци-
руемъ по а н ннтегрируемъ по частямъ полученный результатъ, тогда
найдемъ
3'= fs
к.
e-^)^ -2а fe x*
о7
cos 2 я а-
Отсюда сл-Ьдуетъ log ^ = — as+ bg =J0. откуда
. т. е.
00
. Се-*''
о
cos 2 ад: rf.r = \ У^, е~а\
1°) Вычислимъ еще, сл-Ьдуя Dt la Vallec-Poussain, интегралъ, пред-
предложенный Mesangeг'oмъ въ Intermediaire des matliimaticens, 1903; стр.
207, 293:
l-*4og
1- - dx
x
при |*| s 1. Положимъ для з'добства письма Ъ ¦= - и зам-Ьнивъ подъ инте-
граломъ х на kx. увндимъ, что интегралъ приведется къ k2f{a). гд%
+
= / V"^7*2 log
~
.fv*=-,
dx-
Зам'Ьчяемъ теперь, что
а
/'(«) = « Лод
1
1 — " "о
я2 I /ea-
log
l~~^

§ 740 кратные интегралы. 317
или
ГД*
¦>-/к*!*-*1 ут%.'
о
Положивь A'^sinQ. к — binn, находимъ
гр [/г) — i log ' sinB S — sin- m \ di
= I log ' .Sill F -+- M) j l/6 + I log i 51Л (в— <;j) | «0
0 '>
¦Ji 71 Я :Т
-— И ., — w «+ ,- "J —^
/ log sin S ! <U + / lag i sin 3 , db — I log I sin в ! /i1) - I log ! sin 0 ' rf6
ИЛИ '" j"
17 (*) = I fog1 Si'1 9 : r/3.
л
Произволняя этой функши отъ id {$ 733) равна
log'sin (и [ ~^\ -kig|Sin|«- ~j !
= log J cos и I — log I — cos ы \ — 0.
Откуда последовательно получимь
^'(*) = 0. (f- (,!•) = (/@), /'/г;)=0, /('0 =/(!)¦
Но, полагая д —- sin 9 или .v = cos3, получимъ для /'A) то или другое изъ
выражешй
'/ 2
2 / cos- (I log cotg С rf-3, 2 / sin- ft log tg 9 c/C,
о Л
нзъ которыхъ, при помощи слпжсн1я и интегрирования по частямъ, найдемъ
/A) = / cos 2 Я log cogt 3 di
,т
2
¦=¦ — i / sin 2 0 d log LXitg у ^ jn;,
\ j si

318 VII, 1. интегрированш. § 740
Следовательно.
г, /cos «л; , ,
т) Вычислимъ еще интегралъ / . , dx *), разсматривая его,
J l +х"
какъ
производную функц!и
/о
и замечая, что
05
/sin ax
j -*u -г ¦* ,
о
со
о
п
Такъ какъ ~е~а {/—/") есть производная функщ'и e~"(/+/'), приводящей-
приводящейся при а = 0 къ _/' @) = arc tg со = — , то будемъ имъть
о
1) sgn a,
откуда получается
Да) +/' (в) ~ ^- ^° + -у A - еа) sgn a,
а замьняя а на — а
-/(о) +/' (а) = -j «~й - J A - <Га) sgn «.
Складывая эти равенства, находимъ
f (а) — V {A — sg'n а) e<i + A + sgn fJ) ^~а } ¦
Вырлжеше въ скобкахъ приводится при а > 0 къ 2 е~а, при а < 0 къ 2 еа,
и къ 2 при «=0, гакъ что оно всегда равно 2е а'. Итакъ,
cos аж
n) noMtflHiti результатъ BMt>cTti съ безчнсленнымъ мноткествомъ
другихъ, заключается, какъ частный случай, въ одной важной формулв1
г) Этотъ примЪръ заимствованъ изъ „Trattato di Calcolo" Todhunter'a,
который цитируетъ „Transactions of the Royal Irish Academy" {т. XIX, стр. 227).

§ 740 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 319
Фурье1), позволяющей всякую дифференцируемую2) (т. е. имеющую про-
производную) функшю /(а), стремящуюся къ нулю при а = ± ™, изобразить
въ вид* опред-Ьленнаго интеграла. Сперва зам-Ьтимъ, что
С/' (в) sgn (а - 9) db = //' E) d% - jf (в) rfS = 2/(а).
Отсюда, по формулЪ (9)
- х, О
Интегрирован1е по частямъ даетъ
I f (b)sm(a-b)x-db = х I /(9) cos (n—<t)x ¦ dx.
— CO —CC
Следовательно,
/{a) ¦-= — I rf# I f(p)cos(a—'j)x ¦ du.
0 —at.
Если теперь положишь
ОС 00
B8) (f-(ж) ^ f/\i) cos i x ¦ d i, y{x)= I /(i)sinux -di,
то получнмъ
B9) a) = — I { <p{x) cos « дг + v (*") sin «* } dx.
Это и есть формула Фурье, Въ томъ случаъ, когда /(— и) —/(а), фор-
формулы B8) дадутъ
ЧО
if {х) — 2 I fib) cos Bar • rfO, у (я-) — О,
о
и потому формула B9) даетъ
/
е (х) cos их ¦ dx.
Въ частности, для/(а) = « 1°', припоминая первый интегралъ B7), им-Ьемъ
2
<р (х) = j--у- -„ и приходимъ къ результату предыдущего упражнешя 3).
х) „Тпёопе anaiytique de la chaleur", т. 1, стр. 408.
2) Это ycfloeie слишкомь узко. См., напримЪръ, Poincare „Theorie
analytique de !a propagatiln de la chaleur* (стр. 102).
*) Fourier, 1. с. стр. 395.

320 VII, 1. интегрированle. § 740
Зам-Ьтимъ, наконецъ, что вышеприведенное доказательство формулы Фурье
не изменится, если въ формулахъ B8) пределами интегрирования будутъ
два корня функцш_/\в). Тогда правая часть формулы B9) будеть изображать
/(а) для значешй а, лежащихъ между этими корнями, и приводится къ 0
въ противномъ случаЪ. Такимъ образомъ, для/F) = cos 5, обозная черезъ jtf
корень этой функщи, найдемъ. что интегралъ
cos а л ¦ cos fix
(который, очевидно, не имЪетъ смысла, когда cos а и cos ;3 оба отличны отъ
нули) ракепъ-^ cos и | sin/J | или — cos 8 sin f} | или 0, смотря по тому,
будетъ ли ]«] <, -= или ;¦ \,3\. Кътому же результату, впрочемъ, прилемъ.
приводя этотъ ннтегралъ (при помощи весьма простого преобразован!я) къ
первому изъ иктеграловъ A1).
е. ПреоГ>разонан1е интеграла
/'cosnjf cos lx
1-х-
э
о"
къ первому нзъ ннтеграловъ (II) § 725, о получается с.тЬдующимъ путемъ.
Замьчая, что
_J. _ 1 / 1 2_
1 — .г2 ~ ~2~ \х — 1 х -
имъемъ
."?¦ ;г
/cos a.r cos Jx , I cos ад- cos 8 x ,
—— dx - I — ,-!— dx
x-\ J x-l
<! 0
l)cos ^_(|
Разбивая интервалъ A, t») на @, x)-~ @, 1), а (—1, ») на ( —1, 0) + @, «¦)¦
тотчасъ увидимъ, что интегралы, распространенные на интерпалы @, 1) и
(—1, 0) сохранятся и потому
/cos a (J — 1 ] cos ,¦' (f - 1) — ccs a f$ [
„ 1 / cos a (J — 1 ] cos ,¦' (f - 1) — ccs a !$ (- 1) cos J
Замечая, что по yc.ioeiro cos ,3 = 0. им-Ьемъ
cos/?(;— 1) = sin ,3f sin a, cos'j'(|-f 1) = - sin /т1! sin,ii,

§§ 740—741 кратные интегралы. 321
готчасъ найдемъ
„ . I sin iiS cos ai
gf -i- cos a siu ,-'J / ^-r -
и, подставляя значен^ интеграла, указанный въ § 725, о (перемЪстивъ
буквы а и $), мы и гтолучимъ данный выше значенья 3- \
741. Интегрирование полныхъ дифференц1аловъ. Задача
кратнаго интегрирован!я является естествеинымъ распространешемъ
указанной кь началЬ (§ 708) задачи, когда поставимъ вопросъ
о разысканш функцги отъ иъеколькихъ перемтпнныхъ неза-
внсимыхъ по данному ея полному дифференциалу. Разсмо-
тримъ сперва прост^йшШ случай, когда лано дифференщальное
выражеше вида
и (дг, у) dx + v (д:, у) dy,
и спрашивается будетъ ли оно, какь говорятъ, точнммъ дифферен-
шаломъ, т. е. существуетъ ли такая функшя з отъ двухъ независи-
мыхъ перем^нныхъ х и у, полный днфференшалъ которой раеенъ
ланному выражен1ю? Вопросъ сводится къ другому — существуетъ ли
функщя s, для которой
C0) го~ = и (х, у), ~ = v (х, у).
Мы видимъ тотчасъ, что для существован1я такой функши необхо-
необходимо услов1е:
C1) A^.v)^.,<,v,.vb
(§ 368), по крайней м-fept для того случая, которымъ мы и огра-
ограничимся, когда фумкцш и и v и ихъ первыя производныя непре-
непрерывны. При дЬйствителыюмъ разысканш функщи z необходимость
этого условш сама собою обнаружится, но мы въ то же время
увидимъ, что оно и достаточно для существовали z. Интегрируя
(§ 730) второе изъ уравнен1й C0), получаемъ z — I vdy -\- (p (.v).
Взявъ производную по х и принимая во внимаше первое ураине-
nie C0), найдемъ, что, кромъ1 toio, должно быть
<//{,г) = и(х,У) — I ——
Чтобы правая часть этого равенства не зависала отъ у, какъ не
зависитъ отъ него лт>вая, необходимо, чтобы производная
i v . \ д и ft г-
,— dv | =
д у д х

322 VII, 1. интегрированш. § 741
обращалась въ нуль, т. е. чтобы —- и ^ изображались одною и
тою же функщею fix, у). Если это yaiosie выполнено, то будемъ
имтлъ
s = / vdy + I |и — / j^dy\dx = / udx+ I vdy— ! I fdxdy,
результатъ, который легко приводится въ виду B0). Итакъ, имЪемъ
теорему: Для того, чтобы udx -j- vdv было точнымъ дифференш-
аломъ, необходимо и достаточно, чтобы -— = ~. Точно такъ же
о у <> х
для существования функщи Ф отъ трехъ независимыхъ перем-внныхъ,
им-Ьющей полный дифференшалъ
d<[i = udx -f vdy -j- wdz
необходимы и достаточны условия
^ Ъ у <) а ¦ д z о х ') х О у
_ . , о Ф
Въ самомъ д-блъ, исходя ияъ равенства г-_- — iv, нптегрирован1емъ
его (при х и у постоннныхъ) получимъ
ф = / ,-,v/« -|- if (л\ vi.
BMtci"B съ гЬм'ь будемъ им^ть
д w I tiw . д :р I г) IV .
—— = и— I -г—ds, —' —v - f ^r-ds.
д х I о х д v I д у
*.' -/
Такъ какъ ~ и ~- независимы отъ s, то видимъ тотчасъ же,
д х f)y ' '
что должно быть
dz\ I дх
.7 'j-r '
такъ что первый два услов1я C2) должны быть выполнены. Далъе,
чтобы существовала функшя q~ (дг, у), на оенованш того, что мы
видели въ случат, двухъ пepeмt[[ныxъ, должно выполняться услоше
Си и» \ д I Г<1 и , \
и — I — dz , ~= ( v - I -. - rfs ,
д
ду
т. е. какъ разъ третье услов1е C1). Аналогичнымъ путемъ доказы-
доказывается сл-вдующая общая теорема: Если даны п функхпй

§§ 741—743 ИНТЕГРИР0ВАН1Е ращональныкъ дифференц1лловъ. 323
м,, ма, ..., ив огь н независимыхъ перем"Ь нныхъ д:,, д;8, ..., хп
то и (и— 1) уело siй
а и- д и:
—' = .-'- U, /-1. 2, «)
d л-у 0 х,
необходимы и достаточны для того, чтобы it^ixx-\- иа^д-4+- ¦ ¦
¦••+"п^А"я было точным ь дифференгиаломъ.
ПРИЛОЖЕНА ИЗЛОЖЕННЫЕ ПР1ЕМОВЪ КЪ
ЖДЕН1Ю НЪКОТОРЫ?(Ъ ЭНМЪИР1ТЕЛЬИЫ?(Ъ КЛАССОВЪ
ИНТЕГРПЛОВЪ.
Интегрирование рацтнальныхъ дифференц1аловъ.
742. Если иодъинтегральпая фуша^я рацюнальна, то она
всегда можетъ быть приведена кь виду ' г~-,, гдЬ fix) и g(x) ц^лыя
функши, не HMtminiH обшаго делителя. Если а, //, у, . . . обозна-
чаютъ корни функщи g{x), r, s, i, ... соотв-Ьтственно показатели
кратности ихъ, <р(х) ц'Ьлая фун]сц1я, называемая частнымъ отъ дЪлен]я
f{x) на g{x), то, какъ извЬстно (§ 460), дробь-' '' разлагается
слЪдующимъ образомъ на частныя дроби
Следовательно,
~ x—a ~~ 2~(~v ¦-f7^ ' ' ' ~ л7^"-? ~ 2lx-^p
« первый интегралъ въ правой части разлагается тотчасъ на друг!е,
которые умтаемъ вычислять. Итакъ, интегралы отъ рацшналь-
иыхъ дифференц1аловъ всегда выражаются въ алгебраи-
алгебраически - логариемическом ь вид"Ь, т. е. черезъ конечное число
знаковъ алгебраическнхъ и логариэмическихъ функщ'й.
743. Если не Bet корни вещественны, то правая часть пред-
представляется пъ мнимомъ видЪ, хотя она и вещественна, если коэффи-
Л1енты даннаго дифференщала вещественны. Можно было бы

324 VII, 2. нахождеше н-ькот. классовъ интеграловъ. § 743
перейти отъ мешмой формы къ вещественной, примтшняя изн-Ьстныя
саотношен1я (§ 725, d) между arc tg и log; но нредпочитаютъ
совсЬмъ обойтись безъ мнимыхъ членовъ, припоминая, что (§ 461)
соотвЪтствуклще napt мнимыхъ корней g(x) члены даютъ въ раз-
разложении — ~ сумму следующего вида:
яэ д? 4- b-j яа д- + b2 ^ J агх+Ъг__ _
ДЪ.чо сводится къ вычисленш интеграла
Ь
J
При п = I его значен]'е известно, потому что тогда онъ разла-
разлагается на
/* (x + ltp^idx I. 1 \ Г с/х
V ^+^r-rJ-rV—2ep)J ^Тм + у
такъ что (§ 725, d) будемъ им-Ьть
f[ax\-b)iix , л--__1— b-lap х - i/> ,
J Х-Л-Рь^4 V<f~i/>* )'Ч--\Р~
При «>1 можно аналогично написать
(* (ax-\-b) dx a j. I \
I ¦— —¦ — ¦ —— , + \Ь - -г ар] 3„ ,
J (xn^px+q)" 2(«- \){х*;-рх+ <])" l \ l I
такъ что остается вычислить интеграль
, _ /" d^ . .
"*-J ^+pX+q?
flpHMtHflfl интегрирование по частяиъ къ Эп_ь получимъ
С-1 J \x*+px <-q)«-1
[x'+px + qt"
принявъ во вниман1е тождество
(х + !/•>' - x*-\-px-{-q - (у - ' р2).
Отсюда сл+)дуетъ
Такимъ образомъ изъ Э5 получается Зг, оттуда 33 и т. д.

§ 744 ИНТЕГРИР0ВАН1Е РАЦЮНАЛЬНЫХЪ ДИФФЕРЕНШАЛОВЪ. 325
dx
744. Упражнения, а) Чтобы вычислить интегралъ отъ -j~ , пола-
гаемъ
] с ах -I- h
Д-S + 1 X -f 1 A'" - X + 1
такъ что тождественно должно быть «.-(л2 — х -{- 1) — (ах \- Ъ) (х + 1) = 1.
Достаточно положить л.-= -- 1, чтобы получить с — )л. Замьнивъ с его зна-
чешемъ, получимъ ах + & = — \ {х — 2). Следовательно, предложенный
интегралъ разложится такъ
J ^ 1 / /О и . 1 \ г-) л- 1 I .V л-
цд ] I \ ? ж — 11 (J ,t I / ЦЛ
' J ~ •> '
и мы найдемъ
/rf-v 1 , \ х +1 I , 1 , 2 .V - 1
-i-r-f = -5' l0S — -—- = Н- —?= arc tg - ^=- + С.
**+ 1 3 By^j.i. I 1 3 1' 3
. ,, х'ч!х I , , I xdx
b) Интегралъ отъ —^ тотчасъ разла[-ается на I xdx-\- I —t—-;
1 равенъ Ьх-^-С; во пторомъ удобно m
г xdx =j_ г dt i_ Г(_\ 1
Следовательно,
x~'fdx I 1 /x - ¦ \\
д-i- I 2 8 ,.v^- 1,
c) Весьма легко вычисляется интегралъ
Г д-2_.г+1 f dx , Г dx rBx+l)dx
I T^i ' "ГТТЗ dx = I —-г- —7 h / 7~5 -T-5 — I T-5
первый равенъ lx-^-C; во пторомъ удобно положить *¦- = /, Тогда
L-)rf,^iog
TpeTifi интегралъ правой части прямо берется; второй приводится къ первому
интегрированЧемъ последняго по частямъ
/ ^ rf.v = л- j +2 / (¦*-+¦!)- orf_V|
dx 3^ / dx
Aii + x+\ 2 / (д-ЧлЧ-1)-
чается
/-а
Отсюда получается
2д-+1 , 2 /' rfx
¦ 1)- 3 {.vs + .r-|- 1) 3
и предложенный ннтегралъ дълается равнымъ
2
+
5 Г dx
3~J x^x+]'

326 VII, 2. нахожденш н-ькот. классовъ интеграловъ. § 744
и окончательно
J ^+-х + 1J** = щё=у+ Г) + зу-зarctg "ТТ + С"
Къ полученному результату можно придти быетр-fce, производя упомяпутое
интегрнроваше по частямъ слЪдующимъ образомъ:
Г dx _ х \-с Г<^+';) I2 -v-г 1} ,
J ^ + .V -1- 1 ~ Х- — X + Г'" j f.V2 - -V — 1 )i V'
Теперь опред^лимъ с такъ, чтобы для прилично выбранныхъ я и 5 ин-Ьть:
(.г - г) B .v + 1) - я (л-* + л- Ь 1) - b (х- - х - 1).
Оказывается, что надо взять 2 = г = а + (>, 2 с— 1 = а — Ь, т. е. г = 2
я =¦ |, Л — — f, Поэтому будсмъ им
f___dx f+2 7_ f dx_ _3_ f д-3--л-+1 у
J .V2_(_.T+1 - ,^+.r+l ¦'¦  _/ .V2 4-.V+ 1 2 J (Д-2 + .v+ 1)^Л'-
откуда к получается вышеприведенное значеше интеграла,
d) Для вычислежя интеграла отъ ¦ ттгт-ръ нУжа0 "режде всего
определить постоянныя с, а, Ь, а', У такъ, чтобы
с ах±Ь . п'х+ У
с ах_±_Ь . пх+ У
(X + 1) (Х- + I
т. е. с(л-а- 1J+ ((тл-
При _v2= — 1 находимъ
и равенство между первымъ и посл"Бднимъ членами, справедливое при мни-
момъ .г, должно быть справедливо при всякомъ х, потому что а' к ? —
вещественны. ВслЪдств1е этого вышенаписашюе тождество обращается въ
а при л-2™- 1 даетъ ах + h = i [a'x-\- :>'). Поэтому получимъ f^f, что,
впрочемъ, сл^дуетъ и изъ первоначальнаго тождества, если положииъ л" = — 1.
ПослЬ этого тотчасъ видимъ, что предложенный интегралъ им"ветъ то же
аиачсн1е, что и
1_ (' dx 1 Гл--1 1 Г
 J .,-+ Г" 4 J л-Ч 1 "" TJ
Л

§ ?44 ИНТЕГРИРОВАШЕ РАШОНАЛЬНЫХЪ ДИФФЕРЕНЩАЛОВЪ. 327
съ гёмъ имЪемъ
:л*дуетъ
/rfx 1 /' лг / o1* \
откуда с.тЬдуетъ
Итакъ,
+ 2 arc tg *J + С
е) Чтобы вычислить интегралъ отъ -t'- т прежде всего 3aMrfe4aeNrb, что
Ki - 1 = (*2 + 1)-' - (л- V 2J ^ (.г-14- л' Т^ 4-0 (х2 - х у 2 4 1) •
и полагаемъ
) ах + Ь а'х + Ь'
*4+ 1 х*-\- х У 2 4- 1 x^xV'2 + 1
Такъ какъ замена лг ня —,г не м^Ьняетъ лФ,вой части, а въ правой зам^Ь-
няетъ знаменатель одной дроби зняменателемъ другой, то то же самое
должно произойти и съ числителями, потому что раэложеше дроби на
частныя единственное. Отсюда слЬдуетъ: — ах 4 b = a'x~\-b!, такъ что
должно быть тождественно
1 = (ах+b) (х*-хУ1+ \)-(ах - Ь) (х* + хУ~2 + \) =- 2 (b - аУЗ).
откуда b = а~[г2 — \. Следовательно,
/dx ]__ f(x + y'?)dx _ 1 Г (х-У 2) dx
xi-\\~2y2J ~х*-+х~У5+\ ~ 2У2,7 х*-хУ~г + \
Полагая р = + У 2, иидимъ, что достаточно вычислить одинъ ннтегралъ
Г_(.vj_p)_dx = J_ P{2x+p)dx 1 Г rtx^
J *?+px+\ - 2 J W+pim. + '2pJ (^-'hPf \-i
= logyxa7fpT+ 1 -^ arc tK (.v 1^2 4- -?-) I- C
и заметить, что (§ 254, d)
arc tg (x У2 4 1) - яге tg (д.-1'- l) - - arc Ig J^L^- 4 C,
чтобы получить окончательно
|/>!.гУ24-1 , хУ2\ , ..

328 VII, 2. нахождеше нъкот. классовъ интеграловъ. § 744
f) Еще легче вычислен интеграла
r^±1rfr = i Г dx 1 Г dx
Если интегрироваше производится отъ 0 до 1, то, такъ какъ
для значен!я опред'Ьленнаго интеграла получается —'-у—. Разлагая подъпн-
тегральную функщю въ степенной рядъ, получаемъ такимъ путемъ формулу
которую можно также вывести изъ формулы A7) предыдущей главы (§ 729. е)
при а = ~ •
g) Если предложено вычислить интегралъ отъ 1-;—- dx, то можно
начать съ заьгЬчан)я, что
2
3
Если замЪнимъ х на л;3 и замЪтимъ, что
то найдемъ
З(^-М) ^ (
Въ то же время при р = = У~3 им^емъ
-Р) + С.
Следовательно, предложенный интегралъ равенъ
| arc tg .v + i arc tg B x + >r3) + ^ arc tg B * - У~Ъ) - С
или окончательно

§744 ИНТЕГРИРОВАНИЕ'РАЩОНАЛЬНЫХЪ ДИФФЕРЕНЩАЛОВЪ. 329
Разложение подъинтегральной функц1и въ степенной рядъ показываегь, что
определенный интегралъ въ пределахъ 0 и 1 равенъ сумме ряда
которую, съ другой стороны, мы можемъ вывести изъ цитированной въ
предыдущемъ примере формулы. Действительно, упомянутая формула при
л,
а = -„ даетъ
откуда выводимъ (§ 729, d)
, J _„1_ J _ _
+ 5  II """Id7 "¦ 6 2 'ЗУ'З 3 4 3 "
Между гЬмъ кажется, какъ будто, вышснайдешюе выражсн1е определенна го
интеграла дастъ для опред^леннаго интеграла между 0 и I зттачеше, равное О
(нелепый результатъ); но надо принять во внимаше (§ 725, к), что въ интер-
вале @, 1) фуккйя -^' ' ;.,_Л обращается въ х при х — с = V 2 — У'л, и
сл-Ьва отъ с будетъ < 0, а справа > 0. Поэтому
/л-4 I 1
1 /
rf, = - -3 (arc
I .r- 4- l/o 3
Точно такъ же, если интегралъ ваяли бы въ [федъ-лахъ отъ 0 до -л, то надо
было бы обратить внимаше на другой положительный корень с-'— у 2-\- У 3
фупкщи л'1— 4xiJr 1. Для значешя интеграла нашли бы
^ З.т(.т2—l)\f+« 1 ,' , 3Л(д-^ -¦ 1) V4-" 2
Съ ц^лью проверки зам'ътимъ следующее: если разложимъ интервалъ (U, оэ)
на @, !) + (!. со), и заменимъ къ интеграле, распространенномъ на интер-
интервалъ (I, ж), х на —, то прямо палучимъ
г- 1
J ^+1 J *"
, 2
ах = T

330 VII, 2. НАХОЖДЕН1Е Н-ВКОТ. КЛАССОВЪ ИНТЕГРАЛОВЪ. § 745
Интегрироваше иррац!ональныхъ дифферен-
щаловъ.
745- Если иррацюнальность подъинтегральнаго дифференциала
происходитъ исключительно отъ присутств1я въ немъ степеней пере-
переменной интегрирования д- съ дробными показателями, то эту ирра-
иррацюнальность можно тотчасъ устранить подстановкою х — im, гдЪ т.
наименьшее кратное знаменателей показателей, и интегралъ вычисля-
вычисляется затЪмъ въ новомь видЬ такъ, какъ было показано. Въ случай
иррашональностей бoлte сложнаго характера въ большинства слу-
чаевъ интегрироваше практически не выполнимо въ томъ смыстЬ,
что не сушествуетъ такой комбинаит конечнаго числа алгебраиче-
скихъ и логаривмическихъ функшй, которая изображала бы данный
интегралъ. Но существуютъ HtKOTopbie классы интеграловъ, соста-
вляюине исключение, и вычисляемые при помощи простыхъ искус-
ственныхъ пр1емовъ. Разсмотримъ зд^Ёсь важн-Ьйипе случаи этого рода.
. _ . dx
а) Для вычислент интеграла отъ -— приряинярмт. рядииядт.
выраже!ню t—x, тогда будемъ
Интстралъ приводится къ
и следовательно,
Ь) Чтобы вычислить интегралъ —, --т^-=.— , замЪчаемъ, что
У -X'-rpx + q
..xi + px + q**- (г- - ?-'f+ q - L^з
'? + г Р2 ДО-1Ж11о быть положительнымъ. если желаем"ь оставаться въ
области вешественныхъ чиселъ), и полагаемъ
х — -i- = t I/ $ 4- - - ^i, такъ что - л>* -f P-v ¦+¦ q = \q + r- p- I (.1 - ^)-
Предложенный интеграль приводится къ i — , поэтому ингЬемъ

§§ 745—746 интЕГРИРовАНШ ирращональныхъ дифференщаловъ, 331
./
r--L
dx . 2 „
¦ = яге sin— ¦-!-'-¦
V -х*\ px -q У q + \ p*
c) Иптегрироваше по частямъ даетъ (сравн. § 727, a)
/ У 1 x* + px~+qd.v - (д- i .yP\y"L^+plc~+J- / : 2 ¦ = •
Правая часть, въ силу тождества
преобразовывается въ
Следовательно,
<ix
- I У ± v^+Aa
.7
Х-г*—рх-\ q
а потому
1 2 1? 4 ¦ У °ё j A' *~ 2 '
Г /-—->— -, ч р\
I У — х^+рх-г q dx = -? -[д.- 2"j
~ C'
-^ '7
т+
Уд+ ! ^
746. Положимъ, переходя къ бол-fee общему случаю, что Дят, у)
есть рапшнальнаи функция отъ х и у. и раземотримъ интегралъ
отъ /"(*¦, У + хй-\-fox -f- t])dx. Какъ бы сложно ни было подъин-
тегральное выражеже, легко можно показать, что оно можегь быть
приведено къ рациональному виду прилично ныбранною под-
подстановкою, и поэтому такой интегралъ всегда выражаете!! вь
алгебраически-логариемическомъ вид*. Действительно, стоитъ
только ввести новую переменную t = x--\-\rx'l-\-px^q, чтобы на осно-
ваши формулы A) уничтожить ирращональность в* f\x, )>)dx, когда
у — Угх*-\-рх-\- <}• Это не справедливо при v — \' — .v*+AtfH~<7»
но въ этомъ случа+. можно применить другую подстановку, пригодную
и въ первомъ случаЪ, если корни функцш x2 + px-\-q вещественны;
во второмъ случай эти корни наверно вещественны, иначе у былъ

332 VII, 2. НАХОЖДЕШЕ Н-ЬКОТ. КЛАССОВЪ ИИТЁГРЛЛОВЪ, §§ 746—747
бы мнимымъ при всякомъ значеши х. Обозначая черезъ а и $ эти
корни, положимь
B) ^1?J-
и тогда найдемъ (выбравъ f съ приличнымъ знакомь)
I—a.) t 2{$-a)tdl
у = У ±(,- а) {х. -3) = ^ . ^,^
откуда и видно, что /(#, у) а?л: цринимаетъ видъ <p{t)dt, гдЪ
ращональна и вещественна.
747. Впрочемъ, вышеупомянутый подстановки служатъ глав-
нымъ образомъ для того, чтобы показать возможность привести,
въ разсматриваемомъ исключительномъ случа-fe, иррацюнальный диф-
ференщалъ къ ращональному виду. На практик^ всегда лучше будетъ
предварительно извЪстнымъ образомъ упростить выраженхе /'{.%, у).
Рациональную отъ х и у функц1ю J всегда можно представить въ
видЪ отношен1я двухь цълыхъ функщй. Расположивъ эти функции
по степенямъ у и замт-.нивъ у111 черезъ (+ .т* + рх -(- с/)", а у-"^1
черезъ {±xi-\-px-\-(j)"v, приведемъ данное выражен1е къ виду
fix пл = Ъ <Х1+? 9i_№ .
гд-fe qp,, 5p41 ?/,',, -у., — ц^лын функц1и отъ х- Умножая числителя и
знаменателя на <р3 -учрг и снова подставляя
находимъ
гд"Ь <р и ip — рациональный функщй отъ х. Разлагая затъмъ у>{х)
на частныя дроби (сравн. § 742), увидимъ, что помимо инте-
граловъ отъ рац1ональныхъ дифференщаловъ, вычислен1е данна[о
интеграла приводится къ вычислений одного или нбсколькихъ инте-
граловъ сл-Ьдуюпшхъ типовъ:
Г хп dх f' dx
гд% п цълое положительное число, и а вещественная или мнимая
постоянная. Подстановкою х — а + -„- интегралы второго типа при-
приводятся къ интегралаиъ перваго типа, а эти послъдн!е, какъ

§§ 747—748 интегрировлше иррацюналышхъ дифференщаловъ. 333
легко видъть, приводятся къ единственному / Ц-, который вы-
чнсленъ въ § 745. Действительно,
а такъ какъ у dy ~ (_ -v-f ~)dx}
то
d x
а потому, подставляя въ предыдущее уравнеше, получимъ
Изъ этой формулы приведен!я последовательно находимъ при
н=1, 2, 3, .. .
Т 4
748. Аналогичнымъ лр1емомъ можно упростить иптегрироваше
дифферешнала /"(я, y)dx, иррацюнальность котораго зависитъ
исключительно оть присутствия корня квадратна!О
J>=VaoxM+ aLx'" ' -I- а.,х'"-2^ ¦¦¦+«„.
Зам"Ьтимъ сперва, что при да — четномъ можно свеои степень под-
подкоренного полинома къ да—I; этого достигнемъ сь помощьео под-
подстановки х — (.i-j—-, r,T.t. а корень этого полинома. Возвращаясь,
наприм^ръ, къ случаю v = V \_ х'г + рх -f- q и обозначал черезъ $
другой корень подкоренного полипома, получимъ уз —V + (ji—a)z ± 1.
Принимая новый радикалъ за новую переменную иптегрирован|'я,
мы и придемт. къ подстановка B). Точно такъ же случай т ~ 4
сводится къ случаю т — 3; но тщетно было бы пытаться свести
послъ-днШ къ случаю т = 2. А именно, бол-fee глубокое изучение
этихъ интеграловь (при т = 4 и и = 3), называемыхъ эллипти-

334 VII, 2. нахождёнш нъкот. классовъ интеграловъ. § 748
ческими, дасгъ возможность доказать, что ихъ нельзя, вообше
говоря, выразить въ конечномъ вид-fe алгебраически-лога-
рмемическими функшями, и что попытка привести ихъ кь инте-
граламъ отъ рашональныхъ дифференшаловъ можетъ быть сравни-
сравниваема съ попыткою придать поверхности кольца сферическую форму
путемъ непрерывной деформащи 1). При помощи вычисления, подоб-
наго изложенному въ предыдущемъ §, удается лишь доказать, что
эллиптичесме интегралы приводятся къ следующим!.:
I d x ( х dx ( d x
J ~У' J -~' J ^"'fy'
которые называются и[1тегралами перваго, второго и третья го
вида; дал-fee при помощи извЪстныхъ лодстановокъ приходимъ 1^ъ
тому, чтобы принять интегралы
/d <у Г sin2 <;¦ dip
за типы интеграловъ перваго и второго вида. Первый изъ этихъ
иптеграловъ, взятый въ предЬлалъ отъ 0 до до, обозначаютъ обык-
обыкновенно черезъ F{k, fp), а второй, взятый въ гвхъ же пред-влахъ,
можно написать такъ
¦>¦
-щ / -,7 =й=^ d<f: = Р { {''' ч] ~ Е
я J V 1 — ?2 sm- ц к
условившись обозначать черезъ E{k, (f) интегралъ
У 1 -
3uaiienie <р на верхнемъ npeAtnt называютъ амплитудою, а число k
модулемъ интеграловъ. Въ механическихъ и геометрическихъ
приложешяхъ особенно важны значежн интеграловъ F и Е при
амшштудЪ ср = -^ . Ихъ называютъ полными эллиптическими инте-
интегралами и обозначаютъ такъ
^(*)- т^=:-=' ?<*) =
х) См., для w>4, „Cours d'Annalyse de l'Ecolc polytechnique" par.
С Hermlte (стр. 291—297).

§ 749 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦЮПАЛЬНЫХЪ ДИФФЕРЕНЩАЛОВЪ. 335
749. Займемся теперь тЪми подстановками, о которыхъ упо-
упомянули въ предыдущемъ §, и постараемся составить ихъ такъ,
чтобы избежать введешя мнимьтхъ чиселъ. Сперва предположимъ
вещественными корни а, $, у футами v — У ± xUJ^-axa + bx-r с.
Пусть « озпачаетъ наименышй изъ нихъ, когда при л-а стоить
знакъ +1 и наиболышй въ протиьномъ случаЪ, ;? — пусть будетъ
средшй изъ корней; черезъ k- обозначимъ отношеше ', "•
у - а
всегда лежащее между 0 и 1. Подстановки д: -= а + (ft — a) sin^g?
дастъ
+ л-г' -|- ах'2 + /j-v — <~ = V — "¦ L) — аJ A - *2 sin3 (f) sinL' у. cos2 q>;
поэтому, независимо отъ вещественнаго постояннаго множителя,
радикалъ у преобразуется въ произведете ]-¦' 1 fr* sin1J гр на
sin <f> cos <p и поэтому
dx , d ц-
будетъ пропсфшоналыю ' ¦
Къ тому же результату ирнходимъ, когда не Bci корни вещественны.
При этомъ предположен!!-!, считая всегда коэффиц1енты веществен-
вещественными, можно представить у'' въ видь — (,r a) (.v2-\-f>x-\-tj) сь
вещественными а, р и q. Положимь
x = i; ± ] и- pa ~q tg- -^- •
Простое вычнслеше дастъ
л: (А" о) (х- -\- рх + (j) — {а- -\- р <\ + q)i A — к- sin - ср)
nrb число
K-p?L
2
всегда лежитъ между 0 и 1, потому что
Итакъ, въ обоихъ случаяхъ / —^- преобразуется въ /г(&, гр); что
же касается интеграла / —~, то онъ приведется къ тому или

336 VII, 2. НАХОЖДЕШЕ НЪКОТ. КЛАССОВЪ ИНТЕГРАЛОВЪ. § 749
другому изъ интеграловъ
/' ¦ ¦> j Г* tg2 — dec
sin- <y a if I 2
У 1 ¦ k- sin2/г- / yr\—"k- sin2 (,
смотря по тому, булутъ ли вс+1 корни у вещественны или н-Ьгь.
Мы уже видели, что' первый выражается черезъ интегралы F и К-
Чтобы показать, что то же самое им^етъ Micro и для второго,
зам%тимъ, что
откуда, интегрируя, получимъ
J Vi
Дал1>е, если у% полиномъ 4-ой степени, то, какъ уже сказано, под-
подстановкою х — п-\ , wfe а одинъ изъ корней этого полинома,
сведемъ этотъ случай къ предыдущему. Но, если этотъ полиномъ
не имЪетъ вещественнаго корня, то, не желая вводить мнимыхъ
чиселъ, приб-Ьгаемъ къ другой подстановку которую мы 3jitcb
только укажемъ, не останавливаясь на ведущемъ къ ней изсл^до-
ванш '). Положимъ, что _v* = (л * + p-i + Q) U"'j + р'х + if) и пред-
положимъ, что каждый множитель правой части остается всегда
положительнымъ. Полагая
IP />') ,л = ц -q'+У {q-q'f \-i
находимъ искомую подстановку въ вид"Ь
v ^ Я - п т tg f
1 + '« tg <r
гд-fe т наименьшее изъ двухъ чиселъ
tf-pn+q' У /fi-р'ц. \-q>
г) См. Schloemilch. „Compendium dtr hflheren Analysis" 3-е изд,
т. II, стр. 290 и слъд.

§ 750 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЩОНАЛЬПЫХЪ ДИФФЕ1'ЕНЩЛЛ0ВЪ. 337
750. Возможность выразить интегралъ отъ f(x,y)dx при
у* — -Jz х*-\-рх-\- q въ алгебраически-логариемическомъ видт. объяс-
объясняется тъ-мъ, что предыдущее уравнекпе есть уравнеше коническаго
сЪчешя, т, е. унику реальной кривой (§611) или кривой нулевого
рода. Если, въ болъе обшемъ случав, предположимъ, что въ f(x,y)
переменная v связана съ х уравненлемъ Fix, у) = 0 какой нибудь
уникурсальной кривой, то f{x, y)dx, очевидно, можно привести
къ рашональному виду, прикявъ за новую переменную тотъ пара-
метръ t, въ которомъ х и у могутъ быть въ данномъ случай
ращонально выражены. Такимъ образомъ и оказывается, что безчи-
сленное множество дифференщаловъ, несравненно болт,е сложной
формы, чъмъ эллиптичесме, приводятся къ ращональному виду и
интегрируются въалгебраически-логариемическихъ функю'яхъ. Гораздо
труднее доказать обратную теорему: Если F{x, у)— 0 не уни-
курсальпа, тоJf(x, y)dx не выражается въ конечномъ
въ алгебраическнхъ и логариемическихъ функц1яхъ.
[ р. Это теорема справедлива лини, въ томъ смысл*,
что если F—0 не уникурсальная кривая, то jf(x, y)dx при
всякой рацюнальной функцш / отъ х и v не выражается въ упо-
упомянутой формт-, (см. И. Пташицк1й ,,Обппя предложет'я объ
интегрированш въ конечномъ вид^ абелсвыхъ дифференщалот»".
Матем, Сборникъ Т. XXI). Но нельзя сказать, что никакой инте-
интегралъ видя I f (х, v)dx не выражается пъ этой формЪ, если F = 0
не уникурсалыга (см, Е. Золотаревъ, „Теория ц'Ьлыхъ комплекс-
комплексных!, чиселъ" (СПБ. 1S74), стр. 107.]
Это выясняетъ истинную причину невозможности, вообще го-
говоря, выразить еъ такой форм* эллиптический интегралъ, потому чго
кривая 3-го порядка
у- ^ «o.va + а1х- \- а2х + «s.
не имЬюгцая, вообще говоря, двойной точки, будетъ рода 1; она
тогда лишь упикурсальна, когда она имъетъ двойную точку, для
чего необходимо, чтобы одинъ изъ трехь )сорней функтйи у быль
двойпымъ (а = ^), и тогда достаточно положить x='l'-\-ii, чтобы
сдЬлат!. подъинтегральный дифференшалъ рац1ональнымъ. Несколько
бол^е оо!ц[й результат?! заключается въ сл'Ьдуюн1емъ: Всяк1й разъ,
когда х и v связаны уравпешемъ вида
а/1 + Ьху"-1 + с x\v<1-'' + ¦•¦¦ = а'у"'1 + h>хуп~2 + с'х\у" л Н
стоить только положить у — /^, чтобы получить
=
a f + Ы- i + ¦ ¦ ¦ ' У ~ at" + btH~v + ¦ ¦ ¦
и такимъ образомъ преобразовать /(х, y)dx въ <p{t)df,
(fit) — рацшнальная функшя отъ /.

338 VII, 2. НАХ0ЖДЕН1Е н-ькот. классовъ интеграловъ. §§ 751—752
751. Бином1альные дифференциалы. Пояъ этимъ наавашемъ
понимаюгь дифференщалы пида хр (а -{- b хтУ dx. Мы обозначишь
интегралъ отъ даннаго дифференциала черезъ 3 (р, q) и замЪтимъ,
что подстановка a-\-bxm= i приводить его къ виду
Интегралъ выражается въ конечномь виде, если цЬлое число.
Интегрирование выполняется непосредственно, если это число целое
и положительное; въ противномъ случай достаточно сделать под-
подстановку 2* = QM и выбрать целое число п такъ, чтобы и nq было
цкчымъ, благодаря чему данный дифференшалъ приводится къ
ращональному виду. Дал'Ье, если напишемъ хр{а-\-Ьх'")'' въ вид-fe
xp+it!q{b-\-ax~mL, то, применяя къ новому выражен[ю предыдущее
услов!е, видимъ, что интегрирован1е выполняется тотчасъ же (при
, . , р-\- та + 1 ,
помощи подстановки и-\-ах = /), если число г——— — цълое.
Итакъ, данный интегралъ приводится къ интегралу отъ рацюналь-
наго дифференщала тогда, когда одно изъ чиселъ
т
или нуль. Эти услов1я называются услов1ями интегрируе-
интегрируемости бином]'альныхъ дифференщ'аловъ. Зам"втимъ еще, что числа
р, пг, q предполагаются всегда рашональными, иначе дифференц)алъ
быль бы трансцендентнымъ. Чебышевъ 1) доказалъ, что упо-
1мянутые случаи единственные, въ которыхъ интегралъ отъ
бином!альнаго дифференц1ала выражается въ конечномъ
видЪ (черезъ алгебраически-логаривмическ1я функщи). Здъсь, ко-
конечно, подразумевается, что дифференщалъ самъ по себ^ не pauio-
наленъ (и, следовательно, р, q, m не всЪ равны ц^лымъ числамъ),
и еще, что онъ не приводится къ ращональному виду подстановкою
д.- = /", что имътю бы мЪсто при р и т — дробныхъ и q ц^ломъ.
За исключешемъ этихъ случаевъ, следовательно, предполагается, что
р и т-—^ц^лыя, a q — дробное; кроме того, можно предположить
т>0, потому что подстановкою х — - тотчасъ сведемъ къ этому
случаю случай т < 0.
752. Для вычислен1я или упрощешя интеграла отъ бином!аль-
наго дифференщала стараются выразить его черезъ npyrie, подобные
ему, более простые интегралы. При этомъ прежде всего заметимъ,
„Journal (Ic Liouville" A853, стр. 108).

§§ 752—753 интегрирована иррашональшлхъ дифференщаловъ, 339
что q всегда можно считать лежащимъ между 0 и 1. Въ самомъ
дълъ, предполагая />-J-lS?O, интегрироваш'е по частямъ даетъ
Съ другой стороны имъемъ тождество
Следовательно,
C) {p + mq + lK (р, q) - х*'+j (а + /лг":)* + tn q а 3 (р, q - 11.
Изъ этой формулы беремъ 9(р, </) или ?!(/>, у—1), смотря по тому,
будеть ли ^>0 или <0, Повторнымъ прим-Ьнем1емъ этого пре-
преобразования можно отъ ^>0 отнять, или кь </<0 прибавить сколько
угодно единицъ. Зам^тимъ при этомъ, что какъ только одинъ изъ
коэффиц1ентовъ при 3 (р, д) или при 3(р, q - 1) окажется нулемг,
такъ будемъ им-Ьть д-Ьло съ однимъ изъ случаевъ интегрируемости
(въ конечномъ вид*), и формула C) сама дастъ значение 3(р, q -1)
или 3(^, q\. Точно такъ же можно достигнуть того, что р будетъ
заключаться между 0 и т. Д-Ьйствительно, интегрирование но
часгямъ, произведенное при f/-flsO, дастъ
(q-i-\)mb (<?+!)'" b
Съ другой стороны, имъемъ
р~т -\-1
Э{/> —w, (f-r 1).
следовательно,
D) {pTfnq+ 1)ЬЭ(р, ^)-.v^-'"+1(rt+6.T*+1 ¦ (р- т -f \)aS (p- m, q).
Изъ этого соотношения беремъ 3(р. q) или 3(р — in, q), смотря по
тому, будетъ ли р >0 или <О. Итакъ, мы видимъ, что съ помощью
формулъ C) и D) вычислен!с интеграла отъ всякаго бином!альнаго
дифференщалз всегда приводится къ случаямъ, въ которыхъ
р и т — цЪлыя, т > 0, 0 < q < 1, 0 <р <' т.
753. Примеры, а) Для вычислен^ / f'x- + 2x—Г — , полагасмъ
—\ =t—x, откуда
/ f'x- + 2x—Г — ,

340 VII, 2. нахожденш нъкот. классовъ интегрлловъ. § 753
Предложенный интегралъ преобразуется въ
2 \
1 /> + 2,-l)*rf/ fil . I 1
1J (/+1)^1/4-1) J \2 t+\ r(/-|-lja
it.
Легкое вычислеше дастъ окончательно для значения интеграла выражеше
Yx*+Tx - I Л log {х+1 ^-УхЩ~2х - Т) - 2 arc tg {х+У~х* + 2х -Л) + С.
Быстрее мы достигли бы цъли, разложивъ иптегралъ на
/(.г~-Ы)ы'л' / dx i dx
-ут-а -7= -т- I ~р=_ t- —=. - / —т^Г, r===f '
и замети въ, что
., 1
= = _ arc sm —~ + С',
УМ1 ¦¦:¦)' " 
гдъ (сравц. съ § 725, а) надо взять верхтй или нижн1й знакъ, смотря по
тому, будетъ ли д* > 0 или < 0. Первоначально полученное выражение потому
и предпочтительнее, что въ немъ н"Ьтъ двойС1Решюсти знака. Эквивалентность
формъ вытекаетъ изъ тождества
± arc sin * "^ ^ 2 arc tg {x-\-Yx2~+ 2"F-~1) - A + 2) 4~ "
/ У.ч?~1 '-1* = / ??\ =
b) Аналогичкьгаъ путемь вычисляееся I |^,ia — 1 — - Но можноэтотъ
интегралъ разематривать, какъ интегралъ отъ 6ином1альнаго дифферепцталя,
въ которомъ р=--~\, ni = 2, q = %. Следовательно, — - = 0 и первое усло-
в(е интегрируемости выполнено (что всегда имйемъ м%сто при р =* — I,
бы ни было от^-О). Поэтому пшагаемъ х2 —1=/~ и получасмъ
- атс tg / + С - у^аП l ^ arc sin ~ -<- С.
, „ Л х
с) Если желасмъ вычислить иктегралъ отъ —^^, разематриван
.г3 У х- 1
это выражсте. какъ бином!альиый дифференц[алъ, то замъгимъ сперва, что
р-^ — Ъ, т = 1, q = —\, первое ycjiouie интегрируемости выполнено (какъ
это всегда бываетъ при ш— ± 1 и р цъломъ), и достаточно положив
х—\ =/2, чтобы сдЬлать дифференщалъ рац1ональнымъ я съ помощью весьма
дегкаго интегрирован!я найти
С dx 3 1 , 3.-V + 2.
/ ?=— = -г ягс cos —?= Ч , о—У а- - 1 + С.
j ^Vx- I 4 y\TT 4.^ ^

§753 ИНТЕГРИРОВАШЕ ИРРЛЦЮНАЛЬНЫХЪ ДИФФЕРЕНЦ1АЛ0ВЪ. 341
d) Въ иптегралЪ отъ :—-^=_—.- имЪемъ р = 4, т = 2, q — — §',
A л) (¦ 1 — .г2
второе yc.ioBie интегрируемости выполнено, такъ какъ ¦¦ 1-<? = 1- Сле-
Следовательно, надо положить х~2 \=t~l, т. с.
tit
_
Но въ датгаомъ случай скорее придемъ къ ц-Ьли, если сперпа проиэведемъ
интегрирован1е по частямъ
V
3 .-г —
Это сводится къ пришНшешю формулы D).
э
У l-J-1/л-
е) Въ интеграл^ отъ ¦ --!——dx имЪемъ, р = — %, т = \, q ^ {'
У х
О1_ -^ 2 — перкое vc.ionie интегрируемости выполнено. Поэтому можно
т
быть упЪреннымъ, что подстановка t ---¦ \ |- у х приведетъ къ ц.ъ\гш. Мы
получимъ
4 / (/- 1 > /тг ^ / = а D^-7)/я _|_ С,
следовательно,
•; _ _ 3 , /т J
f) Если требуется вычислить
Г х" dx _
то, замечая, что
т Т ' т q ~ 2 '
мы виднмъ, что приведен1с къ интегралу отъ рацтнальной функши воз-
возможно лишь при »•- ц'^ломъ Смотря по тому, будегъ ли п нечетное или
четное, ннтегралъ принедется къ

342 VII, 2. НАХОЖДЕНИЕ НЪКОТ. КЛАССОВЪ ИНТЕГРАЛОВЪ, & 753
подстановкою х = у 1 — t2 или д- = —:= . Вирочемъ, интегрирование по
У 1 + &
частнмъ даетъ формулу
Г4^ - - ^
J У 1- J?2 "
" J yi2
которая позволяетъ свести данный интегралъ къ
t ! _ — arc sin x + С,
смотря по тому, будетъ ли п нечетное или четное. Если интегралъ берется
отъ 0 до 1, то приходимъ къ изй^бстнымь уже результатамъ {§ 727, g),
что легко видЪть, положивъ х = sin 0.
g) Если желаемъ вычислить интегралъ!)
Л.1
Ухъ _yxis+xr> + Уха_ytf+tf) dx;
то стоитъ только заметить, что коэффищентъ при dx. на основаши формулы
Тартал1а {§ 528), есть корень уравнешя у3 + 3 ху — 2хя = 0; припоминая
замЪчаше, сделанное въ конц'Ь § 750, тотчасъ прияодимъ къ подстановк-Ь
х = = ^ , которая приводить данный интегралъ къ 18
а полагая еще 2 • ¦ Р = 3 9, къ
0 ('(l + ^
8 I —р=—-
Въ тоже время ям-Ьсмъ ху*-'2у*=2 х±
Поэтому предложенный интегралъ равенъ
3 3 _
.v3 (У х* + УЖГх* + Ухъ - У'^5+"л-о) - 2 .г
Н^в + Ух* — Ух*+х*) + 2 д.-3
Предыдущее вычисление можно несколько сократить, если замбтимъ, что
.v2 dt = x dy —у dx, откуда слЪду етъ
lydx= I xdy— (я*(Н = ху- Iydx- Cx*dt
и т. д.
Hermite. .Cours d'Analyse', стр 242.

Jj§ 754—755 интегрированш трансцендентныхъ дифференщаловъ. 343
Интегрирование трансцендентныхъ диффе-
ренфаловъ.
754. Случаи интегрируемости въ конечномъ вид-fc трансиен-
дентныхъ дифференщаловъ, т. е. случаи, когда эти интегралы
выражаются въ изв-бстныхъ элементарныхъ функшяхъ, весьма рЪлки,
Въ просгЬЙшихъ случаяхъ, когда такое выражеше возможно, обык-
обыкновенно прим'Ьняютъ болЪе или мен^Ье искусственные пр!емы, а не
каше нибудь обиия правила. Некоторый изъ этихъ общихъ правилъ
надо, однако, заметить. Если f есть символъ ращональной функцш,
то интегралы
(fif) dx, //(tg.v) dx, //(sin*. cos,r) dx
псегда могутъ быть найдены съ помощью соотвътственныхъ под-
становокъ t — <f, if = tg:v, t=tg-,y гд.Ъ f—новая переменная инте-
грирован1я. Такимъ образомъ получаютъ
dt Г _ /*/(/)rf/
It I - fl\ 2 dt
I /(sin*,cos*0 dx = I f[]
¦ i- l + fij l + P
и преобразованные интегралы вычисляются, какъ интегралы отъ
рацюнальныхъ дифферени^аловъ. Tt же подстановки бываютъ часто
полезны и тогда, когда f не ращональная функщя.
755. Упражнен1я. а) Интегралъ отъ - — - берется съ помощью
ех + й J
подстанопки t—ex, н получается
Г dx Г
dt
b) Чтобы найти интегралъ отъ ; , воэь.чемъ за новую пере-
^ а + Ь cos х "
мЪнную t — tg -=- . Получаемь, смотря по тому, будегь ли а- больше или
меньше Ь\
С dx _ 2
/ а + Ь cos х ~ у а2 _ ^2
Ъ-\- д cos x^YtP— a2 ¦ sin х \ ,
У 4а — я2 а -\- b cos х

344 VII, 2. нахождеше тгакот. классовъ интегралонъ. § 755
гдъ — означаеть sng (a + Ь), Отъ одного выражения къ другому легко
перейти на осковаши соотношения между arc tg и log,
с) Точно такъже вычислеше / tg>» xdx приводится къ вычислена
cat t ,
•.—^—7, при помощи подстановки t=\gx. Но при п — цЪломъ положн-
телыюмъ можно иначе поступить, повторно применяя следующую формулу
(да -О ч
['
Такимъ ойраэомъ въ концЪ концовъ нридснъ къ одному изъ ннтеграловъ
/ tg xdx = — log | cos x ' + С, I dx = x + С,
смотря по тому, будетъ ли п—нечетное или четное. Можно такъ же посту-
поступать при п — отрицательномъ, но въ этомъ случа'Ь удобнее зяы-ктть, что
Г dx Г .„ , cot"^1* Г и_а ,
/ —— = / co\Kxdx=- j / col*' \vdx
и т. д.
d x
d) Чтобы вычислить интегралъ отъ — , положимъ tg х = Р;
ъ 2 / т——
интегралъ приведется къ 2 / т——^ — интегралу, который мы уже вычи-
слялн (§ 744, с). Мы получимъ окончательно
'_ . ¦— —— log sinx + cosx j-"l^sin2.r ' - — arc sin (sina-— cos.v)— С.
e) При вычисленш интеграла вида I/(sin x, co$x)dx чисто можно
обойтись безъ прим-Бнен(я указаншой въ § 754 подстановки tg -' -= t, при-
м-Ьняя интегрирован1е по частямъ и различные искусственные приемы, къ ко
торымъ (сравн. съ § 723, d) приЕшдлежить умножеше дифференщала на
cos- x-\-sin2 .y = 1. Наприм-Ьръ, съ помощью упомянутой подстановки можно
найти
I sin5 x
cot x I 1 , 3 \ 3
Но удобн-Ье свести данный интегралъ (ср. съ § 723, а) къ одному изъ
слЪдующихъ
f dx Г dx
J ^х= - C0t Х Л~ С- J sinT

§ 755 интегрирование трансцендентныхъ дифференщаловъ. 354
что псегда возможно, когда лЬло идетъ объ пнтиграл-Ь / при п цЬ-
,/ sin" д.-
ломъ положительном?.. Действительно, мы имЪемъ
Г dx f"smsx+cos'-x , Г Их \ Г j 1
J ъ\ъпх J sin" x J smn~lx 1i ~ l J ъмп~ x x
а следовательно, съ помощью интегрирован!я по частямъ
(ъ dx _ к — 2 Г dx I cos .v
/ ^ « -^ / sin" '2 х ~ «^^1 ~~*L^~-'
J cos"x
Аналогично этому трактуется
f) Подстановка / = tg -_ длетъ
/sin* J 1^A+^)
Следовательно, мы иьгЬемъ передъ собою эллиптическ)й иптегралъ, который
можно раземагривать и какъ иптегралъ отъ 0ином1альнаго дифферепщала.
въ которомъ
1 „ р \- 1 I р— 1 , 1
Поэтому (§§ 749, 751) тщетно надеяться какимъ либо путсмъ выразить этотъ
иптегралъ въ конечномъ видФ..
g) Для выпислен^я интеграловъ нъ родЪ / sxvfixdx, / cos*.r^/.v и т. д.
также н-Ьтъ надобности прибегать къ подстановка, Тригонометр5я (сравн. съ
§ 725, о) даетъ соотношетя
sin3 х — 'i sin x — { sin 3 x, cos4 x = I- cos 4 x -\ ¦ | cos 2 д- -|- J.
откуда тотчасъ получаемъ
sin8 x rfjf = — -\ cos .v + -,'g cos 3 л- + ^',
cos1 jt c/.v = -jV sin 4 л- + i sin 2 x + f- я-' J- С
Точно такъ же, для вычисленш / sin3x cos4.r rfд* можемъ взять тЬ же два
соотношения и, перемножая ихъ, вывести (ср, съ § 723, d) следующее
32 sins.r cos^x = J C sin x -\- 3 sin 3 x — sin 5 x — sin 7 a-),
откуда интегрировашемъ получимъ
/ sin3* cos+a; c/* = jl ( — 3 cosx — cos 3 x + J cos 5 я¦ + 1 cos 7 x) — С

346 VII, 2. нлхождЕнге п-ькот. кллссовъ интеграловъ. §§ 755—756
Аналогичнымъ снособомъ вычисляютъ всЬ интегралы пида / sin™* cos"* dx.
Но можно также воспользоваться формулою приведения, которая получается
интегрирование мъ но частямъ, а именно
) fsia"ixcos"xdx--=sia''i+1xcosn~1x-j-(n 1) I smw^cos"
. д.
h) Иногда одного интегрировать по частямъ достаточно, чтобы изба-
избавиться отъ н-вкоторыхъ трансценденткыхъ функщй подъ знакомь интеграла.
Такъ, напримЪръ, для всякой пары раШональныхъ функщй / и g имЬемъ
/ *'(*) tog/И dx = g(*) log/(*) - / -j^je (•*) <**>
и посл*дн1Й интегралъ выражается въ нзв*стныхъ функц1яхъ. НапримЪръ,
(ср. съ § 744, Ъ)
x log (л-i - 1) dx = -L*a log (jri _ l) _ 2 / ^^
= (л2 - 1) log У дг2 — 1 + С*2 + 1) log V x'2-]- 1 — я2 + С
Замечательные определенные интегралы.
756. Эллиптическ1е интегралы. Полный эллиптическ!й инте-
интегралъ (§ 748) перваго вида F(k) легко вычисляется съ помощью
ряда, такъ какъ (§ 233, е)
Отсюда, пользуясь формулою A5) § 727, найдемъ
Легко проследить, какъ изменяется F(k) при возрастан!и k отъ
т
О до 1. Ясно, что F(k) постоянно возрастаетъ отъ F{0) = ~ до
lim / —— = lim log = ™
jj / cos <p rt <f>

§§ 756- 757 зам-ъчательные определенные интеграле.!.
347
Справа отъ k ~ 0 функщя F возрастаетъ медленно, такъ какъ
изображающая ее кривая уподобляется зд"бсь параболЪ у = ~ х*
въ смежности съ ея вершиною; а подъ
конецъ она возрастаетъ весьма быстро,
1акъ что кривая становится асимптотиче-
асимптотическою къ прямой k — 1 (рис. 90). Чтобы
увидать, какъ изменяется функщя /*(?)
въ смежности съ k = 1, зам-Бтимъ, что
коэффишентъ при k2a въ разложенш этой
функши асимптотичент! къ -— (§ 337, с).
откуда сл'Бдуетъ, что (§ 339) слЪва отъ
h — 1 им4етъ м^сто асимптотическое
равенство
F) ^
Рис. 90.
757. Такимъ же образомъ вычисля-
вычисляется полный эллиптический интегралъ вто-
второго вида Е(/г), для котораго имъетъ
У''
Е {/г)
2
= / f 1 - -~
'J <р - ^ -
ьз
2.4-6
k1' sin6 <p —
интегрируя почленно, получимъ
T\2.4T6~/ I
При возрастанш k отъ 0 до 1, E(k) постоинно убываетъ отъ -^ до
/'
<Г — I •
Справа отъ ? = 0 кривая, изображающая функщго, уподобляется пара-
болЪ т = — ^ях3 и при /г = \ кривая касается прямой k — 1
(рис. 90). Чтобы въ этомъ убедиться, стоитъ только вычислить
производную
к заметить, что

348 VII, 2. нахождеше нвкот. клдссовъ иктегталовъ. §§ 757—758
откуда и слъдуетъ, что lim E'(k)= —чо. Чтобы ближе изслъдовать
А=1 -и
ходъ функши слъва отъ k=\, замътимъ, что для /г, стремящагося
къ пред-Ьлу 1, теорема Лопиталя дастъ
l-K(k) 1 ,. E'(k) I ,. F'{k) 1
lira — = -=- lira —~ —— — lira — -_¦ •
A — A2)log|/' 1 —<fe3 2 logy'I-*2 '2 Jog/1-^2 2
Следовательно, имъемъ асимптотическое равенство
758. Ряды E) и G) весьма полезны для вычислеши значений
F(k) и E{k) при весьма малыхъ значен!яхъ k, но при к недоста-
недостаточно мало;иъ они становятся непригодными всл^дств1е крайне мед-
ленно|Э сходимости. Если k близко къ единиц-т,, то асимптотическая
выражен5я F) и (8) даютъ ионяэте объ обтемъ ходЪ этихъ функш'й,
но если мы хотимъ действительно вычислить значен1я функшЯ, то надо
эти формулы дополнить, чтобы получить сколько кибудь достаточное
приближеше. Мы ограничимся зд+сь гЬдгь, что покажемъ какимт>
образомъ пычислеше интеграловъ F и Е можетъ быть приведено
къ вычислен1ю подобныхъ же интеграловъ. но съ модулемъ, сколь
угодно ыалымъ. Этой ц'Ьли можно достигнуть съ помощью такъ
называемаго преобразован1я Ланлена (Landeii)
(9) sin
1 -j-/i sin- v
гд'Б постоянная fi (лежащая между 0 и 1) определяется уравнен1емъ
j 2| /<¦ _ легкое вычисление даетъ
Н
У — ч sin2 v 1- 1 — ц* sin-1 <,..'
V^ ' cos (Г =
-.п ,.,- .- ,,— У — ч sin2 v 1- 1 — ц* sin-1 <,..' г„„ ...
YT— k- sin3 ц, = г—-- ^V^ ' cos (Г = —. -—-^ ,—- cos V
Изъ (9) дифференцирован1емъ нолучаемъ теперь
l(j_ A -г ,"-) dy
2 if У1 — ^sTn^ у
и, наконеиъ,
A0) /'"(A)-A+^)^00,
если примемъ во вниман1е, что при постоннномъ возрастании %> отъ
О до у первоначальная переменная дЪлаетъ то же самое. Анало-
гичное вычислсн1е, которое мы, для сокращения, адъеь опускаемъ,
даетъ вторую важную формулу, а именно

§§ 758—759 замечательные определенные интегралы. 349
Ясно, что объ выше приведенный формулы остаются справедливыми
и для неполных ь интеграловъ; амплитуды у и гр им^ютъ тогда
различный значешя, связанныя формулою (9). Уравнеше A1) рас-
крываетъ следующее важное обстоятельство: Всяюй эллиптиче-
CKill интегралъ перваго вида можетъ быть выраженъ черезъ
два интеграла второго вида.
759. Возвратимся къ полнымъ иитегрзламъ и покажемъ, какимъ
образомъ можно воспользоваться формулою A0), чтобы вычислить
F(k) при k близкомъ къ 1. Начиная съ /г, составимъ такой рядъ
чиселъ k, kit kit . . ., чтобы
_2v"*i. . _'iiE, h -UrK
Тогда будемъ нм*ть вообще
_i ¦ YY-ki , i~(i-*H)
*я+1 ~ 1 + |^"Г^^Гл " l+0~k") " '"'
Числа /'„ — положительный и постоянно убываюшш при возрастании //,
должны стремиться къ некоторому пределу /. Этотъ предать дол-
2 1/~ Т
женъ удовлетворять уравнен1го / = . Освободивъ это урав-
нен1е отъ корня / = 0 и отбросивъ недопустимый корень 1—1,
припедемъ его къ 2-f-V 7-!-^ = 0, которое не имЬеть вещестпен-
ныхъ корней. Поэтому 1 — 0. Повторное примкнете формулы A0)
даегь
F(k) - A - k,) 11 + *„) A + ^) ¦.•(!+¦ *
гд-fe kn будетъ сколь угодно мало. При бесконечно боль-
шомь п можно, такимч, образомт., съ помощью (о) вычислить F{ki,),
а затЬмъ и F(k). При возрастании п до >5 им-кемъ
lim F{kn) = /•¦((>)= у'
а следовательно,
Построить таблицу значенШ F, съ помощью формулы A1) анало-
1"нчнымъ образом ь можно вычислить и значешя К. Такш, весьма
полезныя для приложении, таблицы составлены Лежандромъ (и для
неполныхъ интеграловъ) п называются эллиптическими табли-
таблицами '). Приведемъ изъ нихъ зд^сь несколько чиселъ
Legendre. „Trails dus Junctions dliptiques", т. II.

350 VII, 2. НАХОЖДЕН1Е н-ькот. классоеъ интеграловъ. § 760
760. Упражнетя. а) При вычислекш интеграла отъ -, которое мы
У sin а"
предприняли въ § 755, i съ помощью подстановки tg — =/, предпочтктель-
нЪе применить болЪе простую подстановку sin х = 1. Тогда съ гтомошью даль-
нтзйшсй подстановки t=cos2<p (на которую наводить соображения § 749),
приходимъ къ следующему нормальному виду даннаго интеграла
Г d<p _ = _ у-2 Г ji<p
J У 1 + cos2 ц. J }г1—к$1тР<г.
Въ частности, получимъ
2
Г-*2— - Y7 F (—1 - ) = 2,622 ....
./ У sin л- \У/
о
Ь) Подобнымъ же образомъ вычислннъ кнтегралы
J yi-.vi J Yx-x*
гтоложивъ х = cos q.. Они преобразуются соответственно въ
У'2'J VT^~l sin2"^ У,] y'T^lsin"V ./
Въ частности, будемъ им%ть
Г dx _J_ y / _1_-. _ j 31 j
J У~г4 y'2 \/г/
о
l
J У 1 л-i У 2 \у 21 \у 2'
о
с) Нисколько сложнъе будетъ вычислсн1е интеграловъ
Применяя къ первому подстановку .v = — 1 4-У^З tg2-y , получимъ
Г dx 1_ Г' djp

§ 760 ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, 351
Ко второму, на основаши сказанпаго въ концъ § 749, надо применить
подстановку
v ^ tg ч -O+Vg) .
^ tg<p+ {\--Y2)
Тогда онъ преобразустси въ
J V sin* tp -f 6 C - 2 У 2) sins Ф cos2 <p + C + 21 2 )s cos* ?¦
Выражение подъ знакомъ корня получается отъ умиожен!н
sins <р + C + 2 У'2)а cos3 <р - C -' 2 1'J ( 1 ^4= sina <П
на sina ^ + cosa ф = 1. Поэтому
/ у Г+Т* / |/ " ~4~уТ
f
4уТ . ,
f 3+2V
Принимая, дал%е, во вниман1е, что
,,-_*
р
3 + 2 У'2 1 — V  А2
иолучимъ, прим*н51н формулу A0),
Г__?^_ = 1 Г ^л; [! L\ /,- / 2У2 '(
—1
= i- F { ! ] - 0,927 ....
2 \ У 2 /
d) Когда предложено найти иптегралъ
У У 1 — k cos ff
который напоминаетъ другой, уже вычисленный въ § 725, i, то можно начать
с-ь интегрировался по частямъ, которое даетъ
/&\T$ipdrp 2 Г . 2 Г
—7= —" = "Г / sinqi dy I — X7cosff = — , / У
> 1-A cosy *,y *J
1 —*cos5"-cose^
2 Г k — c№f , 9 /* sin3f/:'rf^' _ 2 /^ ^ -
*,_/ yi^Fcosr/; _/ У ] - * cos ip 3*,/ y'l —
- cos у ,
k cos if-

352 VII, 2. нлхождеше нькот. кллссовъ интеграловъ.
ПослЪдшй интегралъ при заменЪ <f на л. — 2 ip приметъ пидъ
§ 7G0
2 2
l к - cos 2 w 2 I
2 I ——¦ - - a (p = — I
J VI И cos 2 Ф *J
flf (р
0 0 0
или, если еще напишемъ 1 -j- k ¦ 2?sinlj<f. вместо 1 |- k cos 2 if,
Сл'Ьдователыю.
ТГ
{У i + ъ
e) Могутъ встретиться эллиптически интегралы съ молулемъ k > 1,
но ихъ всегда можно 1гривести къ другимъ съ модулсмъ, лежащнмъ
между 0 и I. Разсмотримъ, напрнм'Ьръ, интегралы
до-
довъ которыхт. nepxiiifi предЪлъ (,¦ не достигаетъ эпачен1я Ll? , а можетъ
стигать лишь максимального значения а, опред'Ьляемаго ураонешемъ
sina= —г- ¦ Когда (р изменяется отъ 0 до а, то переменная у, еннзанняя
съ if урагснен!емъ sin ^ — k sin ij- изменяется отъ G до -- , а такъ какъ
d q:
d ц\
то будемъ иметь
Y\-
J y'l -k?siri2tr
Напримеръ,
(' dv_ =
— 2sin-rp ^<p —0,599.

§ 760 ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 353
f) Въ Механик* доказывается, что время полнаго колебашя простого
маятника, съ длиною I и амплитудою колебанш 2 а, измеряется величиною
интеграла
7 Г—
S J 1 cos 8
— cos a
гаЬ g обозначаетъ уекореше силы тяжести въ м^стЪ наблюдешя. Этою
важною формулою пользуются для опредъчлешя g въ различныхъ мЪстахъ
земной поверхности, съ тъ-мъ, чтобы изъ результатовъ многнхъ наблюденШ
составить себ^Ь понятие о формЪ этой поверхности. Если положим!, k ¦¦= sin ¦
6
и sin -=- = k sin <p, то получимъ
cos в — cos a = 2 Ism- — sin2 = 2 k- cos2 <;..
Пркнимая дал1>е во внимаМе, что при изм4нен1и В отъ 0 до а, (р постоянно
возрастает!, отъ 0 до ^- , найдемъ
?1
т ol/ ' rax \-f l /1 • ' • •>« , 9 /t , 25
Если а очень мяло, то можно ограничиться въ пыраженш Т первымъ чле-
номъ, который отъ а не зависить, и такимъ обраэомъ получить дока-
доказательство изохронизма малыхъ колебашй. Если хотимъ достигнуть ббльшей
точности, то удерживаемъ еще одинъ члекъ въ разложении. Можно также
применить формулу A0), замЪтивъ, что въ данномъ случай и = tg21-т-|'
и написать
g) Другой замечательный интегралъ, встръчаюнцйся въ теорш двн-
жен!я волчка, изображается такъ
аЬ Г
COS в A%
b- Л с2 — 2 a b cos" 9
Сведемъ сперва интервалъ иптегрирован1я къ @, ;г), aaMt4afl,4To интегралъ,
распространенный на другую часть (л, 2я), приводится къ первому заменою
в на 2л —Ь. Далт^е можно считать, что ah > 0. потому что при аЬ < 0
замЪною Э на гт- — 0 сведемъ этотъ случай къ первому. Съ другой стороны,
замЪтимъ, что
\ ab cos2 -^ = Ц? (l - /з cos2 ~ 1 ¦

Зо4 VII, 2. нахождение н-йкот. классовт, интегрлловъ § 760
если положммъ
ia J- 6J + (S. '
Поэтому, принимая за переменную интегрирования ^ = ^(л— 5), получимъ
Няписавъ еще 1 — '2 sin2 ц- вместо cos'2<p, маходимъ
Загбмъ формулы E) н G) дадутъ разложеш'с Ф по стеленямъ к.
Болъе простое выражен1е получимъ, если отъ модуля k перейдемъ къ модулю
\-\-Y\ - № \7а~-№~~\- с- -\- | (а~-1>уЦ с-
пользуясь формулами A0) и A1). Въ самомъ дЪл-L, принимая во вниман1е,что
с if.
преобразуемъ (V2) въ
1 ¦> _ 1 \
Иными словами, предложенный интегралъ принодится къ типическому эллип-
эллиптическому интегралу второго вида (§ 748):
. 2A , ; / sitr fp dtp
ф = -¦ - \ i.i ah I — =^ ¦
n J у  ^i
J у  - .i^sin-
о
Разлагая правую часть формулы A3) въ рндъ, иолучимъ
Ф ^ i YJ'^ib (п -г } ,«« -| ' •> /<5 -- ¦ ¦ -).
Если k весьма мало, то последнее разложстие ц^лесообрязйе разложешя,
выведеннаго изъ формулы A2); если же k близко къ 1, то лучше прямо
применить асимптотическую формулу F) къ выражетю A2).

§ 760 ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ОПРЕД'ЬЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, 355
h) При помощи довольно цликнаго, но не представляюшаго суtrte-
ственныхъ затруднешй. вычислешя 1). приходим* къ формулЪ
J X I — /."S1I1-I)
гдъ k'^ y\ - №, и отсюда получаются при к весьма близком!, къ 1 т\\
формулы, на которыя мы укалывали въ началъ- § 758- Мы ограничимся
здесь сльдующимъ замъчашемъ. Нашппемъ правую часть предыдущей фор-
формулы въ слъдующемъ видь:
"" ~Ц lofi
припомнимъ, что (§ 721. d)
г*
j lij^j sin if- dq —
и что
И т
log * - О,
lira } \l--{h) "
накъ то сл^Ьдусть изъ разложешя F (/А въ ]>ччь но степенямъ /¦ (§ 756, E))
и персйдемъ къ прсдЬлу при k^0°; тогда, замънинь еще л' на к' и обратно,
получимъ
lim ( F{k) + log y'l — № ) - log 4.
'i i.
Эта формула не только заключаетъ въ себ1> формулу F). но цознолнеть
внести къ эту формулу и въ формулу {Я) еще маленькую поправку, состоя-
состоящую въ томъ, что разность между .ткною и правою частью формулы F)
будетъ не нуль, я log4:
i) Чтобы дать 'шгагеляяъ понятие о болЪе трудныхь ьопросахъ, кото-
которые могутъ быть ptiJieHN при помощи эллинтическнхъ интеграловъ, мы
приведенъ здъеь двt интересный формулы съ т1)мъ. чтобы вывести изъ
нихь некоторый заключеи]я. Когда h изменяется отъ 0 до I, то интегралы
F(k) и h'(k') изменяются так.ъ, что отношеюс второго къ первому иамв-
няется оть 0 до -^ и притомъ постоянно нозрастаетъ. Поэтому, если х
¦L) SchlOmilch. „Compend. dur hoheren Analysis", т. 2, стр. 322, и въ
„Bilk-tin de Darboux" A897, стр. 109).

356 Vll, 2. нахождеше нъкот. классов ь интеграловъ § 760
Оудетъ какое нибудь данное число, лежащее между 0 и 1, то будетъ суще-
существовать одно и только одно значете к, для котораго
Въ то же время можно доказать, что
где k функш'я отъ х, определяемая прсдыдущимъ уравнешемъ*). Въ частно-
частности, когда х безмредъльно приближается къ 1, будемъ имзть rcc съ боль-
шимъ и большимъ приближетемъ F{k)=; —-- , и потому сумма ряда
2 log v
будетъ стремиться (сравн. § 342, с) совпасть съ
-
Точно такъ же нм-Ьемъ
1 - - 2 л- + 2х* - 2 х» + 2х* =|/ kf F(k),
а поэтому (сравн. § 342, d), припоминая формулу F), получимъ
lim (x — л4 -f .-Vя лг111 4- ¦-¦) = ¦¦— -—= Jim 1/ k' log —T = -тг ¦
я-=1 ? Y'l д ft'—о ' * ^
Напротивъ того, при k — ~ ¦, когда и k'— — г ., х = в~", откуда
1- 2 |' 2
1 - 2 в"л -|- 2 «-4-т - 2 е-9"' +¦¦¦ =Л/Г^Л !¦¦ (-4=1 - 0.913 ....
Если хотимъ теперь переставить /п и ?', то надо будетъ заменить х дру-
гимъ чнсломъ *', связаннымъ съ х соотношен1емъ log —log- -"=л2. а такъ
Д^ X
какъ съ другой стороны имъемъ
I .1
A + 2 х +- 2 x^ + 2 .г'1 ¦{-¦¦¦) (log -1)"= ]/7 -J /"(*) /'(*'),
*) Это изн-Ьстная формула изъ теорш эллиптичсскихъ функшй. См.,
напримъръ, Schlomilch „Compendium der hoheren Analysis". 2-й томъ
второго издан!я 1874 г-, стр, 439, формула A05).

§ 760 ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, 357
то видимъ, что левая часть, какъ и правая, не изменяется отъ замены х
на х' и обратно. Такимъ образомъ получается доказательство одного ранние
даннаго соотношешя (§ 342, с). Наконецъ, замЪтимъ, что переходя, при
2 \f~k
помощи преобразован!я Ландена, отъ модуля b кт> модулю к - -^-—у , съ
помощью того же преобразован!*, примененкаго въ обратномъ смыслЪ, перехо-
димъ отъ ? къ к'= У 1 — у?. На оскованш формулы A0) будемъ по^
э Ь
этому
F(x) = A + /¦) F{k), F(r/) =
при чемъ значение ? переменной *, соответствующее модулю ¦/., бу
таково, что
1 1 ЛУ) 1 F(k') 1 1
т. е- с—У"*-. Поэтому им-ёемъ
1 + 2 У* 4- 2 }г& + 2у!&-\ =Y~
1 - 2 у* f 2 Vx*- 2 У i!( + ¦ • •
Переходя опять отъ k къ я, получнмъ
2 У7- 2 |'"F + 2 V** + (l I VkW
1-2V* 4- 2 У** - 2 У*в +...„(!_ У^)]/- F (A),
откуда получается
2 У*- + 2 V^i 4- 2 У.^ + . ._. ^_
1 - 2 .t 4- 2 л4 4- 2 *9 4- • ¦ ¦ ~" '
Съ другой стороны.
Возвышая оСа равенства въ 4-ую степень и складывая, находнмъ тождество
B У# 4-2 У^в т 2
•)*¦
Иэъ него, путемъ сравнения коэффишентовъ при одинаковыхъ степеняхъ х
въ левой и правой части, получается следующая ариеметическая теорема;
Число всевозможныхъ разложешй нечетнаго числа на четыре
квадрата въ восемь разъ больше числа всевозможныхъ разло-
жен1й учетвсреннаго числа на четыре квадрата нечетныхъ чиселъ.

358 VII, 2. нахождение нъкот. классовъ интеграловъ § 7fi1
761. Эйлеровы интегралы. Подъ этимъ назвашемъ попи-
маютъ интегралы
1 сь
Первый называется Зйлеровьшъ интеграломъ перваго вида. Это
функщя отъ двухь положительных!* перемЬнныхъ /i и v, и притомъ
симметрическая (что тотчась обнаруживается при замънъ _v на 1 - х).
Второй интегралъ — функщя on. одной положительной перемен-
переменной [I, называется Эйлеровым!, интеграломъ второго вида. Мы
уже видьли, что второй интегралъ равенъ ./"Х**); этотъ результата
мел скова подтвердимъ, вычисляя первый при цъломъ положитель-
положительно мъ v. Предполагая еще v > 1 , при помощи интегриронан1я по
частямъ находимъ
1 1
xtl ¦" A - xf-1 dx = -—J / х-" A - л)'-" dx
tJ
П I)
1 1
v — 1 Г ¦> v — 1 /'*
~ /i I ' ft, * "
откуда получаемъ
/
d.V =, —
О
а повторнымъ прим-Ьнен1емъ этой формулы наидемь
ri
Замънивъ ,г на ¦-, получимъ
,.!м"-1
а увеличивая v до бесконечности и припоминая опредЪлеше функц!и Г
(§ 252, с), находимъ

§§ 761—762 злмт.члтчьнык определенные интегралы.- 359
Зам"Ьч-имъ още формулу, получаемую отсюда заменою д: па их
A4)
важную по ея многочисленным ь ириложешямъ.
762. Докажемъ теперь, что интегралы nepaaio вида вы-
.ражаются черезъ функцио 71. Подстановка х = -. ' даетъ
Второй части можно придать видь двойного интеграла, пользуясь
формулою A4), иосл'Ь замены въ ней и, i!a fJ.--\-v, и п на 1 -{--у
Но на основанш той же формулы A4)
{15} ("у» 'С ¦** dy - Г{^ ¦
Сльдовагельно,
к
Итакъ,
A6)
Такимъ образомъ можно вычислить всякШ инте[ралъ псрваго вида
съ помощью таблицъ лля \о^Г(х) (съ 20 десятичными знаками),
T. по настоянию Гаусса v).
1) (iauss Werke, т. Ш. См. также упомянутый уже „Traits" Legen-
dre, т. П.

360 VII, 2. НАХОЖДЕНЩ HtkKOT. КЛАССОВЪ ИНТЕГРАЛОВЪ. §§763—764
763. Формулу A6), весьма полезную въ приложекйяхъ, часто
пишутъ въ вид-fe
„„
который она принимаетъ, когда положимъ а* = sin* в. Между про-
чимъ, изъ нея можно получить,при fi = v, доказательство формулы
Лежандра (§ 252, d), если припомнимъ, что Г{\) =У п. Д-бйстви-"
тельно, мы им^емъ
а. ¦**
= 2 / (sin В cos 5K"-1 яГВ ^ —i^ „ / sin2" l1b-di
22,„ - a J 22«-1 Г (,
о n
откуда получается
2 /^2Э" » Г 00
На этомь основанш, при всякомъ ^>0, получаеиъ
т
in8"-1 В ¦ rf» = Aoe2"-1 S • rfO = 22"-1-1 ?1^? ,
о о
а это есть обобщение одного изъ прежде полученныхъ результа-
товъ (§ 727, g).
764. Упражнения, а) Интегралъ отъ tg*xdx въ пред%лахъ отъ
О до -~- можетъ быть вычисленъ съ помощью A7), если положимъ '2;*.—1=и.
2 v — \ = — п; тогда, всл*дств1е того, что ,« + г = 1, иайдемъ

§764 ЗАМЪЧАТЕЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 361
Пользуясь формулою (§ 464, е)
09) JL
видимъ. что при I п | < 1
<2°)
1 cos „-
2
/tg" x dx — — - ¦
2 cos "„-
Въ частности, получимъ
Г dx
J Vb*
у 2
что можно получить и изъ ран-fee сд-Ьланнаго примера (§ 755, d). Ограни-
Ограничение |«|< 1 получается, независимо отъ границъ приложимости формулы (.17),
также и изъ прежнихъ замЬчан!;! (§ 717, а), потому что tg";r обращается
въ аа порядка |«| при х — -^- или при яг = О, смотря по тому, будетъ ли
« > или < 0. Сд-Ьдовательно, a priori можно было утверждать, что кнтегралъ
не существуегь при | « | > I.
Ъ) Чтобы вычислить
J Уг-
зам^Ьнимь х на х". Интегралъ приведется къ
Отсюда сл-Ьдуетъ по формулъ A9)
i
d x n
"l _ xn и sin
n ' "
при условш и > 1. Впрочемъ, и неопределенный интегралъ можно найти въ
ялгебраически-логариемическихъ функщяхъ, потому что подъинтегральное
вырэжеш'е есть биномиальный дифференц!алъ, въ которомъ выполнено второе
условие интегрируемости (§ 751). Для приведешя этого днфференшала къ
рац1ональному виду стоить только положить х — к- - -

362 VII, 2. нлхождкше нъкот. классопъ интеграловъ §
/ d x
с) Для вычислени! / ,.-— прим%няемъ формулу (IS), которая
J ] sin ,r
тотчасъ даетъ
л
dx ГЧ\)
J
J у bin .r 2|/2л
Сравкеше этого результата съ полученпымъ н-ь § 7SU, даетъ нижс-
стЬдующее nupaiKeuie одного Эйлерова интеграла черезъ эллии-
\ Y* Г(-j^)-.4.62ft....
Ди.тЪе, нз-ь A9) сл^дуетъ
d) Интегралъ отъ —— въ прсцьляхъ отъ 0 до t также четко
У 1 -х1
приводится къ Эйлерову интегралу 1-го вила. Стоитъ только мять ла новую
переменную /=-\4, чтобы получить, на основякт формулы A6)
или. по формул* Лсжандра,
n J' '~Л х \ 2 /
Наприм^ръ,
Г f/.V 1 ,-/ I \ Г X1 dx Л_
Сравнен^ мосл*дняго результата съ прежде полученнымъ (§ 7fiO, b) даетъ
следующее coooTHomenie между значен1ями F » Е съ модулемъ - __ :
\f2

& 764 ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, 363
е) Другой гштегралъ, легко приводящиеся кь функшямъ Г. есть
слЪдуюинн
я , sin" '
A --- /,• COS <j l"
о
Всегда можно предположить /'?0, потому что случай k<0 сводится къ
первому заменою /р на я — q.. Заметишь, далее, что при и.'- 0 иодъинте-
гральная функщя обращается на предф.лахъ интеграла въ бесконечность
порядка 1 -1/~С?,1. Отсюда сл-Ьдуетъ, что интегралъ можетъ существовать
только при и ';- 0 (§ 717, а); и онъ действительно существуешь, если
еще k < 1, потому что тогда подъинтегралытан функши конечна и непре-
непрерывка въ интервал^ ингегриропянЫ. При /т — 1. нгшротивъ того. иптегра<гь
не существуитъ, потому что тогда иодъинтегральнян функшн на верхпемь.
предалt обращается въ бесконечность порядка н+]>1. Если k > 1. то
подъиитегряльнан функция обращаетсн въ безконечпость порядка и при
i( — ч, гдЬ l'os о. — , • Следовательно, интеграл-ь существуетъ и при
к -1, если прп этемъ и < 1. Чтобы BbiMHCjinrh (.:io въ первомъ елучл'Ь,
когда 0 /- k < Т., п у 0, стоить только применить подстановку
которою часто пользуются в'ь Астрономш. такъ какъ они применяется во
многихъ попросахъ, касающихся эллипса. Къ этой1 подстановке приходичъ
всего естественнее, если хотимъ перейти отъ эксцентрической акомалш </ ,
определяющей положение точки па эллмисъ. къ поляриымъ коо]|дипатлмъ г и 5,
принимая одинь фпкусъ за полгосъ и напраиляя полярную ось кь другому
фокусу. Очевидно. /-Лудсгь гипотенуза прямоуюльнаго треугольника, катеты
когораго равны Ля f n cos q. и b sin ц , так1> что
г- —¦ a' \(k \ cos tf.f + A — k2) sin2 ff) =- a2 A -- k cos г/:)-,
т. e. r = n{\ /n cos </.¦>, с-гЬдователыю,
. , 1 1 — № ¦ sin if h — cos if
1 ~\- k CfIS (f \ -j- .' COS if
откуда, дифференцируя, получимъ
rf 3 ,, У l ~ ** d.f , т. e. r d 0 - A ,/? •
1 -¦(- ^ COS ф
Изъ т*хъ же уравнен!й, upoMt того, выводимъ
0 sin 3 у \ — Д|- sin с/- I [\ — k
g ~Т " ] cos 9 ^ (П /) 11 +" cos | = Г
^r cos 9 (П- /•) 11 + cos </-| = Г :T^ tg 2
Такъ какъ 0 позрастаетъ отъ 0 до л, когда i/. возрастиетъ отъ 0 до .т, то.
очевидно, будемъ пмЬть
cos </./ 1 4- /¦ cos <f !
'-/-"«¦

364 VII, 2, НАХОЖДЕШЕ Н-ЬКОТ. КЛАССОВЪ ИНТЕГРЛЛОВЪ. § 764
или, по формул* A8)
3=
A —А3K Г (я)
Переходя ко второму случаю (Ь > 1, 0 < п < 1), возьмемъ за интервалъ инте-
интегрирования только часть {0, а), чтобы подъинтегральная функщя не могла
сделаться мнимою. Применяя подстановку tg — = 1/ —— tg —- )и заме-
замечая, что в возрастаетъ отъ 0 до ~, когда if, изменяется отъ 0 до а. при
помощи вычисле^я, совершенно аналогична™ предыдущему, получимъ
/1 '"
г Я
I A + k cos y.y ^ !
о (FlK
f) Покажемъ зд^Ьсь еще upiein., уже примененный нами въ одномъ
спещальномъ случай (§ 740, d), для вычислен!я интеграловъ
J *" J *"
о о
при чемъ jx обозначаетъ положительное число, меньшее 1 въ первомъ и
меньшее 2 во второмъ интеграл^. Что интегралы наши не существуютъ
при другихъ значешяхъ /л,, видно, на основаши зам^чашя § 717, а, изъ
того, что при х = 0 [юдъ интегральная функшя обращается въ безконечность
порядка ft въ первомъ, и порядка ,«—1 во второмъ интегралЪ. Установивь
сказанное, преобразуемъ наши интегралы въ двойные, съ помощью фор-
формулы A5), тогда получимъ
о о
Припоминая значен!я интеграловъ
/ e-^^cos xdx= ^-~2 ' / «"*" S'
sin х dx =
1 4 _v*
найденныхъ въ адномъ изъ предыдугцихъ упражнешй (§ 740, j), приводнмъ
вышенапиеанные двойные интегралы къ'
_1 CyPJy \_ /'.У'''1 dV
ты.) Тту*' rtf'U ! i-Je

§§ 764—765 здм-ьчательные определенные интегралы. 365
Между тЪмъ, принимая во внимание формулу B0), съ помощью подстановки
у = tg 5 s находимъ
иг, 2
Г У" d2 - /\g" 0 r/C = л —. (- I <¦ я < 1).
J +J J 2 cos
Следовательно,
СО ЭЭ
/COS X , Л I Sin .
р. М Т I л
¦* 2 Г('О cos - J x
Въ частности.
со
/COS A" I /'л
765. Въ заключен!е докажемъ одну весьма важную формулу,
дозволяющую вычислить съ большою точностью значеше Г(х) при
л? весьма большом!.. За исходную точку воз[,мемъ формулу, опре-
определяющую функцию Г {§ 252, а)
и напишемъ, логариемируя o6t части равенстпа:
ее
log J'O) = - log x + ^У ! x log (« -r 1) — fa — 1) log n - log (x A- n) }.
i
Избавимся огь логариемовъ въ правой части съ помощью формулы:
Легкое
С) 1\
\? 1)
1 1
вычислеше даетъ
0
тогда
е~( _ e—ir
1 - *-'
'\dt
\ f

366 VII, 2, НАХ0ЖДЕН1Е Н'ЬКОТ. КЛАССОНЪ ННТР.ГНАЛОВЪ. § 765
Интегрируя зат-Ьмъ по х нъ пред-Ьлахъ оть х до х-\-1 и применяя
формулу Раабе (§ 721, i) няходимъ
о
Правую часть можно разложить на
о"
Следовательно,
Л/
J\\
О
¦ - -= log * - х + log у 2 л =
о
Формула B1) приметь тогда вид!.
-1оя V 2 л + / (- ^7 - f~-?)e г
~) Докажемъ теперь с.тЬдующ!я нерапенства:
Разсмотримъ функщ'ю
и составимъ проиаведен1е /'* (.v) по правилу у.чножен1я рядовъ.
ОбщШ члень въ этомъ произведенш будетъ Sn.\3ll~2, гд^
S -—'— I 1 . L_ -4- Л 1 1 ' !
2я —1 ' 3 2л- 3 5 2и~Б^ ^ Я 2 п —й 2* 1
*) Кокецъ этого § нзложенъ на основан!я зам^Ьчашп оывшлго ученика
Чезаро, Г. Эскамара, въ итальянскомъ излап1и „Elementi* 1905, стр. 526.
Въ нЪмсцкомъ и итальянскомъ оригиналахъ въ вывода результата была
ошибка.

§ 7t).r) ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ОПРЕДЬЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 367
Легко показать, что ,S,, > ,- ——г. Действительно, замечая, что
/i 11 — 1
1 B n - I) '2n\\ 1n-\\
\ 1_ / 1 1 '
3~{~2 n - 3) "" 2~// \ 3 2 « - 3
B
Путсмъ сложения получимъ
5" {2 н 5) 2w \5" + L>» 5
1 1/11
B~»~1)T "" Тп \2"n~\ I
n ) ' 3 ' 2»-l \ ' » Г 2»-IJ 2гг-ь1
Поэтому
Съ другой стороны,
1 I 1 ., , 1
СлЬловательно,
B3) /г(я-) > 4 (/И"
Положит.
и неравенство B3) вмЪетт, съ этимъ дзстъ
откуда
г1 ч ? 1 _ е-Т *- i + ТУ
и,наконецъ,
0-; ^I^^i^^ ,¦ J_,

368 VII, 3. приложения къ геометрическимъ изм-брен!ямъ. §§ 765—767
что и требовалось доказать. Поэтому можно написать
ос ос
/ / 1 1 М -si <il Й / —xt 3
г/ L '' ' ._/
О О
гдъ 0 < 6 < 1. Слъдовательно,
log Г (.г) = {х - 1) log * - * -f log УТл + -12Э- ¦
Переходя отъ логариемовъ къ числамъ, окончательно получинъ
Отсюда, въ частности, получается формула Стирликга (§ 221),
когда х равно цълому числу п, такъ какъ и! = пГ{п).
ПРИЛОЖЕИ1Я КЪ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМЪ ИЗМЪРЕН1ЯМЪ,
Длины дугъ.
766. Такъ какъ мы умЪемъ найти дифференщалъ, а следова-
следовательно, и производную, длины дуги 5 данной кривой по некоторой
переменной / (§§ 583, 630), то мы можемъ теперь вычислить и
длину самой дуги, какъ функшго отъ t:
dt-
Вь частности, для плоскихъ кривыхъ, заданныхъ въ Декартовыхъ
или полярныхъ координатахъ, можно принять соответственно х или
Q за переменную инте1'рирован!я, и написать
С / /' г ¦-¦
.¦;=-/ у, 1 - v'- dx или .v -^ I |/ ?'- -\- г ^ d^.
767. Примеры, а) Дли астроиды, заданной ураннешемъ л^+У^я*,
им%емъ г'= - I-—) > У J — i1'- — I — 1 . Нсли начало дуги помещено въ
\ х ) ' \ х I
точкк {0, ¦). то
X

§ 7<i7 длшп,[ дугь. 369
Въ частности, §« будетъ длина дуги, заключенной въ угл-b положительных!»
.V и у, я потому длина всей астроиды есть пи.
Ь) Логариемическую кривую у^ае" можно изобразить урав-
уравнениями .г- — a log tg у,, )' = rflg(/. Отсюда получимъ (интегрировашемъ но
частямь или съ помощью умножения ни sin-</¦ | cos"J if = 1)
, = a fd^<Г ^.^-+п Г d "- -, „ (sec <r | ¦ log ig *\ + const.);
у sm tf cos </.. ^ sin ij; \ 2 / '
отсчитывая дугу я наприм^ръ, отъ вершины или точки наибольшей кривизны
fv^i'] 21, получимъ
с) Для nf.nnoH лин!и ряянаго сопротив-iCHisr, изображаемой
уравнешемъ v = <r log cos , ии1>смъ .}¦'— tg *--, с.пЬдопательгю,
/ -r
/ COS
l.t
Теперь мы можеиь найтк и натуральное уравнете крикоИ {§ 595, т).
Стоить только сложить уравнсн1я
' 71. X
4 "~ 2 ~а
и припомнить, что {/ cos = а.
A) Длина дуги параболы у2— 2 а.х, разделяемой вершиной ггополамъ,
ряпня (§ 745, с)
^ ог г/у - У- УуЩ
(f- j
Наприм-tpb, дуга, хорда которой дълится пополамъ кт> фoкyct, и
длину —1,147... длины хорды.
е) Длина лемнискаты (сравн. съ §§ 589, in; 760, а) ;-= "J-^siii 2 0
равна
4 /-.-rfe --2 [41
f | sin 2 5 J 1' si
1 Y[\A
sin 5 'j'2/

370 VII, 3. пркложеиш къ геометтическимъ измъркншмъ, § 767
Точно такъ же находимъ длину дуги синусоиды между двумя последова-
последовательными точками перегиба
f) Вся длина эллипса съ полуосями а и Ь=а У 1 — № или съ большою
полуосью а и эксиентриситетомъ k выражается формулою
4 / vV^cos2-^ -J- /Л' sin2 ^ rfir = 4 а J \r\ j^sm-^ «V -• 4 я E(k).
Если обозначит» черезъ Л" рад1усъ круга, у котораго 'длина окружности
равна всей длинЪ эллипса, то будемъ ^
2« г i I f 3 k* 5 № 175 ^ 567
с, r-^> аУ 4" (i4 256 16384 65536" ')
Изв-Ьстны различный приближенпыя кыражен1я R; но просгЬйшля соста-
составляются при помощи чиселъ
в'_='^-|й), Ь'^-У~сГЬ, а"=\[а' \-1>'\, Ь" = Уа'У
я т. д. Если k очень мало, то, пренебрегая всЪми степенями k ныше второй,
можно ограничиться значешемъ А' = а'; но это значеше не достаточно близко
къ истинному. Если удержимъ вь разложиши R act, степени k до 6 ой, то
придемъ къ значешямъ Л=3й"— 1Ь' нлн К = i (Зя/— //), которыя уже
потому предпочтительнее а', что одно нзъ нихъ больше, а другое меньше
¦истиннаго. Впрочемъ. первое можно заменить ариеметическимъ среди имъ
¦обоихъ, т. е. взять Л^|Cа'—5 Ь'+ 6 &"}, разложен1е котораго по степе-
нямъ k совпадаете до 10-хь степеней съ Л и т. д. Такъ, напримъръ, при
а = 1, b = ?, полу чимъ
^ , ' C a' - 5 b' f 6 !)") ¦= 0,7709 ....
у 2 ir V'l 'i
Эллинтическ1И таблицы (§ 759) даютъ R — ~ E j ^—J = 0,7709
g) Вся длина {§ 589, k) улитки г — a cos 5 + 6 равна
л
/"' . /'
¦2 / ) «a + fiy + 2 a b cos 0 d S = 4 / ]/ (a -f iJ 4 a b sin2 ip rfG.

$ 767 длины дугъ. 371
Если с обозначаетъ наибольшее, a jtc наименьшее изъ чиселъ а и Л, то
формула A11 § 758 даетъ возможность написать посд-Ьднее выражеше такъ:
Наприм^ръ, длина улитки съ двумя совпадающими точками изгиба [(/ = 2 я)
равна отрезку, отсекаемому кривою на оси скмметрш, умноженному на
3,341 ....
х'2 у2
h) Требуется вычислить длину дуги гиперболы 2 — -4т =1 между
вершиною (а, 0) и какою ннбудь точкою (л\ у) съ положительными коор-
координатами. Замечая, что
_ а'гУ d.. _ «У *У . , i/Ca^fo УЧ^ dy
лриходияъ къ тому, чтобы положить }¦ = ° и находимъ
>- яа + Л2./ cos2 q; V 1 - A3 sin3 </-.
X: -^ ; , т. е. эксцентриентетъ равенъ -^-. Умножая предыдушдй
У
интегралъ на 1 k'1 — A • /г2 sin2 ф) — ^cos2^, раэобьемъ его на два
другихъ
2)/ - - .-'-'-.-гг^= /
о
Между тЬмъ интегрирг>пая1е по частямъ даетъ
/
— A* sin3<j; + F{k, 4i) - E{lt,
ОгЬдователыю,
л- = — =— -F (k, if) - /яф" ? (*, <c) + tg ^ ¦ V я*
У а- + Л-
Вычислен!е s въ каждомъ частномъ случай требуетъ употребления таблицъ
Лежандра (съ двойнымъ входомъ). Зам-Ьтимъ, что возрастание s до беэко-
нечности съ приближен1емъ <р къ — > зависитъ исключительно отъ третьнго
члена, который изображаете разстоян1е отъ центра до нормали въ
кони* дуги.
i) Разсмотримъ логоциклику (§ 602, Ь) изойражаемую урапнен1емъ
B) (х+у)(х*+у*)

372 VII, 3. приложкши кь геометричнскимъ измърешям-ь. § 767
a cos 2 О
или въ полярныхъ координатахъ уравнентемъ г— —~ - - ----. если нримемъ
ось сиуметрш за полярную ось. Длина любой дуги, считаемой огь вер-
вершины, равна
в
ФЧ О -f
/ У f 2 siii2 Ц
я потому вся длина петли, образуемой кривой, будетъ
,..т /*,'- --j-r - -, ^г ¦ ^п~ ^е о /'1^1 — Asin2f/. ,
я V 2 ( >¦ cos-'l ? - 2 sin^2 j -, - --2a I — r——".- (/r,-
f ¦ cosJ 0 / 1 +sin if-
2
О
Между гтшъ изъ A) иочучасмъ
п
а штегрировант на чястямъ даетъ
J У 2 co-s-r/- \ cosg,- 'и у'2'.У У 1 -} cos-^
_ 1 1 — i sin2 T , 1 , cos <p ¦ ] \ I + cos-
cosl>
Сл^овательно,
ч
' —
— sin (ft / _ \ . ,,
cos {/' V 2
1 , rosr/..-j-V 1 - cos2 ц, , „/ 1 \ _/ 1!
—= log -'--L-L _ l--\-FI ff.\ — ? I _
VI \ A-Y-l \\ 2 / \У2
1 ¦ о
2 ¦ll" '
¦•fV 1
-г- COS2 (/;
Полагая, наконецъ, т =-тг , няходимъ, что вся длина петли логоцик-
лики равна

§ 767 длины дугъ. 373
эта величина въ 2Л89... разъ больше длины отрезка, отсъкаемаго кривою
на ея оси симметрии. Свойство имЪть дуги, длины которыхъ выражаются
эллиптическими интегралами первыхъ двухъ вияовъ, т. е. дугами кониче-
скихъ стэчешп", принадлежить безчисленному множеству уникурсальныхъ
кривыхъ 3-го порядка. ОнЪ, вмъстЬ съ логоцикликою, образуютъ такъ на-
называемый клаесъ циркулярных^ кривыхъ 3-го порядка1)- Bch эти
кривым могутъ быть изображены уравнешемъ B), къ правой части котораго
надо прибавить членъ нида (л- -f у) \px-\-py): a;Y'2 кнкь |Г прежде обозна-
чаетъ разстоянш двойной точки отъ асимптоты.
j) Разсмотримъ ещи кривую Вив^ни (Viviani), т. е. мересъчеше
шара съ цилиидромъ, основаьие котораго есть кругъ. построенный на ра-
,niyct> шара, какъ на ддаметръ-. Изъ уравнен]й кривой
х- | у2 -f за = а'-, ла +у2 •= ах
получаемъ
v- = л- {а — х), л- — а (а —х),
и полагаем* х ~ a cos- (/¦ • Ограничиваясь тою четвертью ' кривой, которая
л сжить въ угл1г положительныхъ координатъ, будемъ им-Ьть у = а siiu/. cosf/j,
s = as\n<f. Последнее уравнен^ иоказываетъ, что if есть широта точки
{.г-, у, *), а изъ выражешя х вытекаетъ. что у есть и долгота той же точки.
Следовательно, кривую Вив^ани можно определить, какъ сфернческуи>
кривую, въ каждой точк"Ь которой широта равна долгот-Ь. Зам"Ь-
тивъ это, будемъ далт.е им+зть
dx ¦= — п sin2 7- d'p. dv = it cos 2 q< d ц,, ds — a cos//• <lq:,
откуда, возвышал въ квалрятъ и складывая, получимь ds-^a'1 (I
Итакъ. вся длина кривой равна
•/'•
4 д / | 1 + cos- ij /Iff ~ 4 a
Иными словами, длина кривой Ви1шни на шаръ рад1уса а равна длннт,
эллипса съ полуосями а и п\ 2, т. е. равна длинт* окружности большого
круга, умноженной на 1,216.... Къ тому же результату можно еще проще
придти на осноьаши с-тЬдующаго 3aMt4ama1. если раавернемъ цнлиндръ
на плоскости, то кривая превратится въ jist полныя дуги синусоиды.
Обратно, чтобы построить кривую Вив1ани, надо начертить пару синусоидъ
у = j- я sin — и выр-Ьзать изъ бумаги тогь кусокъ, который лежитъ между
двумя дугами, ограниченными одними и тъми же точками перегиба. Если
согнемъ этотъ кусокъ такт», чтобы общая хорда обт.ихъ дугъ сделалась
окружностью круга, то край бумаги превратится въ кривую BuBiami, при-
принадлежащую шару рад!уса а.
1) Salmon-Fiedler. Analytischc-Geotnetrie. der hOheren ebeneti Kurven,
стр. 221 и слъд.

374 VII, 3. приложена кь геомкптическимъ измирежимь. 5 768
Площади плоскихъ кривыхъ.
768. Чтобы вычислить площадь, ограниченную кривою y—f{x),
осью ж-овъ и двумя ординатами, соответствующими абсциссамъ
а и Ь, раздълимъ (а, Ь) на интервалы /;,, /г4, . , ., hn и зам-Ьтимъ
следующее: полоса, ограниченная ординатами, соответствующими
концамъ интервала //,, можетъ быть заменена прямоугольникомъ оъ
оснонан!емъ hi и высотою _>',-, заключающеюся между наименьшимъ
и наибольшимъ изъ значенШ у въ интервалЬ /?,-. Искомая площадь А,
следовательно, всегда будетъ изображаться суммою \'Л,- i-v, при
1
чемъ интервалы ht будутъ стремиться кь нулю, а число п увеличи-
ватЕ.ся безпредельно; а такъ какъ при этихъ услов1яхъ упомянутая
сумма стремится къ пределу, равному интегралу отъ vdx, изятому
отъ A до Ь, то необходимо А = f ydx. Подобными же образомъ
доказывается, что площадь, ограниченная кривою г ~/(Ь) и двумя
I?
рад1усами векторами, выражается формулою А— \ i r* d§t гд^Ь
а и Ь -- крайняя значешя Q. Если, дал-fee, д-Ьло идетъ о вычислеши
плошади, ограниченной сомкнутою кривою и, въ просгЬйшемъ слу-
случай, пересекаюuierocH сь прямыми параллельными оси у-овь, или
прямыми, выходящими изъ полюса, не бoлte) какъ въ двухъ гочках1.,
то будемъ им^вть
C)
!) о
,4= Л? -и) fix. A = l_ f (?*-а*)<М.
При этомъ а и ri обозиачають наименьшее и наибольшее изъ двух!»
значекШ у (или г во второй формул'б), соотв-Ьтствущихъ одному и
тому же х (или 9), а а и b крайний значен1я переменной интегри-
ровашя (обыкновенно корни уравнешя Д —й = 0). Къ этимъ форму-
ламъ мы пришли, разлагая площадь на безконечно малые элементы
перваго порядка. Но мы можемъ ее разбивать и на безконечно
малые элементы второго порядка. Въ случай Декартовыхъ коор-
динатъ такими элементами будутъ прямоугольники, построенные
на сторонахъ dx и dy\ въ случаЬ полярныхъ координать прямо-
прямоугольники со сторонами dr и г с/0- Тогда, на основати определен1я
двойного интеграла, получается та или другая изъ формулъ
Л = f I d.vdv или Л=\ \rdrd4.

§§ 768—769 площлли млоскихъ кривыхъ. 37S
ПослЪдшя формулы заключаютъ вь себе формулы C), что делается
очевиднымъ, если напишемъ
" pi?'' " I
A - j d x I dy, Л — I d t I
.Л В)
r dr.
Оне обшнее перв[>!хъ, потому что могутъ служить для вычислешя
площадей, ограниченныхъ какою yi-одно кривой. Впрочем?,, для
системы какихъ угодно криволинейныхъ координатъ (§ 738)
формулы
D) А =
при чемь интегрироваи1е надо распространить на всю измеряемую
площадь и условиться выполнять отд-Ьльныя интегрирован1я иь
томъ направлены, въ которомъ соотв^тствуюния переменный воа-
растаютъ*).
769. Друг1я формулы полезны особенно вь томъ случай, когда
координаты .v и v точекъ oi-рапичивающей кривой заданы какъ-
Рис. 9].
функц1и одного параметра /. Мы будемъ изменять этотъ параметр!.
такимъ образомь, чтобы при этом ь соответствующая точка, опи-
описывая кривую, оставляла влево отъ себя ограниченную пло-
площадь {рис. 91). За элементъ площади возьмемъ четырехугольник!,
MM'LL', лежащ|й между двумя безконечно близкими прямыми,
выходящими изъ начала координатъ. Замечая, что
MM'L'L -¦ ОММ'- OLL'~- ПММ' [¦ OI/L,
*) Т. е. такъ, чтобы /in и dv всегда обозначали положительный числя.

376 VII, 3. ПРИЛОЖЕНА! Kb ГЕОМЕТРИЧГ.СЖИМЪ ИЗМЪРЕШЯМЪ. § 769
мы можемъ принять за положительный или отрицательный
элементъ треугольника ОММ', взятый съ принадлежащнмъ ему
знакомъ (ср. съ § 348, d):
ОММ' -
1 1 1
1
2
О л- х \ dx — - (х dy—y dх).
О у у -]- /1у |
Это значеше мы получимъ также, пзявъ половину произведешя
основания ds на высочу х sin у -ycos(p. Подразумевай подъ
х и у всегда ихъ выражения, какъ функщй отъ независимой пере-
переменной Л получимъ
E) -4^11 (xiiy-ydx).
Замечая еще, что значен1е инторала отъ xdy-\-ydx, распростра-
неннаго на какую угодно дугу кривой, равно, очевидно, разности
значешй ху вь концахъ дуги, видимъ, что / (хdy-\- у dx) — 0,
если интегрирован1е распространено на всю кривую.1 Отсюда cnt-
дуетъ, что А можно представить также вь одной изъ с.тЬдуюишхъ
формъ:
F) А = (xdy, Л ^ - fydx.
Въ томъ же самомъ, впрочемъ, можно также убедиться, производя
надлежатимъ образомъ интегрирования нъ выражении / / dx dy.
Наконецъ, если въ формул'Ь E) sa переменную интегрирован1я
примемъ t — — , то получимъ
G) А
--J / x*dt.
Эту формулу надо предпочесть формуламь F), потому что она не
требуетъ, какъ тъ, дифференцирования х и у по /, и, подобно E),
применима ко всякой площади, ограниченной двумя рад1усами век-
векторами. Что же касается формулъ F), то, чтобы применить ихъ къ
случаю какой угодно дуги, надо прибавить къ А или отнять отъ
него разность значенШ \ху въ концахъ дуги. Такииъ образомъ
мы снова придемъ къ той формулъ, которую указали въ начал+,
для площади между дугою кривой, прямою (осью) и перпенди-
перпендикулярами, опущенными изъ концовъ дуги на эту ось. Впрочемъ,
формула G) не отличается существенно отъ формулы C), въ кото-
которую она и переходитъ, если сд-ълаемъ подстановку ^ =

§ 770
ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХЬ КРИВЫХЪ.
377
770. Примеры, а) Вся площадь, ограничениям лемнискатою
г- -^ a- cos 2 -3 pa она
.•) = 2 a- f cos 2 О d 5 - «-.
ii
Она равна площади треугольника, составлсннаго касательного въ вершннь
и двумя касательными въ двойной точк+>. Подобно этому иайдемъ для
улитки г — a cos 0 — b
¦л л.
А = / W. = / (i a- J- А-Ч-2 л* cos 3 -|- А /7^ cos 2 0) </в ,- л (\ а- + /'-).
о п
Этотъ результагъ справедливъ при b ~4-а, и, въ частности, для кардпшды
А = '$ па2. При Ь < а найденное выражение изображаетъ сумму двухъ
площадей, ограничснныхъ двумя петлями, вньшнею и внутреннею; величины
каждой изъ этихъ площадей выражаются формулами
2Л11^-' 6*
Ь) Для параболы у-—-2 ах инЬемп.
<т J - За 3 -
Поэтому площадь параболическаго сегмента ОМР равна ?, площади трс
угольника ТМР {рис. 92). Отсюда легко вывести, что площадь, лежащая
между дугою параболы и ея хордою, равна -,
площади треугольника, ограниченнаго хордою
и касательными въ концахъ дуги. Впрочемъ,
къ этому результату можно и прямо придти,
повторяя приведенное въ начали вычисление,
прннявъ аа ось т-овъ касательную, парал-
параллельную хордЬ, а за начало кооршшатъ
точку касатя. За элемента площади можно
тогда принять произнсдсн1е у tix на с.инусъ
угла между координатными осями.
Рис
с) Для (сЬиной лин|'и (§ 589, cj съ
ларам&тромъ а площадь, заключающаяся
между дугою кривой, директрисою и двумя
крайними ординатами, равна площади прямо-
прямоугольника, стороны котораго равны а и яли1гЬ дуги. Въ самомъ д%л1>, если
начало дуги въ верщин-fe, то
Л - -2- а
dx — a-vr — (

378
VII, 3. ПРИЛОЖЕКМЯ КЪ ГКОМЕТРИЧЕСКИМЪ ИЗМЪРЕШЯМЪ.
Следовательно, для любой дуги ММ'
А = a is'— .?) = я • дуга ММ',
d) Положимъ, что движущаяся точка описываетъ логариемическую
спираль (§ 589, е) и возвращается на тотъ же рад1усъ векторъ, съ котораго
она начала двигаться. Этотъ рад!усъ векторъ и описанная точкою дуга
ограничивают^ площадь, величину которой легко выразить въ функщ'и отъ
разстояшй а и Ь отъ полюса до концовъ дуги. Действительно, если поло-
положимъ h = fieim:T\ то уравнеше спирали будетъ г — ает^ и
Если перпендикуляръ. возставленный къ хорд-fe изъ ея середины, встр-fe-
чаетъ касательный въ концахъ дуги въ точкахъ Р и Q. то площадь (равпо-
бедренняго) треугольника OPQ какъ разъ ранна А. Полагая, что >»
стремится къ нулю, а Ь, следовательно, къ а, найдемъ величину площади
круга ряд1уса а:
, ,. bra Ь- а и
2 2 т
Заметить еше. что длина PQ им^етъ прсдЪломъ длину окружности атого
круга.
е) Прсдложимъ себ% вычислить площадь, лежащую между цъ.-ioio
дугою циклоиды (§ 59,5, п) н ея хордою (рис. 93). ПомЪстимъ начало коор-
динатъ нь вершину и примемъ касательную въ ней за ось л°-онь. Пусть
L и Н будутъ проекщи точки возврата R на координатный оси, а /' и О
проеюпн любой точки М циклоиды на гё же оси. Кругъ. построенный на
О И, какъ на AiaMeTpt, встрътитъ отръзокъ MQ въ некоторой точкъ Л'.
Известно, что касательная къ циклоидъ въ точкъ М параллельна ON. такъ-
что -z- — tg NOx = -jt-= . Следовательно, площадь ОРМ = / vdx = / NQ - ifv.
ЛУ о ti
т. е. площади половины кругового сегмента ON О. Изъ этого уже легко
вид-Ьть, что половина искомой площади получитсн, если отнимемъ I л-а2 отъ

770
ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХЪ КРИВЬГХЪ.
379
площади прямоугольника OLRH; последний равна OL ¦ ОН = ла ¦ 2и-^2ла2.
Следовательно.
А - 2 B л,а* - i rtae) - 3 ли2,
т, е. искомая площадь равна тремъ плошадямъ образующего
круга.
f) Вычислимъ площадь, ограниченную осью д.--овъ и дугою квадра-
трисы v = ,rcotg . заключающеюся между двумя ближайшими къ началу
Рис. 94.
координать точками пересЬчев1я кривоП съ осью х овъ (рис. 94). Мы будемъ
им+ггь, очевидно,
.v cot *- i/x - 2 rt^ /
(j П
sin 0)* " - 2 «s /
С cot j с? О
= 2rt-@ log sin Ci)^'
log sin
Ня основанш теоремы Логтиталя, съ приближен1енъ 5 къ О,
<з2
lim E log sin 5) — — lira . .0.
ь ' sin 0
СлЬдопатсльно, (§ 721, il)
А = — 2 «- / log si
sin Q r/ 5 = ля- к)Д 2.
Вся площадь эллипса, съ полуосями а и Ь. равна
А =4
1 - - , ii.x -4ah
a-
/ У~\

380 Vll, 3. приложкнш къ геометрическими изм-ьреншмъ. § 7?0
Вычислеше этого интеграла очень просто (§ 727, а), но мы и его можемъ
набежать, заметим!,, что при Ь — а должно быть А = л.а2. Следовательно,
_/|/l-/*<
л, А = л ah.
Несколько сложнее будетъ вычисление съ полярным» координатами, когда
полюсь помтэщенъ иъ одно.чъ изъ фокусовъ. Уравнсше эллипса при этомъ
предположен]и будетъ
6»
я A k cos G)
Но мы быстро лосшгнемь ц-Ьли, если припомшшъ (§ 764, с), что въ силу
соотношения между г, ъ и эксцентрической аномалией <{, имЪемъ rd% — bd<(,,
r~a{\ + k cos tp). Ore юля
A --= f r-' </ 9 ^ab I A -- k cos д-Л (i,,, - л a h.
и о
h) Положимъ, что эллипсъ яаданъ общимъ уравнен!емъ
въ которомъ всегда можно предположить, что а и Ь положительны и,
кромЪ того,
a h g !
ah- k> -¦¦ 0. 1) =
h b f < 0.
Если напишемъ данное уравнение бъ
by-Л-2 (hx +/).!¦- ял-а + 2gx + c-Q,
то aawbTHMt, чти каждому значению х соотв+1тствуетъ ;ina значен!я для у,
которыя совпадаюгь въ одно при зкачеюяхъ х — а и x — f/>a, удовлетво-
ряющихъ ураннепш 1>{ах- \- 2gx + с) — (кх -\ /)'г = 0. Это уравнение
можно написать въ видЪ с'х* — 'Ig'x -t- а' ^ 0, если обозначимъ черезъ
«', //, с', . ., Л' алгебраичесюя дополнен)* элементовъ а, Ь, с, .. . , й въ D.
Разность между двумя упомянутыми значешями у будетъ равна
Следовательно, если ноложиыъ х = <ь -\- (Я— a)f, то первая изъ формулъ C)
даетъ
1
А =-- --i-' (J -af / \ft(\ —f)dt.
Значена иослЪдняго интеграла тотчасъ получимъ, безъ всякаго вычиелен[я.
зам-Ьтив'ь. что онъ изображаетъ половину площади круга у-2---д-A — х);

§ 770 площади ттлоскихъ кривыхъ. 381
величина его, следовательно, равна l :т. Съ другой стороны, ,3 ч^- r,]/V2 a'c'<
а а'г'—ff'2, какъ известно (§ 38). сстг. алгебраическое дополнеше эле-
элемента Ь' въ определитель-, нзаимномъ съ 1), и потому а'с' — g^—bD. Итакъ
Легко, впрочсмь, убедиться {§ 384, с), чти множитель при л нъ этомъ пы-
раженш Л равснъ произведена полуосей эллипса.
i) Площадь, ограниченную ннурокшъ (§ 610, е) тотчлеь найномъ
применяя первую изъ формулъ C1:
Л--2
2 а - у'я°- ¦¦ х* 2а+1 V'-
(i
иитегралъ разла]"ается на сл-Ьдующ!н слагаемый
п о
dx
вычисляя интеграл ь
/ — „.¦ т-¦ ¦.-— arc sin . .. С,
dx 1 . '2
,. т-¦ ¦.-— arc sin . ..
J C а" + .**)!¦• а2- л-2 '2 «П 3 1 3 aV .v-
няйдемъ окончательно А — A6 — 9Y^)—y^ " Итакъ, площадь -4 равна
У 3
площади наибольшего впиеднпаго круга, умноженной на 2,13843..,-
1 i '1
]) Площадь, ограниченная астроидою х3—уя — а-', ранна
/'i /'
(я*_ x*Ydx = tiai I ДA - tfdt.
у,
/ на 1 — /, находимъ
1 1
/Ч /* /»
/ Д A - /)* dt - / /* A - о- rf' = -2 /
о о
Сл^донательно, Л — ^.т.а-. Впрочемъ, можно общн-tc нычислить плошадь

382 VII, 3. приложена къ геометрическимъ измърешнмь. § 770
между кривою :v" -\-y" — а" и положительными осями координатъ, при
помощи функцш Г:
- / (я* УГ dx ~ *-¦ t* A - /)*
2пГ
и и
Всякш раэъ, когда положительное число п равно дроби съ четнымъ числи-
телемъ и нечетнымъ энаменателемъ, кривая будетъ сомкнутая (аналогичная
астроид^ или кругу, смотря по тому, будетъ ли и < 1 или > 1). Она огра-
ничнваетъ площадь, вчетверо большую предыдущей. Въ частности, при я = 2
и я = Л получаемъ А ^ ла2 и А—^яа-.
к) Чтобы вычислить площадь, ограниченную одною изъ петель кривой
.v4 = (х2 — у3)у (§ 610, Ь), прим*нимъ формулу G). Мы тотчасъ найдемъ
1
А -= i ( (t-fi? dt = i (l - I + i) = , J,f ¦
Точно такъ же площадь петли Декартова листа х3+_у3—3 аху — 0. равна
1
3 ч
Отсюда видно, что Декартовъ листь дЪлить на дн11 равновелик]я
части треугольникъ, образуемый касательными въ вершинЪ и
въ днойной TO4Kt. Общн-Ье нандемъ для кривой
х2 п+1 .1у2"+у = B п - 1) ах'1 у", что А = (« + i) Ф.
i) Для вычислсн1н площадей, ограниченпыхъ o6tHMH петлями кривоп
{у2 — ауУ!—2а2ху удобнъе прилагается вторая формула C). Она тре-
буеть, чтобы уравнен1е кривой было написано въ полярныхъ координатахъ
г = a (sin 3 + т/sin 2 в). Всякому значешю 5 между Он в- arc tg г^бЗ^б'...
соотв-Ътствуютъ дв-Ь точки, Одна изъ нихъ описываеть иълую петлю въ
области отрицательныхъ х и у (и лритомъ наименьшую), а другая описы-
ваетъ только н-Ькоторую дугу наибольшей петли. Эта дуга дополняется дру-
когда в изм-Ьпяется отъ а до ~г-|, которая касается оси у-овъ въ
точк-fc а, и прямой у = 2х въ начал* координатъ. Отсюда сл-Ьдуетъ, что
площадь, ограниченная этою (большею) петлею, равпа
А = i cfi ( (sin 5 -г У sitT2 bf db -\a* ( (sin 5 ) lirT2 6) d 5,
(" п
а площадь другой петли равна
а
А' = i a2 ( (sin 6 - 1 sin 2 6)" G5.

§ 770 площади плоскихъ. кривыхь. 383
Поэтому
А - А'= 7а- I sin С J 'sin 2 0 с/ G = -i ля2.
о
ДалЪе,
а ±.т
^ +- .4'-а- / (sin2 5 + sin 2 0) d<i |- 2 аи / sin О У sin 2 8 </8.
Первый интегралъ берется безъ затруднен1я. Чтобы вычислить второй,
беремъ за новую переменную интегрирован!я / = tg G. Таки.мъ образомъ
найдемъ
А' -= i as (I - | log 5 - ¦ arc tg J) =«2 • 0,06682
и зат-Ьмъ А - i'+^s- = a*- 1,63762 ¦ ¦ > 24 Л',
ш) Разсмотримъ тЪ изъ кривыхъ {§ 602, b)
(Н) (лг 4 .у) (х* - 2 А д.;г K:Va) -= 2 A + k) a xy,
которыя им^Ьють только одну асим[1тоту (А2 -.-.' 1), и прсдложиыъ ce6t вычи-
вычислить плошадь. ограниченную петлею каждой изъ нихъ. Поступая такъ же,
какъ въ случа-h Декартова листа (k = i,), получнмъ
А л у i i i \.г* _.Ч I t d f
За новую перемъниую удобно будетъ принять s = и написать
о
Зам-Ьняя z на - , гд-Ь от = у^- ' , найдемъ
У т 1 - ^
А — — / , ,; I d г
о
Замечая, наконецъ, что
ds ] , ^ ¦
"^~! -!¦ 1'
У т I
¦У 1 +*' .„/

384 VII, 3. приложешн къ геометри'гкскимъ измърешямъ. § 770
нолучаемъ
. / = < /н — 3 + ¦ - — arc tg V ;» } - ¦
I У т ) '1
Въ частности, въ случай Декартова листа (т-^3) и логоциклики (;«¦= 1),
имъем'ь
п) Къ полученному результату можно придти и съ п;,мощью иерной
формулы, выведенной въ § 768, если сперва поверпемъ координатныя оси
на уголъ -- около начала коордннятъ. Уравпе1пе (8) приметъ простой видь:
Л/а *&
' а | ху 2
и легкое пычисл^ш'с даетъ |§ 725. т)
/1
^ arc tg
л
»' ; 3 I L-^-.'A,- ^ arc tg
''
Стоить только положить х . чтобы найти вышеприведенное: выра-
жек1е для А. Сели же положимъ .v = — «1 2, то получимт. ветчину пло-
площади А' между кривою и ея асимптотою:
Лля ni — 'i. А'— А, т. е. площадь петли Декартова листа равна пло-
площади между кривою и асимптотою ея: посльдннн дЬлитсн на три
равныя части касательными въ двойной точкт>. При т — 1 получаемъ
А'= {[ \-±я}а2, откуда Л \- ;?—-2а2, т. е. вся площадь, ограниченная
логоцикликою и ея асимптотою равна учетверенной площади тре-
треугольника, образуемаго асимптотою и касательными въ двойной
точкТ]. Нлконецъ, при беаконечнонъ т им'Ьемъ следующее: Пт.4=«.,
Нш А'— \ а1. Петля стремится развернуться въ параболическую форму,
т. е. стремится разложиться на двЬ безконечныя вътви, асимптотически рас-
ноложенныя относительно параболы у* = :'г а (хУ 2 — а). Площадь, лежа-
лежащая между кривою и ея прямолинейною асимптотою, наоборотъ, остается
конечною.
о) Предложишь себ-Ь вычислить часть площади эллипса, заключа-

§ 770 площади плоскихъ кривыхъ. 385
юшуюся между двумя в-Ьтвями однофокусной съ нимъ равносторонней гипер-
гиперболы. Уравнеше
х2 у2
(9) + = ]
илображаетъ безкопечное множество однофокусныхъ коническихъ сЪчешй.
Между ними содержится и данный эллипсъ ("при Я —0). При Я < Ь- урав-
уравнение (У) изображаетъ бесчисленное множество эллипсовъ, лежащихъ внутри
или Btffe даннаго, смотря по тому, будетъ ли Я, > О или <0. При ?.>Ь2
то же уравнеше изображаетъ безчисленное множестко гиперболъ, стремя-
стремящихся совпасть съ осью у-овъ съ приближешемъ ), къ и2. Одла изь этихъ
гиперболъ равносторонняя: она соотвътствуетъ значешю Я = ^ (я3 + Ь2}.
Мы обоаначимъ черезъ ;.(, тв значенш Я. при которыхъ ypaBHenis (9) изоб-
изображаетъ гиперболу. Черезъ каждую точку (х, у) разематриваемой площади
проходятъ два коническихъ сЬчешя (9), а именно, одинъ эллипсъ и одна
гипербола Первый характеризуется нЪкоторымъ значен1емъ Я между 0 и &3,
другая нъкоторымъ значешемъ /.t между ^ (о2 4- Ь2) и а2. Оба эти значешя
будутъ корнями уравнения (9) (при данныхъ х и у), т. е. уравнешя
(;. я2) (;, ь2) + {я- *в) л-- + (я- яй)_уа = о.
Поэтому для этихъ значен^ '/. и ,«. имФемъ
л 4- /I. = а2 + *2 А'2 - .У2, ад- ^
откуда сл-вдуетъ
- X) {а1 — //.) ., _
х- —¦ —-
и дал'ке
<Нх.у)
д (I, ;.',)
j U< - i.)
у-{ai__я) (i2 -;.) («з_м,) (йй ^ ^
Следовательно, применяя формулу D)j получимъ
Ь* а.'
I а- А I (и- — A) rtn.
Чтобы выполнить первое интегрирован1е, положимъ ц = a2 cos2 6 -f- b2 sin2 9,
при чемъ 0
интеграла:
при чемъ 0 изменяется отт. ^- до 0. Тогда тотчасъ найдемъ значеше этого
2 I (я2 cos* в + *а sina 0 - Я) rfO = i it { | («3 + *а) — Я } + 4 (я2 - А2),
о
всл*дств)е чего

386 VII, 3. приложена къ геометрическимъ измъркшямъ. §§ 770—771
и наконецъ (§ 723, с; § 745, а)
Поверхности и объемы т1>лъ вращешя.
771. Положимъ, что въ плоскости дана некоторая дуга кривой;
заставимъ эту дугу вращаться около примой, лежащей rt, той же
плоскости. За элеменгь образуемой при этомъ поверхности можно
принять полосу, заключающуюся между нЪкоторымъ параллельнымъ
кругомъ рад!уса R и другимъ параллельнымъ кругомъ рад!уса
R -\- dR. Эту полосу можно разсматриватг,, какъ поверхность усЪ-
чевнаго конуса, образуемаго прямолинейнымъ элементонъ ds (эле-
ментомъ дуги данной кривой). Эта элементарная поверхность изме-
измеряется произвелешемъ образующей ds на среднее аривметическое
окружностей оснований уеЬченнаго конуса, т. е. на 2 я (Л1 + \ d R)
или просто на 1nR (отбрасывая безконечно малое слагаемое ndff).
Следовательно, отбрасывая безконечно малый высшаго порядка въ
выраженш элемента, что не изменяетъ значенш интеграла, ми видимъ,
что поверхность тЪла вращен1я равна A = 'lat\Rds, гдЪ знакъ
R всегда надо брать одинаЕ<овымъ со знакомъ ds. Точно
такъ же, принимая за элеменгь объема слой, лежащШ между пло-.
скостими т-Кхъ же двухъ параллелей и элементомъ поверхности,
можемъ его разсматривать, какъ цилиндръ съ основатемъ si К1 и
высотою ds (проекщею ds на ось вращенш). Поэтому объемъ т^ла
вращен1я, ограниченнаго образуемою поверхностью и плоскостями
двухъ крайннхъ параллелей будеть равенъ V =л[R^ds. При опре-
определении пред Ьловъ интегрированШ надо при-
принимать во вниман!е характеръ измФ.нен1я
переменной интегрирован1я вдоль образую-
образующей дуги PQ (рис. 95) и на знакъ диффе-
ренщала. При вычисленш А перем^ннан .s
по существу своему постоянно возрастаетъ
(могла бы, если угодно, постоянно убы
вать) отъ одного конца дуги Р до дру-
другого Q; но если потребуется для выпол-
нен1'я интегрировашя ввести новую пере-
переменную, то можетъ случиться, что интегралъ
надо будетъ разбить на несколько другихъ,
_. согласно замечашямъ, которыя были сде-
сделаны раннъ-е объ изм-Ьнен!и переменной
интегрирован1я (§ 724). Положимъ, ьапримЪръ, что PQ есть часть
некоторой сомкнутой кривой, и что переменная z (которую вво-
димъ вместо 5) сперва возрастаетъ отъ я до с, а потомъ убываетъ

§§ 771—772 поверхности и объемы т-ьлъ вращешя. 387
отъ с до Ь. Если примешь s за новую гтеремЪнную интегриропан1я,
то интегралъ 2тс1 Rds, взятый вть нред1;лахъ отъ а до b пере-
, ds
мънной г т. с. 2я[Я-Л-Aг\, далъ бы только часть поверх -
i J а з }
ности вращетя, соотвътствуюшую nyrt PH, части дуги PQ,
а искомая поверхность равна
Л V ^г I Г\ ¦ ft " —L V *Т I /V /Т 3-
(гд"Ь 7? иодъ знакомъ перваго и AJ подъ знакомь второго интеграла
имЪюгь различпыя значемя), Первое слагаемое даетъ величину по-
поверхности, образуемой дугою PL, второе — величину поверхности,
образуемой дугою LO\ оба слагаемый положительный. Точно такъ
же для объема V будемъ имЪгь
// = л Гк* d= +
II
г
¦но здтзсь второе слагаемое отрицательно, какъ и должно быть,
потому что объемъ тЪла, образуемаго вращен!емъ дуги LQ надо
еычесть изъ объема, образуемаго ду]"ою PL, чтобы получить
объемъ т-Ьла, образуемаго всею лугого PLQ.
772. Примеры, а) Поверхность, образуемая вращен1емъ астроиды
около одной изъ ея касательныхъ въ точкахъ перегиба, равна
х с/5 — 4 л а'Л I x^ d.x = — п ii1,
х—1) О
т. е. вен поверхность равна J поверхносги описаннаго шара. Объемъ того
же гЬла вращения (§ 762)
„Г А 3-2' 32 я«"»
у — 2п I x-dy — 3 ла" I t- (I — ifdl — 3 .т- гга„ -—=—==—тттс" ''
J J 9-7-5.3 105
о о
Ь) Поверхность катеноида, между горловымъ кругомь и произволь-
произвольною параллелью радауса у (припоминая равенство у dx — a ds) равна
А = '2я- yds = 2? / rV.t- У-па j L'a +е а - 'l\
- 'l\ d.x =

3 88 VII, 3. придожешя къ геометричг.скимъ изм-ьрен]янъ. § 772
Следовательно, она проиорщональна отръзку на оси вращешн между нор-
нормалью и плоскостью горлового круга Отсюда сл?дуеть, что нормальные
къ катеноиду конусы, вершины которыхъ лежать въ кинцахъ какого угодно
отрезка длины Ь на оси, отграничиваютъ на поверхности полосу, площадь
которой A —nab. Объемъ тъла, ограниченнаго этою полосою и плоскостями
крайнихъ параллелей, равенъ
V- я ( y*dx = ? а А = i л <?Ь.
' — л I у2 d x =
с) При рЪшеши вопросовъ, откосящихсн къ цикл о и дъ, полезно
пршшмнить следующей (§ 770, е): если за координатныя оси возьмемъ ка-
касательную и- нормаль въ вершиЕГЁ, то угловой коэффиш'ентъ касательной
въ данной точкЬ (д- у) будетъ -- = - — , откуда
' ^* у у B а - у)
d х dy d s
y-2a~~y~ fy~ у 1а
Если, наприм'Ьръ, utjiaw дуга циклоиды вращается около касательной въ
вершин^, то величина образуемой поверхности будетъ
Л=Ал jyds = 4 л У 2 а С У у dy =j я а2,
Ь о
т. е. приблизительно въ 11 разъ больше площади образующего (циклоиду)
круга. Объемъ тЬля, ограниченнаго этою поверхностью и плоскостями
крайнихъ параллелей, равенъ (ср. съ § 770, j)
ли 2 а 1
У~2я //rf.v-2.-i у--Bа-уУ- dy = ]6яа» / ^ A -- Ф dt - л- аК
оо о
Если же дуга циклоиды вращается около директрисы (основанЫ), то полу-
чимъ вдвое большую поверхность
А = 4 л ( B а -у) /is = 32 л а* - 4 я f у ds = " ла'-,
о о
а объемъ V будетъ въ 5 разъ больше предыдущего. Действительно, при-
припоминая результаты
па
у { , j у2 dx = | л ап.
zi а п
I у dx = {л a-, j у
тотчасъ находимъ
B a —yf dx = 5 л? cfl.

§ 772 поверхности и о6ъемы тилъ ш'ащкнш. 389
Если, накопецъ, дуга вращается около нормали въ всршинФ,, то прежде
всего зам^Ьтимь, что длина всякой дуги, одпнъ конецъ которой находится
въ вершивъ, равна
v
dv
s =\'2п I ~^= ^ 1\> 2 а у.
J У у
о
Такъ какъ, далЬс, нь точкЬ возврата s—ia. х — яп, то интегрировашемъ
по частямъ находимъ
j х ds = 4 л я3 - f s dх = 4 ла"- -2 УТа ( У а -у ¦ dy = 4 а2 (л ¦ ^).
0 0 U
Следовательно, величина образуемой поверхности равна 8лв!(л-|).
dj Найдемъ теперь всю поверхность сфероида (эллипсоида вра-
вращения). Изъ уравнения мерщдана им1;емъ
х " ь Yh -* ds = V -^Щ* у*! ¦dy ¦
поэтому
I
Если сфероидъ сжатый (а > i), то, положит, у — , получаемь
ь
АлаV1 [ г- г,
а + ]¦'а- — Ь-
7
}• а- — Ь2
Если эксцентриситетъ мьршйана малъ (какъ это имъетъ нъето. наиримъръ.
для земли), то приближенно можно взять А — 4 я,а?(\ — \. &-). Вь случа-Ь
растяпутаго сфероида, поелт^ того какъ замт^нимь а на Ь и наоборотъ,
чтобы опять обозначить черезъ 2 а фокальную ось, найдемъ
= 4-^ Г Г в*-(«2
и, полагая v = —;—.^^-. получимъ
= 2 л-ffi -f —--—= arc cos -
у „г - 1,г я

390 VII, 3. приложешя къ геометрическимъ измърентямъ. § 772
При маломъ эксцентриситет!; получим-ь приблизительно А —АпЬ2(\ + \ Щ.
Итакъ, новерхность слабо эксцентричнаго сфероида приблизительно равна
поверхности шара, касающагося сфероида вдоль экватора, умно-
умноженной на 1 Т ;!, А2, смотря по тому, будетъ ли сфероидъ сжатый или рас-
растянутый,
е) Вычислимъ теперь поверхность и объемъ торя, т. е. кольца, обра-
зусмаго вращешемъ круга около примой, лежащей въ его плоскости. Если Ь
есть разстонше отъ центра круга до оси вращешя, к рад1усъ круга а < Ь,
то ралусъ параллели R = b -|- a cos 5 *) и da = n di, следовательно,
А = 4 л, а I (й I a cos Ч) d 'i - 4 л- a h.
¦ I (й | я cos 5) d'i = 4 л-<
Поверхность им-Ьетъ дв^Ь особенны я касатсльньш плоскости, который ка-
касаются поверхности вдоль параллелей и раздЪляштъ ее на внутреннюю
и в1гЬштною часть. Чтобы определить поверхности каждой ияъ этыхъ частей,
достаточно знать ихъ разность:
A'— A" = 8 .тяИ I cos 9 tfE - 8 :ia-.
Точно такъ же, цилипдръ, определяемый упомянутыми двумя параллелями
раздтлЛяетъ кольцо на две части, объемы которыхъ будутъ
V' —2ла ((Ь | a cos 0ja cos С d'i - 2 л я 2>-,
о
К''— 2 ли / (й + я сой ОK cos 0 rfO -j- 2 я я б3,
такъ что объемъ всего кольца будетъ
я cos С)- cos 0 с/3 = 4 л а- Ь I сокй5 rffl= 2 я2д2й.
г-.уо
Кроме того, имеемъ
-_ А аа f (Ь2 + a2 cnsa Gj cos 6 сУб - 4 л а Ь- = 4 я а3 / cos»6 rf6 ™ -ij. ,г.а3.
Злм-йтимъ, что половины разностей А'— А" и V V" равны соответ-
соответственно поверхности и объему шара рад!уса а, поэтому оне не изменяются,
когда кольцо будетъ постоянно расширяться, оставаясь всегда заключеннымъ
между особенными касательными плоскостями, предполагая последшя непо-
*) э — уголъ, образуемый рад1усомъ круга, проведепнъшъ черезъ какую
нибудь точку М на окружности, съ перпендикуляромъ къ оси вращешя.

§ 772 ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМЫ ТЪЛЪ ВРАЩЕНШ. 391
движными. Объяснеше этого факта вскоре (§ 774) будетъ дано. Если, нако-
неиъ, Ь < а, то кругъ пересёкаетъ ось нращешя и видимая поверхность
будетъ
о
arc ens f— |
(ti + a соя 9) di = 4лаЬ яге cos ( — —j + 4 я я"|/"яг'-^"Р,
о
а объемъ ограничиваемаго ею гЬла
/
'И)
}г='2ла I (b fe cos9Jcos9 d'i-^'lnaVt arc cos(
о
Въ частномъ случае, при й = 0, получаемъ шаръ и ^--4л«а, V=%?td6.
f) Положим^ что кардшида ^= 2 a cos21—J вращается около своей
оси симметрш. Рад!усъ параллели, соответствующей данному значешга О,
будетъ R — r sin 3, элимсвтъ дуги кардюиды ds — 2a cos — d 9, поэтом}',
такъ какъ 9 изменяется вдоль кривой постоянно въ одномъ папраплсши,
получимъ
I гг. я2 / cos1
Л — 16 гг.я2 / cos1 J sill -=- с/0 = — па-.
2 'Z о
Чтобы вычислить весь объемъ т-1,ла, ограниченнаго данною поверхностью,
удобно принять г за переменную интегриронан!я, такъ какъ г постоянно
возрастаетъ при движеши отъ точки возврата кривой до вершины. Такъ какъ
г — а
cos 3 - - - ' . R—r sin 9 = — V 2 а г — г* ,
а а
то тотчасъ получимъ
Г s
1'=^ / j-s B я - г) B г — я) rfr - ^ я. я3.
Для проверки полезно сравнить эти результаты съ гЬми. которые полу-
получаются если раземотримъ, наприм-връ, наименьш1й описанный шарь. Чтобы
определить рад^усъ К наименьшаго изъ круговъ, съ центромъ на оси сим-
метрш, касающихся кард)оиды, достаточно заметить, что по условш мини-
минимума должно быть R dR — 0, а потому хорда касашя должна быть нормальна
къ кардюиде. Отсюда сл+»дуетъ, что рад1усъ параллели касашя, совпадаютшй
съ рад1усомъ R нскомаго круга, равенъ максимуму г sine. Это будетъ при
3 = "Г > такъ что г = у ". и искомый радгусъ R -^ - aJ^S. Теперь легко
констатировать, что шаръ рад!уса R будетъ иметь объемъ, несколько боль-
Ш1Й объема разематриаасмаго твла, и то же самое справедливо и для по-

392 VII, 3. приложены къ геометрическимъ измъреншмъ. §5 772—774
верхностей, хотя a priori въ этомъ нельзя было быть увъреннымъ. Читатель
можетъ подобнымъ же образомъ вычислить объемъ гЬла, образуемаго
любою улкткою г = асоъ\-\-Ь безъ двойной точки {Ь>а\, при вращеши
кривой около оси симметрии. Онъ найдстъ F= -| zib (a'2^-t/-). Въ случай
b < а это чисто изображаете, величину объема, заключенная между по-
поверхностями, образуемыми двумя петлями кривой; но каждая изъ этихт>
петель, внутренняя и внешняя, ограничиваем тьла, объемы которыхъ равны
соответственно
Къ э'гииъ результатамъ приходимъ почти безъ вычиелешя съ помощью
другой формулы, которая будетъ выведена въ конце § 779.
Центры тяжести.
773. Разсмотримъ въ пространстве ансамбль точекъ, состояний
изъ точекъ куска 5 некоторой линш, поверхности или самого трех-
м^рнаго пространства. Центронъ тяжести такого куска 5 на-ш-
ваютъ точку G, координаты которой равны средиимъ значеншмъ
(§ 712) коорлинатъ точекъ самого .¦>. Если, чтобьт им^ть дф.ло съ
оиред'Ьленнымъ случаемъ, 5 обозначаетъ дугу некоторой лин1и, то
координаты g, ц, f точки G определяются следующими уравнен1ями
$s — I x ds, ijs = I yds, {,( = I j
Такь какъ всякое линейное преобразоваше,произведенное надъ коорди-*
натами х, у, г точекъ 5, повторится тождественно и надъ |, q, f,
то ясно, что положен1е центра тяжести отъ выбора коорди-
натныхъ осей не зависитъ. Замътимъ зд"Ьсь же, что если неко-
некоторая фигура имъ-етъ плоскость симметрии, то центръ тяжести ея
будетъ лежать въ этой плоскости. Действительно, если примемъ
эту плоскость за плоскость Ох у, то каждый элементъ sds инте-
интеграла, вы ража юн иго |, уничтожиться съ другимъ элементомъ — sds,
и | будетъ равно 0. Вь частности замЪтимъ, что центръ тяжести
всякой плоской фигуры лежитъ въ плоскости самой фигуры и что
центръ тяжести фигуры, имеющей центръ симметрш, непременно
совпадаетъ съ этимъ нентромъ. Наконецъ заметимь еще следующее:
если фигура состоитъ изъ днухъ частей 5j и s2, центры тяжести
которыхъ Сх и G% известны, то центръ тяжести всей фигуры де-
делить отр-Ьзокъ примой Gx G% въ отиошсн1и, обратномъ отношен1ю
Sj къ .ss. Это выгекаетъ тотчасъ изъ очевидныхъ равенствъ
774. Теорема Гульдена. Возьмемъ снова формулы, выведен-
выведенный въ § 771, для поверхности или объема, образу емыхъ враще-
шемъ плоской дуги s или площади а около прямой, лежащей въ

§§ 774-775 центры тяжести. 393
ихъ плоскости. Если эту прямую примемъ за ось лг-овъ, то упомя-
упомянутый формулы можно будетъ написать такъ:
Л =* 1 я I у ds = 2 лщ ¦ s, У—я,1 у- dx = 2 л I I у dx dy — 2 a. q ¦ о .
Следовательно, поверхность и объемъ разсматриваемаго тела
получимъ, если умножимъ соответственно длину или пло-
площадь образующей фигуры на окружность круга, описы-
ваемаго ихъ центромъ тяжести. Если желаемъ получить не
всю поверхность или весь объемъ, а только ту часть ихъ, которая
лежитъ между двумя мермд1анальными плоскостями, то, очевидно, надо
будетъ вместо всей окружности круга ьзять только ту ея дугу,
которая на ней ограничивается упомянутыми плоскостями. Устано-
вивъ вышесказанное, разсмотримъ теперь общн^е дугу .s или пло-
площадь а въ плоскости, движущейся пъ пространств^ такъ, что она
остается постоянно нормальною къ траекторшмъ ея точекъ. При
этихъ услоЕияхъ, очевидно, можно разсматривать безконечно малое
перемъ-щеше, плоскости, какь вращен!е ея около ся характеристики
(§ 674). Поэтому можно и элементарную поверхность или элемен-
элементарный объемъ, образуемый дугой 5 или, соответственно, пло-
площадью а, пренебрегая безконечно малыми высшихь порядковъ, изоб-
изобразить произпедешями длины л или площади а на перемещены (//
ихъ центра тяжести. Длн конечнаго движен1я такого рода будемъ
поэтому им1зть
4 —
= Csdl-s j dl. У- f odl-rs f df,
т. е. поверхность и объемъ тела, образуемаго разсматри-
ваемою фигурою, получимъ, умножая s или а на длину
пути, пройденпаго соотпетствующимъ центромъ тяжести.
Эти теоремы полезны при вычисленш нЬкоторыхъ поверхностей и
объемопъ, но могутъ быть приложены также и къ нахождент по-
ложенш центроеъ тяжести известныхъ фигуръ.
775 Примеры а) Центрь тяжести дуги цф.пной лин!и, симметрич-
симметричной относительно нормали нъ верншн-Ь, лежитъ на этой нормали; разстояше
его 7} отъ директрисы пычисляется (ср, § 772, Ь) нзъ равенства 2 "лц . 2 s =
= 1nib\ следовательно, г) = тг=к^> cotg (p. Итакъ, центръ тяжести (г лежитъ
въ середин-b отрезка, образуемаго крайними нормалями на нормали въ вер-
вершине, считаемаго отъ директрисы. Для определения центра тяжести G' пло-
площади, ограниченной кривою, директрисою и крайними нормалями, имвемъ
формулу 2 .т v ¦ 2as = па-Ь. Поэтому щ = -г Ъ cotg <p, такъ что G' лежитъ
въ середине О G,
Ь) Центръ тяжести полной дуги циклоиды лежитъ на нормали въ

394 VII, 3. приложена кь геометрическимъ измърешямъ. § 775
вершине, въ разстоянш отъ этой вершины, равномъ
3
Следовательно, (ср. сь § 772, с) величина поверхности, образуемой враще-
4 .42
нлемъ дуги около основашя, равна к .тя. 8а = --л а-. Следуя обратному
пути, и ечктая изв"Ьстпымъ, что объемъ тела, образуемаго вращешемъ пло-
площади, лежащей между кривою и ея основашемъ, раиенъ ои2ай, найдемъ
положеше центра тяжести этой площади следуюшимъ образомъ: центръ тя-
тяжести лежигь, очевидно, на нормали въ вершине въ разстоянш »/ отъ
основашл, которое получимте приравнивая 5яа«а произведен1Ю 2щ; на
Зла'2. Нахоцимъ ц = %а.
с) На окружности крута рад1уса а нозьмемъ некоторую дугу LM\
обозначимъ черезъ г и 0 координаты центра тяжести G дуги LM, прини-
принимая центръ круга О за полюсъ и прямую OL за полярную ось. По сде-
сделанному въ § 773 заигЬчанш мы знаемь, что G лежнтъ на прямой, делящей
уголъ LOM пополамъ. Далее, изъ определен1я центра тяжести находимъ
6
2аЪ.г — 2 I acosif . adf;j = 2nasin 0, т. е. г =а —-г ¦
о
Отсюда видно, что (§ 58Й, h) общее место центровъ тяжести дугъ
круга, имеющихъ общее начало въ точке L, будеть кохлеоида,
вершины которой въ L, а полюсъ въ центре круга. Зтимъ свой-
ствочъ кох.псоиды пользуются при черчеши построепШ сводовъ (въ Архи-
Архитектуре)*). Принимая во внимаше то. какимъ образомь передвигается G,
когда М описываетъ окружность круга, двигаясь постоянно въ одномъ на-
правленш можпо отдать себе отчетъ въ свойствахъ кохлеоиды. Далее, для
определетя центра тяжести С кругового сектора LOM, е
а у
^2 I f
/cas's> Idldq, = -я-sin 0, т.е. r= в-ьг!
3 3 И
о
Следовательно, G' делитъ отрезокь OG въ отношенш 2 къ 1.
d) Чтобы быстро найти центръ тяжести полуокружности круга радиуса
а, стоитъ только заметить следующее, Центръ тяжести, очевидно, лежитъ на ра-
д!усе, перпендикулярномъ къ хорде полуокружности, Разстояше его /; оть
центра крута получимь, замечая, что произведете 2л;ч на яа (длину полу-
полуокружности) должно быть равно 4.па- (поверхности шара pafliyca а). От-
Отсюда г) = —. Иодобнымъ же образомъ определимъ центръ тяжести пло-
4
щади полукруга, приравнивая объемъ V = „яа6 произведению 2k->} и
о
1 4а
тгъа? (величину площади полукруга), мы нолучимъ ?; =у-. Общнее, можно
такимъ же путемъ найти результаты предыдущаго примера, если припом-
нимъ изъ элементарной Геометрги выраженш поверхности [[[арового пояса,
*) См. напр. „Cours de Construction" N. de Vos (т. 1, стр 276).

§ 775
ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ.
395
и объема шарового сектора, образуемыхъ вращешемъ дуги LM и площади
2
LOM около OL, а именно 2яяй и rrna2h, гд-fe А обозначасгь высоту
а A — cos26).
с) Величина поверхности тора (ср. съ § 772, е), опредЪлиемаго ра-
;tiycovi-!i ti образуюшаго круга и разстояшемъ Ь(>а) центра круга отъ оси
. вращешн, равна 2ла.2лЬ = А л-ah; объемъ равенъ па2. 2яЬ = 2л2а2й.
Общнъе, величина цоверхности и объемъ канала (Tubus) (§ 678,b) между
двумя плоскостями, перпендикулярными къ .чинш цснтронъ, равны 2ша1 и
ла2/, гд-Ь /—длина дуги линш центровъ между упомянутыми плоскостями.
Еще общнъе, величина боковой поверхности и объемъ первоначально нилин-
дричсскаго стержни, деформируема го (H3MtHenieMb кривизны и кручешя ли-
н(й центровъ тяжести) такъ, что площадь поперечпаго съчешя сохраняется,
остаются неизменными прн всЬхъ формахъ, прннимаемыхъ стсржнсмъ, до
тъхъ поръ, пока онъ не примегь, напр., форму кольца при мжм-Ъщеши
основагай.
f) Разсмотрнмъ вь :-:аключен)е клотоиду, интересную кривую, приду-
придуманную дли изучения якленШ днффракщи1) (рис. 96). Координаты точки на
этоЯ кривой изображаются интегралами Френеля
v ч
a /'cos if ч fsintf
\ 2 7 у rp - у 2 J у Ч.
о
значен1я которыхъ не выражаются въ ко-
неч!юмъ видф, при произвольномъ q,, но
известны намъ при tp — х, а именно х =
— у—с—^аУл- Тотчасъ видимъ, что
-j- = tgij;, такъ что tp обозначаетъ уголъ
наклонешя касательной кь оси х-овъ.
Поэтому, когда tp изменяется отъ
О до =*¦¦, то кривая выходить изъ начала
р дг- координатъ, касаясь въ неиъ оси .г-овъ,
чтобы зат+.мъ асимптотически обвиваться
около точки {с, с). При этомъ кривизна ея возрастаетъ пропорцио-
пропорционально длин-fe дуги.
а </ ц:
dtp
ds
Форма кривой ясно показываетъ, что х и у стремятся къ пределу с, по-
постоянно колеблясь около него. Но для того, чтобы видеть расположен!с то-
чекъ клотоиды относительно асимитотичесиоЯ точки Q, необходимо нужно
вычислять приближенно интегралы Френеля2). Тякъ, напр., если разделить
дугу OQ на беаконечное число дугъ ОРг, Р1Р2, Р2Р$,.... общая длина
!) Сопш „Journal de Physique" A874, стр. 9).
s) Таблица значенШ этихъ интеграловъ помъщена въ .Oeuvres Comp-
Completes" Fresnel'fl {т. 1. стр. 319). См. также мшиуары Abria о диффращи
свъта въ „Journal tic Liouville" A849, стр. 248). Чго касае.тси рааличныхъ мето-
довъ вычисления этихъ интеграловъ, то читатель можетъ объ этомъ прочесть
въ „Lecon d'OptiquLi physique" Verdet (т. 1, стр. 328).

396 VII, 3, ПРИЛ0ЖЕН1Я КЪ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМЪ ИЗМЪРЕШЯМЪ,1 § 775
которыхъ равна 2с, то, принявь с за единицу, дли координатъ точекъ Ру, P.it
1\ найдемъ числа:
*= 1,560..., 0,977. ., 1,212..., 0,997...
у = 0,875. . , 0.686..., 0,991. . ., 0,84С
Замъ"тимъ, что Рх есть наиболее удаленная отъ оси _у-овъ точка, что Р2 на
дугЪ PjQ наиближе къ Ох лежащая точка и т. д.
Займемся теперь опред'Ёлешемъ центра тяжести душ ОМ клотоиды.
Координаты искомаго центра тяжести, по определению, будутъ
'Р 0 ¦> В
1 Г М /*cosV , 1 Г М /'suto
6 о п <>
Понимая подъ / любой изъ двухъ символонъ sin или cos, полагал
V = ifi а въшолнивъ интегрироваше по 9, найдемъ
Принимая дал"Ье/ф за переменную интегрирования и интегрируя по частямъ,
получимъ
>~"—«ф = - а
>2,Г
Подставляя, наконецъ1 вместо / iro очереди cos и sin. находимь
| = X — Q Sin (p, fl =_)' — g A — COS </¦)
Итакъ, центръ тяжести дуги ОМ лежитъ на соприкасающемся круг*
въ М, и притомъ на кижнемъ конц^Ь д1аметра, периендикулярпаго къ каса-
касательной въ О. Положимъ теперь, что Gx и G% центры тяжести дугъ ОМ^ и
ОМ2 и зам^тимъ, что на основанш замЪчан^я, едф.ланнаго въ концт, § 773,
цеитръ тяжести G дуги М^Мг находится въ такой точкЪ на прямой GlG,2,
для которой им%етъ м-Ьсто проиорщя
G,G.-, s4 — s, CO', jr., о I
-Л-Г= или ¦—¦ = 2 = ~'
Итакъ, центръ тяжести какой угодно дуги клотоиды есть
прямой центръ подобия соприкасающихся кругопъ въконцахъ
дуги, Въ заключение сд*лаемъ слЪдугощее зам%чан1е: если коццы дуги соот-
в-Ьтствуютъ значен1ямъ tpt кратнымъ отъ 2л, то центръ тяжести дуги
будетъ находиться на ея xopnt и въ частности, если одннъ изъ коп-
цовъ дуги есть начало координатъ, то центръ тяжести совпадетъ съ другимъ
концомъ.

§§ 776—777 поверхности и объемы кдкихъ угодно тълъ. 397
Поверхности и объемы какихъ угодно т1*лъ.
776. Поверхности. Ограничиваясь обыкновенными (встречаю-
(встречающимися на нрактик-fe) поверхностями, мы примемъ за очевидное, что
всякая безконечно малая часть поверхности можетъ быть разсматри-
ваема, какъ лежащая въ касательной плоскости къ поверхности въ
одной изъ точекъ разсматриваемой части, ВсякШ элементъ dxdy въ
плоскости Оху будетъ тогда ортогональною проекшею безконечно'
малой части поверхности, принимаемой за элементъ поверхности.
Этотъ элементъ измеряется, следовательно, отношешемъ dxdy кь
косинусу угла, образуемаго касательною плоскостью въ точке \х,у)
съ плоскостью Оху. Поэтому величина конечной части поверхности
будетъ (§ 659}
(Ю)
Ч!'
Интегрирован)с распространяется на всв нары значемй х и у, при-
принадлежащая коордипатамъ точекъ измеряемой части поверхности. Въ-
этой формул'т, закл[очается, какъ частный случай, выведенная въ
§ 771 формула для поверхностей вращежя. Действительно, въ этомь
случае, полагая ух'2 -^у2 — R, z = f{R), имеемъ
Р = У'Щ), ч - я/'(Л). Р* + я2 =Гг Ш-
Переходя (пъ плоскости Оху) отъ Декартовыхъ координатъ къпо-
лярнымь получимъ
А= С I Y\ +/'2Щ- Rdd dR= I I Rdbds=2it j lids.
Однако, если хотимъ иметь част], поверхности,ограниченную некоторою
сомкнутою кривою, то надо остаться при формул^ А = / / Rdtyds',
это значитъ, что за элементъ въ А мы беремъ величину той части
поверхности, которая ограничена мершцанами 0 и 0 + df) и парал-
параллелями Н и R-\-d R. Эготъ элементъ поверхности можетъ быть
разсматриваемъ, какъ прямоугольникъ, сторонами котораго будутъ
элементы ds и Rd§ мерид!ана и параллели, откуда и следуетъ на-
написанная выше формула.
777. Примеры, а) Для вычислешя величины части пооерхноств
шара х3 +у3 +s- = аг, по Формул* A0) получимъ А= I I - dx<ly\ гд-fc
остается еще определить пределы интегрированШ по даннымъ границамъ
вычисляемой части поверхности. Если хотимъ получить всю поверхность

398 VII, 3 .Ш'иложешя къ геометрическимъ изм-врешятиъ. § 777
шара, то замечая, что въ углЪ положитсльныхъ х и у заключается восьмая
¦ея часть, найдемъ
Л
-Ъа I dx I -7=- — =4я« I dх ^ 4 и а-.
J J Уа- -**-у- J
00 о
Вь действительности, въ приложенш къ шару предпочтительнее последняя
формула предыдущего «j, которая здесь приводится къ
А =¦ а* ( I cos >,)d ipi1v>.
J J
Ее можно вывести также прямо иэъ формулы, данной въ начале, поль-
пользуясь выражешями
х = a cos qp cosv, у — a sin <p cos чр. s — a sin >;i,
въ силу которыхъ получимъ
А^ С Cldxdv= f fp*^*L*v=a* f fcos,r
dtp
необходимо только им+^ть въ виду, что элементъ интеграла долженъ быть
всегда иоложительныкъ. Напрнм-Ьръ, при вычислении всей поверхности шара,
надо менять перем*нную у> только въ пред-Ьлагь отъ 0 до ' ¦ и писать
А = 2 а'2 j d (( I cos -у d у = 2 а- j
2.-Т
j q: = 4 :r a'-.
Если бы мы пожелали изменить ц> отъ 0 до тт., то достаточно было бы изме-
изменять (р отъ 0 до л., и написать
А = 2а- j dtp I ] cos y> ] dip = 4я2 / <iq. = 4 .т fia.
Г/ о !Г
b) Предложнмъ себе теперь измерить величину части поверхности
того же шара, лежащей внутри кривой Вио!ани (tj 7fi7,j). Эта часть поверх-
поверхности проектируется на плоскость Оху по кругу уг = х(а^х) и симме-
симметрична относительно шюскости Ох в; следовательно
а у X (.1—х 1 а
¦а fdx /V^4=^=2" /а

§ 777 поверхности и объемы_какихъ угодно т-ьлъ. 399
Обозначая черезъ Ь тотъ arcus, который находится подъ знакомъ интеграла,
имЬемь х = a tg- 0 и интегрирование по частямъ (§ 723. d) дастъ
/ Ь dx = Ь х — a I tga Э rfC -= —^-т- E - sin 5 COS 9).
Такъ какъ 6 изменяется отъ 0 до '- , когда д- измъняется отъ 0 до о, то
получится А — {л -2)«а. Гораздо скоръе иридемъ къ этому результату,
применяя полярныя координаты
, , ,
A = 2 a* j d <r I cos у rfy = 2^1 A sin ^) rfi/, - (;i. - '2) я-,
о i/ о
с) Попытаемся вычислить величину всей поверхности эллипсоида. Изъ
Xs у2 е-
уравнешя " щ} + ¦.- + —, — 1. находимъ
гд-fe г и ч обозначаютъ эксцентриситеты с*чен1й поверхности эллипсоида
плоскостями Oxz и Оуз. Формула A0) дастъ
f- х2 rfy2
гдЪ интегрирована распространнстсн на net пары значешй х и у, удовле-
тнорнющ!я неравенству '2 —"/о- 1- Обозначая черезъ / стоящ1й подъ зна-
знакомъ интеграла радикалъ, легко находимъ
~ + [fi - >f) ¦% = f* ~ 1 ,
что наводить на мысль положить
гд-б В изм-вняется отъ 0 до р а / отъ 1 до х-.. Принимая в и i за новыя
перем^ннын интегрирования, преобразуемъ предыдущШ интегралъ (§ 737) въ
слъдуюшдй
«1 в) -*
я.
^'/rf/rfe.

400 VII, 3. приложены къ геометрическимъ изм-врешямъ. § 777
Въ то же оремя замъ-тимъ, что если <р (/) и v (/) обозначаютъ радикалы,
входящие въ выражения х и у\ то
—- = а <р' (/) cos 8, --У = Ьг/ (t) sin 8,
д х , д у
-—¦ = — а <р (/) sin С. —'— — Ь v @ cos 0.
Поэтому
г с'
А -¦= 8 аи I I { <г' (f) у (f) cos2 5 -)- (j.i (/) i^i' (t) sin- 0 } / dl d'i,
.' J
1 0
если замътимъ, что r/.(/) и у>(/) фуккщи возрастающ1я. а потому им-Ьютъ по-
положительный производныя. Такъ какъ интегралы отъ cos2fttf6 и $т29*/9въ
пред^лахъ 0и'— равны "~ ( §725, е), то будсмъ имъть
х
А = 2 nab С{ -)р'@ V Щ + <Г @'/ W ) ' rf/,
! / - —1—уг=- -—i (- I - -р. —^=^ f ¦
и наконсць
Дальше въ обшеигъ случай мы идти не можемъ, потому что им^е.мъ зд'Ьсь
эллиптическ1С интегралы. Но, при с = г\, и при ?j = 0, мы пришли бы снова
къ формуламъ (§ 772, d).-относящимся къ сжатому и растянутому сферпиду.
Наконецъ, если эксцентриситеты е и у очень малы, то разложен!с въ рядъ
даетъ
и такъ какъ с2 =• а Ь A — ?(в2 -\- V2) + ¦ - ¦ )-. т° получается ') приближенная
формула
d) Чтобы вычислить величину поверхности эллипсоида съ достаточною
точностью, надо пользоваться таблицами Лежандра (съ доойнымъ входомъ),
а для этого надо сперва выразить А въ типическихъ интегралахъ F и Е.
Если положимъ е = sin a, 15 = k sin а, такъ что
k = -rv -r, s < 1, а = arc cos — >
*) О приближеянонъ вычислети поверхности эллипсоида см. „Calcul
integral" Boussinesqa (стр.78) и aaMtTKyPeano въ „Rendiconti dei Lincci"
A890, стр. 317).

§ 777 ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМЫ КАКИХ'Ь УГОДНО Т-ЬЛЪ. 401
то подстановкою t = . преобразует, полученной выше выражение А въ
следующее
А = -
2 n a b] .,, / d к
- cos11 a I ^=_ • - -\-
o
a
-I- (I-# sin2 a) / -
0
Мы уже имЪемъ {§ 767, h) значение перваго интеграла
У?
dty г-.. . Е (/', Ц>\
cos2f/;y"l-/2sin-> " 1 - L-
0
Интегрироваше но частямъ даетъ стЬдующеее выражсн!е того же интеграла:
У 1 — A- sin21/ ._/ A — ?- sin2 г/-) )/ 1 - № si
о
откуда выводимъ
.У
d ц, К {k, (j-) *2 sin qi cos (^
Следовательно,
^4 — - '. {cos2 a ¦ F{k. a) + siti2a ¦ ?" (/&,а) + sin a cos а У 1 — k2 sin2ai .
sin «i ' i
Подставляя, наконецъ, вм-Ьсто к н и ихъ выражешя въ я, Ь, с, мы и при-
демъ къ формул^ Лежандра
2 .% b \ .. ,. / а 1 /*2-- с2 с
^ = 2л ь>;: 4- - , -^=г с* / ¦ I/ -5 =, яге cos —
у ,-fi — ci ( \ о Г «- — eJ a
Предлагаемъ читателю, длн упражнен1я, доказать, что при д2— №-\-с~, вели-
величина поверхности измеряется числомъ л«а+ ц.№Е J- лс2 /^, гдт. ? и F
полные эллиптичесие интегралы съ модулемъ I/ 1 — (-г-| . Такъ, напри-
, при я2: № <? = 3 : 2 : 1, найдемъ .4 = ля2 ¦ 2,52620923

402 VII, 3. приложена къ геометрическимъ изм-ьрешямъ. §§ 777 - 778
е) Формулою A0) можно воспользоваться, чтобы доказать1), что для
поверхностей имЪетъ мЪсго нЪчто подобное тому, что мы заметили у
плоскияъ «ривыхъ въ § 591. А именно, если выд-Ьлимъ около некоторой
точки М на поверхности некоторую часть с, то полная кривизна К въ
точкЪ М есть пред'Ьлъ отношешя величины тЪлеснаго угла а, образуемаго
нормалями къ поверхности, проведенными въ точкахъ границы д, къ вели-
величин* А поверхности самой д, когда эта последняя стремится обратиться въ
точку М. Положнмъ, что кривизна, предполагаемая непрерывною, будетъ
положительна (чтобы им"Ьть дъ-ло съ опредъленнымъ случаемъ), и выберсмъ
д столь малою, чтобы и во веЬхъ ея точкахъ К было больше нуля. Пере-
Переменный xv. у въ формул-fe A0) можно заменить переменными р и q, которыя
независимы, потому что (§§ 579, 691)
Замътивъ это, находимъ, что формула A0) дасгь (§ 737)
А= С С ^rfg = _!_ С С IP*</.
гдъ v. обозначаетъ число, среднее между значешями К къ точкахъ j.
Съ другой стороны, построимъ конусъ, производящая котораго параллельны
нормалямъ къ поверхности, проведеннымъ вдоль границы д. По опредъ
лешю, тълесный уголъ, заключенный между этими нормалями, измъ-рнегся
величиною поверхности «, которую этогь конусъ выдъ-ляетъ на шаръ ра-
aiyca 1, съ центромъ въ вершинт; конуса; а такъ какъ кривизна поверхности
этого шара вездъ1 равна 1, то предыдущая формула, примененная къ шару,
даетъ
dp dq_
A +p + q'rf
при тъхъ же пред^лахъ интегрироаан!я. Отсюда и слъдуетъ, что А = -— ¦
Поэтому, когда д стремится совпасть съ точкою М, то для этой точки
получимъ
К = lim и — lim —- •
778. Объемы. Если требуется вычислить объемъ тЬла, огра-
нйченнаго частью данной поверхности, прямымъ цилиндромъ, про-
ектирующимъ границу этой части на плоскость Оху, и самою этою
плоскостью, то можно (ср. съ § 768) принять за элементъ объема V
подобный же объемъ, соответствуют^ элементу данной поверх-
поверхности. Такой элементъ объема измеряется произведешемъ основашя
dxdy на высоту г, СлЪдовательно, будемъ им^ть
A1) Г= I С z dxdy,
1) Си. также „Natiirliche Geometric" автора, стр. 214.

§§ 778—779 поверхности и объемы какихъ угодно т-ьлъ. 403
где s функпдя отъ х и у, определяемая уравнемемъ данной по-
поверхности. Общнее: можно разбить какое угодно гЬло на элементы
третьяго порядка dxdyds и, опираясь на определеше тройного
интеграла, накисать
{12) V-= I ( I dxdyds.
При этомъ пределы последовательных ь интегрнровашй определяются
въ каждомъ случай на основаши формы разсматриваемаго гвла.
Если, напримЬръ, тело имеетъ описанную въ начале этого § форму,
то можно сперва при постоянность х и у выполнить интегриро-
ваше ds, откуда и получается значение s на данной поверх-
поверхности и приходимь снова къ формуле (Н). Можетъ также случиться,
что при ностоянномъ z известенъ будетъ результатъ а (г) интегри-
интегрирования dxdy, т. е. что извЬстпа площадь сечен1я, проинведеннаго
въ разсматриваемомъ теле плоскостью, параллельного плоскости Оху
въ разстоян]и s отъ нея. Въ этомъ случае вычислете V сводится
къ простому интегрировашю
V-
г
Такое вычисление сводится in. разд,елешю тЬла на элементы иерваго
порядка, такъ какъ a{z)dz изображаетъ обьемъ слоя даннаго тела,
лежанщго между плоскостями z и z-{-dz. Такъ мы и делали въ
частномъ случае тЪль вращен!я, въ которомъ a(s) = irR%, Cyute-
ствустъ безчисленное множество другихъ способовъ разбивания
тела на безконечно малые элементы третьяго порядка. Иаъ нихъ
особенно надо заметить тотъ (§ 739, Ь), который получается при
применены полярныхъ координатъ. Поверхности шаровъ, опреде-
ляемыхъ радиусами г и r-\-dr, плоскости, определяемыя долготами
<р и tf' + d<p^ и поверхности конусовъ, определяемый широтами
яр и ip-\-dy>, ограничиваютъ безконечно малое тело, которое
можно разсматривать, какъ прямоугольный параллелепипедъ съ реб-
ребрами dr, г | cos !ф\ d<p и г dip, пренебрегая безконечно малыми
высшихъ порядковъ. Такимъ образомъ приходимъ къ формул^
A4) F= Г j fr*, cos у | dr dip dip,
которую можно вывести и аналитически изъ формулы A2) (§ 737),
779. Къ другому разложению телъ на элементы второго по-
порядка (ср. съ § 769) приходимъ, когда дело идетъ о вычислены
объема тела, ограниченная частью данной поверхности и конусомъ,
образующая котораго соединяютъ точки границы этой части поверх-
поверхности съ данной точкой. Если помъ-сшмъ начало координатъ въ
вершину конуса, то естественно взять за элементъ объема объемъ

404 VII, 3. приложена къ геометрическимъ изн-ьренимъ. §§ 779—780
того конуса, основатель котораго служить элементъ поверхности
У 1 + />* + q'1 dxdy (§ 776). Такъ какъ объемъ этого конуса ра-
венъ одной трети проиаведешя площади основанш на высоту,
равную разстоян)ю начала координатъ оть касательной плоскости,
то мы получимъ
A5) V= '• / ( (з -рх - qy] dx с/у,
при чемъ, если понадобится, измъ-няютъ знакъ элемента. Если, на-
примъ-ръ, требуется вычислить объемъ тъла между поверхностью
вращен1Я и конусами, проектирующими два параллелЕ.ных/ь круга
изъ точки, лежащей на оси вращешя, то получится (§ 776) форм}'ла,
V=%mf R(Rdz — zdR). Эта формула приметъ особенно простой
видъ въ гюлярныхь координатахъ, если полярная ось направлена
по оси вращежя, а именно V= % jv f r'6 dcos(j, которую'можно вывести
и изъ формулы A4). Вирочемъ, эта формула не отличается суще-
существенно отъ выведенной въ § 771 и сводится къ последней, если
къ o6tiHMb ея частямъ прибавимъ объемъ конуса, основаш'емъ
котораго служить nepeMtiiHbifl параллельный кругъ радиуса R, а
вершиною — полюсь:
Ъ я №з = |я ( К (К de -| 2sdR),
780 Примеры, а) Весь объемъ эллипсоида
разенъ
V= 8 / / г dxdy = 8 с I / |/ 1 - "^ - "^ dx dy.
т. е. если выпишемъ пpcдtлы отдъльныхъ интсгрярован]Я
— * :'— х1
о о
Полагая v — —1\'"й2 ¦ - х-, приведемъ внутреннп1 интегралъ въ правой части къ
й|1 -^

§ 780 поверхности и обьемы какихъ угодно т-ьлъ, 405
Следовательно,
V~ 2 л be I [ 1 —.-) rf.r = --¦ л ггhс.
J \ «Ч з
Къ этому результату приводит* и формула C5)
(Г О ' "
.. 8 Г, ['¦ Ну 4 , Г, 4 ,
Т1шъ или другимъ иутемъ, а также (ср. съ § 770, j) вычисляя сперва а (с).
и применяя затЬмъ формулу A3), при всякомъ положитсльномъ числ^Ь »,
равиомъ отношсн1ю четпаго числа кь нечетному, общн-Ьс напдеиъ, что объ-
емъ т'Ьла, ограниченнаго поверхностью
6"
равенъ
х" vn ¦*"
— +¦— ^" - 1.
И " П
J
О
Пъ частности, для объема, ограниченна го ттзлесиою астроидою
¦> -2 V. '>
4 ;t
эначеше /'— -—^-efi, т. с. немного больше Т1Т части об-ьема описаннаго
шара.
Ъ) Когда эллипсоидъ заданъ об|цимъ уравнеи!емъ
а .г2 + bv^ -\-cs? + 2/.v s + 2g zx-r'2 h xy - 1 .
то удобнее прилагается формула A3). потому что плоское сЬчойе, параллельное
плоскости Ох у на разс.тоннш s отъ нея, им'Ьетъ уравнсн1е вида
а'х? ~ 6V + с'-\ If у + 2g'x + 'llf xy = 0
и площадь его, какъ мы знаемъ (§ 770. h) равна о(«) = — лО'/(а'Ь' — /г'-)"-.
При постоянноь!ъ з. изъ сравнетя уравнен!Я кривой сь урапне[Г1емъ поверх-
поверхности получается
а'^-а, Ь'=Ь, h'=h, f = fs, g'=gz, c'-cz--\.

406 VII, 3. ИРИЛОЖЕН1Я КЪ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМЪ ИЗМ-ЬРЕНШМЪ. § '80
Следовательно.
a h g
h Ь f
j ^ „ s2D- (a b — /fi)
g f '-Tl
и потому
о (г) =
я I z-D \ Г _ In. a 1
о
Пределы интегрировашя нъ V равны, очевидно, корпямъ уравнешя о (s) =0
т. е. ± у - — - - . Итакъ, V = —-_...
с) Предложимъ себ-fe вычислить объемъ общей части двухъ
круговыхъ цилиндровъ, оси которыхъ взаимно перпендикулярны. Пусть
я будетъ рад:уст> наибольшего изъ двухъ цилиндровъ, ka — радгусъ дру-
другого. За оси _у-овъ н й--овъ возьмемъ оси обоихъ цилиндровъ. Уравнетя
цилиндровъ булутъ х2 + е- =- а2, л'2 -f y~— Ifi а2. Искомый объемъ будетъ
к' а' — и1 tta
У ( С
по
*и У к' а' — и1 tta
= 8 ( С У а* - х* dx dy = 8 Су (a2 - х1) («з д2 - ^j
по и
или, полагая л: = ?nsin (/,
о
о
Интегрирован!е по частямъ даетъ
/ 1 — As sin2 tp ¦ cos2 (p dy =
У I—A- sin2<p +^гр^_-' -^=| sin2 (f dtp.
Выражен1е подъ знакомь послътщяш интеграла легко преобразуется въ
} ^2
— 2 У 1 — к- ьхпггр ¦ cos- ip \- '-g—у 1 — *2 sinaff.
С.твдовательно,
A +
4д |--Е
/ У'Т^ ^ ^1^ dq. - A - F) / -=^1==

§ 780 поверхности и объемы какихъ угодно т-ьлъ. 407
и наконецъ
V= fa* { fl 4-А2) ЕЩ - A Щ ?(к) }.
Въ частности, когда цилиндры равны между собой, получимъ I = | (
Въ общсмъ случаъ (§§ 756, 757) имеемъ
Поэтому, когда k стремится къ нулю, V (какъ и следовало ожидать) съ
возрастающим^ приблюкешемъ будетъ измеряться произведешемъ площади
сечешя -л № а2 меньшего цилиндра на длину 2 а отрезка, отсЬкаемаго дру-
гимъ цилиндромъ на его оси. Наоборотъ, при Ъ, блнзкомъ кь 1, объемь V
приблизительно равенъ \ kB я)8.
d) Даны две взаимно мерпендикулярнын, но не пересекаюин'яся прямыя;
раземотримъ движете отръ-зка постоянной длины, оиирающагося своими кон-
концами на данныя прямыя. Обозначимъ черезъ 1а разстоягне между данными
прямыми, а черезъ а уголъ (постоянный) между двигающимся отрЪзкомъ и
общимъ перпендикуляромъ къ даннымъ прямымъ; тогда длина отрезка бу.
деть . ПомЪстимь начало координатъ на обили перпепдикуляръ къ
COS СС
дапнымъ прямымъ въ одинаковомъ отъ нихъ разстопнш, а оси д>овъ и у-оаъ
возьмемъ соответственно параллельными этимъ прямымъ. При такомъ вы-
Gopt осей уравнеше поверхности, образуемой движущимся отрЪзкомъ будетъ
(а- г? ' (а + sf 6
Поэтому ct4eHie плоскостью, перпендикулярною къ оси #-овъ, будетъ эллипсъ,
который при 2 — 0 обращается въ кругъ, а при в = ± а стремится обра-
обратиться въ прямолинейный отр1.зокъ, лежащей на той или другой изъ дан-
ныхъ прямыхъ. Концы обоихь отрезковъ— особениыя точки поверхности.
При данномь между — я и — а эначети s соответствующей эллипсъ имеетъ
полуоси (a — s)tga и {a + s)tgn. Такъ какъ сумма ихъ величина постоян-
постоянная, то (§ 626, с) изъ этого 'игЬдуетъ, что огибающая проекщй вс%хъ эллин-
совъ, соответствующихъ различнымъ значешямъ .г, на плоскость Оху будетъ
астроида. Иными словами, образуемая подвижнымь отр-тззкомъ поверхность
будетъ вся заключаться въ цилиндра съ высотою 2 а, прямое сЬчеше котораго
есть астроида. Четыре дуги, по которьшъ эта поверхность касается боковой по-
поверхности цилиндра, вместе съ прямолинейными отрезками на данпыхъ пря-
прямыхъ, образуютъ нечто въ родЬ тетраэдра, схематически изображающего
форму образуемаго тъла. Такъ какъ площадь эллипса (§ 770, g), соотвЬтству-
ющаго данному з, равна а (.л) = я; (я2 — s3) tg2 а, то для объема названнаго
тъла получнмъ
т. е. 4- объема цилиндра, потому что атотъ послъ-дтй измеряется произведе-
н1емъ высоты 2 а на площадь (§ 770, j) прямого съ-чешя f л;B a tg аJ, рав-
нымъ 3 л a6 tga a.]
е) Раземотримъ общее м%сто точекъ, для которыхъ сумма об-
ратныхъ величннъ разстояшй отъ четырехъ боковыхъ граней
правильнаго тетраэдра число постоянное. Пусть Qo, Qx, Q%, Уз
обоэначгютъ вершины тетраэдра, а /п разстоян1е какой угодно точки отъ

IDS VII, 3. ПРИЛОЖЕНА КЪ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМЪ ИЗМЪРЕЬПЯМЪ. § 760
грани, противолежащей вершинЪ Qt. Это разстояше считается полаяситель-
нымъ или отрицателышмъ, смотря по тому, лежитъ ли разсматриваемая
точка оть разсматриваемой грани съ той же стороны, что и тетраэдръ, или
съ противоположной. Урявнетс поверхности будетъ
.16) 1 ^ ' + -1 + '-«0;
1i, Ч\ 42 <7и
но ни одна изъ выведенныхь выше формулъ не применима къ такимъ ко-
ординатамъ. Поэтому перейдсмъ кь Декяртовымъ координатамъ, при чемъ
удобно будетъ ныбрать координатныя оси слъдующимъ образомъ; за осп
.г-овъ, у-аъ'ъ, z окъ мы во.ч|1меыт> прямыя, соединяюш!я середины
QoQi' 8а Ог< QqQ-6 соотв-Ьтственно съ серединами Q^Q^, Q3Qlt QxQ.j.
Обозначая черезъ 2а разстоян!е между двумя противолежащими ребрами,
видимъ, что координаты гочскъ Qn, Qu Qs, Qs будутъ соотв-Бтстценно
— а, —а. —в), ( —я, а, а) (а, —«, а), (я, а, —я), а поэтому
Чй V =* — х —у — s + а, q2Уз ==¦ * — у -+- z -I it,
1i У Ъ -— —х -{-у -[- з + а, </м У 3~--- х + у - л I- a,
Уравнеше A6) преобразуется в-ь
17) л-у ;¦ + ьа (х- -I- у- + с- - «2) = о.
Мы имтземъ, следовательно, поверхность третьяго порядка. Она им^Ьетъ че-
четыре двойныя точки нъ углах* тетраэдра, и видъ, такъ сказать, раздутаго
тетраэдра; она касается граней куба, описаннаго около тетраэдра вдоль ре-
беръ, и пересЬкается диагональными плоскостями этого куба по шести пара-
боламъ Плоское свчен1е, параллельное плоскости Оху въ раастоян1и 5 отъ
нея, есть эллипсъ. изображаемый урлвиенкмъ
¦ лг-1 + га + 2- х у = а* - z\
и
т.е. эллипсъ, оси котораго параллельны сторонамъ Q(,Qs, Q\Q<z, а вершины
лежать на двухъ изъ шести параСолъ. Полуоси этого эллипса равны
У н (а — i~) и }г а (а '¦- я);
изъ того обстоятельства, что сумма нхъ квадратовъ величина постпяннан
можно заключить {§ 626, с), что при измтшеши z эллнпсъ передвигается и
деформируется, оставаясь всегда касательнымъ къ чешремъ гранямъ куба:
точки касания описываютъ четыре ребра тетраэдра. Для того, чтобы вычи-
вычислить объемь rb-ia. ограничеинаго нашею поверхностгло, достаточно заметить,
что площадь эллипса of*) = :t;a~\ra2—s-, н формула A3) дастъ
V^ 2 ;г,.я I Yat^lPde = !2 ^Ф = л3 ¦ 4.У348022 ....

§ 780
ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМЫ КАКИХЪ УГОДНО ТЪЛЪ.
409
Это и есть величина всего объема, заключающаяся, очевидно, между объ-
емомъ §ая вписаннаго тетраэдра и обьемомъ 8 я5 описаннаго куба. ЗамЪ-
тимъ, что уравнешс A7) можно также написать въ видЬ
A8)
. х , v . z 1
an: sin -— arc sin " + arc sin — = —л-,
a a a 2
Такъ что х. у. s, '< обозпачаютъ стороны четырехугольника, вписаннаго въ
кругъ шаметра п.
f) Мы рекомендуемъ читателю изучить 6oflise общШ вопросъ о ловерх-
ностяхъ, изображаемыхъ уравнешемъ A8), когда въ правой части будетъ
какая угодно постоянная. Здъ-сь мы ограничимся раземотр-вшемъ той нзъ
этихъ поверхностей, которая соотвъ-тствуетъ значенш .т. этой постоянной,
т. е. представ ля етъ собою общее м-Ьсто точекъ, разстоя1пя которыхъ
отъ трехъ плоскостей прямоугольной системы координать равны
стороиамъ треугольника, вписанпаго въ кругъ д1аметра а. Урав-
HeHie этой поверхности въ алгебраическому. нидЬ будетъ
Въ смежности съ началомъ координатъ, гдЪ членомъ шестой степени можно
пренебречь tio отношеп1ю къ членамъ четвертой степени, эта поверхность
уподобляется систем-b четырехъ плоскостей
— X* — V1 — ¦ ¦
¦ 2 *2_r-J = (.г -у-\ z){-x
~) (а- У -J- ¦=) (.v +.У - в) = 0.
У
по тремъ парамъ мсрпендикулярныхъ прямыхъ. лежащихъ
на поверхности. У этой поверхности четырехкратная точка въ начал к коор
дипатъ и шесть днойныхъ прямыхъ. Вся по-
поверхность заключена внутри куба съ реб-
ребром ь 2а, грани котораго касаются этой
понерхпости но вписаннымъ въ эти грани
кругамъ. Она ограничиваетъ гбло, имЬюшее
видъ закруглепнаго на углахъ и ребрахъ
куба съ гранями, воронкообразно выдолблен-
выдолбленными до центра. Чтобы вычислить объемъ
такого гвла, вычислимъ сперва площадь
съ-чешя плоскостью, параллельною одной изъ
граней куба. Это сЬчен1е состоитъ, какь мы
увиднмъ (рис. 97). изъ двухъ равныхъ а.плип-
совъ съ общими осями. Эти эллипсы совпа-
даютъ въ одинъ кругь. когда плоскость сов-
падаеть съ гранью куба и прекращаются въ ' ис- ¦'1-
одну изъ трехъ наръ ортогональныхъ отр%а-
ковъ, принадлежащихъ понерхности. когда плоскость сЬчен1я проходи'П. че-
резъ цеитръ куба. Достаточно написать ураонете поверхности въ вид1;
чтобы
посл'Б
такъ
выдтлигь уравяен^я обоичъ ^плипсовъ. Въ иолярныхъ координатахь,
того какъ положим ь ? — ncosfp, можемъ написать уравнетя ихъ
1 -:
а- С(
- Sin i
i sin 2 Ь
аг cos- if
1 — sin <f sin 2 3

410 VII, 4. дифферёнщальиын уравнешя, §§780-781
Отсюда, применяя вторую изъ формуль C), находимъ, что площадь сЬчен!я,
перпендикулярнаго къ оси z овъ и проведеннаговъ разстоянш z отъ начала
координать, будетъ
. , „ „ / sin if sin 2 6 i
a <*) — 8 a2 cos^ tp / . -~——
' / 1 - sinfy sm3
21
о
Принявъ за переменную ннтсгрирован)я t — tg if. cos 2 5, найдемъ
ц «>
e (a) = 4 я2 cos g.' i у —-2 = 4 a- <p cos q?.
о
Такъ какъ <р должно изменяться отъ 0 до ' то нап-tpiro arc tg {tg if) = <p.
Теперь формула A3) даеть
« ¦j1' si
У— 2 I а {г) dz = 8 tiA j <p sin tp cos if dtp — a6 I <p sin <p dip.
и накоиецъ, съ помощью интегрирования по частямъ
V --= a9 (rp cos qp — sin (f)nT = л а3.
Этотъ объемъ не составляетъ и | объема наименьшаго шара, заключаю-
заключающего въ себЬ всю поверхность т"Ьла, шара, очевидно, концевтрическаго съ
этою поверхностью и касаюшагося ея въ S точкахъ, который будутъ точ-
точками закруглены поверхности. Подобными же вычислеш'емъ найденъ, что
объемъ каждой изъ вышеуномянутыхъ поронокъ равенъ \наР. Поэтому
объемъ тЬла, похожего на игральную кость, которое получится, когда запол-
заполнишь и 6 этихъ воронокъ, равенъ |лв3. Легко поверяется, что то, что надо
удалить на углахъ куба, чтобы получить разематриваемое гЪло, составляетъ
ничтожную часть всего объема куба, а именно 0,00228 ....
ДИФФЕРЕНитЛЬНЫЯ УРДВНЕН1Я.
Уравнен1я съ двумя переменными.
781. Задача интегрирования въ томъ вид-b, какъ мы ее до
сихъ поръ разематривали, есть лишь частный случай задачи, въ
которой разыскиваются фунгсцш отъ одной или н^сколь-
кихъ переиънныхъ, связанныхъ съ переменными и произ-
вод}'ыми искомыхъ функц1й однимъ или несколькими

§§ 781—782 УРАВНЕНИЯ СЪ ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ. 411
соотношениями. Таюя соотношении называются диффереищаль-
ными уравнениями и разыскание неизвестныхъ функшя
есть также задача интегральнаго исчислен1я. Такъ, наири-
мъръ, въ простеишемъ случай, которьшъ мы сперва и займемся,
дано дифференшальное уравнение f(x, у, у', у", ,..,) = О и тре-
требуется найти все функщи у, которыя тождественно удовлетворяютъ
этому уравнению. Таюя уравнешя называются обыкновенными
дифференциальными уравнешнми, въ отлич1е отъ уравнен1й въ.
частныхъ производныхъ, въ которыя входятъ две или бол-fee
независимыхъ перем+лнныхъ и частныя производныя неизвестныхъ
функцШ по различным!. перем+,ннымъ. Какъ въ томъ, такъ и въ-
другомъ случат? порядкомъ уравнетя называютъ наивысиий поря-
докъ производныхъ, въ него входящихъ. Мы почти исключительно
будемъ заниматься зд-Ьсь уравнениями перваго порядка.
782. ОбщШ интегралъ и частные интегралы. Предполо-
жимъ, что уравнение /(х, у, у') — 0 способно определить у , какъ
непрерывную функщю отъ х и у. Представимъ себ"Ь, что черезъ
каждую точку (х, у) проведена прямая, угловой коэффишентъ ко-
которой равенъ соответствующему значен1ю у . Положимъ далъе, что
подвижная точка М, выйдя изъ н'Ькотораго произвольная поло-
женЬ| Мо проходитъ беэконечно малый путь по прямой, проведенной,
черезъ Мо упомянутымъ способомъ, до точки Afi, зат^мъ изъ Мх
по примой, проведенной черезъ Мл, до точки Мч и т. д. до без-
конечности; ясно, что вдоль всей описываемой такимъ образомъ
кривой данное уравнен1е удовлетворяется. Если гдЬ ннбудь вн-fe
этой кривой возьмемъ другую начальную точку, то подобнымъ же
образомъ можемъ построитъ другую кривую съ тЬмъ же свой-
ствомъ, и следовательно, выходя изъ безчисленнаго множества
начальныхъ точекъ, можемъ построить бесчисленное множество та-
кихъ кривыхъ, составляющихъ семейство К(х, у, а) = 0. Это урав-
уравнение, изображающее безчииленное множество кривыхъ, удовле-
творяющихъ данному дифференщальному уравненто, называется
общимъ иптеграломъ этого уравнен!я, и заключаетъ въ себъ
безконечное множество частныхъ интеграловъ, соотвътствующихъ
различнымъ значен]ямъ постоянной а. Йтакъ, даннымъ дифферен-
щальнымъ уравнен1'емь f(x, у, у')—0 точки на плоскости распре-
распределяются на некоторыя определенный совокупности, но въ сущ-
сущности,^ не связывается съ х, потому что значешемъ постоянной а
въ общемъ интеграле можно такъ распорядиться, чтобы при данномъ
по произволу значепш х переменная у приняла также произвольно
заданное значеше. Поэтому, если желаемъ определить некоторую-
функш'ю у съ помощью дифференц!альнаго уравнешн перваго по-
порядка, то должны еще добавить услов!е, въ силу котораго, дли1
некотораго даннаго значешя х, у долженъ принять заданное зна-
чен1е. Иными словами, если xQ и у0 заданы по произволу, то
суще:твуетъ такая функция х отъ у, которая удовлетво-

412 VII, 4. дифференщальныя урлвненгя. §§ 782—783
ряетъ уравнеюю f(x, у, у') — 0 и иринимаетъ аначеше v0
при х = х0- Однако, для того, чтобы эта теорема имела место,
необходимы известный ограничения, которыя не вытекаютъ изъ
из/юженныхъ выше разсуждешй. Эти разсужден)я даютъ намъ воз-
возможность отлать себЬ отчетъ въ существовали и геомегрическомъ
значенш общаго интеграла, но тшкоимъ образомъ не могутъ наст,
избавить отъ строгаго аналитическаго доказательства существования
интеграла 1). Здъсь мел ограничимся только указа1пемъ на еднн-
стпенкость общаго интеграла, т. е. на невозможность существовали
двухъ независимыхъ функцШ и и г\ которыя, будучи приравнены
произвольной постоянной, изображали бы обний интегралъ одного
и того же дифференщальнаго уравнен1я nepBaio порядка. Въ самомъ
fl'krfe, такъ какъ изъ уравнен(й «=const. и 7;=const. должно полу-
получиться одно и то же значение у' -(совпадающее съ т+1мъ, которое
получается изъ даннаго уравнения f{xt у, у')= Q), то должно также
быть ур / — 0, а следовательно {§ 579), между и и v должно
существовать соотношеше, въ силу котораго приравнять и или v
постоянному равносил!.но одно другому *).
783. Особенный интегралъ. ОбшШ интегралъ F(x, у, я)=0
удовлетворяетъ уравнсн!го /(х, у, у') = 0 и тогда, когда а не по-
постоянная, а функщя отъ х и у, неявно определяемая уравнетемъ
F',t(x 1 V» я) = 0; действительно (ср. съ § 621), получаемое изъ него
значеше у' ио второмъ предположен»! соппадаеть съ тъмъ, которое
получится и при а постоянномъ. Особеннымъ интеграломъ и
называется тотъ, который получается черезъ исключен^ а изъ
уравнений F{x, у, а\— 0 и F'tl{x, v, я)=0. Геометрически это
выражается слФ.дующимъ образом ь: Данное дифференщальное урав-
нен1е удовлетворяется не только безчислеинымъ множествомъ крн-
выхъ, ивображаемыхъ общимъ ннтеграломъ, но и огибающею этихъ
кривыхъ, изображаемой особенным!, интеграломъ. Поэтому обыкно-
обыкновенно и говоряп,. что особенный интегралъ есть огибающая
безчисленнаго множества частныхъ интеграловь. Благодаря
•существовант особеннаго интеграла точка, двигающаяся непрерывно
такъ, что она постоянно удовлетворяетъ данному дифференщальному
уравнение, не осуждена непременно оставаться на определенной
1) По этому вопросу надо обратиться либо къ „Lehrbucli der Analysis'
Lipschitz'a (стр! 500), либо къ „Traite d Analyse" Picard'a (т. 2, стр. '292),
замътк-fe Рсапо въ „Atti dell' Accademia di Torim)" ASS5—86. стр. 677),
3aMtTi<avi'b Arzela въ „Memorie dell' Accademia di Bologna" A8.45, стр 257;
1896, стр. 131). Реапо даеть доказательство существования интеграла подъ
¦однимъ только услов1ем'ь, укаааннымъ въ начала этого параграфа.
*) Т. е. если tt = const., то и v — ч {и) -— const.

§§ 783-785 уравнения съ двумя пенем-ьнными. 413
частной кривой, а, наоборотъ, можетъ, пройдя некоторую дугу
огибающей, сойти загЬмъ на всякую другую частную кривую 1).
784. СтЪдуетъ зам-Ьтимъ, что особенный интегралъ можно
получить, не выполняя какого либо интсгрировашя. Если левая
часть уравнения /(х, у, у') = 0 есть непрерывная функщя съ непре-
непрерывными первыми производными, то особенный интегралъ по-
получится черезъ исключегпе у' изъ уравнений /— 0 и j , = 0.
Въ самомъ дЪле, фиксируемъ одну изъ безчисленнаго множества
кривыхъ, изображаемыхъ общимъ интеграломъ, и положимъ, что
¦она касается въ точке А той кривой лиши, которая изображается
особеннымъ интеграломъ. Разсмотримъ другую частную кривую
(изображаемую другимъ частнымъ интеграломъ), безконечно близкую
къ первой, и пусть А' будеть безконечно близкая къ А точка ея
касатя съ особенною кривою (огибающею). Ясно, что обе частныя
кривыя им"Ьютъ общую точку М, безконечно близкую къ А,
координаты ? и г) которой стремятся къ пределамъ х и у — коор-
динатамъ точки А, когда А' стремится къ А. Пусть г/' и ?f-\- h
будутъ угловые коэффищенты касательиыхъ въ точк-Ь М къ двумъ
частнымъ кривымъ, пересекающимся въ М. Ясно, что съ прибли-
жен!емъ А' къ А эти касательныя въ М стремятся совпаеп, съ
касательного къ А къ особенной кривой. Следовательно, одновре-
одновременно будемъ им+пть lim| = .v, lim t] — у, lim r/=_>'', lim//=0.
Такъ какъ точка М принадлежитъ двумъ кривымъ, удовлетворя-
ющимъ данному дифферешцальному уравненто, то должно быть
/(с, у, ¦*}')=0, /d, 1},-jj'+ &) = О- Второе уравнен1е, будучи рас-
расположено по степенямъ h, обратится въ fy (^, ц, ¦»)') —0, если
отбросимъ net члены съ степенями А, начиная со второй. Следо-
Следовательно, въ пределе (т. е. на особенной кривой) имеемъ
/у,у') = 0 и Л(х,у,/)=0*).
785. Что касается интегрировашя лифференц1альныхъ уравне-
н!й, то не существуетъ методы, применимой ко всемъ уравнен1ямъ,
и намъ приходится ограничиться указашемъ некоторыхъ отдельныхъ-
!) Эгимъ зам^чмн1емъ. столь очевиднымь, что указывать на него ка-
кажется даже излишкимъ, очень искусно воспользовался Boussinesq для
„Conciliation du veritable detenninisme mecanique avec 1'existence de la vie
et de la liberte morale' (Paris, Gauthier-Villars, 1878). Смотри также этюды
того же автора .Sur divers points de la philosophic des sciences", стр. 82
*) Изъ разеуждешя § 784 явствуетъ, что если особенный интегралъ
существуетъ, то онъ можетъ быть гголученъ указаннымъ п;гтемъ; въ про-
тивномь случай исключен1е у' изъ урявненШ f(x, у,>')=0 и /y,{&\у, у')= 0
можетъ привести къ частному интегралу и даже къ функцш. вовсе не
удовлетворяющей диффсренщальному уравнен!».

414 VII, 4. дифференшальныя уравнение § 785
случаевъ, въ которыхъ можно помощью частныхъ пр!емовъ найти
общШ интегралъ.
a) Если мы выведемъ изъ даннаго уравнешя одно изъ воз-
можныхъ значен!й у' к подставимъ -,^-_ вмъсто у', то придемъ къ
разсмотръшю уравнешй вида и dx -f- v dy — 0, гдЪ и и v данныя
функщи отъ х и у. Интегрироваше выполняется непосредственно
и даетъ
I udx + / V dy = const.
въ томь случай, когда и функц)я одного х, a it функщя одного jv.
Тогда говорить, что перем1;кныя отделены. Отдъленш перел^нныхь
всегда можно достигнуть, когда и и v равны произведешямъ
функц1Й одного .т па функщи одного у. А именно, стоитъ только
раздълить все уравнеше на ту функщю отъ у, которая входитъ
множителемъ въ и, а на ту функщю отъ х, которая входитъ въ v.
b) Перемъиныя всегда можно отдълить, когда и и v одно-
родныя функцш одной и той же степени. Действительно, полагая
y — tx, находимь и = Xn(f:{f), v — x"ip{t) и уравнение принимаетъ
видъ
<Р {() dx -[-у (t) (tdx +-xdf) -= 0.
Разделяя на .v и на <p-\-h)) и интегрируя, полу чимъ
V @ dt
logx+ I
= const.
с) Очень просто интегрируется уравнеше f{x, у, v')=0,
если въ него не входитъ д- или у. Мы предположимъ, что уравне-
Hie не можемъ или не жслаемъ решать относительно у' Иначе, изъ
у = д?(х), или у' = (р (у) тотчасъ получили бы
Но зато мы предположимъ, что уравнеше можно р-Ьшить относи-
•тельно х или у. Если, наприи^.ръ, л= <р(у'), то, положивъ у' = /,
нмЪемъ у = fidх = / <р' {i)tdt. Исклгочен1е t иэъ уравненШ
х — tp{t) и у = t<p{t) — j <p(t)dt даетъ искомое уравнеше между
х, у и с. Точно также изъ у = q> ( у')> положивъ у' = t, получимъ
и т. д.

§ 785 УРАВНЕНШ СЪ Д6УМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ. 415
d) Уравнеше второго порядка, не содержащее х или у,
легко сводится къ уравненш ггерваго порядка. А именно, если не
входить у, то можно разсматривать у' какъ неизвестную функщю,
относительно которой уравнеше будетъ уже перваго порядка; ин-
тегрироваше его, которое предполагаемъ возможнымъ, приведетъ
къ уравнешю F(x,y', а) — 0, гдъ а произвольная постоянная. Ин-
Интегрируя это уравнение, придемъ къ искомому уравнемю между
х и у, которое будетъ содержать уже лв^ произвольный постоян-
постоянный а и Ь. Если въ данное уравнение пе входить х, то стоить
только принять у за независимую переменную, разсматривать v',
какъ неизвестную функщю отъ нея и заметить, что
„ rf/ ,dy'
у rfx J cfy '
Такимъ образонъ получается уравнегие перваго порядка, интегри-
котораго дасгь ypaBHenie F (у, у',а) — 0 и т, д.
е) Если выражение у', выведенное изъ даннаго уравнен1я, бу-
будетъ первой степени относительно у, то уравнеше называется
линейнымъ, и его интегрирование всегда возможно. ДЪйствителыю,
положивъ у — и v, гд-fe и и у функт'и огь х, преобразуемъ урав-
нен!е у' -f у ср (х) — fix) въ it' v -\- (j/-\- v ц.) и — f, и сведемъ его
къ u'v—f, принявъ за v какую нибудь функщю, удовлетворя-
удовлетворяющую услов1ю v' -j- v<p = 0. Съ помощью отдЬлешя нерем'внныхъ и
- / if fix j if if .г
интегриропанш найдемъ v = е . Следовательно, //' = fe и
наконецъ
J '
fdx.
Итакъ, нужно выполнить, какъ говорятъ, дв-fe квадратуры, т. е.
два простыть интегрирования, чтобм получить общШ интегралъ ли-
«ейнаго дифференщальнаго уравнения перваго порядка.
f) Уравнен!е Бернулли у'-\-у (р(х) =ynf(x) тотчасъ при-
приводится къ линейному, стоить только разделить его на у11 и при-
принять у1~" за HeH3BtcTnyro функи4ю.
g) Интересно уравнен1е Клеро у = ху' -j-f(y')- Дифферен-
Дифференцируя его, получимъ {х +/' (у1) \у" = 0. Поэтому последова-
последовательно получаемъ у" =0, у' — а, у — ах + f(a)—это обпий ин-
гегралъ. Если у" не равно 0, то должно быть x-^f (у1) = 0 ,
исключая у' изъ этого и изъ даннаго уравнешя, получимъ особен-
особенный интегралъ; путь, которымъ мы его зд"Ьсь нашли, и есть тотъ,
<оторый мы указали въ § 784.

416 VII, 4. ДИФФЕРЕНШАЛЬНЫЯ УРАВНЕНИЯ § 7Н 5
h) Уравнеже у = хер (у1) -f- ty>( у'), если оно не уравнете
Клеро, приводится къ линейному; дифференцируя его, получинъ
dx_ ^ х ц'(у') + у' (У) = Q
dy' Ч(У"\~У'
(линейное относительно д;). Интегрируя его, принивъ х за неизве-
неизвестную фупкщю отъ независимой переменной у', получимъ уравне-
н!е вида F(х,у', а) = 0, а исключая у' изь этого и изъ даннаго
уравиен1я, получимъ общШ интеграль. ОбщнЪе, когда дано урап-
нете у=/(х,у'), дифференцирован1емъ изъ него выводимъ
дх ду
Если мы ум^емъ интегрировать это уравнеп'ш (перваго порядка от-
относительно^'), то, исключая у' изъ его общаге интеграла F {х, у', а) =0
и даннаго уравнения, получимъ искомое соотношен!е между х,у на.
j) Если выражение у', пиведенное изъ даннаго ураяпен1я пер-
перваго порядка, будетъ второй степени относительно у, то инте-
интегрирование выполняется лишь въ совершенно исключительныхъ слу-
чаяхъ, которыми мы займемся въ стБдуюгцемъ параграф^. 3flt.cb же-
ограничимся указатель нФ.которыхъ замЬчательныхъ свойствъ та-
кихъ уравнен!й. Эти уравнения им-еютъ видь
У = у (f (л-) + уу_ (х) + V (#)
и называются уравнениями Риккати (Riccati). Если какимъ ни-
нибудь путемъ найдено одно частное p-feiiieHie it, то полное интегри-
рован)е выполняется при помоши двухъ квадратуръ. Полагая.
х = и , приведемъ уравнен!е къ линейному
z' + B к <р + ¦/) s =-¦ (р,
и, следовательно, обицй интегралъ будетъ
yj d-s.
A)
/ B uq-
Если извъетны два частныхъ решен1н и и v, то интегрироваше
сводится къ одной квадратур^. Действительно, вычитая изъ дан-
даннаго уравнешя тождества
и' = и2 (Г- + « z + V. v' = v2 Ч- + v X + v<
получимъ уравнеше

§§ 785- 786 уравнены съ двумя переменными. 417
Вычитав одно изъ этихъ уравненШ изъ другого и интегрируя, най-
демъ
B) >L-«=J'1>-")*'"\
у -¦ v
Если далЪе известны три частных?, решетя и, v, it), то интегри-
pOBainie выполняется безъ помощи квадратуръ, потому что изъ
предыдущего соотношешя тотчасъ выподимъ
V — U EJ' — II
"¦ :- — = const,
у ¦¦ - v щ — v
Итакъ, ангармоническое отношен1е какихъ угодно четырехъ
частныхъ р-Ьшсшй уравнен!я Риккати есть число постоян-
постоянное. Въ заключение укажемъ еще крайне простую форму, къ ко-
которой всегда можно привести уравнсше Риккати. Полагая
3 — у е J , / = — I cJ <r <i x
и принимая t на независимую переменную, a z—за неизвестную
функцию, находимъ
е •* (р е •' if.
и ypaniseHie принимаетъ видь
786. Примеры, а) Чтобы проинтегрировать уравнен!я
(Zx-'-'--y-)ydx - (x~ — 3y2)xtiy = 0, (л---- Зу>)хг1х+ [Зх* y*)ydy = О,
достаточно (§ 785, Ъ) положить у — t х п гЬмъ преобразовать данныя урав-
нен1н въ сл-кдующ1я :
rfx {I 3f-)tt/ dx C fl)tdf_
иитегрирован1емъ найяемъ
аУ 2/ аУ 1 — /-
"Г 4-/2 • Х~ 1 STfi '
т. е. л- +.va = a Y 4 xy. x- +y~ = a }¦' х- — у,
или въ полнрныхъ координатахъ г — а \ sin 2 0, г = а \ cos 2 6. Интегралы
перваго и второго уравневш пзображаютъ, следовательно (§ 589, tn), без-
конечное множество лемнискатъ, касающихся въ полюс-fe осей или прямыхъ,

418 VII, 4. дифференщальныя уравнешя. § 786
д-Ьлящихъ пополамъ углы между осями. ЗахгЬтимъ, что двЪ лемнискаты, по
произволу выбранныя одна въ одномъ, другая въ другомъ семейств*, пе-
пересекаются внъ- полюса подъ прямымъ угломъ. Легко даже провъ-рить, что
оба данныя дифференшальныя уравнешя выражаютъ общее свойство каса-
касательной и нормали, а именно —свойство составлять съ раддусомъ векторомъ
уголъ, равный удвоенному углу наклоненш рад1уса вектора къ неподвижной
примой. Эта прямая есть касательная въ полюев или нормальная ось сим-
метрш. смотря по тому, о свойств* касательной или о свойств* норнали
идетъ р-Ьчь. Если мы такую задачу выразимъ уравнешемъ, прим-вняя по-
полярные координаты, то получимъ уравнетя г' = rcotg'2 9. г' = - rtg2 6, и
интегрироваше д-Ьлается особенно простымъ.
b) Чтобы проинтегрировать уравнеше
(а х + by f с) d x 4- W x + /Уу +¦ с') dy = О,
мошемъ принять за новыя перем-Ьнныя
с -^ а х + by + <;, ц - а' х + Ь'у+ с',
если а Ь' — Ьа' не равно 0 (иначе между | и ц существовало бы соотнпше-
н!е). Уравнеше обращяется въ
{h'l -a>v)dl: — (b? — a v) d >> - О,
и для интегрирован)» полагаемъ г) — t L и т. д. Если ah' = Ь а' и въ то жч
время ас'—ся',то уравнеше, освобожденное отъ д-Ьлитсля ах -\-bу -\-с, даетъ
ах-\-а'у = const. Если же ас'^са', то можно написать
(я х + b v) d (a x -)- а'у) -f a d (c .v -(- e'y) = 0,
такъ что, полагая ^ = ctx + a'y, у —ex i-c'y и принимая с и щ за иовыя
перем-Ьнныя, получимъ уравнеже вида
(п?" -- 3>)}(lt- + adit = ()
Для отдълен!я перемЪнныхъ достаточно ввести новую переменную s — a^-{-3-t)
вместо ц; тогда получимъ
(.9 г — a a) d % -\- a da' — О
и т. д.
c) Уравне1пе у sin х 4- y'cos.T = 1 — линейное; чтобы его интегриро-
интегрировать, достаточно (§ 7S5, е) определить какую нибудь функщ'ю v. удовлетво-
удовлетворяющую уравнен1ю г> sin х 4- v' cos x = 0, 3aitMb положить у = и v и найти
вс-Ь функщи, удовлетворяющ!я уравненш v «'cos x = 1. Такимъ образомъ
найдемъ v = cos х, и = tg х + а и у — sin х -г a cos .v-
d) Если предложено уравнеше (у — ху') cosy' = 1 —лг sin^'1, то сперва
рЪшаемъ его относительно у (§ 785, h), а затъмъ дифференцируемъ
d х
у ^ д- (v' — tg т') -j- sec jv', .v sin>'' f -jr- cos.v1 = 1.
Разсматривая теперь л', какъ неизв-Ьстную функшю отъ у', находимъ
х = sin с'тв cos j''

786 УНАВНЕН1Я СЪ ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ. 419
и выводишь отсюда
* -цаУ" 1 -о5"**, A + л3) cosy = я дг= У1^~а?~Ж
Подставляя эти результаты въ данное дифференшальное уравнеше, найдемъ
общШ иитегралъ
у + х arc tg -"- — — ^ _ _^ ^ ^ у 1 _|_ а-> _' х 2 = 0.
1 — х~
е) Аналогично интегрируется уравнеше у — .ху' ¦{¦¦ л-2/{у'), диффе-
дифференцируя которое, найдемъ
dy'^2/(y') +2/( г')
. . /' «?лг
откуда, положивъ \р (х) -= I , получимъ
./ У./(а-)
.r= --iy(y'> (//( у')
Исключая у изъ это]О н кзъ даннаго уравнешя, получимъ обшШ интегрлл"ь.
/) Чтобы проинтегрировать уравнсте
(а- — я?) dyi -|- 2 д' v d х dy \- (№ —у*) d х- .^ О,
рЪшаемъ уравнен1е относительно у и замЪчаемъ, что полученное уравнение
У = ху' + У a'ly'2 — i2 есть ураннен1е Клеро {§ 785, g). Сл*дооательно,
абщдй интегралъ даи!1аго уравнен)я скть
у -.= с х ± У а-с*~ Ь-, или с2{а2 — х*) + 2 с ху + (Ь2 —у2) =0,
л1;: у-
а особенный интегралъ будстъ -„ -\- ri = 1.
g) для уравнен!я jva Н—тг + 2у' = 0 тотчасъ видимъ частное p-feuieme
.)' = —. а потому достаточно въ формул* A) положить и— -, <[¦ = — i, /=0,
X д"
чтобы найти обпцй интегралъ
Y^Ty + i log *= const.
Н^колько общн-Ье, если дано уравнеше _г2 -\—ч + 2 А у = 0, то, пробуя удо-
удовлетворить ему выражешемъ у = ¦ найдемъ, что т должно удовлетворять
X
условно т2 — 2 А т + 1 =0; при A3 =s2 1 получимъ такимъ образомъ два
частпыхъ Ь
к -у yW^\ k -
и — —— , v =

420 VII, 4. дифференциальный уравнвшя.
а зат-Ьмъ по формул* B) и общШ' интегралъ
У к '- 1
При А2 < 1, целесообразнее преобразовать его къ следующему виду:
ху - k - У 1 - /2 tg(a + -Ч^ ¦ log .г) .
Къ тому же результату (см. § 725, d) можно придти съ помощью подста-
подстановки ху = г, которая ведетъ къ отдЪлен!ю перемЪнныхъ
_ 2 к в + 1
h) Раэсмотримъ теперь вообще уравнетс Ринкати, которое мы унсе
привели къ виду у' + ауг =f(x) (§ 7S5, i). Мы укажемъ безчиеленное мно-
множество случаевъ, въ которыхъ интегралъ этого урявнен1я выражается въ
алгебраически-логариемичеекомъ ы>\.%. Эти случаи относятся къ предполо-
жеЯ1ю, что f{x) пропорц1ональна степени х ; пусть /(х) ~1> хп. Положивъ
у = us -]- v, получимъ уравпен!е
и s' + (¦!¦' + a v't) + [»' -\- 2 а и v) & + а и- ^- = Ь л",
6 хп
которое приведется просто къ з' + л и s-i = , если и и v выберемъ такъ.
чтобы OHt удовлетворяли услов1ямь v' + а г>2 — 0, и" + 2 а и ^ =0. Этимъ
услов1ямъ удовлетворимъ, полпживъ г' = - -и зат^мъ « — -—. Следова-
Следовательно, преобразованное уравнение будетъ е'-|- я ^ = * х " + <i, и приводится
къ первоначальной форм4, если положимъ я——, х — х*. Въ самомъ д'бл'б^
мы тогда будемъ им-Ьть
и стоить только взять v = ¦ -~о , чтобы уравнение приняло первоначальный
видъ, т. е. g + Я1Л« - Ь, х,\ гд-b й1 = ^ ' *i " 4 3 ' = ~ Й^
Представимъ себ^ теперь, что указанное преобразование повторяется не-
несколько разъ. Мы получимъ тогда рядъ уравнений Риккати, въ которыхч»
показатель п зам-вняется носл-Ьдовательно показателями nlt tt2, п%, . . ., ко-
которые связаны соотношешемъ
- +д , при чемъ ко= « ,

§ 786 ypABHEHia съ двумя переменными. 421
Прибавляя число 2 къ объ-имъ частямъ равенства, получимъ
",-1-2 1 1
"'+1 + 2 "- (-„,. + 2Г+ Г т- Ul ^, j. -2 - *, + 2 '
Заменяя i черезъ /— 1, / 2, . . , 2, 1, 0 и складывая, находимъ
1 . , 1
Въ предложенномъ уравненШ перемЬнныя непосредственно отделяются при
>г = 0. Поэтому мы можемъ утверждать, что уравнен1е интегрируется,
если въ ряд-fc чиселъ щ, щ, п3, ... встретится число, равное
нулю. Следовательно, оно интегрируется, если
 -ЯЬ^27ГЬ4
Собственно говоря, нужно, чтобы -———— (число i) было ц-Ьлымъ и поло-
жительнымъ, но въ случай отрицательна1о ц^лаго числа, мы справляемся
слъ-дующимъ образомъ. Въ данномъ уравнеши дЬлаемъ jy = — , .г = r1Y'+1.
У л
Тогда уравнение принимаетъ видъ - + а^Уг = ''i х\'ч> ''Jit ах = ¦?—,
, а п и, п1
<>1 — —; ,' "i J г~г> такъ чго о ~г^г — — s г-г ¦ Ьсли, нако-
п + ] х п -f-1 2 «j -(- 4 «+ 4
нецъ, это ц'Ьлое число не было бы конечнымъ, то потребовалось бы без-
конечно1; число преобразован1й; но этотъ случай, соотвЪтствуюиий значешю
п = — 2, былъ только что разобраиъ (см. g) инымь путемъ.
[ Прнм-Ьчан1е. При «—.О, интигра.ть уравнешя у'-\-ау*=Ь или
dy 4- (ay1 — b) dx — 0 будетъ х + С — I -ГлГь И выРажается йъ лога-
риемахъ. Замечая, что всё последовательный преобразованы алгебраическая,
мы вндимъ, что въ разематриваемомъ случае, т. е. когда -= ¦ [гЬлое число,
уравнен!^ Риккати интегрируется въ алгебраическихъ и логаривмическихъ
функшяхъ ] .
Итакъ, резюмируя, можемь сказать, что уравнеше у'-\-ауг—-Ьх"
интегрируется при
_ и _ 1 '2_ _3 Л 1_ 5 'I 3 2 р:,
' Г ~ ' 3 ' 5 7" 9 ' ' ' ' ' 2 ' ¦ ¦ '' 9 ' у ' с, ' ~3"
*) Условие = i — и%ло*5у числу, даетъ
- "А = 2 -'-р полагая / = 0,-1, 2, • ¦ ¦ 1 », ¦ • ¦ 4, 3, 2, 1,
и получимъ написанный значения.

422 VII, 4. дифференщальныя урлштнгя, S 785
i) Уравнете второго порядка у"-=/[х) всегда можно (§ 785, d>
трактовать, какь уравнсше перваго порядка, принявъ у' за неизвестную-
функщю: у'— 1/(х) dx съ произвольною постоянною а, содержащеюся въ
выражены интеграла. Дал-fee имъ-емъ у =jу' d х — xy'—J x dy', т. е.
У = х I/(х) dx — / xf\ x) dx со второю произвольною постоянного, содер-
содержащеюся во второмъ интеграл^, такъ что произвольная часть въ выражен!»
у будетъ аж+Ь, какъ и следовало ожидать. Уравнен(е у" =-¦ f{y) также
сводится тотчасъ къ уравиешю перваго порядка (§ 785, dj, если напишемъ
у'dy' вместо у" dy, такъ что последовательно найдемъ
V 2J/(y) dy
И ЗД"ЬСЬ ИМЕЮТСЯ ДВ* ПрОНЗВОЛЫГЫЯ ПОСТОЯННЫЙ, ПОЯВЛЯЮЩ1ЯСЯ при ПОСЛТ)-
довательныхъ интегрирован^яхъ.
j) Чтобы проинтегрировать уравнеше у'1 cos у -\-у'г sin у —у', умпо-
жимъ все на dy и закевнимь y"dy черезъ у dyr. Тогда получимъ, освобо-
дивъ уравнен)е отъ очевиднаго интеграла у = С, уравнсн1е перваго порядка
<1 у'
---cosy + у'sin у = 1,
которое, какъ мы уже вид*лиг нм^Ьеть ofiuiifl интегралъ у'= siny ¦}¦ щ a cos у.
Сл-Ьдовательно,
/ dy / cos a dv у
¦= I — \ —— --г ^ а + cos a log tg- --
/ sin v — tg a cos v j sm(y-n) ь ь
2
гд* ааа произвольныя постоянный.
к) Подобнымъ же образомъ можно привести уравнен1е v" (I +yv'}
'"У A +Уг% къ вилу
dy _ \^ууг
'dy - 1+_у'2
и интегрировать (§ 7й5, е), принявъ у' за независимую переменную. Можно-
также сперва привести ypaBnenie къ виду
A +Уа) (rfv - dy') - A -\-уу') dy'- (I -y^) dv'= (у -yr)y'dy',
и эагЬмъ последовательно вывести
дал"Ье,
и наконецъ,
.г - а + A log (у + УуЧ+1-А2) -\- log (у- k

§ 786 УРАВНЕШЯ СЪ ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ, 423
rvrfe и и k произвольный постоянный. Въ частности мри k = 1, если передь
тЪмъ положимъ а — — log (I — k'1), гтолучимъ совсбмъ простой интегралъ
у _= у~Т+~7?_
1) Уравнете у у'у" — у'А + у''1 приводится, еслц принемъ у за пере-
мънную независимую, къ уравнению Клеро .)''¦¦= у-у-- I / I > общШ ин-
интегралъ даннаго уравнетя найдемъ, следовательно, интегрируя уравнеше
j/= ау — «-, а именно у =5 а -*- Ье"г, гд^Ь а и Ъ произвольпыя постоянный.
Но особенный интегралъ уравнеюя Клеро Ay'—ys обнаруживаете еще без-
численное множество интеграловъ даннаго уравнев1я, а именно {а- д;)_у=4,
не заключающихся въ общемъ интегрялЪ.
т) Бъ заключеше покажемъ па прим^Ьр^з, кякимъ образомъ интегри-
интегрирование дифференшзльныхъ уравнешй можегь служить къ разыскашю зам^Ь-
чательныхь свойствъ функшй. Разсмотрнмъ уравпен!е
очевидно имеющее o6iniH интегралъ
{ 4) F {k, Ч)+ F (k, v) = с on st.
Попытаемся теперь иначе придти къ интегралу тою же уравнен!я. Функши
ii=s\nq>, v — $т%', разсматриваемыя, какъ функши отъ независимой пере-
переменной x = F{h, q:) или х — /'(/;, yi, очевидно, имеютъ производныя
((' = ens q; ¦ УI - /г~ sin- rf-, г/ — cos ';¦' - У\ № sin2 ip
и, следовательно, удовлетворяютъ урявнен1'нмъ
у*= A _у) A - &yi), у"= - (] h Jc2)y [ 2 &у*-
Отсюда сл^дуетъ
ifiu"- ~ tPv''1 = - («-— v*) A - ^«-у-),
ни"— tii>''= 2 ?- ит' («3— v-),
я потому
<п^_- и v" _ 2 № uv (it v)' vи'— и v' _
vu'—uv1 \ kl{uvf \-k-uiv1
Посл-Ьднсс уравнен1е, если подставимъ въ него вместо и, v, a', v' нхъ
выражения черезъ <р и »/.>, принимаетъ видъ
,§) sin у cos у - У\ — ¦- sin2у )- sin ^ cos </; ¦ ^ 1 — k2 sin'- <p
1 — A-2 sm- ip sm2 «;.'
Это ypaBHeHie есть лишь другая форма обшаго интеграла уравнсн1я C).
Поэтому, если обозначимъ черезъ sin о ту функщю on. qi и ?/>, которая
написана въ л^вой части уравнения E), то, въ силу замъ-чашя, едф.ланнаго
въ конц-Ь § 782, можемъ утверждать, что л-Ьвая часть уравнен!я D) есть
функция отъ а, которую обозначимъ черезъ Д<т). Такъ какъ, дал-fee, при ^=0,
п = ф (на основаши уравнешя E)), то F(k, <p) = f{$). Итакъ, получается
¦следующая теорема; Если
, -у) =t''{k, о),

424 VII, 4. диффкрвнщальныя уравнешя. §§ 786—787
то а, <р, у связаны ураписснемъ
? sin"Jv) sin о -= sin tp cos »/i "|/l —
Въ этомъ состоитъ весьма важная, открытая Эйлеромъ, теорема сложения
эллнптическихъ интетраловъ перваго вида1). Полезно заметить, что посл-бд-
нее соотпошеше можетъ быть написано еще въ слЬдующихъ формахъ:
cos a — сов <i> cos v — sin q> sin у у 1 /г2 sin- о,
tge= tg У I-'' ' - & sin"у + tg ^ У1 - /fc* sin* у
1 tg у tg i/.' V( 1—*2sin2<p) il —~?- sin- y)
Въ частности, при ^ = 0 находимъ изв"Ёстния формулы Три1ономктр1и, даю-
цця выражен1я sin [<f> +v), cos i<p f v). tg((p-bv). Зам^тимъ еще, что при
о = 4у , полагая <p^v. можно найти амплитуду it1, для которой /'(A, <p)--=4rF(k),
а именно <f ¦— arc cot У~\ — №. Такимъ образомъ jitjiaeTCH возможиымъ pi-
шете одной, поставленной раньше (§ 777, d) задачи.
Геометрически приложен1я.
787, Плоск1я кривыя. а) Положимъ, что ищется кривая, для кото-
которой отр"взокъ, образуемый касательною на данной прямой, отсчитываемый
отъ данной точки, есть данная функшя угла между касательною и тою же
прямою; услов]е задачи выражается, какъ легко видеть, уравнен1емъ Клсро.
Искомая кривая изображается особеннымъ интеграломъ, а
общ1й интегралъ даетъ совокупность всЬхъ касательныхъ прямыхъ. Если,
напримтфъ, жслаютъ, чтобы упомянутый отр^зовь па оси л'-овъ, считаемый
отъ начала координдтъ, былъ пропоршоналенъ у'— предположеше, къ ко-
которому приводить номрось о разыскаши антиподэры (§ 627) прямой относи-
относительно данной точки — то надо будетъ интегрировать уравнен1е у=ху' — ау'2.
Отсюда дифференцировашемъ находимъ: либо у" = 0, откуда у'= h и дал-ti;
y=kx — k2a, что даетъ семейство касательныхъ къ параболъ- xi=Aay,
либо х = 2ау', и загвмъ х2— Аау. Подобнымъ же образомъ, если ищется
кривая, въ которой всЪ отрезки, образуемые координатными осями на каса-
касательныхъ, им-Ьютъ одну к ту 1ке длину, то получается дифференциальное
уравнен!е у — ху'-\- ny'jy^l -\-y'2, и достаточно будетъ найти (§ 784) осо-
особенный интегралъ: х3 + у* = я3. 14сключен1е, которое надо произвести,
чтобы придти къ этому результату, въ сущности не отличается отъ того,
которое надо было бы выполнить (§ 620), р-Ьшая эту задачу съ точки зрЪшм
теорш огибающихъ.
Ь) Анаяогичнымъ образомъ поступаютъ, когда вместо касательной
разематривается нормаль, и дифференщальное уравнеше им-Ьетъ видь
х+уу' — /(.у'). Это уравнеше можно тотчасъ р-Ьшить относительно у
(см. § 785, h). Но можно начать и съ дифференцирования этого уравнен1я,
1) Объ интегралахъ (эллнптическихъ) другихъ видовъ см. Scliliitnilch,
Comp der hoh, Analysis, Томъ И, стр, 339 и слъ-д.

§ 787 геометрическш прилоЖЕнт. 425
и затЬмъ исключить у изъ полученнаго уравкеюя I -\-y'2tJryy"=f {у') v"
и изъ даннаго. Такимъ путемъ придемъ къ линейному урапненш
J
_
df l+У2 1 \-у'2
которое умъсмъ интегрировать, Если F(x,y', а) = 0 будетъ абщШ инте-
гралъ этого уравнснт, то, исключая у' изъ дяннаго уравнешя и уравнения
F(x, у', а) = 0, получимъ общШ интегралъ даниаго. Если, наприм-Ьръ,
желаемъ найти кривую, для которой все отрезки, образуемые осями коор-
динатъ на нормаляхъ, имЪютъ одну и ту же длину а, то придемъ къ урав-
уравнению х +уу'— ау'/У\Ц-у'а и находнмъ общ[й интегралъ череаъ исклю-
чен(е у' изъ уравнен1й
Внрочемъ, достаточно знять одну кривую, удовлетворяющую поставленному
у<мгов1Ю. чтобы знать act так1я крнвыя, и мы можемъ ограничиться,
напримъръ, значен1емъ k = I. Тогда ирсдыдушдя уравнения обратятся въ
^1
i (A \-y'f - (i -УK
-y'f - (i -УK}. у=
и нсключен!емъ у' найдемъ
¦..у v
Следовательно, искомым кривын — кривыя параллельиыя астроид-ь,
вершины которой лежать на осяхъ; это будутъ поэтому (§ 626, е),
какъ и надо было ожидать, всЬ беэчисленныя эвольвенты астроиды
с) Положимъ, что ищется кривая, обладающая слЪдующимъ свой-
ствомъ. Въ каждой точк'Ь кривой отрЪзокъ нормали между точкою на кривой
и одной изъ координатныхъ осей равенъ данной функши отрезка, считаемаго
отъ неподвижной точки, образуемаго нормалью на той же оси, Получаемъ
уравнеЫе у\г\ -ту''' — /{х -\-уу')- Дифференцируя его, получимъ уравнеше,
которое разбивается на два
F) I 4-Уа +л"= 0, -^1=- =/' (* +УУ).
У1 +у2
Исключая у' изъ послътдеяго и изъ даннаго урявнешн, находимъ особенный
интегралъ, который и изображаетъ искомую кривую. Если же проинтегри-
руемъ первое уравнсн!е F), то получится уравнение а1 -\-уу' — а, и подставляя
аыражешеу, взятое отсюда, въ данное уравнеше, найдемъ {х—а)г-\-у2=/г(а).
Это уравнение семейства круговъ, касающихся полученной выше кривой,
d) Если хотимъ найти плоскую кривую, для которой рад!усъ кри-
кривизны въ каждой точкъ есть данная функщя отъ абсциссы точки, то должны
интегрировать уравнеше {i+y'-ft -= y"f{x). ЗдЪсь перем^нныя тотчасъ от-

426 VII, 4. дифференщальныя уравнешй. § 787
, у' { d х. ljr , dl
дЪляются, и получается —-:С_^—= I -,f " ит.д. Напримъ-ръ,для_Д*') — -=—
yi-l-jv''^ J J\x) *л"
получаемъ кривую упругости (elastischc Kurve), изображаемую уравне-
/* х- dx
шемъ у = J — — . Ута кривая есть [фофиль упругаго клинка (Klinge),.
прикръплышаго однимъ концомъ и растягиваемаго некоторою снлсю за
другой коиеиъ.
е) Найти плоскую кривую, для которой радлусъ кривизны равенъ
длин* нормали (т. с. отрззку нормали между точкою на кривой и непо-
неподвижного прямою). Уравнеше, выражающее условге вопроса, есть
A + V'2)' г- —-
у" ¦¦ ¦ -
Если возьмемъ знакъ — , то это уравкеше совпадаетъ съ первымъ изъ-
уравнений Щ, и поэтому круги (съ центрами на данной прямой) принадле-
принадлежать къ числу искомыкъ кривыхъ. При знанЪ + , получимъ 1 +_у'2 = уу'г
или, умножая на dy и заменяя y"dy черезъ yr dy',
dy _ У'dy' _ г- -г,3 _ Г a dy
Выбравъ качало координагь такъ, чтобы при л-=0 было у = а, найдемъ
V2— а3 и
— , т. е. у — —-
Это уравнете цепной лин!и.
f) ОбщнЪе будегь уравнен(е кривыхъ Рибокура (§595, к)
= * VI'1 .
У
Для интегрирован1я зам'Ькимъ опять y"dy черезъ y'dy' и получимъ
^^ki+y^'
откуда
\ т. е.
Отсюда елт^дуетъ
— 1

§§ 787—78S ГГ0МЕТРИЧЕСК1Я приложена. 427
Это общее уравнеше кривыхъ Рибокура. Оно приводится къ лигариемически-
алгебраической формтэ только при ^- или —^— «."блошъ (§ 751), т. е. когда
к ц-Ьлое число. При k —~ I и 1г — 1 получаемъ опять кругъ и ц-вппую-
лин1Ю. при k — — 2 циклоиду, при k = 2 параболу и т. д.
g) Еще бол"Ье общею будетъ задача о разысканш кривыхъ, для кото-
рыхъ рал'ус'Ь кривизны есть данная функц1я отъ длины нормали. Эта задача
всегда решается при помощи двухъ квадратуръ, Действительно, длина нор-
нормали п— ^— (?: — уголъ касательной съ осью .r-свъ). Кривизна {§ 5911
COS <р
li Ip
d
COS If =
d
Ty~
y_ _
n
1
n
у
dn
dy
Ураввджс q — f{n) преобразуется оъ
и даетъ
С.ч-Ьдовательно,
У' -
dy d n d n
у n n +/(»")
J »+ruO , .
у - не = if (и)
Къ этой задача приводится вопросъ о разыскании поверхностей врашешн.
tflaeMbixb данньшъ соотношегаемъ между главными рад1усами кривкзны.
788. Траекторш. Задача о траектор1яхъ состоитъ въ разысканп!
кривыхъ, пересЬкающихъ иодъ постояннымъ угломъ а> всЪ кривым даннаго
семейства ц,{х, у. я) = 0. Услои1я задачи выражаются т^мъ. что при всякомъ-
аначеиш параметра и должно быть
дер
d х d v
о ц. . д w i) ifi д </' .
-— sm w 4- — cos <" cos cj sm tj
СЛ" rtjy cl X oy
Подставляя BMtcro а его выражеше, которое получается изъ уравнешя.
<;;=0, находимъ дифференщальное уравнение перваго порядка, интегриро-
aaHic котораго даегь уравнен1е у(х, у, 1>) = 0 другого семейства, Bet
кривыя котораго обладаютъ требуемымъ свойствомъ. Въ частности, вопросъ
объ ортогональныхъ траектор1яхъ [ы = -'--) кривыхъ <р^0 решается

428 VII, 4. дифференцтлльныя уравнешя, § -788
интегрировашемъ дифференщальнаго уравнешя, получасмаго исключеншмъ а
изъ уравнешя ц, -= 0 и
.г ^ f j д ц,
dx l -J- = d v : ¦, ¦
Приведемъ несколько прнм-Ьровъ.
а) Найти ортогональныя трлекторш круговъ рад!уса а съ центрами
па данной примой (которую целесообразно будстъ принять за ось д--овт,)
Для этого надо исключить b изъ уравыеши
Положивъ у — a sin 0 и условившись, что при 0 -^ -=- , .v — 0, получимъ
т, е. траекторш (очевидно, трактрисы) получаются передвижешемъ кривой,
определяемой уравпен1нми
х = a I cos 6 -г log tg -у I , у — a sin С,
параллельно отъ дт-овъ. Легко проверить, что эволюта этой кривой — цЪгшая
литя. При иронзвольномъ углЪ а, мы нашли бы друпя эвольвенты
ценной лин1и.
b) Пучекъ круговъ х2 -\-у* — а2 = 2 цау можно изобразить также
его дифференщалышиъ уравнеж'емъ 2 ху dx = {х- -у'2 - a?) fly, котирое
получается черезъ исключеше /,ь изъ первоначальнаго уравн(;н1"я и получае-
маго изъ него дифференцироватеиъ. Замъна -i— на — -,— даетъ дисЬфе-
ренщальное уравнение ортогональныхъ траекторш круговъ даннаго пучка,
а такъ какъ получаемое такимъ образомъ уравнеше 2ху dy -^(у2—х2+п3) dx
отличается отъ дифференщальнаго уравнешя даннаго пучка только заменою
х на у и я2 на —о2, то безъ всякаго интегрировашя нахооимъ, что искомый
ортогональныя траекторш составляютъ другой пучекъ круговъ х--\-у2-\-а*— '2ka.v.
Оба пучка составляютъ основате такъ называемыкъ диполярныхь коор-
динатъ (§ 413) и - -,=- log .' , v = arc cot a.
c) Опред-Ьлеше ортогональныхъ траекторий какого угодно семейства
круговъ приводится къ интегрироватю уравнешя Риккати. Положимъ, что
координаты |, -// центра и ра;иусъ а н^котораго круга будутъ три извЪст-
ныя функщи отъ дуги 5 линш центровъ. Обозначимъ черезъ <р уголь
между касательном къ этой лиши и осью .г--овъ, а черезъ 5 уголъ между
нормалью къ этой же лин!и и касательного къ траектор!и въ точке (*-, у)
встръчи ея съ упомянутымъ кругомъ. Мы нмъемъ
а- = t - a sin C + <f)i У -= Ч + a cos (С -|- у)

788 ГЕ0МЕТРИЧЕСК1Н ПРИЛОЖЕНА. 429
и, следовательно,
d х d а . / A4 1 \
,/, =cos ''¦¦ - d7sm @ + ff> a (</.,+ 7.)cos @ ^^ ¦
-^ = sin V + ^| cos @ + y) - д (^ -|- i] sin F + y).
Такъ какъ — .'-'¦ должно быть равно tg(8 -I- (p), то видимъ, что неизвестная
а у
функшя 0 должна удовлетворять дифференщальному уравнешю
d 8 I cos 0
ds q a '
въ которыхъ р, ражусь кривизны лиши центровъ есть известная функшя
г;
отъ $. Теперь достаточно будетъ принять за неизнЪстную фупкцш t— tg — >
чтобы придти къ уравнен)Ю Риккати
Впрочемъ, для изучешя свойствъ траекторш зняше общаго интеграла не
необходимо, Воспользовавшись дифферсншальнымъ уравнешемъ постольку,
поскольку оно дасгь выражение производной О' отъ В по 5 черезъ извест-
. d х d у
ныя функцш, мы можеыъ предыдуцця выраженш -, и - написать тат»:
-т^ - (sin 3 - a') sin (& + ip), ' Д = — (sin 5 - a') cos @ + <р) ¦
Следовательно, диффереиц^алъ дуги траекторш af.vj = (sin 0 —a')ds, а такъ-
какъ уголъ смежности, очевидно, равенъ rf5 4 , то видно, что рад1уеъ
к-ривизпы определяется формулою у1 cos 6 —a (sin 6 — а'). Въ частности, при
я'-" 0 (а — постоянная) находнмъ обобщеше извъттнаго свойства трактрисы,
а именно: рад|усъ кривизны въ каждой точке ортогональной
граектор)и семейства круговъ постояннаго радиуса лежитъ на
соответствующей нормали къ лин1и центровъ. Далее, легко видеть,
что какъ только будетъ известно выражение 0, какъ функши отъ s, нату-
ряльное уравнен1е траекторш получится черезъ исключеше 5 изъ уравненнг
sin 0 ds, (/j_ — a tg 6.
Наконецъ (§ 626, f) при а''-- 1 находимъ, что центръ кривизны въ каж-
каждой точке ортогональной траектории соприкасающихся круговъ
данной кривой лежитъ на касательной къ этой кривой.
d) Чтобы найти ортогональная траектории семейства однофокусныхъ
коническихъ съ-ченш

430 VII, 4. дифференщалъныя уравнешя. §§ 788 — 789
состлвимъ сперва съ помощью дифференцирования и исключешн параметра Я
дифференшальное уравнение этого семейства
(у dx - х dy) (д.- dx Л- У dy) + [а- - b-) dx dy = 0.
.„ , d у d х .
Такъ кякъ замена /— на —, этого ураииешя не мЪняетъ, то отсюда
d х dy J
•можно заключить, что искомый траскторш будутъ it же коничесшя сЬчешя.
Это становится ясиымъ, если зам'Ьтимъ, что при данныхь х и у изъ керваго
уравнен(я получаются два значешя для Я. Одно изь нихъ меньше Ь- и
соив^тствуетъ эллипсу, другое, лежащее между Ь"- и а1 — гипербо.тЬ. Сле-
Следовательно, черезъ каждую точку на плоскости проходить, пересекаясь
ортогонально, эллипсъ и гипербола, фокусы которыхъ лежать вь данныхъ
точкахъ, и rt значения а, которыя характеризуютъ этотъ эллипсъ и эту
гиперболу среди всего семейства коническихт. ct4CHivt съ т-Ьми же фокусами,
¦будутъ эллиптически координаты точки (см. § 770, о).
789. Поверхности- а) При изображены ограниченные частей зем-
земной поверхности приходится разематривать, такъ называемый лиши уровня
(Niveaulinien), т. е. ctqeHiH поверхности горизонтальными плоскостями Урав-
HeKie поверхности F{x,y.*i)=Q при всякомъ данномъ з изображаетъ
проекц1ю линш уровня на горизонтальную плоскость О ху. Исключение з
изъ уравнен!й F— 0 и у dx + у- dy = 0 даеть дифференщальное урав-
неше проекшя вс%хъ лиши уровня. Ихь огибающая — особенный ннтегралъ
этого уравнешя — даетъ такъ называемую линпо т-бни (см. § 661), отбра-
отбрасываемой поверхностью на горизонтальную плоскость для вертикальна™
лучка св%товых.ъ лучей. Если, далее, эаменнмъ въ дифферешп'аяьномъ урае-
неши линШ уровня у' на ;> то обипй интегралъ новаго дифференшаль-
наго уравиетн представить лнн1И иаиболыиато падения--ортотопа.чь-
ныя траектор)и лин!й уровня *).
b) Опред-Ьле1пе ортогональныхъ траекторий прямолинсйныхь
¦образующихъ линейчатой поверхности ecci'fla можетъ быть получено
при помощи одной квадратуры, Ми допустимъ, что положеше точки на
линейчатой поверхности определяется общеприннтьши (§ 669) координатами
и и v, такъ что
X — я + av. У— у + bv, Z = z -f- cv,
где х, у, s, л, Ь, с зависятъ только отъ и. Обозначая черезъ л"', у', . . . , с'
производный этихъ функцШ, им%емъ dX ~ (xIJt~ a'v) du + a d v, и т. и. и
условзс ортогональности SadX = 0 обращается пъ
(я.г' -|- lty'+ cc') riu -г- dv ¦=¦ 0.
Отсюда тотчасъ находимъ интегрирован1емъ v = — ) {ах' +• by' + cs')du.
Найдя одну траекторш v —/(и), найдемъ, что все друпя изображаются
уравнен1емъ v =/(«) -+- const, и, следовательно, две какЫ угодно траекторш
¦определяютъ на всехъ образующихъ одинаковые отрЪзки.
c) Для определен!» ас нмптотическихъ линШ линейчатой поверх-
поверхности беренъ уравнеше (§ 703)
G) a difi-\- 8,dv-+-2<? du dv = О,
l) Объ изследовант этихъ и другихь замечательныхъ лиши см „Cal-
cul differential" Boussinesq'a. стр. 229 243.

¦S 789
ГЕ0МЕТРИЧЕСК1Я ПРИЛОЖГ.ШЯ.
431
еъ которомъ
С]
дх
ди
д и
dz
г) и
дх
О v
ду
д V
6 s
dv
д tfi
UTti
•
dtz
д ф
дх
д и
'ду
ди
д
и
*
дх
д v
ду
dv
д з
дх
та
1 ^
| д и
д'-'х
дид v
д\у
dttdv
S'-s
дид и
дх
д 7/
ду
ди
dz
dv
Зд^сь надо подставить вместо х, у, г выражен!я Л" — х-\- av. Y=y + bv,
Z — г -\- cv, такъ что
ii и' х'
SB = о, е- л ь' у'
, с с' z'
между тьмъ, какъ ?1 будетъ квадратичною функщею отъ и, съ коэффи-
коэффициентами, вооб^це, зависящими отъ и. Если поверхность развертыва-
развертывающаяся, то (§ 6Ь7) й = 0, и уравиеще G) приводится къ й?»-'=0, т. с. оба
семейства асимптотических ь лин!й созпадаютъ въ одно, составляемое обра-
образующими {и — const.). Ксли поверхность не развертыкнющанся, то (?
не paRHo 0, и уравнение G) распадается на два: гУн = О — уравнеше обра-
зующихъ — и
Следовательно, опредЪлеше асимптотическихъ лин!й косом линей-
линейчатой поверхности приводится къ интегрирован! ю уравнения
Риккатн. Отсюда сл"Ь'дуетъ (§ 785, i), что четыре как1я угодно
асимптотическая лин!и исресЬкаютъ образующая въ четырехъ
точкахъ, ангармоническое отношен1е которыхъ для всбхъ обра-
образу ющихъ одно и то ж'е1), ДялЪе, достаточно знать дв* асимптотическ1я
лин)и, чтобы найти всЪ друг1я съ помощью одной квадратуры, или одну —
чтобы всЬ друпя определились съ помощью двухъ квадратуръ.
d) npHBiMCHic вопроса кь двумъ квадратурамъ возможно всегда для
лннейчагыхъ поверхностей съ направляющею плоскостью, потому что
а а'
а '
1 (В я- (и) =
b b' h"
i: <:' с"
1) Геометрическое доказательство этой теоремы далъ A. Demoulin,
въ журналъ .Mathesis" A899, стр. 159).

432 VII, 4. дифференщлльныя уравнешя. § 78&
обращается въ нуль тождественно и уравнеше (8) приводится къ линейному,
которое интегрируется съ помощью двухъ квадратуръ {§ 785, е). Съ другой
стороны, чтобы вишенаписанный определитель обратился въ нуль, доста-
достаточно, чтобы существовали три постоянный (не равныя 0 одновременно)
/, от, п, для которыхъ /«-|- mb + пс = 0 тождественно, т. е. чтобы act
образующая были параллельны одной неподвижной плоскости. Можно также
предвидеть возможность интегрирования (8) съ помощью двухъ квадратуръ
въ томъ случай, когда дъ-ло идетъ о нахождении асимптотическихъ лиши
поверхности, образуемой главными нормалями некоторой кривой,
потому что эта кривая и есть одна изъ искомыхъ кривыхъ. Подставляя
вместо а', у, в выражешя X -= х + кги У— у -\- ia,v, Z = г -\- w и прини-
принимая во внимание формулы Френе (§ 636), найдемъ
,v v I d t tli \ 1
съ Ti-.мъ уразнен!е (8) пришшаегъ крайне простой видъ
если оставнмъ въ сторон-й известный a priori интегралъ v = С. Отсюда сл*-
дуетъ v — 2}' т- / I —— d , при чемъ подъ знакомь корня условлепо
считать г- положительнымъ. Въ частности, если обозначимъ черезъ R произ-
произвольную постоянную длину, для кривихъ съ постояннымъ кручсн!емъ
*? 3D
получимъ v = -p—{f-< Д»тя цилиндрически хъ нинтовыхъ лин1й(§ 655,с>
, и общн^е для всякой кривой Бертрана (§ 658) съ перемЪн-
нымъ кручешемъ Т7^= = const. Эта постоянная не произвольна, а
зависитъ отъ рассматриваемой кривой и для косого круга равна первой
кривизне его.
е) Чтобы определить геодезически лин1и косого геликоида
(§ 655, Ь), применимъ второй изъ указанныхъ въ § 705 пр]емовъ. Такъ
какъ косинусы направления нормали къ поверхности пропорцюнальны чис-
ламъ ау, —ах, х^-^-у2, то должны им-Ьть
ay {dy cPss— dz d\v) -ax (<is d'^v - dx d2s) + (л-2+.у2) (af.r d\y-dy <Ar) = 0,
т. e.
(9) a (x dx+y dy) №з — а{х/Px + у /fiy) ds + (x2 +у*) {dxd-y- dy (Px) = 0
Между гЬмъ изъ равенства ,xs-\-ys — г2, припоминая соотношсн!е
dx- + djP = dr2~r* rffl2>
выводимъ
д: dx +y dy = r dr, x (fix +y d*y = r d'-r - r2 di2
и, кромЪ того, какъ мы знаемъ (§ 55й, с), им"вютъ м-Ьсто равенства
dx (Ру - dy а*х = (r*d№ + 2 dt* -
СлЪдовательно, уравнен!е (9) преобразуется въ
Г" = -я- 5 -г Г,

§ 789- геометрически! приложенш. 433
если оставимъ въ сторон-Ь интсгралъ 0 = const., изображающий прямолиней-
dr'
ныя образующий. ЛЪвуга часть можно написать въ видЪ г' . , но есте-
ствснн-te взять за нензоФ.стную функгою u — r''z. Тогда иолучимъ уравнение
Ли 4 г и
и изв-Ьстно (§ 785, е), что это ураонсше можно интегрировать, полагая
С * г dr
и - ve^ Г' + а'1 = (г* + a2K v,
гдт> новая неизвестная функщя v должна удовлетворять уратенешю
-•-¦=— ^т-т;. Отсюда вытекаетъ
d г (г- 4- а~г
съ произвольною постоянною А. Наконецъ, получимъ
- (• - 0„> = Г—
Правая часть — эллиптическая интеграл ь — вообще не выражается бъ алге-
браически^гогариемическомъ вид'Ь. Но при i—О находимъ образуюпия
(O]=const.), я при Ь~-а другое интересное семейство геодезическихъ лин1й,
которое легко выводится изъ уравнешй лиши кривизны (§ 707, Ь), такъ
какъ тогда
.... / a dr У rz -\ и2 — а
- @—9,,) = / —,- —— — log —— —
и паконецъ
7а
f) Въ заключеше пайдемъ асимптотическ! н лкн!и и лиши кри-
кривизны поверхности Шерка (SclicrkI)
z х у
stn - -= sh— sh ^— -
а на
Легкое вычисле^е даетъ
* cos -"" = ch -— sh - - , q cos — = sli — ch — '
a a a a a a
УГ-fp +7fi ¦ cos -— = ch — ch -v- ¦
a a a
l) Crelles Journal, 1834, стр. 200. Эту поверхность G. van dcr Mens-
brugghe (Bulletin de VAcademic de Belgique, 2-ая сер1я, томъ XXI, стр, 552)
изслЪдовалъ и (юстроилъ опытнымъ путемъ.

434 VII, 4. диффершшальныя уравнешя. § 789
ОС "V
Если введемъ гиперболическ1я амплитуды % и »у огь — и ¦ - , такъ что
(§ 409)
sh — = te?, ch — = l/cos?, th — = sinc и т. д.,
то получимъ Й = sin gj, 0IZ = sing, т. e. ; и -t) изм-Ьряютъ углы наклонешя
осей у-овъ и (соответственно) д;-овъ къ касательной плоскости. Если теперь
еще примемъ во вниман1е, что
, a d'i , а 4ц
dx = ~ , dy = ¦
COS | ¦ COS 1}
то, на основанш иэв-Ьстныхъ формулъ {§ 686), получимъ
Н—0, К~. 5- cos2 с cos- г).
Следовательно, разсматриваемая поверхность принадлежитъ къ минималь-
нымъ поверхностямъ. и абсолютныя величины главныхъ рад!усовъ
кривизны равны ach —ch' , Для оиред^леЕпя лин!й кривизны удобно
будегь воспользоваться формулами Родрига (§ G98) и написать -^ = ^= ¦
т е. dcz = d'r/3, откуда ? J; ?y-^ const- Для определения асимптотнческихъ
л'иН1й нужно прежде всего вычислить г, s, t. Изъ выраженШ р и q тотчасъ
выводимъ. дифференцируя первое по х, второе по у
и 5 а а б а
Припоминая, что Н = 0, нахоДимь
4 = = r = 1
'Ipq pq pq
Между гЬмъ им-Ьемъ
i± ^ = .__^__ =, L+ ^.
cos- с sin ^ sin tj cos2 ry
и поэтому дифферента л ьное уравнен]е асимптотическнхъ лиши будетъ (§ 703)
йГс2 + 2 cot t cot »у rf* rfry + d<n2 = 0.
Это уравнея)е легко приводится къ уже разсмотрЪнному раньше (§ 786, f).
Достаточно положить и = cos щ, v = cos |, чтобы найти
{1 — tii) dv* -\-1uvdu dv + A - г-2) й^2 = 0.
Общ5й интегрзлъ, следовательно, будетъ
A — и2) cos2 а — 2 и v sin а cos а -f A — v-) sinS a ¦= 0,
т. е.
sin а cos f + cos а cos щ — 1,

§§ 789—790 линеЙныя дифференщальньш уравнр.нш. 435
гдЪ а — произвольная постоянная. Особенный интегралъ cos (J ± ц) ™ 0
изображаетъ одну изъ лиши кривизны, которая въ проекщи на плоскость (xv)
касается всбхъ асимптотических!. линШ- Это лин!'я касашм поверхности съ
описанпымъ цилиндромъ, параллельнымъ Ох. Она состоять изъ беэчислен-
наго множества ранныхъ кривыхъ, лсжащихъ вь плоскостяхъ cos— -=0.
Всякая изъ этихъ криныхъ (какъ и всякая другая, полученная въ сЪченш
плоскостью, перпендикулярною къ оси j-овъ) похожа на равностороннюю
гиперболу, Такъ какъ въ данномъ случай С = ± cos g, ^11 -= sin g, то d$,
очевидно, есть уголъ смежности; но по одной изъ раньше выведснныхъ
формуль, радгусъ кривизны равенъ
sin ,
такъ что для выражен1я дуги имъхмъ s = / <>dS — a log tg i". а слъ-дова-
тельно, Q=a\«"-\ e "I. Итакъ, натуральное уравнише разсматриваемой
кривой подобно уравнению цепной лин1и равнаго сопротивлен!я
(S 767, с).
Линейный дифференциальный уравнен1я.
790. Прололжаемъ теперь pa^CMOTptHie дифферен1иальныхъ
уравнен1й съ двумя переменными и займемся специально такими, еъ
которыя неизвестная функт'я и ея производный входятъ линейно,
т. е. уравнен1ями вида
A0) У +У—У1 (*) h/"' ьЛ(х) + ¦¦¦ -r.yyn_L (r) +у/я (х) =/(*).
Oat, называются линейными дяфферен1иальными уравнен1ями.
Если /(.х) = 0, то ypaRireHie называюгь пеполнымъ (или также
уравнешемъ безъ послЬдпяго члена):
A и у*) +у» -ч_д {х) + у»-*А (*) I +у'А-\ И ^у/п О) - о.
Это уравнеше A1), очевидно, обладаетъ т^Ьмъ свойствомъ, что
всякое его ptineHie, т. е. всякая функшя у, ему удовлетво-
удовлетворяющая, будетъ ему удовлетворять и тогда, когда мы умно-
жимъ это р^шегпе на постоянное число, а также и тЬмъ, что
ему удовлетворяете сумма конечнаго числа частныхъ pt-
weniH, умноженныхъ на постоянный числа. Предпославъ пы-
шескаяанное, легко теперь доказать следующую теорему: Если
у\, )'2', . . ., уп будуть п линейно независимыхъ частныхъ
рЪшешй неполнаго линейнаго уравнен1я и-го порядка, то
общШ интегралъ этО1О уравнения будетъ
A2) У = «i.J'i -r aiy-i "I- • • ¦ + «„>'„,
гдЬ а,, а2, . . ., ап произвольныя постоянныя.

436 VII, 4. дифферьнщальныя уравнешя. § 790
[ Прим"Ьчан!е. Oomift интегралъ линейнаго уравнен!» заклю-
чаетъ въ ce61i вс% р-Ьшетя уравкешя, чего нельзя сказать объ
уравнегияхъ пе-линейныхъ, могушихъ имъть особенный решетя.
Доказательство этой теоремы можно найти также, напримъръ, въ
„Курс-ъ диффереищальлаго и интегральнаго исчислеш'й" К. Поссе,
3-е изд. 1912, стр, 610 ].
Ограничимся для большей ясности случаемъ п — 3 и положимъ,
что и, z.', w будугь три линейно независимый функции, удо-
влетворяюип'я уравненпо
A3) У" -1- у" у 1х) +у'х (а-) - Ь У1/' (.v) = О
Это значить, что им+.емъ три тождества
0,
Положимъ, что у есть какое нибудь другое, отличное отъ и, v, w
p-feuieHie уравнешя A3). Чтобы net четыре соотношежя могли
существовать одновременно, необходимо, чтобы эта функшя у была
связана сь и, v и iv соотношешемъ
-0,
а это требуетъ (§ 375), чтобы между четырьмя этими функщями
существовало линейное соотношеше. Въ это соотношете между
у, и, v, w необходимо долженъ сходить у, иначе, вопреки пред-
предположению, и, v, w не были бы линейно независимы. Следовательно,
у = аи -j- bv -\- civ, гд"Ь я, Ь, с—постоянныя и притомъ про-
произвольный, такъ какъ по сдЪланному въ начал-fe § зам^чан1ю напи-
написанное выражете у удовлетворитъ уравненш A.1), каковы бы ни
были значения постоянныхъ а, /), с.
У
и
V
w
У
и'
V'
IV'
У"
и"
2) ¦
У
и
7
а-
. Ссылка на теорему § 375 въ данкомъ случай
достаточна, потому что. если функцш у, м, v, w будугь р-Ьшешями
линейнаго однороднаго дифференц1альнаго уравнеш'я съ непрерыв-
непрерывными коэффии!ен]ами, то указанный bi, npHMt4aHiH XLIV A часть,
стр. 428) къ § 375 исключительный случай не можетъ имЪть м-^ста.
Для подробностей отсылаемь читателя къ одному изт. т-бхъ курсопъ
интегралььаго исчислен1я, которые апторъ называетъ пъ предисловш
къ своему курсу (I часть, стр. VII). Краткая глава, посвященная
авторомъ дифференшальнымъ уравнешямъ никоимъ образомъ не
можетъ считаться исчерпывающею зтотъ обширный отд"Ьлъ инте-
интегральнаго исчислен!я. ]

§ 791 линейныя диффбренщальныя УРАИНЕН1Я. 437
791. Когда общШ интеграль уравнешя A1) извьсгенъ, то
общШ интегралъ полнаго уравнешя A0) можетъ быть выраженъ
черезъ п квадратур ь, съ помощью npieiua, который по Лагранжу
называется изменен1емъ произвольныхъ постоянныхъ, Попы-
Попытаемся удовлетворить уравнешю A0) т^мъ же выражетемъ A2),
въ которомъ подъ а,, аг аи будемъ понимать прилично вы-
бранныя функщи отъ х. Возьмемъ опять для простоты уравнение
3-го порядка
A4) У"+У'<Р (•*) +УХ (х) +yv (.v) -/(яг),
и положимъ, что известны три независимыя частныя р+шежя и, г1, w
соответствующего неполнаго уравнения A3). Нопробуемъ удовлетво-
удовлетворить урапнешю A4) выражен1емъ у — аи + bv -\- civ, гдЪ а, Ь, с
три неизвЪстныя функщи отъ х. Мы всегда можемь подчинить
ихъ двумь услов1ямъ
а'и + b'v + c'w = 0, «V-f- b'v'+ c'?o'= 0,
Подставимъ теперь выражен1я у и его производныхъ
у'— аи'+ bv'+ cwr, у"= аи"-\- bv"-\- ет".
у"^ au'"+bv"' I- сы'"+ а'н"+ b'v"+ c'w".
въ уравнен1е A4); тогда найдемь третье услов:е, которому должны
удовлетворять a, h, с, чтобы урапнеьпе A4) удовлетворялось,
а именно:
а1 и" | ¦ b'v"+ c'w"^/i,v);
Следовательно, а\ Ь', с' опред+.ляются нзъ системы уравнен!й
а'н + b'v - c'-di = 0,
а'и' - b'v' ; с'тУ = 0,
а'н"+ Ъ'г/' + с'ъ>" -/(*•)¦
Эта система имЪетъ одно определенное ptmeHie, потому что и, v, w
независимы, а следовательно, определитель системы
! и и' и" \
V !¦' V"
IV W' V)"
не равенъ нулю. Определивь такимъ образомъ а , Ь', с', мы най-
найдемь и а, Ь, с съ помощью простыхь квадратурь, а зат+мъ ну —
общШ интегралъ съ тремя произвольными постоянными (которыя
входятъ въ квадратуры, выражагсишя а, Ь, с;). Bin общемъ случае,
каждый изь коэффищентовъ а» заменится некоторою определенною
фупкчцею отъ х, сложенною съ произвольною постоянною. Мы

438
VII, 4. дифференщальныя уравнешя.
791—792
видимъ, следовательно, что обиий интегралъ уравнетя A0) имЪетъ
вндъ
(IS) У = Уа + a^fx -I- а2уг -\ Ь «„ уп ,
гдЪ а,, аг, ..., а„ — нроизвольныя постоянный, а у0— некоторая
функд1я отъ х (очевидно, удовлетворяющая уравнешю A0) при
я,= йа= ¦ - - = 0). Можетъ случится, что будетъ известно какое
нибудь частное ръшен!е у0 пол на го уравнешя A0). Тогда доста-
достаточно знать и независимыхъ частныхъ p%ineniM yt, y%, ..., уп
неполнаго уравнен1я, чтобы получить обгцШ интегралъ A5) пол-
наго уравненш, не прибегая къ метод^ Лагранжа. Действительно,
если въ уравнен1и A0) положимъ v = y()-\~z, то тотчасъ увидимъ,
что г должно удовлетворять уравнение» A1).
792. Теорема. Если известны in линейно независи-
независимыхъ, частныхъ р-вшен1"й неполнаго линейнаго диффе-
рен1иальнаH уравнен!я «-го порядка, то интегрпроваше
соотв^тствующаго полнаго уравнен!я сводится кт, инте-
грирован1Ю линейнаго уравненш (п — ш)-го порядка и къ т
сл1вдую1цимъ затЪмъ квадратурамъ.
Действительно, пусть ух, у,, . . ., уш будутъ
неши A1) и
урав-
Л У\ У\
I И
Уг Уг Уг
у
(*—1)
v v v vv
ихъ определитель Вронскаго. Попытаемся, какъ и въ мредыдущемъ §,
удовлетворить уравнение A0) выражежемъу = f7j'1 +а.^у.2-\ \-атуш,
подчинивъ производный а[, a'z, . .., ат условш быть пропорцио-
пропорциональными алгебраическимь дополнен!ямъ поелтэдняго столбца въ
опред^ител'Ь а, такъ что, обозначая черезъ s коэффищентъ
пропорциональности, будемъ им^ть
y^a'iyi = 0, ^а\у1^= 0 (у - 1, 2, .... т — 21, ^a'iyf'~1)= az .
ii i
Легко видеть, что тогда производный отъ у определяются следую-
следующими формулами

§§ 792—793 линейныя дифференщальныя уравнешн. 439
Подставивъ эти выражения въ A0) придемъ къ уравнение вида
«*'> '"' + о, *(-»-*> + . . . + аи_т 2 =/(*).
Если будетъ извъетенъ обппй интегралъ этого линейнаго уравнен[я
(п - ш)-го порядка, то будутъ также известны и т функцШ а/,
откуда загЬмъ съ помощью т квадратуръ определятся и функщи о,.
Предыдущее доказательство есть естественное обобщете разеу-
ждешя въ § 791, соответствующего предположение» т=п. При
т = п — 1, припоминая сказанное о линейныхъ уравнешяхъ нерваго
порядка, получаемъ слЪдующШ результатъ: Интегрирован1е ли-
линейнаго уравнения и-го порядка, если известны п — 1 ли-
линейно независимыхъ ръшен)й соотв^Ьтствующаго неполпаго
уравнен1я, приводится къ п-\-1 квялратурамъ.
793. Примеры, а) Линейное ypaBHCHte перваго порядка y'-\-y<f(x)
= /(,г) всегда интегрируется въ квадратурахъ, потому что изв-Ьстенъ pi
интегралъ иеполнаго уравнегпя у'+у<р(х) = 0, а именно у -= ас J
Метода Лагранжа даетъ а'е J ^/(x), сл%довательно;
a = i e*' fdx, y — e " I eJ /dx,
b) Уравнеше второго порядка у"—у'<р +yv ~f интегрируется съ
помощью трехъ квадратуръ, если известна фуикщя и, удовлетворяющая
уравнению »/"-)-и'у+ "V = 0. Действительно, полагая у = аи, прнходимъ
къ уравнен!ю а"и ¦+ а' B «'+ <р) = /. Это уравнеше перваго порядка относи-
относительно а', и а' получается изъ него съ помощью двухъ квадратуръ, а
затвмъ находимъ
у = и I ¦- ~j. dx.
c) Полезно зам-Ьтить, что интегрироваше каждаго неполнаго линей-
линейнаго уравнешя второго порядка приводится къ интегрирование уравнен1я
Риккати и одной следующей зат%мъ квадратурЬ. Действительно, подстановка
/IIIX
j — ^ приводить уравнение
у"Л-у'ц> +уу> = 0 въ &'+ «2+ s<p + v *= О,
Всл*дств1е этого, свойства линейныхъ уравнений бросаютъ ев-Ьтъ на урав-
нен1е Риикати и обратно.
d) Съ помощью четырехъ квадратуръ интегрируется уравнеше A4).
когда известны дв% независнмыя функщи и и v, удовлетвориющ!я уравне-
Hiro A3). Действительно, полагая у= a u-\-bi>, a'= — v?, b'=ns, a—uv'—vu',
нолучимъ
У = a tt'+ bv\ y" = am"+ bv'r+ as, y'"= a ur"+ bv'"-\- a*'+ 2 a's.

440 VII, 4, дифференщальныя уравнешя. §§ 793—794
Данное уравнеше преобразуется въ пг'+{2 а''- смр)з =/, и съ помощью
двухъ квадратуръ даетъ
л'
.jdx
a3eJ
съ помощью двухъ другихъ квадратуръ получимъ и обвдй инте-
гралъ даннаго уравнешя у = v f us iix — ujvsdx.
794. Уравнен!я съ постоянными коэффиц1ентами. Если
коэффициенты при неизвестной функции и ея производныхъ въ
уравнен!и A0) числа постоянныя, то легко можно найти п линейно
независнмыхь решенШ неполнаго уравнешя A1), а зат^мъ, извЬст-
нымъ путемъ, съ помощью и квадратуръ составить и обшдй инте-
гралъ полнаго уравнен1я. Действительно, попробуемъ удовлетворить
уравнешю A1) выражен]емъ у=е*х\ это уравнен1е обращается (по
сокрашенш на ehx) въ условное уравнеше, определяющее к — такъ
называемое характеристическое уравнение:
<р (k) = k" |- A*""Vi + kn~lf., л + kfn_ i +у„ = 0,
Если Bet корни klt k%, ..., hn уравнешя <p{k) = 0 различны, то
функщ'и е*1', ек'х, , . -, е*л*' будутъ линейно независимый рЪщешя
уравнен1я A1), потому что ихъ определитель Вронскаго равенъ
лроизведешю е~х^ на (§ 27, d)
k2
*? ... A,
- k:
1 ku k*... k*-1
Итакъ, общ1й интегралъ неполнаго уравнен1я выражается
формулою
A6) у = aL е"'* + а2е*'х -\ \-ап екн\
rat я,, а.х, . . ., ая—произвольныя постоянный. Теперь нола-
гаемъ, что аи а2, ..., a,t Taidsi функЩи отъ х, производныя
которыхъ я/, а./, . ¦ ., а-п определяются системою
0 при ¦)' = 0, 1, 2, .... п-1,
и, следовательно, выражаются формулами

§§ 794—795 линейный диффегбнщальныя уравнешя. 441
Тогда метода Лагранжа даетъ обшдй интегралъ полнаго уравнения,
въ fe
ДалЪе, если характеристическое уравнеше им'Ьетъ кратные корни,
то число различныхъ частиыхъ р-Ьшешй екх будегь меньше порядка
уравнешя, и формула A6) уже не изображаетъ общаго интеграла
неполнаго уравнешя. Поиробуемъ тогда удовлетворить этому
уравнению выражешемъ у=х*екх. Лввая его часть приведется къ
произведенш еы на
*-> (А) ^J1
Если а будетъ г — кратный корень, т. е. (§ 450, с) если
<р (и) = 0, !f' («) = 0, .... r''~1J (a) -- О,
то предыдущее выражеше обращается тождественно въ нуль при
k = a и лля всякаго изъ значен1й 0, 1, 2, ..., (г — 1J числа ц.
Поэтому, если характеристическое уравненю имЬеть корни а, ;5, ...
соответственно кратности г, s, ,.., то обш.1й интегралъ не-
неполнаго уравнения имЪетъ форму
у = (вц+ в1 ДГ -|- ¦ • ¦ : Я,_! ^ " ') «'" + С'О + U, *+¦¦¦+ *„ ! -Vs) fto + - ¦ ¦,
гдЪ и постоянныхъ <г0, я,, . . ,, й0, й1; ... произвольны. Въ за-
кдючен1е упомннемъ, чго обыкновенно коэффициенты дифферен-
щальнаго уравнения вещественны. Такъ какъ при зтомъ желательно,
чтобы и у представленъ былъ въ вещественном ь видъ, то отъ мнимой
формы стараются избавиться, замечая, что сумма аёп' '''*'r-j- Ъё0^'^*,
происходящая отъ каждой пары мнимыхъ сопряженныхь корней
(§ 447) можетъ быть представлена въ вегцественномь вид-в
(Л cos fix + В sin fix) с"х, гдъ постопиныя А — а -4- Ь и В = г{а — Ь)
будутъ также вещественны.
795. ПримЬры. а) Требуется проинтегрировать уравиен1еУ'-|-у=/(лг).
Зд-Ьсь характеристическое уравнеше *2+1 — 0, поэтому е'х и e~i!r — частныя
р1>шенш неполнаго уракнеШя. Ихъ можно заменить, какъ было сказано,
pliineHiHMH sin* и cos х. Общ1й интегралъ уравнен1я у"+у — 0 будетъ
у ¦= a sin х -\- b cos д.-. Иям*нен1е произвольиыхъ постоянныхъ даетъ уравнен1е
a'sin х -f b' cos x = 0. a'cos.v - b' sin x — f{x),
изъ которыхъ вызодимъ a' = /(x) cos дг, i'——/'(д") sin А', и следовательно,
v = sin x j f{x) cos a; dx — cos .v I /(.r) sin ,т rf.v.

442 VII, 4. дифференщальныя уравнентя. § 795
b) Интегрировать уравнение у'"=/(х). Характеристическое уравнеше
имЪетъ тройной корень 0, и общ!й интегралъ уравнешя у"= 0 будетъ
у = а-\- Ьх-\-ся?, что можно было предвидеть. Йзмънете произвольныхъ
постоннныхъ дастъ систему
а'+Ь'х + с'х^^О, b'+2c'x=Q, 2с'=Дх),
изъ которой находимъ «' = А x2f(x), Ь'= - хДх), с' = ±Дх), Общи инте-
интегралъ уравнения у'"—/{х) будегь
у = %1 xsf (x) dx — xf хДх) d.x + i a-- (fix) dx.
Впрочемъ, этотъ р'езультатъ почти очевиденъ, потому что, полагая
интегрировашемъ по частямъ получнмъ
xf(x) dx = хА(х) -Мх), fx*f{x) Ux - х*/±(х) - 2 х/2{х) + 2/,(.v).
и выражеюе общаго интеграла будетъ у =/ц(х),
с) Интегрировать ураыкеше vlV + Чу'"^-2" _+ 2у'+у =/(*")• Корни
характеристическаго уравнсн!я будутъ — 1, — 1, i, — i. Общ1й интегралъ
неполнаго уравнен1я будетъ поэтому у— (а-^bx) е ~~х ~\- a cos х + /3 sin x.
По медод^Ь Лягранжа вычисляется зат'Ьмъ обиий интегралъ даннаго уравнентя
- 4 sin
+х) е-' Ге"Дх) dx - $ е~х Сх ех j\x) dx
х I f(x) sin x dx - I cos x I f{x) cos ;v- dx.
Когда f{x) задано и квадратуры выполнены, то иптегралъ обыкновенно
приводятъ къ виду A5), т. е. обнаруживают частное p-feineHie yn, которое
можно привести къ просгЬишему виду, отнимая отъ него всЪ слагаемый,
удовлетворяклщя неполному уравнению. Наприм'Ьръ, длн /(х) — е"* найдемъ
d) Интегрировать уравнсн!е у = ху' + х-у". Пробун удовлетворить
этому уравненш выражен!емъ у — хпл найдемъ, что и должно удовлетво-
удовлетворять уравнешю I ¦=«-(- п (п --\\ т. е. и = + 1. С.тЬдователыю, обпп'й инте-
интегралъ будетъ у — ах -\ . Да.тЬе, если предложено уравнеше у = ху'-\-
х
Ару"-\-fix), то метода Лагранжа даетъ
е) Чтобы проинтегрировать уравнеше у + ху' ¦\-хгу''= х, положишь,
какъ въ предыдущемъ примЪр-Ь, въ неполномъ уравненш _у=.гж, и найдемъ
и = ± г; а такъ какъ
j;i' = gi' '"S'5 = cos log x a; i sin log x,

§ 795 ЛИНЕЙНЫЯ ДИФФЕРЕНЩАЛЬНЫЯ УРАВНЕНИЯ. 443
то coslo?# и sin log .v будутъ частныя решешя неполнаго урапнешя. Далее,
частное решенш полнаго уравнения очевидно, а именно {х. Поэтому общШ
интегралъ даннаго уравнещя будетъ
у —- 4, х -\- a sin log х -\- Ь cos log x
i) Аналогнчнымъ образомъ можно интегрировать уравнеше х-у" —
— Bfi — \)xy'-{ uB у =0. Полагая у — хп найдемъ для и одно только значение
и = fi; но одного чаетнаго рьшешн х1' досгаточно (§ 793, Ъ) для составлсн|'я
общаго интеграла. Полагая у = xl'z, для определешя в получимъ уравнение
хг"-ъ-з'= 0, и отсюда найдсмъ e=a-\-b log *•. Следовательно,у —x^(a\b\agx).
Къ тому же результату можно придти, изменяя независимую переменную.
Положимъ х = ?*. Такъ какъ (§ 558, а)
—tdy ., _ ¦
v — е - -- , v — е '
то уравнение обращается въ
Зд-Ьсь коэфф1ш!енты постоянные и характеристическое уравнеше им^етъ
двойной корень ;i; следовательно, обшШ интегралъ будетъ вида (a+b!)e/lt
и для даннаго уравнен1я получимъ у — ха(а + b log ж).
g) Подобнымъ же образомъ для интегрировашя уравнения A—х?)у'' —
— ху'-\-у^() no-iai-аемъ х = cos /. такъ что
.,, 1 Л у „_ cot 5 dy I /Py r
Данное уравнен1е преобразуется въ -т-тг+>'=0 и им'Ьемъ частныя рьшешя
cos t = x, sin / = 1'Г\ — х2. Следовательно,общШ интегралъу—ах-\-ЬУ~1 — х2 .
h) Замъну одной независимой переменной другою часто делаютъ съ
достигнуть того или другого укрощен1я даннаго уравнен!я. Такъ
напримЁръ, уравнен1е A -\-х2)у"-\-ху'— (я?у обрягцается, при замент> х новою
переменною / (пока произвольною), въ уравнеше
A + л-2) Г- ^ + { A + л-2) f +¦ * f } *? = фу.
Здесь можно уничтожить членъ съ -tj, выбравъ / такъ, чтобы -р- + ——^ = 0 ,
т. е. взявъ f-= -, и следовательно, /— / г = log
У'\+? J Y\ +2
о, /— / г =
J Y\ +.т2
При такой подстановке данное уравнеше обращается въ —гт> = i-i-y и им^-
етъ общШ интегралъ у = ае-и' -\- be~ut. Замечая, что е* = х + У~1 -\-х2,
f~l = — х + V"l + х~ • найдемъ, что общ1й инте1ралт> даннаго уравнешя
будетъ

444 VII, 4. дифференцтальныя уравнешя. § "95
i) Чтобы интегрировать уравнение, разсматриваемое Лежандромъ,
V = \у'+ху", положимъ x — fi и закгЬтимъ, что
Уравнение принимаетъ вндъ "jig = 4.У и даетъ оСнщй интегралъ
Лепэжъ (Lepaige) замЬтилъ, что болъе общее уравнение у = ту'-\- ху"
интегрируется при безчисленкомъ множеств* значений т. Действительно,
подстановкою у = gJ (§ 793, с) это уравнен1е можно привести къ урав-
нен1к> Риккати: х {з'-{¦ з2)-\- тв = 1. Полагая a^uv и определяя г.1 такт.,
чтобы xvIJr mv=0 (чего н достигнеыъ, взявъ v — x~m), \ найдемъ. что и
должно удовлетворять уравнению xv(u'+vu2)^\, т. с. и'+ и2х~т^= д.1*",
Подстановка ,« = i" крсобразуетъ посл-вднее уравнЫе пъ сл-вдующее:
дал'Ье (предполагая Ш2 1 и полагая н =¦ ]. получаемь такое ypaeiieHie
du ifi f ^ \-2т я 1
.—, + z = -. , гд-fe п = ^ , а потому г —- = т ~--
d / 1 — т 1—т 1 — т 2 п + 4 2
Следовательно, данное 5'равнен1с интегрируется (§ 786, h) при значен1яхъ
т - + i, II, л: f, „ -], 4- f
j) Попытаемся интегрировать уравнен1с не линейное
сл-Ьдуя пути, указанному Маиэшномъ (Mansion). Положимъ у'+у = з,
что преобраэуетъ данное уравнение вь г'+2з = 2/. Пользуясь методой
нзм%нен!я произвольныхъ постояиныхъ, полагаемъ у — ие~!", z = ve~~l,
гд-Ь и и v должны удовлетворять услов^ямъ и' ^- ve~x, ь'=1Фё~х. Исклю-
Исключая х, получимъ v dv --= 2 и6 du, откуда Ф = и1 — я* (« — произвольная
постоянная). Подставляя затЬмъ въ u'^-ve~J! вм-Ьсто г- его выражеше и
интегрируя, находимъ
Въ правой частя эллиптически интегралъ. Если бы мы умъ-ли выразить и,
какъ функщю отъ ху то получили бы и общдй интегралъ у— ил х. Во вся-
комъ случаъ мы можсмъ найти безчисленное множество частныхъ ръшен1й,
взявъ а ¦= 0. Тогда по-иунается

§ 795 линейный дифференшальныя уравнешя. 445
Аналогичнымъ образомъ можно трактовать бол-fee обшее уравнение
и найти его обплй интегралъ въ явеюй, конечной формъ-, при всякомъ ць-
ломъ значсн1и —. Напримъръ. обний интегралъ уравнешя у*—уРу" — 1
[тг = ~1)будетъ
yi = а eij! + b e~u -1 У
Это можно получить и другимъ путемъ (§ 785, <1).
к) Приложсн1е рядовъ весьмя полезно при интегрировали пт4Которыхъ •
4
дифференщальныхъ уравнешй. Наприм1зръ, уравнен!е у" + у'Л-^у = О,
встрЪчающеесн въ Механик*, интегрируется съ помощью ряда
Y2
= 1 - — I
Д*Иствительно, замечая, что /J(.v) + ¦ -fl(x)+fv(x) = 0 и полагай въ прел-
ложенномъ уравнеши у -- л~"/г (их), находимъ
Это уравнсще можстъ совпадать съ предыдушимъ только при а (( + ) h
I1 = 2 ,it + 4. Поэтому должно быть либо /i = 0, с = 4, либо ft = — 3, v—-1.
Следовательно, искомый о&щШ ннтсгралъ будетъ у = afA(nx) \-Ьх~ъ/ .2(пх).
Впрочемъ, функщя /_2 и fi очень просто могуть быть в|1|ражеиы въ конеч-
V -т~ 1 /
номъ вид-b. Для этого замътимъ, что /,, ^ [х) = - - т- /,, (х). Между тъмъ
(§ 33*2, а) мы внд.имъ, что
г'2 v4
/oW = ! -jT-2-i"T. г". з-4~ '' ¦ = msx-
Откуда слъ-дуетъ
f ,, (х) -= 1 т- / .v cos .V dx = * sin х + cos a-,
и
дал-fee
„ , . 1 ¦,. , sinx , . , 3 ,./, 3sinj; 3cos.r
Л() /WAf)AM
Окончательно o6itiiH интегралъ можно написать въ сльдующемъ вид!;:
у = - {sin мх — «*¦ cos их) -) ^ (cos их 4- ил' sin «лг).

446 VII, 4. дифференшлльныя уравнёнш. § 795
1) Весьма важную роль играетъ гипергеометрическлй рядъ1)
Л 'J>" >- +1 ¦ 7 1 • 2 ¦ v(l+T) + 1 ¦ 2 ¦ 3 • 7(\+у) [2-у) - * + ¦ ¦ ¦'
удовлетворяющие кякъ легко проверить, Гауссову дифференциальному
уравнению
(а-- я?)у" + { у - A + п + ;?) х }у< - аЦу.
Пробуя удовлетворить этому уравнешю бол-fee обтимъ выражешемъ
y=x!'-f(a', $'', /, х), найдемъ, что либо должно быть ft -¦ 0, а'-= а, $'= ;3,
у' — у, либо jtt = 1 — у, ft' = l+a— у, Я' = 1 -)-/:? — у, у'-=2—у. Следовательно,
общ1й ннтегралъ будетъ
у = аДч,0,у,х) + Ьх1" V(l + «-r. 1+Э-Г, 2-у. *)¦
Полезно з!1ать, что гипсргеометрическ1й рядъ заключаешь въ cedt, какъ
частные случаи, мнопя иавт^стныя разложения. Такь, налримЪръ, при ° = у
или а — у = 1, или а =/3 = 1 [I 7 = 2, находимъ разложешя функщи A —х) -<1
elix, — log (I — х). Зям-Ьтимъ въ заключение, что найденный выше два
частныхъ р%шешя совпадутъ въ одно при у = 1; ко изв-Ьстно, что достаточно
знать одно рЪшеше, чтобы найти и общШ интегралъ. Такъ, напримт^ръ,
при {3 — 1 уравнеше булетъ
{х- х?)у" | { 1 - B + гг) х }у'- ау,
и допускаетъ частное ptmi^Hic {\—х)~"'. Простое йычисдеше (§ 793, Ь)
покажетъ, что общ1й интегралъ будетъ
и \ + n ' 2 -1 « ' 3 — a
предполагая, конечно, что правая часть им!;етъ смыслъ.
Г Примечание (Г. Эскамаиа. иаъ итальянска™ иядяндя 1905 года).
Въ противномъ случай, т.е. при п= — и, гд% п = \, 1, '6, ..., получимь
При fi =-¦ 0, у = а + b log —^ -
Влрочемъ, аатруднен1я, встр^тившагося при у = 1, можно избежать, замтз-
тнкъ, что предложенное ураанеше не измтзнитъ своего вида при замЪн"Ь у
на 1 |- tx [-j3-- у, если при этомъ заменим ь х на 1- .V. Отсюда слЪдуетъ, что
у можно писать также въ видЬ:
,V = (*A ¦xS'~a~^f{y — $, г —а. 1 — <пс — ,*? Ч- 1-5. 1—»") +
¦7- b/[a, ji, 1 ~ о- + $ — 7. I — х)<
а въ частномъ случаЬ 8 =¦ у = 1
у = аA — А-)^а + *W. 1> 1 + (-. 1 ^ ^'М-
х) См. Novi „Algebra superiore" стр. 286 или Jordan „Cours d'Ana-
lyse" т. I, стр. 154.

§ 796 урлвнЕнга со многими перем-ёнными. 447
Уравнения со многими переменными.
796. Уравнешя съ полными дифференц1алами (Totale Dif-
ferentialgleichungen). Положимъ, что вместо уравнения udx-\-vdy=0
(разсмотреннаго выше), дано уравнеше
A7) и dx + v dy + &• dz - О,
въ которомъ и, v, u> извъстныя функцш отъ х, у, z. Если одну
изъ трехъ перемъпныхъ, наиримеръ z, будемъ разсматривать, какъ
функщю отъ двухъ другихъ (независимыхъ), то уравнеше A7),
очевидно, разлагается на сл^дукшия два:
д x iv д у w
откуда уже видно, что функши м, v, w не вполне произ-
произвольны. Действительно, такъ какъ
д^з д и v <) и д-.г д г> ?/ д v
д х &у ду w и.' д з w ду дх д х w ' w д г w
т. е.
023 1 ди и dZi' V ди uvdii)
дх ду w (I у да2 д v zu- дz ni6 ds
tJs 1 д г' г> dw и dv it v д w
ду dx w д x т w' дх ' я.'3 i)а да в з
то приравнивая одно другому эти выражен1я (§ 368), найдемъ
дх ду
Это необходимое услов1е для существования зависимости между
тремя переменными х, у, .г\ полные днфференщалы которыхъ свя-
за1П,т соотношен!емь A7), Чтобы показать, что услов1е A9) въ
то же время достаточно, мы покажемъ, что если оно выполнено,
то интегрироваше уравнеп)я A7) или рашгосильныхъему уравнеп1й A8)
возможно. Второе ypaiiiienie A8) можно разсматривать, какъ обык-
обыкновенное дифференциальное уравнен!е иерваго порядка съ двумя
переменными у и z (принимая х за постоянную). Обозначая черезъ
<р(х) произвольную функп,1ю отъ одного х, можно написать обшдй
интегралъ этого уравнения въ виде
тякъ какъ, хотя х и разсматривается, какъ постоянная, но функцш
и и v отъ него зависятъ, что и надо обозначить. Замътимъ теперь,

448 VII, 4. дифференщальныя уравненш. § 796
что дифференцируя урзвнеше B0) (при постоянномъ х), мы снова
должны получить то дифференщальное уравнеше, интегрировашемъ
котораго получилось B0). Отсюда получимъ /сравнивая два выра-
жени .
6У> Xdf 1 д/
v о у w a z
гдЪ рь прилично выбранная функшя отъ х, у, g. Если хотимъ,
чтобы и первое уравнеше A8) удовлетворилось, то должны выбрать
функцДю <р (х) такъ, чтобы при дифференцированш B0) по х (при
постоянномъ у) получилось бы
А для этого необходимо (и достаточно), чтобы -Л -/ги была функ-
шею одного х. Весь вопросъ сводится къ тому, чтобы показать,
что при выполнении условия A9), производная по у отъ -Л-т--рьи
равна нулю, при чемъ z разсматривается, какъ функщя отъ х и у,
определяемая уравпенхемь B0). Иными словами должно быть
¦ ¦ ¦ I i*~ - /*и 1 —~ т— 1 --, ,
о у \ох ! т as \0х
Но мы имъ-етъ также
д Idf \ duv дни д idf \ du,w дай
—¦ 1-^ н,«=-; ¦-. — -^ - а и = ¦ ;- .
о у \ о х ] ох ну 0 z \д х ' ! Ох о&
Поэтому, если прибавимъ еще членъ
г) и.;;' d fi v д'-J йа /
Оу dz riedy дуд? '
умноженный на и, то последнее yaioBie приметъ видъ
Idfiw дат [дин д ftw\ . (duv дин\ „
\ пу ds] \ 0 г ох)' \ в х ду /
А это равенство тотчасъ приводится къ A9), потому что лт^вая
его часть равна произведению /л на лт.вую часть A9), сложенному
съ выражетемъ
О'л\ , (da df.i\ | Ofi- дц\ п
б9J \ дз ах) \ Ox dyl
Если услов1е A9) выполнено, то можно утверждать, что уравне-
уравнение BQ). въ которомъ ц>{х) получается съ помощью квадратуры

§§ 796—797 УРАВНЕН1Я со многими перемг.нными. 449
изъ B1), будетъ интегра;юмь уравнежя A7). Зам-Ьтимъ въ заклю-
4enief что левая часть уравнешя A7), когда оно интегрируемо,
делается точнымъ дифференщ'аломъ (§ 741) по умноженш на вы-
выбранную надлежащимъ образомъ функцдо отъ х, у, 2. А именно,
если напишемъ уравнеше B0) въ виде Ф(х, у, я) = const.
(перенося все не постоянные члены въ лЪвуго часть), то бу-
ДеМЪ ИМ+аТЬ
дф д/ дФ д/ дф д/
ах <jx ' ду ду d г д^ .
откуда /а {и dx-\~ v dy -\- w dz) = d<P. Геометрически разсмотрт»нный
вопросъ сводится къ следующему, дана некоторая совокупность
безконечнаго числа плоскостей (уравнения которыхъ получаются изъ
одного при безчисленномъ мнoжecтвt значенШ одного независимаго
параметра) (см. § 782) и требуется найти систему поверхностей,
касающихся этихъ плоскостей въ назначепныхъ точкахъ. Изъ лре-
дыдущихъ изсл+,дован1й видно, что р^шен1е этой задачи вообще
невозможно. Причина этой невозможности заключается въ томъ,
что ищутся поверхности (которыя могутъ и не существовать).
ЗамЪтимъ, что, напротивъ того, существуете безчисленное множество
кривихъ лин1й, удовяетворяютихь этимъ услов]ямъ, лаже тогда,
когда yc/iOBte A9) не выполнено. Действительно, исключен1е z изъ
уравнений A7) и произвол(»ной зависимости <р(х, у, z) = 0 при-
приводить къ дифференшальному уравнен1ю перваго порядка съ двумя
переменными, которое всегда им^етъ безконечное множество ръ-
шенШ, получаемыхъ изъ одного при безчисленномъ множестве зна-
значений одного параметра (произвольной постоянной).
797. Обыкновенный совокупныя дифференц1альныя урав-
уравнения. Поставимь теперь вопросъ, каковы должны быть соотношен1я
между тремя переменными х, у, z для того, чтобы дифференщалы
ихъ были пропоршональны известнымъ фуншп'имъ и, v, w отъ
х, у, z:
B2) dx = d-l = ds- -
и v w
Геометрически это значить во всъхъ точкахъ пространства a priori
назначить направлешя касательныхъ кънеизвестнымъ кривымъ. Исходя
изъ этой точки ар'Ьн1Я, не трудно усмотреть (см. § 782), что суще-
ствуетъ ся* такихъ кривглхъ. Следовательно, уравнешя, составля-
ющ1я интегральную систему уравнешй B2), должны быть вида
B3) F{x,y, в, а, 6) = 0, G(x,y, з, а, Ь)^0,
где а и b произвольпыя постоянный. И въ самомъ деле, уравнения
B2) представляютъ не что иное, какъ два обыкновенный диффе-

450 VII, 4. дифференщальныя уравненгн. § 797
ренщальныя уравнешя перваго порядка, которыя въ более общей
форме могутъ быть написаны следующимъ образомъ:
B4) f(x, у, *, У, *') =0, g(*,у, а, у\ *') = О,
Р-Ьшимъ эти уравнения относительно s и z'\ s = <р(х, у< у'),
з'=1р(А?, у, у')- Приравнивая второе выражение производной пер-
ваго, получииъ соотношете между х, у, у', и у", т. е. дифферен-
щальное уравнеше 2-го порядка между двумя переменными х и у.
Интегрируя это уравнеше, получимъ выражеше у черезь х и две
произвольныя постоянный а и Ь. Подставляя выражежя у и у' въ
z = <р(х, у, у), получимъ и выражение з черезь х, а и Ь. Такимъ
образомъ и будугъ проинтегрированы уравнен1я B4) или B2).
ЗамЪтимъ дал'Ъе, что уравнешя B4) могутъ быть представлены въ
вид^ B2), если р+лиимъ первый относительно -/- и -.-_. Подобнымъ
ft А" Я $С
же образомъ обстоитъ дЪло, когда предложены три обыкновен-
ныхъ дифференшальныхъ уравнешя перваго порядка съ 4-мя пере-
ыънными х, у, з, t. Представим!^ себ* эти уравнен1я решенными
относительно произнодныхъ х, у, s no i: x'=u,y'=v, s'—w,
гд-в и, v, и> будутъ изв-встныя функцш отъ х, у, г, t. Выведемъ
изъ перваго у = <р (t, x, z, x') и подставимъ выражения у и у' въ
остальныя два; эти посл-кижя примутъ видъ:
fit, х, s, х\ s1, х") = 0, g (t, x, z, х\ г1) - 0.
Отсюда вынедемъ выражения s = %)(t, х, х', aj') и s'—%(t, x, х\ х")
и приравняем^, второе производной перваго. Полученное такимъ пу-
темъ cooTHomeHie между t, х, х' х", х'" будетъ обыкновенное диф-
ференщальное уравнен1е 3-го порядка, интегрирован!емъ котораго
найдемъ выражение х черезь t и три произвольный постоянныя.
Подставляя найденное выражение х и его производныхъ въ
з=1р(/, х, х, х"), а затъмъ выражете х и z въ y~(p(t, x, з, х'),
получимъ и выраженщ z и у въ / и тЪхъ же трехъ произвольныхъ
постоянныхъ. Вообще, если дана система п обыкновенныхъ диффе-
ренщальныхъ уравнен1й перваго порядка съ п -\- 1 переменными:
d х _ dx± rf.v.j _ _ dxn
и щ ^ ка ~ " ~~ ии
то интегрирокаме этой системы, путемъ исключения п — 1 перем'вн-
ныхъ приводится къ иптегрирован1ю одного дифференц1альнаго
уравнен1я ?г-го порядка съ двумя переменными, и такимъ образомъ
система совокупныхъ интегральныхъ уравнений получается въ виде
F({x, хи х2 хп, а^ а2, .... ап) = 0 (г = 1, 2, 3 «),
куда входятъ н произвольныхъ постоянныхъ. Благодаря присутствпо
этихъ постоянныхъ систему п функц!й отъ одной независимой

§§ 797—798 уравнешя со многими переменными. 451
переменной, которыя должны принимать заранее данныя
значен1я для даннаго зпачен1я независимой переменной
можно о предБлнчь системою п совокупныхъ дифферен-
щальныхъ уравненШ перваго порядка.
798. Уравнешя въ частныхъ производныхъ. Простейшее
уравнеше въ частныхъ производныхъ {§ 781) есть то, которое
связываетъ частныя производныя р и q неизвестной функщи z отъ
двухъ независимыхъ переменныхъ х и у съ этою функщею и
независимыми переменными. Мы остановимся здесь главнымъ обра-
зомъ на такихъ уравнешяхь, въ которыя р и q входятъ линейно,
и которыя поэтому и называются линейными, Ихъ общШ видъ есть
B5) up — vq = tj,
где и, v, w известный функц1и отъ х, у, z, Вопросъ о разысканш
всехъ функшй з, удовлетворяющихъ такому уравиешю, геометри-
геометрически сводится къ разысканию вс^хъ поверхностей, которыя въ
каждой точке (х, у, г) касаются прямой, проведенной черезъ эту
точку въ направленш (и, v, w), потому что уравнение B5) можно
разсматривать, какъ услов1е перпепдик'уляриости прямой даннаго
направления (и, v, iv) сь нормалью (р, q, — 1) къ искомой поверх-
поверхности (§ 659). Разсматривая вопросъ съ этой точки зрешя, не
трудно видеть, что всякая такая поверхность будетъ общимъ Mt-
стомъ кривыхъ некотораго семейства, принадлежащаго къ дважды
безконечной системе кривыхъ (,23). Совокупность всЬхъ этихъ
поверхностей должна, следовательно, получиться, если установимъ
некоторую произвольную зависимость между постоянными а и b
въ уравнен!яхъ B3). Уравнеше венкой поверхности, удовлетворяющей
уравнешю B5) должно поэтому подучиться черезъ исклгочен1е а и b
изъ уравнеиШ B3) и произвольнаго соотношенш оэ(а, Ь) = 0.
Этотъ предугаданный результат!) тотчасъ подтвердится вычислежемъ,
Иоложимь, что fix, V, z) — 0 есть такое соотношен1е, которое
опредъляетъ с, какъ функщю отъ х и у, удоклетворяющую урав-
neniro B5). Полагая въ B5) ^ = _ *Z/J?, q= -^/^, при-
водимъ ypaBnenie B5) къ виду
B6) »д/ | '/^ + г,^ = 0,
4 ' дх ду д*$
линейнаго и однороднаго уравнен!я, которое тотчасъ можно
проинтегрировать, если известна система интегральныхъ ураннежй
системы B2). Действительно, представимъ себе, что уравнешя B3)
решены относительно постоянныхъ:
<27)' if. (x,y, s) = a, v (x,у,г)-Ь.

452 VII, 4, дифференщальныя jtabhehm. § ?У#
Замътимъ, что функцш (р и ip независимы одна отъ другой; иначе,
задавъ определенное значеше для а мы не могли бы- выбрать b
по произволу. Теперь оказывается, что уравнеше B6) удовлетво-
удовлетворяется, какъ при / = ср, такъ и при /'— ip, потому что, дифферен-
дифференцируя уравнены B7) и заменяя dx, dy, dz пропорциональными
имъ и, v, и>, гюлучаемъ
B8) u*v+vpL + w,*v = 0. H^+/v ffl^ = 0|
; д х ду 0 з д х ду б ss
Понимая теперь подь f какую угодно функшю, удовлетворяющую
условию B6), зам-Ьчаемъ, что совмЪстность этого условии съ B8)
требу егъ, чтобы
<Н/, <р. у;) ^ 0
д {х, у, г)
ОгЬдовательно (§579), между/, <р и <ц; должно существовать сооот-
Houienie. Оно непременно солержитъ въ ce6t f, иначе (р и tp не
были бы независимыми. Итакъ, f = at (ip, ?/;). Что касается о>, то
это символъ совершенно произвольной функцш. Какъ бы мы ни
выбирали ft), всегда будемъ
д/ _дй>г><рды д у д/ _ д ы д cf d m д у> д/ д ы д <р д о> д ip
clx д (р rl х д tji д х ду д Ц! ду д i;> ду д % ~ а ц, д z dip д я
откуда
У н f ¦= т— / » т^ + —- У « —-
их о (р ^ш* д х о ц! ^—i о х
V? Of д ы хгг д w д (о v-т О у л
^ их о (р ^ш* д х о ц! ^—i о х
и уравнен1е B6) удовлетворяется. Теперь мы и видимъ, что доста-
достаточно положить со (у, ip) = 0, чтобы удоелетворить урав-
нен1Ю B5). Общн+ie, интегрирован1е линейнаго уравнен1я съ п
независимыми переменными
сводится къ интегрировашю линейнаго и однороднаго уравнежя
съ п-\-\ независимыми переменными
гъгл д f of д f , д f „
\РЩ н. ^- - -\- и?, -г— ¦ -4- ¦ ¦ ¦ + и —^ -+¦ и -г=— = 0,
1 д хх ' д х2 "«Л'л " •"*¦
а для интегрирован1я посл^дняго нужно интегрировать систему
обыкновенныхъ совокупныхъ уравненШ
d х _ d д-j _ dx-i _ __ dxJl

§§ 798—800 уравнвнш со многими переменными. 453
и представить интегральную систему въ вид*
<ft{x, ху, х2, .,,, д-н) = const. (; — 1, 2, 3, .... я).
Самое общее рЬшеше уравнения C0) булеть/—со (<pi, грг, ,.., у.„), а
ypaBHeHie B9) удовлетворится санымъ общимъ образомъ, если по-
положи мъ 0)((рг, 9-1 > •••> (hd — 0, ГД'Ь го есть символъ про и а воль-
вольной функщи.
799. Полезно заметить, что, зная одно частное ptuieiiie /"= у-
уравнежя B6), можно упростить интегрироваше, сводя число неза-
висимыхъ перем-Ьнныхъ съ трехъ на две. Такъ какъ <р заключаетъ
въ себ-fe по крайней мере олну изъ перемт,иныхъ, то всегда можно
предположить, что (р зависить отъ z, изменяя, если понадобится,
обозначеше переменныхь; сл-Ьдовательно, можно принять <р вместо z
за независимую переменную. Заключая въ скобки частныя произ-
производным, взятыя по новой систем^ независимыхь перемт.нныхъ
х, у, <р, получимъ
дх \д х) ^ \д qj д х ~ду \ду} ~^ \i) <j.] ду ' дг ~ \д у] д с '
и уравнен!е B6) приведется къ ii{-~\ +;'(y^-J = O. Вопросъ при-
приводится, следовательно, къ интегрирование обыкновеннаго диффе-
ренц1альнаго уравнения съ двумя переменными: у'~%(х, у, <р),
вь которомъ (р трактуется, какъ постоянная. Общнт>е, если известны
v независимыхъ частныхъ рьшен1й уравнен)я C0), т. е. v фупюий
Vii f/1*) ¦ ¦ ¦! удовлетворяю щи хъ урапнен1ю C0), при чемъ ни одна
изъ нихъ не есть функции другихъ, то можемь преобразовать
уравнен1е C0) въ другое, подобное ему, съ п—-е-f-l независи-
независимыми переменными, Къ этому последнему прихолимъ, принявъ за
новыя незаписимыя переменный функцш f/M (р.г, . . ., взаменъ irt,-
которыхъ v прежнихъ.
800. Чтобы интегрировать, следуя Лагранжу, какое угодно
уравнен!с въ частныхъ производныхъ перваго порядка съ двумя
независимыми переменными
C1) /{х,у,г,р,ч) = Ъ,
ищемъ еще одно соотношете g(x, у, z, p, q) — 0, чтобы изъ
него и даннаго C1) выразить р и q въ функщяхъ отъ х, у, з, и
затемъ найти z интегрирован1емъ уравнежя dz = p dx + 1 dy съ
полными дифференциалами. Взявъ частныя производныя по х, у, з
отъ f= 0 и g = 0 получимъ
дх дрдх dq дх ' О у д р ду a q д у ' дг дрда dqdz
дх^' 0р'дх + dqdx ду¦~1"др'ду~Г"aq'dy ' Oz^dpds dq'ds

454 VII, 4. диффкренщальныя урабненш. § 800
Исключишь отсюда --_ и ¦<--, и полученный затЪмъ выражешя осталь-
ныхъ четырехъ производпыхъ подставимъ въ ypaetieHie
ду * да дх ' <iz
выражающее (§ 741) необходимое и достаточное условие интегри-
интегрируемости уравнеши dz — р dx -\- g dy. Тогда получимъ уравнение
Это линейное однородное уравнение въ частныхъ производныхъ
перваго порядка съ пятью независимыми переменными (х, у, s, р, q).
Его интегрироваше приводится, какъ мы видЪли (| 798) къ инте-
интегрированию системы четырехь обыкновенныхъ совокупныхъ уравнений
перваго порядка. Впрочемъ, по важному замЪчанда ПДарпитта (Charpit)
достачно знать одинъ лишь интегралъ (p-femeHie) уравне-
н1я C2) съ одной произвольной постоянной, чтобы затЬмъ,
съ помощью интегрировашя уравнен1я ds = pdx + q dy, получить
самое общее выражеше функц1и z = F(x, у, а, Ь), удовлетво-
удовлетворяющее уравнешю C1). При зтонъ а и b разсматриваются, какъ
постоянный или какь перем%нныя, подчиненный извъхтнымъ усло-
В1ямъ, Положимъ, для большой ясности *), что уравнен!е C1) при-
приведено къ виду: г— Ф(х,у, р, q)\ пусть С(х, у) какая нибудь
функщя, ему удовлетворяющая, такъ что тождественно будемъ
им^ть G = ф(х, у, ,-• -j-;). Съ другой стороны, опред^лимъ а и Ь
изъ уравненШ
' дх дх Оу dy
Принимая во внимаше, что предложенное уравнеше должно удов-
удовлетворяться независимо отъ а и Ь, когда положимъ z = F(x, у, а, Ь),
мы видимъ тотчасъ, что
F(,. j,. a, b) = Ф \x, j,. __, _| =. Ф ^ y, ^ , —j = 6 lx,y).
Следовательно, F{x,y, a, b) заключаетъ въ себ-fe Bet возможныя
функщи z, удовлетворяюшдя данному уравнен1го, и на этомъ осно-
ван1и называется полнымъ иитеграломъ этого уравнен1я. Между
т^мъ, взявъ частныя производныя отъ тождества /=G, и прини-
принимая во внимание уравнен1е C3), видимъ, что должно быть
{ ' да дх+ db дх ' да ду + db
*) Считая пока а и Ь посгоянными.

§ 800 уравнен1я со многими переменными. 455
Эти соотношенш, удоплетворяюиияся тождественно при а и b посто-
янныхъ, остаются справедливыми и въ томъ случай, когда а и Ь бу-
дутъ надлежащим!, образомъ выбранныя функцш оть X и у. Эти
функщи булутъ либо независимы, либо въ произвольной зависимости
одна отъ другой. Въ первомъ случай опредълитель тт-1—;\ не равенъ
нулю, а потому должно быть -т- =0, -тт = 0, откуда для ак о получа-
получаются двЪ различный функцш, подстановка которыхъ въ z = F(x,y,a, й)
даетъ такъ называемый особенный интегралъ. Во второмъ слу-
ча+з, когда Ь = со (а), гдъ ш произвольная функц1я, уравнешя C4)
OF , ,, sdF n ,
приводятся къ одному -г 1- и (я)-тт- = 0, и для а и о получимъ
выражен1я, въ составъ которыхъ входитъ символъ произвольной
функши. 11одставляя ихъ въ z = F{х,у, а, Ь) получимъ такъ назы-
называемый o6uiifl интегралъ даннаго уравнения1).
х) Читателю, желающему ознакомиться подробнЪе сь этою важною
теорией и найти по ней упражнешя, мы рекомендуемъ спешальныя сочи-
кешя Forsyth'a и Goursat.

ПРИБАВЛЕНИЕ

ПРИБНВЛЕН1Е
Функфя Вейерштрасса.
801. Функция, на которую мы указали въ концЪ § 282, имЪетъ
слт,дующее выражен1е:
fix) -— cos tux -~ b cos :r- ax — b2- cos я dz x -\- S3 cos л a* x-\- ¦ ¦ ¦
при нЪкоторыхъ, надлежаишмъ образомъ выбранныхъ, а и Ь.
Известно, что при [ b \ < 1 этотъ рядъ равномерно сходящийся (§ 319)
и, следовательно, его сумма — непрерывная функшя отъ % (§ 322).
Мы покажемъ теперь, что1 несмотря на непрерывность, f{x) ни
при какомъ значении х не имЪетъ производной. Сперва, фик-
фиксируя значеше д-, составимъ L]ocлtдoвaтeльнocть такихъ ц%лыхъ
(положительныхъ или отринательныхъ) чиселъ а0, at, a2, ...,
чтобы Bet разности
х— ('.(,, ах — «l, а2 л" — «2> я'Лх - «3, ...
были больше — 4- и не больше -?; для этого достаточно взять
— «» = [i —a"x] ¦ По.'южимъ теперь
такъ что
% < а" (х-хп) ± i, js«"(<
Если a>3, то будемъ им^ть
и поэтому
х0 < .г5 < ,v3 < л'3 < • ¦ ¦, lim x

460 ПРИБАВЛБНШ. § 801
Точно также
лг0 > хг > х2 > х'ъ > ¦ ¦ • , Нш х'п = х.
Теперь разсмотримъ два отношешя приращенШ
/(*) -/(*,), /«)-/(*).
х-хн ' х'п — х
Первое будеть левостороннее, второе правостороннее. Левостороннее
отношен1е приращенШ
X — Xn J—l X — Хл
о
разлагается на слагаемый
П--1
V ^,"+v cost-Trt" rVx) — cos (л а""" дг„)
Относительно первой суммы зам^тимь, что
cos {nav x) — cos (n avxn) _ ^ ^.^ / .„ х -f- xn\ °'" \ 1
2
Такъ какъ абсолютный величины sin .г и —— не больше 1, то
X
абсолютная величина носл"Ьдняго выражения не больше sz. Отсюда
следуетъ, если предположимъ Л>0, что первая изъ суммъ нъ A)
по абсолютной величин^ будетъ меньше, чЬмъ
Следовательно, ее можно представить въ виде ' _ .¦ (а Ь)н, где Q
содержится между — 1 и +1. Что касается второй суммы въ фор-
формуле A), то заметимъ, что
cos [л (in+v х) - cos (л ап+* х„)
= - cos (л ап+»хп) {1 -cos (яa» h' (х-х„)) } - sin (л an+vxj sin (яап+*(х-хп)).
Предполагая теперь, что а нечетное целое число, мы видимъ,
что дуга
л ап^'хп --= л: а" • а'1хп - я uv (rl](- 1)
есть кратное отъ тс и при томъ четное или нечетное, смотря по

§ 801 ФУНКЦ1Я ВЕЙЕРШТРАССА. 461
тому, будетъ ли аа нечетное или четное число. Отсгола слт>-
дуетъ, что
cos (я я'Т'дд = - С— !)"<¦, sin (л пп \-ухп) = О,
cos (ля" ! *дг) - cos (л <г"~" .г-„) = ( - l)rV f 1 - cos (.W+v (ж - .rj) }.
Поэтому разсматриваеман сумма приводится къ
^Ц 1 — cos (.W+1' {х-хЛ)
V л"(д--А»)
Bets члены подь зпакомъ суммы положительна или равны нулю.
Первый членъ равенъ
1 — cos {я о" (*- хп))
Дуга jfs"(t'-f,,)> *г лг, и гй * я. Ея косинусъ, с.^.довательно,
меньше нуля или равенъ нулю, поэтому раэсматриваемый членъ, въ
которомъ чнелител], не меньше 1, а знаменатель не больше |-,
будетъ не меньше |-. А вся сумма въ формул^ B) поэтому на-
въ-рно больше -|. Отсюда заключаема, что выражен1е B) можно
представить въ видЪ ( l)f:» . | k (af/)", j-д-Ь /&>1. Итакъ, будемъ
им-tTb
Выражен1е въ скобкахъ всегда больше, чЬмъ
2__я_ = _2_.
3 ab — 1 3 ah — 1 '
и будетъ поэтому положительпымъ при аЬ ^ 1 -г^л. Съ другой
стороны, известно, что (ab)" съ возрасташемъ п нревзойдетъ вся-
всякое данное число. Итакъ, лъвосторонкеее отношен!е приращений
возрастасть безпред-Ьльно, когда независимая переменная стремится
къ пpeдtлy лг проходя посл-Ьдовательность значен!й х0, хх, хг
Совершенно подобное же вычислеше даетъ
Х„ X
гд±, k'~> 1, а 6' лежитъ между — 1 и -(- 1. Поэтому правосторон-
правостороннее OTiiomeHie тоже безпредт,л1>по растетъ по абсолютной величин^,
но при всякомъ значении п им+^емъ знакъ, противоположный знаку
л^востороппяго отношензи, когда независимая перем-внная стремится
къ тому же пределу х, проходя поелтдовательность значенШ

462 ПРИПЛВЛЕН1Е. §§ 801—803
Кром-fc того Винеръ (Wiener) l) доказалъ, что можно составить
и друпя последовательности, для которыхъ отпошешя приращенШ
будутъ стремитг>ся къ произвольно заданнымъ предЬламъ. Викеръ
воспользовался также функшей Вейерштрасса, чтобы показать
(см. § 692, Ь), что поверхность, не будучи линейчатой, можетъ
быть развертывающеюся. Разумеется, матер!ально такую поверх-
поверхность нельзя осуществить, потому что у нея нЪтъ касательной
плоскости ни въ одной точк-fc8).
Некоторый св-Ьд'Ьшя объ исчисленш конечныхъ
разностей,
802. Когда дана некоторая последовательность чисель
и(|, «,, щ, . . ., то конечною разностью или просто разностью
какого нибудь члена называютъ то число, которое надо съ нимъ
сложить, чтобы получить сл-вдующШ членъ. Составлеше разностей
членовъ некоторой последовательности есть операщн, обозначаемая
символомъ Л;
Простои переходъ отъ одного члена къ следующему (замена одного
другимъ) можетъ быть также разсматриваеиа, какъ некоторая опе-
рац1и V такого рода, что
Правая часть есть не что иное, какъ up-\-Aufi и потому можно
сказать, что операщи Л я V находится между собою въ символи-
символической зависимости V = 1-\-Л. Если же въ выражен!и Лир яаи'Ь-
нимъ Up+i черезъ Vup, то получимъ А = V — 1.
803. Мы покажемъ теперь, что знаки операщи Л я V под-
подчиняются алгебраическому вычислению, по правиламъ, изложеннымъ
въ § 350. Сперва зам-Ьтимъ, что какъ р -¦¦ кратное прим*неше
операцш А падъ ич, такъ и ^ — кратное е« прим-ьнен1е къ щ,
даютъ Up^-g, такъ что имъ-емъ
л) „Crelle's Journal", 1881. Стр. 221.
2) „Lehrbuch der darstellenden Geometrie". Томъ II, Стр. 33..

§§ 803—804 ИСЧИСЛЕН1Е КОНЕЧНЫХЬ РАЗНОСТЕЙ. 463
или, подставляя Vvug вместо uv t
Дал^е, зам^тимъ, что операщи Лир могутъ быть переставляемы,
потому что V Ащ изображаетъ членъ, слЪдуюипй за Лир въ после-
последовательности Ащ, Ли{, Аи%у , . ,, т. е. Ащ.{-1_, вмъсто котораго,
очевидно, можно писать AVut>. Итакъ, V А ~ AV. Отсюда ait-
дуетъ, что рядъ операщй А и V, можно производить въ какомъ
угодно порядк*. Дал-fee, такъ какъ разность суммы, очевидно, равна
разностей слагаемыхъ членовъ, то
_ \) = JP - J=VJ — J
¦¦ 1) —С7- П-С7- IJ.
Общнъе, допустивъ, что
jp = (F - if,
получимъ
такъ что вышеуказанная формула справедлива при всякомъ р. Отсюда
вытекаетъ, что для выражены />-ой разности псрваго члена t
доаательности и0, «,, и2, ..., им^смь
A) J»u^up - *{- «^ -I- ^ Y. 2 И>-= ± "o •
Для любого другого члена илгЬемъ
jPUq =¦ Л^Р^щ = ?q А? ий = f (Р7 — If и0,
т. е.
Если, наоборотъ, желаемъ возстановить самую последовательность,
зная послЬдовательньш разности перваго члена, то надо гфимънить
формулу V" = A -|- А)р, которая даетъ
B) ир - и0 + A J щ + Р\РГ21) ^«о+ ¦ ¦ ¦ + <** «о-
804. Разности оть 0*. Такъ называютъ для краткости пocлt-
довательныя разности перваго члена последовательности чиселъ
0", 1", 2J, 3s, .... На основаши формулы A) илгвемъ
C) j?W =pi -t{p_if +PAtzJ±(p .2)» ±р.

464 ПРИБАВЛЕН1Е. § 804
Составляя, напримтфъ, разности кубовъ, получаемъ следующую
таблицу чиселъ:
0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 . . .
1 7 19 37 61 91 127 169 217 271 ...
6 12 18 24 30 36 42 48 54 ...
666 6 6 6 6 6...
Какъ видимъ, четвертый разности всЪхъ членовъ последовательности
равны нулю. Мы вскоре увидимъ, что это лишь частный случай
одной общей теоремы, которая даетъ возможность обратно возста-
новить первоначальную последовательность путемъ простого сло-
жешя *). Это полезно на практике при составлены таблицъ квад-
ратовъ и кубовъ. Возвратимся къ формуле C) и выведемъ изъ
нея простой способъ быстро вычислять разности отъ 0^. Заменивъ
р на р - 1 и складывая получаемую формулу съ C), найдемъ
Между т-Ьмъ правая часть, умноженная на р, даетъ
~ 2f ±-
1 ! v '/ т 1.2
Следовательно, инеемъ
D) /f Q'J hl - р (Jp 0* + z/"-1 0f).
Применяя эту формулу, весьма легко составить следующую таблицу:
Л Л3 А3 Л4 Л5 Лв А"' Л8
О1
0а
О3
о4
о5
о6
о7
о9
1
1
1
1
1
1
1
1
2
6
14
30
62
126
254
6
36
150
540
1806
5796
24
240
1560
8400
40824
120
1800
16800
126000
720
15120
191520
5040
141120 40320
а) См. формулу E) § S06, гдЪ >'W = 0 при ¦>' =р, р + 1, р + 2,
если у — иълая функщя степени < р.

§§ 804 — 806 ИСЧИСЛЕШЕ КОНЕЧНЫХЪ РАЗНОСТЕЙ. 465
Элементы второго столбца получаются стЬдуюшимъ образом^:
начиная съ 2, прибавивъ это число къ 1 и удвоивъ сумму, полу-
чаемъ 6; прнбавивъ 6 къ 1 и удвоивъ сумму, получимъ 14;
A4 4-1J = 30 и т. д, Для составлешя 3-го столбца поступаемь
аналогично, а именно: прибавляемъ первое число столбца къ сто-
стоящему отъ него слева числу предыдущего столбца и сумму утраива-
емъ и т, л, Такъ, напримЪръ, начиная съ 6, получаемъ F—f-6) • 3 = 36;
далее C6+14)-3 = 150 и т. д.*) Таблицу, составленную такимъ
образомъ, полезно иметь передъ собою, когда надо вычислять раз-
разности отъ О?, что встречается во многихъ интересных^ вопросахъ
Анализа.
805. Полезно также заметить некоторый свойства, которыя
легко выводятся изъ D). Прежде всего, A^Qi — Q, когда р~> q-
Действительно, допуская, что это справедливо для н+жотораго зна-
четя q (а это очевидно при ^=1), изъ формулы D) тотчасъ
увидимъ, что это будетъ справедливо и при замене q на q-\~l.
Изъ той же формулы вытекаетъ, если положимъ q—p -1, что
Л^Ш'^р] Нзконецъ, заметимь, что /Р'О* всегда делится на р\
Въ самомъ деле, напишемъ формулу D) сл-Ьдующимъ образомъ:
и примт,нимъ эту формулу несколько разъ ко второму члену правой
части. Тогда получимъ
Следовательно, J^O* д%лится на р; а такъ какъ во второй части
входятъ только (р 1)-ыя разности, то можно сказать, что ^0" дЬлится
ка р {р — 1)' Отсюда слъдуетъ, что каждый членъ второй части делится
на р(р—1)(р — 2), а потому и ^0? делится на р(р~1)(р — 2)
и т. д. Такимъ путемъ съ помощью ц^пи посл-Ьдовательныхъ заклго-
чешй ясно увидимъ, что zl^O* д-Ьлится на р\, каково бы ни было q.
806. Разности функцШ. Положимъ теперь, что составлена
последовательность значешй f(x), f(x-\-h), f(x-\-2h), ... неко-
некоторой функщи у. Разность р-vo порядка (р-зя разность) перваго
числа, по формуле A), будетъ
*»У "Ах + />А) - 4"/(* + (Р ~ J) А) + ^ГТ^/(А" + ip-2) h) ±/{х)-
Если разложимъ каждый членъ правой части по формуле Тэйлора,
то найдемъ, что коэффншентъ при h* будетъ
*) 11ервое число каждаго столбца равно первому числу предыдущего,
умноженному на /, гд% р ноиеръ столбца.

§ 807 ИСЧИСЛЕН1Е КОНЕЧНЫХЪ РАЗНОСТЕЙ. 467
напримЪръ, имЪть ^О7, то нужно заметить, что разложеЕня 7 на четыре
цЪлыя слагамыя будутъ
1 + 1 + 1 + 4, 1+1 + 2-гЗ, 1+2 + 2 + 2.
Первое и третье считается по четыре раза, а второе 12 разъ. Следовательно.
Ь) Для функши у — —% получаемъ
А""
х х-г h cc(x->-li)
hJt2 №
J ]
х {х +h) (а;+ к) {х + 2 Л) ~~ х (х + Л) (х + 2 Л)'
31 вообще
\~'2ft) ¦ • ¦ (x | pk)
1
Положивъ h = — 1 и зам-внивъ .v на - въ формул-fe E), получимъ
{1- А-)<1-2х)..-(Г-М)
Разлагая каждый множитель .тёвой части въ рядъ (геометрическую прог-
прогрессию) и представляя себЪ умножен1е выполненнымъ, легко найдемъ, что
¦——( — равна cyMMt в'сЬхъ произведен^ изъ q ц*льгхъ положи-
тельныхъ чисслъ, равныхъ или неравныхъ, не превосходящихъ р.
Такимь образомъ становится очевидными доказанное въ конц'Ь § 805
свойство.
с) Объясненное въ § 802 обозначеме позволяете воспользоваться
символическнмъ вычислен1емъ (§ 350), такъ что различные результаты полу-
получаются весьма легко. ЗамЪтимъ, что
пп-ихх + щх*+- ¦ ¦ =A +х? + х* !¦ а+ ¦ ¦ -)щ,
и преобразуемъ выраженге въ скобкахъ въ
11 1 . хЛ
Тогда тотчасъ получится

468 приеавлеше. §§ 807-808
Если, напрк.ч'Ьръ, данъ рядъ
Дх) = 1* х -|- 27 & + 3е л-8 + 4' .т* - - ¦ ¦ ,
то легко найти его сумму
/<* > - A _ А.J + A _ .VJ8 + ¦ ¦ ¦ !" A _ А.Г,+1
Мы ввднмъ, что У(л-) есть частное отъ дЪлешя лоливома степени q на
(l-jrjH-1.
d) Подобнымь же образомъ, когда данъ рядъ
получнмъ
Итакъ, сумма даннаго ряда есть произведете й* на полиномъ степени ^ ст>
ц-Ьлыми коэффищентамм. Отсюда сл^дуетъ, что сумма ряда
11 л 2? I 3? - 1! д-
1! + 2! +3[ ' 4! + "'
рав я целому кратному отъ е. Hanpu.vrfepb, им"Ьемъ
1 4,9, -, 1 , 8 ,27 , ,
808. Исчислеше конечныхъ разностей Huterb много полез-
ныхъ ариложен1й въ Алгебр^, о чемъ читатель можетъ узнать въ
другихъ сочинек1яхъ 1)*). Зд^Ьсь мы ограничимся указашемъ на то,
какимъ образомъ оно можетъ служить для рЪшешя задачи интер-
интерполирования (§ 343), т. е. для составления ц%лой функции у,
принимающей заранее заданныя значен1я Vo, Ук Уг; ¦ ¦-
при данныхъ значен!яхъ ха, ххл дг4, . . . независимой пере-
м*нной. Представимъ себЬ еще третью перемЪнную t, которая"
соотв-Ьтственно парамъ (ж0, уи), {хл, у,), (д:.,, yt) ... перем%нныхт>
х чу принимаетъ значения 0, 1, 2, ... Перем'Ьнныя х и у, раз-
сматриваемыя, какъ функцш отъ t, должны, следовательно, при t = p-
принимать значежя хр и ур, и такъ какъ вообще нр= {\ -\- А
то мы можемъ написать
F) х = A + J)' .гг„ у = A + dL-
J) Bertrand- „Algtbre". 2-ая часть, стр. 23У, 249 и др.
*) Для ознакомления съ Teopiero конечныхъ разностей и разнообраз-
разнообразными ея пршюжешями рекомендуемъ читателю сочинеще академика А. Мар-
Маркова ,Исчисление конечныхъ разностей". 2-ое издаше „Mathesis*. 1910.

§§ 808—809 СВОЙСТВА БЕРНУЛЛШВЫХЪ ЧИСЕЛЪ. 469
Исключение / изъ этихъ уравнен.й въ каждомъ данномъ случаЪ и
дастъ искомое соотношение между х и v- Положимъ, наприм'Ьръ,
что х0, л',, x.it . , ., хп взяты черезъ равные промежутки h въ
интервал-Ь (я?0, х,,)- Въ этомъ случаъ1 Л .т„ = li, Л-хо = 0, Аах0= 0 ...
и, следовательно,
.г- = а-0 + t Ах?, + —j _-2— J2.v,, + ¦ - • = д-0 ; til,
что, впрочемъ, можко было предвидеть. Значен|е t, получаемое
отсюда, подставимъ во второе уравнен1е F). Ofio обратится тогда
въ Ньютонову формулу ')
У -л + ¦¦ к ¦ ¦ -j - -I- —?-
Свойства Бернулл!евыхъ чиселъ.
809. Бернулл1евы числа (§ 351) очень просто выражаются
въ разностяхт. отъ 0?. Действительно, разсмотримъ последователь-
последовательность чиселъ, первый членъ которой «0 = 0, а остальные опреде-
определяются формулою
ut, = 0» + V + Г + ¦ ¦ ¦ + (р - If.
Послъдовательность первыхъ разностей и будетъ 0f, 1?, 2?
Сп-Ьдовательно, A?u0 — Лр—10г. Отсюда вытекаетъ, если приложимъ
формулу B) § 803 и возьмемъ p>q, что
Если разложимъ правую часть по степенямъ р, то коэффиц1ентъ
при р будетъ
- \ л 0'! +
Въ лъвой части при с/ > 1 коэффищентъ при р будетъ тотъ же,
что въ 1^+2*+ • - ¦ +р>, т. е. (§ 358, a) Bq. При q = 1, онъ
равенъ Вх 1——Z?lP При всякомъ другомъ нечетномъ q,B9=0,
поэтому можно сказать, что коэффищентъ при р въ ир всегда ра-
равенъ (— l)qВч. Итакъ, имЬемъ
A)
!) Интересное приложен этой формулы къ отд-Ьлен[ю корней
даетъ теорема Choquet и Matrot (Mathesis, 1891, стр 218).

470 ПРИБАБЛЕН1Е. §§ 809-810
Эта формула послужить намъ для доказательства одной интересной
теоремы,
810. Теорема Штаудта и Клаузена (Staudt und Clausen).
Всякое Бернулл1ево число Bin равно целому числу безъ
суммы обратныхъ величннъ техъ простыхъ чиселъ, кото-
рыя делаются делителями 2п, когда ихъ уменынимъ на
единицу 1).
a) Докажемъ сперва следующую лемму: Всякое составное
число р, большее 4, есть делитель числа (^—1)! Действи-
Действительно, число р, если оно не простое и не квадратъ простого, можетъ
быть разложено на два множителя, не равныхъ между собою и не
равныхъ 1. Эти числа входятъ въ составъ гтроизведен!я 2-3- • (р — 1),
следовательно (р—1)! делится на р. Если р квадратъ простого
числа ц,, то произведете 2 -3 ---(/»— 1) содержитъ въ себе множи-
множителей {л и 2 ц и потому делится на 2 ,ы2, а следовательно, и на рл
если 2fi<Cp, т. е. /*>2. Следовательно, между числами р, не
простыми, только 2г составляетъ исключеше,
b) Посмотримъ теперь когда А? ! СК дЬлится на р. По дока-
доказанной лемм^ оно делится на р при всякомъ составномъ р, которое
больше 4, потому что такое число р делить (р—\)\, которое
само есть делитель Av—l Qi (§ 805). Но и при р — 4 будетъ то же
самое, если q число четное; действительно, въ этомъ случае
прямо видно, что число
i ^ о? = :; C*-' + \) - ?, ¦ 1!1~2
есть число целое, потому что Ъ')^1-\-\ делится на 4. Остается раз-
смотреть случай р простого.
c) Разделимъ q на р— 1, и пусть q = k(p—\)-\-r. Такъ
какъ г-Ср \, то Л^ 10' = 0. Поэтому, если въ известной фор-
формуле (§ 804)
,-,>• 1 о» = (j» - 1)« - Р-_1 {р _ 2f + &
вместо I/ моставимь г, то получимъ
при услов1и, что г не равно 0, въ какомъ случае въ правой части
надо еще прибавить +1. Поэтому, Л^'-'-О'' выражается также
формулою:
г) Приводимое здесь доказательство, принядлежитъ Radicke (Радике).
См. „Nouvelle Correspondence Mathematique", 1880, стр. 503.

§§810—811 свойства ёернулл1евыхъ чиселъ, 471
+ (g_20 + p[
гд-fe, вообще, Q = 0, а при r = O имкемъ о — (— \у. Между гбмъ,
по теоремъ Фермата ')> простое число р, не делящее а, дЬтитъ
ар~у— 1. Иными словами, ар~1 есть кратное отъ р, увеличенное
на I, и то же самое, очевидно, можно сказать и объ o*<J'~a).
Отсюда слЪдуетъ, что ра'зность
а? ~ аг- ar { aki*-V - I )
делится на р. Итакъ, Лр~10'!^ д (mod p).
d) Изъ предыдущаго изсл+.дован1я вытекаетъ следующее:
Др-1 Qv не делится на р только при р простомъ и q деля-
делящемся на р—1. Въ пос.тЬднемь елуча-fe остатокъотъд+лен1я 4°~ 1О'/
на р равенъ (—\)р, т. е. равенъ — 1 (или при р = 2 сравнимъ съ
— 1 (mod />)). Поэтому, если въ формул^ A) положимъ q = 2n
и обозначимъ черезъ а, /?, у, . . . вс4 простыя числа, обладаюиля
тФ,мъ спойствомъ, что 2 и делится на а — 1, ji — 1, у — 1, то
получимъ
Я„л = ц-Ьлос число — (- ,, Н h •
\ " у У
что и выражаетъ теорему. Эта теорема облегчаетъ составлеше таб-
лицъ Бернулл1евыхъ чиселъ. Только съ ей помощью Адамсъ2)
могъ довести вычислеше этихъ чиселъ, начатое Омомъ (Ohm), до В]М.
Kpowfe того, она до H3BtcTnon степени раскрываетъ связь между
Teopiefl Вернулл!евыхъ чнселъ и некоторыми трудными вопросами
теорш чиселъ. Такъ, напримЪръ, Куммеръ 3) доказалъ знаменитую
теорему Фермата о невозможности решить въ цЪлыхъ числахъ
уравнете х"-\- у"= г4 при н>2, для всбхъ простыхъ чиселъ, кото-
рыя не дт,лять числителей Бернулл1евыхъ чиселъ B,lt B4, ..., й„_з-
811. Въ § 361 было показано, что Бернулл1евы числа съ
четньшъ показателемъ имъютъ по очередно знаки -|~ и —; теперь
мы покажемъ, слт^дуя Липшицу (Lipschitz) 4), что, начиная съ nt.KO-
1) Baltzer, .Elernente der Malhcmatik" B-ая часть, § 13) или Чебы-
шевъ, „Теор!я сравнен1'й", стр. 31—32.
-) „Crcile's Journal" A878, стр. 269). Чтобы составить себ-Ь nOHHTie о
меяаническихъ загрулнен1яхъ этого нычислешя, достаточно указать на то, что,
начиная съ Вш, въ числите.тЬ будетъ бо.тЬе 80 цифръ.
8) „Crelle's Journal" A850, стр. 130).
*) „Bulletin des sciences mathematiques et astronomiques A886, стр. 142)-

472 ПРИБАВЛЕНА. § 811
тораго мъхта, то же самое справедливо относительно цълыхъ ча-
частей этихъ чиселъ '). Действительно, мы им^емъ
«2 = 1 - D + i) Blti -= - 6 - (\ + { + i + Vr)
Bi - 1 • Й + i + ?) ^'is = 56 - (i + i + + + T',)
5(i-l-(i + .5-r!) 520= -528 -(i + i+J-Ь-Л)
_ (| + |. + i) 522 ^ 6193 — (i + J + 2LT)
B21= -86579-(i +J + ^ + i+т'з)
B.,K = 1425518 - (% + i)
2 - (i + 5)
ан = - 27298230 ¦¦ D -j- J + ' +
Такъ какъ Вчр > 0 при р нечетномъ, то т-Ьмъ бол-te ц^Ьлая его
часть будетъ >0, и надо поэтому доказать, что при р четном!,,
не меныпемъ 8, цЪлая часть въ Въ? будетъ < 1. Положивъ р = 2 п,
найдемъ на основании формулы B), что цЪлая часть В-щ наверно
меньше, чЪмъ
1 V < В^ + l0g D " + 1Ь
такъ какъ (§ 183) //„ - log и < 1/п_х — log (» - 1) < ¦ ¦ ¦ <Nl-\ag\ = l.
Между т'Ьмъ, припоминая формулу Стирлинга, имЪемъ (§ 365, а)
Следовательно, ц"Ьлая часть въ Bs.n меньше,
и теорема Липшица будетъ доказана, если удастся найти такое
значете п, при которомъ посл-Ьднее выражеше < 0, потому что
тогда для всякого п, большего найденнаго. оно также будетъ < 0.
Для этой цълн достаточно определить п такъ, чтобы одновременно
было
2 п > ле, log D п + 1) < 4 яУ'е
и тотчасъ видно, что эти неравенства выполняются при п = 5.
1) Объ этихъ цт>лыхъ частяхъ тракгуегся въ нъ-которыхъ изсл^ова-
Эрмнта (Hermite) въ „Crelle's Journal-' A876, стр. 93).

§ 812 последовательный нроизводныя функщи отъ функщи. 473
Последовательный производныя функц!и
отъ функции.
812. Положимъ, что последовательный производныя некоторой
функцш и известны, и составимь сумму (§ 467)
и(г)
Такъ какъ производная функши к,.= -тг равна кг ~ (г-\-\)
то производная члена к,., а,^. . . ьч (rt + г2 + ¦ • ¦ + г{ — р) въ c
UPi i будетъ равна
<1)
Чтобы одинъ изъ этихъ членовъ совпалъ съ даннымъ членонъ
суммы Up.\iti, должно быть
и, следовательно, @,, >1. Если это такъ, то членъ B) встретится
?>„ разъ въ A). Итакъ, вышеназванный членъ заключается въ U'p, ,¦
столько разъ, сколько единицъ въ сумме тЪхъ д; которые больше ],
т, е. (р-\-\—т) разъ, гд+. т есть число техъ д, которые равны 1.
Разсмотримъ теперь члены
Ч «f]«,-, ¦ ¦ • fV;_t (''i - >'2 + r:i -f ¦ ¦ ¦ + '',¦ i = P)
суммы UPi i_i, и умножимъ каждый изъ нихъ на е,, помещая этотъ
новый множитель последовательно на каждое изъ / местъ, которыя
онъ можетъ занимать
Такимъ образомъ мы построимъ схему, въ которой членъ B) будетъ
заключаться т. разъ, въ то время, какъ число всъхъ членовъ схемы,
очевидно, будетъ равно ?"ех UPl i—\. Следовательно, членъ B) будетъ
заключаться (р-\-1 — т) -\- т = р + 1 разъ въ U'lh,. -4- г б, U#, j_i ,
и потому будемъ им%ть

474 ПРИБЛВЛЕН1Е. §§ 812—814
Эта формула выражаетъ основное свойство алгориема U. Она
будетъ справедлива безъ ограничешй, если условимся полагать
/Ул, = 0, когда «>/> или г"<1.
813. Теперь мы имЪемъ возможность найти общее выражеьпе
/>-ой производной функщи /~(х) = (р (у> (х)), если последовательный
производный функцш q> и \р изв-бстны. Для простоты положишь
у —¦ f(x), и = У>(х), такъ что у — у (и), и докажемъ, что
^ г: "'2 ¦*" з
Взявъ производную по х, пользуясь при этомъ формулою C),
увидимь, что полученное выражете будетъ отличаться отъ D)
только заменою р на р -\- 1; а такъ какъ формула D), очевидно,
справедлива при р = 1, то она справедлива и вообще.
814. Приложен!я. а) Производная порядка^ отъ у = у{<?) можетъ
быть выражена съ помощью алгориема (§ 807, а)
Формула <4) дастъ
Ь) Полагая, въ частности,
2 т rJ>) nw I \i—1 _т
Ф (х) ~ _^—;,, такъ что '—.,—- I —-?- sin (/- 1) ^-г-
получимъ, какъ изн-Ьстно (§ 354), у — ehx. Фор.мула E) дастъ тогда при х = {
следующее выражен]!: Эйлерова числа Е чере.эъ разности отъ 0р:
ЕР ¦-= -
|- B ^ 0'' - 2 ^ 0" + V О1')
-р B /?1! 0* - 2 .-?' 0^ (¦ ^ С)
^а B J10 0J' — 2 /Л1 0" + J12 О'-1}
с) При <(;(х) = - - формула D) дастъ
Л"
Полагая последовательно

§ 814 последовательный производный функц1и отъ функши. 475
и полагая въ последней формул-Ь х = 0, получимъ слЪдуюиця выражешя
ВернуллЙевыхъ и Эйлеровыхъ чиселъ:
d) Полагая, наконецъ,
у - A 4- a.r) A -Ь',9лг) A + ух) ¦¦¦= <'й,
обозначимъ черсзъ sr и с(. суммы ^-ыхъ степеней чиселъ «, ,tf, ;¦, ... и
произведенШ ихъ по г. При ,г = 0, имЪемъ, очевидно,
г! г' г! г
Если въ формул* D) положимъ последовательно if. (х) — ех, if (x) — log д1.
и л- = 0, то снова найдемъ формулы Варинга (§ 467)

ЗПМЬЧЕННЫЯ ОПЕЧАТКИ.
Стран. Строка Напечтпапо Нужно читать
Пропущено имя автора статьи: Клейнъ
д ц: d <f
д s d .9
706 706
21
65
71
229
238
3
2
9
16
10
9
св.
сн.
сн.
сн.
сн.
СИ.
427
Въ первой части книги замечены еще
опечатки;
4 св.
9 с в;
13 св.
253
положнвъ ii = 2p
363
353
положивъ п =
362

Предметный указатель.
(Числа обозначаютъ страницы книги).
Антиподэра. 133.
Аеимптотическ1я линли на по-
поверхности. 184 (въ частности, на пов.
вращешя. 229). Теорема Бельтрами
относительно кривизны асимпт. лиши.
204, 226. Теорема Эннепера относи-
тслько крученая асимпт. лиши. 225.
Асимптоты плоской кривой- 33,
Ас. алгебраической кривой. У8.
Астроида. 81, 131. Астроида, какъ
гипоциклоида. 91.
Бсзконечно малая величина. 3.
ПредтУ1Ъ отношешя двухъ безкопечно
малыхъ. 7.
Бернулли. Дифференщальнос урав-
неше Бернулли. 415.
Бернулл1евы числа. Теорема |
Штаудта и Клаузена. 470. j
Бертрановы кривыя. 175. I
Бином)альные дифференщалы.
338. [
Бинормаль къ кривой двоякой
кривизны. 140.
Вейерштрассова функшя (не-
прер. функщя безъ производной). 459.
Вив1ани. Кривая Вив!ани. 373.
Винтовая лин!н, цилиндрическая.
170. Отношеик кривизны постоянно.
171. Круговая винтовая лишя. 168.
О6Ь кривизны постоянны. 170. Кони-
Коническая и цилиндро-коническая винто-
винтовая лишя. 171.
Гамма (функщя). Формула Ле-
жандра для Г(.г+|). 360- Формула
Раабе. 263. Форм^'лы для пычислен1я
Г (а-). 365. Таблицы для log Г(х). 359.
Геликоидъ, развертывающШся.
170. Гел. съ направляющей плоскостью-
170. Онь нвлястси единств, минималь-
минимальной линейчатой поверхностью. 210.
Геодезическая кривизна кри-
кривой на поверхности. 205. Геод. кри-
кривизна обращается въ нуль на гсодезнч.
лишяхъ. 206.
Геодезическая лиюи на поперх-
ности. 184. Формулы Вейнгартена. 229.
Гиодез. лиши на конусЬ. 173. Геодез.
лин1и на пов. вращешя. 230,
Геодезическое крученое кри-
кривой на поверхности. 221. Геод. кру-
чеН1'е обращается въ нуль вдоль лиш'й
кривизны. 222.
Гинерболичеопя точки поверх-
поверхности. 182.
Гипергсометрическ1й рядь.
446. Диффср. уравнеше Гаусса. 446.
Главные рад1усы кривизны
пов. въ какой либо точки ея. 207.
Главная нормаль къ кривой,
двоякой кривизны. 140.
Горловая (стрикшонная) дин!я ли-
линейчатой пов. 185.
Двойной иптегралъ. 293, 300..
Введеш'е новыхъ перемЬкныхъ. 306.
Двойныя касательныя плоской
кривой. 116.
Двойныя точки плоской кривой,,
109.
Двурогъ. 115.
Декартовъ лиетъ. 100, 112,

478
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.
Диффсрешиалъ функщи отъ од-
одной переменной. 9. Геом. значен^ диф-
ференщала. 10. гг-ый дифференщалъ.
П. Иэм-Ьнеше независимой перемен-
переменной. 15. Частный дифференща.ть функ-
цш отъ многихъ перемЬнныхъ. 21.
Полный дифференц!аяъ. 22. Его гео-
геометрическое значение. 24. Посл-вдова-
тельное дифференциронаше. 24.
Дифференциальное уравиен!С
(обыкновенное и въ частныхъ произ-
водныхъ). 410. Обыкн. диф. уравнешя,
который можно проинтегрировать. 414.
Линейныя диф. уравнения. 435 (съ пост,
коэффициентами. 440). Обыкн. сово-
совокупный диф. уравнешя. 449. Диф.
уравнения съ полными дифференциа-
дифференциалами. 447. Линейныя уравнешя въ част-
частныхъ производныхъ. 451.
Дифференц!альные параметры.
30.
Ду га. Дифференщалъ дуги плоской
кривой. 52. Диф. дуги кривой двоякой
кривизны. 139. Длина дугк кривой.
368.
Изм-внен1е нроизвольныхъ по-
стоянныхъ (метода интегр.линейныхъ
диф. уравнешй). 437.
Изолированный точки кривой.
109.
Индикатриса (указательница) Дю-
Дюпена. 183.
Интегралъ (неопределенный и
опред-Ьленный). 237, Другое опред-Ь-
лете. 241. Услов!я интегрируемости.
246. Критср1'умъ Римана. 256. Двойной
интегралъ. 293, 300.
Интегралы обыкн. диф. урав-
уравнений; общШ инт. 411; частн. инт. 411.
особенный инт. 412.
Интегрированie функщи путемъ
подстановки. 266, Интегр. по частямъ.
277. Инт. путемъ разложения въ рядъ.
287, Кратное интегр. 292. Инт. рацю-
нальныхъ аифференщаловъ, Э23, ирра-
шональныхъ, 330, бином!альныхъ, 338,
трасцендентныхъ 343, полныхъ диффе-
ренщаловъ, 321.
Исчислен1е конечныхъ разно-
разностей. 462.
Каналъ (поверхность). 196.
Кард1Оида. 66. К., какъ эшщи-
к.поида, 90, какъ каустика круга, 138.
IlocTpocHie центровъ кривизны, 80.
KacaHie «-го порядка между пло-
плоскими кривыми. 120. Касаше между
поверхностями и кривыми. 160.
Касательная къ плоской кривой.
56. Кае. къ алгебраической кривой. 57.
Кае. кънеплоск. кривой, 13S. Кратчайшее
разст. между двумя безконечно близ-
близкими касат. (теорема Бонне). 156.
Касательныя возврата къ пло-
плоской кривой. 116.
Касательныя изгиба къ плоской
кривой. 116.
Касательныя и касательная
плоскость къ поверхности.. 178.
Катеноидъ, 174. Кат. — единств,
минимальная нов. вращетя. 210. Его
асимитотическ1я лиши, 231.
Каустика плоской кривой отно-
относительно точки. 135.
Квадратриса. 65.
Классъ алгебра.ич. кривой. 116.
Клеро. Диф. уравнен^ Клеро. 415.
Клотоида. 395.
Коническое евчеше. Различный
построен!я центровъ кривизны. 83 и
сл-Ьд.
Конхоиды плоской кривой. E0.
Косыя круги. 16S*.
Кохлеоида. 64.
Кратныя точки плоской кривой.
108. Связь съ формой Гессе въ случай
алгебраической кривой. 111.
Кривизна плоской кривой, ра-
Д1усъ кривизны, центръ кривизны. 72.
Формулы для pajiiyca кривизны. 76.
Кривизна (первая) нсилоской
кривой, рад1усъ кривизны. 148. Геом.
значеше знака кривизны. 153. Прямыя —
единств, кривыя, у кот. кривизна всегда
равна нулю. 149. Вторая кривизна
неплоской кривой (см. кручеше).
Кривизна кривыхъ на поверх-
поверхности. 202. Теорема Менье. 203. Тео-
Теорема Эйлера относительно кривиэнъ
нормальныхъ свченШ. 206-
Кривизна поверхности, сред-
средняя, 209, полная (Гауссова), 211. Не-
Неизменяемость полной кривизны при
сгибайи, 212. Поверхности съ посто-
постоянной средней кривизной; минималь-
минимальный noi. 210. Пов. съ пост, полной
кривизной. 212.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ,
479
Кривы я, плосыя 52, двоякой кри-
кривизны, 138.
Кручсн1е, рад^усъ кручетя кри-
кривой. !48, 150. Плоск1я кривыя явля-
являются единств., у кот. кручеше всегда
равно нулю. 151. Геом. значеше знака
кручешя. 154.
Линейчатый нонсрхности (ко-
сыя и развертывающаяся). 185. Условие,
характеризующее развертывающуюся
пов. 186. Нормали къ косой линейча-
линейчатой поп. вдоль образующей. 190.
ОпредЪлеше асимптотич. лиши на косой
линейч. пов. зависитъ отъ уравнеЕня
Риккатти. 431.
Ли Hi'n кривизны на пов. 184.
217. Формулы Родрнга.'219. Теорема о
лишяхъ кривизны, которыя являются
плоскими или сферич, кривыми. 219.
Логариемическая кривая. 60.
Центры кривизны. 78.
Логоцикл ика. 101.
Минимальный поверхности. 210.
Миним. пов. Шерка. 433. См. также
гели ко иль съ напр, плоскостью и
катеноидъ.
Монотонныя функт'и. Ихъ ин-
интегрируемость. 251.
Неявная функция. 37 и слъ-д.
Нормаль къ плоской кривой, 56.
Норм, къ поверхности. 178,
Нормальная плоскость къ кри-
кривой двоякой кривизны. 140
Нормальная кривизна кривой
на поверхности. 205. Она обращается
въ нуль па асимптотическихъ лишяхъ.
206.
Объемы т-влъ вращежя. 386. Объ-
Объемы произвольныхъ гЬлъ. 397.
Огибающая семейства кривыхъ.
126. Огибающая -^ поверхностей, 192,
w2 поверхностей, 194.
Описанный около поверхности
конусъ и цилиндъ. 180.
Особенности илоскихъ кривыхъ
иъ координатахъ точки, 103 и с.тЬд,.
въ тангеншальныхъ координатахъ, 116.
Особенныя точки и линш на
поверхности. 180.
Параболическая точки поверх-
поверхности. 182.
Пересоприкасан1е (см. сопри-
касаше).
Площади плоскихъ кривыхь. 374.
Плюккеровы формулы (относя-
(относящаяся къ особенностямъ алг. кривыхъ*).
116.
Поверхности. 178 и с.ть"д. Пов.
2-го порядка; ихъ полная кривизна. 212,
Поверхности тЪлъ вращения. 386.
Поверхности произпольныхъ т-Ьлъ.397.
Подкасательная плоской кривой.
; 58. Полярная подкасательная. 59.
¦ Поднормаль плоской кривой. 58.
Полярная поднормаль. 59,
"Подэра. 70. Построеше центра
i кривизны. 85.
| Полярная поверхность кривой
: двоякой кривизны. 19Э Эволюты кри-
I вой служатъ геодез. литями на полярн.
пов. 200. Ребро возврата есть общее
мЪсто центровъ соприкас. шаровъ. 201.
Иорядокъ алгебр, кривой. 116.
Производная. Произв. функщи
/'(.v. у, г) въ данкомъ направлен1и. 29-
Производныя высшихъ порядковъ
функцш отъ функши. 473-
Псевдосфера. 212. Асимптотиче-
СК1Я лиши. 232.
Развертывающ1яся поверх-
поверхности- 185, 212. Ихъ дифференшаль-
ное уравнен1'е. 194. Главныя кривизны.
213.
Рибокуръ. Кривыя Рибокура. 86,
92.
Риккати. Диф. уравиен1е Риккати.
416.
Родъ алгебраич. кривой. 116. Кри-
Кривыя нулевого рода (уникурсальныя).
117.
Рулетты. 88.
Риды функт'й. Почленное инте-
rpnpoaaHie. 287.
Синусъ-спирал и. 68, 92. Рад1усъ
кривизны, 81.
Соприкасан]е въ случай плос-
плоскихъ кривыхъ. 123. Соприкасающейся
кругъ; онъ вообще переевкаетъ кри-
кривую. 74. Если его рад[усъ достигаетъ
max. или min., то имзетъ мъсто пере-
соприкасан1е. 125.
Соприкасагощ1й кругъ къ кри-
кривой двоякой кривизны. 163.

480
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.
!
Соприкасавшийся поверхно- !
стн къ кривой двоякой кривизны. 160.
Соприкас. плоскость. 140, 161. Сташо-
нарная соприкас. плоскость. 161. Кри-
Кривая вообще перес-Бкаегь сопрнк. пло-
плоскость. 154. Исключения. 159. Соприкас.
шаръ. 156, 162. Кривая вообще не
нересъкаеть его. 163. Пере-соприкас. ;
шаръ. 164. Общее Mtcxo цектровъ
соприкас. шаровъ. 166.
Соприкасзюнияся прямыя къ
поверхности. 181.
Спираль, архимедова. 62. Архим.
спираль, какъ подэра эвольвенты кру-
круга. 137. Гиперболическая спираль. 64.
Логариемическая спираль. 61.
Спрямляющ]"я плоскости кри-
кривой двоякой кривизны. 140. Ихъ оги-
огибающая. 201.
Стрикц1онняя (горловая) лишя
линейчатой поверхности. 185.
Сфсрическ1я кривыя. 165. Ихъ
центры кривизны. 203.
Сферическое крученое кривой
двоякой кривизны. 1Ь8.
Теоремы о среднемъ знэченш
(первая и вторая). Э52.
Точки возврата плоской кривой.
109, 111.
Точки закруглешя поверхности.
217.
Точки изгиба плоской кривой, j
103. Связь съ формой Гессе въ случай
алгебраич. кривыхъ. 105.
Траектории семейства кривыхъ
на плоскости. 427-
Трактриса. 132.
Уголъ кручешя. 141.
Уголъ смежности,, въ случай
плоской кривой, 71, въ случай кривой
двоякой кривизны. 141.
Указателькица (индикатриса)
Дюпена. 163.
Улитка. 66.
Уникурсальнын кривыя (нуле-
(нулевого рода). 117.
Френе. Формулы Френе для диф-
ференшаловъ фундаментальныхъ ко-
синусовъ кривой двоякой кривизны.
146.
Френель. Интегралъ Френеля. 395.
Функциональный определи-
определитель (Якоб1акъ). 27.
Центры тяжести. 392. Теорема
Гульдена. 392.
Циклоида. 69. Длина дуги и кри-
кривизна, натур, уравнение. 87, 88. Эво-
Эволютой циклоиды является также цикло-
циклоида. 132.
ЦЪпная лиюн 60. Центры кри-
кривизны, натур, уравнеше. 86,
Цъпная линия равнаго сопро-
тивлен1я. 61. Центры кривизны, натур,
уравнегае. ?7.
Эвольвента круга. Натур, урав-
неше. ?8.
Эволюта и эвольвенты плоской
кривой. 128. Раддусъ кривизны эво-
эволюты. 130. Эволюты и эвольвенты кри-
кривой двоякой кривизны. 190.
Эйлеровы интегралы. 262, 358.
Эллиптически интегралы A.,
2., 3. вида). 334. Полные интегр. J. и
2. вида. 346. Преобразована Ландена.
348. Каждый эллипт. интегр. 1. вида
выражается черезъ два эллипт. интегр.
2. вида. 349. Теорема сложешя для
эллипт. интегр. 1. вида. 424.
Эллиптичсск1я таблицы Лежан-
дра. 349.
Эллиптическ1я точки поверх-
поверхности. 182.
Эпи- и гипо-ииклоиды. S9. ОнЪ
подобны своимъ эволютамъ, 132.
Якоб1анъ (функциональный опре-
определитель). 27.
Як об и. Матрисса Якоби системы
функщй, ея значеше въ eonpoct a
независимости функщй. 45.