/
Автор: Кострикин А.И.
Теги: математика алгебра естественные науки теория групп точные науки
Год: 1979
Текст
МАТЕМАТИКА
НОВОЕ В ЗАРУБЕЖНОЙ НАУКЕ
РЕДАКТОРЫ серии: А.Н. КОЛМОГОРОВ. С.П.НОВИКОВ
К ТЕОРИИ
КОНЕЧНЫХ
ГРУПП
Перевод с английского
С. П. ДЕМУШКИНА
под редакцией
А. И. КОСТРИКИНА
I
1
Г ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1979
УДК 519.44
Предлагаемый сборник статей зарубежных специалистов знакомит
с достижениями двух последних дечhiилетий в развитии теории конечных
групп. В статьях этого сборника изложены результаты Бендера, суще-
ственно сокращающие теоретико-групповую часть из доказательства тео-
ремы Фейта и Томпсона о разрешимости групп нечетного порядка, рас-
смотрены группы с абелевыми силовскими подгруппами, слияния в конеч-
ных группах, а также разрешимые сигнализаторные функторы. В них отра-
жены ставшие за последнее время стандартными методы и технические
новшества теории конечных простых групп.
Книга адресована математикам-специалистам, аспирантам и студен-
там старших курсов университетов.
Редакция литературы по математическим наукам
1702030000
С 20203-019 19_79
641(01)—79
© «Мир», 1979
СБОРНИК
К ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Научный редактор Г. Цукерман. Младший научный ’редактор Т. Фатнева.
Художественный редактор В. Шаповалов. Художник А. Шипов.
Технический редактор Н. Борисова. Корректор Е. Литвак.
ИБ 1479
Сдано в набор’17.08.78. Подписано к печати 22.05.79. Бумага типографская № 2 60Х90’/1«.
Латинская гарнитура. Высокая печать. Бум. л. 6,25. Усл. печ. л. 12,50. Уч.-изд. л. 11,67.
Тираж 3700 экз. Изд. № 1/9760. Цена 1 р. 70 к. Зак. 1280
Издательство «Мир»
129820, Москва, И-110, ГСП
1-й Рижский пер., 2.
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении
Соколовой «Союзполиграфпрома» при Государственном комитете СССР- по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, Ленинград, Л-52. Измайловский
проспект, 29
ПРЕДИСЛОВИЕ
I. После того как в 1962 году Дж. Томпсон и У. Фейт
доказали разрешимость групп нечетного порядка, стало ясно,
что теория конечных групп вступила в новую полосу своего
развития. Совмещение идей, заложенных в этом доказа-
тельстве, с объявленной в 1954 году Р. Брауэром програм-
мой исследования конечных простых групп (четного порядка)
исходя из централизаторов их инволюций привело к впечат-
ляющим результатам. Некоторое представление о них можно
получить из обзоров в «Итогах науки» *), хотя, конечно,
бесстрастное перечисление теорем вряд ли способно отразить
сложную мозаику используемых методов.
За какие-нибудь полтора десятилетия проблема клас-
сификации конечных простых групп, обнаружившая все при-
- знаки неуловимой жар-птицы, стала ядром быстро растущей
самостоятельной дисциплины, имеющей точки соприкоснове-
ния с различными частями алгебры. Многие, возможно,
пожелали бы включиться в игру. Но это нелегко осуще-
ствить: как непосредственными исследователями, так и сочув-
ствующей публикой сложившаяся на сегодняшний день
ситуация воспринимается, пусть по разным причинам, почти
драматически. В самом деле, весь предмет выглядит закры-
тым для широкой математической общественности из-за непо-
мерной длины статей, своеобразной аргументации узкого
назначения и методов, мало связанных с остальной матема-
’) Кострикин А. И. Конечные группы: сб. Алгебра. Топология. Гео-
метрия. 1964 (Итоги науки). — М:. ВИНИТИ АН СССР, 1966, с. 7—46.
Чунихин С. А., Шеметков Л. А. Конечные группы: сб. Алгебра. Топо-
логия. Геометрия. 1969 (Итоги науки). — М.: ВИНИТИ АН СССР,
1971, с. 7-70.
Мазуров В. Д. Конечные группы: сб. Алгебра. Топология. Геометрия,
т. 14 (Итоги науки). - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1976, с. 5-56.
6
Предисловие
тйкой. Со всех сторон выползают «монстры» ~ новые спора-
дические простые группы, которым не видно конца и суще-
ствование которых устанавливается зачастую при помощи
новейших ЭВМ1). Все эти неприглядные факты отталкивают
математиков и заставляют их держаться подальше от конеч-
ных простых групп. С другой стороны, предмет настолько
красив и фундаментально важен, что его исследования
ведутся широким фронтом и достигнутые результаты внуши-
тельны. Таково мнение Д. Горенстейна — одного из ведущих
специалистов в области конечных групп.
. Цель предлагаемого сборника переводов статей зарубеж-
ных авторов заключается не в том, чтобы снабдить читателя
еще одной длинной серией трудных теорем, а скорее в том,
чтобы помочь ему ощутить аромат теоретико-групповой
кухни, в которой готовятся эти и подобные им результаты.
Лекции Т. Гагена, составившие основу небольшой книжки
«Некоторые вопросы теории конечных групп», предоставляют
удобный повод оценить в действии силу разработанных
к настоящему времени методов. Кажущееся на первый взгляд
хаотичным нагромождение искусственных приемов, условии,
обобщений классических теорем постепенно выстраивается
в стройный ряд элегантных рассуждений. Главное их досто-
инство состоит в том, что они работают совершенно в разных
ситуациях, и включенные в сборник статьи Д. Голдшмидта
и Дж. Глаубермана удачно подчеркивают это обстоятельство.
Разумеется, сборник статей, по какому бы принципу он
ни был составлен, не может соперничать по систематичности
с учебником. С другой стороны, время последовательного
и ясного изложения всех аспектов классификационной тех-
ники в теории конечных групп пока еще не настало. Шли-
фуются лишь отдельные детали, из которых постепенно
складываются блоки будущей теории.
В этих условиях сборник сыграет, надо надеяться, изве-
стную положительную роль. Следует только быть заранее
готовым к тому, что овладение содержащимся в нем мате-
риалом не относится к числу легких занятий. При переводе
на русский язык лекций Ф. Гагена, прочитанных по мотивам
оригинальных работ X. Бендера, в текст были внесены отдель-
ные незначительные исправления и разъяснения чисто лока-
льного характера, любезно присланные нам В. Д. Мазуро-
вым. Их составили в основном А. В. Боровик и Е. И. Хухро,
которым хочется выразить здесь глубокую благодарность.
При редактировании никаких подстрочных комментариев по
!) См. в этой связи сб. «Вычисления в алгебре и теории чисел» (Мате-
матика, новое в зарубежной науке), вып. 2. — М.: Мир, 1976.
П редисловие
7
этому поводу не делалось, чтобы не создавать пестроту,
отвлекающую внимание. Естественные трудности, частично
вызванные отсутствием на русском языке хороших и доста-
точно элементарных современных учебников по теории конеч-
ных групп, не должны погасить желание дочитать до конца
весь сборник, с тем чтобы попытаться затем применить
полученные сведения и навыки к решению других конкрет-
ных задач.
II. За сравнительно короткое время, прошедшее после
выхода в свет оригинальных материалов настоящего сборника,
жизнеспособность развивающейся в них классификационно^
техники (итог деятельности многих авторов) была Подтверж-
дена многократно. Здесь мы хотим остановиться на несколь-
ких результатах принципиальной важности и заодно ввести
кое-что из терминологии, используемой на страницах сбор-?
ника, иногда с некоторыми вариациями, понятными из кон-
текста. В затрагиваемых нами работах хорошо прослежи-
вается также общая тенденция к охвату проблемы классифи-
кации в целом.
Конечная группа К называется квазипростой, если
[/С, /С] = К и KJZ (К) — простая группа, т. е. К — совершен?
ное центральное расширение простой группы. Всякая суб-
нормальная квазипростая подгруппа в G называется компо-
нентой этой группы. Группа G полупроста, если она является
центральным произведением квазипростых групп, т. е.
G = GiG2 ... Gn, причем компоненты Gh Gj при i j пере-
становочны. Каждая группа обладает единственной макси-
мальной нормальной полупростой подгруппой Е (G), поро-
жденной в G всеми компонентами и называемой еще слоем
группы G.
Если F (G) — подгруппа Фиттинга в G (максимальная
нильпотентная нормальная подгруппа), то F* (G) = F (G) Е (G)
называется обобщенной подгруппой Фиттинга. Она обладает
тем же критическим свойством, что и обычная подгруппа.
Фиттинга: Cg(F*(G)) s F*(G). Важность F*(G) первым оценил
X. ‘Бендер. Субнормальная подгруппа L ^G, такая, что
L = [L, L] и LIO(L) квазипроста, называется 2-компонентой
группы G. Разрешимой 2-компонентой называется субнор-
мальная подгруппа К, такая, что О (К) — О (G) и К/О (К)
= Л2(3) или SjL2(3). Подгруппа в G, порожденная всеми
неквазипростыми 2-компонентами, обозначается через B(G).
Важную роль играет подгруппа L(G) = £(G)B(G), называе-'
мая 2-слоем группы G и измеряющая отклонение G от
2-скованной группы: G является 2-скованной в точности при
L(G)=1. Изучение 2-слоя 2-локальных подгрупп конечных
простых групп было начато Горенстейном и Уолтером. Ими
8
Предисловив
доказана (Gorenstein D., Walter J., J. Algebra, 33 (1975),
224—287) теорема об /.-сбалансированности: L (CG (Г)) L (G)
для всякой 2-подгруппы T конечной группы G.
Если L (CG (/)) #= 1 для некоторой инволюции / е G, то
G называется группой компонентного типа. Другими словами,
G — группа компонентного типа, когда централизатор неко-
торой инволюции не 2-скован. Основная проблема, сформу-
лированная несколько лет назад, заключается в том, чтобы
найти все группы G компонентного типа с простой подгруп-
пой F*(G), обладающие тем свойством, что всякий простой
композиционный фактор 2-компоненты централизатора инво-
люции изоморфен одной из известных групп. В настоящее
время для решения этой проблемы сделано довольно много.
Важнейшей отправной точкой служит так называемая В-гипо-
теза Томпсона, согласно которой В (CG (/)) В (G) для каждой
конечной группы G и каждой инволюции / е G. Из теоремы
Ашбахера (Aschbacher М., Ill. J. Math., 19 (1975), № 1,
87—115), дополненной затем результатами других авторов,
следует, что за некоторым числом известных исключений,
при выполнении В-гипотезы группа G компонентного типа
с простой подгруппой F* (G) обладает так называемой стан-
дартной подгруппой (или стандартной компонентой) А. Это
значит, что А — квазипростая подгруппа с плотно вложен-
ным в G централизатором K = Cg(A), причем (/0 = (А)
и А не коммутирует со своими сопряженными. Подгруппа
К плотно вложена в G, если она имеет четный, а пересе-
чение К И — нечетный порядок при любом g е G — NG(K).
Таким образом, основная проблема о группах компонент-
ного типа, решение которой было бы большим шагом
вперед к основной цели — классификации всех конечных
простых групп, — делится на две более узкие проблемы:
1) установить справедливость В-гипотезы; 2) описать стан-
дартные формы для неизвестных квазипростых групп, т. е.
найти все группы со стандартной подгруппой Л, для которой
факторгруппа A/Z (А) изоморфна некоторой фиксированной
известной простой группе. Что касается проблемы 2), то в соот-
ветствии с работой Ашбахера — Зейца (Aschbacher М., Zeitz G.,
J. Algebra, в печати) достаточно ограничиться случаем, когда
С (А) имеет 2-ранг 1. Один из результатов Ашбахера (Asch-
bacher М., Ann. Math., 106 (1977), № 2, 353-398) гласит,
что если С (А) имеет кватернионную силовскую 2-подгруппу,
то (AG) — известная группа. Более точно, в этой работе
Ашбахера доказана общая теорема характеризационного
типа, из которой вытекает, что если G — конечная группа
с простой подгруппой F* (G) и К — плотно вложенная в G
подгруппа с кватернионными силовскими 2-подгруппами, то
Предисловие
9
F*(G) — группа Шевалле нечетной характеристики, ЛТП или
Л112. Проблема о стандартных формах тем самым сведена
к случаю, когда С (А) имеет циклическую силовскую 2-под-
группу. За последние годы решено много других проблем
относительно стандартных форм, например, для A/Z (А) Ап,
Л^2з> ^з(4)«
Что касается В-гипотезы, то следует заметить, что ей
удовлетворяют все так называемые сбалансированные груп-
пы, в которых по определению О (CG (/)) s О (G) для каждой
инволюции t е G. Для доказательства В-гипотезы, следова-
тельно, достаточно изучить несбалансированные, группы.
Список известных несбалансированных групп с простой под-
группой F*(G) состоит из групп четырех типов. К ним отно-
сятся 1) группы Шевалле нечетной характеристики, отлич-
ные от £2(^); 2) L2(q), q нечетно; 3) An, п нечетно; 4) Л3(4)
и спорадическая простая группа Хелда Не. Из результатов
Ашбахера (Aschbacher М., Trans. Amer. Math. Soc., 197
(1974), 87—112), Горенстейна — Харады (Gorenstein D., Har-
ada К., Memoirs A. M. S., 147 (1974), 1—464) и Горен-
стейна — Уолтера (Gorenstein D., Walter J. H., J. Algebra,
20 (1972), № 2, 284—319) вытекает, что, за некоторыми
известными исключениями, несбалансированная группа G
содержит инволюцию t и 2-компоненту L группы CG (/), такую,
что группа autG (L/Z* (G)) является несбалансированной. Стало
быть, минимальная не входящая в указанный список 1) —4)
несбалансированная группа G содержит инволюцию t и
2-компоненту L для Go(/), такую, что группа LIZ*(L} входит
в список 1) — 4). Получится ли на этом пути контрпример
к гипотезе о несбалансированных группах? Ожидается,
естественно, что не получится, и уже доказано, что LjZ*(L)
не может быть типа 1) (деятельность Дж. Томпсона, Дж.
Уолтера и характеризация М. Ашбахером групп Шевалле
нечетной характеристики) или типа 3) (Р. Соломон).
Таким образом, теория простых групп в той ее части,
которая связана с описанием групп компонентного типа,
находится (пока) в удовлетворительном состоянии. Оговорка
„пока" неизбежна, поскольку возникновение какой-либо
новой группы компонентного типа заставит пересмотреть
весь набор классификационных теорем (относящихся, как мы
видели, к группам Шевалле нечетной характеристики, знако-
переменным группам и* некоторым спорадическим группам).
Соответствующий анализ групп некомпонентного типа (т.е.
групп, в которых все 2-локальные подгруппы 2-скованы)
должен привести, в частности, к характеризации групп Ше-
валле четной характеристики и оставшихся спорадичес-
ких групп. В общей постановке проблема описания групп
10 Предисловие
некЬмпонентного типа сводится к проблеме описания простых
групп char 2-типа (в вольном переводе: хар актеристического
2-типа), т.е. групп, 2-локальные подгруппы которых имеют
то же строение, что и в группах Шевалле характеристики 2.
Более точно, простая группа имеет char 2-тип, если СМ(О2(Л1))
^Q2(M) для каждой 2-локальной подгруппы AlczG (эквива-
лентно: F*(Af) = О2(Л4) для каждой максимальной 2-локаль-
ной подгруппы). '
В настоящее время центр тяжести в классификационных
задачах перемещается, как только что отмечено, на простые
группы char 2-типа. Основной моделью для их исследования
.служит фундаментальная работа Дж. Томпсона об TV-груп-
пах. Имеются основания полагать, что, как и в TV-группах,
играющие важную роль теоремы единственности (см. § 5
книжки Т. Гагена) принимают в группах char 2-типа раз-
личные формы, которые отвечают случаям e(G)= 1, e(G) = 2,
e(G)^3. По определению для любой конечной группы X
четного порядка е(Х) — шах{г2(ДХ) |р пробегает все нечетные
простые делители порядка |Х|}, где г2>р(Х) есть ,2-локаль-
ный р-ранг группы X, равный max {гр (А) | А пробегает по
всем элементарным абелевым р-подгруппам, лежащим в
какой-либо 2-локальной подгруппе группы X} (как обычно,
гр (А) (а еще чаще тр (А)) — минимальное число образующих
для А). Конечная группа G четного порядка называется тон-
кой, если e(G)=l, т.е. для каждой 2-локальной подгруппы
М с G и для каждого нечетного простого р силовские p-под-
группы в М циклические. Примером тонкой группы может
служить любая группа порядка 2П • pi • р2... рт с различными
нечетными простыми делителями рь р2, ... рт. Недавно Аш-
бахером (Aschbacher М., препринт и анонс в Bull. Amer.
Math. Soc., 82 (1976) № 3, 484) доказана следующая замеча-
тельная теорема. Пусть G — неабелева конечная простая гон-
кая группа. Тогда она изоморфна одной из следующих прос-
тых групп: L2(q), L3(p), р=1+2а3&, G3(p), р= — 1 + 2а3\
-нечетное простое число, 6 = 0 или 1, Sz(2n), G3(2rt),
£3(4), ^4 (2)', 8D4(2), Afn и А. В ходе доказательства Ашбахер
доказывает, что возможный минимальный контрпример
К теореме был бы простой тонкой группой char 2-типа, и его
результат — первая серьезная брешь в проблеме классифи-
кации групп char 2-типа. В работе о тонких группах проде-
монстрирована также принципиальная возможность перене-
сения техники Томпсона на группы, в которых 2-локальные
подгруппы не обязательно разрешимы. По-видимому, усо-
вершенствование методов, приведших к описанию тонких
групп, позволит вскоре взять под контроль группы с пара-
метром е ((?)=* 2.
Предисловие
11
Оценивая перспективы классификации всех простых групп
char 2-типа, некоторые оптимистически настроенные специ-
алисты (например, 3. Янко) называют все же в качестве не-
обходимого период в />20 лет. Тем не менее уже сейчас
имеется ряд обнадеживающих результатов. Так, было заме-
чено, что большинство спорадических групп и групп Шевал-
ле над F2 обладают инволюцией г, такой, что для М = С (г)
не только выполнено свойство См(О2(М)) — О2(Л1), но сама
2-подгруппа Q — O2(M) весьма специальна. Она так и назы-
вается: экстраспециальная, и это означает, что Z(Q) = Q'—
циклическая группа порядка 2. При описании тонких групп
и при классификации (Горенстейном и Лайенсом) групп с
разрешимыми 2-локальными подгруппами встречались ситуа-
ции, когда Q = О2(М) = F* (М) содержит только циклические
характеристические подгруппы или, как говорят, является
группой симплектического типа. Впоследствии Ашбахером
было показано, что простая группа G с подгруппой Q симп-
лектического типа является либо известной (G=L2 (2rt ± 1 ),(/3(3)
или HiS (спорадическая простая группа Хигмэна — Симса)),
либо такой, что подгруппа Q в ней экстраспециальная. Зна-
чит, возникает самостоятельная „маленькая" цель — решить
„экстраспециальную проблему".
Существенных успехов здесь добился Тиммесфельд (Tim-
mesfeld F., Ann. Math, 107 (1978), 297 — 369), доказавший
следующую теорему. Пусть G — конечная простая группа с
инволюцией z, такой, что Q = F*(M) экстраспециальная груп-
па порядка 22n + l, где M = C(z). Положим M = M/Q. Тогда
справедливо одно из утверждений: (1) ft^4; (2) G^Ln+2(2),
Gn+2 (2); (3) п = 2т и М Q±(2m, 2) или S3 X О± (2m, 2); (4)
п = 6,_Е(М) — квазипростая группа и | О (М)3. Кроме
того М содержит инволюцию 7, для которой R <] См (7), и
&l(h (R) = (2), Q+(4,2) или Q± (6,2), где в последнем слу-
чае Ог (/?) = {t), а в любом случае Ф (О2 (/?)) < (7); (5) п = 10,
Af«Af0(o), гдеа2=1 и Af0^L6(2) или G6(2)^(6) п=11 и
М Со2 — вторая группа Конвея; (7) п = 12 и М Coj — пер-
вая группа Конвея; (8)JW простая и содержит инволюцию 7,
такую, что N = F* (См (Т)) — экстраспециальная группа, причем
либо п = 16, См (t)/N^ S3 X & + (8, 2) и [ N\ = 217, либо п = 28,
См (7) Q+(12, 2) и |А| = 233. Случай (3) встречается в груп-
пах Q±(2m + 4,2), (4) — в спорадических группах M(24)z и
/4, (5) — в Eq(2) и 2Е6(2), (6) и (7) — в F2 (бэби-монстр) и F{
(монстр). Наконец, п = 16 отвечает группе £7(2), а п = 28 —
группе £3(2). Таким образом, все упомянутые ситуации —
12
Предисловие
реальные, и остается только довести до конца начатую
классификацию. В этом направлении также известны отдель-
ные результаты окончательного характера.
Упомянутые в этом кратком очерке результаты — отра-
жение лишь части той интенсивной деятельности, которая
ведется в настоящее время в теории конечных групп. Не
были упомянуты результаты Глаубермана о факторизациях
(Glauberman G., Factorizations in local subgroups of finite
groups, Amer. Math. Soc., Regional conference series in mathe-
matics, № 33, 1977), приведшие его к полному описанию
54-свободных групп и, в частности, к доказательству давно
ожидавшейся теоремы о том, что Sz (2rt) — единственные не-
абелевы простые группы, порядок которых не делится на 3.
Ничего не говорилось о достижениях в теории групп пере-
становок и о развитии общей техники, связывающей „ло-
кальные" и „глобальные" свойства простых групп средст-
вами теории представлений. Но важно отметить при этом,
что практически во всех работах в той или иной форме по-
прежнему эффективно используются методы, с которыми
читатель имеет возможность познакомиться на страницах
предлагаемого сборника статей.
А. И. Кострикин,
£
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП1)
Т. М. Гаген
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение............................... . . ................ 13
Обозначения........................................•.......... 14
Элементарные результаты....................................... 15
1. Теорема Бэра............................................. 17
2. Теорема Блэкберна......................................... 19
3. Теорема Бендера.......................................... 20
4. Теорема о транзитивности................................. 24
5. Теорема единственности.................................... 20
6. Случай | л (F (//)) | = 1................................ 31
7. Доказательство теоремы единственности 5.1................. 33
8. р^г/^-теорема Бернсайда при нечетных р, q................ .43
9. Доказательство Мацуямы раqb-теоремы при р = 2............. 45
10. Обобщение понятия подгруппы Фиттинга...................... 47
11. Группы с абелевыми силовскими 2-подгруппами.............. 51
12 Вспомогательные леммы..................................... 53
13. Свойства Л*-групп......................................... 59
14. Доказательство теоремы А, часть I . ..................... 66
15. Доказательство теоремы А, часть II........................ 80
Дополнение, р-скованность и р-устойчивость ................... 92
Список литературы............................................. 96
ВВЕДЕНИЕ
Излагаемый далее материал отобран из курса лекций,
прочитанных во Флоридском университете в Гейнесвилле
в 1971/72 гг. Предполагается, что читатель хорошо знаком
как с книгой Горенстейна „Конечные группы", так и с боль-
шей частью книги Хупперта „Конечные группы, I". В част-
ности, он должен быть знаком с понятиями р-скованности
и p-устойчивости, хотя краткое обсуждение этих понятий
и имеется в дополнении.
Рассматриваемый круг вопросов таков, что я сомневаюсь,
стоило ли вообще публиковать эти заметки. Заглавие сле-
довало бы, пожалуй, изменить на нечто вроде „Лекции
о некоторых результатах Бендера о конечных группах".
J) Terence М. Gagen, Topics in finite groups, Cambridge University
press, London Mathmatical Society Lecture Note Series, 16, Cambridge,
1976.
8 Cambridge University Press 1976.
Перевод на русский язык, «Мир», 1979.
14
Т. М. Гаген
Здесь излагаются по крайней мере три его главных резуль-
тата, и, конечно, классификация Л*-групп опирается на его
теорему о „сильно вложенных подгруппах", которая здесь
довеем не затрагивается. Я думаю, что теоремы и техника
статей „О теореме единственности" и „О группах с абелевыми
силовскими 2-подгруппами" настолько важны для теории
конечных групп и оригинальны, что им не следует оставаться
доступными лишь весьма узкому кругу специалистов, как
это происходит в настоящее время. Мне кажется, я понимаю,
почему опубликованные варианты этих двух результатов
столь кратки. Однако, хотя и ясно, что доказательство ста-
новится в значительной степени более четким, если две или
три страницы рассуждения по индукции, заменяются словами
„по индукции получаем", эТи детали когда-нибудь нужно
восстановить. И я думаю, что, к сожалению, д-р Бендер
этой краткостью иногда затушевывает наиболее глубокие
и элегантные рассуждения. Я надеюсь, что благодаря моим
заметкам с этими в высшей степени глубокими результатами
познакомятся более широкие круги математиков, занимаю-
щихся теорией конечных групп.
Мне хочется поблагодарить слушателей Флоридского
университета Марка Хейла, Карла Кепплера, Рея Шеферда
и Ерни Шульта. В частности, надо отдать должное Ерни
Шульту. Его помощь для нас была крайне существенна.
Декабрь 1973 г. Терри Гаген
Сидней, Австралия
ОБОЗНАЧЕНИЯ '
Используемые здесь обозначения более или менее стан-
дартны. В затруднительных случаях читателю следует обра-
щаться к [12] или [15].
Л (Р) — множество всех самоцентрализуемы^ нормаль-
ных подгрупп группы Р.
9^Л9 (р) — множество всех самоцентрализуемых нормаль-
ных подгрупп некоторой силовской р-подгруппы.
Иа (Л, л) — множество всех Л-инвариантных л-подгрупп
в G, где л — некоторое множество простых
чисел.
ИЬ (Л, л) — максимальные элементы в И0(Л, л).
г (Р) — число образующих элементарной абелевой
подгруппы группы Р максимального порядка
(среди всех элементарных абелевых подгрупп
группы Р).
Некоторые вопросы теории конечных групп 15
Ав _ эт0 (дь । е в},
Gp — силовская р-подгруппа в G.
Оп(G) — максимальная нормальная л-подгруппа в G,
л — некоторое множество простых чисел.
Оа, л (G) ~ это ° л <G mod °а (G))-
Ол (G) — такая наименьшая нормальная подгруппа в G,
что G/On(G) является л-группой.
F(G) — подгруппа Фиттинга в G.
<D(G) — подгруппа Фраттини в G.
Следующие два результата используются очень часто.
1. Лемма о трех подгруппах. Если А, В, C^G, N G,
и [А, В, С] s [В, С, А] <= N, то [С, А, В] £= У.
2. Если Р есть р-группа класса нильпотентности не
больше 2, то для всех n е Z и для всех х, у Р имеем
(х, у)п = хпуп[У, хГ(п-1)/2.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Определение. Группа автоморфизмов А некоторой группы Р
стабилизирует цепь Р = Ро = Р( э ... э Рп — 1, если [Л, Р;] s
s Pi+i, i = 0...п — 1. Здесь [а, х] = х~ах для х е Р, а е А.
Теорема 0.1. Если группа автоморфизмов А некоторой
я-группы Р стабилизирует цепь P^Pi^...^Pn — 1, то А
явЛяется я-группой.
Доказательство. Предположим, что аеА есть
л'-автоморфизм группы Р. Разумеется, используя индукцию,
можно считать, что [а, Р1]=1. Тогда при хеР. имеем
хЛ = ху, где t/ePj, так как [a, P]sPj.
Отсюда следует, что ха2 = ху2, ..., xaial — ху,а1 = х.
Так как у является л-элементом, в то время как а есть
л'-элемент, то у=1 и [а, Р]=1. Таким образом, а=\ и А
оказывается л-группой. □
Следствие 0.2. Если А — такая я'-группа автоморфизмов
некоторой я-группы Р, что [Р, А, Л] = 1, то [Р, Л1=1,
а потому А = 1.
Доказательство. Группа Л стабилизирует цепь
Рэ[Р, Л]э[Р, Л, Л]=1. □
Лемма 0.3. Пусть А есть я'-группа автоморфизмов неко-
торой я-группы Р и Q — произвольная А-инвариантная нор-
мальная подгруппа в Р. Тогда Cpiq(A) = Cp(A)QIQ.
16
Т. М. Гаген
Доказательство. Ясно, что СР (A)Q/Q s Cp/q(A).
Предположим теперь, что xQ — класс смежности по Q
в Р, который оставляют на месте все элементы из А. Пусть
QA действует как группа перестановок на xQ, причем А
действует очевидным образом, a Q — при помощи умножения
справа. Тогда QA действует на xQ транзитивно, поскольку
транзитивно действует Q. Пусть Ai — стабилизатор некоторого
элемента. Тогда | Xj | = | QA \/\ xQ | — | А |.
По теореме Шура — Цассенхауза — Томпсона — Фейта А{
сопряжена А. Таким образом, существует такой элемент
y^xQ, что у^СР(А). □
Замечание. Во всех приложениях результатов 0.3, 0.4
в этих заметках заранее будет известно, что по крайней <
мере одна из групп А или Р разрешима. Поэтому в наших 1
приложениях этих результатов теорема Томпсона — Фейта ;
не будет использоваться.
Следствие 0.4. Пусть Р есть я-группа и А—-некоторая
п'-группа ее автоморфизмов. Тогда Р = [Р, Д]СР(Д).
Доказательство. [Р, Л] s Р и [Р, Л] Д-инвариантна.
Кроме того, А централизует Р/[Р, Д]. □
Следствие 0.5. Если А есть п'-группа автоморфизмов абе-
левой п-группы, Р, то Р = СР(Д)ф[Р, Л].
Доказательство. Мы докажем, что СР (Д) Q [Р, Д] = 0,
записав Р аддитивно. Пусть 0 — эндоморфизм группы Р,
определенный равенством 0 = "|4т Zj а' ^CH°, что 60 = 06 = 0
ае А
для всех 6еД. Таким образом, 02 = 0.
Так как P0f|ker0 = O, то Р = Р0фкег0.
Далее, если хеС?(Д), то = ха = х, а потому
а е А
СР(А) РВ. Наконец, если [х, а] е [Р, Д], то (—х + ха)0 =
= — х0 + х0 = О, так что [х, а]екег0. Таким образом,
СР(Д)Г1[Р, Д] = 0. Доказываемый результат вытекает теперь
из следствия 0.4. □
Лемма 0.6 (Томпсон). Любая р-группа Р содержит такую
характеристическую подгруппу С, что
(a) cl С < 2 и C/Z (С) — элементарная группа}
(b) [Р, С] sZ(C);
(с) CP(C) = Z(C);
(d) любой автоморфизм а =/= 1 взаимно простого с р по-
рядка действует на С нетривиально,
Некоторые вопросы теории конечных групп
17
Доказательство. Мы покажем сначала, что свой-
ство (с) и характеристичность С в Р вместе приводят к свой-
ству (d). Предположим для этого, что [а, С]=1, где
а —заданный р'-автоморфизм. Тогда [а, С, Р]=1. Имеем
также
[С, Р, а] <= [С, а] = 1.
Таким образом,
[Р, а, С]=1, [Р, a]<=CP(C) = Z(C) по (с).
Значит, [Р, а, а] = 1 и по следствию 0.2 [Р, а]== 1.
Для доказательства существования С поступаем следую-
щим образом. Если какая-либо подгруппа ха-
рактеристична в Р, то полагаем А = С. Ясно, что усло-
вия (а), (Ь), (с) выполняются. Следовательно, можно
предположить, что ни одна максимальная абелева подгруппа
в Р не характеристична. Пусть D — максимальная характе-
ристическая абелева подгруппа в Р. Ясно тогда, что Cp(D)zjD
и CP(D) характеристична в Р. Пусть
C/D = Ql(Z(P/D))()CP(D)/D.
Очевидно, что С о D и С — характеристическая подгруппа
в Р. Так как О^2(С) и Z(С) —абелева характеристическая
подгруппа в Р, из максимальности D следует, что D = Z (С).
Ясно, что С — характеристическая подгруппа группы Р.
(а) Так как С/D — элементарная абелева группа, то
C/Z (С) элементарна и [С, С] (С). Следовательно,
с1С<2.
(Ь) Поскольку C/D Z (Р/D), то [Р, С] S D = Z (С).
(с) Предположим, что Q = CP(C)SC* Так как Qf]C =
= Z (С) = D, то Q/D cz P[D и Q/Z) П C/D = 1. Разумеется,
Q СР (С) СР (£)). Если Q =# £>, то Q/D имеет с Qi (Z (Р/D)) П
П СР (D)/D непустое пересечение. Это противоречие завершает
доказательство. □
1. ТЕОРЕМА БЭРА
Теорема 1.1 используется при изучении р-устойчивых
групп, и ее доказательство, принадлежащее Судзуки, приве-
дено в [12]. Конечно, она непосредственно следует из ре-
зультата Бэра [15], стр. 298; это доказательство приводится
ниже в качестве первого. Даются также два других дока-
зательства этого результата, оба интересные и короткие.
Теорема 1.1. Пусть К — класс сопряженности конечной
группы G, состоящий из р-элементов. Если {х, у} является
р-группой для всех х, у^К, то К. '£= OP(G).
18
Т М. Гаген
Первое доказательство. Так как (х,у) есть р-группа
при всех х, у^К, то для любого g^G элементы [х, g]==
х~1х8 и х принадлежат конечной р-группе (х, х8). Следо-
вательно, [g, х, х, ..., х] = 1, начиная с некоторого момента.
Таким образом, х —правый энгелев элемент и по тео-
реме III, 6.15 из [ 15] хе F (G). Следовательно, К s Ор (G). □
Второе доказательство (Дж. Г. Уолтер). Пусть
G — минимальный контрпример к этой теореме. Пусть
Mlf М2, ..., Aff — все максимальные подгруппы группы G,
содержащие некоторый фиксированный элемент х^К.
Ясно, что Op(G)=l, ибо G — минимальный контрпример.
Если /=1, то при любом //£ К имеем (х, у)^Мь так
как (х, р) есть р-подгруппа в G и, стало быть, собственная
подгруппа в G, содержащая х. Поэтому /С s Мь Пусть
L = (К). Тогда L Мх cz G и К Ор (L) по индукции. Так как
L G, то получено противоречие.
Таким образом, t > 1. Среди всех z, /, где i У= /, выберем
D = Mt[\Mj так, чтобы | D |р было максимальным. Пусть
Р — силовская р-подгруппа в D, содержащая х.
Покажем, что без ограничения общности можно предпо-
ложить, что Р —- силовская р-подгруппа одновременно в Mt
и Mj. Действительно, пусть РсРо где Pt — силовская
р-подгруппа в Mt. Тогда NG (Р) A Pi id Р. Пусть ^ — макси-
мальная подгруппа в G, содержащая Ng(P)czG. Тогда
Mk П Alj з Ng (Р) П id Р, а потому k = Z, согласно выбору z, j.
Имеем также NG(P) Mi9 так что Р —силовская р-под-
группа в Mj. Выберем теперь NG (Р) Г) Pt — Р. Тогда оче-
видно, что n^Mf, поэтому М" =/= Mj. Если это не так, то
Mj G и по индукции имеем х К A А1/ Op(Mj) Op(G)=l —
противоречие. Далее, М" Рп = Р содержит х, а потому
MTj=Mi при некотором I. Возьмем Mj A Mi в качестве тре-
буемого пересечения. Заметим, что Р — силовская р-под-
группа и в Mj, и в Mj.
Теперь противоречие получается без труда. По индукции
Kf)Mi^Op(Mi)^P^Mf.
Следовательно, /С A /С А А4/. Аналогично ./CflAf/S
Таким образом, Mj = NG ((К П Afz)) = NG ({К А = Mt
(последнее противоречие). □
Третье доказательство (Алперин, Лайенс [1]).
Пусть опять G — минимальный контрпример к нашей теореме.
Пусть Р — силовская р-подгруппа в G. Если {К) есть р-под-
группа, то №OP(G), так как /C^jG. Таким образом, (К) —
Некоторые eonpocei теории конечных групп
19
> — не р-подгруппа, так что К<£ Р. Пусть у^К — Р и Q —
1 силовская р-подгруппа в G, содержащая у. Тогда, конечно,
; ДПР^ДШ
Среди всех силовских р-подгрупп Р, Q в G с К П Р ¥=
¥=K(]Q выберем Р, Q так, что | Kf\ P(]Q\ максимально. По-
скольку Рх = Q при некотором г е б, то (Д П Р)х = К П Q,
j а потому Д Г1Р $ Q, К Г1Q Р. Пусть D = (Д’ П Р П Q)- Пред-
: доложим, что D = Ро cz Р{ cz ... cz Р^ = Р, где | Pi+i : Pz | = р.
Очевидно, что Д П Р 3= £).
Предположим, что 4 — наименьшее положительное целое
| число, для которого К П Pi Ф Д П D. Пусть х е (К А Р/) — D.
? Так как Р/_1< Р/, то х нормализует Pz_b а потому он нор-
мализует (ДПЛ-1) = D. Аналогично выберем элемент
( (ДП Q) — P, нормализующий D.
Тогда (х, у) является р-группой по предположению, а- по-
~ тому (х, у, D) —также р-группа. Пусть R — силовская р-под-
группа в G, содержащая (х, р, D).
( Тогда из (х, £))^ДПР следует, что R = P, в то время
как из (р, D)^RftQ вытекает, что R = Q, т. е. получено
; противоречие.
2. ТЕОРЕМА БЛЭКБЕРНА
Эта теорема дублирует-некоторые результаты из [12], но
доказательство ее настолько красиво, что его следует здесь
L привести. Лемма 2.1 имеет исключительную важность для
многих из последующих результатов.
Лемма 2.1 (Томпсон). Пусть а есть р'-автоморфизм
р-группы, G. Предположим, что X —некоторая р-группа авто-
i морфизмов группы G и [а, Х] = 1, [a, CG(X)] = 1. Тогда а= 1.
Доказательство. Пусть У sG —такая Х-инвариант-
ная подгруппа, что [а, А] =/= 1, но [а, Д]=1 для всех Х-ин-
/ вариантных собственных подгрупп Д из N. Применим тогда
₽ лемму о трех подгруппах. Имеем [N, X, а] = 1, так как
J [N, X] cz N и [АГ,X] Х-инвариантна. Кроме того, [X,a, N]=l.
Таким образом, [a, N, X] = I, [Af, а] CG(X), [N, а, а] = 1.
Согласно следствию 0.2, [У, а] = 1, что и завершает доказа-
тельство. □
Лемма 2.2. Пусть а есть я'-автоморфизм п-группы G, и
предположим, что X <] < G — субнормальная подгруппа, для
которой [а, Х] = 1, [а, CG(X)]=1. Тогда а=1.
Доказательство. Пусть X <] Xj <]...<] Xn = G, и
? выберем i так, что [а, Xz+1] #= 1, [а, Xz] = 1. Пусть А== NQ(Xi).
ТаккакХ;+1 £^,то[й, N] Ф 1. Но[Хь N, а] = 1,[Хьa, Af] = 1.
20
Т. М. Гаген
Следовательно, [N, at Xz]=l, [W, a]czCG(Xf)^C0(X). Таким
образом, [Af, а, а]=1. Из следствия 0.2 получаем теперь,
что [N, а] = 1. □
Лемма 2.3 (Блэкбёрн [6]). Пусть а есть р'-автоморфизм
р-группы Р. Пусть Е — максимальная абелева подгруппа экспо-
ненты рп в Р, где п^>2, если Р — неабелева 2-группа, ип^1
(т. е. нет никаких ограничений на п) в противном случае.
Если [а, £] = 1, то а = 1.
Доказательство. Пусть Р — минимальный контрпри-
мер к лемме.
Если C — Cp(E)czP, то [а, С] = 1 по индукции. В силу
леммы 2.2 а=1. Таким образом, E^Z(P).
Кроме того, Ф(Р)£ cz Р, поскольку £ У= Р по тривиальным
соображениям. Таким образом, а централизует Ф(Р), согласно
предположению индукции. Если С (Ф (£))<=£, опять имеем
[а, ф(Р)] = [а, СР (Ф (£))]= 1, так как £с=СР(Ф(Р)). В силу
леммы 2.2 снова а—1. Таким образом, Р имеет класс ниль-
потентности не больше 2 и Ф(Р)^2(Р).
п
Выберем хеР и рассмотрим [х, а\ . Тогда
[х, а}рП=(х-хха)рП=х-рп(ха)рП[х^ х-1]рП(рП-1}/2.
Если группа Р абелева, то, очевидно, [ха, х“1] = 1. С дру-
гой стороны, если она не абелева, то
[х“, х-1]₽"(р"-1)/2 = [х«, х-₽Г-1
так как при р — 2 имеем п^2. Но х~р е Ф (Р) s Z (Р) при
всех х е Р. Таким образом, в каждом случае
г лп11 п / коп п / п\а
[х, а]р = х~р (ха) = х~р (хр ) .
Поскольку [а, Ф(Р)]=1 и хр"еФ(Р), то мы убеждаемся
п
в том, что [х, а]р =1. В силу максимальности £ коммута-
тор [х, а] лежит в £ при всех х^Р. Таким образом,
[Р, а]^Е и [Р, а, а]== 1. Согласно следствию 0.2, [Р, а]= 1,
так что а — 1. □
Теорема 2.4. Пусть Р есть р-группа. Если а —ее р'-авто-
морфизм, централизующий QJP), то а=\, за исключением
случая, когда Р — неабелева 2-группа. Если [a, Q2(^>)] = 1э то
а = 1 во всех случаях. □
3. ТЕОРЕМА БЕНДЕРА
Теорема 3.1 [2]. Пусть G есть p-скованная группа. При
р = 2 предположим, что силовская 2-подгруппа группы G
Некоторые вопросы теории конечных групп
21
имеет класс нильпотентности ^2. Пусть Е есть р-подгруппа
в G, содержащая каждый p-элемент своего централизатора.
Тогда каждая Е-инвариантная р'-подгруппа Н G лежит
eOp'(G).
Замечание 1. Если £ — самоцентрализуемая нормальная
подгруппа силовской р-подгруппы группы G, то она содержит
каждый p-элемент своего централизатора в G. Действительно,
пусть £ е (Р), где Р — силовская р-подгруппа в G.
Предположим, что D 3 £ — силовская р-подгруппа в Со(£).
Рассмотрим AfG(£). Предположим, что Q — силовская р-под-
группа в Ng(E), содержащая D. Так как Р NG(E), то су-
ществует такой элемент п е NG (£), что Qn = Р. Тогда
Dn Р П CG (£) = £. Следовательно, D = E — силовская р-под-
группа в Cg(£). По теореме Бернсайда CG (£)=£XOP'(CG (£)).
Замечание 2. В теореме 3.1 при р = 2 нельзя откинуть
дополнительные условия, даже если G разрешима. Рассмот-
рим в качестве примера G = GL (2, 3) с четверной подгруп-
пой E^G. Тогда O2'(G)=1, (£) = £, но существует под-
группа порядка 3, которая нормализуется £. Обратим
внимание на то, что 2-подгруппа группы GL (2, 3) имеет класс
нильпотентности 3.
Доказательство. Пусть G — минимальный контрпри-
мер. Доказательство разбивается на ряд шагов.
1. Op,(G)=l.
Если это не так, положим G = G/OP' (G). Так как С-^(Е) =
= Cg(E) в силу леммы 0.3, то Н ^OP'(G)=1. Таким обра-
зом, Н s ОР' (G).
Пусть R = OP(G) и Q =/= 1 — минимальная £-инвариантная
р'-подгруппа в G. Если RQEczG, то по индукции можно
показать, что Q^OP' (RQE). Следовательно, [R, Q]<=X)P' (RQE) f]
ПР=1- Так как CG (R) ^R в силу р-скованности, то:
2. G = RQE.
Пусть S есть ф£-инвариантная подгруппа в G, минималь-
ная относительно свойства [Q, S] У= 1. Тогда S — специальная
р-группа. Рассуждение, приводящее к этому утверждению,
стандартное; см., например, [12].
Если S абелева, то S = Cs(Q)0[Q, S], согласно следст-
вию 0.5. Но [Q, S] является ££-инвариантной р-подгруппой,
а потому Cp(£)f][Q, S] #= 1. Таким образом, £ Q [Q, S] 1
в силу предположений о £. С другой стороны, [£ П [Q, S], Q] s
SQD 5= 1. Это противоречит тому, что С5 (Q) Q [Q, S] = 1.
Если S неабелева и р нечетно, мы воспользуемся "'заме-
чательной идеей Бендера или, возможно, Бэра. Так как
[Q, 5] =/= 1 и S минимальна, то в силу теоремы 2.4 S = Qj (S)
22
Т. М. Гаген
имеет экспоненту р. Пусть Т — новая группа, определенная
следующим образом: T = S как множество. •
Каждый элемент x^S имеет единственный квадратный
корень х1/г е 5, так как р нечетно. Определим бинарную опе-
рацию о на Г так: х © у = хЧ2ухх12. -
Нетрудно проверить, что Т — элементарная абелева группа.
Кроме того, QE действует как группа автоморфизмов на Т.
Так как множества 5 и Т совпадают, неподвижные элементы ;
группы Т как относительно Q, так и относительно Е оста- :
ются теми же самыми. Но нами уже получено противоречие ;
в случае, когда S абелева. Это же самое рассуждение может ]
быть применено к TQE. 1
Если р = 2 и 5 неабелева, то [Е, S]^Z(S), поскольку i
SE имеет класс нильпотентности ^2. Таким образом,
[S, Е, Q] <= [Z (5), Q] = 1, [Q, 5, Е] с= [S, Е] s Z (S).
Следовательно, [Е, Q, S\^Z (S).
Если [Е, Q] #= 1, то она лежит в Q и стабилизирует цепь -•
SsZ(S)2 1. Следовательно, [£, Q]sC0(S) по теореме 0.1.
Так как [£, Q] есть Е-инвариантная подгруппа в Q, то ми- i
нимальность Q гарантирует, что Q==[E, Q]sCG(S), т. е.
получено противоречие. ,
Таким образом, можно предположить, что [Е, Q]=l. J
Так как [S, Е]с5 тогда Q-инвариантна, из минимальности 1
5 следует, что [5, Е, Q] = 1. Кроме того, [Е, Q, 5] = 1. Отсюда j
вытекает, что [Q, 5, E] = [S, Е]= 1. Наши предположения от-
носительно Е приводят теперь к тому, что S Е и [S, Q] £ j
Q П 5=1. Это противоречие завершает доказательство. □
Лемма 3.2. Предположим, что Р есть р-подгруппа р-ско-
ванной группы G. Тогда OP'(Na(P)) ОР'(G).
Доказательство. Так как G р-скована, из леммы 0.3
следует, что GIOpf(Q) р-скована. _Пусть G =&GIOP'(G) и т. д.
По индукции получаем Ор, (N-g (Р)) s O^(G)=1. Но, как
легко видеть, Ор, (Р)) = Ор, (С^- (Р)) = Ор, (CQ (Р)) в силу j
леммы 0.3. Таким образом, Ор, (N^ (Р)) = Ор, (CQ (Р)). Так
как ОР' (Ng (Р)) Со (Р), отсюда вытекает, что в этом случае
OP'(Ng (Р)) OP'(G). Следовательно, можно предположить,
что ОР' (G) = 1. Пусть М = Ор (G), Q = ОР' (NG (Р)). Поскольку
[Q, Р]=1 и [Q, СМ(Р)] cz П Q = 1, то [Q, ZVf] = 1 в силу
леммы 2.1. Следовательно, Q= 1, так как C0(A4)sAl в силу
р-скованности.
-j
Некоторые вопросы теории конечных групп 23
Замечание. Далеко идущими обобщениями этого резуль-
тата являются леммы 12.5, 12.6, принадлежащие Бендеру,
к которым мы и отсылаем читателя.
Лемма 3.3. Если 6 есть р-разреишмая группа нечетного
порядка и Р~ силовская р-подгруппа в G, причем г (Р) 2,
то G имеет р-длину 1.
Доказательство. Пусть G — минимальный контрпри-
мер к теореме 3.1. Очевидно, что ОР' (G) = 1. Пусть R = OP (G).
Так как G р-скована, то CG (R) s /?. Пусть С — критическая
подгруппа Томпсона в R и D = Qi (С). Так как | G | нечетно
и С имеет класс нильпотентности 2, то D имеет экспо-
ненту р.
Так как г(Р)^2, то г (0)^2. Если | Z (D) р2, то D —
— Z(D), а если | Z (D) | = р, то любая подгруппа типа (р, р),
содержащая Z (D), имеет централизатор индекса р. Отсюда
следует, что |£)|^р3. Кроме того, |£)| = р3 лишь в случае,
когда D —_неабелева группа экспоненты р. Пусть D = О/Ф(О),
Тогда Cg(D) — все еще нормальная р-полгруппа в G, а по-
тому CG (D) R. Далее, G/Cg (D) GL (2, р). Но любая под-
группа нечетного порядка в GL (2, р) имеет нормальную
силовскую р-подгруппу.
Таким образом, G = Ор> р> (G mod Cq (5)), так что G =
= OP,P'(G). □
Лемма 3.4. Если G — разрешимая группа нечетного порядка
и Р —ее силовская р-подгруппа с циклической подгруппой Р',
то G имеет р-длину 1.
Доказательство. Пусть G — минимальный контрпри-
мер к теореме 3.1. Тогда, очевидно, OP'(G)=1. Пусть R =
= OP(G). Так как G разрешима, то CG(R)^R.
При Ф (/?)#= 1 положим G = G/Q(7?). Так как Р' —цикли-
ческая группа, то G имеет р-длину 1. Пусть (?Ф(Р) =
= 0Р' (G mod Ф (/?)). где Q есть р'-группа. Тогда [Q, Р] Ф (/?),
а потому Q централизует R по модулю Ф(/?). Таким образом,
[Q, 7?] = 1. Следовательно, 0Р' (ОтойФ (/?)) =1 и G имеет
р-длину 1.
Итак, мы установили, что R — элементарная абелева
р-группа. Пусть x&R. Тогда [х, /?] Р' f] R — циклическая
^подгруппа порядка р. Таким образом,
[x,R]<=Z(P) и [Ъ,х]=1.
Следовательно, х при действии на R имеет квадратичный
минимальный многочлен Обсуждение этого случая имеется
24
Т. М. Гаген
в дополнении на стр. 94. В силу известной теоремы В Холла
и Хигмэна [х, /?]=1. Таким образом, P = R и лемма дока-
зана. □
4. ТЕОРЕМА О ТРАНЗИТИВНОСТИ
В этом параграфе приводится доказательство не совсем
общего варианта теоремы о транзитивности, принадлежащей
Томпсону. Полностью она доказана в [12]. Приводимое здесь
доказательство короче, но и теорема сформулирована в мень-
шей общности. Точнее говоря, при р = 2 в ней рассматри-
ваются лишь группы, силовские 2-подгруппы которых имеют
'класс нильпотентности не больше 2. Я не знаю какого-либо
удобного пути доказательства общего результата. Основная
трудность возникает из-за того, что подгруппа может быть
самоцентрализующей и нормальной в одной силовской
р-подгруппе некоторой группы, но содержаться в другой си-
ловской р-подгруппе, не будучи в ней нормальной. Теорема 3.1
позволяет преодолеть эту трудность, заменив элементы из
9*8№ на группы из более широкого класса. При таком способе
мы и утрачиваем случай р = 2, класс нильпотентности 3.
Но это несущественно: сформулированный результат доста-
точен для применений в этих заметках.
Прежде чем формулировать основную теорему, мы дока-
жем два вспомогательных результата.
Лемма 4.1. Если Р — любая р-подгруппа в G с р-скован-
ным нормализатором NG(P), то CG(P) тоже р-скована.
Доказательство. Очевидно, что OP'(NG(P)) =
= Op' (CG (Р)). В силу леммы 0.3 можно предположить, что
OP'(Ng(P))=1. Пусть Ar = ArG(P), C = CG(P), Q = OP(C),
R = OP (N). Так как Q характеристична в С N, то Q s R f] С.
Так как R Г) С С, то а потому Q = R П С.
Пусть x^Cc(Q) есть р'-элемент. Тогда [х, 7?]^PnC = Q.
Таким образом, х стабилизирует цепь /?3Q^1, а потому
в силу теоремы 0.1 x^CN{R)^R, так как N р-скована.
Отсюда следует, что Сс (Q) есть р-подгруппа, нормальная в С.
Таким образом, Cc(R)^Q и С р-скована. □
Лемма 4.2. Предположим, что А — такая элементарная
абелева р-группа, что г (Л) = 3. Если Р, Q суть А-инвариантные
р'-подгруппы, то существует такой элемент а^А, чтоСР (а)=/= 1,
Oq (а) 1.
Доказательство. Пусть У —подгруппа в А типа
(р, р). Так как Р = {CP(v)\ v е V*), то существует такой
элемент v е V*, что CP(v) ф 1. Пусть подгруппа W S А
Некоторые вопросы теории конечных групп
25
такова, что она имеет тип (р, р) и Существует
элемент w^W, такой, что СР(ш)ПСР(у)=/= 1, так как цент-
рализатор Ср (и) IF-инвариантен. Тогда (и, w} имеет тип (р, р)
и действует на Q. Таким образом существует такой элемент
a^{v, w)*, что CQ(a) #= 1. Так как СР(а) 3 СР (w) f] СР (у)=/= 1,
то лемма доказана. □
Теорема 4.3 (теорема о транзитивности) [8]. Пусть G —
группа, в которой нормализатор каждой нетривиальной р-под-
группы p-скован. При р = 2 предположим, что силовская
р-подгруппа в G имеет класс нильпотентности 2. Пусть
Е — такая абелева р-подгруппа в G, что г(Е)^3 и Е содер-
жит каждый p-элемент из С = CG(E). Тогда ОР'(С) действует
транзитивно на элементах из 1Л*(Е, q), где q — простое число,
Доказательство. Пусть S?b ^2, ..., <?t суть Ор> (С^ор-
биты элементов из И^(£, q), и предположим, что />L
Тогда, очевидно, H^(f, <?)#={!}.
Рассмотрим теперь R = f) S/ для подгрупп 8^9^,
где i =£ j, и предположим, что выбрано пересечение R макси-
мального порядка. Для удобства обозначений пишем /=1,
/ = 2. Ясно, что /?czSb RczS9.
Имеем N = NG(R)^_E. Рассмотрим N = N (R)/R. Пусть
Ti = N riSf=)/?. Тогда Ti = Ti/R, Z=l, 2, будут f-инвариант-
ными и нетривиальными, а потому, согласно лемме 4.2,
существует такой элемент что С^(е)=#1, i=\, 2.
В силу леммы 0.3 имеем С? (е) = СТ (е), а значит, (CG(e)Q
Q Ti) R =) R. Согласно предположениям и лемме 4.1, CG (е)=Н
является p-скованной подгруппой и CG (е) ^Е.
Пусть Pi —Ti[\ Н. Тогда PiRzjR. Напомним, что Pt s
Ng (R). Далее, Pt f-инвариантна и в силу теоремы 3.1
Pi^Op>{H).
Пусть L = R (N П Н). Так как Pi <== Ор> Ор> (N f] И),
то Pi OP'(L), ибо и R есть р'-группа. Таким образом,
RPi^Op'(L), 1=1, 2.
Пусть Qi 2 PiR будет f-инвариантной силовской р-под-
группой в OP'(L), /=1, 2. Существует такой элемент хе
d CG (f) П ОР' (L), что Qi=Q2 в силу [12, 6.2.2]. Так как (х)
есть f-инвариантная р'-подгруппа в NG (f), которая р-скована,
то теорема 3.1 приводит к тому, что х d ОР' (NG (Е)), хе
eOHCo(f)).
Пусть Уе И*о (f, q), U э Qb Тогда U f) Si^Qi f| SiSP^zdT?.
В силу выбора R имеем
26
Т. М. Гаген
Но Ux A S2 Qf П S2 = Q2 A S2 з Р2/? id /?. Далее, так как
хеС(Е), то Ux —- максимальный элемент в И(£, q). В силу
выбора R имеем Ux^&2, а потому U е^2. Таким образом,
^ = ^2. □
5. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
Этот и следующие два параграфа посвящены доказатель-
ству принадлежащей Бендеру теоремы единственности 5.1
из [3].
Теорема 5.1. Пусть G — минимальная простая группа не-
четного порядка. Пусть U — элементарная абелева р-подгруппа
в G порядка р3. Тогда существует одна и только одна макси-
мальная подгруппа в G, содержащая U.
Замечание. Эта важная теорема сокращает большую часть
теоретико-групповой гл. IV из статьи Фейта и Томпсона
о группах нечетного порядка [8]. Следует отметить, что если
группа G нечетного порядка не содержит абелевых р-под-
групп порядка р3 ни при каком простом числе р, то G не
проста. В действительности такая группа будет иметь упо-
рядоченную силовскую башню; см. [8].
Если существует одна и только одна максимальная под-
группа М, содержащая подгруппу V G, то мы назовем М
исключительной подгруппой для V.
Теорема 5.2. Пусть G — конечная группа, Н — максималь-
ная локальная подгруппа в G, F = F (//), Х=СН (F) и л = л (F).
Предположим, что | л | 2. Обозначим через М подгруппу в F,
удовлетворяющую условию CF (М) М, и пусть R —разрез
шимая подгруппа в G, нормализуемая подгруппой MX. Тогда
для любого простого числа q л' множество Ид (А4, q) имеет
лишь один максимальный элемент, который будет силовской
q-подгруппой в On'(R)-
Доказатель ст во. Так как О& (/?) s Onf (RM) 0^ (/?),
мы можем заменить R на RM и предположить, что М R.
Доказательство разбивается на ряд шагов.
(i) Если У есть л'-подгруппа в R, нормализуемая подгруп-
пой М, то Y(]H=1.
(За соответствующим обобщением этого шага читателю
следует обратиться к теореме 12.4 (а).)
Подгруппа У П Н централизует М, так как [У П П, Al] S
s F (Н) А У = 1. Но СР (М) е М. Рассмотрим теперь (У А Н) F.
Пусть р е л. Если х е (Y А Н) F есть p-элемент, централизу-
ющий Мр, то, очевидно, x^Fp и x^CF(Mp) ACF(AfP') =
— CF (М) s М. Таким образом, Мр содержит каждый р-эле-
Некоторые вопросы теории конечных групп 27
мент своего централизатора в (У А Я)/7- Так как эта группа
очевидным образом р-скована, мы можем применить тео-
рему 3.1 для получения включения У А Н ОР' ((У А Н) F) при
всех рея. Таким образом, [У А Я, F]=l, а потому Y(]H^
Далее, К = (У A Н)х ~ подгруппа в /?, так что она — раз-
решимая Х-инвариантная группа. Таким образом, У А Н
S(X) А Н S (Н) А Сн (F) F в силу хорошо известного
свойства подгрупп Фиттинга в разрешимых группах. Так как
У является л'-группой, a F есть л-группа, то УАЯ=1.
(ii) Если р), q <= л', то Q On'(R),
Мъ\ покажем, что Q е OP'(R) при всех р^ л. Для такого р
имеем Л4 = МрХЛ, а поскольку | л |> 1 и М ^Ср(М), то
должно быть L #= 1 •
Так как Мр Z (F (Я)р), то CG (Мр) CG (Z (F)P)^H. Далее,
L^OP'(H)^Cg(Mp)^OP'(Cg(Mp))^OP'(Ng(Mp)) В силу
леммы 3.2 имеем L^OP'(R), поскольку R разрешима, а потому
[L, Q]^ OP'(R). /Мы покажем, что [Л, Q] = Q. Действительно,
Q = [L, Q]Cq(L) в силу следствия 0.5, и CG (L) Н, так как L
содержит нетривиальную нормальную подгруппу группы Я,
а именно Z(F(H)P'). Таким образом, Cq(L) ^QA Н = 1, сог-
ласно шагу (i). Следовательно, Q = [Q, L] ОЯ' (/?).
Мы показали в (i) и (ii), таким образом, что каждый
элемент из Ид(Л1, q), л', лежит в Orf (R). С другой
стороны, некоторая силовская ^-подгруппа в Ол'(7?), очевидно,
Al-инвариантна и М-инвариантные силовские q подгруппы
в Ол' (7?) сопряжены при помощи элементов из CG \М) А
АОл'(7?)=1. Следовательно, Ид(М, q) имеет единственный
максимальный элемент.
Теорема 5.3. Пусть G — минимальная простая группа не-
четного порядка, Н — максимальная подгруппа в G и U —
такая элементарная абелева р-подгруппа в F = F(H), что
®\и\^р3
или
(п) \и\ = р2 и и^А^^ЛАр):
Положим M = CP(U) и л = л(/7(Я)). Предположим, что
| л|^2. Тогда HG(M, р) = {1} для любого простого числа
q^n'.
Доказательство. Мы покажем, что MG(M, q) имеет
единственный максимальный элемент. Если это так и Q —
единственный максимальный элемент в HG(M, q), то, по-
скольку Nf(M) переставляет максимальные элементы из
И0(М, q) посредством сопряжения, Q будет единственным
максимальным элементом в 1AG(NF(M), q). Кроме того,
так как F нильпотентна, то И0(Х q) имеет единственный
28
Т. М. Гаген
максимальный элемент, а тогда И0(Я, q) имеет единствен-
ный максимальный элемент. Но из максимальности Н полу-
чаем, что а потому Q=l, так как Oq(H)= 1.
Доказательство того, что ИС(Л1, q) имеет единственный
максимальный элемент, тесно примыкает к доказательству
теоремы о транзитивности 4.3.
Предположим, что Q, R — максимальные элементы
в HG (Л4, q), не совпадающие между собой и выбранные так,
что | Q ПI максимально.
При Q П R =/= 1 положим /С = AfG(Q A R)- Применяя тео-
рему 5.2, где R заменено на К, получим, что ИК(Л1, q) имеет
единственный максимальный элемент, скажем S. Так как
К Г) Q, К’ A R Ик (Л4, q), то {K(]Q, K(]R)^ S. Поскольку
SAQ^OQ=>QAR, при подгруппе 5*еИ^(Л1, q), такой,
что S*^S, выбор Q, R обеспечивает совпадение S* = Q. Но
в то же время S* = R, т. е. получаем противоречие. Таким
образом, QAR=1 и любые два максимальных элемента
в И0(М, q) не пересекаются.
При х^£/*, применяя теорему 5.2 к С0(х), получаем,
что Ис0(Х)(Л1, q) имеет единственный максимальный элемент Т.
Мы покажем, что существует такой элемент хеб’, что
Cq(x)=/=1, Сд(х)=/=1. Если это так, то для подгруппы
е (Л4, q), такой, что Г* Г, из (CQ (х), CR (х)) Т получаем,
что Г* AQ 3Cq(x) #= 1, откуда T* = Q. Но, кроме того, Г* А
AR ^Сд(х) =/= 1, так что T* = R. Это и есть требуемое про-
тиворечие.
При | U | р3 результат следует из леммы 4.2.
Можно считать поэтому, что \U | = р2 и U S Л g (р).
Очевидно, что Qi (Z (Fp)) U\ так как в противном случае
мы можем заменить U на UQ{ (Z (Fp)), элементарную абелеву
группу порядка ^р3. Таким образом,
Имеем Q == (CQ (х) | х е С7*). Как уже отмечалось, С0(х)
имеет единственную максимальную М-инвариантную (/-под-
группу, скажем X. Если xel/*, причем CQ(x)#=l, и X* е
q), ГзХ, то X*AQ3Cq(x)#= 1, так что X* = Q.
Таким образом, X = CQ(x). Но А нормализует M = CF(U).
Следовательно, А переставляет элементы из И0(М, q) по-
средством сопряжения. Таким образом, ДеС0(х) нормали-
зует Cq(x) всякий раз, когда CQ(x)#= 1. Отсюда следует, что
А нормализует Q. Подобно этому, А нормализует R.
Но в силу теоремы 4.3 Q и R сопряжены при помощи
Некоторые вопросы теории конечных групп
29
некоторого элемента из Ор> (Cq (Л)). Так как Cq (A)^Cq (U)sH,
то существует такой элемент h Сн (А), что (Qh, R) будет
(/-группой. Но h<^Ca (U) нормализует М. Следовательно, М
нормализует Qh, R, а потому М нормализует (Qh, R) Е R.
Отсюда следует, что Qh Е R, так что Qh — R. Далее, если
ti^U таков, что CQ(u) 1, то CR (uh) ф 1. Так как h е CG(U),
то uh = и. Следовательно, существует такой элемент u^U,
что Cq (u)=#l, CR(u)=/=l. Это завершает доказательство. □
Теорема 5.4. Пусть G — минимальная простая группа не-
четного порядка, Н — ее максимальная подгруппа, а М — под-
группа в F (Н), содержащая Z(F(H)), и n = n(F(П)). Пред-
положим, что j л | 2 и И0(М, л') = {1}. Тогда Н будет един-
ственной максимальной подгруппой в G, содержащей М.
Доказательство. Предположим, что L—некоторая мак-
симальная подгруппа в G, содержащая Af. Тогда очевидно, что
л (F (L)) Е л, так как Ио (AJ, л') = {1}. Поскольку Z (F(Н))яМ,
то централизатор любой холловской подгруппы группы М
содержится в Н, в чем мы убедились ранее. Тогда при а Е л
имеем Ма'£Св(Мр)(\Оа'(Н)^Оа'(Св(Мр)), где реа.
Поэтому М0'е Ор> (Сa (Afp)) f| L^OP' (CL (Мр)) при всех рест.
В силу леммы 3.2 Е Ор> (L) для всех р еа. Следова-
тельно, Таким образом, Ма'Е Са (F (L)a) и
F (L)a Е Cq (Mg') Е Н для каждого подмножества стел. Если
о = л (F (L)) ф л, то мы видим, что Ма> Е Cq (F (L)) Е F (L)
будет ст-группой. Таким образом, л = л(£(£)).
Положив ст = л—р, получаем теперь, что Mar = MpsOp(L)
централизует F (ОР' (L))e Сор, ц» (F (Ор- (L))). Таким образом,
в силу леммы 2.2 [Мр, OP'(L)]=1, а потому OP'(L)sH.
Но Ор (L) Е F (L)p и Cq (Op (£)) Е L. Следовательно,
Ор'(П)^Ор'(Со(Ор(Ь))){]Н^Ор'(Сн(Ор(П))). В силу леммы 3.2
Op'(L)c=Op'(H).
Заменяя М на MZ (F (L)), а Н на L, получим также, что
ОР' (Н) Е Op' (L), а поскольку Ор> (Н)=/= 1, то H=Nq (О? (Н)) =
= No (Op' (L)) = L. □
Теорема 5.5. Пусть G — минимальная простая группа не-
четного порядка, р — простое число, Н — максимальная под-
группа в G, удовлетворяющая условию ОР’(Н)^1, и V — такая
элементарная абелева подгруппа порядка р2 в G, что CQ (х) Е Н
для всех х е V*. Тогда И будет единственной максимальной
подгруппой-в G, содержащей V.
Доказательство. Пусть Р — силовская р-подгруппа
группы И, содержащая V. Каждая р'-подгруппа в G,
30 Т. М. Гаген
нормализуемая подгруппой V, содержится в Я. Следова-
тельно, (Р, р')) Н. Пусть
Р1 = РПОр',р(Я), QgHg(P, р'), Q^H.
Тогда [Pb Q]^Qf)Op'tP(H) ^Ор'(Н). Таким образом,
QOp' (Н)/ОР' (Я) <= СН/ор, <я) (Pi) = Сн (Pi) ОР' (Н)/ОР' (Я).
Так как Я р-скована, то Сн (Pi) ОР', р (Я). Таким обра-
зом, Q Ор', р (Я), а потому Q ОР' (Я). Отсюда выте-
кает, что (HG (Р, р')) е Ор' (Я) е Ио (Р, р'). Следовательно,
(Ио(Р, р')> = Ор'(Я).
Далее, NG(P) переставляет элементы из ИЯ(Р, р') при
сопряжении, а потому нормализует (HG(P, рУ) = ОР'(Н) Ф L
Таким образом, NG(P)^H. Следовательно, Р будет си-
ловской р-подгруппой в G.
Выберем среди максимальных подгрупп L группы G,
удовлетворяющих условию L з V, L=£H, такую, что | L П Я 1р
максимально.
Пусть Р — силовская р-подгруппа в L П Я, содержащая V.
Без потери общности можно считать, что R Р, заменяя
в случае необходимости группу V на Я-сопряженную. Если
R—P, то NG(R)^H. Если RczP, то Np(R)^R и в силу
выбора L подгруппа Я будет единственной максимальной под-
группой в G, содержащей NP(R). Таким образом, NG(R)^H
в каждом случае. Очевидно, что Р — силовская р-под-
группа в L. '
Поскольку подгруппа OP'(L) является V-инвариантной, то
OP'(L)^H.
Положим S = R(]Op',p(L) <jP. Так как L — ОР' (L) NL (S)
и Op' (L) Я, L-=^=H, то Ng(S) ф Я. Таким образом, NP(S)=R
и S =# Р по выбору L, ибо если ЯР(5)=>Р, то Я — един-
ственная максимальная подгруппа, содержащая NP (S), а
потому Ng (S) Я (противоречие). Поскольку | L \р <| NG (S) |р,
то можно считать, что NG(S)^L.
Далее, разрешимая группа нечетного порядка с силовской
р-подгруппой ранга =С2 имеет р-длину 1 в силу леммы 3.3.
Так'как p-длина группы L не равна 1, то г(Р)^3. Таким
образом, Р Р содержит 3-порожденную абелеву подгруппу
и в силу леммы 8.4 из [8] 9^?A\(P)=^ 0. Пусть Дей^Л^Р).
Если x^Na(S)^L, то [S, х, х]=1. Из р-устойчивости
разрешимой группы L нечетного порядка следует, что
х е Op (Nl (S) mod CL (S)) = OP', p (L). Таким образом, NA (S) S
и AcS.
Пусть теперь q — простое число, отличное от р. Из тео-
ремы о транзитивности 4.3 следует, что если QgHg(A, g),
п Nq(A), то Qn И0(А, q) и даже Qn И<? (Л, р), так как
Некоторые вопросы теории конечных групп
31
все элементы из Ио (4, q) имеют один и тот же порядок.
Более того, существует такой элемент с е ОР' (Со (А)), что
Qnc = Q. Следовательно, Ng (4) = (Ng (Q) П Ng (4)) Ор- (Cq (4)).
Но Р s Nq (4) — силовская р-подгруппа в NG (4), а значит,
существует такой элемент tn~l е NG (4), что Рт~ s Яс (4) f|
ОШ
В таком случае Qm будет Р-инвариантной. Таким образом,
если Q е Ио (4, q), то существует сопряженная подгруппа
Qm е Ио(Р, <?)• Как мы уже видели, (Ио(Р, q))^OP'(H).
Таким образом, по крайней мере один элемент из Ио (4, q)
содержится в ОР'(Н).
Но Cq (4) = 4 X ОР' (Св (4)) и ОР'(Св(А)) характеристична
в Со(4). Далее, V нормализует 4, Со(4), ОР'(Со(4)), а потому
ОР'(Св(А))^ Н. Так как Ор^(Сс(4)) действует транзитивно
на элементах из Ио (4, q) и один из них лежит в ОР>(Н),
то (Ио (4, q)} sOP'(H). Так как 4<)£, то Ио(5, р') = ОР'(Н)
и Na(S)s Ng(Hg(S, р')) = Н, т. е. получено противоречие. □
6. СЛУЧАЙ |л(Р(Я))| = 1
Теоремы 5.2—5.5 возникли при рассмотрении случая
| л | 2. Для случая, когда F (Н) является р-группой, как
было вскоре обнаружено, подобные результаты следуют из
ZJ-теоремы Глаубермана.
Пусть G — минимальная простая группа нечетного порядка
и Н — максимальная подгруппа в G, содержащая силовскую
р-подгруппу Р группы Н, для которой ^Jf3(P)=^0. Пусть
4eW/3(P), и предположим, что F(H) есть р-группа.
Прежде всего, отметим, что Р в действительности будет
силовской р-подгруппой в G и, кроме того, Яо (Р) s Н.
Лемма 6.1. Ио(4, р') = {1} и И0(Р)<=Н.
Доказательство. Так как Н p-устойчива, то любой
элемент (Р) содержится в Ор(Н) — F(Н)^Са (F(H)).
Таким образом, Z (F (Н)) s 4 и CG (4) <= CG (Z (F (Я))) s И.
В силу леммы 3.2 имеем ОР’ (Сн (4)) s Ор> (И) = 1, а потому
СG (4) = 4. Согласно ZZ-теореме Глаубермана [9], Z (J(P)) Н.
Следовательно,
Ng (Р) S Ng (Р) = N (Z (J (Р))) = Н.
Рассмотрим теперь любое простое число q=£p. Из тео-
ремы о транзитивности 4.3 следует, что, так как Са (4) = 4,
И0(4, q) имеет лишь один максимальный элемент. Поскольку
4<jP(/Z), то H*a(F(H), q) имеет лишь один элемент, а тогда
Ио (Я, q) имеет единственный элемент Q. В силу того что
32
Т. М. Гаген
Н максимальна в G, Q^H и, значит, Q^OP(7/)=1. Таким
образом, И0(А, <7) = {1}, а потому Ие(А, р') = {1}. □
Лемма 6.2. Я — исключительная подгруппа для Р.
Доказательство. Ибо если L — другая максимальная
подгруппа в G, содержащая Р, то из леммы 6.1 следует, что
Op'(L)=l, а тогда ZZ-теорема обеспечивает равенство L =
= N (Z (J (Р))) = Н. □
Вероятно, более неожиданно, что Н в действительности
оказывается исключительной подгруппой для А.
Лемма 6.3. Н — исключительная подгруппа для А.
Доказательство. Предположим, что L —другая
максимальная подгруппа в G, содержащая А. Выберем L
таким образом, чтобы \H(]L\P было максимальным. Пусть
Q — силовская р-подгруппа в HflL, содержащая А. Если
Q — силовская р-подгруппа в Н, то Q — Ph, h^H, а потому
Ng (Q) И. Если | Q | < | Н |р, то NQ (Q) s Н в силу вы-бора L.
Таким образом, в любом случае Q будет силовской р-под-
группой группы L.
Так как OP'(L)=1 в силу леммы 6.1, то L = NG (Z (J (Q))).
Но тогда Q — силовская р-подгруппа в G, а также и в Н.
Это противоречит лемме 6.2. □
Лемма 6.4. Пусть V — элементарная абелева подгруппа
порядка р2 в Н, и предположим, что Со(х)яН для всех хе
е У*- Тогда Н — исключительная подгруппа для V.
Доказательство. Предположим, что L —другая
максимальная подгруппа в G, содержащая V, и выберем L
так, чтобы | L П И |р было максимальным. Пусть Q — силов-
ская р-подгруппа в H(]L, содержащая V. Опять Q будет
силовской р-подгруппой в L. Согласно ZZ-теореме, L =
— Ор, (L) Nl (Z (/ (Q))). Так как по предположению Ор, (L) s Н,
то W(Z(J(Q)))S=/7. Поскольку | NH (Z (/ (Q))) \р > | Q |р, мы
пришли к противоречию. □
Лемма 6.5. Пусть X £У Р, где Y-элементарная абелева
подгруппа порядка р3, |Х| = р2. Тогда И будет исключитель-
ной подгруппой для X.
Доказательство. Пусть V! есть У-инвариантная под-
группа в Qi (А) порядка р2. Положим Так как
У/СГ(Р1) является подгруппой в GL(2, р), она имеет порядок
не больше р. Таким образом, | V2|^>р2. При хеР* имеем
CG (х) £ А, а так как Н — исключительная подгруппа для А,
то CG (х) £ Я. В силу леммы 6.4 Н — исключительная под-
Некоторые вопросы теории конечных групп 33
группа для I/р Далее, при хе У* имеем CG(x) р а по-
тому CG(x)^H. Опять в силу леммы 6.4 // — исключитель-
ная подгруппа для У2. Наконец, при х е X имеем CG(x)^
ЗУ ^V2i а значит, CG{x)^H. В силу леммы 6.4 опять Н —
исключительная подгруппа для X. □
7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ 5.1
Мы вплотную приступаем теперь к теореме 5.1, получив
в § 5 и 6 теоремы единственности, достаточные для выполне-
ния этой задачи. Мы зафиксируем минимальную простую
группу нечетного порядка G, силовскую р-подгруппу Р
группы G, для которой (Р) ф 0, и максимальную
подгруппу Н группы G, содержащую TVG (Р), если G абелева,
и содержащую NG (Z (Р) П Р') Ng (^) в противном случае.
Пусть Де^О%(Р) и До = £Ш).
Мы покажем, что Н — исключительная подгруппа для Л,
и установим теорему 5.1. Заметим, однако, что в действи-
тельности мы докажем такое утверждение: Н — исключитель-
ная подгруппа для каждой элементарной абелевой р-под-
группы порядка р2, которая содержится в элементарной
абелевой р-подгруппе в Р порядка р3. В самом деле, в слу-
чае, когда F (//) есть р-группа, это совпадает в точности
с утверждением леммы 6.5. Если имеет место другой случай,
предположим, что Н — исключительная подгруппа для А s Р.
Пусть X Y Р, где Y имеет тип (р, р, р), | X | = р2. Пусть Y
нормализует подгруппу порядка р2 и V2 = Су (1Л)-
Тогда если xsV* то CG(x)^4, а потому CG(x)^//. Со-
гласно теореме 5.5, Н — исключительная подгруппа для V
Далее, при хе 7* имеем Cg(x)^V\ и, значит, Cg (х) S Н.
Так как группа V2 не циклическая, мы используем здесь
теорему 5.5 для установления того, что // — исключительная
подгруппа для УР Наконец, при х е X* получаем CG(x)3
поэтому CG\x) Н. Опять в силу теоремы 5.5 Н бу-
дет исключительной подгруппой для X.
Итак, мы теперь покажем, что Н — исключительная под-
группа для А. Мы будем говорить, что максимальная под-
группа X группы G является подгруппой исключительного
типа и что q — исключительное простое число, если F (X)
содержит элементарную абелеву ^-подгруппу G, для которой
(О |С7|><73
или
(ii) | и | = q2 и и S А е= (q).
Предположим, что Н не является исключительной под-
группой для А. Заметим, что если F (Я) есть г-группа,
2 Зак. 1280
34
Т. М Гаген
причем силовская г-подгруппа R Н удовлетворяет условию
£^<4% (R) =/= 0, то Н будет исключительной подгруппой для
каждой элементарной абелевой подгруппы U R порядка г2,
которая содержится в абелевой подгруппе V s R типа (г, г, г)
в силу леммы 6.5.
Предположим, с другой стороны, что | л (F (//)) |^2. Тогда
если U — элементарная абелева r-подгруппа в F (Н) по-
рядка ^г3 или порядка г2, содержащаяся в некотором эле-
менте из^Л?Л*3(г), из теоремы 5.3 следует, что И0(А4, л') =
= {1}, где М = СР ((/), F = F(H). Поэтому в силу теоремы 5.4
Н будет исключительной подгруппой для М. Далее, если
V е I/ г подгруппа порядка г2 и х е V*, то CG (х) 3 М,
откуда следует, что CG (х) е Н. Остается применить тео-
рему 5.5, чтобы установить, что Н ~ исключительная под-
группа для V.
Таким образом, подгруппа Н исключительного типа будет
исключительной подгруппой для очень большого числа под-
групп группы Н.
Доказательство теоремы 5.1 основано на изучении под-
групп исключительного типа. Сначала мы покажем, что
подгруппы исключительного типа в G существуют.
Лемма 7.1. Н — подгруппа исключительного типа.
Доказательство. Предположим, что Н не является
подгруппой исключительного типа. Тогда F (Н) не содержит
элементарной абелевой подгруппы порядка q3 ни при каком
простом числе q и силовская р-подгруппа группы F (Н) цик-
лическая. Покажем это. Если F (Н)р— не циклическая группа,
то, так как F (Н)р (]Р ^Р, существует V Р типа (р, р),
V F (Н)р. Но каждая такая нормальная подгруппа лежит
в некотором элементе из Действительно, пусть
А е ^^УГз (Р) и А{ А — нормальная подгруппа в Р ти-
па (р, р, р). Так как СЯ(У)ПЛ1 имеет порядок ^р2, то
V (Сн (V) П А) Р и будет элементарной абелевой группой.
Если С# (V) П Xj V, то V лежит в ^-порожденной абелевой
нормальной подгруппе из Р(й^З), в то время как при
Сн (V) П А Уимеем V Ah
Пусть Q = F (H)q, где q — простое число, q #= р. Если Р
не централизует Q, пусть R = Qj (С), где С — подгруппа Томп-
сона в Q (см. следствие 0.4). В силу теоремы 2.4 (Р, R) =^= 1.
Так как r(Q)^2, то г (R) ^2, а потому | R Пусть R =
= Р/Ф(/?). Тогда Р нетривиально действует на R и H/CH(R) —
подгруппа нечетного порядка в GL(2, q). Отсюда вытекает,
что (H/CH(R)Y будет (/-группой, а следовательно Р(]Н's
Некоторые вопросы теории конечных групп * 35
Таким образом, Р (}Н' Последнее выпол-
няется при всех q =£ Р- Так как группа Н/Сн (F (Н)р) абелева
вследствие цикличности группы F (Н)р, то Р f) Н' <=> Сн (F (Н)р)
Если Р •— абелева группа, то, согласно хорошо известной
лемме Бернсайда, слияние элементов в Р контролируется
подгруппой NG(P). Таким образом, фокальная подгруппа
(x-1xg|x^P, g е G, x8^P)==S удовлетворяет условию
S = {х~{хп \xt=P, nt=NG(P) (<= Н)) <=P(]H'^F (Я).
Поэтому, применяя гомоморфизм переноса, получаем/’ П G'
^F(H). Так как G не имеет нетривиальной р-факторгруппы,
то Р F (Н) — циклическая подгруппа. Однако в нашем слу-
чае последнее не верно.
Следовательно, Р' =/= 1. Но так как Р(]Н' F (Н), мы
должны иметь Р f\F(H) =/= 1. Пусть Z — подгруппа порядка р,
содержащаяся в F(H). Если Z^H[\H8, где g е G — И, то
выберем g так, чтобы | Н ft Н8 | было максимальным. Пусть
S — силовская р-подгруппа в Н[}Н8, и, не уменьшая общ-
ности, предположим, что S^P. Так как то Z
содержится в каждой силовской р-подгруппе из Я. Если
S = P<=H()Hs, то Р, Ре~' <=Н, а значит, Р = Р8~'\ h<= Н.
Но тогда g-'h е No (Р) s Н, g<=H, т. е. получено противо-
речие. Поэтому окончательно S cz Р.
Пусть Т — силовская р-подгруппа в NH(S). Тогда Г zd S,
а потому Ng (Г) Н в силу выбора Н8. Следовательно,
Г —силовская р-подгруппа в NG(S). Так как Р(]Н' ^F(H),
то Т' F (Я), а следовательно, Т' — циклическая подгруппа.
В силу леммы 3.4 NG(S) имеет р-длину 1.
Таким образом, NG (S) = Ор' (NG (S)) (NG (S) f] NG (Л) (сле-
дует применить аргументацию Фраттини). Так как NG (S) gt Я,
NG(T)<=H, to Op'(Ng(S))^H. Ho Op'(Ng (S)) <= CG (S) <=
^CG(Z) s Я. Полученное противоречие показывает, что если
Z<=HftH8, то g^H.
Пусть теперь х е Р, х8 е Р. Тогда Z Z (Р), а значит, Z,
Zg ^CG(x). Выберем z/eCG(Z) так, чтобы <Z, Z8 у) была
р-группой, и затем найдем такой элемент ге G, что
(z, Z8 Р. Тогда прежде всего Z, Zz Р, откуда z Н,
и, затем, Z, Z8 уг^Р, откуда g~xyz^H. Таким образом,
g~xy^H. Следовательно, х& = ху~ где y~xg^H, так как
//gCg(x). Таким образом, Я контролирует р-слияние.
Гомоморфизм переноса приводит теперь к тому, что
P[\G'<^Р[\Н'^F(И). Это противоречит простоте группы G. □
2*
36
Т. М. Гаген
Следующие несколько лемм мы посвятим изучению под-
групп исключительного типа, убедившись теперь в том, что
они существуют. Пусть в дальнейшем X всегда обозначает
подгруппу исключительного типа, a q —- исключительное про-
стое число. Пусть В = Й! (Z2 (F (X)q)). Напомним, что Н не
является исключительной подгруппой для Л, так как в про-
бивном случае все доказано.
Лемма 7.2. Либо X — исключительная подгруппа для каждой
подгруппы порядка q2 группы В, либо В — неабелева группа
порядка q3 и X — исключительная подгруппа для каждой под-
группы порядка q2 в В, которая нормальна в некоторой сило-
вской q-подгруппе группы X.
Доказательство. Если | В | q\ то каждая под-
группа V порядка q2 в В содержится в элементарной абеле-
вой подгруппе U порядка q3 группы В. Действительно, если
Z (В) eg И, то результат очевиден, а если Z (В) V, то либо
V = Z (В), и в этом случае результат тривиален (следует вос-
пользоваться тем, что экспонента В равна q), либо Z (В) cz V,
| Z (jB) | = q. Но тогда V В, так как В' ~Z (В), а значит,
В/Св(У) имеет порядок ^(/. Таким образом, \CB(V)\^q3 и
получено то, что нужно.
Если л (В (X)) = {q}, то лемма 6.5 показывает, что
X — исключительная подгруппа для V, Если л (В (X)) о {q},
то теорема 5.3 означает, что И0(М, л')= 1, где М = CF (х) (U).
Тогда из теоремы 5.4 следует, что X — исключительная под-
группа для М. Далее, если х V* £7*, то CG (х) з М,
а потому Сс(х)^Х. Таким образом, в силу леммы 5.6
X — исключительная подгруппа для V.
Можно предположить поэтому, что | В | q3. Если В — абе-
лева группа порядка q3, то применимо проведенное выше,
рассуждение. Как мы уже отмечали, X исключительная
подгруппа для некоторой (/-подгруппы группы X, поэтому X
должна содержать силовскую {/-подгруппу Q группы G! Далее,
согласно хорошо известному рассуждению, любая нормаль-
ная подгруппа V из Q типа (q, q) содержится в некотором
элементе из Таким образом, в силу замечания
в начале § 1 мы видим, что X — исключительная подгруппа
для V. Это завершает доказательство. □
Лемма 7.3. Если V Y X, где Y — подгруппа типа (q, q, q)
и \V \ = q2, то X — исключительная подгруппа для V.
Доказательство. Согласно лемме 7.2, У нормализует
некоторую (/-группу U порядка q2 и типа (q, q), для которой
V — исключительная подгруппа. Таким образом, | CY (U) |^q2.
Некоторые вопросы теории конечных групп
37
так как У/Сг (U) s GL (2, q). Если х g Cr (t/)*, то CG (х) э U,
следовательно, CG(x) X. В силу леммы 6.4 и теоремы 5.5
X — исключительная подгруппа для Сг(/7). Таким образом,
X будет исключительной подгруппой для V опять в силу
леммы 6.4 и теоремы 5.5, ибо если хе!/#, то Сс(х)зУ^
^Сг([/), а значит, CG (х) X. □
Лемма 7.4. Соответствующее подгруппе X исключительное
простое число q отлично от р.
Доказательство. Это утверждение следует из леммы 7.3,
так как X не является исключительной подгруппой для А. □
Лемма 7.5. Ни одна нециклическая подгруппа группы А
не централизует ни одну нециклическую подгруппу в В.
Доказательство. Пусть D Ло — подгруппа порядка р2,
и предположим, что V Св (£)) — подгруппа типа (q, q).
Если В — неабелева группа порядка q3, то V/Z (В) будет
нетривиальной подгруппой в В/Z (В), которую централизует D.
Но элементы из D индуцируют автоморфизмы группы В,
относительно которых инвариантна симплектическая форма
[ , ]: BjZ (В)Х В/Z (В) -> Z и, стало быть, эти автомор-
физмы имеют определитель 1. Таким образом, если В — не-
абелева группа порядка q3, то из \CB(D)\^ q2 следует, что
СВ(ТУ) = В, а потому X — исключительная подгруппа для CB(D)
в силу леммы 7.2. Если В не является неабелевой группой
порядка q3, то X — тоже исключительная подгруппа для CB(D)
в силу леммы 7.2.
Мы можем применить теперь теорему 5.5. Заметим, что
в силлу леммы 7.4 Ор' (X) =/= 1, и если xeD1, то CG (x)^CB(D).
Так как X — исключительная подгруппа для Св (£)), то CG (х)^Х.
В силу теоремы 5.5 X — исключительная подгруппа для D,
а также для Л, т. е. получено противоречие. □
Лемма 7.6. Пусть, как обычно, ЛО=Й1 (Л) и B = Q^ (Z2(F(X)q)).
Тогда
(i) СМ)= \ и | Л0| = р3;
(ii) Ло содержит такую подгруппу D порядка р2, что если
E = CB(D), то \E\ = q и NG(E)^X;
(iii) существует такой элемент d е £>*, что CG (d) X.
Доказательство. Если D — произвольная подгруппа
группы Ло порядка р2, то в силу леммы 7.5 \CB(D)\^q.
Если В — неабелева группа порядка q3, то Ло действует
на В = В/Z (В), а значит, Лр/Сд0(В) GL (2, q). Таким образом,
38
Т. М. Гаген
\ AqICaAB)\^P2* С другой стороны, если бы |Сд0(В)|^р2, то
мы получили _бы нециклическую подгруппу в Л, которая
централизует В и тем самым В в противоречие с леммой 7.5.
Следовательно, | До I = р3. Если До централизует Z (В), то До
будет индуцировать симплектическую группу автоморфизмов
группы В/Z (В), а потому некоторая подгруппа И в А типа (р, р)
будет централизовать В/Z (В) и Z (В). Отсюда следует, что V
централизует В в противоречие с леммой 7.5.
Пусть D = CaAZ (В)). Так как AQ/D aut Z (В), то Aq/D —
циклическая группа, поэтому |£)| = р2. Так как СВ(ДО)^
Св (D) = Z (В) и [До, Z (В)] =# 1, то Св (До) = 1. Значит, в дан-
ном случае E = Z(B)^X, и, следовательно, AfG(E) = X.
Наконец, так как D)Cd (В) — циклическая группа, существует
такой элемент d е D, что B^CG (d). Тогда CG (d) лежит в X,
исключительной подгруппе для В. Таким образом, результат
полностью доказан, если В — неабелева группа порядка q3.
В оставшейся части доказательства мы предполагаем,
что В является неабелевой группой порядка q3. Таким обра-
зом, X будет исключительной подгруппой для любой под-
группы группы В порядка q2.
Отметим, что образ любого неприводимого представления
группы А в векторном пространстве характеристики q ф р
цикличен. Таким образом, каждая минимальная Д-инвариант-
ная подгруппа группы Z (В) или В/Z (В) циклическая. В про-
тивном случае До имела бы подгруппу порядка р2, которая
централизует некоторую подгруппу порядка q2 в В, в проти-
воречие с леммой 6.5. Напомним, что неподвижные точки
факторгруппы В/Z (В) при действии группы А совпадают
с образами неподвижных точек группы В при действии
группы А в силу леммы 0.3. Пусть N есть Д-инвариантная
подгруппа в В порядка q2. При | Z (В) | q2 мы можем вы-
брать №Z(B), согласно теореме Машке, в то время как
при \Z(B)\ = q можно выбрать NIZ(B) в виде минимальной
Д-инвариантной подгруппы из В/Z (В).
Как и прежде, До/Сдэ(АО^бВ (2, q) и, значит, | Aq/CaAN) \^Р2-
В силу леммы 7.5 I Cz0 (Af) | р, а потому | До I = р3. Пусть
минимальная Д-инвариантная подгруппа в АГ, и положим
D = CaANi). Мы утверждаем, что D удовлетворяет заключе-
нию доказываемой леммы.
Если До централизует Afb то До индуцирует циклическую
группу автоморфизмов на N/Ny Таким образом, некоторая
подгруппа порядка р2 в До централизует N/N{ и N{. Это про-
тиворечит лемме 7.5. Поэтому D =/= До и Св(До)^Св(В)ПС(До)=®
= N't П СВ(ДО) = 1. Так как Ao/D s aut Afb то | £> | == р2. В таком
случае Е = Nx и NG (В) s N, в то же время X — исключи-
Некоторые вопросы теории конечных групп
39
тельная подгруппа для N в силу леммы 7.2. Таким образом,
Ng (Е) s X. Наконец, поскольку D централизует N{ и инду-
цирует циклическую группу автоморфизмов на N/Nb то неко-
торый элемент d^D централизует N/N{ и N{. Тогда N ^CG(d).
Но X — исключительная подгруппа для N в силу леммы 7.2.
Таким образом, CG (d) X.
Это завершает доказательство. □
Лемма 7.7. Если R — произвольная р-подгруппа группы X,
содержащая Л, то N0(R)^X.
Доказательство. Пусть Q* — максимальный элемент
из Ио (Л, q), содержащий В. Тогда Q* s X, так как X — исклю-
чительная подгруппа для В. Согласно теореме о транзитив-
ности 4.3, в этом случае каждый элемент из HG (Л, q)
содержится в X.
Заметим, что CG (Л) CG (D) X в силу леммы 7.6 (iii).
Далее, если R есть р-подгруппа в X, содержащая Л, то
(7?, q)) X и В s (7?, р)). Так как NG (7?) нормализует
подгруппу (HG (7?, qS), то NG (R) X, ибо X — исключительная
подгруппа для В. Это завершает доказательство. □
Мы теперь в состоянии привести к противоречию пред-
положение о том, что G существует. В силу леммы 7.1 мы
знаем, что Н — группа исключительного типа, а потому к ней
применимы результаты лемм 6.4, 7.5—7.7.
Лемма 7.8. Положим X = /7, и пусть Е, D, В определены,
как в лемме 7.6. Если В не является неабелевой группой
порядка q3 и S = P(] Ор\ р (77), то NH (S) NG (Е).
Доказательство. Согласно теореме 5.5, если Со (d)^H
для всех d е В*, то Н будет исключительной подгруппой
для D и для Л. Таким образом, существует элемент de В*,
для которого CG (d) Н. Пусть К — некоторая максималь-
ная подгруппа в G, содержащая CG (d). Тогда К =# Н, и
в то же время Е = Св (В) s CG (d) К.
Если К — группа исключительного типа, то ввиду Л К
мы можем применить лемму 7.7 и получить, что Р К» Но
Л — абелева нормальная подгруппа в Р, а так как Н р-устой-
чива, то Л S. Опять применяя лемму 7.7 к К, получаем,
что Таким образом, NG(S)(}H нормализует
В А К з Св (В). Если В Г1 7< =# Св Ф), то, поскольку Н — исклю-
чительная подгруппа для всех подгрупп группы В типа (р, q),
согласно лемме 7.2, отсюда следует, что Н = К, — противо-
речие. Напомним, что по предположению В — ненеабелева
группа порядка q3. Таким образом, B(]R = CB(D) нормали-
зуется подгруппой Ng(S).
40
Т. М. Гаген
Следовательно, можно предположить, что К не является
группой исключительного типа. Мы получим отсюда про-
тиворечие. :
Покажем сначала, что Е централизует F(K)q'. Действи-
тельно, если г — такое отличное от q простое число, что
[Е, F (К)г] ф 1, то F не содержит элементарных абелевых
подгрупп порядка г3. Так как А нормализует Е, можно рас-
смотреть действие ЕА на F (К)г- Используя уже зна-
комое теперь рассуждение с обращением к подгруппе Томп-
сона, убеждаемся в том, что гомоморфный образ ЕА группы ЕА
будет подгруппой в GL(2, г). Но тогда ЕА как подгруппа
нечетного порядка в GL (2, г) абелева, поскольку коммутант
любой такой подгруппы есть r-группа и Е<]ЕА. Следова-
тельно, [Е, Д] Е П CG (F (К)г). Таким образом, либо Ее
^C0(F(K)r), либо [Е, Д]=1. Последняя возможность не
реализуется в силу леммы 7.6, ибо Св (До)=1. Таким обра-
зом, Е централизует F (K)q'.
Далее, если F (K)q' = F (К), то получаем противоречие,
потому что тогда E^CG(F (К)) Е (К).
Так как, согласно лемме 7.6, NG(E) Н, то Е К. Таким
образом, EF(K)qC\H з Е (CQ (Е) П F (K)q) => Е, поскольку
\E\ = q, a EF(K)q(]H, будучи нециклической группой не-
четного порядка, содержит некоторую элементарную абелеву
(/-подгруппу Q порядка q2. Кроме того, как мы только что
показали, [Е, Е(К)^]=1, в то время как [F(K)qi Е(К)^] = 1
очевидным образом. Таким образом, [Q, Е(К)^]=1. Но
F (K)q' ^Cq(E) Н. Если бы некоторый элемент порядка q
из. Сн (Q) не лежал в Q, то Q содержалась бы в подгруппе
типа (q, q, q) из Н и, согласно лемме 7.4, Н была бы
исключительной подгруппой для Q. Это, однако, не так
в силу того, что Q К. Таким образом, мы получаем, что
F (K)q' Н нормализует QB и централизует подгруппу Q,
в централизаторе которой содержатся все элементы порядка q.
Применяя лемму 2.2, убеждаемся в том, что [F(K)q', В] = 1.
Поэтому N (F (K)qf) В. Но Н — исключительная подгруппа
для В. Следовательно, К = N (F (К)/) Н, кроме случая,
когда F(K)<7'=1 и F (К) является (/-группой. Но тогда F (К)
не содержит подгрупп типа (q, q, q). Пусть С —подгруппа
Томпсона в F(K)q. Тогда СК(С) есть (/-группа и, как обычно,
К1Ск (С) GL (2, q), где С = С/Ф(С). Таким образом, /С
имеет нормальную силовскую (/-подгруппу F(K). НоД^К
действует точно на F(K)f что невозможно, так как Д — это
Некоторые вопросы теории конечных групп
41
3-порожденная группа и F (К) не имеет подгрупп типа (q, q, q).
Это завершает доказательство. □
Лемма 7.9. Без потери общности можно предполагать,
что существует такой элемент z е Z (Р), что Со (г) Н.
Доказательство. Пусть, как обычно, В=О>{ (Z2 (Р
Если В — неабелева группа порядка q3, то СЛ(В)#=1, так
как А содержит некоторую подгруппу типа (р, р, р). Кроме
того, Если группа Р абелева, выберем zeeCa(B).
Тогда Со (г) Э В, поэтому CG (г) Н будет исключительной
подгруппой для В. Если Р неабелева, выберем z^P' П2(Р).
Поскольку Р/СР(В) есть р-подгруппа в GL(2, q), где р не-
четно, то группа Р/СР{В) абелева. Таким образом, z^CP(B),
а, значит, С0(г)зВ, откуда CG(z)^H. Следовательно, при
неабелевой группе В порядка q3 все доказано.
Поэтому можно теперь применить лемму 7.8. В резуль-
тате получим, что Р нормализует E = CB(D), r&e\E\ = q.
Таким образом, Р' централизует Е. Далее, [Ло, Е] =/= 1,
согласно лемме 7.6, а потому | Сд0(£) 1 = р2. Здесь, как обычно,
Л0 = О1(Л). В силу леммы 7.6 | Ло I == р3-
Если группа Р абелева, можно выбрать z—d в лемме 7.6 и
лемма 7.9 будет доказана. Если Р' П 2 (Р) — нециклическая
группа, то, поскольку по лемме 7.5 порядок централизатора лю-
бой 2-порожденной подгруппы из Л в В не больше р, мы убеж-
даемся, что Св (Р' П 2 (Р)) = Е. В таком случае можно . вы-
брать D так, чтобы она лежала в Р' Q Z (Р), без потери общ-
ности, и тогда при некотором d D будем иметь CG (d) Н.
Остается рассмотреть случай, когда Р' Г) 2 (Р) —- циклическая
группа. Но Н была выбрана в начале § 7 как максимальная
подгруппа, содержащая N (Z (Р) А Р') з NG (Р), если группа Р
неабелева. Таким образом, если 2^Z(P)QP/, то Co(z) Н.
Это завершает доказательство. □
Доказательство теоремы 5.1 закончится теперь очень
быстро.
Лемма 7.10. Если А^ Н [\Н8, то g^H.
Доказательство. Пусть Р —силовская р-подгруппа
в Н(]Н8, содержащая А. Тогда R¥=P, потому что при
Р (]Н8, мы имели бы Р, Р8 1^Н. Таким образом,
Р = Р8 h при некотором Н, а потому g~lh е NG (Р) Н.
Следовательно, g е Н, т. е. получено противоречие. Значит,
NQ (Р) Н. Но применение леммы 7.7 показывает, что
N0(R)<=H. □
42
Т. М. Гаген
Лемма 7.11. Если z^P — такой элемент, что СG(z) Н,
то он лежит в единственной сопряженной с Н подгруппе
группы G.
Доказательство. Среди всех элементов g е G, для
которых z е Н Г) Нё, g ф. Н, выберем такой, чтобы | Н р Нё |р
было максимальным. Пусть S —силовская р-подгруппа
в Н[]Нё, содержащая z. Не уменьшая общности, можно
предположить, конечно, что S Р. Кроме того, S =/= Р, так
как Н содержит NG(P). Пусть S cz Т ^Р — силовская р-под-
группа в NH(S). Поскольку Г ZD S, то Т должна быть силов-
ской подгруппой в Nq(S). В противном случае мы могли
бы найти такую р-подгруппу что Т\ qLH, а тогда
при х^Т\ — Н мы имели бы Т Н (]НХ, в то время как
Т =э S. Пусть U = Т П Ор>, р (NQ (3)).
Имеем N0(S)<£H, так как S=/=P. В силу леммы 7.10
отсюда следует, что A&S. Таким образом, (S) zd 3.
При n^NA(S) имеем [S, п, п]=1, а поскольку NG(S)
p-устойчива, то n<=Op(N (U) (]NG(S) mod CG(U)(] N0(S)). Ho
CG (t/) n Nq (3) s Op', p (NG (3)), потому что нормализатор NG (S)
p-скован. Таким образом,
NA(S)^Op\p(NG(S))(]P = U.
Отсюда следует, что U zd S, а значит, NG (О) s Н в силу
максимальности S.
Но ^(S) = 0p'(^(S))(Af(0)n^G(5)). Так как OP'(NG(S))<=
е CG (S) CG (z) H, нужное противоречие получено,
а именно NG(S)^H. Это завершает доказательство. □
Лемма 7.12. Н/Н' есть р'-группа.
Доказательство. Предположим, что а^Р и аё^Р
при некотором g^G. Тогда, если z^Z(P) выбран так, что
CG(z)^H по лемме 7.9, мы имеем z, zg~l ^CG(a). Суще-
ствует такой элемент x^CG(a), что (z, zg~ix) будет р-груп-
пой. Таким образом, можно найти такой элемент y^G,
что (z, zg~lx)y Р. Но тогда из z, zy Р что у е Н,
согласно лемме 7.11. Значит, zg~'x^H, а потому g~xx g Н.
Тогда ag = ax~ g и x~lg^H. Таким образом, с помощью
гомоморфизма переноса можно показать, что наибольшая
р-факторгруппа группы G изоморфна наибольшей р-фактор-
группе группы Н. Так как G проста, то Н/Н' должна быть
р'-группой. Это завершает доказательство леммы 7.12. □
Некоторые вопросы теории конечных групп
43
Лемма 7.13. \Н1Н'\ делится на р. Следовательно^ Н~
исключительная подгруппа для А.
Доказательство. Действительно,. положим, S = Р П
ПОр' р(Н)- Согласно лемме 7.8, либо Мн($) нормализует Е,
либо | В | = | Й! (Z2 (F (Я).)) | = q3. Если NH (S) <= NG (Е), то NG (S)
имеет нетривиальную ' р-факторгруппу, потому что NG(E)
имеет ее. Напомним, что А не централизует Е, согласно
лемме 7.6 (i). Это, однако, невозможно, потому что Н =
= ОР'(Н) Nн (S). С другой стороны, если \B\ = q3, то, пола-
гая В = В/Z (В), будем иметь Н/Сн (В) GL (2, q). Опять А
не централизует В, а значит, Н/Сн(В) не является р'-груп-*
пой. Но так как она подгруппа в GL(2, q) при р =/= р, то
р\\Н/Н'\. □
8. pV-TEOPEMA БЕРНСАЙДА ДЛЯ НЕЧЕТНЫХ р, q
Эта теорема была опубликована в [10] и доказательство
ее принадлежит Голдшмидту. Оно многим, однако, обязано
работе Бендера, так как основано на идеях, развитых им
при доказательстве теоремы единственности. Конечно, тео-
ремы из § 5 — 7 очевидным образом непосредственно при-
менимы в данном случае, ибо в них рассматривается строе-
ние минимальной простой группы нечетного порядка.
Теорема 8.1. Если G — группа порядка paqb, где р, q —
нечетные простые числа, то она разрешима.
Доказательство. Пусть G — минимальный контрпри-
мер. Тогда, очевидно, G — минимальная простая группа не-
четного порядка. Пусть Р — ее силовская р-подгруппа,
a Q —ее силовская ^-подгруппа.
(i) Ио(/?, г') = {1} для любой силовской г-подгруппы
группы G.
Действительно, если X^HG(R, г'), то существует силов-
ская /-подгруппа /?', содержащая X. Тогда
= Xw = X* s R'
и Х° — собственная нормальная подгруппа в G.
Пусть Н — некоторая максимальная подгруппа в G.
(ii) Если | зт (F (//)) | = 2, то группа F (Н) нециклическая.
Действительно, если г = max (р, q),. то, очевидно, Н =
= CH(F(H)r') и CG(F(H)r) = CG(F(H))^F(H) в предполо-
жении, что группа F (Н) циклическая.
Таким образом, силовская r-подгруппа группы Н либо
циклическая и содержится в F (77), либо неабелева и
44
Т. М. Гаген
метациклическая. В обоих случаях H=NG (Z), где Z=Q{ (F(H)r).
Но Z характеристична в Нп а потому силовская г-подгруппа
группы Н будет силовской подгруппой группы G. Это про-
тиворечит (i).
(iii) F (Н) есть r-группа для всех максимальных под-
групп Н.
Согласно теореме 5.4, // — единственная максимальная
подгруппа в G, содержащая Z (F (//)). Пусть V S F (//) — под-
группа типа (г, г). Тогда при V* имеем CG(x) 3 Z (F (//)),
а потому CG(x) Н. Согласно теореме 5.5, // — единствен-
ная максимальная подгруппа в G, содержащая V. Тогда
очевидно, что Н будет содержать некоторую силовскую
r-подгруппу группы G; это противоречит (i).
(iv) Каждая силовская r-подгруппа R группы G содер- ;
жится в единственной максимальной подгруппе М s G, и
каждая максимальная подгруппа группы G содержит силов-
скую r-подгруппу группы G для некоторого г.
Действительно, M = NG(Z (J (/?))), так как F (М) есть
/•-группа для некоторого простого числа г.
(v) Пусть R — силовская r-подгруппа группы G и М —
исключительная подгруппа, содержащая R. Тогда М будет
исключительной подгруппой для Z (/?).
Действительно, предположим, что Z (/?) s М{ =/= М, при-
чем Mi максимальна в G. Выберем Mi так, чтобы число
| Mi f] М |г было максимальным. Пусть /?! — некоторая силов-
ская r-подгруппа в Mi Г) М, R{^Z (R). Беря сопряженную
к посредством подходящего элемента из М, можем пред-
полагать, что R. Согласно (iv), Ri =# R. Так как
I Ng (#i) I > I I, то выбор M{ обеспечивает включение
Ng (Ri) M. Следовательно, Ri будет силовской /--подгруп-
пой в М{. Но тогда в силу (iv) Mi содержит силовскую
/-подгруппу R'. Поэтому при g^G имеем Alf = Mf, x^R,
так как G = R'R, R' <^М{.
Таким образом, Z (R) П Mf<|G.
g €= G
(vi) Существуют такие силовские r-подгруппы R%
группы G, что Ri fl R2 = 1.
Действительно, пусть М — исключительная подгруппа для
Ri, Z(Ri). Выберем R2^M так, чтобы |/?2П^1 было мак-
симальным. Пусть /?2АМ —S. Без потери общности мы
можем предполагать, что Следовательно, No (S) 3
3 Z (Ri), а потому No (S) s М при S =# 1. Но включения
SczjRb SczjR2 очевидным образом показывают, что Ng(S)<=EM.
Теорема 8.1 получается теперь непосредственно. Дей-
ствительно, можно выбрать rc = max (ра, qb). Тогда суще-
Некоторые вопросы теории конечных групп
45
ствуют такие силовские r-подгруппы /?2, что Г|Т?2 = !•
При этом | G | | 11 /?21 = r<lc > paqb = | G | — противоречие! □
9. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО МАЦУЯМЫ pV-ТЕОРЕМЫ ПРИ р = 2
Лемма 9.1. Если G есть р-группа и H^G, то либо Н ^G,
либо Ng (Н) =>Нх xs=G.
Доказательство. Группа Н действует на множество
5 всех сопряженных подгрупп Нх, отличных от Н (хе G),
посредством сопряжения. Если 5=0, то Н G. Так как
I {Н} и S | = [G : Ng (Н)] =# 1 при Н G, то р Л S |. Поэтому
существует подгруппа Нх У= Н, такая, что HX<^NG(H). □
Теорема 9.2 [18]. Если G — группа порядка 2aqb, то она
разрешима.
Доказательство. Пусть G — минимальный контрпри-
мер. Очевидно, что G — минимальная, простая группа. Со-
гласно доказательству п. (i) теоремы 8.1, никакая силовская
r-подгруппа в G не нормализует никакую нетривиальную
г'-подгруппу.
(i) Если Н — такая максимальная подгруппа в G, что
л (F (//)) = {2, р}, то F (Н) содержит подгруппу типа (г, г) при
некотором простом числе г.
Действительно, в противном случае группа F (Н)2 была бы
циклической или кватернионной, в то время как F(H)P — цик-
лическая группа. Если F (Н)2 циклическая, то Нр s Сн (F (Н)2),
а потому Z (Нр) Сн (F (Н)) F (Н). Таким образом, Z (Н)р < Н
и Z (Нр) характеристична в Нр. Отсюда следует, что Нр — си-
ловская р-подгруппа в G, т. е. получено противоречие.
Если F(H)2 — кватернионная группа, то, так как группа
H/CG(F (Н)р) абелева, //2 CG (F(H)P). Таким образом,
Z (Н2) П Н2 s CG (F (Н)) F (Н). Пусть Z — единственная под-
группа порядка 2 в F(H). Тогда она характеристична
в Z (Н2) П Нъ, а та в' свою очередь характеристична в Н2.
Поскольку Н = NG(Z), опять получаем, что Н2 есть 2-под-
группа в G, т. е. приходим к противоречию.
(ii) Если // — такая максимальная подгруппа группы G,
что л (F (Н)) = {2, /?}, то это единственная максимальная под-
группа в G, содержащая Z(F(H)).
Действительно, пусть R Z максимальна в G, Z = Z (F (Н)).
Прежде всего, Zp s Ор (N к (Z2)), а значит, Zp^Op(K) в силу
леммы 3.2. Таким образом, [Zp, F(K)2] = l. Следовательно,
F (К)2 s Ng (Zp) — Н. Аналогично получаем, что F (К)р Н.
Д&лее, F (К)2^ 02(Нн (F (К)р)) F (Н)2 снова в силу лем-
мы 3.2. По симметрии F (Н)2^ F (К)2 и Н = К. .
46
Т. М. Гаген
(iii) Если // — максимальная подгруппа в G, то F(H)
есть г-подгруппа при некотором простом числе г.
Пусть V F (Я) — подгруппа типа (г, г) (см. п. (i)).
Тогда при хеУ* имеем CG (х) Z (Е(Я)), а потому
CG(x)^H по п. (И). Пусть /? з V — силовская г-подгруппа
группы Я. Пусть S есть /?-инвариантная г'-подгруппа в G.
Тогда S = (х) |х е V*). Таким образом, S Я. Поскольку
H = RSh где Si — силовская г'-подгруппа в Я, содержащая
S, то SH = SRS' — SS} Si будет нормальной г'-подгруппой
в Я. Таким образом, S^F(H)r,. Следовательно, F (Н)г,—един-
ственная максимальная /^-инвариантная г'-подгруппа в G.
Если где /?1 — силовская r-подгруппа в G, то Я^(7?)
нормализует F (Н)г„ а потому лежит в Я. Следовательно,
R = Ri — силовская подгруппа в G, т. е. мы получили про-
тиворечие.
(iv) Существует такая максимальная подгруппа Л1, что
7Wf)Z(P)#= 1, M(]Z (Q) y= 1, где Р — силовская р-подгруппа
группы G, a Q — силовская 2-подгруппа этой группы.
Действительно, пусть Z — класс сопряженности инволю-
ций группы G, содержащий некоторый элемент х из Z (Q).
Тогда существует такой элемент у е Z, что (х, у} не явля-
ется 2-группой в силу теоремы 1.1. Таким образом, порядок
элемента ху делится на р. Пусть Я — единственная под-
группа порядка р в {ху}. Фиксируем некоторую максималь-
ную подгруппу М в G, содержащую NG (Я). Имеем М Q Z (Q)=#
#= 1, и в то же время, очевидно, Z (Р) NG (Я) М, где
Р — силовская р-подгруппа, содержащая Я.
Мы можем теперь закончить доказательство теоремы 9.2.
Пусть М — максимальная подгруппа в G, удовлетворяющая
условиям п. (iv). В силу п. (iii) F(M) есть г-группа.
Пусть R 3 Мг — силовская r-подгруппа группы G и S Мг< —
силовская г'-подгруппа в G. Имеем Z (R) CG (F (M)r) s F (М).
Выберем х е М Q Z (S), и пусть Яо = <Z (R)x | i е Z>. Очевидно,
что Nq s F (М) является г-группой. Пусть Q={Z (R)y | у g G) -
= Qj U Н2 U ... U й5,где Qj есть (х)-орбита в Q.
-Пусть Ni = {Qi}. Так как G = /?3, то существует такой у е S,
что Z {R)v а потому
Nt = <Z (R)yxi \i^Z} = {z (R)x‘y \i^Z) = Ny.
Таким образом, будет г-группой, нормализуемой
подгруппой {х}. Выберем такое максимальное 19 что Я =
= ^Qfi, . есть г-группа, нормализуемая {х}. Предпо-
ложим для простоты , что Я = (йь ...,QZ). Очевидно, что
хе Ng (Я). Пусть Т — силовская г-подгруппа в G, содержа-
Некоторые вопросы теории конечных групп
47
щая N. По лемме 9.1 либо #<]Г, либо существует под-
группа Nz =# N, такая, что Nz s NG (N), z^T.
Если N T, то, поскольку G = ST, любой G-сопряженный
kxgZ(S) будет Г-сопряженным, а значит, (xG}^NG (N) cz G,
т. e. получено противоречие.
Если (N) N* =# N, z^T, то, так как Qf U ... (J N,
существует такой элемент s e S, что Z(R)s Nz и Z (/?)5 .
Предположим, что Z (R)s e Qz, i > /. Тогда Nt NG (N) x),
а потому NG(N)^Z(R)S. Далее, AW, есть r-группа, норма-
лизуемая элементом х и порождаемая подгруппами Qi,...
..., Qz, Qz, т. е. мы пришли к противоречию. Это завершает
доказательство. □
10. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПОДГРУППЫ ФИТТИНГА
Определение. Для любой группы X и ее подгруппы Фит-
тинга F (X) определим F* (X) как soc (F (X) Сх (F (X)) mod F (X)),
где soc означает цоколь. Обозначим через Е(Х) последний
член в производном ряде группы F* (X).
Нетрудно убедиться, что F (X) Сх (F (X))/F (X) не имеет раз-
решимых нормальных подгрупп. Действительно, в противном
случае мы смогли бы выбрать такую р-группу P^Cx(F(X)),
что PF (X)/F (X) была бы минимальной нормальной подгруп-
пой в XIF(X), а тогда PF(X) была бы нильпотентной нор-
мальной подгруппой в X. Таким образом, F(X)Cx(F(X))/F (X)
не имеет нормальных подгрупп и ее цоколь является прямым
произведением неабелевых простых групп. Легко видеть, что
F* (X) = F (X) Е (X) и Cx(F(X))^F*(X). Так как на самом
деле это свойство группы F* (X) наиболее важное — причем
оно очевидно для случая, когда X разрешима, — мы проверим
его в следующей лемме.
Лемма 10.1 (a) F* (Х) = F (X) Е(Х).
(b) [F(X), Е(Х)]=1.
(с) СНПХ)) с=Г(Х).
Доказательство. Утверждение (а) очевидно.
(Ь) Группа F (X) Сх (F (Х))/Сх (F (X)) как гомоморфный
образ нильпотентной группы разрешима. Таким образом,
Е (X) = (F* (Х))°° <= (F (X) Сх (F (Х)))°° <= Сх (F (X)).
(с) Пусть Сх (F* (X)) ф F* (X). Тогда Сх (F* (X)) F (X)IF (X) <
< Сх (F (X)) F (X)/F (X) _и Сх (Г (X)) П Г (X) = Z (F* (X))
£р(Х). Таким образом, имеем Сх (F*(Х)) F (X)/F (X) Г)
л F* (X)/F (X) = 1. Мы видим поэтому, что существует мини-
мальная нормальная подгруппа в F (X) Сх (F (X)))F (X), которая
48
Т. М. Гаген
пересекается с F* (X)/F (X) по единице. Это, очевидно, невоз-
можно, поскольку F* (X) = soc(F (Х)Сх (F (X))mod F (X)). Это
завершает доказательство. □
Так как, согласно лемме 10.1 (b), [F (X), Е (X)] = 1, то
F (X) П Е (X) Z (Е (X)). Кроме того, Е (X)/F (X) П Е (X) s
= F* (X^F (X) —- прямое произведение неабелевых простых
групп. Таким образом, Z (Е (X)) = F (X) И Е (X). Далее,
Е (X)/Z (Е (X)) будет прямым произведением неабелевых
простых групп St/Z (Е (X)), 1 i п. Определим Et = S{i°\
Группа Et квазипроста, т. е. EilZ(Ei)— неабелева простая
группа. Группы Et называются компонентами группы X.
Вместо EJZ (Et) мы часто будем, писать Ez.
Лемма 10.2. (a) [Eit Ej] = 1 при i #= /.
(b) Е(Х) = Е1 ... Еп.
Доказательство, (a) [Ez, EJ Z (Е(X)), так как
Е (X)jZ (Е (X))—прямое произведение групп EtZ (Е (X))/Z (£ (X)).
Таким образом,
[Eif Eh Ei]= 1 при i =# /.
Из леммы о трех подгруппах следует, что [Ez, EifEj]==l.
Так как Ez— совершенная группа, то [Eit Ej]—\.
(b) Очевидно, что Е (X) = Ех ... EnZ (Е (X)). Следовательно,
Е(Х) = Е(Х)' = (Е1 ... £„)' = £! ... Еп.
Это завершает доказательство. □
Наиболее замечательное свойство групп Et содержится
в следующей лемме. Там мы убедимся, что любая ^--инва-
риантная разрешимая подгруппа группы X (!) должна на самом
деле централизоваться подгруппой Е}.
Лемма 10.3. (а) Сх (Et mod Z (Е (X))) = Сх (Et) для любой
компоненты Et группы X.
(Ь) Любая Е^инвариантная разрешимая подгруппа S группы
X централизуется подгруппой Et.
Доказательство, (а) Пусть х(Ez mod Z (Е (X))).
Тогда [Ez, х]^ Z (Е (X)), а потому [Ez, х, EJ = 1.
Лемма о трех подгруппах приводит к равенству [Ez, Ez, х] = 1
и из совершенности Ez следует, что [£z, х] = 1. Таким образом,
Сх (Е^ mod Z (Е(Х))) Сх (Е^. Обратное включение очевидно.
(Ь) Пусть S — разрешимая Егинвариантная подгруппа в X.
Тогда [Е^, S]^E(X)H S. Кроме того, Е(X) И S — разрешимая
Егинвариантная подгруппа в Е (X). Рассмотрим образ Е (X) П S
в Е (X)/Z (Е (X)), прямом произведении неабелевых простых
Некоторые вопросы теории конечных групп
49
групп X • • • XErt, а также проектирующие отображения Яу :
Е (X)/Z (Е (X)) -> Ez. Тогда_ л7 ((£ (X) П S) Z (Е (X))/Z (Е (X)))
обязательно коммутирует с Ez при /=/=/.
С другой стороны, Л/ ((Е (X) П S) Z (Е (X))/Z (Е (X))) — разре-
шимая нормальная подгруппа неабелевой простой группы Et.
Таким образом, (Е (X) П S) Z (Е (X])IZ (Е (X)) централизует Ez,
а потому Е (X) П S коммутирует с Ez по модулю Z (Е (X)).
Согласно лемме 7.3 (а), Е (X) П S на самом деле централизует Ez.
Таким образом, [Ez, S, Ef] = 1. Лемма о трех подгруппах
при Ei = Et показывает, что [Ez, S]=l. Это завершает
доказательство. □
Значительный интерес будут представлять субнормальные
подгруппы в Е*(Х). Следующая лемма показывает частично,
как они устроены.
Лемма 10.4. Пусть S<]<] F*(X). Тогда
(a) E(S) = E(X)nS;
(b) S = (F (X) П S) (Е (X) П S) = F (S) Е (S).
Доказательство. Имеем F (X) П S s F (S). Пусть S —
== So<] ••• <1 Srt = F*(X). Тогда с помощью индукции полу-
чаем, что F(S)^F(SZ) при всех i = 1, 2, ..., п, а значит,
F (S) F (X) П S. Это доказывает свойство (а).
Следовательно, S/F (S) = S/F (X) П S = SF (X)/F (X) - суб-
нормальная подгруппа в F*(X)/F(X), поэтому она будет
прямым произведением неабелевых простых групп или единич-
ной подгруппой. Таким образом, S/F (S) = (S/F (S))(OO) =
= S(°°) F (S)/F (S) и S = S(°°) F (S). Тогда получаем, что Е (S) £=
S(OO) s F* (Х)(ОО) Г) S = Е (X) f] S. Пусть черта сверху означает
естественный гомоморфизм по модулю F (S). Имеем Е (X) П S S
^Cs(F(S)), и Е(Х)П5 будет нормальной подгруппой в S,
прямом произведении простых групп. Поэтому £ (X) П S s
<= E(S) и Е(S) с= S<°°) Е(X) П S <= Е(S) F(S). Отсюда следует,
что S = Е (S) F (S) = (Е (X) n S) (F (X) f] S).
Это завершает доказательство. □
Лемма 10.5. Пусть S<] < F*(X). Тогда
(a) A/’f* (X) (S) <] <1 F*(X);
(b) при Cf* (X) (S) S имеем E(S) = E(X).
Доказательство. Применяя лемму 10.4, получаем,
что S = Е (S) F (S) = (Е (X) П S) (F (X) П S). Очевидно, Е (X) £
Nx (Е (X) П S) П Сх (F (X) П S). Таким образом, Е (X) Nx (S)
и (а) следует из нильпотентности F(X).
50
Т. М. Гаген
Для проверки (Ь) мы покажем, что E(X)^S, откуда
искомый результат будет следовать по лемме 10.4. Предпо-
ложим, что —- компонента группы £_(Х), не содержащаяся
в_5._Тогда при Ёх = E{F (X^F (X} и S = SF(X)/F(X) имеем
[Еь 5] = 1. Следовательно, [£ь S] F (X) П Е (%) = Z (Е (X)).
Можно применить лемму 10.3 (а) и получить, что [Bb S] = 1.
Это противоречит включению Cf* <x)(S) S. □
Лемма 10.6. Пусть Л << Хи А = Е(А). Тогда AtQE(X).
Доказательство. Пусть А = Ло< .. .< Ап < An+l = X.
При п = 0 результат верен в силу того, что [Л, F (X)] s F(X)(]
П Л Z (Л), а потому [Л,/?(Х)] == 1, как показывает стан-
дартное рассуждение.
Предположим, что А Е (Ап) X. Тогда [£ (Лп), F(X)]s
<= F (X) f] Е (Лп) с Z (£ (Лп)). Таким образом, [Е (Ап), F (X)] = 1
и Е(Ап)<=Е(Ап+1). □
Лемма 10.7. Пусть А, В = X и F* (Л) Л В << F*(A). Тогда
F* (Л) П В s F* (Л П В). Кроме того, если В Л, то F* (Л) П В =
= В* (В).
Доказательство. Очевидно, что F(Л) ЛВ sF(Л ПВ).
В силу леммы 10.4
F* (Л) П В = (F* (Л) Л В П F (Л)) (В* (Л) П В Л Е (Л)) =
= (F (Л) Л В) (Е (Л) Л В).
Далее, Е (Л) ЛВ^В* (Л) Л ВО О В* (Л). Таким образом (В (Л)Л
Л В) В (A)/F (Л) — произведение компонент группы В* (A)/F (Л).
Пусть Ei — некоторая компонента группы В* (Л), содержа-
щаяся в (В (Л) Л В) В (Л). Тогда В, <= ((В (Л) Л В) В (Л))(оо) s
2 В (Л) Л В и Ei нормализует В (Л Л В), разрешимую под-
группу группы Л. Таким образом, Bi централизует В (Л Л В).
Отсюда следует, что В] 5= В* (Л Л В).
Кроме того, если В Л, то В* (Л) Л В s В* (В). Напротив,
F(B) = F (Л) Л В S В* (Л) Л В. Так как В (В) О О Л в силу леммы
10.6, то В (В) £= В (Л) Л В. Следовательно, В* (Л) Л В = В* (В). □
Лемма 10.8. Пусть U — произвольная подгруппа в X. Тогда
В(Х) = (С0(В)ЛВ(Х))[В(Х), В].
Доказательство. Имеем [В (X), В] В (X). Пусть-
Bi — компонента группы В(Х), не содержащаяся в[В(Х), В].
Мы покажем, что Ei CG (U). Так как [Вь В] = [В (X), В],
то [В1( В] S CG (Bi). Таким образом, [Вь В, BJ = 1 и по лемме
о трех подгруппах имеем [Вь В] = 1. Это завершает доказа-
тельство. □
Некоторые вопросы теории конечных групп
51
11. ГРУППЫ С АБЕЛЕВЫМИ СИЛОВСКИМИ 2-ПОДГРУППАМИ
Характеризация конечных групп с абелевыми силовскими
2-подгруппами была получена Уолтером в [22], [23]. Новый
подход был предложен Бендером в [5]. В этом параграфе
мы начинаем изложение классификации Бендера групп с абе-
левыми силовскими 2-подгруппами. Оно опирается на харак-
теризацию, также принадлежащую Бендеру, групп, которые
имеют сильно вложенную подгруппу. Существует много экви-
валентных формулировок этого понятия. Для наших целей
достаточно следующего определения.
Определение 11.1. Подгруппа Н четного порядка группы G
сильно вложена в G, если Н ф G и Н [\НХ имеет нечетный
порядок для всех x^G — Н.
В статье [4] Бендер охарактеризовал все конечные группы,
которые имеют сильно вложенную подгруппу. Неабелева про-
стая группа G, имеющая сильно вложенную подгруппу, изо-
морфна SL(2, 2"), Sz(22rt+1) или t/3(2n) при подходящем п.
Здесь SL (2, 2") обозначает группу всех (2 X 2)-матриц с опре-
делителем 1 и коэффициентами в поле из 2П элементов.
Группы Sz(22n+1), t/3(2") обозначают соответственно простую
группу Судзуки (см. [20]) с номером и проективную
специальную 3-мерную унитарную группу над полем из 22л
элементов.
Нас интересуют сейчас группы с абелевыми силовским
2-подгруппами. Из перечисленных выше трех классов групп
лишь группы SL (2, 2п) = £2 (2П) имеют абелеву силовскую
2-подгруппу. Известные группы, имеющие абелевы силовские
2-подгруппы, в действительности включают в себя еще три
класса групп. Проективные специальные линейные 2-мерные
группы i2(7), где <7 — степень нечетного простого числа, при-
чем # = ±3 (mod 8), все имеют силовские 2-подгруппы, являю-
щиеся элементарными абелевыми группами порядка 4. Про-
стая группа Ji Янко [16] и все простые группы Ри G\(q), где
^ = 32n+1, n 1, [19] имеют элементарные абелевы силовские
2-подгруппы порядка 8.
Открытым остается вопрос, не исчерпывает ли этот список
•все группы с абелевыми силовскими 2-подгруппами. Группы
Янко и Ри являются, конечно, наиболее интригующими
в приведенном списке. Они имеют единственный класс со-
пряженных инволюций, и если / — одна из них, то центра-
лизатор С(/) изоморфен </>Х£, где E^L^q) и q нечетно.
Отсюда, конечно, следует, что q = ± 3 (mod 8), так как в про-
тивном случае силовская 2-подгруппа не была бы абелевой.
Мы определим теперь JR (Янко — Ри)-группы.
52
Т. М. Гаген
Определение 11.2. Простая группа G с абелевой силов-
ской 2-подгруппой называется //^-группой, если она содержит
такую инволюцию /, что CG (/) = {t) X Е, где L2 (q) Е <=
РГЬ (2, q) и q нечетно.
Отсюда следует, что [E:L2(q)] нечетно, так как в против-
ном случае силовская 2-подгруппа не была бы абелевой.
Нетрудно убедиться в том, что //^-группа имеет единствен-
ный класс сопряженных инволюций, а поэтому группы /ь
Gz(q), q = 33n+\ п^\, являются группами типа JR.
Уолтером [22] было показано, что в группе типа JR
группа £, появляющаяся как существенное дополнение в цен-
трализаторе инволюции, на самом деле изоморфна L2(q).
Кроме того, если G — простая группа с инволюцией /, для
которой С0(/) = (/)Х£, где E = L2(q), q = ±:3 (mod 8), то
либо q — 5, и тогда G = /b согласно [16], либо g=32n+1, п^ 1,
согласно [17]. В более ранней статье [24] Уорд показал, что пол-
ностью определена таблица характеров группы G, а Янко и
Томпсон [17] показали, что 3-силовский нормализотор группы G
имеет однозначно определенное строение. Дальнейшие резуль-
таты были получены Томпсоном [21], но окончательное опреде-
ление таблицы умножения группы G все еще ускользает от нас.
Таким образом, простая группа типа JR либо совпадает с одной
из групп G^q), либо является новой простой группой
с той же самой таблицей характеров (а потому) и порядком,
что и у G2(^), и очень похожим строением.
Определение 11.3. Группа G с абелевой силовской 2-под-
группой называется А*-группой, если она имеет нормальный
ряд 1 s N М G, где N и G/M — группы нечетного по-
рядка и М/N является прямым произведением 2-группы и про-
стой группы типа L2(q) или JR.
Замечание. Наше определение //^-группы лишь слегка
отличается от определения Бендера [5]. Его определение тре-
бует (и его доказательство существенно использует это),
чтобы централизатор инволюции в простой группе G типа JR
был максимальной подгруппой этой группы. Это свойство сле-
дует из определения 11.2 и будет доказано в лемме 12.2 ниже.
Мы сформулируем теперь основную теорему Бендера [5].
Теорема А. Пусть G —- конечная группа с абелевой силов-
ской 2-подгруппой. Тогда G будет А*-группой.
Замечание. Если группа G имеет абелеву силовскую
2-подгруппу Т ранга 1, то она разрешима и 2-нильпотентна;
очевидно, что она будет А*-группой. Если Т имеет ранг 2,
Некоторые вопросы теории конечных групп
53
то G 2-нильпотентна, если только Т — не группа типа (2а, 2а).
Но тогда при а > 1 G разрешима, согласно [7], и очевидным
образом будет А*-группой, так как она имеет 2-длину 1. Зна-
чит, можно предположить, что | Т | = 4, а тогда можно при-
менить результаты из [13]. Опять G есть А*-группа.
Таким образом, основной упор теоремы А направлен на
случай конечной группы G с абелевой силовской 2-подгруп-
пой ранга по крайней мере 3.
Мы будем здесь близко придерживаться направления до-
казательства Бендера, разворачивая в случае необходимости
наиболее краткие его части. В данном изложении произве-
дены самые малые изменения, но само доказательство на-
столько тонко скомпойовано и так сложно, что его изящество
пострадало бы, будь эти изменения слишком велики. Для
знакомства с обобщениями техники следующих параграфов
читателю следует обратиться к статье Голдшмидта [11]
о 2-слиянии в конечных группах.
12. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ
Лемма 12.1 (Томпсон). Пусть G — группа с абелевой си-
ловской 2-подгруппой S. Пусть R — такая подгруппа в S, что
г (/?) = г (S) — 1. Если G = О2 (G), то любая инволюция t^S
сопряжена в NG (S) с некоторым элементом из R.
Доказательство. Конечно, по лемме Бернсайда NG (S)
контролирует слияние элементов из S.
Рассмотрим гомоморфизм переноса V: G->S.
Пусть %i, ..., xk, xk+it, ..., хп, xnt — система представи-
телей классов смежности группы G по S, выбранная так,
чтобы xttx^^S при 1=1, ..., k, x^xt^^S при i > k. Так
как [G ' S] нечетно, то k нечетно.
k
Очевидно, что V (/) == П х/хг1.
i = l
Если х^хг1, xi+itxr^x ф R, то х./х^х.^/хт^ е R, поскольку
г (R) = r (S) — 1. Таким образом, V (t) = xxtxxx (mod/?). Так
как O2(G)=1, то У(/)=1, а потому xxtxxx^R. □
Лемма 12.2. Пусть G — простая группа с абелевой силов-
ской 2-подгруппой S. Предположим, что t S — инволюция,
для которой CG(t) = (t)\E, где L2(q) Е РГЦ2, q). Тогда
СG (t) — максимальная подгруппа в G.
Доказательство. Предположим, что CG (/) е М о G.
Если О2(А1) = Л4, то, согласно лемме 12.1, t сопряжена
в М с некоторым элементом из Е. Так как CG (S) CG (/) s М
54
Т. М. Гоген
и NM (S)/CM (S) действует транзитивно на нетривиальных эле-
ментах из М, то NM (S) = Nq (5) Af. Кроме того, для всех
инволюций s е М имеем s = tm, М, а потому CG (s) =
= CG (tm) M. Предположим, что M[\MX содержит некото-
рую инволюцию s при хе G — М. Тогда s, sx~ е Mf и, зна-
чит, существует такой элемент у^М, что sx~ y = s. В таком
случае x~~ly CG (s) Al, х е М, т. е. мы пришли к противо-
речию. Следовательно, М сильно вложена в G.
Согласно [4], G = Ь2 (2"), так как силовские 2-подгруппы
в G абелевы. Но централизатор любой инволюции в L2(2n) —
абелева 2-группа. Это противоречит нашему предположению
о том, что С (/) = (/)Х£, где E^L2(q).
Если О2(А4)с=А1, то положим К = О2 (А4). Очевидно, что
[Л4 : К] = 2. Так как силовская 2-подгруппа группы К, содер-
жащей £*, имеет порядок 4, то К /<2 з 1, где К!К\, Къ
имеют нечетные порядки и = L2(r) для некоторой сте-
пени г простого числа. Очевидно, что Е's К\- Следовательно,
либо q = 5, либо r = qk при некотором k. Пусть s — инво-
люция в Тогда (s)/Cx2(s) — диэдральная группа по-
рядка г — е, где (mod4), 8 = ±1. Так как s сопряжена
с t и Cg(/) = (/)X£, то порядок произвольного диэдрального
сечения в CG (s) не превосходит q + 1 • Таким образом, г — 8
1. Если <7 = 5, то г = 5, в то время как при q\r имеем
r = q-
Если К2 =# 1, то для некоторой инволюции seK[ имеем
Ск2($)=/=1, так как существует четверная подгруппа в
которая нормализует К2. Но тогда в CG (s) имеется сечение
с нормальной подгруппой нечетного порядка Cy<2(s) и диэдр а ль-
ной факторгруппой порядка q — г. Эта ситуация не реали-
зуется для CG (s) = X Е. Заметим, что любой автоморфизм
основного поля действует в PSL (2, q) нетривиально на ди-
эдральной подгруппе порядка q — 8.
Таким образом, /С2=1 и К autL2(<7). Так как, кроме
того, t е См (/Q М, то мы должны иметь /eZ (А4),
M = CG(t). Это завершает доказательство. □
Следующая лемма понадобится при доказательстве тео-
ремы А не сразу. Она представляет некоторый самостоятель-
ный интерес, давая первое указание на важность Е*-подгрупп.
Лемма 12.3. Пусть G — группа с абелевой силовской 2-под-
группой, р — простое число и Р — некоторая р-подгруппа в G.
Предположим, что г (Ор (G)) ^2 и [Р, Ор (F* (G))] = 1. Тогда
P^Op(G).
Доказательство. Пусть C = CQ (Ор (F* (G))) 3 Р. Если
CczG, то, поскольку С G, согласно лемме 10.6, F*(C) =
Некоторые вопросы теории конечных групп
55
= В* (G) п с. Так как [Р, Ор (В* (G))] = 1, то [Р, Ор (В* (С))] = 1.
Действительно, В* (О) П С = (F (G) П С) (Е (G) Q С), а потому
Op(F*(G)nC) = Op(F(G)AC)Op(£(G)nC). По индукции Р <=
^Ор(С)^Ор (G). Таким образом, C=G, Е(G) = 1, B*(G) = B(G).
Пусть теперь Z = (Z (F (G)p)) для некоторого q =# р и
G = GIZ. Имеем F (G) = F (G), так как Z s Z (G). Кроме того,
r(Op(G))^2, потому что OP(G) = OP(G) и Z есть р'-группа.
Пусть E(G) = E. Поскольку [Е{оо\ F (G), В(оо)]=1, то
[£(°°), f(G)] = 1, и из равенства B*(G) = B(G) следует, что
£(оо) таким образом, Е = 1. Следовательно^ В* (G) =
= F (G) = F (G). Отсюда вытекает, что [В, Ор (F* (G))] = 1, и
по индукции получаем P^Op(G). Так как Z s Z (G), то
P^Op(G).
Таким образом, Z = 1 и P(G) будет р-группой, содержа-
щей Cg(P(G)). Пусть Q — критическая подгруппа Томпсона
в B(G). Если р = 2, то PcC(F(G))sF(G), так как силов-
ские 2-подгруппы группы G абелевы. Если р #= 2, то можно
выбрать Р = Qi (Q) и тогда CG (Р) будет р-группой, согласно
теореме 2.4. Поскольку г (Р) 2, то | Р | г3, и если Р =
== Р/Ф (р), то | Р | р2. По-прежнему CG (Р) есть р-группа и
G/Cg (Р) GL (2, р) имеет абелевы силовские 2-подгруппы.
Каждая такая подгруппа содержит некоторую нормальную
силовскую _р-подгруппу. Таким образом, PCG (P)/CG (Р) s
sOp(G/Cg(P)). Следовательно, P^Op(G). □
Следующая теорема, как мне кажется, единственная
в своем роде в теории конечных групп. Эта теорема о строе-
нии конечной простой группы при очень слабом условии на
ее подгруппы! За этой теоремой следует ее обобщение, очень
напоминающее теоремы единственности из § 5. Можно утвер-
ждать, что две следующие теоремы — краеугольный камень
всего доказательства.
Теорема В (Бендер). Пусть А и В — различные максималь-
ные подгруппы простой группы G, для которых F* (Л) е В и
F*(B)^A. Тогда F*(A) и F*(В) будут р-группами для одного
и того же простого числа р.
Доказательство. Так как F (В) является Е ^-инва-
риантной разрешимой подгруппой в Л, то F (В) СЛ (В (Л)),
согласно лемме 10.3.
По лемме 10.8 имеем Е (Л) = СЕ (А) (Е(В)) [В (Л), В(В)].
Далее, СЕ {А) (В* (В)) = СЕ (А) (В (В)) <= В* (В).
56
Т. М. Гаген
Таким образом, E(A)^F*(B) и, значит, Е (A) s F* (В)(оо) =
= £(В).
По симметрии Е(В)^Е(А). Поскольку А=/=В, то Е(А) —
= Е(В)—1.
Но подгруппы взаимно простых порядков в F (А) и F (В)
централизуют друг друга. Отсюда следует, что л(В(А)) =
= л(В(В)). Действительно, в противном случае при ре
е п (F (А)) - л (F (В)) имеем [В (В), Ор (А)] = 1. Так как В (В) =2
эСс(В(В)), мы пришли к противоречию.
Пусть рел(В(А)) = л(В(В)), Р = Ор(А), Q = OP(B), R =
= оаа\
Имеем [Е(Я), В(В)]=1 и [Ор (А), Е(Р)]=1. Таким обра-
зом, E(R) централизует F (R) Р = F(A) = F* (A)^Ca(F* (А)).
Следовательно, Е(/?)=1 (см. также 10.6) и F*(R) = F(R).
Далее, [Q, В* (В)] = [Q, В (В)] = [Q, В (А) П В] Q П R = 1 . Так
как Q централизует В (7?) (В (/?)), то согласно лемме 2.2,
[Q, Р]=1. Аналогично [В, ОР-(В)]=1.
Далее, Rs=Ca(Q)^B. Кроме того, F (В) — QOP (F (В))
и Р = CB{OP(F(B))) В. Таким образом, [Р, Св (Q)] г
еСв(Ор(В(В)))ПСв(<Э)==Св(В(В))<=В(В). Так как РВ(В) =
= PQ X Ор (F (В)) и подгруппы взаимно простых порядков
в В (А) и В (В) коммутируют, то мы получаем, что CB(Q)
нормализует PQ. Теперь, как нетрудно видеть,
[PQ, Св (Q)] s [Р, Св (Q)] <= F (В) П PQ = Q-
Таким образом, [PQ, Св (Q), Св (Q)] = 1. Согласно след-
ствию 0.2, [PQ, Ор (Св (Q))] = 1. Поэтому
ОР' (A) <= ОР> (Ор (Св Ш s ОР- (В).
По симметрии Ор> (В) ОР'(А).
Следовательно, ОР' (А) = Ор> (В) = 1 и л (В (А)) = л (В(В)) =
= {р). Это завершает доказательство теоремы В. □
Теорема 12.4. Пусть А — максимальная подгруппа простой
группы G, a S — субнормальная подгруппа в F*(A), для кото-
рой Cf*(A)(S)^ S. Пусть В G — подгруппа в G, содержа-
щая S. Тогда
(а) О,(В)ПА=1 для q ^a(F (А))';
(b) [Ор (В), Ор (F*(А))] = 1, если p^a(F (А)).
Более того, если В — максимальная подгруппа в G и либо
| л (В* (А)) | 2, либо | л (В* (В)) 1^2, то каждое из следующих
условий обеспечивает равенство А = В:
(с) А содержит субнормальную подгруппу S группы F*(B),
для которой Cf*(B)(S)sS;
Некоторые вопросы теории конечных групп
57
(d) В есть А*-группа, | Е (В) I | Е (Л) | и Oq(B)=\ для всех
q(=x.(F (А))';
(е) А и В — сопряженные А*-группы.
Замечание. Строение А*-групп используется минимальным
образом в свойствах (d) и (е). На самом деле существенным
условием, которому должны удовлетворять группы А и В,
является такое: существует цепочка вложений
где X/Y, Z разрешимы и У/Z — прямое произведение неабе-
левых простых групп. Таким образом, грубо говоря, эта
теорема имеет место в случае, когда участвующие в ее
формулировке подгруппы не содержат групп типа Д5 g Д5,
где J обозначает сплетение.
Доказательство. По Лемме 10.5(b) имеем S^E(A).
Кроме того, по лемме 10.4 S = (F (Л) Q S) Е (Л), а так как
Сг*(Д) (S) s S, то Z(B(A))^S. Таким образом, если p^n(F(A))9
то /?^tc(B(S)).
(i) [Ор (В) П А, Ор (S)] = 1 для всех простых чисел р.
Действительно, ОР(В)Г|Л есть Е (Л)-инвариантная разре-
шимая подгруппа в А. Таким образом, [Ор (В) П Л, В(Л)] = 1 и
[Ор (В) П Л, OP(S)]=[OP (В)(]А, F(SM <= ОР(В) П А П F (А)р>=\.
(ii) Cc(O.(S))nOp(A)^O.(S) для ? ее л (В (Л)).
Действительно, CG (Oq (S)) (] Oq (Л) централизует F (S)q's
ср(Л)^ и В (Л). Таким образом, CG (Oq (S)) (] Oq (Л) C(S) Q
Q В* (Л) S. Отсюда следует, что
CG (Oq (S)) П Oq (A) <= Oq (S) = Oq (Л) n S.
(iii) [Ор(В)ПЛ, Ор(Л)]=1 для q <= n(F (A)) — p.
Это вытекает из n. (i) и (ii), если воспользоваться лем-
мой 2.2.
{ Таким образом, если р^=л(В(А)), то ОР(В)С|Л центра-
лизует В* (А), так как по п. (iii) Ор (В) П Л е CG (F (Л)) и по
доказательству п. (i) Ор (В) П Л CG (Е (Л)). Из включения
CG (В* (Л)) В* (Л) теперь следует, что Ор (В) Q Л = 1. Это
завершает доказательство утверждения (а).
Предположим теперь, что р е тс (В (Л)).
(iv) С<?(Ор(5))ПОр(В)^Ор(В)ЛЛ.
Действительно, CG (Ор (S)) s CG (Z (F(A)p)), поскольку
C0(S)nB*(A)sS. Таким образом, CQ(OP(S)) cz А.
(v) OP(S) централизует OP(B), а потому [В (Л), OP(B)]=L
Действительно, [Ор (S), OP(S)]=1. Согласно п. (iv) и (i),
58
Т. М. Гаген
[OP(S), С (Рр (S)) П Ор (В)] = 1. Для получения нашего резуль-
тата мы можем теперь применить лемму 2.2 к группе
оР(В)о₽(Я
(vi) C(F(S)P’)fiF(A)P'SF(S)P’.
Действительно, если х е Са (F (S)p>) П F(Л)р-, то [х, Op(S)]e
s [х, Ор (Л)] = 1. Очевидно, что [х, Е(Л)]=1, а значит,
[х, S] = l. Так как CG (S) f| F*(Л) Е S, получаем нужное свой-
ство (vi).
(vii) Пусть F*(A) есть р-группа. Тогда [ОР(В), Ор (F* (Л))]=1.
Если же F*(A) — не р-группа, то S^0P'(Z(F’(4)))£(4)^l.
Но ОР' (Z (F* (Л))) Е (Л) — нормальная подгруппа в Л и Ор (В)—
-инвариантная по п. (v) подгруппа, а потому Ор(В)еЛ,
F (Л)р' является Ор (В)-инвариантной подгруппой, и из п. (v)
и леммы 2.2 следует, что [В (Л)р«, Ор (В)] =*= 1. Кроме того,
[ОР(В), В (Л)] = 1, так что [ОР(В), Ор (В* (Л))] = 1, т. е. полу-
чено утверждение (Ь).
Продолжая доказательство, будем считать В максималь-
ной подгруппой в G, содержащей S. Мы покажем, что при
условии (с) F* (Л) будет р-группой в том и только в том
случае, когда В* (В) есть р-группа. Действительно, если усло-
вие (с) выполняется, условия, определяющие Л, при замене Л
на В и В на Л переходят в условия, определяющие В.
Поэтому [О₽ (В* (В)), Ор (Л)] = 1 для всех р е л(В (В)) и
Ор (Л) Л В = 1 для всех р^л(В(В)).
Далее, если В* (Л) есть р-группа, то, так как S Ор (Л) А В,
то рел(В(В)). Таким образом, Ор (F*(B)) Е Са (Ор (Л)). Так
как Са (Ор (Л)) Е Ор (Л) — F* (Л), то В* (В) — тоже р-группа.
Таким образом, |л(В*(Л))|^2 в том и только том случае,
когда | л (В* (В)) |^2.
Далее, Ор (F* (В)) Е Са (Ор (Л)) е Л для всех ре л (В (В)).
Кроме того, [Ор (В), О₽ (В* (Л))] = 1, а потому Ор (В) s А,
поскольку Ор (F* (Л)) =#= 1. Таким образом, В‘(В)еЛ. По
симметрии получаем В*(Л)еВ, а затем можно применить
теорему В для получения включения Л Е В. Это завершает
проверку условия (с).
Если В есть Л*-группа, то по предположению О?(В)=1
для всех простых чисел ре л (В (Л)). Согласно п. (Ь), отсюда
следует, что В (В) Е Л. Так как CQ (S) А В* (Л) Е S <] <] В* (Л),
то, согласно лемме 10.6 (а), Е (Л) е S Е В. Пункт (Ь) пока-
зывает также, что [В (В), Е(Л)] = 1. Поскольку В есть
Л*-группа, отсюда вытекает, что Е(Л)еЕ(В). Но |Е(Л) |>=
| Е(В) |. Таким образом, Е(А) — Е(В) = 1, ибо в противном
Некоторые вопросы теории конечных групп
59
случае А = В. Мы можем применить теперь (с) с S = F*(B)=
= F(B)^ А и получить А = В.
Пункт (е) непосредственно следует из п. (d). □
Следующие две леммы имеют простое доказательство и
представляют интерес сами по себе. Они интересны также
потому, что, по-видимому, не были отмечены даже в раз-
решимом случае.
Лемма 12.5. Пусть G — группа, для которой F*(G) является
р-группой. Если U есть р-подгруппа в G, то F* (CG (U)) и
F*(Na(U)) также р-группы.
Доказательство. Пусть N = NG (U), С — Са (U). Оче-
видно, что F (N)p' s F (C)p's F (N)p' и E(N)sC, поскольку
U^F(N). По лемме 10.6 имеем E(N) — E(C). Отсюда сле-
дует, что Ор (F* (N)) = Ор (F* (С)).
Пусть х е OP(F*(N)) — некоторый р'-элемент. Тогда
[Со (U) П Г (G), х] £= Ор (Г (М)) П Г (G) s Z (Г (У)).
Таким образом, [Со (G) П F* (G), х, х] = 1. Согласно след-
ствию 0.2, [Со (G) П F*.(G), х] = 1. Далее, применим лемму 2.2
к {х) при действии на F*(G)U. В результате получаем, что
[х, F*(G)]=1, а потому xeF(G). Следовательно, х=1.
Таким образом, Ор (F* (N)) = Ор (F* (С) = 1. □
Лемма 12.6. Пусть U, V — такие р-подгруппы в G, что
V^U. Тогда если F* (СQ(V)) есть р-группа, то F*(CG(U)) —
тоже р-группа.
Доказательство. При V < U положим N — NG(V).
Очевидно, что при N czG индукция по | G | приводит к нуж-
ному результату, так как CQ (G) Са (У) = N. Следовательно,
можно предположить, что N = G.
Далее, так как F*(CG(V)) есть р-группа, то F*(N0(V))—
тоже р-группа. Применяя лемму 12.5 к Ne(V) = G, получаем
нужный результат.
Поскольку V <] < U, то лемма доказывается теперь ин-
дукцией по длине субнормального ряда от V до U. □
13. СВОЙСТВА 4*-ГРУПП
Пусть X есть Д*-группа и t — некоторая инволюция из X.
Лемма 13.1. Если некоторая 2-подгруппа Т группы X
централизует О(Х), то она содержится в F* (X).
60
Т. М. Гаген
Доказательство. Так как [Г, О (X)] = 1, то
[Т, O(F(X))] — [Т, F(O(X))]=1. Но в силу того, что силов-
ские 2-подгруппы группы X абелевы, [Г, F (X)] = 1. Кроме
того, очевидно, что нормальные подгруппы и факторгруппы
Д*-групп являются Л*-группами.
Следовательно, F (X) Сх (F {X))/F (X) — это Д*-группа, кото-
рая не имеет нетривиальных разрешимых нормальных под-
групп. Таким образом, [F (X) Сх (F (X)): F* (X)] нечетно. По-
этому Т^Г(Х). □
Лемма 13.2. Простая А*-группа X имеет один класс ин-
волюций.
Доказательство. Это утверждение хорошо известно
в случае, когда X = L2{q). Если X — группа типа JR, оно
вытекает из леммы 12.1. □
В следующих двух леммах речь идет о Сх (^-инвариант-
ных подгруппах группы X. Нам удастся по крайней мере
часть из них расположить'внутри F*(X).
Лемма 13.3. Пусть Е — некоторая Сх {^-инвариантная полу-
простая подгруппа группы Е(Х). Тогда любая ее компонента К
содержится в некоторой компоненте L группы Е{Х). Более
того, выполняется одно из следующих условий'.
(i) K = L;
(ii) К — группа типа L2 {q), q нечетно, L — группа типа JR
и t централизует К.
Доказательство. Пусть Г— силовская 2-подгруппа
группы X, содержащая /. Так как К не централизует силов-
скую 2-подгруппу ТП£,(Х) в Е{Х), то существует такая ком-
понента L группы Ё(Х), что [К, ТПЕ]=# 1- Далее, Т пере-
ставляет компоненты группы Е (X) и централизует силовскую
2-подгруппу каждой компоненты. Следовательно, Т нормали-
зует как К, так и L. Таким образом, [К, Т П L] К, и если
[К, T[\L]^Z{K), то [К, T(]L, К]=1, откуда [К, ГПА]= 1,
что на самом деле не верно.
Отсюда следует, что [К, Т (]L] = К L.
Если К =# А, то CL(t) нормализует LQE^K.
Если Lo^L2(2n), то t должна индуцировать внутренний
автоморфизм на L, так как силовская 2-подгруппа в РГБ{2, 2п)
неабелева при четном п. Если L^L2{pn), р^=2, то п не-
четно, потому что в противном случае силовская 2-подгруппа
группы L была бы диэдральной порядка ^8. Если бы t инду-
цировала „обращающий" автоморфизм на L, силовская 2-под-
группа группы L{f) была бы неабелева. Таким образом,
t должна индуцировать внутренний автоморфизм т на £ при
L^L2{q).
Некоторые вопросы теории конечных групп
61
Так как CL (т) — диэдральная при L^L2{q), # нечетно,
и элементарная абелева 2-группа при L^L2{2n), то CL{x)
не нормализует никакой неразрешимой подгруппы в L, за
исключением самой Е. Здесь т — инволюция из L. Следова-
тельно, К = L.
Если L — группа типа JR, то t централизует ее силов-
скую 2-подгруппу T(]L, а поэтому / нормализует CL(r) для
1 =£ х [] L. Далее, Cl(t) = (t)XE, так что t нормализует
£(о°' = Llf группу типа L2(q), q нечетно. Как мы видели выше,
t должна индуцировать внутренний автоморфизм на так
что существует инволюция j/gLj, для которой [tu, £!]=1.
Если t L, то CL (/) — максимальная подгруппа в L и
CL{t)^K. Это и есть нужный результат. Таким образом,
Ц{{) = и [tu, Е] CL (Ц) П CL (т) = (т). Отсюда сле-
дует, что [tu, Е]= 1, так как [Е: LJ нечетна.
Далее, элемент tu централизует силовскую 2-подгруппу S
в £, а поэтому он нормализует группу NL(S), которая по
модулю CL(S) совпадает с нециклической группой порядка 21.
Пусть ZfCL{S) имеет порядок 7. Пусть М = NL (S) {tu).
Так как tu^CM (S) М, то [tu, Z]^CM (S) Q Z <=,CL{S). Таким
образом, tu централизует Z по модулю CL{S). Отсюда сле-
дует, что либо tu централизует Z, либо tu действует на Z
как единственная инволюция reS, которую централизует
элемент порядка 3 из NL (S) Г) CL (т). Таким образом, либо
[tu, Z]=l, либо [tux, Z] = 1, а поэтому либо tu, либо tux
централизует NL (S) CL (т), максимальную (по лемме 12.2)
подгруппу группы L. Так как их — инволюция, то без потери
общности можно предположить, что [tu, L]—; 1, а значит,
CL (0 = (и)= (и) X при некоторой подходящей под-
группе Ер По лемме 12.2 CL (и) —- максимальная подгруппа
в L. Но CL(t) = CL (и) нормализует LQE^/C. Таким образом,
К s CL (и) = CL (/), а поэтому Д' —группа типа L2{q). □
Лемма 13.4. Пусть U — такая Сх {^-инвариантная под-
группа в X, что U = F*{U). Тогда [t, U] = F*(X).
Доказательство. Как мы уже видели, субнормальные
подгруппы V в F*(X) удовлетворяют условию 7 = Е*(У) =
= F(V)£(V). Если бы мы смогли показать, что [/, £(У)]<]<
<<F*(X), [t, F(V)]<1 <1 F*CX), то отсюда следовало бы,
что [/, Й] = [/, F (У)] [t, Е (V)] <] <| F* (X). Действительно,
[/, £ (V)] <| F* (X), если [/, Е (7) < < F* (X).
Итак, мы предположим сначала, что Е (U) = U = [t, U] и
покажем, что [U, F(X)]=1. Пусть D = Cx{U)()F{X). Тогда
[Cf (X) (/), U] содержится в U C|F(X), нильпотентной нормальной
подгруппе группы U, а потому [(7, Cx(t) (]F{X)]^Z {U). Как
62
Т. М. Гаген
обычно, [U, Cx(t)(]F (Х)] = h так что СХ(/)П F(X)^D. Таким
образом, t обращает элементы из (Afx (D) Q F (%))/£>. Заметим,
что силовская 2-подгруппа группы F(X) содержится СХ(/)П
[\F(X)^D.
Далее, U = [/, U] централизует Nx (D) A F(X)/D. Проводя
рассуждение для каждой силовской р-подгруппы нильпо-
тентной группы Nx(D)(]F(X) отдельно, получаем, что U
централизует Nx (D) П F (X). Таким образом, D = F (X) и
[U, F(X)]=1.
Но любая силовская 2-подгруппа группы U централизует
F(O(X))^F(X). Так как Со (F (О (X)) <= F (О (X)), то, со-
гласно лемме 2.2, отсюда следует, что любая силовская
2-подгруппа в U централизует О (X). Из леммы 12.1 полу-
чаем, что любая силовская 2-подгруппа группы U содер-
жится в F*(X), и, значит, U ^F* (X). Таким образом, U ^Е(Х).
Согласно лемме 13.3(a), (7 = [/, t/]<<| £(Х). Заметим, что
лемма 13.3(b) не применима здесь, так как если компо-
нента К группы U не является компонентой для Е(Х), то
[К, /]= 1. Но U — \t, U] будет в точности произведением ком-
понент, не централизуемых элементом Л
Предположим теперь, что U = [t, U] есть р-группа, где
р — нечетное простое число, и что X — минимальный контр-
пример.
Если Ор(Х)=/=1, то положим Х = Х/ОР(Х). По индукции
[f, G] <] < F* (X). Но любая субнормальная р-подгруппа
в F*(G) содержится в OP(G) для произвольной группы G.
Таким образом, [/, U]^ ОР(Х) — 1, а потому [/, U]^OP(X).
Следовательно, Ор (X) = 1.
Опять U централизует F(X), ибо в противном случае
Cx(t)ftF(X^Cx(U)(}F(X)==D и U централизует Nx (D) А
AF(X)/D. Таким образом, [G, F(O(X))]=1, а значит,
[G, О(Х)]=1, так как (| U |, | F(O (X)) |) = 1. Действительно,
[F(O(X)), U, О(Х)]=1, [О(Х), F(O(X)), G]=l, и по лемме
о трех подгруппах имеем [U, О (X), F(O(X))]=1.
Следовательно, [G, О (X)] <=СХ (F (О (X))) <= F {О (X)).
Далее, если w s О (X), и е U, то wa = wf, f F (О (X)),
а потому wul = w = wfl т. е. получено противоречие.
Если О(Х)#=1, то__ положим X ==_Х/О (Х)^_ Тогда по
индукции [t, G] < < F* (X), так что [/, U] е F (X). Поэтому,
поскольку р=# 2, [/, U] О (X) s Ор (X mod О (Х)) = О (X). Таким
образом, [/, U] = U ^О(Х). Так как G^Z(O(X)), мы полу-
чаем противоречие с Ор (X) = 1.
Но X есть Л*-группа, для которой О(Х)=1. Поэтому
/eF*(X). Следовательно, U[t, G]sF*(X).
Некоторые вопросы теории конечных групп 63
Если F* (X) cz X, то по индукции U <| <] Е* (F* (X)) = Е* (X).
Следовательно, Х = Е*(х). Если группа X не проста, то
пусть N ^Х — минимальная нормальная подгруппа в ней.
Так как X = F*(X), то Af —простая группа. По индукции
UN<$<\X. Но единственными субнормальными подгруппами
в X будут простые группы или 2-группы (или их произве-
дения), а так как U есть р-группа, то U sN. Если X не
проста, то существует Л/^^Х, такая, что 7V1f|-V=l, а тогда
I/sAGf|A/ = l. Таким образом, X — простая Л*-группа.
Значит, либо X^L2(2ri), либо Сх (t) —максимальная под-
группа в X. В первом случае единственной группой нечет-
ного порядка, нормализуемой Сх(/), будет 1, в то время как
во втором случае U^Cx(t). Так как U — [U, /], то U=l.
Это завершает доказательство. □
Лемма 13.5. Пусть Т — силовская 2-подгруппа в Cx(t) и
U = OF(Cx(t)). Тогда U s О* (X) = Е* (X mod О (X)) и Су(Т)^
s О (X). Кроме того, любая компонента Е группы Е (X) обла-
дает следующими свойствами:
(a) U нормализует Е;
(b) U/Су (Е) — циклическая группа;
(с) если Е — группа типа L2(2n) или JR, то U централи-
зует Е.
Доказательство. Применим индукцию по порядку | X |.
(i)O(X)=l.
Предположим, что О(Х)#=1. Пусть Х==Х/О(Х), С = СХ(/).
Тогда Схф=С, Е(Х)^Е(Х), а потому t/=OE(C)sOE(C)=F<
По индукции U W ^_О* (X) = О* (X), так что t/s О* (X).
Опять по индукции С^(Т)=1, так что Су(Т) — Си(Т)= 1.
Следовательно, Су (Т) О (X). _
Более того, если Е--компонента группы £(Х), то £ будет
компонентой для Е(Х). Действительно, Е нормализует раз-
решимую подгруппу F (X mod О (X)), так что Е централизует
F(X). Так как £<<Х, отсюда легко получаем, что E^F*(X),
а потому Е будет компонентой_группы Е(Х). Таким образом,
по индукции получаем, что W нормализует Е, так что W
нормализует £О(Х). Очевидно, что [£, О(Х)]=1, поскольку
О (X) разрешима и Е-инвариантна, а следовательно, U W
нормализует (ЕО (Х))(оо^= Е.
Положим теперь D = C^(E). По индукции группа W/D
циклическая и
U/Cy (Е) ~ UCW (E)/Cw (Е) W/Cw (Е).
Но [D, Е]=1, так что [D, Е]^О(Х). Следовательно,
64
Т. М. Гаген
[Е, D, Е] —1 и [Е,\0]=1. Таким образом, D = CW(E). По-
этому UfCy^E)—циклическая группа.
Опять условие (с) выполняется, так как [IF, Е] = 1, и
тогда [IF, Е]=1, как обычно. Таким образом, [£, Е] = 1.
(ii) F* (X) = О* (X) э Т, где Т — силовская 2-подгруппа в X.
Это утверждение очевидно потому, что X есть А*-группа
и О(Х) = 1.
(iii) U нормализует Е, так что выполняется условие (а).
Действительно, Т нормализует каждую компоненту груп-
пы Е (X) и централизует силовскую 2-подгруппу Т f| Е (X)
этой группы. Кроь»е того, Су (Г) переставляет компоненты
Е(Х) и централизует Т П Е (X). Таким образом, Су (Г) нор-
мализует Е.
Но и = Си(Т)[Т, С7] и по п. (ii) Ts=F*(X). Таким об-
разом, [Т, F*(Х)£>Е. Отсюда следует, что U нормали-
зует Е.
(iv) X = F*(X)t/
Положим Y = F*(X)U и предположим, что Y <= X. Тогда
T^CY(t)^Cx (0, а потому U = OF (Сх (f))^Y. Таким образом,
Uf=OF(Cy(t)). По индукции U<=O*(Y) и Си(Т) <= О (У).
Далее, [О (У), F* (X)] = [О (X), F (X)], поскольку [Е(Х),
О(У)]=1, как обычно. Кроме того, [О (У), F (X)] S О (У) П
(]£(Х)2=1, потому что F(X) есть 2-группа. Таким образом,
О(У)еСх(Г(Х)) = Г(Х) и О(У)<£*(Х). Но это невозможно.
Следовательно, О (У) = 1, U <= F* (У) = F* (X), Си (Г) = 1.
Условия (Ь), (с), очевидно, выполняются для У, а поэтому и
для X. Таким образом, У = Х.
(v) X = EU, где Е — неабелева простая группа.
Если F*(X)=E(X) есть 2-группа, то X=F(X)U=F(X)XU,
так как [U, F (X)] sF(X) f] U = 1- Это противоречит тому,
что О(Х)= 1.
Пусть F* (X) = ЕЕ\, где Е — компонента группы Е (X), и
Y = EUT. Заметим, что U нормализует Е, согласно (а).
Имеем О (У) П Е = 1, а значит, [/, О (У)] = 1, так как [/, С7] = 1.
Поскольку YfET — нильпотентная группа, то и группа О (У)
нильпотентна. Наконец, CY (t) — UTCE (/) s Cx (/). Таким об-
разом, U<=OF(CY(t)). Так как [Е, О(У)] = 1, то ЕО(У) =
= ЕХО(У).
Если У<=Х, то по индукции U^O*(Y), Си(Т) = О (У) и
(Ъ), (с) выполнены. При этом О* (Y} = ETO(Y) и U^.ЕСи(Е).
Применяя те же рассуждения к У1 = Е1(7Г, получим, что
I/sEiCy^) и Сц(Т) = О(У1). Поэтому Су(Т) = О(У) =
= О(У1) = О(Х)==1.
Далее, X = EE{U по (iv), а потому X = ЕСХ (Е) = EiCx (Ei).
Отсюда следует, что Х = ЕЕ|Сх (EEj), а так как группа XjEEt
нильпотентна, то U £Х = F* (X), и теорема доказана.
Некоторые вопросы теории конечных групп 65
Можно предположить теперь, что X = EUT. Пусть т —
. проекция i на Е. Если т = 1, то [/, Е] = 1 и, значит, t^Z(X).
Но О (X) = 1 и U ^O(Cx(t)). Таким образом, т#= 1. Поскольку
[U, т] = 1, то Сх(/) = Сх(т). Если У = £(/сзХ, то мы можем
обратиться к У, г вместо X, t и убедиться, что {7^О*(У) =
= £<=£*(*) и С£/(ТП£)=1. Так как Су (Т П £) => Су (Г), то
получаем утверждение (v).
(vi ) £ — группа типа £2 (#), Q нечетно.
Если £ —группа типа £2(2П), то CE(t) = T и [U, CE(t)}s
П а потому [U, СЕ (/)] О (CE(t)) =
Пусть С7 = {7/С£/(£)^РГ£(2, 2") и [47, Г]=1. Любой
автоморфизм поля сдвигает по крайней мере один элемент
из Г, так что U должна индуцировать внутренние автомор-
физмы на £. Поскольку СЕ(Т) = Т, то U = 1 и U = Си(Е).
Это противоречит тому, что О(Х)=1, так как EU = X =
= E\U.
Если £ — группа типа JR, то СЕ (I) = (t) X Н, где £2 (q)
е И PVL (2, q). Поэтому О (Св (/)) = 1. Так как [U, СЕ (/)]
^CE(t)(]U, то мы должны иметь [U, С£(/)] = [U, Г] = 1.
Пусть s е Г*, $=/=/. Заметим, что U^Cx(s), а поэтому
Cx(s) = CE(s)U = ((s)XL)U, где L — сопряженная с Н под-
группа. Но Cj (s) есть ?Г-группа и Сх (s) cz X.
Так как [Г, 47] = 1, то 47=Са (Т). Далее, (7<=О£(СХ(/)ПСХ($))
и по индукции V = Су (Т) О (Сх (s)). Тогда [U, СЕ ($)] £
sO(C£(s))=l. Таким образом, в силу леммы 12.2 U цент-
рализует (С£(/), C£(s)) = £. Это опять противоречит тому,
что О (X) = 1 и завершает доказательство утверждения (vi).
(vii ) Последнее противоречие.
По доказанному выше X = EU,‘ Е L2 (q), q нечетно.
Поэтому CE(t) — диэдральная группа порядка р —8, где
q = 8 (mod 4), 8 = ± 1, Т — типа (2, 2).
Если U £, то все доказано, потому что Е = О* (X),
Cy(T) = U(\CE(T) = T(\U= 1 и и = О (CE{t)) — циклическая
группа.
Так как U = Cu('F)[U, Т] и [£7, Т]<=Е, то CV(T)^\.
Пусть иеСу(Т) имеет простой порядок р. Пусть q = rn, где
г — простое число. Тогда и должен индуцировать на £ авто-
морфизм, получающийся из автоморфизма основного поля,
так как СЕ(Т) = Т. Таким образом, СЕ(и) L2(rm)y где m = п/р.
Пусть СЕ (/) = D (х), где D — циклическая группа и х
обращает D. Тогда [uf OP'(D)] ОР(СХ (/)) П OP'(D) = 1. Таким
образом, и централизует OP'(D), Т. С другой стороны, и нор-
мализует циклическую р-группу OP(D). Таким образом,
p\C(u)(]Op(D) |>| OP(D) |. Кроме того, [CE(t) :CE(t)(]CE(u)]<р.
Далее, | СЕ (t) (]CE(u)\ = rm ± 1, так что rmp ± 1 р (rm ± I)
3 Зак. 1280
66 Т. М. Гаген
Это неравенство неразрешимо в числах г^З, р^З. Лемма 13.5
полностью доказана. □
Лемма 13.6. Если U — абелева подгруппа в X типа (2, 2)
и Е — компонента для Е(Х) типа, отличного от £2(2Л), то
£ = <СВ(И)| «£(/*>.
Доказательство. Каждый элемент и е G* нормали-
зует Е по лемме 13.5 и индуцирует внутренний автоморфизм
на Е. Далее, если щ, u2^U#, щ =# и2, то иь и2 индуцируют j
различные внутренние автоморфизмы на Е. Но если Е— группа
типа, отличного от А2(2П), то централизаторы любых двух
различных инволюций в Е будут различными максимальными
подгруппами в Е. Отсюда и следует доказываемый резуль-
тат. □
14. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ А, ЧАСТЬ I
Пусть в дальнейшем G — минимальный контрпример
к теореме А. В качестве начальной редукции мы покажем,
что G — неабелева простая группа, все собственные подгруппы
которой будут А*-группами.
Итак, пусть N — минимальная нормальная подгруппа в G.
Ясно, что O(G)=1 и О2 (G) = G, ибо в противном случае
сразу же получаем, что G есть А*-группа. Таким обра-
зом, | N | четно.
Если N есть 2-группа, то G = CG (А), так как G/Cg (N)
имеет нечетный порядок. Таким образом, | N | = 2. Но G/N
есть А*-группа в силу минимальности контрпримера G. Так как
О (G/N) = 1 и О2' (G) = G, то G/N = S/N X Lj/Af X ... X Lk/N,
где S/N есть 2-группа и ЩМ —- простые А*-группы для
i= 1, 2, ..., k.
Так как силовские 2-подгруппы G абелевы, то элементар-
ное рассуждение с гомоморфизмом переноса (см. [12]) пока-
зывает, что G' r|7V=l, а потому Gz f] S = 1. Очевидно, что
G' — совершенная А*-группа с О (Gz) = 1, а значит, она будет
прямым произведением простых А*-групп. Так как S G, то
G — Gr X S и G есть А*-группа, т. е. получено противоречие.
Таким образом, можно предположить, что N —прямое произ-
ведение изоморфных простых А*-групп Lif N = Li X ... X Lk.
Очевидно, что CG(A)^jG, Cg(N) f] N = 1, и, таким обра-
зом, CG (А) есть А*-группа, не имеющая нетривиальных раз-
решимых нормальных подгрупп. Итак, NCG(N) = N\C0(N)
и G/NCg(N) действует как группа автоморфизмов на N.
Так как силовская 2-подгруппа Т группы G абелева и Т
переставляет компоненты Lb ..., Lk для А, централизуя при
Некоторые вопросы теории конечных групп 67
I 1 ---
I этом силовскую 2-подгруппу Т f| Lt группы Lt для всех
i /=1, k, то отсюда следует, что Т нормализует каждую
[ компоненту.
Мы покажем, что простая Л*-группа не имеет нетривиаль-
" ных внешних автоморфизмов х порядка 2, которые центра-
лизуют ее силовскую 2-подгруппу.
Для простоты запишем L = LX и предположим, что L
имеет тип L2(pn)« Нетрудно видеть, что х должен определять
l на L автоморфизм, индуцированный автоморфизмом основ-
: ного поля. Силовская 2-подгруппа группы PGL(2, q) диэд-
ральна и неабелева при нечетном q, так что п = 2m четное.
Но тогда силовская 2-подгруппа в L2(p2m) будет неабелевой *).
Таким образом, можно считать, что L имеет тип JR.
• Пусть S — силовская 2-подгруппа в L и х — инволюция, кото-
! . рая индуцирует на L автоморфизм, тривиальный на S. Пусть
i / е S - инволюция и предположим, что CL (/) = (t) X Е, где
F = L2 (q) Е PVL (2, q) и q нечетно. Как и выше, полу-
чаем, что х должен индуцировать внутренний автоморфизм
на F. Следовательно, существует такой элемент f е F, что
. y = xf централизует F и /.
Нетрудно убедиться в том, что у должен тривиально
действовать на Е. Действительно, [у, Е] s CL (F) f] CL (/) =
а потому [у, Е]=1, так как индекс [£:F] нечетен. Таким
образом, у централизует CL(t).
Далее, у централизует S, а поэтому нормализует Nl(S).
По теореме Бернсайда о переносе ^(S)$CL(/). Отсюда
получаем, что A^L(S)/CL (S) — подгруппа нечетного порядка
в GL(3, 2), большего 3. Следовательно, NL(S)/CL(S) — Henn-
s' клическая группа порядка 21.
i Пусть Z/CL(S) NL(S)/CL(S) имеет порядок 7. Либо у
i централизует Z, либо у действует на NL(S) как единственная
< инволюция из S, которую централизует элемент порядка 3
из NL(S) П CL(/), а именно /. Таким образом, либо [у, Nl(S)]= 1,
либо [yt, Nl (*$)] == 1 • В обоих случаях в силу [yt, CL (/)] = 1
j имеем L (х) = L X (2), где г2—1 (надо принять во внимание,
что по лемме 12.2 CL (t) — максимальная подгруппа в L).
Это показывает, что TLi^ LiCG(Li) при всех i, откуда
TN S NCg (N). Таким образом, G = NCG (N) = N X CG (A/),
поскольку O2'(G)==G, а ^огда G есть /Г-группа, если она
не проста.
Итак, G •— простая группа, все собственные подгруппы
которой являются Л*-группами. Заметим, что силовская 2-под-
группа Т в G имеет ранг по крайней мере 3. Действительно,
’) Описание Out PSL (2, q) содержится, например, в книге: Стейнберг Р.
Лекции о группах Шевалле. М: Мир, 1975. — Прим ред.
L 3*
68
Т. М. Гаген
в противном случае г (Г) = 2 и |Г| = 4, согласно [7]. Тогда
G^L2(q) по [13].
Доказательство теоремы А продолжается теперь следую-
щим образом: следует показать, что либо G сама будет
А*-группой, либо G имеет сильно вложенную подгруппу. Если
это показано, то, согласно [4], G изоморфна £2(2”), Sz(22n+1)
или U3(2П). Из них лишь группы Ь2(2п) имеют абелевы силов-
ские 2-подгруппы, так что G каждый раз будет А*-группой.
Доказательство теоремы А . будет тогда закончено.
Мы изучим строение минимального контрпримера G
к теореме А при помощи рассмотрения совокупности макси-
мальных подгрупп, содержащих CG (/), где t — инволюция из G.
Изучаемые максимальные подгруппы искусно выбираются
таким образом, чтобы иметь возможность использовать тео-
рему единственности В из § 12 и ее непосредственное след-
ствие-теорему 12.4. Как отмечено Бендером в [5], явное
определение класса максимальных подгрупп, так часто исполь-
зуемых в доказательстве, требуется лишь для одного резуль-
тата: для леммы 14.1. В этом результате мы описываем
совокупность субнормальных подгрупп группы где
Н — некоторая фиксированная максимальная подгруппа, со-
держащая CG (/). Эти субнормальные подгруппы таковы, что
над их G-нормализаторами мы имеем некоторый контроль.
Они имеют решающее значение в последующих результатах.
Итак, пусть G — простая группа с абелевыми силовскими
2-подгруппами, все собственные подгруппы которой’являются
А*-группами. Предположим, что G содержит 3-порожденную
абелеву 2-подгруппу и что она не содержит сильно вложен-
ной подгруппы.
Пусть t — инволюция из G и Н — максимальная подгруппа
в G, содержащая CG (t). Выберем Н таким образом, чтобы
для некоторого простого числа р было Ор(//)#=1, но
СG (/) П Ор (Н) = 1. Если ни при каких простых р нельзя найти
максимальную подгруппу H^CG(t), такую, что ОР(Н) обра-
щается инволюцией /, то выберем Н так, чтобы \Е(Н)\ было
максимальным. Пусть М (/) — множество всех максимальных
подгрупп в G, которые содержат CG (t) и удовлетворяют пере-
численным выше условиям. Заметим, что если для некоторой
подгруппы имеем Ор (#)=#! и CG (/) А Ор (Н) = 1,
то для каждой подгруппы М е М (t) при некотором (возможно
другом) простом числе q будем иметь ОР(М)=#1 и CG(t)f\
АО,(М)=1.
Пусть Г —некоторая фиксированная силовская 2-подгруппа
в G, содержащая /, и л = л(/?(Я)).
Некоторые вопросы теории конечных групп 69
Мы определим теперь множество si = si(H) субнормаль-
ных подгрупп в F* (Н), удовлетворяющих некоторому условию
единственности. Пусть U <\ <\F*(H). Если | л (F* (Н)) | 2, то
(7 е si в том и только том случае, когда No (U) Н. Если
| л (В* (И)) |= 1, то U е si в том и только том случае, когда
л (В* (Со (U))) = л (F* (Я)). Заметим, что при и
Na(U)sH всегда U^si. Действительно, если F* (Н) есть
р-группа и Na(U) = Nh (Я), то по лемме 12.5 получим, что
F*(Cq (Я)) = F*(CH (U)) — тоже р-группа.
В лемме 14.1 приводится критерий, по которому более
просто можно выделить элементы из si(H).
Лемма 14.1. Пусть V ф 1 есть t-инвариантная субнормаль-
ная подгруппа в F* (Н). Каждое из следующих условий озна-
чает, что V е si (Н):
(а) V Са (1)-инвариантна;
(Ь) некоторая подгруппа U е si централизует V и [17, /] = U;
(с) существует такая нециклическая абелева подгруппа U
нечетного порядка с U s Со (/) f]CG (V), что (и) е si при всех
и <= U*.
Доказательство. Предположим, что B<^G, Вз\'о (V).
Так как E(H)^S = N0(V) П Г(Н) для всех Х<<В‘(Я), то
5<<В*(Я). Кроме того, Со (S) П F*(H) s Сс (V) П F*(H) s S.
Применяя теорему 12.4 (а), получаем, что О9(В)ПЯ=1 для
всех рел(В(Я))'. Таким образом, поскольку CG(t)^H и t
нормализует F(B)n,, инволюция t должна обращать F(B)n„
Рассмотрим случай (Ь). Пусть 1У = В f] F* (И) э NG (У) П
(]F*(H) ^Е(Н). Применяя лемму 13.4 с Х = В, получаем, что
[1, IT]<|<F*(B). Далее, U<, и поэтому 17 = [/, Я] < <[/, Г].
Следовательно, U < <| F* (В).
При | л (F* (И)) | = 1 положим B = Na(V), {р} = л (F* (Я)).
Тогда Е(В) <=.Са (V) П CG (U), так как U <| <| F* (В) и U является
р-группой. (Напомним, что любая субнормальная р-подгруппа
из F* лежит в F.) Далее, F (CQ (U) f|CG (V)) — разрешимая
Е(В)-инвариантная подгруппа в В, так что [Е(В), F(Ca(U)(]
(]Са(V))] = 1. Поскольку Са(и)Г\Са(У) есть Д*-группа, то
E(B)<=E(Cq(U)(]Cq(V)).
Далее, [В (В)р', У] = V П F (В)р’ = 1, так как V s=F*(H)
есть р-группа. Кроме того, [В (В)р', (7] F (В)р> П F (В)р = 1,
так как U — субнормальная р-подгруппа в F*(B).
Таким образом, Ор (Г (В)) = Ор (F*(C0 (U) Л Со (У)).
Но, согласно лемме 12.5, если В* (CG (Я)) есть р-группа,
то В*(С0(Я)Г)С0(У)) — тоже р-группа. Таким образом, В* (В)—
также р-группа. Опять по лемме 12.5 В*(С0(У)) будет
р-группой, так что У е si.
1
70 Т М. Гаген <
При | л (В*(Я)) |2 пусть В NG(V) — максимальная под-
группа в G. Как мы знаем, U <<|В* (В), так что jVg(G)^
эЕ(В). Таким образом, Н f| F* (В) з Е (В), поскольку в дан-
ном случае NQ (U) Н. Отсюда следует, что Щ = Н 0
fl В* (В) << В* (В). Но CoiU^f]^ Н (]
(]F*(B) = UX.
Взяв S=NG(V)()F* (Н)^Е (Н), получим сначала S<]<B*(/7),
а затем S В, CG (S) П В* (Я) s S. Применяя непосредственно
теорему 12.4(c), получаем, что H = B^NG(V) и
Это проверяет наше утверждение в случае выполнения усло-
вия (Ь).
Предположим теперь, что условие (Ь) не выполняется.
Пусть В — максимальная подгруппа в G, содержащая NG(V).
По теореме 12.4(a) Oq(B)(]H=l для всех {/ел(В(Я))\
Так как CG(t)^H и t нормализует Ofl(B), если В(В)Я, = 1,
то инволюция t должна обращать некоторую нетривиальную
подгруппу Oq (В) для какого-то q. Но тогда t должна обра-
щать некоторую нетривиальную подгруппу ОГ(Н) для ка-
кого-то простого числа г! Получаем, что группа U = Or(H)
абелева и содержится в Z(B*(#)). Очевидно, что U = [U, t]
и Ng(U) = Н. Следовательно, Так как [У, U]= 1,
условие (Ь) показывает, что V е <$/(//). Таким образом, можно
считать, что В(В)Я, = 1.
Более того, i не обращает никакую подгруппу Ор (Н)
ни при каком простом числе р, ибо в противном случае
Ор{Н)е=а(Н), OP(H)<=Z(F*(H)) и по условию (Ь) Уе^(Я).
Так как то Е(Н) должна быть тогда группой
максимального возможного порядка. Но В — максимальная
подгруппа, содержащая CG (/), если применимо условие (а).
Так как то | Е(Н) |^| Е(В) |. Следовательно, выпол-
няются предположения теоремы 12.4(d), так как Н, В суть
Л*-группы. Таким образом, Н = В NG(V) и Ке^(Я), если
| л (В* (В)) |^2, так как в противном случае теорема 12.4
не выполняется. Кроме того, если л (В*(В)) = {р}, В* (CG (V))—
тоже р-группа, согласно лемме 12.5. Таким образом, в любом
случае Verf(Я).
В случае (с) имеем (и) <| <1 F*(H), Так как {и} —
циклическая группа, то (и)^В(//) для всех и е (7*. Таким
образом, U^F(H).
Предположим, что | л (В* (#)) | 2. Пусть В — максималь
ная подгруппа в G, содержащая NG(V). Так как U ОВ(Св(/)),
применяем лемму 13.5(b) и получаем, что каждая компонента
группы Е(В) централизуется некоторым нетривиальным эле-
ментом из U. Таким образом, если Af = ОП(В*(В)), то N =
Некоторые вопросы теории конечных групп
71
' = <Слг(м)| «<=(/*>. Так как и | л (Г (//)) |> 2, то
l CG(u)e/f. Таким образом, N^H. По теореме 12.4(b) имеем
F(B)n^H. Следовательно, F*(B)^H. Так как N (V)(\P(Н)^В,
то теперь можно применить теорему 12.4(c), чтобы получить
включение Иез^(Я).
Если F*(H) есть р-группа и 1/0^ (Я), то /^(C^fF))
не является р-группой. Как было отмечено выше, каждая
компонента Е(В), где В = CG(V), централизуется некоторым
нетривиальным элементом и е U. Так как то
: F* (Cg(u)) есть р-группа. Но V F* (Я) есть р-группа и, со-
; гласно лемме 12.5, F* (CG ((и) И)) = F*(CB (и)) — тоже р-группа.
Кроме того, ясно, что CG (и) П Ор (F*(CG (J ))) содержит нетри-
: виальный р'-элемент при подходящем и е Я*. Так как, со-
гласно лемме 10.7, CG(w)flO^(F*(CG(V)) F*(CB(u)), то мы
L получаем требуемое противоречие. Это завершает доказатель-
ство леммы 14.1. □
Лемма 14.2. Я имеет по крайней мере 2 класса инволюций.
Доказательство. Пусть t^H[\Hs при g е G. Если Я
имеет один класс инволюций, то существует такой элемент
h^H, что t8 h = t. Но тогда g~}h^CG{t)^ Н, так что g^H.
Таким образом, если Я имеет один класс инволюций, то
Н[\Н8 имеет нечетный порядок при g^G— Я. Следова-
тельно, Я сильно вложена в G, т. е. получено противоречие. □
Лемма 14.3. Пусть R —такая подгруппа в Г, что r(R) —
= г(Т) — 1. Тогда М (s)=/={H} для некоторой инволюции s е R.
Доказательство. Предположим, что = для
всех seQj^)*. Если M(s) = M(sg) = M(s)g = {Я}, то, как
нетрудно видеть, g <= No (Я) = Я. -
Пусть n^NG (Г). Так как г (Т) 3, то R П Rn ф 1, так что
; существует инволюция Тогда $, и по
предположению M(s) = M (sn~l). Таким образом, п^Н,
Ng(T)^H.
Но каждая инволюция из G сопряжена при помощи неко-
торого элемента из NG(T) с элементом из R. Следовательно,
t М ($) = {Я} для всех инволюций s^H. Далее, если s^H П Я?,
где s — инволюция, то g е NG (Я) — Н и Я сильно вложена
в G. □
Лемма 14.4. Пусть D — такая Т-инвариантная подгруппа
нечетного порядка, что [/, Z)] #= 1. Тогда Т содержит под-
г группу R, для которой r \R) = r(T)-—\ и [/, CD(R)]=^ 1.
72
Т. М. Гаген
Доказательство. Не уменьшая общности, можем
считать, что D есть р-группа, CO(/)<J£> и Т действует непри-
водимо и нетривиально на DfCD(t). Так ,как Т абелева, то
она индуцирует циклическую группу автоморфизмов на
D/CD\t). Кроме того, t действует нетривиально на DICD(t).
Пусть R — CT(DICD(t)). Тогда, как нетрудно видеть, г(/?) =
— г (Т)— 1. Кроме того, CD (Р) CD (t)==D, поскольку CbicD щ (Р)=
— CD (Р) CD (f)/CD (/). Так как [/, D] =/= 1, то [/, CD(R)] =# 1. □
Лемма 14.5. Пусть р —нечетное простое число, для кото-
рого [/, Ор(//)]У=1. Если Р = Ор(Н), то Р имеет такую
СР(1)-инвариантную подгруппу Р, что [/, Р] #= 1 и
для любой t-инвариантной подгруппы V в Р, V =/= 1.
Доказательство. Предположим, что утверждение
леммы не верно.
Положим V = Cp(CP(t)).
Если [/, V] = 1, то [/, Р] — 1, согласно лемме 2.2. Однако
это не так. Таким образом, [/, V] — СР (/)-инвариантная
субнормальная подгруппа в Поэтому U = [/,
согласно лемме 14.1(a). Далее, для любой подгруппы W из
CP(t) имеем [Г, С7] = 1. Так как t/<=^(//), то 1Ге^(Я),
согласно лемме 14.1(b).
Если группа CP(t) не циклическая, то существует нецикли-
ческая нормальная 2'-подгруппа типа (р, р) в СР(/), кото-
рая, как мы видели выше, будет элементом из ^(Я). Так как
1)х s Ср (/) П Ср (V), то по лемме 14.1(c) Наконец,
если Y — произвольная /-инвариантная подгруппа в V, то
Уе^(Я) по тем же соображениям. Полагая P = V, полу-
чаем нужный результат.
Если Ср (/) — циклическая группа, то каждая Ср (^-инва-
риантная абелева подгруппа А группы Р централизуется инво-
люцией /. Действительно, в противном случае [/, Л]ез^(Я),
согласно лемме 14.1(a), а тогда любая /-инвариантная под-
группа в [/, Л], будучи централизуема подгруппой [/, A]^s&(H),
сама будет элементом из согласно лемме 14.1(b).
Поэтому каждая СР (/)-инвариэнтная абелева подгруппа
в Р содержится в СР(/), т. е. циклична. Отсюда следует, что
Z (Р')— циклическая группа. Далее, любая нормальная под-
группа Q из Р типа (р, р), лежащая в Р', как нетрудно ви-
деть, содержится в Z(P'). Действительно, P/CP(Q) лежит
в GL(2, р), а потому имеет порядок ^р. Таким образом,
Р' ^CP(Q). Отсюда следует, что Р' — циклическая группа,
так как р нечетно. Кроме того, Р'^СР(/).
Некоторые вопросы теории конечных групп
73
Далее, если хеР, х* = х~1, то для у^Р' имеем yxt =
= ух~' — ух. Таким образом, [х2, (/]=1 и [х, р]=1. Так как
Р = СР(/)/, где I — {х Р\xf — х~1}, то P'^Z(P). Пусть
Q = Qi(P)t Так как Р имеет класс нильпотентности ^2, то Q
имеет экспоненту р и группа Z (Q), будучи циклической,
имеет порядок р. Кроме того, Cq(/) = Z(Q).
Каждая неабелева подгруппа М в Q будет элементом из
Ж (Н). Действительно, М' — Z (Q), а значит, NG (М) s
NG(M') = Н. С другой стороны, если L У= 1 — абелева /-ин-
вариантная подгруппа, то либо L^Cq(/) = Z(Q) и
либо [/, L]#=l. Если x^L — такой элемент, что х/==х~1,
то при (х)'е<^(Я), согласно лемме 14.1 (Ь). Таким
образом, либо каждая /-инвариантная подгруппа в Q при-
надлежит & (Я), либо существует такой элемент xeQ, что
х* = х~\
Рассмотрим [/, CQ(x)] = V. Если V то и (х) при-
надлежит этому множеству, согласно лемме 14.1 (Ь), т.е.
получено противоречие. Следовательно, V абелева. Но
Cq W — (Cq (0 (TCq (х)) [/, Cq (х)] s
^Z(Q)[/, Cq(x)] = Z(Q) V.
Таким образом, подгруппа CQ(x) абелева и имеет индекс р
в Q. Действительно, централизатор любого нецентрального
элемента из Q будет иметь индекс р в Q. Так как CQ(x)
не циклическая, она не будет СР(/)-инвариантной. Таким
образом, Q имеет две абелевы максимальные подгруппы,
так что | Q | р3.
Пусть теперь R^T, r(R) = r(T) — 1 и CQ(R)cE Z(Q). Такая
подгруппа R существует, так как можно взять R^CT(Qi/<&(Q)),
где Qi — неприводимый Г-подмодуль в
Выберем g е G так, чтобы t8 е R. Тогда CG (t8) Z (Q),
а потому H8 =/= H. Если положить К = [/, CQ (/^)], то получим
К Н П Н8, так как С (t8) Н8. Пусть — нормальное замы-
кание К при действии элементами из CG (/) Г1Н8. Так как К S Q,
toKi^Q и /G будет р-группой. По теореме 12.4 [/, К^] < <| F*(H8)
и К = [К, t][/Ci, /]. Так как [Кь/] есть р-группа, то
К <1<F* (Н8). Таким образом, K^F(H8) и, значит, К Q8.
Если К = Q8, то К = Q, так как К Q. Тогда g <= N (Q) = Н,
т. е. получено противоречие, поскольку Н8 =/= Н. Таким обра-
зом, К cz Q8, | R |^р2. Но К = [/С, /], так что Ск (t) = 1. Таким
образом, | К | = р. Но К CG (t8), так что К = Z (Q8). Поэтому
Ng(K)^H8.
Далее, Я, Н8 — сопряженные А*-группы и Ор (F *(//))
^CG (K)^H8. Таким образом, если S — NG (К) П F*(#), то
$а£(//)и S<]<F(//). Кроме того, CG(S)(]F*(H) ^5.
74
Т. М. Гаген
Если | л (F* (//)) | =# 1, то Н — Н8, согласно теореме 12.4 (е),
т. е. мы пришли к противоречию. Поэтому F*(H) = P и Т
действует точно на Р, а также на Q и Q/O(Q). Так как
P^G£(2, р) и.г(Т)^3, нами получено противоречие. □
Лемма 14.6. Если F* (Н) есть р-группа, где р~ нечетное
простое число, то для любой инволюции s^G и любого эле-
мента М е М (s) группа F* (М) тоже будет р-группой.
Доказательство. Из леммы 14.5 следует существова-
ние такой Сор (Я)(/)-инвариантной подгруппы Р в ОР(Н), что
[/, Р] =# 1 и V s£(H) для любой /-инвариантной подгруппы V
в Р. Далее, согласно лемме 14.4, существует такая под-
группа R^T, что г (Р) = г (Т) — 1 и W == [/, Ср (Р)] =# 1. Оче-
видно, что Благодаря лемме 12.1 мы можем
считать, что s R. Пусть М <= М (s). Пусть, кроме того,
W1 = WCm (/) — подгруппа, порожденная См (/)-сопряженными
с W. Так как W <=ОР(Н), CG(t)<=H, то W^OP(H), а по-
этому Wl есть р-группа. По лемме 13.4 [/, <<Р*(Л1).
Таким образом, 1Г = [/, 1У] s W\ — субнормальная подгруппа
в F*(Af). Следовательно, W ^ОР(М).
Пусть Р — Ор (М). Так как Р* (CG (W)) есть р-группа
то по лемме 12.6 F*(CQ (Р)) — тоже р-группа.
Далее, F*.(NG (Р)) ==F* (М) является р-группой, поскольку
Р (No (W < CG (Р) и Е (Ng (Р)) < Cq (Р).
Это завершает доказательство. □
Следующая важная теорема является краеугольным кам-
нем, на котором держится все доказательство. Доказательство
ее поражает силой и оригинальностью. Разумеется, оно пол-
ностью принадлежит Бендеру.
Теорема 14.7* Пус-ть р — нечетное простое число, для кото-
рого [/, Ор (//)]= 1. Пусть V — элементарная абелева р-под-
группа в ОР(Н), для которой г(У)^3. Тогда CG(y)^H для
всех v <= У*.
Доказательство. Если [/, Р*(Я)] =# 1, то либо =
= [/, Oq (Н)] #= 1 для некоторого простого числа q #= р, либо
W2 = [/, Е(Н)] =^= 1 —элемент из согласно лемме 14.1 (а).
Действительно, обе подгруппы IFb W2 будут Ся (/^-инвариантны
и субнормальны в F*(H). А тогда (0 V s Ор (Н) центра-
лизует W[ или 1У2 и из леммы 14.1 (Ь) будет следовать, что
для Поэтому CG (v) NG (<v)) S H,
так как Fv (Н) — не р-группа.
Г '
' Некоторые вопросы теории, конечных групп 75
Таким образом, t Сн (В* (Я)) = Z (В* (Я)). Пусть
W = CH(V)(]F*(H).
Пусть °U (X), где X G, обозначает множество всех
: ИР-инвариантных Л*-подгрупп К группы X, для которых
K — F(K)n,E(K) и никакая компонента группы Е(К) не со-
держится в Я.
Если <2/(G) = {l} и В — произвольная максимальная под-
• группа группы G, содержащая 1Г, то F (В) есть л-группа и
: Е(В) — произведение компонент, которые все лежат в Я,
Действительно, если некоторая компонента группы Е (В) не
лежит в Я, то то же самое будет и с любой ее IF-сопряжен-
ной. Тогда Ew е <U (G) #= {1}.
Таким образом, Е (В) Я, F (В) s Я, . согласно тео-
реме 12.4 (Ь). Заметим, что Ор (В* (Я)) =й= 1, так как
Таким образом, В* (В) <= Я. Но CG (IF) А В* (Я) <= W и W <= В.
Из теоремы 12.4(c) вытекает, что В = Я и Я — единственная
максимальная подгруппа в G, содержащая W. Нетрудно видеть,
что если v К*, то CG(u)s IF, а следовательно, CG (v) е Я.
Таким образом, можно считать, что <U (G) =# {1}.
Мы покажем, что соотношение °U (G) =й= {1} противоречит
простоте группы G, за несколько шагов.
(i) Если IF^XczG, то [/, В*(Х)] е= <2/(X).
Действительно, если W S X s G, то t обращает F (Х)я,
поэлементно, согласно теореме 12.4 (а), так как t е W. Кроме
. того, t централизует F (Х)л Я, согласно теореме 12.4(b),
Е поскольку [Oq (X), Oq (В* (Я))] = 1 и t Oq (В* (Я)) =/= 1 при q е= л.
Но [/, Е(X)] является произведением тех компонент группы Е(X),
которые не централизуются инволюцией /, а так как Н1Сн (О2 (Я))
имеет нечетный порядок, то [/, Е (X)] будет произведением тех
; компонент группы Е (X), которые не лежат в Я. Действи-
тельно, любая компонента для Е(Х), которая не лежит в Я,
? будет лежать в CG (О2 (Я)) s CG (/). Заметим, что / g Z (Г (Я)).
Рассмотрим теперь [/, В*(Х)]. Эта группа будет lF-инва-
риантной подгруппой группы В* (X), и, согласно рассуждениям
: предыдущего абзаца и строению нормальных подгрупп в В*,
Г [/, B*(X)]g=<2/(X).
(ii) <<?/(X)>g=<2Z(X), если IF<Xc=G.
Пусть К^^ЩХ), где XczG. Тогда К централизует В (X).
Действительно, [К, F (Х)я, /]^[В(Х)Я, /]= 1, так как t цент-
рализует В(Х)Я, согласно теореме 12.4(b).
Заметим, что /(= [/(,/] для Ке^(Х). Действительно,
[Е (К), t] = E (К). Рассмотрим подгруппу CG (t) А В (К)я, s Я.
Очевидно, что она централизует Е (Я) В (Н)р,. Согласно
В XQ-лемме Томпсона, она централизует F (Н)р. Поэтому
нильпотентная группа CG (/) А В (К)я, лежит в В* (Я), а значит,
76
Т М Гаген
НВ F(H) = F (Н)п. Следовательно, CG (t) f) F (K)n, = 1 и К = [Л, /].
Далее, [F (Х)я, /,/<] = 1, так что [К, /, F (Х)я] = 1 и К = [К, /]
централизует F(X)n.
Кроме того, t обращает F (Х)я, и коммутирует с К при
его действии на F (Х)п,. Таким образом, К = [К, г] центра-
лизует F (Х)п,. Следовательно, [К, F(X)]=1.
Далее, если X cz G, то X является Д*-группой, /еО*(^),
а потому К —[К, t]^O* (X)(]C0(F (X)). Отсюда следует, что
X<=F*(X).
Таким образом, К = [К, /] s [F*(X), /] е <U (X) в силу
шага (i). Следовательно, {<% (X)) [F* (X), t\^<U(X).
(iii) Существует такая подгруппа R s V, что V/R — цикли-
ческая группа и °U (С G (R)) =/= {1}.
Заменяя сначала V на 7QJZ (ОР(Н))), если это необходимо,
можем предположить, что CG (7) Н. Выберем R е °U (G).
Если F(/C) #= 1, то [V, F(R)] =/= 1. Действительно, в противном
случае F (К) ^CG(V)^ Н. Но F(K)(]H = l, согласно тео-
реме 12.4(a)., Пусть Z —такая минимальная 17-инвариантная
подгруппа в F(K), что [У, Z] =# 1. Пусть s Z — некоторый
неприводимый 7-модуль. Положим R = Cv(Zl). По теореме
Клиффорда Z = Zr© ... ®Zr и W транзитивно переставляет
неприводимые 7-модули (7 17). Так как R s Z (17), то
R^CW(Z). Таким образом, Z е <2/(CG (/?)).
При F(K) = 1 пусть Е — минимальная 17-инвариантная
нормальная подгруппа в К. Тогда [7, £]=/= 1, потому что
в противном случае ЕsCG (7) и Е gt Я, так как КеЕ(G).
Пусть Y = EV(t). Тогда V^OF(CY(t)) нормализует каждую
компоненту Ех группы Е и индуцирует циклическую группу
автоморфизмов на каждой такой Еь согласно лемме 13.5.
Пусть R Су (Ех) — такая подгруппа, что 7//? — циклическая
группа. Так как 7 Z (17) и 17 переставляет компоненты
группы Еь транзитивно, то /?^С/(еГ). Поэтому Е^ е
е °U (Cg (/?)). Таким образом, утверждение (iii) доказано.
Пусть М = (CG (R))) е °U (G), согласно шагу (ii). Пусть
v е R, и положим Yv — {<и (CG (и))). Тогда М s Yv е <2/ (G).
Мы покажем, что
(iv) Y = YV нормализует М,
Действительно, так как Y то F(Y) = Z(Y) норма-
лизует М ^Y. Пусть Е — любая компонента группы Е(У). Если
Е М, то все в порядке. Если это не так, то [7 : Cv (Е)] р,
как прежде. Если Cv (Е) э R, то Е Ew е (CG (R))) = М.
Таким образом, CV(E)3>R, а потому V = RCV(E). Отсюда
следует, что [М, Cv (Е)] = [Л4, Cv (Е) /?] = [М, 7].
Далее, М = F (М) E(M)^°U (G). В силу того что F (М)
есть 7-группа, E(Al) = (CG(7)f|E(Al))[E(A4), 7]. Но, согласно
Некоторые вопросы теории конечных групп
77
теореме 12.4 (a), CG (V) f] F(M) Н Q F(M) = 1. Таким образом,
F (Л1) = [F (М), V].
Пусть L — компонента групп Е (М); V нормализует L, как
и прежде, и [L, V] L. Если [Е, V]^Z(E), то [Е, Е]=1,
как обычно. Таким образом, [L, V] = E и [Л1, Е] = Л[ =
= [М, CV(E)].
Далее, [Су (Е), Е, Л1]=1; [Е, М, СУ(Е)] = 1, так как
Е<У = F (У) Е (У).
Поэтому [Af, Cv (Е), Е] = [М, Е] = 1. Мы показали, что
произвольная компонента группы Е (У) либо лежит в М, либо
централизует Af. Таким образом, М^У = УЦ.
(v) {<U (G)> е <U (G).
Пусть S е °и (G). Поскольку R — нециклическая группа,
то S = <Cs(v)| Напомним, что г (7)^3 и группа V/R
циклическая, и применим лемму 13.5. Если v е /?, то C5(u)Q
Г|Е(5) есть U^-инвариантная нильпотентная л'-подгруппа в S,
а потому Cs (v) (]F(S) = {<U (Cs (v) П F (S))>.
Таким образом, F (S) = (Cs (о) П F (S)) | v e 7?*).
С другой стороны, если E—компонента группы Е (S), то вы-
берем v е /?*, для которого Cs (и)э£; тогда EW^CS (и) и Ew^
^U(CS (у)). Таким образом, S=F (S)E (S)=(%(Cs (и)) \v^R#).
Но тогда S NG (M) cz G, так как {<U (Cs (и))) = Yv > M
для всех v е 1/. Следовательно,
<^(G))^<<2/(^(M))>e^(G).
Далее, Пусть ...<lWn = H. Тогда
W[ переставляет элементы из <2/(G) и, значит, нормализует,
например, (62/(G)) = A Рассуждая по индукции, получаем,
что Н нормализует А Nq(M) cz G, а так как Н максимальна
в G, то мы получаем сначала, что А Я, и затем, что А = 1,
поскольку A^^U (G). Это противоречие завершает доказа-
тельство леммы 14.7. □
Лемма 14.8. Пусть реп, р =/= 2, и Пусть
Me М (S) для некоторой инволюции s М =^= Н. Предпо-
ложим, что л(F*(Я))2, V и выполняется одно из сле-
дующих трех условий'.
(а) С0(1/)^Е, 1/ = [Е, /];
(b) t е CG (и) Н для всех v е У* и У “ абелева группа
типа (р, р);
(с) t е CG (и) S Н и Т з W, где W — подгруппа типа (2, 2),
такая, что CG (w) Н для всех w е ТУ*.
Тогда Ор (F* (М)) <= Н, ОР(Н)^М. Если [s, У] = Ь то
г(0р(Я))=1<г(0р(М)).
78
Т М Гаген
Доказательство. Пусть Р=Ор (Н), Q=OP (Af). В случае
(а) .пусть У| = s ОР(Я). Таким образом, применяя j
лемму 13.4 к получаем [/, К1]<]<|Р*(АГ). Так как Vj есть
p-группа и Vel'i в случае (а), то V<|<]F*(Af). Значит,
EsOp(Af) = Q и Op(F*(M))sCq(Q)sCo(V)sH.
В случае (Ь) из леммы 13.5 получаем, что V ^OF(CM(t)) *з
нормализует каждую компоненту для Е(М) и индуцирует на j
ней циклическую группу автоморфизмов. Таким образом, ’]
Ор (F* (Af)) <= <С0 (о) | v е= У*> s Н.
В случае (с) V Е OF(CM (/)) нормализует каждую компо-
ненту для Е (М) и централизует любую компоненту типа
L2(2n) или JR. Таким образом, каждая компонента для Е(М) ।
типа А2(2") или JR лежит в Н. Как нетрудно убедиться,
F(MV = <C0(w)| w е IF*). Если компонента для Е (Л4) имеет
тип L2(q), q нечетно, то ее нормализуют Г и IF и, согласно
лемме 13.6, она содержится в 1Г*> <= И. Таким
образом, Ор (F* (М)) s Н в каждом случае. ’
Если г (Q) 2, то [Р П Af, Ор (F* (Af))] вкладывается •.
в разрешимую нормальную подгруппу Ор (F* (AT)) П Р группы
F (М)р' Е (АГ). Таким образом, воспользовавшись обычным рас-
суждением, получаем, что [Р П AT, Е (Af)] — 1. Как нетрудно
видеть, [Р П М, F (Af)pq = 1. Итак, [Р f| АГ, Ор (Г (Af))] = 1.
Согласно лемме 12.3, Р f| АГ s Ор (AT) = Q. В частности,
CG (Cz «г, (Р Л Af)) = Со (Z (Q)) = М.
Если г (Q) 3, то | л (F* (Af)) | 2, потому что в противном
случае F*(Af) была бы р-группой, a F* (Н) была бы р-груп-
пой, согласно лемме 14.6. Однако это не так по предполо-
жению. Если [s, Q]=/=l, то [s, Q] будет Са («)-инвариантной
субнормальной подгруппой в F* (Af), так что [s, Q] e^(Af),
согласно лемме 14.1 (а). Тогда Cz<q»(PПАТ) централизует
[s, Q], и очевидно, что она s-инвариантна. Согласно лемме
14.1 (b), Cz (Q) (Р П Af) е <$£(АГ). Следовательно,
CG(Czw(PftM))sM.
Если [s, Q]= 1, то для всех v^Cz (Р П АГ) имеем Со (о)^АГ
в силу леммы 14.7, так как г (Q)^3.
Следовательно, в каждом из случаев мы показали, что
Со (Cz «р (Р fl Af)) s АГ.
Далее, V sPf|Af, а потому Ca(P(]M)^Ca(V)s Н, так
что Cz (Q) (Р f] АГ) s Q П Н. Таким образом, C0(QnH)sAf.
Отсюда следует, что [Ор (F* (Af)), (Q Q Д)] Р (]
П Ор (F* (АГ)) и, согласно хорошо известному теперь рассужде-
нию, [О₽ (F* (А4)), СР (Q П Я)] = 1.
Некоторые вопросы теории конечных групп 79
Мы получили, что Ор (F* (М)) (Q f| Я), действуя на Р и
Ор (F* (Л4)), централизует СР (Q П Н). Таким образом, Ор (F* (Л4))
централизует Р. Так как Ор (F*(M)) =# 1, то Р s М.
Осталось доказать лишь последнее утверждение.
Итак, предположим, что [s, V] = 1. Как мы уже убедились,
если г (Q) 2, то Р П М = Р s Q. Таким образом, если г (Q)^2,
то г (Q)^r (Р). Предположим, что г (Q)=r (Р). Тогда Qi (Z (Q)) Р
имеет подгруппу ранга г (Q). Отсюда следует, что
Qj (Z (Q)) Р = Р и, значит, CG (Р) CG (Qj (Z (Q))) s M. Поэтому
F* (Я) M, так как P <= M. Далее± Op (F* (Al)) <= H и P <= Q.
Кроме того, PCq (P) Op (F* (M)) (= S) H. Согласно теореме
12.4(c), H = M, т. e. получено противоречие. Таким образом,
если r(Q)^2, то r(P)<r(Q), так что г (Р) = 1, г (Q) = 2.
Предположим поэтому, что r(Q)^3 и [У, $]=1. При
[s, Q] =И= 1 применим лемму 14.5, заменяя t на s и Н на М.
В результате получим подгруппу Q! в Q, которая будет
Со($)-инвариантной и такой, что [s, QJ ¥= 1 и Q0^s^(M)
для всех s-инвариантных подгрупп Qo группы Qb Кроме того,
FsCg(s), так что V нормализует Пусть V = [Cqi(V), s].
Поскольку У, Qi суть р-группы, CqJV) =# 1. Если У=1, то,
согласно лемме 2.2, [s, Qi] = 1, т. е. мы пришли к противо-
речию. Таким образом, УУ=1, V = [V, s] s CQ (V) £ Н и все
s-инвариантные подгруппы в Qi будут элементами из ^(Л4).
Так как | л (F* (Л1)) | 2, то NG(V) М. Итак, мы проверили,
что предположения п. (а) выполняются для Н, s, V. Отсюда
следует, что Ор (F* (//)) s М, а также что Q^H. Таким
образом, F* (Н) М, F* (М) s Н и // = Л4 до теореме 12.4 (Ь).
Это, однако, не верно, так что [s, Q]=l.
Мы найдем теперь Й! (Г) Р-инвариантную нормальную абе-
леву подгруппу V в Q типа (р, р). Пусть А — максимальная
абелева нормальная подгруппа в QPQi (Г), содержащаяся в Q.
Если А с: Cq (Л), то мы можем найти такце подгруппы A cz
cz B^Cq(A), что В)А неприводимый QPQi (Г)-модуль и
В/А^ Z (QP/A). Тогда Qi (Г) действует неприводимо на В/А,
а так как группа Т абелева и Qi (Г) — группа экспоненты 2,
то В/A циклическая. Таким образом, В абелева (противоре-
чие) и A = Cq(A) е ^^A2(Q). Если группа А циклическая,
то Q/А тоже циклическая и r(Q)^2, что не так. Таким
образом, А нециклическая и Qj (А) имеет главный QPQ^ (Т)-ряд
с циклическими факторами. Группа V найдена.
Любая такая группа V лежит в некоторой абелевой под-
группе типа (р, р, р). Действительно, так как r(Q)^3, то
существует X Q типа (р, р, р). Поскольку Х/Сх (V)^CL (2, р),
80
Т. М. Гаген
то [X : Сх (У)] р. Если Cx(V)=/=Vy то ЕСХ(И) абелева _и
порождается не менее чем тремя элементами. Если Сх (V)=V,
то V X. Применяя теорему 14.7, получаем, что CG(v)^M
для всех v е V*. t
Если V Ну то можно применить оба условия (а), (Ь)
к Му V, s. Действительно, если [s, 7] =# 1, то пусть =
где uf = v“l. Тогда CG (VJ s M и [Vi s] = Ер Если [s, V] = 1,
то условие (b) применимо непосредственно. Таким образом,
Ор (F* (Я)) <= М и Q<=H. Следовательно, F* (М))<=Я, F (Я)^М,
т. е. получено противоречие, если воспользоваться теоремой
12.4 и тем, что М^Н. Поэтому V S= Н.
Далее, V VV и для некоторого v е V имеем CG(v) 3 V.
Таким образом, если применять условие (Ь), то получим V
а этот случай мы уже _исключили из рассмотрения. В слу-
чае (с) получаем, что V S (CG (w) | w <= IF*), ибо W Й! (Г),
и опять V Н. Таким образом, нам остается лишь случай (а),
т.е. CG(V)^_Hy V = [Vy /].
Если СР (V) ge (Я), то Ng (СР (V) <= Н и V Я. Поэтому
СР(Ю^(Я).
Далее, Pr ^CP(V) и Р' <&(Н)у если Р'#=1. Таким об-
разом, при Р' =/= 1 будет V s Nq(P') Я, т. е. получается
противоречие. Отсюда следует, что группа Р абелева и
[/, Р]^1, потому что V <^Р. Применяя лемму 14.1 (Ь), по-
лучаем, что каждая нетривиальная /-инвариантная подгруппа
в Р будет элементом из 6^(Я). В_ частности, CP(V) = 1 и
Р действует на V точно. Так как V —- группа типа (р, р), то
Р — циклическая группа. □
15. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ А, ЧАСТЬ II
Лемма 15.1. t^F*(H).
Доказательство. Мы покажем, что [/, О (Я)р= I. Наш
результат будет следовать тогда из леммы 13.1.
Пусть рел, р =£ 2, Р = Ор(Н). Если ^(Я) = 02(Я), то
0(H) — 1 и все доказано. Предположим поэтому, что [/, Р]^= 1.
Согласно лемме 14.5, существует подгруппа Р s Р, кото-
рая Ся(/)-инвариантна и такова, что [/, Р] ф 1 и Уе^(Я)
для всех /-инвариантных подгрупп V группы Р. По лемме 14.4
существует такая подгруппа R Ту что г (R) = г (Т) — 1 и
[/, С-р (/?)] 1. Пусть V = [/, Ср (Я)] е (Я).
По лемме 14.3 {Я} #= М (s) для некоторой инволюции s^R.
Некоторые вопросы теории конечных групп 81
Предположим, что AleAl(s), М^Н, s&R. Если P=/=F*(H),
то лемма 14.8 (а) применима к V CG(R) CG (s) М. Так
как [s, V] = 1, то Р — циклическая группа^ а так как г (ЛГ) > 1,
то М не сопряжена с Н. Далее, [/?, 7]= 1, а значит, R цент-
рализует циклическую группу Р.
Выберем g е G так, чтобы было tg е R. Поскольку
Р]=1 и [/, Р]#= 1, то g^H. Таким образом,
и нё=^=Н. Это противоречит утверждению леммы 14.8.
Таким образом, Р = Р*(//), поэтому, согласно лемме 14.6,
F* (М) есть р-группа для всех М е М (s) и для всех инволюций
sgG. В частности, F* (М) является р-группой для s^R,
М<=М (s).
По ZZ-теореме Глаубермана имеем Н = NG (Z (/(S))), где
S —силовская р-подгруппа в Н, Отсюда следует, что S будет
р-подгруппой в G. Аналогично М = NG(Z (J(Sg))), так что
Н и М сопряжены.
Далее, V СР (Я) <= CG (s) <= М = Hg.
Выберем подгруппу U з V, такую, что U — максимальная
р-подгруппа в любом пересечении Н П Нё, g£H, содер
жащем U. Нетрудно убедиться в том, что, согласно^У-теореме,
U не будет силовской р-подгруппой в Н. Таким образом,
Ng(IJ)^H.
Разобьем оставшуюся часть доказательства на несколько
шагов.
(i) Каждая р-подгруппа Р{ группы G, содержащая силов-
скую р-подгрупцу Щ группы NH(U), лежит в Н.
Действительно, если Р{ лежит в силовской р-подгруппе Sx
группы G, то Н П Нх 3 Ux zd U и по выбору U имеем х е Н,
Таким образом, Р^Н.
(ii) CG(U)^U.
Согласно шагу (i), Ор (NG (G)) U{^H, и если х е
то OP(NG(U)) s Н Q Нх. Из максимальности U следует, что
U = OP(NG (£/))• Далее, так какУЕ^(Я), то F*(CG(V)) есть
р-группа и, согласно лемме 12.6, F* (CG ([/)) —тоже р-группа.
Таким образом, F* (Ng(U))=Op(Ng(U)) = U, так что CG(U)^U.
Это заканчивает проверку п. (ii).
Среди всех групп NG(Y) э Ag(G), где Y =А= 1 есть р-группа,
выберем N сначала так, чтобы | N |р было максимальным,
а затем чтобы | OP(N) | было максимальным. Пусть OP(7V)=Z,
OP',P(N) = X.
(iii) X — ОР (N) XOP'(N).
Действительно, согласно шагу (ii), ОР' (Nx (G)) Сх (U)^U.
Следовательно, NX(U) есть р-группа. Так как Nx (^)CiA/g(£/),
то Nx (G) е Op(NG (U)) = U, Далее, U нормализует некоторое
дополнение А к OP'(N) в X. В таком случае UA будет
р-группой. Поскольку Ng(U)(]UA = U, то UA — U и A ^U.
82 Т М Гаген
Таким образом, U П X — силовская р-подгруппа в X, откуда
N0(UnX)=>Na(U) n\Ne(U0X)\p^\N\p. Так как U П XsZ,
согласно выбору N, то Uf\X = Z. Но U П X — силовская
р-подгруппа в X. Следовательно, X = Ор> (N) X Ор (N).
(iv) N есть p-скованная группа.
Мы покажем, что CG(Z) имеет нечетный порядок, так
что CN(Z) будет разрешимой. Из этого, как известно, выте-
кает, что CN (Z) Е ОР', р (Л/). Пусть s —инволюция из CG(Z), и
фиксируем М е М (s).
Если [$, ОР(Л4)] = 1, то р = 2, поскольку Ор (М) — F* (М), и
тогда F* (Н) будет 2-группой по лемме 14.6. Однако это не так.
Следовательно, согласно лемме 2.2, [s, CG (Z) П (Л4)] 1.
В таком случае [s, CG(Z)f] ОР(М)] будет CN(з)-инвариант-
ной р-подгруппой в N. По лемме 13.4 имеем [s,C0(Z)(]
f| Ор (Л4)] <] <| F* (N). Следовательно, [s, CG (Z) f| Ор (Л4)] s
s0p(7V) = Z, а значит, [CG (Z) П ОР(Л4), s, $] = 1. Применяя
следствие 0.2, получаем противоречие. Поэтому CG(Z) имеет
нечетный порядок и утверждение (iv) верно.
Мы можем применить теперь к N ZZ-теорему. Некоторая
силовская р-подгруппа S группы N содержит силовскую
р-подгрупцу группы NH(U), а потому лежит в Н, согласно
шагу (i). По ZJ-теореме N — Ор> (N) N,y (Z (J (3))). Но тогда
Z (J(3))<= Ор', р (N)=OP' (ЮХОР(АГ), а потому Z (J(S)) = OP(N).
Таким образом, N = Nn (Z (J (S))). Поскольку | NG (Z (J (3))) |р
^|Я|Р и Ng(Z(J(S)))^N, то в силу выбора N будет
| Ng(Z(J(S))) |p=|Af|p. С другой стороны, если Scz1TeSylp(G),
то Nw (S)sNe (Z (7(S))) и I Nw (S) | > | 31. Значит, 3 — силовская
подгруппа в G, а стало быть, и в Н. По ZZ-теореме Глаубер-
манаЯ = Ng(Z (/(S))) э N—противоречие, ибо N^NG(U) и
Na(U)<3=H. Это завершает доказательство леммы 15.1. □
Лемма 15.2. Ранг группы O(F(H)} не превосходит 2.
Доказательство. Предположим, что г(Ор(Н))^3
для некоторого нечетного простого числа р. Пусть Р =
= Qi (Z2 (Ор (Я))). Так как р нечетно, Р имеет экспоненту р.
Каждая нормальная подгруппа типа (р, р) группы ОР(Н)
лежит в Р, так что Р нециклическая.
Если Р/Ф(Р) = Р,/Ф(Р)Х ••• ХРк№(Р), где Р//Ф(Р)-
неприводимый Т-модуль, то рассмотрим подгруппу Р s
s Ст (Pi/Ф (Р)) ранга r(T)— 1. Она существует, так как Т
представляется на Р{/Ф(Р) в виде циклической группы. Если
Р]/Ф(Р)—не циклическая группа, то выберем Wтак, чтобы
r(W,) = r(R)— 1. Тогда, как нетрудно видеть, r(Cp(W))^2.
Если группа Р^Ф(Р) циклическая, то k^2, потому что
Р/Ф(Р) и Р не циклические. Выберем
W = ker (Т -> aut Р {/Ф (Р)) П ker (Т -> aut Р2/Ф (Р))
Некоторые вопросы теории конечных групп 83
так, чтобы г (IF) = г (Г) — 2. Опять г (Ср (IF)) 2, так как
г (Ср/ф (Р) (IF)) ^2.
Далее, если v <= Р, то (о) Z (Ор (Я)) О Ор (Я), поскольку
PsZ2(Op(H)). Таким образом, X — (о) Qi (Z (Ор (Я))) — эле-
' ментарная абелева нормальная подгруппа в Ор (Я). Либо
г(Х)^3, и тогда X содержится в некотором элементе из
^,<2’Л’з (Ор (Я)), либо г(Х)^2, и тогда X все еще лежит
в некотором элементе из 9><^Ла3 (Ор (Я)). Действительно, со-
гласно 1.8.4 из [8], ^Л3(ОР(Н))^0, несли Ге^Л’3(Ор(Я)),
то |У/Сг(Х)|<р. Если СУ(Х)^Х, то ХСУ (X) < Ор (Я) и
г(ХСу(Х))^3. Если Су(Х) X, то XsK и все уже дока-
зано.
Мы можем, таким образом, применить теорему 14.7.
В результате получим, что CG(v)^H для всех оеР*.
Согласно лемме 15.1, 2^n(F*(H)). Выберем теперь под-
группу FsCs (IF) типа (р, р). -Так как [/, ОР(Я)]=1, то
/еСа(и)£Я для всех оеИ*. Кроме того, если selF, то
[s, V] = 1. Применяя лемму 14.8, получаем, что если MeM(s),
МфН, то г(Ор(Я))=1. Однако, это не так по предполо-
жению. Таким образом, {H} — M(s) для всех selF.
Если группа IF нециклическая, то существует четверная
подгруппа IFoSlF и (eCe(V)cW, где V — подгруппа
группы Ср(/?). Кроме того, seR, а потому [s, V] = 1. Далее,
CG (w) s Я для всех w е IF0. Применяя лемму 14.8 (с), по-
лучаем, что если М=/=Н, то г(Ор(Н))—1. Это
показывает, что M(s) = {H} для всех seR. Мы пришли
к противоречию с леммой 14.3.
Таким образом, доказано, что IF — циклическая группа
и г(Т) = 3. Поэтому все инволюции из G сопряжены.
Рассмотрим Wi = T П F* (И). Если V2 — произвольная под-
группа в Р типа (р, р), то V2 — СР(IF]), ибо [IFj, Р]=1.
Далее, /еСй(«)£Я для всех pelf, и если selFj, то
[s, F2]= 1. Согласно лемме 14.8(b), г(Ор(Я))=1, т. е. по-
лучено противоречие, если только исключить случай, когда
{H} = M(s) для всех seIF(. Конечно, так что
М(/) = {Я).
Если группа IF] нециклическая, то, учитывая равенство
г(Т) = 3, сразу же получаем противоречие с леммой 14.3.
Таким образом, IF] = (/> = Т Q F*(H) <= Z (Н) и Я = Оо(0-
Предположим теперь, что (s), s е R, М=/= Н.
Тогда М сопряжена с Я, ибо все инволюции сопряжены и
М(/) = {Я}. Поэтому {М) = М(з). Но СР (s) =2 СР (R) ф 1, так
что PQ 44^=1. Таким образом, Св (Р f) М) s Са (») s Я,
84
Т. М Гаген
v е Р П Л4*. Отсюда следует, что [/, CG (Р П Л4)] = 1. Далее,
действует на ОР(М) и, согласно лемме 2.2,
[/, Ор(Л4)]=1. Таким образом, ОР(М)^Н.
Выберем теперь V ОР(М) типа (р, р). Напомним, что
М сопряжена с Я, а потому г(Ор(Л1))^3. Тогда V Я,
[s, F]=l, так как M = CG(s). Меняя местами $, /, Я, М
в лемме 14.8, получаем, что s ^CG (v) М для всех veF,
V имеет тип (р, р) и [/, F]=l. Поскольку М =£ Я и
г(Ор(Л1)) = г(Ор(Я))^3, то мы пришли к противоречию. □
Лемма 15.3. Н/Е(Н) разрешима.
Доказательство. Мы покажем, что Н/Сн (F (Н)) раз-
решима, так что Н/F (Н)Сн (F (Я)) будет разрешима. По-
скольку F(H)CH(F (H))/F* (Я) имеет нечетный порядок, она
разрешима, откуда и будет следовать доказываемый ре-
зультат.
Пусть К = Я(оо). Тогда К действует на’ F(H), и если
[/<, F(H)P]=1 для всех р, то Сн (F (Н)) 3 Я(оо). Таким обра-
зом, выберем р, придерживаясь условия [/С, Р(Я)р]=/=1.
Так как К = ОР(К), то существует такая р'-подгруппа Х^К,
для которой [X, F (Н)р]=/= 1. Пусть Z) — критическая под-
группа Томпсона в F(H)P и C = Q}(D). Конечно, р#=2, ибо
Н/С (F (Н)2) — группа нечетного порядка и разрешима, а зна-
чит, K^Ch(F(H)2).
Далее, по лемме 15.2 имеем г (О (Я)) ^2, так что
1С | р3. Полагая С = С/Ф(С), получаем, что СК(С) есть
р-группа и К/Ск (С) — подгруппа группы GL (2, р) и Л*-группа.
Но такие подгруппы разрешимы. Таким образом, К разре-
шима, т. е. мы пришли к противоречию. □
Лемма 15.4. Пусть К— компонента группы Е(Н). Если
{Н} = М (s) для каждой инволюции s^CT (К), то NG (Т) Я.
Доказательство. Пусть W = СТ (К). Предположим,
что Ng(T)c£ Н = М ($) для всех se Qj (IF).
(i) T — элементарная абелева группа.
Действительно, пусть g~i^NG(T) — Н. Если W Q W8 #=1,
то существуют инволюции w, w8^W, такие, что {Я} =
= М (w) = М (w8). Отсюда следует, что g е Я, — противо-
речие. Так как Т = (К П Л ® и К(]Т — элементарная
группа, то и IF элементарна.
Пусть X, Y определены следующим образом:
X = NH (Т)/Сн (Т), Y = Ng (T)/Cg (Г).
Некоторые вопросы теории конечных групп 85
(ii) К Н.
Так как CQ (Т)^Са (/) s Н, то X<=Y. По предположению
Х=#У. Если хе У — X, то IFniF^=l, так что | W |<
С I Т : W | = | Q где К П Т — Q- В частности, существуют,
самое большее, две компоненты группы Е(Н) с такими
большими силовскими 2-подгруппами, как Q. Более того,
если | Т | = | Q |2 и Е (Н) — центральное произведение двух
групп, изоморфных /С, то Н не может переставлять эти две
группы. Отсюда следует, что
Пусть |Q| = <7. Выберем подгруппу R в К порядка q— 1,
которая централизует W и регулярна на Q. Мы покажем, что
(iii) X=NY(W)^NY(Ro) для всех подгрупп/?0=И= 1 группы./?.
Действительно, если пе= Ny(R0), то Rq=R0 централи-
зует W1. Так как R действует на Т/W регулярно, то Wn=W
и, значит, NY(RQ)^ Ny(W), ибо X нормализует К. Но при
yt=Y — X имеем ^0^ = 1. Поэтому X = Ny(W).
(iv) Если л (F (У)) =£ л (F (Y) f| X), то |IF| = 2, | Q | = 4.
Если л(Е(У))¥=л(Е(Г)ПХ), то пусть N s Z (F (У)) - ми-
нимальная нормальная подгруппа в У, для которой N (\Х^ 1.
Тогда каждый элемент из R действует на N без неподвижных
точек, поскольку CR (Ro) S X для всех подгрупп Ro группы R,
R0=^=l. Положим С = CT(N).
Имеем f]Wn, n^N, так что Cf| IF=1. Следова-
тельно, С—[С, /?], так как R регулярна на TjW. В силу того что
R s К, получаем С — [С, А] = К f| Т = Q. Но R регулярна
на Q, так что C = Q или С=1.
Предположим, что C — Q. Тогда
T = [N, T]®CT(N) = [N, T]®Q.
Здесь [У, Г], Q суть /?-модули, так что
Сг (/?)== (С (/?)(] [Af, T])®Cq(R).
Поскольку 1^ПС = 1ГПФ=1, то W s [N, Г]. Но тогда
IT = |JV, Т], что невозможно, ибо N нормализует [JV, Г] и
Wn П W = 1 для п е= IV.
Итак, С=1. Но Т — прямая сумма точных и неприво-
димых A/V-модулей и, согласно 3.4.3 из [12], |7’| = ^|1Г| =
= |1F|’_I. Эти равенства выполняются лишь при | W | = 2,
q — A, чем завершается проверка утверждения (iv).
(v) Если W — циклическая группа, то О(Н)=\.
Действительно, Т — элементарная группа, так что T^F*(H),
поскольку по предположению s^F*(H) для всех s^CT(K)* и,
конечно, К П T^F*(H). Согласно лемме 12.1, G имеет единствен-
ный класс инволюций, когда IF—циклическая группа. Пусть
seT*. Так как Н — CQ (w), IF — (w), то М—CG (s) сопряжена с Н
86
Т. М. Гаген .
и, значит, Г = /*”(Л1). Таким образом, О(Л!)£Се(/), ибо
t^F*(M) централизует F (О (М)) э Со (M)(F (О (Af))). Поэтому
О(Л1)ЕЯ. Аналогично предыдущему, получаем, что
Далее, К централизует разрешимую К-инвариантную под-
группу а значит, F(O(H)) = OF(CM(t)) <= О*(М) и
F(O(H))^C(T)[\OF(CM^O(M) по лемме 13.5. Таким
образом, F(O(H)) = О (М) = Н, откуда F (О (Н)) s F (О (Л4)).
По симметрии F (О (М)) е F (О (Н)) и Н = М, если О(Я)=/=1.
Но тогда Н = Ca(s) для всех seT. Однако это не так,
ибо И — максимальная подгруппа в G и No (Г) ф Н.
(vi) я(Р(У)) = я(Р(У)ЛХ).
Если л (Е (У)) =/= л (Е (У) П А), то | W | = 2, | Q | = 4, согласно
шагу (iv), и О(Я)=1, согласно шагу (v). Таким образом,
Р* (Я) = И? X К и /С—группа типа Ь2(г), где г нечетно.
Тогда G имеет тип 7Р, т. е. получено противоречие.
(Это единственное место, где используется точное строение
групп типа JP.)
(vii) Положим F = R (F(У) f] X). Тогда N f(R) = F=Cf(R) =
= R\CF(Q).
Действительно, R X, F(Y)(]X X. Таким образом,
F — нильпотентная группа. Но R действует на Q* регулярно,
так что нормализатор подгруппы R в полной линейной группе
на Q по модулю CF(Q) будет подгруппой мультипликативной
группы поля GF(q), расширенной при помощи автомор-
физма а. Если а^1, то такая группа не нильпотентна, так
что F/Cp(Q) = R. Отсюда вытекает, что F = RXCptQ)- Сле-
довательно, R^Z (F).
Пусть рел(Р), P = Q1(Z)(Op(F))).
(viii) NY(P)<=X.
Пусть y<=Ny(P') — X. Если xeCf(Q), то [х, Г] W, так
как Т = W©Q. Кроме того, если геР*, то CT(z) = W.
Имеем CP (Q)nCp(Q)v= 1. Действительно, если а, ау~' е
еСР (Q), то [а, Г] U7 Л Wy — 1, так что а = 1.
Кроме того, (Р П R) Л (Р П R)y = 1 • Действительно, если а,
ay'l^P(}R, то CT(a) = W = CT(ay~') и W = Wy, т. е. по-
лучено противоречие.
Так как R — циклическая, а Р — элементарная группы,
то | РАЯ К р. Но Р == Р (]R®CP(Q) (см. (vii)). Отсюда по-
лучаем, что |Р| = р2. Если S —любая подгруппа в Р,
для которой P = (Pf| ^?)5 = СР(Q)S, то CQ(S) CQ(P) = 1,
Cw(S)^Cw(P)=l.
Таким образом, S действует на Т без неподвижных точек.
Но Р A Ry СР (Q) имеют на Т неподвижные точки и сдвигаются
элементом у. Поэтому они должны переставляться. А тогда
у имеет четный порядок (противоречие).
Некоторые вопросы теории конечных, групп
87
Мы показали, что Ny (Р) X при Р = (Z (Ор (F))) для
всех простых чисел р.
Рассмотрим теперь Rp при действии на F(Y)P. Если
F(Y)P о (F(Y) f| Х)р, то выберем такую подгруппу М, что
(F (Y) fl Х)р с Ms F (Y)p, причем пусть М — наименьшая
Pp-инвариантная группа с таким свойством. Тогда [/?p,A4]s
<=(Е(У)ПХ)Р.
Следовательно, М нормализует Rp (F (У) f] Х)р = Fp, так
что M^Ny(P) = X. Таким образом, (F (Y)(]X)P = F(Y)P.
Так как л (F (У) П X) = л (F (У)), то F (У) f] X = F (У). Далее,
[Я, Р(У)] = [Р, Р(У)ПХ]= 1, а потому /?ЕР(У). Следова-
тельно, F = F(Y) и Р У. Таким образом, X = Y. Это за-
вершает доказательство. □
Лемма 15.5. Пусть К — компонента группы Е(Н). Тогда
группа Ст (/() не циклическая.
Доказательство. Пусть W = CT(K) = {w); Так как
группа К()Т элементарна, то при помощи гомоморфизма
переноса получаем, согласно лемме 12.1, что |U^| = 2, и
Na(T) транзитивна на инволюциях из Т. Действительно,
К ПТ имеет единственный класс инволюций. Если geG и
te(=W, то C(w)<=H8. Но №Св(ш), а так как Н1Е(Н)
разрешима по лемме 15.3, то К —К8. Тогда g^N(K) и
t^W.
Но в таком случае t ^CT(K)(]F* (Н), согласно лемме 15.1,
откуда Значит, {Н} = M(t), так что по лемме 15.4
получаем N0(T)^H. Остается сослаться на лемму 14.2 и
тем самым завершить доказательство. □
Лемма 15.6. Предположим, что Е(Н)=£=\. Петь К — ком-
понента группы Е(Н). Тогда
(а) С0(К)<=Ц-,
(b) если KsMeM(s) для некоторой инволюции s^T,
то М = Н; '
(с) Na(T)c=H-,
(d) К — группа типа L2 (2").
Доказательство. Если это возможно, выберем Н,
t, К так, чтобы К была типа JR. Далее проверяются усло-
вия (а) — (с) при этом ограничении на R. После того как
будет доказано, что условие (d) выполняется, мы получим,
что это ограничение на К было излишне, и лемма будет
полностью доказана.
Выберем инволюцию k <=Т(]К., М е М (k). Согласно
лемме 15.3, Н/Е (Н) и М/Е (М) разрешимы.
88
Т. М. .Гаген
Если К — группа типа JR, то возьмем в качестве N
произведение всех компонент группы Е(Н), являющихся
группами типа JR. В противном случае положим N = E(H).
Заметим, что N характеристична в любой подгруппе S из
Е(Н), которая ее содержит.
Пусть К—компонента группы N. Тогда
так как k^K. Поскольку М1Е(М) разрешима, то Ki^E(M).
Пусть E = K^M{t\ Тогда Е = Е(Е) лежит в Е(М) и, согласно
лемме 13.3, любая компонента группы Е, например
будет либо компонентой группы Е (М), либо группой типа
£2(^), содержащейся в компоненте группы Е(М) типа JR.
Согласно выбору Н, если имеет тип £2 (q), то никакая
компонента для Е(М) не может иметь тип JR. Таким обра-
зом, К\ — компонента группы £(М), так что 7<1^£(А1).
Пусть W = ... Кг- Тогда Кх ... Kr <j Е (М) П
(]CG(K)<3 CG(K)(^CG(k) М). Отсюда получаем, что N =
= ККх ... Кг < KE (CG (К)) = £ (KCG (К)). Следовательно,
E(KCG(K))^NG(N)=H, так что £ (KCG (К)) Е(Н). Но W
характеристична в E(KCG (/<)), а потому NG (£ (KCQ (К)))
^Ng(N) — H. Значит, CG(K)^H, и условие (а) выполняется.
(Ь) Если К М е М ($), то К^Е (М) и, как и выше,
К — компонента для £(Л4). Таким образом, по условию (а)
имеем CG(K)^M. Поэтому £(М)^Я, так что £(Л1)^£(Я).
Но, кроме того, £ (Н) М. Следовательно, £ (Н) = Е (М)
и Н = М.
(с) Пусть U = СТ(К). По условию (b) М(s) — {Н} для всех
инволюций set/. Тогда по лемме 15.4 NG(T)^H и по
лемме 15.5 U — нециклическая группа.
(d) Пусть £ — произведение всех тех компонент группы
Е(Н), которые не являются группами типа Е2(2П). Мы пока-
жем, что £=1, и тогда (а) — (d) будут выполняться без
ограничения, что /С—группа типа JR. Предположим, что Е#=1.
Так как U нециклическая и CG(u)^H для всех и е Z7*,
то, воспользовавшись тем, что {Н} = М(и) для всех
получим, что каждая Т-инвариантная (T^U) 2'-подгруппа D
из G лежит в Н. Кроме того, D ^Е для. всех ^-инвариант-
ных подгрупп D группы G, для которых £ (D) = D, и никакая
компонента группы D не будет группой типа Е2(2"), согласно
лемме 13.6. Напомним, что Т нормализует каждую компо-
ненту группы D.
Пусть М е М (s), Л4 =# Н, s <^Т. Из разрешимости группы
М/Е(М) следует, что М = О (М) Е (М) NM (Т). Действительно,
ТО (М)Е(М) <3 так как М есть Д*-группа, а тогда приме-
нима аргументация Фраттини. Так как NM(T)^H, то
Некоторые вопросы теории конечных групп
89
O(Af)s//, E(M)cgH. Пусть L — компонента группы Е(7И),
не содержащаяся в Н. Положим V — CT (L).
Согласно лемме 15.5, примененной к М, группа V не-
циклическая.
Если CG (v) М для всех v V*, то Е, будучи У-инва-
риантной, должна лежать в £(Л4). Кроме того, любая компо-
нента группы Е(М), не являющаяся группой типа £2(2Л),
будет Т-инвариантной (Т {/). Таким образом, каждая ком-
понента группы Е (Л4), которая не является группой типа
L2(2n), лежит в Н. Наоборот, каждая компонента группы
Е(Н), которая не является группой типа Е2(2Л), лежит в М.
Таким образом, Е — произведение всех компонент группы
Е(Н), и, кроме того, Е(М) не будет группой типа L2(2n).
Таким образом, Н = М (противоречие). Итак, существует
такой элемент v е V, что CG (v) М, где v — инволю-
ция.
Пусть R <= М (и). Тогда R #= М и, конечно, L s R. Каждая
компонента группы E(R) Г-инвариантна, и все компоненты
типа JR лежат в Н, согласно лемме 13.6. Таким образом,
каждая компонента группы E(R) типа JR лежит в Е(Н),
а потому и в Е. По лемме 13.5, примененной к LCr{s} E(R),
где, как нетрудно видеть, L R полупроста, поскольку
£C*<S) = E(M), получаем, что L —компонента группы E(R),
так как в противном случае L — группа типа L2(q) и лежит
в некоторой компоненте группы Е (R) типа JR. Поскольку
Ну последняя возможность не реализуется.
Теперь, если К не является группой типа JR, то наше
ограничение на К, /, Н излишне, так что условия (а) — (с)
выполняются всегда. Применяя (Ь) к М9 L вместо Н, К,
получаем, что M = R (противоречие). Поэтому К —группа
типа JRy так что [Т : U] = 8. Но U Q V = 1, ибо если х е U П V,
то CG(x)^H и Cg(x)^L<£ Н. Таким образом, | У|^8.
Но | V | = [Г : Т П Е]. Значит, Е (М) содержит L и имеет
самое большее две компоненты, и E(R) содержит L и имеет
самое большее две компоненты, а тогда L М, R (противо-
речие). □
Лемма 15.7. Н разрешима.
Доказательство. При Е(Я)#=1 пусть К —компо-
нента группы Е(Н)у U = CT(R). Согласно лемме 15.6,
NG(T)^ Н и М (s) = {Н} для каждой инволюции s ^U.
Кроме того, по лемме 15.5 группа U нециклическая. Следо-
вательно, любая tZ-инвариантная подгруппа нечетного по-
рядка из G содержится в Н.
90
Т. М. Гаген
Пусть М <= М (s), М=£ Н, s<=T. Так как М1Е(М) — разре-
шимая Л*-группа, то М = О (М.) Е (М) NM (Т). Таким образом,
Е(М)&Н.
Пусть L — компонента группы Е (М), не содержащаяся
в Н, и V — CT(L). По лемме 15.4 NQ(T)^M и M(v) = {M}
для всех v е V*. Кроме того, U П V = 1, ибо если х — инво-
люция в U П V, то L S Са (х) s Н.
(i) Можно предположить, что L М.
Если тоЕ (И) и Е (М) содержат по край-
ней мере две другие компоненты, изоморфные К и L со-
ответственно. Тогда |£/|>|7’ПК| = [7':£7], | V | > | Т f| L | =
= [Т : V] и потому U Q V ¥= 1 • Таким образом, получаем (i).
Так как К — группа типа L2(2"), то она содержит цикли-
ческую подгруппу /?, которая обращается некоторой инволю-
цией из К и действует регулярно на ГПК*. Тогда U = CT(R)
и Rs Na(T) s М. Таким образом, R нормализует L, L()T
и Ст (L). Более того, R действует неприводимо на [R, Г] = ТПК>
так что V П [R, Г] = 1 или V Q [R, Т] = V.
(ii) U = T(]L и RL = RXL.
Действительно, если V Л [R, 7']= 1, то [V, /?] = 1, ибо R
централизует Т по модулю [R, Г]. Но V("|Cr(/?)= Vf|£/= 1.
Значит, V Э [R, Т], и если V => [/?, Т], то Cv (R) У= 1 и
CF(/?) = L/nV.
Таким образом, V = [R, Г]. Отсюда следует, что R центра-
лизует LflT. Но T = V®(L(]T). Так как Ст (R) = U = L П Т
и С/f] К=1, то U — L(\T.
Более того, R нормализует группу L типа L2 (2") и центра-
лизует силовскую 2-подгруппу L f] Т в L. Таким образом, R
не может индуцировать на L автоморфизм, определенный
автоморфизмом основного поля, и должен индуцировать
внутренний автоморфизм на /.. Так как С£(£ПЛ = ^ПЛ
то мы имеем [R, L] = 1 и RL = RXL.
(iii) U — силовская 2-подгруппа в CQ (R).
Действительно, пусть Ux э U — силовская 2-подгруппа
в Cq(R). Тогда UisCq(u) s Н для u^U, так что t/AsT(]
П CG (Rh) для некоторого й е Н. Далее, Rh лежит в Kh —
компоненте для Е (Н) типа Ь2 (2"), и Rh — подгруппа порядка
2"—1, действующая регулярно на Т’ПТ<А- Но Т = (Т П Kh) X
ХСГ(ЛА) и Ст (Ra) э Ст (R) Э U*. Так как |Cr(RA)| =
= |Сг(/<)|==|:/|, то = U{ = U и (/ — силовская
2-подгруппа в C0(R).
(iv) t/s Г (Ся (/?))•
Так как Т f) L элементарна по (ii), тс U — элементарная
абелева группа.
Некоторые вопросы теории конечных групп
91
Согласно лемме 15.1, UsF*(H), ибо М(и) = {Н} для
всех иеУпо лемме 15.6. Таким образом, U s CG (R) Л г (Я).
Пусть Г(Н) = ККх ... KrF(H), C0(R)ftF*(H) = RKi ...
... KrF(H), RF(H)<=F(CH(R)).
Ho Ki ... Kr нормализует разрешимую подгруппу
F(CH(R))sH. Следовательно, Ki ... Кг централизует
F(CH (R)). Так как CH(R) есть Л*-группа, отсюда вытекает,
что Ki ... Kr^F*(CH(R)). Значит, U £= F* (Н) f] CG (R) =
<=F*(CH(R)).
(v) Uc=F'(Cq(R)), так что LsF(Co(/?)).
• Действительно, O(Co(R)) есть {/-инвариантная подгруппа
в G. Таким образом, О (CG(R)) s Н. Следовательно,
[О (CG (R)), £7] s о (Со (R)) Л Г (Сн (R)) <= F (Сн (R)).
Поэтому [О (Са (R)), U, Щ = [О (Со (R)), £/] = 1. Согласно
лемме 13.1, U s F* (CQ (R)). Так как U — силовская 2-под-
группа в Cg(R) и LsCq (R), то L s F* (Ce(R)). Таким обра-
зом, L = E(Ca(R)). Поэтому NG(R) s NQ(L) = M. Следова-
тельно, К={Т(]К, NK(R)')^M. Это противоречит лемме 15.6(b),
ибо М=£ Н, что и завершает доказательство. □
Лемма 15.8. NQ(T)<=H.
Доказательство. Так как Н разрешима и t^.F*(H)y
то ;еО2(//). Если О(Я)=1, то, как нетрудно видеть,
Ng(T)sH. Пусть реп, р =£ 2. Пусть Р — максимальная
Т-инвариантная р-подгруппа в G, содержащая ОВ(Н).
Действительно, С0(Р(]Н)^Н, так что [/, СР(РЛЯ)]е
£5РПО2(Я)=1. Так как [Р Л Н, /] = Р П О2(Я) = 1, то из
леммы 2.2 следует, что Р Со (/) s Н.
(ii) <И0(Г, где я1==я(Р(Я))-{2).
Теорема о транзитивности 4.3 очевидным образом при-
менима здесь (ибо централизаторы инволюций разрешимы),
так что CG (Т) s Н действует транзитивно на максималь-
ных элементах из И0(Т,р), реп,. Так как Р^Н, то
(Ив(Т,Я1)) = Н.
Пусть теперь §<^NG(T). Поскольку Н8^Т, то F(H8)2
централизуется подгруппой Т. В силу того что F (Н8)?
еИй(7, nJ, по (ii) имеем F(H8)^^H. Таким образом,
F(H8)sH. Отсюда следует, что [/, F (Н8)] s [t, F(H8)2'] s
S F (Hs)2' Л O2 (H) = 1. Поскольку [/, F (О (H8))] = 1, to
[{, 0(H8)]— 1, а потому 0(H8)^H. Так как И имеет 2-длину 1
и является разрешимой Л*-группой, то О (Н8) s О (Я). Таким
образом, Н8 = Я и Ng(T) s Я. □
92
Т. М. Гаген
Лемма 15.9. CG(x)^H для всех х е 02(#)*« Кроме того,
группа 02(Н) нециклическая.
Доказательство. О2(Н) очевидным образом нецикли-
ческая, ибо, согласно лемме 15.8, если бы она была цикли-
ческой, то О2 (Н) s Z (NG (Г)) П Т и гомоморфизм переноса
приводил бы к противоречию с простотой G.
Пусть х О2 (Н) — инволюция, М е М (х). В силу леммы
15.8 Ng (Г) <= М, так что Н = О (Н) NG (Г) <= М, ибо [х, О (Я)] s
£02(Я)(10(Я)=1, а потому О (Я) <= CG (х) <= М. □
Лемма 15.10. M(s) = {H} для всех инволюций s^T*.
Доказательство. Действительно, пусть
s^T. Тогда М = 0 (М) NM(T). По лемме 15.9 0(М)^Н,
ибо О(М) = <Со(х)ПО(Л1)|хеО2(Я)*>. По лемме 15.8
Ng(T)^H. Таким образом, М — Н. □
Это противоречит лемме 14.3 и завершает доказательство
теоремы А.
ДОПОЛНЕНИЕ: р-СКОВАННОСТЬ И р-УСТОЙЧИВОСТЬ
Эти понятия возникают довольно естественным образом
при обобщении некоторых аспектов теории р-разрешимых
групп (см. [14]). Определение р-скованности взято из основ-
ного свойства р-разрешимых групп, отмеченного в известной
лемме 1.2.3 из [14]. Определение p-устойчивости взято из
известной теоремы В той же самой статьи. Читатель дол-
жен быть знаком как с этой статьей, так и с изложением
этих понятий в [12]. В наше дополнение также включено
очень краткое обсуждение этих вопросов, чтобы исправить
одну ошибку в изложении Горенстейна и восполнить один
пробел, ибо важно знать как можно больше логических след-
ствий из этих понятий.
Определение. Пусть р — произвольное простое число.
Группа G называется p-скованной, если Cg (Р) ОР', р (G) для
любой силовской р-подгруппы Р группы ОР', P(G).
Определение. Пусть р — нечетное простое число и
G — группа, для которой OP(G)=/=1. Тогда G называется
p-устойчивой, если для любой р-подгруппы А s G и любой
А-инвариантной р-подгруппы Р ОР', р (G) с О}' (G)P G и
[Р, А, А] = 1 имеем
ACg (P)/Cg (Р) <= Ор (NG (P)/Cg (Р)).
Нетруднб убедиться, что если Р — силовская р-подгруппа
в OP',p(G) с р-разрешимым централизатором CG(P). то G
Некоторые вопросы теории конечных групп
93
будет p-скованной. Действительно, по лемме 0.3 имеем
Сс/ор, (G)(P) = Cg(P)OP'(G)/OP'(G), и без потери общности
можно предполагать, что OP'(G) = 1. Таким образом, CG(P)^
^|G и можно найти такую подгруппу К <3 G, К Р, что
К s PCQ (Р) и К/Р — главный фактор группы G/Р, если
CG (Р) 9= Р. Так как Р = Ор\ р (G), то К/P является р'-группой,
а тогда и ^-группой для некоторого q Ф р. Поскольку К s
PCG (Р), то К = РСк (Р). Пусть Q — силовская р-подгруппа
в К, содержащаяся в Ск (Р). Тогда К — PQ = PXQ, а потому
Q s ОР'(К) s ОР' (G) = 1. Это показывает, что G будет р-ско-
ванной в случае р-разрешимости CG(P) и Ор< (G) Р = ОР', P(G),
где Р есть р-группа.
Заметим, однако, что свойство р-скованности не обяза-
тельно переносится на подгруппы или на факторгруппы.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим Л5ХС3 —А- Очевидно,
что Л5ХС3 не является 3-скованной. Мы можем образовать
группу £(78) • (Л5ХС3) при помощи расширения элементарной
абелевой группы £(78) порядка 78, действуя на нее группой
Л5ХС3 естественным образом. Пусть теперь эта новая группа
точно действует на любой элементарной абелевой 3-группе.
Группа G—£,(3^)£,(78)(Л5ХС3), построенная таким способом,
очевидно, 3-скована, так как элементарная абелева группа
Е (3k) = Or, з (G) самоцентрализуема. Так как Л5ХС3 —одно-
временно подгруппа и факторгруппа группы G, мы убе-
ждаемся в том, что р-скованность не сохраняется ни в одном
из направлений.
Следующий результат показывает, что при определенных
обстоятельствах возможно перенесение свойства р-скован-
ности как на факторгруппы, так и на подгруппы.
Лемма 1. (а) Группа G будет p-скованной в том и только
том случае, когда раскованной является факторгруппа G/OP' (G).
(b) Если G р-скована, то NG(P) и CG(P) будут р-скован-
ными для каждой р-подгруппы Р в G.
Доказательство, (а) Это следует непосредственно
из леммы 0.3.
(Ь) Воспользовавшись леммой 0.3 и п. (а), можем предпо-
ложить, что OP'(G) = 1. Результат следует теперь из леммы 12.5.
Обратимся к p-устойчивости. Стоит сформулировать здесь
знаменитую теорему В с тем, чтобы иметь возможность обсу-
дить первоначальное происхождение р-устойчивости.
Теорема В. (Холл и Хигмэн). Пусть G есть р-разре-
шимая группа линейных преобразований с Ор (G) — 1, дей-
ствующая в векторном пространстве V над полем F харак-
теристики р. Пусть х — элемент порядка рп. Тогда минимальным
многочленом для х на V будет (X — 1)г, где
94
Т. М. Гаген
(i) г = рп
или
(ii) существует такое целое число По п, что рп* — 1
является степенью простого числа q, для которого силовские
q-подгруппы группы G неабелевы. Тогда, если nQ — наименьшее
целое число с этим свойством, то
рп-п. (ръ __ 1) г Р«.
Конечно, неудивительно, что минимальный многочлен
имеет вид (X — 1)г, где г^рп. Очевидно, что минимальный
многочлен делит Хр — 1 = (Х — 1)р . Интересная часть тео-
ремы — это нижняя граница. Для наших целей нам нужно
знать, когда константа г может быть равна 2, т. е. когда х
имеет квадратичный минимальный многочлен. Очевидно, что
так будет всегда при рп — 2, и это есть причина, по которой
простое число р — 2 исключено из определения р-устойчивости.
Итак, г = 2 может быть лишь при pn~n° (рпо — 1) = 2, что
выполняется лишь при п = п0=1, р = 3. Силовская 2-под-
группа в G будет неабелевой и 3 || G |. Внимательное чтение
доказательства теоремы В показывает, что г > 2, если SL(2, 3\
не вплетена в G (т. е. G не содержит сечений, изоморфных
SL (2,3); напомним, что сечением группы G называется лю-
бая факторгруппа произвольной подгруппы из G).
Для получения условий теоремы В в абстрактной
группе G предположим, что Р есть р-подгруппа в G и
Ор (Ng (P)/Cg (Р)) = 1. Пусть А — абелева р-подгруппа, нор-
мальная в силовской р-подгруппе из NG(P), и V = Р/Ф(Р).
Тогда [Р, А, Л] = 1. Если v е V, а е А, то
[у, а] — — v + va = v~i+a, [у, а, а] = v<~l+a}2.
Так как [Р, А, Л] = 1, то (— 1 +а)2 — нулевой эндоморфизм
группы V, а потому а действует на V в самом худшем слу-
чае с квадратичным минимальным многочленом. Если, на-
пример, SL (2, 3) не вплетена в G, то мы знаем, что а должен
действовать тривиально на V. Отсюда следует, что А^Р,
так что Р содержит каждую абелеву подгруппу, нормальную
в силовской р-подгруппе группы N (Р). Дальнейшую инфор-
мацию можно найти в [12].
И опять: p-устойчивость не переходит на собственные
сечения. Действительно, внимательное чтение доказательства
утверждения 3.8.3 из книги Горенстейна [12] показывает,
что в случае, когда х и у — сопряженные p-элементы в группе X,
для которых (х, у} не является р-группой, в то время как х
действует на G-векторном пространстве характеристики р
с квадратичным минимальным многочленом, группа {х, у}
содержит сечение, изоморфное SL(2, р).
Некоторые вопросы теории конечных групп 95
Рассмотрим теперь Л8, знакопеременную группу степени 8.
Пусть V — элементарная абелева 3-группа порядка З8 и
G — полупрямое расширение V при помощи Л8 с естествен-
ным действием Л8 на V. Для любого данного 3-элемента х
из Л8 существует всегда такой сопряженный с ним элемент
у е Л8, что (х, у) Л4. Следовательно, (х, у) не содержит
сечения, изоморфного SL(2, 3), так что х не может действо-
вать на V с квадратичным минимальным многочленом. Таким
образом, G будет 3-устойчивой.
Так как, однако, G содержит сечение, изоморфное полу-
прямому расширению Qd (3) группы типа (3, 3) при помощи
SL (2, 3), которое является классической не 3-устойчивой груп-
' пой, то мы получили 3-устойчивую группу с не 3-устойчивым
собственным сечением.
Ввиду этого полезна следующая лемма.
Лемма 2. Группа G с OP(G)=£ \ будет p-устойчивой в том
и только том случае, когда р-устойчивой является фактор-
. группа GlOp' (G).
Доказательство. Если G p-устойчива, то положим
G = GjOp' (G) и т. д. Предположим, что Л s NG (Р) = G такова,
что [Р, Л, Л] = 1, где Л, Р суть р-подгруппы в G. Пусть
J< = Op'(G). Но Л нормализует РК, а так как число силов-
ских р-подгрупп в РК взаимно просто с р, то существует
Г такой элемент k е /С, для которого Ak нормализует Р.
Имеем также [Р, Ak, Л*] s К. Следовательно, [Р, Ak, Л*] s
. £=РГИ=1.
Поэтому, в силу того что G p-устойчива, AkCG (P)/CG (Р)
S Op (Ng (P)/Cq U5))- По лемме 0.3 CG (Р) = CG (Р) К/К, так что
: G/Cg (Р) - G/Cg (Р) К = Ng (Р) Cg (Р) K/Cg (Р) ~
Nq (P)/(No (Р) Л св (Р) К) = 2Vfl (Р)/Со (Р).
Поскольку ,AkC_e (Р)/С0(Р) <= Ор (NQ(Р)/Са(Р)) Op(G/C^ (Р))
и Ак = А, C-q(P) = C0(P), to мы получаем, что G р-устой-
чива.
Обратно, предположим, что G = G[OP'(G) р-устойчива.
Пусть Р есть р-подгруппа в G, для которой OP'(G)P^G, и
предположим, что A s N_a (Р) — это р-подгруппа, для которой
s [Р, А, Л]= 1. Так как [Р, А, Л]= 1, то
• AC^(P)/C^P)zOp(G/C5(P)).
96
Т. Л4. Гаген
Далее, _
C^(P) = Ce(P)Op,(G)/Op,(G)
и
Nq (Р) Со (Р) Ор> (G)/Cg (Р) Ор> (G) = G/Co (Р) Ор> (G) ~
Vo (P)/(V0 (Р) П (Со (Р) Ор- (G)) = Nq (Р)/Со (Р).
Итак, при полученном изоморфизме
АС о (Р)/Со (Р) <= Ор (No (Р)/Со (Р))
и G будет p-устойчивой. Лемма 2 полностью доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Alperin J., Lyons R., On conjugacy classes of p-elements, J. Algebra,
19 (1971), 536—537.
[2] Bender H., Ober den grossten p'-Normalteiler in p-auflosbaren Grup-
pen, Arch. Math. (Basel), 18 (1967), 15—16.
[3] Bender H., On the uniqueness theorem, Ill. J. Math., 14 (1970), 376—
384.
[4] Bender H., Transitive Gruppen gerader Ordnung, in denen jede Involu-
tionen genau einen Punkt festlasst, J. Algebra, 17 (1971), 527—
554.
[5] Bender H., On groups with abelian Sylow 2-subgroups, Math. Zeitschr,,
117 (1970), 164—176.
[6] Blacklburn N., Automophisms of finite p-groups, J. Algebra, 3 (1966),
28—29.
[7] Brauer R., On groups of even order with abelian Sylow 2-subgroups,
Arch. Math., 13 (1962), 55—60.
[8] Feit W., Thompson J. G., Solvability of groups of odd order, Pacific
J. Math., 13 (1963), 755—1029.
[9] Glauberman G., A characteristic subgroup of a p-stable group, Canad.
J. Math., 20 (1968), 1101—1135.
[10] Goldschmidt D. M., A group theoretic proof of the theorem for odd
primes, Math. Zeitschr., 113 (1970), 373—375.
[11] Goldschmidt D. M., 2-Fusion in finite groups, Ann. Math., 99 (1974),
70—117. (См. стр. 144—200 настоящего сборника.)
[12] Gorenstein D., Finite groups, Harper and Row, New York, 1968.
[13] Gorenstein D., Walter J. H., The characterization of finite groups with
dihedral Sylow 2-subgroups, J. Algebra, 2 (1965), 85—151, 218—270,
354—393.
[14] Hall P., Higman G., On the p-length of a p-solvable group and redu-
ctions for Burnside’s problem Proc. Lond. Math. Soc., 6 (1956), I—40.
[15] Huppert B., Endliche Gruppen, I, Springer Verlag, Berlin, 1967.
[16] Janko Z., A new finite simple group with abelian Sylow 2-subgroups
and its characterization, J. Algebra, 3 (1966), 147—186.
[17] Janko Z., Thompson J. G., On a class of finite sumpie groups of Ree,
J. Algebra, 4 (1966), 274—292.
[18] Matsuyama H., Solvability of groups of order 2aqb, Osaka J. Math., 10
(1973), 375—378.
[19] Ree R., A. family of simple groups assosiated with a simple Lie algebra
of type G2, Amer. J. Math., 83 (1961), 401—420.
Некоторые вопросы теории конечных групп 97
[20] Suzuki М., A new type of simple groups of finite order, Proc. Nat.
Acad. Sci. US, 46 (1960), 868—870.
[21] Thompson J. G., Towards a characterization of E*2(q), J. Algebra, 7
(1967), 406—414.
[22] Walter J. W., Finite groups with abelian Sylow 2-subgroups of order
8, Inventions Math., 2 (1967), 332—376.
[23] Walter J. W., The characterization of finite groups with abelian Sy-
low 2-subgroups, Ann. Math., 89 (1969), 405—514.
[24] Ward H. N., On Ree’s series of simple groups, Proc. Amer. Math. Soc.,
6 (1963), 534—541.
4 Зак. I960
РАЗРЕШИМЫЕ СИГНАЛИЗАТОРНЫЕ ФУНКТОРЫ
НА КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ 1)
Д. М, Голдшмидт
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Введение.................................................... 98
2. Вспомогательные леммы и известные результаты................101
3. Теорема о транзитивности....................................104
4. Теорема единственности.................................... 105
5. Доказательство основной теоремы..............*..............107
Список литературы..............................................111
1. ВВЕДЕНИЕ
В этой статье мы обобщаем недавние работы Горенстейна
[2] — [4]. Лучшей мотивировкой наших результатов служит,
вероятно, лемма* 2.3 (см. ниже):
Если R есть r-подгруппа r-разрешимой группы G, то
0ANM)^0AG).
Если группа G проста, это утверждение не всегда верно,
и часто возникает необходимость нахождения способов
„контролировать" подгруппы вида Or'(NG(R)) для различных
r-подгрупп R. Для подхода к этой задаче Томпсон ввел
множество И (Л) — совокупность г'-подгрупп, нормализуемых
фиксированной r-подгруппой Л. Если X — такая группа и
А — нециклическая абелева группа, то, как хорошо известно,
Х = {Сх(а)\а е А*), так что X определяется группами Сх(а),
которые являются элементами из И (А), содержащимися
в CG(a). Первоначальная идея Горенстейна [2] состояла, по
существу, в том, что следует ограничиться рассмотрением
подмножества И0(А) множества И (А), выделяемого требо-
ванием, чтобы для любого «еА* группа Сх(а) лежала
в заранее выделенной А-инвариантной г'-подгруппе 0(Со(п)).
Интересный случай возникает, когда это условие выпол-
няется также для самой группы 0 (С (а)), т. е. когда
(*) CG («О П 0 (СQ (а)) 0 (Со (aj) для всех а, ^еА*.
!) Goldschmidt David М., Solvable signalizer functors on finite groups»
J. Algebra, 21 (1972), 137—148.
© Перевод на русский язык, «Мир», 1979. 4
Разрешимые сигнализаторные функторы 99
Свойство (*) обычно называется „балансом" (или „сба-
лансированностью"). Таким образом, мы пришли к следую-
щему основному определению.
Определение. Выражение „0 есть А-сигнализаторный
функтор на G" означает, что А — абелева r-подгруппа ко-
нечной группы G для некоторого простого числа г и что
для каждого ае Л* определена некоторая А-инвариантная.
r'-подгруппа 0(Со(а)) ^С0(а), для которой выполняется
условие (*).
Для заданного А-сигнализаторного функтора 0 на G мы
вводим следующие дополнительные определения:
(1) 0 разрешим^ если подгруппа 0 (CG (а)) разрешима для
любого а е А*.
(2) Ассоциированное множество А-сигнализаторов — это
совокупность всех А-инвариантных r'-подгрупп X из G, для
которых Сх (a) S 0 (Со (а)) при любом а е А*; оно обозна-
чается через И0(А). Если 0 разрешим, то мы дополнительно
требуем, чтобы все элементы из Й0(А) были разрешимы.
(3) 0 полон, если G содержит единственный максималь-
ный относительно включения элемент из Ие(А). Этот эле-
мент обозначается через 0(G).
(4) 0 локально полон, если нормализатор NG (X) любой
неединичной подгруппы X е И0 (А) содержит некоторую
группу Q(N0(X)), которая является единственным макси-
мальными элементом среди всех элементов из И0(А), со-
держащихся в NG(X). В этом случае мы полагаем 0 (CG (X)) =
= 0(^U))ncG(X).
(5) Если 1 =# В А, то полагаем 0 (CG (В)) = П 9 (CG (b)).
ь&в^
Прежде чем формулировать основную теорему этой статьи,
мы сделаем несколько элементарных замечаний. Прежде
всего, в условии сбалансированности (*) в точности утвер-
ждается, что 0 (CG (а)) е И0 (А) для всех а е А*. Таким
образом, 0 (CG (а)) — единственный максимальный элемент из
И0(А), содержащийся в CG(a), &ля всех ае А* Аналогично
0 (CG (В)) — единственный максимальный элемент из И0 (А),
содержащийся в CG (В), для всех В s А. Тривиальная про-
верка показывает, что если X е Ие (А) и У есть А-инва-
риантная подгруппа в X, то УеИ0(А). Таким образом,
если Н, /С —подгруппы в G, для которых 0(B), 0(7<) опре-
делены, то 0(Я)П/С = 0(Я)Пе(Ю = ЯП0(/<). Эти факты
используются во всей статье без всяких ссылок.
Если А — нециклическая группа (единственный интерес-
ный случай в дальнейшем изложении), то нетрудно проверить
4*
100
Д. М. Голдшмидт
(см. лемму 2.1), что 0 будет полным тогда и только тогда,
когда
<6(С0(а))|аеЛ*>еИв(Л),
причем в этом • случае 0 (G) = (0 (Со (а)) | а е Л*). Таким
образом, полнота функтора 0 означает, в частности, что
<0(Со(а))|аеЛ*> есть /-группа, причем разрешимая, если 0
разрешим. Заметим, что в случае, когда А является 2-груп-
пой, 0 автоматически разрешим, согласно теореме Томп-
сона — Фейта.
Существует один очевидный способ построения Л-сигна-
лизаторного функтора 0. А именно, начнем с некоторой
Л-инвариантной /-подгруппы X s G и определим 0 (CG (а)) =
= Сх (а) для всех а е Л*. Тогда „баланс" тривиально выпол-
няется. Полнота функтора 0 в данном случае обеспечи-
вается способом его получения. Проблемой в этой области
является нахождение достаточных условий на Л и на строе-
ние и вложение подгруппы 0 (CG (а)) в CG (а) для того, чтобы
обеспечить полноту функтора 0. В качестве примера имею-
щихся трудностей рассмотрим случай группы G = L2(q) (5 <
< q = 3,5 mod 8) с силовской 2-подгруппой в качестве Л.
Положим 0 (CG (а)) — О (CG (а)), аеЛ*; тогда 0 будет Л-си-
гнализаторным функтором, но не будет полным.
Имея в виду эти определения и замечания, мы можем
сформулировать теперь основную теорему.
Основная теорема. Предположим, что 0 — разрешимый
А-сигнализаторный функтор на конечной группе G и m (Л) 4.
Тогда 0 полон !).
Мы используем обозначения из [5]; например, т(Л) —
ранг Л как абелевой группы. Кроме того, пусть <?\(Л)
обозначает множество подгрупп В^Лс m(B) = k. Для
Л-сигнализаторного функтора 0 положим n(0)=U л(0(Со(а))).
Для любого множества простых чисел а пусть Ив (Л; а)—
подмножество в И0(Л), состоящее из всех а-групп, и
ИеИ; о) — множество максимальных элементов из И0(Л; а).
Для о = {р} или о = {р, q} мы пишем И0(Л; р), И0(Л; р, q)
соответственно.
!) Томпсон указал на одно непосредственное и интересное следствие
основной теоремы:
Предположим, что А — абелева г-группа, tn (А) >4 и Л действует
на неразрешимой r'-группе X. Тогда для некоторого а е 4* централиза-
тор Сх (а) неразрешим.
Разрешимые сигнализаторные функторы 101
2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Лемма 2.1. Предположим, что абелева г-группа А дей-
ствует на г'-группе X. Тогда Х = {СX(AQ)\ А/AQ циклическая).
Доказательство. См. [5, стр. 225].
Лемма 2.2. Предположим, что г-группа А действует на
разрешимой , г'-группе X. Тогда любые две А-инвариантные
холловские подгруппы в X сопряжены при помощи некоторого
элемента из СХ(А). Любая А-инвариантная в-подгруппа Q
из X содержится в некоторой А-инвариантной холловской
в-подгруппе из X. Если и Q2 суть А-инвариантные а-под-
группы в X, то <Qi, Q0 будет о-группой при некотором
х<=Сх(А).
Доказательство. Пусть G — расщепляемое расши-
рение группы АХ. Предположим, что и Н2 суть Д-инва-
риантные холловские подгруппы в X. Тогда АН{, АН2—- хол-
ловские подгруппы разрешимой группы G. Из сопряженности
холловских подгрупп в разрешимых группах следует, что
(АН^Х = АН{ для некоторого x^G. В силу сопряженности
силовских подгрупп в АНХ, можем считать Ах = А и Н2 = Н1,
так что х е Ng (Л) = ANх (Д). Пусть х = ахг с а^А, Xi е
е Nx (Д) = Сх (Д). Тогда Н2Х' = Н2, как и требовалось.
Предположим теперь, что Q есть Д-инвариантная сг-под-
группа в X. В соответствии с D{r, ^-свойством разрешимой
группы АХ группа AQ содержится в некоторой холловской
{г, о}-подгруппе Н группы АХ. Ясно, что Н = А(Н[\Х),
где Н[\Х есть Д-инвариантная холловская о-подгруппа в X,
содержащая Q. Последнее утверждение следует теперь сразу
же из первых двух.
Лемма 2.3. Если Р есть р-подгруппа р-разрешимой
группы X, то
OP'(NX(P))^OP'(X).
Доказательство. См [1, лемма 2].
Лемма 2.4. Если Q есть р'-подгруппа р-разрешимой группы X,
которая нормализуется в ней некоторой силовской р-подгруп-
пой, то Q<=OP'(X).
Доказательство. Можно предположить, что Ор' (Х)= 1,
и попытаться показать, что Q= 1. Пусть Н =*ОР(Х). Тогда Н
содержится в каждой силовской р-подгруппе из X, откуда
получаем, что [И, Q] ^H(]Q = 1. Из леммы 1.2.3 Холла —
Хигмэна [5, стр. 228] следует, что Q=l.
102
Д. М. Голдшмидт
Лемма 2.5. Предположим, что V — нециклическая абелева
r-группа операторов на р-разреишмой г'-группе X для про-
стых чисел г и р. Тогда П Ор' (Сх (и)) Ор> (X).
1>€=Н=
Доказательство. Пусть Q= П Ор'(Сх(с)). Согласно
v V#
стандартным результатам о копростых операторных группах !)
[5, стр. 224], можно предположить, что. О/(X) = 1, и попы-
таться показать, что Q=l. Пусть Н = ОР(Х). Тогда Н =
== (к) | v <= V*) по лемме 2.1. Так как QsCx(u), то Q
нормализует CH(v) для всех v е V*. Тогда
[C„(v)> Q] = tfnOp'(Cx(v))=l
для всех v е V*, откуда получаем, что [Н, Q]=l. Поэтому
Q=1 в силу леммы 1.2.3 Холла — Хигмэна.
Отметим, что в предыдущих трех леммах предположение
о р-р азрешимости может быть заменено на предположение
о р-скованности. Наши приложения в этой статье, однако,
будут относиться к разрешимой группе X.
В следующих двух леммах мы предполагаем, что 0 — это
Л-сигнализаторный функтор на G.
Лемма 2.6. 1) Пусть Л = Н ^0. Положим QH(CH(a)) —
= 0(Со(а))ПЯ для всех а^А*. Тогда 0Я будет А-сигнали-
заторным функтором на Н и 0Я разрешим, если разрешим 0.
2) Предположим, что X G для некоторой г'-подгруппы X
(причем А есть r-группа). Для Н яб положим Н = НХ/Х.
Определим 0(С<т(а)) = 0 (С0(а\) для всех а^ А*. Тогда 0
будет А-сигнализаторным функтором на G, причем он раз-
решим, если разрешим 0.
Доказательство. 1) Так как A s Н, то 0Я (Сн (а)) будет
Л-инвариантной r'-группой для всех а е Л*. Кроме того,
0Я (Сн (а)) П Сн (а,) s 0 (Со (аО) П П = 0Я (Сн (а^. Очевидно, что
подгруппа 0я(Ся(а)) разрешима, если разрешима 0(Со(а));
таким образом, 1) тривиально.
2) 0(Сд(а))—это Л-инвариантная /-группа, которая раз-
решима, если разрешима 0(Со(а)), для всех аеЛ*. Таким
образом, нам следует лишь проверить, что 0 (Cq (а)) П
П Сл (й])) s 0 (Cq (а,)) для всех а, а, е Л*. Выберем а, а^А*.
Если А действует на G и порядки | А |, | G | взаимно просты, то
ради краткости говорят о копростых операторных группах. — Прим. ред.
Разрешимые сигнализаторные функторы
103
Согласно стандартным результатам о копростых операторных
группах, CG(B) = CG(B) для любой подгруппы В s А, ибо X
есть /-группа [5, .стр. 224].
Пусть Y/X = CG (a,) f| 9 (CG (а)). Тогда X <= Y <=0 (Са (а)) X,
а потому Y = X (У П 0 (CQ (а))). Положим Y0 = Y П 0(Сд (а)).
Так как Y/Х Х-инвариантна, то Y будет_Х-инВариантной,
а значит, и Уо Х-инвариантна. Имеем [У, di] = l, откуда
следует, что [У, aj s X и, таким образом, [Уо, aj S УоП X.
Так как Уо есть /-группа, то Уо s XCy0(ai). Но Cy0(ai)s
S_0(CG(a)) ПCG(ai) 0(Cc (aj). Таким образом, Уо s X0(Ca (aj)
и У = Уо s 0 (C^ (aO), что и требовалось.
Лемма 2.7. П редположим, что X — разрешимая г'-под-
группа в G, нормализуемая подгруппой А, и т(А)^3. Тогда QAX
полон. В частности, если
Х = <ХП0(Со (a))|aeX*>,
тоХ<=И0(Х).
Доказательство. Второе утверждение следует из
первого, ибо в этом случае 0ЛХ (ДХ) = 0 {АХ) = X. Для до-
казательства первого утверждения мы воспользуемся индук-
цией по G. Очевидно, можем считать G = AX. Пусть
Хо = <ХП0(С(а))|аеХ*>.
По индукции можем предположить, что X = Хо, и попытаться
показать, что Сх {а) — 0 {С {а)) для всех аеД*. Пусть К —
минимальная нормальная подгруппа в G, содержащаяся в X.
Согласно лемме 2.6 (2) и предположению индукции, 0(С(а)) =
= С^{а) для всех а е А*, где X = GfKy т. е. Сх{а) —
= О (С (а)) С % (а). Если К содержится в некотором элементе
из И0(А), то Ск {a) S 0 {С {а)) и получено то, что нужно.
Таким образом, можно предполагать, что никакая минималь-
ная нормальная подгруппа группы G не содержится ни в каком
элементе из И0(А).
Пусть X/Xi — главный A-фактор и К Хг. Тогда по
индукции можем считать, что 0д%1 полон. Так как Cxl{d) S
^0(Сх!(а))С^(а), согласно изложенному выше, то Xi=B(Xi)/C.
Поскольку zn(A)^3, из леммы 2.1 следует, что-0(С(а)) =
= <0 (С (а)) П 0 (С (У)) | V е= <Г2(Д)) и поэтому X = <0 (С (V)) | V Q
е ^2 (Д))• Пусть X е 0 (С (V)) для некоторой ПОДГРУППЫ
Уе^2(Д) и положим X2 = 0(Xi)x. Так как группа V неци-
клическая, то 0 (Xi) = П 0 (С (и)) | v s Поскольку
.104
Д. М. Голдшмидт
хе П 0(C(v)), получаем, что Сх,(») s 0(С(о)) для всех
v е У*
v е V*. Так как то X2sXit откуда следует, что
У*> = 0(Х,). Таким образом, 0(Х,)Х =
==6(Х|), а потому 0(С(У)) нормализует 0(XJ для всех
Ve&2(A). Отсюда следует, что 0(Xi)<j G.
Но мы предположили, что никакая минимальная нор-
мальная подгруппа из G не содержится в элементе из И0(Я);
"Поэтому 0(Х1)= 1 и в результате получаем, что Ху — К, т. е.
Х/К — главный Л-фактор. Пусть V — СА(Х/К)- Тогда /п(У)^2,
так как /п(Л)^3. Кроме того, X = КСХ (v) для любого us У*.
Так как К — минимальная нормальная подгруппа, то X = Сх (v)
или Сх(о)П^= 1- Но K = {C’K(v)| ve И*), так что Ск(оо)=/=1
для некоторого v0 е У*> и потому X = Сх (v0) для некоторого
Voе V*. Теперь при as А*
0 (С (а)) = 0 (С (а)) П X = 0 (С (а)) П Сх (v0) £= 0 (С (v0)),
согласно сбалансированности. Так как X = <0 (С (a)) | a е= Л*),
то в результате X = 0 (С (и0))- Теперь для всех а е Л* полу-
чаем Сх (а) — С (а) П 6 (С (и0)) £ 0(С (а)), согласно сбалансиро-
ванности, откуда следует, что Cx(a) = 0(C(a)), и доказатель-
ство окончено.
3. ТЕОРЕМА О ТРАНЗИТИВНОСТИ
Теорема 3.1. Предположим, что 0 есть А-сигнализаторный
функтор на конечной группе G и Тогда для любого
простого числа р л (0) группа 0 (С (а)) действует транзитивно
на Ие(Л; р) посредством сопряжения.
Доказательство. Мы предоставляем читателю про-
верить, что 0(С(а)) действует на Йе (Л; р) посредством сопря-
жения. Предположим (и получим затем противоречие), что
Pt, Р2 выбраны так, чтобы | PY f] Р21 было максимальным при
условии, что Рь Р2 лежат в разных орбитах при действии
0(С(Л)).
Пусть Н = Р1() Р2, Rj = NPi(H) (/=1,2). Можно считать,
что На Pt и, таким образом, что Н a (/=1,2).
Пусть SilH — главный Л-фактор с Ri (/=1, 2).
Так как Л действует неприводимо на и /?г(Л)^3, тек
при некотором а0 е Л* имеем CRi (a0) S Н (i = 1, 2). Положим
N = NG(H) и Nq = N П9(С’(а0)). Таким образом, А/о есть
Л-инвариантная r'-группа и CR. (a0) s NQ (/ == 1, 2). Тогда
PQ — <C^2(a0)x, C^(a0)) будет Л-инвариантной р-подгруппой
в Nq при некотором х a Cn. (Л) а 0 (С (а)) П N по теореме 6.2.2
Разрешимые сигнализаторные функторы
105
из [5, стр. 224]. Мы утверждаем, что PQHеИ0(А; р). А именно,
роя = {CR, (а0)х, CR, (ао), Я) = (Р0Н п е (С (а)) | а <= Л*). Так как
РйН разрешима, лемма 2.7 означает, что PqH еИ0(Л; р).
Пусть Р0Н = Р*о е Hg (Л; р). Тогда Р{ П Р*о э (а0) Н Н и
Рг (\Рй^С^(ао)хН:=>Н. В силу максимальности |Я| в ре-
зультате получаем, что Pi, Pq и Pl лежат в одной и той же
орбите (противоречие).
Лемма 3.2. Предположим, что Р еИ0(Л; р) и В — неци-
клическая подгруппа в А. Тогда следующие утверждения экви-
валентны-.
(1) РеИ?(Л;р);
(2) СР(Ь) есть Sр-подгруппа в 9 (С (Ь)) для всех Ь^В*.
Доказательство. Пусть b е В*. Ясно, что некоторый
элемент из Ие (Л; р) содержит Л-инвариантную 5р-подгруппу
группы 0(С(6)). Так как 9 (С (Л)) s 0 (С (&)), теорема 3.1 озна-
чает, что все элементы из И0(Л; р) содержат Л-инвариантные
Sp-подгруппы группы 0 (С (6)), так что из (1) следует (2). Нао-
борот, предположим, что Р еИ0(Л; р) и СР(Ь) есть Зр-под-
группа в 0 (С (6)) для всех b е В*. Предположим, что
РеР*еИ0(Л р).
Тогда Р* = {Ср* (6)| b е В*) по лемме 2.1. Так как Ср* (Ь)
Л-инвариантна, то Ср* (6) s 0 (С (6)). Поскольку СР (b)sCf (b)
и Ср (Ь) есть 5р-подгруппа в 0(С(6)), в результате получаем,
что Ср (6) = Ср* (6) для всех b е В*. Поэтому Р* S Р, так что
РеИ0(Л; р), и из (2) следует (1).
4. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
В этом параграфе мы доказываем один важный вспомо-
гательный результат. Наше рассмотрение основано на идее
Бендера, которую мы уже использовали ранее в [1].
Условие 4.1. 0 —разрешимый локально полный Л-сигна-
лизаторный функтор на G и m (Л) 3; р и q — различные
простые числа из л(0), а 0{, (32, ..., —орбиты группы
0(Со(Л)) при действии на И0(Л;/?,<?). Для H^(3t пусть
= (Я) |.
Заметим, что fi зависит лишь от I, Для нильпотентной
(р, </)-группы К мы пишем разложение на примарные ком-
поненты в виде К = КРХКЯ и для произвольной группы Н
обозначаем через F(H) подгруппу Фиттинга.
Определение. Предположим, что К — нильпотентный эле-
мент из И0(А; Р, ?), Для которого
10$ Д. М. Голдшмидт
(ПКр^1^Л/,
(2) ApsO/(0(A(/Q));
(3) Kq^Op'(G(N(Kp))).
Тогда мы называем К' (р, дУисключительной подгруппой.
Лемма 4.2/ Пусть выполняется условие 4.1. Предположим,
что К является (р, д)-исключительной подгруппой и К sXe
еИв(4). Тогда Kp^Oq\X). Если X <= Ие(Х; р, q), то K<=F(X).
Доказательство. Имеем Кр s Nx (Kq) S О (N (А?)),
так что
Кр = Nx (Kq) П Oq> (9 (N (О) = Oq> (Nx (Kq)).
Из леммы 2.3 следует, что Кр sQqr (X). Аналогично Kq ^Ор> (X).
Таким образом, если X есть {р, <?}-rpynna, то Asf(X).
Лемма 4.3. Пусть выполнено условие 4.1. Предположим,
что для некоторого целого числа i имеем Н t е Оt и К,—нор-
мальная А-инвариантная нильпотентная подгруппа в Hit при-
чем Кр =/= 1 ¥= Kq. Тогда К есть (р, ц)-исключительная под-
группа, и если
K<=H^We(A-,p,q),
то Н е 0t.
Доказательство. Из максимальности Ht следует,
что она является Sp> ^-подгруппой в 0(А(Ар)) и Q(N(Kq))-
Применим лемму 2.4 с X — 0 (N (Kq))', в результате получаем
Кр s 0/(0 (N{Kq))). Аналогично Kq <= О/ (0 (А(АР))), так что К
будет (р, ^-исключительной подгруппой.
Предположив теперь, что As Н е О/, мы докажем, что
Действительно, так как К является (р, ^-исключи-
тельной подгруппой, то K^F(Hj) по лемме 4.2. Таким образом,
7(0/1(Н/))Х0,(Я/) = е(У(у.
Но Hi есть Sp> /подгруппа в 0(А(АР)). Поэтому в силу
леммы 2.2
г(ор(я/)гхор(я^ = д/
для некоторого у е 0 (С (А)) П 0 (А (Кр)). Далее, первое утвер-
ждение, примененное к
. z (Ор (W X oq (Ht)v=z (op (яу)) X 0q (h?)
как к подгруппе в Н/, показывает, что Z (0р (Иf))y X 0q (Hf)v
есть (р, ^-исключительная подгруппа. Согласно лемме 4.2,
О, (Я/)* s (Я,), так что 7/< Л.
Разрешимые сигнализатор ные функторы 107
Предположив, что К г Я/, мы показали, что Z (Ор (Hj))y X
Далее, рассуждение предшествующего
абзаца, примененное к группе Z (Op(Hj))y X Oq(Hj)y, показы-
вает, что Таким образом, = откуда получаем
Oq(Hj)y = Oq(Hi). Но Hi и Ну суть Sp, ^-подгруппы
. в Q(N(Oq (Hi))), так что i = j в силу леммы 2.2.
г Теорема 4.4. Пусть выполняется условие 4.1. Для некото-
рого целого числа i пусть Ht^0i и К есть А-инвариантная
подгруппа в Р(НЛ) с Кр=£1=£ Kq. Тогда К будет (р, q)-uc-
ключительной подгруппой, а если К^Н еИе (Л; р, q), то Н ^(7^
Доказательство. Пусть //--некоторая /(-инвариант-
ная Sp, ^-подгруппа в д(Н(Кр)), содержащая Z(Op(Hi))X
XOq(Hi), в соответствии с леммой 2.2. Если Н s Н* е
еИе(Д; р, q), то из лемм 4.2 и 4.3 следует, что_Я*ебр1- и
Og(Hi) = Oq (//*). Таким образом, Kq £= Oq (2Г) Г) Н <= Oq (Н).
В силу леммы 2.4 Kq Ор' (0 (N (Кр))), так что из симмет-
ричности р и q вытекает (р, ^-исключительность подгруппы К-
Кроме того, как было показано, некоторая Д-инвариантная
Sp, ^-подгруппа группы Q(N (Кр)) содержится лишь в элементах
из (7i Согласно лемме 2.2, все Д-инвариантные Sp, р-под-
• группы из 8(Af(Kp)) содержатся лишь в элементах из О/.
Предположим, что К Hj <= (7Р По лемме 4.2 K^F (Hj).
Далее, предыдущая часть доказательства показывает, что
все Д-инвариантные SPt ^-подгруппы группы 6(N(KP)) содер-
жатся лишь в элементах из б?/, откуда получаем, что i = j,
как и утверждалось.
5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ
Мы предположим теперь, что G—минимальный контр-
пример к основной теореме, т. е. Д — абелева г-подгруппа
группы G, т(Д)^4 и 0 — разрешимый Д-сигнализаторный
функтор на G, который не является полным. Кроме того,
можно предположить, что | л (0) | минимально среди соответ-
ствующих чисел для всех неполных разрешимых Д-сигнали-
заторных функторов 0 на О.
Лемма 5.1. 0 локально полон и можно без потери общно-
сти предположить, что А — элементарная абелева группа.
Доказательство. Пусть 1#=КеИе(Д), N = NG(K).
Если Af czG, то 0/у — разрешимый Д-сигнализаторный функ-
108
Д. М. Голдшмидт
тор на N в силу леммы 2.6. Индукцией по | G | получаем,
что он полон. Но тогда, очевидно, 0jV (7V) — единственный
максимальный элемент из Ие(Л), содержащийся^ Af. По-
этому можно считать, что К G. Положим G = G/К и
0(Со-(а)) = 0(Со(а)), аеЛ* Согласно лемме 2.6, 0 —раз-
решимый Л-сигнализаторный функтор на G. ^Индукцией
по | G | получаем, что он полон. Пусть X/K = Q(G). Тогда
<0(CG(a))|ae Л*) = Х
и X будет .A-инвариантной разрешимой //-подгруппой в G.
Теперь из леммы 2.7 следует, что 0 полон (противоречие).
Поэтому он локально полон.
Пусть A0 = Qi(A). Тогда т(А0)^4 и 0 может рассмат-
риваться как разрешимый А0-сигнализаторный функтор.
Предполагая, что 0 полон как А0-сигнализаторный функтор,
получим X = (0 (CG (а)) | а е Ао) е Ие (Ао). Очевидно, что
X — разрешимая Л-инвариантная r'-подгруппа. Пусть а е Л*.
Тогда аГ е Л* для некоторого целого числа п и CQ (d) S
^С0(аг \ откуда получаем, что 0(Св(а))сб(Сй(аг)). По-
этому <0(Со(а)) |а^Л*) = Х. По лемме 2.7 0 полон (про-
тиворечие). Таким образом, достаточно доказать, что 0 полон
как Ло-сигнализаторный функтор, в связи с чем, не теряя
общности, можно предполагать, что А = Ло.
Пусть рел(0), и для каждой подгруппы Уе<^2(Л)
положим
WC0(V)) = П Op'(0(C(v))).
v €= v#
Кроме того, для каждого а е Л* положим
9(₽) (Со(а)) = <0(CG (а)) f] №(CG(V))\a^V8. (Л)>.
Лемма 5.2. 0(;>) — разрешимый А-сигнализаторный функтор
на G и
I л (0<*>) | < | л (0) |.
Доказательство. Предположив, что 1еИе(Л) и
V е <§Г2(Л), получаем, что
W* (CQ (Ю) П х £ Сх (v) л Ор' (0 (С (v))) S
— Op'((\(tO) для всех dsV*.
Согласно лемме 2.5, /C(p)(CG(V))f| Xs ОР'(Х). Очевидно, что
Q{p)(CG(a))sOp'{B(CG(a)))9
Разрешимые сигнализаторные функторы
109
так что 0(р) (Со (а)) — разрешимая Д-инвариантная //-под-
группа для всех аеЛ*. Кроме того, если V, Vi^ ^2(А), то
К<Р)(СО (Ю) Л Са (КО £= К(р) (Со (У)) П 0 (С (01)) = Ор> (0 (С (о,)))
для всех Ui е V*, откуда вытекает, что
(5.3) (Са (V)) П Со (КО £= К<р> (Са (У>)).
Далее, зафиксируем элементы а, а' е Я* с (а) (а'},
и пусть А — (а) X А. где а' е Дь Это возможно в силу того,
что А — элементарная абелева группа. Положим X = 6 (Со (а))
и определим К(р>(Сх(а1)) как (С0 ({ai, а))) для всех а^Д*.
Тогда К(р) (Сх (аО) будет Дринвариантной подгруппой вСх(а])
и (5.3) означает, что К(р> (Сх («1)) П Сх (а2) — К(р) (Сх (а2)) для
всех аь а2 е Д*. Таким образом, К(р> — это Дгсигнализа-
торный функтор на группе AtX. Так как т(Д])^3,
то К(р) полон, согласно лемме ,2.7. Но 0<р)(Со(а)) =
= <K(₽>(Cx(ai))|a1e Д?>, так что в результате, в частности,
получаем
0<р) (Со (а}) Л Со (а')=К™ (Сх (а'))=К» (Со ({а, а'»)=0<р> (Са (а')),
если учесть, что (а) =£ (а'}. При (а) = (а'} это соотношение
выполняется тривиально, и, значит, мы показали, что 0(р)
„сбалансирован", а потому 0(р) — разрешимый Д-сигнализа-
торный функтор на G. Так как л (0(р)) s л (0) и р ф л (0(р)),
то | л (0(р)) | < | л (0) |.
Лемма 5.4. К(р](Са (V)) — 1 для всех V^&2(A) и всех
простых чисел р е л (0).
Доказательство. Из минимальности л(0) и леммы 5.2
следует, что 0(р) полон. Мы покажем, что 0(р) (G) = 1 для
всех рел(0), откуда будет следовать, что 0(₽)(CQ (а)) = 1
для всех аеЛ* и, таким образом, К<Р)(СО(У)) = 1 для всех
Vs^2(A).
Заметим сначала, что К(р)(С0(К))^ П 0<р) (Св (v)) =
v е V*
= 0(р) (Са (V)). Но 0(р) (Со (v)) ОР' (0 (Са («))) для всех v <= V*.
так что П 0<p)(Co(v))s П Ор'(0 (С (v))) = К<р> (Со (V)).
v е V* v е У*
Поэтому 0(р' (Со (V)) = К<р> (Со (V)) < 0 (Со (V))-
Пусть теперь В^<£о(А). Тогда
е<р) (G) = (0(р> (G) л Со (V) | V е %2 (В)) = 0<р> (Со( V)) IV е S2 (В)),
согласно лемме 2.1. Но 0<р) (C0(V)) 0 (CQ (V)), так что, в част-
ности, 0(Со(В)) нормализует 0(p)(CG(V)) для всех V е &2(В),
iio
Д; M. Голдшмидт
и поэтому 0(CG(B)) нормализует 0(Z?)(G) для всех Ве^3(А).
Далее, при ае'Л* из леммы 2.1 теперь получаем, что
е (CG (а)) = (0 (CG (а)) n CG (В) | Be (Л)> =
= <0 (CG (а)) П 0 (CG (В)) | В е= &3(А)),
так как ш (Л) Отсюда следует, что 0(CG (а)) нормали-
зует 0(P) (G) для всех а е Л*. Очевидно, 0(р)(О)еИ6(Л), так
что при 0(P)(G)#= 1 имеем 0(CG(a)) 0(2Vg(0(p)(G))) для всех
А*, поскольку 0 локально полон. Но это означает, что 0
полон (противоречие). Таким образом, 0(р) (G) = 1 для всех
простых чисел р, как и требовалось.
Лемма 5.5. 0 полон.
Доказательство. Мы покажем, что лемма 5.4 противоре-
чит теоремам 3.1 и 4.4. Отметим сначала, что если л(0) = {р},
то 0(С(А)) есть р-группа. Если РеИо(Л; р) и 0(С(А))^Р,
то из теоремы 3.1 следует единственность Р, откуда полу-
чаем, что P = 0(G). Поэтому можно предполагать, что суще-
ствуют различные простые числа р, </ел(0).
Пусть В е Ие (А; р) и Zp — минимальная А-инвариантная
подгруппа в Z (Р). Аналогично пусть Zq — минимальная
А-инвариантная подгруппа в Z (Q) для некоторой подгруппы
QeI4q(A; q). Положим BP = C4(ZP), Bq = CA(Zq). Тогда
группы А/Bp и AjBq циклические, так что BPQB4 =/= 1, ибо
m(A)J>3. Пусть b ^(Bp[\Bq)\ Тогда при помощи сопря-
жения некоторым элементом хе0(С(А)) получаем, что
(Zp, Zfy является (р, ^-подгруппой в 0(С(6)). Заменяя Q
на Qx, можем считать, что
(Zp,Zq)e=He(A;P,q).
Пусть <ZP, Z^ £ Я е Из (А; р, q).
Предположим сначала, что обозначения можно выбрать
так, чтобы ОР(Н)=1. Тогда Zp не централизует Oq(H).
Пусть Qi-— это AZp-инвариантная подгруппа в Oq(H), мини-
мальная относительно условия [Qb Zp]#= 1. Тогда [Qi, Zp] = Qh
Далее, Bp = Z (AZp), а так как m(A)L>4, то m(Bp)^3.
Согласно лемме 2.1,
Qi = <CQ?(7)|Ve^2(Bp)>.
Поскольку CQ1(V) AZp-инвариантна для всех Ve^2(Bp),
то Qi=Cq((V) для некоторой подгруппы V^S2(BP) в силу
минимальности QP Пусть v е У*. Тогда ZpQi е 0 (С (о)) и
Разрешимые сигнализаторные функторы
111
Zp Z (Р) П СР (о). Согласно лемме 3.2,. Zp лежит в центре
некоторой Sp-подгруппы группы 0(С(у)), откуда по лемме 1.2.3
Холла — Хигмэна [5, стр. 228] получаем Zp р (0 (С (v)).
Так как Qi = [Zp, QJ, то Qi Ор'(0 (С (у))) для всех v sV*
что противоречит лемме 5.4.
Поэтому должно быть Op (Н) Ф 1 =# Oq (Н). Пусть Кр,
— минимальные Л-инвариантные подгруппы в ОР(Н),
Oq(H) соответственно. Тогда А/Са(Кр), A/CA(Kq) — цикличе-
ские группы. Пусть V = СА (Кр) А СА (Kq) = СА (Кр X Kq). Тогда
m(V)^2, так как т(Л)^4. Если yeV*, то KpXK^f)(C(v)).
Пусть Hv — это Sp, ^-подгруппа в 0(C(v)), содержащая
KPXKq, и
По теореме 4.4 имеем Н* = Н для некоторого хе0(С(Л)).
В частности, Н содержит некоторую S^-подгруппу группы
0(С(я)), скажем Qo, и Qo нормализует ОР(Н)[\С (о). Из
леммы 2.4 получаем, что Кр S Ор (Я) Л С (v) s Oq' (0 (С (и)))
для всех v gF*. Так как m(V)^>2, это опять противоречит
лемме 5.4 и завершает доказательство основной теоремы
этой статьи.
БЛАГОДАРНОСТЬ
В большей своей части терминология и обозначения этой
статьи принадлежат профессору Д. Горенстейну, которому
я также благодарен за многочисленные интересные и стиму-
лирующие обсуждения затронутых здесь вопросов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Goldschmidt D. М., A group theoretic proof of the //^-theorem for odd
primes, Math. Zeitschr., 113 (1970), 373—375.
[2] Gorenstein D., On the centralizers of involutions in finite groups, J. Al-
gebra, 11 (1969), 243—277.
[3] Gorenstein D., The flatness of signalizer functors on finite groups,
J. Algebra, 13 (1969), 509—512.
[4] Gorenstein D., On the centralizers of involutions in finite groups II,
J. Algebra, 14 (1970), 350—372.
[5] Gorenstein D., Finite groups, Harper and Row, New York, 1968.
О РАЗРЕШИМЫХ СИГНАЛИЗАТОРНЫХ ФУНКТОРАХ
НА КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ')
Дж. Глауберман,
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Введение................................................ 113
2. Вспомогательные леммы.....................................115
3. Дальнейшие общие результаты...............................119
4. Минимальный контрпример...................................122
5. Некоторые свойства группы G.............................. 124
6. Устойчивость..............................................127
7. Несуществование устойчивых простых чисел .................130
8. Широкие простые числа.....................................137
9. Окончание доказательства основной теоремы............. . . 141
Список литературы............................................143
1. ВВЕДЕНИЕ
Цель этой статьи — доказать следующий результат.
Теорема. Пусть г — простое число, А—-абелева г-подгруппа
конечной группы G, т(А)^3 и 0 — разрешимый А-сигнали-
заторный функтор на G. Тогда 0 полон.
Этот результат обобщает результаты Голдшмидта, ко-
торый доказал эту теорему в случае т(Л)^4 и произволь-
ного г [7], а также в случае т(Д) = 3 и г = 2 [8]. (Совсем
недавно новое, более короткое доказательство для последнего
случая было получено Бендером [1].) Понятие сигнализатор-
ного функтора было введено Горенстейном в [10]; статья
Голдшмидта обобщает результаты Горенстейна из [10], [II].
Большинство наших обозначений взято из [9], [7] и [8].
Для удобства мы приведем здесь некоторые обозначения и
результаты, которые используются в [7] и [8].
Определение. Выражение «0 — разрешимый А-сигнализа-
торный функтор на G» означает, что А — абелева г-подгруппа
конечной группы G для некоторого простого числа г" и для
9 Glauberman G., On solvable signaUzer functors in finite groups,
Proc. London, Math. Soc., 33 (1976), 1—27.
g Oxford University Press 1976.
Перевод на русский язык, «Мир>, 1979.-
О разрешимых сигнализаторных функторах 113
каждого ае4* определена такая разрешимая 4-инвариантная
г'-подгруппа 9 (CQ (а)) в CG (а), что
(*) а^Л*).
Свойство (*) обычно называется балансом или сбаланси-
рованностью. При заданном разрешимом 4-сигнализаторном
функторе 0 на G мы даем следующие дополнительные опре-
деления:
(1) Ассоциированное множество А-сигнализаторов — это
совокупность всех разрешимых 4-инвариантных r'-подгрупп X
группы G, обладающих свойством, что Сх(а) (CG(a)) для
всех ае4*. Оно обозначается через Ие(4). Множество всех
максимальных относительно включения элементов из И0(4)
обозначается через Ио (Л).
(2) Мы говорим, что 9 полон, если G содержит един-
ственный максимальный относительно включения элемент
из И0(4). Этот элемент обозначается тогда через 9(G).
(3) Мы говорим, что 0 локально полон, если для каждого,
неединичного элемента X из И0(4) нормализатор NG(X) со-
держит некоторую группу 0 (NG (X)), которая является един-
ственным максимальным элементом среди всех элементов из
И0(4), содержащихся в NG(X), В этом случае мы полагаем
Q(Cq(X))=^(Ng(X))()Cq(X).
(4) Для каждой неединичной подгруппы В группы А пусть
0(Со(В))= П 0(CG(&)).
(5) Пусть (4) — множество всех подгрупп В из А, для
которых m (В) = 2.
(6) Пусть
л(0)= U л(0(Со(а))), |0|= S Ю(С0(а))|.
а е А* а э A#
(7) Для любого множества простых чисел о пусть И0(4; а) —
множество всех а-групп из И0 (4) и Ио (4; о) — множество
максимальных элементов из И0(4; а). Если рел(0) и
а = л(0) — {р}, то мы употребляем обозначения И0(4; р')
и Ио(4; р') соответственно. Если рел(9) и о = {р}> мы
пишем И0(4; р) и И§(4; р) соответственно. Элементы из
Ио (4; р) называются Sp (А)-подгруппами в G.
(8) Пусть о — произвольное множество простых чисел.
Мы говорим, что некоторый элемент Н из И0(4; а) является
Sa{A)-nodepynnou в G, если он содержит некоторую Sp(4)-
подгруппу группы G для каждого рея.
(9) Если ЯеИ9(4), а —некоторое множество простых
чисел и /( — некоторая 4-инвариантная холловская
114 Дж. Глауберман
а-подгруппа в Н, то К является So (А)-подгруппой в Н. Если
ре'л(9) и в = {р}, то So (Л)-подгруппа группы Н также на-
зывается ее 8р{А)-подгруппой.
(10) Для рел(0) и о — л(8) — {р} некоторая 5а(Л)-под-
группа группы G (или элемента Н из И0(Л)) называется
SP' (А)-подгруппой группы G (или Н).
Заметим, что определения (7) —(10) согласованы при
ОеИ0(Л) (в этом случае Л = 1). Кроме того, во всех слу-
чаях для рЕл(0) и в — {р} So (Л)-подгруппа группы G будет
Sp (Л)-подгруппой группы G.
Для подгрупп U, V и W группы X мы обозначаем
[[U, V], W} через [U, У, Г].
Отметим, что сформулированная теорема не может быть
обобщена на случай т (Л) = 2 ни при каком простом числе г.
Чтобы убедиться в этом, считаем р простым числом, для
которого р = 1 mod г, и пусть X — конечная неабелева группа
порядка р3 и экспоненты, р. Нетрудно видеть, что autX со-
держит элементарную абелеву подгруппу Л порядка г2.
Вложим Л и X в их полупрямое произведение G. Для каж-
дого деД* считаем 6(CG(a)) равным 1, если Cx(a) = Z(X)>
и Сх(а) в противном случае.
В [7J Голдшмидт приводит пример для случая г = 2,
в котором элементы из И0(Л) даже не порождают разре-
шимой группы. Аналогичный пример можно построить для
каждого нечетного простого числа г. Пусть р—-такое про-
стое число, что р>г^ и p=Hrmodr3. Пусть Ло — неабе-
лева группа порядка г3 и экспоненты г. Так как Ло имеет
точное унимодулярное r-мерное представление над GF (р),
ее можно вложить в SL (г, р). Тогда Z (Ло) = Z (SL (г, р)).
Пусть
G = PSL (г, р) = SL (г, p)IZ (Ло), Л = Ло/2 (Ло)
и
9(Св(ЛН0/(Со(о))(аеЛ*).
Тогда каждый элемент из Ло — Z (Ло) имеет г различных
собственных значений и диагонализируем. Следовательно,
С<?(а) имеет нормальное r-дополнение при каждом аеЛ*
Если (И0(Л)) разрешима, то Л(И0(Л)) разрешима и нормали-
зуется подгруппой А/б(Л). Однако NG(A) индуцирует SL(2, г)
v на Л, что приводит к противоречию.
Наше доказательство существенно опирается на резуль-
таты и технику Голдшмидта [6], [7], [8]. Нужные результаты,
главным образом из его статей, приводятся в § 2 и 3 (отно-
сительно произвольных конечных групп) и § 4 (относительно
минимального г контрпримера G). Основная идея в этой
О разрешимых сигнализаторных функторах 115
статье — использование нового свойства групп операторов
(лемма 2; 11), которое позволяет построить некоторые большие
подгруппы труппы G (теорема 4.5 и лемма 7.2(c)).
Некоторые дальнейшие вспомогательные леммы относи-
тельно G приведены в § 5. Специальные свойства нечетных
простых чисел, используемые в [8], нашли здесь отражение
в понятии устойчивого простого числа, которое вводится
в § 6. В § 7 мы показываем, что л(0) не содержит устой-
чивых простых чисел; отсюда следует (лемма 9.1), что
л (0) = {2, 3} и что 0 (CG (Д)) содержит «широкие» элемен-
тарные абелевы 2-подгруппы и 3-подгруппы. Это позволяет
нам получить в § 8 и 9 противоречие способом, аналогичным
примененному в последнем параграфе из [7].
Автор очень благодарен д-ру Патрику Мартино за много-
численные полезные обсуждения, которые стимулировали его
интерес к этой теме. Он благодарит также профессора Да-
вида Голдшмидта за помощь и поддержку. Он высоко ценит
поддержку, оказанную ему Национальным научным фондом
во время работы над этой статьей (большая часть этой ра-
боты была проделана во время проведения симпозиума по
Теории конечных групп в Беркли летом 1973 г.).
2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ
Нам понадобитгя несколько лемм из [7]. Часть (а) леммы 2.2
является следствием теоремы 6.2.2 из [9, стр. 224].
Лемма 2.1. Предположим, что абелева r-группа А действует
на г'-группе X. Тогда (CX(AQ)\ А/Ао циклическая).
Лемма 2.2. Предположим, что r-группа А действует на
г'-группе X.
(а) Пусть р — простое число. Тогда в X существует
А-инвариантная силовская р-подгруппа и каждая А-инва-
риантная р-подгруппа группы X содержится в некоторой
А-инвариантной силовской р-подгруппе этой группы. Любые
две А-инвариантные силовские р-подгруппы из X сопряжены
при помощи некоторого элемента из СХ(А).
(Ь) Предположим, что X разрешима и в —некоторое мно-
жество простых чисел. Тогда каждая А-инвариантная в-под-
группа группы X содержится в некоторой А-инвариантной
холловской о-подгруппе этой группы. Любые две А-инва-
риантные холловские с-подгруппы из X сопряжены при по-
мощи некоторого элемента из СХ(А).
Замечание. Так как 1 является ог-под.группой в X, часть (Ь)
леммы 2.2 обеспечивает существование в X некоторой Д-ин-
вариантной холловской а-подгруппы. .
116
Дж. Глауберман
Лемма 2.3. Если Т есть р-подгруппа р-разрешимой
группы X, то
OP'(Nx(T))<=OP’(X).
Лемма 2.4. Предположим, что г и р — простые числа и
V — нециклическая абелева r-группа операторов на р-разре-
шимой r'epynne X. Тогда
П 0Р'(Сх(сО) = 0Р'(Х).
се V#
Лемма 2.5. (Томпсон; «Р X Q-лемма»). Пусть р — простое
число и Т — некоторая р-группа. Предположим, что А/В —
подгруппа в aut 7, А — некоторая ее р-группа и В — р-группа.
Пусть А действует тривиально на СТ(В). Тогда Л = 1.
Доказательство. См. [9, стр. 179].
Лемма 2.6. Предположим, что р — простое число, G — не-
которая р-разрешимая группа, Т—ее р-подгруппа, а Н —ее
р'-подгруппа, нормализуемая подгруппой Т. Пусть Z (Т) — не-
которая силовская р-подгруппа в Со (Т). Предположим также,
что либо
(i) Р¥=2,
либо
(ii) Na(T) содержит некоторую силовскую р-подгруппу
группы G. Тогда Н sOP’(G).
Доказательство. Пусть С = Са(Т). Так как/ (Т) —
силовская р-подгруппа в С и Z (Т) s Z (С) — Z (Nc (Z, Т))),
то теорема Бернсайда [9, стр. 252] показывает, что С имеет
нормальное p-дополнение D. Поэтому
. C = Z(7’)XD = Z(7’)XOP'(Co(T)).
Теорема 2 из [12] совпадает со случаем (i) этой леммы,
за исключением того, что наше предположение о Z (Т) за-
менено там равенством
CQ(T) = Z(T)XOP'(Co(T)).
Следовательно, случай (i) непосредственно вытекает из тео-
ремы 2 в [12].
Случай (ii) — это незначительное изменение леммы 7.4
из [2]. Для его доказательства мы воспользуемся леммой 2.5
и индукцией по | G |. Согласно обычным редукциям, можем
считать, что OP'(G) = 1. Пусть 7? = OP(G) и G* — {T, H,R) —
= T(HR). Тогда
(2.1) Cq(R)<=R и Сй(Р)=1.
О разрешимых сигнализаторных функторах
117
Так как каждая силовская р-подгруппа группы G содержит /?,
то Nq (Т) э R. Следовательно, 7Ж<| и [Г П Я. Я] s Я f|
ПЯ = 1. Таким образом,
(2.2) Н централизует Г ПР-
Поэтому Т П R <1 G*.
Так как Na (Т) э R, убеждаемся в том, что [Т, /?] s Т f| R.
Поэтому Т централизует Rl{T f] R). Поскольку Т f) R < G*,
отсюда следует, что [Н, Т] централизует R/(T П-R). В силу (2.2)
[Я, Т] стабилизирует цепь RsT(]R^ 1. Значит, [Я, Г] цен-
трализует R. В силу (2.1) [Я, Г] = 1. Следовательно, ТН =
— Т)Х.Н. Далее, Г X Я действует при помощи сопряжения
на R и
[Ся (Т), Я] s [£ П Z (Г), Я] £= [Г, Я] = 1.
Согласно PXQ-лемме Томпсона, Я централизует Я. В силу(2.1)
Я= 1.
Лемма 2.7 является следствием леммы 2.6 и совпадает
с леммой 2.4 из [7].
Лемма 2.7. Если Q есть р'-подгруппа р-разрешимой группы X,
централизуемая некоторой силовской р-подгруппой из X, то
QsOP'(X).
Следующие два результата — незначительные изменения
лемм 2.1 и 2.2 из [6] и могут быть получены при помощи
очевидных изменений в их доказательствах.
Лемма 2.8. Предположим, что л — множество простых
чисел и А — некоторая п'-группа операторов на разрешимой
a-группе К. Пусть В<\ А, К —[К, В] и — множество
всех А-инвариантных силовских подгрупп в К. Тогда
К = {[Т,В]\Т^9>{К)).
Лемма 2.9. Яредположим, что л — множество простых
чисел и А — некоторая л'-группа операторов на разрешимой
л-группе К. Предположим также, что В < А и К = [Я, В].
Пусть 9^ — множество всех А-инвариантных р-подгрупп Т в К.
{для всех простых чисел р), для которых
(а) [Т,В] — Т,
(Ь) А действует неприводимо на Т/Ф(Т).
Тогда Я=(Т|Те^1>.
Лемма 2.10. Предположим, что г — простое число и А* —
нециклическая абелева г-группа операторов на разрешимой
r'-группе Н. Пусть р — простое число, Z — некоторая А*-инва-
риантная р-подгруппа в Н и К — некоторая А*-инвариантная
р'-подгруппа в Н, нормализуемая Z. Предположим также,
что К = [К, Z]. Тогда
К = ([Ск (Ло), Z] | А*/Ао циклическая) =
= ([Ск (Ао)> Z, Z] | А*/Ао циклическая).
118
Дж. Глауберман
Замечание. Напомним, что, согласно нашим обозначе-
ниям, [U, V, 17] всегда совпадает с [ [U, 7], 17].
Доказательство. Пусть /С* = {[Ск (Ло), Z] | Л*/Ло ци-
клическая). Тогда К* s К, и мы докажем, что К /С*. Вло-
жим Л* и Я в их полупрямое произведение обычным образом.
Пусть л = л(/С), Л = Л*7 и B = Z. Пусть 9\ такое же, как
в лемме 2.9. Тогда
(2.3) К = {Т\Т^9’1).
Предположим, что Пусть V = Т/Ф(Т). Тогда 7 —
элементарная абелева группа и V = [V,Z]. Поэтому в силу
леммы 2.1 V будет произведением групп Су(Л0), где Ло про-
бегает все подгруппы группы Л*, для которых Л*/Л — цикли-
ческая группа. Так как 7 = [7, Z], отсюда следует, что V
будет произведением соответствующих групп (Ло), Z]. Сле-
довательно,
Т = (Ф (Г), [Сг (Ло), Z] | Л*/Ло циклическая) (Ф (Г), Т Л /С*).
Согласно основному' свойству подгруппы Фраттини, Т = Т(}
Так как Т было выбрано в 9\ произвольно, ра-
венство (2.3) приводит к тому, что К S /С*.
Поскольку в рассматриваемой выше ситуации V = [7, Z, Z],
аналогичное рассуждение показывает, что
К = ( [Cr (Ло), Z, Z] | Л*/Ло циклическая).
Лемма 2.11. Предположим, что А есть r-группа операторов
на разрешимой г'-группе X и о — некоторое множество про-
стых чисел. Пусть 9?о — множество всех А-инвариантных
a-подгрупп в X, нормализуемых СХ(Л). Тогда 9^ имеет един-
ственный максимальный элемент и этот элемент содержит
Оа(Х).
Доказательство. Предположим, что Yx и ^“-макси-
мальные элементы из 9^. Согласно лемме 2.2, существуют
Л-инвариантные холловские о-подгруппы Х2 в X, которые
содержат Уь У2 соответственно, и существует такой элемент
w е Сх (Л), что ХГ = Х2. Тогда Ti = Y™ Х2. Поэтому и К2
порождают о-группу, которая должна быть элементом из
Таким образом, YX = Y2- Так как У10а(Х)е^а, TO-Ki содер-
жит Оо(Х).
Замечание. Описываемый в лемме 2.11 элемент является
пересечением всех Л-инвариантных холловских о-подгрупп
группы X.
О разрешимых сигнализаторных функторах
119
Лемма 2.12. Предположим, что r-группа А действует на
разрешимой г'-группе X. Пусть а — некоторое множество про-
стых чисел и Н — некоторая А-инвариантная холловская
о-подгруппа в X. Тогда СН(А) будет холловской о-подгруппой
в сх(А).
Доказательство. Так как СХ(А) разрешима, она
обладает холловской о-подгруппой С, которая содержит Сн (Л).
Очевидно, что С будет Л-инвариантной. Согласно лемме 2.2,
С содержится в некоторой Л-инвариантной холловской (/-под-
группе К из X. Кроме того, Hw = К для некоторого w Сх (Л).
Поэтому
|СЯ(Л)| = |СК(Л)|>|С|>|СН(Л)|.
Следовательно, С = Сн (Л).
Лемма 2.13. Предположим, что К, L и М — подгруппы
группы X и KL = LK, КМ = МК. Тогда K{L,M) = {L,M) К.
Доказательство. Пусть N = {L,M"). Предположим,
что х е К и y^N. Тогда при некотором положительном
целом числе п элемент у имеет вид М]«2 ... ип, где пг лежат
в L или М. Простое рассуждение по индукции показывает,
что ху е NK и ух е K.N.
Лемма 2.14. Предположим, что X — конечная группа, Y —
подгруппа в X, р — простое число и Х = ОР' (X) Y. Пусть
Т — некоторая р-подгруппа в Y. Предположим также, что
g^X и Tg^Y. Тогда существуют такие с е Ор> (X) П Сх (Т)
и h е Y, что ch = g.
Доказательства. Это есть лемма 7.1 из [3, стр. 1126];
3. ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Теорема 3.1. Предположим, что р —нечетное простое число
и S — силовская р-подгруппа в р-разрешимой группе X. Если
р = 3, то предположим, что X имеет абелеву силовскую
2-подгруппу. Тогда
X = OP'(X)Nx(Z(J(S))).
Доказательство. См. [9; стр. 268—279].
Теорема 3.2. Предположим, что р — простое число, S —
силовская р-подгруппа р-разрешимой группы X, А — некоторая
группа автоморфизмов группы X uY = СХ(А). Пусть ОР'(Х)= 1
и X Сх (Z (S)) Nx (J (S)). Предположим также, что | А | и | X |
120
Дж. Глауберман
взаимно просты. Тогда Y содержит такую элементарную под-
группу W порядка р2 и подгруппу У*, что
W<=Z(OP(X)), Cy(W)<=Y'^Ny(W)
и
Y*/Cy(W)^ SL(2, р).
Доказательство. Это — часть (е) следствия 1 из [4].
Теорема 3.3. Предположим, что р — простое число, S —
силовская р-подгруппа р-разрешимой группы X и А — неко-
торая группа автоморфизмов группы X. Пусть также ОР>(Х)= 1
и | А | и | X | взаимно просты. Тогда
X = {Cx(Z(S)), NX(J (S)), СХ(А)>.
Доказательство. Это непосредственно вытекает из
следствия теоремы 2 в [5].
Лемма 3.4. Пусть X — разрешимая группа. Предположим,
что SL (2, 3) вплетена !) в X и X содержит такую элементар-
ную подгруппу Y порядка 4, что | NХ(У)/С^(У) | равно 3 или 6.
Тогда X будет содержать элементарную подгруппу порядка 8.
Доказательство. Мы воспользуемся индукцией по | X |.
Предположим, что утверждение леммы не верно и что X —
контрпример минимального порядка. В силу одной работы
Ф. Холла о разрешимых группах [9, стр. 231—233] и неслож-
ного рассуждения предположения леммы выполняются для
холловской {2, 3}-группы группы X. Поэтому X есть {2, 3}-
группа. Аналогичное рассуждение показывает, что О3(Х) = 1
и О2 (X) = X. Пусть — силовская 3-подгруппа в О2, 3 (X),
U = о2(Х) и Т = [U, /?]. Тогда Т = [Т, /?]. Следовательно,
(3.1) Т является 2-группой, не имеющей нормальной эле-
ментарной подгруппы порядка 8,
и '
(3.2) существует такая подгруппа A^autT, что | А | не-
четно и Т = [Т, А].
Используя подгруппу Фраттини, получаем, что
X = О2,з (X) Nx (/?) = О2 (X) Nx (/?).
Поэтому
(3.3) Г<Х и X.
Пусть С = СХ(Т/Ф(Г)). Тогда С<] X. Так как С f) R центра-
лизует U/Т и Т, то СПR централизует U. Из включения
См. стр. 94. — Прим. ред.
О разрешимых сигнализаторных функторах 121
Cx(t/)st/ следует, что С (17?= 1. Так как в качестве 7? была
взята произвольная силовская 3-подгруппа группы О213(Х),
то СПО213(Х) не содержит неединичных 3-элементов. Следо-
вательно, СП02>3(X)sU. Отсюда получаем, что
[С, О2,з(Х)]=СЛО2.з(Х) = С.
Поэтому CURJ централизует O3(X/U). Так как O2(X/U)= 1,
то CU/U sO3 (%/£/))• Таким образом,
(3.4) С s О2,3(Х) П С S U и Х/С изоморфна некоторой
подгруппе группы aut (77Ф (Т)).
В лемме 5.28 из [13] Томпсон классифицировал все
2-группы Т, которые удовлетворяют (3.1) и (3.2). Он показал,
что Т либо абелева, либо изоморфна одной из следующих
групп:
(i) кватернионная группа;
(ii) специальная группа порядка 64 точно с тремя инво-
люциями, каждая из которых центральна;
(iii) центральное произведение кватернионной группы и
диэдральной группы порядка 8.
В каждом из этих случаев | Т/Ф(Т) 16, так что aut (Т/Ф(Т))
имеет элементарную абелеву силовскую 3-подгруппу порядка,
не превосходящего 9. В силу (3.4)
(3.5) силовская 3-подгруппа группы X/U — элементарная
абелева группа порядка, не превосходящего 9.
Так как Сх/и (O3(X/U)) s O3(XIU), то О3(Х/С/) содержит си-
ловскую 3-подгруппу из Х/U. Поэтому (X/U)/O3 (X/U) является
2-группой. Так как О2(Х) = Х, отсюда следует, что X/U —
это 3-группа. Таким образом, Х = О2,3(Х) = 777?. Из (3.3)
получаем TR<] X. Поскольку X/TR есть 2-группа, то X — TR.
Далее, из предположений леммы следует, что Т содержит
кватернионное сечение и некоторую элементарную подгруппу Y
порядка 4, для которой | Nx (Y)/Cx (У) I 3. Поэтому Т не-
абелева и не является кватернионной группой. Таким обра-
зом, Т — группа типа (ii) или (iii) из списка Томпсона. Так как
X не содержит элементарных подгрупп порядка 8, то У э Z (Т).
Из | Nx (Y)/Cx (У) | 3 вытекает, что yf|Z(T)=l. Следова-
тельно, Т — группа типа (ii).
Нетрудно убедиться в том, что Y = Z(T) и что некоторый
элемент v из 7? переставляет элементы из У* регулярно.
Тогда Сг(и)=1. Так как SL(2, 3) вплетена в X, некоторый
неединичный элемент w из R централизует некоторый не-
единичный элемент из Т. Тогда Су(о>)#= 1. Так как |У|==4,
то w централизует У. В силу (3.5)
(3.6) |7?| = 9, /? = <ц)Х» и (w)=CR(Y).
122
Дж. Глауберман
Из (3.6) получаем, что Т = {Ст (х) I х е 7?*). Так как Ст (w) cz Г,
то существует такой х е /?*, что Ст (х) S? Ст (w). Тогда
x^R — (w) и Ст (х) =/« 1. В силу (3.6) Су (х) = 1. Поскольку
У = Й1(Т), то Сг(х)= 1. Это противоречие завершает доказа-
тельство леммы 3.4.
4. Минимальный контрпример
Всюду в дальнейшем мы предполагаем, что основная тео-
рема не верна и что G контрпример минимального порядка.
При этом мы считаем, что среди минимальных контрприме-
ров G выбрана так, что 101 минимально. Доказательство
леммы 5.1 из [5] остается верным и устанавливает локальную
полноту 0. Заметим, что каждая Л-инвариантная подгруппа
некоторого элемента из И0(Л) будет элементом из И0(Л).
Лемма 4.1. Группа, порожденная всеми элементами из И0(Л),
не будет разрешимой г'-группой. Кроме того, А —элементар-
ная абелева группа и пг (А) = 3.
Доказательство. Лемма 2.7 из [7] непосредственно
приводит к первому утверждению. Для доказательства вто-
рого считаем Ло элементарной абелевой подгруппой порядка г3
в А. Предположим, что Ло cz А. Пусть 0О — ограничение 0
на Ло- Поскольку 0 выбран так, что 101 минимально, то
0о будет полным. Поэтому 0О (G) существует и является раз-
решимой r'-группой. Следовательно, некоторый элемент X
из H0(G) не содержится в 0О (G). Однако
X = {сх (а) | а е= Д*> = <9 (Со (а)) | а <= Л*> s 90 (G)
(противоречие).
Два следующих результата доказаны в § 3 из [7]. Заме-
тим, что, согласно теореме 4.2, | л (0) | 2.
Теорема 4.2. Для каждого р л (0) группа 0 (С (Л)) дей- .
ствует транзитивно на Ие (Л; р) при помощи сопряжения.
Лемма 4.3. Предположим, что реп (0), Т е И0(Л; р) и
В — нециклическая подгруппа группы А. Следующие условия
эквивалентны.
(1) ГеИИЛ р),
(2) Ст (&) — силовская р-подгруппа в 0 (С (6)) при каждом
b е В*.
Теорема 4.4. Предположим, что р и q — различные про-
стые числа в л(0) и о = {р, q}. Пусть Н^Щ(А\ а), L-не-
О разрешимых сигнализаторных функторах
123
~ которая А-инвариантная подгруппа в F(H) и OP(L) =/= 1 #=(\(L).
Предположим также, что ХеИ6(А) uX^L. Тогда Oq(L)S
SOP'(X).
Доказательство. Следует воспользоваться методом
Бендера, изложенным в § 4 из [7]. В силу теоремы 4.4 из [7]
L есть ,,(q, р)-исключительная подгруппа". По лемме 4.2
из [7] имеет место включение Oq (L) ОР' (X).
Всюду до конца статьи мы будем обозначать 0(С(Л))
через D, а 0 (С (а)) — через На для каждого а е Л*. Для
каждого простого числа р из л(0) через Хр будем обозна-
чать группу, которая строится в следующей теореме.
Теорема 4.5. Предположим, что рел(0) и а = л(0) — {р}.
Для каждого а^А# определим как в лемме 2.11 для
X = На, и пусть Хра — единственный максимальный элемент
из Тогда существует подгруппа /реИ0(Л; //), такая,
что она нормализуется D и
СХр(а) = ХразОР'(На) (а<=А*).
Доказательство. Определим функтор 0' формулой
Q'(C(a)) = Xpa
Ясно, что 0' удовлетворяет всем условиям для разрешимого
Л-сигнализаторного функтора на G, за исключением, воз-
можно, баланса. Возьмем a, be Л*. Тогда
CHa(A) = D = Cffb(A).
Поэтому Хра будет Л-инвариантной подгруппой, нормализуе-
мой D, а следовательно, этими же свойствами будет обладать
и Хра П Нь. Отсюда следует, что Хра f) Нь лежит в множе-
стве S^g, определенном подгруппой Нь. Таким образом,
Хра (]НЬ^ ХрЬ, что доказывает баланс.
Для каждого а е Л* имеем | Хра КI На I = I 6 (С (а)) |.
Так как реп (0), то р делит | На I при некотором а е Л*.
Для таких а имеем | Хра I < I На I, ибо Хра есть //-группа.
Поэтому
16'1= Е Upal< Z |Яа| = |0|.
а е Л* а <= Д*
Из минимальности | 0 | следует, что 0х полон.
Пусть XP = Q'(G). Согласно лемме 2.11 и определению
полноты,
СХр (а) = 0' (С (а)) = Хра = ОР- (На).
124
Дж. Глауберман
5. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ГРУППЫ G
Лемма 5.1. Предположим, что рея (0), S — некоторая
Sp (А)-подгруппа в G, Z — минимальная А-инвариантная под-
группа в Z(S) и /Се И0(Л; р'). Пусть также Z нормализует К
и К = [К, Z]. Тогда К<=ХР.
Доказательство. Пусть B = CA(Z). Тогда группа В
не циклическая. По лемме 2.10
(5.1) К = ([Ск(Ь),
Выберем произвольный элемент b е В*. По лемме 4.3
Cs (6)— силовская р-подгруппа в Нь. Так как ZsZ(Cs(6)),
то Z г Ор'. р (Нь). Следовательно, [CK(b), Z]sOP'P(Hb). Так
как К есть //-группа, то теорема 4.5 приводит к тому, что
[Ск(&), Z]^Op'{Hb)sXp.
Из (5.1) следует, что все доказано.
Лемма 5.2. Пусть p^.n(Q), /?еИе(Л; р) и R 1. Тогда
0P'(Q(Nm<=Xp.
Доказательство. Пусть L = Q(N(R)) и K = Op'(L).
Выберем некоторую Sp (Л)-подгруппу Si в L и Sp (/^-под-
группу S в G, содержащую S(. Пусть Z — минимальная Л-ин-
вариантная подгруппа в Z (S). Тогда
Z <= Ns (R) = Sb К = [/С, Z] Ск (Z).
Так как [К, Z] = [[/<’, Z], Z], то из леммы 5.1 следует, что
[Я, 2] sXp. Поэтому достаточно показать, что CK(Z)sXp.
Пусть Af = 6(C(Z)) и N = 0P'(M). Тогда $<=М и
Q (Z) = Op'(L){]Ms Op'— Op'(NM(R)).
Из леммы 2.3 получаем Ор> (Nm (R)) s ОР' (Af) = Af. Следова-
тельно,
(5.2) CK(Z)sN.
Выберем произвольный элемент аеЛ*. В силу леммы 4.3
Cs(a) — силовская р-подгруппа в На. Так как Cs(a) норма-
лизует CN(a), то лемма 2.7 и теорема 4.5 приводят к соот-
ношениям CN(a) S Ор'(На) S Хр. Далее, по (5.2)
Ск (Z) s N = (CN (b) | Ь е= Л*) = Хр.
Лемма 5.3. Предположим, что р, q^n(Q), p=£q, о = {р, q}
и D имеет не больше двух орбит на Ие(Л; а) относительно
сопряжения. Тогда в G существует Sa(A)-nodгруппа.
О разрешимых сигнализаторных функторах 125
Доказательство. Пусть утверждение леммы неверно.
Существуют такие Hi, Н2 s И5 (Л; а), что Hi содержит Sp (Л)-
подгруппу группы Q и Н2 содержит Sq (Л)-подгруппу группы G.
Пусть Qi — некоторая Sq (Л)-подгруппа группы Hi, a Q —
Sq (Л)-подгруппа группы G, содержащая Qi. Так как Ht не
является Sa (Л)-подгруппой в G, то
IQil=|Hil,<IQI = |tf2l,.
Таким образом, Ht и Н2 не сопряжены при помощи элемен-
тов D, так что D имеет точно две орбиты на И? (Л; ст) отно-
сительно сопряжения и Н\, Н2 лежат в разных орбитах.
Далее, Q = {CQ (В)\В е <^2 (Л)). Следовательно, существует
такая подгруппа Be (Л), что CQ(В) Qt. Пусть Q2 — не-
которая Sq (Л)-подгруппа группы Сн, (В). Из леммы 2.2 сле-
дует, что существует элемент хеО, для которого (Q^sQi.
Тогда
I Сн, (В) |? = | Q21 = | (Q2)x I < | CQ, (В) I < | CQ (B)l< I О (С (B)) I,.
В силу симметрии p и q существует такая подгруппа В* е
е#2(Л), что
(5.3) | Ся, (В*) |р < | 9(С(В*)) |р.
Выберем b s (В П В*)*. Пусть Н — элемент из Ие (Л; ст),
который содержит какую-нибудь So (Л)-подгрупу группы Нь.
В силу леммы 2.2 и (5.3)
| Сн (В*) |р > | Снь (В*) |р = | G (С (В*)) |р > | Снг (В*) |р.
Поэтому Н не сопряжена с Н2 при помощи элементов из D.
Аналогично Н не сопряжена с Н{ при помощи элементов
из D (противоречие).
Лемма 5.4. Пусть X — подгруппа в G, порожденная неко~
торыми элементами из Ие(Л). Тогда либо
(i) X содержит все элементы из И9(Л) и не является
разрешимой г'-группой,
либо
(ii) X е И0 (Л) и На & Н для некоторого а е Л*.
Доказательство. Предположим сначала, что Х^На
при всех а е Л*. Для каждого X е Ие (Л) имеем
К = {Ск(а)\а& A*) s(Ha\a^ Л*) s X.
Согласно лемме 4.1, X не является разрешимой г'-группой.
' . 1
i
126 Дж. Глауберман ' 1
Предположим теперь, что На при некотором а е Л*-
Для каждого а е Л* пусть 0' (Са (а)) равно На П X, Тогда ,
0' — разрешимый Л-сигнализаторный функтор на G и 10' |< ’
< 101. По предположению индукции 0' будет полным. Пусть
y = 0/(G). Тогда У еИ0 (Л) и
Я = (/С|№Ие(Л) и К<=Х} =
^(Ск(а)\К^Ив(А) и К<=Х,
а е Л*) s
£=(яаГ1 Лае Л*) = У sX.
Поэтому Х = У е И0 (А).
Лемма 5.5. Пусть рел(0) и S —некоторая Sp(A)-nod-
группа группы G. Пусть, кроме того, в G существует SP' (А)-под-
группа Y и S содержится в более чем одном элементе из Ие (А).
Тогда
(a) SY = YS,
(b) SY содержит все элементы из И0(А),
(с) SY неразрешима,
(d) | л(0) |>3.
Доказательство. Согласно определению Sp>(^-под-
группы группы G, Y содержит силовскую (/-подгруппу этой
группы для каждого q е л (0) —- {р}. Поэтому Y (]D содержит
силовскую (/-подгруппу из D для каждого такого q в силу
леммы 4.3. Следовательно, KfiZ) будет холловский //-под-
группой группы D. Аналогично S f) £> — силовская р-подгруппа
в £>. Отсюда следует, что
(5.4) О = (5ПО)(УП£>).
Из леммы 2.13 вытекает существование единственной
подгруппы W в Y, которая максимальна относительно свой-
ства SW = ITS. Пусть М = SW. Очевидно, что W и М будут
А-инвариантны.
Предположим, что Н еИе(А) и H^S. Мы утверждаем,
что Н^М. Предположим, что это не так, и выберем простой*
делитель q числа | Н : Н f] М |. Пусть а = {р, (/}. Тогда
q е л (0) — {р} и существует Sa (А)-подгруппа Я* в Н, которая
содержит S. Выберем некоторую 3^(А)-подгруппу Q в Я*.
Тогда
(5.5) QSEM и SQ = QS = H*.
Так как Y содержит SQ (А)-подгруппу группы G, то суще-
ствует такой элемент х е D, что Qx s Y. В силу (5.4) суще-
О разрешимых сигнализаторных функторах
ISM
ствуют такие и е S f] D и и е У П D, что ио = х. Поскольку
Qx s У, то Q“ s У. Из
SQa = (SQ)“ = (QS)a = Q“S
следует, что Q“ s W. Поэтому Q“ s M. Так как и e S s M,
to Q s M вопреки (5.5). Таким образом,
(5.6) M содержит каждый элемент из И0(Л), который
содержит S.
Согласно (5.6) и условиям леммы, М содержит по крайней
мере два элемента из ИеМ). Следовательно, Л4еИ0(Л).
Но М есть r'-группа, ибо | М |=| S || W I. Поэтому из леммы 5.4
получаем, что М неразрешима и содержит все элементы из
И0(Л). Следовательно, |л(0)|^3 и
М = SIT s ЗУ s М (теоретико-групповое включение),
откуда M = SY. Это завершает доказательство леммы 5.5.
6. УСТОЙЧИВОСТЬ
Рассмотрим следующие условия на некоторое простое
число р из л(0):
Условие S1. Если Н^Ио(А) и S* — некоторая Sp(A)-nod-
группа группы Н, то Н = ОР'(Н) NH(Z(J(S*))).
Условие S2. (а) Существует 8р(А)-подгруппа S в G, со-
держащаяся в единственном элементе М из Ие(Л).
(Ь) Выполняется по крайней мере одно из следующих
условий:
(i) для М из (а) имеем М э D;
(ii) если Н е И0 (Л) и S* — некоторая Sp (А)-подгруппа
в Н, то
H = Op(H)Ch(Z(S*))Nh(HS*)).
Определение. Пусть ре л (0). Тогда р устойчиво, если
существуют Sp (Л)-подгруппа S в G и неединичная Л-инва-
риантная нормальная подгруппа S0 в 5, удовлетворяющие
следующему условию:
(S) если R — неединичная А-инвариантная р-подгруппа в
Q(N (So)) и Н ==f)(N (R)), то ОР'(Н) NH(S0).
Заметим, что условие S2 и определение устойчивости не
зависят от выбора S.
Предложение 6.1. Пусть р^л(8) и р удовлетворяет
условию S1 или условию S2. Тогда р устойчиво.
128
Дж. Глауберман
Доказательство. Пусть S —некоторая Sp (Д)-под-
группа группы G. Если р удовлетворяет условию S1, то
пусть S0 — Z(J (S)). В противном случае выберем М, как
в условии S2, и положим So = S f| Ор\ р (М). Мы проверим
условие (S) индукцией по | S |/| Яя (So) |р.
Предположим сначала, что | S \/\ NH (So) |р = 1. Тогда Nh(So)
содержит некоторую Sp (Д)-подгруппу S1 группы G. Так как
So< S, то существует такой x^ND(So), что Sf — S. Тогда S
будет Sp (Л)-подгруппой в Нх. Если р удовлетворяет усло-
вию S1, то
Нх = Ор, (Нх) N н* (Z (J (S))) = Ор, (Нх) NHx (Sx),
а следовательно, Н ~ОР>(Н) NH(S0), что и требовалось.
Пусть р не удовлетворяет условию S1. Тогда Нх s М и
0 (Я (So)) £= М, D <= М. Поэтому Н s М. Пусть К = Я П Ор'. Р (М).
Тогда
К<Н, ОР' (К) = ОР' (Я), К = ОР' (Я) So
и So — силовская р-подгруппа в Я. Привлекая к рассмотрению
подгруппу Фраттини, получаем
H = KNH(S0)==Op'(K)NH(S0).
Следовательно, Я = Ор' (Я) NH (So).
Предположим теперь, что | S |/| NH(S0) |р > 1. Пусть S] —
силовская р-подгруппа в NH(S0) и /( = 6(WG(Si)). Заметим,
что R^Slt ибо /?<Ян(50). Так как | Si I < | S |, то Si не
является силовской р-подгруппой в 0 (Яо (So))- Поэтому
I Ян (So) |₽ = I S, 1 < | NK (So) |p.
Следовательно, по предположению индукции имеем
(6.1) Л = Ор- (Я) NK (So).
Заметим, что
(6.2) Op'W^CgIS^CgM^NM.
Предположим, что Si не является силовской р-подгруппой
в Я. Тогда существует некоторый p-элемент t^H, который
нормализует Sb но не лежит в Далее, t^K. В силу (6.1)
существуют такие х е Ор> (К) и f/e NK (So), что ху — t. Из
(6.2) получаем
y = x-it^e(NG(R)) = H.
Так как у = t mod Ор> (К), то | (Si, p)|p = |(SI, f) |)| Si I. Но это
невозможно, ибо S! — силовская р-подгруппа в Na (So) и
О разрешимых сигнализаторных функторах
129
(Sb у} <=: NH (So). Поэтому Si — силовская р-подгруппа в Н.
Согласно лемме 2.7,
(6.3) Ор'(Н) содержит каждую р'-подгруппу группы Н,
нормализуемую подгруппой Sb
Пусть Г —любая неединичная характеристическая под-
группа в Sb Пусть //*=0(AfG(T)). Так как| Sj | = | NH(SQ) |р <| S |,
то | NH* (So) |р > | Ng (SO П 0 (NG (Sq)) ^>1^1 = 1 NH (So) |p. Зна-
чит, по индукции можем считать, что H* = Op'(H*)Nh*(Sq).
Предположим, что x^NH(T) = NH*(R). В силу леммы 2.14
существуют такие с е Ор' (Я*) П CG (/?) и h е NH* (S0),4To ch = х.
Из (6.3) следует, что Ор' (Я*) П CG (7?) s Ор' (Н). Следова-
тельно, с^Ор'(Н) и h = c~xx^H. Таким образом,
(6.4) для каждой неединичной характеристической подгруппы Т
из Si имеем Nh(T)^Op'(H)Nh(Sq).
Если число р удовлетворяет условию S1, то Н =
= ОР'(Н) NH (Z (J (Si))). Положив T = Z(J(Si)) в (6.4), убеж-
даемся в том, что Н = Ор' (Н) NH (So).
В оставшейся части доказательства мы предполагаем,
что р не удовлетворяет условию S1. Тогда р удовлетворяет
условию S2. Так как So <] S, то S s 0 (NG (So)), а следовательно,
(6.5) Q(Ng(S0))^M.
Далее, р должно удовлетворять либо (i), либо (ii) части (Ь)
условия S2. Если выполняется (i), то (6.4), (6.5), теорема 3.3
(примененная к Н10р'(Н)) и рассуждения Фраттини приводят
к тому, что
Н = {ОР’(Н), CH(Z(SJ), N
^(ОР'(Н), NH(S0), ЯП.М> =
= ОР’(Н)(Н(]М).
Если выполняется (ii), то аналогично Н = Ор> (Н) (Н Л М).
Таким образом, во всех случаях
(6.6) И = ОР'(Н) (Н ЛАГ).
Далее, М = ОР'(М) NM(S0). Возьмем хе Я ЛАГ. Тогда
RsNm(So) и Rx = R. Согласно лемме 2.14, существуют
такие с е Ор> (М) Л С (R) и h^NM(S0), что ch — x. Тогда
Лей и в силу (6.3) Ор'(А1) Л С(R) s Ор>(Я). Таким образом,
я л М s (Op- (М) Л С (R)) NHnM (So) = Ор' (Я) NH (So).
Согласно (6.6),
Я = Ор' (Я) (Я Л Af) = Ор' (Я) NH (So).
б Зак. 1280
130
Дж. Глауберман
7. НЕСУЩЕСТВОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
В этом параграфе мы доказываем следующий результат.
Теорема 7.1. В л(0) не существует устойчивых простых
чисел.
Этот результат доказывается от противного. Предположим,
что р — устойчивое простое число из л (0). Противоречие
будет получено с помощью последовательности лемм.
-Пусть S — произвольная фиксированная Sp (Л)-подгруппа
в G и So — неединичная нормальная подгруппа в S, которая
удовлетворяет условию (S) из определения устойчивости.
Пусть X = Хр.
Лемма 7.2. Предположим, что Т—не единичная А-инвариант-
ная подгруппа в So и Т <| 0 (2V (So)). Тогда
(а) Ор' (На) Ст (а)< На для каждого аеЛ*;
(Ь) Сх(а)Ст(а) является А-инвариантной подгруппой в На
для каждого а^А^\
•(c) если Сх(а)Ст(а) #= На при некотором аеЛ*, то
(X, Г) = ХГ = ГХеИе(Л).
Доказательство, (а) Возьмем а е Л*. Если р^\На\,
то На = Ор' (На). Предположим, что* р 11 На |. Пусть R =
= S П Ор',р(На). В силу леммы 4.3 S А На — силовская р-под-
группа в На. Таким образом, R Ф 1. Пусть L = 0 (NG (7?)).
Из (S) получаем
(7.1) L==Op'(L)Nl(Sq).
Поэтому, так как OP'(L)(L()T) нормализуется подгруппами
OP'(L) и NL(SQ), то
OP'(L)(L(]T) <\ L.
Пусть К = (Ор' (L) (L А Г)) П На. Тогда К < L А На. Используя
рассуждения Фраттини, получаем, что
(7.2) Ha = Op'(Ha)(L(]Ha).
Следовательно, Ор' (На) К < На. Поскольку Ор' (На) К имеет
нормальное p-дополнение,* то Ор' (На) К Ор\ р (На). Значит,
Ст (a) s (L А Т) А На <= ОР', р (На).
Отсюда получаем Ст (a) = R(] Т. Так как Ор' (L) CG (R)
^Cq(R(]T) и AfL(S0) нормализует RftT, то (7.1) приводит
к равенству Ст(а) = R А Т <1 L. Следовательно, Ст (а) < L А На.
Из (7.2) получаем (а).
(Ь) Возьмем аеЛ*. По теореме 4.5 Сх(а) 3 Ор'(На).
О разрешимых сигнализаторных функторах 131
Следовательно,
Сх (а) Ст (а) = (Сх (а) Ор> (На)) Ст (а) =
= Сх(а){Ор'(На)Ст(а)),
а это группа в силу (а).
(с) Определим функтор 0' посредством формулы
0' (Со (а)) = Сх (а) Ст (а) = Ст (а) Сх (а) (а е= Л*).
Очевидно, что 0' удовлетворяет всем условиям для Л-сигна-
лизаторного функтора, за исключением, возможно, баланса.
Рассмотрим а, Ь^.А*. Пусть Н — 8' {С0{а)), Т* = Ст(а) и
X* = Сх(а). Тогда Т* является 5р(Л)-подгруппой группы Н,
а X* — 5р'(Л)-подгруппой группы Н. Согласно лемме 2.12,
Су (6) будет Sp (Л)-подгруппой группы СН(Ь), а СХ*{Ь) —
£Р'(Л)-подгруппой группы СН(Ь). Поэтому
0' {Со (а)) П CQ (b) = Сн (6) = Су (Ь) Сх. (6) =
sCT{b)Cx(b) = 8'(CQ{b)).
Таким образом, для 0' выполняется баланс.
Предположим, что 0' (Са (а)) =/= На при некотором аеЛ*.
Тогда | 0' | < | 0 |. Следовательно, функтор 0' полон. Пусть
W = 8'(G). Пусть У — некоторая 5Р'(Л)-подгруппа в W, со-
держащая' X П W. Для каждого а е Л*
Сх (а) Су (а) 9 (Со (а))= ех (а) Сг (а),
откуда Cx{a) = CY(a). В силу леммы 2.1
У = <Су(а)|а«=Л*> = Х.
Аналогичное рассуждение показывает, что Т будет 5Р(Л)-
подгруппой в W. Поэтому W — XT = ТХ.
Лемма 7.3. Предположим, что выполняются условия
леммы 7.2. Предположим также, что Т — абелева группа, ко-
торая удовлетворяет условиям части (с) леммы 7.2. Пусть
Т = \рр’,р{ХТ),Т]. Тогда
(а) для каждого а^А* существует такая подгруппа
КаеИ0(Л), что Т = Ка^ XT и (Иа, Г) нормализует Ка, и
{На,Т)е=И6(А).
Кроме того,
(b) Т — силовская р-подгруппа в XT и ОР'Р{ХТУ,
(с) У < ХТ-,
(d) У = <[Су(В), Т, T]\B^W)}-,
(е) Г=1.
б*
132
Дж. Глауберман
Доказательство, (а) Возьмем аеА*. Если p-f|//a|,
то На = Ор'(На)<=ХТ, и мы можем определить Ка как. (На, Т).
Следовательно, можно считать, что р || На |. Пусть R —
= S(\Op’.p(Ha), L = B(N(R)) и M = OP'(L). Рассуждение
Фраттини приводит к тому, что
(7.3) Ha = Op'(Ha)(Ha(]L).
Положим Ка—{Ор'(На), М, Т). В силу теоремы 4.5 и леммы 5.2
Ка<={Х, Т) = ХТ.
Из (S) следует, что L — MNL (So) = MNL (Т). Так как (М, Т)
нормализуется М и Nl(T), она нормализуется подгруппой L
и, следовательно, На Л L. Пользуясь аналогичным рассужде-
нием, из (7.3) получаем, что Ка нормализуется подгруппой На.
Так как 1 =/= Т Ка, то
<Яа, T) = 0(Af(O,
что доказывает (а).
(Ь) Очевидно, что Т — силовская р-подгруппа в XT. По-
скольку XT разрешима и Т абелева, Т = Ор\ р (XT).
(с) из (Ь) и рассуждения Фраттини следует, что
XT = Ор>, р (XT) NXT (Т) = Ор< (XT) NXT (Т).
Поэтому Y <]ХТ.
(d) Так как Т абелева, то
Y = [ТОР' (XT), Г] = [ОР' (XT), Г].
Следовательно, Y — [У, Г]. Теперь нужно применить лемму
2.10.
(е) Предположим, что У 1. Тогда подгруппа 8 (А/(У))
определена. Согласно лемме 5.4, существует такой а е А*,
что Ha^Q(N (У). Далее, Ha^N(Y). В силу леммы 2.1
(примененной к А/(а) вместо А)
На = (Сна(В)\а^В^^2(А)).
Выберем такие В е <S2 (А) и хе Сна (В), что а е В и ;V (У).
Согласно (d), существует подгруппа В* е <^2 (Л), для которой
(7.4) [СУ(В*), Т, Т]х &Y.
Пусть b е (В Л В’)*. Выберем Кь как в части (а) этой
леммы, и пусть H — {Hb, Т) и L = Ор>, р (К.ь П Н). Тогда Кь Л
Л Н < Н и L < Н. Так как Т = Кь Л Н = XT и Т = ОР>, Р (X, Т), то
Т L. Кроме того, Т — силовская р-подгруппа в L. Рас-
суждение Фраттини показывает, что Н = LA/д (Т), так что
(7.5) [L, Т]ОН.
О разрешимых сигнализаторных функторах
133
Так как Ор> (L) есть //-подгруппа в XT, нормализуемая
подгруппой Г, из леммы 2.7 вытекает включение OP'(L)s
<=ОР'(ХТ). Поэтому
L = ОР' (L) Т = ОР' (XT) Т = ОР', р (XT).
Следовательно, в силу (7.5)
[Су (В*), т, Г]’ <= [Н, Т, 7Г <= [L, Т]х =
= [L, Т]^[ОР',Р(ХТ), T] = Y,
вопреки (7.4). Это противоречие завершает доказательство
части (е) и, таким образ , всей леммы 7.3.
Лемма 7.4. (a) S — элементарная абелева группа, являю-
щаяся минимальной нормальной подгруппой группы B(NG(S)) А.
Кроме того,
(b) На = Сх (a) Cs (а) для всех а е Л*;
(с) CS(X)=1;
(d) X — единственный максимальный элемент из И0(Л; р')\
(е) X есть SP' (А)-подгруппа в G;
(f)D^X.
Доказательство, (а) и (Ь). Пусть Г — минимальная
нормальная подгруппа в 0 (NG (So)) А, содержащаяся в So-
Тогда Т — элементарная абелева группа. Предположим, что
Т удовлетворяет условиям части (с) леммы 7.2. В силу
леммы 7.3 (е)
[ОР',Р(ХТ), T] = Y=1.
Поэтому Т Z (Ор\ р (XT)), откуда получаем, что Т =
=ОР (Op', р (XT)) < XT. Выберем произвольный элемент а е Д*
и рассмотрим подгруппу Ка, определенную в лемме 7.3(a).
Тогда Т = ОР (Ка), так что На нормализует Т. Далее,
Q(N(T))^Ha для всех аеЛ* вопреки лемме 5.4. Это про-
тиворечие показывает, что Т не удовлетворяет условиям
леммы 7.2 (с), а потому
(7.6) На = Сх(а)Ст(а) (as Л*).
Если Т <= S, то Ст (a) cz С$ (а) при некотором a s Л* вопреки
(7.6). Следовательно, T = S.
(с) Пусть U = CS(A) и L = Q(Nq(S)). В силу теоремы 4.5
N(X)^D^.U. Выберем произвольный элемент аеЛ*.
Согласно (Ь),
cs (а) = CL (a) £= На = Cs (а) Сх (а).
134
Дж. Глауберман
Поэтому CL(a) = Cs(a)CxnL(a). Так как [СлП£(a), U] Xfl
QS=1 и S — абелева группа, то CL(a) централизует U. Из
L = {CL(b)\b<=A*}
вытекает, что U Z (А). Следовательно, U <]LA. Согласно (а),
U = 1 или U = S. Так как ] л (0) | 2, то X =£= 1. Если U = S,
то 0(JV(X))> содержит X и S и в силу (Ь) содержит На при
каждом вопреки, лемме 5.4. Таким образом, U=l.
(d) и (f). Пусть /С^И0(Л; р'). Выберем произвольный
элемент а-еЛ*. Тогда СНа(А) = D и О, согласно (Ь) и
лемме 4.3, является //-группой. Пусть W есть Зр'(Л)-под-
группа в На, содержащая D. Так как CHc(A)^W, из
леммы 2.2 следует, что W — единственная Зр(Л)-подгруппа
в На. Следовательно, W э Ск (а) и в силу (b) W должна
совпадать с Сх(а), так что D ^Сх(а) X. Так как а был
выбран в Л* произвольно, то
К = <Ск(6)|6еЛ*>ЕХ.
(е) Согласно (d), X содержит каждую 3^ (Л)-подгруппу
при всех
Лемма 7.5. Лишь один элемент из Ие(Л) содержит S.
Доказательство. Согласно лемме 7.4, 0(Af(S)) =
= SNX(S), Пусть Xi — наибольшая подгруппа в X, норма-
лизуемая подгруппой 3. Тогда Xj нормализуется подгруппой
7VX(S) и инвариантна относительно Л. Пусть
L = XxSNx (3) = Xj0 (N (3)).
Предположим, что /(еИ0(Л) и /С^З. Из определения
И0(Л) и леммы 7.4 следует, что К разрешима и ОР'(К)^Х.
Поэтому, так как 3 абелева, она будет силовской р-под-
группой в Ор', р(К) и Op'(K) Xi. Привлекая рассуждение
Фраттини, получаем
К = Op', р m NK (S) = Ор> (К) NK (3) <= Х,0 (N (3)) = L.
В дальнейшем в этом параграфе мы обозначаем через L
единственный элемент из Ие(Л), который содержит 3.
Лемма 7.6. Предположим, что д^л(6) — {р} и о = {р, q}.
Пусть также либо
(a) q нечетно,
либо
(Ь) для каждой Sq(A)-nodepynnu R в G 0 (С (Z (/?))) является
р'-группой.
Тогда существует некоторая 8(у{А)-подгруппа в G.
О разрешимых сигнализаторных функторах
135
Доказательство. Пусть R есть Sq (Л)-подгруппа в G.
Выберем So (Л)-подгруппу в L и So (Л)-подгруппу Я2
в 0 (Я (Z (7 (/?)))), которая содержит 7?. В силу леммы 5.3
достаточно доказать, что
(7.7) каждый элемент из Ие (Л; а) сопряжен с Н{ или с Н2
при помощи элементов из D.
Покажем это.
Выберем Я е И5 (А; а). Предположим сначала, что
Ор(//) =0= 1. Тогда можно считать, что ОР(Н) S. Следова-
тельно, 0(Я(ОР(Я))) содержит S. В силу леммы 7.5
Лз0(Я(Ор(Я)))=>Я.
Поэтому Я есть So (Л)-подгруппа в L, сопряженная с #1
относительно D(]L в силу леммы 2.2.
В оставшейся части доказательства считаем, что ОР(Н) — 1.
Пусть Q — некоторая Sq (Л)-подгруппа группы Я. Можем
предполагать, что Q^R. Согласно лемме 7.4, D есть //-группа,
a S —абелева группа. Поэтому СЯ(Л) будет ^-группой и Н
имеет абелеву силовскую р-подгруппу. Из теорем 3.1 и 3.2
(где р и q переставлены) следует, что
(7.8) Z (J (Q)) <1 Я, если q нечетно,
и
(7.9) H = Ch(Z(Q))Nh(J(Q)).
Из максимальности Я получаем, что она будет 5а(Л)-
подгруппой в 0(Я(Ор(Я))). Следовательно,
Z(R)^R(]Q(N(Oq(H))) = Q.
Так как Q R, то Z (R) Z (Q). Поэтому в силу (7.9)
в случае (Ь)
Сн (Z (Q)) = Q и Я = QNH (J (Q)) = NH (Z (J (Q))).
Далее, из (7.8) вытекает, что Z(Z(Q))<1# как в случае (а),
так и в случае (Ь). Следовательно,
(7.10) Я есть S^Ayподгруппа в Q(N(Z(J(Q)))).
Так как NR(Q) нормализует Z(/(Q)), то
Nr(Q)^R()Q(N(Z(J(Q)))) = Q.
Поскольку R является ^-группой, то R = Q. Таким образом,
Z (J (Q)) = Z (/(/?)). В силу (7.10) Я сопряжена с Я2 отно-
сительно D. Это завершает доказательство утверждения (7.7)
и, следовательно, лем^мы 7.6.
136
Дж. Глауберман
Лемма 7.7. (a) L содержит S2r (А)-подгруппу группы G\
(b) 2ел(0)-{р};
(с) для некоторой 82(А)-подг руппы Q группы G имеем
L^Z(Q).
Доказательство. По определению L содержит X.
В силу леммы 7.6 и сопряжения элементами из D &ля ка-
ждого простого числа q из л (0) —- {р} в G существует
Х(р, <7)(Л)-подгруппа,, содержащая X; следовательно, L со-
держит Sq (Л)-подгруппу группы G. Так как L разрешима,
получаем утверждение (а).
Согласно лемме 5.4, существует такой элемент «еЛ*
что На gt L. Пусть q — простой делитель числа | На .* На f] L |.
Тогда L не содержит никакой Sq (Д)-подгруппы группы На.
Из леммы 4.3 следует, что L не содержит никакой ХР(Л)-
подгруппы группы G. Из (а) и леммы 7.6 получаем, что
<7 = 2, и это доказывает (Ь); кроме того, р делит число
| 0 (С (Z (7?))) | для некоторой Х2 (А)-подгруппы /^-группы G.
Пусть Т есть 8Р (Д)-подгруппа в 0 (С (Z (#))). Выберем такой
элемент хе£), что Тх ^Х, и пусть Q = /?x. Тогда 0(С(Г*))
содержит X и Z(Q). По определению L имеем L 3 0 (С (Тх)) э
S Z (Q).
Лемма 7.8. Выберем Q, как в лемме 7.7. Тогда Q содер-
жится в единственном элементе М из И? (Л).
Доказательство. Предположим, что заключение
леммы не верно. Согласно лемме 7.7, L содержит некоторую
Х2'(Л)-поцгруппу L* группы G. В силу леммы 5.5 QL* — не-
разрешимая группа и QL* содержит все элементы из Ие(Л).
Пусть K — QL*. Тогда
(7.11) K = KL = QL.
В силу нашего выбора Q
(7.12) Z(Q)£L.
Пусть N = Г) /А Тогда N будет Л-инвариантной подгруппой
q^K
в L и Кроме того, в силу (7.11) и (7.12) имеем
K = LQ и
Z(Q)s П П L9.
fleQ q<=K
так что 1 =# N е Ие (Л). Следовательно, К. = 0 (NG (N)). По-
этому К разрешима — противоречие.
О разрешимых сигнализаторных функторах
137
Лемма 7.9. Группы G не может существовать.
Доказательство. Выберем Q, как в лемме 7.7,
а М как в лемме 7.8. Поскольку Q X, то X М. Следо-
вательно, D X М и простое число 2 удовлетворяет усло-
вию $2 (из § 6). Согласно предложению 6.1, простое число 2
устойчиво. Поэтому мы могли бы предположить выше, что
р = 2. Однако это противоречит лемме 7.7.
8. ШИРОКИЕ ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
Определение. Предположим, что ре л (9). Тогда р — ши-
рокое число, если
(i) р = 2 и D содержит элементарную абелеву подгруппу
порядка 8,
либо
(ii) р нечетно и D содержит элементарную абелеву под-
группу порядка р2.
Для каждого рел(9) определим
W0 = П Ор'Ш (Ве=Л(Л))
и
В своей статье [7] при m(4)J>4 Голдшмидт доказал (§ 5),
что Кр=1 для всех рел(0), и затем получил противоречие,
применив метод Бендера. В нашем случае мы применим
аналогичное рассуждение (независимое от § 7), имея воз-
можность, однако, получить результаты лишь для широких
простых чисел.
Наш основной результат — следующая теорема.
Теорема 8.1. Предположим, что р — широкое простое число
из л(0) и S есть Sp(A)-nodepynna в G.
(а) Группы S и D нормализуют Кр.
(^Предположим, что (/ел(0)- {р}, a = {p,q} и Н&
еИе(Л; а). Пусть также Н содержит силовскую р-подгруппу
в D и Кр = I. Тогда Ор (Н) = 1 или Oq (Н) =1.
Всюду в этом параграфе мы предполагаем, что р и S
удовлетворяют условиям теоремы 8.1. Часть (Ь) теоремы до-
казана в лемме 8.2. После леммы 8.2 мы считаем, что Кр 1,
так как в противном случае часть (а) теоремы тривиальна.
На протяжении всего этого параграфа будем использо-
вать следующие обозначения: К = КР, Х — Хр, и для каждого
неединичного p-элемента е в D пусть
Яе = 0(С(е)), Ке = Ор'(Н^.
138
Дж. Глауберман
Лемма 8.2. (а) К
(b) D нормализует
(с) для каждой нециклической элементарной р-поо группы Е
из D будет
К = {Ке\е^Е*)-
(d) выполняется утверждение (Ь) теоремы 8.1.
Доказательство, (а) Для каждой ВИ) имеем
К{р}(В)^Ор'(Не)^Х (Ье=В*)
в силу теоремы 4.5.
(Ь) Это утверждение очевидно, ибо D нормализует О/(Яа)
при всех а е Л*.
(с) Пусть К* = {Ке\ е^Е*). Выберем произвольные
и Ве^2(Л). Для каждого элемента Ь^В* имеет место
включение ее Нь и
CK^c=CKg(b) = KeftHbc=
Е Ор> (е (С (е))) п нь <= Ор> (СНь (е)) = Ор> (Нь)
в силу леммы 2.3. Следовательно,
СКе(В)= П Ор/(НЬ) = КР(В)<=К.
ь<^в&
Таким образом, Ке = (СКе (В*) | В* е <Г2 (Л)) s К и К*с=К.
Для доказательства обратного включения выбираем про-
извольные Be(Л) и Пусть В = /С(Р)(В). Для ка-
ждого Ь^В имеем
CL (е) £= Ор> (Нь) л не <= Ор> {Нь п не) = Ор> (СНе (&)).
Следовательно, согласно лемме 2.4,
CL(e)= П Ор'(СнДЬ))<=Ор>(Не) = Ке^К'.
Поэтому Kw(B) = L = (fit(f)\f е £*)<=/<•. Так как В про-
извольна, то К К*.
(d) Выбираем q, о и Я, как в части (Ь) теоремы 8.1, но
считаем, что ОР(Я)=#1 и ОР(Я)#=Ь Так как р —широкое
число, то Н Q D содержит некоторую нециклическую элемен-
тарную абелеву р-подгруппу Е. Тогда существует такой эле-
мент ее В*, что 0^(Я) П CG (е) =# 1. Пусть Ь — Ср(Н)(е). По-
лугруппа L будет Л-инвариантной, ОР(В)#=1 и Oq(L)=/=L
Кроме того, L Яе. Из (с) и теоремы 4.4 следует, что
l^Oq(L)^Op(He) = Ke^Kt
т. е. получено противоречие.
О разрешимых сигнализаторных функторах
139
Как уже упоминалось выше, до конца этого параграфа
мы считаем, что Д =# 1.
- Лемма 8.3. Для каждой нециклической элементарной абе-
левой p-под группы Е в D полугруппа Q(C(E)) нормализует К.
Доказательство. Пусть x^Q(C(E)). Тогда для каж-
дого е е Е* имеем хе Не^ N (Де). Остается применить
лемму 8.2.
Лемма 8.4. (а) Предположим, что Е — нециклическая эле-
ментарная р-подгруппа в D. Еслир^=2 или \Е\^р3, то
Ск(е) = Ке для всех е е Е*.
(Ь) Д = Ор,(0(^(Д))).
(с) С%(а) Ор'(На) для всех а^А*.
(d) Для всех В е (А)
№(0P'(Hb)lbeB*)sX.
Доказательство. Пусть Е==0(Лг(Д)) и К* = OP'(L).
Очевидно, что Д Д*.
Мы утверждаем, что как только Е удовлетворяет (а) и
е е Е*, то
(а') Ск*(е)^Ке.
Предположим сначала, что р ф 2. Пусть С — некоторая
Sp(Л)-подгруппа группы 0(CG(E)). Тогда ЕеС. Поэтому
0(CG(C))^0(CG(E)) и Z(С) — силовская р-подгруппа в 0(CG(C)).
Кроме того, С 0 (CG (е)) == Не и Z (С) — силовская р-под-
группа в Сне(С). В силу леммы 8.3 С нормализует- К и,
следовательно, Д*. Кроме того, С%*(е) есть р'-подгруппа
группы Не и С нормализует С/<*(е). Так как р нечетно, из
леммы 2.6 следует, что в этом случае выполняется (а')-
Допустим теперь, что р может равняться 2, и пусть
|Е|^р3. Выберем произвольную подгруппу F^ff2(E) севр.
В силу леммы 8.3 0 (С (Е)) s L. Поэтому
(Е) Ор' (0 (С (Е))) = ОР' (СНе (Е)) <?Р' (Не) = Не,
согласно лемме 2.3. Так как F произвольна, то
C^(e) = (C^(Ei)\El^^2(E) и е Е{) Дв.
Это завершает доказательство утверждения (а').
Если Е и е выбраны, как в (а), лемма 8.2 приводит
к тому, что Ке Ск (е). Так как К Х*> то (а') означает, что
Ke s СК (в) S (в) £ Да,
это доказывает (а).
140
Дж. Глауберман
Перейдем теперь к оставшейся части леммы. Так как р
широкое, в О существует подгруппа В, которая удовлетво-
ряет (а). Из (а') получаем
К = г = {Ск. (е) | е е £*) <= К,
что доказывает (Ь).
Выберем произвольный элемент а е 4*. Дусть Е удовлет-
воряет (а). Для каждого имеем
Ск «а, е)) = На Г1 Ск (е) = На(] Ор<(Не) <=
Ор' (Не П На) = Ор' (Сна (в)) Е Ор' (На)
в силу (а) и леммы 2.3. Это доказывает утверждение (с),
так как
Ск(а) = {Ск((а, е))|е <=£*>.
Утверждение (d) следует теперь из (с) и теоремы 4.5.
Лемма 8.5. Пусть Т есть Sp (А)-подгруппа в 0 (N (7<)).
Тогда К будет наибольшей подгруппой в X, нормализуемой Т.
Доказательство. Пусть Е — элементарная р-под-
группа максимального порядка в D, L = B(N(K)) и М —
наибольшая подгруппа в X, нормализуемая Т. Заметим,
что М будет 4-инвариантной и что
(8.1) К<=М<=Х.
Предположим сначала, что р — 2. Тогда | Е |^8. Согласно
леммам 8.3 и 2.1, £ нормализует X и
L <0 (С6 (F)) | F <Г2 (£)> => (Сх (F) | F <Г2 (£)> = X.
Следовательно, в силу (8.1) М является р'-подгруппой
группы L, нормализуемой Г. В силу леммы 8.4(b) К =
= OP'(L). Поэтому М s К, согласно лемме 2.7. Из (8.1) сле-
дует, что М = К-
Предположим теперь, что р нечетно. Тогда | Е | р2. Выбе-
рем произвольные В^^2(А) и b е В*. Имеем Е s D е Нь.
Пусть Т* — любая Sp (Д)-подгруппа в Снь(Е)- В этом случае
(8.2) Z(Г*) — силовская р-подгруппа в Снь(Т*).
В силу леммы 8.3 Согласно лемме 2.2, существует
такой элемент d^D, что Td э Т*. Тогда Ст (b)d 3 Г*. Так как
СТ(Ь) нормализует См(6), отсюда следует, что 71* нормали-
зует См(&/. Поскольку р нечетно, (8.2) и лемма 2.6 при-
О разрешимых сигнализаторных функторах
141
водят к тому, что См (b)d Ор' (Нь). Из d^Hb следует, что
См (b) Е ОР' (Нь). Так как b был произвольный, то
См(В)= П См (Ь)<= П Op'(Hb) = W>V(B)<=K.
ь<=в^ ъ^в^
Поскольку подгруппа В была произвольной,
м = {см(в*)\в*^&м^к.
Следовательно, в силу (8.1) К = Л1.
Лемма 8.6. Группа S нормализует К.
Доказательство. Пусть L = 0 (Af (К)) и Т есть
Sp (Л)-подгруппа в L. Выберем некоторую Sp (Д)-подгруппу U
в 0 (No (Г)), которая содержит Т.
Предположим, что Ве^2(Л). Пусть
L* = {Op'(Hb)\be=B*).
Тогда
(8.3) Си (В) нормализует L* и Т.
В силу леммы 8.4 (d) Д В* X. Поэтому, согласно
лемме 8.5, К — наибольшая подгруппа в L*, нормализуемая
подгруппой Т. Из (8.3) следует, что CV(B) нормализует Д.
Так как В была произвольной, то
U = {Cv (В*) | В* е ^2 (Л)> <= 0 (N (Д)) = I.
В силу нашего выбора Г и U отсюда вытекает, что Т = U
и что Т является Sp(Л)-подгруппой группы G. Так как D^L
и Т сопряжена с S относительно £>, лемма доказана.
Леммы 8.2 и 8.6 дают теорему 8.1.
9. ОКОНЧАНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ
В этом параграфе мы получаем противоречие и, таким
образом, завершаем доказательство основной теоремы.
Пусть S — некоторая S2 (Л)-подгруппа группы G, а Г —
некоторая S3 (Л)-подгруппа в G.
Лемма 9.1. (а) Единственными простыми числами в <п(0)
являются 2 и 3.
(Ь) Для каждого р е л (0) группа D содержит такие эле-
ментарную р-подгруппу Е и подгруппу О*, что | Е | == р2,
D*^Cd(E) и D*/Cd{E)^SL{2, р).
(с) Для каждого р е л (0) имеем Др = 1.
142 Дж. Глауберман
Доказательство. В силу теоремы 7.1 я_(0) не со-
держит устойчивых простых чисел. Поэтому, согласно пред-
ложению 6.1, л(0) не содержит простых чисел, удовлетво-
ряющих условию S1. В силу теоремы 3.1 л(0)^{2, 3}.
Как отмечено после леммы 4.1, | л (0) | 2. Отсюда полу-
чаем (а).
Поскольку л (0) — {2} = {3}, то в О существует некоторая
S2' (Л)-подгруппа. Согласно лемме 5.5, S содержится в един-
ственном элементе из Ие(Л). Так как 2 не устойчиво, пред-
ложение .6.1 показывает, что 2 не удовлетворяет условию
S2(b)(ii). В силу теоремы 3.2 и несложного рассуждения
мы получаем (Ь) для р = 2. Аналогичное рассуждение при-
водит к (Ь) для р = 3. Следовательно, 3 — широкое простое
число. Так как 3 не удовлетворяет условию S2(b)(i), тео-
рема 8.1 дает К3=1.
В силу леммы 3.4 и двух случаев в (Ь) убеждаемся в том,
что D содержит некоторую элементарную подгруппу по-
рядка 8. Следовательно, 2 — широкое простое число. Поэтому
К2=1.
Лемма 9.2. Пусть рел(0) и q = 5 — p.
(а) Для каждой подгруппы 2 (А) имеем П Оа (Нь)=\.
(Ь) Предположим, что Н ^Ид(А) uH^D. Тогда ОР(Н)=Л
или Oq(H) =1.
Доказательство, (а) Это следует из леммы 9.1(c)
и определения Кр (в начале § 8).
(Ь) Это следует из леммы 9.1(c) и теоремы 8.1.
Лемма 9.3. Предположим, что 77еИе(Л) uH^D. Тогда
либо
(а) О2(77)=1 и г(Т)<=ОДН),
либо
(Ь) О3(77)=1 и Z(S)c=O2(/f).
Доказательство. В силу леммы 9.2 О2(ТУ)=1 илц
О3(Я)=1. По симметрии мы можем и будем предполагать,
что О2 (//)=!. Далее, существует такой x^D, что О3(/7)Х^Г.
Так как D s Н, то
О3(Я) = О3(Я)^Т.
Поскольку Н = 0 (No (О3 (//))) и О2 (77) = 1, то
Z (Г) е Н и Z (П с= сн (О3 (77)) <= О3 (77).
Лемма 914. Заключение предыдущей леммы приводит
к противоречию.
О разрешимых сигнализаторных функторах
143
Доказательство. Пусть Z2 и Z3 — минимальные Л-ин-
вариайтные подгруппы в Z (S) и Z (Г). Тогда существует
подгруппа В е<^2(Л), которая централизует Z2. В силу
леммы 9.2
п О2(Я6)=1.
Выберем такой элемент b е В*, что Z2 О2 (Яь). Выберем
такую подгруппу ЯеИе(А), что Н Нь. Тогда Z2^O2(H)
и Н Нъ з 0 (CG (Л)) = D. В силу леммы 9.3 О2(//)=1.
Следовательно,
Ch(O3(H)) = Z(O3(H)) и O3(H)^Cg(Z2).
Выберем такую подгруппу В2^&2(А), что О3(Н) f]CG(В2) Sg
<£CG(Z2). Тогда
(9.1) [0(Co(B2)), Z2] не является 2-группой.
Аналогично существует такая подгруппа В3^ <^2(Л), что
[0(Co(B3)), Z3] не является 3-группой.
Выберем с е (В2 П В3)*. Выберем также такую подгруппу
Н е Ио (Л), что Н Нс. Тогда Н 3 0 (Cg (В2)). Поэтому
в силу (9.1) [Н, Z2] не является 2-группой, так что Z2<3= О2(Н).
Аналогично Z3^ О3(Н). Так как Н з HC^.D, то это проти-
воречит лемме 9.3.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Bender Н., Goldschmidt’s 2-signalizer functor theorem, Israel J. Math.,
22, № 3—4 (1975), 208—213.
[2] Feit W., Thompson J. G., Solvability of groups of odd order, Pacific
J. Math., 13 (1963), 775—1029.
[3] Glauberman G., A characteristic subgroup of a p-stable group, Canad.
J. Math., 20 (1968), 1101—1135.
[4] Glauberman G., Failure of factorization in p-solvable groups, Quart.
J. Math. Oxford (2), 24 (1973), 71—77.
[5] Glauberman G., Failure of factorization in p-solvable groups, II, Quart.
J. Math. Oxford (2), 26 (1975), 257—261.
[6] Goldschmidt D., Weakly embedded 2-local subgroups of finite groups,
J. Algebra, 21 (1972), 341—351.
[7] Goldschmidt D., Solvable.signalizer functors on finite groups, J. Algeb-
ra, 21 (1972), 137—148. (См. та^же стр. 98—111 настоящего сбор-
ника.)
[8] Goldschmidt D., 2-signalizer functors on finite groups, J. Algebra, 21
(1972), 321—340.
[91 Gorenstein D., Finite groups, Harper and Row, New York, 1968.
[10] Gorenstein D., On the centralizers of involutions in finite groups, I, II,
J. Algebra, 11 (1969), 243—277; 14 (1970), 350—372.
[11] Gorenstein D., The flatness of signalizer functors on finite groups,
J. Algebra, 13 (1969), 509—512.
[12] Thompson J. G., Fixed points of p-groups acting on p-groups, Math.
Zeitschr., 86 (1964), 12—13.
[13] Thompson J. G., Non-solvable finite groups all of. whose local sub-
groups are solvable, I, Bull. Amer. Math. Soc., 74 (1968), 383—437.
2-СЛИЯНИЕ В КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ1)
Д. М. Голдшмидт
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Введение................................................... 144
2. Некоторые вспомогательные леммы ............................148
3. Свойства 5*-групп ......................................... 154
4. Минимальный контрпример.....................................167
5. Теорема единственности..................................... 171
6. Редукционная теорема.....................................177
7. Случай т(Л)^3............................................180
8. Случай ш (Л) = 2.........................................185
9. Следствия...................................................194
Список литературы ............................................200
1.ВВЕДЕНИЕ
Пусть А Т с G - такие группы, что если а^А, g е G
и аё^Т, то as е А. В таком случае мы говорим, что А
сильно замкнута в Т относительно G. Мы имеем здесь дело
со случаем, когда G конечна, Г —силовская 2-подгруппа в G
и А абелева. В этом случае мы называем G S (А)-группой.
Наша цель—определить композиционные факторы для AG,
нормального замыкания подгруппы А G, когда G есть
5(А)-группа. Имея это в виду, мы даем следующие опреде-
ления:
Пусть L — совершенная группа, для которой факторгруппа
L/Z(L) проста. (Такая группа называется квазипростой.)
Мы будем говорить, что L — группа типа I, если L/Z (L) изо-
морфна одной из следующих групп:
(a) L2(2"), п>3;
(b) Sz(22"+1), п>1;
(c) t/3(2"), n>2.
Будем говорить, что L — группа типа II, если Z (L) имеет
!) Goldschmidt D. М., 2-Fusion in finite groups, Ann. of Math.,
99(1974), № 1, 70-117.
©Princeton University Press 1974.
© Перевод на русский язык, «Мир», 1979.
2-слияние в конечных группах 145 •
нечетный порядок и L = L/Z (L) удовлетворяет одному из сле-
дующих условий:
(d) L^L2(q), q = 3,5 (mod 8);
(e) L проста и содержит такую инволюцию /, что
.(1) |L:C^(/)| нечетно;
(2) =
(3) К содержит нормальную подгруппу Е нечетного
индекса, для которой СК(Е)=\ и Eo^L2(q), g = 3,5 (mod 8).
Прежде чем продолжать изложение, следует сделать
несколько замечаний. Группы типа I — это в точности группы
лиева типа, имеющие ранг Ли 1 над полем четной характе-
ристики. Что касается групп типа II, то мы специально
имели в виду исключить из нашего списка SL(2, q).
Кроме того, мы условимся, что символ Л2(^) означает, что
<7 = 3,5 (mod 8). Если q четно, то мы будем использовать обо-
значение L2(2n).,Заметим, что А5 имеет тип II. В случае (е)
мы будем говорить, что L — группа типа JR (Янко — Ри).
Единственными известными группами типа JR являются наи-
меньшая группа Янко [20] и группы Ри 2G2(q) при соот-
ветствующих q [23]. О группах типа JR известно доста
точно много. В частности, Уолтер [28] показал, что К = Е,
а Янко — Томпсон [21] и Уорд [30] доказали, что ^ = 32га+1
и что порядок группы определен. Мы ограничимся лишь
упоминанием этих результатов, ибо не хотим обременять
читателя излишними внешними ссылками.
Предположим теперь, что А — абелева 2-подгруппа конеч-
ной группы G. Пусть К = AG и К = AG/O (AG). Мы будем
говорить, что G есть S* (А)-группа, если
(1) К — центральное произведение некоторой абелевой
2-группы и квазипростых групп типов I и II;
(2) А = О2 (К) Qi (Т) некоторой силовской 2-под-
группы Т группы /С, содержащей А.
Будем говорить, что G есть S*-группа, если она является
S* (Л)-группой для некоторой группы А.
Нетрудно проверить, что 3*(Л)-группа будет S (Л)-группой.
Основной результат этой статьи — обращение последнего
утверждения:
Теорема А. Каждая S(A)-apynna является S* (А)-группой<
Сформулированное выше условие (2) следует на самом
деле из условия (1) й предположения о том, что G есть
5(Л)-группа. Мы привели его здесь главным образом для
полноты информации. Значение теоремы А состоит в том
146
Д. М. Голдшмидт
что она позволяет, исходя лишь из слияния инволюций в G,
практически решить вопрос, будет ли группа О2', 2(G) иметь
четный порядок.
Теорема А объединяет большое количество известных
результатов. Она, конечно, является прямым обобщением
7*-теоремы Глаубермана [10] (которую мы при доказатель-
стве часто используем). £*-теорема — это в точности случай
|Л| = 2.
С другой стороны из теоремы А непосредственно следует,
что простая 5*-группа характеризуется своей силовской 2-под-
группой; этот результат ранее был получен Уолтером [29]
и Коллинзом [7], [8]. В действительности наши рассуждения
не опираются на эту информацию, так что мы получаем
независимое доказательство этих теорем. Фактически мы по-
лучаем более сильный результат:
Следствие 1. Пусть Т — силовская 2-подгруппа простой
группы G и Qi(A) абелева. Тогда G есть S*-epynna.
Отсюда вытекает, что лишь 2-группы .Судзуки (в смысле
Хигмэна [18]), которые появляются в качестве силовских
2-подгрупп простых групп, будут стандартными.
Из другой области: ясно, что если 2-локальная подгруппа
Ng (У) контролирует G-слияние своих 2-элементов, то G будет
S(Z (У))-группой. Обратно, один очень полезный результат
Глаубермана [1.1, теорема 6.1] утверждает, что если G
является S (А)-группой, то NG(A) контролирует G-слияние
своих 2-элементов. Таким образом, теорема А определяет
все простые группы, в которых некоторая 2-локальная под-
группа контролирует слияние. В частности, это обобщает [14].
Еще одно направление: теорема Шульта [24] определяет
все простые группы, в которых слабое замыкание централь-
ной инволюции в ее централизаторе абелево. Мы получаем
(с независимым доказательством) такое обобщение:
Следствие 3. Предположим, что Т — силовская 2-под-
группа конечной группы G, Z^Z(T), W — слабое замыкание Z
в CG(Z) относительно G и W/0(W) абелева. Тогда G есть
S*-epynna.
В действительности мы получаем нечто немного более
сильное. Эти и другие следствия обсуждаются в § 9. Как
еще один пример, упомянем кое-что более новое:
Следствие 6. Предположим, что сплетение Tq Z Т{ будет
силовской 2-подгруппой в простой группе G и что Q! (Го)
абелева. Тогда выполняется одно из следующих условий*.
2-слияние в конечных группах 147
(а) То циклическая и |Г1| = 2;
(Ь) |Т0| = 2 и
Большая часть технических приемов из доказательства
теоремы А появилась в замечательной статье Бендера [6].
Действительно, большая часть нашей работы состоит из
непосредственных обобщений в высшей степени оригиналь-
ных рассуждений Бендера. Однако, поскольку доказываемый
здесь результат новый, мы позволили себе включить в изло-
жение большую часть деталей. Кроме того, в нескольких
местах потребовались дополнительные рассуждения.
В § 2 и 3 мы приводим некоторые полезные вспомога-
тельные результаты. В § 4 доказывается, что минимальный
контрпример G будет простой группой и что G = (CG(a) |ае А*).
Последнее утверждение очень важно при использовании
некоторых рассуждений из [6]. Наше первоначальное дока-
зательство этого факта было очень громоздким и опиралось
в конечном счете на [24]. К .счастью, однако, это непосред-
ственно следует из недавнего важного результата Ашба-
хера [4], который не зависит от [21], и тем самым получено
независимое доказательство соответствующего результата
из [24], как уже упоминалось выше.
В § 5 мы следуем [6]. В § 6 нам требуется дополни-
тельное рассуждение для рассмотрения «p-скованного случая»,
где при некотором а е А*, некотором нечетном простом
числе р и некоторой максимальной подгруппе Н ^CG (а)
группа F*(H) будет р-группой. Этот случай исключа-
ется утверждением (3.11). Аналогичное рассуждение появля-
ется в [2].
В § 7 мы получаем небольшое техническое преимущество
по сравнению с [6], ибо мы можем предположить, что
NG(A)/CG (А) действует на А неприводимо. С другой стороны,
Ng(A)/Cg(A) может быть неразрешимой. С этой проблемой
мы справляемся при помощи утверждения (2.11), - доказа-
тельство которого предложил М. О’Нэн. Наконец, в § 8 мы
должны рассмотреть случай т(А)=^=2, для которого в [6]
нет аналога. Оказывается, однако, что в этом случае тоже
применимо большинство обычного типа рассуждений.
Для любой группы G m(G) — это ранг наибольшей абеле-
вой р-подгруппы группы G (при любом простом числе р).
Sylp(G) обозначает множество силовских р-подгрупп в G (это
теперь уже стандартное обозначение). Мы напоминаем чи-
тателю, что L2 (q) означает, что q = 3,5 (mod 8). Все остальные
не объяснимые здесь обозначения либо стандартны, либо
очевидны. Конечно, мы используем (большей частью неявно)
основную теорему Томпсона — Фейта [9].
148
Д. Л1. Голдшмидт
В качестве примечания отметим, что для группы Ли
ранга 1 при характеристике 2 силовская 2-поцгруппа — это
в точности корневая группа, а потому она в некотором
смысле «почти» абелева. Таким образом, не слишком удиви-
тельно, что применима техника из [6]. На самом деле группы
типа I причиняют очень мало беспокойства. Хуже обстоит
дело с группами типа L2(q), у которых силовские 2-под-
группы оказываются абелевыми лишь случайно. Действи-
тельно, большинством технических трудностей этой статьи
(как и [6]) мы обязаны этим неприятным образованиям.
2. НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ
Мы начнем с напоминания определения и нескольких
основных свойств «обобщенной подгруппы Фиттинга» F* (77),
имеющихся в [6]. Для любой группы Н пусть Е(Н) — про-
образ в Н цоколя факторгруппы Сн (F (H))/Z (F (77)), где
F (Н) — подгруппа Фиттинга в Н. Определим затем Е (Н)
как последний член производного ряда для Е (Н) и положим
F* (Н) = Е (Н) F (Н).
(2.1) (а) Е(Н) — центральное произведение однозначно оп-
ределенных квазипростых групп, которые называются ком-
понентами группы Е (Н) и переставляются при сопряжении
элементами из Н.
(Ь) Компоненты для Е (77) — это множество всех субнор-
мальных квазипростых подгрупп группы Н.
(с) Если L — компонента группы Е (Н) и X s Н, то
L [L, X] или [L, X] = 1. Если X L-инвариантна, то L^E (X)
или [L, Х]= 1. Более то.го, [Е(Н), X] является произведением
тех компонент группы Е (Н), которые не централизуются X.
Доказательство. Пусть C = CH(F(H), Z = Z(F(H))
и KjZ — наибольшая разрешимая нормальная подгруппа
в С/Z. Тогда /<<|77 и KF (77) разрешима. Это означает, что
F (KF (Н)) —F (Н). Из [К, F(H)] = l следует, что K = Z
в силу одного результата из [15, стр. 218]. Следовательно,
E/Z — прямое произведение неабелевых простых групп, ко-
торые однозначно определены по теореме Крулля — Шмидта
[19, стр. 66]. Так как Z^Z(E), то (а) получается теперь
непосредственно.
Заметим, что если L — любая совершенная группа и
[X, L, L]=l, то [X, L]=l по лемме о трех подгруппах.
В частности, если L — нормальная квазипростая подгруппа
в /7, то мы получаем, что [L, F (77)] L(]F (77) Z (L),
откуда [L, F (77)] = 1. Отсюда легко следует, .что L — ком-
2-слияние в конечных группах
149
понента для Е(Н). Теперь (Ь) получается при помощи оче-
видного рассуждения по индукции, если заметить, что Е(К)
характеристична в К для любой группы Я.
Пусть L — компонента для Е(Н), X Н и положим Y =
= [Х, Ц^Е(Я). Тогда L и Y нормализуют друг друга. Если
Е^У, то [У, L] Y П Z Z (L) (так как LIZ(L) проста),
откуда [У, L] = 1 и тогда [X, L]= 1. Если X L-инва'риантна
и [X, Ь]У= 1,тоЛ<=[Х, L]<=X. Так как L< < X, то L<=E(X)
по (Ь). Наконец, пусть EQ — произведение тех компонент
группы Е(Н), которые централизуются подгруппой X, и пусть
Ei —- произведение остальных компонент для Е (Н). Согласно
изложенному выше, Ех s [Е (Я), X]. Так как Е(Я)==Е0Е1,
то мы получаем, что [Е(Я), X) [Еь X] Еь ибо Еь
очевидно, нормализуется подгруппой X. Доказательство
окончено.
(2.2) Предположим, что X < < F* (Я) и (X) X.
Тогда
X = E(H)(X[\F (Я)), CF (Я) (X П F (Я)) <= X.
Кроме того, Сн (F* (Я)) <= F* (Я).
Доказательство. По (2.1) (с) имеем Е(Н) = [Е(Н), X].
Если X^F*(H), то мы получаем Е(Я)^Х. Очевидное рас-
суждение по индукции дает теперь Е (Я) X, откуда X =
= £(Я)(ХП F(H)). Так как [£(Я), Р(Н)]=1, то ясно, что
Сг(я)(ХПЕ(Я))^Х. Пусть Я = Ся(Г(Я)), С = Ся(Е(Я)) и
C = C/Z(F(E)). Тогда К^С и [Я, Е(Я)] = 1, так как Es
Е (Я) Z (F(H)). Поэтому К централизует цоколь группы С,
который является прямым произведением простых групп.
Это дает Я=1, что и требовалось.
(2.3) (лемма Томпсона). Предположим, что Р есть р-группа,
Q—OP(Q) и PXQ действует на р-группеМ так, что [Q, СА1(Р)]=1.
Тогда [Q, М] = 1.
Доказательство. См. (1.1) из [6].
(2.4) Пусть F* (Н) есть р-группа и Р — некоторая р-под-
группа в Н. Тогда F*(NH(P)) и F* (Сн (Р)) — тоже р-группы.
Доказательство. См. (1.8) из [6].
(2.5) Пусть G — простая группа, Н — максимальная под-
группа в G, Х<<Е*(Я) и Cf*(H)(X)^X^M^G. Пусть
л = л (F (Я)). Тогда
(1) ОР(Л4)ЛЯ=1 для р е л';
(2) [ОР(Л1), OP(F*(H))]=1 для рея-,
(3) если М — максимальная подгруппа в G, Y <1 <] F* (Л1)
150 Д. М. Голдшмидт
и CF* ш (Y) ^Y Н, то Н = М или F* (М) и № (И) являются
р-группами для одного и того же простого числа р.
Доказательство. См. (1.7) из [6].
(2.6) Предположим, что G есть S(A)-epynna. Тогда NG(A)
контролирует G-слияние своих 2-элементов.
Доказательство. Существует такая силовская 2-под-
группа Т в G, содержащая А, что А сильно замкнута в Т
относительно G. Очевидно, А Т. Согласно [11] (теорема 6.1),
любые два G-сопряженных элемента в Т будут (Л)-сопря-
жены. Наш результат следует теперь из теоремы Силова.
(2.7) Пусть Р есть р-группа и Zt (Р) — i-й член ее верх-
него центрального ряда. Тогда экспонента факторгруппы
Zi+iiPyZ^P) не превосходит экспоненты центра Z(P).
Доказательство. Пусть х^Р и y^Z2(P). Тогда
из [х, у\рП=\ следует, что [%, ур ]=1, откуда получаем
наш результат при i = 2. Полный результат получается
теперь по индукции, если рассмотреть Р/Z (Р).
(2.8) Предположим, что N — неприводимая группа опера-
торов на элементарной абелевой 2-группе А, а^А^ и
| А : Ло I =т= 2. Тогда ап е Ло при некотором п^ N.
Д о к а з ате льство. В силу неприводимости А = (ап \n^N),
так что А имеет базис {ап\ а?2, ..., аПг} при некоторых
nt е N. Если Ло не содержит ^сопряженных к а, то a11' ₽з
= ап1 (mod Ло) для i h откуда следует, что AQ = {ania~ni
Это показывает, что существует, самое большее, одна гипер-
плоскость в А, которая не содержит АЛсопряженных с а.
Так как W действует неприводимо, таких гиперплоскостей
не существует.
Доказательство следующих двух результатов было пред- -
ложено О’Нэном. Мы рассмотрим следующее условие:
Условие (2.9). (1) X — точная неприводимая группа опе-
раторов на элементарной абелевой 2-группе Л порядка 2п.
(2) Y — циклическая подгруппа в X нечетного порядка,
которая действует на [Л, К]* транзитивно.
(3) Wy = Ca(Y), ^~ = {Wy\x^X}, |U7y| = 2ft и различные
элементы из ST пересекаются тривиально.
(2.10) Пусть выполняется условие (2.9). Тогда
(1) Если Y действует полурегулярно на ST — {Wy}, to
k= l и X действует транзитивно на Л*.
2-слияние в конечных группах
151
(2) Число регулярных орбит на З7 — {IFy} относительно Y
не превосходит 2 и равно 2 в том и только том случае,
когда Y действует на {1^у} полурегулярно.
Доказательство. Так как Л = [Л, У] X (У), то У
имеет порядок <2!l~k — 1. Пусть d — число регулярных орбит
на 8Г — {IFy} относительно У. Из | (J ST 1^1 Л | выводим, что
|И| + ^т|г?|<|д*|,
(1 + d (2n~k - 1)) (2k - 1) < 2n - 1 < 2n,
d (2re _ 2n~k - 2k + 1) + 2k— 1 < 2",
d (2" - 2* 4- 1) - d2n~k < 2n - 2k + 1,
(d - 1) (2rt - 2k + 1) < d2n~k.
Предполагая, что d 2, получаем
2« 2fe + 1 d
2'»_2^4- 1 < 2re-*+1.
Так как k < n, отсюда следует, что а потому
d (2re-1 - 1) + 1<2П- 1,
d (2n-1 - 1) < 2" — 2 = 2 (2n-1 — 1),
d<2.
Отсюда выводим, что из d^% следует k—\, d = 2 и
(U^)* = ^*. Кроме того, в этом случае У действует пблу-
регулярно на — {WY} и X действует транзитивно на Л*.
Для завершения доказательства нам нужно лишь исключить
возможность того, что У действует на — {IVy} регулярно.
В этом случае мы имеем
I(U^)* I = 2п~к (2* - 1) = 2п — 2п~к.
Пусть С = А* - (11Л*. Тогда | С | = 2п~к - 1 и С Х-инва-
риантно. В частности, С будет объединением нетривиальных
У-орбит на Л*. Если С — любая такая У-орбита, то нетрудно
убедиться в том, что все элементы из 0 сопряжены между
собой по модулю [Л, У]. Так как X действует неприводимо
на Л, то С должно содержать образующие для Л/[Л, У], а
?отому по крайней мере k нетривиальных У-орбит на Л#.
Следовательно,
2п-*_ 1=|С|^>6(2”-*-1),
так что k=l. Но теперь, согласно (2.8), X действует тран-
зитивно на А* вопреки тому, что С =# 0.
152
Д. М. Голдшмидт
(2.11) Пусть выполняется условие (2.9). Дополнительно
предположим, что
(1) О2(Х) = Х;
(2)Y^Nx(Wy).
Тогда k—l, п — 3 и X — неабелева группа порядка 21.
Доказательство. Полагая K = Afx(IJ7y), получим
также Л = ЛГХ(У). Пусть К = К]Ск ([Л, У]). Тогда /С будет
подгруппой в GL(n — k, 2) с нормальной циклической под-
группой У порядка 2n~k — 1. Расширяя основное поле до
CF (2n~k) и выбирая базис из собственных векторов для У,
убеждаемся в том, что К мономиальна относительно этого
базиса. Кроме того, элемент из К определяется своим дей-
ствием на любой один из этих собственных векторов. Далее,
простое вычисление, которое мы опустим, показывает, что
(У) = У и что К/У действует на У как группа автомор-
физмов, индуцированных автоморфизмами основного поля.
В частности, К/У — циклическая группа.
Предположим сначала, что У действует полурегулярно
на — {WY}. Тогда | WY\ = 2 и X действует на Л* транзи-
тивно, согласно (2.10). В таком случае СК([А, У]) = 1 и
| X : К | = 2" — 1. Так как группа К/У циклическая, отсюда
следует, что силовские 2-подгруппы в X циклические, и
потому X разрешима, согласно теореме Томпсона — Фейта [9]
и очевидному рассуждению с переносом. 'Пусть R — мини-
мальная нормальная подгруппа в X. Так как Wy = Ca(Yq}
для всех 1 =# Уо У, то Nx (Уо) К для всех 1 Уо У.
Поскольку R&K, мы получаем R П У = 1, и тогда R П К= 1,
откуда YR — группа Фробениуса, действующая точно на А.
Хорошо известно [15, стр. 73], что У должна поэтому дей-
ствовать на А свободно. Это дает (2^-1 — 1)|п, откуда п = 3.
Рассмотрев подгруппы в ОЛ(3, 2), легко приходим к заклю-
чению, что X — неабелева группа порядка 21.
В дальнейшем будем предполагать, что У имеет нерегу-
лярную орбиту на —{IFy}, и получим из этого противо-
речие. Пусть подгруппа WY^@“ — {WY} такова, что Уо =
= Ny (ГУ1) =# L Из Ca(Y3)=--Wy и 1^уПТГУ1=1 получаем,
что WYl = [WYl, У0]<=[Л, Уо] = [Л, У]. Если \YQ\ = yQ, то
IWY11 = (2n~k — l)/z/0. Таким образом,
|[Л, у|*|>|И|-|гЦ
2п-Л _ j (2* - 1) (2n~fe - 1) ,
2-слияние в конечных группах
153
Но z/0|(2fe— 1), откуда получаем yQ = 2k — 1 и [А, У] =
= U Это показывает, что Y имеет в точности одну
Y
нерегулярную орбиту на 3" — {№у} й что Уо действует тран-
зитивно НЗдАГ*.
Рассмотрим возможность равенства YQ=Y. Оно выполняется
в том и только том случае, когда | [Л, У] | = | Fy |, а так как
O2(G) = G, то это означает, что 3~ = {IFy} U {ИРУ1} U где
— регулярная У-орбита. А тогда {lFy} U {IFyJ — в точности
блок импримитивности при действии X на что невоз-
можно, ибо | 3” | нечетно.
Поэтому | [А, У] | > I Wy I; это означает, в частности, что
[А, У1]$[А У]и^у- Так как каждый элемент из [A, yj
лежит в Х-сопряженной к WY подгруппе, мы приходим
к заключению, что У имеет еще одну орбиту на 3~, которая
регулярна. Таким образом, X — группа ранга 3 на 3" с под-
орбитами длин 1, (2"“*— l)/(2fe — 1), 2n~k — 1. Имея разную
длину,- нетривиальные подорбиты группируются попарно,
а следовательно, X имеет четный порядок. Так как индекс
| X : К | = I Зг\ нечетен, достаточно показать, что ([А, У])
имеет нечетный порядок, потому что тогда из предыдущих
замечаний будет следовать, что силовские 2-подгруппы в X
циклические вопреки тому, что О2 (X) = X.
Пусть Ко = Ск([А, У]). Тогда [Ко, IFyJ = 1 означает, что
Ко нормализует У! и [A, yj. Очевидно, что Ко действует
точно на [А, У1] и потому будет циклической группой, со-
гласно предыдущим замечаниям. Напомним, однако, что Уо
действует транзитивно на UP*. Это означает, что К со-
держит некоторую циклическую подгруппу У2 порядка 2k — 1,
которая действует транзитивно (а следовательно, неприво-
димо) на WY- Так как K0<jK, то 02(Ко) будет У2-инвариан-
тной, а следовательно, должна централизовать UPy. Таким
образом, О2 (Ко) — 1> так что Ко имеет нечетный порядок,
как и требовалось.
(2.12) Предположим, что Н является S (А)-группой, К^Н
и Н=Н/К. Тогда
(1) Н есть 5(А)-группа;
(2) К есть 8{А[\К)-группа и (A f| К)н = (А П К)*;
(3) Я = А^я(А).
Доказательство. Пусть Т — силовская 2-подгруппа
группы Н, содержащая А, такая, что А строго замкнута
в Т -Относительно Н. Предположим, что аеА, h^H и
ййеТ. Тогда аЛеГК, откуда ahk е Т для некоторого k е К9
154
Д: М. Голдшмидт
согласно теореме Силова. Поэтому ahk е A, eft е А и Н есть ]
5(Д)-группа. !
Отметим также, что Т П К Syl2 (К) и АПК, очевидно, 1
сильно замкнута в Т П К относительно Н, а следовательно, j
относительно /С. Таким образом, К будет S (Л П/С)-группой. 1
Рассуждение Фраттини показывает, что Н = NH (Т П К) К. 1
Тогда Н = NН(А[\К)К ввиду сильной замкнутости Лр/С J
в Т П К относительно Н. Это завершает доказательство (2), |
а также доказывает (3). ' j
В этой статье неявно (и часто) используется следующий
результат. I
(2.13) Предположим, что абелева р-группа V действует 1
на р'-группе X. Тогда X = (Сх (70) I V/Vq циклическая). :
Доказательство. См. [15, стр. 225]. , 1
у
3. СВОЙСТВА S’-ГРУПП j
В этом параграфе мы получаем несколько технических ]
результатов о группах, которые удовлетворяют заключению *
теоремы А. Два наиболее важных результата — (3.7) и (3.11). i
(3. 1) Предположим, что Н является S* (А)-группой. Тогда <
(1) Н есть S (А)-группа; .
(2) если К/О (Н) — компонента для АНО (Н)/О (Н), то К '
есть S* (А Л К}-группа и К = (А(]К)кО (Я); 5
(3) CaH(O(F(AH)))<=F*(H)-,
(4) А — (А Л А) СА(К1О (Я)) для любой подгруппы К, вве- :
денной выше.
Доказательство. Пусть A s Ti е S yl2 (Ая). По опре-
делению A = (Ti Л Ог-.г (Ая)) Qi (Г;). Если s Т е Syl2 (Я),
то А, очевидно, сильно замкнута в Т относительно Я. ' 1
В п. (2) К <1 Ая, так что А э (Тх Л О2', 2 (Я)) Qj Л Я) = А Л К..
В п. (3) можно предполагать, что Я = Ан, ибо. Ё* (Ая) s Я* (Я)
(см. (2.1)). Тогда АэО2(Я) и, кроме того, 02(Я)е2(Я).
Положив C = CH(F(H)), Z = Z(F(H)), получим, что С— i
= CH(O(F(H))) и C(]O(H)^Z, ибо С/Z не имеет нормаль- J
ных разрешимых подгрупп (см. (2.1)). Тогда С/Z будет изо- 1
морфна нормальной подгруппе группы Я/О2(Я)О(Я), кото- ;
рая по определению является центральным произведением
квазипростых групп. Следовательно, C^F*(H}. Пункт (4)
непосредственно следует из определения S*(A)-rpynn. '
(3. 2) Пусть L — простая S* (А)-группа типа I, А = Т е Sу 12(Л) ;
и В = Nl (Т). Тогда >
2-слияние в конечных группах 155
(1) В совпадает с полупрямым произведением TH, где
Сн(Т)—\ и [Т, Н] = Т;
(2) если L2 (2П), то Н — циклическая подгруппа порядка
2п —- 1, A = T = Qi(T) и Н действует регулярно на Л*;
(3) если L^Sz(2n), то Н — циклическая подгруппа по-
рядка 2п—1, |Л| = 2П, \Т\ = 22п, А = Ф(Т) = г(Т) = а1(Т)
и Н действует регулярно на Л*;
(4) если L^U3(2n), то Н — циклическая подгруппа по-
рядка (22П — l)/d, где d= 1 при четном п и d=3 при нечетном п;
кроме того, А = Ф(Т) = Z (Г) = Qj (Г), | А | = 2п, | Т | = 23" и
Н действует неприводимо на Т/Ф(Т) и транзитивно на Л*;
(5) действие сопряжения группы L на Syl2 (А) дважды
транзитивно, 2-точечный стабилизатор есть Н и Н оставляет
на месте ровно две точки; силовские 2-подгруппы в L явля-
ются множествами с тривиальным пересечением;
(6) В — единственная максимальная подгруппа в L, содер-
жащая Т.
Доказательство. Все перечисленные выше резуль-
таты, вероятно, хорошо известны, однако для удобства
читателя мы выведем их обычным способом, используя вид
порядка группы L и предположение о том, что L дважды
транзитивна на Syl2(L), причем ее 2-точечный стабилизатор
будет циклическим и нечетного порядка. Эта информация
очевидна, ибо рассматриваемые группы—-это группы Ли
ранга 1 над конечным полем характеристики 2. Для даль-
нейших справок следует обратиться к [25] или [27].
Так как 2-точечный стабилизатор имеет нечетный порядок,
то дважды транзитивность непосредственно показывает, что
силовские 2-подгруппы будут множествами с тривиальным
пересечением. Из того, что порядок группы L имеет вид
1 Т | (| Т | + 1) а, где а = 2п — I или (22Л — l)/d, получаем, что
| L : В | = | Т | + 1, поскольку | L : В | s 1 (mod | Т |). Таким об-
разом, В = ТН, где Н — (циклический) 2-точечный стабили-
затор порядка а. Поскольку силовские 2-подгруппы — мно-
жества с тривиальным пересечением, В контролирует слияние
в Г, а тогда равенство Т = [Т, Н] следует из теоремы
о фокальной подгруппе [15, стр. 250] и простоты L. Так как
Т транзитивна на остальных силовских 2-подгруппах, в то
время как СН(Т) оставляет на месте по крайней мере
на одну подгруппу больше, получаем, что СН(Т) оставляет
на месте их все, а потому СН(Т)=1. Кроме того, стан-
дартное рассуждение с привлечением произведения инволюций
показывает, что все инволюции из Т будут В-сопряжены,
а значит, и //-сопряжены. Таким образом, Т есть 2-группа
156
Д. М. Голдшмидт
Судзуки (в смысле Хигмэна [18]) или гомоциклическая абелева
группа.
Утверждение (2) непосредственно следует из рассмотрения
порядков | Т |, | Н | и того, что A В. Аналогично утверж-
дение (3) получается тоже непосредственно, если исключить
возможность, что Т — абелева группа; конечно, последнего
не может быть (см. [26]). В (4) после такой же проверки,
что Т неабелева, нам нужно лишь убедиться, что Н дейст-
вует на 7/Ф(7) неприводимо. Тогда А< В будет означать,
что А = Qi (7). Действительно, Н = Н X Нь где | HQ | = 2П — 1,
| | = (2ra-f- l)/d, откуда следует, что HQ действует регулярно
на Qi (Г)* (так как Н абелева). Таким образом, HQ действует
на Т/Ф(Т) как фробениусово дополнение, откуда получаем,
что T = TQTi, Tq f\T\ = Ф (Т) и HQ действует точно и неприво-
димо на 7Г/Ф(7), причем эта последняя группа имеет по-
рядок 2п. Если Н приводима на 7/Ф(7), то (обозначения
можно выбрать так, что) TL будет //гинвариантной (/ — 1, 2).
Но, как нетрудно убедиться, это означает, что [7/, H{]
^Ф(7) (/=1, 2), а тогда [7, что не так.
В (5) группа Н не может оставлять на месте три точки,
потому что NB(H) = НСТ(Н) = Н. В (6), если 7 М. <= L и
М$В, то М имеет более чем одну силовскую 2-подгруппу,
откуда следует, что она имеет их по крайней мере | 7 Ц- 1
(ибо они будут множествами с тривиальным пересечением).
Таким образом, M^O2(L) = L.
(3.3) Пусть L — квазипростая S* (А)~группа типа I с AL = L
и А^Те Sy12(7). Предположим, что L^G, а е G и а цент-
рализует А и Т/А. Тогда а TCG(L).
Доказательство. Если а индуцирует внутренний
автоморфизм на L/Z^L), то нетрудно убедиться в том, что
a — внутренний автоморфизм, а тогда a е TCG (L) по (3.2).
Таким образом, воспользовавшись (2.12), можем считать,
что группа L проста. Положим В = NL(T) = TH, как в (3.2).
Можно предполагать, что G = L(a). Так как В ((^-инва-
риантна, то рассуждение Фраттини приводит к тому, что
NG (Т) = TNg (Я). Поскольку 7 централизует А и 7/А, со-
гласно (3.2), то можно предполагать, что ae NG(H). Покажем,
что [a, L] = l. Из строения группы В, выясненного в (3.2),
вытекает, что а централизует 7/Ф(7) и Сн (Т/Ф (7)) = 1.
Следовательно, [Н, а]= 1. Рассмотрим действие G на Q =
= Syl2(L). Так как Н оставляет на месте точно две точки,
то а оставляет на месте по крайней мере две точки. Если
[7, a] = 1, то а оставляет на месте все точки, ибо 7 тран-
зитивна на Q — {7} (см. (3.2)), а тогда (a) <3 G, откуда [L, a] = 1.
2-слияние в конечных группах
157
Доказательство поэтому редуцировано к случаю, когда
порядок автоморфизма а равен степени 2 и L^Sz(2n) или
t/3(2n). В первом случае а нормализует некоторую силовскую
2-подгруппу =# Г в L и, таким образом, оставляет на месте
инволюцию t^L — Т. Значит, Сд(а) не 2-замкнута, содержит
ЙДГ) и имеет силовские 2-подгруппы, которые являются
множествами с тривиальным пересечением. Согласно тео-
реме Судзуки [27], имеем CL(a) = L, так как | L2(2n) |TI Sz(2n) |.
При L^U3(2n) мы должны быть более осторожными,
так как L в этом случае имеет внешний автоморфизм по-
рядка 2, который централизует L2(2n). (Однако, он не цен-
трализует Т/А.) Мы докажем, что в этом случае [Т, а]=1.
А именно, из [Т, a]^Z(T) получаем Т/Ст (а) [Г, а]. Так
как |Т| = 2ЗП и |А| = 2П, то мы приходим к выводу, что
Сг(а)оА. Кроме того, Сг(а) будет //-инвариантной подгруп-
пой. Если Сг(а)с=Г, то Н действует приводимо на Т/Ф(Т)
вопреки (3.2). Поэтому [Г, ос] = 1 и, следовательно, [L, a] = 1.
(3.4) Пусть L — простая S* (А)-группа типа II. Тогда
(1) Age Syl2(L);
(2) если L^L2(q), то NL(A) А4 и CL(a) — диэдралъная
группа порядка q — б, где q = b (mod 4) и б = ± 1 для а А*;
(3) если L — группа типа JR, то O(CL (А)) = Z (Мд (А)) — ци-
клическая группа и NL(A)/CL (А) — группа Фробениуса по-
рядка 21;
(4) CL (а) — максимальная подгруппа в L при всех а^ А*,
за исключением случая L2 (5), когда Nд(А) — единственная
максимальная подгруппа в Lt содержащая CL(a).
Доказательство. Для L^L2(q) утверждение (1) оче-
видно, ибо силовские 2-подгруппы в L имеют порядок 4.
Утверждения (2) и (4) можно найти в [16] (лемма 3.1 (iii)).
Предполагая теперь, что L — группа типа JR, для неко-
торой инволюции t получим Сд (/) = (/) X К, где E<j/C^ aut(E),
E^L2(q), а |/СЕ| и \L'.CL(t)\ нечетны. Простота L, как
нетрудно убедиться, приводит к тому, что t будет L-сопря-
жена с некоторым элементом из Е, а тогда L имеет один
класс инволюций. Так как <? = 3 или 5 (mod 8), силовские
2-подгруппы в L являются элементарными группами по-
рядка 8. Утверждение (1) получается теперь сразу же, и
простое рассмотрение подгрупп в GL(3, 2) приводит к тому,
что Мд (А)/Сд (А) — группа Фробениуса порядка 21. Рассужде-
ние Фраттини показывает, что CL(t) — расщепляемое расши-
рение группы (/) X Е при помощи О(Сд(А)) (здесь исполь-
зуется тот факт, что С£(АГ|Е) = А). Пусть Z = O(CL(A)).
Воспользовавшись тем, что aut£^PFL(2, q) (см. [16]) и
158 Д. М. Голдшмидт
] PGL (2, q): PSL (2, q) | = 2, получаем, что Z — циклическая
группа. Кроме того, Z нормализует (и потому централизует)
Ne(A). Так как Z централизует также (Л^(Л))', мы полу-
чаем, что Z^Z(Nl(A)), а тогда Z = Z(NL(A)), так как
Cl(A) = A\Z.
Остается доказать утверждение (4). Предположим, что
X — абелева подгруппа в CL (/) нечетного порядка и X = [X, Л].
Тогда X [CL (/), Л] = Е и Сх ((а^ =# 1 для некоторого
ах^А[\Е. При этом (2) и (4) в применении к Е дают
X ^F(Cj(ai)) = C£(a1). Таким образом, Х^О(СЕ(а})) и
X — циклическая группа. Предположим теперь, что CL(t)^
М cz L. Если инволюция / М-сопряжена с любой другой
инволюцией из Л, то М имеет один класс инволюций,
NL (Л) М и М сильно вложена в L, Это невозможно, со-
гласно [5], а потому М = O(M)CL(t) по [10]. Группа О(М)
абелева и обращается при действии /. Пусть ^еЛП-Е,
Х{=СО{М) (aj и Х2 ~ О (СЕ (aj). Группа Хх циклическая,
согласно изложенному выше, и С£(а1)-инвариантна. Так как
Х2^СЕ (aj', то [Х2, XJ = 1. Пусть Х — Х2Х\. Тогда X — абе-
лева группа нечетного порядка, [X, Л] = Х и Х^Сь(сцУ
Поэтому, согласно изложенному выше, X лежит в группе
L-сопряженной к группе Х2. Это означает, что Xi = l. От-
сюда следует, что О(А4)=1 и M = CL(t).
(3. 5) Предположим, что Н содержит нормальную квази-
простую S* (Ау группу L типа II и Y^H. Тогда
(1) если [У, Л]=1, то Y/Y LCн (L) — циклическая группа
нечетного порядка',
(2) если Y CL (а)-инвариант на при некотором а^ Л* и ее
порядок равен степени простого числа, то Y^LCH(L) и
Y/Су (L) — циклическая группа.
Доказательство. Пусть Н = H/Z (L). Так как Z(L)
имеет нечетный порядок, непосредственно редуцируем все
к случаю, когда L проста.
После другой очевидной редукции получаем, что CH(L) = 1
и H = LY. Если Y/Y[\L имеет четный порядок, то выбираем
такой аеУ — L, что его порядок равен степени 2 и а2е А.
Тогда а2 Л, Л (а) — абелева группа и Л (а) е Sy 12 (L (а)).
Если а2 =# 1, то Л = Й!(Л(а)) и все инволюции из Л сопря-
жены в А^ьса) (Л (а)), что, очевидно, невозможно. Если а2=1,
то легко находим изолированную инволюцию в L(a), а тогда
Z*(L (a)) zd 1, в то время как мы предположили, что Сн (L) = 1.
Следовательно, Y/Y f] L имеет нечетный порядок.
Предположим, что L^L2(q). Мы воспользуемся тем, что
aut L РГЬ(2, q) (см. [16]). Пусть q = q^ = pn, где р — не-
2-слияние в конечных группах 159
четное , простое число. Тогда п нечетно, ибо q = 3 или
5 (mod 8). Так как | PGL (2, q): PSL (2, q) | = 2, то Н PSL (2, q).
Мы отождествим Н с подгруппой в PSL(2, q), которая по-
рождается L и автоморфизмом о порядка п, индуцирован-
ным автоморфизмом основного поля. Это доказывает (1).
Кроме того, Ся(о)^ А2(р), так что выбором обозначений мы
можем добиться того, что [о, Л] = 1. Тогда Y = [У, Л] CY (Л) =
= (У Г)Е)Су(Л), откуда Су(Л) = (а1), где о^ — автоморфизм,
индуцированный автоморфизмом основного поля. Для дока-
зательства включения Y s L мы можем предположить, что cq
имеет нечетный простой порядок г. Пусть п = nxr, qx = рП[
и = CL (tfj) L2 (q^. Так как qQ = qrl и г нечетно, то qQ =
= ^1 = 6(mod4), где б = ± 1. Так как cq лежит в ^(^-ин-
вариантной r-группе, то Hi централизует AOr' (CL(a)). По-
скольку (Т1 индуцирует автоморфизм порядка г на цикли-
ческой r-группе Or(CL(а)) и г нечетно, мы получаем, что
| CL (а): CL1 (а) | = г. Из (3.4) (2) следует, что (^0 — 6)/(<7i — б) = г,
откуда - б = г — б). Это означает, что qx= б (mod г) и
r=l(modqx), откуда следует, что qx четно, что невозможно.
Поэтому Y^L и / — циклическая группа по (3.4).
Предположим теперь, что L — группа типа JR. Пусть
а е Д*, С = CL (а) = (а) X К и Е = Е(С)^ L2 (q). В случае (2)
имеем УПЛ=1, ибо С максимальна в L и О(С)=1
(см. (3.4)). Тогда [Л, У]=1 в обоих случаях, так как С будет
У-инвариантной. Так как У нормализует Е, то У имеет такую
нормальную подгруппу Уо, индуцирующую внутренние авто-
морфизмы на Е, что У/Уо — циклическая группа (см. выше).
Однако внутренними автоморфизмами группы Е, централи-
зующими ЛПЕ, будут лишь те, которые возникают из эле-
ментов группы Л. Так как | У | нечетно, то [Уо, Е]=1. Пусть
2==0(С£(Д)). Тогда Z будет У0-инвариантной. Но [Z, Е]—Е,
так как О(С) = 1, а следовательно, [Z, Уо]=1. Нетрудно
убедиться в том, что K = EZ. Поэтому, если (1) не выпол-
няется, то в Н существует подгруппа Yx нечетного простого
порядка, которая централизует С. Если (2) не выполняется,
то имеет место та же самая ситуация, ибо [С, У[ У f| L = 1.
Однако это, как легко видеть, невозможно. Действительно,
У! нормализует NL(A), группу с точно восемью силовскими
7-подгруппами (см. (3.4)). Следовательно, Yx нормализует одну
из них, а потому централизует ее (ибо [ Л, У!] = 1). Тогда CL (Yx) az
az С, так что CL (Yx) = L по (3.4) вопреки тому, что Сн (L) = 1.
(3.6) Предположим, что Н является S* (А)-группой и L —
компонента группы Е(АН). Тогда выполняется одно из следую-
щих условий*.
160
Д. М. Голдшмидт
(a) N L(A)/CL(A) содержит такую характеристическую
циклическую подгруппу Y, что она действует транзитивно на
[А, Г]* и CA(Y) = CA(L);
(b) L — собственная накрывающая группа для Sz (8) и
N L(A)/CL(A) — группа Фробениуса порядка 56. -
Доказательство. Утверждения о поведении А инва-
риантны по модулю 0(H), так что можно предположить, :
что О(Н)=1. Согласно (3.1), L есть 5*(Д П£)-группа,
(Xf]A)L==L и А = (А(] L)CA(L). Пусть A0 = A(]L. Тогда
Nl(Aq) = NL(A), Cl(Aq)==Cl(A), и можно поэтому предполо-
жить, что H = L. Если L проста, наш результат следует из , .
(3.2) или (3.4). Поэтому можно предположить, что Z (L)
является 2-группой. Таким образом, L — группа типа I по
определению. Согласно [3], [17] и [19] (стр. 645), имеем
L/Z (£) = Sz (8). Пусть A s Т Syl2 (L) nL = L/Z (L). Так как
L = AL, мы получаем А = Т', согласно (3.2). Поскольку
Л = Й1(Т) и Z (L) элементарна (см. [3]), то А = Т'. Так как
СТ(А) Nl (Т)-инвариантна и Т/Т' есть NL (Г)-главный фактор,
то СТ(А) = А или Ст(А) = Т. Но Т имеет класс нильпотент-
ности 3 (см. [3]), а потому СГ(Д) = Л и NL (A)/CL (Л) =
= Nl(T)/A — группа Фробениуса порядка 56.
Следующий результат имеет очень большое значение для
этой статьи.
(3.7) Предположим, что Н является S* (А)-группой, а^А#
и X —такая Сн(а)-инвариантная подгруппа в Н, что Х =
= Е(Х) О (F (X)). Пусть Y=O(F(X)). Тогда
(1) [X, а]<<Г(Я);
(2) каждая компонента К группы Е(Х), которая централи-
зует 0(H), лежит в некоторой компоненте L группы Е(Н)\
кроме того, K = L, если тип группы К отличен от L2(q), .
[К, а] — 1, L — группа типа JR и Ан-,
(3) Y АНО (Н) и Y централизует каждую компоненту L
для Е(Н), за исключением, возможно, случая, когда L^AH J
и L — группа типа L2(q); в последнем случае Y ^LCH(L),
Y/Cy (L) — циклическая группа и [Л П L, У] = 1.
Доказательство. Применяя индукцию, мы сведем
сначала все к случаю, когда О(Н)=\. __
Предположим, что O(H)zd\, и положим Н = Н/О (Н).
По предположению индукции получаем, что [У, а] = 1 и
[Е(Х), а] — произведение компонент для Ё(Н). Это означает,
что [У, а] <= О (Н) и [Е(Х), а] О (Я)< < Н. Пусть Е^[Е(Х), а], :
Q=O (F (Н)) и Q0=Cq (а). Тогда [£b Qo] £ А П О (F (H))^Z(E^ :
2-слияние в конечных группах
161
откуда [£1, Q0]=l по (2.1). Так как а обращает NQ (Qo)/Qo
и [Е1( а] = Еь то [Wq(Qo), fJsQo- Тогда 1 = [(VC(QO)> Еи fj,
откуда 1=Pq(Q0). £{] = Pq (Qo)> £i]- Значит, [Q, £(]= 1
по лемме Томпсона, а поскольку Q = F (0 (H)), то мы полу-
чаем равенство [0(H), £\] = 1. Мы предоставляем читателю
уточнить некоторые детали приведенных выше рассуждений.
В результате получаем Ех = Е (Ех0 (Н)) < < Н, Поэтому
ЕХ^Е(Н) по (2.1). Пусть У1 = [К, а]. Имеет, место включение
Yx О (Н), и нам нужно установить включение Y{ s F (0(H)).
Чтобы сделать это, мы можем считать, что Yx есть р-группа
и ОР(7У)=1. В таком случае [K,,Q0] £ Yx Г) Q = 1. Далее,
проведенное выше рассуждение с подстановкой Yx на место Ех
приводит к равенству [Q, KJ =4, откуда У!=1. Следова-
тельно, утверждение (1) получается по индукции, если
0(//)=> 1.
Пусть К — компонента для Е(Х), которая централизует
0(H). По предположению индукции получаем, что К лежит
в некоторой компоненте L группы Е (Н). Пусть L — полный
прообраз L в Н. Тогда К s CL (О (Н)) L. Так как K<3=Z(L)
и L квазипроста, получаем, что L — О (Н) CL(0 (//)). Это
означает, что L(oo) квазипроста, а потому она будет компо-
нентой группы Е(Н), содержащей К- Теперь непосредственно
проверяется, что (2) можно получить по индукции, если
0(Н)=>1.
Что касается утверждения £3), заметим, что [L, CY(L)]^
L Г\0 (Н) Z (L), откуда CY(L) = CY(L) по (2.1) при любой
компоненте L группы Е(Н). Теперь (3) получается по индук-
ции, если О (Н) о 1.
Таким образом, мы свели все к случаю 0(Н)=1. Заме-
тим, что [X, Со2(Н) (а)] X П 02(H) s Z (X), а потому
[X, 02(Н)]=1 по (2.1) и лемме Томпсона.
Пусть E(H) = LXL2 ... LnEv, где Lz — компоненты для Ан
и £0 — произведение остальных компонент. Из [£0, я] = 1
получаем [£0» У] = 1, и каждая компонента группы £(Х)~
либо компонента для £0, либо централизует Ео (см. (2.1)).
В силу очевидной редукции £0=1- Из Х = [Х,А\Сх(А)
(см. (2.1)) следует, что X нормализует каждую подгруппу Lz.
Пусть а = аоах ... ап, где а0^О2(Н), a^Li (l^i^n).
Тогда X будет CL. (аг)-инвариантной. Если at е Z (Ц), то
[Ьй Х] = 1 или [£/, X] = Li — компонента для Е(Х) (см. (2.1)).
Предположим, что ф. Z (Li) и Li — группа типа I. Пусть
A (]Li 7} е Syl2 (L^. Из (3.2) следует, что CL. (at) 2-зам-
кнута, не имеет нормальных подгрупп нечетного порядка и
1/26 Зак. 1280
162
Д. М. Голдшмидт
что Nl (Ti) — единственная максимальная подгруппа в Lif
содержащая CL. (aty Тогда X Г) Ц NL. (7\), откуда [ХП Af,
Ст. («/)]= 1, и, значит, X f] Lt = 1 по лемме Томпсона. Это
означает, что [X, CLi (а0] = 1, откуда получаем, что X норма-
лизует Т h а потому [X, = 1 по лемме Томпсона. В силу (3.3)
имеем [X, Az] = l. В силу другой очевидной редукции можем
считать, что Az — группа типа II для всех L
Предположим, что сц ф Z (AJ. Если К— компонента группы
Е (X), не содержащаяся в Lif то [К, CL. (az)] = 1 по (2.1),
откуда [К, Аг]=1 по (3.5). Если К Lif то K=Lt или [/С, aj=l,
ибо CL. (at-) максимальна в А/ по (3.4). Далее, [К, а]=1,
К—группа типа L2(q) и Az—группа типа JR (см. (3.4)). Это дока-
зывает (2) и показывает, что [£(Х), а] < <] F* (Н). Кроме того,
(3.4)(4) показывает, что [У, aj = l, и завершает доказатель-
ство утверждения (1). Согласнд (3.5), У индуцирует внутрен-
п
ний автоморфизм на Ц Lt = Е (Я), откуда У ^Е(Н). Послед-
t=i
нее утверждение (3) легко следует из (3.4) и (3.5).
(3.8) Предположим, что Н есть S* {А)-группа и AQ—нецикли-
ческая подгруппа в А. Тогда П Ор (Сн (а)) е Ор (Я) для лю-
а е
бого простого числа р.
Доказательство. Пусть V= П Ор(Сн(а)). Можно
as Л*
считать, что ОР(Н)=А. Покажем, что У=1. Так как 6(F(H)) =
= {O(F(H)){]CH(a)\af=Af), то [O(F(H)), V]=l, в то время
как [О2(Н), V] = 1 следует из леммы Томпсона. Если
[F*(Hy V]==l, то 7=1. В противном случае существует
компонента L для Е(Н) с [A, 7]=/=1. По (3.7) L Ан,
V нормализует L, L — группа типа L2(q) и [Л ПА, V] #= 1.
Однако мы, очевидно, имеем СЛо(А)=1. Кроме того, А =
= (Af]L)CA(L) и пг(А L) = 2. Так как группа Ло нецикли-
ческая, то ЛПА^Л0Сл(А). Далее, [ЛГИ, V]^[CA(L), У] S
£СЯ(Ц Поскольку [Л ПА, V]<=L, то [Л Л A, 7]<=Z(A). Это
противоречит равенству Ор(Н)—1, ибо [Л ПА, V] s V.
Замечание. У читателей, знакомых с техникой сигнали-
заторных функторов, может возникнуть желание использо-
вать (3.8) для построения Л-сигнализаторного функтора при
т(Л)^4 с тем, чтобы значительно упростить многие рас-
суждения этой статьи. Однако при этом мы еще должны
были бы рассматривать отдельно случаи т(Л) = 2, 3, так что,
по-видимому, в целом такой подход имеет мало преимуществ.
2-слияние в конечных группах
163
Мы получим теперь модифицированный вариант Z(7)-Teo-
ремы Глаубермана. Рассмотрим следующую ситуацию:
Условие (3.9).
(1) Н есть 5*(Л)-группа и р — нечетное простое число.
(2) L (Н) — полный прообраз в Н всех компонент для
АНО(Н)/О(Н)-типа II.
(3) Ия (Л; р) — множество Л-инвариантных' р-подгрупп
Р<^Н, для которых СР(А) О (Ся(Л)), и И#(Л;р) —мно-
жество максимальных элементов из ИЯ(Л; р).
Заметим, что в (3) употребляются не совсем обычные обо-
значения. Мы хотим применить Z (У)-теорему к некоторому
элементу из Ия (Л; р), но сначала нам понадобится следую-
щий технический результат.
(3.10) Пусть выполняется условие (3.9) и Р^Ин(А;р).
Тогда
(1) РПО(Я)е8у1р(О(Я));
(2) H = L(H)N„{P).
Доказательство. Положим Н==Н 10(H). Отметим
сначала, что между ИЯ(Л; р) и ИЯ(Л; р) существует оче-
видное соответствие. Из СЯ(Л) = СЯ(Л) (см. [15, стр. 224])
следует, что РеИ^(Л;р). Пусть Q^.O(H) такова, что
Р cQg^(X; р). Тогда А нормализует некоторую силов-
скую р-родгруппу Р{ группы Q, содержащую Р (см. [12,
лемма 2.2]). Убедившись в том, что Р{ еИя(Д; р), получим
Р = Р{. Это доказывает (1) и показывает, что Р<^Ин(А; р).
К сожалению, доказательство п. (2) более громоздкое.
Введем HQ = L (Н) О (Сн (Л)) и Л0 = ЛГ|Л(//). Заметим, что
Лое Syl2(//o) = Syl2 (£ (#)), согласно (3.1) и (3.4). Мы дока-
жем сначала, что
(a) HQ^]H,
(b) Hq/L(H) абелева,
(с) Р — максимальная Л0-инвариантная р-подгруппа в Но.
При доказательстве этих трех утверждений мы можем
считать, что 0(H) =1. Пусть К=О(СН(А)). Имеем Н —
= AHNH(A) по (2.12), так что АНК Н, Для получения
L(H) К ^Н нам следует лишь показать, что К централизует
02(H) и все компоненты группы Ан имеют тип I. Из леммы
Томпсона следует, что К централизует каждую ЛК-инвариант-
ную 2-подгруппу в Н. Таким образом, [О2(Н), К] = 1. Если
L — компонента для Ан типа I, то L = (A(]L)l (см. (3.1)),
откуда следует, что К нормализует L и Nl(A(]L). Так как
164
Д. М. Голдшмидт
последняя группа 2-замкнута и содержит некоторую силовскую
2-подгруппу Т группы L, то [Г, Д’] = 1 и тогда [L, Д] = 1 по
(3.3). Это доказывает (а).
Мы уже знаем, что Д централизует О2(Н) и все компо-
ненты группы Е(Н), не содержащиеся в L(H). Так как Д',
согласно (3.5), индуцирует внутренние автоморфизмы на L (Н),
мы получаем, что K'^L(H). Это доказывает (Ь).
Имеем Р = [Р, А] • (Р Г) Д'). Очевидно, что [Р, A] s Ан.
Поэтому для получения включения [Р, Л] £ L (Я) достаточно
показать, что если L — квазипростая S(Aj)-rpynna типа I, то
Ai централизует каждую группу нечетного порядка в L,
которую она нормализует. В самом деле, если это не верно,
то существуют такие ^еЛ* и X ^CL(a^f что Х = [Х, Л]
имеет нечетный порядок. Это невозможно в силу (3.2), так
что [Р, А] = [Р, Ао] s L(H). Следовательно, P^HQ.
Здесь, по-видимому, интересно отметить, что если компо-
ненты типа II отсутствуют, то Но = L(H) = 0(H) и Ре
е Sylp(O(/Z)). В таком случае применима стандартная Z(Z)-
теорема, и мы можем обратиться к рассмотрению более
интересных вопросов. Однако если присутствуют компоненты
типа II, то возникает ряд трудностей.
Продолжая доказательство утверждения (с), обозначим
через Р{ максимальную А0-инвариантную р-подгруппу в HQ,
содержащую Р. Из А = AqCa (L (Н)) (см. (3.1)) следует, что
Pi А-инвариантна и что СЯо(Ао) Сн(А). Так как Аое
е Syl2 (Но), мы получаем, что СНо (AQ) = Aq\O (Сн. (Ао)).
Тогда Но О Н дает О (Сн. (Ао)) О (Сн (А)). В частности,
СРх (A) О (Сн (А)), так что Pi^WH(A; р) и Р = Рь Это
доказывает (с).
Нам понадобится следующая лемма о транзитивности:
(d) Любые два элемента из Ия (А; р) сопряжены при по-
мощи элементов из Nh.(A).
Имея уже в распоряжении утверждение (с), мы видим,
что (d) —это в точности утверждение о группах с абелевыми
силовскими 2-подгруппами и известными композиционными
факторами и как таковое оно, вероятно, уже где-нибудь
доказано; мы, однако, приводим ниже набросок рассуждения.
Наиболее эффективным, по-видимому, является примене-
ние индукции по | Н |. Очевидно, можно предполагать, что
H—AHq. Используя (1) и лемму 2.2 из [12], легко сводим
все к случаю О(Н) = 1. Другая простая редукция дает
Z(H)—l. Пусть Р1€=Ия(А; р) и предположим, чтобы полу-
чить противоречие, что Р и Р{ выбраны в различных NH (А)-
орбитах с максимальным пересечением P = Pf|Pi.
2-слияние в конечных группах
165
Если /? zd 1, то положим Q — NP (/?) zd R, Qi — Npx(R)^ R.
Используя индукцию, в собственной S*(A)-rpynne Nh(R)
можем найти такой элемент хе NH {R) Q NH (А), что (Qx, QJ
есть (А-инвариантная) р-группа. Если Р2 — максимальная
А-инвариантная р-подгруппа в Н, содержащая (Qx, Q^, то
из максимальности R следует, что Рх, Р2 и Р^ будут #Я(А)-
сопряжены друг с другом. Таким образом, нам нужно лишь
показать, что РХ[\Р{=£ 1 для некоторого х е NЯ(А).
Предположим, что Ср(а) =# 1 =# СрДа) для некоторого
а е А*. В таком случае мы можем применить предположе-
ние индукции к собственной подгруппе (которая будет 5*(А)-
группой) Сн{а). В результате получим, что (Ср(а)х, Ср^а))
является (А-инвариантной) р-группой для некоторого хе
еМя(А). Если Р2 — максимальная А-инвариантная р-группа,
содержащая {Ср{а)х, СРх{а)}, то предыдущий абзац показы-
вает, что Рх, Р2 и Pi будут (А)-сопряжены. Так как Р =
= {Ср (Ао) | A/Aq циклическая), то существуют такие гипер-
плоскости Ао, А{ А, что СР (Ао)=/= 1 =£СР (А^. Еслит(А)^3,
то АоП А[ =£ 1 и все доказано. Мы поэтому пришли к рас-
смотрению случая L{H} ~ L2{q). Но теперь Aq=Ay при не-
котором х е Nff (А), и, таким образом, Срх (А^ #= 1 =# CPi (Aj).
Это доказывает (d).
Мы можем теперь закончить доказательство утвержде-
ния (2). Из (d) следует, в частности, что Р содержит некото-
рую силовскую р-подгруппу из О(СЯ(А)). Из (Ь) вытекает,
что L(H)P характеристична в Но и потому (а) дает L(H)P^H.
Рассуждение Фраттини показывает, что Н = NH(AQ) L{H).
Пусть х е NH (Ао). Тогда Рх—максимальная А0-инвариантная
р-подгруппа в L(H)P. Теперь (d), примененное к группе ЦН)Р,
дает Рху = Р для некоторого у е L{H)P, откуда получаем
x^L{H) NH(P). Это показывает, что NH (Ао) <= L(H) NH (Р), а
потому Н = L(H) NH(P), как и требовалось.
Мы теперь в состоянии доказать соответствующую / (/^тео-
рему. Напомним, что для произвольной р-группы Р ^{Р) —
это множество абелевых подгрупп из Р максимального по-
рядка d (Р) и J (Р)=(А | A^s& (Р)). Отсюда следует, что J (Р) =
= J (Pj) для всех J (Р) <= Р{ <= Р и что Z (J(Р))= Q {А | Ае^ (Р)}
(см. [15, стр. 268—279]).
(3.11) Пусть выполняется условие (3.9). Пусть Р еИя(А; р),
и предположим, что F*{H) есть р-группа. Тогда Z(J(P))^H.
Доказательство. Пусть Z = Z(J(P)), и для нор-
мальной р-подгруппы В <2 Н пусть С* (В)полный прообраз
в Н группы Ор{Н!Сн{В)'). Заметим, что Р*(/С) есть р-группа
для любой R з F* {И).
166
Д. М. Голдшмидт
Так как Z характеристична в Р, достаточно показать, что
Z<L(tf)P, согласно (3.10)(2). Пусть L (Н) = L{L2 ... Ln,
где LJO(Н) — компонента для L(H)/O(H). В силу (3.10)(1)
и стандартной Z (У)-теоремы, можно предполагать, что
Так как Р = [Р, А]СР(А) = (Р L(H))CP(A), получаем, что
Р нормализует каждую подгруппу Ц. Таким образом, доста
точно показать, что Z ЦР при каждом I. Короче говоря»
можно предполагать, что Я—группа вида LP, где O(H)<^L^H,
L/O (Я)-~ простая группа с абелевыми силовскими 2-под-
группами, Р —такая р-группа, что PQ 0(H) е Sylp (О (//)), и
F*(H) — р-группа. Так как силовские 2-подгруппы в Н абе-
левы, получаем, что если В — какая-нибудь нормальная р-под-
группа в Н и [В, х, х] = 1 для некоторого х^Н, то хе С*(В)
(см. [15, стр. 268]).
Напомним, что Pg Sylp(РО(Н)) по (3.10)(1). В частности,
[Г (Я), Z, Z] = 1, ибо Z <1 Р. Таким образом, Z <= С* (Р* (//)) =
^=F*(#). Кроме того, Z ^РО(Н) в силу стандартной Z (/)-
теоремы ([15, стр. 279]).
Чтобы получить в конце концов противоречие, как и
в первоначальном доказательстве Глаубермана, рассмотрим
нормальную р-подгруппу В в Н, минимальную относительно
свойства В П Z ^0 Н, и положим ZQ = B(]Z. Минимальность В
означает, что ее класс нильпотентности не превосходит 2 и
В' S Zo (см. [15, стр. 278]). Таким образом, XQB^B' для
всех А е^(Р).
Предположим, что С* (В) ^О(/7). Тогда L О(Я)С*(В),
ибо L!O(H)—-простая группа. В действительности О(Я)С(В),
так как С*(В)/С(В) есть р-группа. Далее, из Z ^РО (Н) сле-
дует, что ZQ^PO(H)C(B) = H. Поэтому С*(В)<=О(Я).
Пусть P1-=PAO(//)eSylp(O(//)). Если J(P)^Pif то
J(P) = J(P1). Но Z(J(Pi)) характеристична в 0(H), согласно
стандартной Z (У)-теореме, а потому Z (J (PJ) Н. Отсюда
следует, что /(Р)^Р^
Выберем подгруппу Ле^(Р), Л$РЬ у которой при
этих условиях максимально | А П В |. Если В нормализует А,
то получаем, что [В, А, Д] = 1, откуда A s С* (В) е 0(H).
хотя на самом деле это не так. Поэтому В не нормализует А.
В силу теоремы о замене [15, стр. 274], существует такая
подгруппа Л* g (Р), что А* нормализует А и | A* Q В | >
> | A f] В I. Из максимальности | A Q В | следует, что А*^РЬ
откуда получаем d (P)=d (Р^, J (Р0 J (Р) и Z Z (7(PJ) Н.
Согласно выбору В, имеем B^Z(/(P1)). Таким образом,
В S Л* и В нормализует А (противоречие).
2-слияние в конечных группах
167
(3.12) Предположим, что Н является S* (А)-группой, HQ =
= АНО(Н) и пг(0р(Н))^2 при некотором нечетном простом
числе р. Тогда
(1) Но/СнЛОр(Н)) разрешима;
(2) Ор(Н)^8у1р(СнЛОр(Г(Н)))).
Доказательство. Пусть Р = Ор(Н), Pq = Q1(Z2(P))
Х = Сн(Р), Y = Сн(Ро) и Z = CHo(Op(F^(H))). По (2.2) имеем
ZftX<=Z(F(H)). Это означает, что Ор (Z/Z f) X) = Р/Z (Р).
Если Р циклическая, то Н/Х абелева и наше утверждение
очевидно. В противном случае Ро — нециклическая группа
(см. [19, стр. 305‘]) экспоненты р (см. [15, стр. 183]), кото-
рая имеет класс нильпотентности й^2, и пг(Р0) = 2. Отсюда
следует, что Ро ~ абелева группа типа (р, р) или экстра-
специальная группа порядка р3 и что Po==Qi(CP(PQ)).
Если у ~ некоторый р'-элемент из У, то [СР (Ро), у] = 1
(см. [15, стр. 184]), откуда по лемме Томпсона получаем
[Р, </] = 1. Таким образом, Y/Х есть р-группа. Несложное вычи-
сление (которое мы опустим) показывает, что H/Y^ GL(2, р).
Поэтому любая подгруппа группы Н/Y либо разрешима и
p-замкнута, либо содержит SL(2, р).
С другой стороны, из строения 5*-групп следует, что не
существует таких нормальных подгрупп К, L в HQ, для кото-
рых KJL^SL(2, р) при каком-нибудь нечетном простом
числе р. В частности, группа Яо/^оПХ разрешима и р-зам-
кнута, что доказывает (1). Так как Z/ZQX p-замкнута, из
предыдущего замечания делаем вывод, что Z/Р есть //-группа;
это доказывает (2).
4. МИНИМАЛЬНЫЙ КОНТРПРИМЕР
Мы будем предполагать в дальнейшем (до тех пор, йока
не будет получено искомое противоречие), что G — минималь-
ный контрпример к теореме А. Таким образом, G —это
S (А)-группа для некоторой абелевой 2-группы А G, но
G — не S* (А)-группа. Мы предположим, что А имеет мини-
мальный порядок среди групп, удовлетворяющих этому усло-
вию, и что каждая ^(AJ-rpynna порядка, меньшего чем | G |,
будет S^AJ-rpynnoft.
(4.1) Предположим, что Н cz G и А П 77=И= 1. Тогда Н будет
S* (А^-группой при некоторой абелевой 2-подгруппе А{ из Н,
содержащей А[\Н. Кроме того, А сильно замкнута отно-
сительно G в любой 2-подгруппе из G, содержащей ее.
Доказательство. Согласно предположению, в G
существует такая силовская 2-подгруппа Т, содержащая А,
168
Д. М. Голдшмидт
что А сильно замкнута в Т относительно G. Пусть Т{ s Syl2(G)
такова, что A Q Н Т\ (] Н е Syl2 (Я). Тогда 1\ = Т8 при не-
котором g е G. Очевидно, что А8 сильно замкнута в Т8
относительно G. Таким образом, А8(]Н сильно замкнута
в Т8 П Н относительно G (и потому относительно Н). Пусть
Л. = А«П^. Так как А[\Н <=Те[\Н, то (Л П Н)е~' SТ, а
значит, (А П Н)8~ s А. Отсюда следует, что A f] Н АР
Так как Н есть S(Aj)-rpynna и | Н | < | G |, получаем первое
утверждение. Если в качестве Н взять 2-группу, содержа-
щую А, то проведенное выше рассуждение показывает, что
A = Ai сильно замкнута в Н относительно G.
(4.2) G проста.
Доказательство. Предположим, что К <3 G, и пусть
G = G/K. Из (2.12) вытекает, что G будет S (А)-группой. Таким
образом, используя рассуждение по индукции, получаем,
что O(G)=1. Пусть H = AG. Тогда Н = Ан по (2.12), так
что снова применяя рассуждение по индукции, получаем ра-
венство Н — G.
Предположим, что E(G)=1. Тогда G будет 2-скованной
группой, т. е. если положить Д = O2(G), то CG (К) Д.
Пусть Т — силовская 2-подгруппа в G, содержащая АД.
Тогда ZT К. Так как A Т, то АП/(Г)#=1и поэтому
А П К #= 1. Положим Ао = А П Д. Тогда Ао G, ибо А сильно
замкнута в АД относительно G. Так как А абелева, то
А CG (Ао), а так как AG = G, то Ао s Z (G). Если X £ G
имеет нечетный порядок и [Д, Х]^А0, то [Д, Х] = [Д, X, X] — 1,
откуда Х=1. Таким образом, полагая G==GIAq, получаем,
что С^(Д) является 2-группой и потому G 2-скована и без
сердцевины (т. е. без нормальных подгрупп нечетного по-
рядка). По (2.12) и с помощью индукции получаем,
что AG = А, откуда AG = А. Это рассуждение показывает, что
если Н — любая 2-скованная 5(А)-группа, то Н = O(H)NG(A).
Так как G по предположению —- контрпример к теореме А,
то должно быть £(G) #= 1. •
Мы утверждаем теперь, что А нормализует каждую ком-
поненту группы Е (G). Это очевидно при A s Е (G). В про-
тивном случае пусть E = E(G). Тогда из (2.12) с помощью
индукции получаем, что Е есть S*(A Q Е)-группа. Пусть
Ех = (А П Е)Е. Если L — компонента группы Е (G), содержа-
щаяся в то предположение индукции гарантирует то, что
A(]L Z (L). Это означает, что А нормализует L, ибо любая
другая компонента для Е пересекает L по некоторой под-
группе из Z (L). Пусть Eq — произведение тех компонент
2-слияние в конечных группах
169
группы £, которые не содержатся в £ь Тогда Eq(]Ex^Z(Ei)
и Eq будет А-инвариантной. Пусть Го некоторая А-инва-
риантная силовская 2-подгруппа группы Eq. Тогда А сильно
замкнута в TqA, так что То нормализует А. Следовательно,
[TQ) A]^Eq(]Ei^Z(Eq). Далее, А нормализует Eq/Z(Eq) и
централизует некоторую силовскую 2-подгруппу из EqIZ(Eq).
Так как EqIZ (Eq) — прямое произведение простых групп,
то А нормализует каждую компоненту группы Eq. Мы по-
казали, что А нормализует каждую компоненту группы E(G).
Так как AG = G, то отсюда следует, что каждая компонента
группы E(G) нормальна в G. Пусть L — некоторая компо-
нента для E(G).
Мы утверждаем, что L = (AftL)L. ^Действительно, если
это не так, то A П L Z (L). Пусть G = G/Z (А). Тогда G
будет S (А)-группой. Ясно, что L — простая нормальная пдд-
группа и АПА=1. При этих условиях с помощью Z*-Teo-
ремы из [10] можно показать, что [L, А] = 1. Действительно,
2V—(А) = А^(А) = АС^(А), а из (2.6) и [10] вытекает, что
[QJA), А] = 1. Благодаря (2.12), это рассуждение применимо
также к АА/ОДА), так что с помощью очевидной индукции
получаем [L, А]= 1. Но тогда [A, A]sZ(L), откуда [А, А] = 1
и А CG (L) G. Это противоречит тому, что AQ = G, и до-
казывает равенство L = (А П L)L.
Мы докажем теперь, что L — G. Предположим, что это
не так, и пусть Т — некоторая А-инвариантная силовская
2-подгруппа группы L. Из предыдущего абзаца и предполо-
жения индукции следует, что L есть S* (А Г) А)-группа и что
AQ L = QX(T). Так как А сильно замкнута в АТ, то [Т, А]
^АПА и, конечно, [А ПА, А]=1. По (3.3) и (3.5) получаем,
что А LCG(L), Из Ag = G следует, что G = LCG(L). Мы
хотим показать, что А = (А П А) СА (А). Имеем АА = LCal (А) =
= АО2(АА). Таким образом, ТО2(Ь) является А-инвариантной
силовской 2-подгруппой в АА и, значит, A ^TO2(AL). Если
подгруппа Д’ служит 2-дополнением в Nl(T), то она нор-
мализует TO2(AL) и А сильно замкнута в TO2(AL) относи-
тельно G. Таким образом, [/(, А]^АПА, а потому А =
= (А П А) СА (К)- Но СА (К) индуцирует внутренние автомор-
физмы на А, которые нетривиальны на KQ\ (Т). Из (3.2) и
(3.4) нетрудно получить, что СА(К) централизует LIZ(L),
а значит, СА (К) СА (А). Следовательно, * А = (А П А) СА (А).
Пусть Ax = Ca(L), Gx = Cg(L). Используя индукцию, можно
считать, что G{ есть S*K(Ai)-rpynna, а так как G — центральное
произведение AoGb немедленно получаем, что G есть S*(A)-
группа вопреки предположению. Следовательно, А = G.
7 Зак. 1280
170
Д. М. Голдшмидт
Наконец, если Z(G)zd1, то пусть G = G/Z(G). Тогда
с помощью индукции^юлучаем, что G — простая 5*(Я)-группа.
Предположим, что G — группа типа II. Нетрудно убедиться
в том, что простая группа типа JR не имеет 2-кратных на-
крытий: действие группы Фробениуса порядка 21 (см. (3.4))
приводит к тому, что силовская 2-подгруппа расщепляется.
Тогда _все расширение расщепляется, согласно [19, стр. 121].
Если G—-группа типа L2(q), подобное рассуждение показы-
вает, что силовский 2-нормализатор N в G буХет изомор-
фен SL(2, 3). Но A^TV и А —абелева группа, что приводит
к равенствам А = Z (N) = Z (G) вопреки тому, что AG = G.
Таким образом, G — группа типа I. Согласно [3], [17] и
[19, стр. 645], G — накрывающая группа для 5г(8) и Z(G)-—
элементарная группа порядка 2 или 4. Пусть АзТе Syl2(G).
Для получения противоречия и тем самым завершения до-
казательства (4.2) нам нужно лишь_ убедиться в том, что
А = Qi (Т). По (3.2) имеем А = Qj (Г) = Т'. Действие эле-
мента х порядка 7 из NG (Г) показывает, что AZ (G) — эле-
ментарная абелева группа, так что AZ (G) = (Г). По
[19, стр. 121] имеем Z(G)£O(7), а потому £11(Т) = Ф(Т).
Если А с: Qj (Г), то существует (х)-инвариантная подгруппа
Ai S Ф (Г), такая, что | Ф (Г): А21 == 2. Тогда Г/А1 — неабелева
группа порядка 16, имеющая автоморфизм порядка 7, что
невозможно. Таким образом, A = Q{(T) uG есть S*(A)-rpynna.
Отсюда делаем вывод, что минимальный контрпример к тео-
реме А —простая группа.
(4.3) А — элементарная абелева группа, NG(A) действует
неприводимо на А и N G(A) = О2 (N G(A)). Кроме того, суще-
ствует абелева 2-подгруппа Аз А, такая, что m (А) ^3.
Доказательство. ^(4) контролирует G-слияние
своих 2-элементов, согласно (2.6). Таким образом, AfG(A) =
= O2(AfG(A)) по теореме о фокальной подгруппе и (4.2).
Предположим, что 1 #= Ао cz А и Ао NG (А). Тогда из
(2.6) легко получаем, что G есть 5(А0)-группа. Согласно (4.2)
и выбору А, получаем, что G = А? —простая 5*(А0)-группа.
Но тогда A = Aq = Qi(T) по (3.2) и (3.4). Поэтому NG (А)
действует неприводимо на А и, в частности, А — элемен-
тарная абелева группа. Если т(А)^3, то можно взять
А=А. Если zn(A)=2, то легко получаем, что NQ(A)/CG(A)^Z3,
ибо ДГ0(А) = O2(AZG(A)). Поэтому А лежит в центре неко-
торой силовской 2-подгруппы Т группы G. Если А = Qi (Т),
то G является S* (А)-группой по теореме (4.1) из [14]. Таким
2-слияние в конечных группах
171
образом, существует инволюция t^T — A, и мы можем
взять А = {A, t).
(4.4) О = <Со(а)|аеЛ*>.
Доказательство. Предположим, что, напротив, Но =
= {CG (а) | а е Л*) с G. Пусть Н = NG(HQ) a G. Тогда, оче-
видно, Ng (Л) s Я, так что Н контролирует G-слияние своих
2-элементов по (2.6). ПустьТ^ Syl2(AG(A)). Тогда T^Syl2(G).
Обозначим через D множество инволюций из G, которые
G-сопряжены с элементами из А. Предполагая, что и, v^D
и [и, и]=1, получим, что (u, v)8^T при некотором g^G.
Но сильная замкнутость А в Т означает, что и и8 и V8 при-
надлежат Л, откуда uv^D. Пусть £)0 = ^П^- Тогда для
каждого u^Dq существует такой элемент h<^H, что uh^A.
Так как CG(uh)^H, то CG(u)^H. Отсюда следует, что Dq
будет объединением связных компонент графа 2) с верши-
нами D и ребрами Е = {(и, v)|[u, v] = l}. Кроме того, Н со-
держит G-нормализатор любой из этих связных компонент,
так как Н контролирует G-слияние элементов из £>0 и со-
держит CG (и) для всех и ^ Dq. Простота G приводит к тому,
что {D) = G, а тогда G будет иметь собственную сильно
вложенную подгруппу по теореме 1 Ашбахера [4]. Как оче-
видно, это противоречит результату Бендера [5].
б. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
Пусть «еЛ*. Следуя [6], будем считать, что М (а) — мно-
жество максимальных подгрупп Н группы G, содержащих
CG(a) и таких, что Ор(Н)ф 1 и CG^(^(^)=1 при некотором
нечетном простом числе р, если таковые существуют, в про-
тивном же случае таких, что \Е(Н)\ максимально. Для
НеМ(о) мы через обозначаем множество таких не-
единичных (а)-инвариантных субнормальных подгрупп Y в
F*(H), что для любой максимальной подгруппы М из G, со-
держащей Ао(У), либо М = Н, либо F*(M) и F* (Н) суть
р-группы при одном и том же простом числе р. (Заметим,
что в последнем случае Y есть р-группа, а следовательно,
F* (Ng (У)) — тоже р-группа, согласно (2.4).)
Далее, для Н^М(а) определим Fq(H) = F(Н)'Cf*<h)(F(Н)').
Заметим, что Fo(#) — характеристическая подгруппа в F*(//)
вида Е(Н)Р1Р2 ... Рп, где Pt = OPi (НуСОр{(Н) (Ор. (//)') для
всех простых чисел pz, делящих \F(H)\.
Основная цель этого параграфа -- доказать следующее
утверждение:
7*
172
Д. М. Голдшмидт
(5.1) Пусть а^.А* и Н^М(а). Тогда выполняется одно
из следующих условий-.
(a) Y е st (Н) для каждой (а)-инвариантной субнормальной
подгруппы У #= 1 в До (Я);
(Ь) а <= О2 (И) и m (О (Д (Я))) < 2.
В оставшейся части этого параграфа мы считаем, что
а е 4* и Н е Af (а). Точное определение множества М (а)
используется лишь в следующей лемме:
(5.2) Предположим, что 1 =/= У <]<] Д*(Я) и У Са(а)-инва-
риантна. Тогда Y^st(H).
Доказательство. Пусть АГ — максимальная под-
группа в G, содержащая NG (У), и предположим, что М=£ Н.
Положим X = Nf*{H){Y) и Xi—E(X)O(X). Заметим, что
E(H) = E(X) = E (Xi) и что Ху будет См(а)-инвариантной (ко-
нечно, См(а) = Са(а)). Согласно (3.7), имеем а]< О
Таким образом, если Ор (Н) f| CQ (а) = 1 для некоторого про-
стого числа р, то группа Р = Ор(Н) абелева, PqX, и
Р = [Р, a]sOp(M). .Поэтому NrW(P)sH и Д*(Я), Г(М)
суть р-группы при некотором простом числе р, согласно (2.5).
Следовательно, в силу определения множества М (а) мы
можем предполагать, что Ор (М) Q Св (а) =/= 1 для каждого
нечетного простого числа (а потому для каждого простого
числа) р е л (Д (At)). Согласно (2.5)(1), имеем п(Д(Л1))е
sn(F(H)) и [Е(Н), О(Д(АГ))] = 1. Это означает, что
[Е(Н), О(М)]= 1. Из (3.7) получаем Е(Н)<=Е(М). Опять
используя определение множества Af (а), заключаем, что
Е(Н) = Е(М), а потому £(Я) = £(М)= 1. Так как [ОР(Д*(Я)),
Ор (Af)=l при всех р<=л(Д(Л1)), то Д (Af) = Д* (Af) s Я и
тогда М = Н (по (2.5)), исключая случай, когда О₽(Д*(Я)) = 1
при некотором р; в последнем случае F*(H) и F*(M) являются
р-группами. Доказательство завершено.
(5.3) Предположим, что 1 =/= У, V суть (а)-инвариантные
субнормальные подгруппы в F*(H), V нормализует У и либо
(а) а] и V е st (Н),
либо
(Ь) [7, а] = 1, V — абелева группа типа (р, р) при неко-
тором нечетном простом р и {v)<=st (Я) для всех v е V*.
Тогда Y<=st(H).
Доказательство. Пусть Af — максимальная под-
rpvnna, содержащая ЛГ0(У), и X — М F* (Н). Заметим, что
VE(H) s (У) s X. В частности, X = F*(X). Положим
2-слияние в конечных группах
173
X] = £(Х) 0(Х). Тогда V <] <] Хх и Хл будет См (^-инва-
риантной. Кроме того, М будет S* (Л^-группой при неко-
торой абелевой 2-группе Л], содержащей а, в силу (4.1).
Воспользовавшись теперь основным утверждением (3.7), по-
лучим, что в случае (а) V <] <| [Хь а] <1 <,F*(A1). В случае
же (Ь) получаем Е (М) = {Е(М) П Ch(v) | v е К*), откуда
О” (F* (М)) = (о₽ (F* (М)) Л со (о)| V е= V*).
Предположим, что | л (Г* (//)) | 2. В случае (а)
Nf*(M)(V)^ Н, откуда Н = М по (2.5). В случае же (Ь)
OP(F*(M)) //, если [7, Ор (У7*(Al))] = I. Это означает, что
ОР(Л1)#=1, и тогда 0р(М)^Н по (2.5). Следовательно,
F*(M)^H, так что М = Н в силу (2.5).
Предположим теперь, что F*(H) есть р-группа. Так как
ни (а), ни (Ь) не могут выполняться при р = 2, то можно
считать, что р нечетно. Таким образом, [У* (Я), а]=/= 1, и по-
тому [X, а]#=1, ибо X. Из (3.7) получаем, что
Ор(Л1)=/=1. Мы утверждаем, что существует такая нееди-
ничная подгруппа Po^Op(M)f что F*(JVG(P0)) будет р-группой.
В случае (а) можно взять Ро = V (по (2.4)). В случае (Ь)
пусть Ро = С0р(м)(У) и K = Ng(Pq). Тогда а^К и Vs
Ор (Н) П К. Предположим, что Ор (F* (Д)) #= 1. Тогда
1 у= (Р* (Д)) Q CG (ti) <] < F* (Д) для некоторого v еН, со-
гласно (3.7) (примененному к K()O(F(H))) и (4.1). Но
CG ({v) Pq) Д, что, как нетрудно видеть, приводит к соот-
ношению Op(P*(CG«v) Ро))) #= I. Так как (v) PQ CG (и), то
противоречит теперь (2.4).
Следовательно, F*(Ng(Pq)) есть р-группа. Пусть Z =
= Z (Ор(М)). Тогда F*(Cg (ZPo)) — тоже р-группа в силу (2.4).
Но CG (ZPQ) с= CG (Z) с= М. Таким образом, Ор(Р*(М))с=
Ор (F* (CG (ZP0))) = 1, как и требовалось.
(5.4) Предположим, что р — нечетное простое число, Р =
= ОР(Н), [Р, а]У=1, CP(a)^Z(P) и Z (Р) — циклическая
группа. Тогда F*(H) будет р-группой.
Доказательство. Так как [Р, а] =#= 1, то [Cp(Xi), а]=^=1
для некоторой гиперплоскости А^А. Поскольку а обращает
[х, а} при любом элементе х, то мы можем найти подгруппу
Y^Cp(Ai) порядка р, которая обращается элементом а.
По (2.8) и (4.3) имеем а8^А{ при некотором g^Nc(A).
Так как H8=>CG(a8), то Y<=H8. Однако [0р(Н)(]Н8, а]
CHg (а)-инвариантна, так что, согласно (3.7), Y 0р(Н8) = Р8.
В частности, Cpg(a8)^=l. Наше предположение приводит
теперь к равенству Cpg(a8) = Z(P8) и потому Y — Qi(Z (Р8)).
174
Д. М. Голдшмидт
Поскольку теперь СР(а) = Z (Р), то g^H. Таким образом,
Н8 == Ng (У) Н.
Отметим далее, что Cpg (а) У= 1 (в противном случае
Р = Z (Р) должно централизоваться элементом а, а это не
так). Имеем [Cpg(a), а8]=^=1, поскольку У = Qj (Cpg(a8)^ не
централизуется элементом а. Применяя к подгрупе Y{^Cpg(a)
порядка р, обращаемой элементами а и g, проведенное
выше рассуждение, получаем, что y1 = fi1(Z(P)). Таким об-
разом, Н = NG(Y])> так что F*(H) является р-группой по (2.5).
(5.5) Предположим, что a&OztH). Тогда выполняется
(5.1) (а).
Доказательство. Так как Н является 5*(Л)-группой,
то [O2(F*(Z/)), а] 5^=1. Пусть 1 =/=У <1 <]Fo(#) (а)-инвариантна,
и предположим, что У^^(ЛГ), чтобы прийти к противо-
речию. Предположим, далее, что У << Л/^щ^У), подгруппа V
CG (а)-инвариантна и [V, a] = V. Тогда И=1 по (5.2) и (5.3) (а).
Таким образом, [Е(Н)> а] = 1 и, значит, [ОР(Н), а] =/= 1 при
некотором нечетном простом числе р (см. (3.1)). Положим
Р = Ор(Я) и P^Op{Fl(H)) = P{\Fl{H). Тогда [Ро, а] =И= 1.
Заметим, что AfPe(У)=ДГРо(У Q Ро). Следовательно, [AfPo(У), а]ф 1
и существует элемент х порядка р в AfPo(y), обращаемый
элементом а. Согласно (5.3) (а), имеем (х)^^Х(Я), так что
можно дополнительно предположить, что (х) = У.
Пусть К — некоторая С0(а)-инвариантная подгруппа в Р,
содержащая У. Тогда [СР(Д), а] = 1, согласно (5.2) и (5.3) (а).
Однако, 1 по (5.2), так что (х)е^(Я) при
всех x^CP(Kft по (5.3) (а). Тогда СР (Д) — циклическая
группа по (5.3) (б).
Беря Д = Р0, находим, что Z(P0) —циклическая подгруппа,
которая централизуется элементом а. В частности, Z(P')
циклическая, откуда получаем, что Р' циклическая группа
(см. [19, стр. 303]) и централизуется элементом а. Таким об-
разом, СР(а)<^Р, так что [СР(а), [Р, а]] = 1 в силу леммы
о трех подгруппах. Взяв Д=[Р,а], получаем, что группа СР(а)
будет циклической в силу изложенного выше. Пусть РХ-==[Р, а].
Тогда Р —центральное произведение СР(а)оРь Так как Z(P) —
тоже циклическая группа, централизуемая элементом а, то
CP(a) = Z(P). Таким образом, F* (Н) есть р-группа по (5.4).
Из [Pi, а] = 1 получаем Р\ Z (Pi) в силу леммы о трех
подгруппах, так что Pi имеет класс нильпотентности 2. Пусть
P2 = Q1(P1). Тогда Р2 имеет экспоненту р и класс нильпо-
тентности самое большее 2. Выбирая выше Д = Р2, получаем,
2-слияние в конечных группах
175
что Z(P2) —циклическая группа, а следовательно, Р2 — экстра-
специальная группа.
Пусть У1=Ср2(У), У2 = [К1, а]. Так как [Pi, а] = Pi, то
[Р2, а] =И= 1 и поэтому У2 #= 1. По (5.3) (а) имеем У2 ф
Предполагая, что У2 неабелева, получаем У2 = /(Р2), откуда
Яо (У2) (Z (Р2)) = Я. Тогда Р*(Л^о(У2)) есть р-группа по
(2.4). Если М — произвольная максимальная подгруппа в G,
содержащая Nq(Y2), то У2 s [Р Q М, а] Ор (М) по (3.7),
а следовательно, OP(F*(M))^ Ор (F*(NG(Y))) = 1 вопреки тому,
что У 0 (Н).
Отсюда вытекает, что У2 абелева. Тогда Y\ = Y2Cyx (а) S
y2Z (Р) тоже будет абелевой. Это означает, что | Р21 = р3
(см. [19, стр. 353]). Однако а лежит в элементарной абелевой
2-группе А порядка 8, согласно (4.3). Если а е= А и [d, Р2] = 1,
то [а, PJ = 1 и [a, CP(d)\ = \, ибо Z (Р2) = (СР (а)). Таким
образом, [Р, й] = 1, так что а — 1, ибо F* (Н) = Р. Но внешняя
группа автоморфизмов для Р2 совпадает с GL(2, р), так что А
не может действовать точно на Р2. Это противоречие завер-
шает доказательство (5.5).
Мы закончим теперь доказательство (5.1).
(5.6) Предположим, что m(O(F (#)));> 3. Тогда выпол-
няется (5.1) (а).
Доказательство. По существу оно тождественно
изящному доказательству (3.7) из [6]. В силу (5.5) мы можем
предполагать, что а^О2(Н). Пусть л = л(Р (Я)), и для лю-
бой подгруппы W s F* (Я) и любой подгруппы В из G, со-
держащей W, пусть ^(IF, В) — множество таких IF-инва-
риантных подгрупп К группы В, что К= On(F*(K)) и никакая
компонента группы Е (К) не лежит в Я.
Пусть V — элементарная абелева подгруппа в ОР(Н), со-
держащая Qi(Z(ОР(Н))) и такая, что m(V)^3 при некотором
нечетном простом числе р, и W = Cf*<h) (V). Заметим, что
а е W и CG (V) Я. Мы хотим показать, что (W, G) = {<!)}.
Предположим, что G). Тогда предложение (2.5)
(примененное к W WK G) показывает, что F (Я) П Я = 1,
откуда получаем, что а обращает F(К) и /С = [Я, а] = [К, И].
Таким образом, F(/C)^Z(K). Предположим, что WK ^BaG.
В силу (4.3) В есть 5*(Л1)-группа для некоторой абелевой
2-группы Л1, содержащей а. Таким образом, = [Я,
Пусть —нечетное простое число. Так как F* (Н) — не
р-группа, то (2.5) означает, что а обращает Oq(B) при q е л'
и централизует Oq(B) при q^n. Таким образом, К = [К, а]
176 Д. М Голдшмидт
централизует O(F(B)). Так как К s Ai, то KsF*(B) по (3.1).
В результате [£(В), a]On(F (В)) — единственный максималь-
ный элемент в 41 (W, В). Пусть U (В) = [В (В), а] О" (F (В)).
Положим Х = О2(ВЛГ(Я)). Так как Е(Н) = О2 (IF) s X,
то X — Е(Х) O(F(X)). Кроме того, X будет Св (^-инвариант-
ной и У = О(Х). В силу (3.7) любая компонента для U(В)
нормализуется V и централизуется некоторой гиперпло-
скостью Уо из V. Это означает, в частности, что £/(В) =
= ([/(B)0t/(Co(v))|ve У*>, так как m(V)>3.
Предположим, чтобы получить противоречие, что
<2/(IV, G) #= {(1)}. Тогда в силу изложенного выше суще-
ствует такая гиперплоскость VQ V, что UQ = U (CG (Vo)) =/= 1.
Пусть v е vt и U = U(CG(v)). Как мы уже показали, UQ^U.
Мы утверждаем, что на самом деле UQ U. Поскольку
F (U) Z (U), то F(U) нормализует UQ. Пусть L — некоторая
компонента группы U. Как мы уже убедились, Cv (L) содержит
некоторую гиперплоскость V\ из V. Если Vi = Vo, то L s t/0.
Если V{=/= Ко, то V=V0V1 и t/0 = [t/0, VJ. Ho t/0 и /j обе
нормализуют L, откуда получаем, что UQ централизует L.
В любом случае L нормализует 77О, и поэтому f/0 U.
В результате получаем, что U{ = U(NG (UQ)) э (U(CG (v)) | v g
e Vo*>, откуда следует, что U\ — единственный максималь-
ный- элемент из <2/(IV, G). Пусть Wi = Тогда, оче-
видно, нормализует 7/ь откуда следует, что U{ — един-
ственный максимальный элемент из <2/(11^, G). Продолжая,
это рассуждение, находим, что f/j — единственный макси-
мальный элемент из <U(F*(H), G) (так как IV <] <] F* (Я)).
Тогда Н будет нормализовать Ux\ это означает, что U^ H,
а потому £/1 === 1 (противоречие).
При <и (IV, G) = 1 (2.5) немедленно приводит к тому,
что Н — единственная максимальная подгруппа в G, содер-
жащая IV. В частности, для всех v е V*. Пусть
Р = Ор(Н). Тогда (Р) =/= 0, согласно [15, стр. 202].
Пусть К Р — элементарная абелева группа порядка р3.
Если порядок элемента хе Р — простое число и [К, х, х] = 1,
то т(Ск(х))^2, как следует из вида жордановой нормаль-
ной формы. Из этого нетрудно получить, что х лежит в не-
которой элементарной абелевой подгруппе U s Р порядка р3,
откуда в силу изложенного выше.
В частности, (х) (Я) при всех х е Qj (Z (?'))*• Если
Z (Pz) — нециклическая группа, то У е (Н) для всех
Y <]<] F*q(H), согласно (5.3) (Ь). Если Z (Р') — циклическая
группа, то Р' — циклическая группа (см. [19, стр. 303]). Но
это означает, что [/(, х, х] = 1
2-слияние в конечных группах
177
для всех хеР, откуда следует, что для всех
х^Р порядка р. Кроме того, группа NK({x)) нециклическая
при всех х е Р, так что NP (У) — нециклическая группа для
всех У ^Р. Далее, если 1 =й= У <1< F*(//), то группа NP(Y) =
= NP(Y П Р) нециклическая, а следовательно, У G (Я)
в силу (5.3), и доказательство закончено.
6. РЕДУКЦИОННАЯ ТЕОРЕМА
Мы продолжаем использовать обозначения Предыдущего
параграфа. Таким образом, аеЛ* и Н^М(а).
(6.1) Предположим, что Л! ~ некоторая гиперплоскость в А
и Н=={М(ах)} при всех Тогда т*(А) = 2 и А{==(а),
Доказательство. Если NG(A)^H, то (2.8) и (4.3)
означают, что Н = {М (а)} для всех а е А*, а это не согла-
суется с (4.4). С другой стороны, если n^NG(A) и a* е Ai
при некотором ai е А*, то Нп = Н и п^Н. Это означает,
что т(А) = 2. Тогда | NQ (А): CG (А) | делится на 3 по (4.3).
Пусть Ai = и предположим, что ах Ф а. Существует такой
элемент пе^о(А), что ап = ах, апг = аа\. Но
откуда вытекает, что Нп — Н, п^Н, и все инволюции в А*
будут //-сопряжены вопреки (4.4).
(6.2) F*(/Y) не будет р-группой ни при каком нечетном про-
стом р.
Доказательство. Предположим, что М — максималь-
ная подгруппа в G, содержащая CG(A), и F*(Af) является
р-группой для некоторого нечетного простого числа р. Пусть
(А, р) — множество таких А-инвариантных р-подгрупп Р
из G, что СР(А) O(Cg(A)). Так как CG(A)^M, то Им(А,р) s
сИ0(А, р). Пусть РеИм(А, р). Тогда М = NG (Z (7 (Р))) по
(3.11). Это означает, что РеИЬ(А, р).
Предположим теперь, что (6.2) не верно. Таким образом,
приведенные выше замечания применимы к М = Н. Пред-
положим, что М — произвольная максимальная подгруппа
группы G, содержащая CG(А) и такая, что Х—[ОР(Н) f| М, а] =/= 1.
Мы утверждаем, что М = Н. Если это не так, выберем такую
подгруппу М, отличную от Н, с максимальным числом | М П Н |,
и положим Л = МГ|//. Тогда CG(A)^L и Х = [Х, а} будет
СуИ(а)-инвариантной. По (3.7) имеем X ОР(М). Пусть У =
= Nop(M) (X). Так как Z (ОР(М)) е У, то CG(Y)sM. Таким
образом, Ор(Р(М))ар(Сб(У)). Однако YCG(Y) <= N0(X) и
F*(AfG(X)) оказывается р-группой по (5.1) и (2.4). Тогда
178
Д. М. Голдшмидт
F* (С0(У)) — тоже р-группа в силу (2.4). В результате полу-
чаем, что F*(M) будет р-группой.
Согласно первому абзацу этого доказательства, М содержит
некоторый элемент из И<? (А, р). Предположим, что 1 =# К <3
Тогда в силу выбора М имеем L = NH(X) или L = NM(K).
Очевидно, что X Ор (Н) П L s Ор (L), так что Ор(Р)#=1.
Возьмем в качестве К подгруппу OP(L), и пусть Q = OP(F*(L)).
Если L = Nfj (К), то К X Q действует на Ор (Я) и
[Q, Сор(Я)(Ю] = 1- Таким образом, [Q, ОР(Я)] = 1 по лемме
Томпсона и Q=l. Так как F*(M) — также р-группа, то же
самое рассуждение применимо и при L — NM(K). Поэтому
Q=l.
Пусть РеИ1(Л, р). Тогда Z(7(P))<L по (3.11). По-
скольку CG(A)^L, то РеИй(Д, р). Возьмем теперь в ка-
честве К подгруппу Z (7(Р)). Так как Z (7 (Р)) характеристична
в Р, то NH(P)sL или NM(P) — L. Поскольку и Н и М со-
держат элементы из Ио (Л, р), отсюда следует, что Ре Ио (Л, р);
Далее, Я = Na (Z (J (Р))) = М, согласно первому абзацу на-
шего доказательства. Мы показали, что если М — произ-
вольная максимальная подгруппа в G, содержащая СО(Л) и
такая, что [ОР(Я)ПМ, а] ¥= 1, то М — Н.
Имеем Ор (Я) = (Сор m (Л1)| А/Ах циклическая^. Так как
[ОР(Н), а] =т^ 1, то существует такая гиперплоскость Л1 в Л,
что [С?ор(Я)(Л1), а] =И= 1. Мы получили, что Н — {М(ах)} для
всех ах^Ах; это противоречит (6.1), так как а^Ах. Дока-
зательство закончено.
Теперь, когда исключен случай р-скованности, утвержде-
ние (5.1) становится очень сильным.
(6.3) Предположим, что р — такое нечетное простое число,
что либо [ОР(Н), а]=/= 1, либо т(0р(Н))~^3. Хроме того, пусть
ах^А*, Нх^М(ах)-{Н} и С = Ор(Р5(Я))ПЯ1^= 1. Тогда
(1) СПОр(Я1)=1=[р, а];
(2) Q — циклическая группа.
Доказательство. Пусть Р = Ор (Я) и Р, = Ор (ЯО
В силу (5.4), (6.2) и нашего предположения группа Р неци-
клическая. Заметим, что подгруппа Q будет Сн, (^-инвариант-
ной и Ng (Qx) s Я для всех неединичных (а)-инвариантных
подгрупп Qi s Q. Кроме того, Q £5 Ан,0 (Hi) и [Q, a] s Q П Pi
по (3.7).
2-слияние в конечных группах
179
Чтобы получить противоречие, предположим, что (1) или (2)
не верно. Если Qo = QnPi#=l, то получаем Ор(F*(//\)) s
£Na(Qo)^H. Если Qo=l = [Q, а], то (3.7) дает
Ор (Г (Я,)) = {Ор (Г (ЯО П Со (х) | х е Q*> <= Я.
В частности, [Q, Ор (F* (#0)] = 1, так что 1. Мы утвер-
ждаем, что на самом деле существует такая подгруппа V
в Р{ Q Н, что Nq (V) При Qo =# 1 можно взять V = Z (Р4).
Если(?о==1==[<2,а],тот(Р1)^Зпо(3.12). Пусть V=Z (QPi)f|Pi.
Тогда 1 Ф V Fq(Hi) и V будет (а^-инвариантной подгруп-
пой. В силу (5.1) и (6.2) имеет место включение No(V)^Hi.
Так как [Q, V] = 1, то V Я.
Применяя теперь лемму Томпсона к действию группы
VX<W*(#i)) на Р, получаем [Р, Ор (F* (Я0)] = 1. Так как
Op(F*(Hi)) #= 1 по (6.2), мы делаем вывод, что Р Н{. На
самом деле Р s AHlO (Я1), согласно (3.7). Если т (PJ 2,
то Р Pi по (3.12). Однако, Р — нециклическая группа, так
что Z(PJ^P. Тогда Z (Р{) s£(H), что невозможно. Таким
образом, m(Pi)^3. Мы можем поменять теперь ролями Я
и Я! в проведенном выше рассуждении. Если (1) и (2) не
выполняются, то мы получаем Op(F*(H))^Hi и Р{^Н
вопреки (2.5). Отсюда следует, что группа Qi = Ор (Fo (Hi)) f) Я
циклическая.
Qj (Z2 (Pi)) — нециклическая группа экспоненты р. Так к*ак
{a) PPi сверхразрешима, существует подгруппа V^Qi(Z2(Pi))>
которая является абелевой группой типа (р, р) и (а) РРгинва-
риантна. Так как [Р(, V] — 1, то V е Op(Fl(H\)). Однако
мы имеем также [Р', У] = 1. Если Р'#= 1, то У^Я в про-
тиворечие с тем фактом, что Qi — циклическая группа. По-
этому Р'<= 1 и Op(Fq(H)) = Р. Группа CP(V) (а)-инвариантна,
и если Cp(V)#=l, то V ^CG (СР (У)) s Я по (5.1), что невоз-
можно. Таким образом, CP(V)=1. Но это означает, что
|Р| = р, в то время как мы уже отмечали, что Р — нецикли-
ческая группа. Это противоречие завершает доказательство
утверждения (6.3).
(6.4) a<=F*(H) и либо т(О(Р(Я)))<2, либо щ(А) = 2.
Доказательство. Предположим, что a^F*(Я). Имеем
[а, Ор (Н)] 1 при некотором нечетном простом числе р по
(3.1). Тогда 1Ор(Р$(Н)), а] У= 1 и в А существует такая гипер-
плоскость Ai, что
[Op(Fl(H))nCo(Ai),a]^l.
В ейлу (6.3) имеем {Н} = М(сц) для всех ai е Л* вопреки
(6.1). Таким образом, a&F*(H).
180 Д. М. Голдшмидт
Пусть теперь Р = Ор (Н) при некотором нечетном простом
числе р, и предположим, что /п(Р)^3. Это означает, что
группа Op(Fq(H)) нециклическая (в противном случае Р
была бы метациклической). Пусть Ро — минимальная Л-инва-
риантная нециклическая подгруппа в Ор (FJ (Я)). Тогда
ги(Ро/Ф(Ро)) = 2, так как Л — элементарная абелева группа.
Пусть Ло = Сл(Ро)- Тогда /п(Л/Л0)<2 и {Н} = М(а0) для
всех аое п0 (6.3). Кроме того, Ло содержится в такой
гиперплоскости Ах в Л, что Q = Cp9(Ai) 1. Очевидно, что
Pq ~ П Ор (Cq (яо))«
°оел*
Предположим, что т(Л0)^2, и пусть а^еЛ*. Hi&M(ai).
Тогда Q s Op{Hi) по (3.8), откуда в силу (6.3) получаем
Н = НХ. Это противоречит (6.1), и мы можем поэтому считать
группу Ло циклической. Следовательно,/п(Л)^3. Предполагая,
что т(Л) = 3, получаем Л0 = (а). Так как Л П F* (Н) е Ло, то
Н — С0(а). Кроме того, все инволюции из Л будут Na(A)-
сопряжены, согласно (4.3). Пусть ai е Л* и Н Ф Н\ е М (ai)
(см. (6.1)). Тогда Я]=Со(а1) сопряжена с Н. В частности,
m (Ор (Hi)) 3. Рассмотрим действие группы (а) X Q на R =
= Op(Fo(Hi)). В силу (6.3) (с переставленными Н и Н{)
R[\H — циклическая группа. Однако R нециклическая, ибо
m(Op(Hi))^3 (см. выше). Поскольку CR(Q) s Н, то [Сл(Q), а]=1,
откуда [/?, а] — 1 в силу леммы Томпсона. В результате по-
лучаем что невозможно. Поэтому из неравенства
m (О (F (Н))) 3 следует, что m (Л) = 2, как и утверждалось.
7. СЛУЧАЙ т(А)>3
В этом параграфе, предполагая, что /и(Л)^3, мы пока-
жем, что G будет группой типа JR. Тем самым мы, конечно,
придем к противоречию. Используя (6.4), (4.4) и теорему 3.1
из [14], мы добиваемся такого положения, когда можно при-
менить (2.11).
(7.1) Пусть ае Л* и Н еМ (а). Тогда Ан/Е (Ан) разрешима.
Доказательство. Пусть L — последний член произ-
водного ряда для Ан. В силу (3.12) и (6.4) [L, O(F(H))] = 1.
Поэтому L = E(AH) по (3.1).
(7.2) Существуют такие ае Л* и Н еМ (а), что Е (Ан) =£ 1.
Доказательство. Если это не так, то Ан разрешима
при всех аеЛ*, Н^М(а) в силу (7.1). В частности,
2-слияние в конечных группах
181
A s О?, 2 (Cq (а)) при всех аеА* Так как т(Л)^>3, то
WA = {O(Co(a))\ а е Л*> имеет нечетный порядок в силу
теоремы 3.1 из [14]. Тогда Na (Л) s Na (W А). Поскольку
ЛС0 (а) = А . 0 (Аса (а)), то Со (а) = Nq (Л) . Wa Если 1
то {Са(а)\а е Л*> £ Nq (WА) cz G, в то время как при = 1
имеем <С0(а)| а е Л*) <= Nq (A) cz G. В обоих случаях полу-
чаем противоречие с (4.4).
(7.3) Предположим, что а е Д*, Н е М (а) и К — компо-
нента группы Е(АН). Если это возможно, выберем а, Н,
К так, чтобы К не была группой типа L2 (q). Тогда Н = {М (а0)}
для всех aQ^CA(K).
Доказательство. Мы докажем сначала, что Е(Н) =
= E(KCG(K))- Заметим, что А^ KCG(K), так как Я— это
S* (Л)-группа. Пусть £0 — произведение всех компонент
группы Е (Ан), изоморфных Д. Тогда £0 Н и К — компо-
нента для Eq. Если K = Eq, то KCg(K) и мы легко
получаем, что Е(Н) = Е(КС0(К))- Поэтому можно считать,
что £1 = Е (Ceq (К)) =/= 1. Мы хотим показать, что будет
произведением компонент группы E(CG(/C)). С этой целью
выберем Л Г) 7< и Hi^M(ai). Тогда Е{ будет произведе-
нием компонент для E(Hi(]Eq) и E{^AHl. Таким образом,
[Е1,0(Я1)]=1 по (7.1). Так как Е (Hi f) £о) С^ (^-инвариант-
на, то (3.7) и выбор а, Н, К означает, что Ех будет произ-
ведением компонент группы E(Hi). Поскольку CG(K) е Нх,
то Ех будет произведением компонент для E(CQ(K)\ Так как
Е (KCG (Д)) = KE (CG (Д)) и Eq — KEi, то Eq будет произведением
компонент для Е (КС в (К)). Следовательно, Е (KCG (Д)) Н =
= Ng(Eq). Любая компонента группы Е(Н), отличная от Ку
централизует К и поэтому нормализует E(KCG(K)). Таким
образом, Е(Н) и E(KCg(K)) нормализуют друг друга, так
что Е (Н)(]Е (KCQ(K)) будет произведением компонент обеих
групп. В частности, если L — компонента для Е (KCG (Д)), не
содержащаяся в Е(Н), то [Е(Н), £] = 1. Однако F (Н) — раз-
решимая подгруппа в KCG(K)y нормализуемая подгруппой L,
откуда [F(H), L]=l. Это невозможно, так что в результате
получаем, что E(KCG(K)) будет произведением компонент
для Е(Н), содержащих Eq. Отсюда вытекает, что Ео является
произведением всех компонент группы Е (Akcg (/<)), изоморф-
ных К- Следовательно, EQ^KCG(K)f так что CG(K)^H.
В качестве непосредственного следствия получаем Е(Н) =
= Е(КС0(К)).
Пусть теперь а0^Сл(Д)* и Hq е М (а0). Тогда К^АН\
откуда [Д, O(Hq)]=1 в силу (7.1). Кроме того, Д —компо-
182
Д. М. Голдшмидт
нента для Е (Яо А Е (Я)), которая Сн. (а)-инвариантна. Таким
образом, К — компонента для Е(Н0) в силу (3.7) и нашего
выбора af Н, К-
Далее, проведенное выше рассуждение показывает, что
E(Hq) = E(KCg(K)). Поэтому Я0 = Я0(Е(ДС0(Д))) = Я, как
и требовалось.
(7.4) Существуют такие а Л*, Н е М (а) и компонента К
для Е (Ан), что
(1) H = {M(aQ)} для всех aQ^CA(K)#*>
(2)
(3) Ng(A)^H;
(4) СА (К) А СА (К)ё = 1 для всех g^NG (Л) - Н.
Доказательство. Выберем а<= А#Н е М(а) и ком-
поненту К группы Е(АН) так, чтобы т(Сл(Д)) было мини-
мальным и, кроме того, если это возможно, чтобы К не была
группой типа L2(q). Заметим, что из СА(К)=1 следует,
что А^К и К/О (К) — простая группа, откуда получаем, что
все инволюции из А будут Я-сопряжень! (см. (3.2) и (3.4))
вопреки (4.4). Таким образом, Сл(Д)=#1- Если Д' —группа
типа £2(<7)> то т(СА (К)) = т(А) — 2, т. е. настолько велико,
насколько это возможно. Выбор Д тогда показывает, что для
всех е Л* и Нх е М (а^ группа Е (ЛЯ1) будет произведе-
нием своих компонент типа L2(q). В любом случае приме-
нимо (7.3), и мы получаем утверждение (1).
Положим Л0 = Сл(Д) и предположим, что g^NG(A) таков,
что 1 аё Аё (] Aq. Тогда Нё^М(аё), так что Нё = Н, и
потому g Н. Это доказывает (4).
Если (3) не верно, то из (4.3) вытекает, что А^Е(Н)
и все компоненты группы Е(АН) изоморфны Д. Так как
Ng (Л) = О2 (Ng (Л)) по (4.3), то Е(АН) имеет по крайней мере
три компоненты. В частности, т(Л0) > (1/2)т(Л). Выбор Д
показывает, что если а{ е Л*, М (#i) и Д1 — компонента
для E(AHl), то m(CA(Ki)) > (1/2)т(А). Поэтому Ло Г) СА (ДО =/= 1,
откуда получаем Е(АН])^Н в силу части (1). Поскольку
т(Л0)^2, то О(Н{)^Н по части (1). Согласно (7.1),
AHi s АЕ (Л^1) О (ЯД, откуда получаем AHi s Н. Из (2.12)
имеем = AH'NHl (А) s Н вопреки (4.4). Это доказывает (3),
а (2) очевидным образом следует из (3) и (4).
(7. 5)т(Л) = 3 и Ng(A)/Cg (Л) — неабелева группа порядка 21.
Доказательство. Пусть а, Я, Д такие же, как в (7.4).
Положим Л0 = Сл(Д), X = NG(A)ICG(A) и == NK (А)/Ск (Л).
Если х е Ng (Л) и Ло А Ах 1 > то х е Н по (7.4) (4), откуда полу-
2-слияние в конечных группах
183
чаем /С = К в силу (7.4) (2). В частности, У* Уi (mod Со (Л)).
За исключением случая, когда К — собственная накрывающая
группа для Sz (8), У! имеет характеристическую циклическую
подгруппу У, которая действует транзитивно на [Л, У]* и
такова, что Ca(Y) = Aq (см. (3.6)). В таком случае наш
результат следует из (2.11). Если /С--собственная накры-
вающая группа для Sz(8), то мы получаем противоречие
следующим образом.
Во-первых, /и(Л/Л0) = 3, так что т(Л0)^3 по (7.4). Кроме
того, У1 содержит такую циклическую подгруппу Уо порядка 7,
что А = [Л, Уо] X Ло. Положим ЯГ = {Ло | х е х}. Если В е
остается на месте при действии Уо, то В является У0-инва-
риантным подпространством в Л, не пересекающимся с Ло.
Следовательно, В = [Л, Уо]. Это означает, что | Ло I = 8 и
что Ло и [Л, Уо] будут G-сопряжены. Однако NG(AQ)^H и
1=И=Л0ПК Ng (Л0)-инвариантна. Таким образом, NG (Ло)
‘интранзитивна на Л*, так что Ло не будет G-сопряжена с [Л, Уо].
Поэтому Уо действует на ЯГ — {Ло} полурегулярно.
В результате из (2.10) получаем, что |Л0| = 2 и что X
действует транзитивно на Л*. Таким образом, | Л |= 16 и
Полагая Z = NH (А)/Сн (Л), получаем У iZ h|X:ZI=15.
Очевидно, что Сх (Уо) централизует Ло, а потому действует
точно на [Л, Уо]. Так как подгруппа порядка 7 группы GL(3, 2)
самоцентрализуема, то Сх(Уо) = Уо- Привлечение рассуждения
Фраттини дает Z = YlNz(YQ), Группа Уо действует точно
на О2(У1) и является самоцентрализуемой в Z. Как следствие
получаем, что Nz(Yq) действует точно на ОгО^), и еш«е один
перебор подгрупп группы GL(3, 2) показывает, что | Nz(Yo) : Уо |
равно 1 или 3. Поэтому | Z | = 23 • З8 • 7, где е = 0 или 1, и
I X |=*=23 • 38+! *5-7. В частности, O2(Y[) — (элементарная абе-
лева) силовская 2-подгруппа в X, Так как X — подгруппа
в GL(4, 2)^Л8, то мы получаем, что она действует транзи-
тивно на 8 буквах, ибо силовская 2-подгруппа группы Л7
диэдральная. Однако это означает, что X имеет подгруппу
порядка 38 ‘1 *5-7, что, как легко видеть, противоречит само-
централизуемости силовской 7-подгруппы X. Доказательство
утверждения (7.5) теперь окончено.
(7. 6) G — группа типа JR.
Доказательство. Пусть а, Я, К такие же, как в (7.4).
Так как пг (Л) = 3 и СА (К) #= 1, то m (Л Q К) = 2 и СА (К) = (а^
для некоторого а{ е Л*. Таким образо|М, К имеет тип L2(q)
или £/8(4) и а^ — единственная инволюция в Н, для кото-
рой Асн неразрешима. Так как CG (а)^Н и все инволюции
184
Д. М. Голдшмидт
в A Ng (А)-сопряжены, то а = а{. Однако a^F*(H) по (6.4)
и потому аеО2(Я). Следовательно, Н = CG(a), поскольку А
сильно замкнута в АО2(Н) относительно Я. В частности,
A<=F*(H).
Как следствие имеем H = KNH(A). Поскольку CG (Л) =
= СЯ(А), нетрудно убедиться, что Е (Н) = Е (CG (А)) К. Если
E(CG(A))#= 1, то получаем Н = NG (Е (CG (Л))). Но это при-
водит к включению NG(A)^H, что невозможно, ибо никакие
инволюции из А не являются сопряженными. Следовательно,
E(CG(A))=1 и Е(Н) = К.
Мы докажем теперь, что О (Н) = 1. А именно, пусть а\ е А*
и е М (at). Тогда О (Н) s Нь так как [А, О (Я)] = 1. В силу
того что Е(О(Я)) Снх (а)-инвариантна и централизует А,
из (3.7) получаем F (О (Н)) О Так как по симметрии
также О (Я^ Я, то F (О (Я)) О (Я^, откуда получаем
F(O(H)) s F(O(Hi)). В силу симметричности Е (О(Я)) =
= F(O(H{)) для всех ^еА* М(а{). (Конечно, мы уже
показали, что Я1 = Ся(а1).) В результате из (4.4) выводим,
что Е(О(Я))=1, и потому О(Я)=1.
Далее, предположим, что К — группа типа Я3(4). Пусть
N = NK(A). Тогда N будет расщепляемым расширением спе-
циальной 2-группы 7\ порядка 64 с помощью циклической
группы порядка 15 (см. (3.2)). Предположим, что х — элемент
из NH (А) нечетного порядка. Тогда х нормализует Я, ибо КЯ.
Так как число подгрупп порядка 15 в Я является степенью 2,
то х нормализует и поэтому централизует некоторую под-
группу R^N порядка 15. Подгруппа R действует транзи-
тивно на (7УА)* и, как нетрудно убедиться, будет самоцент-
рализуемой в GL(4, 2). Таким образом, существует такой
элемент y^R, что ху централизует Т\/А = Т{/Ф (ТJ. Так как ху
имеет нечетный порядок, то [ху, Т1] = 1. Тогда [ху, К] = 1
по (3.3). Пусть Со = Ск(А). Тогда Со = О2(С0) и Со неразложима
(см. (3.2)). Выше мы показали, что Со является прямым сомно-
жителем в О2(СЯ(А)) = О2 (CG(A)) (заметим, что CG(A) Н).
Пусть С[, С2, ..., Сг — множество прямых сомножителей
в O2(CG(A)), изоморфных Cq. Согласно теореме Крулля —
Шмидта [19, стр. 66], NG(A) переставляет {Со, С{, Сг}
по модулю центральных автоморфизмов, а следовательно,
на самом деле переставляет коммутанты {Cq, С{, ..., С'г}.
Однако АП CoS Со и АПСсА. Это противоречит, помимо
всего прочего, тому факту, что NG(A) действует неприводимо
на А, и показывает, что К имеет тип L2(q).
Пусть А с J1 е Sу 12 (Я). Из нечетности | Яо (А): CG (А) |
получаем, что [А, Г] = 1 и Т е Syl2(G). Так как Я —группа
типа L2(7), тоT^KCg(K) по (3.5). Поэтому Т=(А П К)ХСТ(К).
2-слияние в конечных группах
185
Пусть а{^А — {а), и положим К\ = £,(Ас°^10- Так как а
и ai NG (А)-сопряжены, то К\ Кроме того, Т = А X Ст (А\).
Мы утверждаем, что Ст (К) П Ст (/Q f= 1. В противном случае
существует такая инволюция t е Г, что {К, Ki) Aca{t\
Так как а\ а, то К =/= К. Это означает, что Aco{t}/O (AcG{t}) —
группа типа JR и, в частности, что все инволюции в А будут
Со(/)-сопряжены. Положим W = {Е (Лс° (0) | а Л*). Тогда
K^W ^CG(t), а потому W cz G. Очевидно, что NG(A)^
<=N0(W)c=G,a тогда H=KNH (А) с= NG(Г), так что Н =NG(Г).
Ясно, что это невозможно, и мы в результате получаем, что
сг(^псг(^) = 1.
Так как Ф(Т)еСг(Д')ЯСг(/С1), то Т будет элементарной
абелевой группой, а потому пг (Ст (К)) 2. Если tn (Ст (К)) = 2,
то получаем |Т|=16. Тогда из того, что A<QNG(T), следует
существование инволюции t е Z (NG (Г)), которая будет изо-
лированной в Т вопреки 7*-теореме из [10J. Таким образом,
Ст (К) = {а)\ это означает, что О2 (Н) = (а) и F* (Я) = К X (а)-
Отсюда следует, что H = {a)\Ki, где K's aut К
и | Ki: К | нечетно, так что G —группа типа JR. Это проти-
воречие исключает случай пг(А)^3.
8. СЛУЧАЙ т(А) = 2
Для завершения доказательства теоремы А рассмотрим
теперь случай zn(A) = 2. Заметим, что из (4.3) имеем
| Ng (A) : Cq(A) | = 3, так что все инволюции А будут NG(A)-
сопряжены и А центральна в некоторой силовской 2-под-
группе из G. Мы продолжаем использовать обозначения
предыдущего параграфа. Таким образом, ае Л* и ЯеМ (а).
(8.1) Н = CG(a) = О(Н)Со(А) и [A, 0(H)] 1. Кроме того,
если р нечетно и V — такая нециклическая р-подгруппа в F (Н),
что CG (v) Н для всех v е У*, то Н — единственная макси-
мальная подгруппа в G, содержащая (а) V.
Доказательство. Из (6.4) получаем, что a^F*(H).'
Если А^№(Я), то либо А^О2(Н), либо Ан — компонента
группы Е(Н), ибо Н есть 5*(А)-группа. При А^О2(Н) силь-
ная замкнутость подгруппы А приводит, как нетрудно убе-
диться, к тому, что А <3 Н, т. е. Н = NQ (А), так что в любом
случае все инволюции в А будут Я-сопряжены. Но тогда
<С0(а)| а е A*) s Н, что противоречит (4.4). Поэтому
А Я F*(H) — (а), и мы получаем, что Ан разрешима и а е О2 (Н).
Так как А сильно замкнута в АО2 (Я), то Я — CG (а). Поскольку
А != О2\ 2 (Я), еще одно использование сильной замкнутости
дает АО(Я)^Я, так что Н = О (Н) NH{A). Ввиду того что
186. Д. М. Голдшмидт
Cg(A)^H и все инволюции в А //-сопряжены, NH(A) =
= CQ (A) cz Ng (А). Таким образом, А Я, а потому
[А, О(Я)]#=1.
Предположим теперь, что V — введенная выше подгруппа
и, рассуждая от противного, что М — максимальная подгруппа
в G, отличная от Я и содержащая (а) V. Тогда OP'(F(M)) =
= (Op' (F (М)) П со (v) | v <= V*) s Н, в то время как из леммы
Томпсона, примененной к действию (а) X V на ОР(М), полу-
чаем [а, ОР(М)]=1. Таким образом, [а, О(М)] = 1. В част-
ности, М CQ(ax) при произвольном а^А - (а), ибо равен-
ство означало бы, что [А, О (CG (ai))] — 1 вопреки тому, что
было доказано выше. Следовательно, [А, 7]=/=1.
В силу (4.1) М есть 5*(А1)-группа для некоторой под-
группы Аь содержащей а, а так как /п(А) = 2, то либо А{ = {а}>
либо Ai будет G-сопряжена с А. Так как [а, О(Л1)]= 1, то
a^F*(M) по (3.1). Однако если А{ П F*(M) = (а), то сразу же
получаем, что M = CG (aj= Н. Поэтому Aj s F*(M) и А{ будет
G-сопряжена с А. В действительности, поскольку A j^Cg (а)=Н,
нетрудно убедиться в том, что Aj будет //-сопряжена с А
(выбирая Н так, чтобы (А, А?) была 2-группой, полу-
чаем А\ = А). Заменяя V на Vh и М на при некото-
ром можем считать, что Ai = A.
Так как [А, V] — неединичная р-группа, то AgtO2(M).
Поэтому Ам — компонента для Е(М). Однако V^O(F(H)) П М,
причем последняя группа См (а)-инвариантна, нильпотентна
и нечетного порядка. В силу (3.7) [Ам, и] = 1 при некото-
ром v е V*, откуда получаем AM s Н. Но это невозможно,
ибо Ан разрешима. Поэтому доказательство (8.1) завершено.
(8.2) Пусть Р = Сор(Н)(А) =/= 1 для некоторого простого
числа гр и М — максимальная отличная от Н подгруппа в G,
содержащая NG(P). Тогда a^F*(M).
Доказательство. Предположим противное. Заметим,
что [О2(Н), А]=1, ибо А центральна в любой содержащей
ее 2-группе. Таким образом, можно считать, что р нечетно.
Если a^ChtM), то С>*(Л1)а^Я, вопреки (2.5). Поэтому.
А F* (М) и Ам —- компонента группы Е (М).
Из [Е(Н),Р] = 1 получаем, что Е(Н)^М и что Е(Н)
будет См (а)-инвариантной. Пусть Мг = Е(Н) Ам. Так как
[О(А2И), А] = 1, то О(АМ)^Н. Таким образом, Е(Н) центра-
лизует О (Mi) и См} (а)-инвариантна. В силу (3.7) [£(//), Ам] = 1.
Так как Ан разрешима, то АМ?Я, и потому Е(Н)^\.
Мы докажем теперь, что Е(М)^=АМ. В самом деле, пред-
положим, что /< — компонента группы Е(М) и К Ф Ам. Тогда
2-слияние в конечных группах 187
[К, Л]=1, откуда получаем К s Н. В таком случае К нор-
мализует F(H)(]M и потому централизует ее. Но Nf(h>(P)^
F(H) П Af, откуда в силу леммы Томпсона следует равенство
[К, F(H)]=1 вопреки Е(Н) = 1.
Далее, мы утверждаем, что F (Af) — циклическая группа
нечетного порядка. Так как [Л, F(Af)] = l, то F(M)<^H.
Пусть Fq==Nf (Я) (Р). Тогда О2 (М) централизует О (Fo).
Из леммы Томпсона следует, что [O2(Af), O(F(H))] = 1,
а тогда [О2(М), О(Н)]=1. Если O2(Af)#=l, то О(Н)<=М.
Но С0(Л)^Л1, поскольку Р С0(Л)-инвариантна. Поэтому (8.1)
дает Н^М, т. е. мы пришли к противоречию. Таким обра-
зом, O2(Af)=l. Предположим, что Q=O<7(Af)=/= 1 для неко-
торого нечетного простого числа q. Так как [Q, Ам] = 1 и Ан
разрешима, то CG(Q) ® Н. Пусть /? = Oq(H), и предположим,
что т(Р)^3. В таком случае существует QP-инвариантная
подгруппа V в R типа (q, q). Поскольку [R', У] = 1, то
в силу (5.1) получаем CG(v)^H для всех иеУ*. Пусть
Qi = C’Q(y). Тогда (а) V s CG (QJ. Если Qi #= 1, то по (8.1)
имеем CG (Q) £ CQ (QJ ё /7, что, однако, не так. Таким обра-
зом, Qi = 1, откуда следует, что | Q | = q. Поэтому Q — цикли-
ческая группа при т(Р)^3. Предположим, что т(/?)^2.
Так как Q CG(Л)-инвариантна, то Q^O(H). Кроме того,
[Q, O<7(F0)]=l, откуда [Q, Oq(F(H))] = 1 по лемме Томпсона.
Но F(H) — F*(H), так что по (3.12) получаем Если
группа Q нециклическая, то и C0(Q)^H, но
это, однако, не так. В результате приходим к выводу, что
F (М) — циклическая группа нечетного порядка.
Далее, подгруппа O(F(H)) Q М См (а)-инвариантна и со-
держит O(Fq). Так как 0(H) #= 1, то CG (О (Fo)) Н. Это
показывает, что O(F(H))QM не централизует Ам, а следова-
тельно, что Ам имеет тип L2(q) в силу (3.7).
Теперь Cg(A) = Cm(A) и л/м(А) о См(А), так как Ам не-
разрешима. Так как | NG(A).’ CG(A) | = 3, то NG(A)^M.
Тогда М = О2(М) по (4.3). Далее, М = AMNM(A), и, как не-
трудно убедиться, на самом деле М = АМСМ(А). В силу (3.5)
См (А)' АМСМ(АМ), и потому Ам М' АМСМ(АМ). В конце
концов, М' = АМСМ'(АМ). Но [Af', F(Af)] = 1, ибо F(M)-
циклическая группа. Следовательно, [См' (Ам), F*(A4)] = 1,
откуда получаем, что М' s F* (Л1) = AMF (Л4). Из М*=О2(М)
делаем вывод о том, что | G: Ам | нечетно вопреки (4.3).
Доказательство утверждения (8.2) закончено.
(8.3) Предположим, что Л*. Тогда ах либо централи-
зует, либо обращает ОР(Н) для всех простых чисел р и
[Е(Н), Л]=1.
188
Д. М. Голдшмидт
Доказательство. Как отмечалось выше, [О2 (#), Л ]«= 1.
Поскольку A s Ог', 2 (Я), то [Е (Н), Л] разрешима, а тогда
[Е(И) Л] = 1. Так как H — CQ(a), можно считать, что а^а.
Поэтому достаточно показать, что если Р = Сор (И) (Л) #= 1
для некоторого нечетного простого числа р, то Р — ОР(Н).
Пусть М — максимальная подгруппа в G, содержащая Na(P),
и n = n(F(H)). Мы утверждаем, что [0я (F* (М)), а] = 1 и
что а обращает On'(F(M.)). Это очевидно при М = Н. При
М=/=Н имеем аф Р*(М) в силу (8.2). Так как М есть
S* (Л)-группа и /п(Л) = 2, то легко видеть, что Е(М)ПЛМ
разрешима. Тогда [Е (А4), а] = 1. В силу (2.5) имеем Oq (М) S Н
для всех q е л и Oq (Af) f) Н = 1 для всех q е п', что и до-
казывает наше утверждение.
Предположим, что Pj —это (я)-инвариантная р-подгруппа
группы М. Тогда [Рь а] централизует F*(Af), так что
[PI( а] = F* (М). А тогда [Рь а] = [Рь а, а] <= [F*(М), а] s
^ОЛ' (F (М)), откуда следует, что [Рь я]=1.
Далее, PX<a)sC0(ai). Пусть Q = Ор (Со (я,)). Тогда
Q=5^1, поскольку а и ai сопряжены. В силу изложенного
выше а централизует CQ(P), и, таким образом, а централи-
зует Q по лемме Томпсона. Тогда [Л, Ор(Са (aj)] = 1. Так
как а и Я! сопряжены в Я0(Л), то [Л, Ор(Я)] = 1, что и
требовалось.
(8.4) Предположим, что V — подгруппа в F (И) простого
порядка р. Тогда N0(V)^H.
Доказательство. Предположим, напротив, что М —
максимальная подгруппа в G, содержащая Na(V), и М=£Н.
Так как [а, ОР(Я)] = 1 и А1{а) либо обращает, либо центра-
лизует ОР(Н) по (8.3), то V будет Л-инвариантной. Таким
образом, М есть 5*(Л)-группа.
Мы докажем сначала, что a^F*(M). Действительно,
предположим, что это не так. В силу (2.5) мы, несомненно,
имеем а ф О2 (Af). Поэтому Л s F* (Af), Ам — компонента
группы Е (Af) и все инволюции в Л будут АЬсопряжены.
Если р = 2, то О (Са (я)) = М, а потому W — (О (Са (я)) | а е
еЛ*)^АГ. Таким образом, No (Л) s Na (IT) и (8.1) озна-
чает, что (Са (я) | а е Л*) No (W) cz G вопреки (4.4). Итак,
мы можем считать, что р нечетно. Если А/{а) обращает Ор (Я),
то группа ОР(Н) абелева, откуда получаем, что она—
Сц (я)-инвариантная р-подгруппа в М. Так как 0р(Н) =
=[Оо(Н), Л] Ам, то ОР(Н) циклическая по (3.7). Тогда
2-слияние в конечных группах 189
V = Qi(0p(/7)) и М. — Н (противоречие). Если (ОР(Н), Л] = 1,
то положим Z = Z(Op(/f)). Тогда Z есть ^(^-инвариантная
р-группа, которая централизует А. По (3.7) имеем [Z, Ам] = 1,
а тогда АМ^Н вопреки тому, что A s Or, 2 (Я). Поэтому
а ф F* (М).
В частности, а не централизует О (F (М)) (см. (3.1)). Пусть
3t = n(F(H)). Тогда (2.5) означает, что Oq(М) 1 и Oq(M)
обращается элементом а при некотором q е л'. Так как
Л — нециклическая группа, то Qo — ^oq(м> (ai) 1 Для неко-
торого а{ е Л*. Пусть Я] = Со (ai). Тогда а централизует
ЕСЯ1) и либо централизует, либо обращает Or(Hi) для всех
простых чисел г в силу (8.3). Поэтому Qo = [Qo, а] центра-
лизует Е*(Я]), откуда QoS F(Я^. Но Я и Hi сопряжены,
так что a (F\Hi)) = n, в то время как мы выбрали q^n,'.
Это противоречие завершает доказательство утвержде-
ния (8.4).
(8.5) {а) = Qi (О2 (Я)) и O(F (Я)) — нециклическая еруппа.
Доказательство. Если (О2 (Я)) =/= (а), то мы можем
найти четверную группу V s О2 (Я). Тогда Са (о) s Я для
всех v е V* по (8.4). Но [О2 (Я), Л] = 1, так что IZsC0(a1)
для всех Тогда О (Со (а^) (О (Со (аО) П С (у) | v е.
е V*) s Я. По (8.1) имеем Ca(ai)^H для всех а, е Л* во-
преки (4.4). Таким образом, (а) = £2](О2(Я)).
Далее, предположим, что группа O(F(H)) нециклическая.
Тогда [Е(СО(Л)), О(Я)] = 1. Из (8.1) получаем Е(С0(А))^Н
и, кроме того, [Е(Я), Л] —1. В результате Е (Я) = Е (Са (Л)),
и то же самое рассуждение показывает, что Е (Hi) = Е (Сс (Л))
для всех а, е 4* и (aj, так как Hi и Н сопряжены.
Из (4.4) получаем, что £(Я) = 1. Пусть ГеЗу12(Я). Тогда
TeSyl2(G) и все элементы из Л* сопряжены в NO(T). Так
z как (а) = &1 (О2(Я)), то О2(Я) Н0(Т). Предполагая, что
группа О2(Я) неабелева, получим, что Т содержит некото-
рую неабелеву нормальную подгруппу X, пересекающую О2(Я)
лишь по 1. Но тогда X' централизует £ (Я) = F* (Я) (проти-
воречие). Поэтому О2(Я) — циклическая группа. Далее, Т' цен-
трализует F(H), откуда получаем, что Т'<=О2(Н). Если
1, то (a) = Q1(7’/) вопреки тому, что (а) ^На(Т). Таким
образом, Т абелева.
Пусть NН(Т) = ТК, где Я имеет нечетный порядок. Тогда
[Г, К] централизует F (Я), так что [Г, /С] s Т П F (Я) = О2 (Я).
Поскольку О2(Н)—циклическая группа, то [Г, 7<] = [Т, К, Я]=1.
190
Д. М. Голдшмидт
Это означает, что Н имеет нормальное 2-дополнение и, в
частности, что CG (Л) имеет нормальное 2-дополнение. В ре-
зультате получаем, что NQ (А)-разрешимая группа 2-длины 1.
Пусть NG(T) = TKlf где Ki имеет нечетный порядок. Тогда
с помощью переноса из простоты пруппы G получаем, что
Т=[Т,К1]. Но [C/g (Л), Т] = 1, так как С0(А) имеет нор-
мальное 2-дополнение. Поскольку | /G : (Л) | = 3, то С^) =
— (Л) = С%} СО для всех t е Г*. Это означает, что CG(t)
имеет нормальное 2-дополнение для всех / е Г*. Пусть А —
элементарная подгруппа в Т и пг (А) = 3, как в (4.3). Тогда
О (CQ (а)) П CG (а{) s О (CG (а{)) для всех а, е А*. Из теоремы
о сигнализаторном функторе [13] *) получаем, что W —
= {О(Со(а))\а^А*} имеет нечетный порядок. Тогда Af0(A)s
sNo(W). Согласно (8.1), (Со(а) |а 6= А*) Na (IT) о: G во-
преки (4.4). Доказательство (8.5) закончено.
(8.6) Существует такое нечетное простое число р, что Р =
= Ор(Н) обращается группой А/{а} и т(Р) = 2. Кроме того,
а — единственная инволюция в СН(Р).
Доказательство. Согласно (8.5), можно выбрать/?
так, чтобы группа Р = Ор (Н) была нециклической. Пусть t —
инволюция в Н — (а); мы утверждаем, что СР (/) — цикличе-
ская группа. Если это не так, то, производя в случае необ-
ходимости сопряжение с помощью элемента из Н, можем
считать, что t CG (А). Пусть V — некоторая подгруппа
в Ср (/) типа (р, р). Тогда CG (v) Н для всех v е V* по (8.4).
Таким образом, {CG (/), CG (at)} в силу (8.1). Пусть а{ е А*
и Тогда (a,t)^Hi, так что О(Н{) = (О (Н{) Q
A Cq (х) |х е (a, t}} Н. Из (8.1) получаем Н — Нъ что не-
возможно.
В результате приходим к выводу, что а — единственная
инволюция в СН(Р). Таким образом, АКа} обращает Р
(см. (8.3)). В силу (4.3) существует такая инволюция t^ H,
что (A, t} — элементарная группа порядка 8. Пусть ах е А— (а).
Тогда ах обращает Р, и в силу проведенного выше рас-
суждения t и a^t обращают гиперплоскости в Р. Если т(Р)^3,
то существует неединичный элемент в Р, обращаемый одно-
временно инволюциями t и a{t, а потому централизуемый
элементом а^ Поэтому т(Р) = 2, как и утверждалось.
*) См. также статью Глаубермана в настоящем сборнике. — Прим. ред.
2-слияние в конечных группах . f91
Доказав утверждение (8.6), мы получили в свое распоря-
жение жесткое ограничение на структуру произвольной силов-
ской 2-подгруппы группы G. А именно, пусть A s Т <= Syl2(Н).
Заметим, что 7’eSyl2(G), так как а централен в любой
силовской 2-подгруппе группы G. Пусть Т0 = Ст(Р), где
Р — ОР(Н), как и в (8.6). Тогда То имеет 2-ранг 1 и
Т/Тй GL(2, р). Кроме того, существует элемент х (можно
считать, что он имеет нечетный порядок) в N0(T), переста-
вляющий транзитивно инволюции из А. Мы зафиксируем эти
обозначения до конца параграфа.
(8-7) Т имеет 2-ранг 3, Т' — гомоциклическая абелева
группа ранга 2 и А = 0^(2 (Г)) = Qi (Г').
Доказательство. Так как T/TQ GL (2, р), то T/TQ
имеет 2-ранг ^2, а потому Т имеет 2-ранг ^3. Согласно
(4.3), Т имеет 2-ранг 3. Предположим теперь, что Qi (Z (Г)) zd А.
Тогда Qi (Z (71)) = (Т) — элементарная группа порядка 8.
Таким образом, слияние инволюций в Т контролируется
в силу леммы Бернсайда подгруппой No (Т). Но из того, что
4<^Л/0(Г), мы легко получаем существование изолирован-
ной инволюции в Т вопреки Z*-TeopeMe из [10]. Таким обра-
зом, A = Qi(Z(T))1 а значит, Т неабелева и 4 0?'=>1. Так
как х нормализует А и Т'9 то мы получаем, что А s Т'.
Однако Т'1Т ПГ0 SL(2, р), откуда следует, что Т' имеет
2-ранг 2. Поэтому А = Й! (?')• Далее, х нормализует Т' и
переставляет ее инволюции транзитивно. В силу теоремы
Хигмэна [18] Т' — либо гомоциклическая абелева группа,
либо специальная группа порядка 64. Однако в последнем
случае Т' Г|Т0 и T'IT[\TQ обе имеют 2-ранг 1, а потому
должны быть кватернионными группами порядка 8. Но тогда
Г = (Г ATo)X(r,nTo)x = Q8XQ8 вопреки тому факту, что
QsXQe не имеет автоморфизма, транзитивного на ее инво-
люциях. (Этот результат легко следует из теоремы Крулля —
Шмидта [19, стр. 99].) Таким образом, Г'— гомоциклическая
абелева группа, как и требовалось.
(8.8) А — прямой сомножитель в Ст (I) для каждой инво-
люции t&T — А.
Доказательство. Пусть / — инволюция из Т — 4,
и положим.В = (/, А} (это элементарная группа порядка 8).
Если А^О?,2(Со(Ь)) для всех й^В*, то W a={O(Cq(o)) |ае4*)
имеет нечетный порядок по теореме (3.1) из [14]. Но тогда
Ng (4) s Ng (1Гд), откуда в силу (8.1) вытекает, что
192
Д. М. Голдшмидт
{Cg (а) \ а е Л*> cz G. Следовательно, А 3= О2', 2 (Cg (b)) Для не-
которого Положим M = CG(b). Тогда Лм/о(Лм) изо-
морфна некоторой группе вида L2(q) или С73(4).
Если появляется £73 (4), мы получаем противоречие с (8.6).
А именно, силовский 2-нормализатор в С73 (4) является рас-
щепляемым расширением специальной 2-группы порядка 64
при помощи циклической группы порядка 15 (см. (3.2)).
Таким образом, если R — силовская 2-подгруппа в Ам, со-
держащая Л, то она будет специальной группой порядка 64,
нормализуемой некоторым элементом у нечетного порядка,
который централизует Л и индуцирует автоморфизм по-
рядка 5 на R. Далее, группа R (у) X (Ь) содержится в Н
и действует на Р = Ор(Н\ где подгруппа Р такая же,
как в (8.6). Ядро этого действия содержит единственную
инволюцию, а именно а\ следовательно, это ядро должно
быть равно (а), так как у действует неприводимо на 7?/Л.
Однако имеет 2-ранг ^3 и, следовательно,
не может действовать точно на Р. _
Поэтому АМ/О(АМ) L2(q). Пусть М = М/О(М) и S —си-
ловская 2-подгруппа в М, содержащая Ст (ft). Тогда [S, Л] = 1,
так как Л центральна в любой 2-группе, содержащей ее,
так что S нормализует Лм и централизует Л. По (3.5) имеем
S ЛмС^у (Лм). Так как Л е Sy 12 (Лм), мы убеждаемся,
что Л —прямой сомножитель в 3 и потому Л —прямой со-
множитель в Ст (ft). Наша первоначальная инволюция t имеет
вид Ьщ при некотором ^еЛ, так что CT(t) = CT(b), и дока-
зательство окончено.
Мы подошли наконец к заключительному противоречию.
(8.9) Группы G не существует.
Доказательство. Так как Л —прямой сомножитель
в Ст (0 для каждой инволюции / е Т - Л и А = 0^(2 (Т)),
мы делаем вывод, что Л = Z (Г).
Случай I. Т' = Л. Тогда класс нильпотентности группы Т
равен 2 и Т/А элементарна в силу (2.7). Пусть t — инволюция
в Т — Л. Имеем CT(t)' Л, откуда получаем, что CT(t)' =1
в силу (8.8). Так как t не является квадратом в Т и Т имеет
2-ранг 3, то СГ(/) = (Л, /). Положим В = (Л, t). Тогда B<jT
и СТ(В) = В. Группа Т/В действует точно на В и централи-
зует некоторое 2-мерное подпространство. Таким образом,
|Г/В|^4, а потому т(Т/Л)^3. У нас имеется элемент
x^NG(T) нечетного порядка, действующий транзитивно
на Л*. Следовательно, 3||(х)|, а так как т(Г/Л)^3, мы
2-слияние в конечных группах
193
легко получаем, что [х3, Г] = 1. Пусть Г1 = [х, 7]. Тогда
А = Т cz Т\ и, значит, |7’1|=16. Будучи (х)-инвариантной
подгруппой в Л, Т\ совпадает с А или равна 1. Однако
первый случай означает, что Тх имеет 2-образующие; это
превращало бы Т[ в циклическую группу. Поэтому Т[=1.
Группа 1\ не может быть элементарной, так как Т имеет
2-ранг 3. Таким образом, Тх = Z4X Z4, поскольку она до-
пускает автоморфизм без неподвижных точек порядка 3.
Тогда максимальна в Т и не содержит G-сопряженных
с t элементов, что очевидным образом противоречит ра-
венству G=O2(G).
Случай IL Т' zd Л. Пусть Тп__х — предпоследний член ниж-
него центрального ряда для Т. Тогда Тп_{ является (^-ин-
вариантной подгруппой в Г', откуда получаем, что Тп__х —
гомоциклическая группа экспоненты не меньше 4 в силу (8.7).
Пусть Тх = СТ (Тп_х). Тогда лемма о трех подгруппах при-
водит к тому, что Тх содержит предпоследний член Zn_x
верхнего центрального ряда, а потому Т/Т{ — элементарная
абелева группа в силу (2.7). Кроме того, Qi (Тх) = А по
(8.8), Тх (х)-инвариантна и Z (Тх) ^Тп_х имеет экспоненту -
не меньше 4. Из теоремы Хигмэна [18] получаем, что Тх —
гомоциклическая абелева группа. Так как Cr(Ti) = Ti и
[х3, Tj] = l, то [х3, Т]=1 в силу леммы о трех подгруппах.
Пусть 7,2 = [7,, х] 3 Тх. Тогда х действует без неподвижных
точек на T2jTb так как группа Т2/Тх абелева. Элемент х дей-
ствует без неподвижных точек также на Тх; это означает,
что Т — расщепляемое расширение, Т = Т2Ст(х) и что Т2
пускает автоморфизм без неподвижных точек порядка 3.
В силу [22] Т2 имеет класс нильпотентности ^2, а так как
группа Сг(х) абелева, в то время как Т имеет 2-ранг 3, то
|Сг(х)|^2. Поскольку мы предположили, что Т имеет класс
нильпотентности ^>3, то |Сг(х)| = 2. Так как G = O2(G),
подгруппа Сг(х) должна быть G-сопряженной с некоторой
подгруппой группы Т2, Таким образом, вТ2 — Тх существуют
инволюции. Из Z(T2)^TX вытекает, что Z(T2) = A в силу
(8.8). Следовательно, Т2/А элементарна по (2.7). Так как х
действует без неподвижных точек на Г2/Л, сразу же полу-
чаем, что любые 3 класса смежности, составляющие (х)-ор-
биту, должны образовывать четверную группу в Т/А, ибо
в противном случае их произведение было бы нетривиальной
неподвижной точкой. Пусть t — инволюция из Т2 — А. Тогда
классы смежности Л/, Atxt Atx* состоят полностью из инво-
люций. Поскольку ttx Atx\ то ttx — инволюция, а потому
[/, /*]=1. Это означает, что (/, tx) А — элементарная группа
порядка 16 вопреки тому факту, что Т имеет 2-ранг 3.
194
Д. М. Голдшмидт
9. СЛЕДСТВИЯ
В этом параграфе будет получено несколько следствий
теоремы А. Предположим, что А^Т eSyl2(G) и подгруппа А
абелева. Способ получения следствий теоремы А — нахожде-
ние достаточных условий на подгруппу А, при которых она
будет сильно замкнутой в Т относительно G. Одно очевидное
условие состоит в том, что A = Q1(71). Таким образом, полу-
чаем
Следствие 1. Пусть G — конечная группа, PeSyl2(G)
и Qi(T) абелева. Тогда G будет S*(Qi(T))-epynnou.
Следующее наше приложение — это обобщение одного
результата из [24]. При этом будет полезным следующее
утверждение, которое имеет и некоторый самостоятельный
интерес. Определение слабой замкнутости дано в [15, стр. 255],
(9.1) Пусть G —конечная группа, PeSyL(G) для некото-
рого простого числа р, Z Z(P), А — слабое замыкание Z
в Р относительно G и А абелева. Если X и Y суть G-сопря-
женные подмножества в Р, то существуют такие элементы
ёъ •••> gn^G, что
(1) gi^CG(Z)\]NQ(A) (\<Л^пу,
(2) xS'Si"'SisP
(3)
Доказательство. Этот результат получается построе-
нием сопряженного семейства в смысле Алперина [1]. Так
как этот тип рассуждения совершенно стандартен и элемен-
тарен, мы опускаем некоторые детали. Определим семей-
ство ST как множество всех пар (Н,Т), где Н = Р (]Q — обычное
силовское пересечение для некоторой подгруппы Q е Sylp (G) и
(а) Т = CQ (И), если СР (Н) ф Н\
(b) T = CNqW(zNgW\ если CNpW(zNQW)^Hn не при-
меним п. (а);
(с) Т = Ng (Я), если не применимы ни п. (а), ни п. (Ь).
Заметим, что если п. (а) не применим, то, в частности,
Z sZ (Р) Z (Н), откуда следует, что Z — нормальная
абелева р-подгруппа в NG(H). Учитывая это замечание,
легко проверить, что — сопряженное семейство.
Для завершения доказательства отметим, что в случае (а)
Т ничего не меняет в слиянии, а в случае (b) Т sC0(Z),
Поэтому достаточно показать, что в случае (с) Т s CG (А).
I
t 2-слияние в конечных группах 195
' Пусть At = А (] NP (Н) =Na (Н). Так как ZNeW<=H<=P,
то Z лежит в слабом замыкании Z и Р, а оно совпа-
: дает с А. Тогда [ль Z g( )]=1, поскольку А абелева. Так
г как предполагается, что п. (Ь) не применим, то А{ Н. Но
£ АН — группа, поскольку A Р; кроме того, А ЁЁ Н означает,
t что HNa(H) = Nah(H)zj Н, а это на самом деле не так.
Поэтому А Н, откуда следует, что А NG (//), так как А
слабо замкнута в Р относительно G.
Следствие 2. Пусть G — конечная группа, TeSyl2(G),
Z Z (Г), А — слабое замыкание Z в Т относительно G, яв-
* ляющееся абелевой группой. Кроме того, предположим, что
выполняется одно из следующих условий'.
1 (а) А сильно замкнута в Т относительно CG(Z);
; (b) A<=O2't2(CG(Z)).
Тогда G будет S* (А)-группой.
f Доказательство. В случае (Ь) слабая замкнутость
1 подгруппы А в Т, как нетрудно убедиться, означает, что
АО (CG (Z)) CG (Z), откуда следует, что выполняется усло-
й- вие (а). Но при выполнении условия (а) из (9.1) следует,
J что А сильно замкнута в Т относительно G, откуда полу-
; чаем, что G есть S* (А)-группа в силу теоремы А.
Следствие 3. Предположим, что G — конечная группа,
Т е Syl2 (G), Z Z (Т), W — слабое замыкание Z в CG (Z)
; относительно G и W/О (W) — абелева группа. Тогда G будет
S*-группой.
? Доказательство. Так как W порождается своими
и абелевыми 2-подгруппами, то W/O (W) есть 2-группа. Тогда,
f как нетрудно убедиться, W = (Т П W) О (W), Т [\W — слабое
замыкание подгруппы Z в Т относительно G и Т П W —• абе-
лева группа. Так как IF^Cg(Z), то Т П W O2',2(W), так
что G является S* (Т П WO-группой, согласно следствию 2.
t Пусть А — некоторая подгруппа в G. Обозначение В А
F °
* (соответственно t^A^ означает, что подгруппа В (соответ-
• ственно элемент t) из G является G-сопряженной с некото-
1' рой подгруппой (соответственно с элементом) из А. В остав-
? шейся части параграфа мы рассматриваем следующую ситу-
ацию:
Условие (9.2).
(1) Т — силовская 2-подгруппа конечной группы G.
i (2) W — слабо замкнутая подгруппа в Т (относительно G)
I
£ .
196
Д. М. Голдшмидт
(3) А — абелева нормальная подгруппа в NG (W) и A S
^СГ(Г).
(4)^={В<=Т|ВеА, В&А}.
(5) г = шах {ш (В/Св (W)) | В (= Я-
В качестве А можно взять некоторую характеристическую
подгруппу группы Z (W).
(9.3) Пусть выполняется условие (9.2). Предположим, что
В<=Т и В<=А. Тогда
G
(1) Св(Ю = ВПЛ;
(2) существует такой элемент g^G, что B8sA и NT(B)8 ^Т.
Доказательство. Предположив, что В1^Сг(1Г) и
В^А, мы утверждаем, что тогда В1 s А. Действительно,
° г-1
Bf* Е А для некоторого gi е G. Тогда U7®1 и W обе центра-
лизуют Bi, так что {w, №S1 ’с) есть 2-группа для некото-
рого с е CG (Bi). Далее, слабая замкнутость подгруппы W
означает, что W — W8i с. Поэтому А§1 с = А, ибо А NG (F);
в результате получаем, что В^А. Это доказывает (1). Для
доказательства (2) предположим, что Ar(B)^7,1^Syl2(?/G(B)).
В силу наложенных условий CG (В) содержит некоторую
G-сопряженную с W подгруппу. Поэтому СтДВ) содержит
некоторую G-сопряженную с W подгруппу; назовем ее
По теореме Силова Т8 ^Т при некотором g е G, откуда
следует, что I7f=IF. В частности, В8 централизует W. Сог-
ласно проведенному выше рассуждению, В8 А,
Следствие 4. Пусть выполняется условие (9.2). Тогда
либо G является S* (О^(А))-группой, либо выполняются следую-
щие условия:
(1) существует такая подгруппа что пг(В) + г^/и(А);
(2) если t — инволюция из Т, такая, что t A, mo tn ([А, /])
G
<12г, причем если, кроме того, BICB(W) — элементарная груп-
па для всех В^&, удовлетворяющих (1), то /и([А,/])^г.
Доказательство. В силу теоремы А мы можем
считать, что подгруппа Qj(A) не является сильно замкнутой
в Т относительно G. Пусть / — инволюция в Т — А и /еА.
Среди всех g^G, таких, что t8 А, выберем g так, чтобы
|Af)Ag-1| было максимальным. Положим В^АГМ*”1,
В2 = Л/д((В1, /)) и заметим, что В2^> В{. Так как (Bb f)8 А,
то существует такой элемент g{ е G, что (Bb t)8i А и
2-слияние в конечных группах
197
В§' в силу (9.3). Тогда В\ а А П ASl , так что В\ = А П А81
в силу максимальности Bt. Изменив обозначения, можем
считать, что В® s Г. Имеем В® — Ае П А э В® Г) А э В®, откуда
следует, что В® = В®ПЛ. Согласно (9.3), Bi=CBg(W). По-
скольку В2 => Вь то В® А, так что В® s 9.
Заметим, что /п(Вг/В1) ==/п (В®/В®) ^г. Пусть В = Сд(/). -
Так как [В®, i®] = 1, то В2 Э В э Вь Пусть С = {х е А | [х,
/] е В). Тогда С а В2, ибо В2 = {х е А | [х, е BJ. Поскольку
t — инволюция, она обращает [Л, /] (конечно, А Т по пред-
положению). Отсюда следует, что В ПИ, /] = ([Л, /]). Пусть
Во = й1([Л, /]). Тогда коммутирование с помощью t индуци-
рует изоморфизм из С/В на Во. Отсюда получаем, что
m (С/В) = пг (Во) = пг ([ А, /])
и
m (С/В2) = m (Bo/Bq fl BJ.
Так как
откуда
Далее,
(*)
Во а В, то В0/В0ПВ1^ В/Вь
пг (С/В2) пг (В/В/).
m ([Л, /]) = m (С/В) = пг (BJB) + m (C/B2)
^m(B2/B) + m(B/Bl).
Поскольку m(B2/B/)^.r, то т([Л,/])^2г. Кроме того,
как нетрудно убедиться, С a Q, (Л). Отсюда следует, что
пг (Л) = m (С) m (В2) + пг (С/В2)
< m (В2) + m (B/Bi)
< m (В2) + г.
Таким образом, В® е 9 и пг (В2) + г пг (Л). Если
Bf/CKlT) — элементарная группа, то B2/Bi элементарна и
из (*) вытекает, что /п([Л, /])<>, как и требовалось.
Замечание. Если А удовлетворяет условию (9.2), то ему
удовлетворяет и Qi (Д). Заменяя А на Qi (Д) в проведенном
выше рассуждении, приходим к выводу, что все элементы
из ^ — элементарные группы, а потому в силу следствия 4
Это следствие имеет смысл в случае, когда
fn(T/CT(W)) мало по сравнению с ш(Д), так как г всегда не
превосходит tn(T/CT(W)).
198
Д. М. Голдшмидт
Следствие 5. Пусть Т — силовская 2-подгруппа простой
группы G, содержащая абелеву подгруппу А индекса 2. Тогда
коммутант Т' — циклическая группа.
Доказательство. Непосредственная проверка показы-
вает, что G не является S* (Qi (Д))-группой. Пусть t — инво-
люция в ТА с t <= А. Тогда Т' = [Д, /]. Если А не слабо
G
замкнута в Т относительно G, то Т будет произведением
двух абелевых подгрупп индекса 2. Это означает, что
| А : СА (/) | ^2, • а потому | [Д,| 2. Итак, можно считать,
что А слабо замкнута в Т относительно G.
Далее, условие (9.2) выполняется при A = W и мы име-
ем г=1. По следствию 4 пг([А, /])^1. Так как [Д, /] абе-
лева, наше следствие доказано.
Следствие 6. Предположим, что сплетение Т —силов-
ская 2-подгруппа простой группы G и Qi (То) — абелева группа.
Тогда выполняется одно из следующих условий*,
(а) То — циклическая группа и |Ti| = 2;
(b) |То| = 2 и T^Z2\Z2,
Доказательство. Пусть Т Sy 12 (G). Тогда Г — полу-
прямое произведение ВТЬ где В —прямое произведение ITJ
экземпляров То, регулярно переставляемых подгруппой Ту
Пусть Д = Й1(В), | Тх | = 2“ и ао = /п(То). Тогда А — абелева
группа и пг(А) = а^2п.
Предположим, что Se? и SHB=1. Тогда S полурегу-
лярно переставляет множество прямых множителей группы В;
это означает, что А — свободный S-модуль. Поэтому
(*) m(A) = \S\m(CA(S)).
Предположим, что подгруппа А не является замкнутой
в Т относительно G. Тогда существует такая элементарная
абелева подгруппа А{ Т, что m(A^ = m(A) и А^В, Пусть
Д1 = S X (Д1 П В). Заметим, что Л1ПВ = Л1АЛ. Так как
[S, АПД] = 1, по (*)
m (СА (S)) > m (A n А) > гп (Л) - m (S) = | S | m (СА (S)) - m(S).
Отсюда следует, что m (S) (СА (S)) (| S | — 1). Это означает,
что m (S) = 1 = m (СА (S)), откуда получаем т(Д) = 2, согла-
сно (*). Значит, а0 = Аг=1.
Предположим, что А слабо замкнута в Т относительно G.
Непосредственно проверяем, что G — не S* (Д)-группа. Приме-
ним следствие 4 с W = А. В этом случае г m (Tj) п, так что
существует инволюция t е Т — Д, такая, что ги([Д, t\}^n. Но
t действует свободно на Д, так что ги([Д, /]) = (1/2) т(А). Это
означает, что aQ2n''1^n1 откуда следует, что п^2 и либо
(а) п = 2, а0=1, т(Т1) = 2, либо (Ь) п=1, а0=1.
2-слияние в конечных группах 199
В любом случае То — циклическая группа или обобщенная
кватернионная группа и Т\ равна Z2 или Z2 X Z2. Предполо-
жим, что TQ — обобщенная кватернионная группа. Мы утвер-
ждаем, что В слабо замкнута в Т относительно G. В противном
случае | Т : В | = 2, согласно предыдущему; как нетрудно убе-
диться, это означает, что существует / е NG (Г), такой, что
Вх ф В. Но Qi (В) s Т's В откуда получаем, что В — Ст (Q! (Г'))
характеристична в Т (противоречие). Следовательно, В слабо
замкнута в Т относительно G. Группа В является прямым
произведением кватернионных групп Qi X Q2 X •. • X Qr (где
г = 2 или 4). Согласно теореме Крулля — Шмидта [19, стр. 66],
коммутанты Q[, ..., Q'r определены однозначно (относительно
любого разложения В в прямое произведение) и перестав- -
ляются подгруппой Ng(B). Пусть Q1(Q/) = (z/) (1 ^Z^r).
Тогда z. eQ- 'и zt переставляются подгруппой NQ(B). Как
теперь нетрудно убедиться, Z (?) = (z) = {z{z2 ... zr)^NQ (В).
Согласно 2*-теореме [10], Z (Г) не будет сильно замкнутой
в Т относительно G. Применяя (9.3) с B = W и Z(T) = A,
> получаем сначала, что Z (Г) сильно замкнута в В относи-
тельно G, а затем, что существуют такие инволюции t^T — В
и элемент g е О, что {t8} = Z (Г) и CQ (t)8 s Т. Однако, совер-
шенно очевидно, что Z (Г) £ CQ (t)'. Тогда Z (T)g Г с в,
откуда получаем, что Z (Т)8 = Z (Г). Это противоречие пока-
зывает, что То — циклическая группа.
Предположим, что Т{ Z2 \ Z2. Тогда А слабо замкнута
в Т относительно G в силу изложенного выше. Так как
В = СГ(А), то В тоже слабо замкнута. Поскольку С —не
S*(A)-rpynna, в чем мы убеждаемся непосредственно, то
существует инволюция t ^Т — В, такая, что t8 е А для неко-
торого geG.B силу (9.3) можем считать, что CB(/)g£?.
Предположим, что | То |>4. Тогда X£^(B) и Сл(/)^
Это означает, что СА (t)8 S Ф (Г) S В, а потому
СА (t)8 А. Далее, </, СА (t)}8 s А, но </, СА (/)) А. В силу
(9.3) можем считать, что А8 Г, откуда получаем А8 = А.
Ясно, что этого не может быть, так что | TQ | = 2 при Т\
Z2 X Z2. Доказательство завершено.
Замечание. Случай (а) следствия 6 реализуется в В3(#),
4?= 1 (mod 4). Случай (Ь) реализуется в А8.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
. [1] Alperin J., Sylow intersection and fusion, J. Algebra, 6 (1967), 222—
/ [2] Alperin J., Brauer R., Gorenstein D., Finite groups with quasi-dihedral
and wreathed Sylow 2-subgroups, Trans. Amer, Math. Soc., 151 (1970)»
200
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[Ю]
[П]
[12]
[13]
[14]
17
:i8'
19'
'20'
[21]
[22]
[23]
[24]
[и]
[27]
[28]
[29]
[30]
а
Д. М. Голдшмидт
Alperin J., Gorenstein D., The multiplicators of certain simple groups,
Proc. Amer. Math. Soc., 17 (1966), 515—519.
Aschbacher M., A condition for the existence of a strongly embedded
subgroup, Proc. Amer. Math. Soc., 38 (1973), 509—511.
Bender H., Transitive Gruppen gerader Ordnung, in denen jede Involu-
tion genau einen Punkt festlast, J. Algebra, 17 (1971), 527—554.
Bender H., On groups with abelian Sylow 2-subgroups, Math. Zeitschr.,
117 (1970), 164—176.
Collins M., The characterization of the Suzuki groups by their Sylow
2-subgroups, Math. Zeitschr., 123 (1971), 32—48.
Collins M., The characterization of the unitary groups (73(2n) by their
Sylow 2-subgroups, Bull. Lond. Math. Soc., 4, Ks 1 (1972), 49—53,
Feit W., Thompson J. G., Solvability of groups of odd order, Pacific
J. Math., 13 (1963), 775—1029.
Glauberman G., Central elements in core-free groups, J. Algebra, 4
(1966), 403—420.
Glauberman G., A sufficient condition for p-stability, Proc. Lond.
Math. Soc., 25, № 2 (1972), 253—287.
Goldschmidt D., Solvable signalizer functors on finite groups. J. Al- ;
gebra 21 (1972), 137—148. (См. также стр. 98—111 настоящего сбор-
ника.)
Goldschmidt D., 2-signalizer functors on finite groups, J. Algebra, 21
(1972), 321—340.
Goldschmidt D., Weakly embedded 2-local subgroups of finite groups,
J. Algebra, 21 (1972), 341—351.
Gorenstein D., Finite groups, Harper and Row, New York, 1968.
Gorenstein D., Walter J., The characterization of finite groups with
dihedral Sylow 2-subgroups. I, J. Algebra, 2 (1965), 85—151.
Griess R., Ph. D. Thesis, University of Chicago, 1971.
Higman G., Suzuki 2-groups, III, J. Math., 7 (1963), 79—96.
Huppert B., Endliche Gruppen, I, Springer-Verlag, Berlin, 1967.
Janko Z., A new finite simple group with abelian 2-Sylow subgroups
and its characterization, J. Algebra, 3 (1966), 147—187.
Janko Z., Thompson J. G., On a class of finite simple groups of Ree, 1
J. Algebra, 4 (1966), 274—292.
Neumann B., Groups with automorphisms that leave only the neutral
element fixed, Arch. Math., 7 (1956), 1—5.
Ree R., A family of simple groups associated with the simple Lie al- :
gebra of type (G2), Amer. J. Math., 83 (1961), 432—462.
Shult E., On the fusion in 2-Sylow intersections, Finite groups 72 (Proc. j
Gainesville Conf., Univ. Florida, Gainesville, 1972) North-Holland Math.
Studies, v. 7, North-Holland, Amsterdam, 1973, 131—137.
Steinberg R., Lectures on Chevalley groups, Lecture notes, Yale Univ., 1968.
Suzuki M., A new type of simple groups of finite order, Proc. Nat.
Acad. Sci., 46 (1960), 868—870.
Suzuki M., Finite groups of even order in which Sylow 2-subgroups are
independent, Ann. of Math., 80 (1964), 58—77. J
Walter J., Finite groups with abelian Sylow 2-subgroups of order 8, In- j
ventiones Math., 2 (1967), 332—376. 1
Walter J., The characterization of finite groups with abelian Sylow
2-subgroups, Ann. of Math., 89 (1969), 405—514. 1
Ward H., On Ree’s series of simple groups, Trans. Amer. Math. Soc., i
121 (1966), 62—89.
i
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие..............................5
Т. М. Гаген. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ
КОНЕЧНЫХ ГРУПП..........................13
Д. М. Голдшмидт. РАЗРЕШИМЫЕ СИГНАЛИ-
ЗАТОРНЫЕ ФУНКТОРЫ НА КО-
НЕЧНЫХ ГРУППАХ..........................98
Дж. Глауберман. О РАЗРЕШИМЫХ СИГНА-
ЛИЗАТОРНЫХ ФУНКТОРАХ НА
КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ.......................112
Д. М. Голдшмидт. 2-СЛИЯНИЕ В КОНЕЧНЫХ
ГРУППАХ................................144