2. МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ВЫСОКОАПОГЕЙНОГО ИСЗ
Дифференциальные, уравнения движения высокоапогейного ИСЗ в
инерциальной геоцентрической системе прямоугольных координат
среднего равноденствия и среднего геоэкватора стандартной эпохи
J2000 имеют вид
2. Д	_	7	_
г = V.	v = - g-3 + aG + ам + as + а^
Здесь точкой обозначено дифференцирование по времени t в названной
системе координат. F и v - геоцентрические радиус-вектор и
скорость спутника. г=|7|, ge - гравитационный параметр Земли, aQ.
®М’ ®S’ ®SP~ возмУШа’ошяе ускорения, создаваемые соответственно,
нецентральиостыо поля тяготении Земли, Луной, Солнцем и прямым
солнечным излучением. Для возмущающих ускорений приняты следующие
выражения.
Ускорение, обусловленное второй зональной гармоникой
геопотенциала. -
Зи JjA 5(7^)*	1
aG = -у-£[ —* г	- ?]
где Re и J2 - экваториальный радиус и динамический коэффициент
формы Земли, К - орт направления "Земля-Северный полюс мира".
Ускорение, обусловленное гравитационным влиянием Солнца. -
_ I
as =	- 7]> s = -S . rs = I'si-
's	rs
Здесь gj и 7S - гравитационный параметр и геоцентрический
радиус-вектор Солнца. Выражение для as записано в приближении
Хилла.
Ускорение, вызванное гравитационным влиянием Луны, -
вМ "
где и гм - гравитационный параметр и геоцентрический

rtf))
- 5 -
радиус-вектор Луны.
Ускорение, создаваемое прямым солнечным излучением, -
kS Р„а2
«sp = - -JSZTT<7s - 7>
mA
Здесь P0 = 4.65* 10“6 Н/м2— давление солнечного света на орбите
Земли, S^, гл - площадь поперечного миделева сечения [ш2] и масса
КА [кг], а - большая полуось земной орбиты, к - коэффициент,
зависящий от характера отражения света и от распределения
теплового излучения по поверхности КА (при полном зеркальном
отражении или полном поглощении световой энергии и равномерном
распределении теплового излучения по всей поверхности КА к=1, при
полном диффузном или частичном диффузном отражении и при полном
отсутствии теплообмена к=1.44 [1]), A2=(xs-x)2+(ys-y)2+(zs-i)2.
Для ряда проектов высокоапогейных ИСЗ учет возмущающего
ускорении от прямого солнечного излучении не производится, так как
предъявляемые требования к точности определения положения КА
значительно ниже накапливаемой погрешности от светового давления.
Его предпочтительно учитывать в случаях, когда эта точность не
выше 20-30 км в перигее (несмотря на значительность ~ 4 т. массы
аппаратов). Для этих же случаев на этапе раскрутки орбиты
целесообразно учитывать члены 2—4 порядков в разложении 
геопотенциала в ряд по сферическим функция^.
Значение пертурбационной	функции	Р, обусловленной
несфернчностью центрального тела, в заданной точке пространства,
определенной радиусом-вектором КА в жестко связанной с вращающимся
центральным телом прямоугольной системе координат (х,у.х),
определяется формулой
р  *. Z11 ku4 * vJ
k-1 j-0L	J
где Me.Re - гравитационный параметр и экваториальный радиус
центрального тела (Земли); ^.S^.	- безразмерные численные
коэффн- циенты (стоксовы параметры), характеризующие
гравитационную струк- туру центрального тела (Земли); п - порядок
принятой усеченной мо- дели гравитационного поля центрального тела
и описанной исходными
"1
- 6 -
ковстантамн Me.Re н сферическими гармониками Ckj,Sk.; ^kj’^kj -
вещественные сферические функции рекуррентного алгоритма Каннинге-
ма в обработке В.А.Брумберга [2].
Общее выражение для вектора возмущающего гравитационного
ускорения, обусловленного несферичностыо центрального тела
(Земли), в той же точке пространства имеет вид
5g “ 57 ° Г [С“Й + М VJ’
k-1	j=0
В случае, если система координат совпадает с центром тяжести
центрального тела, то суммирование по к начинается со значения
к=2.
Рекуррентный процесс для вычисления значений вещественных
сферических функций Vk- и их производных по координатам x,y,z
описывается следующей группой однотипных формул [2].
IL. = Vn- = О, U.. = V = О при j > к,
00 г 00	kj kj г *
[Uk+I.k+ll _ 2к+1Г [ Ukkl	Г Vkkll
VkHJ I I vkJ	yl uJJ’
Г 4t+lj| = 2k+l.z Г Ukjl _ k+j ,1 Г Uk-l.jl
l Vk+J k‘i+l VJ k-i+l Vk-J
- 7 -
В правых частях для производных при j=0 делается замена
(k+2)(k+l)f Uk+, -,l = [ Uk+,11
I Vk+1,-P I Vk+1,F
Необходимые для их определения значения U.V насчитываются до (п+1)
порядка включительно.
Сферические гармоники C^S^ для ряда моделей с целью простоты
сравнении коэффициентов принято выражать в нормированном виде
Ck-,Skj. Связь между нормированными Ck-tSk. и ненормированными
Ckj,Skj осуществляется формулой
Ckj = rkjCkj’ Skj = rkjSkj
где rkj - коэффициент нормировки, вычисляемый по формуле
1
_ г ek(2k+l)(k-j)l -|2 ек=1 при j=0,
*•	(к+j)!	*	ек=2 при j*0.
Необходимые для расчета правых частей дифференциальных
уравнений движения высокоапогейиого ИСЗ положения Луны и Солнца в
инерциальной геоцентрической и геоэкваториальной системе
примоугольных координат среднего равноденствия стандартной эпохи
J2000 вычисляются из интерполировании на заданный момент ТОТ
земного динамического времени унифицированных таблиц файла
JPL-эфемерид DE200/LE062.
Расчеты астрономических шкал времени, прецессии и нутации
проводятся согласно утвержденным МАС и введенным в действие с 1984
г. новым теориим прецессии И нутации. Подробный список литературы
по этому вопросу и некоторые методические рекомендации приведены в
работе [3].
3. о КОНСТАНТАХ
При проведении научно-производственных расчетов выбор
согласованно принятых и единых динамических констант
интегрирования является очевидным. Так, например, отличие лишь в ц
Земли на 0.01 км3/сек2> при интегрировании на интервале 1 мес.
приведет к рассогласованию до десятка км в радиус-векторе КА.
- 8 -
Поэтому в качестве основной модели геопотенциала принята
рекомендованная международной лабораторией IERS [4] для
прецизионного проекта РАДИОАСТРОН усеченная до 17-го порядка
модель GEM-T2 [5]. IERS рекомендует [4] нулевые значения
нормированных коэффициентов ^2Г^21 м°Дели GEM—Т2 заменить
следующими нормированными значениями
CRIERS) = -0.17D-9, S21(IERS) = 1.190-9,
улучшающими совмещение средней осн вращения Земли с осью вращения
Гринвической системы координат.
Значения гравитационных параметров Земли, Луны и Солнца приняты
также согласно данным рекомендациям IERS [4] для проекта
РАДИОАСТРОН. Эти значения несколько отличаются от динамических
констант численной теории JPL-эфемернд DE200/LE062, приводимых в
следующем разделе.
Ниже приведены рекомендуемые IERS-значения [4] экваториального
радиуса Земли RE [км] и гравитационные параметры Земли GE, Луны GM
н Солнца GS [км3/сек* 2 3 4 5].
RE = .637813600+04
GE = .398600440+06
GM = .490279900+04
GS = .132712440+12
Следующая таблица содержит нормированные C,S и ненормированные
C.S значения сферических гармоник геопотенциала модели GEM-T2 [5]
до 12-го порядка включительно. Нормированные коэффициенты
вычислены согласно приведенной выше формуле.
С	S	С	S
П ГП nm	nm	nm	। nm
2 0 —.48416530D-03	-.108262650-02 ' J
2 1 —. 17000000D-09 .119000000-08 -.219469060-09 .153628340-08
2	2	.243900670-05.-. 14000870D-05	.15743721 0-05	-.90375227D-06
3	0	.9570331 ID-06	.253207160-05
3	1	.203075240-05	. 249602660-06	.219346330-05	. 26960169D-06
3	2	.903539150-06	-.61898576D-06	.30861737D-O6	-.21142389D-06
3	3	.721507320-06	.141372520-05	.10060939D-06	.197134560-06
4	0	.539907770-06	.16197233D-O5
4	1	-.535255750-06	-.474133220-06	-.50778819D-06	-.44980227D-06
4	2	.348259560-06	. 66402365D-06	.778732050-07	.148480200-06
4	3	.99131081 0-06	-.201428850-06	.592421520-07	-. 12037676D-07
4	4	-.18936775D-06	. 308968020-06	-.400112400-08	. 65281409D-08
5	0	.68688331D-07	.227813420-06
5	1	-.607595260-07	-.950258300-07	-.520313500-07	-.81375259D-07
5	2	.656080000-06	-.324129780-06	.10617652D-06	-.52455452D-07
5	3	-.45185048D-06	-.21707107D-06	-.149265980-07	-.71708068D-08
- 9 -
5	4	-.29504971D-06 .51356O76D-O7	-.229733860-08	.39987261 0-09
5	5	.1719O752D-O6 -. 66905926D-06	.423277030-09	-.16473824 0-08
6	0	-.149609210-06	-.539423680-06	
6	1	-.771404510-07 .253197210-07	-.606937820-07	19921450007
6	2	.52446631D-07 -.37524337D-06	.652453600-08	-.466815280-07
6	3	.584153980-07 .687824570-08	.121117840-08	.142612790-09
6	4	—.88826681D-07 -.471125510-06	-.336251000-09	—.178343290-08
6	5	—.26608318D-06 -. 536883020-06	-.214746570-09	-.433299800-09
6	6	.96977647D-08 -.236965730-06	.225938290-11	—.55208219D-10
7	0	.90084749D-07	.348896730-06	.г-»
7	1	.28185033D-06 .96226629D-O7	.206293320-06	.704306810-07
7	2	.32097572D-06 .95694116D-07	.319699470-07	.953136210-08
7	3	.25239511D-06 -.209599790-06	.355521340-08	-.29524026D-08
7	4	—.27424825D-06 - 12419677D-06	-.582374380-09	-.263735560-09
7	5	- .102032980-09 .196941960-07	- .361116820-13	.69702026D-11
7	6	—.35855234D-06 .151587610-06	—.248870280-10	10521658D-10
7	7	—.14861559D-08 .25282302D-07	-.27568988D-13	46900024D-12
8	0	.48383480D-07	.199490200-06	
8	1	.24572133D-O7 .584481810-07	.16885583D-07	.401646710-07
8	2	.69506807D-07 .672987890-07	. 570888810-08	.552753420-08
8	3	-.16565131D-07 -.87073521D-07	—.167473890-09	-880315460-09
8	4	-.243104390-06 . 670170550-07	-.317299510-09	87470566D-10
8	5	- .236439460-07 .871454790-07	—.427951830-11	.15773199D-10
8	6	-.64860212D-07 .31015485D-06	-.181145960-11	86622130D-11
8	7	68906444D-07 .747228750-07	35135771D-12	.38101601D-12
8	8	- .121439920-06 .120661910-06	—. 15480719D-12	. 153815410-12
9	0	.284403340-07	.123968540-06	
9	1	.142112550-06 .25365458D-07	.923427870-07	. 16482127 0-07
9	2	.284926030-07 -34982892D-O7	. 197361000-08	-.242317580-08
9	3	-.161307700-06 -.85673561D-07	-.121911500-08	-.647494950-09
9	4	—.121815110-07	25861246D-07	-.10424217D-10	22130525D-10
9	5	-.240866510-07 -.57528523D-07	-. 24635970D-U	-58840515D-11
9	6	.667472230-07 .22336337D-06	.88135489D-12	.294937210-11
9	7	-.122925390-06 -.95140873D-07	-.23428182D-12	- 18132769D-12
9	8	.188195370-06 -.370584200-08	.615129390-13	-.121127970-14
9	9	- .613486290-07 .970425300-07	-. 47263529D-14	.74762428D-14
10	0	.549673110-07	.251891860-06	
10	1	.831559490-07 -.135619950-06	.513832570-07	-.838015170-07
10	2	-.819358730-07 -.50106549D-07	-.487181190-08	-.297927720-08
10	3	-.409602130-08 -.160411750-06	—.23881520D-10	- .935267690-09
10	4	-.939427390-07 -.688070420-07	-.55328632D-10	-.405246810-10
10	5	-.489203800-07 -.458035280-07	-.30370734D-11	-.284357310-И
10	6	-.344836990-07 -.783753450-07	-.23935049D-12	-.54400130D-12
10	7	.901792290-08 -22191507D-08	.75905375D-14	- 18678965D-14
10	8	.421605540-07 -.928535760-07	.48292028D-14	—. 10635741D-13
10	9	.124385580-06 -.38941169D-07	.23112524D-14	-. 72357961D-15
10	10	.966394110-07 -. 189409440-07	.40152872D-15	-.786980470-16
И	0	-.519374000-07	—.249083020-06	
11	1	.187899660-07 -.30238895D-07	.110922060-07	-.178508080-07
11	2	.125806380-07 -.919944340-07	.651362780-09	-. 476301360-08
11	3	-.310304800-07 -.131777900-06	-.143127630-09	-.607823640-09
11	4	-.363187930-07 -.702274470-07	—.15292405D-10	-.295699960-10
И	5	.404925330-07 58378070D-07	. 16110548D-11	.23226571 0-11
И	6	-.220961180-08 .280075850-07	-.87046490D-14	.110334400-12
И	7	.325347170-08 -.874470750-07	.13510178D-14	-.363127650-13
11	8	-.594885200-08 .237541400-07	-.28336121D-15	.113147910-14
И	9	-.40130795 0-07 . 432696050-07	-.24677966D-15	.266081410-15
-lo-
ll
и
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
10 -.529919220-07 -.21362210D-07 -.502824730-16
11 .455059630-07 -.645895470-07 .92058507D-17
0 .34091827D-07	17045914D-06
1	-.542525610-07 -.4420353404)7 -.307144640-07
2	.67317039D-08 .318029510-07 .307105330-09
3	.403967750-07 .175863900-07 .15047467 0-09
4	-.6329244104)7 -.455214700-08 -. 19646596D-10
5	.372696650-07 .44109379D-08 .992022450-12
6	-.216140790-08 .427936050-07 -.51252786D-14
7	-.159953280-07 .348519840-07 -.35523968D-14
8	-.233720860-07 .14836903D-07 -.519069830-15
9	.421811600-07 . 23658502D-07 .102213250-15
10	-.840059090-08 .31990145D-07 -.250568540-17
11	.978938620-08 -.84029464D-08 .43051992D-18
12	-.518245530-08 -.1110762904)7 -.465230020-19
-. 20269972D-16
-.130664570-16
-.25025323D-07
.14508742D-08
.655078600-10
-.14130312011
.11740780D-12
.101475130-12
.77402648D-14
.32951226D-15
.573292040-16
.95418572D-17
-.369546740-18
-.99713402D-19
4. ПОДГОТОВКА И РАБОТА С ФАЙЛОМ ЭФЕМЕРИД DE200
Численная теория эфемерид DE200/LE200, разработанная и„
построенная в JPL на основе теории эфемерид DE118/LE062, является
базой астродииамическнх расчетов в стандартной эпохе J2000.
Лежащая в основе этой теории математическая модель и
использованный наблюдательный материал описаны в работах [6,7].
Практическим выходом теорий эфемерид DE200/LE200 и DE118/LE062
являются расчнтаниые и специальным образом составленные таблицы
[8,9] коэффициентов чебышевских полиномов, аппроксимирующих
возмущенное движение барицентра системы Земля-Луна и центров масс
Солнца с остальными планетами относительно барицентра солнечной
системы, а также геоцентрическое движение центра масс Луны,
включая нутационные параметры Земли. Эти коэффициенты получены в
основном путем численного интегрирования системы дифференциальных
уравнений, составляющей математическую модель теории.
В настоящее время JPL любезно предоставляет научным центрам
возможность использовать свои результаты. Для этого в JPL в
стандарте языка Fortran-77 реализован комплекс 13-ти сервисных
программ, поставляемый одиовремеиио с унифицированной форматной
упаковкой таблиц эфемерид DE200/LE200 и DE118/LE062 версии 4 [8].
Подготовка в формирование в среде MS-Fortran 5.0 бинарного
файла прямого доступа с таблицами эфемерид не встретили каких-либо
затруднений. Лишь в процессе его тестирования программным
комплексом JPL выявились некоторые особенности в текстах программ,
неучитываемые, по-видимому, другими трансляторами. Так, например,
- 11 -
обнаружено несоответствие в подпрограмме STATE 152-й строки,
декларирующей размерность массива pvsun(3,2) с организацией в
строках 207-208 цикла (DO 6 i=l,6; 6 PVSUN(i,l)=PVSL'N(i,l).AUFAC),
работающего с этим массивом. Проведенное тестирование созданного
файла прямого доступа таблиц эфемерид JPL DE200/LE200 (интервал
времени действия эфемерид 10.12.1959 - 13.01.2025 гг. или
2436912.5 — 2460688.5 JD ) отметило лишь 11 рассогласований с
данными JPL, значения которых в единицах 15-го знака приведены в
последнем столбце следующей таблицы. Первая колонка этой таблицы -
порядковый номер отмеченного рассогласования, вторая колонка -
соответствующий ему момент JD. пятая колонка указывает на
несовпавшую компоненту фазового вектора для центра масс
сравниваемого тела (третья колонка) по отношению к центру масс
рассматриваемого тела (четвертая колонка). Единицы измерения для
сравниваемых компонент фазового вектора - [ае] и [ае/сутки].
1	2439742.5	Веи ера	Нептун	Vx	4.070
2	2440308.5	Веи ера	Б/Ц соли.сист.	Vx	9.540
3	2440450.0	Веи ера	Б/Ц Земля-Луиа	Vy	7.472
4	2441299.0	Зе мля	Сатурн	vy	3.730
5	2441299.0	Земля	Сатурн	Vz	1.372
6	2442714.0	Марс	Земля	X	1.163
7	2444553.5	Юпитер	Земля	Z	1.160
8	2448657.0	Урай	Сатурн	Vx	2.592
9	2448940.0	Уран	Нептун	vy	4.956
10	2450638.0	Неп туи	Уран	Vx	1.097
И	2451911.5	Пл у тон	Земля /	Vz	1.139
Преследуя цель		удобства	при эксплуатации	в	баллистических
расчетах	сервисных	программ	JPL и максимального		сохранения их
целостности в		системе	MS-Fortran 5.0	была	реализована
подпрограмма-адаптер ADEJPL, использующая с некоторыми дополнения-
ми подпрограммы EPHOPN, STATE, SPLIT и INTERP JPL-комплекса и име-
ющая интерфейс
CALL ADEJPL (JPLEPH.DJ,TD,LISTPL»AU.
PVPL.PVMOND.PVSONNE.PSIEPS.IERR),
где последовательно вызываемые параметры, рнд из которых преднаме-
ренно сохраняет структуру параметров подпрограммы STATE, оннсаны
как
ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
JPLEPH - (character) - константа с сообщением пути и имени JPLEPH
файла эфемерид DE200 или DE118 (напр., ’d:\ephem\de200\jpleph’).
- 14 -
Марс	954952894222406D-10	.33975150+04	.428282865887689D+05
Юпитер	.282534210344593D-06	7139800D+05	. 126712597081795D+09
Сатурн	.845946850483066D-07	60330000+05	.3793951970883000+08
Уран	.128881623813804D-07	. 25400000+05	.5780158533597720+07
Нептун	.1532112481284280-07	.24300000+05	.6871307771479520+07
Плутон	.2276247751863700-11	.25000000+04	.1020864920706290+04
Луна	. 109318924524285D-10	1738000D+04	.4902799140594720+04
Солнце	.2959122082855910-03	.6960000D+06	.1327124399354840+12
Земля	.8887692734033020-09	. 63781400+04	.3986004480734460+06
Гравитационные постоянные Земли и Луны являются производными и
определяются нз следующего равенства
GE	GE + GM GEM
— = ------------ - 1 =---------- 1 = 81.300587
GM GM	GM
где GE, GM, GEM - гравитационные постоянные Земли. Луны и
барицентра Земля+Луна соответственно.
Следующая таблица позволяет сравнить данные чебышевского
разложения, также выбранные непосредственно нз таблиц файла
эфемерид DE200/LE200 (две средние колонки), н данные табл.1 нз
работы [9] (две правые колонки).
центр масс	интервал Гсутки!	степень полинома	интервал степень Гсутки! полинома	
Меркурий	8 Венера	32 Земля+Луна	16 Марс	32 Юпитер	32 Сатурн	32 Уран	32 Нептун	32 Плутон	32 Луна	4 Солнце	32		12 12 15 10 9 8 8 6 6 12 15	8 16 16 32 32 32 32 32 32 4 16	13 9 12 10 7 6 5 5 5 12 10
Следует подчеркнуть.		что значения	данных.	выбранных
непосредственно	из унифицированных таблиц файлов			эфемерид
DE200/LE200 и	DE118/LE062 версии 4, полностью совпадают со			
значениями данных таблиц файла эфемерид DE118/LE62, имеющих тот же				
номер версии и	известных	у нас со времени последней		работы с
кометой Галлеи	(1984 г.).	Данные же работы [9], по-видимому.		
относятся к более поздним		версиям эфемерид.	Сравнение	численных
результатов, полученных в ’		этих трех системах	эфемерид, показало их	
полную тождественность.
- 15 -
Автор глубоко благодарен Н.Г. Хавенсону,	способствовавшего
успешному выполнению работы настоящего раздела
5. О ЧИСЛЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ
При выборе метода численного интегрирования	предпочтение	было
отдано одиошаговым методам типа Рунге-Кутты в силу известных их
свойств компактности и гибкости. Реализованный в MS-Fortran 5.0 и
опробованный в работе [10] явный метод Рунге-Кутты—Фельберга 7(8)
порядка [11] показал хорошие численные результаты н свою
достаточно высокую эффективность. Следующая группа формул
описывает вложенный алгоритм Фельберга 7(8) порядка [11].
dy
— - Цх.у). i0= %•*<>)-
UX
10
У = уо +	+ O(hB),
к=о
12
Ф = У0 +	+ Оф9),
К-0
К-1
1К = Uxjj+c^h. Уо+ИркА^). (К = 1,2...12),
те = 7 у = £<fo + f« - fu " fi2>h’
Здесь Хд.УрЛф - начальные условия, h - шаг интегрировании, у, $ -
две вложенные формулы Рунге-Кутты смежных порядков для оценки кон-
трольного члена, ТЕ - контрольный член, определяющий величину
главного члена погрешности метода на одном шаге интегрирования и
служащий для регулировки его величины	(у и f суть п-мерные
векторы), а*, ск, ,3^ - следующие числовые коэффициенты метода
12	2	11	5	15 12	1
«Jo = °-	—•	" -	—•	- - - " -	’ °> ’•
к °	27	96	12	26633
- 16 -
10	41	34	9	9	9	9	41
ск|0 = -----. О, О. О, О, --, —, —, ------, --, ---.
к 0	840	105	35	35	280	280 840
.12	34	9 9	9	9	41	41
Мп = °. °. °. О, О,  , — —,  ,  , О,  ,  .
к и	105	35 35	280	280	840 840
12	2	1	1	5	1	25	31
^ко1о=°- — — — — —----------------------• --• 2-
°	27	36	24	12	20	108	300
91 2383	3	1777
108’ 4Юо’ 205’	4100 ’
12	1
/3 Jo = — °. °. О. °. 0. 0. 0. 0. О, 0.
к.1 2 12
12 1	25
oU = ---------• °. °. °. °- °. °. °. 0
J	g	]6
12	25	1	125	53	23	341	341
4	16	4	108	6	108	164	164
12	1	65	61	704	976	4496	4496
к’ 5	5	27	225	45	135	1025	1025
12	125	2	107	311	301	6	289
к-5 6	54	9	9	54	82	41	82
12	13	67	19	2133	3	2193
K t> '	900	90	60	4100	205	4100
12	17 45	3 51	12	1	45	3	33
8	6 82	41 82	к>8 9	12 164 41 164
12	18	6 12	12	t2
^к,э1ю = ТУ’ 77’ 4?	^к,юЬ1 = °’ °’ ^K,llh2 = 1
- 17 -
На ошибочность значения коэффициента (?)2 4 в [11] автору в
приватном сообщении указал В.В.Сазонов, тщательно исследовавший
этот метод.
Для контроля величины шага для всех интегрируемых уравнений
вычисляются значения ТЕ. (1=1.2....п),	выбирается максимальное и
проверяется условие (0.6)®TOL s TEmajS TOL, где TOL - задаваемая
точность. При выполнении этого условия шаг увеличивается в 1.4
раза, в противном случае он уменьшается в 0.7 раза.
Проведенные численные эксперименты и сравнение полученных
методом Фельберга результатов с результатами метода переменного
порядка Булнрша-Штоера (фортран-текст готовой программы ODEX [12],
с внесенными в него для большего удобства эксплуатации
незначительными изменениями) и комбинированного многошагового
метода RK8C (разработан к.ф.м.н. В.АСтепаньяицем, используется в
ИПМ нм. М. В. Келдыша РАН в баллистических расчетах как штатный)
показали, что при заданной точности 1.D-10 метод Фельберга надежно
обеспечивает 7-8 верных знаков на довольно значительном интервале
временя интегрирования. Величина шага для орбиты с hn ~ 40000 км,
ha ~ 150000 км и периодом ~ 4 суток изменяется в пределах от 140
сек. до 4 часов.
Прогнозирование движения аппаратов рассматриваемого класса
орбит более чем на 0.5 года, как правило, не проводится нз-за
накапливаемых малых возмущений от частого проведения
переориентации аппарата в пространстве дли выполнения очередной
задачи научных исследований.
Здесь же следует отметить, что метод Дормана-Принса [14] 8(7)
порядка (фортран-текст готовой программы DOPRI8 [12], с также
внесенными в него незначительными изменениями) при заданной той же
точности как и для метода Фельберга на 15% работает эффективнее и
дает несколько более устойчивые численные результаты. Объясняется
это, по-видимому, тем, что в методе Дормана-Принса минимизируются
коэффициенты погрешности для построения формулы аппроксимации 8—го
порядка, тогда как алгоритм Фельберга употребляет формулу 7
порядка с оценкой погрешности с помощью формулы 8—го порядка.
Повышение же порядка аппроксимирующей формулы уменьшает локальную
и глобальную ошибку метода [13], позволяет увеличить шаг
интегрирования, уменьшить неизбежно возникающие ошибки округления