Автор: Пчёлко А.С.  

Теги: арифметика   начальная школа   пособие для учителей  

Год: 1945

Похожие

Методики. Методика арифметики в начальной школе

Грамматика русского языка и математики (в таблицах). Для учителей и учащихся начальной школы

Сборник диктантов для начальной школы.

Методика арифметики в начальной школе. Пособие для учителей

Текст
                    А. С. ПЧЁЛКО
МЕТОДИКА
ПРЕПОДАВАНИЯ АРИФМЕТИКИ
В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
Попущено Наркомпросом РСФСР
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
НАРКОМПРОСА РСФСР
МОСКВА 1945


ПРЕДИСЛОВИЕ.
В предлагаемой «Методике преподавания арифметики» мы стремились
собрать и до некоторой степени обобщить богатый и разнообразный опыт со¬
ветской школы в области преподавания арифметики за последнее десятиле¬
тие. Перед нами также стояла задача привести в соответствие содержание
«Методики^ с последними выпусками программы.
Воздавая должное современному опыту передового советского учитель¬
ства, дающего образцы высокого методического мастерства, мы вместе с тем
использовали высказывания русских дореволюционных методистов — Аржени-
кова. Егорова. Беллюстина и др., создавших полноценную, во многом само¬
бытную и оригинальную методику, отразившую в себе черты русского нацио¬
нального характера: ставку на смётку и сообразительность» на ясное пони¬
мание и сознательное усвоение изучаемого, на инициативу и самостоятель¬
ность в работе, на простоту и безыскусственность приёмов обучения. Эти тра¬
диционные черты русской методики мы стремились сохранить и в выпускае¬
мой нами книге.
Из современных методик мы сохранили преемственность с «Методикой*
И. Н. Кавуна и Н С. Поповой, которые с достаточной полнотой
отразили в своей книге основные тенденции в развитии нашей отечественной
методики, а также учли высказывания наиболее крупных совремённых мето¬
дистов по начальной школе:	Н. Никитина, В. Эменова, Г. Поляка,
В Игнатьева, Я Чекмарёва и др.
Создавая «Методику», мы имели в виду широкие слои учительства: на-*
чинающих и малоопытных учителей, равно как и учителей с большим стажем
и опытом. В соответствии с запросами и интересами начинающих учителей
в «Методике» даны подробные и конкретные методические разработки наибо¬
лее трудных вопросов программы, а также подробно изложены вопросы орга¬
низации преподавания арифметики; в интересах учителей второй группы шире
освещены некоторые принципиальные вопросы методики.
При отборе методов и приёмов обучения арифметике автор отдавал пред¬
почтение методам наиболее простым, общедоступным, быстрее ведущим к це¬
ли, имея в виду, что высокие задачи часто достигаются простыми средствами.
Мы старались избегать всего того, что без нужды усложняет процесс обуче¬
ния и замедляет темпы продвижения учащихся.
Материал изложен без распределения его по классам. В таком распре¬
делении не г необходимости. По оглавлению учитель легко найдёт всё необ¬
ходимое для его класса, между тем поклассное распределение материала
привело бы к неизбежным повторениям и к увеличению объёма книги.
Автор просит учителей поделиться своими замечаниями о книге и при¬
сылать ему конкретные предложения по ее улучшению.	\
Автор


ГЛАВА ПЕРВАЯ.
ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ АРИФМЕТИКЕ.
Успех во всякой работе в значительной мере определяется её
конечным назначением, её целью. Высокие цели, ярко поставлен-,
ные и хорошо осознанные, вдохновляют работников.
Цель определяет средства, пути и направление в работе. Цель
влияет на выбор средств, на 'выбор методов и приёмов работы.
Это всецело относится и к преподаванию арифметики. Препо¬
давание этой дисциплины в начальной школе имеет свои цели, свои
задачи, от которых зависит выбор методов и способов организа¬
ции обучения.
Каковы же эти цели?
Принято различать три цели обучения детей арифметике в на¬
чальной школе: образовательную, практическую и воспитательную.
Само собой разумеется, что такое деление носит условный'харак¬
тер; в процессе обучения эти три цели тесно переплетаются между
собой. Однако такое разделение удобно, и мы пользуемся им для
того, чтобы полнее, шире и разностороннее охарактеризовать по¬
ставленный вопрос.
Образовательная цель обучения детей арифметике за¬
ключается в том, чтобы дать учащимся ряд знаний — образовать
у них ряд элементарных математических понятий, которые в своей
совокупности составляют основное содержание ку-р-са начальной
арифметики. Сюда относится: понятие о числе — целом и дробном,
отвлечённом и именованном, простом именованном и составном
именованном; знание некоторых свойств чисел, например призна¬
ков делимости чисел и др. Сюда входит далее образование поня¬
тия об арифметических действиях, знание некоторых наиболее
элементарных свойств арифметических действий: знание правил, по
которым производятся действия, умение правильно и сознательно
производить арифметические действия над целыми и дробными'
числами устн-о и письменно; знание арифметической терминологии,
относящейся к арифметическим действиям, знание зависимости
между компонентами действий, изменения результатов действий
с изменением данных.
Образовательная цель обучения арифметике достигается
и тем, что учащимся даётся понятие о различных способах и приё-


мах решения задач, например: понятие о решении задач способом
приведения к единице, способом отношения, способом предположе¬
ния, исключения неизвестного, уравнивания данных и т. д. Уча¬
щимся даётся понятие о зависимости между конкретными величи¬
нами, например: между ценой, стоимостью и количеством; между
скоростью, расстоянием и временем; между нормой выработки
в единицу времени, обшей выработкой и временем и т. д. Все эти
знания составляют содержание первой ступени математического
образования, которая является основой изучения математики
в средней школе.
Практическое значение обучения арифметике заключает¬
ся в том, что арифметика вооружает ученика такими знаниями,
навыками и умениями, которые требуются на каждом шагу в жиз¬
ни. Почти всё содержание программы начальной арифметики нахо¬
дит самое непосредственное, самое широкое и постоянное примене¬
ние в жизни. Жизнь требует от каждого человека умения счи¬
тать, умения производить вычисления устно и письменно, считать
на счётах, знания принятых в государстве мер и умения произво¬
дить ими измерения. Жизнь требует также умения выполнять рас¬
чёты, связанные с вычислениями, т. е. решать незамысловатые за¬
дачи, а всё это вместе взятое и составляет основное содержание
курса арифметики начальной школы.
Сообщение учащимся арифметических знаний должно вестись
такими методами и приёмами, которые способствуют всесторон¬
нему умственному и нравственному развитию учащихся. В этом
и состоит воспитательная задача обучения арифметике.
В самом процессе обучения арифметике имеется много возможно¬
стей для того, чтобы, сообщая знания, в то же время развивать
и совершенствовать мышление, память, внимание и воображение
учащихся, чтобы укреплять волю учащихся, обогащать их
эмоциональными переживаниями, создавать определённые взгляды
и убеждения, содействовать воспитанию у детей любви к Родине.
Арифметические знания представляют собой строгую и опреде¬
лённую систему понятий, находящихся между собой в причинной
связи и зависимости. Усвоение этой системы и пользование ею тре¬
бует научного, логического мышления. Начальная ариф¬
метика даёт материал для дедуктивного н индуктивного мышле¬
ния: общие суждения, правила и выводы в ней образуются из
рассмотрения отдельных частных конкретных примеров, чтобы за¬
тем в свою очередь стать основой для других частных суждений,
для разрешения конкретных задач.
При изучении арифметики всё время происходят процессы обоб¬
щения и отвлечения, процессы абстракции. Начиная с наглядного,
конкретного, арифметика ведёт ученика к общим понятиям путём
отвлечения и обобщения, содействуя таким образом развитию от¬
влечённого. абстрактного мышления.
Решение задач и примеров требует от учащихся, чтобы они
излагали свои мысли в определённом порядке; это ведёт к выра¬
4


ботке у учащихся связно-го, последовательного мышления (что со¬
ставляет необходимое качество логического мышления) и точной
математической речи.
Так развивается у детей логическое мышление, которое яв¬
ляется необходимой предпосылкой для развития общего научного
мышления. От учителя зависит усилить или ослабить влияние пре¬
подавания арифметики на развитие логического мышления. Недо¬
статочно умелое преподавание может ослабить влияние изучения
арифметики на развитие мышления. Так бывает в том случае, когда
преподавание ведётся догматически, от учащихся не требуется
объяснения правил, обоснования выводов; когда учитель, фиксируя
внимание учащихся только на выводах, не упражняет пч в рассу¬
ждениях, приводящих к этим выводам.
Занятия арифметикой — хорошее средство /утя воспитания навы¬
ков обще культурного характера. Характерными чер¬
тами культурного, организованного человека являются:	точность,
аккуратность, самопроверка, привычка к чистоте, к экономии,
к применению наиболее рациональных приёмов в работе. Для вос¬
питания этих качеств занятия арифметикой дают большой простор.
Арифметика — наука точная. Требование точности красной
нитью проходит через всю работу по арифметике. В решении при¬
меров требуются правильные и точные результаты, в решении за¬
дач требуются точные ответы, в чертежах нужна точность, выпол¬
нение действий должно происходить по строго определённым пра¬
вилам. Всякая неточность воспринимается в работе по ариф¬
метике как пробел, как ошибка. Учителю нужно использовать
эту особенность арифметики и приучить ученика добиваться
а^олютной точности во всякой математической операции.
Все занятия арифметикой должны проходить под лозунгами.
«Экономь время, применяй наиболее рациональные приёмы в рабо¬
те. Вычисляй устно там, где это возможно, не прибегая к записям
вычислений; вычисляй по возможности быстро; не решай задачу
в 3—4 действия, если её можно решить двумя действиями; решая
задачу, выбирай наиболее лёгкий и скорый способ решения; не
пиши начерно, если можно сразу набело решить пример или задачу,
чтобы не заниматься лиш-ней перепиской». Эти и другие подобные
им требования заставят учащихся ценить и беречь время, приучат
их применять такие методы и приёмы в работе, которые скорее
и проще ведут к цели.
Самопроверка часто предупреждает ошибки и даёт уверенность
в правильном выполнении проделанной работы. Эту ценную при¬
вычку можно и нужно воспитывать «а занятиях арифметикой.
После решения примера проверь результат; решив задачу и получив
ответ, проверь его, посмотри ещё раз ход решения залами, сопоставь
его с условием, сравни ответ с вопросом. «Умел ошибиться, умей
и поправиться», — гласит народная поговорка. Не спеши загляды¬
вать в ответы, а умей проверить себя без ответа. Таковы
5


те элементарные требования, на выполнении которыхч воспиты¬
вается привычка к самоконтролю, к самоучёту.
Занятия арифметикой воспитывают любовь к чистоте и опрят¬
ности, которые составляют непременное качество культурного че¬
ловека. Возьмём правильное ведение ученической тетради по
арифметике. Тетрадь — постоянный спутник ученика в его работе.
Если каждый день требовать от ученика чёткого, красивого письма
цифр, симметричного расположения записей, правильной записи
арифметических действий, чистоты и опрятности на каждой стра¬
ничке. если при этом действовать п-оказом хороших примеров, вы¬
дающихся образцов, — то тетрадь сделается4 могучим фактором
воспитания этой привычки. Если учитель добьётся того, что его
ученики будут способны любоваться чистотой тетради своей и
своих товарищей, выполнит большую задачу воспитательного
характера.
То влияние и воздействие на учащихся, о котором
говорилось выше, обусловливается по преимуществу методом
арифметики и её системой. Но арифметика воспитывает учащихся
и своим содержанием. В ней изучаются количественные соотноше¬
ния между различными явлениями, процессами, фактами, собы¬
тиями. Изучение количественных отношений приводит учащихся
к сравнениям, сопоставлениям, к установлению функциональной
связи и зависимости между явлениями и процессами. В результате
этого у учащихся устанавливается определённое отношение к изу¬
чаемому миру явлений и фактов, определённые взгляды и убеж¬
дения.
Звеном, связующим арифметику с жизнью, являются задачи.
В их содержании находит своё отражение современность, практика
социалистического строительства. На решении задач, кроме пря¬
мых математических целей, достигаются и цели патриотического
воспитания учащихся. Решая, например, задачу, в которой сравни¬
вается длина наших каналов каналами других стран, и получив
в ответе цифры, свидетельствующие о том, что наши каналы по
своей грандиозности и технике превосходят соответствующие ми¬
ровые сооружения, учащиеся испытывают чувство глубокого удо¬
влетворения, законное чувство гордости за свою страну, за свой
народ, который возводит сооружения в таких грандиозных мас¬
штабах. Так воспитывается у детей советский патриотизм, чув¬
ство любви к своей Родине.
На занятиях арифметикой вырабатывается у ученика умение
применять знания на практике, способность быстро переходить
от слов к делу, умение использовать знания для рационализации
труда, для улучшения практики. В арифметике теория и практи¬
ческие упражнения идут рука об руку: вслед за усвоением вы¬
числительных операций (а иногда и параллельно с ними) идёт
решение задач, где эти вычислительные операции находят своё
практическое применение; вслед за решением готовых задач из
задачника ученикам дают решать чисто практические вопросы,
6


выдвигаемые окружающей жизнью или личными потребностями
учащихся* В геометрии существует специальный раздел «Из¬
мерительные работы на местности», который ставит ученика перед
необходимостью использовать в практических работах под от¬
крытым небом знания, полученные в классе по учебнику.
В заключение заметим, что обучение арифметике представляет
собой единый целостный процесс, в котором органически сли¬
ваются и образовательная, и воспитательная, и практическая цели.
Достижение одной из них способствует достижению и другой. Но
учителю нужно различать эти цели, держать их в поле своего
зрения/ чтобы добиваться реализации каждой из них.
ГЛАВА ВТОРАЯ.
АНАЛИЗ ПРОГРАММЫ ПО АРИФМЕТИКЕ.
Математический материал для достижения основных целей
преподавания арифметики даётся программой. Программа по ариф¬
метике содержит в себе всё необходимое для того, чтобы пол¬
ностью обеспечить и образовательно-воспитательные, и практиче¬
ские задачи обучения арифметике. Основные разделы программы:
а)	нумерация и четыре действия над целыми отвлечёнными
числами;
б)	четыре действия над составными именованными числами;
в)	понятие о дроби и действия над дробными числами — обык¬
новенными и десятичными;
г)	элементарные сведения из практической, наглядной геомет¬
рии;
д)	решение задач.
Материал по изучению нумерации и четырёх арифметических
действий расположен концентрически. В курсе целых чисел
в настоящее время установлено пять ко-ниентров. обоснованных
теоретическими соображениями и оправданных долголетней школь¬
ной практикой: 1-й концентр — счёт, сложение и вычитание в пре¬
деле 10; 2-й концентр — нумерация и четыре действия в пре¬
деле 20; 3-й концентр — нумерация и четыре действия в пределе
100; 4-й концентр — нумерация и четыре действия а пределе 1 000;
5-й концентр — нумерация и четыре действия над многозначными
числами.
В 3-м концентре выделяются особо действия над круглыми де¬
сятками. В 4-м концентре, охватывающем в основном первую ты¬
сячу, счёт расширяется до 10 000. Это расширение даёт возмож¬
ность складывать любые трёхзначные числа и умножать любое
трёхзначное число на однозначное, что имеет большое значение
для лучшего усвоения таблицы сложения и умножения.
Изучению действий над составными именованными числами
предшествует обстоятельное знакомство с мерами. Это знакомство
даётся, начиная с первого класса, наглядно, конкретно и посте¬
7


пенно. Постепенность в ознакомлении с мерами, использование
мер в решении задач обеспечивают твёрдое и вполне конкретное
усвоение их.
Действия с составными именованными числами изучаются по¬
следовательно одно за другим после четырёх арифметических дей¬
ствий с многозначными отвлечёнными числами. Различаются дей¬
ствия над метрическими мерами и действия над мерами времени.
Первые легче, вторые — значительно труднее. Поэтому действия
над метрическими мерами поставлены ь программе раньше
(в III классе), действия	над мерами	времени — позже
(в IV классе).
Опыт показывает, что изучение дробей протекает успешно
только тогда, когда закончено в основном формирование у уча¬
щихся элементарных понятий о целом числе и действиях над ним.
Поэтому первоначальное знакомство с дробями даётся в III классе;
здесь мы имеем пропедевтику дробей. Сначала изучаются доли:
^	; у ;	. Эти доли легко получить, они вполне конкретны
и легко обозримы, легко подвергается преобразованиям — раз¬
дроблению и превращению. Поэтому с них и начинается знаком¬
ство с дробями.
Изучение систематического курса обыкновенных дробей от¬
несено к IV классу.
Знакомство с десятичными дробями даётся после обыкновен¬
ных дробей, в IV классе. Таким образом, начальная школа
знакомит учащихся с обоими видами дробей. На обыкно¬
венных дробях выясняется сущность дробного числа и способы
его преобразования. Знакомство с десятичными дробями имеет
большое практическое значение.
Введение наглядной геометрии в III и IV кла.ссах имеет целью
развить у детей пространственные представления и дать им элемен¬
тарные практические навыки в области измерения. Основное здесь—
знакомство с квадратными и кубическими мерами, знакомство
с вычислением площади прямоугольных фигур и объёма куба
и прямоугольного параллелепипеда. Практика измерения и вычис¬
ления площадей основывается на понятиях об отрезке прямой, уг¬
лах и фигурах — квадрате и прямоугольнике, которые изучаются
в III классе, а вычислению объёмов предшествует знакомство
с двумя геометрическими телами 	 кубом и прямоугольным па¬
раллелепипедом. которые изучаются в IV классе.
Для большей конкретизации геометрических знаний, получаемых
на уроках, и для вооружения учащихся практически важными
и ценными измерительными навыками объяснительная записка ре¬
комендует проводить некоторые простейшие измерительные работы
на местности.
Красной нитью через всю программу проходит решение
задач. Им уделяется около половины учебных часов, отведён¬


ных на арифметику. Задачи в программе имеют двоякое
значение: с одной стороны, на них выясняется теория (например
кратное сравнение чисел,- разностное сравнение и др.), а с другой
стороны, они имеют большое практическое значение.
В программе различаются два вида задач: обычные, арифмети¬
ческие, тесно связанные с изучением арифметических действий,
и задачи, решаемые особыми приёмами (типовые). Первые решаются
на протяжении всего курса обучения, вторые сосредоточены глав¬
ным образом в ШиIV классах. Арифметические задачи постепенно
усложняются количеством действий: в I классе указаны задачи
в 1—3 действия, во II классе — в 1—4 действия, в III классе —
в 3—5 действий, в IV классе — в 3—6 действий.
Отбор типовых задач сделан с учётом сложности способов
и приёмов их решения и доступности их для учащихся, начиная
с задач на простое тройное правило, решаемых способом приведе¬
ния к единице, и кончая задачами на предположение, указанными
в программе IV класса. Многие типовые задачи направлены на вы¬
яснение прямой пропорциональной зависимости между величинами,
например задачи на простое тройное правило, на сложное тройное
правило, на пропорциональное деление, на нахождение неизвест¬
ного по разности двух величин и др.
Среди типовых задач имеются и такие, которые в средней
школе будут решаться методом составления уравнений, например
задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их
сумме и кратному отношению, на исключение неизвестного и др.
Таким образом, программа по решению задач составлена с учётом
перспективы дальнейшей работы по математике.
Весь программный материал расположен в определённой си¬
стеме, которая, с одной стороны, удовлетворяет требованиям
логики развития самого предмета арифметики, а с другой сто¬
роны— требованиям психологии учащихся.
На основании требований логики простое и элемен¬
тарное в программе предшествует сложному, составному. Основ¬
ные свойства чисел, действий предшествуют следствиям, вытекаю¬
щим из них. Родственные понятия сближены. Сначала даётся об¬
щее,«потом частное. Так, сначала даны для изучения целые числа,
потом — дроби; сначала — конкретные и простые именованные
числа, потом — составные именованные числа; сначала — прямые
арифметические действия, потом —.обратные; сначала — изучение
нахождения части числа, потом — нахождение числа по данной
его части и т. д.
Последовательность соблюдена в основном и при расположении
задач, где сначала идут простые задачи, потом — составные; сна¬
чала — задачи, требующие только умения правильно применять
арифметические действия, а затем — задачи, решаемые особыми
способами. Строго последовательно и постепенно раскрываются
перед учащимися понятия об арифметических действиях — их


•смысле, цели, основных свойствах и способах выполнения. Поря*
док ознакомления с мерами соответствует порядку расширения ну¬
мерации (знакомство с сантиметром даётся при изучение чисел
в пределе 100, с граммом и километром — в пределе 1 000 и т. д.).
Вместе с тем при расположении материала в программе учиты¬
вается и возрастная психология учащихся. Требованиями
психологического порядка продиктовано: а) концентрическое рас¬
положение материала; б) введение пропедевтики дробей перед
систематическим курсом и пропедевтики геометрии; в) ознаком¬
ление сначала с действиями над метрическими мерами, потом —
с действиями над мерами времени; г) изучение в первом кон¬
центре только двух более лёгких для учащихся действий —
сложения и вычитания, с отнесением умножения и деления, как
'более трудных действий, ко второму концентру, и др.
Учёт особенностей детского восприятия и мышления (конкрет¬
ность и образность мышления, неспособность к широким обобще¬
ниям и абстракции) нашёл своё выражение и в классификации ти¬
повых задач, которые распределены по типам не только на осно¬
вании отвлечённого для детей математического признака — мето¬
дов решения, но и по содержанию; так, например, среди типовых
задач выделены задачи на движение, задачи на вычисление площа¬
дей и объёмов и др. Несомненно, что многие типы задач могли бы
быть объединены в более общие группы, однако такие широкие
•обобщения не сделаны, так как для детей начальной школы они
были бы преждевременны.
По годам обучения материал распределён так, что соаержание
программы в каждом классе является целостным и до некоторой
■степени законченным. В I классе закладываются элементарные
основы арифметической грамоты; здесь даётся детям конкретное,
наглядное представление о числах в пределе 100 и действия над
этими числами—сложение и вычитание; кроме того, тут же даётся
первое знакомство с умножением и делением в пределе 20 и уме¬
ние решать задачи — простые и составные — в 2—3 вопроса.
Во II классе усваиваются важнейшие вычислительные навыки,
являющиеся фундаментом для всей последующей вычислительной
арифметики: таблица умножения и таблица деления, внетабличное
умножение и деление, а также письменные приёмы вычисления
в пределе 1 000. Последующая работа по усвоению арифметических
действий опирается на навыкиг приобретённые в I и во II классе.
Огромное значение имеет работа во II классе и в области решения
задач: программа II класса содержит в себе целый ряд очень важ¬
ных простых задач, которые в качестве элементов входят в состав
-сложных задач; задачи на разностное сравнение чисел, на кратное
сравнение, на увеличение и уменьшение числа в несколько раз, на
нахождение части числа.
Основное в программе III класса — это письменные вычисле¬
ния с целыми многозначными числами. Ученики III класса о-влзде-
30


вают механизмом письменного сложения, вычитания, умножения
и деления многозначных чисел, что составляет центральный вопрос
всей начальной шко-лы. В программу III класса широким потоком
вливаются типовые задачи. Ученики знакомятся здесь с особыми
способами и приёмами решения задач.
В IV классе повторение арифметических действий над целыми
числами завершается изучением зависимости между компонентами
каждого действия, изменения результатов действий в зависимости
от изменения данных. Во втором полугодии изучаются главным
образом дроби.
В программу IV класса введены более трудные, замысловатые
типы задач: на нахождение по части целого, на предположение, на
уравнивание данных, на вычисление объёмов, на вычисление вре¬
мени. Таким обраеом, программа IV класса состоит из нескольких
разнородных частей, одинаково важных по своему значению
и сложных с точки зрения методики их преподавания учащимся.
Здесь ярче, чем в предшествующих классах, выступают элементы
теории, находящей своё выражение в ряде выводов, определений
и правил, подлежащих усвоению и запоминанию учащимися
Программа по арифметике содержит в себе только такой мате¬
риал, который вполне доступен для сознательного
усвоения учащимися 7—11-летнего возраста. Более сложным
в курсе начальной арифметики является систематический курс
обыкновенных дробей, но и этот курс, как показывает опыт нашей
школы, посилен для детей при условии, если ов преподаётся
в научном и методическом отношении правильно.
Объём программы арифметики в целом и по отдельным классам
установлен на основе долголетнего опыта громадного количества
школ нашей страны. Он вполне реален в смысле его выполнимоегп.
так как соответствует силам учащихся, уровню их общего раз¬
вития и тому времени, которое отведено на арифметику в учеб¬
ном плане школы. Следует, однако, помнить, что хорошее вы¬
полнение программы требует от учителя рационального пла¬
нирования работы, хорошей подготовки к каждому уроку, про¬
дуктивного использования каждой минуты на уроке и хорошо
налаженной домашней работы учащихся.
Программа по арифметике является государственным докумен¬
том. Нужно программу хорошо знать, чтобы точно её выполнять.
При единстве советской школы, допускающей беспрепятственный
переход учащихся из одной школы в другую, всякое недовыполне¬
ние программы нужно рассматривать как невыполнение основной
задачи школы. Невыполнение программы снижает уровень знаний
учащегося и тем самым вносит большое осложнение в его работу,
когда он переходит в другую школу, где дети обладают большей
полнотой знаний. Поэтому пояно-е и точное выполнение программы
является строго обязательным для каждой школы, для каждого
учителя.
п


ГЛАВА ТРЕТЬЯ.
МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ АРИФМЕТИКЕ.
Чтобы успешно выполнить программу и дать ученикам глубоко
осознанные, систематизированные и прочные знания и навыки, надо
при обучении арифметике пользоваться рациональными методами,
выработанными на основе долголетней практики, проверенными на
опыте и согласованными с детской психологией.
Образование каждого арифметического понятия, усвоение зна¬
ний по арифметике представляют собой процесс, который имеет
своё начало, развитие и завершение. В этом процессе надо разли¬
чать следующие моменты:
1.	Восприятие, первичное знакомство с материалом.
2.	Осмысливание содержания нового материала.
3.	Закрепление полученных знаний и навыков путём упраж¬
нений.
4.	Запоминание и заучивание наизусть.
5.	Применение знаний и навыков на практике.
В ходе учебной работы эти моменты тесно связаны между со¬
бой. Так, при первичном восприятии материала происходит ча¬
стично и его осмысливание. На упражнениях, направленных на об¬
разование навыка, глубже раскрывается и его смысловое содержа¬
ние; применение полученного знания на практике способствует за¬
креплению навыка. При всём этом каждый аз перечисленных мо¬
ментов имеет свои особенности, своё особое значение в процессе
овладения знанием; поэтому для каждого из них на уроках выде¬
ляется особый этап. Остановимся на характеристике каждого этапа
в отдельности, чтобы полнее раскрыть методы и приёмы препода¬
вания арифметики.
Восприятие.
Восприятие составляет первый этап при усвоении учащимися
нового материала. На этом этапе должно быть достигнуто
понимание учащимися того, что им объясняется. Восприятие и по¬
нимание достигается тем. что ученик уясшЙУг себе связи нового
понятия с друI ими понятиями, более элементарными и ранее изу¬
ченными. Понять новое — это прежде всего значит уяснить себе,
в какой связи и зависимости находится это новое со старым, хо¬
рошо известным, на каких простых элементарных понятиях основано
то сложное понятие, которое в данный момент изучается. Так, для
понимания действия умножения надо установить связь умножения
со сложением. Для понимания кратного сравнения чисел надо
установить связь кратного отношения с делением по содержанию.
Понять задачи на сложное тройное правило можно только через
установление связи их с задачами на простое тройное правило.
Для установления такой связи существуют различные пути:
а) прямое указание учителя на наличие связи между данным поня¬
12


тием и другим родственным ему, но более элементарным; б) на¬
глядность и в) рассуждения, приводящие к логическим умозаклю¬
чениям, В младших классах чаще используются в этих целях сред¬
ства наглядности; в старших классах к ним присоединяются
и несложные, доступные детям рассуждения.
Например: чтобы объяснить ученикам ! класса, как сложить два одно¬
значных числа с переходом через десяток (8 4- 6), надо на любом наглядном
пособии (например на классных счётах или на таблице с двумя десятками
кружков) показать, что этот приём сводится к трём операциям, известным им
«з предыдущей работы, а именно: к дополнению одного из данных слагаемых
до десятка (8 + 2), к прибавлению нескольких единиц к круглому десятку
<10 + 4), к разложению второго слагаемого (6) на два слагаемых, из которых
одно — 2. Каждая из этих трёх операций уже знакома учащимся. Или, чтобы
уяснить ученикам III класса приём нахождения нескольких частей от числа,
можно взять следующую задачу: -«Детский дом имеет участок в 12 га, из них
\и засажено картофелем. Сколько га засажено картофелем?». Для иллюстра¬
ции хода решения чертится прямоугольник, изображающий поле данного раз¬
мера, Путём простого рассуждения ученики приходят к выводу, что для ре*
г 1	3	_
<нення вопроса предварительно надо найти -у поля, а уже потом ^ . Пер¬
вое находится л\тём деления прямоугольника на 4 равные части (это учени¬
кам известно); второе — путём повторения ^ три раза (это служит в дан¬
ном случае предметом объяснения).
Из сказанного вытекает ряд методических требований, которые
необходимо соблюдать учителю в преподавании арифметики.
1.	Перед объяснением нового материала нужно всегда тща¬
тельно повторять с учениками то, что является основой для
усвоения этого нового материала; кроме того, необходимо устана¬
вливать и подчёркивать связь нового материала, нового арифмети¬
ческого понятия с ранее приобретёнными знаниями, ибо всё это по¬
могает правильному восприятию и уяснению смысла вновь усваи¬
ваемого материала. Повторение и установление указанной связи
можно производить на том же уроке, на котором выясняется но¬
вый материал, непосредственно перед его объяснением. Так, перед
объяснением решения задач на сложное тройное правило надо ре¬
шить несколько задач на простое тройное правило; перед объясне¬
нием деления многозначного числа на двузначное нужно решить
несколько примеров на деление трёхзначного и двузначного числа
на двузначное, так как эти случаи деления являются основой для
деления многозначных чисел, и т: д.
2.	Каждое более или менее сложное арифметическое понятие,
сложный навык нужно уметь расчленить на его составные эле¬
менты. Затем эти последние нужно уметь расположить для объяс¬
нения и усвоения в таком порядке, который обеспечивал бы строго
постепенное нарастание сложности, и в такой системе, при которой
каждая предыдущая ступень являлась бы опорой, основанием для
последующей.
13


Возьмём, например, такое сложное арифметическое понятие, как вычита¬
ние трёхзначных чисел. Его можно расчленить на ряд методических сту¬
пеней:
а)	в уменьшаемом каждая разрядная цифра больше соответствующей циф¬
ры вычитаемого. 478— 246;
б)	в уменьшаемом на месте единиц — нуль: 570 — 245;
в)	в уменьшаемом на месте десятков — нуль: 706—154;
г)	в вычитаемом цифра единиц больше соответствующей цифры умень¬
шаемого: 583 — 246; и т. д.
Если расчленить понятие вычитания примерно на эти этапы и знакомить
учащихся в порядке их постепенного усложнения, объединяя несколько слу¬
чаев на уроке, то учащиеся будут воспринимать каждый случай легк'>
и осмысленно, в новом они будут узнавать элементы старого, знакомого,
каждый предыдущий случай будет служить опорой для последующего, а в
целом вычитание будет воспринято и усвоено без особых усилий
При разбивке материала на уроки нужно стремиться к тому,
чтобы методические ступени, на которые расчленяется материал*
не были ни очень крупными — в целях лёгкого обозрения, ни
очень мелкими, чтобы учащийся чувствовал своё продвижение
вперёд и не терял интереса к уроку. Вообще удачное расчлене¬
ние материала и правильное его распределение на уроки является
необходимым условием для лёгкости восприятия и ясности пони¬
мания.
Осмысливание,
Осмысливание нового материала достигается при помощи сле¬
дующих средств: наблюдения, сравнения, приводящего к обна¬
ружению сходства и разладил; анализа и синтеза; абстрагирова¬
ния и обобщения путём перехода от конкретного к отвлечённому
и, наконец, перехода от общего к единичному, от абстрактного
к наглядному. Таким образом, глубокое понимание смысла ариф¬
метического материала требует применения всего многообразия
мыслительных процессов, в которых раскрывается предметное
содержание знания в его многосторонних связях и зависимостях*
Поясним это на примере. Допустим, что учитель объясняет
учащимся переместительное свойство произведения:	«От пере¬
мены мест сомножителей произведение не изменяется».
Первичное знакомство с этим свойством даётся наглядно, уча¬
щиеся воспринимают его на прямоугольниках, разделённых на
клетки (рис. 1).
«Подсчитаем, — говорит учитель, — сколько клеток в каждом прямо¬
угольнике». Подсчёт ведётся столбиками, в первом прямоугольнике 4 столби¬
ка, в каждом столбике 3 клетки. Значит, клеток будет 4 раза по 3, или
3X4—12. Вс втором прямоугольнике в каждом столбике по 4 клетки,
а всего столбиков 3; значит, всего клеток будет 3 раза по 4, или 4X3 = 12.
Сравним оба примера: оказывается, число клеток в обоих прямоугольниках
одинаково; 3 умножить на 4 — всё равно, что 4 умножить на 3. Результат
получается одинаковый (12). Это можно записать так: 3 X 4 = 4 X 3.
Учащиеся пока что восприняли только отдельный, конкретный
математический факт. У них ещё нет оснований рассматривать
и толковать этот факт как общее свойство всякого произведения,
14


да и самый факт этот ещё недостаточно осознан. Для его осо¬
знания надо провести добавочную работу примерно в следую¬
щем плане. Записав оба полученных примера на классной доске.
3X4 = 12.
4X3= 12.
надо их сравнить, сопоставить, чтобы обнаружить, что
в них есть общее, сходное, и в чём заключается их разли¬
чие. Простое наблюдение показывает, что в обоих примерах
даны одни и те же числа — 3 и 4, получилось одно и то¬
же произведение—12. В этом сходство обоих приме¬
ров, это — их общее. В чём же различие этих примеров-'
В порядке чисел: в первом примере 3 умножено на 4, а во вто¬
ром 4 умножено на 3. Во втором примере числа переменились ме-
4*3 ■3 -
ьхз = >г
Рис. 1.
стами: то, что в первом примере стоит на первом месте, во второе
примере стало на втором месте и наоборот. Дальше сравнение
переходит в анализ обоих примеров: что изменяется и что
остаётся без изменения в данной паре примеров? Не меняются
числа: в обоих примерах одни и те же числа, один и тот же ре¬
зультат. Изменяются места чисел или сомножителей.
Из этого анализа можно сделать вывод, но он будет сугубо
частным и будет иметь силу только по отношению к данной паре
примеров. (В этих двух примерах от перемены мест чисел резуль¬
тат не изменился.)
Обобщим теперь этот вывод, покажем, что этот вывод есы
общее свойство всякого произведения. Для этого возьмё';
вторую пару примеров с другими числами и напишем рядом с ней
пару примеров, уже анализированных:
6 X5 — 30,	3X4=12,
5 X 6 = 30,	4X3=12.
Сравним обе пары примеров и установим, в чём их сход¬
ство и в чём различие. Сходство: в обеих парах меняются
места чисел, но от этого произведение не меняется. Различие
каждая пара имеет свои числа *— в первой 5 и 6, во второй 3 и 4
ы


Из этого сравнения теперь уже можно сделать обобщение
(перейти от конкретного и единичного к общему, отвлечённому):
«От перемены мест сомножителей произведение не меняется»» или
в более простой формулировке, доступной ДЛ1Я учащихся II класса:
«При умножении можно менять места чисел, и от этого результат
не меняется».
Последним этапом работы по уяснению свойства произведения
будет переход от общего, отвлечённого вывода к конкретному,
единичному, — это делается на, решении задач и примеров.
Для данного случая можно взять примерно следующую задачу: «На од¬
ном участке посадили 8 рядов яблонь по 10 яблонь в каждом ряду, а на
другом участке — 10 рядов по 8 яблонь в каждом. На каком участке поса¬
жено яблонь больше?» Записав решение, ученики должны без вычисления, на
основании предыдущего вывода, ответить, что на обоих участках посажено
яблонь поровну. Почему?
Пример. «Ответить, не вычисляя, что больше: 7X9 или 9X7? 9X6
или 6 X 9? Почему должен получиться одинаковый результат?»
Вся эта работа должна привести- учащегося к полному и яо
ному пониманию, к осознанию изучаемого вопроса — перемести¬
тельного свойства умножения. Значение такой работы велико: уче¬
ник при этом не только осмысливает изучаемый вопрос, но он
вместе с тем постепенно усваивает приёмы научного мыш¬
ления, проходя через различные этапы мыслительного процесса:
от частных суждений к общим и наоборот — от общих суждений
к частным.
Учителю в его объяснениях нового материала приходится
пользоваться теми основными методами познания, которыми поль¬
зуются в науке, т. е. индукцией и дедукцией.
При индуктивном методе учитель даёт учащимся для наблю¬
дений и анализа отдельные примеры, отдельные задачи. Ученики
под руководством учителя и по его прямому заданию и указа¬
ниям наблюдают, сравнивают, сопоставляют, устанавливают черты
сходства и различия в изучаемых фактах, подмечают их общие
свойства, закономерности в решении, высказывают сперва част¬
ные, а потом и общие суждения, делают умозаключения, выводят
правила. Некоторым образцом применения индукции может слу¬
жить приведённое уже объяснение переместительного свойства
произведения. В начальной школе индукция наиболее употреби¬
тельна. Например, она применяется при выводе правила умноже¬
ния на единицу с нулями, при изучении зависимости между ком¬
понентами и изменения результатов действий в зависимости от
изменения данных, а также при изучении делимости и дробей.
Успешное применение индуктивного метода требует от учи¬
теля, чтобы он тщательно подбирал примеры и задачи, которые
служат исходным материалом для выявления тех или иных зако¬
номерностей, для вывода правила, чтобы он располагал эти при¬
меры в определённой системе и последовательности; чтобы он
своими вопросами и указаниями возбуждал творческую, активную
16


мысль учащихся и умело направлял её, чтобы он предоставлял
детям возможно больше самостоятельности в сужде¬
ниях и умозаключениях. Одним из ответственных моментов
в применении этого метода является формулировка самого вы¬
вода, правила, закона. Нельзя рассчитывать, чтобы все учащиеся
самостоятельно справились с этой трудной задачей. Она может
быть посильна только некоторым, наиболее способным ученикам.
Здесь, конечно, требуется максимальная помощь учителя. Ученики
в большинстве случаев могут высказать только отдельные, раз¬
розненные, приближённые суждения. Точную же, правильную
■и исчерпывающую формулировку вывода даёт учитель. Это не
снижает ценности проведённой работы, если в подготовке вывода
ученики принимали активное участие.
Общие суждения, выводы и обобщения, полученные в резуль¬
тате применения индуктивного метода, могут в свою очередь по¬
служить основой- для получения новых знаний, для получения
частных суждений. Рассуждения, идущие от общих суждений
к частным, называются ‘дедуктивными, а метод обучения, основан¬
ный на дедукции, называется дедуктивным методом.
С дедукцией ученик имеет дело во всех тех случаях, когда он
действует по выведенному правилу. Если ученик, решая задачу
на нахождение двух чисел по их сумме и ‘отношению, анализи¬
рует её условие и приходит к тому выводу, что предложенная
задача относится к типу задач \«на части», и в соответствии
с этим он принимает одну из величин за одну часть, а дру¬
гую — за несколько частей согласно условию задачи, то в данном
случае он пользуется при определении плана решения дедукцией.
Вдумываясь в условия задачи, в соотношение данных в ней ве¬
личин, он «узнал» в этой задаче задачу известного ему типа,
и этого было достаточно, чтобы, исходя из общего суждения
(«данная задача — задача на части»), наметился план её решения.
В процессе учебной работы индуктивный и дедуктивный ме¬
тоды чередуются между собой: объяснение нового, обобщения,
выводы получаются посредством индукции; решение задач,
а также и решение примеров на известные правила происходит на
основе дедукции.
Упражнения.
Закрепление знаний и образование навыков у учащихся дости¬
гается прежде всего при помощи упражнений. Какие же
должны проводиться упражнения и каковы методические требо¬
вания к ним?
'Упражнениями достигаются две цели: с одной стороны, благо¬
даря им выполнение действия ‘ становится всё более и более пра¬
вильным, лёгким, не требующим активной деятельности созна¬
ния, навык в известной мере автоматизируется; с другой стороны,
неоднократное повторение аналогичных операций приводит к луч-
2 А. С. Пчёлко
17


ш-сму их уяснению: происходит более глубокое осмысливание
исходных теоретических положений, более ясное понимание ариф¬
метических правил, законов.
Таким образом, арифметические упражнения являются
двустороннем актом:	в процессе упражнений достигается
более ясное и более глубокое понимание изучаемых понятий
и вместе с тем на них закрепляется навык. Чтобы упражнения
достигали своей цели, нужно строить их в методическом отноше¬
нии правильно.
В первоначальных упражнениях, идущих непосредственно за
объяснением, особое внимание уделяется смысловой стороне зна¬
ния или навыка. Решая первые примеры на выведенное правило,
первые задачи, связанные с применением только что выясненного
понятия, ученик точно воспроизводит весь ход рассуждения, по¬
дробно объясняет, почему он делает так, а не иначе. Рассуждая
и обосновывая, объясняя и доказывая, ученик всё больше и боль¬
ше углубляется в сущность понятия, оно становится для него всё
более ясным и конкретным. В первых упражнениях учащимся
даются различные случаи примеров, различные случаи одного и
того же действия, различные формулировки вопросов при реше¬
нии задач одной и той же разновидности. Предлагаемый приём
сильнее и ярче подчёркивает общность изучаемого правила,
единый принцип решения, единство приёмов вычисления. В то же
время изучаемое правило обогащается новым содержанием, и по¬
нятие о нём становится более конкретным.
По мере того как учащиеся овладевают изучаемым материалом,
от них требуется, чтобы их ббъяснения и рассуждения были всё
более и более короткими, схематичными, чтобы в объяснениях
учащиеся останавливались только на основных, опорных точках,
детальные рассуждения опускаются как сами собой подразуме¬
вающиеся. На первый план выступает действие без объяснения,
с чётким и достаточно скорым его выполнением. На этом этапе
упражнения, преследующие цель «набить руку и глаз» учащихся,
должны выполняться ими главным образом самостоятельно.
Вмешательство и тем более опека учителя здесь излишни. Ничто
не должно мешать ученику проявить в полной мере свою самостоя¬
тельность, инициативу. У учителя на первый план выступают кон¬
трольные функции. И только в случае обнаружения недостаточно
ясного понимания учеником того или иного понятия или механизма
вычисления учи толь заставляет его подробно воспроизвести весь
ход рассуждения.
Чтобы создать прочные и устойчивые навыки, Нужно дать уча¬
щимся достаточное количество упражнений. Чем сложнее
навык, чем труднее даётся учащимся та или иная операция, тем
больше, очевидно, должно быть дано упражнений, и наоборот.
Причина недостаточного усвоения материала часто кроется не
столько в непонимании смысла операций, сколько в недостаток ной
тренировке учащихся.
1 о
1о


Часто приходится встречаться с таким фактом: ученик, выполняя кон¬
трольную работу, допустил, например, ошибку в делении, не поставив в се¬
редине частного нуль; но тот же ученик, когда его вызывают к доске и пред¬
лагают ему решить подобного рода пример с объяснением, решает его пра¬
вильно, ставит, где полагается, нуль. Значит, учащийся осмысленно относит,
ся к операции деления, понимает её особенность, однако этот навык не стал
у него автоматическим. Это произошло вследствие недостаточной тренировки*
недостаточности упражнений в решении соответствующих примеров.
На образование правильного и устойчивого навыка влияет
не только количество упражнений, но и распределение их во
времени. Наблюдение показывает, что наилучшие результаты полу¬
чаются при такой организации обучения, когда вслед за объясне¬
нием учителя даётся достаточно много упражнений, и упражнения
идут в сгущённом порядке, а дальше работа над изученным навы¬
ком продолжается в порядке повторения. Упражнения, густо рас¬
положенные вначале, повторяются дальше всё реже и реже, пока
навык не закрепится окончательно.
Учитель в своей школьной работе ограничен временем. Он ра¬
ботает по плану, в котором точно указывается, какое именно коли¬
чество часов (уроков) может быть отведено на каждый раздел, на
каждый вопрос.. Время контролирует учителя, заставляет его быть
расчётливым, экономным. Перед учителем постоянно стоит вопрос,
как сочетать необходимость достаточно большого количества
упражнений с тем обычно ограниченным количеством часов, кото¬
рое отводится данному навыку. Учитель только тогда сможет
удовлетворительно разрешить этот вопрос, если он будет неуклон¬
но следовать принципу: «Беречь время, беречь каждую минуту,
не тратить времени на то, что не помогает усвоению навыка».
Зачем, например, при решении задач из задачника тратить время на спи¬
сывание полного текста условия задачи, когда это условие можно записать
кратко, схематично, без ущерба для его усвоения учащимися? Незачем также
заставлять учащихся II класса, только ещё овладевающих техникой письма,
писать вопросы при решении задач; можно эти вопросы формулировать устно
беч гсякого ущерба для понимания задачи Излишне при делении многознач¬
ного числа на однозначное {например. 7 283 148:6) исписывать целую страни¬
цу с произведениями, остатками и неполными делимыми; лучше выполнить это
деление устно, записав его в строчку и обозначая только одни цифры частно¬
го по мере их получения.
Одно только устранение излишнего письма может дать большую эконо¬
мию времени, которое можно использовать для увеличения количества, упраж¬
нений. Этой же цели служат различного рода таблицы: таблицы для устного
счета, круги с написанными по окружности цифрами (для игры в «молчанку»)*
экономные формы устного счёта, известные под названием беглого счёта, ре¬
шение несложных задач в порядке упражнений в устном счёте и другие
упражнения.
Для образования твёрдых навыков должны быть широко
использованы домашние за да ни я. Давая ** ученикам на домг
ежедневно решать примеры N и задачи, учитель может ' вдвое-
по сравнению с классными'занятиями, увеличить количество упраж¬
нений; ценность домашних заданий увеличивается ещё тем, что
упражнения в этом случае выполняются учениками самостоятельно.


Чтобы проверить, достаточно ли дано упражнений, учитель
должен дать ученикам контрольную работу. Если все или в край¬
нем случае подавляющая масса учеников (более 3А0 предложен¬
ные примеры или задачи решили правильно, значит, упражнений
было дано достаточно, и учитель может переходить к следующему
вопросу своего плана. И наоборот, если значительная часть уча¬
щихся -допустила ошибки, нужно на данном материале остановить¬
ся, дать дополнительные разъяснения и дополнительные упраж¬
нения.
В упражнениях нужно давать учащимся каждый раз одну ка¬
кую-либо трудность, один какой-либо элемент сложного навыка;
было бы нецелесообразным ставить ученика перед необходи¬
мостью преодолевать одновременно две или несколько трудностей.
Например, нехорошо давать в качестве материала для первого упражнения
на письменное сложение в пределе 1 000 примеры такого тина:
,287
' 396
Решение этого примера предполагает наличие у ученика сложного навыка:
знания порядка сложения, умения разбить сумму, полученную ет сложения
единиц, десятков на разряды, записать и запомнить отдельные части сум¬
мы и т. д. Всем этим ученик должен овладеть постепенно, а для этого ма¬
териал упражнений целесообразно расположить в такой системе:
1) , 236 2) , 354 3) , 538	4) , 695
+ 453	+216	346	+2(57
Прежде чем давать упражнения в каком-либо сложном навыке,
надо дать учащимся'возможность усвоить те элементы, из кото¬
рых он складывается.
Первые упражнения надо сопровождать применением нагляд¬
ных пособий: конкретность и наглядность облегчают применение
выводов и правил в самостоятельных упражнениях учащихся.
К каждому последующему навыку надо переходить тогда,
когда твёрдо усвоены предыдущие навыки, на которые этот по¬
следний опирается. Степень усвоения должна проверяться путём
систематического наблюдения и контроля учителя.'
Необходимость выполнения этих требований очевидна. Тем не
менее в школьной практике они нередко нарушаются, что и яв¬
ляется одной из существенных причин слабого усвоения учащими¬
ся основ арифметики.
Запоминание. Повторение.
Запоминание, заучивание в курсе арифметики начальной школы
имеют широкое применение. Такой материал, как таблицы сложе¬
ния и вычитания в пределе 20 в I классе, таблицы умножения и де¬
ления во II классе, таблицы мер длины, веса, времени, площадей
в III классе, таблица кубических мер, различные определения
и правила в IV классе, должен быть усвоен учащимися наизусть.
-20


Чтобы заучивание и запоминание материала протекало успешно,
надо соблюдать как общие методические требования к запоми¬
нанию, так и некоторые специфические требования, вытекающие
из особенностей арифметики.
Уже во время объяснения надо приучать учащихся к внима¬
тельному выслушиванию объяснений и запоминанию. Учитель мо¬
жет добиться этого, приняв за правило систематически производить
опрос учащихся по объяснённому материалу. Если учащиеся знают
о предстоящем опросе, то у них будет и установка на запоми¬
нание.
Материал для заучивания надо давать после того, как он
объяснён учащимся и воспринят ими сознательно, осмысленно.
Экспериментальные исследования показали, что при осмысленном
заучиваний запоминалось в 20—25 раз больше материала, чем
в том случае, когда запоминание носило неосмысленный характер.
Вот почему, прежде чем давать заучивать, например, таблицу
умножения, надо показать, объяснить ученикам, как получается эта
таблица, как происходит групповой счёт, как воспроизвести ре¬
зультат, если он забыт.
Для того чтобы облегчить учащимся запоминание большого
материала, надо выделять и подчёркивать в нём главное, основное,
то, что может послужить опорой в запоминании всего остального.
Если ученик твёрдо знает» что «пятью шесть — тридцать», то ему легко
запомнить, что «семью шесть — сорок два», «восемью шесть — сорок восемь»
и т. д. Если ученик знает, что 8 + 8== 16, 7 + 7 = 14 (а это легко запо¬
мнить),' то ему нетрудно усвоить, что 8+9=17, 7 + 8=15 и т. д. Надо
учить ученика связывать новое с тем, что он уже хорошо знает.
Вышеуказанные средства закрепления навыков должны быть
дополнены повторением.
Желательно, чтобы каждое новое повторение было возобнов¬
лением изученного, с несколько иным содержанием, в иной форме,
на ином, более высоком, уровне. Повторяя, можно давать и кое-
что новое, дополнительное. Повторение должно быть в то же вре¬
мя и углублением уже имеющихся знаний. Повторяя старый мате¬
риал, нужно давать его в новых связях, новых сочетаниях и ассо¬
циациях.
Приведём пример повторения таблицы умножения. Первоначально таблица
умножения изучается по постоянному множимому.
6X2	6X4
6X3	6X5
и т. д.
Затем таблица умножения перестраивается по постоянному множителю
и, повторяется с тем же содержанием, но в новой ферме:
2X6	4X6
3 х 6	и т. д.
21


			] ишитспим изучается внетабличное умножение, где
табличные случаи умножения входят в новом сочетании и снова повторяются:
12X6	14X6
13X6	15X6
и т. д.
Наконец, таблица умножения повторяется при умножении многозначных
чисел, где она выступает в ещё более сложных связях. В примере умноже¬
ния б 439 X 67 повторяется следующая часть таблицы умножения:
6X6 8x5 6X7 8X7
4 X 5 9X 5 4X 7 9X7
Приведём другой пример повторения. Определение вычитания в IV классе
в начале учебного года даётся сначала в такой форме: «Вычитанием назы¬
вается такое арифметическое действие, посредством которого от одного числа
(уменьшаемого) отнимается столько единиц, сколько их есть в другом числе
(вычитаемом). В таком определении подчёркивается процесс выполнения
действия вычитания. Но в дальнейшем, когда учащиеся познакомятся с взаи-
хтдодсг-г.ичч действиями, можно дать более строгое определение вычитания,
ьбк действия, обратного сложению: «Вычитанием называется такое арифмети¬
ческое действие, в котором по данной сумме двух слагаемых и одному из них
находится другое слагаемое». Эго определение сложнее первого, и его можно
ддгь только как дополнение при повторении.
при повторении решения задач также возможно усложнение, привнесение
нового. Например, при первоначальном обучении детей решению задач на на¬
хождение двух чисел по сумме и кратному отношению даются задачи этого
типа в так называемом чистом виде; например: «За две книги уплачено
1 р. 50 к., причём за одну из них уплачено в 4 рази больше, чем за другую.
Сколько уплачено за каждую книгу?» При повторении этот тип задач даётся
пли на задачах'с другим содержанием (с другой фабулой), или же он вклю¬
чается в качестве составного элемента в усложнённые задачи, например:
«Колхоз засадил картофелем двух сортов 12 га по 85 ц на каждом. Карто¬
феля раннего сорта посажено вдвое больше, чем позднего. Сколько посажено
картофеля каждого сорта?» Здесь типовая задача вошла в состав сложной
арифметической задачи.
Во многих случаях при повторении достаточно только видоиз¬
менить обычный вопрос, чтобы заставить ученика подойти к изу¬
чаемому материалу с новой стороны и посмотреть на него по-
новому.
Например, изучая вычитание, учащиеся усваивают иазпание компонентов
и их значение, они знают, что такое разность. Чтобы узнать, понимают ли
ученики, что таксе разность, обычно спрашивают; «Что показывает разность?»
Но при повторении можно изменить вопрос и Дать его в такой примерно
форме:	«Уменьшаемое больше вычитаемого на 15. Чему равна разность?»
1с же можно сделать и но отношению к частному.
Применение на практике.
Применение на практике является заключительным этапом при
усвоении арифметических знаний. Работу над усвоением того или
иного раздела арифметики можно считать в сущности законченной
только тогда, когда ученик проделал ряд упражнений по прим^
нению его на практике. Способы этого применения весьма разно¬
образны, и зависят они от характера знаний и навыков.
22


Вычислительные навыки находят своё практическое
применение в решении задач. Пока ученик упражняется в решении
столбиков, пока он усваивает только приёмы вычислений и тех¬
нику счёта, его внимание сосредоточено исключительно на данном
навыке, который является в упражнениях самоцелью, и вся работа
носит характер учебных, тренировочных упражнений. Практикой
является решение задачи. Задача — цель, -вычислительный навык-
средство. Практика придаёт осмысленность всей предыдущей ра¬
боте над навыком. Навык в ней ещё и ещё раз проверяется,
шлифуется, окончательно закрепляется и автоматизируется. Благо¬
даря практическому применению ученик устанавливает те есте¬
ственные связи, которые существуют между теорией и практи¬
кой, между навыком и жизнью. Вся работа по изучению четырёх
арифметических действий, работа длительная и кропотливая, ста¬
новится целенаправленной. Это стимулирует ученика на преодоле¬
ние трудностей, связанных с приобретением твёрдых навыков.
Измерительные навыки, получаемые в школе, также
могут найти широкое применение в практике измерительных работ,
проводимых и в школе, и дома, и на открытой местности. Сначала
измерительные навыки вырабатываются в порядке учебно-трениро'
водных упражнений, где выработка навыка является самоцелью.
Потом, когда первая стадия работы по образованию навыка закой-
чеяа, ученики могут быть привлечены к выполнению таких практи¬
ческих работ, где эти навыки уже используются как средство.
Назовём несколько таких примерных работ: линейные измерения
при изготовлении плакатов для украшения класса; измерение
площадей при благоустройстве школьного двора, при разбивке
школьного огорода, разбивке грядок под разные культуры, раз¬
бивке цветочных клумб; измерение площадей при сельскохозяй¬
ственных работах (запашке и уборке урожая).
Умение решать задачи тоже может и должно быть
использовано на практике. Пока решаются готовые задачи, взятые
■из задачника, работа носит чисто учебный характер и направлена
на овладение теорией решения задач. Но этот навык, это умение
может быть использовано в практических целях для разрешения
жизненных, практических вопросов, связанных с расчётами и вы¬
двигаемых потребностями самого ребёнка, окружающей ребёнка
средой • семьёй, школой, колхозом, тем или иным предприятием.
В задачах из сборника содержание и количественные отношения
между процессами, фактами, о которых говорится в условии за¬
дачи, даются готовыми. В задачах же, составляемых учащимися,
цифры и количественные отношения между вещами и явлениями
устанавливаются учащимися на основании своего жизненного опы¬
та, или по справкам из книг, газет, от людей. Задача вырастает
из какого-либо жизненного вопроса, который надо в данный мо¬
мент разрешить.
Например, для начала учебного года характерны такие «арифметические»
вопросы: «Сколько стоило пополнение нашей школьной библиотеки?» «Сколько
23


стоит в месяц школьный завтрак?» «Вычислить стоимость одежды в по¬
мощь нуждающимся» и т, д. Решение этих вопросов потребует, чтобы уче¬
ники имели цифровые данные, которые в основном сообщаются учителем*
Для весеннего периода актуален такой вопрос* «Чтобы засеять наш
школьный огород тремя культурами (картофелем, капустой, свёклой), сколько
потребуется семян и рассады? Сделать расчёт при следующих условиях*
(дальше указывается площадь огорода, нормы высева, посадки и т. д.).
Для колхозов в зимний период жизненное значение имеет вопрос: «Хва¬
тит ли колхозу кормов для скота, если у него имеется столько-то голов
скота и если запас кормов выражается следующими цифрами» (дальше ука¬
зывается, сколько у колхоза сена, сколько соломы,'овощей, жмыхов и т. д.).
Перечень подобных вопросов в значительной мере обусловли¬
вается окружением школы и интересами учащихся. Характер во¬
просов и степень сложности их должны соответствовать классу:
для младших классов берутся вопросы попроще, поближе к непо¬
средственным интересам и нуждам ребёнка, для старших классов
задания могут быть посложнее, с более широким охватом жизнен¬
ных вопросов.
Из сказанного видно, насколько сложен тот путь, который про¬
ходит ребёнок от первоначального знакомства с новым понятием
до окончательного овладения им.
Этот путь ведёт ученика через восприятие материала и уясне¬
ние его смыслового содержания, через полное и глубокое осозна¬
ние воспринятого, через большой и важный этап упражнений, на¬
правленных к закреплению полученных знаний, к образованию твёр¬
дых навыков. На этом пути — пути формирования понятий и раз¬
вития математического мышления — приводится в действие в-сё
многообразие мыслительных процессов:	анализ и синтез, дедук¬
ция и индукция, абстракция и конкретизация, переходы от единич¬
ного к общему и от общего к единичному, а также всё многооб¬
разие способов и приёмов обучения. В результате этого в созна¬
нии учащегося возникают математические представления, прояс¬
няются и оформляются мысли, представления формируются в поня¬
тия, понятия -— в суждения и умозаключения. Чтобы управлять
этим сложным процессом формирования знаний, учителю нужно
хорошо знать этот путь, видеть все основные вехи на нём и пони¬
мать значение каждой из них. И при всём этом никогда не нужно
упускать из виду учащегося: нужно со всей тщательностью сле¬
дить за тем, как он воспринимает материал, как проясняются еро
мысли, какие затруднения у него встречаются, каковы индиви¬
дуальные причины этого.
В постоянном внимании к учащемуся — залог успешного обу¬
чения арифметике.
24


ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
НАГЛЯДНОСТЬ.
При восприятии и осмысливании арифметического материала
большое значение имеет наглядность. Всё обучение арифметике
в начальной школе должно быть наглядным, образным, конкрет¬
ным. К развитию отвлечённого, абстрактного мышления, к образо¬
ванию о5бщих математических понятий надо идти, отправляясь от
наглядного обучения. Большое значение наглядности обусловлено
тем, что ребёнок мыслит образно, конкретно. Ой хорошо понимает
то, что наглядно, конкретно, и, наоборот, для него неясны и не¬
понятны отвлечённые суждения. Он может усвоить, запомнить эта
суждения, но если они не подкреплены наглядностью, они будут
для него пустыми, бессодержательными фразами, бесплодными
абстракциями.
Наглядность нужна и для образования у детей первых число¬
вых понятий, и для расширения круга числовых представлений,
и для развития их математического мышления. Первые числовые
понятия у учащегося возникают ешё до школы на основе много¬
кратного восприятия групп предметов и их счёта. В дальнейшем,
когда ученик приходит в школу, при образовании каждого общего
понятия, носящего более или менее отвлечённый характер, он обя¬
зательно проводится через этап наглядного обучения.
Как, например, ученик приходит к выводу, что 4 4- 2 — б? Сначала ему
дают конкретные предметы, которые он видит, осязает, пересчитывает, пере*
двигает, и притом разные предметы; так, к четырём кубикам он прибавляет
два кубика, к четырём палочкам прибавляет две палочки, к четырём кру¬
жочкам — два кружочка, к четырём спичкам — две спички. Во всех этих
случаях он получает 6: шесть кубиков, шесть палочек, шесть кружков,
шесть спичек.
Дальше, на следующем этапе, который близко примыкает
к первому, а иногда и сливается с ним, ученик проводит эту опе¬
рацию сложения мысленно по представлению, не имея перед гла¬
зами предметов.
При решении задач: «В коробке лежали четыре карандаша; туда поло¬
жили ещё два карандаша. Сколько карандашей стало в коробке?» «В клетке
было четыре кролика; туда посадили ещё двух кроликов. Сколько кроликов
стало в клетке?», ученик в случае сомнения проверяет результат сложения
на предметах, условно заменяющих карандаши, кроликов, — на палочках, но
рисунках и т. д.
В ходе такой работы ученик постепенно освобождается от ма¬
териальной основы счёта —от кубиков, палочек, спичек, кружоч¬
ков,— выделяет то, что было общим для всех случаев сложения,
и приходит к выводу, что всегда, во всех случаях, четыре да два
будет шесть, что и запоминает наизусть: 4 + 2 = 6. Тот же про¬
цесс происходит и при развитии каждого понятия, каждого ариф¬
метического действия.
Различные разделы курса арифметики требуют применения
2с


.. г^и.и.и нида; например, когда изучаются
числа первого и второго десятка, тут в качестве наглядных посо¬
бий выступают естественные предметы счёта:	палочки, кубики,
спички, кружочки и т. д. Когда далее дети переходят к изуче¬
нию нумерации в пределе сотни и тысячи, наглядными пособиями
являются пучки палочек, пучки соломинок или бумажные ленты,
разделённые на метры, дециметры и сантиметры. Когда же об¬
ласть чисел расширяется ещё больше и учащиеся переходят к изу¬
чению нумерации чисел любой величины, возникает потребность
в наглядных пособиях с условным изображением числа на счётах
'Или в клетках абака. В дальнейшем приходится ограничиваться
уже цифровыми образами. Итак, при расширении числовой области
меняются и наглядные пособия: естественные предметы и группы
предметов переходят в условные образы, а эти последние в конце
концов уступают своё место цифрам.
Самым убедительным для учащегося на первых порах обучения
является процесс счёта или вычислений на натуральных предме¬
тах, затем следуют картинки или рисунки с изображением предме¬
тов. В дальнейшем, по мере развития мышления и воображения
учащихся, наряду с предметами и их изображениями наглядность
в процесс обучения могут вносить условные схемы, таблицы,
чертежи.
Пользование пособиями последнего рода требует от учащихся
известной умственной зрелости и достаточно развитого воображе¬
ния, поэтому вводить их следует с некоторой осторожностью
и своевременно, не форсируя этого введения.
Наглядность помогает не только восприятию и пониманию
отдельного математического факта, но и осознанию тех мыслитель¬
ных процессов, которые сопровождают объяснение материала.
Эти процессы тоже надо подкреплять и связывать с известными
образами, тогда они лучше уясняются и легче воспроизводятся
учащимися.
Приведем пример. Допустим, что учитель в III классе поставил целью
урока разобрать задачу аналитическим методом и на этом разборе выяснить
учащимся сущность этого метода.
I Злдщ'гг «-Одни нлсос работал 4 часа, давая по 138 вёдер воды в час,
з другой 3 часа, давая по 168 вёдер в час. Который из них накачал больше
воды и на сколько больше5*
Ушгель поступит прав* тьно, естп он свяжет разбор задачи со следую-
цгн схемой (риг. 2) г)ы ' <'Ч) будо служим, Iсм конкретным образом, ко¬
торый 31МСЧ.П 1сг*1' ч и 11апи1и учащеюся и будет помогать ученику воспроиз¬
водить логический процесс — процесс анализа задачи.
Высоко оценивая наглядность и широко применяя её, надо в то
же время помнить, что наглядность есть не самоцель, а только
вспомогательное средство для достижения подлинной цели — твёр¬
дого усвоения арифметических знаний и развития у детей логиче¬
ского (отвлечённого, абстрактного) мышления. Поэтому нагляд¬
ность надо применять тогда, когда она необходима, когда без неё
20


нельзя обойтись, и от наглядности надо отходить, как только
ученики хорошо поймут объясняемое. Неумеренное, излишнее при¬
менение наглядности может затормозить развитие у учащихся
отвлечённого, абстрактного мышления, может надолго задержать
их на ступени конкретного мышления, которую надо преодолеть.
Конечная задача школы — научить ученика производить вычисле¬
ния без наглядных пособий, научить решать задачи на основе
только рассуждения. Поэтому наглядные пособия нужно широко
применять на этапах восприятия и осмысливания материала, а так¬
же* на этапе первоначальных упражнении, но упражнения по закре¬
плению знаний надо вести без наглядных пособий, обращаясь
к ним только в случае затруднений и непонимания, обнаруживае¬
мого отдельными учащимися.
Рис. 2
В зависимости от цели и способа применения наглядные посо¬
бия можно разделить на две группы — демонстрационные и лабо¬
раторные. К демонстрационным относятся такие пособия, кото¬
рыми пользуется учитель для показа всему классу, например:
классные счёты, арифметический ящик, таблицы, плакаты и д-р. На
них учитель разъясняет учащимся вычислительные приёмы, правила
выполнения действий, способы решения задач. Учитель показы¬
вает, а ученики смотрят, наблюдают, сравнивают, сопоставляют,
а затем на основе сделанных наблюдений приходят к выводам
и обобщениям. Лабораторные пособия принято называть иначе—•
дидактическим материалом. Это те пособия, которые имеются На
руках у учащихся и которыми пользуются ученики для непосред¬
ственной и самостоятельной работы с ними по заданию учителя.
Сюда относятся различные предметы счёта (палочки, кубики, спич¬
ки, кружочки, модели монет и др.), разрезные цифры, модели гео¬
метрических тел и др. Работа с дидактическим материалом обес¬
печивает наивысшую степень активности детей на уроке, поэтому
широкое внедрение дидактического материала крайне необходимо.
В зависимости от способа изготовления различают наглядные
пособия готовые и самодельные.
27


Готовые наглядные пособия.
К числу готовых пособий относятся такие-, которые изготов¬
ляются на фабриках или в мастерских наглядных пособий по
установленным стандартным образцам и рассылаются по школам,
например: классные счёты, арифметический ящик, таблица умно¬
жениям модели мер. Это классические пособия, разработанные
великими мастерами педагогического дела (а иногда и народного
творчества) и проверенные на опыте многих школ в течение
многих веков. Они составляют тот сравнительно небольшой
минимум пособий, без которых не может обойтись ни одна школа
без ущерба для качества преподавания. Остановимся па каждом
пособии этого минимума, ограничиваясь пока только описанием
его устройства я краткими указаниями на его значение (приёмы
их применения будут подробно освещены в специальных главах
этой методики).
Классные счёты. Классные счёты являются одним из
самых ценных и необходимых наглядных пособий по арифметике.
Это наиболее универсальное пособие: пользуясь им, можно выяс¬
нить большинство основных арифметических вопросов, содержа¬
щихся в программе начальной школы. Достоинством этого пособия
является то, что его можно переносить и ставить в наилучшее по¬
ложение по отношению к классу. Оно хорошо видно, легко обо¬
зримо для учащихся. Шарики, которые являются главным средством
счёта, подвижны и легко перемещаются. Классные счёты необхо¬
димо применять начиная с I класса; только здесь достаточно оста¬
вить всего две проволоки с 20 шариками. В I и II классах не сле¬
дует знакомить учащихся с поместным значением шариков: каж¬
дый шарик рассматривается здесь как простая единица, следова¬
тельно, вся совокупность шариков на счётах для ученика I и
II классов — поле однородных единиц.
Классные слёты применяются при изучении следующих вопросов:
а)	В I классе — счёт в пределе 10, присчитывание и отсчитывание по
единице, сложение и вычитание в пределе 10, счёт и нумерация в пределе 20,
сложение и вычитание в пределе 20 как без перехода, так и с переходом
через десяток, умножение и деление в пределе 20. На счётах удобно выяснить
понятие «на столько-то больше, на столько-то меньше». Таким образом,
большая часть курса арифметики в I классе может быть объяснена на класс-
ных счетах.
б)	Во П классе классные счёты могут быть применены для изучения
таблицы умножения (для набора равных слагаемых), для изучения нумерации
в пределе 1 000, разностного сравнения чисел, кратного сравнения, увеличения
и уменьшения числа в несколько раз.
в)	В III и IV классах классные счёты являются незаменимым пособием
для объяснения нумерации многозначных чисел. Но здесь классные счёты
выступают в роли не только наглядного пособия, но и счётного прибора. Уча¬
щиеся приобретают умение производить на счётах сложение и вычитание мно¬
гозначных чисел, сначала отвлечённых, а затем и составных именованных.
Арифметический ящик. Арифметический ящик принад¬
лежит к числу наиболее распространённых наглядных пособий. Он
28


весьма давнего происхождения и пользуется большой популяр¬
ностью в школах различных стран и народов. Конструкция этого
посдбиц общеизвестна, поэтому на описании её останавливаться не
будем Счётный материал в нём представлен, как известно, куби¬
ками, брусками, досками. Кубики означают простые единицы, бру¬
ски— десятки, доски — сотни. Применяется он при изучении ариф¬
метики в I и II классах, при изучении геометрического материала—
в III и IV классах.
ГдЗГ'КчЧ4 НЛчЛичеННе 9СЛРО ШЪ'ЛбиЯ — К ОИК реТИЯцрОПДТЦ* 1М4Ч1Ю'ИИ? ЧЬИЫЛ
приёмы, счёт и нумерацию чисел и пределе Ь\ \Л' н \ Л'О \\»м»лчи
им, удобно показать и объясни! ь: прямой и обратный с чем до десяти, праг¬
мы сложения и вычитания в пределе 10, нумерацию и все дснсыия и пределе
20, все действия с круглыми десятками, нумерацию и все действия в пределе
100, нумерацию и все действия в пределе 1 000 Особенно удобен арифмети¬
ческий ятик для объяснения нумерации в пределе 20 и объяснения приемов
вычисления в пределе 100. Вычисления в пределе I 000 также поддаются кон¬
кретизации, но процесс показа при этом является малоудобным, громоздким.
К достоинству арифметического ящика откосится то, что в нём
очень наглядно представлено взаимное соотношение между основ¬
ными разрядными единицами — простыми единицами, десятками
и сотнями — без всяких условностей, как это имеет место на класс¬
ных счётах. Каждый брусок-десяток представляет собой нечто
целое и вместе с тем состоящее из отдельных кубиков-единиц.
Ясно видно, что доска состоит из десяти брусков-десятков и сотни
кубиков-единиц. Поэтому арифметический ящик особенно ценен
для объяснения нумерации двузначных и трёхзначных чисел.
Но это пособие имеет и свои недостатки. Кубики, входящие
в состав бруска-десятка, неподвижны и не могут отделяться.
Впрочем, этот недостаток устраняется тем, что в случае необходи¬
мости брусок может быть заменён отдельными кубиками. Допу¬
стим, что нужно показать приём вычитания в примере 23—8. Для
этого берём 2 бруска и 3 кубика; отнимаем 3 кубика, затем один
из брусков заменяем десятью отдельными кубиками. От 20 куби¬
ков отнимаем 5 кубиков.
Существенным недостатком арифметического ящика является
и то, что кубики можно демонстрировать только на горизонталь¬
ной плоскости, а это затрудняет видимость производимых опера¬
ций, особенно для учащихся, сидящих На задних партах. В этом
отношении ящик уступает классным счётам, где все операции
происходят в вертикальной плоскости и хорошо видны для всех
учащихся. Советские педагоги предприняли ряд попыток к тому,
чтобы устранить этот недостаток, однако результаты этих попыток
не Настолько велики, чтобы их можно было рассматривать как
основание для изменения конструкции ящика. 11 Арифметический ящик в качестве наглядного пособия был впервые
предложен Тиллихом, одним из наиболее талантливых последователей
Песталоции. В наших школах распространён арифметическим ящик, представ¬
ляющий собой некоторое видоизменение тиллиховского пособия.
29


Палочки и пучки палочек» Это простое и дешёвое
наглядное пособие представляет со-бой тонкие палочки одинако*вой
длины (около ] дециметра), связываемые в пучки различной вели¬
чины Отдельные палочки служат для счёта единицами. Каждые
10 палочек связываются в одни пучок, представляющий 'десяток.
10 таких пучков-десятков связываются снова в один большой
пучок — сотню. Таким же образом может быть составлен пучок-
тысяча.
Набор пучков и палочек очень хорош для счёта и выяснения состава
разрядных единни: каждый пучок представляет собой самостоятельное целое,
которым при счете десятками пользуются так же, как отдельными палочками
при счёте до Ю; в то же время каждому ученику ясно, что это целое со¬
стоит из 10 палочек, т. е. что десяток, являясь счётной единицей, сам
состоит из Ю единиц.
При помощи набора палочек и пучков хорошо выясняется десятичный
состав чисел и производство действий над ними, причём, благодаря связыва¬
нию и развязыванию пучков, очень наглядно демонстрируется превращение
единиц низшего разряда в единицы высшего разряда (при сложении и умно¬
жении) и раздробление единиц высшего разряда в единицы низшего разряда
(при вычитании и делении).
Модели метрических мер. При обучении начальной
арифметике необходимы модели, наглядно знакомящие учеников
с мерами. В числе таких моделей в школе должны быть: метр
деревянный с подразделением на дециметры, сантиметры и милли¬
метры, литровая и полулитровая кружка; весы с разновесом, в ко¬
торый входят 5 гирь в 1, 5, 10, 50 и 100 граммов. Из квадратных
мер нужно иметь квадратный сантиметр, квадратный дециметр;
из кубических мер — кубический сантиметр и кубический деци¬
метр. Модели эти используются во всех классах.
Ученики должны не только видет-ь эти модели, но и пользо¬
ваться ими для измерения длины, веса, площади, ёмкости. Непо¬
средственное пользование мерами способствует выработке точного
представления о мерах и навыков измерения.
Модели геометрических фигур и тел. В III классе
изучение «геометрического материала» (квадратных мер) обеспечи¬
вается главным образом самодельными наглядными пособиями.
В IV классе для изучения геометрических тел применяется дере¬
вянная или из папки модель куба и модель прямоугольного парал¬
лелепипеда (из арифметического ящика). По этим моделям и про¬
водится описание куба и прямоугольного параллелепипеда на уроке.
Для проведения измерительных работ на местности приме¬
няются- а) вехи, б) колышки, в) флажки, г) мерная верёвка ил»
цепь в 10 ли д) эккер (простейший, в виде креста на заострённой
паже).
Таблицы. В качестве наглядных пособий по арифметике
применяются также и таблицы. По своему значению таблицы
уступают вещественным наглядным пособиям; предметы, изобра- 11 Это пособие было предложено Овербергом в конце XVIII в.
30


жённые на них, статичны, неподвижны, неразложимы на части, на-
элементы, как это имеет место в арифметическом ящике или
классных счётах. Тем не менее и они помогают сделать обучение
арифметике наглядным, образным, конкретным; они дают уча¬
щимся яркие зрительные образы, — в этом их главное значение..
Из таблиц широкое распространение в школах получили сле¬
дующие:
1.	Числовые таблицы (10 штук), разработанные тов. Э ме¬
новым, служат хорошим наглядным пособием в I классе при*
изучении чисел. Количество таблиц (10) соответствует количеству
изучаемых чисел от 1 до 10. Каждое число имеет свою таблицу.
Каждая таблица построена по одному и тому же плану: а) изо¬
бражение предметов как наглядного образа данного числа;,
б)	изображение числа при помощи числовых фигур, представлен¬
ных в различных комбинациях, и, наконец, в) условное изображе¬
ние числа при помощи цифры печатной и письменной. От конкрет¬
ного к отвлечённому, от естественного к условному — таков*
путь, по которому ведёт ученика таблица при изучении каждого
числа.
2.	Три таблицы метрических мер — линейных, квад¬
ратных и кубических — дают наглядное представление о величине
каждой меры, об их единичных отношениях и о способах их при¬
менения при измерении. Первая таблица используется во всех
классах начиная с* первого; вторая (квадратные меры) —
в III классе и третья (кубические меры) — в IV классе. Эти
таблицы на время работы с ними вывешиваются в классе для
обозрения их учащимися; зрительные образы мер и способов*
применения их запечатлеваются в памяти учащихся.
3.	Таблица умно н и я — широко распространённое*
и всем известное учебное пособие. Применяется в I и II классах,,
где эта таблица изучается, а также в старших классах, где она*
имеет значение справочного пособия. Значение таблицы заключает¬
ся в том, что она даёт хороший зрительный образ результатов, по¬
лучаемых при перемножении однозначных чисел (5 X 6 = 30), кото¬
рые должны быть заучены учащимися. Таблицы особенно помогают
тем учащимся, которые обладают хорошей зрительной памятью.
Таблица всегда должна висеть на классной стене и убирается только*
на время тех контрольных работ, в которых проверяется знание уча¬
щимися таблицы умножения наизусть, что бывает во II классе.
4.	Таблицы для устногосчёта, разработанные Марте¬
лем и по образцу их К. Шапошниковым, применяются, как
показывает самое название, для упражнении в устном счёте. Из¬
дано три таблицы: одна для упражнения в сложении и вычитании*
двузначных чисел, другая для упражнения в действиях с круг¬
лыми десятками и сотнями и третья для упражнения в умножении
и делении двузначных чисел. Таблицы вывешиваются только на'
тех уроках, на которых производится тренировка в устном счёте.
Применяются во II, III и IV классах. Значение их заключается
31


в том, что они дают много материала для упражнений и избавляют
учителя от необходимости подбирать и писать этот материал на
доске. Особенно полезны таблицы для двухкомплектных школ, где
они с большим удобством могут быть использованы в заданиях
для самостоятельной работы учащихся.
I
11 '
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
А
4
17
25
32
49
56
63
75
83
1
| 96
|
Б
1
15
28
36
43
57
64
72
85
99
В
7
12
21
35
50
60
65
79
83
93
Г
10
18
30
34
45
55
66
80
82
100
д
6
14
26
39
42
58
61
74
86
94
Е
9
у
16
23
31
47
53
69
77
84
91
Ж
11
29
37
44
56
63
71
89
97
3
5
20
24
33
46
54
А
67
76
90
95
И
8
13
27
40
48
52
70
73
87
92
К
2
19
22
38
41
59
62
78
81
98
Пособие для изучения дробей. Пособие представ¬
ляет собой набор кругов и частей круга из'фанеры или из папки.
В набор входят: 2 целых круга и круги, составленные из половин,
четвертей, восьмых, третей, шестых, пятых и десятых долей. Раз¬
личные доли окрашены в различные цвета. Прибор служит для
пояснения всех операций с дробями.
Самодельные пособия,
Как бы йи были совершенны готовые наглядные пособия, как
ни хорошо обеспечена ими школа, всё же в преподавании арифме¬
тики нельзя обойтись без самодельных пособий, изготовляемых
самим учителем. Преподавание арифметики — живое, творческое
32


дело, .в котором методы и приёмы преподавания постоянно обнов-
ляются и совершенствуются. Передовое учительство, работая твор¬
чески, улучшает методы и приёмы своей работы, улучшает, варьи¬
рует, обновляет и наглядные пособия. Изобретения отдельных
учителей, описываемые в журналах, демонстрируемые на выстав¬
ках, пропагандируемые в докладах при обмене опытом, должны
подхватываться учительской массой и просачиваться в практику
массовой школы.
Готовясь к уроку и продумывая вопрос о том, как бы сделать
объяснение нового материала более понятным и наглядным, учи¬
тель должен готовить и соответствующие наглядные пособия. Эти
пособия он может взять или из числа готовых, присланных
в школу, или сам сконструировать, прибегая, если возможно,
к опыту других школ.
Все самодельные пособия делятся на
яве группы: а) пособия для демонстра¬
ции, для показа всему классу, и б) ди¬
дактический материал, который раз¬
даётся на руки учащимся для лабора¬
торной работы с ним.
Из демонстрационных пособий учи¬
телю приходится чаще всего изготов¬
лять следующие:
Палочки и пучки палочек
(в случае необходимости палочки могут
быть заменены прутиками). В мастер¬
ских наглядных пособий палочки не все¬
гда готовятся в достаточном количестве,
поэтому школе приходится самой гото¬
вить это полезнее наглядное пособие.
Абак (деревянный), используемый
при изучении нумерации в пре¬
деле 1 000. Это пособие ценно в том от¬
ношении. что на нём разряды изобра¬
жаются в том же порядке, что и при
По своей конструкции абак представляет доску, разделённую на
три полосы, соответствующие единицам, десяткам и сотням;
в каждой полосе имеется по девяти гвоздей. К абаку приготов¬
ляются кружочки из фанеры или картона, которые надеваются
на гвозди и изображают единицы соответствующих разрядов
(рис. 3).
Числовые фигуры (Лая) для изучения чисел первого де¬
сятка (см. стр. 145). На этих фигурах хорошо виден состав каж¬
дого числа. Учитель изготовляет каждую новую фигуру по мере
перехода к изучению нового числа.
Числовые фигуры для сложения в пределе 20. Способ
изготовления этого пособия виден из следующего примера.
Сотни
Десят.
Един
У
&
У*
У*
У
У
У
У
>
У
У
У
У
У
У
У
У
———.
У
235
/?5'а к
Рис 3.
письменной нумерации.
б
3 А. С. Пчёлко
33


	 -ч'-' качается прибавление к 9. Здесь возможны следующие
8 случаев:
9 + 2 = 11	9 +	5=14	9	+	8=17
9 + 3= 12	9 +	6= 15	9	+	9= 18
9 + 4=13	9 +	7=16
Чтобы объяснить прибавление”' к 9 двух и к 9 трёх, изготовляются на
картоне следующие фигуры (рис. 4).
©
е
0
0
О
о
0
•
ф
®
О
9 + 2 = 11
•
0
0
©
о
ф
*
©
О
О
9 + 3*12
Рис. 4.
Приём прибавления один и тот же: сначала первое слагаемое дополняете я
до Ю, а затем к 10 прибавляется остальная часть второго слагаемого.
Таблица Пифагора составляется постепенно по мере
изучения таблицы умножения. Таблица висит в классе, пока не
1
2
3
4
5
1
6
7
8
9
10
1
2 1
4
6
8!
10
12
14 1
16
18
20
3
б
9
12
15
18
21
24
27
30
4
8
12 1
16
20
24
28
32
36
40
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
12
18
24.
30
36
42
48
54
60
7
14
1 21
1
28
35
42
49
1 56
63
70
8
1 16
24
52
40
48
56
64
72
80
9
18
27
! Зб
1
1
45
54
| 63
1
72
81
90
10
О
1 01
1
30
40
| 50
60
70
80
| 90
100
34


будет заполнена и пока дети продолжают усваивать таблицу умно¬
жения наизусть.
Таблица умножения на наборе прямоугольников, раз¬
делённых на клетки (рис. 5).
Плакаты для решения
задач, где изображены пред¬
меты с указанием цен. Один и
тот же плакат может быть исполь¬
зован для решения сначала про¬
стых, а потом и сложных задач.
Плакат изготовляется на белой
или цветной бумаге. Рисунки
раскрашиваются. Цифры для обо¬
значения цен можно вырезать из	7*2=74
старого отрывного календаря.
Плакат вывешивается на уроке, и
по нему сначала сам учитель со¬
ставляет задачи, а затем посте¬
пенно приучаются к составлению
задач и ученики.
Плакат сберегает много вре¬
мени, так как при нём не нужно
записывать условие задачи и по¬
вторять его для запоминания чи¬
сел. Изображения покупаемых предметов делают задачи понятны¬
ми и интересными для детей (рис. 6).
Рис. 5.
"‘’Т-’Г*;
А
В'■ ж
резинка 4
перс ? *.
* аран да си в н.
<0 х,
Ручка
■г*
-Л-Т^Т-ГГ
ГГ™
и и ней л а 15 к
Рис. 6
По этому плакату могут быть составлены примерно следующие задачи:
«Ваня купил тетрадь и ручку. Сколько денег он израсходовал?» «У девочки
было 15 коп. Она купила два пера и резинку. Сколько денег у неё оста¬
лось?» «Ученик купил 5 тетрадей. Сколько сн должен уплатить в кассу3»
з*
35


и т. д Отсюда видно, что плакат даёт материал для составления задач про¬
стых и сложных' на различные действия.
Набор квадратов и прямоугольников из картона
или фанеры различных размеров (размеры выражены в целых
дециметрах или сантиметрах). Пособие служит для изучения фор¬
мы этих фигур и для упражнения в вычислении площадей. Нужно
иметь несколько квадратов и несколько прямоугольников опреде¬
лённых размеров. Каждая фигура имеет свой номер, которому
соответствует определённый размер. Это облегчает про-верку ра¬
боты учащихся: учителю достаточно спросить номер фигуры, чтобы
знать, верно ли ученик нашёл результат.
Образцы квадратных и кубических мер. Ква¬
дратный сантиметр, квадратный дециметр и квадратный метр выпол¬
няются на бумаге или картоне в натуральную величину и вывеши¬
ваются в классе. Кв. дециметр разбивается на кв. сантиметры, а кв.
метр разбивается на кв. дециметры. Образцы кубических мер
делаются из картона или из дерева. Кубический метр сколачи¬
вается из 12 брусков и обшивается картоном или фанерой.
Математические игры. Арифметическое лото
состоит из карточек лото и карточек с примерами. Можно сделать
различные варианты лото в зависимости от класса и от того, что
пройдено к моменту игры в лото. Для игры на сложение и вычи¬
тание в пределе 10 лото будет иметь примерно следующую форму
а содержание
2
4 'о( 7
!
10
1
4 6 3
9
Карточки лото.
10 — 8= 2	о — 7=1
5 + 4 = 9	4 + 4 = 8
5+2=7	6—3=3
Карточка с примерами.
Карточек заготовляется столько, сколько учеников в классе.
Карточка на сложение и вычитание в пределе 10 имеет только
один ряд цифр. Примеры пишутся на особых карточках.
На сложение и вычитание в пределе 20 лото может иметь
•следующее содержание.
2 1 5 | 8 ; 13
16
3 1 6 |11 1 15
20
20 -
12=8
19 - 15 = 4
6 +
7 = 13
20 — 4=16
18
2 = 20
7 + 7 = 14
12 —
6=6
14 — 9 = 5
Карточка лото.
Карточка с примерами.
36


Лото на табличное и в-нетаблнчное умножение и деление для
II класса.
5
21
36
50
72
6
25
42
54
81
8
28
48
63
36
Карточка лото.
6X6= 36
II
00
25 X 4 = 100
17 X 2 = 34
56 : 2 = 28
8X9 = 72
25 X 2 = 50
9 X 9 — 81
64 : 8 = 8
40 : 8 = 5
Карточка с
примерами
Круги для игры в «молчанку» (для упражнений в уст¬
ном счёте) могут быть составлены на самые разные разделы про¬
граммы: на сложение и вычитание в пределе 10, 20, 100, 1 000, на
умножение и деление в тех же пределах. Техника изготовления
кругов очень простая:	вычерчивается круг достаточно большого
размера (радиус 20—30 см), в центре круга и по окружности
пишутся цифры, над которыми производят действия (рис. 7).
Приведённых примеров достаточно, чтобы видеть, как широк
и разнообразен круг пособий, изготовляемых самим учителем
Почти нет ни одного такого вопроса, который нельзя было бы
иллюстрировать тем или иным самодельным наглядным пособием.
При наличии творческой инициативы и интереса к делу преподава¬
ния арифметики учитель всегда найдёт ту форму наглядности,
которая наилучшим образом вскроет сущность изучаемого понятия
и доведёт её до сознания учащегося.
Дидактический материал.
Одной наглядности для успешного усвоения арифметики мало,
к ней надо 'присоединить ещё активную деятельность
самого ученика и в процессе восприятия, и при выяснении смысло¬
37


вого содержания воспринятого, и в процессе упражнений. При
показе наглядных пособий ученик получает известные зрительные
образы, которые многое уясняют ему, привлекают его внимание
к предмету изучения. Но ученик при этом остаётся только зрителем;
его роль сводится к созерцанию того, что показывает учитель.
Активность ученика достигает высшего предела тогда, когда он
сам что-либо делает, когда в работе участвует не только его
голова, но и руки, когда происходит всестороннее (не только зри¬
тельное) восприятие материала, когда он имеет дело с предметами,
которые он может по своему усмотрению перемещать, по-разному
комбинировать, ставить их в определённые соотношения, наблюдать
эги количественные отношения и делать из наблюдений выводы.
Всё это возможно при том условии, если учитель будет не только
чемонстрировать наглядные пособия у классного стола, но во¬
оружит ими каждого учащегося и заставит его в течение урока ра¬
ботать с ними. Наглядные пособия, находящиеся в руках ученика
и имеющие значение рабочего материала, получили название ди¬
дактического материала, а самая форма работы с дидак¬
тическим материалом носит название лабораторной работы.
Следовательно, наглядные пособия должны быть дополнены
изготовлением в школе дидактического материала для
снабжения им учащихся. Особенно большое значение имеет
дидактический материал в I классе. При этом надо иметь в виду,
что ученики сами принимают очень большое участие в снабжении
себя дидактическим материалом. Учитель во многих случаях
должен только организовать учеников для сбора или изготовления
нужного материала.
Дадим здесь краткий примерный перечень тех предметов, кото¬
рые составляют содержание дидактического материала по арифме¬
тике, распределив их по классам.
I	класс. Для усвоения счёта и арифметических действий
в пределе 10, 20 и 100 ученику 1 класса нужно иметь в качестве
предметов счёта палочки (прутики, спички), связанные в пучки;
набор кружочков, прямоугольников и квадратов, сделанных из кар¬
тона, разрезные цифры; модели монет из картона или толстой
бумаги, ценностью в 1, 2, 3, 5, 10 копеек (используются монеты
для изучения состава чисел). Способ изготовления монет: подкла¬
дывается под чистый кусок бумаги монета, затем бумага зату¬
шёвывается карандашом и вырезается.
Весь этот набор пособий должен храниться у ученика в особом
ящичке или в пакете, откуда по мере надобности ученик вынимает
их, чтобы производить с ними счётные операции по указанию
учителя.
II	класс. Ручной индивидуальный абак для изу¬
чения нумерации в пределе 1 000 Изготовляется абак из картона
размером 20 см X 8 см; сверху на него наклеиваются 3 полоски
белой бумаги с 9 отверстиями, причём эти полоски наклеиваются
только краями, чтобы оставалось пространство для свободного
38


передвижения бумажных полосок (ленточек), открывающих по ме¬
ре выдвижения единицы любого разряда (рис. 8). Весь класс
получает задание изобразить данное число. Учащиеся передвигают
л>енточки и получают заданное число.
III	класс. Круги, прямоуголь¬
ники, квадраты, разделённые на
2, 4, 8 частей. Применяется для конкре¬
тизации понятия о долях единицы у, у.
Для этого они сгибаются пополам, полови¬
ны — ещё пополам, четверти — ещё попо¬
лам; получаются вторые, четвёртые и
восьмые доли.
Индивидуальный абак делается
по тому же образцу, что и во II классе;
только здесь вместо трёх полосок делается
девять или даже двенадцать — по числу
разрядов. Используется абак при изучении
устной и письменной нумерации.
Набор квадратов и прямо¬
угольников из картона служит для
изучения свойств квадрата и прямоуголь¬
ника при прохождении темы «Геометриче¬
ский материал».
IV	класс. Набор кубиков и бру¬
сков, сделанных из дерева или пласте-
лина, для изучения свойств куба и парал¬
лелепипеда и для измерения объёмов.
ГЛАВА ПЯТАЯ.
ОРГАНИЗАЦИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ АРИФМЕТИКИ.
Чтобы успешно преподавать арифметику, нужно не только вла¬
деть в совершенстве методами и приёмами преподавания, но и быть
хорошим организатором. Можно без преувеличения сказать,
что хорошо налаженные занятия по арифметике и глубо¬
кие познания учащихся в этом предмете являются результатом
не только методического мастерства учителя, но и организатор¬
ских его способностей. Класс представляет собой коллектив, в ко¬
тором индивидуальная работа ученика своеобразно переплетается
с коллективной работой всего класса. Учитель, как руководитель
класса, должен уметь управлять коллективом и его работой,
не упуская из виду каждого учащегося в отдельности. А хорошо
руководить — это значит: а) уметь ярко и определённо поставить
перед коллективом цель в работе, смело и уверенно вести класс
к этой цели; б) иметь все необходимые средства для осуществле¬
ния поставленной задачи; в) умело распределять работу, учитывая
индивидуальные особенности учащихся; г) учитывать фактор вре¬
сотни
десят
един.
♦
♦
♦
0
♦
♦
0
0
♦
0
0
♦
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Рнс. 8.
39


мени, беречь и экономить каждую минуту; д) тщательно учиты¬
вать качество работы каждого ученика и уметь правильно её оце¬
нить. Эти общие требования к хорошей организации полностью
относятся и к делу преподавания арифметики. Хороший урок по
арифметике возможен только тогда, когда он хорошо организован,
г. е. когда он продуман во всех его деталях и хорошо подготовлен.
Готовясь к уроку, учитель должен продумать каждое своё сло¬
во, предусмотреть каждое своё действие. Во-время начать и во¬
время кончить работу, иметь под руками всё необходимое, держать
в поле зрения весь класс и при этом не упускать из виду каж¬
дого отдельного ученика, ставить ясно и чётко вопросы, давать
определенные и чёткие задания и добиваться их точного испол¬
нения, заставить работать каждого ученика в полную меру его
сил — таков должен быть стиль работы учителя При таком стиле
обучение арифметике будет воспитывающим:	занятия по
арифметике будут воспитывать организованного человека, обла¬
дающего не только хорошими знаниями, но и умением работать
культурно, инициативно и самостоятельно.
Планирование.
Точность, чёткость и предвидение хода работы достигаются
плановостью в работе. Преподавание арифметики должно
быть подчинено самому строгому плану — ничего стихийного,
случайного не должно быть в преподавательской деятельности
учителя. Кто работает без плана, тот идёт вслепую и, как пра¬
вило, терпит неудачи. Только при наличии строго продуманного
и тщательно разработанного плана можно рассчитывать на успех
в преподавании арифметики в целом и на удачное проведение
каждого урока в отдельности.
При составлении плана надо учитывать:	1) требование про¬
граммы и 2) особенности данного класса. Некоторые учителя
слепо идут за планировками, которые даются в качестве пример¬
ных в методической литературе, копируя их без всякого учёта
особенностей своего класса.
Такие учителя поступают неправильно. Детские коллективы бы¬
вают по-разному подготовлены: одни быстрее воспринимают мате¬
риал и глубже его осмысливают; другие отличаются замедленны¬
ми темпами работы, сниженным уровнем развития отдельных
учащихся. Ясно, что вести преподавание в таких классах по од¬
ному и тому же плану нельзя.
Планирование без учёта особенностей своего класса — фор¬
мальное планирование. В конечном счёте все классы должны
быть выравнены и знания учащихся доведены до одинакового
уровня, но к этой цели надо идти разными путями, приспособ¬
ляясь к классу, особенно в начале учебного года. Приспособление
к классу при составлении плана может найти своё выражение
40


прежде всего в увеличении или уменьшении числа часов на разные
темы. Особенно это важно учесть в теме «Повторение», которая
идёт в начале учебного года.
Для преподавания арифметики требуются планы троякого
вида: Л) план на четверть учебного года, 2) план на каждую тему
и 3) план на урок. Каждая четверть имеет определённое содержа¬
ние, которое должно быть усвоено учащимися в данное число
часов. Чтобы это содержание уложить в отведённые часы, нужно
правильно распределить время между отдельными темами. Мате¬
риал для составления четвертного плана имеется в объяснительной
записке к программе, где дан перечень тем, которые должны быть
изучены за четверть, и указано примерное количество часов на-
каждую тему. Учителю остаётся только указать календарные сро¬
ки прохождения каждой темы. Четвертной план может быть со¬
ставлен по следующей схеме:
Яе
п/п
1
Название тем
Количе¬
ство
часов
Календарные
сроки
Отметки о
выполнении
плана
1
3-я четверть
Умножение многозначных
чисел
12 час.
с 11 по 26 января
|
2
Деление многозначных чисел
22
с 27 января
по 23 февраля
I
1
При составлении четвертного плана надо учесть всё, что гово¬
рилось выше об особенностях класса, т. е, учесть необходимость
повторения некоторых тем из пройденного в предыдущих классах,
увеличение или уменьшение количества часов на отдельные темы,
и т. д.
Развитием четвертного плана является тематический план.
Приступая к изучению той или иной темы, учитель должен иметь
план работы по этой теме.
При составлении этого плана нужно расчленить тему на вопро¬
сы, расположить вопросы в определённом порядке и наметить,
сколько уроков нужно затратить на каждый вопрос, включить мо¬
менты повторения и указать, сколько контрольных работ будет
проведено, когда и по каким разделам.
Детальные планы, составленные поурочно, наиболее удобны,
по ним легко работать. Однако большая детализация в некоторых
случаях бывает затруднительной; тогда можно, чтобы не быть
слишком связанным планом и обеспечить свободу в распределении
материала по отдельным урокам, расчленять тему на более круп¬
ные вопросы и отводить на них в тематическом плане по 2—3
урока (более крупное объединение не рекомендуется).
41


^иреооразование обыкновенных дробей», на которую в объяснительной записке
к программе отводится 16 уроков, можно спланировать так: ^
1.	Получение дробного числа при измерении и при делении
го числа на равные части. Запись и чтение дробей. Числитель
и знаменатель дроби 		 2 урока
2.	Дробь правильная и неправильная. Исключение целого числа
из неправильной дроби. Смешанное число. Обращение целого
и смешанного числа в неправильную дробь	 3	,
3.	Сравнение величины дробей 		 I „
4.	Изменение величины дш^ог увеличения или уменьшения
величины числителя или зйЯтенателя в несколько раз. Основное
свойство дроби	 3
5.	Сокращение дробен	*	 2	„
•6. Приведение дробей к общему	знаменателю	 3
7. Повторение пройденного	   1
•8. Контрольная письменная	работа	 1
Такие планы приходится составлять в тех случаях, когда у учи¬
теля, приступающего к работе вновь, нет собственного опыта
в поурочной разбивке материала. Но и опытный учитель может
иногда прибегать к такому «суммарному» -планированию, если он
по тем или иным причинам недостаточно знаком с особенностями
своего класса, с темпами его работы. Во всяком случае нужно
помнить, что чем детальнее тематический план, тем легче учите¬
лю в процессе работы. Зная это, нужно накапливать материал по
планированию, сохранять старые планы и, главное, сохранять ма¬
териалы по фактическому выполнению планов. Так в течение ряда
лет у учителя накопится материал из его собственной практики,
который позволит ему планировать темы подробно и вполне
реально.
На основе тематического плана в процессе работы по данной
теме составляется план каждого отдельного урока. Каждый учи¬
тель, 'независимо от того, опытный он или малоопытный, высоко¬
квалифицированный или средней квалификации, должен иметь на
каждый урок план. Для начинающего учителя нужны подробные
планы; опытный учитель может ограничиться менее подробным
планом, но и для того и для другого план необходим, так как без
плана трудно дать хороший урок.
Урок как основная форма обучения арифметике.
Урок — это основная организационная форма обучения. Каж¬
дый урок имеет свою цель, свои задачи, своё содержание, при¬
чём это содержание должно представлять собой до известной
42


степени законченное целое. Содержание программы делится на
уроки не механически, а по логическим связям.
Так как обучение происходит посредством уроков, то умение
хорошо дать урок считается признаком высокого педагогического
мастерства и необходимым качеством учителя. Хорошо учит тот
учитель, который хорошо даёт уроки. По качеству урока судят
об учителе, и этот критерий в большинстве случаев оказывается
{надёжным и правильным. В зависимости от цели и содержания
уроки арифметики могут быть трёх типов:
а)	уроки, на которых объясняется новый материал, выяс¬
няется новое математическое понятие;
б)	уроки, на которых путём упражнений закрепляются
полученные знания;
в)	уроки, на которых знания учащихся проверяются
посредством письменных контрольных работ.
Могут быть уроки повторения пройденного.
Такое разделение носит условный характер. Строго говоря, на
каждом уроке (за исключением письменных контрольных работ)
происходит и расширение знаний, и тренировка, и проверка,
и повторение. На одних уроках главной целью является вы¬
яснение нового понятия, на других — упражнения, на третьих_
цель заключается в проверке знаний учащихся. В зависимости от
этой главной цели каждый урок можно отнести к тому или
иному типу.
Уроки первого типа — объяснение нового материала — яв¬
ляются наиболее трудными и ответственными. От качества
этих уроков в большой мере зависит чёткость восприятия, глубина
и ясность понимания изучаемого материала. Уроки этого типа
строятся примерно по такой схеме:
1.	Проверка домашнего задания. 2. Упражнения в беглом
устном счёте. 3. Объяснение нового материала. 4. Пер¬
воначальные упражнения в решении примеров или задач с целью
удостовериться, насколько глубоко и правильно учащиеся поняли
объяснение нового материала. 5. Задание на дом.
Объяснение нового материала на этих уроках составляет
главную, центральную часть урока; этой части уде¬
ляется и больше внимания, и больше времени. В отдельных слу¬
чаях, когда для объяснения требуется много времени, урок сразу
начинается с объяснения нового, минуя устный счёт. При таком
порядке остаётся достаточно времени не только для объяснения,
но и для выводов, обобщения, для первоначальных упражнений
в применении полученных выводов. Объяснение нового обычно
начинается с установления связи нового с ранее пройденным.
Уроки второго типа — уроки упражнений, тренировки и закре¬
пления — по своей структуре и содержанию несколько проще, чем
уроки первого типа. Главное здесь заключается в умелом подбо¬
ре примеров и задач, в том, чтобы эти примеры были разнооб¬
разны и исчерпывали все случаи каждого действия, все трудности,
43


все разновидности задач на данное правило в различных сочета¬
ниях и комбинациях. Кроме того, в задачу этих уроков входит
научить учащихся работать самостоятельно; поэтому, гото¬
вясь к таким урокам, учитель должен тщательно продумать во¬
прос о соотношении между работой под непосредственным руко¬
водством учителя, полусамостоятельной и самостоятельной рабо¬
той детей.
Уроки этого типа строятся обычно по следующей схеме:
1.	Проверка домашнего задания. 2. Устный счёт. 3. Упраж¬
нения: решение примеров или решение задач на данное
правило — под непосредственным руководством учителя, полу-
самостоятельное и самостоятельное 4. Задание на дом.
Остановимся кратко на характеристике каждого этапа уроков
первых двух типов.
I.	Проверка домашнего задания в начале урока проводится
регулярно, ежедневно. Помимо образовательного, она имеет боль¬
шое воспитательное значение. Она приучает ученика .к точ¬
ному выполнению задания. Сознание того, что задание будет про¬
смотрено, проверено и оценено, заставляет ученика быть аккурат¬
ным и исполнительным, мобилизует его на преодоление тех труд¬
ностей, с которыми связано выполнение задания. И, наоборот,
отсутствие или ослабление проверки ведёт к невыполнению домаш¬
них заданий и в конечном счёте к слабой- успеваемости класса.
Проверка может вестись в двоякой форме: а) в форме проверки
по открытым тетрадям и б) в форме опроса учащихся, без помощи
записей в тетради, когда учащиеся отвечают заданное наизусть,
по памяти.
Порядок „ проверки по открытым тетрадям общеизвестен: один из вызван¬
ных учеников читает по тетради решение примеров или задач, а остальные
ученики следят за его ответом по своим тетрадям. Допущенные ошибки тут же
выявляются и исправляются. Если ошибки носят единичный характер и допу¬
щены только немногими учениками, то допустившие ошибку\ ставят ' против
'неправильно решённого примера условный значок («галочку») для того, чтобы
дома перерешить пример и исправить ошибку. Если же ошибка косит более
или менее массовый характер, то учитель даёт классу соответствующие
объяснения и правильное решение примера (задачи).
Такой способ проверки позволяет учителю довольно быстро
установить, спра-в-ился ли класс с данным заданием, кто не выпол¬
нил задания и кто выполнил ошибочно. Однако этот способ про¬
верки не всегда достаточен; при помощи его можно установить
только са-мый факт выполнения или невыполнения задания, ре-
шевия или нерешения задачи (примера). Но трудно бывает опре¬
делить, самостоятельно ли выполнена работа, глубоко ли
она продумана, твёрдо ли усвоен учащимся заданный материал.
Для последней пели применяется иной способ проверки,
а именно: учитель вызывает к доске учащегося и предлагает ему
ответить заданное наизусть, если содержанием задания было
усвоение какой-либо таблицы, правила, или же предлагает решить
из домашнего задания пример (задачу) без помощи тетради, без
44


заглядывания в свои записи. Остальные учащиеся следят за отве¬
том вызванного ученика и, если нужно, по требованию учителя
вносят поправки и исправления.
Чтобы ускорить проверку и сберечь время, учитель может про¬
верить не всю работу, а только часть её, в выборочном порядке.
Второй способ проверки имеет преимущество перед первым:
он заставляет ученика лучше и основательнее готовиться к уроку,
глубже продумывать содержание заданного и усваиваемого мате¬
риала, быть самостоятельным в выполнении домашнего задания,
заучивать наизусть то, что подлежит запоминанию, ибо ученик
заранее знает, что ему придётся отвечать не по записям, сделан¬
ным в тетради.
На проверку должно тратиться от 5 до 10 минут.
2.	Упражнение в устном счёте обычно следует за проверкой
домашних заданий. На него отводится от 5 до 7 минут. Жела¬
тельно, чтобы эти упражнения проводились возможно чаше, еже¬
дневно. По содержанию устный счёт может быть связан с тем
материалом, который изучается на следующем этапе урока, и мо¬
жет иметь самостоятельный характер. На тех уроках, на которых
объясняется новый материал, полезно упражнения в устном счёте
связывать с этим новым материалом, ставя устный счёт на служ¬
бу основной цели урока. Например, если при объяснении нового
материала даётся деление многозначного числа на двузначное, то
полезно поупражнять учащихся в устном умножении двузначных
чисел на однозначное и в делении трёхзначных чисел на двузнач¬
ные, так как эти навыки в качестве элементов входят в деление
многозначного числа на двузначное. Если же на данном уроке
проходятся действия с составными именованными числами, то це¬
лесообразно упражнение в устном счёте построить на именован¬
ных числах, и т. д. Устный счёт часто используется для того,
чтобы установить# связь нового материала с пройденным. Напри¬
мер, перед тем, как объяснять учащимся задачу на сложное
тройное правило, полезно напомнить им решение задач на про¬
стое тройное правило, а для этого' нужно предложить учащимся
две-три устные задачи, решаемые способом приведения к единице.
Устное решение задач в таком случае будет служить одновре¬
менно и тренировкой в устном счёте, и связью нового сложного
понятия с простыми знакомыми детям понятиями, которые входят
в новое в качестве элемента. При такой постановке устного счёта
урок приобретает целостный, законченный характер, одна часть
подкрепляет другую, все этапы ведут к единой цели, которая при
таких условиях достигается с большим успехом. На тех же уро¬
ках, которые заняты* только упражнениями, устный счёт может
иметь самостоятельное содержание, независимое от характера
последующих упражнений.
3.	Объяснение нового составляет центральный этап урокоз
первого типа. Объяснение занимает большее или меньшее время
в зависимости от содержания материала и от класса. В младших


1А СА
и^/оминение гра-
инея меньше времени, примерно 15—20 минут, в старших клас¬
сах — до 30 минут, считая с выводами, с формулировкой правил.
На объяснение нужно тратить столько времени, чтобы после него
оставалось время для проверки, как осознано и понято учащи¬
мися то, что объяснялось. Это делается на решении примеров или
задач в зависимости от содержания и дели урока. Первые упраж¬
нения проводятся под непосредственным руководством учителя
с подробными объяснениями и обоснованиями способов и приёмов
решения задач и примеров (подробнее об упражнениях см. на
стр. 17).
4.	Заданием на дом урок завершается. Это короткий по
времени, но важный по значению этап урока, занимающий обычно
2—3 минуты. Программу по арифметике можно пройти
и хорошо усвоить только в том случае, если классные занятия
будут дополнены регулярной домашней работой учащихся.
Большое значение домашней работы заключается в том, что на
ней преимущественно воспитываются у детей навыки самостоя¬
тельной работы.
Ученик приучается к самостоятельной работе и в классе, но
настоящая, в полном смысле этого слова, самостоятельная работа
йачинается тогда, когда ученик всецело предоставлен самому се¬
бе, внимание его не отвлекается и он может работать свойствен¬
ными ему темпами, а всё это возможно главным образом в ,усло¬
виях домашних занятий. Задание на до>м нужно давать -своевре¬
менно (во всяком случае не под звонок!) и при полном внимании
учащихся, чтобы они поняли, что и как им нужно сделать к сле¬
дующему уроку: какие примеры (задачи) решить, сколько, в ка¬
кой форме, что записать и что усвоить наизусть и т. д. Полезно
иногда охарактеризовать предстоящую работу одной-двумя фра-
зЭаМИ, которые стимулировали бы учащихся на её лучшее выполне¬
ние («при решении примеров или задачи вы встретитесь с такими-
то трудностями»; или: «выполнение этой работы представляет
такой-то интерес»; или «выполнение этой работы будет иметь для
вас такое-то значение»).
На дом можно давать только то, что ученикам обстоятельно
объяснено и хорошо ими понято.
Домашнее задание нельзя перегружать материалом; по количе¬
ству материала задание должно быть таково, чтобы выполнение
его требовало от учащихся I и И классов не более 30 минут» а от
учащихся Ш и IV классов не более 45 минут. Количество приме¬
ров и задач, предлагаемых учащимся для домашней работы, долж¬
но быть примерно такое же, какое решается ими в течение
урока. На дом нужно давать не только примеры, но и задачи.
Более трудный материал следует проходить в классе, материал
средней трудности — давать на дом. Как правило, весь класс
должен получать одно и то же домашнее задание, но в некоторых
случаях полезно домашнее задание несколько варьировать: силь-
46


ным ученикам дать для самостоятельного решения задачу
посложнее, позамысловатее; отстающему ученику дать до¬
полнительный пример или задачу из того раздела, который им
слабо усвоен. Такая индивидуализация будет способствовать
усилению у детей интереса к арифметике и повышению успевае¬
мости класса.
Подготовка к уроку и план урока.
Большое значение урока обязывает учителя тщательно и ответ¬
ственно готовиться к нему. Хороший урок может получиться
только при том условии, если он тщательно подготовлен. В чём
же должна заключаться эта подготовка? Учитель в совершенстве
должен знать тот арифметический материал, который входят в со¬
держание урока: определения, правила, способы и приёмы решения
задач, таблицы и т. п. Как ни прост и элементарен этот материал*
тем не менее и в яём нужно совершенствоваться и обновлять
свои знания.
При подготовке к уроку полезно проверить свои знания по
учебнику арифметики, чтобы всё то, что будет излагаться на
уроке, было правильно в научном отношении и безупречно со сто¬
роны стиля. При малейшем сомнении надо обращаться к учебнику
арифметики, помня, что нет большего греха у учителя, чем сеять
на уроках невежество.
Подготовка нужна и по методике ведения урока, и по
организации его: всё должно быть продумано, взвешено»
предусмотрено, начиная с больших, принципиальных вопросов
и кончая «мелочами». Подготовиться следует к каждому этапу
урока:
а)	к проверке домашних заданий — прорешать каждый
пример (задачу), заданный на дом, и иметь готовые ответы, чтобы
вести проверку смело, уверенно и в достаточно быстром темпе:
наметить тех учеников, которые должны быть опрошены, и проду¬
мать те вопросы, которые будут им предложены для выявления
их знаний;
б)	к упражнению в устном счёте — подобрать материал
(примеры и задачи) для устного счёта, если нужно, составить их
и наметить форму ведения занятий устным счётом (о формах
см. стр. 126);
в)	к объяснению нового материала — подобрать мате¬
риал, расположить его в определённой системе, продумать вопро¬
сы и возможные на них ответы учащихся; подготовить наглядные
пособия и продумать способ их применения; продумать формули¬
ровку выводов, правил, обобщений, подготовить материал для
первоначальных упражнений;
г)	по организации урока — продумать весь ход урока
и наметить, чтб должны ученики только выслушать, что — запи¬
сать в тетрадях, чтб будет записано на классной доске, какие
47


моменты урока будут проходить под непосредственным руковод¬
ством учителя, какие — полусамостоятельно, какие — совершенно
самостоятельно;
д)	к домашнему заданию — наметить примеры и задачи
по задачнику и составить самому недостающее;
е)	увязать урок с современностью, с основными вопросами
текущей жизни, с практикой, используя в этих целях содержание
задач.
Для методической подготовки нужно прочитать соответствую¬
щие главы методики и использовать свой преподавательский опыт.
Подготовка к уроку должна быть завершена записью плана
урока или составлением конспекта урока. В плане кратко
записывается содержание каждого этапа урока, причём форма
и содержание плана несколько варьируются в ^зависимости от
содержания урока и его целевой установки.
Приведём несколько образцов плана, взяв урок решения задач и урок
обучения арифметическим действиям.
План урока в IV классе на тему «Ознакомление учащихся с нахожде¬
нием ч/сла по данной его части».
1.	Проверить домашнюю работу учащихся решение задач № 834 и 835
<плэн и решение).
2 Сообщить цель урока и установить связь с предыдущим материалом.
3.	Объяснение нового материала.
А. Нахождение числа по данной одной его части — на решении задач:
а)	«Одна треть линии равна 2 см. Чему равна длина всей линии)»
б) «!/* поля составляет 3 га. Сколько га во всём поле?»
в) «у* кг сахару стоит 2 р 50 к. Сколько стоит I кг сахару)»
Б. Нахождение числа по нескольким данным частям его.
а)	Решение задачи с подробным разбором под руководством учителя,
с записью плана и решения на доске и в тетрадях: «V* площади поля равны
32 га. Чему равна вся площадь поля?»
б)	Решение задачи учащимися полусамостоятельно: «За 2'з кг крупы
заплатили I р. 16 к Сколько стоят 24 кг этой крупы?»
в)	Самостоятельное решение учащимися задачи по задачнику без записи
©опросов: «За 3/* часа ученики прошли 3 км 600 м. Сколько километров прой¬
дут они в чао, если будут идти с- той же скоростью?»
г)	Выяснение математического смысла задачи на нахождение числа по
данной его части.
4.	Задание на дом: решить задачи №...
В приведённом плане опушен этап упражнений в устном счёте,
•чтобы уделить больше времени объяснению нового вида задач.
В план введён вопрос «Сообщение ученикам цели урока». Знание
пели полезно; оно помогает ученикам осмыслить работу и мобили¬
зовать внимание и силы на преодоление трудностей, связанных
с восприятием нового материала. В данном случае о цели можно
сообщить в обшей форме: «Сейчас я познакомлю вас с решением
таких задач, в которых требуется найти всё неизвестное число,
если дана только его часть. Эти задачи так и называются: найти
число по данной его части».
Приведём еще план урока но Н классе, на котором учащиеся знакомятся
с письменным слежением в пределе I 000.
48


Цель урока: «Познакомить учзщихся с приёмами письменного сло¬
жения в пределе 1 000».
1.	Проверка домашнего задания: примеры Я? 354 и 356.
2.	Устное (пол у письменное) решение примеров: 324 4- 563;	242 4- 456;
399 + 427, с последующей записью промежуточных результатов (частных
сумм). Выяснить на этих примерах, что устное сложение трёхзначных чисел —
трудный процесс и что в таких случаях целесообразно пользоваться письмен¬
ными вычислениями.
3.	Объяснение письменного сложения на примерах:
а)	в которых сумма единиц каждого разряда меньше 10:
,812	,734	,513
' 645	+ 162	+ 263
б)	в которых сумма единиц равна иди больше 10:
, 136	, 259	, 328
+ 254	ф 536	167
в)	в которых сумма единиц и сумма десятков больше 10:
, 453	, 649
275	184
4.	Упражнения в решении на доске примеров с подробными объяснениями:
,236	,761	, 5о8	44 7
352	(?о	+2?5	398
5.	Задание на дом: решить по задачнику примеры №...
Если краткую запись плана сделать более конкретной и по¬
дробной, то план превратится в конспект. В конспекте достаточ¬
но подробно излагается ход урока. Иногда конспект излагает¬
ся в форме вопросов учителя и ожидаемых ответов ученика. При¬
ведём два образца конспекта урока арифметики: один — в пове¬
ствовательной, другой — в вопросо-ответной форме.
Вышеприведённый план урока на нахождение числа по данной
его части можно развить в конспект, который в таком случае
будет иметь следующее содержание.
Ход урока.
Учитель: Достаньте тетради, проверим домашнюю работу (для ответа
будут вызваны ученики Спиркин, Сурков).
Учитель: На этом уроке я познакомлю вас с решением нового вида
задач, в которых мы будем находить всё число, если дана его часть — одна
или несколько. А перед решением таких задач повторим, сколько в единице
долей; это нам пригодится при решении задач
Сколько в единице четвёртых долей'* Пятых? Восьмых? Двенадцатых?
От единицы отнять 2^. Сколько останется?
От единицы отнять Сколько останется?
Учитель: Слушайте задачу: «(/з отрезка прямой равна 2 дм. Чему ра¬
вен весь отрезок?» (Вычерчивает на доске отрезок в 6 дм)
После повторения задачи и опроса, что известно в задаче и чгб требуется
найти, ставлю следующие вопросы
В целом отрезке сколько третей? (Три третьих.) Покажите это на доске.
(Ученик делит отрезок на 3 равные части и отмечает г,/я.)
Если в одной трети 2 дм, то что отсюда можно узнать? (Сколько деци¬
метров во всём отрезке.)
А. С. Пчёлю
49


г\<*к эго узнать? (2 дм надо умножить на 3.) Почему? (В одной трети
2 дм, а в целом отрезке три третьих; значит, в целом отрезке будет деци¬
метров в 3 раза больше.) Запишите решение.
Ученик записывает: 2 дм X 3 = б дм.
У ч и те ль- Задача решена. Длина всего отрезка найдена — 6 дм* Срав¬
ните данное число (2 дм) и полученное в ответе число (6 дм).
Ученик: 6 дм больше 2 дм.
Учитель: Так оно и должно быть: 2 дм — часть отрезка, 6 дм. —
весь отрезок. Что было известно? (Часть отрезка.) Что нашли? (Весь отрезок.)
У ч и т е л ь: Решим вторую задачу: «Картофелем засажена 74 всего участка,
и это составляет 3 га. Чему равна вся площадь участка?»
После повторения задачи и выяснения, что в задаче дано и что требуется
найти, делается чертёж и ставятся следующие вопросы:
Покажите:
12	3	4
Т' Т' 7’ Т Участка*
Сколько га в одной четверти? (3 га.)
Как узнать, сколько га во всём поле? (Нужно 3 га повторить 4 раза, или
умножить на 4.) Запишите это
Ученик записывает: 3 гаХ 4 = 12 га.
И т. д.
Из приведённого образца1 ясно содержание конспекта и стиль
его изложения. В нём точно ставятся вопросы, проектируемые
учителем, и приблизительно намечаются	предполагаемые
ответы учащихся.
Конспект может быть изложен и в повествовательной форме.
Приведём пример такого конспекта.
Конспект урока. «Умножение трехзначяого числа на однозначное».
Задача урока. Познакомить учащихся с простейшими случаями
умножения многозначного числа на однозначное, когда поразрядные произве¬
дения не требуют никаких преобразований и записываются под чертой пол¬
ностью одно за другим. Ударение должно быть сделано на умении отчётливо
объяснить каждый шаг выполняемого действия.
Урок распадается на 3 основные части: а) устный счёт, б) объяснение
нового материала и в) решение задачи.
Задача устного счёта заключается в том. чтобы путём повторения таблич¬
ного и внетзбличного умножения подготовить почву для лучшего усвоения
учениками нового материала.
Задача второй части урока состоит в том, чтобы: М показать ученикам,
что умножение есть частный случай сложения: 2) показать возможность
и необходимость замены поразрядного суммирования поразрядным умножением:
3) показать преимущество записи умножения «столбиком».
Лля этого разбираются три примера.
Последняя часть урока — решение задачи с устным разбором, устным со¬
ставлением плана и с записью действий.
Ход
урока.
I. У с т-н ы й счёт:
табличное
умножение.
8X6 7X3
9X7
6X9
9X5 7X8
6X7
5X8
Внетабличное умножение:
23 X 3 32 V 2
13X3
12X4
24X4 17X5
2о X 3
14 X 8
50


Решение каждого подчёркнутого примера, независимо от его правильно¬
сти, должно быть объяснено учениками.
II.	Объяснение нового материала.
Разобрать примеры и по мере пояснения записей расположить их на
классной доске так:
344
2) 344 X 2 = 688;
3)
344
4)
344
+ 344
X 2
X 2
688
8
688
80
600
688
232
2) 232 X 3 = 696;
3)
232
4)
232
+ 232
X 3
X з
232
6
696
696
90
600
696
Последовательность расположения примеров такова:
I) сложение столбиком, 2) сложение заменяется умножением, которое за¬
писывается в строчку, 3) умножение производится столбиком. Каждая запись
сопровождается вопросо-ответной беседой. Ученики при этом только смотрят
на доску и слушают объяснения учителя.
Ученики называют разрядный состав множимого. Учитель обращает вни¬
мание учеников на то, что в произведении число единиц получается от
умножения единиц множимого на множитель; от умножения десятков
множимого на множитель получается число десятков произведения и т. д.
Объяснение учителя таково: 4 единицы умножаются на 2, получается 8 еди¬
ниц; 4 десятка умножаются ка 2, получается 8 десятков, или 80; 3 сотни взять
2 раза, получится 6 сотен, или 600; всего получится 683.
Четвёртая запись является только упрощением и рационализацией третьей
записи.
Следующий этап: закрепление данного объяснения путём решения учащи¬
мися аналогичных примеров с краткой записью на доске.
Первая группа примеров:
123	243	424
У	3	X	2
Вторая группа:
612	322	512
Х_3	У 4	х 4
Работа протекает в такой последовательности: определяется разрядный
состав множимого, устанавливается порялок умножения, выполняется пораз¬
рядно умножение, последовательно записывается результат, прочитывается ре¬
зультат. Ученик у доски говорит, что делает. Остальные ученики решают
примеры в своих тетрадях.
III.	Решение задачи.
Задача: «Один лётчик пролетел 3 часа по 233 км в час, а другой — 4 ча¬
са по 211 км в час. Какой лётчик пролетел больше н на сколько больше?»
Запись условия:
1—3	час.	по	233	км\
11—4	час.	по	211	км.
51


Решение записывается так:
I) 233	2) у 211	3)	844
X	з	2	1	~ Ь99
699	8 !4	145
Ответ: 2-й летчик проле¬
тел на 145 км больше.
IV.	3 а д а н и е на дом.
По задачнику решить примеры и задачу.
* * *
Из приведённых образцов видно, что составление конспекта
урока требует большой работы, отнимающей много времени.
Поэтому составление конспекта на каждый урок рекомендо¬
вать нельзя; учителю трудно выполнить это требование, несмотря
на всю его полезность и целесообразность.
Конспекты рекомендуется составлять на такие уроки, где выяс¬
няются наиболее сложные и грудные понятия, и на открытые уроки
(пробные, показательные). Начинающие учителя должны прибегать
к составлению конспектов чаще. Форму изложения конспекта учи¬
тель может выбрать по своему усмотрению.
Анализ урока.
Методическое мастерство даётся не сразу; оно вырабатывается
в результате большого опыта, постоянной и упорной работы
учителя над собой, над пополнением своих знаний, над выработ¬
кой привычки следить за детьми, за их ростом и развитием,
в результате осмысленного и критического отношения к своим
методзм и приёмам преподавания. У учителя не должно быть
безразличного отношения к данному им уроку. Каждый урок
имеет свою цель. Идя на урок, учитель должен держать эту цель
в поле своего внимания. Выходя с урока, он должен непре¬
менно спрашивать себя: «Достиг ли урок своей цели? Выполнил
ли я намеченный план3 Как класс воспринял новые знания? Что
хорошего и что плохого было нз моём уроке? Что должен из¬
влечь я из данного мной урока3»
Привычка к самоконтролю, к самоанализу должна стать второй
натурой учителя. Только тот учитель будет расти и совершенство¬
ваться, кто будет постоянно развивать в себе качества педагогиче¬
ского самоанализа. Самоконтроль и анализ проведённого урока
может идти по линии следующих вопросов:
Проверка выполнения домашнего задания. Все ли учени¬
ки решили заданные примеры и задачи; если не все, то какова причина этого.
Как прошла проверка:	достаточно ли быстро н тщательно, выявлены ли
ошибки, объяснены ли они
Устный счёт. В какой мере способствовало упражнение выработке
беглости устного счёта, умения пользоваться наиболее рациональны¬
ми приемами устных вычислений, подчёркивалось ли преимущество наи-
1) 233	= о99 км;
2) 211	= 844 км;
3)	844 км — 699 км = 145 км;
52


более экономных и изящных приёмов (округления, перемещения слагаемых
и сомножителей и др.). Использованы ли для устного счёта другие этапы
урока, когда встречались действия над небольшими числами.
Объяснение нового материала. Как прошло установление
связи нового материала со старым, удачно ли применялись наглядные посо¬
бия, понятно ли было детям объяснение нового, удалось ли выдержать строго
систему, последовательность в постепенном усложнении материала; сделано ли
необходимое обобщение, выведено ли правило (если оно нужно было) и на
достаточном ли количестве примеров (типичная ошибка учителей: торопиться
с выводом прасила и делать вывод на основе рассмотрения одного-двух
примеров).
Объяснение задач новой разновидности или нового
типа. Удачно ли использованы наглядные пособия, помогли ли простейшие
устные задачи объяснить способ решения задач данного типа. Как прошёл
разбор задачи и составление плана её решения, достаточно ли активное уча¬
стие принимали во всей этой работе ученики; удалось ли заставить учеников
думать, рассуждать, проявлять инициативу, искать самостоятельно способ ре*
шения, составлять свои задачи.
Урок упражнений и тренировки в решении примеров
и задач Отражено ли в подобранных примерах всё основное и специфиче-
ское для данного правила; в какой мере углублялось на них понимание
способа решения, совершенствовалась техника письменных вычислений
(быстрота и правильность вычислений, чёткость и правильность записей), раз¬
вивалась ли инициатива и самостоятельность у учащихся при решении задач
и примеров.
В какой мере выполнялись на уроке общедидактические требования,
исправлялись ли ошибки в речи учащихся, оказывалась ли помощь отстающим
ученикам, вовлекался ли весь класс в работу, во-время ли и в понятной ли
форме дано домашнее задание?
Было ли обучение на уроке воспитывающим: поддерживался ли
э классе порядок, дисциплина, уделялось ли достаточное внимание поведению
отдельных учащихся; устанавливалась ли там, где это возможно, связь учеб¬
ного материала с современностью, с практикой социалистического строительства.
Проверка и оценка знаний учащихся.
Одним из непременных условий успешного обучения арифметике
является правильная постановка наблюдения и контроля за работой
ученика, систематическая проверка'знаний учащихся. Можно
хорошо объяснять материал и давать много упражнений, но если,
не проверять регулярно знания учащихся, не учитывать с должным
вниманием выполнение домашних заданий, то нельзя добиться от
учащихся твёрдых знаний и полной успеваемости. В преподава¬
нии арифметики проверка исполнения играет такую же большую
роль, как и во всяком другом деле. Не проверив знания мате¬
риала предыдущей ступени, нельзя переходить к изучению по¬
следующей.
Проверка знаний для ученика — добавочный стимул к борьбе
за знания: сознание того, что его работа будет проверена, мобили¬
зует ученика на лучшее её выполнение.
Когда ученик отвечает заданный урок, то на его ответе, на до¬
полнительных вопросах учителя и ответах ученика учится весь
класс, в это время углубляется понимание изучаемого, твёрже
усваиваются знания.


эю ооязывает учителя к систематической и тщательной
проверке знаний учащихся. «Дал задание — проверь его выполне¬
ние, узнай, как усвоил ученик заданное. Не оставляй без проверки
ни одной самостоятельной работы ученика. Не иди дальше, пока
не убедишься, что все ученики твёрдо усвоили заданное», — такова
должна быть установка учителя в деле учёта успеваемости уча¬
щихся. Она будет держать ученика в состоянии некоторого напря¬
жения и воспитывать у него привычку к точному выполнению
заданий.
Существуют два основных способа проверки знаний учащихся
по арифметике: I) устный о-прос и 2) письменные контрольные
работы. Кроме этих основных способов, для учёта знаний учащихся
должны быть использованы также данные повседневных наблюде¬
ний учителя за работой ученика и письменные домашние работы
учащихся.
При господствующей в начальной школе вопросо-ответной фор¬
ме обучения учитель часто обращается к ученикам с вопро¬
сами, получает от них ответы и этим выявляет их знания. Во
время классной самостоятельной работы учащихся учитель имеет
возможность наблюдать за работой каждого ученика и видеть, что
ученик знает твёрдо, в чём сомневается и чего не знает. Проверяя
домашние работы учащихся, учитель в сущности проверяет их зна¬
ния и навыки. Всё это даёт ему возможность составить общее
представление о знаниях и навыках учащихся по арифметике. Одна¬
ко эти впечатления, получаемые учителем от отдельных работ и от¬
ветов ученика, недостаточны для оценки его знаний: они отрывоч¬
ны, разрозненны, получаются тогда, когда вызов ученика связан
с другими целями. Их надо дополнить специальным опросом уче¬
ника, направленным исключительно на то, чтобы с возможно боль-,
шей полнотой выявить его знания, и поставить ему оценку. Для
этого учитель, планируя урок, намечает двух-трёх учеников для
опроса, соединяя этот опрос с проверкой домашних зада!ний.
Устный опрос.
При устном опросе могут быть проверены: а) устный счёт,
б)	письменные вычисления, в) решение задач.
Для проверки навыков в устном счёте и в письменных вычисле¬
ниях ученикам предлагаются для решения примеры. Для проверки
умения решать задачи даются 2—3 устные задачи или одна пись¬
менная, причём для последней цели может быть использована
задача из домашнего задания.
При оценке ответов обращается внимание: в устном счё¬
те — на правильность и быстроту вычислений, на умение пользо¬
ваться наиболее рациональным для каждого данного случая приё¬
мом вычислений; в письменных вычислениях — на знание
правил производства арифметических действий и преобразований
и умение объяснять выполнение действия; в решении -задач —
54


на знание способов и приёмов решения задач и умение объяснить
решение.
Если учащийся при устном опросе правильн^ решает и толково объяс*
няет задачу, правильно и быстро решает все устные примеры, поавильнэ ре
шает и связно объясняет решение письменного примера, обнаруживая умение
пользоваться рациональными приёмами устных и письменных вычислений, —
ему ставится отметка «5».
Если ученик правильно решает и толково объясняет решение задачи,
допуская несущественные ошибки (вроде неточной формулировки вопроса,
пропуска наименований и т. д.), правильно решает устный пример, допуская
1—недочёта, правильно решает письменный пример, — ему ставится
отметка с4».
Если же при решении задачи ход решения правилен, но сделана ошибка
в вычислениях или неправильно поставлен вопрос; если при решении
3—4 устных примеров какой-либо один из них решён неправильно, при реше¬
нии письменного примера допущена грубая ошибка, — ставится отметка «3>.
Если задача решена неправильно, из 3—4 примеров для устного счёта
2 примера решены неправильно, в письменном примере сделаны 2 грубых
ошибки, то ставится отметка «2».
Дальнейшее увеличение ошибок, приводящее к неправильному решению
задачи и примеров, влечёт за собой отметку «1».
Содержание задач и примеров должно соответствовать прой¬
денному материалу.
Для опроса учащихся можно использовать и то сравнительно
небольшое время, когда всему классу предлагается самостоятель¬
ная работа. В это время можно вызвать одного ученика к классной
доске и производить опрос по тому плану, который указан выше.
Желательно, чтобы в течение четверти такой опрос каждого уче¬
ника производился несколько раз. Опенка в таких случаях ставится
в классном журнале и учитывается при выводе оценки за четверть.
Письменные контрольные работы.
Контрольные письменные работы дают возможность одновремен¬
но и в течение короткого срока (40—45 минут) проверить знания
всего класса. На основании результатов контрольной работы учи¬
тель может сделать правильный, документальный и обоснованный
вывод о знании учащимися того материала, который являлся содер¬
жанием работы.
Из результатов контрольной работы учитель должен уметь
извлекать урок для себя, для построения правильной перспекти¬
вы в своей работе.
Чтб дать для контрольной работы, какое содержание в неё
вложить — это первый вопрос, который приходится решать, наме¬
чая контрольную работу; содержание контрольной работы опреде¬
ляется содержанием пройденного раздела программы. Задачи
и примеры должны подбираться так, чтобы ими охватывалось всё
славное, основное из пройденного раздела.
55


Пусть, например, требуется проверить знания и навыки после изучения темы
«Вычитание многозначных чисел» в III классе. Для этого достаточно дать 4 при¬
мера и одну задачу с таким содержанием:
1)	ь 467 На этом пример проверяется умение вычитать без занимания и с
3 865 заниманием высших разрядов. Сюда же можно присоединить за-
2)	18 046 дани^' «Против каждого числа напиши его название».
'		у 006 Чз этом примере'проверяется умение вычитать 0 из нуля, 0 из знача-
		 шей цифры, равные цифры уменьшаемого и вычитаемого (6—6 = 0).
Д) 80 060 Здесь проверяется умение занять одну единицу высшего разряда
~~4 987 и сделать ряд последовательных раздроблений.
4) 76 824 — 8 196 = 68 628. Этот пример дается для проверки правильности вычи¬
тания («Проверьте, правильно ли выполнено вычитание».)
Контрольные работы могут быть или комбинированные, т. е.
состоящие из примеров и задач, или однородные, т. е. состоящие
только из примеров или только из задач. В последнем случае вни¬
мание учащихся не разбрасывается на выполнение работ, различ¬
ных по форме и содержанию, что даёт возможность учащимся
полнее выявить свои знания, а оценка в таких условиях приобре¬
тает ббльшую определённость. В III и IV классах надо отдавать
предпочтение однородным работам.
По объёму проверочная работа должна быть такой, чтобы
учащиеся имели возможность на уроке не только выполнить её,
но и проверить.
1' класс. В первом полугодии проверочная работа может состоять из
12—15 примеров в одно действие.
Во втором полугодии она должна состоять из 16—20 примероэ в одно
действие. •
Во втором полугодии в письменных работах 1 класса должны ставиться
и задачи. В 3-й четверти в этом классе работа должна состоять: а) из 2 задач
в два действия или б) из 1 задачи в два действия и 8—10 примеров в одно
действие. В 4-й четверти работа должна состоять: а) из 2 задач в два-три
действия или б) из 1 задачи в два-три действия и 8—10 примеоов в одно
действие.
П класс. Письменная работа в первом полугодии может состоять:
а) из 16—20 примеров в одно действие, или б) из 2 задач в два-три действия,
или в) из 1 задачи в два-три действия и из 8—10 примеров в одно действие.
Во втором полугодии письменная работа должна состоять: а) из 16—20
примеров в одно действие, решаемых полуписьменно (действия производятся
с помощью устных приёмов вычислений, но данные и -результаты записы¬
ваются), или б) из 10—12 примеоов в одно действие, решаемых письменно,
или в) из 2 задач в три-четыре действия, или г) из 1 задачи в три-четыре
действия и из 6—8 примеров в одно действие.	в
Ш и IV классы. Письменная работа в III и IV классах рассчитывтется
на 45 мичут и может состоять: а) из 8—10 примеров в одно действие, или
0) из 1—2 задач, или в) из 1 задачи а 3—4 примеров в одно действие. г
Примеры и задачи для контрольной работы учителю приходятся
или составлять самому, или брать готовые из различных
источников. Составляя контрольную задачу, нужно формулировать
её условие просто, ясно, чётко, определённо, вкладывая в неё
арифметическое содержание, полностью отвечающее тому, что
с учениками фактически пройдено. Ничего нового, неизвестного,
требующего пояснений, в тексте контрольной работы не должно
быть. Составив задачу, нужно-её прорешать, чтобы удостовериться
56


в том, что числовые данные подобраны правильно, что вопрос
поставлен ясно и что задача даёт одно определённое решение.
Для контрольной работы может быть взята и готовая задача
из какого-либо задачника, но только не из принятого в классе,
так как почти все помещённые в нём задачи решаются или
•в классе, или в порядке домашних заданий, и почти все они снаб¬
жены ответами. Сказанное о задачах полностью относится и к
примерам.
Как провести контрольную работу в классе?
Проведение контрольной работы должно быть тщательно подго¬
товлено. Всё заранее должно быть предусмотрено:	учащиеся
должны подготовить листки бумаги (если нет особых тетрадей для
этой цели), ручки, перья, чернила; на листках должна быть сде¬
лана надпись:
«Контрольная работа по арифметике ученика... класса, .. число... ме¬
сяц. .. год».
Всё это нужно сделать заранее, для того чтобы на уроке на
приготовление к работе не тратить ни одной лишней минуты.
Подготовленные для контрольной работы задачи и примеры
обычно записываются учителем во время перемены на классной
доске, откуда они списываются детьми в свои тетради. Запись на
доске должна быть чёткой, крупной, разборчивой. Особенно чётко
должны записываться числовые данные. Для контрольной работы
необходимо давать два варианта.
Чтобы не тратить времени на записи и поставить учеников
в наиболее благоприятные условия при выполнении работы, можно
заготовить заранее для каждого ученика листок с напечатанной на
машинке или написанной от руки задачей и примерами.
Ответы к задачам и примерам ни в коем случае не следует
сообщать учащимся.
Когда дети спишут работу в тетради и примутся за решение
задачи и примеров, учитель должен обеспечить полную само¬
стоятельность в выполнении работы каждым учеником
и создать условия для спокойной и продуктивной работы класса.
В классе должно быть устранено всё, что может мешать ученику
сосредрточиться на работе, всё, что может отвлечь внимание детей
от продумывания задачи: шум, разговоры, вопросы отдельных уче¬
ников и т. д. Место учителя во время контрольной
рабрты— за учительским столом. Его обязанность
при этом — наблюдать за тем, чтобы каждый ученик работал
вполне самостоятельно. Расхаживание по классу, заглядывание
в ученические тетради, замечания отдельным ученикам, ответы на
их вопросы не рекомендуются — всё это мешает спокойной и са¬
мостоятельной работе детей и отвлекает учителя от его прямой
задачи — наблюдения за всем классом. За 5 минут до звонка
целесообразно напомнить ученикам, что скоро конец урока и что
57


оки должны заканчивать работу. Никаких особых бумажек для
черновых записей допускать не следует; всё решение, все вычисле¬
ния должны записываться на том листке, где выполняется кон¬
трольная работа. Такой порядок приучает учеников к аккуратным
записям, а учителю он даёт возможность лучше выявить знания
учащихся, предупредить списывание и найти источник ошибки,
если она допущена учащимся. После звонкл все ученики немед¬
ленно сдают работу.
Как проверять и оценивать контрольную ра¬
боту? Контрольная работа должна проверяться без промедле¬
ния, вслед за её выполнением, с тем чтобы к следующему уроку
были выявлены результаты работы. При проверке грубые ошиб¬
ки подчёркиваются двумя чертами, негрубые — одной чертой,
неправильный результат вследствие ранее допущенной ошибки —
одной волнистой чёрточкой. Против подчёркнутого на полях
можно делать краткие пометки: «не сокращено», «пропущен
нуль», «неточное выражение» и т. п.
Ошибки бывают разные. Одни ошибки свидетельствуют о не¬
знании или непонимании учащимися программного материала, неуме¬
нии применять правило, выполнять то или иное действие. Дру¬
гие ошибки являются результатом не вполне твёрдых знаний или
недостаточной устойчивости внимания.
Ошибки первого рода являются более грубыми. Ошибки вто¬
рого рода — менее грубыми.
Грубыми ошибками следует считать: 1) ошибки в вычислениях, связан¬
ные с незнанием приёмов и правил выполнения действий, а также табличных
результатов арифметических действий; 2) ошибки в решении задачи: пропуск
действий в середине или в конце, неправильный выбор действий, неправиль¬
ный выбор числовых данных, неправильная постановка вопросов, несоответ¬
ствие вопроса выбранному действию, ошибки в наименованиях, свидетель¬
ствующие о непонимании учащимися задачи.
ААенее грубыми ошибкэми считаются*. П нерациональный приём в вычи¬
слениях; 2) пропуск наименований либо постановка их там, где не следует
ставить; 3) неточно сформулированный вопрос к действию при решении
задачи; 4) описки, допущенные при списывании числовых дачных или знака
действия, при правильном решении: например, вместо 65+18 = 83, ученик
записал 66 + 18= 84 (при решении же задачи неправильное применение
знака действия—выбор действия — считается грубой ошибкой); 5) не-
доведение до конца преобразования:	например, при сложении или вы¬
читании дробь оставлена без сокращения; из неправильной дроби не исклю¬
чено целое число, в простом именованном числе не сделано превраще¬
ния, например 325 кг X 160 = 52 000 кг.
Повторяющиеся негрубые (одни и те же) ошибки (например неправильная
постановка наименований) принимаются за одну ошибку.
За 1 рамматические ошибки, допущенные в работе, оценка по ариф‘метике|
не снижается, эти ошибки принимаются во внимание учителем при оценке
знаний по русскому языку.
Письменные работы, состоящие только из примеров,
оцениваются так:
Отметка «5» ставится, если все примеры решены правильно; в вычислен
н иях применены наиболее рациональные приёмы; записи решения приме¬
ров выполнены аккуратно и расположены последовательно; сделана проверка
решения в тех случаях, когда это требуется.
58


Отметка «4» ставится, если в работе допущены 1—2 ошибки, причём "'не
более одной грубой.
Отметка «3,> ставится, если в работе допущены 2—4 ошибки, причем не
более двух грубых.
Отметка «2» ставится, если при решении примеров допущены 3—6 ошибок,
причём не более трёх грубых ошибок.
Отметка ставится, если в работе допущено свыше трёх грубых оши¬
бок.
При опенке письменных работ, состоящих только из за¬
дачи, отметка «5» ставится, если задача решена правильно, т. е. правиль¬
но составлен план решения задачи, правильно выбраны действия, точно
сформулированы все вопросы к ним, правильно поставлены наименования, все
вычисления выполнены верно с применением наиболее рациональных приёмов,
записи выполнены аккуратно, расположены последовательно.
В случае, если ученик даёт оригинальный, вполне рациональный при¬
ём решения задачи, отметка «5» 'может быть поставлена и при наличии
в работе одного-двух несущественных недочётов.
Отметка «4» ставится, если правильно составлен план решения задачи,
правильно выбраны все действия, но при решении допущены 1—2 ошибки,
из них не более одной грубой.
Отметка «3» ставится, если при правильном ходе решения задачи допу¬
щены 2—4 ошибки, причём не более двух грубых.
Отметка «2» ставится, если план решения задачи составлен неправильно.
Отметка «I» ставится, если ученик не приступил к работе или свёл
решение к случайному комбинированию чисел.
Письменные работы, состоящие из примеров и задач,
оцениваются по такой шкале:
В тех случаях, когда письменная работа состоит из примеров и задач
или из двух задач, можно ставить или одну общую отметку, или две отмет¬
ки отдельно за обе части работы (в случае резкой разницы в качестве вы¬
полнения каждой части работы), причём: а) если обе части работы выполне¬
ны одинаково (например, обе на «5», или «4», или «3» и т. д.), эта отметка
и должна быть общей для всей работы в целом; б) если одна часть работы
выполнена, а другая часть работы не выполнена и при этом требуется дать
всей работе одну общую оценку (при четвертных работах), то отметка «3»
ставится лишь в том случае, когда за выполненную часть работы дана оценка
не ниже «4».
Если работа выполнена плохо, то полезно после оценки кратко
написать, что ученику нужно сделать, чтобы ликвидировать допу:
щенные ошибки: решить такие-то номера задач, прорешать такие-
то номера примеров.
Закончив проверку и поставив оценки, нужно проанализировать
ошибки, допущенные детьми, и установить, какие же вопросы
оказались слабо усвоенными. По каким рубрикам производить ана¬
лиз — это всецело зависит от содержания работы. Схема для
классификации ошибок не должна быть надуманной, нарочито
составленной; содержание её само собой определится в зависи¬
мости от того, какие именно ошибки сделаны в данной контроль¬
ной работе.
Оценивая работу класса в целом, классифицируя и суммируя
допущенные ошибки, нужно не упускать из виду отдельных уче¬
ников. Нужно не только установить, кто как выполнил работу, но
нужно ясно представлять себе, в чём именно ошибается гот или
иной ученик, какие вопросы нм плохо усвоены, что именно из
59


пройденного недостаточно понято. Для этого рекомендуется учи¬
телю в своей записной книжке отметить фамилии учеников, напи¬
савших работу неудовлетворительно, и против каждой фамилии
написать, в каких вопросах допущены ошибки.
Вся эта работа должна быть проделана для того, чтобы учи¬
тель мог вполне обоснованно и правильно решить вопрос, чтб
ему делать дальше: перейти ли к изучению следующего раздела
по плану или остановиться на повторении и закреплении пройден¬
ного, Если значительная часть учеников получила отметку
ниже, чем «3», то этот факт игнорировать нельзя: он означает,
что пройденный раздел усвоен слабо и что, следовательно, нужно
отвести ещё несколько уроков на пройденное, выделяя и подчёр¬
кивая при этом то, в чём учащиеся ошибаются. Если же подав¬
ляющее большинство учащихся выполнило работу удовлетвори¬
тельно, то нужно переходить, не теряя времени, к изучению сле¬
дующих по плану вопросов, проведя дополнительные занятия
только с теми учениками, которые получили неудовлетворитель¬
ные отметки.
Следующий за контрольной работой урок должен быть посвя¬
щён разбору результатов проведённой контрольной работы. Этот
урок должен быть проведён таким образом, чтобы дети осознали
допущенные ими ошибки и чтобы они получили зарядку на даль¬
нейшую работу, стремление работать ещё лучше, прилежнее, упор¬
нее. Для этого нужно выделить и поощрить хороших учеников,
показать, почему они достигли хороших результатов, и в то же
время показать причины неуспеваемости 'отстающих учеников.
Начать урок нужно с краткой характеристики выполненной рабо¬
ты, показать, каких знаний и умений она требовала и как учащиеся
справились с ней: показать типичные ошибки, показать, как сде¬
лано (как решён тот или иной пример, та или иная задача) и к а к
надо было сделать.
Затем нужно кратко охарактеризовать работу каждого ученика;
если же времени нехватает, то подробно остановиться на несколь¬
ких работах, заслуживающих особого внимания, — двух-трёх от¬
личных и одной-двух плохих, показав, что хорошее и чтб плохое
в этих работах. После этого нужно раздать работы учащимся на
руки для того, чтобы ученики могли дома перерешать задачи
й примеры, в которых сделаны ошибки.
Контрольные работы нужно проводить систематически, регу¬
лярно после каждого изученного раздела арифметики. Если раз¬
делы по объёму небольшие и изучаются в короткие сроки,
то целесообразно такие разделы объединять и давать для проверки
их общую контрольную работу.
Тетрадь по арифметике.
Ученическая тетрадь по арифметике — эта важнейшая учеб¬
ная принадлежность — должна быть широко^ использована как
в образовательных, так и в воспитательных целях.
60


На записях в тетради и обращении с нею можно привить детям
любовь к чистоте и опрятности, к точности, аккуратности и орга¬
низованности, к красоте и изяществу, которые потом будут пере¬
несены на любой письменный документ, с которым будут иметь
дело наши дети. И, наоборот, если учитель не уделяет должного
внимания тетради, то у ученика развиваются и укрепляются отри¬
цательные качества — небрежность, неаккуратность, нечеткость
в написании цифр, привычка к неряшливости и грязи.
С первых дней работы надо учить ученика правильному веде¬
нию тетради по арифметике и неослабно следить за тетрадью на
протяжений всех лет обучения, добиваясь того, чтобы каждая
ученическая тетрадь была действительно образцом чистоты, поряд¬
ка и изящества.
В I классе, когда ученик ещё не умеет писать, пусть учитель¬
ница сама подпишет тетрадь ученика чётким и красивым почерком,
а в дальнейшем, начиная по крайней мере со II класса, пусть
всегда требует чтобы сам ученик поавильно, грамотно и чётко
подписывал свою тетрадь по установленному образцу:
ТЕТРАДЬ
по арифметике ученика III класса школы № 5
Андрея Коптилова.
Ничего больше, чем эта краткая, деловая надпись, не должно
быть на первой странице тетради — ни рисунков, ни каких-либо
узоров и украшений, ни лишних подписей. Хорошее качество те¬
тради определяется её чистотой, правильным начертанием цифр,
чётким заполнением каждой её страницы. Неправильно написанное
не следует стирать резинкой или густо мазать чернилами, оно
должно быть аккуратно зачёркнуто.
Особое внимание надо уделять письму цифр. С первых
шагов надо учить правильному начертанию цифр. Цифра — между¬
народный знак, и это вдвойне обязывает школу к соблюдению
установленной транскрипции цифр. Начертание цифр должно быть
простым, чётким, законченным, без лишних завитков, украшений,
добавлений. Цифры пишутся с наклоном, как и буквы (см. стр 152).
В I классе цифры пишутся в две клетки, во II — в одну клет¬
ку, в III и IV — немного меньше, чем в одну клетку Наименования
при цифрах пишутся в полклеткя. При записи чисел надо придер¬
живаться правила: «Каждой цифре — особая клетка»; соблюдение
этого простого правила приводит к чёткому и красивому письму.
Записывая действия в столбик,	де_ нужно пропускать клетку.
между верхним и нижним числом. Черту под числом нужно вести
по намеченной линии.
Заглавия пишутся в полную клетку, другие слова и буквы —
в полклетки.
61


записи должны располагаться симметрич¬
но, не густо, но и без оставления пустых мест (в условиях военно¬
го времени надо быть особенно внимательным к требованиям эко¬
номных записей).
Каждый новый раздел должен начинаться его заглавием,
например: «Деление многозначных чисел», «Раздробление и пре¬
вращение составных именованных чисел» и т. д.
Работа каждого дня должна датироваться с указанием, какая
это работа — классная или домашняя. При решении задачи ука¬
зывается её номер, например: «Задача № 38», если задача взята
из принятого в классе задачника.
Так как тетради должны регулярно просматриваться учителем,
то целесообразно было бы иметь каждому ученику две тетради
(тетрадь № 1 и тетрадь № 2), с тем чтобы ученик, сдав учителю
для проверки одну тетрадь, мог бы иметь на руках другую те¬
традь для выполнения домашнего задания. Для контрольных работ
целесообразно иметь особую тетрадь, в которой выполняются
только контрольные работы и которая всегда находится у учителя.
Бывают дети, которые отличаются неряшливостью; бывают це¬
лые классы с плохими тетрадями. Как в таких случаях поступать,
как вести борьбу с дурными привычками ребят? Самое лучшее
средство — это показ хороших образцов. Если ученик плохо пи¬
шет цифры, надо, просматривая тетрадь и исправляя ошибки, сде¬
лать замечание: «Пиши цифры лучше», и тут же самому учителю
написать цифры для примера, а потом заставить ученика написать
несколько раз по данному образцу ту или иную цифру. Если уче¬
ник плохо записывает действия или неумело, несимметрично распо¬
лагает действия на странице, то и в таких случаях надо действо¬
вать показом: самому написать отдельный пример или даже стра¬
ницу (для показа всему классу). Нужно поощрять тех, кто хорошо
ведёт тетрадь, ставить их в пример другим учащимся.
Исправление ошибок.
Как исправлять ошибки, допущенные учеником, в какой мере
нужно привлекать к этому самих учащихся, — это далеко не мало¬
важные вопросы при обучении арифметике. Есть два способа
исправить ошибку: первый — учитель подчёркивает то место, где
допущена ошибка, и ученик исправляет её; второй способ — учи¬
тель зачёркивает неправильно решённый пример (или задачу) и сам
исправляет ошибку. Какой из этих способов более правильный
и целесообразный, а если оба они допустимы, то в каких случаях
каждым из них пользоваться?
Решение этого вопроса зависит от характера допущенной
ошибки, от её причины. Ошибка может быть, как указано выше,
в результате следующих причин: а) недостаточного знания, недо¬
статочного понимания данного вопроса, б) недостаточной твёрдо-
62


лй и устойчивости навыка или в) в результате
гевнимакия.
Поясним это на примере трёх ошибок:
1) Ученик производит деление многозначного числа
я получает неправильное частное:
24 472 I 437
2185 !
551
рассеянности.
на трехзначное
2ъ22
2 185
437
437
О
2)	Решая три примера на сложение двузначных чисел, ученик в одном
кз них допустил ошибку, а именно: 39 + 28 « 66.
3)	Списывая с доски примеры, ученик написал 3 вместо 5; надо:
65 — 27 = 38, написано: 63 — 27 = 36.
Как исправить эти ошибки? В основе первой ошибки лежит недопонима¬
ние процесса деления многозначных чисел, непонимание! того, что остаток
при делении всегда должен быть меньше делителя. Самостоятельное исправ¬
ление ошибки в таких случаях трудно для 'учащегося- ему надо не только
указать ошибку, но и раскрыть её, показать, в чём именно она заключается
и как её исправить. Поэтому учитель поступит правильно, если он, подчерк¬
нув 437 и 551, рядом с этим напишет правильное решение примера:
24 472] 437
^85 '	-
2 622 00
2 622
(Г
н сделает такое указание: «Остаток всегда должен быть меньше дели¬
теля». А затем в классе надо ещё раз остановиться на этой ошибке, выписав
её на классной доске, и объяснить её причину.
В основе второй ошибки лежит недостаточно твёрдое знание таб¬
лицы сложения. Здесь достаточно только указать ошибку подчёркиванием
неправильной суммы (66), предоставив самому ученику исправить ошибку,
найти правильный ответ. Это дело вполне посильное для ученика.
И, наконец, третья ошибка носит чисто случайный характер-, сё можно
оставить без исправления или, исправив, сделать замечание: «При списыва¬
нии примеров будь внимательнее».
Сложнее обстоит дело с исправлением ошибок при решении
задач. Там встречается целый комплекс ошибок, имеющих разные
причины: ошибки мышления или ошибки логического порядка,
ошибки в вычислениях, ошибки стилистического характера при
записи вопросов и объяснения и, наконец, ошибки случайного ха¬
рактера —от рассеянности и невнимания. Каждый вид ошибок
требует особого к себе подхода, особых приёмов исправления.
Логические ошибки находят своё выражение в неправильной
постановке вопросов, в неправильной или неточной их формули¬
ровке. Если весь план неправильно составлен, то такая работа не
63


поддаётся исправлению: её нужно перечеркнуть, а в классе по¬
дробно объяснить ученику, как решается данная задача, и заставить
его решить эту задачу заново. Если в работе неправильно сформу¬
лированы только некоторые отдельные вопросы, то эти вопросы
исправляются учителем, учитель зачёркивает ошибочно сформули¬
рованный вопрос и надписывает вопрос в правильной редакции.
Если допущена ошибка в вычислениях, то эта ошибка подчёр¬
кивается учителем, и ученик сам исправляет её. Если ошибка
в вычислениях допущена в начале или в середине работы, но ра¬
бота доведена до конца и привела к неправильному ответу, го
достаточно подчеркнуть только неправильное (первое) вычисление
и ответ; ученик же в таком случае должен перерешать дома всю
задачу.
Ошибки стилистического характера также исправляются учи¬
телем.
Каждая ошибка, исправленная учителем или только подчёрк¬
нутая им, внимательно просматривается учеником, и ученик, как
правило, переписывает ошибочно решённый пример или задачу
в исправленном виде.
Если ученик не работает над ошибкой, то работа учителя по
исправлению ошибок проходит впустую; одна и та же ошибка по¬
вторяется долго, искореняется медленно. Чтобы ошибка не повто¬
рялась, ученик должен её продумать, глубже понять и осознать
данный вопрос, или, если ошибка допушена вследствие недостатка
навыка, проделать ешё и ешё раз упражнение в данном навыке.
Для предупреждения ошибок очень важно научить учеников
проверять свою работу. Существуют различные способы про¬
верки (они будут раскрыты в соответствующих разделах методики).
«Борясь с ошибками, надо учитыва гь индивидуальные особенно¬
сти детей: одни дети тяжело переживают ошибку, как несчастье,
другие легко относятся к допущенной ошибке. Одни перед сдачей
тетради пересчитывают каждый пример по нескольку раз, другие
довольствуются только общим впечатлением от своей работы
Ясно, что отношение учителя к таким ученикам должно' быть раз¬
личное: одних надо ободрить, других, наоборот, заставлять искать
свою ошибку, проделывать систематические упражнения в про
верке ошибок.
Одни дети быстро реагируют на ошибки, другие — медленно.
Одному достаточно только послушать анализ чужой ошибки,
чтобы не допустить её у себя, а для другого требуется, кроме
классного анализа, ешё индивидуальные разъяснения, специальные'
упражнения, чтобы покончить с ошибками. Работая с классом,
учитель должен не упускать из виду эти особенности каждого
ученика, приспосабливаясь к ним, использовать сильные стороны
каждого учащегося, чтобы, опираясь на них, поднимать весь класс
на более высокий уровень» (Н. А. Менчинская).
64


ГЛАВА ШЕСТАЯ.
ОСОБЕННОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ ПРЕПОДАВАНИЯ
АРИФМЕТИКИ В ДВУХКОМПЛЕКТНЫХ ШКОЛАХ.
В двухкомплектных школах один учитель занимается с двумя
классами. В течение одного учебного часа (45 мин.) он по суще¬
ству даёт два урока, ведя их одновременно в двух классах, разме¬
щённых в одной комнате. Это намного усложняет работу учителя.
В двухкомплектной школе учителю особенно важно иметь хорошие
организаторские способности, умение хорошо составить расписа¬
ние, тщательно разработать план урока, удачно разрешить вопрос
о самостоятельной работе учащихся, которая в этих условиях при¬
обретает исключительно важное значение.
Арифметика, требующая от детей глубокого внимания и боль¬
шого напряжения сил, должна стоять в расписании на первом ила
втором уроке. Уроки арифметики в двухкомплектной школе мож¬
но спаривать с любым учебным предметом, за исключением физ¬
культуры и пения, которые требуют к себе внимания учителя
в течение всего урока и могут мешать ведению урока по
арифметике. Можно в обоих классах ставить одновременно
уроки арифметики, можно урок арифметики в одном классе
сочетать с уроком русского языка или каким либо иным предме¬
том в другом классе и т. д. На практике чаще всего арифметика
проводится одновременно в обоих классах, с которыми занимается
один учитель.
Планирование на четверть и планирование темы производятся
по той же форме, как и в школах, где учитель занимается с одним
классом (см. стр. 40). Но планирование урока в двухкомплектной
школе имеет свои особенности.
Существенной особенностью уроков в двухкомплектной школе,
по сравнению с уроками четырёхкомплектной школы, является то,
что на каждом из них ученикам даётся самостоятельная
работа.
Уроки объяснения нового материала здесь строятся по следую¬
щей схеме:
1.	Объяснение нового материала. 2. Первоначальные упражне¬
ния для подготовки учащихся к самостоятельной работе. 3. Зада¬
ние для самостоятельной работы. 4. Самостоятельная работа уча¬
щихся. 5. Проверка самостоятельной работы. 6. Задание на дом.
Урок упражнений развёртывается по следующей примерной
схеме:
1.	Проверка домашней работы. 2. Задание для самостоятельной
работы, с краткими указаниями, как выполнять самостоятельную
работу. 3. Самостоятельная работа учащихся. 4. Проверка само¬
стоятельной работы. 5. Задание на дом.
Проверка, инструктаж, объяснение и задание на дом — эти
этапы урока проводятся учителем под непосредственным его руко¬
водством.
5 А. С. Пчёчко
65


Сложность одновременной работы с двумя классами требует
от учителя самой тщательной подготовки к уроку. В этой подго¬
товке есть много общего с тем, что делает каждый учитель, го¬
товясь к уроку, независимо от типа школы (см. стр. 47). Но есть
в ней и специфические моменты, диктуемые особыми условиями
работы в двухкомплектной школе.
Так как в условиях работы двухкомплектной школы огромное
значение имеют самостоятельные работы, то учитель тща*
тельно подбирает по разрабатываемой теме материал для этой
работы — примеры, задачи, сообразуясь с временем, с темпами ра¬
боты учащихся. Материал берётся из задачника, если нехв'атает —
составляется учителем. Материал подбирается с «запасом», учиты¬
вая, что некоторые учащиеся работают быстро и успевают за урок
решить много примеров и несколько задач.
Для ускорения и облегчения проверки' самостоятельной работы
учитель, подбирая примеры и задачи, решает их и записывает для
себя ответы. По готовым ответам проверка проходит быстро
и уверенно.
Перед дачей самостоятельной работы учитель объясняет уче¬
никам, как нужно выполнять задание.
Самостоятельные работы.
Общие требования к организации самостоятельной работы по
арифметике кратко можно сформулиро-вать так:
1.	Каждое задание, которое даётся ученику для самостоятель¬
ного выполнения, должно быть ему понятно и посильно. Сле¬
довательно, самостоятельную работу можно дав-ать только после
того, как учитель хорошо объяснит её содержание и удостоверит¬
ся, что его объяснение правильно понято.
2.	Каждая работа, выполненная учащимися самостоятельно,
должна быть проверена. Это необходимо для того, чтобы
обеспечить своевременное исправление допущенных учащимися
ошибок и создать у них ответственное и внимательное отно¬
шение к выполняемому заданию.
3.	Содержание заданий для самостоятельного выполнения
должно по возможности разнообразиться, для того чтобы
поддержать у учащихся интерес к работе и вызвать активное
отношение к ней.
4.	В содержание самостоятельной работы, там, где это воз¬
можно, нужно вносить элементы, облегчающие ученику само¬
контроль. Такие работы выполняются учащимися уверенно,
активно, с большим интересом.
Эти требования понятны. Если ученик приступает к решению
примеров или задач, не поняв как следует правила или способа
решения, то это может привести к закреплению неправильных на¬
выков, ошибочных приёмов решения задачи. К тому же ведёт
и отсутствие тщательной проверки выполняемых заданий; ученик,
бб


не видящий в перспективе проверки, начинает безразлично,
небрежно относиться к выполнению задания.
Учитывая это, надо установить правильное чередование работы
[под руководством учителя и самостоятельной работы учащихся, не
давать учащимся таких заданий, к выполнению которых они не
подготовлены. Намечая материал, нужно внимательно просматри¬
вать его, чтобы во-время предупредить учащихся о тех трудно¬
стях, с какими они встретятся, и указать способы их преодоления.
Задания нужно давать в точной и определённой форме, так,
чтобы учащийся мог ясно представить себе цель работы, её объём
и способ выполнения.
Разные ученики работают разными темпами: одни решают при¬
меры и задачи быстро, другие — медленно; одни успевают решить
десяток примеров, другие за это время — два-три десятка; всё
это необходимо учитывать при даче задания, при подборе материа¬
ла. Намечая определённое количество примеров и задач для всего
класса, полезно в то же время наметить дополнительный материал
для тех учащихся, которые работают быстрее.
Содержание самостоятельной работы учащихся каждого
класса зависит от программы и всецело определяется ею. Основ¬
ным материалом для самостоятельной работы являются задачи
и примеры.
В самостоятельные работы может входить также материал и ив
других разделов программы: работа по усвоению некоторых про¬
стейших элементов теории, связанной с усвоением арифметических
действий (это относится в первую очередь к III и IV классам), не¬
которые измерительные работы, работы почернению из курса эле¬
ментарной наглядной геометрии, некоторые упражнения в устном
счёте и др.
При обучении детей решению задач степень самостоятельно¬
сти учащихся может быть различной в зависимости от характера
задачи, от её сложности и трудности. Задачи нового типа или но¬
вой разновидности, а также задачи сложные' по своему построе¬
нию должны решаться под непосредственным руководством учи¬
теля, на основе его объяснений, анализа. Задачи простые, «про¬
зрачные» по своему построению, не вызывающие у учащихся каких-
'либо затруднений, могут решаться учащимися самостоятельно
в порядке упражнений, тренировки. Но между задачами, не доступ¬
ными для самостоятельного решения и вполне посильными для та¬
кого решения, может быть ряд задач, которые посильны учащимся
только в некоторой мере, которые требуют от учителя частич¬
ной помощи. Решение таких задач будет носить полусамостоя-
тельный характер.
Кроме того, различные стадия (этапы) решения сложной задачи
неодинаковы по степени своей трудности для учащихся: наиболее
сложным моментом является составление плана решения задачи,
более лёгким является самое решение задачи, вычисления. Состав¬
ление плана облегчается предварительным разбором задачи. Всё
5*
67


это должно учитываться, когда решается вопрос о том, предла¬
гать ли данную задачу для самостоятельного решения.
Итак, в зависимости от характера задач учащимся могут да¬
ваться:
1.	Задачи для полного самостоятельного решения от начала
до конца. Учитель называет или номера задач по задачнику, или
даёт текст своей задачи, указывает, как её решать — с вопросами
или без вопросов, и затем предоставляет учащихся самим себе.
Такой вид работы целесообразно применять в тех случаях, когда
нужно потренировать учащихся в решении ряда однотипных задач,
ранее объяснённых и достаточно хорошо понятых учащимися.
В конце урока учитель проводит фронтальную проверку правиль¬
ности решения предложенных задач.
2.	Задачи для частично самостоятельного решения:
а)	Учитель проводит с учащимися разбор задачи. Всё осталь¬
ное, т. е. составление плана решения и решение, предлагает уче¬
никам выполнить самостоятельно. Этот приём целесообразно ис¬
пользовать в тех случаях, когда предлагаемая задача может пред¬
ставить некоторую трудность для учащихся вследствие сложной
зависимости между данными в задаче величинами.
б)	Учитель проводит с учащимися разбор задачи и со¬
ставление плана (устно). Письменная же формулировка
'вопросов, самое решение, т. е. подбор числовых данных, действий
и вычисления, производится учащимися самостоятельно. Этот
приём целесообразен тогда, когда способ решения задач данной
разновидности ещё не закреплён и требуется значительная помощь
учителя.
3.	Задачу, проанализированную учителем и решённую под его
.руководством без письменного плана, учитель может предложить
йа следующий день решить самостоятельно с письменным планом.
Использование этого приёма полезно в тех случаях, когда учащие¬
ся решают вторую-третью задачу данного типа или вообще труд¬
ную арифметическую задачу.
4.	Полезно давать некоторые задачи для предварительного са¬
мостоятельного продумывания учащимися, уг. е. для её анализа
а самостоятельной намётки плана. После этого задача решается
с учителем.
б. В качестве самостоятельной работы полезно иногда предла¬
гать самим учащимся составить задачу, аналогичную тем, ко¬
торые перед этим решались по задачнику. Этот вид работы приме¬
ним главным образом в III и IV классах при обучении детей реше¬
нию типовых задач. Но и в младших классах составление задач
учащимися тоже должно иметь место; там эта работа проводится
под непосредственным руководством учителя.
Такой характер носят самостоятельные работы в III и IV клас¬
сах, где учащиеся уже обладают некоторыми навыками самостоя¬
68


тельности в работе. В 1 и II классах эти навыки значительно сла¬
бее, и здесь нужно почаще приходить на помощь ученикам.
Прежде чем давать задачу для решения, нужно прочитать её усло¬
вие, чтобы научить детей читать текст задачи (это чтение имеет
свои особенности). Здесь чаще приходится давать в качестве
самостоятельной работы запись решения той задачи, кото¬
рая предварительно решена устно вместе с учителем.
Решение примеров служит наиболее частым содержа¬
нием самостоятельной работы учащихся.
На этих упражнениях у учащихся вырабатываются твёрдые вы¬
числительные навыки. Упражнения нужно, по возможности, разно¬
образить, чтобы они вызывали к себе интерес, будили творческую
мысль учащихся, чтобы работа не была шаблонной. Поэтому
наряду с решением столбиков по задачнику или с доски нужно за¬
дания давать и в другой форме. Укажем некоторые из них.
1.	Учитель пишет на доске несколько примеров с готовыми решениями,
причём среди этих решений имеется одно неверное. Даётся задание пере¬
решать примеры, проверить результаты и найти ошибку.
2.	Ученики решают очередные столбики по задачнику. Затем на следую¬
щем уроке предлагается произвести проверку решённых примеров путём
обратных действий и перестановки компонентов, где это возможно (при
сложении и умножении).
3.	После решения по задачнику ряда однотипных примеров ученикам
даётся задание самим составить несколько аналогичных (похожих) примеров
я решить их.
4.	Полезно в конце работы по тому или иному разделу предлагать уча¬
щимся решать примеры не только на правильность, но и на скорость. Уче¬
никам даётся, допустим, для самостоятельной работы 10 минут и предла¬
гается решить по задачнику за это время возможно больше примеров.
В конце учитывается, кто сколько решил, и лучшей признаётся работа того
ученика, который производит вычисления не только правильно, но и быстро.
5.	Для внесения разнообразия в работу можно предлагать учащимся
примеры, записанные не в строчку, а в какой-либо иной форме, например
в форме занимательных квадратов, кгугов и т. д.
6.	Большое количество разнообразных упражнений можно дать, поль¬
зуясь таблицами для устного счета Перед учащимися вывешивается табли¬
ца кна классной доске (табл. Шапошникова). Пользуясь этой таблицей, можно
проделать многочисленные и разнообразные упражнения.
Упражнения в сложении можно производить в троякой форме:
1.	Можно складывать числа одного столбика с числами другого стол¬
бика — смежного и несмежного с ним.
2.	Можно складывать числа одной строки (ряда) с числами другой стро¬
ки— смежной и несмежной с ней.
3.	К числам того или иного столбика (строки) можно прибавлять любое
заданное число — однозначное и двузначное.
Упражнения могут производиться в форме самостоятельной работы уча¬
щихся.
В конце урока учитель обязательно проверяет результаты самостоятель¬
ной работы.
Изучение «геометрического материала», т. е. вычисление пло¬
щадей в III классах и объёмов в IV классах, даёт широкий простор
для практических работ—для различных измерений и черче¬
ния. Часть этих работ может быть проведена в порядке само-
бо


_ V, /л , с л ь м ы х работ учащихся. В III классе, послр того как
учащиеся ознакомятся с вычислением площадей, можно дать ряд$
упражнений на вычисление площадей (поверхностей) тех предме¬
тов, которые имеются у учеников под руками: вычислить площадь
переплёта книги, различных граней пенала, площадь стола,
парты, прямоугольников из картона или фанеры. Получив такое
задание, ученики измеряют линейкой (разделённой на сантиметры
и миллиметры) длину, затем ширину. Полученные числа перемно¬
жают и, если нужно, производят превращение квадратных мер
в высшие меры. В том же III классе даются самостоятельные ра¬
боты и по вычерчиванию прямоугольных фигур. Например: а) на¬
чертить квадрат со сторотой 8 см\ б) начертить прямоугольник,
л шна которого 10 см, ширина б см, в) начертить прямоугольный
земельный участок, у которого длина 120 м, ширина 80 лг, мас-
шыб !	с/и-=10 м; г) начертить прямоугольник произвольного
р.ммерн (по выбору самого ученика) и найти его площадь.
В IV классе проводятся самостоятельные работы на вычисление
объёмов тел, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда.
Выбор объектов для измерения объёмов—дело более сложное, чем
для измерения площадей. Здесь нужно заранее подобрать и приго¬
товить предметы, пригодные для этой цели, — коробки, ящики (не¬
больших размеров), бруски из арифметического ящика и т. д.
Особого внимания заслуживает проверка самостоятельных
работ. При проверке нужно спрашивать не только результаты, не
только то, что делал ученик, но и объяснения, как он делал
и почему. В условиях работы двухкомплектной школы это имеет
особенное значение.
Замечено, что в двухкомплектных школах учащиеся нередко
испытывают затруднения в объяснении решённой задачи или ре¬
шенных примеров. У учащихся зачастую недостаточно развита
речь, недостаточно развито умение быстро воспринимать заданный
вопрос и давать на него правильный ответ. Эго получается в том
случае, если проверка самостоятельных работ сводится к голому
опросу того, что сделал ученик и какой получил результат. Ясно,
чю н\жно почаще заставлять учеников давать объяснение спосо¬
бов и приёмов решения, приёмов вычислений, воспроизводить сло¬
вами те рассуждения, которыми ученик пользовался, решая задачу
или пример, формулировать те правила, которыми он пользовался,
давать определения и т. д. Это будет способствовать развитию
речи учащихся, обогащению её арифметическими терминами
и уточнению математических понятий.
Удельный вес самостоятельных работ по арифметике в двух¬
комплектных школах весьма значителен. От постановки их в боль¬
шой мере зависят результаты всей работы. Поэтому к про¬
ведению их нужно готовиться столь же тщательно, как и к непо¬
средственным занятиям с классом.


ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
методика обучения решению задач.
Научить детей решать задачи — одна из главнейших целей пре¬
подавания арифметики. Эта цель может быть достигнута в резуль¬
тате плановой, глубоко продуманной, методически правильной ра¬
боты по развитию этого навыка.
Хорошо решает задачи тот ученик, который ясно понимает за¬
висимость между величинами, знает особые способы решения
задач, умеет правильно применять четыре арифметических дей¬
ствия и хорошо владеет вычислительным аппаратом. Кроме того,
для успешною решения задач нужно обладать достаточно раз¬
витым логическим мышлением, воображением, вниманием.
Все перечисленные условия являются одновременно и сред¬
ством, и целью. В этом заключается специфика данного вопроса.
Знание зависимости между величинами играет огромную роль
при решении задач. Можно сказать без преувеличения:	кто
имеет эти знания, тот владеет ключом к решению задач. Искомая
величина связана определённым образом с данными величинами.
Раскрыть эту связь и зависимость — значит наполовину решить за¬
дачу. Раскрыть зависимость между величинами — это значит:
а)	определить, какую величину‘можно найти по двум данным
величинам;
б)	определить, какие две другие величины нужно иметь в каче¬
стве данных, чтобы найти искомую величину.
Жизненные явления, составляющие содержание или фабулу
задач, в большинстве случаев характеризуются тремя величинами:
а)	купля-продажа, которая входит в содержание очень
многих задач, характеризуется стоимостью, ценой и количеством;
б)	движение, дающее содержание для многих задач, также
характеризуется тремя величинами: скоростью, временем, расстоя¬
нием и т. д.
Каждые из указанных трёх величин находятся
в строго определённой зависимости, а именно-.
по
цене и количеству
можно
найти
по
цене и стоимости
»
»
по
количеству и стоимости
»
по скорости и времени
»
»
по
скорости и расстоянию
»
»
по
времени и расстоянию
»
»
между собой
стоимость,
количество,
цену,
расстояние,
время,
скорость.
Чтобы найти какую-нибудь одну из этих величин, нужно иметь
в качестве данных две другие однородные с ней величины. Напри¬
мер: чтобы найти цену, нужно знать стоимость и количество;
чтобы найти скорость движения того или иного тела, нужно знать
путь и время, и т. д.
Усвоение и понимание этих взаимосвязей нарастает у детей
постепенно, медленно, на протяжении всего периода обучения в на¬
чальной школе, в результате решения большого количества задач,
71


сначала простых, а затем сложных. Решая задачи: «Мальчик купил
3 тетради по 10 копеек. Сколько стоят эти тетради?» «Колхозник»
продал 3 кг луку по 20 руб. за килограмм. Сколько рублей выручил
КШМ'/ШИК % иу)/Гакии% лук/* «Для покраски окон нужно купить
2 кг Селил по 18 руб. за килограмм. Сколько стоят эти белила?»
и т. д., проделывая специальные упражнения, в которых даются
два числа, обозначающие цену и количество, ребёнок начинает по¬
нимать, что если дана цена одного предмета и количество этих
предметов, то по этим двум данным всегда можно узнать стоимость
предметов. Это понимание окончательно оформляется в III—
IV классах, где дети опержруют уже терминами «пена», «количе¬
ство», «стоимость». В IV классе возможна постановка вопроса:
«Что можно узнать по данному количеству, предметов и их цене?»
При решении сложных задач всегда приходится использовать
две данные величины для нахождения третьей (какой?), постоянно
приходится для определения искомой величины искать необходи¬
мые данные (какие?). Кто к этому подготовлен, тот будет хорошо
решать задачи.
Определив зависимость между величинами, ученик должен про¬
извести над числовыми значениями этих величин арифметические
действия, а предварительно надо решить, какое именно действие
надо применить в данном случае. Мир задач обширен и до
чрезвычайности разнообразен. Но всё это бесконечное разно¬
образие арифметических задач решается при помощи только четы¬
рёх арифметических действий. Ученик должен знать, в каких слу¬
чаях применяется каждое действие. Это надо знать твёрдо, ибо от
этого зависит правильность решения задачи.
Однако есть задачи, для решения которых знания зависимости
между величинами недостаточно. Возьмём, например, следующую
задачу:
«Два мальчика поймали всего 17 рыб; при этом один из них поймал на
•три рыбы больше другого. Сколько рыб поймал каждый мальчик?»
Эта задача относится к типу задач на нахождение двух чисел
по их сумме и разности. Аналитическому разбору эта задача не
поддаётся. Чтобы ознакомить учащихся с её решением, надо пока¬
зать им особый способ решения задач этого типа (получить сумму
двух одинаковых слагаемых путём вычитания разности;
получить затем меньшее слагаемое путём деления уменьшенной
суммы пополам и, наконец, получить большее слагаемое путём при¬
бавления разности).
Программа начальной школы предусматривает до полутора де¬
сятка типовых задач, способы решения которых должны усвоить
учащиеся III и IV классов.
Для успешного решения задач ученик должен обладать неко¬
торым математическим развитием, уметь хотя бы элементарно
мыслить, анализировать условия задачи, синтезировать отдельные
элементы задачи, сравнивать, сопоставлять данные, делать простей¬
шие умозаключения. Недостаточное развитие мышления часто
72


^является причиной плохого решения задач; при этом всегда нужно-
Рцомнить, что если для решения задачи требуется известный уровень
|швитня изтеыагияеского мышления, то в* свою очередь решение
Задач язляется самым мощным, самым действительным стедегвлм
развития логического мышления. Цель п средство здесь своеобраз¬
но переплетаются между собой.
В решении задач большую роль играет и воображение.
Для сознательного решения задачи нужно, чтобы учащийся пони¬
жал условие задачи и правильно представлял в своём воображе¬
нии всё, о чём говорится в задаче. Не менее важное значение при
решении задач имеет внимание и настойчивость в преодолении
трудностей.
Таковы главнейшие предпосылки для успешного решения задач.
Они создаются прежде всего на решении простых задач.
Простые задачи.
Простыми задачами называются такие задачи, которые решают¬
ся одним действием. Значение простых задач очень велико. На них
ученик уясняет, что такое задача и каковы её элементы. На реше¬
нии этих задач ученик учится понимать зависимости между вели¬
чинами и научается правильному применению каждого арифмети¬
ческого действия.
Можно расположить простые задачи, решаемые в начальной
школе, по арифметическим действиям.
На сложение существует 3 вида простых задач.
1)	Найти сумму двух или нескольких слагаемых: «У Вани было 5 яблок,
да ему ещё дали 4 яблока. Сколько всего яблок стало у Вани?»
2)	Данное число увеличить на несколько единиц: «У Вани было 5 коп.,
а у Коли на 3 коп. больше. Сколько денег было у Коли?»
3)	По данному вычитаемому и остатку найти уменьшаемое: «Когда Кол»
истратил 5 коп., у него осталось 3 коп. Сколько денег было у Коли?»
На вычитание существует 5 видов простых задач.
1)	Найти остаток: «У ученика было 5 карандашей, 2 карандаша он ис¬
писал. Сколько карандашей у него осталось?»
2)	Найти разность: «У мальчика было 5 карандашей, а у девочки 3 ка¬
рандаша. На сколько карандашей у мальчика больше, чем у девочки?»
3)	Данное число уменьшить на несколько единиц- «В одной коробке
10 перьев, а в другой — на 4 пера меньше. Сколько перьев йо второй ко¬
робке?»
4)	По данному уменьшаемому и остатку найти вычитаемое: «У ученика
было 20 коп.; когда он истратил несколько копеек на покупку ручки, то
у него осталось 5 коп. Сколько стоила ручка?»
5)	По сумме двух слагаемых и одному йз них найти другое слагаемое:
«Ручка и карандаш стоят 17 коп. Ручка стоит 7 коп. Сколько стоит
.карандаш?»
С умножением связаны 3 вида простых задач.
1)	Данное число повторить слагаемым несколько раз: «Куплено 5 тетра¬
дей по 10 коп. за тетрадь. Сколько уплачено за эту покупку?»
2)	Данное число увеличить в несколько раз:	«Лошадь пробежала за
73.


_ _ .о о и рал оольше. Какое расстояние прошёл автомо¬
биль за час?»
3)	По данному делителю и частному найти делимее: «Мама разделила
имевшиеся у неё конфеты поровну между тремя своими детьми; каждому
досталось по 4 конфеты. Сколько конфет было у мамы?».
Делением решаются 6 видов простых задач:
1)	Разделить данное число на несколько равных частей: «2 карандаша
стоят 16 коп. Сколько стоит один карандаш?»
2)	Узнать, сколько раз ошго число содержится в другом: «Сколько нуж¬
но иметь пакетов, чтобы разложить 8 кг конфет по 2 кг в каждый пакет?»
3)	Данное число уменьшить в несколько раз: «В одной коробке 8 каран¬
дашей, а в другой в 2 раза меньше. Сколько карандашей в другой коробке?»
4)	Найти часть числа: «В парке 40 деревьев, из них половина — берёзы.
Скопыш берёз в парке
5) Узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого;
«Тетрадь стоит 10 коп., а книга для чтения 50 коп. Во сколько раз книга
для чтения дороже, чем тетрадь?»
61 Наити делитель по данному делимому и частному: «Когда мать раз-
делила 15 яблок поровну между своими детьми, то на долю каждого при¬
шлось по 5 яблок. Сколько детей было у матери?»
Перечисленные виды простых задач в различных сочетаниях
входят в составные задачи. Как из отдельных кирпичей склады¬
ваются огромные, величественные здания, так и из простых задач
создаются сложные, замысловатые, иногда весьма хитроумные
задачи. И чем лучше дети овладеют решением простых задач,
тем успешнее они будут справляться с составными задачами.
Первые шаги в обучении детей решению простых задач.
Первые шаги во всяком деле имеют большое значение. Ребёнок,
только что поступивший в школу, ещё никогда не слыхал таких
слов, как «задача», «решение задач», «условие задачи», «вопрос
задачи», «отвег» и т. п. Эти термины надо постепенно ввести
в обиход школьника и научить его относиться к ним сознательно.
Сама задача должна прийти к ребёнку не как нечто постороннее,
навязанное извне, далёкое, чужое, первые задачи должны вырасти
на глазах у ребёнка из окружающей его обстановки, а ещё лучше—
из его потребностей. Решение задачи должно быть впервые вос¬
принято ребёнком как решение самых жизненных, практических
вопросов. «Задача — кусочек жизни; кто умеет решать задачи,
тот умеет производить расчёты, с которыми можно столкнуться
каждого минуту в жизни». Такие взгляды на задачу должны быть
внушены ученику, впервые приступающему к решению задач. Для
этого на первых уроках учитель предлагает детям такие задачи-
действия:
«На столе стоят 2 чернильницы: возьмём из шкафа и поставим на стол
еше очку чернильницу. Сколько чернильниц теперь стало на столе?»
«На стене висят 5 картин. Повесим ещё одну. Сколько теперь картин
стало на стене5»
«На двух передних партах сидят 4 ученика. Вайя, встань и пойди к
догке Сосчитайте, сколько теперь учеников осталось сидеть на двух пар¬
тах5»
74


Слова здесь сопровождаются действиями: прибиванием картин,
выниманием из шкафа и переносом чернильниц, подсчётом книг
в сумке, раздачей ученикам письменных принадлежностей, выхо¬
дом из-за парты учеников и т. д.
«А теперь, — говорит учитель, — я скажу вам ещё одну
задачу», — и предлагает задачу, подобную указанным выше.
Так появляется термин «задача». На другом уроке учитель, пред¬
лагая такие же задачи, говорит:	«А сейчас решим несколько
задач». Так вводится термин «решение» задачи.
Но этого мало. Чтобы задачу решить, надо её понять, а понять
задачу в одно действие — это значит прежде всего найти св~язь
между вопросом задачи и её данными. Но для того чтобы ребё¬
нок мог связать данные и вопрос, он должен сначала их расчле¬
нить, он должен уметь различать условие задачи и вопрос задачи.
Дети вначале не различают этих понятий, сливают их.
Общеизвестен такой факт. Учитель предлагает ученикам задачу: *У маль¬
чика было 2 тетради. Папа дал ему еще 2 тетради. Сколько всего тетрадей
стало у мальчика?» Получив от учителя задание повторить условие задачи,
ученик повторяет так: «У мальчика было 2 тетради. Папа дал ему еще
2 тетради. У него стало 4 тетради». В этом ответе ученик слнл условие за¬
дачи и вопрос, повторение задачи и ее решение.
Первые занятия по решению задач должны быть направлены
на выработку у детей понимания того, что задача состоит и з
условия и вопроса; что повторить задачу — это значит
оказать и условие, и вопрос; что решить задачу — это значит
произвести действие — прибавить или отнять, что полученное число
есть ответ задачи. Всё это достигается путём решения задач.
Приведём один из образцов решения задачи (описанный Н. С. Поповой).
Учительница прикрепляет к доске плакат с изображением большой н
маленькой тарелки. На глазах у дегей она раскладывает на тарелки «яблоки»
(вырезанные из картона, втыкая их в соответствующие надрезы), при этом она
вслух считает яблоки, так, чтобы дети могли лотом сказать: «На большую
тарелку положено 5 яблок, а на маленькую — 3 яблока».
После этого учительница предупреждает: «Сейчас я скажу вам задачу.
Вы должны её прослушать и повторить слово в слово. А уже после этого
мы будем ес решать». Внятно, с необходимыми логическими ударениями,
учительница говорит:
«На стол поставили две тарелки, большую и маленькую. На боль¬
шую тарелку положили 5 я б л о к, а на маленькую — 3 яблока. Сколько
всего яблок положили на обе тарелки?»
После этого повторили задачу сначала один мальчик, потом другой, по¬
том ещё девочка. Повторение давалось нелегко, с наводящими и даже под¬
сказывающими вопросами. Дети учились повторять задачу.
«Что же Опрашивается в задаче?» —с особым логическим уда¬
рением сказала учительница. Двое детей повторили только вопрос задачи.
«Теперь решайте задачу и скажите ответ», — в заключение сказала учи¬
тельница. Решение оказалось самым лёгким для детей. Через минуту лес
вытянутых детских рук свидетельствовал о том, что задача решена. «Как
же вы решили задачу? Что сделали?» — спросила учительница.
«К 5 яблокам прибавили 3 яблока, получилось 8 яблок», — отвечали
ученики.
После этого оставалось только записать решение, что и сделала учи-
75


тельннца на классной доске, написав 5 ябл. 4- 3 ябл. = 8 ябл. (ученики н*
писали только потому, что не умели ещё писать наименование чисел).
Таким образом, решение простой задачи распадается на следую¬
щие этапы:
1.	Сообщение учащимся условия задачи.
2.	Повторение задачи по наводящим вопросам и без вопросов.
3.	Выделение вопроса задачи («что спрашивается в задаче?»).
4.	Решение: выбор действия и вычисления.
6. Формулировка ответа задачи.
6. Запись решения задачи.
Пояснйм кратко каждый этап решения.
Условие задачи лучше говорить, рассказывать, чем читать
по книге; рассказ легче воспринимается детьми, чем чтение. Учи¬
тель говорит задачу один-два раза, не спеша, внятно, оттеняя
числовые данные. Как правило, запись числовых данных на доске
в это время не требуется, так как в задаче даётся обычно два
числа, которые запоминаются учениками без особого труда.
Повторяется задача сначала по вопросам. Вопросы нужны
не только для того, чтобы легче воспроизвести содержание задачи,
по и для того, чтобы помочь ученикам более отчётливо понять
структуру задачи, её состав (условия, вопрос) В заключение зада¬
ча повторяется одним-двумя учениками без наводящих вопросов.
При повторении многие задачи иллюстрируются. Иллюстрации
нужны для лучшего понимания содержания задачи, для того,
чтобы заставить более живо работать воображение детей. Для
иллюстрации используются картины, рисунки, плакаты, таблицы,
различного рода наглядные пособия.
После повторения учитель ещё раз останавливает внимание
учеников на вопросе задачи («Так что же спрашивается в за¬
даче?») Вопрос — главное в задаче; им определяется направление
мысли учащегося; поэтому вопрос задачи учащиеся должны пред¬
ставлять себе особенно отчётливо.
При решении простой задачи аналитико-синтетический про¬
цесс мышления выступает в самой простейшей своей форме: из
данных задачи вытекает её вопрос; для решения вопроса задачи
необходимы данные. Всё это дано в готовом виде, и ученику
остаётся только произвести выбор действия, посредством
которого решается вопрос. Выбор действия — это наиболее труд¬
ный и вместе с тем центральный вопрос в решении простых
задач. Трудность обусловлена тем, что вследствие малых чисел
ребёнок часто не видит надобности в выборе действия. Ученик
находит ответ на основании знания состава чисел первого десятка.
Например, решается задача: «Карандаш и перо стоят 10 коп., карандаш
стоит 8 коп. Сколько стоит перо?»
Отвечая на вопрос: «Как вы решили задачу?» — ученик говорит:
<8 коп. да 2 коп. будет 10 коп.» Он знает, что 10 состоит из восьмёрки
н двойки. Если дана восьмёрка, то искомым числом должна быть двойка.
Значит, перо стоит 2 коп. В данном случае ученик не прибегал к вычитанию.
76


Чтобы приучить учащихся к выбору действия и облегчить им
усвоение того, в каких случаях применяется каждое действие,
надо чаше прибегать к наглядным пособиям; надо решение задачи
иллюстрировать.
Пусть решается задача: «У Васи было 7 морковок, 4 морковки он дал
кроликам утром» а остальные днём. Сколько морковок дал Вася кроликам
днём?»
«Покажите на палочках, что у Васи было всего 7 морковок», —* говорит
учитель, обращаясь к ученикам. Ученики на своём дидактическом материале
откладывают 7 единиц (палочек, кружочков, спичек и т. п.). «Что сделал
Вася с этими морковками?» — спрашивает дальше учитель. (Он утром дал
кроликам 4 морковки.) «Что же надо сделать с этими 4 морковками?»
(Надо их отнять от 7 морковок.) «Отнимите», — говорит учитель. Ученики
отсчитывают 4 палочки. «Сколько же морковок у Васи осталось? (3 морков¬
ки.) Значит, сколько же морковок дал Вася кроликам днём?» (Вася дал
днём кроликам 3 морковки.)
«Повторите всю задачу», — говорит учитель. Вызванный ученик повторяет.
«Как же мы решили задачу? Как мы узнали^ что днём Вася дал кроли¬
кам 3 морковки?» (Мы от 7 отняли 4, осталось 3.)
Если бы ученики затруднились ^дать правильный ответ на этот вопрос,
то учителю надо прийти на помощь ученикам и дать правильную формули¬
ровку ответа: «От 7 морковок надо отнять 4 морковки».
Возьмём другую задачу: «У мамы было 12 конфет. Она раздала их по¬
ровну своим детям, каждому по 4 конфеты. Скольким детям были розданы
конфеты?» Чтобы привести учащихся к выводу, что в данном случае надо
12 разделить по 4, нужно прибегнуть к иллюстрации решения. «Покажите иа
своих палочках или на кубиках, что у мамы было 12 конфет». Ученики от¬
считывают 12 кубиков.
«Раздай теперь, Ваня, эти 12 кубиков (конфет) по 4 своим соседям и счи¬
тай, сколько ребят получат кубики».
Ученик берет четвёрку и отдаёт одному ученику, говоря: «раз». Берёт
вторую четвёрку, отдаёт второму ученику, говоря: «два». Берёт третью че¬
твёрку, отдаёт третьему ученику, говоря: «три».
«Сколько же четвёрок в 12?» (Три четвёрки.)
«Сколько учеников получили по 4 кубика?» (Три ученика.) (Мы разде¬
лили их по 4 и получилось 3.)
Теперь вернемся к нашей задаче. В ней мама раздала 12 конфет
своим детям, по 4 конфеты каждому. Сколько же было детей?» (Трое детей.)
«Как вы узнали, что у мамы было трое детей?» (Мы 12'разделили по
4 и получилось 3.)
Надо учить учеников переходить от такой конкретной формулировки
к формулировкам и ответам более общего характера* «У мамы было столько
детей, сколько раз 4 повторится или содержится в 12. 4 содержится в 12
3 раза. Значит, у мамы было трое детей».
Это умение даётся ученикам не сразу и нелегко. Над выработкой его
надо работать терпеливо и настойчиво в продолжение первых полутора лет
обучения, когда, в сущности, заканчивается знакомство со всеми основными
видами простых задач.
Очень рано, примерно со второй-третьей недели занятий, после
решения задачи надо ставить вопрос: «Как ты решил задачу?»,
варьируя этот вопрос так: «Что ты сделал, чтобы найти ответ?»
или: «Как ты нашёл ответ?» А в дальнейшем, по отношению
к некоторым задачам, надо ставить вопрос и «почему». Это отно¬
сится к задачам на увеличение и уменьшение числа на несколько
единиц и <в несколько раз.
77


г.. .~к, ..^сд^олчиа ученикам задачу: «Ручка стоит 8 коп., а тетрадь
на 2 копейки дороже. Сколько стоит тетрадь?» — учитель вызывает ученика
и ставит перед ним последовательно три вопроса:
1) «Сколько у тебя получилось в ответе?» Или: ЯЯлько стоит те*
традь?» (Тетрадь стоит 10 коп.) 2) «Как ты узнал, ЦЦ тетрадь стоит
10	коп.?» (Як 8 коп. прибавил 2 коп., получил 10 коп.) 3|||Почему ты к 8
прибавил 2?» (Потому что в задаче сказано, что теграЩйетоит на 2 кои.
дороже.)	Ш
Из простых задач наиболее трудными для учашжся являются
следующие:	Щ
1)	Задачи на увеличение и уменьшение числима несколько
единиц.
2)	Задачи	на	разностное	сравнение	чисел.	ШЛ
3)	Задачи на кратное сравнение чисел.
Первая задача решается в I классе; вторая и третья — во
11	классе.
Трудность этих задач заключается в выборе действий: на ре¬
шении этих задач учашиеся должны усвоить, что для увеличения
числа на несколько единиц применяется сложение, для уменьше¬
ния — вычитание; чтобы узнать, на сколько одно число больше
или меньше	другого,	применяется	вычитание;	чтобы узнать, во
сколько раз одно число больше или меньше другого, применяется
деление.
Решение этих задач выясняется учащимся на наглядных посо¬
биях, и только после этого они приступают к решению задач.
Приведем пример на ознакомление учащихся с разностным сравнением чисел.
Первый этап — сравнений величины двух полосок (лент).
Учитель показывает ученикам более длинную (допустим, красную) ленту
в 40 см и бочее короткую (голубую) ленту в 30•см. Ставится вопрос: какая
лента длиннее? Для этого измеряется первая лента и длина её записывается
(40 см); измеряется также длина второй ленты (30 см) и записывается. Чтобы
ответить по ьопрос. на сколько длиннее, голубая лента прикладывается
к красной и надрезом отмечается лишний кусок красной ленты. Этот кусок —
остаток — измеряется Оказывается, он равен 10 см. Ответ можно было полу¬
чить так: от всей длины красной ленты надо отнять длину голубой ленты,
т. е. 30 см, и получится 10 см. Запишем это:
40 см — 30 см = 10 см.
Второй этап объяснения. На классных счетах с двумя Прово-
локами откладывается на верхней проволоке 8 шариков, на нижней — 5. Где
больше шариков? (На верхней проволоке.) На сколько больше? Как это
узнать? От 8 отсчитаем, отнимем столько, сколько есть на нижней, т. е. 5.
То, что останется, и покажет, на сколько шариков на верхней проволоке
больше, чем на нижней. Сделав вычитание, получим:
8 — 5 = 3.
Третий этап объяснения. На дидактическом материале сравни¬
ваются два числа: ^Положите справа 10 палочек, слева 4 палочки. Сравните,
где больше палочек и на сколько больше». Учащиеся от 10 палочек отсчи¬
тывают 4 палочки и получают 6 палочек. «Справа больше на 6 палочек»,—
говорит ученик и записывает: «10—4 = 6».
В заключение урока решаются задачи на разностное сравнение.
78


Запись решения задач.
Запйсь решения способствует более отчётливому пониманию
того, какое именно действие применяется при решении данной
задачи. Поэтому значительная часть устно решённых задач (при¬
мерно около трети) сопровождается записью решения на класс¬
ной доске и в тетрадях учащихся.
Здесь возникает вопрос: ставить ли наименование чисел или же
писать числа без наименований и производить действия над ними,
как над отвлечёнными числами.
В разное время этот вопрос решался по-разному. Постановка
наименований усложняет запись и создаёт для ученика добавочные
трудности. Запись без наименований проще, легче, и, конечно,
пока ученики неграмотны или малограмотны (в первом полугодии),
решение задачи записывается без постановки наименований при
компонентах.
Но для дальнейшего вопрос этот решается иначе. В советской
начальной школе принято при числах ставить наименование.
Постановка наименований требует от ученика более осмысленного
отношения к задаче, она заставляет его различать компоненты.
Например, очень важно, чтобы ученик при записи умножения раз¬
личал множимое и множитель.
Решая задачу «Метр ситца стоит 4 рубля. Сколько стоят 3 метра сит¬
ца?» — ученик должен написать: 4 руб. X 3 = 12 руб. Если ученик нап идет:
3X4 = 12. то тем самым он покажет, что не вполне понимает значение
каждого Из данных чисел. При записи наименования легко доказать ученику
его ошибку: ме гр сатина стоит не 3 руб., а 4 руб.(Без постановки наимено¬
вания выяснение ошибки даётся труднее.
Очень важно также научить ученика различать деление на
части я деление по содержанию. Единственным внешним показа¬
телем того, насколько учащийся разбирается в этом вопросе,
является постановка наименования.
Если ученик, решая задачу: «У мальчика имеется 20 коп., сколько он мо¬
жет купить перьев по 4 коп. за пе;ро?», напишет:
20 коп. : 4 коп. = 5 (перьев),
то эта запись покажет полное понимание учеником той операции, которую он
произвёл над числами.
Постановка наименований придаёт записи задачи более нагляд¬
ный характер; без наименования запись получается отвлечённой,
слабо вскрывающей характер и процесс мышления учашихея.
А между тем мышление ребёнка — образное, конкретное. В соот¬
ветствии с этим и запись должна быть образной, конкретной.
Поэтому на младших ступенях обучения наименования ставить
следует.
Запись наименований дисциплинирует мысль учащихся и побу¬
ждает ученика более глубоко разбираться в компонентах арифме¬
тических действий.
79


Наименования надо писать сокращённо. Этому нужно постоян¬
но учить учеников, так как знания по русскому языку ещё не обес¬
печивают учащимся этого навыка: сокращения могут носить урод¬
ливый характер, если не следить за ними. Нужно с первого же
класса приучать учеников писать сокращённые названия метриче¬
ских мер без точки (5 м-{-4 м = 9 м; 18 см + 7 см = 25 см).
Есть несколько трудных случаев записей, в которых всегда
требуется помощь учителя. Отметим эти случаи.
1.	Слагаемые, как известно, должны иметь одинаковое наиме¬
нование, но в условии задач нередко фигурируют числовые сла¬
гаемые с разными наименованиями.
Например: «Мальчик поймал 8 окуней и 3 ершей. Сколько всего рыб
поймал мальчик?» В таких случаях различные видовые понятия надо за¬
менять общим для них родовым понятием. В данном случае для «оку¬
ней» и «ершей» родовым понятием будет понятие «рыба». Запись действия
будет такова: 8 рыб 4- 3 рыбы = 11 рыб. Для названий «мальчики» и «девоч¬
ки» родовое понятие — «дети»; для названий «мужчина» и «женщина» — «че¬
ловек»; для названий «земляника», «малина» — «ягоды» и т. д.
2.	Трудно разрешается вопрос о записях в задачах на увеличе¬
ние и уменьшение числа на несколько единиц.
Например: «В колхозе 28 лошадей, а коров на 75 больше. Сколько коров
в колхозе?» Коров на 75 больше: это значит, что коров в колхозе было 28
•(столько же, сколько и лошадей) и сверх того ещё 75. Отсюда вытекает
следующая запись решения задачи: «28 кор. 4- 75 кор — ЮЗ кор.»
Можно записать решение и с другими наименованиями, заменив видовые
понятия «лошадь» и «коровы» родовым ч «головы скота», 28 гол. 4- 75 гол. =
ЮЗ гол. (кор.). Первую запись надо предпочесть второй; она логичнее
я проще.
3.	К аналогичным записям приходится прибегать и при уве¬
личении числа в несколько раз.
Зайишем решение следующей задачи: «На заводе работает мужчин 480, под¬
ростков вдвое меньше, чем мужчин, а женщин в 4 раза больше, чем под¬
ростков. Сколько ввего рабочих работает на заводе?» Здесь возможны две
формы записи:
I) 480:2 = 240 (подростков) И. 1) 480 раб. :2 = 240 раб. (подростков.)
*2) 240 X 4 = 960 (женщ.)	2) 240 раб. X 4 = 960 раб. (женщ.)
3) 4^0 4- 240 + 960 = 1 680 (раб.) 3) 480 раб. 4- 240 раб. 4- 960 раб. = 1 680 раб.
Повторяем, что в записях наименований в младших классах —
и* II — всегда требуются со стороны учителя прямые указания
и помощь учащимся.
Составление задач учащимися.
Хорошим средством проверки того, насколько понимают дети
общую структуру задачи и Структуру каждого отдельного вида
задач, является составление задач самими учащимися. Если после
решения ряда однотипных задач ученик сам составит и решит
аналогичную задачу, то это значит, что он задачи на данное
80


правило понимает, решать их умеет. Для самого же ученика
процесс составления задач полезен тем, что при составлении
«своей» задачи, похожей на те, которые предлагал учитель, уче¬
ник начинает глубже вдумываться в соотношение между вели¬
чинами, на которых он строит задачу, он должен подобрать две
такие величины, на основании которых можно найти третью вели¬
чину; подбирая величины и формулируя вопрос задачи, ученик
должен назвать эту третью величину. Словом, составляя задачу,
ученик проделывает сложную работу аналитико-синтетического
порядка. Чтобы её облегчить и сделать процесс составления задач
более определённым, чтобы дать творческой мысли учащихся
определённое направление, нужно перед составлением задач
давать учащимся указание, что именно от них требуется, в чём
должна заключаться их работа, какую задачу они должны со¬
ставить. Вначале, разумеется, учащимся даются более лёгкие,
простые задания; затем эти задания постепенно усложняются.
Вначале целесообразно давать задание на составление «похо¬
жих» задач: «Составьте каждый задачу, похожую на те, которые
мы только Что с вами решали». Это задание уместно тогда, когда
учитель обучает детей решению определённого вида задач, когда
все задачи, решаемые с учителем, являются задачами одной ка¬
кой-нибудь разновидности.
Далее можно дать учащимся составление задачи на то или иное
действие (например 5 + 3 или б—2 и т. д.).
«Составьте задачу, в которой нужно сложить 5 и 3», или «из
6 вычесть 2».
Можно сделать первые задания этого рода ещё более опреде¬
лёнными, давая учащимся данные не с отвлечёнными, а с имено¬
ванными числами, например:
«Составьте такую задачу, в которой надо к 6 коп. прибавить
4 коп.»: «от 8 кг отнять 3 кг» и т. д.
И, наконец, наиболее трудным заданием этого рода будет сле¬
дующее задание: «Составьте задачу, в которой требуется сложить
два (три) числа» или «в которой требуется от одного числа отнять
другое число». Ясно, что те ученики, которые умеют составлять
задачи, умеют и решать их.
После задания нужно опросить возможно большее число уче¬
ников: каждый составивший задачу хочет, естественно, сказать
эту задачу. Это законное желание учеников нужно удовлетворить,
чтобы поддержать интерес к этой творческой работе у тех детей,
которые хорошо работают, и вызвать желание составлять задачи
у более слабых детей. Более удачные задачи нужно не только
выслушать, но и дать их для решения всем^^Впассу. Возможные
ошибкй и недочёты (а они бывают чаще всуИ в подборе чисел)
нужно тут же исправить.
Составление задач самими детьми нужн<||||)ассматривать как
один из приёмов обучения детей решению ЩЦщач, причём эти
6 А. С. ПчЕлко
81


_ „«ди	С ТСМ.И зада¬
чами, которые по плану решаются из задачника и подчинены
основной системе обучения решению задач.
Влияние упражнений на выработку умения решать задачи.
Успех в решении простых задач достигается не только хоро¬
шим качеством объяснений учителя, но и большим коли¬
чеством упражнений, количеством задач, решённых учащимися.
Нужно прорешать достаточно большое количество простых задач,
прежде чем ученики научатся правильно решать их, правильно
применять каждое из четырёх арифметических действий.
Лёгкость решения простых задач — явление кажущееся, об¬
манчивое. Учитель иге должен поддаваться этому впечатлению,
а должен обучать детей решению простых задач со всей серьёз¬
ностью, иначе всякий недочёт в решении простых задач станет
трудно преодолимым препятствием при решении сложных задач.
Готовясь к уроку, учитель должен намечать на урок до четы¬
рёх-пяти простых задач, из которых, примерно, около трёх решаются
устно, а две остальные — с последующей записью. Опыт работы
лучших учителей показывает, что только значительное количество
решённых задач (у опытных учителей за год решается до 1 000 за¬
дач) обеспечивает выработку у учащихся умения решать задачи.
Часть задач должна решаться с применением наглядных пособий
и с подробным объяснением решения (какой ответ, как он полу¬
чен, почему произведено то, а не иное действие), а другая часть
решается для практики, для тренировки, с объяснениями только
в случае затруднений. Больше устных задач — этому тре¬
бованию должна быть подчинена работа учителя, особенно в пер¬
вом полугодии I класса, когда решаются преимущественно простые
задачи.
Переход от простых задач к составным.
Во второй четверти учебного года учащиеся I класса перехо¬
дят к решению задач в два действия. С этого момента начи¬
нается практика по решению составных задач. С чем новым встре¬
чаются дети при решении составной задачи? С планом, с необходи¬
мостью, прежде чем приступить к решению задачи, установить
последовательность, порядок её решения. Каждая сложная
задача при решении распадается на ряд простых задач, и решение
сложной задачи сводится к последовательному решению этих
простых задач Ученику нужно уметь расчленить сложное, со¬
ставное на простейшие элементы, т. е. на простые задачи, и уста¬
новить известную последовательность в их решении. Если уча¬
щиеся получили достаточно большую тренировку в решении
простых задач, то решение задач в два действия, как показывает
опыт, не представляет для них особой трудности.
32


В этом отношении показателен следующий факт. Ученикам 1 класса, ре¬
шавшим до тех пор только простые задачи, в нами л е 2-й четверти была
неожиданно предложена задача в два действия, без всяких предварительных
Объяснений и предупреждений. «У мальчика было !0 коп. Мама дала ему
ещё 8 коп. Из всех этих денег он израсходовал 12 коп. Сколько копеек
у него после этого осталось?» Из 40 учеников правильное решение этой за¬
дачи дали 21 ученик. Когда у учеников, давших правильное решение, спроси¬
ли, как они решили задачу, то был получен один ответ: «От 18 коп. я отнял
>12 коп., получилось 6 коп.» После этого ученикам было дано пояснение
решения этой задачи приблизительно в такой форме: «Вот вы говорите — от
18 коп. надо отнять 12 коп. Но откуда же взялись 18 коп.? Ведь в зада¬
че такого числа нет. В задаче сказано (слушайте!): «У мальчика было 10 коп.,
да ему ещё дали 8 коп.» Вот и всё, что сказано про деньги мальчика. Где
здесь число 18? Его нет. Его надо было найти. И вы его нашли.
Как?» («К 10 коп. прибавили 8 коп.»,— отвечали дети). «Потом, найдя 18 коп.,
, вы от 18 коп. отняли 12 коп. и получили 6 коп. Значит, сразу ли вы реши¬
ли задачу или постепенно? Постепенно. Сначала вы узнали, сколько у
мальчика стало денег, когда ему дали ещё 8 коп., потом вы узнали, сколько
у мальчика осталось денег. Гак повторите, как вы решили задачу. Что вы
сначала узнали? Что потом узнали?» Ученики повторили решение зада¬
чи. Вслед за этим учащимся была предложена вторая аналогичная задача
в 2 действия. Правильное решение этой задачи дали уже около 30 учеников.
Свыше 10 учеников счмели правильно объяснить решение, расчленив сложную
задачу на две простые задачи и указав последовательность их решения.
Этот факт свидетельствует о следующем' I) данный 1 класс во
2-й четверти оказался подготовленным к решению составных задач,
поэтому теперь своевременно было перейти к решению задач в два действия;
2) решая задачу правильно, дети при объяснении решения вначале не назы¬
вают первое действие, они пропускают его и дают объяснение решения слож¬
ной* задачи такое же, как и простой задачи, т. е. объясняют одно последнее
действие; 3) для 3/< учащихся простого объяснения одной задачи оказалось
достаточно; они сумели решить вторую задачу, справившись с расчленением
сложной задачи на простые и установив порядок их решения. Но детей
с задачей не справилась. Для таких детей надо повторить объяснение на
нескольких задачах, всякий раз подчёркивая, что эту задачу сразу одним дей¬
ствием решить нельзя.
Есть и другой способ довести до сознания учащихся, что
сложная задача состоит из простых задач и, что такие задачи
решаются постепенно, последовательно. Этот способ состоит
в следующем;
Ученикам предлагается решить одну за другой две простые
задачи, составленные так, что искомое первой задачи входит
в качестве данного во вторую задачу.
Например:
1.	«Мальчик поймал сначала 12 рыб, потом 6 рыб. Сколько всего рыб
поймал мальчик?»
2.	«Мальчик поймал 18 рыб, из них 8 рыб сварили. Сколько рыб оста¬
лось?»
Решение этих задач записывается на классной доске. После этого
учитель говорит- «А теперь из этих двух задач мы составим одну за¬
дачу и решим её». Составляется следующая задача: «Мальчик поймал сначала
12 рыб, потом 6 рыб. Из них 8 рыб сварили. Сколько рыб осталось?»
У чите ль: Можем ли мы сразу узнать, сколько осталось рыб?
У ч е н и к: Нет, не можем.
У ч и т е л ь: Почему?
Ученик: Потому, по нам неизвестно, сколько всего рыб поймал
мальчик.
6»
83


Учитель: Что же надо сначала узнать?
Ученик: Сколько всего рыб поймал мальчик.
У читель: Что для этого надо сделать?
Ученик. К 12 нужно прибавить 6.
Учитель* А потом что можно узнать?
Ученик: Сколько рыб осталось.
После устного решения трёх задач на доске появляется запись решения,
которая ещё больше оттеняет последовательность решения сложной задачи:
Задача 1-я	3 а д а ч а 2-я	3 а д а ч а 3-я
12 р. + б р. = 18 р.	18 р. — 8 р. = 10 р. 1) 12 р. —{-* б р. = 18 р.
2) 18 р. — 8 р. = 10 р.
Решаются ещё одна-две аналогичные простые задачи, по ко¬
торым затем составляются сложные задачи.
В конце урока делается обобщение: есть задачи, которые ре¬
шаются одним действием, и есть задачи, которые решаются двумя
действиями. До сих пор мы решали задачи только в одно дей¬
ствие, а теперь будем решать задачи и в одно, и в два действия.
Для первоначального объяснения надо брать такие задачи в два
действия, в которых порядок решения совпадает с расположением
в условии задачи числовых данных. Таковыми являются выше¬
приведённые задачи. А дальше надо вводить и такие задачи, где
этого совпадения нет. Например: «У мальчика было 15 руб. На
эти деньги он купил учебники за 6 руб, и сумку за 3 руб. Сколько
денег осталось у мальчика после этой покупки?»
,В решении задач в два действия нужна большая и длительная
тренировка. По программе решению задач в два действия отводит¬
ся вторая половина 2-й четверти и вся 3-я четверть. На этих
задачах дети учатся тому, как можно найти по числовым значе¬
ниям двух величин третью величину и какие данные надо иметь,
чтобы найти искомую величину, — иначе говоря, они учатся и ана¬
литическому, и синтетическому методу решения задач.
Пусть детям дана для решения задача: «Карандаш стоит 8 коп., а ручка
на 4 коп. дороже. Сколько стоят ручка и карандаш вместе5»
Решая эту задачу синтетическим методом, учитель поведёт с учащимися
беседу следующего содержания:
У читель: Повторите задачу.
Ученик: Карандаш стоит 8 коп., а ручка на 4 коп. дороже.
Учитель* Что можно отсюда узнать?
Ученик: Сколько стоит ручка.
У читель:	Что для этого надо сделать?
Ученик: К 8 коп. прибавить 4 коп.
Учитель: Когда мы узнаем, сколько стоит ручка, и известно, сколько
стоит карандаш, — что мы можем узнать по этим дачным?
Ученик: Сколько стоит ручка и карандаш вместе.
«Итак, — говорит учитель, — каков же план решения этой задачи: что
узнаём сначала, что — потом?»
Эту же задачу можно было бы разобрать, пользуясь аналитическим ме¬
тодом. Тогда беседа будет иметь следующее содержание:
Учитель: Повторите, что спрашивается в задаче.
Ученик: Сколько стоит ручка и карандаш вместе.
У читель: Что для этого надо знать?
Ученик: Сколько стоит ручка и сколько стоит карандаш в отдельности.
«4


Учитель: Что из задачи известно и что неизвестно?
Ученик: Известно, что карандаш стоит 8 коп., неизвестно, сколько стоит
ручка.
Учитель. А можно ли узнать, сколько стоит ручка, и как это узнать3
Ученик: Можно — для этого надо к 8 коп. прибавить 4 коп.
Учитель: Итак, каков будет план решения нашей задачи?
Оба эти метода равноправны и равноценны. Ученикам в одина¬
ковой мере нужно уметь находить по двум данным третью вели¬
чину (это умение даётся при синтетическом методе разбора)
и уметь определить, какие данные надо иметь, чтобы найти иско¬
мую величину (это умение вырабатывается при аналитическом ме¬
тоде раэбора).
Значительная часть задач в два действия решается с записью
решения.
Составные задачи.
Когда учитель решает с учениками более или менее сложную
арифметическую задачу, новую по своему содержанию или труд¬
ную для них в том или ином отношении, то он обязательно про¬
водит учеников через следующие четыре этапа:
1.	Усвоение условия задачи,
2.	Разбор задачи.
3.	Составление плана решения.
4.	Решение (вычисления).
Каждый из этих этапов имеет овои цели, своё значение, свою
методику.
Усвоение условия задачи.
Усвоить условие задачи — это значит усвоить, какие величины
даны в задаче, какая величина является искомой, какими числами
выражены эти величины, в каком отношении находятся между
собой числовые значения данной величины (равны, больше, меньше
на несколько единиц или в несколько раз); это значит ясно пред¬
ставлять себе фактическую сторону задачи — её фабулу или сю¬
жет. Итак, усвоение условия заключается в ясном и правиль¬
ном представлении фабулы, данных величия, их числовых зна¬
чений и их соотношений.
Всё это достигается следующими простыми средствами. Учи-
гель читает условие задачи или, что ещё лучше, говорит его
наизусть; последнее особенно важно в младших классах. Иногда
учитель заставляет учеников читать задачу; при этом надо
учить их читать условие задачи медленно, с остановками на точ¬
ках, со смыслом («Когда читаешь, старайся мысленно представить
себе то, о чём читаешь»); вопрос задачи надо читать два-три раза.
Да и всё условие задачи, если оно более или менее сложно, надо
читать раза два. После первого чтения нужно пояснить непонятные
или малопонятные термины, если они встречаются в тексте задачи.
85


При вторам чтении условие задачи записывается на классно?
доске, записывает его или сам учитель (в младших классах), и®
ученик под диктовку учителя. Записываются только числовые дав
ные с сокращенными наименованиями в строчку, в том порядке
в каком числа даны в задаче.
Но записи можно придать, если позволяет условие задача
форму некоторой схемы, способствующей его лучшему усвоению.
Пусть, например, решается задача: «Подводйая лодка прошлая?
поверхности воды 105 км 300 м, а под водой на 8 км 100
меньше. На воде лодка шла со скоростью 360 м в минуту, под
водой — со скоростью, равной 3/4 скорости на поверхности воды.
Сколько времени шла лодка под водой?» Запись условия это?
задачи может иметь двоякую форму:
з
В строчку 105 км 300 м; на 8 км 100 м меньше; 360 м;
В виде схемы:	Расстояние	Скорость
Над водой	105 км 300 м	360 м в минуту
3
Под водой	на 8 км 100 м меньше	4
Сколько времени шла лодка под водой?
Первая запись схематична, вторая более конкретна. По первой
записи воспроизвести задачу труднее, по второй — легче.
Первая запись проще, экономнее в смысле времени; вторая
сложнее, отнимает больше времени. Первую может сделать ученик
самостоятельно; вторая может быть сделана или самим
учителем, или учеником по указанию учителя. Ко второй форме
надо прибегать тогда, когда решение данной задачи имеет особое
значение, т. е. когда на данной задаче учитель объясняет новый
способ решения задач, новый тип задач, зависимости между но¬
выми для учащихся величинами и т. д. При решении задач в по¬
рядке упражнения можно ограничиться записью в строчку, как
более простой и доступной для самостоятельной записи каждым
учащимся.
Сторонники постоянного применения второй записи говорят,
что она облегчает решение задачи. Это верно. Но задача есть за¬
дача, и помощь учителя, особенно -в начале решения задачи, не
всегда идёт на пользу учащимся и поэтому не всегда от него тре¬
буется. Здесь надо руководствоваться принципом: что проще
и доступнее для учащихся, что больше мобилизует внима¬
ние и активность учащихся, то и лучше.
По сделанной записи условие задачи повторяется одним-
двумя-тремя учениками, в зависимости от сложности условия.
В младших классах сначала идёт повторение по наводящим вопро¬
сам, потом — повторение в целом. Чтобы удостовериться в том,
что ученики действительно усвоили условие задачи, можно в за¬
ключение спросить, чтб означает каждое данное число: «Что озна¬
чает 105 км. 300 я?» (Это расстояние, которое прошла подводная
86


лодка на поверхности воды.) «Что означает 360 м?» (Столько
петров проходила подводная лодка в одну минуту над водой.)
Л т. д.
Правильные ответы на вопросы учителя покажут, что условие
задачи воспринято учащимися правильно.
Но бывают такие задачи, в которых для усвоения условия надо
прибегать к наглядным пособиям, к иллюстрированию текста зада¬
ли рисунком, чертежом, картинкой или каким-либо иным способом.
Наглядность заставляет живее работать воображение учащихся,
она развивает у детей способность связывать прочитанные слова
с их конкретным содержанием; под воздействием наглядности
у детей возникают нужные образы.
Возьмём задачу для III класса: «5 бригад лесорубоо спилили 27 936 де¬
ревьев. Две ударные бригады сделали столько же, сколько три неударные.
Сколько деревьев спилила каждая бригада?»
Равенство проделанной двумя бригадами работы можно показать на прямо-
угольнике, разделённом на- две равные части. Прямоугольник пусть изображает
делянку, на которой растёт 27 936 деревьев. Эта делянка по условию задачи
делится пополам. На одной половине работают 2 бригады, на другой 3 брига¬
ды. Чертёж помогает создать в воображении учащегося правильное соотноше¬
ние между работой бригад.
Проиллюстрируем условие задачи для IV класса: «За стул, стол, шкаф
и диван уплачено 342 руб Стол, шкаф и диван стоят 330 руб. Стул, шкаф
и диван стоят 312 руб. Стол и диван стоят 130 руб. Сколько стоит каждый
предмет в отдельности?
Для иллюстрации можно сделать рисунок с изображением предметов. Но
рисунок можно заменить простой схемой:
Стул
стол
шкаф
диван
342 руб.
—
стол
шкаф
диван
330 руб.
Стул
—
шкаф
диван
312 руб.
—
стол
—•
диван
130 руб.
Прибегая к помощи иллюстраций, нужно помнить, что иллю¬
страции — вспомогательное средство; их надо вводить тогда,
когда без них условие задачи может быть неясным и неправиль¬
но понято. Не нужно тратить время на иллюстрирование той за¬
дачи, фабула которой ясна и без рисунков. Но если ученики не
совсем ясно и правильно представляют условие задачи, нужно
прибегнуть к помощи рисунка, чтобы воздействовать на воображе¬
ние учащихся и дать картину предметов и отношений, данных
в условии. Ясно, что к иллюстрациям нужно чаше прибегать
в I и II классах, где ведётся большая работа над тем, чтобы дети
при слушании или при чтении текста ясно представляли себе пред¬
меты или процессы, о которых идёт речь в задаче.
Разбор задачи.
После того как условие задачи усвоено, учитель переходит
к разбору задачи.
Цель разбора состоит в том, чтобы выяснить, в какой связи
и зависимости находятся между собой данные в задаче величины;
в какой зависимости находится искомая величина от данных.
87


I
На основании этого происходит расчленение сложной задачи на
ряд простых, последовательное решение которых приводит к ре¬
шению главного вопроса задачи.
Разбор — центральный момент в объяснении задачи; на этом
этане и происходит главным образом обучение решению задач.
Разбор может быть произведён одним из двух способов — анали¬
тическим или синтетическим.
Возьмём задачу: «Коллектив собрал картофель с 15 гряд по 80 кг и с
25 гряд по 60 кг с каждой гряды. Весь собранный картофель разложили
в мешки по 50 кг в каждый. Сколько мешков для этого понадобилось?»
В задаче главное искомое — количество мешков, которое требуется для
того, чтобы разложить картофель. Данных в задаче пять, а именно: количе¬
ство гряд (15 и 25), урожай с гряд (80 кг и 60 кг) и количество килограммов
в одном мешке (50 кг).
Разбор этой задачи можно провести в форме следующей беседы: Учитель
читает первую фразу: «Коллектив собрал картофель с 15 гряд по 80 кг с ка¬
ждой гряды», останавливается на этой фразе и ставит перед учениками во¬
прос: «Что можно узнать по этим Двум данным?»
Ученики отвечают: «По этим двум данным можно узнать, сколько килограм¬
мов картофеля собрал коллектив с первого участка». Учитель читает дальше
вторую фразу: «Коллектив собрал со второго участка в 25 гряд по 60 кг с ка¬
ждой гряды», и ставит тот же вопрос: «Что отсюда можно узнать?» Ученики
отвечают: «Отсюда можно узнать, сколько картофеля коллектив собрал со
второго участка». «Когда вы будете знать, — продолжает учитель, — сколько
картофеля собрали с первого участка и сколько сс второго в отдельности,
что вы тогда можете узнать?» Ученики ответят:	«Тогда можно узнать,
сколько картофеля собрали с двух участков вместе».
«Что сделали с этим картофелем, прочитайте дальше»,— предлагает
учитель. Ученик читает: «Весь собранный картофель разложили в мешки по
50 кг в каждый. Сколько мешков для этого понадобилось?»
«Можно ли теперь ответить на этот вопрос, есть ли у вас для этого дан¬
ные?»— спрашивает учитель. Учащиеся отвечают: «Мы будем знать, сколько
было всего картофеля и сколько клали в каждый мешок».
«Сколько же мешков пфребуется—как на это ответить?» «Столько,—
должны ответить ученики, — сколько раз 50 кг повторится во всём количе¬
стве картофеля».
Такой способ разбора, как мы уже говорили, называется с и н-
тетическим. Сущность его заключается в следующем. Из чис¬
ловых данных сложной задачи берутся два данных, находящихся
между собой в определённой зависимобти; к этим данным подби¬
рается вопрос (устанавливается искомое), и таким образом соста¬
вляется первая простая задача; дальше берётся ещё пара данных,
к ним подбирается вопрос, и составляется вторая простая задача;
намеченное искомое первой задачи может войти в качестве дан¬
ного в одну из последующих простых задач. Этот процесс подбора
данных и установления искомых продолжается до тех пор, пока
не дойдут до простой задачи, вопрос которой совпадёт с вопросом
сложной задач# Решение последней простой задачи будет вместе
с тем и решением сложной задачи.
Разбор вышеуказанной задачи можно провести и другим спо¬
собом — аналитическим.
88


Учитель останавливает внимание учащихся на вопросе задачи, с него
именно начинается разбор задачи.
Учитель: Что спрашивается в задаче?
Ученик: Сколько мешков понадобилось для размещения картофеля.
У ч и т е л ь: Что надо знать, чтобы ответить на этот вопрос?
Ученик: Надо знать, сколько было всего картофеля и сколько карто¬
феля укладывали в один мешок; мешков понадобится столько, сколько раз
60 кг повторится в общем количестве картофеля.
Учитель: Из этих данных, которые мам нужны, что известно и что
неизвестно?
Ученик: Известно, что в один мешок укладывается 50 кг. Неизвестно,
сколько всего собрали картофеля.
, Учитель: А что надо знать, чтобы ответить на вопрос: «.Сколько всего
собрано картофеля?»
Ученик: Для этого надо знать, сколько собрали с первого участка
и сколько собрали со второго участка в отдельности.
У ч и т е л ь: Можно ли это узнать? Есть ли у нас для этого данные
и какие?
Ученик: Можно. Из условия задачи мы знаем, что на первом участке
было 15 гряд и с каждой гряды собрали по 80 кг. На втором участке было
25 гряд и с каждой гряды собрали по 60 кг.
На этом разбор задачи заканчивают и переходят к формулировке плана.
Таким образом, аналитический способ разбора состоит в сле¬
дующем. К вопросу задачи (главному искомому) подбирают пару
далных, по которым можно определить искомое или ответить на
вопрос задачи. Числовые значения одного, а иногда и обоих наме¬
ченных данных могут быть неизвестны. Данное, числовое значение
которого неизвестно, должно стать искомым для следующей про¬
стой задачи. Этот процесс — процесс установления искомых
и подбора к ним данных — продолжается до тех пор, пока не
дойдём до задачи, у которой числовые значения обоих данных из¬
вестны из условия сложной задачи.
Сравним синтетический способ разбора с аналитическим.
1.	При синтезе выделение простых задач из сложной начинает¬
ся с выбора данных, к которым подбирается вопрос (искомое);
при анализе, наоборот, начинают с вопроса сложной задачи и к не¬
му подбирают пару данных, необходимых для решения этого во¬
проса.
2.	При синтезе искомое каждой простой задачи, после того
как оно найдено^ становится данным для одной из последующих
задач; при анализе, наоборот, данные простой задачи, числовые
значения которых неизвестны, становятся искомыми для после¬
дующих задач.
3.	При синтезе каждая простая задача содержит в себе все
Необходимые элементы задачи (условие, числовые данные и во¬
прос) и поэтому может быть тотчас же решена; при анализе толь¬
ко последняя простая задача может быть решена; во всех же пре¬
дыдущих задачах нехватает числовых данных, и поэтому прихо¬
дится оперировать с общими понятиями — величинами.
4.	К синтезу хорошим подготовительным упражнением служит
придумывание вопроса к той или иной комбинации данных. На¬
пример. придумать вопросы к следующим задачам и решить их.
89


— /*ч/лии1з И Ш Груш.
б)	Ученик купил 3 карандаша по 8 коп. каждый.
в)	60 яиц разложены в 3 корзины поровну.
г)	Книга стоит 35 коп., а альбом на 15 коп. дороже.
К анализу хорошим упражнением служит придумывание число¬
вых данных к поставленным вопросам. Например, придумать
числовые данные к следующим вопросам и решить составленные
задачи:
а)	Ученик куг^гл книгу и тетрадь. Сколько он уплатил за эту покупку?'
б)	Товарный поезд прошёл расстояние от Москвы до Каширы за 4 часа.
Сколько километров проходил поезд в час?
в)	Колхоз вспахал трактором всю посевную площадь за 3 дня. Сколько
гектаров составляет посевная площадь колхоза?
5.	По степени трудности синтетический метод проще, легче
и доступнее для учащихся; аналитический — сложнее, труднее.
Синтетический способ разбора более соответствует естественному
ходу мысли учащегося, который всегда исходит при решении от
данных, от известного. Аналитический способ отвлечённее, много¬
словнее, искусственнее. К синтетическому способу учащиеся более
подготовлены решением простых задач, чем к аналитическому.
6.	В развёрнутом виде анализ сложных задач для учащихся
начальной школы труден. Но так называемый частичный, сокра¬
щённый анализ должен найти широкое применение при разборе
многих задач. Укажем несколько случаев применения анализа.
а)	При переходе от решения простых задач к составным ста¬
вится вопрос: «Можно ли сразу ответить на вопрос задачи?» По¬
становка такого вопроса подводит учащихся к аналитическому
разбору задачи.
б)	Во многих задачах полезно, прочитав условие задачи, спро¬
сить учащихся: «Что нужно знать или какие данные надо иметь,
чтобы ответить на вопрос задачи?», и после ответа на этот вопрос
перейти к синтетическому способу разбора.
в)	Разбирая задачу в основном синтетическим методом, часто
бывает полезно спрашивать для контроля за сознательным приме¬
нением синтеза: «А зачем нам это нужно знать?»
г)	Чтобы полный анализ проходил более или менее гладко,
нужно предварительно подготовить учащихся к раэбору задачи
этим методом.
Пусть, например, решается задача: «В двух кусках было 72 м одинаковой
ткани. От одного куска ткани продали на 240 руб., а от другого — на 180 руб.,
после этого в первом куске осталось 20 м% а во втором 17 м. Сколько мет¬
ров ткани было в каждом куске до продажи?»
В этой задаче фигурируют 3 величины: стоимость, цена и количество.
Учащиеся должны хорошо знать зависимость между этими величинами. Перед
решением этой задачи её надо повторить на простых задачах. Например:
«Куплено материи на 48 руб. по цене 12 руб. за метр. Что можно узнать по
этим данным? Как определить количество, если известны стоимость и цена?»
«Куплено 20 а материи за 120 руб. Что отсюда можно узнать? Как узнать
цену одного метра?»
«Продано несколько метров ситца за 200 руб. Сколько метров продано?
Что нужно ещё знать, чтобы ответить на вопрос задачи?»
‘90


«Продана шерстяная материя за 500 руб. По какой цене продавали метр
материи? Какого данного нехватает, чтобы ответить на вопрос задачи?»
В вышеуказанной задаче есть ещё одна трудность, к преодо¬
лению которой нужно подготовить учащихся, — это понимание
зависимости между уменьшаемым, вычитаемым и остатком. Для
этого полезно предварительно прорешать несколько простых за¬
дач, в которых требуется нййти' уменьшаемое по данному вычи¬
таемому и остатку*
Н а п р дм е р: «В магазине было полотно. Когда продали полотна на
400 руб., то его еще осталось на 600 руб. Сколько стоило всё полотно до
продажи?» «В двух кусках было 80 м ситца. Когда из обоих кусков продали
несколько метров, то в одном куске осталось 20 мл а в другом 15 м. Сколько
ситца продали из обоих кусков?»
Несомненно, что эти подготовительные задачи облегчат разбор
и решение нашей сложной задачи.
Одним из средств, облегчающих разбор задачи, т. е. выясне¬
ние зависимости между данными в задаче величинами, является
запись условия задачи в виде схемы. Для нашей задачи такая
запись могла бы иметь следующую форму:
Общее количество Продано на сумму Остатки Сколько метров
Другим средством, облегчающим анализ, являете*} схематиче¬
ское развёртывание анализа с помощью чертежа. Дл'я нашей за¬
дачи эта схема может иметь следующий вид (см. на 92 стр.).
7.	Синтетический способ наиболее применим при разборе за¬
дач приведённых» т, е. таких, в которых порядок решения задачи
соответствует порядку расположения в ней числовых данных.
Аналитический способ более удобен при разборе задач непри-
ведённых, а также не очень сложных задач, решаемых не более
чем тремя-четырьмя действиями. Во многих случаях полезно при¬
менять при разборе и тот и другой способ одновременно. Рас¬
смотрим этот вопрос на конкретных примерах.
Задача 1-я. «Ученик купил 3 карандаша по 8 коп. за карандаш,
5 тетрадей по 10 коп. и 4 пера по 3 коп. Сколько стоит вся покупка?»
Эта задача — приведённая1. Наиболее лёгкий и краткий способ её разбо¬
ра — синтетический. Здесь 3 пары данных, к ним легко подыскиваются
три искомых (стоимости).
Задача 2-я. «В двух кусках 72 м одинаковой материй. Один кусок
стоит 140 руб.; другой 112 руб. Сколько метров в каждом куске?»
Задача — неприведённая. Здесь удобно применить аналитический спо¬
соб разбора. Для этого надо предварительно твёрдо установить, что в задачу
дано: общее количество материк в обоих кусках, стоимость каждого
куска в отдельности. Требуется найти количество метров в каждом
куске. Разбор начинается с вопроса учителя:
«Если дана стоимость куска, а требуется найти количество,
то для этого что надо ещё знать?»
Ученики ответят: «Надо ещё знать цену одного метра. По стоимости
и цене всегда можно найти количество. Сколько раз цена повторится в стои¬
мости, столько н будет метров».
240 руб.
180 руб.
20 м
17 ^
было в каждом
куске до прода¬
жи?
91


Далее надо установить, что цена в задаче не дана, её надо найти.
«Но если дано количество (72 м) в обоих кусках, а требуется
найти цену, что для этого надо ещё знать?»«— спрашивает учитель. «Стои¬
мость», — ответят ученики.
Легко установить, что стоимость обоих кусков не дана, её нужно найти.
«Можно ли её найти, есть ли для этого данные?» — ставится вопрос, ответ
на который легко получается при чтении условия задачи. («Один кусок стоит
140 руб.; другой И2 руб.»). Разделив стоимость на количество, получим, цену.
Теперь есть всё необходимое, чтобы найти ответ на вопрос задачи — сколько
метров в первом куске и сколько метров во втором куске.
Сколько осталось
\ Сколько осталось
от 1-го куска?
! от 2-го куска?
(20 м)
: (17 м)
1
Такие рассуждения доступны только ученикам IV класса. Эту же задачу
можно разобрать и способом синтеза. Тогда беседа будет лшеть следующее
содержание:
Учитель:	Прочитайте первую фразу.
Ученик: «В двух кусках 72 М одинаковой материи».
У чител ь: Здесь нам дано общее количество материи п двух
кусках. Читайте дальше — вторую фразу
92


Ученик: «Один кусок стоит 140 руб.; другой—112 руб.».
Учитель: Что отсюда можно узнать?
Ученик: Сколько стоят оба куска.
У ч и т е л ь:	Теперь нам известно, сколько стоят 72 м материи. Что от¬
сюда можно узнать?
Ученик:	Сколько стоит один метр.
У чите ль* Когда вы знаете цену одного метра и знаете стоимость все¬
го куска, то по цене и стоимости что вы можете узнать?
Ученик: По цене и стоимости куска можно узнать, сколько метров
в куске.
Задача 3-я. «Для Школы купили 2 глобуса и 3 географические кар¬
ты. Глобус стоил 6 руб., а карта на 4 руб. дороже. Сколько стоила вся по¬
купка?»
При разборе этой задачи целесообразно использовать и синтез, и анализ.
Начало разбора удобно провести аналитическим путём, а затем нужно перейти
на применение синтеза.
Учитель: Что надо знать, чтобы решить вопрос: «Сколько стоила
вся покупка?»
У ч е н и к:	Надо знать, сколько стоили отдельно глобусы и сколько
стоили карты.
Учитель: Что сказано в задаче про глобусы — про их цену и коли¬
чество?
У ченик: Глобусов куплено 2 по цене 6 руб, за штуку.
Учитель: Что отсюда можно узнать?
Ученик: Стоимость глобусов.
Учитель:	Как узнать стоимость карт? Что для этого надо знать?
Ученик: Их количество и цену, и т. д.
8.	Есть ряд задач, которые не поддаются разбору ни анали¬
тическим, ни синтетическим способом. Сюда относятся типовые
задачи алгебраического характера. Для решения таких задач
нужно знать особые способы и приёмы решения. Характерным
для них является момент предположения как исходный.
Во всех этих случаях огромную помощь оказывает ученику в на¬
хождении приёма решения наглядность.
Так как при аналитическом разборе задачи наибольшую труд¬
ность для детей (начальной школы представляет словесное вы¬
ражение аналитической мысли, построение цепи логических умо¬
заключений и так как преодоление этих трудностей требует
значительного развития речи, какого учащиеся начальной школы
ещё не имеют, то мы должны признать вполне рациональной ту
школьную практику, в силу которой некоторая часть задач пред¬
лагается учащимся для «продумывания» (самостоятельного ана¬
лиза). На основе такого анализа составляется план решения,
который формулируется учащимися. Правильная формулировка
плана показывает наличие у ученика понимания задачи, понима¬
ния зависимости между величинами. При продумывании задачи
творческая мысль ученика, свободная от необходимости её точного
словесного оформления, получает широкий простор: интуиция, не¬
посредственное «схватывание» задачи имеют при этом большое
значение. Экономия мысли и времени, получаемая при такой по¬
становке дела, позволяет дать большее количество упражнений,
что, как показывает опыт, полностью компенсирует кропотливую
93


и 1рудную работу по речевому оформлению сложных мыслитель¬
ных процессов ученика, анализирующего задачу.
Составление плана решения задачи.
Из разбора вытекает план решения задачи**Составить план —
это значит наметить порядок, последовательность решения тех
простых задач, на которые в результате анализа разбита слож¬
ная задача. При составлении плана окончательно формулируются
вопросы каждой простой задачи, устанавливается тот порядок»
в котором должны решаться одна за другой эти простые задачи.
Полезно составлять план решения не части задачи, а всей
задачи от начала до конца, от первого до последнего вопроса.
Ученик только тогда будет решать задачу сознательно и уверен¬
но, когда для него ясен весь путь решения, когда ему видны все
вехи на этом пути. Вопросы же имеют значение вех.
Метод решения задачи по частям, по кусочкам, без ясного
представления всей перспективы решения надо признать не¬
полноценным.
Допустим, что ученики III класса решают задачу: «В двух кусках было
50 м одинаковой материи. Первый кусок продали за 270 руб., второй за
180 руб. Сколько метров было в каждом куске?»
Прежде чем поиступить к вычислениям, ученики должны наметить план
решения всей задачи, поставив следующие 4 вопроса: «За какую сумму про¬
дали оба куска? Сколько стоил один метр материи? Сколько метров было
в первом куске? Сколько метров было во втором куске?»
В противоположность этому некоторые малоопытные учителя
приступают к решению задачи, т. е. к вычислениям, наметив
предварительно не весь план, а только один первый вопрос.
План, как известно, может быть не только устным, но
и письменным. Какова роль того и другого плана и в ка¬
ком соотношении они должны применяться?
Составление устного плана легче, чем составление письмен^
ного плана. Но запись плана глубже приковывает наше внима¬
ние к тем мыслям, которые записываются, к тем вопросам, ко¬
торые излагаются на бумаге. Тот вопрос, по которому в устной
речи мысль ученика способна только скользнуть, при письменном
оформлении задерживает на себе внимание ученика, что приводит
к более глубокому осмысливанию и пониманию вопроса.
Отсюда следует, что в младп!их классах (1иН) целесообразно
составлять только устный план, так как навыки письменной речи
здесь ещё очень несовершенны: ученики пишут медленно, знание
орфографии у них крайне ограниченное, умение строить фразы
примитивное. При таких условиях на стилистическое оформление
плана потребовалось бы больше времени и энергии, чем на
уяснение математической стороны плана. Математическая сущ¬
ность задачи затушёвывалась бы вследствие большой затраты
энергии на преодоление трудностей чисто литературного порядка.
В I и II клзссах надо приучить учеников к составлению плана
перед решением задачи и «аучить их устно формулировать во¬
94


просы, по возможности ясно, чётко и кратко. Где рано начинается
запись плана, там резко уменьшается количество решаемых за¬
дач, а где мало решается задач, там не может быть речи об уме¬
нии хорошо их решать.
/<6* старших классах начальной школы — в III и IV — наряду
^ работой над устным планом вводится и составление письменно¬
го плана. Почва для этой работы здесь подготовлена:	техника
-йисьмд здесь достаточно развита, на уроках русского языка уче¬
ники приобретают навыки правильно формулировать свою мысль.
Эти стилистические навыки можно использовать и на уроках ариф¬
метики для составления плана решения задачи.
Здесь замедленное течение мысди, неизбежно связанное с пись¬
мом, с записью вопроса, некоторая задержка внимания ученика
на вопросе, преодоление трудностей, связанных с поиском более
точных выражений, — всё это идёт на пользу дела. Внимание уче¬
ника сильнее приковывается к вопросу, ученик глубже проникает
в его сущность. Способы и приёмы решения от этого прочнее
запечатлеваются в сознании и памяти учащихся. Вот почему на¬
чиная с III класса обязательна на уроках арифметики и работа
по обучению детей составлению письменного плана решения за¬
дач.
Однако переход к письменному плану ни в какой мере не
означает ликвидации в III и IV классах работы над устным пла¬
ном. В этих классах находят своё .применение и устный, и пись¬
менный план в известном сочетании и чередовании. Составление
письменного плана предваряется составлением устного плана:
после того как задача проанализирована, учитель заставляет уче¬
ников наметить план её решения, т. е. сказать, какие же вопро¬
сы должны быть поставлены и в каком порядке они будут
решаться. И только после составления устного плана учащиеся
переходят к его записи.
Кроме того, и в старших классах некоторые задачи решаются
только с устным планом, без записи вопросов. Это бывает в тех
случаях, когда учащиеся усвоили в основном способ решения за¬
дач данного типа и научились формулировать вопросы в этих за¬
дачах и когда учитель приступает к объяснению нового типа
задач с трудной формулировкой вопросов. В таком случае первые
задачи лучше решать только с устным планом, с тем чтобы уча¬
щиеся могли максимум внимания сосредоточить на уяснении смы¬
словой стороны новой для них разновидности задач.
Допустим, что учитель III класса переходит к ознакомлению учащихся
с задачами на нахождение двух чисел по их сумме и разности («На двух
полках лежит 81 книга, причём на верхней полке на 7 книг больше, чем на
нижней. Сколько книг на каждой полке?»). Формулировка вопросов в этой
задаче представляет для учащихся большие трудности, ибо она связана с ис¬
пользованием таких оборотов речи, которые незнакомы ученикам III класса.
Поэтому сначала нужно всё внимание учащихся сосредоточить на уяснении
смысла задачи, на понимании учащимися способа её решения, научить учени¬
ков формулировать вопросы этой задачи в наиболее лёгкой форме, т. е. в
95


устной форме, И только после этого можно приступить к обучению их запн-.
•си плана.
Однако этот путь не является универсальным. Наоборот, ко¬
гда ученики знакомятся с задачами «на части», где вопросы фор¬
мулируются сравнительно легко, можно одновременно с уясне¬
нием способа решения учить детей и записи плана.
Учителями нередко ставится вопрос: «Сколько задач нужно
решить в каждом классе с устным планом и сколько с письмен¬
ным, чтобы научить учеников хорошо решать задачи?» Нужно
признать, что экспериментальных данных для ответа на этот
вопрос нет. Что же говорит по этому вопросу практика массовой
школы?
Опыт показывает, что чаще получаются лучшие результаты
в том случае, когда должное место занимают задачи, решаемые
с письменным планом. Это подтверждает большое образова¬
тельное значение работы по составлению письменного плана. Од¬
нако не следует и переоценивать значение этого фактора. Встре¬
чаются классы, в которых получаются одинаково хорошие ре¬
зультаты при развой практике: в одной школе (314-я школа
т. Москвы) учительница большинство задач решала с письмен¬
ным планом, в другой (326-я школа), наоборот, большинство за¬
дач решались с устным планом. Предложенную контрольную за¬
дачу ученики обоих классов решили с одинаковым успехом. Это
показывает, что сам по себе вопрос о том, как решаются зада¬
чи —- с устным планом или письменным, решающей роли не иг¬
рает. При преобладании устного плана решается большее коли¬
чество задач, получается большая тренировка, и если она соче¬
тается с обстоятельным разбором, то этого достаточно, чтобы
цель была достигнута. При преобладании письменного плана уча¬
щиеся решают задач несколько меньше, но зато они глубже про¬
никают в содержание и способ решения каждой задачи, что ком¬
пенсирует несколько меньшую тренировку в решении задач.
Наиболее целесообразным можно считать такое соотношение,
при котором из общего количества решённых задач около поло¬
вины решается только с устным планом и несколько больше по¬
ловины — с письменным планом. При этом значительная часть
задач с письменным планом должна приходиться на задачи, ре¬
шаемые дома в порядке выполнения домашних заданий. В классе
же решаются задачи с письменным планом или новые по типу,
или трудные по содержанию.
Форма постановки вопросов в письменном плане может
•быть разнообразной. Покажем различные варианты письменного
плана примере конкретной задачи.
Задача. Подводная лодка прошла на поверхности воды 105 км 300 м,
а под водой на 8 км 100 м меньше. На воде лодка шла со скоростью 360 м
в минуту, а под водой со скоростью, равной 8Д скорости на поверхности
воды. Сколько времени лодка шла под водой?
96


План к этой задаче может быть составлен в форме вопросов:
1.	Какое расстояние прошла подводная лодка под водой?
2.	С какой скоростью она шла под водой?
3.	Сколько времени лодка шла под водой?
Это обычная, наиболее распространённая форма письменного
и устного плана. Но план можно составить и в форме кратких
утвердительных предложений; тогда он может быть сформулиро¬
ван так:
1.	Расстояние, пройденное лодкой под водой.
2.	Скорость лодки под водой.
3.	Время движения лодки под водой.
Такой план короче, но формулировка его для учащегося не¬
сколько труднее: она предполагает наличие у ученика умения
пользоваться терминами, обозначающими арифметические "пнятия:
^«скорость» вместо «сколько километров проходит лодка в час»,
«расстояние» вместо «сколько пройдено километров» и т. д.
Наконец, план может быть заменён пояснениями получаемых
результатов; тогда решение примет следующий вид:
1.	105 км 300 м — 8 км 100 м = 97 км 200 м прошла подводная лодкз
под водой
2.	360 м : 4 — 90 м; 90 «X 3 = 270 « проходилз подводная полю р ми¬
нуту под водой.
3.	97 км 200 м.: 270 м — 360 (мин.) = 6 час. шла лодка пол водой
План может быть или объединён с решением, или отделён
от него. В первом случае запись имеет следующий вид:
1.	Какое расстояние прошла подводная лодка под водой?
105 км 300 м — 8 км 100 м = 97 км 200 м.
2.	С какой скоростью шла лодка под водой?
360 м : 4 = 90 м; 90 м X 4 = 270 м.
3.	Сколько времени шла лодка под водой?
97 км 200 х : 270 м — 360 (мин.); 360 мин — 6 чар.
Ответ: 6 часов.
Если же план отделяется от решения, то запись принимает
следующий вид:
План решедия.
1.	Какое расстояние прошла подводная лодка под воДой?
2.	С какой скоростью шла лодка под водой?
3.	Сколько времени шла лодка пол водой?
Решение.
1.	105 км 300 м —8 км 100 м — 97 км 200 м.
2.	360 м : 4 = 90 м; 90 X 3 = 270 м.
3.	97 км 200 м : 270 м = 360 (мин.); 360 мин. — 6 час.
Ответ:	6 часо>
Первая форма, как показывает опыт, проще и легче для уча¬
щихся. С неё .и нужно начинать знакомство с письменным пла¬
ном в III классе. Но в IV классе можно перевести учащихся на
7 А. С. Пчёлко
97


Д П
раздельную запись плана и
реиГбния.
В письменном плане приходится иметь дело не только с жре-
бованиями арифметики, но и с требованиями русского языка; при
записи плана ученик встречается с различными правилами пра¬
вописании, стилистики. Эти записи могут при надлежащей по¬
становке дела служить задаче укрепления навыков правильного
письма, и, наоборот, они могут быть рассадниками неграмотно
сти. Это обязывает учителя следить за культурой письма, преду¬
преждать в письменном плане ошибки орфографические и стили¬
стические, исправлять их при просмотре тетрадей. План должен
писаться грамотно и со стороны арифметики и со стороны рус¬
ского языка. А между тем в школьной практике нередко встре¬
чается случаи плохого оформления плана. Особенно развита
тенденция сокращённой записи слов, причём сокращения неред¬
ко производятся неправильно. Надо требовать полной и грамот¬
ной записи слов в плане.
Вести борьбу с ошибками надо не только на уроках русского'
языка, но и на уроках арифметики.
Письменный план должен быть образцом высокой культуры,
которая должна найти своё выражение в чистоте и симметричном
расположении записей, в орфографической и стилистической гра¬
мотности, в правильной постановке вопросов.
Решение (вычисления).
После составления плана учащиеся приступают к решению за¬
дачи. На этом этапе они должны правильно выбрать числа и
действие д^я каждого вопроса, записать это действие и произве¬
сти необходимые вычисления. Указывая действия, учащиеся долж¬
ны кратко пояснять, почему они в каждом данном случае при¬
меняют то, а не иное действие.
Например, решая вышеуказанную задачу «Подводная лодка», учащиеся
поясняют каждое действие так:
1-	е действие:	«Чтобы узнать, какое расстояние прошла подводная
лодка под водой, надо от 105 км 300 м отнять 8 км 100 м, так как в зада¬
че сказано, что на поверхности воды подводная лодка прошла 105 км 300 м9
а пол водой на 8 км 100 м меньше».
2-	е действие:	«Чтобы узнать, с какой скоростью подводная лодка
шла гхд водой, надо найти 3Л от 360, так как в задаче сказано, что на воде
лодка шла со скоростью 360 м в минуту, а под водой скорость её составляла
только -и надводной скорости. Чтобы найти 3/4 от 360, найдём сначала
■\ от 360, Дня чего 360 разделим на 4, а затем найдём 3/4, Для чего получен¬
ное частное умножим на 3».
3-	е действие:	«Чтобы узнать, сколько времени шла лодка под во¬
дой, надо 97 км 200 м разделить на 270 и. потому что под водой лодка шла
столько минут, сколько раз 270 м содержится в 97 200 м. а чтобы узнать,
сколько раз 270 содержится в 97 200, нужно 97 200 разделить на 270».


Записать решение можно по-разному, можно каждое действие
записать столбиком, тогда запись будет иметь следующий вид:
() 105 км 300 м 2) ЗЙО м: 4 = 90 м\	3) 97 200 м I 270 м
8 км 100 м	90 мX 3 = 270 м	31 0	360 (мил.) ~ 5 ча...
97 км 200 м	1 о20
1620
0
Ответ: 6 часов.
Записи решения можно придать и другую форму: можно за-
лиСь действий отделить от записи вычислений, расположив их
шёдующим образом:
1)-' 105 км ЗСО м—8 и 100 м = 97 км 200 м 1) 105 км 300 м
• 2)' 360 м : 4 X 3 = 270 м (Устно)	— 8 км 100 д/
■ 3) 97 км 200 м: 270 м = 6 (час.)	97 км 200 м
3) 97 200 | 270
31 0 ЗоО (нин.)
16 20 360 мин. =6 час.
16 20
0
Во многих случаях такая запись удобнее первой. Действия
всегда записываются с наименованиями; вычисления, наоборот,
удобнее производить над отвлечёнными числами, широко при
этом используя переместительное свойство суммы и произведения.
Допустим, что по ходу решения задачи нужно узнать, сколько стоят
1 325 кг извести, если один килограмм стоит 9 коп. В таком случае записы¬
ваем действие в строчку с наименованиями, а против этой строчки записываем
вычисление без наименований, переменив при этом для удобства вычислений
места сомножителей:
I)	9 коп. X 1 325 = 119 руб. 25 коп.	I) 1 325
X 9
11925
Вычисления можно записывать не на правок стороне тетради,
а под записью действия, например:
28 руб. 4 коп. X 36= 1009 руб. 44 коп.
2 804
X 36
16 824
84 12
*ТОО 944
Вообще говоря, вопрос .о форме записи решения — вопрос
не принципиальный; форма записи может быть различной. Но,
установив для учащихся ту или иную форму, надо следить за тем,
чтобы учащиеся строго придерживались её, чтобы в записях был
определённый порядок.


Решение задач с письменным объяснением.
Одна из важных целей обучения решению задач состоит в том,
чтобы научить детей рассуждать, доказывать и обосновывать свои
суждения. Эта цель достигается при анализе задачи, составлении?
плана её решения, при выборе действий для производства вычис¬
лений. На всех этих этапах ученик рассуждает, объясняет и мо¬
тивирует каждый свой шаг. Всё это делается прежде всего устно:
ученик составляет устный план, даёт устные объяснения каждого
действия. Но в IV классе можно постепенно вводить в практику
письменныеобъяснения.
При записи объяснений ученик записывает план решения
■и, кроме того, записывает объяснение каждого действия. Благода¬
ря этому в сознании ученика ярче запечатлевается процесс рас¬
членения сложной задачи на простые и лучше запоминается
объяснение того, почему в каждом данном случае применяется
то, а не иное арифметическое действие. Письменное объяснение
требует от ученика более или менее свободного владения пись¬
менной речью, умения письменно выражать свои мысли. Поэтому
письменные объяснения можно вводить только в старшем классе
•и при условии тщательной устной подготовки к тому, что бу¬
дет записываться. Первые задачи, предназначенные для письмен¬
ного объяснения, должны быть обстоятельно разработаны устно;
записям должен предшествовать устный разбор задачи, устное
составление плана, устное объяснение каждого действия. Только
после этого можно перейти к записям, но и при этом каждый
вопрос и каждое объяснение действия, прежде чем записать их,
формулируются устно. Работа эта проводится коллективно всем
классом при самой активной помощи учителя. По мере упраж¬
нений ученикам предоставляется всё больше и больше самостоя¬
тельности и, наконец, ученикам может быть предложено в каче¬
стве самостоятельной домашней работы реш 'ть ту или иную не
очень замысловатую задачу с письменным объяснением.
Приведём пример задачи с письменным объяснением.
Условие задачи.
Одна школа собрала в течение года 3 т цветного и в 4 раза больше чёр¬
ного металлического лома. За каждую тонну цветного лома ей уплатили
по 12 цуб. 80 коп., а за каждую тонну чёрного лома на 3 руб. 10 коп. меньше.
На все вырученные деньги школьники отправили бойцам Красной Армии по¬
сылки. Сколько посылок было отправлено, если каждая посылка обошлась
я среднем в 30 руб. 96 коп.?
План решения.
I.	Сколько тонн чёрного лома собрали школьники?
'2. Почём платили за каждую тонну чёрного лома?
3.	Какую сумму получили школьники за цветной лом?
4.	Какую сумму получили школьники за чёрный лом?
5.	Сколько получили школьники за весь лом?
6.	Сколько посылок отправил^ школьники бойцам Красной Армии?
Ю0


Решение с объяснением.
1.	Цветного лома собрано 3 г, а чёрного в 4 раза больше. Чтобы узнап,
только собрано чёрного лома, нужно 3 г умножить на 4.
3 г X 4 = !2 т.
2.	За тонну цветного лома платили 12 руб. 80 коп., а за тонну чёрного
3 руб. 10 коп. лешевле. Чтобы узнать, сколько платили за тонну чёрного
гома, нужно от 12 руб. 80 коп. отнять 3 руб. 10 коп.
12 руб. 80 коп. — 3 руб. 10 коп. = 9 руб. 70 коп.
3.	За одну тонну цветного лома получали 12 руб. 80 коп., а за 3 т попу-
ши в 3 раза больше, т. е.
12 руб. 80 коп. X 3 = 38 руб. 40 коп.
4.	За одну тонну чёрного лома получали 9 руб. 70 коп., а за 12 т полу-
ши в 12 раз больше, т. е.
9 руб. 70 коп. X 12 =116 руб. 40 коп.
5.	За цветной лом получили 38 руб. 40 коп., за чёрный — 116 руб. 40 коп.,
а всего за весь лом получили:
38 руб. 40 коп. 4- 116 руб. 40 коп. = 154 руб. 80 коп.
6.	На все посылки израсходовали 154 руб. 80 коп., а каждая посылка
стоила 30 руб. 96 коп.; значит, посылок было столько, сколько раз
30 руб. 96 коп. содержится в 154 руб. 80 коп. Чтобы узнать, сколько раз
30 руб. 96 коп. содержится в 154 руб. 80 коп., нужно произвести деление:
154 руб. 80 коп. . 30 руб. 96 коп. = 5 (посылок).
Ответ: Школа отправила бойцам Красной Армии 5 посылок.
Дополнительная работа в связи с решённой задачей.
Получение ответа завершает, как правило, решение данной за¬
дачи. Но в связи с решением некоторых задач полезно провести
дополнительные упражнения, направленные на более глубокое
выяснение смысла данной задачи и приёмов её решения.
Укажем несколько видов наиболее интересных и полезных
работ, связанных с решённой задачей.
К Стройное течение логической мысли ученика при решении
задачи прерывается вычислительной работой, отвлекающей вни¬
мание ученика от смысловой стороны задачи. Целое при это у
разбивается на части: задача решается по частям, по отдельны ч
вопросам. Чтобы воссоздать в сознании ученика целостную кар¬
тину решения задачи, нужно после получения ответа сделать
связное и последовательное изложение всего хода решения задачи
с изложением её анализа, плана решения и объяснения каждого
действия.
При этом выясняется, какие места в задаче были наиболее
трудными, выделяются те простые задачи, которые оказались
трудными, и эти задачи даются на других числах, небольших,
чтобы вычисления не отвлекали детей от смысла задачи.
ИИ


1 юлезно, если это допускает данная задача, изменить усло¬
вие или вопрос задачи и проследить, как в зависимости от этого
изменяется решение задачи. Это можно делать уже в I классе.
Например, учащиеся решают задачу: «Ученик купил книжку за 35 коп.'
и альбом, который стоит на 15 коп дороже. Сколько стоит альбом?» После
того как учашиеся решат задачу и объяснят её решение, учитель говорит:
«А теперь послушайте ту же задачу, но с другим вопросом», И изменяет во.
прос, ставя его 7эк* «Сколько стоит вся покупка?» или «Сколько стоят книга
и альбом вместе?» Учащиеся решают и эту задачу, затем сравнивают решение
и указывают, как изменяется решение в зазиеимости$от вопроса.
Второй пример. Учащиеся II класса решают задачу. «В роще было 24 бе¬
рёзы и в 4 раза больше сосен. Третью часть всех деревьев спилили. Сколько
деревьев спилили?»
После решения этой задачи можно изложить ее условие таким обра¬
зом : «В роще росли берёзы и сосны; берёз было 58, а сосен на 4 больше.
Гретыо теть всех деревьев спилили. Сколько деревьев спилили?» Этим изме¬
ненном ярко подчёркивается разница понятий «в 4 раза больше» и «на 4
большеВ первоначальной задаче можно изменить вопрос, сформулировав его
гзк «СколI ко деревьев после этого осталось?» Изменение вопроса повле¬
чет за собой д шолнительное действие.
Такая работа покажет ученику, что от формулировки условия
задачи зависит её решение, что при чтении задачи надо быть
очень внимательным, так как каждое её слово имеет большое
значение.
,3. Полезно решённую задачу решить другим способом, если
эго возможно. Многие задачи решаются не одним, а несколькими
способами; одни из этих способов кратки, легки, изящны, дру¬
гие—трудны, громоздки. Важно сравнить их и выбрать наиболее
удобный.
Допустим, что во II классе решается задача: «Девочка купила сначала
3 карандаша по 8 коп , а потом ещё б карандашей по той же цене. Сколько
он * истратила денег на покупку карандашей?» Эту задачу можно решить
двумя способами;
1-й способ	2-й способ
1) 8 коп. X 3 = 24 коп.	1) 3 кар. + 6 кар. *= 9 кар.
2) 8 коп X б = 48 коп.	2) 8 коп. X 9 ~ 72 коп.
3} 24 коп + 48 коп. = 72 коп.
Преимущество второго способа совершенно очевидно. Показав
оба способа, надо остановиться на втором способе. Интересна
в этом отношении задача на встречное движение, в которой прихо¬
дится определять расстояние по данным скоростям и по времени.
Например* «Из двух городов одновременно вышли навстречу друг
другу два поезда. Первый поезд идёт со скоростью 45 км в час, а второй —
50 км в час. Встретилась поезда через 5 час. после начала движения. Какое
расстояние между этими городами?»
При первоначальном объяснении этой задачи учитель даёт такое решение;
П 45 км X 5 =* 225 км прошёл до встречи первый поезд.
2} 50 км X 5 « 250 км прошёл до встречи второй поезд.
3)	225 км 4- 250 км *= 475 км прошли оба поезда, т. е всё расстояние
между двумя городами.


Но, решив так несколько задач, учитель показывает н другой, более крат¬
кий, способ решения задач этого вида,
1)	45 км -Ь 50 км = 95 кл проходят в час оба поезда.
2)	95 км X. 5 ~ 475 км прошли оба поезда за 5 часов.
Значение решения одной н той же задачи несколькими спосо¬
бами двоякое: 1) ученики учатся решать задачи более скорыми,
более экономными приёмами; 2) ученики узнают, что к решению
задачи можно идти разными путями, а это развязывает 'ини¬
циативу учащихся, делает их более предприимчивыми и смелыми
в поисках способов решения.
Нужно поощрять учащихся, дающих решение задачи несколь¬
кими способами.
4.	Для выработки умения решать задачи огромное значение
имеет, как уже упоминалось выше, знание зависимости между
величинами, особенно такими, которые часто встречаются в зада¬
чах (и в жизни). Это знаниеъдаётся в результате упражнений.
Для таких упражнений в высшей степени полезно использовать
решение различных вариантов одной и той же задачи, подбирая
эти варианты так, чтобы искомое первого варианта было данным
во втором варианте и, наоборот, данные первого варианта служи¬
ли бы искомым в последующих вариантах.
Допустим, что ученики III класса решили задачу «Для детского дома
купили 24 м полотна и 38 л ситиа. За всё полотно уплатили 192 руб. Метр
ситиа стоит на 4 руб. дешевле метра полотна. Сколько стоит весь купленный
материал?»
Решение этой задачи: I) 192 руб. : 24 = 8 руб,; 2) 8 руб. — 4 руб. — 4 руб.
3)	4 руб. X 38 =152 руб.; 4) 192 руб.-1-152 руб. = 344 руб.
Перестроим дальше содержание данной задачи так, чтобы в ней требо¬
валось найти пену одного метра полотна и одного метра сигма. Еля этого
введём в условие задачи общую стоимость полотна и ситиа (344 руб.) и спи
мем разницу в ценах (4 руб.). Тогда получим следующую задачу:
«Для детского дома купили 24 м. полотна и 38 м ситца. За всю покупку
уплатили 344 руб. Сколько стоит один метр ситца и один метр полотна, если
всё полотно стоило 192 руб.?»
Решение:	1) 344 руб. — 192 руб. = 152 руб.; 2) 152 руб. : 38 — 4 руб.;
3) 192 руб.: 24 — 8 руб. В этом решении внимание учеников сосредоточи¬
вается на вычислении цены по данной стоимости и количеству.
Изменим дальше условие нашей задачи так, чтобы в ней требовалось
найти количество ситца. Тогда получится такое условие.
«Для детского дома купили 24 м полотна и несколько метров ситца
на 344 руб. За полотно уплатили 192 руб. Сколько метров ситиа, было куплено
если метр ситца дешевле метра полотна на 4 рубля?»
Решение: 1) 192 руб.: 24 = 8 руб.; 2) 8 руб. — 4 руб. = 4 руб.; 3) 344 руб. ~
— 192 руб. = 152 руб.; 4) 152 руб.: 4 руб. = 38 (метров).
В этой задаче центром внимания учеников становится вычисление коли¬
чества по стоимости и пене.
Наконец, из данной задачи путём частичного изменения её условия можно
получить такую задачу, в которой требуется найти цену ситиа и цеяу поЗгйт-
яа. Для этого опустим в первоначальном условии стоимость полотна (192 руб.)
и введём общую стоимость полотна и ситца. Тогда получится следующая За¬
дача.
«Для детского дома купили 24 м полотна и 38 х ситца и за всё это
уплатили 344 руб. Метр полотна дороже метра ситца на 4 руб. Какова 1Гена
одного метра полотна и одного метра ситца?»
103


Эта задача решается способом уравнивания данных. Допустим, что полотно
стоит столько же, сколько и ситец, т. е. на 4 руб. меньше. Тогда 24 м стои¬
ли бы дешевле на 4 руб. X 24 = 96 руб. И вся покупка, т е. 24 м -+- 38 и,
стоила бы 344 руб. — 96 руб., т. е. 248 руб. Отсюда легко можно найти иену
одного метра ситиа — 248 руб. : 62 = 4 руб. Метр же полотна стоил на 4 руб.
дороже, т. е. 4 руб, 4- 4 руб. = 8 руб.
Такой всесторонний и разнообразный подход к трём величинам — стоимо¬
сти, цене и количеству — будет несомненно способствовать лучшему, более
глубокому уяснению зависимости и связи между этими величинами. Недаром
этор приём обучения решению задач настойчиво рекомендовал Л. Н. Толстой
в своей «Арифметике» '
5.	После решения задачи и получения ответа полезно произ¬
вести проверку решения и установить, верен ли ответ.
В некоторых задачах (типовых) это делается легко, в других,
(обычных арифметических задачах) проверка связана с необхо¬
димостью изменять условия данной задачи в том направлении,
как это делалось выше, т. е. путём-введения в условие изменён¬
ной задачи только что полученного ответа в качестве данного
и замены одного из данных искомым. Если числовые значения
искомого новой задачи и данного прежней задачи совпадут, то
задача решена правильно.
6.	Решение некоторых з^адач полезно заканчивать предложе¬
нием учащимся самим составить аналогичную («похо¬
жую») задачу. Работа над придумыванием своей задачи по
образцу только что решённой заставит учащихся глубже сосредо¬
точиться на данном типе задач, уяснить себе зависимость между
величинами, входящими в условие задачи, и ещё раз продумать
способ её решения.
Допустим, что ученики решили задачу на кратное сравнение чисел:
«На поезде можно за 5 час. проехать 300 км, а на самолёте можно за один час
пролететь 600 км. Во сколько раз скорость самолёта в один час больше, чем
скорость поезда?»
После решения этой задачи полезно дать учащимся такое задание: «При¬
думайте каждый такую задачу, в которой надо сравнить скорость движения
пешехода и велосипедиста, или скорость лошади и автомобиля, или парохода
и поезда, или мотоцикла и самолёта»,
7.	Подчёркивание социального значения полученного
ответа. Язык цифр — самый убедительный язык. Вот этот-то язык
и нужно использовать не только для математического образования
учащихся, но и для воспитания у них любви к своей стране,
к своему народу. На. задачах можно достаточно ярко и убеди¬
тельно показать, что наша страна — самая обширная страна в ми¬
ре. Сравним, например, площадь США (свыше 7 млн. кв. км),
площадь Франции (свыше 550 тыс. кв. км) с площадью Совет¬
ского Союза (около 22 млн. кв. км), и мы увидим, чго по площа¬
ди Советский Союз в 3 раза больше США, в 40 раз больше
Франции, в 90 раз больше Англии и т. д.
Наша страна изобилует огромными богатствами. Сравним, на¬
пример, площадь лесов у нас (610 млн. га) и в капиталистиче¬
ски х странах (США — 240 млн. га, Германия — 13 млн. га, Фран¬
ки


ция — 10 млн. га), и мы увидим, что СССР занимает в этом отно¬
шении первое место в мире. Сравнение запасов нефти, торфа,
железа у нас и в капиталистических странах показывает, что по
величине природных богатств СССР во многом занимает первое
место в мире. Это легко показать на задачах, решаемых путем
кратного и разностного сравнения чисел.
Советский народ — это народ героев, борцов и созидателей,
отстаивающих своей грудью свободу и независимость нашей ро¬
дины, борющихся за повышение производительности труда, за
широкое распространение культуры. Сражение на фронтах Ве¬
ликой Отечественной войны и самоотверженный труд советских
людей в тылу выявили множество героев, о подвигах которых
можно говорить в задачах. Так, уже в младших классах можно
предлагать такие задачи:
1.	«Герой Советского Союза лётчик Баранов в одном бою
сбил 3 немецких самолёта и протаранил 1. До этого Баранов
сбил ещё 12 самолётов. Сколько всего вражеских самолётов сбил
лётчик Баранов?»
2.	«Снайпер Гаджиев уничтожил за 1 день 18 немецких фаши¬
стов, а за другой день на 7 больше. Сколько фашистов уничтожил
наш снайпер за»2 дня?»
Следует решать и такие задачи, в которых говорится о собы¬
тиях, когда-то волновавших весь мир. Такими событиями были
мировые рекорды наших лётчиков, совершавших перелёты из
Москвы в Америку, высадка экспедиции на Северный полюс,
девятимесячный дрейф героической четвёрки папанинцев, провед¬
ших на льдине 274 дня и проникших в тайны полярного бассей¬
на. Вот, например, одна из таких задач:
«4 героя-папанинца были высажены на льдину у Северного
полюса 21 мая 1937 г., а сняты со льдины 19 февраля 1938 г.
Сколько дней пробыли папанинцы на льдине?»
Обширный материал для составления задач, имеющих воспита¬
тельное значение, дают стахановцы на предприятиях и передовые-
люди колхозной деревни. Вырабатываемые ими нормы, при сравне¬
нии с обычными нормами, вызывают у детей чувство восхищения,
например; «14 комбайнеров в Чкаловской области скосили в сред¬
нем каждый по 374 га. Двое же братьев Оськиных скосили,
столько, сколько 14 комбайнеров. Сколько га скосили братья
Оськины?»
Большой интерес вызывают у детей те задачи, которые соста¬
вляются учителем про стахановцев своей фабрики и завода, свое¬
го колхоза. Например: «Средний урожай ржи в нашем колхозе
составляет 15 ц с га, но звено т. Никулина получило с 3 га !80щ
Во сколько раз урожай у Никулина выше, чем урожай других
колхозников?» Подвиги близких, знакомых людей вызывают у де¬
тей подражание им.
Чтобы усилить воспитательное воздействие такого рода задач,
чтобы социальное значение их содержания не проходило мимо
105


можно в отдельных случаях после решения
1аких задач и получения в ответе больших чисел подчеркнуть
несколькими словами политический смысл или общественную
значимость той или иной цифры. «Вот, оказывается, какой высо¬
кий урохчай можно получить, если вложить в это дело большой
труд и знания» — так можно сказать после решения задачи
с звене Никулина, Или: «Вот видите, каких больших успехов до¬
стигают люди, хорошо овладевшие комбайном»—так мож>но
закончить решение задачи о братьях Оськиных. По поводу зада¬
чи о папанитхах можно сказать: «Впервые в истории по-настоя¬
щему был исследован Северный полюс в 1937 г., и это сделали
наши советские герои, вдохновляемые партией и тов. Сталиным».
Решение таких задач будет способствовать росту у детей
чувства законной гордости за свою страну и свой народ, совер¬
шающий великие подвиги и на тюлях войны, и в мирном созида¬
тельном труде. Понятно, что решение этих задач должно быть
подчинено в смысле чисел и действий системе арифметики.
Типовые задачи.
Кроме обычных арифметических задач, решение которых про¬
изводится на основе анализа и установления зависимости между
данными и искомыми в задаче величинами, в начальной школе
встречаются и такие задачи,' для решения которых нужно уметь
применять особые способы. Часть таких задач довольно просто
решается в средней школе алгебраическим путём, путём состав¬
ления и решения уравнения с одним или несколькими неизвест¬
ными. Поэтому их называют задачами алгебраического типа.
В методике арифметики эти задачи относятся к группе типовых
задач.
К типовым задачам алгебраического характера, указанным
в программе начальной школы, принадлежат задачи: на нахожде¬
ние двух чисел по их сумме и разности, на нахождение двух чи¬
сел по их сумме и кратному отношению, по их разности и крат¬
кому отношению; задачи, решаемые способом исключения неиз¬
вестного, способом уравнивания данных* способом замены, спосо¬
бом предположения и т. п.
Со всеми этими задачами и их разновидностями учащиеся
встретятся дальше, в курсе средней школы при изучении алгеб¬
ры. Там они будут их решать путём составления уравнений, те¬
перь же они решают их чисто арифметическими приёмами. Вве¬
дение их в курс арифметики начальной школы объясняется двумя
соображениями: во-первых, решая такие задачи в начальной
школе, учащиеся получают некоторую подготовку к работе по
математике в средней школе; во-вторых, решение алгебраических
задач арифметическими приёмами развивает логическое мышле¬
ние учащихся, сообразительность, способность рассуждать и обо¬
сновывать свои суждения.


При решении этих задач нужно, однако, считаться с возра¬
стом и силами учащихся и не вводить такие задачи, которые не¬
посильны для детей. Составители задачников нередко грешат
этим.
К типовым задачам принято относить также и некоторые чи¬
сто арифметические задачи, которые решаются особыми приёма¬
ми, например задачи на движение, задачи на вычисление площа¬
дей, на вычисление объёмов, на вычисление времени.
Таким образом, единый принцип классификации задач и их
типизации пока ещё не установлен. Все попытки найти единый,
универсальный принцип и по нему классифицировать задачи —
до сих пор терпели неудачи.
Система в решении задач в начальной школе определяется
в конечном счёте* системой арифметических действий и своеобоа-
зием приёмов решения задач. В эту систему вносят свои поправ¬
ки требования практической жизни, которые диктуют выделение
в особые группы задач, объединённых по содержанию.
В I и II классах система задач всецело определяется системой
арифметических действий. Здесь учащиеся учатся решать задачи
сначала на сложение, потом на вычитание, а затем составные за¬
дачи на сложение и вычитание совместно. Дальше при переходе
к умножению и делению учащиеся обучаются решению простых
задач сначала на умножение, потом на деление, а затем на умно¬
жение и деление совместно и на все действия.
Во II классе продолжается обучение решению простых задач
на новые случаи применения четырёх арифметических действий.
Но в этом классе уже появляются простейшие типовые задачи,
решаемые способом приведения к единице, и задачи на неравное
деление в разностном отношении.
В III и IV классах продолжается обучение решению арифме¬
тических задач, усложнённых большим количеством действий
и более сложными зависимостями между величинами. *Но наряду
с ними решаются и типовые задачи: на простое тройное правило,
решаемые способом приведения к единице и способом отношений;
задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их
сумме и кратному отношению; на пропорциональное деление;
различные задачи на встречное движение.
В IV классе решаются задачи на сложное тройное правило,
задачи, решаемые способом уравнивания данных, предположе¬
нием.
Общие требования к способам решения типовых задач,
1. В расположении задач необходимо соблюдать строгую
систему, начиная обучение решению задач каждого типа с про¬
стейших задач и постепенно переходя к более сложным и труд¬
ным. Нужно помнить, что даже и трудная задача, если она на
107


своём месте поставлена и хорошо подготовлена вспомогательными
задачами, даётся детям сравнительно легко.
2.	Первые задачи для ознакомления с данным типом следует
брать с небольшими числами и с простым содержанием для' уст¬
ного их решения.
3.	К отысканию способа решения задач данного типа надо
вести учащихся через рассуждение, которое вначале должно
опираться на наглядное представление арифметического со¬
держания задачи. Из наглядного представления условий задачи
и рассуждения, вскрывающего связи и отношения данных в за¬
даче величин, вытекает способ решения задач данного типа.
4.	При ознакомлении учащихся с новым типом задач нужно
прорешать подряд несколько задач. Перейдя далее к другим
типам задач, нужно периодически возвращаться к пройденным
типам и повторять их. При повторении желательно вводить данный
чистый тип задач в сложную арифметическую задачу.
5.	Решение группы задач данного типа полезно завершать
доступными детям выводами и обобщениями, в которых
подчёркивается, что общего было во всех решённых задачах,
чем отличались эти задачи одна от другой,, каков был способ
или ход решения этих задач.
6.	В завершение работы над данным типом задач полезно
предлагать учащимся самим составлять аналогичные задачи.
Составление задач самими учащимися поможет им более глубоко
понять и усвоить структуру задач, их условия, соотношения вво¬
димых в задачу величин; для учителя же правильно составлен¬
ная задача служит лучшим показателем того, что ученик данный
тип задач понимает и решать их умеет.
Покажем дальше применение этих принципов к решению за¬
дач тех типов, которые указаны в программе III и IV классов
Способ приведения к единице.
Задача: «5 карандашей стоят 40 коп. Сколько стоят 9 таких карандашей0»
Условие задгчи можно записать так: 5 кар. — 40 коп., 9 кар. — ?
Решая эту задачу, ученик рассуждает так: 5 карандашей стоят 40 кол.,
а один карандаш стоит в 5 раз меньше, т. е. 40 коп. : 5 = 8 коп.
Один карандаш стоит 8 коп., а 9 карандашей будут стоить в 9 раз боль¬
ше, т. е, 8 коп. X 9 = 72 коп.
Задача: «3 карандаша стоят 24 коп. Сколько таких карандашей можно
купить на 56 коп.?»
Решая эту задачу, ученик рассуждает так: 3 карандаша стоят 24 коп.,
а один карандаш стоит в 3 раза меньше, т. е. 24 коп. : 3 — 8 коп.
Если один карандаш стоит 8 коп., то на 56 коп. можно купить столько
карандашей, сколько раз 8 коп. содержится в 56 коп., т. е. 56 коп.: 8 коп. =
Способ отношений
В предыдущих задачах число карандашей и их общая стоимость выражены
числами, кратными между собой. Но если эти данные выражены числами, не
делящимися нацело, то такая задача не может быть решена способом приве-
108


дення к единице (в целых числах). В таком случае применяется способ
отношений
Задача: «Из 5 литров молока получается 3 стакана сливок. Сколько ста¬
канов сливок получится из 15 литров молока?»
3 не делится на 5 нацело, поэтому приведением к единице эту задачу
решить нельзя. Применяем иной способ решении—способ отношений Рас¬
суждаем так- 15 литров больше 5 литров, значит и сливок получится больше.
15 больше 5 в „ 3 раза (15 л:5 л — 3), следовательно, из 15 л получится
сливок не 3 стакана, а в 3 раза больше т е 9 стаканов.
Понимание этого способа может быть облегчено применением наглядно¬
сти в форме рисунка, таблицы, а также подготовительными упражнениями.
Если вышеуказанная за'дача решается первой, то для пояснения способа
её решения учитель может дать следующий рисунок (рис. 9).
От рисунка переходят к таблице:
5 литров	3	стакана	I
^	д	-	)	15	л	■ 5	л	=	3
'	~	—-—	I	3	стак	Х'1	= 9 стаканов
Ко литров	9	стаканов
После того как ученикам даны конкретные образы, можно дать им ряд
упражнений более отвлечённого характера Например- «2 апельсина стоят
3 рубля. Сколько стоят 4 апельсина? 6 ап.? 8 ап.? 10 ап.? 12 ап.? 14 ап.?
16 ап.? 18 ап.? 20 ап.?»
«Велосипедист проезжает 48 км за 5 часов (300 мин.). Сколько минут
ему потребуется, чтобы проехать 4 км? 8 км? 12 км? 16 ки? 24 кл?» После
таких подготовительных упражнений задзчи решаются на основе рассуждений.
Пропорциональное деление.
Задача: «Два куска одинаковой материи стоят 40 руб. В одном куске
5	м, н другом 3 м. Сколько заплатили за каждый кусок?»
‘ Эта задача решается, как обыкновенная арифметическая задача. Разбираем
задачу аналитическим способом:
У » я т е л ь: Что/ спрашивается в задаче?
Ученик. Сколько заплатили за каждый кусок.
Учитель:	|<Сакие данные надо иметь, чтобы узнать, сколько стоит
каждый кусок?
Ученик: Надо знать цеву одного метра и количество метров
6	куске.
У ч и т е л ь Что в задаче известно и что неизвестно?
109


.^..ппсиио 10 м в одном куске, 3 л в другое
п^лс;. неизвестна цена.
Учитель- Можно ли узнать цену? Есть ли для этого данные и какие.
Ученик: Цену узнать можно. В двух^ кусках 8 м материи и стоят о©
40 руб. Отсюда можно узнать цену.
Учитель:	Какой будет план решения задачи?
Ученики намечают план решения задачи.
Задачи на вычисление неизвестного по разности
двух величин,	'
Это очень ценный вид задач для математического развития учащихся
Эти задачи заставляют учащихся фиксировать внимание на числовых данных
сравнивать их между собой и на основе этого сравнения делать простейшие
умозаключения, приводящие к отысканию способа решения задачи. Возьмём
например, следующую задачу этого типа: «Один самолёт был в воздухе
7 час., другой 4 часа. Первый самолёт пролетел больше второго на \ 200 км.
Какое расстояние пролетел каждый самолёт, если они летели с одинаковой
скоростью^*
Анализируя задачу, легко установить, что для решения её надо знать:
I) скорость самолётов и 2) время полёта.
Время полёта в задаче лано: 7 час. и 4 часа. Скорость не дана, её надо
найти. При чтении второй фразы из условия задачи; «Первый самолёт проле¬
тел больше второго на I 200 км», возникает вопрос, почему при одинаковой
скорости полёта всё же получились разные расстояния, почему именно первый
самолёт пролетел большее расстояние. Ответ на этот вопрос даёт первая фра¬
за задачи: «Первый самолёт был в воздухе 7 час., второй — 4 часа». Первый
самолёт, оказывается, летел дольше, чем второй, на 3 часа (7 час. — 4 часа).
Теперь ученику надо сделать следующее умозаключение: «Первый само¬
лёт был в пути больше второго на 3 часа.
Первый самолёт пролетел больше второго на I 200 км. Значит, первый
самолёт за 3 часа пролетел лишних 1 200 км».
Отсюда легко определяется скорость самолёта в один час, а дальше по
скорости и времени вычисляется расстояние, т. е то, что требуется найти
в задаче
Таким образом центральным моментом в решении задач этого типа
является момент составления вышеуказанного умозаключения. Как ни просто
«.емо по себе это умозаключение, оно все же даётся детям нелегко. К нему
надо подвести учащихся на ряде задач, хорошо иллюстрированных. Д*зя этого
возьмём, например, следующую задачу:
«Ваня к\пил 3 карандаша, а Бася — 4 таких карандаша. Вася уплатил за
свои карандаши на 8 коп. больше. Сколько стоит карандаш?»
Иллюстрируем задачу рисунком, из которого видно, что у Васи одно
лишний карандаш. Понятно, что Вася должен уплатить больше на стог,
мость одного лишнего карандаша. Оказывается, он уплатил больше на 8 коп.
Значит, один карандаш стоит 8 коп.
Вторая задача с небольшим усложнением: «В одном куске 3 м ситца, а в
другом 5 м такого же ситца. Втгрой кусок стоит дороже на 20 руб. Сколько
стоит один метр ситца?»
Иллюстрируем условие этой задачи.
Из иллюстрации видно, что 2 лишних мГетрэ во втором куске удорожают
его на 20 руб. Следовательно, 2 м стоят 20 руб. Далее легко находится цена
одного метра
Дальше изменяем вопрос предыдущей задачи так* «Сколько стоит первый
кусок и сколько стоит второй кусок?», отчего решение задачи усложняется.
Усложняя этот тип задачи, можно прийти к следующей, более трудной
задаче, в решение которой вводятся два деления по содержанию:
«Один поезд прошёл 600 кль другой 720 км. Второй поезд был в пути на
3 часа больше. Сколько часов был в пути первый поезд и сколько второй,
если шли окн с одинаковой скоростью?»
!(1


Задачи на исключение одной из величин.
Задача: «За 25 букварей и 38 задачников уплатили 41 руб, В другой раз
той же цене купили 25 букварей и 46 задачников ^ уплатили за них
#руб. Сколько стоил один букварь и один задачник?»
§*. Этот тип задач непосредственно примыкает к предыдущему и является
го продолжением п несколько усложнённой форме Там давались две вели-
пкны с тремя числовыми значениями; здесь же даются три величины
шестью числовыми значениями. Значение решения таких задач аналогично
Шапению задач предыдущего типа: они способствуют развитию логического
давления, давая хороший материал для сравнения анализа и выводов. Сран*
кние числовых данных, простое установление факта их равенства в одном
Йучае и неравенства в друюм является исходным моментом для отыскания
Рособа решения. Так как для решения задачи этого типа необходимо сраони-
1ать данные числа, то условие задачи записывается в такой форме, которая
облегчает процесс сравнения. Условия вышеприведённой задачи нужно запи¬
сать так:
25 букв. 38 зад. — 41 руб.
25 букв. 46 зад. — 47 руб.
«Посмотрите, какие книги куплены в первый а втьрой раз, и сравните
числа», — говорит учитель.
Учащиеся без труда устанавливают, что букварей куплено е одинаковом
количестве, а задачников во второй раз куплено больше, чем в первый раз
«Сравните стоимость покупок». (Во второй раз за покупку уплачено боль
ше, чем в первый раз ) «Почему вторая покупка дороже (на 7 руб.)?» (Пото¬
ку что задачников куплено больше.)
Учитель подчёркивает, что буквари на удорожание не влияют. Они ку¬
плены в одинаковом количестве.
Теперь эта задача сводится к решению задачи на нахождение неизвест¬
ного по разности двух чисел'*
I	—38 зад.
II—46 зад. на б руб. больше.
По этой записи устанавливается, что во второй раз куплено на 8 задач¬
ников больше н заплачено на 6 руб. больше.
Значит, — умозаключают ученики, — 8 задачников стоят 6 руб. Отсюда
определяется стоимость одного задачника.
План и решение з а а а ч и.
1.	На сколько больше задачников куплено во второй рзз>
46	зад. — 38 зад. =* 8 зад.
2.	На сколько больше уплачено во второй раз?
47	руб. — 41 руб. « 6 руб.
3.	Сколько стоит один задачник?
6 руб. : 8 =*= 600 коп. : 8 — 75 коп.
4.	Сколько стоят 38 задачников?
75 коп. X 38 *=* 28 руб, 50 коп,
5.	Сколько стоят 25 букварей?
41 руб. — 28 руб. 50 коп. — 12 руб. 50 коп.
6- Сколько стоит один букварь?
14 руб. 50 коп. : 25 — 50 коп.
1Н


Задачи на движение.
Ид решении задач этого/типа учащиеся усваивают зависимость между
скоростью, временем и расстоянием, что имеет большое значение в математи¬
ке и физике. Кроме того, они способствуют развитию пространственных пред¬
ставлений у детей.
Так как в задачах на движение участвуют 3 величины и каждая из них
может быть искомой, то различают 3 вида задач на движение: один, в кото¬
ром по данному времени и скоростям определяется путь; другой, в котором
по данному пути и скоростям определяется время, и третий» в котором по
данному пути и времени определяется скорость.
Перед началом решения задач на движение выясняются на конкретных
примерах понятия «встречное движение», «одновременное и разновременное
начало движения», «скорость», «путь» и др Условие задачи обязательно ил¬
люстрируется чертежом
Задача: «Из Москвы н Ленинграда вышли навстречу друг другу одновре¬
менно два поезда. Московский поезд проходил в час 45 км, а ленинградский—
35 км. Через 5 час. поезда встретились. Найти расстояние между Москвой
и Ленинградом».
Иллюстрация условия задачи — на рис. 10.
Из чертежа видно, что всё расстояние состоит из двух отрезков, что оно
пройдено двумя поездами к моменту встречи:	каждый из нич шёл 8 час.,
проходя первый по 45 км, а второй по 35 км а час. Рассмотрение чертежа
приводит к следующему тану и решению
1.	Сколько километров прошёл московский поезд до встречи?
45 км X §	360 км.
2	Сколько километров прешел, ленинградский	до встречи?
35 к н X 3 — 280 км.
3	Сколько километров от Москвы до Ленинграда?
360 км 4- 280 км = 640 км.
Второй способ решения этой задачи'
Сколько километров преходят в 1 час оба поезда?
45 км 4-35 км *=* 80 км.
2 Сколько километров пройдут обг поезда за 8 часов?
80 км X 8 =* 640 км.
Этот способ будет нужен, когда учащиеся перейдут к решению задач
‘Э которых требуется по данному расстоянию и данным скоростям определить
-время встречи.
Задача (на определение скорости)' «От Москвы до Киева 855 км Из этих
-городов вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Московский
112


поезд проходит в час 40 км. ^кольчи к.илимс1р^«
поезд, если они встретились через 9 часов?» (рис. И).
Анализ задачи на основе чертежа: «Нужно узнать, сколько километров
проходил в 1 час киевский поезд. Для этого надо знать время и расстояние,
которое он прошёл до встречи. Время известно: 9 час. Расстояние неизвестно,
но его можно найти: оно равно всему расстоянию без той части, которая
пройдена московским поездом. Общее расстояние известно — 855 км, а часть,
пройденную московским поездом, можно найти по данному времени и по дан¬
ной скорости».
855/таг
Рис. 11.
Из анализа вытекает следующий план решения задачи:
1) Сколько километров прошёл до встречи московский поезд?
(45 км X 9 = 405 км). 2) Сколько километров осталось пройти до встречи
киевскому поезду? (855 км — 405 км = 450 км). 3) Сколько километров прохо¬
дил в час киевский поезд (450 км: 9 = 50 км)?
После решения ряда задач на движение (9—12 задач) можно сделать
обобщение примерно следующего характера: «Во всех решённых зада¬
чах говорилось о встречном движении — поездов, аэропланов, велосипедистов
и т. д. В этих задачах мы имели дело с расстоянием, скоростью, временем.
В одних задачах давались расстояние и время, а требовалось найти скорость;
в других задачах давались скорость и время — требовалось найти расстояние;
в третьих задачах давались расстояние и скорость—требовалось найти время
встречи». Дальше указывается, каким способом решался каждый из трёх
видов задач.
Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности.
Это один из наиболее распространённых типов задач в арифметике и ал¬
гебре. Здесь учащиеся сталкиваются с изменением суммы в связи с измене¬
нием слагаемых, а также с необходимостью делать предварительно допущение,
частично меняющее условие задачи Решая эти задачи пока арифметическим
способом, учащиеся получают подготовку к решению их в дальнейшем (в VI —
VII классах) алгебраическим способом.
Способ решения этих задач устанавливается через подготовительные
упражнения примерно следующего содержания:
«Раздать 10 карандашей двум ученикам так, чтобы один ученик получил
больше другого на 2 карандаша. Как будем делить карандаши5»
После ряда попыток принимается такой способ выполнения задания-
а)	сначала 2 карандаша (которые один ученик должен получить сверх
другого) откладываются в сторону;
б)	затем остаток (8) делится поровну,
в)	и наконец, 2 карандаша, отложенные в сторону, прибавляются к 4 ка¬
рандашам одного из учеников.
«Запишем,—говорит учитель, — то, что мы делали». На доске появляется
запись:
1.	10 кар.— 2 кар. = 8 кар. (запись откладывания 2 карандашей в сторону).
2.	8 кар.: 2 = 4 кар. (запись деления остатка (8) пополам).
3.	4 кар. + 2 кар. = б кар. (запись прибавления 2 отложенных в сторону
карандашей к 4 карандашам одного го учеников).
После этого ученикам даётся для самостоятельного выполнения задание:
Разложить 20 палочек (палочки должны быть заранее заготовлены) на две
8 А.. С. Пчёлко
113


_ _	-V. •»/4	1СМ О ЛСЬУИ.
Ученики выполняют эту операцию по образцу деления карандашей и записы¬
вают её.
Из выполнения конкретных заданий вытекает способ решения задач дан¬
ного типа. Чтобы учащиеся лучше осмыслили способ решения, учитель ставит
такие вопросы: «Почему мы не сразу делили 8 карандашей, 16 палочек на две
равные части?» (Потому, что в задачах требовалось делить не на равные
части.) «Зачем мы сначала откладывали в сторону (отнимали) 2 ка¬
рандаша, 4 палочки?» (Чтобы получить число, которое можно делить пополам.)
После этого предлагается задача этого типа в её обычной формулировке,
например: «Двум покупателям продано 17 м. материи, причём одному покупа¬
телю продано на 3 м больше, чем другому. Сколько метров материи продано
каждому покупателю?»
Задача иллюстрируется полоской, изображающей 17 м материи {2 клет¬
ки — 1 м).
Чтобы решить задачу, надо разрезать полоску на две части так, чтобы
в одной части было на 3 м (на 6 клеток) больше, чем в другой. Как это сде¬
лать? Сначала отделим те 3 м, которые являются лишними у первого покупа¬
теля по сравнению со вторым (останется 14 м). Дальше то, что останется
(14 м), нужно разделить пополам (получится по 7 м). Итак, второму покупате¬
лю продано 7 -и, а первому 7 м и ещё 3 м, т. е. 10 м. Записывая каждое Дей-
ствие, получим:
1.	17 м — 3 м = 14 м.
2.	14 м : 2 — 7 м (второму покупателю).
3.	7 .« + 3 м~ 10 м (первому покупателю).
Вопросы к каждому действию могут быть сформулированы так:
1.	Сколько метров продадут двум покупателям, если первому продадут
столько же, сколько и второму, т. е. на 3 м меньше?
2.	Сколько метров достанется каждому покупателю, когда остаток раз-
делят поровну.
3.	Сколько метров продано первому покупателю?
При ознакомлении учащихся с этим типом задач можно было бы рассмат¬
ривать их как задачи, обратные задачам на увеличение числа на несколь¬
ко единиц. Тогда порядок работы будет следующий. Возьмём задачу:
«Два мальчика удили рыбу. Один поймал 13 рыб, другой на 4 больше.
Сколько всего рыб поймали оба мальчика?»
Решив эту задачу, мы подчёркиваем, что в 30 содержатся две равные доли
(по 13 рыб) и ещё 4 рыбы. Предложим ученикам теперь следующую задачу:
«Два мальчика поймали всего 30 рыб, причём второй мальчик поймал на
4 рыбы больше, чем первый. Сколько рыб поймал каждый мальчик?»
Эту задачу учащиеся решают как обратную первой. Они уже знают, что
в 30 содержатся две равные доли и ещё сверх этого 4 рыбы второго мальчи¬
ка. Чтобы найти чему равны две доли, вычитаем 4 от 30. Получится 26 рыб,
которые и составляют две одинаковые части. Отсюда легко найти одну часть,
или количество рыб, пойманных первым мальчиком.
Задачи на нахождение двух чисел по их сумме
и кратному отношению.
На решении задач этого типа у учащихся расширяется понятие о едини¬
це счёта: учащиеся приобретают понятие об условной сложной единице
(«части») и приучаются оперировать с ней; это способствует развитию
отвлеченного мышления и подготовляет учащихся к решению в дальнейшем
этих задач алгебраическим способом.
Решение задач этого типа нужно начинать с таких задач, в условии кото¬
рых фигурируют «части», например:
114


«Приготовили сплав из олова и свинца весом всего в 300 г. Олова в спла-
зе 1 часть, а свинца 5 таких частей. Сколько граммов в сплаве свинца и оло-
за в отдельности?»
Обозначив части условно кружками, получим (рис. 12).
свинца
Рис.
оооооо
V			^'
Легко установить, что в сплав входит всего 6 равных частей, которые со¬
ставляют 300 г. Отсюда, на одну част<ь приходится 300 г: 6 = 50 г. Значит,
олова было 50 г, а свинца 5 раз по 50 г, т. е. 50 г X 5 = 250 г.
Чтобы перевести учащихся с «частей» на обычную формулировку таких
задач, нужно проделать следующие упражнения: «Если олова 1 часть, а свин¬
ца 5 частей, Но во сколько раз больше взято свинца, чем олова?» (В 5 раз
больше.) «А если бы было взято олова 1 часть, а свинца 3 части, тогда во
сколько раз свинца больше, чем олова?» (В 3 раза.) «Допустим, что свинца
было в 6 раз больше, чем олова, — сколько частей взяли олова и свинца?»
(Олова 1 часть, свинца 6 частей.) «В роще росли берёзы и ели; берёз было
в 4 раза больше, чем елей. Выразите в частях число елей и берёз». (Елей
1 часть, берёз 4 части.)
После таких упражнений даётся задача о сплаве в обычной формулировке:
«Приготовили сплав из олова и свинца весом всего в 300 г, причём свинца
взяли в 5 раз больше, чем олова. Сколько граммов олова и свинца взято
в отдельности?»
Решая эту задачу, учащиеся обозначат:
олово 1 часть
свинец 5 частей
1.	Сколько всего частей было в сплаве?
1 ч. + 5 ч. = 6 ч.
2.	Сколько граммов приходится на 1 часть, или сколько граммов олова
было взято для сплава?
300 г : 6 = 50 г.
3.	Сколько граммов свинца было взято для сплава?
50 г X 5 = 250 г.
Ответ: олова 50 г, свинца 250 г.
Проверка.
50 г 4- 250 г = 300 г.
Решение группы таких задач можно завершить обращением при¬
мерно в следующей форме: «Во всех решённых нами задачах требова¬
лось найти два числа (показать на примере задач). При этом дава¬
лась в задаче сумма этих двух чисел (показать на примере задач)
и указывалось, во сколько раз одно число больше другого. Для отыскания
этих двух чисел мы принимали меньшее число за одну часть, а большее — за
несколько частей (смотря по тому, во сколько раз оно больше меньшего). По¬
том находили сумму частей и определяли, чему равняется одна часть и не¬
сколько частей».
115
8*


Задачи на сложное тройное правило.
Задачи этого типа являются дальнейшим развитием и усложнением задач
на простое тройное правило. Они дают уменье применять знания прямой про¬
порциональной зависимости между величинами к разрешению жизненных во¬
просов. Решаются они способом двукратного цли трёхкратного приведения
к единице (в зависимости от количества данных в задаче). При анализе и ре¬
шении этих задач нужно опираться исключительно на рассуждения,
в которых подчёркивается пропорциональная зависимость величин.
Вводная задача:
«Трём лошадям требуется на 10 дней 240 кг сена. Сколько сена тре¬
буется одной лошади на 1 день?»
Запись условия задачи: 3 лош. 10 дн.— 240 кг сена
1 лош. 1 дн. — ?
Устанавливаем, что количество сена зависит от двух величин — от коли¬
чества лошадей и от количества дней:	чем больше лошадей, тем больше
требуется сена и, наоборот, чем меньше лошадей, тем меньше требуется
сена. Такая же зависимость существует и между количеством дней и ко¬
личеством требуемого сена. В задаче нужно перейти от трёх лошадей к одной
лошади, от 10 дней к одному дню. Произведём этот переход постепенно, по¬
ставив следующие вопросы: «Сколько потребуется сена одной лошади
на 10 дней?» (Одной лошади потребуется сена в 3 раза меньше.) «Сколько
сена потребуется одной лошади на 1 день?» (На один день потребуется сена
в 10 раз меньше.)
1 лош. 10 дн. — 240 кг: 3 = 80 /сг;
1 лош. 1 дн. — 80 кг: 10= 8 кг.
После этого даётся обычная задача этого типа, где приведение к единице
является промежуточным звеном в решении.
Задача: «В 3 лампах за 4 дня сгорело 24 л керосина. Сколько кероси¬
на потребуется для 5 ламп на б дней?»
Запись условия: 3 лампы 4 дн. — 24 л
5	»	6 » —	?
Прежде чем перейти к 5 лампам и б дням, нужно узнать, сколько керо.
сина сгорало в одной лампе в один день.
Решение:
1 лампа 4 дня
1	»	1 день
5 ламп 1
5 »	6 дней
24 л : 3 = 8 л
8 л : 4 = 2 л
2 л Х5=* Ю л
10 л Х6 = 60 л
При дальнейшем решении задач этого типа запись чисел левого столбика
‘опускается, рассуждения производятся устно и запись принимает следующий
в ид:
1.	Сколько керосина сгорает в одной лампе за 4 дня?
24 л : 3 = 8 л.
2.	Сколько керосина сгорает в одной лампе в один день?
8 л : 4 = 2 л.
•3. Сколько керосина сгорает в 5 лампах в 1 день?
2 лХ5 = 10 л.
4.	Сколько керосина потребуется для пяти ламп в б дней?
10 л X 6 = 60 л.
Ответ: 60 литров.
116


Задач-и на уравнивание данных.
При решении задач этого типа приходится делать допущения и выводить
следствия, вытекающие из этих допущений, а также строить умозаключения
на основе установленных предпосылок (суждений).
Всё это способствует развитию логического мышления учащихся.
Задача: «В магазин привезли 86 настольных ламп и 109 абажуров к ним.
всего на 2 097 руб, 55 коп. Лампа с абажуром стоит 23 руб. 20 коп. Сколько
стоят отдельно лампа и абажур?* Запись условия задачи:
86 л. 109 аб, 2 097 руб. 55 коп.
1 л. 1 аб. 23 руб. 20 коп. 1Сколько стоят отдельно лампа и абажур?
Из рассмотрения первой строчки устанавливаем, что ламп и абажуров при¬
везли не поровну: абажуров больше, чем ламп.
Уравняем количество ламп и абажуров (по количеству ламп), т. е.
допустим, что цривезли 86 ламп и 86 абажуров. Сколько стоили бы эти
86 ламп и 86 абажуров? Очевидно, в 86 раз больше стоимости одной лампы
и одного абажура. 23 руб. 20 коп. X 86 = 1995 руб. 20 коп.
Составляем теперь новую задачу, записывая её условие так:
86 л. 109 аб.	2 097 руб. 55 коп.
86 л. 86 аб.		1 995 руб. 20 коп.
Получилась знакомая детям задача: на нахождение неизвестного путём
исключения одного из данных.
Сравнивая числовые данные первой « второй строчек, устанавливаем,
что во второй строчке абажуров меньше на 23, а стоимость всей покупки
меньше на 102 руб. 35 коп. (2097 руб. 55 коп.— 1995 руб. 20 коп.). Значит,
23 абажура стоят 102 руб. 35 коп. Отсюда 1 абажур стоит 102 руб. 35 коп.: 23 =
= 4 руб. 45 коп. Вычитая из 23 руб. 20 коп. — 4 руб. 45 кол., находим стои¬
мость одной лампы (18 руб. 75 коп.).
План и решение задачи.
Уравняем число ламп и абажуров:	допустим, что привезли в магазин
86 ламп и 86 абажуров.
1.	Сколько стоят 86 ламп и 86 абажуров?
23 руб. 20 коп. X 86 = 1995 руб. 20 коп.
2.	На сколько меньше стоят 86 ламп и 86 абажуров, чем 86 ламп
109 абажуров?
2 097 руб^ 55 коп.— 1995 руб. 20 коп. ==102 руб. 35 коп.
3.	На сколько 86 абажуров меньше 109 абажуров?
109 аб. — 86 аб,=23 аб.
4.	Сколько стоит один абажур?
102 руб. 35 коп.: 23 = 4 руб. 45 коп.
5.	Сколько стоит одна лампа?
23 руб. 20 коп. — 4 руб. 45 коп. = 18 руб. 75 коп.
Ответ: 4 руб. 45 кол.; 18 руб. 75 коп.
Задачи на предположение.
Решение задач этого типа имеет такое же значение, как и решение задач
ва уравнивание. Типичным при решении этих задач является процесс рассу-
117


ждения, включающий в себя некоторое предположение, рассмотрение след¬
ствий, вытекающих из этого Предположения (причины), и, как вывод, уста¬
новление способа решения задачи.
Задача. «На расстоянии в 124 м уложили 18 водопроводных труб разных
размеров — 6 м и 8 м. Сколько уложили труб каждого размера?»
Запись условия задачи на доске:
124 м 18 тр.	6 м 8 м?
6 «
б ,*•	6м* 2 м	5м+2м	6 м
и д.
РИС. 13.
Предположим, что все 18 труб были короткие, т. е. б-'ме’Провые. Тогда
ими можно было бы покрыть расстояние б м X 18 =108 м. А'а действитель¬
ности покрыто не 108 л, а 124 м, т. е. на 16 м больше.
Почему всё покрытое расстояние было на 16 л длиннее? Потому что не¬
сколько труб было длинных, которые содержали в себе 8 м, т. е. 6 м-\-2 м.
Из этих двухметровых частей и составились 16 м Iрис. 14).
2м 2м 2м 2м 2м 2м 2м * 2м'
1бМ
Рис. 14.
Что же отсюда можно узнать? Сколько было длинньЬс труб: сколько раз
в 16 содержится по 2, столько и было длинных труб; 2 в 16 содержится 8 раз;
значит, "длинных труб было 8, а коротких 18—-8=10 (труб).
План и решение задачи:
Предположим, что все 18 труб были короткие — 6-метровые.
1.	Какое расстояние можно было бы покрыть 18 трубами, если бы они
все были 6-метровые?
6 -кХ18=Ю8 м.
2.	На сколько 124 м больше 108 м?
124 м — 108 м=1б м.
3.	На сколько 8-метроЕая труба длиннее 6-метровой?
8 м — 6 л<=2 м.
4.	Сколько было 8-метровых труб?
16 м: 2 = 8 (труб).
5.	Сколько было 6-метровых труб?
18 тр — 8 тр. = 10 тр.
Ответ: 8 труб; 10 тру б.
Проверка’ 6 )< 10 + 8 X 8 = 124.
118


ГЛАВА ВОСЬМАЯ.
МЕТОДИКА УСТНОГО СЧЁТА.
Навыки в устном счёте имеют большое практическое и обра¬
зовательное значение. Они нужны в практической жизни, где на
каждом шагу встречается потребность в устных вычислениях.
Хорошее владение устным счётом облегчает изучение всей мате¬
матики, в частности облегчает письменные вычисления, тожде¬
ственные алгебраические и тригонометрические преобразования,
процентные ‘Ъычисления. Они помогают усвоению некоторых
теоретических положений арифметики; например, законы ариф¬
метических действий наиболее ярко иллюстрируются на приёмах
устных вычислений. Поэтому школа должна научить учеников
хорошо считать устно — правильно, сознательно и до¬
статочно быстро. Первые два качества устного счёта —
правильность и сознательность — не нуждаются в пояснениях:
понятно, что при устных вычислениях ученик должен получать
правильные результаты и при этом сознательно пользоваться
различными приёмами вычислений. Но о быстроте следует ска¬
зать особо.
Устный счёт постольку ценен, поскольку он является не толь¬
ко правильным, но и быстрым. Быстрота — необходимое качество
устного счёта, так как устно вычислять приходится обычно при
таких условиях, когда требуется скорость, например при покупке
и продаже, при технических расчётах у станка, в поле и т. д.
Какими же средствами достигается беглость в устных вычисле¬
ниях?
Это качество достигается главным образом упражнения¬
ми и рациональными приёмами вычислений. Чем больше
упражнений, тренировки в устном счёте, тем лучше дети считают.
Большое значение упражнений подтверждается общеизвестным
фактом: в жизни лучше всего считают те, кто в силу своих про¬
фессиональных обязанностей должны устно считать повседневно:
это счетоводы, бухгалтеры, кассиры, продавцы и т. п. Учитывая
это, наша школа ввела такой порядок, при котором почти каж¬
дый урок арифметики начинается пятиминутными упражнениями
в устном счёте. Эту хорошую традицию нужно поддерживать там,
где она существует, и вводить её там, где она по тем или иным
причинам отсутствует. При этом важно не ограничиваться только
пятиминутными упражнениями, а использовать каждый подходя¬
щий момент урока для тренировки в устном счёте. Если при ре¬
шении задачи или в письменных вычислениях учащийся встре¬
чается с небольшими числами или с большими, но удобными для
устных вычислений (например, 18 000 + 6 000, 48000 — 24 000), то
в этих случаях нужно приучать ученика пользоваться устным счё¬
том.
По этим соображениям нецелесообразно растягивать в длин¬
ный столбик деление многозначного числа на однозначное или на
119


небольшое двузначное число, записывая все промежуточные
результаты, например:
712 435
1 5
638 964
5
142 487
00
21
38
20
36
12
29
10
24
24
56
20
48
43
84
40
84
35
0
35
0
В этих случаях запись промежуточных результатов, а также
выполнение умножения и вычитания по способу письменного
умножения и письменного вычитания излишни и даже вредны,
так как такие записи отучают ученика от устных вычислений.
Первый пример нужно записать в строчку и решать устно, с за.-
писью только цифр частного 712435 : 5 = 142 487.
Второй пример решается с сокращённой записью промежуточ¬
ных результатов, а именно:
	638 964 | 12
38	53 247
29_
56^
84
О
На беглость счёта, кроме упражнений, влияют и приёмы вы¬
числений. Есть такие приёмы, которые делают вычисления лёг¬
кими, быстрыми, изящными, и, наоборот, некоторые при¬
ёмы приводят к длинным, громоздким и трудным вычислениям.
Каким же приёмам устного счёта должна научить детей на¬
чальная школа?
Все приёмы устных вычислений можно разделить на две
большие группы: а) общие, т. е, применимые ко всем бее раз¬
личия числам, и б) частные, применимые только к некоторым
определённым числам.
Общие приёмы требуют от учащегося умения разбить данные
числа на разряды (десятичные группы) и применять при вычис¬
лений основные законы арифметических действий — перемести¬
тельный, сочетательный и распределительный.
Рассмотрим общие приёмы устного выполнения каждого ариф¬
метического действия.
120


Сложение
Первый приём
28 + 37 =
' 20 + 30 = 50
8 + 7= 15
50 + 15 = 65
Второй приём
28 + 37 =
28 + 30 = 58
58+ 7 = 65
Вычитание
Первый приём
68 — 32 =
60 - 30 = 30
8— 2= 6
30+ 6 = 36
Второй приём
68 — 32 =
68 — 30 = 38
38— 2 = 36
Умножение
28 Х3 =
20X3 =60
8X3 =24
60 + 24 = 84
Деление
72 : 3 =
60 ГЗ ='20
12 : 3= 4
20 + 4 = 24
Эти приёмы можно применять к любым числам, не только к
двузначным, но и к трёхзмачньш, например:
380 + 250 =
300 + 200 = 500
80 + 50 = 130
500 4- 130 = 630
и т. д.
650 — 270 =
650 — 200 = 450
450— 70 = 360
360 X 2 =
300 X 2 = 600'
60 х 2 = 120
600 + 120 = 720
С общими приёмами устных вычислений учащиеся знакомятся
в I и II классах. Дальше ничего нового в этой области ученикам не
^сообщается. В III и IV классах происходят только упражнения,
тренировка в применении этих приёмов и притом расширяется
область чисел, над которыми производятся устные вычисления: в
III классе производятся устные вычисления с круглыми числами
в пределе 1 000, в IV — с любыми числами в пределе 200 и лёг¬
кими случаями за пределами 1 000.
Нужно помнить, что усвоение общих приёмов даётся нелегко,
и нужны многочисленные упражнения на протяжении всех четы¬
рёх лет обучения, чтобы учащиеся считали правильно и быстро,
сознательно используя приёмы вычислений, основанные на деся¬
тичной группировке чисел и применении свойств арифметических
действий. Школа должна вооружить ученика твёрдым знанием
общих приёмов вычислений.
Но наряду с общими существуют частные приёмы, которые
упрощают вычисления и применимы только к некоторым числам.
Из таких приёмов назовём прежде всего приём округ¬
ления. Если даны числа, близкие к круглым числам, то прежде
чем производить действия, надо их округлить. Например, пусть
дано сложить 297 и 496. Округляем первое и второе слагаемое,
получаем 300 и 500. Складываем: 300 + 500 = 800. 800—сумма,.
121


■увеличенная на 7 (3 + 4). Чтобы получить настоящую сугм
уменьшаем 800 на 7, получаем 800—•7 = 793.
Приём округления применим и в вычитании, где можно окру
лять и уменьшаемое, и вычитаемое, если даны округлимые чие*
например:
1)	799 - 326 = 800 — 326 — 1 = 473.
2)	537 — 298 = 537 ~ 300 + 2 = 239.
В первом примере округлено уменьшаемое. Увеличивая его ш
единицу, мы и остаток увеличили также на единицу. Чтобы п$|
лучить правильный остаток, надо от него отнять единицу. В«
втором примере округлено вычитаемое путём прибавления к нем]
двойки: от увеличения вычитаемого на 2 остаток уменьшила
■на 2. Чтобы получить правильный остаток, надо к полученном:
■числу прибавить 2.
При умножении и делении также возможно использован
приёмы округления, например;
30 х 27 = 30 X 30 — 30 X 3 = 500 — 90 = 810.
796 ; 4 = 800 -4 — 4:4 = 200 — I = 199.
Нужно заметить, что если для счёта даются числа округли-
мые, т. е. близкие к круглым числам, то применение приём?
округления намного облегчает счёт. Это один из самых эффек
тивных приёмов. К нему надо приучать учеников начиная со
II класса и затем упражнять их в его применении и в III, 4
в IV классах. Когда во II классе встретится пример типа
29 + 56, то после применения общего приёма (20 + 50) + (9 + 6)
надо обязательно натолкнуть учеников на приём округления, при,
помощи которого результат находится проще и скорее. В IV клас¬
се после того, как будет пройдено изменение суммы и остатка
от изменения данных, надо дать теоретическое обоснование этого
приёма.
При сложении и умножении следует использовать, где к этому
представляется возможность, переместительное свой¬
ство суммы и произведения («От перемены) мест
слагаемых сумма не изменяется», «От перемены мест сомножй'
телей произведение ,не изменяется»). Уже в I классе, когда встре¬
тится пример, в котором к меньшему числу прибавляется боль¬
шее, надо требовать, чтобы ученик выполнил действие, прибав
ляя к большему меньшее. Так легче и скорее складывать числа
Такую же установку надо давать и позже, предлагая в Ши IV клас
сах сложные примеры, где выгоды перемещения слагаемых и со
множителей особенно ощутительны.
Дакс-
14-9 =
7	+ 28 =
84 + 27 + 16 + 23 =
4X17X25 =
8	X 7 X 15 =
Следует вычислять в таком порядке:
9+ 1 =
28 + 7 =
(84 + 16) + (27 + 23) =
25 X 4 X 17 =
15X8X7 =
122


Нетрудно убедить учеников в том, что перемещение слагаемых
а сомножителей даёт здесь большой эффект в смысле упрощения,
облегчения и ускорения счёта.
Приём последовательного умножения принад¬
лежит к числу тех приёмов, с которым надо ознакомить детей и
научить их пользоваться им во всех подходящих случаях. Этот
приём основан на следующем правиле умножения:	«Чтобы
умножить число на произведение, достаточно умножить это число
сначала на первый сомножитель, потом полученное произведение
умножить на второй сомножитель, затем на третий и т. д.».
Пусть дано умножить 45 на 16. Будем рассматривать 16 как
произведение 4X4. Тогда согласно вышеуказанному правилу бу¬
дем иметь:
45 X 16 = 45X 4X4 = 720.
Умножить последовательно 45 на 4 и полученное произведе¬
те ещё раз ш 4 легче, чем умнЪжигь 45 сразу на 16. В этом
и заключается выгода использования приёма последовательного
умножения.
Умножить 64 на 8, пользуясь общим приёмом, нелегко, но
умножить на 8 путём последовательного троекратного удвоения
64 нетрудно:	64X8 = 64X2X2X2 = 512. Решить пример
51 X 18 при помощи общего приёма трудно {51 X 18 = 51 X Ю +
+ 51 X 8 = 510 + 408 = 918). Решить же его путём последователь¬
ного умножения легко (51X18=51X2X9—102X9=918).
Приём последовательного де-ленИ‘я часто .приво¬
дит к лёгкому и быстрому выполнению деления. Он основан на
следующем правиле деления:	«Чтобы разделить какое-нибудь
число на произведение, можно разделить это число на первый со¬
множитель, полученное частное разделить на второй сомножитель,
это частное на третий и т. д.»
Пусть дано разделить 360 на 8. Будем рассматривать делитель (8) как
произведение сомножителей 2*2*2. Тогда, но указанному правилу, чтобы
разделить 360 на 8, делим 360 на 2, полученное частное 180 делим на 2 и
новое частное 90 делим ещё раз на 2. Получится 360 : 2 : 2 : 2 = 45.
Возьмём второй пример: 2 100 : 15. Если пользоваться общим приёмом, то
устное деление в данном случае является затруднительным: для этого потре¬
бовалось бы делимое 2 100 разбить на два слагаемых 1 500 и 600, из которых
каждое делится на 15. Но деление становится лёгким, когда, рассматривая 15
как произведение 3 и 5, прибегнем к ■последовательному делению: 2 100 : 15 =
= (2 100 : 3) : 5 = 140. Приведём ещё несколько примеров -на использование
последовательного деления:
630: 42 = 630 : 6 :7 = 15
450 :18 = 450 : 9 : 2 — 25
345 :15 = 345; 3 • 5 = 23
420-28 ~ 420:7:4 = 15
Приём последовательного умножения и деления указан только
в программе IV класса; но применение его возможно и раньше —
в III классе, когда объясняется умножение и деление -на круглые
123


десятки, В самом деле, чтобы умножить 12 на 30. мы должны рас¬
сматривать 30 как произведение 3-10 и умножить сначала 12 на
10, потом .полученное произведение 120 на 3.
Вот те сравнительно немногие приёмы, знание которых яв¬
ляется обязательным для учащихся начальной школы.
Если ученик хорошо владеет этими приёмами, особенно общим
приёмом, то этого почти достаточно для того, чтобы он хорошо,
справлялся с устными вычислениями над небольшими числами
(в пределе 100 и за этим пределом над «удобными» числами).
Методика ознакомления с этими приёмами подробно раскрыта
в главах «Первый десяток», «Второй десяток», «Сотня». В основу
этой методики положен простой показ, как надо производить
вычисления. А дальше за показом, за краткими пояснениями учи¬
теля должны следовать многочисленные упражнения. Только боль¬
шой практикой, постоянной тренировкой можно добиться хороших
успехов в устном счёте.
Кроме вышеуказанных обязательных приёмов, есть ещё при¬
ёмы, знакомство с которыми должно быть признано желательным
для начальной школы. Сюда относятся особые приёмы умноже¬
ния на 5, на 9, на 11, на 25, деления на 5 и 25.
Умножение на 5.
Умножение на 5 заменяется умножением числа на 10 и делением получен¬
ного произведения на 2. Если же множимое делится на 2, то сначала множи¬
мое делится на 2, а потом полученное частное умножается Да 10, н а п р и м е р:
78 X 5 = (78:2)-10 — 39-10 = 390;
87 Х5 = 87-10 : 2 = 870 : 2 = 435.
Умножение на 25.
Чтобы умножить число на 25, можно данное число умножить на 100 и по¬
лученное произведение разделить на 4. Или, если множимое делится на 4, то
сначала число разделить на 4, а потом полученное частное умножить «а 100.
Например:
48-25= (48:4). 100= 12-100= 1 200;
17 X 25 = (17-100}: 4 = 1 700:4 = 425.
Деление на 5.
При делении числа на 5 делят это число на 10, если оно делится на 10,
и полученное частное, умножают на 2, или сначала умножают на 2, а потом
полученное произведение делят на 10, например:
390 : 5 = (390: 10)-2 = 39-2 = 78;
185: 5 = (185-2); 10 = 370:10 = 37.
Деление на 25.
Чтобы разделить число на 25, надо разделить его на 100, если оно-
делится на 100, и полученное частное умножить на 4, или сначала умножить-
делимое на 4, а потом полученное произведение разделить -на 100, например:
600 : 25 = (600 ; 100)-4 = б-4 = 24
425 : 25 = (425-4): 100 = 1 700:100 = 17.
124


Умножение на 9.
Чтобы умножить число на 9, можно данное число умножить на 10 и из
полученного произведения вычесть данное число, например:
36-9 = Зб.(Ю — 1) = 36-10 — 36 = 360 — 36 = 324.
Умножение на 11.
При умножении на 11 данное число умножают на 10 и к полученному про¬
изведению прибавляют данное число, например:
36.11 =36.(10 + 1) = 36-10 + 36.1 =360 + 36 = 396.
Есть ещё один сокращённый, упрощённый приём умножения двузначного
числа на 11, а именно: чтобы получить требуемое произведение, достаточно
наоиоатъ цифры десятков и единиц данного числа по краям, а между ними
написать сумму цифр данного числа:
36 X 11 = 396.
Чтобы объяснить этот способ, достаточно фактически произвести умноже¬
ние нескольких двузначных чисел на 11 н проследить ту закономерность, кото¬
рая отражается в этом способе:
36
62
75
ХИ
ХИ
X П
36
62
75
36
62
75
396
682
825
Анализируя эти примеры, нетрудно заметить, как составлены полученные
произведения: в них единицы и сотни обозначены цифрами данного числа
(3 и 6; 6 и 2); десятки же обозначены цифрой, которая получается от сложе¬
ния цифр данного числа (3 + 6=9; 6 + 2 = 8). Если же эта сумма равняется
или больше 10, то цифра сотен увеличивается на единицу (75-11 = 825).
Все вышеуказанные приёмы умножения и деления на 5, 25,
9 и 11 относятся к числу сокращённых (приёмов. Они дей¬
ствительно делают процесс выполнения действий более коротким,
а потому и более лёгким по сравнению с общим приёмом. Они
основаны на использовании законов переместительного, сочета¬
тельного и распределительного, а также на изменении произведе¬
ния с изменением одного из сомножителей и изменении частного
с изменением делителя. Эти приёмы являются хорошей иллюстра¬
цией к разделу «Изменение результатов в зависимости от из¬
менения данных», проходимому в IV классе.
Помимо указанных, есть ещё ряд других упрощённых
приёмов устных вычислений. Некоторые из них поражают нас
лёгкостью и изяществом вычисления. Однако мы не можем их
рекомендовать для начальной школы по следующим соображени¬
ям: 1) они охватывают небольшой круг чисел; 2) обоснование
этих способов («почему так получается?») недоступно детям
начальной школы; 3) эти приёмы насколько быстро усваиваются,
настолько быстро и забываются.
Когда учащиеся ознакомятся с различными приёмами
устных вычислений, нужно требовать, чтобы они в каждом
125


	и^оали\-ь на>иоолее рациональным для дан¬
ного случая приёмом, предоставляя учащимся в то же время не
которую свободу в выборе приёма. Пусть дан учащимся пример
для устного вычисления.* 25 X 9. Учащиеся могут использоват!
при этом различные приёмы:
1)	25X 9 = 20-9 + 5-9 — 180 + 45 = 225 (общий приём).
2)	25	= 25Х(Ю—1)=25» 10—25*1 = 250—25 = 225 (приём округления).
3)	25 X 9 = (25Х 3)*3 = 75*3 = 225 (приём последовательного умножения),
4)	25 X 9 = 25 X + 5)=25-4 + 25-5 = 100 + 125 = 225 (прием, основанный
на использовании распределительного закона).
Все эти приёмы являются правильными, но не все они одина¬
ково рациональны; из них наиболее удобен для данного случая
приём округления. Его преимущество надо подчеркнуть перед
учащимися.
Виды занятий устным счётом на уроке.
Упражнения в устном счёте надо проводить по возможности
ежедневно. Чтобы при этом поддержать интерес к упражнениям,
надо всячески их разнообразить и по форме, и по содержанию.
Занятия устным счётом надо вести в живых, достаточно быстрых
темпах, вовлекая в эту работу весь класс, каждого ученика,
организуя соревнование в правильности и быстроте счёта. В прак¬
тике советской школы распространены и дают лучшие результаты
следующие виды устного счёта:
1.	Решение простых примеров (в одно действие) —
наиболее распространённая и часто применяемая форма обучения
устному счёту. На решении простых примеров объясняются при¬
ёмы устных вычислений, на них же производится и тренировка
в устном счёте. Содержание примеров определяется разделом
программы, проходимым в данный момент. Учитель предлагает
пример всему классу. После некоторой паузы, когда все или по¬
давляющее большинство учеников поднятием рук покажут, что
пример решён, учитель вызывает для ответа ученика. Через
каждые два-три примера учитель спрашивает не только ответ, но
и объяснение, каким приёмом решён пример. Примеры могут
предлагаться в троякой форме:
1)	учитель называет те действия, которые надо произвести над
данными числами, например:
36 разделить на 2; 24 умножить на 3; к 47 прибавить 53;
от 84 отнять 68;
2)	учитель предлагает данное число увеличить или умень¬
шить на несколько единиц или в несколько раз, а ученики
сами должны подобрать необходимые действия, например;
36 уменьшить в 2 раза; 24 увеличить в 3 раза, 47 увели¬
чить на 53; 84 уменьшить на 68;
3)	предлагая примеры, учитель не указывает действие в явной
125


врме, а называет резулыа!, который должен оьиь найден, на-
Щер:
Ишайш сумму 47 и 53; найти разность 84 и 68; найти произнес
тоне двух ти-сел 24 и 3; найти частное от деления 36 ка 2.
ИрО'Всех этих случаях над одними и темя же числами- производятся
Вйй и те же действия и одними и теми же приёмами. Разница только
Ияерминологии: для» деления — «разделить», «уменьшить
«данное число раз», «найти такую-то часть числа», «найти част-
Ве»; для сложения — «сложить», «увеличить - на столько-то
Ннниц», «найти сумму». Понятно, что в младших классах надо
давать действия в явной форме, но потом, сохраняя её как основ-
ро, надо называть действия н в неявной форме; это обогащает
«тематическую речь учащегося и уточняет математические по-
татия, связанные с арифметическими действиями. Термины «сум¬
ма», «разность»» «произведение», «частное» надо применять в уст-
Вой ^чёте начиная с III класса.
Надо подбирать на урок столько примеров, чтобы их хватило
да 5—7 минут. Количество зависит от сложности и трудности
оримеров. В среднем это будет 10—15 простых примеров.
2.	Решение сложных примеров в форме беглого
;чёта. Это столь же распространённая и эффективная форма
обучения устному счёту, как и решение простых примеров. При
этом даются примеры в несколько действий. Особенность «бегло¬
го счёта» состоит в том, что при решении сложного примера про¬
межуточные результаты дети держат в уме, а называют по пред¬
ложению учителя последний окончательный результат.
Возьмём сложный пример, рассчитанный на решение во II классе:
(24 + 18); 6X12 — 42 = ...
Учитель предлагает этот пример для решения так:
«К 24 прибавить 18 (пауза), разделить на 6 (короткая -пауза), умножить на-*
12 (пауза), отнять 42 (пауза). Сколько получилось?» По вызову учителя уче¬
ное называет полученный результат.
Примеры для беглого счёта могут даваться -различной степени сложно¬
сти; в 3, 4, 5, 6 действий, или звеньев. (Выше дан пример, состоящий из че¬
тырех звеньев. В младших классах число звеньев должно быть меньше,
в старших — больше. Но и в I классе число зве-ньев можно доводить до четы¬
рёх. Например: 18:6X4 + 7—10. В IV классе число звеньев можно увели¬
чить до 6. Например: (87 + 63 — 75 + 125) : 4 : 25 X 450.
Длительность пауз должна быть такова, чтобы детям хватило
времени на вычисление. Они могут быть то продолжительными,
то короткими, в зависимости от трудности данного звена. В выше¬
приведённом примере для сложения '87 и 63 требуется больше
времени, чем для вычитания 75 из 150. Поэтому первая пауза
должна быть длительнее, вторая — короче. Но вообще говоря,
паузы слишком затягивать не нужно. Чрезмерное затягивание
пауз может создать у детей'привычку считать медленно. В классе
всегда могут найтись два-три ученика, считающие медленно, но-
по ним равняться не следует; наоборот, их всячески нужно под¬
нимать до среднего уровня класса, ведя счёт живо <и быстро.
12?


Беглый счёт требует от учеников глубокого и напряжённого
внимания-; дети от него скоро устают. Поэтому злоупотреблять
«количеством упражнений, проводимых в этой форме, нельзя. Для
беглого счёта надо брать 3—4 примера.
Как быть в тех случаях, когда несколько учеников дали не;
правильный ответ? Если эти «несколько» составляют небольшой
количество, то останавливаться на примере и пересчитывать его
не следует. К пересчёту надо прибегать в том случае, когда
ошибка носит более или менее массовый характер.
3.	Счёт по таблицам. Предыдущие упражнения базиро
вались исключительно на слуховых восприятиях; ученики на
слух воспринимали числа, производили над ними действия без
всяких записей и давали ответ, не прибегая к записи чисел. Нс
в некоторых случая-х приходится пользоваться устными приёма
ми вычислений над записанными числами. Поэтому школа должна
проводить и такие упражнения, которые базируются на зритель-*
ных восприятиях чисел, написанных учителем на классной доске'
или напечатанных в форме таблиц.
Существует несколько типов таких таблиц: таблицы Мартеля
Шапошникова, Шохор-Троцкого, Эменова и др. Может быть ис<
пользована для устного счёта и таблица Пифагора. Содержание^
и характер работы по таблицам рассмотрены нами в главе
шестой на странице 69. Здесь же заметим, что для более удобного
пользования таблицами нужно, чтобы ученики имели их в своих
тетрадях. Таблицы Шапошникова имеются готовыми в печатном
виде, но если бы в школе их не оказалось, учитель всегда может
•изготовить их по данному образцу.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Ф
Ф
©
©
©
©
©
©
©
©
©
1
3
5
7
9
6
5
1
0
0
0
7
9
1
4
5
3
1
5
0
0
0
2
5
7
6
8
1
4
2
0
0
0
6
8
4
1
3
7
6
6
0
0
0
3
4
8
5
7
2
5
3
0
0
0
8
7
3
9
2
5
2
4
0
0 .
0
4
2
9
3
6
8
6
3
0
0
0
9
6
2
8
1
4
3
2
0
0
0
5
1
б
2
4
9
4
5
0
0
0
4
5
8
6
9
7
3
4
0
0
0
Х28


Наряду с таблицами для устного счёта можно использовать
пособие, известное под названием «Ряды цифр» Поляка.
Это пособие состоит из одиннадцати полос; на восьми из них
расположены вертикальные столбцы значащих цифр от 1 до 9,
а остальное заполнены нулями (см. на 128 стр.). Полоски можно
сделать из плотной бумаги или картона.
5
9
6
10
•
•
•
•
9
0
6
0
5
0
3
0
8
0
1
0
3
0
+
7
0
7
0
—
2
0
2
0
+
5
0
6
0
и-
8
0
1
0
+
4
0
4
0
+
9
0
9
0
7
0
2
1
8
7
О
9
9
•
3
I
1
+
1
5
9 1
7
—
5
1
5
2
—
2
1 4
8
6
—
6
б
4
3
—
3
5
7
8
4
2
2
1 4
+
3
6
6
9
+
2
3
1
5
4-
5
4
5
4
—
4
3
Пользуются этим пособием так: вешают две полоски на класс-
юй доске на некотором расстоянии одна от другой. Между ними
:тавят на доске знаки действий или же вставляют ещё одну
полоску, на которой обозначены знаки действий. Это пособие
особенно удобно для составления примеров на сложение и умно¬
жение. При вычитании же детям иногда приходится прибегать
к перестановке компонентов, а при делении часто получается
деление с остатком.
Полоски с цифрами удобно использовать для действий с круг¬
лыми десятками и для действий с двузначными числами. Для
этого вешают рядом по две полоски. Так как при этом
получаются результаты, выходящие за пределы 100, то такого
рода упражнения проводятся во II и III классах.
Решая примеры, учащиеся могут записывать весь пример
полностью, например: 13 + 57 = 70; 79 + 14 = 93 и т. д. Однако
в целях экономии времени учитель чаше всего предлагает уче¬
никам при самостоятельной работе записывать только номер при¬
мера по порядку и результат, например: 1) 70; 2) 93; 3) 101. Вы¬
числения же ученик производит про себя, устно.
9 А. С. Пчёлко
129


«Ряды цифр», как и другие таблицы, являются особенно цеад
ным пособием для двухкомплектной школы, где большое месри
занимают самостоятельные работы учащихся.	'Я
4.	Задачи. Навыки устного счёта вырабатываются нетолькЛ
на примерах, но и на задачах. Решение задач является хорошим
средством, чтобы развить у учащихся умение считать устно. Я
Устное решение задач приносит двоякую пользу: с одной сто!
роны, на решении задач учащиеся тренируются в быстром уст-1
ном счёте, а с другой стороны, на устных задачах закрепляется]
умение решать задачи вообще. В истории русской дореволюциоя-|
ной школы мы имеем яркий пример того, как на решении задач *
достигались прекрасные результаты по устному счёту: мы имеемI
в виду педагога С. А. Рачинского, который достигал изумитель¬
ных результатов в устном счёте, благодаря решению не только
примеров, но и задач.
Задачи для устного решения должны быть с небольшим коли¬
чеством действий 2—3, максимум 4 действия. Величина чисел
должна соответствовать программным’ требованиям, т. е. для
I и II класса это будут числа в пределе 100, для III класса —
в пределе 100 и круглые десятки, круглые сотни в пределе 1 000,
для IV класса—любые числа в пределе 200 и числа, «удобные»
для устных вычислений в пределе I 000.
Для устного решения можно брать задачи как чисто арифме¬
тические, так и типовые, если они по количеству действий не¬
велики и негромоздки. Нужно сказать, что хороший навык решать
типовые задачи достигается главным образом на решении устных
задач.
Если в задаче содержится более 3 числовых данных, то их
можно записать на доске, чтобы не обременить память учащихся
запоминанием большого количества чисел.
Решение задач можно сочетать с решением примеров.
Устные задачи не отнимают много времени; в течение
5—7 минут может быть решено несколько задач.
При проверке решения нужно иногда спрашивать учеников,
как онн производили вычисления, каким приёмом пользовались.
Например, в задаче встретилось деление 280 на 14; нужно
спросить, как ученики произвели это деление.
5.	С ч ё т-д ополнение. Решение простых и сложных при¬
меров. решение задач и счёт по таблицам составляют основные
виды упражнений в устном счёте. На них главным образом и вы¬
рабатываются навыки устного счёта. Но для разнообразия
упражнений, для поддержания к ним живого интереса нужно
использовать в практике преподавания и другие виды упражнений,
имеющие элементы некоторой занимательности.
Так, для упражнения в сложении и вычитании можно
применять упражнения, в которых требуется дополнить дан¬
ное число до известного круглого числа. Это упражнение заклю¬
чается в следующем.
130


Допустим, что на данном уроке нужно поупражнять учеников в дооолне-
д*ж двузначных чисел до 100. Для этого учитель пишет на доске «100» и го¬
ворит детям: «Я буду называть различные числа, а вы дополняйте эти числа
оо 100. Например, я скажу 25, а вы должны прибавить к этому числу
рголько единиц, чтобы получилось 100, т. е. 75. Тот, кого я вызову для
Ответа, должен сказать: 75». После этого идёт упражнение в живом и быстром
Кемпе; в течение 3 — 5 минут опрашивается весь класс (для вызова учеников
ре нужно ждать от них поднятия руки). Учитель говорит: тут 231 Ученик
■отвечает; 77! Учитель: 841 Ученик: 161 и т. д.
Это жизненная форма счёта; в широких народных массах все¬
гда пользуются приёмом дополнения при вычитании. Если, на¬
пример, покупателю нужно уплатить за покупку 36 рублей и он
цал в кассу 100 рублей, то кассирша, давая сдачу, будет считать
ао способу дополнения: 4 рубля — 40! (дополнила 36 до ближай¬
шего круглого числа), 60 руб.— 1001 (ещё раз дополнила круглое
число 40 до 100), а всего — 64!
Этот вид устного счёта применим во всех классах, начиная с I.
В качестве круглого числа можно брать 10, 20 — в I классе,
100 — во II классе, 1 000 — в III классе, 100, 200 и 1 000 —
в IV классе
Можно придать счёту-дополнению и несколько иную форму,
а именно- можно за постоянное число взять не результат, как
в предыдущем упражнении, а какое-нибудь слагаемое. Получится
упражнение в сложении.
Учитель даёт ученикам такое указание: «Я буду называть различные числа,
а вы к каждому названному числу прибавляйте, допустим, по' 8 (учитель мо¬
жет записать это число на доске), например, я скажу: 271 А вы прибавьте
про себя к этому числу 8, получите 35. При вызове ответьте: 351 Внимание!
Начинаем^
После этого достаточно быстро ведётся занятие. Учитель: 64! Ученик: 721
Учитель: 291 Ученик: 371 и т. д.
Понятно, что в качестве постоянного слагаемого можно брать
различные числа: для младших классов это будут однозначные
числа, для старших — и однозначные, и двузначные.
6.	Последовательное прибавление и отнима¬
ние Данного числа. Упражнениям в устном сложении и вы¬
читании можно придать ещё более экономную форму, укладывая
в минимум времени максимум вычислительной практики. Для это¬
го достаточно назвать ученикам только первое отправное число и
указать то постоянное число, которое надо последовательно при¬
бавлять или отнимать, чтобы получать всё новые и новые суммы
или остатки.
Указания со стороны учителя для этого упражнения будут таковы: «Я на¬
зову число. Вы прибавьте к нему 12, к полученной сумме прибавьте ещё
раз 12, к вновь полученной сумме прибавьте снова 12 и т. д. Пусть первое
число будет 3. Прибавив к нему 12, вы получите 15; к 15 прибавив 12, полу¬
чите 27 и т. д. Называйте только результаты: 15, 27, 39. .. Все вычисления
делайте про себя». После этого учитель называет постоянное слагаемое, до¬
пустим, 11. Затем границы счёта — первое и последнее число — допустим, 2
и 90. Вызванный ученик считает: «2, 13, 24, 35, 46». Следующий вызванный
ученик продолжает: «57, 68,	79, 90».
131


Таким же путём проводится упражнение и в вычитании, только
здесь сначала даётся верхняя граница, потом нижняя.
Например, учитель даёт задание: «Первое число 93. От 98 отнимите 12
и дальше от каждого остатка отнимайте снова по 12. пока это будет воз¬
можно. Называйте только результаты». Вызванный ученик отвечает: «98, 86,
74, 62». Следующий ученик продолжает: «50, 38, 26, 14, 2».
7.	Составление данной суммы из двух сла¬
гаемых. Наконец, полезно проводить и такое упражнение,
которое приводит к составлению данной суммы двух слагаемых.
Для этого учитель даёт ученикам какое-нибудь постоянное число в каче¬
стве суммы и говорит: «Запишите 10 таких примеров на сложение, в которых
сумма равна 35». Ученики пишут:
1) 17+18=35; 2) 24 + 11=35; 3} 9+26=35;* 4) 20+15=35 и т. д.
8.	Упражнения в умножении и делении, а) Учи¬
тель ^даёт ученикам постоянный множитель, допустим 3, а затем
■называет ряд чисел, которые умножаются учениками на этот
множитель.
Например, учитель говорит: 12! Ученик отвечает: 361 Учитель: 15! Уче¬
ник: 45!-«Учитель: 261 Ученик: 78! и т. д.
б)	Подобные упражнения проводятся и на деление. В качестве
«сходного числа при этом берётся какое-нибудь большое число,
богатое множителями, например 80 тысяч, 60 тысяч и др.
в)	Учитель может предложить ученикам написать несколько
/возможно больше) примеров на умножение двух чисел, кото¬
рые дают какое-нибудь постоянное произведение, допустим, 72.
В конечном счёте получится следующая таблица:
1	X 72 = 72
2	X 36 = 72
3	X 24 » 72
4	X 18 = 72
6X12 = 72
8	X 9=72
9	X 8 = 72
12 X 6=72
18X4 = 72
24 ХЗ = 72
36 Х2= 72
72X1 = 72
Суть этого упражнения заключается в
множители.
разложении
числа на
Игры.
Многие упражнения в устном счёте производятся в форме
игры; такие упражнения особенно заинтересовывают детей.
Из игр наибольшее распространение получили в школе следую¬
щие:
1.	И г р а «в м о л ч а н к у». Для игры берётся квадрат или круг*
в центре которого и по окружности расположены числа (см.
<стр. 37). Около числа, расположенного в центре, ставится знак^
одного из арифметических действий. Постоянным компонентом]
132


считается это центральной число. Процесс игры заключается в
следующем:
На классной доске вывешивается круг. Допустим, что в центре круга
стоит цифра 8, а возле неё стоит знак сложения 4-. Один из учащихся вы¬
зывается к доске. Учитель указкой показывает число на окружности. Ученик
прибавляет про себя к этому числу центральное число и записывает резуль¬
тат на доске. Учитель показывает другое число, ученик прибавляет к нему
центральное число и результат записывает на доске. Все эти оперший про¬
водятся при абсолютной тишине: учитель молча показывает цифры, ученик
молча производит действие и записывает результат, ученики молча, подня¬
тием рук, сигнализируют допущенную ошибку. Оттого эта форма занятий по¬
лучила название «молчанки».
Помимо образовательного, эта игра имеет и воспитательное
значение: она укрепляет дисциплину класса. Её можно применять
в I и зо II классах. Круг можно заменить числовой фигурой
другой формы — треугольной, прямоугольной (например, рис. 15).
'5	28
V	35
18
68- 12
Рис. 15.
2.	Арифметическое лото. Игра проводится так. Кар¬
точки и ответы к ним раздают детям на руки. Они решают при¬
меры и закрывают их карточками с ответами. Для наблюдения
за правильностью решения можно ввести взаимную проверку
(счётчики и контролёры). Можно проводить игру и так, как про¬
водится обыкновенное лото. В этом случае все карточки-примеры
складываются в коробочку и передаются одному ученику, кото¬
рый называет примеры, а те, у* кого оказались ответы на примеры,
накрывают их соответствующей карточкой.
Выигравшим считается тот, кто раньше других накрыл всю
карточку, причём его решение проверяется всем классом. Дети
играют в эту игру с большим интересом. Многие из них успевают
не только сами накрыть примеры, но и посмотреть, правильно ли
накрыл сосед. На игру можно отводить 10 минут в конце урока.
Игру можно проводить на сложение и вычитание в пределе 20
и на все действия в пределе 20 в I классе, на таблицу умножения
и деления и «а все действия в пределе 100 во II классе.
3,	Круговые примеры. Это упражнение очень интересует
детей, хотя и не является игрой в собственном смысле этого
слова. На отдельных полосках бумаги пишутся примеры, которые
кладутся в конвертик и скрепляются скрепкой. Такие пачки изго-
133


	.«ап аи числу учащихся. Примеры составляются так, чт*
каждый следующий пример начинается с результата предыду
щего примера:
10+ 8 =
24X3-
72 — 24 —
48 :	3 =
Упражнение с круговыми примерами проводится следующим образом.
Раздав учащимся пачки примеров, учитель говорит: «Дети, начинайте решать
с какого хотите примера. Но когда решите первый, то ищите следующий,
начинающийся таким числом, какое получилось от решения первого примера.
Когда найдёте, решайте его и вновь ищите пример, начинающийся с ответа
второго примера. И так продолжайте до конца. Если вы не найдёте примера,
который бы начинался с предыдущего ответа, это значит, вы ошиблись где-то,
и вам надо проверить решение». О том, что последний ответ должен равняться
первому числу первого примера, учитель может не говорить, чтобы, пользуясь
этим свойством, можно было легко проверить правильность решения. Про¬
верка проводится так.
Учитель вызывает одного из учеников и спрашивает его, сколько у него
получилось в ответе и с какого числа он начал. Если эти числа равны, то
все примеры решены верно.
Дети с увлечением занимаются вычислениями и с чувством
радости, воспринимают совпадение первого и последнего чисел,
что сви гетельствует о правильном решении примеров. Эти упраж¬
нения применимы в I и во II классах.
4.	Занимательные квадраты. Хорошее упражнение
для усвоения таблицы сложения в пределе 20 в I классе дают
занимательные квадраты. Для упражнения с занимательными
квадратами можно иметь готовые квадраты, разделённые обычно
на девять клеток, и 9 цифр к ним. Но квадраты можно чертить
на доске и в тетрадях учащихся. Занятиям можно придавать
характер игры или же вести их в плане обычных занятий на
уроке.
Для этого учитель чертит на доске квадрат, делит его на 9 клеток и
дает ученикам перечень тех чисел, которыми должны быть заполнены клетки.
«Нарисуйте квадрат, разделите его на девять клеток. Заполните эти клетки
цифрами I, 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 так, чтобы в каждом ряду и столбце
получилось 15». Ученики заполняют. Может быть несколько вариантов запол¬
нения квадрата пои данных условиях. Например (рис. 16).
1
9
8
1
6
4
3
8
б
7
2
3
5
7
9
5
1
8
3
4
4
9
2
2
7
6
Рис 16
Заниматечьные квадраты из 9 клеток, имеющие сумму 15
в каждом ряду, столбце и диагонали (см. второй и третий ква¬
драты) , должны иметь число 5 в середине, а чётные числа в четы¬
рех углах квадрата; возможны 8 таких квадратов. Получив один
134


Е них, можно найти все остальные путем вращения и перевёрты-
цния его всевозможными способами.
Легко убедиться, что заполнение квадратов — дело сложное.
Ученику приходится испробовать десятки-комбинаций, прежде чем
получится то, что нужно. И вот эти-то пробы, пересчёт в высокой
степени полезны. Ребёнок, не замечая, проделывает большое ко¬
личество упражнений, в результате которых хорошо усваивается
таблица сложения.
Во И классе можно дать квадрат из 16 клеток. Если взять
последовательные числа от 1 до 16 включительно и расположить
нх в этом квадрате так, как указано на чертеже, то сумма чисел
в каждом столбике, ряде и диагонали будет 34.
Для получения занимательного квадрата из 16 клеток будем
пользоваться следующим приёмом:
/
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
/3
14
15
16
Рис. 17.
1
14
15
4
12
7
6
9
8
11
10
5
13
'2
3
16
Рис. 18.
Возьмём квадрат из 16 клеток и в горизонтальных рядах его разместив
последовательно ряд чисел 1, 2, ... 15, 16 (рис. 17).
Оставив числа 1, 4, 13, 16 в угловых клетках, а числа 6, 7, 10, 11 в сред¬
них, будем менять местами каждую пару таких чисел, которые в сумме
дают 17. Такими парами будут 2 и 15, 3 и 14, 5 и 12, 9 и 8. После перестано¬
вок будем иметь квадрат (рис. 18). Сумма чисел этого квадрата равна* 34. Он
обладает всеми свойствами квадратов, указанных выше. Кроме того, 4 числа,
расположенные в средних четырёх квадратах или в углах большого квадрата,
дают ту же сумму; действительно, 6 4- 7 + 10 + 11 » 34; 1 4* 4 4- 13 4* 16 = 34.
Эту же сумму дают и следующие группы чисел: 15, 14, 3 и 2; 12, 8, 9 и 5;
15, 9, 8 и 2; 14, 12, 5 и 3.
5.	Угадывание задуманных чисел. Есть целая серия
упражнений-игр на угадывание задуманных чисел начиная
с очень простых и кончая весьма сложными. Эти упражнения тоже
способствуют развитию навыков быстрого устного счёта.
Самая простая игра этого рода заключается в том, что учитель пишет
на классной доске пример на сложение, допустим, 7+ 13 = 20, закрывает его
газетой и предлагает ученикам угадать, какой пример написан («Я сложил,-^
говорит учитель, — два числа и получил в сумме 20. Какие это числа?»).
Ученики перебирают всевозможные комбинации слагаемых, дающих в сумме 20,
пока какой-нибудь ученик не назовёт 7 4-13 или 13 4- 7.
То же на умножение: «Я перемножил два числа и получил в произведе¬
нии 48. Угадайте, какие числа я перемножил?» Ученики называют различные
135


комбинации сомножителей (] X 48; 2 X 24; 3X16; 4X^2; 6X8; 8 X 6; 12Х»‘
16X3; 24 X 2; 48 Х’1), пока не назовут ту комбинацию, которая записана. Раз
новндность этой игры: учитель пишет на доске несколько примеров,
6 + 8 или 6X9
7+9	9X9
16—8	5X8
9—6	7X6
Вызывается один из учеников, который становится спиной к доске,
а в это время учитель показывает классу ту строчку, которую вызванный
ученик должен вычислить. После этого ученик поворачивается к доске,
и если он напишет и вычислит ту строчку, которая была показа на классу,
то класс говорит: «Правильно», если же он не угадал и вычислит другую
строчку, класс молчит. Ученик продолжает угадывать, и так иногда ему при¬
ходится перерешать весь столбик. Дети увлекаются и этой простои игрой.
Надо добиваться только, чтобы ученики ещё на месте вычислили результаты,
а на классной доске быстро их записывали.
Такого рода игры уместны в Г и отчасти во II классе. В стар¬
ших же классах эта игра усложняется тем, что над задуманным
кем-либо числом предлагают выполнить ряд арифметических дей¬
ствий и затем спрашивают полученный результат, по котором}
определяют тотчас же задуманное число.
Приведём ешё один вид упражнений на отыскание задуман¬
ного числа, который описан в методике Евтушевского:
Одному ученику предлагается	задумать	число. От	задуманного	числа
ученик отнимает число, указанное	учителем, например, 17; полученное	число
увеличивает в 2 раза и говорит классу результат, который получил. Класс
обратным вычислением должен узнать задуманное число. Работа эта очень
интересует учеников и весьма полезна, так как, во-первых, основывается на
обратных поверочных вычислениях и, во-вторых, знакомит учеников с соста¬
вом и анализом сложных формул.
Задача. «Задумайте чётное	число не	больше 60	и не меньше 40;
разделите ваше число пополам и от полученной половины отнимите 16.
Сколько получилось?»
Ученик говорит, положим, 12.
Рейение. 12 получилось,	когда от	половины	задуманного	числа
отняли 16. Значит, половина задуманного числа была 12+16 = 28; так как
половина задуманного числа 28, то всё число равно 28X2=56.
Организация занятий устным счётом.
При устных вычислениях от ученика требуется глубокая со¬
средоточенность, исключительная концентрация внимания. Поэто¬
му занятия устным счётом нужно начинать в обстановке полной
тишины и внутренней собранности ученика. «Внимание! Начи¬
наем!» После такого предупреждения учитель говорит пример
или задачу.
Упражнения в устном счёте нужно вести достаточно живо
и быстро, обязательно вовлекая в эту работу весь класс, всех
учеников.
Упражнения в устном счёте должны быть заранее хорошо
подготовлены: у учителя должен быть достаточно большой набор
136


задач и примеров, все результаты вычислений должны быть ему-
хорошо известны. Форма работы должна быть заранее опреде¬
лена, т. е. учитель при подготовке к уроку должен установить,
будет ли работа проходить на слух, или он будет пользоваться
и записями; будут ли ученики говорить ответы устно, или они их
будут записывать, и т. д.
Упражнения в устном счёте целесообразно проводить в начале
урока, соблюдая непременное требование, чтобы на всём протя¬
жении урока вычисления над небольшими числами проводились
устно.
Проводя упражнения, выполняя намеченный план, учитель
должен внимательно следить за классом, и если будут замечены
аризнаки утомления учащихся, то эти занятия должны прекра¬
щаться.
Навыки в устном счёте должны оцениваться так же, как оце¬
ниваются навыки в письменном вычислении и решении задач.
Для этого учитель должен производить индивидуальный опрос
учеников; в этих же целях могут быть с успехом использованы
также сложные примеры, решаемые в порядке беглого счёта.
Пристуная к беглому счёту, учитель даёт задание заготовить ли¬
сточки и на них записывать ответ на каждый пример. По окончании
упражнений учитель собирает листочки и по ним производит оцен¬
ку успеваемости в устных вычислениях.
В школьной практике не принято давать учащимся на дом при¬
меры для устного счёта; на дом даются только задачи и примеры
для письменных вычислений. В основном это правильно: письмен¬
ные работы являются хорошим средством контроля. Однако, со¬
вершенно избегать заданий по устному счёту нецелесообразно:
домашние упражнения могут оказать существенную помощь з вы¬
работке навыков быстрого устного счёта.
Учащимся 1 и II классов, где практикуются преимущественно
устные приёмы вычислений, можно изредка давать «столбики»
для упражнений в устном вычислении с последующей проверкой
в классе выполнения этой работы. Точно так же изредка можно
давать для домашних упражнений столбики из задачника и уча¬
щимся III и IV классов.
Эти упражнения полезны тем, что они заставят ученика в спо¬
койной домашней обстановке совершенно самостоятельно про¬
думать и подыскать для каждого примера наиболее рациональ¬
ные приёмы вычислений и запомнить наиболее часто встречаю¬
щиеся в практике результаты вычислений.
Выше приведено много разнообразных видов упражнений
в устном счёте. Наиболее употребительными из них будут:	реше¬
ние простых и сложных примеров, решение простых и сложных
задач. Другие виды упражнений будут применяться реже. Однакс
и они должны найти себе место на уроках арифметики. Они
оживляют работу по устному счёту, создают у детей повышенный
интерес *:< нему. А тот, кто возбудит у детей интерес к устным
137


	пс^шшенни, дооьется больших успехов; и, наоборбг
как бы «методично» ни преподавал учитель, но если он не зарей
ннт в детскую душу искру любви к арифметике и в частности
к счёту, к вычислениям, если у детей будет равнодушное, -бёзраз*
личное отношение к этому предмету, то на крупные, яркие успе¬
хи рассчитывать трудно. Какую большую роль в этом деле играет
учитель, его отношение к делу, видно из примера педагогической
деятельности С. А. Рачинского, который, работая в сельской
школе в 80-х годах прошлого столетия, поставил устный счёт на
небывалую высоту.
Вот что пишет этот педагог о причине своих успехов:
«Посторонних посетителей, изредка заглядывающих в мою школу, всего
более поражает умственный счёт её учеников. Та быстрота и лёгкость, с ко.
торой они производят в уме умножения и деления, обращаются с мерами
квадратными и кубическими, соображают данные сложной задачи, то радост¬
ное оживление, с которым они предаются этой умственной гимнастике, наводят
на мысль, что в этой школе употребляются особые, усовершенствованные
приёмы для преподавания арифметики, что я обладаю в этом отношении каким-
то особым искусством или секретом.
Ничего не может быть ошибочней этого впечатления. Конечно, теперь
я владею некоторым навыком к умственному счёту, могу импровизировать
арифметические задачи в том быстром темпе, в котором они решаются моими
учениками. Но до этих скромных умений довели меня, или лучше сказать, до¬
мучили сами ученики.
Именно домучили. Никогда не занимался я специально арифметикой,
упражняться в умственном счёте никогда и не думал. Принялся я за препо¬
давание счёта в сельской школе, не подозревая, на что я иду.
Не успел я приступить к упражнениям в умственном счёте, которые до
тех пор в школе не практиковались, как в ней к ним развилась настоящая
страсть, не ослабевающая до сих пор. С раннего утра и до позднего вечера
стали меня преследовать то одна группа учеников, то другая, то все вместе —
с требованием умственных задач. Считая эти упражнения полезными, я отдал
себя в их распоряжение. Очень скоро оказалось, что они опережают меня,
что мче нужно готовиться, самому упражняться.
' Беспрестанная усиленная возня с цифрами нагнала на меня настоящий
арифметический кошмар, загнала меня в теорию чисел, заставила меня неодно¬
кратно открывать Америку, т. е. неизвестные мне теоремы Фермата и Эйлера».
Из этих откровенных признаний Рачинского видно, что секрет
его выдающихся результатов заключался в его беспрерывной ра¬
боте над собой, в его «усиленной возне с цифрами», в беспрерыв¬
ном продвижении вперёд.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ.
ВЫЧИСЛЕНИЕ НА СЧЕТАХ К
Счёты, как уже неоднократно указывалось, представляют со-
-бой прекрасное наглядное пособие для выяснения понятия о раз¬
личных счётных единицах и десятичном составе чисел, для иллю¬
стрирования приёмов вычисления.
Но счёты играют в жизни и другую роль — роль счётного
•прибора. 11	Изложено в основном по Арженикову.
138


Русский народ всегда широко пользовался и пользуется счё¬
сами для вычислений, так как счёты дают возможность произво-
|кть вычисления легко, правильно и быстро. Это — русский
1ац!И0нальный счётный прибор, чрезвычайно простой по своему
устройству и максимально приспособленный к десятичной систе¬
ме счисления.
Школа обязана не только показать, как производятся на счё¬
тах вычисления, но и дать ученикам некоторый навык произво¬
дить вычисления, ограничиваясь хотя бы сложением и вычита¬
нием.
Приступая к сложению и вычитанию на счётах, надо познако¬
мить учащихся с устройством русских торговых (конторских)
счетов. Такие счёты должны иметь каждые два ученика, сидящие
за одной партой. Учитель ведёт объяснения, пользуясь большими
классными счётами такого же устройства.
В вопросо-ответной форме учитель сначала сообщает учени¬
кам некоторые сведения о самих счётах и о приёмах работы на
них.
«Нижнюю проволоку, — говорит учитель, — назовём первой. Укажите вто¬
рую проволоку, третью, четвёртую. Слушайте, дети: каждый шарик первой
проволоки означает простую единицу. Что означает шарик второй проволоки?
третьей? четвёртой? Какое число положил (обозначил) я? 'Почему вы говорите,
что я положил 4 единицы? Пойди, положи 7, 5, 9. Какое число теперь поло¬
жил я? Почему говорите вы, что это 30? Ступай, положи 20, 80, 60. А теперь
какое число я положил? Почему отложенное число — это 700? Ступай, положи
400, 500, 300».
Затем учитель обозначает на счётах числа, состоящие из единиц несколь¬
ких разрядов, двузначные и трёхзначные. Дети читают и объясняют, почему
они так прочитали эти числа. Далее учитель диктует числа, а ученики кладут
их на классных счётах.
После этого детям раздаются ручные счёты.
«Покажите средний палец на правой руке. Этим пальцем всего удобнее
класть шарики (косточки). Положите одну единицу. Скиньте. Положите деся¬
ток. Скиньте. Положите сотню, тысячу. Положите числа 2, 20, 200, 3, 30, 300;
К 2, 3 шарика можно положить сразу, не считая. Положите 6 единиц. Вы
видите, что 6 шариков вы клали не сразу: насчитывали их. А это долго. Для
того чтобы можно было скорее класть числа на счётах, два средних шарика
сделаны чёрными. Поставьте палец между чёрными шариками. Сколько шари¬
ков налево от пальца? Положите 5 единиц. Положите 5 десятков, положите
5 сотен. Поставьте палец перед первым черным шариком (налево от чёрных
шариков). Сколько шариков тогда положится? Положите 4 единицы. Поло¬
жите 4 десятка. Положите 4 сотни. Поставьте палец после второго чёрного
шарика (вправо от чёрных шарь сов). Сколько шариков мы тогда захватим?
Положите 6 единиц. Положите 6 десятков. Положите 6 сотен. Куда же надо
поставить палец, когда хотим положить 6 шариков? Когда требуется положить
4 шарика? Когда надо положить 7 шариков? (Кладёт 7 шариков, оставшиеся
закрывает рукой.) Сколько шариков положил я? Сколько шариков осталось
направо? (Сколько шариков закрыл я рукой?) Как это узнать? Слушайте, дети:
когда требуется положить 7 шариков, то мы должны сообразить, что направо
должно остаться 3 шарика, и поставить палеи так, чтобы направо от него
было 3 шарика Положите 70. Положите 700 Как надо поставить палец, когда
требуется положить 8 шариков? Положите 8. Положите 80. Положите 800.
Как надо поставить палец, когда требуется положить 9 шариков? Положите 9.
Положите 90. Положите 900».
139


После сделанных разъяснений ученики кладут на счётах раз¬
личные числа первой тысячи, которые называет учитель.
Сложение и вычитание на счётах надо начинать с про¬
стейших случаев, когда действие выполняется на одной проволоке.
Зто — сложение единиц с единицами (3 + 5), десятков с десятками
(20 + 60), сотен с сотнями (400 + 500), когда в сумме получается
не больше 9; вычитание единиц из единиц (8 — 3), десятков из
десятков (60 — 40), сотен из сотен (700 — 300).
Затем надо перейти к сложению и вычитанию двузначных
и трёхзначных чисел в тех случаях, когда сложение совершается
без превращения единиц или десяткой, а вычитание — без раз¬
дробления сотни или десятка.
После этого показывается сложение и вычитание составных
именованных чисел, выраженных в рублях и копейках.
Здесь надо объяснить детям, что на нижней, с 10 шариками,
проволоке кладутся копейки, на следующей — гривенники; на
третьей проволоке кладутся рубли; на следующих проволоках —
десятки рублей, сотни, тысячи рублей.
Далее рассматриваем "сложение единиц, десятков и сотен,
дающих в сумме единицу следующего высшего разряда (7+3,,
60 + 40, 800 + 200); вычитание единиц из десятка, десятков из
сотни, сотен из тысячи (10 — 4, 100 — 70, 1 000 — 500). Эти слу- *
чаи сложения и вычитания дети могут первоначально произво¬
дить так.
Пусть, например, надо к 7 прибавить 3. Ученики кладут на проволоке еди¬
ниц 7 шариков, потом ещё 3. Отложенные 10 шариков сбрасывают и вместо
них кладут один шарик на второй проволоке. Пусть требуется от 100 отнять 60.
Ученики раздробляют сотню в десятки: сбрасывают шарик, положенный на
третьей проволоке, и кладут 10 шариков на второй проволоке, от которых н
отнимают 6 шариков.
Но потом надо приучить детей поступать в таких случаях
следующим образом.
На проволоке единиц положено 7 шариков: к ним надо прибавить еще 3.
Делаем сложение в уме’ 7 4-3 = 10. Кладём шарик на второй проволоке
и сбрасываем отложенные 7 шариков с первой проволоки. На третьей прово¬
локе положен 1 шарик — 1 сотня; отсюда нужно отнять 60. Делаем вычита¬
ние в уме: 100 — 60 = 40. Сбрасываем шарик с третьей проволоки и кладём
4 шарика на второй.
Затем даются примеры на сложение двузначных и трёхзнач¬
ных чисел, когда сумма десятков или единиц равна 10, и примеры
на вычитание двузначных и трёхзначных чисел из круглых десят¬
ков, круглых сотен и из тысячи.
Подобные же случаи сложения и вычитания проходятся потом
на именованных числах, выраженных в рублях и копейках.
Наконец, мы приводим такие случаи сложения, когда сумма
десятков или единиц превышает 10, и такие случаи вычитания,
когда десятков или единиц в уменьшаемом меньше, чем в вычи¬
таемом.
140


Предварительно надо рассмотреть относящиеся сюда случаи
табличного сложения и вычитания (8 + 7; 12 — 5; 140 — 80).
«Положите 8. К 8 прибавьте 7. Есть ли 7 шариков на первой проволоке?
Сколько их есть?» (Есть только 2 шарика.)
«Прибавьте их к 8. Сколько шариков положено теперь на первой прово¬
локе? Чем можно заменить их? Замените. Сколько прибавили мы к 8? А сколько
надо было прибавить? Сколько ешё осталось прибавить? Положите. Сколько
же получилось, когда к 8 мы прибавили 7?»
«Теперь я покажу вам, как можно по-другому прибавить 7 к 8. Смотрите
сюда. У меня на столе (или на планке доски) лежат 8 палочек. Я хочу, чтобы
здесь было на 7 палочек больше. Как это сделать?* (Прибавить 7 палочек.)
«Но отдельных палочек, кроме тех 8, у меня только 2; прочие же палочки
связаны в пучки по 10 штук. Кто может сделать так, чтобы на столе стало
7 палочками больше, но пои этом не развязывать пучков?»
Ученики могут сообразить (а если нет, учитель объяснит сам): положить
на стол /голый пучок и сиять со стола 3 палочки.
, «Когда вместо 7 палочек мы положили на стоп 10 палочек, то сколько
/лишних палочек прибавили мы? А когда сняли со стола 3 палочки, будут
ли на столе лишние палочки? Положите теперь па счётах 8 единиц. Как
же прибавите вы сюда 7 единиц, когда на первой проволоке осталось только
2	шарика? Положим 10" ?1 шарик на второй проволоке) и скинем 3 (3 шарика
с первой проволоки). Положите 15. Отсюда надо вычесть 7. Сколько шариков
можно скинуть с первой проволоки? Скиньте. Сколько осталось отнять? Как
отнимете вы 2 от десятка? Чем можно заменить Шарик второй проволоки?
Замените. Что теперь надо сделать?» (Скинуть 2.) «Скиньте. Сколько полу¬
чилось?»
Затем учитель показывает детям иной приём вычитания 7 из 15* отнять
десяток и прибавить 3 единицы. На этот приём можно навести учеников по¬
добно тому, как это сделано в соответствующем случае сложения. На столе
лежат 15 палочек: I пучок и 5 палочек; кроме того, есть палочки, например,
в коробке.
«Как взять* со стола 7 палочек, не развязывая пучка? Если мы возьмём
со стола пучок, то мы снимем не только те 7 палочек, которые нам надо
снять, но ещё лишних 3 палочки, которые должны бы остаться на столе.
3	лишне снятые палочки надо вернуть назад»- Мы сделаем это, если вместо
них положим на стол 3 палочки со стороны (например, из коробки). Попожите
на счетах 15. Как отнимете вы отсюда 7? Почему скинете десяток?» (Потому
что здесь—в 15 — только 5 единиц.) «А зачем положите вы потом 3 еди¬
ницы?» (Когда мы скинули 10, то отняли лишних 3 единицы; очи должны
остаться, их надо вернуть назад.)
Затем идут примеры на сложение и вычитание двузначных
и трёхзначных чисел, сначала отвлечённых, потом именованных,
выраженных в рублях и копейках.
Сложение и вычитание на счётах отличается от общих, или
нормальных, приёмов выполнения этих действий в тех случаях,
когда сложение совершается с превращением единиц или десят¬
ков, а вычитание — с раздроблением сотни или десятка; здесь при
вычислениях на счётах употребляется частный приём округления;
чтобы придать 7 к 28, придаём 10 и скидываем 3; чтобы вычесть
7 из 42, вычитаем 10 и придаём 3. Для возможно быстрого вы¬
числения следует знать наизусть таблицы сложения и вычитания;
все же остальные результаты получаются на самих счётах меха¬
нически.
141


ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
ПЕРВЫЙ ДЕСЯТОК.
При обучении детей первому десятку перед учителем стоят
следующие основные задачи:
1.	Научить детей считать до 10, сочетая обучение счёту
с развитием ясного представления о каждом числе: о его месте
в ряде натуральных чисел, о величине и составе числа, об обо¬
значении числа цифрой. 2. Научить писать цифры. 3. Обучить
сложению и вычитанию в пределе 10, дав детям твёрдое
знание (наизусть) таблицы сложения. 4. Дать детям пер¬
вые навыки в решении простых задач на сложение и вы¬
читание.
Так как обучение первому десятку является началом ра¬
боты по арифметике, то здесь очень важно положить начало
воспитанию у детей полезных навыков и привычек:	привычки
бережно обращаться с задачником, аккуратно вести тетрадь по
арифметике, производить чистые и красивые записи, точно выпол¬
нять домашние задания, поддерживать строгий порядок в вещах,
чтобы у ушника находилось все па своём месте.
Изучить счёт до 10—это значит:
а)	знать название первых десяти чисел и уметь произносить
эти названия в их естественной последовательности;
б)	понимать, что при пересчитывании той или иной совокуп¬
ности предметов последнее произнесённое слово — числительное —
означает, сколько всего предметов в данной совокуп¬
ности;
в)	знать не только место каждого числа в натуральном ряде
чисел (какому числу предшествует данное число, за каким чис¬
лом оно следует), но и иметь ясное представление о величине
тон совокупности, обозначением которой это число является.
Таким образом, обучение счёту соединяется с развитием у де¬
тей представления о каждом числе первого десятка в отдель¬
ности,
'Когда в школу поступали дети восьмилетнего возраста, во¬
прос обучения этих детей счёту не стоял остро, так как почти
все восьмилетки умеют считать до 10 и далее. Но по-иному встал
вопрос об обучении счёту, когда в школу пришли дети семилетнего
возраста, не воспитывавшиеся в детском саду. Часть таких детей
умеет считать до 10; но у многих детей навыки счёта или огра¬
ничены небольшим кругом чисел (до 5—-6), или страдают раз*
ными существенными дефектами (подробно исследованными
Ф. Н. Блехер).
Некоторые дети-семилетки умеют произносить названия пер¬
вых десяти чисел, но ошибаются в последовательности этих чи¬
сел, например, считая, они говорят так: «Один, два, три, пять,
142


семь, четыре» и т. д, Другие хорошо знают числовой ряд, но это
знание носит у них механический характер. Они не понимают
Смысла счёта, название чисел они относят не ко всей совокупно¬
сти пересчитываемых предметов, а к отдельному, единичному
предмету. Такие дети не понимают, что при счёте последнее на¬
звание числительного характеризует собой в количественном отно¬
шении всю группу и относится поэтому ко всей группе, а не к
единичному последнему предмету.
Правильно пересчитав предметы, они не могут ответить на
вопрос: «Сколько же всего предметов в данной группе?» У этих
детей счёт вообще не связан с представлением о группе, о мно¬
жестве, о совокупности предметов. Такие дети недалеко ушли
от того 4-летнего мальчика, который на предложение пересчитать
свои пальцы считал так: «Один, два, три, четыре, семь». Когда
же учитель загнул его пятый пальчик н предложил ему пере¬
считать вытянутые пальчики снова, мальчик считал: «Один, два,
три, четыре... а семь вы загнули», — добавил этот мальчуган,
обнаружив тем самым, что он усвоил только внешнюю форму
счёта, что каждое название числительного он ассоциировал с
определённым пальцем и при счёте не принимал во внимание всей
группы в целом.
Такие дети, т. е. дети, не умеющие считать дальше весьма
ограниченного круга чисел или знающие числовой ряд, но не
умеющие считать сознательно, встречаются среди детей-семиле-
ток, которые поступают в школу.
Первая задача учителя при обучении детей арифметике за¬
ключается в том, чтобы научить их считать сознательно в пре¬
деле 10. Сознательным будет такой счёт, когда с каждым назва¬
нием числа у ребёнка возникает правильное представление
о группе предметов, обозначаемой этим числом.
Чтобы достигнуть этой цели, операцию счёта на первых порах
нужно соединить с наглядным и вполне конкретным процес¬
сом образования группы путём присчитывания ещё од¬
ного предмета или одной единицы. Иначе говоря, нужно учить
считать не только на пересчитывании готовых групп, данных
множеств, но и на тех группах, которые создаются, образуются
самим учеником. Создавая группы, считать их, присчитывая по<
одному, — таков должен быть основной метод обучения счёту.
Вот «один» кубик. Прибавим к нему еще один кубик. Образовалось
«два» кубика. Вот «один» стул. Присчитаем к нему еще один стул. Образова¬
лось «два» с гула. У ребенка складывается представление, что’ «два» образуется,,
когда к одному предмету присоединяется ещё один.
Вот «два» кубика. Прибавим к двум ещё один кубик. Образовалась
группа о «три» кубика. К двум стульям присоединим ещё один стул. Полу¬
чился ряд в «три» стула Вообще, когда к двум присчитываем ещё единицу,
получается группа «три». Когда к трём прибавляется ещё единица*, получается
группа в «четыре» предмета и т. д.
Ученик сам создаёт группу и этой группе в целом даёт
название «два», «три», «четыре», «пять» и т. д. Не единичному
143;


предмету присваивается название «пять», как это бывает, когда
ученик пересчитывает готовый ряд предметов, а именно группе
-в целом.
Как только ученик создал группу, сейчас же ставится вопрос:
«Сколько получилось предметов?» Даётся ответ, называется но¬
вое число, и это названное число ассоциируется с данным мно¬
жеством. От этого название нового числа получает совершенно
определённое и вполне конкретное содержание. Величина числа
конкретизируется через величину той совокупности предметов,
обозначением которой оно является.
В результате такого счёта ученик усваивает последователь¬
ность натурального ряда чисел, научается принимать во внимание
каждый предмет и в то же время научается относить последнее
названное число к целой группе.
Рис. 19.
В дальнейших упражнениях процесс счёта при пересчитыва¬
вши предметов готового ряда упрощается. Присоединение пред¬
метов становится ненужным, ученик при счёте ограничивается
только прикасанием к предметам; а дальше и это становится
лишним: каждый пересчитываемый предмет отмечается только
движением" глаз. Громкое называние чисел ученик заменяет про¬
изнесением их про себя и только последнее число называет
>вслух.
Чтобы убедить учеников в том, что при счёте очень важно
запоминать уже названное числительное, и чтобы развить у детей
способность удерживать в памяти всю группу в целом, очень
^полезно упражнять детей в ечёте на слух — счёт хлопков,
ударов. Допущенная при таком счёте ошибка не может быть ис¬
правлена: прозвучавший удар исчезает, и нельзя начинать счёт
с начала, как это бывает при пересчитывании данного ряда пред¬
метов.
Для этой же цели, т. е. для развития способности запоми¬
нать числа при счёте, служат и упражнения в определении коли¬
чества жидких и сыпучих тел, когда приходится наливать опре¬
делённое количество стаканов воды, насыпать определённое
количество песку. «Налейте 5 стаканов воды! Насыпьте 8 чай¬
ных ложек песку!» — такие задания должны иметь место
ятри обучении детей счёту. Выполняя их, ученик считает
ш


медленно и в то же время удерживает в памяти каждое вновь
долученное число.
И, наконец, наиболее ясное и правильное представление о чис¬
ле получается у ребёнка тогда, когда большее число (большая
группа) разбивается на меньшие и когда эта группа даётся
р легко обозримой форме. Этому помогает применение разнооб¬
разных числовых фигур Если четыре предмета расположить по
9 0©
С О о
о © о
О © 9
о ®
О © ©
Рис. 20.
© © о
о © ©
© © ©
о
одной линии 0000, то такое расположение будет очень удобно для
счёта, но неудобно для обозрения целиком этой группы, для
определения, из каких более мелких групп она состоит. Для этой
последней цели очень удобна числовая фигура ::. Глядя на неё,
ребёнок без затруднения и быстро называет число 4. Чтобы
Ф Ф
Ф Ф
ф Ф Ф
в в
• •	•
Ф Ф	•
Рис. 21.
назвать это число, ребёнок должен пересчитать точки, но
а то же время он ясно видит, что четыре — это два и два, четы¬
ре— это три и один, один и три.
Таким образом, числовые фигуры являются средством для
формирования конкретных представлений о числах. Но в то же 11 Под числовой фигурой подразумевают группу предметов (кружочков,
квадратиков), служащую для образования наглядных числовых представлений.
Существуют различные системы числовых фигур. Наиболее старые из них —
фигуры Буссе. В них все числа первого десятка составлены либо из пар. либо
из троек (рис. 19). Самые новые числовые фигуры — это фигуры английского
педагога Макиндера. В них все числа составлены из троек (рис. 20). Большим
распространением пользуются так называемые квадратные числовые фигуры
Лая. В них все числа построены из пар, соединённых по две (рис. 21).
10 А. С. Пчёлко
145


орсмн они служат и средством для абстрагирования числа,
они показывают ребёнку, что число не зависит от формы распо¬
ложения предметов; форма различна, а число одно и то же.
Большое значение имеет счёт предметов, расположенных
в последовательном порядке («по одной линии»): он способствует
образованию более точного представления о числах тем, что
ведёт к установлению между ними отношений, а именно ~
что числа следуют одно за другим, что каждое последующее чи¬
сло больше предыдущего, что каждое предыдущее число
меньше последующего. На этой основе происходит в дальней¬
шем усвоение операций над числами — сложения и вычитания.
Порядок об}чения счёту в пределе 10.
На первых уроках учитель выявляет'у детей запас числовых
представлений, предлагая им считать на счётном материале
и отвлечённо, назвать, сколько предметов в данной совокупно¬
сти, прибавлять и отнимать по одной и несколько еди¬
ниц на наглядных пособиях и отвлечённо. Такая проверка
вскроет перед учителем картину состояния счётных и вычисли¬
тельных навыков у детей, покажет учителю, кто из детей класса
много знает и у кого эти навыки находятся на низком уровне. Про¬
верка даст учителю материал для составления реального плана
занятий с классом в целом и с некоторыми детьми индивидуально.
В этот план должно войти обучение детей сознатель¬
ному счёту и параллельно с этим развитие у учащихся пред¬
ставления о каждом числе первого десятка в отдельно¬
сти. Для этого первые уроки должны быть построены на отдель¬
ных числах в порядке натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4,х5
и т. д. до 10 включительно.
Изучая каждое число, нужно сделать следующее:
а)	Показать учащимся на наглядных пособиях, как образует¬
ся данное число путём присоединения к предшествующему числу,
уже изученному, одной единицы; при, этом всякий раз будет по¬
лучаться группа или совокупность предметов, к которой и будет
относиться данное число. Активно создавая эту группу, наблюдая
её, наглядно воспринимая её количественную сторону, учащийся
установит прочные и правильные ассоциации между числом
и соответствующим ему количеством.
б)	Рассмотреть естественные группы предметов, которые ха¬
рактеризуются данным числом: например, при изучении числа
«четыре» рассмотреть четыре ножки у стула, у стола, четыре
ноги у лошади, у кошки и т. п., четыре кружочка в числовой
фигуре, четыре стекла в оконной раме. Это закрепит у детей
представление о мощности, о величине числа; вместе с тем это
будет первой ступенью абстрагирования числа, выделение в раз¬
личных совокупностях его одинаковой количественной
стороны.
146


в)	Провести счёт в пределе изучаемого числа, прямой и об¬
ратный, который вначале выступает как пересчитывание предме¬
тов составленной группы, а затем как отвлечённый счёт; этими
упражнениями достигается твёрдое знание словесного числового
ряда, знание отношения чисел между собой; например:
здсло «пять» больше четырёх, но меньше шести; пять Находится
между четырьмя и шестью; пять следует за четырьмя и
предшествует шести.
г)	Разбить составленную группу предметов на меньшие груп¬
пы, чтобы показать состав данного числа из меньших чисел; на¬
пример, 6 — это два, два и ещё два; шесть —это три и три;
шесть — это четыре и два. Такие упражнения проводятся сна¬
чала на кубиках, на счётах, а затем на числовых фигурах.
д)	В заключение работы над данным числом показывается его-
знак — сначала печатная цифра, потом письменная. Ученики учатся
узнавать печатную цифру и обозначать письменную цифру.
Итак, при изучении числа основное внимание должно быть
сосредоточено на конкретном счёте, на образовании и разложе¬
нии совокупности предметов, на отвлечённом счёте, на образова¬
вши и разложении чисел. Операции со знаками чисел — циф¬
рами — ни в коем случае не должны заслонять собой «живых»
чисел.
В изучение чисел могут быть введены и элементы сложения и
вычитания, производимые на основе знания состава чисел. Одна¬
ко изучение действий на этой стадии работы не обязательно. Это
задача последующего периода. Но если учитель занимается одно¬
временно с двумя классами и ему необходимо давать самостоя¬
тельные работы учащимся, то здесь можно ввести сложение и вы¬
читание, давая учащимся письменные примеры для самостоятель¬
ного решения.
После счёта на предметных наглядных пособиях используется
материал задачника. Однако задачник на этой ступени обучения
арифметике играет второстепенную роль; главное здесь счёт и
вычисления на конкретных предметах, на всякого рода наглядных
пособиях и дидактическом материале.
Наглядные пособия при изучении чисел первого десятка.
Каждый шаг работы по изучению первого десятка должен
сопровождаться применением наглядных пособий. Из демонстра¬
ционных наглядных пособий в классе должны быть:
а)	классные счёты (с одной-двумя проволоками). Они служат
для прямого и обратного счёта, для показа образования числа
путём прибавления единицы, для разложения числа;
б)	кубики арифметического ящика — используются так же*
как и счёты;
в)	числовые таблицы — 10 таблиц, по одной для каждого чи¬
сла; конкретные предметы, изображённые на этих таблицах, слу¬
10*
147


жат для счёта; числовые фигуры — для непосредственного зри¬
тельного восприятия чисел, для сложения и вычитания, для
усвоения состава чисел;
г)	разрезные цифры.
Дидактический материал.
Каждый ребёнок должен иметь у себя для счёта счётный
материал. В качестве такого материала могут быть использованы:
а)	палочки, спички;
б)	вырезанные из бумаги или картона квадратики, прямоуголь¬
ники, треугольники, кружочки и т. д., хранимые учеником в па¬
кетиках, мешочках или ящичках.
Всё, что делает учитель на классных демонстрационных посо¬
биях (счёт, разложение числа, образование нового числа), уче¬
ники повторяют у себя на партах, на своём счётном материале.
Пример изучения числа «четыре».
Учитель, откладывая на классных счётах три шарика, говорит: «Сколько
шариков отложено на счётах?»
Ученик: Три шарика.
Учитель: Теперь к трём шарикам присчитаем ещё один шарик. Сколько
шариков получилось? Пойди посчитай1
У ч е н и к: Один, два, три, четыре. Здесь всего четыре шарика.
Учитель: Как мы получили четыре шарика?
Ученик: К трём шарикам прибавили один шарик, получилось четыре
шарика.
Учитель: Выньте свои палочки! Отложите 3 палочки. Прибавьте к нт
ещё одну. Сколько палочек получилось?
Ученик: К трём палочкам прибавили одну палочку, получилось четыре
палочки.
Учитель: Отложите три кружочка, прибавьте к ним ещё один. Скольхс
получилось?
Ученик: К трём кружочкам прибавили один кружочек, получилось че
тьгре кружочка.
Учитель: Сколько ножек у стула? Сколько ножек у стола? Сколько
стен в комнате?
Ученик: Четыре ножки, четыре стены.
Учитель: Назовите таких животных, у которых (четыре ноги.
Ученик: У лошади четыре ноги, у кошки четыре ноги.
У ч и т е л ь: Посчитайте на кубиках, на классных счётах от одного до
четырёх.
Ученик: Один кубик, два кубика, три кубика, четыре кубика. Один
шарик, два шарика, три шарика, четыре шарика.
Учитель: Считайте теперь от одного до четырёх без кубиков.
Ученики: Один, два, три, четыре.
Учитель: Считайте назад от четырёх до одного.
Ученики: Четыре, три, два, один.
Далее учитель переходит к выяснению состава числа «четыре». Для этого
он откладывает на счётах 4 шарика и спрашивает, как можно разложить четыре
шарика.
148


Ученик: Четыре шарика — это два и ещё два шарика; можно разложить
на два и два (два справа и два слева); три и один; один, один и два, один,
одкн, один и ещё один.
Учитель: Как составить четыре кубика из отдельных кубиков? Как
составить четыре кубика из двоек (пар)? Как составить четыре кубика, чтобы
вошла тройка?
Чтобы закрепить знание состава числа «четыре», учитель показывает уче¬
там числовые фигуры различной формы, предлагая всякий раз сказать, как
составлены эти фигуры, а затем нарисовать их.
Учитель: Нарисуйте в тетрадях четыре кружочка, четыре крестика,
четыре квадратика. Расположите их по-разному в одну линию, — по два, три
и один, один и три.
После этого учитель показывает ученикам печатную цифру «4», фиксируя
внимание учащихся \на начертании этой цифры (слегка наклонная короткая
палочка, палочка вправо и длинная палочка прямо). Ученики показывают эту
цифру в задачнике на разных страницах, находят её среди разрезных цифр,
выложенных учителем на столе, открывают по предложению учителя четвёртую
страницу задачника, книги для чтения; находят четвёртое число в отрывном
'календаре и т. д.
Завершением работы по изучению числа «четыре» может служить
письмо цифры «4». Однако письмо цифры на этой ступени необя¬
зательно; оно может быть отнесено к более позднему периоду.
В заключение вывешивается числовая таблица и таблица-
картинка (рис. 22), на которой дети считают и показывают печат¬
ную цифру.
Таково в основном содержание работы по изучению числа
«четыре» и других чисел в пределе первого десятка.
Рассматривая состав числа «четыре», нужно остановить внимание учащихся
1а всех комбинациях этого числа, но при изучении чисел, больших б, доста¬
точно остановиться только на некоторых комбинациях, чтобы их запомнили
учащиеся, например: семь — это пять и два; семь — это четыре и три; шесть
а один; восемь — это четыре и четыре; пять и три; два, два, два и ещё два
.четыре пары, четыре двойки); десять — это две пятёрки, пять двоек, три
тройки и один.
Рис. 22.
Письмо цифр.
Обучение письму цифр является ответственным моментом
а деле обучения детей арифметике. Чёткость, правильность
и красота в письме цифр всецело зависят от того, как будет по¬
ставлено дело на первых шагах обучения детей арифметике.
Письмо цифр в нашей школе шло параллельно с изучением
чисел, т. е. при изучении каждого данного числа писалась и его
цифра. При таком порядке цифра, знак числа, тесно увязывалась
с самим числом, между ними устанавливалась прочная ассоциа¬
ция. Но такой порядок имеет и крупные недостатки: ученики
очень рано начинают писать цифры, из которых некоторые имеют
весьма сложное начертание, например цифры «2», «5», «8».
Особенно остро ощущается этот недостаток теперь,
когда в школу пришли семилетки. Детей-семилеток явно нецеле¬
сообразно заставлять на другой же день по приходе в школу
писать цифру «два», а затем «три» и т. д. При создавшихся
условиях более правильным будет такой порядок: при изучении
чисел знакомить учащихся только с печатными цифрами, с по¬
мощью которых обозначать действия при решении примеров и
149


Задач; в это же время усиленно заниматься на уроках рус*
ского языка графическими упражнениями, письмом элементов
букв и цифр, с тем чтобы примерно недели через две, когда
кисть детской руки будет развита, приступить к письму цифр.
Отставание в письме цифр сопряжено с некоторыми неудобства¬
ми в двухкомплектных школах, где учитель весьма нуждается
в материале для введения как можно раньше самостоятельной
работы.учащихся; однако с таким неудобством надо мириться,
занимая детей в этот период счётом на предметах, зарисовками,
упражнениями на печатных цифрах.
Каждая цифра имеет свою транскрипцию, своё определённое,
твёрдо установленное начертание. Эту транскрипцию нужно со¬
блюдать строго, не допуская никаких отклонений от установленной
формы. Красота в письме цифр определяется правильной сораз¬
мерностью её элементов. Нарушение пропорций ведёт к искаже¬
нию транскрипции.
Чтобы очертания цифр получались правильными, учитель
должен объяснять детям очень обстоятельно и наглядно, как
именно пишется изучаемая цифра, из каких частей она состоит,
что пишется сначала, что пишется потом, откуда надо начать,
где кончить, как соединить один штрих с другим.
Объясняя способы написания отдельных элементов в цифре,
учитель должен изображать -их крупно, чётко и красиво мелом на
классной доске.
Объяснение письма каждой цифры может быть дано примерно
в следующей форме (при письме в тетради в клетку).
«1». Сначала снизу вверх пишется волосной штрих; он начинается от
средней линии и доводится до верхней; потом проводится грямая черта от
верхней до нижней линии с небольшим наклоном.
«2». Сначала в верхней клетке пишется «головка», начинается она
недалеко от правой стороны клетки, ведётся вниз и закругляется влево, далее
ведётся вверх до верхней линии и закругляется вниз, ведётся до нижнего
левого угла; потом пишется волнистая черта. Эта цифра состоит из двух
частей — «крючка» и волнистой линии. Очертание этой цифры является самым
трудным для детей. Поэтому целесообразно упражнять детей о письме её
отдельных элементов — «крючка» и волнистой линии.
«3». Эта цифра состоит из трёх элементов: верхний полуовал, нижний
полуовал и точка. Пишется она так: начинается недалёко от левой стороны
верхней клетки, ведётся вверх, касается верхней линии клетки и закругляется
вниз, касаясь правой линии, и немного' Не доводится до средней линии; от¬
сюда начинается второй полуовал, который заканчивается точкой. Нижний
полуовал больше верхнего; точка находится на левой стороне нижней клетки.
Оба полуовала имеют нажим справа.
«4». Эта цифра состоит из трёх элементов — палочек: первая начинается
от верхней стороны верхней клетки, ведётся вниз и немного заходит за сред-
150


йюю линию, дальше ведется чёрточка вправо и чуть-чуть не доходит до пра¬
вой стороны клетки; затем пишется длинная палочка, начинается она немного
ниже верхней стороны клетки.
«5». Эта цифра состоит из трёх элементов: небольшая палочка, полуовал
с точкой внизу и узелок вверху.
Пишется она так: сначала пишется небольшая прямая палочка в верхней
клетке; начинается она от верхней линии поближе к левой стороне клетки
в кончается, не доходя до средней линии: потом пишется полуовал, заканчи¬
вающийся точкой, которая ставится на левой стороне клетки; наконец, сверху
от прямой палочки пишется вправо узелок. Полуовал пишется с нажимом
справа.
Здесь полезно поупражнять учеников в письме отдельных элементов.
«6». Цифра «.шесть» состоит из большого левого полуовала с нажимом
н малого правого полуовала без нажима. Начинается она от средины верхней
клетки и ведётся вниз, касаясь левой стороны клетки; далее закругляется,
касаясь нижней линии, и заканчивается закруглением у средней линии.
Есть вариант этой цифры, который начинается с точки вверху: точка де¬
лает очертание цифры более законченным, а потому и более красивым. Однако
такая транскрипция необязательна; для школы может быть принята перзая
форма, как более простая.
«7». Цифра «7» состоит из трёх элементов: волнистой линии, прямой длин¬
ной палочки и узелка, пересекающего средину палочки; начинается письмо
цифры с волнистой линии,, которая доводится до правого угла клетки, затем
пишется прямая длинная палочка, которая посредине перечёркивается узелком.
Целесообразно поупражнять учеников в письме волнистой линии отдельно.
«8». Цифра «'восемь» состоит из двух овалов — верхнего и нижнего. На¬
чинается письмо этой цифры с левой стороны верхней клетки, ведётся черта
вверх, касается верхней линии и сейчас же Закругляется вниз, пересекает
среднюю линию, закругляется, касаясь левой и затем нижней стороны клеток,
и дальше, поднимаясь вверх, смыкается с началом верхнего овала. Нижний
овал получается несколько больше верхнего. Нажим у верхнего овала —
справа, у нижнего — слева.
«9». Цифра «девять» состоит из двух элементов: небольшого овала, зани¬
мающего верхнюю клетку, н большого правого полуовала, оканчивающегося
точкой.
Сначала пишется овал, потом полуовал с точкой внизу. Можно поупраж¬
нять детей в письме каждого элемента в отдельности.
«10» обозначается двумя цифрами—единицей и нулём.
Показав письмо цифры на доске, полезно заставить учеников
«написать» два-три раза цифру в воздухе, а потом уже в тетра¬
ди. В тетради пишутся две-три строчки. Учитель в это время
наблюдает за учащимися, даёт указания, как надо и как не надо
писать, исправляет ошибки, у некоторых учеников пишет цифру
в тетради. Если встретится недочёт, повторяющийся у многих
учеников, учитель прерывает письмо и на доске указывает, в чём
заключается этот недочёт и как его исправить.
Письмо цифр сопряжено для учащихся на первых порах с боль¬
шими трудностями. Ученик в это время ешё не умеет правильно
сидеть, слабо владеет карандашом. Учителю всё время надо сле¬
151


дить за правильной посадкой, за правильным держанием каран¬
даша, всё время показывать, исправлять, объяснять. Трудности
письма цифр усугубляются ещё тем, что ученики учатся писать
цифры по тетрадям в клетку, где самому ученику приходится
определять наклон. Чтобы облегчить ученикам письмо цифр
и усвоение правильного начертания каждой цифры, полезно учить
детей писать цифры не по клеткам, а в косую линейку, где наклон
цифры определяется наклоном линии и где многие элементы
пишутся по линиям данной разлиновки (рис. 23).
Когда ученики усвоят начертание каждой цифры с правиль¬
ным соотношением отдельных её элементов, можно перевести их
на письмо цифр по клеткам (со второго полугодия I класса или,
ещё лучше, со II класса).
Сложение и вычитание в пределах 10.
Когда ребёнку, только что пришедшему в школу, предлагают
сложить две группы предметов, например, 5 кубиков и 2 кубика,
то он делает при этом следующее: он присоединяет к одной груп¬
пе другую, смешивает их и затем, получив из двух групп одну,
пересчитывает предметы этой вновь полученной группы. Такой
способ сложения характерен для детей дошкольного возраста. Так,
повидимому, складывали люди первобытной культуры. Школа
должна перевести учащихся от вышеуказанного примитивного
способа сложения к более совершенному, познакомив учащихся
с приёмами сложения и вычитания:
а)	с последовательным прибавлением и отниманием по еди¬
нице, б) с прибавлением и отниманием группы единиц
и в) с приёмом перестановки слагаемых.
В результате этого учащийся должен понять, что если
к 5 кубикам «адо присчитать 2 кубика, то для этого нет надоб¬
ности смешивать в одну кучу обе группы кубиков, а нужно
к одной группе (лучше к большей, в данном случае к 5 кубикам)
присчитать последовательно по одному два кубика, называя
при прибавлении каждого кубика получаемое число:	5 кубиков
да один кубик — б кубиков, 6 кубиков да ещё один кубик —
7 кубиков. Значит, 5 кубиков да ещё 2 кубика будет 7 кубиков.
Сложение и вычитание проходится совместно, параллельно.
Опыт советской школы вполне оправдал порядок параллельного
изучения этих действий. Сложение и вычитание тесно связаны
между собой. В самом деле, когда, например, к 5 прибавляем 4,
то в этой операции участвуют не только сложение, но и вычита¬
152


ние; для прибавления 4 ученик разбивает это число на две двойки,
и прибавляет их, рассуждая так: «Чтобы прибавить 4 к 5, приба¬
вим к 5 сначала 2, получится 7; дальше остаётся приба¬
вить ещё 2 (этот остаток — вторая двойка — находится по суще¬
ству путём вычитания), 7 да 2 будет 9. Таким образом, при¬
бавляя 4 к 5, ученик одновременно пользовался и сложением,
и вычитанием.
Чтобы добиться твёрдого и осмысленного знания указанных
выше приёмов вычислений, нужно провести упражнения с к а ж-
дым числом, начиная с единицы и кончая девяткой.
Присчитывание по единице.
Оно основано на счёте, на знании словесного числового ряда.
В самом деле: один да ещё один будет два, потому что за едини¬
цей в натуральном ряде чисел следует два, 5 да ещё 1 будет б,
потому что в ряде натуральных чисел за пятью следует шесть, и т. д.
Прибавление по единице ведётся сначала на счётах. Прибавляя на счётах
шарики один за другим, учитель говорит, а дети вслед за ним повторяют.
«Один да один будет два, два да одни будет три, три да одни будет
четыре... девять да ещё один будет десять».
Вслед за этим присчитывание по единице производится на других предме.
тах, например, на кубиках. Учитель кладёт на планку доски один кубик.
Учитель: Сколько кубиков стоит на планке доски?
У ч е н и к: Один кубик.
Учитель кладёт ещё один кубик и говорит: «Теперь прибавим к одному
ещё один кубик — сколько кубиков теперь на планке?»
Ученик: На планке два кубика.
Учитель: Значит, если к одному кубику прибавить ещё один кубик, то
, сколько кубикой получится?
* Ученики отвечают полным ответом: «К одному кубику прибавить один ку.
бик, получится два кубика».
Учитель, ставя на планку ещё один кубик, говорит: «К двум кубикам
прибавим ещё один. Сколько кубиков получится?»
Ученики полным ответом: «К двум кубикам прибавить один кубик, полу¬
чатся три кубика».
Учитель (ставя на планку ещё один кубик):	К трём кубикам при¬
бавим ещё один кубик. Сколько кубиков получится?
Ученики:	К трём кубикам прибавить один кубик, получится четыре
кубика.
Такое присчитывание по единице продолжается до 10.
Учитель: Достаньте палочки. Будем на них прибавлять по одной.
После сложения на наглядных пособиях производится сложение отвле¬
чённых чисел.
«К одному прибавить один — сколько будет? К двум прибавить один —■
сколько будет? К трем прибавить один — сколько будет?» и т. д.
Далее идут упражнения вразбивку.
«К четырём кубикам прибавить один кубпк — сколько будет кубиков?
К четырём палочкам прибавить одну палочку — сколько получится палочек?
К четырём прибавить один — сколько получится? К восьми шарикам прибавить
один шарик — сколько будет шариков? К восьми спичкам прибавить одну
спичку — сколько спичек получится? К восьми прибавить один — сколько
будет?»
153


Затем следуют задачи:
«.Девочка пошла в *тес за грибами. Набрала она пять грибов и положила иЛ
13 корзинку. Потом нашла она ещё один гриб, положила и его в корзинку.
•Сколько грибов стало у нее в корзинке?»
После того как ученики повторят условие задачи, решат её про себя
и дадут ответ («Шесть грибов»), учитель спрашивает: «Как вы узнали, что
© корзинке шесть грибов?»	*
Ответ должен быть такой: «К пяти грибам прибавили один гриб, получилось
шесть грибов». Или, короче: «К пяти прибавили один, стало шесть».
Так решается несколько задач.
Запись сложения.
С записью действия сложения и его знаками учащиеся могут
быть ознакомлены ещё раньше, при изучении чисел. Но если там
это не сделано, то знакомство с записью сложения даётся в связи
с прибавлением по одному.
Обучение детей записи сложения ведётся примерно так:
«К трём шарикам прибавить один шарик. Сколько будет шариков?» (К трёи
шарикам прибавить один шарик, будет 4 шарика.)
«Смотрите, дети, как я запишу это: «К трем (пишет цифру 3) прнба.
вить (пишет знак сложения) один (пишет цифру 1) будет (пишет знак
равенства) четыре (пишет цифру 4)».
На доске получилась запись: «3 И- 1 — 4».
«Смотрите, что я буду показывать, и слушайте, что я буду говорить:
к трём (показывает цифру 3) прибавить (показывает знак сложения]
один (показывает цифру 1), будет (показывает знак равенства) четыре
(показывает цифру 4)».
После этого дети читают записанный на доске пример хором и в одиночку
Когда ученики научатся правильно читать запись сложения, учитель обращает
их внимание на то, к а к пишутся знак сложения и знак равенства. «Вместо
слова «прибавить» пишут прямой крестик (+). Вместо слова «будет»
•пишут между цифрами две чёрточки (=). Повторите: что пишут вместо
слова «прибавить», вместо слова «будет»?»
Затем учитель предлагает ученикам записать пример на сложение: к шестп
прибавить один, будет семь. Один ученик пишет на доске, остальные в тетра*
дях. Пишут по частям, с объяснениями, с остановками.
«Что сначала напишете?» (Цифру б.) «Пишите! Что дальше надо на пи*
сатъ^» (Прибавить.) «Как напишете слово «прибавить?» (Прямой крестик.)
«Пишите! Что после этого напишете?» (Цифру 1.) «Пишите* Что дальше
надо написать?» (Будет.) «Как обозначите слово «будет»?» (Двумя чёрточками.)
«Пишите! Что в конце напишете?» (Цифру 7.) «Пишите!»
После этого дети хором и в одиночку читают всё написанное ими сразу:
«К шести прибавить один, будет семь».
Далее учитель предлагает ученикам самим придумать пример и записать
его.
Заканчивается урок тем. что учитель диктует примеры на сложение,
а дети пишут их в своих тетрадях.
В дальнейшем ученики будут приучены к тому, что знак сло¬
жения означает не только слово «прибавить», но и «сложить»,
«присчитать», «да», «ещё»; знак равенства означает не только
«будет», но и «получится», «равняется». На первых же порах,
пока впервые объясняются эти знаки, им приписывается значение
только двух терминов — «прибавить» и «будет».
154


Отнимание по единице.
Упражнения в отнимании по единице проводятся так же, как
« упражнения в прибавлении по единице, т. е. на тех же пособиях
а в той же последовательности.
Учитель откладывает на счётах 5 шариков и предлагает детям сосчитать
их. Затем, медленно отодвигая один шарик, говорит' «От шести отнять один,
сколько останется?» Дети дают полный ответ:	«От шести отнять один,
-останется пять».
Далее, отодвигая ещё один шарик, учитель говорит:	«От четырёх шари¬
ков отнять один шарик, сколько останется?» Дети отвечают: «От четырёх
шариков отнять один, останется три шарика».
Такое же отсчитывзние по единице производится и на других предметах,
например на кубиках.
То, что учитель делает на счётах, дети проделывают на своём дидактиче¬
ском материале.
Дальше отнимание по единице производится на отвлечённых числах.
«Будем отнимать по одному, начиная с 10. От 10 отнять 1, будет 9. От $
■отнять 1, будет 8. От 8 отнять 1, будет 7» и т. д.
Учитель говорит, а дети вслед за ним повторяют. После этого отсчнтыаа-
ние по единице происходит вразбивку.
«От восьми отнять один, сколько останется? От шести отнять один,
сколько останется? От трёх отсчитать один, сколько будет?» и т. д.
Затем следуют задачи:
«На* тарелке лежало 10 яблок. Одно яблоко взяла девочка. Сколько яблок
осталось на тарелке?»
«У мальчика было 3 карандаша. Один карандаш он исписал. Сколько
карандашей осталось у мальчика?»
После того как задача будет повторена и решена, нужно спрашивать:
«Как вы узнали, что .осталось 9 яблок?» Или: «Как вы узнали, что у маль¬
чика осталось два карандаша?»
Ученики должны отвечать так: «От 10 яблок отняли одно яблоко, осталось
9 яблок». «От трёх карандашей отняли один карандаш, осталось два каранда¬
ша». (О решении задач см. подробно стр. 73—78.)
Запись вычитания.
Здесь своевременно (если это не сделано раньше) познакомить
учеников с тем, как записывается вычитание (в данном случае —
отсчитывание по единице). В качестве исходного момента можно
взять только что решённую задачу о яблоках.
«Запишем решение нашей задачи на доске, — говорит учитель и при
этом пишет 10 и рядом I.— Что надо сделать, чтобы узнать, сколько яблок
осталось?» (От десяти отнять один ) «Вместо слова «отнять» пишут чёрточку,
а вместо «останется»—две чёрточки».
Получается запись: 10—1=9, которую учитель читает медленно, сопро¬
вождая каждое слово показом соответствующей цифры и знака: «От десят-и
отнять один, останется девять». Вместо «останется» можно прочитать «полу¬
чится» или «будет». Однако сразу давать все эти термины не следует, их надо
вводить постепенно.
Письмо знаков сложения, вычитания и равенства, подобно
письму цифр, должно быть аккуратным. Знак сложения на¬
до писать в виде прямого (именно прямого, а не косого) крести¬
ка с чертами одинаковой толщины. Знак равенства сле-
155


дует писать двумя равноотстоящими чертами, не очень сближая
и не слишком отдаляя их одну от другой.
В тетради с косой линейкой эти записи будут выглядеть так
(рис. 24):
Рис. 24.
Расположение цифр в клетках должно быть симметричным;
каждой цифре — своя клетка.
Упражнения в прибавлении по единице и отнимании по еди¬
нице заканчиваются списыванием и решением примеров
на доске и в тетради.
Сложение и вычитание вразбивку.
Когда ученики усвоят прибавление и отнимание по единице
каждое в отдельности, нужно поупражняться в этих действиях
вразбивку, проводя эти упражнения на наглядных пособиях, на
отвлечённых числах, на решении задач, на решении письменных
примеров.
Попеременное применение сложения и вычитания имеет боль¬
шое значение для 'формирования и закрепления первоначальных
понятий этих действий. Сложение и вычитание — взаимнообрат¬
ны. Это ярко выявляется на задачах. Известно, что на первых
порах дети склонны смешивать знаки плюс и минус:	записав
пример на сложение со знаком плюс, они иногда производят вы-ч
читание и наоборот. Чтобы дать хорошую ориентировку в этих
знаках, чтобы прочнее связать операции сложения и вычитания
с их внешними обозначениями (прямой крестик и черта), следует
давать примеры .на эти действия вразбивку, переключая ученика
с одного действия на другое.
Прибавление и отнимание по два.
На этом случае сложения надо показать детям основной
вычислительный приём, характерный для всего первого
десятка, который заключается в там. что прибавление
группы единиц сводится к присчитыванию п с
единице.
Учитель откладывает на счётах 4 шарика, затем несколько поодаль 2 ша
ркка и говорит:
«Прибавим к четырём шарикам два шарика. Как это сделать? К четырем
шарикам прибавим сначала один шарик. Сколько получится?» (К четырём
прибавить один, получится пять шариков.) «Теперь сколько остаётся ещё
156


прибавить?.» (Остаётся прибавить ешё один шарик.) «К пяти шарикам приба¬
вим ещё один шарик. Сколько получится шариков?» (К пяти шарикам приба¬
вить один шарик, получится шесть шариков.)
«Сколько же всего шариков мы прибавили?» (Два шарика.) «Значит,
к четырём прибавить два. сколько получится?» (К четырём прибавить два, по¬
лучится шесть.) Ответ повторяется хором и в одиночку.
«Как мы к четырём прибавили два?» (Мы сначала прибавили один, потом
ещё один, а всего два.)
Так же подробно изучаются вычислительные приёмы прибавле¬
ния двух к двум, к четырём, к шести, к восьми (2-}-2, 4+2. 6+2,
8+2). Упражнения на классных счётах сопровождаются сложе¬
нием на кубиках, на палочках, на кружочках и прочем дидактиче¬
ском материале, который имеется на руках у учащихся.
Далее решаются задачи, в которых приходится прибав¬
лять по два, а заканчивается этот раздел отвлечённым счётом:
«К двум прибавить два, будет четыре; к четырём прибавить д.ва,
будет шесть; к шести прибавить два, будет восемь; к восьми при¬
бавить два, будет десять». Это же упражнение, счёт двойками,
производится дальше ешё короче: «Два, четыре, шесть, восемь,
десять». Затем ученики читают строчку на сложение
2	+ 2+ 2 + 2 + 2= 10 так,- «Два да два—четыре, да два—шесть,
да два — восемь, да два — десять».
Следующий этап работы: отнимание двух от всех чётных чи¬
сел, а именно: 10—2, 8—2, 6—2, 4—2, 2—2. Вычислительный
приём вычитания двух показывается на счётах так же, как
и приём прибавления двух.
Теперь остаётся ешё поупражнять детей в прибавлении и отни¬
мании по два от нечётных чисел: 1+2, 3+2, 5+2, 7+2.
3	смысле вычислительных приёмов здесь не встретится детям
.«чего нового, но случаи эти усваиваются учащимися труднее
а медленнее, поэтому на них надо остановиться особо и проде¬
лать достаточно много упражнений на наглядных пособиях, на
задачах и отвлечённых примерах. Завершаются упражнения
решением письменных примеров на сложение и вычитание по 2.
Прибавление и отнимание по три.
Новым в данном случае является то, что здесь дети впервые
встречаются с приёмом прибавления и отнимания группами
единиц. 3 — это 2+1. Поэтому, чтобы прибавить 3, достаточно
прибавить 2 и потом ещё 1. Или, наоборот, — прибавить сначала
I, а потом ещё 2. Значит, если дано к 5 прибавить 3, то
ученик может воспользоваться одним из следующих трёх при¬
ёмов:	а) прибавить 3 по одному:	5 + 1=6; 6+1=7;
7+1 = 8; б) к пяти прибавить сначала 2, потом 1: 5 + 2 = 7;
7+1 = 8; в) к пяти прибавить сначала 1, потом 2; 5+1=6;
6+2 = 8.
Какой бы приём ученик ни применял, он будет пользоваться
уже готовыми знаниями. В самом деле, ученик из предыдущих
157


^пл!ии знает, что ь да 2 будет 7; 7 да 1 будет 8. Знает он так
же и то, что 5 да 1 будет 6; 6 да 2 будет 8. Здесь усвоение но
вого опирается на имеющиеся знания.
Порядок изучения этой части таблицы сложения и вычитания
будет таков:
1)
3 + 3 = 6
6 + 3 = 9
9 — 3 = 6
6 — 3 = 3
2)
1+3 = 4
4 + 3=7
10 — 3 = 7
7 — 3 = 4
3)
2 + 3 = 5
5 + 3 = 8
8 — 3 = 5
5 — 3 = 2
7 + 3 = 10
4 — 3 = *
Изучение сложения и вычитания по 3 ведётся сначала на на¬
глядных пособиях и дидактическом материале, потом на зада¬
чах и, наконец, на отвлечённых числах. В результате этих упраж¬
нений учащиеся должны усвоить все эти случаи наизусть.
Прибавление и отнимание по четыре.
На прибавлении и отнимании четырёх происходит дальней¬
шее закрепление приёма прибавления группами: чтобы при¬
бавить 4, нужно прибавить вначале 2, а потом ещё 2.
Этим же приёмом пользуются и при вычитании четырёх: что¬
бы отнять 4, можно отнять 2 и потом ещё раз 2.
Прибавление и отнимание по пяти, шести, семи, восьми и девяти.
Во всех этих случаях детям легко показать целесообразность
использования переместительного свойства сложения.
На рассмотрении ряда конкретных примеров дети подводятся
к выводу; если дано к маленькому числу прибавить большое, то
можно поступить наоборот, т. е. прибавить к большому числу
маленькое число; так складывать скорее и легче. Это показы¬
вается на наглядных пособиях.
На классных счётах учитель откладывает одни шарик и поодаль пить
шариков.
«Прибавим к одному пять. Как будем прибавлять?» (По одному: к одному
прибавить один, будет два; к двум прибавить один, будет три и т. д.) «Значит,
если к одному прибавить пять, то сколько будет?» (К одному прибавить пять,
будет шесть.) «Запишем то. что мы делали: 1 + 5 » б».
Далее, отложив на счётах те же-один шарик и пять шариков, учитель
предлагает к пяти шарикам прибавить один шарик. Получается шесть шари¬
ков. Учитель записывает произведённое сложение: 5 + 1 = 6. «В первый раз мы
прибавляли к одному пять, получилось шесть, во второй раз прибавили
к пяти один, получилось тоже шесть. Выходит, прибавить к одному пять,
все равно, что прибавить к пяти один. А что скорее, легче прибавлять —
к одному пять или к пяти один?» (К пяти легче и скорее прибавить один,
чем к одному пять.)
Проделав на счётах и дидактическом материале ещё два примерз
(14-6 = б-р!; 14-9 = 9+1), ученики делают вывод: когда нужно к не*
большому числу прибавить большое, то легче и скорее прибавить к большому
числу небольшое.
158


После этого ученикам предлагается решить на их дидактическом материз-
аесколько примеров: 2 + 6; 2 4-8; 3 4-5, и решается несколько задач.
Отнимание по пяти, шести, семи и восьми представляет длж
цащихся некоторую трудность. В качестве основного вычисли-
Йльного приёма здесь служит приём отнимания группами: напри¬
мер, чтобы из 7 вычесть 4, учащийся отнимает от 7 сначала 2*
йотом ещё 2. Чтобы вычесть 5 из 9, учащийся может отнять сна-
|ала 3, потом 2.
Для облегчения операции вычитания в тех случаях, когда*
уменьшаемое и вычитаемое — числа, близкие между собой, деле*
сообразно научить учеников пользоваться приёмом допол¬
нения. Пусть требуется от 9 отнять 7. Отнимание по единице
или группами единиц приводит к длинным, громоздким, а потому
и трудным вычислениям. Но процесс вычисления делается сразу
лёгким, как только ученики используют дополнение вычитаемого-
до уменьшаемого. Здесь надо опереться на знание учащимися
состава числа.
«9 состоит из семерки и ешё какого числа?» (Из семёрки и д в о й к п.>
^Значит, если от 9 отнять семёрку, то какое число должно остаться?»
Щвойка.)
«От 9 отнять 7,~_сколько получится?»
Пусть требуется от 7 отнять 5.
«Сколько надо прибавить к 5, чтобы получить 77» (Чтобы получить 7,
надо к 5 прибавить 2.)
«Значит, сколько останется, если от 7 отнять 5? Отнимите на своих
яалочках 5 от 7. Сколько получится?»
Так же решаются примеры: 10—8; 8—7; 9—6; 5—4; 7—6;
6—4 и др., словом, те примеры, в которых остаток меньше вычи¬
таемого. При достаточно большом количестве упражнений уча¬
щиеся научаются пользоваться в тех случаях, когда вычитаемое
по своей величине близко к уменьшаемому, приёмом дополнения.
Усвоение таблицы сложения и вычитания наизусть. Виды упражнений.
Умение складывать и вычитать в пределе 10 играет огромную
роль при сложении и вычитании двузначных и многозначных чи¬
сел.
Поэтому, изучая сложение и вычитание в пределе первого
десятка, ученики должны не только овладеть вычислительными
приёмами, но и усвоить таблицу сложения и вычитания наизусть*
чтобы находить результаты сложения и вычитания, не вычисляя.
Это может быть достигнуто благодаря достаточно большому коли¬
честву упражнений, тренировке, большой вычислительной практи¬
ке. Ученикам должна быть дана установка на запоминание
таблицы. Речь, конечно, идёт не о механическом заучивании, а о
сознательном усвоении того, что наглядно воспринято и понято.
Упражнения должны быть разнообразны по форме. Они могут
быть следующих видов.
Устное решение примеров. Примеры могут даваться
159-


для устного счёта в начале урока. Пройдя, например, сложение
и вычитание по 3, учитель может предложить ученикам следую¬
щие вопросы:
«Сколько будет 2 да 3? 3 да 3? 5 да 3? 4 да 3? 1 да 3? 6 Да 3?
Сколько будет 8 без 3? 5 без 3? 6 без 3?» и т. д.
В случае ошибочных ответов учитель спрашивает, как уче¬
ник складывал или вычитал, и, если нужно, требует показа дей¬
ствия на классных счётах.
Письменное решение примеров. Примеры могут
даваться в одно, два и три действия, например:
1)	54- 4	2)	3 + 7 — 4	3)24-5 4- 3 — 5
8 — 6	8 — 6 + 7	10 — 5 — 3 + 5
Промежуточные вычисления производятся в сложных приме¬
рах устно, и записывается только окончательный результат. Не¬
которые примеры даются для усвоения вычислительных приёмов.
Например: 1) 6 + 2 + 2=*; 6 + 4 = ; 2) 8 — 2 — 1 = ; 8 — 3 = ;
Большинство же примеров даётся для тренировки в вычисле-
■ниях.
Решение задач. На этой ступени решаются задачи в одно
действие. Решение некоторых задач записывается. Подавляющее
же большинство решается устно. Решать задач нужно возможно
'больше (не менее трёх на уроке). (О методике решения задач
см. стр. 73—80.)
Беглый устный счёт. Так называется цепь арифметиче¬
ских действий, в которой результат предыдущего действия стано¬
вится данным для следующего действия.
Вычисления при этом предлагаются в следующей форме: «К 5 прибазить
4 (пауза); к полученному прибавить 1 (короткая пауза); от полученного отнять
■6 (пауза); от того, что получится, отнять 2. Сколько получилось?»
Этот же пример можно дать и короче: «К 5 прибавить 4 (пауза), приба¬
вить 1 (пауза), отнять 6 (пауза), отнять 2. Сколько получилось?» Примеры
даются в несколько звеньев. На первых порах можно ограничиться 3—4 звенья¬
ми, (Подробнее о беглом счёте см. стр. 127.)
Игровые упражнения. Когда дети впервые присту¬
пают к изучению арифметики, очень важно построить упражне¬
ния так, чтобы они были интересными для детей. Тогда дети бу¬
дут заниматься арифметикой с увлечением, проделают незаметно
для себя множество упражнений и приобретут твёрдые навыки.
Из игр на этой ступени обучения полезно проводить: а) игру
в лото: игра эта может проводиться всем классом (описание
игры см. на стр. 132—136); б) игра в занимательные квад¬
раты: в) игра «круговые примеры»; г) игра в молчанку.
Все эти игры хороши в том отношения, что на них учащиеся
проделывают массу упражнений, а это и нужно для хорошего'
■овладения первым десятком.
160


В конце работы над первым десятком проделывается несколь¬
ко упражнений, при помощи которых закрепляется знание со¬
става чисел первого десятка. К таким упражнениям относятся
следующие:
Решение примеров, сгруппированных по числам и рас¬
крывающих состав каждого числа из слагаемых. Например, на
число «6» даются следующие примеры:
5+1 — 6
6—1=5
1+5 — 6
6 — 5=1
4 + 2 = 6
6 — 2 = 4
2 + 4 = 6
6 — 4=2
3 + 3 = 6
6 — 3 = 3
На число 8:
7+ 1 ==8
6 + 2 = 8
5+3 = 8
4+4 = 8
8 — 1=7
8—2 = 6
8 — 3 = 5
8 — 4 = 4
1+7 = 8
2 6 = 8
3+5 = 8
8 — 7=1
8 — 6 = 2
8 — 5 = 3
и т. д.
• • • •,
« • ф
•
• • ф/о
• •
• • ]
• •
• Ф •
•
• •/• О
• •
« • |
7 -7=8
6+2*1
?
6+3 =<?
4 -
' в
Рис. 25.
Эти примеры можно иллюстрировать числовыми фигурами.
Например, состав числа «8», в соответствии с вышеуказанными
примерами, иллюстрируется так (рис. 25):
Решение примеров с вопросительным зна¬
ком. Например: б-Ь?=8; ?-|-4=7. Эти примеры читаются так:
^Сколько надо прибавить к шести, чтобы получилось 8?» Или,
Проще: «Шесть да сколько будет восемь?» Второй пример чи¬
тается так: «К какому числу надо прибавить 4, чтобы получи¬
лось 7?»
Решаются они не* на основании зависимости между компонен¬
тами (эту зависимость дети ешё не знают) и не при помощи вы¬
читания, а на основании знания состава чисел.
Решая первый пример, ученик рассуждает так: «Восемь—это
шесть да.. . два. Поэтому к шести надо прибавить два, чтобы
получилось восемь». Записав пример, он внизу под этим приме¬
ром пишет его решение:
6+ ? — 8
6 + 2 = 8
Решение таких примеров является хорошим упражнением для
изучения состава чисел первого десятка.
Для этой же цели нужно использовать упражнения
с монетами. Каждый учащийся должен иметь у себя на¬
бор моделей монет, сделанных из плотной бумаги или картона.
11 А. С. Пчёлко
161


аомспм1ь гривенник „на боль,
мелкие монеты». Интересно и поучительно сопоставить по вьЁ
полнении этого задания полученные результаты у разных учени¬
ков. Оказывается, что это задание может быть выполнено очень
многими способами, например:
1	коп.	1	коп.	I	коп.	1	коп.	1 коп. 1 коп. 1	коп. 1 коп. I коп. 1 коп. (гривенник)
2	коп.	2	коп.	2	коп.	2	коп.	2 коп. (гривенник)
3	кол.	3	коп.	3	коп.	1	коп.	(гривенник)
3 коп.	3	коп	2	коп.	2	коп.	(гривенник)
5 коп. 3 коп 2 коп. (гривенник)
5 коп. 5 кол. (грнвеннлк) и т я.
Можно дать задание набрать из монет 8 коп. и записать это
в виде сложения. Получится
1)	54-3 = 8	1 + 14 14-5 = 8
2)	3 -г 3 -г 2 = 8	1 + 1 +- 2 -г 2 + 2 = 8;
3)	5 4 2+1=8
4)	2+2 + 2 +-2=8	и г. д.
Планирование и учёт.
Примерное распределение материала по урокам при
изучении первого десятка.
Можно выделить в особую ступень изучение чисел, сложение и вычита¬
ние в пределе первого пятка, а затем пройти числа, сложение и вы-
чи/ание в пределе 10. Изучение первого десятка при такой системе будет
складывания из. а) изучения чисел от I до 5; б) сложения и вычитания
в этом пределе; в) изучения чисел от 6 до 10; г) сложения и вычитания
в пределе 10.
Сложение и вычитание в пределе 5 изучается в следующем порядке:
а) прибавление по 1; б) вычитание по 1; в) прибавление 2, 3, 4; г) вычитание 2,
3, 4.
Материал по отдельным урокам можно распределить следующим образом:
1-	й урок. Выявление у детей числовых представлений.
2-	й урок Знакомство с понятиями «один», «много» и с печатной циф¬
рой 1. Лзгоювтемпе дидактического материала.
3-	й урок Знакомство с числами 2, 3 и печатными цифрами 2, 3.
4-	й урок Знакомство с числом 4 и печатной цифрой 4.
5-	й урок. Знакомство с числом 5 и печатной цифрой 5.
6-	й урок. Прнбсн Юнис по единице в пределе 5. Ознакомление с обозна¬
чением СЛОЧчСИИЯ Письмо цифры 1
7 и 8-н уроки. Решение задач и примеров на прибавление единицы в пре¬
деле 5. ГЬммо цифры 2
9 и 10 й уроки. Вычитание по единице в пределе 5. Ознакомление с
обозначением вычитания. Письмо цифры 3.
11 й урок. Решение задсч и примеров на вычитание по единице в пре¬
деле 5. Письмо цифры 4.
12-	й \ р о к. Решение задач и примеров на сложение и вычитание по еди¬
нице. Письмо цифры 5.
13-	й урок. Упражнения в письменном сложении.
14-	й урок. Упражнения в письменном вычитании.
15 и 18 й уроки Прибавление 2, 3, 4 в пределе 5.
17 и 18-й уроки. Вычитание 2. 3, 4 в пределе 5.
19-	й урок Знакомство с чисчом 6. Письмо цифры 6.
20-	й урок. Число 7. Цифра 7.
102


21 и 22-й уроки. Число 8. Цифра 8.
23-й урок. Число 9. Цифра 9.
24 и 25-й уроки. Число 10. Запись числа 10.
26-	й урок. Поибавление по единице в пределе 10.
27-	й урок. Вычитание по единице в пределе 10. Решение задач и при¬
меров.
28 и 29-й уроки. Прибавление по 2 единицы. Решение задач и примеров.
30	и	31-й	уроки.	Вычитание по 2	единицы.	Решение задач и примеров.
32	и	33-й	уроки.	Прибавление	по	3 единицы. Решение задач и примеров.
34 и 35-й урок и. Вычитание по 3 единицы. Решение задач и примеров.
36 и 37-й уроки. Прибавление по 4 единицы в пределе 10. Решение
задач и примеров.
38 и 39-й уроки. Вычитание по 4 единицы. Решение задач и примеров.
40-й урок. Письменная проверочная рабогэ.
41 и 44 й уроки. Прибавление и отнимание 5. Решение задачи примеров.
45 и 48-й } роки. Прибавление и отнимание 6 Решение задач и примеров.
49	и	50-й	уроки.	Прибавление	и	отнимание	7. Решение задач и примеров.
51	и	52-й	уроки.	Прибавление	и	отнимание	8 и 9. Решение задач и
примеров.
53-й урок Знакомство с метром.
54 и 58-й уроки Решение примеров и задач на все случаи сложения
и вычитания в пределе 10.
59 и 60-й уроки. Письменная проверочная работа и восполнение про¬
белов, обнаруженных при проверке знаний
Примерное содержание контрольной работы:
Значение этого концентра заключается в том, что учащийся*
обучаясь счёту в пределе 20, получает первое представление о де¬
сятичной группировке единиц (десять единиц составляют деся¬
ток), а обучаясь записи чисел второго десятка, он впервые стал¬
кивается с поместным значением цифр (на первом месте справа
пишутся единицы, па втором — десяток).
Продолжая изучать сложение и вычитание, уча¬
щийся заканчивает в этом концентре изучение таблицы сло¬
жения и таблицы вычитания, работа над которыми
начата в первом десятке. Обе эти таблицы усваиваются учащи¬
мися наизусть Складывая и вычитая числа в пределе 20, ученик
получает первое знакомство с вычислительными приё¬
мами, основанными на десятичной группировке единиц.
В этом концентре ученик получает первоначальное знакомства
с умножением и деле н н е м в их наиболее конкретной
форме. Все эти знания и навыки являются необходимой основой
для усвоения последующих концентров курса арифметики.
П 3+2-
2) 6—2-
3)	6+ 3 =
4)	8 — 4 —
Б) 10 — 5 =
6)	7 — 3 =
7)	4 + 3-
8)	9 — 4 —
9)	5 + 5 =
10)	5+-4 =
11)	1 + 9 =
12)	3 — 2 =
13)	2 + 8 =
14)	9 — 7 =
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ.
ВТОРОЙ ДЕСЯТОК.
163


Второй десяток изучается в следующем порядке: счёт и за¬
пись чисел до 20; сложение и вычитание до 20; умножение и де¬
ление до 20; состав чисел второго десятка.
Нумерация в пределе 20.
Устная нумерация.
Понятие о десятке. Учитель предлагает ученикам вынуть палочки,
отсчитать десять палочек и связать их в пучок.
«Сколько палочек в вашем пучке?» (Десять палочек.) «Десять иначе назы¬
вают десятком Вместо слов «десять палочек» можно сказать иначе,
десяток палочек».
«Повторите, как иначе называют «десять». Вместо слое «десять палочек*
как можно иначе сказать?»
Далее учитель вызывает одного ученика к классным счётам и предла¬
гает ему отсчитать десять шариков.
«На проволоке десять шариков. Как можно иначе сказать, сколько на про¬
волоке отложено шариков?» (Десяток шариков.)
Отсчитав десять кубиков и вынув из арифметического ящика брусок,
разделённый на десять частей (кубиков), учитель говорит: «В бруске десять
кубиков (пересчитывает). Значит, брусок сколько кубиков заменяет?» (Десять
кубиков.)
«Да, брусок заменяет десяток кубиков. Вместо десятка кубиков будем
брать брусок. Когда предметы считают по одному, то каждый предмет назы.
вают единицей. Но некоторые предметы считают не по одному, не еди-
щщами, а по десяти, или десятками. Вспомните, что считают десятками?»
^Яблоки, яйца, огурцы, деньги и др.).
Образование ч и с ел от II до 20. «Будем считать кубики дальше:
посмотрим, какие числа будут получаться. Для удобства возьмём брусок,
заменяющий десяток кубиков, и к нему будем присчитывать по одному кубику,
со единице
Положим один кубик на брусок, на десять. Получится: один-на'десять,
или один-на-дцать. (Вместо «десять» говорят «дцать».) Присчитаем ещё один
кубик. Получится два кубика и десять: «два-на-десять» или два-на-диать,
«ли двенадцать. Присчитаем ещё один кубик. Получится три кубика и
десять: три-на-десять, или три-на-дцать, тринадцать... Присчитаем ещё
один (девятый) кубик. Получится девять кубиков и десять: девять-на-десятъ,
или девять-на-дцать, девятнадцать. Присчитаем ещё один (десятый)
кубик. Получится десять и десять кубиков, или «два-десять» двадцать.»
В этом словообразовании и окончательном назывании чисел
дети могутпринимать самое деятельное участие, так как большин¬
ству их счёт до 20 известен. Учитель только подчёркивает состав¬
ные части числительных, указывающие на состав числа. Заканчи¬
вается этот этап нумерации образованием чисел из десятка и лю¬
бых групп единиц вразбивку на дидактическом материале — палоч¬
ках и пучках палочек.
«Составьте из десятка (пучка) и единиц (палочек) чисто 15; число 17;
число 14; число 12 и т. д. Как вы составляли эти числа0 Как называется
число, состоящее из десятка и пяти единиц? из десятка и восьми единиц?
ш десятка и одной единицы0 из десятка и шести единиц0» и т. д.
Счёт до 20. «Будем считать по порядку на классных счетах от 10 да
'20». Учитель откладывает шарики, а учащиеся хором считают: «Десять, один¬
надцать, двенадцать, тринадцать... восемнадцать, девятнадцать, двадцать».
264


Тах же ведётся обратный счёт:	«Двадцать, девятнадцать, восемнадцать.. *
двенадцать, одиннадцать, десять».
Разложение данного числа на десяток и единицы.
«Восемнадцать! Сколько в этом числе десятков и сколько едн пш? Чстыр
надцать! Сколько в этом числе десятков и сколько единиц? Сколько десятков
и сколько единиц в числе 17? в числе 19.^ в числе 11? в числе 13?» у, у.
Письменная нумерация.
С записью чисел второго десятка можно познакомить учащих¬
ся простым показом, не осложняя этот сравнительно простои мо¬
мент в работе введением каких-либо наглядных пособий.
«Вот как пишутся числа от 11 до 20», — говор-гт учитель и пишет нг
доске числа в их естественной последовательности, называл каждое из них
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 13, 19, 20.
Записав эти числа, учитель подвергает два-три числа анализу (например
числа 12, 15, 18), выясняя при этом следующее*
«Из чего состоит число 12?» (Из одного десятка и двух единиц.) «Сколь¬
кими цифрами записано это число?» (Двумя цифрами.) «Что означает каждая
цифра?» (2 означает две единицы, 1 — один десяток ) «Два стент на первом
месте справа, 1—на втором месте. Единицы поставлены справа, десяток —
слева».
«Число 15. Из чего состоит это число?» (Из одного десятка и пяти еди¬
ниц.) «Где поставлены единицы, где—десяток?»
Так разбирается и третье число. После этого анализируются числа: 10,
20, 11.
«Из чего состоит число 10? число 20?» (10—из одного десятка, 20 — из
двух десятков.) «Есть ли единицы в этих числах?» (Нет.) «Что на месте еди¬
ниц написано в этих числах?» (Нуль.)
«Если единиц нет, то на их месте пишут нуль. Нуль показывает, что
единиц нет».
«Число И. Из чего состоит это число? Где здесь единицы, где десятки?»
После этого делается обобщение: «При записи чисел единицы пишут на
первом месте справа, десятки — на втором месте. Если единиц нет, то на их
месте ставят нуль».
Заканчивается эта работа выполнением упражнения по задач¬
нику, где предлагается записать цифрами числа, написанные сло¬
вами: «двенадцать», «шестнадцать», «одиннадцать» и т. д.
Простого показа и несложных объяснений, приведённых выше,
достаточно, чтобы ученики поняли суть письменной нумерации
чисел второго десятка. Но если встретятся затруднения, то объ¬
яснению нумерации можно придать более конкретный характер,
а упражнения провести с наглядными пособиями.
Объяснение можно провести на числовых фигурах следующим образом.
Учитель приносит в класс одиннадцать числовых фигур, заполненных чёрными
и белыми кружочкам??, с надписанными числами (рис. 26). Фигуры рассматри¬
ваются; устанавливается, что в левой клетке во всех фигурах один десяток
кружочков, а в правой клетке разное число белых кружочков — один, два,
три, четыре и т. д. Рассматриваются записи, сделанные внизу фигур* в первой
фигуре десяток чёрных кружочков, белых — нет; записан «десяток» так: цифра
один слева, нуль — справа; нуль показывает, что единиц нет. Во второй фигу¬
ре всего одиннадцать кружочков; десяток чёрных, один белый. Ззписаво
165


^.одиннадцать» так: цифра один слева означает один десяток, и цифра одн*
справа означает одну единицу. В третьей фигуре всего двенадцать кружочков;
записано число «двенадцать» так: цифра один слева означает один десяток,
цифра два справа означает две единицы.
Аналогичным образом рассматриваются и все другие числовые фигуры.
После этого пишутся подряд все числа второго десятка и выводится правило
записи этих чисел-
Рис. 26.
Под^ио провести и такое упражнение Ученики получают небольшиг
квадрапше карточки, разделенные пополам В квадрате записано число №.
Ьдинина отелена от тля вертикальной чертой. Ученикам даются разрезные
цирры Из месте ну а я они по заданию учителя кладут одну за другой разные
цифры и получают ратные чмелз. Полученные числа они читают, потом запи¬
сывают, затем составляют эти числа из пучка-десятка и отдельных палочек.
Сложение и вычитание в пределах второго десятка.
В сложении и вычитании чисел в пределе 20 нужно различать
два основных случая.
Первый случай: сложение однозначных чисел, например
8+7, 6+9 и др. и соответствующее ему вычитание, например:
15—7. 18—9 и др. Такое сложение и вычитание носят название
сложения и вычитания с переходом через деся¬
ток.
Второй случай: сложение двузначного числа с однознач¬
ным, например: 14 + 5, 12 + 8 и соответствующие им случаи вычи¬
тания, например: 18—6, 17—13 и др. Это сложение и вычитание
иначе называются сложением и вычитанием без и е-
р е х о д а через десято к.
Изучая второй десяток, нужно изучить сначала сложение и вы¬
читание без перехода через десяток, а потом сложение и вычита¬
ние с переходом из одного десятка в другой. При обучении детей
сложению и вычитанию без перехода через десяток все случаи
этого сложения и вычитания группируются по сходству вы¬
числительных приёмов и изучается не каждый при¬
мер, а каждый приём в отдельности.
Что же касается сложения однозначных чисел с переходрм
через десяток, то здесь учащимся показывается вычислительный
приём и требуется от них знание каждого примера наизусть.
Учащиеся в конце концов должны уметь, не задумываясь и без
промедления, отвечать на вопросы*, сколько будет 9 да 3? 8 да 6?
166


7	да 8? 4 да 9? 6 да 7? и т. д. Эти и подобные им примеры вхо¬
дят в содержание таблицы сложения, которую учащиеся должны
знать на память.
Таблица сложения.
9 + 2
11
8 +
3
=
11
7
+ 4
—
11
6
+
5
=
11
5
+
6
—
11
3 +
8 =
11
9 + 3
=
12
8 +
4
=
12
7
+ 5
=
12
6
+
6
12
5
+
7
—
12
3 +
9 =
12
9+4
=
13
8 +
5
13
7
4- 6
=
13
6
4-
7
=
13
5
+
8
-—
13
2 +
9 =
11
9 + 5
а=
14
8 +
6
=
14
7
+ 7
=
14
6
4-
8
14
5
+
9
—
14
94-6
=
15
8 +
7
15
7
+ 8
—
15
6
+
9
=
15
4
4-
7
—
11
9 + 7
=
16
8 +
8
=
16
7
+ 9
=
16
4
+
8
12
9 + 8
=
17
8 +
9
=
17
4
+
9
=
13
9 + 9
18
Га
блин
а
в
ы
ч и
т
а и
1 И
Я.
11
—
2
= 9
12

3
—
9
13
—
4
=г
9
14
.
5
—
9
16
7:
= 9
11
—
3
= 8
12
—
4
=
3
13
—
5
=
8
14
—
6
—-
8
16

Ь :
= 8
11
—
4
= 7
12
—
5
7
13
—
6
=
7
14
—
7
7
16

9 :
= 7
11
—
5
= 6
12
—
6
=
6
13
—
7
6
14
—
8
=
6
17

8
= 9
11
—
6
= 5
12
—
7
=
5
13
—
8
5
14
—
9
5
17

9
= 8
11
—
7
=* 4
12
—
8
4
13
—
9
4
15
—
6
953
9
18
—
9
= 9
И
—
8
= 3
12
—
9
=
3
15
—
7
=
8
11
—
9
= 2
15
8
—
7
15
9
6
Сложение и вычитание без перехода через десяток.
Объяснение вычислительных приёмов, при помощи которых ре¬
шаются примеры этой группы, даётся в следующем порядке:
1)	К полному десятку прибавляется несколько
единиц или к единицам прибавляется десяток,
например: 10 + 4,6+10. Сложение в этом случае производится
на основании знания нумерации. Каких-либо особых пояснений
этот пример не требует. Наглядным пособием, конкретизирующим
этот случай сложения, может служить брусок из арифметического
ящика (десяток) и кубики (единицы) или пучок, составленный из
десяти палочек, и отдельные палочки.
Второй пример решается на основании переместительного свой¬
ства сложения: к 6 прибавить 10 — всё равно, что к 10 при¬
бавить 6.
Этому случаю сложения соответствует тот случай вычита¬
ния, когда от двузначного числа отнимаются все
его единицы или отнимается десяток, например:	18 — 8,
15—10. Вычитание в данном случае основано на знании десятич¬
ного состава чисел.
Вычитая 8 из 18, ученик рассуждает так: 18 состоит из десятка и восьми
единиц, поэтому, если от 18 отнять 8, останется 10.
2)	К двузначному числу прибавляется одно¬
значное число и наоборот, например: 16 + 2, 4+15.
167


Для пояснения приёма сложения в данном случае число 16 со¬
ставляется из бруска и шести кубиков. Чтобы прибавить к этому
числу 2 кубика, ясно, что 2 нужно прибавить к 6 и полученное
число 8 нужно прибавить к 10. Проделав аналогичные упражнения
на классных счётах и палочках, ученики поймут приём сложения,
который заключается в следующем: если нужно к 16 прибавить 2,
то 16 разлагается на десяток и 6 единиц; затем 2 единицы при¬
бавляются к 6 единицам, получается 8; 8 прибавляется к десятку,
получается 18.
Сложение 4 и 15 выполняется на основании перестановки сла¬
гаемых.
Этому случаю сложения соответствует тог случай вычита¬
ния, когда от двузначного числа нужно отнять
несколько единиц, например:	17 — 5. Приём вычитания
в данном случае поясняется на бруске и кубиках. Составляется
число 17 из бруска-десятка и 7 кубиков. Чтобы от этого числа
отнять 5 кубиков, ясно, что 5 нужно отнять от 7: останется деся¬
ток и 2, т. е. 12. Проделав такого рода упражнения на палочках
и классных счётах, дети поймут, что когда от двузначного числа
отнимается несколько единиц, то эти единицы отнимаются от еди¬
ниц двузначного числа, и остаток прибавляется к десятку.
3)	Прибавление к двузначному числу однознач¬
ного и наоборот, когда в результате получает¬
ся 20. Чтобы сложить 16 и 4, сначала надо сложить 6 и 4, полу¬
чается десять, или десяток. Десяток да десяток, • будет два
десятка, или 20. Пояснить это сложение можно на бруске и куби¬
ках или на палочках, которые связываются в пучок, когда при
сложении образуется полный десяток (десяток кубиков заменяется
бруском, получается в итоге два бруска-десятка). Сложение 8 и 12
производится с помошыо пе*рестановки слагаемых.
Соответствующие случаи вычитания 20 — 4, 20 — 12 поясняют¬
ся на палочках или на брусках арифметического ящика. Чтобы
отнять от двух пучков-десятков четыре палочки, надо один пучок
развязать и от 10 палочек отнять 4 палочки. Останется 6 па¬
лочек и один нетронутый десяток, а всего 16. При отнимании 12 из
20 приходится один десяток сбрасывать целиком, а другой раз¬
вязывать и из Ю палочек брать 2 палочки. Дети учатся пользо¬
ваться десятичным составом числа.
4)	Последним упражнением будет вычитание двузнач¬
ного числа из двузначного, например: 18—12. Это наи¬
более трудный для детей случай вычитания. Его нужно объяснить
особенно тщательно на классных счётах, на палочках, на брусках
и кубиках. На счётах откладывается 10 шариков на одной прово¬
локе и 8 на другой. Сначала сбрасывается 10 шариков на первой
прозолоке, а затем от 8 отнимается 2. Проделывается ещё пример:
16—13 на брусках и на кубиках. Берётся один брусок и 6 куби¬
ков. 13 отнимается так: вычитается сначала брусок-десяток, а по¬
том 3 из 6. Дети проделывают это упражнение на своём дидактя-
163


ческом материале. Здесь уместно также применять приём до¬
полнения, который особенно полезен в тех случаях, когда
уменьшаемое и вычитаемое — числа близкие по величине, напри¬
мер: 19 — 17, 14 — 13 и т. д. В таких случаях надо ставить вопрос:
«Сколько надо прибавить к 17, чтобы получить 19; сколько надо
прибавить к 13, чтобы получить 14?» Разница интуитивно будет
восприниматься как остаток.
Так постепенно учащиеся усвоят вычислительные приёмы, кото¬
рые подводят к общим приёмам выполнения сложения и вычита¬
ния — к поразрядному выполнению этих действий.
Сложение и вычитание с переходом через десяток.
Приём сложения двух однозначных чисел, сумма которых
больше 10, состоит в том, что первое слагаемое дополняется до 10,
и к полученному десятку прибавляются оставшиеся единицы вто¬
рого слагаемого. От ученика в данном случае требуется понимание
приёма вычисления и умение разложить второе слагаемое на два
таких числа, из которых одно служило бы дополнением первого
слагаемого до 10. Так, складывая 8 и 7, ученик должен: а) знать,
сколько единиц нехватает у 8 до 10, и б) уметь быстро разложить
число 7 на два таких числа, из которых одно было бы 2, а дру¬
гое 5.
Чтобы научить учащихся понимать вычислительный
приём, надо показать его на каком-нибудь наглядном пособии.
Такими пособиями могут служить классные счёты, числовые
фигуры или «счётные таблички», а также и иные самодельные по¬
собия, например две спичечные коробки с двумя рядами отвер¬
стий — по 5 отверстий в каждом ряду.
В качестве первого, исходного примера можно взять вышена¬
званный пример 8 + 7 и показать сложение на классных счётах
с двумя проволоками.
«Отложим на счётах 8 шариков и прибавим к ним 7. Сколько можно при¬
бавить к 8 на этой же проволоке?» (2 шарика.) «Сколько шариков остаётск-
ещё прибавить?» (5 шариков.) «Отложим 5 шариков на второй проволоке.
Сколько всего шариков получилось?» (Десять да пять — пятнадцать.) «Повто¬
рите, как мы прибавили 7 к 8». (Сначала прибавили 2 шарика, чтобы получи-
лось (0. Потом узнали, сколько ещё осталось прибавить: от 7 отняли 2, поле
чилось 5. Наконец,, 5 прибавили к 10, получилось 15.) «Сколько же будет 8 да
7?» (15.)
Далее все учащиеся на своём дидактическом материале проде¬
лывают это упражнение. Учитель раздаёт учащимся счётные
таблички — квадратный кусок картона, разделённый вертикальной
линией пополам. На каждой стороне этого квадрата намечено по
10 мест (рис. 27). Каждый учащийся должен иметь по 20 двуцвет¬
ных кружочков.
Даётся задание: к 7 прибавить 5.
Ученики откладывают сначала 7 чёрных кружочков, занимая ими 7 мест
(рис. 28).
169


сколько всего кружочков может поместиться в левой части таблицы?»
(10 кружочков.)
«Сколько же кружочков надо прибавить к 7, чтобы получилось 10?»
Учащиеся отвечают на этот вопрос и кладут по 3 красных* кружочка.
«Сколько всего кружочков надо прибавить?» (5.)
«Сколько кружочков мы уже прибавили?» (3.)
«Сколько кружочков остаётся ещё прибавить?» (2.)
«Как это узнать?» (От 5 отнять 3, остаётся 2.)
Учащиеся закрывают на правой стороне таблицы два места красными кру¬
жочками.
«Сколько же всего кружочков получилось?» (12.)
«Как вы это нашли?» (К Ю прибавили 2, получилось 12.)
1°
О
О
о
;о
О
о
•
•1
|0
О
}•
•
|
1
»•
•
|
1 о
о
О
О
; *
*
1°
Г'
I4
-
1
Рис. 27,
4 4
)• •
« ♦
!« «
ъ
4 *
!• ^
• дч
1* а
Л
Iе ч
7 +
Рис. 28.
Для того чтобы вычислительный процесс предстал перед уча¬
щимися ясно, чётко, можно записать на классной доске все этапы
вычислений. Получится такая запись:
1) 7 + 3=10	7 + 3 + 2=12
2) 5 — 3=2	7 + 5=12
3)	10 + 2 = 12
Решив на наглядных пособиях 3 примера, можно сделать обоб-
щение: «Как же мы складывали: 8 да 7? 7 да 5? 6 да 8?» (Сначала
прибавляли к первому числу столько, чтобы получилось 10,
а потом к 10 прибавляли остальное.)
Для успеха в работе надо, чтобы ученики быстро умели допол¬
нять любое однозначное число до 10. Это достигается специаль¬
ными упражнениями, которые играют роль подготовительных
упражнений к сложению с переходом через десяток.
«Сколько надо прибавить к 6, чтобы получилось 10? К какому
числу надо прибавить 2, чтобы получилось 10?» и т. д.
Упражнения в изучении сложения с переходом через десяток
можно вести в том порядке, в каком расположена таблица сложе¬
ния (см. стр. 167).
Вычитание. Вычислительный приём вычитания поясняется
на тех же наглядных пособиях, что и сложение. Первым для
объяснения можно взять пример 15 — 7. На классных счётах от¬
кладывается — на верхней проволоке 10 шариков, нз нижней 5.
От 15 надо отнять 7. Сбрасывается сначала 5 шариков, которые
находятся на нижней проволоке. Остаётся отнять ешё 2 шарика
с верхней проволоки.
План изучения этого раздела определяется таблицей сложения
170


и вычитания; в этой таблице сначала рассматриваются случаи при¬
бавления 2, 3, 4 и т. я. к 9, потом случаи прибавления 2, 3, 4 ит. д.
к 8, затем прибавления 2 к 7 и т. д.
Те примеры, в которых второе слагаемое больше первого,
выполняются путём перестановки слагаемых. Так, если дано
к 3 прибавить 8, то вместо прибавления 8 к 3 можно прибавить
3 к 8. Равенство 3 + 8 = 84-3 поясняется на классных счётах. <
Упражнения в запоминании таблицы сложения
и вычитания наизусть. Для усвоения таблицы нужно, изу¬
чая нозые части таблицы, всё время повторять пройденное. По
мере изучения таблицы отдельные её части вывешиваются на стену
в классе; эта таблицы читаются учащимися хором и в одиночку.
Для лучшего запоминания таблицы группы примеров подби¬
раются для решения так, чтобы была видна связь между сложе¬
нием и вычитанием, например:
7 + 6 = 13
6 + 7= 13
13 — 6 = 7
13 — 7 = б
9 + 7 = 16
7 + 9=16
16 — 9= 7
КЗ — у = 9
Отдельно выделяются примеры на сложение равных сла¬
гаемых. Они легче запоминаются и могут служить в качестве
опорных для других примеров со смежными числами:
6 + 6=12; 7 + 7=14: 8 + 8=16; 9 + 9=18.
Если ученик знает, что 6 да 6 будет 12, то для него нетрудно
■сказать, сколько будет 6 да 7; очевидно, что сумма этих чисел
будет на единицу больше, чем 12, т. е. 13. Если учащийся помнит,
что 8 да 8 будет 16, то для него нетрудно запомнить сумму 8 и 9;
очевидно, она будет больше на единицу суммы 8 и 8, т. е. 16.
Для запоминания таблицы сложения и вычитания применяются
игры в лото, в занимательные квадраты, в молчанку и др. (описа¬
ние этих игр см. на стр. 132—136).
Одновременно повторяется сложение и вычитание без перехода
через десяток; для усвоения вычислительных приёмов также под¬
бираются специальные группы примеров, построенные на взаимо¬
связи сложения и вычитания:
16+ 4 = 20
4 + 16 = 20
20— 16= 4
20— 4 = 1в
15+ 3= 18
3+15= 18
18- 3= 15
18 — 15= 3
Хорошим упражнением является решение примеров с вопроси¬
тельным знаком, причём здесь решаются такие примеры не только
«а сложение, но и на вычитание:
0 + ? = 10	10-~>= 2
?+ 7 = 10	19-?= 10
Они являются хорошим подготовительным упражнением
к сложению и вычитанию с переходом через десяток.
171


Аналогичные примеры решаются и для уяснения состава
чисел второго десятка: 8-)-?= 11; ? —6=13; 14 — ? = 6;
? — 9 = 7.
Решая их, учащиеся не прибегают к выбору действий, при по¬
мощи которых определяется неизвестное, — это неизвестное они
находят на основе состава чисел.
Решение задач на сложение и вычитание является одним
из лучших средств для упражнения в этих действиях. При изуче¬
нии этого раздела начинается решение задач в два действия
(см. стр. 82—85). Кроме того, учащиеся знакомятся здесь с новым
видом задач — с задачами на увеличение и уменьшение данного
числа на несколько единиц. Для этого предварительно выясняется
на наглядных пособиях понятие «больше на столько-то единиц» и
«меньше на столько-то единиц».
Увеличение числа на несколько единиц.
До сих пор учащиеся воспринимали сложение как действие,
посредством которого находится только сумма двух или несколь¬
ких слагаемых: они решали на сложение такие задачи, в которых
спрашивалось:	«Сколько всего...». Вычитание воспринималось
детьми как действие, посредством которого находится остаток;
в задачах на вычитание ставился только такой вопрос: «Сколько
осталось?» Теперь расширяется понимание этих действий, — им
придаётся новый смысл. Выясняется тот случай сложения,
когда приходится данное число увеличивать на несколько
единиц, и тот случай вычитания, когда приходится данное
число уменьшать на несколько единиц. Выясняется математи¬
ческое значение фразы «больше на столько-то единиц» и «меньше
на столько-то единиц». Это выяснение происходит следующим об¬
разом.
Учитель откладывает на верхней и нижней проволоках классных счётов
по 4 шарика.
«Сколько шариков отложено на верхней проволоке?» (Четыре.)
«Сколько шариков отложено на нижней проволоке?» (Тоже четыре.)
«Что можно сказать про количество шариков на верхней и нижней прово¬
локах?» (На верхней и нижней проволоках отложено шариков поровну.
Или: на верхней проволоке отложено шариков столько же, сколько на
нижней.)
Учитель, в случае затруднений со стороны учащихся, может сам сформу¬
лировать этот ответ.
«У Володи 5 карандашей, а у Миши столько же карандашей, сколько у Во¬
лоди. Сколько карандашей у Миши? В одном ящике 4 кубика и в другом
столько же. Сколько кубиков в двух ящиках? Отложите у себя справа
3 палочки. Отложите слева столько же».
Возвращаясь к классным счётам, учитель откладывает на верхней прово¬
локе ещё 2 шарика.
«А теперь скажите, поровну ли отложено шариков на обеих прово¬
локах?» (Нет, не поровну.) «На какой проволоке больше?» (На верхней.)
«Сколько же лишних шариков положено на верхней проволоке?»
(Лишних два шарика.)
«Вместо «лишних два шарика» говорят: «Больше на два шарика»,
172


На верхней проволоке лишних два шарика. Как сказать это иначе?» (Н а
верхней проволоке больше на 2 шарика Л Ответ повторяется
в одиночку и хором. «Отложим на верхней проволоке 4 шарика. А на нижней
столько же и ещё 3 шарика. Сколько всего шариков отложено на нижней
проволоке? Как мы это узнали?» (К четырем прибавили 3, подучилось 7.)
«Сколько лишних шариков на ннжней проволоке? Как иначе можно это
сказать?» (На нижней проволоке на 3 шарика больше.) «Отложите у себя
справа 5’ палочек, а слева на 2 палочки больше. Как будете откладывать па¬
лочки слева?» (Отложим столько же, сколько справа, и ещё две палочки.)
«Сколько всего палочек получилось?» (7.)
«Как получилось 7? Что вы сделали?» (К 5 палочкам прибавили 2 па¬
лочки, получилось 7 палочек.)
«Я нарисовал на доске 6 кружочков. Теперь я хочу во втором ряду на¬
рисовать кружочков на 3 больше. Как это сделать?» (Нарисовать 6 кружоч¬
ков и ещё 3 кружочка.)
«Сколько всего коужочков получится во втором ряду7» (9.)
«Что нужно сделать, чтобы получить 9?» (К б прибавить 3.)
«Я поставил на планку 5 кубиков. А ты, N. поставь из 4 кубика больше.
Что значит «на 4 кубика больше?» Как это сделать7 В одной комнате
8 стульев, а в другой на 2 стула больше. Что это значит — на 2 стула боль¬
ше?» (Это значит лишних 2 стула; 8 стульев и ещё 2 стула.) «Сколько же
стульев в другой комнате? Как это узнать?» (К 8 прибавить 2, будет 10.)
«Запишем это:	8 4-2 = 10. Карандаш стоит 6 коп., а ручка на 2 ко¬
пейки дороже. Сколько стоит ручка? Повторите эту задачу. Что значит—на
2 коп. дороже?» (Ручка стоит лишних 2 коп.) «Сколько же стоит ручка? Как
это узнать? К 6 прибавьте 2. Сколько будет? Что больше — 8 или 6? Значит,
когда мы вместо 6 получим 8 (из 6 сделали 8), то мы у в е а и ч и л и число
6.	Так чтб мы сделали с числом 6?» (Мы его увеличили.) «Сколько мы
прибавили к 6? Сколько стало лишних? Как это сказать иначе?» (Стало
больше на 2.) «На сколько единиц мы увеличили число 6?» (Мы увеличили 6
на 2.) «Как же увеличить 6 на 2?» (Надо к 6 прибавить 2.)
«Увеличьте 7 на 3. Сколько будет? Как вы это сделали? Запишите это
(7 4-3= 10). Увеличьте 5 на 5; 4 на 3; 2 на 8» и т. д.
Уменьшение числа на несколько единиц.
Учитель кладёт на двух проволоках классных счётов по 6 шариков.
«Сколько шариков положено на верхней проволоке? Сколько на нижней?
Что можно сказать про шарики на верхней и нижней проволоках?» (На обеих
проволоках шариков поровну. Или: на верхней проволоке столько шари¬
ков, сколько и на нижней.)
Учитель сбрасывает с нижней проволоки 2 шарика.
«Поровну ли теперь положено шариков на обеих проволоках? На которой
меньше? Сколько шариков нехватает теперь на нижней проволоке?»
(Нехватаст двух шариков.)
«Как это сказать по-другому?» (На нижней проволоке меньше на
2 шарика.) «Вместо «нехватает двух шариков» будем говорить «меньше на
2 шарика». Нехватает четырёх кубиков. Как это сказать иначе? Я нарисовал
6 палочек. Теперь я хочу, чтобы тут стало на 3 палочки меньше. Как это сде¬
лать?» (Надо стереть 3 палочки.)
«На планке стоит 12 кубиков. Сделайте, чтобы здесь стало двумя куби¬
ками меньше. Как это сделать?» (2 кубика снять, или отнять.)
«Отложите у себя на парте слева 10 палочек, а справа тремя палочками
меньше. Отложите теперь справа 9 палочек, а слева на 4 палочки меньше.
Нарисуйте в тетради на одной строчке 7 крестиков, а на второй строчке
меньше на один крестик. Наш коридор имеет в длину 11 метров, а
класс короче коридора на 4 метра. Какой длины наш класс? Что значит
«короче на 4 метра?» (Нехватает, четырёх метров.) «Что же надо сделать,
чтобы узнать длину класса?» (От 11 м отнять 4 м, получится 7 м.) «Запи-
173


шнте это (11 — 4 = 7). От 7 отнимите 2, сколько будет? Что меньше—5,
или 7? Значит, когда мы вместо 7 получили 5, то мы уменьшили число 7.
Что же мы сделали с числом 7? Сколько отняли мы от 7? На сколько умень¬
шили мы число 7? Как мы уменьшили 7 на 2?» (От 7 отняли 2.) «Запи¬
шите это (7 — 2 = 5) Уменьшите 5 на 3. Сколько будет? Как вы это сде¬
лали? Уменьшите 15 на 4; 11 на 2; 20 на 5; 15 на 10» и т. д.
Дальше следует решение задач на увеличение и уменьшение числа на
несколько единиц сначала в одно, а потом и в два действия.
Примерное распределение времени.
На изучение сложения и вычитания в пределе 20 отводится вся вторая
четверть, т. е. 40 уроков (при 1 недельных часах). Эти 40 уроков можно рас¬
пределить примерно следующим образом:
1.	Устная и письменная нумерация в пределе 20	 4 урока
2.	Сложение и вычитано без перехода через 10	14	»
3.	Знакомство с кию ;лммом .	.	  1	*
4 Коп I рол мы я р«|Г < > т <. ра 1бороч рс *\\пь гл гов	 2	>
5. Сложение VI вычигиМ.ю с переходом через десяток	15	э
6 Знакомство с ли [ром .	.	  1	>
7.	Конгр0 1оная работ с анализом ее результатов 	 2	>
8.	Пошпие «Оотьше я меньше на ечольчо го» и решение задач па
увеличение и уменьшение ч/кла на несколько единиц	5	>
9.	Пон трение про11ленною с решением задач и примеров	4	>
10.	Контрольная работ	 1	>
Примерное содержание первой контрольной работы.
1) 10 + 6=	5)18—5=	9) 2+14 =
2)	18 - 8 =	6)	20— 7=	10)20 - 15	=
3)	12 + 6=	7)	5+13=	11)18-12	=
4)	16 + 4=	8)	17 — 6 =	12) 11+ 3	=
Примерное содержание второй контрольной работы.
1) 8 + 6=	п)11—6=	И) 8 + 9 =
2)	15-9=	7)	8	+	8=	12)13 — 5 =
3)	/ + 5	5 /	18	—	9 =	13)	/ + б =
4)	1-1 — 7=	9)	12	—	4 ^	14,	12—9 =
5)	9 + 4=	10)	3	+	9=	15)	9 + 7 =
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ.
О	порядке изучения умножения и деления.
Порядок изучения умножения и деления в пределе 20 может
быть разный. Умножение п деление можно проходить или совмест¬
но, параллельно, как проходилось сложение и вычитание, или раз¬
дельно, а. с. сначала умножение, а потом деление. Какая из этих
систем является более целесообразной?
При совместном изучении умножения и деления содержание
работы является более разнообразным и связь между этими дей¬
ствиями выступает ярче и подчёркивается сильнее. Недостаток же
такой системы заключается в том, что при одновременном изуче¬
174


нии двух действий ученик ставится перед необходимостью преодо¬
левать сразу несколько трудностей и арифметического и лексиче¬
ского порядка: каждое из этих действий имеет своё обозначение,,
свою терминологию, свой арифметический смысл и содержание.
Одновременное усвоение всего этого создаёт большую нагрузку
для ученика в ущерб ясности понимания изучаемого. Сложность
работы усиливается ещё тем, что умножение и деление связаны не
только между собой, но и каждое из них связано ещё и с другим
действием: умножение — со сложением, деление —с вычитанием.
Такая многосторонность связей делает изучение этих действий
более сложным и трудным, чем изучение первых двух действий —
сложения и вычитания. И если мы допускаем совместное изучение
сложения и вычитания, то такой порядок мало пригоден для изу¬
чения более трудных действий — умножения и деления.
При раздельном прохождении умножения и деления внимание
учащихся на определённом отрезке времени сосредоточивается
только па одном действии; круг изучаеамых вопросов становится
при этом уже, что даёт учащемуся возможность вникать в них
глубже. Получается возможность сильнее подчёркивать связь
умножения со сложением, вычитания с делением. Связь же умно¬
жения с делением будет установлена, подчёркнута и использована
при последующем изучении деления.
Неминуемое однообразие в работе, которое создаётся однооб¬
разием методических приёмов, можно ослабить введением момен¬
тов повторения пройденного, т. е. сложения и вычитания.
Учитывая всё это, надо отдать предпочтение раздельному
прохождению ухмножения и деления.
Умножение.
В пределе второго десятка сложение равных слагаемых рас¬
сматривается особо — как новое действие умножения со своим,
знаком и особой терминологией. Здесь даётся первоначальное по¬
нятие об этом действии, выясняется его конкретный смысл. Даются
конкретные образы, поясняющие смысл умножения. Учащиеся'
фактически берут по несколько раз определённые группы предме¬
тов (например 3 раза по 4 кубика, 2 раза по 6 палочек и т. д.).
В соответствии с этим и термин «умножить на столько-то»
заменяется на этой ступени обучения более понятным для детей
и образным термином «взять по столько-то». Запись умножения
4 X 5 = 20 дети в 1 классе читают так: «По 4 взять 5 раз, полу¬
чится 20».
Основным вычислительным приёмом умножения в пределе 20
является приём н а б и р а н и я равных слагаемых. Умножение здесь
выполняется при помоши сложения Как и в сложении, здесь воз¬
можны сокращённые приёмы набора равных слагаемых.
Подобно тому как сокращённые приёмы сложения осно¬
ваны на целесообразной группировке единиц, так и сокращённые
176


приёмы умножения опираются на целесообразную группировку сла¬
гаемых. Например, восемь двоек можно набрать так: пять двоек —
10 и три двойки — 6, а в-сего 16. Эти приёмы демонстрируются на
наглядных пособиях; они служат подготовительной ступенью
к усвоению в дальнейшем распределительного свойства умноже¬
ния.
Переместительное свойство умножения не так просто и очевид¬
но, как переместительное свойство сложения. Поэтому при нахож¬
дении произведения в пределе 20 не следует опираться на переме¬
щение сомножителей Примеры: 3X4 и 4X3 рассматриваются
здесь как самостоятельные и независимые друг от друга примеры;
в первом случае дети должны уметь набрать 4 тройки, а во вто¬
ром— 3 четвёрки, чтобы получить одно и то же произведение 12.
Приём последовательного умножения, основанный на сочета¬
тельном свойстве этого действия, в пределе второго десятка не
•применяется.
Таблица умножения, усваиваемая наизусть, может быть
построена двумя способами; 1) по постоянному множимому
и 2) по постоянному множителю. Если мы хотим построить
таблицу умножения по постоянному множимому, то мы
должны взять числа натурального ряда одно за другим и умножить
каждое из них на все числа первого десятка. Получится следую¬
щая таблица;
2 X
1
3X1
2 X
2
3X2
2 X
3
зхз
2 X
4
3X4
2 X
5
3X5
2 X
6
3X6
2 X
7
4X2
2 X
8
4X3
2 X
9
4X4
2ХЮ
4X5
5X1
5X2
5X3
5X4
6X2
6X3
7X2
8x2
9X2
10X2
Здесь множимое остаётся постоянным, множитель, наоборот,
является переменной величиной. Сначала число 2 умножается на
все числа первого десятка, потом 3, затем 4. 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Но в этой таблице числа можно перегруппировать и построить
её так, что множимое будет переменным, а множи¬
тель постоянным. Тогда таблица умножения в пределе 20
будет иметь следующий вид:
1X2
1X3
1 X 5
2X2
2X3
2X5
3X2
зхз
3X5
4X2
4X3
4X5
5X2
5 X 3
2 X 6
0X2
ь X 3
3X6
7 у 2
2X4
2X7
8X2
3 > 4
2 X 8
9 X 2
4 X 4
2Х«
10X2
5X4
2Х Ю
Гб


Очевидно, что эти различные варианты таблицы могут полу¬
читься в результате различных систем изучения умножения. Какая
же система работы является более целесообразной?
Рассмотрим оба способа построения таблицы с точки зрения
основного вычислительного приёма, применяемого здесь, т. е. на¬
бора равных слагаемых. Когда таблица строится по постоянному
множимому, то между каждыми двумя её смежными строчками
существует тесная связь:	каждый последующий её случай опи¬
рается на предыдущий, является его естественным продолжением.
4X1 = Возьмём например, часть таблицы —* умножение 4. Составляя
4X2= эту часть таблицы, учащиеся сначала возьмут 2 раза по 4 и полу-
4)<3= чат 8. Дальше, когда учащиеся перейдут к набиранию трёх четверок
4X4= (4X3), то им не нужно начинать процесс набирания четвёрок с са-
4X5= мого начала. Чтобы составить сумму из трёх четвёрок, достаточно
к восьми прибавить третью четвёрку, получится 1? Чтобы набрать
4 четвёрки, можно воспользоваться тем, что произведение 4X2 нам известно,
сложив два таких произведения, получим искомое произведение.
Всё это облегчает процесс набора слагаемых, их группировку
н делает приёмы вычисления экономными.
Теперь рассмотрим второй способ построения таблицы (по
постоянному множителю). Возьмёдт часть таблицы — умноже¬
ние на 4'
1 X 4	Набираем 4 двойки, получается 8. йалыие надо набрать 4 тройки.
2X4 Набор надо начинать сначала, так как этот случай новый и никакого
3X4 отношения к предыдущему не имеет. Чтобы умножить 4 на 4, опять
4X4 надо начинать заново, и т. д.
5X4
Таким образом, при этом способе между предыдущим и после¬
дующим случаем умножения нет ничего общего. Добавим ещё,
что при этом способе выгода замены сложения умножением мало¬
убедительна для учащихся. Когда составляется таблица по пер¬
вому способу, легко показать всю целесообразность перехода от
сложения к умножению.
В самом деле, 2 + 2 + 2 лучше заменить записью 2X3.
Выражение 2 + 2 + 2 + 2 лучше заменить записью 2 Х4.
Выражение 2+2+2+2+2 лучше заменить записью 2X5 и т д.
Это же трудно показать в таблице, составляемой по второму
способу, где сначала все числа первого десятка умножаются толь¬
ко на 2.
Учитывая всё сказанное, мы должны прийти к тому выводу, что
расположение элементов таблицы по постоян¬
ному множимому выгоднее, целесообразнее.
Но пройдя таблицу по постоянному множимому, полезно пере¬
группировать её элементы, расположить их по постоянному множи¬
телю и в данном виде повторить и усвоить её наизусть. В таком
авде она легче, удобнее для запоминания.
12 А. С. Пчёлко
177


Усвоение смысла и записи умножения.
Учитель предлагает детям положить на парту дидактически!
материал (кубики, палочки, кружочки и др.), а сам, обращая#
к классным счётам, откладывает на них 2 шарика.
«Сколько шариков отложено на счётах*» (2 шарика.) «Отложите вы у себе
две палочки. Отложим ешё 2 шарика (учитель рядом с первой парой отхлй*
дываег ещё вторую пару шариков). Л вы у себя отложите ещё 2 палочки, к
сдвигая их. Сколько всего палочек получилось?» (4.) «Как вы узнали?» (К
двум прибавили 2.) «Запишем это на доске (появляется запись: 2 4- 2 = 4). От«
ложим на доске ешё пару шариков, а вы у себя отложите Третью пару пал»
чек. Сколько получилось всего шариков (палочек)? Как вы узнали это?» (К
двум прибавили 2 и ещё 2. Получилось 6.)
«Запишем это 2 +- 2 + 2= 6 Отложим на счетах ещё одну пару' шари¬
ков. а вы у себя возьмите еше одну пару палочек. Сколько всего шарит
(палочек) получилось? Посчитаем- 2 да 2 = 4, 4 да ещё 2 = 6, 6 да ешё 2 =
--8. Сколько раз мы брали по 2 шгрика, по 2 палочки? Сколько получилось?
Оиюжим на счетах еще одну — пятую пару шариков, а вы у себя отложите
пятую пару палочек, сколько всего шариков (палочек) отложено? Посчитаем:
2 да 2 = 4, 4 да 2 = 6, 6 да 2 - 8, 8 да 2 = 10. Запишем это: 2 4-24-2 +
4-2 4* 2 = 10. По скольку шариков (палочек) мы брали каждый раз?» (По 2.)
«Сколько раз мы брали по 2 шарика (по 2 палочки)?» (5 раз.) «Сколько всегг
шариков (палочек) получилось?» (10.)
На доске получилась следующая запись:
1)	2+-2=4
2)	2+24-2 = 6
3)	2 + 2 + 2 + 2 = 8
4)	2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
Далее учитель откладывает на планку классной доски 5 раз по 2 куби*
говоря-
«Теперь я возьму 5 раз по 2 кубика. Сколько кубиков получилось? Пв
считаем: 2 да 2 = 4» VI т. д.
«По скольку кубиков я брал?» (По 2.) «Сколько раз я брал по 2 кубикаЬ
(5 раз.) «Сколько кубиков получилось?» (10 кубиков.) «Как мы узнзли, сколь¬
ко получилось?» (Считали двойками: два да два — четыре, да ещё два-
шесть, да ещё два — восемь, да еще два — десять.)
«Повторим полным ответом, что мы делали: мы брали 5 раз 01
2 кубика, и получилось 10 кубиков; мы брали 5 раз оо
2 палочки, получилось 10 палочек. Вместо того чтобы говорка
«к двум прибавить два, прибавить ешё два. прибавить еще два и прибавит!
ещё два» — творят короче и скорее «по два взять пять раз».
Прочитаем нашу запись, начиная с конца — с четвёртой строчки».
Ученики чшают «К двум прибавить два, прибавить ещё два» и т. д. <Ка*
короче можно прочитать эту запись?» (По 2 взять 5 раз, получится 10.)
«Прочит,ште третью строчку: «К двум прибавить два» и т. д. Прочитайте
короче эту запись* По 2 взять 4 раза, получится 8. Прочитайте коротко
вторую строчку! Первую строчку! Когда прибавляют поровну, то вместо того»
чтобы повторить много раз слово «прибавить», как говорят короче?» (Взять
столько*!о раз) «Когда прибавляют поровну, то и записывают сложение
короче. Заменим наши длинные записи более короткими Что записано б 4-Й
иргикеЧ (По 2 шить 5 раз. подущпся 10.) «Смогпите, как это пишут».
Учитель говорит медленно, раздельно и пишет (против записи сложена*
ПЯ1 п двоек).
2 X 5 « 10,
поясняя* «Вместо слова «взять» ставят косой крестик, в«*-
сю слов «пять рл* пишут 5, вместо слова «получится» пишут две чёрточки.


Ярочитаем, что записано (читают хором). Что означает косой крестик? 8место
[лова «взять», какой знак пишут? Сделайте у себя в тетрадях сначала длин-
1ую запись, потом короткую».
Ученики записывают:
2 + 2 + 2 4- 2 + 2 = 10;	2 X 5 - 10.
«Прочитайте, что вы записали. Прочитаем теперь третью строчку. Запишем
её короче».
Появляется запись: 2X4 = 8.
«Сделайте у себя сначала длинную запись, логом короткую».
Ученики записывают:
2 + 2 + 2 + 2 = 8;	2X4 = 8.
То же проделывается со второй и первой строчкой.
Далее следуют упражнения, направленные на углубле¬
ние понимания смысла умножения и его записи.
Учитель пишет на доске: 2X3.
«Прочитайте, что я написал». (По 2 взять 3 раза.)
«Покгжиге это на палочках (кубиках). Запишите это в своих тетрадях
в вычислите (ученики пишут 2X3 = 6). Как оы узнали, что по 2 взять 3 раза
будет 6^» (К двум прибавили 2 —стало 4; к четырём прибавили 2 — стало 6.)
«Будем считать по 2, или двойками, до 10». (Два. чешре, шесть, восемь,
десять; 2. 4, 6, 8, 10.) «Отсчитывайте по двойке, начиная с 10». (Десять, во¬
семь, шесть, четыре, два.) «Запишите счет двойками в тетради».
Ученики пишут: 2, 4, 6, 8, 10;
Ю, 8, 6, 4. 2.
После того как дети уяснят смысл умножения на числах пер¬
вого десятка, надо перейти к умножению 2 на 6, 7, 8, 9, 10. Умно¬
жение на эти числа опирается на счёт двойками до 10. Знание
таблицы умножения двух в пределе 10 позволяет при дальнейшем
умножении применять сокращённый приём набора равных
слагаемых.
Так, чтобы набрать 6 двоек, надо взять 5 двоек и прибавить одну двойку.
5 двоек —* это 10; 10 да 2=12. Значит, 6 двоек будет 12. Чтобы набрать
8 двоек, достаточно взять 5 двоек и 3 двойки. 5 двоек — это 10, 3 двойки —
зто 6 а 10 да 6 — 16 Значит 8 яноек составят 16 и т, д. беря по два 6. 7,8,
9, 10 раз, дети рассуждают так: «Чтобы по 2 взять 7 раз, возьмём 5 раз по
два, получим десяток, затем возьмем еще 2 раза по 2, получим 4, а всего
получится 14».
В качестве самостоятельной работы детям даются упражнения
на замену сложения умножением и, наоборот, умножения сложе¬
нием («Заметно длинную запись короткой. Замените короткую
запись длинной»).
1)2 + 24-2 + 24 2ч 2 4 2=11
'2> 2+2 + 21 2 + 2 + 2 4 2 т 2 + 2=18
Ч 2 '' 8 «г 16
4)2*0= 12
1)2X7=14
2» 2 X
+ 2 + 2 + 2 -> 2 1 2н 2 + 2 ч 2= 16
4* 2 ч- 2 - 2 4- 2 4 2 + 2 = 12
Заканчивается изучение таблицы умножения двух решением
задач на умножение. Первые задачи надо предлагав в такой
12*
179


форме, чтобы из содержания задачи вытекала необходимость по¬
вторять данное число несколько раз, например*
«Левушка холила на реку за водой Ч раза и каждый рач приносила пэ
2 ведра. Сколько всего ветер воды она принесла1** «Учи ".к покупал тетради
о раз, каждый раз по 2 тетради Сколько тетрадей к* и'.ь» >чеынч^ «Дети для
игоы построились в 8 рядов, в каждом ряду по 2 чело! с: а. Сколько детей
построилось для игры?»
После таких з* 'ч предлагаются и другие затачн па умножение, в кото¬
рых необходимо данное числе повторить слагаемым нескс, ько раз, например:
«Мальчик к * пил 8 перьев, по 2 копенки за пер./. Сколько копеек мальчик
уплатил за перья
Задачи решаются устно, но часть решённых задач записывается.
При записи нужно строго различать места множимого и множи¬
теля (на первом месте стоит множимое, на втором множитель).
Решение вышеуказанной задачи записывается глк: 2 коп. Х8 =
= 16 коп. При множимом и произведении нужно ставить наимено¬
вания. Множитель же как число отвлечённее, показывающее»
сколько раз множимое повторяется слагаемым, пишется всегда без
наименования. Дети склонны на первых порах славить наименова¬
ние и пру множителе. С этим нужно бороться, разъясняя детям,
какое именно число в данной .задаче берётся несколько
раз и сколько раз оно берётся.
Умножение трёх. Умножение трёх начинается со счета
тройками на наглядных пособиях (классные счёты, кубики,палочки
и др.). Учитель составляет столбики из трёх кубиков и предлагает
детям считать их.
«На плачке 3 кубика. Прибавим ещё столбик — 3 кубика. Сколько куби¬
ков получилось?» (3 да 3 = 6.) «Прибавим ещё третий сголбик в 3 кубика.
Считайте, сколько всего кубиков получилось?» (3 да 3 = 6 б да 3 — 9.) «При¬
бавим ещё четвёртый столбик в 3 кубика. Сколько теперь кубиков стало?»
(9 да 3 = 12). «Прибавим пятый столбик в 3 кубика. Сколько всего кубиков
получилось0» (12 да 3 = 15.) «И наконец, прибавим шестой столбик из трёх
кубиков. Сколько теперь кубиков получилось?» (15 д* 3 *=- !8 )
Показывая на два столбика, учитель спрашивает. «По 3 кубика взять,
2 раза — сколько получится кубиков?» (По 3 кубика взять 2 раза получится
6 кубиков )
Указывая на 3 столбика, учитель спрашивает: «По 3 кубика взять 3 раза,
сколько получится кубиков?» (По 3 кубика взять 3 раза — будет 9 кубиков.)
и т. д.
«По 3 кубика сзять б ргз. Сколько кубикоо полу.^т г? Достаньте свои
палочки Будем считать их тройками».
Учен-кч откапывают по 3 палочки и считают: «3 да 3 будет 6 палочект-
6 да ещё 3 — будет 9 палочек; 9 да 3 — будет	г 'ют .' и г д.
Далее производится прямой и обратны'1 счёт	' без на¬
глядных пособий, на отвлечённых чго - ч
Три, шесть, десять, двенадцать, пятнадцать, вое г*'	'гадать,
пятнадцать, двенадцать, девять, шесть, три.
«Запишите в тетрадях числа, которые получаю.с*	_ г,» лкями:
3, 6, 9, 12, 15, 18.	18, 15, 12, С, б, 3.
180


Запишем прибавление по 3 кубика, сначала длинной записью, потом ко¬
роткой:
Так получается таблица умножения трёх, которая читается уча¬
щимися несколько раз хором и в одиночку.
Работа завершается письменным решением примеров и задач.
Таблица даётся на дом для усвоения наизусть.
Умножение четырёх и пяти производится по тому же
плану: а) счёт четвёрками, пятёрками на наглядных пособиях:
б)	счёт четверками, пятёрками на отвлечённых числах с записью
результатов счёта; в) запись прибавления по 4, по 5 (в виде сло¬
жения); г) запись прибавления четвёрок и пятёрок (в виде умно¬
жения); д) решение примеров и задач на таблицу умножения че¬
тырёх и пяти; е) упражнения в заучивании таблиц в классе
^ дома.
Из таблиц умножения шести, семи, восьми и девяти рассматри¬
ваются в пределе 20 только по 1—2 случая:
Усвоение этих случаев никаких затруднений для учащихся не
представляет.
Повторение таблицы умножения, расположенной по постоянному
иножителю, иа 2, на 3, на 4, на 5.
Когда таблица умножения по постоянному множимому будет
усвоена, полезно перегруппировать элементы таблицы, располо¬
жить её по постоянному множителю и снова повторить. Сначала
нужно повторить умножение всех чисел первого десятка на 2.
потом на 3, затем на 4 и наконец на 5. К этому времени конкрет¬
ный смысл умножения для детей должен быть ясен. Теперь уже
можно ввести в терминологию некоторые условности, которые
сближают математическую речь учащихся с установившимся,
общепринятым языком в арифметике и помогают усвоению
таблицы умножения наизусть. Речь идёт о допущении терминов
«умножить», «умножение». «Будем решать примеры на умноже¬
ние». «Запишите пример: «3 умножить на 5». Такие фразы
нужно признать допустимыми в речи учителя и учеников; ими
вполне можно пользоваться наряду с фразами: «По 3 взять 5 раз»
ц «3 повторить 5 раз», «Булем решать примеры, в которых числа
будем брать несколько раз», и т. д.
Повторение начинается с того, что учитель пишет на доске
таблицу умножения на 2:
3 -|- 3 = 6
оЧ-^тЗ = 9
О г НЗтЗ - 12
3-^-3 л Т- 3 -{- 3 = 15
З-тЗ-'-З-г 3 4- 3 -е 3 = 18
3X2= Ь
3X3= 9
За 4=12
зх 5= 15
ЗХЬ= 18
б Х2
6X3
7X2
8X2
2 4 2 = 4
3x2 = 6
4X2 = 8
5 X 2 = 10
6X2= 12
7X2= 14
8X2=16
9X2= 18
10X2 = 20
18)


Ученики читают эту таблицу: «По 2 взять 2 раза, будет 4. По 3 взять
2 раза, будет 6; 4 повторить 2 ргза, будет 8; 5 повторить 2 раза, будет 10» и т, Д,‘
Так читается сначала раза два вся таблица подряд, а затем враз¬
бивку, после чего учитель даёт задание списать эту таблицу
и дома усвоить её наизусть.
В таком плане повторяется таблица умножения на 3, 4 и 5. На
этом заканчивается изучение части таблицы умножения, заключён¬
ной в пределе 20. На каждом из повторительных уроков решают¬
ся задачи в одно, два и три действия, в которых наряду с умно¬
жением фигурируют и другие действия — сложение или вычита¬
ние, например:
«Мальчик купил 4 пера по 3 коп. за перо и дал 20 копеек. Сколько сдачи
должен получить мальчик5»
«В двух маленьких коробках лежит по 5 карандашей, а в одной большой
на б карандашей больше. Сколько карандашей лежит в большой коробке?»
Около половины задач решается с записью решения. Цель
записи — научить учащихся не только выбрать действие для реше¬
ния вопроса, ко и записать его и притом правильно поставить на-1
именование, на должном месте поставить множимое и множитель.
Запись должна быть такой:
1-	я задача
1)	3 коп X 4 = !2 коп,;
2)	20 коп. — 12 коп. = 8 коп.
2-	я задача
1)	5 кар. X 2 = 10 кар.;
2)	10 к.ф. -+ б кар. = 16 кар.
При изучении умножения и в особенности в процессе его по¬
вторения решаются смешанные примеры на сложение, вычитание
и умножение. При этом в некоторых примерах приходится вводить
скобки, например:
(11 — 8) X 3.
Без скобок (11 —8X3) этот пример был бы невозможен для решения. Но
в примерах типа 6X2 + 5 скобки излишни.
Деление в пределе 20.
Приступая к обучению детей делению, учителю нужно предва¬
рительно разрешить для себя несколько вопросов принципиального
характера. Вопросы эти заключаются в следующем:
Известно, что существует два вида деления: 1) деление на рав¬
ные части и 2) деление по содержанию. Эти виды деления ярко
различаются на задачах.
Возьмем задачу «За 2 одинаковых карандаша заплатили 16 копеек.
Сколько стоит один карандаш?» Чтобы решить эту задачу, нужно 16 разде¬
лить на две равные части, ибо если дез карандаша стоят 16 коп., то один
карандаш будет стоить в 2 раза меньше. В этой задаче мы имеем дело с де¬
лением на равные части.


Возьмём другую задачу: «Один карандаш стоит 8 коп. Сколько каранда¬
шей можно купить на 16 коп.?» Эта задача решается тоже делением. Но здесь
деление имеет другой смысл: деля 56 на 8, мы узнаем, сколько раз 8 содер¬
жится в 16. Деление вытекает здесь из следующего рассуждения: если один
карандаш стоит 8 коп., то на 16 коп. можно купить столько карандашей,
сколько раз 8 коп. содержится в 16 коп. Сколько же раз 8 содержится в 16?
Этот вопрос решается делением
Зная, чго существует два вида деления, нужно разрешить во¬
прос, как знакомить учащихся с этими видами деления: параллель¬
но или последовательно; если последовательно, то в каком порядке,
с чего начать? Знакомить ли сначала с делением на равные части,
а потом с делением по содержанию, или, наоборот, сначала с де¬
лением по содержанию, а потом с делением на равные части? За¬
тем, нужно ли проходить оба эти бида деления одно за другим
непосредственно или полезно разделить их прохождение некото¬
рым промежутком времени? Проходя оба вида деления сначала
раздельно, где, на какой стадии обучения нужно сделать их обоб¬
щение и показать, что обе разновидности деления составляют по
технике выполнения одно (единое) действие?
В разное время эти вопросы решались по-разному. Не вдаваясь
в историю этого вопроса, скажем только, что в принятых в на¬
стоящее время задачниках и методических руководствах эти во¬
просы решаются так: ознакомление учащихся с делением начи¬
нается с деления по содержанию, а затем даётся деление на рав¬
ные части. Оба вида деления даются в пределе второго десятка
один вид за другим. Обобщение производится на втором году
обучения при изучении внетабличного умножения и деления в пре¬
деле 100.
Целесообразен ли такой порядок? Следует ли его сохранять
дальше?
Нужно заметить, что этот порядок изучения вызывает у мно¬
гих учителей и методистов возражения, которые в основном за¬
ключаются в следующем.
При таком порядке нарушается дидактический принцип — начи¬
нать с известного, знакомого и переходить к неизвестному. Деле¬
ние на равные части знакомо ребёнку из его жизненного дошколь¬
ного опыта; деление по содержанию ребёнку незнакомо. Дидактика
же требует, чтобы при обучении всегда исходили от известного,
знакомого, а не наоборот. Считаясь с этим требованием,следовало
бы начинать изучение деления с деления на равные части.
Деление на равные части понятнее для ребёнка; смысловое
содержание деления по содержанию труднее, сложнее. В самом
деле, при делении на части требуется определить величину части;
в результате (в частном) получаются единицы того же наименова¬
ния, что и у делимого. При делении же но содержанию опреде¬
ляется количество частей; наименование частного не имеет ничего
общего с наименованием делимого; можно делить яблоки, а полу¬
чать в частном ящики, делить молоко, а получать количество
детей, и т. д.
183


Самая запись деления на равные части проста и понятна ре*
бёнку; запись деления по содержанию сложна и трудна для детей;
правильной записи деления по содержанию с её условностями
приходится учить много и долго. Сравним записи решения двух
вышеприведённых задач.
I)	16 коп. : 2 = 8 коп.»
II)	16 коп. : 8 коп. = 2 (карандаша).
Из внешнего обозрения этих записей видно, что вторая запись
во много раз сложнее первой.
По каким же мотивам, однако, выдвигается деление по содер¬
жанию на первое место? По двум мотивам:
1)	Способ деления по содержанию определённее и проще
способа деления на части; в самом деле, разделить 15 кубиков
на кучки по 3 кубика в каждой очень просто: для этого достаточно
только раздвинуть кубики так, чтобы в каждой кучке было
3 кубика, и подсчитать количество кучек. Значительно сложнее
способ деления 15 кубиков на 3 равные части, для этого нужно
взять 3 кубика и разложить их по одному, затем взять вторую
тройку и снова разложить 3 кубика по одному и т. д., пока не
будут разделены все кубики.
2)	При совместном изучении умножения и деления с таблицей
умножения, расположенной по постоянному множимому, естествен¬
но связывается деление по содержанию, а не деление на равные
части; деление на части может быть связано с таблицей умно¬
жения, расположенной по постоянному множителю.
Из этих двух аргументов в пользу выдвижения на первое
место деления по содержанию второй аргумент отпадает, посколь¬
ку мы приняли раздельное изучение умножения и деления.
Повторение таблицы умножения с постоянным множителем от
крывает путь для изучения деления на равные части.
Что же касается способа деления на равные части, то труд¬
ность его несколько преувеличивается. Процесс деления на равные
части доступен пониманию ребёнка; этот процесс достаточно кон¬
кретен. очевиден; довольно просто он иллюстрируется на нагляд¬
ных пособиях. Усвоению результатов деления помогает знание
таблицы умножения. Если ребёнок знает, что 5X2=10, то для
него нетрудно 10 разделить на 2, поставив вопрос: «По скольку
надо взять 2 раза, чтобы получить 10?»
Таким образом, целесообразнее начинать изучение деления
с деления на равные части; с делением же по содержанию знако¬
мить детей несколько позднее, приурочив первоначальное ознаког
мление с делением по содержанию к изучению деления круглых
десятков.
Деление на равные части.
Основной приём деления на равные части состоит в том, что
из группы предметов, которые надо разделить, берётся количестве
предметов, равное числу частей, чтобы при делении в каждой
184


части подучилось по одному предмету, по единице. Затем из остав¬
шейся группы предметов снова берётся столько предметов, чтобы
при делении на данное число частей в каждой части получилось
ещё по одному предмету, по второй единице. Так поступают до
тех п^р, пока не будут исчерпаны все предметы данной группы.
Пусть требуется б яблок разделить поровну между двумя детьми. Для
этого из б яблок берут 2 яблока, делят их между двумя детьми, и у каждого1
аз детей получается по одному яблоку. Затем из оставшихся 4 яблок берут
ещё 2 яблока, снова делят их между детьми, и у каждого получается еше по
одному яблоку, а всего после второго деления у каждого будет но 2 яблока.
Остаётся разделить последние 2 яблока. Дают каждому еще по одному яблоку,
и у каждого получится всего по 3 яблока. Итак, если 6 разделить на 2 равные
части, то в каждой части получится по 3.
Анализируя процесс деления, мы видим, что в нём наряду
с делением приходится иметь дело с вычитанием равных чи¬
сел. Так, чтобы разделить 8 на 2 равные части, мы сначала вычи¬
таем 2 из 8, делим эту двойку пополам, получается в каждой
части по одному; затем берём (вычитаем) 2 из 6 и, деля вторую
двойку, получаем в каждой части по второй единице, дальше вы¬
читаем 2 из 4, делим эту третью двойку и получаем в каждой
части третью единицу. Наконец, делим оставшуюся двойку и по¬
дучаем четвёртую единицу.
Но на вычитание приходится опираться только при первич¬
ном знакомстве с процессом деления — при делении на нагляд¬
ных пособиях. В дальнейшем нужно в полной мере использовать
яязи деления с умножением. Здесь нужно исходить из таб¬
лицы умножения, чтобы быстро и безошибочно найти резуль¬
таты деления.
В самом деле, если ученик знает, что 5X3=15, то он без особого
фуда может найти результат деления 15 на 3. «Какое число надо повторить
Зраза, чтобы получить 15?» — такой вопрос ставит перед собой ученик и из
хшовании знания таблицы умножения отвечает: «Пять». Значит, если разде¬
лить 15 на 3 равные части, получится в каждой части по 5.
Если 10 разделить на 5 равных частей, то в каждой части получится по 2,
/ак как по 2 взять 5 раз будет 10.
На эту связь деления с умножением нужно натолкнуть уча¬
щихся, нужно её вскрыть и показать учащимся, чтобы приучить
ах пользоваться ею в целях быстрейшего нахождения частного.
Учащиеся усваивают сначала результаты деления чисел пер¬
вого десятка, а в дальнейшем, при переходе к делению чисел
второго десятка, используют эти знания для более скорого нахо¬
ждения частного.
Например, если нужно разделить 16 на 2 равные части, то можно сма¬
йла разделить 10 на 2, получается 5, затем б разделить на 2, получается 3,
А всего в результате получится 8 (5 + 3). Если нужно 18 разделить на 3 рав-
дые части, то ученик может 9 разделить на 3, потом ещё раз 9 разделить
да 3. Получится в результате всего б (3 да 3).
185


На этом приёме деления учащиеся сталкиваются впервые
с распределительным свойством умножения («Чтобы раз¬
делить сумму на какое-нибудь число, достаточно разделить каж¬
дое слагаемое на это число»).
Язык учащихся при изучении деления на первых порах должен
быть свободен от тех условностей, которые приняты в установлен¬
ной для деления терминологии* Пример 18:2 = 9 обычно читается
так: «Восемнадцать разделить на два, получится девять».
В этой фразе много условного: во-первых, в словах «разделить
на 2» обобщены два вида деления; на этой же стадии изучения
деления учащиеся знакомятся только с делением на части;
нс-вгорых, условна фраза, «получится девять», в действитель¬
ности при делении на две части получается в каждой части по
девяти. Освобождая учащихся от этих условностей, которые бу¬
дут введены позже, нужно требовать, чтобы они на первых порах
пример 18 2 = 9 читали так:	«Восемнадцать разделить
на две равные части, получится по девяти».
Порядок изучения деления в пределе 20 может быть
примерно таков:
1)	Выяснение смысла деления на равные части на наглядных
пособиях; демонстрируется деление 2, 4, б, 8, 10 на 2.
2)	Деление 3, б, 9 на 3.
3)	Деление 4, 8 на 4 и 10 на 5.
4)	Деление чисел второго десятка:	12, 14. 16, 18, 20 на 2;
деление 12, 15, 18 на 3; деление 12, 16, 20 на 4: деление 10, 15,
20 на 5.
Изучение деления, как и других действий, сопровождается ре¬
шением возможно большего количества задач.
Первые шаги в изучении деления. Учитель даёт
ученику 2 карандаша (I предлагает ему раздать эти карандашя
поровну двум ученикам. По скольку карандашей должен полу¬
чить каждый ученик?
Ученик раздает и, отвечая из вопрос, говорит: «По одному карандашу».
На счётах откладываются 2 шарика.
«Разделим 2 шарика на две равные части. По скольку шариков по¬
лучится о каждой части?» (Шарики раздвигаются.)
(Дэа шарика разделить на две равные части — в каждой части будет по
одному шарику )
«Отложите у себя две палочки. Разделите их на две равные части. По
скольку палочек в каждой части? Два ореха разделить между двумя мальчи¬
ками — сколько орехов достанется каждому? Два разделить пополам — сколь¬
ко будет? Половит двух —- ото сколько?» Верёвку длиной в 2 м разрезали
пополам. Сколько метров в каждой части?» (I метр.) «Как вы узнали?» (Два
разделить поветам — будет един.)
Далее на стол кладётся 4 карандаша. Вызвав к столу одного
ученика, учитель предлагает ему разделить их поровну между
двумя учениками. Для раздачи ученик берёт 2 карандаша и раз-


*аёт их по одному карандашу, говоря: «Беру 2 карандаша и де¬
лю нх на две равные части, получается по одному. Беру ещё 2 ка¬
рандаша и делю их на две равные части, получается ещё по одно¬
му. А всего один да один — будет два».
На этом упражнении' дети усваивают приём деления на равные
части, который они применяют потом к делению пополам шести,
восьми, десяти.
На стол ставятся 6 кубиков.
«Сколько кубиков поставлено? Как разделить их на 2 равные части?
Взять 2 кубика и разделить их на 2 равные части, получается в каждой ча¬
сти по одному кубику. Потом взять ещё 2 кубика и разделить их на 2 рзв-
ные части, получится ещё по одному кубику. Дальше взять последние 2 ку¬
бика н их разделить на две равные части, придётся ешё по одному кубику.
Значит, если 6 кубиков разделить на 2 равные части, то по скольку кубиков
будет в каждой части? 6 листов бумаги разделили поровну между двумя маль¬
чиками. По скольку листов досталось каждому? б разделить пополам —
сколько будет? Половина б —эго сколько? 6 литров керосина разлили
поровну в 2 бидона. Сколько литров налито в каждый бидон? Как это узнать?»
(6 надо разделить на 2 равные части—получится 3.)
Так же объясняется деление чисел 8 и 10. Здесь же учитель
знакомит учащихся с записью деления, объясняя знак деления
(вместо слов «разделить на 2 равные части» ставятся две точки —
8:2 = 4).
Дальше изучается деление на 2 чисел 12, 14, 16, 18, 20. При
делении этих чисел применяется приём, основанный на распредели¬
тельном свойстве умножения. Объяснение можно начать с задачи:
«12 книг поставили поровну на две полки. По. скольку книг поставили нж
каждую полку?»
«Кяк узнать, сколько книг поставили на каждую полку?» (Надо 12 раз¬
делить на две равные части, пополам.)
«Какое самое большое число вы умеете делить пополам?» (10.)
«Разделите 10 пополам. Сколько получится? Сколько остаётся ещё раз¬
делить'’» (2.) «Разделите 2 пополам. Сколько получится?» (1.)«А всего сколько
получится?» (5 да 1 будет 6.)
«Сколько же будет, если 12 разделить пополам? Значит, сколько книг
поставили на каждую полку?» (6.)
Предлагается вторая задача: «Верёпку длиной в II л разрезали пополам.
Какой длины получилась каждая часть3»
«Что нужно сделать, чтобы узнать, сколько метров в каждой части?
Как будем делить 14 на две равные части? На какие числа разобьём 14?»
(На 10 и 4.)
«Сколько получится от деления на две разные части КР Сколько полу¬
чится от деления на две равные части 43 Итак, сколько получится, если К
разделить на две равные части3 Сколько метров в каждой части?»
Так выполняется деление на 2 чисел 16, 18, 20; деление на
3 чисел 12, 15, 18; на 4 — чисел 12, 16, 20; на 5 — чисел 15, 20.
После этого нужно показать основной приём отыскания
частного — на основании таблицы умножения, на основании той
связи, которая существует между умножением и делением.
Для этого нужно выписать на классной доске таблицу умноже¬
ния на 2, прочитать её. Затем рядом с ней написать соответствую¬
щие примеры с неизвестным множимым (обозначив неизвестное
187


вопросительным знаком) и в третьем ряду — соответствующие им
примеры на деление. Запись на доске в конечном итоге будет
иметь следующий вид:
‘г X 2 =
4
?Х2= 4
4-2= 2
3X2 =
Ь
?Х 2= 6
6:2= 3
4X2 =
8
? X 2= 8
Ь‘2= 4
5X2 =
10
? X 2 = Ю
10:2= 5
6X2 =
12
? X 2 = 12
12:2= 6
7X2 =
14
^ X 2 = 14
14:2= 7
8X2 =
16
? X 2 = 16
16:2= 8
9X2 =
18
X 2 = 18
18:2= 9
10X2 =
20
? X 2 = 20
20 • 2 = 10
Разумеется, что эта запись появляется не сразу, а постепенно,
по мере выяснения отдельных случаев таблицы умножения и со¬
ответствующей ей таблицы деления.
Обт яснение каждого случая ведётся примерно в следующей форме:
«Прочитайте первый пример: 2X2=4. (По 2 взять 2 раза, будет 4.)
«Какое число надо повторить 2 раза, чтобы получить 4?» (2 надо повто¬
рить два раза, чтобы получилось 4.)
□
о #
• в
ь * «
о е «
'
© ® в
« Ф «•
о в в о
в • • «
«:2*.
2
6:2 =3
4*2 = 3
Рис. 29.
«Значит, если 4 разделить на две равные части — сколько получится?*
(4 разделить на две равные части, получится 2). Покажем на рисунке 29:
2 кружочка повторить 2 раза, будет 4 кружочка; 4 кружочка раз¬
делить на две равные части — получится по 2; 3 кружочка повторить 2 раза,
будет 6; б кружочков разделить на две равные части, получится по 3, и т. д.
В заключение хором и в одиночку читается таблица деления на 2, которая
даётся на дом для усвоения наизусть.
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ.
ПЕРВАЯ СОТНЯ.
Содержание этого концентра является некоторым подобием
всего курса начальной арифметики в его основных чертах.
Здесь с большей полнотой, чем в пределе второго десятка,
раскрывается сущность десятичной системы счисления. Сотня со¬
ставлена из десятков так же, как десяток составлен из простых
единиц. В пределе первой сотни ярче выявляются вычисли¬
тельные приёмы сложения и вычитания, связан¬
ные с разбивкой двузначных чисел на составляющие их десятич¬
ные группы.
В пределе первой сотни целиком и полностью заключена таб¬
лица умножения, которая является основой для изучения
умножения многозначных чисел. Здесь же впервые встречаются
внетабличные приёмы умножения и деления,
188


которые являются необходимой ступенью в изучении механизма
действий над многозначными числами.
Таким образом, знание первой сотни служит фундаментом
для изучения всего последующего курса арифметики.
Изучение сотни, ввиду сложности её содержания, занимает
более трёх четвертей учебного года и распределяется между
I и II классами.
В I классе изучается нумерация, сложение и вычитание в пре¬
деле 100; во II классе — умножение и деление в пределе 100.
Между нумерацией и сложением вклинивается в качестве особого
подраздела изучение действий над круглыми десяткам и.
Нумерация в пределе первой сотни.
Устная нумерация.
Для усвоения нумерации необходимы пособия: классные счё¬
ты и арифметический ящик (бруски, кубики). Учащиеся должны
иметь у себя на руках дидактический материал: палочки, спич¬
ки и др.
Всё, что учитель поясняет на брусках, кубиках или на счётах,
дети проделывают на своем счётом материале. Совместное при¬
менение демонстрационного и лабораторного приёма даёт наилуч-
шие результаты. Заканчиваются же занятия по каждому вопросу
упражнениями без применения наглядных пособий.
!. Знакомство с десятком как с новой счётной
единице й. УУ учителя в качестве демонстрационного пособия на столе
должны быть кубики и бруски арифметического ящика; у уча-
цихся в качестве дидактического материала должна быть сотня
залочек (прутиков, спичек).
Один учащийся по вызову учителя считает на столе кубики,
другие у себя на партах палочки.
Насчитав 10 палочек, дети связывают их в пучок; насчитав
10 кубиков, учитель заменяет их десятком — бруском. Счёт про¬
должается. Насчитав ещё 10 палочек, дети связывают их и полу¬
чают второй пучок-десяток; учитель второй десяток кубиков заме¬
няет вторым бруском. Получилось два десятка, или двадцать.
Продолжая счёт дальше, ученики считают: «Двадцать один, два¬
дцать два, двадцать три, двадцать четыре,..., двадпат восемь,
двадцать девять»; прибавив ещё одну палочку, получают третий
полный десяток. Всего получилось три десятка, три-десять, или
тридцать. Продолжая счёт дальше (тридцать один, тридцать
два и т. д), получают четвёртый десяток, или сорок. Так про¬
должается счёт до 100. У учащихся получится 10 пучков-десятков
палочек, у учителя 10 десятков-брусков.
189


		мешками сначала так*, один десяток, дв*
десятка, три десятка и т. д.; потом*, десять, двадцать, тридцати
сорок, пятьдесят, шестьдесят, семьдесят, восемьдесят, девяносто,
сто. Обратный счёт: сто, девяносто, восемьдесят,..., двадцать
десять.
Здесь же делаются некоторые простейшие обобщения: каждый
предмет при счёте называется единицей. Считать можно не:
только единицами, но и десятками. Десятками считают в пре-;
деле 100 так же, как и единицами.
После ознакомления учащихся с десятком как счётной едини¬
цей надо поупражнять детей в раздроблении десятков в единицы
и в превращении единиц в десятки.
«Пскзжые три десятка палочек. Как иначе назвать 3 десятка?» (Три де¬
сятка — грндца!ь )
«Покажи!*; девять десятков. Как можно назвать девять десятков?» (Де¬
вять десятков — эю девяносто ) «Как иначе назвать четыре десятка? Восемь
досяIков^ Шесть десятков?»
«Пятьдесят! Составьте эго число из пучков и скажите, сколько в нём де
сятков?» (Пятьдесят — это пять десятков.)
«Семьдесят! Составьте число из пучков и скажите, сколько в нём десят¬
ков?» (Семьдесят — это семь десятков.)
«Сколько десятков в числе 100? В числе 90? В числе 40?» и т. д.
2.	Составление двузначного числа из де¬
сятков и единиц.
Учитель показывает ученикам 2 бруска и 6 кубиков.
«Какое число они обозначают?» (Два бруска—два десятка; шесть куби¬
ков — шесть единиц. Всего два десятка, шесть единиц.) «Как иначе назвать
это шкло?» (Двадцать шесть.)
«Возьмите у себя четыре пучка и восемь палочек. Какое число они обо»
значаки?» (Четыре десятка и восемь единиц.) «Как иначе назвать это число?»
(Сорок восемь )
«К<ь> иначе назвать 9 десяткоо и 2 единицы? 7 десятков и 3 единицы?
4 л с ч. я гк л и 6 единиц?»
3	Разложение двузначного числа на десятки
н е я и и и ц ы.
«33. Составим это число из брусков и кубиков. Сколько в этом чнел#
десигко» н сколько е шнии?» (3 десятков и В единиц)
«*1й Сое иные эго чт.ю «м пучков н палочек Сколько и этом числе
десятков и сксчько единиц?» (4 десятка и б единиц.)
«Из скольких десятков и единиц состоит число тридцать три? Число со¬
рок четыре? Число шестьдесят один? (Тридцать три состоит из трёх десят¬
ков и 1 рсх единиц. Сорок четыре состоит из четырёх десятков и четырёх
единиц ) н т. д.
4	Отвлеченный счёт до 100.
Это чпражненне служит как бы проверкой пройденного, про¬
веркой тою, насколько дети сознательно переходят при
счёте от чиста к числу, особенно в тех случаях, когда кончается
190


идин десяток и начинается другой десяток. Некоторых детей мо¬
жет затруднить переход через круглые десятки; от некоторых из
них можно услышать такой счёт; «сорок семь, сорок восемь, сорок
девять, сорок десять». В таких случаях надо прибегать к объясне¬
нию на наглядных пособиях.
«Мы насчитали сорок девять. Обозначим это число на брусках
и кубиках. Прибавим сюда ещё I кубик. Сколько у нас стало от¬
дельных кубиков * Чем можно их заменить^» (Десятком.) «Заме¬
ним. Чем же обозначено теперь полученное число?» (Пятью бру¬
сками.) «Какое число обозначают 5 брусков?» (50.) «Значит, после
числа 49 какое следующее число надо назвать?» (50.)
Умение считать в пределе 100 проверяется при помощи сле¬
дующих вопросов:
а)	Какое число следует за числом 69? за числом 89? за числом 39?
б)	Какое число находится перед числом 40? перед числом 90?
в)	Какое число находится между числами 69 и 71? между числами 29
и 31? между числами 89 и 91?
г)	Между какими числами находится число 40? число 90? число 60?
Письменная нумерация.
Учащиеся уже умеют писать двузначные числа в пределе вто¬
рого десятка; по аналогии с ними они пишут и любые двузначные
числа. При этом надо ещё раз подчеркнуть поместное значение
цифр, сформулировав правило: «Единицы пишутся на первом
месте справа, десятки — на втором месте», или: «Единицы пи¬
шутся справа, а десятки — слева». Нужно также обратить внима¬
ние учащихся на значение нуля: «Нуль показывает, что в данном
числе нет единиц». Наиболее удобный порядок изучения письмен¬
ной нумерации двузначных чисел: а) письмо круглых десятков;
б) письмо любых двузначных чисел; в) чтение чисел.
3	а п и сь чисел. Запись круглых десятков, а равно и других
двузначных чисел даётся учащимся без особого труда, поэтому
объяснение этого вопроса должно быть просто и кратко Простого
показа, как пишется 30, 40, 50 и т. д., достаточно, чтобы ученики
поняли и усвоили запись этих чисел.
«Вы умеете считать десятками и рдмчииамн до 100. Теперь научимся пи¬
сать числа до 100. Считайте десятками до 100». (Десять, двадцать, тридцать,..
восемьдесят, девяносто, его) «Научимся писать крутые десятки. Напишите
«десять», «двадцать». (10, 20.) «Сколько десятков а первом числе3» (Один де-
еяюк.) «Во втором числе3» (Два десятка.) «Что обозначает цифра 1? Цифра 2?
Что показывает нуль?» (Что в этом числе нет единиц)
«Как записать число «тридцать?» (Написать цифру 3 и справа нуль — 30.)
«Число «сорок»? Число «пятьдесят»3» и 1. д
В результате получится запись на классной доске н в ученических тетра¬
дях:
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70. 80, 90, 100.
«На каком же месте справа пишутся елинчии? Десятки? Что пишут на ме¬
сте единиц, когда единиц нет3 Теперь научимся ж сап, числа, в которых есть
я десятки, и единицы. Запишем все числа от 20 до 30. Напашите число 21, 22,
19)


23, ... , 28, 29. Сколько десятков и сколько единиц в каждом из этих чи-
■сел? Где поставлены единицы* Десятки* Запишите все числа от 70 до 80».
Дальше под диктовку учителя идёт запись чисел вразбивку.
Объяснение записи чисел может ноешь и более наглядный, кон-
кретный характер. В качестве наглядных пособий могут быть
использованы таблички, разделённые пополам, палочки и разрез¬
ные цифры. Самая же работа по записи числа может проходить
в следующем порядке: 1) учитель называет число по разрядам,
например 2 десятка 6 единиц; 2) ученики составляют это число
из пучков и палочек, беря 2 пучка и 6 палочек; 3) пучки кладут
на левую сторону таблички, палочки — па правую сторону;
4)	кладут разрезные цифры — под десятками цифру 2, под едини¬
цами— цифру 6;	5) словами называют полученное число
«двадцать шесть» и 6) записывают его цифрами у себя в те¬
традях.
Чтение чисел. Учитель пишет одно за другим числа и
предлагает ученикам прочитать их, спрашивая, почему они так
прочитали его. Например, пишет число 78 и, предложив прочи¬
тать, спрашивает, почему это число «семьдесят восемь».
«Цифра 7 означает 7 десятков (стоит на втором месте); цифра
в означает 8 простых единиц (стоит на первом месте); 7 десятков
и 8 единиц — 78».
С таким подробным объяснением записывается 3—5 чисел,
г дальше даётся ученикам задание прочитать числа по задачнику.
Действия над круглыми десятками.
Действия над круглыми десятками являются хорошим повторе¬
нием пройденного. Здесь ещё раз повторяется таблица сложения
в пределе 10, закрепляется понимание учащимися десятка как
новой сложной счётной единицы и усваиваются такие навыки,
которые в качестве необходимого элемента войдут в состав дей¬
ствий над любыми двузначными числами. В этом разделе при
изучении деления учащиеся впервые знакомятся с делением по
содержанию.
Сложение и вычитание круглых десятков. Этот
навык всецело опирается на сложение и вычитание в пределе
первого десятка. Здесь добавляется только раздроб*1ение десятков
в единицы и превращение единиц в десятки.
В самом деле, чтобы сложить 50 и 30, нужно рзсс”Ж’Ы1Ь т, к «ПО—
это 5 десятков, 30 — это 3 десятка; к 5 прибавить 3 — будет 3, к 5
ярибавить 3 десятка — будет 8 десятков; 8 десятков — 80. Значит 50 да 30
будет 80».
Пак же выполняется и вычитание. «Пусть нужно от 70 о-цятт. ?0.
Рассуждаем так-
70— это 7 десятков, ^0 — это ? тесятка. От 7 десятков стыть 2 десят¬
ка — всё равно, что от 7 отнять 2; из 7 вычесть 2 — будет 5. Из 7 деся.хов
вычесть 2 десятка — будет 5 десятков, или 50. Значит, 70—20—50».
192


С такими подробными объяснениями решаются первые
3—5 примеров. В дальнейшем учитель прибегает к ним только
в случае затруднений. Наглядными пособиями здесь могут
служить бруски арифметического ящика и пучки палочек.
Умножение круглых десятков. Объяснение этого
действия даётся в том же плане, как действия сложения и вычи¬
тания. Первые примеры решаются на основе следующего объяс¬
нения.
«Пусть нужно умножить 20 на 3. Рассуждаем так: 20—это 2 десятка.
По 20 взять 3 раза—всё равно, что по 2 десятка взять 3 раза; 3 раза по
2 десятка—будет 6 десятков, или 60. Значит, 20 X 3 = 60».
Здесь наряду с термином «взять столько-то раз» можно всё
чаще и чаще пользоваться термином «умножить». «По 50 взять
2 раза—сколько получится'-1 50 умножить на 2 — сколько будет?
Теперь решите несколько примеров на умножение». Так исподо-
воль, постепенно учащиеся будут привыкать к правильному мате¬
матическому языку.
Деление круглых десятков. Естественно начать изу¬
чение этого действия с деления на равные части. Делитель в этом
случае будет однозначное число (80 : 2; 90 ; 3; 100.5, и т. д ).
Первоначально решаются примеры, в которых частное равно
10, например; 50:5 = 10; 70 -. 7 = 10; 90 : 9 = 10. Затем решаются
примеры, в которых частное равно нескольким десяткам, напри¬
мер: 80:2 = 40; 90:3 = 30 и т. д. И здесь приходится опираться
на деление в пределе первого десятка.
«Пусть дано50 разделить на бранных частей. Пятьдесят — это5 десятков;
5 десятков разделить на 5 равных частей—будет по одному десятку, или
по 10. Значит, 50 : 5 = 10».
«Пусть дано: 80 • 2. Восемьдесят — это 8 десятков; 8 десятков разделить
на 2 равные части — будет по 4 десятка, или по сорок. Значит, 80 : 2 = 40».
Эти примеры полезно проиллюстрировать на наглядных пособиях (на бру¬
сках арифметического ящика). Берётся 8 брусков, делятся они пополам, по¬
лучается по 4 бруска, или по 40.
Деление по содержанию. Деление круглых десятков
на круглые десятки (80:20; 90 :30 и др.) должно рассматриваться
^как деление по содержанию. Здесь надо исходить из деления
по содержанию чисел первого десятка. Но этот вид деления пока
ещё учащимся незнаком. Ознакомлением с ним и надо начать ра¬
боту. Чтобы выяснить смысл и запись деления по содержанию,
нужно предложить ученикам последовательно выполнить следую¬
щие операции:
а)	разложить одно и то же число предметов, допустим, ку¬
биков или шариков классных счётов, на группы различной вели¬
чины;
б)	раздать определённое число предметов, например каранда¬
шей, тетрадей и пр., нескольким ученикам;
в)	рассмотреть деление по содержанию на числовой фигуре.
13 А. С Пчёл ко
193


Учитель откладывает на классных счётах б шариков и пред¬
лагает расставить их сначала парами, потом тройками.
«Сколько шариков отложено на классных счётах?» (Шесть.) «Расставим
б шариков парами, или по лва Мы расставили шарики парами. Говорят ещё
иначе* мы разделили шарики по два. Сколько вышло у нас пар?
Ь шариков разделить по 2 шарика — сколько получится пар?» (Шесть шари-
ков разделить на пары—пол>чптея 3 пары.) «Разделим теперь наши шарики
на тропки».
Один из учеников расставляет шарики по 3.
«6 шариков разделить по 3 — сколько будет троек?» (б шариков разделить
по 3 — будет две тройки )
Далее учитель даёт одному из учеников 8 карандашей и пред¬
лагает раздать их товарищам по 2 карандаша каждому. Сколько
человек получат карандаши?
Ученик раздает и говори г «Даю одному 2 карандаша, даю другому
2 карандаша, всего роздал 4 карандаша. Даю третьему 2 карандаша; всего
роздал б карандашей. Даю четвертому 2 карандаша, всего роздал 8 каран¬
дашей»
«Сколько же всего учеников получили карандаши?» (4 ученика.)
«Значит, если 8 карандашей раздать по 2 карандаша, то получат каран¬
даши 4 человека»
После этого учитель предлагает ученикам вынуть палочки, от¬
ложить 12 палочек, разложить их сначала парами и подсчитать
число пар, потом тройками и подсчитать число троек, затем че¬
твёрками и подсчитать число четвёрок и наконец шестёрками.
Решается задача: «Перо стоит 2 коп. Ученик купил перьев на
10 коп. Сколько перьев купил ученик?» Эта первая задача решается так.
Учитель откладывает на счётах 10 шариков (10 копеек) и говорит: «Возьмём
две копейки — получим одно перо, возьмём второй раз две копейки, получим
второе перо, возьмем третий раз две копейки—* получим третье перо,
возьмём четвёртый раз две копейки — получим четвёртое перо,
остается взягь пятый раз две копейки и получить пятое перо. Получи¬
лось всего 5 перьев. Сколько раз двойка повторялась в 10?» (5 раз ) «Сколько
получилось перьев-5» (5 перьев)
«Значит, — говорит учитель, — сколько раз двойка повторится в 10,
столько бедет и перьев Чтобы решить задачу, что мы сделали?» (Разбили
число 10 на двойки, ичи разделили 10 на 2, получили 5)
Покачивается яапксь решения згой задачи.
10 коп. : 2 коп. = 5 раз
На последующих уроках при решении подобных задач учитель
установит, что 5 раз обозначает в данной задаче 5 перьев, и по¬
тому решение задачи может быть записано по-другому:
10 коп * 2 коп. = 5 (перьев).
После деления по 2 идёт деление чисел второго десятка по
3, 4, 5, 6. При решении задач наряду с термином «разделить по
два, по три» и т. д. можно познакомить учеников с выражением
«содержится, повторится столько-то раз».
Так, разделив, например, 15 по 3, учитель ставит следующие вопросы*
«15 разделили по 3 — сколько будет троек? Сколько же троек в 15?»
(В 15 — пять троек.) «Можно сказать" так: тройка содержится в 15 пять раз,
194


или тройка повторяется в 15 пять раз. Сколько раз тройка содержи гея в 15?
Сколько раз тройка повторяется в 15? Что надо сделать, чтобы узнать,
сколько раз тройка содержится в 15?» (Надо 15 разделить по 3.)
«Запишем это» (появляется запись 15 3 = 5)
Изучая деление по содержанию, надо установить связь деле¬
ния с умножением и приучить учащихся пользоваться этой связью
для нахождения результата деления (частного). Это нужно сде¬
лать после конкретного (на предметах) деления по 2, после того
как будет выяснен смысл деления по содержанию. Для этого пи¬
шется на доске и в тетрадях учащихся таблица умножения двух
на все числа первого десятка, а рядом с ней таблица деления на 2;
причём для отыскания частного всегда ставится вопрос:
«Сколько раз надо взять по 2, чтобы получить данное число,
(делимое) ?» Запись имеет следующий вид.
2X2=-!
2X3 = 6
2X4 = 8
2Х 9 = 18
4-2=2
6.2 = 3
8:2=4
'18.2 = 9
«Сколько раз надо взять по 2, чтобы получилось.
4?» (2 раза.) «Следовательно, если 4 раздели) ь по 2,
получится 2. Сколько раз надо взять по 2, чтобы по¬
лучилось 6»? (3 раза.) «Значит, если 6 разделить по
2, получится 3», и т. д.
Деление круглых десятков на круглые десят¬
ки. Эти упражнения проводятся с помощью тех же приёмов, ко¬
торыми учащиеся пользовались при сложении и вычитании круг¬
лых десятков.
Сначала нужно научить делить все круглые десятки на 10.
Пусть Дано 60:10 = ? Этот пример читается так 60 разделить по 10*
сколько получится? 60 — это 6 десятков; 6 десятков разделить по одному
десятку, или 6 разделить по одному — получится 6. Значит. 60:10 = 6.
Затем производится деление по 20, 30, 40, 50.
Пусть дано 90 разделить по 30. Ученик рассуждает так: «90 — это 9 де¬
сятков; 30 — это 3 десятка; разделить 9 десятков по 3 десятка—всё равно,
что разделить 9 по 3; 9 разделить по 3, получится 3. Значит, 90:30 = 3».
Наряду с этим нужно применять иногда и другой ход рассуждений, осно¬
вывающийся на связи деления с умножением.
Пусть дано 80 разделить по 40 (80 :40 = .?) Ставим вопрос: «Сколько раз
надо взять по 40, чтобы получить 80?» (2 раза.) «Значит, 80:40 = 2».
Есть ещё один способ объяснения примеров такого типа. Пусть дано 100
разделить по 20. Записав деление (ИХ). 20 = 3). ставим вопрос: «Сколько раз
20 содержится в 100? 20 содержится в 100 пять раз, 5 раз по 20 будет 100.
Следовательно, 100 разделить на 20, будет 5».
Различные варианты вопросов надо вводить с некоторой осто¬
рожностью, постепенностью, чтобы не сбить учащихся.
Понимание смысла деления по содержанию достигается глав¬
ным образом на решении задач. Поэтому изучение этого вопроса
ведётся не столько на примерах, сколько на задачах. Задачи нуж¬
но решать в возможно большем количестве, приучая на них объ¬
яснять действие и записывать его. И действие 'и запись его для
семи-восьмилетнего ребёнка представляют немалые трудности.
Приведём пример решения такой задачи.
13*
195


«Ьчбтиотека закупила 90 книг. Книги связали в пачки, по 30 книг в ка-
гкдои пачке. Сколько пачек получилось?»
После получения от учеников ответа (3 пачки) учитель ставит такие во¬
просы: «Как вы узнали, что 3 пачки?» (90 книг разделили по 30 книг.) «Поче¬
му вы делили 90 по 30?» (Потому что пачек было столько, сколько раз 30
содержится или повторяется в 90; 30 содержится в 90 три раза ) «Что нужно
сделать, чтобы узнать, сколько раз 30 содержится в 90?» (Нужно 90 разде¬
лить по 30.)
«Запишите решение задачи».
90 кн.: 30 кн. = 3 (пачки).
Планирование темы. Данная тема может быть пройдена в течение 20—21
урока, включая сюда примерно 4—5 уроков на знакомство с делением по со¬
держанию. Таким образом, 21 урок складывается из следующих частей: а) ну¬
мерация в пределе 100 — 5 уроков, б) сложение круглых десятков — 2 урока;
в) вычитание — 3 урока; г) умножение—3 урока; д) деление (с делением
по содержанию) — 8 уроков.
Сложение и вычитание в пределе 100.
На этом этапе изучения арифметики нужно добиться отчёт¬
ливого понимания учащимися вычислительных приёмов,
применяемых при сложении и вычитании двузначных чисел. Это
типичные приёмы устных вычислений. Здесь заклады¬
ваются, таким образом, основы устного счёта. Научить детей вла¬
деть вычислительными приёмами сложения и вычитания в преде¬
ле 100 — это значит научить их основам устного счёта. Эта зада¬
ча насколько ответственная, настолько и трудная. Чтобы преодо¬
леть эти трудности, нужно вести обучение приёмам вычислений
в строгой системе, на наглядных пособиях; нужно не только объ¬
яснять учащимся, но и требовать от самих учеников объяснения
того, как они выполнили действие над данными числами.
Все случаи сложения и вычитания в пределе 100 могут быть
разделены на две группы: а) сложение и вычитание без перехода
через десяток, требующее знания таблиц этих действий только
в пределе 10; б) сложение и вычитание с переходом через деся¬
ток, где применяются таблицы в полном объёме.
К первой группе принадлежат такие случаи сложения, в кото¬
рых сумма единиц слагаемых меньше или равна 10 (32+45;
58+22), и соответствующие им случаи вычитания, в которых
единицы уменьшаемого больше единиц вычитаемого или единиц
вовсе нет (68—35; 90—43). Вторую группу образуют такие слу¬
чаи сложения, в которых сумма единиц слагаемых больше 10, и
случаи вычитания, в которых единицы уменьшаемого меньше
единиц вычитаемого.
А. Сложение и вычитание без перехода через десяток.
Сюда относятся следующие случаи сложения и вычитания:
1)	50+6; 6+50; 84—4; 84—80, т.е. сложение круглых десятков
с единицами и вычитание из двузначного числа его единиц или
десятков. Эти случаи требуют только знания нумерации: 5 десят¬
ое


ков и 6 единиц составляют число «пятьдесят шесть», и пишется
оно так: 56; 84 — это 8 десятков и 4 единицы; если отнять 4 еди¬
ницы, то останется 8 десятков, если отнять 8 десятков, останут¬
ся 4 единицы.
2)	35 + 4; 48 — 5; 6 + 42; 48 — 42, т. е. прибавление к двузнач¬
ному числу однозначного числа, которое вместе с единицами пер¬
вого слагаемого составляет меньше 10, и вычитание из двузначного
числа однозначного числа, которое меньше единиц уменьшаемого.
Приём сложения в данном случае заключается в том, что
4 единицы прибавляются к 5 единицам, и затем полученные 9 еди¬
ниц прибавляются к 3 десяткам. Этот приём показывается на
брусках и кубиках арифметического ящика или на пучках-десят¬
ках и отдельных палочках. Пример 6+42 решается на основе
перестановки слагаемых.
Приём вычитания состоит в том, что единицы вычитаются
из единиц уменьшаемого, не трогая десятков. Иллюстрируется
этот приём на тех же наглядных пособиях, что и сложение. По¬
следний пример, вычитание двузначного числа из двузначного,
рассматривается дальше.
3) 35+20; 58—30; 40+32; 73—23, т. е. прибавление к двузнач¬
ному числу круглых десятков и, наоборот, к круглым десяткам
двузначного числа; вычитание круглых десятков из двузначного
числа и вычитание двузначных чисел, имеющих единиц поровну.
Приём сложения и вычитания в данном случае заключается
в том, что десятки прибавляются и вычитаются от десятков дву¬
значного числа: 35+20— (30+20) +5; 58—30= (50—30) +8 При¬
мер 40+32 решается так же, как и предыдущий, т. е. к десяткам
прибавляются сначала десятки двузначного числа, а потом еди¬
ницы: 40+32= (40+30) +2.
Вычитание 23 из 73 сводится к последовательному вычитанию
из 73 сначала десятков, а потом единиц вычитаемого. Все эти
приёмы поясняются или на брусках и кубиках, или на пучках и
палочках.
4)	46+32; 78—32, т. е. сложение и вычитание двузначных чи¬
сел. Существует два приёма сложения и вычитания чисел:
Первый приём, когда десятки складываются с десятка ми,
единицы — с единицами и полученные числа складываются; по¬
следовательность сложения видна из следующей формулы-.
46+32= (40+6) + (30+2) -= (40+30) + (6+2) =70+8=78.
Второй приём, когда разлагается на разряды только вто¬
рое слагаемое и к первому слагаемому прибавляются сначала
десятки, а потом единицы второго слагаемого: 46+32= (46+30) +
+2=76+2=78. Оба эти приёма надо показать учащимся, начав
с первого. Второй приём имеет преимущество перед первым:
учащемуся не приходится держать в уме сумму десятков.
Вычитание проводится по аналогии со сложением:
78—32= (78—30) —2=48—2=46.
197


5)	26+4; 4+26; 30—4. Этот случай сложения называется до¬
полнением двузначного числа до круглых десятков. На брусках и
кубиках или на пучках и палочках легко показать приём сложе¬
ния- единицы прибавляются к единицам, получается десяток; этот
десяток прибавляется к десяткам.
Для показа вычитания на примере 30—4 берутся три пучка-
десятка палочек. Один десяток-пучок развязывают и от 10 пало¬
чек о (ипмло 1 4 палочки Ос гае!си два целых пучка да ещё 6 па¬
лочек, всего 26 палочек.
Для решения примера 4+26 нужно воспользоваться приёмом
перестановки слагаемых.
6)	48-1-32; 80—48, т. е. сложение двузначных чисел, когда
сумма единиц равна 10, н вычитание двузначного числа из круг¬
лых десятков.
Приём сложения в данном случае заключается в том, что
десятки складываются с десятками, единицы — с единицами:
48 + 32 = (40 + 30) + (8 + 2) = 70 + 10 = 80.
Ио сложение можно выполнить и так* к 48 прибавляется 30, по¬
лучается 78, к 78 прибавляется 2, получается 80. Вычитание вы¬
полняется так: от 80 отнимается 40, остаётся 40; от 40 отни¬
мается 8, остаётся 32. Чтобы от 40 отнять 8, на до один из де¬
сятков раздробить в единицы.
Эти приёмы учитель демонстрирует на брусках и кубиках,
а учащиеся воспроизводят их на пучках палочек и отдельных
палочках.
Б. Сложение и вычитание с переходом через десяток.
I)	38 б; 7 + 26;	42 — 5. т. е. прибавление к двузначному
числу однозначного и вычитание из двузначного числа однознач¬
ного.
В первом примере сложение может быть выполнено двояким
способом.
П о р в ы и способ Дополняют первое слагаемое до круглых
десятков, прибавляя к нему 2, а потом к 40 прибавляют осталь¬
ные 4 единицы. Этот приём требует хорошего знания таблицы
сложения в пределе только 10.
Второй г л о с о б. Разлагают 38 на десятки и единицы (3 де¬
сятка н 8 единиц), складывают 8 и 6, затем полученную сумму
14 прибавляют к 30.
38 + 6 = (30 + 8) + 6 = 30 + (8 + 6) = 30 + 14 = 44.
Второй приём нужно предпочесть первому, как более простой
и полностью совпадающий с соответствующим случаем сложения
без перехода через десяток.
Вычитание производят так: отнимают от уменьшаемого (42)
его единицы, чтобы сделать уменьшаемое круглым числом, а по¬


том от 40 отнимают остальные 3 единицы. Возможны и другие
приёмы вычитания. Так, можно было бы от 40 отнять 5 и к остат¬
ку прибавить 2, или разбить 42 на два числа — 30 и 12 и от 12
отнять 5. Но два последних приёма явно нерациональны: он’И
сложнее первого, а потому и не могут быть рекомендованы.
Сложение в примере 7 + 26 выполняется на основе переста¬
новки слагаемых.
Поясняются эти приёмы па вышеуказанных наглядных по¬
собиях и дидактическом материале.
2)	57 + 28; 82 — 45, т. е. сложение двузначного числа с дву¬
значным, когда сумма единиц больше 10; вычитание двузначного
числа из двузначного, когда единицы уменьшаемого меньше еди¬
ниц вычитаемого. Чтобы сложить 57 и 28, поступают так: склады¬
вают десятки с десятками (50 + 20 = 70), единицы с единица¬
ми (7 + 8= 25), затем складывают обе суммы (70+ 15=85).
Или можно сложить эти числа короче, не разбивая первое
слагаемое на десятки и единицы: к 57 прибавить 20, получится 77;
к 77 прибавить 8, получится 85.
Второй приём нужно предпочесть первому, так как при нём
не приходится держать в уме сумму десятков.
Чтобы от 82 отнять 45, поступают так: отнимают от 82 сна¬
чала 40, остаётся 42; затем от 42 отнимают 5, остаётся 37.
Существуют для данного случая и другие приёмы вычитания, но они ме¬
нее рациональны. Так, можно было бы от 82 отнять 42, чтобы получить круг¬
лые десятки (40), а затем от круглых десятков отнять остальные 3 единицы;
или можно было бы разбнть 82 на два числа — 70 и 12 н затем вычитать 40
из 70 и 5 из 12. Последний приём типичен для письменного вычитания; для
устного вычитания он громоздок, а потому и не может быть рекомендован.
Этими ступенями и исчерпываются все случаи сложе¬
ния и вычитания в пределе 100. Нетрудно видеть, что они рас¬
положены в порядке постепенно возрастающей сложности и труд¬
ности. Каждый предыдущий случай является основой для по¬
следующего; навык в решении предыдущего примера входит
в состав более сложного последующего навыка.
Более трудными являются последние примеры: сложение дву¬
значных чисел с переходом через десяток (типа 48 + 37) и со¬
ответствующее ему вычитание (типа 82 — 36).
К числу примеров, где учащиеся допускают довольно часто
ошибки, относится пример на вычитание типа 80—46-
Планирован и е. На каждую из вышеуказанных ступеней нужно
отвести в плане 3—4 урока с таким расчётом, что на первом уроке показы-
вается и объясняется приём сложения и даются первоначальные упражнения
в этом действии; на втором уроке объясняется приём вычитания и даются
первоначальные упражнении п применении этого приёма; на третьем уроке про¬
изводятся упражнения в применении показанного приёма к сложению и вычи¬
танию; этой же цели посвящается и четвёртый урок, при изучении более труд¬
ных случаев сложения и вычитания, каковыми являются случаи с переходом
через десяток
199


Язык учащихся. Нужно следить за тем, чтобы при чте¬
нии примеров речь учащихся была правильной, чтобы имена
числительные склонялись правильно. Пример 45 4-37 = 82
должен читаться так: «К с о р о к а пяти прибавить 37. получится
82». Или: «К числу сорок пять прибавить тридцать семь, полу¬
чится 82». Или: «Сорок пять да тридцать семь, будет 82». Первая
и вторая ферма применимы тогда, когда ученики записывают при¬
меры под диктовку учителя; третья форма может употребляться,
когда ученики читают написанные примеры по задачнику или
по своим тетрадям.
Пример 92 — 28= 64 должен читаться так: «От девяноста
двух отнять двадцать восемь, получится (или останется)
шестьдесят четыре». Или: «Из девяноста двух вычесть два¬
дцать восемь, получится шестьдесят четыре». Или:	«От числа
девяносто два отнять двадцать восемь, останется шестьдесят
четыре». Наконец: «Девяносто два без двадцати восьми будет
шестьдесят четыре».
Нельзя пример 45 4- 37 = 82 читать так: «Сорок пять приба¬
вить тридцать семь, получится 82». Рамо как пример 92 — 28 =
= 64 нельзя читать так: «Девяносто два отнять двадцать восемь,
получится 64»-
Правильное склонение имён числительных для ученика I класса
дело нелёгкое, однако приучать к этому детей нужно, уже начи¬
ная с I класса. Не склонять числительные можно в том случае,
когда учитель медленно диктует пример, а ученик под диктовку
записывает, например: «Сорок пять (пауза) прибавить (пауза)
тридцать семь (пауза), будет. .. ».
Разностное сравнение.
При разностном сравнении чисел разность может выступать
или в качестве данной, или в качестве искомой величины.
Такие задачи и примеры, где разность фигурировала как данное
число, учащиеся уже решали (например; «У одной девочки было
10 картинок, у другой — на 3 картинки меньше. Сколько картинок
было у другой девочки? Какое число на 4 меньше 9?» и т. д.).
Теперь нужно ознакомить учащихся с решением таких задач
и примеров, в которых разность двух величин или чисел является
искомой. Например: «В одной коробке 28 перьев, в другой 20. На
сколько перьев в первой коробке больше, чем во второй?»
В этой задаче данными являются два числа; искомым—их раз¬
ность. Такого рода задачи относятся к задачам на разностное
сравнение. На их решении расширяется смысл вычитания. Учащие¬
ся узнают, что вопрос «на сколько одно число больше или меньше
другого» решается вычитанием.
Прежде чем решать задачи на разностное сравнение, нуж¬
но выяснить это понятие на наглядных пособиях, причём демон¬
страция пособий должна быть проведена так, чтобы из неё как
200


можно ярче и убедительнее вытекала необходимость вычитания. Здесь
самое трудное для детей заключается в том, что для ответа на
вопрос — «па сколько одно число больше или меньше другого» —
нужно из большего числа вычесть меньшее. На преодоление этой
трудности и должно быть направлено всё внимание учащихся.
Изучение данного вопроса ведётся примерно так:
I. «Возьмите в правую руку 3 палочки, в левую руку—столько же. У вас
в правой и левой руке палочек поровну. Теперь возьмите в правую руку
ещё 2 палочки. Сколько палочек стало у вас в правой руке? Сколько в левой
руке? Теперь у вас палочек в правой и левой руке не поровну. Где больше
палочек? Где меньше? Насколько палочек в правой руке больше, чем в левой?
Сколько палочек надо взять из правой руки, чтобы получить столько же,
сколько в левой0 Сколько палочек надо прибавить в левую руку, ч(обы полу¬
чить столько, сколько их в правой руке?»
Цель этого упражнения — показать возможность сравнения чисел.
Дальше нужно показать приём сравнения.
2 Учитель вызывает к столу двух учеников и даёт одному 4 карандаша,
другому 6 карандашей. «Кому дано больше карандашей и на сколько больше?
Для этого узнаем, сколько лишних карандашей дано второму ученику.
— Отдай мне твои карандаши», — говорит учитель, обращаясь к первому
ученику, получившему 4 карандаша.
«Отдай и ты столько же, оставь только лишние» — говорит учи¬
тель, обращаясь к ученику, получившему 6 карандашей. «Сколько каранда¬
шей осталось лишних?» (2 карандаша.)
«На сколько же б больше 4?» (На 2.) «Как мы это узнали?» (О; 6 карай-
дашей отняли 4 карандаша.)
«Как узнать, на сколько 6 карандашей больше 4 карандашей?» (Надо
от 6 карандашей отнять 4 карандаша.)
На доске учитель записывает: б кар.— 4 кар. = 2 кар. Запись читается
так: 6 карандашей больше 4 карандашей на 2 карандаша.
«Сколько надо добавить к 4 карандашам, чтобы получилось 6 карандашей?
На сколько 4 карандаша меньше 6 карандашей?»
3. Приём сравнения повторяется ещё раз на сравнении длины двух поло¬
сок бумаги — 18 см и 12 см.
«Вот две полоски бумаги, одна длиной в 18 см, другая — в 12 см»,—
говорит учитель, прикрепляя обе полоски к классной доске: сверху длинную,
снизу более короткую. — «На сколько сантиметров верхняя полоска длиннее
нижней? Чтобы это узнать, поступим так: отложим на длинной полоске ко¬
роткую и отрежем отложенный кусок. В остатке будут лишние сантиметры.
Сколько их?» (6 см.) «Проверим измерением. Как мы получили 6 см?»
(От полосы в 18 см отрезали полоску в 12 см.) «На сколько же верхняя
полоска длиннее нижней? На сколько 18 см больше 12 см? Как мы это уз¬
нали?» (От 18 см отрезали (отняли) 12 см). Учитель записывает: 18 см —
— 12 см = 6 см.
Запись читается так: 18 см больше 12 см на 6 см. Или: 12 см меньше
18 см на 6 см. Или: от 18 см отнять 12 см, получится 6 см.
Приём разностного сравнения демонстрируется ещё на одном примере:
сравнении количества шариков на классных счётах, а также на дидактическом
материале.
После этого решаются простые задачи на разностное сравнение:
I)	«В первом классе 40 учеников, а во втором 35. На сколько
учеников в первом классе больше, чем во втором?»
201


а)	«карандаш стоит 8 коп , а ручка 12 коп. На сколько ручка
стоит дороже чем карандаш?» и т. д.
Заканчивается изучение данного вопроса упражнениями в срав¬
нении отвлечённых чисел: «На сколько 10 больше 7? На сколько
15 меньше 20? На сколько 30 больше 23? Что надо сделать, что¬
бы ответить на каждый из этих вопросов?»
Умножение и деление в пределе 100.
(Программа II класса.)
В пределе 100 нужно различать табличное и внетаб-
личное умножение и деление. К табличному умножению от¬
носятся все случаи умножения однозначных чисел с соответ¬
ствующими случаями деления (6X8; 4X5; 48:6; 35:7 и т. д.).
Очи составляют таблицу умножения и деления в пределе 100.
К внетабличным относятся случаи умножения двузначного
числа на однозначное и однозначного# на двузначное,
когда произведение этих чисел не превышает 100, и все соответ¬
ствующие им случаи деления.
Таблицы умножения и деления можно изучать по-разному:
а)	можно умножение и деление проходить раздельно, т. е. сна¬
чала изучить все случаи таблицы умножения и только после этого
перейти к изучению таблицы деления; б) но можно то и другое
проходить совместно, параллельно, т. е. изучив, например, случай
умножения 5 на все числа первого десятка, изучить сейчас же
и все случаи табличного деления на 5, и т. д. В нашей школе
умножение и деление в пределе 100 проходится совместно,
параллельно. Такой порядок вполне оправдал себя: благодаря та¬
кой системе в сознании учащихся устанавливается тесная связь
между этими взаимнообратными действиями, результаты деления
находятся при помощи таблицы умножения.
Остаётся ещё разрешить вопрос о том, в каком порядке про¬
ходить деление на равные части и деление по содержанию. Не¬
сомненно, что и на этой ступени надо, чтобы учащиеся строго
различали эти два вида деления.
Отсюда, однако, не следует, что время их прохождения надо
отделять большим промежутком и что вообще весь процесс усвое¬
ния таблицы умножения и деления нужно растягивать на продол¬
жительное время (как это, к сожалению, делается в нашей шко¬
ле). Наоборот, есть возможность достигнуть указанных целей при
помощи более компактного изучения данного раздела. Мы пола¬
гаем целесообразным вслед за умножением данного числа рас¬
сматривать сейчас же оба вида деления на данное число один за
другим — деление на равные части и деление по содержанию.
Например, после изучения умножения 6 на числа первого де¬
сятка изучать табличное деление на 6 сначала как деление по
содержанию, а потом как деление на равные части (деление по
6 и деление на 6 равных частей). И тот и другой вид деления
202


должен быть тесно связан с умножением:	результат деления
всегда находится при помогай таблицы умножения.
Например, требуется 30 разделить по 6. Чтобы найти частное, ставим
вопрос: «Сколько раз надо паять по 6, чтобы получить 30? (6 X * — 30)». Оче-
видно, 5 раз Пятью шесть — трндиагь. Следовательно, 30 6 — 5
Если же 30 делим на 6 равных частей, то для отыскания частного ста¬
вим вопрос !.ж «Какое число надо умножить на 6, чтобы получить 30?
•(х X 6 = 30)» Очевидно, таким числом бу аст 5, потому что шестью пять —
тридцать.
Такой порядок совместного изучения обоих видов деления
предполагает широкое использование переместительного
•свойства умножения, с которым нужно ознакомить учащихся
пораньше (в связи с изучением таблицы умножения 4 или 5)
Сущность каждого вида деления постигается детьми не
•столько на примерах, сколько на задачах. Поэтому в качестве
материала для упражнений в усвоении таблицы деления нужно
использовать в возможно большем количестве задачи. Смысл
задачи должен подсказать ученику, с каким видом деления он
имеет дело.
Например, пусть ученики решают задачу «Колхозник продал 2В кг мор-
хови 7 покупателям, каждому поровну Сколько килограммов моркови купил
каждый покупатель?» На вопрос. «Что нужно сделать, чтобы решить за¬
дачу»,— ученик должен ответить: «Нужно 28 кг разделить на 7 равных ча¬
стей (28 кг: 7 = 4 кг)». Возьмём вторую задачу на деление'. «Пешеход про¬
вёл 28 кн, проходя в час по 4 км. Сколько часов потребовалось пешеходу,
чтобы пройти это расстояние^»
Объясняя деление в данном случае, ученик должен сказать: «Пешеходу
потребовалось столько часов, сколько раз 4 км повторится или содержится
в 28 км. Чтобы узнать, сколько раз 4 км повторится в 28 км, нужно 28 км
разделить по 4 км (28 км 'Л км — 7 (час.)».
Таблица умножения может быть составлена по постоянному
множимому и по постоянному множителю. (Подробнее об этом
см. стр. 176)
Следует придерживаться такого порядка: вначале составлять
таблицу по постоянному множимому, а затем, при повторении,
перегруппировать сомножители и повторить ее по постоянному
множителю. В первом случае нужно пользоваться такой термино¬
логией: «2 раза по 5, будет 10; 6 раз по 5, будет 30; 5 умножить
на 2, будет 10; 5 умножить на 6, будет 30» и т. д. Во втором слу¬
чае таблица читается так: «Дважды пять —10; трижды пять—
15, пятью шесть —30, пятью восемь — 40» и т. д.
Таблицу умножения можно пройти в порядке натурального
ряда чисел, т. е. изучить последовательно умножение 2 (повторе¬
ние пройденного в I классе) 3, 4, 5, .	9. Но можно, учитывая от¬
носительную трудность различных случаев умножения, сделать не¬
значительную перестановку в числах: так после 2 поставить умно¬
жение 5, после .умножения 6 изучить умножение 8, а умножение
7 поставить в конце.
203


Основные приёмы табличного умножения.
Самый элементарный приём умножения — это набор рав¬
ных слагаемых по одному с последующей заменой сло¬
жения умножением. Пусть, например, дети учатся умножать 7 на
6; 6 семёрок они набирают так: 7 да 7 — 14; 14 да 7—21; 21 да
ещё 7 — 28; 28 да 7 — 35; 35 да ещё 7 — 42. Итак, если взять
6 раз по 7, получится 42. Записывая набор слагаемых по одной
семёрке, получим:
7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 42.
Заменяем сложение умножением и получаем такую запись:
7X6 = 42.
Начав с этого приёма, надо показать учащимся и другой
приём набора, приводящий к более быстрому получению резуль¬
тата:	набор слагаемых группами (применение распре¬
делительного закона умножения). Чтобы набрать б семёрок по
этому способу, поступают так:	набирают 3 семёрки и ещё
3 семёрки и полученные результаты складывают.
7X3 = 21; 7X3=21; 21+21=42; 7X6 = 42.
Можно сгруппировать слагаемые и по-другому, набирая по
2 семёрки. Тогда получим:
7X2=14; 7X2=14; 7X2=14; 14+14 + 14 = 42;
7 X 6 = 42.
Третий приём нахождения табличного результата — это пере¬
становка сомножителей (применение переместительного
свойства умножения). При изучении случая 8X5 ученики долж¬
ны уметь набрать не только 5 восьмёрок, набирая их по одной
или группами, но и должны знать, что при этом можно использо¬
вать переместительное свойство умножения, заменив этот случай
равным ему 5X3, уже известным учащимся. Если пораньше и
как следует разъяснить учащимся это свойство и в дальнейшем
твёрдо и постоянно опираться на него, то можно было бы табли¬
цы умножения по постоянному множимому и по постоянному мно¬
жителю проходить одну вслед за другой, не относя последнюю
в конец и не выделяя её в самостоятельный раздел, как это де¬
лается в настоящее время.
Наконец, при изучении умножения 9 целесообразно исполь¬
зовать приём округления множимого, округляя 9 до
10. Вместо того чтобы набирать, например, 6 девяток, легче на¬
брать б десятков и из 60 вычесть лишние 6 единиц.
Кроме указанных, есть ещё и другие приёмы составления таб¬
лицы, однако обилием приёмов и разнообразием упражнений не
нужно злоупотреблять, иначе ученики ни одного приёма не усвоят
как следует.
204


Каждый приём надо конкретизировать на наглядных
пособиях. Лучшими из них в данном случае являются:
1) прямоугольники, составленные из квадратиков, распо¬
ложенных рядами, и 2) классные счёты. На прямоугольниках
удобно показать набор равных слагаемых по одному и группами
и использование переместительного свойства умножения; на класс¬
ных счётах — набор равных слагаемых и приём округления.
74
74
74
21 +21=42
7x6 =42
5 5	7
Ъл
РХ
Хх
X;
'Л-
/
_ 1.1]
1 1
1
1
1
27/
Д21
Ч 7*5 - +?
6*7-42
Рис. 30.
Пусть нам нужно проиллюстрировать набор 6 семёрок. Для
дтого можно использовать прямоугольник с шестью рядами по се-
■ми клеток в каждом ряду (рис, 30). Этот же прямоугольник
можно использовать и для иллюстрации равенства:	7X6=
N6X7.
| То же можно проделать и на классных счётах. Умножение
Ь на 6 иллюстрируется так (рис. 31):
А д а Ф • л
—ш
АДА
<ё й д д й д а
999
.. Д |й
9999999
999
тал
		 9913 «99 1 '
-АДДДААА
999
А А9
шш
—
7*2 = 14
7*2 = 14
7 *2 =14
7'3 = 21
21+21=42
14 г 14 - 14 =42
Рнс, 31.
205


Основные приёмы деления на равные части и по содержанию.
Как правило, деление производится на основе умножения.
Результат берётся сразу из таблицы умножения или же выясняет¬
ся путем проб. Приём, основанный на взаимосвязи умножения и
деления, — самый надёжный приём. Чтобы подчеркнуть эту связь,
полезно при изучении деления решать примеры с х такого типа:
8 X Л = 40; ЭХ*— 72. При этом учитель даёт пояснения и ста¬
вит такие вопросы: «По 8 взяли несколько раз и получили 40.
Сколько раз надо взять по 8. чтобы получить 40?» (5 раз.) «Зна¬
чит, сколько же раз 8 содержится в 40?» (5 раз.) «Как записать
решение этого вопроса?» (40:8 = 5.)
Можно разлагать делимое на слагаемые и делить каждое
слагаемое отдельно. Например, чтобы разделить 36 по 4, можно
поступить так: 20 разделить по 4, будет 5; 16 разделить по 4,
будет 4; а всего 5 да 4 будет 9. Однако этот приём далеко не
всегда применим.
Деление на равные части выполняется также на основе умно¬
жения. Допустим, что надо 36 разделить на 4 равные части.
В каждой части будет по 9, потому что четырежды девять —36.
И здесь для подчёркивания связи между умножением и делением
полезно решать примеры с х типа: *Х8 = 32.
Решение примера объясняется так: «Какое-то число умножили на 8. и по¬
лучилось 32 Какое это число?» (4.) «Почему 4?» (Потому что взять 8 раз
по 4, будет 32.) «Значит, восьмая часть 32 чему равняется?» (4.) «Как это
записать?» (32 : 8 = 40
Есть ещё один приём нахождения частного, основанный на распредели¬
тельном свойстве деления. Допустим, что ученик забыл, что 8 X 4 = 32, и по¬
этому не может найти частное от деления 32 на 8. Тогда можно делить
16 на 4 и ещё раз 16 на 4.
Что же касается приёма последовательного деления,
го он на этой ступени неприменим, так как он приводит к вне-
табличному делению, с которым учащиеся ещё не знакомы. Так,
если бы мы, деля 36 на 4, стали делить 36 на 2 и потом получен¬
ный результат ешё на 2, то мы сразу натолкнулись бы на вне-
табличное деление (36:2 = 30 : 2 + 6 *. 2 = 15 + 3 = 18), чего
учащиеся ещё не знают.
Умножение 3 и деление на 3.
Работа ведётся по следующим основным этапам:
1.	Счёт тройками в пределе 30. «Будем считать трой¬
ками до 30». Ученики считают: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.
«Запишите результаты счёта тройками». Один ученик на доске,
г другие в тетрадях записывают названные числа. «Отсчитывайте
по тройке, начиная с 30». Ученики считают и затем по предложе¬
нию учителя записывают полученные числа: 30, 27, 24,..., 6, 3, 0.
2 Запись на доске присчитывания по 3 в виде
206


сложения. «Запишем на доске и в тетрадях .прибавление по-
3». (См. запись на с^р. 181.) «Заменим наши длинные записи корот¬
кими. Дл-я этого сложение заменим умножением». Против каждой
строчки сложения троек пишется соответствующее ей умножение»
и получается таблица умножения, расположенная справа. Таблица
читается учениками в одиночку и хором. Читается она сначала так:
«По 3 взять 2 раза, получится 6. По 3 взять 3 раза, получится 9.
По 3 взять 4 раза, получится 12»* и т. д. до конца. Затем форма чте¬
ния меняется: «3 умножить на 2, будет 6; 3 умножить на 3, бу¬
дет 9; 3 умножить на 4, будет 12» и т. д. до конца.
3.	Набор троек не по одной, а группами. «Как на¬
брать 5 троек? 7 троек?» Ученики набирают по одной тройке, при¬
бавляя одну тройку за другой- «Так считать долго и можно оши¬
биться Тройки можно набирать группами, сразу по нескольку.
Так будет скорее и легче».
«Если мы знаем, что две тройки — б, то как набрать 4 тройки?» (Лве
тройки — б, да ещё две тройки — 6, всего 6 да б— 12.) «Если мы знаем, чго
4 тройки— 12, то как набрать 8 троек?» (4 тройки— 12 да ещё 4 тройки —
12, а всего 8 троек составляют 12 да 12 = 24.) «Теперь будем ускоренным
путём набирать 3, 6 и 9 троек. Как набрать 3 тройки, если мы знаем, что
2	тройки — б?» (К двум тройкам прибавим одну тройку или к б прибавим 3,
получится 9. 3 тройки составят 9.)
«Если мы знаем, что 3 тройки — 9, то как скорее набрать 6 троек?»
(3 тройки — 9 да 3 тройки — 9; 9 да 9—18. Значит, б троек — 18.)
«3 тройки — 9. Как набрать 9 троек?» [3 тройки да 3 тройки да ещё-
3	тройки, а всего будет 9 да 9, да ещё третий раз 9 — всего 27 (9 + 9 = 18;
18 + 9 = 27). Значит, 9 троек — 27).
«Как набрать 5 троек?» (Три тройки да две тройки.)
«Как набрать 7 троек?» (Пять троек да две тройки.)
«Запишем нашу таблицу в том порядке, в каком мы набирали тройки;
группами».	1
Получается запись:
3X2— 6	3X3= 9	3X3= 9
3X4=12	3 X Ь = 18	3X5=15
3X8 = 24	3X9 = 27	3x7 = 21
Упражнения в решении задач и примеров на
умножение 3. Усвоение таблицы умножения требует много¬
численных упражнений. Для упражнений нужно использовать
решение задач и примеров. Сначала решаются задачи простые,
а затем — сложные. Простые задачи нужно составлять так, что¬
бы текст их был прост и немногословен, но вычислительной рабо¬
ты было бы достаточно много, например:
1. «Ученики построились для похода з экскурсию рядами, по 3 человека
в ряду Сколько человек в 4 рядах? В 6 рядах? В 8 рядах? В 5 рядах?
В 3 рядах? В 7 рядах?»
2.	«Перо стоит 3 коп. Сколько стоят 4 пера? 8 перьев? 6 перьев? 9 перьев?
5 перьев^» .
Наряду с такими задачами решаются сложные задачи и при¬
меры.
Деление по 3. Отсчиты ванне от 30 поЗ. Учитель
откладывает на счётах на трёх проволоках 30 шариков и предла¬
207


гает отсчитывать по 3 шарика. Ученик отнимает по 3 шарика, го¬
воря: «30 шариков без 3 шариков — 27; 27 шариков без 3 шари¬
ков— 24; 24 шарика без 3 шариков — 21» и т. д. до конца. Далее
следует отсчитывание на отвлечённых числах: «30 без 3 — 27; 27
без 3 — 24» и т. д. Затем, отсчитывая по 3, ученики называют
только результаты. «30, 27, 24, 21... 6, 3, 0». Эти числа-резуль¬
таты записываются на доске и в тетрадях учащихся. Наконец,
отсчитывание по тройке записывается так*.
27 24 21	15 12	9	6	*	0
30-3. — о, — о. — 3. — 3, — 3. — о. — 3, — о, —3—0
Над этой строчкой ведётся такая работа:
«Сколько раз можно отнимать от 30 по тройке?» (10 раз.)
«Сколько же троек в 30?»	(10 троек.) «Сколько раз тройка
содержится в 30?» (10 раз.) «Значит, если 30 разделить по 3,
сколько получится?» (10.) «Запишем это: 30:3=10. Сколько раз
можно отнимать от 27 по 3?» (9 раз.) «Сколько раз тройка по¬
вторяется в 27?» (9 раз.) «27 разделить по 3 — сколько получит¬
ся?» (9.) «Запишем это: 27:3 = 9».
Так рассматривается каждое следующее число вплоть до 3.
Закончив деление по 3 путём последовательного вычитания троек,
дальше надо установить связь деления по содержанию с таблицей
умножения 3, чтобы в дальнейшем постоянно пользоваться этой
взаимосвязью для быстрого нахождения результата деления —
частного.
Нахождение частного при помощи таблицы
умножения. Исходным мо-ментом служит повторение таблицы
умножения 3, затем решение примеров с где неизвестным
является множитель и находится он на основе знания таблицы.
На доске получается следующая запись:
ЗХ 2 = 6
3 X * = 6
6:3= 2
ЗХ 3= 9
3 х*= 9
9*3= 3
3 X 4= 12
ЗХ*= 12
12:3= 4
ЗХ 5=15
Зх X = 15
15:3= 5
3 X 6=18
ЗХ*= 18
18:3= 6
ЗХ 7 = 21
ЗХ* = 21
21:3= 7
ЗХ 8 = 24
3 X * = 24
24:3= 8
ЗХ 9 = 27
3 X х = 27
27:3= 9
ЗХ 10 = 30
3 X * = 30
30:3= 10
Упражнения в решении задач на
деление по содержанию.
Решая задачи, нужно учить учеников рассуждать, чтобы реше¬
ние — деление — вытекало из рассуждения. Пусть, например, ре¬
шается задача:	«Продавец разложил 24 кг конфет в пачки, п«
3 кг в каждую Сколько получилось пачек?» Сначала можно про¬
иллюстрировать решение задачи на кубиках, разделив 24 кубика
208


по Э кубика. Затем на вопрос: «сколько получилось пачек», —
нужно добиться ответа: «столько пачек, сколько раз 3 кг содер¬
жатся в 24 кг». «Сколько же раз 3 кг содержатся в 24 кг? Как это
узнать?» Ученики должны знать, что этот вопрос решается деле¬
нием, причём важно здесь же добиться правильной записи деления:
«24 кг : 3 кг = 8 (пачек)». По крайней мере, нужно учить этому,
зараиее зная, что эта запись как трудная усваивается не сразу.
Деление на 3 равные части.
Частное и в этом случае деления дети берут из таблицы умно¬
жения. Переходным этапом от умножения к делению служит
повторение» таблицы, составленной по постоянному множителю,
умножение с х, который здесь обозначает множимое.
2X3 = 6
х х з =
6
6:3 = 2
3X3 = 9
А'ХЗ =
9
9:3 = 3
4Х 3= 12
х X 3 =
12
12-3=1
У X л = 27
х X 3 =
27
27 :3 =' 9
Первый столбик
читается так:
«Трижды
два — 6; трижды
три — 9, трижды четыре — 12, трижды пять — 15» и т. д
Второй столбик читается так: «Какое число надо взять 3 раза
(или умйожить на 3). чтобы получилось 6?» (2 умножить на 3
получится 6.) «Значит, если 6 разделить на 3 равные части, то
сколько получится?» (6 разделить на 3 равные части, получится 2.)
В случае затруднений примеры можно иллюстрировать на¬
глядными пособиями (кубики, палочки, классные счёты). Основ¬
ным материалом для упражнений и для закрепления знания таб¬
лицы деления являются задачи. Они служат не только для совер¬
шенствования техники счёта (деления), но и для уяснения смысла
деления на равные части. Эти задачи решаются устно с после¬
дующей записью решения некоторых задач. При объяснении
решения подчёркивается, что для * ответа на вопрос надо дан¬
ное число разделить на столько-то равных частей
Задача: «Купили 3 цветных карандаша за 27 коп. Сколько стоит один
карандаш?» Получив ответ: «-Один карандаш стоит 9 коп.», учитель спраши¬
вает. «Как вы узнали, что карандаш стоит 9 копеек?» Ученики должны от¬
ветить: «27 коп. разделили на 3 равные части».
Все последующие части таблицы объясняются по образцу таб¬
лицы умножения 3 и деления по 3 и на 3. Этапы изучения
умножения каждого числа остаются те же, т. е.: 1) счёт группами;
2)	запись присчитывания в виде сложения и в виде таблицы
умножения; 3) набор группами (последовательное удвоение);
4) упражнения в усвоении наизусть таблицы на решении задач
а примеров; 5) деление по содержанию; 6) деление на равные ча¬
сти; 7) усвоение наизусть таблицы деления на решении задач
а примеров.
14 ^ С Пчелко
209


После изучения таблицы умножения 5 учащиеся знако¬
мятся с понятиями «во столько-то раз больше» и «во столько-
то раз меньше». После этого задачи на умножение и деление
становятся более разнообразными. После умножения 6 уча¬
щиеся знакомятся с переместительным свойством умножения,
после чего составляют таблицу умножения следующих чисел па¬
раллельно — по постоянному множимому и постоянному множи¬
телю.
Таблица умножения 4
Половина этой таблицы в пределе 20, усвоена. Другая поло¬
вина находится способом последовательного удвоения:
2 четверки — 8, 4 четверки = 8 + 8 = 16; 8 четвёрок = 16 + 16 = 32;
3	четверки = 12;	6 четверок — 12 -г- 12 = 24;	9 четверок = 12 4-
+ 12 + !2 = 36,
5	четверок = 20;	10 четвёрок = 20 + 20 = 40,	7 четвёрок = 5 четвё*
рок + 2 четверки — 20 + 8 = 28.
Но можно набирать четвёрки иначе, отправляясь от 5
четвёрок;
6	четвёрок — 5 четвёрок + 1 четвёрка — 20 + 4 = 24;	7 четвёрок — 20 т
+ 8= 28;
8 четвёрок = 20 + 12 — 32; 9 четвёрок ~ 20 + 16 — 36.
Таблица умножения 5.
Здесь также удобен приём последовательного удвоения-
Если 2 пятёрки = 10, то 4 пятёрки = 10 + 10 = 20; а 8 пятёрок = 20 +
+ 20 = 40.
Если 3 пятёрки — 15, то 6 пятёрок — 15+15 — 30, а 9 пятёрок =15 +
+ 15+15 = 45. 5 пятёрок — 4 пятёрки +1 пятёрка = 20 + 5 = 25. Если
5 пятёрок = 25, то 10 пятёрок = 50. а 7 пятёрок = 25 +10 = 35.
Но можно использовать и другой способ набирания пятёрок, а именно:
за исходное можно взять 5 пятёрок (пятью пять — двадцать пять — это легко
запоминается) Тогда 6 пятёрок 25 + 5 = 30;	7 пятёрок = 25 + 10 = 35;
8 пятёрок — 25 + 15 = 40; 9 пятёрок = 25 + 20 = 45.
Таблица умножения 6, 8, 9 и 7.
Легче всего запоминаются результаты: 6X5 = 30; 6X6 = 36;
бу 8 = 48. Смотря потому, какой из этих результатов ученик
помнит, он может, начиная от него и доходить до соседних. Так,
если ученик забыл результат б X 7, то он может взять умножение
6X6 и к результату (36) прибавить 6.
Таблица умножения 8 составляется по образцу
предыдущих. Самые лёгкие случаи этой таблицы: 8X6 (шестью
восемь — сорок восемь) и 8X5 ( пятью восемь — сорок). По¬
следний случай и может быть положен в основу набирания семи,
восьми и девяти восьмёрок.
Таблица умножения 9 Кроме тех способов, кото¬
210


рые указаны выше, здесь надо применить ещё способ округ-
лен и я: счёт девятками можно заменить счётом десятками.
Таблица умножен и я 7 — наиболее трудно запо¬
минаемая таблица. Усвоение её можно облегчить использованием
переместительного свойства умножения. К этому вре¬
мени пройдена вся таблица, поэтому перестановка сомножителей
будет полезна для повторения. Легче запоминаются следующие
случаи: 7X5 (пятью семь — тридцать пять) и 7X7 (семью
семь — сорок девять). Но и здесь нужно использовать разные
способы набора семёрок. Пусть требуется набрать 9 семёрок,
это можно сделать следующими способами:
а)	7X9=7X10 — 7 = 63 (округление
б)	7 X 9 = 9 X 7 = 63 (от перестановки
в)	7Х9 = 7ХЗ + 7ХЗ+
4-7X3 =21-1-21 + 21 = 63
(набор семёрок группами);
г)	7Х9 = 7Х7 + 7Х2 =
= 49 + 14 = 63 (использование
лёгкого случая — семью
семь — 49 как опорного)
Объяснение пе¬
реместительного
свойства умноже¬
ния и его исполь¬
зование. Объясняется
это свойство при ПОМ-ОЩ'И
прямоугольника,разделён¬
ного т клегюи (рис. 32).
10 семерок без одной);
чисел результат не меняется);
^	3	*
'/////
XX
ж
Ш-
ш
Ш
XX
ж
Ё
5*6 = 20
6*5=20
6*5 - 5 * 4
Рис. 32.
«Сколько клеток в од¬
ном столбике?» (4.) «Сколь¬
ко клеток в 5 столби¬
ках?» (20.) «Сколько же получится, если взягъ 5 раз гю 4?» (20.) Запишите,
что 5 четвёрок составляют 20. Теперь считайте клетки по строкам. Сколько
клеток в одной строке?» (5.) «Сколько клеток в 4 строках?» (5+ 5 + 5 + 5 =
= 20 или 5X4 = 20.) «Значит, сколько же получится, если взять 4 раза
по 5?» (20.) «Запишем, что 4 пятёрки составляют 20: 5X4 = 20. Если 5 че¬
твёрок — 20 и 4 пятёрки тоже 20, то что можно о них сказать?» (5 четвёрок
п 4 пятёрки равны между собой.)
«Запишем это 4 X 5 = 5 X 4. Нарисуйте прямоугольник, в котором
3 строки по 4 клетки. Вычислите, сколько в нём клеток, и запишите. Счи¬
тайте сначала клетки по столбикам—сколько клеток в одном столбике
и сколько всего столбиков. Потом считайте клетки по строкам — сколько
клеток в одной строке и сколько всего строк».
В результате дети приходят к выводу: 3 X 4 = 4 X 3. «Зна¬
чит, если дан пример на умножение, и в этом примере мы пере¬
меним места чисел, то что сделается с результатом?» (Он оста¬
нется без изменения, или он не изменится.) «Запомните:	при
умножении можно переставлять числа одно
наместо другого».
«Проверьте это свойство на следующих примерах».
8X2=	3x6=	4X6=	3X5 =
211


Ученики вычисляют и сравнивают результаты:
8X2 ='16	3 X 6= 18	4 X3=12	3X5 = 15
2X8 =,16	6X3=18	3X4 = 12	5X 3 = 15
Понятия «больше, меньше во столько-то раз», увеличить, умень¬
шить во столько-то раз».
Пока ученики изучают умножение и деление в пределе 20,
они решают только такие задачи на умножение, в которых тре¬
буется найти сумму нескольких равных слагаемых или повторить
число несколько раз, и такие задачи на деление, в которых надо
разделить число на несколько равных частей или узнать, сколько
раз одно число содержится в другом. Теперь, изучая умножение
и деление в пределе 100, нужно показать учащимся, что умноже¬
ние применяется и в том случае, когда требуется число увеличить
в несколько раз, а деление — когда
требуется уменьшить данное число в
несколько раз.
/Прежде чем решать задачи, нужно
разъяснить детям на наглядных посо¬
биях понятия «во столько-то рае боль¬
ше или меньше» и отсюда перейти к
выяснению понятия «увеличить или
уменьшить данное число в несколько
раз».
Объяснение понятия «во столько -то
раз больше» даётся примерно следующим
образом. Учитель кладёт по 2 шарика на двух проволоках классных счётов.
«Сколько шариков положено на верхней проволоке? На нижней? Что
можно сказать о числе шариков?» (Шариков положено поровну.) Затем учитель
сбрасывает эти шарики и откладывает на верхней проволоке 2 шарика, а на
нижней 3 пары шариков, оставляя между парами промежутки (рис. 33).
«Сколько шариков отложено на верхней проволоке^» (2.) «На нижней?»
(6). «Поровну ли шариков на верхней и на нижней проволоках?» (Нет, на
нижней проволоке шариков больше.)
«Да, на нижней проволоке шариков в 3 раза больше. На нижней
проволоке шариков столько же, сколько на верхней, да ешё столько, да ещё
столько; 3 раза по столько. Как это сказать иначе? (На нижней
проволоке шариков в 3 раза больше, чем на верхней)
«Сколько палочек я написал?» (Учитель пишет на доске две палочки.)
«А теперь нужно во втором ряду написать палочек в 4 раза больше. Что
это значит?» (Столько, столько, ещё столько да ещё столько — 4 раза по
две палочки.) Учитель пишет 4 пары палочек.
Учитель кладёт 3 кубика. «Сколько кубиков положил я? А вы положите
в 2 раза больше кубиков. Что это значит?» (Столько же да ещё столько.
2 раза по 3 кубика.)
«Вместо того чтобы сказать «в 2 раза больше», говорят также «вдвое
•больше»; вместо «в 3 раза больше», говорят «втрое больше». На нижней про¬
волоке отложено шариков в 2 раза больше. Как сказать это по-другому?»
(Вдвое больше.)
«Слева отложено 2 кубика, а справа в 3 раза больше. Как это сказать
•по-другому?» (Справа кубиков втрое больше.)
212


«На одной строчке написано 5 цифр, а на другой в 4 раза больше. Ска¬
жите что иначе». (На другой строчке цифр вчетверо больше.1 «Учитель аал
одному ученику 2 тетради, а другому в 3 раза больше. Что это значит:
в 3 раза больше?» (Это значит, что другой ученик получил 3 раза по дпе
тетради.) «Сколько же тетрадей дал учитель другому ученику? Как это
узнать’» (Надо 2 повторить 3 раза. Получится 6.)
«Запишем это: 2 тетр. X 3 = 6 тетр.»
«Решим вторую задачу: «В одной квартире живёт 5 человек, а в другой
в 4 раза больше. Сколько человек живёт в другой квартире’» «Что значит
в 4 раза больше?» (Это значит, что в другой квартире живёт 4 раза по 5.)
«Как же узнать, сколько человек живёт в другой квартире?» (Нужно
5 умножить на 4, получится 20.)
«Запишите это решение: 5 чел. X 4 = 20 чел. 4 возьмите б раз. Сколько
получится? Что больше: 4 или 24?
Значит, когда мы вместо 4 взяли 24, мы увеличили число 4. Так что
же мы сделали с числом 4?» (Мы увеличили число 4.) «Сколько раз мы
взяли по 4? Во сколько же раз мы увеличили число 4’ Как же увеличить
число 4 в 6 раз?» (Нужно 4 умножить на 6.) «Увеличьте 3 в 7 раз. Сколько
будет? Как вы это сделали? Увеличьте 2 в 8 раз. Увеличьте 5 втрое,
вчетверо» и т. д.
«Во столько-то раз меньше». На одной проволоке классные счетов учитель
кладёт 3 шарика, на другой 2 раза по 3 шарика.
«Сколько шариков положено на верхней проволоке? Сколько на нижней’
На .которой проволоке положено шариков больше? Во сколько раз больше’
А на какой проволоке положено шариков меньше? На нижней проволоке
положено шариков в 2 раза больше, чем на верхней. Значит, нз верхней
в 2 раза меньше, чем на нижней. Во сколько же раз наверху шариков меньше?»
(В 2 раза меньше, или вдвое меньше.)
«На сколько равных частей разделены те шарики, что положены на ниж
ней проволоке?» (На две равные части, пополам.)
«По скольку шариков в каждой части? Итак: на верхней проволоке только
половина тех шариков, которые лежат на нижней проволоке, и там шариков
в 2 раза меньше. Я поставил на одну планку 10 кубиков, А на другую планку
нужно поставить кубиков в 2 раза меньше. Что значит — в 2 раза меньше’»
(Значит, половину 10 кубиков.)
«10 кубиков разделить пополам — сколько будет в каждой части?» (Ку¬
бики раздвигаются.) «Сколько же кубиков надо поставить на другую планку?»
Учитель пишет на доске б палочек. «Сколько палочек написал я? Во вто
ром ряду нужно написать палочек втрое меньше; что значит втрое меньше"
Какую часть 6 я должен написать во втором ряду?» (Третью часть.) «Что
надо сделать, чтобы найти третью часть 6?» (Надо 6 разделить на три рап 1ые
части — будет 2.)
Учитель делит 6 палочек на 3 равные части, ставя чёрточки между ча¬
стями. «Сколько же палочек надо написать во втором ряду?»
«Мальчик нашёл под одной яблоней 10 яблок, а под другой — в 5 раз
меньше. Что значит: в 5 раз меньше?» (Пятую часть.) «Как узнать, сколько
яблок нашёл мальчик под другой яблоней?» (Надо 10 разделить на 5 равных
частей.) «Запишем это: 10 ябл.: 5 = 2 ябл.»
«На грузовик положили 27 мешков муки, а на подводу в 3 раза меньше.
Сколько мешков положили на подводу? Как это узнать? (Надо 27 разделить
на 3 равные части — будет 9. Запишем решение: 27 меш.: 3 = 9 меш.»
«12 разделить на две равные части — сколько будет? Что меньше — 6
или 12?
Значит, когда мы вместо 12 получили 6, то мы уменьшили число 12.
Что же мы сделали с числом 12? Во сколько раз мы уменьшили 12’ Как же
уменьшить 12 в 2 раза?» (Надо 12 разделить на 2 равные части, пополам)
213


«Уменьшите 20 в 4 раза. Сколько получится? Как вы это сделали? Умень-
шите 32 в 8 раз, 40 в 5 раз» и т. д.
Кратное сравнение. На одной проволоке классных счётов кла¬
дётся 2 шарика, на другой б шариков парами.
«Сколько шариков на верхней проволоке? Сколько на нижней? Где ша¬
риков больше? Во сколько раз на нижней проволоке шариков больше? Да,
вверху одна пара шариков, а внизу 3 пары; значит, внизу больше в 3 раза,
втрое. Во сколько же раз 6 шариков больше 2 шариков?» (6 шариков больше
2 шариков в 3 раза, втрое) «2 шарика во сколько раз меньше 6 шариков?»
(2 шарика меньше б шариков в 3 раза, втрое.)
На верхней проволоке откладывается 2 шарика, на нижней 10 шариков
сплошным рядом «Сколько шариков на верхней проволоке? Сколько на чиж*
ней? Где больше шариков? Во сколько раз на нижней проволоке шариков
больше
К ответу на последний вопрос можно привести детей следующим об¬
разом
«'Вы сразу сказали, зо сколько раз 6 шариков больше 2 шариков, потому
чгс там 6 шариков были расставлены парами. Значит, что же нам надо сде¬
лать чтобы узнать, во сколько раз 10 шариков больше 2 шариков?» (Надо
10 шариков расставить парами.)
«Да, надо 10 шариков разделить па пары, на двойне, н сосчитать,
сколько выйдет пар». (Учитель расставляет шарики парами.)
«10 шариков разделить на пары — сколько будет пар? Сколько раз 2 ша¬
рика содержатся в 10 шариках? Во сколько раз 10 шариков больше 2 шари¬
ков? Во сколько раз 2 шарика меньше 10 шариков?
Как мы это узнали? Запишем это — 10 : 2 = 5.
Прочитайте эту запись так: «10 больше 2 в 5 раз».
«Во сколько раз 8 больше 2? Что надо сделать, чтобы узнать, во сколько
раз 8 больше 2?» (Надо 8 разделить на пары, на двойки, будет 4 двойки.)
«Запишите это и прочитайте».
На доске получится запись: 8:2 = 4.
«Во сколько же раз 8 больше 2? Во сколько же раз 2 меньше 8? Во
сколько раз 9 больше 3? Как это узнать? Во сколько раз 5 меньше 10? Как
это узнать?» и т. д.
«Левочка нашла в лесу 15 сыроежек и 5 боровиков. Во сколько раз боль¬
ше нашла девочка сыроежек, чем боровиков?»
гШапка стоит 18 руб., а рукавицы б руб. Во сколько раз шапка дороже
рукавиц?»
Решение задач записывается и объясняется.
Теперь, когда ученики знакомы с увеличением и уменьше¬
нием па несколько единиц и разностным сравнением чисел, зна¬
комы с увеличением н уменьшением в несколько раз и кратным
сравнением, — нужно сопоставить понятия «больше и мень¬
ше на столько-то» и «больше и меньше во столько-то раз». Че¬
рез это сопоставление ученики научатся ещё более отчётливо
различать эти выражения и лучше уяснят себе смысл каждого
из них в отдельности.
Сопоставление обоих видов деления.
После того как дети изучили деление на равные части и де¬
ление по содержанию отдельно одно от другого и усвоили смысл
каждого из них, нужно сопоставить оба вида деления, выявить
2М


их сходство и различие. Это делается сначала на наглядных
пособиях, а потом на задачах.
«Возьмите 15 палочек и разделите их на 5 равных частей. Сколько полу¬
чится в каждой части?»
Это деление записывается на доске: 15 пал. : 5 = 3 пал. Пример читается
так. «15 палочек разделить на 5 равных частей, будет 3 палочки (в каждой
части)».
«Теперь возьмите ещё 15 палочек и разложите их на кучки (части), по
5 палочек в каждой части. Сколько частей получится?»
Решение записывается: 15 пал. * 5 пал. = 3 и читается: «15 палочек разде¬
лить по 5 палочек, получится 3 части».
Сравним оба эти примера на деление-
1)	15 пал. : 5 = 3 пал.;
2)	15 пал. : 5 пал. = 3.
Установим их сходство и различие.
Сходство. В обоих гримерах делятся одни и те же числа и полу¬
чается один и тот же результат. В обоих поимерах мы говорим «разделить».
Разница. В первом примере мы делим 15 на 5 равных частей
и узнаём, сколько палочек в одной части. Это — деление на равные
части Во втором примере мы узнаём, сколько раз 5 палочек содержатся
в 15 палочках. Это—деление по содержанию.
Из сопоставления делаем вывод. Делим ли мы число на
равные части или по содержанию, всё равно получается одина¬
ковый результат. Поэтому оба примера на деление можно читать
одинаково:	«15 разделить на 5, получится 3». Второй вывод:
если даётся пример на деление, его можно решать по-разному—
делить число или на равные части, или по содержанию, как
удобнее.
80: 40 — легче делить по содержанию, узнавая, сколько раз 40
повторится в 80.
80 : 4 — легче делить на 4 равные части, узнавая, по сколько полу¬
чится в каждой части.
Эти выводы — очень важные и далеко не лёгкие для детей—
надо закрепить на решении ряда задач, предлагая задачи попар¬
но: одну на деление по содержанию, другую на деление на рав¬
ные части с одинаковыми числами и одинаковой фабу¬
лой.
Например. 1) «За 8 карандашей уплачено 80 коп. Сколько стоит один ка¬
рандаш?»
2) «За несколько карандашей уплачено 80 коп. Один карандаш стоит
8 коп. Сколько купили карандашей?»
Такое сопоставление обоих видов деления, подчёркивание их
сходства углубит понимание учащимися разницы этих видов,
заставит их вполне сознательно применять каждый вид деления.
При чтении примеров дети будут обобщать оба вида деления,
при вычислениях будут произвольно пользоваться то тем,
го другим видом деления, в зависимости от того, что легче. Но
при решении задач в своих рассуждениях они будут раз¬
личать оба вида деления и подчёркивать особенность
каждого из них. Понимание этих особенностей найдёт своё внеш¬
нее выражение в записи решения, в постановке наименований.
215


Внетабличное умножение и деление.
По своему характеру изучение внетабличного умноже¬
ния и деления резко отличается от изучения табличного
умножения и деления: в последнем все результаты вычислений
усваивались на память, здесь же ничего не заучивается на
память. Здесь главное, основное — овладеть вычислитель¬
ными приёмами.
Приёмы умножения и деления, основанные на распредели¬
тельном и переместительном свойствах действий, составляют
главную цель изучения этого раздела. С этими свойствами уча¬
щиеся уже встречались и раньше, но здесь они находят наибо¬
лее яркое и последовательное применение. Это типичные приёмы
для устных вычислений. Здесь закладываются основы устного
счёта — устного умножения и устного деления.
Все вычисления записываются здесь в строчку, что является
внешним признаком устных приёмов вычислений. Вычисления-
умножение и деление — начинаются с десятков и заканчиваются
единицами (18X4 = 10 - 4 + 8 • 4 = 40 + 32 =72).
»Умножение и деление в пределе 100 изучается параллельно
с максимальным использованием связи и зависимости, суще¬
ствующей между этими действиями, как взаимнообратныоди.
Деление на равные части и деление по содержанию не отгра¬
ничиваются здесь друг от друга" так строго, как раньше. Пример
96:4 читается так: «96 разделить на 4». Примеры на деление
здесь решаются то как примеры на деление на равные части, то
как примеры на деление по содержанию, в зависимости от вели¬
чины делителя: если делитель — число однозначное, то легче
делить данное число на равные части, если же делитель — число
двузначное, то легче делить по содержанию. Но когда ре¬
шаются на деление задачи, то при объяснении
решения нужно строго различать оба вида
деления.
При чтении примеров на умножение здесь, как и раньше,
допускаются термины «данное число взять несколько раз»
или «повторить несколько раз», но наиболее употребитель¬
ным термином здесь должен быть термин «умножить», «умноже¬
ние». Пример 15X6 читается так- «15 умножить на 6»-
В этом разделе различаются следующие основные вопросы:
1.	Умножение и деление на однозначное число.
2.	Умножение и деление на круглые десятки.
3.	Умножение и деление на двузначное число.
Внутри каждой группы материал располагается для изучения
в порядке постепенного перехода от более лёгких случаев к бо¬
лее трудным, чтобы дети сами подмечали связь между ними и на
оснрве этой связи находили целесообразные вычислительные
■приёмы.
Наглядность здесь не утрачивает своего значения, но она и
216


не играет решающей роли; главное здесь для ученика — уметь
разложить двузначное число на десятки и единицы и понять, что
при умножении следует умножать отдельно десятки, отдельно еди¬
ницы и полученные числа сложить, а при делении делить сначала
десятки, потом единицы, или, если число десятков не делится без
остатка, — уметь подобрать такое число десятков, которое делит¬
ся на данный делитель.
Умножение двузначного числа на однозначное.
Приём умножения двузначного числа на однозначное учитель
выводит из сложения нескольких равных слагаемых, кото¬
рое потом записывается как умножение.
Учитель пишет на классной доске: 32 4- 32 4- 32.
«Прочитайте пример и произведите сложение». (К 32 прибавить 32, полу¬
чится: 30 да 30 — 60; 2 да 2 — 4; 60 да 4 — 64. К 64 прибавить 22, будет-
60 да 30 — 90; 4 да 2 — б; 90 да 6—96.)
«Как можно ещё иначе сложить эти три числа?» (Сначала сложить все
десятки, потом единицы: 30 да 30 — 60, 60 да 30 — 90; 2 да 2—4, 4 да 2 — 6;
9С да 6 — 96.) «Чтобы узнать, сколько будет всего десятков, вы к 3 десят¬
кам прибавили 3 десятка и ещё 3 десятка. Как это узнать сразу?» (3 десятка
повторить 3 раза, будет 9 десятков, или 90.) «А как сразу узнать, сколько
будет всех единиц?» (2 умножить па 3, будет 6.)
«К 32 прибавить 32 и ещё прибавить 32. Как это сказать короче?'
(32 взять 3 раза, или 32 умножить на 3.)
«А как записать короче?» (32X3.) «32 умножить на 3 — сколько будет?
Запишите!» (32 X 3 = 96.)
«Как мы умножили 32 на 3 — сразу или нет?» (Но сразу: сначала умно¬
жили 30 на 3, потом 2 на 3.)
«Значит, чтобы умножить 32 на 3, надо 32 разложить на десятки и еди¬
ницы; сначала умножить десятки, потом единицы. Повторите, как же умножив
32 на 3? Умножьте: 23 на 2; 15 иа 4; 44 на 2».
Умножение на однозначное число можно пройти в такой по¬
следовательности:	умножение на 2, на 3, на 4 и т. д., до умно¬
жения на 9 включительно. Внутри каждой группы примеры рас¬
полагаются так, что сначала идут такие примеры, в которых от
умножения единиц получается меньше десятка (24 X 2); потом
такие, в которых от умножения единиц получается десяток
(25 X 2), и, наконец, решаются такие примеры, в которых от умно¬
жения единиц получается больше десятка (28 X 2).
Деление двузначного числа на однозначное.
*При делении двузначного числа на однозначное делимое раз¬
бивается на такие д©а числа, из которых одно даёт в частном
десятки, другое — единицы. Для этого бывает необходимо иногда
разложить число на его десятки и единицы (48 : 2), иногда тре¬
буется раздробить в единицы один или несколько десятков
(36:2;	90:2). Следует начать с первого из этих случаев, как
более простого; затем рассмотреть деление круглых десятков,
даюшее в частном десятки вместе с единицами (30 : 2, 70 : 2).
2 »7


и затем уже перейти к общему случаю деления, требующему
раздробления десятков в единицы.
Общий приём, одинаково применимый ко всем трём случаям
деления, заключается в том, что сперва находят десятки част¬
ного, потом — единицы.
Первый с л у ч а й (68 : 2) иллюстрируется на делении брус¬
ков-десятков и кубиков-единиц или на пучках и палочках.
На вопрос: «Как вы разделили 68 на две равные части», — ученики отве¬
чают «6 десятков разделили пополам, получили 3 десятка; 8 единиц раздели¬
ли пополам, получили по 4 единицы. Всего 30 да 4 будет 34». Пример запи¬
сывается: 68 Ч — 34.
Чтобы порядок деления был яснее для учащихся, можно записать деление
до этапам:
68 : 2 =
Ь0~: 2 = 30
8:2=4
30 + 4 = 34
Второй случай — деление нечётного числа десятков по¬
полам (например 50 на 2) объясняется так*
Берётся 5 брусков или 5 пучков-десятков. «Очевидно, что
5 десятков не разделится пополам так. чтобы в каждой части
было по целому числу десятков. Но 4 десятка делятся пополам.
Берём 4 десятка и делим их; получается по 2 десятка. Остался
I десяток Развязываем его, иначе говоря, раздробляем его
в единицы. Делим 10 пополам, получается 5. Л всего получилось
20 Г> = 25»
«На какие же числа (или группы) мы разбили 50, чтобы разделить их на
две рапные части*1» (На 40 и 10.)
«Почему мы по лечим сразу число 50*» (Потому что 5 десятков не делят¬
ся попоим л 4 десятка делятся.) И в этом примере полезно записать отдель¬
ные этапы деления:
05СН2 :=
'4 : 2 = 20
10 : 2 =- 5
20 -Ь 5 = 25
«Разделите на своих палочках на 2. 30, 70, 90. Сколько получается от де¬
ления к.)/К1ою числа* Как делили.'1»
После этого производится деление на 4 чисел* 60, 100; на 5 — 60, 80; на
6—90. Числа берутся из простых задач,, например: «2 м сатина стоят 30 руб.
Сколько стоит 1 ■*/?» «В двух ящиках лежит 70 карандашей, в каждом поров¬
ну. Сколько карандашей в каждом ящике?» «В 4 одинаковых пачках 100 тет¬
радей. Сколько тетрадей в каждой пачке?» и т. д.
Третий случай деления на однозначное число
(52.4), когда приходится один или несколько десятков раздроб-
' гть в единицы, можно объяснить, исходя из решения задачи:
«В двух бидонах 52 л молока, в каждом поровну. Сколько литров в ка-
I дом бидоне*»
«Как это узнать? Как будете делить 52 на 2 разные части?»
Так как дет уже умеют делить двузначное число на однозначное типа


48:2, 36:3 и Др-, то они могут ответить так' «Мы разделим сначала 50, гне¬
том 2». «Как же вы разделите 50 на 2?» (Мы разложим 50 на 40 и ЮЛ «На
какие же числа разложится тогда все число 52?* (На 40, 10 и 2.) «Делите».
(40 разделить на 2, получится 20; 10 разделить пополам, будет 5; 2 разде¬
лить на 2, будет 1. А всего получится 20 4- 5 4- I = 26.) «Из скольких десят¬
ков и единиц состоит число 26? От деления какого числа мы получили 2 де¬
сятка?» (От деления 40.) «От деления какого числа получилось 6 единиц?» (От де¬
ления (2). «Значит, на какие же группы удобно сразу разложить число 52?» (На две
группы —40 и 12.) «Делите». (40 разделить на 2. будет 20; 12 разделить
пополам, будет 6, а всего получится 20 + 6 = 26.) «Разделим 72 на 3 равные
части. Делятся ли все 7 десятков на 3 равные части? Какое самое большее
число десятков из 7 разделится на 3?» (6 десятков.) «Поэтому на какие же
две группы удобно разбить число 72 для деления его на 3?» (На 60 и 12.)
«Делите». (60 разделить на 3 равные части, будет 20; 12 разделить на 3, бу¬
дет 4; 20 и 4, будет 24.)
«Запишем так, как мы делили:
72 : 3 ~ ^
60 : 3 = 20
12:3= 4
20 + 4 = 21
72*3 = 24
Так как этот случай деления — наиболее трудный, на него
надо проделать побольше упражнений.
Умножение и деление на круглые десятки
(2X30; 60:20). Умножать на круглые десятки дети могут двоя¬
ким способом: а) путём последовательного умножения, например:
2 X 40 = 2 X 10 X 4 = 80, или 2X40 = 2X4X10 = 80; б) пу¬
тём перестановки сомножителей, например: 2X40 = 40X2 = 80.
Оба эти приёма учащиеся должны знать. Даже если они на прак¬
тике пользуются перестановкой сомножителей, они должны
понимать и уметь объяснять приём последовательного умноже¬
ния на круглые десятки.
Этот приём объясняется так:
«У мзльчнка было 30 двухкопеечных монет. Сколько было у него денег?
Как это узнать?» (Надо 2 умножить на 30.) «Запишите это!»
Ученик пишет: 2 коп. X 30 =
«Как набрать 30 двоек? По одной двойке набирать долго. Как набрать
скорее?» (10 двоек — 20, ешё 10 двоек — 20 и ещё 10 двоек — 20 ВсегоЗ раза
по Ю двоек. 3 раза по 20 — будет 60.) «Запишем это так* 2 X 30 = 2 X 10 X
X 3 — 60.) «Как же мы получили 60?» (2 умножили на 10. получили 20.
Потом 20 умножили на 3, получили 60.) «Поменяем теперь местами 10 и 3.
Умножим Так: 2 X 30 — 2 X 3 X Ю = 60. Как мы сейчас умножили 2 на 30?»
(Сначала умножили 2 на 3, потом 6 на №.)
«Так сколько же денег было у мальчика? Вспомните задачу. Умножьте
теперо 2 на 40 Как умножали?» (Сначала умножили 2 на 4. потом 8 на 10.
Получилось 80) «Умножьте по этому способу 3 на 20; 2 на 50».
Далее учитель ставит вопрос, нельзя ли пример 2X30 решить
по-другому. Дети вспоминают свойство умножения: при умноже¬
нии можно переставлять числа одно на место другого. Переставляя,
219


Получают пример: 30X2. Результат действительно не меняется (60).
Последний способ легче, поэтому им можно пользоваться.
Деление на круглее десятки уже известно детям
по работе в I классе. Но там они рассматривали этот случай
деления как деление по содержанию. Здесь же надо научить
делить и на равные части. Объясняя приём, надо исходить из
задачи, например: «Из 60 м материи сшили 20 одинаковых платьев.
Сколько метров пошло на каждое платье? Как узнать?» (Надо
60 м разделить на 20 равных частей.)
Деление выполняется путём проб:	«Положим в каждую
часть (на каждое платье) по одному метру — мало; по 2 — тоже
мало (израсходуется всего только 40 ж); по 3 — достаточно. По¬
чему? Потому что ЗХ 20 = 60. Следовательно: 60 м : 20 = 3 м».
Умножение на двузначное число.
Этот случай умножения достаточно подготовлен предыдущей
работой: ученики умеют умножать отдельно на круглые десятки
и отдельно на единицы. Теперь им только надо понять, что для
умножения на двузначное число следует разложить двузначное
число на десятки и единицы и сначала умножить на десятки,
потом на единицы. С таким приёмом они уже встречались, умно¬
жая двузначное число на однозначное. Поэтому здесь можно
ограничиться простым показом той последовательности, в которой
происходит умножение с записью отдельных этапов умножения,
например:
3 X 25= ?	Объясняя прием умножения, ученики говооят: «Чтобы
3 20 = 60	умножить 3 на 25, надо умножить 3 на 20, будет 60; дальше
3^ 5 _ 15	надо 3 умножить на 5, будет 15; 60 да 15 будет 75».
60 4- 15= 75
3 X 25 = 75
^Показав этот приём и поупражняв в нём учащихся, следует
обратить внимание детей и на возможность выполнения в данном
случае умножения путём перестановки сомножителей. «Вместо
того чтобы умножать 4 на 25, можно умножить 25 на 4,— так
легче, а результат от перестановки чисел не меняется».
Устанавливая последовательность в решении примеров, надо
расположить их в порядке постепенно возрастающей трудности,
а именно: сначала брать такие примеры, в которых от умноже¬
ния на единицы получается менее десятка (например, 2 X 24),
потом — примеры, в которых получается десяток (например,
2 X 35), наконец — примеры, в которых получается более десятка
(например, 3X28).
Деление двузначного числа на двузначное.
В этом случае приходится находить частное путём подбора
н проверять предполагаемый ответ при помощи умножения.
Таким образом, приём деления в этом случае основан всецело на


умножении, и это независимо от того, будет ли деление по содер¬
жанию или деление на равные части. Для объяснения приёма
деления полезно отправляться от задачи:
«Пачка иголок стоит 18 коп. Сколько дадут пачек на 72 коп.?»
«Что надо сделать, чтобы узнать это? Почему надо разделить 72 на 18?»
(На 72 коп. дадут столько пачек, сколько раз 18 содержится в 72. А чтобы
это узнать, надо 72 разделить на 18.)
«Узнаем, сколько пачек дадут на 72 коп. Купим одну пачку. Сколько
денег останется после этого? Отнимем от 72 коп. 18 коп. Останется 54 коп.
Купим друг что пачку. После этого останется 36 коп. (54 коп — 18 коп. —
= 36 коп.). Купим третью пачку. Останется 18 коп. (36 коп. — 18 коп.). Купим
еще четвёртую пачку, и после этого все деньги будут израсходованы. Значит,
на 72 коп. можно купить 4 пачки иголок. Как же мы узнали, сколько раз 18
содержится в 72?» (Вычитанием по 18.)
«Теперь решим эту задачу по-другому. Купим одну пачку и израсходуем
18 коп. Купим вторую пачку, расходуем ещё 18 коп., а всего 36 коп.
<18 коп. + 18 коп.). Купим третью пачку и уплатим ещё 18 коп., а всего за три
пачки уплатим. 18 коп. + 18 коп. + 18 коп, = 54 коп. Купим четвёртую пачку
и уплатим ещё 18 коп., а всего за 4 пачки 18 коп. + 18 коп.-н 18 коп. +
+ 18 коп. — 72 коп. Как же мы узнали, сколько раз 18 содержится в 72?»
(Мы набирали по 18, пока не получили 72, и считали, сколько раз брали.)
«Вместо того чтобы прибавлять по 18, какое действие можно сделать?»
(Можно умножить 18 на 2, 3 и т. д., пока не получится 72.) «Сколько же раз
18 содержится в 72? Сколько получится, если 72 разделить на 18?»
Далее решается задача на деление на равные части:
«Из 56 м материи сшили 14 одинаковых платьев. Сколько метров пошло
на каждое платье?»
«Как это узнать?» (Надо 56 разделить на 14 равных частей.) «Сколько же
получится в каждой части? Положим по 2 м. Достаточно ли 2?» (Мало, по¬
тому что 14 раз по 2 = 28, а у нас делится 56.) «Положим по 3 м. Достаточно
ли 3?» (Мало, потому что 14 раз по 3 = 42.) «Положим по 4» (Четыре —
достаточно, 14 раз по 4, будет 56.)
На задачах учащиеся установят связь между делением и умножением.
В последующих упражнениях можно дать ученикам более скорый способ
отыскания частного.
«Допустим, что надо узнать, сколько раз 21 содержится в 84. Сколько
десятков п числе 84? Сколько десятков в числе 21? Вместо чисел 84 и 21
будем делить 80 на 20. Сколько раз 2 десятка содержатся в 8 десятках3
<4 раза.) «А теперь посмотрим, не будет	ли 21	содержаться	в	84	тоже 4 рази
Как это проверить?» (21 умножим на 4.	будет	84.)
«Узнайте, сколько раз 21 содержится в 84? Теперь узнайте, сколько раз
12 содержится в 72. Как мы будем узнавать?	1 десяток содержится в 7	де¬
сятках 7 раз. Посмотрим, не будут ли	и 12	содержаться	в	72	тоже	7	раз
Как это проверить?» (12 умножим на 7, получится 84.) «Значит, годится ли 7°
Будет ли 12 в 72 содержаться 7 раз?» (Нет, меньше 7 раз.)
«Попробуем, не будет ли 12 содержаться 6 раз в 72. Как это проверить^
(12 умножим на 6. получится 72.)
«Сколько же раз 12 содержится в 72? Сразу ли мы нашли б?» (Не сразу,
но всё же скорее, чем если бы мы умножали 12 постепенно на все числа,
начиная с двух.)
Деление с остатком.
Деление без остатка легче деления с остатком, и с него надо
начинать. Но никогда не следует забывать, что деление с остатком
очень важно и что оно является необходимой подготовкой к деле¬
22!


нию многозначных чисел. Умение делить многозначное число в ко¬
нечном и юге сводится к умению делить двузначные числа
с остатком Пусть, например, дано разделить 9 875 на 1 975; чтобы
найти цифру искомого частного, нужно уметь разделить 98 на 19,
а это и есть деление с остатком. То же наблюдается и во всех
других случаях деления многозначных чисел. Поэтому учителю
нужно обращать большое внимание на деление с остатком. Первые
навыки по этому вопросу могут быть даны в конце работы над
вне табличным делением в пределе 100.
Понятие о делении с остатком даётся на наглядных
пособиях и на делении небольших чисел примерно в пределе 20.
Учпель, вызывая одного ученика за другим, даёт им карандаши и пред¬
лагает разделить их поровну между двумя учениками. Учащиеся наблюдают,
что 2, 4, 6, 3, 10, 12, 14, 16, 13, 20 делятся на 2 нацело, без остатка.
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 не делятся нацело; получается 1 карандаш
в остатке. Деление с остатком записывается так:
17:2 = 8 (ост. 1).
Эта запись читается так: «17 разделить на 2, получится 8 и в остатке 1».
Дальше таким же образом делятся числа первых двух десят¬
ков на 3; сначала производится деление 3, 6, 9, 12, 15 на 3; затем
делятся на 3 числа 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14. В последнем случае
в остатке получается то I, то 2. Некоторые примеры на деление
с остатком записываются, например:
14 3 ~ 4 (ост 2).
Проделав ещё несколько примеров на деление кубиков или
палочек по содержанию, установ-ив при этом частное и оста¬
ток, учитель предлагает ученикам записать все числа подряд до
20, которые делятся на 2 без остатка, и все числа, которые де¬
лятся на 2 с остатком.
В заключение решаются задачи на деление с остатком, напри¬
мер:
«13 карандашей надо разложить в 3 коробки поровну. По сколько ка¬
рандашей нужно положить в каждую коробку и сколько ка-рандашей при этом
останется?»	1
«Верёвку длиной в 18 м надо разрезать на куски по 4 тл. Сколько выйдет
кусков и сколько метров при этом останется?»
Подготовительные упражнения к делению с остат¬
ком чисел, больших 20, заключаются в том, что учащиеся вы¬
писывают ряды чисел (из табличного умножения), которые
делятся на данное число без остатка. Для числа 4 это будет
следующий ряд: 4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 40.
Для числа 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45; 50.
Все другие промежуточные числа делятся, очевидно, с остатком.
Приём деления с остатком в пределах табличного деления
заключается в следующем: если данное число не делится без
остатка, то найти меньшее число, но близкое к данному, ко¬
222


торое делится нацело, и разделить его. Полученный результат
и будет частное. Разница между данным числом и меньшим
числом, которое делится, составит остаток.
Например, пусть требуется разделить 48 на 9. На основании
таблицы умножения ученики устанавливают, что это — деление
с остатком. На основании той же таблицы ученики находят мень-|
шее, близкое к 49, число, которое делится на 9: это число — 45
(пятью девять — 45). Делят 45 на 9 и получают искомое число 5.
Неразделённые 4 единицы (49 — 45) пойдут в остаток.
Но если даётся пример на внетабличное деление, то
в таком случае частное находится путём подбора, т. е. частное
намечается предположительно и затем проверяется при помощи
умножения. Это общий приём деления с остатком, применяемый
и к табличному делению.
Пусть, например, требуется раздать 74 руб. 12 рабочим поровну. «Сколько
рублей достанется каждому?» Ученики уже умеют делить двузначное число
на двузначное и этим умением они воспользуются в данном примере, на¬
ходя частное путём проб. Дадим каждому по 7 рублей (70 рублей : 10 — 7 руб ).
Проверим это число умножением: 7 руб Х12 = 84 руб. Оказывается. 7 —
много, берем 0 Проверяем: б руб. X 12 = 72 руб. Значит, если каждому ра¬
бочему дадут по б руб., то раздадим 72 руб., а если по 7 руб., то раздадим
84 руб. Отсюда видно: 1) что 74 руб. на 12 без остатка не делится, между
72 и 84 нет такого числа, которое делилось бы на 12 нацело; 2) что для
частного надо взять число б. а не 7; 3) что, взяв в частном 6, мы разде-
лим 72, и 4) при этом получится остаток 2 руб. (72 руб. + 2 руб. = 74 руб,
или 74 руб — 72 руб « 2 руб.).
В таком примерно плане даётся объяснение приёма деления
с остатком. Никаких правил при этом не формулируется; здесь
надо ограничиться только пониманием учащимися самого про¬
цесса деления. Быстрое нахождение частного достигается путём
практики, путём достаточно большого количества упражнений.
Этому содействует также знание учащимися состава чисел
в пределе 100.
Состав чисел первой сотни. Знать состав чисел —
это значит уметь быстро и уверенно составлять каждое число
в пределе 100 из различных пар сомножителей, а также из раз*
личных пар слагаемых. Значение этого навыка огромно. Чтобы
овладеть этим навыком, нужно проделать ряд упражнений над
числами, особенно над такими числами, которые богаты
множителями: 24, 36, 48, 60, 72, 96 и др.
Какие, например, упражнения можно проделать с числом 72?
1)	Составить 72 из двух слагаемых, если дано одно из них, например-
сколько надо прибавить к 36. чтобы получить 72? к 40, чтобы получить 72?
к какому числу надо прибавить 50, чтобы получить 72? прибавить 12, чтобы
получить 72?
2)	Написать несколько примеров на сложение (учитель указывает, сколько
именно) двух чисел, которые в сумме дают 72.
3)	Назвать числа (попарно), от перемножения которых получается 72. За¬
писать их.
223


4) Решить примеры с х.
72 = 4Х*
72 = 12 X •*
72 = л: X 9
72 = л X 24 и т. д.
5)	Указать, сколько в числе 72 двоек? троек? четвёрок? пятёрок? шестё¬
рок? семёрок? восьмёрок? девяток?
Все эти упражнения проводятся в порядке упражнений в устном счёте.
Примерное распределение материала на внетабличное умножение
и деление по урокам.
Изучение всего этого раздела может быть уложено примерно в 25 уро¬
ков. Материал по отдельным урокам может быть распределён в следующем
порядке:
Знакомство с умножением двузначного числа на 2 и упражнения — 1 урок.
Знакомство с делением двузначного числа на 2 и упражнения — 1 урок.
Упражнения в умножении на 3—1 урок и деление на 3—1 урок.
Упражнения в умножении на 4 — 1 урок и деление на 4 — 1 урок.
Упражнения в умножении на 5 — 1 урок и деление на 5—1 урок.
Умножение и деление двузначных чисел на 6, 7, 8—I урок.
Умножение однозначного числа на круглые десятки—I урок и деление
на равные части круглых десятков на круглые десятки с повторением прой¬
денного по этому разделу — 1 урок.
Упражнения в решении задач и примеров на все пройденные случаи
умножения и деления с применением сложения и вычитания — 2 урока.
Объяснение приёма умножения однозначного числа на двузначное
и упражнения в умножении — 2 урока. Объяснение приёма деления двузнач¬
ного числа на двузначное (по содержанию) путём применения вычитания,
сложения и умножения — 1 урок.
Объяснение приёма деления двузначного числа на двузначное (деление на
равные части) — 1 урок. Упражнения в делении двузначного числа на дву¬
значное на решении задач и примеров — 4 урока.
Упражнения в изучении состава чисел на решении примеров с г—2 урока.
Выяснение понятия о делении с остатком — I урок.
Выяснение приёма деления с остатком на табличных случаях деления —
I урок.
Упражнения в решении примеров на деление с остатком с табличными
случаями деления — 1 урок.
Объяснение приёма деления с остатком на случаях внетабличного деле-
ния и соответствующие упражнения — 1 урок.
Повторение всех изученных ранее приёмов внетабличного умножения
н деления — 1 урок.
В продолжение изучения данной темы полезно провести две письменные
контрольные работы: одну в середине, другую в коние темы. Последняя конт-
оольная работа должна охватить всё главное, основное в содержании темы.
Она может состоять из одной задачи в 2 — 3 действия и 8— 10 примеров на
умножение и деление.
Примерная контрольная работа: 1«Ученик купил 9 красок по 4 коп за кружок и 24 листа бумаги по 3 кон.
за лист. Во сколько раз больше стоила бумага, чём краски^»
Примеры
1)	23 X 4 =
2)	45 : 3 =
3)	64 :	4	=
4)	3X28 =
5)	80 : 5 =
6)	72 : 24 =
7)	81 : 27 =
8)	37 : 2 =
9)	58 : 12 =
10)	18X5 =
Задача
224


ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ.
ПЕРВАЯ ТЫСЯЧА.
Было время, когда концентр «Первая тысяча» не существовал,
и дети после сотни сразу переходили к изучению чисел любой
величины. Однако изучение арифметики в таком порядке было
трудно для детей: слишком резким был переход от сотни к мил¬
лионным числам. Изучение сотни не давало ребёнку необходимой
подготовки для изучения нумерации больших чисел. Резкий пере¬
ход был и в приёмах и способах вычисления: в пределе 100 дети
изучали главным образом устные приёмы вычислений, в пределе
чисел любой величины — письменные приёмы. При такой системе
трудно было понять ребёнку постепенный переход от одних
приёмов к другим. Чтобы «смягчить» переход от сотни к боль¬
шим числам, чтобы сделать процесс обучения арифметике более
доступным и лёгким для детей, потребовалось введение про¬
межуточного концентра «Первая тысяча». Таким образом цель
этого концентра состоит в том, чтобы, во-первых, постепенно
подготовить детей к нумерации чисел любой величины, которая
во многом повторяет нумерацию первого класса, т. е. чисел пер¬
вой тысячи; во-вторых, подготовить постепенный переход от уст¬
ных приёмов вычислений к письменным. Здесь одни и те же при¬
меры могут решаться и устно, и письменно, и на счётах. Из со¬
поставления этих приёмов выясняется разница между ними
и лучше освещается сущность и специфика каждого способа.
Выделение в особый концентр первой тысячи не' нужно пони¬
мать так, что учитель должен строго держаться тысячи и ни
в коем случае не выходить за её пределы; наоборот, для дости¬
жения поставленных целей требуется, чтобы учащиеся довольно
часто пользовались четырёхзначными числами. Далъше мы пока¬
жем, что при письменном сложении и умножении неизбежен вы¬
ход за пределы тысячи. Бояться этого перехода не следует. Уча¬
щиеся на этой ступени обучения, как показывает опыт, без осо¬
бого труда овладевают нумерацией не только трёхзначных, но
и четырёхзначных чисел, они без труда складывают и умножают
такие числа, которые дают в результате четырёхзначные числа.
До сих пор мы очень осторожно относились к введению
арифметической терминологии; мы старались пользоваться об¬
разной речью, близкой к живой обыденной речи ученика, понят¬
ной ему. Теперь же, с переходом, к изучению тысячи, нужно
смелее вводить арифметическую терминологию, постепенно при¬
учать ученика пользоваться математическим языком, таким, ка¬
ким излагаются арифметические правила и определения.
В этом концентре ученик должен научиться правильно назы¬
вать арифметические действия — сложение, вычитание, умноже¬
ние и деление. В речи самого учителя эти термины должны зву¬
чать всё чаще и чаще. «Мы закончили сложение. Теперь
перейдём к вычитйни ю». «На этом уроке мы порешаем
15 А. С Пчёлко
225


с вами примеры на умножение». «В этой задаче вы приме¬
нили деление; какое деление — по содержанию или деление на
равные части»? и т. д.
В этом концентре надо приучать детей к названиям членов
действий — слагаемые, сумма, уменьшаемое, вычитаемое, остаток,
множимое, множитель, делимое, делитель, вводя их в контекст
своей речи. «Прочитай, какая у тебя получилась сумма». «Под¬
пишем слагаемые так, чтобы единицы стояли под единицами,
десятки под десятками, сотни под сотнями». Напиши: «564 раз¬
делить на 4. Какое здесь д е л и м о е? д е л и т е л ь»? Усвоение
этой терминологии считается обязательным в III классе, но чтобы
это требование программы было выполнено, надо подготовить
почву уже во И классе.
Изучая сотню, учащиеся пользовались только устными
приёмами вычислений.- Теперь они начинают изучать пись¬
менные приёмы. Действия, производимые устно, записываются
в строчку, действия, выполняемые письменно, записываются
«столбиком». При переходе к письменным вычислениям устный
счёт не забрасывается. Упражнения в устном 'Счёте продол¬
жаются. Изучение каждого действия в, пределе 1000 начинается
с устных приёмов вычисления. На упражнения в устном счете
выделяется на каждом уроке несколько минут, на них вырабаты¬
вается беглость счёта в пределе 100.
Нумерация в пределе 1 000
Устная нумерация.
При изучении нумерации в пределе 1 000 можно ис¬
пользовать в качестве наглядных пособий: 1) палочки и пучки,
(рис. 34), 2) арифметический ящик, 3) абак классный и нумерацион¬
ную таблицу, 4) кружочки, нарисованные в клетках, 5) ленту дли-/
ной в 10 /и, разделённую на метры, дециметры и сантиметры,
6)	классные счёты, 7) цифровую кассу.
1. Знакомство с сот н ей и тысячей как новыми
счётными единицами. Учитель кладёт на стол много
(более 1 000) палочек в виде кучки и даёт учащимся задание
сосчитать, сколько тут палочек.
Как лучше этот счёт организовать? По аналогии со счётом
в пределе 100 дети устанавливают, что необходимо эти палочки со¬
считать и связать по десятку, а затем по 10 десятков связать
в сотни и наконец посчитать сотни. Вызываются к столу 4—5 уче¬
ников, которые на глазах всего класса проводят сначала подсчёт
палочек по десяткам, связывая каждый десяток в пучок; потом
считают десятки, связывая их в более крупные пучки-сотни.
После этого остаётся один учащийся, который считает сотни и
226


связывает их в большой пучок-тысячу. Основным вопросом на
этом занятии является счёт сотнями. Ученик считает сотнями
вслух; одна сотня, две сотни, три сотни, четыре сотни,..., девять
сотен, десять сотен. Делается вывод, что сотнями считают так же,
как простыми единицами и как десятками. Сотня есть также счёт¬
ная единица. Теперь дети знают следующие счётные единицы:
простая единица, десяток и сотня.
Палочки и пучки палочек
Рис.
Затем учитель спрашивает у детей названия сотен—большин¬
ству детей они уже известны. «Одна сотня — иначе сто. Как ко¬
роче называются две сотни? три сотни? четыре сотни?» и т. д.
Названия; его, двести, триста, ., ., де¬
вятьсот учитель может записать на доске.
Десять сотен называются тысяча.
Ученикам показывается 10-метровая
лента, разделённая на метры, дециметры
и сантиметры, на ней они считают сотня¬
ми. Может быть также показана таблица
кружочков, нарисованная в клетках; уста¬
новив, что в одном ряду 10 кружочков,
а всего в клетке 10 рядов, в которых {-
помешается 100 кружочков (10 раз по
10—100), ученики считают клетки сотня- ::::::::::	::::::::::
ми до тысячи. (Рис. 35.) Заканчивается	::::::::::
упражнение в счёте сотнями отвлечённым ::::::::::	::::::::::
счётом. На этих наглядных пособиях уча¬
щиеся научатся считать соунями до ты-	Рис. 35.
сячи и получат конкретное представление
о сравнительной величине десятка, сотни и тысячи, что и составляет
цель изучения нумерации на этом первом этапе.
2.	Образование трёхзначных чисел из сотен,
десятков и единиц сначала на наглядных пособиях, потом
• •••••••••
•••••••••• ••••«.•«.»
Рис. 35.
15:
22?


отвлечённо. Учитель предлагает ученикам показать на пучках и
Палочках две сотни и восемь десятков и назвать полученное
Число.
«Как иначе Назвать две сотни?» (Двести.) «Как иначе назвать
восемь десятков?» (Восемьдесят.) «Как назвать всё число?» (Две¬
сти восемьдесят.)
в Далее учитель предлагает показать на таблице кружочков три
сотни, пять десятков и восемь единиц. «Какое число они состав^,
ляют?» (Три сотни — триста, пять десятков — пятьдесят и восемь #-
всего триста пятьдесят восемь.)
«Какое число составят: шесть сотен и два десятка? девять со¬
тен и пять единиц? четыре сотни, четыре десятка и четыре едини¬
цы? три сотни и пять десятков? три сотни и пять единиц?» и % д.
«Назовите число, которое состоит из 6 сотен, 4 десятков и,
5 единиц. Назовите число, в котором 9 сотен и 9 единиц».
3.	Разложение трёхзначного числа на сотни,
десятки и единицы — упражнение, обратное предыдущему.
Учитель называет числа их общепринятыми названиями, ученики
показывают эти числа на наглядных пособиях и объясняют их
состав, говоря, из скольких сотен, десятков, единиц они состоят.
«Пятьсот пятьдесят. Сложите это' число на пучках палочек.
Сколько в этом числе сотен и десятков?» (Восемьсот четырна¬
дцать.) «Покажите это число на 10-метровой ленте. Сколько
в нём сотен, десятков и единиц? Сколько сотен, десятков и еди¬
ниц в числе девятьсот четыре? двести двадцать? четыреста один¬
надцать? семьсот восемнадцать?»
4.	Отвлечённый счёт до 1 000. Было бы излишним
и утомительным вести непрерывный счёт в пределе 1 000. Но
очень полезно поупражнять детей в прямом и обратном счёте
е той части натурального числового ряда, где происходит переход
через круглые сотни.
Например, учитель говорит: «Четыреста девяносто семь. Считай дальше».
Ученик: Четыреста девяносто восемь, четыреста девяносто девять,
пятьсот, пятьсот один, пятьсот два. (На этом можно счёт прекратить.)
Обратный счёт. Учитель говорит ученику: «Восемьсот Четыре. От*
считывай по единице». (Восемьсот четыре, восемьсот три, восемьсот два, во¬
семьсот оойш, восемьсот, семьсот девяносто девять, семьсот девяно¬
сто восемь, семьсот девяносто семь.) На этом счёт можно прекратить.
Если ученик, присчитывая по единице, назвал число «четыреста девяносто
девять» и дальше затрудняется назвать следующее число «пятьсот», нужно
дать объяснение: «Скажи, сколько сотен в числе четыреста девяносто де¬
вять?» (Четыре сотни). «Назови остальную часть числа» (Девяносто девять.'
«Присчитай к девяносто девяти одну единицу. Сколько получится?» (Сто.)
чЧетыре сотни, да сто, сколько будет?» (Пятьсот.) «Какое же число следует
за числом четыреста девяносто девять?» (Пятьсот.) «Считай теперь, начи
■ная с 497».
Подобного рода объяснение даётся и в случае затруднения при отсчить
еании по единице.
После присчитывания и отсчлтььва1Ния по единице цолезш
упражнять детей в присчитывании и отсчитыванни групп единив
228


например по 5, приурочивая счёт к переходу через сотни. «385.
Считайте дальше, присчитывая по 5. 615. Считайте, отсчитывая по
пятёрке» и т. д. Достаточно будет, если ученики назовут
4—5 звеньев.
йаконец, следуют упражнения в определении места
любого трёхзначного числа в ряду других трёх¬
значных чисел.
1)	Какое число следует за числами: 199? 299? 599? 799? 999?
2)	Какое число находится перед каждым из следующих чисел? 300? 500?
700? 200? 900? 1 000? 990? 650? 430? 220? ПО?
3)	Какое число находится между числами: 199 и 201? 499 и 501? 399 и 401?
279 и 281? 459 и 461? 639 и 641?
4)	Между какими числами находится каждое из следующих чисел: 200? 400?
600? 800? 300? 500? 700? 900?
Письменная нумерация.
Наглядными пособиями при изучении письменной нумерации
могут служить счёты, классный абак и нумерационные таблички.
Назначение наглядных пособий при ознакомлении с письменной
нумерацией состоит в том, чтобы уяснить поместное значение
цифры. На счётах все шарики одинаковы, но означают они или
единицы, или сотни, или тысячи, смотря по тому, на которой
проволоке они помещены. Так, одна и та же цифра означав
тысячи, сотни, десятки и единицы в зависимости от того, на ка¬
ком месте она написана. Если в числе нет какого-либо разряда,
то соответствующая проволока остаётся пустой, т. е. на ней ша¬
рики не откладываются; при письменном обозначении чисел на
месте единиц отсутствующего разряда ставится нуль.
Приступая к письменной нумерации чисел первой тысячи,
нужно показать ученикам обозначение чисел на счётах и от них
перейти через абак и нумерационные таблички к обозначению
чисел с помощью цифр, проводя параллель между обозначением
чисел на счётах, абаке и записью их цифрами.
Выясни'в значение шариков на каждой из четырёх проволок
и поупражняв учащихся в откладывании отдельно единиц, от¬
дельно десятков", отдельно сотен, а также и тысяч («отложи
5 единиц, 8 единиц, 20. 50, 80, 200, 600, 900; 2 тысячи, 5 тысяч,
7 тысяч, 10 тысяч»), учитель кладёт на счётах различные числа
в пределе тысячи, а ученики читают их, и обратно: учитель дик¬
туем такие числа, а ученики кладут их на счётах.
Отложив на счётах 625, учитель ведёт такую беседу:
«Прочитайте, какое число я положил». (Шестьсот двадцать пять.) «Поче¬
му вы так прочитали его?» (На третьей* проволоке положено 6 шариков; он»
означают 6 сотен; 2 шарика на второй проволоке означают 2 десятка, или
двадцать; 5 шариков на первой проволоке —•' 5 единиц. А всё число: 625.)
«Теперь какое число отложено?» (учитель откладывает 408). (Четыреста восемь.)
«Почему это число 408? На каких проволоках отложены шарики? На которой
шариков нет? Что это означает?» (Это означает, что в числе есть сотни и еди¬
ницы, а десятков нет.)
«Теперь вы отложите число семьсот пятьдесят два. Почему отложенное


число есть 762?» (Потому что оно состоит из 7 сотен (на 3-й проволоке).
5 десятков (на 2-й проволоке) и 2 единиц на !-й проволоке).
«Положите число 540. Почему не положены шарики на I*# проволоке
(в числе 540)? Почему не положены шарики на 2-й проволоке (в числе 906)?»
После упражнений на счётах полезно проделать несколько
упражнений с записью и чтением чисел на абаке, а затем и в нуме¬
рационных табличках, которые учащиеся вычерчивают у себя
в тетради.
Учитель объясняет значение каждой графы: если написана цифра Зв графе
сотен, она означает 3 сотни; если ту же цифру 3 написать в четвёртой графе,
она будет означать 3 тысячи. Дальше учитель пишет цифру 4 в графе сотен
и рядом цифру 2 в графе десятков. «Какое число написано?» (420.) «Почему?»
(4 означает 4 сотни, или 400; 2 означает 2 десятка, или 20; а всё число 420.)
Учитель пишет ь графе сотен цифру 6, а в графе единиц цифру 9. «Какое
число написано?» (609.) Почему это число именно шестьсот девять? Почему
вторая графа оказалась пустой?»
Далее под диктовку учителя ученики записывают в своих табличках не¬
сколько чисел.
Все эти упражнения на счётах и в табличках вполне подго¬
товили учащихся к обычному письменному обозначению чисел как
трёхзначных, так и четырёхзначных без помощи таблиц.
«Будем теперь записывать числа без таблицы. Для этого бу¬
дем соблюдать правило: единицы пишутся на первом месте от
правой руки, десятки — на втором, сотни — на третьем, тысячи
на четвёртом месте; если какой-либо десятичной группы нет, на
её месте ставится нуль». Запись чисел полезно предварять от¬
кладыванием их на счётах Сначала записываются числа, имею¬
щие все три разряда: учитель диктует число, ученики отклады¬
вают число на счётах, а затем пишут в* своих тетрадях, после чего
вызванный ученик пишет его на классной доске.
Затем следует запись чисел, в которых нет десятков, нет
единиц, нет ни десятков, ни единиц (круглые сотни), и, наконец,
записываются тысячи и другие четырёхзначные числа. Ученики
подробно объясняют запись каждого числа.
Учась записывать числа, дети вместе с тем приобретают навык
их чтения. Ч гобы прочитать трёхзначное или ч четырёхзначное
число, надо знать значение каждой цифры, *которое зависит от
занимаемого ею места.
Допустим, что надо прочитать число 578. Читая его, ученики дают сле¬
дующее объяснение: цифра 5 стоит на третьем месте и означает 5 сотен, или
пятьсот; цифра 7 стоит на втором месте и означает 7 десятков, или семьдесят;
цифра 8 стоит на первом месте и означает 8 единиц. Всё число читается так:
пятьсот семьдесят восемь.
Заканчиваются упражнения з чтении чисел названием их без
объяснения.
Упражнения в разложении чисел на две груп¬
пы — на десятки и единицы — (795 =79 дес. + 5 ед.;
630 = 63 десяткам). Это преобразование (преврашение одних
разрядных единиц в другие) должно войти как последнее звено
в изучение нумерации чисел.
230


Сначала это преобразование показывается на наглядных по¬
собиях, а затем производится на основании рассуждений:
Учитель кладёт на стол 2 больших (сотни) пучка, 3 маленьких (десятки)
а 5 отдельных палочек.
«Какое число я обозначил пучками и палочками? Напишите его». (235.)
«Из каких десятичных групп состоит это число?» (Из трёх групп: 2 сотен,
3 десятков и 5 единиц.)
«Заменим теперь большие сотенные пучки десятками. Сколько нужно
пучков-десятков, чтобы заменить один сотенный пучок? Два сотенных пучка?
Сколько теперь всего стало пучков?» (23.) «Сколько это десятков?» (23 де¬
сятка.) «На сколько групп теперь разбито всё число 235?» (На две группы.)
«Какая первая группа?» (23 десятка.) «Какая вторая группа?* (5 единиц.)
«Сколько же всего десятков и, кроме того, единиц в числе 235?» (23 десятка
и 5 единиц.) «Запишите это: 235 = 23 дес. + 5 ед.»
Дальше Следуют упражнения без наглядных пособий на
основании рассуждений. Учитель пишет число 468.
«Прочитайте написанное число. Разложите его па десятки и единицы.
Сколько будет всех десятков в этом числе? Как вы узнали это?» (В одной
сотне 10 десятков, в 4 сотнях 40 десятков; 40 десятков да б десятков, всего
46 десятков.) «А сколько единиц в этом числе? Напишите так, чтобы видно
было, что в числе 468 — 46 десятков да ещё 8 единиц». Ученики пишут:
468 = 64 дес. + 8 ед.
«Напишите число 540. Сколько всего десятков в этом числе?» (54.) «Как
вы узнали, что 54 десятка?» (8 одной сотне Ю десятков, в 5 сотнях 50 де¬
сятков да 4 десятка. Всего 54 десятка.)
«А сколько единиц в этом числе?» (Единиц нет. На месте их стоит нуль.)
Обратные упражнения: раздробление круглых
десятков в единицы и составление чисел по дан¬
ным его десяткам и единицам. Этот вопрос выясняется
сначала на наглядных пособиях, а затем проводятся отвлечён¬
ные упражнения.
Учитель кладёт 15 пучков-десятков.
«Какое число я обозначил?» (15 десятков.) «Как можно по-другому назвать
это число? Чем можно заменить 10 десятков?» (Одной сотней.) «Сколько де¬
сятков осталось?» (5 десятков.) «Сколько же всего единиц в этом числе —
одной сотне и 5 десятках?» (Одна сотня — сто единиц да 5 десятков —
50 единиц. А всего 100 да 50 — сто пятьдесят единиц.) «Значит, 15 десятков
всё равно, что 150».
Дальше можно проводить упражнения без наглядных пособий, обращаясь
к ним Только в случае затруднений.
«75 десятков. Как назвать это число по-другому?» (750.) «Как вы узнали,
что 750?» (10 десятков составляют сотню, а 70 десятков составляют 7 сотен;
7 сотен да 5 десятков — 750.)
«Назовите число, которое состоит из 32 десятков и б единиц». (326.) «Как
еы это узнали?» (32 десятка 320 да ещ| 6 единиц = всего 326.)
Сложение в пределе" 1 000.
Изучая сложение в пределе 1 000, учащиеся должны научиться
производить вычисления и устно, и письменно. Лёгкие слу¬
чаи сложения выполняются устно, более трудные — письменно.
Здесь учащиеся впервые знакомятся с письменным приёмом вы¬
числения; переход от устных приёмов к письменным должен быть
231


выяснен особенно подробно и тщательно. В этом концентре целе¬
сообразно рассматривать каждое арифметическое действие отдель¬
но. Чтобы приобретённые навыки в одном действии не утрачива¬
лись при прохождении других, нужно проводить повторение прой¬
денного на сложных примерах и сложных задачах, требующих
применения нескольких действий.
Первые уроки этой темы должны быть использованы для-
ознакомления учащихся с устными приёмами сложения. Даль¬
ше учащиеся перейдут к изучению письменного сложения; но
перейдя к письменному сложению, нужно тренировать учащихся
в устном счёте на материале сотни и тысячи, уделяя устному
счёту 5—7 минут по возможности на каждом уроке.
При подборе чисел для письменного сложения слагаемыми мо¬
гут служить любые трёхзначные числа, независимо от того, какое-
число получится в сумме — трёхзначное или четырёхзначное.
Устное сложение.
Для устного сложения в пределе 1 000 берутся простейшие
случаи сложения.
1.	"'Сложение' круглых сотен с круглыми десят¬
ками и единицами: а) 300 -ф- 50; б) 400 + 6; в) 840 + 5;
500 + 68. Эти случаи сложения тесно примыкают к нумерация
и легко решаются учащимися на основе уменья составлять число
из разрядных единиц.
2.	Сложение круглых сотен: 300 + 200, 600 + 400,
700+ 100 и т. д. Это — тоже лёгкие случаи, требующие от уче¬
ников только уменья складывать в пределе 10 и превращать еди¬
ницы в сотни и, наоборот, раздроблять сотни в единицы. В самом
деле, чтобы сложить 300 да 200, ученик должен сложить 3 сотни
да 2 сотни, 3 да 2 = 5; 5 сотен — это 500. Следовательно,
300 + 200 = 500.
3.	Сложение любых трёхзначных чисел с круг¬
лыми десятками и круглыми сотнями (без перехода
через сотню): а) 250 + 30; б) 406 + 60; в) 423 + 70; а) 640 + 300;
б)	508 + 200; в) 276 + 400.
Начиная с этих примеров, нужно приучать учащихся к ш>
разрядному сложению. Так, чтобы прибавить к трёхзначному
числу круглые десятки, надо это трёхзначное число разбить на
две части та'к, чтобы в одной части были сотни, а в другой:
десятки с единицами и затем прибавить десятки к этой второй
части числа. Например, чтобы прибавить 30 к 250, разбиваем
число 250 на 2 сотни и 5 десятков, затем прибавляем 30 к 50,
получается 80; 200 да 80 будет 280.
Чтобы прибавить 300 к 640, разбиваем последнее слагаемое
на сотни и десятки — на 600 и 40, затем 3 сотни прибавляем
к 6 сотням, получается 9 сотен, или 900; 900 да 40 будет 940.
4.	Сложение любых трёхзначных круглых чисел
без перехода через сотню: а) 320 + 240; б) 580+120,
232


Сложить 320 и 240 можно так: 300 + 200 = 500, 2$ + 40 — 60;
500 + 60 = 560. Можно произвести сложение этих чисел и дру¬
гим способом, более коротким: 320 + 200 = 520; 520 + 40 = 560.
Оба эти способа надо показать ученикам; тренировать же уча¬
щихся надо преимущественно на втором способе.
5,	Сложение круглых десятков, а также сложе¬
ние любых трёхзначных круглых чисел с перехо¬
дом через сотню: а) 80+ 60; б) 480 + 60; в) 540 + 290.
Круглые десятки (80 + 60) можно складывать двойным спо¬
собом: 1) к 80 прибавить 20, будет 100; к 100 прибавить 40, по¬
лучится 140. Значит: 80 + 60= 140. 2) 8 десятков да 6 десятков-
будет 14 десятков; 14 десятков = 140. Значит, 80+ 60= 140.
Познакомить учащихся нужно и' с тем и с другим способом,
предоставив учащимся право пользоваться ими по своему выбору.
Первым способом пользуются обычно чаще. Нужно дать уча¬
щимся большую практику в сложении круглых десятков, чтобы
они умели доволь'но быстро находить правильные результаты.
6.	Сложение трёхзначного числа с однознач¬
ным и двузначным без перехода через сотню
(262 + 5; 540 + 36).
Приём сложения -в данном случае заключается в том, что
сотни не трогаются, а складываются десятки и единицы первого
слагаемого с десятками и единицами второго слагаемого. Так,
чтобы сложить 262 и 5, складываются 62 и 5, будет 67; 200 да 67,
получится 267.
Чтобы сложить 540 и 36, складываются 40 и 36, будет 76,
500 да 76, получится 576.
Приём округления чисел.
Вычислительное приёмы, как видно из предыдущего, отли¬
чаются большим разнообразием, имея в своей основе единое
общее: поразрядность сложения. Все эта приёмы надо показать-
и объяснить ученикам, а в дальнейшем поощрять детей к при¬
менению различных приёмов, выделяя при этом приём, наиболеее
подходящий для каждого данного случая.
Из частных приёмов сложения здесь должен найти своё при¬
менение приём округления. Он уже известен ученикам.
Теперь нужно его обосновать и упражнять детей в применении
его на 'числах в пределе 1 000.
Сначала нужно научить детей округлять числа.
«Имея 99 коп., я могу сказать; что у меня без малого 100 коп., или 1 рубль.
В доме живёт 198 человек. Мы можем сказать, что в этом доме без мало-
.го 200 человек.
Расстояние между двумя деревнями 31 км. Мы можем сказать, что меж ду¬
этами деревнями 30 км с лишним.
Вместо чисел
взяли числа
99
100
198
200
31
30
233


Числа 100, 200, 30 могут быть названы круглыми. Поэтому говорят,
что числа 99, 198. 31 округлили. Ученик не должен забывать, что числа
99 и 100, 198 и 200 не равны, но 99 очень мало разнится от 100»,1
Сложим 240 и 98. Сначала применим основной приём:
40 + 90 =130; 130 + 8—138; 200 + 138 = 338. Потом исполь-
зум приём округления. Округлим 98 до 100 и к 240 прибавим 100,
получится 340. Но, округлив 98, мы прибавили 2 лишние едини¬
цы. Отнимем их от 340 и получим правильный остаток — 338.
Приём округления более лёгкий. Им и нужно пользоваться,
когда даются для сложения числа, близкие к круглым.
Письменное сложение.
Пока учащиеся имелц^ дело только с круглыми числами в пре¬
деле 1 000, они могли обходиться устными приёмами вычислений.
Но когда они переходят к любым трёхзначным числам, устные
вычисления становятся затруднительными. Здесь нужно дать уче¬
никам первое знакомство и первоначальные навыки письмен--
н о г о сложения.
Главное в письменном сложении — это принцип строгой
поразрядности действия: складываются всегда единицы
с единицами, десятки с десятками, сотни С сотнями. Остальные
части правила сложения (подпись, начало сложения с единиц
низшего разряда и до.) не имеют столь принципиального значе¬
ния, но и они, будучи продиктованы целесообразностью, должны
соблюдаться достаточно строго.
Объяснение письменного сложения начинается с того случая
сложения, когда сумма чисел любого разряда меньше 10
и, следовательно, когда никаких превращений не производится.
Пусть, например, дано сложить 426 и 352. Сделаем сложение сперва уст¬
но; для этого записываем пример в строчку и производим сложение так: 400
да 300 = 700, 20 да 50 = 70, 700 да 70 = 770, б да 2 =8, 770 да 8 = 778.
Так складывать большие числа неудобно, потому что приходится держать
в памяти результаты сложения отдельных десятичных групп. Чтобы произвести
сложение легче, выполним его письменно.
В первом числе (берём вышеприведённый пример) 4 сотни, 2 десятка
и б единиц. Во втором числе 3 сотни, 5 десятков и 2 единицы. Подпишем одно
число под другим так, чтобы 2 единицы стояли под 6 единицами, 5 десятков
под 2 десятками, 3 сотни под 4 сотнями. Проведём черту. Слева поставим
знак сложения. Получится запись:
Сложим эти числа: 4 сотни да 3 сотни—7 сотен; запишем 7 под
“*26 сотнями; 2 десятка да 5 десятков — 7 десятков; запишем цифру 7
352 под десятками; б единиц да 2 единицы — 8 единиц; запишем 8 под
778 единицами. Всего получилось 778.
426	Мы начинали сложение с сотен. А теперь произведём сложение
352 в другом порядке — начнём сложение с единиц. Оказывается, всё
778 равно, в каком порядке мы складываем числа; результат получается
один и тот же».
1 И. Кавун, Н. Попова. Методика преподавания арифметики в на¬
чальной школе. Изд. 1936 г., стр. 240.
234


Далее переходят к тому случаю сложения, когда сумма цифр
|дного из разрядов равна 10. Например 465 + 225,
' Выясняем, сколько сотен, десятков и единиц в первом числе, во втором
одсле.
Подписываем эти числа одно под другим так, чтобы сотки стояли под
сотнями, десятки под десятками, единицы под единицами:
Начинаем сложение с сотен: 4 сотни да 2 сотни — б сотен; записываем
их под сотнями; б десятков да 2 десятка — 8 десятков; записываем их под
десятками; 5 единиц да 5 единиц —10 единиц, или 1 десяток. Будут ли в от¬
вете единицы?> (Нет.)
I «Что поставим на месте единиц?» (Нуль.) сЧто надо сделать с одним
десятком?» (Прибавить его к 8 десяткам.) «К 8 десяткам прибавим один де¬
сяток, получится 9 десятков. Переправим цифру 8 на 9. Получится в резуль¬
тате 690.
" Сложим теперь эти же числа в обратном порядке, *г. е. начиная с единиц.
Результат- получается тот же, но так складывать удобнее, — не приходится
исправлять цифры, ответ получается окончательный. Решив ещё один пример
обоими способами, делаем вывод: «сложение нужно начинать с единиц».
На решении примеров второго типа ученики научатся превра¬
щать единицы в десяток и относить его к десяткам, превращать
десятки в сотню и относить её к сотням.
После этого можно перейти к сложению чисел, в которых
сумма единиц или сумма единиц и сумма десятков более 10, на¬
пример, 358+ 476. Процесс сложения объясняется примерно так:
. 358	8 да 6—14 единиц; 4 единицы пишем, а 1 десяток прибавим
+ 476 к десяткам. 1 десяток да 5 десятков — 6 десятков, да ешё 7 десят-
334 ков — 13 десятков; 3 десятка пишем, а одну сотню прибавим к сотням.
1 сотня да 3 сотни — 4 сотни, да ещё 4 сотни — всего 8 сотен; за¬
писываем их. Всего получилось 834.
Постепенно у учеников вырабатывается краткая и простая
■форма объяснения сложения: 8 да 6—14;	4 пишу, 1 — в уме;
1	да 5 — 6, да ещё 7 — 13; 3 пишу, 1— в уме; 1 да 3 — 4, да ещё
4 — 8. Всего получилось 834.
Спешить с заменой подробного объяснения кратким во
И классе не следует. Но даже когда краткая форма установлена,
то всё же время от времени нужно предлагать ученикам называть
те разряды, над которыми производятся вычисления.
Полезно побольше прорешать столбиков с несколькими слагае¬
мыми и притом с такими слагаемыми, где даются вперемежку
трёхзначные и двузначные числа, например:
574 Складывая эти числа, ученик говорит: «4 да 6 — Ю, да 9 — 19, да
306 3 — 22; 2 пишу, 2 —в уме; 2 да 7 — 9, да 0 — 9, да 8 — 17, да 6 — 23,
+ 89	3 пишу, 2 в уме и т. д.
963
1932
Примерно в середине работы можно сообщить ученикам, что
числа, над которыми производится сложение, называются слагае¬
, 465
+ 225
690
, 465
+ 225
690
235


мыми, а число, которое получается в результате сложения, назы¬
вается суммой. Познакомив учащихся с этими терминами,
учитель приучает детей пользоваться ими, и сам вводит их
в свою речь, в свои задания и предложения: «Прочитай первое
слагаемое! Прочитай второе* слагаемое! Какая получилась
сумма?» и т. д.
Система. Учитель должен обеспечить строгую систему в по¬
рядке рассмотрений отдельных случаев сложения, систему, обес¬
печивающую постепенное нарастание трудности. Трудность здесь
заключается в превращении единиц одного разряда в единицы
следующего высшего разряда. С этой точки зрения различные'
случаи сложения можно разбить на следующие ступени:
1)	сложение без превращения единиц в. десятки или десятков
в сотни, например 324 + 542;
2)	сложение с превращением единиц в десятки; например.
128 + 467;
3)	сложение с превращением десятков в сотни, например
275 + 184;
4)	сложение с превращением единиц в десятки и десятков
в сотни, например 568 + 295;
5)	сложение с превращением сотен в тысячи, например
862 + 934.
Кроме того, в системе упражнений должны . быть предусмот¬
рены примеры и с такими слагаемыми, в которых встречаются
нули, например: 540 + 324; 608 + 201; 140 + 380.
Осложнение должно идти и по пути увеличения количества
слагаемых; если первые примеры даются с двумя слагаем
мыми, то в последующие упражнения включаются примеры
с тремя и четырьмя слагаемыми.
Задачи на сложение. Со всеми видами простых задач
на сложение учащиеся уже ознакомились при изучении предыду¬
щих концентров. Ничего нового в этом смысле здесь не даётся
Напомним эти виды:
а) задачи, в которых требуется найти сумму двух или не¬
скольких слагаемых;
6)	задачи, в которых нужно одно число увеличить на не
сколько единиц;
в)	задачи, в которых по данному вычитаемому и остатк)
требуется найти уменьшаемое.
Из этих видов задач более трудным является третий вйд. Емз
надо уделить больше внимания.
Вычитание в пределе 1 000.
Устное вычитание.
Вычитание устно производится в пределе 1000 главны!
образом над круглыми числами и только в лёгких случая:
над иными числами в этом пределе; например, в тех случаях, ког
236


,а нужно от трёхзначного числа отнять однозначное. Главное
элгой работе—«познакомить учеников с различными вычисли-
ельным'И приёмами и научить их владеть этими приёмами.
Для этого выделяются первые 4—5 уроков целиком, кроме
ого, на последующих уроках, когда учащиеся перейдут к пись¬
менному вычитанию, 5—7 минут в начале урока посвящаются
тренировке в устных вычислениях.
Изучение устных "приёмов вычитания проводится примерно
* следующей системе:
,1) Вычитание круглых сотен, например:	600 — 400;	900 — 400.
500 — это 6 сотен, 400 — это 4 сотни; от 6 сотен отнять 4 сотни, остаётся
I сотни, или 200. Значит, 600 — 400 = 200.
2)	Вычитание из трёхзначного числа его сотен, десят¬
ков, единиц, например: 786 — 700; 325 — 20; 542— 2; 485 — 85. Вычитание
во всех данных случаях всецело основывается на знании состава трёхзнач¬
ного числа. Если нумерация пройдена хорошо, то дети легко будут справляться
с подобными примерами.
3)	Вычитание круглых десятков без перехода через
сотню, например: 690 — 50; 270— 20. Десятки в данном случае вычитаются
только из десятков; сотни при этом не трогаются. Так, 1) 90—50 = 40; 600 -1-
+ 40 = 640.
4)	Вычитание из трёхзначных чисел (круглых десят¬
ков) круглых сотен, например: 520 — 300; 780 — 400. Вычислительный приём
состоит в том, что сотни вычитаются из сотен; десятки при этом не затра¬
гиваются:
500 — 300 = 200; 200 + 20 = 220.
5)	Вычитание из трёхзначного числа двузначного без
перехода через сотню. Здесь берутся более лёгкие случаи: 650 — 24;
276 — 30. Вычитание в данных случаях сводится к вычитанию двузначного
числа из двузначного, не затрагивая сотен, например:
650 — 24=	?	276 —30 =	?
50 — 24 = 26	76 — 30 = 46
600 + 26 = 626	200 + 46 = 246
б)	Вычитание трёхзначных чисел — круглых десятков
без перехода через сотни: 380 — 120; 760 — 450. Вычитание в дан¬
ном случае производится так: от уменьшаемого последовательно отнимаются
сначала сотни, а затем десятки вычитаемого:
380 — 120=	?
380 — 100 = 280
280— 20 =260
760 — 450 = ?
760 — 400 = 360
360— 50 = 310
7) Вычитание из круглых сотен единиц, круглых
десятков, двузначных чисел:	500 — 8;	600 — 40;	800 — 25.
Во всех трёх случаях применяется один и тот же вычислительный приём: для
вычитания от уменьшаемого
гаются:
500— 8 =	?
ТОО— 8= 92
^00 — 100 = 400
400+ 92 = 492
берётся только одна
600 — 40 =	?
100—40 = 60
600 — 100 = 500
500 + 60 = 560
сотня, остальные не тро-
800 - 25 =	?
100 — 25= 75
800 — 100 = 700
700 + 75 = 775
237


8)	Вычитание из круглых сотен, круглых д е-
с я т к о в- 500 — 280; 900 — 460. В данном случае надо научить детей после¬
довательному отниманию от круглых сотен сначала сотен, а потом десятков
вычитаемого, а именно:
500 — 280=	?	900 — 460 =	?
500 — 200 = 300	900 — 400 = 500
300 — 80 = 220	500 — 60 = 440
9)	Вычитание круглых десятв с переходом через-
сотню. 140 — 60; 230 — 80. Вычислительный приём заключается в следую*
щем: от 140 отнимается 40, затем от 100 отнимают 20 (40 да 20 = 60). Можно
использовать и другой способ: 140 — это 14 десятков, 60 — это 6 десятков;
от 14 десятков отнять б десятков, останется 8 десятков, или 80. Значит,
140 — 60 = 80.
Второй приём удобен, когда уменьшаемое заключено в пределе 200; вы¬
читание в этом случае сводится к табличному вычитанию. Во всех остальных
случаях более удобен первый приём.
Здесь не исчерпаны все случаи устного вычитания. Воз¬
можны некоторые другие случаи, например:	если потре¬
буется от 287 отнять 2, то нецелесообразно в таком случае обра¬
щаться к письменному вычислению. Но во II классе не следует
гнаться за большим: здесь нужно дать вычислительные приёмы
только для наиболее лёгких случаев устного вычитания.
Упражнения должны носить по преимуществу чисто устный
характер, т. е. не сопровождаться записями. Но это не исключает
возможности некоторые примеры, в которых даются числа, труд¬
ные для запоминания, записать (запись примера не делает приём
вычисления письменным). Приёмы вычислений полезно иллюстри¬
ровать записями, как это делалось выше.
Письменное вычитание.
До сих пор запись вычитания учащиеся производили в строчку.
Теперь нужно ознакомить их с новой формой записи действия —
столбиком, а вычитание производить, начиная с единиц низших
разрядов.
Для лучшего усвоения письменного вычитания нужно соблю¬
сти следующие методические ступени:
а)	Каждая цифра уменьшаемого больше соответствующей
цифры вычитаемого : 546 — 234.
б)	Цифра единиц уменьшаемого меньше цифры единиц
вычитаемого:	642—325, или цифра единиц уменьшаемого
равна 0: 580 — 164.
в)	Цифра десятков уменьшаемого меньше цифры десятков
вычитаемого: 728—265, или эта цифра равна 0 : 708 — 265.
г)	Цифры единиц и десятков уменьшаемого меньше со¬
ответствующих цифр вычитаемого: 835—276, или обе эти цифры
обозначены нулями: 600—417.
д)	В середине уменьшаемого нуль, а цифра единиц его мень¬
ше цифры единиц вычитаемого: 605—227.
238


Для облегчения трудности, которая заключается в понимании
необходимости в соответствующих случаях занимать одну еди¬
ницу высшего разряда и раздроблять её в единицы низшего раз¬
ряда, можно прибегнуть перед изучением второго случая вычита¬
ния к наглядным пособиям — к пучкам палочек и к процессу
размена денег (размен монет известен детям из их жизненной
практики).
Объяснение вычитания. Возьмём пример: 546 — 234;,
произведём вычитание сперва устно.
В числе 234 — 2 сотни, 3 десятка и 4 единицы. Вычтем из 546 сначала»
2 сотни. Для этого от 5 сотен отнимем 2 сотни, останется 3 сотн^.
а всего 346. Вычтем дальше из 346 три десятка. Для этого отнимем 3 де¬
сятка от 4 десятков, останется I десяток, а всего 316. Вычтем, 'наконец, из
316 четыре единицы, для этого из 6 единиц вычтем 4 единицы, останется
2 единицы, а всего 312.	<
Такое вычитание трудно, так как приходится держать в па¬
мяти остатки. Произведём вычитание письменно, для чего под¬
пишем одно число под другим так, чтобы единицы были'под
единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями.
_546	От 5 сотен отнимем 2 сотни, получится 3 сотни; запишем их
234 под сотнями. От 4 десятков отнимем 3 десятка, останется 1 деся-
312 ток; запишем его пбД десятками. От 6 единиц отнимем 4 единицы*
получится 2 единицы; запишем их. Получилось в остатке 312.
Произведём вычитание, начиная с единиц. Сравним остатки.
Они одинаковы. Проделаем несколько упражнений в решении
примеров этого типа.
Далее, прежде чем перейти к тому случаю вычитания, где
приходится занимать одну единицу высшего разряда, про¬
делаем вычитание на пучках палочек, чтобы дать детям нагляд¬
ный, конкретный пример этого занимания и раздробления.
Берём 8 пучков-десятков и 3 палочки, означающие число 83. Даём зада¬
ние— отнять 8 палочек. Очевидно, для вычитания нужно взять 1 пучок-
десяток и развязать его. Получится 7 пучков-десятко-в и 13 палочек.
Теперь вычтем 8 палочек. Останется 7 десятков и 5 палочек, или 75.
Разрешим наглядно ещё один случай вычитания: у мальчика
имеются деньти — два червонца и 4 рубля по одному рублю.
Ему нужно из этих денег отдать товарищу 7 рублей. Как это
сделать? Очевидно, надо взять один червонец и разменять
его на рубли, получится всего 14 ^рублей. Из этих 14 рублей
мальчик может уплатить 7 рублей. Останется у него один черво¬
нец да 7 рублей, а всего 17 рублей.
Теперь можно перейти к тому случаю письменного вычитания,,
где на проделанные приёмы можно будет опереться.
Вычтем 325 из 642, подписав эти числа одно под другим:
642


Произведём это действие, начиная вычитание с единиц. Объясняя вычита¬
ние, учитель говорит примерно так: «От 2 единиц отнять 5 единиц нельзя.
Берём один десяток. Чтобы показать, что 1 десяток взят, ставим над цифрой
4 точку. Десяток раздробляем в единицы, получается 10 единиц, да
в числе имеется своих 2 единицы, а всего будет 12 единиц. От 12 единиц от¬
нимаем 5 единиц, будет 7 единиц; пишем их под единицами. От 3 десятков
(почему от 3, а не от 4) отнимаем 2 десятка, останется 1 десяток; запи¬
сываем его под десятками. От б сотен отнимаем 3 сотни, остаётся 3 сотни;
'пишем их под сотнями. Всего получилось 317».
Так же подробно объясняют решение примеров и ученики. Но
постепенно форма объяснения делается короче и схематичнее.
В конце изучения вычитания, в особенности когда ученики вы¬
полняют вычитание в порядке решения задачи, они могут огра¬
ничиться лаконической формой объяснения, а именно:
«От 2 отнять 5 нельзя. Занимаем один десяток. От 12 отнять 5, будет 7.
От 3 отнять 2, будет 1. От б отнять 3, останется 3. А всего получилось 317».
Решая примеры второго типа, ученики усвоят самое характер¬
ное в вычитании— занимание и раздробление; после этого можно
перейти к решению примеров, в которых приходится последова¬
тельно занимать и десятки, и сотни (613 — 245). Ничего принци¬
пиально нового здесь ученики не встретят.
С новой трудностью ученики встретятся тогда, когда перейдут
к вычитанию чисел из круглых сотен ($00 — 87). Приём вычита¬
ния в этом случае надо проиллюстрировать на наглядном посо¬
бии — на пучках палочек.
Выполним задание — от 2 сотенных пучков отнять 38 палочек: 38 —это
‘3 десятка и 8 единиц. А в уменьшаемом у нас имеются только сотни; как
поступить в таком случае? Очевидно, что нужно взять одну сотню и развя¬
зать её, она -распадётся на 10 пучков-десятков, Теперь 3 десятка можно от*
•пять, но 8 палочек-пока ещё отнять (нельзя, так как отдельных палочек #у нас
.нет. Чтобы их получить, возьмём из 10 десятков 1 десяток, развяжем его'
я получим 10 отдельных палочек. Здесь, прежде чем вычитать, надо остано¬
виться и сопоставить то, что былой что получилось; сопоставить раз¬
ные формы одного и того же числа 200. Было: 2 пучка — 2 сотни. Стало:
1 пучор — сотня, 9 пучков-десятков, 10 отдельных палочек, а всего 2 сотни.1
Как получили последнее число? Развязали один сотенный пучок, получили
10 десятков; оставили 9 десятков, а один десяток развязали и получили
10 отдельных палочек-единиц. Отняв 3 десятка и 8 палочек, получим 162 па¬
лочки.
200
Теперь произведём вычитание письменно — 38 , рассуждая так:
162
«От - нуля отнять 8 нельзя (нуль показывает, что единиц в умеш
«шаемом нет). Займём десяток. Но десятков тоже нет: на их месте стон*
нуль. Тогда возьмём (займём) одну сотню. Сотн*о раздробим в десятки
(сотенный пучок палочек развязывали, а здесь раздробляем), по^
лучим 10 десятков. На месте десятков оставим только 9 десятков, а од
лучим ш десятков, на месте десятков оставим только у десятков, а один
десяток раздробим в единицы и получим 10 единиц. Что же у нас получилось
е уменьшаемом? 1 сотня, 9 десятков, 10 единиц. (При первом объяснении дл$
^большей наглядности учитель может делать наверху уменьшаемого надписи;
910
над десятками поставит^ маленькую цифру 9, над единицами 10	Нс
оо
240


ученикам таких надписей делать не следует.) Теперь будем вычитать, от
10 единиц отнять 8 единиц, останется 2 единицы, пишем их. От 9 десятков
отнять 3 десятка, получится 6 десятков, запишем их. От одной сотни (по¬
чему от одной, а не двух?) ничего не вычитаем и переносим её целиком
в остаток. Получилось 162».
Последняя разновидность примеров — с нулём в середине
уменьшаемого — ничего нового по сравнению с предыдущим
примером в себе не содержит и может быть выяснена без помощи
наглядных пособий.
Название чисел в вычитании. Желательно, чтобы
учащиеся были ознакомлены с названиями данных чисел и ре¬
зультата.
Учитель пишет на классной доске пример на вычитание и проводит слс-
758 — уменьшаемое дующую беседу: «Как называется то действие, когда
— 521 — вычитаемое мы вычитаем одно число из другого?» (Вычита
237	остаток.	ние.) «Назовите то число, которое мы вычитали».
(521.) «То число, которое вычитается, — вычитаемое
число, или просто вычитаемое. (Учитель записывает этот термин на
доске против числа 521.) Повторите, как называется то число, которое вы¬
читается».
«Что же делается с числом, когда мы из него вычитаем другое число?»
(Оно уменьшается.)
«Поэтому-то число, из -которого вычитают, называют уменьшаемым чис¬
лом, или лросто уменьшаемым. (Учитель записывает этот термин про¬
тив числа 758.) Прочитайте в нашем примере уменьшаемое, вычитаемое. При¬
думайте сами пример на вычитание и скажите — какое число будет уменьшае¬
мым и какое вычитаемым».
«Когда вычитаем, мы узнаём, сколько остаётся. Поэтому то число,
которое получается от вычитания, называется остатком. (Этот термин
учитель записывает на доске против числа 237.) Повторите. Прочитайте оста¬
ток в нашем примере».
«Решите задачу: Отцу 40 лет, а сыну 12. На сколько лет отец старше
сына? Что надо сделать, чтобы узнать это? Что же мы узнали, когда из
40 вычли 12?» (Мы узнали, на сколько л'вт отец старше сына.) «Да, вы уз¬
нали разницу в их годах, или разность между их годами. Поэтому то
число, которое получается от вычитания, имеет ещё другое название — раз¬
ность. (Термин записывается.) Повторите. Как же можно назвать число 237
в нашем примере?»
Как пример, так и названия чисел ученики записывают в своих тетрадях.
3 а д -а ч и й а в ь. т и т-аоше. При .изучении вычитания в пре¬
деле 1 000 ученики упражняются в решении -задач на вычитание
как простых, так и сложных. Здесь решаются вое 4 вида простых
1адач на вычитание, а именно:
1) Задачи, в которых требуется найти остаток.
2) Задачи, в которых требуется найти разность двух чисел.
3)	Задачи, в которых нужно данное число уменьшить на не¬
сколько единиц.
4)	Задачи, в которых по данному уменьшаемому и остатку
требуется найти вычитаемое {«У мальчика было 75 коп.; когда он
пустил книгу, у 'него осталось 25 кеш. Сколько он уплатил за
книгу?»).
16 А. С. Пчёлко
241


Умножение чисел в пределе 1 000.
Устное умножение.
Устное умножение в пределе 1 000 во II классе ограничивается
наиболее простыми и лёгкими случаями, а именно:
Умножением на однозначное число: 1) круглых сотен (300X2,
200 X 5), 2) круглых десятков {60 X 4, 90 X 7) и 3) чисел, со¬
стоящих из сотен и десятков (240X4, 360X2).
1.	Умножение круглых сотен на однозначное
число. Здесь распространяется на сотни уже известная детям
таблица умножения в пределе 10, например дано: 200 умножить
на 4; 2 умножить на 4, будет 8; 2 сотни умножить на 4, будет
8 сотен. Значит, 200 X 4 = 800.
2.	Умножение круглых десятков. Здесь потребуется
применение таблицы умножения во всём её объёме, например,
пусть дано умножить 70 на 6. Рассуждаем так: 70 это 7 десят¬
ков; 7 умножить на 6, будет 42; 7 десятков умножить на 6, будет-
42 десятка, или 420. Значит, 70 X 6 = 420.
Уменье быстро и безошибочно умножать круглые десятки
играет большую роль в культуре устного счёта. Поэтому детям
нужно дать больше таких упражнений, тем более, что на них
повторяется вся таблица умножения. Задание нужно разнообра-’
зить: «60 умножить на 5»,	«60	взять 5 раз», «60 увеличить
в 5 раз», «какое число больше 60 в 5„раз?»
3.	Умножение чисел, состоящих из сотен и де¬
сятков. Пусть дано умножить 240 на 3. Для этого число 240
разлагаем па сотни и десятки и умножаем сначала сотни, потом
десятки. 200 X 3 = 600; 40 X 3 — 120; 600 + 120 = 720. Значит,
240 X 3 = 720.
Это умножение можно выполнить и другим способом: 240 это
24 десятка. Умножим 24 десятка на 3. Получим 72 десятка, или
720. Значит, 240 X 3 - 720.
Учащиеся, как показывают наблюдения, предпочитают Пользо¬
ваться первым способом.
4.	Умножение на 10. На -пучках и «юлочкак надо пока¬
зать, что каждая единица при умножении на 10 заменяется
десятком: 5 палочек, будучи таяты 10 раз, 'становятся 5чо де¬
сятками палочек; 12 палочек, повторенные 10 раз, преобразу¬
ются в 12 десятков палочек и т. д. Поэтому, умножив, на¬
пример , 28 на 10, получим 28 десятков, или 280. Сделаем не¬
сколько таких примеров и запишем их:
16 X Ю = 160
25 X 10 = 250
82 X Ю = 820
Сравним в этих примерах множимые и соответствующие им
произведения. Из сравнения сам собой напрашивается вывод:
«При умножении числа на 10 получается столько д е с я т к о в,


сколько во всём числе было единиц». От методического мастер¬
ства учителя зависит степень самостоятельности учащихся при
Еыводе этого правила. Заметим, что здесь не может быть и речи
о приписывании нуля к множимому, так как речь идёт о навыке
устного умножения, а не письменного. Между тем дети склон¬
ны смешивать правила устного и письменного умножения, спешат
переходить к приписыванию нулей. На это нередко, к сожале¬
нию, толкуют их сами учителя, нетвёрдо владеющие спецификой
устного счёта.
5.	У м но жеиш<е н!а круглые десятки. Чтобы умно¬
жить число на круглые десятки, достаточно умножить его на
цифру десятков и на 10, например: 1) 6Х20 = {6Х 2) X Ю =
= 120; 2)	32 X 30 =«(32 X 3)ХЮ== 960- Это правило основано,
как известно, на применении сочетательного закона умножения.
С правилом последовательного умножения учащиеся встреча¬
лись в «пределе первой сотни при умножении «а круглые десятки.
Теперь это правило нужно снова вывести и повторить, применяя
его к вычислениям в пределе 1 000. Обоснование приема даётся
примерно в той же форме, как и раньше. Напомним её.
«Пусть дано 15 умножить на 30. Как .взять 30 раз число 15? Можно
взять 10 раз по 15, ещё 10 раз по 15 и ещё 10 раз по 15, 10 раз по 15 —
будет 150. Значит, получится 150 +150 +150 Короче- 150 X 3 = 450, Как
же мы получили 450? Сначала 15 умножали на 10 Потом (15Х10)ХЗ. Зна¬
чит, умножить на 10 и потом на 3 — это всё равно, что умножить на 30.
Наоборот: чтобы умножить на 30, нужно умножить на 10 и на 3, или на 3
и потом на 10. Как умножить какое-либо число на 50?» (Умножить на 5
и на 10.) «На 80? на 40?»
Письменное умножение.
Если расположить различные случаи письменного умножения
в пределе 1 000 в порядке возрастающей трудности, то получится
следующая система упражнений:
а)	Произведение каждого разряда множимого на однозначное
число меньше десяти, например 324 X 2 = 648.
б)	Произведение единиц множимого на множитель равно 10,
например 245 X 2 == 490.
•в) Произведение единиц множимого на множитель больше 10,
например 218X3 = 654.
г)	Произведение десятков множимого на множитель равно
или больше 10, например 452X 2 = 904; 172X4 = 688.
д)	Произведение единиц и десятков множимого на множитель
больше 10, например 179 Х® = 1432.
Кроме того, некоторую особенность представляют те случаи
умножения, когда во множимом на месте единиц или десятков
встречаются нули,* например 230 X 4; 408 X б. Эти случаи можно
не выделять в особый раздел, но они должны быть в поле внима¬
ния учителя и тщательно объяснены учащимся.
В такой примерно системе учитель должен расположить ма¬
териал для объяснения н для упражнений.
16*
243


К объяснению приёма письменного умножения нужно подой¬
ти, отправляясь от устного умножения; только устное умножение
уясняет ученику смысл и настоящее значение каждой шифры.
Подведём учеников к умножению через задачу.
«С одного участка собрали 234 мешка картофеля, а с другого в 2 раза
больше. Сколько мешков картофеля собрали с другого участка?» Выясняем,
что для ответа на вопрос задачи нужно 234 умножить на 2. Как будем
умножать? Выполним умножение устно. Для этого сначала умножим сотни,
потом десятки, наконец единицы: 2 сотни взять 2 раза, получится 400;
3 десятка взять 2 раза, будет 60; 400 да 60, будет 460; 4 умножить на <2, полу¬
чится 8; 460 да 8, будет 468. Запишем это так, по мере получения отдельных
результатов:
234 X 2 = 400 + 60 + 8 = 468.
Перейдём к письменному, умножению, запишем действие стол¬
биком. Для учащихся это .не будет неожиданностью, так «как они
уже имели дело с подобными записями в сложении и вычитании.
234
X 2
400
60
8
468
Начнём умножение с сотен и сделаем подробную запись. Эту
запись заменим короткой:
234
X 2
468
Сравним и выясним преимущество второй записи.
Перемножим эти числа, начиная с единиц, — получается одинаковый ре^
зультат.
Поупражняем учеников в решении примеров этого типа и пе¬
рейдём дальше к решению более сложных примеров, в которых от
умножения единиц получается в произведении больше 10.
327	На решении этого примера приходим к выводу, что удобнее
У	3	производить умножение, начиная с единиц; Ъри< этом получается
961	окончательный результат,—не приходится зачёркивать и исправлять
цифры. Решая эти примеры, ученики дают подробное объяснение:
«3 ра^а по 7 единиц, будет 21; единицу пишем, а 2 десятка прибавим к де¬
сяткам; 3 раза по 2 десятка, будет 6 десятков, да ещё 2 десятка, которые
получились от умножения единиц, будет 8 десятков; записываем их; 3 раза по
3 сотни, будет 9 сотен. Всего получилось 981».
Объяснение может быть более кратким: «Трижды 7 — 21,	1 пишем,
2 в уме; трижды 2 — 6, да 2-—8; трижды 3 — 9. Получилось 981».
К такому краткому объяснению можно перейти только после того, как’
ученики научатся хорошо и обстоятельно объяснять умножение, называя те
разряды, с которыми они имеют дело. Вообще же лаконические объяснения'
более уместны на следующей ступени обучения — при изучении действий над
числами любой величины.
Особо надо остановиться на тех примерах, ,в которых произ¬
ведение каждого разряда больше 10. Такие примеры для решения
трудны, но зато они и очень полезны; на них развивается спо¬
собность удерживать в памяти необходимые числа, уменье выде¬
лять из данного числа единицы высшего разряда {16 десятков —
244


1	сотня и 6 десятков, 13 сотен — 1 тысяча и 3 сотни), закре¬
пляется знание таблицы умножения. Для последней цели жела¬
тельно брать такие числа, которые обозначаются цифрами,
большими 5, например 98 X 7.
Особо надо остановиться на примерах, в которых во множи¬
мом встречаются нули. Как объяснять такие примеры?
230	504	О нуле дети знают, что он обозначает отсутствие числа
X 4 X	3	в разряде. Если нуль стоит на месте единиц, значит, нет
920	1512	единиц, на месте десятков—значит, нет десятков. Поэтому
объяснить решение указанных примеров можно так: «В числе
•230 единиц нет, поэтому единиц в результате не будет, пишем под едини¬
цами нуль; 3 десятка умножить на 4, будет 12 десятков», и т. д.
Второй пример: «3 -раза по 4 единицы, будет 12 единиц. 2 единицы пишем,
2	десятка прибавим «к десяткам. О десятков умножить на 3, получится О
(если «ничего» умножить, то и получится «ничего»). Но у нас есть 1 десяток,
пишем его под десятками. 5 селен умножить на 3, получится 15 сотен. Запи¬
сываем их. Всего получилось 1Б12».
Мы не настаиваем на том, чтобы во II классе при прохождении
умножения в пределе 1 000 давались названия чисел: «множимое»,
«множитель», «произведение», ибо по опыту, знаем, с каким боль¬
шим трудом усваивают дети малопонятный для них термин «про¬
изведение». Можно отнести ознакомление с этой терминологией
к III классу, как это и требуется программой.
Задачи на умножение. В связи с изучением действий
в пределе 1 000 повторяется решение всех видов простых задач,
сзя?анных с умножением, а именно:
а)	Задачи, в которых требуется данное число повторить слагаемым не¬
сколько раз («Мальчик купил 5 карандашей, по 8 коп. за карандаш. Сколько
копеек уплатил мальчик за все карандаши?»).
б)	Задачи, в которых данное число нужно увеличить в несколько раз
(«Тетрадь стоит 10 коп., -а книга в 5 раз дороже. Сколько стоит книга?»).
в) Задачи, в которых по данному делителю и частному "нужно найти де¬
лимое '(«У матери было несколько конфет. Когда *она разделила их поровну
между своими тремя детьми, то каждому досталось по 5 конфет. Сколько
конфет было у матери?»).
Все эти задачи решаются как в виде простых задач для устно¬
го счёта, так и в виде сложных задач для письменног-о "'решения.
Деление трёхзначных чисел в пределе 1 000.
Устное деление.
Устное деление в пределе 1 000 производится во II классе
только над такими числами, которые представляют собой или
круглые сотни, или круглые десятки, или числа, состоящие из со¬
тен и десятков. Нужно иметь *в виду, что кавыки деления не яв¬
ляются лёгкими, они требуют «от ученика уменья анализировать
состав числа, уменья одно и то же число разбить на составные
части по-разному в зависимости от делителя. Например, если чие-
245


ло 960 делить |на 6, то его нужно разбить на 600 и 360; но если
960 делить на 8, то его у.да&но разбить на 800 и 160'; наконец/
это же число можно рассматривать как 96 десятков, и тогда де¬
ление сведётся <к делению 96 на 6 или на 8, т. е. <к внетабличйаму
делению в пределе 100. Заметим, что деление -в пределе 1 000 яв¬
ляется хорошим материалом для ло-вторения и закрепления знаний
таблицы деления и внотабличното деления. Учитывая большое зна¬
чение этого раздела, учителю нужно пройти его тщательно, ста¬
раясь возможно более продуктивно использовать то сравнительно'
небольшое время (7—8 уроков), которое может быть отведено на
этот раздел.
Укажем порядок расположения материала и приёмы устного
деления.
1.	Деление круглых сотен сводится к делению одно¬
значных чисел. Например, пусть надо 800 разделить на 4. 800 —
это 8 сотен; 8 разделить на 4, будет 2; 8 сотен разделить на 4,
будет 2 сотни, или 200. Значит, 800 : 4 = 200.
2.	Деление чисел, состоящих из сотен и десят¬
ков, причём и сотни, и десятки в отдельности' делятся на дели¬
тель: 240 : 2; 360 : 3 и т. д. 240 состоит ив 2 сотен .и 4 десятков.
Разделим на 2 сначала 2 сотни, получится 100. Разделим на 2 по¬
том 4 десятка, будет 20. А всего получится 100 4-20= 120. Сле¬
довательно, от ученика в данном случае требуется уменье раз¬
бить число на сотни и десятки.
3.	Деление таких чисел, сотни и десятки кото¬
рых в отдельности не делятся на делитель: 120:3;
210:7; 360:9. Будем рассматривать каждое делимое* как; сумму
десятков. Так, 120 — это 12 десятков; 210 — это 21 десяток; 360 —
это 36 десятков. Делим 12 десятков на 3, получится 4 десятка,
или 40; значит, 120:3 = 40. Делим 21 десяток на 7, получим
3 десятка, или 30; значит, 210:7=30 *и т. д. Выходит, что для
деления в таких -случаях нужно знать хорошо таблицу деления и
уметь данное число представить в 1юде десятков1.
4.	Деление круглых сотен, когда цифра сотен не де¬
лится на делитель и когда в частном получаются сотни и десят¬
ки: 600: 4; 900 : 6; 700 : 5 и т. д. Число 600 не делится на 4 так,
чтобы получились только сотни; 6 на 4 нацело не делится. В та¬
ких случаях надо уметь делимое разбить на два числа, из кото¬
рых одно должно быть такое, чтобы от деления его получились
круглые сотни. Для этого число 600 при делении на 4 надо разбить
на 400 и 200; 700 при делении на 5 надо разбить на 500 и 200.
Далее процесс деления труда не представляет.
Если учащиеся будут испытывать затруднения в разбивке чи¬
сла, надо наказать её' на наглядных пособиях — на -пучках пало¬
чек.
5.	Деление трёхзначных чисел, состоящих из
сотен и десятков, причём ни сотни, ни десятки в отдель¬
ности не делятся на делитель, вместе же они составляют число
246


*есятков, делящееся ‘нацело: 420 : 3; 560 : 4; 750 : 5. Существует
Ш способа делении в такта случаях.
Первый способ: разлагаем 420 на два таких числа, из
которых каждое в отдельности делится на 3. Такими числами бу¬
дут 300 и 120. Деля каждое из них на 3, получим частное
100 + 40= 140.
Второй способ. Будем рассматривать 420 как 42 десят¬
ка; разделим 42 десятка на 3, получим 14 десятков, или 140. Этот
приём деления нужно проиллюстрировать на наглядных посо¬
биях — пучках палочек {сотни и десятки).
Оба эти способа одинаковой трудности. Показать и объяснить
их нужно оба. Наблюдения показывают, что дети пользуются
преимущественно первым апособом.
Изучив каждый из названных случаев в отдельности, надо
дать ученикам в конце побольше упражнений смешанного типа.
Главное на этой стадии обучения — научить детей пользоваться
приёмами устного деления, поэтому учитель, выспрашивая
учеников, не должен довольствоваться только получением резуль¬
татов, а нужно непременно спрашивать, как именно ученик по¬
лучил результат, каким способом или приёмом деления при этом
пользовался.
Упражнения в устном делении нужно перемежать с упражне¬
ниями в устном умножении.
Решение примеров на деление нужно всё время сопровождать
проверкой при помощи умножения.
Допустим, что разделили 320 на 4 и получили 80. Как убедиться в том,
что результат найден правильно? Умножением: 4 раза по 8 десятков будет
32 десятка, или 320; 450 разделили на 3 и получили 150; правильно ли вы¬
числен результат? Возьмём 3 раза по 150, получится 450. Значит, деление
выполнено правильно. Всё это подчёркивает в сознании детей связь между
умножением и делением, как взаимно обратными действиями.
6.	Устное деление на 10. Рассмотрим сначала случай
деления без остатка, т. е. когда делимое оканчивается нулём.
Пусть дано разделить 360 на 10. Будем рассматривать это деление, как
деление по содержанию. Поставим вопрос, сколько раз 10 содержится в 360.
В этом числе 36 десятков. Значит, десято-к содержится в этом числе 36 раз.
Поэтому 360 : 10 = 36. Решим ряд таких примеров, применяя то же рассуж¬
дение. Получим табличку:
360 : 10 = 36
520 : 10 = 52
280 : 10 = 28
Отсюда нетрудно вывести правило. В (каждом примере мы де¬
лили число на 10 и получали столько единиц, сколько в числе де¬
сятков. Правило можно сформулировать так: «При делении числа,
оканчивающегося нулём, на 10 получается столько единиц, сколь¬
ко в числе десятков».
Можно объяснить деление на 10 и иначе, рассматривая это
247


деление, как деление на равные части. Пусть дано раз¬
делить 360 на 10 равных частей. Каждый десяток при делении на
10 даёт единицу. В числе 360‘ всего 36 десятков; 36 десятков при
делении на 10 дадут 36 единиц, или просто 36.
Решая примеры деления на 10, полезно пользоваться впере¬
межку то тем, то другим способом рассуждения.
7.	Устное деление на круглые десятки (480 : 60;
640 : 40). На этой ступени мы ещё не можем зачёркивать н|ули и
ссылаться на свойство неизменяемости частного, если делимое и
делитель уменьшить в одно и то же число раз. Здесь при объяс¬
нении мы можем опереться только на конкретный смысл деления.
В самом деле, <мы делим 480 на 60 для того, чтобы узнать, сколько
раз 60 содержится в 480 или сколько получится в каждой части,
если 480 раздедоть на 60 равных частей. Сколько же раз 60 со¬
держится в 48(3^ Рассуждаем так: 480 это 48 десятков, 60 это
6 десятков; шесть десятков содержатся в 48 десятках 8 раз, пото¬
му что 8 раз 'по 6 десятков, будет 48 десятков. Чтобы получить 8,
достаточно было 48 разделить на 6, т. е. число десятков на циф¬
ру десятков.
Теперь укажем другой приём деления, рассматривая это деле¬
ние как деление на равные части. Пусть нужно 480 разделить на
60 равных частей. Чтобы разделить на 60 равных частей, можно
число разделить на 10 равных частей, а потом каждую часть раз¬
делить ещё раз на 6 равных частей. Делим 480 на 10, полу¬
чаем 48; теперь 48 делим ещё на 6, получаем 8.
Приём последовательного деления надо проиллюстрировать на
чертеже. Пусть дан отрезок прямой длиной в 60 см а его надо
разделить на 20 равных частей. Чтобы разделить на 20, посту¬
паем так: делим отрезок сначала на 10 равных частей, а потом
каждую часть ещё на две равные части, а всего отрезок разде¬
лится на 20 равных частей, и в каждой части получитс'я ло 3 ап.
Для упражнения даются преимущественно примеры, в которых
получается однозначное частнЮе (240 : 80; 360 : 90; 490 : 70).
Письменное деление.
Устное деление, если оно объяснено обстоятельно и усвоено
с пониманием, является хорошей подготовкой к письменному де¬
лению. По сути между ними много общего. В самом деле, допу¬
стим, что мы делим 750 на 5. Устное деление сводится к тому,
что мы число 750 разлагаем на два таких числа, из которых каж¬
дое в отдельности делится на 5,— 500 и 250; от деления первого
получаются сотни, от деления второго — десятки. Но и при пись¬
менном делении происходит то же, только в другой форме: нуж¬
но так перейти от устного деления к письменному, чтобы ученики
уловили то общее, что объединяет их, чтобы в условных обозна¬
чениях письменного механизма они увидели его подлинный смысл,
в условной пятёрке письменного деления видели там, где это
248


нужно, 5 сотен, в тройке — 3 десятка и т. д. Не нужно стремить¬
ся к тому, чтобы поскорее, во что бы то ни стало, перейти к обыч¬
ной форме письменного деления. Не нужно бояться затратить
время на то, чтобы показать ученикам подробные записи, выяс¬
няющие смысл деления, смысл каждого его этапа. Дальше мы от
них откажемся, отбросим их как лишние, но на' 'первом этапе
изучения письменного деления они помогают учащимся понять
письменный механизм деления глубже, и мы используем их, не
боясь некоторой сложности и необычности записей.
Как и при знакомстве с другими действиями, надо связать
письменное деление с устным, расположить различные случаи 'де¬
ления в такой последовательности, которая обеспечит постепенное
нарастание трудности. Начнём с знакомой ученикам формы
деления, чтобы от неё перейти и новой, необычной для них форме
Система упражнений. Примеры на деление должны
решаться в такой последовательности:
1.	Сначала даются такие примеры, где каждый разряд дели¬
мого делится нацело на делитель (846 : 2; 936 : 3).
2.	Потом даются такие примеры, в которых десятки не делятся
нацело и их остаток приходится раздроблять в единицы (575 :5).
3.	Затем следуют примеры, где сотни не делятся нацело и
их остаток раздробляется в десятки (728 : 4; 429 : 3).
4.	За ними решаются примеры, где приходится остатки « со¬
тен, и десятков раздроблять последовательно в низшие разряды
(685 :5; 936 ; 4 — примеры с двумя раздроблениями).
5.	Особую разновидность составляют примеры, в которых от
деления трёхзначных чисел на однозначное получается двузнач¬
ное частное (168:2; 546:6).
6.	Предыдущая разновидность примеров осложняется тем, что
десятки не делятся нацело, и приходится остаток десятков раз¬
дроблять в единицы (288 : 9; 450 : 6).
Объяснение письменного деления начнём с деле¬
ния таких трёхзначных чисел, в которых каждый разряд делимого
делится на однозначное число без остатка.
Разделим 248 на 2. Для этого разложим число 248 на 2 сотни, 4 десятка и
:> единиц. Будем делить на 2 каждый разряд, начиная с сотен. Запишем де¬
яние в строчку:	248 : 2 — 124. Прорешаем несколько таких примеров
а церейдём к тому случаю деления, когда не все разряды делятся без остат¬
ка на делитель.
Разделим 324 на 2. Выполним деление сначала устно. Для этого разобьём
число 324 на три числа, из которых каждое без остатка делится на два:
на 200, 120 и 4. Разделим 200 на 2, получим 100; разделим 120 на 2, полу¬
чим 60 и, наконец, разделим 4 на 2, получим 2. Сложим 100, 60 и 2, полу¬
чим 162.
Это деление можно было бы проиллюстрировать предварительно на на¬
глядном пособии, взяв 3 сотенных пучка палочек, 2 пучка-десятка и 4 палочки.
Очевидно, что, деля 3 сотни на 2, мы получим по одной сотне и одна сотня
получится в остатке. Раздробляем её в десятки (развязываем её, и она .рас¬
падается на *10 пучков-десятков), получаем из сотни 10 десятков да у нас
есть ещё 2 десятка, всего получится 12 десятков, делим их пополам, полу¬
249


чается по б десятков. Остаётся ещё разделить пополам 4 палочки, полу¬
чится по 2 палочки. А всего получится 1 сотня, 6 десятков и 2 единицы,
или 162.
Теперь произведём это же деление письменно, записав число «столбиком»
п рассуждая примерно так:
__ 324 __2
200	1 сот. 6 дес. 2 ед. == 162
124
~ 120
4
—	4
0
В числе 324 имеется 3 сотни. Разделим 3 сотни на две равные части. По¬
лучим в каждой части по одной сотне, которую запишем. Мы разделили
всего 200 (1 с. X 2 = 2 с., или 200). Сколько же осталось ещё делить? От¬
нимем 200 от 324, останется 124. В 124 содержится 12 десятков, разделим
12 десятков на две равные части, получим по б десятков, которые запишем.
Сколько же мы десятков разделили’ 6 дес. X 2 = 12 десятков. Сколько еди¬
ниц осталось ешё делить? Вычтем 120 из 124, останется 4 единицы. Разделим
их на 2, получим по 2 единицы, которые и запишем. Итак, число 324 для де¬
ления на 2 мы разбили на 3 части: 200, 120 и 4. Каждую часть мы разделили
на 2 равные части и получили: 100, 60 и 2, а всего 162. Ч^обы проверить,
правильно ли сделано деление, умножим 162 на 2.
Решим ещё 2—3 примера этого же типа с такой же записью и с таким
же рассуждением.
Учащиеся усвоят на делении этих примеров, что деление на¬
чинается с высшего разряда (с сотен), что делить надо каждый
разряд и что от деления каждого разряда в частном получаются
единицы того же разряда. Запись желательно на некоторое время
сохранить ту же, только частное записывается короче, не пишутся
наименования разрядов.
324 [ 2
200 ‘Т26“
124
120
4
4
1)
И только к концу изучения деления можно перейти к обычной
форме записи, к более короткому объяснению.
«Решим пример 936 : 4 с объяснением:
Разделим 9 сотен на 4, получим 2 сотни. Умножим 2 сотни на 4, полу¬
чим 8 сотен От 9 сотен отнимем 8 сотен, останется 1 сотня. Раздробим сотню
в десятки, получим 10 десятков, да 3 десятка в самом числе — всего 13 де¬
сятков.
9361 4
_8_ 234
13
12
16
З6
о
Делим их на 4, получим 3 десятка. Умножаем 3 десятка на
4, получим 12 десятков. Отнимем 12 от 13, останется 1 десяток.
Раздробляем его в единицы, получим 10 единиц, да в числе
6 единиц, всего 16 единиц. Делим их на 4, получим 4 единицы.
Умножим 4 на 4, получится 16. Значит, разделилось всё число
и получилось 234. Проверим, правильно ли выполнено деление;
для этого 234 умножим на 4.4 раза по 200 — 800,4 раза по 30 —
120, 4 раза по 4—16. Сложим 800, 120* и 16. Получится 936.
Деление выполнено правильно».
250


Полезно опросить учеников, на какие же группы нам пришлось разбить
число 936, чтобы разделить его на 4.
Если ученики назовут эти группы (800, 120, 16), то тем самым они пока¬
жут, что они выполнили деление вполне сознательно.
Задачи на деление. Изучение деления в пределе 1 000
должно способствовать выработке у детей более отчётливого по¬
нятия о делении как о действии, заключающем в себе оба его
вида — деление на равные части и деление по содержанию* Этот
процесс объединения обоих видов деления и лучшего понимания
особенностей каждого из них происходит главным образом на ре¬
шении задач. Задачи должны решаться устные и письменные, про¬
стые и составные. Здесь должны быть представлены все виды
задач на деление: а) задачи, в которых требуется разделить
число на несколько равных частей; б) задачи, в которых тре¬
буется узнать, сколько раз одно число содержится в другом;
в)	задачи на нахождение определённой части числа; г) задачи,
в которых требуется уменьшить данное число в несколько раз;
д)	задачи на кратное сравнение чисел.
Распределение материала по урокам.
Изучение четырёх арифметических действий над числами в пределе 1000 —
10 000 падает на второе полугодие — на третью (неполную) и четвёртую чет¬
верти учебного года. На этот раздел может быть отведено примерно 70 уро-
ков. Эти уроки могут быть распределены так:
1.	Устная и письменная нумерация в пределе 1 000 * . . *	.	6 уроков
2.	Меры длины и веса	 3	«
3.	Устное сложение трехзначных чисел	 3	«
4.	Письменное сложение „	„		 4	«
5.	Устное вычитание трехзначных чисел	 4	«
6.	Письменное вычитание „	„		 6	«
7.	Устное умножение трехзначных чисел на однозначное число, на
10 и круглые десятки		 - б «
8.	Письменное умножение трехзначных чисел на однозначное число 8	«
9.	Устное деление трехзначных чисел на однозначное число, на
10 и круглые десятки	 7	«
10.	Письменное деление трехзначного числа на	однозначное число .	8	«
11.	Решение задач и примеров на все действия	 10	«
Подобное распределение уроков даёт учителю только материал, ориенти¬
ровочные цифры для составления рабочего плана по арифметике.
Чтобы составить на основе этих цифр рабочий план, учителю нужно пре¬
дусмотреть время на повторение пройденного, на проведение контроль,
ных работ, на упражнения в решении смешанных задач и примеров, т. е. на
все пройденные действия. В двухкомплектной школе нужно выделить уроки для
самостоятельной работы учащихся. Нужно разбить материал по отдельным
урокам. Для этого нужно знать, на какие простые элементы распадается дан¬
ный сложный навык, по каким методическим ступеням нужно вести учащихся.
Например, на устное деление в нашем распределении намечено 7 уроков; исхо¬
дя из количества тех своеобразных случаев, какие встречаются в делении круг¬
лых чисел, эти 7 уроков заполняем следующим материалом: I.I.	Деление круглых сотен и деление чисел, состоящих из сотен и
десятков (840 : 2) па однозначное число	 1 урок
251


2.	Деление круглых десятков, сводящееся к табличному делению
(360 : 9; 490 :7)	 1 ур0к
3.	Деление круглых сотен, когда цифра сотен нс делится без остатка
на делитель (600 : 4; 900 : 6) . . 		 ....	.	. [	*
4.	Деление чисел, состоящих из сотен и десятков, когда они в отдель¬
ности не делятся на делитель без остатка (420 : 3)	 1	»
5.	Устное деление на 10	 .	1	»
6.	Деление на круглые десятки		 2 урока
Стремясь к созданию прочных и хорошо осознанных вы числитель¬
ных	навыков, учитель не должен выпускать из поля своегс
зрения решение задач. «Ни одного дня без решения задач» — таков
должен быть лозунг учителя. Задачи должны быть и на уроках, и в домашних
заданиях.
Контрольные работы.
Контрольные работы проводятся после изучения каждого действия. В них
входят примеры и задачи — по возможности на все изученные случаи. Особое
значение имеет последняя, заключительная контрольная работа. Она должна
показать учителю, в какой мере учащиеся — каждый в отдельности и весь
класс в целом — овладели материалом, навыками устных и письменных вычи¬
слений.
В ней должно быть отражено всё наиболее характерное, основное для это¬
го концентра, все случаи вычислений, начиная с лёгких и кончая трудными.
Приведём образец такой контрольной работы.
Примеры.
Для проверки навыков устного счёта:
1) 430 + 270 =
4) 860
: 2 =
2) 680 — 320 =
5) 450
: 3 =
3) 230 х з =
6) 640
: 8 =
Для проверки навыков письменных
вычислений:
3) 635 2) 762
3) 605
4)
164
+ 207 384
" 128
X
6
496
5) 966 \ 7
6) 456 1
6
Первая серия примеров решается устно, записываются только результаты
Проверка уменья решать задачи должна быть предметом самостоятельно?
контрольной работы, проводимой на особом уроке. Задача может быть предло
жена в 3—4 действия для решения её с записью только действий (без записи
плана). Приведём образцы задач, -которые могут быть предложены в конце
года в качестве контрольных:
1.	В магазин привезли три ящика с яблоками. В первом было 240 яблок,
во втором в 2 раза больше, а в третьем на 120 яблок, меньше, чем во втором.
Сколько яблок было во всех трёх ящиках?
2.	В роще было 120 берёз, а сосен в 5 раз больше. Четвёртую часть этих
деревьев спилили на дрова. Сколько деревьев после этого осталось в роще?
252


ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ.
ДЕЙСТВИЯ НАД ЧИСЛАМИ ЛЮБОЙ ВЕЛИЧИНЫ.
Значение этого концентра заключается в том, что здесь уча¬
щиеся овладевают нумерацией чисел любой величины и уменьем
производить письменно четыре арифметических действия над
многозначными числами, что составляет важнейшую составную
часть элементарной арифметической грамоты. Это большая и
сложная задача. Ей уделяется в III классе свыше 70 уроков, не
считая решения задач, на которых навыки письменных вычислений
закрепляются и совершенствуются.
Попутно с изучением механизма письменных вычислений уча¬
щиеся усваивают и элементы той несложной теории, без которой
де может быть успешного и сознательного усвоения навыка: на¬
звание компонентов действий, зависимость между ними; здесь же
углубляется понимание переместительного и сочетательного
свойств сложения и умножения, а также распределительного
свойства деления и умножения; на проверке действий уточняется
понятие о сложении и вычитании, умножении м делении, как о
взаимнообратных действиях.
Выдвижение на первый план письменных ‘вычислений не долж¬
но приводить к забвению устного счёта. И в этом концентре
ученики тренируются в устном счёте; для этой цели используются
не только специальные упражнения в устном счёте, но и самый
механизм письменных вычислений, который позволяет сочетать
письменные вычисления с устными.
Наглядные пособия применяются в этом концентре при (изуче¬
нии (нумерации; изучение же действий над многозначными числами
не требует применения «предметной» наглядности. Но это не значит,
что учитель на этой ступени? не должен обращаться к таким сред¬
ствам, которые помогают лучшему пониманию и усвоению материа¬
ла, — к различного рода плакатам, таблицам и- схемам, которые
до ходу содержания работы должны составляться учителем
я вывешиваться © классе на время изучения данного вопроса.
Известно, например, что названия чисел в действиях усваиваются
учащимися о некоторым трудом. Полезно составить и вывесить
в классе плакат примерно такой формы:
Названия чисел в арифметических действиях.
Сложение
Вычитание
Умножение
Деление
,372 —- слагаемое
* 538 — слагаемое
624 — уменьша-
— емое
462 — вычита¬
емое
^.428 — множимое
** 2 — множитель
Делимое
Ф
966| 7 — делитель
26 138—частное
910 — сумма
856 — произве¬
дение
56
162 — остаток, или
разность !
Запомни эти названия!
0
253


Переместительное -свойство сложения и умножения также по¬
лезно оформить в .виде плакатов.
«От перестановки слагаемых сумма не изменяется».
Пользуйтесь этим свойством сложения! Оно облегчает
вычисления.
Несомненно, что эти изобразительные средства, воздействуя -на
учащихся повседневно, облегчат мм усвоение учебного материала.
Нумерация многозначных чисел.
Задача обучения нумерации многозначных чисел состоит в гом>
чтобы ознакомить учащихся с разрядами и классами и на этой
основе научить их правильно читать и писать числа; научить со¬
знательному счёту в пределе больших чисел, Научить изображать
число 'круглых десятков и сотен в виде 'простых единиц -и, наобо¬
рот, выделять из числа все единицы данного разряда.
Знание нумерации в таком объёме послужит необходимой ба¬
зой для успешного изучения действий над числами.
Наглядным пособием при изучении нумерации многозначных
чисел являются классные счёты, абак или нумерационная табли¬
ца, цифровая касса (печатные цифры).
Нужно различать устную нумерацию и письменную.
1.	Знакомство с разрядными единицами на
классных счётах — от простых единиц до сотен миллиар¬
дов.
Учитель вызывает нескольких учеников по очереди к классным
счётам «и предлагает -им /провести счёт единицами, десятками
и сотнями. Это упражнение имеет целью напомнить детям, что
•каждые десять единиц составляют одну новую единицу, и этим
подготовить учеников к тому же выводу для последующих еди¬
ниц. После того как ученик отложит 10 шариков на третьей про¬
волоке, учитель спрашивает: «Чем можно заменить 10 шариков
3-й -проволоки?» (Одним шариком на 4-й проволоке.) к<Что же
означает шарик 4-й проволоки?» (Тысячу.) «Тысяча тоже есть
счётная единица. Тысячами считают так же, как я простыми еди¬
ницами. Считай тысячами».
Кладя по шарику на 4-й проволоке, ученик считает: одна тыся
ча, две тысячи, ..., десять тысяч.
«Чем можно заменить 10 шариков. 4-й проволоки?» (Одним
шариком >на 5-й проволоке.) «Что же означает один шарик б-й
проволоки?» (Один десяток тысяч.) «10 тысяч, или десяток тысяч,
тоже счётная единица. Десятками тысяч считают так же, как и
десятка-ми простых единиц».
Производится счёт десятка/ми тысяч (ш 5-й проволоке): де¬
сять тысяч, двадцать тысяч, . .девяносто тысяч, сто тысяч.
Подобно тысячам и десяткам тысяч вводятся и сотни тысяч.
254


Вызванный к доске ученик производит счёт сотнями тысяч: одна
сотая тысяч, или 100 тысяч; две сотни тысяч, или 200 тысяч,
десять сотен тысяч.
«Чем можно заменить 10 шариков 6-й проволоки?» (Одним
шариком на 7-й -проволоке.) «Как называется Ю сотен?» (Тысяча.)
«Как назовёте вы 10 сотен тысяч?» (Тысяча тысяч.) «Тысяча
тысяч называется миллионом. Что же означает один
шарик 7-й проволоки?» (Миллион.) «Миллион тоже счётная едини¬
ца: миллионы считают, как простые единицы. Считай миллиона¬
ми».
Точно так же вводятся десятки и сотни миллионов.
После того как ученик отложит на 9-й проволоке 10 сотен
миллионов, учитель предлагает вопросы: «Чем можно заменить
10 шариков 9-й проволоки?» (Одним шариком 10-й проволо¬
ки.) «Как называются 10 сотен?» (Тысяча.) «Как называются ина¬
че 10 сотен миллионов?» (Тысяча миллионов.) «Тысяча мил¬
лионов называется миллиардом. Что же означает
один шарик 10-й проволоки?» (Миллиард.) «Миллиард также счёт¬
ная единица: миллиарды считают, как простые единицы — один
миллиард, два миллиарда, три миллиарда,..., десять миллиардов».
Наконец, вводятся десятки и сотни миллиардов, обозначаемые
на 11-й и 12-й проволоках классных счётов.
В заключение составляется таблица:
-IV/ «-ДГИ1Г4Ц,
10 десятков	=	1	сотне
10 сотен	=	1	тысяче
10 тысяч	=	1	десятку	тысяч
10 десятков тысяч =	1	сотне тысяч
10 миллиардов = 1 десятку миллиардов
10 десятков миллиардов = 1 сотне миллиардов
«Назовите по порядку все счётные единицы, какие вы теперь
знаете». (Единицы, десятки', сотни, тысячи, десятки тысяч, сотни
тысяч, миллионы, десятки 'миллионов, сотни миллионов, мил¬
лиарды, десятки миллиардов, сотни миллиардов.) «Укажите, на
которой проволоке кладутся простые единицы, десятки, согни,
тысячи,...,миллиарды, десятки миллиардов, сотни миллиардов».
2.	Понятие о разряде. Счётных единиц много. Каждая
из них имеет своё место и носит особое название.
Простые единицы называются единицами 1-го разряда,
Десятки	»	»	2	»
Сотни	»	»	3	»
И так до 12-го разряда (сотен миллиардов).
«Обратите внимание и запомните, какие разряды приходятся
на первые три проволоки (единицы, десятки, сотни), на следую¬
щие три проволоки' — 4, 5 и 6 (тысячи, десятки тысяч, сотни ты¬
сяч), на 7, 8 и 9 проволоки (миллионы, десятки миллионов, сотки
255


миллионов), на 10, 11, 12 проволоки (миллиарды, десятки мил--
лиардов, сотни миллиардов).
Единицы, десятки и сотни повторяются. Разница между ними,
в том, что сначала идут единицы, десятки и сотни простых
единиц, затем — единицы, десятки и сотни тысяч, после
этого — единицы, десятки и сотни миллионов и потом —
единицы, десятки и сотни миллиардов.
Места разрядов- на счётах должны быть хорошо усвоены: для ^
этого проводятся такие упражнения.
а)	Отложить на счётах данное учителем разрядное число, на¬
пример: 8 десятков тысяч; 5 миллионов;' 9 миллиардов; 2 сотни
тысяч; 4 десятка миллионов и т. д.
б)	Назвать число, отложенное учителем на той или иной про-
волоке, например: учитель отложил на 8-й проволоке 3 шарика,
«Какое это число?» (30 миллионов.) На- 10-й (проволоке 5 дгари-
ков. «Какое это число?» (5 миллиардов) и т. д.
Для уяснения отношений между разрядными единицами пред¬
лагаются вопросы: Сколько тысяч в миллионе? Сколько миллио¬
нов в миллиарде? Сколько тысяч в 6 десятках тысяч? Столько де¬
сятков тысяч в 2 сотнях тысяч? и т. п.
3.	Состав чдо*с е л.
Миллиарды
Миллион ы
Тысячи
Единицы
Ж I
3
3
1 31
3
ж
3
* 1
X
-г-
1 V-
Я
*
X
ж
ж
я
я
к §_
=
^ { сг .
ж
X
• ! « . •
X
а:
е:
X
о
О
2
Л =;
сЗ 2 1
ж
о
О
*=! Л Ч
2
о
°
2 1 Й2
Еди
ТЫ(
о
и
V
Ж
щ
Изучение состава числа состоит из двух взаимнообратных
упражнении: а) составление числа по данным его разрядам,
б) разложение данного числа на разряды и откладывание его на
счётах- С помощью этих двух операций изучается состав: а) круг¬
лых тысяч, круглых миллионов, круглых миллиардов и б) любых
чисел в пределе миллиардов.
Составление числа. Учитель откладывает:
на 6-й	проволоке	4	шарика
« 5-й	»	 2	>
« 4-й	»	 8	шариков
«Какое число отложено на счётах?»
Ученики рассуждают так: 4 шарика на 6-й проволоке изображают 400 ты¬
сяч, 2 шарика на 5-й проволоке — 20 тысяч, 8 шариков на 4-й проволоке —
8 тысяч, а всё число 428 тысяч.
«Запишите это число в нумерационную таблицу. Где поставить цифру 4?
цифру 2? цифру 8?»
Точно так же откладываются на счётах другие числа, а уче¬
ники называют дох до записывают в таблице.
Разложение числа: учитель называет число, например
608 тысяч.
256


«Отложите его на счётах. Сколько в этом числе сотен тысяч? тысяч? На
.какой проволоке огложите б сотен тысяч? 8 тысяч?
540 миллионов. Разложите это число на разряды и сложите его на счё¬
тах. Назовите число, в котором 5 десятков тысяч и 7 тысяч; 9 сотен миллио¬
нов и 4 миллиона; 3 сотни миллиардов и 1 десяток миллиардов» и т. д.
«Сколько в числе 125 тысяч сотен тысяч, десятков тысяч, единиц тысяч?'
В числе 503 миллиона сколько сотен миллионов, десятков миллионов и единиц
миллионов? В числе 32 миллиарда сколько десятков миллиардов и единиц мил¬
лиардов? Отложите его на счётах. Запишите в таблице».
Составление и разложение чисел, состоящих
из нескольких классов. Учитель откладывает:
2	шарика на 5-й проволоке
5 шариков на 4-й	»
1 шарик на 3-й	»
3	шарика на 2-й	>
4	шарика на 1-й	>
«Какое число отложено на счётах?» (2 десятка тысяч и 5 тысяч —
25 тысяч; 1 сотня, 3 десятка и 4 единицы — 134, а всего — 25 тысяч 134 еди¬
ницы, или двадцать пять тысяч сто тридцать четыре.)
Подобным образом откладываются учителем на счётах и чи¬
таются учениками другие числа.
Учитель называет число, например: четыреста семь тысяч
пятьдесят. Ученик откладывает это число на счётах и указывает,
что в этом числе 4 сотни тысяч и 7 тысяч — всего 407 тысяч да
ещё 50 единиц, а всё число четыреста семь тысяч пятьдесят.
Такие же вопросы предлагаются к девятизначным и двена¬
дцатизначным числам.
После этого делаются обобщения: числа, состоящие из тысяч
и простых единиц, откладываются на 6-й, 5-й и 4-й проволоках
(тысячи), на 3-й, 2-й и 1-й проволоках (единицы); числа, состоя¬
щие из миллионов, откладываются на 9-й, 8-й и 7-й проволоках
(миллионы); числа, состоящие из миллиардов, откладываются на
12-й, 11-й и 10-й проволоках.
4.	Классы числа. Состав чисел из десятичных групп
уже усвоен учащимися. Теперь нужно подчеркнуть перед учащи¬
мися тысячную группировку единиц и распределение разрядов
по классам.
Тысячи считают от одной до 999 тысяч, как считают простые
единицы (примеры).
Миллионы считают от одного до 999 миллионов так же, как
простые единицы (примеры).
Миллиарды считают так же, как простые единицы, от одного
до 999. Составляем табличку.
1000 простых единиц = 1 тысяче
1000 тысяч	=	I	миллиону
1000 миллионов = 1 миллиарду
Простые единицы называются единицами первого класса
тысячи	>	»	в т о р о г о класса
миллионы	>	т>	т р е т ь е г о класса
миллиарды	»	»	четвертого класса
17 А. С. Пчелко
257


В каждом классе па 3 разряда. Устанавливается, какие разу
ряды входят в каждый класс. Чтобы сделать наглядным и легко
обозримым состав числа из классов и разрядов, вывешиваете!
плакат:
4-й класс —
лиарды
мил-
3-й класс—
лионы
МИЛ-
2-й класс—тысячи
1-й класс—единицы
12
11
10
9
8
7
е
5
4
3
2
1
сотни
десятки
един и-
сот» и
десятки
едини-
сотни
те'ятки
единя-
сотни
десятки
едт.
цы
цы
ЦЫ
млрд
млрд.
млрд
МЛН
млн.
млн.
тысяч
тысяч
тысяч
цы
Все эти сведения закрепляются на упражнениях следующего
типа:
а)	Назовите число, в котором 82 единицы третьего класс*
350 единиц второго класса, 54 единицы четвёртого класса.
б)	Назовите число, которое состоит из 6 единиц четвёртого
класса и 300 единиц третьего класса; из 25 единиц третьего
класса и 125 единиц первого класса.
в)	Назовите числоу которое состоит из 5 единиц третьего раз¬
ряда, 2 единиц четвёртого разряда, 7 единиц второго разряда
и 4 единиц первого разряда.
г)	Какие разряды находятся в первом классе? во втором?
в третьем? в четвёртом?
д)	На какой проволоке откладываются тысячи? сотни тысяч?
десятки? десятки миллионов? сотни миллиардов? и т. д.
Учащиеся должны твёрдо запомнить места разрядов.
5.	Запись и чтение чисел. Изображения чисел на счё¬
тах и в нумерационной таблице дают ученикам достаточную под¬
готовку для того, чтобы с успехом овладеть письменной нумера¬
цией. При обучении письменной нумерации соблюдается следую¬
щий порядок: сначала пишутся и читаются числа по отдельным
классам — класс тысяч, класс миллионов, класс миллиардов,
а затем любые числа в пределе класса миллиардов.
Чтобы записать число, составленное из тысяч, пишут сперва
число тысяч, а затем приписывают к нему справа три нуля.
Запись чисел перемежается с чтением аналогичных чисел.
Учитель пишет, например, на доске 764 000. На первом, втором
и третьем местах стоят нули; это значит, что в числе нет единиц,
десятков, сотен. На четвёртом месте стоит 4—4 тысячи, на пятом
6—6 десятков тысяч, на шестом месте 7—7 сотен тысяч, а всё
число — 764 тысячи.
Так же проводится запись и чтение чисел третьего класса —
класса миллионов, четвёртого класса — класса миллиардов,
а затем любых чисел в пределе миллиардов.
Диктуя ученикам числа, надо делать после названия каждого
класса небольшую остановку: 305 миллионов (пауза, запись 305),
258


фок тысяч (пауза, запись 040), триста двадцать (запись 320).
1асс от класса отделяется промежутком. Перед тем как прочи-
ать число, его разбивают на классы, ставя вверху штрихи.
('В числе упражнений, способствующих уяснению письменной
[умерации, надо проводить следмощие:
, 1) Записать по правилам нумерации число, записанное в виде суммы раз¬
ных слагаемых, например: 23 000 000 + 50 000 + 8 000 + 60 = 23 058 060.
2)	Записать число в виде суммы разрядных слагаемых, напримерс
005 000 400 = 3 000 000 000 + 5 000 000 + 400.
3)	Записать цифрами число, классы которого записаны словами, например:
100 млн., 30 тыс., 825 ед. = 100 030 825.
Особое внимание в упражнениях надо уделять числам с ну-
ш © середине (с пропуском разрядов и целых классов). Они
>льше всего затрудняют учеников, в особенности такие, где
[ассы начинаются с нулей, например, 5 060 008 040.
6.	Счёт. О непрерывном счёте чисел миллионного и
миллиардного порядка, конечно, не может быть и речи. Нужно
Сосредоточить внимание учащихся только на тех небольших участ¬
ках огромного натурального ряда чисел, где происходит переход
через тысячу, через миллион, через миллиард. Только в этих ме¬
стах учащиеся испытывают затруднение в счёте, здесь нужна по¬
мощь учителя. Нужно считать единицами и группами единиц мел¬
кими и крупными — присчитывать и отсчитывать по единице, по
пяти, по десяти, по сотне, по тысяче.
Учитель называет число 9997.
«Считайте дальше», — говорит он, обращаясь к вызванному ученику.
(9997, 9998, 9999. . .)
Дальше многие ученики не знают, какое число назвать «Прочитайте ещ§
раз последнее число по частям — назовите тысячи и остальную часть числа».
(9 тысяч и 999.) «Присчитайте к 999 одну единицу — сколько получится?»
(1 000.) «Одна тысяча да девять тысяч — сколько получится?» (10 000.) «Пере¬
считайте ещё раз, начиная с 9997».
Учитель называет число 99985, откладывает его на счётах и предлагает
присчитывать последовательно по 5 : 99985, 99990, 99995. Если ученики затруд¬
нятся назвать следующее число, то учитель предпагает им разбить последнее
Число на две части — на тысячи и остальную часть (99 тысяч 995) и приба¬
вить 5 к 995; 5 да 995 — получится 1000; 99 тысяч да ещё одна тысяча-^-
100 000.
«Присчитайте ещё раз по 5Г начиная с 99, 985».
7.	Преобразование состава чисел составляет послед¬
ний этап изучения нумерации. Оно складывается из упражнений:
а) в превращении и б) в раздроблении разрядных единиц числа.
Упражнения в раздроблении производятся в следующем по-
)ЯДК6:
а)	Сколько единиц в числах:	5 десятков? 28 десятков?
4	сотни? 35 сотен? 25 сотен и 2 десятка? 8 сотен и 65 единиц?
б)	Сколько десятков: в 5 сотнях? 30 сотнях? в 6тысячах?
в 48 тысячах? в 7 тысячах и 5 сотнях?
17*
259


Составляетоя таблица:
5 десятков —	50;
45 десятков = 450;
32 десятка = 320;
164 десятка = 1640.
Сопоставив левую и правую части этих равенств,
ученики делают обобщение: «Чтобы данные десятки
раздробить в единицы, надо к числу десятков при¬
писать нуль».
3 сотни
15 сотен
38 сотен
= 300;
= 1 500;
= 3 800.
Правило: «Чтобы узнать, сколько единиц в дан¬
ном числе сотен, надо к числу сотен приписать
2 нуля».
Упражнения в превращении единиц в десятки, десятков в сотни:
1)	Сколько десятков в числах: 70? 250? 400?
2)	Сколько сотен в числах: 500? 3 200? 6 000?
3)	Сколько всего десятков в числах: 786? 2 480?
Объяснение последнего примера даётся в следующей форме:
В тысяче — 100 десятков, в 2 тысячах — 200 десятков, в сотне— 10 Де
сятков, в 4 сотнях — 40 десятков, да ешё 8 десятков, всего— 248 десятков.
На основании разбора нескольких примеров делается вывод
«Чтобы узнать, сколько во всём числе десятков, надо откинуть
в нём последнюю справа цифру и прочитать оставшееся число».
Вывод закрепляется на выделении десятков в ряде чисел.
72 480, 5 400, 38 000, 50 000, 100 000.
Так же объясняется учащимся и выделение из числа сотен.
Вывод формулируется кратко: «Чтобы узнать, сколько в числе
сотен, надо откинуть в нём две последние цифры справа».
Сложение многозначных чисел.
С механизмом письменного сложения учащиеся уже озна¬
комились во II классе, изучая концентр «Первая тысяча». Задача
изучения сложения в III классе состоит в том, чтобы распростра¬
нить этот навык на многозначные числа, усовершенствовать его,
сделав вычисления более уверенными, быстрыми и безошибоч¬
ными.
Это достигается на достаточно большом количестве упраж¬
нений и притом разнообразных, охватывающих все возможные
случаи сложения. Упражнения начинаются с лёгких случаев
сложения (без перехода через разряд) и переходят в упражне
ния более трздхные (с переходом через разряды). Упражнения
начинаются с таких примеров, где в качестве слагаемых берутс!
четырёхзначные числа и заканчиваются примерами с дв;е|
нгдцатизначными слагаемыми. Вначале даются примеры
с двумя слагаемыми, затем число слагаемых постепенно увели!
чивается;	несколько примеров надо решить с больший
количеством слагаемых (примерно до 7), на которых полезно
показать	применение сочетательного свойства сложения.
Сначала решаются примеры, записанные столбиком, а потом
даются примеры, в которых слагаемые записаны в строчку, а от.
260


/ченика требуется уменье правильно подписать одно слагаемое
1од другим, прежде чем производить над ними действия.
Вначале решаются примеры с подробным объяснением, с на¬
званием разрядов, которые складываются, а потом объяснения
становятся всё короче, схематичнее.
Решение первых примеров объясняется подробно, например:
,7 345 — первое слагаемое
"* 8 497 — второе слагаемое
15 842 — сумма
«Дано сложить два числа: первое слагаемое 7 345, второе слагаемое
«1497; подпишем их так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под
десятками и т. д. Начнём сложение с единиц: 5 да 7 —12 единиц; 2 единицы
пишем под единицами, а один десяток прибавим к десяткам; I да 4 — 5 де¬
сятков, да 9— 14 десятков; 4 десятка пишем, а одну сотню прибавим к сотням;
}• сотня да 3 — 4 сотни, да 4 — 8 сотен; подписываем 8 под сотнями;
7 тысяч да 8 тысяч—15 тысяч; пишем их. В сумме получилось 15 842».
На первых примерах ученики повторяют название чисел:
слагаемые, сумма. Вводится название знака сложения (плюс).
Когда выяснится, что учащиеся понимают механизм вычисле¬
ния и умеют его связно и толково объяснять, учитель переходит
к кратким объяснениям.
Пусть, например, дано сложить четыре числа:
274 645 + 35 670 408 + 8 675 + 49 057 =
Ученик подписывает слагаемые столбиком, группируя их для удобства
сложения так:
35 670 408
+	274 645
49 057	Складывая, ученик говорит:	«8 да 5 — 13,	да 7 — 20,	да
8 675	5 —	25; 5 пишу, 2 в уме; 2 да	0 — 2, да 4 — 6, да 5—11,	да
36002 785	7—18; 8 пишу, 1 в уме», и т. д.
Примеры	с	большим количеством	слагаемых	(больше	6)
полезно решать,	объединяя слагаемые в	группы — по	4, по 5 сла¬
гаемых, использовав сочетательное свойство сложения.
Пусть, например, дано решить задачу, где требуется найти сумму 7 сла¬
гаемых.
58623335
+ 17 156273
2 929 666
1577 117
80286 391
651 962	Этот пример надо решить двумя способами. Сначала обыч-
+ 3 319 216 ным способом, а потом разбить слагаемые на две группы:
738 099 в °Дн°й 4 слагаемых, в другой 3 слагаемых; найдя сумму
		4 709~27/—каждой группы, найти дальше общую сумму.


Объяснения при сложении многих слагаемых должны быть
минимально' краткими; нужно научить учеников говорить только!
результаты, производя все вычисления в уме. Желательно, чтобы1
складывая единицы вышеуказанных семи слагаемых, учений
говорил так: «Пять, восемь, четырнадцать, двадцать один, два'
дцать три, двадцать девять, тридцать восемь; 8 пишу — 3 в уме>
и г. д. Сначала это даётся детям трудно, но по мере упражнений
трудность исчезает, и у ребёнка создаётся навык считать в уме
быстро и правильно.
Значительную часть примеров надо решить с проверкой.
На этой стадии целесообразно сложение проверять сложенней
же, меняя места слагаемых, точнее говоря, меняя порядок
сложения, а именно: если при обычном сложении мы идём сверху
вниз, то при проверке можно начинать сложение снизу, с послед¬
него слагаемого.
Уменье проверить результат имеет большое практическое
значение и, кроме того, на проверке находит применение переме¬
стительное свойство сложения: от перемены мест слагаемых сумма
не изменяется. В первых примерах, предназначенных для про¬
верки, нужно действительно переписывать примеры, меняя сла¬
гаемые местами, но затем нужно указать ученикам, что пере¬
писывать примеры нет надобности, что изменить порядок сложе¬
ния можно проще, а именно, начиная сложение снизу, с послед¬
него слагаемого.
В процессе упражнений нужно следить за тем, чтобы ученики
привыкли к арифметической терминологии, связанной со сложе¬
нием, хорошо усвоили её и постоянно пользовались ею в своей
речи: сложение, слагаемые, сумма, плюс — все эти слова должны
звучать и в речи учителя, и в речи учеников.
Навыки сложения найдут своё практическое применение в ре¬
шен и и задач. Задачи должны даваться с таким арифмети¬
ческим содержанием, чтобы ученики могли повторить и оконча¬
тельно закрепить все основные случаи применения сложения:
нахождение суммы двух или нескольких слагаемых, увеличение
числа на несколько единиц, нахождение уменьшаемого по дан¬
ному вычитаемому и остатку.
В этих целях нужно использовать не только письменные за¬
дачи с большими числами, но и устные задачи с числами в пре¬
деле главным образом первой сотни.
Нужно уделять большое внимание внешней культуре записей,
упорно и настойчиво добиваться, чтобы каждый ученик правильно
и красиво писал цифры, чтобы строго выдерживалась поразряд-.
ная подпись слагаемых, черта под последним слагаемым прово¬
дилась тщательно, чтобы знак сложения (плюс) ученики ставили на
своём месте и писали в форме прямого крестика. Всё это — от¬
нюдь не мелочи; это имеет .значение и для лучшей подготовки
ученика к изучению арифметики, и для воспитания высокой об¬
щей культуры ученика.
262


Вычитание многозначных чисел.
Начало создания навыков письменного вычитания положено
во II классе, но там работа ещё только начата. Главное и суще¬
ственное в уменье производить письменное вычитание; оно должно
быть дано в концентре «Числа любой величины»- Механизм
лисьменного вычитания значительно сложнее механизма письмен¬
ного сложения. В вычитании есть случаи не только легкие или
средней трудности, но и трудные. Чтобы облегчить ученикам
преодоление этих трудностей, нужно вести обучение вычитанию
в строгой системе, которая состоит из следующих методических
ступеней:
1.	Наиболее лёгкими являются те случаи вычитания, когда
цифры уменьшаемого больше соответствующих цифр вычитаемого,
например: 6 859—2 418.
2.	Более сложными являются те случаи, когда некоторые
цифры уменьшаемого меньше соответствующих цифр вычитаемого,
например: 6 859—2 878.
3.	Ещё более сложными являются те случаи, когда в умень¬
шаемом встречаются нули, например 370 060—158 195.
4.	Наконец, среди примеров третьего типа выделяются своей
сложностью примеры типа: 1 000 100—974 090.
В этой системе каждая последующая ступень сложнее преды¬
дущей, и самой сложной является последняя ступень.
Хотя у учащихся имеются уже основные понятия, необходимые
для вычитания многозначных чисел, тем не менее необходимо
начать объяснение вычитания с простых примеров (см. первый
случай), на них повторить правило вычитания:	форму записи,
с чего начинать действие, как называются числа, данные в вычи¬
тании, и его результат, способ поразрядного вычитания.
Для этого целесообразно остановиться на четырёхзначных числах,
например:
б 856 — уменьшаемое
— 3 234 — вычитаемое
3 622 — остаток, или разность.
Учитель должен ешё раз объяснить термины «уменьшаемое»,
«вычитаемое», «остаток, или разность», исходя из задач (см.
объяснение на стр. 241), напомнить, что вычитаемое подписы¬
вается под уменьшаемым так, чтобы единицы стояли под едини¬
цами, десятки под десятками, сотни под сотнями и т. д., что вы¬
читание начинается с единиц.
При первоначальном объяснении вычитания называются те
разряды, над которыми производится действие-
«От 6 единиц отнять 4 единицы, будет 2 единицы, пишем 2 под единица¬
ми. От 5 десятков отнять 3 десятка, останется 2 десятка, пишем 2 под десят¬
ками. От 8 сотен отнять две сотни, получится 6 сотен, пишем 6 под сотнями.
От 6 тысяч отнять 3 тысячи, останется 3 тысячи, пишем 3 под тысячами.
8 остатке получилось 3 622».
263


Решив небольшое количество таких простых для учащихся
примеров, учитель переходит к следующей ступени — к примерам,
где приходится делать сначала* одно, а потом и два-три занима¬
ния. Это — основной материал для упражнений. Остановимся на
одном таком примере:
Пусть дано вычесть 56 478 из 635 842.
Решая этот пример с подробными объяснениями (а так должны решаться
примеры на первых этапах упражнений), ученик говорит: «Подпишем вычитае¬
мое 56 478 под уменьшаемым 635 842 так, чтобы единицы стояли под едини¬
цами, десятки под десятками, сотни под сотнями и т. д. Подведём черту,
слева поставим минус и начнём вычитание с единиц:
От 2 единиц отнять 8 единиц нельзя, занимаем 1 десяток. От 12
635 842 отнять 8, будет 4. От 3 десятков отнять 7 десятков нельзя, за-
— 56473 нимаем ,одну сотню. От 13 десятков отнять 7 десятков, получит-
579 364	ся 6 десятков. От 7 сотен отнять 4 сотни, будет 3 сотни. От
5 тысяч отнять 6 тысяч нельзя, занимаем 1 десяток тысяч», и т. д.
В дальнейшем объяснение, сопровождающее процесс вычитания,
делается короче; ученики не называют разрядов, а говорят так:
«От 2 отнять 8 нельзя, занимаем один десяток. От 12 отнять 8, будет 4,
от 3 отнять 7 нельзя, занимаем одну сотню. От 13 отнять 7, будет 6. От 7
отнять 4, будет 3» и т. д.
Более подробные объяснения продолжают удерживаться
только для наиболее трудных случаев вычитания, каковыми
являются примеры, где уменьшаемое содержит несколько нулей
подряд. Пусть дано произвести вычитание:
60 010	Объяснение вычитания даётся ученикам примерно в следую-
— 9 604 щей форме: «От нуля отнять 4 нельзя, занимаем один десяток. От
50406 Ю отнять 4, получится 6. Десятков в уменьшаемом не осталось.
От нуля отнять нуль, получится нуль. От нуля отнять 6 нельзя,
занимаем 1 тысячу, но тысяч нет; тогда занимаем 1 десяток тысяч, раздробляем
его в ^тысячи, на месте тысяч оставляем 9, а 1 тысячу раздробляем в сотни.
От 10 отнять 6, останется 4. От 9 отнять 9, получится нуль.- 5 переносим
в остаток. Получилось 50 406.
Примеров с двукратным или даже троекратным последова¬
тельным раздроблением нужно решить побольше и с подробным
объяснением, чтобы добиться от каждого ученика' отчётливого
понимания и правильного выполнения процесса вычитания. Уче¬
ников легко заинтересовать такими примерами, и они охотно
упражняются в их решении.
Решение примеров на сложение и вычитание
с хл Цель решения таких примеров заключается в том, чтобы
постепенно подвести учеников к пониманию зависимости между
слагаемыми и суммой, между уменьшаемым, вычитаемым и раз¬
ностью. Эта зависимость будет окончательно обоснована и сфор¬
мулирована в IV классе, теперь же такие примеры должны ре¬
шаться по соображению. Речь идёт о примерах типа:
а) 856+*= 7 000; * + 627 = 10 000; б) — 5 640 = 17 800;	600 000 —
— х = 75 043.
264


Приведём рассуждение, сопутствующее решению первого примера. «В сум¬
ме‘7000 содержатся и первое, и второе слагаемые. Первое слагаемое 856; что¬
бы получить второе слагаемое, очевидно, надо отбросить от суммы первое сла¬
гаемое. Вычитаем 856 из 7 000, получаем 6144, значит, второе слагаемое,
или х, = 6144. Сложив 856 и 6 144, получим в * сумме 7 000. Так что
же мы сделали, чтобы найти неизвестное второе* слагаемое?» (От суммы отня¬
ли первое слагаемое, получилось второе слагаемое.)
.Объясним решение примера с х на вычитание: х — 5 640 = 17 800. Читает¬
ся этот пример так: «От неизвестного числа (л;) отняли 5 640 и после этого
осталось 17 800. Найти неизвестное число». Ставим вопрос: «Неизвестное число
было больше или меньше остатка (17 800)?» (Больше.) «Почему?» (Остаток
17 800 получился после того, как отняли 5 640. А пока не отнимали этого
здсла, в неизвестном было и 17 800 и 5 640, т. е. всё неизвестное число состав¬
ляло сумму чисел:	17 800 4- 5 640. Сложив их, получим 23 440. Проверим:
вычтем 5 640 из 23 440, подучим в остатке 17 800.) «Что же нам было дано
в этом примере?» (Вычитаемое — 5 640 и разность — 17 800.) «Какое число было
неизвестным?» (Уменьшаемое.) «Как же мы нашли неизвестное уменьшаемое
со вычитаемому и остатку?» (Мы сложили вычитаемое и остаток и получили
уменьшаемое.)
Проверка вычитания. Решение примеров с х подводит
гчащихся к способу проверки вычитания. Проверить вычитание
южно двумя способами: а) сложить вычитаемое и остаток; если
1ри этом получится уменьшаемое, то вычитание выполнено
фавильно; б) вычесть из уменьшаемого остаток; если в ре¬
зультате получится вычитаемое, то действие выполнено правильно.
3 III классе можно остановиться на одном первом способе про¬
верки, как наиболее простом, скором и надёжном.
Из решения предыдущих примеров с х учащиеся видели, что
если сложить вычитаемое и остаток, то получится уменьшаемое.
Проверим пример: 8 104 — 1 486 = 6 628.
Для этого сложим вычитаемое и остаток:
6 628
+ 1 486
8114
Полученное в сумме число (8 114) с уменьшаемым (8 104) не совпадает*
Значит, в вычитании допущена ошибка: остаток вычислен неверно.
Произведём снова вычитание:
8104
— 1 486
6618
Ошибка найдена: в остатке должно получиться 6 618, а не 6 628.
Ошибка допущена в цифре десятков.
Устный счёт и решение задач в связи с пись¬
менным вычитанием. Наблюдения показывают, что ошиб¬
ки в вычитании нередко связаны с нетвёрдым знанием учащимися
наизусть таблицы вычитания, т. е. вычитания в пределе 20. Чтобы
устранить такие ошибки, полезно упражнять учащихся в порядке
устного счёта, в решении примеров на вычитание в пределе 20 и в
пределе 100. На этих же упражнениях нужно давать примеры на
вычитание круглых чисел, например: 2 500 + 2 000; 48 000 — 24 000.
265-


При решении задач на вычитание нужно добиться, чтобы;
учащиеся безукоризненно решали все виды простых задач, овя-1
занных с вычитанием (см. стр. 241).
Умножение многозначных чисел.
Техника письменного умножения во много раз сложнее тех-
-ники письменного сложения и вычитания, и овладение ею — про¬
цесс более длительный и трудный для ученика по сравнению
с двумя предыдущими действиями. Понятие «умножение много¬
значных чисел» — сложное понятие, включающее в себя ряд
частных случаев, частных понятий. В то время как сложение
и вычитание производятся по одному правилу, в умножении
отдельные частные случаи имеют свои особые правила, которые
ученик должен знать. Усложнение механизма умножения много¬
значных чисел связано прежде всего с усложнением множителя:
множитель может быть — однозначное число, десять, круглые
десятки, двузначное число, сто, круглые сотни, трё^значное число?
тысяча, круглые тысячи, четырёхзначное число. Каждый из по¬
следующих множителей несколько усложняет умножение по
'Сравнению с предыдущим. Затем значительное усложнение вносят
в процесс умножения нули во множимом, во множителе, в обоих
сомножителях вместе — нули в середине, нули в конце сомножи¬
телей, нули и в середине и в конце сомножителей. При таком
положении строгая система в расположении материала
является необходимым и весьма существенным условием для
успешного обучения учащихся этому арифметическому действию.
Кроме того, для успешного изучения умножения многозначных
чисел ученики должны твёрдо знать таблицу умноже-
н и я; малейшие недочёты в знании таблицы умножения будут
тяжело отражаться на получении правильных результатов умно¬
жения. Поэтому, прежде чем приступить к умножению много¬
значных чисел, нужно проверить знание учащимися таблицы
умножения и повторить её. Культура записей (порядок, форма,
чёткость и др.). важная сама по себе в арифметике, здесь при¬
обретает особенно большое значение- рациональная форма записи
может намного облегчить самый процесс умножения и получение
правильного результата и, наоборот, нерациональная запись за¬
трудняет умножение и часто ведёт к ошибкам. На эту сторону
вопроса учитель должен обратить особое внимание, давая учени¬
кам наиболее совершенные образцы записей и настойчиво до¬
биваясь от учащихся следования этим образцам.
О	записях мы должны сделать ещё одно замечание: учитель
часто в своих объяснениях не сразу даёт ученикам краткую
общепринятую форму записи, но сначала показывает подроб¬
ные записи, имеющие чисто методическое значение, помогающие
детям понять сущность механизма установленной краткой стан¬


дартной записи. В умножении часто будут встречаться такие слу¬
чаи, когда учителю нужно будет провести учеников через по¬
дробные «методические» записи, прежде чем остановиться на
её общепринятой форме.
Учащиеся не заносят такие записи в свои тетради.
Связь умножения со сложением и название
чисел в умножении. Вначале нужно напомнить учащимся
о связи умножения со сложением, чтобы они рассматривали
умножение как сокращённое «сложение. Предложим для этого за¬
дачу: «На грузовой машине в течение дня 5 раз ездили за брёвна¬
ми и каждый раз привозили по 25 брёвен. Сколько всего брёвен
привезли за день?» Эту задачу можно решить сложением:
25 бр. 25 бр. + 25 бр. + 25 бр.+ 25 бр. = 125 брёвен.
В этом сложении все слагаемые одинаковы, поэтому сложе¬
ние можно заменить умножением. От этого короче будет
запись и проще вычисления:
25 бр.Х5 = 125 бр.
25 мы взяли 5 раз и получили 125. Иначе говоря, мы 25 умно¬
жили на 5 и получили 125.
Число 25, которое мы умножаем или множим, называется
множимым. Число 5, на которое множим, называется мно¬
жителем. Число 125, которое получилось, «произведено» от
умножения, называется произведением.
25X 5= 125.
25 — множимое
5 — множитель
125 — произведение
Ученики записывают этот пример с терминами в свои тетра¬
ди. Решается несколько примеров и задач на умножение с на¬
званиями всех трёх чисел этого действия. А дальше на протяже¬
нии всего года и учитель, и ученики пользуются этой терминоло¬
гией, что и обеспечит её усвоение-
Умножение на однозначное число. Обозначение
письменного умножения на однозначное число начинается с по¬
вторения (было пройдено во II классе), с простейшего случая
умножения в пределах тысячи, когда от умножения каждого
разряда множимого з произведении получаются числа, меньшие
десятка (324 X 2). Затем учитель переходит к большим числам —
четырёхзначным и пятизначным (14 234X2); решив небольшое
количество таких примеров, учитель переходит к примерам,
в которых при умножении сначала одного, а потом двух,
трёх и больше разрядов получаются числа, большие десяти; на¬
пример: 13 219 X 3; 6 943X8; 28 758X4.
Первые примеры решаются с подробным объяснением.
6946
Так, решая пример X 4	.ученик говорит: «Умножаем 6 единиц на 4,
27 784
267


получается 24 единицы; 4 пишем, 2 десятка прибавим к десяткам; 4 десятка умно¬
жим на 4, получается 16 десятков, да 2 десятка, порученные от умножения еди¬
ниц,— 18 десятков; 8 десятков пишем, а одну сотню прибавим к сотням. 9 сотен
умножить на 4, получится 36, ша 1 сотня — 37 сотен; 7 сотен пишем, а 3 ты¬
сячи прибавим к тысячам. 6 тысяч умножить на 4, получится 24 тысячи, да
3 тысячи, полученные от умножения сотен, будет 27 тысяч;’ пишем 27. В про¬
изведении получилось 27 784».
В дальнейшем от подробной формы объяснения надо перейти
к краткой, а именно:
«Четырежды 6 — 24, 4 пишу, 2 в уме; четырежды четыре — 16, да 2 — 18,
8 пишу, а 1 в уме; четырежды девять — 36, да 1 — 37, 7 пишу, а 3 в уме;
четырежды шесть 24, да 3 — 27. В произведении получилось 27 784».
С переходом к такой лаконической форме объяснения торо¬
питься не следует; пусть дети поупражняются в назывании раз¬
рядов, разбивая множимое на разрядные числа, поупражняются
в превращении одних разрядных чисел в другие (например 32
сотни = 2 сотням и 3 тысячам). Всё это углубляет понимание
учениками сущности производимых операций.
Особую разновидность примеров составляют те, в которых во
множимом встречаются нули в середине числа, на/пример:
6402X4; 3409X2.
Как производить умножение в таких случаях? Некоторые ме¬
тодисты рекомендуют не умножать 0 на число.
Первый пример они рекомендуют объяснять так:
6 402	«4 раза по 2, будет 8; десятков нет. пишем на месте десятков	0;
X 4	4 раза по 4— 16; 6 пишем, I в “уме: 4 раза по 6, будет 24, да 1	—
25 608	25; пишем 25. Получилось произведение 25 608».
Второй пример объясняется так:
3 409 «Дважды 9—18; 8 пишем, 1 в уме; десятков нет, поэтому их
X 2 не умножаем, но от умножения единиц получился 1 десяток; пишем
на месте десятков 1» и т. д.
Считая такое объяснение возможным, мы, однако, находим его
неудобным: в нём нет ритма, нет непрерывности в объяснении,
и, кроме того, оно приводит некоторых учеников к ошибке такого
604
рода: Х+Здесь ученик произвёл умножение, не обращая внимания
'256
на нули.
Нам кажется, что с нулём надо поступать так же, как
и с другими числами. Не надо создавать никакой теории во¬
круг нуля (нуль — число или не число), но нужно пояснить, что
если мы умножаем 0 на какое-либо число, то в произведении по¬
лучается 0 (0X4 = 0; 0X8 = 0 и т. д.). Почему? Умножить 0
на 4, это значит 0 повторить слагаемым 4 раза: 0 + 0+ 0 + 0, что
в сумме даст 0. К пониманию такого объяснения дети III класса
гг	3 409
подготовлены. После этого решение примера у 2 можно объяс¬
нить так:
268


«Дважды 9— 18, 8 пишу, 1 в уме; дважды 0 — О, да 1 —будет 1; дважды
4 — 8, дважды 3 — б. Получилось 6 818».
Такое объяснение будет более стройным и плавным.
Несколько примеров и задач следует решить с переста¬
новкой сомножителей. Учащимся нужно напомнить, что
от перестановки сомножителей произведение не изменяется:
4 X 25 —25 Х4 = 100; 40 X 5 = 5 X 40 = 200.
Пусть дано, например, решить задачу: «В магазине было 685 м материи
со 9 руб. за метр и 535 м по 7 руб. за метр. Сколько стоила вся материя?»
Решение.	Вычисления.
1)	9 руб. X 685 = 6165 руб.	1) 685 2) 535 3) 6 165
2) 7 руб. X535 = 3 745 руб.	X 9	X 7	+3 745
3) 6 165 руб. + 3745 руб. = 9 910 руб.	б 165	Т745	“99К)
Записывая решение в строчку, ученик рассуждает так: «Один метр мате¬
рии стоит 9 руб., а 685 м стоят в 685 раз больше; нужно 9 руб. умножить на
685. Один метр материи второго сорта стоит 7 руб., а 535 м такой материя стоят
в 535 раз больше; чтобы узнать её стоимость, нужно 7 руб. умножить на 535».
Здесь запись действия вытекает из рассуждения.
Ученики должны хорошо понимать, что множитель — число
всегда отвлечённое.
Но, вычисляя, ученик, вместо того чтобы умножить 9 руб. на
685, может умножить, наоборот, 685 на 9 (здесь уже наименова¬
ние не ставится); так умножать легче, а результат получится тот
же, ибо от перестановки сомножителей произведение не изме¬
няется.
Когда ученики приобретут навык в умножении, можно огра¬
ничиться одной записью и для решения, и для вычисления:
9 руб. X 685 = 6 165 руб. (умножается последовательно каждая
цифра множителя на 9).
Вводя практику перестановки сомножителей, ученикам надо
показать на двух-трёх примерах, как же производится умножение
без перестановки, когда множимое — число однозначное, а мно¬
житель — многозначное:
X б	8 423
8 423	X 6
50 538	50 538
После решения достаточно большого количества примеров вы¬
водится правило: «Чтобы умножать многозначное число на одно¬
значное, нужно умножить каждый разряд множимого на одно¬
значное число, начиная с единиц».
Умножение чисел, оканчивающихся нулями.
Пусть дано умножить 275 000 на 3 и 347 800 на 4.
275	Учитель: Прочитайте пример (275 тысяч умножить на 3).
ХЗ Умножим 275 на 3. Запишем, как всегда. Получилось 825. Но нам
§25 надо умножить на 3 не 275 единиц, а 275 тысяч. Запишем
269


умножение так, чтобы было видно, что мы умножаем тысячи и получаются
в произведении тоже тысячи.
275 тысяч
X 3
825 тысяч
«Как можно записать этот пример иначе, без слова «тысяч»?» (Вместо
слова «тысяч» написать три нуля.)
«Перепишем решение нашего примера, написав нули вместо слова «тысяч».
Получается такая запись:
275 000
X 3
825 000
Последняя запись делается учениками в своих тетрадях.
«Решим ещё один пример: 347 800 X 4. Прочитайте^ пример. Сколько сотен
во множимом? Прочитайте пример, выразив множимое в сотнях».
(3 478 сотен умножить на 4.) «Умножим 3 478 на 4:
3 478
X 4_
13912
Нам нужно было умножить 3 478 не единиц, а сотен. Запишем
так, чтобы было видно, что умножаются сотни и в произведении получаются
тоже сотни».
347 800
X 4
1 391 200
Делаем обобщение, вывод: «В первом и во втором примерах
множимое оканчивалось нулями. Как мы производили умножение
в таких случаях? Где подписывали множитель?» (ГДод значащей
цифрой.) «Где при этом оставались нули?» (Нули оставались
в стороне, вправо от множителя.) «Что в конце делали с этими
нулями?» (Приписывали их к произведению.)
Правило формулируется примерно так: «Если множимое окан¬
чивается нулями, то множитель подписывают так, чтобы нули
оставались вправо от него. Умножают, не обращая внимания на
нули. Затем к полученному произведению приписывают столько
нулей, сколько их есть во множимом».
Умножение на 10, 100, вообще на число, выра¬
женное единицей с нулями. Объяснение умножения на
10 начинается с повторения умножения на 10 однозначных и
двузначных чисел: каждая единица при умножении её на 10 ста¬
новится десятком. Решается ряд примеров с записью действия
в строчку. Получается табличка:
2ХЮ = 20	15 X Ю = 150
5ХЮ = 50	36 X Ю = 360
В каждом примере сравнивают множимое и произведение.
Устанавливается, что эти числа отличаются одно от другого тем,
что в произведении справа стоит нуль.
270


От приписывания нуля справа число увеличилось в 10 рае: в са¬
мом деле, было 2 единицы,, стало 2 десятка; в числе
36 было 6 единиц, Стало 6 десятков, было 3 десятка,
стало 3 сотни.
Каждое разрядное число множимого увеличилось в 10 раз, и>
всё число 36 увеличилось в 10 раз.
Делается вывод: «Чтобы умножить число на 10, достаточно»
приписать к нему справа нуль». Некоторые ученики, формули¬
руя это правило, по ошибке говорят- «прибавить нуль». Ошибку-
надо разъяснить: от прибавления нуля число не изменяется:
36 —(- 0 будет 36, а от приписывания нуля справа число
увеличивается в 10 раз.
На основе выведенного правила решается несколько примеров:
345ХЮ; ЮОХЮ; 560Х И>; 7 486 X Ю; 1 000Х Ю; 9600ХЮ;
7004 X 10 и т. п.
Далее рассматривается умножение на 100 « «а 1 000.
Каждая единица при умножении на 100 становится, заменяет¬
ся сотней. Поэтому
1 X ЮО == 100	16 X 100 = 16 сотен = 1 600
5X 100 = 500	37X 100 = 37 сотен = 3 700
9 X100= 900	128 X 100= 128 сотен = 12800
Сравниваем в каждом примере множимое и произведение-
(1 и 100, 9 и 900, 37 и 3 700) и видим, что эти числа отличаются
одно от другого тем, что в произведении стоят справа два нуля.
Что делает с числом приписка к нему двух нулей? Приписка:
двух нулей справа увеличивает число в 100 раз. В самом деле:
когда 37 умножили на 100, получили 3700; сравним» 37 и 3 700.
В числе 37 — 7 были единицами, а в 3 700 — 7 стали сот¬
нями; 3 в числе 37 были десятками, а в числе 3 700 они
стали тысячами. Каждое разрядное число увеличилось в 300»
раз; следовательно, и всё число увеличилось в 100 раз.
Выведем правило: «Чтобы умножить число на 100, надо при¬
писать к нему справа два нуля».
А если бы пришлось умножать число на 1 000, на 10 000, что
тогда нужно было бы сделать? По аналогии с рассмотренными»
случаями ученики дадут правильный ответ. Решается несколько
примеров умножения на 1 000, и выводится общее правило: «Что¬
бы умножить число на единицу с нулями, достаточно приписать
к множимому столько нулей, сколько их во множителе».
На .основе выведенного правила решаем ряд примеров на
умножение на 100. Некоторые из примеров подробно разбирают¬
ся: берётся одна и та же цифра, и определяется её значение во-
множимом и в произведении.
Несколько примеров решается с перестановкой сомножителей:
45ХЮ0 и 100X45; 308 X 100 и 100X308.
Решение примеров умножения на 100, 1 000, как и на 10,
записывается в строчку и только1 в строчку: 24X100 = 2 400.
271)


Умножение на круглые десятки, сотни и тыся¬
чи. Во II классе учащиеся - выполняли устно умножение на
-круглые десятки двумя последовательными умножениями:	на
число десятков и на 10; например 6X30 = 6X3X10 = 180.
Переход к письменному умножению на круглые десятки нуж¬
но начать с повторения устного умножения на 20, 30, 40 и т. д.
3 X 50= (3 X 5) X Ю= 150
12Х40 = (12Х4)ХЮ= 480
54 X 60 = (54 X 6) X Ю = 3 240
Чем больше числа, тем всё труднее и труднее становится вы¬
числять устно. Поэтому будем записывать умножение «столби¬
ком».
Пусть дано умножить 26 на 80. Чтобы умножить на 80, надо умножить
'26 сначала на 8, а потом полученное число ещё на 10. Это можно записать так:
26	Умножая 26 на 80. умножим 26 на 8, получим 208. Теперь 208
X 60 нужно умножить на 10, но для этого достаточно к нему приписать
2080 справа 0. Получим 2 080.
Решаем ещё несколько примеров, беря в качестве множимого
•всё большие и большие числа:
496	15 968	3905 785
Х30	X 50	Х80
Умножая 15 968 на 50, ученик рассуждает так: чтобы ‘ умножить 15 968 на
.50, нужно умножить это число на 5 и к произведению приписать справа нуль.
Получится 798 400:
15 968
X 50
798 400
Выводится правило: «Чтобы умножить число на круглые де¬
сятки, нужно умножить его на цифру десятков и к полученному
произведению приписать нуль».
•На основе правила решаются всё более и более сложные при¬
меры: а) 10X40;	40X60;	94X70; б) 100X50;	285X90;
304X70; в) 1 000X20; 2 300X80;	4 765X30; г) 60X6784;
20X36814.
Переходим к объяснению умножения на круглые
-сотни. Даём задачу:
«В школе 300 учащихся; каждому ученику выдали по 2 тетради. Сколько
тетрадей выдали всем учащимся?» Чтобы решить -'эту задачу, нужно взять
300 раз по 2, или 2 умножить на 300. Как. взять 300 раз по 2? Можно взять
100 раз по 2, ещё 100 раз по 2 и ещё 100 раз по 2, получится 200 + 200 +
+ 200 = 600.
Как иначе можно по 2 взять 300 раз? Можно по 2 взять 3 раза и 3 двой¬
ки (2X3) повторить 100 раз, а всего мы возьмём 300 двоек, и получится 600.
Запишем это умножение: 2 X 300 « (2 X 3) X 100 = 6 X 100 — 600. Умно¬
жим 4 на 200. Как взять 200 раз по 4?
Можно взять 2 раза по 4 и эти две четвёрки повторить 100 раз:
4 X 200 = (4 X 2),Х 100 = 8 X 100 = 800.
272


Умножим 6 на 500: 6 X 500 = (6 X 5) X Ю0 = 3 ООО.
Сделаем обобщение: чтобы умножить на круглые сотни (на 200, 400, 500
и др.), мы умножали число на цифру сотен и потом ещё на 100.
Перейдём теперь к письменному умножению. Умножим
56 на 700. Запишем это умножение «столбиком».
56
X 700
39 200
Чтобы умножить 56 на 700, умножим 56 на 7 и полученное про¬
изведение умножим ещё на 100. Но чтобы умножить на 100, до¬
статочно приписать к числу два нуля. Поэтому, чтобы умножить
56 на 700, умножим 56 на 7 и к полученному произведению при¬
пишем два нуля.
Решим ещё несколько примеров и выведем правило:	«Чтобы
умножить число на круглые сотни, надо умножить его на цифру
сотен и к полученному произведению приписать два нуля». Даль¬
ше остаётся только обобщить оба выведенные правила (после
решения нескольких примеров на значащую цифру с тремя, че¬
тырьмя нулями) в следующей формулировке: «Чтобы умножить
число на значащую цифру с нулями, нужно умножить число на
значащую цифру и к полученному произведению приписать столь¬
ко нулей, сколько их во множителе». Это правило закрепляется
на решении примеров и задач.
Умножение на двузначные и трёхзначные
числа. Умножением на однозначное число и на круглые десят¬
ки созданы необходимые предпосылки для умножения на дву¬
значное число, когда множимое умножается сначала на едини¬
цы, а затем на десятки множителя, и полученные произведения
складываются (в основе приёма умножения лежит распредели¬
тельный закон умножения).
Объяснение приёма умножения на двузначное число начи¬
нается с решения устной задачи:
«Куплено 25 карандашей по 8 коп. за карандаш. Сколько уплачено за все
купленные карандаши?» Для решения задачи нужно 8 коп. взять 25 раз.
8 коп. X 25 =
Для атого умножим сначала 8 на 20, а потом 8 на 5.
8	X 25 = 8 X 20 + 8 X 5 = 160 + 40 = 200.
Сделаем умножение в обратном порядке:
8 X 25 = 8 X 5 + 8 X 20 = 40 + 160 = 200.
Таким образом, за карандаши уплачено 200 коп., или 2 рубля.
Теперь можно перейти к письменному умножению.
18 А. С. Пчёлко
273


Умножим 48 на 26. Для этого надо умножить 48 на 20, потом 48 на в
и полученные произведения сложить. Выполняем умножение:
4*	48	960
X 20	Х6	+288
960	1248
Но это умножение можно выполнить и в другом порядке:
48	48	288
X 6	X 20	+ 960
288	960	1 248
Эти три действия можно записать короче, в одном месте, а именно:
48
48
Х26
X 26
960
или 288
288
960
1 248
1248
Здесь 48 — множимое, 26 — множитель, 288 — неполное произведение,
960 — неполное произведение, 1 248 — полное произведение.
Решим ешё два примера, делая сначала подробную запись
в виде трёх действий, а потом сокращённую запись з виде одно¬
го действия, и после этого окончательно остановимся на обще¬
принятой сокращённой записи. Запись нуля в неполном произ¬
ведении можно сохранить на 1—2 урока, а затем надо и от него
отказаться: он — лишний. Но на первых порах он помогает впол¬
не сознательно воспринять механизм умножения на десятки дву¬
значного числа.
Умножение на двузначное число дети сопровождают следую¬
щим объяснением:
Умножим 478 на 36 Подпишем множитель под множимым так, чтобы еди¬
ницы стояли под единицами, десятки под десятками. Подведём черту, слева
поставим знак умножения и начнём умножать 478 на единицы—на 6.
473	Шестью восемь — 48, 8 пишем, 4 в уме; шестью семь — 42,
у 35	да 4 — 46, 6 пишем, 4 в уме; шестью четыре — 24, да 4 — 28, пишем 28.
Тлс	Теперь умножим 478 на десятки — на 3. Трижды восемь — 24,
4 пишем под десятками, 2 э уме; трижды семь — 21, да 2—23,
——-	3 пишем, 2 в уме Трижды четыре —12, да 2— 14; пишем 14. Сло-
и 20Ь	жим неполные произведения — 2 868 и 1 434 десятка. В произведении
получилось 17 208.
В дальнейшем, особенно в решении задач, объяснение умно¬
жения даётся всегда краткое.
Для того чтобы закрепить знание переместительного закона
умножения, полезно и здесь решить несколько примеров с пере¬
становкой сомножителей: 17X96 и 96 X 17; 23X368 и 368X23.
Прямым и непосредственным расширением навыка умноже¬
ния на двузначное число является умножение на трёхзначное
число, которое представляет собой распространение приёма умно¬
жения на третий разряд (сотни). Никаких предварительных
274


вспомогательных упражнений для объяснения умножения на
трёхзначное число не требуется. Можно сразу и непосредственно
начинать объяснение умножения на трёхзначное число.
Главное здесь — показать, где и как пишется третье
неполное произведение, получаемое от умноже¬
ния числа на сотни.
Умножим 826 на 432.
Умножить 826 на 432 — это значит 826 взять 432 раза. Как 826 взять
432 раза?
«Взять 400 раз, потом 30 раз и, наконец, ещё 2 раза; затем полученные
произведения сложить. Можно изменить порядок набора равных слагаемых,
а именно: взять 826 сначала 2 раза, потом 30 раз и, наконец, 400 раз.
Подпишем одно число под другим и произведём умножение сначала на
единицы (2), а потом на десятки (30) и сотни (400)».
826	Умножение на единицы и десятки ученикам знакомо. Новый
X432 момент — умножение 826 на 4 сотни. «Умножив 6 на 4 и полу-
1 652	чив 24, где подпишем цифру 4? Так как 24 означает 24 сотни, то
24 780	ясно, что 4 надо подписать под сотнями, заняв место единиц
330 400 и десятков нулями. Получив три неполных произведения, ело-
356 832 жим их».
Решив несколько подобных примеров, освободим неполные произведения
от нулей в конце их. От этого их величина не изменится.
Тот же пример будем записывать так:
826
X 432
1652
2478
3304
356832
2 478 — это 2 478 десятков (место определяет значение каждой
цифры, а места остались прежние). 3 304 — это сотни, или 330 400.
После того как ученики овладеют навыком умножения на
трёхзначное число, для них не представит труда умножать и на
другие многозначные числа — на четырёхзначные, пятизначные.
Полезно решить несколько таких примеров.
Умножение на число с нулями в середине
(208, 3004 и др.).
Умножим 296 на 304,
Умножить 296 на 304 — это значит по 296 взягь 304 раза. Для этого
296 возьмём сначала 4 раза, или умножим на 4, а потом 300 раз, или умно¬
жим на 300. Запишем множитель под множимым и произведём действие.
Умножим 296 на 4. Четырежды шесть — 24, 4 пишем, 2 в уме.
296 Четырежды девять — 36, да 2 — 38, 8 пишем, 3 в уме; четы-
X 304 режды два — 8, да 3 — 1)
Ы84 Пишем 11.
^888
89 984
На десятки число не умножаем, десятков нет, на их месте стоит нуль.
Умножаем дальше число на сотни.
18*
275


Первую подученную от умножения на 3 цифру подпишем под
сотнями, чтобы она обозначала сотни. Трижды шесть—]8 сотен (тах
как умножаем на 3 сотни); 8 сотен пишем под сотнями, а 1 тысяча в уме;
трижды девять — 27, да 1 — 28,	8 пишем, 2 в уме; трижды два — б,
да 2 — 8.
Сложим неполные произведения: 1 184 + 88 800 =* 89 984.
До окончании решения примера ставим вопросы: «В каком порядке про¬
извели умножение? Почему не умножали на десятки? Почему цифру 8
подписали под сотнями? Как можно было бы ещё написать второе неполное
произведение?» (С двумя нулями.) «Запишите иначе это второе произведение».
Такого объяснения достаточно, чтобы ученики поняли умно¬
жение на числа с нулями в середине. Дальше надо решить до¬
статочное количество аналогичных примеров. Среди примеров
должны быть примеры, у которых множители с двумя нулями
б середине, например 6004.
Умножение, когда оба сомножителя оканчи¬
ваются нулями. Пусть дано умножить 46 800 на 70. Рас¬
суждаем так: множимое 468 сотен. Множитель 7 десятков. Что¬
бы умножеть 468 сотен на какое-нибудь число, надо умножить
на него 46$ и потом приписать к произведению два нуля. А что¬
бы умножить на 7 десятков, надо умножить на 7 и потом
приписать нуль. Итак, множим, 468 на 7 и к полученному произ¬
ведению приписываем два нуля и один нуль, всего три нуля.
В ходе объяснения постепенно получаются записи:
а)	умножаем 468 на 7:
468
X 7
3 276
б)	умножаем 46 800 на 7:
46 800
X 7
327 600
в)	умножаем 46 800 на 70;
46 800
X 70
3 276000
Последняя запись (в) заносится учениками в тетради, первые же две
записи имеют методическое значение.
Решив ещё 1—2 примера с подробным объяснением, учитель
выводит правило: «Когда множимое и множитель оканчиваются
нулями, то их перемножают, не обращая внимания на нули,
н к произведению приписывают столько нулей, сколько их во мно¬
жимом и множителе вместе».
Следует иметь в виду, что наиболее трудными примерами для
учащихся являются такие, где в обоих сомножителях есть нули
276


не только на конце, но и -в середине, например 40 800 X 5 070,
Здесь трудность заключается в записи: надо подписать множи¬
тель под множимым так, чтобы значащие цифры множителя
стояли под значащими цифрами множимого. Если этому ученики
ббучены, то сам по себе процесс умножения для них особого труда
не представляет, и вычисление производится безошибочно.
Деление многозначных чисел.
Приступая к изучению деления многозначных чисел, нужно
прежде всего ознакомить учащихся с терминологией этого
действия, т. е. с названием даякых в делении чисел и его резуль¬
тата. Для этого надо решить две задачи — на каждый вид деле¬
ния по одной. Одинаковые названия чисел в каждом виде деле¬
ния будут способствовать объединению обоих видов деления
в одно понятие деления.
Задача: «Трое рабочих получили поровну за выполненную работу, всего
240 руб. Сколько рублей получил каждый рабочий?*
Для решения этой задачи нужно 240 разделить на 3 равные части, или,
короче говоря, 240 разделить на 3. Получится 80 руб.
240 руб.: 3 = 80 руб.
Число 240 мы делим, 'поэтому оно «делимое вд-сло», или просто
делимое. На 3 мы делили; оно — делитель. 80 — третья
часть делимого; оно — частное. Нужно, чтобы эти новые
для учащихся термины были записаны на доске и в тетрадях
учащихся; при этом надо особенно подчеркнуть правописание
слова «частное» (учащиеся склонны пропускать букву «т»).
240	:	3	=	80
делимое делитель частное
Задача: «Детский дом купил лопат на 120 руб., по 5 руб. за лопату.
Сколько лопат куплено?»
Чтобы решить эту задачу, нужно узнать, сколько раз 5 |руб. содержится
в 120 руб. Для этого нужно 120 руб. разделить по 5 руб., или 120 разделить на 5.
120 руб.: 5 руб. = 24.
24 лопаты были куплены. Это деление по содержанию. В нём 120 —
делимое, 5 — делитель, 24 — частное. Что означает здесь частное 24?
Сколько раз 5 содержится в 120?
После этого решается несколько примеров с названием чисел.
Учитель может предлагать примеры в такой форме: «Делимое —
360, делитель — 4. Узнать, чему равно частное». Или:	«Найти
частное чисел 200 и 5». «Как называются числа в примере
150 : 50 = 3?»
277


Деление многозначного числа на однозначное число.
Объяснение механизма письменного деления многозначного
числа на однозначное нужно начать с повторения деления трёх¬
значного числа на однозначное, что ученикам уже известно из
предыдущего концентра (см. стр. 248—250). Решим следующие
примеры с объяснением:
1)	684:2;	2) 456:3;	3) 752:8.
Решая третий пример, ученик рассуждает так:
752	[8_	7 сотен не делится на 8 частей так, чтобы получилось в каж-
72	94 дой части хотя бы по одной сотне; для этого надо было бы
иметь по крайней мере 8 сотен. Сотен в частном не будет.
32	Будем делить десятки; в делимом всего 75 десятков. Делим
-О—	75 десяткое на 8, получим в частном по 9 десятков. Узнаем,
сколько десятков мы разделили: умножим 9 на 8, получим 72.
Отнимем 72 от 75. Остались неразделёнными 3 десятка. Раз- ■
дробляем их в единицы, получим 30 единиц, да 2 единицы имеются в числе,
всего 32 единицы. Делим их на 8, получим в частном по 4 единицы. А всего
в частном получилось 94.
Этого повторения достаточно, чтобы возобновить в памяти
учащихся приём письменного деления и перейти к объяснению
нового материала, причём этот новый материал развёртывается
в той же системе, в какой он давался и в пределе 1 000, только
на больших числах, т. е. сначала решаются простейшие приме¬
ры, в которых делимое разлагается только на разрядные слагае¬
мые (63 936 3; 82 642:2), а потом и такие, в которых происходит
более сложная разбивка делимого на десятичные группы
(73 628 : 4). На этих примерах дети окончательно уясняют поря¬
док ?п ос те п е н н о го последовательного деления, начи¬
ная его с высших разрядов. На первых порах делаются подроб¬
ные записи и даётся подробное объяснение деления. В дальней¬
шем надо показать краткую запись и пользоваться только ею, но
когда впервые объясняется процесс деления, всё должно быть
записано и обстоятельно объяснено.
Пусть дано разделить 32 862 на 6.
32 862 I б	Записав деление, ученик рассуждает так: «Старший разряд
30	5~477 делимого — десятки тысяч. В частном десятков тысяч не ло-
28	лучится; для того, чтобы в частном, получился хотя бы один
24	десяток тысяч, в делимом их должно быть по крайней мере 6.
—тб	Будем делить тысячи: 32 тысячи разделим на 6, получим в
42	частном 5 (тысяч). Узнаем, сколько тысяч мы разделили; для
		этого умножим 5 на 6, получится 30. Значит, разделили 30 ты-
42	сяч. Вычитаем их из 32 тысяч; 2 тысячи остались неразделен-
42	ными. Раздробляем 2 тысячи в сотни, получим 20 сотен; кроме
(У	того, в делимом есть ещё 8 сотен; значит, всех сотен бу¬
дет 28 (чтобы получить 28, достаточно было к 2 приписать
следующую цифру делимого 8, или, как говорят, к остатку снести следую*
щую цифру). 28 сотен делим на 6, получается э частном 4 сотни и в
остатке 4 сотни; 4 сотни раздробляем в десятки, получаем 40 десятков, да
6 десятков в числе, всего 46 десятков» и т. д.
278


Решив несколько примеров с подробной записью, учитель
предлагает ученикам не писать произведений и находить остатки
устно, что сокращает запись:
32 862 | 6
28	5477
46
42_
О
В 1У^же классе учитель может потребовать ещё более краткой записи
в строчку: 32 862 : 6 = 5 477.
С первых шагов нужно приучать учеников к тому, чтобы они
по первой цифре частного могли определить, сколько всего цифр
должно быть в частном. Например:
672 968 |_8__
3	8....
разделив 67 десятков тысяч на 8, получим в частном 8 десят¬
ков тысяч. Ученику нетрудно сообразить, что в частном долж¬
но быть обязательно 5 цифр, ибо только при этом условии 8
будет обозначать десятки тысяч, стоящие на пятом месте. Умение
определять число цифр в частном сыграет большую роль в тех
случаях деления, когда в частном получаются нули, в середине и
на конце, а также нули на конце при делении с остатком. При
этом имеются в виду примеры следующего типа:
/1)21612(^4	 Старший разряд делимого — десятки тысяч. Десятков тысяч
"Тб 5 403 в частном не будет. Делим 21 тысячу; 21 разделить на 4 будет
—'12	5 (тысяч), значит, в частном должно быть четыре дифрьц
~ В остатке получается 1 тысяча, сносим б сотен. Делим /6 сотен
^ на 4, получается 4 сотни. Четырежды четыре — 16. В остатке
сотен нет, сносим 1 десяток, 1 десяток на 4 не делит¬
ся, десятков в частном не Получится. На месте де¬
сятков в частном ставим 0. Сносим 2. Получается 12 единиц; делим
их на 4, получаем 3 единицы. Всё частное равно 5 403.
5 тысяч на 9 не разделится так, чтобы было хотя бы по
одной тысяче. Тысяч в частном не будет. Делим 56 сотен:
56 разделить на 9, получится 6 сотен (в частном должны быть
3 цифры). Шестью девять — 54. Вычитаем 54 из 56, остаётся
2 сотни; сносим 7; получается 27 десятков. Делим 27 на 9, по¬
лучается 3 (десятка). Трижды девять —27. В остатке 0. Сносим единицы;
их нет, на их месте 0. Значит, в частном единиц не
будет, на их месте пиш-ем 0. Частное равно 630.
Что было бы, если бы мы, заметив, что в частном единиц нет, прекратили
деление и не поставили на месте единиц 0? На этом вопросе надо остано¬
вить внимание учащихся и показать, что частное в таком случае было бы
в 10 раз меньше истинного частного.
Делим 73 сотни на 8, получаем в частном 9 сотен (значит,
3) 7 364	| 8	в частном	должно быть 3	цифры). Девятью	восемь — 72. Вы-
10	1—	читаем 72	из	73, остаётся	1 сотня, сносим 6.	Делим 16 десят-
—1	920	ков на	получается	2 десятка. Дважды восемь —16,
*	В остатке	0,	сносим 4	единицы; 4 на 8	не делится.
Единиц в частном не будет. На их месте пишем 0. Полу¬
чилось в частном 920 и в остатке 4.
2) 5670 | 9
27 630
0
279


В последнем случае дети особенно часто пропускают нуль, и нужно
решить много таких примеров с подробным объяснением, чтобы добиться
безошибочного их решения всеми учащимися в классе.
Одна из типичных ошибок, допускаемых учащимися в деле¬
нии, заключается в том, что учащиеся берут в частном недо¬
статочную цифру, благодаря чему получается остаток
больше делителя (чего быть не должно!); этот остаток
учащийся делит на делитель, получает з частном вторую цифру
того же разряда, и -всё частное получается неверное.
Пусть дано разделить 378 на 6. Если учащийся возьмёт в ка¬
честве первой цифры частного 5, а не 6, то у него получится
в частном 513 вместо 63.
Надо научить учащихся внимательно смотреть на остаток:
он всегда должен быть меньше делителя. Иногда
учащиеся при объяснении деления говорят: «Получаем в остатке
такое-то число; это число на делитель (такой-то) не делится,
поэтому сносим следующую цифру делимого». Выходит так, что
остаток может делиться и может не делиться на делитель. Такое
суждение ошибочно. С такого рода ошибками в суждении учени¬
ков нужно бороться путём тщательного объяснения их.
Деление на 10 и #н а 100, вообще на единицу
с нулями. К делению на 10 можно подойти или как к делению
,^а равные части, или как к делению по содержанию. Пусть дано
^380 разделить на 10. Объясняем это деление, как деление на
10 равных частей. Каждый десяток при делении на 10 даёт еди¬
ницу. В числе 380 десятков 38. При делении 38 десятков на 10
получим 38 единиц, или просто 38.
Объясним это деление, как деление по содержанию. Раз¬
делить 380 на 10 — это значит узнать, сколько раз 10 содер¬
жится в 380. В 380 — десятков 38. Поэтому 10 в числе 380 со¬
держится 38 раз.
Познакомив учеников с одним и другим способом рассужде¬
ния, нужно дать чим возможность пользоваться тем или другим
способом по своему выбору.
Сперва решаются примеры на деление круглых чисел; 100:10;
560 : 10; 3 870 : 10; 6 390 : 10 и т. п.
оканчивающееся нулями, нужно отбросить в этом числе нуль».
После этого решаются примеры на деление с остатком:
186 : 10; 6 784 : 10; 459 128 : 10 и т.‘ д.
’ Методика деления на 10 может быть в полной мере примене¬
на к делению на 100, на 1 000 и т. д., поэтому мы на этих случаях
останавливаться не будем.
Заметим только, что, продеЛав ряд примеров деления на 10,
100 и 1 000, нужно сделать общий вывод:	«Чтобы разделить
число на единицу с нулями, достаточно откинуть в нём справа
столько цифр, сколько нулей в делителе».
Правило формулируется
разделить на 10 число,
280


По этому правилу делятся на единицу с нулями сначала
числа, оканчивающиеся нулями, а потом и любые числа.
Запись такова: 384 267:100 = 3 842 (ост, 67),
Деление на круглые десятки и сотни. Чтобы со¬
знательно и достаточно бегло производить деление -многозначного
числа на круглые десятки, нужно: 1) уметь делить многозначное
число на однозначное, усвоить принцип постепенности
деления (это дети уже знают) и 2) уметь делить трёхзнач¬
ное число на круглые десятки. Это детям ещё неизвестно;
с этого и следует начать объяснение этого раздела.
а)	Пусть дано разделить 360 на 40. Ученики уже знают, что
разделить число на 40 — это всё равно, что разделить на 4 и ещё
на 10. Делим 360 на 10; для этого отбрасываем в делимом 0,
получается 36; делим 36 на 4, получаем 9. Деление 360 на 40 сво¬
дится в конечном счёте к делению 36 на 4.
б)	Разделим трёхзначное число (некруглое) на круглые
десятки: 487 на 60; для нахождения частного достаточно раз¬
делить 48 на 6, получим 8 и в остатке 7. Запись производится
так:
487 | 60
480_'Х~
7
На этот случай деления надо проделать побольше упражне¬
ний и добиться, чтобы дети научились быстро определять пифру
частного и остаток, так как этот случай лежит в основе общего
случая деления многозначного числа на круглые десятки.
в)	Теперь можно перейти к общему случаю деления, который
выполняется так же, как и деление на однозначное число.
Пусть дано разделить 26 880 на 40. Рассуждаем так:
«Отделим в делимом столько цифр, сколько их в делителе,
~6880 1 т. е. две цифры; получим 26 тысяч; 26 тысяч на 40 не делится
672 так, чтобы были целые тысячи; отделяем третью цифру и полу-
288	чаем 268 сотен. Делим 268 сотен на 40. Для нахождения цифры
280	частного делим 26 на 4, получаем 6 сотен. Умножаем 6 на 40,
30	будет 240; от 268 сотен отнимаем 240 сотен, получаем 28 сотен.
30	Раздробляем их в десятки, получаем 280 десятков, да 8 десят-
—^	ков — 288 десятков. Делим 288 десятков на 40 (для этого делим
и	28 на 4), получаем 7 десятков. Умножаем 7 на 40, получаем
280 десятков. Вычитаем их из 288, остаётся 8 десятков. Раздробляем их в еди¬
ницы. Получаем 80 единиц; больше единиц в делимом нет. Делим 80 единиц
на 40, получаем 2 единицы. Всего в частном получилось 672. Проверим, пра¬
вильно ли получено частное; для этого умножим 672 на 40:
672
X 40
26 880
Получилось 26 880. Значит, деление выполнено правильно.
Среди примеров на деление многозначного числа на круглые
десятки должно найти себе место деление с нулём в частном
(например 24 160:80 — 302) и деление с остатком (например
40 765:70= 582 (ост. 25).
281


Переходим к делению на круглые сотни. Здесь
'Следует различать два случая: 1) деление на круглые сотни
при однозначном частном и 2) деление на круглые сотни любого
числа. Первый случай составляет основу второго.
1. Пусть дано разделить 2 400 на 600. Для этого узнаем, сколько раз
Ь сотен содержатся в 24 согнях. Получается 4 раза, так как 600X4 — 2 400.
Значит, чтобы найти частное при: делении 2 400 на 600, достаточно 24 разде¬
лить на 6.
На решении таких примеров у учащихся вырабатывается навык делить
на цифру сотен. Так, например, деля 6500 на 800, ученик будет делить
65 на 8. Получив цифру 8, он найдёт остаток, для чего он сначала узнает,
сколько единиц разделено (800 X8 — 6 400), а потом —
сколько единиц в остатке (6 500 — 6 400— 100).
2. Разделим теперь 4 876 500 на 500. Рассуждаем так:
Отделим в делимом три цифры, получим 487 десятков
тысяч. Это число на 500 не делится так, чтобы получилось
в частном хотя бы по одному десятку тысяч. Отделяем чет¬
вёртую цифру, получаем 4 876 тысяч. Делим их на 500; для
этого делим 48 на 5 и находим цифру частного 9 (тысяч).
Умножаем 500 на 9, получается 4 500. Вычитаем это число
из 4 876; в остатке получается 376 тысяч. Раздробляем их
в сотни. . . Так продолжаем деление до конца.
Надо следить за тем, чтобы ученики называли разрядные
елиницьг «4 876 тысяч делим на 500». При нахождении же
цифры частного они говорят просто: «48 делим на 5, получается
'9». Но, записывая девятку в частном, надо добавлять: «9 тысяч».
Деление трёхзначного числа на двузначное
при однозначном частном. Если разобрать деление
многозначного числа на двузначное (например 18 972:54 = 348),
то окажется, что деление этих чисел сводится к ряду делений
трёхзначного числа на двузначное при однозначном числе
в частном (187:54; 259:54; 432:54). Поэтому, если мы хотим
дать ученику хороший навык деления многозначного числа
на двузначное, мы должны прежде всего выработать у него
умение делить трёхзначное число на двузначное при одно-
значном частном. С этого, следовательно, и надо начинать объяс¬
нение и упражнения в делении на двузначное число.
Заметим, что методика этого вопроса сложна; поэтому система
в подборе примеров для объяснения должна быть продумана
особенно тщательно. Здесь должна быть преодолена основная
трудность деления — подбор цифры частного. Если с этим эта¬
пом работы ученики справятся хорошо, то дальше они больших
затруднений не встретят. Задача объяснения — показать, что
при делении, например, 448 на 56, чтобы найти частное, надо
44 десятка делимого разделить на 5 десятков делителя и затем
■проверить эту цифру: она может оказаться меньшей или большей
по сравнению с правильной цифрой или, как говорят, «слабой» или
•«сильной» (например при делении 234 на 39 деление 23 на \2
даёт 7; однако эта цифра велика, её надо уменьшить на единицу).
4 876500
4 500
3765
3500
2650
2500
1500
150 0
| 500
9~753
282


Система примеров для объяснения может быть следующей:
а)	Делим 480 на 60.
Учащиеся уже знают, что для нахождения цифры частного надо раз-
елить чо на Ь, получится 8. Значит, 480-60= 8. Возьмём дальше для де-
ения числа, близкие к предыдущим, а именно: разделим 488 на 61. Чтобы
ыстрее найти частное, округлим число 61, оно близко к 60. Разделим 488
а 60, а для этого достаточно разделить 48 на 6, получим 8. Но нам тре-
овалось разделить не на 60, а на 61. Так как 60 п 61 — числа, близкие между
©бой, то при делении 488 на 61 может получиться тоже 8 или число, близ¬
ка к 8. Испытаем цифру 8; для этого умножим 61 на 8, получается 488,
(начит, цифра 8 верна. Запишем деление, как обычно:
488 I 61
488 ;г
“О"	8
Остановим внимание учеников на том, как мы нашли частное. Мы не за.
вимались долгими поисками, пробами, а сразу разделили 48 на 6, получили 8,
тем испытали эту цифру и нашли, что она верна.
б)	Дальше берём пример 416:52.
По образцу предыдущего примера для нахождения частного разделим 41
на 5, получим 8. Испытаем эту цифру, не годится ли она как частное при
делении 416 на 52. Умножим 52 на 8 {50X 8 = 400; 2X8= 16; 400 + 16 =
= 416), получаем 416. Значит, цифра 8 верна.
416 I 62
115 'т-
0
в)	Однако не всегда легко и сразу удаётся найти частное. Бы¬
вает, что цифру частного приходится менять — увеличивать или
уменьшать.
Возьмём пример: 280 :35. Делим 28 на 3. получаем 9. Испытаем эту
цифру, умножим 35 на 9 (30X9— 270; 5X9= 45; 270	45 = 315). Оказы.
вается, цифра 9 велика («сильна»). Надо её уменьшить на единицу. Берём
цифру 8, испытываем её, умножая 35 на 8. Цифра 8 верна:
280 [ 35
280	]-д-
0‘
г)	Иногда приходится найденную цифру частного уменьшить
не на одну, а на несколько единиц.
Разделим 283 на 39. Чтобы найти частное, делим 28 на 3, получаем 9.
Испытываем эту цифру умножаем 38 на 9. оказывается 9 м-ного Уменьшаем 9
на единицу. Испытываем восьмёрку (30 X 8 = 240; 9X8 = 72; 240 + 72 = 312),
тоже велика. Берем 7. Цифра 7 верна.
283 | 39
273 >-~г
10
Так бывает в тех случаях, когда делитель оканчивается циф¬
рой 8 или 9. Чтобы в таких примерах скорее находить частное,
283


выгодно округлять делитель до большего круг-,
лого числа: 39 округлить до 40. Тогда в вышеприведённом при¬
мере будем делить 28 на 4, получим 7, т. е. сразу найдём вернук
цифру частного.
Надо решить несколько таких примеров, в которых делитель
оканчивается цифрой 8 или 9, чтобы дать детям достаточную
практику в округлении делителя до большего числа (наирийер
441 : 49; 711 : 79).
д)	Закончить эти упражнения следует решением примеров на
деление с остатком, например: 475 : 54; 222 : 37. На этих при¬
мерах учащиеся будут тренироваться в нахождении частного
и в получении остатков, которые должны быть обязательно мень¬
ше делителя.
Испытание цифры частного производится устно. Это несколько
затрудняет вычисления, но вместе с тем даёт хорошую
тренировку в устном счёте, который совершенно необходим для
письменного деления.
Решим пример на деление с остатком и покажем, какими объ¬
яснениями ученик сопровождает решение примера.
Разделим 450 на 65. Делим 45. на 6, получим 7. Испытаем
450 I 65 эту цифру, умножим 65 на 7 (60 X 7 = 420; 5X7 = 35; 420 + 35 =
390 '“Д-	= 455), видим, что 7 — много. Возьмём 6; умножим 65 на 6, по-
лучается 390; вычтем 390 из 450, получим 60. Так как остаток
60 меньше делителя, то цифра 6 —верна».
Деление многозначного числа на двузначное.
Вся предыдущая работа над делением вполне подготовила
учащихся к делению любых многозначных чисел на двузначное
число: учащиеся усвоили принцип постепенного деления числа,
начиная с высших разрядов, и научились находить цифру част¬
ного путём проб, а этого достаточно для получения нового на¬
выка.
Упражнения ^проведём в таком порядке, который обеспечит
ученикам постепенное нарастание трудности. Начнём с деления
трёхзначного числа на двузначное, когда в частном получается
двузначное число (264:12; 432:36). Вслед за этим дадим при¬
меры, в которых в частном на одну цифру меньше, чем в дели:
мом; это бывает в тех случаях, когда первые две цифры дели¬
мого делятся ца делитель, например; 4 675:25. Третью гругщ
примеров составят такие примеры, в которых в частном на дв |
цифры меньше, чем в делимом; это бывает в тех случаях, когда
в делимом, начиная деление, приходится отделять три цифры
для получения первой цифры частного, например: 2 812 225:85-^
Это — основная группа примеров в данном разделе:	ей должно
быть отведено больше времени и уделено больше внимания.
Последнюю группу примеров составят примеры на так назы¬
ваемые частные случаи деления: а) примеры, в которыхчаст-
284


Зое с нулями (1С 032:33); б) примеры на деление с остатком;
|) примеры на деление с остатком и с нулями на конце в част¬
ном (самый трудный вид примеров), например: 58 812:14 =
= 4 200 (ост. 12).
Приведём несколько образцов решения примеров и пояснения
к ним из первой, третьей и последней групп:
1) 368
32_
48
_48
0
16
“23
3 сотни не делятся на 16; сотен не получится; 36 десят¬
ков делим на 16, получится 2 десятка. Умножаем 2 на 16,
будет 32. Вычитаем 32 десятка из 36 десятков, остаётся
неразделённых 4 десятка. Раздробляем их в единицы, полу¬
чаем 40 единиц, да 8—48 единиц. Делим 48 на 16, получим
3 единицы. В частном получим 23.
84
“538“
Отделим в делимом две цифры — 45 тысяч. Тысячи в част¬
ном не получится.' Отделяем 3 цифры — 451 сотню. Делим
451 на 84; для этого делим 45 на 8, получится 5 (сотен).
Прикинув в уме, видим, что эта цифра годится. Умножаем 84
на 5, получается 420. Вычитаем 420 из 451, получается
31 сотня. Раздробляем 31 сотню в десятки, получаем 310 де¬
сятков, да 9 десятков — 319 десятков. Делим 319 десятков
на 84; для этого делим 31 на 8, получается 3. Проверим эту
цифру в уме: цифра, повидимому, годится, следующая цифра
4 явно велика. Умножаем 84 на 3, получается 252. Вычитаем 252 из 319,
? остатке получается 67 десятков. Остаток не больше делителя, поэтому
цифра 3 — верна.
2) 45 192
420’
319
252
672
672
0
67 десятков да 2 единицы составят 672 единицы; делим их на 84. Делим
67 на 8, получаем 8. Умножаем 84 на 8, получаем 672. Цифра 8 — верна.
В частном получили 538,
Подробные объяснения деления даются при ' первоначальных
упражнениях. Когда учитель убедится, что механизм деления
усвоен учащимися вполне сознательно, он ограничивается более
короткими и схематичными пояснениями.
Деление на трёхзначное число при однозначном частном.
Деление на трёхзначное число при однозначном част¬
ном является основой деления любого числа на трёхзначйЯе чи¬
сло, при котором получается многозначное частное. Какое бы
многозначное число мы ни делили на трёхзначное, всегда
нужно уметь найти цифру частного от деления трёх- или
четырёхзначного числа на трёхзначное. Вот почему эту ступень
целения надо выделить в самостоятельную и пройти её тща¬
тельно.
Здесь надо идти тем же путём, каким мы шли при делении
на двузначное число, т. е. округлять делитель, делить сотни на
сотни, находить цифру частного, проверять её и уже затем
ставить её в частное как окончательную.
Пусть дано разделить 2 172 на 543.
Заменяем делитель круглым числом 500. Чтобы найти цифру частного,
делим 21 на 5, т. е. узнаём, сколько раз 5 сотен содержится в 21 сотне;
285


оказывается, 4 раза. Проверяем эту цифру, умножая в уме: 500 X 4 = 2
40X 4 = 160, 2 000 + 160 = 2 160; 3X4 = 12; 2 160 да 12 = 2172; цифр)
4 годится. Пишем её в частное и производим умножение, получаем 2 172.
2172 I 543
Иногда для скорейшего нахождения цифры частного выгодно
бывает округлять делитель до большего круглого числа. Это
бывает в тех случаях, когда вторая цифра делителя 8 или 9.
Пусть дано разделить 1 776 на 296. Если мы округлим делитель до 200*
то получим от деления 17 на 2 цифру 8; её придётся уменьшить на единицу
и лотом ещё раз на единицу до 6. Если же мы» учитывая, что в делителе за
двойкой стоит цифра 9, округлим делитель до 300 (296 ближе к 300, чем к
200), то, деля 17 на 3, получим цифру 5, Её придётся только один раз уве¬
личить, чтобы найти настоящую цифру частного — 6.
Упражнения можно расположить в следующей системе:
а)	Решение примеров, в которых частное находится легко при
первой же пробе (1 368:228).
б)	Решение примеров, в которых частное получается после
второй пробы с понижением пр-обной цифры частного, например
1 808: 226.
в)	Решение примеров с несколькими пробами найденной
цифры частного, например 1 326:106.
г)	Решение примеров на деление с остатком.
Деление на трёхзначное число при многозначном частном.
Деление четырёхзначного числа на трёхзначное при одно¬
значном частном создало прочную основу для приобретения
общего навыка деления на трёхзначное число. Примем следую¬
щую систему упражнений: а) сначала решим примеры на деление
чисел от четырёхзначных до двенадцатизначных включительно без
остатка; б) затем примеры того же типа, но с нулями в частном
и в) примеры на деление с остатком без нулей и с нулями
в частном.
Пояснения в это время даются краткие, схематичные и только
в случае затруднений, ошибок ученику предлагается объяснить
пример подробно.
Приведём образец решения примера и пояснения к нему. Пусть
дано разделить 251 316 на 468.
463
,—	55/
Отделим в делимом 3 цифры. Получаем 251 тысячу.
Тысяч в частном не будет. Отделяем четвёртую цифру
и делим 2 513 сотен на 468. Делим 25 на 4, получим 6.
Прикинем в уме, годится ли эта цифра:	400 X6 = 2 400;
60 X 6 = 360; 2 400 + 360 = 2 760. Цифра 6 не годится —
велика. Возьмём 5; умножим 468 на 5, получается 2 340.
Вычитаем 2 340; получается в остатке 173; сносим 1 десяток,
получается I 731 десяток. Делим 1 731 десяток на 466; для
17 на 4, получаем 4. Испытаем эту цифру: 400X4= 1 600;
60 X 4 =- 240, 1 600 + 240 = I 840, цифра 4 велика. Возьмём 3; умножаем 468
на 3, получаем 1 404. Вычитаем 1 404 из 1 731, получается в остатке 327; оста.
1) 251316
234°
1731
1404
3276
		3276
этого делим
236


йгок меньше делителя, поэтому цифра 3 верна. Сносим цифру единиц 6, по¬
лучаем 3 276. Делим их на 468; для этого делим 32 на 4, получаем 8
явно много. Берём цифру 7. Умножаем 468 на 7. Получаем 3 276.
Й частном получили 537.
Деление чисел, оканчивающихся нулями.
Обычно деление чисел, оканчивающихся нулями, производите*
без учёта того обстоятельства, что на конце делимого и делите¬
ля — нули, например:
956000
6400
31600
28800
28000
25600
2400
3 200
~298~
Здесь мы делим данное число так, как делим любое много¬
значное число на четырёхзначное. Есть способ сокращённого
деления с зачёркиванием в делимом и делителе одинакового
количества нулей. Он основан на том, что частное- не изменяете*
если мы делимое и делитель уменьшим в одинаковое число раз,
например:
956000 | 3 200
64	"298"
316
288
280
256
2400
Здесь ученику приходится иметь дело с меньшими числами, но,,
в случае получения остатка, к значащим цифрам его нужно
приписать зачёркнутые нули. Учащиеся часто забывают это де¬
лать. Нужно разъяснить им, что, зачеркнув по два нуля, мы дели¬
мое и делитель выразили в сотнях — делим 9 560 сотен на
32 сотни. Ясно, что и в остатке у нас получатся не 24 единицы,
а 24 сотни. Нули на доске или на бумаге можно и не зачёрки¬
вать, достаточно их мысленно отбросить.
В 111 классе нужно пользоваться первым способом,
а в IV классе—вторым, как более рациональным.
Примерное распределение материала по урокам в разделе «Действия
над числами любой величины».
По степени сложности и трудности арифметические действия неодина¬
ковы; сложение даётся учащимся легко, вычитание труднее сложения,
умножение труднее и сложнее вычитания, а деление—наиболее трудное из
арифметических дсттствип. Отсюда, чтобы добиться хороших вычислительных
навыков, нужно распределить время, полагающееся на усвоение арифметиче¬
ских действий, в соответствии со степенью сложности каждого действия.
28Г


Составляя план, <-ужно стремиться к наиболее удачной разбивке материала
«а уроки» на эти «методические единицы», придавая каждому уроку целост¬
ность и некоторую законченность.
Как один из возможных вариантов, мы можем предложить следующее
распределение материала по урокам К
Нумерация многозначных чисел:
Устная нумерация: знакомство на счетах с разрядными
•единицами. Изучение состава чисел: образование чисел по данным
^разрядам, разложение данного числа на разрядные числа	2 урока
Переход к письменной нумерации. Знакомство с классами числа.
Нумерационная таблица, расположение в ней разрядов и классов.
Запись чисел в нумерационной таблице 	1 урок
Письменная нумерация: чтение, запись чисел	2 урока
Преобразование состава чисел 	 2	„
Повторение. Проверка	1
Сложение многозначных чисел. Сложение чисел без перехода
через разрядную единицу. Названия чисел в сложении. Устное решение
задач всех видов на сложение	1	„
Сложение чисел, когда в сумме приходится производить одно
а несколько преобразований. Письменное решение задач на сло¬
жение2	2
Сложение нескольких слагаемых. Использование сочетательного
свойства сложения. Решение задач	2
Проверка сложения	1	,
Вычитание многозначных чисел. Вычитание без занимания
м с одним заниманием. Названия чисел в вычитании . ,
Вычитание чисел с двумя и более заниманиями
Решение примеров с одним и несколькими нулями в уменьшаемом . .
Решение задач и сложных примеров на сложение и вычитание . .
Решение призеров с х на сложение и вычитание
Проверка вычитания	- . .
Сложение и вычитание на счетах
Контрольная работа на сложение и вычитание
Умножение многозначных чисел. Связь умножения со сложением.
"Названия чисел в умножении. Умножение многозначного числа без
'Преобразования в результате
Умножение многозначного числа на однозначное с преобразо-
©анием в произведении
Умножение чисел, оканчивающихся нулями
Умножение чисел с нулями в середине
Умножение на 10, на 100 и вообще на единицу с нулями ....
Умножение на круглые десятки, сотни, тысячи
Умножение на двузначное число	•
Умножение на трёхзначное число с проверкой результатов . .
Решение сложных примеров на сложение1, вычитание и умно¬
жение
Повторение всех пройденных случаев умножения
Контрольная работа на умножение с последующим её разбором
Деление многозначных чисел. Повторение деления трехзнач¬
ного числа на однозначное (все случаи, изученные во И классе).
Название чисел в делении. Деление на однозначное число, когда
©се разряды делимого делятся на делитель . . . ^	 1 22
1
1
1
2
3
4
1
1
2
1	Здесь для каждого урока указан только новый материал. Но само со-
Зой разумеется, что наряду с прохождением нового надо всё время повторять
пройденное.
2	Задачи решаются на каждом уроке.
"288


Деление мне позначного числа на однозна<|ЯМРфгда не все
разряды делимого делятся на делитель .... . 1ЖЖ	1 урок
Деление» когда высший разряд делимого цн^шЬтся на дели¬
тель и в частном меньше цифр, чем в делимом ; «Г*.	1	,
Деление, когда в частном появляются нули ш термине .... 1
Деление с остатком	 	I
Деление с остатком, когда в частном на конце нуль ....... 1
Повторение всех случаев деления на однозначное число	1
Деление па 10. 100 и 1 000			1
Деление на круглые десятки, сотни, тысячи	 2
Деление трбхзначного числа на двузначное при однозначном
частном	  2
То же с остатком	  1
Деление трехзначного числа на двузначное при двузначном
частном	  ]
Деление многезначного числа на двузначное, когда первые две
цифры делятся на делитель 	 1
Деление, когда первые две цифры делимого не делятся на
делитель . .	 ,2
Решение примеров на деление, в которых частное с нулями
в середине		 •	1
Деление с остатком	.	)
Деление с остатком и с нулями на конце в частном ....... 1
Контрольная работа 	 1
Деление на трехзначное число при однозначном частном	2
Деление на трехзначное число при многозначном частном .... 2
Решение примеров на умножение и деление с х	2
Контрольная работа на деление с последующим анализом ре¬
зультатов работы в классе	2
ГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ.
НУМЕРАЦИЯ И ЧЕТЫРЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЯ
НАД ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ В IV КЛАССЕ.
Повторение и углубление пройденного в
III классе. Изучить арифметическое действие — это значит:
1)	усвоить основные законы действия и основанные на них пра¬
вила выполнения действия; 2) усвоить технику вычисления; 3) по¬
нять цель и смысл действия; 4) усвоить зависимость между ком¬
понентами действия и на основе этой зависимости уметь найти
неизвестный член действия по двум известным; 5) знать, как изме¬
няется результат действия в зависимости от изменения данных, и
6) уметь правильно применять действия при решении задач. Вся
совокупность этих понятий, связанных с каждым арифметическим
действием, усваивается детьми постепенно, медленно, на протя¬
жении четырёх лет обучения в начальной школе. В первых трёх
классах обращается главное внимание на усвоение техники вы¬
числения, на устные и письменные приёмы выполнения действий
и решение задач.
В IV классе учащимся даётся знание зависимости между
данными и результатом каждого действия, знание изменения
результата в зависимости от изменения данных.
19 А. С. П К'Лко
28Э


г	V/! V- II У
выреннем пройденного, которое приобретает особенно большое
значение в связи с введением в [V классе экзамена по арифме¬
тике за весь курс начальной школы.
Каждое арифметическое действие в IV классе изучается так,
что сначала повторяется то, что уже известно учащимся о дан¬
ном действии, решаются примеры и задачи на данное действие,
а затем изучается новый материал.
Вся работа над целыми числами в IV классе должна быть
направлена на то, чтобы закрепить и систематизировать знания
учашпхся в этой области. В первых трёх классах арифметика
проходилась концентрически, здесь же курс арифметики целых
чисел изучается в более систематическом изложении. Всё ска¬
занное о характере изучения действий относится и к изучению
нумерации.
Повторение нумерации многозначных чисел.
Основные сведения по нумерации учащиеся усвоили
в 1П классе. В IV же классе в самом начале учебного года
нумерация многозначных чисел повторяется. Это повторение
сопровождается некоторыми обобщениями, которые формули¬
руются как правила или выводы и запоминаются учащимися. Из
таких обобщений-выводов учащиеся-должны запомнить примерно
следующее.
Для записи чисел служат 10 цифр 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9 п 0.
Все цифры, кроме нуля, называются значащими.
Значение цифры изменяется в зависимости от места, которое
она занимает.
Счётные единицы объединяются в классы (какие?).
В каждый класс входят по три разряда (какие?).
Единица каждого разряда больше единицы соседнего разряда,
стоящего справа, в 10 раз.
Число, записанное одной цифрой, называется однозначным,
двумя цифрами — двузначным, тремя и более — многозначны,м.
Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц дан¬
ного разряда, надо отбросить все цифры, означающие низшие
разряды, и прочитать оставшееся число.
Делая ударение на систематизации знаний по нумерации,
нужно в тс же время не упускать из виду и того элементарного,
чем в совершенстве должны владеть ученики IV класса, —
умения правильно писать и читать многозначные числа. Это
умение даётся нелегко, и для выработки его нужно проделать
с учениками достаточно много упражнений
Повторяя нумерацию, нужно добиться, чтобы учащийся понимали смысл
слов «число? и «цифра» и правильно употребляли их р, своей речи. Нередко
от учащихся можно слышать такую фразу: «Отделим в делимом три числа»
вместо «Отделим три цифры». Исправляя в речи учащихся такие ошибки, нуж¬


но обратить их внимание на то. чго чисел бесконечно много, а цифр всего
десять и при помощи этих цифр можно обозначить любое число.
Упражнениями, ведущими к отчётливому пониманию различия между сло¬
вами «число» и «цифра», могут быть такие* <«) Напишите все цифры, б) На¬
пишите два каких тибо четырехзначных, числа, пяиинншое число и т. д.;
в) Даны три цифры — б, 2 и 5. Какие числа можно обозначить этими
цифрами? и др
В IV классе необходимо дать ученикам представление о величине миллиона
и миллиарда на конкретных примерах
Иллюстрация больших чисел конкретными примерами должна проводиться
путём решения целесообразно подобранных задач, например: «Сколько потре¬
буется времени, чтобы написать миллион букв>»
Сначала предлагаем учащимся ответить на этот вопрос без предваритель¬
ного вычисления (как им кажется). Ответы бывают очень разнообразны — от
у2 часа до 10 дней, причём большинство учеников находит последний ответ
крайне преувеличенным.
Учитель выясняет, что правильный ответ можно получить только после
вычисления, и предлагает учащимся решить задачу, считая, что в минуту мож¬
но написать 100 букв. Ученики получают в ответе 166 ч. 40 м., что при 8-ча¬
совом рабочем дне составляет почти 21 день.
Ученики обычно удивляются такому результату, но в то же время они
бывают удовлетворены тем, что приобрели хотя бы некоторое представление
0	величине миллиона.
ТЛосле этого даются следующие задачи4
Г1) Сколько нужно поездов для перевозки 1000 000 ц хлеба, если
в\ каждый вагон погружать 200 ц, а в составе поезда считать 40 вагонов?^
I	2) Может ли чеповек прожить миллион часов^
Во сколько времени паровоз сделает 1 000 000 к и. пробега, если в 1 час
б Среднем он проходит 40 км?
При решении задачи о паровозе нужно сообщить учащимся, что на зем¬
ном шаре нет двух таких пунктов, расстояние между которыми было бы равно
11000 000 км% так как длина окружности экватора равна 40 000 к*<
1	Для ознакомления учащихся с величиной миллиарда нужно предложить
им вычислить, сколько лет составит миллиард минут.
л Нередко учащиеся спрашивают, где в практике приходится пользоваться
’(такими большими числами, как миллион, миллиард
Нужно указать, чго миллиардом мы пользуемся при определении вало¬
вого сбора хлебов по всему Советскому Союзу, при определении государ¬
ственного бюджета, стоимости продукции промышленноеги и т. д. Привести
примеры.
Полезно сообщить учащимся, что большие числа имеют широкое приме¬
нение в астрономии, биологии и других науках; так, например, расстояние от
Земли до Солнца = 14972 млн. км. В 1 куб. см крови насчитывается 5 млрд,
красных кровяных телец.
После того как нумерация будет повторена на уроках, спе¬
циально отведённых для этой цели, ею нужно заниматься
и в дальнейшем в связи с изучением арифметических действий.
Так, при сложении многозначных чисел нужно следить за
правильным подписыванием слагаемых, что связано с анализом
состава числа, с оазбивкой его па разряды. Для этой цели хоро¬
шим упражнением является решение строчек с числами, состоя¬
щими из разного количества цифр* например 837 Д- 43 2“ 1 -|-
V 2 390 724 4- 7 865, Задание записать все эти слагаемые в сгол- 11 Из ст. Пескова А. (журнал «Начальная школа», 1944, № 3)
1Г*
29?


бик ставит ученика перед необходимостью разобраться в раз¬
рядах этих чисел и затем подписать одно число под другим так,
чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками
и т, д.
При вычитании многозначных чисел ученики встречаются
часто с необходимостью занимать единицу высшего разряда,
Нужно при этом требовать, чтобы ученики говорили, единицу
какого разряда они занимают и что получается при раздроблении
этой единицы.
Особенно полезными для целей нумерации являются примеры
с несколькими подряд нулями в уменьшаемом, например:
200 100
69 374
Решая этот пример, ученик должен рассуждать так: «От нуля отнять 4
нельзя; занимаю десяток, но десятков нет, занимаю одну сотню; сотню раз¬
дробляю в десятки, получаю десять десятков. На месте десятков оставляю 9,
а один десяток раздробляю в единицы — 10 единиц. От 10 отнимаю 4, получаю
6; от 9 десятков отнимаю 7 десятков, получится 2 десятка. На месте сотен
остался нуль сотен; от нуля отнять 3 нельзя. Занимаю тысячу, но тысяч нет,-
десятков тысяч тоже нет, занимаю одну сотню тысяч. Раздробляю ее в десят.
ки тысяч; на месте десятков тысяч оставляю 9» и т. д.
На решении таких примеров повторяется разрядный состав
числа и отношение между разрядами.
В умножении многозначных чисел при получении и подписыва¬
нии неполных произведений (по крайней мере первой цифры)
нужно требовать, чтобы ученики называли разряд полученной
единицы и объясняли, почему они пишут её на том, а не на ином
месте.
Пусть решается следующий пример:
468
X 63
1404
2808
Когда ученик умножает 468 на 6, он должен сказать, что
умножает на 6 десятков, что от умножения 8 на б получается
48 десятков, что цифру 8 нужно подписать под десятками*
и т. д. Затем, когда ученик закончит умножение 468 на 6 и по¬
лучит второе неполное произведение, полезно предложить учени¬
ку прочитать его. Если ученик прочитает его как 28 080, то это по
чкажет, что он хорошо разбирается в вопросах нумерации.
Особенно много материала для тренировки в нумерации дага
деление многозначных чисел. Пусть решается следующий пример;
4ЯЯЯ07К 9в7 Производя деление по установленному правилу, ученик Дод<
4600У/5 | л>1 жен рассуждать так: «Отделяю в делимом 3 цифры, получай
.. У 1	 486 десятков тысяч; делю их на 267; в частном получится 1 де*
2193	сяток тысяч. Значит, в частном должно быть 5 цифр (так ка?
десятки тысяч стоят на 5-м месте). Умножаю 267 на 1, получится 267. Вычв
таю из 486, получается в остатке 219 десятков тысяч. Раздробляю их в тыся¬
чи. Получится 2 190 тысяч», и т. д.
292


Здесь ученики всё время упражняются в анализе состава
шсла: в определении места каждого разряда, в назывании выде-
(енной из всего числа его части, в раздроблении остатков в еди-
шцы следующего низшего разряда.
Так повторяется нумерация, от твёрдого знания которой зави¬
сит в значительной мере правильность выполнения действий.
Сложение.
Определение сложения может быть дано в следующей форме:
«Сложением называется арифметическое действие, посредством
которого находится сумма двух или нескольких слагаемых». В этой
формулировке подчёркнута цель действия сложения, в ней со¬
браны и связаны в одно логическое целое все основные понятия,
характерные для определяемого действия:	арифметическое дей¬
ствие, сложение, сумма, слагаемые. Связать эти понятия в созна¬
нии учащихся очень важно. Все другие определения сложения
обычно мало содержательны и страдают тавтологией («сложить —
значит соединить»), а некоторые из них к тому же и крайне много-
сло®ны (например: «Сложением называется арифметическое дей¬
ствие, посредством которого два или несколько чисел соединяются
в одно, содержащее в себе столько единиц, сколько их заключается
во всех данных числах, взятых вместе»). Определение, рекомендуе¬
мое нами, кратко и содержательно. Но так как оно опирается на
понятие суммы, то его можно дать только в конце работы по
изучению действия.
Основные свойства сложения. С переместительным
законом сложения учащиеся уже встречались неоднократно и
применяли его при решении примеров. Теперь нужно, чтобы уча¬
щиеся усвоили его точную формулировку («от перестановки сла¬
гаемых сумма не изменяется») и умели бы сознательно пользо¬
ваться им для облегчения сложения и для проверки этого действия.
Нужно приучить учащихся к тому, чтобы на предложение учителя
«назовите основное свойство сложения» ученики могли ответить:
«от перемены мест слагаемых (или от перестановки слагаемых)
сумма не изменяется», а главное, чтобы они умели использовать
его для лёгкого и быстрого решения примеров.
Если при решении примеров 191 -(-250—1—9, 187+50+13 ученик
переставит слагаемые и благодаря этому быстро и правильно вы¬
полнит сложение, он этим покажет, что знает переместительное
свойство сложения. Сочетательный закон не формулируется
и- не запоминается учащимися наизусть. Учитель ограничивается
тем, что приучает учеников пользоваться им чисто практиче¬
ски, при решении примеров. Если ученик при решении задачи
или примера, где приходится находить сумму многих слагае¬
мых, сгруппирует слагаемые, найдёт сумму каждой группы, а за¬
тем общую сумму, то этим он покажет, что практическое приме¬
нение сочетательного свойства им усвоено. Сочетательное свойство
293


можно применить и при решении устных примеров с неболь*
ши ми числами. Пусть дан пример: 16+14+25+48+12; решена!
этого примера будет сильно облегчено, если слагаемые будут раз!
биты на две группы (16+14+25)+(48+12). На подобных приме!
рах учащиеся «почувствуют» сочетательное свойство сложения $
оценят все выгоды его использования.
Решение примеров и задач на сложение. Техника
письменного сложения уже усвоена учащимися в 111 классе; тем
не менее при повторении сложении в IV классе нужно проделать
несколько упражнений на сложение, предъявляя к учащимся бо¬
лее высокие требования:	они должны производить сложение
быстрее, уметь подписывать слагаемые одно под другим, бо¬
лее рационально, если слагаемые с различным числом знаков,
при сложении называть для скорости только результаты.
Решение примеров сопровождается проверкой. Решение задач
преследует цель подчеркнуть, в каких основных случаях приме¬
няется сложение. Полезно предложить самим учащимся соста¬
вить задачи на те случаи, в которых применяется сложение.
Зависимость между слагаемыми и суммой.
Выяснение этой зависимости лучше всего провести на решении
задач Решим задачи
1	«Ученик уплатил за тетради 40 коп и за книгу 50 коп. Сколько стоила
ЬСЯ ИОКЧПК.Р»
50 коп — 40 коп. = 90 коп.
2	«Книга и тетра ли сюи.ш смеете 90 коп. Одна книга стоила 50 коп-
Сколько стоили тетради?»
90 юн — 50 коп. --= 40 коп.
3. «Книга и тетради вместе стоили 90 коп. Тетради стоили 40 коп. Сколь¬
ко стоила книга5»
90 коп. — 40 коп. = 50 коп.
Сравнивая эти задачи и их решение, учащиеся устанавливают,
что в первой задаче даны слагаемые, требуется найти их сумму;
во второй же и третьей задачах дана сумма и требуется найти
ттпо из слагаемых. Из решений видно, как именно находилось
неизвестное слагаемое: от суммы отнимали данное в задаче сла-
I гемое и в результате находили искомое слагаемое. Решив ещё
гри задачи, связанные между собой так же, как предыдущие,
можно сделать выводы: а) «Неизвестное слагаемое равно сумме
без другою :лагаемого». б) «По сумме двух слагаемых и одному
из них можно найти другое слагаемое».
После этого решаются примеры и задачи, в которых по дан¬
ной сумме двух слагаемых и одному из них требуется найти дру-
204


гое слагаемое. Наконец, производится проверка сложения на
основании зависимости между слагаемыми и суммой. Учитель
даёт пример:
, 87504
^ 10685
98189
Учащиеся проверяют сложение путём вычитания: из суммы вы¬
читают одно из слагаемых.
Изменение суммы.
Изменение суммы непосредственно вытекает из основного поня¬
тая о сложении и потому может быть выведено из этого понятия
на примерах с небольшими числами. Задачи здесь нужны для
иллюстрации и для применения выводов. Сначала показывается,
что каждая единица, прибавленная к слагаемому, входит и в
сумму:
15	+ 5 = 20
16	4-5 = 21
Потом рассматривается изменение суммы:
а)	ог прибавления к слагаемым нескольких единиц:
\2 4 6 ~ 18
Ш •+ 6 — 22
б)	от вычитания из одного слагаемого сначала одной, а потом
нескольких единиц:
? +- 5 — 12	16 + 8 = 24
6 5 — П	12 4-8 = 20
в)	от одновременного увеличения одного слагаемого и умень¬
шения другого слагаемого на одинаковое число единиц:
14 4“ 0= 20
12 4- 8 = 20
Каждая пара примеров подробно разбирается (как. изменилось
в данном случае слагаемое, как изменилась сумма) и после этого
делаются выводы:
К Если слагаемое увеличить на несколько единиц, то и сумма
увеличится на столько же единиц.
2.	Если слагаемое уменьшить на несколько единиц, то и сум¬
ма уменьшится на столько же единиц.
3.	Если одно слагаемое увеличить, а другое уменьшить на
одно и то же число единиц, то сумма не изменится.
Эти выводы применяются на практике в устных вычислениях,
когда приходится одно или оба слагаемых округлять.
Пусть требуется сложить 450 и 298. Чтобы сложить эти чис¬
ла, округляем второе слагаемое до 300, увеличив его на 2 едини¬
цы. Но от этого и сумма (750) увеличилась на 2 единицы Чтобы
получить верный результат, нужно от суммы отнять 2 единицы,
получится 748.
295


Вычитание.
В учебной и методической литературе имеется определение
вычитания двоякого рода. В одном определении подчёркивается
характерная особенность процесса вычитания —отнимание
от данного числа другого данного числа. Вот, например, опреде¬
ление, приведённое в «Арифметике» Киселёва: «Действие, состоя¬
щее в том, что от одного числа отнимается столько единиц,
сколько их содержится в другом данном числе, называется вычи¬
танием». Достоинство этого определения заключается в его про¬
стоте и наглядности, а следовательно, и в доступности его для
учащихся начальной школы.
Однако такое определение вычитания страдает тавтологией
(«вычитание есть отнимание»), не вскрывает истинной цели этого
действия и не подчёркивает связи вычитания со сложением, как
действия, обратного сложению.
Этих недостатков лишено определение, даваемое в такой фор¬
ме: «Вычитание есть действие, обратное сложению: в нём по дан¬
ной сумме двух слагаемых и одному из них отыскивается другое
слагаемое».
Единственное возражение против такого определения — труд¬
ность его понимания и усвоения детьми. С. этим приходится счи¬
таться и давать его позже и с известным методическим подходом.
Обязательно следует исходить из задачи. Возьмём задачу, ана¬
логичную той, на которой мы выясняли зависимость между сла¬
гаемыми и суммой.
1.	«В роще 50 берёз и 25 сосен. Сколько всего деревьев в роще?»
50 + 25 = 75.
2.	«В роще всего 75 деревьев — берёз л сосен. Берёз 50. Сколько сосен
Ь, роще?»
75 — 50 = 25.
3.	«В роще всего 75 деревьев — берёз и сосен. Сосен 25. Сколько беоёз
в роще?»
75 — 25 = 50.
Сравнивая эти задачи, сопоставляя действия, которыми они
решаются, учащиеся устанавливают, что при сложении (первая
задача) слагаемые даются, а сумма отыскивается. При вычита¬
нии же (вторая и третья задачи) даются сумма и одно из сла¬
гаемых, а другое слагаемое отыскивается. Значит, число, которое
при сложении отыскивается, при вычитании даётся, и наоборот.
Поэтому говорят, что вычитание есть действие, обратное
сложению; в нём по данной сумме двух слагаемых и одному из
них отыскивается другое слагаемое. В вычитании эта сумма на¬
зывается уменьшаемым, а данное слагаемое вычитаемым; иско¬
мое же слагаемое называется остатком или разностью.
После такого объяснения можно дать определение вычитания
в окончательной форме.
296


Решение примеров и задач на вычитание. Хотя
техника вычитания в III классе и усвоена, тем не менее всё вы¬
читание в целом и особенно наиболее трудные случаи этого дей¬
ствия нуждаются в повторении и дальнейшем закреплении.
В упражнениях надо обратить особое внимание на те случаи
вычитания, когда в уменьшаемом встречается подряд несколько
нулей, например: 2 000 006—643 577, 8 100 100—7 056 234.
Давая примеры на вычитание, нужно всячески разнообразить
задания с тем, чтобы приучить учащихся к принятой для вычита¬
ния терминологии.
Вот образцы таких заданий:
а)	Вычти из числа 20 100 число 8 975.
б)	Найди разность двух чисел: 15 008 и 3 750.
в)	Уменьши число 2 100 на ! 645.
г)	Вычисли, на сколько 4 738 больше 2 369.
д)	Запиши: уменьшаемое 41 560, вычитаемое— 29 780. Найди остаток.
Учащийся IV класса должен знать, что все эти вопросы и за¬
дания решаются при помощи вычитания.
Наряду с примерами решаются и задачи, в которых учащийся
сталкивается с различными случаями применения вычитания: при
уменьшении данного числа на несколько единиц, при нахождении
остатка, при нахождении разности.
Учащиеся должны твёрдо знать эти случаи применения вычи¬
тания и уметь составить на каждый случай простую задачу.
Зависимость между уменьшаемым, вычитаемым и разностью.
Эта зависимость выясняется сначала на задачах, потом нз
примерах.
Задача: «В библиотечном шкафу было 200 книг. 50 книг выдали учащимся.
Сколько книг осталось в шкафу?»
200 кн. — 50 кн. = 150 кн.
Сложим выданные книги (50) с оставшимися (150), получим
опять 200 книг,- 50 кн.-(-150 кн. = 200 кн.
Если бы число книг в шкафу было неизвестно, а известно бы¬
ло бы только то, что когда выдали 50 книг, то осталось 150 книг,
можно ли было бы узнать, сколько всего книг находилось в шка¬
фу до выдачи? Очевидно, можно. Для этого достаточно сложить
50 и 150.
Уменьшаемое нашли, сложив вычитаемое и остаток. Следова¬
тельно, если к вычитаемому прибавить остаток, получится умень¬
шаемое.
После этого решается ещё несколько примеров на вычитание,
на которых выясняется, что: 1) если к вычитаемому прибавить
остаток, то получится уменьшаемое, 2) если от уменьшаемого от¬
нять разность, то получится вычитаемое.
297


Эти выводы г конечном результате формулируются так
«Уменьшаемое равно вычитаемому, сложенному с остатком. Вьг
'читаемое равно уменьшаемому без остатка или разности».
Эти выводы закрепляются на решении примеров с х и задач.?
Изменение разности.
Изменение разности рассматривается сначала в зависимости 01
изменения уменьшаемого, потом в зависимости от изменения вы:
читаемого и, наконец, в зависимости от увеличения (уменьшения)
уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число Последнее
рассматривается для того, чтобы показать, при каких условиях
разность не изменяется.
Объяснение ведётся сначала на примерах, а потом — на за¬
дачах. Примеры можно расположить в следующем порядке;
Изменение Уменьшаемого.
1)
14 —
6-8
I) Уменьшаемое увеличили на 2,
и разность
увели-
И> —
6~10
чилась на 2
2)
18 -
2 =* 16
2) Уменьшаемое уменьшили на 6,
и разность
умень-
12 —
2 — 10
шилась на 6
Изменение вычитаемого
3)
10 —
2» 8
3) Вычитаемое увеличили на 4;
разность
умень*
10 -
6 =1 4
шилась на 4
4)
12 -
6 — 6
4) Вычитаемое V и е и ь ш и л и на 2
У газность
увели-
12 -
3- 9
чнлась на 3.
5)
20 —
4=12
5; Уменьшаемое и вычитаемое увеличили ьа 5; разность
23 —
18 - 12
не изменилась
0)
26 -
1 --= 22
6) Уменьшаемое (I вычитаемое уменьшили на 2; оазностъ
24 —
2 = 22
не изменилась.
Выводы можно дать в следующей форме;
«Если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, то и раз¬
ность увеличится на столько же единиц».
«Если уменьшаемое уменьшить на несколько единиц, то и
разность уменьшится на столько же единиц».
Отсюда следует, что уменьшаемое и разность изменяются оди¬
наково. увеличивается уменьшаемое, увеличивается и разность;
уменьшается уменьшаемое, уменьшается и разность-
«Если вычитаемое увеличить на несколько единиц, то раз¬
ность уменьшится на столько же единиц».
«Если вычитаемое уменьшить на несколько единиц, то раз¬
ность увеличится на столько же единиц».
Отсюда следует, что вычитаемое и разность изменяются не¬
одинаково: вычитаемое увеличивается, а разность уменьшается,
вычитаемое уменьшается, а разность увеличивается.
«Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить на
одно и то же число, то разность останется без изменения».
Понимание изменения разности с изменением уменьшаемо-
г о даётся детям сравнительно легко, но характер изменения раз-


ногти в зависимости от изменения вычитаемого усваивается
учащимися с трудом. Поэтому выводы, делаемые на основании
числовых примеров, надо подкреплять ссылкой на известные де¬
тям факты и примеры из жизни, например:	«У двух мальчиков
было орехов поровну, но один съел из своих орехов больше,
а другой — меньше; у кого остаток больше? Очевидно, у того, кто
меньше съел. У кого остаток меньше? У того, кто больше съел».
«Двое покупателей имели денег поровну, но один из них ку¬
пил вещь подороже, другой подешевле. У кого осталось денег
больше?» Из этих фактов сам собой напрашивается вывод-, больше
расходуешь (отнимаешь, вычитаешь), меньше остаётся; меньше
расходуешь (вычитаешь, отнимаешь), больше остаётся. Перенося
этот вывод на вычитаемое, скажем: больше вычитаемое — мень¬
ше остаток, меньше вычитаемое — больше остаток (при нензме-
няющемся уменьшаемом).
Знание зависимости между членами вычитания закрепляется
на решении задач.
Кроме решения задач, хорошим упражнением в изучении из¬
менения разности служит решение вопросов, подобных следую¬
щим:
«Ражость двух чисел равна 25. Как изменится ?тя разность, если умень¬
шаемое увеличим на 35? если вычитаемое уменьшим на 20?» «Уменьшаемое
увеличили на !о. Что надо сделать с вычитаемым, чтобы разность не измени¬
лась?»
Наконец, хорошее практическое приложение находят выводы
об изменении разности в устном счёте, когда приходится округ¬
лять уменьшаемое или вычитаемое.
Пусть дано отнять 275 от 499 (499—275). Округлим 499 до 500 и вычтем
275 нз 500. Получим 225. Так как округляя 499 до 500, мы увеличили умень¬
шаемое на 1 единицу, то и разность увеличилась на ! единицу. Отняв 1 еди¬
ницу от 225, мы получим правильный остаток — 224.
Умножение.
Для умножения можно дать такое определение-. «Умножение
есть действие, посредством которого одно данное число повторяет¬
ся слагаемым столько раз, сколько едпции в другом данном чи¬
сле». К пониманию этого определения ученики подготовлены
упражнениями в замене сложения равных слагаемых умноже¬
нием и в замене умножения сложением равных слагаемых, что
проделывалось неоднократно на протяжении трёх предыдущих
лет обучения. Теперь нужно только воспроизвести эти операции.
Обозначив сумму нескольких равных слагаемых, например
б+б+б+б, нужно спросить, каким действием можно заменить
сложение этих четырёх шестёрок (умножением б на 4).
Обратная операция: написав пример на умножение (например
'9X6), нужно дать задание—заменить это умножение сложением.
299


Получится: 94~9~|-9-}-9-^9+9~ 54. После этого уместно спро¬
сить: «Что же значит 9 умножить на б?» (Это значит число 9
повторить слагаемым 6 раз.) От этих частных фактов можно пе¬
рейти к общему выводу—определению, поставив вопрос: «Что же
такое умножение?», имея в виду ответ: «Умножение — это сло¬
жение равных слагаемых».
Переместительное свойство умножения форму¬
лируется в IV классе так: «От перестановки (или перемещения)
сомножителей произведение не изменяется». С этим свойством
умножения учащиеся встречались уже неоднократно — во II и
III классах, но там они рассматривали его исключительно с точ¬
ки зрения его практического использования при решении приме¬
ров. В IV классе учащиеся усваивают формулировку перемести¬
тельного свойства умножения, осознают его именно как свойство
умножения (ученики должны уметь ответить на вопрос: «В чём
состоит переместительное свойство умножения?»); сформулиро¬
вав это свойство, они должны уметь проиллюстрировать его на
примере и объяснить, почему, допустим, произведение чисел
12X34X56 равно произведению чисел 34X12X56, и, наконец, что
всего важнее, они должны уметь пользоваться на практике
перестановкой сомножителей для более лёгких и скорых вычисле¬
ний, главным образом при устном решении примеров типа:
4X17X25; 2X29X5, и при проверке умножения.
Решение примеров и задач на умножение. По¬
вторяя решение примеров, надо особое внимание уделить тем слу¬
чаям, когда один или оба сомножителя оканчиваются нулями или
имеют нули в середине. Эти так называемые частные случаи
умножения больше всего затрудняют детей (о способах решения
таких примеров см. подробные объяснения на стр. 268—276). Уче¬
ники IV* класса должны уметь формулировать правила, по кото¬
рый производится умножение в различных случаях.
Предлагая примеры на умножение, нужно по возможности раз¬
нообразить форму заданий с тем, чтобы научить учащихся поль¬
зоваться тер млн о л о г и е й умножения и подчеркнуть смысл
этого действия^«У множьте 940 на 6800». «Найдите про¬
изведение двух чисел: 5 300 и 648». «Число 284 увеличь¬
те в 38 раз».^ Все выражения, чередуясь между собой
должны найти свое место в речи учителя.
При решении задач на умножение в тех случаях, когда умно¬
жение употребляется для увеличения числа в несколько раз, нуж¬
но требовать от ученика объяснения, почему он производит умно¬
жение (потому что в задаче сказано, Что в Советском Союзе за¬
трачено на машиностроение в 28 раз больше, чем в царской
России; следовательно, нужно (такое-то число) увеличить
в 28 раз, а для этого нужно данное число умножить на 28). Здесь
термины «во столько-то раз больше», «увеличить», «умножить»
тесно ассоциируются между собой.
300


1ависниость между сомножителями и произведением.
Эту зависимость можно выяснить на задачах.
1.	«Ученик купил 5 карандашей, по 18 коп. за карандаш. Сколько ои
уплатил за все карандаши?»
18 коп. X 5 = 90 коп.
2.	«Ученик купил 5 карандашей за 90 коп. Сколько стоит один карандаш?»
90 коп. : 5 = 18 коп,
3.	«Ученик купил карандашей на 90 коп., платя за каждый карандаш
яо 18 коп. Сколько карандашей купил ученик?»
90 коп. : 18 коп. = 5 (карандашей).
Разбирая эту группу задач, мы устанавливаем, что в первой
задаче даны множимое и множитель, требовалось найти произве¬
дение. Во второй задаче даны множитель и произведение, требо¬
валось найти множимое. Как мы его нашли? — Произведение раз¬
делили на множитель и получили множимое. В третьей задаче
даны произведение и множимое. Требовалось найти множитель.
Как мы его нашли? — Произведение разделили на множимое и по¬
лучили множитель.
Возьмём пример 24X5= 120, и на нём проверим то соотно¬
шение, которое мы выявили на задачах. Разделив 120 на 5, по¬
лучим 24. Разделив 120 на 24, получим 5. Это можно записать
так:
24= 120:5	5 = 120:24
Читаются эти равенства так-. «Множимое равно произведению,
делённому на множитель. Множитель равен произведению, делён¬
ному на множимое. Или: каждый сомножитель равен произведе¬
нию, делённому на другой сомножитель».
Эти выводы проверяются на нескольких примерах и запоми¬
наются учащимися.
Зная зависимость между множимым, множителем и произве¬
дением, можно найти неизвестное множимое, если даны
множитель и произведение, и неизвестный множитель, если
даны множимое и произведение. Как? Стоит только разделить
произведение на множитель, и мы получим множимое; или же
разделить произведение на множимое, и получится множитель.
Решим примеры с неизвестным множимым и неизвестным множи¬
телем, обозначая неизвестное через х:
1. х X 7 = 84 Пример читается так: некоторое число умножили на 7 я в
произведении получили 84. Какое число умножили на 7?
Здесь даны множитель и произведение. Неизвестно множимое. Мы знаем,
что множимое равно произведению, делённому на множитель. Поэтому
х = 84 : 7 = 12. Проверим: 12X7 =84.
301


„г дмс1 множимое и произведение. Нева»
и-еетен множитель Множитель равен произведению, делённому на множимо)!
Поэтому х =210 . 14 = 15. Действительно, если 14 умножить на 15, получйтЙ»
210.
Упражнения в отыскании неизвестного сомножителя закан¬
чиваются использованием этого навыка для проверки умножения.
Как проверить равенство 365 X 24 — 8 760? 284 умножили на 16
и получили в произведении 4 544. Верно ли сделано умножение?
Ответ на эти вопросы потребует практического применения толь¬
ко что изученной зависимости между элементами умножения.
Изменение произведения.
Изменение произведения в IV классе рассматривается в зави¬
симости от увеличения и уменьшения числа в несколько раз.
Случаи же изменения, связанные с увеличением и уменьшением
сомножителей на несколько единиц, здесь не затраги¬
ваются
Изучение вопроса идёт чисто опытным путём: учащиеся на¬
блюдают изменения на конкретных примерах, сопоставляют,
сравнивают их и делают обобщения, выводы. Доказательства
и обоснования на этой ступени излишни.
Выводы и первые обобщения делаются на примерах, а не на
задачах. Решение задач является вторым этапом работы; на них
находят как бы практическое применение те выводы, которые
сделаны на рассмотрении примеров.
Объяснение даётся в следующей системе: сначала рассматри¬
ваются п анализируются три пары примеров, в которых изменя¬
ется (увеличивается) множимое.
1) 8 X 5—40	2) 4 X 3= IV	3)12X2 = 21
! с X 3=80	20 X 3 = 60	36 X 2 = 72
Разбор примеров ведётся примерно так:
<01рочт шге мерный пример». (8 умножить на 5, будет 40.) «Прочитайте
втстоп пример». (16 умножить на 5, будет 80.) «Что общего в этих примерах?»
(Общий множитель 5.) «Чем отличается второй пример от первого?» (Мно¬
жимым и произведением.) «Во сколько раз множимое во втором примере боль¬
ше множимого в первом примере2» (В 2 раза больше.) «Во сколько раз произ¬
ведение во втором примере больше произведения в первом примере?» (В 2 раза.)
Следовательно, во втором примере множимое увеличили в 2 раза, и произ¬
ведение \ величалось тоже в 2 раза.
Разобрав так же следующие две пары примеров, учащиеся
делают вывод- «Если .множимое увеличить в несколько раз, то
и шюпзг.еденпе увеличится во столько же раз».
Дальше рассматриваются случаи изменения произведения
в связи с уме н ьшеннем множимого:
1) ю V 4 = 40	2) 12 X 6 = 72	3) 24 X 2 = 48
5	X4 =20	4X6 = 24	6X2=12
362


На основе разбора этих примеров делается вывод:	«ьиш
южимое уменьшить в несколько раз, то и произведение умень¬
шится во столько же раз».
Следующий этап объяснения: изменение множителя — сна-
ила увеличение, потом его уменьшение в несколько раз и фор-
Кодировка выводов:
«Если множитель увеличить в «несколько раз, то и произве¬
дение увеличится во столько же раз».
«Если множитель уменьшить в несколько раз, то и произведе¬
ние уменьшится во столько же раз».
Сделанные выводы закрепляются на решении задач-вопросов^
« которых:
а)	Даются множимое и множитель, вычисляется произведение; затем ука-
ывается, во сколько раз нужно увеличить или уменьшить один из сомножите-
1ей, и ставится вопрос — каково будет произведение? Например- множимое 20,
яножитель 5; найти произведение. Каково будет это произведши, если мно¬
жимое увеличить в 3 раза? если множитель увеличить в 4 раза? и т. д.
б)	Указывается, как изменяется один из сомножителей, и требуется узнать,
как в зависимости от этого изменится произведение? Например, множимое
увеличено в 5 раз; что сделается с произведением? Множитель уменьшен в
2 раза; что сделается с произведением?
в)	Даётся произведение и указывается, как изменяется один из сомножите¬
лей; требуется вычислить новое произведение. Например*. произведение двух
чисел равно 60; множимое увеличили в Я раз, чему будет равно новое произ¬
ведение? Множитель уменьшили и 3 раза, вычислито произведение, и т. д.
Но особенно ярко и выпукло выступает смысловая сторона
вопроса об изменении произведения в задачах, подобных следую¬
щей.
1. «Два самолёта вылетели с аэродрома. Одни «з них пролетел 1 200 км
Сколько километров пролетел за то же время другой самолёт, если скорость
ею была вдвое больше5»
Решаются такие задачи устно, без записи, без постановки вопросов, исклю¬
чительно на основании рассуждения. Расстояние, сделанное вторым самолётом,
больше, чем I 200 км, потому что скорость второго самолёта больше, оно
больше, чем I 200 к.к, в 2 раза, потому что его скорость в 2 раза больше.
Чтобы узнать, чему равно это расстояние, нужно 1 200 увеличить а 2 раза,
получится 2 400.
Такой способ решения основан на прямой пропорциональной зависимости
между скоростью и расстоянием при одинаковом времени полёта. Чтобы
построить решение этой задачи на изменении произведения,
нужно рассматривать I 200 как произведение, скорость как множимое и время
как множитель.
I самолёт. Скорость X время — расстоянию (1 200 км).
И самолёт. Скорость X время = расстоянию.
Сравним скорости (множимые) первого и второго самолётов. Скорость
второго самолёта е 2 раза больше скорости первого самолёта. Значат, м н о ж и-
м о е во второй записи в 2 раза больше множимого в первой записи.
А если множимое больше в 2 раза, то произведение, или расстояние, тоже
в 2 раза больше.
Из приведённого рассуждения видно, что такие задачи в силу
своей отвлечённости нелегки для учащихся, поэтому их можно-
привести только как пример практического приложения получен¬
ных знаний об изменении произведения.


Деление.
Возможны две формы определения деления:
1)	Деление есть действие, посредством которого одно число
разлагается на столько равных частей, сколько единиц
в другом, числе; или одно число делится по столько единиц,
сколько их дано в другом числе.
2)	Деление есть действие, обратное умножению; в нём по
данному произведению двух сомножителей и одному из них
■отыскивается другой сомножитель.
В первом определении, носящем характер пояснения,
подчёркивается особенность процесса выполнения деления;
оно тавтологично (деление, разложение) и не устанавливает связи
между делением и умножением. Второе определение глубже рас¬
крывает цель и связь деления с умножением.
Вторая форма определения несколько трудна для учащихся.
К определению деления нужно подвести учащихся через реше¬
ние задач. Решим две задачи с записью решения:
1.	«В один день рабочий зарабатывает 20 руб. Сколько рублен он зарабо*
тает в месяц (25 рабочих дней)?»
20 руб. X 25 = 500 руб.
В этой задаче дано множимое — 20 руб., множитель — 25. Требуется
найти их произведение. Перемножив эти числа, получаем произведение —
500 руб.
2.	«Рабочий заработал за 25 дней 500 руб. Сколько рублей он зарабатывал.
а один день?»
500 руб. : 25 — 20 руб.
Сравним вторую задачу_ и её решение с первой задачей.
В первой задаче дано множимое (20) и множитель (25); требует¬
ся найти произведение (500). Во второй задаче даны произведение
(500) и множитель (25); отыскивается множимое (20).
При умножении произведение отыскивается, а при Делении
произведение даётся; при умножении сомножители даются, а при.
делении они отыскиваются. Значит, деление есть действие, обрат¬
ное умножению.
Что в нём даётся и что отыскивается? Даётся произ¬
ведение двух чисел и один сомножитель. Оты¬
скивается другой сомножитель. Соединим обе фразы
и получим определение деления.
Напишем пример на деление 80:4= и разберём, что в нём
дано и что отыскивается (дано произведение двух чисел — 80, из
них одно число — 4, требуется найти другое число).
В делении эти числа имеют своё название: произведение носит
название делимого, множимое или множитель называется
делителем; тот сомножитель, который отыскивается, назы¬
вается частным.


Каждой задаче на умножение соответствуют две задачи на
Деление. Надо дать ученикам задачу на умножение и предложить
им составить самостоятельно две соответствующие ей задачи на
деление.
Решение примеров и задач на деление. Техника
письменного деления является наиболее сложной по сравнению
с другими действиями, поэтому для выработки навыков в деле¬
нии ■требуется большее количество упражнений и более частое
повторение. В III классе учащиеся усвоили в основном эту тех¬
нику; в IV классе её нужно совершенствовать, добиваясь большей
правильности, большей скорости и большей уверенности в вы¬
полнении деления. При этом надо дать больше упраж¬
нений на те случаи, которые с трудом усваиваются учащи¬
мися,— это деление, когда в частном получаются нули; деление
с остатком, когда на конце частного должны быть поставлены
нули (методы решения таких примеров см. на стр. 279—280).
Предлагая примеры на деление, надо разнообразить задания,
с тем чтобы приучить детей к терминологии деления и к различ¬
ным случаям применения этого действия. «Разделить 87 512 на
25»; «Делимое 2 720, делитель 340; найти частное»; «Узнайте, во
сколько раз 4 600 больше 920» — в такой форме могут быть пред¬
лагаемы примеры.
Особенно Нужно разнообразить ©опросы при устном счёте:
«Сколько раз 15 содержится в 60?»; «Во сколько раз 75 больше
25?»; «Во сколько раз 17 меньше 102?»; «120 уменьшить в 30 раз»;
«Найти шестую часть 96» и др. Эти упражнения имеют целью
дать учащимся твёрдое знание тех основных случаев, в которых
применяется деление. Главным же средством для достижения
этой цели служит решение задач устных и письменных.
Задачи нужно давать с таким содержанием, чтобы были исчер¬
паны все случаи применения деления (об этих случаях см. стр. 251).
Ещё раз нужно сопоставить здесь деление на равные части и де¬
ление по содержанию и добиться полной ясности в различении
этих видов деления и правильности записи каждого из них.
Зависимость между делимым, делителем и частным.
Эта зависимость, как известно, выражается в следующем'
Если делитель и частное перемножить, то получится делимое.
Если делимое разделить на частное, то получится делитель.
Можно эту же зависимость сформулировать и несколько
иначе, а именно:
Делимое равно делителю, умноженному на частное. Дечитель
равен делимому, делённому на частное.
Зависимость между компонентами деления можно выявить на
задачах и на примерах:
ЗГ\ Л Г* ПиРП1/п
305


Эти примеры анализируются и выясняется, что если делитель увеличи¬
вается, то частное уменьшается. Это подтверждается примерами:
36 :3 = 12
36: 12 = 3
«Допустим, что мы делим яблоки между ребятами. Если ребят явится
больше, то каждому достанется яблок меньше. 60 яблок .разделим поровну
между 2, 4, 10, 12, 15, 30 детьми. Сколько в каждом случае достанется яблок
одному ребёнку?»
д0: 2 — 30	Здесь делители — число ребят, получающих яблоки, — уве-
60: 4=15	личиваются: 2, 4, 6, 10 и т. д., а частные — число полученных
60: 6=10	каждым яблок—уменьшаются: 30, 15, 10, 6, 5, 4, 3, 2.
60:10= 6
6012= 5
60:15= 4
60 : 20 = 3
60:30= 2
Можно проиллюстрировать уменьшение частного от увеличе¬
ния делителя и на чертеже. Возьмём два равных отрезка в 12 см
и разделим первый на 3 части, а второй на 6 частей.
Сделаем вывод:	'«Если д е л и т е л ь ув е л и ч и т ь в не¬
сколько раз, то частное уменьшится во столько
ж е р а з».
На аналогичных примерах объясняется увеличение частного
при уменьшении делителя:	«Если делитель умень¬
шить в несколько раз, то частное увеличится во
столько же раз».
Дальше остаётся выяснить, что делается с частным, если
делимое и делитель одновременно увеличить или уменьшить
в одинаковое число раз. Надо показать учащимся, что частное
при этом пе изменяется. Лучше всего это сделать на рассмотре¬
нии двух-трёх примеров, расчленив этот вопрос на две части:
сначала делимое и делитель увеличиваются в одинаковое
число раз, а потом они уменьшаются в одинаковое число
раз.
а 15:	3 = 5 Рассматривая и объясняя первый пример, ученик рассуждает
30:	6 = 5 так: «Когда мы делимое увеличили в 2 раза (15X2), то част-
б) 24: 4 = 6 ное увеличилось в 2 раза (5X2= 10), но когда мы делитель
72 : 12 = 6 тоже увеличили в 2 раза (3 X 2), то частное от этого умень-
в 25:	5=5 шилось в 2 раза (10:2 = 5).
2 500 : 500 = 5
Если же мы какое-либо число сначала увеличим вдвое, а потом тут же
уменьшим его вдвое, то оно останется без изменения».
Разберём так же второй и третий примеры и сделаем вывод:
«Если делимое и делитель одновременно увели¬
чить в одинаковое число раз, то частное не изме¬
ните я».
Учащиеся этот вывод повторяют, запоминают и проверяют
его на самостоятельно составленных примерах.
308


Таким же точно путём объсняется неизменяемость
частного при уменьшении делимого и делителя в одинако¬
вое число раз, причём среди чисел, на которых объясняется это
свойство частного, должны быть числа и с нулями на конце, на¬
пример:
а) 60 : 20 = 3	б) 1 000 : 200 = 5
6:2 = 3	10:2 = 5
Этих примеров достаточно, чтобы сделать вывод: «Если де¬
лимое и делитель одновременно уменьшим в оди¬
наковое число раз, то частное не изменится».
Надо следить за правильной формулировкой этих выводов: дети
на первых порах часто ошибаются, говоря: «н а одинаковое число
раз», или просто «н а одинаковое число», шги «в несколько раз»
вместо «в одинаковое число раз». При каждой ошибке надо
поправлять ученика, объясняя ему, в чём именно заключается
его ошибка.
Сделанный вывод нужно сейчас же использовать для сокра¬
щённого деления чисел, оканчивающихся нулями.
Разделим 42 000 на 2 800.
42000 | 2800	Это деление можно сделать проще, сведя его к делению не-
2800 I—больших чисел. Уменьшим делимое и делитель в 100 раз, зачерк-
14000	нув по два нуля и разделив 420 на 28, от этого частное не изме-
14000	нится.
~0~
42000 1 2800 ■ Частное получилось прежнее—15, но при делении мы имели
28	'-уз— дело с небольшими числами — 420 и 28.
140“
140
0
При проверке усвоения учащимися свойства неизменяемости
частного учитель должен ставить вопрос в двоякой форме:
1)	«Что сделается с частным, если делимое и делитель увеличим
или уменьшим в одинаковое число раз?»; 2) «Когда частное
остаётся без изменения?»
Упражнения в изменении частного проводятся в следующей
системе:
а)	Даётся изменение делимого и делителя: требуется найти изменение
частного, например: «Что сделается с частным, если делимое увеличить
в 3 раза? если делитель уменьшить в 5 раз? если делимое уменьшить
в 10 раз?»
б)	Даётся частное, и указывается изменение делимого или делителя. Найти
изменённое частное, например: «Частное от деления дв\х чисел 15. Чему будет
равно частное, если делимое увеличим в 2 раза? если делимое уменьшим
в 3 раза? если делитель уменьшим в 5 раз? если делитель увеличим в 3 паза?»
з) Даётся изменение частного: определить, что для этого надо сделать
с делимым или с делителем, например: «Надо увеличить частное в 3 раза, чт6
для этого надо сделать с делимым? Частное надо уменьшить э 5 раз; что для
этого надо сделать с делителем? с делимым?»
309


г)	Даётся изменение делимого (делителя); требуется указать, что над#
сделать с делителем (с делимым), чтобы частное не изменилось, например;
«Делимое увеличили в 10 раз, что надо сделать с делителем, чтобы частное
осталось без изменения?»
д)	Применение изменений частного к вычислениям.
Порядок действий. Скобки.
Этим небольшим по объёму разделом завершается изучение
целых чисел. Здесь учащиеся получают сведения об общеприня¬
том порядке выполнения действий и об условиях употребления
скобок. Эти сведения, имея теоретическое значение, подготовляют
учащихся к успешному прохождению курса математики на по¬
следующих ступенях обучения.
Изучая порядок действий, учащийся должен усвоить следую¬
щие положения и правила:
1.	Когда в числовом примере даны сложение и вычитание, то
эти действия выполняются в том порядке, в каком сни записаны,
например; 63 — 26 + 48.	1) 63 —26 = 37;	2) 37 + 48 = 85.
2.	Если в числовом примере даны умножение и деление, то
они выполняются в том порядке, в каком записаны, например:
36: 3X 4. 1) 36:3 = 12; 2) 12X4 = 48.
3.	Если же в сложном примере даны действия разных ступе¬
ней \ то сначала выполняются умножение или деление, а потом
сложение или вычитание, например:	80—15X3 + 60:3.
1)	15X3 = 45; 2) 60 :3 = 20; 3) 80 — 45 = 35; 4) 35 + 20 = 55.
Для усвоения этих правил требуется достаточно большое ко¬
личество упражнений.
На протяжении года нужно неоднократно возвращаться
к правилам о порядке выполнения действий, решать побольше
соответствующих сложных примеров, и тогда прочность навыка
будет обеспечена.
Приёмы ознакомления учащихся с этим разделом просты:
учитель сообщает правила, иллюстрирует их выполнение на
решении примеров, учащиеся повторяют и усваивают формули¬
ровку правил и применяют их к решению сложных примеров. Для
большей убедительности важно показать, что нарушение
порядка может в некоторых случаях привести к иному резуль¬
тату.
Система работы будет следующей: 1) 30 — 20 + 5= 15. На¬
писав этот пример, учитель при активном участии учащихся
устанавливает, что здесь даны сложение и, 'Вычитание и что эти
действия выполняются в том порядке, в каком они записаны,
т. е. сначала вычитание, потом сложение. Если бы этот порядок
мы нарушили и стали выполнять сначала сложение (20 + 5), а по¬
том вычитание, то получили бы другой результат (5, а не 15).
Дальше ученики решают несколько примеров этого вида.
2)	72:6X2. Учащиеся указывают, что в этом примере даны 11 Понятие о ступенях действий учащимся не дается.
310


хва действия — умножение и деление; сначала обозначено деле¬
ние, потом умножение. В таких случаях надо держаться того же
правила, какое было принято для сложения и вычитания, Т. е.
производить действия в том порядке, в каком они записаны,
В данном случае сначала надо 72 разделить на 6, а потом полу¬
ченное число 12 умножить на 2, получится 24. Если бы в на¬
чале стояло умножение, а потом деление, то мы так и выполняли
бы действия: сначала умножение, потом деление, например:
16 X 4 : 8 = 8.
Несоблюдение этого порядка может привести к иному резуль¬
тату, например: 72 : 6 X 2. Если здесь сначала произвести умноже¬
ние (6X2=12), а потом деление (72:12), то получится 6,
а не 24.
3)	15X4 + 96:6 =
1)	15 X 4 = 60 В этом примере даны три различных действия:
2)	96 :	6 = 16 умножение, сложение и деление. Когда в примере
3)	60 +16 = 76 встречаются все действия, то сначала выполняется
умножение или деление, а потом сложение или вычитание. Сле¬
дуя этому порядку, мы должны в данном примере выполнить сна¬
чала умножение, потом деление и наконец сложение. По этому
правилу решается ряд таких примеров с постепенным их услож¬
нением. Более сложными являются примеры типа 70 — 60:5 +
+ 9Х®. Здесь порядок действий: деление, умножение, вычитание
и потом сложение.
Употребление скобок1. Бывают случаи, когда устано¬
вленный порядок действий должен быть изменён и нужно по¬
казать, в каком именно порядке следует производить арифметиче¬
ские действия. Для этой цели служат скобки. Смысл и значение
скобок лучше всего уясняются на задачах. Решение задач,
предназначенных для выяснения значения скобок, записывается
формулой.
Сначала подбираются такие задачи, в которых формулы их
решения не требуют скобок, а затем задачи с формулами, требую¬
щими введения скобок. На этих последних задачах учитель и рас¬
крывает перед учащимися смысл употребления скобок.
Приведём образцы задач, расположенных в порядке постепен¬
ного их усложнения.
Задачи, решаемые по формулам, не требующим скобок.
1)	«Ученик купил 4 карандаша по 8 коп. за карандаш и 5 тетрадей
по 10 коп. за тетрадь. Сколько стоит вся покупка
Формула решения: 8X4 + 10X5. 11 Из опыта работы И. С. Дерёнкова, преподавателя Уржумского педаго¬
гического училища.


2)	«Рабочий купил на 400 руб. несколько 50-рублёвых облигаций и на
100 руб. несколько облигаций по 25 руб. Сколько всего облигаций купил ра¬
бочий?»
Формула решения: 400 : 50 + 100 : 25.
Составив формулу, учащиеся решают её, соблюдая нормальный порядок
действий.
Задачи, решаемые по формулам со скобками.
1)	«Сумму чисел 1 803 и 3 448 увеличить втрое».
Формула решения: (1 803 + 3 148) X 3.
2)	«Школа получила 315 тетрадей, из них 135 тетрадей она оставила,
а остальные раздала поровну 45 ученикам. Сколько тетрадей получил каждый
ученик?»
Формула решения (315 — 135): 45.
3)	«Рабочий в первую неделю заработал 146 руб., а. во вторую —126 руб.
На эти деньги он хотел купить несколько стульев ценой но 25 руб., но каж¬
дый стул оказался дороже, чем он предполагал, на 9 руб. Сколько стульев
купил рабочий на весь свой двухнедельный заработок?»
Формула решения (146 4- 126) : (25 4- 9).
Объяснение значения скобок. Возьмём для этого вышепри¬
ведённую задачу.*«Школа получила 315 тетрадей...?» Задача решается сна¬
чала устно, а потом решение её записывается так:
1)	315 тетр. — 135 тетр. = 180 тетр.;
2)	180 тетр. : 45 — 4 тетр.
Далее решение этой задачи записывается в виде формулы, пока что не
имеющей скобок- 315— 135:45.
Учащиеся решают эту формулу на основании усвоенных ими правил:
I) 135 : 45 = 3;	2) 315 —3 =312.
Получив в результате число 312, учитель обращает внимание учащихся на
причину расхождения между ответом и полученным результатом: сравнивают
порядок действий в решении задачи и порядок выполнения их по формуле, пер¬
вый порядок не соответствует второму, в решении задачи первое действие —
вычитание, а второе — деление, в вычислении же по формуле первое дей¬
ствие— деление, второе — вычитание. Учитель обращает внимание учеников
и на то, что порядок выполнения действий по формуле не соответствует содер¬
жанию задачи: в задаче сказано, что остальные тетради, т. е. остаток (315 —
— 135), были разделены между 45 детьми, в вычислениях же по формуле на 45
делили число 135, т. е. тетради, оставленные про запас. Чтобы показать, что на
45 делится результат вычитания, действие вычитания заключают в скобки.
Таким путём учащиеся приходят к осознанию необходимости изменить
в формуле установленный порядок действий и к пониманию значения скобок,
при помощи которых порядок действий изменяется, когда это представляется
необходимым.
Узнав, для чего употребляются скобки, учащиеся вводят их в первоначаль¬
но составленную формулу и таким образом приводят её в соответствие с ходом
решения задачи;
(315— 135) : 45.
Вслед за этим, чтобы закрепить пройденное, учащимся предлагаются одна-
две задачи, формулы решения которых также требуют одной только пары
скобок. Дальше же даются и такие задачи, в формулах решения которых
встречаются две пары скобок.
Итак, путь ознакомления учащихся со значением скобок будет
следующий:
312


а)	задача решается обычным порядком с записью каждого
отдельного действия строчками;
б)	решение задачи записывается в виде числовой формулы без
скобок;
в)	производится вычисление и сравниваются ответы, получен¬
ные в той и другой записи;
г)	выявляется несоответствие между обоими ответами;
д)	устанавливается необходимость изменения в числовой фор¬
муле общепринятого порядка действий и указывается, что это из¬
менение производится при помощи скобок;
е)	предлагается учащимся воспользоваться скобками и напи¬
сать формулу в ином виде, указав при помощи скобок тот поря¬
док, в каком должны производиться действия.
В результате такого объяснения учащиеся формулируют и за¬
поминают правило: «Когда нужно изменить установ¬
ленный порядок выполнения - действий, то упо¬
требляются скобки; в примерах со скобками
сначала выполняются те действия, которые за¬
ключены в скобки».
Примерное распределение материала по урокам.
Содержание этого раздела является сложным; здесь преследуются две
основные цели: повторить технику производства четырёх арифметических дей¬
ствий и сообщить учащимся ряд элементарных сведений теоретического харак¬
тера. Новое здесь тесно переплетается с повторением уже изученного, прой¬
денного. Эти факты получают своё отражение в плане построения уроков.
Покажем, как учителю можно было бы составить план изучения данной
темы, разбив материал по отдельным урокам:
Нумерация многозначных чисел. Повторение пройденного о нуме¬
рации многозначных чисел. Чтение и запись чисел с разбивкой на
разряды и классы. Места разрядов и классов. Откладывание чисел
на счётах	 	 	2 урока
Выделение из числа всех его десятков, всех сотен и т. д. Округ¬
ление чисел. Усвоение правил и формулировок, относящихся к чтению
и записи чисел	 ... 2	„
Сложение. Запись действия. Названия чисел и знака действия.
Определение действия. Решение примеров и задач на сложение ... 1
Переместительное свойство суммы и применение его при проверке
действия. Решение примеров на сложение нескольких чисел (путем
группировки слагаемых). Решение задач на сложение. Основные случаи
применения этого действия. Вычисления на счетах. .	. .	. . )
Зависимость между элементами действия сложения. Применение
этой зависимости для проверки сложения и для нахождения неизвест¬
ного слагаемого по данной сумме и другому слагаемому 	 1
Изменение суммы	 ...	. . 1	1
Вычитание. Определение действия. Названия чисел и знака
действия. Сложение и вычитание — взаимнообратные действия. Реше¬
ние примеров и задач на вычитание	1	,
Зависимость между уменьшаемым, вычитаемым и разностью. Ис¬
пользование этой зависимости для проверки действия и для нахожде¬
ния неизвестного члена действия 	 2
Изменение разности 	 2
31Э


Повторение пройденного (о сложении и вычитании). Решение
задач и примеров на совместное сложение и вычитание
Контрольная работа на сложение н вычитание с последующим ев
разбором и дополнительными упражнениями в классе
Умножение. Определение действия. Названия данных и резуль¬
тата действия. Решение примеров и задач на умножение
Переместительное свойство произведения. Группировка сомножи¬
телей при перемножении нескольких сомножителей (умножение числа
на произведение). Решение примеров и задач на умножение. Основные
случаи применения умножения
Зависимость между множимым, множителем и произведением.
-Нахождение неизвестного сомножителя
Изменение произведения		 ,
Повторение пройденного. Решение задач и примеров на умножение
Деление. Определение действия. Названия чисел. Умножение
и деление как взаимнообратные действия 	 ...
Решение задач и примеров на осе случаи деления. Основные
случаи применения деления в задачах .	..........
Зависимость между делимым, делителем и частным. Нахождение
неизвестного делимого и неизвестного делителя
Изменение частного
Повторение пройденного об умножении и делении
Контрольная работа с последующим ей разбором в классе . . . *
Порядок д е й с т в и й. С к о б к и. Порядок выполнения арифме¬
тических действии. Обьяснение и упражнения
Значение скобок.лЗапись решения задач в виде формул . ....
1	УР01
2
»
1
»
!:
1 .
4	.
3	.
3	.
2 :
2 .
2 .
Контрольные работы.
На протяжении изучения этой темы должны быть проведены, как минимум,
две контрольные работы; одна из них даётся после изучения сложения и вычи¬
тания, другая — после изучения умножения и деления*. На проведение коя.
трольной работы с её последующим разбором целесообразно уделять 2 урока,
с тем, чтобы на одном уроке контрольную работу провести, а на другом про¬
анализировать её и исправить ошибки, которые окажутся более или менее мас¬
совыми. типичными. Приведём примерное содержание этих работ.
Первая контрольная работа для проверки нумерации, сложе-
.ння и вычитания.
1.	Запишите цифрами число 50 миллионов 25 тысяч.
2.	Округлите до тысяч число 1 118 956.
3.	Сколько всего сотен в числе 32 786?
4.	Какое арифметическое действие называется сложением?
5.	Как найти неизвестное слагаемое по данной сумме и другому слагаемому?
6.	Сумма двух чисел 186. Какова станет сумма, если одно слагаемое
увеличить на 14 единиц?
7.	В каком порядке удобнее сложить чи-сла 87 + 36 + 13 + 64?
8.	Почему вычитание называют действием, обратным сложению?
9.	Найти разность двух чисел: 600 100 и 95 408.
10.	Найти неизвестное уменьшаемое в примере:
д: — 327 = 1 260.
11.	Разность двух чисел 100. Какова будет разность, если вычитаемое
увеличить на 16 единиц?
12.	Проверить двумя способами вычитание:
1 754
~ 958
796
Вторая контрольная работа составляется по аналогии с первой.
«314


ГЛАВА ШЕСТНАДЦАТАЯ.
ИМЕНОВАННЫЕ ЧИСЛА.
Практическое значение изучения этой темы огромно. Обучая
детей различного рода измерениям, знакомя их с установлен¬
ными в нашем государстве мерами, научая их производить
арифметические действия над рублями и копейками, над Петрами
и сантиметрами, над килограммами и граммами и прочими мера¬
ми, школа вооружает детей знаниями и практическими навыками,
которые в обыденной жизни требуются на каждом шагу. Боль¬
шая значимость темы обязывает учителя^ к серьёзной методиче¬
ской работе над ней.
Действия над составными именованными числами изучаются
в III и IV классах, но подготовка к ним ведётся, начиная с I клас¬
са. Чтобы успешно производить действия над составными имено¬
ванными числами, нужно знать меры, единицы измерения, иметь
точное и вполне конкретное представление о каждой мере, нужно
уметь измерять и в процессе измерения получать именованные чи¬
сла — простые и составные. Эти знания и умения даются посте¬
пенно, исподволь, медленно, на протяжении всех четырёх лет обу¬
чения.
Меры в I и II классах.
В I классе даётся сравнительно большой запас знаний о мерах
и навыки измерения ими. Здесь учащиеся знакомятся с мерами
длины — метром и сантиметром, с мерами веса — килограммом,
с мерами ёмкости — литром, с мерами времени — сутками, ча¬
сами, и с мерами денег — с монетами в 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20 ко¬
пеек и 1 рубль.
Знакомство с метром даётся в конце изучения первого
десятка в связи с решением задач. В задачах нередко встречается
слово «метр»: «купили 5 метров материи», «длина класса 8 мет¬
ров» и т. д. Чтобы учащиеся вполне осмысленно относились к это¬
му понятию, нужно выделить один урок для наглядного знаком¬
ства с метром, а другой — для упражнений в измерении метром.
Знакомство с метром производится Следующим образом: а) учи¬
тель показывает ученикам демонстрационный метр для
непосредственного зрительного восприятия; б) после этого дети
сами изготовляют метр из бумажных полос, пользуясь гото¬
вым эталоном метра; в) далее проводятся упражнения, способ¬
ствующие «запоминанию» величины метра:	разводом рук дети
показывают4 расстояние в один метр; сравнивают расстояние от
левого плеча до конца пальцев правой вытянутой руки (это рас¬
стояние равно приблизительно одному метру); чертят на доске
линию в один метр; называют в классе предметы размером в один
метр или расстояния, равные приблизительно одному метру.
315


Упражнения в измерении бывают двоякого рода:	а) измере¬
ние данного расстояния, например:	измерение длины класса,
длины коридора, ширины тех же помещений, высоты шкафа и во¬
обще измерение тех предметов, размеры которых равны (точно
или приблизительно) целому числу метров; б) отмеривание рас¬
стояний, равных данному числу метров, например: отмерить 8 мет¬
ров шпагата, отмерить расстояние в 5 метров по длине или по
ширине класса.
Уча практическому применению метра при измерении, учи¬
тель сначала сам измеряет, а потом упражняет детей в измере¬
нии.
Всякое полученное при измерении число записывается, напри¬
мер: 8 метров, 5 метров и т. д. Но вскоре после ознакомления
с метром (на 3-м—4-м уроке) учитель показывает ученикам сот
крашенную запись слова «метр» одной буквой м (без точки):
8 м, 5 м, 3 м и т. д.
Можно давать измерительные работы в качестве домашнего
задания: измерить длину и ширину своей комнаты, своей кроватб
и др.
В таком же плане даётся в 3-й четверти знакомство и с санти¬
метром.
Ознакомление учащихся с километром приурочи¬
вается к изучению тысячи во II классе и используется для кон¬
кретизации числа ] 000: в километре 1 000 метров. Для того что¬
бы создать у детей вполне конкретное и точное представление о
километре, надо вывести учеников на открытую местность и по¬
казать на ней несколько расстояний, равных одному километру
(например от школы до опушки леса, до полотна железной доро¬
ги, до высокого дерева и т. д.). Весьма желательно, чтобы в ве¬
сеннее время школьники при помощи мерной верёвки в 10 л или
20 м отмерили по прямой дороге расстояние в 1 километр или
в крайнем случае в 100 м\ 10 последних расстояний и составят
1 километр — это ученикам нетрудно представить. Познакомив
с километром, надо предложить ученикам назвать по памяти не¬
которые известные им расстояниях в 1 километр, а затем учитель
называет расстояния и в несколько километров, например рас¬
стояние от своей школы (села, города) до соседнего города, до
районного центра, до соседней станции железной дороги и т. д.
Для конкретизации представления о километре полезно ре¬
шать задачи со скоростями, указав ученикам среднюю скорость
движения человека, лошади, поезда, самолёта:
Скорость пешехода ...	4 км в час
»	лошади рысью .	10 км	»	*
»	поезда	40	км	»	»
»	самолёта ....	400 км	»	>
316


После таких упражнений можно вводить в текст задач термин
«километр», рассчитывая на точное представление учащимися
этой меры.
Ознакомление с мерами веса — килограммом,
г р а м м о м—и практика взвешивания. Знакомство с кило¬
граммом даётся также в первом полугодии I класса, исходя из
решения задач, в которых довольно часто фигурирует термин
«килограмм». Ученикам сообщается, что килограмм—мера веса,
причём после этого даётся совершенно наглядное представление
об этой мере: а) показываются гири в 1 кг, 2 кг, 5 кг\ б) гиря
и различные предметы весом в 1 кг даются в руки учащимся,
чтобы они получили мускульное ощущение тяжести в 1 кг и мот-
йи определять приблизительно вес в 1 кг без взвешивания; в) по¬
казываются весы и процесс взвешивания воды, хлеба, картофеля
В/ других предметов, удобных для взвешивания.
Каждое полученное при взвешивании число записывается,
например: 2 килограмма, 5 килограммов и т. д. В дальнейшем
показывается сокращённая запись слова —килограмм» — кг (без
точки).
Знакомство с граммом даётся в том же плане, причём оно
приурочено к изучению нумерации в пределе 1 000 и служит кон¬
кретизацией этого числа: в килограмме 1 000 граммов. Кроме
гирьки в 1 грамм, ученикам показываются и другие гири из раз¬
новеса: 25 г, 50 г, 100 г, 200 г, 500 г. Практика взвешивания про¬
должается и во II классе, с использованием граммовых и кило¬
граммовых гирь. Процесс взвешивания не так прост, как это
может показаться с первого взгляда, и надо проделать значитель¬
ное количество упражнений, чтобы достигнуть некоторой быстро¬
ты в набирании разновесов и в установлении равновесия.
Знакомство с литром как единицей измерения ёмкости
даётся также наглядно: а) ученикам показываются кружки — лит¬
ровая и полулитровая, бутылки — литровая и полулитровая;
б) производится измерение литром ёмкости различных сосудов —
стеклянных банок,кувшинов и ведра,устанавливается, что в ведре
12 литров; в) сравнивается ёмкость стакана и литра; наполняя
литр стаканом, учащиеся непосредственно убеждаются, чго в лит¬
ре 4 станка (стаканы подбираются вместимостью в 250 куб. см,
или в четверть литра).
Получаемые при отмеривании литром числа записываются сна¬
чала полной записью, потом сокращённой, например: 3 литра — 3 л,
б литров — 6л.
Знакомство с монетами. Многие учащиеся знакомы
с монетами из опыта своей дошкольной жизни; однако полагаться
всецело на этот опыт нельзя. Нужно учащимся монеты показать
для непосредственного обозрения их, приурочивая этот показ
к соответствующим числам, т. е. при изучении первого десятка
показать монеты в 1, 2, 3, 5 и 10 коп., при изучении второго де¬
сятка-монеты в 15 и 20 коп., при изучении 100 — казначейский


билет в 1 рубль. Для лучшего знакомства с монетами надй
широко использовать модели монет, изготовляемые самими учЙ
щимися и используемые в качестве дидактического материал!!
Способ изготовления моделей очень простой: под чистый кусоЙ
бумаги подкладывается монета, затем карандашом бумага зату|
шёвывается и вырезается. На этих монетах производится изуче¬
ние состава чисел сначала в пределе первого десятка, а потом и
второго десятка.
Знакомство с мерами времени. Представление о
времени является более отвлеченным по сравнению с представле¬
ниями длины, веса, ёмкости, и единицы измерения времени более
отвлечённы по сравнению с единицами измерения других величин.
Вырабатываются и развиваются эти представления медленно.
Тем не менее программа первых двух классов содержит в себе
много материала по измерению времени: год, месяц, сутки, час,
минута. Год определяется здесь просто как совокупность
12 месяцев, месяц — как 30 или 31 сутки, сутки как 24 часа.
Большое внимание уделяется часу, как единице измерения
времени. О длительности часа дети получают представление по
распорядку учебного дня: урок и 15-минутная перемена состав¬
ляют ровно час; урок и обычная перемена в 10 минут равна при¬
близительно часу (точно 55 минут). Здесь дети учатся определять
время по часам. Для этого на доске перед классом вывешивается
модель часов; небольшие модели должны быть на руках у уча¬
щихся. Подробно рассматривается в I классе движение часовой
стрелки. Во II классе так же подробно изучается движение ми¬
нутной стрелки. Меняя положение часовой и минутной стрелки,
учитель предлагает детям называть время, которое они показы¬
вают. Затем проделывается обратное упражнение: учитель пред¬
лагает детям показывать на часах, как стоят стрелки в 12 час. ночи
(дня), в 8 час. вечера (утра), в 4 часа дня и т. д. Во II классе
предлагается показать положение стрелок в б ч. 30 м., в 2 ч.
15 м., в 11 ч. 45 м. и т. д.
Представление о длительности минуты даётся более конкретно
путём непосредственного восприятия этого промежутка времени;
ученикам даётся определённое задание на минуту: минута молча¬
ния, минута для решения примера и т. д.
Закрепляются эти знания и представления на решении соот¬
ветствующих задач.
Таблицы и преобразования мер
в III и IV классах.
В младших классах из общей системы мер брались для изу¬
чения только некоторые меры, имеющие наибольшее практиче¬
ское значение и находящиеся в соответствии с изучаемой нуме¬
рацией. В III и IV классах надо дать меры в их системе,
подчеркнуть простоту и стройность метрической системы мер,


в которой 10 мер низшего наименования неизменно составляют
.одну меру высшего наименования. Единичное отношение двух
смежных мер а полной метрической таблице всегда 10. Правда,,
некоторые звенья из метрической системы у нас опускаются, на¬
пример гектометр, гектограмм, и детям приходится иметь дело
в качестве единичных отношений не только с 10, но и с 100, 1 000.
Во всяком случае это единичное отношение — всегда единица
с нулями.
Система мер находит своё наглядное выражение в табли¬
цах мер. С учащимися надо составить таблицы, записать
их в тетрадях учащихся и предложить им усвоить эти таблицы.
При составлении таблиц надо исходить из основной меры: в ме¬
рах длины — из метра, в мерах веса — из грамма, в мерах ёмко¬
сти — из литра, и затем, пользуясь приставками, полу¬
чать производные меры — большие и меньшие основной, Значе
ние приставок нужно объяснить:
дека — 10,	деци — десятая часть
гекто— 100,	санти— сотая часть,
кило —1000,	милли — тысячная часть.
Таблицы можно дать в такой форме
1 метр	=	10	дециме!рам
1 дециметр = 10 сантиметрам
1 сантиметр= 10 миллиметрам
1 метр = 100 сантиметрам, или 1000 миллиметрам
10 метров	=	1	декаметру
100 метров	=	1	гектометру
1000 метров	—	1	километру
Меры веса
1 грамм	:
1 дециграмм	=
1 сантиграмм;
10 граммов	:
100 граммов	=
1000 граммов	=
100 килограммов =
1000 килограммов =
: 10 дециграммам
; 10 сантиграммам
:10 миллиграммам
1 декаграмму
гектограмму
килограмму
центнеру
тонне
В таблице названия мер записаны полностью; обычно эти меры пишутся
*©&ращённо (м, см, кг, г и Ар.)*
В такой форме, с полным содержанием, таблицы даются
в IV классе; в III же классе нужно ограничиться сокращёнными*
таблицами так, как они даны в программе. Из мер длины ука¬
зать: километр, метр, дециметр, сантиметр, миллиметр. Из мер
веса: тонну, центнер, килограмм, грамм. Из мер ёмкости — литр.
При составлении таблицы мер нужно остановиться на назва¬
ниях тех мер, которые даются ученикам впервые, и дать о них,
насколько это возможно, наглядное представление. Из мер длины
319


такой мерой является дециметр. Он показывается на демон¬
страционном метре; ученики чертят отрезок в 1 дм; отрезают
полоски бумаги длиной в 1 дм, сравнивают его с другими мера¬
ми — с метром и сантиметром, откладывают дециметр на ладони
своей руки, измеряют им длину и ширину стола, парты, книг,
тетрадей.
Центнер: мешок сахарного песку весит приблизительно цент¬
нер; два мешка картофеля весят центнер. Взрослый сильный
•человек может пронести на себе тяжесть весом около 1 центнера
на небольшом расстоянии. Тонна: пара лошадей может везти
груз весом около тонны; на грузовые машины можно грузить
17а т (полуторатонка), 5 т (пятитонка). В вагон можно
погрузить 16 тонн пшеницы, песку, угля (есть большие вагоны,
вмещающие до 50 г).
Такие сравнения помогут ученикам составить себе некоторое
представление о том весе, который обозначается словами
«тонна», «центнер». Основным в создании таких представлений
будут, конечно, единичные отношения между мерами высшего
и низшего наименования: центнер — это 100 кг, тонна — это
1 000 кг, или 10 ц.
Понятие о простом и составном именованном
■числе. Именованные числа получаются в результате измерения,
в отличие от отвлечённых чисел, которые получаются в резуль¬
тате счёта отвлечённых единиц, и предметных чисел, получаемых
•в результате счёта предметов, например: 3 карандаша, 2 стола.
На конкретных измерениях нужно показать ученикам, как об¬
разуются простые и составные именованные числа, чтобы уча¬
щиеся ясно представляли себе природу, происхождение этих
чисел. Измерим длину куска проволоки или шпагата (учитель
заранее заготовляет такой кусок шпагата, длина, которого вы¬
ражается целым числом метров). Допустим, что получилось 3 м.
Записываем это число. Теперь измерим длину парты. В ней метр
уложился один раз и осталась часть, в которой целый метр не
укладывается. Тогда берём меньшую меру — дециметр. Допустим,
что дециметр уложился ровно 5 раз. Значит, длина парты со¬
ставляет 1 м 5 дм. Запишем и это число.
Производим ещё несколько таких измерений и получаем не¬
сколько простых и несколько составных именованных чисел. Если
есть подходящие условия, то желательно получить несколько про¬
стых и составных именованных чисел в результате взвешивания.
Что цены могут выражаться простым и составным именованным
числом —это детям хорошо известно из их жизненного опыта.
Получится табличка:
3 л, 5 м, 2 кг, 12 руб.	1 м 7 дм, 5 м 80 см
250 г, 8 дм, 16 т	2 кг 200 г, 6 руб. 40 коп.
Числа слева получились при измерении величин одной мерой
и имеют при себе названия одной меры.
■320


Числа справа получились при измерении величин двумя мера¬
ми и имеют при себе названия двух мер.
Даём определения: «Число, имеющее при себе название одной
меры, называется простым именованным числом. Ряд чисел,
имеющих при себе название двух или нескольких мер, называется
составным именованным числом».
Надписываем наши таблички сверху: слева «простые имено¬
ванные числа», справа «составные именованные числа».
Тут же даём определение отвлечённого числа. «Если при
числе нет наименования его единиц, то оно называется отвле¬
чённым число м».
1,	2, 6, 10, 20 и т. д. — отвлечённые числа.
1	м, 5 руб. 20 коп., 5 ц 75 кг— именованные числа.
Раздробление именованных чисел. На наглядных
пособиях учитель показывает, что длина (или ширина) какого-
либо предмета может быть выражена различными, но равными
между собой именованными числами. Отметим на демонстраци¬
онном метре полметра. «Сколько в этой части метра дециметров?»
(5 дециметров.) «А сколько здесь сантиметров? (50 см.) «Чему
же равна длина полмегра?» (Пяти дециметрам, или 50 санти¬
метрам.) «Так как длина одна и та же, то можно записать:
5 дм = 50 см. Мы сначала измерили длину полметра децимет¬
рами; а потом — сантиметрами. В этом примере дециметры мы
заменили сантиметрами. Говоря иначе, мы раздробили деци¬
метры в сантиметры.
Измерим длину парты. Допустим, что по её длине уложился
один раз метр и шесть раз дециметр. Следовательно, длина
парты 1 м 6 дм. Вычислим длину парты в дециметрах, полу¬
чится 16 дециметров. Так как длина парты одна и та же, то мож¬
но сказать, что 1 м 6 дм раины 16 дм. Здесь мы крупную меру —
метр — заменили более мелкими мерами — дециметрами. В таком
случае говорят, что метр раздробили в дециметры.
Книга стоит I руб. 50 коп. Как 'можно по-иному сказать,
сколько стоит книга?» (150 копеек.) «Значит 1 руб. 50 коп. всё
равно, что 150 коп. Здесь рубль раздробили в более мелкие
меры — в копейки.
Что же значит раздробить именованное число? Это зна¬
чит заменить крупные меры именованного числа более мелкими,
дробными мерами.
Раздробим 2 руб. 56 коп. Нам надо рубли заменить копейками.
В одном рубле 100 коп., в двух рублях 200 коп.; 200 коп. да ещё
56 коп. всего будет 256 коп. Запишем это так: 2 руб. 56 коп. =
= 256 коп.
Раздробите 5 кг 250 г в граммы». Ученики рассуждают так:
«Раздробить именованное число — значит заменить крупные меры
более Мелкими. В этом примере килограммы заменяем граммами.
В одном килограмме 1 000 г, в 5 кг—5 000 г да ещё 250 г, а все¬
го получится 5 250 г. Запишем это: 5 кг 250 г = 5 250 г».
21 А. С. Пчёлко
321


Раздробление всякого метрического именованного числа про
изводится устно; записывается только результат в строчку, в виде
равенства.
Познакомив учащихся с раздроблением, нужно на нескольких
последующих уроках 5—7 минут в начале урока посвящать уст¬
ным упражнениям в раздроблении, чтобы добиться не только
правильности, но и известной быстроты в преобразовании имено¬
ванных чисел. Примеры нужно давать в порядке постепенно воз¬
растающей трудности: сначала такие меры, в которых единич¬
ное отношение 10 (раздробить 5 м 4 дм, 8 дм 6 см, 4 см 8 мм},
потом даются меры с единичным отношением 100 (раздробить
6 м 80 см в сантиметры, 2 ц 10 кг в килограммы), наконец даются
меры с единичным отношением 1 000 (раздробить 6 т 150 кг
в килограммы, 12 км 800 м — в метры).
Превращение именованных чисел. Превр-атнть име¬
нованное число — значит выразить его в более крупных мерах
(или заменить его более крупными мерами).
На демонстрационном метре учитель отмечает длину е> 60 см.
«Выразим эту же длину в дециметрах; 10 см составляют 1 дм,
а 60 см составят столько дециметров, сколько раз 10 см содер¬
жатся в 60 см. Делим 60 см по 10 см, получаем 6. Следовательно,
60 см=6 дм. Одну и ту же длину мы обозначили двумя числами—
60 см и 6 дм. Эти именованные числа равны между собой, так кая
они обозначают одну и ту же длину:
60 см = 6 дм
Здесь 60 см мы заменили более крупными мерами — 6 деци¬
метрами».
За книгу уплатили 300 копеек. Как можно иначе сказать про
цену книги? Книга стоит 3 рубля. Цена одна и та же, но выраже¬
на она различными числами: в копейках—300 копеек и в рублях—
3 рубля. Эти именованные числа равны между собой. Запишем это
так: 300 коп. = 3 руб.
Мелкие меры — копейки — превращены в крупные меры—
рубли.
Измерим высоту шкафа сантиметрами. Допустим, что получи¬
лось 180 см. Заменим эти меры более крупными: 100 см состав¬
ляют 1 м и остаётся ещё 80 см. Получится всего 1 м 80 см\ 180см
равняются 1 м 80 см. Запишем это: 180 см — 1 м 80 см.
Получается на классной доске такая табличка:
60 см — 6 дм
300 коп. = 3 руб.
180 см — 1 м 80 см
На левой стороне мелкие меры — сантиметры, копейки; на
правой более крупные — дециметры, рубли, метры. Мелкие меры
заменены более крупными мерами. Такая замена называется пре-
322


вращением именованного числа. Что же значит превратить имено¬
ванное число? Превратить именованное число — значит выразить
его в более крупных мерах.
Превращение метрических именованных чисел выполняется
всегда устно; записываются только данное число и результат его
превращения. Превратим, например, 25 800 кг в тонны. Рассуж¬
даем так: 1 000 кг составляют тонну. В данном числе 25 тысяч кг.
Они составят 25 т и останется ещё 800 кг. Значит, 25 800 кг =
= 25 т 800 кг. Упражнения располагаются в порядке постепенно
возрастающей трудности: сначала предлагаются для превращения
меры с единичным отношением 10 (85 ц превратить в тонны),
потом — меры с единичным отношением 100 (750 кг превратить
в центнеры), наконец — меры с единичным отношением 1000
(45 600 м превратить в километры). Предлагаемые примеры
усложняются и по другой линии: сначала даются такие примеры,
в которых в результате превращения получается простое име¬
нованное число (например 80 см — 8 дм, 700 коп. =7 руб.,
5 000 г— 5 кг и т. д.); потом — такие примеры, где после пре¬
вращения получается составное именованное число (на¬
пример: 64 дм = 6 л 4 дм; 485 коп. — 4 руб. 85 коп.; 8 200 кг —8 т
200 кг и т. д.).
После изучения каждого преобразования в отдельности (раз¬
дробления и превращения) полезно сопоставить их, сравнить
между собой и возможно ярче подчеркнуть, что эти преобразо¬
вания противоположны друг другу: в раздроблении крупные меры
заменяются мелкими, дробными мерами, в превращении же, на¬
оборот, мелкие меры заменяются крупными.
Действия над составными именованными числами.
Сложение.
Объяснение этого действия нужно начать с примеров, доступ¬
ных для устных вычислений, и на этих примерах надо показать,
что сложение составных именованных чисел заключается в после¬
довательном складывании единиц каждого наименования от¬
дельно.
Примеры для объяснения распбложим в таком порядке;
1)	5 ж 4" 8 м — 13 м,
80 кг 4- 25 кг = 105 кг — 1 ц 5 кг.
2)	8 кг + 200 г — 8 кг 200 г;
12 км + 450 л* ===== 12 км 450 м.
Простое им. число складывается с про¬
стым, как отвлеченные числа.
Складываются простые им. числа с
разными наименованиями; в сумме по¬
лучается составное им число.
3)5 руб.30коп.4-40 коп.= 5руб 70 коп.; 1
5 г 200 кг + 3 7 = 8? 200 кг; ! Составное им. число складывается
4 м 75 см + 50 см = 4 .« 125 см = | с простым.
= 5 м 25 см.	I
4)	4 м 25 см 4- 3 м 40 см — 7 м 65 см\ 1 Оба слагаемых — составные именован-
5 кг 600 г + 3 кг 70Ы г =	> ные числа; первый пример без превра-
= 8 кг 1300 г = 9 кг 300 г.	] тения; второй — с превращением;
2)»
323


На решении этих устных примеров учащиеся научаются пони¬
мать, что при сложении составных именованных чисел склады¬
ваются меры одинакового наименования: метры с метрами и сан¬
тиметры с сантиметрами; килограммы с килограммами и граммы
с граммами; рубли с рублями и копейки с копейками и т. д.!
А этого вполне достаточно, чтобы перейти к письменному сложе¬
нию, которое строится на том же принципе и записывается «стол¬
биком».
Упражнения в письменном сложении с объяснениями ведутся
примерно © такой последовательности;
^ + 2« М 62 СМ 1 Сложение составных именованных чисел без превращу
41 м 89 см >
2) , 22 руб. 68 коп. 1
"г" 64	» 96 »	} Сложение составных именованных чисел с превращением
87 руб. 64 коп. I
3>+3 ^ 658 кг ) Сложение составного именованного числа и простого ^
	———	*— | превращением.
4 т 408 кг )	* *
Для показа, как ученик рассуждает, сложим 22 руб. 68 коп. в
64 руб. 96 коп.
Подпишем эти числа одно под другим так, чтобы рубли находились под
рублями, а копейки под копейками.
Под вторым слагаемым проведём черту, слева поставим знак сложения
и начнём сложение с мер низшего наименования — с копеек. Сложим спачала
68 коп. и 96 коп., а затем 22 руб. и 64 руб.
, 22 руб. 68 коп.
‘"64	» 96	»
87 руб. 64 коп.
8 да 6—14, 4 пишем, 1 в уме; 1 да 6 — 7, да 9—16 десятков; 6 десят¬
ков пишем, а одна сотня копеек составит один рубль; прибавим его^ к руб^
лям; 1 рубль да 2 — 3 рубля, да 4 — 7 руб.; 2 да 6 — 8. Всего получилось'
87 руб. 64 коп!
Особое внимание надо уделить тем примерам, в которых в со¬
ставном именованном числе есть пропуск разряда, например:
2 км 85 м
6 » 73 »
18 км 158 м
Сложив в этом примере десятки (8 да 7) и полу¬
чив 15 десятков, некоторые учащиеся пишут под де¬
сятками 5 десятков, а 1 сотню относят к километрам,*
ошибочно полагая, что сотня метров составляет 1 км. В таких
случаях надо напоминать учащимся об единичных отношениях
между мерами; в данном случае единичное отношение меж-?,
ду километром и метром равно 1 000; это значит, что только
тысяча метров составляет 1 км: сотня же метров не составит ки¬
лометра и должна быть записана на месте сотен, т.' е. на третьем
месте от правой руки.
324


Вообще же нужно приучить учеников к тому, чтобы они пред¬
варительно перед -вычислением проанализировали данные числа,
всмотрелись в них и заметили их особенности, если таковые име¬
ются, и только после этого приступали к сложению. Это замечание
относится ко всем действиям с составными именованными числами.
Вычитание.
Чтобы научить учеников безошибочно производить вычитание
составных именованных чисел, нужно хорошо объяснить им сле¬
дующие основные случаи:
1)	Лёгкий случай, когда при вычитании не приходится прибе¬
гать к заниманию меры высшего наименования, например:
5 кг 825 г
"2 > 485 >
3	кг 340 г
2)	Более трудный случай, когда приходится занимать одну
единицу из мер высшего наименования и раздроблять её в меры
низшего наименования. На этом случае надо остановиться и объ¬
яснить его тщательно на нескольких примерах. Пусть дано вы¬
честь 3 км 750 ж из 8 км 285 м.
8 км 285 м
~3 » 750 »
Посмотрев внимательно на количество километров и метров в уменьшае¬
мом и вычитаемом, легко заметить, что от 285 м отнять 750 м нельзя. В этом
случае нужно занять 1 км, раздробить его в метры а, получив 1 000 м, при¬
бавить их к 285, получится 1 285 м. На месте же километров в уменьшаемом
останется только 7 км. Такам образом, уменьшаемое 8 км 285 м преобразует¬
ся в другое число, ему равное, — 7 км 1 285 м. Перепишем данный пример
в таком виде:
__7 км 1 285 м (Ученики во время объяснения только смотрят
3 >	750 » и слушают, ничего не записывая в свои тетради.)
4	км 535 м
Вычитая последовательно метры из метров и километры из километров,
получим в остатке 4 км 535 м.
Решив ещё один аналогичный пример с такой же двойной записью:
28 руб. 56 коп.	27 руб. 156 коп.
13 > 84 >	13 >	84 >
14 руб 72 коп.
учитель ставит вопрос, нельзя ли решать такие примеры сразу, не пере¬
писывая их. Решаем первый пример, рассуждая так:
8 кл1 285 м
~3 > 750 >
4	км 535 м
От 5 отнять 0, получится 5. От 8 отнять 5, получится 3. От 2 отс¬
нять 7 нельзя. Занимаем 1 км — 1 000 м, раздробляем тысячу в сотни, полу¬
чим 10 сотен, да 2 сотни —12 сотен. Отнимаем 7 от 12, получаем 5.
325


/ л л отнять 13 км, останется 4 км. Всего получилось в остатке!
4 км 535 м.
Решим таким способом и второй пример. Сравнив первые и вторые записи,
приходим к выводу, что решать примеры нужно сразу, не переписывая их.
Учащиеся заносят в свои тетради только последнюю окончательную запись.
3)	Некоторую особенность представляет тот случай вычитания,
когда уменьшаемое — простое, а вычитаемое — составное имено¬
ванное число, например:
Выясняем особенности этого примера* в уменьшаемом
				6 7	только тонны; в вычитаемом даны и тонны, и килограммы.
2 *	485 кг 3 уменьшаемом килограммов нет. Беоём из 6 т одну тонну
и раздробляем её в килограммы, получим 1 000 кг. Уменьшае¬
мое б г мы заменили другим числом — 5 т н 1 000 кг. Теперь будем вычи¬
тать 485 кг из 1 000 кг и 2 т из 5 г. Запишем это:
5	Г 1 000 кг
2	>	485	>
3	/	515	кг
Решив ещё 1-2 аналогичных примера указанным способом, обращаем
внимание учеников на то. что можно решать такие примеры, не переписывая
их, только следует над числом уменьшаемого ставить точку в знак того, что
из него взята одна единица. Тогда решение первого примера будет записано
так:
б Т 000 кг
~~ 2 > 485 »
3 т 515 к?
Эта запись окончательная; ею пользуются учащиеся.
4} Наибольшие трудности представляет для учащихся решение
таких примеров, в которых в уменьшаемом есть пропуски разря¬
дов, например: 15 км 50 м — 3 км 80 ж; 8 кг 75 г — 2 кг 96 г\
16 руб 4 коп. — 10 руб. 6 коп. Здесь в первых двух примерах
отсутствует разряд сотен; в третьем примере нет разряда десят¬
ков. Для того чтобы в решении таких примеров предупредить
ошибки, нужно соблюдать два условия:
а) Проанализировать примеры до их решения и заметить осо¬
бенности данных составных именованных чисел (пропуск разряда);
б) заметив пропуск разряда, нужно при записи примера в столбик
или поставить на месте отсутствующего разряда 0, или же умень¬
шаемое и вычитаемое при переписываний примера раздробить
в меры низшего наименования и вычитать как отвлечённые числа;
в полученном же остатке произвести устно превращение.
Покажем несколько образцов решения таких примеров:
1)	15 км 56 ^ — 3 /сж 83ж =11 лсж 973 м
2)	16 руб. 4 коп. — 10 руб. б коп. ** 5 руб. 98 коп.
15 км 056 м
3 т> 033 »
11 кч 973 м
_ 16 р\б. 04 коп.
10	> Об >
5	руб. 98 коп¬
или __ 15 056
3 083
11 973
или 1 604 коп.
1 006 »
598 коп.
или _15 км 1056 м
3 >	83 »
П км 973
или 16 руб. 104 коп.
10 > 6 >
5 руб. 98 коп.
326


Без предварительного раздробления или без восстановления на месте не¬
достающего разряда нуля такие примеры решать трудно. Третья форма запи¬
сей вравильна, ыо не изящна и не удобна для вычислений.
Умножение.
При письменном умножении составных именованных чисел надо
различать два основных случая^Тр умножение на однозначное
число и 2) умножение на многозначное число. В первом случае
умножаются единицы каждого наименования последовательно,
начиная с мер низшего наименования. Во втором случае, прежде
чем умножать, множимое обязательно раздробляется
в меры пившего наименования; умножение производится так же,
как умножение отвлечённых чисел; в полученном произведении,
если нужно, производится превращение. Приведём несколько
образцов решения примеров и их пояснений.
1) ^4 м 85 см	Решим задачу; «На одно платье требуется 4 м 85 см
		6 материи. Сколько материи нужно на б таких платьев?»
29 м 10 см	Для решения задачи нужно 4 м 85 см умножить на 6.
Умножаем 4 м. 85 см на б, записывая вычисление столби-
ком. Начинаем умножение с мер низшего наименования — с сантиметров:
шестью пять — 30; 0 пишем, 3 в уме; шестью восемь — 48, да 3 — 51; 1 пи¬
шем, а 5 сотен, составляющих 5 м, прибавим к метрам; шестью четыре — 24,
да 5—29 м. Всего в произведении получилось 29 м 10 см. Следовательно,
«а 6 платьев требуется 29 м 10 см материи.
2) Умножим 28 руб. 72 коп. на 24 коп.
Чтобы удобнее было умножать, раздробим предварительно 28 руб. 72 коп.
в копейки, получим 2 872 коп. Теперь умножаем 2872 коп. на 24,
получаем 68 928 коп., или 689 руб. 28 коп.
3) Допустим, что нам нужно умножить 16 км 80
на 26. Для этого раздробим предварительно 16 км 80
в метры; получится 16 080 м. Теперь умножим 16 080
на 26, записав это умножение столбиком:
в произведении 418 080 м, мы устно превра- * 19(Щ щаем их в километры и получаем 418 км 80 м.
3216	На страничке тетради запись решения двух указанных
"4Т'ШШ —— примеров будет иметь следующую форму:
2 872 коп.
X 24
11488
57 44
689 28 коп.
16080 м
Ж 26
1) 28 руб. 72 коп. X 24 = 689 руб. 28 коп.
^ 2 872
х 24
И 488
57 44
68 928
2) 16 км 80 м Х26 = 418 км 80 м
ч, 16080
х 26
9 648
3216
418080
При решении примеров последнего вида надо следить за тем, чтобы уче-
зшк« производили правильно раздробление.
327
^ * *


Решив на умножение несколько примеров, учитель делает та¬
кой вывод:
«Чтобы умножить составное именованное число на отвлечённое,
нужно: а) раздробить составное именованное число; б) вычисле¬
ние производить отдельно от записи действия; в) наименование
мер ставить в записи действия и не ставить в записи вычисления;
г)	простое именованное число, полученное в произведении, пре¬
вратить в меры высшего наименования».
Изучая письменное умножение, нужно в то же время
упражнять учеников в устном умножении.
Деление.
В делении нужно различать два вида: деление на равные части
и деление по содержанию, производимые разными способами.
I.	При делении на равные части делитель — число отвлечён¬
ное, частное — число именованное. При делении именованного
числа на равные части иногда приходится перед делением всё де¬
лимое раздроблять, например:
м 64 см
864 см
84
24
24
О
Деля 8 м 64 см на 12, нужно предварительно 8 м 64 см
раздробить в сантиметры и делить 864 см на 12, записывая
деление так:
Но во многих случаях предварительное раздробление не вызы¬
вается необходимостью, например:
Здесь только в середине процесса деления
2 км 522 м потребуется раздробление (раздробление остатка
16 км в метры). Получив в остатке 16 км, надо
поставить вопрос:	«Что надо сделать, чтобы
дальше можно было продолжать деление?»
Очевидно, для этого надр 16 км раздробить
в метры и прибавить к ним данные в дели¬
мом 704 м.
2.	Делимое и делитель — числа именованные.
Здесь возможны различные случаи, а именно: а) делимое и дели¬
тель — числа простые именованные (36 руб.: 75 коп.); б) дели¬
мое — составное именованное число, а делитель — простое
Шное число (8 т 100 кг: 9 ц)\ в) делимое — простое
ное число, а делитель — составное именованное чи-
м ■ 2 м 75 см) и, наконец, г) делимое и делитель — оба
е именованные числа (51 кг 450 г : 3 кг 400 г). Но горн
всём разнообразии примеров способ деления остаётся одним и тем
80 км 704 м
64
16 км
16204А
160
70
64
64
64
0
328


же: П'ри делений оба числа предварительно раз¬
дробляются в одинаковые меры. Частное при этом
всегда получается числом отвлечённым, показы¬
вающим, сколько раз одно именованное число
содержится в другом. Чтобы смысл такого деления был
для учащихся понятен, примеры нужно почаще облекать в форму
задач, например:
«Сколько метров тесёмки можно купить на 36 руб., если один метр стой?
75 коп.?» Ученик должен ответить: «Столько метров, сколько раз 75 коп. со¬
держится в 36 руб. Чтобы это узнать, нужно 36 руб. разделить по 75 коп.
Для этого мы 36 руб. раздробим в копейки, получится 3 600 коп., которые
и будем делить по 75 коп».
Записывается деление так:	36 руб.: 75 коп. = 48 (л)
3 600
3 00_
ьоо
600
о
Закончив деление, полезно спросить: «Что показывает частное 48?» «Оно
показывает, — отвечает ученик, — что 75 коп. содержится в 36 руб. 48 раз».
«Сколько же метров тесёмки можно купить на 36 руб.?» (48 м.) Слово
«метров» — в виде сокращённого м можно поставить в качестве наименования»
при 48, заключив букву м в скобки: 48 (м).
Решим ещё один пример, взяв его из задачи: «На пошивку шёлковых
платьев израсходовали 29 м 75 см шёлка. На каждое платье пошло по
4 м 25 см. Сколько вышло платьев?» Для решения этой задачи нужно
узнать, сколько раз 4 м 25 см повторится в 29 м 75 см (столько будет плать¬
ев). ДЛя этого разделим 29 м 75 см по 4 м 25 см. Раздробим оба числа в>
одинаковые меры—в сантиметры. Решение запишем так:
29 л 75 см : 4 м 25 см = 7 (платьев)
2975 (425
2975 1-у-
0
Меры времени.
(III и IV классы.)
В III классе заканчивается изучение полной таблицы мер
времени. Здесь даётся знакомство с двумя новыми для учащихся
мерами — с секундой и веком, или столетием. Представление-
о длительности промежутка времени, измеряемого секундой,
даётся конкретно: если вести счёт в довольно быстром темпе
(один, два, три, четыре, пять), то это и будет отсчитывание секунд.
Век — это 100 лет. Здесь число «100» говорит само за себя; пред¬
ставление же о годе, как об единице измерения времени, у учеников
уже имеется. Дальнейшие уточнения и конкретизация мер време¬
ни получатся путём решения задач. Решая задачи с целым»
32&


^ идами, ученики уточняют своё представление о столетии й годе;
•решая задачи в пределе года, они закрепляют свои знания о ме¬
сяце в сутках; наконец, на задачах в пределе суток ученики по¬
вторяют такие меры,-как час, минута, секунда. Ученики должны
твёрдо знать таблицу мер времени со всеми единичными отноше¬
ниями мер высшего и низшего наименования.
Век, столетие = 100 годам.
Год = 12 месяцам = 365 или 366 дням.
Месяц = 30 или 31 дню (в феврале 28 или 29 дней).
Сутки = 24 часам.
Час — 60 минутам.
Минута = 60 секундам.
Изучение мер не должно быть формальным; его надо соеди¬
нить с воспитательной работой: научить детей не только измерять,
но беречь, ценить время, с пользой проводить его, правильно
распределять время на труд, отдых и развлечения. В этих целях
нужно научить детей пользоваться часами, определять время
по часам с точностью до минуты. Нужно иметь в классе-отрывной
календарь и табель-календарь (последний нетрудно сделать самим
учащимся) и научить детей пользоваться этим календарём: узна¬
вать, какое число приходится на данный день и, наоборот, какой
день недели приходится на данное число. Надо проследить за
тем, чтобы календарь вошёл в быт ученика. Чтобы положить на¬
чало созданию привычки ценить время, можно, изучая меры вре¬
мени, давать задания учащимся III и IV классов в течение опре¬
делённого. срока (одной-двух недель) вести дома записи с учётом
того, сколько времени он расходует на приготовление уроков, на
игры и отдых, на работу по удовлетворению своих бытовых нужд,
на сон и т. д.
Так школа может создать у ученика одну из ценнейших при¬
вычек, которая должна быть у каждого культурного человека.
Раздробление и превращение мер времени. По¬
нятие о раздроблении и превращении как преобразованиях име¬
нованного числа учащиеся уже имеют (см. стр. 322—323), и здесь
нужно только ещё раз повторить, что значит раздробить (превра¬
тить) именованное число. Метрические меры всегда раздробляют-
с я и превращаются устно, с записью только данных и резуль¬
тата. Меры же времени преобразуются устно только в лёгких слу¬
чаях, 'во всех остальных случаях пользуются письменным
раздроблением и превращением. Примеры на раздробление ре¬
шаются в такой последовательности:
а) раздробление простых именованных чисел:	суток —
в часы; часов — в минуты; минут — в секунды. Например, раз¬
дробить: 7 суток в часы; 15 час. в минуты, 12 мин. в секунды;
б) раздробление составных именованных чисел: суток и часов
« часы; часов и минут в минуты; минут и секунд в секунды. На¬
пример: 15 сут. 18 час. — в часы; 12 час. 45 мин. — в минуты;
6 мин. 50 сек. —- в секунды.
330


Брать слишком сложные примеры, состоящие более чем из
двух-трёх наименований, не следует: в практике такие случаи
встречаются крайне редко.
Раздробление, как известно, производится путём умножения,
при умножении единичных отношений можно широко пользовать¬
ся переместительным свойством, меняя места сомножителей там,
где это приводит к упрощению вычислений, т. е. в тех случаях,
когда приходится умножать 60 (единичное отношение часа к ми¬
нуте, минуты к секунде) на двузначное или трёхзначное число.
А чтобы избежать при этом затруднений с постановкой наимено¬
ваний, последние можно не писать вовсе или ставить наименова¬
ние только у результата, заключая его в скобки. Пользуясь при
раздроблении и превращении в основном письменными вычисле¬
ниями, нужно в то же время действия над небольшими числами,
удобными для устного счёта, производить устно: это экономит и
время, и бумагу и, кроме того, тренирует учащихся в устном
счёте. Меняя места сомножителей, ученик должен уметь объяс¬
нить, почему он так поступает (удобнее и в то же время произве¬
дение не изменяется).
Приведём примеры выполнения, раздробления и превращения.
1. Пусть требуется число 18 час. 35 мин. 56 сек. раздпобить в се¬
кунды.
При первом объяснении и следующем за ним упражнении, когда ударе¬
ние делается на сознательность выполнения производимых операций, вычисле¬
ния можно производить так:
18 час. 35 мин. 56 сек. = 66 956 сек.
ч/ 60 мин.	, 1080 мин.	ч, 60 сек. . 66 900 сек.
х 18	 + 35 >	х 111 5	 +	56 >
10 80 мин.	1115 мин.	669 00 сею	66 956 сек.
В дальнейших упражнениях (тренировочных) записи можно придать более
компактную форму, объяснив ученикам её условность:
863885
263
'238
538
485
5
14398 (мин.)
239
598
58 мин.
I 60
239 (час.) | 24
216	д (сух.)
23 час.
сек.
18 час. 35 мин. 56 сек. = 66 956 сек.
X 60
10 80 (мин.)
-4-	35
"ТТТ5
X	60^
66 900 (сек.)
-4-	56
"”66 956 (сек.)
2. Пусть требуется превратить 863 885 сек. в высшие меры. Для этого
последовательно превращаем секунды в минуты (при помощи деления на 60),
далее минуты — в часы (путём деления на 60) и, наконец, часы — в сутки
(путём деления на 24).
Итак: 863 885 сек- = 9 сут. 23 час. 58 мин. 5 сек.
Здесь применена неразрывная запись в целях экономии места и временя.
Наименования поставлены только при остатках; в скобки их можно не за¬
ключать.
331


Сложение и вычитание.
Здесь следует различать два случая,- сложение без превра¬
щения и с превращением в сумме; вычитание без занимания
и с заниманием меры высшего наименования. Учащихся нужно
познакомить сначала с первым, потом со вторым случаем. Если
в уменьшаемом нет таких мер, какие есть в вычитаемом, то на
месте отсутствующих мер в уменьшаемом ставятся нули.
Приведём образцы
1. а) , 5 сут. 16 час.
+ 8 > 6 »
13 сут. 22 часа
записи сложения и вычитания:
б) , 9 час. 50 мин.
1 12 *	48 >
21	час. 98 мин.
22	часа 38 мин.
в) , 10 час. О мин. 45 сек.
2	» 0 »	15 »
12 час. О мин. 60 сек.
12 час. 1 мин. О сек.
2. а) 8 сут. 16 час.
~~3 >	12	>
5 сут. 4 часа
59	105
в) _ 6 час. О мин. АН сек.
2	>	0 »	50	»
3	часа. 59 мин. 55 сек.
77
б) 35 мин. т? сек.
21	> 38 »
13 мин. 39 сек.
59	60
г)	6 час. О мин. 45 сек.
2 »	0	»	50 »
или:	3 часа 59 мин. 55 сек.
Можно избежать зачёркивания и надписывания цифр, но для этого надо
приучить учеников вычитать данное число из раздробленной меры, а потом
прибавлять к полученному остатку имеющиеся в уменьшаемом меры того же
наименования. Так, в примере (26), заняв одну минуту и раздробив её в 60 се¬
кунд, ученик может от 60 отнять 38 и к остатку 22 прибавить 17, получится
39 (обоснование: чтобы от суммы отнять число, достаточно отнять это число
от одного из слагаемых (60 + 17) гг 38 = (50 — 38) + 17 = 22 4 17 = 39).
Такие же примеры, в которых уменьшаемое — простое именованное число,
проше решать устно, чем письменно. Пусть, например, дано вычесть 14 час.
из 2 суток. Запишем этот пример в строчку и будем его решать так: возьмём
1 сутки и раздробим их в часы. Тогда в уменьшаемом будет: 1 сутки 24 ча-ц
са. Вычтем 14 час. из 24 час., останется 10 час., да ещё 1 сутки, всего з
остатке получится 1 сут. 10 час. Получится следующая запись:
2 сут. — 14 час. — 1 сут. 10 час.
Если же решать этот пример по правилу письменного вычитания, то вы¬
числение может быть записано так:
24
2* сут. 00 час.
~	>	14 >
1 сут. 10 час.
Умножение.
Если при умножении именованных чисел с метрическими
мерами требовалось предварительное раздробление
множимого, так как раздробление упрощает вычисление, то при
умножении чисел с мерами времени раздробление производить не
следует, оно усложнило бы процесс умножения, так как раздроб-
.ление повлекло бы за собой необходимость превращения произве¬
дения, что в свою очередь выполняется при помощи сложных
332


приёмов. Таким образом, умножать именованное число с мерами
времени нужно так, как оно дано, т. е. нужно умножать каждую
меру отдельно, начиная с мер низшего наименования и делая, где
это возможно, превращение.
Превращение делается или устно (в лёгких случаях), или пись¬
менно.
Решим несколько примеров на умножение в порядке их посте¬
пенного усложнения:
1)
час. 15 мин.
3
6 час. 45 мин.
Этот пример решается без превращения в произведе¬
нии. Результат получается сразу окончательный.
2) ^ 3 час. 50 мин.
х	4
12 час. 200 мин.
15 час. 20 мин.
В этом примере требуется превращение минут в часы
(200 мин. = 3 часа 20 мин.).
3) Третий случай (значительно более сложный), когда множитель — число
двузначное и когда меры каждого наименования нужно умножать письменно.
Решая задачу: «Луна совершает свой полный оборот вокруг Земли в 27 сут.
7 час. 43 мин. 11 сек.-Во сколько времени Луна совершит 12 оборотов вокруг
Земли?» нужно данное составное именованное число умножить на 12. Умно¬
жение производят следующим образом:
27 сут. 7 час. 43 мин. 11 сек. X 12 = 327 сут. 20 час. 38 мин. 12 сек.
V 11
х 12
сек.
V 43
х 12
МИН.
ч, 7 час.
х 12
V 27 СУТ'
Х 12
22
11
86
43
. 84
+ 8
54
27
132
120
■ |60
2 (мин.)
, 516
+ 2
92 |24
72 3(сут.)
,324
+ 3
12
сек.
518
- !бо
20 час.
327 сут.
480
8 (час.)
38
МИН.
Деление.
При делении именованных чисел надо различать два случая:
1) Деление именованного числа на отвлечённое. 2) Деление
именованного числа на именованное.
При делении именованного числа на отвлечённое в свою оче¬
редь встречаются два случая,- деление простого именованного
числа и деление^со с та в н о г о именованного числа на отвлечён¬
ное. Оба эти случая надо объяснить учащимся.
1) 23 часа
20 •
3 часа
5
4 часа 36 мин.
1р56 мин. 42 сек. |
2 мин.
18
3 мин. 9 сек.
180 мин.
15
30
0
162 сек.
162
0
Объясняя решение этих примеров, учитель подчёркивает те
моменты, из которых складывается решение, а именно: деление
333


начинается с мер высшего наименования; последовательно делят¬
ся единицы каждого наименования отдельно; если получается
остаток, то он раздробляется в меры следующего низшего наиме¬
нования и к полученному числу прибавляются меры того же наи¬
менования, данные в делимом; полученная сумма делится на
делитель. И так деление продолжается до конца. Раздробление
часов в минуты и минут в секунды производится обычно устно;
раздробление других мер — года в сутки, суток в часы, если* мно¬
житель двузначное число, — письменно, например:
67	сут.	,	12	час.
~~	54	>	*	312	■»
V,	13	324	час.
*	24	18
52	144
26	144
312 (час.)	О
18
3 сут. 18 час.
13 этом примере раздробление остатка (13 сут.) в часы произ¬
ведено путём умножения на 24, что возможно на основании пере¬
местительного свойства умножения. Далее полученное число часов
(312 час.) сложено с данным числом часов в делимом (12 час.)
путём подписывания 312 под 12 в целях более компактной и эко¬
номной записи.
При делении именованного числа на именованное встречаются
различные случаи: а) деление простого именованного числа на
простое; б) деление составного именованного числа на простое;
в)	деление простого именованного числа на составное; г) деление
составного именованного числа на составное. Приём деления во
всех этих случаях один и тот же: делимое и делитель раз¬
дробляются в меры одинакового наименования и делятся как
отвлечённые числа.
Решим пример на деление составного именованного числа на составное,
придав ему форму задачи: «Товарный поезд должен был пройти некоторое
расстояние в 15 сут. 6 час. 40 мин., затрачивая на каждый километр пути
2 мин. 45 сек. Сколько километров нужно было пройти поезду?» Чтобы ре¬
шить эту задачу, нужно узнать, сколько раз 2 мин. 45 сек. содержатся
в 15 сут. 6 час. 40 мин.
Для этого надо разделить 15 сут. б час. 40 мин. по 2 мин. 45 сек. Раз¬
дробляем делимое и делитель в секунды и делим полученные числа, как от¬
влечённые. Запись можно вести в следующей форме'
15 сут. 6 час. 40 мин.: 2 мин. 45 сек. = 8 000 (кл).
а) X
+
24
15
120
24
360
6
б) Ч/ 366
*	60
,	21 960
+	40_
22 000 (мин.)
366 (час.)
г) 2 мин. 45 сек. — 165 сек.
в) ^	22000
X 60
1320 000 (сек.)
д) 1 320 0001 165
1320 8000
*34


Задачи на вычисление времени.
В задачи на вычисление времени входят три величины: 1) дли¬
тельность какого-нибудь события, 2) его начало и 3) конец. Так
как каждая из этих величин может служить искомой, а две осталь¬
ные — данными, го задачи на вычисление времени могут быть,
трёх видов:
1)	Задачи н! определение продолжительности события, если-
даны начало и конед события, например: «Пароход вышел в море 12 мая*
и пришёл к месту назначения 18 числа того же месяца. Сколько дней паро¬
ход был в пути?»
2)	Задачи на вычисление конца события, если даны начало события-
н его продолжительность, например: «Пароход вышел в море 12 мая и был
р пути 6 суток. Когда пароход прибыл на место назначения?»
3)	Задачи на определение начала события, если даны конец события
н его продолжительность, например: «Пароход прибыл на место назначений
18 мая, пробыв в пути 6 суток. Когда вышел пароход в море?»
Задачи на время могут относиться к промежуткам времени:
а) в пределах суток, б) в пределах года и в) в пределах одного-
или нескольких столетий, например:
«Собрание началось в 6 час. 30 мин. вечера н закончилось в 8 час. 15 мни.
Сколько времени продолжалось собрание?» В этой задаче данное событие
(собрание) совершается в пределах суток. «Летний санаторий открылся 20 мая-
н закрылся 15 сентября. Сколько дней работал санаторий?». Эта задача затра¬
гивает событие, совершающееся в пределах года.
Существует два способа решения задач на время, в зависимо¬
сти от того, от какого момента мы ведём отсчёт времени, чтб мьь
принимаем при вычислении за начальный момент. За начало для-
отсчёта времени можно принять: начало эры, если событие затра¬
гивает столетия; начало года, если событие совершается в преде¬
лах года, или начало суток, если событие происходит в пределах
суток. Но можно выбрать и иное начало: за начальный момент
при вычислении времени можно принять одно из тех событий, ко¬
торое дано в задаче.
Пока дети решают задачи на время в пределах суток, месяца-
или года, целесообразно относить данные в задаче моменты не
к одному (общему) началу (к началу суток, к началу месяца или го¬
да) , а за начало принимать данное в задаче событие. Но когда уча¬
щиеся перейдут к решению задач на время в пределах столетия
или нескольких столетий, тогда основным приёмом решения
должен стать тот приём, при котором отсчёт времени ведётся от
общего начала — от начала нашей эры, -—и при котором
требуется умение переводить календарные даты в арифметические
числа и, наоборот, умение заменять арифметические числа кален¬
дарными датами. Мы говорим «основным» потому, что и из этих
последних задач некоторые удобнее решать первым приёмом, отсчи¬
тывая время от данного в задаче события.
Из трёх типов задач на время нужно вначале познакомить уча¬
щихся с задачами на вычисление промежутка времени между
336


двумя событиями, затем с задачами на вычисление конца события
по данному началу события ,и его продолжительности и, наконец,
с задачами, в которых требуется определить начало события по
данному концу и продолжительности события. При таком порядке
обеспечивается постепенное нарастание трудности.
Рассмотрим сначала приёмы решения задач трёх видов на
время в пределах суток, месяца и года.
Задачи на время в пределах суток.
Задача 1: «Занятия в школе начались в 8 час. 30 мин. утра и закончи¬
лись в 1 час. 15 мин. дня. Сколько времени продолжались занятия?» Объясне¬
ние решения: от 8 час. 30 мин. до полудня, т. е. до 12 час., прошло 3 часа
30 мин. да ещё после 12 час. занятия шли 1 час. 15 мин. Всего же занятия
продолжались 3 часа 30 мин. + 1 час. 15 мин. = 4 часа 45 мин.
Дополнение 8 час. 30 мин "До 12 час. происходит так: от 8 час. 30 мин.
до 9 час. прошло 30 мин., от 9 час. до 12 час.—3 часа, а всего 3 часа
30 мин.
Задача 2: «Заседание сессии городского совета депутатов трудящихся на¬
чалось в 1 час 30 мин. дня и продолжалось 5 час. 15 мин. Когда окончилось
заседание сессии?»
Объяснение решения: заседание закончилось позже начала на 5 час. 15 мин.;
для ответа на вопрос задачи нужно к 1 часу 30 мин. прибавить 5 час. 15 мин.;
через 5 час. будет 6 час. 30 мин. (1 час 30 мин. + 5 час.), через 15 мин.
сбудет 6 час. 45 мин. (6 час. 30 мин. + 15 мин.). Значит, заседание сессии за¬
кончилось в 6 час. 45 мин. вечера, или, иначе говоря, без четверти 7 час.
Решение этих задач возможно и другим способом: например, решая пер.
■вую задачу, можно рассуждать так: «От начала суток (от полуночи) до кон¬
ца занятий прошло 12 час. + 1 час 15 мин. = 13 час. 15 мин. От начала же су¬
ток до начала занятий прошло 8 час. 30 мин. Следовательно, занятия продол¬
жались 13 час. 15 мин. — 8 час. 30 мин. = 4 часа 45 мин.».
Первый способ проще и легче для учащихся. Он является общепринятым
в жизни, им преимущественно и следует пользоваться.
Задачи на время в пределах месяца.
Задача 1: «Поезд, вышел из Москвы 5 июля в 9 час. вечера и прибыл во
Владивосток 25 июля в 12 час. дня. Сколько времени поезд находился
в пути?»
Объяснение решения: от 9 час. вечера 15 июля до 9 час. вечера 25 июля
прошло ровно 10 суток. (25—15=10); но поезд пришёл не в 9 час. вечера,
а в 12 час дня, т. е. на 9 час. раньше; следовательно, нужно 10 суток умень¬
шить на 9 час.; получится 9 сут. 15 час.
Ответ: поезд находился в пути 9 сут. 15 час. и пришёл на 10-е сутки.
Задача 2: «Пароход отошёл от пристани 20 мая в 8 час. утра и пришёл
к месту назначения через 5 сут. 12 час. Когда пришёл пароход к месту на¬
значения?»
Решение: если в момент выхода парохода было 8 час. утра 20 мая, то
через 5 суток будет’ 8 час. утра 25 мая (через одни сутки — 21 мая, через
вторые сутки — 22 мая, через третьи — 23 мая и т. д.). Но пароход шёл
сверх 5 суток ещё 12 час. Прибавим 12 час. к 8 час., получим 20 час. Следо¬
вательно, пароход пришёл к месту назначения 25 мая в 20 час., или в 8 час:
вечера.
Другой способ решения первой задачи: от начала месяца до прихода
поезда во Владивосток прошло полных 24 дня и 12 час. От начала того же
336


месяца до выхода поезда из Москвы прошло 14 сут. 21 час. Чтобы найти
промежуток между концом и началом движения поезда, нужно от 24 сут.
12 час.'отнягь 14 сут. 21 час.
24 сут. 12 час.
14 >	21	>
9 сут. 15 час.
Этот второй способ сложнее первого, и поэтому его можно только пока¬
зать. но пользоваться следует первым способом.
Полезно показать второй способ применительно и ко второй задаче. Здесь
можно дать первые навыки перевода календарных дат в арифметические чис¬
ла, рассуждая так: «От начала месяца до момента отхода парохода от приста¬
ни прошло полных 19 суток и ещё 8 час. Прибавив к этому числу 5 сут.
12 час., получим 24 сут. 20 час. На которые же сутки пришёл пароход?
Очевидно, на 25-е; 25-е сутки — это 25 мая».
Задачи на время в пределах года.
Задача 1: «Судоходство на реке Волге в её среднем течении началось
20 апреля и закончилось 10 ноября. Сколько времени продолжалась нави¬
гация?»
Решение: от 20 апреля до I мая прошло 10 дней Дальше считаем меся¬
цами с мая по октябрь включительно — 6 месяцев. В ноябре — 10 дней. Сло¬
жим все эти промежутки времени: 6 мес. + 10 ли. + 10 дн. =5 мес. 20 дней.
Задача 2: «Пионерский лагерь открылся 5 июня и работал 2 мес. 20 дн.
Когда закрылся пионерский лагерь?»
Решение: с 5 июня по 5	июля прошёл	один	месяц, по 5 августа	прошёл
другой месяц. Присчитаем к	5 августа 20	дней,	получим	25 августа.	Следо¬
вательно, лагерь закрыли 25 августа.
Задача 3: «Во время Великой Отечественной войны Киев был освобождён
от немецких захватчиков 5 ноября 1943 г. Освобождение же Харькова произо¬
шло на 74 дня раньше. Когда был освобождён город Харьков?»
Решение: отсчитываем 5	дней ноября,	получаем 31	октября. Отсчитав
октябрь и сентябрь, мы- ещё	отсчитаем 61	день,	а всего	с 5 днями	ноября
66 дней. До 74 нехватает 8 дней (74 — 66 = 8). Отсчитываем в августе 8 дней
(31 — 8 — 23), получаем 23 августа. Значит, Харьков был освобождён 23 ав¬
густа 1943 г.
Задачи на время в пределах больше года.
Решение этих задач требует от ученика уменья переводить календар¬
ные даты в арифметические числа и наоборот. Число, обозначающее время
какого-нибудь события, называют календарным числом; таковы числа:
7 ноября 1917 г., 1 мая 1944 г. Календарное число всегда отвечает на вопрос:
когда произошло данное событие3
Число, которое выражает время, протекшее от одного момента до друго¬
го, есть собственно арифметическое число. Оно отвечает на вопрос:
«Сколько?» Например: «Сколько времени прошло от Куликовской битвы до
Бородинского боя?» (431 год 11 мес. 18 дней.) «Сколько времени прошло от
1 мая до 7 ноября?» (6 мес. 6 дней.)
431 г. 11 мес. 18 дн., 6 мес. 6 дн. — арифметические числа. Арифметиче¬
ское число — обыкновенное составное именованное число, выраженное в ме¬
рах времени. Действия можно производить только над арифметическими чи¬
слами. Календарную дату вводить непосредственно в вычисление нельзя:
нелепо, например, вычитать И июня из 6 декабря В задачах же на время
даются и календарные, и арифметические числа. Чтобы можно было произвести
над ними то или иное арифметическое действие, необходимо календарное число
преобразовать в арифметическое. Перевести календарное число в арифметиче¬
ское — значит высчитать, сколько времени прошло до известного события от
начала летосчисления (или от начала столетия, начала года и т. д): 21 июня
1941 г. соответствует 1940 г. 5 мес. 20 дн.; это значит, что от начала лето¬
22 А. С. Пчёлко
337


счисления прошло полных 1940 лет 5 мес. 20 дней; 12 октября — календарная -
дата, соответствует арифметическому числу: 9 мес. 11 дней, т. е. от начала
года до 12 октября прошло полных 9 мес. 11 дней.
Перевести арифметическое число в календарное—это значит определить,
когда произошло событие, зная время, прошедшее от начала летосчисле-
яия (пли года, месяца), например: от начала летосчисления до начала Вели¬
кой Отечественной войны прошло полных 1940 лет 5 мес. 20 дней. Значит,
Великая Отечественная война началась в 1941 г. 21 июня.
Укажем приёмы решения задач трёх типов на основе перевода
календарных чисел в арифметические:
1.	«Великий русский поэт Александр Сергеевич Пушкин родился б ию¬
ня 1799 г., а умер 10 февраля 1837 г. Сколько времени жил Пушкин?»
Решение: от начала летосчисления до смерти Пушкина прошло полных
1836 лет 1 мес. 9 дней.
От начала летосчисления до рождения Пушкина прошло полных
1798 лет 5 мес. 5 дней.
Чтобы узнать, сколько времени жил Пушкин, нужно из 1836 лет 1 мес.
9 дней вычесть 1798 лет 5 мес. 5 дней.
	1836 лет 1 мес. 9 дней
1798 » 5	>	5
37 лет 8 мсс. 4 дня
Ответ: 37 лет 8 мес. 4 дня.
2.	«Академия наук была основана в России 28 января 1724 г., а Москов¬
ский университет был открыт через 31 год 8 мес. 1 день. Когда был открыт
Московский университет?»
В этой задаче даны дата открытия Академии наук и промежуток, отделяю¬
щий открытие Московского университета от открытия Академии наук. Следо¬
вательно, здесь даны начало события и промежуток времени, отделяющий двэ
события, а требуется узнать, когда произошло второе событие. Для решения
задачи нужно календарное число перевести в арифметическое и затем это чи¬
сло увеличить на 31 год 8 мес. 1 день.
От начала летосчисления до момента открытия Академии наук прошло
полных 1723 года 0 мес. и 27 дней. К этому числу прибавим 31 год 8 мес.
I	день.
, 1723 года 0 мсс 27 дней
+	31	>	8 > I
1754 года 8 мес. 28 дней
Следовательно, от начала летосчисления до открытия университета
в Москве прошло полных 1754 года 8 мес. 23 дня. Когда же произошло
открытие унниепситета? Для ответа на этот вопрос переведём полученное
арифметическое число в календарное: событие произошло в 1755 г., в 9-м ме¬
сяце (сентябре), 29 числа, т. е. 29 сентября 1755 г.
3.	«Знаменитый русский писатель Николай Васильевич Гоголь умер 4 мар¬
та 1852 г., прожив 42 г. 11 мес. 2 дня. Когда родился Гоголь?»
В этой задаче даны конец события (смерть Гоголя) и продолжительность
жизни 1 оголи Требуется определить начало события (рождение Гоголя). Дата
смсрп! мне ие !и гырпжеил календарным числом. Переведём его п арифмети¬
ческое чт мо	начал,I ж тсчис леиия до момент смсрш Гоюля ппошло
полных 1851 год 2 мес. 3 дня. День рождения был на 42 г. 11 мес 2 дня
раньше. Следовательно, нужно из 1851 года 2 мес. 3 дней вычесть 42 г.
II	мес. 2 дня:
1851 года 2 мсс. 3 дня
~	42	>11»	2	>
1808 лет 3 мес. 1 день
338


От начала летосчисления до рождения Гоголя прошло полных 1808 лет
3 мес. 1 день. Следовательно, рождение Гоголя произошло в 1809 г. в апреле,
во второй день, г. е. 2 апреля 1809 г.
Во всех вышеуказанных задачах мы вели отсчёт времени от начала ле¬
тосчисления. Однако такой способ решения не всегда является рациональным.
В тех случаях, когда события отделяются сравнительно небольшим промежут¬
ком времени, можно за начало отсчёта времени принимать данное в задаче
событие. Это приводит к более короткому и простому решению. Возьмём за¬
дачу: «Сталинская Конституция была утверждена 5 декабря 1936 г., а
выборы в Верховный Совет Союза ССР происходили 12 декабря 1937 г.
Сколько времени прошло между этими событиями?»
Решая эту задачу, будем рассуждать так: от 5 декабря 1936 г. до 5 де¬
кабря 1937 г. прошёл ровно 1 год; далее, от 5 декабря до 12 декабря прошло
ещё 7 дней. Значит, между утверждением Сталинской Конституции и выбо¬
рами в Верховный Совет СССР прошло всего 1 год 7 дней.
Решим этим же способом ещё одну задачу, в которой нужно по началу
события и его продолжительности найти конец события: «Первое кругосвет¬
ное путешествие продолжалось 3 года 20 дней. Когда закончилось эго путе¬
шествие, если оно началось 18 августа 1519 г.?»
Рассуждаем так’ через 3 года после начала путешествия было 18 августа
1522 г. (1519 + 3 = 1522). Через 13 дней наступило 1 сентября 1522 г Остаёт¬
ся прибавить ещё 7 дней (20—13 = 7) сентября. Следовательно, путешествие
закончилось 8 сентября 1522 г.
Этот второй приём в жизни .более употребителен, как более простой
и удобный для устных вычислений. Поэтому школа обязана познакомить уча¬
щихся и с этим приёмом.
ГЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ.
ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ.
Изучение этого раздела подготовляет учащихся к системати¬
ческому курсу обыкновенных дробей. Кроме того, учащиеся усваи¬
вают здесь новые для них понятия о свойствах целых чисел.
Содержание этого раздела составляют следующие основные
вопросы:
1)	Признаки делимости чисел. 2) Разложение чисел на про¬
стые множители. 3) Нахождение делителей составного числа.
4)	Способ нахождения наибольшего общего делителя нескольких
чисел. 5) Способ нахождения наименьшего общего кратного не¬
скольких чисел.
Признаки делимости.
Вывод признаков делимости основывается на следующем свои-
С1ПС суммы
1)	если каждое слашсмос делтся на одно и ю же число, то
и сумма разделится на это число;
2)	если одно слагаемое не делится, а все прочие делятся на
какое-нибудь число, то сумма не разделится на это число.
Учитель знакомит учащихся с этим свойством суммы на ряде
конкретных примеров: а) 45 + 15 = 60 (каждое слагаемое делится
22*
339


на 5, и сумма тоже делится на 5; б) 16 -(-24 + 9 = 49 (одно
слагаемое не делится на 4, а прочие делятся на 4, сумма не де¬
лится на 4). Учащимся здесь же даётся элементарное объясне¬
ние этих свойств — почему в первом случае сумма должна де¬
литься на 5, а во втором случае не может делиться на 4. Если
45 делится на 5, то значит 45 может быть составлено из пятё¬
рок — из девяти пятёрок; если 15 делится на 5, то это значит,
что оно состоит тоже из пятёрок — из трёх пятёрок. Если
слагаемые состоят из пятёрок, то и сумма будет состоять
из пятёрок, т. е. будет делиться на 5. Действительно, сумма (60)
состоит из 12 пятёрок. На указанное свойство суммы нужно опи¬
раться при выводе всех признаков делимости.
Во втором примере числа 16 и 24 могут быть составлены из
четвёрок, но третье число (9) из четвёрок составить нельзя. Ясно,
что и сумма этих трёх чисел не может быть составлена из
четвёрок, т. е. не делится на 4.
Признаки делимости можно расположить в следующем по¬
рядке: 2, 5, 10; 4, 25, 100; 9 и 3.
Главное при выводе признаков делимости — научить детей
применять основное свойство суммы, т. е. разлагать данное число
«а два таких слагаемых, чтобы в одно из них вошли все разряды,
безусловно делящиеся на данное число, а в другое—остальная
часть числа. Например, для того чтобы вывести признак дели¬
мости на 2, учитель, повторив с учащимися чётные и нечётные
числа и установив, что всякое число, оканчивающееся нулём,
делится на 2, берёт сначала трёхзначное число, оканчивающееся
чёткой цифрой (например 426), потом число, оканчивающееся не¬
четной цифрой. Оба числа он представляет в виде суммы так:
425 = 420 + 6;
427 = 420 + 7.
В первом примере оба слагаемых делятся на 2, поэтому
и сумма разделится на 2. Напротив, число 427 не разделится на
2, так как 7 не делится на. 2.
Отсюда выводится признак делимости на 2: «На 2 делятся те
числа, которые оканчиваются нулём или чётной цифрой».
Для вывода признака делимости на 4 предварительно уста¬
навливается, какие разряды делятся и какие не делятся на 4; из
единиц на 4 делятся только 4 и 8, из круглых десятков на 4
делится только чётное число десятков — 20, 40, 60,	80. Сотня
делится на 4 к любое число сотен всегда делится на 4; то же
тысяча. Следовательно, если нужно определить, делится ли дан¬
ное число (например 6 728) на 4, нужно разбить его так, чтобы
е одну часть вошли все сотни, а в другую десятки и единицы.
Часть числа, состоящая из сотен, делится на 4. Следовательно,
от делимости последней части числа, состоящей из десятков
и единиц, и будет зависеть делимость всего числа. Отсюда де¬
лается вывод: «На 4 делятся те числа, которые оканчиваются
340


двумя нулями или две последние цифры которых составляют
число, делящееся на 4».
Несколько сложнее вывод признаков делимости на 9 и на 3.
Тем не менее и эти признаки следует вывести, а не сообщать их
догматически. Вывод признака делимости на 9 складывается из
следующих этапов:
1)	Устанавливается, что всякое число, написанное посред¬
ством цифры 9, т. е. 9, 99, 999 и т. п., делится на 3 и на 9.
2)	Каждая разрядная единица, т. е. 10, (00, 1 000 и т. д., при
делении на 9 и на 3 даёт в остатке единицу.
3)	Всякое круглое число, т. е. число, обозначенное значащей
цифрой с нулями (200, 3 000, 30 000 и т. д.), при делении на 9
даёт в остатке столько единиц, сколько их содержится в знача¬
щей цифре (точнее в числе, выраженном значащей цифрой).
4)	После этого берётся какое-нибудь число, например 3 258,
и на нём выводится признак делимости на 9.
Для этого данное число разлагается сначала на отдельные единицы раз¬
личных разрядов, а потом каждый разряд в свою очередь разлагается на чи¬
сло, написанное посредством цифры 9, и остаток.
Получается такая запись:
3 258 = 999 + 999 + 999 +	+ 3 +
+ 99+ 99+	+ 2 +
+	9+	9+	9+9+9+5+
+ 8
Слагаемые 999, 99, 9 делятся на 9; значит, делимость данного числа на 9
и на 3 зависит только от суммы 3 + 2 -ъ 5 + 8. Если эта сумма разделится
на 9 и на 3, то и всё данное число разделится на 9 и на 3. Сумма 3 + 2 +
+ 5 + 8 есть сумма чисел, выраженных цифрами данного числа, или, как го¬
ворят для краткости, сумма цифр данного числа. В данном случае эта сумма
цифр делится на 9 и на 3. Значит, и всё число разделится (на основании
свойства суммы) и на 9, и на 3. Поэтому: «на 9 (и на 3) делятся те числа, у
которых сумма цифр делится на 9 (или на 3)».
После того как сформулирован признак делимости на то или
иное число, учитель называет ряд чисел и предлагает учащимся
по данному признаку определить, делятся ли эти числа на данное
число, а затем предлагает самим учащимся написать два ряда
чисел, из которых одни делятся, а другие не делятся на данное
число. Эти упражнения служат хорошей проверкой того, на¬
сколько дети поняли тот или иной признак и умеют им пользо¬
ваться.
Разложение чисел на простые множители.
Учитель пишет два ряда примерно таких чисел:
5,	1 1, 17, 23
6,	8, 15, 28
и на них выясняет, что одни числа делятся только на единицу
и сами на себя — это простые числа; другие делятся не только
34}


на единицу и сами на себя, но и на другие числа — это составные
числа. Даётся определение простых и составных чисел. «Простым
числом называется такое число, которое делится только на единицу
и само на себя». «Составным числом называется такое число, ко¬
торое делится не только на единицу и само на себя, но ещё и на
другие числа». Далее выписываются на доске и в тетрадях все
простые числа до 100 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,
41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97). Единица занимает
особое место, она не относится ни к простым, ни к составным
числам.
Всякое составное число можно представить в виде произведе:
мня простых чисел; иначе говоря, всякое составное число молено
разложить па простые множители. Нахождение множителей дан¬
ного числа сводится к нахождению его делителей. Множитель —
он же и делитель данного числа, и, наоборот, делитель данного
числа входит в состав его множителей (70:5 = 14; 70:14 = 5;
70=14X5). Для того чтобы разложить число 70 на простые
множители, нужно найти наименьшее простое число, на которое
делится 70, таким числом является 2:
70 . 2 = 33; значит, 70 — 2 X 35.
В этом равенстве число 35 составное. Наименьшее простое
число, на которое делится 35, есть 5; значит 35 = 5X7. Таким
образом, 70 = 2 X 5 X 7.
Это и будет разложением составного числа на простые мно¬
жители, так как в нём все сомножители — простые числа.
Доя удобства разложение обычно записывают так:
210 I 2
105 | X
35 I о
Нахождение наибольшего общего делителя нескольких чисел.
Изучение этою вопроса начинается с выяснения на конкретных
примерах понягий:	что такое делитель числа, простые
и состав н ы е делители данного числа, общи й делитель не¬
скольких чисел и и а и б о л ь ш и и общий делитель нескольких
чисел
Числа Вес делители их
Общие делители
Наибольший об-
обоих чисел
шип делитель
2) 12 1 1 6. 8 12 24
30 ! 2, 3 4. Ь. Ч 12, Н, 30
1, 2, 3, 4, 6, 12
12
342


Чтобы найти делители какого-нибудь числа, например 210, раз¬
лагают это число на простые множители (210 — 2X3X5X7).
Каждый из этих множителей будет простым делителем данного
числа; перемножением же простых множителей по два, по три, по
четыре и т. д. получают составные делители данного числа;
2X3 = 6; 2X3X5 = 30; 3X5X7=105; 6, 30, 105 и т. п.—
составные делители числа 210.
Большое практическое значение имеет умение правильно и
быстро находить наибольший общий делитель нескольких чисел
(это умение применяе)ся при сокращении дробей с большим чи¬
слителем и знаменателем).
Наибольший общий делитель нескольких чисел (сокращённое
его обозначение н. о. д.) находится в начальной школе посред¬
ством разложения чисел на простые множители.
Пусть требуется найти наибольший общий делитель двух чисел—120 и
150. Разложим эти числа па простые множители:
120
2
150
2
60
2
75
3
30
2
25
5
15
3
5
5
5
1
5
1
Сравнивая между собой делители этих чисел, видим, что между ними
есть общие, а именно: 2, 3, 5. Чтобы получить наибольший общий де¬
литель, надо перемножить все общие множители. Н. о. д. 120 и 150=2ХЗХ
X 5 = 30.
Из рассмотрения нескольких таких примеров выводится пра--
вило: «Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чи¬
сел, надо разложить ах на простые множители, выписать общие
множители и перемножить их. В произведении получится наиболь¬
ший общий делитель».
Нахождение наименьшего общего кратного нескольких чисел.
Предварительно выясняются понятия: кратные числа, общее
кратное нескольких чисел, наименьшее общее кратное нескольких
чисел,
( Числа
1
Кратные числа
Общие кратные
Наименьшее об¬
щее кратное
8
8, 16.
24. 32 40 48...
24, 48 . . .
24
1 6
6, 12
18, 21 30, 36, 48. 54
Даётся определение наименьшего общего кратного (сокращён¬
ное обозначение н. о. к.). Большое практическое значение имеет
уменье быстро и правильно находить н. о. к. В начальной школе
н. о. к. находится посредством разложения чисел на простые мйо-
жители. Прежде чем показать этот способ, учащимся нужно объ¬
яснить на примерах следующие положения:
343


1)	если одно число кратно другому» то все простые сомножи¬
тели делителя входят в состав делимого (кратного);
2)	одно число разделится на другое (будет кратно ему), если
в состав делимого (кратного) входят все простые сомножи¬
тели делителя;
3)	в состав н. о. к. данных чисел должны входить все простые
сомножители каждого из этих чисел.
Техника (правило) нахождения н. о. к. сводится к тому, что
каждое из данных чисел разлагается на простые сомножители,
затем выписываются все множители одного числа, к ним припи¬
сываются недостающие множители других чисел и перемножаются.
Полученное произведение и будет наименьшим общим кратным.
Допустим, что нужно найти н. о. к. чисел 45, 25 и 75. Запись нахожде¬
ния н. о. к. производится обычно так:
45 = 3 X 3 X 5
20 = 2 X 2 X 5
75 = 3 X 5 X 5
Н. о. к. = 3 X 3 Х$ X 2 X 2 X 5 = 900
Возьмём другой пример: найти наименьшее кратное чисел 84 и 90.
84
2
90
2
42
2
45
3
21
3
15
3
7
7
5
5
1
1
Н. о. к. = 2Х2ХЗХ?ХЗХ5=1260
Ознакомившись со способом нахождения наименьшего общего кратного,
учащиеся обычно начинают смешивать этот способ со способом нахождения
наибольшего общего делителя, тем более, что в форме записи обоих способов
много общего. Чтобы облегчить учащимся усвоение особенностей выборки
множителей при нахождении н. о. д. и н. о. к., некоторые учителя пользуют¬
ся несколько иной формой записи разложения чисел на множители при на¬
хождении наименьшего общего кратного.
Пусть требуется найти н. о. к. чисел 24, 15 и 18. Разложение данных
чисел па простые множители записывается так:
24	15
12	-
б	-
3	—
1	_5
1
Н. о. д. = 2*2-2-3-3*5 = 360
Начинаем по признакам делимости чисел делить данные числа на самый
меньший делитель. Таким делителем для 24 и 18 будет 2. После первого де¬
ления на 2 будем иметь числа: 12, 15 и 9. Из них 12 делится на 2, а 15 и 9
«ждут* своего делителя. Делим 12 на 2 и получаем 6, шестёрка ещё делится
на 2. После деления 6 на 2 будем иметь числа 3, 15 и 9 Каждое из них де¬
лится на 3. Произведём это деление и получим 1, 5 и 3. Последнее число де¬
лится на 3, а среднее на 5. Заканчивая деление, получим в частном от деле¬
ния каждого числа 1. Перемножаем все полученные делители и получаем наи¬
меньшее общее кратное всех данных чисел.
18
9
344


При такой записи способ нахождения н. о. к. более резко отличается от
способа нахождения н. о. д.: при нахождении наибольшего общего делители4
выбираются общие множители, а при нахождении наименьшего общего крат¬
ного сразу получаются и перемножаются все делители.
Примерное распределение материала по урокам.
1-	й урок. Делители числа. Кратные числа. Делимость суммы на число¬
вых примерах.
2-	й урок. Признак делимости на 10, 2, 5.
3- й урок Признак делимости на 100, 4, 25.
4- й урок. Признак делимости на 9.
5-	й урок. Признак делимости на 3.
6-	й урок. Повторение пройденного с признаках делимости.
7-	й урок. Числа простые и составные. Таблица простых чисел до 100.
8-	й и 9-й уроки. Разложение составных чисел на простые множители.
10-й — 14-й уроки. Делители данного числа. Общие делители несколь¬
ких чисел. Числа взаимно-простые. Наибольший общий делитель. Нахождение
н о. д. путем разложения чисел на простые множители.
15-й—18-й уроки. Числа кратные. Общее кратное нескольких чисел
Наименьшее общее кратное и нахождение его способом разложения чисел ил
простые множители.
19-	й урок. Повторение всего пройденного о делимости чисел.
20-	й урок. Контрольная работа.
21-	й урок. Анализ результатов контрольной работы. Объяснение и ис¬
правление допущенных ошибок.
ГЛАВА ВОСЕМНАДЦАТАЯ.
ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ.
(Программа III класса.)
Изучением действий с отвлечёнными и составными именован¬
ными числами заканчивается в основном изучение целых чисел.
Теперь наступает пора расширить у детей представление о числе
и познакомить их с новым для них видом чисел — дробным
числом. Восприятие дробных чисел и усвоение действий над
ними представляет некоторую трудность для детей, трудность,
вытекающую из характера, специфики самого дробного числа. Что
представляет собой дробное число? Это известное количество
долей определённой величины. Количество долей обозначается
числителем, а величина доли — знаменателем. Воспринимая дробь,
ученику нужно одновременно охватить и величину доли, и ко¬
личество их, и притом охватить в определённом соотношении
числитель и знаменатель. В этом и заключается то новое, что дол¬
жен усвоить ученик при переходе от целых чисел к дробям. Зна¬
чительную трудность для понимания дроби представляет и неоди¬
наковый характер изменения дробного числа при изменении числи¬
теля и знаменателя. При увеличении числителя дробь увеличи¬
вается — это аналогично целым числам, и это сравнительно легко
воспринимается учащимися. Но что при увеличении знаменателя
дробное число у м е н ь ш а е т с я — это непривычно для ребят.
Это находится даже в некотором противоречии с опытом детей в


области целых чисел. Понимание этого даётся учащимся не бел
некоторого труда. Все эти трудности, однако, вполне преодолимы
для детей 9—10-летнего возраста, прошедших уже большую;
школу целых чисел, в том числе и чисел именованных, что имеет
очень большое значение для лучшего понимания дроби. Дети, как
показывают наблюдения, живо интересуются новыми для них дроб¬
ными числами. Они находят в них (пускай в начале ещё не совсем
ясно) отражение своего жизненного опыта. Ребёнок не раз видел,
как его мать делила целое на части, на равные доли (яб¬
локо, пряник, хлеб), пополам, на трети а четверти; ему и самому,
приходилось уже делить «единицу» на равные части и подучать
половину, четверть и другие доли. Наличие у ребёнка такого кон¬
кретного опыта и повышенный интерес к дробям представляют
надёжную основу для успешной работы по освоению этого нового
раздела арифметики.
Чтобы облегчить детям переход от целых чисел к дробным,
чтобы опеспечить усвоение дробей и действий над ними с над¬
лежащей ясностью и достаточно глубоким пониманием, в програм¬
ме дается сначала пропедевтика дробей, а затем уже системати¬
ческий курс. Задача пропедевтики — дать детям наглядное, вполне
конкретное, образное представление о каждой доле, о переходе о?
одних долей к другим, о действиях над простейшими дробями не
по правилам, а на основе рассуждений, вытекающих из наглядного
представления дробных чисел. Только после такой подготовки
можно перейти к изучению систематического курса дробей с его
многочисленными правилами, логическими обоснованиями и дока¬
зательствами.
При изучении дробей процесс отвлечения и обобщений должен
протекать ещё медленнее, чем это было в области целых чисел,
поскольку дроби представляют большую трудность для понимания
детей. Ребёнка надо провести через все последовательные ступени
конкретного обучения:
1) Сначала непосредственное дробление предметов (картонного
круга, полоски бумаги) на равные части; 2) затем получение
равных долей путём деления на чертеже и рисунке
■(деление пополам, на четыре и восемь равных частей) отрезка
прямой, изображения круга, прямоугольника, квадрата;
3)	наблюдение равных долей на различных чертежах, и, на¬
конец, 4) проведение операций с дробями по представлению
путём решения задач с дробными числами.
Вся пропедевтика дробей должна иметь в своей основе приме¬
нение наглядности в самых широких размерах и в самой яркой
н убедительной форме. Каждой операции с дробным числом — будь
то образование долей, или их преобразование, или действия над
долями — должны предшествовать операции над предметами,
рисунками, чертежами, разделёнными на равные доли. Наглядными
пособиями в руках учителя могут служить картонные или фанер¬
-346


ные круги — целые и разделённые на секторы (рис. 36), полоски
бумаги или картона, прямоугольники и квадраты из фанеры или
картона (рис. 37), деревянные цилиндрики на шведских счётах и др.
На первых шагах обучения дробям среди этих пособий предпо¬
чтение нужно отдать кругам.
Часть круга, иллюстрирующая ту или иную долю единицы,
резко отличается от целого круга—единицы. В то время как
часть отрезка линии есть отрезок, часть прямоугольника есть
прямоугольник, часть круга не является кругом и по своей форме
резко от него отличается. Это отнюдь не значит, что отрезков,
квадратов и прямоугольников следует избегать как наглядных
пособий. Речь идёт только о преимущественном употреблении
круга и предметов шарообразной формы при первоначальном
ознакомлении с дробным числом.
Рис. 37.
Наглядность при изучении дробей должна иметь действенный
характер, т. е. учащиеся должны иметь у себя на руках дидакти¬
ческий материал, оперируя с которым, они могут получать доли
различной величины и производить над ними действия, после чего
они производят действия и над дробными числами.
Порядок изучения дробей в III классе следующий:
1.	Образование долей «половина», «четверть», «восьмая» и дро¬
бей, составленных из этих долей. Образование долей «пятая»
и «десятая» и дробей, составленных из них.
2.	Образование смешанного числа.
3? Преобразование смешанного или целого числа в неправиль¬
ную дробь ч исключение целого числа из неправильной дроби.
4.	Преобразование одних долей в другие.
5.	Сложение и вычитание одноимённых и кратных долей.
347


Образование дроби.
Из всех способов образования дробного числа на этой ступени рас¬
сматривается только один способ: фактическое деление предметов
на равные части. Понятие о дроби вырабатывается постепенно,
путём деления предметов на равные доли, и в конце концов оно
оформляется в отвлечённое понятие, как понятие части или доли
единицы. На третьем году обучения дети могут усвоить доли -у
1111
г-^-у -д-, -«р 10- как части предметов.
Первые уроки по ознакомлению с долями единицы Должны
быть особенно тщательно подготовлены, так как на них
именно закладывается основа правильного представления о дроб¬
ном числе. Они должны быть хорошо оснащены наглядными посо¬
биями, у каждого ученика должен быть дидактический материал —
или круги из бумаги, картона, или полоски бумаги, или просто
ли-сты бумаги из исписанной тетради. Методика проведения уроков
должна быть тщательно продумана. На первых уроках ученики
знакомятся с образованием -тр
Знакомство с половиной ^). Учитель даёт каждому
ученику по два картонных или бумажных круга диаметром в 10 еде,
У себя же для направления работы учеников имеет круг диамет¬
ром в 20—25 ом. Учитель сгибает свой круг пополам, а затем ак¬
куратно разрывает или разрезает целый круг на 2 равные части.
. «Круг я разделил на 2 равные части. Сколько получилось половин?»
(Две половины.) «Разделите и вы свой круг пополам. Сколько получилось
половин?» (Две половины.) «Покажите одну половину круга. Покажите
другую половину круга. Наложите обе половины на круг. Сколько в целом
круге половин?» (В целом круге две половины.) «Когда вы приложили одну
половину к другой, что получилось?» (Получился целый круг) «Да, из двух
половин можно составить целый предмет Наложите одну половину на другую.
Что можно сказать про обе половины—каковы они между собой по вели¬
чине?» (Половины равны.) «Приложите к целому кругу половину. Сколько
всего получилось половин?» (Три половины.)
Учитель поясняет, что три половины — это полтора.
«Сколько же целых кругов и половин составляют полтора круга?»
(Один ^ целый круг и одну половину.) «Сколько половин будет в двух
кругах?» (В двух кругах четыре половины.) «Как вы сосчитали?» (В одном
круге две половины да в другом круге две половины; 2 да 2 = 4.) «Из двух
равных половин сколько целых кругов можно составить?» (Из двух равных
половин можно составить один целый круг.) «Из четырёх одинаковых поло¬
вин сколько целых кругов можно составить?» (2 целых круга.)
«Повторим всё, что мы. узнали о половине.
Чтобы получить половину круга, надо целый круг разделить
на две равные части. В целом круге две половины. Половины
равны. Из двух половин можно составить целый круг. Из грех по¬
ловин составляется целый круг и его половина, или полтора».


Все эти сведения сначала воспроизводятся по вопросам учи¬
теля, а потом некоторые ученики могут передать их в связной речи.
«Теперь я покажу вам, как записывается половина. Пишется
она так:	-у-. Наверху пишется 1, под ней проводится небольшая
черта, а под чертой ставится 2».
Учитель объясняет эту запись так: чтобы получить половийу,
мы делим круг на две равные части. Число 2 пишется под чер¬
той. Таких частей мы взяли одну. Единица пишется над чертой.
На каждой половине круга дети пишут цифрами -4-.
Знакомство с четвертью (|) даётся сначала на делении кругов,
а потом на делении листа бумаги (из исписанной ученической тет¬
ради). У каждого ученика должно быть по 2 картонных или
бумажных круга и по 2 листа бумаги. У учителя должно быть то
же, но больших размеров.
Учитель сгибает один из своих кругов пополам и затем акку¬
ратно разрезает его на две равные части. Получаются знакомые
детям две половины. Затем каждую половину снова сгибает попо¬
лам и делит её на две равные части. Получаются четыре четверги
круга.
«На сколько равных частей я разделил целый круг?» (На 4 равные ча¬
сти.) «Каждая такая часть будет четверть круга. Разделите и вы свой
у круг на 4 равные части, на 4 четверти».
Дети делят круги так же, как делил учитель.
«Сколько же в целом круге четвертей?» (Четыре четверти.)
«Покажите одну четверть круга». (Вот одна четверть круга.) «Покажите
хве четверти. Покажите три четверти; четыре четверти. Что составляют че¬
тыре четверти?» (Четыре четверти составляют целый круг.) «Сколько четвер¬
тей в двух кругах? в трёх кругах? в четырёх кругах? Как вы нашли,
что в трёх кругах 12 четвертей?» (В одном целом круге 4 четверти, в трёх
целых кругах в 3 раза больше, 4X3= 12.) «Сколько целых кругов составят
8 четвертей? 12 четвертей? 16 четвертей? Как вы узнали, что 8 четвертей
• составят два целых круга? Наложите одну четверть круга на другую (учи¬
тель показывает, как надо производить наложение). Что можно сказать о ве¬
личине этих четвертей?» (Четверти равны между собой.)
«Как можно из половины круга получить четверти?» (Половину круга
надо разделить на 2 равные части, или пополам.)
«Как же можно получить четверть из целого круга? Из поювины кру¬
га?» (Целый круг разделить на 4 равные части. Половину круга разделить
на 2 равные части.) «Сколько четвертей в половине круга?»
«Как получить из целого круга три четверти?» (Надо целый круг разде¬
лить на 4 равные части и взять 3 такие части.) «Как получить из целого
круга две четверти?» (Надо целый круг разделить на 4 равные части и взять
две такие части.)
«Вот как пишется одна четверть». Учитель пишет и объясняет запись
одной четверти ^подобно тому как он объяснял запись у- « А как на-
писать две четверти	Три четверти К-)?»
349


, .. ни мы узнали о четверти:	чтобы полутать
четверть круга, надо целый круг разделить на 4 равные'-ча-
сти. Четверги равны между собой. В целом круге 4 четверга
В половине круга 2 четверти. Из 4 четвертей можно составит*
целый круг: Из 2 четвертей можно составить одну половину. Что-:
бы получить две четверти, надо целый круг разделить на
4 равные части и взять две такие части. Чтобы получить три
четверти, надо целый круг разделить на 4 равные части и взят*5
три такие части. Одна четверть пишется так:	две четвер-
2	3
ти	-т-, три четверти	».
Познакомившись с получением четверги на делении круга, дети
делят дальше полоску бумаги, прямоугольники и повторяют те
выводы, которые были сделаны при делении круга на 4 равные
части.
Знакомство с -д-даётся на тех же наглядных пособиях и
в том же плане, в каком давалось конкретное представление об
— и -Д-. При делении предмета на 8 частей надо подчеркнуть
способ последовательного деления: чтобы разделить пред¬
мет на 8 равных частей, надо разделить его пополам, потом
каждую половину разделить пополам и полученные доли — снова
пополам.
Затем здесь надо подольше остановиться на раздроблении
и превращении долей, показав на наглядных пособиях, что в це¬
лом круге 8 восьмых; в половине круга 4 восьмых; в четверти
круга 2 восьмых, в двух четвертях 4 восьмых, в трёх четвертях
6 восьмых, и наоборот: из 2 восьмушек можно составить одну чет¬
верть; из 4 восьмушек 2 четверти, или половину; из 6 восьмушек
3 четверти; из 8 восьмушек 4 четверти, 2 пбловины, или целый
круг.
При изучении восьмой доли учейикам показывается процесс
получения дроби, состоящей из нескольких долей, и запись
таких дробей:	~,	-Д и др. Особое ударение делает
3	5
учитель на вопросах: «Как получить -ц- круга? Как получить -у
лиета бумаги? Как получить квадрата?», добиваясь от учеников
з
ответа: «Чтобы получить -у круга, надо целый круг разделить на
8 равных частей и взять 3 такие части. Чтобы получить листа,
надо целый лист разделить на 8 равных частей и взять 5 таких
частей» и т. д.
] 1
Знакомство с	Для ознакомления учащихся е
350


пятой и десятой долями нужно иопользовать метр и дециметр.
^ каждого учащегося должна быть линейка с делениями на санти-
летры. На этой линеике учащиеся показывают -уд, -уд, -уд- метра
я т. д. Здесь же они видят, что -уд- метра — это 1 дециметр, -уд-
йетра—- 2 дециметра, -щ- метра — 3 дециметра и т. д. Далее за
целое, за единицу они принимают 1 дециметр и, деля его на
10 равных частей, получают -уд- Ди, или 1 см, -уд дм, или 2 см...
9
•уд- дм, или 9 см. Наконец, за единицу можно принять 1 см и де¬
лить его на 10 равных частей; тогда десятые доли будут означать
миллиметры. Из десятых долей получаются и показываются на
метре и дециметре соответствующие дроби: уд, уд, уд- и т. д. Так
же, как и при ознакомлении с-д- , учитель здесь довольно подроб¬
но останавливается на раздроблении и прев>ращени.и десятых долей
в пятые и в половины, показывая на метре, что в целом метре
10	десятых, в половине 5 десятых, в одной пятой метра 2 десятых»
в двух пятых 4 десятых, в трёх пятых 6 десятых, в четырёх пятых
8 десятых; из двух десятых можно составить 1 пятую, из четырёх
десятых 2 пятых, из шести десятых 3 пятых, из восьми десятых
4 пятых, из десяти десятых 5 пятых, или целый 'метр (круг»
квадрат и пр.). И здесь учитель ставит те же вопросы: как полу¬
чить -уд-, уд-, —д метра? как получить Л- метра? -у- круга? и т. д.
Дробь. Числитель и знаменатель дроби. На этой
ступени обучения определение дроби можно не давать; достаточно
сказать ученикам, что такие числа, как половина, четверть,
восьмая, пятая, десятая, семь десятых, пять восьмых, три четверти
и др., называются дробными числами, или дробями. Они называют¬
ся так потому, что для получения их единица делится, или дро¬
бится, на равные части. После этого учитель предлагает учени¬
кам откладывать на шведских счётах, на верхних проволоках, раз¬
личие дроби: половину, три четверти, две восьмых, четыре пятых,,
семь десятых.
Запись и чтение дроби мы связали с процессом её обрЭ;
зования на наглядных пособиях, чтобы крепче связать в сознании
цетей цифровой и предметный образ дроби. На этих записях уча¬
щиеся уяснили себе значение числителя и знаменателя дроби.
Однако здесь возможны и специальные упражнения в записи
и чтении дробей; можно также ввести и термины числитель,
и знаменатель дроби.
3
Записав дробь у-, учитель спрашивает, как получилась эта дробь.
(Единицу разделили на 8 равных частей и таких частей взяли 3.)
351


«Сколькими числами изображается дробь?» (Двумя числами.) «Что
обозначает число, записанное под- чертой?» (На сколько частей разделена
единица.) «Что обозначает число, стоящее над чертой?» [Сколько таких
долей (частей) взято.]
Учитель сообщает, что число, стоящее под чертой, называется зна¬
менателем дроби; оно показывает, на сколько равных частей разделен^
■единица; а число, стоящее над чертой и показывающее, сколько таких
частей взято, называется числителем дроби.
3	числитель Учащиеся пишут эти термины в своих тетрадях, дают их
4	знаменатель определение и в дальнейшем пользуются ими в своей речи.
Смешанное число. Представление о смешанном числе
дети получают на тех же наглядных пособиях, которые применя¬
лись и для иллюстрации образования дробей. С одним смешанным
числом 1-гр (полтора) они уже ознакомились, когда знакомились
с половиной. Теперь нужно продолжить ряд смешанных чисел.
Для этого учитель берет 2 целых круга и ещё половину круга. По¬
казывая их, спрашивает, сколько здесь кругов?
(Два целых и половина, или два с половиной круга.)
Записывается так: 2-^- ^пишут целое число 2 и при нём дробь
Учитель предлагает зарисовать в тетрадях два с половиной -круга и под¬
писать под рисунком соответствующее число.
Далее учитель берёт 3 целых и три четверти круга.
оаооо
2$
Рис. 38.
з1
Рис. 39.
Учащиеся называют обозначаемое ими число, рисуют в тетрадях три1
жруга и три четверти круга н подписывают под рисунком число.
Дав ещё несколько таких конкретных примеров на 3— предмета
<и их рисунки, учитель сообщает, что целое число вместе с дробью
составляет смешанное число. Ученики показывают примеры
-смешанных чисел, читают написанные учителем смешанные числа,
иллюстрируют их рисунками. Пусть, например, учитель записал ряд
13	7
-смешанных чисел: 1~^ , 1-^-, 2~^р
Ученики читают эта числа и затем зарисовывают иллюстрации
к ним в тетрадях (рис. 40).
Рис. 40.
352


Рассматривая эти числа и соответствующие им рисунки, учи-
{'рль ставит вопрос: «Из скольких единиц и какой дроби состой г
каждое из этих смешанных чисел?»
Обращение смешанного и целого числа в непра¬
вильную дробь. Чтобы учащимся был ясен смысл этого
рреобразованияТ было ясно, для чего нужно иногда целое или сме¬
шанное число обращать в дробь, следует исходить из задач при¬
мерно следующего содержания:
«Имеется стальной прут длиной в 3 дм, Сколько выйдет из него бол.
?ов, если “на один болт требуется ^ дм прута?» Ясно, что болтов выйдет
столько, сколько пятых долей в 3 целых дециметрах. Нужно узнать,
сколько пятых долей в 3. или. иначе говоря, обратить З'в пятые доли,
обратить целое число в дробь. Сколько же пятых в 3> Покзжем это
аа чертеже.
Начертим 3 прута целых и против них 3 прута, разделённых каждый
на пять частей. В одном пруте
да в другом
в двух
еще
5
5
в третьем пруте. Запишем это так: 3
15
5
Следовательно, из 3 стальных прутьев выйдет 15 болтов.
Ученики должны твёрдо знать, что
5
Сначала упражнения ведутся в конкретной форме: «Возьми
3 полоски (бумажные) и сосчитай, сколько в них пятых долей
(частей)». Ученик заменяет каждую полосу пятыми долями и по¬
лучает ответ—15 пятых. Затем упражнения ведутся в отвлечён¬
ной форме «Сколько пятых в 3 единицах?» Ученик рассуждает:
«Водной единице 5 пятых, в 3 единицах 15 пятых: 1 =-|-; 3= ^».
Решим другую задачу, связанную с’ преобразованием смешан¬
ного числа.
«Имеется 2-^- листа бумаги. На каждый рисунок требуется четвер¬
тушка листа. Сколько рисунков можно сделать на этой бумаге?»
Очевидно, столько рисунков, сколько четвертушек. Но сколько же
3
четвертушек, или четвертей, в 2— листа? Изобразим это на рисунке и
подсчитаем:
О	4	4	*	8
В одном листе у да в другом в двух листах будет да еше
Всего получится Следовательно, на всей бумаге можно поместить
II рисунков.
Решив несколько таких задач, делаем обобщение: «Какие числа
были дзны?» (Смешанные.) «Какими числами, равными им, мы их
23 А. С, Пчёлко.
353


х.	,г			,	. ш ^	^	*1И^СЛ А^ии*
ными называют обращением смешанного числа « дробь».
После этого решаются упражнения в обращении смешанных
чисел в неправильные дроби. Примеры решаются на основе рас-
суждений. К наглядным пособиям учитель прибегает только в слу¬
чае затруднений учащихся.
Исключение целого числа из неправильной
дроби. Смысл этого преобразования выясняется на задаче, вроде
следующей:
к г сахара нужно развесить целыми килограммами. Сколько при этом
получится целых килограммов и какая часть килограмма останется?»
Целый килограмм — это единица. Значит, вопрос задачи сводится к вопросу,
15 Ы Л	16
сколько единиц в -ц-. Изобразим при помощи кругов.
ооое
П
-31-
Рис. 41.
Гри решении этой задачи ученик рассуждает так: «Возьмём один круг
или ^ ; еще один круг, или -1, всего стало возьмём ещё третий круг, или —
_	12 „	3	15	.	15
Всего мы нэяли —. Возьмем ещё а всего --- круга. Итак, чтобы наорать —
з
круга, мы в пли 1 круг, еще 1 круг, ещё 1 круги четвертого круга. Следова¬
тельно. кг -• .-ю всё равно, что 3 целых килограмма и ешй кг. Запи¬
шем -,то:
15	„ 3
— кг—3 , «?.•>
4	4
Далее тш'грль посует (рис 42) и предлагает записать эту
иллюстрацию в половинных долях, а затем смешанными числами.
У1
«Сколько в -гит дробях половин и единиц?» ^Ученики пишут:
Л ,_!	5	\
? Г 2	2}
354


Затем следуют упражнения на именованных числах:
«Сколько дециметров и сантиметров в 25 см? в 48 см? в 75 см?»
Упражнения на отвлечённых числах:
«Сколько единиц и десятых долей в	1? Сколько единиц и пятых
„	1Ь. 27^ 42 Л
долей в у} у ? — ?
„	м	„	К)	21	5	3»	,
Сколько единиц и	четвертых	аолец	в	— ?	в	-	1	в	—- ?»	и т. д.
4	4	4
Можно давать задания и в отвлечённой форме, например:
исключить целое число из дроби Ученик рассуждаем- «1 четверги составляют
1 единицу, 8 четвёртых — 2 единицы, остаются сшс 2 четверти, и 1и I половина.
Следовательно, у = 2у ». Это рассуждение можно с тратить в следующей записи:
1=1. — = 2- М-22=?1
4	’ 4	‘	4“ 4	2*
Раздробление и превращение долей.
1
1
о
*
:
1 " ’
"КГ
1
V
/
о
1
• 1
_ ° 1 а
г
}
!
"1
I
Эти преобразования рассматриваются на наглядных пособиях,
и в чисто опытном порядке устанавливается, что половину мол но
раздробить в четвёртые и восьмые доли, пятые—в десятые, что
из половины получается 2 четверти
и 4 восьмых; из четверти — 2 вось¬
мых, из двух четвертей — 4 вось¬
мых; из одной пятой — 2 десятых,
из двух пятых — 4 десятых и т. д.
Возьмём для этого четыре рав¬
ные полоски: одну—цельную, изоб¬
ражающую единицу, другую —
разделённую пополам, третью —
разделённую на 4 равные части и четвёртую — разделённую нз
8 равных частей; приложим эти полоски одну к другой, и мы по¬
лучим возможность непосредственно сравнивать доли — половину,
четверти и восьмые (рис. 43).
Обращая внимание учащихся на эти полоски, учитель ставит
вопросы:
1	1	2
«Сколько четвертей в —? Запишите это так: — = —■ Сколько восьмых в
I	1	4
1 . _	14
—? Запишите: у = у
Рис. 43.
Сколько восьмых в 4-? Запишите:~
1	4 о
2	3
■ Сколько восьмых в — ? в -у? Сколько в единице вторых полей? Запи-
■д-н
3.55


2	4
шите:	1— Сколько в единице четвёртых долей? Запишите: 1
Сколько в единице восьмых долей? Запишите:	1 = -5-».
О
2	2
Обратные упражнения: «Сколько половин составляют - ? Запишите:	—=
4	4
1	2	4	2	1
=	—.	В какие более крупные доли	можно превратить —?	—? Запишите:	—- =	——
2	8	8	8	4
4__ 2^_2
8	4	2 *’
Аналогичные „упражнения производятся с пятыми и десятыми
долями. Для этого берутся 3 полоски, изображающие единицу,
пятые и десятые доли (рис. 44).
На этих полосках показывается,
,	5	,	10	1	2	2	4
что 1 — 2^, 1 — -
о 10	о	10	5	10
Г~
1
У
У
_
1
5
5
5
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X
то
10
10
10
10
10
10
10
10
10
Рис. 44.
_3
5
2
То
о
Гб
4	8	5 ТО..
5 = Г(>	5=!0' И наобоР°т:
4-Д б_ з_	4
То ~ Т’ 10	5 То 5
Выражение одних долей в других долях производится для того,
чтобы дети могли превращать более мелкие доли в более крупные
(сокращать дробь), с чем они встретятся при сложении дробей.
При сложении же дробей им понадобится и умение раздроблять
более крупные доли в более мелкие.
Познакомившись с раздроблением и превращением долей на на¬
глядных пособиях, учащиеся дальше упражняются в этих преобра¬
зованиях без пособий, на основании рассуждений, опирающихся на
конкретные представления долей.
Пусть дано раздробить в десятые доли.
5
Учащийся рассуждает: «Из-^- можно получить
О
10 ы 1
10 ‘ Из у-
6
10к
Превращение долей есть преобразование, обратное раздробле¬
нию, поэтому раздробление составляет основу превращения.
Пусть дано превратить в более крупные доли. Такими долями будут
четверти. Одш четверть составляется из двух восьмых, другая четверть — из
6
двух восьмых, третья четверть — из двух восьмых, а всего из	получатся
3	-	6
-г • Запись: --
4	8
356
3
-— •
4
352


Сложение и вычитание дробей.
Сложение и вычитание дробей основывается на наглядных
образах дробей. Первые упражнения в сложении и вычитании дро¬
бей должны производиться на предметах и их графических изобра¬
жениях.
Если ученик, складывая дроби, приучится за слагаемыми
видеть части предметов, то он не будет складывать числитель
с числителем, а знаменатель с знаменателем.
В III классе складываются и вычитаются одноимённые и крат¬
ные доли
4-1. А_.
1	4 5 Я
1 I 1
или -^- + —;
1
10 ’
Ознакомление с различными случаями сложения и вычитания
кратных, долей можно расположить в следующей системе:
Сложение и вычитание дробей, составленных а) из половин
и четвертей; б) из половин и восьмых; в) из четвертей и восьмых;
г)	из пятых и десятых долей.
В каждой из этих групп примеры располагаются в следующем
порядке:
1. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми долями, а за¬
тем и с кратными долями без перехода через единицу:
2. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми, а затем и с
кратными долями с переходом через единицу.
Покажем образцы объяснения сложения одноимённых и крат¬
ных долей.
и спрашивает, что
Начинается изучение действий с дробями со сложения и вычитания половин
и четвертей. Детям раздается по 2 круга. Учащиеся делят их пополам. Учитель
предлагает к половине круга приложить другую половину
получилось. Получился целый круг. Эго записывается
так:	«Если от целого круга отнять одну
сколько останется?» Учащиеся дают ответ
1
и записывают: I — тг = тг- -
половину
2
2 ~~ 2
Так же складываются и вычитаются четвертые,
восьмые, пятые, десятые доли. Когда в сумме или в
остатке получаются сократимые доли, учащиеся, имея
Рис. 45.
перед собой их наглядные
изображения, сокращают их, например: — ——
I-
2 ; 8 + 8 ^ 8 ~
2 *
о=.-


Значительно сложнее сложение и вычитание разноимённых, но
кратных долей.
Пусть дано, например, сложить и -1-. Иллюстрируем сложение на
частях круга: берем половину круга и четверть круга. Прикладываем четверо
3
к половине: в полученной фигуре дети узнают — круга.
„	I 1	3	_
V	Значит: ту + -р = Однако далеко не все дети
•	1	- д	3
с * ч	‘ обычно умеют сразу и правильно назвать сумму — . Мно-
4
Рис. 4Ь.	гие в таком случае говорят, что в сумме получились поло¬
вина с четвертью. Чтобы навести детей на правильный
ответ, можно сформулировать вопрос так «К половине прибавить одну
четвери». Сколько четвертей получтея?»
п	3	13	1
Месть дано сложить и Ьербм крута и у круга. Ставим вопрос
«Сколько надо прпбашпь к круга, чтобы получить целый круг?» Очевидно,
1	п .	1	2	1	3
круга. Разбиваем круга па и прибавляем к —• Получается один
3 ^ 0 Су
I = л
[3
Рис 17.
нслип (|П I и ипС оды чешергь кру I а Ставим вопрос- «Как бы мы стали
прибит-инь крма к крма, еюн бы перед нами не было кругов?» Онет
на	I опрос ги»мве (С I \чаиыксн к ты- уки тчм этапам слежения-
I)	( п та ы южио рачриОпп. в чснер1ые доли. В поюьине дье че-
твср1 ы\. 2» Моюм по (счпIыьаем чеи-сши крум’ 3 четверги да 2 чешертн, гю-
, ,,	3	4
лучпкя О че1вер|еп. 3) Наконец, ит - исключаем истое число:	— составляют
4	4
, 1
етинину, получиI(я 1— •
,	3,1	3,2
Эти три этапа находят сьое 01ражсние в записи:	— +	+ — =
Объяснив на наглядных пособиях способ сложения и вычита¬
ния разноимённых долей, нужно решить побольше задач и при¬
меров на эти действия, особенно задач, — на них дети уясняют
смысл сложения и вычитания и технику вычисления. Заключитель¬
ным моментом в упражнениях должен быть беглый отвлечённый
счет из сложение и вычитание дробей.


Нахождение части числа.
Одна из целей изучения долей в III классе заключается в том,
чтобы подвести учащихся к сознательному решению задач на
нахождение части числа. Поэтому прямым продолжением
работы по изучению простейших дробей будет решение задач
на нахождение одной и нескольких частей от числа. Эти задачи
имеют большое значение в курсе арифметики, поэтому им должно
быть уделено здесь большое внимание. В V классе такие задачи
будут решаться умножением на дробь, в III же классе они ре¬
шаются двумя действиями: делением и умножением.
Для понимания таких задач нужно знать, как образуется дробь
и как находится определённая часть единицы. Так, например, что¬
бы понять смысл задания: «найти числа 40» и порядок его ре¬
шения, надо знать, как находятся от единицы или вообще от
любого предмета. Если учащийся ясно представляет себе, как на¬
ходятся круга, линии, единицы (сначала находится одна пятая
путём деления единицы на 5 частей, а потом берутся таких три
части), то смысл л порядок решения вопроса «Найти -- от 40» для
него будет ясен. Поэтому перед решением примеров и задач на
нахождение нескольких частей от числа следует повторить, как
найти несколько частей от круга, линии, квадрата и т. д.
Объяснение и упражнения в нахождении части числа распола¬
гаются в следующем порядке:
1. Нахождение одной части числа (найти половину числа 48,
четверо числа 56)
2	Нахождение нескольких частей от числа найти
ла 40, 4 числа 96 )•
2
ТГ ЧИС-
0
На нахождение одной части числа учащиеся уже решали за¬
дачи и примеры во II классе. Здесь надо повторить решение задач
и примеров этого рода и сделать 'вывод пока только в конкретной
форме.
Вопрос: Как найти одну пятую числа 80?
Отпет: Нужно 80 разделить на 5.
Во про с: Чго нужно сделать, чтобы найти -- числа 9(3?
О
Отпек 96 н^жно разделить на 8, получится 12.
Решение записывается так- 4- от 96= 12.
О
В такой записи деление не выражено явно Чтобы подчеркнуть
действие деления, при помощи которого на этой ступени находится
359


часть числа, можно записать нахождение от 96 в форме деле¬
ния: 96 : 8 = 12.
Такой записью следует пользоваться чаше.
После решения задач на нахождение одной части числа
учитель переходит к решению примеров и задач на нахождение
нескольких частей числа.
Сначала проделывается несколько упражнений на наглядных
пособиях.
з
I.	<Вот 32 кубика. Найдите этого числа кубиков.
Найдём сначала -5- от 32. Для этого 32 разделим на 8, получится 4. Теперь
О
3
найдём 3- от 32. Для этого 4 умножим на 3, получится 12.»
О
Решение записывается в виде двух действий:
4-от 32 = 32:8 = 4;
О
4 от 32 = 4X3 = 12.
О
И. «Вот метр. Найдите -у- метра. Сколько это составит сантиметров?
Найдём сначала метра. В метре 100 см. Разделим 100 см на 4, полу¬
чится 25 смХученит показывают на метре его четверть—25 см). Теперь найдём
3_
4
метра. Для этого 25 см умножим на 3, получится 75 см» (ученики показывают
на метре — его длины — 75 см).
Запись решения: ^ м = 100 см: 4 = 25 см\
м = 25 см X 3 = 75 см.
Далее идут упражнения в устном решении задач и примеров
следующего содержания:
237
Сколько граммов в кг? в — кг? в кг?
Сколько метров в ^ км? в км} в — км? в ^ км? в -г- км?
К)	5	о	10	о
Сколько минут 8 4 часа? в 4- часа? в 4 часа? в 4 часа? в 4 часа?
■'2	4	10	10	4
_	1 о 3 „	4	3	,
Сколько сантиметров в ^ м? в — м? в м? в ^ м?
360


При решении этих задач-примеров учитель добивается от уче¬
ников чёткого разграничения двух этапов: а) нахождения сначала
одной части числа, б) потом нескольких частей числа. Все пре¬
дыдущие упражнения в достаточной мере подготовили учеников
к решению сложных письменных задач на нахождение нескольких
частей от числа. Приведём образец письменного решения одной из
задач этого вида:
Задача: «Из Ленинграда иышел поезд, состоящий из 15 нагонов. В каждом
у
вагоне помещается в среднем по 56 пассажиров, из них ^ едет до Москвы.
Сколько пассажиров едет до Москвы?»
План и решение задачи.
1.	Сколько пассажиров помещается в 15 вагонах?
56 пасс. X 15 — 840 пасс. ч 56
_15
280
56
840
2.	Чему равняется часть числа пассажиров?
840 пасс.: 10 = 84 пасс,
у
3.	Чему равняется частей числа пассажиров, или сколько пассажиров
едет до Москвы?
84 пасс. X 9 = 756 пасс.	Ответ: 756 пассажиров.
Для решения этой задачи мы поставили 3 вопроса, расчленив
нахождение 9/)0 на два вопроса. Так и следует поступать в
III классе, где впервые решаются такие задачи. Но в IV классе
последние 2 вопроса можно объединить в один:
«Сколько пассажиров едет до Москвы?» — решение же его обозначить двумя
действиями, записанными отдельно, а именно:
840 пасс.: 10 = 84 пасс.
84 пасс. X 9 — 756 пасс.
Примерное распределение материала темы «Простейшие
дроби» по урокам.
Знакомство с	уу	и	.
Знакомство с	4	.	. .
Знакомство с	-1-	и	—
о	I и
1 урок
1 >
1 у
Числитель и знаменатель дроби, их значение	1	„
Образование смешанного числа и повторение пройденного ....	1	»
Обращение смешанного числа в неправильную дробь	1	„
Исключение целого числа из неправильной дроби		 »
Раздробление и превращение долей и повторение пройденного .	.	2	>
Сложение и вычитание . . . . •	3	,


		 идпип « мсскильких частей числа . 3	>
Контрольная работа	•	1	»
Разбор контрольной работы в классе и исправление допущенных
ошибок		 1	>
Примерное содержание контрольной работы.
Примеры:
3	1	2
1)	— +	=	4) — = ~ (вставить пропущенный числитель)
2)	4- -1 =	5)	— —	,	,	Ь
' 8 ^ 2	8	4
3	3
3)	1 — Гп ~	6) Сколько минут в — часа?
Ш	4
Задача:
3	2
В школу привезли 1 200 тетрадей. Из них — были в клетку, в одну
линейку, а остальные были в косую линейку. Сколько тетрадей было в косую
линейку?
ГЛАВА ДЕВЯТНАДЦАТАЯ.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ,
(Начало систематического курса.)
Систематический курс дробей существенно отличается от про¬
педевтики дробей в III классе и по содержанию, и по методам
преподавания.
В III классе вычисления и преобразования производились только
•по соображению; в IV классе — не только по соображению, но и
по правилам, выведенным и обоснованным. В III классе учащиеся
при выполнении действий и преобразований не отрывались от на¬
глядного, конкретного образа дроби; здесь же операции с дробями
Производятся преимущественно на основе рассуждений и правал.
В пропедевтическом курсе рассматривался узкий круг долей, в си¬
стематическом— изучается дробное число с любым знаменателем.
При изучении систематического курса дробей правила выводят¬
ся, обосновываются и доказываются учителем. От учащихся же
требуется умение выводить только те правила, вывод которых не
очень сложен.
Определения и правила усваиваются учащимися наизусть в точ¬
ной и определённой формулировке.
Первоначальное знакомство с каждым новым понятием, новым
вопросом даётся обязательно на наглядных пособиях. Наглядность
й конкретность обучения в систематическом курсе дробей играет
ропрежнему большую роль. Наглядные пособия остаются в основ¬
ном те же, что были и в III классе; круги, полоски, отрезки пря¬
мой, прямоугольники и т. д.
Учащиеся 11- и 12-летнего возраста, как показывает опыт со-
<62


ветскои школы, подготовлены к тому, чтобы с пониманием, осмыс¬
ленно изучать курс обыкновенных дробей в той его части, которая
вошла в программу IV класса. Успех дела всецело зависит от
учителя, от степени его научной и методической подготовки
к преподаванию дробей.
По“нятие о дроби.
Доли единицы. Из темы III класса «Простейшие дроби»
«учащимся известны доли: половина, четверть, восьмая, пятая и де¬
сятая. Теперь нужно расширить крут долей, познакомив учащихся
с новыми долями; нужно показать учащимся, что доли могут быть
самые разнообразные.
На кругах или полосках путём последовательного деления
1111
нужно показать доли:	-у, -уг, ур , тут же установив, что
в целом, в единице, -р, ур уу . На именованных числах,
Точнее, на единицах измерения, надо познакомить учащихся с до¬
лями: -щ ,	. Сантиметр — сотая часть метра. Копейка —
сотая часть рубля. Мидлимегр составляет тысячную часть
метра. Грамм — т ы с я'ч н а я часть килограмма. Минута — шести¬
десятая часть,или доля, часа и т. д. Словом, единицу можно
делить на любое число частей и таким образом можно получать
всё новые и новые доли.
Дробное число. Разделив единицу на части или доли,
можно взять несколько таких долей и получить дробное число,
7	5	3	5
или дробь:	б-' П)0’ 24 — Дробные числа. Значит, дробью
называется одна или несколько одинаковых
долей единицы.
Это определение дроби учащиеся запоминают.
Целое число вместе с дробью составляет смешанное
число. 4 целых единицы й дробь дадут смешанное число
4	которое читается так: четыре и семь восьмых.
Числитель и знаменатель дроби. Учащиеся знают,
что дробь изображается с помощью двух чисел и черты, знают
название этих чисел: «числитель» и «знаменатель». Однако на этих
названиях надо остановиться и ещё раз пояснить значение каждого
члена дроби. Значение, или роль, числителя и знаменателя дроби
учащиеся должны понимать с полной ясностью. Число, стоящее
над чертой, называется числителем дроби; числитель показы¬
вает, сколько долей взято, или число долей. Число, стоящее под
чертой, называется знаменателем дроби; знаменатель пока¬
зывает (знаменует), на сколько равных частей разделена единица.
363


В дроби знаменатель показывает, что единица разделена на
восемь частей, а числитель показывает, что таких долей взято
три — в такой формулировке учащиеся' должны давать ответ на
вопрос, что означает числитель и знаменатель дроби.
Получение дроби в результате измерения. Дробь
может получиться не только при делении целого- или единицы на
равные части, но и в результате измерения. Чтобы таким способом
получить дробное число, достаточно дать ученикам конкретную
задачу — измерить метром длину стола или другого предмета
небольшой протяжённости. Метр в длине стола не уложился ни
одного раза, тогда берём, дециметр и укладываем его по длине
стола. Допустим, что он уложился 9 раз. Значит, длина стола 9 дм.
Но дециметр составляет а 9 дм составят 75 То — ДР°бь.
Эта дробь получилась от измерения. Дробь может получиться: при
3	1
взвешивании, например, — кг, -у т; прл измерении времени, напри-
1	,	3
мер: -у часа, — часа и т. д.
Получение дроби при делении целого числа на целое число.
Объяснение этого способа получения дроби дается на задачах: <3 хлеба
разделили поровну между 4 рабочими. Сколько и каких частей хлеба досталось
каждому?» Чтобы решить задачу, нужно число 3 разделить на 4. Разделим один
хлеб между 4 рабочими, каждому достанется по ~ ; разделим другой хлеб на
4 части, каждому достанется еще по ; разделим третий хлеб — каждому до¬
станется по третьей четверти. А всего каждый получит: у 4-	4- -г- =
3	3
Значит, если 3 разделить на 4, получится Запишем это: 3:4 = ~. Обра¬
тим внимание учащихся на то, как составилось частное: в нем делимое стало
числителем, а делитель — знаменателем.
Решим еще одну такую задачу: «Веревку длиной в 3 м разрезали на 8 рав¬
ных частей. Какой длины получилась каждая часть?» По аналогии с первой
задачей учащиеся запишут её решение так:
3
3 м: 8 = -тг м.
о
После этого решаются отвлечённые примеры деления целого
числа на целое число: 2:3; 7 : 8; 6: 11 и др. Дробь здесь высту¬
пает как частное от деления меньшего числа на большее. На
это нужно обратить внимание учащихся, но вносить -поправки
в ранее данное определение дроби не следует.
Дробь правильная и неправильная. Здесь нужно
дать учащимся отчётливое понятие о том, какая дробь называется
364


прааильной и какая — неправильной и как они образуются. Рас¬
смотрению этого вопроса предшествуют упражнения:
I) Сколько в единице половин? шестых? восьмых? двенадцатых? сотых?
и т. д.
2) Сколько четвертей в I? в 3? в Сколько шестых долей в 1? в 2? в
X	2
Сколько десятых долей в 1? в 5? в —-? в -^?
5	8	11
«Возьмем три дроби:	^^ . Сравним их с единицей. Как получилась
дробь -~?» (Единицу разделили на 8 частей и взяли 5 таких частей.) «Сравните
/5
8
величину этой дроби с единицей ^ меньше единицы^. чему равняются?
II/	8
(Единице.) «Какполучилась дробь — ?» (Взяли единицу д-, потом взяли еще
Ц- от второй единицы.) «Сравните величину дроби с единицей» больше
единицы). «Возьмём дроби:	. Какая из этих дробей меньше
единицы? больше единицы? равна единице?»
Учитель дальше сообщает, что дроби, меньшие единицы, назы¬
ваются правильными; дроби, большие или равные единице,
называются неправильными. Сравниваются числитель со зна¬
менателем в правильной и неправильной дроби и устанавливается,
что в правильной дроби числитель меньше знаменателя, а в непра¬
вильной дроби числитель или больше знаменателя или равен
знаменателю , Упражнения состоят в том, что учащиеся, по
предложению учителя, придумывают-и записывают несколько дро¬
бей, ббльших единицы, меньших единицы и равных единице,
а затем выписывают из задачника дроби, располагая их по рубри¬
кам «правильные дроби» и «неправильные дроби».
Обращение целого и смешанного числа в непра¬
вильную дробь. Выяснение смысла этой операции л техники
этого преобразования дано в разделе «Простейшие дроби»
(стр. 353—354), его следует здесь повторить. Кроме того, теперь
на ряде примеров надо вывести правило обращения целого и сме¬
шанного числа в неправильную дробь, которое можно сформули¬
ровать так: «Чтобы обратить смешанное число в неправильную
дробь, нужно выразить целое число в виде неправильной дроби
с данным знаменателем, к числителю полученной дроби прибавить
числитель данной дроби, а знаменатель оставить прежний»,
например:
3	5,5,3
5~5 + 5 + 5~5
Учащийся рассуждает при этом так:« Сначала
у	5	.	10
единицы; в одной единице -г , а в 2 единицах ^ \
обратим в пятые доли две
ЮЗ. 13
•г Да -г будет -?•»,
365


На основе выведенного правила нужно решить побольше при¬
оров, чтобы это преобразование учащиеся производили и быстро,
правильно.
•Исключение целого числа из неправильной
роб и. Смысл этой операции выясняется на задаче, аналогичной
ой, которая приведена в разделе «Простейшие дроби» на стр. 354.
ам же приведено и объяснение техники этого преобразования.
IV классе это объяснение нужно дополнить выводом правила:
(Чтобы исключить целое число из неправильной дроби, нужно
ислятель разделить на знаменатель: частное покажет, сколько
(Целых единиц, и остаток — сколько долей в смешанном числе».
На основе этого правила решаются из задачника примеры, на
Которых вырабатывается навык производить это преобразование
’равильно и достаточно быстро.
10
Пусть дано исключить целое чйсло из дроби
10
иначе говоря, узнать
;олько единиц в дроби — . Первоначально ученик рассуждает так: 3 трети
О
(Оставляют 1 единицу, 6 третей — 2 единицы, 9 третей — 3 единицы; остается
ше одна треть. Следовательно, 3	. Дальше схема рассуждений упро-
О	о
3	10 „
(ается: одну единицу составляют — ; в — будет столько единиц, сколько раз
10
содержатся в , или сколько раз 3 содержится в 10.
О
Основное свойство дроби.
Этот вопрос нуждается в особенно тщательном выяснении, так
Як от глубины его понимания и усвоения зависит понимание глав¬
нейших преобразований дроби — сокращения и приведения дробей
обшему знамена'елю
Этот вопрос изучается в следующем порядке:
1)	Изменение дроби от уве¬
личения и уменьшения числителя.
2)	Изменение дроби от уве¬
личения и уменьшения знамена¬
теля.
3)	Неизменяемость величины
дроби при увеличении или
уменьшении обоих членов дроби
в одинаковое число раз.
Чтобы наглядно показать, что
увеличении числителя дробь увеличивается, достаточно на от-
"	3
зке прямой проиллюстрировать дробь, например -у (рис. 48).
А затем взять другой отрезок, равный первому, и на нём от-
0
сить часть, соответствующую дроби
Рис. 13.


Из обозрения отрезков ясно видно, что дробь вдвое больше
дроби
После этого следуют упражнения' отвлечённого характера.
«Дана дробь Увеличьте числитель этой дроби в 3 раза. Какая дробь
9 А	3
о бсльше ТО
получится?» Л «Какая дробь больше и во сколько раз?» |^
в 3 раза.^ «Почему?» ^Обе дроби составлены из десятых долей, но в первой
дроби 3 десятых, а во второй — 9 десятых. 9 бсльш^ 3 в 3 раза поэтому
3	\	3
больше — в 3 раза.| «Чго мы сделали с дробью —^?* (Уы увеличили сё чи¬
слитель в 3 раза.) «Чго стало с дробью?» (Дробь увеличилась в 3 раза.)
10
После рассмотрения 3—5 таких случаев делается вывод: О т
увеличения рис лите л я дроби в несколько раз
дробь увеличивается во столько же раз».
Таким же образом — сначала наглядно, а потом на отвлечённых
примерах—изучается вопрос об изменении дроби в связи с умень¬
шением числителя. Делается общий вывод: «Сели числитель дроби
увеличить или уменьшить в несколько раз. то величина дроби уве¬
личится или уменьшится во столько же раз».
Далее рассматривается вопрос об изменении дроби в связи
с 'изменением — увеличением или
уменьшением —знаменателя. По¬
нимание этого вопроса даётся
учащимся труднее, поэтому на
нём следует остановиться не¬
сколько дольше, дав побольше
упражнений и усилив моменты
наглядности.
Возьмём два равных отрезка,
один делённый на 4 части, другой на 8 частей. На каждом от¬
ложим по 3 доли. Получим изображение дробей:и (рис. 49)„
3	3
На отрезках видно, что в два раза меньше, чем .
3	3
«Как мы из — получили ?» (Знаменатель дроби 4? увеличили в 2 раза.)-
«Что сделалось с дробью?» (Дробь уменьшилась в 2^раза.)
3	3
«Как показать, без чертежа, что -5- действительно^меньше -г вдвое?» (Вось-
о	4
мые доли вдвое меньше, чем четвёртые. Долей же в обеих^ дробях взято
поровну: 3 и 3.)
Рис. 49.
36?


3
_	на секторы, надо показать, что в
з
4 раза меньше, чем у ■ После этого перейти к упражнениям отвле¬
чённого характера.
«■Дана дробь —. Увеличьте знаменатель дроби в 4 раза. Какая дробь
получится?»	«Что стало с дробью —, когда мы увеличили ей знаме-
2
натель в 4 раза?» (Дробь уменьшилась в 4 раза.) «Почему дробь меньше дроби
— в 4 раза?» (Потому что двенадцатые доли меньше третьих вчетверо
О
долей в обеих дробях взято поровну.)
Так же подробно разбирается вопрос об изменении величины
Дроби при уменьшений её знаменателя. На основе частных выводов
делается общий вывод: «Если знаменатель дроби увеличить
в несколько раз, то величина дроби уменьшится* во столько
же раз; если же знаменатель дроби уменьшить в несколько
раз, то величина дроби увеличится во столько же раз».
В заключение надо сопоставить изменение дроби в связи с из¬
менением числителя и знаменателя. Надо по возможности ярче
и убедительнее показать, что величина дроби изменяется так, как
изменяется её числитель: числитель увеличивается, и дробь увели¬
чивается; числитель уменьшается, и дробь уменьшается. Но вели¬
чина дроби изменяется обратно изменению знаменателя. Здесь
получается наоборот; знаменатель увеличивается, а дробь от этого
уменьшается;	знаменатель	уменьшается, а дробь увеличивается.
Для большей наглядности можно проиллюстрировать несколько
дробей на рисунках (рис. 50).
Заканчивается этот вопрос следующими упражнениями:
2	4
1)	Что нужно сделать, чтобы увеличить -=• в 2 раза? •=- в 3 раза?
о	7
2	5	4
■д	в	4	раза?	^ в 2	раза?	^	в 5	раз?	и	т. д.
б	8
2)	Что нужно сделать, чтобы уменьшить ^ в 2 раза? ^ в 4 раза?
15	5	б	3 *
в 3 раза? у 'в 4 раза? у в 5 раз? у в 10 раз? и т. д.
368


Основное свойство дроби — не изменять своей величины при
умножении и делении её числителя и знаменателя на одно и то
же число — показывается на чертеже (рис. 51).
Изменение дроби показывается последовательно: сначала уве¬
личивается вдвое числитель; на втором отрезке видно, что от
этого дробь увеличилась в^вое;
3	6
было, стало у. Затем уве¬
личивается вдвое знаменатель
з
дроби -д-. От этого величина
дроби уменьшилась вдвое,
как это видно на третьем от¬
резке. А в результате вели¬
чина дроби ~ осталась без
изменения, что видно из сравне¬
ния соответствующих частей первого и третьего отрезков. Итак:
_3_ _ _б_
8	16 •
Рис. 51.
, „	3	6	9	12
1.	На отрезках показывается, что -г~о-—То=гг-
4 о 1^10
Полученное равенство анализируется, указывается, что дробь ~ получи-
8
3
лась из дроби — путем умножения числителя и знаменателя на 2.
„ ~	3	3-26
2.	Следует запись: — = ^	•
9	3
Дробь ^ получилась из дроби — путем умножения на 3 числителя и зна-
3	3-3	9
менателя:	т = ^ = Г2 и т. д.
Аналогично изучается вопрос об одновременном уменьшении
числителя и знаменателя дроби в одно и то же число раз.
12 _ 12:2 6 12 12:4	3
16 16:2 8 ’ 16~~ 16:4 — 4 *
Изучение этих обоих случаев завершается выводом: «Величина
дроби не изменится, если числитель и знаменатель её умножить
или разделить на одно и то же число». Эта формулировка' усваи¬
вается учащимися наизусть. Это свойство дроби есть основное
свойство, имеющее большое применение, при сокращении дробей
и приведении их к общему знаменателю. Вывод закрепляется путём
решения примеров.
24 С М. Пчёлко
369


Сокращение дробей.
Основное свойство дроби находит своё прямое и непосред¬
ственное применение при сокращении дробей. И если учащиеся
хорошо поняли сущность этого свойства, то понимание операции
сокращения не представит для них затруднений. Однако не сле¬
дует думать, что навык сокращения дробей даётся учащимся
легко и быстро; безошибочность в сокращении дробей получается
только в результате хорошего объяснения и достаточно большой
л длительной тренировки учащихся в этом навыке. При объясне¬
нии — главное, чтобы ученики поняли прямую связь сокращения
с основным свойством дроби; поняли, в чём заключается у п р о-
щ е ни е дроби, научились различать величину дроби от её формы,
вида. При сокращении дроби её величина не изменяется, изме¬
няется 'только вид дроби. Доли получаются более крупные, а ко¬
личество долей уменьшается. Ученики должны отчётливо знать,
что сокращение дроби - производится путём деления её числителя
и знаменателя на их общий делитель.
Все это находит своё выражение в определении сокращения,
которое можно сформулировать так:	«Сократить дробь — значит
представить её, не изменяя её величины, в более крупных долях,
путём деления числителя и знаменателя на одно н то же число».
Основным способом сокращения для начальной школы будет
способ последовательного сокращения, который, как
Известно, состоит в том, что на основании признаков делимости
^определяют, не делятся ли числитель и знаменатель данной дроби
Ега какой-нибудь общий делитель. Если такой делитель существует
кроме единицы), то на него дробь сокращается Для памяти можно
йдписывать над дробью то число, на которое сокращают; например:
720)5 _ 721	_э!_ 3
960	“96 = 12 “ Т ■
Нужно добиваться, чтобы учащиеся приучались сразу нахо-
ш»ть наибольший делитель с тем, чтобы от данной до несократи¬
мой дроби получалось возможно меньше промежуточных звеньев.
1 V*
' той по изучению дробей учащие-
ся подготовлены к пониманию
1 /4
Уь такого объяснения сокращения.
которое всецело опирается на
% Ув
основное свойство дроби. Одна-
ко если по уровню развития
Рис. 52.	класса отвлечённые рассуждения
потребуется подкрепить нагляд¬
ностью, то это можно сделать на полосках бумаги (рис. 52).
Из обозрения полосок видно, что -4- =	.
Величина дроби не изменилась, но выражена она в более
■упных долях.


Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю.
Смысл и необходимость этого преобразования можно пока¬
зать учащимся, исходя из необходимости сравнения величины
дробей.
2	^
«Учебник арифметики стоит - рубля, а книга для чтения — —
г	б	5
Какая книга стоит дороже?»
2	4
Для ответа на вопрос задачи достаточно сравнить дроби ~ и — .
о	о
дробь больше; значит, книга для чтения стоит дороже.
Сравнить величину дробей ~ и легко, поточу что эти дроби
о о
одинаковые знаменатели (пятые доли). Из таких дробей та больше,
рой числитель больше.
Какая дробь больше: 2 или -2? У, |!Л"	? ~ или ?
1о	1о /4	24	121	121
рубля.
Вторая
имеют
у кото-
Рсшим вторую задачу: «Полотно имеет в ширину
шире: полотно или ситец?»
3
-Г
«. а си ген
/
Го
и.
Что
Дли ответа на вопрос этой задачи надо сравнить сроСп
3
4
Эти дроби
имеют разные знаменатели (4 и 10) и разные числители, а мы умеем сравни¬
вать дроби с одинаковыми знаменателями. Нельзя ли и эти дроби представить
с одинаковыми знамена гелями? Ведь каждою дробь можно* выразить
в ра {личных долях. Попробуем I ыря шть наши дроби п раз шчных долях и среди них
поищем доли, одинаков ы о для топ и др\ гоГ1 дроби.
Так примерно можно по шести учеников к пониманию смысла в необхо-
димости нахождения общего знаменателя.
«В каких же долях можно выразить
шестнадцатых, двадцатых.)
дробь
5-Ь (В
ВОСЬМЫХ
двенадцатых,
«А в каких долях можно выразить дробь ~ ?» (В двадцатых, в тридцатых
и т. д.)
Оказывается, общие доли нашлись: д в а д и а т ы с доли. И ту н другую
дробь можно выразить в двадцатых долях. «Сколько же двадцатых долей будет
в — ? Чтобы из четвертых долей получить двадцатые доли, что нужно
сделать с знаменателем дроби (4)?» (Увеличить его в 5 раз.) «А чтобы при зтом
величина дроби не изменилась, что нужно сделать с числителем'-1 Вспомните
основное свойство дроби». (Нужно и числитель дроби увеличить в 5 раз.)
Получится дробь:
3	= 3X5	15
4	4X5 "20*
7
«Теперь представим в двадцатых долях дробь — . Что для этого надо
сделать?» (Знаменатель н числитель дроби увеличить в 2 раза.) Получится:
7_ 7Х2_ Н
10 Ю X 2 ~ 20 *
24*
37 1


3	7
Теперь, когда мы заменили дроби — и ^ равными им дробями, но С одина*
15	14
ковыми знаменателями 20 и ^о» легко сравнить их величину и ответить на
вопрос задачи: «.Что шире: полотно или ситец?» (Полотно шире, потому что
3	15 .	7	14>
3	15 ^	7	14\
Т=20 б0ЛЬШе> Чем Гб = 20/ ’
•Учитель сообщает, что замена дробей с разными знамена¬
телями дробями с одинаковыми знаменателями называется при¬
ведением дробей к общему знаменателю. Тут же следует уточ¬
нить это выражение, обратив внимание учащихся на то, что дроби
3	7
-т- и уд могут быть выражены не только в двадцатых долях, но
и в сороковых, в восьмидесятых и др. Двадцатые доли — это
наименьшие общие доли, это наименьший общий знаменатель.
Поэтому говорят о приведении дробей к наименьшему общему
знаменателю.
После этого надо перейти к подробному объяснению техники
приведения дробей к общему знаменателю и выводу правила.
Начинать следует с рассмотрения общего случая, т. е. того
случая, когда знаменателями являются составные числа и ни
'один из них не делится на остальные знаменатели, например,
привести к наименьшему общему знаменателю дроби:
Нс трудно показать учащимся,
равняться дробь , должны быть
что знаменатели дробей, которым может
кратными 6 (12 1Ь, 24, 30 и т ,д к знамена¬
тели дробен комрим может равняться дробь —, должны быть кратными 8(16,
о
24, 32 и т. д ) Следовательно, общий знаменатель этих двух дробей должен
быть обшмм кратным числом 6 и 8, а общий наименьший знаменатель должен
быть наименьшим обшим кратным чисел б и 8.
Найдем наименьшее общее кратное этих чисел:
6	= 2X3
8=2Х2Х2
н. о. к. = 2 X 3 X 2 X 2 — 2ч
0 б
Это и будет наименьший общин знаменатель дробей - и -г. Теперь нужно
Ь 8
выразить каждую из наших дробей в двадцать четвертых нолях Для этого надо
найти то число, на которое надо умножить каждый знаменатель (б и 8), чтобы
получить обшии знаменатель — 24. Он находится путем деления 24 на 6 и 24
на Пол) чится в нервом случае 4 во втором — 3 Эго — дополнительные
множители Дополнительный множитель 4 показывает, что заменяя шестые
доли первой дроби хватать четвертыми долями мы увеличили знаменатель
этой тробн н 4 раза, от	дробь должна была уменьшиться в 4 раза. Чтобы
этого не случилось нч'жпо и числитель дроби увеличить в 4 раза.
•>72


Дополнительный множитель для второй дроби 3 показывает, что, за
восьмые доли двадцать четвёртыми, мы увеличили знаменатель 8 в 3
Чтобы от этого величина дроби не изменилась, нужно и числитель
умножить на 3.
20	3 _ 3X3 _ 9
24 *
п	5	5X4
Потому = ;
6X4	24*	8	8X3	24
Порядок здписи приведения дробей к общему знаменателю может
установлен следующий.
2
Допустим, что дано привести к общему знаменателю дроби
45 = 3 «3*5;	дополнительный	множитель	для	45 равен	20
20 = 2-2-5	э	>	э	20	>	45
75 = 3-5-5	>	*	>	75	>	12*
45' 20
7
^ и
н. о. к. = 3-3-5-2-2-5 = 900
2 _ 2-20 	_40 >
‘ 900 ’
20=
7-45
;20-45:
,315.
900 ’
8
75:
8-12
75-12,
96
900'
45	45-20
Правило формулируется так: «Чтобы привести дроби к
меньшему общему знаменателю, нужно*. 1) найти наимен1
общее кратное всех знаменателей; 2) найти дополнител
множитель для каждого знаменателя; 3) умножить числил
и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнителы
множитель».
После этого рассматриваются один за другим два осо(
случая:
1)	когда наибольший из данных знаменателей делится
каждый из остальных, например:	Знаменат
105 делится на 15 и 21. Следовательно, 105 есть наимены
общее кратное данных знаменателей. Значит, знаменатель 01
и будет наименьшим общим знаменателем.
2)	Когда знаменатели — числа взаимнопростые, т. е. не име
общих множителей, кроме единицы, например: —,
В этом случае надо напомнить учащимся, как находится н
меньшее общее кратное число, когда числа взаимнопростые (н
их перемножить между собой). И так как в этом случае найм
шее обшее кратное равно произведению данных чисел, то чи<
тель и знаменатель каждой дроби надо умножить на знаменат
остальных дробей:
3	3-15-8	360
7	‘
4
15:
5_
8
7-	15-8
4-7-8
15-7-8=
5-15-7
8-	15*7'
840 *
224 #
840’
525
= 840 *
Так как существуют три различных случая приведения дроби
к общему знаменателю, то следует приучить учеников к то«
чтобы они, прежде чем приступить к нахождению общего на!


правило учащиеся должны
Правило выводится, а затем закрепляется путём решения
задач и примеров.
Примеры решаются в такой последовательности:
а)
дроби с одинаковыми знаменателями
(А_М.
V 11	11 I ’
б)	дроби с разными знаменателями, причём знаменатель одной
дроби делится на знаменатель другой ^ |	;
в)	знаменатель одной дроби не делится на знаменатель другой
г)	вычитание смешанных чисел.
При вычитании смешанных .-чисел вычитают, если можно,
дробь из дроби и целое из целого. Например:
9^-736	О33
11	4 ~ 44	44
Если же дробь вычитаемого больше дроби уменьшаемого, то
берут одну единицу из целого числа уменьшаемого, раздробляют
её в надлежащие доли и прибавляют к дроби уменьшаемого,
например:
«. 41_ 1	, 16	33 _	52	33 _	19
9	12 аб 1 36 ~~ 4 36	1 36	^ 36 *
Сложные примеры, в которых дано сложение и вычитание, ре¬
шаются по частям, например:
~з|+5
Нахождение числа по данной его части.
Решение задач на нахождение числа по данной его части
является введением к изучению деления на дробь подобно тому,^
как задача на нахождение части числа является вводной к изу¬
чению умножения на дробь. Благодаря этим двум задачам курс
дробей в начальной школе носит целостный и до некоторой сте¬
пени законченный характер: в нём имеются не только сложение и
вычитание дробей, которые изучаются в систематическом изложе¬
нии, но и пропедевтика умножения и деления целого числа на
дробь.
376


К ЧИСЛУ к'УУ		_
В этой задаче затруднительным для ученика являе 1^»Л иииым»«....^
её смысла. Учащиеся смешивают эту задачу с известной им зада¬
чей на нахождение части от числа. Находя, например, число,.
з
которого равны 48, ученики долго не осознают того, что 48—
это не всё число, а только часть, три четверти его, т. е. три его
части из четырёх. Поэтому, получив такую задачу, они начинают
3 „о
вычислять от 48.
Чтобы преодолеть эти трудности и научить детей решать такие
задачи, нужно: а) выяснить смысл задачи на конкретных, образ¬
ных примерах; б) обстоятельно объяснить способ её решения,,
расчленив эту задачу на две: нахождение числа по одной его
части и по нескольким его частям; в) сопоставить эту зада¬
чу с задачей на нахождение части числа; г) дать достаточнее ко¬
личество упражнений в решении задач этого типа, возвращаясь
к ним и неоднократно повторяя их.
Нахождение числа по одной его части.
Сущность вопр'оса выясняется на задаче.
«На доске изображён отрезок прямой, причём видна только часть его»
(другая часть закрыта бумагой). Найти длину всего отрезка, если известно,
1	-	1	ол
что открытая часть составляет только — всего отрезка, и эта равна 2 ом>^
Рис. 54,
Тщательно объясняется смысл задачи, что в ней известно и что являете®
искомым. Известна часть отрезка, находится весь отрезок по одной
его части. Четверть отрезка составляет 2 дм, чему равен целый отрезок?
На доске даётся графический образ отрезка. Учащиеся рассуждают так:
«В целом отрезке, который принимается за единицу,Если в одной четвер-
377


2 дм, то в 4 четвертях дециметров в 4 раза больше, т. е. 8 дм,
#шсь решении задачи.
1 четверть отрезка составляет 2 дм,
4	четверти »	»	2 д м X 4 = 8 ддл
Решение проверяется непосредственным измерением всего ст-
ёзка. Весь отрезок действительно оказался равным 8
Решим вторую задачу с графическим её изображением и по-
робной записью:
всей площади огорода засажена капустой. Чему равна вся площадь
о
Орода, если известно, что капустой засажено 40 кв.
Графическое изображение задачи:
Ход рассуждения таков* «В целом огороде 5 пятых. Сели в одной пятой
хв. м, то в 5 пятых в 5 раз больше, т, е. 40X5 — 200 {кв. м)*.
Запись: ^площади огорода составляет 40 кв. м,
о
5
5"
40 кв. м X 5 == 200 кв. м.
Чтобы углубить понимание этого рода задач и закрепить в со¬
вании ученика способ их решения, нужно побольше решить за-
1ч с разнообразным содержанием, например:
1
«кг масла стоит,.8 руб. Сколько стоит целый килограмм масла?»
«Ваня вынул из кошелька ^-своих денег. Сколько всего денег в кошельке,
Ши он вынул 4 рубля?»
«Пешеход прошел, 8 км это и составляет только^ часть того пути, который
4 надо пройти. Чему равен весь путь?»


Нахождение числа по нескольким данным долям его.
Первые задачи и здесь поясняются графически и решаются
с подробной записью. В качестве графических образов исполь¬
зуются отрезки прямой, прямоугольники.
Решим задачу:
3
всей площади поля составляют 15 га, Чему равна вся площадь поля*
Иллюстрируем задачу:
45 г с
^
Рассуждаем. «■Если	составчяки
4
по вся площадь равна единице, или —.
4
г 1	с	4
если - поля составляет 5 га, то ;
1 5 га, то на
1
— прп\0 ЫП ся
4
15 га Я =5 *
составят 4 раза по 5 га или 20 га».
15 га:
15 га : 3 = 5 га]
5	га X 20 га.
После того как будет решено несколько таких задач и уча¬
щиеся в основном усвоят способ их решения, нужно сопоста¬
вить решение этих задач с задачами, на нахождение части чи¬
сла, сравнив задачи, их графические образы и способы их реше¬
ния.
Запись решенил
3
, поля составляют
4
I


Это нужно сделать на двух-трёх парах задач с аналогичным
содержанием, например:
1. «Отрезок прямой равен
12 см.
Найти
3
4
этого отрезка.»
12 с»
•7 		12 см
3 СЛ1
3
4
12 см ; 4 * 3 см.
	3 см ■* 3 = 9 гм
Рис. 57.
2.
« отрезка составляют 15 см. Найти весь отрезок»,
о
1В см
~Т ?
и
34 сл?
~ 15см $ ~ 2с»
~~ — 3 см *■ 8 - 2ч с»
Рис. 58.
Иллюстрации помогают уяснить учащимся, что эти задачи
обратные одна другой: что в первой дано,то во второй — искомое,
и наоборот. Помогают они лучше понять и способ их решения.
Заканчиваются упражнения решением отвлечённых примеров,
в которых искомое обозначается через х, например:
7
<^лг = 28. Чему равно неизвестное число?»
Решение:	~ х = 28 :7 = 4;
~ = 4 X 10= 40;
х «= 40.
380


Примерное распределение материала по урокам.
Доли единицы. Образование дроби. Числитель и знаменатель
дроби. Смешанное число	. . ,	2 урока
Дроби правильные и неправильные	  1	*
Обращение смешанного числа в неправильную дробь	1	>
Исключение целого числа из неправильной дроби	1	*
Основное свойство дроби	2	>
Сокращение дробей	2	>
Приведение дробей к общему знаменателю	3	>
Сравнение дробей по величине 	 1	>
Повторение	1	»
Контрольная работа 	 1	>
Разбор контрольной работы и дополнительные упражнения ...	1	>
Сложение дробей (решение примеров и задач)	4	*
Вычитание дробей	4	>
Решение примеров и задач на сложение и вычитание дробей . .	2	>
Контрольная работа с последующим ее разбором и дополнитель¬
ными упражнениями		 2	>
Нахождение числа по одной данной его части	: . . 1	>
Нахождение числа по данным нескольким его частям (объяснение
с первоначальными упражнениями)	.1	»
Упражнение в решении задач на вычисление числа по данной его
части — одной и нескольким 	1	»
Сопоставление нахождения части числа и числа по данной его
части; решение задач	1	>
Примерная контрольная работа.
I Обратить в неправильную дробь число 3 ^ .
65
2. Исключить целое число из дроби -уу.
, г	*	15	120
4. Сократить дроби:	; у^ .
4. Привести дроби к наименьшему общему знаменателю:
9	8	11
а)	20	;	15	;	24	“
А А
6) 12 ;	96 ■
А	А	3
в)	2	;	3	:	ТГ	•
7	3
5	Какая из следующих дробей больше- ут^ или ^у?
Примерная контрольная работа на сложение и
вычитание дробей. I.I. Выполнить действия
5
7
ъ
24 +
Зо ~
7
о
%
8' ~
"12 =
„2	3	5
3) Ъ - 3 -4- ■+ 5 ,2 -
381


II- Задача,
«Ученик прочитал книгу за 3 дня. В первый день он прочитал — всей
1
книги; во второй день — на больше, чем в первый. Как\ю часть книги про¬
читал ученик в третий день?»
ГЛАВА ДВАДЦАТАЯ.
ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ И ПРОЦЕНТЫ,
», Наблюдения показывают, что многие дети, даже хорошо
владеющие техникой действий над десятичными дробями, дол-
■ое время не понимают этих дробей:	«Я только тогда понял
[есятичиые дроби, — говорил один учитель, вспоминая годы
Воего начального обучения,—когда прошёл курс обыкновен¬
ии дробей и в особенности тогда, когда познакомился с обра-
{ением обыкновенных дробей <в десятичные и десятичных
обыкновенные. Не понимал я, почему у этих дробей знамена¬
ми — только 10, 100, 1000, да и вообще я этих знаменателей
^ чувствовал». Такие признания нередко можно слышать от лю-
*й, которые рано приступают к изучению десятичных дробей.
Чтобы достигнуть сознательного усвоения десятичных дробей,
до проходить их после основательного знакомства с обыкно-
иными дробями. Только после этого дети могут понять десятич-
дю дробь как дробь, а не только как десятичное число.
Приступая к изучению десятичных дробей, надо сразу уста¬
вить правильный взгляд па них, как на частный случай обык-
»енных дробен. В самом начале очень важно дать понять,
) десятичные дроби — это не какие-то новые числа, а это те
? дроби, только записанные по-иному, в другой форме. То
па обыкновенная запись дробей (обыкновенные дроби), теперь
: будет показа на десятичная запись дробей (десятичные
>би). Одну и туже величину можно выразить в разных долях
1аписать по-разному. Возьмём полметра. Эту величину можно
исать в /виде одной второй	тр; это обыкновенна я запись
бн, или обыкновенная дробь. Но эту же величину можно
азить и в десятичных долях (умножим числитель и знамена-
* на 5 — от этого величина дроби не изменится), получим
,	5
—десятичная дробь. Она может быть записана и по-
юму. Возьмём четверть метра. Эту величину можно выра-
: в четвёртых долях и записать в виде обыкновенной дроби:


одной четвёртой—	. Но эту же самую величину можно выра-
*
зить в сотых долях (умножим числитель и знаменатель дроби 4
на 25, от этого величина дроби не изменится), полечим Это
уже десятичная дробь. Её можно записывать по-другому. Как?
Это мы и будем изучать».
Так примерно можно начать переход к изучению десятичных
дробей. Из этого пояснения дети должны понять, что они буат
изучать новый вид, новую форму дробей. Они б\'д\т иметь
дело с теми же половинами, четвертями, восьмушками, пятыми
и т. д., но эти величины будут выражаться в других, десятичных
долях и записываться они будут по-ниом}* без знаменателя.
Устанавливая связь десятичных дробен с обыкновенными,
рассматривая их как частный случай последних, надо в то же
время связывать, там, где это полезно, десятичные дроби и с
целыми числами, распространяя основные понятия о нумерации
и действиях над целыми числами на десятичные дроби. Это
нужно делать при изучении нумерации десятичных дробей, при
изучении сложения и вычитания дробных чисел.
В начальной школе изучается только сокращённый курс
десятичных дробей. Сокращение курса вызывается недостатком
времени. Надо заметить, что дети в IV классе подготовлены
к прохождению полного систематического курса десятичных
пробей, но недостаток времени не позволяет расширять радии
этого курса.
Десятичные дроби после обыкновенных даются учащимся
без особых затруднений, и малоопытному преподавателю может
показаться, что десятичные дроби усваиваются сами собой.
Однако этот взгляд ошибочен: десятичные дроби имеют специ¬
фику. По внешнему виду они близки к целому числу, по это —
не целые ^исла; .по содержанию они—дробное число, но в них
нет знаменателя, он не пишется, а только подразумевается,
С этим нужно освоиться ученику, и это освоение происходит
тогда, когда он знакомится с основными понятиями — образо¬
ванием десятичных дробей, их чтением, записью, преобразова¬
ниями. Эти основные первоначальные понятия нужно раскрыть
перед учащимися со всей обстоятельностью:	очень конкретно,
наглядно, неторопливо, последовательно, ничего не оставляя
непонятым, неясным для ученика. Наглядность, конкретность
обучения и здесь являются основным методическим принципом.
Главное, чего должен добиваться учитель,—это понимания
и хороших навыков; усвоение же правил и определений нужно
отнести к V классу, где проходится систематический курс и где
учитель располагает для этого достаточным временем.
38$


В содержание краткого курса десятичных дробей в IV клас¬
се входят: а) образование и запись десятичной дроби до тысяч¬
ных долей включительно; б) преобразование десятичных дробей
и сравнение их величины; в) сложение и вычитание десятичных
дробей.
Образование десятичных дробей, их нумерация и основные
свойства.
Десятичные доли. Из этих долей составляются деся¬
тичные дроби, поэтому естественно с них и начать новый раздел.
Представление об уу , —-щ-и	должно быть у детей самое
конкретное, наглядное. Прекрасным наглядным пособием для
этой цели служит метре подразделениями на дециметры,
сантиметры и миллиметры. Метр изображает целое, единицу.
Дециметр — десятую долю. Сантиметр — сотую долю. Милли¬
метр — тысячную долю.
От метра можно перейти к рублям и копейкам и метриче¬
ским мерам веса, на которых также можно иллюстрировать доли.
«Вот метр (учитель показывает метр на таблице). Вспомните, сколько в одном
метре дециметров, сантиметров, миллиметров. Если в метре 10 дм, то один деци¬
метр какую часть метра составляет?» ^ уу- ^ „Какую часть метра составляет
один сантиметр?»	«Один миллиметр?»	•) «Покажите на метре
одну сот\ю долю его, одну десятую, одну тысячную. Запишем, что дециметр
1 1 1
составляет уу часть метра, сантиметр и миллиметр уущ метра.
!
Доли уд •
1
100'
Мс 1 р — 1
I
Дециметр—уу метра
Сантиметр = ууд »
1
Миллиметр = Уддд »
1
Г000 назь1Баются десятичными
долями.
Из этих десятичных долей образуются дроби. Вот Ъдм — какую часть
метра они составляют?» ^ уд- • | «Какую час1ь метра составляют: 7 дм? 9 дм?
4 ом? Какого часть метра составляют 15 см? 28 см? 50 см? 75 см? Если один
миллиметр составляет у-ууу метра, ю какую часть метра составят 6 мм?
10 мм? 84 мм? 100 мм? 325 мм?
■384


гг	5	2 а	4	10
Покажите на метре: -уд, -уд, -уд метра. Покажите на метре ^ , уд^
64	90	18	75	300	500
100’ 100 метРа- Покажите на метре уооО> Ю00’ 1000' 1 000 метРа-
Сколько в р'гбле копеек? Сколько гривенников? 1 копейка какуку часть
рубля составляет? Какую часть рубля составляют 7 коп.? 12 коп.? 25 коп.?
48 коп.? 68 коп.? Какую часть рубля составляет один гривенник? 3 гривенника?
7 гривенников? 9 гривенников? Какую часть гривенника составляет 1 кеп.?
5 коп.? 7 коп.? 3 коп.?	**
5 4 26
удд руб.— это сколько копеек? Сколько копеек составляют удд руб.? удд руб.?
7	75	99
Тоо руб-? 100 руб‘? Год руб-?
5	12
Запишем на доске, что 5 дм составляют -уд м\ 12 коп. составляют удд руб.;
17
17 мм составляют -у-ддд м.
5 дм
12 коп.
17 мм
~ 10 м
Л «
— 100 руб‘
17
1	000
м
Дроби -уд- , удд, д-ддд НЭЗЫВаЮТСЯ ДвСЯТИЧНЫМИ дробями.
Назовите числители этих дробей. Назовите их знаменатели. Что предста¬
вляют собой знаменатели у этих дробей?» (Единицу с одним нулём, единицу
с двумя нулями, единицу с тремя нулями.) сКакая же дробь называется деся¬
тичной?» (Десятичная дробь та. у которой знаменатель единица с одним или
несколькими нулями). «Напишите несколько десятичных дробей. Назовите цеся-
/ 1 1 1 \ и
тичные доли в порядке их постепенного уменьшения». I-уд- * удд- у-ддд ■) «На¬
зовите десятичные доли, начиная с тысячной, в порядке их постепенного уве-
!_	1 М
000’ 100’ 10/
Соотношение между десятичными долями.. Здесь
надо показать, что каждая десятичная доля содержит в себе 10 де¬
сятичных долей следующего низшего разряда. Эго нужно для
усвоения учащимися раздробления и превращения долей. Соотноше¬
ние показывается наглядно, на метре, а потом проводится ряд
отвлечённых упражнений.
В метре 100 см, или 100 сотых.
В 1 десятой метра (б дециметре) 10 см, или 10 сотых. Значит,
_1	10_
10 ~ 100*
В метре 1 000 мм, или I 000 тысячных.
В сотой метра (сантиметре) 10 мм, или 10 тысячных.
о	1	_ И)
Значит, 1(Ю у обо
личсшш»,
(1
38$
25 А. С. Пчблко


Справа пишутся: в I графе — десятые доли, во II графе —
сотые доли, в III графе — тысячные и т. д.
Ученики чертят нумерационную таблицу в*своих тетрадях и
упражняются в записи и чтении сначала отдельных разрядных
чисел, а потом таких дробей, в которые входят несколько раз¬
рядов
Чт^'бы записать в таблице дробь, надо её разложить
на разрядные числа. Например, пусть требуется записать
35 сотых; 35 сотых — это 3 десятых и 5 сотых. Записываем их
в грасЬе десятых и графе сотых долей.
Чтобы прочитать число, записанное в таблице, надо со*
е д и нить разрядные числа.
П\спь ч .его записано цифрами. 5 в графе десятых и 8 в графе сотых долей.
5 о^начиет 5 десятых, а 8 — 8 сотых; 5 десятых Д-8 сотых = 58 сотых.
Переходим далее к обычной форме записи десятичных дробей,
подробно объясняя запись первых чисел.
Пусть даю зачитать дробь: 2 целых 45 сотых. Разложим её на разряды.
2 це ,ы\ 45 'оты\ *= 2 целым 4 десятым и о сотым. Пишем 2 целых. После
цифры 2 стлшм за пятую, которая отделяет целую часть от дробной. После
запятой справа пишем цифру, которая означает 4 десятых; справа от десятых
пишем цифр) 5, которая означает 5 сотых. Получаем запись: 2,45.
В результате ряда упражнений учащиеся усваивают правило:
после запятой справа пишут — на первом месте десятые, на
втором месте — сотые, на третьем месте — тысячные.
Усвоив это правило, учащиеся переходят к записи и чтению
таких «исел, у которых на месте десятых и сотых стоит нуль.
«Прочитаем дробь*. 8.06. В этой дроби 8 единиц и 6 сотых. Она так и чи¬
тается 8 целых и 6 сотых. Прочитаем дробь- 1,036. В этой дроби одна еди¬
ница, 3 сотых и б тысячных; 3 сотых — это 30 тысячных. Значит, дробь надо
прочитать так. I целая и 36 тысячных.
Г1ре,к те чем записать дробь, надо сообразить, какие доли содержит
дробь Допустим, что надо записать 4 целых и 75 тысячных. Так как дробь
содержит тысячные, то при записи ее должно быть 3 десятичных знака: даны
е кюбп сотые и тысячные доли; нет десятых долей. На месте десятых ставим
нуль, за ним значащие цифры и получаем запись: 4,075».
Величина десятичной дроби не изменяется от
приписывания или зачёркивания нулей справа.
Понимание этого основного свойства десятичной дроби основано
на раздроблении и превращении долей. Чтобы учащиеся ясней
представляли себе сущность этого преобразования, нужно упраж¬
нениям на отвлечённых примерах предпослать раздробление
и превращение именованных чисел, выраженных дробью.
Задача: «На одном предмете стоит цена 4,8 руб., на другом 4,80 руб. Ка¬
кой из этих предметов дороже?»
Производится анализ состава данных чисел: цифра 4 в обоих числах озна¬
чает 4 целые единицы. Цифра 8 означает 8 десятых долей. Сотых долей в чи¬
сле 4,8 не г. В числе 4,80 на месте сотых стоит .нуль.
4,8 руб. всё равно, что 4 рубля и 8 гривенников)
4,80 руб всё равно, что 4 руб. и 80 коп.	| 8 гр. *= 80 ко*.


Отсюда и делаем заключение: оба числа по величине равны между собой:
4,8 = 4,80,
Отличаются же они одно от другого тем, что во втором числе справа при¬
писан нуль.
Ставим вопрос: что больше: 5,1 м, или 5,10 м, или 5,100 м.
5,1	м	все	равно,	что 5 м	1	Ом	\
5,10	м	>	>	> 5 м	10	см	>	1 дм = 10 см = 100 мм
5,100	м	»	»	>5 м	100	мм	)
Отсюда ясно, что все три числа по величине равны между собой:
5,1 = 5,10 = 5,100.
Чем же они отличаются друг от друга? Тем, что во втором числе справа
приписан один нуль, а в третьем числе справа приписаны два нуля.
Сравним по величине дроби 0,6; 0,60; 0,600.
Цифра 6 вчкаждой из этих долей означает 6 десятых долей.
Во второй дроби десятые доли выражены в сотых долях; получилось
60 сотых долей. В третьей дроби десятые доли выражены в тысячных долях,
получилось 600 тысячных долей.
Перепишем эти дроби со знаменателями. Получим:
60
"100
; 0,600
600
1000
6	60 600
Дроби	~ * ^ооо“ равны между собой; только выражены они
в различных долях —в десятых, сотых, тысячных.
_6_ ___ _60	600:
10 — 100— 1 000 •
Отсюда можно сделать вывод: от приписывания нулей справа
величина дроби не изменяется; только доли становятся более
мелкими.
Теперь нужно проделать обратные упражнения: мелкие доли
превращать в более крупные.
Превратим устно:	в десятые доли 0,30;
0.850; 2,420. Запишем полученные равенства в
0,30 =0,3	'
0,50 = 0,5
1,70 = 1,7
0,720 = 0,72
0 850 = 0,85
2\420 = 2,42
0,50; 1,70; в сотые доля 0,720;
столбик:
Анализируя эти равенства, устанавливаем, в чём сходство
и в чём различие чисел левого и правого столбиков. Дроби
правого столбика отличаются от дробей левого столбика тем,
что в них откинуты нули. Эти нули можно было и зачеркнуть.
От этого величина дроби не изменится.
Вывод можно сформулировать так: от зачёркивания нулей
справа величина десятичной дроби не изменяется.
После этого решаются соответствующие упражнения по задач¬
нику. Наблюдается, что некоторые ученики после этих упражне¬
ний начинают зачёркивать нуль на конце и в целых числах, в та¬
ких числах, как 4 500, 860 и т. д. В таких случаях надо пояснить,
что правило касается только десятичных дробей, а не целых
чисел.
Вывод о неизменяемости величины дроби от приписывания
нулей справа нужно использовать для сравнения десятичных
дробей по величине.
339


Преобразование именованных чисел с п о-
ощью десятичных дробей. Умение записать состав-
йе именованное число в виде простого, пользуясь десятичной
робыо, имеет большое практическое значение: в жизни стремятся
атъ именованному числу простое обозначение, стараясь заме-
рть сложное и громоздкое составное именованное число про-
гым, хотя бы и дробным. Вместо того чтобы писать, например,
I руб. 68 коп., пишут 3,68 руб., вместо 12 км 300 м пишут
Й,3 км\ вместо 2 кг 325 г пишут 2,325 кг. Запись в виде
кятичной дроби упрощает обозначение числа и, что ещё важ-
ге, упрощает действия над именованными числами. Действия
|д составными именованными числами громоздки, неизящны по
>рме, трудны по способам и приёмам вычислений. Поэтому
олне естественно стремление освободиться от них и поскорее
|>ейти к более лёгким приёмам вычислений, заменив состав-
|е именованные числа простыми.
- Упражнения следует начать с чисел, обозначающих рубли
Копейки; затем перейти к именованным числам, обозначающим
тры и сантиметры, километры и метры, тонны и килограммы,
рограммы и граммы. Порядок и характер пояснений, которые
|т учитель, видны из следующей таблицы:
1	руб. 56 коп.	1	руб. 56 сотых рубля	1,56 руб.
5 руб. 20 коп.	5	руб. 20 сотых рубля	5,2 руб.
3 м 25 см	3	м 25 сотых метра	3.25 м
8 км 375 м	8	км 375 тысячных километра 8,375 км
2	т 400 кг	2	т 400 тысячных тонны	2,4 т
Полезно провести и обратные операции: преобразование про¬
сто именованного числа в составное, например: 8,25 руб. =
в руб. 25 коп., 1,05 м= I м 5 см и т. д.
Сложение и вычитание десятичных дробей.
Сложение и вычитание десятичных дробей производятся по
)азцу сложения и вычитания целых чисел.
Объяснение сложения и вычитания даётся на примерах,
^емых устно. На устных упражнениях выясняется, что при
|Жении и вычитании десятичных дробей действия производятся
1азрядно, как при сложении и вычитании целых чисел. Устные
щсления дают возможность яснее представить состав десятич-
[ дроби и соотношение между разрядными единицами.
.Устные упражнения подготовят детей к сознательному вы-
шению письменного сложения и вычитания десятичных
(бей. Надо приучить учеников к правильной и аккуратной за¬
де слагаемых и суммы, требовать, чтобы правильно на своём
Тге ставилась запятая (запятая в сумме точно под запятыми
^аемых). При изучении сложения и вычитания десятичных дро-


бей нужно повторить: названия данных и результата, перемести¬
тельное свойство суммы, зависимость между данными и резуль¬
татами сложения и вычитания, изменение суммы и разности.
Устное сложение и вычитание десятичвых дробей
Упражнения в устном сложении и вычитании десятичных
дробей можно разбить на две группы: 1) сложение однознач¬
ных слагаемых и соответствующие случаи вычитания; 2) сложе¬
ние двузначных чисел с однозначными и соответствующие случаи
вычитания.
В ,каждой группе различные случаи надо расположить в по¬
рядке постепенного усложнения. Например, в первой группе
система примеров будет следующая: а) сложение десятых долей
без перехода через разряд (0,5 + 0,4); б) сложение, когда
в сумме, получается новая разрядная единица (0,7 4-0.3);
в)	сложение с переходом через разряд (0,8+0,7); г) сложение
сотых долей в том же порядке (0,06 + 0,02;	0,04 + 0,06.
0,09 + 0,07). Различные случаи вычитания располагаются в со¬
ответствии со сложением.
Во второй группе соблюдается та же система:	а) сложение
без перехода через разряд (1,2 + 0,6); б) сложение, когда
в сумме получается новая разрядная единица (4,8+0,2);
в)	сложение с переходом через разряд (5,8+ 0,6); г) сложение
сотых долей в том же порядке (0,27 + 0,02;	0,46 + 0,04;
0,75 + 0,08).
Складывая числа, например, 0,7 4- 0,5, ученик рассуждает так: 7 десятых
да 5 десятых—12 десятых; 12 десятых — это 10 десятых, т. е целая еди¬
ница, и 2 десятых. Значит, всего получится 1 целая и 2 десятых.
При вычитании десятичных дробей ученик рассуждает так:	чтобы от
1,5 отнять 0,8, раздробим 1,5 в десятые доли. Получим 15 десятых. От ^деся¬
тых отнять 8 десятых, получится 7 десятых.
Более трудные примеры на сложение и вычитание решаются
письменно.
Письменное сложение и вычитание десятичных дробей,
И здесь все упражнения делятся на две группы.
В первую группу, более лёгкую, входят те случаи сложение
и вычитания, когда данные имеют одинаковое число знаков,
например:
,0,54	,1,37	, 2,86	,0,376
+ 0,32	+ 0,53	+ 5,68	+ 0.435
С таких случаев и надо начинать объяснение письменного
приёма сложения и вычитания.
391


Во вторую группу входят* случаи сложения и вычитания,
в которых данные числа имеют неодинаковое количество знаков,
например:
, 1,2	, 0,478	2,27
' 0,57	' 0.26	1.35(5
Первые примеры в упражнениях решаются с подробным
объяснением.
Пусть решается пример на сложение:	,3,478
1 0,69
4,168
Складывая, ученик говорит: «Подпишем одно слагаемое под другим так,
чтобы единицы стояли под единицами, десятые под десятыми, сотые под со¬
тыми. Слева поставим знак сложения. Проведём черту под вторым слагаемым
и начнём складывать с наименьших долей: в нашем примере — это тысячные
доли; 8 тысячных запишем в сумме; 7 сотых да 9 сотых— 16 сотых; они со¬
ставляют I десятую и 6 сотых; 6 пишем, а 1 десятую запоминаем; 4 десятых
да 6 десятых— 10 десятых, да 1 десятая—11 десятых. Они составляют
1 целую и 1 десятую; 1 десятую пишем, а 1 в уме. 3 целых да 1 целая —>
4 целых. Получилось в сумме 4 целых 168 тысячных».
Вычтем 4,6 из 6,128. Подписав одно число под другим, рассуждаем так:
	6,128	«Из 8 тысячных и 2 сотых ничего не вычитаем, поэтому запи-
4^	шем их в остатке. Из 1 десятой вычесть 6 десятых нельзя, зани-
1,528	маем целую и раздробляем её в десятые доли. Из 11 десятых
вычесть 6 десятых, получится 5 десятых; 5 пишем. От 5 целых отнять 4 це¬
лых, получим I целую. В остатке получилось 1 целая 528 тысячных».
По мере укрепления навыка в сложении и вычитании сопут¬
ствующие им объяснения становятся всё более краткими и схе¬
матичными.
Проценты.
В вопросе о процентах начальная школа ограничивает свои
задачи тем, что дает учащимся понятие о проценте и учит их
решать задачи, в которых требуется найти один или несколько
процентов от числа, выраженного в круглых сотнях.
Понятие процента. Процентом числа называется
сотая часть этого числа. Таким образом, процент числа
и сотая часть числа — понятия тождественные. Это тождество
и нужно установить в сознании учащихся. Самые доли ученикам
достаточно известны. Теперь задача сводится к тому, чтобы дать
ученикам термин «процент» (имеющий, кстати сказать, широкое
распространение в жизни), установить связь процентов с сотыми
долями и научить находить несколько процентов от числа, по¬
добно тому как находятся несколько сотых долей числа.
Графическое представление о проценте можно дать на квад¬
рате, сторона которого равна 10 см. Делим его на 100" клеток.
у* г


Тогда каждая клетка составит щ , или один процент, квадрата
(рис. 59).
Копейка составляет щ, или один процент, рубля. Один рубль
составляет , или один процент, от сотни рублей.
Решим задачу: «Служащий получил 400 руб. зарплаты. Одну
сотую этой суммы он внёс для уплаты членского взноса. Сколько
рублей составляет членский взнос?»
Чтобы решить эту задачу, нужно 400 разделить на 100, по¬
лучим 4; 4 — одна сотая часть, или один процент, числа 400.
Этих примеров достаточно,
чтобы у учащихся составилось
представление о проценте как
сотой части числа и чтобы дать
определение процента. Далее ре¬
шаются устные задачи и приме¬
ры на нахождение одного про¬
цента от числа, например:
«На склад привезли 900 куб. м дров.
Один процент этих дров были берёзо¬
вые дрова. Сколько кубометров берё¬
зовых дров привезли на склад?» Решая
эту и подобные ей задачи, надо ста¬
вить вопросы: «Что такое процент? Что
значит найти один процент от числа
900? Как это сделать?»
Нахождение несколь¬
ким п р о ц е н т ов от числа.
Так как найти несколько процентов от числа — значит найти
часть числа, несколько сотых числа, то необходимо, прежде
чем перейти к вычислению нескольких процентов, повторить
с учащимися способ нахождения части предмета, а затем части
числа, например:
3	5	9	7
«Как найти — полоски? — полоски? круга?	круга? Как найти
% от 48? от 60?»
О	1Э
Затем можно дать иллюстрацию нескольких процентов на
квадрате со стороной в 10 см, разделённом на 100 квадратных
клеток, где каждая клетка составляет 1% квадрата, а следова¬
тельно, 10 клеток составят 10 сотых, или 10%; 25 клеток —
25 сотых, или 25%, и т. д. По предложению учителя ученики на¬
ходят заданное им число процентов в площади квадрата: «Най¬
дите 2%; 15%; 10%; 7% площади этого квадрата».
Тут же ученики знакомятся с обозначением процента при
помощи знака % и упражняются в чтении записанных учителем
39»


на доске чисел, обозначающих проценты, в записи названного
учителем числа процентов.
Прочитайте: 1%; 8%; 14%; 76%; 95%; 100%.
Запишите: 7 процентов; 24 процента; 60 процентов.
Что значит найти столько-то процентов от числа
Как найти столько-то процентов от числа?
Вычислите 17% от числа 2 400; 32% от числа 700 и т. а.
Вычисление нескольких процентов от чисцТа -производится
двумя действиями.
Пусть требуется, например, найти 12% от числа 1 500.
Запись вычисления производится так:
Найти 12% от ) 500.
Решая этот пример, ученик рассуждает следующим образом:
«Найдём сначала 1 % числа 1 500; 1 % — это	часть числа.
Чтобы найти от числа 1 500 одну сотую его, нужно 1 500 разделить на
100, получится 15.
Найдём дальше 12% от 1 500. Так как 1% от 1 500 составляет 15, то 12%
составит число в 12 раз большее. Умножим 15 на 12, получится 180.
Итак, 12% от числа 1 500 составляет 180».
Приведём образец решения задачи на проценты.
Пусть дано решить задачу: «Сберегательная касса даёт вкладчикам 3%
годового дохода. Сколько годового дохода получит вкладчик, у которого в сбер¬
кассе лежит 2 000 руб.?»
Чтобы решить эту задачу, нужно найти 3% от суммы 2 000 руб.
1.	Чему равняется 1 (,/о от числа 2 000 руб.?
2	000 руб.: 100 = 20 руб.
2.	Чему равны 3% от числа 2 000 руб.?
20 руб. X 3 = 60 руб.
Ответ: вкладчик получает за год 60 руб. дохода.
Решая задачи, нужно показать учащимся, что вычисление
процентов имеет большое практическое применение:	проценты
применяются при денежных расчётах в сберкассах, при займах;
в сельском хозяйстве при определении всхожести семян; в шко¬
ле — при определении посещаемости учащихся; на фабриках
и заводах—при учёте выполнения планов, при учёте продукции.
На эти жизненные темы и нужно решать задачи.
Замена числа процентов долями единицы. Об¬
ласть применения процентов в начальной школе можно значи¬
тельно расширить, если научить детей выражать число процен¬
тов в долях единицы. Замена процента долями единицы упро¬
;394
1% от 1 500 — 1 500:100 = 15;
12% от 1 500 = 15 X 12 = 180.


щает и облегчает вычисления, и это умение нужно дать уча¬
щимся начальной школы.
На квадрате со стороной 10 см (рис. 59) легко показать, чт«
10 п/о = ^ ; 50°,о =4; 200 «,'о = 2;
20°,о = ^-;	75о = д-; 500°/о = 5.
25 % = ^ ; 100о'0 = 1 ; 650° о = 6 ^ и т. д.
Так как ко времени изучения процентов учащиеся нрошли
обыкновенные дроби, то к замене процентов долями единицы
можно подвести учащихся и через сокращение дробей:
1	25
25> — это потому что 25°,'о =
1
•I ’
или 50" о состапчяюг
1
2. потому что
50° ,о =
50	й 50	..	I
сокращая дробь на 50, получим ^ •
На решении примеров надо показать, что замена числа про¬
центов долями единицы действительно упрощает вычисления, на¬
пример:
Найдем 50°/о числа 1 800 двумя способами:
1 11
1) 1 800:100= 18	50°,о= ~
2)	18X 50 = 900	1800:2 = 900
Замена процентов дробью даёт возможность вычислять про¬
центы от таких чисел, которые не состоят из круглых сотен.
Решим задачу: «В сельской школе 420 учащихся. 60°,и этого числа состав¬
ляют девочки. Сколько девочек в школе?»
Решение:
60 °/0 :
60
100=
6_
зо:
3_
: 5
1.	Найдём тг- числа 420:
420 уч.: 5 = 84 уч.
3
2.	Найдём 1г числа 420:
84уч.Х3 = 252 уч. (дев.)
Ответ: 252 девочки
Примерное распределение материала по урокам.
Десятичные доли. Соотношение между десятичными долями . I урох
Образование десятичных дробей	 1	»
Запись и чтение десятичных дробей		 2	>
Основное свойство десятичных дробей	1	»
895


	2	>
вычитание десятичных дробей	2	>
Решение задач и примеров на сложение и вычитание десятичных
дробей	1	»
Контрольная работа		 . •	1	>
Понятие процента и нахождение одного процента от данного	числа	.	1	>
Нахождение нескольких процентов от данного числа (объяснение)	.	1	>
Упражнения в решении задач и примеров на нахождение от числа
нескольких процентов	3	>
Примерная контрольная работа.
1.	Записать в виде десятичных дробей следующие числа:
2 руб. 80 коп., 5 кг 400 г; 8 км 250 м; 60 коп.; 40 см.
2.	Сократив дроби. 1,20; 2,300; 0,060; 0,70.
3.	Выполнить действия.
а) 0,48 4- 2,6* =	в) 4,687 — 2,835 =
б) 1,15+ 0,8 =	О 5,7 — 0,84 =
Задача.
В роще 800 деревьев: из них 45% берёз и 28% сосен; остальные — ели.
Сколько елей в роще?
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ПЕРВАЯ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ.
Математика, по выражению Энгельса, есть наука о количе¬
ственных соотношениях и пространственных формах действитель¬
ного мира. Количественные соотношения между величинами
рассматриваются в арифметике; пространственные формы —
в геометрии.# И то и другое составляет необходимую составную
часть элементарного математического образования. Количествен¬
ные отношения и пространственные формы начинают изучаться
уже в начальной школе.
Естественно, что вначале предметом изучения является
число — то основное орудие, при помощи которого математика
из)чает и устанавливает количественные соотношения.
В первых двух классах дети обучаются арифметике; здесь
они усваивают понятие числа и действия над ним. Попутно они
развивают несколько и свои пространственные представления.
Так, знакомясь с сантиметром, метром и километром, пользуясь
ими для измерения различных расстояний и размеров различных
предметов и вещей, они уточняют свои представления о рас¬
стояниях, о протяжённости. Пользуясь постоянно квад¬
ратиками, треугольниками и кружочками как дидактическим
материалом, имея дело с прямоугольниками, на которых иллю¬
стрируются многие арифметические понятия, учащиеся воспри-
3*6


_ _ „ м V м 1*1 ^ 1 П у ю форму, ИЗ кото¬
рой потом получится абстрактное понятие геометрической
формы. Однако эти понятия в младших классах не выделены
в самостоятельный раздел, не обособлены от арифметики (а на¬
оборот, тесно слиты с ней), не подчинены какой-либо определён¬
ной системе. Это сделано только в программе III класса, где
геометрический материал выделен в самостоятельный раздел.
Обучением детей III и IV классов начаткам геометрии пре¬
следуются две главные цели: 1) развитие у детей простран¬
ственных представлений и 2) вооружение детей практическими
навыками по измерению отрезков, площадей, объёмов.
Пространственные представления — сложные представления.
Восприятие пространства включает в себя восприятие рас¬
стояния, на котором предметы расположены от нас и друг от
друга, направления, в котором они находятся, величины
и формы предметов.
Предметы, находясь один вне другого, располагаются в том
или ином направлении, на том или ином расстоянии друг от
друга. По мере того как в восприятии ребёнка отражаются
положение, направление, расстояние, величина и форма предметов,
у него формируется подлинное восприятие пространства. Такое
восприятие пространства, отражающее соотношение вещей в реаль¬
ном пространстве, получается в результате значительного разви¬
тия.
В восприятии пространственных свойств вещей известную
роль играют осязательные и мышечные ощущения. Но главное,
на основе чего ребёнок учится ориентироваться в пространстве, —
это зрительные ощущения, соединённые с жизненным опытом
и практической деятельностью самого ребёнка.
Сталкиваясь с вещами и предметами различной величины
и формы, обозревая и осязая их, играя с ними, создавая их
собственными руками, наблюдая их относительное расположение
и перемещая их по своему желанию, постоянно передвигаясь
с места на место, отмеривая шагами и другими единицами из¬
мерения большие и малые расстояния, ребёнок постепенно
овладевает пространством, познаёт его и совершенствует свои
пространственные представления.
Вначале оценка расстояния, производимая ребёнком, бывает
очень неточна. Неточны бывают и оценки величины пред¬
метов. Вначале центром, отправной точкой, от которой ведётся
отсчёт расстояния и определяется положение предметов, яв¬
ляется сам ребёнок. Исходя от себя, он определяет положение:
«ближе—дальше», «вверх—вниз», «вправо—влево», «вперёд—на¬
зад». Затем постепенно и медленно вырабатывается способность
переносить точку отсчёта в любую другую точку пространства
и переводить все пространственные отношения из одной системы
отсчёта в другую.
297


Так же медленно и постепенно развивается представление
о ферме.
Сначала ребёнку доступна только предметная конкретная
форма. Потом начинается медленный и длительный процесс
абстрагирования формы, ребёнок овладевает абстрактной гео¬
метрической формой, не прибегая к отождествлению её с кон¬
кретной формой знакомого ему предмета.
Интересна взаимосвязь этих двух видов форм:	сначала гео¬
метрическая форма воспринимается, исходя из предметной; за¬
тем, по мере того как ребёнок овладевает геометрической фор¬
мой, конкретная форма предметов начинает определяться по¬
средством более чёткой геометрической формы.
Такова' в основном схема развития у ребёнка пространствен¬
ных представлений, которая охватывает дошкольный и младший
школьный возраст.
В III класс ребёнок приходит с значительным запасом
пространственных представлений и с большим общим развитием,
что является благоприятными предпосылками для успешного про¬
хождения курса наглядной и практической геометрии в этом
классе.
Задача учителя, работающего в III классе, — дать учащемуся
зрительные геометрические образы — правиль¬
ные, определённые, чёткие; на основе этих образов создать
понятие об основных геометрических элементах — прямой и её
отрезке, об углах, фигурах прямоугольника и квадрата, о глав¬
ных свойствах этих фигур.
Вся эта работа должна подвести учеников к центральной
задаче курса III класса — к овладению практическим навыком
и умением измерить и вычислить площадь, имеющую форму
прямоугольника.
Из задач вытекает и метод обучения наглядной геометрии.
Всё обучение от начала до конца должно быть наглядным, кон¬
кретно-предметным, зрительно-осязательным.
Наглядное обучение должно сопровождаться опытами и прак¬
тическими работами самих учащихся. Учащийся должен воспри¬
нимать и изучать не только готовые зрительные образы, но
и создавать, воспроизводить изучаемые геометрические формы,
используя в этих целях различные средства: черчение по уголь¬
нику и линейке, вырезывание и наклеивание различных гео¬
метрических фигур, вырезывание развёрток и склеивание тел,
образование, фигур на подвижных моделях—получение того или
иного геометрического образа путём перегибания листка бумаги.
Процесс обучения на уроке должен развёртываться в плане
строгой индукции: ученикам даются отдельные факты, частные
случаи для наблюдения, сравнения, анализа; на основе наблюде¬
ний и результатов сравнения делаются выводы, обобщения; эти
выводы используются для решения задач.
Строя всю работу на строгом соблюдении принципа нагляд¬
398


ности и дачи ученикам зрительных геометрических образов, надо-
в то же время всемерно помогать ученикам абстрагировать
формы, абстрагировать геометрические свойства тел и фигур.
Это достигается тем, что ученикам даётся один и тот же образ
на различных предметах из различного материала, что учеников
ставят перед необходимостью находить изучаемые формы
в окружающей обстановке; выводы и обобщения делаются на
основе рассмотрения достаточно большого количества отдель
ных примеров и фактов.
Прямая линия и её отрезки.
Представление о прямой линии у учащихся уже есть, теперь
надо сделать это представление более ясным и точным. Ученику
сначала даются графические образы прямой: I) черта, проведён¬
ная вдоль ребра линейки, есть прямая линия; 2) натянутая нить
изображает прямую линию; 3) если перегнуть листок бумаги,
слегка нажимая пальцем, и затем расправить его, го на листке
останется след в виде прямой линии.
Прямую линию можно продолжить в обе стороны на какое
угодно расстояние. Такая же прямая, которая ограничена двумя
точками, называется отрезком прямой. Отрезки прямой
обозначаются двумя буквами, поставленными на концах, напри¬
мер отрезок АБ.	А	Ь
Столярам и плотникам часто приходится проводить длинные
отрезки прямых. Они это делают с помощью шнура. Шнур на¬
тирают мелом и укрепляют между двумя концами доски так.
чтобы он был натянут. Затем приподнимают шнур за середину
и опускают. Шнур ударяется о доску и «отбивает» на ней мелом
прямую линию.
Упражнения. I) Поставить 4 точки и обозначить их буквами. 2) Про¬
вести на бумаге при помощи линейки и тонко очиненного карандаша 3 отрезка
прямых в различных направлениях (сверху вниз, слева направо, наклонный),
первый в 5 см, второй в 4 см, третий в 7 см. 3) Измерить длину данных от¬
резков. 4) Изготовить линейку из бумаги и начертить при помощи неё не¬
сколько прямых.
Сложение и вычитание прямолинейных от¬
резков. Это умение нужно ученику при решении задач на
движение и при вычислении периметра прямоугольных фигур.
Там этот навык найдёт своё практическое применение. Теперь
же нужно сообщить ученикам, что отрезки можно складывать,
можно вычитать, и показать, как это делается. Чтобы сложить
два отрезка АБ и ВГ (рис. 60), берём произвольную прямую и на ней
А-	Б
а			-г
/
А	Е
I— т	-П1	 1
АБ+ВГ-АК
Рис. 60.
К
399


	равный ль, а потом отрезок ЕК%
разный ВГ. Тогда прямая ДК будет равна АБ-{-ВГ. В этом
случае прямую ДК называют суммой, а отрезки ДЕ и ЕКУ из
которых она сложилась,—слагаемыми. Записывается сложение
так:
ДЕ + ЕК = ДК.
Чтобы вычесть меньший отрезок из большего, например АБ
из МО, нужно на прямой от точки М отложить МК — АБ. Тогда
отрезок КО представит разность между МО и АБ.
Это можно записать так:
МО — АВ = КО.
Если отрезки, данные для сложения или для вычитания, не
выражены числами, то равные им отрезки откладываются
циркулем или измеряются и откладываются при помощи полоски
бумаги. Если же длина отрезков задана в сантиметрах или
в других мерах, то отрезки данной длины откладываются при
помощи линейки с сантиметровыми делениями.
Упражнения. 1) Начертить два отрезка в б см и 4 см и сложить их.
2) Из отрезка в 9 см вычесть отрезок в 5 см. 3) Сложить 4 отрезка, дли¬
ной каждый по 3 см. 4) Начертить два отрезка различной длины и сравнить
их между собой. Показать па отрезках, что 12 см больше 1 дм (путём нало¬
жения).
Углы.
Чтобы дать ученикам понятие об угле, надо показать им раз¬
личные виды углов. Сначала надо показать углы на предметах.
С этой целью в класс приносится модель прямоугольника, квад¬
рата, треугольника. Эти фигуры в общем знакомы ученикам как
дидактический материал. Показывая эти предметы, учитель
обращает внимание учеников на то, что в каждом из них есть
стороны (отрезки) и углы.
Когда две стороны прямоугольника или треугольника сходятся,
то они образуют угол. Показываются углы на различных
предметах классной обстановки. Углы бывают разные по виду
и по величине, например углы в прямоугольном треугольнике.
После этого даётся более подробное знакомство с углами на
модели подвижного угла, составленного из двух планок, скреп¬
лённых в одном конце шарнирным соединением. Стороны этой
модели могут свободно сдвигаться и раздвигаться.
Линии, образующие угол, называются сторонами угла.
Точка, из которой выходят две прямые линии, называется
вершиной угла. Учащиеся показывают стороны и вершины
тех углов, которые они наблюдают.
Далее даются образы прямого, острого и тупого
угла. Такие углы, которые мы наблюдаем в прямоугольнике,
называют прямыми углами. Мы здесь не даём определения пря¬
400


мого угла (оно пока ещё недоступно учащимся), а ограничи¬
ваемся тем, что даём образ прямого угла. Прямой угол показы¬
вается на модели подвижного угла. Ученики находят прямые
углы в окружающей обстановке. Ученикам даётся задание со¬
ставить из палочек прямой угол. Даётся задание сложить кусок
бумаги вчетверо и затем развернуть его, — получатся около одной
вершины четыре прямых угла.
Берутся прямые углы из кусков бумаги различной величины,
накладываются один на другой, при наложении они совпадают.
Отсюда делается вывод, что прямые углы все равны между
собой. Стороны у этих углов разные: у одних больше, у дру¬
гих меньше, но величина угла одинакова. Учащиеся склонны
думать вначале, что чем больше стороны, тем больше и самый
угол. Но на примере равенства прямых углов, независимо от
длины их сторон, они убеждаются, что это не так.
На модели подвижного угла учитель показывает, что при
сближении сторон угол уменьшается, и. наоборот, раздвигая
стороны, мы увеличиваем угол. Угол, меньший прямого, —
острый угол; угол, больший прямого, — тупой угол.
Упражнения. 1) Начертить два прямых угла с помощью наугольника
в разном положении. 2) Начертить прямой угол на клетчатой бумаге без по¬
мощи наугольника, пользуясь только линейкой и карандашом. 3) Начертить не¬
сколько острых и тупых углов' разной величины. 4) Сделать угольник из бу¬
маги (для этого сложить листок бчмаги пополам, а потом в согнутом виде ещё
раз пополам так, чтобы одна половина сгиба совпала с другой, — получится
прямой угол — угольник. Им можно пользоваться для черчения прямых
углов). 5) Начертить пару прямых линий, пересекающихся под прямым углом
(подсчитать сколько прямых углов образует каждая такая пара).
Прямоугольник.
Цель изучения этой фигуры — создать у учащихся отчётливый,
конкретный образ и познакомить детей с её основными
свойствами, а также дать понятие о периметре и о параллель¬
ности противоположных сторон прямоугольника.
Ознакомление с прямоугольником ведётся так. До начала
урока учитель вычерчивает на доске в центре её прямоугольник
со сторонами примерно 5 дм и 3 дм. Затем предлагает ученикам
в своих тетрадях начертить прямоугольник по клеткам: одному
ряду — длиной в 8 клеток, шириной 6 клеток; другому ряду —
длиной в 10 клеток, шириной 6 клеток; третьему ряду — длиной
в 12 клеток, шириной 8 клеток. После этого измеряются при
помощи линейки, имеющей сантиметровые деления, соседние
стороны прямоугольника (длина и ширина) и устанавливается,
что соседние стороны у прямоугольников не равны между
собой.
Указываются противоположные стороны прямоуголь¬
ника на классной доске. Каждый ученик показывает противопо¬
ложные стороны у своего прямоугольника, начерченного в тет-
26 А. с Пчйлко
401


эади. Вызванный к доске ученик измеряет противоположные
:тороны прямоугольника, начерченного на доске; ту же работу
проделывают учащиеся на своих чертежах. В результате измере¬
ния получается вывод:	противоположные стороны
прямоугольника равны между собой.
Обший вывод «У всякого прямоугольника проти¬
воположные стороны равны между собо й».
Далее учитель переходит к выяснению параллельности противо¬
положных сторон прямоугольника. Для этого в стороне от начерченного прямо¬
угольника он проводит две пересекающиеся прямые и говорит, что такие ли¬
нии называются пересекающимися. Ученики чертят в своих тетрадях пересекаю¬
щиеся прямые. Рядом с первым чертежом учитель проводит две линии под
острым углом. Пересекутся эти линии или не пересекутся? Чтобы ответить на
этот вопрос, продолжим эти линии; оказывается, они пересекаются Подчёрки¬
вается, что для суждения о пересечении двух прямых линий их надо продол¬
жить.
Далее учитель вычерчивает две параллельные линии. Ставится вопрос,
пересекутся ли эти линии; для этого они продолжаются в обе стороны. Оказы¬
вается, эти линии не пересекаются, сколько бы мы их ни продолжали. Такие
линии называются параллельными. Даётся определение параллельных:
«параллельными линиями называются такие линии,
которые не пересекаются, сколько бы мы их ни про¬
должали» (условие нахождения прямых в одной плоскости здесь не упо¬
минается).
Вернувшись к чертежу прямоугольника, учитель спрашивает, не будут ли
противоположные стороны прямоугольника параллельны. Как это узнать? Обе
пары противоположных сторон прямоугольника продолжаются, и устанавли-
вается, что противоположные стороны прямоугольника
параллельны. Учащиеся находят и называют параллельные линии в окру¬
жающей обстановке.
Делается общий вывод о ггротиво по ложных сторонах прямоугольника —
противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны.
Учитель раздаёт учащимся по одному листку клетчатой
бумаги и наугольнику. Путём подсчёта устанавливается, что
в прямоугольнике 4 угла. Дети перегибают прямоугольник с та¬
ким расчётом, чтобы углы, прилежащие к одной стороне и проти¬
воположные, по очереди совпадали между собой. Делается вывод,
что все углы прямоугольника равны между собой. Какие же это
углы? Накладывая наугольник на углы прямоугольника, дети убе¬
ждаются, что в-се углы прямоугольника — прямые.
Упражнения. 1) Начертить прямоугольник, у которого длина 6 см,
а ширина 4 см. 2) Найти прямоугольники в окружающей обстановке. 3) На¬
чертить две параллельные прямые.
Квадрат.
Ознакомление с квадратом идёт по тому же плану, как
и ознакомление с прямоугольником. Ученикам даётся несколько
изображений квадрата: грань куба, бумажный квадрат, модель
квадрата. Ученики показывают стороны квадрата, углы и вер¬
шины его. Устанавливается, что у квадрата 4 стороны и все они
равны. Эти стороны образуют четыре прямых угла.
402


В заключение прямоугольник и квадрат сравниваются, от¬
мечается их сходство и различие.
Сходство. У квадрата и прямоугольника по 4 стороны, по
4 угла, углы прямые, противоположные стороны равны и парал¬
лельны.
Различие. У квадрата все четыре стороны равны.
У прямоугольника только противоположные стороны равны.
У гг р а ж и е н и я. 1) Начертить квадраты со стороной п I о/, в 4 см,
о 1 дм, 2) Начертить в клетчатой тетради квадраты в одну клеточку (*к»ад-
ратик»), в 4 клеточки, в 9 клеточек. 3) Назвать квадраты в окружающей
обстановке.
Вычисление суммы сторон прямоугольника
(периметра). Выставив перед классом прямоугольник из картона
или фанеры, учитель предлагает задачу: «Найти длину всех
вместе взятых сторон прямоугольника».
Один ученик измеряет одну за другой стороны прямоуголь¬
ника, другой записывает результаты измерения. Допустим, чго
размеры сторон получились следующие: 40 см, 25 см, 40 см,
25 см.
Чтобы найти длину всех вместе взятых сторон прямоуголь¬
ника, нужно полученные числа сложить:
40 см --г- 25 см -|— 40 см 25 см = 130 см:== 1 м 30 см
Когда сумма сторон найдена, следует поставить вопрос, как
иначе можно вычислить эту сумму. Так как противоположные
стороны у прямоугольника равны, то, измерив его длину, нужно
её удвоить, измерив ширину прямоугольника, нужно её также
удвоить. Сложив оба произведения, получим сумму всех сторон
прямоугольника.
Запись будет иметь следующий вид:
1) 40 см X 2 — 80 см; 2) 25 см X 2 = 50 см; 3) 80 см 50 см =
= 130 см= 1 м 30 см.
Чтобы дать яркий зрительный образ этой суммы н преду¬
предить нередко наблюдающееся у детей смешивание вычисле¬
ния периметра с вычислением площади прямоугольника, можно,
дав чертёж прямоугольника, вычисление суммы его сторон про¬
вести так, как это сделано на чертеже, где ломаная линия
прямоугольника выпрямлена: стороны прямоугольника пронуме¬
рованы и отложены на одной прямой (рис. 61).
	I .
_/	>
Рис. б!
26,
то


о и |/ и л\ п с п п п, I] гола «но лол^диму ил учеников заранее приго¬
товленные прямоугольники и предложить им найти сумму всех сторон прямо-
угольника Учитель пронумеровывает каждый прямоугольник и длину сто¬
рон его записывает у себя, чтобы можно било быстро проверять ответы
учеников. 2) Измерить периметр пола класса. 3) Решить задачи: а) «Комната
длиной в 7 м и шириной в 6 .« оклеивается обоями. Сколько метров бордю¬
ра цч/дно купить для этой комнаты?» б) «Картину длиной в 75 см и шири¬
ной в 50 см нужно окантовать красной полоской, ширина которой 5 см.
Сколько сантиметров полоски нужно иметь для окантовки картины?»
(указать учащимся, что по длине или по ширине картины полоска должна
быть длиннее данных в задаче размеров на 10 см.)\ в) «Сад имеет форму
^затрата со стороной 60 м. Он обнесен со всех сторон забором. Как велика
длина всего забора»; г) Решение задач по задачнику.
Понятие о площади. Намерение площади прямоугольника.
Площадь — это величина поверхности фигуры. Знакомство
с площадью как величиной поверхности начинается с рассмотре¬
ния поверхности предметов; поверхности классной доскй, крыш¬
ки стола, стены, листа бумаги и т. д. Указывая движением
руки поверхность стола, доски, листа бумЯ^и, учитель говорит;
«Это площадь стола; это площадь доски; это площадь
листа бумаги. Покажите площадь подоконника, площадь откидной
крышки парты». Если ученик правильно показывает площади (по¬
верхности) этих предметов, значит, он понимает термин «площадь»,
воспринимает площадь как величину той части плоскости, которая
занята фигурой. А этого вполне достаточно для первоначального
знакомства с понятием площади. Тут же надо показать, что одна
плсш.адь может быть больше или меньше другой, что площади
могут быть равные. Для этого ученикам показываются два
прямоугольника разной величины. Наложив один на другой,
учитель обращает внимание детей на то, что один прямоуголь¬
ник больше другого, или «площадь одного больше
площади другого». Сравниваются затем два равных
прямоугольника разного цвета и устанавливается путём наложе¬
ния, что площади их одинаковые, равные. Даются
вопросы: «Какая площадь больше — площадь стены или площадь
стола? Площадь окна или площадь пола? Площадь страницы
;е".ради или страницы книги?» Правильные ответы на эти во¬
просы покажут, что у учащихся составилось правильное пред¬
ставление о площади как величине.
Чтобы подвести учащихся к пониманию необходимости из¬
мерения площадей, учитель показывает учащимся квадрат
я равновеликий ему прямоугольник и спрашивает, какая пло¬
щадь больше.- площадь квадрата или площадь прямоугольника.
• >’ченнки естественно затруднятся ответить на этот вопрос. «Что
|.у;кно сделать, чтобы точно определить, какая площадь больше
и какая п ющадь меньше'» (Для этого площадь надо и з м е-
■' ч т ь )
!„ I


Учитель сообщает, что для измерения площади служат
особые меры — меры площади, или квадратные меры. Чаше
всего используются три квадратные меры:	квадратный санти¬
метр, квадратный дециметр и квадратный метр. Каждая из этих
мер показывается ученикам в натуральную величину. Изме¬
ряются их стороны. Даётся определение каждой квадратной
меры:	«Квадратным сантиметром называется площадь такого
квадрата, сторона которого равна 1 см». «Квадратным децимет¬
ром называется площадь квадрата, сторона которого равна 1 дм».
«Квадратным метром называется площадь квадрата, сторона ко¬
торого равна 1 м». В определениях ударение делается на слове
«площадь», так как учащиеся склонны опускать это важное
в данном случае слово и говорить так:	«Квадратным сантимет¬
ром называется такой квадрат, у которого сторона равна санти¬
метру».
Для закрепления зрительного образа каждой из этих мер
учащимся предлагается начертить и заштриховать в клетчатой
тетради квадратный сантиметр и квадратный дециметр. С той
же целью квадратные меры изготовляются из картона и вывеши¬
ваются в классе. В- заключение производится сравнение
одноимённых квадратных и линейных мер—'Квадратного и ли¬
нейного сантиметра, квадратного и линейного дециметра, квад¬
ратного и линейного метра. Нужно добиться ясного понимания
учащимися различия этих мер. Этой цели могут служить
чертежи: а) квадрата со сторонами, равными 1 см, и рядом от¬
резка длиной в 1 см; б) квадрата со сторонами 1 дм и рядом
отрезка длиной в 1 дм. Отрезки — линейные меры — служат
для измерения линий, квадратные меры служат для измерения
площадей.
Измерение площади прямоугольника. Чтобы
ученики могли вполне сознательно овладеть навыком вычисления
площадей, нужно при первоначальном знакомстве с этим навы¬
ком провести их последовательно через три этапа: 1) непосред¬
ственное измерение данной площади путём укладывания на ней
соответствующей квадратной меры; 2) измерение основания
и высоты прямоугольника и деление его на квадратные клетки
(деление сначала фактическое, а потом мысленное); 3) вывод
правила и вычисление площади по правилу.
Первый этап. Выставив прямоугольник, вырезанный из
фанеры или из толстого картона, размером 4 дм )>( 3 дм, пред¬
ложим задачу:	«Измерить площадь этого прямоугольника».
Выбираем подходящую для этого меру. Останавливаемся на
квадратном дециметре. Заполняем постепенно квадратными де¬
циметрами всю площадь прямоугольника и подсчитываем коли¬
чество уложенных квадратных дециметр©#. Оказалось ]2.
Значит, площадь прямоугольника равна 12 квадратным деци¬
метрам.
405


Ставим вопрос: как по этому способу измерить площадь
класса? Нужно взять квадратный метр и затем укладывать его
на полу, очерчивая его каждый раз мелом, чтобы потом можно
■было подсчитать, сколько раз он уложился на площади пола.
Нужно начать это накладывание. Выясняется всё неудобство
Е' роведения этой операции. Встаёт вопрос, нельзя ли иначе изме-
ять площадь — без укладывания квадратной меры. Возвращаем-
н к нашему прямоугольнику.
Второй этап. Измерим линейным дециметром длину
ширину прямоугольника. Получим соответственно 4 дм и 3 дм.
Велим прямоугольник на квадраты, стороны которого равны
| дм. Подсчитываем число полученных квадратов, ведя подсчёт
|таком порядке: так как длина прямоугольника 4 дм, то по его
мине можно уложить 4 квадрата, величиной каждый в 1 кв. дм.
Из этих квадратов составится полоса длиной в 4 дм и шириной
1 дм. Площадь её 4 кв. дм. Так как ширина прямоугольника
дм. то таких полос в нём будет 3. Чтобы узнать всю площадь
«рямоугольника, надо 4 кв. дм умножить на 3. Получится 12 кв. дм.
Итак, площадь нашего прямоугольника равна 12 кв. дм. Здесь
бы обошлись без накладывания квадратного дециметра.
Попробуем ещё скорее измерять площадь прямоугольника,
(Бля его площадь на квадраты только мысленно. Измерим пло-
*адь нового прямоугольника. Для этого измерим его длину и
[ирину. Пусть длина составляет 6 дм, а ширина 3 дм. Сколько
»адратных дециметров уложится на площади этого прямоуголь-
|ка? Подсчитаем мысленно, рассуждая так: если длина прямо-
•ольника равна б дм, то по его длине 1 кв. дм уложится 6 раз
получится полоса в б кв. дм. Так как ширина прямоугольника
вставляет 3 дм, то таких полос получится 3, в каждой по
кв. дм, а всего уложится 18 кв. дм.
6	кв. дм X 3 = 18 кв. дм.
Площадь нашего прямоугольника составляет 18 кв. дм.
Упражнения для самостоятельной работы. I) Намер¬
ить в тетради по клеткам прямоугольник длиной в 5 а и шириной в 4 см.
«•мерить его площадь путём деления прямоугольника на квадраты. 2) На-
Врткть поямоугольник Длиной в 4 см и шириной в 2 с.и и измерить его
Кицадь без деления на квадраты (с помощью рассуждения, опирающегося
> образ прямоугольника, разделённого на квадратные единицы).
Третий этап. Все предыдущее упражнения дали мате-
гал, вполне достаточный для того, чтобы дети могли подметить
лсономерность в нахождении площади прямоугольника по дан-
)й его длине и ширине. Связь между длиной, шириной и пло-
адью выступает с большой очевидностью, остаётся её офор¬
ту выразить словами. Для этого учитель ещё раз фиксирует
гимание детей на результатах вычисления и спрашивает, как
1и получились, от перемножения каких чисел. Ученики без за-
)уднения ответят — от перемножения чисел, выражающих
б


длину и ширину прямоугольника. Отсюда вытекает правило вы¬
числения площади прямоугольника, которое формулируется так:
«Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно измерить его
длину и ширину и полученные числа перемножить».
В такой формулировке правило усваивается наизусть и на
основе его решается ряд задач и примеров. Но перейдя к реше¬
нию задач по правилу, нужно время от времени предлагать уча¬
щимся воспроизводить всю схему рассуждений, опирающихся на
образ прямоугольника, разделённого на квадратные единицы.
Запись в III классе остаётся такой, какая указана выше, а
именно: для вычисления площади прямоугольника, стороны ко¬
торого 12 см и 6 см:
12 кв, см X 6 = 72 кв. см.
«Эта запись отражает рассуждения ученика Правильна и дру¬
гая запись:
12 см X 6 см = 72 см2,
но она совершенно не соответствует схеме рассуждения ученика
п поэтому в начальной школе является необоснованной, лишён¬
ной смысла. Она возможна только много позже в средней
школе, когда ученики познакомятся с символами «размерности»
величин и с действиями над ними» (Кавун, Арифметические
записи в начальной школе, стр. 23).
Возможна и третья форма записи:	12X0“ 72 (кв см).
Она целесообразна для IV класса.
Упражнения. I) Ученикам разла»;^ч набор прямо*ппыгикт и квад¬
ратов, вырезанных из плотного картона * фанеры. Ученики измеряют их
стороны и з?*ем вычисляют площади. Резул^аты измерения записывают в
тетради. 2) Измерить и вычислить площадь класса и ппоталь коридора.
3) Измерить и вычислить площадь своей комнаты (задание на дом).
Вычисление площади квадрата. Квадрат отли¬
чается от прямоугольника только тем, что у него все стороны
равны. Поэтому в вычислении площади квадрата ученик не
встретит для себя ничего нового. Здесь действует то же правило.
Нужно только подчеркнуть, что для вычисления плошали квад¬
рата достаточно иметь только одно данное, т. е. знать только
одну сторону, и что здесь приходится перемножать число
само на себя. Например, пусть требуется найти площадь квад¬
рата, сторона которого равна 8 см. Это значит, что и длина, и
ширина этой фигуры равна 8 см. Следовательно, площадь его
будет равна произведению 8 на 8 = 64 кв. см
Таблица квадратных мер составляется по следующей Форме:
1 кв км — 1 000 000 кв. м
1 кв м = 100 кв. дм
1 кв. дм =-- 100 у в. с I/
1 кв. см = 100 кв. мм
гектар = 10 000 кв. м
?р = 100 кз м.
407


.		X	 '
. и /го. сму между кв. см и кв. леле) должны быть показаны
наглядно, на чертежах. Для этого квадрат, сторона которого
равна метру, делится на квадратные дециметры; квадрат, сто¬
рона которого равна 1 дециметру, делится на квадратные сан¬
тиметры п т. д.
В конце нужно сопоставить единичные отношения линейных
и квадратных мер. Единичное отношение между квадратными
мерами находится так: единичное отношение соответствующих
линейных мер умножается само на себя.
Лине й ные мер ы:
1 .к =10 дм
1 д м = 10 см
1 см 10 м I/
Квадратные меры:
1 кв. м =10X10=	кв. дм
1 кв. дм = 10 X Ю = 100 кв. см
1 кв. см = 10 ^ 10 = 100 кв. мм
Гектар и ао нужно обязательно показать на открытой мест¬
ности в их натуральную величину, чтобы у учащихся получилось
точное представление об этих мерах.
Задачи на вычисление площадей. Умение вы¬
числять площади должно быть использовано для решения ряда
практических, жизненных вопросов, с которыми встречаются и
дети, и взрослые, например:
Сколько квадратных метров занимает световая площадь окон класса5
Сколько саженцев можно рассадить в ящиках данных размеров, если 1 саже¬
нец занимает 25 кв. см? Какая площадь приходится на одного человека в
нашем классе? в вашей квартире? Сколько надо обоев, чтобы оклеить ком¬
нату данных размеров5 Сколько б\дст стоить побелка стен в комнате дан¬
ных размеров5 Сколько будет стоить окраска пола в комнате данных разме¬
ров5 Как) ю площадь занимает наша школа? Вычислить площадь наше»
усадьбы и т. п
С вычислением тощадей связано много интересных задач, решение ко.
торых способствует развитию у детей пространственных представлений. В этом
отношении выделяются задачи, в которых сочетается вычисление периметра
с вычислением площади например, «Прямоугольный участок земли обнесли со
всех сторон забором длиной в 360 м. Найти площадь этого участка, если
ширина его 42 см».
Решение таких задач полезно сопровождать вычерчиванием фигур прямо¬
угольника с простановкой соответствующих размеров.
На решении геометрических задач можно повторить решение некоторых
типовых задач, например: «Сумма сторон прямоугольного участка составляет
270 м Какова площадь этого участка, если его длина вдвое больше его
ширины5»
В III классе на вычисление площадей решаются по преиму¬
ществу прямые задачи, т. е. такие задачи, в которых даётся
длина и ширина прямоугольника и требуется вычислить пло¬
щадь. Кроме этих задач, есть и обратные задачи на вычис¬
ление площадей, т. е. такие, в которых даётся площадь и один
из линейных размеров ~ длина или ширина, и требуется найти
второй линейный размер, например:
1. «П юшадь комнаты составляет 30 кв. м. Длина её б м; Найти ши¬
рину комнаты».
40Ь


Обратные задачи рекомендуется решать в IV классе. Учащихся при запи¬
си решения таких задач затрудняет обычно постановка наименований пря
числах. В самом деле, для того чтобы запись выше приведённой задачи со¬
ответствовала рассуждению, сопровождающему решение, мы должны запи¬
сать ее решение так:
30 кв. м : 6 кв. м = 5 (м).
Рассуждение: Так как длина прямоугольника б м, то по длине 1 квад¬
ратный метр уложится 6 раз и образует ряд или полосу площадью ^
б кв. м и шириной в 1 м. Таких полос будет на всей площади прямоуголь¬
ника столько, сколько раз б кв. м повторится в 30 кв. м, т. е. 5 полос. Так
как ширина каждой полосы I м, то вся ширина прямоугольника будет 5 я.
2. «Площадь комнаты 30 кв. м. Ширина её 5 м. Чему равна длина этой
комнаты?»
Решение: 30 кв. м . 5 = б кв. м; 6 ли
Рассуждаем так: Площадь пола комнаты 30 кв. м, — это значит, что на
его поверхности размещаются 30 квадратов, величиной каждый I кв. м. Ши¬
рина прямоугольника 5 м; это значит, что всю пчошадь можно разбить на 5*
полос. В каждой полосе помещается 6 кв. м (30 кв. м : 5 = б кв. м). Чтобы-
по длине уложилось 6 кв. м, нужно, чтобы длина была б ли
Достоинство таких записей в том, что они образны, конкретны. Поэтому
ими надо пользоваться при решении первых обратных задач. Когда же уче¬
ники усвоят способ решения таких задач, можно перейти к более лёгкой и
простой записи, основанной на правиле вычисления площадей.
Площадь — это произведение длины на ширину, где длина и ширина —
сомножители. Из условия задачи известны произведение (30) и один из со¬
множителей (5). Нужно найти длину, т. е. другой сомножитель. Для этого*
достаточно 30 разделить на 5.
Запишем это так. 30 : 5 — 6 (м).
Более сложным является решение таких задач, где стороны
прямоугольника выражены разными мерами (например, длина
2 м, а ширина 6 дм) или составными именованными числами
(длина 2 м 40 см, ширина 1 м 25 см). Такие задачи решать
нужно: они в жизни встречаются чаще, чем задачи с простыми
именованными числами. На прямоугольниках, вырезанных из
картона,	надо показать эти	случаи,	надо	показать ученикам
необходимость раздробления чисел в одинаковые меры.
Особую группу составляют те задачи, в которых требуется
вычислить площадь прямоугольного участка по
плану	и масштабу.
С понятиями план, масштаб учащиеся ознакомились на
уроках географии; здесь целесообразно провести ряд вычисли¬
тельных	упражнений с применением	этих	понятий. Возможны
три разновидности таких задач:
1) Требуется определить масштаб по данным размерам в
действительности и па плане. («На плане ширина прямоугольно¬
го участка изображается отрезком в 4 см 5 мм. На местности
же его ширина 900 м. По какому масштабу сделан план?»)
2) Дан чертёж участка и указан масштаб. Вычислить плошадь
участка.	3) Комбинированное	условие задачи. Учитель может
заготовить несколько карточек, на которых сделаны несложные
409


Лгланы с масштабами. Ученик перечерчивает масштаб на полоску
[бумаги и. измеряя ею стороны фигуры, находит действительные
[их размеры, а по ним вычисляет площадь фигуры.
Вычисление объёмов.
(Материал IV к л а с с а.)
Трудно переоценить значение этой темы- так много даёт она
ученику. Здесь учащиеся впервые знакомятся с новой для них
величиной — объёмом. Из величин геометрического характера
они уже знают длину, площадь, теперь к ним прибавляется
объём.	Знание этих	величин'	необходимо для	ориентировки
в жизни и для успешного изучения других учебных дисциплин —
Географии, естествознания, а в дальнейшем физики и химии.
Получив понятие об с'ъёме, учащиеся знакомятся с едини¬
цами измерения этой величины — с кубическими мерами — и по¬
лучают навык измерения и вычисления объёма тел, имеющих
форму прямоугольного параллелепипеда. Если учесть, что эта
форма является одной из самых распространённых в жизни, то
станет очевидным огромное практическое значение этой темы.
Не	менее велико	и чисто	образовательное	значение изу¬
чения	данной темы,	она развивает у ребёнка	пространствен¬
ное представление —	о форме.	Куб и брус — наиболее часто
встречающиеся формы вещей и предметов, заполняющих про¬
странство. Жилище человека и мной..- предметы его домашнего
обихода, материалы и инструменты его труда — всё это имеет
по преимуществу форму бруса или куба. Поэтому ознакомиться
с признаками и свойствами этих двух геометрических тел —
Значит ознакомиться с признаками и свойствами большинства
предметов, окружающих человека.
Самый процесс образования представления о форме куба и
Ерямоугольного параллелепипеда оказывает большое влияние на
азвитие у ребёнка способности абстрагирования, способности
твлечённого мышления.
Сосредоточивая внимание на форме, ученик отвлекается от
!.а физических свойств предмета: материала, цвета, веса, ве-
ины и т. д., преодолевает привычку мыслить исключительно
кретно. Эта способность отвлечения позволяет ребёнку иными
зами смотреть на окружающий мир и видеть единство во
шестве, однообразие в разнообразии. Спичечная коробка и
шата, ящик и погреб, кирпич и шкаф — при всём разнообра-
сзоих физических свойств и выполняемых функций — объ-
1неиы формой, одинаковой у всех этих предметов. Понимание
общности свойств предметов помогает ребёнку познавать мир
|риептироваться в нём.
Изучение геометрического материала в IV классе должно
гь поставлено так, чтобы эти возможности были полностью
лизованы.


Куб.
Каждый учащийся на уроке должен иметь у себя на руках
модель куба — кубик из арифметического ящика. У учителя для
показа должна быть большая модель куба, на которой он пока¬
зывает всему классу элементы куба и предлагает каждому уче¬
нику находить их па своих моделях куба. Показывая рукой пло¬
скости, ограничивающие куб, учитель говорит: «Вот грани куба.
Покажите грани на своём кубике. Подсчитайте, сколько граней
имеет куб».
«Указывая линии, где две грани сходятся, учитель говорит:
«Вот рёбра куба. Ребро получается от пересечения двух граней.
Ребро куба — прямая линия. Покажите рёбра па своих кубиках
в определённом порядке. От пересечения каких граней получи¬
лось вот это ребро? Подсчитайте, сколько рёбер у куба».
Указывая на точки, где сходятся три ребра, учитель называет
их вершинами куба, предлагает ученикам показать вершины па
своих кубиках и подсчитать, сколько вершин у куба
Особое внимание обращает учитель на грани куба. Грани
куба различаются гак:	верхняя, нижняя и боковые — передняя,
задняя, правая, левая. «Покажите на своих кубиках верхнюю и
нижнюю грани, переднюю и заднюю, правую и левую».
Учитель предлагает учащимся поставить модель кубика на
чистую бумагу и обвести контуры нижней граны карандашом.
Путём измерения сторон и проверки углов наугольником ученики
устанавливают, что грань куба — квадрат. Прикладывая куб
к изображению на бумаге его нижней грани другими гранями,
ученики убеждаются, что все грани куба равны между собой. Учи¬
тель подчёркивает, что все грани куба — равные между собой
квадраты.
Непосредственным измерением длины рёбер на моделях куба
ученики убеждаются, что все рёбра куба равны между собой.
В заключение ученики в связной форме должны уметь расска¬
зать всё, что счи узнали о признаках куба: «У куба 6 граней. Все
они равны между собой. Грани при пересечении образуют рёбра.
У куба 12 рёбер. Все рёбра куба равны между собой. Где сходятся
3 ребра, образуется вершина. У куба 8 вершин»
Развёртка куба нужна для того, чтобы ученики ясно
представляли себе поверхность куба. Дети должны \мегь сами
составить развёртку и сделать из неё куб. Это цепная работа
для развития пространственного воображения. Но предвари¬
тельно нужно разрезать поверхность готового, сделанного из
бумаги куба так, чтобы её можно было развернуть. Для этого
разрезают его по трем рёбрам, тогда одна грань его отогнётся;
это же делают с противоположной гранью. Остальные четыре
411


галрсжем оставшуюся часть по¬
верхности куба вдоль любого ребра и получим развёртку в виде
креста или буквы Т (рис. 62). После этого вычерчивают раз¬
вёртки И' составляют из них куб; при выполнении чертежа для
модели к)ба повторяются линейные и квадратные меры. Модель
к>ба может быть сделана по следующей развёртке. Эта развёртка
интересна тем, что по ней можно сделать модель куба без клея.
				-.В ней «загибы» отрезаются под
прямым углом и загибаются под
прямым углом. Грани 1 и 3 придер¬
живаются своими загибами, а грань
6 плотно прижимается загибами
грани 1 и 3.
Прямоугольный параллелепипед.
1
|
! ?
1
?
' ~' 1 *
г
1
1
(
1__
!	Это тело изучается по тому же
I	плану, по какому изучался куб.
Каждый учащийся в качестве мо¬
дели параллелепипеда должен
^	иметь у себя спичечную коробку.
|	V параллелепипеда 6 граней, все
прямоугольники; две из них могут
быть квадратами Противополож-
.!	ьые грани равны. То место, где две
грани сходятся, называется, как и
,	у куба, ребром. Рёбер у паралле¬
лепипеда 12. Вершин 8.
При изучении параллелепипеда учащимся показываются
3 его измерения — длина, ширина и высота; показывается пло¬
щадь основания и высота. Очень важно, чтобы учащиеся хорошо
научились различать в параллелепипеде длину, ширину и высоту.
Посте изучения к>ба и прямоугольного параллелепипеда по¬
рознь 5тн два тела сравниваются между собой, выясняется их
сходство и различие.
Сходство У куба и параллелепипеда по 6 граней, по
12 ребер м 8 вершин; противоположные грани равны; у них 3 изме¬
рения — длина, ширина и высота.
Различие. У куба все грани равны и все они квадраты,
у параллелепипеда все грани — прямоугольники, две из них мо¬
гут быть квадратами. У куба все три измерения (рёбра) равны;
у параллелепипеда они разные.
К развёртке прямоугольного параллелепипеда удобно по¬
дойти, разрезая спичечную коробку. По развёртке разрезан¬
ной спичечной коробки дети учатся чертить развёртки заданных
брускоз небольшого размера. Из развёрток изготовляются короб¬
ки,” которые являются моделями параллелепипеда.
412


гсиошши 1 рамствеммого представления спосооствует чер¬
чение куба и прямоугольного параллелепипеда. Учитель показы¬
вает ученикам приём черчения этих двух тел: для этого он берёт
их модели и, указывая каждую грань, изображает её на чер¬
теже. Ученики делают аналогичные чертежи в своих тетрадях.
Чертёж делается в определённом масштабе. Учитель пояс¬
няет все условности чертежа: линии, уходящие вдаль, чертятся
из угла в угол клетки, изображаются мень¬
шими по сравнению с общим масштабом
чертежа; те линии, которые не видны, изо¬
бражаются пунктиром (рис. 63).
Измерение поверхности куба
и прямоугольного параллелепи¬
педа. Этот вопрос не является обязатель¬
ном для изучения, однако имеет большое
практическое значение, и обходить его не
следует. С вычислением поверхности прямо¬
угольного параллелепипеда приходится сталкиваться, когда реша¬
ются вопросы о побелке помещения, об оклейке комнаты, об
оштукатуривании стен, о шлифовке поверхности куска того или
иного металла и т. д. На решении этих-то задач и следует нау¬
чить учеников вычислять поверхность параллелепипеда по дан¬
ным его размерам. Развёртка поверхности куба и параллелепи¬
педа является хорошей подготовкой к этому. Первые упражнения
надо проделать на наглядных пособиях.
Возьмём какой-либо брус и вычислим его поверхность. Для этого изме¬
ряем длину, ширину и высоту бруса и записываем результаты на доске.
Пусть будет длина 15 см, ширина 10 см, высота 6 см. Выясняем, что по¬
верхность бруса складывается из площадей 6 граней и что для вычисления
поверхности надо вычислить площади всех граней и их сложить. Вычисляем
площади и складываем, получается: 150 кв. см+90 кв. см + 00 кв. см +
+ 150 кв см + 90 кв. см + 60 кв. см — 600 кв. см.
Тут же выясняем, что вычисление может быть произведено короче и ско¬
рее. У параллелепипеда противоположные грани равны. Поэтому потребуется
вычисление площади только трёх граней: нижней, передней и одной бокозой.
Затем каждую площадь нужно удвоить и полученные при произведения сло¬
жить (или короче: найденные площади сложить и их сумму удвоить).
Первой конкретной задачей на вычисление поверхности должна быть за¬
дача иа вычисление поверхности четырех стен класса; затем четырёх стон,
пола и потолка класса; далее—па вычисление поверхности класса за вы¬
четом плошали окон н дверей.
Этими конкретными задачами можно и ограничиться в IV классе, дав
учащимся на дом произвести аналогичные вычисления применительно к своей
комнате.
Кубические меры.
Объёмом тела, или вместимостью его, называется величина той
части пространства, которую занимает тело. Таково обычное эле¬
ментарное определение объёма. Но в начальной школе цель работы
заключается не в заучивании определения, а в том, чтобы на на¬
глядных примерах уяснить смысл слова «объём», показать его как
413


еличину, показать потребность в измерении объёма и необходи-
рсть особых мер объёма.
■ Для ознакомления с термином «объём» учитель может при¬
лети в класс три различные по величине коробки или три
ика небольшого размера, имеющие форму прямоугольного
раллелепипеда. В одну из коробок (большую) насыпается до-
рху песок. Затем этот песок пересыпается в меньшую коробку;
азывается, весь песок в меньшей коробке не помещается. По¬
му? «Потому, что эта коробка меньше, а та «больше», —
Гвечают дети. «Да, — добавляет учитель:—объём первой
Пробки больше объёма второй коробки». После этого, снова на-
>лнив доверху первую коробку, учитель пересыпает песок в та-
то же по объёму третью коробку. «Что можно сказать об
их двух коробках?» — спрашивает учитель. «Эти коробки оди-
ковые, равные», — отвечают дети. «Да, объём первой и
тьей коробок одинаков, — уточняет учитель ответ учени-
— Каждая коробка имеет свой объём. Шкаф имеет свой
ъём. Комната (класс) имеет свой объём. То же ящик стола
Т. д. Что больше по объёму — комната или шкаф? Шкаф или
ик стола? Назовите в классе такой предмет, который имеет
Кый малый объём, самый большой объём. Назозпте предметы,
горые имеют одинаковые объёмы».
■От такого приблизительно (на глаз) сравнения аобъёмов
тель переходит к более точному. Для этого он берёт из ариф-
тического ящика два бруска — один больший, другой мень-
й. Приставив к первому бруску кубики, находим, что его
м равен примерно 4 кубикам,а объём другого •— 2 кубикам.
-Учитель сообщает, что в жизни часто приходится измерять
>емы: поместится ли собранное сено в сарае? сколько карто-
1Я поместится в погребе? сколько силоса можно заготовить
У1ЛОСНОЙ яме? Чтобы ответить на эти вопросы, надо уметь из-
ть объёмы, а чтобы измерять, нужно выбрать меры объёма,
ёмы измеряются объёмами. Учитель называет и показывает
ницы для измерения объёмов — кубический сантиметр, куби¬
ки й дециметр и кубический метр. Кубический сантиметр —
объём кубика, рёбра которого равны I см. Объём куба, рёбра
рого равны 1 дм, называется кубическим дециметром. Объём
, рёбра которого равны 1 м, называется кубическим метром,
ели единиц измерения показываются учащимся, чтобы об-
этих единиц прочно запечатлелись в их представлении.
Измерение объёма.
(Измерение объёма может быть прямое (непосредствен-
и косвенное. Первое заключается в непосредственном укла-
}ании единицы измерения в данном объёме; второе состоит
вычислении объёма на основе установленного правила.
Упражнением в измерении объёма будет непосредственное


укладывание кубических дециметров в коробке или ящике раз¬
мером примерно 3 дм X 2 дм X 2 дм.
Учитель ставит перед учениками ящик и предлагает вопрос" сколько-
куб. дециметров нужно взять, чтобы заполнить этот ящик? Вызванный к столу
ученик укладывает на дно по длине ящика 3 куб. дециметра, затем устана¬
вливает ещё второй ряд. Получается первый слой, заполняющий все дно
ящика. В нём 3X2 = 6 (куб. дм). Так как высота ящика 2 дм, то в нём
помещается ещё один — второй — слон в 6 куб. дм. Таким образом,
в ящике поместилось 12 куб. дм. «Как мы получили 12 куб. дм? От пере¬
множения 3 на 2 и ещё на 2; 3, 2 и 2 — это -размеры нашего ящика*.
Можно вычислить объём параллелепипеда способом разрезывамия его
сначала на слои, потом слоёв па бруски, а брусков на кубики. Для этого
учитель приносит параллелепипед, сделанным из пластелпна, размерами
5 см X 3 см X 2 см и предлагает подсчитать, сколько в нём кубпчежих
сантиметров. Разрежем его па слои высотой каждый п 1 гм, получится
2 слоя. Затем каждый слой разрежем на бруски; из одного слоя получим
5 брусков. Разрежем теперь каждый брусок на кубики; из одного броска
получим 3 кубика. Подсчитываем всё число полученных кубиков из одного
слоя, а потом из двух слоёв.
Благодаря этим упражнениям у учащихся создаётся отчёт¬
ливый образ бруска — ряда, слоя.
После нескольких таких непосредственных измерений можно
перейти к определению объёма путём вычисления.
Определим объём нашего класса (линейные размеры его должны быть
известны учащимся). Пусть длина класса будет 8 м, ширина 6 м, высота
4 М. Устанавливаем, что объём класса целесообразно измерять куб. метрами.
Рассуждаем так. как если бы мы мысленно заполняли комнату кубами вели¬
чиной каждый в 1 куб. метр.
Так как длина класса 8 м, то по этой длине можно уложить 3 куб. м.
из которых составится ряд или брус в 8 куб. м. Ширина класса 6 м, поэтому
на полу уложится б таких рядов — брусьев. Получится слой, в котором
8 куб. м X 6 = 48 куб. м. Высота класса 4 поэтому таких спев поме¬
стится в нём 4. В этих слоях будет 48 куб. .м X 4 — 102 куб. Запишем
отдельно вычисления, которые мы произвели-
1)	8 куб. з<Х 6= 48 куб. м.
2) 48 куб. м X 4 = 192 куб. м, или; 8X6 X 4 = 192 (куб м).
Правило для вычисления объёма прямоугольного параллелепи¬
педа формулируется так; «Чтобы найти объём прямоуголыюгс
параллелепипеда, надо измерить его длину, ширину и высот)
одной и той же единицей длины и полученные числа пере¬
множить».
После этого решаются задачи, в которых объём вычисляется
по правилу. Чтобы у учеников не утрачивался смысл этого пра¬
вила, иногда следует ставить вопрос: почему при вычислении
объёма (на основе таких-то его линейных размеров) нужно пере¬
множить его длину, ширину и высоту?
Как следует записывать вычисление объёма прямоугольного"
параллелепипеда? Возможны три формы записи. Решение выше¬
указанной задачи можно записать так:
1)	8 куб. м X 6 X 4 = 192 куб. м.
2)	8 м X 6 м X 4 м = 192 куб. м.
3)	8 X 6 X 4 = 192 (куб. м).
4)5»


и<_1лэа>| Решись хороша тем, что она соответствует ходу рас¬
суждения учащегося; ученик записывает так, как он рассуждает.
Но она не совсем удобна тем, что наименования загромождают
её. Вторая запись правильна, но она для начальной школы
преждевременна, так как учащиеся не имеют представления о
действиях над единицами размерности. Третья запись наиболее
пригодна: она и правильна и удобна.
Таблица кубических мер. Единицы объёмов —
кубический метр, кубический дециметр, кубический сантиметр —
и единичные их отношения ученики должны представлять себе
конкретно. Для этого ученикам показывается кубический деци¬
метр, составленный из 1 000 куб. см. Подсчётом числа кубиков
з одном слое и путём умножения 100 на 10 (слоёв) ученики убе¬
ждаются в том, что 1 куб. дм действительно равен 1 000 куб. см.
Таким же путем ученики приходят к выводу, что в 1 куб. м
1 000 куб. дм, в 1 куб. см 1000 куб. мм. Таблица кубических мер
имеет такой вид:
1 куб. м = 1 000 к\б. дч
1 куб. дм = 1000 к\6. см
1 куб см = 1 000 куб. мм
Полезно сопоставить меры длины и меры объёма.
Л и и е Л нь:е мер ы:
1 л =10 дм
1 ё.к = 10 с и
1 см = 10 мм
Кубические меры:
1 куб. м = 10-10-10= 1 000 куб. ои
1 куб. дм — 10-10-10 = 1 000 куб. с к
1 куб. см — 10-10-10= 1 000 куб. мм
Отсюда делается вывод: «Чтобы найти единичное отношение
между кубическими мерами, надо единичное отношение соответ¬
ствующих линейных мер взять множителем три раза».
Упражнения и задачи на вычисление объёма.
Вначале даются упражнения, в которых требуется изме¬
рить рёбра параллелепипеда и затем вы числить его объём.
Для таких задач надо иметь набор деревянных брусков, картон¬
ных коробок, фанерных ящиков, которые раздаются учащимся.
При измерении числа округляются. Если при измерении санти¬
метрами получится остаток, меньший половины сантиметра, то
этот остаток отбрасывается; если же он равен или больше поло¬
вины сантиметра, то он считается за целый сантиметр.
После этого следуют упражнения в вычислении объёма
комнаты (класса), коридора, шкафа, печи. Измерения ведутся
метрами и дециметрами.
Дальше решаются устные и письменные задачи по трём дан¬
ным измерениям. Задачи берутся из задачника и составляются
самим учителем. Чтобы создать прочный навык вычисления
объема, надо побольше решать простых, ничем не усложнённых


устных задач, где требуется вычислить объём по данной дли
ширине и высоте, требуя от учащихся не только правильн
но и известной быстроты в вычислениях.
Приведём образец решения сложной задачи на вычисление
объёма с письменным планом.
Задача: «Стеклянная чернильница имеет форму куба, рёбра которого
6 см. Выемка для чернил тлеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина
и ширина которого 3 см, глубина 4 см. Вычислить вес чернильницы, зная,
что 10 куб. см стекла весят 26 г.»
План и решение.
1)	Объём чернильницы:
6X6X6=216 (куб. см).
2)	Объём выемки для чернил:
3 X 3 X 4 = 36 (куб. см).
3)	Обьём, занимаемый стеклом:
216 куб. см — 36 куб. см — 180 куб. см.
4)	Сколько раз 10 куб. см содержатся в 180 куб. см?
180 куб. см: 10 куб. см = 18.
5)	Вес чернильницы: 26 г X 18 = 468 г. Ответ: 468 г.
Вычисление объёма по основанию и высоте,
Основной приём вычисления объёма параллелепипеда в IV клас¬
се — это нахождение произведения трёх его измерений, Однакс
нельзя здесь обойти и того приёма, который будет главным
в средней школе, — это нахождение объёма по площади основа/
ния и высоте. Объяснить этот способ можно следующим образом
Пусть требуется решить задачу: «Площадь основания параллелепипед#
15 кв. см, высота 1 см. Найти его объём».
Если площадь 15 кв. см, то значит нижнюю грань можно разделю*
на 15 квадратных клеток. Поставим мысленно на каждый квадратный сая
тиметр по одному кубическому сантиметру. Всего потребуется 15 куб. с)
Объём параллелепипеда равен 15 куб. см.
Проделаем ещё несколько наглядных упражнений по уклады
ванию кубических сантиметров на площади, и ученики будут по!
ведены к выводу, что кубических сантиметров можно уложи!
в один слой столько, сколько квадратных сантиметров содержи
данная площадь. Зная площадь основания параллелепипеда, вшЯ
та которого равна 3 см, мы можем сразу сказать, что объём Щ
равен такому же числу кубических сантиметров, сколько квЯ
ратных сантиметров содержится в площади его основания. 1
После этого решаем задачу примерно следующего содержания:	«ГШ
щадь параллелепипеда 24 кв. дм. Е^ысота 3 дм. Чему равняется объём эдН
параллелепипеда?»
27 А С Пчёл ко


Поставим мысленно по кубическому дециметру на каждый квадратный де¬
циметр основания параллелепипеда; получим слой, объем которого равен
24 куб. дм. Таких слоёв в параллелепипеде будет 3. Умножим 24 куб. дм
на 3, получим 72 куб. дм. Запишем:
24 куб. дм X 3 = 72 куб. дм.
Разберём этот пример. Чтобы найти объём, какие числа мы перемножили?
24 и 3; 24 — это площадь, 3 — это высота.
Решив ещё несколько таких задач с другими числами, сде¬
лаем вывод:	«Чтобы вычислить объём параллелепипеда, надо
площадь его основания умножить на высоту».
По этому правилу решается ряд примеров и задач.
Примерное распределение геометрического
материала по урокам (в IV классе).
Для усвоения этой темы требуется не менее 10 уроков. Содержание и си¬
стема этих уроков могут быть следующими:
1-	й урок. Знакомство с кубом,
2-	й урок. Знакомство с прямоугольным параллелепипедом. Сходство
и различие куба и прямоугольного параллелепипеда.
3-	й и 4-й уроки. Развёртки куба и параллелепипеда. Черчение их.
Решение задач на вычисление поверхности четырёх стен класса, поверх¬
ности его пола и потолка.
5-	й урок. Понятие об объёме. Знакомство с единицами измерения
объёма — куб. сантиметром, куб. дециметром и куб. метром.
6-	й и 7-й уроки. Измерение и вычисление объёма прямоугольного
параплелепигеда: непосредственные измерения, нахождение объёма путём вы¬
числения, вывод правила и закрепление его на решении задач.
8-	й урок. Решение задач на вычисление объёма куба и прямоугольно¬
го параллелепипеда. Составление таблицы кубических мер,
9-	й урок. Решение задач на вычисление объёма. Вычисление объёма
параллелепипеда по данной площади его основания и высоте.
10-	й урок. Решение задач на вычисление объёма куба и прямоугольно¬
го параллелепипеда.
11-	й урок. Контрольная работа.
Примерное содержание контрольной работы.
Основным в этой работе должна быть задача, в которой по данным
трём измерениям требуется найти объём параллелепипеда и по данному ребру
требуется найти объём куба. Кроме того, надо проверить знание таблицы
кубических мер и умение по данной площади и высоте найти объём прямо¬
угольного параллелепипеда.
Таким образом, контрольная работа может иметь примерно следующее
содержание:
1.	Написать таблицу кубических мер.
2.	Ребро куба равно 5 см. Чему равен объем куба?
3.	Вычислить объём параллелепипеда, у которого площадь основания
72 кв. дм, а высота 15 дм.
4.	Решить задачу: «Погреб имеет в длину 4 л, в ширину 3 л и в высоту
2 м Сколько подвод потребуется для того, чтобы набить погреб льдом,
если на каждые 5 подвод грузят по 3 куб. м льда?»


Геометрические работы на местности
Классные работы по геометрии должны быть дополнены гео¬
метрическими работами на местности, главным образом измери¬
тельными работами, которые явятся практическим применением
знаний, полученных на уроках. Эго вооружит детей ценными
практическими навыками и будет способствовать развитию у них
пространственных представлений. Именно на местности ребёнок
учится по-наетояшему ориентироваться в пространстве. Пока
ученик находится в классе, развитие у него пространственных
представлений протекает в обстановке небольшого замкнутого
пространства, где он встречается только с небольшими рас¬
стояниями, с предметами малой протяжённости. Однообразие
обстановки, её статичность ограничивают у ученика круг ориен¬
тировочных навыков. Когда же ученик выходит на открытую
местность, он сразу сталкивается с пространством большого
масштаба, с большими расстояниями, с предметами большого
протяжения, с большими площадями, с большой динампкон и раз¬
нообразием в относительном расположении предметов. Разно¬
образие и динамичность обстановки требуют от ученика образо¬
вания новых ориентировочных навыков и приспособления к новой
среде и новым условиям работы. Под воздействием этой новой
обстановки происходит усиленное развитие у ученика простран¬
ственных представлений.
Что же требуется программой в области измерительных ра*
бот и какими способами должны проводиться эти работы?
1. Провешивание линий и измерение их. Это первая
работа, которая выполняется учащимися III класса на местно¬
сти, Предварительно в классе нужно объяснить ученикам, для
чего необходимо провешивать линии Объяснить это можно так
«Когда мы измеряли класс — его длину и ширину, — то чы шли по пря¬
мой линии вдоль сгенок. На местности тоже приходится при съемке плана
измерять прямые линии, но там стенок нет, там прямую надо обозначить
вешками.
Если вешек не поставить, то измерение будет очень неточным; двигаясь
с мерной верёвкой на глаз, без вешек, мы будет двигаться не по прямой,
а по ломаной линии, и получится у нас неверное расстояние».
Дальше надо познакомить учащихся с тем, как ставить
вешки, чтобы провешить прямую от какой-нибудь начальной
вешки А по направлению на предмет Б.
Один из учеников должен встать с вешкой в руках где-нибудь межд^
А и б около точки В. а другой, имея в руках флажок, становится у точки А
сигналы первому— передвин\ться влево или вправо по тех пор пака вешка В,
и, смотря на А так, чтобы вешка А закрывала вешку Б, флажком подаёт
как и вешка Б, не будет закрыта вешкой А Чтобы вешка В оыла чек гав-
лена на прямой АБ возможно более точно, ученик с флажком должен стоять
не у самой вешки А, а на некотором от неё расстоянии.
Объяснение провешивания прямых сопровождается демонстра¬
цией — установкой вешек на учительском столе или на партах,
вдоль прохода между ними. Если вешек нет, то можно пред-
27*
419


“'■*'**» •за,ш'~ь лироша тем, что оня
Нп пенпя учащегося; ученик записывает
■ПО ОНЯ Н 0 СОРгрлт лгтгъХ —
соответствует ходу рас-
так, как п^т	.
дожить учащимся, сидящим в одном ряду, поднять^ вверх левую
руку с карандашом и установить их на одной прямой, как вешки.
После этого производится первый выход в поде, где учащиеся
провешивают прямые линии и измеряют их.
Перед выходом в поле учитель должен заготовить:	I) фла¬
жок, употребляемый при провешивании; 2) 5 вешек высотой
1.5 м, 3) 15—20 небольших (около 10 см) колышков для втыка¬
ния в землю; 4) мерную 10-метровую верёвку или рулетку.
Ученики разбиваются на звенья по 5—6 человек в каждом
звене.
Учитель сообщает учащимся правила, которые должны ими
соблюдаться во время проведения практических работ на местно¬
сти.- а) ученики должны поддерживать дисциплину; б) каждый
должен ' выполнять по очереди все работы, а не одну какую-
нибудь, в) все произведённые на местности измерения записы¬
ваются и дома к следующему уроку обрабатываются; г) инстру¬
менты. полученные из школы для работы, сдаются звеньевым
и доставляются в школу в целости.
Учитель сообщает учащимся цель (тему) практической ра¬
боты на местности.
На местности учитель даёт задание: измерить расстоя¬
ние между двумя какими-нибудь предметами, находящимися на
расстоянии около 40 м.
Для того чтобы измерить расстояние, надо предварительно
провешить прямую Это задание даётся одному звену. Оно выпол¬
няет его по тем правилам, которые были сообщены по этому
вопросу на уроке. Через каждые 10 м ставятся вешки, всего
будет поставлено 5 вешек, считая в том числе начальную и конеч¬
ную вешки.
Второе звено производит измерение провешенной линии.
Учитель подробно инструктирует учеников, как надо произво¬
дить измерения мерной верёвкой или цепью.
Двое учащихся берут концы мерной верёвки и идут вдоль провешенной
линчи, считая, скотько раз мерная верёлка уложится на намеряемой прямой.
Идущий впереди имеет в руках некоторый запас колышков. Идущий сзади
надевает коней мерной верёвки на вбитый в землю колышек, а идущий
впереди идет вдоль провешенной прямой до тех пор, пока верёвка не натя¬
нет :я и вбивает в землю колышек у конца верёвки.
Затем оба учащихся снимают веревку с колышков, идущий сзади вы¬
таскивает колышек, и оба идут дальше до того момента, пока идущий сзади
не дойдёт дс колышка, не наденет на него свой конец верёвки. И гак про¬
должается до тех пор, пока передний не дойдёт до конца
Когда расстояние будет измерено через каждые 10 м будет вбит в зем¬
лю колышек, работа считается законченной.
Другие звенья практикуются в измерении тех линий, которые
на местности уже отмечены: измерение длины здания вдоль его
стены, измерение длины дорожки в саду или грядки в огороде —
по краю дорожки или грядки — и т. д.
На дом даётся задание: начертить провешенную в поле пря-
-.20


Л/РТШЛУ о о тт отт
мую линию в масштабе 5 м в 1 см с указанием поставленных на
ней вешек и колышков. Даётся условное обозначение вешки,
колышка.
2. Определение расстояний шагами и на глаз.
Измерение расстояний на местности производится не только
мерной верёвкой, рулеткой или землемерной цепью, но в некото¬
рых случаях, и в особенности в боезой обстановке, оно произ¬
водится и шагами, и на глаз. Хороший глазомер нужен и воен¬
ному, и колхознику, и землемеру, и каждому человеку в жизни.
Поэтому учащиеся начальной школы должны приобретать эти
навыки.
Существует таблица примерной различаемое™ предметов
на различных расстояниях. Однако пользоваться этой таблицей
в начальной школе преждевременно. Здесь целесообразно праю
тиковаться в определении сравнительно небольших расстояний
не выходящих за пределы 400 м. Никакой теории этого вопрос!
(различаемость предметов в зависимости от освещённости, о'
метеорологических условий, от наличия промежуточных предме
тов и т. д.) сообщать не следует. Здесь всё дело в практик*
в тренировке, в восприятии отмеренных расстояний и в проверь
своих предположений непосредственными измерениями. Особен?
важно уметь правильно определять расстояния в 25—50 м (д
станции стрельбы из мелкокалиберной винтовки), в 100 м (длю
и ширина квадратного гектара), 400 м (дистанция действител
ного ружейного огня).
Каждый учащийся должен измерить длину своего шага и 5
помнить её, записав в тетрадь. При измерении расстояний ц
гами, шаги должны быть обыкновенные, средние, не след}
нарочито увеличивать шаг. Счёт шагов ведут обычно парами г
левую ногу.
Второй выход в поле должен быть посвяшён этим двум
просам — определению расстояний на глаз и определению разм
шагов и расстояний шагами.
На местности упражнение в определении расстояний пре
дится примерно так:
Провешивается прямая в 100 м длиной. Все учащиеся собираются 1
чальной вешки, а затем один учащийся идёт вдоль провешенной г
и останавливается на некоторое время на расстоянии 10 м, на расст<
20 м, 50 м, 80 и и 100 м.
Все остальные учащиеся наблюдают, во-первых, пройденные от
и, во-вторых, лино и всю фигуру удаляющегося ученика: видны ли его •
белки глаз, выражение айна.
После 41 ого учитель предлагает учащимся определить расстоян?
различных предметов на данной местности: до дороги, до колхозных
шен, до кустов, до того или иного отдельного дерева и т. д. Ученики
шиваются; против фамилии опрашиваемых учеников по списку ставите
звачное им число метров. После этого двум учащимся предлагается из
это расстояние мерной верёвкой или рулеткой.
Те учащиеся, у которых разность между названным числом метров
ствительным будет наименьшей, считаются имеющими лучший глазоме)


А вообще глазомер считается отличным, если учащийся допускает ошиб¬
ку не свыше 10% в ту или другую сторону, и хорошим, если ошибка не свы¬
ше 20 0/г.
Для определения размера шага учащиеся на ровном месте отмечают рас¬
стояние в 10 л (можно в 50 м или 100 м). Каждый учащийся три раза отме¬
ривает это расстояние шагами и делает записи у себя в тетради: 1-й раз —
15 шагов, 2-й раз— 16 шагов, 3-й раз—17 шагов. В сумме получается 15-Н
+ 16 + 17 = 48 (шагов), а в среднем 48:3=16 (шагов).
Ученик делает запись: «На 10 у меня приходится 16 шагов». Это чис¬
ло ученик должен запомнить. У каждого будет свей результат. После этого
ученик составляет такую табличку:
На 100 м у меня приходится 160 шагов
На
200 м
»
320
На
300 м
*
480
На
41Ю м
»
>
6 Ю
»
На
500 м
»
и т. д.
800
до 1 000
м, или километра.
На'
1 000 и
приходится
1 600 шагов.
Знание числа шагов, приходящихся на 10 или 100 л*, даёт воз¬
можность измерять расстояния.
Пусть, например, ученик, у которого на 10 м приходится 16 шагов, на.
считал от школы до своего дома 806 шагов. Сколько это составит метров?
1)806 11^	2) 10 м Х50 « 500 м 3) 6 шаг. = 4 м.
50	4) 500 м + 4 м = 504 м.
6	шаг.
1
Значит, расстояние от школы до дома -гг километра.
3.	Построение на местности прямого угла, ара
и гейта р а. Это третья по порядку работа, связанная с выхо¬
дом в поле. В порядке подготовки к ней в клас¬
се нужно ^ознакомить учащихся с эккером.
Необходимо изготовить самодельный эккер.
11*1 кппчрпго. пиро кишом нл фанеры, проводятся две
н 1.,тчм|»м«'рП|'млнкудярпио прямые, ил концах которых
йЛшмкмч'ч иклдкиио пп^дихн »пи б\ .клики
Пд \?\^чч \у1!Пч\^ лчч\К'НчМ\» лбъ-
мч'55'1\м	чК\ч	.;\':::о.ччЧ ч лл
>\ч> \ч> * к ч * У\ч'‘ '-Л"	\' ч\* Чч
К • л' ) Кчч\\\ ,	40 1, 1 ? ч'Ч	Нрч*»
мыс углы — эго обьясняеюя нз жизненных при¬
мерах: на примере закладки фундамента для по¬
стройки здания, на примере разбивки огорода,
сада и т. д.
Для построения прямого угла на местности
эккер устанавливается в данной точке так, чтобы
одна прямая находилась в желаемом направле¬
нии. После этого провешиваются две линии по направлению линий
эккера; они-то и составят прямой угол.
Перед выходом на местность ученики должны приготовить:
1) эккер, 2) 12 вешек, 3) мерную верёвку, 4) 8—10 колышков.
Рис. в4
422


На местности учащимся даётся конкретная задача*, наметить
фундамент для какого-либо здания прямоугольной формы.
Даётся длина и ширина здания и их направление.
Ученики намечают линию длины здания и обозначают её концы двумя
вехами. Дальше нужно наметить линию ширины, проведя её под прямым
утлом к длине. Возникает необходимость построить прямой угол.
Для этого пользуются эккером. Веху в намеченной вершине прямо¬
го угла снимают и заменяют её эккером. Эккер устанавливают таким обра¬
зом, чтобы направление, допустим ДВ, совпало с направлением на веху, по¬
ставленную в другом конце данной линии. Этого достигают, смотря по на¬
правлению одной прямой эккера. Установив правильно положение эккера,
учащийся смотрит по направлению линии (СД) эккера, а второй учащийся
идет в этом направлении и ставит третью веху. Направление на неё перпен¬
дикулярно к направлению линии длины, и, следовательно, на поверхности
земли получится прямой угол.
Второе звено может построить уже с большей долей самостоятельности
прямой угол на другом конце линии длины здания.
Следующей работой будет построение ара, который носит
популярное в народе название «сотка» (сотая часть гектара). Г.ло-
щадь, равная 1 ару, отмеривается в виде квадрата со стороной,
равной 10 м. Измерение сторон производится мерной 10-метровой
верёвкой; прямые углы в вершинах строятся с помощью эккера.
В вершинах полученного квадрата ставятся вешки. Отмерив ар,
учащиеся обозревают его и получают наглядное представление
о его размерах.
Работа по построению на местности ге к т а р а выполняется
так же, как и предыдущая, — с помощью мерной верёвки и эккера.
Построенный на местности гектар должен иметь форму квадрата
со стороной, равной 100 м. В вершинах квадрата, а также и в се¬
рединах сторон ставятся вешки.
Второму звену можно дать задание построить гектар в виде
прямоугольника со сторонами 200 м и 50 м, поставив вешки
через каждые 50 м.
На дом даётся задание начертить ар в масштабе 1 м п I гм.
4.	Измерение плошали участка, имеющего ни л
прямоугольника. У-птель должен ьыбгжль подходящий
учззток ндкднуже в дгмегвть его	**••::*>.*/./ иди
VI?. .Мд уг ~ дргдд Г5ГЖЧ ** -ЧГГ'Ж '* < X ✓ . И '/'+%'•/•
ограниченный изгородью, злдеролг, л а д з зок, ео.лх 7ог%<о у; /,
границы прямолинейны.
Работа учащихся, разбитых на звенья, будет состоять в следующем:
а)	проверить прямолинейность каждой стороны участка путём провеши¬
вания прямой по границе участка или вдоль неё, если границей служит забор
или канава;
б)	проверить эккером прямые углы в вершинах;
в)	измерить мерной верёвкой длину и ширину участка в метрах;
г)	записать размеры участка в тетради и вычислить его площадь в квад¬
ратных метрах.
Размер участка должен быть около у2 га•
Этими работами и заканчиваются измерительные работы на
местности в начальной школе — в III и IV классах.


ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ВТОРАЯ.
методика повторения пройденного.
ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКЗАМЕНА.
В начальной школе курс арифметики проходится концентри¬
чески. Благодаря этому изучение в каждом классе нового мате¬
риала неизбежно связано с повторением ранее пройденного.
Однако концентричность сама по себе не разрешает вопроса
о повторении полностью. Отдельные вопросы курса арифметики,
если их повторение не предусмотрено планом, могут не воспроиз¬
водиться в той последовательности и в тех связях, которые нужны
для их закрепления и твёрдого усвоения. Это относится к выра¬
ботке умения решать задачи, к усвоению приёмов устного счёта,
к запоминанию таблиц, различных правил и определений.
Отсюда возникает необходимость планомерного и системати¬
ческого повторения, отвечающего особенностям построения курса
арифметики и удовлетворяющего общедидактическим требованиям.
Повторение пройденного - по арифметике должно итти на про¬
тяжении всего учебного года. Каждый урок арифметики, продви¬
гая учащихся в усвоении нового учебного материала, должен
быть использован в той или иной мере и для повторения
пройденного.
Наиболее ценным и полезным приёмом повто¬
рения является тот приём, при котором повто¬
рение пройденного проходит в тесной и органи¬
ческой связи с изучением нового материала.
Необходимость в применении такого способа повторения на уро¬
ках арифметики встречается очень часто. Так, объяснение нового
материала нередко требует использования пройденного для уста¬
новления связи новых понятий со старыми, известными уча¬
щимся. Например, для понимания процентов необходимо устано¬
вить связь нахождения процента с нахождением части числа, ибо
найти процент от числа, значит найти сотую долю числа. Для
понимания умножения нужно установить связь умножения со сло¬
жением, ибо умножение есть сложение равных слагаемых. Для
лучшего понимания задач на сложное тройное правило необходимо
установить связь этих задач с задачами на простое тройное правило
и т. д Поэтому объяснению процентов в IV классе должно пред¬
шествовать повторение его основы — нахождения части числа,
пройденного в III классе; перед объяснением задач на сложное
тройное правило важно повторить решение задач способом при¬
ведения к единице; объяснение умножения в I классе требует
повторения сложения как своей основы.
На уроках арифметики большую роль играет сравнение и сопо¬
ставление новых только что усвоенных понятий с понятиями, ра¬
нее изученными. И этот момент должен быть широко использо¬
ван для повторения пройденного. Например, после изучения вопро-
424


са о нахождении числа по данной его части (IV класс) нужно*
сопоставить его с вопросом о нахождении части числа (III класс);,
при изучении действия с мерами времени полезно прибегать
к сравнению их с действиями над метрическими мерами. Десятич¬
ные дроби полезно во многих отношениях сравнивать с обыкновен¬
ными дробями. Правило вычисления объёмов, изучаемое в IV клас¬
се, полезно сопоставить с правилом вычисления площадей, прой¬
денным в III классе. Кратное сравнение во II классе сопостав¬
ляется с разностным сравнением и т. д.
Такого рода использование пройденного материала помогает
ученику глубже понять новый материал и повторить пройденное.
Письменные вычисления в III и IV классах опираются на зна¬
ние учащимися таблиц сложения и вычитания, умножения и деле¬
ния. Безошибочное выполнение действий над многозначными чис¬
лами возможно только при том условии, если учащиеся твёрдо
знают эти таблицы, Поэтому естественно связывать изучение каж¬
дого действия над многозначными числами в III и IV классах
с повторением вышеуказанных таблиц, изученных в I и II классах.
Действия над составными именованными числами требуют от уча¬
щихся твёрдого знания таблиц мер (длины, веса, времени, квад¬
ратных и кубических мер), преобразования именованных чисел
(раздробления и превращения). Поэтому перед изучением действия
с метрическими мерами необходимо повторить таблицу метриче¬
ских мер, а перед изучением действий с мерами «времени —■ таб¬
лицу мер времени.
Значительную часть курса IV класса составляют дроби и де¬
лимость чисел; но действия над дробными числами подчиняются
тем же арифметическим законам, что и целые числа. Зависимость
между компонентами действия, изменение результатов с измене¬
нием данных, арифметическая терминология в действиях с целым»
и дробными числами одинакова. Это даёт возможность при изу¬
чении дробных чисел в IV классе повторять частично материал
(правила, определения, свойства), относящийся к целым числам.
Такой характер повторения не исключает, однако, возмож¬
ности, а и некоторых случаях и необходимости, частично повто¬
рять пройденное и вне прямой связи с новым материалом. Это
относится главным образом к IV классу и в частности ко второму
полугодию в этом классе; здесь, при прохождении дробей, полезно
путём решения примеров и задач повторять действия с целыми
числами, хотя этот материал может и не находиться в непо¬
средственной связи с вновь изучаемыми дробными числами.
Упражнения на уроках в применении различных приёмов устных
вычислений могут также проводиться в известной мере независи¬
мо от других разделов арифметики. То же относится и к решению
задач, и к повторению различного рода правил и определений.
Во время опроса учащихся на уроке учитель всегда может затра¬
гивать материал из различных областей пройденного курса, в осо-
425


инности по тем вопросам, которые слабее усвоены учащимися
■нуждаются поэтому в более частом повторении.
Щ Кроме того, на повторение пройденного могут выделяться с п е-
№ альные уроки после прохождения каждой темы, а в конце
ИИгверти и в конце года — после изучения ряда тем.
Многое из пройденного может быть повторено в тесной
органической связи с изучением нового материала. Пройденное
младших классах нередко является необходимой составной
■астью нового материала, изучаемого в IV классе, и поэтому
■овторяется в связи с этим материалом. Используется пройден-
■ое и как материал для сравнения и сопоставления новых поня¬
тий с понятиями, уже знакомыми учащимся.
к Наряду с этим пройденный материал повторяется и неза¬
висимо от вновь изучаемого, если он не находится в органиче¬
ской связи с последним. В последней четверти 30 последних
»роков отводится всецело на повторение и подготовку к экзаме¬
нам-
Повторение на этих уроках имеет своей целью не только вос-
Iпроизвести пройденное в памяти учащихся, но и систематизиро¬
вать полученные ими знания. Потребность в систематизации ариф¬
метических знаний у учащихся, оканчивающих начальную школу,
шзывается следующими обстоятельствами.
Известно, что арифметика в начальной школе проходится
сонцентрически. Концентрическое расположение материала, обу-
:ловленное дидактическими требованиями, является единственно
фавильным и целесообразным; но при таком порядке каждый
)аздел арифметики, составляющий логическое целое, дробится
га части, изучается по ступеням через более или менее длитель¬
ные промежутки времени. Вследствие этого логические связи
щнородного материала легко разрываются, логическое развитие
Предмета затушёвывается, и в сознании школьника содержание
арифметики может представиться как совокупность разрознен¬
ных правил и разнородных вопросов, мало связанных друг с дру¬
гом. Чтобы восстановить эти связи и показать арифметику как
>диное, стройное целое, нужно повторить пройденное в доступном
{ля учащихся элементарном, но систематическом изложении,
яриняв для повторения порядок, установленный в систематиче¬
ском курсе арифметики, а именно.-
1.	Нумерация многозначных чисел.
2.	Арифметические действия над целыми отвлечёнными числами-
3.	Таблицы метрических мер и мер времени.
4.	Действия над составными именованными числами.
5.	Делимость чисел.
6.	Обыкновенные дроби: преобразования, сложение и вычитание обыкно¬
венных дробей.
7.	Элементарные сведения о десятичных Дробях и процентах.
8.	Измерение и вычисление площадей.
9.	Измерение и вычисление объёмов.
10.	Решение задач.
426


На какие разделы программы следует уделить больше
времени и на какие меньше, — это зависит от уровня и ка¬
чества знаний учащихся данного класса. Поэтому конкретный
план повторения пройденного с разбивкой разделов на темы
и вопросы, с указанием, сколько часов отводится на тот или
другой раздел программы, составляется- учителем на основе
анализа итогов работы и успеваемости учащихся.
При повторении действий над целыми числами, отвлечён¬
ными и составными именованными, что составляет главную
задачу начальной школы, нужно добиваться безошибочности
в устных и письменных вычислениях, совершенствуя соот¬
ветствующие навыки, знания той небольшой по объёму теории,
которая связана с данным действием: название чисел в каждом
действии, умение проверить действие, найти неизвестный член
действия, знать, как изменяется результат в зависимости от
изменения данных.
Для повторения действий полезно составить для самостоя¬
тельной работы учащихся ряд упражнений, охватыва этих ти¬
пичные случаи вычислений по каждому действию. Например,
для упражнения в умножении можно дать следующий ряд
примеров:
На решении этих примеров, исчерпывающих все основные
случаи умножения, учитель учтёт, какие случаи умножения
затрудняют класс в целом и отдельных учащихся, с тем чтобы
разъяснить трудности и дать дополнительные общие и индиви¬
дуальные упражнения на те случаи, в которых учащиеся
допускают ошибки.
Для повторения решения задач используются прежде всего
задачи из повторительного отдела задачника. Кроме того, полез¬
но подобрать серии задач для самостоятельного решения, вклю¬
чая в серию задачи разных типов, чтобы учащиеся привыкали,
разбирая математическое содержание задачи, определять, какой
способ нужно применить для её решения.
На уроках повторения пройденного может иметь место:
а) изложение самим учителем учебного материала в тех слу¬
чаях, когда ученики забыли его объяснение; б) опрос учащихся;
в) решение примеров устное и письменное; г) решение задач
как под руководством учителя, так и самостоятельное. Не¬
сколько уроков должно быть всецело посвящено решению
задач.
Опрос учащихся следует проводить таким образом, чтобы
учащиеся приучались связно излагать ответ, так как на экзаме¬
не от них потребуется связный ответ пс небольшому разделу
программы.
1.	387 X 46
2.	406 X 24
3.	632 X 506
4.	804 X 203
5.	169 X 3200
6.	7800 X 54
7.	180 X 6400
8. 9060 X 70800
427


на оилетам. Поэтому содержание
вопросов и их форма в основном определяются билетами. Но
при этом учитель, экзаменующий ученика, и его ассистент
должны соблюдать некоторые методические требования, которые
позволяют им с большей полнотой выявить знания и навыки
учащихся. Основное из этих требований заключается в том,
что экзаменующемуся ученику должна быть обеспечена полная
возможность дать по содержанию своего билета вполне само¬
стоятельный законченный ответ и притом в связном изложении.
Нельзя без необходимости прерывать ученика дополнительными
вопросами и тем более давать в какой бы то ни было форме за
ученика ответы на поставленные вопросы.
Вспомогательные и так называемые наводящие вопросы до¬
пустимы только в тех сл>чаях, когда ученик даёт неполные
или неточные ответы. Роль наводящих вопросов — полнее вы¬
явить. что знает и чего не знает экзаменующийся. Бывает, что
ученик не понимает вопроса и потому не отвечает. В таком
случае можно предложить вспомогательный вопрос, чтобы вы¬
явить, в чём конкретно ученик затрудняется. Если же экзаменую¬
щийся и после этого не отвечает, то не нужно во что бы то ни
стало «вытягивать» ответ у ученика, а следует предложить ему
перейти к ответу на следующий вопрос по билету. Учить уче¬
ника, объяснять ему недостаточно понятное не входит в задачу
экзаминатора.
Вспомогательные вопросы не должны быть подсказывающими.
Вопросы, предлагаемые экзаменующимся, должны форму¬
лироваться правильно, точно и ясно, чтобы ученик понимал,
о чём у него спрашивают. Следует избегать неопределённых
вопросов, например «Чем измеряется длина?», или таких, на
которые допускают два возможных ответа, например:	«Увели¬
чится или уменьшится произведение, если множитель увели¬
чить?» По таким вопросам трудно судить о знаниях экзаменую¬
щегося, так как он может отвечать наугад.
После того как учащийся, подойдя к столу, взял билет, ему
должно быть обеспечено некоторое время для подготовки
к ответу, для продумывания устного ответа и для записи на
доске необходимых вычислений и решения задач. Ученика,' как
правило, нужно спрашивать тогда, когда он закончил подготов¬
ку к ответу.
Если по содержанию билета ученик формулирует то или иное
правило или определение, то нужно требовать, чтобы он привёл при¬
меры на это правило или определение. Например, дав определение
простых и составных чисел, ученик должен вслед за этим назвать
два-три простых и два-три составных числа. Сформулировав пра¬
вило нахождения наименьшего кратного, ученик должен написать
в качестве примера два числа и найти для них наименьшее общее
423


кратное. Эти примеры покажут, насколько ответ ученика сознате¬
лен. На сознательность ответов должно быть обращено большое
внимание, поэтому в конце ответа экзаменующегося ему могут
быть поставлены дополнительные вопросы, проверяющие, не фор¬
мальны ли его знания. Например, после описательного рассказа
ученика о свойствах прямоугольного параллелепипеда его можно
спросить, как пользуются этими свойствами при определении по¬
верхности боковых стен комнаты, имеющей форму параллеле¬
пипеда.
Если экзаменующийся отвечает решённую им по билету за¬
дачу или пример, записанный на доске, то учитель должен тре¬
бовать, чтобы ученик рассказал, как он производил вычисления,
почему применил в задаче то или иное действие, рассказал
план решения задачи.
Экзаменующийся должен давать по содержанию своего би¬
лета законченные ответы. Когда ученик отвечает правильно,
сознательно, уверенно и у экзаменаторов сложилось впечатление
об отличной подготовке экзаменующегося, то ответом по билету
нужно и ограничиться. Но в тех случаях, когда ученик допу¬
скает ошибки в ответах на вопросы билета, неправильно решил
задачу или пример, экзаминатор обязан предложить ученику
дополнительные вопросы (аналогичные или из других разделов),
«тобы удостовериться, случайно сделана ошибка или она яв¬
ляется результатом слабой подготовки экзаменующегося.
Во время устного экзамена учитель должен иметь под руками
письменные работы учащихся, чтобы выяснить сомнения, возник¬
шие при проверке письменных работ, и, если нужно, предложить
ученику дополнительные вопросы.
Опенка отпета экзаменующегося.
При оценке ответов экзаменующегося нужно руководство¬
ваться в основном «Нормами оценок».
Отметка «Я» ставится тому, кто правильно отвечает на все вопросы биле¬
та и на дополнительные воппоеы. даёт ответ в с.-шзном и толковом изложе¬
нии без изводящих вопоосов. проявляя в ответах высокий уровень сознатель¬
ности, уверениести и самостоятельности.
Отметка «4» ставится тому, кто правильно отвечает на все вопросы би¬
лета, но с помощью одного-двух наводящих вопросов со стороны экзамина-
тора.
Отметка «3» ставится тому, кто из трёх вопросов билета правильно отве¬
чает на два и дзет эти ответы с помощью наводящих вопросов. Или же от¬
вечает на все вопросы в основном правильно, но недостаточно уверенно, до¬
пуская неполноту и неточности в ответах.
Отметкой оцениваются ответы тех учащихся, которые не ответите
на два из грех вопросов билета, а также слабо отвечают на дополнительные
вопросы.
О!мсткси «1» оцениваются ответы тех учащихся, которые дают грубо
ошибочные ответы на все вопросы, обнаруживая полное незнание и непонима¬
ние пройденно о
Письменные экзаменационные работы оцениваются по критериям, изложен¬
ным в «Нормах оценки успеваемости учащихся по арифметике>.


СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 	 2
Глава первая. Цели обучения
арифметике	 3
Глава вторая. Анализ про¬
граммы по арифметике , . .	7
Глава тр етья Методы обуче¬
ния арифметике 	 12
Глава четвертая Наглядность. 25
Готовые наглядные пособия . .	28
Самодельные пособия ....	32
Дидактический материал ....	37
Глава пятая Организация
преподавания арифметики ...	39
Планирование 	 40
Урок как основная форма обу¬
чения арифметике ......	42
Подготовка к уроку и план урока 47
Анализ урока .	....	52
Проверка и опенка знаний уча¬
щихся 	53
Т$1радь по арифметике ....	60
Исправление ошибок .....	62
Глава шестая Особенности
организации преподавания
арифметики в двухкомплект¬
ных школах ....	...	65
Самостоятельные работы ...	66
Глава сед ьма я Методика обу¬
чения решению задач ....	71
Простые задачи.	 73
Первые шаги в обучении детей
решению простых задач . .	74
Запись решения задач . .	79
Составление задач учащимися.	80
Влияние упражнений на выра¬
ботку умения решать задачи.	82
Переход от простых задач к со¬
ставным 	 —
Составные задачи ......	85
Усвоение условия задачи ...	—
Разбор задачи 	 87
Составление плана решения
задачи	 ....	94
Решение вычисления) ....	98
Решение задач с письменным
объяснением	100
Дополнительная работа в связи
с решенной задачей ....	101
Типовые задачи	106
Общие требования к способам
решения типовых задач . . 107
Способ приведения к единице . 108
Способ отношений	 —
Пропорциональное деление . 109
Задачи на вычисление неиз¬
вестного по разности двух
величин ....	....	I10
Задачи на исключение одной
из величин	Н1
Задачи на движение .	. - 112
Задачи на нахождение двух чи¬
сел по их сумме и разности 113
Задачи на нахождение двух
чисел по их сумме и крат¬
ному отношению ...	.114
Задачи на сложное тройное
правило	И6
Задачи на уравнивание данных 117
Задачи на предположение
Глава восьмая Методика уст¬
ного счета ....	. . 119
Виды занятий устным счетом
на уроке	12Ь
Игры	132
Организация занятий устным
счетом	 . 136
Глава девятая Вычисление на
счетах ...	.	. .	. 138
Глава десятая. Первый деся¬
ток ,	 142
Порядок обучения счету в пре¬
деле 10	  146
Наглядные пособия при изуче¬
нии чисел первог о десятка . 147
Дидактический материал . .	148
Письмо цифр 	149
Сложение и вычитание в пре¬
делах 10	....	152
Присчитывание по единице 153
Запись сложения	154
Отнимание по единице .... 155
Запись вычитания • • . , .	—
430


Сложение и вычитание враз¬
бивку 	 .	. . 156
Прибавление и отнимание по
два	 —
Прибавление и отнимание по
три	157
Прибавление и отнимание по
четыре	158
Прибавление и отнимание
по пяти, шести, семи, вось¬
ми	и	девяти 	 —
Усвоение таблицы сложения
и вычитания наизусть.Виды
упражнений ........ 159
Планирование и учет	162
Глава одиннадцатая. Вто¬
рой десяток	163
Нумерация ь пределе 20 ... . 164
Устная нумерация . . . .	—
Письменная нумерация . . . 165
Сложение и вычитание в пре¬
дела* второго десятка . 166
Сложение и вычитание без пе-
^ рехода через десяток ... 167
Сложение и вычитание с пере¬
ходом через десяток .... 169
Увеличение числа на несколько
единиц	.172
Уменьшение числа па несколько
единиц	173
Примерное распределение вре¬
мени 		174
Умножение и деление
О порядке изучения умножения
и деления 	174
Умножение	175
Усвоение смысла и записи
умножения	178
Деление в пределе 20	182
Деление на равные части . . .	184
Глава двенадцатая. Первая
сотня	•	188
Нумерация в пределе первой
сотни. Устная нумерация . . . 189
Письменная нумерация .... 191
Действия над круглыми десятками 192
Сложение и вычитание в пределе
100	196
А. Сложение и вычитание без
перехода через десяток ...	—
Б. Сложение и вычитание с пе¬
реходом через десяток .... 198
Разностное сравнение 	 200
Умножение и деление в пределе
100 (программа II класса) . . 202
Основные приемы табличного
умножения ...	...	204
Основные приемы деления на
равные части и по содержа¬
нию 	206
Умножение 3 и деление на 3 .	—
Упражнения в решении задач на
деление по содержанию . 208-
Деление	на 3 равные части	.	.	209-
Таблица	умножения 4	.	.	.	.	210
Таблина	умножения 5	.	.	.	.	—
Таблица	умножения 6.	8.	9,	7	.	—
Понятия .больше, меньше во
столько-то раз’, .увеличить,
уменьшить во столько-то раз’ . 212
Сопоставление обоих аилов де¬
ления 	 • . - . . 214
Внетабличное умножение и де¬
ление ’. .	.	... 216-
Умножение двузначного числа
на однозначное	217
Деление двузначного числа на
однозначное ........	—
Умножение на двузначное число. 220
Деление двузначною числа на
двузначное 	 —
Примерное распределение ма¬
териала на внетабличное ум¬
ножение и деление по урокам 22-4
Глава тринадцатая. Первая
тысяча	 ... 225
Нумерация в пределе 1000 . . 226
У стиая нумерация 	 —
Письменная нумерация . . . 229-
Сложение в пределе 1 000 ... 231
Устное сложение	232
Прием округления чисел . . 233
Письменное сложение .	. 234
Вычитание в пределе I 000 . . 236
Устное вычитание ......	—
Письменное вычитание . . .	238
Умножение чисел в пределе
1 000 	 242
Устное умножение . 	 —
Письменное умножение . . , 243
Деление трехзначных чисел в пре¬
деле 1000 	 245-
Устное деление .......	—-
Письменное деление	243
Распределение материала по уро¬
кам 	251
Глава четырнадцатая Дей¬
ствия нал числами любой вели¬
чины ...	... 256-
Нумерания многозначных чисел. 254
Сложение многозначных чисел 260
Вычитание мпо1 о-шячных чисел 263
Умножение иноюзначных чисел. 2Ьб
Деление многозначных чисел . . 277
Деление многозначного числа на
однозначное число . . .	278
Глава пятнадцатая Нумера¬
ция и четыре арифметических
131


			Я«ИМ.«П ЧГИ.ЛДМИ
в IV классе	289
■Поигорение нумерации многознач¬
ных чисел	290
Сложение	293
Вычитание 	•	296
Умножение	299
Деление	304
Ныенение частного	306
Поря доя действий. _Скобки_ .... 310
Примерное оаспредёление мате¬
риала по урокам	313
Контрольные работы 	 314
Г л а ва' шестнадцатая. Име¬
нованные числа	315
Действия над составными имено¬
ванными числами,	323
Сложение	 —
Вычитание	325
Умножение	327
Деление	323
Меры времени	329-
Сложение и вычитание . . . 332
Умножение	 —
Деление	333
Задачи на вычисление времени . 335
Глава семнадцатая. Дели¬
мость чисел 		339
Признаки делимости	 —
Разложение чисел на простые
множители	341
Нахождение наибольшего общего
делителя нескольких чисел . . 342
Нахождение наименьшего общего
кратного нескольких чисел . . 313
Глава восемнадцатая. Про¬
стейшие дроби (Программа
III класса. 	345
Образование дроби 	 348
Раздробление и превращение
долей	355
С гожение и вычитание дробей . . 357
Нахождение части числа .... 359
'лава ае в я т н а д н а т а я. Обы¬
кновенные дроби. (Начало си¬
стематического курса)	362
П >нч пи* о дроби	363
Осно чюс свойство дроби . . . 366
Сокращение дробей ...... 370
Приведение дробей к наимень¬
шем*' общемV знаменателю . . 371
Сложение дробных чисел .... 374
Вычитание дробных чисел . . . 375
Нахождение числа по данной
его части	376
Нахождение числа по одной
его части	377
Нахождение числа но нескольким
данным долям его	379
Примерное распределение мате¬
риала по урокам 	381
Глава двадцатая. Десятичные
дроби и проценты	382
Образование десятичных дробей,
их нумерация и основные свой¬
ства 	384
Запись и чтение десятичной дро¬
би 	 ....	387
Сложение и вычитание десятич¬
ных дробей	390
Устное сложение и вычитание
десятичных дробей .... 391
Письменное сложение и вычи¬
тание десятичных дробей .	—
Проценты 	392
Примерное распределение мате¬
риала по урокам	395
Глава двадцать первая.
Геометрический материал . . 396
Прямая линия и ее отрезки . . 399
Углы	  40'л
Прямоугольник 	 401
Квадрат 	40
Понятие о площади. Измерение
площади прямоугольника . . 40 ■
Вычисление объёмов 	 410
Куб	.411
Прямоугольный параллелепипед 412
Кубические меры • •	413
Измерение объёма	41 .
Упражнения и задачи на вычисле¬
ние объёма	41-
Примерное распределение геоме¬
трического материала по уро¬
кам (в IV классе)	418
Геометрические работы на мест¬
ности 	419
Глава двадцать вторая.
Методика повторения пройден¬
ного. Организация экзамена 424
Опрос учащихся на экзаменах 428
Опенка ответа экзаменующегося. 429
Содержание	430
МЧлТ'ф -1
/7 Нет (
ч ттысь.
нги'мчи к пе 11Т»
19 IV I
.1 зчачо"
и 1 п 1
14 и •(- _•{
Пи.’о
рафии Ч*
1 Упрас
Техн. редактор В. П. Рожин
Л'619'*. ‘Тен « 27. Учётно-из 1. л. 32Д Тираж 5о »ыс. экз.
.\« 5 Ч . Мл.» а без переплёта 9 руб. ?0 коп. Переплёт 80 коп.
л из 1>мс.1ЬС1Н и полиграфии Исполкома Ленгорсооета


ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стр.
Строка
Набрано
Следует читать
По V
1
115
9 снизу
обращением
обобщением
1
ТИП<|
218
17—18 снизу
050 : 2 =
50 : 2 =*=
4 : 2 ~ 20
40 ; 2 = 20
308
9 сверху
90 : 2 = 30
60 : 2 = 30
419
7—8 снизу
7-я строка набрана
после 8-й
Заказ № 5690. А. С. Пчёл ко.
Ргдакх