СОДЕРЖАНИЕ
Основные понятия теории групп. Определение группы............1
Циклические группы...........................................6
Подгруппы.....................................................9
Критерии для подгрупп........................................10
Изоморфизм групп.............................................12
Подгруппы, порожденные множеством элементов..................15
Смежные классы и индексы.....................................19
Сопряженность................................................26
Инвариантность...............................................33
Гомоморфизм..................................................39
Фактор-группа................................................41
Центр группы.................................................46
Теорема Силова...............................................49
Центр и коммутант............................................59
Прямые произведения..........................................62
Определение внешнего прямого произведения....................63
Фундаментальная теорема теории конечных абелевых групп.......67
Нильпотентные группы.........................................72
Ряды подгрупп................................................82
Разрешимые группы ............	        .....8Q
Подгруппа Фраттини...........................................87
Свойства подгруппы Фраттини..................................89
Сверхразрешимые группы.......................................95
Автоморфизмы групп..........................................100
Эндоморфизмы и операторы....................................105
Группа операторов............................................ПО
Расширение групп посредством группы операторов..............102
Совершенные группы..........................................116
Сплетение групп.............................................117
Группы Шмидта...............................................118
Радикальные классы групп (классы Фиттинга)..................125
Примеры радикальных классов.................................127
Формации....................................................132
Примеры формаций............................................133
gSOF-П!ГРУПП
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП. ОПЮТШИЕ ГРУППЫ.
Алгебра запивается изучением куншдаП,определенных на некотором
множестве К со значениями в м, Эта яункцая юзе® бить одного,
двух и т»д. ЛИ переменных. В тэоркп групп эта йутпщия двух пере-
менных:
f Сх, У ) М J * ^У & М
Такая функция называется бинарной алгебраической оперёпией. В
дальнейшем вместо записи (5г, у> пи будем операцию обозначать так:
ху Л-у
Непустое множество G с бинарной алгебраической операцией. на-
зывается группой, если:
j/снерацпя ассоциативна: сь(£с.) - (а@)су Усь^С € G
'Л/ъ & есть такой элемент е /он называется правок едашщей/,
что схе = G, Усь 6 &	'
3/дак Va 6 G ,з G существует такой элемент а 1 е G
/он называется правый обратна®/, х®о сх а, =е
Правая единила для всех элементов аз G одаа а та ие.СОратшй
алеиеит супрствуот дан каждого элемента из G .
й&&етейше следствия и-определения,.
1.1Гропзведр5ше дибых п элтк^ов группы не зависит ат расщс
деления скобок, указывавших на порядок, в котором дакно выпол-
,7
пяться умеояевие. й?о называют обостренным ассохдаативна." законом.
Доказатезьство проведем аддукцией по п .
I.	Если ,то спроведаивость следует из 1/ определения
группа
й/вудегл считать, что дат п^З н всех чжел, моиьыих п ,
паше утверждение справедаво,
Докаасы, wo есж в проазвэдаяап а-п некоторым образом
расшределитьсшэбки, указывающие на порядок выполнения уинолания,
тс спо не зависит от этого. Совершим послодоват&яьио указанные
скобками перемещения. В качестве последнего дата т будем
умноявть произведение к первых элементов
а-, сс£.. . <2^
где /; к < п-1 s па произведение О,^   ^
Каздое нз отих произведении, состоит из меньшего, чем ft,* числа вво-
нителей, и поэттету, по предоолакению индукции» однозначно определены
Допустит.?, что скобки распределены плаче, и в качестве последнего
шага мы домхнн будш уиаоливь произведэиЕе первых 6 элементов
Ct,t Oj.. <2.е на произведение
й» ... Ct	1	п-1
faz п ,	-	- •
Очевидао, что кавдое из этих произведений однозначно определено.
Нам остается показать, что для любых к > (,	, где к ,
справедливо равенство
*
^Ca-Kitct-K^... о-п) °>а^- ^е,)Са-е,(с^г...а^)
Дяя этого достаточно рассмотреть случай С ~	1 s так как
вроизведенее л,... аг	всегда иопно заменить одет
аламентом.
Дла окончания дрказатаяьс^а положим:
а, аг ... ак = ; а,^г Q^_,.	= с
йа подучаем на основании I/, wo	с)	,
Wo е требовалось доказать.
-/ -/
2.	Сьа. = е т.е. сь является и лент обратным дах «- .
В сяяу доказанного имеем: а1 а, -сь1а.е ~ а1^^1(а~‘) *—
— а 1 (a q'^JCg-')	а*е.	а~‘ (а1) ’=е.
3.	Qa.~ q_ t.s. е является и левой единицей. В сиду
доказанного есг> = аа ^а. - а. (а~{а) = ае =ci.
о
4.	е - единственная одаада группы.
Допустим, чию в G две еданицн е и е , тогда.
ее'=е s е'-е =е'
Но левые части одинаковы, т.е» е
5.	Дня всякого элемента ссе G существует еденственный
обрэТНЫЙ.
Допустим, что Q 1 и к - обратные элементы для а. «
Тогда
ка,а ^к(аа )=ке=к
ксьсГ1 - (ко.) а"' = е ег’= с?~/
т.е. к=а~/
Далее будем говорить только об единице и об обратном элементе.
6.	Б группе G уравнение ах=ё имеет единствепше ре-
шение	.
Пусть л - любое решение, тогда (
х = ел ~ а'ал = Q '‘ £
и единственность следует из того, что любое решение записывается
в виде <2 1 &	/ ироиввадеике - однозначно/
7* Уравнение имеет единствеаное решен®) *
8. Золи «-с = е , то с = а 1 , а. = с~*	, где
с - обратный дан о, s а. - обратный дея с »
Из 6. следует, что при	л=ае =а~^ ч^е.с^о'
/лалогично из 7. следует, что а - с ' й
9,	d.
-1
теаш cl а, . Согласно 8* cl - обратный дах ?
т.е.
Ж Положим по счхределенквг
а/ а сь... сь-
}	/7
W а. - сг. , если п 1
ас = е
- 4 -
Определяй целые отрицательные степени зяаментов.
с// аяег»ента группа G , обратные псдавительжи степенны
элемента Лев- называются отрицательна®! степенями элемента
т,е.	при п>с „ покжем, что (а”) *х>>о.
В саду доказанного о. Г<2	= е .
Вычислим Ct*1 (а~*)п= а...с^а*..<%*-&., т.е.	(а”)
В дальнейшем его будем обозначать л п =(л~0 при .
С помощью приведенных определений лса?ио проверяется, что дач
лабах полюаиЕвльннк, отрицательных ши нулевых показателегЗ п и w
„ <2 ZZ2 _ г>7 >?	*} + гт?
имеют место равенства а. сь -Q а. —а
Са^=(ат>” = a™  1
II* (а, <э£... а„) 1 =	...а/
В частности С а&) 1 - £ а 1
В авд доказанного (а,...оп) 'Co,...q„)-g '<э~г...а~га,...
Группа G называатся жеядутагивдрй влз абелевой, если = &&-
для любых g G- „
Группа называется конечной, если она содержат лишь конечное
число алеиенюв и бебкоиечгюй в прогивиом случае.
Копность множества G обозначается I&I .
Если шояество (G ~ конечно, то его вющзость равна чкслу ®ле-
лептов. ймчностъ группы аавыБастса порядаик гпущи»
Непусто$шоаоство & с бинарной операцхей • называется
группой, если:
1/ а(&с) = fa Ос J	€ G
2/ Vq£ Ях^у е G- , что <?л=/ _ у а. ё / где л
а у называется правым и левш частная от деления на. а- /
Пох-сахем эквивалентность .двух определении группы.
Пусть ниоавство G с бинарной операцией ’	, удовлетворяет
сшр.едаленню I, тогда vo свойствам л. в?, уравнения ал=£_1ул^ё
июют едшственяое решение. Отеается доказать, что из 2-определеная
следует I . Так как ах - & разреыию, имеет единственное ране-
ние, во существует злемепт ел такой, что
а. = а	/I/
т.о. еа ~ единила дан сь
Дскашл, что она не зависит от набора едемента а, , Дид уе~ G-
после ушоаения /г/ мкеаи уаей =уа~
у - реиеняе уравнения ул = ё.
Тогда ёеа~ ё , т. е. ел - еднняца группы G-. »
Элемент группа, удовлетворяккщй уравнению ах = е будем называть
правам обратный да сс z обозначать а"1 ,
ирнмеры:
41, Иноггеотво всех комплексных чисел относительно сэюжешя-группа.
<’ 2. Инояеотво всех подстагаовок л? стволов отдооителыю
умнойвннн - группа. Она называется твзетрзчвекой группой /7 -ой
степени.	,	।
I SJ = п '
Она не абелева при и > 2.
3.	Множество Ап вс-за четных подстановок П адемеатов отно-
сительно уыиояенияг - группа. Эта группа называется знакопеременной
группой п -ой сйздеяи.
Ии1 = 2-П-
4.	йЕюаесаво всех неварояданних матрвд порядка п над полем F
относительно уклонения не абелева группа / гч > 2 /.
Эта группа называется полной лэиейнод группой и обозначается:
(3-L Си^ F) , и - порядок, F ~ ноле, над который рассмат-
ривается -матрица.
бЛоказать, что подавоиество S L(A О с G L frp р) всех матриц
с определителем, равнш едашще, отяоситально умаозеная — группа.
Она называется сп лиальной линейной группой.
- fi -
6. рассмотреть в GL(^jF) под?инокеетво
треугольных матриц. о нулевая- элеиентеми под главной диагональю
и с едиа вдгж на дваг панк, относительно умножения, т.е. матриц
звда
Это будет унгиреугольная группа.
ИИШ

Пусть & - группа, а. е G . Рассмотри мнокество всех степеней
этого элемента
.. ,л a t а\ а*, а =е.	<».. •
Так как aGa1 2^1- а”*™ , то доя данного гдаовества степеней отно-
сительно операции, определенной в группе & выполняются все акси-
омы группы но определению I группы. Эта группа обозначается
<л> = у1.. а ajC^e q ^... J и называется-циклической подгруппой \
группы & , порожденной элементом сс » иоыет случиться, что каж-
дый элемент группы G- является степенью элемента <2.
т.е.
&=<а
в этда случае называетон
ни:
^^гаюйгщшой.
и

I, Вращение вокруг центра правильного п -^гальнвка. Под эле-
ментом сь будж понимать вращение его на угол тогда под
элементом а!<> «понимают вращение на угол ~~ , с? °- на
месте, под а~к - в обратную стороцу на угол- . Очеввдно,
это будет циклическая грунна.
2. Множество корней и -ой степени из единицы относительно
Умноквыия- питопттелЕпя группа, так как каадай аяемент является
степенью:
группа. И если ее порядок равен И
все различные элементы группы G-
&,*= е , всегда следует, что л?
Доказательство.
Пусть дана циклическая группа
Логически возможны два случая:
I) все степени элемента CL
CL*’ ¥= QJ , если
В этом случае получим, что G-
жество целых чисел бесконечно/'
Теорема I.
Пусть G~ - циклическая группа, порожденная элементом cl ;
тогда:
I) если все степени CL- различны, то G- - бесконечная группа.
2) если среди степеней встречаются равные, то G- - конечная
_ О	2.
, то сг = a J ... , 4?
, причем	. Из того,что
делит к . '
Gr=<a> - {.. ^cfj ac=ej&*...]
группы различны, т.е.
бесконечная группа,так как мно-
2) найдутся Z и J такие, что Q-L=Q'! j i	.Покажем,
что Q- - конечная группа и выполняются два условия теоремы.
Далее, для определенности положим 4 >j , в G- существует такой
элемент а. , что:	. Умножим обе части c2.L—a^
вв , получим	. Отсюда следует:
существует степень элемента CL- с положительным показателем
( l~t >0 ), равная единице. Пусть	~ наименьшее целое по-
S'
ложительное число, такое, что С4- =е (среди таких степеней
мы можем всегда выбрать наименьшее положительное
- 8 -
число, ибо среди подмножества множества натуральных чисел всегда
имеется наименьшее).
Пусть си <z &	. Так как t = S"<^, + ъ , где о< S' ,
то Си - Си (си)*'® ~е ^Ъ— сс^. Так как г < & .то
отсюда 'С-О. Отсюда имеем, что все элементы группы (т нахо-
дятся среди элементов:
„	2.^-1
сс = е	си, а , Q-
Покажем, что все, элементы этой последовательности различны.
Допустим, что си-си, 8-1	, тогда а. <г и L-i < <Г .
• о* j С 5-1
Если С -&J, и для определенности положим и
что,существует целое положительное число c—j < <Г , для которого
Cu~S — е , вто невозможно, ибо 5" - наименьшее число с таким
свойством.
итак, Г=- п , G =	, сс, а?...	а =е.
Предположим, что некоторая степень элемента сс равна е ,
к
т.е. СЬ ~ е , где к - целое число, тогда
к па-гЪ 2-
К = п^ + &^ cszzn и <ъ=сг г — а- = е ♦
Введу минимальности п число т должно быть равно О
Следовательно К = пс^ , т.е. л делит к
Пример:
Множество целых чисел относительно сложения - бесконечная
циклическая группа.
Определение.
Порядком элемента d-<£ G- называется порядок подгруппы,поро-
жденной данным элементом.
Если <сьл - бесконечная,то сс - элемент бесконечного поря-
дка.
Если <съ> - конечная, то	- элемент конечного порядка.
В этом случае ввиду теоремы I порядок алемента ос равен
наименьшему положительному целому числу п , для которого а,п= е
Вообще говоря, циклическая подгруппа состоит из	и положи-
тельных и отрицательных степеней элемента Со . В случае, если<сг.>
- конечная группа, мы имеем только положительные степени элемента
—АГ
Си от о до и--/ , т.е. в этом случае CL = а, , где к>о и
О 4 t <- п-1 .
Пример:
Группа вращений правильного п -угольника вокруг центра -
циклическая группа порядка п
„	2.7Г
CL - поворот по-часовой стрелке на угол уу ;
О*- поворот на угол , t>O ;
'-'t	П	£тгЬ
СЬ “ поворот против часовой стрелки на угол ,он, очевидно,
может быть заменен поворотом по часовой стрелке на угол -уу- ,
где к - целое число,	os к< п .
ПОДГРУППЫ
Пусть & - группа, а М и N - некоторые ее подмножества.
Под произведением ММ мы понимаем множество
MN =	| т е Ml j <че mJ
Определение,
Множества Mt и N называются перестановочными, если выпол-
няется условие: МN=• NМ .
Отсюда следует, что для Ym Vne /V существуют т'е М
М^М такие, что
Определение.
Подмножество М элементов группы О- ' называется подгруп-
- 10 -
пой группы G~ , если Л/ являемся группой по отношению к опера-
ции, определенной в группе G- , и обозначается М £ <S-
Примерк:
I) Пусть G- - группа а. е & , тогда < св > - подгруппа
группы G~ . В частности, если взять единичный элемент, то полу-
чим единичную подгруппу: Е - < е > —{&]
2) И — & ~ группа. G- - рассматривается как одна из
своих подгрупп.
Определение.
Подгруппа Е и сама группа (9- называются тривиальными
подгруппами, а все остальные называются нетривиальными.
КРИТЕРИИ ДЛЯ ПОДГРУПП
Под И 1 будем понимать множество элементов w х,где тёМ ,
т.е. Л/ т
Теорема 2.
Непустое подмножество Е/ элементов группы & - подгруппа,
если выполняются следующие условия:
I. ММ S М	(I)
2. М~1^М	(2)
Доказательство. I) если е М и т2сМ , то соглас-
но (I)	М , т. е, операция-на М - алгебраическая.
2) V/Z7 6 М согласно (2) /п s И щ юМЕ-е еМ согласно
(I), т.е. единичный элемент и обратный принадлежат М , Ассоциа-
тивность выполняется в М , так как • выполняется в группе.
Теорема 3.
Пусть М - непустое подмножество из G- .
Пусть каждый элемент группы G- имеет конечный порядок,
и пусть ММ S М , тогда М - подгруппа.
- II -
Доказательство.
Д1Я	тт ёМ}..^ т £. М!
Т.к. каждый злемеит имеет конечный порядок, то существует некоторая
степень т = е , и значит, ееМ. Так как конечная циклическая
группа состоит из неотрицательных степеней, то подгруппа, порожден-
ная элементом /?7 , будет принадлежать М,<^>QM для PW/V
И, следовательно, М М , следовательно, по теореме 2, М
является подгруппой.
Теорема 4.
Непустое подмножество элементов М из G- является под-
— /
группой, если МИ QM ,
—f >7“ 1
Доказательство, Пусть те М , w <? Az J
тогда mm1- е € М , т.е. М содержит единицу. По усло-
вию вт *= т"1 е М , т.е. Л/ S М . Для т^ гг?л е М7
рассмотрим произведение т1	(т£ ) <£ ИМ Q. М
тогда, по теореме 2,	М- подгруппа.
Теорема 5.
Для V§ С <S- выполняется равенствоGff = G- ( ^--группа'
Доказательство. Напомним, чю MN=^n\ineM} ng/'/J
Пусть	, .a M-G-. Тогда под произведением MN будем
иметь:	67	, а если М= У , а Л/-6?- , то
] хб&}. Покажем, что & = (г •
Рассмотрим множество G- , ясно, что ^G- Q G- (I).
Возьмем любой элемент £ &G-	, тогда уравнение 0Х— ё имеет
в G- единственное решение. Значит, € =дх €. G- , то есть
$ 6-	. Отсюда следует, что	(2).
Из (I) и (2) вытекает, что G-^G-
Аналогично доказывается, что & ~Ga
- 12 -
Следствие.
Если	G-	= GM — & , т.е. при умножении
группы на ее часть происходит как бы поглощение.
ИЗОЮРФИЗМ ГРУПП
Определение.
Пусть G~f и (9, - две группы. Если существует такое взаимно-
однозначное отображение f группы на 6- , при котором для
любых 2-х влементов JCt зХ£ € (rf выполняется равенство:
то J называется изоморфизмом или изоморфным отображением G;
на &г . Образ произведения равен произведению образов.
Изоморфные группы ничем не отличаются. Изоморфные группы обозна-
чают так: & - (л или G~ — G->
СВОЙСТВА
I.	Рефлексивность, т.е. G-=G- для любой группы G-
2.	Симметричность: если	, то Or Э=! Сг
3.	Транзитивность; т.е. если	, то 6; =
Таким образом, изоморфизм является отношением вквивалентности,пое-
те му множество всех групп распадается на классы изоиорфных групп,
такие, что группы из одного класса изоморфны между собой, а груп-
пы из различных классов не изоморфны. Покажем, что если et € (9} ,
то ее образ при изоморфизме -f является единицей в, группы & .
Пусть взаимооднозначное отображение f v переводит X в у
Рассмотрим хе(=х , где х € G~t .С другой стороны,
fPQ .Отсюда yffe,) = yj У€&2)
fC6,) = ^- единица группы Q ,
- 13 -	7
Х6 .то fCx~9-ffrX)]
Показать, что если
Более общее определение изоморфизма группы в группу.
Пусть даны две группы G- и Г и задана функция такая,
что если рассмотреть множество образов элементов группы (-г	,
т.е. { j(%) | X € G] ~ f fG-) , то отображение f ; G—^ f (G)
является изоморфизмом. В этом случае называется изоморфным
отображением группы (т в Г . Если учесть предыдущие рассуж-
дения, то изоморфизм в группу есть изоморфизм группы G на.
йекоторую^подгруппу группы Г . Еще Говорят что группа G-
изоморфно вкладывается в группу Г
Всякое взаимнооднозначное отображение множества М
на себя называется подстановкой. В случае, если множество М
множество И первых натуральных чисел, то это подстановка ко-
нечного множества:	'
f -1 2 . , . гП
‘2 
Теорема б. (Теорема 'Кэли)
Дяя всякой группы U"
некоторую симметрическую группу, т.е. всякая группа изоморфна
некоторой подгруппе подстановою
Доказательство:
существует изоморфное отображение в
, по теореме 5,
что x-^xg1 для
<с?( справа)
на себя.
, поэтому отоб-
Vx е G- (т-е- каждый
есть подстановка мно-
ражение такое,
елемент из (j~ умножается на
жества элементов группы G
Определение.
Под произведением отображений Z^
будем понимать
результат последовательного выполнения отображений
- 14 -
; Уи,следовательно, г?, 2^
каждому элементу
т-е-
Рассмотрим теперь функцию f * §	» т.е.
группы G- сопоставим ту подстановку, которая
ему соответствует,
и рассмотрим множество:
&=WI 9е G]
Покажем, что - изоморфное отображение группы G- в
симметрическую группу , т.е. в группу всех подстановок множес
тва, каждый элемент которой есть элемент группы Ст , а точнее:
G-£= & , Вначале покажем, что
жение на G . Возьмем два элемента
ницу группы & . переводит в cjt , а
- взаимнооднозначное отобра-
, тогда
, то подстановка 7L еди-
О1
подстановка : е-9-& ,
Этого достаточно, чтобы сказать, что %- т.е. мы показали
Ji Зг-
что различным элементам из О" сопоставляются различные подста-
новки. Очевидно, что каждая подстановка из & является образом
G-
-группа.
, т.е. произведение элементов из G
только одного элемента из G~ , Остается показать, что £ -
Покажем, что
есть элемент из G-
2. Рассмотрим, что
-	f:g
будет соответствовать обратному элементу
i'—V ' а'™° е &
8 как	гМГ =	• >
отображением, ибо х переводит
является обратным отображением для
Ze - является тождественным
в х е = х , то гя-<
3i
г1, ,яв гг • S'
что и требовалось доказать.
(ч.т.д.)
- 15 -
ПОДГРУППЫ,ПОРОЖДЕННЫЕ МНОЖЕСТВОМ ЭЛЕМЕНТОВ
Теорема 7.
подгруппой
Рассмотрим
X) содержит
' э d2GD.
Пересечение любого множества подгрупп является
данной группы.
Доказательство.
Пусть дана система подгрупп , где сё X .
пересечение всех подгрупп:	А: • Множество .
единичный элемент группы и потому не пусто. Пусть (J( j
/ / ,	/“^	‘ЭлелггХ'Л, о/Л2
надо доказать, что dtd2 €-JJ и Сь f D VПриме кии. теорему 2-
‘AcALjVie7, и по определению подгруппы dt > Vi € J,
VI С А] , тогда по теореме 2 имеем, что D - под-
группа ч. т.д.
и
Определение.
Пусть М - непустое множество элементов группы & . Под-
группой, порожденной множеством Л7 , называется пересечение
всех подгрупп группы G~ , содержащих множество М
По крайней мере хотя бы одна подгруппа содержит М , ибо
сама группа & содержит А7 , т.е. множество подгрупп, со-
держащих множество А/ - непусто.	•<
Подгруппа, порожденная множеством М , обозначается < М>
Это наименьшая подгруппа, содержащая множество А/ . В частности,
может быть, что <М>= & , Тогда говорят, что группа порождена
множеством А/ , а А/ называют множеством порождающих иди об-
разующих элементов группы.	- то <гЛ7>- циклическая
группа.
Теорема 8.
Подгруппа, порожденная множеством М состоит из тех и
только тех элементов группы Q- , которые могут быть записаны в
- 16 -
виде произведения конечного числа степеней элементов из М , т. е.
элементов вида m'lTL2-.. . rrf* , где /77. еМ,
т.е. ос'- - целое число. - кольцо целых чисел.
Доказательство.	с/ с/	cz	)
Рассмотрим множество S={. т?*Iтс
I. Очевидно, что произведение элементов из есть снова
элемент из «5
i 2. Если взять те М , то ^°=ее Л , т.е. содержит
единицу -
о/. оЛ °C-	-о(к -oft,,
3, Для /77, /77? .. . /77^ Обратными будут 272*. /ТТ^,, .. /z>
о/, _ °<z	~с/к ~^к-1	-
/27, тг ...	*. /77. П7К_' . . . W, ~еJ,.
ТО есть по теореме 2е £ - подгруппа, и так как	гт>€ 6
то М £ S й значит < М> g, tS (I) .
С другой стороны, покажем, что £	< М > .
Если /?7,^'/г^ ..	s ще М, то гп,.. . тк б < М>
И причем все степени элемента /?7^ принадлежат подгруппе, поро-
жденной М . Следовательно, и их произведение:	.
< М > и» вообще, произведение конечного числа степеней
элементов множества /V принадлежит < А/?, значит, с. < Аф>(2).
Из (2) и (I) следует, что S - <~М > , ч.т.д.
Если М^< Q > , то <М>~<а?~ циклическая подгруппа, порожден-
ная алементом 6L t или
< CL> ~{сс1' | L € J-
Теорема 9. (Об образующей конечной циклической группы).
Пусть G~-<o.^ - конечная циклическая группа порядка /7
Равенство & = < сь тогда и только тогда выполняется, когда
П) = 1 ,
- г? -
Доказательство.
Необходимость.
Допустим, что в группе G- существует такой элемент а., ,
что порожденная им циклическая подгруппа совпала с G-: (?= < а., >
Тогда - порядка п , Так как <? - циклическая группа,
«о ct,= Ct? . Пусть наибольший общий делитель л) =с/ ,
'	£L
тогда вычислим; О^” ~(А У G ~ е . Отсюда = е
Так как порядок равен Г7 , то отсюда вытекает, что of=l ,
п
так как И - наименьшее натуральное число, для которого <Z, = е
Следовательно, ft,, и) = 1	. i
Достаточность.
г / °	2
Пусть Ст - =е <7^ съ j ...a, f- циклическая группа поряд-
ка и , И пусть t - натуральное число, взаимно простое с х? ,
Ct>in)='| . В силу взаимной простоты t и п существуют
такие целые числа с^	и Z , что tc^+ пг=1 . Тогда
а, = а, r = а, -а = (а j , т.е. влемент СС есть степень
елемента с? . Из этого утверждения следует что сс е со? ,
к поэтому < Сь ? - & ~ < с? >.
Отсюда & = < О"? , ч.т.д.
Теорема 10*
Пусть G = < с?> - бесконечная циклическая группа, тогда ра-
венство (?=<CPt?‘ выполняется в том и только в том случае, ког-
да t= ± -J , т.е. бесконечная циклическая группа имеет только
два образующих елемента.
До казательство.
Рассмотрим подгруппу <;сС1>={.	Она содержит
елемент d , т. к. а = (а1)"1 . Очевидно, что <сС1> с Q-
отсюда G	, т.е. Ct 1 наряду с Л, , также является об-
- 18 -
разующим для G~ . Остается показать, что других образующих еле-
ментов группа & не содержит (от противного). Допустим, что
G-« < (порождена, некоторой степенью элемента (X ). Тогда
С^(Х~ О?*1 (: & . Тек как G - пикническая группа, то сущест-
вует целое число , такое, что =.= <2^ • Отсюда, по тео-
реме I е сиду бесконечности группы G~ следует, что t-+i = tc^
т.е. две степени совпадают, если их показатели равны, t	1
Б качестве делителя единица можно взять лишь 1 1	, ч.т.д.
Теорема II.
Любые две циклические группы одинакового порядка - изоморфны.
Любые две циклические группы бесконечного порядка - изоморфны.
Доказательство.
Пусть G-, =-[ct°=ej а-, сЗ, ..а”	$ ]
Рассмотрим отображение ; QL =	. Очевидно, что это отобра-
жение взаимнооднозначное. Покажем, что это соответствие изоморфи-
зма:	 	• ;
Аналогично показывается изоморфизм бесконечных циклических групп,
ч.т.д.
Из теоремы следует, что конечную циклическую группу порядка
П можно изучить на примере группы корней Г) -ой степени из I.
Примером бесконечной циклической группы может служить- аддитивная
группа целых чисел, то есть: Г=^...г“2о-^ о_, 1 , 2Л .. . }
относительно сложения.
В качестве образующих можно взять +1
т.е.
19 -
Теорема 1'2»
Всякая подгруппа циклической группы является циклической
группой.
Доказат ел ьство.
Пусть <а> = G- - циклическая группа и Н - ее подгруппа
а)	Если Н - {Q }	- единичная подгруппа, то очевидно она
циклическая.
б)	Предположим, что Н { е] , тогда существует элемент
всС' G Н. Так как Н - подгруппа, то она содержит обратный
елемент для степени I , т.е. = 0bt£ . Либо i, , либо
-Ь является целым числом большим нуля, т.е. среди элементов под-
группы Н имеются элементы с положительными показателями. Выбе-
рем с Н » ex' наименьшее положительное число среди
показателей степеней из Н . Возьмем некоторый элемент сё б Н
По теореме о делении с остатком: Z3--C^+Z.,'	, тогда
имеем:	СО^' се' * Отсюда: ссёа? а, ^~аЛ(сг?)
т.е. Ос'6 /-/ . Причем ос ъ< сё . так как - наименьшее,
то Ъ = о , Ro тогда of= (а?)	, т. е. любой элемент подгруп-
I I	<Х
пы П является степенью элемента О, , а это значит, что
HcZ	ь
-< Ос / является циклической группой, порожденной элементом Ос
ч. т. д.
СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ VI МИМСЫ
Пусть Н - некоторая подгруппа группы & . Для 6 G-
можно составить множество элементов:
. Нх - £ 1г-л } к 6 kJ
- ^хк[ и н] .
- 20 -
Нх называется правим смежным классом группы & по под-
группе Н . X Н “ лезвм сыезаьц классом группы & по под-
группе Н . Так как ее Н , тс х=ех^хее И П Нх Л хН
.называется представителем смежного класса Нх и X Н .
Теорема 13.
I. Мощность смежного класса равна мощности подгруппы, т. е.
р	|Нх|=|*Н| = |н|
•	2. Если у £ Нх j то Нх =Ну , т.е. любой элемент смеж-
ного класса может быть выбран в качестве его представителя; если
уехН , то хН = уН.
 з. (Нх)1 = х’Нл (х Н) 1 = Нх \
Ч. Люоые два смежных левых класса либо совпадают, либо не
имеют общих, елементов. Аналогично и для правых смежных классов.
Доказательство.	s
I. Рассмотрим отображение Ср элементов h hx , очевидно,
что каждому элементу из Н оно сопоставляет единственный эле-,
мент из Нх , Тогда	Ъ,Х^:	Допустим, что
4)(x= ^х . Умножив равенство на X 1 справа, получим 'hl -4^
т.е. отображение Ср различным элементам из Н сопоставляет
различные элементы из Нх . Очевидно, что каждому элементу
I) х £ Нх соответствует единственный элемент 4i,	Ах
Следовательно, отображение V* - взаимнооднозначное. Пбетоцу
мощность |Нх| -[Н | . Аналогично показывается, что Ml =|Н|.
2. Допустим, что у £ Нх . Тогда найдется 'А.б Н та-
кой, что у = ру , Рассмотрим НУ= Hfe( = blx . Показать,
Что если у £ X Н , то уН=хН
. /М к'4 fz. ..х-1	"'Л.-’И cklL/H
, Has V^cH
~ -1
значит Н “ Н .
Нх и Ну по под-
. Согласно 2,
. Отсюда Нх = Ну,
не пересекаются.
содержится в некотором правом смежном
как любые два смежных правых класса не имеют
этим доказывается утверждение а) теоремы. Ана-
Покажем, что Н — Н Очевидно, Н б
К. = (h-<) С Н , отсюда Н С Н
Аналогично доказывается второе оавеистас.
4. Рассмотрим два сметных правых класса
группе Н Допустим, что z f НхЛ Ну
Нх = Нг г Нх >< Ну~ Нгу G
Если не имеют общих элементов, то Нх и Ну
Теорема 14.
Пусть Н - подгруппа группы G , тогда: а) группа G
равна теоретико-множественной сумме попарно непересекающихся своих
правых смежных классов по Н ; б) группа G равна теоретико-
множественной сумме попарно непересекающихся своих левых сметных
классов по подгруппе Н
Доказательство.
Любой элемент X f G
классе Нх , и так
общих элементов, то
логично доказывается утверждение б)„
Разложение а) называется правосторонним разложением группы 6"
в сумщу смежных классов, а б) есть левостороннее разложение в
сушу смежных классов по подгруппе Н .
Теорема 15.
Мощность множества смежных классов правостороннего и левосто-
роннего разложения группы по подгруппе Н одинакова и ета
мощность называется индексом подгруппы Н в группе G и обо-
значается | G : Н j
Доказательство.
Пусть G= U Нх. (D - правостороннее разложение группы G
- 22 -
индексов 3
- является
Н . В силу
по подгруппе Н , где б пробегает систему
Покажем, что разложение G- , равное .17 х? Н
левосторонним разложением группы vr по подгруппе
доказанного из (I) следует, что G (V Нхг}	L^x^tf
, то G- — {J X;1 Н (2). Очевидно, что любой
ёе7 с
попадает хотя бы в один смежный класс. Оста-
смежнве классы < м и *:'н При irj
влементов. От противного, допустим существует
тогда по теореме 13 эти классы совпадают,
так как G = G
элемент группы G-
ется показать,
не имеют общих
2 6 Х-'1Н П X,-
Т.е. Х~<И = Х~'Н
От обоих частей равенства возьмем обратные: (X; И) = (xj Н)
Н\ = Н Xj- , что невозможно при i ч* j , так как получим, что
смежные классы правостороннего разложения (I) пересекаются. Теперь
ЧТО
установим взаимнооднозначное соответствие между разложениями (I)
и (2) следующим образом: Х;*Н Нхр теорема доказана. -
Теорема 16 (Лагранж )
Если Н ~ подгруппа конечной группы G , то порядок Н
делит |&|	, Более того, 16 | = IН | • | &•' Н j .
Доказательство.
Пусть (? - конечная группа, тогда по теореме 1ч можно запи-
сать разложение группы & по подгруппе Н , т.е.
G~ Их, + Нх2*...+ Нхп . Имеем сушу в теоретико-множественном
смысле. Все слагаемые этой суммы попарно не пересекаются, а число
их равно И , где И. - индекс подгруппы Н в группе <? .
По теореме 13
|НХ;|=|Н| , ...............”
Следовательно (считаем число влементов)
1&| = |н|. |&:н|= 1н)-п
ч.т. д.
23 -
•Теорему Лагранжа можно еде прочитать так: порядок и индекс всякой
подгруппы конечной группы есть делители порядка группы. Следствие:
порядок всякого елемента конечной группы есть делитель порядка
группы.
В силу доказанного, если ftf(? , где <3- - конечная груп-
tY)
па, то а - €	, тогда подгруппа <сь> имеет также порядок т ,
а по теореме Лагранжа имеем, что m делит / & I , ч. т.д.
Очевидно, что	t(C.i
Теорема 17.
1. Каждая неединичная подгруппа бесконечной циклической груп-
пы имеет конечный индекс. Для каждого натурального П- бесконеч-
ная циклическая группа содержит только одну подгруппу индекса П .
2. Пусть G- - конечная циклическая группа порядка <£. ,
Тогда для любого делителя т числа g группа G~ имеет
точно одну подгруппу порядка т ,
Доказательство: общая часть для (I) и (2)
Докажем вначале утверждение об индексах подгруппы в I) и 2)
и единственность.
Дано: пусть	циклическая группа (конечная или беско-
нечная), а Н - ее подгруппа (неедиаичиая). Пусть оС - наи-
меньшее натуральное число такое, что	Р Н , Тогда по теоре-
ме 12, Н = <	. Для любого целого положительного L имеем:
t =	, где о
Отсюда	, следовательно,	записывается в виде
разложения: G — Н + Het- + Hct2 + .   t- Ц Qp'"'1'
_ 2/4 -
Остается показать, что все эти сменные классы различив.
допустим: Но-1 = Н О? .где {.#]_, J ^«-4 . Положим для опре-
деленности С > j , очевидно, Сь ~ 'КаА . Умножим на С(А ,тогда
, £><6-4 пришли к противоречию с тем, что СХ наимень-
0	с>/ u
дее положительное число, для которого А е п . тем самым ми по-
казали, что всякая подгруппа Н из 6~ имеет конечный индекс
| G ’• Н I ~	. Теперь покажем единственность подгруппы. От проти-
вного. Пусть в группе G- имеются две подгруппы А и В од-
ного и того же индекса, т. е. И = I &’ А | = | G •' 6 | . Пусть J0'*
t ? О - наименьшие натуральные числа такие, что <<2^> — А\
<&,*> = £> . Тогда по доказанному выше имеем
Следователь но, P=i = п и А = < а,п> В — < сь >,
единственность доказана. Докажем теперь существование подгруппы.
а) Пусть G- - бесконечная группа и пусть &- = <ал и те -
любое натуральное число: и? Л/, рассмотрим подгруппу, порожденную
алементсм о/' г Н - < оУ У . Sto будет бесконечная циклическая
группа. Она будет иметь по теореме 10 только два образующих элемен--'
та: О-п и (_оУ) *= <2 \ Значит, те является наименьшим натураль-
ным числом таким, что С^п & Н , следовательно по первой части
теоремы I G : Н ] = те •
в) Пусть G- - конечная группа G- -< и допустим, что
Покажем, что группа G- содержит циклическую
подгруппу порядка Яр , где те? - любой делитель порядка груп-
пы G- .
Рассмотрим подгруппу W , порожденную элементом
Обозначим СЬп= , Так как G- - конечная группа, то существует
целое положительное число К^те? , такое, что =е .1ак как
- 25 -
Вычислим

а отсюда tv s пт =. g. . Но - порядок влемента О- и,следо-
вательно, ик = иуи, к = т , т.е. мы показали, что подгруппа,поро-
жденная элементом 4 = а” , имеет порядок равный m и,следователь-
но, индекс подгруппы Н в группе & равен

ч.т.д.
Следствие I.
Пусть & - бесконечная циклическая группа и Н - ее нее-
диикчная подгруппа, тогда Н * бесконечная циклическая группа и
1~[ изоморфна (т , т. е. Ц = (г . В силу доказанного, по тео-
реме 17, И имеет конечный индекс, заменим разложение G- по Н
(г = И х, 1- Н эс, +...
По теореме 13 имеем, что | HxJ- I Н/ ; если допустить, что Н ~
конечная группа, то сумма G конечного числа конечных множеств
конечна. Но G - бесконечная группа, получим противоречие, следо-
вательно, Н “ бесконечная группа.
Следствие 2.
Для конечной циклической группы теорема Лагранжа допускает
обращение, иными словами, для любого делителя порядка группы, в
группе существует подгруппа, порядок которой равен этому делителю.
Но вто бывает не всегда, т.е. существуют конечные группы, ко-
торых не для всякого делителя ее порядка имеется подгруппа этого
порядка, Так, например, знакопеременная группа четырех символов:
А^ , ее порядок равен 12 - £  4}
но не имеет подгрупп порядка б, хотя б делит -1Z ; т.е. в этом
случае теорема Лагранжа не допускает обращения.
(см. тахже -Мс Саг- £4гу 3) РЖ iMa>t .	9 А ^5 О)
- 26 --
СОПРЯЖЕННОСТЬ
Дые множестве М и М2 элементов группы G- называется
сопряжениями, если найдется такой элемент х в G- } что
М^х~1И2х
т.е. Л7, - £ х~1ту I т Q MZJ
Аналогично элементы 6Ц и (Уг сопряжены, если существует такой
элемент X , что ^-Х йгХ .
Из определения сопряженности следуют следующие свойства:
I.	Рефлексивность, т.е. И сопряжено с самим собой, т.к.
И= е'Не =еМе
2.	Симметричность. Если сопряжено с Мг , то И? сопря-
жено с И . В силу сказанного, существует элемент х € <? .такой,
что М1 = x1 Mzy , умножим слева на Л , а справа на Л 1	,
тогда получим:
xMjx"1 = хх~1 Мг хх ? =
Обозначим у = х1 , получим Mz=y1M1y t ч.т.д.
3.	Транзитивность.
Если Mt сопряжено с Мг , а А72 сопряжено с /% , то И, соп-
ряжено о М3 . В силу сказанного А/, = х11Мгхл j Мг
тогда /V/ = X, xz М3хгх1 . обозначим х2х, =у , имеем
Л/, =y~fMsy , ч.т.д.
Итак, сопряженность является отношением эквгвалентности (т.е.
выполняется условие 1-3), и если рассматривать ее нс множестве эле-
ментов группы G- , то G- разбивается на классы сопряженных
элементов:	£ = &iг % ~t У-Г F f
, где С- класс сопряженных
элементов.
Рассмотрим Z f6p) ~ множество всех подгрупп группе1 Ь~ .
Сопрякенностг на £-(&) также является оквиЕалентностыо.т. е.
Z (&) распадается на классы сопряженных подгрупп.
Определение.
Пусть М ~ некоторое непустое подмножество элементов группы 
Q- . Тогда '.тожество	j X&GyxЛ?=М^азывается норма-
лизатором подмножества И в группе (г
Таким образом нормализатор - это множество тех элементов X
группы <?- , которые перестановочны со множеством И
Отсюда М-Х^Х (после умножения слева на Х~*
лизатор можно записать в виде
Теорема 18.
,т»
) и значит Норма-
лу (М) = { X /х€ ?J х'1 Мх=М)
Нормализатор любого непустого подмножества элементов группы
является подгруппой.	t
Доказательство. Пусть дано подмножество М Q G	. Обоз-
начим N	,где V - непустое множество, т. к.
(так как <гМ = Me ). Возьмем два элемента Xf/l/ у£ Jvf »• По
определении:	= д М} Му -у М	. рассмотрим Мху~(уМх)у =
~(хМ)у -X (^у)-хуМ„ отсюда ху £ М .Равенство Мх^хМ
-л
умножим на X справа и слева:
Х^Мхх'1 - х'^хМх^ х~1М^Мх'1
т.е. X 1 - обратный для X ё Л/ - будет перестановочен со множес-
твом /7 > ^«е, Az’'e /V' . По теореме 2, Д/-подгруппа группы 6г ,
Ч.Т.Д.
Теорема 19.
Иэщнооть множества всех подмножеств группы GG , сопряженных
с некоторым подмножеством	из Q- равна индексу нормали-
затора подмножества в группе o'- ,т.е. равна |
- 28 -
Доказательство.
Обозначим /V• По теореме 18, Л' - подгруппа:
NQ (т • Рассмотрим разложение (? по Л'  £ = Лh'xzt..
Пусть У € Л^Х.	, по определению смежного класса у - «лу ,
где yigN . Рассмотрим произведение у 7Л/у = )1Мспхс-) --
1М их-	так как элемент пе Л/ , Значит, п
поглощается №
Итак, мы получили, что любой элемент из смежного класса Ухс-
переводит М в то же сопряжение с М , что и х^ , Остается
показать, что элементы
различным подмножествам, сопряженный с М
i-X j  Допустим противное, т.е. что хУ/Чх- ~х'1Мх-
-/ d °
. Умножим слева на Л;,\ и справа на х; :
отсюда Мх.Х- =Х-Х- М
из различных смежных классов приводят к
, т, е. что
J
1 d
*L *i X;'- Ъ Xj1Mx- X-1
J	„ f
По определению нормализатора ,х . X- € N „ в этом случае получа-
L d
ем, что х- X- -= п с /V , отсюда х - =- п*:	. Смежный класс
, d .	<- d	.
/vх - Nviхfw. Получим, что смежные классы из разложения 6~
по Л совпали, это противоречит разлоиеняю (правостороннему),
члт.д.
Следствие.
Если множество М состоит из одного элемента 6L , то
мощность множества всех элементов группы G- , сопряженных с
элементом й- , равна индексу нормализатора в группе &' ,
т.е. равна IG : Л/е Са-)1 .
Теорема 20-
Всякая подгруппа содержится в своем нормализаторе.
Доказательство,
Пусть Н £ & , тогда Л'& (^Н) = £ .X | A"t X И - Нлj
Так как для кбН »	> то ‘‘L £ '% ( Ю , ч.т.д.
- 29 -
Земечшуте:
Если Л- б & .ю сь &
т.к. сьа, - act- , следовательно
Теорема 21.
I.	Сопряженные подгруппы изоморфны.
2.	Жожество элементов Л/ из G , сопряженное с подгруппой/
из 6 , будет также подгруппой.
3.	Если М и х fMx - сопряженные подмножества, то нормали-
заторы зтих подмножеств сопряжены с помощью этого же элемента ,
^(х~*М х) = X 1/^,(л/)х
4.	Сопряженные подгруппы имеет одинаковые индексы в группе.
5.	Сопряженные элементы в группе имеют одинаковый порядок.
Замечания:
I.	Если даны две группы G~f к 6^ , которые изоморфны, то
существует изоморфное отображение f : G-. -* Q- .и эти группы мы
не различаем. Отсюда, если дана подгруппа Н( <=	, то отображе-
ние ; Н ~-*-k/zQ G- • и(^о быть подгруппой является свойством, отно-
сящаяся к операции и поэтому при изоморфизме подгруппа переходит в
подгруппу.
2.	В частном случае, когда	, мы имеем изоморфизм
группы б- па группу (г . При этом соответствующие части будут
похожи, т.е. подгруппа в- будет изоморфна некоторой другой под-
группе.
3.	Пусть A G (т . Построим отображение	б б'
где X- - фиксированный элемент . Покажем, что преобразова-
ние - является изоморфизмом (г на G- , x^&X-G- .т.к.,
xfQ-~G- а 6-х -- (?-	, т.е. преобразование f- является
подстановкой G- . Проверим условие изоморфизма, т.е. ffg, о
*	f - изоморфное отображение.
Доказательство.
I., Допустим, Mui имеем две подгруппы-: Н и И4=х9/л . Надо
-1
[•казать, что они изоморфны. Рассмотрим отображение -р.'
ре (г • ®«е. изоморфизм & на G- . Тогда отображение
• -f при 8ТОМ является взаимнооднозначным отображёни-
। Н на и, кроме того,
f= f
«тому £ каждую подгруппу, в частности Н , переводит в изо-
рфиую, э частности, в х1Нх
2.	Пусть Hs G , М - подмножество элементов G~ . Пусть М
М - сопряжены. Тогда, существует элемент X € G- такой, что
полняется равенство:
М = X 1У X	1
Можно сказать, что И является образом подгруппы Н при
ображении -f : G х'4&х	« которое является изоморфизмом, а
зоморйным образом подгруппы является подгруппа.
3.	Пусть даны два подмножества М и х~*М% , Наде доказать,
го с х’Мх) = х' % СМ ) л .
Пусть	По определению имеем:
п1(х',Мх)п= х'1 Мх г или
w 1х ' И х ~ X Мх
-1
’множим обе части равенства слева на X , справа на х , полу-
:йм:	_х .	-j
хп х М х Ki х	~ И
По определению нормализатора: X х? х 1 г
31 -
-1
Уявхж&ё. слеза на л , справа на х
Xi е Х~1 Л/&/'м)Х
Отсюда	, так как - лабой елеаент, то
NG.QC1Mx')<d: X Ng[.M)X (I)- Нетрудно показать и обратное,т.е. что:
? ^в-(Ю * - 'Ч-) (2)
Из (I) и (2) получаем искомое равенство.
'4. Допустим, имеем две сопряжение подгруппы: W и х Нх=Н±
Рассмотрим правостороннее разложение группы & по Н :
G- =	*• Н  
йротрансформируем обе части равенства с помощью элемента X :
х 1&-х *&^х~,Нх1х+х ’Чхг Х-4- ... или
(5- =.	(х'1 tix)x \>х +  • J
X~'xL х = у-
G- = Н< у, + Ht у2 + • • •
Получили правостороннее разложение группы (г по подгруппе И1 ,
причем Н |= |б--‘ М,|, что следует из соответствия: Ух- «-» Н&у-
5. Пусть d- и Л 1°-Х	- сопряженные элементы. Допустим,что
й -Q (1),т,е. порядок Л- равен t . Тогда вычислим:
(x^hx^x'cbx ... х~*ах= х'1^х ,1-е. (x'^a-xf^ е (2),т.е.
если порядок й равен t , то и порядок х а,х делит с .
И обратно:	из (I)	(2), а
из (2) =Ф (I)..
Отсюда вытекает утверждение для элементов конечного порядка.
Если CL. - бесконечного порядка, то х '<Л-х	- также бесконечного
порядка,ибо предположив обратное, придем к противоречию, ч.т.д.
- 33 -
Тогда а/- fa, = ' € В А	,т. е. аь е-ВА или для множеств:
ДВ GBA (2). Ив (I) и (2) следует, что Д6=ВД , ч.т.д.
ИНВАРИАНТНОСТЬ
Определение.
Множество М =* 0 влементов группы G- называется инва-
риантным, если выполняется равенство: X ^Х- М для Vx6 G- ,
т.е. «то такое множество, которое совпадает со всеми своими сопря-
женными.
Равенство х'Мх-М и М х--х И - эквивалентны. Поэто-
му множестве Д'? элементов группы G- называется инвариантным,
если выполняется следующее равенство: Мх=хМ Vxg- G~ ,т. е.
если оно перестановочно с любым элементом группы G , Если мно -
жество М состоит из одного элемента, т.е. {о-} , то эле-
мент CL называется инвариантным в G~ , если X fa х - CL •
Vx G G , или QX - XCL , VxG&- . т.е. если он перестановочен
с любым элементом группы Q- . Такой элемент хотя бы один сущес-
твует, это - I.
Теорема 23.
Множество М 0 элементов группы G является инвариан-
тным тогда и только тогда, когда оно является либо полным классом
сопряженных элементов, либо объединением некоторого числа классов
сопряженных элементов.
Из теоремы вытекает следствие: подгруппа Н группы G~
инвариантна в группе G тогда и только тогда, когда Vx e G-
и Н имеет местох-’/гх ё И
Доказательство:
НЕОБХОДИМОСТЬ
Дано И - инвариантное множество элементов группы G .ПО опре-
- 34 -
делению х'мх - м , Vx& G~ .	Vxe&: x'mxCxfy^
= М или х’%х ->п1 е М • Отсюда все элементы груп-
пы (г , сопряженные с п? , принадлежат Л/ и значит. М
является либо классом сопряженных элементов, либо объединением
нескольких классов.
ДОСТАТОЧНОСТЬ
а)	Рассмотрим случай, когда М является полним классом соп-
ряженных элементов и докажем, что М ~ инвариантное множество.
, тогда:
где XtJXZj. . .j Xij.- - ®се элементы
группы G- , (ж) - множество элементов,•
которое сопряжено с хп и, следователь-
но, между собой, т.е. О) есть И ,
, Vxe & • Возьмем любой элемент xeff-
и протрансформируем элементы (*).
Х2 т X;
<•' хп Xz
Докажем, что х Их- М
х х< тх,х	
X Х ~2 х^х^х	
х~' x'i'm	- получили множество х М X , т. е. мно-
	j	жестве сопряженное с М .
Егс можно записать в виде
(Х,х)' п? (Х,х) )
(x£x)^CxsxJ\ Г*
(x-x^^^xj
•	'	' i
Известно, что Gx ~.х G = G- . но тогда л,х, >/<•-
все элементы группы (г . Учитывая (к) и («к) мы показали, что
- 35 -
х'Мх » м i мы показали, что когда Л/ состоит из од-
ного класса сопряженных влементов, то оно инвариантно.
б)	Л/ является объединением нескольких классов сопряженных
элементов, т.е. Л7= С,+С2*-+С-. где Сс- - класс сопряжеи-
иах элементов. Возьмем любой хе & и протраясформируем обе час-
ти равенства, а затем учтем случай а): х*Мх -xiCt х +х'Сг Х+...+
+х'*С-х+...= С,+-С2 + . ..4 С. + ... ч.т.д.
ТЕ0Р1ЙМ 24
Пересечение подгрупп, составляющих один или несколько классов соп-
ряженных подгрупп, является инвариантной подгруппой.
Доказательство.
Пусть дано некоторое множество подгрупп /}. группы &
которое составляет один или несколько классов сопряженных подгрупп,
сто значит, что X	VxG Vi е. . Рассмотрим пересе-
чение всех подгрупп: D- Г) А^ - это по теореме 7 - есть подгруп- ’
та. Далее протрансформируем элементом хе G-: x'lI>x= х	=
~Г\х~'А-Х	(*) » покоем, что это равенство сохраняется.
Пусть /'с/х € /*Х>х , причем de А- , Vi е 3 , тогда
X 'A-Х ,, Vi e~J , и так как мы рассматриваем класс или сбъс- ..
дннение классов сопряженных подгрупп, то х 'Dx с. Г} х Д. х (I)
<сть z е / I X А-X , тогда Ах Viey . Отсюда
.	^3	J	-1
х-^х е A- i б 17 (после умножения на х слева и на X
справа). Следовательно, хзх1 & 1>	. Поътоиу xxx~1=d e i>
Тиноним на x'f и на х . Получим: 2<х"ус?х	. Получим, что ;
'“'.ой элемент правой части (*) записывается в виде zVx и, |
следовательно, Лх'^Дх С' х'^1>Х (2). Из включений (I) и (2)	|
.подует справедливость равенства (я). Рассмотрим:	;
i	I
х
(**?
т.£. (ft У Ai.X
Это множество подгрупп, содержащихся в множестве всех наших под-
групп , т. к. они сопряжены, Оно составляет класс или несколь-
ко классов сопряженных подгрупп. Рассмотрим X А-Х ’^y-'AxUA
-< подгруппа, сопряженная с Ai , и следо-
вательно, принадлежит множеству подгрупп jAiJ . Получаем, Ai~
После умножения обеих частей на X сле-
ва и на X справа, получим: At~X (X AiX )x £
, т.е, ми показали, что система (хн)
совпадает со множеством групп т Ал , т.е. ••
(як) есть
Текии образом, X Н'з С'А"' &
чает
т.е. X	г Что и озна-
(инвариантность), т.е. пересечение одного или
нескольких классов сопряженных подгрупп - инвариантно, ч.т.д.
Следствие:
Пересечение любого множества инвариантных подгрупп - инвариан-
тная подгруппа.
Заметим, что инвариантная подгруппа составляет полный класс
сопряженных подгрупп.
Теорема 25. Подгруппа, порожденная инвариантным множеством,
является инвариантной подгруппой.
Доказательство.
Дано /fx-Al, УхеС\ доказать, что подгруппа, порож-
денная этим множеством	G . обозначим <Ж=/7.
Соглас-
но теореме 8, лябой элемент /б // записывается в виде А
АП :с Al. А-t - целые числа. Vzte (У' X'A'X' =z
fib	> и з результате трансформации, получаем
зс~*кя-~ос'Ъьх-Х^'х ...X Ъ%*'х.
a) Z >е , тогда	X ..
£ *4
t^d'jCO для некоторого у :
jj~(x 'кух) qM
т.е. в любом случае ОС X. b П 3
А так как Н - подгруппа, то и произведение ьлементов Л". /iXC^.
Отсюда ’Н^ G t
Теорема 26.
Подгруппа, индекс которой в группе равен 2, инвариантна в
группе.
Доказательство.
Пусть //S-Ц /6:/7/-=2 , тогда i Мх для любого эле-
мента X , не входящего в Н (I) так как индекс /	^*4  при-
чем классы И , НX различны. С другой стороны, С~^/'^хНг
hl-l-l'lh , /У , то имеем Л4з=л’/7, С , По оп-
т. к.
ределению
Теорема 27.-
к
Пусть Г1 И /"I подгруппы группы
тогда А/А/ является подгруппой группы G
, причем
Доказательство.
Но определению
я, следовательно, АО/
отсюда’по теореме 22 получаем требуемое утверждение.
Предостережение: на примере .можно
показать, что произведение двух
подгрупп группы в общем случае не
всегда подгруппа.
Теорема 28.
- подгруппи
группы
, которые инвариантны
- 38 -
в пороадении:
тогда, если 7W= 1ч , то каждый элемент из А перестано-
зочен е каждым элементом из Н (говорят, что F и G/ - поэле-
ментно перестановочны).
Доказательство.
Обозначим:	тогда по теореме 27 для подгрупп G^ , F
и Н имеем Q„ ~l~ Н .
Пусть FU; /eF . Торда /F-F/] (I) Е F/~ /// (2),
т.к.
и
инвариантны в ,
Рассмотрим произведение X/ . Из, (I) Ь/=$/} , где
Из (2) /4 Ж ,
Умножим слева
еэ
и справа на п, : пп, — t г , т.е. получили, что
имеют общий элемент. Но по условию
только, hl% '-t, 'rF(2 . Отсюда Х-- А
. Следова-
4/ . т.е.^А
и
Ч.Т.Д.
Определение.
Неединичная группа называется простой, если она не содеркит
гнвариантиых подгрупп, отличных от единичной, и от самой группы.
Теорема 29.
, Абелева группа является простой тогда и только тогда, когда
:е порядок является простым числом.
Доказательство.
Если порядок группы - простое число, то она не имеет подгрупп,
отличных от единичной и самой группы, ибо по теореме Лагранжа, по-
рядок подгруппы является делителем порядка группы.'
Обратно: Дано G - абелева простая группа. Доказать, что
ье порядок - простое число. Группа G монет быть бесконечной,
- 39 -
либо конечной. G - не единичная группа. Пусть Х'<? G г XX ,
рассмотрим подгруппу, порожденную елементом X 	. Если она
С? , то в силу абелевости группы G подгруппа <х> <f b
№ G “ простая группа, следовательно <>’7s G , т.е. G - ци-
клическая группа.
а)	Пусть G - бесконечная группа. Этот случай невозможен,
т. к. по теореме 17 для натурального числа / в та группа содер-
жит подгруппу индекса /7 , которая инвариантна в G . Но зто
противоречит простоте группы G ,
б)	Пусть G - конечная Группа. Если порядок G - состав-
ное число, то согласно теореме Г7 для любого делителя	по-
рядка группы G имеется подгруппа порядка /7 , которая в силу
абелевости Группы G инвариантна в Q , что невозможно. Следо-
вательно, порядок G - простое число.
Теорема 30 (Фейт-Томпсон, 1963 г.) i
Всякая неабелева конечная простая группа имеет четный порядок.
Пример:	I	2.,
следовательно, по теореме 26,	, Известно, что при
/J 7- о является простей неабелевой группой конечного порядка. Груп-
па Ду порядка 60 является неабелевой простой группой наименьшего
порядка.
- группы.
называется гомоморфизмом, если для
выполняется равенство: (Я^) —
гоюошш
Определение. Пусть G , /'
Отображение </ G * /
любых X и из G
Теорема 31.
Единичный элемент и обратный отображаются при гомоморфизме на
единичный и обратный элемент другой группы, т.е» с - ед» элемент
- 40 -
Г и (°-Т,
ГруППЫ / -J L С-v' )	'
Определение.
Пусть (f - гомоморфизм группы G в группу /	»
рожество всех элементов кз G , отображающихся при гомоморфизме
на единичный злемент €. группы i называется ядром
гомоморфизма (f и обозначается	6? Z =<£7.
А множество образов всех элементов группы G. называется образом
группы G при гомоморфизме if и обозначается
Теорема 32.
Образ 7m if является подгруппой группы Г , а ядро /\СТ- (f
является инвариантной подгруппой группы G .
Доказательство:
jfy'L (Xfffe J™ f &)‘с	, по определению,
подгруппа, покажем, что IG ? является подгруппой. Пусть
ССууё7Гог / . Цо определению гомоморфизма ОС ~	,
найдем образ произведения: (Xff^-OC'G^ £ б -в G/ , таким обра-
зом,
Найдем (ОС ).	следовательно, G
если	, Остается показать, что /б’7 является инвари-
антной подгруппой. ПУСТЬ CtcKc’e If . ЩгЯ KZft? вычислим
(y-b	(z7^ = е‘еГ
(f, по теореме 23, zfe7 f - инвариантная подгруп-
па группы 6» ,
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ГОМОМОРФИЗМА
I.	Гомоморфизм IfC называется зпиморфизмом.если	.
Эпиморфизм называют иначе гомоморфизмом на группу Г
2.	Гомоморфизм if будет мономорфизмом, если отображение
/является изоморфизмом.
41 -
3.	Гомоморфизм является изоморфизмом. если tZ явля
ется одновременно апиморфиз^ом и мономорфизмом.
Примеры:
I) Аддитивная группа целых чисел гомоморфна группе корней
четвертой степени из I,
2) Аддитивная группа целых чисел гомоморфна группе корней
второй степени из I. Этот гомоморфизм будет эпиморфизмом.
ФАКТОР-ГРУША
множество всех
тогда множество
Определение. -
Пусть Н'^С , пусть Q/ZZ=/ZZxlX(,G^ _
смежных классов группы G по подгруппе // ,
С /И является группой относительно умножения смежных классов.
I.	Ввиду ассоциативности умножения, в группе G имеем:
Z/x /?^= Z/(xZ/)^= Z/Z/jc$- Z/'HX^)C G/G/.
2.	Ассоциативность умножения смежных классов следует из ассо
циативности умножения элементов группы.
3.	Роль нейтрального или единичного элемента играет подгруп-
па И :
Zf Gfcc- Z/xj Z/ж Z/~= Z/tfot =/-/x.
4.	Рель обратного для Z/x играет класс (I'lxfZ^ZZ-Zx. ZZi
Определение:
Группа С//7 называется фактор-группой группы G но подгруп
пе Ц .
Теорема 33,
Нормальные подгруппы и только они служат ядрами гомоморфиз-
мов этой группы.
Доказательство.
Пусть - гомоморфизм группы G на группу / ,т.е. ^’•7’"*“/
\р: х jh- ИхИИх^ Их Ич~
- 42 -
по теореме 32 ядром этого гомоморфизма является иквариавтная под-
группа группы G . Обратно: пусть Н<Ь . Рассмотрим отображе-
ние	zgG . Проверим, что - гомоморфизм,
, т.е. образ произведения
равен произведению образов, значит - гомоморфизм группы G
яа группу G/И	, он называется естественным гомоморфизмом G
на G/И	, причем А7 7 ¥— И.
f Говорят, что ядрами гомоморфизмов исчерпываются все инвариан-
тные подгруппа.
Теорема 34. Для любого гомоморфизма группы G имеет
место G//GcT if , т, е. фактор-группа группы по яд-
ру гомоморфизма изоморфна образу группы.
Доказательство.
I Пусть дан гомоморфизм у7.' Gt~* /	. Обозначим ядро его через
' /7 . По теореме 32, /73 G , Рассмотрим'смежный класс /У .
когда для vhc H рбраз (xhj~	С — л'с/~'	( где
С - единица Г , Sto значит, что каждый элемент класса жН
отображается на образ представителя его, т.е. на X . Теперь рас-
смотрим отображение <Г , которое смежный класс X Н переводит
в зП , т.е. Z; хИ-*х*
Покажем, что 7 - нзоморфнзм
а) вначале покажем, что И
б) покажем, что
чно показать, что f
G/Н на G/т ^;
- гомоморфизм, (х	-
- мономорфизм, т.е. достатс-
взаимнооднозначное отображение О/И
, на Jtr. f.
Пусть r.xlG-^X (Л	. 0^ противного: пусть
Рассмотрим образ (.Х(/, т.х<.	, т.е.
ЖЦ (S Кет ff . Умножим на у справа и получим Хе/Ху ,
L отсюда

43 -
с) покажем, что /	- эпиморфизм. Пусть oF^Jii'l ¥ , тог-
да для него найдется прообраз, т.е. Л'хА—’А , т.е. Л - иско-
мый изоморфизм:
Теорема 35.
Пусть	IF G , тогда: 1) каждая подгруппа фактор-группи G/F
имеет вид	А/Н , где А - подгруппа группы G и А? /-/ ;
2) если	АзА	и	FqQ	, то	А/А—А/А,’
з) если	А—А	и	A*3 G	, то	АААА/А
Доказательство:
'• Путем проверки. I, Пусть А - подгруппа фактер-группы А/А
Рассмотрим множество: А- А / Х£ G^
Покажем, что Hq/FG ; пусть ЭС( УС А , это значит,
Л'АсдГ и yA^zl . Найдем xFFI~XU(FF , т. к. А -
<7 г	а ''F	/I ч?
подгруппа. Отсюда	. Пусть Х& г , тогда Хп&х}
так как	- подгруппа, то для элемента X И она со дерзит
обратный	*Н t Отсюда	. По критерию подгрупп,
А - подгруппе. Так как А - элемент А , то для
A GууА~-А . Болез того, так как GFG , ю F^F.
2.	Пусть АзА , FgG . Так как Н< G „ то И<(~ .
. Оче-
имеем: А/АсА/А
\/х<& G и lA=A
Р/Н . Он имеет вид
лэом из Фактор-группы
= Нх '/Нхр^х. Pq-P/H
Рассмотрим фактор-группу А/А и обозначим ее через
видно, она будет подгруппой фактор-гиуппы А/А .
3,	А«А , Аэ//, Доказать F/IFC/H . По пункту 2
гая как A*3 G , то по теореме 23 для
/X &	, Рассмотрим элемент подгруппы-
' •• и протрансформируем его любым элеме-
G/i~i , он «жег вид Л’А (х/-/]'УG/(xG/j-
, т.е. Z/A<?A/Z/
Пример: рассмотрим полную линейную группу vLifytj , т.
группу невырожденных матриц порядка /?х/7 над некоторым полем
^осмотрим отображение Z XI’-А\^ /: GL(n Р)~* Р , Где р
'Р.
множество ненулевых элементов из поля г , т.к. рассматриваются
«вырожденные матрицы; Р - мультипликативная группа поля Р .
□скажем что отображение / является гомоморфизмом
/ Р
Проверим условие гомоморфизма: /	P-</ef /Р
докажем, что каждый элемент р является образом некоторой матри- 
пн при этом гомоморфизме, т.е. / - эпиморфизм. В силу доказанно-
го, матрица вида:
следовательно,
Рт -/РР *

Посмотрим, из чего состоит ядро этого гомоморфизма. Матрица
тогда и только тогда, когда определитель матрицы
мы
знаем, что подмножество матриц с определителем, равным I, из GL(nP/
относительно умножения - это группа. Она называется специальной
линейной группой. Значит, ХвТ /— SL(n^Pj . Согласно теореме 35:
(э/Кат РУги/ имеем, что GL^n^Pj/SL^^Pj^-Р , т.е. в
каждой полной линейной группе имеется специальная линейная группа,
фактор-группа по которой изоморфна Р .
Теорема 36-
Пусть GP'Pp
й имеет место изоморфизм
где [PG и А^С .тогда /7//М/4
G/H.
45 -
Дока зательство.
. Рассмотрим фактор-группу
. Поэтому можно составить
, ТО /'I <
Ж <6/7-5
Так как подгруппа /-М
1~//А > по теореме 35,
(СРассмотрим отображение
‘	’ f; G/A-G/H
,i. s
Отсюда •/ - гомоморфизм G/A » G/H . Точнее, это эпимор-
физм. Рассмотрим ядро этого эпиморфизма. Допустим, что хА еКех. /
если хе А/
(рассматриваем не все элементы, а только те, что отображаются в
единицу). Отсюда	, ,
Л/М/М
С другой стороны, пусть Х.А & И’/А	, это означает, что
Х£ Н > отсюда следует, что xA&B'e'Z / . Цо теореме 34 пс-
лучаем:
ч.т.д.
Теорема 37.
Пусть йсб ,//£(? „ /Ар , тогда МЫ и имеет мес-
то изоморфизм: ИН/Н—В/БПН.
Доказательство.
По теореме 27, 6/6 6' • Рассмотрим В ft И . Это подгруппа.
Для vhB рассмотрим	6^6=/^/7/7
Отсюда следует, что	• Рассмотрим естественный гомомор-
физм UfhBBA Покажем, что ВН. Пусть cB&BB/fi
отсюда С с ВИ , а
Отсюда следует, что
/// . где /^6
следовательно, 6/	АВ/А
каждый элемент из BIBB записывается в виде
.. Таким образом, Ав-ВН/И.
- 46 -
-айдем ядро этого гомоморфизма. Допустим рьПит
, так как	Отсюда следует
, следовательно,
, тогда
G-/G .Таким
образом,
с другой сто-
роны, если
теореме 34 имеем, что
, то	/ f а
Ы/^6/6пН , 
ч.т.д,
пе
Определение. Элемент
рестаяовочен со всеми
Енвариантеи в группе, если он совпадает со
дальнейшем черев Z(G) будем обозначать
тных йлементов группы G . Очевидно, что
jL(G) - инвариантная подгруппа группы
ЦЕНТР ГРУППЫ
Z& G называется инвариантным, если он пе-
злементами группы, т.е.	t Р'Лбб ,
или Х£— эквивалентно	X и, значит, элемент группы
всеми сопряженными. В
множество всех инвариаи-
ee^(G) . Покажем, что
G . Пусть
тогда	~	. Отсюда
Рассмотрим равенство:
(ОС. <ZXj ~3~ X -X-	, Отсюда <£ G
Таким образом, <G(G) - подгруппа (по критерию),
из инвариантных элементов группы G , то
подгруппа группы G
г Определение.
Пусть и<л,^е . Тогда множество
называется двойным смежным классом по подгруппам И
Теорема. 38.
Любые два двойных смежных класса по подгруппам п и г ли-
бо совпадают, либо не имеют обдих елементов и, следовательно,группа
G представляется в виде теоретико-множественной суммы попарно
епересекаюшихся двойных смежных классов.
.если &£<£(£>).
Так как она состоит
X(G) - инвариантная

jto представление называется разложением группы
модулю /
по двойному
Доказав ел ьство.
Допустим:
они имеют общий элемент
Итак,
Остается
Рассмотрим два смежных класса FxF
\Ш1чС
значит имеем
смежные классы совпали.
принадлежит хотя бы
что любой элемент
Умножим справа на
, тогда имеем, что
Умножим слева на
одному двойному
смежному классу. В силу сказанного для
где С & Н >• g t /'
е
. Из преды
дущего следует.
что всякая группа есть теоретико-множественная сум-
ма своих двойных смежных классов, ч.т.д. Л
Понятие двойного смежного класса есть обобщение смежного класса по
подгруппе. В силу сказанного, если	, то f/’JcF-Fx ;
если И- , то h'х/~ — Осf~.
Теорема 39.
Пусть даны подгруппы HcQ , FqG , где G - конечная
группа, тогда число элементов в произведении HF подсчитывается
по формуле:	|//Г1_ /М'/^/ .
1^1"-дан
(Предостережение: HF ~ необязательно подгруппа).
Доказательство.
Обозначим HfiF-S). Рассмотрим разложение F по подгруппе
•О	— *£х,	(I).	. умножим слева
«а /У . HF~	(2). Покажем, что в разло-
жении (2) все смежные классы различны. От противного. Пусть
ФЗ -
Gp . Для элемента	~^xj , отсюда 2LXj~A ,
где h&H . Из (2) следует, что Х? Ay е/- , а так как f~
подгруппа, то	2; -3j e Р. Мы получили, что
значит,	, поэтому -XXj ~с!&2.
Имеем, что	. умножим обе части слева на 2 , получим:
0Х=$А’  значит,	(3).
Так как в разложении (I) все смежные классы различны, то равен-
ство (3) возможно лишь в случае, когда j . Таким образом, ми
показали, что в разложении (2) все смежные классы - различны. Вос-
пользуемся (3) и подсчитаем порядок произведения F'h , из теоре-
мы 13 следует, что	I Hx-I~lH,	^'Lr- 2-
Поэтому |/7А=1^Н , но	, ПОЭ ТОМУ
jWn/'l ч.т.д.
Теорема 40.	<*
Пусть G - конечная абелева группа, порядок которой делится
на простое число р , Тогда G содержит подгруппу порядка р .
Доказательство.
Пусть в^хе G . рассмотрим циклическую группу, порожденную
элементом X . Если pll<£>l , то по теореме 17 подгруппа, поро-
жденная элементом X , содержит подгруппу порядка р и, следо-
вательно, G содержит ту же группу.
Теперь предположим, что никакая циклическая группа, порожденная
элементом из G , Не имеет порядок, который делился на р
Пусть	- все циклические подгруппы группы G . Тогда
группу G можно записать в виде произведения циклических подгрупп
(всех), т.е. Q-AiA,..-. At , в СИЛу доказанного, каждый зле-
мент правой части принадлежит G . Остается показать, что любой
элемент G принадлежит правой части. Пусть . Втот влемент

порождает подгруппу некоторую. Пусть <х>--Я;	. Тогда
где ее	-2	, т.е.-
каждый элемент X. , принадлежащий группе £ , представляется
в виде произведения элементов из А,А7--., А . К тому же мы
предположили, что р t lAjl для J- ^2,~	. По теореме 39
подсчитаем порядок произведения А А . Он равен
/ / Л I—
Отсюда pJlAfAj. Так как G - абелева группа, то А А
будет подгруппой группы Ь , Подсчитаем порядок произведения:
Снова применим теорему 39 и порядок произведения /АА/Ц не
делится на р .
Продолжая этот процесс, мы после конечного цикла шагов получим
тао:	^/АА.-АМ^
Пришли к противоречию с тем, что pflGi , Ч.Т.Д.
[	ТЕОРЕМА СИЛОВА,
Пусть G - конечная группа порядка р*Р sn&
р - простое число, тогда справедливы следующие утверждения:
I. Для любого целого числа р ,	, группа - & со-
держит по крайней мере одну подгруппу порядка р' ; в частности ё
содержит подгруппу порядка р* .
2. каждая подгруппа порядка рр ,	, содержится по край
8ей мере в- одной из подгрупп порядка р
I	3. Любые две подгруппы порядка р“" сопряжены в группе G ,
I	4. Число подгрупп порядка р* имеет вид J* кр , где Д'-
рлое число.
Доказательство.
От противного. Допустим, что теорема неверна, тогда среди ко-
нечных групп, для которых теорема не выполняется выберем группу
наименьшего порядка. Таной выбор возможен, так как в любом подмно-
жестве множества натуральных чисел существует наименьшее число.
Пусть ’
I)	. Покажем, что группа G имеет подгруппу
порядка р$ . Рассмотрим центр	группы 6> , он будет
абелевой подгруппой, так как все его элементы инвариантны. Возможны
следующие два логических с. а) р 1 i itP) I а) р 1 &I , при в центре имеется подгруппа Vxc- G (это следует из то P<l G , т, в им фактор-группу G/ Р	лучая: б) piitPcGrt- меним теорему 40 к центру группы. Тогда Р порядка р . Так как Рэс-эеР, того, что для	if сб>? следует е. Р	инвариантная подгруппа. Соста- , Ее порядок равен
Так как 1 G/Pl^lGl. то п пы G/Р выполняется.	о предположению теорема для фактор-груп- И следовательно, в фактор-группе G/P
существует подгруппа PPP порядка .
Отсюда IРМР/Р/ iPl-Р Р—Р ,ч.е. G
согласно теореме .35
Далее	,
содержит подгруппу И порядка рР •
б) p'HjGGJl . Группа Ь равна обьединеншо классов
сопряженных элементов, причем каждый элемент из <£(&) представ-
ляет собой отдельный класс (т.к. перестановочен с любым элементом
группы G ).
IGf-	1 'г/;,	•'/£	, где hi> '< и hi - число
элементов £ l -том классе сопряженных элементов.
|£/^(/Гб./М<Мг--.*4
Заметим, что pH bi и ph I <&(Ph
Если допустим, что все А делятся не р , тогда в (ж)
слагаемое I делится на р , что невозможно. Значит, для
некоторого рУhi , где гЧ £
Пусть 77 - класс сопряженных элементов порядка /£ и /2^4'.
Возьмем элемент З.С Ci , по теореме 1.9 число элементов (<л/ ~
-{Р:4^- /й// ; как ранее было показано, нормализатор есть подгруппа
и его порядок:	f
значит 4.7/? г/ 4^/ , Как порядок lA^.('ah<iGl и, кроме того,
Л /	’ (*недовмелЫ10* по предположению в нормализаторе
/£7й/ существует подгруппа порядка pfi
, которая и
будет иско-
мой.
2)	Пусть даны две подгруппы Р и /7 . причем iPi~ р , а
• Такие подгруппа, согласно I-й части, в группе Р сущес-
твуют. Рассмотрим разложение: (I) и>=Рх?/СfРхгН* - - i Рх,„р/~
Рх„'Н . Так как <2/ Р '~ Ь (по теореме 5), то '
-|Х Рх..Р\ . Ввиду ассоциативности i-	Н^СхРрх^Нt где
X Р~р - подгруппа, сопряженная с Р . Согласно теореме 21,
te, PxJ~(Pl- р . По теореме 39 порядок 'хрРл; СР pp^fppppjpi
/	1хрРл.ПН1
И следовательно, число элементов в любом смежном классе разложения
(I) т.е.
Из (I) и (2) имеем, что lGi~РЛ-Х-рррРхРИЬ. Подгруппа
X, Рл:,лН Z Н и, следовательно, по теореме Лагранжа ее поря-
док является делителем порядке подгруппы /7 , т. е. р^ . Значит
(3)
После сокращения гмеел:

По условию p^fl , поэтому по крайней мере для одного
будет выполняться
/7 Н I
Отсюда	М = р''	. Причем М-р* , т.е.
1-Х: Р-Х;РР\~ p^ir'l , Отсюда следует, что i~iПэР/"л^х// , следо-
вательно А/-С X- Рух
3)	утверждение вытекает иэ
\РМН^рл.
Получим Н^хрРх. „ в силу
пункта г). Для этого возьмем
, т.е.
равенства их порядков:
4
а) Пусть j’ - число подгрупп порядка , iPl~P . Сог-
ласно пункту 3 все подгруппа порядка р в группе ь сопря-
л
женн и их число по теореме 19 равно индексу нормализатора Г в
группе G , т. е. р = f G ‘/ie (P/h
Обозначим / /lg (P/i ~ 'A
Тогда / G/--' 'ip (по теореме Лагранжа). По теореме 38
(2)
Один из классов получим, когда	, тогда
t~'С(Р)~P/V^irj—р,^ iР) t <г.к> PqPq (P)
Посчитаем число элементов:
- 53 -
Разделил обе части на V :
а так как Х.р~Р t 'Ре	тс моанс ваше равенство перепясат:
в виде:	* i	1
f ~ * + ь^тдаУ! (3)
Остается показать, что каждое слагаемое в сумме (3) делится на р .
Предположим, что для некоторого < слагаемое не делится на р ,,'
тогда:	гП	,.. .^	.
р ~ /X P-l/l if) L
Отсюда xpи кроме того Рс/ррР) . По доказан-'
ному в пункте 3 подгруппы Р. Xt Рх-, - сопряжены в (Р/ . Сле-
довательно, найдется такой злемент he A^fPj , что /А-
и так как	, то Р~хРРхс .* Тогда получим:
PP№Z хррх^с(Р)=РРР.Л
рхЛ<р^^1р^^л/‘<р^л'^'.
пришли к противоречию с разложением 2). (Т.е. получили, что
Х£€ PqI.P) ').	Ч.Т.Д.
Определение.
. f -.	''	,	р
' ~ пусть р - простое число. Подгруппа 1 конечной труп- k
пы G называется смловской р -подгруппой, если fPf есть ।
наивысшая степень простого числа р , делящая порядок группа Р
Если	, (рп)-^ , тс порядок силовской р -под-
группы равен р . Если р не делит порядок группы С? , то.
указанной наивысшей степенью будет р" . В стом случае силовская
р “подгруппа будет	, т.е. будет единичной подгруппой.
Оп~оеделеиие.
Гр’,шпа G назидается р -группсй, если она совпадает со
своей сияовской р --подгруппой, т.е. если lPl~p-
Используя э2и термины, можно сформулировать теорему:
Теорема 41.
Для всякого простого числа р и любой конечной группы 6
выполняйся следующие утверждения:
I.	Группа G обладает р -подгруппами любого возможного
порядка, в частности, G имеет ваковские р -подгруппы.
2.	Любая р -подгруппа группы G содержится по крайней
мере в одной силовской р подгруппе группы G »
3.	Любые две садовские р -подгруппы в группе G сопряже-
ны.
4.	Число силовских р -подгрупп группы G имеет вид
'l-t Kp , где К - целое,	।
Теорема 42.
Пусть
, а I
>\ - некоторая инвариантная 1
- силовская р -подгруппа i
р -подгруппа группы К , а
силезская р -подгруппа группы Л
р -подгруппа в фактор-группе G/K.
подгруппа конечной группы
группы G . Тогда
i РК/К - силовская
Дока зательетво.
Пусть Pt - силовская р -подгруппа группы . По
теореме Силсва (т. 41)	^>С. Для иекоторогс . отсюда
хР>х'1яР-
Рассмотрим	, так как
Ito теореме 21 две сопряженные подгруппы одни порядок, поэтоцу
Ijcfiz H/Z-Jl t значит эсР<Х’* - силовская р - похгругша
в группе Р такая, что	Р
55
Рассмотрим г<)Г\ и обозначим ' /1Л —дгоюда
т.е.	р-подгруппа группы К .С другой стороны, X Цх-ьРпК*
z=	Az-силовокая	р - подгруппа в группе К , Поэтому
$~эсР,Х .Значит, А? Д' - оиловская р - подгруппа в группе А ,
Вторая часть теоремы вытекает из I части:по теореме об изоморфизме
РК'№ Р/РпКЖ.Ъсж [G^p^n^pn^^a /А=Х 1
iPnP^p',то ввиду изоморфизма (*р \РК/К\-= р у .С Другой сторо-
|б//<|=|СК
J-p	'
и следовательно, р - наивысшая степень р, делящая порядок
lG//(l .Значит, РК/К -силовская р- подгруппа группы G/K ,
ч. т.д.
и
Теорема 43.
Пусть Р -силовская р -подгруппа конечной группы
пусть Hs>Nc(P)
,чо есть Н - подгруппа,содержащая нормализатор
силовской р -подгруппы группы G .Тогда // совпадает со сво-
им нормализатором:
Доказательство.
Пусть XG& такой элемент,что Х'^Цх-(/,т.е. X вхо-
дит в нормализатор подгруппы А/ .Так как РсЛ(Р) ,то PqH .
Трансформируем последнее включение с помощью выбранного элемента X:
jc Рэс^Х ^X-/-Py№nQQUt4,£Q Р и х'"Рх - буцуч силовские р - ;
подгруппы в группе /7 .по теореме Силона они сопряжены в подгруппе
Н ,т.е. существует элемент	такой,что h'1(x''Px)^ - Р Д
или (xh Pixltf — P ,чо есть xhe Pp,(P)Q И .Значит xhc-p' ,
т.к. А/ - подгруппа,тс существует Ь'16 И .Повтому
fxW'e//, xchh-*)~xeH. ,
Учитывая fl) „получаем:
Следствие:
56
Нормализатор силовской р -подгруппы совпадает со своим нор
мализатором.
Следствие получаем из теоремы 43 при

Пример:применение теоремы Силова для исследования групп.
Пусть lGl~, р и - простые числа,причем р>(р -По теорем»
Силова, существуют подгруппы Р> & порядков р, соответстве:
но.Любые две подгруппы порядка р по теореме Силова сопряжены
и их число имеет вид: ^лКр, К-Ц&Аое.
По теореме 18 число подгрупп порядка р равно индексу нормализатор
ра:	^Р~ I&- % Предположим:
I) Jp= .тогда икр—ср или Кр=ср1, р 1(^-1),	,т.е.
-противоречит предположение, что р>(р
2) р>-1 ,т.е.
Подгруппа 0- либо инвариантна,либо таких подгрупп будет
столько, каков индекс нормализатора подгруппы О- в группе G .
Но таккак нормализатор:	,тс \&-	, и по
теореме Силова	, K<j.~ р'1	,т.е. (^(.р~'О-
Напри мер, пусть р~?,	,т.е. I Gl-=	показали, что
подгруппа порядка 7 инвариантна в группе G .Подгруппа порядка. 5
в этом случае также инвариантна в группе О ,ибо,если допустить,
что она не инвариантна,то по доказанному
делит	,что
невозможно.
Непосредственным развитием идей,заложенных Силовым, занимались
I
многие алгебраисты,в том числе и такие видные как Ф. Холл.Виландт,
С. А*Чунихин.
Пусть 7Г - некоторое множество простых чисел,а Д’* - дополнение к
Л во множестве всех простых чисел,т.е. ЯПЛ-Л? , а ЛиЗС* -
множество всех простых чисел.
(например,если	,то	J. ),
57
Учитывая это разбиение.порядок конечной группы 6 ыожнс записать
следующим образом: I Gl -' iGl^- ,где каждый простой делитель
числа iClff принадлежит Я ,а каждый простой делитель числа
lGlft- входит в Тс' .Естественно поставить вопрос: I) в каких
случаях в группе G существуют подгруппы порядка I Glx f2) подгруг
пы порядка iGln сопряжены, 3) каждая подгруппа порядка,делящего
iGlfi- содержится в одной‘Подгрупп порядка iGlji
В частном случае,когда	,т.е. есть степень одного простого
числа, имеем теорему Силова. Естественно рассмотреть общий случай,ког-
да множество УГ -произвольно.5ту задачу рассмотрел Ф.Холл в 1928 г.
Определение.
Подгруппа порядка । &1я называется /Г-холловской подгруппой групп!
G .Если ft состоит из одного простого числа р ,то Я-хол-
ловская подгруппа является силовской	р -подгруппой.
Определение.	J
Подгруппа Н называется 7Г -подгруппой,если множество прос-
тых делителей порядка /7 содержится в ~Л .По определению,единич-
ная подгруппа является ТГ -подгруппой.
Говорят,что для конечной группы выполняется -силовская
теорема,если
I	. G обладает по крайней мере одной -холловской подгруппой.
2	.Любые две- ^-холловские подгруппы сопряжены в группе G
3	.Каждая УГ - подгруппа группы G содержится в некоторой ее
% -холловской подгруппе.	I®
ТЕОРЕМ ХОЛЛА ( 1928 )
Для конечной группы G выполняется ^"-силовская теоре-
ма при лвбои множестве простых чисел .если G - разрешимая
группа.т.е.обладает рядом инвариантных подгрупп
таких,что фактор-группа G^/G- имеет порядок,являющийся степе-
58
нью простого числа, < -
ТЕОРЕМА ЧУНИХИНА ( 1952 г.)
Пусть 7? -некоторое множество простых чисел.Для конечной
группы G выполняется Л-сияовская теорема,а такие Я- сион-
ская теорема,если группа G является	^-разрешимой,т. е. обладает
рядом инвариантных подгрупп G= Ge— G42 ...2 G>i~ £ таким,что для
любого L порядок фактор-группы G^/Gi ДИбо есть степень прос-
того числа из 7Г .либо не делится ни на одно простое число из It .
ТЕОРЕМА ВИЛАВДТА (1954 г)
Для конечной группы G выполняется /^-силовская теорема,
если G обладает It -хожовской подгруппой М .удовлетворяю-
щей условию:для любого р& силовская р -подгруппа из Н инва-
риантна в А/ .
Гипотеза:Будет ли выполняться Ji -силовская теорема для груп-
пы G .если она выполняется для G/К и ' К .где A*3 G ?
Теорема 44.
Пусть А/ - инвариантная подгруппа конечной группы G я
(l6:Al.lAfl)-7 . Тогда всякая подгруппа А группы G , поря-
док которой делит породой А/ , содержится в Н ,
Доказательство.
Подсчитаем порядок произведения А Н . Так как A/*0 G , то
PiH - подгруппа по теореме 27.
(Д£/ОД<М
По теореме
\Qi;M
Лагранжа
(по теореме 39)
lAHlhCi
; таким образом, частное
Подсчитаем
его:
целое число.
И Al IAIIWI 1ДНА//
По условию
порядок
и индекс
- взаимно
59 -
прости.
Отсюда
lAl__= у
|АпН1
|Д| = |ДпН| , отсюда
A^AciFl
значит
As //.
Следствие:
Если в конечной группе G силовская
инвариантна, то Р - единственная силовская
Доказательство.
От противного, допустим существуют Р и Л
подгруппа группы G . По теореме 44, Р^Р>
равны, поетому Р-
р-подгруппа Р
р -подгруппа.
- сижевские р
, но порядки их
ЦЕНТР И КОММУТАНТ
С
Множество всех инвариантных элементов группы называется
иентром и обозначается £lG) .
Мы установили, что ото инвариантная абелева подгруппа и оче-
видно, что каждая подгруппа центра инвариантна в G . так как в
абелевой группе все элементы инвариантны, то абелева группа совпа-
дает со своим центром.
Теорема 45,
Пусть - гомоморфизм группы G в группу Г , тогда
образ центра группы G содержится в центре образа группы G .
Ето можно записать так: <£-(G)<S: £(G )} 0>=^]т (f.
Равенство имеет место,когда р -мономорфизм, т. е. когда с> изоморй
на образ;/ и .	।
t Доказательство.
С
-образ группы С? .при этом гомомор-
физме центр <А(Ь) отображается в .Нам надо показать,что
.Дня Vxe G и vze Хе ХХ^&ЗС.
Отсюда (xz^x^ и	,т.е. лй’^.г^^где
if; & ^Г7 G
60
ь .Отсюда
Zr^Z<£?
Если if -ьюноморйиамгто это значит, что
<^> и отображение ।
-»(/ является взаимно однозначным, I ^G}/=f
G -некоторая Группа и	*s®a ГРУПН£ не обязатель- •
но коммутативна,®.е. может быть xy-fyx .Но всегда существует
П;
,что выполняется равенство: ху=ухс
(это следует из разрешимости уравнения б группе). Отсюда
Г.тот элемент с называется коммутатором элементов X и. у
качается (.Х,У1=Ж,
С “	“
Определение.
Подгруппа,порожденная всеми коммутаторами элементов группы G
называется коммутантом и обозначается G
такой элемент
.В случае.если
К ОбС!
то коммутатор
т.е.
В абелевой группе	как в>е ее коммутаторы равны еди-
нице Z .
Теорема 46.
f - гомоморфизм группы G в группу G . Тогда образ
равен коммутанту образа,т.е. (.G')—(Gj.
K^G ,то G'K/K-lG/ty,кроме того G^G.
Пусть
коммутанта
Если
Доказательство.
а)Вначале покажем,что G^G .Пусть -коммутатор, (
Посмотрим,куда перейдет коммутатор при трансформировании:
/jx= х''а'"х"’а'''л х'^',хзс-''ахх",Ьзс^
~ (X',ax)-,(x ^x)-’(x ,ax)^x-,Gx)^ £x"axj х-'/х].
Отсюда,если М -множество всех коммутаторов группы G fT0 _
инвариантное множество и, следовательно,по теореме 25 <Zf> инва-
риантна в G ,т.е. <_M>-=G<G.
б) [ $1^ , Нейдем образ коммутатора при гомоморфизме :
61
вычислим че.му равно /,/?,/	/
£ а ^(й'ь'аь"а fa-=t&a]	(2)
z	z z J" «Г У	\ *
По теорете 8,если X&G ,то Х-С„'С,\-. С(‘ ,где С -коммутатор ,
а fat.
т. е.
Учитывая равенство (2), X есть произведение коммутаторов,!.е,
а=Аг,л;...г, ,где л£- - коммутатор.
Посмотрим,куда перейдет х^ .Очевидно,что Кб G.
lf> <р tp . <р
С другой стороны: х.—К^ KK--Kt
Согласно (I) кК& tG^ ~ -
является коммутатором Ь .Таким образом,мы показали,что
Покажем обратное включение,для
пусть	.тогда как
ИЗ (I * ) и (2 * ) следует,что
(GjhG^
этого возьмем один коммутатор из
И (I)	поэтому
образ коммутанте равен коммутанту
образа.
с)Пусть faG . Рассмотрим гомоморфизм lf:X—^Kxj xeG ,.г. е.
\f>:G~*G/K,Тогда G'GQ/K, (G )~(G/K) ,(Применим теперь доказанное
в б). Коммутант фактор группа G/К равен GK/K ,ч. т.д.
ТЕОРЕМА 47 ( ЖИЕР ).
Фактор-группа G/К группы G является абелевой тогда и
только тогда,когда KsG' .В частности, G/G -абелева группа.
следовательно
Доказательство.
Дано: G/К -абелева группа.Так как G/К -абелева группа,
то	К/К -единичная подгруппа. Из предыдущей теоремы
ъ.(£>/К)-К/К.gw возможно только тогда,когда K^.G.
Обратно,пусть Аэб
По теореме 46 (.G^)~GК/К	,но
поэтому lG^-К/К .,.е. G/K -абелева труппа(так как комму-
тант совпадает с единичной подгруппой).
Из доказательства следует,что G/G -абелева группа. Комму-
тант является наименьшей инвариантной подгруппой,факторгруппа по
которой - абелева.
62
ПРЯЖЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Определение.
Группа G является прямым произведением своих подгрупп А, А,--..А,
.если выполняются следующие условия:
т. A^G,
2. 6-А А-А
3.пересечение каждого множителя А с произведением всех остальных
равно {£]-£.:
AtCl(A,A.-. А^ Ait1
£=А*Ах---хА. -прямое произведение,
ИЗ теоремы 28 следует ( в ваду А А~ А А» Аа^-^№?. 6 А/ ),что
каждый елемент 0.x А{ перестановочен с каждым элементом <Яу<=А
при
Теорема 48.	j
Конечная группа тогда и только тогда равна прямому произведена»
своих подгрупп А,---, А , когда любой элемент ОС группы G
единственным образом записывается в виде х-х,х^-. X* .где ХеА/-$-
и эти подгруппы А,--.,А инвариантен G
Доказательство.
Допустим,что S=AX--- *At ,т.е.является прямым произведением
своих подгрупп Av . Покажем, что любой элемент хе G однозначным об-
разом записывается в виде:
гле xeeAi z /
Xi -называется компонентой элемента -X Допустим,что -X запись
взется епе одним способом: X-XjocG-.-Xe'^ At-.
Прировняем: ХЛ.--А=(I)
После умножения на става и (^)	слева .получаем:
(a:)xt4xL-.X) бх- -ху/
«НЯНвЯГ’-
- 63 -
Произведение (X,)А< t но пересечение А^А^.-А^Е , а
элемент, стоящий в правой части равенства принадлежит Az...At
это возможно лишь в том случае, когда (Xi)	. Отсюда Х-х/.
Теперь из (I) имеем: XlXi--.Xt — XzXJ.-.Xi_
Аналогично покажем, что Xz = Xi и т.д.
Обратно, допустим, что каждый элемент группы G единственным
образом записывается в виде х=Х---Х, ХеА', Ai^G, t-b--,*
Тогда, очевидно, что G-A,A^--At . Остается показать выполняе-
мос-ть пункта 3 определения прямого произведения. Допустим, что
Ал (А,Аг.-.А&Аь,
Тогда элемент Х^Аг^Хс^, -ДхД.-.А-* А,*...А*
представим в виде Xt-ХлХ^-.Х^Х^...X-,, XjC.A^'t'Sjst
Можно записать С-6...Х—из этого равенст-
ва и единственности записи любого элемента группы G имеем:
х.-е, х^е,...^-^—,х^е.
г.е. получили, что х„-е..
Отсюда: наие допущение неверно и, значит, верно утверждение 3)
определения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНЕШНЕГО ПРЯЮГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Пусть	~ группы. Составим из элементов этих
групп множество: 6.® Gl®---®Gi-{^x-',Xl/.-.,x^]xi с Сг] , где ® _
знак внешнего прямого произведения. На этом множестве элементов
определим операцию умножения следующим образом:
X) yj -	Хф).
Нетрудно проверить, что это множество элементов относительно вве-
- 64 -
денной операции является группой. Эта группа называется внешним
прямым произведением групп	,
Ваприаер, внешним прямым произведением является:
Q®G-{(oc^)\x,^G}
Рассмотрим связь внутреннего и внешнего прямого произведения.
Внутреннее прямое произведение инвариантных подгрупп по определению 
i
обладает тем свойством, что каждая из подгрупп с произведением ос-
тальных пересекается по единице. Во внешнем прямом произведении
рассмотрим множество элементов:
Так как умножение совершается покомпонентно, то ясно, что Gt яв-
ляется подгруппой внешнего произведения.
Соответствие	)—* X,- , очевидно, является
изоморфизмом между и б,- . Отсюда внешнее прямое произведе-
ние оказывается равным внутреннему прямому произведению, т.е.
G>i®G?® ®Gt-G,x G^x-~ х Gx * Используем определение
прямого произведения для доказательства фундаментальной теоремы
в теории конечных абелевых групп.
Определение:
Конечную группу будем называть -примарной, если ее порядок
есть степень простого числа. Единичную группу будем считать прима-
рной ( р*~ / ).
Теорема 49.
Пусть А - циклическая подгруппа наибольшего порядка конеч-
ной абелевой примарной группы G , Тогда в группе G существует
такая подгруппа £> , что 6 = АН sA^H~E- .т.е. G-A*H.
До ка зат ельство.
Предположим теорема неверна и G - группа наименьшего поряд-
К8,ДЛЯ КОТОрОй ТёОрбдШ НО ЬсШО^НЯбТСЯ» ТСГДЗ “• КОЕЗЧНаЯ ЗОвЛв—
ва примерная группа.По условию iGl-р .те р - простое чвы
Если G - циклическая группа,то тогда А^= G .очевидно:
6=А*Е.
Пусть G - иедиклическая группа.Рассмотрим имеющиеся две воз-
можности;
I. G/A - циклическая группа ,
2. G/A	- нециклическая группа.
1)Пусть 6/А -циклическая группа и пусть ^A-образующий элемен'
етой группы,!*е.
Введем обозначения для порядков подгрупп.Пусть:
<;a>sA в >Al=p£	f
А порядок I G/Al^p^.Очевидно,что	.тогда f^A/=A
»«ь' ё'еА,
г—"^7^	£	л -
где р наименьшая степень аиемента 0 «принадлежащая л. Так как
А состоит из неотрицательных степеней Л ,то
а)	если ^~О ,то AA-t и тогда К А>\~р.
Составим произведение < A^A~G, < Е->
теорема в этом случае выполняется.
б)	i~>0 .следовательно,	его можно представить в виде
.где	.Очевидно,что 1</А>(=о°. отсюда
>Tgf? как /g А и А вместе с каждым своим элемент
содержит все его степени,а	-это наименьшая степень элемента
.содержащаяся в подгруппе, А .тогда основанием степени будет
Яег	1ргР £(Р*
являться o’ .Имеем,что р-О.-.о—р -t>~d .И так как
,то
За теореме 1 следует,что р -порядок элемента Л-делит
число Нр .
Теперь имеем: 1<^>1—р^	.так как
бб
т=гбольшая циклическая подгруппа(по ее выбору). Отсюда	. Рас-
•лотрим элемент 6гьи s
Ми,	А^А'
Из следует,что	.причем р* } -наименьшая степень,
.Вычислим
b^d после умножения на &	* От-
<Г Z7 Р
имеет порядок р, К ^>1—Рг
.: сюда	Д * < А>,
2) G/А -нециклическая группа.Выберем S ней циклическую подгруппу
: которой о, входит в г\
т:о следует из выражения
:ида С ,т. е.
наибольшего порядка:
СА/А
Так как I (з/АИ I &I ,то теорема для
G/A.
выполняется,следова-
гельно.в ней существует подгруппа WA такая, что 6/А —
zr^A/j4 х<0А/А .Вернемся к группе G ; 6-£А-£>Аз
гК\^Р л	ОД/Д<15^4/Д—Д/Д	а
.	_ циклическая подгруппа наибольшего порядка вь/i еследе-
ьательно, СА имеется такая подгруппа Д ,что С4вЛД, Алб»"^
AtHnwiuwe: имейся	Аав^-е. "р	А лп » Дс\КВ~Е.
З.гда в силу абелевости группы Ь имеем,что	Л| ’ 1 >
так как |^Мн G/Al^ lAl-l CAsAl l3A/Af- lAl l&HIU,
:.e. произведение O^Pz -искомая подгруппа,ч.т.д.
Определение.
Группа называется неразложимой,если она не представима в виде
прямого произведения двух неединичных подгрупп.
Теорема 50.
Конечная абелева группа является неразложимой тогда и толхко
тогда,когда она является циклической примарной группой.
Доказате. ьство.
НЕОБХОЖЙССТЬ
IAHO: G -циклическая группа, 1^1~рл р -простое число.Доказать,
что она не представима в виде прямого произведения двух веединичных
подгруяп.
vt противного,допустим,что G ~ А *8, А*£,	.еначит, .
67
Ifo теореме Коши существе? подгруппа	такая,что
такая,что 1&1-=р .Так как £ - циклическая группа,то по теореме J7
сна содержит только одну подгруппу порядка р.
Отсюда	.поэтому ЛлЙаА^что протироречж тому,что FIFE.
ДОСГАТОЧНОСТЕ
ДАНО: G -конечная абелеваЦ группа-неразложимая. Доказать,что
G -циклическая группа примврного порядка,
Если G-Е ,то утверждние очевидно,так как единичная группа являет-
ся примерной. Пусть GtE и является примаркой группой.
Пусть Д- циклическая подгруппа наибольшего порядка из G .по теоре-
ме 49,	,но так как 6 -неразложимая группа,то в~Е ,
следовательно, С-А является циклической группой примерного поряв-
ка.Справедливость теорема доказана.
Остается рассмотреть случай,когда G -неприметная группа.
Тогда {G\*p/p. FpKK ,где Л>7 , рг । -простое число.	i,
3 дальнейшем через Pi обозначим подгруппу,порядок которой равен
1$1~Ре .Так как G -абслеьа группа,тс- G-P-t*Pz*--xR,т.ё. 6
прямое произведение сидовских подгрупп.гто невозможно в силу неразло-
жимости группы, ч. т. д.
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИЯ КОНЕЧНЫ АБЕЛЕВЫ ГРУПП
ТЕОРЕМА 51.
Каждая конечная абелева группа,отличная от единичной группы,раз
латается в прямое произведение примарних циклических неединичных
подгрупп.В любых двух таких разложениях:
число множителей одинаково,т.е. K-t ,а сами мнодители пояарно
изоморфны,?, е, при подходящей нумерации E^-Ai,Pi=A1__ FtrsAK.
Определение.
В теореме,если	,то порядки множителей являются
68
| :тепенями простые, чисел.Если обозначим lEt-pi ,гяе рг -простое чис-
Ljc, Е-<О.г> г^с система чисел pGpG-~>p*' называется
Г:истемой инвариантов группы G и из теоремы 51 следует,что инвари-
анты не зависят от слов оба разложения группы G .Множество элементов
/т.е.образующие подгрупп Е>,—,Е	.навивается базисом
группы G ро теореме 48 каждый элемент Л€ С единственным об-
сазом записывается в виде; л>и,Иг.. к* .
Доказательство:
Вначале докажем разложимость группы G .Доказательство ведем ин-
дукцией по порядку.
Пусть	Ivi-p*pi "Р*	.где p'^- ^pt -различные прос-
тые числа и
Рассмотрим случаи,коВдя	и /'*/.
Г) £>/ .По теореме Силова в группе существуют подгруппы
L	ft порядка р^>--'}р^ .Тогда	№
р Так как [PcKlGl .то для подгруппы Pi теорема верна по
индукции,s.e. Р - разлагаются в прямое произведение примарных
циклических подгрупп» Подставив их разложение в (*) пол учим, что и G
гизлагается в прямое произведение примерных циклических групп.
f 2)	,т.е. G примерная группа.Пусть А - циклическая
подгруппа наибольшего порядка группы С .Тогда по теореме 49
Q-xzA*b
.Если	теорема доказана и число множителей
з разложении равно I. Если ,то	и по ивдукпии Ь раз-
лагаетея в прямое произведение примагных циклических групп. Подставив
е^о в G~A*P) ,получим разложение группы, G. Разложимость доказана''
Докажем ивоморФизм етях разложений.Итак,мн имеем некоторое раз-
оженче	.Рассмотрим два случая:
a)	G _ примарная rnvrna ;
б)	целится не менее, чем на .два различных простых числа.
а)йусть lFil=p ?так как группа абелева,то можно множители
69
разложения запасать в таком виде,что
ЕХЛ.и.. (**)
I
Рассмотрим следующее множество:
Q(GHxl xcQ, А}
-8ТС мисаесгли нлементав груп-
пы
Ь .порядок которых ра^ен р
Покажем, что Q-(G) -группа. В то
.либо 1.
мнокество не пусто(следует и®
1
I
теоремы Кока}. ~
Пусть х,^ е	. ВЫЧИСЛИМ!
(перестановка возмонна из-sa абелевости).
Тогда ayfi Q , По теореме 3, QiS) - группа. Установим спра-
ведливость следующего равенства!
где Qlfcix^F^e] , Пусть xgQ(G)! тогда я силу раз-
ложения (и)	х~х,х1...хк г г.це xcG.Fi.
Ito определению Q(G) , XP—fL , с другой стороны, возводя в сте-
р р р р	р с
пень, подучим: *-X^Xt... хк е mas KaJ. Xc&F , то
т.к. Ft - подгруида,содеркащая каядук степень ьлементе.то есть
имеем:
Ввиду теоремы 48,	в
. Отсюда
xceFl(F)f
т.е. ш показали, что
12 (G) е О. (F) *12 (Рг)у-• • * 12 (F).
С/^ А"
Покажем обратное включение. Пусть x~XtXL...XK)	•,
тогда x'FlX'Xi-Xb'F z’xF. Х^х^х^...х^е.е:..е^е.
Получим, что Хр-(?	„ т.е. всякий алемент имеет порядок
Значит, в разлонении (I) включение показано в обе стороны, т.е.
- 70 -
4
разложение (I) справедливо. 3 разложении (I) подгруппа /7 цикли-
ческая, поэтому и	циклическая (как подгруппа циклической
группы). Ее порядок равен р , ибо она образована из элементов,
порядок которых равен 1 или р . Итак:
Тогда из разложения (1) получаем, что l-QcG/l-P-
Пусть дано теперь другое разложение:
G=At*At*--  *Ае •
По только что доказанному, &(G)hp , отсюда . Исак,
мы показали, что число множителей в любых двух разложениях группы
G одинаково. Остается показать, что при некоторой нумерации
множители нтих разложений попарно изоморфны. Пусть даны два разло-
жения: 6-/Гх4х---хАр*АхАу---М/г	• . если i^i=yOK ,тс
l/j-нДгН/5 , а Значит, они изоморфны как циклические группа
одинакового порядка. Пусть lGl>p . Обозначим iFil—p^ , В
силу условия (их) имеем, что Е„>7	, Теперь можно записать усло-
вие:	_ _ _
82^_.. >	~	'>
где IV - наименьний индекс, для которого Е».^ /	. Рассмотрим
множество:	1х£&} (множество уО-тых степеней влементов
группы G '}.
Покажем, что V(G) - группа.
XPf=(X4fcU(fy По теореме 3 V(G) - группа. Покажем, что
UTtfJ-Пусть XG G , в силу (ж)
Х-Х^Х-Х* где Х(£р-£ . Отсюда:
Xe-XfXp...X^X^XP,..ЗС^,	, откуда следует, что ~C(G) принадле-
ая правой части (2).
И так как Xf,xF- J^fax^-.X,»)	, то правая часть (2) принад-
лежит TJ(G), • Посмотрел, каковы же порядки элементов в разложе-
нии (2). Мы обозначим р ' , Кроме того, А - цякличес-
кая группа, следовательно,	, тогда \</>i>\=p
( Рр— С для	и,яя <&> ).
Но 4₽е XJ(F£) . Отсюда I ~U(F)\-p 
В Пусть	Z удаывая
П предыдущее: XJ(G)~ TF(F)XU(F)*---* ZftF,}- UfA^IFfA^.-^UfAs)<**>
’• Так как lUiGlM то по индукции теорема для	и-
i полняется. Поэтому в разложении («) имеем, что tv-^S . Отсюда вы-
текает, что |7T(/?J|=V(Ai). для i~ 1,2.,. ..,/П ,но lFih=p.\'U(Fi)lt
]Ау=р- 1&(Л)1 Но так как	ТО F/^iAd Но цикли—
|ф ческие группы А и F дного и того не порядка -изоморфны,!, е.
- Zi=A i-1,z...,  ,т.е. теорема в этом случае верна,
рОбщий случай: G -неприыарная группа.Пусть Gi^p,pj,p£
ре -простое число,Пусть имеем два разложения:
Б силу абелевости группы £ эти множители- можно представить так,
что сначала будут стоять множители,порядки которых есть степень прос- •
того числа р< .Произведение этих подгрупп будет Pi -силовская
р.-подгруппа группа G ,т.е. получим,что:
/?=^х/£х- - • х/Р^А-х Ал - • *А.
но мы показали,что для примерных подгрупп теорема справедлива.
Ь Поэтому t-S , FP^Ai ,	.Аналогично,собирая множители,поряд-
В ки которых есть степень рг. я так далее p-i ,мы покажем,что в двух
ж различных разложениях число pi-подгрупп будет одинаково и они по-
В парне изоморфна ( для любого	),ч. т,д.
Ж ТЕОРЕМА 52 ( РЕЧАКА. -ВУНДТА)
;Р Пусть G-группа с конечной цепью {если группа представима
Я двумя способами ® виде прямого произведения неразложимых подгрупп:
Ж G"F1YFiY--~'lFK-A/A^...}cAe >Ео К=А и множители попагно
Я центрально изоморфны. И в каждом произведении каждый множитель чожет !
Я быть заменен некоторым центрально изоморфным множителем из другого
К‘ произведения.
72
Определение.
Группа G называется группой с конечной цепью, если любая
убывающая цепочка инвариантных подгрупп заканчивается единичной груп-
пой:
Определение.
Если / - изоморфизм группы F на Н ,где F в Н -
некоторые подгруппы группы G ,то втот изоморфизм называется цент-
ральным, если из /а-*/ следует, что a^dx. .где х £.<£(&)
Теореде '52 обобщает фундаментальную теорему (вторую ее часть) на
случай неабелевих групп (необязательно конечных).
НИЛЫГОТЕНТНУЕ ГРУППЕ
Filpote.nl
в переводе означает "нулевая степень".
Определение.
Конечная группа G называется нильпотентной,если она удовлет-
воряет одному из следующих равносильных условий:
I) G разлагается в прямое произведение своих силовских под-
групп •	G-R^-^.
2)Каждая силовсхая подгруппа группы G инвариантна.
Из (I) следует (2) (очевидно)
Из (2) следует (I) на основании теорема 28.
\Gi=pfa--pr>
G~PxPbY-- YPK .где d&0, pi -простое число, p^Pj при 4^4
Из определения следует,что Е-[е] -нильпотентная группа.
ТЕОРЕМ 53.
Каждая подгруппа и бактор-группа конечной нильпотентной группы
также нвлвдотентна.Прямое произведение конечного числа нильпотент-
ных групп снова групп снова нилыотентно. Иначе, класс нильпотентных
групп замкнут относительно подгрупп,фактор-групп к конечных прямых
- 73 -
Произведений.
Доказательство.
I. Пусть Ь - конечная нильпотентная группа. Рассмотрим про-
извольную подгруппу группы G :	. Пусть р - простой
делитель /М . Обозначим через
/? - садовскую
Р - СИЛОВСКуЮ
р -подгруппу из Н
^0-подгруппу из G
По условию: P^G * по теореме Силова pQ-P
реме 44). Если рассмотреть пересечение Р(уР~Р, t
Р ^ozvpyttiiy. С другой стороны HnPsPi (т.к.
Р~ силовская в Н . Значит, более широкой t
быть не может, т.е.
Значит, НпР-Р
Значит,
для V простого числа р
Н инвариантна. Значит, доказана нильпотентность // .
II. Пусть K<G . Рассмотрим шактор-группу G/K
\G/P\~1 , то она нильпотентна. Пусть Р - силовская
группа группы G , по теореме 42, РК/К - силовская
группа G/K . По условию Р< G , K<G , Значит. /
„ РКМ'К , т.е. любая силовская р -подгруппа фактор-
группы инвариантна в G/K
III.	~ конечные нильпотентные группы. Пусть
Г- G^G^-rGt , нукно доказать, что группа /** нильпотентна.
(либо по тео-
то получки
р -подгруппы
7.10 ЛЖИ О
. Но
быть инвариантно е
Pt - силовская
. Значит, кажая окловскгя
Н по теореме 39.
р -подгруппа Н
подгруппа
. Если
р-под-
79 -под-
Рассмотрим случай при ^«2 . возьмем произвольный простой дели-
тель р к подгруппу Р ~ соовскую р -подгруппу ИЗ Gt ,
Р- силовскую р -подгруппу ИЗ G* ,
Bbjkv нильпотентности и'верестанозочисстЕ элементов получим:
Р.<Г, W .3333»
-ЧП -
Заметим, что rfer,/* - силовская о -подгоуппа группы
G , т.н. ir^lGj lGjflPl=lP.l lPjf р,п(У={е} ' , значит,
порядок Р - есть наивысшая степень р , делящая I Г/ , ч.т.д.
ТКОРЗУА 54-
Неединичная конечная нильпотентная группа обладает неединич-
ным центром.
До к а за т ель ство:
Пусть I &I > 1	и I
простое число, группа __ 6
Qspxpl , гге
По cBQj|cgBg прямого произведения.
вочны. Значит, Z(PjgZ(G) s
. Таким образом, достаточно доказать,4что
G - нильпотентная группа. Пусть р -
• записывается в виде произведения
- силовская р -подгруппа из G ,
элементы из рн перестаю-
^Езли Х6&Р) . то
отличен от единичной подгруппы. Рассмотрим.совокупность классов
сопряженных элементов группы Р :	1
С,44, С„....Ст.
Обозначим число элементов в I -том классе через	. Так
как все сопряженные елементы исчерпывает группу Р , то
Если Xi - представитель <- -того класса, тс по теореме 19
*-.«»• 1СД4Р:Л/еМ\-р''.
Значит,	t —фл; 4 ft	еатъ <жепов» часта р , отсила
следует что для IzS^fn , lGsl-7 . т.е. Cs~{Xtp xt инва-
риантен, т.е, х,е<^,(Р)	* значит,	, Ч.Т.д.
ТЕСРЕЙА 55.
В конечной нильпотентной группе каждая подгруппа, не совпада-
ющая со всей группой, отлична от- своего нормализатора.
- 75 -
доказательство:
Доказательство .ведется индукцией по порядку группы. Пусть
Q - конечная нильпотентная группа, H<=-G (подгруппа).
М*£. По теореме 54,	. Возможны два случая;
I)	* тогда	,члл.
2) Ж?е//.
Рассмотрим Фактор-группу 6/Z(G)^=>Н/'%.(&)	о д> индукция,
теорема для фактор-группы верна, т.е. найдется такой неэдиначный
слемевт эс£(&) , которая перестановочен: (xX(G))(hl/jG(G)}~
. Отсюда:
(хЛG))(/Mj)-= (4Z/Q/zI(G)\ k}h,el/
Последнее равенство ввиду ассоциативности
X A l(G]i(G)^k X <£(G>) Z(Q),
хА Z(G}~ /1.Х Z(G),	i,
XAz - h. XX,; xzx, & Z(G).
бдемеиты
Так как Хе//
мент-ы // , то
- инвариантны, значит,
, то
f i‘.e.
. Если
также пробегает
эсе/\/6(/-/}
h пробегает все але-
ьса группу // . По'етому
Все проделанное сводилось ь тому, чтобы показать, что

Определение.
KycTi G - аеединичная группа к пусть - такая под-
группа группа G , которая ке содераится на в какой другой под-
группе. стлачной от G . Тогда называется максимальной
- 76 -
подгруппой. Максимальная подгруппа единичной группы - есть она са-
ма. Из определения максимальной подгруппы следует, что она либо
инвариантна, либо совпадает со своим нормализатором.
ТЕОРЕМА 56. (О.В. Щивдт)
Конечная группа нильпотентна тогда и только тогда, когда каж-
дая ее максимальная подгруппа инвариантна.
Доказательство.
Необходимость
I) Если G - нильпотентна, то по теореме 55 ее каждая макси-
мальная подгруппа инвариантна.
Достаточность
2) Пусть в конечной группе G каждая максимальная подгруппа
инвариантна. Пусть |6/>/ , Пусть р - простое число,делящее iGl
Возьмем Р -силовскую ^-подгруппу. Рассмотрим нормализатор.
(р[ - максимальная подгруппа).
По условию ЛНС , а по теореме 43 зто невозможно. Значит, наше
допущение, что ^(P)^rG неверно, и остается, что Роб
Определение.
Ряд подгрупп E~Go~ Gt~G/ t~b-1
называется
центральным рядом группы G , которая необязательно конечна,если
все подгруппы этого ряда - инвариантны в G и Gi«/G>c=EL(G/G^
для
ТЕОРЕМА 57.
Конечная группа нильпотентна тогда и только тогда, когда она
обладает центральным рядом.
Доказательство.
Необходимость
Пусть группа G нильпотентна.По теореме 54 £[G)*lz.
Мы считаем,что G^E .Положим G„—E> Gi—,£.(&) .в фактор-труп
пе G/G. рассмотрим центр и обозначим %(G/Gj^
п
jL (G/G^ -~Gb/Gz,
Д. ( G/Gj - G^ /Gt 
подгрупп: с-Оо^о^-ч,—
G (по теореме 54). Получили централь- .
Она
Н!.'Й
Кто
Получим последовательность
обязательно дойдет до
ряд.(кто видно по построении)
Достаточность
Пусть группа G обладает централ!ним рядом:
E^G^G^-GrG. ы
значит: Gtu/'GtQ P(G/G^t 1^0,.. .,^ "!
Покажем,ччо группа G нилытотентна.Доказательство проведем
индукцией по £ .Рассмотрим G/G^ и ее р<щ:
G^/Gi-Gl_/G^~---<^Gi/G1=G/G1 нужно
ный ряд. Применим теоремы об изоморфизме:
показать,что ато централь-
J
функцией f-
GM/GC qG/G
(Использовали теорему Ji 36).
Изоморфизм осуществляется одной и той же
у: acG,) (Gt/G,)-^^ Gt.
По теореме 47,
Значит, G/Gi -нильпотентна.Пусть г -силовская ^О-яодгруп-
па группы G ; по теореме 42, PG./G,
группы Q/G. 
А так
-силовская подгруппа
G/G нильпотентиа, то PG/G^G/G .по теореме 35
PG<G.
По условию 64Если рассмотреть
,т.к. G^^(G) .значит, P^PGt^G .Возьмем любой
и прстрансформируем:	.Теперь легкс
как
-ра
7 3
залетЕг’ь.что х Рх=г >звачжР> P^G (все садовские подгруппы
инвариантны) ; значит,группа G нильпотентне.ч.т.д.
ТЕОРЕМА 56.
Конечная нильпотентная группа обладает инвариантной подгруппой
любого возыижного порядка.
Локазател ьство.
Пусть G -конечная нильпотентная группа, *	.пусть й
любой делитель I.Gl . Докажем,что в G существует инвариантная под-
группа порядка <3- .	(Не является единичной подгруппой).
Центр состоит из инвариантных елементсв. Возьмем подгруппу Р ,где
lPl—р -простое число, Pc 1(G)
(эту подгруппу можно найти пс
теореме Силова). P^G (т.к.она входит в центр).
Возможны два случая:
I) /э/а.
По индукции G/Р содержит инвариантную подгруппу А/P поряд-
ка о./р .тогда A<G,
2) р^& .Рассмотрим группу G/Р дао индукции имеем инва-
риантную подгруппу F/P порядка ,т.е. F<GJ
По теореме 53 подгруппа F нильпотентна. Значит, P*P*At
(lPl,lAl)=7 получаем: lAl~a, А<РА<G.Х'АХ *Х’'РА*~РА,
значит, .ХГ'Ах^А по теореме 44 относительно FjA ; значит
Д<б> ,ч.т.д.
Теорема 59.
В конечной нильпотентной группе каждая инвариантная подгруппа
простого порядка содержится в центре всей группы.
Доказательство.
пусть G -конечная нильпотентная группа, P<G, fPFp -прос-
тое «исло.Так хак
нильпотентна,то
Если	,то по индукции
(ансжнтели
79
прямого произведения поэлементно перестановочны). Включение следует и:-
того,что Р~«Л> _ цивд,йЧеекея группа,если возьмем
/^(а)^	o-cZ(G).
Пусть__i~1 ,т.е. G -группа и lGl-р .Пусть С - класс со-
пряженных элементов с Л , C-fa &х1хб£] .ввиду инвариантности С-Р
Число элементов: lCl~lG-(по теореме 19).Т.к. \Gl~p t^o
lQ~p* tp-О	.Если предположить,что ^><? то Р содержит
1С1-р* влементов, значит,	1+р >-р.
Получили противоречие.Значит ^0 .Тогда /P&(a)**Gf GlgZ(G).
Бели элемент из центра,то все его степени также входят в центр,т.е.
P=<Q>SZ^	,ч.т.я.
ОПРЕДЕЛЕН®
Пусть G - произвольная группа. Положим
ZO(G)~E, &(G)=ZtG),
(G)/Z lG)^^(G/^(G)l...
Получили последовательность:
ZpG)/^(G^Z(G/^(Gd)	;
^(fy/ZjG) ^Z(G/Z(G))
-получили последовательность цент
Z)	.. gZjG) ~..
центральной цепью группы G .
ров
-эта цепочка называется верхней
Спределим цепочку подгрупп:
-нияияя центральная цепь
-коммутант,
ZfG^LG.Gl-G'
rjG^LG'KG)]
-взаимный коммутант.
Напомним:	'С^^/^й-бД^^-взаииик коммутант групп /} и S
Лемма О: L А,
80
Леши 1.
Пусть Л и b -инвариантные подгруппу группы 6 tтогда (4,/faG
Доказательство:
Если йеА?	,то справедлива формула:
~LxxX,x бх.] .Причем из инвариантности А к в подучаем,
чте хЪ.х&А, х'кхе&
Отсюда следует,что множество I аеА,Дев] является инвариантным
по теореме 25,ввиду инвариантности,имеем: [А^З^С ,ч. т.д. Отсюда
.тогда
следует,что нижняя центральная иепь состоит из инвариантнннх подгрупп
Лемма 2.
Пусть Н/К^&Ж .Тогда и тол1ко тогда /7/AeZr^/4).когда iGfaK
Дока затель ст в о.
H/K^EfG/K) (1).Если :(2) h£k, хс-6 и рассмотреть:
из) X'A'"xh= [x,h]
о) Е'КхК^хКА'К,
(5) h',xK'Xh',Ki
(б) x'fr'xlk/т'/ЕКк
Г?) X’^k'xhk^K
(8) lx,hle/(
C9)	16, hl J & К
Обратное утверждение следует доказать обратно: (9)-(Р)~..
Еще она нам нужна для тоге,что показать,что G(G)/hi„(G)&i(G/G^(G)),
Действительно, Q.(G)=lG /1(6)]; и результат следует из леммы 2.
ТЕОРЕМА 60.
Пусть дан центральный ряд Е~Ав'=А,--- ^Аг6 конечной ниль-
потентной группа G .тогда: А^£(6) для лкЗсгс члена
i
.умножим справа на h * и учтем hK=Kh,
, тогда
с верхней центральной цепи.
аоказательствс-гиндукдяей по номеру. Обозначим	г
,т.к. Z, -центр группы,а Ач содерьится в центре всей
группы.Пусть доказано:
Докажем,что	' >л.< ~ *-»>»•’ •
Для этого раснмотрим: 4.XA-M-£Z|'6/'V
Возьмем ле А,,..,,
Ап„/Ап- £(С/Ап) -по условии,а ото значит,что
умножим на £п (G) ; й^п(С^^а^(С), (ain(G})(^Z„(Gj)~(^J^(a^(Gl
Отсюда d£n(G) £j?(G/jG (G))- lG)/jGn (G).
ТЕ0РЕЖ 61.
Пуеть дан центральный ряд: Ь=м,-и»'С
конечной, нильпотентной группы.Тогда £(G)^Gif
Доказательство:индукцией по номеру.
Аля простоты обозначим fl(G)=fi	.Имеем:
что имеем £&&п,1Гьо .Покажем:
тору центрального ряда: Gn /G„„	G/GniJ
по лемме 2} [G,Gn]£ GM< .Заметим:	[Gt GnT, r-K. G~Gn
Ho	tno3mo»y tGllll=r^f^G^t Ч.ПТ&.
-b .Предполоаим,
. Обратимся к фак-
ТЕОРЕМА 62.
Пусть G -конечная нильпотентная группа.Тогда для некоторого
неотрицательного целого числа С имеет место:
£^<>(G)c=Z(G.)c...c^(G^Gj
G=G(G)=>G(G)^>.-.^=>Гс (G)-=E.
Другими словами,верхний и нижний центральные ряды имеют одну к ту
же длину С , которая называется классом или ступенью нильпотентнос-
ти группы G .Теорема 62 -есть следствие теорем 60 и 61.
’Доказательство.	(
По теореме 60, 2-K(G)~G	ъяъ некоторого #{".
По теореме &s G,(G)-E	для некоторого ГП.
Ети ряды коняаются либо £ ,либо G .Кроме того,каждый ряд
огт-аявчен длиной централ! ноге ряда,а так как оба (верхний и ницний)-
62
центральны и длина какдого ограничена длиной другого,тс их длины сов-
падают,ч.т.д.
Определ ение.
Группа G (необязательно конечнаяНазывается нильпотентной,если
она обладает централ!ним рядом конечной длины.
РЯДЫ ПОДГРУПП
Пусть имеем ряд подгрупп,т.е.последовательность вложенных друг
в друга подгрупп: G = Ga G< — • • • —	~ Е.
t -длина ряда? iG^  G£| -иидекся1 ряда, С- 12,
Этот ряд называется: 1)инвариантным,если Gz<G для V с~ ‘С?,--/?
2)субинвариантным или субнормальным, если Gt 41 Gi~
факторы Gi-ifGi	называются факторами ряда.
3)рядом без повторений,если все его члены различны,т.е.
G= Ge=> &,=>=> Gt~ Ё	'
Всякий инвариантный ряд будет субинвариантным.
Определение.
Ряд G-Go=>G,=>_z>G^E называется кониозип ионным, если
он является субинвариантным и для УI-	выполняется
одно из следующих двух равносильных условий:
I) /Gi
-простая группа,
2)между и G; нельзя вставить ни одной подгруппы инвариант
НОЙ В G(^1
Спре деление.
Ряд. G~ G^G,^... ^Gt^E называется главным,если он являет-
ся инвариантным рядом и для Vвыполняется следую-
щее условие
!)мевду s G>i нельзя вставить ни одной подгруппы//
чтобы ВЫПОЛНЯЛОСЬ (5. О //ЪGi, H<G
83
факторы глг-вниРо ряда называются главными Факторами.Факторы компози-
ционниго ряда называются к-эжозивионными ггакторамк группы.
Есл и G - Ё. , т о р кд ЕзЕ считается кошозиционнам и главным.
Р АЗРЕЙИМРЕ ГРУППЫ
G -коммутант группы G ила первая производная Группы
fG2 -G -коммутант от коммутанта
производной группы G
или называется второй
(fi*“fl - коммутант или (п^У-я пос взводная груп-
Определение.
Группа G называется разрешимой,если для некоторого натураль-
ного числа / G-E ,т.е.ряд коммутантов Заканчивается единич-
но» подгруппой: G-G^Gs...G .Наименьшее 't'ZCi .для кото-
рого 6'== Е .называется производной данной группы G.
По лемме	G‘<G
ТЕОРЕМА 63.
Подгруппа и фактор-группа конечной разрешимой группы разрешимы.
^&казвре.ё1ство:
-разрешимая группа.Рассмотрим G/К .По тессеме
46 (GK(G ) .кми гомоморфизм ifiG-^G/K .тогда по теопеме 46
при зтом гомоморфизме / -.G'-^G'K/IE (GfK)' По Te(,DP„P
У. G^K/К^КГ р 4б‘
Е^Ё"К/'К^К)"К/К.
vTH0CHTe«bHC ffiar ’i ир-группь- теорема доказана:
G/EзСд/Лз-..	Рустъ И.Типа бё ёёИаГУ1аШ-
Еслк G-Е ,то HqG-E „значит A/=£"	,ч.т.д.
лемма. Пусть G - конечная группа. Тогда:
Всякий субнормальный ряд без повторений может быть уплотнен
до композиционного ряда.
Каждый инвариантный ряд без повторений может быть уплотнен
де главного ряда.
Доказательство.
Пусть G^G,^--- =>G<~E	_ субнормальный. Если он не ком-
позиционный, то вставляем G{QH^Gi^ . Вставляем до тех пор,
пока ето возможно. Аналогично для главного.
ТЕОРЕМА 64.
Конечная группа разрешима тогда и только тогда, когда она
обладает композиционным рядом, факторы которого являются абелевы-
ми группами простого порядка.	4
Доказательство.
Необходимость.
Пусть G разрешима, G-G'^.^G-E	- произ-
водный ряд, где каждый член его - коммутант предыдущего. Если рас-
смотреть Факторы этого ряда (по теореме 47 они будут абелевыми),
(<-4//- <1>
О / 6	- абелевые фактор-группы.
Допустим, что удалось вставить подгруппу так, что H<G ,
Q1	• и тогда,
С УН-G 7G/H/G'’	- абелева группа.
Кроме чего, Е/G абелева, т.н. входят в абелевув группу.
От-
сюда получаем, что при уплотнении произвольного ряда получаем
ряд
по-
с абелевыми факторами, j-то производим до того момента, пока у
лученного ряде все факторы будут простыми, т.е. все абелевые Фак-
торы будут иметь простой порядок.
- 85 -
ЖТАТС'ЧНССТЪ.
Пусть дан К0МП08ЕЦИ0НЕНЙ ряд G-G^G, ->--'Э&пгЕ с просты-
ми абелевыми Факторами. Но теореме <7 отсюда вытекает, что GgQ,
, дальше, 6,/^	- абелева, следовательно,
‘ поэтому получаем, чтс G	. Продолжая зтот про-
цесс, получаем, чтс С Ч G.-£	, а ото означает разрешимость
группы, ч.т.д.
> ТЕОРЕМА 65.
Следующие условия эквивалентны для конечной группы G :
I)	G разрешима;
2)	G обладает инвариантным рядом с абелевыми факторами ;
3)	G обладает субинзариантным рядом с абелевыми факторами.
Доказательство.
I) 2)	~ ”о определению ряда коммутантов; из 2) => 3),
т.к. всякий инвариантный ряд есть субинвариантный. Из 3)	I).
Пусть дан ряд G-Go-3---^G^G „ субинвариантный ряд с
абелевыми факторами. Уплотнив его до композиционного. Получим, что
композиционный ряд имеет простые абелевые факторы, а по теореме 64
группа разрешима, ч.т.д.
ТЕОРЕМА бб.
Пусть А/ - инвариантная подгруппа конечной группы G , Ес-
ли Н й G/M разрешит®, то и G разрешима.
Следствие:
Прямое произведение конечных разрешимых групп также разрешимо.
Дока зат ел ьство.
Пусть G/H-Gc/H^-- ~3Сп,/Н"Н/Н композиционный
ряд для G/H , iG,,/H:G;/Hl	- простые числа.
Тогда |6^_, >‘Gj - простое число, т.к. он равен предыдущему.
Если Рассмотреть цепочку G=Ga->.. .^С^-Н , то ее индексы прое-
- 86 -
тие числе. К атой пени прибавим композиционный ряд группы И ,
Группа разрешима.
Доказательство (следствия).
Если Г=0^С>г. г где G, , &г - разрешима. рассмотрим
G/G-Gb (по теореме об изоморфизме). Применяем доказанную те-
орем» 66 и получаем требуемое, ч.т.д.
Нильпотентные конечные группы разрешимы (теорема 65).
ТЕОРЕМА 67.
В конечной разрешимой группе индексы максимальных подгрупп я)
являются степенями простых чисел.
Доказательство.
Пусть А! - максимальная подгруппа конечной разрешимой груп-
пы G . Пусть К - предпоследний * £ член главного ряда груп-
пы G Считаем, что G^E . G^К^Е - главный ряд.
По теореме 65 - существует главный ряд’с абелевыми факторами,
значит, можно считать, что К абелева. Более того: lK\t°p ,
р - простое (доказательство дальше идет по индукции).
Определение.
Ssa субнормальных ряда группы G называются изоморфными:
ё'6. =
6^2-	'
если длины их одинаковы, т.е. <в/И , и между их факторами модно
установить взаимно-однозначное соответствие таким образом, чтобы
соответствующие факторы при атом были изоморфны.
Пояснения об установлении взаимно-однозначного соответствия
и)	Подгруппа /1 неединичной группы G называется максималь-
ней, если G и /М не содержится нк з какой другой
подгруппе, отличной от G . Считают, чтс £ ~ единственная
максимальная подгруппа единичной группы Е .	'
(не имеется в виду соответствие между одинаковыми номерами):
I и К пробегают в разных направлениях (при некоторой подста-
новке номеров факторы с соответствующие номерами изоморфны).
ТЕОРЕМА 68 (Эордан-Гельдер).
Любые два композиционных ряда конечной группы изоморфна. Любые два
глазных ряда конечной группы - изоморфны.
Условие конечности группы не обязательно. Его мояше ослабить. В
частности определить конечный инвариантный ряд без уплотнения ин-
вариантные подгруппами, т.е. главный ряд уже произвольной группы.
И з этом случае теорема будет также верна.
Следствие I.
Каждый главный ©актор разрешимой конечной группы, есть абеле-
ва группа, порядок которой есть степень простого числа.
По теореме 65 группа G , если она разрешима, обладает глав-
ным рядом G=Go -^G,- таким, что
Gi-t /Gi r	- абелева.
Такой ряд можно пслучить уплотнением ряда коммутантов.
По теореме 68 зев главные ряды будут обладать такта же
свойствами: факторы являются абелевыми и порядок каждого из них
есть степень простого числа.
Следствие 2.
КоыиозкциснЕые факторы конечной разрешимой группы имеют прос-
тые порядки (т.е.- будут циклическими группами простого порядка).
ПОДГРУППА. ФРАТТИНИ
Сете,деление:
Подгруппой Фраттича группы G называется пересечение всех
- 88 -
ее максимальных подгрупп и обозначается Ф(С).
По определению имеем, что 4>i£)=E	; если ае G-^E ,то
Определение.
Элемент «^G называется необразувадм элементом, если при
выбрасывании его из любой система образующих группы G , мы снова
получаем систему образуадх группы G
. Если выполняется такое
равенство:
тс выполняется
и такое
некоторое множество влементов,
группы
Теорема 69.
Если конечная группа G*E
необразующих элементов
Доказательство.
Пусть G*E ,
то
Ж; состоит из всех
пусть
Gf - необразукадй элемент, Предпозо-
1л е 9(G) . Отсюда найдется такая максимальная подгруп-
ЧТО 1А б/Ч
гим, что
га Л1 , что UfiAl . Рассмотрим порождение! <Л«>
/И , так как и ке входит в /1 . Значит,
зуемся тем, что ц - необразующий. Противоречие, так
<Дц>«<Л1Ж=Л
, она больше
. ВС СПС ЛЬ'
как
ig-f
Обратно.
Пусть
поканем,
что X - необразующий элемент.
-Предположим, что X не является
найдется множество элементов Т
<T^H*G
Заключим А/ в максимальную
а	. й множество влементов TsT/s/l (по построение).
. Противоречие, доказывает теорему.
необразующим. Это значит, что
такое, что
подгруппу
, но
г Цкё «ё
Отсюда:
Следствие.
Если конечная группа c-де , e>sW) . 5»
а & - подгруппы.
- 89 -
Jsm№ 70 (токдесгьс- Дедекинда).
Пусть Д , В) П С - подгруппы ГРУППЕ G . Если А^б и А
перестановочна с С , т.е. АОСА s то А(8лС)~ВлАС.
До казателъство.
Любой элемент ЛёА(ВпС) записывается в виде: Х—&8> ,где
аеА, &&&(}£, ; так. как Q€=A , значит,	А).
С другой стороны: Х-^Л^еАС t тогда X ёЕпАС
Аналогично обратное: ХёВ^АС^^ЛС, йе/1, СёС^—о. XG.AqC.
Следствие: пусть группа G-l^A/ , Л и // - подгруппы и
пусть	.тогда Н записывается в виде
Следствие выполняется ввиду правила: Ле//, МЖ-т-6;
раскрывая скобки.
СВОЙСТВА ПОДГРУППЫ ФРАТТИНИ
Теорема 71.
Пусть K-G.C, - конечная группа. Тогда <P(G)K//te V(G/K).
Кроме того, если /ГеШ , то (P(G)/K~V(G/K)f
До ка заг= ел ьство:
Предположим, что
раится хотя бы в одной
максимальная
W/K^W/K)
, это значит что не сс-де-
максииальиой гпуппе, т.е. в G/К есть
ы
из G.
. е. в G/K
такая, что <РМ$МЖ . Л -
подгруппа
подгруппа
, то
максимальная
Так как
допущению Ф^К/К^М/К
!(<=$(&) н Я,-.Л
, то
Е <Р(С)КяМ , a это противоречит
Если дополнительно потребовать чтобы
- все жксимальние подгруппы группы G
- все максимальные подгруппы G/B"
/соответствие между подгруппами группы и подгруппами фактор-группа).
Поэтому их пересечеиие
/1Л/Л'-,ЛАмА'=«-ьМ
, ч.т.д.
- 90
Лемма 72 (Фраттини).
Пусть К - инвариантная подгруппа конечной группы G . Тог-
да для любой силовской подгруппы
щее равенство: f^iPiiaG.
выполняется следую-
До хаэат as ъста о
Пусть
(по определению инвариантности К
Теперь Р* - силовская подгруппа в
Р - сопряжены в . кто значит,
что
; вто
ассмстрим сопряженную подгруппу Jf'/ x-r^=i\
содержит все сопряженные).
К . По теореме Сизова: Р ,
найдется такой элемент К&Р
, или подробно А""Р*к= рХК	>иди (хк),Р(х^=Р>
а это значит, чтс Х.К &hpPj , и тогда Х^РрР) К'
следует из того, что Х1(^Г1£:/‘/^(Р)) Х-ПК , go
X - произвольный элемент,тогда G^PpPiK.
Сбратное заключение очевидно, поэтому G-PpPK
ТЕОРЕМА 73.
ч.т.д.
Подгруппа Фраттинй конечной группы нильпотентна.
Доказательство.
Обозначим
это можно выразить так:
максимальные
подгруппы группы С? , тогда
подгруппы. Оледовательяо:
. Отсюда вытекает, что подгруппа
(по теореме 24). Предположим, что /Г не
Р~ силовская подгруппа из К такая, что PC(P)^G,
- иаксимальи&е
Фраттини
пжьпотентна,
По лемме Фраттини группа G записывается в виде:
Полученное противоречие с допущением доказывает теорему, ч.т.д.
ТЕОРЕМА 74.
Пусгв G - конечная группа в имеется цепочка подгрупп:
- 91 -
. Если К/Я ноьпотентна# то
И
g <£У < С?
К нильпотентна.
Доказательство.
Предположим, что К ненильпотентна, тогда в ней имеется Р~
неинвариантная силовская подгруппа из К . Теперь: P2V&I-
силовская подгруппа в группе А7«0 , iPl^p* , Лс условию,
. Если силовская ^-подгруппа инвариантна в
группе, то все садовские р- подгруппы совпадает-, и тогда сущес-
твует единственная силовская	р-подгруппа. Все силовские под-
группы сопряжены с ней и инвариантна, т.е.	Р£)/£) - единствен-
ная силовская подгруппа. Из того, что G/& следует,
что PS/S<G/S . Ст с еда следует P2)<>G	, где Р -
силовская и в PS). Применим лемму 72, по ней имеем:
теперь РсЛ£(Р/ , тогда	(по теореме
69), ч.т.д.
Следствие.
Если £)<£, ЧЩ Q/£)
нильпотентна,то и
нильпотентна.
Следствие получается из теоремы, если положить
ТЕОРЕМА 75.
.то (P(K)QW)(G-^ey ( КСЕечна)>
Если
До казат ел ьство.
<0/	, зто
Р\ такая, что
что И'Мт® G
Обозначим
. Предположим, что
означает что найдется максимальная подгруппа
P№~G , где	, Отсюда вытекает,
. По лемме 70: К-£)	, по следствию теоремы: 69:
К-КпР^ , т.е. PqP , а значит и
ное противоречие доказывает теорему.
т. к.
Получен-
Определение.
Пусть группа
записывается в виде GKGi®Gfi--®G>K
- 92 -
Пусть гт£/ . Тогда каждый эдеме!» п из Н есть упорядочен-
ная последовательность:	. Введем отоб-
ражение: ^fc'-. 5тс отображение 0- зазывается
проекцией подгруппы Н на C?t- . <та проекция будет гомоморфиз-
мом. Если образ ^'= &£- для ИI- 1,1,-jK s ю X/ называет-
ся подпрямнм произведением групп	&*•
Пример: Возьмем r=G®G - квадрат группы G , возьмем
подгруппу А/ , которая состоит из пар одинаковых элементов:
t	G} . Подгруппа X/ называется диагональю квад-
рата G® G . Считаем, что G^ Е . Нетрудно видеть, что А/
и есть подпрямое произведение, причем f~HT , также прямое
произведение Г содержит пары различных элементов, не попадаю-
щие з И
Определение.
Пусть /^ЛлА;*—хАг- П^сгпк	1 и 20гда
' ®®e®eM проекцию /<.-•’
подпрямое произведение, если
ТЕОРЕМА 76 (Рекак).
пусть A4Z /4, - -•, Ни
2)-П Н . Тогда G/S)
; тогда И
- инвариантные подгруппы группы
изоморфна подпрямому произведению
групп:
с А СА-,
Доказательство:
Рассмотрим отображение	тогда
- гомоморфизм, if! G—,G/H,®'--®G/Hk	. Если	t
то это возможно тогда, когда произведение есть произведение единиц,
е Go
- 93 -
Тогда	т.е. пересечение всех GG . По тзореме 34,
GfKest (/= G/£)^ F^fG/Fl,®---® G/FK) , где F-hf
Есле бра«ь проекции на образы, то и получим, что внешнее прямое
произведение содержит подпрямее произведение F , ч.т. д.
ТЕОРЕМА 77 (Вилавдт),
Конечная группа &
нильпотентна тогда и только тогда,ког-
да ее коммутант содержится
в подгруппе
<P(G)
т.е. Gq Ф(6).
Доказательство.
Достаточность.
Допустим:	P(G) , тогда по теореме ifi G/<M) абелева, а
значит, и нильпотентна. Тогда по теореме 74 группа 6 нильпотеи-
тна.
Необходимость.
Допустим: G нильпотентна. По теореме 56,	Мк
максимальные подгруппы - не совпадают с нормализатором и тогда:
Fi^Gj V L Тогда фактор-группа G/Fi должна иметь прос-
той порядок. Е«о связано с тем, что если бы порядок был непростой -
то по теореме 40 G /Fl( H/Ftc* G-)H~>Fi.
Значит, \GfFt\~p, G/fii - абелева группа (циклическая). Но
теореме 76, Gf$(G) - изоморфна педпряиоиу произведению групп:
G/F^G/F^-^G/Fk
Но прямое произведение - абелево, так как абелевой группой являет-
ся каждый сомножитель, тогда G/^P(G) - абелева к по теореме iff
‘PlGisC
TECFESU
, ч.т.д,
78.
G?E - конечная нильпотентная группа, тогда
в виде прямого произведения абелевых групп простых
и G/^ есть прямое
Пусть
записывается
порядков. Если G) инвариантна в
произведение абелевых простых групп,
Доказательство.
По теореме 71, ^(.G/^PlG))-<P(G)/<P(&)	_ Заметим, что
если Cp(G/£)) — £)/£) > ТО <0=? MG) е Если возьмем максимальные
подгруппы группы (?/<$: /А/°^	—} ML/2) , то
q\ G/ty= О М; /£)^/п Mi)/S)=S/S),
В атом случае Mt- - максимальная подгруппа группы G и
S^nM^ W) , причем вто пересечение тех максимальных под-
групп, которые содержат <
рассмотреть случай, когда $(G)-*E.
. по теореме
0 . Теперь докажем теорему. Достаточно
т. с >- _	•
. . _	. Будем считать, что
77, G - абелева группа. По теореме 55
6=Д,уА*-~уАи • где А “ циклическая неразложимая группа,
> р - простое.;;/Предположим, что некоторое </,>/
По теореме о группе и ее порядках
мальную подгруппу порядка pi
По теогеме 75 V(A^V(G^ Е
ета группа имеет лишь одну
, тогда •/^А)/=у^'
«подучим противоречие;тем
макси-
самнм
до/азана первая часть теоремы.Докажем теперь вторую.
пусть дано разложение С=А*ДХ---х Д, ,где А -цикличес-
кая простого порэд-.а. Пусть	.тогда получаем,
что I G.М[\— |Д| -простое число,значит Mi -максимальная под-
группа. Возьмем flMt~$,	»это элемент записывается в ваде
О.-, С1г... СсМ/ Л(£ Ai .Причем это представление единственно.
Допустим,что	Уi .тогда
но это для любого i значит у= е и ^P(G)=E	.ч.т.д.
Орреаелеиие :Если М -непустое множество элементов группы G
и G-<My ,то М -система образующих элементов.Если к тому же
любого непустого подмножества А^М .имеет место </>?<£
то Af называется минимальной системой образующих или базисом.
ТЕОРЕМА 79 (теорема Бернсайда о базисе)
Пусть (э -конечная группа посадка , р -простое число и
95
„т
1)всякий базис группы
2)если	-базис
базис группых G/ViG).
, Тогда:
G содержит ровно 1 злементоь.
группы G ,то Xi<PlG),--/X-’tyG’) ~
1 -бсЗйС G.
доказательство.
Допустим, у нас имеется базис: <Х, ->s G. Он порождает
группу G .тогда очевидно	порождает группу
G/W) .По теореме 78 группа ^>/V(G) -прямое произведение
поосткх циклических абелевых групп.позтому K&rfb)>\ равно просто
му числу р . Обозначим	,а через G-G/^PfG) «значит
xf— € .Будем составлять прямое произведение:
ПОЛуЧИМ,ЧТО	. По, свойству подгруппы <₽рат-
тини и по теореме 69:
Q * <Xk} Х^ z...,Х^ , $ G)> ~<хь,	‘ V X‘»	J,, - /;; z
2) и 3) доказывается аналогично. ;
2) следует из I) т.к. базис G переходит к фактор-группе и
|<?>r£/W®/=/
3)доказывается аналогично данному переходу.
Главное: 1 G/^P(G)l~p^ 7 -минимальное число образующих.
СВЕРХРАЗРИ1ИМУЕ ГРУППЫ
Определите.
Конечная группа G навивается сверхразреЕимой.если она удов-
летворяет одному из следующих равносильных условий:
I)	G обладает главным рядом,у которого все индексы являются
простыми числами.
2)	G обладает инвариантным рядом,у которого все 'факторы-цикли-
ческие группе.
Единичная группа считается сверхразпеэимой.То,чк из 7) “♦?>-
очевидно. Покажем,что из 2) —» I).Пусть имеем: G-Gj^G^.-Z) 6d SE,
где G£.,/Gi -ци;<днческая. Тогда аы. этот рад всегда монет уплот-
нить до главного,где если G^^H^Gt ,тс
= Gi^ /G; /Н/6£ И P/G£ циклические.
Если образующий элемент : <3cG;>~ Gi-t/Gt- >то
Класс разрешимых групп более широк,чем сверхразрещнмых,тах кек он их
содержит я можно указать пример разрешимой группы,но не сверхразре-
шииой. Напрн’сер: разрешима, /А4, \Pi=1/ тогда Aj=>H=>E -
главный ряд.где |А*- «М, |И|^ ,но // -не циклическая группа.
ТЕОРЕМА 80.
Конечная нильпотентная группа сверхразреиима.
Пока зательство.
Пусть G -нильпотентная группа и пуст^ G-/E .Тогда и
£iG>^E (по свойству нильпотентных групп). Возьмел гтодгруппу
р, Ipl -р где P^Z(G) и P^G .Г-ассмотрвч G/P -
она нильпотентна и сзерхгезг-ешимаСпо индукции). Значит, GfP об*
ла .ает Главным рядом с простыми индексами: G/P^G^/P^—^G^/P^Р/Р,
где I С^/Р- Gi /Pl -простое число,поетсиу I G£.,-'6,1=1 G^/Gt! —
прссчие чкело.
Значит, G-Go-^- ..-^G^P^E -требуемый ряд,ч.т.д.
ТЕОРЕМА 81.
Подгруппа и фактор-группа конечной сверхразрешимо| группн-
сверхрайгеьимы.Прялое произведение двух сверхразрешимьх групп так&е
свсрхразреиимс.
«окаэатсльст но.
1)Лусть G -конечная сьерхразеешимая группа, G*£.
Сна обладает рядом G-Go^G^-'-^G^E -!>л»аряантньй ряд с авкличе
.ими Факторами 6 ,-</6,. Возьмем подгруппу У/ группь G и ре с-

CJOTRMW
Mt-iGt/Gc = /£,/74,n /Ht, как как
kliM -A//)G,:.,, Нг.,п&г~Нп G^nGc=H(\Gi-HL.
Итак, А£//4 изоморфная подгруппе из
ZCpoae того, £/;<// ,и получаем ттеб?/емгй результат.
2)Пусть G -конечная сверхразреш,-мая группа, K^G .Тогда
через К модно провести главный Ряд:
(*)
ЧХ
По теореме Вордана-Гельдера все главнее Лак1, орк будут иметь простые
порядки,т.е.индексы Ряда (%) -простые числа.Переходя к г-актор-
ггуппе G/К «получим инвариантный ряд с простыми индексами
G/K^.-^K/K.
3)	, G, и -конечный ссерхргзрешимые группы.
Ра ссметрим Д акт ор-группу G/G£=G^
Группа G обладает цепочкой инвариантных подгрупп:
___(1) с простыл® индексами.
Рассмотрим главный ряд	(2) группы .Так как
Gi сьёрхразреи-'ма,то индексы ряда (2)-простне числа по условий.Ьа-
метим,что все члены ряда (2) будут инвариантны в G (кз свойства
прямых про?ведений:сели H‘4Glj	G,y=G} . йсли к 1) при-
ставить 2),во получим ряд с простыми индексами.
ТЕОРЕМА 82.
Пусть -конечная сверхразрешимая группа.Тогда каждая ее
цакеимал1Н8я подгруппа имеет простой индекс.
До ка зо тег го из с.
Пусть G^£ -конечная сверхпазрекимая групге,пусть К ~ мини-
мальная инвариантная подгпуппа группы G .т.е.пгедпоследний не pai
ный Е член главного ряда.Тогда по условию, К -пйклхческая груп-
98
па простого порядка,т.е.
Рассмотрим два случая:
1; KQW).
tfcn /Ч -максимальная подгруппа группt G .тогда /fs/1,
Л!/^ -максимальная подгруппа G/К .По индукции ^G/K:£l/K\~
-пдастсс число,стспг.a
?)	.Пусть Л1 -максичальная подгруппа группе G
Если Кя/Л ,то рассуждаем как и в 1).Пусть «Л .Тогда /(М-
Нетрудно подсчитать индекс,заметив,что
£тэ теорема допускает обращение.
ТЕОРЕМА S3 (Б. Хупперт)
ч.т.д.
Конечная группа свврхразреиика.если индексы ее максимальных
то
и
где
подгрупп являются простыми числами. <
ТЕОРЕМА 83	i
Пусть G - конечная группа.Если C/W) -сверхразремшиа ,
G сверзразрешима.
Определение.	, .
Пусть G -кокечная группа передка I ^Р-Р'-Р--	.
pt>p%.>.- .>pi -простые числа.Говорят,что группа G оол^
упорядоченной сияобсксй бавней(иначе:дисперсивна по СРВ),если
:т арка нт Hue подгруппы порядков и. /А .
По опгедсле!кв,единичная группа дисперсивна по бра.
ТЕОРЕМА 84.
дает
6 ИМ'
!Свадая конечная сверхрозрешимая группа опадает упорядоченной
силовской башней.
Локьзательство.
Единичная группа облагает упорядоченной силовской баиней по
определению: I £ I - р-
Пусть -оверхразпй.шимая группа. Разложим ее порядок:
где	.Пусть Р -силовская Д-подгруппа группь. £ .Докажем
инвариантность R , Предположим,что РМ .Рассмотрим
где И -максимальна? подгруппа группы G .Значат,по теореме 82
(индексы всех максимальных подгрупп есть простые числа) Iб>-^=/?и-
At сверхразрешима по теореме 8?, значит, по индуккиь Р,^Р\	,т.е.
/И-Л^ .Применим теорему Сидов а т- 7. .
р^икръ
р,$р^1<Р^ .противоречие,т.к.	.Значит, R<G.
Рассмотрим G/Р .Сна сверхразрешиу-ая и по индукнии обладает иниа-
иантными подгруппам следующих порядков:
. упорядоченной силовской
ТЕОРЕМА 85 (Ф.ХОДЛ)	4
ЯРнечная группа разрешима,если индевея ее максимальных подгрупп
является либо прссткни числам»,либо квадратами простых чисел.
До к азатель стио.
пусть р -наибольшее простое часл о.деляшее порядок группы G
а Р -силовская р -подгруппа группы G .Рассмотрим 2 случая:
I) P*G .рассмотрим  G/Р -она разрешима по индуквии.
2) P^Gt Р)~Н~Р\ -максимальная подгруппа гругг ы
Q) .По теореме Силоьа	-число ешнаских р -подгрупп в
группе G равво:	&:Pl« кр-
Ну дне п ока з а т ь, что	Кр-
\P-Pl-4№CiO СИЛОЕСКПХ р -ТТОДГрупП Ъ М .
По теореме Силона для имеем:	-7*tSK.
Индекс
J I /2 -Ш-	1 ♦	р
 / *ь- U~	'l^P 1*ip Г
ICO
йогду имееы пел не числз.Тогда и -—-% D - иелпе. Кооме тоге
к-t	1-*1р
нам мало заметить, «тс ц1р ~ъ&ёс,е(лш., енатель не делится на р ,
значит,каждый его простой делитель делит	).
Обозначим:	~ ** -вслое число, значит,	l+K-P f
где Ki -целое число,«алии Применим условие теоремы:
,'6.-Мг
греетсе число
s) /1*Клр‘в<^ .тогда р дыиг .значит р<(р .что навоз-
можно,!.к. р -навбо. ыьи! простой делитель порядка группы G.
б)	.тогда pippin (<р*)Т.... ,р -простое
число,то сне делит либо ^-7 .либо ^*7
Если р I невозможно,так как
Если pl (р1 и вс условию р><р , P’S^’I .значит
ото возможно тогда,:>огда Q-2-) р=$	,т.е. iGi—^ 2? -единст-
венно возможный случай,а группа так>во поряДка разрешима по теореме
Бернсайда.
ЖНМА ffiFHCA..«v.’
1’p.vnna порядка р*<р
разрешима,где р, (р -простые числа.
АВТСМСРФИЗМЬ- ГРУПП
Определение.
Изоаерйное отображенне группы из себя называется автоморфизмом,
йсди G -группа,то автоморфизм </ определен двумя требованиями:
]) X -подстановка елементои группы G
2)еслв X:,то X:	Дйя УэсиеС,
Если Л'. .то ««раз обознач-ется Х-Х ^</(Х) ~Х<^ (едким
ИЗ Р'лйК способов).
Тогда условие 2) записывается так:	'
101
£тс ycjcsBe называется условием сохранения сперапии ш условием
лсксег.ь-зтиег?^ i:if £
•уел-г /5 и iG -«нелестно зсгх автоморфизмов группы £.
/втоморйизи-зто постановка злемеятов группу G .сохраняемая опе-
ре*-из* Нужно гскаэеи ,410	группа. Если i f принадлежит
Ди^б ,то произведение <Gp -результат последовательного вы-
полнения подстановок:
<£j3 -автоморфизм
jcc-G
.так определим произведение «*£?
((х^ (XW= ху'
Ассоциативность: чЛр)	-йчполияется.твк как ото подста-
новки элементов G , £ -тождественный автоморфизм:
Существует обратная подстановка «G * -автоморфизм.
множество G -группа автоморфизмов группы G .
tPBe /) _детСе> </, Q Aui G>, 9С с G
Если П>0 она следует из закона сохранения операции»
Bcjb беднннчн’-Л элемент обращается в единичный),если ,
tS IX	,
ам п>1,1^<<х-г^((Х^1^гг^х):
'1ркусры изомсрф изма:
1)Пустх. XtG к рассмотрим отображение
: /х-
легко проверки-,ото cGx -автоморфизм группы G .При умножении эле-
менте справе ее У- пыучш блементв группы G :
Gx^G, X'1G^G.
Кш'чит X^Gx - G, »ZX -подстановка элементов группы G
проверим условие консерватизма. <^ss называется внутренним
сВтомсгФрзком группы G , индуцированным элементов X .
• Сбсэначим через Jn G множество всех внутренн:х автоморфиэ-
mol. Для удобства, соля
хе G
•X -внутренний автоморфизм,инду-
цированный элементе ггэ’пп’-' G
Z<iG Проверим две формулы.
2)	= х , xcb/'t	.Зозьыеи VjteG.
<£ <1-(х^) X. X £Х<^ ~ (X )^~ (<£ )%	'dv&'-'-'p'i,
^.e
э^<£*хсО
ТЕСРЕЧА 65.
GJn Gявляется инвариантной подгруппой группы Z«if G >т.е
Дзказзтелютво.
7л>G -подгруппа.Если x.^&JhG f,£C ус
то морфизм.
-ЗНуТреННИЕ 8.4-
Обратный автоморйи эк:
х’е Oh G , Значит,нто подгруппа.Если Ле AutG,
Если
; то Л~	G #у.е, Jki G <ь G.
Те автоморфизмы,которые не являитен внутренними, называются внешними,
к утверждение о ток,»то инешкуе автоморфизмы составляют группу-неверно.
Обозначим G/G/n G^Out G (Группа внешних автоморфизме^).
Р Существует гипотеза Врейера,если (р -простая конечная группа,то
Out G -разрешима.В частном сх;чае зт» гипотеза решена^ Биландтом:
если в G имеется максимальная группа,индекс которой I C:A/j«yO -
f простое число,то
' Примерь-: I) G
Если aGcAuf G
(а%(а‘У
Out G св ерхра зуети ма.
-циклическая бесконечная группа,
,тс глнсжество степеней {й*1 с •це/iocj•»[(&')
т.к.	,-озтоцу
Автоморфизмов стой.'.с,сколтко образуют,гх алеиентов модно взять:
(X и Q.'1 .’Дначут, Gl~Z.
2) G -конечная циклическая группа, G-<a>, iGi>t
103
Ci — С? I G[~ !Т] ;если	G G-<t.a> — 4. & >.
-является степенью й = Л/ Z</77, (\
Следовательно,	if (ПО) -число натуральных чисел,мень-
аих ГП и взаимно простых сМ( if (по)- кугкнич гйлера).
Если lGi~p ,то IGl^p-f, G -конечная
циклическая группа пооядха р.
теорема а?. G>/Z (GP=Jn G.
Доказательство,
Пусть ось la, г- . Автоморфизм есть некоторая функция
определяющаяся образами елементов,на которых'она действует.Было от-
(Гто следует из записи <Z*^* Л Ле <Z 9	).
-гсмомо?6изм группа G на J/7 G
мечено,что
Ото показывает,что отображение /
Рассмотрим ядро гомоморфизма. Если П& Лет / ,то это означает,что
/• /?-*/?«£ -тождественный автоморфизм,т.е.если взять любой зле-
мент Я группы G и подействовать на не!'о,то £X /7*£/7®<Z,
тогда 2n^n^--
Так как ето равенство выполняется 1ля любого Я,etc значит,что
Д входит х: взптр группы G .Обратно,если	,'хо А7в^,
таким обоазом,ядре гомомор&изма / служит центром группы G
Пс теореме 34 имеем утверждение теоремы,ч.т-д.
Определенрие.
Подгруппа Z/ из G называется характеристической подгруппой,
если для люоого автоморфизма группы G выполняется
Обозначение: /•/ сЬсхъ G.
Другими с«-овами,любой автоморфизм группа G яв/гется одновременно
автоморфизмом подгруппы W . Иначе говоря, /"/ "выдерживает"автомор-
физмы группы С иди допустимаотносительно автоморфизма G.
- 104 -
ТЕОРЕМА 88.
Если C^G, Н chai С , hl^G.
Доказательство:
г г	rx	л- Л= С
Если С<С? , вто эквивалентно тому,что <-=х ол-v
(сопряжение внутренним автоморфизмом группы G ). Значит, С
выдерживает внутренние автоморфизмы группы G . Таким образом, ес-
ли Хб^£ , т0 с/ можно считать автоморфизмом для С ,
т.к. С его выдерживает. А по определению характеристической
группы:
/-/ выдерживает X , следовательно,
X - автоморфизм // , ч.т.д.
ТЕОРЕМА 89.
Если A chat- в, ВсАсЛ С а то A chalC
Доказательство,
Если X - автоморфизм С t	С а тл 3 вы-
держивает X ; т.к. А chat A а то А выдерживает X , ч.т.д
Всякая характеристическая подгруппа - инвариантна ( обратное
не всегда верно).
Примеры:
I)	Пусть	- циклическая группа. Пусть И - подгруп-
па индекса !7] ,	. Если Хс Aal G , .гс автоморфизм
сохраняет все свойства, т.е. \G:hl\-IYl, Н~Н.
Значит, каждая подгруппа циклической группы является характеристи-
ческой.
2)	Пусть Р - инвариантная снлсвская подгруппа конечной
группы G . Тогда Р - характеристическая (т.к. такая инвариант-
ная силовская - единственная).
3)	Пусть	г тогда hl chai G а gc_
ли Aai G , to	h!~H (из свойств авто-
морфизмов) .
I
- 105 -
I
ТЕОРЕМА 90.
с: £<G), <P(G)
- характеристические подгруппы группы G
характеристические.
пробегает все максимальные подгруппы.
если а(б G
где
означает, что =
До каэательство.
Была показана инвариантность. По теоремам 45 и 46 имеем:
Значит, кёнтр и коммутант выдерживая® авто-
морфизм d , а значит, они
^(G)=ntA , где /И
Она характеристическая, т.к.
/И - максимальная подгруппа группы G ( /\ не могла бы быть
больае, так как </ - взаимнооднозначное соответствие). Отсюда вы-
текает, что множество максимальных подгрупп под действием автомор-
физмов переходит в себя. Ето
(все максимальные подгруппы,
ем Фс&) ). Значит, <PiG)
только в другое»! порядке, опять же име-
выдеряивает автоморфизма, следова-
тельво она характеристична.
4
ЭНДОМОРФИЗМЫ И ОПЕРАТОРЫ
Ьндомсрфизм - это гомоморфное отображение группы G в себя.
Обозначим множество всех эндоморфизмов: End G . Множество эндО”
морфизмов содержит в себе автоморфизма:
E.ndG'Sihut G,
Всякий автоморфизм есть эндоморфизм. Пусть
Рассмотрим отображение	УАХ&Е.
Имеем видоморфиза, G^E
всей группа.
- еитюя подгруппа - образ
-ЛЕММА.
Если G ~ абелева группа,
тс End G - кольцо.
в кольце: если c/.l^S,En<dG3
Имеем следующие две операции
то слежение и умножение эндоморфизмов есть:
xgG.
- 106 -
Если группа не абелева , то кольца не имеем. Пусть G - абе-
лева группа, П - натуральное число. Тогда отображение
- эндоморфизм, -то отображение однозначно.
Вместе с тем, только для абелевых групп верно, что
f v,.	. По теореме об изоморфизме, если <Ze, то
G/Kew^-G^G . Пусть Y - некоторое множество. И пусть
каздому элементу из X сопоставлен некоторый эндоморфизм группы
G . В этом случае элемент из X - оператор, а X - область
операторов G ,
Говорят, что каждый
производить эндоморфизм,
действием оператора
элемент из 2
Если б"6 X
наделен способностью
<г
- образ X под
, тогда Х-*^	- эндоморфизм.
Два различных оператора могут действовать как един и тот же
эндоморфизм.
Пример: А/<6 , тогда X - автоморфизм и для Н :
цх-н~н.
В операторах: X - автоморфизм Z/ , где X - оператор,
Определение.
Подгруппа А/ группы G с областью операторов X назы-
вается X -допустимой, если Z/sZ/,	, т.е. X об-
ласть операторов и для А/ .
, Определение.
Пусть ^6, Н X- допустима, определим действие оператора
ike £ следующим образом: лгА/ДуУ/ . Тогда X становится
областью операторов для G/H . Вообще говоря:	Н
ТЕОРЕМА 91..
Пересечение любого множества X -/допустимых подгрупп являет-
- 107
ся 27 -допустимой подгруппой. Подгруппа, порожденная 2G допу-
стимым множеством элементов, является 2? -допустимой подгруппой.
Доказательство:
Берем	• Где	^"-допустима,т.е.
. Проверкой убеждаемся:
d* входит в каждый $с , следовательно, и в &
Пусть /И - непустое множество некоторых элементов из G	и
пусть	г	, рассмотрим //=</'/> , тогда
vhbH>	, где т. 'сМ (по определение
порожденных подгрупп). Подействуем на Н оператором:
ЧгПъ)—(т*) * , а значит,	t ч.т.д.
Следует заметить, что
Ъ - целое.
Пусть 27 - область операторов для G и Г
4
Определение.
Пусть дан гомоморфизм / Группы G в Г . Етот гоню мор-
физм называется 27 -гомоморфизмом, если выполняется следующее:
/Zel, vxeG.
Если / - изоморфизм, то / называется ZT -изоморфизмом
(частный случай).
ТЕОРЕМА. 92.
Пусть / - Z -гомоморфизм группы G , тогда Kc'i f
X -допустимая инвариантная подгруппа.
Доказательство.
Kti/<jG , если ^еКе'г/ и рассмотреть 2Л
где
т.е. принадлежит .ядру.
108 -
Значит, Z е Кеч t ч.т.д.
ТЕОРЕМА 93.
Пусть / - 2Г -гомоморфизм группы G . Тогда Q/Ktz А
X -изоморфна образу G/ .
ТЕОРЕМА 94.
Пусть A'S А/ 2~ допустимые инвгриантные подгруппы груп-
пы G . Тогда G/H/A/Н g G/А 2Г-изомирфда.
ТЕОРЕМА 95.
Пусть b^G, А/ - инвариантная 2-допустимая подгруппа
Группы G . V- пусть 3 .^-допустима, тогда:
ЗпН 2-допустимая инвариантная подгруппа в /5 и
ЬН/Е 2“изоиоРФна 3/3 пН,
Определение I.
Два субнормальных ряда группы G с областью операторов Z
называются 2 -изоморфными, если члены ети^ рядов Z -допусти-
ын» а саш ряды изоморфны, причем соответствующие факторы этих ря-
дов 2 “ИЗЗИОРФИЫ»
Определение 2.
Субнормальный ряд 2_Д°ПУСТИМЫХ подгрупп группы G
называется У-композиционным
G-G^G^.^G^E „еслидля Ус^г,...у
фактор Gi.jGi не содержит нетривиальных 2 -допустимых инва-
риантных подгрупп.
Определение 3.
(ZUJnG) - композиционный ряд называется 2 -главным рядом.
Допустим, Е/К - фактор ^-главного ряда. Зиачи-т, между И
й К ват подгрупп, которые были бы 2-допусммц и инвариан-
тны в G ,
Вели	» яс ати определения совпадают с повятиямя жоиповв-
- IDS -
ионного, главного ряда
и изоморфизма рядов.
ТЕОРЕМА 96 (Жордана - Гальдера для групп с операторами)
Цусть У, - некоторая область операторов конечной группы G
Тогда любые два X-композиционных ряда ^-изоморфны.
Доказательство :
Даны два Х-композвдаонних ряда:
6=6О=6>—°Св£,	(5
G=HcF>Hi=*----:> Ип~Е.	гр)
Возьмем ряда: G<^>... ^G^E,	(3)
(отрезки их)	(4)
(3) -	I-композициоиннй ряд ДЛЯ G, ,
(fy) -	^-КОМПОЗШдИОИГШЙ ряд ДЛЯ /Zj.
Если А4 = G, , то (3) ~ (4) по индукции Значит,и (I) ~ (2),
Предположим, что /4*6, , Тогда HtGt~G (из определения ком-
позиционного ряда: £ - максимальная пнвариаитная допустимая под-
группа, т. е. если перемножим, то - тоже максимальная инва-
риантная допустимая подгруппа). По теорем© $5 имеем
X-изомор$и-
змы:
G/H.^ G^/HnG^ 1
G/G, = Н,/Ц nG, J
Х-йзоморфизмы.
Возьмем
H,r\G^...^E (Ч}. (5) - X -композиционный ряд
группы Нл Л Gj . рассмотрим ряда :
=iG^fLr^-.. ^Е'
G-£e ^H^^G^'-.^Ei,
aj
Значит, (6) в (7) X -изоморфны. Ряд (б)
(6)
(7) (по теореме 95)
- no -
теорема верна (если рассмотреть участок 6«°—^Е - изоморфны),
по той яе причине (7) — (2). (I) ~ (б) ~ (7)~ (2). Так как изомор-
физм рядов транзитявен, то (I)~ (2), ч.т.д.
Замечание: если H.nG^E , следовательно, весь ряд (5)-Е .
Если Е “у0, , то из теоремы 95 вытекает изоморфизм композиционных
рядов.
ТЕОРЕМА 77.
Любые два Е -глазных ряда конечной группы 6 2"-изоморфны.
Доказательство.
Дня того, чтобы получить ее из теоремы 96 рассматриваем Z,=2
тогда Е1 -композиционный ряд равен 2 -главному ряду. Сделав
такую перемену теперь моиео полностью применить теорему 96-
Если 2- 0 , то из теоремы вытекает изоморфизм главных ря-
дов, Ч.Т.Д.
Прямое доказательство без операторов указанным способом невоз-
можно, так как в обдам случае
/4 :~>Н2~:>--~~>Е не являются главными для 6^ и /4 .
ГРУППА ОПЕРАТОРОВ
Пусть 2 - область операторов группы Ь , причем Z. -
группа и для V^tp& Е , для Krf G выполняется равенство:
где ’ означает умножение в группе Е
Считаем, что каждый оператор из Е является автоморфизмом
группы. G . В этом случае X называется группой операторов
группы G .
Если Л € Е » тс ему соответствует некоторый автоморфизм
группы G :	г
/:Aul G, ‘-/i G>
Ill -
Z f/.p—*	Gt значит, / - гомоморфизм,
группы 2. в группу ки< С , этим гомоморфизмам группа опера-
торов У вполне определяется. Если /сКе.1 / , то Е. ,т.е.
/хЧ vxcG.
Значит, Kei / состоит из всех операторов, которые тождественно
действуют на группе G . Обозначим Ксг/^С , Тогда 2/6-
G
Vc.eC
Если рассмотреть смежный класс 6/ Ле! , то
Поэтому весь смежный класс С г/ будем рассма-
тривать как оператор, который действует так же, как И <2 . Таким
образом, 2/6 - группа операторов и 1/0 отождествляется с
А) , ввиду изоморфизма.	.
Пример I. Пусть Й/К , где //<>6 , /0^0	, тогда группа
Q является группой операторов группы Н/К , действие операто-
ров вводится так:
(hK/^K, vV-^G. vhK^/K.
Кавдсиу елеиеиту J.^G соответствует	Н/К,£
Кп/~Се <H/K)4^Gi h'K-M, vfcHj . В этом случае
^Ш). централизатор группы И/К в G . Централизатор -
ядро тоге гомоморфизма, который переводит операторы в автоморфизма:
G/Cg(G/K^G^A^ №
2.	. Задаем действие: А& Cj	/h^tO}
тогда G - группа операторов и. о
значит:	~ 2т& подгруппа называется централиза-
торов подгруппы И в G.
3. Полуирямое произведение.
- 112 -
Дано произведение G-М, 6rX-E, ^G
, з этом случае
говеют, что 6 есть иовупрякое пройоведекЕе своей подгрупп £
g-s^/ш <и - указывает на инвариантность /И ).
$ - группа операторов группы /У .
ESjt ПёМ, П ^~1'пЬ,	т.е. в »том случае каждый оператор являет-
ся сужением на. /У внутреннего автоморфизма, индуцированного
злементом из & . Каждый злемент X&G единственным образом
представим в виде Х~	, Г^ё/Е . действительно:
mN, SnN* Е
Е, П<—/1	t что и требовалось.
Рассмотрим произведение членов полупрямого произведения:
vn,n,c-N
i
,т.е.
РАСШИРЕНИЕ ГРУПП ПОСРЕДСТВОМ ГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ
Пусть X ~ Группа операторов группы G . Зтр значит, что
зафиксирован гомоморфизм: / Х~*/4и/ G,
Задача: включить группы X и G в новую группу Г так,чтобы
I И С> составляли там лолупрямое произведение,т. е. I
являлись бы подгруппами группы Г с некоторыми свойствами. Исход-
ной группой является G, (используем то, что У является
группой операторов). Рассмотрим множество Я , состоящее из пар
(5^;<3*#£з CjcG ;
Взедьм на множестве Г операцию умножения пар:

- из -
Пуст?, £ - единичный влемент из X .	& ~ единичной из G .
Нужно показать, что множество Г относительно данной операции
является группой. Проверки аксиома группы:
(бЕ)(дье)~бд.
1)	операция задана;
2)	ассоциативность	(применяем
правило умножения элементов).
3)	злемеат £С - является единичным в /
^Существование обратных:
ье,
Пары равны,если равны их компоненты:
G^-E, tf'C/G’*- &	.отсида:
в--£. ^frUrii^T"
Звачит,обратный элемент существует и имеет -вад:
(G^	*
Все аксиомы выполняется,значит Г «группа. Рассмотрим отображение
<Г—(Те Z ,ёто отображение ifl- Х~*Г является
мономорфизмом,т. е. изоморфным отображением;то, что зто гомоморфизм,
видно из операции GG1-^*(Ge,)(S,s)’1S1'
А для мономорфизма нунво показать,что /Й'г
Если (з~~* Ge. Ее ,то из етсго следует,что G-i.
Значит,имеем мономорфизм.
Пусть	-образ X при гомоморфизме
Теперь рассмотрим .	q&Gj
Это также мономорфизм (проверка аналогична предыдущей).
Заметим, что /=^2. ,а X/Э
S~>	f-, Ж'
Ввиду зюноморфизмов 9^/^ отождествим	д.е.пару
(З'^зС,	Отождествим все единичные элементы: £eg£S £
б	J	(по правилу
114
Тогда	Г^>
Отсюда следует,что GG^I
Мы построили группу Г со следующими свойствами:
п лаг
2)каждый оператор (jg Z является сужением на G внутреннего
автоморфизма Группы Г .индуцированного элементом (?.
Группа Г называется расширением группы G с помощь» группы
операторов £
Частный случай:если £ -Группа всех автомрфизмов.то такое расшире-
ние: GMutG^G -называется голоморфом группы G
Определение.
Подгруппа А/ Группы G называется характеристической,если
ЛзА/о/’ G.
Если подгруппа характеристическая,то она выдерживает все автомор-
физмы,и следовательно,инвариантна в HotG
Назовем расширением группы G всякую группу,содержащую G
в качестве инвариантной подгруппы. ' ~
Определение,
Подгруппа А/ группы G является характеристической,если она
инвариантна в любом ресйиреиии группы G .
Рассмотрим вопрос о строении групп без нетривиальных характеристи-
ческих подгрупп.
Определение»
группа Gt£ называется элементарной или характеристически
простой,если она не содержит характеристических подгрупп,отличных
©т G я Е .
ТЕОРЕМА 98.
Конечная неединичная группа является элементарной тогда и толь
ко тогда,когда она либо простая,либо является прямы» произведением
изоморфных простых групп.
IIS
Доказательство.
I. Необходимость
Пусть G -элементарная группа,предположим,чтс G непростая
и пусть Н -минимальная ее инвариантная подгруппа,т.е.предпоследний
не ранный едянине член главного ряда:
H^G, Н^Ё Так как группа-елементарная, что
Н/ Hot'G~Gk/W ^Рассмотрим множество подгрупп НЩаНх,...,Ht
-все подгруппы,сопряженные с А/ к голоморфе. Значит,
1-КН^С,ИЛ .Значит Ё-Ё -минимальная инвариантная
подНуппа группы G «Вели взять из произведение,тс оно совпадает с
порождением:	получаем,что
Составим подггоследовател! ноеть.в которой каждый член не -ходит в
произведение поедндуших.т. в.
Аналогично: <Л)О<-Л>‘Ч
Получаем,что группа £-Аг/А^*-.-х/7^
так как И переводится в А^
7
некоторым
где /74^%^/{--/•/;
.Очевидно,все
автоморфизмом. По опре-
делению прямого произведения,соседние множители по алеыент$рио пе-
рестановочны. ЛРпус тим .тогда ^4/а </( Д,. /К>
т.е. //-. *-ппостые.и необходимость доказана.
1 ,
2. достаточность
Пусть G -прямое произведение изоморфных простых групп:
G- */ik > Ц
Нужно доказать,что группа характеристически простая.
Пусть Н -минимальная характеристическая подгруппа группы G
Бела А/ -G ,то G -элементарна. Пусть Ё/G .произведем операцию
нанизывания подгрупп
если	,то	,
если	,то	-пряглое произведение,
продолжаем так процесс дальше,получаем:
£-НЯЯ-Я,_	Н^Ш,Н......Щ.
- lift- -
По доказанному, А/ -прямое произведение изошт^ннх простых
групп: О.-Ал./Й, таким образом,группa G равна:
6 = (Е	*. _ .>6j */А,х - - - V4,.
Теперь рассмотрим ряды: (I) G^H,Pi--
(2) в^НК,.-.Ис^-^Н^зЯг--.^--=>Е=>Е.
Ряды (I) я (2) -композиционные.Значит,по теореме Кордака-Гельдера,
все факторы гтих рявдов должны быть изоморфными. Таким образом:
Построим автоморфизм X группы G такой,что	и придем к
противоречию. строим следующим образом:
у нас существует изоморфизм	.Пусть </ - такой автомор-
физм, что ограниченна </ на Д совпадает с и X оставляет
оленевод остальных множителей на месте. Тогда «Е - искомый автоморфи
физм.
Следствие
j
Каждый главный фактор конечной группы является либо прсстой группой
либо прямым произведением изоморфных простых групп.
СОБЕРЖЕЧИЖ ГРУППУ
Определение:
Группа называется совершенной,если центр ее равен единице и
все ее автоморфизмы -анутрен. ие.
ТЕСРЕМА 99.
Если K*G й -совершенная групка.то К ввделлотся в G
iwn»u и.човйт-елем.т. е.
Доказательство.
Так как К -совершенная группа,то Ли<
Превраткм G в группу операторов для К таким образом:если
-117-
является суже-
, индувдровая-
мяожество всех
Kei/-C6lK),
X^G3 KG К , K*=X''KX (т.е. оператор .X
нием на К внутреннего автоморфизма группы G
його элементом Л' ). Обозначим через (Ss(A)
элементов X , для которых эск-КХ, VK&K.
C&(K^^G[X^KX, VkgK}
Имеется отображение: Z’ ЭС“* X G Aui /\ .значит,
G/C^K^H^Aui К,
& K~~GJh K=AuiК t тогда G/Cb(K)~/\и-( К
По теореме' A7<Z/Aj2 Jft К 5 т, к- группа совершенна, то £(K)=G,
Значвт, G/C^K и, следовательно, I МК/КЛ.
k ft [><,(!(), Таким образом, G~KLg(/{)-I(*L,&(I\)	,ч.т.д.
Примеры:
ТЕОРЕМА ТОО.
Все симметрические группа Sn еоверлфнни за искьвчением
случаев Л-2, П~&~.
СЯЖТЕНИЕ ГРУПП
Дака две группы & « А . Ttjcrt lAl^/1 .Рассмот-
рим прямое произведение группы й на себя Л pas:
Удобно будет компоненты влементсз прямого произведения индексиро-
вать згементами группа Д . Имеем: Ш.С-А имеет (I
координат (иначе: яомповент) . Еавдой координате дадим имя,
а оно выбирается из элементов группа А
Если	,то -fl.0-) ~ компонента элемента / с те-
нен GiS А
Обозначим:
- IIS -
Определяй действие элемента О. С A gg группу В , таким обра-
зом:

Заметим, что О.А-А Тем самни /
группу операторов группы В . Проверим, что
превращается в
группа опера-
торов, т.е. чао каждый оператор является автоморрйзмом Ё> .
, ото значит, что отображение А~*/*
й£/^ A!j . является гомоморфизмом В з В >
т.е. if является эпиморфизмом и даже автоморфизмом.
Очевидно, выполняется равенство:
6-/ПА*~ВгД
Рассмотрим поупрямее произведение
оно называется сплетением группы В с Груп-
пой А . Группа В и группа А действуют неодинаково в спле-
тении. А - активная группа, В - пассивная группа сплетения.
Если	£ Д , т>7 , то Л действует нетождественно
на В , Пусть ^6	. Рассмотрим алемент прямоте произведе-
ния
^В(х)=е^ри у:^а
, Р	pa	f(a, пр<л х-а
Тогда /'//	, т.к. f^y(ax}
В зазывается базой сплетения.
ГРУйДЬ ШМИДТА
Определение.
Группа Шмадее. - ето конечная ненильпо-хентная группа, все
собственные подгруппы которой нильпотентны.
- 119 -
ТЕОРЕМА IOI.
Каждая ненильпотентная конечная группа имеет по крайней игре
одну подгруппу ВКадта.
Доказательство.
Пусть £	- ненильпотентная конечная группа. Выберем в G
ненильпотентную подгруппу А/ наименьшего порядка h . Тогда //'
подгруппа Шмидта. Любая собственная подгруппа из // имеет меньший
порядок и нильпотентна.
ТЕОРЕМА Т02.
Каждая группа Шмидта разрешима.
Доказательство.
Предположим, что теорема неверна и существует группа Шмидта,
для которой теорема не ваислняется. Пусть G - группа Шмидта
наименьшего порядка, для которой теорема неверна. Докажем несколь-
ко утверждений.	j
I.	G простая. Пусть e-^/v'^G, fv нильпотентна,
G/tt^tt/N, P\CG , значит, Л/# нильпотентна.
Значит, в G/GP все собственные подгруппы нилыготентны. Значит,
6//И нильпотентна или группа шмидта,
Нальпотентнзн группа - разрешима. А группа G/G/ имеет порядок <1^.
G разрешима ~ противоречие с первона-
чальном допущением.
С//У- разрешима
Л7- разрешима
II.	Если М, - максимальная подгруппа группы G , то ее порядок
и иэдеко взаимно просты. Предположим, от противного, что простое
число р делит ( IEllj 1G'Ell) , Пусть Р, - силовская р-
подгруппа из . Р - силовская yj-подгрунпа из G
Ввиду тесреиы Силова, считаем, что R^P
Рассмотрим нормализатор:	, Т.к. М нильпо-
- ко -
тентва (значит, в пек все смловскяе подтрунив ьявариент-ны). Ввиду
СЕСЙОТ30 I,	. Рассмотрим
По свойству -групп (что каждая нетривиальная подгруппа отлипла
от нормализатора),
Р^Ц(Р.р=/Л
подгоупна в /И ,
P-R
. Противоречие тому, чтс G - скловская
т.е. R дельна йыть силовской в G , ч.е.
III.	ййбне две максимальные подгруппы либо сопряжены, либо
имеют взаимно простые порядки.
Пусть /f и (v - максимельяые подгруппы. Гредпслсжим, что
они не сопряжены и plflMljM) (простое число р делит их ио-
раджи). Пусть у нас Pt ~ силовевая р подгруппа кз Л . а Р.-
ИЗ Р . Ввиду II они будут орловскими р -подгруппами группы О
Нс теореме Салева существует елемент х&Р> такой, что
р^х-Ргк.
Рассмотрим р:^нх (ыаксинадьная подгруппа, так как под-
группы, сопряженные с максима»ьпой, также малсимальпм). По условию
она нщьпстентяа,	.тоге, /К(Р)3<М,И‘>
Еади предаолезж,, что М^И' , то	, Откуда
- противоречие свойству I так ksk в группе нет инвариантных
подгрупп (нетривиальных).
1У.	Свойство.
Жбые две различные максимальные подгруппы имеет единичное пере-
сечение.
Предположим, что 1У не выполняется. Выберем тогда среди макси-
мальных подгрупп такке Р\ и А/ , у которых пересечение жеет
наибольший порядок и обозначим его через	. Исполь-
зуем условие- конечности группы. Ввиду свойства ill, подгруппы /У
то имели бы вза-
сопряжена (т.к. есля ба
имио простые порядки и
не были сопряжены,
S)-E ). Причем, /Ч^//
. По свойству
шаьпотентных групп имеет место:
По свойству I,	. Обозначим через
иую подгруппу такую, что	. Рассмотрим
2«Л=4^=£>
пересечение
- наибольшее среди пересечений мак-
сималышх подгрупп. Значит
т.е. М-Н .
Пришли к противоречию, тем самым свойство 1У доказано.
Завершение доказательства теоремы:
Пусть	- все максишльные несопряженные
группы G , Каждая подгруппа	по свойству 1
иальная подгруппа, совпадавшая со своим нормализатором. Число соп-
ряженных подгрупп равно индексу нормализатора, т.е.
Каадый элемент попадает в
подгруппы
- макси-
число подгрупп, сопряженных с
максй.мглоиуЕ подгруппу. Согласно свойству 1У такие подгруппы пере-
секаются по единице.-Значит, каждый нездиничный элемент содержится
точно .в одной максимальной подгруппе. Отсюда вытекает: i Gl-
ut 4	или I Gl- 1* SI I G: H{[ . заметим, что
каждая максимальная подгруппа - неединична, значит, содержит самое
малое 2 элемента» Значит,
1G(^i ib|- Bg	, а это неравенство
возможно лишь когда 3-1	( 3 - натуральное число, число клас-
сов сопряженных максимальных подгрупп). А это противоречит перво -
начальному предположению. Убедимся в этом: рассмотрим индекс <£'^1
пусть - простое число делящее \G-Hj . Пусть ^2 - сило-
зеазл ^-подгрупяа из G к /Иг Q. , где Щ - максимальная
- 12
подгруппа.	„ значит, делит <А1| , не делит
IИ,1 (т.к. если индекс дежи-тся на , то порядок не делится).
Значит, Л1, /4 не сопряжены, ч.т.д.
Пусть Р - р-группа. Если Р нециклическая, то она
содержит но крайней мере две различные максимальные подгруппы.
Доказательство:
Рассмотрим подгруппу Фраттини W) И iP/VcP/^p1 , 7 -
минимальное число образующих группы Р . Если предположить, что
Р нециклическая, то 1Ъ2. .
Р/Ф.(Р) -абелева,
Р/ W}~L/ cPtP)
1Ц/Ф(р)\=р.
Если возьмем произведения
М/ Wh L,/ tPiPl'-'Lt.,/ 9iP),
P/P(P)-L./<PiPj^^L,/P(Pj
Очевидно, подгруппы М И Р/ не совпадает, а их индексы рав-
ны р , т.е. IР'. /И/* I P-H'i^p , Значит, Р\ и Н - разли-
чные максимальные подгруппы. Лемме доказана.
ТЕОРЕМА 103.
Пусть G - группа Шмидта. Тогда она обладает следу гадами
свойствами:
I)	ее порядок делится точно на 2 различных простых числа, т.е.
; р и - простые;
2)	одна из силовских подгрупп, пусть ето будет силовская
-подгруппа - инвариантна в С? ;
>) силовская р-подгруппа - циклическая;
- 123 -
4) если	= соовская уО-подгруппа,то хре P(ty'}
5} коммутант группы G совпадает с ее силовской ^-подгруп-
пой ;
6) каждая подгруппа порядка р$ , где </ , анвариаитна в
G .	"
Доказательство.
I. По теореме 102, G разрешима. У разрешимой группы коыпо-
зиционные факторы имеют простые порядки, значит, существует М -
максимальная подгруппа, /4< и индекс ее - простое число.
/4 кильпотентна и есть прямое произведение своих силовских
подгрупп:
1й1=Х' iLi-X"
Так как Р[ ввльпотептна, инвариантна, то все силовские ее
подгруппы характеристические к следовательно:
Pi^G,
p:<g.
Пусть Рк	- силовская	Д-подгруипа группы G . Предположим,
что К?2.	, тогда РЛ G , 1^	К-1 , Pi'Q-Ре* Рк',
ЮР^<Р,Р,--ЛЯ>-Р	G -
нильпотентная. Противоречие, т.к, группа Шмндта не вальпотентиа по
определению.
Остается предположить, что K-Z , причем Р-^^>
Таким образом первые два свойства установлены.
з. iGj^y, iPi-p^ iPi-f, p^G,
Рассмотрим G/Gp^p , Пусть	различны® максимальные
Pjpj подгруппы группы G/G
- 124 -
тогда	тс есть л <6 , л«£.
/Ян/tr/y
/t=£*6l
/4«= Рг.*О, ГДв I Р}~ I .причем Р^Р.
Кроне того, Ph, Pi инвариантны, значат, их силавские подгруппы
характеристические, поэтому
p,«G, P^G,
Значит, Р.РгР<6 - невозможно.
имеет
Р - циклическая.
, Так как P,@-^G
собственные подгруппы
ь
«тогда C'S^P)P>=G.
Щ/?! ~Р
и получали противоречие.
Таким образом,, остается принять, что G/tt=P
лишь одну максшЕЛьную подгруппу, значит,
4,0-?* Pt <.= $ ( тогда /Ri ~р
то P,Q~P>*Q- , т.к, у группы Шмидта все
нилыютентин.
Обозначим через С~ Gl
, вто значит, GPG).
5, Т. к. Р ~ циклическая, то G/P - абелева, значит,
GS’Q- (по теореме Киллера). Допустим, что	, тогда
G/G абелева ж ее порядок делится на два различиях числа р и
, Где В.>0 , таким образом, iP/G^p^
г , I • J
, тогда силовская
и является
невозможно.
Q , т.е. iG/bl^pPj, (
pfG'-^GfG, тогда IPGpHi-рл^IG /
р-подгруппа из Р является инвариантной в G
силогежсй р -подгруппой группы G , что
6. Пусть 1Р~р !, <г<х t р - подгруппа группы G .
Тогда ис теореме Силова 3x&G такой,что
lP^<X^,pQMG) , отсюда K^^Gj
Радикальякз классы групп.
Пусть Л -некоторое множество простых чисел.Натуральное число
называется Л -числом,если все его простые делители принадлежат Л
Через Я‘ будем обозначать дополнение к Тс во множестве всех
простых чисел. Через /?й -наибольший ^-делитель числа П ,т.(
наибольший делитель,являвшийся 7Г-числом.
По определению, I есть как УГ-число,так и Л'-число. Кая.
дое натуральное Л можно записать в виде П=ПЯ-ПЯ,.
Если G -конечная труп па, то ее порядок / 6/-*= /
Пусть G имеет подгруппу А/ порядка I Glff .Тогда подгру!
па А/ называется ^Г-холлеьской подгруппой или 4г" подгруппой.
Определение.
Конечная группа Ь называется Я’-замкиутой.еслн она содер
жит инвариантную Тс -холловскую подгруппу!
Определение.
^"-подгруппа -это подгруппа порядок которой является
J[ -числом.
Лемма I.
Яояечная группа является ^-замкнутой тогда и только тог-
да, когда произведение любых двух ^-елементов является снова
"jf -элементом.
Доказательство,
I. Необходимость.
Пусть G имеет инварианту® подгруппу // порядка il'll-lfy
Пусть X Л-злеиенч' группа G , зиачдт,циклическая под-
группа Фэ» имеет по рядок, являющийся	JC -числом. По теореме 44,
,значит , А/ содержит все Т^-влементк.Е произведе-
ние -элементов тове ^Г-елемент.
126
2. Достаточность.
Ду';®* произведение двух 71 -елементов является ТГ-злеменод
Пусть Л| -множество всех Тс -элементов группы G .Значит,если
,то a^c-/V ц /И являетяя подгруппой. Порядок:если
,то силовская уО-подгруппа hs G входит в М .Значит,
[/^1= (Gift. Докажем инвариантность атой подгруппы: если Х&М ,а
,то кх>1«1<2 хл>1 ч, совраены« клементч имеют од в
паковые порядки.Значит,	.Кто значит,что /И инвариантна
в G ,т.к. содержит вместе с каждым элементом его сопряженный.
Лемма 2.
Пусть А,& -инвариантные ^-замкнутые подгруппы конечной
группы G .тогда Аб - Й"-замянутая инвариантная подгруппа.
Докезатель стьо,
Л<А а i3<i*i3irt (по условию).
Заметим, что а.л . вл .т.«.подгруппа А является ха-
рактеоистической в А ,а подгруппа bi характеристической в Ь и
применим стр. ЮЗ ,т.е. они обе инвариантны в более широкой группе
0>	.Покажем,что произведение А,Ь>Л является инвариантной ЛГ-
холловской подгруппой в Л Б.	л „
«	1М1^-
наибольший -делитель. Заметим,что 4«л6, ,	#-подгруппа,
она входит в Л Л 3 ,значит порядок /Л,лД| будет делвть iAnBl.
Еслй сравнить,то iA.B,i>Mn Ий (*) .т.к.строгое неравенство
невозможной	.X"-подгруппы порядкабольиего.чем наибольший 7с ~
делитель,нет), тс lAi3j^lA8ls	вЧ.т,д,
Лем® 3.
Всякая подгруппа и фактор-группа ^-замкнутой группы явля-
ется 7с -замкнутой.
-силовская у?-подгруппа из
р-подгруппа ез G ,to пс теореме Силова
Тогда
^-замкнута,Если
]t -холловская подгруппа ъ
.ч.т.д.
G/A7
Доказав ель ств о.
Пусть G -конечная 1ё -замкнутая группа,т.е.
Рассмотрим A^G .Если рсЛ и f>
/\ , Р -силовская
найдется элемент XiG .такой что
iPn^\K\ri . £ва‘1ит,подгруппа Д
то U///rf -инвариантная
) /7////И= I PA\f\/Ин IА/1 • I	* 1<ЗДХ
Определение.
Множестго групп
каждой в^т * w содержатся все группы, изоморфные с G
По определенен,пустое множество - класс групп.
Определение.
Квасе конечных грда $7 называется радикальным или классом
месте с
называется классом групп,если
Фиттинга, если выполняются следующие два условия^:
1)в любой конечной группе G произведение любых инвариантных
подгрупп из 777 снова входит в 771 ,т.е. если A^TTZ* A-^G,
то Ал Д, £ MlGZ
2).Если //£<Ж? ,то К&771 , т.е. инвариантные под-
группы групп,входящих в $71 .снова входят в$^.
Если	.то £4Жв каждое конечной группе G имеется
наибольшая инвариантная подгруппа,содержащаяся в 777 ,ота подгруп-
па называется 771 -радикален* и обозначается
Примеры радикальных классов.
1, Пусть 771 -множество всех Л -замкнут нх групп, тогда 771 «•
радикальный класс (из леммы 2 и 3).
2.Пусть 777 -множество всех конечных нильпотентных групп,тог-
да 771 -радикальный класс. 2~е условие выполняется fт.е. если
нядьпогептйа.го всякая ее по,кгрупя^илппо^&^п&')} 1-е -выполняется
по лемме 2.
128
Пусть А, Дх -нильпотентные, юариайгиые подгруппы G ,если
р -простое,то А А р-замкнуты, т.е. в F, /F имеем иявариаит-
р -подгруппы, значит произведение ДА НШО'
FFI -радикал в атом случае обозначается
вне силовские
тентно по лемме 2.
F(G) и называется подгруппой Фиттинга.
3. Wig -класс всех нильпотентных -ZT-групп, это радикал!
ный класс.
4	. В качестве Я-воа»мем простое чиседло р
Пусть FFp -класс всех р -подгрупп.Это также радикальный класс
Здесь Wlp -радикал GM? -наибольшая инвариантная р -пе.;
группа группы G ,он обозначается через Op(G).
5	.Группа G называется р -нильпотентной, р - простое,ес«
ли она имеет инвариантную р' -холловскую подгруппу. ^'-мно-
жество всех простых чисел,за исключением р .
Пусть WI -класс конечные р -нильпотентных групп -это ради-»
кальный класс. FFI -радикал в етом случае обозначается через
Fp(G) -обобщенная подгруппа Фиттинга,
6	.Группа G называется р -разложимой, если сна одновре-
менно р- и р' -замкнута, G разлагается в прямой произведи
ние: G-^Gp^G^ .Жожество всех р -разложимых конечных
групп является радикальным клаессом.
7	.Ksacc всех конечны* разрешимых грутпйшляется радикальным
классе к, и разрешимый радикал обозначается через S(G).
8.	Конечная группа G называется Я -разрешимой, если она
удовлетворяет одному из следующих равносильных требований:
1)порядки композициеяйых факторов группы G являются либо
простыми числами из Л .либо ^'-числамя.
2)кавдая главный фактор группы G имеет своим порядком
либо степень простого числа на р .либо	11 '-число.
Если множество есть множество всех простых чисел,полу-
129
Ним обычное определение разрешимости. В общем случае "Л -разреши-
мая группа не всегда разрешимая.
Мяожествс всех <л -разрешимых групп является радвкальиым классом.
Втс следует пз лемма 4.
Лемма
Подгруппы и £аатор~группы Л -разрешимой Группы также
Л-разрешимы.
Доказительста о.
Пусть группа G .^-разрешим:
рад группа G: G~Go~>G^--.z>Gt~l
Рассмотрим пересечение /А л Gt -Д.
Рассмотрим главный
,тогда получим
рад
Рассмотрим фактор-группу А^ G^/Q^ Q Gt.,/G{
Ai-f G( /G{ А.,/Аг., ri G;=Аг., /А
Значит,порядки индексов ряда (*) являвюг-ck степенями
31‘ -числами.Из ионно получить
простых чисел
Л-разре-
ИЗ Л , или
шимьй рад для А.
Теорема С. А. Чунихииа,
Пусть G -конечная JL -разрешимая группа. Тогда выполняют-
ся следующие утверждения:
I)	G имеет	Л -холловские подгруппы и любые две из них
сопряжены.
2)	G ииает Л '-холловские подгруппы, причем любые две из
них сопряжены.
3)Каждая	Л -подгруппа содержится в некоторой X-холловс-
кой подгруппе.
4)Каждая	Х'-подгруппа содержится в некоторой -холлов-
ской подгруппе.
Обобщенная лемма Фреттини.
:зо
Если
Пусть К*С, Н<^К	,причем любые подгруппк*сопряженные с
в G .сопряжеЯй с и. к .Тогда NtiU)K~G.
А/ -силовская подгруппа из К ,то получим лету Фраттиви.
Теорема IC4.
Пусть G^G , %)<G ,	G -конечная группа.
Если	К/2)	$'-гамкну’га,то в К	ji -замкнута.
Если
Доказательство
К/2	имеет инвариантную 7с -холловскую подгруппу К
К* К ,то для К теорема дерна по.индукции,Пусть К/2)
'Л -группа; т. к. $^GP(G) ,а подгруппе Фраттини ниапотентка/
т.е.вое ее садовские подгруппы инвариантны,следовательно,если взять
КОМПОЗИЦИОННЫЙ ряд	,то на участке после 2) из-
за нильпотентности группы индексы являются простыми числами*
А т*к, К/2)	^-группа,то участок от К и до 2) имеет индексы, ко
торне являются Jt -ЧЕСиамк.Следовательно К ^-разрешима.
Применим теорему Чункхвна: К обладает . 7с -холловской под-
группой Н .По обобщенной лемме Фраттинй	.Заметим,что
К^Н'Ю .повтему	ч.т.ь
Следствие,
Еэяечвая группа G тогда и только тогда Х-аамкнута,когда
G/^G) ^-замкнута.
Доказательство.	~
Достаточно положить K.G, S-W)- . Примером нерадикального
класса служит класс сьет«разреш,имкх конечных групп.
Теорелв 105.
В каждой конечной разревимой группе G вьполвяется следувдее
включение Q^F^qFiG)
Cs(HF{x&Gij:/i«lxt vhеА/) ирнтрыщьатор
- 131 -
Если	, то	. Ранее централизатор рассматривал-
ся как ядро гомоморфизма.
Доказательство,
Ведется во аддукции. Если G~E , то теорема очевидна. Если
G яаяьйотентпа, то она совпадает со своей подгруппой Фиттинга.
Считаем что G не нильпотентна и считаем, что для группы ж-нь- I
шего порядка теорема верна по индукции.
Обозначим C-Cc,(E(G))f F^F(G)
Тогда CF< G • Рассмотрим главный ряд, проходящий через
рти подгруппы.
т.н.
С? • - - -'(.г-'.	~7 .-~Т7- главный ряд,
P/F - минимальная инвариантная подгруппа Группы G/F} CF?F
(иначе все доказано). Рассмотрим подгруппу // • Подгруппа Фиттин-
га из /И является характеристической подгрупп*
Следовательно,	. Значит,РЖА
р1&р(Л/) . Подгруппу G/ можно представить
/Z входит в Af и перестановочна с С
Значит, если" /Ft G , то по иадукции для //
STo означает, что	, то есть f‘/~F ,
что ЖА . Таким образом, нужно предположить,
6/Л" - имеет простой порядок pt (т.к. в разрешимой группе пер-
вый член главного ряда имеет индексом ~ простое число), т.к. Р -
характеристична, то каждая силовская подгруппа из F инвариантна
в G , Докажем, что тогда G нильпотентна. докажем, что сило-
вская р -подгруппа грумы G инвариантна. Имеем: CF-Gi
\G/F\^p, значат G/F^ <^x.F^ - циклическая
элементом -X.F ,	. Таким образом
т.е. каждый ее элемент перестановочен с элементом группы F , Ес-
ли рассмотреть /4/3^2 F> » Gt t^o
, т.к, подгруппа ,z
в виде: M-fMi
. VnCsCjFFk-
теорема верна.
А мы предположил»,
что /FG , Тогда
группа, ворсадеииая
G,
- 132 -
Таким образом:	г<6,	значит G - ниль-
потентна. .Значит G-F , получили противоречие.
Теорема 106.
Пусть р - простое число, G р-разрешимая группа,
тогда C&(FP(G))^FP(G>
Доказательство аналогично предыдущему.
Подгруппа Фиттинга F(G) позволяет вводить некоторые инва-
рианты. Если G разрешима, то можно построить следующий ряд:
E^E^E^-^frG, E-FtG) ,
FjE-fW/^ ^/F *
В разрешимой группе подгруппа Фиттинга отлична от Е , если сама
группа не равна £ . Если G ур-разрешиыа, то аналогия построения.
Если (?¥ £ , тс Fp(G) ^Е
Е^Е^Н^, .£ E^G -верхний ( уО-ряд
ЕЕ Hr £(&/£) с~ол^_
Приблизимся к группе G , и дойдем, когда индекс IG: £]
не делится на р , т,е. р~ число, тогда Е IpCG) р - дайна.
G - число факторов р- ряда, порядки которых делятся на р .
! Формации.
Обратимся к двойственному понятию. №асс подгрупп, который
вводится благодаря этому понятию, называется формацией.
Формация - это класс групп t обладавший следующие двумя
свойствами:
I. если G , то и любая фактор-группа группы G прина-
длежит ;
2. из А//Ле/ s /7/£е/ всегда следует Н/Аа&еЦ
Двойственность получается следующим образом: если в радикальном
классе речь идет с инвариантных подгруппах, то здесь о фактор-груп-
- 133 -
пах. Если Н//\п& ~ подпрямое произведение Н/А и М/в , то
///,ш-А//Л ®Н/В . Формация называется насыщенной, если
всегда из	следует <ле/"	. Примеры формаций.
I.	класс конечных нильпотентных групп - насыщенная формация
(из свойств нильпотентных групп).
2.	класс всех	1с-групп - насыщенная формация.
Пусть G/W) л- группа, тогда G л- замкнута и следова-
тельно	f где /•/ Л-холловская подгруппа.
3.	класс всех р- групп - насыщенная формация.
Л. класс всех Ji -замкнутых групп - насыщенная формация.
5.	класс конечных разрешимых групп, образует насышениу» форма-
цию.
6,	класс ^-разрешимых групп - насыщенная Формация.
7,	пусть кЛ - класс всех абелевых конечных груш?. Тогда W
формация, но не насыщенная.
Если Р - ноабелевая р -группа, то Р/Ф(Р) - элементар-
ная абелевая группа, значит - не насыщенная формация. Она не
является и радикальным классом.
8,	Пусть 7Z? - класс всех конечных сверхразрееимых групп -
это нерадикальный .класс, но он является насыщенной Формацией.
Определение*
Пусть GP - наименьшая инвариантная подгруппа, .фактор-груп-
па которой принадлежит формации У или, другими словами:
G ~ /7 К ; тогда G^ называется Л корадикалом.
б<е/
Бтс не что иное, как обобщенный коммутант. В частности, если J-lTi
абелева группы, то G-P
Теорема 107.
Пусть $ - формация,
любой инвариантной подгруппы
G - конечная группа. Тогда для
bfaG имеет место: (GlVMW
- 134 -
Доказательство:
Ни определен»» фактор-группа G/Gef . рассяотрш фактор-
Группу G/G^GZ—G/ZG/G /G//G	(по теореме об изоморфизме). Отсада
б’/Ж^е/' . поэтому (G//Zji G^GZ/GG (i),
Пусть !4//G<iG//V . G//G/Z//GZ& /	, тогда (?///e£	t вто
значит, что Z/йб" , тогда А//Л/э6'Л0^/ (2), из (I) и (2) выте-
кает, что Ц///~ (G/M^ GTGzZG
Определение.
Максимальная подгруппа /И группы G называется / -нор-
мальней ( У~ инвариантна), если GIs G . в противном случае
Д| называется /* -абиормальной. Если в атом определении
У"- формация абелевых групп, то получим обычное определение инва-
риантности .для максимальной подгруппы.
Леша.
Шксёшальная.подгруппа М «/-нормальна в G , тогда и только
тогда, когда существует инвариантная подгруппа /G<G .такая, что
//«Д б'/Ае/
Доказательство.	?
Пусть Л1 -нормальна, тогда по определению №GtG/G^
Достаточность.
Пусть имеем внваркантную подгруппу G//Ve^j	jjj
Рпределеяию, /G^Q , тогда /w (т.к. М - надстрое-
на над /У ).
Способ конструирования формаций.
I.	Пусть f - Функция ео следующими свойствам: I) каждому
простому числу р , Функция / - сопоставляет некоторую фор-
мацию -ftp)
2.	Если G^t , то /(G^zCikp) t где р - пробегает все
- 135 -
простые делители порядка о
3.	/(£)	- множество всех конечных групп. Такая функция
локальным акраном.
K<G , причем . Назовем I-I/K
G/CjU/K)g/(H/1().
-цен-
/ - зазывается
Определение.
Цусть И,
^цетъ&хъши фактором, если
Ряд инвариантных подгрупп
называется / -центральным, если каждый фактор ряда
трален в G
Пример, поясняющей построение: пусть fip)9 £ для любого р
Тогда / называется единичным экраном. Тогда / центральный
т.к. каждой неедипичнсй группе ста-
то через </> обозначается масс
/ -центральными рядами.
ет
ряд является центральным рядом,
вися в соответствие L Е] ,
. Определение.
Если / — локальный экран,
всех конечных групп, обладающих
Теорема 108,
Если / — локальный нкран, то </> — формация (непус-
тая). Ета формация называется локальной формацией,
Доказательство,
Если группа обладает / -центральным рядом, то опа облада-
/ -центральным главным рядом. Пусть
- главный / -центральный ряд ( в силу
теорегш Яордана-Гельдера). Главные факторы группы G/К будут
Q -изоморфен главным факторам G на участке G^.-^K
Первое условие для формаций - выполнено. Проверим второе условие:
пусть А//А^<Л
Рассмотрим следующий ряд:	рДл
Если рассмотреть	£) /	, Е-то Н -изоморфизм, если
- 1.36 -
4
А/ считать группой оператсфоь для всех этих групп. Воспользуем-
ся условием: на участке от АЗ до 3 все главные факторы
/-центральны. Надо показать, что на участке З^./рАнЗ Глав-
ные факторы / -центральны. Если рассмотреть главные ряд	!
то все главные факторы на участке
будут / -центральны. Если рассмотреть участки Д5»--3/!, I
3 ~^АпЕ>, то ввнду АЕ/А^в/АлЗ все главные факторы А1/АлЕ
будут / -центральны.	, т.к. Е^р , так как Е
обладает / -центральным рядом: £г/ = Е .в / -централь- .
ном ряде вместо условия (1) и (2) используем (3):
G/Cg (G^ /Ge) & /(Gi-r/Gi) __	(3)	j
Ряд с условием (3) довивается / -центральным рядом (другое оп-
ределение, аквивалентное ранее приведенному).
Примеры локальных формаций:	i
I.	vp , значит такая локальная формация - вто
класс нильпотентных групп </> = П
2. Если fl - некоторое множество простых чисел,
^Е] при
нто класс нильпотентных 5? -групп.
3. Если р - фиксированное простое число к полагая
fyl? {E]t при .то < А= пр - класс р -групп.
h. - множество простых чисел и
. fкласс всех групп при р^^
Г L при рЁ-^-
Тогда формация </> - это класс всех 31 -групп.
i
- 137 -
5» допустим hp)~ lE]/l(}) - класс всех груди для ®^Р
Нокно показать, что ~ класс p -нильпотентных групп.
б, Положим, что ftp) — класс абелевых конечных групп,поряд-
ки элементов которых делят р-1	, Тогда </>	- класс всех
сверхразрешимых конечных групп.
Определение,
Пусть / ~ формация, Подгруппа А/ группы G пазывает-
оя -проектором, если внполяязтся условия:
I) А/е/
2) Hbt~ U для любой подгруппы Gt , содержащей У
Теорема 109 (ГашвЦ )
Цусть / - локальная формация. тогда каждая конечная разре-
шимая группа обладает р -проектора® и любые два из них - соп-
ряжены. Теорема справедлива для конечных !разреышых групп.
Следствие I.
Пусть гГ-<У2р , тогда проектор tt ~ р - подгруппа a h
- силовская р -подгруппа группы G ,
Следствие 2.
Пусть J — формация всех Л -групп. Тогда проектор
в точности совпадает с Тс -холловской подгруппой.
Следствие 3,
Если в качестве Р' взять формацию всех нильпотентинх груа
то р' -проектор в атом случае называется подгруппой картера.
Следствие 4,
Если в качестве У взять формацию свершразрешимых групп, т
J" -проектор А/ можпо определить так:
I) А/ сверхразрешима,
2) в любой цепочке:
- 158 -
в которой кавдая предыдущая подгруппа максимальва в последующей,
все индексы I : G>i-t I - непростые числа.