П. Ю. ГЕРМАНОВИЧ
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ НА СООБРАЗИТЕЛЬНОСТЬ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР Москва 1960


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Раздел I. Задачи-шутки и вопросы на сообразительность для устного решения 6
Пояснения 11
Раздел II. Простейшие логические и комбинаторные
задачи для устного решения 14
Решения 23
Раздел III. Вопросы и «маленькие» задачи по арифме¬
тике для устного и полу письменного решения 36
Решения 47
Раздел IV. Числовые загадки (математические ребусы)
для устного и полуписьмеиного решения 66
Решения 71
Раздел V. Арифметические задачи «на сообразитель¬
ность» (для решения без составления уравнений) 82
Решения 88
Раздел VI. Вопросы и «маленькие» задачи по алгебре
для устного и полуписьмеиного решения 99
Решения 104
Раздел VII. Вопросы и «маленькие» задачи по геометрии
для устного и полуписьмеиного решения .112
Решения 117
Раздел VIII. Задачи логического и комбинаторного характера 127
Решения 139
Раздел IX. Числовые загадки (математические ребусы)
повышенной трудности 172
Решения 179
Раздел X. Вопросы и упражнения для углубления
понимания логических элементов математики 204
Решения 211
Ответы .219
Понтелвймон. Юльевич Германович • • Сборник задач по математике
на сообразительность
Редактор Н. И. Лепёшкина Обложка художника С. А. Смирновой Художественный редактор П. В. Любарский Технический редактор М. И. Смирнова Корректоры В. Г. Соловьева и М. В. Голубева
Сдано в набор 31/V 1960 г. Подписано к печати 6/XII 1960 г. 84Х108'/з2. Печ. л. 14 (11,48). Уч.-изд. л. 10,45. Тираж 66 гыс. экз. А12133.
Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи. 41.
П о л и г р а ф ко м б и н а т Саратовского совнархоза, г. Саратов, ул. Чернышевского, ь9., Цена без переплёта 2 р. 80 к., переплёт 80 коп. Заказ № lbbo.


ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник задач содержит свыше 600 задач для внеклассной работы в школе*. Характер книги определяется наличием в ней большого числа так называемых логических и комбинаторных задач, своеобразных «числовых загадок» (математических ребусов), разного рода «некнижных» вопросов и нестандартных арифметических задач. Задачам такого рода присущ тот «интригующий момент», который неизменно вызывает у пытливого ученика повышенный интерес и возбуждает желание попробовать свои силы в решении их. Все задачи в той или иной мере заставят ученика проявить догадку, математическое остроумие, упорство в поисках непроторенных путей решения, приучат к сосредоточенному размышлению. В этом смысле книга и названа «Сборником задач на сообразительность».
Книга состоит из 10 разделов. Они различаются между собой содержанием, определяющим специфику раздела, и классами, на которые ориентирован предлагаемый материал. Каждый раздел снабжён кратким предисловием, содержащим методические указания о назначении и возможном использовании материала; в конце раздела приведены решения задач. Задачи сборника рассчитаны на объём знаний, соответствующих программе восьмилетней школы.
Как было указано, основное назначение сборника — внеклассные занятия. Разнообразие форм внеклассной работы определяет и разнообразие использования материала сборника. Наиболее трудные задачи целесообразно решать в математическом кружке, причём рекомендуемой
* Часть задач из III, VI и VII разделов книги может быть использована также и в классной работе.
3


формой работы над трудной задачей будет включение её в домашнее задание (иногда с предварительным инструктажем) с последующим тщательным разбором решения на кружковом занятии.
- Более лёгкие задачи, допускающие устное решение, и не использованные в классе «математические миниатюры» могут войти в состав математических викторин. Подобрав циклы устных упражнений применительно к предполагаемой аудитории, их можно будет поставить на математическом вечере, поместить в математическом бюллетене и, наконец, время от времени в некоторых случаях проводить викторину и в обстановке обычного кружкового занятия, что внесёт в работу кружка разнообразие.
Интересная задача в условиях кружковой работы привлечёт внимание учащихся к некоторым вопросам теории, связанным с заинтересовавшей их задачей. В первую очередь это относится к основной тематике сборника — арифметике; в связи с решением задач на кружке могут быть рассмотрены отдельные внепрограммные положения курса арифметики. Например, следует более широко осветить вопрос о делимости чисел, ввести понятие о наибольшем общем делителе, рассказать о различных системах счисления и т. д. А такие задачи, как, например, № 44 из II раздела и № 63 из VIII раздела, дадут повод в простой и доступной форме познакомить учащихся с.понятием вероятности. Думается, что вообще руководителю кружка не следует упускать любую возникающую в процессе работы возможность связать интересную задачу с той теоретической проблемой, которая лежит в основе задачи и является ключом к решению её.
Из 630 задач сборника около 300 задач взяты автором из его книг: «Вопросы и задачи на соображение» (изданных в 1956 г. и 1957 г.) и около 25 задач из книги «Математические викторины». Кроме того, в сборник включены:
1) 	около 100 специальных комбинаторных задач типа «числовые загадки» на расшифровку «засекреченных» чисел (примерно на 90% это будут впервые появляющиеся в печати новые задачи) и 2) около 100, также печатающихся впервые, свежих задач разного содержания (логического и комбинаторного характера, на свойства чисел и др.). Наконец, около 100 задач заимствовано из разных источников Среди них несколько известных старинных за^дач и задачи из различных старых и современных книг, сборников и жур-
4


налов, в том числе и зарубежных*. Условия некоторых из них существенно изменены, а для многих заимствованных задач предлагается новое, более доходчивое решение.
*В основном иснользовапы журналы: «Математическое просвещение», «Математика в школе», брошюры и списки с задачами, предлагавшимися на олимпиадах. Кроме того, по 3—4 задачи взяты из книг: И. Я. Депман «Рассказы о решении задач», Б. А. Кордемский «Математическая смекалка», Е. И. Игнатьев «В царстве смекалки». В VII разделе несколько вопросов заимствовано из книги Г. Гурвича и Л. Тутаева «Устные вопросы по геометрии».


РАЗДЕЛ J
ЗАДАЧИ ШУТКИ И ВОПРОСЫ НА СООБРАЗИТЕЛЬНОСТЬ ДЛЯ УСТНОГО РЕШЕНИЯ
(Материал для кружка занимательной математики V класса.)
Материал этого раздела не может полностью обслужить все потребности и все возможные виды работы в кружке занимательной математики V класса. Назначение его более скромное: дать для первых занятий кружка яркий, занимательный материал, чтобы возбудить интерес маленьких математиков к внеклассным занятиям.
Первые 14 «коварных» задач-шуток приучают внимательно вслушиваться в условия задач и критически относиться к сразу возникающему у неопытного ученика, обычно неверному, ответу Чередуясь с другими, математически более содержательными задачами, требующими размышлений и некоторого умственного напряжения, они могут оказаться полезными и для «передышки» перед новым, более серьёзным видом работы кружка.
Остальные задачи этого раздела иного характера. Здесь будут уже не только весёлые загадки-шутки, но и такие занимательные по форме маленькие задачи, которые привлекут внимание учеников к некоторым свойствам чисел и арифметических действий, разовьют их комбинаторные способности и математическое воображение Эти задачи, будучи лишь более доступными, по характеру своему тесно примыкают к задачам II, III и IV разделов Поэтому наиболее лёгкие задачи из этих разделов также могут быть включены в работу кружка занимательной математики V класса наряду с задачами I раздела.
6


1. На дереве сидело 10 птиц. Охотник выстрелил и подстрелил одну птицу. Сколько птиц осталось на дереве?
2. Два отца и два сына пошли гулять и купили 3 апельсина. Каждый из них получил по апельсину. Как это могло случиться?
3. Как из трёх спичек, не ломая их, образовать четыре?
4. Что тяжелее: тонна пуха или тонна железа?
5. Яйцо всмятку варится 3 минуты. Сколько времени потребуется, чтобы сварить 5 яиц?
6. Во сколько раз лестница на шестой этаж дома длиннее лестницы на второй этаж этого же дома?
7. Какой знак надо поставить между двумя двойками чтобы получить число, большее двух, но меньшее трех?
8. В шахматном турнире с тремя участниками всего было сыграно шесть партий. Сколько партий сыграл каждый участник турнира?
9. Одного человека спросили, сколько у него детей. Ответ был замысловатый: «У меня 6 сыновей, а у каждого сына есть родная сестра». Сколько детей в этой семье?
10. Из двух станций навстречу друг другу одновременно вышли два поезда: скорый и товарный. Скорость первого поезда — 80 км в час, второго — 40 км в час. Через 6 часов после своего выхода скорый поезд встретился с товарным, Сколько времени до момента встречи шёл товарный поезд?
11. 10 насосов за 10 минут выкачивают 10 тонн воды. За сколько минут 25 насосов выкачают 25 тонн воды?
Три старинные русские задачи-шутки:
12. Двое пошли — 5 гвоздей нашли.
Четверо пойдут — много ли найдут?
13. Летели утки: одна впереди и две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя и три в ряд Посчитай, сколько всего летело уток?
14. Раздели полтину на половину. (Полтина, полтинник — монета в 50 копеек.)
15. Из трёх одинаковых по виду колец одно несколько легче других. Как найти его одним взвешиванием на чашечных весах?
16. С помощью спичек написано:
VI — IV = IX
Переложив только одну спичку получите правильное равенство. (Задача имеет 2 решения; найдите оба).
7


17. Книга в переплёте стоит 1 руб. 60 коп.; переплёт на 1 рубль дешевле самой книги. Сколько стоит книга без переплёта?
18. Я иду от дома до школы 30 минут, а мой брат — 40 минут. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дому на 5 минут раньше меня?
19. Пуговица весит полтора грамма. Сколько тонн весит миллион таких пуговиц?
20 За книгу заплатили 4 руб. 50 коп. и ещё половину стоимости книги. Сколько стоит книга?
21. Сколько получится десятков, если два десятка умножить на три десятка?
22. Сколько будет полторы трети от 100?
23. Найти уменьшаемое в вычитании:
*0**
3906
3124
(звёздочки заменяют неизвестные цифры).
24. Найти уменьшаемое и вычитаемое в вычитании:
* * * * * * * |
25. Найти слагаемые в сложении:
* * _|_ * * __ * ду
26. Выписаны подряд все числа от 1 до 99. Сколько раз в этой записи встретится цифра 5?
27. Использовав шесть раз цифру 1 и знаки, применя- емые в арифметике, составить число 100.
28. Использовав пять раз цифру 1 и знаки, применяемые в арифметике, составить число 100.
29. Между цифрами 1 2 3 4 5 6, не меняя их порядка, расставьте знаки + и — так, чтобы получилась единица
30. Потребовалось из ящика с чаем, содержащего 1 кг 100 г чаю, отсыпать 1 кг чаю. Как это сделать с помощью чашечных весов, если гирь нет, но имеются два пакета: один весом в 300 г, а другой весом в 650 г?
31. Имеются два сосуда вместимостью в 3 л и 5 л. Как с помощью таких сосудов налить из водопроводного . крана 4 л?
32. 10 пар чёрных и 10 пар коричневых перчаток одного и того же размера были разрознены и вперемешку по¬
8


ложены в коробку. Какое наименьшее количество перчаток, не рассматривая их, надо вынуть из коробки, чтобы быть уверенным, что среди них есть хотя бы одна пара?
33. На берегу реки стоят трое взрослых и два мальчика. У них есть лодка, вмещающая лишь одного взрослого или двух мальчиков. Как всем пятерым переправиться на другой берег?
34. Хотят поскорее поджарить 3 ломтика булки. На сковороде умещаются лишь 2 ломтика, причём на поджаривание одной стороны ломтика затрачивается одна .минута. За какое наименьшее число минут можно поджарить с обеих сторон все три ломтика?
35. Пришли ко мне два друга. Оба отличные шахматисты. С каждым из них я сыграл по одной партии и обе проиграл. В комнату вошла моя десятилетняя дочь, она приветствовала нас и сказала: «Папочка, если позволишь, я берусь сыграть успешнее тебя. Я буду играть одновременно на двух досках: на одной — белыми, на другой — чёрными». К моему восторгу, смешанному с досадой, она действительно сыграла с лучшим результатом, чем я. (Кстати, дочь лишь недавно узнала правила движения фигур.) Как объяснить такой успех девочки?
36. Два числа перемножили — получили 24. Затем большее из этих чисел разделили на меньшее — опять получили 24. Что это за числа?
37. Может ли сумма двух чисел равняться их разности?
38. Найти дробь с возможно меньшим знаменателем,
7 8
которая была бы больше но меньше —.
15 15
39. Сосчитайте «в уме» произведение:
9*24*25.
40. Один из двух сомножителей равен 36. Как изменится произведение, если другой сомножитель увеличить на 9?
41. Как изменится двузначное число, если к нему приписать такое же число?
42. Сумма и произведение четырёх целых чисел равны
8. 	Что это за числа?
43. Сумма трёх различных целых чисел равна их произведению. Что это за числа?
44. Мальчик хочет 30 орехов разложить на 3 кучки так, чтобы число орехов в каждой кучке было нечётным. Какой совет вы дали бы мальчику?
9


45. Существует ли такое целое число, которое делится на аюбое из остальных целых чисел?
46. Восстановить пропущенные цифры в умножении:
* 8 • *=8* *
• 47. Ученик перемножил на доске два двузначных числа
и получил верное произведение.
Найдите это произведение и подумайте, какое замечание учитель сделал ученику.
48. Найти произведение в умножении:
Q2. * * — * * *
49. Найти произведение в таком незаконченном умножении:
J-
50. Как, использовав четыре раза цифру 9 и знаки, применяемые в арифметике, составить- число 100?
51. Имеются два кирпича обычной формы, сделанные из одинакового материала. Один из них весит 5 кг. Сколько весит второй кирпич, если все размеры его в 5 раз меньше?
52. 	На полустанке В стоит поезд в составе 10 вагонов; он должен пропустить вперёд приближающийся к полустанку скорый поезд А (черт. 1). Как это сделать, если ветка С около полустанка вмещает только б вагонов?
(Стрелка показывает направление движения обоих поездов.)
10


53. Канал шириной 3,5 м имеет поворот (черт. 2). Как организовать переправу через него, если имеются две доски, но длина каждой из них только 3 м?
Черт. 2.
ПОЯСНЕНИЯ
8. Четыре партии (так как в каждой партии участвуют два игрока).
9. Семь (6 мальчиков и одна девочка).
12. 	Вернее всего, что они ничего не найдут.
14. 50 : — = 100.
2
15. Взять любые два кольца и положить по одному на
чашки весов. Если будет равновесие, то третье кольцо —
искомое. Если же равновесия не будет, то искомое кольцо обнаружится сразу.
16. V+IV=IX, VI+IV = X.
19. Так как в тонне миллион граммов, то миллион пу-
* , 1 / , 1 1000000 « 1 \ говиц будет весить 1— тонны. / 1— = 1— .
2 V 2 1000000 2/
20. 9 руб. (так как половина стоимости книги 4 руб. 50 коп.).
22. 50 (полторы трети — 1— • — = — ^ .
2 3 2 /
23. Складывая разность 3124 и вычитаемое 3906, получим уменьшаемое 7030.
25. Сумма любых двух двузначных чисел меньше 200. Значит *97=197. Так как 99+99 = 198, то здесь искомые слагаемые — 99 и 98.
26. В десятке 50—59 цифра 5 встречается 11 раз, в каждом из 9 остальных десятков — 1 раз.
27. (11—1)-(11—1) = 100
28. 111 — 11 = 100.
29. 	1+2+3—4+5—6-1.
11


30. На чашки весов положить по пакету и уравновесить их, насыпав в чашку с пакетом в 300 г чай. Ссыпать получившиеся 350 г чаю и отвесить из оставшегося чая 650 г с помощью пакета в 650 г.
31. 1) Наполняем сосуд в 5 л и переливаем из него воду в 3-литровый сосуд. 2) Выливаем воду из 3-литрового сосуда и переливаем в него оставшиеся в 5-литров.ом сосуде 2 л воды. 3) Наполняем сосуд в 5 л и переливанием из него 1 л, дополняем сосуд в 3 л. В 5-литровом сосуде останется 4 л.
32. Если среди 20 перчаток окажутся все 10 штук чёрных с правой (или левой) руки и 10 штук коричневых тоже с одной руки, то 21-я перчатка обязательно образует пару чёрного или коричневого цвета.
33. Переправляются 2 мальчика и один из них возвращается обратно. Затем переправляется один взрослый, а в лодку садится оставшийся на другом берегу мальчик и возвращается обратно. Повторив такую же операцию с переездами ещё 2 раза, все 5 человек будут переправлены на другой берег.
34. На сковороду кладутся 2 ломтика. Через 1 минуту они будут поджарены с одной стороны. Затем 1 ломтик переворачивают, а другой снимают и заменяют третьим ломтиком. Через 1 минуту один ломтик будет поджарен с обеих сторон. Его заменяют снятым ранее ломтиком и ещё через 1 минуту все три ломтика будут поджарены с обеих сторон.
35. Пусть партнёр А играет белыми, а партнёр В — чёрными. Девочка ждёт, какой ход сделает Л, и повторяет этот же ход на доске с В. Затем она ждёт, как ответит на её ход В, и повторяет этот ход чёрными в игре с А. Если А выиграет, то и девочка выиграет у В, и наоборот. Или же обе партии будут ничьи.
37. 	Пусть имеются два числа, причём меньшее из них есть нуль. Тогда сумма этих чисел будет равна их разности.
39. 9-24-25 = 9-6-4 25 = 54-100 = 5400.
40. Увеличится на 36-9 = 324.
41. Увеличится в 101 раз. (Например, 2323 = 2300 + + 23 = 23.100 + 23 = 23-101.)
44. 	Не пытаться делать это, так как сумма трёх любых нечётных чисел — число нечётное, а 30 — число чётное.
46. 	98-9 = 882. Если хотя бы одна звёздочка в сомно¬
12


жителях означала цифру, меньшую 9, то произведение бы- л о бы меньше 800.
47. По расположению сомножителей видно, что множитель 90. Двузначное множимое при умножении на 9 даёт двузначное произведение. Значит, множимое 10 или 11. Но при множимом 10 запись умножения была бы другой. Учитель указал ученику, что умножение 11-90 надо было сделать в строчку.
48. Единственный двузначный множитель, при котором произведение 92-**<1000, есть число 10.
49. Так как 52-1 — число двузначное, а 52-2 — уже число трёхзначное, то множитель здесь может быть только 11.
50. 99 + —.
9
51. Объём, а следовательно, и вес меньшего кирпича в 5-5-5 раз меньше объёма и веса большего. Имеем:
5000 г:5 = 1000 г,
1000 г : 5 = 200 г,
200 г : 5 = 40 г.
52. Поезд В задним ходом отводит на ветку 6 вагонов, отцепляет их и снова уходит вперёд. Поезд А проходит вперёд, задним ходом подходит к ветке, берёт отцепленные вагоны Черт. 3
поезда В, выводит их вперёд, а затем
задним ходом отходит за ветку и отцепляет эти 6 вагонов. На освободившуюся ветку становится поезд В с четырьмя вагонами. Теперь путь для поезда А свободен.
53. Решение задачи указано на чертеже 3.


РАЗДЕЛ II
ПРОСТЕЙШИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ И КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УСТНОГО РЕШЕНИЯ
(Материал для внеклассных занятий.)
Второй раздел книги содержит 76 нестандартных задач разнообразного содержания, допускающих устное решение. Назначение его — предоставить учителю достаточно богатый выбор несложных занимательных задач для использования в различных видах внеклассных занятий V— VIII классов. Так, наиболее простые задачи, близкие по содержанию и степени трудности к задачам первого раздела, могут быть включены в работу кружков пятых и шестых классов, а более сложные задачи логического и комбинаторного характера могут быть использованы в кружках седьмых и восьмых классов. Вместе с тем большинство задач II раздела дадут учителю интересный материал для математических вечеров, викторин и устных олимпиад в VI— VIII классах.
Задачи второго раздела, несмотря на их кажущуюся «несерьёзность» и подчёркнутую занимательность, имеют несомненную образовательную и воспитательную ценность. Своим увлекательным содержанием многие из этих задач помогут углубить интерес ученика к математике и будут способствовать развитию его мышления, настойчивости и сосредоточенности внимания.
1. В коробке лежат 15 шариков: чёрных, белых и красных. Красных шариков в 7 раз меньше, чем белых. Сколько в коробке чёрных шариков?
2. Проехав половину всего пути, пассажир заснул. Когда он проснулся, то оказалось, что ему осталось ехать по¬
14


ловину того пути, который он проехал спящим. Какую часть всего пути пассажир проехал спящим?
3. Семь одинаковых хлебцев надо поровну разделить между двенадцатью лицами. Как это сделать, не разрезая хлеба на 12 частей?
4. Окрашенный куб с ребром в 10 см распилили на кубики с ребром в 1 см. Сколько среди них окажется кубиков с одной и с двумя окрашенными гранями?
5. Какое это число, если четверть его — половина и ещё четверть?
6. Я отпил —часть стакана черного кофе и долил его
о 1
молоком, оатем я выпил — стакана и снова долил его моло-
3
ком. Потом я выпил полстакана и опять долил молоком. Наконец я выпил полный стакан. Чего больше выпито: кофе или молока?
7. Из верхнего угла комнаты вниз по стене поползли две мухи. Спустившись до полу, они поползли обратно. Первая муха ползла в оба конца с одинаковой скоростью, а вторая хотя и поднималась вдвое медленнее первой, но зато спускалась вдвое быстрее её. Какая из мух раньше приползёт обратно?
8. Моему брату через два года будет вдвое больше лет, чем ему было два года назад, а моя двоюродная сестра через 3 года будет втрое старше, чем 3 года назад. Кто из них старше?
9. При переоборудовании котельной установки, потреблявшей 100 кг топлива в час, были применены два усовершенствования: одно — дающее 25% экономии топлива, и другое — дающее 20%. Сколько килограммов топлива потребляла установка после переоборудования в течение часа?
10. Как, использовав четыре раза цифру 3 и знаки, употребляемые в арифметике, составить число 100?
11. Как, использовав четыре раза цифру 5 и знаки, употребляемые в арифметике, составить число 100? (Указать два способа.)
12. Написаны подряд цифры 1 2 3 4 5. Не меняя порядка цифр, вставить между ними знаки, употребляемые в арифметике, чтобы в результате получилось число 100.
13. В пяти ящиках лежит по одинаковому числу яблок. Если из каждого ящика вынуть по 60 яблок, то во всех ящиках вместе останется столько яблок, сколько раньше бы¬
15


ло в двух ящиках. Сколько яблок первоначально было в каждом ящике?
14. У мальчика сестёр столько же, сколько братьев, а у его сестры сестёр вдвое меньше, чем братьев. Сколько всего детей в этой семье?
15. В делении 3*Л: *3=3* восстановить неизвестные цифры.
16. Перемножены все нечётные двузначные числа. Какой цифрой оканчивается полученное произведение?
17. Какой цифрой оканчивается разность:
1 -2-3..... 18-19 — ЬЗ,... .17-19.
18. Назовите возможно большее число последних цифр произведения: 1*2*3-..- .48-49. 44
19 Какой цифрой оканчивается число 4 ?
20. Из двух пятёрок и знаков, употребляемых в ариф-
* П
метике, образовать число, равное —.
21. Кубические миллиметры, заключающиеся в 1 куб. му приставлены друг к другу в виде полоски. Сколько времени потребуется, чтобы проехать эту полоску при скорости 50 км в час?
22. Найти трёхзначное число, кратное 9, в котором цифра десятков на 4 больше цифры единиц, а произведение трёх чисел, выражаемых цифрами этого числа, равно нулю.
23. Найти чётное четырёхзначное число, две средние цифры которого образуют число, в 3 раза большее числа тысяч и в 2 раза большее цифры единиц этого числа.
24. Найти произведение в умножении:
6*
X **
**
25. Расшифровать (т. е. заменить звёздочки цифрами) следующее равенство:
* * # * j
26. Число 82** делится на 90. Найти частное.
27. Найти двузначное число, сумма десятков и единиц
16


которого, сложенная с их разностью, равна 10. Если же между цифрами этого числа вставить цифру 9, то образовавшееся трёхзначное число окажется в 11 раз больше искомого.
28. Найти число, кратное 5, которое, будучи умножено на цифру его единиц, окажется на 216 больше суммы его цифр.
29. Покупатель, чтобы уплатить за 2 пятирублёвые банки консервов, 3 пачки сигарет и 6 коробок спичек, даёт кассиру 25 рублей, получает чек и сдачи 10 руб. 60 коп. Хотя покупатель и не знал, сколько стоит коробка спичек: 8 коп. или 10 коп., он сразу, не глядя на чек, уверенно заявил, что кассир ошибся.
Каким образом покупатель так быстро обнаружил ошибку кассира?
30 «Одним росчерком» (т. е. не отрывая карандаша) провести ломаную линию, состоящую из
4-х отрезков, так, чтобы она перечеркнула 9 точек, не проходя ни через одну из них 2 раза.
31. Из 75 одинаковых по виду колец одно кольцо по весу несколько отличается от других. Двумя взвешиваниями на чашечных весах определить, легче или тяжелее это кольцо, чем остальные.
32. В математическом кружке была предложена задача: «Из шести
шестёрок и знаков, употребляемых в арифметике, составить число 100».
Один из решивших эту задачу учеников сказал: «Как интересно получается! Ведь если все шестёрки в этом выражении заменить любыми одинаковыми цифрами (кроме, конечно, нуля), то всё равно получится число, равное 100». Как ученик решил эту задачу?
33. Из шести семёрок и знаков, употребляемых в арифметике, составить число 100. (Найти 2 решения.)
34. Написаны подряд цифры 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Не меняя порядка цифр, вставить между ними знаки + и — так, чтобы в результате получилось число J00.
35. Сколько всего имеется пятизначных чисел, сумма цифр которых равна двум?
• •
Черт. 4
2 Заказ 1635
17


36. 	От примера на деление на доске сохранились лишь такие следы:
368
200
0
Найти делимое.
37. Ученикам V класса было предложено умножить «в уме» 84 на 84. Один мальчик очень быстро дал ответ: 7056. На вопрос, как он считал, мальчик сказал: «Да я просто отнял 144 от 7200». Как считал мальчик?
38. 500 руб. были изъяты из сберкассы в 4 срока:
Взято Осталось
200 руб. 300 руб.
150 руб. 150 руб.
90 руб. 60 руб.
60 руб. —
Всего 500 руб. Всего 510 руб.
Откуда взялись лишние 10 руб.?
39. Из 8 одинаковых колец одно несколько легче остальных. Найти его не более чем двумя взвешиваниями на чашечных весах.
40. Из 4 одинаковых колец одно несколько отличается по весу от других. Найти его не более чем двумя взвешиваниями на чашечных весах.
41. Из бочки со спиртом берут литр спирта и выливают в бочку с водой. Затем из этой бочки берут литр образовавшейся смеси и выливают в первую бочку Чего теперь больше: воды в первой бочке или спирта во второй?
42. Вода, обращаясь в лёд, увеличивается в объёме на
L часть своего объёма. Сколько кубических дециметров
воды образуется при переходе в воду куска льда в 132 дм3?
43. В ящике лежат 70 шаров, отличающихся лишь цветом: 20 красных, 20 синих, 20 жёлтых, остальные — чёр¬
1-й раз
2-й раз
3-й раз
4-й раз
18


ные и белые. Какое наименьшее число шаров надо взять, не видя их, чтобы среди них было не меньше 10 шаров одного цвета?
44. Брошены два игральных кубика. Какая сумма очков на их верхних гранях наиболее вероятна?
45. Указать наибольшее число коней, которые можно расставить на шахматной доске так, чтобы ни один из них не был под боем другого (цвет коней не учитывается).
46. Двое одновременно отправились из А в В. Первый поехал на велосипеде/второй — на автомобиле со скоростью,, в 5 раз большей скорости первого. На полпути с автомобилем произошла авария, и оставшуюся часть пути автомобилист прошёл пешком со скоростью, в 2 раза меньшей скорости велосипедиста. Кто из них раньше прибыл в В?
47. Имеется достаточное количество казначейских билетов достоинством в 3 руб. и 2 билета по 5 руб. Можно ли, пользуясь только этими деньгами, составить любое число рублей, большее 7?
48. Отцу 41 год, старшему сыну 13 лет, дочери 10 лет, а младшему сыну 6 лет. Через сколько лет возраст отца окажется равным сумме лет его детей?
49. На Украине часть жителей одного города умеет говорить только по-украински, часть — только по-русски и часть говорит на обоих языках. По-украински говорит 85%, а по-русски 75% жителей города. Какой процент жителей говорит на обоих языках?
50. Пароход проплывает некоторое расстояние по течению реки за 3 часа, а обратно — за 4-^- часа. За сколько
времени проплывает это же расстояние пустой бочонок, увлекаемый лишь течением?
51. (Из русского задачника XVIII века.) На вопрос:
2
«Который час?»—был дан ответ: «—прошедших часа от по-
5
2
луночи до сего времени равны — часа, оставшихся до по-
3
лудня». Спрашивается, сколько сейчас времени?
52. Двое путников одновременно вышли из А в В. Первый половину времени, затраченного им на переход* шёл по 5 км в час, а затем пошёл по 4 км в час. Второй же первую половину пути прошёл по 4 км в час, а затем пошёл по 5 км в час. Кто из них раньше пришёл в В?
2*
19


53. 	В шестом часу я взглянул на часы: большая стрелка была ровно на 3 минутных деления позади часовой стрелки. Какое время показывали часы?
54 Сколько трёхзначных чисел имеют по крайней мере две одинаковые цифры?
55. 	Как, имея лишь два сосуда вместимостью в 5 л и 7 л,
налить из водопроводного крана 6 л воды?
56. Можно ли ходом коня обойти доску такого вида, как указано на чертеже 5, побывав при этом на каждой клетке доски один и только один раз?
57. В плоскости расположено несколько зубчатых колёс так, что первое колесо сцеплено со вторым, второе — с третьим, третье — с четвёртым и т. д. Последнее же колесо сцеплено с первым. Будут ли вращаться колёса такой системы?
58. Две противоположные стороны прямоугольника
увеличили на — часть, а другие две — укоротили на — 6 б
часть. Как изменится площадь прямоугольника?
59. Игра «Кто первый скажет сорок?»
Играют двое. Начинающий называет одно из чисел: 1, 2, 3, 4. Второй игрок прибавляет к этому числу одно из тех же чисел: 1, 2, 3, 4 и называет вслух получившуюся сумму. То же самое делает затем первый игрок и т. д. Выигравшим считается тот, кто первым назовёт число 40. Может ли второй игрок обеспечить себе выигрыш, какое бы число ни назвал, начиная игру, первый игрок?
60. Произведение четырёх последовательных целых чисел равно 3024. Найти эти числа.
61. Мальчик говорит своему приятелю: «Я подсчитал, что для перенумерования всех страниц вот этой маленькой книги, начиная с первой страницы её, потребовалось ровно 100 цифр». Не сможете ли вы, не видя самой книги, проверить, правильно ли подсчитал мальчик число цифр?
20


62. 	Найти сомножители в следующем умножении:
***
I **##
63. 	Найти делимое и частное в делении:
**** 11
3*|
* **
~0
64. Найти делимое и частное в делении: *2** : 9* = ***^ если известно, что делитель — число нечётное.
65. Можно ли, соблюдая правила игры в домино, выложить в цепь все 28 костей домино так, чтобы на одном конце оказалась шестёрка, а на другом конце — пятёрка?
66. Шахматную доску из 8X8 клеток можно, очевидно, полностью покрыть 32-мя костями домин© размером в 2 клетки каждая кость. А можно ли ту же доску, но из которой вырезаны два угловых поля (черт. 6), покрыть 31 костью домино?
67. «Какое четырёхзначное число, будучи прочитано справа налево, увеличивается в 6 раз?» — такой вопрос был предложен одному математику. Ответ был дан им немедленно. Попробуйте разгадать этот ответ.
68. Когда автомобиль проехал часть пути от А до 5, то оказалось, что он проехал столько километров, сколько минут ему придётся ехать оставшуюся часть пути. Но когда он проехал и эту часть пути, то оказалось, что опять он проехал столько километров, сколько минут он затратил' на первую часть пути. Сколько километров в час делал автомобиль?
21


69. Брат говорит сестре: «Если я к твоим деньгам добавлю половину моих, мы сможем купить две плитки шоколада». «Ну, а если я к твоим деньгам прибавлю половину моих?» — спросила сестра. «Тогда у нас будет денег только на одну такую плитку», — ответил брат. Сколько денег было у брата?
70. Три игральных кубика положены друг на доуга в виде столбика. Требуется определить сумму очков на 5 закрытых гранях — нижней и двух парах соприкасающихся граней, зная лишь число очков на верхней грани.
Указание. Суммы очков на всех трёх парах противоположных граней кубиков всегда бывают равными.
71. Два ученика хотели купить себе по линейке. Когда продавец назвал цену линейки, то оказалось, что у одного не хватает для покупки 24 коп., а у другого—2 коп. Тогда они решили сложить свои деньги и купить одну линейку на двоих. Оказалось, что денег всё равно не хватает. Сколько стоила линейка?
72. У меня нет карманных часов, а только стенные, которые остановились. Я пошёл к своему приятелю, часы которого идут верно, пробыл у него некоторое время и, придя домой, поставил верно евои стенные часы. Как мне удалось это сделать, если предварительно я не знал, сколько времени занимает дорога?
73. 	Игра «Кто последний положит монету».
Двое по очереди кладут пятикопеечные монеты на прямоугольный стол. Монеты можно класть только так, чтобы они даже отчасти не покрывали друг друга. Выигравшим считается тот, кто последним сможет положить монету на свободное место (предполагается, что монет у обоих играющих имеется достаточно много).
Указать план игры, при котором игрок, делающий «первый ход», может обеспечить себе выигрыш.
74. Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя им дважды по одной и той же линии, нарисуйте изображённую на чертеже 7 фигуру.
75. Двести учеников выстроены прямоугольником по
22


10 человек в каждом поперечном ряду и по 20 человек в каждом продольном ряду. В каждом поперечном ряду выбран самый низенький ученик, а затем из 20 отобранных выбран самый высокий. Им оказался ученик Андреев. Затем в каждом продольном ряду был выбран самый высокий ученик, а потом из 10 отобранных выбран самый низенький. Им оказался ученик Петров. Кто выше: Андреев или Петров?
76. В шахматном турнире участвовали 4 шахматиста, игравшие друг с другом по одной партии. Таблица результатов турнира оказалась испорченной и имела следующий вид:
Котов
Лобов
Морев
Нулин
Число
очков
Место
Котов
1
2
I
Лобов
щш
II
Морев

III
Нулин
IV
Требуется полностью восстановить таблицу.
РЕШЕНИЯ
1. Нельзя допустить, что красных шариков больше одного, так как уже при предположении, что красных шариков два, белых будет 2 • 7 = 14 и общее число шариков окажется больше 15. Значит, в коробке только один красный шарик, а белых и чёрных по 7.
2
2. Пассажир проехал спящим — второй половины пути.
з
Следовательно, он проехал спящим — всего пути.
з
3. Каждый из трёх хлебцев разрезать на 4 равные части, а каждый из остальных четырёх — на 3 равные части.
Образуется 12 одинаковых порций по —+ — хлебца.
3 4
23


4. 	Вдоль каждого из 12 рёбер куба образуется 8 кубиков с двумя окрашенными гранями (крайние кубики при 8 вершинах куба будут иметь три окрашенные грани).
Всего таких кубиков будет 8 • 12 = 96. Внутренний квадрат со стороной 8 см на каждой из шести граней куба образует после распиловки куба 82 = 64 кубика с одной окрашенной гранью. Всего их будет 64 • 6 = 384 (черт. 8).
5-(1+!)'4“3-
6. 	Кофе и молока выпито по 1 стакану. Кофе выпито столько, сколько его было, т. е. 1 стакан. Молока выпито
1 I 1 I 1 1
— + — + = 1 стакан.
6 3 2
7. 	Первая, так как за время, которое вторая муха за* тратила на подъём, первая может сделать два конца.
60).
Черт. 8
9. 60 кг. (75 — - • 75
5
10. 33,(3) X 3.
11. (5 + 5) • (5 + 5);
12. (1 + 23 — 4) • 5;
(5
(1
5 — 5) • 5. 2 + 3) • 4 •
5.
13. 100 яблок. Было вынуто 60 . 5 = 300 яблок, которые, по условию, составляют содержимое трёх ящиков.
14. Из первого условия видно, что число мальчиков на
1 больше числа девочек, а из второго условия видно, что число мальчиков вдвое больше числа девочек, уменьшён- ного на 1. Но это уменьшенное на 1 число будет уже на
2 меньше числа мальчиков. Значит, половина числа мальчиков есть 2, то есть в семье 4 мальчика и 3 девочки.
15. Первая цифра делителя *3 может быть только 1, так как уже 23-3* больше 3**. Цифра единиц частного 3* может быть только нулём, так как уже 31 • 13 = = 403 >3**. Делимое — 13 - 30 = 390.
16. Если все сомножители нечётны и среди них есть
24


хотя бы одно число, оканчивающееся цифрой 5, то и про* изведение оканчивается цифрой 5.
17. Уменьшаемое оканчивается нулём, вычитаемое — пятью. Следовательно, разность оканчивается цифрой 5.
18. Произведение числа, кратного 5, на чётное число оканчивается нулём. Среди сомножителей 1 • 2 • 3...48 49 чисел, кратных 5, будет 9 (числа 5, 10, 15, ...,45). Среди этих 9 сомножителей число 25 может быть представлено в виде произведения двух сомножителей, кратных 5. Таким образом, произведение 1 • 2 • 3 • ... • 48 • 49 оканчивается 10 нулями.
19. Число 4 в любой нечётной степени оканчивается цифрой 4, а в любой чётной — цифрой 6. Здесь 4 возводится в степень, равную 44, а 44 — число чётное. Значит, 444 оканчивается цифрой 6.
21. 1 м3 = 10003 мм3. Длина полоски — км =а
1000-1000
== 1000 км. Потребное время — = 20 (часов).
22. Среди цифр числа есть нуль. Нуль не может быть цифрой сотен (иначе число будет двузначным). Нуль не может быть цифрой десятков, так как цифра десятков больше цифры единиц. Значит, число имеет вид *40 Но оно кратно 9. Значит, цифра сотен 5.
23. Последняя цифра искомого чётного числа не больше
8. 	Значит, две средние цифры образуют число, не большее
16. 	Но это число делится и на 2, и на 3, т. е. оно кратно 6. Следовательно, эти две цифры образуют либо 12, либо 0,6; последнее отпадает, так как тогда цифра единиц 3 — нечётная цифра. Искомое число — 4126.
24. Как видно из схемы умножения, оба произведения числа 6* на ту и другую цифры множителя — числа двузначные. Это возможно только в случае, если множитель равен 11. Но тогда последняя цифра множимого — 6. Искомое произведение 660 + 66 = 726.
25. ** • * = 1 + *. Но произведение ** • * содержит не менее двух цифр, а сумма 1 + * равна двузначному числу в единственном случае, когда слагаемое * = 9. Значит, ** • * = 10, что возможно только, если множимое ** = 10, а множитель * = 1. Итак, имеем: 10-1 — 9=1.
26. Число 82** делится на 10 и 9. Значит, последняя цифра его — нуль, а сумма цифр 8 + 2 4- * 4* 0 делится
25


на 9, что возможно лишь в случае, если цифра десятков — 8
27. Цифра десятков — 5, так как 10 — удвоенная цифра десятков По условию трёхзначное число 59* кратно 11. Деля 59* на 11 и получив первый остаток — 4, заключаем, что цифра единиц * может быть только 4.
28. Последняя цифра искомого числа — 5 (так как, очевидно, эта цифра не может быть нулём). Наименьшее трёхзначное число 105, будучи умножено на 5, даст произведение — 525, превышающее сумму цифр множимого больше, чем на 500. Значит, искомое число — двузначное и сумма цифр его не меньше 6 и не больше 14. Произведение *5 • 5, по условию, должно заключаться между 216 + -f 6= 222 и 216 + 14 = 230. Кроме того, оно оканчивается цифрой 5 Значит, это произведение — 225, а искомое число — 225 : 5 = 45.
29. Выраженная в копейках стоимость 3 пачек сигарет и 6 коробок спичек есть целое число, кратное 3. Кассир подсчитал стоимость всей покупки в 25 руб. — 10 руб. 60 коп. = 14 руб. 40 коп. Следовательно, за сигареты и спички он взял 4 руб. 40 коп. Но 440 коп. — число, не делящееся на 3.
30. Решение задачи видно на чертеже 9.
31. Образуем 3 кучки по 25 колец.в каждой. Назовём их № 1, № 2, № 3. Кладём на две чашки весов по кучке, например № 1 и № 2.
1) 	Если наступит равновесие, то кучки № 1 и № 2 состоят из колец нормального веса, а кольцо другого веса находится в кучке № 3. Вторым взвешиванием мы сравни- Черт. 9 ваем вес «нормальной» кучки
(№ 1 или № 2) с кучкой № 3 и по положению чашки с кучкой № 3 сразу обнаруживаем, легче или тяжелее остальных кольцо с другим весом.
2) Если равновесия не будет и, допустим, чашка с кучкой № 1 перетянет чашку с кучкой № 2, мы вторым взве- ш танием сравним вес кучки № 1 (или N2 2) с кучкой № 3, заведомо состоящей из колец нормального веса. Если куч¬
26


ки № 1 и № 3 окажутся в равновесии, то кольцо другого веса находится в кучке № 2 и оно легче остальных. Если же кучки № 1 и № 3 не будут в равновесии, то кольцо другого веса находится в кучке № 1 и оно тяжелее остальных
32. (666 — 66) : 6 = 100.
33. Одно решение совпадает с решением задачи № 32:
(777 — 77) : 7.
Другое решение: (7 + 7) • 7 + (7 + 7) : 7.
34. 123 — 45 — 67 + 89.
35. Наибольшая цифра — 2. Пятизначных чисел с цифрой 2 только одно — 20 ООО. Если в изображении пятизначного числа имеются две единицы, то одна из них обязательно стоит на первом месте, а другая может стоять на любом из остальных четырёх мест. Всего пятизначных чисел, сумма цифр которых равна двум, — 5.
36. Из схемы деления видно, что при умножении делителя на 8 получилось 200. Значит, делитель — 25 Дели¬
мое — 368 • 25 - 36800 : 4 - 9200.
37. Судя по ответу мальчика/ ход вычислений был таков: 84 . 84 = (12 • 7) • (12 - 7) = 144 . 49 =
= 144 • (50— 1) = 1М!_ 144.
38. Постановкой вопроса внушается ложная мысль, что сумма изъятий равна сумме остатков; если, например, 10 руб. будут изъяты в 10 приёмов по 1 руб. в каждый, то сумма изъятий составит, конечно, 10 руб.; сумма же остатков будет 9 + 8-+-...+2 + 1 = 45 (руб.).
39. Если бы колец было 3, то, положив на чашки весов по одному кольцу, мы в случае равновесия их установили бы, что оставшееся кольцо более лёгкое. Если же равновесия нет, то сразу видно, какое из взятых колец более лёгкое. Если колец будет 8, мы произвольно разоэьём их на кучки в 3, 3 и 2 кольца и, положив кучки по 3 кольца на чашки весов аналогично предыдущему, сначала установим, в какой из трёх кучек находится более лёгкое кольцо. Вторым взвешиванием найдём и само это кольцо..
40. Пронумеруем кольца: № 1, № 2, № З и № 4 Кладём на чашки весов по кольцу — № 1 и № 2. Возможны два случая.
1) 	Наступило равновесие. Значит, искомое кольцо или № 3, или № 4. Заменяем на весах кольцо № 2 кольцом № 3. Если равновесие нарушается, то кольцо № 3 — ис~
27


комое; если же равновесие опять сохранится, то кольцо №4 — искомое.
2) 	Равновесия нет. Значит, искомое кольцо либо № 1, либо № 2, а кольца № 3 и № 4 — нормального веса. Заменяем на весах кольцо № 2 кольцом № 3. Если наступит равновесие, то искомое кольцо — № 2. Если равновесия не будет, то кольцо № 1 — искомое.
41. Количество жидкости в каждой бочке остаётся неизменным. Значит, то количество спирта, которое в результате двух переливаний оказалось во 2-й бочке (с водой), замещает то же количество воды, которое после переливаний окажется в 1-й бочке: количество воды в первой бочке и спирта во второй одинаково.
42. При обратном переходе льда в воду объём льда
уменьшится на ^ ; 132 дм3 льда перейдёт в 121 дмА воды.
43. Наибольшее число шаров, при котором 10 шаров одинакового цвета может и не оказаться, 37, так как тогда может случиться, что будут взяты по 9 красных, синих и жёлтых шаров и все шары чёрного и белого цвета. Значит, взяв еще один шар, обязательно будем иметь 10 шаров одинакового цвета. Поэтому изъятие 38 шаров всегда обеспечивает наличие среди них 10 шаров одного цвета.
44. Сумма очков на верхних гранях не меньше 2 и не больше 12. Наиболее вероятна сумма, которая может быть получена наибольшим числом различных сложений двух слагаемых (учитывая и порядок их), каждое из которых есть одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Так, сумма 2 может быть получена лишь одним сложением: 1 + 1. Сумма 3 — двумя сложениями: 1 + 2 и 2 + 1. Сумма 4 — тремя сложениями: 1+3, 2 + 2 и 3 + 1. Легко видеть, что сумму 7 можно образовать наибольшим числом сложений (шестью сложениями): 1+6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 и 6 + 1. Для сумм 8, 9, 10, И и 12 число различных сложений уменьшается. Таким образом, наиболее вероятная сумма очков 7.
45. Конь, стоящий на белой клетке, бьёт фигуру, стоящую на чёрной клетке, и наоборот. Значит, если расставить коней на 32 клетках одного цвета, ни один из них не будет под боем другого.
46. За время, которое автомобилист потратил на вторую половину пути, велосипедист проезжает весь путь от А до В\ следовательно, велосипедист прибыл в В раньше.
28


47. 8 = 3 + 5; 9 =* 3 + 3 + 3; 10 » 5 + 5. Все числа, большие 10, могут быть образованы прибавлением к 8, 9 и 10 достаточного числа слагаемых, каждое из которых равно 3.
48. 41 — (13 + 10 + 6) = 12. Каждый год эта разность уменьшается на 2: через 6 лет возраст отца будет равен сумме лет его детей.
49. Из каждых 100 жителей города говорят по-украински 85 человек, а остальные 15 человек по-украински говорить не умеют. Значит, они говорят только по-русски. Но по условию задачи из каждых 100 жителей города говорят по-русски 75 человек, причём из них только 15 человек не говорят по-украински. Значит, на обоих языках говорят 75—15 = 60 человек, т. е. 60% всех жителей города.
50. За 1 час пароход по течению проплывает—всего
з
2 12 расстояния, а обратно — — этого же расстояния. — —- =
всего расстояния есть удвоенная часовая скорость
течения, a ^ расстояния есть часовая скорость течения.
Следовательно, бочонок, увлекаемый течениехм, проплывает это расстояние за 18 часов.
51. Из условий задачи видно, что промежуток времени между 12 час. ночи до момента, о котором идёт речь в задаче, относится к промежутку времени между этим мо-
2 2
ментом и 12 час. дня, как— : —, или, что то же самое,
3 5
как 5 : 3. Сумма обоих промежутков 12 часов. Искомое
показание часов 5 = 7—.
5+3 2
52. Первый пешеход со скоростью 5 км в час прошёл больше половины пути, а второй — только половину пути; первый прибыл в В раньше.
53. Когда часы показывали 5 час., часовая стрелка была на 25 минутных делений впереди большой стрелки, а ког^ да я взглянул на часы, часовая стрелка была лишь на 3 минутных деления впереди большой: большая стрелка «нагнала» 25 — 3 = 22 деления. В течение одной минуты боль-
, 1 шая стрелка проходит 1 деление, а часовая деления:
29


за 1 минуту большая стрелка нагоняет часовую на 1 —
= — минутного деления. Чтобы нагнать 22 деления, по-
12
требуется 22 : |^ = 24 (минуты), и часы будут показывать
5 час. 24 мин.
54. Из 9 сотен, начинающихся цифрами 1, 2, 3,..., 9, возьмём одну сотню, например начинающуюся цифрой
4. 	Повторяющиеся цифры встретятся в 3-х группах чисел вида 4**:
1) Чисел, у которых вторая цифра тоже 4 (т. е. 440, 441, 449), будет 10.
2) Чисел, у которых третья цифра 4, но вторая отлична от 4 (т. е. 404, 414,..., 494), будет 9 (число 444 в эту группу не входит).
3) Чисел, у которых одинаковы 2-я и 3-я цифры, отличные от 4 (т. е. 400, 411, .., 499), будет 9 (число 444 в эту группу не входит).
Таким образом, в каждой из 9 сотен чисел с повторяющимися цифрами будет 10 + 9 + 9 = 28, а всего таких трёхзначных чисел будет 28 • 9 = 252.
55. 1) Наполняем 7-литровый сосуд и переливаем из него 5 л в 5-литровый сосуд. Оставшиеся в 7-литровом сосуде 2 л переливаем в опорожненный 5-литровый сосуд. 2) Снова наполняем 7-литровый сосуд, переливаем из него 3 л в
5-литровый сосуд, а затем оставшиеся в 7-литровом сосуде 4 л переливаем в опорожненный 5-литровый сосуд. 3) Опять наполняем 7-литровый сосуд и отливаем из него 1 л в 5- литровый сосуд.
56. Конь поочерёдно попадает на белые и чёрные поля доски. Но на доске указанного вида белых полей — 32, а чёрных — 25. Если конь обойдёт по одному разу все 25 чёрных полей, то он побывает и на 25 белых полях; ему останется обойти семь белых полей, не попадая на чёрные, что невозможно.
57. Если из двух сцепленных зубчатых колёс одно вращается по часовой стрелке, то другое будет вращаться в направлении, противоположном вращению часовой стрелки. Поэтому, если пронумеровать последовательно сцепленные между собой зубчатые колёса, то все зубчатые колёса, имеющие нечётный номер, будут вращаться в одном и том же направлении, а имеющие чётный номер — в противопо¬
30


ложном. Если в системе из п зубчатых колёс последнее, п-е колесо, будет сцеплено с первым, то это колесо может рассматриваться и как колесо 1-е и как колесо с номером п + 1. Если число п + 1 окажется нечётным числом, т. е число п — чётным числом, то система будет работать; если же п будет нечётным числом (и, следовательно, п-\-\—гёт- ным числом), то возникнет положение, при котором 1-е колесо должно будет одновременно вращаться в двух противоположных направлениях, что невозможно.
Итак, система будет работать, если число п чётное.
1 7 5 1
58. Площадь уменьшится на — часть (1 —
36 6 6 36
59. Игрок, которому удастся назвать число 35, следую¬
щим «своим ходом», сколько бы ни назвал его партнёр, сумеет назвать и 40 и выиграет. Но, чтобы назвать 35, он должен предварительно назвать 30, перед тем 25 и т. д Таким образом, выиграет тот, кто первый назовёт 5. Но первый игрок, начиная игру, не может назвать числа, большего 4, и, сколько бы он ни назвал, второй игрок всегда сумеет назвать 5, а затем подряд все числа, кратные 5, до 40 включительно.
60. Среди искомых чисел нет 10, так как последняя цифра произведения 4. Если бы все эти сомножители были больше 10, то произведение их было бы больше 104 =
— 10 000 >3024. Значит, все сомножители мзньше 10. Но среди них. нет 5 (так как тогда последняя цифра произведения была бы 0) Из чисел, меньших 10, можно составить лишь 2 группы по 4 последовательных числа, не включающих 5: 1, 2, 3, 4 и 6, 7, 8, 9 1-я группа даёт
в произведении 24, 2-я — 6 • 7 • 8 • 9 = 56 54 — 552 —-
— 1 = 3025 — 1 = 3024.
61. В книге заведомо меньше 100 страниц На первые 9 страниц книги потребуется 9 цифрозых знаков На каждую следующую страницу потребуется 2 цифры; следовательно, на все страницы, начиная с десятой, потребуется чётное число цифр Сложенное с девятью, это число даст нечётную сумму, то есть число, не равное 100.
62. Последняя цифра первого частного произведения 8, значит, последняя цифра множимого — 4 Первая цифра множимого 1, так как уже 22* 7 — число четырёхзнач¬
ное. Произведение множимого 124 на первую цифру множителя— число четырёхзначное. Так как 124 - 8 = 992, то первая цифра множителя — 9.
31


63. 	Наибольшее, кратное 11, двузначное число, заключающееся в трёхзначном числе, есть 99. Поэтому схему деления можно записать так:
j j
“ 99
3* ■ **
9*
О
Трёхзначное число, образуемое тремя первыми цифрами делимого, есть сумма 99 + 3 = 102. Единственное число вида 3*, делящееся на 11, есть 33. Итак, делимое — 1023, частное — 93.
64. 	Так как частное — число трёхзначное, то первая цифра делимого — 9, а нечётный делитель — 91. Будем делить 92** на 91 обычным образом:
92**
91
91
“гг~ Деление завершится, если 1** окажет¬
ся кратным 91. А это возможно лишь в случае, если 1** = 182.
1*
J**
65. Сумма очков на 56 половинках всех 28 костей домино есть число чётное (так как каждое число очков—0, 1, 2, 6 встретится в костях 8 раз). Если теперь допу¬
стить, что кости выложены в цепь так, как указано в задаче, то окажется, что на стыке любых двух костей внутри цепи по ту и другую сторону от стыка лежит одинаковое число очков, т. е. сумма всех «внутренних» очков есть число чётное. Сумма же очков на краях — 6 + 5=11 — число нечётное. Таким образом, сумма всех очков на всех 28 костях окажется числом нечётным. Это противоречие указывает, что выложить кости, как указано в задаче, нельзя.
66. При любом покрытии костями домино шахматной доски камень покрывает две клетки — чёрную и белую. Поэтому 31 кость может покрыть 31 белую клетку и 31 чёрную. На доске же имеется 32 белых клетки и 30 чёрных. Значит, покрыть такую доску костями домино нельзя.
67. Ответ мог быть только один: «Такого числа нет, а указание, что искомое число четырёхзначное, лишнее». Действительно, если произведение числа на 6 сохраняет то же число цифр, сколько их в множимом, то первая цифра множимого может быть только 1. Произведение любого числа на 6 есть число чётное, а по основному условию за-
32


дачи последней цифрой произведения окажется 1, что невозможно. Эго рассуждение может быть применено, конечно, к числам двузначным, трёхзначным и т. д., а не только к четырёхзначным.
68. На весь путь автомобиль потратил столько минут, сколько километров от А до В. Скорость его I км в мин., или 60 км в час.
69. По условию одну плитку можно купить, взяв все деньги брата и половину денег сестры. Значит, на все деньги сестры и удвоенные деньги брата можно купить 2 плитки. Но по первому условию задачи стоимость двух плиток равна сумме всех денег сестры и половине денег брата.
Следовательно, ~ денег брата и удвоенные его деньги —
одно и то же число. Это возможно лишь в случае, если это число нуль: у брата денег не было.
70. Сумма очков на всех 6 гранях игрального кубика 1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Суммы очков на каждых двух противоположных гранях равны между собой; значит, каждая из этих сумм 21:3 = 7. Если известно число очков на верхней грани верхнего кубика, например 2, то на нижней грани этого кубика будет 5, а искомая сумма 5 + 7 + 7 = 19.
71. Если бы у первого ученика были хотя бы 2 коп., то, сложив свои деньги, ученики смогли бы купить одну линейку, так как второму ученику не хватало для покупки именно двух копеек. На самом же деле, и сложив свои деньги, они не смогли купить линейку. Значит, у первого ученика было меньше чем 2 копейки, хотя по смыслу задачи какие-то деньги у него всё же были. Следовательно, у первого ученика была одна копейка; а так как для покупки линейки ему не хватило 24 коп., то линейка стоила 25 коп.
72. Уходя, я завожу свои стенные часы и замечаю их показание. Придя к приятелю, я замечаю по его часам время прихода и ухода от него, а, придя домой, по своим стенным часам определяю, сколько времени я всего отсутствовал. Вычтя отсюда время, проведённое у приятеля, и поделив разность пополам, я узнаю, сколько времени занимает дорога к приятелю в один конец. Теперь остаётся только к показанию часов приятеля в момент моего ухода от- него прибавить время, затраченное на дорогу домой, и я смогу верно поставить часы.
3 Заказ 1685
33


73. 	Начинающий игру должен положить монету в точку пересечения диагоналей прямоугольника, а затем каждый раз класть свою монету так, чтобы она оказалась симметричной с монетой партнёра относительно точки пересечения диагоналей.
74. Одно из возможных решений задачи видно на чертеже 10.
75. Возможны три случая:
1) Андреев и Петров стояли в одном поперечном ряду. Тогда Андреев ниже Петрова, так как Андреев ниже всех в своём ряду.
2) Андреев и Петров стояли в одном продольном ряду. Тог-
3 да Андреев ниже Петрова, так как Петров выше всех в этом продольном ряду.
3) Андреев и Петров стояли в разных поперечных и продольных рядах. Сравним росты Андреева и Петрова с ростом ученика Иванова, который стоит
на пересечении этих рядов. Андреев ниже Иванова, так как Андреев ниже всех в том поперечном ряду, в котором они оба стоят. Но Иванов ниже Петрова, так как Петров самый высокий в том продольном ряду, в котором они оба стоят. Но если Андреев ниже Иванова, а Иванов ниже Петрова, то Андреев и в этом случае окажется ниже Петрова.
76. 	Всего в турнире было сыграно-^ = 6 партий. Следовательно, все участники турнира вместе набрали 6 очков.
Наибольшее число очков, которое мог набрать победитель турнира Котов, 2^ очка. Если допустить, что он набрал меньше 2 у очков, то общее число очков, набранных всеми участниками, окажется меньше 6. Действительно, уже при предположении, что Котов набрал 2 очка, будем иметь: Лобов, самое большее, набрал 1~ очка, Морев —
Черт. 10


1 очко и Нулин ^ очка, т. е. всего будет набрано
2 + 1—+ 1 + — = 5 очков.
2 2
Итак, Котов несомненно набрал 2~ очка, выиграв у Лобова и Морева. Максимальное число очков у Лобова —
2. 	Если допустить, что он набрал меньше, например 1-~ очка, то Морев максимально мог набрать 1 очко, а Нулин
— — очка и общая сумма очков опять окажется меньше 2
6 ^2— + 1— + 1 + — = 5—V Итак, Лобов набрал 2 очка, \ 2 2 2 2) выиграв у Морева и Нулина.
Из общего числа очков — 6 очков — на долю Морева и
Нулина вместе остаётся 6 — @у + 2) = 1-^- очка, причём Морев, занявший в турнире более высокое место, чем Нулин, сделавший ничью с Котовым, должен иметь не меньше (но и не больше) чем 1 очко.
Заполненная таблица имеет вид:
Котов
Лобов
Морев
Нулин
Число
очков
Место
Котов
яи
1
1
1
2
2-
2
I
Лобов
0
=~г:-т_". ;
1
1
2
II
Морев
0
0
=к -
1
1
III
Нулин
1
2
0
0
1
2
IV
3*


РАЗДЕЛ fit
ВОПРОСЫ И «МАЛЕНЬКИЕ» ЗАДАЧИ ПО АРИФМЕТИКЕ ДЛЯ УСТНОГО И ПОЛУПИСЬМЕННОГО РЕШЕНИЯ
(Материал для классной и внеклассной работы.)
Третий раздел книги посвящён арифметике. Он включает «некнижные» вопросы, маленькие задачи и другие упражнения, соответствующие школьному курсу арифметики, по степени трудности и по содержанию несколько отличающиеся от задач, имеющихся в стабильных задачниках.
Тематика предлагаемых упражнений охватывает следующие программные вопросы: законы арифметических действий и приёмы устного счёта, процентные вычисления, изменение результатов действий в связи с изменением компонентов, делимость чисел. Для кружковых занятий в VI — VIII классах, кроме того, включены вопросы, связанные с понятием НОД, а также упражнения на различные системы счисления и некоторые свойства точных квадратов.
Основное назначение упражнений, включённых в III раздел, — углубить понимание основ арифметики, приобщить ученика к более свободному и лёгкому оперированию числами и развить у него навыки в инициативном применении программного материала к вычислениям и решению практических задач. Весь предлагаемый здесь материал прежде всего может быть использован в различных видах внеклассных занятий, особенно в кружковой работе. Более же доступные упражнения окажутся полезными в классной работе: или непосредственно на уроке, или как часть домашнего задания.
Большинство упражнений ориентировано на устное решение, может быть несколько более замедленное по темпу,
36


чем обычные устные упражнения, практикуемые на уроке. В связи с этим ещё раз хочется подчеркнуть большую педагогическую эффективность устных упражнений: уже само предложение «решить устно» активизирует учеников, возбуждает их пытливость в поисках экономных путей решения.
Базой для решения задач, включённых в раздел, как уже было указано, служит программа по арифметике V — VI классов, а иногда и начальные сведения по алгебре, соответствующие программе VI класса. Вместе с тем отдельные задачи потребуют более развитого мышления, чем то, которым обладает ученик V класса. Больше того, думается, что в целях углублённого повторения арифметики в старших классах средней школы (в чём имеется насущная необходимость!) часть упражнений третьего раздела книги с большой пользой может быть вынесена на внеклассные занятия в этих классах (в том числе и в IX—XI классах).
Устные вычисления
(Законы арифметических действий и приёмы устного счёта.)
Вычислить:
1. 99 — 97 + 95 — 93 + ... + 3 — I.
2. 64.125-875.
3. 12-14-56.
2
4. 12.12-^.54.
5. 2,85 - 1- + 6- : 3.
15 20
6. 421.7.4— 17-60.
2
7. 24502.
8. 14— -43—.
2 2
9. Встретилась необходимость устно перемножить числа 85 и 95. Укажите 2 — 3 удобных способа для умножения «в уме» этих чисел.
0 867» 12 7.43 8
10. Выражение —1—-———:— было вычислено с точ-
5,64-7,22-0,348
ностью до 0,01 и был получен результат: 3,41. Можно ли,
37


посчитав «в уме», сразу установить, что полученный результат ошибочен?
П. Было куплено 7—м ситца ценой по 13 руб. 20 коп.
за 1 м. Стоимость покупки пришлось вычислить «на ходу» устно. Укажите два удобных способа для вычисления «в уме» стоимости покупки.
12. Вычислить сумму: 8*9*14 Ч~ 612-17 + 418-19.
„О D 74-147 — 73
13. Вычислить: .
73-147 + 74
14. 5*5,27 — 5*4,27 — 6,27 + 4,27.
15. Правильная или неправильная дробь:
244-395— 151 ^
244 + 395-243
16. Вычислить: х2 — 77х + 122 при х = 78.
31
17. Из числителя и знаменателя дроби — вычли одно
и то же число и получили дробь, равную-^-.' Какое число
з
было отнято от членов дроби?
18. Вычислить: 37,752 — 22,252.
19. Указать все дроби со знаменателем 15, которые
* 5 6
больше —, но меньше — .
11 11
Какая из дробей больше:
ОЛ 22 31 ^
20. — или — ?
27 36
о1 22 НО л
21. — или —■ ?
35 177
оо 22 51 ^
22. — или — ?
67 152
оо 37 377 ^
23. —■ или — ?
67 677
Сравнить дроби:
24. — и
67 6767
25. Найти 22,5% от 168,
26. Что больше. 38,4% от 87 или 87% от 38,4?


Вычислить:
27. 72% от 85.
28. 76% от 87,5.
29. 72,8% от 37у.
30. Разделить 80 на две части так, чтобы одна часть составляла 60% другой части.
Изменение результатов действий в связи с изменением компонентов
31. Уменьшаемое 5,4, вычитаемое 0,67. К вычитаемому прибавили разность этих чисел. Назовите новую разность.
32. Как изменится разность, если к уменьшаемому прибавить её, а из вычитаемого вычесть половину её?
33. Найти сумму двух чисел, если она на 60 больше одного из слагаемых и на 42 больше другого.
34. Представить 20 в виде суммы двух чисел так, что если к первому прибавить 4, а второе утроить, то получившиеся слагаемые будут равны.
35. Как изменится произведение, если из множимого вычесть половину его, а к множителю прибавить число, равное удвоенному множителю?
36. Множимое увеличили на 20%, а множитель уменьшили на 20%. Как изменится произведение?
37. Число делили на 7; в остатке получили 2. Как изменится частное, если делимое увеличить в 7 раз?
38. Как изменятся частное и остаток, если к делимому прибавить делитель?
39. Как изменится частное, если из делителя вычесть —• его?
40. Как изменится частное, если делимое умножить на 4, а из делителя вычесть ~ его?
о
41. Делимое уменьшили на 10%, а делитель увеличили на 10%. Как изменилось частное?
42. Найти несократимую дробь, которая не изменяет своего значения при прибавлении к числителю её 4, а к знаменателю 10.
43. Найти дробь, которая увеличивается втрое при прибавлении знаменателя к числителю.
39


44. Какой зависимостью связаны числитель и знаменатель дроби, которая увеличивается вдвое при прибавлении знаменателя к числителю?
45. Найти несократимую дробь, которая увеличивается вдвое при прибавлении знаменателя к ее числителю и знаменателю.
46. Когда к числителю несократимой дроби прибавили 2, а знаменатель дроби умножили на 2, значение дроби не изменилось. Когда же из знаменателя вычли числитель, то дробь обратилась в целое число. Найти эту дробь.
47. При делении числа на 72 в остатке получилось 68. Как изменится частное и сколько получится в остатке, если то же число разделить на 24?
48. Сумма двух чисел 27. Когда первое слагаемое увеличили в 5 раз, а второе — в 3 раза, то новая сумма оказалась равной 111. Найти эти числа.
49. Делимое разделили на удвоенный делитель и в частном получили 6. Когда же делимое разделили на утроенное частное, то снова получили 6. Найти делимое и делитель.
50. Увеличится или уменьшится правильная дробь у,
если к числителю и знаменателю её прибавить одно и то же натуральное число?
Делимость чисел
51. Существуют ли чётные простые числа?
52. В каких десятках первой сотни имеется три (и только три) простых числа?
53. Есть ли среди чисел первой сотни такой десяток, в котором было бы лишь одно простое число?
54. Четырёхзначное число, у которого все цифры одинаковы, имеет только два простых делителя. Что это за число? Каковы его простые делители?
55. Сколько всего различных делителей у числа, разложение которого на множители имеет вид 23-34?
56. Может ли сумма трёх последовательных натуральных чисел быть простым числом?
57. Может ли сумма четырёх последовательных натуральных чисел быть простым числом?
58. Доказать: «Если сумма четырёх чисел есть число нечётное, то произведение их — число чётное».
40


59. Складываются числа: 28, 31, 61, 92 и 120, причём по ходу решаемой задачи важно только знать, будет ли сумма их делиться на 3. Можно ли, не производя сложения этих чисел, выяснить, разделится ли сумма на 3?
60. К двузначному числу прибавили 5, сумма оказалась кратной 5. Когда от него отняли 3, разность оказалась кратной трём. А когда его разделили на 2, то оказалось, что и частное делится на 2. Найти число.
61. Доказать: «Если сумма трёх последовательных целых чисел есть число нечётное, то произведение их делится на 24».
62. К двузначному числу приписано такое же число. Может ли образовавшееся четырёхзначное число быть простым?
63. К числу 10 справа и слева приписать по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 72
64. Доказать, что сумма двух любых последовательных нечётных чисел делится на 4.
65. Произвольно взяты два натуральных числа и составлены сумма, разность и произведение их. Доказать, что среди этих трёх чисел по крайней мере одно число кратно трём.
66. а, Ь и с — натуральные числа, причём а делится на b и b делится на с. Найти наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель этих чисел.
67. Можно ли утверждать, что наименьшее общее кратное любых двух натуральных чисел делится на наибольший общий делитель их?
68. Какое число при делении его на любое из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 каждый раз даёт в остатке единицу?
69. Какое двузначное простое число при умножении на 9 даёт в произведении трёхзначное число, состоящее из одинаковых цифр?
70. Найти множимое и множитель в умножении:
**** х **
jj*
При этом известно:
1) Четырёхзначное множимое кратно 5.
2) Множимое не изменяется, если прочитать его справа налево.
41


3) 	Произведение кратно 9.
(Всю расшифровку произвести «в уме».)
71. Доказать: «Если сумма двух целых чисел делится на 10, то квадраты этих чисел оканчиваются одинаковыми цифрами».
72. Сумма цифр двузначного числа равна 10. Если в этом числе переставить цифры, то оно уменьшится на 36. Найти это число.
73. За 7— м ткани ценой по 13 руб. 20 коп. за 1 м продавец выписывает чек на 99 руб. 60 коп. Покупатель почти сразу уверенно заявляет, что продавец ошибся. Как,
не умножая 7-~ на 13,2, покупатель мог так быстро обнаружить ошибку продавца?
74. Числа 100 и 90 разделили на одно и то же число. В первом случае в остатке получили 4, а во втором 18. На какое число делили?
75. Найти наименьшее число, при делении которого на 2, 3, 4, 5 и 6 каждый раз получаются остатки, на единицу меньшие соответственного делителя.
76. Можно ли утверждать, что среди любых трёх последовательных чётных (или же трёх последовательных нечётных) чисел всегда есть число, кратное.3?
77. Доказать: «Всякое простое число, большее 3, имеет вид 6п + 1». Верна ли обратная теорема?
78. Всегда ли простое число, большее 3, можно представить в виде 3/2 + 1?
79. Доказать: «При всяком целом п произведение п(п + 1)(2п + 1) делится на 6».
80. Числа а и b взаимно простые. Будут ли взаимно простыми числа а + b и ab?
81. Дробь несократимая. Будет ли несократимой
82. Из трёхзначного числа вычли обращённое число (или наоборот, если взятое число меньше обращённого). Можно ли утверждать, что полученная разность — составное число?
83. Чтобы узнать, является ли число 1601 простым, его стали делить на 2, 3, 5, 7, 11,... На каком простом числе можно прекратить испытание?


84. Имеется достаточное число казначейских билетов достоинством в 1 руб., 3 руб. и 5 руб. Можно ли с помощью их разменять 100 руб. так, чтобы общее число казначейских билетов было нечётным?
85. Что больше: произведение двух чисел или произведение наибольшего общего делителя этих чисел на наименьшее общее кратное?
86. Найти наибольший общий делитель двух чисел, если при делении на него их наименьшего общего кратного в частном получается произведение этих чисел.
87. Наименьшее общее кратное двух чисел, не делящихся друг на друга, равно 90, а наибольший общий делитель их 6. Найти эти числа.
88. Может ли наибольший общий делитель двух чисел быть больше их разности?
89. Найти остаток от деления 123 456 на 9.
90. Найти остаток от деления 123 456 на 15.
91. Число 13*045* (где звёздочки — цифры) делится на 72. Найти это число.
92. Доказать, что число я2 — 8 ни при каком целом значении п не делится на 5.
93. Доказать: «Если в трёхзначном числе средняя цифра равна сумме крайних, то число делится на И».
94. Доказать: «Любое нечётное число и половина следующего за ним чётного числа суть числа взаимно простые».
95. Разность двух нечётных чисел равна 8. Доказать, что эти числа взаимно простые.
96. Имеется несократимая дробь, большая единицы. Можно ли утверждать, что избыток этой дроби над единицей является также несократимой дробью?
97. Доказать: «Если дробная часть смешанного числа несократима, то полученная при обращении смешанного числа неправильная дробь также несократима».
98. Можно ли утверждать, что при любых целых а,
q2
больших двух, дробь несократима?
а — 1
99. Какая из дробей ближе к единице: правильная или обратная ей неправильная?
100. Найти все натуральные значения р, при которых числа pf р 10 и р + 14 оказываются простыми числами,
43


Некоторые свойства точных квадратов
101. 	Сумма квадратов двух последовательных целых чисел равна 365. Найти эти числа.
. 102. Сумма квадратов трёх последовательных целых чисел равна 365. Найти эти числа.
103. Может ли квадрат чётного числа быть пятизначным числом, состоящим из цифр 1, 4, 5, 9, 9?
104. Доказать, что разность квадратов двух любых нечётных чисел делится на 4.
105. Найти дробь, равную 0,4, если известно, что сумма числителя и знаменателя этой дроби есть двузначное число, являющееся точным квадратом.
106. Найти трёхзначное число, если известно:
1) Это число — точный квадрат.
2) Если прочитать его справа налево, то получившееся трёхзначное число также есть точный квадрат.
3) Каждая из трёх цифр числа — точный квадрат.
107. Почему 4-я степень трёхзначного числа не может быть равна 76 864?
108. Доказать: «Чтобы число, оканчивающееся цифрой 5, возвести в квадрат, достаточно число десятков его умножить на следующее натуральное число и к произведению приписать справа 25».
109. Квадрат числа состоит из цифр 0, 2, 3, 5. Найти его.
110. Сформулировать и доказать правило для возведения в квадрат смешанных чисел, дробная часть которых
1
равна -
111. Среди трёх последних цифр числа, являющегося точным квадратом, имеются цифры 0, 0, 5. Назовите четыре последние цифры этого числа.
112. Квадрат числа состоит из цифр 2, 2, 5, 5, 5. Найти его.
113. Может ли число вида асас* (где а и с—цифры) быть точным квадратом?
114. Может ли число вида abcabc (где а, b и с — цифры) быть точным квадратом?
* Выражение вида асас здесь и в дальнейшем означает число, в котором буквы а, с и т. д. обозначают цифры (а не сомножители произведения).
п


115. Может ли произведение двух последовательных чётных (или нечётных) чисел быть точным квадратом?
116. Может ли произведение двух последовательных целых чисел быть точным квадратом?
117. Доказать, что ни при каком целом п число 5п2 + 10 не может быть точным квадратом.
118. Доказать: «Сумма квадратов пяти последовательных целых чисел не может быть точным квадратом».
119. Когда трёхзначное число, являющееся точным квадратом, умножили на 6, то произведение оказалось кратным 5; когда же из него вычли 6, то разность оказалась кратной 6. Найти это число.
120. При каком значении а число а2 + а + 1589 окажется точным квадратом?
121. Почему при делении точных квадратов на 3 в остатке никогда не получается 2?.
122. Найти наибольшее чётное пятизначное число, первые три цифры которого образуют точный квадрат, а по- ледние три цифры — точный куб.
123. Доказать: «Сумма квадратов двух любых нечётных чисел не может быть точным квадратом».
124. Может ли разность квадратов двух целых чисел равняться числу 7422?
125. Квадраты простых чисел 5, 7, И, 13, 17 и 19 делили на 24. В остатке каждый раз получалась 1. Была высказана гипотеза: квадраты всех простых чисел, больших 3, при делении на 24 дают остаток, равный единице.
Подтвердите или опровергните гипотезу.
Разные задачи
(на системы счисления, свойства чисел и др.)
126. (Из шуточной автобиографии математика.)
«Учиться я начал очень рано и уже 33 лет от роду успешно перешёл в выпускной класс средней школы. Помню, что последний экзамен на аттестат зрелости совпал с днём моего рождения: в этот день мне исполнилось 100 лет...»
Объясните странности этой записи и укажите, в каком возрасте автор её окончил школу.
127. Какое четырёхзначное число в любой системе счисления оказывается точным кубом?
45


128. 	Число 121 в десятеричной системе счисления есть точный квадрат (II2 = 121). Будет ли число, изображённое такими же цифрами—121, точным квадратом в других системах счисления?
• 129. При каком условии число, изображённое в двоичной системе счисления, будет кратным 4?
130. Как проще всего показать, что произведение 40! (40! = 1-2-3. ... -39-40) не может быть точным квадратом?
131. Может ли 4-я степень целого числа быть семизначным числом, состоящим из цифр 2, 3, 3, 5, 5, 7, 7?
132. Назовите три последние цифры произведения
25-27-49.75.
133. При каком условии число аЬсъ делится на 4?
134. Доказать: «Всякое целое число есть либо степень числа 2, либо сумма различных степеней числа 2».
135. Попробуйте, не производя вычитания 7234 — 4867, выяснить, делится ли разность этих чисел на 9.
136. Какое число нужно вычесть из числителя дроби
537
— и его же прибавить к знаменателю, чтобы после со- 463
кращения получить дробь — ?
137. Сформулировать признак делимости на 3 для чисел, записанных в шестеричной системе.
138. Сформулировать признак д лимости на 4 для чисел, записанных в двенадцатеричной системе.
139. Взяты числа вида 2п— 1(1, 3, 7, 15, 31 и т. д.). Докажите, что все эти числа при изображении их в двоичной системе записываются с помощью только одной цифры — единицы.
140. Какие двузначные числа, записанные в четверичной системе, изображаются одинаковыми цифрами, а будучи записанными в двоичной системе, изображаются хотя и другими, но также одинаковыми цифрами?
141. От А до В автомобиль шёл со скоростью 40 км в час, а обратно — со скоростью 60 км в час. Какова средняя скорость автомобиля за весь рейс (туда и обратно)?
142. Из железного прута хотят сделать цепь либо в
46


80 звеньев, либо в 100 звеньев. Во втором случае каждое звено окажется на 5 г легче. Сколько весит прут?
143. На один товар два раза была снижена цена, каждый раз на 15%. На другой товар, бывший до снижения в одной цене с первым, снизили цену один раз на 30%. Какой из этих товаров после снижения цен стал дешевле?
144. На заводе две соревнующиеся бригады с одинаковым числом рабочих выполняли одинаковую работу. При подведении итогов соревнования оказалось: первая бригада на единицу продукции тратила времени на 20% меньше нормы, а вторая бригада за отчётный период регулярно выполняла 122 — 123% планового задания.
В какой бригаде производительность труда выше?
145. Пройдя половину пути, пароход увеличил скорость на 25%, благодаря чему прибыл на конечный пункт на полчаса раньше срока. Во сколько часов пароход прошэл весь путь?
146. Окружность переднего колеса экипажа 1,6 ж, заднего 2,25 м. Определить наименьшее расстояние, которое должен проехать экипаж, чтобы оба колеса обернулись целое число раз.
147. Из корзины взяли 3 яблока, затем треть остатка и ещё 3 яблока. После этого в корзине осталась половина первоначального количества яблок. Сколько всего яблок было в корзине?
148. Возраст моего внука в 1959 году был равен сумме цифр года его рождения. Сколько лет внуку?
РЕШЕНИЯ
1. Среди всех целых чисел от 1 до 99 нечётных чисел
50. 	Каждая из разностей 99 — 97, 95 — 93, 3 — 1 равна 2. Всего же таких разностей 25.
2. 64 • 125.875 = (8 • 125) - (8 125)-7 = 7 000 000.
3. 12— 14 56 = (12~8)-(14-7) = 9800.
4. 12 12--54 = 3 (4-12—-2) 27 = 8100.
2 . 2
5. 2,85 — 1*4+ 6-: 3 =? (2,85 + 2,15) — I1- =
15 20 15
47


6. 	42-.7-4 — 17-60 = 170-7 — 170-6 = 170.
2
7 — 8. Предварительно устанавливаются, если это не было известно раньше, правила для возведения в квадрат целых чисел, оканчивающихся цифрой 5, и смешанных
чисел, дробная часть которых :
(10а + 5)2 = (100а2 + 100а) + 25 = а(а + 1). 100+25,
т. е. «чтобы возвести в* квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, достаточно число десятков его умножить на следующее натуральное число и к произведению приписать 25».
Аналогично:
(а ~1~ т)2 — а? + а \ — а(а + 1)+ ,
2 4 4
т. е. «чтобы возвести в квадрат смешанное число с дробной
1
частью y> достаточно целую часть смешанного числа
умножить на следующее натуральное число и к произведе- 1
нию приписать -j ».
24502 - 2452 • 102 = 60 025-100 = 6 002 500.
14—-'43— = (14- -14-)-3 = (14 15 + —)-3 =
2 2 2 2 4
= 210—-3 = 630- .
4 4
9. 1) 85-95 = 85.(100 — 5) = 8500 — 425 = 8075.
2) 85 -95 - 85 (85 + 10) = 852 + 850 = 7225+850.
3) 85-95 = (90 — 5)-(90 + 5) = 902 — 52=8100—25.
10. Если бы здесь были неверны сами цифры — 3, 4, 1, то, конечно, такую ошибку обнаружить, «посчитав в уме», нельзя: Но здесь ошибка в неправильном положении запятой. Обычно такие грубые ошибки найти легко: свободно округляя числа данного выражения, прикиды-
1•12*42
ваем «в уме»: :—= 12-3 = 36 и видим, что в резуль-
6Ч
тате должно быть двузначное число.
48


П. 1) 13,2-7-i- = 6,6-15 = 66 + 33 = 99 (руб.)
2) 	13,2-7— = 13,2-(10---) = —-3 = — -3 =
2 . 4 4 2
= 33-3 = 99 (руб.)
12. 	Представим эту сумму так:
72-14 + 72* 17 + 72-19 и, применив распределитель ный закон, будем иметь: 72 (14 + 17 + 19) = 72 50 =
= 1^= 3600.
2
74 .147 _ 73 (73 4- 1). 147- 73
id.
73-147 + 74 73-147 + 74
73.147 + (147 — 73) _ j
73-147 + 74
14. (5-5,27 — 5-4,27) — (6,27 — 4,27) - 5-1 — 2 - 3.
15. См. решение № 13.
16. 782 — 77-78 + 122 = 78-(78 — 77) + 122 - 200.
17. Знаменатель дроби на 36 больше её числителя. Ес¬
ли из каждого члена дроби вычесть одно и то же число, то разность их не изменится. Но после вычитания отношение нового числителя к новому знаменателю должно быть 1 : 3. Получаем задачу: найти два числа по их разности (36) и отношению (1 : 3). Решение: 3 — 1 = 2; 36 : 2—
1 18
= 18; 18*3 = 54. Итак, дробь, равная —, есть —, которая
получается после вычитания 13 из членов данной дроби.
18. (37,75 + 22,25)(37,75 — 22,25) = 60-15,5 = 155-6 =
- 930.
19. Любая дробь, большая — и
11 165 II 165 165
мер пшая —, будет больше — и меньше —. Чтобы получить 165 J 11 11 J
дрс,'и со знаменателем 15, выберем в этом промежутке
дроби, допускающие сокращение на 11; таких дробей бу-
77 88 7 8
дет две: — и —. Итак, искомые дроби и —.
165 165 15 15
31
20. Правильная дробь — ближе к единице, чем пра-
36
вильная дробь — (так как — < —). Следовательно,— > —.
1 27 36 27 36 27
Заказ 1685
49


21. Приводя дроби к общему числителю, имеем:
ПО ПО 175 177*
22 1 51 1 51 ^ 22
22. — < — а —> —, значит, — > —.
67 3’ 152 3/ 152 67
37 370 300
23. — = —. Этой дроби «не хватает» до единицы —.
67 670 670
„ „ 377 300 „ 300 . 300
Дроби же — «не хватает» до единицы —-. Но —- > —-
г 677 677 6/0 677
37 377
значит, — < —.
67 677
24 —- — 37-101 = 21 6767 ~ 67-101 ~ 67'
25. 	22,5% = 12,5% + 10% = — + 0,1; 21 + 16,8 =
= 37,8.
9« 38,4-87 __ 87-38,4
100 100 ‘
27. 85% от 72 составляют 72 без 15% от 72, т. е. 72 — — (7,2 + 3,6) = 61,2.
28. 87,5% от 76 составляют 76 без 12,5% от 76, т. е.
76 --76 = 76 — 9,5 = 66,5.
8
29. 37 — % от 72,8 составляют— от 72,8, т. е. 9,1-3 =
2 8
= 27,3.
30. 80 составляет 160% второй части. Вторая часть 80 : 1,6 = 50.
.31. Разность уменьшится на число, равное ей. Следовательно, новая разность равна нулю.
32. Разность увеличится на число, равное полуторной
о 1
разности, т. е. увеличится в 2~ раза.
33. Сумма двух слагаемых больше одного из них на число, равное другому слагаемому. Следовательно, слагаемыечисла 42 и 60, а искомая сумма равна 102.
34. Прибавим к первому слагаемому 4, а второе оставим без изменения, Сумма таких слагаемых 24, причём по условию второе слагаемое в три раза меньше первого. Значит, второе слагаемое 6, а первое слагаемое 20 — 6= 14.
50


35. Множимое уменьшится в 2 раза, а множитель увеличится в 3 раза; следовательно, произведение увеличится
и 1~ раза.
36. Новое множимое составляет первоначального, но-
4
выи множитель первоначального, новое произведе-
5
24
ние — — первоначального, т. е. произведение уменъши- 1
лось на — часть.
25
37. Делимое умножили на 7, т. е. на число, равное делителю. А затем полученное произведение снова разделили на тот же делитель 7. Что же теперь получится в частном? Очевидно, результатом такого деления будет прежнее делимое, которое по условию равно 7q -\- 2. Следовательно, новое частное (7q + 2) больше прежнего частного q в 7 раз и ещё на 2 единицы.
3S. 	Если делимое увеличить на число, равное делителю, и сумму снова поделить на тот же делитель, то прежнее частное увеличится на единицу; остаток же останется без изменения.
2
39. Новый делитель составляет — прежнего, т. е. равен
3
прежнему, умноженному на —. Значит, новое частное рав-
2
но прежнему, деленному на —, т. е. увеличится в полтора
3
раза.
40. От умножения4 делимого на 4 частное увеличится в 4 раза. При вычитании из делителя “его новый дели-
4 5 тель составит — прежнего и частное увеличится в — раза.
5 4
5
Общее изменение частного — увеличение в 4- — = 5 раз.
9
41. Новое делимое составляет — прежнего, т. е. преж-
10 ^
нее делимое уменьшено в — раза. .Прежнии же делитель увеличен в — раза. Следовательно, частное уменьшилось
4*
51


10 11 И 9
в ________ раза, т. е. частное уменьшилось на — его
9 10 9 11
42. Все дроби вида —, где я — любое натуральное
10/1
число, не изменяют своего значения при прибавлении к
числителю 4 и к знаменателю 10. (Действительно: —п 4 —
v 10/1+10 4(л + 1) 4 4п ч ~ 4п
= - = — = —.) Сократив —. получим искомую
10(п +1) ю 10я 10п .
дробь
5
43. При прибавлении знаменателя к числителю дробь увеличивается на 1. По условию единица равна удвоенному значению искомой дроби: искомая дробь' — .
44. Дробь, увеличившись вдвое, увеличилась на 1. Значит, сама дробь равна 1. Следовательно, удовлетворяющей условиям будет любая дробь, у которой числитель равен знаменателю.
45. При прибавлении знаменателя к знаменателю он увеличивается вдвое и, следовательно, сама дробь уменьшается в 2 раза. Чтобы дробь увеличилась вдвое, необходимо, чтобы прибавление знаменателя к числителю увеличило числитель в 4 раза, т. е. чтобы знаменатель был в 3 раза больше числителя. Значит, удовлетворяющими этому условию будут все дроби вида — , где п — любое
3/2
натуральное число. Из всех дробей такого вида несократима дробь —.
46. Из. первого условия сразу видно, что числитель искомой дроби 2. Дробь с числителем 2 может быть целым
2 1 п
числом лишь в двух случаях: — и —. Следовательно, знаменатель искомой дроби равен либо 2 + 2 = 4, либо 1 +
2 2
+ 2 = 3, а сама дробь — либо — , либо —. Несократимой дробью является .
47. Частное увеличится в 3 раза и ещё на 2 единицы. Новый остаток будет 20.
48. Если бы каждое слагаемое увеличили в 3 раза, то
52


сумма была бы 81. Разность 111—81 = 30 составляет
удвоенное первое слагаемое.
49. По первому условию истинное частное равно 6-2= = 12. Значит, утроенное частное равно 36. По второму условию делимое равно 36*6 = 216.
50. Правильной дроби — «не хватает» до единицы
Ь Ь
- а -|- п (b -j- п) — (а 4- п)
а дроби —1— «не хватает» до единицы —=—■—- ==
b + п Ь п
Ь — а гг b — а . b — а а а 4- п
— Но > , значит, — <
Ь + п b b + п b Ь п
51. Единственное чётное простое число 2.
52. Три (и только три) простых числа имеются в двух десятках первой сотни: 41, 43 и 47; 71, 73 и 79.
53. В десятке 90 — 99 имеется только одно простое число — 97.
54. Число вида аааа = аа-101 = а-11-101. Чтобы такое число имело только два простых делителя, множитель а должен быть равен 1 (1 не является простым числом). Итак, искомое число 1111 и его два простых делителя 11 и 101.
55. Различных делителей, содержащих только двойки,— 3. Различных делителей, содержащих только тройки, — 4. Различных делителей, содержащих и двойки и тройки, — 3-4 =12. Всего различных делителей, включая делитель 1, — 3 + 4 + 12 + 1 = 20.
56. Пусть меньшее из чисел а. Сумма а + (а + 1)+ + (а + 2) = За + 3 больше 3 и делится на 3, т. е. является числом составным.
57. Из четырёх слагаемых два числа будут чётными (сумма их — чётное число) и два числа будут нечётными (сумма их тоже чётное число). Поэтому сумма всех четырёх чисел — чётное число, большее 2.
58. Все четыре слагаемые не могут быть нечётными (иначе сумма их была бы числом чётным). Значит, среди этих чисел хотя бы одно число — чётное; но тогда и произведение их — число чётное.
59. Слецует сосчитать «в уме» сумму остатков от деления каждого слагаемого на 3. Если получится число, кратное 3, ти и сама сумма делится на 3 (и наоборот). В данном случае 1 + 1 + 1 4- 2 = 5 не делится на 3.
60. Искомое число делится на 5 на 3 и на 4. Числа 3, 4 и 5 попарно взаимно простые. Следовательно, оно делит-
53


ся на 3-4-5 = 60. Единственное двузначное число, делящееся на 60, есть само число 60.
61. Меньшее число, а также большее число — чётные, причём одно из них кратно 4, и, следовательно, произведение этих чётных чисел кратно 8. Но из трёх последовательных целых чисел одно всегда кратно 3, значит, произведение трёх таких чисел делится на 24.
62. Получившееся четырёхзначное число заведомо делится на взятое двузначное число и, следовательно, будет числом составным.
63. Число должно быть кратно 8: последняя цифра его может быть только 4. Но число кратно и 9: первая цифра его может быть только 4.
64. (2п + 1) + (2/2 + 3) = Ап + 4. Каждое слагаемое делится на 4, значит, и сумма делится на 4.
65. Если одно из взятых чисел кратно 3, то и произведение их будет кратно 3. Если же ни одно из них не кратно 3, то они могут иметь только вид 3/2 + 1 или 3п + 2. Если же числа имеют вид 3п + 1 или 3/2 + 2, то разность их кратна 3. Если же одно из них имеет вид 3п + 1, а другое 3п + 2, то кратной 3/2 будет их сумма.
68. Наименьшее общее кратное — а, наибольший общий делитель — с.
67. При составлении НОК берут все простые множители одного из чисел; значит, в состав НОК войдёт и группа общих множителей, т. е. НОД.
68. НОК чисел 2, 3, ..., 9, 10 равно 5-7..8-Э = 2520. Искомое число на единицу больше.
69. Произведение любого числа на 9 кратно 9. Если простое число, удовлетворяющее условию задачи, существует, то произведение его на 9 сдно из чисел: 333, 666, 999 Но 999 : 9 — число трёхзначное, а 666 : 9 — число чётное. Делим 333 на 9. Получаем простое число 37.
70. 1) Множимое не может оканчиваться нулём (иначе первая цифра его тоже 0 и число не будет четырёхзначным) Значит, последняя и первая цифры его — 5. Множимое имеет вид 5**5.
2) Произведение множимого на ту и другую цифры множителя — четырёхзначные числа. Значит, множитель — И.
3) Произведение кратно 9, а множитель— 11. Значит, число 5**5 кратно 9, причём обе средние цифры его одинаковы. 5 + * + * + 5 ф 27, так как сумма цифр долж-
54


на быть чётной. 5 + * + * + 5 = 18, откуда одинаковые средние цифры 4.
71. Сумма а + Ъ оканчивается нулём. Поэтому а2 — Ь2 = (а + Ь)(а — Ь) тоже оканчивается нулём. А это возможно лишь в случае, если а2 и b2 оканчиваются одинаковыми цифрами.
72. Пусть искомое число ас. Обращённое число са.
Тогда:
_1_ас
-jy? (так как по условию а + с = 10).
Итак, имеем ас + са — 110, а по условию ас — са = 36, откуда ас = 73.
73. Стоимость покупки в копейках есть произведение 1320• 7,5 = 132-75. Каждый из этих сомножителей делится на 3, значит, произведение должно быть кратно 9. Между тем 9960 на 9 не делится.
74. На искомый делитель делятся: 100 — 4 = 96 и 90 — 18 = 72. Значит, этот делитель — общий делитель чисел 96 и 72. Из общих делителей 96 и 72 мы должны выбрать такие, которые больше 18 (так как полученный в одном из делений остаток 18 должен быть меньше делителя). Таким общим делителем будет 24.
75. НОК (2, 3, 4, 5 и 6) = 3-4-5 = 60. Искомое число 60 — 1 = 59.
76. Допустим, что среди чисел а, а + 2, а + 4 нет числа, кратного 3. Так как среди трёх последовательных целых чисел обязательно есть число, кратное 3, то в тройке чисел а + 1, а + 2, а + 3 кратно 3 либо а + 1, либо а + 3. В первом случае (а+1) + 3 = а + 4 тоже будет кратно 3, а во втором случае кратным 3 окажется (а + + 3) — 3 — а. Таким образом, мы непосредственно пришли к «утверждению положения через отрицание его». (Рас- суждэние такого рода является разновидностью способа «от противного».)
77. Если простое число, большее 3, делить на 6, то з остатке могут получиться лишь числа 1 и 5 (так как чис- ла 6я + 2, 6/г + 3 и 6п + 4 — составные). В первом случае делимое 6/2 +1. Если же остаток равен 5, то делимое на 1 меньше числа, кратного 6, т. е. имеет вид 6/2— 1. Про числа вида 6/2 + 1 можно лишь сказать, что они не
55


делятся на 2 и на 3 и никаких соображений, подтверждающих справедливость обратной теоремы, нет; простейшие примеры (25 = 6-4 + 1, 35 = 6-6 — 1) опровергают её.
78. Всякое простое число, большее 3, можно представить в виде 6k ± 1 (см. № 77). Но 6k + 1 = 3-2k + 1 = = 3/г + 1, где п — некоторое чётное число.
79. Одно из чисел п и п + 1 заведомо чётное. Следовательно, надо лишь показать, что один из сомножителей делится на 3. Если ни п, ни п -f 1 не делятся на 3, то на 3 делятся и п — 1, и п + 2, а значит, и (п — 1) + (п + 2) = .= 2п -f 1, т. е. третий из сомножителей.
80. Пусть простое число d — какой-нибудь из делителей произведения ab. Тогда либо а \ d и b не делится на d (так как по условию а и b взаимно простые), либо наоборот. Значит, сумма а + b не делится на d и у чисел а + + Ь и ab общих делителей нет.
81. Пусть d какой-нибудь простой делитель а; тогда b на d не делится. Одно слагаемое суммы а + b таким образом делится на d, а другое нет; значит, сумма не делится на d, т. е. у чисел а и а + b общих делителей нет;
дробь —— несократима. а + Ь
82. (100а + 106 + с) — (100с + 106 + а) = 99а — 99с — число составное.
83. 1^1601 <41; ближайшее, меньшее 41, простое число 37 Если мы непосредственным делением выяснили, что 1601 не делится ни на одно простое число до 37 (включительно), то оно не разделится и ни на одно последующее простое число. Докажем это.
Допустим, что 1601 делится, например, на 47. Частное будет меньше 41, причём 1601 делится на это частное. Частное не может быть простым числом, так как уже установлено, что 1601 не делится ни на сдно простое число, меньшее 41 Но частное не может быть и составным числом, так как тогда среди делителей его, а следовательно, и делителей 1601 были бы простые числа, меньшие 37. Итак, допущение следует отвергнуть, и испытания можно прекратить на числе 37.
84. Предположим, что билетов разного достоинства будет а, b и с. Чтобы а + b + с было числом нечётным, необходимо иметь , среди чисел а, 6 и с либо одно нечётное слагаемое, либо все три. И в том, и другом случае сумма
56


а + 3b + Ъс окажется числом нечётным, т. е. не может быть равной 100; задача решения не имеет.
85. 	Пусть d — наибольший общий делитель чисел а и о. Тогда а — dm и b = dn, причём у чисел т и п одинаковых множителей нет (т и п — «недостающие» множители). По правилу образования наймет шего общего кратного, k = ап (или Ьт), т. е. k = dnm, а произведение наименьшего общего кратного k на наибольший общий
делитель kd = d2mn. Но и произведение ab — dm-dn =
= d2mn, т. е. оба произведения равны.
88. По условию k : d = ab. Согласно предыдущей задаче kd = ab. Верными эти дза равенства одновременно могут быть лишь при d = 1.
87. k = 90 = dm/z (см. № 85)/ Но d = 6, следователь¬
но, m/г = 15. Нельзя допустить, чтобы т или п были равны 1, так как тогда одно из искомых чисел было бы d и, следовательно, другое число делилось бы на него. Значит, тип могут быть лишь числами 3 и 5, и тогда а = dm = = 6*3= 18 и b ~ dn = 6-5 = 30 (или наоборот).
88. Рассмотрим разность а — b\ a id и 6 • d\ следовательно, и а —b делится на d. Но число не может делиться на число, большее его; следовательно, в любых случаях а — b>d.
89. Сумма цифр делимого 21. Ближайшее меньшее число с суммой цифр, делящейся на 9, на 3 меньше данного. Следовательно, остаток от деления равен 3.
90. Чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 5. Ближайшее меньшее число с суммой цифр, делящейся на 3, и с последней цифрой 0 и 5 есть 123 450; оно на 6 меньше данного: остаток от деления равен 6.
91. Число делится на 8 и на 9. Число 45* делится на 8 лишь в случае, если последняя цифра 6. Сумма цифр числа должна делиться на 9, значит, число 1 380 456.
92. Если бы /г2 — 8 делилось на 5, то оно оканчивалось бы цифрами 0 и 5, а п2 — цифрами 8 или 3 Но квадраты целых чисел не оканчиваются цифрами 3 и 8.
93. По условию рассматриваемое число имеет вид 100а +- 10(а + с) + с = 110а + 11с, которое заведомо делится на 11.
94. Надо показать, что 2а + 1 и а + 1 взаимно простые. У чисел а и а + 1 нет общих делителей, значит, нет общих делителей и у а + 1, и у а + (а + 1).
57


95. а — b = 8. Допустим, что d — какой-нибудь общий делитель а и 6, отличный от единицы. Тогда разность а — Ь, т. е. 8, тоже делится на d. Но d, как делитель 8, может быть только одним из следующих чисел: 2, 4 и 8. В любом из этих случаев окажется, что а и b — чётные числа, что противоречит условию. Значит, допущение, что а и Ь имеют отличный от единицы общий делитель, следует отвергнуть.
96. Пусть —— несократимая дробь и а>6. Избыток
Ь
этой дроби над единицей а — несократимая дробь (см. № 81).
YtX
97. Пусть в смешанном числе а + — числа тип
п
, т ап + пг
взаимно простые, а + — = 1—. ап делится на я, но т
п п
не делится на п, а значит, не делится на п и ап + т. Следовательно, у числителя и знаменателя неправильной
дэоби — общих делителей нет. п
АО й2 (а2 1)4-1 111 1 гг е* 1
98  . = i —— = а + 1 + . Дробь
а — 1 а — 1 а — 1
несократима. Но —— — дробная часть смешанного числа а — 1
,1,1 а2
а + 1 + и, следовательно, несократимая дробь
а — 1 а — 1
(см. № 97).
99. Пусть — — правильная дробь; 1 — — = Из-
b b ь
быток над единицей неправильной дроби — составляет
а
b , b — a rp , b — а b — а
1 = , Так как а <Ь, то < , т. е. пра-
а а b а
вильная дробь ближе к единице, чем обратная ей неправильная дробь.
100. Если р — простое число, большее 3, то р = Зп±1. Если р = Зп + 1, то р+ 14 = Зп + 1 + 14 = Зп + 15- число составное, так как делится на 3. Если же р = — Зп — 1, то р + 10 = Зп — 1 + 10 = Зп -f 9 — число составное, так как делится на 3. Остаётся рассмотреть случаи: р = 2 и р = 3. При р = 2 числа р + Ю и р + 14 — чётные, т. е. числа составные. При р — 3 будем иметь:
58


р + 10 = 13 — простое число; р + 14 = 17 — число простое; все три числа будут простыми лишь при р = 3.
101. Квадрат одного из искомых чисел должен быть
меньше а квадрат другого — больше. Следовательно, квадраты искомых чисел два последовательных точных квадрата, между которыми заключается число 182,5, т. е. 169 и 186. Искомые числа 13 и 14.
102. 365 : 3 = 121— — число, близкое к 112 = 121.
3
Взяв точные квадраты, между которыми заключается 121, т. е. числа 100 и 144, будем иметь: 100 + 121 + 144 = = 365. Искомые числа 10, И и 12.
103. Последняя цифра квадрата чётного числа может быть здесь только 4. Следовательно, предпоследняя цифра будет 1, 5 или 9. Но числа 14, 54 и 94 на 4 не делятся, между тем как квадрат чётного числа всегда делится на 4.
104. а2 — Ь2 — (а + Ь) (а — 6), и если а и b — нечётные числа, то а + b и а — Ь — числа чётные и, следовательно, а2 — b2 делится на 4.
9/2
105. Всякая дробь, равная 0,4, имеет вид —, где п —
Ьп \
любое натуральное число. Сумма 2п + Ьп — 7п может быть двузначным точным квадратом лишь при п = 7.
106. Из трёхзначных точных квадратов условиям этой задачи удовлетворяет 144 (или 441).
107. Квадраты целых чисел оканчиваются цифрами 0, 1, 4, 5, 6, 9; квадраты квадратов, т. е. четвёртые степени чисел, будут оканчиваться лишь цифрами 0, 1, 5 и 6. В числе же 76 864 последняя цифра 4.
108. См. решение задачи № 7—8.
109. Расположение цифр в степени может быть только 3025. Но 30 = 5 х 6. Следовательно, искомое число 55.
110. См. решение задачи № 7—8.
111. Если бы последней цифрой точного квадрата была цифра 5, то предпоследней должна быть цифра 2. Значит, порядок последних цифр может быть лишь такой:. 5, 0, 0 Таким образом, основание степени есть произведение числа, оканчивающегося цифрой 5, на 10. При возведении в квадрат первого сомножителя получится число, оканчивающееся на 25. Следовательно, последние цифры степени 2500.
112. Цифра 2 не может быть последней цифрой квадрата целого числа. Значит, последняя цифра его 5. Но тогда и
59


искомое число оканчивается цифрой 5, а предпоследняя цифра квадрата его должна быть 2. Таким образом, последовательность двух последних цифр квадрата искомого числа 2 и 5. Число сотен его, составленное из оставшихся цифр 2, 5, 5, должно быть чётным, так как оно является произведением а(а + 1), где а — число десятков искомого числа. Следовательно, число сотен квадрата искомого числа 552. Так как а2 < а(а +1) < (а + I)2, то а2 — ближайший к 552 меньший его точный квадрат: а2 = 529 и а — = 23. Искомое число 235.
ПЗ. асас = ас • 101. Простое число 101 содержится в произведении заведомо в первой степени: асас'не может быть точным квадратом.
114. abcabc — abc • 1001 = 7 • 11 • 13 • abc. Все три простых множителя 7, 11 и 13 не могут войти в состав произведения в чётных степенях, так как трёхзначное число abc <7-11-13. Следовательно, abcabc не может быть точным квадратом.
115. а(а + 2) = а2 + 2а — число, меньшее точного квадрата на единицу, не может быть точным квадратом.
116. а(а +1) — число, большее а2 и меньшее (а + I)2, но число, заключённое между двумя последовательными точными квадратами, не может быть точным квадратом.
117. 5/г2 + Ю = 5(п2 + 2); но число /г2 + 2 не оканчивается ни нулём, ни 5 (так как п2 ни при каком п не
оканчивается цифрами 8 и 3). Следовательно, в разложении числа 5/г2 + 10 множитель 5 содержится в нечётной степени; 5/г2 + 10 не может быть точным квадратом.
118. (а — 2)2 + (а — I)2 + а2 + (а + I)2 + (а + 2)2 -
— 5а2 + 10 и т. д. (см. № 117).
119. Число кратно 5 и 6. Так как по условию число является точным квадратом, то оно кратно 900. Единственное трёхзначное число, кратное 900, есть 900.
120. При любом с число a2 -f- а + с будет точным квадратом, если положить а = с— 1. Действительно, в этом случае а2 а + с = (с — I)2 + (с — 1) + (с — 1) + 1 =
= (с — I)2 + 2(с — 1) + 1 - 1(с — 1) + 1 J2 = с2. Таким образом, a2 -f а + 1589 при а = 1588 будет точным квадратом числа 1589.
121. Если число кратно 3, то и квадрат его делится на 3 (остаток равен нулю). Если же число некратно 3, то оно имеет вид Ъп±\ и квадрат его будет 9/22 ± 6п + 1, т. е.
60


квадрат такого числа на единицу больше числа, кратного 3: остаток от деления такого числа на 3 равен единице.
122. Первая цифра трёхзначного чётного точного куба служит последней цифрой точного квадоата; этому уело* врио удовлетворяют лишь 83 = 512, 43 = 064 и 2;{ = 008. Наибольший трёхзначный точный квадрат, оканчивающийся цифрой 5, будет 625, а оканчивающийся цифрой 0 будет 900. Искомое число 90 064.
123. (2а Ч- I)2 + (2b + I)2 = 4а2 + 4а + 1 + 462 + +4b + 1 =4(а2 + а + Ь2 + Ь) + 2. Это число делится на 2, но не делится на 4; значит, в разложение этого числа множитель 2 входит в нечётной (первой) степени; число не может быть точным квадратом.
124. а2 — Ь2 = 7422. Числа а и b либо одновременно чётные, либо одновременно нечётные. В том и в другом случае каждый из множителей а + Ь и а — 6, произведение которых образует а2 — 62, числа чётные, и произведение их делится на 4; разность квадратов двух чисел не может равняться 7422.
125. Пусть р > 3 — простое число. Рассмотрим число р2 — 1 = (р — 1) • (р + 1). Так как р нечётно, то р — 1 и р + 1 два последовательных чётных числа; значит, одно из них кратно 2, другое 4, а произведение кратно 8. Среди трёх последовательных целых чисел р — 1, р, р 1 есть число, кратное 3. Но р, как простое число, большее 3, не делится на 3. Значит, на 3 делится либо р — 1, либо р +1. Таким образом, число р2 — 1 кратно 3 - 8, т. е. р2 — 1 = = 24/г, или р2 — 24k + 1, что и показывает, что при делении р2 на 24 в остатке получается единица.
126. Ключом к решению является вытекающее из условий задачи равенство 33 +• 1 = 100, которое верно в системе с основанием 4 (и только в этой сйстеме).
128. Возьмём любую систему с основанием, большим 2.
и;- (*+ I)2 - 1.x2 + 2.Х + 1 = 121, .
129. Если последняя цифра числа, изображённого в двоичной системе, единица, то это число нечётное и делиться на 4 не будет. Значит, последняя цифра — нуль. Если предпоследняя цифра этого числа единица, то число будет чётным, но не делящимся на 4 (так как общее число единиц его будет 4п + 2). Значит, и предпоследняя цифра числа — нуль. Если же две последние цифры числа нули, то число будет делиться на 4.
61


130. Возьмём ближайший к 40 простой сомножитель
37. 	В составе произведения 40! других чисел, кратных 37, нет, т. е. среди сомножителей 40! есть простое число в нечётной степени (в первой степени). Значит, 40! не может быть точным квадратом.
131. Четвёртая степень целого а есть квадрат целого числа а2. Из указанных цифр последней цифрой точного квадрата может быть только 5; а тогда предпоследняя цифра 2. Число сотен точного квадрата, получаемое, по правилу, умножением двух последовательных натуральных чисел, есть число чётное, но из оставшихся цифр 3, 3, 5, 7, 7, образовать чётного числа нельзя.
132. 25 • 27 • 49 • 75 = 252 • 92 • 72=(25-63)2 =* (^j2=
= 15752 = (157 • 158) • 100 + 25. Произведение 157-158 оканчивается цифрой 6 и степень 15752 имеет вид ****625.
133. abcb = а . 52 + b 5 + с = (24а + а) + (4b +
+ Ь) с = (24а + Щ + (а + Ъ + с). Первое слагаемое на 4 делится. Значит, чтобы сумма делилась на 4, надо, чтобы и второе слагаемое а + b + с, т. е. сумма цифр числа аис5У делилось на 4.
При мечание. Этот результат нетрудно обобщить и получить признак делимости на 4 для чисел в пятеричной системе: «На 4 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 4».
134. В двоичной системе число, изображаемое 1 с последующими п нулями, есть 2Л. Всякое иное число, будучи изображено в двоичной системе, может состоять лишь из цифр 0 и 1, причём первая его цифра — единица. Если его теперь представить как сумму разрядных единиц, то, так как в изображении числа будет не менее двух единиц, оно окажется равным сумме различных степеней числа 2.
135. Сумма цифр уменьшаемого 16. Значит, остаток от деления 7234 на 9 равен 7. Сумма цифр вычитаемого 25 и остаток от деления 4867 на 9 тоже 7, следовательно, разность делится на 9,
130. 	537 + 463 = 1000. Сумма нового числителя с новым знаменателем тоже 1000, а отношение их 1 : 9. Найдя два числа по сумме и частному (100 и 900), устанавливаем, что искомое число 537 — 100 = 437.
62


137. (anan- i ,.м1а9)6 — ап6п + ап~\ б"-1 + ... + т~ °\6 + я0 =: + я0- '^гобы это число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы я0 j 3. Так как а0 < 6, то а0 делится на 3 в двух случаях: если а0 = 0 и если а0 = 3.
138. Общее число единиц в числе, записанном в две иадцатеричной системе, может быть представлено в вид? 12/е + а, где а — цифра единиц, т. е. одна из цифр 0, 1 2 9, (10), (11). Так как первое слагаемое — \2k — делится на 4, то число будет делиться на 4, если а ; 4, т. е в двенадцатеричной системе на 4 делятся те и только те числа, последняя цифра которых 0, 4 или 8.
139. 2п в двоичной системе изобразится в виде 100...0 Чтобы получить 2п— 1, сделаем вычитание, как принято при письменных вычислениях:
*100 ... 00
— 1_
11 . . . 11
140. Если число в двоичной системе изображается одинаковыми цифрами, то оно может иметь лишь вид П.. 1Ь и, следовательно, является числом нечётным. В системе с основанием 4 оно записывается, по условию, другими одинаковыми цифрами. Оно не может иметь вид 22...224, так как это число заведомо чётное. Значит, оно имеет вид 33... 334, причём число троек в нём меньше 4 (уже ЗЗЗЗ4 > 100). Двузначными числами будут ЗЗ4 = 15 и ЗЗЗ4 = 63. Оба числа 15 и 63 имеют вид 2п — 1 и, следовательно, в двоичной системе изображаются одними единицами.
141. На каждые 2 км всего рейса (1 км «туда» и 1 км
«обратно») автомобиль затрачивает ~ -j- ~ = 2-i- мин. Следовательно, средняя затрата времени на 1 км всего рейса равна 2^- : 2 = 1-^мин., и средняя скорость за весь
рейс составляет 60 : 1— = 48 (км в час.).
142. Если бы сначала железо разрезали на 80 одинако-' вых по весу кусков, а затем от каждого куска взяли по 5 г, то получившиеся 5 • 80 = 400 (г) и составили бы вес
63


дополнительных 20 звеньев Каждое звено весило бы тогда 400 : 20 = 20 (г), а вес 100 звеньев 20 • 100 — 2000 (г).
143. После первого снижения товар стоил 85% перво-
85
начальной цены, а после второго снижения (85 • ——
14 100'/0~
= % ~ 72,25% первоначальной цены. Второй же
товар после снижения цены на него стоил 70% первоначальной цены.
144. Если первая бригада на изготовление некоторого количества продукции затрачивала раньше, согласно норме, 10 час., то теперь на то же количество продукции она затрачивает лишь 8 час. Следовательно, за 10 час. она
изготовит продукции на — = — больше того количества
8 4
продукции, которое полагается по норме, т. е. повысит производительность труда на 25%. Во второй же бригаде производительность труда повышена, согласно условию, лишь на 22—23%.
л л- Т-Т 100
• 14*). На вторую половину пути пароход затратил ----- —
4
= — того времени, которое он затратил на первую поло-
5
вину пути. Разность времени, затраченного пароходом на
первую и вторую половины пути, составляет — того вре-
5
мени, которое пароход затратил на первую половину пути. По условию этот промежуток времени равен часа. Значит, первая половина пути пройдена пароходом за ~5 = ~ 2~ часа, а весь путь пароход прошёл за 2~ 4- 2 =
= 4— часа.
2
146. При подсчёте числа оборотов переднего и заднего колёс расстояние надо делить на длины окружностей их:
8 9
— м и -4- м. Числители этих дробей (8 и 9) должны быть
делителями искомого расстояния; поэтому НОК чисел 8 и
9 и представит искомое расстояние — 72 м.
147. Изъятая из корзины «—остатка» — это — всего
3 3
64


количества яблок без одного яблока. Значит, из корзины
было взято: 3 яблока, — всего числа яблок без 1 яблока
3
и ещё раз 3 яблока, т. е. было взято 5 яблок и — всего числа яблок. По условию это изъятие составляет половину
общего числа яблок. Следовательно, — = — часть
2 3 6
всего числа яблок составляет 5 яблок, т. е. в корзине было 30 яблок.
148. 	Внук родился, конечно, в XX веке. Пусть год его рождения — 19 ас, а возраст 1959—19ас = (5 — а) • 10 + + (9 —с). По условию сумма цифр года рождения внука, т. е. 1 + 9 + а + с, равна его возрасту: 59 — 10а — с. Итак, имеем: 1 + 9 + а4~с = 59 — 10а — с, или 11а + + 2с = 49. Отсюда следует: а < 5 (так как 11а < 50) и а — нечётное число (так как при чётном а сумма 11а + + 2с — число чётное). Но а ф 1 (так как при а = 1 окажется, что однозначное с = 19). Единственное допустимое значение а = 3, откуда 2с = 49 — 33 и с = 8 Итак, год рождения внука — 1938.
5 Заказ 1635


РАЗДЕЛ IV
ЧИСЛОВЫЕ ЗАГАДКИ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕБУСЫ) ДЛЯ УСТНОГО И ПОЛУПИСЬМЕННОГО РЕШЕНИЯ
(Материал для внеклассной работы.)
«Числовые загадки» (или «математические ребусы», «математические кроссворды») — специальные задачи на расшифровку «засекреченных» чисел по скудным следам произведённых над ними действий. Кажущееся отсутствие достаточных данных делает такие задачи особо увлекательными. Так же как и задачи логического характера, с которыми задачи на расшифровку чисел имеют много общего, они неизменно вызывают большой интерес у учащихся и охотно ими решаются. Простейшие задачи типа «числовых загадок» встречались уже в I и II разделах книги.
«Числовые загадки» распределены по двум разделам настоящей книги. Более простые, допускающие устное или полугшсьменное решение, помещены в IV разделе. Задачи, рассчитанные на письменное решение, составляют содержание IX раздела.
Восстановление шаг за шагом неизвестных цифр зашифрованного числа — отнюдь не только математическое развлечение. Во многих случаях работа по расшифровке потребует от ученика проявить находчивость и настойчивость, заставит его умело привлечь сведения по теоретическому курсу и привнести в работу элементы исследования. Несомненно, что увлекательный процесс разгадывания «числовых загадок» принесёт не меньше пользы, чем многие другие задачи, предлагаемые на внеклассных занятиях. Кроме того, эти своеобразные задачи, по содержанию и по форме столь непохожие на стандартные, уже одной своей спецификой внесут оживляющее разнообразие в ход внеклассного занятия. Широка и область применения «число¬
66


вых загадок»: так, более трудные задачи найдут своё место в кружках, школьных олимпиадах и математических стенгазетах, а более лёгкие, допускающие устное решение, — в викторинах и на математических вечерах.
В литературе, посвящённой внеклассной работе по математике, этот вид задач представлен бедно: лишь в немногих книгах имеются отдельные и притом довольно однообразные примеры арифметических ребусов. В большинстве случаев они или совсем просты, или, наоборот, очень сложны. Это обстоятельство побудило автора составить ряд новых, несложных и достаточно разнообразных задач на расшифровку чисел. Цикл из 40 такюс «числовых загадок» (свыше 30 появляются в печати впервые) и составляет содержание IV раздела.
Указание. Звёздочки (*) и буквы (а, Ь, с) заменяют в задачах неизвестные цифры. Числа, зашифрованные буквами, обычно изображаются в виде cib, асс и т. д., причём в одной задаче разные буквы изображают разные цифры, а одинаковые буквы означают одинаковые цифры.
1. Найти слагаемые и сумму в сложении:
4*
I **2
~~**0Т
2. Известно, что число 2*44* делится на 180. Восстановить в делимом 2*44* неизвестные цифры.
3. Найти сомножители в умножении: ,
Н- И» 4*
X *2
■ *08
“ *0*
*12*
4. Найти частное в делении:
*** . д» **
если известно, что делитель 9* — число нечётное.
5. Восстановить неизвестные цифры в сложении:
** -j- а « а**.
67


6. Расшифровать равенство:
10 • * = 3.(3 . *5).
7. Расшифровать равенство:
ас • аса = асас.
8. Число 5**5 — точный квадрат. Найти его.
9. Найти делимое и делитель в делении:
0** . ** _ jg
если известно, что делитель — простое число.
10. Найти множитель и произведение в умножении:
v 19 +**
о*
11. Восстановить неизвестные цифры в умножении:
abc • 5 = dad.
12. Расшифровать равенство:
abc -\- ba — dcca.
13. Расшифровать равенство:
(*-)-*). •-{- 15 = 100.
14. Число 361** делится на 9 и на 13. Восстановить в числе 361** неизвестные цифры.
15. Шестизначное число *7*8*9 делится на 7, 11 и 13. Восстановить в числе *7*8*9 неизвестные цифры.
16. Найги сомножители в умножении:
***
17. Найти делимое и частное в делении:
***|* . j j __
18. Расшифровать равенство:
ab • ас = adc.
Известно, что произведение — число нечётное.
68


19. Найти произведение в умножении1:
Х^с '
I ас
“г ** ■
*****
20. Найти сомножители в умножении:
у*2*
*7
* **
****
****g
3
21. Число ***9 — точный куб. Найти ]/***9.
з
22. Число 9*** — точный куб., Найти /9***.
23. Расшифровать равенство:
adc — cd — ас.
24. Расшифровать равенство:
а • с • ас = ссс.
25. Найти )/***5*0, если известно, что подкоренное число, являющееся точным квадратом, кратно 27.
26. Найти сомножители в умножении:
•1* Ф
-j- ***
**22
27. 	Найти делимое в делении:
**234*:72 - *0***.
1 Здесь ас и сс — двузначные числа ас и сс. Во всех ребусах, в которых запись действия произведена «в столбец» (а не «в строку»), числа, изображённые буквами, принято записывать, как и в задаче
№ 19, без черты сверху.
09


28. Расшифровать равенство.
»
если известно, что все 5 цифр здесь разные и нечётные.
29. Найти делимое, делитель и частное в делении:
* * * * * * *
Ф !}• Н*
**
* * #
"о"
30. Расшифровать равенство:
аа • abc • be = abcabc .
31. Расшифровать равенство:
ас2 = асс .
32. Расшифровать равенство:
асс — сса ~ аа .
33. Расшифровать равенство:
если известно, что все три числа не изменяют своего значения, если прочитать их справа налево.
34. В записи умножения **.** = <#< удалось установить, что произведение состоит из одних четвёрок, но неясно было, сколько в произведении цифр. Найти сомножители.
35. Расшифровать равенство:
ас-4,5 ~~са.
36. Расшифровать равенство:
abc -j- асс -j- dbc = bcc .
70


37. Если в фразе, представляющей зашифрованное сложение:
«РЕШИ, ЕСЛИ СИЛЕН»
каждую букву заменить соответствующей цифрой, то сумма чисел, выражаемых словами «РЕШИ» и «ЕСЛИ», окажется числом, выражаемым словом «СИЛЕН». При этом известно, что наибольшая цифра в числе «СИЛЕН» есть 5, Найти слагаемые и сумму.
38. Найти сомножители в умножении:
1*
X **
***1
39. 	Расшифровать равенство:
cdebc — abed — асас = 0.
40. Найти делитель и частное в делении: ***$5 | **
*7
РЕШЕНИЯ
1. В первом слагаемом цифра единиц — 9. Складываем десятки: 4 + * + 1 = 10, откуда * — цифра десятков второго слагаемого — 5, а цифра сотен — 9 (так как * +
-г 1 —двузначное число).
2. Число 2*44* оканчивается нулём (иначе оно не делилось бы на 180). Так как 180 равно произведению взаимно простых чисел 9 и 20, то 2*440 делится на 9, что воз- можно только в случае, если цифра тысяч здесь равна 8.
3. Цифра сотен в первом частном произведении — 5, так как только в этом случае сумма * + 6 будет числом, оканчивающимся единицей (5 + 6= 11). Значит, первое частное произведение, полученное от умножения множимого *** на 2, равно 508, откуда множимое равно'508 : 2 =
71


== 254. Произведение 254 на первую цифру множителя — число трёхзначное. Значит, эта цифра меньше 4. Так как во 2-м частном произведении цифра единиц 2, то первая цифра множителя может быть только 3.
4. Так как частное здесь — число двузначное, то число, образуемое двумя первыми цифрами делимого, т. е. **>9*, где делитель 9* одно из чисел 91,93,95,97,99. Если допустить, что ** > 9*, то, выполняя деление, получим;
g**| д*
9* I j
где остаток * — одна из цифр: 1, 2, 3,.., 8. Снеся затем к остатку третью цифру делимого, получим одно из чисел — 1*,2*,..., 8*, которое заведомо не делится на 9*. Значит, допущение, что 9* — число, образованное двумя первыми цифрами делимого, больше делителя 9*, отпадает Итак, возможно лишь, что эти два числа равны, и тогда деление будет выглядеть так:
g**i д*
д* п ~
Однозначное число — третья цифра делимого — должно делиться на двузначное число 9*, а это возможно лишь в случае, если эта цифра — нуль. Таким образом, при любом нечётном делителе 9* частное окажется равным 10.
5. Если сумма двузначного и однозначного чисел — число трёхзначное, то цифра сотен его— 1. Но сумма двузначного числа ** -f а = ** + 1 может равняться трёхзначному числу только в случае, если слагаемое ** = 99.
6. Перепишем равенство так: 10 • * = 9 • * + 15. Так как сумма двух слагаемых 10 • * и одного из слагаемых 15 делятся на 5, то и другое слагаемое — 9 • *-также делится на 5. Но 9 и 5 взаимно просты, значит, второй сомножитель в 9 • * делится на 5. Это возможно, если * = 0 или * =
= 5. При * = 0 будем иметь 10 • * = 15, что невозможно. Значит, * = 5 и 10 • * = 3 ■ (3 • 5 + 5) == 60 и множитель * в произведении 10 • * равен 6.
" 7. Перепишем равенство так: аса = асас \ас~ 101, от¬
куда а = 1 и с = 0.
8. 	Если число, оканчивающееся цифрой 5, — точный квадрат, то предпоследняя цифра его — 2, а число сотен
72


этого числа есть произведение двух последовательных натуральных чисел. Но среди чисел 50, 51, 52,..., 59 этому требованию удовлетворяет только число 56 (56 = 7 • 8). Искомое число — 5625.
9. Перепишем равенство так: 6** : 18 = **. Отсюда следует: 1) 6** делится на 9; 2) 6** — число чётное; 3) 6** не делится на 4 (иначе частное ** было бы чётным, а по условию оно число простое). Если сумма цифр чётного делимого 6** равна 9, то делимое либо 612, либо 630 Но первое отпадает, так как 612 делится на 4, а второе отпадает, так как 630 кратно 5 и после деления 630 на 18 в частном также получится число, кратное 5, а по условию частное— число простое. Значит, сумма цифр делимого не может быть равна 9. Допустим теперь, что сумма цифр 6** равна
18. 	Последняя цифра чётного делимого в этом случае не меньше 4. Если эта цифра — 4, то делимое — 684; но 684 делится на 4 По той же причине делимое не может быть равно 648. Если задача имеет решение, то делимое равно 666. Проверим: 666 : 18 = 37, а 37 — число простое.
Другое решение задачи № 9.
Переписав равенство в виде:'6** : 18 = **,’ будем делить 6** на 18 «уголком»:
6** I 18 54 1 3 **
Таким образом, первая цифра частного 3, а так как по условию частное — число простое, то вторая цифра его может быть только или 1, или 7,- Но 31 х 18 < 600, и частным может быть только 37, откуда делимое б** = 37 • 18 = 666.
10. Как уже разъяснялось в предыдущих задачах, второе частное произведение имеет первой цифрой 9. Но при умножении 19 на * произведение будет начинаться цифрой 9 только тогда, если множитель * = 5. Теперь умножение запишется так:
19


Отсюда ясно: первая цифра первого частного произведения — 5. А это возможно лишь в случае, если вторая цифра множителя — 3. Итак, имеем: 19 • 53 = 1007.
11. а — 1, так как уже при а = 2 произведение
abc • 5 — число четырёхзначное.. При умножении с на 5 может получиться лишь число, оканчивающееся нулём (т. е. d = 0) или пятью (т. е. d = 5). Если допустить, что d = 0, то аос • 5 = 10, что невозможно. Значит,
dad = 515 и Wc = 515 : 5 = 103.
12. Запишем для удобства сложение так:
, Ьа +abc
dcca
Непосредственно получим: а + с = а (так как а + с Ф Ф 10 -f с), т. е. с = 0. Четырёхзначная сумма может получиться лишь при а — 9 и тогда d = 1; 6 + 6 — число,
оканчивающееся нулем, причем b + b ф 0 (иначе Ь = 0 — = с, что невозможно). Значит, b + b = 10 и 6 = 5.
13. Перепишем равенство так: (* + *).* = 85, откуда видно, что 85 есть произведение двух сомножителей, из которых один есть число однозначное, а другой есть сумма двух однозначных чисел. Но 85, как произведение, может быть представлено только двумя способами: 1) 85 =
= 85 • 1 и 2) 85 = 17 • 5. Случай 1-й отпадает, так как 85 не может быть суммой двух однозначных чисел. Случай 2-й соответствует условиям, причём 17, как сумма однозначных чисел, может быть представлена единственным образом: 17 = 8 + 9.
14. Числа 9 и 13 взаимно просты. Следовательно, число 361** делится на произведение 9 • 13 — 117. Будем делить 361** на 117:
— 361** 1117 351 1 зо
10*
Так как 10* <117, то вторая цифра частного — нуль: 117-8 = 936 < 10**, следовательно, 10** : 117 = 9 и 10** = 117 . 9 = 1053, т. е. делимое 361** = 36153.
74


15. 	Числа 7, 11, 13 попарно взаимно простые Следовательно, искомое число делится на 7-1113= 1001. Числа вида, abcabc при делении на abc дают в частном 1001; значит, abcabc \ 1001. Число *7*8*9 примет вид abcabc, если положить а — 8, b — 7 и с = 9. 879 879 — единственное шестизначное число, 'имеющее на чётных местах цифры 7, 8 и 9 и делящееся на 1001
18. 	Последняя цифра множителя может быть только 9 (так как даже 999 • 8 < 8000), а тогда последняя цифра множимого — 2. Первая цифра множимого больше 7 (так как 799 • 9 < 8000), но тогда первая цифра множителя может быть только 1 (так как второе частное произведение— число трёхзначное). Так как второе частное произведение получено от умножения множимого на 1, то средняя цифра множимого — 8, Первая цифра множимого, большая 7, не может быть 8, так как 882 • 9 < 8000. Множимое 982, множитель 19.
17. 	Перепишем равенство так:
*д*
*9*
~т *д*
*** j *
Теперь ясно, что цифра сотен второго частного произведения — 9, а цифра единиц — 2. Следовательно, множимое *9* = 992, а произведение — 9920 + 992 = 10912.
18. 1) а — 1, так как 2* • 2* начинается цифрой, не меньшей4, 3*3* в случае трёхзначного произведения начинается цифрой 9, а при а > 3 произведение — четырёхзначное число.
2) b и с — нечётные цифры, большие 1.
3) Произведение нечётных b и с оканчивается цифрой
5. 	При b ф 1 это возможно лишь при с = 5.
4) Имеем: lb • 15 = ld5. Нечётное b ф 1, b ф 5 и Ь< 7 (так 17 • 15 >200). Значит, b = 3 и 13 • 15 = 195.
19. Так как ас • с — ас, то с = 1. Сумма частных произведений ас + **0 равна четырёхзначному числу: это возможно лишь в случае, если первая цифра второго частного произведения есть 9! Но эта цифра есть а. Итак, сомножители — 91 и 11.
75


20. Последняя цифра первого частного произведения — 8, значит, последняя цифра множимого 4. Первая цифра множимого— 1, так как уже 224 • 7 — число четырёхзначное. Произведение множимого 124 на первую цифру множителя — число четырёхзначное. Значит, первая цифра множителя 9.
21. Только число, оканчивающееся цифрой 9, будучи возведено в куб, также будет оканчиваться цифрой 9. Искомое число больше 10, но меньше 25 (так как 253 = = 625 • 25 > 10 000).
В промежутке (10; 25) единственное число, оканчивающееся цифрой 9, есть 19.
22. 203 = 8000; 218 = 441 . 21 = 8820 + 441 — число, начинающееся цифрой 9; 223 = 484 • 22 > 10 000. Значит, единственное число, которое, будучи возведено в куб, даёт четырёхзначное число, начинающееся цифрой 9, есть 21.
23. Перепишем равенство так:
' cd adc
с + d = с, откуда d = 0. Трёхзначная сумма двух двузначных чисел может начинаться только 1. Значит, а — Ь
а + с = ad или 1 + с = 10 и с = 9.
24. Перепишем равенство так: а • ас = ссс : с, т. е. а • ас = 111. Но 111 может быть представлено в виде произведения однозначного и двузначного сомножителей единственным образом: 3 • 37. Значит, а = 3 и
с = 7.
25. Точный квадрат должен оканчиваться чётным числом нулей; следовательно, подкоренное число имеет вид: ***500, а квадратный корень из него — *50. Точный квадрат содержит простые множители в чётной степени, поэтому подкоренное число, делящееся на З3, делится на З4, а квадратный корень из него делится на З2 = 9. Но этот корень равен *50, поэтому неизвестная, первая цифра корня может быть только 4.
26. Произведение множимого на 2 — число трёхзначное, а произведение его на цифру единиц множителя — двузначное число. Значит, эта цифра единиц есть 1. Но
76


тогда цифра единиц множимого — 2 и, следовательно, ■умножение имеет вид
❖ о
+ **4
**22
Так как, очевидно, * +- 4 Ф 2, то * + 4 == 12, т. е. первая цифра первого частного произведения (а следовательно, и первая цифра множимого) равна 8.
27. Последняя цифра делимого — 4, так как оно делится на 8. Сумма двух первых цифр делимого либо 5, либо 14 (так как сумма всех цифр делимого дэлжна делиться на 9). Первое предположение отпадает, так как первая цифра делимого должна быть не меньше 7 (иначе частное не будет пятизначным числом). Таким образом, первые дзе цифры делимого должны образовать одно из трёх чисел: 95, 86, 77. Если делить v 952 344 или 862 344 на 72, то вторая цифра частного не будет нулём, как того требуют условия задачи. Этому условию удовлетворяет лишь 772 344
28. 1) Множитель — не 1 и не 5. Последняя цифра множимого — не 1 и не 5 (иначе среди 5 цифр будут повторяющиеся).
2) Первая цифра множимого меньше 5 (иначе произведение будет трёхзначным). Но эта цифра и не 3, так как в этом случае множитель будет не меньше 7 и произведение окажется трёхзначным.
3) Первая цифра множимого 1, т. е. оно — одно из чисел 13, 17, 19.
4) Если множимое 13, то множитель 7 или 9. Но 13-9 > 100, а 13 7 = 91, и цифра 1 встретится два раза.
5) Также отпадает предположение, что множимое— 17. В этом случае множитель 3 или 9 Но 17 • 9 > 100, а 17 • 3 = 51, и цифра 1 встретится два раза
6) Если множимое 19, то множитель может быть только 3 (так как 19 • 7 > 100) Проверяем: 19 * 3 = 57.
29. Из схемы деления видно, что произведение делителя на 8 есть число двузначное, а произведения делителя на первую и последнюю цифры частного — числа трёхзнач- ные. Отсюда следует:
77


1) Первая цифра делителя — 1 (иначе **-8 будет больше 100).
2) Вторая цифра делителя меньше 3 (так как уже 13- 8= _ Ю4 — число трёхзначное).
3) Первая и последняя цифры частного — 9.
4) Вторая и предпоследняя цифры частного — 0.
Итак, делитель — сдно из чисел: 10, 11 и 12. Но 10*9
и 119 — числа двузначные. Число же 12 соответствует схеме: 12 8=96 — число двузначное, а 12 9= 108 — число трёхзначное. Итак, делитель — 12, и деление будет выглядеть так;
******* I 12
'108 I 90809
**
~~96
* * *
—J08 0
Теперь видно, что три первые цифры делимого — 1, 0, 8. Четвёртая цифра—9. При вычитании 9*—96 в остатке должна получиться 1, следовательно, пятая цифра делимого — 7, а шестая и седьмая цифры — 0 и 8.
30. Перепишем равенство так:
аа • be = abcabc : abc = 1001 =7 • 11 • 13. Сгруппируем сомножители 7, 11, 13 так, чтобы получить два двузначных сомножителя, из которых один состоял бы из одинаковых цифр. Возможны две комбинации: 1) аа— = 11 иЬс=7-13=91; 2) аа=7-11=77 иЬс = \3. Первая комбинация отпадает, так как в этом случае а= 1 ис=1, что невозможно.
Вторая комбинация даёт решение ребуса: а=7, 6=1, с—3.
31. Из данного равенства следует: асс : ас—ас. Будем делить асс на ас :
асс | ас
ас I 1 “ с
Но однозначное с делится на двузначное ас в единственном случае: когда с=0. Итак, ас= 10.
78


32. Перепишем равенство так:
, аа 1 сса асс
Если а-)-а<10, то а+с=с и а=0, что невозможно. Значит, а+а=10+с и а+с+1 = 10+с (так как а+с+1фс), откуда а=9. Но а+а—10+с, т. е. 10+^:= 18 и с= 8.
33. Четырёхзначная сумма двузначного и трёхзначного чисел имеет первой цифрой 1, причём трёхзначное слагаемое должно начинаться цифрой 9. По условию, это слагаемое имеет вид '9*9, а сумма 1**1, где обе средние цифры одинаковы, а слагаемое ** состоит из одинаковых цифр. Запишем сложение так:
**
+ 9*9
р*1
отсюда ясно: последняя (а следовательно, и первая) цифра первого слагаемого — 2; вторая (а следовательно, и третья) цифра суммы — 0. Слагаемое же 9*9=1001 — 22=979.
34. **-**<10 000. Следовательно, возможны лишь два допущения: 1) **.**=4444 и 2) **.**=444. Если **.** = =4444=44 101 и так как 101 — число простое, то 4444 не- ппедставимо в виде произведения двух двузначных чисел: предположение первое надо отвергнуть. Если же** ** = =444=4 • 111=2 2 3 37, то такое произведение четырёх со. множителей можно представить в виде произведения двух двузначных чисел и притом единственным способом: (2.2-3)-37. Таким образом, **-**=12-37=444.
35. 1) ас> 10; ас<25 (так как 25*4~ — число трёхзначное).
2) ас — число чётное (любое нечётное число, умноженное на 4~, не даст в произведении целое число).
3) са кратно 9 (так как са——-9, гДе^ — число Целое)
4) ас кратно 9 (так как сумма а+с делится на 9).
5) ас кратно 18 (так как ас делится на 2 и на 9, а числа 2 и 9 — взаимно простые).
79


6) 	Между числами 10 и 25 единственное число, делящееся на 18, есть число 18. Вывод: ас—18.
36. Запишем сложение так:
abc
-\-acc
dbc
bcc
1) Сумма с-\-с+с оканчивается цифрой с. Это возможно лишь в двух случаях: с=5 или с=0..Если с—Ъ, то 6+5+ +6+1 = 15 и 26=9, что невозможно. Значит, с=0.
2) При с=0, складывая десятки, будем иметь: 6+0+6= = 10 (при допущении, что 6+0+6=0, получим, что 6=0=с, что невозможно), т. е. 26=10 и 6=5.
3) Складывая сотни, будем иметь: a+a+d+1=5, т. е. 2a+d=4. Так как аф0, то d — чётное число, меньшее 4. Но d-ф0, значит, d=2 и, следовательно, а— 1.
37. 1) С= 1 и Н — чётная цифра.
2) И ф-0 (иначе и Н=0); И ф 1, значит, Н^2. Но в «СИЛЕН» наибольшая цифра—5, значит, чётное Н или 4 (и тогда И = 2, так как И=^=7), или Н = 0 (а И=5).
3) Если И=5, то Р + Е=СИ=15 (так как Е+С<10). Между тем при наибольшем Р=9 и наибольшем Е=4 сумма Р + Е=13 Значит, допущение И=5 и Н=0 отпадает.
4) Таким образом, И=2 и Н = 4, а Р + Е= 12 (так как Е + + С< 10). Наибольшее Е = 5; но Е^4 и Е=^=2. Значит, или Е = 5 (и Р=7), или Е=3 (и Р=9).
5) Если Е=5, то Е+С=5+1 и окажется Л>5, что невозможно Если же Е=3 и Р=9, то в числе «СИЛЕН» будут заняты цифры: С=1, И=2, Е=3 и Н = 4. Значит, Л=5, получаемое сложением Е+С+1=3+1 + 1 при Ш+Л=13, откуда Ш=8
Итак, имеем:
, 9382 + 3152 12534.
38. Первое частное произведение оканчивается единицей Поэтому для последних цифр обоих сомножителей возможны лишь четыре комбинации: 1 и 1, 3 и 7, 7 и 3, 9 и 9. Но произведения 111, 13-7 и 17-3 — числа двузначные,
80


а по условию первое частное произведение — число трёхзначное. Значит, единственно возможно, что последние цифры сомножителей 9 и 9, т. е. перемножаются числа 19 и *9. По условию произведение 19 на первую цифру множителя — число двузначное, значит, наибольшее значение этой цифры— 5. Но по условию 19-*9—число четырёхзначное,
19-49<980 — число трёхзначнсе; значит, наименьшее значение первой цифры мн.жителя — 5. Итак, эта цифра — 5.
39. Перепишем равенство так:
I abed ' асас cdebc
1) Сразу видно: d= 0 (так как d+c=c) ис= \ (как первая цифра пятизначной суммы двух четырёхзначных чисел).
2) a+a=cd= 10; отсюда а=5 (допустить, что а+а+1 = = 10, нельзя, так как а + аф9).
3) с+а= 1 +5—6, т. е. 6=6; Ь + с= 6+1=7, т. е. с=7.
40. Из первого вычитания ***—*7=* вытекает, что *7+* = *** — число трёхзначное, что возможно только, если'*7=97; тогда сумма ***=10*. Произведение делителя ** на первую цифру частного равно 97; но 97 — число простое и поэтому единственно возможным здесь .будет: делитель **=97, а первая цифра частного— 1. Из схемы видно, что вторая цифра частного — 0. > Произведение делителя 97 на последнюю цифру частного оканчивается цифрой 5, что возможно только, если последняя цифра частного — 5.
б Заказ 1035


РАЗДЕЛ V
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ «НА СООБРАЗИТЕЛЬНОСТЬ» (ДЛЯ РЕШЕНИЯ БЕЗ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ)
(Материал для внеклассных занятий.)
V раздел книги содержит 30 арифметических задач.
Основное требование, которое здесь ставится, — решать задачи чисто арифметическими средствами, «рассуждением», не прибегая к составлению уравнений и использованию буквенной символики
Решение любых арифметических задач, если только они не слишком просты или трафаретны, всегда требует догадки, умения вдумываться и находить «свэй путь» к решению каждой отдельной задачи. В этом их трудность, но в этом и их неоспоримая польза для развития мышления.
Большинство задач, включённых в раздел, повышенной трудности Для многих из них характерен тот «интригующий момент», который особенно привлекает и активизирует пытливого ученика Часть задач этого раздела тесно примыкает к так называемым задачам логического характера. Поэтому естественное место для работы над такими задачами — внеклассные занятия.
Первые задачи V раздела сравнительно просты. Они сходны с «маленькими» задачами III раздела (см. III раздел № 141 — 148) Как и те, они предполагают устное или полуписьменное решение и могут быть использованы в массовых формах внеклассной работы Остальные задачи V раздела рассчитаны на письменное решение в условиях кружковых занятий в VI—VIII классах.
1. 	Первую половину рукописи машинистка перепечатывала по б страниц в час, а вторую половину — по 12 стра¬
82


ниц в час. Сколько страниц в среднем печатала машинистка за 1 час?
2. Цена билета для входа на стадион была 1 руб 80 коп. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50%, а выручка выросла на 25%. Сколько стоил билет после снижения входной платы?
3. Наблюдатель, стоявший на мосту длиной 150 ж, заметил, что поезд прошёл мимо него за 10 сек., а на движение по мосту затратил 25 сек. (считая с момента вступления на мост паровоза и до момента, когда последний вагон сошёл с моста). Найти длину и скорость поезда.
4. Я еду в трамвае и замечаю, что параллельно трамвайной линии в противоположном направлении проходит мой приятель. Через минуту я вышел из вагона и, чтобы догнать приятеля, пошёл вдвое быстрее его, но в 4 раза медленнее трамвая. Через сколько минут я догоню приятеля?
5. На трёх полках стоят книги. На нижней полке книг в 2 раза меньше, чем на остальных двух, на средней — в 3 раза меньше, чем на остальных двух, а на верхней полке стоит 30 книг. Сколько всего книг на трёх полках?
6. Колхозница привезла на рынок 5 корзин с яблоками двух сортов, в которых соответственно было 20, 25, 30, 35 и 40 яблок. В каждой корзине были яблоки одного сорта. Продав целиком одну корзину, она обнаружила, что яблок И сорта у неё осталось в 2 раза меньше, чем яблок 1 сорта. Сколько у неё осталось яблок II сорта?
7. После того как пешеход прошел 1 км и половину оставшегося пути, ему ещё осталось пройти треть всего пути и один километр. Чему равен весь путь?
8. Имеются казначейские билеты по 3 руб. и по 5 руб., всего 50 билетов. Часть денег была истрачена на покупку книг, после чего трёхрублёвых билетов осталось в 2 раза меньше, а пятирублёвых билетов в 3 раза меньше, чем их было раньше. Всего же билетов того и другого достоинства осталось 19. Сколько стоили книги?
9. (Старинная задача). 12 человек несут 12 хлебов. Каждый мужчина несёт по 2 хлеба, женщина — п0 у хлеба,
ребёнок — по хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?
10. Два мотоциклиста одновременно выехали из Л в В. Первый весь путь ехал со скоростью 25 км в час, а второй
6*
83


первую половину пути ехал со скоростью 30 км в час, а вторую — со скоростью 20 км в час. Кто из них раньше прибыл* в В?
И. Инженер ежедневно приезжает поездом на вокзал в 8 час. утра. Точно в 8 час. к вокзалу подъезжает автомобиль и отвозит инженера на завод. Однажды инженер приехал на вокзал в 7 час. утра и пошёл навстречу машине. Встретив машину, он сел в неё и приехал на завод на 20 мин. раньше, чем обычно. Определить показание часов в момент встречи инженера с машиной.
12. От пункта А до пункта В 15 км. Из А вВв9 час. 30 мин. отправился пешеход, идущий со скоростью 4 км в час. На следующий день в 11 час. он отправился в обратный путь и шёл со скоростью 5 км в час. Каждый раз он проходил по мосту, находящемуся на этой дороге, в одно и то же время. Определить показание часов при прохождении пешеходом моста.
13. Между городами А и В через возвышенность ходит автобус. При подъёме на возвышенность он идёт со скоростью 25 км в час, а при спуске — со скоростью 50 км в час.
От Л до В автобус идёт Зу часа, а от В до Л —4 часа. Найти расстояние между городами А и В.
Задача взята из книги И. Я. Депмана «Рассказы о решении задач» .
14. Утром в магазин привезли б бидонов молока, в которых было 15, 16, 18, 19, 20 и 31 л молока. До обеденного перерыва было полностью продано молоко из трёх бидонов, а к закрытию магазина продали целиком молоко ещё из двух бидонов. Оказалось, что утром молока было продано вдвое больше, чем после обеда. Указать, из каких бидонов было продано молоко до обеденного перерыва?
15. На столе стоит кипящий самовар, продолжающий кипеть во всё время чаепития. 5 человек могут выпить весь
самовар за 1-^ часа, а 8 человек — за 1 час. За сколько
часов выпьют самовар И человек? (Предполагается, что выкипание воды и распитие чая происходит равномерно).
16 (Задача Ньютона). Трава на всём лугу растёт одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы её за 24 дня, а 30 коров — за 60 дней. Сколько коров по-
84


ели бы всю траву за 96 дней? (Предполагается, что коровы поедают траву равномерно.)
17. (Задача, приписываемая Эйлеру). Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми своими сыновьями, некто составил такое завещание,
«Старший из моих сыновей должен получить 1000 руб.
и -- часть остатка; следующий — 2000 руб. и — нового ос-
8 8
татка; третий сын — 3000 руб. и — часть третьего ос-
8
татка и т.д.». Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
18. (Задача, приписываемая JI. Толстому). Косцы должны были скосить два луга. С утра они все вместе стали косить большой луг. По прошествии половины рабочего дня косцы разделились: половина косцов осталась на большом лугу и к вечеру его докосила, а другая половина перешла косить другой луг, вдвое меньший первого, но не успела к концу дня закончить косьбу. На другой день на этот луг вышел один косец и в течение всего дня докосил его. Сколько всего было косцов?
19. Гребец, плывя вверх по Неве, потерял под Кировским мостом спасательный круг. Обнаружив потерю лишь через 10 мин., он повернул обратно и, гребя с тем же усилием, нагнал круг на расстоянии 1 км от Кировского моста. Определить скорость течения Невы.
20. В двух сосудах находится по 540 л воды. Из одного сосуда вытекает в минуту 25 л, а из другого — 15 л. Через сколько минут в одном из сосудов останется воды в шесть раз больше, чем в другом?
21. Самолёт летел из А в В. Сначала он летел со скоростью 180 км в час, но когда ему осталось лететь на 320 км меньше, чем он пролетел, он увеличил скорость до 250 км 13 час. Оказалось, что средняя скорость самолёта на всём цути 200 км в час. Определить расстояние от А до В.
22. Два велосипедиста одновременно выехали из пунктов А и В навстречу друг другу. Приехав в конечный пункт, каждый сейчас же поворачивал и ехал обратно. Первый раз они встретились в 40 км от В, а через 8 час. после этой встречи в 20 км от А они встретились второй раз. Найти расстояние от А до В и скорость каждого велосипедиста.
23. Из Л в В выехал автомобиль, шедший со скоростью ' 40 км в час. Через некоторое время из Л в В по той же до¬


роге вышел другой автомобиль со скоростью 60 км в час, который должен был прибыть в В одновременно с первым
з
автомобилем. Пройдя — пути, первый автомобиль вынужден был вследствие неисправности мотора вдвое уменьшить скорость, благодаря чему второй автомобиль нагнал первый в 45 км от В. Найти расстояние от А до В.
24. Два самолёта, обследуя трассу, одновременно вылетели из пунктов А и В навстречу друг другу. Через 6 часов они встретились.
Через несколько дней первый самолёт вторично обследовал часть трассы и через 9 часов после вылета вернулся в Л. На следующий день из В вылетел второй самолёт и за 7 часов обследовал оставшуюся часть трассы.
За сколько часов каждый самолёт мог бы обследовать всю трассу, полагая, что скорость каждого из них в обоих полётах остаётся неизменной?
25. Трое путников одновременно отправляются из пункта Л в пункт В, расстояние между которыми 30 км. В их распоряжении имеется повозка с лошадью, вмещающая лишь двух человек. Скорость лошади 15 км в час, а пешехода 5 км в час. Как им следует распорядиться лошадью, чтобы за наименьшее время всем троим одновременно прибыть в В?
26. В шахматном клубе были организованы два турнира: в I турнире играли 4 шахматиста 1-го разряда, а во II турнире — 6 шахматистов 2-го разряда. В обоих турнирах каждый игрок играл по одной партии с каждым из остальных участников своего турнира. Оказалось, что победитель I турнира набрал столько же очков, сколько и победитель II турнира. Сколько очков набрал каждый из участников II турнира?
27. Некто на вопрос, сколько ему лет, ответил спросившему так: «Мне теперь вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда мне было столько же лет, сколько вам теперь. Когда же вам будет столько лет, сколько мне теперь, то нам вместе будет 63 года». Сколько лет каждому?
28. В старой ученической тетради задача и её решение были записаны карандашом. От большинства цифр остались лишь неразборчивые следы и запись выглядела так:
Задача. Смешаны яблоки двух сортов. Яблок одного сорта было взято на сумму ** рублей, а другого — на
86


*1 руб. Вес всех смешанных яблок составил * 7 кг. Сколько стоил 1 кг смеси?
Решение: 1) ** + *1 = ***
2)
~о~
Восстановить текст и решение задачи.
29. 	В математическом кружке ученики составляли числовые ребусы. Один из учеников показал учителю составленный им ребус:
X
+
*0* 51
* *40*
Просмотрев ребус, учитель сказал: «Одна из цифр здесь явно неверна; кроме того, для расшифровки ребуса эта цифра и не нужна, её вполне можно заменить звёздочкой».
Укажите неверную цифру, замените её звёздочкой, а затем расшифруйте ребус.
30. 	В математическом кружке учитель предложил ученикам такой числовой ребус:
х 4
*00*
“Г ***]
Приступив к решению, несколько учеников вскоре заявили, что в ребусе имеются явные ошибки. Выслушав доводы учеников, учитель сказал: «А теперь снова подумай* те над решением, имея в виду, что в записи умножения здесь нет никаких ошибок».
Подумайте над этим и вы и расшифруйте этот ребус.
87


РЕШЕНИЯ
1. На каждые 2 страницы рукописи (одну из первой половины рукописи, а другую — из второй половины) маши-
1,11 ,
нистка затрачивала — + — = — часа, а всего за 1 час она в
среднем перепечатывала 2-4=8 страниц.
2. Входная плата с каждых двух зрителей до снижения была 3 руб. 60 коп. После снижения вместо каждых двух зрителей стадион посещали 3 человека, платившие
3 руб. 60 коп.+90 коп.=4 руб. 50 коп. Стоимость билета
4 руб. 50 коп : 3=1 руб. 50 коп.
3. На прохождение расстояния, равного длине поезда, поезд затрачивает 10 сек., а на прохождение такого же расстояния плюс 150 м — 25 сек. Значит, скорость поезда
150: (25—10)= 10 (м в сек.) или = 36 (км в час).
Длина поезда 10.10=100 (м). 1000
4. Пусть расстояние, проходимое приятелем за 1 мин., есть единица. Тогда расстояние, проходимое мной за 1 мин., составляет 2 единицы, а расстояние, проходимое трамваем за 1 мин., составляет 8 единиц. Когда я сошёл с трамвая, расстояние между мной и приятелем составляло 8+1=9 единиц. Нагоняя приятеля, я каждую минуту сокращал расстояние между нами на 2—1 = 1 единицу. Следовательно, чтобы догнать приятеля, мне потребовалось 9 : 1=9 (мин.).
5. Еслй число книг на нижней полке принять за единицу, то число книг на средней и верхней полках вместе будет две единицы, а общее число книг на всех трёх полках— три единицы. Следовательно, число книг на нижней полке составляет ~ общего числа книг. Аналогично найдём,
что на средней полке находится — общего числа книг, Тог- * 4
1,1 7
да на нижнеи и средней полках вместе будет ~ + — = — общего числа книг и, следовательно, 30 книг верхней
полки составляет 1 —- = — общего числа книг; число
12 12
5
книг на всех трёх полках будет 30 : ~ = 72 (книги).
6. Всего у колхозницы было 150 яблок. После продажи


2
части яблок число яблок I сорта составило а II сорта —
— числа оставшихся яблок. Значит, число оставшихся яб- 3
лок кратно 3. Но первоначальное число яблок (150) также кратно 3; следовательно, и проданное число яблок кратно
3. 	Но единственная из пяти корзин, в которой число яблок было кратно 3, была корзина с 30 яблоками; эта корзина и была продана Осталось у колхозницы всего 120 яблок.,
а II сорта осталось 40 яблок.
7. Когда пешеход прошёл 1 км и половину оставшегося пути, ему осталось пройти вторую половину оставшегося пути. Но, с другой стороны, по условию задачи, ему оставалось пройти у всего пути и 1 км. Значит, после того как
.. г 2
пешеход прошел 1 км, его путь составлял — всего пути и
3
ещё 2 км. Но оставшийся путь на 1 км меньше всего пути.
Значит, ~ всего пути составляет 1+2=3 (км), а весь путь — з
9 км.
8. Если бы после покупки книг билетов каждого достоинства осталось бы в 2 раза больше, чем это было фактически, то всего оставшихся билетов оказалось бы 38 и среди них было бы всё первоначальное число трёхрублёвых
2 ^ билетов и — первоначального числа пятирублевых биле- 3
тов. Значит, — первоначального числа пятирублёвых би- 3
летов составляет 50—38=12 (билетов), а всё первоначальное число пятирублёвок — 36 билетов. Трёхрублёвок же было 50—36 =14 (билетов). На покупку книг было истрачено 7 трёхрублёвок и 24 пятирублёвки. Книги стоили 3 7+ 4-5.24*141 (руб.).
8, 1) Мужчин было меньше 6 (на 7 и более мужчин не хватило бы хлебов. Если бы мужчин было 6, они взяли бы все 12 хлебов и на остальных 6 женщин и детей хлебов бы не осталось).
2) 	Мужчин было больше 3 (трое мужчин несли бы 6 хлебов, и оставшиеся 9 женщин и детей могли бы нести не больше 4— хлебов из оставшихся 6 хлебов. Тем более невоз- 2
можно, чтобы мужчин было 1 или 2).
89


3) Мужчин было 5 (если бы мужчин было 4, то оставшиеся 8 человек могли бы нести оставшиеся 4 хлеба лишь в том случае, если бы среди них не было детей, что противоречит условию задачи).
4) 5 мужчин несут 10 хлебов. На 7 женщин и детей приходится 2 хлеба. Если бы все 7 человек были только дети,
з 1
то они снесли бы 1— хлеба. Недостающие — хлеба будут
восполнены, если считать, что вместо одного ребёнка хлеб несёт женщина. Итак, мужчин было 5, женщин 1 и детей 6.
10. 	Второй мотоциклист 1 км первой половины пути проезжал за 2 мин., а 1 км второй половины пути за 3 мин. Значит, средняя скорость его 2 км в 5 мин., или 24 км в час; первый мотоциклист прибыл в В раньше.
И. По сравнению с обычным своим рейсом машина не проехала на этот раз расстояния от места встречи с инженером до вокзала и обратно — от вокзала до места встречи. Экономия составила 20 мин. Значит, место встречи находилось в 10 мин.4 езды до вокзала, куда машина должна была прибыть в 8 часов. Следовательно, в момент встречи часы показывали 7 час. 50 мин.
12. Смысл задачи -и ход её решения не изменится, если считать,, что встречное движение из В в А совершается другим пешеходом и происходит в тот же день, причём мост — место встречи этих двух пешеходов.
До 11 час. первый пешеход успел пройти 4-1,5=6 (км). В этот момент расстояние между пешеходами было 15—6= =9 (км). Каждый час они сближаются на 4+5=9 (км), значит, встреча произойдёт через 9 : 9=1 (час), т. е. в 12 часов,
13. В книге И. Я. Депмана «Рассказы о решении задач», откуда заимствована задача № 13 (в ней только несколько изменён вопрос), приведено решение её. В журнале «Математика в школе» (№ 5 за 1959 год) в статье А. И. Островского имеются ещё 4 варианта решения этой задачи. Если учитель найдёт время показать на занятиях кружка несколько вариантов решения одной задачи (а это очень полезно), он найдёт необходимый материал в указанных источниках. Мы приведём здесь лишь одно решение (в статье А. И. Островского «вариант № 2»):
Рейс автобуса в оба конца продолжается 7— часов; при
этом общее расстояние, которое он проходит в гору, равно расстоянию, которое проходит под гору. Но в гору он идёт
90


в два раза медленнее, чем под гору; следовательно, на всех подъёмах он находится в 2 раза дольше, чем на всех спусках. Таким образом, из 7~ часов на спуски он затрачивает
2 1 часа, а на подъёмы —5 часов, и расстояние от Л до В
равно 25-5=125 (км) (так как расстояние, проходимое автобусом в гору «туда», и расстояние в гору при рейсе «обратно» в сумме и составят расстояние от Л до В).
14. Целое число литров молока, проданного до обеда, вдвое больше целого числа литров проданного после обеда; значит, число литров молока, проданного за этот день, кратно 3. Но всего в магазин было завезено 119 л молока, а 119 при делении на 3 даёт в остатке 2, значит, и число литров в непроданном бидоне должно при делении на 3 дать в остатке 2. Из 6 чисел (15, 16,..., 31) таким является только 20. Отсюда, за весь день было продано 119—20=99 л: утром 66 л, вечером 33 л. Как сумму двух слагаемых, 33 л можно образовать из данных чисел единственным образом: 15+18. Следовательно, утром были проданы бидоны в 16 л, 19 л и 31 л.
15. Так как 8 человек выпивают весь самовар за 1 час, то вместимость самовара составляет 8 порций (если «порцией» называть количество чая, выпиваемое 1 человеком за 1 час) плюс то количество воды, которое выкипает в течение часа. Но по первому условию задачи вместимость самовара с 1 1 7 1
5 . 1 = 7_ порции плюс то количество воды, которое
t 1
выкипает за \— часа; значит, за полчаса выкипает полпорции, а за 1 час 1 порция, и полная вместимость самовара 9 порций. За первые полчаса чаепития 11 человек выпьют
5 у порций, и выкипит за это время полпорции; всего за
полчаса количество воды в самэзаре уменьшатся на 6 порций. Оставшиеся 3 порции будут выпиты за 15 мин. Таким образом, 11 человек выпьют самовар чая за 45 мин.
16. За 24 дня 70 коров съедят 24-70=1680 пайков (если «пайком» называть количество травы, съедаемое 1 коровой за 1 день). В эти 1680 пайков входят первоначальный запас травы и прирост её за 24 дня. 30 коров за 60 дней съедят 60 * 30= 1800 пайков. Так как в обоих случаях была съеде-. на вся трава на лугу, то излишние 1800—1680=120 пай-
91


ков составляют прирост за 60—24=36 дней; значит, прирост за 24 дня 80 пайков и первоначальный запас травы 1680— —80= 1600 пайков. За 96 дней прирост будет 80-4=320 пайков, и общий запас травы для прокорма стада в течение 96 дней будет 16004-320= 1920 пайков. За 1 день будет съедаться 1290 : 96=20 пайков, т. е. стадо должно состоять из 20 коров.
17. 	Так как все сыновья получили поровну, то — часть
8
каждого нового остатка была на 1000 руб. меньше-- части
предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был
на 8000 руб. меньше предыдущего. Так как, по условию,
все деньги были поделены полностью, то, когда младший
сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч pv6-
.... 1 гт леи, еще — часть остатка, этого остатка не оказалось. Но 8
тогда предыдущий остаток.8000 руб. Из него предпоследний сын получил — часть, равную 1000 руб., а остальные 8
7000 руб. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было 7, а завешенная сумма 7000-7=49 000 (руб.).
18 Примем объём работы, выполняемой за день всей бри- гадол косцов, за единицу. Тогда на большем лугу была выполнена работа: за первую половину дня —■ единицы н за
1 3
вторую половину дня — единицы, всего — единицы. Второй 4 4
3 3
луг в два раза меньше, он требует —: 2 = — единицы рабо-
4 8
ты. Во второй половине первого дня на нём была выполнена работа в ~ единицы, а осталось на следующий день
3 11 * . „ *
—-—единицы работы; по условию такой ооъём ра- 8 4 8
боты выполняет 1 косец за 1 день, Значит, в бригаде должно быть 1 : —~ = 8 (косцов).
19. 	Допустим, что в момент потери гребцом спасательного круга течение Невы прекратилось. Посмотрим, изменится ли в связи с этим тот промежуток времени, который гребец фактически затратил, чтобы догнать круг.


/( — место потери круга (черт. 11).
М — место круга через 10 мин. после потери.
А — место лодки через 10 мин. после потери.
D — место, в котором гребец догнал круг.
В случае прекращения течения произойдёт: 1) круг останет- t , t Т" .
ся неподвижным в /(; 2) гребец 8 а к м D
за 10 мим. проплывёт не только расстояние КА, но и ещё рассто- Черт. 11
яниеЛ В, равное/ОМ, — расстояние, на которое течение отнесло его назад. Следовательно, в момент поворота лодки (через 10 мин.) расстояние между гребцом и кругом в обоих случаях будет о д и н а к о в ы м (В К=А М).
Но вот гребец повернул и поплыл по течению. Легко видеть, что время, необходимое гребцу, чтобы нагнать увлекаемое лишь течением тело, не зависит от скорости течения. Действительно, то добавочное расстояние (по сравнению с расстоянием в стоячей воде), которое проплывает гребец из-за наличия течения, равно расстоянию, которое проплывает в то же время круг, увлекаемый лишь течением.
Таким образом, будем иметь: 1) Гребцу надо было нагнать расстояние AM, отделяющее его в момент поворота от круга. Но АМ = В1(. 2) Полагая, что плавание происходит в стоячей воде (что не влияет на расчёт времени), гребцу на проплытие от В до /(, где находится неподвижный круг, требуется столько же времени, сколько от К до В.
3) От /\ до В гребец плыл 10 мин., значит, от В до К он плыл тоже 10 мин. и нагнал круг в К через 20 мин. после потери.
4) За 20 мин. круг фактически проплыл 1 км\ скорость течения 3 км в час.
20. Допустим, что уже через 1 мин. в одном из сосудов воды будет в 6 раз больше, чем в другом, и вместе с тем на 25—15=10 (л) больше, чем в другом. Находя два числа по их разности и частному, получим: в том сосуде, из которого вытекло 25 л, осталось воды 10 : (6—1)=2 (л). Но тогда первоначально в нём было 2+25=27 (л). На самом деле в нем было 540 л, т е. время 1 минута в 540 : 27=20 раз меньше истинного. Истинное время — 20 минут.
21. По условиям задачи всю трассу самолёта можно разбить на 3 участка (черг. 12), где участки АС и DB равны, а длина участка CD=320 км. Вообразим, что из А одновременно с первым вылетает второй самолёт со ско-
93


ростыо 200 км в час. Он прибудет в В одновременно с первым самолётом. На участок CD первый самолёт потратил на
— — — часа больше второго самолёта. На каждых
180 20 Э 45
10 км участка АС первый самолёт отстаёт от второго на
— —= — часа, а на каждых 10 км участка DB первый
180 200 180
о 10 10 1 п
самолет опережает второй на часа‘ ^ледо"
вательно, на каждые 20 км (10 км участка АС и 10 км
участка DB) первый самолёт опережает второй на
1 1 1
—- — — == — часа.
100 180 225
320 км АС 0 В
. —4 » ' )
A CD В 20 км 4.0 км
Черт. 12 Черт. 13
Чтобы нагнать опоздание в —часа, сделанное на участ-
45
ке CD, первый самолёт должен пролететь таких 20-кило-
8 1
метровых этапов столько, сколько раз в —содержится— ,
45 225
т. е. — • — = 40, что составит 20-40=800 (км). Таким об- 45 225
разом, расстояние А5=800+320= 1120 (км).
. 22. D — место первой встречи в 40 км от В (черт. 13). С — место второй встречи в 20 км от А.
Очевидно, в момент первой встречи в D оба велосипедиста вместе проехали всё расстояние А В После этого первый велосипедист проехал от D до В и обратно от В до С, а второй от D до А и обратно от А до С, где они вторично встретились через 8 час. после 1-й встречи. Но легко видеть, что оба велосипедиста вместе за эти 8 час. проехали двойное расстояние А В, и, следовательно, их первая встреча в D произошла через 4 часа после выезда из конечных пунктов: скорость второго велосипедиста 40 : 4= 10 (км в час). Так как затем он за 8 час. проехал от D до А и от А до С, причём на 20-километровый участок АС он затратил 2 часа, то участок DA будет равен 10-6=60 (км), а весь путь ЛВ=60+40= 100 (км) Первый велосипедист 60 км от А до D проехал за 4 часа; скорость его 15 км в час.
94


23. Если бы первый автомобиль весь путь шёл с нормальной скоростью, то в момент, когда второй автомобиль оказался в 45 км от В, т. е. в 45 мин. езды от В, и первый автомобиль был бы в 45 мин. езды от В, т. е. в 30 км от В—на 15 км впереди второго автомобиля Но
на самом деле встреча произошла i ■ , н
в 45 км от В, т. е. к моменту ветре- a D с 8
чи первый автомобиль прошёл на 15 км меньше, чем предполагалось. Черт. 14
При замедленной скорости в 20 км в час потеря 15 км произошла за — часа. Следовательно, и пройденное первым 4
автомобилем расстояние от момента аварии до встречи со вторым автомобилем также составляет 15 км. Таким обра-
зом, первый автомобиль, пройдя -- пути, оказался в 15+
+45=60 (км) от В. Следовательно, весь путь от Л до В равен 240 км.
24. При совместном полёте на обследование всей трассы затрачено 6 час, Во втором полёте первый самолёт на обследование потратил А~ часа. Если бы и второй самолёт
при своём вторичном встречном полёте летел не 7 час.,
1 3
а А— часа, то они вместе обследовали бы — трассы. Значит,
второй самолёт за 7—4"^ =2— часа обследовал j трассы;
всю трассу он может обследовать за 2-^- *4=10 (час.). При
первом полёте за 6 час второй самолёт обследовал 0,6 трассы; значит, первый самолёт за те же 6 час обследовал 0,4 трассы; всю трассу он обследует за 6 : 0,4=15 (час.).
25. Чтобы всем троим в кратчайший срок одновременно прибыть в В, необходимо использовать лошадь так, чтобы в момент прибытия в В она нагнала третьего путешественника, шедшего пешком Это окажется возможным, если этот третий будет доставлен на лошади в соответствующим образом выбранный пункт С, откуда пойдёт в В пешком; лошадь же побежит обратно навстречу путешественнику, вышедшему из А пешком, встретит его в некоторой точке D, заберёт и направится снова в В. Оба путешественника, частично идущие пешком, должны затратить на весь пе¬
95


реход одинаковое время, поэтому AD—CB. Легко пока* зать, что AD и DC тоже равны. Действительно, пусть время, затрачиваемое лошадью на пробег от А до D — единица. Значит, время пешехода на переход из А в D—3 единицы. Но лошадь на пробег от Л до С и обратно от С до D затрагит столько же — 3 единицы, а на пробег от D до С и от С до D — 2 единицы и, значит, на пробег от D до С — 1 единицу, т. е. AD=DC. Значит, каждый из этих трёх участков —- 10 км; С находится в 20 км от Л.
26, 1) Победитель турнира первого разряда не мог на-
6-5
брать больше 3 очков. 2) Во II турнире было сыграно — =
= 15 партий; все участники его вместе набрали 15 очков.
3) 	Если бы победитель II турнира набрал меньше 3 очков, например 2~~ очка, то. на долю 5 остальных участников этого турнира осталось бы 12-^ очков. Оказалось бы, что либо все 5 остальных участников набрали по 2~ очка, либо кто-
то из них набрал больше 2-^- очков. Следовательно, победитель II турнира набрал не меньше 3 очков. 4) Но он набрал, с другой стороны, не больше 3 очков, так как по условию у него и победителя I турнира одинаковое количество очков, а победитель I турнира не мог набрать больше 3 очков. 5) Единственно возможное распределение оставшихся
12 очков между 5 участни- , м с С, . ками II турнира такое: 4
1ед le Черт. 15
0 •
2 ел 1ед 1ед. 1ед. игрока набрали по 2— очка
и один — 2 очка.
27. Задача просто и наглядно может быть решена с помощью числовой оси (черт 15).
Пусть отрезок оси ОМ выражает возраст младшего из собеседников, а ОС — возраст старшего. Отрезок МС, выражающий разность лет собеседников, примем за единицу масштаба.
По первому условию имеем: когда возраст старшего был равен возрасту младшего (т. е. выражался отрезком ОМ), возраст младшего выражался отрезком ОМ{. Но гак как разность лет двух человек - постоянна, то MLM — MC—\
96


единице. Но нынешний возраст старшего вдвое больше прежнего возраста младшего, т. е. длина отрезка ОС (выражающая нынешний возраст старшего) вдвое бqлынe длины отрезка 0М{ (выоажающей прежний возраст младшего). Значит, 0/И1 = М1С = 2 единицам.
По второму условию имеем: когда возраст младшего будет равен возрасту старшего (т. е. будет выражаться отрезком ОС), возраст старшего выразится отрезком ОСь причём постоянная разность их лет, представляемая в этом случае отрезком ССЬ будет равна 1 единице.
Итак, будущий возраст старшего, представленный отрезком ОСь содержит 5 единиц, а будущий возраст младшего, представленный отрезком ОС, содержит 4 единицы. Но по условию сумма лет обоих собеседников будет тогда составлять 63 года, а в единицах числовой оси 9 единиц. 63 :9 = 7 лет. Следовательно, возраст младшего 7-3 = 21 год, а старшего 7-4 = 28 лет.
28. 	Трёхзначная сумма двух двузначных чисел (см. Ье действие) может иметь цифрой сотен только 1. Частное от деления числа 1** на 7* (см. действие 2-е) есть число двузначное. Следовательно, делитель *7= 17, а цифра десятков делимого может быть только 7, 8 и 9. Если бы делимое было 17*, то схема деления была бы иной (первый остаток был бы 0, а не значащая цифра *). Если бы делимое было 19*, то деление выглядело бы так:
19*
'17
2*
17 Но 2* ни при какой цифре единиц на 17 У” не делится. Значит, единственно возможно, что делимое 18*, и деление выглядело так:
__18*J7 Отсюда, цифра единиц остатка 1* (а следо-
17 1 ватёльно, и последняя цифра делимого)
"У* есть 7. Итак, делимое— 187 и ** + * 1 = 187.
Слагаемое *1 здесь может быть только 91 (иначе первое слагаемое будет трёхзначным числом). Первое слагаемое равно 187 — 91 =96.
29. 	Ошибка ученика заключалась в следующем: средняя цифра первого частного произведения — нуль, а тогда последняя цифра второго частного произведе¬
ния—-6. Но эта цифра получена от умножения последней цифры множимого на 5 и она не может быть' равной 6.
7 Заказ 1685
97


Учитель предложил неверную цифру (цифру 6 в произведении) заменить звёздочкой. Действительно, ребус впблне допускает расшифровку. Решим его.
*0* Последняя цифра.множимого — не 0 (ина-
51 че запись умножения была бы иной). Но эта
цифра меньше 2 (иначе от умножения её на |**0* 5 «в уме» осталось бы не меньше 1 и на месте
нуля во 2-м частном произведении стояла бы
иная цифра). Значит, последняя цифра множимого—1, а первая цифра первого частного произведения — 4. Итак, множимое — 401, после чего в ребусе легко восстановить все неизвестные цифры.
30. 	Объяснение странностей этого умножения может быть только одно: умножение выполнено не в десятичной системе счисления, а в какой-то иной.
Основанием этой системы не может быть 2, так как. в записи есть цифра 2. Эта система не может иметь основанием 5, 6 и т. д., так как произведение последних цифр сомножителей — 2 ед.Х2 ед. = 4 ед. — в любой системе с основанием больше 4 запишется цифрой 4, тогда как • здесь последняя цифра произведения — 1. В системе с основанием 3 произведение 2X2 = 4 запишется в виде Из и в системе с основанием 4—Ю4.Теперь ясно, что все числа в этом ребусе записаны в троичной системе. В имеющейся записи **2-2 = *001. В троичной системе оба нуля в этом произведении могут получиться только, если 1-я и 2-я цифры множимого — единицы (а не 0 и не 2), т. е. множимое 1123.
Так как произведение множимого 1123 на 1-ю цифру множителя оканчивается единицей, то 1-я цифра множителя может быть только 2. Итак, множители 1123 и 223. Выполним это умножение:
х 112 Для проверки выразим эти числа в деся- 22 'тичной системе:
ТОШ 1123 = 32 + 3+2= 14
+ 1001 223 = 2 • 3 —(— 2 = 8
ТТлйй 11011 = 34 + 33 4-3+ 1 =814-27 4-34- 1 =112
AAUA1 14 . 8= 112


РАЗДЕЛ VI
ВОПРОСЫ И «МАЛЕНЬКИЕ» ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ УСТНОГО И ПОЛУПИСЬМЕИНОГО РЕШЕНИЯ
(Материал для классной и внеклассной работы в восьмилетней школе.)
Вопросы и «маленькие» задачи по алгебре, включённые в VI раздел, рассчитаны преимущественно на устное решение. Лишь небольшое число задач предполагает полупись- менное решение.
Упор на устное решение, предложение решить уравнение или произвести вычисления «по соображению», иногда непривычная постановка вопроса и.т. д. — всё это придаёт большинству задач особый характер, отличающий их от обычных упражнений.
Почти все предлагаемые задачи нетрудные и многие из них могут быть использованы в классной работе. Кроме того, учитель найдёт здесь полезный материал для массовых форм внеклассной работы (математические вечера, викторины, устные олимпиады и т. д.), а также для кружковой работы.
1. Сколько раз следует взять слагаемым число а, чтобы получить an ?
2. Найти численное значение выражения
(а— Ь) (а2 — b2) при a = 5,75 и Ь == 4,25.
3. Найти численное значение выражения
— 63 — зab(a — Ь) при я = — 12 и Ь = 7.
4. Найти остаток от деления 56п на 5 (п — натуральное число).
1*
99


5. Имеется число, кратное 45. Когда его разделили на 45, полученное частное сложили с делимым, а затем из суммы вычли делитель, то получили 875. Найти это число.
6. Сумма двух нечётных чисел делится на 5. Какой цифрой оканчивается сумма кубов этих чисел?
7. Делится ли а2 — с2 + Ь(2а Ь) на а + b + с?
8. Вычислить значение выражения а2 + 22а + 201 при а = 69.
9. Доказать, что числа а и 2а + 1 при любом натуральном значении а — взаимно простые.
10. Доказать: «Если дробь несократима, то и
дробь также несократима».
11. При каких значениях х справедливо равенство
\х\ = х>
12. При каких значениях х дробь меньше 1?
4
13. При каких значениях х дробь 4 _ у положительна?
14. Доказать, что квадрат всякого нечётного числа имеет вид 4п +- 1.
15. Найти такое натуральное значение х, при котором численное значение трёхчлена х2 + х + 41 окажется точным квадратом.
16. Найти наименьшее значение трёхчлена
а:2 — 6л: + 10.
17. Найти наибольшее значение выражения
—(а+3)2+2.
18. Доказать, что выражение (х — 3) (х — 5) + 2 при любых значениях я есть положительное число.
19. Что больше: |а + Ь\ или \а\ + \Ь\ ?
20. При каких целых значениях х справедливо нера¬
венство | х | <2?
21. При каких значениях я справедливо неравенство .1* — 2\ < 3?
X ““ 1
22. При каких значениях х дробь -2 -j- отрицательна?
j{2 J
23. При каких значениях х дробь t меньше единицы?
100


24. Решите «по соображению» уравнение х2 + у2 = 0.
25. Решите «по соображению» уравнение
{x — a)2-\-(y — bf = 0
26. Во сколько раз половина куба положительного числа больше куба его половины?
27. Доказать теорему: «Сумма квадратов двух любых нечетных чисел не может быть точным квадратом».
28. Доказать: «При любом натуральном значении п, большем единицы, число /г4 + 4 — составное».
29. Решить «в уме» систему уравнений:
(Х + У= 1,
\x-\-z = 2,
I у -Ьz = з.
30. Решить «по соображению» систему уравнений:
f Ьх -j- 8у = 5,
18х + Ьу = 8.
31. Ученик решил уравнение Ьх+ 15 = Зх + 9 следующим образом: Ьх + 15 = Зх + 9; Ь(х -f 3) = 3(х +3); 5 = 3, и заявил, что уравнение корней не имеет, так как решение его приводит к нелепому результату. Прав ли ученик?
32. Ученик решил систему уравнений:
[у = 2(1—х),
\2x-f у = 8
способом подстановки, для чего выражение для у из первого уравнения он подставил во второе. Проделайте «в уме» это решение, сообщите полученный результат и разъясните его.
33. Ученик решил систему уравнений
(2х+г/=8, •
\г/ = 2(4-х)
способом подстановки, для чего выражение для у из вто- poix) уравнения он подставил в первое. Проделайте «в уме» это решение, сообщите полученный результат и разъясните его.
101


34. Преобразовав разность —g примените полученный результат для вычисления «в уме» суммы:
J_+ J__i_ J_
42 56 ' 72 .
35. При каком значении х дробь имеет наименьшее значение?
38. Решить уравнение \х\ = 2х — 6.
37. Какое число больше: 1020 или 9010?
38. Какое число больше: 0,110 или 0,320?
39. Являются ли числа 88& и 9у9 точными квадратами?
40. Являются ли числа 57° и 56? точными квадратами?
41. Какой цифрой оканчивается число 141*14?
42. Назовите две последние цифры числа 543 .
43. Что больше 2]/5 или 3J/2?
44. Что больше j/Ю или \г2 + ]/3?
45. При каких целых значениях а: выражение Vх — 3— — У5 — х имеет смысл?
46. Можно ли утверждать, что выражение
после упрощений равно единице при любых значениях х?
47. Вычислить произведение:
уто . 1/0,5 • УЩь . УТВ .
Вычислить «в уме»:
48. ]/42 + 562.
49. J/642 + 4 • 12 ■' 48 .
50. У2,92 — 0,342 .
5L '|/о,24.4.4,9
1 0,02
52. ]/а3 — a2b — ab2 + Ь* при а = 0,77 и b — 0,23.
53. Из двух двоек и знаков, употребляемых в математике, составить числа, которые были бы:
102


1) Больше нуля, но меньше 1;
2) Больше 1, но меньше 2;
3) Больше 2, но меньше 3;
4) Больше 3, но меньше 4;
5) Больше 4, но меньше 5.
Решить «по соображению» уравнения:
54. х*Ь = 5.
55. jc + — = 5,2.
х
56. При каком значении т один из корней уравнения
2тх2 — 2х + 2 — Зт = 0 равен нулю?
57. При каком значении а корни уравнения 5л:2 +
7{а — 6)х — 3 = 0 будут равны по абсолютной величине?
58. Один из корней квадратного уравнения ах2 + Ьх +
+ с равен -. Определить с.
59. Назовите, не пользуясь формулой корней, корни
квадратного трёхчлена ах2 + Ьх + с, если дискриминант его равен Ь2.
60. Какая зависимость существует между коэффициентами уравнения ах2 + Ьх + с = 0, если известно, что корни его взаимно обратные числа?
61. В квадратном уравнении Зх2 + Ьх + 15 = 0 найти Ь, если известно, что корни уравнения — целые числа.
62. В квадратном уравнении 4л*2 — 8х + с = 0 найти. с, если изестно,что корни уравнения — неотрицательные целые числа.
63. Как простейшим образом, можно обнаружить, что уравнение 1 \х2 + 37х — 56 = 0 не имеет целых корней?
64. Решить «по соображению» уравнение .
10*2+ 101* + Ю - 0.
65. Не пользуясь формулой корней, решить уравнение
abx* ~ (а2 + b2)x -j- ah ж 0,
66. Выразить зависимость между коэффициентами уравнения х?1 + рх + q = 0, если один из корней его — 1.
67. Каковы должны быть коэффициенты полного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0, если корни его — числа р и q?
68. Составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен 2 + }/"3.
103


69. Найти численное значение выражения ххх22 + + хг2х2, в котором Xj и х2 являются корнями уравнения
Зх2 + 5х —6 = 0.
70. Решить «по соображению» уравнение
г2 — 2* + у2 — 4у + 5 = 0.
71. В какой четверти заведомо нет точек прямой
у = 2х — 3.
72. Как на плоскости расположены точки, координаты которых удовлетворяют уравнению
*2 _ у2 = о?
73. Как на плоскости расположены точки, координаты которых удовлетворяют уравнению
*2 + _ 0?
74. Как на плоскости расположены точки, координаты которых удовлетворяют уравнению ху = 0?
75. Как на плоскости расположены точки, абсциссы которых удовлетворяют уравнению
\х — 2| = 1?
76. Пересекает ли парабола у = — х2 — х — 1 оси координат?
РЕШЕНИЯ
1. ап : а ==ап~1 (раз).
2. (а — b) (а2 — b2) = (а ~ Ъ)2 (а + Ь) = 1,52 . 10 = - 22,5.
3. аъ — Ъ3 — 3ab(a— b) = (а — b3) = ( — 5)3 - — 125.
4. Степень 56я при любом натуральном п оканчивается цифрой 6, т. е. оказывается числом, которое на 1 больше числа, кратного 5. Остаток от деления 56" на 5 равен 1.
5. Обозначим частное от деления искомого числа на 45 через q. Тогда искомое число — делимое — равно 45q\ после сложения его с частным q получим сумму 46q, которая по условию равна 875 + 4-5 = 920. Из A&q = 920 имеем ^ = 20, а искомое делимое 45^ = 900.
6. Если а и b — числа нечётные, то а + b число чётное.
104


Если чётное число делится на 5, то оно оканчивается нулём.
а3 + Ь3 = (а + Ь) (а2 — ab + b2) и так как а + Ь оканчивается нулём, то и произведение, т.е. а3 + b3, также оканчивается нулём.
7. а2 — с2 + b (2а + Ь) = а2 + 2ab + Ь2 — с2 =
= (a-f 6)2—с2 = (а + b + с) (а+ b — с).
8. 692 + 22 • 69 + 201 = (692 + 2 . 69 • 11 + 121) + + 80 = (69 + И)2 + 80 = 6480.
9. Всякие два последовательных натуральных числа а и а + 1 — числа взаимно простые. Рассмотрим сумму а + + (а + 1) = 2а + 1. Любой делитель а не будет делителем слагаемого а + 1, а следовательно, и суммы 2а + 1. Значит, числа а и 2а + 1 •— взаимно простые.
10. Если допустить, что числа а и Ь имеют общий делитель, то он будет и общим делителем чисел а — b и а + Ьу
т. е. дробь окажется, вопреки условию, сократимой.
11. При всех неотрицательных значениях л; равенство
1*1 = * будет верно.
12. Дробь j окажется меньше 1, во-первых, при всех
отрицательных значениях *, во-вторых, при всех значениях * > 1.
13. Числитель дроби — число отрицательное. Следовательно, дробь будет положительной в том случае, если знаменатель её тоже будет числом отрицательным. Но 4 — * окажется меньше нуля при всех значениях * > 4.
14. (2а + I)2 = 4а2 + 4а + 1 = 4(а2 + а) + 1 =
= 4/2 ~Ь 1.
15. При любом с число а2 + а + с окажется точным квадратом, если положить а = с—1. Действительно, в этом случае
а2 + а + с = (С _ 1)2 + (с _ j) + с = (С _ 1)2 +
+ (с - 1) + (с - 1) + 1 = (с - I)2 + 2(с - 1) + 1 =
= [(с — 1) + 112 = с2.
Таким образом, *2 + * + 41 при * = 40 будет точным квадратом.
16. *2—6*+10=(* — З)2 + 1. Наименьшее значение (* — З)2 — нуль. Следовательно, наименьшее значение трёхчлена равно единице.
17. При любом а число (а + З)2 неотрицательно, а —(а + З)3 неположительно. Наибольшее значение
105


— (a -f З)2 — нуль (при а = — 3), а наибольшее значение всего выражения равно 2.
18. (х — 3) (х — 5) + 2 = х2 — 8х+17=(х — 4)2 + + 1. Наименьшее значение (х — 4)2 + 1 равно единице.
Следовательно, при любых х многочлен (х — 3) (х — 5) +
-|- 2 — число положительное.
19.|а + Ь\ < |а| + | Ь\.
Если а и b имеют одинаковые знаки, то | а + Ь | = \а\+ + \Ь \ ; если противоположные, то|а+6|<|а| + |6|.
20. Чтобы выполнялось неравенство |х|<2, надо, чтобы выполнялись неравенства: х < 2 и х > —2. Следовательно, целыми числами, удовлетворяющими неравенству
\х\ <2, будут — 1; 0; 1.
21. Аналогично задаче 20 имеем: х — 2<3 и
х — 2 > —3, т. е. х<5 и х > —1; неравенство удовлетворяется при — 1 < х < 5.
22. Знаменатель дроби х2 + 1 при любых значениях х — число положительное. Следовательно, дробь будет отрицательной в том случае, если числитель — число отрицательное: х — 1 < 0 или х < 1.
23. При любых значениях х числитель дроби х2 — 1 меньше знаменателя х2 + 1; таким образом, дробь меньше единицы при всех значениях х.
24. Сумма неотрицательных чисел х2 и у2 может быть равна нулю только в случае, если каждое из них равно нулю.
25. По тем же соображениям, что и в задаче 24, имеем: (х — а)2 = 0 и (у — Ь)2 = 0, откуда х = а и у = Ь.
а3
26. Половина куба положительного числа а есть —, а
куб половины того же числа а есть =* ; y \ 4.
27. (2а + I)2 + (2b + I)2 = 4а2 + 4а + 1 + 462 + 4b \-
+ 1 — 4 (а2 + а + Ь2 -f- Ь) + 2.
Мы получили чётное число, не делящееся на 4 (так как первое слагаемое делится на 4, а второе слагаемое — два — на 4 не делится). Значит, в разложении этого числа множитель 2 входит в нечётной степени: число не может быть точным квадратом.
28. я4 + 4 = п4 + 4п2 — 4п2 + 4 = (/г2 + 2)2 — 4/г2= = (п2 + 2 + 2 п) (п2 + 2 — 2 п)\ следовательно, я4 + 4
106


есть произведение двух целых чисел, отличных от единицы, что и доказывает теорему.
29. Складывая уравнения, получим х + у + z = 3, от» куда х = 0, у = 1 и г ® 2.
30. * = 1, у = 0.
31. Корень этого уравнения — 3. Поделив обе части ураьнлшя на х + 3, ученик потерял этот корень.
32. Подстановка приводит к равенству 2 = 8. Подобные нелепые результаты будут получаться всегда при решении несовместных систем уравнений. Здесь именно такой случай: решается система ( 2х + у = 2,
\ 2х + у = 8, т. е. предполагается,
что сумма 2х + у при одних и тех же значениях х и у в одном случае равна 2, а в другом случае 8.
33. Подстановка приводит к равенству 8 = 8. Подобный результат будет получаться всегда при решении неопределённой системы | ах + by = с,
{ ах + by = с.
В рассматриваемой задаче мы имеем именно такую систему:
2х -f- у = 8,
2х “Ь у = 8.
34* ~ = а(а +Ту П0ЛЬЗУЯСЬ ЭТЙМ равенством,
1 ,
получим: — -г
1 1*1
6 9 18
л2 _ (1 + х*) — 1 __ , I
S5 Г+^ V+72 Г+7*' Эта Разность бу¬
дет тем меньше, чем больше будет вычитаемое * 2; но
1 -р X
дробь гт~72 будет тем больше, чем меньше будет знаме-
1 X
нзтель 1 :j- х3. Сумма же 1 -f~ будет наименьшей при наименьшем значении неотрицательного слагаемого л:2, т. е. прп х = 0.
36. 	При любых значениях х левая часть уравнения не . меньше нуля. При х — 0 и *<0 правая часть уравнения отрицательна. Значит, если уравнение имеет решения, то
107.


только при х>0. Но тогда уравнение можно записать так: х = 2х — 6, откуда х = 6.
37. 1020 - (102)10 = 10010 > 9010.
38. 0,320 = (0,32)10 = (0,09)10 < 0,110.
• 39. 8s8 есть чётная степень 8, а 99° = (32)°9 = 32л (где п = 99) есть чётная степень 3. Оба числа точные квадраты.
40. 67 — чётное число, а 76 — нечётное; следовательно, 5°7 — точный квадрат, а 5?6 не будет точным квадратом.
41. Число 14 в любой чётной степени оканчивается цифрой 6, а в любой нечётной степени — цифрой 4. Здесь основание степени 14 имеет показателем степени число 1414— заведомо чётное. Значит, число 141414 оканчивается цифрой 6.
42. Любая степень 5 имеет последней цифрой 5, а предпоследней— 2.
43. 2/5=1/20; ЗУ~2~УЩ 2l/5">3j/27 _
44  . (У 10)2 = 10; (J/2 + У3_у = 2+_3 + 2J/6 -5 +
+ 1/24 <5+ 5. Так как У_Ю и /2 + числа
положительные, а (У 10)2 >()/2 + )/3)2, то и У10 > |/2+ + ]/3.
45. Выражение будет иметь смысл только при таких значениях х, при которых оба подкоренных числа (х — 3 и 5 — х) — неотрицательны. Следовательно, целыми значениями х могут быть только 3, 4 и 5.
46. После упрощений выражение будет равно единице лишь при 1 < х < 2.
47. Группируя сомножители, получим:
(|/Т^5 • УЩ • (}/Тб“- f0^) = ^125 • j/T= 10.
48. V422 +562 = |/142- З2 4- 142 • 42 = 14 У~25 = 70.
49. V642 + 4 • 12 • 48 = /1б2 • 42 + 162 • 32 =
= 16 • 5 = 80.
50. 1/3,24 • 2,56 = 1,8 • 1,6 = 2,88
100 100
51. У°’2А =7 ]/М4 = 7 • 1,2 = 8,4.
52. j/a2(a — 6)— Ьг (а — 6) = /(а — 6)2 (а + 6) =
= (а — 6) j/а + 6 • 0,54 • ]/ Г = 0,54
53. 1) 2^-; 2- ]/2 и т. д.
108


2) \ V2 + j/2 ит. д. 3) 2|/2 ; У у 22 и т. д.
4) 2 + У2 и т. д.
5) У22 и т. д.
54. (i/5)5 = 5. Поэтому, если в степени л:* показатель степени я5 равен 5 (а это будет при л: =]/5), то и степень
Xх5 при х = У5 тоже будет равна 5. |/5 — корень данного уравнения.
1
55. хх = 5; х2 =
56. 2 — Зт = 0; m =
О ~
57. а — 6 = 0; а = 6.
58. Сумма корней уравнения равна —Значит, л:2 = = 0; с = 0.
59. 4ас = 0. Но а Ф 0. Значит, с== 0. Корни трёхчле-
Ь
на 0 и — — .
а
60. Произведение корней-^-по условию равно единице. Значит, с = а.
61. Произведение корней равно 5. Два целых числа могут дать в произведении 5, если: 1) одно из них 5, а другое 1 и 2) одно из них —5, а другое —1. Следовательно,
Ъ Ь
г = 6 или — “ — — 6.
о о
62. Сумма корней уравнения равна 2, Сумма двух неотрицательных целых чисел может быть равна 2, если:
1) 	каждое из них равно 1 и 2) одно из них 2, а другое 0.
с с
В первом случае 1-1 и с = 4; во втором случае —=
= 2-0 и с— 0.
63. Не подсчитывая дискриминанта, легко установить, что он оканчивается цифрой 3 (...9 + ...4); числа же, оканчивающиеся цифрой 3, не могут быть точным квадраг том.
109


откуда xt =* 10 и х2
ю
64. Произведение корней равно — = 1, т. е. корни —
^ 101 1
числа взаимно обратные. Сумма же корней —==10 +
1,
10е а Ь
65. Сумма корней ~ , произведение — единица:
а Ь
*1 = Y > Х2 =
66. х2 = — q\ хх + х2 — —1 — q = — р. Зависимость между коэффициентами может быть представлена: р — q= 1.
67. Произведение' корней pq = q. Но q^ 0 (уравнение— полное), следовательно, р = 1. Сумма корней р+ + q = — р или 1 + q = — 1, т. е. q = — 2.
68. Второй корень этого уравнения 2— j/З,- откуда сумма корней 4, а произведение 4 — 3 = 1.
69. ХхХ2 + Х!% = Х!Х2(Х! + х2) = — = 3 у*
70. *2 — 2х + у2 — 4у + 5 = (х2 — 2х + 1) +
-{-(у2—Лу+4) = (х— \)2+(у—2)2 и (*— 1)2+(у — 2)2=0. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю; это возможно лишь при х — 1 = 0 и у — 2 = 0 или при х = 1 и у = 2.
71. При х>0 2х — 3, т. е. у может быть числом и по- ложительным и отрицательным; в 1 и IV четвертях имеются точки рассматриваемой прямой. При любых *<0 2х— 3<0; значит, в этом случае точки прямой будут только в III четверти; точек прямой нет во II четверти (в которой *<0, а у>0).
72. Уравнению х2 — у2 = 0 удовлетворяют все пары чисел, абсолютные значения которых равны, и только такие пары. Эти пары чисел представляют собой координаты точек двух прямых; 1) биссектриса I — III координатных углов и 2) биссектриса II — IV углов.
73. Единственная точка, координаты которой удовлетворяют уравнению х2, -j- у2 = 0, есть начало координат, т. е. точка (0; 0).
74. Произведение двух чисел может быть равно нулю тогда и только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей равен нулю.
110


1) Если х = 0, то в уравнении ху — 0 у может быть каким угодно числом. Но геометрическим местом точек, абсциссы которых равны нулю, является ось Y.
2) Если у = 0, то в уравнении ху — 0 х может быть каким угодно числом. Но геометрическим местом точек, ординаты которых равны нулю, является ось X. Таким образом, точками плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению ху = 0, является множество точек, принадлежащих оси X, и множество точек, принадлежащих оси Y.
75. Решая уравнения х — 2 — I и х — 2 — — 1, имеем х = 3 и х = 1. Но все точки, абсциссы которых равны 3, расположены по прямой, параллельной оси Y и пересекающей ось X в точке с абсциссой 3. Аналогично, все точки с абсциссой, равной единице, расположатся по прямой, параллельной оси Y и пересекающей ось X в точке с абсциссой 1.
76. Если квадратный трёхчлен —х2 — л:—1 имеет корни, то парабола пересекает ось X ( в частном случае касается оси X). Если же он не имеет корней, то точек пересечения параболы с осью X быть не может (так как абсциссы точек пересечения и являются корнями трёхчлена). Составляем дискриминант квадратного трёхчлена: (—I)2— — 4( — 1)( — 1) = 1 — 4 = — 3. Дискриминант меньше нуля, значит, квадратный трёхчлен — х2 — х — 1 корней не имеет, а, следовательно, парабола у =— х2 — х— 1 не пересекает ось X.
Любая парабола у = ах2 + Ьх + с пересекает ось Y.


РАЗДЕЛ VII
ВОПРОСЫ И «МАЛЕНЬКИЕ»ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ УСТНОГО И ПОЛУПИСЬМЕИНОГО РЕШЕНИЯ
(Материалы для классной и внеклассной работы по курсу восьмилетней школы.)
За небольшим исключением имеющиеся здесь задачи допускают устное или полуписьменное решение. Более лёгкие из них могут быть использованы в классной работе или на самом уроке, или как часть домашнего задания.
Кроме вопросов «на понимание» и маленьких задач на доказательство, на построение и на конструктивное применение геометрии к простейшим потребностям практики, около 20 задач, включенных в VII раздел, оформлены в виде специальных вопросов, начинающихся словами «существуют ли...» или «можно ли...». В сформулированных подобным образом задачах-вопросах есть существенная черта — в них нет явной подсказки того готового факта, который в теоремах и многих задачах является объектом доказательства. Несомненно, что такая постановка вопроса в большей мере, чем обычно, стимулирует аналитический подход к решению задачи. Вынужденный «угадать» ответ (в форме «да» или «нет») и обосновать его, ученик должен будет, особенно в условиях устного решения, наиболее полно проявить такие качества, как интуиция и геометрическое воображение, что в свою очередь будет содействовать развитию пространственных представлений/
Тематика предлагаемых вопросов и задач отвечает новым программам восьмилетней школы. Точная разбивка упражнений по классам не произведена; предполагает*- ся, что учитель сам отберёт для каждого класса задачи, соответствующие программе по геометрии для этого класса.
112


1. Периметр равнобедренного треугольника 14 см. Одна из сторон его втрое больше другой. Найти длины сторон треугольника.
2. Существуют ли треугольники, у которых один из углов равен разности двух других углов?
3. Существуют ли треугольники, у которых точка пересечения всех трёх высот находится в одной из вершин треугольника?
4. Длины всех сторон треугольника в дециметрах выражаются целыми числами. Одна сторона содержит 1 дм, другая — 3 дм. Вычислить периметр треугольника.
5. Можно ли разносторонний треугольник разрезать на два равных треугольника?
6. Можно ли построить треугольник, у которого одна сторона составляла бы половину большей стороны, а меньшая сторона составляла бы треть большей?
7. Существуют ли выпуклые многоугольники, у которых сумма внутренних углов относится к сумме внешних углов, как 2:1?
8. Один ученик по аналогии с понятием «остроугольный треугольник» предложил ввести название «остроугольный четырёхугольник» для выпуклых четырёхугольников, у которых все внутренние углы — острые. Подумайте, как отнёсся учитель к этому предложению?
9. Может ли число диагоналей многоугольника быть вдвое больше числа его сторон?
10. Число диагоналей многоугольника заведомо число целое. Между тем формула для числа диагоналей выпуклого /г-угольника — — имеет вид дроби. Как это объяснить?
11. В выпуклом /г-угольнике все внешние углы тупые. Найти д.
12. В выпуклом шестиугольнике три внутренних угла — прямые. Сколько среди остальных внутренних углов — острых?
13. Какое наибольшее число внутренних острых углов может встретиться в выпуклом многоугольнике?
14. Имеется доска с параллельными краями Плотнику надо отрезать конец доски под углом в 45°. Как это сделать?
8 Заказ 1685
113


15. Из куска фанеры хотят выпилить квадрат. Как проверить, что вырезанный четырёхугольник действительно есть квадрат?
16. Можно ли утверждать, что любая вписанная в круг трапеция — равнобедренная?
17. Выпускаемые заводами грампластинки имеют в диаметре 180 мм, 200 мм, 250 мм и 300 мм. По отломанному
от края небольшому осколку потребовалось определить размер пластинки. Как это сделать? Указать план решения задачи.
18. 	Поверхность пруда имеет форму квадрата (черт. 16). В вершинах его растут 4 дуба (Л, В, С,
D). Хотят вдвое увеличить пло¬
щадь поверхности пруда, но так, чтобы новый пруд сохранил форму квадрата и чтобы все 4 дуба остались на своих местах. Как это сделать?
19. На прямой MN (черт. 17) требуется найти такую
точку С, чтобы сумма расстояний от неё до данных точек
А к В была наименьшей.
Черт. 16
,М 1
А/-
-/V
Черт. 17
20. Хотят убедиться, что кусок материи имеет форму квадрата. Для этого его дважды перегибают, сначала по одной, потом по другой диагонали. Образующиеся треугольники оба раза точно совмещаются. Можно ли считать, что подобная проверка подтверждает, что этот кусск материи действительно имеет форму квадрата?
21. Найти центр круга, имея в распоряжении лишь чертёжный треугольник и карандаш.
22. На клетчатой бумаге надо разметить вершины ромба: Как это сделать?
114


23. Могут ли все три стороны целочисленного прямоугольного треугольника выражаться нечётными числами?
24. Могут ли две хорды окружности, не являющиеся диаметрами, точкой пересечения их взаимно делиться пополам?
25. Квадрат и ромб имеют равные периметры. Площадь какой фигуры больше?
26. Имеется куб, объём которого содержит столько кубических сантиметров, сколько квадратных сантиметров заключается в площади его поверхности. Найти длину ребра этого куба.
27. Какая фигура получится, если последовательно соединить прямыми середины сторон прямоугольника?
28. Как разделить равносторонний треугольник на три части так, чтобы из образовавшихся частей можно было бы составить два равных между собой ромба?
29. Может ли диагональ трапеции быть биссектрисой его угла?
30. В прямоугольном треугольнике гипотенуза 74,5 см, один из катетов 25,5 см. Вычислить («в уме») другой катет.
31. Можно ли из 36 спичек, не ломая их, сложить прямоугольный треугольник?
32. Существуют ли прямоугольные треугольники с острым углом в 30°, стороны которых выражаются целыми числами?
33. Может ли вписанный в круг многоугольник иметь равные стороны, но неравные углы?
34. Может ли вписанный в круг многоугольник иметь равные углы, но неравные стороны?
35. Имеются два прямоугольника. Стороны одного — ai ^ /Юсм и Ьх = ]/*15 см\ стороны другого — а2— / И см и Ы = |/*14 см. Какой из этих прямоугольников имеет:
1) 	большие диагонали? 2) большую площадь? 3) больший периметр?
36. Подобны ли наружный и внутренний четырёхугольники в обычной рамке для портретов?
37. Можно ли две стороны треугольника пересечь прямой, не параллельной третьей стороне, так, чтобы отсечённый треугольник был подобен данному?
38. С помощью чертежа для построения отрезка, среднего пропорционального между двумя данными отрезками, показать, что среднее арифметическое двух любых нерав¬
8*
115


ных положительных чисел больше их среднего геометрического.
39. В трапеции проведена средняя линия. Подобны ли две образовавшиеся трапеции?
40. Доказать, что периметр любого прямоугольника больше периметра равновеликого ему квадрата.
41. Можно ли вписать в круг два неравных подобных треугольника?
42. Укажите план решения задачи на построение: «В данный круг вписать треугольник, подобный данному треугольнику».
43. Может ли средняя линия трапеции пройти через точку пересечения диагоналей?
44. Доказать, что в любой трапеции треугольники, об-
Черт. 18
разованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, равновелики (черт. 18).
45. Периметр треугольника 18 см. Биссектриса одного из углов треугольника делит противоположную сторону на отрезки 2,5 см и 3,5 см Найти стороны треугольника.
46. В правильном ^-угольнике внутренний угол относится к внешнему, как 2:1. Найти п
47. Из каких равных правильных многоугольников можно сложить паркет?
48. Площадь фигуры, заключённой между описанным и вписанным в круг правильными четырёхугольниками, равна 2 м2 Найти площадь круга.
49. Можно ли пересечь куб плоскостью так, чтобы в сечении получился равносторонний треугольник?
50. Доказать, что во всяком прямоугольном треугольнике куб гипотенузы больше суммы кубов катетов.
Иб


51. Существуют ли такие целочисленные прямоугольные треугольники, у которых оба катета выражаются нечётными числами?
52. Между отрезками а, b и с существует соотношение а + Ь>с. Является ли наличие такого соотношения только необходимым; только достаточным или же необходимым и достаточным условием возможности построения треугольника из отрезков а, Ь, с?
53. Периметр треугольника равен 1 мм. Может ли оказаться, что радиус вписанной около этого треугольника окружности будет больше 1 км?
РЕШЕНИЯ
1. Основание треугольника не может быть большей стороной его, так как тогда стороны будут находиться в отношении 3 : 1 : 1 и окажется, что основание больше суммы боковых сторон Следовательно, отношение сторон 1:3: 3, откуда основание 2 см, а каждая боковая сторона — 6 см
2. Пусть в треугольнике ^1 = ^2 — ^3, т. е. ^2 = = ^1 + Но ^2 = 180° — 1 + ^3) или^ 2 = = 180J — -^2, т. е. ^2 — прямой. Таким свойством «один из углов равен разности двух других углов» обладают все прямоугольные треугольники.
3. Вершена прямого угла в прямоугольном треугольнике есть точка пересечения трёх высот треугольника
4. Пусть третья сторона — с\ тогда сф 1 (так как 1 + 1<3), сф2 (так как 1 +2 = 3), с<4 (так как уже 4 — 3 = 1) Единственно возможное значение с = 3. Периметр треугольника 3 —|— 3 —|— 1 = 7 (дм).
5. Чтобы получить 2 треугольника, надо, чтобы линия разреза проходила через вершину треугольника. Если разрез сделать по высоте, то гипотенузы в получившихся треугольниках не будут равны. Если же разрез сделать наклонно к основанию, то образовавшийся в одном из треугольников тупой угол не может быть равным ни одному из углов второго треугольника.
1 15
6. у большей стороны плюс у её же составят
©той стороны и окажется, что в треугольнике есть сто-, рона, большая суммы двух других.
117


7. Сумма внешних углов всякого выпуклого многоугольника Ad. Сумма внутренних углов в рассматриваемом случае должна быть 8 d. Такая сумма внутренних углов будет во всяком выпуклом шестиугольнике.
8. Сумма внутренних углов всякого выпуклого четырёхугольника 4d. Поэтому четырёхугольников, у которых все 4 угла острые, не существует; придумывать названия для несуществующих фигур бессмысленно.
9. Если корень уравнения nSJlz^) = 2п — целое число, то такие многоугольники существуют. Решаем уравнение
_ 2 и п = 7 — число целое.
10. Если п — число чётное, то по сокращении дроби на 2 получим целое число. Если же п — число нечётное, то п — 3 число чётное и опять дробь может быть сокращена на 2.
И. п = 3, так как при /г>3 сумма 4,5 и т. д. внешних тупых углов окажется больше Ad.
12. Трём внутренним прямым углам соответствуют три внешних прямых угла. И если из остальных трёх внутренних углов хотя бы один был острым, то сумма всех внешних углов была бы больше Ad.
13. Каждому внутреннему острому углу соответствует тупой внешний угол. Поэтому нельзя допустить, что в многоугольнике имеется 4 или больше острых углов, так как тогда сумма внешних углов будет больше Ad.
14. От вершины прямого угла отложить по длине доски расстояние, равное ширине её. Полученную точку соединить с вершиной противоположного прямого угла.
15. Повернуть четырёхугольник на 90° и вставить его в образовавшуюся на фанере прорезь.
16. Можно (дуги, заключённые между параллельными хордами, равны; следовательно, боковые стороны трапеции окажутся равными).
17. Положить на бумагу осколок и обвести его по краю дуги. На бумаге получится дуга окружности. Провести две хорды, разделить каждую пополам и через середины хорд провести перпендикулярные к ним прямые. Пересечение перпендикуляров даст положение центра окружности, после чего можно измерить длину радиуса.
18. 4 дуба — А, В, С, D — останутся на месте, если
118


квадрат с площадью, вдвое большей данного, построить способом, указанным ча чертеже 19
В
Черт. 19.
19. 	Построим точку Ai, симметричную точке Л, относительно прямой MN (черт. 20). Точка пересечения AVB сУИЛ/иесть искомая точка С. Докажем это. Возьмём на MN какую-либо иную точку D и сравним сумму расстояний АС + СВ с суммой расстояний AD + DB. Так как АС —
Черт. 20.
- лгс, то АС + СВ =* А±с + СВ - АгВ. Так как AD=* = AxDt то AD + DB = AXD + DB. Ho A*B<AiD+DB, начит, AC + CB<.AD + DB. r


Черт. 21.
20. 	Так как все стороны ромба равны, а.диагонали делят его углы пополам, то перегибание ромба по любой из двух диагоналей обнаружит совмещение треугольников. Поэтому результат перегибания, указанный в задаче, позволяет сделать лишь вывод, что четырёхугольник — ромб (имея в виду, что у неромбов такого совмещения треугольников при перегибании по диагоналям быть не может).
21. 	Совместив вершину прямого угла чертёжного треугольника с произвольной точкой окружности А и проведя хорды А В и АС — стороны прямого угла, получим вписанный прямой угол (черт. 21). Поэтому, проведя в круге ВС, молено утверждать, что мы построили диаметр. Повернув затем чертёжный треугольник около Л, мы таким же образом построим второй диаметр В1С1. Точка пересечения диаметров ВС и BiCx есть искомый центр 0.
22. Приняв вершину одной из клеток за точку пересечения диагоналей ромба, отложим от неё по вертикали равные отрезки. Затем от той же точки отложим равные отрезки по горизонтали и последовательно соединим полученные четыре точки. (Если по горизонтали отложить отрезки той же длины, что и по вертикали, то построенный ромб будет квадратом )
23. Квадрат нечётного числа — число нечётное, а сумма двух нечётных чисел — число чётное. Поэтому если бы существовали целочисленные прямоугольные треугольники, у которых длины катетов выражаются нечётными числами, то квадрат гипотенузы, а следовательно, и сама гипотенуза выразилась бы чётным числом.
24. Опустим из центра окружности перпендикуляры на хорды. Каждый из них должен пересечь хорду в её середине. Но серединой той и другой хорд является по условию точка пересечения хорд, т. е. окажется, что один и тот же отрезок перпендикулярен к двум пересекающимся прямым, что невозможно. Значит, две хорды не могут точкой пересечения их взаимно делиться пополам.
120


25. Если сторона квадрата а, то и сторона ромба а. Площадь квадрата а*. Площадь ромба ah, где h — высота ромба — есть катет прямоугольного треугольника с гипотенузой а, т. е. /г<а. Таким образом, аЛ<а2.
26. а3 = 6а2 (где а — ребро куба). Отсюда а — 6 см.
27. Во-первых, образовавшийся четырёхугольник —параллелограмм, так как обе пары противоположных сторон его — средние линии треугольников с общим основанием (диагональ прямоугольника). Во-вторых, этот параллелограмм — ромб, так как каждая сторона его равна половине соответствующей диагонали прямоугольника, а в прямоугольнике диагонали равны.
28. Провести две средние линии. Получатся один ромб и два равных треугольника.
Приложив один из них к другому, получим ромб, равный непосредственно образовавшемуся ромбу.
29. Допустим, что диаго- Черт. 22. наль СА (черт. 22) разделила
^А пополам, т. е. ^1 = ^2. Но ^2 = ^3, значит, ^1 = = ^:3: треугольник ACD — равнобедренный. Вывод: если в трапеции боковая сторона равна одному из оснований, то диагональ будет биссектрисой одного из углов трапеции.
30. Y74,52 — 25,52 = /10СГ49 - 70.
31. Треугольник со сторонами в 3, 4 и 5 единиц — прямоугольный. Треугольник со сторонами 3п, 4п и 5п (где п — любое натуральное число) также прямоугольный, так как (3п)% + (4n)'L = (5я)2. Периметр его 12 п. При п == 3 периметр равен 36 единицам, а стороны будут 9, 12 и 15 единиц (здесь за единицу длины принята длина спички).
32. Пусть катет, лежащий против угла в 30°, содержит а единиц длины (где а — целое число); тогда гипотенуза содержит 2а единиц, а второй катет—\г(2а)2 — а2 =
a\f 3 единиц. Число а}/3 — заведомо число нецелое.
33. Пусть в круг вписан равносторонний п-угольник. Стороны его — равные хорды, стягивающие равные дуги. Значит, вершины многоугольника делят окружность на п равных частей. Каждый из углов многоугольника — вписанный угол, опирающийся на дугу, равную полной
Ш


дуги всей окружности, т. е. все углы многоугольника равны между собой. Итак: вписанный в круг равносторонний многоугольник не может иметь неравные углы.
34. Заметим, что в вопросах такого рода, как в задаче 33 и рассматриваемой, утвердительный ответ будет вполне обоснован, если удастся привести хотя бы один пример, подтверждающий существование фигуры, о которой говорится в задаче; мы так и поступим.
Около прямоугольника всегда, как известно, можно описать окружность; в этом случае вписанный в круг многоугольник имеет равные углы, но неравные стороны, что и является ответом на поставленный вопрос.
35. 1) Диагональ первого /10 + 15 = 5 (см), второго /ГГ + 14 = 5 (см). Диагонали равны. 2) Площадь первого /150 (см2)у второго /154 (см2). Площадь второго больше. 3) Периметр первого 2(/10 + ]/15) (см), второго 2(/11+/14) (см). Периметр второго больше, так как (1/10+ J/I5)2 = Ю_+ 15 + 2)/150, а (/IT +_/Т4)2 = = 11 + 14_ + 2/154; 25 + 2|/15_0<25 + 2J/154, следовательно, /10 + /15 </11 + /14.
36. Пусть меньшая сторона внутреннего прямоугольника — а, большая — 6, ширина рамки — k. Тогда меньшая сторона наружного прямоугольника а + 2k, большая
b + 2k. Отношение ~ Ф ,
b b+2k
так как при прибавлении к числителю и знаменателю дроби одного и того же числа значение дроби изменяется (дробь приближается к единице). Значит, эти два прямоугольника удовлетворяют А С лишь одному из двух требований,
Черт. 23 указанных в определении подобных
многоугольников: они неподобны.
37. Если стороны АВ и ВС пересечь прямой DE так, чтобы ^BDE был равен ^сС (черт. 23), то дДО£ будет подобен дЛВС.
38. Требуется доказать: где а>0, й>0 и
а Ф b (черт. 24). Выбрав произвольную масштабную единицу, строим отрезки а ед. и b ед. и выполняем известное
В
122


построение отрезка, среднего пропорционального между отрезками а и Ь. Тогда О — центр построенной полуокружности радиуса —^ К Соединив точки О и D, будем иметь прямоугольный треугольник OCD, в котором длина катета CD выражается числом У ab, длина гипотенузы OD выражается числом . Отсюда: >|/ ab.
39. В образовавшихся трапециях отношение боковых сторон равно единице, а отношение оснований неравно единице. Такие две трапеции не являются подобными.
40. Пусть стороны прямоугольника а и Ь (а Ф Ь). Площадь его ab. Площадь равновеликого ему квадрата тоже ab, и, следовательно, сторона квадрата УаЬ.
Периметр прямоугольника 2(а + Ь), периметр квадрата 4УаЬ. Известно, что (см. задачу 38). Умно¬
жив обе части этого неравенства на 4, будем иметь 2(а+6)> >4 УаЬ, что и т. д.
41. Нельзя, так как каждой паре равных углов в обоих треугольниках соответствуют равные’ дуги и, следовательно, равные, стягивающие эти дуги хорды, являющиеся сторонами вписанных треугольников.
42. В данном круге построим углы BLOCx и С1ОА1, соответственно равные 2а и 2,6 (черт. 25).
Соединив последовательно точки Лх, Вг и С1э получим вписанный в данный круг подобный дЛВС.
Действительно, вписанный опирается на дугу
ВгС19 на которую опирается и центральный ^ВхОСъ рав¬
123


ный 2а; следовательно, ^:А1 = а = ^А. Также покажем, что ^Bi = Р = -^23. Итак, два угла ДЛ1В1С1 соответственно равны двум углам ДЛВС и, следовательно, дA iBjCi подобен дЛВС.
43. 	Образовавшиеся при основаниях треугольники АОВ и OCD неравны (черт. 26). Следовательно, неравны и их высоты OF и ОК. Если теперь допустить, что средняя линия трапеции проходит через точку О, то она разделит отрезок KF пополам, т. е. окажется, что OF = OK- Сле-
д " К С
Черт. 26
довательно, средняя линия трапеции не может пройти через точку пересечения диагоналей.
44. /\ABD (черт. 27) равновелик дЛВС (высоты их равны, а основание общее). ABD составлен из ДЛ02Э и дЛ023, а ДЛ23С составлен из ДЛОС и ДЛОВ. Следовательно, площадь дЛО£> равна площади Д230С.
45. Одна сторона треугольника 6 см. Сумма двух других сторон 12 см. Так как отношение этих сторон равно
124


12
отношению 2,5 к 3,5, то одна сторона у • 2,5 = 5 (см), а другая — • 3,5 = 7 (см).
Черт. 27.
46. Внутренний угол правильного n-угольника равен
180 (п—2) „ 360° тл 180°(п—2) . 360
—^—, внешнии угол —. Из уравнения — . —=
= 2:1 имеем: (п — 2) : 2 = 2, откуда п = 6.
47. Если паркет сложен, то сумма углов, расположенных вокруг общей вершины соприкасающихся многоугольников, образует 360°. Но внутренние углы одноимённых правильных многоугольников равны. Следовательно, величина внутреннего угла правильного многоугольника в градусах должна выражаться таким числом, которое является делителем 360. Просматривая таблицу целых значений внутренних углов правильных многоугольников при п равном 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, ..., т. е. числа 60°, 90°, 108°, 120°, 135°, 140°, 144°,..., замечаем, что 360 делится на 60, на 90 и на 120. Значит, паркет можно сложить из равных правильных треугольников, четырёхугольников, шестиугольников.
48. Если радиус круга /?, то (2R)2 — (/?/2)2 = 2, откуда R = 1 и площадь круга равна л м2.
49. Если, например, провести плоскость, проходящую через три вершины куба Di, А и С, то А С = CD i = DiA, как диагонали равных квадратов (черт. 28).
50. с2 = а2 + Ь2; с3 = а2 • с + Ь2 с. Если теперь множитель с в правой части равенства заменить заведомо меньшими числами а и 6, равенство нарушится: число, стоящее в правой части, окажется меньше числа, стоящего в левой части: с3 > а3 + b'd.
125


51 • Допустим, один из катетов выражается нечётным числом 2т + 1, а другой — 2п + 1. Тогда квадрат гипотенузы выразится числом (2т + I)2 + (2п + 1)2=4т2 + + 4/я + 1 + Ап2 + Ап + 1 *= Ak + 2 ' (где k — сумма це-
угольные треугольники, у которых оба катета выражаются нечётными числами. Значит, таких треугольников нет.
52. Если неравенство а + b > с не выполняется, то из отрезков а, b и с треугольник построить нельзя. Значит, наличие этого неравенства является необходимым условием возможности построения треугольника. Но оно не будет достаточным. Действительно, пусть а = 10, b = 6 и с = 3. Из таких отрезков треугольник построить нельзя, хотя а + Ь > с. Здесь не соблюдено другое необходимое условие: а — b < с.
53. Если в треугольнике, как бы малы ни были его стороны, есть тупой угол, достаточно близкий к 180°, то сим- метрали к сторонам треугольника, образующим тупой угол, будут почти параллельны. Точка пересечения этих симмет- ралей, являющаяся центром описанной окружности, будет тогда сколь угодно удалена от вершины тупого угла. Следовательно, радиус описанной около лреугольника окружности может быть сколь угодно велик (например, миллион километров).
лых чисел /п2 + т + п2 + /г).
Cf Так как по условию тре¬
угольник целочисленный, то гипотенуза есть целое число, a Ak + 2 — квадрат этого числа. Но 4£ + 2 — число чётное, значит, и сама гипотенуза выражается чётным числом, а квадрат её~— Ak-\- + 2 — должен делиться на 4.
Черт. 28.
С Между тем Ak + 2 на 4 не делится (так как первое слагаемое 4k на 4 делится, а 2-е слагаемое 2 на 4 не делится). Это противоречие возникло из предположения, что существуют целочисленные прямо-


РАЗДЕЛ VIII
ЗАДАЧИ ЛОГИЧЕСКОГО И КОМБИНАТОРНОГО ХАРАКТЕРА
(Материал для кружковых занятий.)
Всего в разделе 72 задачи, из которых 45 комбинаторных и логических задач и 27 специальных задач на свойства чисел, по способу решения также весьма близких к задачам логического и комбинаторного характера.
Для большинства задач этого раздела характерен тот «интригующий момент», который неизменно вызывает у учащихся интерес и возбуждает их умственную активность. Тем самым эти задачи представляют учителю благодарный материал для кружковой работы в старших классах.
Хотя оценка трудности любой оригинальной задачи всегда в какой-то мере субъективна, все же некоторые задачи вVIII и IX разделах книги несомненно следует отнести к числу трудных. Таковы, например, задачи № 12, 29, 31, 50, 57, 65 и некоторые другие из VIII раздела и последние 10—12 задач из IX раздела. Относительно таких задач иногда можно услышать, что их вообще не следует предлагать учащимся, так как их заведомо почти никто не решит. Мы полагаем, что отказ от решения трудных задач обеднил бы работу, лишил бы учащихся возможности познакомиться с тонкими приёмами рассуждений и методами исследования. Ведь ученик, настойчиво добивавшийся решения задачи и всё же не решивший её, отнюдь небесплодно потратил время и усилия. Затраченные усилия и настойчивые попытки решить задачу имеют немалое воспитательное значение. А когда затем ученик узнает и продумает решение заинтересовавшей его трудной задачи, он испытает чувство высокого удовлетворения, и, может быть, одна из следующих трудных задач будет им решена.
127


Отметим, что среди задач VIII раздела имеется ряд свежих задач, появляющихся в печати впервые.
1. Найти все дроби с однозначным знаменателем, каж
7 8
дая из которых была бы больше -g-, но меньше у.
2. Сколько всего имеется шестизначных чисел, сумма цифр которых равна трём?
3. От города А до города В по шоссе 999 км. Вдоль шоссе стоят километровые столбы, на которых расстояния до Л и до В обозначены следующим образом (черт. 29):
О } 999 ] 1 I ) 998 1 1 ? ) 997 1 Г»998 \ i 1 [999 ) 0 j
Черт. 29
Определить, сколько среди столбов имеется таких, на которых для обозначения обоих расстояний использованы лишь две цифры?
4. От записанной карандашом задачи сохранился лишь следующий текст: «Произведение... последовательных... двузначных чисел равно 12 075. Найти сомножители» (многоточия означают неразборчивые слова). Восстановить текст задачи и решить её.
5. В трёх кучках 22, 14 и 12 орехов. Требуется путём трёх перекладываний уравнять число орехов в каждой кучке, соблюдая при этом условие: из одной кучки разрешается перекладывать в другую лишь столько орехов, сколько их имеется в этой второй кучке.
6. 3, 5 и 7 — три последовательных нечётных простых числа. Имеются ли в натуральном ряде чисел ещё такие тройки последовательных нечётных чисел, каждое из которых оказывается простым числом?
7. Найти двузначное число, равное удвоенному произведению его цифр.
8. Найти трёхзначное число, которое, будучи прочитано справа налево, сохраняет своё значение, если считать, что в этом случае оно изображено в девятеричной системе.
9. Какое двузначное число, будучи записано в двоич* ной, четверичной и восьмеричной системах счисления, изображается каждый раз одинаковыми цифрами (различными в различных системах)?
128


10. Взято трёхзначное число, в котором крайние цифры отличаются больше, чем на единицу. Написав его справа налево, вычитают из большего меньшее. Затем полученную разность снова записывают справа налево и эти два числа складывают. Доказать, что полученная сумма не зависит от того, какое трёхзначное число было первоначально выбрано.
11. В ящике лежат 35 шариков. Двое по очереди вынимают их из ящика, причём по условию игры каждый обязан вынуть «в свой ход» не менее одного шарика и не более пяти. Проигравшим считается тот, кто вынужден будет своим ходом опорожнить ящик. Может ли игрок, делающий первый ход, обеспечить себе выигрыш?
12. Может ли разность квадратов двух простых чисел быть равна 5648?
13. Найти произведение трёх различных простых сомножителей :
ab -ас . (аа— 1).
14. Расшифровать следующее числовое равенство:
аа • ас = асс + ас.
15. Найти три последовательных нечётных числа, сумма квадратов которых выражается четырёхзначным числом, состоящим из одинаковых цифр.
16. Цифры некоторого четырёхзначного числа, рассматриваемые слева направо, оказываются четырьмя последовательными цифрами. Найти это число, если известно, что при перестановке двух первых его цифр получается четырёхзначное число, являющееся точным квадратом.
17. Доказать: «Среди членов последовательности
2, 5, 8, И, ... нет точных квадратов».
18. Найти четырёхзначное число, равное 4-й степени суммы его цифр.
19. Выражение а5 — 5а3 + 4а было вычислено при а равном 1, 2, 3, ..., 10. Каждый раз получалось число, кратное 120. Была высказана гипотеза: «При любых целых значениях а число а5 — 5а3 + 4а кратно 120». Подтвердите или опровергните эту гипотезу.
20. Значение выражения а2 + а + 41 было вычислено при а равном 1, 2, 3, ..., 35. Каждый раз получалось простое число. Была высказана гипотеза: «При любых натуральных значениях а выражение а2 + а + 41 — простое
9 Заказ 1635
129


число». Подтвердите или опровергните э.ту гипотезу.
21. Внесённая в сберкассу сумма такова, что если к числу сотен её прибавить число, составленное двумя последними цифрами, то получится годовой доход с этой суммы, считая по 2% в год. Каков сделанный вклад?
22. Задумано число. Если, изобразив его в двоичной системе, зачеркнуть в нём последнюю цифру, то получится задуманное число, но записанное в троичной системе. Если же в этом числе зачеркнуть последнюю цифру, то снова получится задуманное число, но изображённое теперь уже в десятичной системе. Найти задуманное число.
23. Пункты А и В расположены на берегу реки. Из А в В одновременно вышли пешеход, шедший по берегу, и лодка, скорость которой в стоячей воде равна скорости пешехода. Достигнув В, и пешеход, и лодка тотчас поворачивают обратно и возвращаются в Л. Кто из них раньше окажется в Л?
24. Некто на вопрос, каков номер его билета, ответил так: «Если все шесть двузначных чисел, которые можно составить из цифр номера, сложить, то половина полученной суммы составит как раз номер моего билета». Определить номер билета.
25. Найти два таких целых числа, что если их сложить, вычесть из большего меньшее, перемножить, разделить большее на меньшее, а затем все четыре результата сложить, то получится 245.
26. Можно ли утверждать, что остаток от деления любого простого числа, большего 30, на 30 — всегда число простое или единица?
27. Найти все трёхзначцые числа, квадрат которых оканчивается на три цифры, образующие первоначальное трёхзначное число.
28. Кратное 9 шестизначное число вида асааса делится без остатка на четырёхзначное число аааа. Найти частное.
29. Верно ли такое утверждение: «Из любых 12 чисел всегда найдётся по крайней мере одна такая пара чисел, что либо сумма их, либо разность будет кратна 20».
30. Какие целые числа уменьшаются в 14 раз от зачёркивания последней цифры.
31. Существуют ли такие трёхзначные числа, из цифр которых можно составить шесть различных простых двузначных чисел?
130


32. Указать 1000 последовательных чисел натурального ряда, среди которых заведомо нет ни одного простого числа.
33. Определить наибольшее значение отношения трёхзначного числа к сумме его цифр.
34. Числа от 1 до 1000 написаны по окружности круга (черт. 30). Начиная с 1 зачёркиваются все числа через каждые 15 чисел (т. е. зачёркиваются 1, 16,31,...), иэтот процесс продолжается пока, не сделав некоторое число оборотов, не возвратятся к уже зачёркнутой единице.
Сколько чисел останется не- зачёркнутыми?
35. Все 28 костей домино разложены в цепь с соблюдением правил игры в домино.
Оказалось, что на одном конце цепь заканчивается четырьмя очками. Сколько очков на другом конце цепи?
^Зб^Поищите объяснение такому математическому фокусу: «фокусник» предлагает вам написать любое трёхзначное число. Затем он подходит и, едва взглянув на написанное число, сразу приписывает к нему справа три цифры так, что образовавшееся шестизначное число делится на 37.
Пример: Вы написали 941; «фокусник» моментально приписывает к нему 058.
Проверка. 941 058 : 37 = 25 434.
37. Найти все такие простые значения р, при которых число 8р2 + 1 также оказывается простым числом.
38. Найти все пары целых чисел, сумма которых равна их произведению.
39. В математическом кружке была предложена такая задача: «Из десяти различных цифр 0, 1, 2, ..., 9, используя только знак плюс и каждую цифру один раз, составить сумму, равную 100 (разрешается изменять порядок цифр и образовывать из них двузначные и т д числа}». На следующем собрании кружка один из кружковцев заявил, что задача решения не имеет. Прав ли он?
Задача заимствована из книги Д, Пойа «Как решать задачу», Учпедгиз, 1959.
Черт. 30
131


40. Найти два числа, сумма которых, произведение их и частное от деления одного из них на другое были бы равны.
41. Найти сумму всех четырёхзначных чётных чисел, которые можно написать цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5 (одна и та же цифра в числе может повторяться).
42. Найти шестизначное число, которое при умножении на 2, 3, 4, 5 и 6 даёт в произведении числа, состоящие из тех же цифр, что и искомое, причём каждая цифра в каждом из произведений занимает новое порядковое место.
43. Найти число, являющееся точным квадратом, если известно, что оно четырёхзначное в пятеричной системе, а если его записать в семеричной системе, то оно выражается одинаковыми цифрами.
44. Между трамвайными остановками А и В по одной и той же трассе ходят трамваи маршрутов № 1 и № 2. Некий гражданин в течение многих месяцев и в разные часы дня ездит от остановки А до остановки В\ так как ему безразлично, каким маршрутом пользоваться, то, придя на остановку Л, он садится в первый подошедший к остановке трамвай. Оказалось, что в среднем из каждых десяти поездок он садится на остановке А в трамвай № 1 девять раз и лишь один раз в трамвай № 2. Известно, что трамвай № 1 проходит через остановку А каждые 10 минут.
Допустимо ли предположение, что трамвай № 2 также проходит через остановку А каждые 10 минут?
45. Среди 77 одинаковых колец одно несколько легче остальных. Найти его не более чем четырьмя взвешиваниями на чашечных весах без гирь.
46. Из 8 одинаковых по виду колец одно несколько отличается по весу от других, причём неизвестно, легче или тяжелее это кольцо, чем остальные. Требуется найти это кольцо с помощью не более чем трёх взвешиваний на чашечных весах без гирь.
47. Имеется 10 одинаковых по размеру и виду кубиков. Одни из них алюминиевые (более лёгкие), другие дюралевые (потяжелее). Определить число кубиков каждого вида с помощью не более шести взвешиваний на чашечных весах.
48. Имеются 10 кучек одинаковых на вид колец по 10 колец в каждой кучке. В девяти кучках каждое кольцо весит 10 г, а в одной кучке все кольца весят по 9 г. Требует¬
132


ся с помощью одного взвешивания на чашечных весах найти кучку, состоящую из колец весом в 9 г, полагая, что имеется достаточное число гирь различного веса.
49. В шахматном турнире участвовали ученики IX и X классов. Каждый участник играл с каждым другим один раз. Десятиклассников было в 10 раз больше, чем девятиклассников, и они набрали в 4,5 раза больше очков, чем девятиклассники. Сколько учеников IX класса участвовало в турнире и сколько они набрали очков?
50. Буквы алфавита разбиты на группы следующим образом:
I группа: А, Д, Jl, М, П, Т, Ф, Ш.
II группа: В, Е, 3, К, С, Э, Ю.
III группа: Ж» И, О, X, Н.
IV группа: Б, Г, Р, У, Ц, Ч, Ь, Ы, Я.
Требуется определить, по какому принципу произведена разбивка букв на группы?
51. Доказать, что из всех людей, живших когда-либо на свете (и живущих сейчас), число людей, сделавших нечётное число рукопожатий, есть число чёткое.
52. «Фокусник» показывает фокус. Он говорит: «Удвойте номер ботинок, которые вы носите, и к полученному чис¬
лу прибавьте 35. Сумму умножьте на 50 и к полученному произведению прибавьте 513 (513 прибавляется в 1960 году, в 1961 году прибавляется 514, в 1962 году прибавляется 515 и т. д.). Теперь от полученного числа отнимите год вашего рождения. Скажите, сколько у вас получилось, и я сразу назову номер ваших ботинок и сколько вам лет исполнилось (или исполнится) в этом году».
Поищите объяснение этому фокусу.
53. Брат говорит сестре: «Когда тёте Кате было столько лет, сколько теперь нам с тобой вместе, то тебе было столько лет, сколько мне сейчас. А вот когда тёте Кате было столько лет, сколько тебе сейчас, то тогда тебе было...» Сколько лет было сестре?
54. Из трёх победителей математического турнира, набравших по одинаковому числу очков, надо было выделить самого сообразительного. Для этого поступили так: им показали 5 колпаков — 3 белых и 2 серых. Завязав затем им повязками глаза, на голову каждого надели по колпаку, а оставшиеся два колпака убрали. Когда повязки были сняты, было объявлено, что победителем турнира будет
133


.первый, определивший цвет своего колпака. Некоторое время соревнующиеся молча смотрели друг на друга. Наконец, один из них уверенно заявил, что на него надет белый колпак. Как он рассуждал?
55. «Фокусник», показывающий математический фокус, говорит: «Задумайте любое число между 1 и 1000. Я задам вам не более десяти вопросов так, что вашим ответом на них будет только «да» или «нет» Когда вы дадите последний ответ, я сразу назову задуманное вами число».
Подумайте, какая система вопросов наверняка обеспечивает успех этого фокуса?
56. (Старинная задача, приписываемая Ньютону).
Стихотворный текст этой задачи в переводе на русский
язык будет такой: «Мне нужна ваша помощь, чтобы посадить девять деревьев в десять рядов так, чтобы в каждом ряду было три дерева. Скажи — как, и я ничего больше не спрошу». Обозначив деревья точками, а ряды — прямыми линиями, укажите расположение точек, удовлетворяющее условиям задачи.
Из книги И. Я. Депмднэ «Рассказы о решении задач»,
57. У входа в кино висело объявление о начале кино- сеансов. Прочитав его, я попытался, придя домой, по памяти записать это расписание. Но многое оказалось забытым и мне удалось записать лишь следующее:
1
сеанс
12
час.
**
мин.
2
сеанс
13
час.
**
мин.
3 сеанс
ф *
час.
* *
мин.
4
сеанс
# *
час.
**
мин.
5
сеанс
час.
**
мин.
6
сеанс
**
час.
**
мин.
7
сеанс
23
час.
05
мин.
После некоторых размышлений и расчётов мне уяялось восстановить все забытые цифры (звёздочки); при этом я полагал, что продолжительность всех сеансов (включая сюда время выпуска и впуска зрителей) одинакова. Попробуйте восстановить всё расписание.
58. 	В одном из ленинградских институтов на разных курсах учились 4 товарища. Самый младший учился на 1 курсе, а старший на IV. Определить имя, фамилию каждого студента и курс, на котором он учился, если известно, что:
134


1. Борис был персональным стипендиатом.
2. Василий должен был летом ехать на практику в Омск, а Иванов собирался ехать домой в Донбасс.
3. Николай был курсом старше Петра.
4. Борис и Орлов были коренными ленинградцами.
5. Крылов в прошлом году окончил школу и поступил на тот же факультет, где учился Карпов.
6. Борис иногда пользовался прошлогодним конспектом Василия.
59. В купе едут 6 пассажиров, живущих в разных городах: Москве, Ленинграде, Туле, Киеве, Риге и Одессе Фамилии их — Агеев, Боков, Власов, Громов, Дубов и Елисеев. Известно, что:
1. Агеев и москвич — врачи.
2. Дубов и ленинградец — учителя.
3. Власов и туляк — инженеры.
4. Боков и Елисеев — участники Отечественной войны, а туляк в армии никогда не служил.
5. Рижанин старше Агеева, а одессит старше Власова.
6. Боков и москвич сошли в Киеве, а Власов и рижанин должны были сойти в Виннице.
Определить фамилию, профессию и место жительства каждого из пассажиров.
60. Поезд идёт из Москвы в Ленинград. В поэзде едут пассажиры Иванов, Петров и Сидоров. В поездной бригаде такие же фамилии у машиниста, кондуктора и кочегара. Известно, что:
1. Пассажир Иванов живёт в Москве.
2. Кондуктор живёт на полпути между Ленинградом и Москвой.
3. Пассажир — однофамилец кондуктора — живёт в Ленинграде.
4. Ближайший сосед кондуктора (пассажир) зарабатывает ровно втрое больше кондуктора.
5. Ставка пассажира Петрова 2000 рублей.
6. Сидоров (из бригады) выиграл у кочегара партию на биллиарде.
Как фамилия машиниста?
61. В одном американском журнале была помещена такая задача: «Из какой точки земного шара надо вылететь, чтобы, пролетев 100 км по меридиану к югу, затем 100 км по параллели к востоку, наконец, снова 100 км по меридиану к северу, оказаться в точке отправления?».
135


Одно решение задачи напрашивается сразу: надо вылететь из точки Северного полюса. Но единственное ли это решение?
Один математик вслух решал эту задачу так: первая и третья части пути проходят по меридианам; но два меридиана имеют лишь две общие точки — Северный и Южный полюсы; последний отпадает, так как из него нельзя двигаться на юг; значит, в качестве единственного решения остается только Северный полюс».
Правильно ли это рассуждение?
62. Математический фокус. Имеется 48 карточек. На 6 из них проставлена цифра 1, на шести — цифра 2 и т: д., т. е. на последних шести — цифра 8.
Из перемешанных карточек берут верхнюю. Если на ней окажется, например, цифра 6, то на эту карточку накладывают из колоды 11—6=5 карточек; затем эти карточки кладут в виде кучки так, чтобы карточка с цифрой 6 была закрыта и лежала сверху. Потом из оставшейся части колоды опять берут верхнюю карточку, например с цифрой 3, и на неё накладывают 11—3=8 карточек; получается вторая кучка. Таким же способом образуют следующие кучки, пока число оставшихся карточек окажется недостаточным, чтобы дополнением до И образовать новую кучку. Таким образом, на столе окажется несколько кучек и несколько отдельно лежащих карточек, оставшихся неиспользованными. Всё описанное проделывается в отсутствии «фокусника». Только теперь он входит, смотрит на стол и безошибочно называет сумму всех чисел на верхних карточках.
Попробуйте найти математическое объяснение этого фокуса.
63. Брошены три игральных кубика. Какова вероятность, что сумма очков на их верхних гранях будет равна их произведению?
64. При проходе поезда через туннель угольная пыль проникла в вагон и часть пассажиров оказалась со следами сажи на лице. Проходивший через вагон кондуктор сказал: «Граждане, среди вас есть запачкавшиеся. Вымыться можно в умывальной, но только во время стоянки поезда». Через 4 остановки все пассажиры были чисты. Сколько в вагоне было запачкавшихся, если известно:
1. 	Зеркал в вагоне нет.
136


2. Пассажир идёт мыться только тогда, когда он убеждён, что запачкан.
3. В умывальной во время одной стоянки может вымыться любое число пассажиров.
4. Все пассажиры умеют из наблюдений делать правильные выводы.
65. В одном из рассказов английского писателя А. Ко- нан-Дойля «Приключения Шерлока Холмса» содержится такая задача: «Доктор Уотсон и его гость Холмс сидят у открытого окна. Из сада доносятся весёлые голоса большой группы детей.
Холмс. Скажите, пожалуйста, сколько у вас детей?
Уотсон. Тут дети четырёх семей. Моя команда самая многочисленная, братнина — меньше, сестрина — ещё меньше, а дети дяди — самая малочисленная группа. Они так шумят, так как им не хватает для двух команд по 9 человек в каждой. Любопытное совпадение: если перемножить четыре числа, выражающие количество детей наших семей, то получим номер нашего дома, который Вы знаете.
Холмс. Я ведь учился в школе математике! Попробую вычислить число детей каждой из семей.
После некоторых вычислений Холмс заявил: для решения задачи данных мало. Скажите, у дяди один ребёнок или больше? Уотсон дал требуемый ответ.
Холмс. Теперь я могу дать точный ответ о числе детей!
Он действительно дал правильный ответ.
Какой был номер дома и сколько детей в каждой из четырёх семей.
Задача взята из книги И. Я. Депмана «Рассказы о математике», Детгиз, 1954.
66. Указать наибольшее число слонов, которых можно расставить на шахматной доске так, чтобы ни один из них не был под боем другого. (Цвет слонов не учитывается.)
67. На шахматную доску надо поставить две ладьи так, чтобы они не были под боем друг друга. Сколько существует различных способов такой расстановки ладей? (Цвет ладей не учитывается.)
68. Можно ли ходом коня попасть из левой нижней клетки шахматной доски в правую верхнюю клетку, побывав при этом на каждой клетке доски один и только один раз?
69. В одном ящике лежит 50 шариков, в другом — 80 шариков. По условиям игры каждый из двух игроков по
137


очереди вынимает из какого-либо одного ящика любое число шаров. Выигравшим считается тот игрок, после хода которого оба ящика окажутся пустыми. Указать план игры, обеспечивающий выигрыш начинающему игроку.
70. (Логическая задача-шутка). Два селения — А и В расположены рядом. Жители обоих селений часто посещают друг друга. Известно, что все жители А всегда говорят только правду, а жители В — всегда лгут.
Представьте себе, что вы оказались в одном из этих селений, но не знаете, в каком именно — в А или в В. Вы встречаете одного из жителей этих селений. Подумайте, какой вопрос следует задать этому жителю, чтобы по его ответу — «да» или «нет» — вы могли бы сразу безошибочно определить, в каком именно селении вы находитесь.
71. Старинная логическая задача (ссфизм). Протагор обучал Эватла искусству софистики. По договору Эватл обязался уплатить Протагору за обучение определённую сумму денег, но лишь после первого выигранного Эватлом судебного процесса. Когда обучение было закончено, Эватл заявил, что платить Протагору не будет, причём рассуждал так: если Протагор потребует уплаты денег судом и судебный процесс будет выигран мною, то согласно приговору суда я платить не должен. Если же процесс будет мною проигран, то я также могу не платить, так как в заключённом договоре специально оговорено, что я должен заплатить за обучение лишь после выигранного мною судебного процесса. Правильно ли рассуждал Эватл?
72. В турнире участвовало 6 шахматистов, игравшие друг с другом по одной партии. Таблица результатов турнира была испорчена и имела следующий вид:
А
Б
В
Г
Д
Е
Всего
очков
Место
Андреев
4
I
Бунин
II
Венков
III-IV
Г усе в
0
III-IV
Дымов
V
Егоров
VI
138


Известно: 5 партий турнира закончились «в ничью», причём Бунин сыграл «в ничью» только одну партию. Требуется полностью восстановить таблицу турнира.
РЕШЕНИЯ
1. 	Умножением числителя и знаменателя каждой из дан-
Очевидно, любая промежуточная дробь внутри каждой из этих пар будет удовлетворять одному из условий 7 8
задачи: быть больше — и меньше — Чтобы удовлетворить
второму условию, мы внутри каждой пары выберем такие промежуточные дроби, если они имеются, которые после сокращения окажутся дробями с однозначным знаменателем: 14 16 15 5
1) 	Пара -jy и —. Промежуточная дробь — == — •
2) Пара — и —. Обе промежуточные дроби несократимы.
28 32 „ 30
3) Пара и Промежуточная сократимая дробь — =
■=-“ (уже найденная ранее).
35 40
4) Пара — и^г . Из двух промежуточных сократимых дро-
36 39
бей"^ и — новую дробь, удовлетворяющую условиям за-
36 4
дачи, даёт 17 ^ "Г *
42 48 45 __ 5
5) Пара -gj и-^-. Сократимая дробь ——— (уже найденная ранее).
6) Парами Сократимая дробь 51 = у—новая дробь, удовлетворяющая условиям задачи.
«ч т-г 56 64 Тт о 60
7) Пара —и*—. Из промежуточных сократимых дробей — ==
5 „ 63 7
=— — дает дробь, найденную ранее, и — = новая.
6 72 8
дробь, удовлетворяющая условиям задачи.
ных дробей на 2, 3, 4 8 з
14
новыми парами дробей: — и
7 8
заменяем пару дробей — и —
16 21 24 56 64
и ——и— — и —.
18 ' 27 27 72 72 *
21 24
139


Умножение числителя и знаменателя двух данных дробей на 9, 10 и т. д. новых дробей, удовлетворяющих условиям задачи, не обнаружит.
Итак, дробями, удовлетворяющими условиям задачи, будут 4 дроби:
_i A A JL
5’ 6 ’ 7 8*
2. В шестизначных числах, сумма цифр которых равна 3, могут быть: 1) одна тройка, остальные цифры — нули;
2) одна двойка и одна единица, остальные 4 цифры — нули;
3) три единицы, а остальные 3 цифры — нули. Во всех случаях первая цифра шестизначного числа — не нуль.
В первую группу входит единственное число —300 ООО.
Числа второй группы могут начинаться или единицей или двойкой. Если число имеет вид 1*****, то двойка может занимать любое из пяти мест, следующих за единицей: всего таких чисел будет 5. То же самое можно сказать и про числа вида Значит, всего чисел второй груп¬
пы будет 5+5=10.
Числа третьей группы имеют вид: Ц****, или 1*1***, или 1**1**, или 1***1*, или 1****1, причём в каждом из этих 5 чисел третья единица может стоять только на месте любой из звёздочек, следующих за второй единицей (в противном случае окажутся повторяющиеся числа). Таким образом, из первого числа 11**** можно составить 4 числа, из второго 1*1*** — 3 новых числа, из третьего — 2 новых числа и из четвёртого — 1 новое число (из пятого чис- ла Новых чисел составить нельзя). Всего чисел треть¬
ей группы будет 4+3+2+1=10.
Итак, чисел, удовлетворяющих условиям задачи, окажется 1 + 10+10=21.
3. Рассмотрим 3 возможных случая: 1) Оба расстояния, указанные на столбе, — числа трёхзначные. 2) Одно из указанных расстояний — число двузначное. 3) Одно из указанных расстояний — число однозначное.
1) 	Прежде всего обратим внимание на то, что на каждом столбе сумма обозначенных на нём чисел равна 999. Пусть одно из этих чисел имеет вид ааа, где а — одна из цифр: 1, 2,...,8. Получим первые 8 пар чисел — 111 и 888, 222 и 777,...,888 и 111, для изображения которых использованы лишь 2 цифры. Пусть теперь трёхзначное число имеет вид
140


aac, аса, асс, где а+с= 9 и а и с—не нули. Тогда в паре с каждым из этих чисел будет трёхзначное число 999 — —аас=сса, 999—аса=сас и 999—асс=саа. Задав в числе аас цифре а значения 1,2,...,8, получим 8 пар чисел— 118 и 881, 227 и 772, ...,881 и 118, для изображения которых использованы лишь 2 цифры. Таким образом, получим по 8 пар чисел из чисел вида аса и асс\ всего столбов, на которых оба обозначенных расстояния — трёхзначные числа, изображённые лишь двумя цифрами, будет 8*4=32.
2) Если одно из указанных на столбе расстояний — двузначное число, то другое — трёхзначное число вида 9**. Если теперь допустить, что в изображении двузначного числа нет цифры 9, то оно может иметь лишь вид аа. Но 9**+ +аа=999; цифра единиц (а также и десятков) в числе 9** не может быть а (так как а+аф9) и не может быть 9 (так как а=^0); таким образом, окажется, что в этом случае для изображения чисел потребуются цифры, отличные от 9 и от а. Значит, в двузначном числе есть цифра 9 и оно имеет вид 9* или *9. Так как 9** +9*=999 и 9**+*9=999, го в изображении числа 9** есть нули. Следовательно, двузначное число может быть 90 и 99, и удовлетворяющими условиям задачи будут 4 пары: 90 и 909, 99 и 900, 900 и 99, 909 и 90.
3) Если одно из чисел однозначно, то другое имеет вид 99*. Однозначное число может быть 0 или 9, и удовлетворяющими задаче будут 4 пары: 0 и 999, 9 и 990, 990 и 9, 999 и 0.
4. 	Сомножители не могут быть ни последовательными числами натурального ряда, ни последовательными чётными числами, так как произведение их — нечётное число. Следовательно, второе пропущенное слово — «нечётных».
Число сомножителей меньше шести, так как произведение шести любых последовательных двузначных чисел больше 100 000. Произведение 12 075 делится на 25, но среди сомножителей нет двух нечётных чисел, кратных 5, так как число сомножителей меньше 6. Следовательно, среди сомножителей должно быть число 25 или 75. Произведения 73-75 или 75-77 меньше 6000, а произведение любой тройки последовательных нечётных чисел, включающих множитель 75, больше 300 000. Значит, среди искомых сомножителей числа 75 нет.
141


Произведения 23-25 или 25*27 меньше 700, а произведение любых четырёх последовательных нечётных чисел, включающих число 25, больше 100 ООО. Значит, искомых сомножителей — три и первое пропущенное в тексте задачи слово — «трёх».
• Произведения 23-25-27 и 25-27-29 содержат множитель 27 — число, кратнсе 9. Но 12 075 на 9 не делится. Значит, единственно возможная тройка чисел — 21, 23, 25. Проверяем: 21-23 25=12 075.
5. 	Будем решать задачу с конца. Всего орехов 22+14+ + 12=48. Значит, после третьего перекладывания в каждой кучке должно быть 48 : 3=16 орехов. При каждом перекладывании изменяется число орехов только в двух кучках; следовательно, уже после 2-го перекладывания число орехов в одной из кучек оказалось 16, а в других двух — а и b (где, например, аУЬ). Третье перекладывание, приводящее к образованию в каждой кучке по 16 орехов, могло заключаться лишь в том, что из кучки с а орехами было переложено b орехов в кучку, в которой уже было b орехов. В этой кучке образовалось 2Ь орехов, причём 26=16, откуда Ь— 8, а так как а+Ь=32, то а=24. Таким образом, после второго перекладывания распределение орехов по кучкам было: 16, 24, 8
Перед 2-м перекладыванием в кучке, в которой после 2-го перекладывания оказалось 16 орехов, было какое-то иное число орехов, так как из чисел 12, 14 и 22 по правилу, указанному в условии задачи, образовать число 16 нельзя. Сколько же орехов после 1-го перекладывания могло быть в этой кучке? Возможны два предположения: либо после первого перекладывания там оказалось 8 орехов, которые после 2-го перекладывания и образовали 16 орехов, либо там было больше 16 орехов — 16+п орехов и эти п орехов, взятые при втором перекладывании из кучки в 16+я орехов, и образовали кучку из 8 или 24 орехов. Значит, п=4 или п— 12 Если /2=4, то 16+я=20, но из чисел 12, 14 и 22 образовать 20 нельзя, т е. пф4. Если /2= 12, то 16+я=28. Из чисел 12, 14 и 22 образовать число 28 можно только так: из кучки в 22 ореха переложить орехи в кучку из 14 орехов, и распределение орехов после 1-го перекладывания будет 12, 28 и 8 Теперь 2-м перекладыванием надо образовать кучку в 16 орехов. Это можно сделать двояко: 1) из кучки в 12 орехов или 28 орехов переложить 8 орехов в кучку с 8 орехами. Тогда после 2-го перекладывания распре¬
142


деление орехов по кучкам будет или 4, 28 и 16 или 12, 20 и 16, между тем как это было уже установлено ино должно быть 8, 24 и 16. Это предположение отпадает. 2) Из кучки в 28 орехов перекладываем 12 орехов в кучку с 12 орехами и распределение орехов по кучкам будет 24, 16 и 8.
Итак, после 1-го перекладывания число орехов по кучкам будет 12, 28 и 8; после 2-го перекладывания — 24, 16 и 8 и лосле третьего— 16, 16 и 16.
6. Допущение, что такая тройка простых чисел существует, приводит к противоречиям. Действительно, так как эти числа — простые и отличные от 3, то ни одно из них не делится на 3. Пусть меньшее из этих чисел 3я+ 1; тогда следующее за ним число Зп+З делится на 3. Если же меньшее число имеет вид Зп—1, то последнее число этой тройки (3п—1)+4=3/2+3, т. е. также делится на 3.
7. По условию аЬ = 2aby откуда ab : 2 и, следовательно, b — чётная значащая цифра. Поделим обе части уравне-
ния 10а + b = 2ab на 2а. Будем иметь: 5 + — = Ь. От-
2 а
сюда: b>5; но Ь — чётно и однозначно, значит, 6 = 6
g
или b = 8. Если b — 8, то — = 3, т. е. 8 = 2а-3, что не-
2 а
возможно, так как 8 не делится на 3. Значит, если задача имеет решение, то b = 6 и а = 3.
П р о в е р к а. 36 = 2 • 3 6.
8. Пусть искомое число аос. По условию 100а + 10Ъ + + с — 9 2с + 9 b + а, или 100а + b = 80с + а, или 10а-10 + b = 8с-10 + а. Равные числа должны иметь равное число десятков и одинаковые цифры единиц. Следовательно, 10а = &с и а = Ь. Из 5а = 4с сразу вытекает, что с \ 5; но с — однозначно и с =^0, значит, с = 5 и, следовательно, а = b = 4. Искомое число 445.
9. В двоичной системе искомое число может иметь только такой вид: 11... 1 — искомое число — число нечётное.
В четверичной системе число, изображаемое одними двойками, чётное; следовательно, в четверичной системе искомое число имеет вид 33...3 Но уже ЗЗЗЗ4 = 3 64 + + 3-16 + 3-4 + 3>100, следовательно, искомое число имеет вид ЗЗЗ4 или ЗЗ4 (оба эти числа — двузначные) Но ЗЗ4 = 15 и в восьмеричной системе изобразится 178, что не удовлетворяет условиям задачи.
Остаётся проверить, как изображается число 3334=63
143


в восьмеричной и двоичной системах: 63 = 778 и 63 = = ИШЬ. Искомое число 63.
10. 	Вычитаем из abc (где а — с> 1) число так, как это обычно делают при письменном вычитании многозначных чисел:
а Ь с
с Ъ а
а —с — 1; 9; 10 +с — а
Теперь прибавим к полученной разности обращённое число:
а — с — 1 9 10 + с — а
10 + с — а 9 а — с— 1 ГО"~ 8 9
Как видим, сумма 1089 действительно не зависит от
выбранного числа.
И. Если после последнего хода первого (т. е. начавшего игру) игрока в ящике останется 1 шарик, то ему обеспечен выигрыш. Но для этого ему необходимо, чтобы после предпоследнего его хода в ящике осталось 7 шариков. А для этого, в свою очередь, нужно, чтобы после предыдущего хода, в ящике осталось 7 + 6 = 13 шариков, а ещё ходом раньше 13 + 6 =19 шариков и т. д. Таким образом, если начинающий игру первым своим ходом вынет 4 шарика, то, сколько бы после этого второй игрок ни вынул из оставшихся 31 шарика (от 1 до 5 шаров), первый
игрок сумеет перед ходом второго игрока оставить в ящи¬
ке последовательно 25, 19, 13, 7 и 1 шарик.
12. 	Прежде всего заметим, что вычитаемое здесь не
может быть ни 22, ни З2. Действительно, в первом случае
уменьшаемое, являющееся точным квадратом, оканчивалось бы цифрой 2, а во втором случае —цифрой 7. Но квадраты целых чисел цифрами 2 ^7 не оканчиваются. Значит, простые числа а и 6, которые здесь рассматриваются,— не кратные трём нечётные числа вида Зп + 1.
Разность а2 — Ь2 = (а + Ь)(а — 6), где оба сомножителя чётные числа и, следовательно, а2 — b2 делится на 4. Этому требованию число 5648 удовлетворяет. Но, кроме того, а2 — Ъ2 должно делиться на 3. Действительно, а2— _ b2 = (3k + I)2 — (3m + l)2 = 9k2 + 6k + 1 — 9m2 + + 6m — 1 = 9(k2 — tn2) + 66 + 6m — число, делящееся на 3. Этому требованию число 5648 не удовлетворяет. Зна¬
144


чит, разность квадратов двух простых чисел, не может равняться 5648.
13. Из всех чисел вида аа (11, 22, 99)только при аа= 44 будем иметь, аа— 1 = 44— 1 ~ 43 — простое число. Значит, все сомножители начинаются цифрой а = 4. В десятке 40—49 имеются три простых числа — 41, 43 и 47. Следовательно, искомое произведение 41 • 43 • 47.
14. Сумма двух слагаемых—число аа-ас и одно из слагаемых — число ас делятся на ас. Следовательно, и второе слагаемое асс делится на ас. Будем делить асс на ' ас:
асс
~ас
ас
т
Однозначное с делится на ас в единственном случае, если с = 0, т. е. асс : ас = 10. Тогда аа = (асс + ас) : ас= = асс : ас + ас : ас — 10+1 = 11, т. е. а = 1. Итак имеем: 11-10= 100 + 10.
15. Степень нечётного числа — число нечётное. Сумма трёх нечётных чисел есть число нечётное. Следовательно, удовлетворяющая условиям задачи сумма степеней состоит из четырёх одинаковых нечётных цифр.
Пусть среднее из искомых чисел а. Тогда сумма квадратов их (а — 2)2 + я2 + (а + 2)2 — 3а? + 8 — число, не делящееся на 3. Таким образом, числа 3333 и 9999 исключаются и рассмотрению подлежат лишь числа 1111, 5555 7777.
Число За2 + 8 на единицу меньше числа, кратного 3. Следовательно, из чисел 1112, 5556, 7778 удовлетворяют условиям задачи те, которые кратны 3. Таковым является лишь 5556.
Итак, За2 + 8 = 5555; а2 = 1849; а = 43.
412 + 432 + 452 = 1681 + 1849 + 2025 = 5555.
16. Так как точные квадраты могут оканчиваться лишь цифрами 0, 1, 4, 5, 6, 9, а перестановка двух первых цифр не отражается на последовательности двух последних цифр, то рассмотрению подлежат лишь числа 1234, 2345, 3456 и 6789. Число 2134 не может быть точным квадратом, так
Ю Заказ 1685
145


как оно чётное, но не делящееся на 22 = 4. Число 3245 не может быть точным квадратом, так как при последней цифре 5 предпоследняя цифра не 2. Число 7689 не может быть точным квадратом, так как сумма цифр его 30, т. е. оно делится на 3, но не делится на З2 = 9. Остаётся проверить число 4356. Первая цифра квадратного корня из 4356, очевидно, 6, а последняя 4 или 6. Число 64 не делится на 3, а 4356 делится. Проверке подлежит лишь 66; 662= = (60 + 6)2 - 3600 + 720 + 36 = 4356.
17. Любой член последовательности 2, 5, 8, 11, есть число, дающее при делении его на 3 остаток, равный
2. 	Всякое число, не делящееся на 3, может быть представлено в виде Ъп ± 1, а квадрат такого числа будет (3п ± I)2 = (9п2 ± 6/г) + 1; т. е. квадрат любого числа, не кратного 3, при делении его на 3 всегда даёт в остатке единицу. Значит, ни одно из чисел данной последовательности не может быть точным квадратом.
18. Пусть сумма цифр искомого числа — л; и, следовательно, искомое число — х4. Так как по условию х4 — четырёхзначное число, то х2 — двузначное, а х — однозначное, причём л;>5 (так как 54 = 625 — трёхзначное число).
Допущения, что х равно 6, 8, 9, приводят к противоречиям:
1) Если л: = 6, то л:4 кратно 9 и сумма цифр х4, т. е. х делится на 9; но х = 6 на 9 не делится.
2) Если х = 8, то х4 = 84 оканчивается цифрой 6, а начинается цифрой, не меньшей 3; следовательно, сумма цифр х4, т. е. х не меньше 9.
3) Если х = 9, то х4 = 94 = 81 • 81. Значит, 6400<х4<7000. Но любое число в этом промежутке имеет сумму цифр, большую 10.
Остаётся испытать х = 7; 74 = 2401. Искомое число 2401.
19. а5 — 5 а6 + 4а = а(а2 — 1)(а2 — 4) =
= (а — 2) (а — 1) а (а + 1)(а + 2) есть произведение пяти последовательных целых чисел. Но среди сомножителей такого произведения всегда окажутся числа, кратные 3 и 5, и по крайней мере два чётных числа. Так как из двух последовательных чётных чисел одно кратно 4, то произведение кратно 8. Числа 3, 5 и 8 попарно взаимно простые, значит, при любых целых значениях а, аь — 5а3 + 4а делится на 3-5*8 = 120. Гипотеза подтверждена.
146


20. При любом с число а2 + а + с будет точным квадратом, если положить а = с— 1. Следовательно, если в выражении а2 + а + 41 положить а = 40, то будем иметь: 402 + 40 + 41 = 412. Гипотеза опровергнута.
21. Пусть число сотен искомого числа а, а две последние цифры его образуют число 6(6<100).
По условию 0,02 • (100а + Ь) = а + b или 50а = 496. Отсюда видно, что 496 • 50. Но так как 49 и 50 взаимно простые числа, то b : 50. Но b ф 0 (если Ь = 0, то 50а=0 и, следовательно, а = 0, т. е. в сберкассу ничего не было внесено) и 6<100. Из чисел 6, удовлетворяющих неравенству 0<6< 100, на 50 делится только само число 50. Значит, b = 50, 50а = 49-50 и а = 49. Искомое число 4950.
Проверка. 4950-0,02 = 99 = 49 + 50.
22. В двоичной системе искомое число, изображаемое цифрами 0 и 1, должно иметь четыре цифры. Действительно, при трёх цифрах оно после двух зачёркиваний станет единицей, а единица во всех системах изображается одинаково. При меньшем числе цифр невыполнимо требование о двух зачёркиваниях. Попробуем теперь взять число цифр, большее четырёх, например 5. Тогда после двух зачёркиваний останется не меньше 100, которое в двоичной системе изображается семью цифрами.
Тем более невозможно допустить, чтобы искомое число имело 6 и более цифр. Таким образом, после двух зачёркиваний останется либо 10, либо И. Но И при изображении в троичной системе потребует цифру 2, которой нет в изображении числа.
Проверка. Число 10= 101 з = ЮЮ2.
23. Пусть расстояние между А и В равно d, скорость пешехода, а следовательно, и лодки в стоячей воде — v и скорость течения реки'— а. Время, затраченное пешеходом на весь путь (туда и обратно), выразится числом
2d d . d
—, а лодки —; . Сравним эти числа
v * v + u v — и г
d , d 2dv 9 2d 2dv
v + u v — u v2—u2 * v v2
Числители этих дробей 2vd одинаковы, а знаменатель второй дроби больше знаменателя первой дроби, значит, вторая дробь меньше первой: пешеход затратил меньше времени, чем лодка, и, значит, вернулся в А раньше.
10*
147


24. Чтобы из цифр числа можно было составить шесть и только шесть двузначных чисел, необходимо, чтобы это число было трёхзначным: номер билета — abc.
Складывая (10а + 6) + (Юа + с) + (10 6 + а) + +(106 + с) + (10с + а) + (Юс + 6), получим 22(а + 6+с). По условию 11а + 116 + 11с = 100а + 106 + с, откуда 10с + + 6 — 89а. 10а +6 — число двузначное, значит, а=1. Но тогда Юс + 6 = 89, значит, 6 = 9 и с = 8. Искомое число — 198.
25. Пусть искомые числа а и 6, где а>6. По условию (а + 6) + (а — 6) + а-6 + = 245. (1)
Отсюда а \ 6 и а = Ьс, где с — целое число.
Преобразуем (1): 2а6 + аб2 + а = 2456, или
а(6 + I)2 = 2456 или (6 + I)2 = .
5 • 72
Но 6 + 1 и с— целые числа, и дробь есть квадрат целого числа, следовательно, с = 5. Отсюда 6+1 = 7, 6 = 6 и а = Ьс = 30. Искомые числа 30 и 6.
26. Пусть р — простое число, большее 30, р = 30& +г, где 1<г<30; 30 = 2-3-5, а так как р—число простое, то г не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5. Но из возможных значений г, т. е. из чисел 1, 2, 3, 4, ...,28,29, должны быть исключены все числа, кроме простых чисел 7, И, 13, 17, 19, 23, 29 и единицы.
27. По условию трёхзначиое п таково, что /г2 = 1000a-J- + п или я2 — п = 1000а или п(п — 1) ~ 23-53-а.
Числа п — 1 и п — взаимно простые; следовательно, или 1) п кратно 8 и п — 1 кратно 125, или 2) п кратно 125 и' п — 1 кратно 8.
1-й случай, п — 1 = 1256, где 6<7 и кратно 8. п = 1256 + 1 = 1286—(36—1), где 36—1<20.
п \ 8 и 1286 ; 8, значит, 36 — 1 делится на 8 и из чисел 16 и 8 следует выбрать число, на единицу меньшее числа, кратного 3. Следовательно, 36 — 1=8; 6 = 3; п = 376.
2-й случай, ti = 125с, где с ^7 и п — 1 кратно 8.
п — 1 = 125с — 1 = 128с — (Зс + 1), где Зс + 1<22.
п — 1 делится на 8, 128с делится на 8, значит, и Зс + 1
делится на 8 и из чисел 16 и 8 следует выбрать число, на
единицу большее числа, кратного 3. Следовательно, Зс + + 1 = 16; с == 5; п = 625. Искомые числа 376 и 625.
148


28. Число асааса = аса• 1001 = аса-7-11 • 13. Число аааа == аа-101 = а 11-101. Так как первое число делится на второе, а среди делителей второго числа есть простое число 101, то деление нацело будет возможно только в случае, если аса [ 101; а это возможно лишь при с — 0. Число аса кратно 9, но из чисел вида аОа кратно 9 только 909, откуда а = 9. Будем теперь делить число 909-7- И *13 на 9-11-101. Частное, очевидно, равно 7-13 = 91.
29. Если среди 12 чисел есть 2 одинаковых числа, то их разность — 0 — кратна 20. Будем считать, что все 12 чисел различны.
Чтобы число делилось на 20, необходимо и достаточно, чтобы оно оканчивалось нулём, а предпоследняя цифра была чётная.
Если среди взятых 12 чисел 3 числа имеют одинаковую цифру единиц, то разность по крайней мере двух из них будет кратна 20, так как из этих трёх чисел мы всегда можем выбрать 2 числа с цифрами десятков одинаковой чётности (т. е. такими, где обе цифры будут чётными, или обе — нечётными). Пусть среди взятых 12 чисел нет трёх чисел с одинаковой цифрой единиц. Но различные цифры единиц могут быть только у 10 чисел. Значит, среди 12 чисел по крайней мере 2 пары чисел будут иметь одинаковые цифры единиц. Пусть, например, это будут две пары чисел с цифрами 2 и 7 на месте единиц. Если хотя бы у одной из этих пар цифры десятков будут одинаковой чётности, то- разность таких чисел будет кратна 20. Допустим теперь, что цифры десятков у чисел, оканчивающихся цифрой 2, а также у чисел, оканчивающихся цифрой 7, разной чётности. Возьмём число, оканчивающееся цифрой 8 (или цифрой
3), и сложим его с тем из двух чисел, оканчивающихся цифрой 2 (или 7), у которого цифра десятков другой чётности, чем у числа, оканчивающегося цифрой 8 (или цифрой
3). Сумма этих двух чисел будет кратна 20(учтём, что при сложении 2 + 8 (или 7 + 3) образуется 1 «в уме»). Но возможен случай, что чисел, оканчивающихся цифрой 8 (или цифрой 3), нет. Тогда будут ещё пары чисел с одинаковыми цифрами единиц; поступая, как было указано, мы всегда получим сумму или разность двух чисел, кратные 20.
30. Пусть искомое число 10а + 6, где а — число десятков* а b — цифра единиц. Если в этом числе зачерк¬
149


нуть 6, то полученное число а, по условию, будет в 14 раз меньше искомого: 10а + Ь = 14а или 4а = 6. Но b — однозначно, значит, ас3, т. е. или а = 2, или а — 1, и соответственные значения b будут 8 и 4. Легко видеть, .что оба числа 28 и 14 удовлетворяют задаче.
31. При составлении различных двузначных чисел из цифр трёхзначного числа каждая цифра его окажется на месте единиц. Следовательно, среди цифр трёхзначного числа не могут быть чётные цифры и цифра 5. Из оставшихся четырёх цифр 1, 3, 7, 9 цифра 9 не может быть в комбинации ни с цифрой 3 (39 и 93 кратны 3), ни с цифрой 1 (91 кратно 7). Значит, возможны лишь 6 трёхзначных чисел, составленных цифрами 1, 3 и 7. Проверка показывает, что двузначные числа 13, 17, 31, 37, 71 и 73 действительно являются простыми числами. Таким образом, удовлетворяют условию задачи шесть трёхзначных чисел, составленных из цифр 1, 3 и 7.
32. Обозначая произведение 1-2-3...п символом nl, рассмотрим последовательность следующих чисел: 10001+2, 1000! + 3, 1000! + 4, ..., 1000! + 1000, 1000! + 1001. Члены этой последовательности — 1000 последовательных чисел натурального ряда. Каждое из этих чисел, кроме последнего, очевидно,делится на число, равное второму слагаемому; последнее число также делится на 1001, так как 1001 = 7*11*13, а эти сомножители входят в состав произведения 1000!.
33. Будем искать значение отношения ——— =
а+6+с
100а + 10 b + с (100а + 1006 + 100с) — (90 Ь + 99с) = До0 — а + b + с а + b + с
906 + 99с yj 90 b + 99с т-т
! . Дробь !—- неотрицательна. При по-
а + b + с а+6+с
стоянном уменьшаемом 100 разность достигнет наибольшего значения 100 при наименьшем значении вычитаемо-
го — 0. В дроби -90& 99с знаменатель а + b + с>0 (так
а + b + с
как а>0), а числитель 906 + 99с>0. Наименьшее значение числителя и всей дроби — 0 — будет достигнуто лишь при b = 0 и с = 0. Наибольшее значение отношения 100.
34. Первое зачёркнутое число— 1, второе— 1 + 15= = 16, третье — 1 + 15 • 2 = 31 и т. д. /г-е зачёркнутое
150


число имеет вид 1 + \Ъ-(п — 1) = \Ъп — 14. Смысл задачи не изменится, если считать, что после первого оборота в точке окружности, где стояла 1, стоит 1001; после второго оборота — 2001 и т. д. Но л — число зачёркиваний — число целое. Поэтому процесс зачёркивания прекратится, когда в последовательности 1001, 2001, 3001, ... мы впервые встретим число вида 15п — 14. Пусть это произойдёт после k оборотов, т. е. когда число А-1000 + 1 будет равно 15п — 14; но тогда k • 1000 + 15 = \Ъп и число 1000+ + 15 делится на 15. Следовательно, в последовательности 1015, 2015, 3015, ... надо искать первое число, делящееся на 15. Таким числом будет 3015. Из 3015 = \Ъп имеем: п = 3015 : 15 = 201. Значит, число зачёркиваний различных чисел — 200 (так как 1 будет вычеркнута 2 раза: как 1 и как 3001). При этом никакое другое число не будет зачёркнуто два раза. Следовательно, незачёркнутых чисел останется 800.
35. На 56 половинках всех 28 костей домино каждое число очков — 0, 1, 2, ..., 6 — встречается 8 раз, т. е. чётное число раз. Но на стыке любых двух костей домино внутри цепи по ту и по другую сторону от стыка лежит одинаковое число Очков. Поэтому если допустить, что на другом конце цепи лежит не «четвёрка», то окажется, что во всей цепи «четвёрок» будет нечётное число (чётное число «четвёрок» внутри цепи и ещё одна «четвёрка» на одном конце цепи).
36. Пусть написано трёхзначное а и к нему приписано также трёхзначное число Ь. Получилось шестизначное число 1000а + b = 999а + (а + Ь). Так как 999 • 37, то число будет делиться на 37, если (а + Ь) \ 37. Замечаем, что числа 111, 222, ..., 999 делятся на 37, поэтому к данному а следует подобрать такое 6, чтобы сумма а + b состояла из трёх одинаковых цифр. Если, например, а = 342, то, дополняя цифры 3, 4, 2 до одного из чисел 4, 5, ..., 9, в качестве числа b можно взять любое из чисел: 102, 213, 324, 435, 546, 657.
37. Если простое число р >3, то р = Зп + 1. Тогда 8р2 + j « g . (Зп + I)2 + 1 = 8 • (9/г2 + 6п + 1) + 1 =
= 72п2 + 48 п + 9 — число составное, так как делится на 3. Если р =* 2, то 8р2 + 1 = 33 — число составное. Если же р = 3, то 8р2 + 1 = 73 — число простое; числа р и 8р1 + 1 будут простыми числами лишь при
3.
151


38. Из а + b = ab имеем: а = ab — b> а = b( а — 1)
и = Ь\ а— 1 и а — два последовательных целых
а—1
числа, причём а делится на а— 1; это возможно лишь в случаях, когда делитель равен 1 или—1. Таким образом, имеем: 1) а — 1 = 1, откуда а = b = 2; и 2) а— 1 = — 1, откуда а — b = 0.
39. Допустим, что задача имеет решения. Во-первых, очевидно, что все слагаемые суммы не могут быть однозначными числами, так как сумма 0+1+2 + ...+9 = = 45 < 100. Во-вторых, среди слагаемых нет трёхзначных чисел (иначе сумма была бы больше 100). Значит, среди слагаемых должны быть одно или несколько двузначных слагаемых. Пусть сумма десятков двузначных слагаемых — х. Так как сумма всех десяти цифр равна 45, а сумма цифр, стоящих на месте десятков, равна х, то составленная сумма, по предположению, равная 100, будет х • 10 + (45 — х). Из уравнения \0х + 45 — х — 100 имеем: 9 л; = 55 и х — &-L Но х — сумма цифр — число заведомо целое. Следовательно, предположение, что при указанных в задаче условиях можно составить сумму, равную 1С0, отпадает.
40. Произведение двух чисел а и b может быть равно частному от деления а на b лишь в трёх случаях: 1) b ='
= 1, 2) b — — 1, 3) а — 0. 1-е и 3-е предположения отпадают, так как прибавление к любому числу единицы или нуля и умножение того же числа на единицу или на нуль не могут дать одинакового результата (действительно, а + 1 Ф а • 1 ни при каком а и 0 + b Ф 0 • b ни при каком Ьу кроме Ь = 0, но делитель b ф 0). Значит, если задача имеет решение, то b = — 1. Ищем а по условию
а + b = ab, откуда а— 1 = — а, или а = ~.
Проверка. у + ( — 1)=у . ( — 1) == 1: (— 1 )=
= 1_
2 ’
Искомые числа —и — 1.
2
41. Подсчитаем сначала общее число слагаемых. Поставив на место тысяч какую-либо из значащих цифр (1, 2, 3, 4, 5), мы можем на месте сотен и десятков поста¬
152


вить любую из 6 цифр, а на место единиц 0, 2 или 4. Таким образом, общее число слагаемых будет 5 • 6 • 6 • 3 = = 540. Будем складывать их. На месте единиц 180 раз встретится «2» и 180 раз «4». Значит, сумма простых единиц 180 . (2 + 4) = 180 . 6.
На месте десятков по 90 раз встретится каждая из 6 цифр. Значит, сумма десятков 90 • (1 + 2 + 3 + 4 + 5) или 90 • 15 • 10 единиц. Аналогично от сложения сотен
получим 90 • 15 • 100 единиц, а от сложения тысяч —
108 • 15 • 1000 (здесь каждая из 5 значащих цифр встретится 108 раз).
Итак, сумма всех 540 слагаемых будет 180-6 + + 90 . 15 - 10 + 90 - 15 - 100 + 108 • 15 • 1000 =
- 540 • (2 + 25 + 250 + 3000) = 540 . 3277 = 1 769 580.
42. 	1) Первая цифра искомого числа 1, так как иначе уже при умножении его на 5 произведение будет состоять из 7 цифр.
2) Последняя цифра 7. Действительно, мы установили, что в числе есть цифра 1; значит, в одном из произведений на 2, 3, 4, 5 и 6 цифра 1 должна оказаться на последнем месте: это может произойти лишь при умножении на 3 числа, оканчивающегося цифрой 7.
3) При умножении числа, оканчивающегося цифрой 7, на 2, 4, 5 и 6 последними цифрами произведений будут соответственно 4, 8, 5 и 2. Значит, в состав цифр искомого числа, кроме 1 и 7, должны входить 4, 8, 5 и 2.
4) Составим следующую таблицу сложения всех 6 слагаемых.
Искомое число
Произведение числа на:
2 . .
И* V И» ^
» » »
3 . .
* * * # * |
» » »
4 . .
» » »
5 . .
» » »
6 . .
В Каждом вертикальном столбце по условию стоят в каком-то порядке те же цифры, что и в последнем столбце. Поэтому при сложении всех 6 слагаемых будем иметь:
2 9 9 9 9 9 7.
Эта сумма представляет искомое число, взятое слагаемым 1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 раз. Значит, искомое число равно 2 $99 997 : 21 — 142 857.
153


43. Искомое число п — четырёхзначное в пятеричной системе; следовательно, 53 < п < 54, или 125 < п < 625. Так как 72 < 125, а 73 = 343 содержится в 625 лишь один раз, то относительно изображения п одинаковыми цифрами в семеричной системе возможны два предположения:
1) п — трёхзначное число: п = ааа7, где а одна из четырёх цифр: 3, 4, 5, 6 (если а = 1 или а = 2, то п < 125).
2) п — четырёхзначное число вида 111Ь (из других цифр четырёхзначное число п состоять не может, так как п < 625). 1-е предположение отпадает. Действительно, сша7 = 49а + 7а + а = 57а; но по условию 57а — точный квадрат и наименьшее значение а равно 57, что невозможно. Остаётся проверить, является ли 111Ь точным квадратом. 111Ь = 1 • 343 +1-49 +1*7+1= 400— точный квадрат.
44. Покажем, что такое предположение вполне допустимо. Пусть расписание движения трамваев № 1 и № 2 составлено, например, так, что трамвай № 1 проходит остановку А в 6 час. 00 мин., 6 час. 10 мин., 6 час. 20 мин. ит. д., а трамвай № 2 при том же интервале в 10 минут проходит остановку Л в 6 час. 01 мин., 6 час. 11 мин., 6 час. 21 мин. и т. д. При таком расписании движения пассажир, придя на остановку А, например, между 12 час. 01 мин. и 12 ч. 10 мин., сядет в 12 час. 10 мин. на трамвай № Т. В трамвай же № 2 он попадёт только в том случае, если придёт на остановку А после 12 час. 00 мин. и до 12 час. 01 мин. Поэтому, приходя на остановку А в разное время, пассажир будет пользоваться трамваем № 1 в 9 раз чаще, чем трамваем № 2.
45. 77 колец разбиваем на три кучки: 27, 27 и 23 кольца. 1-е взвешивание: на чашки весов кладём две кучки по 27 колец и сразу выясняем, в какой из трёх кучек находится более лёгкое кольцо. Если оно находится в кучке из 27 колец, то разбиваем их на три новые кучки по 9 колец; если же оно среди 23 колец, то разбиваем их на три кучки: 9, 9 и 5 колец.
2-е взвешивание: в том и другом случае на чашки весов кладём кучки по 9 колец и выясняем, в какой из трёх кучек находится более лёгкое кольцо. 9 колец разбиваем на три кучки по 3 кольца; если же искомое кольцо находится среди 5 колец, то разбиваем их либо на 1, 1 и 3, либо на 2, 2, 1.
164


3-е и 4-е взвешивания позволяют таким же образом найти искомое кольцо.
46. Пронумеруем кольца: 1, 2, 3, 8.
1-е взвешивание: на одну чашку весов кладём, например, пару 1—2, а на другую, например, — пару 3—4. Возможны два случая:
1) Равновесия нет. Значит, искомое кольцо среди колец 1, 2, 3, 4, а кольца 5, 6, 7, 8 заведомо нормального веса.
2-е взвешивание: на одной чашке по-прежнему пара
1—2, а на другую кладём «нормальную» пару 5—6. Если* наступит равновесие, то кольца 1 и 2 нормального веса, а искомое кольцо 3 или 4. Если же равновесия не будет, то искомое кольцо 1 или 2. И в том, и в другом случае 3-е взвешивание произойдёт так: кладём на чашку весов «сомнительное» кольцо из пары 3—4 или пары 1—2 в зависимости от того, что показало 2-е взвешивание, а на другую чашку — одно из колец нормального веса. Если равновесия не будет, то «сомнительное» кольцо и есть искомое. Если же будет равновесие, то искомым будет другое кольцо из той пары, в которой находилось искомое кольцо.
2) Случай равновесия. Значит, кольца 1, 2, 3, 4 — нормального веса, искомое — одно из колец 5, 6, 7, 8.
2-е взвешивание: на одну чашку кладём «нормальную» пару, например 2—3, а на другую — «сомнительную», например 5—6, и дальше проводим исследование, аналогичное случаю первому.-
47. План решения: составить пару из алюминиевого и дюралевого кубиков и сравнить вес этой пары с весом любой другой пары. Тогда результат каждого взвешивания сразу даст подсчёт тех и других кубиков в испытуемой паре.
Положим на чашки весов по кубику.
1) 	Если равновесия нет, то кубики разнородны и пара из двух разнородных кубиков получена. Сравнивая вес её с весом каждой из четырёх оставшихся пар, мы с помощью всего пяти взвешиваний подсчитаем число кубиков каждого рода.
. ... 2) Допустим теперь, что взятые для первого взвешивания 2 кубика оказались однородны (случай равновесия). Составим пару из этих кубиков и сравним вес её с весом какой-нибудь пары из оставшихся 8 кубиков (второе взве-
155


шивание). Допустим, что опять наступило равновесие. Значит, все 4 кубика одного рода, но какого, пока неизвестно. Заменим эту пару какой-либо новой парой из оставшихся 6 кубиков (третье взвешивание). Допустим, что теперь новая пара перетянула. Значит, испытанные 4 кубика алюминиевые, а в новой паре либо оба кубика дюралевые, либо один дюралевый, а другой алюминиевый.
Чтобы выяснить состав новой пары, используем четвёртое взвешивание: положим на 2 чашки весов по одному из кубиков этой пары. В случае равновесия — оба кубика дюралевые (всего, значит, из 6 кубиков — 4 алюминиевых и 2 дюралевых). Отсутствие же равновесия укажет, какой кубик дюралевый и какой алюминиевый (всего в этом случае будет 5 алюминиевых и 1 дюралевый). Но теперь в том и другом случае уже можно составить пару из алюминиевого и дюралевого кубиков и сравнить с нею 2 оставшиеся пары (пятое и шестое взвешивания). (Очевидно, что в предлагаемом способе никакого значения не имеет, на каком по счёту взвешивании нарушится равновесие.)
48. Пронумеруем кучки. Возьмём из кучки № 1 одно кольцо, из кучки № 2 два кольца и т. д., т. е. из кучки № 10 возьмём все 10 колец. Всего будет взято 1 + 2 + 3 +
+ ... + 10 = 55 колец. Положим на одну чашку весов все эти 55 колец, а на другую — 550 г. Равновесия, очевидно, не будет, так как среди 55 колец есть (хотя бы одно) кольцо весом в 9 г. Теперь берём гирьки в 1 а и последовательно кладём по одной такой гирьке на чашку с кольцами до тех пор, пока чашки не уравновесятся. Допустим, что равновесие наступило, когда на чашку с кольцами была положена 4-я гирька весом в 1 г: это будет означать, что среди 55 колец имеются 4 кольца весом в 9 г, а это в свою очередь будет означать, что кучка № 4 содержит кольца облегчённого веса.
49. Пусть девятиклассников было а; тогда десятиклассников было 10а, а всего в турнире участвовало 11а человек. Каждый участник сыграл 11а—1 партий; все 11а уча-
11а(11а— 1) о '
стников сыграли —— партии, а следовательно, и об¬
щая сумма очков, набранных всеми участниками, --1-11д;~~1 ■.
156


По условию девятиклассники набрали очков в 4,5 раза меньше, чем десятиклассники; значит, на их долю из общей
11 CL ( ! 1 CL — 1) н г /11 1\
суммы очков приходится — : 5,5 = а( 1 la — 1) оч¬
ков. Каждый участник турнира максимально мог набрать 11а— 1 очков, выиграв все сыгранные им партии. Таким образом, оказывается, что каждый из а девятиклассников выиграл все сыгранные им партии, в том числе и тогда, когда один девятиклассник играл с другим девятиклассником. Противоречие разрешается лишь в случае, когда девятиклассники в турнире были представлены одним человеком: а = 1. Набранное им число очков 11-1 — 1 = 10 очков.
50. Буквы, включённые в I группу, образуют фигуры, обладающие осевой симметрией (и только осевой симметрией), причём ось симметрии у них вертикальна.
Буквы II группы также обладают осевой симметрией (и только ею), но ось симметрии у них горизонтальна.
Буквы III группы обладают центральной симметрией.
Буквы IV группы — несимметричные фигуры.
51. Когда кто-либо делает рукопожатие, то его партнёр тоже делает рукопожатие. Таким образом, общее число всех рукопожатий — число чётное. Это чётное число можно рассматривать как сумму двух слагаемых: первое — общее число всех рукопожатий, совершённых теми, кто сделал за свою жизнь чётное число рукопожатий. Это слагаемое, очевидно, число чётное. Второе — общее число всех рукопожатий, совершённых теми, кто сделал за свою жизнь нечётное число рукопожатий. Так как сумма и первое слагаемое — числа чётные, то и второе слагаемое должно быть чётным.
Но это второе слагаемое, в свою очередь, является суммой слагаемых, каждое из которых есть число рукопожатий, сделанных за свою жизнь одним человеком, т е. число слагаемых этой суммы равно числу людей, сделавших нечётное число рукопожатий. Но сумма нечётных слагаемых— число чётное лишь в том случае, если число слагаемых чётное. Значит, чётным будет и число людей, сделавших нечётное число рукопожатий.
52. Пусть номер ботинок — ab, а возраст — cd лет, при-' чём фокус показывается в 1961 году.
157


Сделаем над числами ab и cd указанные в задаче операции:
1-я операция — 2ab
2-я операция — 2ab + 35
3-я операция — (2ab + 35) • 50 = 100ab + 1750
4-я операция — 100аЬ + 1750 + 514 = 100ab + 2264.
Если год рождения — х, то возраст cd = 1961 — х и
5-я ^операция — 100ab + (1961 + 303) — х —
(100 ab + 300) + (1961 — л; + 3) = (аЬ + 3). 100 + (cd+ 3),
Полученное число — четырёхзначное. Когда оно будет названо, то достаточно из числа сотен его отнять 3, чтобы получить ab — № ботинок; а отняв 3 из числа, образованного двумя последними цифрами этого числа, получить возраст cd.
53. Пусть в настоящее время тёте Кате k лет, сестре — с лет, брату — Ь лет. Когда тёте Кате было b + с лет? Очевидно, k — b — с лет назад. Но k — b — с лет назад сестре было с — (k — b — с) = 2с — k + b лет. По условию ей тогда было b лет: 2с — k + b = Ь, или k = 2с, т е. в настоящее время тётя Катя в 2 раза старше сестры. Поэтому, когда тёте Кате было с лет, а это было k — с =
= 2с — с = с лет назад, сестре было с — с = 0 лет, что и является ответом на вопрос этой шуточной задачи.
54. Победителем соревнования будет тот, кто быстрее других проделает следующее рассуждение. Допустим, что на мне серый колпак. Каждый из моих соседей видит цвет его и должен думать так: «Если бы на мне был серый колпак, то третий конкурент, видя, что оба серых колпака уже использованы, должен был бы сразу после снятия повязок заявить что на нём белый колпак. Но на самом деле оба соседа молчат Значит, мой колпак белый».
55. Покажем, что системой вопросов можно, постепенно сужая промежуток, заключающий задуманное число, получить промежуток, включающий только это число. Идея образования таких «стягивающихся» промежутков заключается в умелом использовании степеней числа 2, с помощью которых устанавливаются всё более и более близкие границы, между которыми должно заключаться задуманное число. (Заметим, что в нашем распоряжении 10 вопро-
158


сов, а 210 = 1024; поэтому, собственно, можно было предложить задумать целое число от 1 до 1024).
В соответствии со сказанным первый вопрос всегда ставится так: «Задуманное Вами число больше 512?» (512 = = 29). Если последует ответ «нет», то второй вопрос будет такой: «Задуманное Вами число больше 256?» (256 = 28). При ответе «да» мы уже будем знать, что искомое число принадлежит промежутку (256, 512]. (В такой записи круглая скобка указывает, что 256 не принадлежит рассматриваемому промежутку, а квадратная скобка после 512 указывает, что число 512 принадлежит ему.) При ответе же «нет» на второй вопрос мы будем знать, что искомое число принадлежит промежутку (1,2561. Если на первый вопрос последует ответ «да», то новое контрольное число для постановки второго вопроса получим по формуле
2 9 _!_£!!-£ ==29+^=i) = 29 + 28 = 512 + 256 = 768.
2 2
Задаём вопрос: «Задуманное число больше 768?» Ответ «нет» укажет промежуток (512, 768], ответ «да» даст промежуток (768, 1000].
Продолжая таким способом «стягивать» промежутки, мы всегда с помощью не более 10 вопросов получим промежуток вида (а, а + 1 ] или [а, а + 1), который сразу покажет, что задуманное число есть а + 1 или а.
Приведём пример. Пусть задумано число 715.
Вопросы Ответы Промежуток
1. Задуманное число
больше 512?
Да
(512, 1000
2. Оно больше 768?
Нет
(512, 7681
3. Оно больше 640?
Да
(640, 7681
4. Оно больше 704?
Да
(704, 768]
5. Оно больше 736?
Нет
(704, 736 ]
6. Оно больше 720?
Нет
(704, 720]
7. Оно больше 712?
Да
(712, 720]
8. Оно больше 716?
Нет
(712, 716]
9. Оно больше 714?
Да
(714, 716]
10. Оно больше 715?
Нет
(714, 715]
Задуманное число 715.
56. Решение задачи видно на чертеже 31.
57. Между началом 1-го сеанса и началом 7-го сеанса проходит шесть полных сеансов Первый сеанс самое раннееЧ мог начаться в 12 час. 00 мин. Следовательно, наибольшая
159


длительность одного сеанса равна (23 час. 05 мин. — 12 час. 00 мин) : 6 = 665 мин. : 6 = ПО-jr мин.
• В расписании начала сеансов, конечно, нет дробных частей минуты; таким образом, наибольшая длительность сеанса— 110 мин. = 1 час. 50 мин. Наименьшая длительность одного сеанса, если предположить, что 1-й сеанс начнётся в 12 час. 59 мин., была бы равна (23 час. 05 мин. — — 12 час. 59 мин.):6 = 606 мин. : 6 = 101 мин. = 1 час. 41 мин. Но при такой длительности одного сеанса начало первого сеанса не могло бы быть в 12 час. 59 мин. и самое
Черт. 31 .
позднее он мог бы начаться в 12 час. 18 мин. так как при
более позднем начале (от 12 час. 19 мин. до 12 час.
59 мин.) второй сеанс начнётся в 12 час. ** мин. + 1 час. 41 мин. = 14 час. ** мин., а по условию он должен начаться в 13 час. **мин. Но тогда наименьшая длительность одного сеанса будет уже не 1 час 41 мин., а (23 час. 05 мин. —
— 12 час. 18 мин.); 6 = 647 мин.; 6 = 107 — мин.. т. е. в х 6
целых минутах наименьшая длительность одного сеанса — 1 час. 48 мин. Но теперь и этот результат нуждается в исправлении, так как при такой длительности одного сеанса начало первого сеанса самое раннее может быть в 12 час. 11 мин. и, следовательно, наименьшая длительность одного сеанса будет уже (23 час. 05 мин. — 12 час. И мин.) : 6 =
= 109 мин. = 1 час. 49 мин. .Но этот результат сно¬
ва нуждается в исправлении, так как теперь начало первого сеанса, самое позднее, могло быть в 12 час. 10 мин. и наименьшая длительность одного сеанса будет уже (23 час.
05 мин. — 12 час. 10 мин.) : 6 = 655мин. : 6 = 109—мин.,
б
т. е. в целых минутах не меньше 110 мин. = 1 час. 50 мин. Таким образом, оказалось, что длительность одного сеанса не больше 1 час 50 мин., но и не меньше 1 час. 50 мин.
160


Значит, длительность одного сеанса — 1 час 50 мин.
Теперь, чтобы восстановить расписание начала всех киносеансов, надо исходить из даты последнего киносеансами получим следующее:
7-й сеанс 6-й сеанс 5-й сеанс 4-й сеанс , 3-й сеанс , 2-й сеанс , 1-й сеанс .
23. 	час. 05 мин. 21 час. 15 мин.
19. 	час. 25 мин. 17 час. 35 мин. 15 час. 45 мин. 13 час. 55 мин. 12 час. 05 мин.
58. По условиям (1) и (6) либо Борис на 11 курсе (персональные стипендии присуждаются не ранее II курса), а Василий на III, либо Борис на . III, а Василий на IV. Первое допущение отпадает, так как тогда разрыв между Николаем и Петром (1 и IV курсы) противоречит условию (3). По (4) Борис — не Орлов, по (4) и (2) Борис — не Иванов, по (5) Борис — не Крылов. Значит, Борис — Карпов и учится на 111 курсе. Николай и Петр учатся на двух младших курсах и по (3) и (5) Петр — Крылов и учится на 1 курсе.
Василий по (2) — не Иванов; кроме того, он не Карпов и не Крылов, значит, Василий — Орлов и учится на IV курсе. Теперь ясно, что Николай — Иванов и учится на II курсе.
59. Составим следующую таблицу.
Профессия
Фамилия
Моек ВИЧ
Врач
А
5
В
г
д
Е
Ленинградец
Учитель
А
Б
В
г
Д.
Е
Туляк
Инженер
А
Б
В
г
д
Е
Киевлянин
А
Б
В
г
д
Е
Рижанин
А
Б
В
г
д
Е
Одессит
А
Б
в
г
д
Е
11 Заказ 1685
161


Определим фамилии пассажиров способом исключения; будем по условиям задачи последовательно в горизонталях исключать отдельные фамилии (первые буквы их). Так, условия (1) и (6) позволяют зачеркнуть у москвича А и Б, у ленинградца по (2) — Д, по (3) и (4) у туляка В, Б и Е, по (5) и (6) у рижанина — А и В, у одессита по (5) - В.
По (1) А — врач: зачёркиваем А у инженера и учителя; аналогично зачёркиваем Д у врача и инженера и В у врача и учителя.
Рассматривая вертикаль В, делаем 2 вывода: 1) фамилия киевлянина — Власов и по (3) он инженер; 2) в горизонтали киевлянина можно зачеркнуть все буквы, кроме В. Теперь в вертикали А окажутся зачёркнутыми все А, кроме клетки одессита: 1) одессит — Агеев и по (1) он врач и 2) в горизонтали одессита можно зачеркнуть все буквы, кроме А.
Буква Д окажется зачёркнутой 5 раз: рижанин — Дубов — учитель, и в его горизонтали все буквы, кроме Д, зачёркиваются. Тогда Б останется лишь один раз: Боков — ленинградец, учитель.
Продолжая, получим: Елисеев — москвич, врач; туляк — Громов, инженер.
60. Из условий (1) и (3) кондуктор не Иванов. Из (4) и (5) ближайший сосед кондуктора не Петров (так как 2000 не делится на 3). Ближайший сосед кондуктора — не ленинградец; так как по (1) и (2) вышло бы, что у кондуктора два ближайших соседа. Значит, ленинградцами не могут быть по (1) ни Иванов, ни ближайший сосед Сидоров (так как ближайший сосед — не Петров): Петров — ленинградец, а тогда по (3) кондуктор — Петров. По (6) Сидоров не кочегар; но он и не кондуктор; значит, Сидоров — машинист.
61. Зто рассуждение неправильно.
Вообразим, что на земной шар от Северного полюса до Южного сплошным образом нанесены всевозможные параллели. В каждом полушарии одна из этих параллелей при соответствующем выборе ф — географической широты места — будет иметь любую наперёд заданную длину. Выберем в южном полушарии параллель, длина которой равна 100 км, и отсчитаем от неё на север по дуге какого-нибудь меридиана расстояние, также равное 100 км. Получим точку, принадлежащую новой параллели (отстоящей
162


от первой параллели примерно на 1° к северу). Любая точка этой новой параллели удовлетворяет условиям задачи. Действительно, возьмём на этой «северной» параллели произвольную точку А. Пролетев от точки А по меридиану 100 км на юг, попадём в' точку В «южной» параллели, длина которой 100 км\ поэтому, пролетев по ней 100 км на восток, мы вернёмся в ту же точку В, а пролетев затем по меридиану 100 км на север, мы окажемся в точке отправления А.
Таким образом, кроме точки Северного полюса, существует бесчисленное множество точек, удовлетворяющих условиям задачи,
62. Какими данными располагает «фокусник», подойдя к столу? Он может подсчитать число кучек — п — и число оставшихся свободных карточек — г. Покажем, что этого вполне достаточно, чтобы безошибочно назвать S — сумму чисел на верхних карточках всех кучек.
Если на верхней карточке какой-нибудь кучки стоит число а (где 1 < а < 8), то значит, на эту карточку было положено ещё 11 —а карточек, и всего в этой кучке (11 — а) + 1 = 12 — а карточек. Аналогично, во второй кучке будет 12 — b карточек и т. д., так что в последней п-й кучке будет 12 — k карточек (некоторые из чисел а, Ь, ..., k, даже все они, могут быть равны). Пусть свободных карточек осталось г (в частном случае г = 0). Теперь распределены все карточки, поэтому
(12 — а) + (12 - Ь) + ... + (12 - k) + г = 48, (1)
где число слагаемых вида 12 — е равно числу кучек п. Преобразовав (1), будем иметь:
12./г — (а + b +- ... + k) + г = 48, где a- -\- b + ... + k
и есть интересующая нас сумма S. Из уравнения 12 п — — S + г = 48 имеем S = 12 • п — 48 + г и окончательно— S = \2(п — 4) + г. Но п и г — исходные данные, непосредственно получаемые путём прямого подсчёта, что и позволит фокуснику сразу «в уме» сосчитать сумму.
63. Прежде всего необходимо определить, при каких значениях а, бис, каждое из которых целое число, не меньшее 1 и не большее 6, выполняется равенство
а + b + с = abc.
11*
163


Имеем: '^Г+’^Г+~^‘ ^ 1- Это равенство возможно в двух случаях:
1) если каждая из дробей равна — , т. е. если Ъс = ас « = аб = 3,
2) если среди дробей имеются дроби, большие и мень- \_
шие з •
Первое предположение отпадает, так как если Ъс = = ас, то а = b и а2 = 3, что невозможно. Пусть дробь, 1 1
большая —, есть—. Но при натуральных а и Ъ неравенст- 1 1 '
во — > — выполняется лишь при ab = 1 и при ab = 2.
Допущение ab — 1 сразу отпадает, так как в этом случае 1 1
— + — = 0, что невозможно.
Ьс ас ’
Значит, ab = 2, т. е. одно из этих,чисел 1, а другое 2.
Но тогда 3 + с = 2с и с = 3; таким образом, единственно
возможными значениями а, Ъ и с являются числа 1, 2 и 3. При выбрасывании игральных кубиков такая комбинация чисел может возникнуть в 6 случаях: 1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 3, 1, 2; 2, 3, 1; 3, 2, 1.
Определим вероятность появления одной из этих комбинаций, например 2, 3, 1. Вероятность, что при бросании первого кубика на верхней грани будет 2, равна — • Вероятность, что при бросании одного за другим двух
кубиков на первом будет 2, а на втором 3, равна “ . —= _ 1
■— —. Наконец, вероятность, что при бросании трёх ку-
1
биков появится последовательность 2, 3, 1, равна Вероятность же того, что при бросании трёх кубиков появится какая-нибудь из шести указанных комбинаций, очевидно, 6 1
равна бз = зб •
64. 	1) Предположим, в вагоне был один запачкавшийся пассажир Он видит лица остальных пассажиров — они чисты. Но запачкавшиеся в вагоне есть Значит, рассуждает он, запачкан я. На первой же остановке он идёт мыть¬
164


ся, после чего в вагоне все чисты. Но по условию все были чисты лишь после 4-й остановки. Предположение отпадает.
2) Предположим, в вагоне было два запачкавшихся пассажира. Каждый из них рассуждал так: «Я вижу только одного запачкавшегося и если я чист, то этот пассажир на первой же остановке должен пойти мыться» (п. 1-й). Но вот поезд остановился, а никто мыться не идёт. «Значит, — продолжает рассуждать тот же пассажир, — этот человек не был убежден, что запачкан; ко это возможно лишь в случае, если он считает, что запачкан я, так как он видит, что остальные-то все чисты». На второй остановке оба запачкавшиеся пассажира пошли мыться, после чего все оказались чисты. Очевидно, это предположение также противоречит условию.
3) Предположим, в вагоне было три запачкавшихся пассажира Каждый из них рассуждает так: «Я вижу двух запачкавшихся. И, если я чист, эти двое пойдут мыться на второй остановке» (см. рассуждение п. 2). На второй остановке никто мыться не пошел; это убедило сомневавшегося пассажира, что он тоже грязен, и на 3-й остановке все три запачкавшихся пассажира пошли мыться, после чего все пассажиры были чисты. Предположение отпадает.
4) В вагоне 4 запачкавшихся пассажира. Каждый из них видит трёх запачкавшихся и, проделав такое же рассуждение, что и в п. 3, ждёт третьей остановки. Но на этой остановке никто не пошёл мыться, и сомневающиеся пассажиры убедились, что они тоже грязны, и вымылись на 4-й остановке.
65. 	(Сокращённое изложение решения из книги И. Я. Депмана «Рассказы о решении задач»). Всех детей в 4-х семьях меньше 18 (так как детей не хватало для двух команд по 9 человек). У дяди.или 1 ребёнок, или двое детей (если у дяди было бы трое детей, то наименьшее число детей в четырёх семьях было 3'+4 + 5 + 6= 18).
Если у дяди два ребёнка, то возможны 7 комбинаций (и только 7) числа детей в остальных семьях:
1) 	2, 3, 4, 5 Сумма — 14 Произведение — 120
2) 2, 3, 4, 6
3) 2, 3, 4, 7
4) 2, 3, 4, 8
— 15
— 16 — 17
— 144
— 168 — 192
165


5) 2,3, 5, 6 » — 16 » — 180
6) 2,3, 5, 7 » — 17 » — 210
7) 2,4, 5, 6 » —17 » — 240
Если допустить, что среди 7 найденных произведений нет числа, одинакового с номером дома, то Холмс должен был отвергнуть предположение, что у дяди было двое детей, и ему не нужно было бы задать дополнительный вопрос: «Скажите, у дяди один ребёнок или больше?» Значит, среди 7 произведений есть число, совпадающее с номером дома. Почему же тогда Холмс задал дополнительный вопрос? Объяснение может быть только одно: такое же произведение получится и при предположении, что у дяди был только один ребёнок.
Так как номер дома не меньше 120 (иначе он не был бы среди найденных 7 произведений), то, предполагая., что у дяди только один ребёнок, составим комбинации числа детей по семьям так, чтобы их было меньше 18, а произведение не меньше 120. Таких комбинаций будет только 4:
1) 1, 3, 5, 8 Сумма — 17 Произведение — 120
2) 1, 3, 6, 7 » — 17 » — 126
3) 1, 4, 5, 6 » — 16 » — 120
4) 1, 4, 5, 7 » — 17 » — 140
Общим числом в обеих группах произведений является только 120. Значит, номер дома — 120, который Холмс знал. Не зная, был ли у дяди 1 или 2 ребенка, Холмс не имел данных для выбора одной из трёх комбинаций с произведением 120. Поэтому он и задал дополнительный вопрос. Если бы он узнал, что у дяди был 1 ребёнок, то он не мог бы дать точный ответ о числе детей в каждой семье, так как в этом случае были бы равноправны две комбинации с произведением 120. Но в задаче сказано, что, получив ответ на вопрос, он правильно назвал число детей в каждой семье. Значит, Уотсон сказал Холмсу, что у дяди больше 1 ребёнка; если у дяди двое детей, то единственная комбинация с произведением 120 позволяет точно назвать число детей в каждой семье: 2, 3, 4 и 5.
66. 	Слон, стоящий на любой клетке крайних горизонталей или вертикалей, держит под боем 7 клеток, а слон, стоящий на какой-нибудь внутренней клетке, держит под боем от 9 до 13 клеток. Чтобы расставить наибольшее число слонов, надо, чтобы они держали под боем наимень-
166


шзе число клеток. Поставив поэтому 8 слонов на какой- нибудь крайней линии, например на нижней горизонтали, заметим: 1) друг друга они не бьют; 2) держат под боем все клетки доски, кроме 6 клеток верхней горизонтали, на которых, следовательно, можно расставить ещё 6 слонов. Всего можно расставить 14 слонов.
67. На какой бы клетке ни стояла ладья, она держит под боем 14 клеток. Значит, вторую ладыо можно поставить на любую из оставшихся 64 — 15 = 49 клеток. Если первую ладью последовательно ставить на каждую из 64 клеток, то каждому положению её будет соответствовать 49 расстановок. Среди полученных таким образом 49 • 64 расстановок каждая встретится 2 раза, и всего различных расстановок будет 49 • 32 = 1568.
68. Конь стоит на чёрной клетке. После первого хода он окажется на белой клетке, после второго — снова на чёрной и т. д. Таким образом, каждый нечётный по счёту ход приводит коня на белую клетку, а чётный — на чёрную. Но если будут выполнены условия задачи, то конь попадёт на правую верхнюю клетку — клетку того же чёрного цвета, что и левая нижняя клетка, — на 63 ходу. Но это невозможно, так как нечётный ход приводит коня на белую клетку.
69/Начинающий игрок проиграет, если своим очередным ходом он будет вынужден опорожнить один из ящиков. А это случится, если, когда ему надо будет делать ход, в обоих ящиках окажется по одному шарику. Чтобы избежать этого, он должен при каждом вынимании шариков в свой ход уравнивать число шариков в обоих ящиках.
Отсюда единственно возможный план выигрыша начинающим игроком такой: прежде всего он вынимает 30 шариков из ящика с 80 шариками. Если затем второй игрок вынет из какого-либо ящика п шариков то первый сейчас же вынет столько же шариков из другого ящика и т. д. Так как число шариков всё время уменьшается и после каждого очередного хода первого игрока в обоих ящиках оказывается поровну, то со временем после хода первого игрока в ящиках останется по 1 шарику и начинающий игрок выиграет.
70. 	Вы задаете вопрос: «Вы живёте в этом селении?» Допустим, вы получили ответ «да». Если опрошенный — житель А, то он сказал правду, т. е. вы находитесь в селении А. Если же опрошенный — житель В, то он солжёт
167


и на ваш вопрос тоже ответит «да», а это также будет означать, что вы находитесь в селении А. Таким образом, ответ «да» при любых условиях означает, что вы находитесь в А.
Аналогично ответ «нет» при любых условиях будет означать, что вы находитесь в селении В.
71. Рассуждение Эватл а неправильно. Логическая ошибка, допущенная им, заключается в том, что для суждения об уплате денег Протагору.он одновременно использует два различных (и к тому же противоречивых) основания: приговор суда и заключённый с Протагором договор. Логически правильное рассуждение должно исходить из одного и того же основания; в данном случае за основание можно принять или договор, или решение суда.
6 • 5
72. 1) Всего в турнире было сыграно = 15 партий:
следовательно, все участники его вместе набрали 15 очксв.
Бунин сделал только одну ничью; значит, число набранных им очков — дробное. Это дробное число меньше 4.
Если допустить, что Бунин набрал не 3 —очка, то самое большее он мог набрать 2—очка. Но тогда Венков и Гусев максимально набрали бы по 2 очка, Дымов — 1у очка и Егоров — 1 очко, а всего общее число очков было бы 4 + 2 — + 2 + 2 + 1— + 1 = 13 вместо 15.
1
Следовательно, Бунин набрал Зу очка.
Нельзя допустить, что Венков и Гусев, набравшие 1
меньше 3 очков, набрали по 3 очка. Действительно, Егоров, выигравший у Гусева, набрал самое меньшее* 1 очко, а Дымов— 1 у очка и окажется, что все игроки
вместе набрали 4 + Зу + 3 + 3+ I — +1 = 16 очков вместо 15. Следовательно, Венков и Гусев набрали или по 2 — очка, или по 2 очка. Если допустить, что Венксв и Гусев набрали по 2 очка, то Дымов максимально набрал 168


бы 1~ очка, а Егоров — 1 очко, т. е. все игроки вместе
1 1
набрали 4 + 3~+ 2 + 2+1—+1 = 14 очков вместо
15. 	Следовательно, Венков и Гусев набрали по 2 очка.
На долю Дымова и Егорова вместе теперь остаётся 2~- очка. Так как Егоров выиграл у Гусева, то единственно возможно, что Дымов набрал \ — очка, а Егоров — 1 очко. Теперь таблица имеет следующий вид:
А
Б
В
Г
д
Е
Всего
очков
Место
А
I
4
I
Б |
I
4.
II
В
I
4
III—IV
Г
0
4
III—IV
Д
I
'т
V
Е
0
0
0
1.
0
1 j VI
2) 	По условию ничейных партий было 5. Следовательно, в 10 клетках таблицы значится по — очка. Дымов, вы-
1
игравший одну партию и набравший 1 ~ очка, сыграл
«в ничью», как и Бунин, только одну партию, а у Егорова ничьих быть не могло. Значит, в клетках Андреева, Вен-' кова и Гусева стоит 8 «половинок». Андреев в 5 партиях набрал 4 очка. Это могло произойти только в 2 случаях: или он выиграл 4 партии, а одну проиграл, или же он
1G9


выиграл 3 партии, а 2 партии сыграл вничью. Первое предположение надо отвергнуть, т. к. тогда все 8 «половинок» будут стоять в клетках Венкова и Гусева и окажется, что Венков набрал 3 очка, а Гусев — 2 очка. Следовательно, Андреев 3 партии выиграл и 2 свел вничью, а Венков й Гусев сделали по 3 ничьих. Гусев, проигравший Егорову, не мог иметь других проигрышей, т. к. тогда у него
было бы всего 1 — очка, а не 2—. Но Андреев не проиграл
ни одной партии. Значит, Андреев и Гусев сыграли вничью.
Если бы вторая ничья Андреева была бы в партии с Буниным, то у Венкова было бы: проигрыш Андрееву, выигрыш у Егорова и 3 ничьих, в том числе и в партии с Буниным. Оказалось бы, что Бунин сделал 2 ничьих, что противоречит условию задачи. Следовательно, Андреев выиграл у Бунина.
Бунин не мог иметь второго проигрыша (иначе у него максимально было бы 3 очка); но Гусев, как уже было установлено, не имел проигрышей, кроме, как Егорову. Следовательно, Бунин и Гусев сыграли вничью, а у Венкова и Дымова Бунин выиграл.
Теперь таблица имеет вид:
А
Б
В
Г
д
Е
Всего
очков
Место
А
1
1
2
1
2
1
1
4
I
Б
0
1
*1
2
1
1
1
зт
II
В
1
2
0
1
2
1
2
1
1
2 2
III—IV
Г
1
2
1
2
1
2
1
0
1
27
III—IV
Д
0
1
2
1
1
1 2
V
Е
0
0
0
1
0
1
VI
170


У Венкова, как уже было установлено, 3 партии были ничейными, т. е. он сыграл вничью с Андреевым, Гусевым и Дымовым, Дымов же, уже набравший свои 1 у очка, оставшиеся две партии — Андрееву и Гусеву — должен был проиграть. Таким образом, таблица будет восстановлена полностью.


РАЗДЕЛ IX
ЧИСЛОВЫЕ ЗАГАДКИ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕБУСЫ) ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
(Материалы для кружковой работы.)
Специальные задачи на расшифровку «засекреченных» чисел в IX разделе по форме и содержанию сходны с числовыми загадками, помещёнными в IV разделе. Основное различие их — в степени трудности. Задачи IX раздела рассчитаны на письменное решение в кружках старших классов после того, как работа над задачами предшествующих разделов обогатила ученика опытом и привила вкус к трудной задаче. Это соображение побудило числовые загадки повышенной трудности выделить в самостоятельный раздел книги.
Всего в IX разделе 45 задач, из которых наиболее трудными являются последние 10—12 задач. Большинство задач, составляющих содержание IX раздела, появляется в печати впервые.
1. 	Найти сомножители в умножении:
х„з;
* * *
2. 	Найти делитель и частное в делении
5*8
* * * *
И: * *
* * * ^ "i- $
172


8. 	Найти множимое в умножении!
X
743
+
* * ^ * * * Ф ^
* * * * * * 42*“**875
4. Расшифровать равенство: ***2 = *****, если известно, что степень ***** состоит только из двоек и пятёрок.
5. Число 900*** — точный квадрат. Найти YЭСО1***
6. Найти делимое, делитель и частное в делении:’
** ***
'3^8
105*
***
о
7. Расшифровать равенство:
cda + cbe = abac
8. В умножении
,ас 4са
* * *
X
-к
— произведение — число нечётное. Найти сомножители.
9. Из точного квадрата **** извлекался квадратный корень. От незаконченной записи сохранилось следующее: ]/****, причём можно было подметить, что три послед-
* ние цифры подкоренного числа одинаковы.
Найти]/****.
10. Расшифровать равенство:
асс ■ b = dbat если известно, что произведение dba — число нечётное.
11. Расшифровать равенство:
abc • с = dac.
173


12. Числа ас и са — простые, причём разность ас есть точный квадрат. Найти ас и са.
13. Найти сомножители в умножении:
са
X
* * j f; * * *
, * * * i
~Г * * * 7
если известно, что множимое кратно 9 и не изменяется, если прочитать его справа налево.
14. Расшифровать равенство:
** ' * _
если известно, что в разложении числа **9 на простые множители наименьший множитель больше 3, а наибольший меньше 17.
15. Произведение 21 .,***• — точный куб. Найти множитель ****.
■ 16. Найти сомножители в умножении:
X
** * **
+
j}5 % * * * ***55
17. 	Расшифровать деление:
мода
“дар
_еда
еда
О
ода
Да
18. 	Расшифровать равенство:
abed • 9 = deb а.
19. 	Расшифровать равенство:


20. Найти сомножители в умножений!
* * *
X * 2 *
* * 4»
+ * * * $
* 2*
* 9 *2 *
21. Восстановить неизвестные цифры в следующем из- влечении корня:
у * * * * * = * * $
— *
* * *
4 * ж
* * * *
* ** 1 "о
22. Расшифровать равенство:
7***** . g __ *****7
если известно, что последние пять цифр делимого и первые пять цифр частного образуют одно и то же число.
23. Найти корень по следующей схеме извлечения корня:
|/" * * * * * *
—*
* * *
* *
* * * *
“о
24. 	Найти сомножители в умножении:


если известно, что разложение произведения на простые множители содержит множитель З4.
25. 	Расшифровать умножение:
X
ad
eb
+
асс
ad
кйс.
26. 	Расшифровать деление:
кризис
кпаи
этап
сэр
сиэи
"этап
эзэпс
~эассп
зэи
27. у ********* — целое число. Найти его, если известно, что девять цифр подкоренного числа суть: 0, 2, 3, 4, 4 7, 8, 8, 9
28. Расшифровать сложение:
abcdef + abcdef + dei = qaceadq.
29. Уаасс — целое число. Найти его.
30. Схема умножения двух чисел имеет вид:
х;
*
'*2*
+
* * * *
* * *
* j * * *
Когда сомножители поменяли местами, то схема умножения оказалась такой:
*о*
ЧУ
•i* 4* $
* * * #
4^ ^ ^
-к
*****
Найти сомножители.
176


31. 	Схема умножения чисел ас и ш, относительно которых известно, что произведение их кратно 5, имеет вид:
ас
I ^ ^ V
" i алл
Когда же умножили са на ас, то получилась такая схема (незаконченная):
са
ас
+ * *
Найти сомножители.
32; Расшифровать равенство:.
abed . 4 = dcba
33. Найти сумму двух целых чисел:
5 6
-j~ "|/
34. Расшифровать умножение:
ха6с
, аарс ' кг к с те иаесс
35. 	Расшифровать умножение.
vabc bac
. * * * * + **а * * * £
12 Заказ 1685 177


36. Расшифровать равенство:
abed2 • 0, ... = abed • 20,...,
если известно, что d — чётная цифр^, а мантиссы дробных чисел 0,... и 20,... —одинаковы.
37. Число ***, состоящее из трёх различных цифр, последовательно умножено на 2, 4 и 8:
• 2 ■ * 'J*,
* * * • 8 := * * * *.
Оказалось, что во всех полученных четырёхзначных произведениях последние цифры одинаковы, а в каждом отдельном произведении одинаковы цифры десятков и сотен. Найти множимое.
38. В шифрованной телеграмме «Send more money» число, выраженное последним словом «money», есть сумма чисел «send» и «тоге». Расшифровать телеграмму.
39. Расшифровать деление:
abed : dcba = q,
если известно, что делимое, делитель и частное—точные квадраты.
Из журнала «Математика в школе» № 4 за 1952 г., автор— А. Мостовой.
40. Найти сомножители в умножении:
^* * *
* * * *
. * * * *
• * * * *
*****00,
если известно, что произведение кратно 9.
41. Расшифровать равенство:
** _|_ д* ** — *0*
если известно, что слагаемые — простые числа, все 6 цифр которых — различны.
42. Деление нечётного четырёхзначного числа на некоторое однозначное число выполняется по такой схеме:
178


* * * * *
* * * * * *
*
**
ОТ
При делении этого же числа на другое однозначное число схема деления будет такой:
* * * * *
* * * * *
**
:{с у
~~0
Найти делимое.
43. Числа 2 • ас + 1 и 3 • ас + 1 — точные квадраты. Найти ас.
44. Расшифровать сложение:
forty . ten ‘ ten sixty
Задача сообщена И. Я. Депманом.
45. Вычислить выражение (** -f ** -f- **) : **, где слагаемые в скобке — 2 числа и их НОК, а делитель ** — НОД этих двух чисел, причём известно, что все 4 числа различны.
РЕШЕНИЯ
!. Из схемы умножения видно: 1) средняя цифра множителя — 0; 2) последние цифры сомножителей — нечётные (иначе произведение было бы чётным), 3) последняя цифра множителя меньше 4 (так как произведение 3* 4—
число трёхзначное), т. е. либо 3, либо 1 Если последняя цифра множителя была бы 3, то последняя цифра множимого может быть только 9 (иначе произведение их не будет оканчиваться цифрой 7) Но 39 3 — число трёхзнач¬
ное, значит, последняя цифра множителя может быть толь¬
12*
179


ко 1, а множимого — 7. Произведение 37 на первую цифру множителя равно 3**. Такое-произведение может получиться лишь при умножении 37 на 9.
2. Произведение делителя на 8 — число трёхзначное; значит, делитель имеет вид 1**, причём вторая цифра его меньше 3. Произведение делителя на первую цифру частного — число четырёхзначное, значит, эта цифра — 9. А так как 1** • 9 оканчивается цифрой 5, то и последняя цифра делителя — 5.
Произведение 105-9 — число трёхзначное, а 125 • 8— число четырёхзначное; значит, средняя цифра делителя, меньшая 3, может быть только 1, т. е. делитель—115. Как видно из схемы деления, произведение 115 на среднюю цифру частного есть трёхзначное число, кратное 115 и ближайшее к четырёхзначному числу; таковым является число 920 = 115-8; значит, средняя цифра частного — 8.
3. 1) Последняя цифра множимого — 5. 2) Последняя цифра 2-го частного произведения — 0 (так как 4 • 5 = = 20) и, следовательно, предпоследняя цифра 1-го частного произведения — 7. Эта цифра при умножении на 3 может быть получена только в случае, когда предпоследняя цифра множимого — 2.
3) Но тогда, предпоследняя цифра 2-го частного произведения — 0 (так как 4 • 2 + 2 «в уме» равно 10) и так как последняя цифра 3-го частного произведения — 5, то цифра сотен 1-го частного произведения — 3.
4) Эта цифра может быть получена только, если цифра сотен множимого — 1. Итак, множимое — *7125.
5) Первая цифра множимого — 5 или 6, так как произведение больше 42 ООО ООО, но меньше 43 ООО ООО. Между тем произведение 67 ООО • 700 = 46 900 ООО >43 000 000.
Значит, множимое — 57 125.
4. Квадрат целого числа не может оканчиваться цифрой 2; следовательно, степень оканчивается цифрой 5, а тогда и основание степени оканчивается цифрой 5. По правилу возведения в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5, заключаем: предпоследняя цифра степени — 2, а перед ней стоит чётная цифра, т. е. тоже 2 (так как число сотен степени, будучи произведением двух последовательных натуральных чисел, есть число чётное).
Итак, степень имеет вид: **225, причём число ** здесь может быть 22, 25, 52 и 55. Но числа 222, 252 и 522 не яв¬
180


ляются произведениями двух последовательных натуральных чисел, а 552 = 23 • 24, т. е. искомая степень — 55225.
5. 	Будем извлекать корень обычным образом:
3001
—9_
' 00
60*
X *
0
6Q0* X *
6001
0
В числе 60* при любых значениях *, отличных от нуля, 60* • * > 100; значит, * здесь может быть только нуль.
Произведение 600* • * — число четырёхзначное, а это возможно только, если в числе 600* последняя цифра—1.
6. Складывая разность 105 с вычитаемым 3*8, получим уменьшаемое — первые три цифры делимого: 105 + 3*8 = = 483 (заметим, что в 3*8 цифра * может быть только 7). Число 378 — произведение трёхзначного делителя на первую цифру частного — могло получиться лишь в трёх случаях: делитель— 126, 1-я цифра частного — 3; делитель— 189, 1-я цифра частного — 2; делитель—378, 1-я цифра частного — 1. Но произведение делителя на последнюю цифру частного — четырёхзначное число 3***. Это произведение может быть получено только в случае, если делитель 378, а последняя цифра частного — 8 или 9 (378 • 8 = 3024 и 378 • 9 = 3402). Теперь ясно, что средняя цифра частного — 2 (так как уже 378 • 3 — число четырёхзначное); произведение делителя 378 на 2 равно 756 и вычитание 105*— 756 должно дать либо 302 (в случае, когда последняя цифра частного — 8), либо 340 (когда последняя цифра частного — 9). Но 340 + 756 = = 1096 > 105*, а 302 + 756 = 1058. Значит, последняя цифра частного может быть только 8.
7. Перепишем равенство так:
г cda ~гcbe
abac
181


1) а = 1; с Ф 0 (как первая цифра числа).
2) а + е = I -\- е ф 10 (иначе окажется, что с = 0;
Значит» 1+£<10ий+6=11.
3) с + с + 1 = ab — lb, следовательно, с > 4.
4) Но с ф 5 (иначе с + с + 1 = 11, т. е. b = 1 = а, что
Невозможно); с Ф 7 (иначе из 1 + £ = с окажется, £ = 6,
из с + сЧ-1 = 7 + 7Ч-1 = 15 окажется, b — 5 и из
d ■ + b = 11 окажется, d = 6 = е); с =£= 8 (иначе из 1 + е~
= с окажется, е = 7, а изс + с+1 — 8 + 8+1=17 окажется, что b = 7 = г); с =£ 9 (иначе из с + с + 1 =
*=^9 + 9 +1 = 19 окажется, что b = 9 = с).
5) Остаётся единственная возможность: с = 6. При с = = 6 имеем: 1+-е=с=6ие=5;с + с+ 1 = 13, т. е. 6 = 3;d + 6 = d + 3= 11 ид?=8.
8. Произведение с с — число, оканчивающееся цифрой с. Это возможно, если с = 1, с — 5, с = 6. Исходя из условия ас — число нечётное; значит, с ф 6. ' Если с =
= 5, и так как са тоже нечётное число, то а — одно из чисел: 1, 3, 7, 9. Если а = 1, то 15 • 1 = 15 есть первое частное произведение; но по условию оно должно быть числом трёхзначным. Значит, а Ф 1. Если а = 3, а = 7, а = 9, то 35 5 (а также 75 • 5 и 95 • 5) есть второе част¬
ное произведение, которое по условию должно быть числом двузначным, между тем как 35 • 5, 75 • 5 и 95 • 5 — числа трёхзначные. Вывод: с фЬ, с может быть равно только 1.
Возможные значения нечётного а — 3, 5, 7 и 9. Если а = 3, то ас • с = 31 • 3 = 93, по схеме ас * а — число трёхзначное. Если а = 7 или а = 9, то ас • са (71 • 17 или 91 • 19) — число четырёхзначное, а по схеме — трёхзначное. Единственно возможным оказывается значение а = 5, при котором противоречий с условиями задачи не возникает.
9. Из приведённой схемы извлечения корня видно, что наибольший точный квадрат, заключающийся в двузначном числе **, образованном двумя первыми цифрами подкоренного числа, есть * — число однозначное. Это сразу позволяет сделать несколько выводов:
1) Однозначный наибольший точный квадрат есть 9, а первая цифра корня есть 3, т. е. корень имеет вид 3*.
2) Двузначное число, образованное двумя первыми цифрами подкоренного числа, не больше 15, т. е. первая цифра его — 1, а вторая — одна из цифр: 0, 1,2, 3, 4, 5. Но эта вторая (а значит, и третья, и четвёртая) цифра не мо¬
182


жет быть нулём, так как точный квадрат не может оканчиваться нечётным числом нулей. Эта цифра ни 2, ни 3, так как точные квадраты не оканчиваются ни на 2, ни на 3. Этой цифрой не может быть и 5, так как любой точный квадрат, оканчивающийся цифрой 5, имеет на предпоследнем месте цифру 2. Таким образом, подлежат испытанию лишь два числа: 1111 и 14-44. Чтобы З*2 оканчивалось цифрой 1, цифра единиц в 3* должна быть 1 или 9; но 312 — число трёхзначное, а 392 = (40 — I)2 = 1521 — не удовлетворяет условиям задачи. Чтобы З*2 оканчивалось цифрой 4, цифра единиц в числе 3* должна быть 2 или 8; но 322 = =. 1024, что не удовлетворяет условиям задачи. Проверяем число 38: 382 = (40 — 2)2 = 1600 + 4 — 160 =
= 1444 — число, удовлетворяющее условиям задачи.
10. 	Прежде всего можно сделать такие заключения:
1) а — нечётная цифра;
2) b ф 1 (иначе окажется, а = с)\
3) с ф 1 (иначе окажется, а = Ь)\
4) b ф 5 и с ф 5 (иначе окажется * что и а = 5).
Таким образом, нечётные цифры b и с могут иметь лишь такие пары значений:
1) 6 = 9 и с = 7 или наоборот. В этом случае а = 3. Но тогда асс • Ь — 3** • 9 или 3** • 7. Оба таких произведения — числа четырёхзначные. Допущение 1-е отпадает.
2) 6 = 9 и с = 3 или наоборот. В этом случае а = 7. Но тогда асс • Ь — 7** . 9 или 7** . 3. Оба таких произведения — числа четырёхзначные. Допущение 2-е отпадает.
3) Ь = 7 п с = 3 или наоборот. В этом случае а — 1.
Если b — 7 и с = 3, то будем иметь: 133 • 7 = 931 и ока¬
жется, что в числе dba средняя цифра b = 3 = с, что невозможно. Если b == 3 и с = 7, то будем иметь: асс b = = 177 • 3 = 531 = dba и противоречий с условиями нет.
П. Произведение с • с оканчивается цифрой с в трёх случаях: 1) с = 1; 2) с ~ 5 и 3) с ~ 6. с ф 1, так как
abc • 1 = abc. Если с = 5 или с =-6, то а - 1 (иначе abc . с— четырёхзначное число). Допустим, с = 5. Тогда 165 • 5 будет иметь средней цифрой трёхзначного произведения либо 2, либо 7 (так как b • 5 оканчивается либо 0,
183


либо 5). Между тем средняя цифра произведений, по условию, а — 1. Этот случай отпадает.
Рассмотрим теперь случай с = 6. Чтобы при умножении 166 • 6 получить в произведении среднюю аифру а = = 1, надо, чтобы Ь • 6 оканчивалось цифрой 8. Это возможно в двух случаях: b = 3 и 6 = 8. Но 186 • 6 — число четырёхзначное, следовательно, допустимо лишь b = = 3, и будем иметь: 136 • 6 = 816.
12. Разность ас — са = 9 • (а — с) по условию есть точный квадрат. Следовательно, однозначное число а — с — тоже точный квадрат. А тогда однозначное а — с есть одно из чисел — 1, 4, 9.
Числа ас и са — простые; следовательно, а и с — нечётные цифры, а тогда число а — с — чётное, и единственно возможным окажется, что а — с = 4.
Так как числа ас и. са, как простые, не могут оканчиваться цифрой 5, то а и с могут иметь значения лишь 1, 3, 7 и 9, причём среди этих цифр надо для а и с найти такие пары значений, чтобы разность их равнялась 4. Такую пару будем иметь лишь при а = 7 и с = 3, т. е. искомые простые числа — 73 и 37.
13. Сумма цифр множимого кратна 9 и так как каждая цифра в нём по условию повторяется два раза, то эта сумма — число чётное. Следовательно, сумма цифр множимого — 18 или 36. Если допустить, что эта сумма 36, то множимое может быть только 9999; но тогда первая цифра множителя может быть только 3 (так как только 9*3 =
= 27 оканчивается цифрой 7). В этом случае произведение 9999 • 3, вопреки условиям задачи, окажется числом пятизначным. Значит, сумма цифр множимого может быть только 18. Согласно схеме умножения последняя цифра множимого, умноженная на первую цифру множителя, даёт число, оканчивающееся цифрой 7. Но в таблице умножения однозначных чисел нет произведений: 17, 37, 47, 57, 67 и 77. Значит, подлежат рассмотрению лишь случаи, когда произведение двух однозначных чисел равно 27 или 7.
1) 	Произведение — 27. В этом случае либо последняя цифра множимого 9 (а само множимое тогда 9009) и первая цифра множителя 3, либо, наоборот: последняя цифра множимого 3 (и само множимое 3663), а первая цифра
184


множителя 9. Об' произведения (9009 • 3 и 3663 • 9) — числа пятизначные, что противоречит условию.
2) 	Произведение — 7. R этом случае либо последняя цифра множимого — 1 (а само множимое 1881) и первая цифра множителя — 7, либо, наоборот: последняя цифра множимого 7 (а само множимое 7227) и первая цифра множителя— 1. Произведение 1881 • 7 — число пятизначное и это допущение, следовательно, отпадает. Произведение же 7227 • 1 — число четырёхзначное, что отвечает условиям задачи. При множимом 7227 вторая цифра множителя также может быть только единицей.
Итак, сомножители — 7227 и 11.
14. По условию при умножении последней цифры множимого на множитель получено число, оканчивающееся цифрой 9. Это возможно лишь при четырёх умножениях:
1) 	*9 • 1; 2) *1 • 9; 3) *3 . 3; 4) *7 -7.
Первая комбинация отпадает, так как этом случае произведение будет числом двузначным, а по условию оно должно-быть трёхзначным числом.
Вторая и третья комбинации отпадают, так как в обоих этих случаях разложение произведения на простые множители будет содержать множитель 3, что противоречит условию.
Итак, сомножителями могут быть только *7 и 7, и множимое *7 надо искать среди чисел 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87 и 97. Из этих 9 возможных значений множимого отпадают: 1) 27, 57 и 87, так как эти числа делятся наЗи, следовательно, разложение произведения будет содержать множитель 3; 2) 17, 37, 47, 67 и 97, так как все эти пять чисел — простые, и, следовательно, во всех этих случаях разложение произведения на множители будет содержать простой множитель, не меньший 17, что противоречит условию.
Единственно возможное значение *7 = 77 (в этом случае разложение произведения 539 на множители будет иметь вид: 72 • 11).
15. Чтобы произведение было точным кубом, оно должно иметь вид 213Л'3. Следовательно, число **** делится на 212, и частное от деления — точный куб. Наидяеныпее значение частного — 1000 : 441 = 2,... Наибольшее значение— 9999 : 441 = 22,... Но ' между числами 2,... и 22,... заключается единственный точный куб — 8. Значит, **** = 441 • 8 = 3528,
185


16. Последняя цифра первого частного произведения —
— 5. Это возможно в двух случаях: 1) последняя цифра множимого — 5, а последняя цифра множителя — нечётная;. 2) наоборот: последняя цифра множимого — нечётная, а последняя цифра множителя — 5. Второе предположение отпадает, так как и при наибольшем значении первой цифры множимого — 9 — произведение 9** • 5 < 5000, а по условию оно начинается цифрой 8.
Итак, множимое — **5, а нечётная последняя цифра множителя такая, что **5 • * > 8000. Это возможно лишь в случае, если последняя цифра множителя — 9, а первая цифра множимого — 9 или 8.
Произведение множимого 9*5 или 8*5 на первую цифру множителя — число трёхзначное; следовательно, эта цифра — 1. Отсюда: последняя цифра второго частного произведения— 5, а тогда предпоследняя цифра 1-го частного произведения может быть только 0. Таким образом, первое частное произведение имеет вид: 8*05. Но оно получено от умножения множимого на 9; следовательно, 8*05 кратно 9 и вторая цифра его может быть только 5. Теперь легко получить и само множимое — 8505 : 9 = 945.
17. Мода\ода
дар I да ___еда еда
1Г
1) ода • а = едау и так как а, очевидно, не равно 1, то а = 5 или а = 6.
2) И при а = 5, и при а = 6 трёхзначное произведение еда может быть лишь при о — 1.
3) При вычитании мод — дар = ед будем иметь: д —
— р = 3, т. е. р =■ 0. И если теперь допустить,что а — 6, то е + а = е + 6= 11 (так как о = 1), т. е. е = 5; но
этого быть не может, ибо произведение ода • а = 1*6 -6,
начинающееся цифрой е, не может быть меньше 6**.
4) Значит, а = 5; изе + а = £ + 5 — 11 получим: е —
— 6.
5) Цифра 3 — чётная (так как ода • 3 = дар, т. е.
а 3^5-3 оканчивается цифрой р = 0).
186


6) ч<5 <С 4 (иначе ода • а = 145 • 5 = 724 и окажется, что е = 7, а не 6). Но чётное 5 =И= 0 (так как р = 0) Следовательно, 5 = 2.
7) дар + ед = или 250 + 62 = 312, т. е. м = 3
18. аб < 12, так как уже 12cd 9 — пятизначно? число. Значит, а = 1 и, так как b ф а, то b = 0
2) 10 cd • 9 = dcOl, т. е. d • 9 оканчивается единицей, откуда d = 9.
3) Число 9с01 кратно 9; но 10с9 состоит из тех же цифр; значит, сумма 1 + 0 + с + 9 = 10 + с кратна 9, что возможно лишь при с — 8.
19. Если с— цифра единиц множимого при умножении на а — цифру единиц множителя — число двузначное, то и произведение цифр десятков множимого и множителя (а • с) тоже число двузначное, т. е. ас ■ са содержит двузначное число сотен и является числом четырёхзначным, что противоречит условиям задачи.
Значит, согласно условиям с ■ а = с, т. е. а = 1. Умножение ас на са теперь можно записать так:
cdc
Отсюда видно: 1 + с2 = d — число однозначное (иначе в произведении cdc на месте сотен стояла бы не цифра с, а цифра, на единицу большая). Значит, 1 + с2 < 10, т. е. с2 < 9 и с < 3. Но с Ф 0 (так как с — первая цифра числа Та) и с ф 1 (так как а = 1). Единственно возможно, что с = 2. ■
20. 	Произведение множимого на 2 — четырёхзначное число, а 1-е и 3-е частные произведения — трёхзначные числа. Значит, множитель— 121.
Теперь умножение можно записать так:
*2*


Отсюда следует: последняя цифра 2-го частного произведения — 0, что может быть лишь в случае, если последняя цифра множимого — 5, откуда последняя цифра 3-го частного произведения тоже 5.
Теперь ясно, что при сложении вторых цифр 2-го и '3-го частных произведений к их сумме прибавлялась единица «в уме», полученная от сложения цифр предшествующего столбца, т. е. здесь мы имеем: * + 2 -f 1 = 9; отсюда * = 6 и второе частное произведение имеет вид: 1650 (заметим, что *2* • 2 на месте тысяч может иметь только единицу).
Множимое *2* = 1650 : 2- = 825.
21. Из схемы извлечения корня видно, что 1-я цифра подкоренного числа есть такое однозначное число, что после вычитания из него наибольшего точного квадрата, заключающегося в нём, в остатке должно получиться либо 4, либо 5. Поэтому эта 1-я цифра не может быть: 1) 1, 2, 3 (наибольший точный квадрат в этих числах — 1 и остатки будут — О, 1, 2); 2) 4, 5, 6, 7 (наибольший точный квадрат в этом случае будет 4 и остатки будут — 0,1, 2, 3); 3) 9 (так как тогда и наибольший точный квадрат будет 9, а остаток — 0). Вывод: 1-я цифра подкоренного числа — 8, 1-я цифра корня — 2, остаток — 4.
Для получения 2-й цифры корня мы должны найти такое однозначное число *, чтобы произведение 4* на эту же цифру * было не меньше 400. Эта цифра может быть только 9 (проба цифры 8 даст: *48 • 8-= 384).
Для получения третьей цифры корня мы должны найти такое однозначное *, чтобы произведение 58* на ту же
цифру * было бы четырёхзначным числом, оканчивающим¬
ся единицей. Но эта цифра не может быть 1 (так как 581 • 1 — число трёхзначное). Значит, эта цифра может быть только 9.
Итак, искомый корень — 299.
22.Из данного равенства следует: 1
№ 5 № 4 Afb 3 № 2 № 1
* * * * 7
Х _5
7 * * * * *
№ 5 № 4 № 3 № 2 № 1
(здесь одинаковые цифры пронумерованы одинаковыми номерами)
188


1) 7 • 5 = 35, т. е. звёздочка № 1 означает цифру 5.
2) 5 • .5 -j- 3 = 28, т. е. звёздочка № 2 означает цифру 8.
3) 8 • 5 + 2 = 42, т. е. звёздочка № 3 означает цифру 2. Таким же образом получим: звёздочка № 4 — 4 и звёздочка № 5—1, т. е. делимое здесь — 714 285; частное — 142 857.
Эта задача допускает и простое алгебраическое решение: обозначим пятизначное число ***** буквой х. Тогда данное равенство запишется так:
(700 ООО + х) : 5 = х • 10 + 7, откуда 50,v + 35 = 700 000 + х или.
49л: = 699 965 и, деля 699 965 на 49, получим: х = 14 285.
23. Наибольший однозначный точный квадрат, заключающийся в двузначном числе **, есть 9. Значит, первая цифра корня 3.
Для получения второй цифры корня мы должны найти такое однозначное *, чтобы произведение 6* на эту же цифру * было бы, согласно схеме, числом двузначным. Это возможно лишь при 61 • 1, т. е. вторая цифра корня — 1.
Для получения третьей цифры корня мы должны найти такое однозначное *, чтобы произведение 62* на эту же цифру * начиналось, согласно схеме, цифрой 4. Но 626 • 6 < 4000, а 628 • 8 > 5000. Таким образом, третья цифра корня может быть только 7.
24. Непосредственно заключаем: последние цифры сомножителей— не нули (иначе запись умножения была бы другой), причём последняя цифра у одного из сомножителей — 5, а у другого — чётная цифра.
Произведение может быть кратно З4 (но не кратно З5, З6 и т. д.) в трёх случаях:
1) один из сомножителей — число, кратное З4, а другой — не делится на 3;
2) один из сомножителей — число, кратное З3, а другой — кратное 3 (но не З2, 3я и т. д.);
3) каждый из сомножителей кратен 9.
1-й случай отпадает, так как двузначное число, кратное З4, есть 81, между тем последними цифрами двузначных сомножителей могут быть либо чётные цифры, либо цифра 5.
189


2-й случай тоже отпадает, так как в этом случае один из двузначных сомножителей может быть только 54 (числа 27 и 81 оканчиваются нечётными цифрами, отличными от 5), а другой сомножитель тогда — либо 15, либо 75 (как число, оканчивающееся цифрой 5 и кратное 3, но не кратное З2) Но 54 * 15 — число трёхзначное, а по схеме это число четырёхзначное; .при умножении же 75 • 54, или 54 75, первое чааное произведение — число трёхзнач¬
ное (а по схеме — двузначное).
Рассмотрим теперь случай, когда каждый из сомножителей кратен 9. Двузначный сомножитель, оканчивающийся цифрой 5, может быть только 45 Сомножителем, кратным 9 и оканчивающимся чётной цифрой, может быть одно из чисел. 18, 36, 54 и 72 Но 18-45 — число трёхзначное, что противоречит схеме 36 • 45 и 54 • 45 при любом порядке сомножителей дадут трёхзначное первое частное произведение, что также противоречит схеме. Единственно возможным сомножителем оказывается 72, который удовлетворяет схеме, если считать, что множимое здесь — 45, а множитель — 72.
25. 1) Из схемы видно: е = 1 (так как ad • е = ad), с = 0 (так как с + d = d) иа<5 (так как а + а = k — числу однозначному).
2) ad • b — асс = аОО — число, кратное 25. Но Ь ф 5, так как частное аОО : 5 оканчивается нулём и окажется, что d — 0 = с.
3) Произведение ad • b = аОО при b Ф 5 может быть кратным 25 лишь в случае, если двузначное ad кратно 25. Но из трёх двузначных чисел, кратных 25, — 75, 50 и 25 — сразу отпадают 75 и 50 (иначе а = 7 или а — 5, между тем а < 5). Единственно возможно — ad = 25.
4) Теперь имеем: а = 2, d — 5; Ь — асс : ad =
- 200 : 25 - 8; k = а •+ а = 2 + 2 = 4.
26. Э = 1, так как этап ■ э — этап\ в последнем вычитании имеем ээ — эа = 0, что может быть лишь, если за вычитается из ээ — 10, следовательно, а — 0.
Во втором вычитании имеем си — эт = ээ или И + + \т == си\ так как т ф 9 (иначе оказалось бы, что и = = 0 = а, что невозможно), а при любом т < 9 сумма си = 2*, имеем: с = 2.
190


Заменив теперь буквы а, э и с соответствующими цифрами, запишем деление так:
кризы2 1т0п
кпОи 21 р
2и \а
\mQrt
7П/?2
~10 22п з\и
Из последнего вычитания следует: и + п = 12 (так как и + п Ф 2), 1 + 2 +. 1 = п9 т. е. п = 4. з + 2 = 11, т. е з = 9.
Из второго вычитания теперь следует: п + п = и или а — 8, 1 + m = 8 или m = 7.
Наконец, из первого вычитания следует: 2 + п = р, т. е. р = 6. Итак, делитель зтап = 1704; но 1704 • 2 = = 3408 = кпаи, откуда к = 3.
27. Обозначим искомый корень буквой л:. Число х6 содержит 9 цифр; число 109 содержит 10 цифр; число 206 =
= 2G . 106 = 64 • 106 содержит 8 цифр. Следовательно: 20° < xQ < 109, откуда
202 < х2 < 103, откуда 20 < л: < 32.
Сумма цифр подкоренного числа — 45; 45 делится на 3, значит, и х делится на 3. Следовательно, х — одно из четырёх чисел: 21, 24, 27, 30.
Но х ф 21, так как 216 оканчивается единицей, а единицы в составе цифр подкоренного числа нет.
х Ф 24, так как 246 оканчивается цифрой 6, а цифры 6 в составе подкоренного числа нет.
х ф 30, так как 306 оканчивается шестью нулями, а в составе цифр подкоренного числа имеется лишь один нуль. Следовательно, х = 27,
Проверка показывает: 276 = 387 420 489, что соответствует данному составу цифр подкоренного числа.
28. Запишем сложение так:
jjabcdef
'abcdef
dei
qaceadq
191


Во-первых, сразу видно, что d = 1; а + а = da, значит, а > 4. Если Ъ + b < 10, то а + а = 10 + а и а =
= 10, что невозможно. Значит, b + b > 10 и а + а +
+ 1 = 10 + а, т. е. а = 9. Если е + е + е < 10, то d +
. + d + d = 9 и d = 3. Но тогда ^ + б + е=-3ие = 1 =
= d, что невозможно.
Значит, е + в + е > 10. Так как 3d ф 29 (а также 3d +
Ч~ 1 29 и 3d + 2 Ф 29), то либо 3d + 1 = 19, либо.
3d + 2 = 19. Но допущение 3d + 2 = 19 даёт 3d = 17, что невозможно. Значит, 3d + 1 = 19 и d = 6.
/ + / ~W = 11, либо / + / + / = 21. Но допущение
f + / + i — 21 даёт е + е + е + 2 = 16 и Зе = 14, что
невозможно, либо е + е + е + 2 = 26 и тогда 3d + 2 = = 19 или 3d + 2 = 29, но ни то, ни другое — невозможно. Значит, / + / + /= 11 и е.+ ^ + ^+1=16и^ = — 5. Равенство f + f + i = 11 возможно лишь в случаях: 1) f = 2, i — 7 и 2) f = 4, i = 3 (остальные комбинации: 1 + 1 + 9, 3 3 + 5 и 5 + 5+1 потребуют
для / и i цифры, которые уже «заняты»). Рассмотрим первое предположение: f = 2 и / = 7. В этом случае или с + + с + 1 = 5, или с + с + 1 = 15, т. е. или с = 2 =/,
или с = 7 — i, но ни то, ни другое невозможно. Если же
f = 4 и / = 3, то с — 2 или с = 7. Если с = 2, то b + 6 =• .= 12 (напомним, что b + b > 10) и b = 6 — d, что невозможно. Значит, с Ф 2. Если же с = 7, то 6 + b + 1 = = 17 и b = 8. Итак: а = 9, Ь — 8, с = 7, d = 6, i= 3, е = 5, / = 4 и d = 1.
29. 	аасс = 1000а + 100а + 10с + с = 1100а + 11с = = 11 (100а + с) — по условию — точный квадрат. Значит, аасс содержит множитель 11 в чётной степени, т. е. 100а + с = 99а + (а + с) делится на 11. Так как 99а делится на 11, то и (а + с) делится на 11; но а ис — однозначны, значит, а + с = 11. Разделим аасс =■ И (99а + + 11) на И2. Частное 9а + 1 также должно быть точным квадратом. 9а + 1 — двузначное число, не делящееся на 3 и на единицу большее числа, делящегося на 9. Отберём сначала двузначные точные квадраты, не делящиеся на 3 — 16, 25, 49 и 64, а затем среди них поищем число, которое на 1 больше числа, кратного 9. Такое число только одно: 64. Значит, 9а + 1 = 64 и а = 7; но а + с = 11, откуда с = 4.
192


30. В первой схеме произведение множимого на 2 — четырёхзначное число, а на другие две цифры множителя— трёхзначное; значит, множитель — 121.
Так как 121 - 8 < 1000, а 121 • 9 > 1000, то во 'второй схеме последняя цифра множителя может быть только 9. По записи умножения во второй схеме видно, что вторая цифра множителя здесь нуль. Теперь умножение но второй схеме можно записать так:
121
х*09 , “1089 ^ ^ ^
*Т*89~
Как видно, здесь 1 + * = 1, т. е. * — средняя цифра второго частного произведения — 0. Но эго возможно только в случае, если первая цифра множителя — 5.
31. По условию ас • са кратно 5. Ноа^Оис^О (иначе схема I была бы иной). Значит, либо а = 5, либо с= 5.
Если с = 5, то а < 3, так как уже при а = 3 произведение са • а = 53 • 5 > 100, между тем как по схеме II са • с < 100. Но вместе с тем а ф 1 и а ф 2, так как в этом случае ас • а (т. е. 15-1 или 25-2) — число двузначное, между тем как по схеме I ас • а — число трёхзначное. Вывод: с Ф 5.
Пусть теперь а = 5. Тогда с < 3, гак как уже при с = = 3 произведение са • с = 35 • 5 > 100, а по схеме II са • с < 100. Но сф 1, так как по схеме I ас • с — число трёхзначное, а 51 • 1 < 100. Значит, при а = 5 единственное возможное значение с = 2, при котором, как легко убедиться, противоречий с условиями задачи не возникает.
32. 1) а < 3, иначе abed • 4 было- бы числом пятизначным. Но а ф 1, так как dcba — число чётное (как произведение некоторого числа на 4), а ф 0 (как первая цифра числа). Значит, а = 2
2) 	2bed 4 > 8000. Следовательно, d > 7. Но 4 • d оканчивается цифрой а = 2. Это возможно лишь при d = 8.
13 Заказ 1685 103


3) 	b < 3, так как уже 2300 . 4 = 9200 и окажется, что d = 9, а не 8. Число dcb2 получено от умножения на 4, значит, оно делится на 4, т. е. Ь2 делится на 4. Но при й<3 это возможно лишь, если b • 2 = 12, т. е. b = 1.
. 4) Итак, 21с8 • 4 = 8с12. Проследим, как в произведении получилась цифра десятков — 1. Умножив 8 • 4, мы получили 3 «в уме». Умножив затем с • 4 и прибавив 3, мы получили число, оканчивающееся цифрой 1. Это произойдет, если с • 4 оканчивается цифрой 8. А это будет в двух случаях: 1) если с = 2 и 2) с = 7. Но с 2 (так как а = 2). Проверяем: с — 7, 2178 - 4 = 8712.
33. Так как число \ *****4 — целое, то подкоренное число есть пятая степень целого числа х. Но любое число, возведённое в 5-ю степень, оканчивается тою же цифрою, что и основание степени. Действительно, если число оканчивается цифрами 0, 1, 5 и 6, то любая степень его оканчивается теми же цифрами; если число оканчивается цифрами 4 и 9, то любая нечётная степень его оканчивается теми же цифрами; если же число оканчивается цифрами 2, 3, 7 и 8, то последние цифры его степеней, начиная с пятой, повторяются в той же последовательности (так, например, З1 = 3, З2 = 9, З3 = 27, З4 = 81, З5 = 243 и т. д.). Поэтому доканчивается цифрой 4 (так как л:5 оканчивается цифрой 4). Но х > 10, так как подкоренное число больше 105 и х < 20, так как 205 = 25 • 105 — число семизначное. Значит, х = 14.
V4**** = Y= р 2** — число целое, т. е. 2** — точный куб. Но среди чисел между 200 и 299 единственный точный куб — 216 = 63. Следовательно, у 4**** = = 6. Искомая сумма — 20.
34. Из записи умножения видно, что последние цифры сомножителей — с и и — не нули.
Обратим внимание на одну особенность умножения однозначных чисел; если какое-либо чётное число, кроме нуля (например, 4), последовательно умножать на 0, 1, 2, 9, то в 10 произведениях два и только два раза
встретятся числа, оканчивающиеся одинаковыми цифрами (например, 4*3= 12 и .4 • 8 = 32 или 4-4—16 и 4 9 = 36 и т д.).' Если же какое-либо нечётное число,
кроме 5, умножать на 0, 1,2, .,9, то все 10 произведений будут оканчиваться разными цифрами. Если же множи-
194


мым взять число 5, то при умножении 5 на любое чётное число произведение оканчивается нулём, а при умножении на любое нечётное число — цифрой 5.
В рассматриваемой задаче три произведения — с • и, с • г, с • п — оканчиваются Цифрой с. Эго возможно лишь в случае, если множимое с = 5, а множители и, г, п — три нечётных числа. Среди трёх частных произведений нет числа abc, значит, среди нечётных множителей и, г, п нет числа, разного 1. Таким образом, для и, г, п остаются лишь три нечётные цифры: 3, 7 и 9.
Так как произведение abc • п — трёхзначное число, а другие два частных произведения — четырёхзначные числа, то п — наименьшее из чисел 3, 7 и 9, т. е. п = 3а и = 7 и г = 9 или наоборот; abc • я = abc • 3 — число, кратное 3, равное глс ^г35. Чтобы г + 3 + 5 было кратно 3, цифра г может иметь три значения: 1, 4 и 7. Но нечётные гни могут быть лишь 7 и 9. Значит, г = 7, а тогда а = 9.
Теперь легко вычислить и abc. Действительно: abc = = те : п = 735 : 3 = 245. Откуда а = 2 и 6 = 4.
35. 1) 6 > а, так как а&с • а < 1000 и абс • b > 1000.
2) а < 3. Если допустить, что а = 3, то наименьшее & = 4 и abc ■ а = 34с • 3 > 1000, что противоречит схеме.
3) а Ф 0 и а Ф 1 (так как abc • а оканчивается не цифрой с). Но а < 3; значит, а = 2.
4) По схеме с • а оканчивается цифрой а, т. е. с ■ 2 оканчивается цифрой 2. Это возможно лишь при с = 6.
5) По схеме с • b оканчивается цифрой Ь, т. е. 6 • Ь оканчивается цифрой Ь. Это возможно лишь, если b = 4 (6 • 4 = 24) или b = 8 (6 • 8 = 48). При b = 4 имеем: abc • b = 246 • 4 < 1000, что противоречит условию. Значит, b — 8.
36. Обозначим abed буквой х, числитель десятичной дроби— буквой у, а её знаменатель— 10". Данное равенство теперь запишется так:
, откуда
ху = 20 . 10я -|- у или у(х — 1) = 2п+2 • 5"+*
13*
195


2"+2 . 5«-Н
Отсюда: х — 1 =
Это равенство показывает: произведение 2"+2 • делится на у, причём в частном получается нечётное число х— 1. Из этого можно сделать три вывода:
1) В разложении у никаких других простых множителей, кроме 2 и 5, нет.
2) Разложение у содержит множитель 2п+2 (так как если показатель степени здесь будет меньше /г + 2, то частное будет чётным; если же показатель степени будет больше п + 2, то частное будет дробным).
3) Разложение у содержит множитель 5\ где k < п +-1.
Итак, у = 2"+2 . 5k и
пП-{-2 с/г-|-1
X — 1 = = 5
2п+2 . 5* °
Рассматривая таблицу степеней числа 5 — 51 = 5; 52 - 25; 53 = 125; 54 - 625; 55 = 3125; 56 = 15 625, — замечаем, что единственным четырёхзначным числом в таблице является 5б = 3125. Значит, п — k + 1 — 5, т. е.
п — k = 4. Итак, abed = 3126, а десятичная дробь =
. 2п+2 . 5/г 22 22 . 24 64
2п • 5п ^ 54 54 • 24 104 == °>0064-
37. 	Первое произведение — Хаас, а второе — deec, причём
, 1 аас + 1 аас deec
Но в этом сложении с + с ф 10 + с, значит, с + с = — с и с = 0; а ф 0, так как 1000 : 2 = 500, а в искомом числе, по условию, нет одинаковых цифр. По той же причине а Ф 1 (1110:2 = 555). а + а ф 10 + е (иначе в deec цифры десятков и сотен не будут одинаковы); значит, а + а = £, а тогда d = 2.
196


Пусть последнее произведение — knnct которое можно получить сложением:
, 2ее0 ~г~2ее0 knnO
Здесь также е + е ф 10 + я, т. е. е + е = я, и, значит, к = 4. Так как а ф 0 и а ф 1, то наименьшее значение а = 2; но тогда наименьшие значения ей п — 4 и 8. Но эти наименьшие значения являются и наибольшими, так как чётное п ф 9.
Таким образом, оказывается: *** • 8 = 4880 и *** = = 4880 : 8 = 610.
Проверка. 610 - 2 = 1220; 610 . 4 = 2440.
38. 	Запишем сложение так:
, send тоге money
1) Сразу видно: т = 1; s + т = то, т. е. s + 1 — двузначное число. Последнее возможно, если s = 9 или s = 8 (в этом случае е + о > 10). Но двузначное то < 12 и то ф 11; следовательно, о = 0.
2) При s = 8 е + о > 10. Но и при е = 9 наибольшее значение суммы 9 0 + 1 (полагая п + г > 10) равно
10, т. е. окажется, что п = 0 = о, что невозможно. Значит, s = 9 и е + о < 10; но тогда п + г > 10 (иначе е =
= /г) и с + 1 = п.
3) п + г = 10 + е или /г + г+1=10 + е(в случае, если d + е > 10). Если п + г = 10 + е, то е + I + г =
= 10 -|- с и г — 9 = s, что невозможно. Остаётся п + 4- г + 1 = 10 + е или е+1+г+1=10 + е.и г ~ — 8, причём d + е > 10.
4) е ф 9, е ф 8, е Ф 7 (при е = 7 окажется, что /г = = 8). в =£ 6 (если е = 6, то я = 7 и наибольшее значение
d = 5. Окажется, что d + с = И, т. е. у = 1 = /п, что невозможно. Если d = 4, то d + е = 10 и £/ = 0 = о, что невозможно. Если же d < 4, то d + е < 10, что невозможно).
в Ф 2 (так как наибольшее значение d = 7 и при е = 2 d + ^ < 10).
J197


е ф 3 (так как при е = 3 наибольшая двузначная сумма d + е = 10, т. е. у = 0 = о).
^4 (при £ = 4 наибольшая двузначная сумма d + е = = 11 и у = 1 = т).
Остаётся лишь е = 5 и тогда я = 6.
5) 	d + в = d + 5 > 10. Но цифры 6, 8, 9 «заняты». Единственная «свободная» цифра, удовлетворяющая неравенству d + 5 > 10, есть 7, т. е. d = 7. Теперь d + е = = 7 + 5 = 12, т. е. у = 2.
39. 1) Очевидно, q < 10 и g ^ 1. Следовательно, или q = 4, или q = 9.
2) а и d, как последние цифры точных квадратов, могут быть только 1, 4, 5, 6 и 9.
3) d < 3, так как dcta • <7, где q = 4 или 9, должно быть числом четырёхзначным; следовательно, d = 1.
4) Если допустить, что q = 4, то 1с6а • 4 = afecl, что невозможно, так как умножение на q = 4 должно дать чётное произведение.
5) При ^ = 9 имеем: 1 cba • 9 = abcl, откуда а — 9. Так как 1сЬ9 • 9 < 10 000, то с < 2. Но с =£ 1, значит, с = 0. Далее: произведение 10&9 • 9 — число, кратное 9, т. е. abed = 9601 делится на9и9 + 6 + 0+1 кратно 9, откуда b — 8.
Проверка, abed = 9801 = 992; dcba = 1089 =
= ЗЗ2; q = З2 = 9.
40. 1) Последние цифры сомножителей — не нули (иначе схема умножения была бы иной). Но произведение этих цифр кратно 10, значит, последняя цифра одного из со* множителей — 5, а другого — чётная цифра. Каждая из цифр множителя меньше 3 (иначе частные произведения были бы пятизначными числами). Отсюда: последняя цифра множимого — 5, последняя цифра множителя — 2.
2) 	Средняя цифра множителя.— не нуль (иначе запись умножения была бы иной), значит, эта цифра — 2, или 1. Если допустить, что эта цифра — 2, то будем иметь: при любой предпоследней цифре множимого предпоследняя цифра первого частного произведения будет нечётной (так как она получится в результате 2 • * + 1), а последняя цифра второго частного произведения будет нулём и сумма этих двух цифр окажется нечётной, между тем пред¬


последняя цифра произведения — нуль. Значит, средняя цифра множителя — 1.
3) Последняя цифра второго частного произведения — 5. Значит, предпоследняя цифра первого частного произведения — тоже 5, а для этого предпоследняя цифра множимого должна быть 2 или 7 (2 • .2 —1=5 или 2 • 7 -f* + 1 = 15).
4) Из схемы умножения следует: первая цифра третьего частного произведения—9. Значит, первая цифра множителя, заведомо меньшая 3, — не единица, т. е. эта цифра — 2, причём, вторая цифра множимого не меньше 5.
5) Итак, множитель — 212. Так как 212 не кратно 3, а произведение, по условию, кратно 9, то множимое 4**5 кратно 9. Но 4 + 5 = 9, следовательно, сумма двух средних цифр равна либо 18, либо 9. Но сумма двух однозначных чисел равна 18 лишь в случае, когда,каждое из них 9. Между тем уже известно, что предпоследняя цифра множимого 2 или 7 (см. п. 3). Значит, сумма средних цифр равна 9. Если допустить, что предпоследняя цифра множимого— 7, то вторая цифра множимого будет 2, что противоречит уже установленному (см. п. 4): вторая цифра множимого не меньше 5. Итак, единственно возможно: вторая цифра множимого — 7, а третья цифра — 2. Множимое — 4725.
41. 	1) Второе слагаемое — 97 (так как среди чисел 90— 99 единственное простое число — 97).
2) Первая цифра суммы *0* меньше 3 (так как. сумма любых трёх двузначных чисел меньше 300); но эта цифра и не 1 (так как 97, сложенное с любыми двумя двузначными числами, больше 109): Значит, сумма имеет вид 20*.
3) Цифры единиц у первого и третьего слагаемых — различные нечётные цифры. Но цифры 9 и 7 уже «заняты», а простые числа не могут оканчиваться на 5. Следовательно, у одного из слагаемых цифра единиц — 3, а у другого — 1.
4) Если цифры единиц трёх слагаемых— 1, 3 и 7, то сумма их оканчивается единицей, т. е. сложение имеет вид: *1 + 97 + *3 = 201, откуда *1 + *3 = 104.
5) Теперь видно, что цифры десятков чисел *1 и *3 дают в сумме 10. Но число 10 здесь не может.быть получено сложением:
1) 	I и 9, так как обе эти цифры уже «заняты».
S99


2) 2 и 8, так как 21 и 81 — числа составные,
3) 3 и 7, так как обе эти цифры уже «заняты»,
4) 5 и 5, так как цифра 5 не может повторяться.
Следовательно, единственно возможно, что цифры десятков здесь — 4 и 6; так как 63 — число составное, то слагаемое *3 = 43, а слагаемое * 1 =61, и равенство имеет вид: 61 + 97.+ 43 = 201.
42. 	Обозначим в схеме I цифры так:
Cl^CLt^Ci^CL^ d
Л с1с2сл
г1а,г
А
^2^4
JjPa
' о
Заметим, что при такой системе обозначения неизвестных цифр буквами возможно, что различным буквам будут соответствовать одинаковые цифры. 1) гг + bL= аха2\ но Ьг и гг — однозначны. Следовательно, ах = 1.
2) г2 + Ь2 = 7^ая\ но г2 и Ь2 — однозначны. Значит, /1 — 1.
3) гг + Ь1 = 1 + bL = 1 а2; такое равенство возможно только в случае, если Ьг = 9; но тогда а2 — 0.
4) сх • d = Ь± = 9, причём d, очевидно, не равно 1. Следовательно, либо сх = 3 и d ~ 3, либо сх — 1 и d = = 9. В обоих случаях число аха2аъа^ кратно 3, т. е. сумма цифр его аг + а2 + а3 + а4 = 1 + 0 + а3 + а4 делится на 3.
Перейдём теперь к схеме 11:
10 а3а4 К) '
ага4
“ТГ
d\
5) 	db очевидно, не равно 1. Кроме того, dx — нечётная цифра, так как нечётное число 10а3а4 не делится на чётное число. Но .10 делится на dx\ значит, dx = 5.


6) a.,ai делится на dL—b. Но а4 — нечётная цифра. Значит, а4 = 5.
7) а, < 5 и а3 > 0, иначе схема II была бы иной.
8) Сумма 1 + 0 + а3 -j- 5 делится на 3 (см. п. 4), т. е для ая допустимы значения 0, 3, 6 и 9. Но а, > О и а3 <5 (см. п. 7). Значит, из этих четырёх чисел годно лишь одно.
а, = 3.
43. 	Точный квадрат 2 • ас + 1 — число нечётное, а точный квадрат 3 • ас + 1 — не делится на 3.
9 < ас < 100, следовательно,
19 < 2 • ~ас + 1 < 201 и 25 < 2 • ас + 1 с 169
28 < 3 • ас + 1 < 301^ и 49 < 3 ■ ас + 1 < 289. ( '
Из (!) следует: 16 < ас < 84, а тогда
49 < 2 -Ис+ 1 < 169 и 49 < 3 • ас + 1 < 196. (И)
Идя тем же путём последовательного сужения промежут¬
ков, из (II) будем иметь:
24 < ас <65, а тогда 49 < 2 ■ ас -Ы < 121 (III)
и 100 < 3 • ас + 1 < 196
Но из (III) следует: 33 < ас < 60,
а тогда 81 < 2 • ас + 1 < 121
и 100 < 3 • ас +1 < 169 (IV)
Но из (IV) следует: 40 < ас < 56,
откуда 81 < 2 • ас + 1 < 81.
Таким образом, единственно возможным оказывается:
2 • ас + 1 = 81 и, следовательно, ас — 40.
Приведём ещё одно решение этой интересной задачи, данное в журнале ,,L‘ Education Mathematique“.
По условию число 2 • ас + 1 — точный квадрат; следовательно, оно оканчивается одной из цифр: 0, 1, 4, 5,
б, 9, а 2 • ас — одной из цифр: 9, 0, 3, 4, 5, 8. Исключая .отсюда цифры 9, 3 и 5 (так как чётное 2 ас — не окан-
1!0)


чивается такими цифрами), мы получим, что само ас может оканчиваться цифрами: 0 или 5, 2 или 7, 4 или 9. Но тогда 3 • ас + 1 оканчивается цифрами 1 или 6, 7 или 2, 3 или 8.
По условию 3 • ас + 1 также точный квадрат и цифрами 7, 2, 3 и 8 оканчиваться не может. Значит, 3 • ас, а следовательно., и ас может оканчиваться только цифрами 0 и
5. 	В обоих случаях 2 • ас + 1 будет оканчиваться единицей.
ас — число двузначное, следовательно, 10 < ас < 100, откуда 21 < 2 • ас + 1 < 201.
Но между 21 и 201 только два точных квадрата оканчиваются единицей: 81 и 121, откуда или ас= 40, или ас — 60. При ас = 60 получим, что 3 • ас + 1 = 181 — число, не являющееся точным квадратом. Значит, единственно возможно, что ас = 40; 2 • ас + 1 = 81 и 3 • ас + 1 = 121.
44. 	1) В последней вертикали у + я + я < 10 (иначе
в предпоследней вертикали Оудет t + е + е + 1 = t или t + е + е + 1 = 10 + t, т. е. 2^ +1=0 или 2е = 9 — ни то, ни другое невозможно). Следовательно, у + я + + я = у, откуда /2 = 0. Нельзя допустить, что t + е +
+ е = t (иначе е = 0 = я); значит, t + е + е =
= 10 + t, откуда е = 5.
2) г + t + t + 1 > 10, так как 2-я цифра суммы /, а не о. При этом о + 1 или о + 2 (г +t + t + 1 >20) также болыиэ 10, так как 1-я цифра суммы s, а не f. При о<8ио+1 ио + 2 меньше 10 — допущение отпадает. При о = 8' имеем: о + 1 < 10 или о + 2 = 10, и окажется, что i = 0 = п. Значит, единственно возможно, что о = 9.
3) Если 10<г + / + ^+1<20, тоо+1 = 9+1 = = 10 и окажется, что i = 0 = я, что невозможно. Значит, г + / + /+1>20 и о + 2 = 9+ 2= 11, т. е. / = 1.
4) /* + £+/ + 1 =£ 20 (иначе х=0 = я), г + t + t
+ 1 Ф 21 (иначе х = 1 = /). Но наиболиизе значение г + / + / + 1 = 24 (при / = 8иг = 7). Значит, допустимые значения для г + t + t + 1 — 22, 23 и 24, а для г + 2t — 21, 22 и 23. Попробуем образовать г + 2t = = 21. Если t — 6, то г = 9 = о. Если t — 7, то г = 7. Если t == 8, то г = 5 = е. Вывод: г + 2t ф 21. Попробу¬
202


ем образовать г + 2t = 22. Здесь возможно: t = 7 и г = = 8 или / = 8 и г = 6; при г + 2/ —.22 значение л: = = 3. Так как / + 1 = s, то / и s — две последовательные цифры. Но при г 4- 2^ = 22 «занятыми» будут: 0, 1,3, 5, 7, 8, 9 или 0, 1,3, 5, 6, 8, 9. В том и другом случае для / и s не найти двух последовательных цифр. Значит, г +
2t Ф 22.
5) 	Остаётся последняя комбинация: г + 2t = 23, которая, как указано в п. 4, возможна лишь при г = 7 и t = = 8. Значение буквы х в этом случае будет 4 и «занятыми» буквами теперь окажутся: 0, 1,4, 5, 7, 8 и 9. В этой последовательности цифр для / и s возможна единственная пара значений: / = 2 и s = 3. Оставшаяся «свободной» цифра 6 есть значение у : у = 6.
45. 	1) По условию все 4 числа различны; следовательно, большее из чисел (обозначим его буквой х) не делится на меньшее— у, так как в противном случае оказалось бы, что НОК этих чисел — М равно *, а НОД — d равен у.
2) М — одно из чисел: 2я, Зх> 4х, ..., но двузначное М < 100, а тогда наибольшее значение х должно быть меньше 50 (так как 2х < 100).
3) НОД — d — есть произведение группы общих множителей, входящих в разложение чисел х и у. Поэтому х = dk и у == d/г, где k и п — «недостающие» множители в разложениях чисел х и у. Но х = dk < 50, причём d > 10, как число двузначное. Отсюда имеем: k < 5.
4) Рассмотрим возможные значения k : 1, 2, 3 и 4. Во- первых, очевидно, & =£ 1 (иначе х = d = у)\ к ф 2 (иначе л; = 2d, а тогда у — d и окажется, что х | у). Но, кроме того, k ф 4. Действительно, если допустить, что А = 4, то п < 4; но /г ф 2 и д ф 1 (так как при х = 4d и у = 2d или # = d, окажется, что *;#). А если /г = 3, то НОК чисел а: = 4d и у = 3d будет равно 12d, где d > 10, и НОК, вопреки условию, окажется числом трёхзначным.
5) Итак, единственно возможно, что k = 3, т. е. х =
= 3d. Так как м Ф 1 (иначе у — d и х \у), то п = 2, т. е.
у — 2d и М = 6d.
Теперь выражение (** + ** + **) : ** примет вид:
(2d + 3d + 6d) : d = 1 Id : d = 11.


РАЗДЕЛ X
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ УГЛУБЛЕНИЯ ПОНИМАНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ КУРСА МАТЕМАТИКИ
(Материал для кружковой работы.)
Понимание основных логических элементов курса математики — необходимое условие для сознательного и прочного усвоения материала. Ученик должен овладеть такими понятиями, как «определение», «аксиома», «теорема», «необходимость и достаточность», «доказательство от противного» и т. д. Нет сомнения, что любая попытка поставить эту работу в VI классе не даст удовлетворительных результатов. Но в последующих классах, частично на самом уроке, а частично в порядке внеклассной работы, необходимо привлечь внимание учащихся к этим понятиям и достаточно полно раскрыть смысл наиболее употребительных специальных терминов, принятых в математике; возросшие сознательность и развитие учащихся старших классов позволят успешно провести такую работу.
Устные упражнения и специальные вопросы, составляющие содержание X раздела, позволяют без большой затраты времени закрепить то, что было разъяснено учащимся в предварительной беседе (иногда на уроке, а чаще в кружке), посвящённой отдельным логическим элементам курса математики. Все упражнения построены на материале из курса младших классов, что даст возможность углублённо повторить, и притом с новых позиций, ряд основных положений математики.
Всего в X разделе 36 задач. Среди них несколько специальных задач (типа «математических софизмов») на на¬
204


хождение ошибки в рассуждениях. Задачи X раздела могут быть использованы наряду с другими упражнениями в кружках VIII (и более старших) классов.
В прилагаемых «решениях задач» руководитель кружка найдёт достаточный материал для предварительного инструктажа или «коротеньких» бесед с учащимися, когда в связи с рассматриваемой задачей возникнет необходимость дать дополнительные разъяснения об особой терминологии, способах рассуждения и т. д., характерных для математики.
1. Сформулирована теорема: «Если есть А, то есть и С». Приняв эту теорему за прямую, сформулируйте теоремы обратную, противоположную прямой и противоположную обратной.
2. Применив «способ от противного», доказать, что если верна прямая теорема («Если есть Л, то есть и С»), то всегда будет верна и теорема, противоположная обратной.
3. Приняв теорему «Если есть А и есть В, то есть и С» за прямую, сформулируйте возможные в этом случае обратные теоремы.
4. Измените текст теоремы «Прямые углы равны между собой» так, чтобы условие и заключение теоремы от- чётлизо выделились (т. е. изложить её в форме: «Если..., то...); образуйте затем возможные обратные теоремы и укажите, какие из них будут верны.
5. Ученику было предложено определить вид треугольника, стороны которого выражаются числами 9, 12 и 15. Подсчитав, что 92 + 122 = 152, ученик, сославшись на теорему Пифагора, ответил, что данный треугольник — прямоугольный. Нет ли у вас замечаний к ответу ученика?
6. Высказано некоторое общее положение. Достаточно ли для опровержения его показать, что оно неверно в каком-либо одном частном случае? Достаточно ли для подтверждения его показать, что оно верно в большом числе отдельных частных случаев?.
7. Высказана гипотеза: «При любом натуральном значении х трёхчлен х2 + х + 41 — простое число». Справедливость её была проверена при х, равном 1, 2, 3,..., 30; и 30 раз действительно получалось простое число. Верна ли гипотеза?
8. Высказана гипотеза; «Если в описанном многоуголь¬
205


нике все стороны равны, то равны и все углы его». Подтвердите или опровергните эту гипотезу.
9. Нет ли у вас замечаний к такому определению равностороннего треугольника: «Равносторонним называется такой треугольник, у которого равны все его стороны и все его углы»?
10. Нет ли у вас замечаний к такому определению параллелограмма: «Параллелограммом называется многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны»?
11. В чём заключается логическая ошибка, называемая «порочный круг»? Приведите примеры.
12. Один ученик определил иррациональное число как неизвлекаемый радикал, другой — как бесконечную десятичную дробь. Укажите ошибку в том и другом определении.
13. Ученик по аналогии с остроугольным треугольником. предложил определение: «Выпуклый четырёхугольник, все углы которого острые, называется остроугольным». Какому обязательному для всех определений общему требованию не удовлетворяет предложенное определение?
14. После того как было определено понятие степени с натуральным показателем («ап есть произведение п сомножителей, каждый из которых равен а») и были выведены правила действий над степенями с натуральным показателем, ученик доказывал, что а° = 1, так: «пусть требуется разделить ап на а}\ где п — натуральное число. Очевидно, при делении любого числа на само себя в частном получится единица, т. е. ап : ап = 1. С другой стороны, по правилу деления степеней одного и того же основания имеем аа : ап = ап~п= а0. Отсюда а0 = 1». Какая ошибка допущена в этом доказательстве?
15. Может ли уравнение первой степени с одним неизвестным иметь бесчисленное множество корней?
16. Дано уравнение: |/V2-f-3 = j/-л:2—3 . Как вы стали бы решать это уравнение?
17. Дано уравнение: у\—х + ]Лс—2 = 5. Как вы стали бы решать это уравнение?
18. Показать, что уравнение х2 = 2\х\— 4 корней не имеет.
19. Хотят проверить, справедливо ли положение А. Для этого применяют такой способ рассуждения,
206


Допустим, что А верно; но тогда будет верно и некоторое положение В, являющееся прямым следствием из А; но если верно В, то будет верно и вытекающее из него следствие С, и т. д. Наконец, подобная цепочка последовательных следствий приводит к положению /С, достоверность которого не вызывает никаких сомнений. Можно ли достоверность положения К рассматривать как доказательство справедливости положения Л? (Ответ обосновать примерами.)
20. Хотят проверить, справедливо ли некоторое утверждение Л, и для этого рассуждают так:
Допустим, что Л верно; но тогда будет верно и В, как непосредственное следствие из Л; но если верно В, то будет верно и С, и т. д. Наконец, приходят к некоторому положению К у явно неверному. Можно ли ошибочность положения К рассматривать как опровержение утверждения Л?
Упражнения 21—31 посвящены понятиям «необходимо» и «достаточно». В тексте большинства упражнений имеются пропущенные слова, заменённые многоточием. Задача заключается в том, что вместо многоточия требуется поставить одно из трёх выражений: «необходимо», «достаточно», или «необходимо и достаточно», выбрав соответствующее выражение так, чтобы получившееся предложение оказалось верным.
21. «Чтобы число делилось на 5, ..., чтобы послед¬
няя цифра его была 5».
22. «Чтобы сумма нескольких чисел делилась на некоторое число, ..., чтобы каждое слагаемое делилось на это число».
23. «Чтобы число делилось на 72, ..., чтобы оно делилось на 8 и на 9».
24. «Чтобы число делилось на 24, чтобы оно делилось на 4 и на 6».
25. «Чтобы обыкновенная дробь обращалась в конечную десятичную дробь, ..., чтобы знаменатель её не содержал иных простых делителей, кроме чисел 2 и 5».
26. «Чтобы целое число было точным квадратом, ..., чтобы оно оканчивалось одной из цифр: 0, 1,4, 5, 6, 9».
27. «Чтобы целое число было точным квадратом, чтобы разложение его на простые множители состояло лишь из чётных степеней этих множителей».
207


28. «Чтобы произведение нескольких чисел было равно нулю, чтобы по крайней мере один из сомножителей был равен нулю».
29. «Чтобы корни квадратного уравнения х2, + рх + + q = 0 были действительными числами, чтобы q было отрицательным числом?»
30. «Чтобы через три точки пространства можно было
провести окружность, на одной прямой».
В
Черт. 32
чтобы эти три точки не лежали
31. 	«Чтобы через четыре точки на плоскости можно было провести окружность,..., чтобы никакие три из них не лежали на одной прямой».
Черт. 33
32. Попробуем доказать, что в прямоугольном треугольнике катет равен гипотенузе.
Проведём биссектрису В (черт. 32), а из точки Е — середины катета АС — восставим к нему перпендикуляр. Из точки О — пересечения перпендикуляра и биссектрисы — опустим перпендикуляры на ВС и ВА и соединим её с точками Л и С. Из равенства треугольников ОВК и OBF имеем: ВК — BF ц OK = OF. Но тогда д ОКС = = ДОЛ/7, откуда КС = FA. Складывая почленно равенства ВК = BF и КС = FAt будем иметь: ВС = ВА. Где ошибка?
33. Докажем, что хорда, не проходящая через центр круга, равна диаметру этого круга.
Проведём в круге (черт. 33) диаметр А В и произвольную хорду ВС. Через конец диаметра А и точку Е — cej
208


дину хорды ВС — проведём хорду AD. Наконец, проведём хорду CD. Рассмотрим треугольники CED и ЛЕВ. Имеем: ЕС = BE по построению, ^CED — ^А.ЕВУ как вертикальные, и ^-С = как вписанные углы, опираю¬
щиеся на одну и tv же дугу BD. Значит, /\CED = дДЯВ, откуда CD = А В.
Где ошибка?
34. 	Ученик взялся доказать «аксиому параллельных прямых»: через точку вне данной прямой нельзя провести
F
В
D
Черт. 34.
две различные прямые, параллельные данной. Он рассуждал так: «Пусть имеются прямая А В и точка С вне А В. Опустим из точки С перпендикуляр CD на прямую А В (черт. 34). Восставим теперь к CD в точке С перпендикуляр СЕ. Имеем: А В _[_ CD и СЕ j_ CD. Отсюда: СЕ || А В
(два перпендикуляра к одной прямой параллельны — первая теорема в учении о параллельных прямых, доказываемая до аксиомы параллельности). Но из точки С на прямую А В можно опустить единственный перпендикуляр, а через точку С к CD можно провести также единственный перпендикуляр. Значит, СЕ — единственная прямая, параллельная А В и проходящая через точку С».
• Доказана ли «аксиома параллельных прямых», а тем самым пятый постулат Евклида?
35. 	Было предложено следующее доказательство теоремы о сумме углов треугольника, не опирающееся на теорию параллельности прямых.
;;;лПусть ABC — произвольный треугольник. Проведя от- "зок BD, получим два треугольника: /\ABD и /\DBC,
14 Заказ 1GS5
209


углы которых пронумеруем, как это обозначено на чертеже 35. Обозначив сумму углов треугольника буквой х, будем иметь:
1 + ^ 2 + ^ 3 = * ^4+-^5+-^6 = л:
Сложив почленно эти два равенства, получим: ^ 1 2 + -^3~Ь ^ 4 + ^5 + 6 = 2л:
£
О)
Но -^3 + -^6 = 2d (как сумма смежных углов), а ^ 1 + (^2 + ^4) +
-+- -^5 = л: (как сумма углов Д ABC). На основании (1) имеем: х + 2d = 2х, откуда л; = 2d, что и т. д. Согласны ли вы с доказательством?
36. 	Рассмотрим ещё одно интересное доказательство теоремы о сумме углов треугольника, в котором не используется теория параллельности прямых. Дан ДЛВС (черт. 36): а, |3 и у — внешние углы треугольника, ^1, -^2 и ^3 — внутренние углы треугольника. Требуется доказать, что сумма внутренних углов равна 2d.
210


Представим себе, что человек, стоявший в вершине А лицом к точке В, идёт по АВ. Пройдя А В, он поворачивается 'на угол Р и идёт по ВС. Пройдя ВС, он поворачивается на угол у и идёт по С А Пройдя С А, он в точке А поворачивается на угол а и оказывается в том же положении, т. е. лицом к точке В, в каком он находился в момент начала своего движения. Следовательно, обойдя контур д ABC и поворачиваясь последовательно на углы Р, у и а, он сделал полный оборот, откуда
ct -f~ Р у ” 4d.
Но ^1 и а — смежные углы: *^1 + а = 2d. Аналогично: ^2 Р = 2d и ^3 + у = 2d.
Отсюда: (^1 + ^2 + ^3) -|- (а + Р + у) = 6d или ^1 + ^2 + ^ 3 = (II — (а I- Р + \) = бd — 4d = = 2d, что и т. д. В чём заключается логическая несостоятельность этого доказательства?
РЕШЕНИЯ
1. Прямая теорема: «Если есть Л, то есть и С» I
Обратная теорема: «Если есть С, то есть и А» II
Противоположная теорема: «Если нет Л, то нет и С» III Теорема, противоположная обратной: «Если нет С,
то нет и А». IV
2. Требуется доказать, что если верна теорема I (см. задачу 1), то верна и теорема IV. Применим способ от противного: предположим, что теорема IV неверна, т. е. будем считать, что Л есть. Тогда по теореме I есть и С. Но это противоречит условию теоремы IV. Значит, сделанное предположение надо отвергнуть: теорема IV — верна, что и требовалось доказать.
3. Возможны обратные теоремы: 1) «Если есть С, то есть Л и есть В»; 2) «Если есть С и есть Л, то есть В»; «Если есть С и есть В, то есть Л».
4. «Если каждый из двух углов прямой, то они равны». Обратные теоремы: I) «Если два угла равны, то эти углы прямые». Эта теорема неверна. 2) «Если два угла равны и один из них прямой, то и другой угол тоже прямой». Эта теорема верна.
5. Правильно указав, что треугольник прямоугольный, ученик неправильно обосновал своё утверждение ссылкой
14*
■ 211


на теорему Пифагора. На самом деле основанием для правильного ответа на вопрос служит теорема, обратная теореме Пифагора.
6—7. Для опровержения любого общего положения совершенно достаточно показать, что оно неверно хотя бы в одном частном случае.
Если же некоторое общее положение оказывается верным при многократной проверке его в частных случаях, то всё же это не может служить доказательством его достоверности. Так, например, положение «при любом натуральном х трёхчлен х2 + х + 41 есть простое число» оказывается верным при х равном 1, 2, 3, ..., 39 (39 раз подряд!), а всё же око опровергается одним частным случаем: при х = 40 трёхчлен равен 1681 = 412.
8. В любой ромб можно вписать окружность. В этом случае ромб окажется описанным многоугольником, имеющим равные стороны, но неравные углы. Оказывается, что в частном случае сформулированное общее положение неверно: гипотеза опровергнута.
9. Логически правильное определение должно содержать необходимые признаки определяемого понятия, ’ независимые между собой. Определение равностороннего треугольника, приведённое в задаче; ошибочно, так как равенство углов есть прямое следствие, вытекающее из равенства сторон; поэтому включать в определение указание ка равенство углов — излишне.
10. Логически правильное определение должно содержать достаточные признаки определяемого понятия, позволяющие исчерпывающе охарактеризовать его, точно отграничив от других понятий. Приведённое в задаче определение параллелограмма — ошибочно, так как указанным в определении признакам удовлетворяет, например, и правильный шестиугольник. Ошибка произошла вследствие того, что в определении указано не ближайшее «родовое понятие» к понятию параллелограмм («четырёхугольник»), а более отдаленное — «многоугольник».
11. Характерная логическая ошибка, называемая «порочный круг» («circulus vitiosus»), встречается как в определениях, так .и в доказательствах. В определениях эта ошибка выражается в том, что в качестве определяющего берётся понятие, которое само определяется с помощью определяемого понятия. Например, сложение определено как действие, с помощью которого находят сумму несколь-
212


ких чисел, а понятие суммы определено как результат действия сложения. Или: «прямым углом называется угол,
стороны которого взаимно перпендикулярны», а «две прямые называются взаимно перпендикулярными, если при пересечении они образуют прямые углы». 'В доказательствах «порочный круг», если эту ошибку выразить в общем виде, заключается в том, что для доказательства положения А используется положение В, которое, в свою очередь, доказывается с помощью положения А.
12. Правильное определение должно удовлетворять так называемому «правилу соразмерности», т. е. не быть слишком узким или слишком широким. Оба определения иррационального числа в задаче ошибочны. Первое определение слишком узко, так как оно не охватывает множества иррациональных чисел, которые нельзя представить в виде неизвлекаемого радикала (таковым, например, является число я). Второе определение, наоборот, слишком широко, так как оно охватывает, помимо иррациональных чисел, бесчисленное множество рациональных чисел, изображаемых периодическими дробями. К числу слишком широких определений следует, в частности, отнести и определение параллелограмма, приведённое в задаче 10.
13. Чтобы определение было логически полноценным, необходимо, чтобы объект, устанавливаемый определением, существовал. В этом надо убедиться, так как иначе в качестве определений могут появиться такие предложения, которым реально ничего не соответствует, или предложения, противоречащие установленным ранее фактам. Таково, например, указанное в тексте задачи 13 определение «остроугольного» четырёхугольника, который, очевидно, существовать не может, так как сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 4 d.
14. По условиям задачи понятие степени определено лишь для степеней с натуральным показателем. Это означает, что и вытекающие из определения правила действий могут применяться лишь тогда, когда и компоненты и результат действия — степени с натуральным показателем. Поэтому равенство ап : ап = ап~п— а0 не имеет смысла, так как пока лишён смысла результат действия — симзол а0.
15. Равенство fi(x) = fi{x) может оказаться справедливым при любых допустимых значениях х (например, (х + I)2 = х3 + 2х + 1). В этом случае в школе принято называть его тождеством.
213


Если же fi(x) = fz(x) справедливо не при всех допустимых значениях х, то его называют уравнением. Полезно обратить внимание на два возможных -особых случая, которые могут встретиться при решении уравнений: 1) Ни при одном из допустимых значений х значение fx (х) не равно значению fz{x). В этом случае уравнение корней не имеет (например, х = х + 1). 2) Хотя fi(x) = /2(х) оказывается справедливым не при всех допустимых значениях х, но вместе с тем существует бесчисленное множество значений х, при котор'ых fi(x) = fz(x). Таково, например, уравнение первой степени с одним неизвестным: \х \ = х, которое оказывается справедливым при любых неотрицательных значениях х.
16. Уравнение не имеет решений (ни при одном значении х, х2 + 3 ф х2 — 3, а потому и Yх2+3 Ф у’х^з”). В установлении этого факта и заключается «решение» уравнения.
17. Уравнение корней не имеет, так как область допустимых значений для х «пуста». Действительно, рассматривая подкоренные выражения, имеем: 1 — х > О, т. е. *<1; х — 2 > 0, т. е. х > 2. Неравенства противоречивы.
18. Так как х2 = \х\2 , уравнение можно записать: \х\2 — — 2 \х\ + 4 = 0. Дискриминант уравнения отрицателен:
действительных корней уравнение не имеет.
19. Из неправильного положения можно получить правильное положение, вытекающее из него как прямое следствие. Поэтому достоверность следствия не может служить доказательством правильности исходного положения; например, если два числа равны, то и квадраты их равны. Но нельзя доказать, что а = b ссылкой на то, что а2 = Ь2. Так, например, 5 Ф — 5, между тем как 52 = ( — 5)2.
Если же исходное положение и достоверное следствие, полученное из него, «обратимы», что означает, что из этого следствия, приняв его теперь за исходное положение, молено получить первоначальное положение, то первоначальное положение верно. Таким образом, если из сомнительного утверждения А вытекает достоверное утверждение В, а из В, в свою очередь, вытекает А, то это доказывает справедливость А.
~ Приведём пример: верно ли, что среднее арифметическое двух неравных положительных чисел всегда больше их среднего геометрического? В качестве пока сомнительного положения записываем неравенство:
214


а + b
-7- > ysr. (Л)
Из (Л), как следствие^вытекает пока ещё тоже сомнительное (В): а + b — 2\fab > 0. Отсюда получим уже вполне достоверное (С): {уa — Vb)2 > 0. Доказывает ли достоверность (С) достоверность (Л)? Нет. Но вот если мы покажем, что переход Л—>В—>С обратим, т. е., что имеет место и переход >Л, то это докажет справедливость
(Л). Посмотрим, осуществим ли обратный переход: несомненно (\ГаГ — YF)2 > 0; но тогда а + b — 2YaF > 0; а + b
а тогда —— > у ab > что и требовалось доказать.
Обычно переход от сомнительного Л к достоверному С играет роль анализа, позволяющего найти то достоверное положение, базу, исходя из которой удастся (или не удастся, если процесс необратим) провести само доказательство (синтез).
Общая схема совместного анализа и синтеза такова: Л^±Вч=^С^ где Л — подлежащее доказательству
положение, а К — достоверное положение, служащее базой для обратного перехода к Л.
20. При решении задачи 19 было показано, что достоверность положения /С, являющегося следствием из подлежащего доказательству положения Л, не является доказательством справедливости Л. Но если следствие К оказывается явно ошибочным, то это служит строгим доказательством того, что Л — неверно.
Действительно, посмотрим, как можно объяснить ошибочность К} Допустим, что все последовательные выводы, делавшиеся нами из подлежащего доказательству (т. е. «сомнительного») положения Л, были строго обоснованными. Следовательно, в процессе проведённого рассуждения ошибки не было, а К, тем не менее ошибочно. Очевидно, что единственной причиной ошибочности К мо-. жет быть только ошибочность исходного положения Л, которое тем самым опровергнуто.
21. Достаточно (но не необходимо).
22. Достаточно (но не необходимо).
23. Необходимо и достаточно.
24. Необходимо (но не достаточно).
25. Достаточно (но не необходимо). Если бы в тексте задачи было указано «несократимая обыкновенная дробь», то условие было бы необходимым и достаточным.
215


28. 	Необходимо (ко не достаточно).
27. Необходимо и достаточно.
28. Необходимо и достаточно.
29. Достаточно, но не необходимо (если q < 0, то р2 •— — 4^7 > 0 и корни будут действительными; но р2 — 4q; .\;Ожет быть больше или равно нулю и при q > 0, т. е. требование ^ < 0 не является обязательным условием, вещественности корней).
безупречно (черт. 37); Но предположение, что точка пересечения О лежит внутри треугольника, — не единственно возможное; приступая к построению, мы должны были сделать ещё два предположения: точка пересечения лежит на катете АС и точка пересечения лежит вне дЛВС. Путём предварительного исследования мы должны были выяснить, какие из трёх указанных случаев возможны. Между тем нетрудно показать, что в любом прямоугольном треугольнике пересечение биссектрисы ^В с симметралью катета АС произойдёт обязательно вне дЛВС, и тем самым отпадает возможность доказать, что ВС = ВА.
Покажем это. Опишем около дЛ ВС окружность. Центр её будет в точке D, делящей гипотенузу А В пополам. Из центра D проведём радиус DO, перпендикулярный к хорде АС. Он разделит пополам и катет АС (и, следовательно, будет симметралью катета АС) и дугу АС, т. е. точка О есть середина дуги Л С. Проведём теперь биссектрису ^В. Посмотрим, в какой точке биссектриса пересечёт дугу АС. Так как точка В лежит на окружности, а биссектриса де¬
216
30. 	Необходимо и достаточно.
32. 	Если бы точка пересечения биссектрисы ^В с сим- метралыо катета Л С действительно оказалась внутри треугольника ЛВС, то приведённое доказательство было бы
31. 	Необходимо, но не достаточно (так как эти четыре точки определяют четырёхугольник, около которого можно описать окружность, лишь в случае, когда сумма противоположных углов равна 2 d).
0
Черт. 37.


лит угол В пополам, то в вершине В мы будем иметь два равных вписанных угла, которые тем самым опираются на равные дуги. А это возможно лишь в случае, если биссектриса В пересекает дугу АС в той же точке О, делящей дугу АС пополам. Таким образом, пересечение биссектрисы В с симметралью катета АС в любом прямоугольном треугольнике произойдёт вне треугольника и построения, указанные в задаче, не дадут возможность доказать, что ВС = ВА.
33. 	Здесь «незад^етно» использован несуществующий признак равенства треугольников: «два треугольника рав-
Черг. 38
ны, если сторона и два угла одного из них соответственно разны стороне и двум углам другого», вместо правильного положения: «два треугольника равны, если два угла и прилежащая к ним сторона одного из них соответственно равна двум углам и прилежащей к ним стороне другого». Вот этого-то в' треугольниках АЕВ и CED и нет.
34. 	Вдумаемся, что, собственно, доказал ученик? Он доказал, что, если строить прямую, параллельную А В к проходящую через точку С так, как это делает он, то действительно можно построить лишь единственную прямую СЕ (черт. 38). Ну, а если выполнить построение иначе? Если, например, провести через точку С какую-нибудь прямую КМ и построить при точке С ^KCEi, равный углу КМ В (точка £i на чертеже не указана), то СЕ i будет параллельна А В. Но совпадут ли СЕ и СЕ{? Если не поль-. зоваться аксиомой параллельности, то у нас нет никаких


данных для от; ета на этот гопрос и доказательство «аксиомы параллельности прямых» оказывается несостоятельным.
35. Доказательство основано на «вольном» предположении, что сумма внутренних углов у всех треугольников одна и та же. Тогда действительно легко доказать, что эта постоянная сумма равна 2d. Но на самом деле справедливое утверждение о постоянстве суммы углов треугольника является следствием из теоремы о сумме углов треугольника, доказываемой с помощью теории параллельности. Таким образом, в приведённом, «доказательстве» удалось избежать использования теории параллельности с её аксиомой параллельных прямых благодаря тому, что «между строк» была введена новая аксиома: аксиома о постоянстве суммы углов треугольника.
36. В этом доказательстве, как и в предыдущем, только здесь это сделано более тонко, незаметно введена и использована новая аксиома. Действительно, мы знаем, что «если сумма нескольких углов, имеющих общую вершину, составляет полный угол, то она равна 4d», т. е., другими словами, полный оборот вокруг одной точки образует угол, равный 4d. Но это утверждение отнюдь не может рассматриваться как сохраняющее свою силу, если вращение на такие же углы происходит вокруг разных точек. Это — новое утверждение. И его либо надо принять как новую аксиому (окажется, что мы просто заменили одну аксиому другой), либо доказать. Доказать это новое утверждение нетрудно. Но доказательство неизбежно будет основано на теории параллельности. Таким образом, и здесь поставленная цель — «обойти» аксиому параллельности — оказывается недостигнутой,


ОТВЕТЫ
Раздел I
1. Ни одной птицы.
2. Пошли гулять: дед, сын и внук.
3. IV.
4. Одинаковый вес.
5. 3 мин.
6. В 5 раз.
7. Запятую (2, 2),
8. 4.
9. 7.
10. 6 час.
11. За 10 мин.
13. 3.
14. 100.
17. 1 руб. 30 коп.
18. Через 15 мин.
19. 1 — тонны.
2
20. 9 руб.
21. 60 десятков,
22. 50.
23. 7030.
24. 1000 и 999.
25. 99 и 98.
26. 20 раз.
32. 	21 перчатку,
34. 	За 3 мин.
36. 	24 и 1,
39. 5400.
40. Увеличится на 324.
41. Увеличится в 101 раз.
42. 1, 1, 2 и 4.
43. 1, 2 и 3.
45. 	Нуль.
47. 990.
48. 920*
49. 	572.
51. 	40 г.
Раздел П
1. 	7 шариков.
4. 384 и 96.
5. 3.
6. Одинаково.
7. Первая.
8. Каждому по 6 лет,
9. 60 кг.
10. 33,(3) • 3.
11. (5 + 5) • (5 + 5);
(5 • 5 — 5) • 5.
12. (1 + 23 — 4) • 5;
(1-2 + 3) *4 . 5,
13. 100.
14. 7 детей.
15. 390 : 13 = 30,
16. Цифрой 5.
17. Цифрой 5.
18. 10 нулей.
19. Цифрой 6,
20. 5,5.
21. 20 час,
22. 540.
23. 4126.
24. 726.
25. 10-1 — 9 = 1.
26. 8280.
27. 54.
28. 45.
32. (666 — 66) : 6.
33. (777 — 77) : 7.
(7 + 7) • 7 + (7 + 7) : 7.
34. 123 — 45 — 67 + 89.
35. 5»
219


36. 	9200.
4!. Одинаково*
42. 121 дм*.
43. 38 шаров.
44. 7 очков.
45. 32 коня.
46. Велосипедист*
47. Можно.
48. Через 6 лет.
49. 60%.
50. 18 часов.
51. 7 час. 30 м:: н. утра.
52. Первый.
53. 5 час. 24 мин.
54. 252.
56. 	Нельзя.
58. 	Уменьшится на
часть.
59. Может.
60. 6, 7, 8 и 9.
62. 	124 и 97.
СЗ. 1023 и 93.
64. 	9282 и 102.
€•5. Нельзя.
(?6, Нельзя.
68. 60 км н час.
69. У брата денег не, было,
70. 19 очков.
71. 25 коп.
75. Петров.
Раздел III
1. 50.
2. 7 000 000.
3. 9800.
4. 8100.
5. 3-^-.
15
6. 170.
12. 3600.
13. 1.
14. 3.
15. Неправильная.
16. 200.
17. 13.
18. 930.
7 8
Тб " 75 •
20. 	—.
36
21
22.
23.
24.
25.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42. ■
43.—
22_
35'
51
Тб2‘
377
677*
Дроби равны/
37,8.
61,2.
66,5.
27,3.
30 и 50.
Нуль.
Увеличатся в 2—раза.
2
102.
14 и 6.
Увеличится в 1,5 раза.
Уменьшится на— часть.
25
Увеличится в 7 раз и еще на 2 ед.
Частное увеличится на единицу.
Увеличится в полтора раза. Увеличится в 5 раз.
9
Новое частное — — прежнего.
2_
5 *
1__
2
45.-
46. 	— .
48. 15 и 12.
49. 216 и 18.
50. Увеличится.
54. 1111; И и 101.
55. 20.
56. Нет.
57. Нет.
60. 	60.
62. Нет.
63. 4104.
68. 	2521,
220


69. 37.
70. 5445 и 11*
72. 	73.
74. На 24.
75. 59.
80. Да.
81. Да.
82. Да.
83. 37.
84. Нельзя.
85. Оба произведения равны.
86. 1.
87. 18 и 30.
88. Нет.
89. 3.
90. 6.
91. 1 380 456.
90. Можно.
98. Можно.
99. Правильная.
100. р = 3.
101. 13 и 14.
102. 10, 11 и 12.
103. Нет.
109. 55.
111. 2, 5, 0, 0.
112. 235.
113. Нет.
114. Нет.
115. Нет.
116. Нет.
119. 900.
120. 1588. '
122. 90 064.
124. Нет.
Г26. 16 лет.
127. 1000.
129. Если две последние цифры его — нули.
131. Нет.
132. 6, 2, 5.
133. Если а -1- Ь + с делится на 4.
136. 437.
140. 15 и 63.
141. 48 км в час.
142. 2 кг.
143. Второй.
144. В первой бригаде.
1
145.4-7- часа.
2
146. 72 м.
147. 30 яблок.
113. 	21 год.
Раздел IV
1. 49 и 952; сумма 1001.
2. 28 440.
3. 254 и 32.
4. 10.
5. 99 —(— 1 = 100.
6. 10 -6 = 3 - (3 • 5 -I- 5).
7. 10 • 101 = 1010.
8. 5625.
9. 666 и 37.
10. 53 и 1007.
11. 103 • 5 = 515.
12. 950 + 59 = 1009.
13. (8 + 9) • 5 + 15 = 100.
14. 36 153.
15. 879 879.
16. 982 и 19.
17. 10 912 и 992.
18. 13 • 15 = 195.
19. 1001.
20. 124 и 97.
21. 19.
22 21
23.’ 109 — 90 = 19.
24. 3 • 7 • 37 = 777.
25. 450.
26. 82 и 21.
27. 772 344.
28. 19 • 3 = 57.
29. 1 089 708, 12; 90 809.
30. 77 • 713 • 13 = 713 713.
31. 102 = 100.
32. 988 — 889 = 99.
33. 22 + 979 = 1001.
34. 12 и 37.
35. 18 • 4,5 = 81.
36. 150 + 100 + '250 = 500.
37. .9382; 3152, 12 534.
38. 19 и 59.
39. 10 761 — 5610 — 5151 = - 0.
40. 97 и 105.
Раздел V
1. 8 страниц.
2. 1 руб. 50 коп.
221


3. 100 м\ 36 км в час.
4. 9 мин.
5. 72 книги.
6. 40 яблок*
7. 9 гсм.
8. 141 руб.
9. 5, 1 и 6.
10. Первый.
11. 7 час. 50 мин.
12. 12 час.
13. 125 км.
14. 16 л, 19 л и 31 л,
15. 45 мин.
16. 20 коров.
17. 7 сыновей; 49 ООО руб.
18. 8 косцов.
19. 3 км в час.
20. 20 мин.
21. 1120 км.
22. 100 км; 15 км в час. и
10 км в час.
23. 240 км.
24. 15 час. и 10 час.
26. Победитель набрал 3 очка,
I
4 игрока — по 2~ очка и
один — 2 очка.
27. 28 лет и 21 год.
28. 96 + 91 = 187;
187 : 17 = 11.
29. Неверная цифра — 6; со¬
множители 401 и 51. Произведение 20 451.
30. 112а • 223 « 110118.
Раздел VI
1. ап— 1 рай.
2. 22,5.
3. — 125.
4. 1.
5. 900.
6. Нулём.
7. Делится.
8. 6480.
11. При всех х > 0.
12. При х < 0 и при х > 1.
13. При х > 4.
15. * = 40.
16. 1.
17 2.
19. 	\а + Ь\< \а\ + \Ь\
20. 	— 1, 0, 1.
21. — 1 < л* < 5.
22. л- < 1.
23. При любых значениях х.
24. х = 0, у = 0;
25. х = а, у — Ъ.
26. В 4 раза.
29. * = 0, у = 1, г = 2,
30. л- = 1, у — 0.
35. При * = 0.
36. х = 6.
37. 1020.
38. 0,110.
39. Да.
40. Первое число не является точным квадратом. Второе—точный квадрат.
41. 6.
42. 2, 5.
43. 2\/1Г.
44. /ю .
45. 3; 4; 5.
46. Нет.
47. 10.
48. 70.
49. 80.
50. 2,88.
51. 8,4.
52. 0,54.
5
54. х = Уъ .
1
55. х± — 5, Xt£ ^ «
2
66. т = —.
57. а = 6.
58. с = 0.
59. 0 и .
а
60. а = с.
61. b = 18; Ъ = — 18.
62. с = 4, с = 0.
64. хх = 10; *2 = 0,1.
а b
65. хх =— ; =—•
b а
66. р — <7=1.
67. р = I; q = — 2.
68. *а — 4* + 1 = 0.
222


69. 3—.
3
70. * = 1, у = 2.
71. Во II четверти
72. На биссектрисе I — III координатных углов и на биссектрисе II—IV координатных углов.
73. Единственная точка (0; 0).
74. Все точки оси X и все точки оси Y.
75. По двум прямым, параллельным оси Y и пересекающих ось X в точках с абсциссами 1 и 3.
76. Ось X не пересекает. Ось У пересекает.
Раздел VII
1. 	2; 6; 6.
2. Да (все прямоугольные тре- угольн и ки).
3. Да (все прямоугольные треугольники).
4. 7 дм.
5. Нет.
6. Нет.
7. Да (все выпуклые шестиугольники).
8. Четырёхугольников, у которых все углы острые, не существует.
9. Да (во всех семиугольниках).
10. Произведение п{п — 3) всегда число чётное.
11. п = 3.
12. Ни одного.
13. 3.
20. 	Нет.
23. Нет.
24. Нет.
25. Квадрата.
26. 6 см.
27. Ромб.
29. Может (во всех трапециях, у которых имеются равные боковая сторона и основание).
30. 70 см.
31. Можно,
32. Нет.
33. Нет.
34. Да.
35. Диагонали равны, площадь и периметр второго прямоугольника больше.
36. Нет.
37. Можно.
39. 	Нет.
41. 	Нельзя.
43. 	Нет.
45. 5 см и 7 см.
46. п = 6.
47. Из равных правильных треугольников, четырёхугольников и шестиугольников.
48. ям2.
49. Можно.
51. Нет.
52. Это условие необходимое, но не достаточное.
53. Может.
Раздел VIII
4 5 6 7
1. — , — , — и —.
5 6 7 8
2. 21.
3. 40 столбов.
4. 21 • 23 . 25 = 12 075,
6. Нет.
7. 36.
8. 445.
9. 63.
11. Может.
12. Нет.
13. 82 861.
14. 11-10= 100 + 10,
15. 41, 43, 45.
16. 3456.
18. 	2401.
21. 4950.
22. 10.
23. Пешеход.
24. 198.
25. 30 и 6.
26. Можно.
27. 376 и 625.
28. 91.
29. Верно.
30. 14 и 28.
31. Существуют,
223


33. 100.
34. 800.
35. 4.
37. р = 3.
38. 2 и 2; 0 и 0.
39. Задача не имеет решения.
40. — и —1.
2
41. 1 769 580.
42. 142 857.
43. 400.
44. Допустимо.
49. 	1 человек; 10 очков.
53. 	0 лет.
60. Сидоров.
61. Неправильно.
64. 4 пассажира.
65. Номер дома — 120; 2, 3, 4 и 5 детей.
66. 14 слонов.
67. 1568.
68. Нельзя.
71. 	Неправильно.
Раздел JX
I. 37 и 901.
% 115 и 988.
3. 57 125.
4. 2352 = £5 225.
5. 3001.
6. 48 384; 378; 128.
7. 681 + 635 = 1316.
8. 51 и 15.
9. 38.
10. 177 • 3 = 531.
II. 136 • 6 — 816.
12. 73 и 37.
13. 7227; 11.
14. 77 • 7 = 539.
15. 3528.
16. 945; 19.
17. 3125 : 125 - 25.
18. 1089 • 9 = 9801.
19. 12*21 = 252.
20. 825; 121.
21. У8940Г — 299.
22. 714 285 : 5 = 142 857.
23. 317.
24. 45; 72.
25. 25 * 18 = 450.
26. 368 982 : 1704 = 216 (остаток 918).
27. 27.
28. 987 654 + 987 654 +
+ 653 = 1 975 961.
29. 88.
30. 509; 121.
31. 52 и 25.
32. 2178 • 4 — 8712.
33. 20.
34. 245 • 379 = 92 855.
35. 286 • 826 = 236 236.
36. 3126- • 0,0064 =
= 3126 • 20,0064.
37. 610.
38. 9567 + 1085 = 10 652.
39. 9801 : 1089 = 9.
40. 4725 и 212.
41. 67 + 97 + 43 = 201.
42. 1035.
43. 40.
44. 29786 + 850 + 850 = 31 486.
45. 11.
Раздел X
5. 	Ссылка на теорему Пифагора неправильна.
7. Гипотеза неверна.
8. Гипотеза неверна.
9. Определение неправильно.
10. 	Определение неправильно.
15- Может.
19. Нельзя.
20. Можно.
32. Ошибка в неправильном построении.
33. Ошибка в неправильном использовании признаков равенства треугольников.
34. Не доказана.
35. Доказательство неверно.