Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями - Космодамианский А.С.

Автор: Космодамианский А.С.
Теги: механика деформируемых тел упругость деформация физика механика теория упругости
Год: 1976
Похожие
Теория упругости анизотропного тела.
Оптимизация форм упругих тел
Теория упругости
Механика подземных сооружений
Текст
                    А. С. КОСМОДАМИАНСКИЙ
НАПРЯЖЕННОЕ
СОСТОЯНИЕ
АНИЗОТРОПНЫХ
СРЕД
С ОТВЕРСТИЯМИ
или полостями
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования УССР
в качестве учебного пособия для студентов
университетов и технических вузов
Издательское объединение «Вища школа*
Головное издательство
Киев— 1976 — Донецк

К71
УДК 539.319 @7)
Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями
или полостями. А. С. Космодамианский.
Издательское объединение «Вища школа», 1976, 200 с.
В пособии рассмотрены задачи, связанные с определением
напряженного состояния анизотропных пластин с различными
отверстиями и ортотропных стержней с продольными полостями.
Дано подробное изложение различных методов решения
указанных задач.
Приведены графики, наглядно показывающие влияние
анизотропии на напряженное состояние рассмотренных сред.
Пособие предназначено для студентов и преподавателей
университетов и технических вузов, в которых изучается курс
теории упругости, а также для инженеров-конструкторов
промышленных предприятий.
Табл. 5. Ил. 96. Список лит.: 86 назв.
Редакция общетехнической литературы при Донецком
государственном университете.
Зав. редакцией М. X. Тахтаров.
Александр Сергеевич Космодамианский
Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями
или полостями
Допущено Министерством высшего и среднего специального
образования УССР в качестве учзбного пособия для студентов
университетов и технических вузов
Издательское объединение «Вища школа»
Головное издательство
Редактор И. Д. Бородина. Обложка художника Г. М. Балюна.
Художественный редактор С. В. Анненков. Технический редактор
А. М. Сухорская. Корректоры С. С. Себова, Л. И. Зотова
Сдано в набор 3.06.1976 г. Подписано к печати 11.10.1976 г. Формат
бумаги 84Х,081/Ч9- Бумага тип. № 2. Физ. г.еч. л. 6,25. Усл. печ.
л. 10,5. Уч.-изд. л. 10,13. Тираж 2000. Изд. № 2774. Цена 48 коп.
Зак. № 6—1539.
Редакция общетехнической литературы при Донецком государственном
университете. 340002. Донецк, ул. Челюскинцев, 186.
Отпечатано с матриц Головного предприятия республиканского
производственного объединения «Полиграфкнига» Госкомиздата УССР
г, Киев, Довженко, 3, в Харьковской книжной типографии №. 16,
г. Харькэв, ул. Университетская, 16. Зак. 2074.
30107—003
К М211@4)-76 53~~76
© Издательское объединение «Вища школа», 1976.

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
х, у, г — прямоугольные координаты точки упругой
среды;
г, 6 — полярные координаты точки упругой среды;
а, Р — косинусы углов между нормалью и
координатными осями х и у;
Хп, Yni Zn — проекции вектора напряжения,
действующего на площадке с нормалью п, на
координатные оси х, у, г;
X, Y, Z — проекции объемных сил на координатные
оси х, у, г;
w, и, w — проекции вектора смещения точки тела на
координатные оси х> у, г;
<*х> <ty, oz, ixyy тхг, %yz — компоненты тензора напряжений,
действующих на площадках, нормальных к осям
X, у И 2.
о>, сг0, TrQ — напряжения, действующие на площадках,
нормальных к осям полярной системы
координат;
£*> £у* £z» УХу> Ухг> Ууг "" компоненты тензора деформаций в
прямоугольной системе координат;
0л- (i = 1,2; у = 1, 2, 6) — коэффициенты деформации;
Ev E2 и vu, v2 — соответственно модули упругости и
коэффициенты Пуассона для направлений осей
хну;
G = jlx = ,—г модуль сдвига для изотропного тела;
z A -J- \х)
д2 д2
у2 = — + — — оператор Лапласа в прямоугольных
координатах;
г = х + iy — комплексная переменная;
2j = х-\- [1]У (/= 1,2) —обобщенные комплексные переменные;
[А/ — комплексные параметры, зависящие от
коэффициентов деформации;
£/ — комплексные переменные в отображенных
областях;
i — мнимая единица,

ВВЕДЕН И Е
Многие конструкции современных сооружений
содержат детали, изготовленные из анизотропных материалов.
Такими материалами являются различные
стеклопластики, пластмассы и т. д. Зачастую эти детали представляют
собой пластинки с отверстиями или стержни с полостями.
После загружения указанных деталей в них возникает
неравномерное поле напряжений, величину которого
необходимо знать при расчете деталей на прочность.
Большое значение для развития методов определения
напряженного состояния указанных анизотропных сред
имели работы С. Г. Лехницкого [53—55]. В случае
плоской задачи теории упругости, изгиба тонких плит,
кручения и изгиба стержней С. Г. Лехницкий получил общие
решения соответствующих уравнений, выразив их через
комплексные потенциалы обобщенных комплексных
переменных.
Определение комплексных потенциалов С. Г.
Лехницкого в конкретных задачах проводилось различными
методами.
При изучении напряженного состояния анизотропной
пластинки с эллиптическим отверстием С. Г. Лехницкий
использовал метод рядов.
Г. Н. Савин, рассматривая аналогичные задачи,
применил формулу Шварца. Это позволило автору получить
эффективные решения для пластинки с эллиптическим
отверстием, когда к его контуру приложены сосредоточенные
силы или нагрузка, распределенная по части контура.
Построение решений статических задач для пластинки
с криволинейным отверстием, отличающимся от
эллиптического (кругового), имеет принципиальные трудности. Для
их преодоления С. Г. Лехницкий [54], а затем автор [35]
предложили приближенные методы.
4

Изучение напряженного состояния анизотропной
пластинки, ослабленной несколькими отверстиями, началось
недавно.
Д. И. Шерман свел решение задачи о напряженном
состоянии многосвязной анизотропной пластинки к
интегральному уравнению Фредгольма. Методом Д. И. Шермана
Л. Н. Нагибин изучил напряженное состояние ортотроп-
ной пластинки с д.умя круговыми отверстиями [72]. В
работах Хаяси, Кубо и др. также была рассмотрена ортотроп-
ная пластинка с круговыми отверстиями.
во всех этих случаях анизотропия материала пластинки
считалась слабой. Близкие расстояния между отверстиями
не рассматривались.
Задачи для различных анизотропных многосвязных
сред рассмотрены автором и его учениками в работах [3—
23, 25—52, 57—69, 75, 80—84]. Методы решения этих
задач и конкретные исследования отражены в учебном
пособии [39]. Они представляют собэй развитие методов,
разработанных Д. И. Шерманом [85, 86].
В данной книге расширен круг таких задач и подробно
изложены методы построения решения отдельных из них.
Это позволит читателю самому провести необходимые
выкладки в тех задачах, где приведены только окончательные
результаты.
В первой главе задача о напряженном состоянии
анизотропной многосвязной пластинки приведена к
определению двух комплексных потенциалов С. Г. Лехницкого.
Установлены граничные условия для этих потенциалов.
Напряжения и перемещения выражены через потенциалы
С. Г. Лехницкого, определен их вид для многосвязной
пластинки.
Во второй и третьей главах рассматривается плоская
задача для пластинок с эллиптическим отверстием и мало
от него отличающимся криволинейным отверстием. Изучено
напряженное состояние указанных пластинок при
различных их загружениях.
В четвертой, пятой и шестой главах изложены методы,
позволяющие решать плоские задачи, о напряженном
состоянии анизотропных пластинок с любым количеством
отверстий. Отверстия могут располагаться вблизи одной из
прямолинейных сторон пластинки.
В седьмой и восьмой главах исследуется случай, когда
в анизотропных пластинках отверстия подкреплены
упругими ядрами или кольцами.
5

В девятой главе изложена теория изгиба тонких
анизотропных многосвязных плит и приведены примеры действия
изгибающих плиты нагрузок.
В десятой главе установлено, что задачи о кручении
и изгибе анизотропных стержней, ослабленных
продольными полостями, приводятся к рассмотрению изотропных
стержней, поперечные сечения которых получаются из
заданных путем аффинных преобразований. В качестве
примеров рассмотрены эллиптические стержни, ослабленные
эллиптическими полостями.
В получении решений и анализе задач, представленных
в пособии, а также в проверке решений задач приняли
участие мои ученики — кандидаты физ.-мат. наук
Г. М. Иванов, С. А. Калоеров, В. В. Меглинский,
В. А. Митраков, Н. М. Нескородев, В. А. Швецов, за что
выражаю им искреннюю благодарность.
Выражаю также глубокую признательность Г. Н. Лы-
чаченко, С. К. Танаджи, А. Л. Гладушко, С. М.
Шумейко за техническое оформление рукописи.

Глава I
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
МНОГОСВЯЗНОЙ ПЛАСТИНКИ
§ 1.
Постановка задачи. Основные уравнения
Рассмотрим пластинку постоянной толщины h.
Пластинка ослаблена гладкими криволинейными
отверстиями, контуры которых обозначим через Lp (р = ly N; N —
любое целое число). Внешний контур пластинки L0 также
не имеет угловых точек. Толщина пластинки является
малой величиной по сравнению с другими линейными
размерами как самой пластинки, так и ее отверстий.
Пластинка изготовлена из однородного анизотропного
материала; при этом в каждой ее точке имеется плоскость
упругой симметрии, параллельная срединной плоскости.
Деформацию пластинки вызывают внешние усилия,
действующие в плоскостях, параллельных ее основаниям,
симметрично относительно срединной плоскости.
Решение задачи об определении
напряженно-деформированного состояния такой пластинки, как известно [54],
приводится к интегрированию двух уравнений равновесия
плоской сплошной среды:
дох , дтху
+ _^ + Х=0;
дх г ду
дхху , да,
(l.i)
f+r = o
дх ' ду
и трех уравнений закона Гука:
е* = аи°х + аиоу + аихху\
% = апох + а22оу + а26тху; A.2)
Уху = <hlPx + а2Ь°у + a6QTxy
При этом учитываются следующие зависимости
относительных деформаций от перемещений пластинки:
ди dv ^ . ом /^ qv
8*-~~аГ; еу-~ШГ; 4xy-~W + ~di- (i,6)
7

Все величины, входящие в выражения A.1)—A.3),
являются средними по толщине пластинки.
На боковой поверхности пластинки задаются либо
внешние усилия
Хп = вха + т^Р; Yn = т^а + аД A.4)
где
а = cos (п, х)\ р = cos (я, у), A.5)
либо перемещения
и = а*; v = v*. A.6)
Компоненты тензора деформаций е^, еу, уху
удовлетворяют следующему условию Совместности деформаций:
дЧх дЧу Руху
ду2 "Г" дх2 дхду ~~и' v '
Условие A.7) получается, если в выражениях A.3) путем
дифференцирования исключить перемещения и и v.
Для удовлетворения уравнениям A.1) вводится
функция напряжений Эри F, через которую напряжения аЛ.,
ауу %ху выражаются так:
d2F d2F d2F
°* = -W + u> a.= -^2- + ^ T*y = --^xW (L8)
Здесь учтено, что объемные силы X и Y имеют
потенциал U. В связи с этим
Подставим выражения A.8) в уравнения A.2), а
последние— в A.7). Тогда для функции F получим следующее
дифференциальное уравнение [54]:
d*F 9 d*F , /9 , ч ^z7
«22 -g5?" _ Za26 -%Щ; + ^«12 + «6б) дх2ду2
d*F d*F d2U
~ 2a™ ~dxW + a" ~W~= — (^12 + a^ "л?" +
+ («16 I «26/ fixdy — («и + «Ы -^r • U-iuj
Если в каждой точке пластинки имеются три взаимно
ортогональные плоскости упругой симметрии, одна из
которых параллельна срединной плоскости, то такая плас-

тинка является ортотропной. При совпадении осей
координат х и у с направлениями, нормальными к плоскостям
упругой симметрии (их называют главными
направлениями упругости), упругие коэффициенты деформации ац
принимают следующий вид:
Л I I
йла #26 ^» ^11 С » ^22 ~~Р
1_
Е,
<*12 =
Ei
V2
Е,
_1_
G
Для изотропной пластинки
Е1 = Е2 = Е\ v1 = v2 = v;
2A +v)
В этом случае уравнение A.10) имеет вид
V2V2F- — A—v)V2£/.
Определим граничные
условия для функции F> исходя из
условий A.4).
Будем считать, что
направление обхода контуров пластинки
осуществляется таким образом,
что область пластинки остается
слева (рис. 1.1). В этом случае
A.11)
A.12)
A.13)
—4' р~
dx
~dT
A.14)
Подставим выражения A.8) и A.14) в граничные
условия A.4) и произведем интегрирование по дугам контуров
пластинки. Получим
OF
дх
-i^n + U-^ds + C,;
dF
ду
J (*.
A.15)
■U
ду_
ds
ds +Ca
Здесь s — текущая точка любого рассматриваемого
контура. Постоянные С1 и С2 на напряженное состояние
пластинки влияния не оказывают.
После нахождения функции F осредненные по толщине
напряжения ах, ау и %ху можно определить по формулам
A.8), а напряжения az, ххг и хуг принять равными нулю.

Решение граничных задач для уравнения A.10) с
учетом условий A.6) или A.15) позволит определить
напряженно-деформированное состояние и бесконечного
многосвязного цилиндра (плоская деформация). При этом в
каждой точке цилиндра существует плоскость упругой
симметрии, нормальная к его геометрической оси, а внешние
усилия, приложенные к цилиндру, нормальны к образующей
цилиндра и не меняются вдоль нее. В отличие от пластинки
в цилиндре определяются не осредненные, а истинные
напряжения и деформации. В уравнении A.10) коэффициенты
деформации ац заменяются на Р;/, выражения для котсн
рых имеют вид [ 54]
"Р'/ = */--¥2- (/,/=1,2,6). A.16)
3
Напряжения аХУ ау, и тху по-прежнему определяются
по формулам A.8); тхг и %иг принимаются равными нулю,
а вг вычисляется из соотношения
°z = — -J- (ais°x + <hPy + <h**xy). A.17)
3
При определении величин гх, гу и уху для плоской
деформации в формулах A.2) коэффициенты ац следует
заменить на Pi/, а компоненты е2, уу2, ухг принять равными
нулю.
Перемещения и и v, возникающие как в пластинке, так
и в цилиндре, находятся из уравнений A.3) путем их
интегрирования, а перемещение w в случае плоской деформации
равно нулю.
Следовательно, решение задачи теории упругости для
некоторой пластинки позволяет элементарным путем
найти решение для соответствующего цилиндра. Поэтому
в дальнейшем будем определять напряженное состояние
только анизотропных пластинок.
§2.
Выражение функции напряжений через
комплексные потенциалы С. Г. Лехницкого
Функция напряжений F, как это установлено в § 1,
удовлетворяет неоднородному уравнению A.10).
Нахождение частного решения этого уравнения, зависящего от
вида функции (/, как правило, затруднений не
представляет.
10

Найдем общее решение однородного уравнения
d*F 9 d*F ,(Су &F
а22 дх* ~~ M™~dxW + №г + а**> дхЧу* ~
-^W + ^IF-0- AЛ8)
Следуя С. Г. Лехницкому [54], запишем уравнение A.18)
в операторной форме:
ВДВД^ == 0> A.19)
где Dk(k= 1,4) — операторы С. Г. Лехницкого. Они
имеют вид
Здесь \xti — константы.
Подставим выражения A.20) в уравнение A.19) и
проведем дифференцирование. Получим
d*F d*F
+ (Hih + \h\h + ИЧ + №з + ^Ш + МиИ*) дх*ьу% —
d4F
— (\h.V*V* + ^i№4 + №lM^4 + ИчИяИЛ foggj- +
d4.F
+ ^1^2^3^4-^Г=0. A.21)
Уравнения A.18) и A.21) будут совпадать, если
МЧИ* + 1*11*2^4 + Hlftrf^ + M*H*I*4 = 2 "ff" »
цхц2 + №з + 1*11*4 + 1ОД + hsH-4 + №*4 =
A.22)
Oil
l*i + H» + P* +14 = 2-21*-.
а11
В этом случае согласно теореме Виета коэффициенты
\xk должны быть корнями алгебраического уравнения вида
fluji4 — 2а16|л3 + Bа12 + а66) р,2 — 2а26^ + а22 = 0. A.23)
С. Г. Лехницкий установил, что для реальных
анизотропных материалов коэффициенты pfc (k = 1,4) могут быть
И

либо комплексными, либо чисто мнимыми [53]. Рассмотрим
случай, когда \хк Ф \\t при k Ф i:
Н = ах + фг; \i2 = а2 + ф2;
. •« . -а (I-24)
hi = «з + Ф3; 1^4 = «4 + Ф4-
Коэффициенты уравнения A.18) являются
вещественными. Поэтому два из корней A.24) будут комплексно
сопряженными двум другим. Примем
^з = Mi = «1 — Фг\ УЧ = h, = ос2 — ф2. A.25)
Для получения общего решения уравнения A.19)
заменим его 'следующей системой:
D±F = ф3; £>3Фз = Фг; Ц*Ф2 = <Pi5 ^1Ф1 = 0. A.26)
Последнее уравнение системы A.26) в развернутом виде
выразится так:
-$P~h-£.-0. (..27)
Общее решение однородного уравнения A.27)
представляет собой произвольную функцию от первого
интеграла характеристического уравнения
4- = -^-. A-28)
Проинтегрировав уравнение A.28), получим первый
интеграл
c1 = x + \i1y. A.29)
Следовательно,
Фх =#(*,) =/7 (* + |*tf)- A.30)
В формуле A.30) для удобства произвольная функция
взята в виде третьей производной функции Д по
переменной х + \1гу. Учитывая формулу A.30), из третьего
уравнения системы A.26) получаем
Решение неоднородного уравнения A.31) будем искать
в виде
Ф2 = Ф20 + Ф21»
где ф20 — общее решение однородного уравнения
^--Ц2^ = 0; A.32)
12

Ф21 — частное решение уравнения A.31). Его выберем в
следующем виде:
Ф21 = ЛЫ* + ^(/), A.33)
где А — постоянная величина.
Подставим выражение A.33) в уравнение A.31) и
приравняем коэффициенты при произвольных функциях
/i (х + УчУ)- Тогда коэффициент А примет следующее
значение:
Л-0А1-1ЧГ1. A.34)
Общее решение уравнения A.32) находится так же, как
и решение уравнения A.27):
Ф20 = Ы* + Ш^). (Ь35)
Таким образом,
ф2 = „ 1 .. h (х + \ЧУ) + h(x+ м). A.36)
fXx — |Л2
Решение второго и первого уравнений A.26) находится
аналогичным образом:
ф8~ ои-^оч-ц.) + ш-и, + '»<* + "** 0-37)
J7 = /l (* + Ц1У) , /2 (* + И*У) .
(И-i — М'г) (М-1 — Цз) (M-i — И4> (\^2 — М-з) (^2 — ^)
+ /3tf + u3J/) + M* + Mfl- A-38)
М-з — М4
Приняв новые обозначения, будем иметь
F = F1(x + ^y) + F2 (x + fx2y) +
+ F3 (x + м) + F,(x + w). A.39)
Аргументы х + \iky являются обобщенными
комплексными переменными.
Функцию напряжений F (х, у) с точностью до
несущественной постоянной можно считать вещественной, так как
через ее вторые производные выражаются напряжения, а
через первые — перемещения, вещественные по
физическому смыслу. Поэтому
F* (* + УгУ) = FX(X + УгУ)\
13

Следовательно,
F= 2 Re 2 F, (*,•), A.41)
где
z, = x + \ify = xi + и/, (/ = 1, 2). A.42)
В областях изменения x,- и #, переменные zj являются
обычными комплексными переменными.
§ з.
Выражение напряжений и перемещений
через потенциалы С. Г. Лехницкого.
Граничные условия для комплексных
потенциалов
Если объемными силами X и Y пренебречь, то
потенциал U будет равен нулю. Для этого случая, подставив
выражение A.41) в соотношение A.8), получим [54]
ox=2Re[li2lO\(z1)+lil02(z2)];
o^2Re[Ol(z1) + ^2(z2)]; A.43)
тху = — 2 Re [|xx<Di (zx) + 1х2Ф2 (z2)],
где
ф/(*/>=-^ ф'>^-^-- о-44)
Для выражения перемещений через комплексные
потенциалы подставим в уравнения закона Гука A.2)
соотношения A.3) и A.43). Получим
^L^2Re[p1Ol(zl) + P,02(z2)];
-|- = 2 Re [9lMl(D; (zx) + q&2QJ2 (г2)]; A.45)
dv , du
дх ' ду
^=2Re[r^(z1)+^(z2)],
где
9/ = ai2^/ + ^Г1 — ад A.46)
ri = ЯмНу + я2е ~ ^веМ'/-
14

Проинтегрируем первое уравнение A.45) по х, а
второе — по у. Будем иметь
и = 2Re [рхФг (гг) + р2Ф2 (г2)] + fx (у);
v = 2Re [^1Ф1 (гг) + <?2Ф2 (га)] + /2 (х). ( ' }
Для определения произвольных функций Д (у) и /2 (я)
подставим выражения A.47) в третье уравнение A.45).
Получим
/1 (У) + /2 (х) = 2Re 2 (*у - ц,р, - ?,) О) (z,). A.48)
1 = 1
Но // — \ijpj — qj = 0, так как это выражение в
развернутом виде с точностью до множителя \i} совпадает с левой
частью уравнения A.23). Таким образом, уравнение A.48)
стало однородным. В нем функция f\ зависит от уу а /2 —
от х. Это возможно только при условии, что
/,0/) = -ю; Ы*)=<о, A-49)
где о — константа.
Проинтегрировав уравнения A.49), получим
h (У) = — cot/ + и0; f2 (х) = сох + ц>. A.50)
Здесь «Оио0 — произвольные постоянные,
характеризующие перемещения всей пластинки как твердого тела в
направлениях осей х и у\ со — угол поворота пластинки.
Если при деформации хотя бы элементарная площадка
пластинки не может ни поворачиваться, ни перемещаться,
то и0 = vQ = со = 0 и выражения A.47) принимают вид
и = 2Re [р.Ф, (г±) + р2Ф3 (z2)];
v=2Re[q^1(z1) + q202(z2)]. AЛ1)
Если на краю пластинки заданы внешние усилия,
граничные условия A.15) для определения комплексных
потенциалов выразятся следующим образом:
s
2Re [Фг (У + Ф2 (у ] = - J K„ds = /х;
A.52)
2Re [^Фх (^ + ц2Ф2 (д] = { Xnds = f2.
6
Здесь tj — аффиксы точек контуров в областях
изменения переменных z;.
J5

Если на краю пластинки заданы перемещения «* и v*9
то на основании формул A.51) граничные условия A.6)
уд ,,1,11 выразятся так:
2Re{pl<X>l(t1)+p202(t2)] = u*;
2Re[q1<D1(t1) + q2<X>2(t2)] = v*.
A.53)
При нахождении функций
Ф/ (zi) (/ = 1» 2) из
граничных условий A.52) или A.53)
следует иметь в виду, что эти
функции определены не в
области 5, а в областях 5/,
получающихся из S (рис; 1.2)
путем некоторых аффинных
преобразований [54]. Эти
преобразования получаются на
основании формул A.24) и A.42), из которых следует, что
Xj = x + а,у; у f = р7у. A.54)
Рис. 1.2
§4,
Вид комплексных потенциалов
для многосвязных областей
При учете объемных сил основную систему
уравнений плоской теории упругости удобно выписывать в
напряжениях. Эта система будет состоять из уравнений A.1)
и A.55). Уравнение A.55) получается при подстановке
соотношения A.2) в условие совместности A.7):
+ а™ дхду + а±
ду2
а
+ 0-
22 дх*
П2
+
дН
ху
lb '
дхду ) + й™
\ ду
Уравнения A.1) запишем так
дох
дх
д*т
ху
д2ох , д2од
дх*
д2о,
+
дх2
дхду
ду*
£) =0.A.55)
дх
Ay l An '
дт
ху
, fog = _ у
A.56)
ду ' дх
Решение неоднородной системы A.55), A.56) обычно
ищут в виде
ох = оУ+о?;
т<1)
т<2>.
Л1)
& A-57)
16

Здесь функции а[1\ а^] и т^ представляют собой какое-
нибудь частное решение рассматриваемой неоднородной
системы, а а{х\ af} и х% — общее решение соответствующей
однородной системы. Напряжения ах , ву и тХу и
соответствующие им перемещения иг и vx находятся по
заданным функциям X и Y. Напряжения а(х\ <rL2) и т*,}
выражаются через комплексные
потенциалы С. Г. Лехницкого
по формулам A.43), а
соответствующие им перемещения и2
и v2 — по формулам A.51).
Выясним характер
многозначности комплексных
потенциалов Ф, (Zf) для
анизотропной пластинки с N
отверстиями, рассмотренной в § 1.
Проведем в пластинке
около контура Lk (k = 1, N)
другой произвольный контур L^ целиком охватывающий Lk
(рис. 1.3). Часть пластинки S*, ограниченная данными
контурами, должна находиться в равновесии. Уравнения
равновесия этой части пластинки будут такими:
Рхк + $ Xnds + J j Xdxdy = О,
A.58)
Рис. 1.3.
Pyk + Ф Ynds + Ydxdy = 0;
Mk + §[(x-xk)Yn-(y-yk)Xn]ds +
+ ^[(x-xk)Y-(y-yk)X]ds=0.
A.59)
Здесь PXky Pyk — составляющие главного вектора
внешних усилий, действующих на контуре Ьк\ Мк — главный
момент этих усилий; Хю Yп — проекции на оси
координат х и у внутренних усилий, действующих на контуре
Lk (они связаны с напряжениями, возникающими в этих
точках, соотношениями A.4); xkt 4^ — координаты точки,
находящейся внутри контура Lk.
17

Контурные интегралы, входящие в уравнения A.58),
представим так:
(J) Xnds = Jn + У1а; j> Ynds = Jn + У22, A.60)
где
Jlr = §(oVdy-T{?ydx);
с ^ A.61)
(р(т^-4Л)^) (r=l, 2).
^1
uk
Здесь для направляющих косинусов учтены формулы A.14).
Напряжения вх\ в{у\ t*J удовлетворяют уравнениям
A.56). Поэтому двойные интегралы, входящие в эти
уравнения, можно представить в виде
С С С С ( до{1) дт{1) \
j, = ]\xdxdy = -\\[-£- + ^-)dxdyi
s'k s'k
Jt = j J Ydxdy = - J J (if- + Щ-) dxdy.
A.62)
На основании формулы Грина будем иметь
У3 = J (o^dy - T$dx) - f (оУёу-тУуйх);
4 L'
г A-63)
Л= 1 i^ldy-^dx)- \ fr^dy-o^dx).
uk
Подставим выражения A.61) и A.63) в уравнения A.58).
Получим
J (ofdy-%fldx)=-Plk;
с A-64)
] i??ydy-ofdx) = -Plk.
h
Здесь
Рй«^** + ^; Plk = P»k + P(yl A.65)
18

При этом
L* A.66)
Pfk = \(T%dy-ofdx).
Ч
Выражения A.66) можно понимать как составляющие
главного вектора фиктивных усилий, вызванных
напряжениями а[1), а{у\ %(ху, которые представляют собой
частное решение системы A.55), A.56).
Так как напряжения ст*2>, а1®, х% выражаются через
комплексные потенциалы Ф, (z;), то соотношения A.64)
на основании формул A.43) можно представить так:
S J [Ц/Ф'/ (г7) dZi + |1/Ф; (г,) Щ = - Рк;
2 „
23 J ^i(z)dzi + o'l(zi)dzj]^p;k
/=Ч
A.67)
**•
Обозначим через Д/& приращения функций Ф/ (zj) при
полных обходах контуров Ь)и в положительных
направлениях.
Тогда для определения А^ из формул A.67), в левых
частях которых выписаны полные дифференциалы
функций Фу (г,-) и Ф/ (гу-), получим следующие уравнения:
A.68)
Ai* + А,* + А2* + &2k = Р^;
Из условия однозначности перемещений следует, что их
приращения при полном обходе по контурам L7* равны
нулю.
Перемещения их и vl9 соответствующие частному
решению уравнений A.55), A.56), при полном обходе по
контуру Lk не изменяются. Остаются без изменения также
перемещения и2 и v2> Поэтому на основании формул A.51)
получим
pxAi* + pxK]k + р2Д2/г + p2K2k = 0;
A.Ь9)
q^ik + q^ik + q-Azk + ?2Д2/е = 0.
19

A.70)
Подставим в уравнения A.69) pf и q}- из соотношений
A.46). Учитывая равенства A.68), получаем
—- Aife + — Aift + — Д2* + ^- Д2* =
^1 jLlx Г 2 JLt2
= -г— (^12^ + (*2apvk)'
2
Для неравных параметров \if определитель системы
A.68), A.70) отличен от нуля [54]. Поэтому алгебраическая
система A.70) имеет единственное решение. Пусть
Д/Л= 2niMjk. A.71)
Тогда функции Ф/ (г,-) можно представить так:
n
Ф/ (*,) = 2 ЛГ/Л In (г,- - г,*) + Ф/ (г,). A.72)
Здесь ф/ (Zj) —функции, голоморфные в областях 5/,
a Zjk — произвольные точки внутри контуров Ly-*.
Постоянные коэффициенты Mjk определяются из
алгебраической системы, которая получается при подстановке
выражений A.71) в уравнения A.68) и A.70):
Mik — M{k + M2k - M2k = -±-Pl$
\jLXMik — niAfiA + ^M2k — ii2M2k = — -g^- ^k
(ifiWi* — \?\M\k + \&M2k — \iffi2k =
И-1 JUj И2 jLl2
(а12Я^ + a26P*jk).
A.73)
Условия однозначности напряжений будут выполнены,
так как из выражений A.72) следует, что функции Ф/(г,-),
через которые по формулам A.43) выражаются
напряжения, в областях Sj являются голоморфными.
20

Если объемные силы при решении конкретных задач
не учитываются, то Plk = PXk\ Рук = Pyk- Для этого
случая формулы A.72) и A.73) впервые были получены
С. Г. Лехницким [54].
Рассмотрим уравнения равновесия A.59). Пусть
§ К*-xk) Yn-(y- yk) Xn] ds = J31 + </32, A.74)
L'k
где
h* = $[(* — **) (%Vydy - o{?dx) +
К
+ (У~ Ук) (jVydx - aVdy)] (r = 1, 2). A.75}
Учитывая, что напряжения a{x\ Gy2\ x% выражаются
через комплексные потенциалы Ф, (zj) по формулам A.43),
a Zjk = xk + \х}ук, соотношение A.75) преобразуем так:
JS2 = - 2 Ф [(*/ - zJk) Ф) (zj) dzj +
+ (zj^zfk)Wl(zj)dz}]. A.76)
Проинтегрировав выражение A.76) по частям, получим
h<i = Si* + b\k + б2^ + Ъ2к — [(^ — Z\k) Ai/г +
+ (^ — ~Zxk) Дlfe + (z2 — Z2fe) Д2* + Bа — ~Z2k) A2fe]. A.77)
Здесь bjk — приращение функции
ТД*,) =={<!>, (*,)&,, A.78)
которое она получает при полном обходе по контуру L^.
Пусть Njk — вычет функции фу B/) относительно точки
г/k. В этом случае после интегрирования выражения A.72)
получим
N
Y/ (Zj) = 2 [Mjk (г, - г,к) + Nik] In (г, - z/fc) + ¥,. (г,), A.79)
где Y/ (г/) — функция, голоморфная в области S/.
Из представления функции A.79) следует, что
введенные ранее приращения 6;* имеют вид
6,* - 2ш [iV/jk + Mjk (Zj - zfk)]. A.80)
21

Подставим выражения A.78) и A.80) в формулу A.77).
После простых преобразований получим
Jn = 2ni(Nik — Nik + Nak — N2k). A.81)
Выражение двойного интеграла, входящего в
уравнение*'равновесия A.59), аналогичным образом можно
привести к виду
J j l(x -xk)Y-(y- yk) X] dxdy = Mi" - У81. A.82)
Здесь
M" = <£[(*- xk) т£> -(у- ук) of] dy -
h
-§\{x- xk) of -{y- yk) x%\ dx. A.83)
h
При получении соотношения A.82) были использованы
тождества
и произведен переход к контурным интегралам по формуле
Грина.
Учитывая выражение A.81), на основании
представлений функций A.75) и A.82) из формулы A.69) получаем
Nlk - Nik + N2k -N2k = -±u (Mk + Mi\ A.85)
Следовательно, вычеты функций <р/ B/), входящих в
представления A.72), не являются произвольными. Они
связаны соотношением A.85), что необходимо учитывать
при решении конкретных задач.
22

Глава II
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИНКИ
С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ
§ 1.
Построение решения
Рассмотрим пластинку, ослабленную
эллиптическим отверстием, полуоси которого а и Ь значительно меньше
других линейных размеров пластинки. При этом внешний
контур пластинки удален от отверстия настолько, что
последнее не оказывает
существенного влияния на ее
напряженное состояние вблизи контура.
Такую пластинку принято
называть бесконечной.
К точкам контура отверстия
приложены внешние усилия Хт
У„(рис. 2.1). Главный вектор и
главный момент внешних усилий
примем равными нулю.
Для определения напряженного состояния такой
пластинки необходимо из граничных условий A.52) найти
функции Фу (г,), через которые напряжения, возникающие
в пластинке, выразятся по формулам A.43).
Представим граничные условия A.52) в следующем виде:
(w — Н7+0 ф/ С/) + (i*i — w+i) ф1 (*i) + (и* — ня-0 ф2 ik) =
s
= J (Xn + \iJ+iYn) ds = (\ij — [i/+1) // (x, y).
6
Здесь и в дальнейшем принято, что значение индекса / + 1
при / = 2 равно единице.
Граничные условия можно представить в такой форме:
Ф/ (*/) + 1,ФМ + n/OjzJ - /,- (*, у), B.1)
где
1 Н7--И7+1 ' ' И/ — М-/+1
Функции Ф/ (Zj) определены в областях S/, которые
получаются из заданной области 5 аффинными
преобразованиями A.54). При этом эллиптическому контуру L в
областях Sj соответствуют некоторые эллипсы L/, полу-
23

чающиеся из L растяжением (сжатием) и поворотом
относительно осей. На рис. 2.2 [77] показаны формы эллипсов
в областях 5, S}.
Отобразим конформно внешность единичного круга у
на внешности эллипсов L и L}. Отображающие функции
соответственно имеют следующий вид [54]:
2=<о(С) =
A]z ^-j г,
a S
2 * ' 2
<*>/16/) — 2 ^ ~1 5 ~>
B.2)
B.3)
Рассмотрим произвольную
точку Л, находящуюся на
эллипсе L (рис. 2.2, а). Ее аффикс
обозначим через
. /ч а-\-Ь . а — Ъ —\
t=a(o)= —f-o H — а ,
B.4)
где а — аффикс' точки на
контуре единичной окружности.
рис. 2.2 Поэтому а = ete= cos 6 + i sin 0.
При аффинном
преобразовании A.54) точка Л в областях S, перейдет в точки Л/
(рис. 2.2,6, в). Аффиксы точек Л/ на основании формул
A.54) и B.4) будут такими:
tj = xt + iy, = x + (a/ + ф/) у == х + \ijy =
а — i\ijb
а +
a±j}4b-\
2 ' 2
Здесь учтено, что для точек контура эллипса L
y^bsinQ^^r{a--L
B.5)
B.6)
При использовании конформных отображений B.3)
аффиксы точек Л, будут иметь вид
'/ =
а — i[ijb
°i +
а + i[ijb —i
B.7)
Сравнивая между собой выражения B.5) и B.7), видим,
что а/ = а, точкам контуров L и L/, находящимся в аффин-
24

ном соответствии, на контуре 7 соответствует одна точка.
Поэтому
Ф/(^) = Ф/К(а)] = Ф;(а). B.8)
Граничные условия B.1) примут вид
Ф/? (о) = - //ФГ (о) - ЩФ1 (о) + /,. B.9)
Умножим обе части граничного условия B.9) на
1 do г*
—__ и проинтегрируем по контуру 7' Будем иметь
[541°
V
При вычислении интегралов типа Коши были
использованы основные правила, описанные в монографии
Н. И. Мусхелишвили [70].
§2.
Частные случаи напряженного состояния
пластинки с эллиптическим отверстием
Растяжение пластинки
Пусть пластинка с эллиптическим отверстием,
главные направления упругости для которой совпадают с
направлениями осей отверстия, растягивается усилиями
интенсивности р (рис. 2.3). В этом случае в сплошной
пластинке
ох=р; о°„ = тху = 0. B.11)
На контуре воображаемого эллиптического отверстия»
которое возникнет в пластинке, проекции внешних усилий
на оси х и у будут согласно формулам A.4) и A.14) равны
v° ^° dy J> dx n ty .
An-°x-dr~Txy-w-p~w
B.12)
yo _ о dy о dx __ n
Образование в загруженной пластинке эллиптического
отверстия равносильно приложению к его контуру усилий
У- Y° - n dy - Y° — К0 - 0
25

При этом к первому полю напряжений B.11) добавится
второе поле, возникшее в пластинке за счет появления в ней
отверстия. Для определения второго поля нужно найти
функции Ф/ (Zf) из граничных условий B.1) при
Подставим выражения B.13) в
формулу B.10) и проведем интегрирование.
Получим
ф; «/) = ■
где
ал = — а0
рЬ
2/ (цх — \\2)
B.14)
B.15)
Рис. 2.3
Выражения для функций Фу (£/)
были впервые получены С. Г. Лехниц-
ким [54] для более общего случая,
когда пластинка растягивается под
произвольным углом к большой оси
эллиптического отверстия. При
построении решения использовали метод
рядов. Позднее эта же задача была
решена Г. Н. Савиным [76] методом, основанным на
применении формулы Шварца.
С помощью функции B.14) по формулам A.43) можно
найти второе поле напряжений, которое в совокупности
с первым B.11) определит напряженное состояние
рассматриваемой пластинки.
Рассмотрим ортотропную пластинку, главные
направления упругости которой совпадают с направлениями осей
эллиптического отверстия. Для многих ортотропных
материалов [54, 76] параметры |Х/ являются чисто мнимыми:
Ц/=Ф/. B.16)
Равенство B.16) будем использовать при рассмотрении
всех конкретных пластин в рамках плоской задачи.
Определяя напряжения вблизи контура
эллиптического отверстия, где возникает их концентрация, следует
учитывать, что
or + oq = gq = ox + ау = о°х + о у +
+ 2Rei A-Р^Ф;1 (a):-g-.
B.17)
£6

Здесь
а! . ^ „ РЬ
ф;и = -^; ^i = —^2- 2{p2_Pi) >
■S-^^l1—3-): </-*/("+-f"): BЛ8)
о _ аA+М . 6 . _ l^p/c
*/- 2 ' C~~> m/ ~ i + P/C •
Напряжения а, действуют на площадках, касательных к
контуру эллиптического отверстия, а (Те — на
площадках, нормальных к нему. В рассматриваемой пластинке
эллиптическое отверстие свободно от действия внешних
нагрузок. Поэтому аг = О, a ar + oq = его.
Выражение B.17) на основании формул B.18)
преобразуем к виду
? 1_п2
ae/p^l+24-в- В -f-(cos28-m/). B.19)
Здесь и в дальнейшем считаем, что
L0/ - 1 — 2m, cos 29 + т). B.20)
При 8 = 0 и 6 = я/2 формула B.19) существенно
упрощается. В этих точках имеем
(а9/р)е=о=—р^-; (°е/р)в _ ^ = 1 +-^^ • B21>
На рис. 2.3 изображен график, характеризующий
изменение напряжений (Те по контуру эллиптического
отверстия. Сплошная линия соответствует случаю, когда пластинка
изготовлена из фанеры фг = 4,11; |32 = 0,343), а
пунктирная — когда материал пластинки является
изотропным (Рх = р2 = !)• Отношение полуосей эллиптического
отверстия принято равным двум.
Из приведенного рисунка видно, что максимальное
значение напряжения <7е принимают в точках, для которых
в = я/2 и 6 « Зя/2.
Чистый изгиб пластинки
Пусть пластинка изгибается моментами интенсивности
М таким образом, как это указано на рис. 2.4. В сплошной
пластинке [54]
о М о о л
вх = — у\ оу = хху = 0.
Здесь J— момент инерции поперечного сечения пластинки.
27

В данном случае формулы B.12) примут вид
Я = $-у-%-, Я = 0. B.22)
Таким же путем, как и раньше, найдем
у
а\
Mb2
fx=-h=* sJfr-M (°2 +
у i +-~, 2). B.23)
Г|М( C!D TJM Из выражения B.10) после интег-
' рирования будем иметь
м/1 где
ФНС/) = ^, B.24)
A*1=-M2 = . М*
u/
8У (м-1 — М-2)
Рис. 2.4 Формула для вычисления напряжений
(То получается такой:
2
й2
ае== sine + 2-R7iTfi—-тт^-—х
g P/ — P/+1 * + Р/ L0/
/:
X [sin 9 (cos 26 — mjj + cos 6 sin 29] . B.25)
Для точек 0 = 0 и G = я/2 имеем [54]
(ае)е=о = 0; «»),_ „ = *» (l + ±±Ь.).
На рис. 2.4 приведены графики, аналогичные
изображенным на рис. 2.3.
Задача для произвольного расположения в пластинке
эллиптического отверстия решена методом рядов С. Г. Лех-
ницким [54] и методом, основанным на использовании
формулы Шварца,— Г. Н. Савиным [77].
§ 3.
Действие сосредоточенных силы и момента
в пластинке с эллиптическим отверстием
Если в некоторой точке zQ пластинки с
эллиптическим отверстием L действует сосредоточенная сила Р, то
28

комплексные потенциалы A.72) принимают вид [771
Ф} (Zi) = М, In (г, — г/о) + Ф/о B,-), B.26)
где М/—коэффициенты, определяемые из системы A.73);
2/о — точки, получаемые из z0 при аффинных
преобразованиях A.54); Ф/о (г;) — функции, голоморфные вне
эллипсов L/, соответствующих контуру L.
Используя конформное отображение B.3) внешности
единичного круга на внешности L/, получаем
Ф; U = M, In (С/ - С/о) + Ф/о«,). B.27)
Здесь Ф;*0 (С/) — функции, голоморфные вне единичного
круга в областях £,-; С/о — точки, соответствующие
точкам 2/0 при конформном отображении.
Подставив выражения B.27) в граничные условия B.1),
получим
Ф;0 (о) + //ФГо(а) + Д/Ф2о(а) =
1 —Ста
= — Mj In (а —С/о) — Z/iW! In ■
где
•7i/M2ln *' £2°q , B.28)
*7 — ~ггг л • / —
Применяя метод интегралов типа Коши, как и в § 2,
находим
ф;0 (Г) = _ ш In ^у1 _ П/м In ^" .
У У
Следовательно,
Ф; ft,) = Mf In (СУ - С/о) - 1,Мг In iib|TLL _
— пМ2\п-Щ^-. B.29)
у
Если сосредоточенная сила приложена в точке аг
контура отверстия, то С/о = стх; С/о = orf1. При этом выражение
B.29) примет вид
Ф/ (С/) = М/ In (С; - о±) - AД, + п}М2) In -&z£k,. B.30)
29

После определения комплексных потенциалов B.27)
напряжения, возникающие в пластинке, находятся по
формулам A.43).
Пусть адастинка изготовлена из ортотропного
материала, а главные направления упругости совпадают с осями
эллипса. Сосредоточенная сила Р действует в точке
вещественной оси и направлена так, как это показано на рис. 2.5.
Тогда
_ g22ft/ — ai2P/ft/4-i Р
м,
ЪжЩ-tf+l)
4я
Для этого случая на рис. 2.5 изображен график
распределения напряжений аз около контура кругового отверстия.
Причем пластинка
считалась изготовленной из
авиационной фанеры
(Pi = 4,11; р2 = 0,343),
а сила Р была приложена
на расстоянии одного
радиуса от контура
отверстия. Пунктирная
линия относится к случаю,
когда пластинка
изготовлена из изотропного
материала. Как следует из
графика, наибольшего
значения напряжения Oq
достигают в точке контура Л, находящейся на самом
близком расстоянии от точки приложения силы.
Концентрация напряжений в точке А резко возрастает
при Ыа -> 0. Если же Ыа -> оо, то концентрация
напряжений в этой точке, начиная с Ыа = 1, практически не
меняется.
Аналогично решению задачи о действии
сосредоточенной силы получается решение для случая действия
сосредоточенного момента М в некоторой точке z0. Комплексные
потенциалы при этом имеют вид
Рис. 2.5
Ф/(*/) = -
М{\ + *>/+1)A — ¥}) 1
8л (щ — ji/+1)
-L— + Ol0(zJ). B.31)
*/ ~- z/o
В областях £/ имеем
Ф
/иУ) = ф;«/)=-5Д^+Фя)(у.
B.32)
30

где Ф*о (£,■) — функции, голоморфные вне единичного
круга;
МA + <>/+1)A-ф;) §
N, = -
8я (щ — ц/+1) R, (£/0 — mj)
Подставим выражения B.32) в граничные условия B.1)
и применим метод интегралов типа Коши. Получим
Ф^(£/) = -^1
■п,-М,
1 * 1-C/S»
fe/WO
B.33)
1 - Шо
Окончательно для функций B.32) будем иметь
э/ t/0 1 — ^1ю i —
Если сосредоточенный момент действует в точке контура
отверстия, то t/o = аг = [£/оГ"\ a
ф; (w = tt^v - т+пд> ^-. B.34)
После определения функций Ф/ (zj) напряжения
находятся по формулам A.43).
Задачи о действии сосредоточенных силы и момента
впервые были рассмотрены Д. В. Грилицким [77].
§ 4.
Частные случаи напряженного состояния балки
с эллиптическим отверстием
Изгиб поперечной силой плоской консоли
Рассмотрим ортотропную пластинку, у которой
одна из коротких сторон жестко защемлена, а вблизи
другой действуют изгибающие пластинку усилия,
равнодействующая которых равна Р. Длина пластинки — /, а
ширина — t <^ /. Пластинка ослаблена эллиптическим
отверстием, центр которого находится на оси х на 'расстоянии /0
от начала координат (рис. 2.6).
р
А
П
*
У
т
1 •**""
1 с
\м 1о Р
t
^
|
Р »
р х
g
.К4
^
Я Рфоо;
Рис. 2.6
у| Pb2/I0001
31

В пластинке без отверстия возникают следующие
напряжения [54]:
о°х = — — ху\ а°у = 0;
Tjc/y —
Р
2/
(ГГ-У2). B.35)
Поэтому в точках контура L
Я = •
Р__
J
, i / р %\dx
р
2J
B.36)
Описануым в § 2 методом найдем
•fw-wifcW£-'+M£-i)]£+
B.37)
4W(p/-p/+1)
6/0 _1_ Р/+1 + 3ci
5-2 ~г ?3
+
Здесь
2/
а
Напряжения а,>, возникающие в пластинке вблизи
эллиптического отверстия, вычисляются по формуле
а0 =
РЬ*
+ c1cos0jsin0 +
+ *1
0-Р/)
Здесь
^ 48(p/-p/+I) L0/J
B.38)
L; = -^ {[ 12 -^- cosB + 3 (Р/+1 + 3cJ cos20 +
+ Mi-i + pw(^-f)]
sin 26 +
+
12 -f- sin 9 + 3 (P/+1 + 3q) sin 20 (cos 20 — m,) . B.39)
На рис. 2.6 приведены графики изменения
напряжений ere, аналогичные изображенным на рис. 2.3. Эти
графики относятся к случаю, когда отверстие является
эллиптическим (а : Ъ = 2 : 1) и круговым (а = Ь = 1).
Параметры балки следующие: I = 1006, t = 25 6, /0 = 50 6.
32

Изгиб плоской балки под действием равномерно
распределенных усилий
Жестко защемленная балка. Ортотроп-
ная плоская балка в центральной части ослаблена
эллиптическим отверстием. Ширина балки равна /, длина — 2/,
толщина — h. Короткие стороны балки жестко
защемлены; к ее верхней длинной стороне приложены равномерно
распределенные усилия интенсивности q (рис. 2.7).
4-
<
/
ъ
}}
J
Л
шш\шшишннн
\ Са~-^
А—- -
1 1
У
1
'
ь
Н
§
Г*
<
0
/ ^v^\
п
. Г
)
^.^^
л.,
Рис. 2.7
В сплошной балке напряжения имеют вид [54]
°х- 2ft
U^^W-^y
rfi- i_ I
Функции Ф/ (£;) получаются такими:
ф/(£/) = *#/2 «
Здесь
-л
d/2
to
;2а2 b I 2a-
64/
8№
1 ^ ft '' *2
+ —Р'+ЧТбТ"
dfl = "IF P/+i;
3
Ш
62
hi*
B.40)
B.41)
B.42)
2 6-1539
33

о- d,- аЧг i fe4 Ba» + a«A i
ab3
Напряжения, возникающие вблизи контура
эллиптического отверстия, вычисляются по формуле
ae/,=-^cos2esine+^[^f2-^±^_l)sin3e +
36
+ -^sin0 — l — 2L7,
B.43)
где
£*/
ьо/
{id/i (cos 20 — mf) +
+ 2d/2 [(cos 29 — my) sin 6 + sin 20 cos 0] +
+ 44/4 [(cos 20 — m,) sin 30 + sin 20 cos 30]}. B.44)
6a
пшшшшшш
c^-
yt
Рис. 2.8
На рис. 2.7 приведены графики изменения напряжений
<Те, аналогичные изображенным на рис. 2.6.
Свободно опертая балка. Пусть
рассматриваемая балка шарнирно оперта на торцах (рис. 2.8).
В этом случае напряжения а°у и %°ху определяются по
формулам B.40), а [54]
В формулах B.41) коэффициенты B.42) остаются без
изменений, за исключением d/г, которые вычисляются из соот-
34

ношении
ы'2~~ 64J 8 [ 27 10ft/ I flu /J 8/i/3 I au /"*"*
+ Рж-|-(-ЖГ + Ж-ж)- <2'46>
Выражения а&/д принимают вид
ае/« = ~2Т [l ~ IFcos2eisin0 +
+ w[(ls£ai-#T-",<>-x)-,,+
, 12 . Q /
Б H-2L, B.47)
На рис. 2.8 приведены графики изменения напряжений
<те, аналогичные изображенным на рис. 2.6.
Во всех рассмотренных случаях концентрация
напряжений в ортотропной балке получается большей, чем в
изотропной.
Глава III
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИНКИ
С КРИВОЛИНЕЙНЫМ ОТВЕРСТИЕМ
§ 1.
Построение приближенного решения
Пусть пластинка, рассмотренная в § 1 гл. II,
ослаблена криволинейным отверстием, отличающимся от
эллиптического (кругового). В областях S/ контур отверстия L
перейдет в контуры L/. Однако точки, находящиеся в
аффинном соответствии, переходят в разные точки на контуре
у. Это препятствует получению точного решения задачи
о напряженном состоянии рассматриваемой пластинки.
Приближенное решение впервые было найдено С. Г. Лех-
ницким [54]. Рассмотрим метод, позволяющий
контролировать точность решений проверкой удовлетворения
граничных условий [35].
Остановимся на случае, когда пластинка ослаблена
квадратным отверстием с закругленными углами. Функцию,
конформно отображающую внешность единичного круга
2*
35

на область вне квадратного отверстия, возьмем в виде
т
*=£ + -£. C.1)
При m=±-Q-Hm=±-g- кривизны в угловых
точках контура соответственно равны 4,5 и 10 [74].
Уравнение контура отверстия будет таким:
х = cos 6 + т cos 30; /g 2)
у = sin 9 — т sin 39.
Аффикс точки контура L
t = x+iy = o + -^. C.3)
В областях Sj при jx7 = фу уравнения контуров Ly
запишутся так:
Xj = х; у f = р/У. C.4)
Поэтому
</ = */ + Ч// = х + ф/у =
Здесь
Я/ = -Ц-^; */=тт|-; ° = е''9- C,6)
Следуя Л. В. Канторовичу [24], представляем аффиксы
контуров Lj в виде
t, = R,
Ot + ^L + m (mp, + 2 -^1-)], C.7)
где ay = el^i\ т0 и mfe — неизвестные постоянные
коэффициенты. Их определение проведем методом малого
параметра. В рассматриваемом случае таким параметром
является коэффициент т.
Из выражений C.5) и C.7) следует, что при т = 0 ау =
= а. Следовательно, полярные углы ify и 9 будут также
равны друг другу, если принять, что они изменяются в
пределах от нуля до 2я.
Представим угол 9 в виде ряда по степеням малого
параметра т:
00
е = ч>/ + 2т*р*у(ч>/). C.8)
fe=l
Функции ф*/ зависят от углов \|^у и подлежат определению.
36

Теперь выражение а примет вид
о = exp i Dv + тф!; + тгф1/ + •••)■ C.9)
Ряд Маклорена для функции C.9), зависящей от малого
параметра т, будет таким:
1 + »яиц,- + m2 (ир2/ — ±- <$) +•••]• (ЗЛО)
Подставим выражения C.10) в формулу C.5), сохранив
в ней члены, содержащие малый параметр т в степени, не
выше второй. Получим
+ т2
«Pi/ (о/ — */*/) + V/ + —
kl . .1 2
^- "Р2/+-7ГФ1/
-f- 3^уф1уОГ/ — Зимует/3
Функции ф1,- и ф2/ выберем в следующем виде:
ф!/ = Aiji.a-j j
V^"
°/
ф«/ = А/(о?—^)+ft/(«/—5г)-
+
(З.П)
C.12)
При условии, что в квадратных скобках выражения C.11)
отсутствуют члены, содержащие а{ в положительных
степенях, коэффициенты
2ik)\
Boi =
A\f = ikf, Л 2/ = — zi«/; £>2/ — 2
Теперь выражение C.11) станет таким:
0 tk).
C.13)
</■
^/k + ir + m(fl%'a/+ 2 tnkjajk\], C.14)
где
/no, = k2, + 2mk) A - k)); ma = k, [ 1 + 3m A - $];"
2 2 2 (o.lO)
/W3/ = A — kj) A — 2mkj)\ ты = — 3mkj A — kf).
На основании формул (ЗЛО) — (ЗЛЗ) найдем
+ m2k^__L + 2kl{a--^)]. C.16)
37

Знание выражений C.14) позволяет записать
отображающие функции внешности единичного круга на области
вне контуров Lf. Эти функции будут иметь следующий вид:
Zj=Rj'h} + ^h + tn[rno&+ i! mkjtjk)
L W >> k=\,3,... I
C.17)
Комплексные потенциалы Фу (zj) в областях Sf при
условии, что главный вектор внешних усилий,
приложенных к контуру отверстия, равен нулю, можно представить
1 L Р^
——и
так:
— <*>! B!
2-1
fe=l -1
i;c. 3.1.
ад = 24
C.18)
/г=1 ^2
При этом £у связаны с zy зависимостями C.17).
Подставим выражения C.18) в граничные условия A.52).
Будем иметь
k=\
°1
сопряженные величины) = /у,
C.19)
т \—г —<
C.20)
^ ( Pi -f- + Рг ~т — сопряженные величины) = /2.
*=i \ ai °2 /
Функции /у' зависят от загружения пластинки.
Например, если пластинка с квадратным отверстием
растягивается вдали от него усилиями р (рис. 3.1), то, как это
следует из формул B.13) и C.2),
,, = 0, к = ^.[{а-±) + т(±.
Для определения постоянных ak и Ьк следует
подставить выражения C.16) в граничные условия C.19) и
приравнять коэффициенты при одинаковых степенях а.
Количество неравных нулю искомых постоянных ак и bk
зависит как от загружения пластинки, так и от числа членов,
оставляемых в разложениях C.10). Установить
достаточность количества постоянных ак и bk можно после проверки
в большом числе точек контура отверстия точности
удовлетворения граничных условий, когда функции C.18) будут
найдены в том или другом приближении. Во всех
рассмотренных задачах допускалась погрешность, не
превышающая 1% от величины интенсивности заданной нагрузки.
38

§2.
Определение напряжений в пластинке
с криволинейным отверстием
Рассмотрим пластинку с криволинейным отверстием,
контур которого L задан уравнениями вида
х = R (cos 9 + 2j an cos n® J
у = R sin Э — 2 ans\nnQ].
\ n=\ I
C.21)
Здесь R и an — постоянные коэффициенты; М —
количество членов суммы.
Аффиксы точек контуров L/, которые возникают в
областях Sf, получаются такими:
tf = x+ ifyy = Rj
о + ^S (^пу-a n + Jt/ Pnya")
n=l
, C.22)
где
tf. = A[I+fll + p.{i_Qi)];
. _ (i-p/)atfi .
\—1
anj =
B/?,)-1 /? [1 + fll — p, A - a,)] при л = 1,
C.23)
BRjTlR(\+$fran прип>2;
Pi/ = 0; p„, = BЙ/) /? A - P,) a„ при /г > 2.
Если в выражении C.21) коэффициенты а2, а3, ..., аР
равны нулю (р <; М), то
*,- =
A — P/)gp+1#?
2Я/
C.24)
Величины X/ являются малыми параметрами. Введение
двух малых параметров целесообразно для случаев, когда
количество коэффициентов ап, входящих в уравнения
C.21), больше или равно двум.
Как и в § 1, выражения C.22) методом Л. В.
Канторовича приведем к виду
м
t, = Rt
°/ + 2 Ч-+ч *v,
п-1 °/
"/
C.25)
Коэффициенты т*п1 будут определены ниже.
Учитывая, что при X,- = 0 полярный угол 0 = ij,,
при малых значениях Xj проводим следующие разложе-
39

ния:
в = % + 2 tf<pn, (ty); ф, = в + > *,?/„, @), C.26)
где фл/ (%) и /пу @) — некоторые вещественные функции,
подлежащие определению.
На основании формул C.26) можно записать
оп = exp [in (% + Яуф1/ + Х-ф2/ + ^уфз/ + • •.)!;
C.27)
of = exp [w (9 + у„ + X2ff2j + X%j + .. 0].
Разложим выражения C.27) в ряды по малым
параметрам Xj. Ограничившись членами, содержащими А,/ в
степени, не выше третьей, получим
1 + iXjtiyij + А,/ (тф2/ — 4г Ф12/) +
f А,у Шфз/ — М2ф1/ф2/ ^ -
Ф1/
i + tV/i/ + ^H^/-^/'/ +
C.28)
Функции фру и fpi будем искать в виде
2р
Фр/ №у) = —' 2 Ллр/ (а- — а7*);
/Р/(в)=-/2я*Р/(о*-о.
л=1
C.29)
Подставим выражения C.29) в формулы C.28). Получим
C.30)
/7=0 р=1
о,в = а" + 2 di|?_pap + 2 <а-р-
р=0 р=\
Если отверстие является прямоугольным (квадратным),
то коэффициенты сЩ имеют вид
40

,(/) . ..- .,».- . C.31)
+ ^М43/ + ЛМ21/Л22/);
С%-п-2 = h,nA2\f + tfnA22j +
+ Ь/ (nA.23j - гРАщАщ - -f Al^ ;
Ct-n = — Л/ЛМ21/ - Ф/1Л21/Л22/.
Величины c^-i-2, ^;_л+4, £«,—л+б получаются
соответственно из £n;?-n-2, Cn}-n-4, c(nt-n-Q в результате замены
/г на —/г.
Выражения для коэффициентов djll можно определить
из соотношений C.31), если в последних заменить AkPJ-
на Bkph
Чтобы определить постоянные Akpj, подставим
соответствующие значения формул C.30) в выражение C.22)
и приравняем нулю коэффициенты при положительных
степенях <г,. Получим
A2\j = — Рз/; Ащ = — ai/ (p5/ — 2Рз/);
А23 = 4 (- р7/ + 9Рз/Р5/ - 13Рз/) +
+ Заз,(-Р7/+4РзуРБ/ £-рз/);
442у = -Р5/+25рз2/; C.32)
Л43/ = - ai, (р7/ - 8Рз/р5/ + 11Рзу);
Дз/ = — (р7/ — 7Рз/р5/ + — Рз/
Коэффициенты /и,*/, входящие в формулу C.25),
принимают вид
з
,= У Л)
mli,/ = Z, c&Li.iovi-Lj + ЗЛ21/ (Л21/ + Л22/);
3
1B)^
,2i~l,-iOb2i—I,/ "Г «J^21/ ^42/ — л ,с^~' -
i=0
m*Xj = S 4i-i,-ia2/_i,/ + ЗЛ21/ (Л42/ - 1,54$); C.33)
mln-\,j = X c$LiA-2n<x>2i-itf (n > 3; a_i,/ = 1).
t=0
Для определения постоянных Bkpf подставим второе
выражение разложений C.26) в первое. Получим
h [ФУ Ш + hi @I + */ [Фа/ (Ф/) + hi (8I + • • • = 0. C.34)
41

На основании формул C.29) равенство C.34)
перепишется так:
. Xj [А2ц (о2 - оу2) + В21у (а2 - а")] +
+ Ь/ [Л22/ (а/ — of2) + В22/ (а2 - о~2) +
+ A42i(o)-oy4) + B42j(o*-G-4)}+ ... =0. C.35)
Выразим в соотношениях C.35) а через (Г/, использовав
первую формулу выражения C.30), и приравняем нулю
коэффициенты при одинаковых степенях а, и Я/. Получим
#21/ ~ — ^21/; #22/ = — ^422/',
#23/ = — ^23/ — 2Л21/Л-12/ + 2Л21/',
2 C.36)
В42/ = — Ащ + 2/421/, Д*з/ = — Ащ + 4Л21/Л22/;
#63/ = — Дз/ + 6Л21/Л42/.
Знание коэффициентов 5^ позволяет по второй
формуле соотношений C.30) выразить а} через а. Полученные
разложения могут быть использованы при вычислении
напряжений в пластинке вблизи контура криволинейного
отверстия.
Формула C.25), где все коэффициенты стали известными
величинами, позволяет выписать отображающие функции
области вне единичного круга на области вне контуров
L/. Эти функции запишем в виде
оо
z, = т%Л, + У тЙ£Г*. C.37)
где
пё1Л = R; A + tyrcllf/); /я# = Rj (akj + XMj). C.38)
Как и в § 1, комплексные потенциалы Фу (zj) представим
в виде разложений C.18), где £/связаны с zy-
зависимостями C.37).
Определение коэффициентов ак и bk из граничных
условий C.19) проводится таким же образом, как и в § 1.
Напряжения, возникающие в пластинке, вычисляются по
формулам A.43).
§ з.
Растяжение пластинки
с криволинейным отверстием
Пусть пластинка с криволинейным отверстием,
главные направления упругости которой совпадают с
направлениями координатных осей, растягивается усилиями
42

р и q соответственно вдоль и поперек оси Ох. В
рассматриваемом случае в сплошной пластинке
о* = Р\ <*° = q\ t% = 0.
C.39)
Учитывая соотношения C.30), из граничных условий A.52)
или A.53) методом рядов получаем бесконечную систему
линейных алгебраических
уравнений для определения
коэффициентов ak и Ьк,
входящих в представления C.18):
CD:»
Рис. 3.2
Рис. 3.3
2 \aksn {bkP + d£L, + d#) + bks12 Fkp + £LP + dg)] = 6Pi;
*=I C.40)
2 [flfeStt Ffep + d£L* - d$) + V22 Fkp + dtl]-P - dg)] = 6p2,
где si/ = 1, S2/ = Ф;, когда отверстие не подкреплено;
Si/ = /?/, S2y = ?/ в случае подкрепления отверстия
жестким кольцом.
Правые части алгебраической системы получаются
такими:
811 = R(l+a1)T1; б12 = R (аг - 1) Г2;
6рХ = ЯарТг; 8p2 = RapT2 (р>2),
где
7\ = i40^ll "Ь ^0^12' ^2 == ^Q^2lPl + ^0^22^2
C.41)
А0 =
P + PJ9
2 (Pf — Э1)
в0 =
Р + ЩЯ
C.42)
2(Pf —P©
43

На рис. 3.2—3.5 изображены графики,
характеризующие изменение напряжений а0, когда контур отверстия
не подкреплен, и ап когда он подкреплен абсолютно
жестким ядром.
Сплошные линии графиков соответствуют случаю,
когда пластинка изготовлена из фанеры фг = 4,11; £$2 =
= 0,343), а пунктирные —
когда материал является
изотропным. Отношение полуосей
прямоугольного отверстия
принято равным двум, а
приведенные кривизны в угловых
42:
Рис. 3.5
точках как в прямоугольном, так и в квадратном
отверстиях — 15 [411-
Из рис. 3.2—3.5 видно, что максимальное значение
напряжения (Те и аг принимают в точках, близких к угловым.
В пластинке из фанеры более значительная
концентрация напряжений наблюдается в случае неподкрепленного
контура, в изотропной же — когда контур жестко под-
реплен.
Увеличение кривизны в угловых точках отверстий ведет
к росту концентрации напряжений.
§4.
Изгиб свободно опертой балки,
ослабленной криволинейным отверстием
Пусть балка, рассмотренная в § 4 гл. II, ослаблена
криволинейным отверстием. Комплексные потенциалы
Ф, B/), характеризующие поле напряжений, возникающее
44

за счет образования отверстия, представим в виде
Для определения коэффициентов al/}, ti$ (/ = 1, 2)
методом рядов получим бесконечную алгебраическую систему
линейных уравнений
со
2 [4V Fftp + dg'_p + d$) +
+ flf sn F*p + dgU + d&)I = 6Й ;
oo
2 [^Члв*,+di!U-<*&) +
+ ЙЧ, F«„ + dgU - d$)l = С;
00 C.44)
2 [ftiV («».- + dKU + dZ) +
+ 42Члб*р+42>_р + 42Р)] = бР2);
CO
2 [^4,(8* +4!L0-dl!») +
+ af]s22 Fkp + dt-p ~ di2)P)] = 8<22> .
Здесь si/ =1; S2/ = P/.
Правые части системы получаются такими:
6ii'=7V 8^ = 7^; 6^ = 6PV = 0 (/>>4);
6$ = 4Г3 + D" Т, - Л) A + 2а3) + 12Г3я3 A + а3 + at);
8$ = -T3-T5-(j-T2 + 2Т4)а3 -67\,а3B + а3 + 2а1) +
+ 2Тьа3B-За3 + 2а1);
8$ = D" Г. - П) аз + 4Т3а3 A + За3 + eg);
8$ = - 2Т3а\ C + 2а3) + 2Тьа\ A - 2а3);
8$2 = 4Г3а|; Ь\Ь = -(Г3 + Ть)аЬ
6^2 = 0 (/7=1,3, 5, 7,9, 11; />> 13);
45

№ = 4-1- <2Т4 + ЗТ«) 0 - 2аз) + 87>, Bа3 - 1 + аз) +
+ 4Т7-12Т,а1(] + 2а3)];
C.45)
^' = 4" t- 2Гь - ^ + DГ4 - 6Г6) а3 + 4Г5а32 C - 4а3) +
imtHHiimmitiii
+ 6T7al(\ + 4а3)];
6^=4-[FГ4 + 9Гв)а1 +
+ 8Г5а3A-2а3)-
— 12Г(-а1A +а|)];
8<?=-1[_47>2A-
-4а3)+2Г7а32C + 4а3)];
б(,2о!1 = -^-[-8(Г5 + Г7)а!];
fiil!i =-^13BГ5 + Г7)а|];
12
eg?, = о
Рис. 3.6
Т — ^ . Т
7l ~Т/Г ' '2
т — ч
3 — 32W3
(р= 1,3,5,7,9, 11; р>13);
6& = 0 (р>\).
Здесь
G ZVlj ' У 4 ~ 64/
т Я . rp _ q
C.46)
64/
8A*
П =
8/tf3 '
На рис. 3.6 представлены графики изменения
напряжений e$lq для случая, когда / = 100; t = 50, а половина
длины стороны отверстия я = 1 -Ь т. Сплошная линия
на графиках характеризует концентрацию напряжений
вблизи контура квадратного отверстия в анизотропной
пластинке, пунктирная — в изотропной.
46

Г л а в а IV
■^
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИНКИ
С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОТВЕРСТИЯМИ
I1-
Растяжение ортотропной пластинки
с двумя эллиптическими отверстиями
Имеем ортотропную пластинку с двумя
одинаковыми эллиптическими отверстиями, полуоси которых
обозначим через а и Ь. Расстояние между центрами отверстий
равно 21. Контуры отверстий Lx и L_i свободны от
внешних усилий, а на бесконеч- Alllliliig
ности пластинка растяги- ^ *
вается усилиями р и q coot- ^ L
ветственно вдоль и поперек (^^\
линии центров отверстий """ ^4-^ zi
(рис. 4Л). ■*• I-
Главные направления "*"iiiiiiiiioT
упругости материала плас- /> т т т 1 т т т т t '
тинки, если это не ого- Рис* 4Л
ворено, параллельны вводимым осям координат.
За счет усилий р и q в сплошной пластинке возникает
следующее поле напряжений:
о°х = р\ ol = q\ 4 = 0. D.1)
На воображаемых контурах отверстий поле напряжений
D.1) создаст усилия, проекции которых на оси х и у будут
равны
Х° = р-§-; У*—*,*-. D.2)
Снимем эти усилия с воображаемых контуров. Тогда к
полю напряжений D.1) добавится второе поле. Для его
определения необходимо решить плоскую задачу о
напряженном состоянии анизотропной пластинки с двумя
эллиптическими отверстиями, к контурам которых приложены
усилия Хп = —Хп\ Уп = — Уп> а на бесконечности
усилия отсутствуют.
Сумма указанных полей напряжений даст картину
напряженного состояния анизотропной пластинки с двумя
свободными от загружения эллиптическими отверстиями, когда
на бесконечности пластинка растягивается усилиями puq.
47

Для определения второго поля напряжений из
граничных условий A.52) на контурах отверстий найдем
комплексные потенциалы Ф; (zf).
Учитывая геометрическую и силовую симметрию, для
функций Ф, (zj) примем следующие представления:
Ф/ (г,) = 2 */* {[Si/ (**)Г* + (- 1)*+I [Ь/ (*/ + 2/)Г*}. D.3)
Здесь z) = z7- — /, а переменные £i/ и £2/ связаны с Z/
неявными зависимостями вида
z) = /h/0£i/ + m/iCi}1 ; D.4)
г] +21 = trijo&j + m/1^2/1 ,
где
/H/o^-g-O+P/C); m/i = -i-(l— Р/с); с= — . D.5)
Зависимости D.4) возникают при конформном
отображении области вне единичного круга у на внешности
правого и левого эллипсов в областях Sf.
Функции
Ф/1 (*/) = 2 а,*й?; Ф/2 (г,) = У (- 1)*+1 а/Л^* D.6)
голоморфны в областях S/ соответственно вне правых и
вне левых эллиптических контуров. В связи с этим
заключаем, что функции Ф/2 (Zj) будут голоморфными в областях
внутри правых контуров, где их можно разложить в
сходящиеся ряды по полиномам Фабера [79]. Если же вокруг
правых эллипсов провести окружности, не задевая при этом
левых эллипсов, то функции Ф/2 (zy) для внутренних точек
указанных окружностей можно разложить в ряды Тейлора,
которые будут иметь следующий вид:
Ф/2(г/) = 2!iV7\ D.7)
где
Ац = 4"lim -£г I (- D*+1 W. D-8)
Эти разложения проводятся с целью построения
эффективного метода для определения коэффициентов а,* из
граничных условий A.52) на контуре правого отверстия.
На контуре левого отверстия условия будут удовлетворены
48

автоматически ввиду наличия в рассматриваемой задаче
силовой и геометрической симметрии.
При вычислении коэффициентов Ац следует иметь
в виду, что они зависят( от малого параметра 8 = B1)~{.
Если в областях 5/ расстояние между отверстиями прегы-
шает половину диаметра одного из них (под диаметром с г-
верстия понимается большая ось эллипса), то в разлоле-
ниях D.8) можно сохранить лишь слагаемые, которые
содержат параметр е в степени, не выше четвертой. Тогда
искомое решение получается наиболее простым.
Для определения коэффициентов щи из граничного
условия A.52) на контуре правого отверстия, где £i/=
= a; z) — Rj (а + т}а~1), обычным методом рядов
получим следующую алгебраическую систему:
ап О — &2Що — 6e4miomu) + а21 A — г2т20 — 6&*ml0m2i) +
+ 2al2z3m\o +
+ 2а22г*т220 — 3a13e4mi0 — 3a23e4m|0 = — -f- ;
an A — Зг^тЦо) + a22 A — ЗгАй2т220) +
+ an i&m^ + a21fm20d2) = 0;
tfis + я2з — апгАт10 (mfo + m\{) — ane*m20 (mlo + mli) = 0;
Mn 0 + e2^ioPi^ + №т210тп$с) + pAi 0 + eam20ftjc +
+ 6г*т10т21$2с) — 2$\a12&cm\o — 2$2а22г3ст2о + D.9)
+ 3P?fl13e4cm?o + 3fo^ = -f- ;
PAa 0 + 3e4/nfoM + M22 A + 3e4m20p2c) -
— Piane3/n10c — |32<221e3/n20c = 0;
РАз + Рг«2я + PAi^^io ("*io — ™n) +
+ P2a2jL84m20 (mlo — mli) = 0;
ai* = a2fe = 0 (A = 4, 5, ...).
Здесь
di = ±(l + fic*)- D.10)
Значения т/0, m/i и с находятся по формулам D.5).
После определения из системы D.9) коэффициентов
cijk станут известными функции D.3), посредством кото-
49

рых по формулам A.43) находятся напряжения,
возникающие в пластинке. К полученным выражениям следует
добавить соотношения D.1).
Напряжения ае, возникающие в пластинке вблизи
правого отверстия, определяются по формуле B.17), где
р следует заменить на р + д. На рис. 4.2, 4.3 даны графики
Рис. 4:3
распределения этих напряжений. Сплошные линии
графиков соответствуют случаю, когда пластинка ослаблена
двумя эллиптическими отверстиями, расстояние между ними
равно а, а отношение -г- =?= 2. Пунктирные линии
относятся к случаю, когда пластинка ослаблена одним
эллиптическим отверстием.
При этом считалось, что анизотропная пластинка
изготовлена из СВАМа, для которого рх = 1,89, а C2 = 0,531 11].
При более близких расстояниях между отверстиями
вместо системы D.2) следует получить бесконечную
алгебраическую систему. Она оказывается, как это установлено
в работе [34], квазирегулярной при любой сколь угодно
малой близости эллиптических отверстий друг к другу.
Такие системы можно решать методом редукции. Они
будут получены в дальнейшем для различных
многосвязных пластин.
50

§2.
Применение метода малого параметра для
пластинки, обладающей сильной анизотропией
Для многих ортотропных материалов величины
ех = -jp или е2 = -jp представляют собой малые
параметры.
Если направление волокон материала пластинки
совпадает с осью х декартовой системы координат, то, как
следует из работ [54, 76], для дельта-древесины, фанеры, бере-
0,706 0,343 1,126 0,905
зы, ели ех соответственно равны -^g", -^-ур, -j^yg-* 5>0007.
Это обстоятельство позволяет при изучении
напряженного состояния таких пластинок использовать метод малого
параметра. Суть данного метода рассмотрим на примере
пластинки с двумя одинаковыми и одинаково
загруженными эллиптическими отверстиями, когда малым
параметром является ег (если малым параметром является величина
е2, то построение решения проводится аналогичным
образом).
Представления для комплексных потенциалов Ф, (z,-)
имеют вид D.3).
Граничные условия A.52) на контуре правого отверстия,
учитывая, что \л} =* ф7, перепишем так:
2
2 [Ф/(а)+Ф,(а)] = /1(а);
D.11)
/=i
2
2 Р/[Ф/(*)-Ф/(а)] =Ма).
Функции ff (а) характеризуют загружение правого
отверстия.
Граничные условия D.11) запишем так:
Ф1(а)-~ФГЙ = Р772(а)~81[Ф2(а)-Ф7Й]; D 12)
Ф2 (а) + Ф7Й = /i (о) - [Фг (а) + Що)].
Будем искать функции Фу (zj) в виде рядов по степеням
малого параметра ег:
оо
Ф/(«/)= ЦвгФрп. D.13)
Подставим разложения D.13) в граничные условия
D.12) и приравняем выражения при одинаковых степенях
ех. Тогда для определения функций Ф//п (/и = 0, 1, 2, ...)
51

получим последовательность граничных задач, каждая из
которых предусматривает нахождение только одной
функции из одного граничного условия.
В нулевом приближении граничное условие для
определения функции Ф10 получается таким:
Фю(*)-Ф^) = РГУ(а). D.14)
После нахождения функции Ф10 методами, подробно
рассмотренными в гл. II, функцию Ф20 можно определить
из следующего граничного условия:
Ф20 (*) + Ф20И = /i И - Фю (а) - Ф^Й . D.15)
В первом приближении граничное условие для
нахождения функции Фи примет вид
Фп (а) - Ф^Щ = - [Ф20 (о) - (М5)]. D.16)
Получение граничных условий для определения функций
последующих приближений проводится аналогичным
образом.
Основной трудностью при решении рассматриваемой
задачи является выражение функций Фу (Zj) через
переменную а на контуре единичного круга путем использования
представлений D.3).
На контуре у £i/ = а, а
z) = t) = /я/оа + m/ia" . D.17)
Чтобы выразить функции t^1 через а, следует
воспользоваться второй формулой D.4), учитывая при этом, что
г) связаны с а зависимостями D.17). В результате получим
1Т> = Bт/!)-1 [г) + 2/ - К (г* + 2/J- 4/Я/от,,]. D.18)
Перед радикалом взят знак минус в связи с тем, что при
рассматриваемом конформном отображении большим
значениям | Zj | соответствуют большие значения | £г/1.
Представим подрадикальное выражение D.18) в виде
(z) + 2/J — 4/72/0/72/1 = (z) — ai/) (г) — a2/). D.19)
Коэффициенты ai/ и аг/ выразим так:
ai/,2/ = 2 (— I ± Утртп). D.20)
Рассмотрим один из множителей выражения D.19):
Zj — оц/ = m/oo + /n/ia — ai/ = m/0a_1 (a — ft/) (a — p2/).
D.21)
52

Здесь
Pi/,2/ = B/П/оГ1 (ai/ ± 1 а?/ — 4/72/0/72/0. D.22)
Аналогичным путем найдем
z* — а2/ = т/оа (а — р3/) (а — р4/), D.23)
где
Рз/,4/ = B/И/о)"" (а2/ ± г ос?/ — 4m/0/72/i). D.24)
Таким образом, имеем
"Г (г) -г 2/J — 4/И/0/Я/1 = m/0a ] П J/а— рЛ/ . D.25)
Для всех ранее рассмотренных материалов пластинки,.
у которых гх < 1, коэффициенты р*/ получаются больше
либо меньше единицы. Поэтому корни V or — р/г/- в
зависимости от величин Pfe/ можно разложить в абсолютно
сходящиеся ряды по положительным либо по отрицательным
степеням сг. Перемножая эти ряды, в конечном итоге
получаем искомые разложения для функций t^/e (k = l, 2, ...).
В результате на контуре у будем иметь
оо
Ф/ = 2 la,kO~k + Ajk (ак + m)a~k)\. D.26>
Здесь
А,к = 2 КЛ%а1п; б„ = (- 1)"+1; «/ = ■?-. D.27)
п=\ ш/0
Коэффициенты Л(Дл возникают при разложении в ряды
по степеням а функций Ед}п:
б?" =-2 A%{ak-{-mkp~k). D.28)
В связи с тем, что во внутренних областях, ограничен-
ных правыми эллипсами, функции £#}п являются
голоморфными, их можно разложить в этих областях (включая
границы) в ряды по полиномам Фабера [56]. Эти
разложения на контуре приводят к формуле D.28). Однако
вычисление коэффициентов A{jln описанным выше методом
осуществляется проще, в особенности при использовании
ЭВМ.
53

Представим коэффициенты а/л и Л#и в виде рядов
по степеням ех:
V*/i
= ZA
jknm&X
D.29)
m=0 Л77=0
В результате функции Фу будут разложены в ряды вида
D.13). Определение коэффициентов щьт из граничных
условий D.14)—D.16) и
последующих проводится методом рядов.
Количество приближений
выбирается таким образом, чтобы
очередное из них вносило добавки
в коэффициенты я/*, не превы-
Юо1€ь
Рис. 4.4
Рис. 4.5
шающие 0,01% от максимальных величин а\\. Для
приведенных анизотропных материалов это достигалось в чет-
вертом-пятом приближениях.
Знание приближенных значений коэффициентов а,-*
позволяет на основании выражений D.26) по формулам
A.43) вычислить напряжения, возникающие в пластинке
с отверстиями. К ним нужно добавить напряжения,
возникающие в пластинке без отверстий.
При вычислении напряжений вблизи правого отверстия
можно воспользоваться формулой B.17), учитывая
напряжения в сплошной пластинке.
На рис. 4.4, 4.5 приведены графики, характеризующие
изменение напряжений (Т0 вблизи правого контура для
случая, когда отверстия являются круговыми. Расстояние
между отверстиями равно половине радиуса одного из них.
Сплошные линии графиков относятся к случаю, когда
пластинка изготовлена из фанеры (Р2 = 4,11; |32 = 0,343), а
пунктирные — когда материал является изотропным.
Из графиков видно, что усиление анизотропии в обоих
случаях загружения пластинки вызывает увеличение
концентрации напряжений.
54

В табл. 1 приведены значения напряжений в некоторых
наиболее интересных точках правого отверстия для различ-

Напряжения
Vp
е^
0
90
180
ос
—0,709
5,453
0,709
4
—0,619
4,579
—0,255
»
—0,617
4,479
—0,221
1
2,5
—0,625
4,437
—0,268
Таблица 1
2,2
—0,636
4,401
—0,442
2,1
-0.84 •.
—6,571
Oq/Q
0
90
180
4,159
— 1,410
4,159
4,273
-1,180
4,293
4,860
-1,387
10,686
ных расстояний между отверстиями. При этом считалось,
что пластинка изготовлена из фанеры, а направление ее
волокон совпадает с осью х.
§3.
Периодическая задача для пластинки
с эллиптическими отверстиями
Рассмотрим ортотропную пластинку, ослабленную
большим (теоретически бесконечным) числом одинаковых
эллиптических отверстий, полуоси которых равны а и Ь.
Центры отверстий лежат на одной прямой, которую примем
за ось х декартовой системы координат. Начало координат
поместим в центре одного из отверстий (оно может быть
любым), которое назовем основным. Контур этого
отверстия обозначим через L. Расстояния между центрами
отверстий одинаковы и равны /.
Будем считать, что все отверстия загружены одинаково,
причем главный вектор внешних усилий, приложенных
к каждому из отверстий, равен нулю.
В такой пластинке напряжения периодически меняются
в направлении оси х, причем период равняется /, что
позволяет существенно упростить решение задачи о
напряженном состоянии рассматриваемой пластинки. При этом
необходимо потребовать удовлетворения заданных
граничных условий только на контуре L. На остальных
контурах, в силу периодичности задачи, они будут
удовлетворены автоматически.
55

Выражения для функций Ф, (z,) представим так:
ос ос оо
Ч>/(г/) = 2Ы7*+ 2* 1 at£f. D.30)
k=\ п~—оо /г=1,3, ...
Знак (*) означает отсутствие в сумме слагаемого с
индексом /г = 0. Переменные £;- и £я/ связаны с zi неявными
зависимостями вида
j8/e_i±M.C/+j^Lcri. D.з1)
. z, + nl = -« + &*.С, + -^--й/1 • D.32)
Зависимости D.31) и D.32) возникают при конформном
отображении внешности единичного круга на внешности
эллипсов, получающихся при аффинных преобразованиях
в областях Sf.
Первые суммы в выражении D.30) представляют собой
функции, голоморфные вне эллиптических отверстий LfJ
а вторые— функции, голоморфные внутри этих отверстий,
включая их границы.
Если вокруг эллиптических отверстий в областях S/
провести окружности, не пересекающиеся друг с другом,
то вторые суммы можно разложить в сходящиеся ряды по
малому параметру е = Г. Сохраним в указанных
разложениях слагаемые, содержащие в качестве множителя
малый параметр 8 в степени, не выше четвертой. Тогда
выражение D.30) примет вид
оо
Ф, (г,) = 2 а,к [£/ (г,)]-* - ^"т/овлг, -
ft=l,3, -
— Ji464m/0 [anz) + Зт/oZ/ (a/i/n/i + a}m^)). D.33)
оо
Здесь X = 2 2 #~P (p = 2, 4). Коэффициенты я7* опре-
деляются методом рядов из граничных условий A.52) на
контуре L. При этом следует иметь в виду, что на контуре
единичного круга у £,• = а, а переменная г, выражается
через £7 по формуле D.31).
Остановимся на случае, когда пластинка растягивается
на бесконечности усилиями р и q соответственно вдоль и
поперек линии центров отверстий.
56

Алгебраическая система для определения коэффициентов
djk получается такой:
«11 A + «И) + Я13Я1З + Я21 A + *U) + «23^13 =
%i^i3a3i + я is + <к\СъР1\ + д2з = 0;
+ «21Р2 A — C2\b\\) — а2зраС21б1з = — ~т~
D.34>
djk = 0 (й > 4).
Здесь
ali = — тив2 (Л,2 + 6Я4т10тие2); а|3 = — 3mioe%;
аз1 = — т10г%; cls = m?0 + т\\\
си = mio + л&; си = m 10 — /ии;
D.35)
С21 = /и.
■20"
■m«
с*з = /и 10 — m?i; С23 = m|o — /nil.
-•-О О О"
T
Коэффициенты b]j
получаются из а*,, если в формулах
D.35) заменить гпц на т<ц (i =
= 0,1).
В результате .решения
системы D.34) становятся извест-
iftffffii?
Рис. 4.7
ными функции D.33), что позволяет по формуле B.17)
вычислить напряжения (Те, возникающие в пластинке вблизи
контура основного отверстия.
На рис. 4.6, 4.7 приведены графики распределения
напряжений (Те для пластинки, изготовленной из СВАМа(Рх =
57

= 1,89; Р2 = 0,531). Сплошные линии графиков
соответствуют случаю, когда пластинка ослаблена бесконечным
рядом отверстий (с = 1/2; а = 1; е = 1/3, расстояние
между отверстиями равно половине большой оси
эллипса), а пунктирные — когда пластинка ослаблена одним
отверстием.
При увеличении количества отверстий, ослабляющих
пластинку, концентрация напряжений возрастает при ее
растяжении поперек линии центров и существенно
уменьшается при растяжении вдоль этой линии.
§4.
Растяжение пластинки с двумя бесконечными
рядами эллиптических отверстий
Пусть ортотропная пластинка ослаблена двумя
параллельными рядами одинаковых эллиптических
отверстий. Расстояния между центрами отверстий в каждом ряду
одинаковы и равны /, а между линиями центров указанных
рядов — /х = а/ (а — вещественный коэффициент).
Учитывая геометрическую и силовую симметрию,
имеющую место в данной задаче, представления для функции
Ф; (Zj) берем такими:
оо оо
Ф/(*,-)= i а/*'{[£/(|/-пОГ* +
+ (- 1)*+1 [£/ (Ь -Ш + /PA)]-*}. D.36)
Здесь §/ = Zj 2~ ^iPi> а £/ связаны с zi неявными
зависимостями вида
Zj -nl--L il$j = -^ [(fl + P/ft) £/ + (a- P/6) СГ1]- D-37)
Коэффициенты a\k определяются из граничных
условий на контуре одного из отверстий, называемого
основным. Пусть его центр имеет координаты @; Иг/2). Выделим
в разложении D.36) функции, голоморфные в областях вне
эллипсов, полученных из основного путем аффинных
преобразований A.54). Будем иметь
оо оо оо
Ф/ (z/) = 2 а,к [£,• (I,)Гк + 2 * V a/* {[£,- (Zj - п1)Гк +
k=l П=—оо к=\
+ (- 1)*+' [£/ (I/ - Ш + фЛ)]Л D.38)
.58

Двойная сумма в выражении D.38) зависит от малого
параметра е — Г. Ограничимся рассмотрением случая,
когда расстояния между отверстиями в областях 5;
превышают диаметр одного из них. В этом случае указанную
двойную сумму можно разложить в сходящийся ряд по
степеням 8. Ограничиваясь в разложениях членами,
содержащими е в степени, не выше четвертой, получаем
оо
Ф/ (г,) = 2 a,k [t/ (lj)]~k - m^jxtfi* (h + 62/) +
— 3,7?/0a/2H/ (X4 — б4/) + Зт^т^ац (k4 + 64/) +
+ 3m;o^/3(X4+64y)]. D.39>
Здесь
Для определения коэффициентов щъ, применим метод
малого параметра. Будем искать эти коэффициенты в виде
рядов по степеням &:
ОО
а/л = 2 ajufif. D.40)
При конформном преобразовании области вне
единичного круга 7 на внешности основных отверстий в областях
Sj переменные £у в точках контура у равны a, a
Zj = Ш/оСГ + /72/i(J~l . D.41)
Используя разложение D.40), получаем
оо оо
23 a/fca"*=S q>//(a)e'. D.42)
Учитывая формулы D.40) — D.42), подставляем
выражения D.39) в граничное условие B.1) и приравниваем
члены при одинаковых степенях 8. Тогда для определения
функций фу* (lj) получаем ряд задач, которые
соответствуют граничным задачам для пластинки с одним
основным отверстием, методы решения которых изложены в
гл. II.
Приведем окончательные результаты для напряжений
Се, действующих вблизи основного отверстия, в нулевом
и первом приближениях.
59

В нулевом приближении, которое соответствует
случаю, когда пластинка ослаблена одним основным отверстием
(в разложениях сохраняются только члены, не содержащие
в качестве множителя параметр е),
а°о = "IT (sin2 9 + rd*cos2 е) + 1ТГ {с cos2 8 ^Di +
+ 'Р1Р2 ф± + р2) D2] + sin2 9 [с ф± + р2) D\ + rD3]}. D.43)
В первом приближении (в разложениях сохраняются
члены, содержащие е2)
— famlo (/ft. — с) (Л, - б22)] sin2 0 — cftft [mfо № — с) (к., +
+ би) - mlo (/ft - с) (Л, + 621) -
- mlo (/ft - с) (К + б22)] cos2 6}. D.44)
В формулах D.43), D.44)
г = -3- ; L = (c2tf cos2 6 + sin2 0) (с2р2 cos2 0 + sin2 0);
D1 = — с*р!р8 cos4 9 + с2 A — 2^р8 — pipi) sin2 0 cos2 0 +
+ B — ftft _ pf _ p|) Sin* 6; D.45)
£>2 = sin20 + c2cos20;
A» = — P1P2 sin4 0 + c2 (p?pl — 2piPa — 1) sin2 0 cos2 0 +
+ c4 Bp$ - PA - pf - p22) cos 0.
Устремив в формулах D.43), D.44) p: и р2 к единице
и проделав предельные переходы, получим аналогичные
соотношения для изотропной пластинки. В этом случае
09°= 1-2/лсоз28 + тПA+'-)а-/П2)+ '
+ 2A -г) (т- cos20)} (т=±=±у, D.46)
o0l = о9о + -g- {[Bс/- (с'+ 1) - с (Зс2 + 4с + 1) BХ, + S2i) -
— 2аб31 (г — с)'A + сJ] cos2 0}. D.47)
Если в формулах D.44), D.46) и D.47) положить бр/
равными нулю, то получим выражения для напряжений,
60

которые возникают в пластинке с одним бесконечным рядом
эллиптических отверстий. Если же устремить к нулю е,
то выражение е6р/ устремится к г}- = (Зу-1^ и в этом случае
получим формулы для напряжений, возникающих в
пластинке с двумя эллиптическими отверстиями.
Рассмотренный вариант метода малого параметра
приводит решение поставленной задачи к получению
достаточно простых формул для напряжений. Однако применять его
целесообразно лишь в случае, когда расстояние между
отверстиями в областях sy превышает диаметр одного из
них. Если же этого не наблюдается, то для получения
решения необходимой точности нужно брать много
приближений, что приводит к весьма громоздким формулам. В
таких случаях задачу целесообразно привести к решению
бесконечной алгебраической системы, методы получения
которой будут изложены в последующих параграфах.
§ 5.
Двоякопериодическая задача для пластинки
с эллиптическими отверстиями
Если количество бесконечных рядов отверстий,
ослабляющих пластинку, увеличить до бесконечности, то
в ней возникнут напряжения, которые из физических
соображений будут двоякопериодическими функциями *.
Отнесем пластинку к декартовой системе координат,
начало которой поместим в центре одного из
эллиптических отверстий (его, как и раньше, будем называть
основным), а ось х направим вдоль линии центров одного из
бесконечных рядов отверстий.
В силу указанной периодичности
о,(*) = а, (* + />); оу(г)=Оу(г + Р);
rxy(z)=xxy(z + P). D.48)
Здесь
Р = Рт,п = тщ + А2со2; D.49)
со2 и со2 — основные периоды в направлении осей х и у\
тип — произвольные целые числа.
* Обзор результатов, связанных с двоякопериодическими
задачами для изотропных пластин, дан Э. И. Григолюком и Л. А. Фильш-
тинским в монографии [2]. При рассмотрении анизотропных пластин
авторы использовали метод интегральных уравнений.
61

На основании формулы Коши функции Ф, (zf) можно
представить так:
Ф,(*/)= lim^L- J У f ^i(timn)z.dtjmn, D.50)
. Л'-оо Za{ *■* ** J ljmtl~~Zl
Af-*oo n = -N ™=-M Vjmn
контуры отверстий в областях Sy, a tjmn —
аффиксы точек этих контуров.
Основные отверстия в областях Sf обозначим через
Гу, а аффиксы точек основных контуров — через /,-. В
связи с этим
tjmn = tj + тщ,- + ПОJ/ = // + Pjmn, D.51)
где coiy и (о2/ — основные периоды в областях Sj.
На основании соотношений D.48) и A.43) легко
установить, что
Ф/Ы== <&/('/)• D.52)
Поэтому выражению D.50) можно придать следующий вид:
m=—оо я=—оо Г. '
Здесь Ф/ (z7) — функции, голоморфные вне основных
отверстий.
Если | t} — Zj | < | Pjmn |, то возможно разложение вида
оо
(tj - Zj + PjmnV1 = 2 PjmkrTl (Zj - tj)~k . D.54)
Отобразим конформно внешность единичного круга у
на внешности основных эллипсов в областях Sj.
Отображающие функции имеют вид
Zj = mo/£/ + mi/CT • D«55)
На основании формул D.54) и D.55) функции D.53)
можно преобразовать к виду
оо оо оо
Ф/ (г/) = 2 а»-1./£/-2* + 2 2 o«-ij% (£/*_l +
+ mf-\lr\ D.56)
где
оо
Bijk = 2j trfj [tnjPj,2(r+k+i)fflof l C2(r+k-\-i)-\Cr2{r-\-k-\-i)-^\ —
62

b2(r4-/t+O-3b2(A-f-fr+0—3j» D.0/)
* r>—21
>;
m=—oo п=ь=—oo
jmn >
m, =
_ "^
"o/
Подставим выражения D.56) в граничные условия A.52).
Учитывая, что на контуре у £/ = or, приравняем в
полученных выражениях коэффициенты при одинаковых
степенях tf. Тогда для определения коэффициентов а^к-ц
получим следующую бесконечную алгебраическую
систему:
У
/=1
CL2k-\.j + 2 a2i-LfBlVi (m2f + 1)
a<ik-\,j -f 2 ^2i~\,jBfik (mf~[ — I
= Si.
D.58)
-6.
'2*.
Коэффициенты 6i* и 62* зависят от загружения
пластинки.
Бесконечная система D.58) является квазирегулярной
при любой близости рассматриваемых отверстий [34].
В связи с этим для ее решения можно использовать метод
редукции.
После определения из системы D.58) коэффициентов
a2k-\,j станут известными функции D.56), посредством
которых по формулам A.43) мо>кно найти напряжения.
Если отверстия расположены близко друг от друга,
то условие | tj — Zj | < | P/mn | может не выполняться для
тип, абсолютные значения которых не превышают
величин заранее известных чисел Mj и Nf. В этом случае
функции Ф, (Zj) следует представить в таком виде:
Ф,(г,)=Ф](г,) +
т=.—М ■ n——N-
+ 2 2'"
m=—oo П——00
-N,
ф; (<,) dtj
ь-
jmn
D.59)
Знак (**) означает, что в сумме отсутствуют слагаемые,
для которых —- Mj< т < Mf и — Nf < п < Nf.
Функции Ф; (Zj + Pjmn) голоморфны вне контуров
Ljmn и исчезают на бесконечности. Поэтому их можно
представить в виде
Ф, (Zj + Р;тп) = V fll^li7 [£,- (Z/ + Р,
{тп
I
1—2k
D.60)
63

В то же время функции [£, (гу -f Р/тя)]~"А являются
голоморфными внутри основных контуров Lyoo, включая
их собственные точки. Поэтому эти функции можно
разложить в ряды следующего вида:
& (г, + Ррпп)Гк = S A4fcPt (*,), D.61)
где Р( (Zj) — полиномы Фабера, построенные для областей
внутри эллипсов L/oo.
_1_ *± P
lIOOOI
fzoee-
1/
:ooor
t HI» If
обо
000-7
ooo
Рис. 4.8
Рис. 4.9
Коэффициенты В/,*, входящие в систему D.58), примут
вид
Щ Ni
Вф= 2 2 л*/» + #/*- D.62)
При этом коэффициенты Вф вычисляются по формуле
Pi* = 2 ("> 2 ^ • D.63)
т——оо п=—оо
Если пластинка растягивается на бесконечности
усилиями р и q соответственно вдоль и поперек оси х, то правые
части системы D.58) будут такими:
вц = - а (А0 + В0); б21 = Ь (Л0р? + В$);
D.64)
64

При этом
А,=
P + Pig
2 (Р| — Р?)
В„-
2 (Р? — Э|)
D.65)
На рис. 4.8, 4.9 приведены графики изменения ов па
контуру основного отверстия, когда оно является
круговым (а — Ь). Сплошные линии графиков относятся к
случаю, когда щ = 2,1а, оJ = 2,1ш, а пунктирные — к слу-

Напряжения
°q/P
°в'я
6°
0°
90°
0°
90°
- 1
—0,709
5,453
4,159
— 1,410
4 1
—0,153
4,515
3,681
—0,445
/
з 1
—3,183
5,211
' 4,189
—0,454
2,5
—3,345
6,347
4,929
—0,777
Таблица 2
2.2 | 2,1
-0,741
- 8,364
6,525
-1,551
-1,143
9,888
8,099
—2,237
чаю, когда пластинка ослаблена одним отверстием.
Пластинка изготовлена из фанеры (р1 = 4,11; р2 == 0,343).
При сближении отверстий концентрация напряжений
в тчале убывает, затем возрастает (табл. 2).
Для слабоанизотропного материала концентрация
напряжений оказалась меньшей, чем для
сильноанизотропного.
§6.
Упругое равновесие пластинки
с конечным числом эллиптических отверстий
Пусть пластинка ослаблена N + 1
эллиптическими отверстиями, контуры которых обозначим через L0>
Ьъ ..., Ln. Для простоты будем считать, что большие оси
отверстий лежат на одной прямой, с которой совмещена
ось х. Начало координат поместим в центре левого
отверстия. Расстояния от начала координат до центров отверстий
обозначим через 1п (п = 0, 1, 2, ..., N), а полуоси
эллипсов — через ап и Ьп (рис. 4.10). Отверстия загружены
внешними усилиями, главный вектор которых на каждом контуре
равен нулю.
3 6—1539
65

Решение задачи о напряженном состоянии такой
пластинки приводится к определению функций Ф7 (zf) из
граничных условий B.1) на каждом контуре Ln.
Функции Ф7 (*/), голоморфные в областях Sj вне
контуров эллиптических отверстий с полуосями ап и Р76п, пред-
yj. ставим так:
—k
^ н D.66)
Рис. 4.10 Здесь а/&, — неизвестные
коэффициенты, а функции £7„
связаны с переменными z7- следующими зависимостями:
2. _ /n _ ^±Ml £„ + J^Z_Ml ^ . D.67)
Зависимости D.67) возникают при конформном
отображении области вне единичного круга у на внешность контура
ЬП]; который получается в области S7- из контура Ln.
Перенесем начало координат в центр отверстия с
номером v (v =? 0, 1, 2, ..., N), положив Zj — U = -г). Тогда
для функций Ф7 (zf) можно взять следующие представления:
00
Ф/(г/)=^«/»уК/оB/)]"* +
+ 2 W 2 a/*.«+v [5/.n+v («/* - Ш~* . D.68)
Здесь 6„ = 1, если /г > 1; 8п = —1, если /г < 1. Знак
{*) означает отсутствие в сумме слагаемого с индексом
я = v.
Первая сумма в выражении D.68) представляет собой
функции, голоморфные вне отверстий Lv., а вторая —
функции, голоморфные внутри этих же отверстий, включая
их граничные точки.
На контуре единичного круга у £/v = or. Что касается
функций S/tn-i-v (я =7^= 0), то их можно представить рядами
по степеням а таким же образом, как это сделано в § 5 гл.
IV. В результате функции Ф/ (z7) на контуре у примут
вид
00 N—V 00 ОО
фу = 2] ajksO~~k + 2П 2 ^j Ajkiw+vajun+v (о* + mkjO~k).
D.69)
66

Коэффициенты Л/&чп-и определяются при
разложении по полиномам Фабера функций [£/in-fV (z) — б^)]""'
в областях внутри эллипсов Lv/. Из граничных условий
BЛ) на контуре Ln получим бесконечную алгебраическую
систему для определения коэффициентов а^п, через
которые по формуле D.66) выражаются функции Ф; (z;).
Напряжения, возникающие в пластинке, вычисляются по
формулам A.43).
§ 7.
Растяжение пластинки
с двумя неодинаковыми отверстиями
Пусть пластинка ослаблена эллиптическим
отверстием, полуоси которого равны а и Ь, и круговым отверстием
с радиусом г= 1. Вдали от отверстий пластинка
растягивается усилиями интенсивности р и q соответственно вдоль
и поперек линии центров (рис. 4.11).
Если в областях S}- расстояние между отверстиями
превышает диаметр меньшего из них, то решение задачи о
напряженном состоянии рас- . . я
сматриваемой пластинки не- t I I I I I t t
целесообразно приводить к ре- ^_ у\ _^
шению бесконечной системы p-^z (qT) г , ^у, Т
алгебраических уравнений. ^ М< t ^-j— * -^
Наиболее эффективным здесь "*""
оказывается метод последова- { 1 1 | I f I I
тельных приближений. $
Пусть отношение г/а <<^ 1. Рис 4 j j
В этом случае оказывается
возможным с большой степенью точности считать, что
искомое поле напряжений складывается из двух полей: поля
напряжений в пластинке с одним эллиптическим
отверстием; поля напряжений, появляющегося в результате
образования кругового отверстия в пластинке, напряженное
состояние которой характеризуется первым полем.
Таким путем находится напряженное состояние
пластинки в первом приближении.
Определение первого поля напряжений проводится так,
как это описано в гл. II. Оно характеризуется функциями
Ф'° - Т [ p? _ р2 */ + Pl_p2 С/ J * D.70)
3*
67

Здесь принято, что Р/+1 = Pi, если / = 2; функции
£у связаны с z] = Zj — / зависимостями D.4).
Для определения функций Ф/ь характеризующих вто*
рое поле напряжений, следует предварительно разложить
функции ^Т в ряды Тейлора по степеням zy, ограничившись
в этих разложениях конечным числом членов. Например,
ограничившись четырьмя членами, будем иметь
CT^z+i) А.,*?, D.71)
/1=1
те
Л/ = -РГ1^ A — ЩА\,)\ Л3/ = PT'^i/^a/ 0 - 2m/ii4i/).
D.72)
Граничные условия на контуре кругового отверстия
получаются такими:
2 . 2
гИеЗФ/^-гКеЦфуо;
Г1 '*? С4-73)
2 Re 21 Ц/Ф/i = — 2 Re 2 jx/Ф/о.
Функции Ф/i определяются методами, изложенными
в гл. II.
Приведем окончательные выражения для функций
ф) (z7), через которые напряжения, возникающие в
пластинке, определяются по формулам A.43):
Здесь
а.-(-1У ^~^Ж
Nil = (- 1/ 2Р(р[!?ы + а' ^ <m'1 + П^о) +
4- 3i43/mJo(mJi — п]{т*0)] — ажя/2т/+1,о (^4i,/+i + 3mJ+i,0^3*/+i),
tf2/ = 2а/Л3/(^/l2 — ппт*о) — 2A2,j+ihrni+i,Qtij2, D.75)
■68

Переменные £*• связаны с Z/ следующими зависимостями:
Z/ = «Jot/ + /%£/ '; т'о = -я- A + Р/); m*i = -=- A —ft).
D.77)
В случае, когда а ^> &, концентрация напряжений около
кругового отверстия значительно увеличивается при
растяжении пластинки поперек линии центров отверстий и
незначительно уменьшается при растяжении пластинки
вдоль линии центров.
Если же а <^ ft, то при растяжении пластинки вдоль
линии центров концентрация напряжений около кругового
отверстия резко уменьшается, а при растяжении поперек
линии центров — незначительно возрастает.
Глава V
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИНКИ
С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ
§ 1.
Напряженное состояние пластинки,
ослабленной конечным числом криволинейных
отверстий
Рассмотрим упругое равновесие пластинки,
ослабленной N криволинейными отверстиями.
Срединная плоскость пластинки занимает в плоскости
хоу бесконечную N-связную область S, ограниченную
криволинейными контурами L, (г = 1, 2,..., ДО). Будем считать,
что все контуры являются замкнутыми, не имеют угловых
точек, не пересекаются и не касаются друг друга (рис. 5.1).
Уравнения C.21) для контура Lr запишутся так:
х — hr = Rr (cos 8 + 2 arn cos пв I ;
V n==l ' E.1)
( M \
у — lr = Rr I sin 9 — 2 <*rn sin tiQ I ,
где Hr = hr+ ilr — аффикс центра г-го контура.
69

Использовав метод, изложенный в § 2 гл. III, будем
иметь следующие выражения для отображающих функций
внешности единичного круга на внешности отверстий в
областях Sji
Zrj^m^Urf + fimWtTf. E.2)
k=\
Соотношения C.30), записанные для контура Ln примут
вид
оо оо
■T° T1 E-3)
<• = an + 2 tf!Lpop + 2 d™o~p .
Знание отображающих функций E.2) и зависимостей E.3)
позволяет решить задачу о напряженном состоянии рас-
у, сматриваемой пластинки.
\ Lz h Пусть на контурах
отверстий, ослабляющих пластинку,
заданы внешние усилия,
главные векторы которых равны
нулю. Некоторые контуры
подкреплены жесткими кольцами.
Внешние усилия могут
действовать также вдали от
отверстий. Будем считать, что эти
усилия не приводят к
повороту жестких ядер.
Как указано в гл. I,
задача определения напряженного
состояния рассматриваемой пластинки сводится к
нахождению комплексных потенциалов Фу (z7), являющихся
аналитическими в областях S/. На границе областей 5/, т. е.
на контурах Ljn эти функции должны удовлетворять
граничным условиям A.52) или A.53), которые можно записать
следующим образом:
2 2
2 Re 2 si/Ф, (zy) = fri\ 2 Re 2 s2/(Dy (z,) = fa. E.4)
Здесь s\j = 1, s2/ = fx/, когда на контурах заданы
внешние усилия, и s\j = /?y, S2/ = <7у — в случае подкрепления
отверстий жесткими кольцами; fr\ и \ri — функции,
зависящие от заданных внешних усилий на контуре Lr, они
равны нулю, если контур Lr жестко подкреплен.
Л I %
РУУ/////У//
I
У///Ш
70

Функции Ф,(г,) будем искать в таком виде:
N
Ф/(г/) = Ф?<г/) + 2<Мг/). E.5)
Г=1
где Ф/ (Zj) — функции, характеризующие напряженное
состояние сплошной пластинки; Ф;> (zf) — функции,
голоморфные в областях Sj вне контуров Ljr и исчезающие на
бесконечности. Функции Ф]Г (zf) можно представить так:
^^ = 2tw- E>6)
Переменные trj связаны с zrj неявными зависимостями
E.2).
Функции Hrj (zrj)] k (г Ф р) являются голоморфными
внутри областей, охваченных криволинейными контурами
LjP. Их можно разложить в ряды по полиномам Фабера
внутри этих областей [79]. Разложения примут вид
[^/(^]-* = /|л|Й)РрЛBрУ), E.7)
где P\Pi) (Zpj) — полиномы Фабера, которые в областях
изменения переменных £р/- представляются выражениями
[79]
P?n(zPi) = &l+l<№)&1. E.8)
tt=l
Постоянные Л$? определяются по формуле 179]
А^=4й-\Ы^Гк%, E.9)
V иР/
где Opj = cos QPj -\-л sin 0^- (9Р/ — полярный угол).
В областях сходимости разложений E.7) функции
+ 22*Aiip,g>-)(zA E.10)
Знак (*) означает отсутствие в сумме слагаемого с
индексом г = р.
Учитывая соотношения E.3), из граничных условий
E.4) на контуре Lp, где iPj (zPl) = opj, методом рядов
71

получаем следующую бесконечную систему линейных
алгебраических уравнений для определения постоянных aPk{
2 2 [(*#»/ + №) (dth + Ssk) +
/=1 s=l
+ Csiflpsj + AfJ) d!$P] = bkpfi E.11)
2 oo
2 21 Kbflpsj + A$P) {d[% + bsk) + (s2japsi + -
+ W) d{spk})\ = bkpr (p = 1, 2, ... , N; k = 1, 2, 3, ...).
Здесь bkpr — известные величины, зависящие от загру-
жения пластинки, а коэффициенты,
n=l <=1 г=1
+ 5/да)бота„7) (/=1,2), E.12)
где
6s"=!o (*фп). Eлз)
После определения коэффициентов apsj напряжения,
возникающие в пластинке, находятся по формулам A.43).
Для точек контуров отверстий функции Ф, (tj) можно
представить зависящими от переменных а7- или а. В связи
с: этим имеем
При вычислении напряжений в точках пластинки вне
контуров следует иметь в виду, что
ф'М = ^--&- <5;15>
§2.
Распределение напряжений в пластинке
с двумя неодинаковыми отверстиями
Пусть бесконечная пластинка ослаблена двумя
криволинейными отверстиями (рис. 5.2). Положим в
выражении E.1) /?х = 1, 2; а13 = —0,16666; а17 = 0,00846
и R2 = 3,33333; а21 = 0,62357; а23 = 0,09998; а2Ъ =
= — 0,03424; остальные коэффициенты ark примем равными
нулю. В этом случае будем иметь соответственно квад-
72

ратное и прямоугольное (с соотношением сторон а2: Ь2 —
= 5:1) отверстия. Приведенные кривизны в их угловых
точках равны 15 1511.
Будем по-прежнему считать, что комплексные
параметры \ij являются чисто мнимыми (\ij = t'P,). В этом случае
постоянные C.31), C.32), а также коэффициенты
разложений C.29), C.30), E.6) и E.9) — вещественные величины.
Поэтому система E.11) примет вид
2 2 Ksiflpsf + А\У) (dfjlk + d%j) + 8*)] = bkpu
f=l s=l
2 oo E.16)
2 2 [(%/flps/ + 4f) (dfjlk - d!8P + 6*)] = bkp2 (p = l, 2).
/=1 S=I
После определения коэффициентов apSj становятся
известными функции Ф, (z;), что дает возможность по
формулам A.43) найти
напряжения, возникающие в
пластинке.
Пусть вдали от
отверстий пластинка
растягивается усилиями интенсивности
р и q соответственно вдоль
и поперек линии центров
отверстий. При этом оба
отверстия либо свободны от внешних усилий, либо
подкреплены жесткими кольцами. В этом случае функции Ф/ (гу),
характеризующие напряженное состояние сплошной
пластинки, будут такими [77]:
г
0
,
ь2
а?
'
Л,
0 Я/
4
X
Рис. 5.2
Ф°(г/) = Л/г/,
где
4 =
P + Q&
4 =
P + qfi
E.17)
E.18)
2(Pl —Pf) '  2(Р|-Р?)
Правые части системы E.16) примут вид
Sipi = — Rp A + api) (AAx + 42s12);
6i„2 = Rp A - Opi) (ЛхР^ - A$2s22); E.19)
6*Pi = — RpaPk (A1s11 + A2s12) (k > 2);
8kP2 = — Rflpk (AAs21 + A$2s22) (k > 2).
На рис. 5.3, 5.4 изображены графики,
характеризующие изменение напряжений вблизи квадратного отверстия.
73

Рис. 5. 3 соответствует случаю, когда оба отверстия свободны
от внешних усилий, а рис. 5.4 — когда эти отверстия
подкреплены абсолютно жесткими кольцами. Пунктирные
линии относятся к случаю, когда пластинка изготовлена из
фанеры и hJa-L — оо, сплошные и штрихпунктирные —
соответственно к случаям, когда пластинка является
фанерной и изотропной, a h^lax = 7,5.
При сближении отверстий кон- ^ i ц | j | <j
центрация напряжений
существенно изменяется у малого от-
Рис. 5.3 Рис. 5.4 '
верстия и незначительно — у большого. Вблизи
подкрепленного малого отверстия концентрация напряжений
существенно снижается и при сближении отверстий меняется
незначительно.
В фанерной пластинке в отличие от изотропной
концентрация напряжений меньше вблизи подкрепленных
отверстий и больше около неподкрепленных.
§ 3.
Распределение напряжений в пластинке,
ослабленной двумя одинаковыми отверстиями
Пусть пластинка, рассмотренная в § 2, ослаблена
двумя одинаковыми отверстиями. Если учесть, что в
рассматриваемом случае наблюдается геометрическая и
силовая симметрия, то между искомыми коэффициентами функ-
74

ций Ф, (-г,) будут иметь место соотношения
02*/ = (— 1)Л+1 CL\k\ = CLkj. E.20)
Коэффициенты ащ определяются из граничных условий
F.4) на контуре одного из отверстий. На контуре другого
отверстия граничные условия удовлетворяются
автоматически.
Алгебраическая система E.16) принимает вид
2 оо
2 si/ 2 aif 2
/==i /=i
S=I
8й + (-1),+12 4Й(фЙ+6„) X
Ч5+(-1)Ж2 ^(фй-в»)
Здесь опущены индексы г и р у коэффициентов агц, А%%
2 S2/ 2 <к\ 2
/=1 г=1 s=l
Л (б.
) х
21)
4>£я, 4^', Ьт и 8*„2 (/>, г= 1,2).
Г S\ Р
МП*?
Рис. 5.5
Рис. 5.6
На рис. 5.5, 5.6 приведены графики распределения
напряжений вблизи правого отверстия. Сплошные линии
графиков относятся к случаю, когда пластинка изготовлена
из фанеры и ослаблена двумя квадратными отверстиями,
а расстояние между контурами равно четвертой части длины
стороны одного из отверстий. Пунктирные линии
соответствуют случаю, когда пластинка ослаблена одним отверс-
75

«МММ*
CD CD
1
(НИН
&Я ES3
6r чинись
Г*1Р*^ ^Фкк
м\
ч\
^%\
/' 1^1
' 11
1 й
V Ж
//
// /
4
( К/ •
^
/ $
/ <#
//
/#
1/1Г:
l/' У
ГТ» \
\'\
\ \
\%
Рис. 5.7
Рис. 5.8
Рис. 5.9

тием. На рис. 5.7, 5.8 показаны изменения напряжений
сге вблизи правого неподкрепленного контура и оп когда
контур жестко подкреплен. При этом отношение сторон
а : Ь = 2 : 1. Пунктирные линии относятся к случаю, когда
пластинка изготовлена из фанеры, a hxla = сю; сплошные
и'штрихпунктирные — когда пластинка изготовлена из
фанеры и изотропного материала, a hxla = 2,5. На рис. 5.9,
5.10 даны результаты изменений тех же напряжений, что
и на рис. 5.7, 5.8, при а : Ь = 1 : 2. Приведенные
кривизны в угловых точках отверстий во всех рассмотренных
случаях равны 15 [44]. Сближение неподкрепленных отверстий
вызывает уменьшение концентрации напряжений в
пластинке при ее растяжении вдоль оси Ох. Концентрация
напряжений увеличивается, когда пластинка растягивается
поперек этой оси. Если же отверстия подкреплены, то
максимальные напряжения аг уменьшаются при растяжении
вдоль оси Оу и увеличиваются, когда пластинка
растягивается поперек этой оси. В изотропной пластинке
напряжения остаются меньшими у неподкрепленных отверстий
и большими — у подкрепленных.
§4.
Двоякопериодическая задача
для пластинки с криволинейными отверстиями
Пусть пластинка, рассмотренная в § 5 гл. IV,
ослаблена криволинейными отверстиями (рис. 5.11, 5.12).
Контур основного отверстия, заданный уравнениями C.21),
обозначим через L.
Представления для функций Ф, (z;) возьмем в виде
выражений D.50). Их можно записать следующим образом:
ф/ (*/)=2 -$-+ 2 2а{ {aU> + Ь"^П)- E-22)
/2=1 Ч П=Н=1
Здесь переменные £/ связаны с г, неявными
зависимостями C.37), постоянные коэффициенты dni и Ь{г!
определяются так:
da =222 dLiPttnil-umt-u X
fc=0m=0p=0
xm^u(p-l)(-l)i+P+m;
77

ОО 00 ОО
Ж =2 2 2 cLn-iPi.t-nn&Ur X
k=0m=0p=0
xmEumi/Lu(^-l)(-l)^+m,
E.23)
где
t^k + i+p + m+n; s = n + k\ г = i + p + m — 1,
а коэффициенты P7v находятся по формулам D.57);
постоянные rub вычисляются по рекуррентным соотношениям:
m$= 2]m{3L/mj/L/fi (й>2).
/=о
E.24)
В случае, если разложение D.54) невозможно,
представления для функций Ф/ (г7-) следует взять в виде формул
D.59).
ФУНКЦИИ Ф; (г/ + Pjmn),
входящие в формулу D.59),
УЬ
шоп
□ Й'О □- ^
1 A J I '«I
цу 1
1/У1<ц
УН f 1
OQQC3o a a
Рис. 5.11
Рис. 5.12
будут голоморфными в областях внутри основных
отверстий, включая точки их контуров. Поэтому вблизи
границ основных отверстий указанные функции можно
представить в виде разложений по полиномам Фабера
E.25)
Ф/ (*/ + Ррпп) ~ 2 2 ajU/T U/ + 2 ФЙ£ГЯ
6=1 /=1 \ п=1
Получим
<&=<$ + 2 2 4Г;
n=—Nj m——M:
<х> #/ Л*у
Ж = «{ + £. 2 2 WM,
E.26)
р=1 n=—N-m=—M:
где коэффициенты а$ и й вычисляются по формулам
E.23), в которых значения Р{ находятся из соотношений
D.63).
78

Алгебраическая система для определения коэффициентов
al получается такой:
1 2 2 [Л#' $£-* + М + Ж}<№] = 8«;
/=u=i«=i E27)
/=1 /=1 п=1
Здесь 8fej и б^ — величины, зависящие от загружения
пластинки, а
№ - а{ (*4 + Ьщ) spj + акрДй (Р = 1, 2). E.28)
После нахождения коэффициентов а{ напряжения,
возникающие в пластинке, можно определить по формулам
B.16).
Если контур основного отверстия имеет две оси
симметрии, совпадающие с координатными осями х и у, то
функции Ф/ (Zj) будут нечетными и с действительными
коэффициентами.
Алгебраическая система E.27) в этом случае примет вид
2 оо оо
2 S\/ 2 <*2m-l 2 [(&тр + blnp + <Anp) (dp?-n +
j—\ m—\ p—\
+ ьрп + <#„)] = e»i;
2 оо оо /С 2Q\
2 $2/ 2 «2/71-1 2 [{&тр + &юр — Amp) D^-n +
+ 6,fl-d$)] = 6n2.
В случае, когда пластинка растягивается на
бесконечности усилиями интенсивности р и q соответственно вдоль
и поперек оси, значения 8п\ и 8п2 определяются
соотношениями E.19).
Для получения различных видов решеток в расчетных
формулах будут изменяться только значения Pjty
входящие в выражения E.23) и вычисляемые из соотношений
D.57). Если эти значения определить из соотношений
-2*т=г- <5-30>
т=—оо А/ /2=—оо v '
то получим периодическую задачу, т. е. задачу с одним
бесконечным рядом отверстий, расположенных вдоль или
поперек оси О*.
79

Таблица 3
°е
°%lP
<V<?
0°
0
90
0
90
оо
—1,06
10,94
7,90
—2,10
з
—0,39
8,68
6,82
-0,87
2
-0,18
7,15
5,92
—0,55
1,65
0,12
4,09
3,74
0,22
1,5
,32
2,89
2,70
0,75
Таблица 4
/
°е
°в/Р
аеА/
.е-
0
9Э
0
90
со
—1,06
10,94
7,9 Э
—2,10
4
-\27
8,48
6,90
—0,62
3
—0,36
9,83,
7,30
—0,86
2,4
—0,81
10,44
8,96
—1,83
2,1
-1,56
10,00
10,94
—5,51
Таблица 5
°0
°в/Р
<V?
0'
0
90
0
90
оо
-1,06
1 ,94
7,90
—2,10
1 4
-0,18
5,49
8,72
—0,37
3
—0,10
> 4,95
10,13
—0,32
2,5 J 2,1
—0,08 1 —0,12
4,37 4,12
12,88
—0,90
23,82
—0,24
В табл. 3—5 приведены значения напряжений gq,
действующих на площадках, нормальных к контуру основного
отверстия, когда оно является квадратным (а3 = 1/9; ап =
= 0, если п Ф 3). При этом считалось, что пластинка
изготовлена из фанеры.
Табл. 3 соответствует случаю, когда решетка
является треугольной: а>1 = /; со2 = 0,5 / A + 0- В табл. 4
приведены значения напряжений для квадратной решетки
(щ = /; ш2 = И), а в табл. 5 — для периодической задачи
(©! = /; со2 = оо).
Из табл. 4. видно, что в случае квадратной решетки
при сближении отверстий концентрация напряжений
сначала убывает, а затем начинает возрастать. В случае же
треугольной решетки (табл. 3) сближение отверстий
вызывает значительное уменьшение концентрации напряжений.
80

Если пластинка ослаблена одним бесконечным рядом
квадратных отверстий (табл. 5), то при ее растяжении вдоль
линии центров концентрация напряжений уменьшается,
а при растяжении поперек линии центров — возрастает.
Глава VI
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПОЛУПЛОСКОСТИ,
ОСЛАБЛЕННОЙ ОТВЕРСТИЯМИ
§ 1.
Постановка задачи и построение решения
для полуплоскости с эллиптическими
отверстиями
Рассмотрим анизотропную полуплоскость,
ослабленную N эллиптическими отверстиями. Обозначим через
L, Ln hr и ап bf (г = 1, 2, ... , N) соответственно границу
полуплоскости, контуры эллиптических отверстий,
аффиксы их центров и полуоси отверстий.
Будем считать, что граница полуплоскости свободна
от внешних усилий (за исключением отдельных точек, где
действуют сосредоточенные силы или сосредоточенные
моменты), а на контурах отверстий граничные условия имеют
вид A.52). При этом считается, что главные векторы
усилий, приложенных к контурам отверстий, равны нулю.
Решение задачи о напряженном состоянии такой
среды приводится к определению из граничных условий
функций Ф/ (гу), аналитических в областях S/. Эти функции
будем искать в следующем виде:
N
Ф/(г/)=Ф,о(г,) + 2ФИ*/)- F-1)
Здесь Ф/о (zfj — функции, голоморфные в сплошных
полуплоскостях, а б/, (г,) — аналитические функции в областях вне
контуров Lfr, которые получаются из контуров Lr
путем аффинных преобразований.
Из граничных условий A.52) на контуре L при fx =
= /2 = 0 методом Н. И. Мусхелишвили найдем
Л' __
Ф/о (*/) - 2 №ъ («/) + ЯуФаг (г/)], F.2)
Г=1
81

где
/,- ^-^ ; п,-»»*-* ; F.3)
индекс / + 1 равен единице, если / = 2.
С учетом представлений F.2) функции
N _ _
Ф/ ^/) = 2 [Ф„ (г/) + //Dir («/) + п,Фа, (г,)]. F.4)
Функции Ф7> (гу-) определяются из граничных
условий A.52), заданных на контурах отверстий. Методы
определения этих функций остаются такими же, как и в случае
бесконечной пластинки с отверстиями. После нахождения
функций Ф7- (Zj) напряжения, возникшие в пластинке,
определяются по формулам A.43).
§ 2.
Напряженное состояние полуплоскости
с эллиптическим отверстием
Пусть полуплоскость ослаблена эллиптическим
отверстием, близко расположенным к прямолинейной
границе. Учитывая постановку задачи, изложенную в § 1,
формулу F.4) перепишем в виде
Ф/ (*/) = Ф/1 (*/) + /Ai (*/) + %Ф21 (zj). F.5)
В областях S/ будем иметь полуплоскости с
эллиптическими отверстиями, центры которых находятся на
расстоянии hx от прямолинейных границ. В связи с этим
функции Ф/1 (Zj)y голоморфные в областях вне указанных
эллиптических отверстий, представим так:
оо
Ф/1 = 2 а*/[?/(*/)]"*• F.6)
Переменные £/ связаны с z, зависимостями вида
где
2/-Ai = fl/(£/ + ro/rt F.7)
Формула F.5) станет такой:
ф, (г/) = V 1-^Ц- + -J^j + n.ll"k-i+\ 1 . F.9)
82

Зависимость переменных £/ от z} имеет вид
Zftjn - К = R, (£, + mfZT\ F-10)
где/;/1 = ц^ит (/г = 1,2). Кроме того, в формулах F.9)
считается, что 1п = /х; /12 = п2; пп = /гх; /г12 = /2.
Функции [£„ (г/)]~~Л являются голоморфными в
областях внутри эллипсов Lj\. В этих областях их можно
разложить в ряды по полиномам Фабера:
со
К» (*,)]-*= 2^ЛИ, F.П)
/и=0
где
id = ^-J tL ЫГ* a-m-W; F.12)
v
^(z/) = d"+<V". F.13)
При этом у обозначает контур единичной окружности
в плоскостях изменения переменных £/.
Будем считать, что на контур эллиптического отверстия
действуют такие усилия, при которых функции //,
входящие в граничные условия A.52), могут быть представлены
в виде следующих рядов:
Л= 21 адг*; /2= 2 j&r*. F.14)
k=—оо k——со
Для определения коэффициентов ащ из граничного
условия A.52) методом рядов получим следующую
алгебраическую систему:
оо
Ctkl +Д*2+2 {Q\kpup\ + QtkpClpl + Q$kpup2 +
p=l
+ QikpCLpz) = «ft;
00 -♦ ♦ F.15)
Hl<Zfcl + t-i2^2 + 2 {Qlkpdpl + QjlkpdpX + Qzkpdp2 +
p=i
Здесь
+ Q4kpClp2) = Pife F=1,2,...),
Qi*p == lViWi4$i + fx2/2m2^^i j
<?2*р = Mi'HSi + hA^Sl J
Qlkp = Hl«l^l^ip2 + ^2^4,2 J
Q4*p = HlM^l + ^M*p2 •
F.16)
83

Выражения Qtpk (i = 1, 4) получаются из уравнений
F.16), если в них формально положить |хх = jo.2 = 1.
После определения из системы F.15) коэффициентов
ay станут известными функции F.9), через которые по
формулам A.43) можно найти возникающие в
полуплоскости напряжения.
Растяжение полуплоскости, ослабленной
эллиптическим отверстием
Анизотропная полуплоскость с эллиптическим
отверстием растягивается усилиями интенсивности р,
параллельно ее границе (рис. 6.1).
В полуплоскости без отверстия напряжения имеют вид
соотношений B.11). При этом коэффициенты правых
частей системы F.15) выразятся так:
0 * 1
ai = т ар;
2 F.17)
р; = а;=й = о (*>2).
Если ^ля рассматриваемого за-
гружения полуплоскости
комплексные параметры \ij являются чисто
мнимыми, то коэффициенты ак и Ьк
получаются вещественными.
На рис. 6.1 сплошная линия
графика показывает изменение
напряжений gq по контуру кругового
отверстия, когда наименьшее
расстояние между границей
полуплоскости и контуром отверстия равно
одной четвертой его радиуса. Здесь
и далее в этой главе считалось, что полуплоскость
изготовлена из фанеры фг = 4,11; |32 = 0,343). Пунктирная линия
графика относится к случаю, когда полуплоскость
заменяется плоскостью с тем же отверстием.
Численные расчеты показали, что влияние
прямолинейной границы на величины и характер распределения
напряжений наиболее существенно в том случае, когда
расстояния между контурами в областях S/ становятся меньше
диаметра эллиптического отверстия. При сближении отвер-.
стия с границей полуплоскости наблюдается быстрый рост
напряжений в зоне между границами. Этот рост является
Рис. 6.1
84

более существенным в случае, когда параметр рх
(или Р2) значительно превосходит единицу, а с = alb
меньше единицы.
Действие внутреннего давления по контуру
эллиптического отверстия
К контуру эллиптического отверстия, ослабляющего
полуплоскость, приложено внутреннее давление
интенсивности q (рис. 6.2).
В данном случае в
системе F.15)
* 1 о*
Рис. 6.2
«= — -g- %; «I = Pi = о
(й>2). F.18)
Графики, изображенные
на рис. 6.2, аналогичны тем,
которые приведены на
рис. 6.1.
Приближение отверстия к границе полуплоскости
приводит к резкому увеличению концентрации напряжений
вблизи начала координат. Это увеличение наиболее
существенно при уменьшении отношения alb и когда р2 (или рх)
значительно меньше единицы.
Действие касательных усилий, равномерно
распределенных по контуру эллиптического отверстия
Пусть контур эллиптического отверстия находится под
действием касательных усилий интенсивности / (рис. 6.3).
В этом случае правые части уравнений F.15) принимают
следующий вид:
ai = -у ibt\
Pi = — -g-af;
О
F.19)
&k = Р/г
а искомые коэффициенты
ak и bk являются чисто
мнимыми.
85

На рис. 6.3 приведены графики, аналогичные
изображенным на рис. 6.1.
При сближении рассматриваемых границ происходит
увеличение концентрации напряжений в зоне между
контурами, за исключением точек, находящихся вблизи оси х.
Действие сосредоточенной силы на контуре
эллиптического отверстия, ослабляющего полуплоскость.
Пусть к контуру отверстия, ослабляющего
полуплоскость, приложена сосредоточенная сила таким образом, как
это показано на рис. 6.4.
^ j В отличие от
рассмотренных случаев здесь главный
вектор усилий,
приложенных к контуру отверстия,
отличен от нуля. В связи о
этим функции Ф7 (z7),
которые нужно определить из
граничных условий на
контуре отверстия, имеют вид
[21]
Ф, (zj) = Aj In t/ {zj) + IjAj In lj {zj) +
+ njAf+l In 1Я1 (zj) + J j-тг^г +
k=\
R/(*/)f
^+-^4-1, F.20)
Коэффициенты Л7 находятся из условия однозначности
напряжений и перемещений в рассматриваемой
полуплоскости. Если \ij = ip/, то
4Я0и(р2-р2+1) V -
С целью выделения особенностей функций Фу (zj) в
точках, соответствующих при аффинных преобразованиях
точке приложения сосредоточенной силы, введем новые
коэффициенты
afty=±^lF^T-aft/- F'22)

Тогда функции F.20) примут следующий вид:
Ф, {г,) = A, In lj (zj) + I, A, In l, (г,) + n,Ai+1 In £,+, (Z/) +
P/+i - P/
In
1.+
&(*/)
+
P/-M — P/
In
1+T
Рж - P/
In
1 +
w
(г/)
F.23)
+ V*/ [£/ (z/)] * + n,;a*,/+i [l,+i (г,-)] *}.
Неизвестные коэффициенты a*/, через которые по
формуле F.22) выражаются коэффициенты <%, определяются
из системы F.15), где следует принять
Р* = - [РА К -1) ей' + РА № -1) ей] л, -
- [РЛ (т* - 1) СШ + рЛ (т£ - 1) Cfl) A2 -
~ 2 р(рТ-1) ftVl (m' ~ 1) А& + hk (/П* ~ 1) Л$' ~
V=\
- Mi W - 1) А% - |32n2 (m5 - 1) А%]. F.24)
Здесь
С*" = ^Г J fln &» (г/I ^"'^; 4 = Щ- А,. F-25)
Для получения коэффициентов al в формуле F.24)
следует произвести формальную замену р;- и — 1 на единицу.
На рис. 6.4 приведен график, характеризующий
изменение напряжений а а по контуру кругового отверстия. При
построении графика считалось, что наименьшее
расстояние между контурами равно радиусу кругового отверстия.
Действие сосредоточенной силы приводит к тому, что
при сближении границ происходит резкий рост
концентрации напряжений в области между границами. Особенно
большие напряжения возникают (кроме точки приложения
сосредоточенной силы) в точках перемычки, близких к
прямолинейной границе. Остальные закономерности
изменения напряжений при сближении границ такие же, как
и в случае действия внутреннего давления.
87

Действие сосредоточенной силы на границе
полуплоскости
К границе полуплоскости, ослабленной эллиптическим
отверстием, приложена нормальная сосредоточенная сила
Р, направленная вдоль оси эллипса (рис. 6.5).
Функции Ф, (Zj) в данном случае примут вид [22]
Ф/(*/)
2»№/-1>Ж> |П^^МЬМГ +
+ Л К/ B,)]"" + /ii^./+i K/+i Ш k)
F.26)
Коэффициенты akj определяются из системы F.15), где
нужно положить
а*
■B)i
2ш (р! - р.)
[(m?+l)Ci-(m5+l)Cn;
F.27)
Р2 =
2я(Р,-Ря)
Ф
[Рх (mt — 1) Cin — р2 (m^ — 1) Ci2)].
р Здесь Ckf) —
коэффициенты, которые
получаются при разложении
функций In Zj в ряды по
полиномам Фабера в
областях, ограниченных
эллипсами L/. *
На рис. 6.5 изображен
график, аналогичный
приведенному на рис. 6.1.
В рассмотренном
случае закономерности
изменения напряжений при сближении границ получаются
такими же, как и при действии сосредоточенной силы,
приложенной к контуру эллиптического отверстия.
Р/2К
Рис. 6.5
Весомая полуплоскость с эллиптическим отверстием
Рассмотрим полуплоскость, которая находится под
действием собственного веса. Напряженное состояние
сплошной полуплоскости считается таким:
■р£*;
о°У
npgx\
*>ху
= 0.
F.28)
Здесь р — плотность материала полуплоскости; g —
ускорение силы тяжести; п — коэффициент бокового распо-
88

pa @ < n <; 1). Принято, что начало координат находится
на границе полуплоскости, ось х направлена
перпендикулярно границе, а ось у совмещена с ней.
После образования в весомой полуплоскости
эллиптического отверстия с полуосями а и Ь в ней возникнет второе
поле напряжений, характеризуемое функциями Ф; (zy).
Последние после удовлетворения граничным условиям на
прямолинейной границе принимают вид F.20). При этом
коэффициенты А} определяются из алгебраической системы
A.74), где
P\k = _ 9gnab\ P*yk = 0. F.29)
Бесконечная алгебраическая система для определения
коэффициентов ащ запишется в виде F.15). При этом
следует учитывать, что
al = ak — ak\ $1 = pi — p*, F.30),
где
«i == mnah, a2= -г- tuna2, Pi = mbli, p2 = -y- mab,
2
ak = P* = 0 (k > 2), ak = У> (т/Пу + 7%), F.31>
fik = 2 {^щТщ + р'ТцУ,
/=i
m = 4~ P£, П/ = Лх/A/ + 4"A/. F.32>
Коэффициенты С*/ и £>*/ получаются при разложении
функций In £j (г,) и In £2 (г/) в ряды по полиномам Фабера
ДЛЯ ЭЛЛИПСОВ Lj\.
Численные исследования показывают, что при
сближении отверстия с границей полуплоскости концентрация
напряжений возрастает быстрее, когда уменьшается
отношение полуосей Ыа и увеличивается коэффициент бокового*
распора п.
§ 3.
Напряженное состояние полуплоскости с двумя
эллиптическими отверстиями, линия центров
которых параллельна границе полуплоскости
Пусть отверстия, ослабляющие полуплоскость,
расположены так, как это показано на рис. 6.6. Контуры
отверстий загружены одинаково. При этом главный вектор
внешних усилий на каждом контуре равен нулю.
8&

Функции F.4) представляются так [11]:
оо
&=1
*+1
,— k
+ niflk.I+l Kw+i (гу)Г + (- l)^1 {а*/ [£_,,, (г,)]"* +
i/t.
+ /1уа*7 [t-w(*/)Г* + ¥wfUi (г/))""}}. F.33)
/"N\ Функции £p/ (г,-) и £р/ (*j)t где
j /к L A /-ч ^ p = ± 1, связаны с г, зависимос-
'ЛУ^О'гв^* тами
zf — pl = Rf gpj + ш/й/1);
z, — pl + 2i$fh = /?y (^ + m^1);
F.34)
= Rj+\ (£/»,/+i + m/+i^,/-j-i),
где 2J — расстояние между
центрами отверстий; h — расстояние
между центрами отверстий и границей
полуплоскости.
Бесконечная алгебраическая
система для определения
коэффициентов akj имеет вид
Рис. 6.6
йк\ + ak2 + 2 (MipkUpi + M2pkapi + МЪркар2 +
+ M4pkap2) = al;
oo
1хха^1 + p,aa*2 + 2 (М1р*аР1 + М^аР1 + М1ркар2 +
+ Mlpkdpz) = Pi .
F.35)
Здесь
M\pk = frkmUW + \i,l2mk2A{pkl) + (- 1)P+I ()h!iA{jrl) +
+ hkAfrl) + \xAC%-l))\ F.36)
Mlpk = &1W + i4Al) + (- 1)P+1 {Hhm\A%-l) +
Формулы для определения величин MlPk и MlPk
получаются из соотношений F.36), если в последних заменить
90

/,, А%п\ С&п) соответственно на nh B(Jkn\ C%n).
Коэффициенты Mrpk(r= 1,4) находятся из соотношений F.36),
если в них формально положить |х, = 1. Коэффициенты
А%п\ B{lf\ C%n) возникают при разложении функций
К/* (zi)> £w+i (zi)> £-*/ (zi) в РЯДЫ по полиномам Фабера
для эллипсов Lx/.
Если полуплоскость растягивается вдали от отверстий
усилиями интенсивности р, направленными вдоль линии
центров отверстий, то в системе F.35)
о* ibp *
Pi = y~ ; ai =
На рис. 6.6 сплошной
линией показано распределение
напряжений (Та по контуру
правого кругового отверстия
при l = h= 1,25 а;
пунктирная линия соответствует
случаю, когда вместо
полуплоскости рассматривается
плоскость с таким же отверстием,
а штрихпунктирная — когда
полуплоскость ослаблена
одним отверстием.
При действии на контурах
отверстий внутреннего
давления интенсивности q в системе F.35)
al = --^-; pi ^-; a* = p^0 (ft>2). F.38)
Если же на контурах отверстий действуют касательные
усилия интенсивности /, то
«1=-^-; Р? = -4"; а*ь = & = ° (А>2). F.39)
На рис. 6.7 и 6.8 изображены графики распределения
напряжений Oq, соответствующие случаям действия на
контурах отверстий нормальных и касательных усилий и
построенные для пластинки с теми же параметрами, что
и на рис. 6.6.
При растяжении концентрация напряжений в
полуплоскости с двумя отверстиями уменьшается по сравнению с
концентрацией напряжений в полуплоскости с одним
отверстием; если же на контуре действуют нормальные и каса-
*k = fk = 0 (ft>2). F.37)
91

Рис. 6.8
тельные усилия, то концентрация напряжений, наоборот,
увеличивается. Это увеличение тем больше, чем ближе друг
к другу отверстия.
§4.
Растяжение полуплоскости с двумя
эллиптическими отверстиями, линия центров
которых перпендикулярна границе
полуплоскости
Рассмотрим полуплоскость с двумя одинаковыми
эллиптическими отверстиями, линия центров которых
перпендикулярна границе полуплоскости. Полуплоскость
растягивается усилиями интенсивности /?, параллельными
прямолинейной границе (рис. 6.9).
Представления для функций F.4) возьмем такими:
2 оо
Ф/ (г,) = £ 2 {агк, [£,/ (zj)]-" + liflrki [In (Zi)]~k +
+ nlflrk,i+l[lr,i+l(zi)]-k}. F.40)
Здесь £г/ (Zj) и trj (zj) — функции, связанные с Zj
зависимостями F.7) и F.8), в которых вместо £7- нужно
записать £г/, a hx заменить на h2 при г = 2.
При удовлетворении граничным условиям на контурах
Lt (I = 1,2) функции £Д.и1 (z.) и 1ц (z) раскладываются
92

в следующие ряды по полиномам Фабера в областях,
ограниченных эллипсами Lji (как и раньше, считается, что
Л- 1 — I, если / = 2): ^i-v l
lbr(zi)]~l,^IiAiMPi!(zi);
F.41)
IU(*/I~*=2W<(*/)-
При этом
Коэффициенты ащ
удовлетворяют следующей
бесконечной алгебраической Рис. 6.9
системе:
оо 2
am + ат + 22 {[1г (т\ + 1) ArPk + l% (п& + 1) А?Ц +
+ (от? + 1) D%\\ arpl + [лх (от? + 1) В$ +
эB/)
+ п, (та + 1) #$ + № + О ВД «грй} = а»;
со a
М/« + Ьа/и +22 {[РАО*! - 1) Aill + F-43)
+ РА D - 1) /Q + Pi (rtf - 1) D{rlJl] arpl +
+ [Mi (m\ - 1) B<$ + рл (я£ - 1) B%l)k +
+ Pa(^2-l)^]flrp2}=*tt.
0
Здесь
аи = а21 = Ц-\ Cpi = apk = $Pk = 0 (p = 1, 2; A > 2);
П(/0_ СЙй при гф1,
Urki 0 при r = I,
При получении системы F.43) было учтено, что
коэффициенты ащ являются вещественными. В
рассматриваемой задаче это имеет место, если параметры \in (n =
= 1,2) являются чисто мнимыми (\in = фп).
93

На рис. 6.9 изображены графики, показывающие
распределение напряжений сто вблизи круговых контуров L, когда
hx = 1,25 а\ h2 = 3,5 а. Сплошные линии графиков
относятся к полуплоскости с двумя круговыми отверстиями;
пунктирные — к плоскости, ослабленной такими же
отверстиями; а штрихпунктирные — к полуплоскости с одним
круговым отверстием.
При сближении отверстий с границей полуплоскости
напряжения в полуплоскости вблизи контура L2
изменяются медленно. Влияние прямолинейной границы на
напряженное состояние полуплоскости вблизи этого контура
незначительно. Напряжения вблизи контура Ьг
изменяются при сближении с прямолинейной границей так же,
как и в случае полуплоскости с одним отверстием, однако
рост концентрации напряжений является более
интенсивным.
§ 5.
Полуплоскость с конечным числом
криволинейных отверстий
Пусть полуплоскость ослаблена N криволинейными
отверстиями. Будем считать, что контур Lr задан
уравнением E.1). Тогда функции, отображающие внешность
единичного круга на внешности контуров L7> в областях S/,
определятся соотношениями E.2), а связь между
функциями 07/ и от — формулами E.3).
Задача о напряженном состоянии такой полуплоскости
приводится к определению функций комплексных
переменных Фу (zy), удовлетворяющих на контурах отверстий
и прямолинейной границе условиям E.4). Функции Фу (zy)
представим так:
Л'
Ф; (Zj) = Ф°} (Zj) + Ф/0 (Zj) + У Ф,г (Zy). F.44)
Здесь Ф/ (Zj) — функции, характеризующие
напряженное состояние сплошной полуплоскости; Ф/о (Zj) —
функции, голоморфные в нижних полуплоскостях областей S/,
а Ф/а fa) — в областях S/ вне контуров криволинейных
отверстий. Функции Ф]Г (zy) можно представить в виде
оо
Ф/л (г/) = 2 arki ['in {Zri)Vk . F.45)
Переменные tr\ связаны с zr,- неявными
зависимостями E.2).
64

Из граничных условий E.4) на прямолинейной границе,
где /и = fr2 = 0, методом Н. И. Мусхелишвили найдем
Ф/0 (г,) = у у ( _1>'У . + _"ffe2J . F.46)
Величины lj и я, находятся по формулам F.3), а
переменные \г\ и £Г2 связаны с zrj следующими зависимостями:
г„ + Нг, = - (m(i'Uri + j| ™№j ;
оо
F.47)
/г=1
где
Нп-К + Ъ; % = ■£-; *--J^
S = \2 (/«!). (М8)
Функции llrt (Zrj)]~k и l£m/ (*mj)rk (г = l7~W; m ^ /?)
являются голоморфными внутри криволинейных контуров
LjP в областях S/. Их можно разложить в ряды по
полиномам Фабера для контуров LiP. Эти разложения получаются
такими:
[1п{гп)Гк = ^А%^РГ{гР1У,
[U {zn)rk = % В№Р?» (zPi); F.49)
оо
где полиномы Фабера Р[р/) имеют вид соотношений E.8),
а коэффициенты разложений в выражениях F.49)
вычисляются по формулам E.9).
Функции Ф/ (zj) станут такими:
Ф, (г,) - Ф? + У I ,„ afufe + У *W Bр/)). F.50)
Здесь
ЛИ7' - 2 {1,А$а,к1 + л^ + 2*СЙРа,*,. F.51)
95

Знак (*) означает отсутствие в сумме слагаемого с
индексом г — р.
Из граничных условий E.4) на контуре Lp, где
lPj (Zpj) = (Тр/, учитывая соотношения E.3), методом
рядов получаем следующую алгебраическую систему для
определения коэффициентов ари\
Здесь
S 2 [А& (в* + di%) + Ж»<№) = V;
/=1,2 s=l
2 2 ИГ (в*, + di%) + A&W] = б,р2
/=1,2 s=l
• (p = T7/V; * = i, 2, з, ...).
F.52)
а№ = flps/S// + 212 {№$% + /Л5»/) F.53)
(/=1, 2);
. _jl (/ = s),
Os'-|0 (f^s);
в/:.?/ — коэффициенты, зависящие от загружения
контура Lp.
После нахождения коэффициентов арщ функции
Ф; (Zj) становятся известными. Напряжения,
возникающие в полуплоскости, определяются по формулам A.43).
Растяжение полуплоскости, ослабленной криволинейным
отверстием
Пусть полуплоскость, ослабленная криволинейным
отверстием, растягивается усилиями /?, приложенными на
бесконечности параллельно к ее границе. В этом случае
в соотношениях F.5) нужно положить N = 1, а
коэффициенты С{гры считать равными нулю. Если принять, что
|л7. = фу, то для рассматриваемого загружения
коэффициенты функций ару будут вещественными.
Функции Фу (Zj) получаются такими:
Ф5(г,) = Л/гЛ F.54)
где
_РгР . Йр_
2$-Р?> ' 2 2 01-рр
9в
Al=aio?"л ; л. —тттгпА • <6-55>

Правые части системы F.52) имеют вид
*ш = — A + <*ii) Е\ бш = A — ап) F;
foil = — CL\kE\ 6jfei2 = — ClikF.
Здесь
£ = A1sn + A2s12; F = AJhfa + A$2s22. F.57)
На рис. 6.10 изображены графики, характеризующие
распределение напряжений ог0/р в случаях, когда полу-
Рис. 6.10
плоскость ослаблена прямоугольным отверстием с
соотношением сторон alb = 2 (рис. 6.10, a), alb = 0,5 (рис. 6.10, б)
и alb = 1 (рис. 6.10, б). На рис. 6.10, а сплошные линии
соответствуют расстоянию hx = 1,25 а, а на рис. 6.10, б, в —
hx = 1,5 а. Пунктирные линии показывают распределение
напряжений, когда вместо полуплоскости рассматривается
плоскость с таким же отверстием.
Влияние границы полуплоскости на ее напряженное
состояние вблизи отверстия становится существенным,
когда расстояние между границами меньше стороны
отверстия. При сближении отверстия с границей полуплоскости
напряжение сильно растет в точках перемычки вблизи
отверстия. В случае, изображенном на рис. 6.10, а,
концентрация напряжений при сближении отверстия с границей
возрастает быстрее, чем в случаях, показанных на
рис. 6.10, б, в.
4 6-1539
97

Действие внутреннего давления
Если контур отверстия находится под действием
внутреннего давления интенсивности /?, а вдали от отверстия
полуплоскость не загружена, то
Ф/B/) = 0. F.58)
Коэффициенты арщ в этом случае можно определить из
системы F.52), где следует принять
я _ A+Дц)Р . я _ A—%i)P .
2 2 F.59)
с a\kP с а1/гР
0/г11 = о » °^12
2 ' ~*1Z 2
Действие на контур отверстия внутреннего давления при
сближении отверстия с границей полуплоскости вызывает
более быстрый рост напряжений, чем растяжение
пластинки.
§6.
Периодическая задача для полуплоскости
с криволинейными отверстиями
Рассмотрим полуплоскость, ослабленную
бесконечным рядом одинаковых криволинейных отверстий, центры
которых лежат на прямой, параллельной границе
полуплоскости L. Расстояние между центрами отверстий примем
равным /, а между линией центров отверстий и
прямолинейной границей — h. Отверстие, в центре которого находится
начало координат, назовем основным. Обозначим его
контур через L0, а остальные — через Lr (г = ±1, ± 2, ...).
Внешние усилия на бесконечности создают однородное
поле напряжений.
На контурах отверстий, ослабляющих полуплоскость,
заданы либо внешние усилия, главные векторы которых
равны нулю, либо равные нулю перемещения, что
соответствует случаю подкрепления отверстий абсолютно
жесткими кольцами.
В такой пластинке напряжения периодически меняются
вдоль прямолинейной границы, причем период равен /.
Функции Фу (z;), с помощью которых определяется
напряженное состояние рассматриваемой полуплоскости, имеют
вид соотношений F.44), где индекс г меняется от —оо до
+ оо.
98

Функции Ф/А B/)9 голоморфные вне криволинейных
отверстий L;>, представим так:
ФИ*/) = 23в*/Кг/Bг/)Г*.
k=\
F.60)
F.61)
Переменные £г/ связаны с гЛ/ зависимостями
оо
zri = г,+ irlfr = т%Лп + 2 tri&ZTf .
Функции Ф/о (Zj) определим методом Н. И. Мусхелиш-
вили, удовлетворив граничным условиям E.4) на контуре
прямолинейной границы. Будем иметь
ф/о(^)= £ £
haki i niak2
^-ooft-llklM* ' f^^l*
F.62)
Здесь переменные £ri и £г2 связаны с 2, следующими
зависимостями:
_ Zj -2h — trip, = m{Ailn + v *иЙ£}*;
fe=r-0
^ „,(s)f-/2
*=0
F.63)
Решение периодической задачи получается более
простым способом, если в выражениях F.61) и F.63)
выполняются следующие неравенства:
l*/l<|WM4t4; I*/KI2*+wP/I =
I Лг/0 I
\j\
\sizi\<\h{\-si) + mJ\ =
1
F.64)
V/2
В этом случае выражения F.60) и F.62) можно
разложить в сходящиеся ряды по малым параметрам Хф. Будем
иметь
1=0 i=I
&.(*/)]-*■= I fiii^o/ + il BiW; F-65)
t=0 t=l
i=0
t =1
99

Здесь
00 00
2j 2j ^ -^ mrn^k^-hmtnn-l,n+iL>m+n-\-i-.l(—1) ,
/г=0 m=A»
oo oo
/|</2) _ V V am+" * m^ . , m('> • , Гп t n™+".
Л^/гл = V > ^ "m" m~"*""*UmMn+t—lnL>m+n—l (— 1)
n=0 m=k
oo oo
t>ikr = У, V М2 -jfi-tnm—k*=Lmffln—\tn+tSj bm+n+i~l(—1) ,
F.66)
OO 00
Я№ __ V V \m+n k m(s) . m('! 1 спГп I \\m
ikr 2j 2j '2 ~^'rnm~k—^mrnn+i-l'nSiLjm+n-\(—1) ;
n=0m—k
oo oo
С Ikr = V 2j ^r/° "^T mm—k—l*"imn—lfti+ iCm+n+i— 1 (— 1) I
«=0 т=/г
oo oo
C/kr ■= \ ;, V/0 —mm-k—ltmfTlh-{-i—\,nCm-\.n--i(— 1)".
n=0 m=&
При этом значения т{Ц вычисляются по формулам E.24).
Ряды F.65) будут сходиться внутри круговых контуров,
охватывающих основные контуры L/0 в областях Sj.
Учитывая соотношения F.65), функции Ф7 (zj) запишем
в виде
оо оо оо
Ф, (*,) = Ф? (г,) + y\jf+tl iMKi + 0BW. F-67)
где
^ = 2*%G^ + 2 (lflklA№ + njanB№) (/-1,2).
/•из-^оо Г=—OO
F.68)
Знак (*) означает отсутствие в сумме слагаемого с индексом
г=0.
Для отверстий, близко расположенных друг от друга,
а также от прямолинейной границы, условия F.64) могут
не выполняться при некоторых значениях индекса г (см. § 5
гл. IV). Функции £7i\ £я* и £^й с этими значениями
индекса г следует представлять в виде рядов по полиномам Фа-
100

бера внутри криволинейных контуров Ll0. В этом случае
lla(zn)rk = ± АУЫ*?»(zoj);
*=1
оо
[In (ггдГ" = 2 B%Pf!) (г0/); F.69)
1=1
^/(^/)Г" = 2С^0/)(г0/),
где P?j)(zoj) — полиномы Фабера, определяемые по
формулам E.8), а коэффициенты A^kh в% и С%
вычисляются по формулам E.9).
При этом коэффициенты D$ примут вид
г=—оо r=—N-
СО
г=—оо
F.70)
r=_JVy n=I
+ 2'4W4£4 лАЛ +
/=r—ОО
г=—М. /1=1
Знак (**) означает, что в суммах отсутствуют слагаемые
с индексом г, для которых не выполняются условия F.64),
a Afy и Му — максимальные значения этого индекса.
Учитывая соотношения E.3), из граничных условий
E.4) на контуре L0, где £0/ B/) = о-о/, методом рядов
получаем следующую бесконечную алгебраическую систему для
определения коэффициентов а^-:
2 S И*? (б* + a) + ЛМД] = Ya!
/=i,2 _i FJ1)
2 2 i^ (в* + 3<°£*) + 4»] =- yk2.
/=1,2 s=l
101

Здесь величины уш зависят от загружения основного
контура L0j a
AT = asfslf + fj v (D^)S// + Ъ%%) (I = 1, 2). F.72)
После определения коэффициентов а*;- становятся
известными функции Фу (Zj). Напряжения, возникающие
в полуплоскости, находятся по формулам A.43).
В качестве примера рассмотрим случай, когда
полуплоскость ослаблена бесконечным рядом прямоугольных
—— отверстий. Соотношение
сторон а : Ъ = 1 : 2.
Приведенная кривизна в
угловых точках равна 15.
Полуплоскость
растягивается усилиями р,
приложенными на бесконечности,
параллельно к границе
полуплоскости. В этом случае
выражения для функций
Ф/Bу), а также для правых
частей системы F.61) будут
такими же, как в
соотношениях F.54), F.55).
На рис. 6.11 изображены
графики распределения
напряжений вблизи контура
основного отверстия для полуплоскости, изготовленной из
фанеры. Сплошные линии соответствуют случаю, когда h =
= 1, 5а, / =* 2,5 Ь\ пунктирные — h = оо, / = 2, 56; штрих-
пунктирные — h = 1, 5а, / = оо.
При сближении неподкрепленных отверстий с границей
полуплоскости концентрация напряжений вблизи
контуров увеличивается, когда расстояние между ними и
границей полуплоскости меньше половины стороны а. В
случае сближения подкрепленных отверстий с границей
полуплоскости концентрация напряжений вблизи контуров
изменяется незначительно.
Уменьшение расстояния между отверстиями ведет к
снижению концентрации напряжений в случае
неподкрепленных отверстий. Если же отверстия подкреплены абсолютно
жесткими кольцами, то при их сближении наблюдается
значительный рост концентрации напряжений.
J 02

Глава VII.
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИНКИ
С ОТВЕРСТИЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ УПРУГИМИ
АНИЗОТРОПНЫМИ ЯДРАМИ
§ 1-
Постановка задачи
Рассмотрим пластинку, ослабленную N
эллиптическими отверстиями, в которые вклеены или впаяны
упругие ядра, изготовленные из других анизотропных
материалов. Пластинка деформируется внешними усилиями,
приложенными вдали от отверстий (теоретически на
бесконечности).
Контуры отверстий, область, занятую срединной
плоскостью пластинки, и области ядер обозначим соответственно
через Lp (р = 1, N), S и Sp,
Напряженное состояние пластинки будут
характеризовать функции Фу (Zy), а ядер — функции Ф|-р) (г)р)).
Граничные условия на контурах отверстий,
заполненных ядрами, характеризуются тем, что усилия Хп,
действующие со стороны пластинки на ограниченное контуром
Lp ядро, равны по величине и противоположны по знаку
усилиям Х{п\ действующим на пластинку со стороны
рассматриваемого ядра. Кроме того, в местах соприкосновения
пластинки и ядра их перемещения одинаковы.
Поэтому с учетом формул A.15), A.47) и A.52)
граничные условия на контуре Lp для искомых комплексных
потенциалов представим так [54]:
2Re% [Ф,-(tj)-ФГ(Г)] = -^-:
2 Re |] [^(ВД) - »f <Pf> D"')] = 4^;
2 Re £ [Р/Ф/ ('/) - РГ®Т DР))] = - и° - со,*/;
/=i
2 Re |j [qjOj (/,) - qfW? (#>)] = -v° + copx.
В граничных условиях G.1) величины с индексом (р)
относятся к рассматриваемому ядру, а отмеченные ноли-
G.1)
103

ком — к сплошной однородной пластинке. Напряжения,
возникающие в сплошной пластинке, связаны с функцией
F0 зависимостями A.8), которые при отсутствии объемных
сил принимают вид
о d2F> о д2Я> о д2Я> 1П 0ч
axl=*-W* °y=~w> %*у=*—зйг- G-2)
Перемещения и0, v° определяются из уравнений закона
Гука A.2) с учетом зависимостей A.3).
Если поворот ядра отсутствует, то о>р = 0.
Определение функций Фу (zj) и Ф{р (z?) из граничных
условий G.1) проводится методом рядов.
Знание указанных функций позволяет из выражений
A.43), A.51) найти напряжения и перемещения,
возникающие в пластинке. Напряжения и перемещения,
возникающие в ядрах, определяются по формулам
of = 2 Re 2 №Ф?} (zf), < = 2 Re J] Of) {zf}),
G.3)
G.4)
/=-1 /=i
T^ = _2Re|]^H(/)(^));
и,™ « 2 Re J] pf ^ B(/p)) - copt/,
o<p> = 2 Re J] ^(Df (zf>) + (opJC.
§ 2.
Напряженное состояние пластинки
с двумя упругими ядрами
Растяжение пластинки
Пусть в эллиптические отверстия пластинки,
рассмотренной в § 1 гл. IV, вклеены или впаяны упругие ядра,
изготовленные из другого анизотропного материала.
Функция напряжений F0, соответствующая
напряженному состоянию сплошной пластинки D.1), имеет вид
F°(x, y) = -^(qx2 + py2)- G.5)
Если жесткое перемещение всей пластинки отсутствует,
то проекции вектора смещения и0 и v° получаются такими:
и?.= (ЯцР + a12q) x\ v° — (апр + a22q) у. G.6)
104

Функции Фу (Zj) будут иметь вид разложений D.3),
а функции Ф/1} B()}), характеризующие напряженное
состояние правого ядра (в левом ядре, в силу симметрии,
напряжения легко восстанавливаются), представим в виде
рядов по полиномам Фабера, т. е.
^^-S'HW-O. G-7)
Учитывая представление D.26) из граничных условий
G.1) на контуре правого отверстия методом рядов получаем
следующую бесконечную алгебраическую систему для
определения коэффициентов а$ и Cjk'.
v (Bjk - c,ktik) = 6U; 2 <M/* + P? VJ*) = S2,;
2 2
v (Р/в/Л _ pfcjktjk) = 63ft; 2 (<7/Ч* + ?/(%*/л) = б4Л.
Здесь
В/л = fl/л + A + m)) Ajkn; tfk * A + m?)k);
i]k = {\— mfk)\ dfk =afk — {l — rnj) AIkn\
6si = — -у- (ЯцР + ai2?); 64i = — -y- («i2p + a22q);
6r* = 0 (r = I74; ft>2).
В точках спая пластинки с эллиптическим ядром
наиболее интересно найти напряжения аг, сг0 и тге,
действующие на площадках, касательных и нормальных к контуру
отверстия, в которое впаяно упругое ядро. Они определй-
ются по формулам
аг = С'2 (А2ох + В\ + 2АВъху);
ае = (Г2 (В*ох + А\ - 2АВхху); G.10)
где
9
х) + \™ — " ) 1ху.
С2 = А2 + В2; А = ccosG; В = sin 6,
тге = С [АВ (од - ох) + (Л2 - В2) %ху],
105

Если ядра являются абсолютно жесткими, то бесконеч*
ная алгебраическая система для определения
коэффициентов а/&, входящих в выражение D.3), получается из двух
последних соотношений системы G.8) при Cjk = 0. Если
же ядра являются абсолютно гибкими, т. е. отсутствуют,
то аналогичная система получается из первых двух
соотношений системы G.8) при
Cjk = 0.
На рис. 7.1 приведены
значения напряжений ог и
(Те по контуру правого
отверстия. Сплошные линии
графиков относятся к
случаю, когда пластинка
изготовлена из фанеры (Р1=4,11;
C2 =0,343), а пунктирные —
когда пластинка
изготовлена из СВАМа (Рх = 1,89;
Р2 = 0,531). При этом было
принято, что а = с = 1;
21 = 2,5, а ядра изготовлены
из материалов, для которых
Рис. 7.1
упругие постоянные а}/
пропорциональны соответствующим упругим постоянным
материала пластинки, т. е. a\f = Хац, где X — коэффициент
пропорциональности. На рис. 7.1 рассматривается случай,
когда X = 2.
На рис. 7.2 приведены графики, отражающие изменение
максимальных напряжений в фанерной пластинке с
круглыми ядрами в случае сближения последних.
При растяжении пластинки вдоль линии центров ядер
их сближение не оказывает существенного влияния на
концентрацию напряжений, если 0,2 < Я < 20. Если 0 <
< X < 0,2, то это влияние становится существенным, когда
расстояние между ядрами меньше диаметра одного из них.
При X > 20 взаимное влияние ядер на напряженное
состояние пластинки проявляется даже тогда, когда
расстояние между ними больше двух диаметров.
Если пластинка растягивается поперек линии центров
ядер, то их взаимное втшяние на концентрацию
напряжений в пластинке становится существенным, когда
расстояние между ядрами меньше диаметра одного из них, а
Х>2.
Замена круговых ядер эллиптическими приводит к сни-
106

4
3
2
1
О
3
A
/
Ol
I (P*0, q=
l^-
/
0)
A=~ J
20
/0
5
2
oj
> 2A-0/A
\x(P*0,q-0)
^>o]
\4tf
■(P*0, 9^j
2 2(Z-aj<z
A=0
VQ2
;/
/0
9
8
7
6
4
/I
nl
(P=0, q,
\W
^
^
"^^^
'*)
—«—
a—J
20]
/o]
5j
2
0
2 2(f-c0a
Рис. 7.2
2(t-a)a
жению концентрации напряжении при растяжении
пластинки вдоль линии центров ядер и к увеличению
концентрации — при растяжении поперек линии центров.
Чистый сдвиг пластинки
Ортотропная пластинка с двумя эллиптическими
ядрами деформируется касательными усилиями интенсивности
t таким образом, как это показано на рис. 7.3. При
действии этих усилий в сплошной однородной пластинке [54]
F0 (х, у) = — txy; u° = 0; xfi = /a66*. G.11)
Коэффициенты a}-k и Cjk, входящие в разложения D.3)
и G.7), в данном случае получаются чисто мнимыми.
Представим их так:
Щь, = lCljk\ Cjk ■
icjk.
G.12)
107

Бесконечная алгебраическая система, которой
удовлетворяют коэффициенты а% и c*k> имеет вид
2 D + t)kPfk) = би; 2 (Р/&;* - $ VJ0 = б%;
?=i
/=i
2 2
2 (pydj* + pfHikCfk) = s3fe; 2 (яУ/к — ?///*4) = <V
G.13)
Здесь
/=i
бает
о #т # д ас©
; о21 — =— ; 031 — о
64i = 4" (^бт + ©i); б^ — 0 ('=1,4; & > 2).
G.14)
*{ ®3^г{*
Рис. 7.3
Коэффициенты В** и d]k получаются из выражений
G.9), если в последних формально заменить неизвестные
afk и сik на aJk и с)и-
Величина (ог представляет собой угол, на который
поворачивается правое ядро. Эта величина определяется из
условия равенства нулю момента усилий, действующих на
ядро со стороны пластинки. Это условие приводит к
выполнению следующего равенства:
aii A + Фд + Я21 A + Ф2) = 0. G.15)
На рис. 7.3 построены графики, аналогичные
приведенным на рис. 7.1 для случая, когда пластинка деформиру-
108

ется касательными усилиями. В фанерной пластинке
концентрация напряжений получается большей, чем в
пластинке, изготовленной из СВАМа.
При X >> 1 максимальное значение ае превышает
максимальные значения ог и тге. Если же % < 1, то
максимальные значения каждого из компонентов напряжений
существенно зависят от материала пластинки.
Чистый изгиб полосы
Имеем ортотропную полосу, ослабленную двумя
эллиптическими отверстиями, в которые вклеены или впаяны
ядра, изготовленные из другого ортотропного материала.
Ширина полосы намного превосходит диаметр одного из
отверстий, а сами отверстия
значительно удалены от
сторон полосы. Вдали от
отверстий полоса
деформируется усилиями, которые
приводятся к изгибающим
моментам М (рис. 7.4).
Для сплошной
однородной полосы [54]
и0 = — апху;
G.16)
Напряжения,
возникающие в полосе, будут
нечетными функциями, что
следует из физической и гео-
метрическо й си мметр и и,
имеющей место в рассматриваемой задаче. В связи с этим
представления для функций ФДгу) и ФA)^!)) возьмем такими:
Ф/ (*/) = i 2 *!k {Kiy (*/)Г* + (- 1)" lb tf + 2/)]"'}; G.17)
ф^п - Ф^ЧгГ). G.18)
л«1
Рис. 7.4
109

При этом следует учесть, что функции £i/ и £2/ связаны
с Zj зависимостями D.4).
Система для определения коэффициентов ajk и c]k
остается в виде G.13). Следует только иметь в виду, что в
выражениях D.27) бп = (— 1)п. Кроме того, нужно принять
S22 = -#- а2с2'> б21 = 82k = 0 (k > 3);
6з1 = — ~2р сиЛаХ1 y ашг> 6з2 = 5jr я2ши;
G.19)
*« = — -jt а1<2и ~ ~ ш* 8ы = ¥~(а11~~ са^
S3* = S4^0 (А>3).
Угол поворота правого ядра сох определяется из
уравнения G.15).
На рис. 7.4 построены графики распределения
напряжений ог и ое в фанерной пластинке по контуру правого
отверстия, заполненного упругим ядром. Сплошные,
пунктирные и штрихпунктирные линии графиков соответствуют
случаям, когда отверстия заполнены упругими (X = 2),
абсолютно жесткими (А, = 0) и абсолютно гибкими ядрами
(к = оо).
При 0 < X < 1 концентрация напряжений в полосе
вблизи ядер незначительная. Напряжения в пластинке из
СВАМа получаются несколько меньшими, чем в фанерной.
Упругие ядра оказывают влияние на распределение
напряжений в пластинке лишь в непосредственной близости
от отверстий.
§з.
Растяжение пластинки с тремя упругими ядрами
Пусть пластинка, рассмотренная в § 2, ослаблена
тремя одинаковыми эллиптическими отверстиями, которые
заполнены упругими ядрами. Контуры отверстий обозначим
через Lp (р = 0, 1, 2), а
расстояние между центрами
отверстий— через /. Вдали
3 от отверстий пластинка
растягивается усилиями р и q
I I i I t I I I I I И (рис. 7.5).
Рис. 7.5 Функция напряжений F0
ПО

и проекции вектора смещения и0 и и0 имеют вид
соотношений G.11).
Учитывая геометрическую, силовую и упругую
симметрии, функции Фу (г/) представляем в виде
ф/ (*/) = £ 4] [Со/ («/)]"* + I а/* (Ki/ (*/ - ог* +
£=1,3,... fe=l
+ (-l)fc+1ICi/B/ + 0rt G.20)
Здесь функции £i, и £2/ связаны с г зависимостями D.4).
Аналогичная зависимость имеет место для £о/.*
г, = 4"lA + М ^ + A _ М 6v1]- G>21)
Выражения для функций Ф/!) (г*1*) остаются в виде
разложения G.7), а
Ф<0)(г<0)) = 2 4М?D\ G-22)
6=1,3,...
При удовлетворении граничным условиям на контуре
среднего отверстия предварительно разложим по
полиномам Фабера в областях L0/- следующие функции:
[b/fe + 'r^J^/W;
**° G.23)
К1/(г/-0Гп = S (- l)*+nA)knPk,(z,).
Тогда граничные значения функций G.20) и G.22)
примут вид
Ф/С/)- £ [af^k + 2A%(ak + mkia-k)y,
мл... G>24)
ФГD0,)= £ $<°Ч«Г°Л
fe=l,3,...
Л/2» = 2 (- 1)я+1Л/лла/п. G.25)
На контуре правого отверстия аналогичным образом
будем иметь
Ф/ (*/) = 2 а,*<Г* + (Ajkn + Л;*„) (о* + mfa~k);
4=1 G.26)
in

Коэффициенты Л/*„ имеют вид D.27). Для получения
коэффициентов А^п нужно использовать разложения по
полиномам Фабера в областях, ограниченных контурами
Li/, функций ^Д т. е.
бП*/) = 2 A%Pk}(zf-l). G.27)
Коэффициенты Л/л„ могут быть выражены следующими
равенствами:
А)ы = S ЛМ?. G.28)
/1=1
Из граничных условий G.1) на среднем и правом
контурах отверстий (на левом они удовлетворяются
автоматически) получим следующую бесконечную систему для
определения введенных постоянных коэффициентов:
S № - tjk4) = б1Л; |j (p,dj? + pj VJ?) = <W
V (q]df + ^%$) = 64, (k = 1, 3, ...); G.29)
2 № - tikCjk) = 6Ы 2 (MP + PJ V/*) - V.
v. (p,^ - p}%> = бЗЛ; £ (^ - ?;(IW)=6**-
;=1 /«1
Здесь бг^ (r = 1, 4), /# и fyfe определяются из
соотношений G.9);
b№ = 4 + 2(i + nbAjL 4) = 4)-2(i-m/V^;
G.30)
fc)i> « Д/Л + A + m*) (Afkn + A)kn)\
d$ « а7* — A — mf) (Afkn + A*kn).
Основные закономерности, установленные ранее для
пластинки с двумя упругими ядрами, остаются в силе и для
пластинки с тремя ядрами. Увеличение количества ядер
приводит к уменьшению концентрации напряжений в плас-
112

L, —
О О ф,0 О
тинке, когда она растягивается вдоль оси (к при % > 1
и вдоль оси Or/ при X < 1. Увеличение количества ядер
вызывает рост концентрации напряжений, когда пластинка
растягивается вдоль оси Ох при ^< 1 и вдоль оси Оу при
Л> 1.
§4.
Периодическая задача для пластинки
с упругими ядрами
Пусть в отверстия пластинки, рассмотренной в
§ 3 гл. IV, впаяны или вклеены ядра, изготовленные из
другого анизотропного материала. Пластинка деформируется
усилиями, действующими вдали от отверстий таким
образом, что в направлении линии центров отверстий
наблюдается периодичность в рас- q
пределении напряжений. | | ) у\ { | |
Для примера рассмотрим
случай растяжения
пластинки усилиями р и q
(рис. 7.6).
Функции Фу (zj) и
®Т(гТ)> характеризующие
соответственно напряжен- Рис. 7.6
ное состояние пластинки и
основного ядра, в центре которого находится начало
координат, имеют вид разложений D.30) и G.22).
Если в областях 5у вокруг основных контуров
отверстий можно провести окружности, не пересекающие
соседних контуров, то внутри этих окружностей функции Фу (Zj)
можно разложить в ряды Маклорена
со оо оо
2* 2 а/* [£»/(«/+ «/)]"*= V Afjtf, G.31)
п=—оо 6=1,3,... т=0
где
4$ = -^lta j£f 2' f; afkgfn(Zi + nl)rk\ G.32)
Ha контуре основного отверстия функции Фу0) (zf})
имеют вид соотношений G.24), a
Ф/(*/)= J ldikO-k + Alk(ok + mk}o~k)]. G.33)
6=1.3
I М I I I »
ИЗ

При этом
Ajk = 5 А%+2С[+2т)Гт)х. G.34)
Алгебраическая система для определения
коэффициентов cijk и Cjk получается в виде системы G.8), в которой
коэффициенты А^п нужно заменить на Л,-*. Последние
легко получить из разложений G.32), если т/о//<1. Пусть
Л,* = J А%та,т. G.35)
т=1,3,...
Сохраняя в разложениях G.32) члены, содержащие
малый параметр е = 1~х в степени, не выше наперед
заданной (например, до еб), получаем следующие приближенные
значения для коэффициентов A*km:
А)\\ = — R) {К2е2 + Ьт^т^г4, + Ь0т%т2пХв^)\
Л*13 - - 3R) (Х^ + 15т/от/Лев); Лу*15 - - 5# /V5; G.36)
Л*31 = — #/ (V4 + 15т/0т/Лев); Л*33 = — Ш>вев;
Л/51 = -6#^6еб; fl, = m/0.
Здесь, как и в § 3 гл. IV,
оо
1Р = 2 ^ ft"" (P = 2, 4, 6). G.37)
Если же т;о/1> I, то разложения G.32) не будут
справедливы на основных контурах в областях Sf. В этом
случае для функций Фу (zj) нужно взять представления
вида
00 Г ОО
ф/ (z/) = 2 а/* К/ («/)]* +2*2 «/* К»I («/ + "Or* +
+ 1" 2 aikgni(Zi + nl)rk. G.38)
rt=—со fc=l,3,...
Знаки (*) и (**) означают отсутствие в суммах членов
соответственно с номерами /2 = 0 и п = 0, ±1, ..., ±л
Для определения г нужно охватить окружностями
основные эллипсы Lj. Наименьший номер эллипса пу который
оказывается вне этих окружностей, и будет равен г.
Разложим функции [£л/ (zy + nl)] при п = ±1, ± 2,...
..., ±г в ряды по полиномам Фабера в областях, ограни-
114

ченных контурами Lf. Будем иметь
Ibt/ (*/ + п1)Гт = 2 Л{ЙЛ/Л (гу). G.39)
Последняя двойная сумма в выражении G.38) может
быть разложена в ряды Маклорена
IT 2 */* К/* (г/ + м/)Г* - 2 А№#> G.40)
/г=—оо 6=1,3,... т==0
где Л$ вычисляются из разложений G.32). В последних
при суммировании необходимо опустить слагаемые с
индексом п = 0, ±1, ..., ± г.
На контуре основного отверстия выражения G.33)
сохранят свой вид, но коэффициенты Л7* будут такими:
Aik =A*k+2 У. v A{lLa,m. G.41)
п—\ m=l,3,...
Коэффициенты Л/* вычисляются по формулам G.34),
когда A{fk берутся из выражения G.40).
В рассматриваемой пластинке для напряжений имеют
место те же закономерности, что и в пластинке с тремя
ядрами.
§5.
Двоякопериодическая задача для пластинки
с упругими ядрами
В отверстия пластинки, рассмотренной в § 5 гл. IV,
вклеены или впаяны ядра, изготовленные из другого
анизотропного материала. Пластинка деформируется
усилиями, действующими вдали от отверстий таким образом, что
для напряжений, возникающих при этом, имеют место
соотношения D.48). Функции Ф7 (zf) и Ф/0) (zf])
представляются в виде рядов D.56) и G.22).
Для определения коэффициентов щь и Cjk из
граничных условий G.1) на контуре основного отверстия получим
бесконечную систему вида G.8), в которой
оо
Ajnk = 2 a2k-\,jBjnk. G.42)
/2=1
Здесь коэффициенты Bink вычисляются по формулам D.57)
или D.62).
После определения функций Ф;- (г;) и Ф(у0> (zf)
напряжения, возникающие в пластинке и ядрах, находятся по
формулам A.43) и G.3).
115

На рис. 7.7 даны графики изменения напряжений сгг
по контуру основного отверстия. Было принято, что
а = Ь\ сох = со2 = 2,1а; Pi = 4,11; р2 = 0,343.
Сплошная, штрихпунктирная и пунктирная линии относятся
Рис.7.7 Рис. 7.8
Аналогичные графики, показывающие изменение
напряжений сге> приведены на рис. 7.8. Здесь пунктирные
линии относятся к случаю, когда отверстия пластинки
свободны от внешних усилий (А, = сю).
При сближении отверстий концентрация напряжений
существенно изменяется, когда значения К либо очень
велики, либо близки к нулю.
§ 6.
Двоякопериодическая задача для пластинки
с криволинейными отверстиями, подкрепленными
упругими ядрами
Пусть в отверстия пластинки, рассмотренной в
§ 4 гл. IV, вклеены или впаяны упругие ядра,
изготовленные из другого анизотропного материала. Пластинка
деформируется усилиями, действующими вдали от
отверстий таким образом, что для напряжений, возникающих
при этом, имеют место соотношения D.48).
Обозначим через Ьг контур основного отверстия, а через
L2 — контур его ядра. Функции, отображающие области
внешности единичного круга на области вне контуров Lfr
(здесь и в дальнейшем величины с индексом г г= 1 относят-
Ш

ся к пластинке, а с индексом г = 2 — к ядру), имеют вид
зависимостей E.2).
Решение задачи о напряженном состоянии
рассматриваемой пластинки сводится к определению функций Фг/ (zrj)
из граничных условий G.1).
Функции <1>2/B2/), характеризующие напряженное
состояние ядра основного отверстия, могут быть представлены
в виде следующих рядов:
Ф2/(^) = |аРР^2/). G.43)
Здесь Р{Р (z2/) — полиномы Фабера для областей,
заключенных внутри контуров L/2. В областях изменения
переменных £г/ эти полиномы можно представить в виде
формул E.8).
Представления для функций Ф[} (zij) остаются
в виде разложений D.50). Граничные значения этих
функций на контуре L,i принимают вид соотношений E.22).
После определения функций Ф^ (z\j) и Ф2/ (z2/)
напряжения, возникающие в пластинке, находятся из
выражений A.43), а в ядрах — по формулам G.3).
Пусть пластинка растягивается усилиями р и q
соответственно вдоль и поперек оси Ох. Алгебраическая система
для определения введенных коэффициентов примет вид
v v 2 [А№ (б£Д* + 8nk + d№) -
/=1,2 i=\ n=l
- В$ (dSH* + bnk + dgP)l = 6 H;
/=j,2i=l rt=l
- B№ (d%U + fin* - 6SPI = ви; G44,
2 2 2 f^' (Л + ^ + d$>) -
/=1,2 i=l n=l
- Bif (dg!U + 6„* + dgP)] = 6M;
2 2 2 [ЛЯ,4) (<#£* + 6„* - d№) -
/=1,2 i=l л=1
- ЯЯ?} (d£U + 6„ft - 4ЙР)] =
burn

AW = aiS*Pi (bU + 8ni - аЦ (p = 2, 4),
B%> = Cj5/p2 (ф^1 + M (р = 1, 3), G.45)
ВЙ» = Ci's;2 (<$/> - M (p = 2, 4);
Sp, = — p,v«, S/4r = iq,T, S/ir = 1, -V = P;> (г = *> 2)-
G.46)
Правые части системы G.44) имеют вид
6u = - -f 0 + «и); A« =» - -г <J - au);
s13 = -4-A + a^; 6« = —it*1-*");
2 ^ G.47)
« # , с ip
Vki — 2~ alk-> °k2~ 2~ aik>
118

Здесь ak\ — величины, определяющие форму основного
отверстия в соотношениях E.1), где Rx — 1, а величины
А0 и В0 определяются выражениями
4 = апр + a12q; B0 = al2p + a22q. G.48)
Было принято, что ац = Xaih где X — коэффициент
пропорциональности.
На рис. 7.9 сплошные линии относятся к случаю, когда
сох = Z, со2 = //, а штрихпунктирные — когда пластинка
ослаблена одним рядом отверстий (coj = /; со2 = оо). При
этом было принято, что I = 2,5а. Пунктирные линии
соответствуют случаю, когда пластинка ослаблена одним
квадратным отверстием.
Напряжения ог и %гв были вычислены при X = 0,5,
a oq — при Я = 2.
На рис. 7.10 показано изменение напряжений у контура
основного отверстия в зависимости от соотношения жест-
костей пластинки и ядер. Эти результаты относятся к
случаю, когда рассматривается пластинка с квадратной
решеткой и / = 2,5а. Значение Л = оо соответствует непод-
крепленному отверстию, а 1 = 0 — отверстию,
подкрепленному абсолютно жестким ядром.
Глава VIIL
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИНКИ
С ОТВЕРСТИЯМИ, ПОДКРЕПЛЕННЫМИ
УПРУГИМИ КОЛЬЦАМИ
§ 1.
Напряженное состояние пластинки
с двумя упругими кольцами
Растяжение пластинки
Имеем рассмотренную в § 2 гл. VII пластинку, в
ядрах которой созданы эллиптические отверстия с полуосями
ах и Ьъ причем центры и направления главных осей у ядер
и отверстий совпадают. В связи с этим ядра превратились
в кольца, подкрепляющие эллиптические отверстия.
Считаем, что кольца имеют ширину, превышающую толщину
пластинки. В этом случае для определения напряжений
может быть применена теория обобщенного напряженного
П9<

состояния. Вдали от отверстий пластинка растягивается
усилиями р и q (рис. 8.1).
Для решения задачи о напряженном состоянии такой
пластинки функции Ф,- (z7) возьмем в виде разложений
D.3), а функции Фу!> (г/), характеризующие напряженное
состояние правого кольца, представим так:
Ф, u}11) = J {с,-,Р# D° - D + blk [£<■" (z}l) - /)]"*}. (8.1)
ИМ
УК
р— и
\ \ \ \q Здесь P^(zf-l) — те же
""*" полиномы Фабера, что входи-
, 3 ли в формулу G.7), а £,и свя-
-*. заны с z(P неявной зависи-
I |«
-*- мостью вида
,0)
Рис. 8.1
■' = «!/ КГ +
A)
Р-A)\-1
+ %@Vb (8.2)
; Cl = A.. (8.3)
где
D «1/1 7 (IK l+WUl}1*
Из граничных условий на контуре спая G.1) и на
внутреннем контуре правого кольца A.52) для определения
коэффициентов а^ Ъ^ C\k методом рядов получим
следующую алгебраическую систему:
2E/A-</*/ik-BjP)-8u;
2
2 ИИ* + РГ(to-£/*)] * «■*;
jj \PjBjk-pT (tjkCjk + В$)] = 83k;
v [^/л + qf (to - 5#)i *= 64fe;
2 № + bik) =• «*; j) Pjl} (to - Ы = 8tt.
=1 /-1
(8.4)
Здесь
(8.5)
120

MMHMf?
Рис. 8.2
Рис. 8.3.
4
г
2
1
О
1 (р*ол=о) ~~~~_
1
ill I
_j— ^
10
5
1
— 05
ад
//
10
9
е
7
г 2(L-a)/a
WW X=0 0,05 0,1
№
0.2 0,5 .
V(p=0~q*
1
1
;ч.
щ
-i^zJ
/о 1
_ 5J
_ 2 1
' [
- Q5 1
2 2(На
Рис. 8.4
i 2 2(Ы)а
121

(т0 = 1 при k = 1, 3, ... ; m0 = 2 при £ = 2, 4, ...)
<„= | c*ilp*r(-«)Sy('«{!))^~'(/?</i))^(/?{S)Jr-*;
r=0
"ло — 1>
P*r
C>1);
(8.6)
индекс п принимает значения 1,3, ..., k, если k —
нечетное, и значения 0, 2, ..., k, если k — четное число; коэффи-
„(D1
циенты а}йя находятся по следующей формуле:
.<!>'
A)
&jkm — ~~ Qjkm
(8.7)
На рис. 8.2, 8.3 изображены графики распределения
напряжений ог и oq в пластинке вдоль контура правого
отверстия. Сплошные линии графиков в этом параграфе
относятся к случаю, когда X — 2, а пунктирные — когда
К = 0,5. Графики, представленные на рис. 8.4,
показывают изменение максимальных напряжений ог и ае в
зависимости от расстояния между отверстиями и
соотношения жесткостей материала колец и пластинки.
Действие внутреннего давления, распределенного
по внутренним контурам колец
Пусть к внутренним контурам колец рассматриваемой
в данном параграфе пластинки приложены равномерно
распределенные усилия
интенсивности р, а вдали от
отверстий усилия
отсутствуют (рис. 8.5).
Искомые комплексные
потенциалы, как и при
растяжении пластинки,
выбираются в виде разложений
D.3) и (8.1). Остается без
изменений и вид
алгебраической системы (8.4) для
Рис. 8.5
122

определения коэффициентов а,*, 6,*, С/*. Правые части этой
системы получаются такими:
6rt = 0 (г = 174; fc=lt2, ...); вВ1 = -"¥-:
(8.8)
в« = —х-; s5, = 6eft = o (k>2).
На рис. 8.5 показано распределение напряжений о® в
пластинке вдоль линии ее спая с правым кольцом и а$
вдоль внутреннего контура кольца, когда а = с = сг = 1;
аг = 0,8; 2/ = 2,5. Из этих графиков видно, что если
жесткость материала колец больше жесткости материала
пластинки, то концентрация напряжений в пластинке
уменьшается, а в кольце увеличивается.
Чистый сдвиг пластинки
При чистом сдвиге пластинки коэффициенты а;*, bjk,
Cjk, входящие в выражения D.3) и (8.1), как и в § 2 гл. VII,
получаются чисто мнимыми и определяются из следующей
алгебраической системы:
Рис. 8.6
123

*<»,
2 [p;D*ft + р)'> (^4-В$*)] = б3к;
2 [^ - q?* (tjkcjk + В$Г)] = 6tt;
(8.9)
/=i
/-1
М = о.
2 (tjkl/k+ b]k) = 0;
/=i
Коэффициенты /J* и В/Г получаются из выражений (8.5),
если в последних заменить Cjk и bjk на ^ и bjk.
На рис. 8.6 приведены графики, распределения
напряжений в пластинке, аналогичные графикам рис. 8.2, 8.3.
При чистом сдвиге концентрация напряжений в
пластинке снижается с увеличением ширины колец,
подкрепляющих отверстия. Если увеличиваются жесткости материала
колец, то концентрация
напряжений сначала падает, а
потом начинает расти.
Чистый изгиб полосы
При чистом изгибе полосы
выражения для комплексных
потенциалов Ф; (zj) и Ф/° (zf)
имеют такой же вид, как и при
чистом сдвиге пластинки.
Коэффициенты a)k, b]k, c)k
определяются из
алгебраической системы (8.9), правые
части которой выражены
соотношениями G.14).
На рис. 8.7 даны графики
распределения напряжений,
аналогичные приведенным на рис. 8.2, 8.3. Из этих
графиков видно, что подкрепление отверстий вызывает снижение
концентрации напряжений в пластинке. Это снижение
существенным образом зависит от ширины колец и
жесткости материала, из которого они изготовлены.
Рис. 8.7
124

§2.
Периодическая задача для пластинки
с эллиптическими отверстиями, подкрепленными
упругими кольцами
В упругих ядрах пластинки, рассмотренной в
§ 4 гл. VII, эллиптические отверстия созданы таким же
образом, как это описано в § 1 данной главы.
Представления для потенциалов Ф;- (г,-) имеют вид
разложений G.38), а Ф/° (zf}) определяются по формулам
(8.1) при / = 0.
Коэффициенты a/*, b}k и cfk определяются из
алгебраической системы (8.4).
Проведенные численные исследования показали, что
в рассматриваемой задаче, по сравнению с задачей для
пластинки, ослабленной двумя подкрепленными
отверстиями, концентрация напряжений понижается при
растяжении пластинки вдоль линии и повышается при ее
растяжении поперек линии центров. Это относится как к
пластинке, так и к кольцам.
§ з.
Двоякопериодическая задача для пластинки
с эллиптическими отверстиями, подкрепленными
упругими кольцами
Пусть отверстия пластинки, рассмотренной в § 5
гл. IV, подкреплены упругими кольцами.
Представления для функций Фу (Zj) выберем в виде
разложений D.56), а Ф{р (zf)— по формулам (8.1) при / = 0.
Коэффициенты Щк, Ь^ и cjk определяются из
бесконечной алгебраической системы (8.4), где
B/\ = alk + (l±m))Bikn. (8.10)
Коэффициенты В^п вычисляются по формулам D.57) и
D.62).
На рис. 8.8, 8.9 приведены графики распределения
напряжений для таких же параметров, как и на рис. 7.7 и 7.8
соответственно. Ширина подкрепляющих колец была
принята равной 0,2а.
На рис. 8Л0 показана зависимость максимальных
значений оп ое, тге от жесткости подкрепляющих отверстия
колец, а на рис. 8.11 —зависимость этих же напряжений
125

от ширины подкрепляющих колец, когда жесткость кольца
вдвое меньше жесткости пластинки. При этом р = 1
соответствует неподкреплен-
ным отверстиям, а р =
= 0 — отверстиям, запол-
w
Рис. 8.8
Рис. 8.9
ненным упругими ядрами. Пунктирные линии графиков
относятся к случаю, когда пластинка ослаблена одним
отверстием, а сплошные — когда пластинка имеет двоякопе-
риодическую систему отверс- р\
тий при о)! = 2,1а, со2 =
= 2,1 ia.
к-
-■
...
А
4-
А
j
/
У
^s
3
Рис. 8.10
0,2 0,4 Q6 Ofi
Рис. 8.11
Приведенные графики показывают, что с увеличением
жесткости упругих колец (Я -> 0) максимальные значения
напряжений gq уменьшаются, а ог увеличиваются и при
малых К превосходят величину oq.
126

Увеличение ширины упругих колец приводит к
снижению концентрации напряжений.
§4.
Двоякопериодическая задача для пластинки
с криволинейными отверстиями, подкрепленными
упругими криволинейными кольцами
Если в упругих ядрах пластинки, рассмотренной
в § 6 гл. VII, создать криволинейные отверстия, то ядра
превратятся в криволинейные кольца, подкрепляющие
отверстия.
В настоящем параграфе приняты те же обозначения, что
и в § 6 гл. VII. Кроме того, здесь добавляется значение
индекса р = 3 для функций, характеризующих
напряженное состояние среды, возникающей в результате
появления внутреннего контура L3.
Функции, конформно отображающие внешность
единичного круга у на области вне контуров Lp (р = 1, 2, 3),
возьмем в виде соотношений E.2).
Представление для функций Фу (zy) выбираем в виде
рядов D.50), а граничные значения этих функций на
контуре L/i выразим формулами E.22).
Функции <р2/ (z2/), характеризующие напряженное
состояние кольца основного отверстия, представляются так:
Ф2/ (*2 /) = 2 C{P%4z2J) + S bL [Ca/ (*а/)Г* (*2, =*„).
(8.11)
Полиномы Фабера Pkj) (г2/) представляют собой
функции, голоморфные в областях, ограниченных контурами
L/2. Поэтому они будут голоморфными и внутри контуров
L/3. Разложим Р{%1) (Z2/) внутри контуров L/3 в ряды по
полиномам Фабера:
^fe^JaWfe/). (8.12)
Используем в соответствующих областях
представления для полиномов Фабера
^,/}Ы = 2 $Mh (8-13)
п=0
127

где коэффициенты Cfj$ связаны с коэффициентами
отображающей функции соотношением
2 т^п-иС^ = бл* (п < А);
(8.14)
б,
/г/г :
1 (П = ft),
10 (/l#ft),
а величины тЙ0 вычисляются по формулам E.24).
Подставив выражение (8.13) в формулу (8.12), методом
рядов получим алгебраическую систему для определения
коэффициентов aU- Она примет вид
f-iaW (n = ~k). (8.15)
Функции [£з/ (z3j)]~k, голоморфные вне контуров L/3,
будут голоморфны и вне контуров L/2. Поэтому их можно
рассматривать как функции переменной £2/ (%/)i т. е.
[Сау («•/)]"* - S Рй [Су (*„)ГЯ. (8.16)
Определим коэффициенты pj&. Из выражений E.2) имеем
^=ViA-,,ffl^. (8.17)
Величины m{lm вычисляются из соотношений E.24).
Подставляя выражение (8.16) в систему (8.15) и
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях zPly
получаем алгебраическую систему для определения
коэффициентов p#i:
/ng2„_u = V i-p^m^-u. (8.18)
х—п
Решение систем (8.15) и (8.18) с учетом соотношений
D.4) позволяет установить, что
„О? __ k ft</> _ ^ Г>B/)т</3) /о 1Q4
&пк = —Pkn = 2j ^Р* Щ-п-1,р. @.1У)
Это дает возможность получить граничные значения
функций Ф2/- (z2/) на контурах L/2 и L/3.
128

Алгебраическая система относительно коэффициентов
разложений функций Ф{} (z1;) и Ф2/ (г2/) получается
методом рядов из граничных условий на контуре спая G.1) и
на внутреннем контуре кольца основного отверстия A.52)
Рис. 8.12 Рис. 8.13
На рис. 8.12 приведены графики распределения
напряжений о, и (Те для тех ^ке параметров, что и на рис. 7.9.
Напряжения ае относятся к внутреннему контуру кольца.
При вычислении напряжений ог на коцтуре спая и
oq на внутреннем контуре основного кольца считалось, что
материал кольца более жесткий, чем материал пластинки
(Я = 0,5), а при вычислении напряжений ае на контуре
спая в пластинке — что материал кольца менее жесткий
(к = 2). Отношение полуосей внутреннего контура а0 и
внешнего контура а было принято равным р = 0,7.
5 6-1539
129

На рис. 8.13 даны графики, показывающие изменение
напряжений аг и ае на контуре спая в пластинке, а также
ае на внутреннем контуре кольца в зависимости от
отношения жесткостей их материалов. При этом было принято,
что / = 2,5а; р = 0,5.
Глава IX
ИЗГИБ ПЛИТ,
ОСЛАБЛЕННЫХ ОТВЕРСТИЯМИ
§ Ь
Постановка задачи. Основные уравнения
и граничные условия
Рассмотрим эллиптическую плиту с N
эллиптическими отверстиями (рис. 9.1, а). Плита, толщину которой
обозначим через ft, деформируется изгибающими усилиями,
приложенными как к ее
краям, так и к верхней
грани. Края плиты, под
которыми подразумеваются и
внешний контур, и контуры
отверстий, могут быть
жестко защемлены, свободно
оперты, свободны от
внешних усилий или загружены
изгибающими моментами
либо перерезывающими
силами (рис. 9.1, б).
Будем предполагать, что
в каждой точке плиты
имеется плоскость упругой
симметрии, параллельная
срединной плоскости.
При построении
приближенной теории изгиба
тонких анизотропных плит
были приняты следующие
гипотезы Кирхгофа:
1) прямолинейные отрезки, нормальные к срединной
плоскости плиты до ее деформации, остаются такими и после
деформации;
130

2) напряжения агУ возникающие в плите после ее загру-
жения, пренебрежимо малы по сравнению с напряжениями
<*х> °> Т*<Л
Первая гипотеза Кирхгофа позволяет выразить
проекции перемещения и и v через прогиб w по формулам [54]
dw
дх
V = —Z
dw
Зависимости A.3) становятся такими:
6, = — Z
d2w
d2w
ду2
Хху
= — 2z
д2ш
дхду
(9.1)
• (9.2)
На основании второй гипотезы Кирхгофа первое,
второе и шестое уравнения закона Гука (остальные
уравнения по приближенной теории выпадают из рассмотрения)
принимают вид формул A.2). Из этих уравнений,
учитывая соотношения (9.2), находим [54]
d2w , о d2w , on d2w \
ох = -г[в.
а = — г (В*
11 дх2
d2w
В
Здесь
*хУ = — * (В
+ В
16 ~fa2 Г ^26
12 дх2
d2w
3
512
22
d2w
ду2
d2w
ду2
d2w
+2В™ шц);
(9.3)
ду*
+ 2Д
а2ш \
66 д*д0 ) •
^11 == ~д~ (а22Л66 а2б)*» Bi2 = -д- (а1ба26 а12абв)»
"l6 — -Д- (^12^26
А
^22а1в)* ^22
(anaG
■afe);
^26 — ~д" ^12^16 ^11^267» Д
А =
ее = -д-(^u«22 — Aw); (9.4)
'11
12
*1б
12
а2
'16 w26 "'бб I
Объемными силами при рассмотрении изгиба плит
будем пренебрегать. В связи с этим уравнения равновесия
примут вид
дох
дх
д%ху
дх
д*хг
дх
, foxy
^ ду
_дОу_
"^ ду
дх.
+
+
Sir
уг
ду
дг
дтУг
дг
да2
~~дГ
= 0;
= 0;
-0.
(9.5)
5*
131

Подставим выражения (9.3) в первые два уравнения
(9.5) и проинтегрируем их по z, учитывая, что при z = ±-«-
напряжения тхг = %уг = 0. Получим
1 /
"П
Z4 —•
/I2
В
11
^3 "Т 0£>1б Лл*2Я„ "Г
+ (Вм + 2В66)
д3до
а*&/2
+ Д
26"
д</3
д*2д#
= т-(г2--т-)"т-: <9-6>
*^2
-Г" (г2 - -Г") [В« Т5Г + <Яа + М-)
<33ДО
д*2ф
*"Г~ °°2б ЯгЯг/2 "Г ^22 -Д^Г
дхду2
<¥
вт|?-
Л2 v
—)v
Рис. 9.2
Рис. 9.3
В теории изгиба тонких плит вместо напряжений
удобнее рассматривать суммарные величины в виде моментов
и перерезывающих сил.
Изгибающие моменты Мх и Муу возникающие от
действия напряжений ах и оу, представляются так:
Мх = f zoxdz\ My = \ zoydz.
h *'h
" ^2
(9.7)
132

Скручивающие моменты
а--\
zx^dz.
vxy"
(9.8)
Перерезывающие силы
H.-S
= ххАг\ Nu
xyzdz.
(9.9)
На рис. 9.2, 9.3 показано действие этих величин на
основных площадках плиты.
Подставим выражения (9.3) и (9.6) в соответствующие
формулы (9.7)—(9.9) и произведем интегрирование. Получим
Мх = -
а
м
»--(з
d2w
d2w
12 дх2
+ D-,
+ А
+ D.
12 дуг
d2w 9n d2w
+ ги^~Шу~
д2т
гг ду%
д2ш
+ 2D.,
26
ду2
+ 2Ц.
26 дхду
d2w
), (9.10)
дхду
лг,=
D
11 д&
d3w . о п д% ,
д*2ф
+ (^12 + 2 А>б) -р^Г + А** -фЗ"
(9.11)
а*3
+ 3£>26 я^„2. + ^22 -
дх2дх
+
дхду\
ду*
Здесь
ft3
Du = -To-Btt (f, /=1, 2, 6).
(9.12)
Сравнение формул (9.3) и (9.10) с учетом соотношений
(9.12) приводит к следующим зависимостям:
а, =
\2МХ
z\ ои
12 My
/i3
" Z'y Xxy —
Л»
-Z.
(9.13)
133

Аналогичное сравнение формул (9.6) и (9.11) позволяет
установить, что
Первые два уравнения равновесия (9.5) после подстановки
в них выражений (9.13) и (9.14) дают следующие тождества:
N^JpL+MaL; yv=4^ + 4^- (9-15)
х дх ду у дх 1 ду v '
Подставим выражения (9.6) в третье уравнение
равновесия (9.5) и полученные соотношения проинтегрируем по
г. Получим-
h2 \ I дхуу , дх.
-т^-т ^ + *+"M- <9Л6>
Здесь U (х, у) — произвольная функция, которую следует
определить, учитывая, что на нижней грани плиты при
h n
г = -у напряжения сг2 = 0, а на верхней грани при z =»
= — -о- °г ^ Я (х> У)- В связи с этим имеем уравнения
(9.17)
щд, 0_4-■£-(-%*-+ -£*-) = с(х,у).
Отсюда
U(x, у) = -^ч(х, у); (9.18)
Я^+-тН--'<*•*>• (9Л9)
Теперь выражение (9.16) примет вид
oz = -^q(x, y)[l+-i-D^-3)], (9.20)
а уравнение (9.19) равносильно следующему:
^г + ^+ч-о- <9-21>
Уравнение (9.21) на основании формул (9.11) станет таким:
+ «>>.w + D^-'- (9'22)
134

После нахождения из уравнения (9.22) прогиба w все
величины, введенные для характеристики
напряженно-деформированного состояния рассматриваемой плиты, будут
определены.
Уравнение (9.22) нужно интегрировать при
соответствующих граничных условиях. Если один из контуров
плиты жестко защемлен, то для точек этого контура [54]
ш = 0; -|р = 0, (9.23)
где п — нормаль к указанному контуру. Для свободно
опертого контура
ш=0; Мп = 0. (9.24)
Для контура, свободного от внешних усилий,
Мп = 0; Л^+^f-^O. (9.25)
Здесь s — дуга контура.
Для контура, загруженного изгибающими моментами
интенсивности т и заданными перерезывающими силами
интенсивности /?,
Mn = nr, Nn + ^ = p. (9.26)
Введенные в граничные условия моменты и
перерезывающие силы на площадке с нормалью п выражаются через
аналогичные величины, действующие на основных
площадках, нормальных к осям х и у> по следующим формулам
[54]:
Мп = Мх cos2 (nx) + Му cos2 (ny) + 2Нху cos (nx) cos (пу)\
Hnt = (Му — Мх) cos (nx) cos (ny) + Нху [cos2 (nx) — cos2 (ny)];
(9.27)
Nn = Nx cos (nx) + Ny cos (ny).
Значения Мп1 Hni и Nn можно выразить через прогиб
w, если в формулы (9.27) подставить соответствующие
представления (9.10) и (9.11).
§ 2.
Выражение прогиба, моментов
и перерезывающих сил через комплексные
потенциалы С. Г. Лехницкого
Общее решение однородного уравнения,
соответствующего уравнению (9.22), получается таким же
образом, как решение уравнения A.18), и выражается через
135

две функции различных комплексных переменных Wj (zy).
Если частное решение уравнения (9.22) обозначить через
W0, то [54]
2
W = WQ + 2 Re 2 ^/ BУ). (9.28)
Функции W; B7-) являются аналитическими в
областях S/, которые получаются из заданной области плиты
путем аффинных преобразований A.54). При этом
необходимо иметь в виду, что комплексные параметры |Ху являются
корнями следующего характеристического уравнения:
D22fx4 + 4D26^ + 2 (D12 + 2D66) ^2 + 4D16^i + Dn = 0. (9.29)
Уравнение (9.29) можно получить таким же образом,
как и уравнения A.23). Подставим выражение (9.28) в
формулы (9.10) и (9.11). Получим
Mx = M0x-2Re2ipiW"i(zj),
/=i
My = M4,-2Re2>qlWm,(zJ)9 (9.30)
Hxy = H°xy^2Re^rjWl(zi);
i=i
Nx = Nl-2ReVlijsIW';(zi),
/=i (У.о1)
Ny = N°y + 2Re\\slW](zj).
/=i
Здесь величины с ноликами получаются из выражений
(9.10) и (9.11), если в последних прогиб w заменить на w0.
Остальные обозначения имеют вид
pj =* Dn + Du\4 + 2£)i6^; Ч\ = Dn + °22\ч + 2AeMy;
гj = Die+^26^/ + 2D66^; (9.32)
в/ = ~^- + 3D16 + (D12 + 2D66) iij + D26^;
8l~rl="jr* Sj + r^-q^j.
Будем учитывать, что любая часть плиты находится
в равновесии, срединная ее поверхность при изгибе остает-
136

ся гладкой (без разрывов и изломов), а моменты и
перерезывающие силы являются однозначными функциями. Тогда
таким же путем, как в § 4 гл. I, можно установить, что
функции Wj (z}) будут однозначными в областях 57, если
отсутствует изгибающая плиту поперечная нагрузка q (xy у)у
а отверстия, ослабляющие плиту, загружены
уравновешенными моментами и перерезывающими силами. Если эти
условия не соблюдаются, то функции W}- (zf) будут
многозначными. Для них имеют место следующие
представления [54, 631:
W] (Zj) = 2 Iмт (*/ - *,„) + Nin] In ^ - zjn) + W]' (г,).
(9.33)
Здесь Z}n — точки, лежащие внутри контуров Ljn;
W] (Zj) — функции, голоморфные в областях S/.
Комплексные постоянные Mjn и Njtu определяются из
следующих соотношений [54]:
1га 2 М1я = 0; Ira J] щМ,п = 0; Im |] ^М!п = 0;
Г=1 /=1 /=1
2 Мщ _
IraV
La
1
/«=1
W
2jiDi-
^л+((Л&0-Л#*х) +
(9.34)
V
2 Im 2 Nln =0; 2 Im у ^Njn = 0;
2Im2 \i2fNln= —^—\[\{y — yn)q(Xt y) dxdy —
- Mxn - J [(H% - (y - yn) Nl) dy - (Ml - (y - yn) №y)dx)\;
2 Im S ^f=si U(* ~ *я) * (*'y) d*dy+м*п +
+ J [((x - xn)Nl - M°) dy - ((*- xn) №y - H°xy)dx]}
137

где S' — часть плиты, заключенная между контурами
L и Ln\ L — произвольный контур, охватывающий контур
Lni не касаясь других контуров; Pzn — главный вектор;
Мхп и Муп — составляющие главного момента
(относительно точки гп = хп + iyny лежащей внутри контура Ln)
усилий, приложенных к контуру Ln.
При вычислении интегралов, стоящих в правых частях
уравнений (9.34), удобно использовать следующие
формулы Гаусса — Остроградского:
^-^dxdy^^fdy- [/#;
'$' L L
Jj -|- dxdy = [ fdx - j fdy. (9.35)
5'
В связи с этим
\\q(x, y)dxdy^-ll^ + ^.)dxdy^
s
= -[ {Nldy - №ydx) + j (№xdy - №ydx). (9.36)
n
Выражение, входящее в квадратную скобку четвертого
уравнения (9.34), примет вид
[...] = Ргп + \ (Nldy - №ydx). (9.37)
Аналогичным образом выражения в фигурных скобках
седьмого и восьмого уравнений (9.34) получаются
соответственно такими:
{...} = -Мхп+ \[H°xydy-M°ydx +
+ (У- Уп) (Nldy - №ydx)]; (9.38)
{...} = Муп + [[Hlydx-MUy + (x- xn) (Nldy-N°ydx).
Вычисление выписанных контурных интегралов не
представляет существенных затруднений.
138

§3.
Граничные условия для комплексных
потенциалов С. Г. Лехницкого
Край плиты жестко защемлен.
Если вместо требования равенства нулю прогиба плиты
примем —~ = 0, то граничные условия (9.23) выразятся
следующим образом:
■§—£~««> + -£с»(Ю-0;
(9.39)
dw dw , , , aw / \ п
чг = -wcos {п*) + ~wcos {пу) = °-
Определитель системы (9.39) относительно производных
dw dw гт
-у- и -J— не равен нулю. Поэтому граничные условия
(9.39) можно записать так:
&w л dw л /п ,лч
иг = 0' -W = 0- <9-40>
Подставим в условия (9.40) выражение (9.28). Тогда
граничные условия для комплексных потенциалов W}- (Zj)
примут вид
2Re2lW',(t,) = -^
2 Re 2 p{W] (*,) = .
Здесь и в дальнейшем fy означает аффикс точки на контуре
в области Sy.
В результате замены граничных условий (9.23)
условиями (9.40) прогибы в плите будут найдены с точностью
до константы, которая определяется из условия, что в
одной из точек контура w = 0.
Край плиты загружен
изгибающими моментами и перерезывающими
силами. Следуя С. Г. Лехницкому, умножаем обе части
второго условия (9.26) на ds и интегрируем по переменной s:
S S
\Nnds + Hxy=\pds + c. (9.42)
о о
Здесь 0 — фиксированная точка контура, ас — константа.
dW0
(9.41)
139

Введем обозначения
< S
/ = ( Nnds; f = \ pds. (9.43)
6 о
Учитывая выражения (9.27) и (9.43), первое граничное
условие (9.26) и условие (9.42) переписываем так:
Мх cos2 (nx) + Му cos2 (ny) + 2Нху cos (nx) cos (ny) = m (s);
(Afу — Л*,) cos (nx) cos (ш/) + (9.44)
+ Hxg [cos2 (/a) — cos2 (ny)] + I = f(s)+c.
Умножим обе части первого равенства (9.44) на cos {пх),
а второго — на cos (ny) и сложим полученные выражения.
Затем умножим эти равенства соответственно на cos (ny)
и cos (nx) и вновь просуммируем полученные выражения.
В результате граничные условия (9.44) примут следующий
вид:
Мх cos (nx) + (Нху — /) cos (ny) — т cos (nx) — (f + с) cos (ny)\
(9.45)
(Нху + /) cos (nx) + Му cos (ny) = т cos (ny) + (f + с) cos (nx).
Учитывая, что на контуре отверстия имеют место
соотношения A.14), подставляем выражения (9.31) в третью
формулу (9.27). Получаем
Nn = №п - 2 Re J sfWj (г,) -§_. (9.46)
Здесь
N° = Л# cos (nx) + №у cos (ny); dz} = dx + \ijdy. (9.47)
Теперь выражение для / (9.43) примет вид
r = I0-2Re2sIWUzl), (9.48)
где
S
/0 « ( №nds. (9.49)
6
Граничные условия (9.45) на основании формул A.14),
(9.30) и (9.48) станут такими:
2 Re |] Г'; (г,) [pfdy - (s; - г,) dx] =
= /i (s) ds — mdy — (f + c) dx\ (9.50)
140

2
2 Re 2 W- (г,) l(s, + r,) dy - qidx] =>
= /2 (s) ds + md* — (f + c) dy,
где
/A (s) ds = A^dr/ + (/° - H%) dx;
/2 (s) ds = (P + Hly) dy - M°ydx.
На основании двух последних соотношений (9.32)
видно, что левые части граничных условий (9.50) представляют
собой полные дифференциалы. После проведения
интегрирования граничные условия примут вид
2 Re S-^- W) (*,) = Ф1 (s) -cx+ Cl;
/=1 W (9.52)
2
Здесь
s
Ф1 (s) = I ifids — wdy — fdx)>
0 (9.53)
S
Ф2 (s) = — £ (/ads + mdx — /dy).
о
Константы сх и с2 не влияют на распределение
напряжений в плите и могут не учитываться, а константа с
находится из условия однозначности прогибов в плите.
Если край плиты свободен от внешних усилий, то
граничные условия (9.25) преобразуются к виду (9.52), когда
в выражениях *(9.53) т = / = 0.
Край плиты свободно оперт. Второе
условие (9.24) на основании первой формулы (9.27) и
соотношений A.14) перепишем так:
^Ш+м'Ш-2Н-^^=0- (9-54)
Пусть опертым краем является тот, который ограничен
контуром Ln с центром в точке z° = х°п + iy°n. Уравнение
этого контура представим так:
х = ап cos G 4-. х°п\ У ~ bn sin 0 + у°п. (9.55)
141

В связи с этим
-§-—„„ sine:-*-; Jg- = ftncoee:-*-. (9.56)
Подставим выражение (9.28) в первое граничное
условие (9.24), а выражения (9.30) и (9.56) — в условие (9.54).
Тогда для комплексных потенциалов эти условия примут
вид
2 Re 2 kfW] (tf) = - (M%1 cos2 0 + (9.57)
• + M°yal sin2 9 + H%anbn sin 26).
Здесь
kj = pfil cos2 9 + q, a2n sin2 9 + грпЪп sin 20. (9.58)
§4.
Изгиб эллиптической плиты
с одним эллиптическим отверстием
Чистый изгиб плиты
• Пусть эллиптическая анизотропная плита ослаблена
одним эллиптическим отверстием. Внешний контур плиты
обозначим через L0, а внутренний — через Lv Полуоси
внешнего и внутреннего эллипсов соответственно равны
а0, Ь0 и аъ Ьг. Центры эллипсов и их оси симметрии
совпадают. По внешнему контуру равномерно распределены
изгибающие моменты интенсивности т, а внутренний
контур свободен от внешних усилий (рис. 9.4).
В рассматриваемой задаче изгиба плиты имеет место
силовая и геометрическая симметрия. Поэтому для
функций Wj (Zj) можно выбрать следующие представления:
W,(z,) = 2 [Aikt,» +CikPk(Zj)]. (9.59)
*=1,3....
Здесь Pk (zj) — полиномы Фабера для областей,
заключенных внутри эллипсов L/o, полученных из эллипсов L0
путем указанных выше аффинных преобразований; A,k и
Cjk — постоянные коэффициенты; функции £/i связаны
с Zj неявными зависимостями вида
h^RiAlii + mnlTA (9.60)
142

где
Яд = т (°i — *>М тп = 11 tfl
Полиномы Фабера Pk (zj) выражаются через zy путем
использования рекуррентной зависимости вида
Pk+i (*/) = Рг (zj) Pk (Zj) - m/0P*_i (zj) (k > 2). (9.62)
При этом следует иметь в виду, что
Л) <*,) = 1; />i (*/) = г]\ Р2 (Zj) = г? - 2m/0;
(9.63)
Рис. 9.4
Формула (9.62) легко выводится, если исходить из
непосредственных представлений для полиномов Фабера [561:
Pk (zj) = 2~k [(z] + Vz*2-4mi0)k + (г} - V г? - Ат]0)к].
(9.64)
Для определения коэффициентов А^ и С/*
воспользуемся граничными условиями (9.52) на внешнем и
143

внутреннем контурах плиты. При рассматриваемом загру-
жении плиты на контуре Lx функции <рх (s) и <р2 (s) равны
нулю, на контуре L0 ft = /2 = / = 0, а т — константа,
поэтому фх = —/ш/; ф2 = —гпх.
Граничные условия (9.52) иногда целесообразно
приводить к следующему виду:
W\ + (/J + ki2WUtJ + кЩй) = fi* + c fa* +^2у)- (9 65)
Г; (/2) + k32WUtl) + kjp7&) = f22 + c (a3x + ачу).
Здесь
*i2 = -^- d bhPtQi— №г). ^22 = -jr"d (W&22 — 1W?2)>
ai = HilW*» a2 = НРА аз = ^iMirf. <()-66)
a4 = ц2рД /12 = M (р2ф2 — n2?2%);
d = (MiP2?i — Wi^)-1- (9.67)
Значения kS2> &42, f22 получаются соответственно из k22,
^i2> /12» если в выражениях (9.66) заменить \il9 plf qx на ^2, Ръ
q2 и наоборот.
Постоянную с, относящуюся к внешнему контуру
плиты, можно положить равной нулю.
Отобразим конформно область единичного круга на
области вне эллипсов L/0. Отображающие функции имеют
вид
г/ = Я/о (£}о + т/оС/о). (9.68)
Коэффициенты /?/о и т;-о определяются по формулам (9.61),
если в последних индекс 1 заменить на 0.
Полиномы Фабера Ps(zj), где s= 1, 2, ...,
представляют собой функции, голоморфные в областях,
ограниченных эллипсами L/o. Поэтому они будут голоморфными и
в областях, ограниченных контурами L;i, включая их
собственные точки. Полиномы Ps (zf) можно разложить в
ряды по полиномам Фабера Р/^г,-), построенным для этих
областей. Получим
/>,(*/)= >1 a^Pi11 (г7). (9.69)
А=1,3,...
Коэффициенты a/&s будут определены ниже.
Использовав формулы (9.62) и (9.63), индукцией по /г
можно установить справедливость следующего
представления полиномов Фабера непосредственно через перемен
144

ные гл
К М = 2 Л» (- т„)" j-^ftr* <* = О, 1, 2, ...).
s=0
(9.70)
Здесь
Полиномы Фабера Р*1* и Pk через переменные £/i
выражаются так:
Pk)(zl) = $i + mU»k; (9-72)
if]
Рк(г,)= S Pftv(-m/o)v(^/,+m/I^1)ft-242o_*^r2v. (9-73)
v=0
Подставим выражения (9.72) и (9.73) в формулу (9.69).
После ряда преобразований найдем
s-k
~~2~ - s—k s—k
aiks = S СЗГ'/^ (-m/0)v mj" '^Rf^R^- (9.74)
v=*0
Индекс & принимает значения 0,2, ..., s, если s четное,
и 1,3, ..., s, если s нечетное; для всех других значений
k (Xjks — 0.
Так как на контурах Lj\ £/i = a, a Pk\ = сг* + /ft/itf,
то, использовав разложения (9.69), будем иметь
оо оо
W'}(tj)= 2 [AjtfT* + (ok + /nftar*) S a;wC//.J. (9.75)
Найдем теперь представления для функций W) (zy) на
контурах L/o.
Функции ^ голоморфны в областях вне контуров
L/i. Следовательно, они будут голоморфными и вне
контуров L/i, включая их собственные точки. Если функции
Z>]\1 рассматривать как функции- аргументов £/о, то они
будут голоморфными в области единичного круга, где
справедливо следующее разложение в ряд Маклорена:
8
£/Г'= 2 а/*£/о. (9.76)
fe=1.3....
Как показал В. В. Меглинский [58],
cc/ki = -j-a'fki. (9.77)
145

Учитывая,, что на контурах L/0 С/о == or, a Pk (tj) =*
= G-k + mpky находим
к
k
W'i(ti)= 2 [a* 2 aM/ + C/ft(a-* + mVfe)]. (9.78)
£=1,3,... /=1,3,...
Для получения бесконечной алгебраической системы,
которой удовлетворяют коэффициенты Л;* и С,*, нужно
подставить поочередно выражения (9.75) и (9.78) в
граничные условия (9.65) и приравнять коэффициенты при
одинаковых степенях а. Следует также иметь в виду, что на
контурах Lp (p = 0,1)
Указанная бесконечная система получается такой:
A\k + tnnQ\k + PuQik + Pi2Q2/e = бт + y\k\c\
A2k + mk2\Q2k -f p^Qik + p22Q2k = 82k\ + y2kic\ (9.80)
Ci* + p3iQ3fe + Ps^Qik = 6\ko\ C2k + pnQzk + p&Q.Ak = 62/eo.
Здесь
оо оо
Q\k = /4 a>lklC\l\ Q2k = 2 Q>2klC2l',
l=k,k+2t... l=k,k+2,.t.
к
Qm = mi<A* + 2 ai/гИн;
Pll =
Tni =
Qik =
= Pzi — #12>
6110 = -
6210 =
81*1
=4"(ал
= m,2oC2k +
I
Pl2 = P32
P22 == P42
/=1,3,...
и
К
2j 0С2&Л2/;
= #22*' P21 ==
= «42»
- -J" МЯот (W7A* + P2)i
= ~M^o^
= 82*1 = 0
+ ^2&i); '
(f^^i + pj;
(*>i);
V211 = " (аЛ
/?41 — ft32
>
4- <аД):
»
(9.81)
Yi« = Y2fei = 62/20 = 6i^0= 0 (k > 3).
Для определения вещественной постоянной с из
условия однозначности прогиба плиты при обходе около кон-
146

тура Ьг получаем дополнительное уравнение
Im (AnRu + Л21/?21) - 0. (9.82)
После нахождения из системы (9.80) коэффициентов
Ajk и Cjk становятся известными функции (9.59).
Посредством этих функций моменты и перерезывающие силы,
возникающие в плите, вычисляются по формулам (9.30)
и (9.31), в которых величины с ноликами следует положить
равными нулю.
На рис. 9.4 даны графики распределения моментов по
контуру внутреннего отверстия для эллиптической плиты
с эллиптическим отверстием, когда а^аг = 5; с0 = 0,4;
сг — 0,5, и для круглой плиты с круговым отверстием,
когда R0/Ri = 5.
Сплошные линии графиков в этом и в двух последующих
параграфах относятся к случаю, когда плита изготовлена
из фанеры, для которой [54]
щ = 1,04 + 1,55*; |ы2 = — 1,04 + 1,55/. (9.83)
Пунктирные линии графиков относятся к случаю,
когда плита изготовлена из СВАМа, для которого [1]
щ = 0,442 + 0,899/; ца = — 0,422 + 0,899/. (9.84)
Численные исследования показали, что плиту с
высокой степенью точности можно считать теоретически
бесконечной и для определения ее напряженного состояния
применять теорию односвязных плит, когда отношения
щ1ах > 10; bjb1 > 10 или RJR1 > 10.
Изгиб плиты с жестко защемленным внутренним
контуром
Пусть внутренний контур рассматриваемой плиты
жестко защемлен (рис. 9.5). При этом на внешнем контуре
граничные условия имеют вид (9.65), а на внутреннем
контуре условия (9.41) запишем так:
Wl (/J + kjrutx) + к2Жйг) = /и;
Wo (h) + k31WUtj + kawZU = fn.
Здесь
b = Mi — Иг . A _ На И-а .
" Ц1"^ ' 21 **-? ' (9.86)
и _ Иг — Hi . и _ Hi~ Йч
41 ^1—^2 4Х ^ — |Aa
147

Если плоские Грани плиты не загружены, то W0 = 0.
Это приводит к тому, что функции /п = /21 = 0.
Для определения коэффициентов Л7* и С/*, входящих
в выражения (9.59), из граничных условий (9.65), (9.85)
получаем бесконечную алгебраическую систему в виде
(9.80), где
с = 0; ри = ku\ р12 = &21; p2i = k31; р22 = А41. (9.87)
На рис. 9.5 представлены графики, показывающие
изменение момента Мг по защемленному контуру плиты. Если
оба контура плиты эллиптические, то а0/аг = 5; с0 = 0,4;
сх = 0,5. Для круглой кольцевой плиты считалось, что
Ro/Ri = 2. В задачах данного параграфа расчеты
проводятся для этих параметров, если не будут введены новые их
значения.
Из приведенных графиков видно, что анизотропия мате-
оиала плиты оказывает существенное влияние как на
характер распределения, так и на величины моментов,
возникающих вблизи защемленного контура.
148

Действие нормальных усилий на внешнем контуре,
когда внутренний контур плиты жестко защемлен
Рассмотрим случай, когда на внешнем контуре плитьг
действуют изгибающие ее нормальные усилия
интенсивности р, а внутренний контур жестко защемлен (рис. 9.6).
Вследствие геометрической и силовой симметрии
главный момент усилий, приложенных к контуру Lb равен
нулю, а главный вектор
рг1=_4ра0£(е0), (9.88)'
где Е (е0) — полный
эллиптический интеграл второго рода;,

-эксцентриситет эллипса L0.
Искомые функции W\ (Z/) представим так:
со
W'i(zl)=Mlzf\nzj + 21 lA^nk + CikPk(z,)]. (9.89)
ft=1.3,..f
Коэффициенты М/ определяются из первых четырех,
уравнений системы (9.34), в которой следует положить-
q = n\ = fj'y = 0. Эти уравнения принимают следующий
вид:
2 __ 2
2 (М, - М,) = 0; 2 (PiM, - fi/Al/) = 0;
(9.90>
/=i
2 (ix^Aly — ix?Aly> =0; 2f
L =,
2niD,
149

Граничные условия для определения коэффициентов Ajk
и Сik на контуре L0 имеют вид (9.65), а на контуре Lx —
(9.85). При этом
s s
/и = /21 = 0; fn = М l<?#2 J /d* + p2 f /dyl;
0 ° (9.91)
/22 = — (x2d [^ J / dx + Px j /djfl.
Здесь
s
\ fdx = — pali
l+fUo+ -J-) In a + £ a»(o*-<r-*)
^ \ a ' fc=!,3,„.
(9.92)
\fdy=pali\2 + ^-(l--o)\no+ S Pt(o* + o-*)J;
n=3,5,... \ 2
2-пЛ„(«-1)!
«1 = -^Из-Л1)- V
р1=4A+лз)- у —^
оо
S
£=1,3,...
я — 1
т*
М''^Г (9.93]
«ft=— *
2—«>1л(п—1I
,. (-^)'(-
+ k
•Р* = -
n=fc,ft+2.... \ 2 /V 2
2-"Л„(п-1)!
n=ft,ft+2.... V 2 J • \ 2 /
(* = 3, 5, ...).
При этом
A\-l+A, + ± S -^ГГ^^
п=5,7....
Л;- * Л . (*-2)!! V JI^z^La- (994)
v ' n=fe+2,ft+4t...
00
^2Л+1 = 2 Cls,2k+\ (k = 1, 2, . . . ).
s—fe
■ 150

Коэффициенты а8,2*+1 находятся так:
2k
Cls,2k+3 = 2^-fl gs,2fe+b
3
(9.95)
as,2k+\ = -^ fls_i,2*+i Bs — 1) Bs — 3); «оз = 1.
Алгебраическая система, которой удовлетворяют
коэффициенты Afk и С/а, получается в виде (9.80), где
Sin = — (Рш + Мх/Пц/?!! 1П tfu +
+ *i Д^и In Rn + k21M2R2l In /?21);
б2П = — (P211 + Л12™21#21 1П /?21 +
+ M*i*ii In Яи + Л JWa)?al In tf21);
- [ад1о In #10 + £12 (Pll0 + M^lQRu In /?l0) +
+ *22 (PtlO + ^2^20^20 ln^ao)l;
S2io = — pfloW (teiHrfi + coPiPi) — (9.96}>
— fAf2/?20 In R20 + £32 (p110 + MJn^R^ In #10) +
+ ^42 (P2IO + ^2^20^20 1П Я20I;
6/Л1 = — P/fei; 6ifeo = ^o^ijd (/afej^2^2 +
+ C0$kP2) k12$\k0 &22P2*0l
62*0 = — p^oM (ЩРгЧг + coMi) — ^32pi^o — £42p2*o (& > 3);.
/ jn 2 2
p/in = MjmjnRjn; Р/Ал « 4Afy ^2 —/— #/*
(£>3; /1 = 0,1).
Выражения для постоянной с и коэффициентов /?^
имеют вид соотношений (9.87).
Если внешний контур является круговым, то аг = -^-\.
рх = —2~; afe = Рй = 0 (k > 3). В этом случае формулы
(9.92) — (9.95) существенно упрощаются.
На рис. 9.6 показано распределение изгибающих
моментов Мг по контуру эллиптического и кругового
отверстий.
151.

В данной задаче анизотропия материала плиты
оказывает существенное влияние на характер распределения
прогибов, моментов и перерезывающих сил. Максимальные
напряжения получаются в точках внутреннего контура.
При увеличении отношения диаметра плиты к диаметру
защемленного отверстия значительно увеличиваются как
прогибы, так и напряжения.
Распределение напряжений в круглой плите получается
более равномерным, чем в эллиптической.
Действие изгибающих моментов, приложенных
к внутреннему контуру плиты
Пусть внешний контур плиты жестко защемлен, а к
внутреннему приложены равномерно распределенные
моменты интенсивности m (рис. 9.7).
Представления для функций Wj (zj) возьмем в виде
рядов (9.59). Граничные условия на внешнем контуре имеют
вид (9.85), а на внутреннем — (9.65). Функции /п = /21 =
= 0, a fl2 и /22 находятся из выражений (9.66).
Бесконечная система для определения коэффициентов
A fk и Cjk принимает вид (9.80), где
,152

Pll — ^12» Pl2 — ^22» P21 ~— ^32» P22 — ^42» /n n7v
Рз1 = #11 > Рз2 ~ ^21» Pil == #31» P42 == #41 >
Sill = "f- M^l (f*2?2<V — P2)> S211 = "f" M^l (Pi — ^#1<7),
(9.98)
6Ш = 62м - 0 (k > 2), 6iW = 62*0 - 0 (k > 1).
На рис. 9.7 показано распределение моментов УИ'е па
контуру эллиптического и кругового отверстий.
Если внешний контур находится вдали от внутреннего,
то плиту можно считать теоретически бесконечной и
рассматривать как односвязную. Расстояние между
контурами, при котором справедливо это допущение, существенно,
зависит от анизотропии материала плиты.
Замена внутреннего кругового контура эллиптическим
приводит к значительному увеличению концентрации
напряжений в точках, лежащих на концах большой оси
эллипса, что объясняется увеличением крнзизны контура в этих
точках.
Изгиб плиты с жестким ядром, к которому приложены,
внешние усилия
Рассмотрим эллиптическую плиту с эллиптическим
отверстием, в которое вклеено или впаяно абсолютно жесткое
ядро. Внешний контур плиты жестко защемлен. К ядру
приложены усилия, главный вектор которых равен Р, а
главный момент — нулю (рис. 9.8).
Функции W) (zj) будут иметь вид рядов (9.89).
Коэффициенты М; можно определить из системы (9.90), где
следует принять Pz\ = Р. Граничные условия на обоих
контурах имеют вид (9.85). При этом /и = /21 = 0.
Алгебраическая система, которой удовлетворяют
коэффициенты Aik и C}ky получается в виде (9.80), где
Pll =яв Рз1 3= #11» Pl2 === Р32 == #21' Р21~Р41 === #31» Р22~ Р42 ~ #41^
+ Л*1Д10т101пЯ10) +
+ k21(K0 + AURwmw\nR20)]; (9.99)
S-210 = — WtRn 1П ^20 + *а (FllO + ВДю'Яю ln ^lo) +
153

+ *4i (P2io + M2R20mw In /?20)], (9.100)
«Ш = S2fe, =0 (k > 1), С = 0.
Графики, представленные на рис. 9.8, относятся к
случаям, когда плита является эллиптической {а01аг = 2;
cQ = 0,4; сг = 0,5) и круглой (RJRx = 2).
Рис. 9.8
В фанерной плите максимальный прогиб получается
значительно большим, чем в плите, изготовленной из
СВАМа. С увеличением отношения радиуса плиты к
радиусу отверстия максимальный прогиб значительно
возрастает, в то время как напряжения увеличиваются
медленно.
При замене круглого ядра эллиптическим происходит
увеличение как максимального прогиба, так и напряжений.
Изгиб плиты с жестким ядром под действием
равномерно распределенной нагрузки
Пусть плита изгибается под действием нормальной
нагрузки интенсивности q, равномерно распределенной по
верхнему основанию плиты (рис. 9.9).
154

Представления (9.89) для функций W\ (z;) остаются без-
изменений. Граничные условия на обоих контурах
сохраняют вид (9.85). При этом
dWa dW0
^2 дх ду
■)(^i — и«) ';
/n = (i
, / dW0 dW0\, ,-i
(9.101)
В качестве W0 можно, например, выбрать функцию
Wn
qx*
(9.102)
Система (9.34), из которой определяются постоянные
Mj, в данном случае принимает вид
2 2
2 (М,- - Mi) = 0; 2 (li/M; - ^М) = 0;
/=i
2(^М/-^/)=0;
/=1
qa\cx
(9.103)
2iDr
155

Коэффициенты Ар и Ср находятся из системы (9.80),
где постоянные величины р/k выражаются соотношениями
<9.99), а
*ш = Я№ — Рш — М^птп In Rn — VWitfii In Rn —
— k21M2R21 In Rn;
s2ii = — Q*i\h. — Рш — M2R2Lm21 In R21 —
— ifesi^i^ii In Rn — k41M2R21 In #21;
Sno = ДОЧ — ^1^10 In R1Q — kn (P110 — MxR10m10 In #10) —
— *ml (P210 + M2R2Qm20 In #20);
6210 = — Wi — M2#2o ln #20 — hi (Pno +
+ М^Що ln £10) — &41 ф210 + M2R20m20 ln £0); (9.104>
^131 = — 9^2 — Pl31» ^231 = 3- ?lMl — P23li
^130 == ~з" #0Щ ^llPl30 ^2lP230i
°230 ~ 3~ 90Ml #3lPl30 ^4lP230>
* 4an
<*- 16Du(fa-,8) (" = 0'^
6lfel = P/fcb S/jfeo =: £цРш ^2lP2^0',
62^ = — ^3lPl^0 — kn$2kl {k > 5).
Значения постоянных р^я приведены в формулах (9.96).
Максимальные изгибающие моменты возникают на
внешнем контуре плиты. На рис. 9.9 даны графики изменения
этих моментов.
Максимальный прогиб в круглой плите с круглым ядром
имеет место в точках внутреннего защемленного контура.
Если же одна из границ плиты является эллиптической,
то максимальный прогиб получается либо в точках
внутреннего контура Ьъ либо в точках, лежащих между
контурами, что зависит от материала плиты, а также от размеров
и формы эллипсов LQ и L±.
156

Изгиб плиты со «свободно ведомым краем»
под действием равномерно распределенной нагрузки
Пусть плита жестко защемлена по краям, но внешний
<ее контур может жестко перемещаться в направлении,
нормальном срединной плоскости плиты. Плита
по-прежнему изгибается под действием нормальной нагрузки
интенсивности <?, равномерно распределенной по ее верхнему
основанию (рис. 9.10).
В силу геометрической и силовой симметрии главный
момент усилий, приложенных к контуру Ll9 равен нулю,
а главный вектор определяется так:
Rzi =*= — gn (a20co — (х\с^. (9.105)
Для функций Wf (zx) следует взять представление (9.89).
Граничные условия сохраняют вид (9.85). Постоянные
Mj определяются из соотношений (9.103), где значения
аг и сг следует соответственно заменить на а0 и с0.
Коэффициенты Afk и С/л находятся из соотношений (9.80) и (9.104).
Графики, показьп ающие изменения моментов Мг по
внутреннему контуру плиты, представлены на рис. 9.10.
Максимальные изгибающие моменты и перерезывающие
силы получаются в точках внутреннего контура Lv Замена
круговых контуров эллиптическими приводит к
значительному увеличению напряжений в точках защемленных
контуров.
157

Максимальный прогиб получается либо в точках
внешнего края плиты, либо в ее внутренних точках. Это зависит
от формы эллиптических контуров и свойств материала
плиты.
Изгиб плиты под действием распределенной нагрузки,
когда оба контура жестко защемлены
Пусть оба края плиты, рассмотренной в двух
предыдущих задачах, жестко защемлены (рис. 9.11).
Граничные условия (9.85) на контурах L0 и Ьг и
представления (9.89) для функций w] (zy) остаются без
изменений. Для определения коэффициентов Mf потребуем
однозначности прогибов, их первых и вторых
производных, а также равенства прогибов на внешнем и
внутреннем контурах плиты. Тогда получим следующую
алгебраическую систему:
2 2
v (му - Mj) = о; 2 (Mi/ - м*у) = о;
i=l ;=1
2 __ (9-106)
2 (Ц/Л*/ - ОТ/) = 0; № |L. = W \Ll.
/=1
Бесконечная система для определения коэффициентов
Л/л и Cjk имеет такой же вид, как и в предыдущей задаче,
168

с учетом того, что постоянные Mf удовлетворяют системе
{9.106). Поскольку в выражение для прогиба w входят
неизвестные коффициенты Ajk и С/*, системы уравнений
(9.80) и (9.106) в данном случае необходимо решать
совместно.
На рис. 9.11 изображены графики, характеризующие
изменение моментов Мг по внутреннему контуру плиты.
Анизотропия материала плиты оказывает сильное
влияние на величины прогибов и перерезывающих сил. В
меньшей степени это влияние отражается на распределении
изгибающих моментов. Замена круговых контуров
эллиптическими приводит к росту как максимального прогиба,
так и напряжений в точках защемленных контуров. Эти
величины также растут, особенно в точках внутреннего
контура, и при увеличении отношения полуосей эллипсов
щ1ах.
§ 5.
Изгиб эллиптической плиты
с двумя одинаковыми эллиптическими
отверстиями
Действие изгибающих моментов,
приложенных к внешнему контуру
Эллиптическая плита ослаблена двумя
одинаковыми эллиптическими отверстиями, большие оси которых
лежат на большой оси внешнего эллипса (рис. 9.12).
Плита деформируется под действием моментов т,
равномерно распределенных по ее внешнему контуру. Полуоси
внутренних эллипсов Lx и L2 обозначим через агиЬъ а
внешнего L0 — через а0,
Пограничные условия на всех контурах имеют вид (9.65),
причем для внутренних контуров /12 = /22 = 0, а для
внешнего они могут быть взяты из выражений (9.66).
В силу геометрической и силовой симметрии функции
Wj By), учитывая соотношения D.4), представляем так:
tPl(z/)« 2 CikPh{zj) + ^Aik[lTt+{-lf+Xlt\-
k=l,3,... k=\
(9.107)
Коэффициенты А^ и С^ определяются из граничных
условий на контурах L0 и Lv На контуре L2 граничные
условия будут удовлетворены автоматически.
159

Рис. 9.12
Функции 1ТГ и 17™ (т =
= 1, 2, ...) являются
голоморфными в областях вне
контуров Ly0, включая их
собственные точки.
Отобразим конформ1 о
внутренности единичных
кругов, ограниченных
контурами Y/o» на области вне
эллипсов L/o. Тогда
функции £j]m и Щт будут
голоморфными в единичных
кругах | £/о | < 1. Разложим
эти функции в ряды Мак-
лорена. Будем иметь
l\i + (— 1) hi =*
(9.108)
k=
где
bjkm
У,
=1.3,
= -
UjknJojQt
Б/о-*0
Е/Г +
ч/n-flo— m
+ (-1ГП27т]. (9Л09)
Учитывая полученные
разложения, а также то,
что на контурах Y/o
функции £уо ** <т, а полиномы
Фабера Р* (*у) = в~к+т%ок,
получаем следующие
граничные значения функции
Wj (Zj) на контурах L/0:
00 ОО
W) (tj) - 21 [С/л (сГ* + m/0afe) + a* V bikmA}m]. (9.110)
fe=l,3.-.. >"=1
Рассмотрим представление этих же функций на
контурах L/i.
Функции Pk (г,) и £^т являются голоморфными внутри
160

эллипсов L/i. Разложим эти функции внутри указанных
областей в ряды по полиномам Фабера. Получим
Ят(г/) = 2 W#}(z/); йГ-ИйляА1^/). ОЛИ)
Коэффициенты а^т и gfkm определяются так [391:
__£ 1
Щкт = rrifi 2 1 Рт (I + 2 }/m/i /?/i cos nf) cos АлМ;
* i° (9.112)
g/ifew = /w/i J £$Г B/ + 2 K^/i #/i cos JtO cos kntdt.
о
Отобразим конформно области вне единичных кругов
|£/1 | "> 1 на области вне эллипсов Lfu Отображающие
функции имеют вид D.4). На единичных окружностях
£/i = a, a Pkl) {tf) =s ah + ткц о~*. В связи с этим на
контурах l/i
^•('/) = 2 [Afko-k + (ok +
ь=1
оо
+ /П*1<Г*) 2 (fl/ftmC,*, + (— Dm+I gikmAjm)]. (9.1 13)
Зная представления (9.110) и (9.113), из граничных
условий на контурах L0 и Lx таким же путем, как и раньше,
получаем для определения коэффициентов А/к и С/*
следующую бесконечную систему:
A\k + /ппТ1!* + <7n^i* + <7i2^2/j = 6ш + су\ь\\
A2k ~f- tTi2\T2k + q%)T\k + 922^2/г = бг/г! + Cy2kh Ю J J4)
Здесь
T\k = i [(— l)m g\kmA\m + fllJfemCim];
m=l
^2A = Zj f(— 1) g2kmA2m + Q>2kmC2m\\
m=l
7Ъ = tn\Qp\k + 2j b\kmA\m\
m=~l
T4k = /П20С2Л + S W2/«; (9.115)
6 6-1539 161

Я11 ~ #31 — ^12' #12 ~ #32 — *22>
#21 == Я И 3== ^32' #22 == #42 == ^42'
Коэффициенты 6/*л и y/*i определяются по формулам
Графики, изображенные на рис. 9.12, относятся к
случаям эллиптической (а0/аг = 10; с0 = 0,4; с± = 0,5; 11ах =
= 2) и круглой плит (£У#1 = Ю; URi = 2). На
графиках показано изменение моментов Mq, действующих
вблизи правого отверстия.
При сближении отверстий концентрация напряжений
возрастает в зоне между контурами и незначительно
изменяется в областях, удаленных от этой зоны.
При удалении отверстий друг от друга их взаимное
влияние на напряженное состояние плиты уменьшается и
становится незначительным, когда расстояние между
отверстиями превышает диаметр одного из них более чем в два раза.
В этом случае при исследовании напряженного состояния
плиты вблизи каждого из отверстий ее можно рассматривать
как двухсвязную, т. е. ослабленную одним внецентренным
отверстием.
Действие изгибающих моментов,
приложенных к контурам отверстий
Пусть плита жестко защемлена по внешнему контуру.
Ее изгиб происходит в результате действия изгибающих
моментов интенсивности /п, равномерно распределенных
по контурам отверстий (рис. 9.13).
Представления для функций Wj (г,) остаются в виде
разложений (9.107).
Граничные условия на внутренних контурах имеют
такой же вид, как и на внешнем контуре, т. е. (9.85), где
/ll = /21 = 0.
Коэффициенты Ар и С/* удовлетворяют алгебраической
системе (9.114). При этом
#11 = «12». #12 ^ ^22*> #21 ^ ^32> #22 ~ ^42^ /Л , , ns
— Ь- —Ь- — Ь • —Ь (У. 110)
<7з1 '-— Кц', #32 — ^21» #41 — ^31' #42 — ^41*
Правые части системы (9.114) имеют вид соотношений
(9.96).
Графики, изображенные на рис. 9.13, отражают распре*
деление моментов Mq по контуру правого отверстия в
плите, размеры которой такие же, как и плиты, рассмотренной
в предыдущей задаче.
162

Если расстояние между отверстиями превышает диаметр
одного из них в полтора раза, то взаимным влиянием
отверстий на напряженное состояние плиты вблизи каждого
из них можно пренебречь.
§6.
Изгиб опертой по краю эллиптической плиты
с эллиптическим отверстием
Действие моментов, приложенных к контуру отверстия
Эллиптическая плита с эллиптическим отверстием,
рассмотренная в § 4, оперта по краю. Она изгибается под
действием моментов интенсивности /л, равномерно
распределенных по внутреннему контуру.
Представление для функций Wf (z,) возьмем таким:
W,(zf) = 4~^/Aпг/-Т-) + В'1пг' +
(9.117)
+ 2 4/*бГ*(*/)+ 2 CikPk{zj).
/г=2,4,... /г=0,2,...
6* 163

Граничные условия на внешнем контуре имеют вид
(9.57), когда М°х = М°у « Н% = И70 = 0. На внутрен-
нем контуре до = 0, Мп ~ т. Как и в § 3, эти условия
приводятся к виду
2 2
2 Re 2 IF/ (*,) *. 0; 2 Re 2 */^/ (</) - m. (9.118)
/-1 /-1
Выражения для функций k} даны формулами (9.58), где
следует принять п = 1.
Алгебраическая система для определения коэффициентов
Mh Bj, Ajk и Cfk получается такой:
2- (М§ - Mi) = 0; 2 (И/Л1/ - М?,) = 0;
2(^/M/-^M/)=,0; Ц(В/-Я/) = 0;
2 _____
2 (C/* + /W/oC/ft + P/feo^/ + S/гР/олВ/ +
oo
+ 2 06/feni4/m + 5/qJW/ + bp^kMj) = /yofe;
m=ft
2 OO OO
2 [&/0 2 §jtk+2,mCjm + <*/0 2 8/.2—hmPfm +
/el m=fe-f4 /n==4^ife
oo oo
+ ?/0 2 bikmCjm + Y/0^/0 2 SjkmCjm +
m=fe+2 ms^H-2
oo
+ P/0 2 §nk-2tmCjm + 6*P/0Y/0*#y + P/0%T X
00 00
X 2 &!\2~-ktmCjm + P/O/W/o 2 Sj,k+2tmCjm +
m=4—ft ms=fc-f-4
oo
+ a/ofH/o" 2 &uk-*2tmCjm + B/(a/oY/0,^2 + T/oY/ofe +
+ P/oVAH-2) + a/0^/m,H-2 + yfoAfnik + Р/(И/т,М-2 +
+ Af / (M/'o,^ + P/og/o^*) + Л1/ (a/0^/o^~2 +
+ W/u* + P/og/o,H-2)J = /20л;
2
2 И/* + Р/1*Я/ + USflkBj + bilkMj +
/=1
164

оо
+ b/u-kMi + 2 (fn-iCimkCim + cimkCim)] = /1U; (9.119)
2
2 №j («/iY/i.a+2 + Y/1Y/1* + P/1Y/U-2) +
+ 6*a/iYyi.*+25/ + af\Ajtk+2 + Y/i A* + §j\Ajtk-2 +
oo
+ a/l^/l 2 diJb+2tmCjm + Y/l^/l X
m=fr-f-4
oo oo
X 2 djkmCjm + Р/1/И/Г 2 djtk-2tmC;m +
m=k+2 m=k
oo oo
+ P/l 2 djt2-k,mCjm + CX/i 2j dj,k+2,mCjm +
m=4—k m^=k
oo oo • ' ш_
+ Y/l 2 djkmCjm + P/l 2- djtk+2tmCjm +
m=^-f2- т«Л+4
oo
+ (Х/1/И/Г 2 dj,2-k,mCfm + Mf (P/lfiT/l.A—2 + Y/tf/I* +
m=4—ft
+ a/iff/i.*+2) + M/ (Y/ii/i^ + a/tf/i.2-A)l = /21л (* = 0, 2,...).
Здесь
4«-4-Rfl' 2 (s+l)(s + 2)m;i[(* —2s-2)x
X (k — 2s—l) A/,k-2s-2 —
— (k — 2s — 4) (k — 2s — 5) m/M/^-as-^J;"
00
«/mft == 2j tofrnkAjni*
m=4
it? -L
P/noe In /?/«; р/лл = (— 1) -j- т/я ;
fe-f-2 Л--2
It
Ym = (-1J -Лг~Щ2п (ft>2);
I"
g/»o = 1 + P/no; g'/nft = P/nft (ft > 2);
.» f 1 ft = 0 1 2 / 1 \
6* = l0 ft>2; V-J^T^l1"^ 2"/;
165

b/no = mjnRJn In Rjn; bin2 = -x- mjnRJn (In Rin + 1);
bjnk = (- 1)
Cjkm
2 8fyi
k (k* — 4)
fe+2
(A>4); (9.120)
da
X/ft/i
2ш
■ J ^m (//I)'
2ш 1 * m
Vi
da о
rr*+l
a*+
= -i-J^(«-
rfa
JH-1
Vi
Vo
a/i = P/fei — <7/ai — 2irja1b1; fyi = a;1 + 4tr/a161;
a/o = p/&o — gfll + %1г,-а0Ь0\ P/0 = a/0 — 4ir,a060;
Y/« = 2 (P$ + ДО&); /«о = — 2 (a? + 6?) m;
/21* = 0 (*>4);
/life = /10* = /20л = 0 (k > 0);
£ la] означает целую часть числа a.
На рис. 9.14 показано изменение
изгибающего момента Me вблизи внутреннего
контура плиты, для которой
а0/аг = 5; Ь0/аг = 0,4;
^1 = 0,75. (9.121)
Максимальный прогиб и максимальные
моменты в фанерной плите получаются
больше, чем в плите, изготовленной из СВАМа. Концентрация
напряжений возникает вблизи отверстия. С увеличением
отношения радиуса круглой плиты к радиусу отверстия
увеличиваются как прогиб, так и максимальные напряжения»
Действие моментов, приложенных к внешнему контуру
плиты
Пусть плита изгибается под действием моментов пг,
равномерно распределенных по ее внешнему контуру.
Граничные условия на внешнем контуре имеют вид (9.118),
Рис. 9.14
166

когда п = 0; а на внутреннем — (9.57), когда W0 = Ml
Ml = №у =о.
Коэффициенты УИ7-, 5;-, Л,*, входящие в выражения
•функций (9.117), определяются из бесконечной системы
(9.119), где следует принять
h
20£ :
О
/2оо = — 2 W> + &о) m; /202
(* > 4)i /l<№ = /ИЛ = /21Л =
D-
fto) /я:
0 (k > 0).
(9.122)
На рис. 9.15 даны графики распределения изгибающих
моментов Mq по контуру отверстия для плиты с
геометрическими параметрами, приведенными
соотношениями (9.21).
Закономерности в
напряженно-деформированном состоянии плиты в
рассматриваемом случае получаются такими же,
как и при изгибе плиты моментами,
распределенными по внутреннему контуру.
Если внутренний край плиты может
свободно перемещаться в направлении,
нормальном к срединной плоскости, то
главный вектор усилий, приложенных к
контуру отверстия, будет равен нулю.
Поэтому коэффициенты М}- = 0. Кроме
того, в системе (9.119) следует принять
/110 = const.
В данном случае происходит
увеличение (w)max- Максимальное значение
момента Ме несколько увеличивается в фанерной плите с
эллиптическими контурами и в кольцевой плите,
ограниченной окружностями, когда она изготовлена из СВАМа.
С увеличением отношения диаметра внешнего контура к
диаметру внутреннего (w)max резко возрастает, в то время
как (Ме)тах увеличивается незначительно.
Рис. 9.15
§ 7.
Действие сосредоточенных нагрузок
В инженерных сооружениях наиболее часто
встречаются плиты конечных размеров, находящиеся в
состоянии изгиба под действием нагрузок, распределенных по
их малым участкам. Если рассматривать
напряженно-деформированное состояние плиты вдали от малых зон за-
гружения, то, согласно принципу Сен-Венана, указанные
167

нагрузки можно заменить соответствующими
сосредоточенными силами и моментами, что позволяет существенно
упростить решение поставленной задачи.
Изгиб эллиптической плиты с эллиптическим отверстием
Внешний край эллиптической плиты жестко защемлен,
а контур эллиптического отверстия свободен от усилий.
В произвольной точке плиты г0 = х0 + iy0 действуют
сосредоточенные силы Рго и момент, составляющие которого
равны Мхо и Муо.
Функции Wj (zj) в данном случае, согласно выражению
(9.33), представим так:
W) (г,) = [М/0 (г,- — Zjo) + Nj0] In (Zj — Zj0) +
oo
+ 2 [М,7* + CikPk {Zj)}. (9.123)
Здесь Zjo — точки областей Sfy соответствующие точке
z0. Функции £/i связаны с zy зависимостями (9.60).
Полиномы Фабера Pk (zy) выражаются через Z/ по формуле (9.70).
Коэффициенты М/0 и Njo удовлетворяют системе
уравнений (9.34), если в них положить
Мх = М°у = Нху = №х = №у = д(х,у)=п = 0. (9.124)
Граничные условия для функций Wj (zf) на контурах
Ln (я = 0,1) имеют вид'(9.85) и (9.65), где /и = /21 ==?
== /12 == /22 = 0.
На контурах Lfn граничные значения функций Wj (zj)
на основании представлений (9.75) и (9.78) запишем
следующим образом:
W'j(tjn)=Yjn(o) + <DJn(o), (9.125)
где
У (о) = J CIke-k; Ф/0 (а) = 2 (mJbC,* + Л*,) а*; (9.126)
^/i (о) = S И/* + m)xC]k) o"k\ Ф/i (а) = 5 С>*; (9.127)
00 00
Л/7г == *2 CLjkrAjr\ Cjk = 2 UjkrCjr.
r=l r=\
Анализ структуры функций (9.125) показывает, что ряды
для функций Wjn (о) сходятся значительно медленнее,
168

чем для функций Ф1п (а). Назовем поэтому функции
У in (£/л) главными частями функций W] (г-). Для
получения эффективного решения необходимо указанные
главные части определить целиком, обрывая быстро
сходящиеся ряды для функций Ф}п {£/„).
Логарифмические члены искомых функций на
контурах Ljn можно представить так:
[MiQ (tin — г/0) + Nf0] In (iin — z/o) = а/о (a) +
+ 2 «;„*a* + 2J p;„*a~\ (9Л 28)
ь=0 &=1
где
a/o (a) = — [Mfo (tjo — z,-o) + Ni0\ In a;
ayi (a) = \Mf0 (//i — z,o) + tf/oj In (— 1);
ajou = — M/o/?/o A — Я/о) a/i — AZ/c^/o;
a/ofe = — Al/0/?/o (nifoflftk-\ — a/ifl/л + fl/,*+i) — N^ajk (k > 1);
Pjoi = — MfoRj0ai0] $ok = 0 (k > 2);
* (9. lzy)
a/io = M/o#/i (d/6/o — rrtjiE/i + Ц\) — Ni0b}0\
a*^ = — MjoRji F/f*_, — dfbjk + mnb;tk+{) — W/0b/*;
P/ift = — MjoRji (mjicitk-i — djCjk + tyA+i) — Л^/o^/fe.
В выражениях (9.129)
a/0 = —ln/?/0; &/o = ^/o = — In (Л/ie/T1);
a,* - -|- <8/° + ^/°); d/ = tioKfl1* & 130>
fy* = — e/i; C/* = — T|/, (* > 1);
в/п и т|/п — комплексные постоянные, которые
определяются через аффиксы точек в плоскостях £/я>
соответствующих точкам 2/о при отображениях (9.60) и (9.68):
в/о = Wo (г/0), e/i = ^Т1 (г/0), Л/* = "г,^1 (г/0). (9.131)
Функции (9.128) можно записать так:
[Mjo (tjn — г/0) + Njo] In (tjn + г/0) = ajn (a) + q>/n (a) + %я (a),
(9.132)
где ф/я (a) и ф/п (о) — граничные значения функций,
голоморфных соответственно в областях внутри и вне
7 6-1539 169

единичной окружности. Они имеют вид
Ф/о (а) = [MpRfQo~] A — е/0а) A — т)/0а) +
+ tip] In [#/0 A — е/0а) A — т)/0о)] — P*oi(T~l;
%о (а) = P/oia"; ф/i (а) = [Mf0Rji (а —
— dy + mno~l) + Np] In [Rns]il A — eyi<r)] +
+ MpRii (mnbj0o-1 - tvi); (9.133)
%i (a) = [MfoRn (a — d, + mn<Tl) +
+ Njo] In A — Tj/icy") — M/o#/i (mnbj0o~l — r\n).
Учитывая представления (9.125) и (9.132), из граничных
условий (9.65) и (9.85) методом интегралов типа Коши
получаем
^ю (U = G10 &10) - 2 kn [Ф/о AТо) - Суо - Л;о];
/=1
2 _ __ _
У*> (Со) = G*> (Со) - 2 £/+2,1 [Ф/о E5') - С/о - Л;„];
^11 (£ii) = G,i Ku) ~ 2 ^/2 [Ф/i (&Г1) - Щ>]\ (9.134)
^21 (U = G21 (U) - 2 £/+2,2 [Ф,1 (й') - С*оЬ
Здесь
2 ___ __
бм (Ею) = — {^ю (£ю) + 2 */i [Ф/о (Йо1) — а/оо]};
/=1
G2o (S20) = — {^20 (S20) + 2 £/+2,1 [Ф/о (Go1) — a/00]}; (9.135;
/=1
2 _. _
Gu (£ц) = GYuiSn1 - {%! (£11) + 2 £/2 [Ф/i (Й71) - ajio]};
/=1
2 — _
G21 (£21) = CYmgl1 — {^21 (C21) + 2 £/+2,2 [Ф/i EI1) — а*ю]}.
pi
На основании представления (9.126) из выражений
(9.134) для определения коэффициентов A}-k и С7* получим
бесконечную алгебраическую систему в виде (9.80), где
величины Рщ находятся по формулам (9.97), а
8i£o = — (|3ш + &цаш + ^2ia2^o);
170

йло = — Фыо + kna\m + &4ia2w); (9.136)
6ш = — Фт + kl2a\k\ + k22a2ki)\
Уравнения для определения постоянных С/о и C/i
получаем непосредственно из граничных условий (9.65)
и (9.85), приравнивая коэффициенты, не содержащие а:
С10 + А*10 + kn (С10 + Л!о) + К\ (С20 + А*2о) = б100;
Qo + ^20 + kB1 (C10 + Лю) + &41 (Qo + ^20) = 52оо>
С it = С\о + k12C\o + k22C2o — Sl01;
С21 = С20 + k32C\Q + &42^20 б201.
При исследовании концентрации напряжений
наибольший интерес представляет определение моментов и
перерезывающих сил вблизи краев плиты. В этом случае функции
Ф/л (£/л) следует представлять конечными суммами, а
главные части искомых функций Wjn (£,-„) необходимо
определять целиком из соотношений (9.134). Этот прием
наиболее эффективен в случае действия сосредоточенных
нагрузок вблизи контуров Lny когда модули малых
параметров &jn близки к единице и вследствие этого модули
искомых коэффициентов убывают весьма медленно.
Изгиб эллиптической плиты
с двумя эллиптическими отверстиями
Пусть плита ослаблена двумя одинаковыми
эллиптическими отверстиями, а сосредоточенная сила приложена
в ее центре (рис. 9.16).
Функции Wj (zj) представим так:
W) (zf) = М& In zj + W*,' (Zj), (9.138)
где выражение W]' (Zj) имеет вид разложений (9.107).
Граничные условия на контурах отверстий возьмем в
виде (9.65), а на внешнем контуре плиты — в виде (9.85).
При этом положим fn = f21 = /12 = /22 = 0.
Постоянные Mf находятся из системы (9.90), где
следует принять Рг\ = Р.
Коэффициенты Ajk и Cjk удовлетворяют
соответственно системе (9.114). При этом постоянные цц и 6/*о
выражаются соотношениями (9.116) и (9.100), а величины 6/м
171

находятся по следующим формулам:
6ш = - 1Мгтп фш + Rn In Rn + k12Mx фш +
+ Rn In Rn) + k22M2 ®211 + R21 In R21)l
6211 = ~ Ш2т21 Ф211 + #21 •" #21) + £32^1 (Pin +
+ £11 In Rn) + k42M2 $2U + R21 In R2l)]; (9.139)
6Ш = — (Л^тпРш + к12Мфш + k22M2M\
82*i = — (М2т1ф2и + k32M$m + ^2Щ2к\) {k > 2),
где
k 1
P/w = Щ\ 2 J (/ + Щ\ Ущх cos л/) In (/ +
0
+ 2Rj\ V~tni\ cos nt) cos kntdt.
Рис. 9.16
На рис. 9.16 показано распределение момента Me no
контуру правого отверстия при Ro/Rx = 10; l/R1 = 2.
Замена круговых контуров эллиптическими приводит к
снижению максимального значения изгибающего момента
Me вблизи контура отверстия. При сближении отверстий
концентрация напряжений в плите увеличивается.

§8.
Изгиб кусочно-однородной плиты
с эллиптическими границами
Рассмотрим упругое равновесие
кусочно-однородной плиты, которая изготовлена из двух различных
анизотропных материалов. Каждая часть плиты представляет
собой кольцо, ограниченное эллиптическими контурами.
Одно из этих колец без
предварительного натяжения
вклеено или впаяно в другое.
Ширина каждого кольца
настолько велика, что для описания
его
напряженно-деформированного состояния можно
применить прикладную теорию
изгиба тонких плит.
Центры всех контурных
эллипсов совпадают с началом Рис- 917
координат, а оси симметрии
направлены по осям декартовых координат (рис. 9.17).
Введем следующие обозначения:
L@)
— внешний
контур; LA) — контур спая; LB) — внутренний контур плиты;
5@) — область между контурами L{} и LA); S{} — область
между контурами L° и L<2); a@v), &<0V) = с№ и a\v), b{v) =
= c(iv) aiv)(v = 0,1) — полуоси соответственно внешнего
и внутреннего контуров v-ro кольца.
Плита изгибается моментами Л4, равномерно
распределенными по внешнему контуру; край отверстия жестко
защемлен.
Величины, относящиеся к области S(v), будем
обозначать индексом (v).
Функции прогибов w{v) (ху у) в областях 5(v) должны
удовлетворять дифференциальным уравнениям
СВ> *£■ + 4D» -££- + 2 (Off + МИГ) -££■ +
+ ««^ + «^=0. 0.140,
Краевые условия записываются так: на загруженном
внешнем контуре L@)
М^ = М; AC+-^f- = 0, (9.141)
173

на линии спая V
A)
ш@) = wu\ dwiQL - dwil)
дп дп •
@) A) (9Л42)
B)
на защемленном контуре отверстия L
шA) = 0. ^i = 0> (9143)
Общее решение каждого уравнения (9.140) выразим
через комплексные потенциалы С. Г. Лехницкого:
a;(v) = 2ReS^v,(^v)). (9.144)
Здесь W{p (z(p) — произвольные аналитические функции
обобщенных комплексных переменных zjv) = х + \if}y.
Они определены в областях S\?\ которые получаются из
исходных областей S(v) аффинными преобразованиями
хУ-х + а^у; У{Г = ^У. (9.145)
Будем считать, что комплексные параметры
|хГ = аГ» + /рР (9.146)
являются различными в областях 5@) и 5A).
После определения функций Wf] (z/v)) моменты и
перерезывающие силы, возникающие в каждой однородной
части плиты, можно вычислить по формулам (9.30), (9.31).
При этом следует учитывать, что постоянные pj, qjy /7, S,
для каждой области S(v) имеют различные значения.
Краевые условия (9.141) — (9.143) преобразуем к
граничным для искомых комплексных потенциалов.
Получаем следующее: на внешнем контуре L@) [25]
2
2Re Т Ж- Wf^) —My- Cx + С°;
S-S 1Х(.°)
@) @)
2Re 2 qf>WfrA$) =-Мх + Су + С„
/-1
(9.147)
№

на линии спая L
0>
2ReV^(^,)-<)'(^))J=0;
/=i
2Re 2 [^Wfr (/}?>) - jxI^' (#>)] = 0; (9.148)
2Re£
n<°>
L^0)
k-K'Vn')
(OK
J-l— W[Xy (t{X)\
= _C<1^ + CiI);
2Re 2 [^<0)' (ДО) - q)l)Wf (#)] = C<^ + <#>,
/=i
на контуре отверстия LB)
оо 2
2Re 2 rfr (ДО) = 0; 2Re 2 ia'-V}1^) - 0. (9.149)
Значения постоянных С@), С(/° не влияют на прогиб
и напряженное состояние плиты, что позволяет положить
их равными нулю. Для того чтобы определить
вещественную постоянную С{{\ необходимо дополнительно
потребовать выполнения условия однозначности функции
прогиба w{0) (x, у) при обходе возле контура L(I).
Из граничных условий можно определить только первые
производные искомых комплексных потенциалов.
Поэтому функции прогиба w{v) (x, у) находятся с точностью до
вещественных постоянных слагаемых. Для вычисления
последних достаточно приравнять нулю прогиб w(l) в
какой-либо одной точке защемленного контура и потребовать
совпадения прогибов w{0) и шA) в произвольной точке
линии спая.
В рассматриваемом случае функции Wfy (zjv)) являются
голоморфными в областях S/v. Принимая во внимание
силовую и геометрическую симметрию задачи, указанные
функции представляем в виде
оо оо
№Г>УЛ= 2 Л№BР*)Г*+ 2 CypWtf). (9.150)
/2=1,3 6=1,3
Здесь РЙо (z/v)) — полиномы Фабера для областей,
заключенных внутри эллипсов L/o. Кроме того, в выражении
(9.150) учтено, что внешности единичных окружностей в
плоскостях £/? конформно отображаются на внешности
175

эллипсов L/f с помощью функций
4v, = ^U«-r!+^-], (9.151)
где
n(v) _ J f/7(v) .(ад,
m,s " l—ш^сМ ' Cs ~ ejv> (/ - 1, Д v - U, 1).
Поступая таким же образом, как и в § 4, находим
представления граничных значений искомых потенциалов в
следующем виде: на внешних контурах 1$
&у\№= s {с^+кгс;-г+4Г]Ч-Ь (9-153)
на внутренних контурах Ц?
К' СД) = S {с<-Га* + ИГ*С<-Г + Л<-Г] -V). (9.154)
При этом
оо оо
4Г = 2 а»; С|Г = Ц «И-Г. (9.155)
/=1.3 /=1,3
Коэффициенты а%\ и а$/' определяются по формулам
(9.77) и (9.74), где величины R}S и mjs следует заменить
на Я}? и т£>.
Подставив выражения (9.153), (9.154) в граничные
условия (9.147) — (9.149), методом рядов получим следующую
бесконечную систему линейных алгебраических уравнений
для определения искомых коэффициентов Л^, С$? [25]:
2 IejS.CS» + а% $$Т% + Ж)) = ИЗ (« = 1,2);
2
Zj Щтп (Ajk + rtlji Ljk ) + ujmnLjk —
- a% {Af + т^ф -ВД»1 = iUi* (9.156)
(m= 1, 2; n= 1, 2);
2 ИР„ D> + /W) +адП = Г^ (п = 1, 2).
176

Здесь
aiw — i, a/12 — fi/ ,
а$ = ^^-/ЛГ (v = 0, 1);
r$ = -^M4V Г^^МЛ,
(9.157)
Г& = —f C<VV IU^-l^aPeu, (9.158)
rlllfc = rS = o, 6U = i, б,л = 0 (k > i).
В случае, когда обе однородные части плиты
изготовлены из ортотропных материалов, у которых направления
упругой симметрии параллельны осям геометрической
симметрии плиты, число неизвестных постоянных
коэффициентов в системе (9.156) можно сократить вдвое, так как
здесь имеют место зависимости
M<2 = — M<1 , Mk = Alki ^2k =^\k, (У.10У)
кроме того, постоянная С оказывается равной нулю.
Подкрепление отверстия упругим кольцом приводит к
значительному снижению концентрации напряжений по
сравнению со случаями, когда в отверстие внешнего
кольца впаяно жесткое кольцо или же когда это отверстие
свободно от внешних усилий.
Глава X
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ,
ОСЛАБЛЕННЫХ ПРОДОЛЬНЫМИ ПОЛОСТЯМИ
§ 1.
Постановка задачи. Построение решения
Рассмотрим эллиптический ортотропный стержень,
ослабленный N эллиптическими полостями. Стержень
закручивается усилиями, приложенными к его торцам. Эти
усилия приводятся к скручивающему стержень моменту М
(рис. 10.1). Объемными силами будем пренебрегать.
В поперечном сечении стержня полуоси внешнего
эллипса равны а и Ь, а полуоси внутренних — ak и bk (k = 1, N).
Расстояния от центра внешнего эллипса до центров
внутренних равны /А. Контур внешнего эллипса обозначим
177

через L, а внутренних — через Lk. Область поперечного
сечения стержня, ограниченную контурами L и Lky
обозначим через 5.
Решение задачи о напряженном состоянии данного
стержня проведем полуобратным методом Сен-Венана.
Будем предполагать, что не равны нулю только напряжения
*xz и туг. Тогда из первых двух
уравнений равновесия (9.5)
получим
т*2 = тхг(х, у);
tyz — tyz (■#i У) у
а третье уравнение (9.5) примет
вид
н
О0&
Лу'
drv
+
дт
У*
= 0.
A0.2)
Рис. 10.1
дх ду
Уравнения закона Гука бу-
A0.3)
дут такими [55]:
е* = 0; гу = 0; е2 = 0; ууг = а^хуг\
Ухг = аььтхг\ уХу = 0.
В связи с этим все уравнения совместности Сен-Венана,
кроме двух, удовлетворяются. Последние же имеют вид
д
дх
дУх
ду
У*
= 0;
Иуду
уг
дух
ду дх I ■ v' ду \ дх ду
Отсюда при учете уравнений A0.3) следует, что
дт
У*
20,
= 0. A0.4)
A0.5)
4 дх 5 ду
где ■& — константа, называемая круткой (угол
закручивания на единицу длины стержня).
Введем функцию напряжений \р, положив
Т^ = ^Г; т^ = —ST- A0-6>
В этом случае уравнение A0.2) будет удовлетворено,
а A0.5) примет вид
а44^ + а55-||- = -2#. (Ю.7)
На боковых поверхностях стержня внешние усилия
отсутствуют. Следовательно,
WX + VP = 0. A0.8)
178

Подставим в уравнение A0.8) выражения A.14) и A0.6)
и проведем интегрирование. Тогда для функции г|),
удовлетворяющей уравнению A0.7), получим следующее
граничное условие:
ц = ск (й = 0, N). A0.9)
Константу с0 можно положить равной нулю, значения
всех других ck (k = I, N) определяются в процессе
построения решения задачи.
Граничным условиям на торцах стержня удовлетворим
интегрально с точностью до принципа Сен-Венана. Эти
условия имеют следующий вид:
J ) Txzdxdy = 0; \ j xyzdxdy = 0;
я s
A0.10)
(гг,/г — уххг) dxdy = М.
Н<
И'
Здесь интегрирование ведется по площади поперечного
сечения стержня.
Подставим выражения A0.6) в граничные условия A0.10)
и применим формулу Остроградского — Грина. При этом
первые два условия A0.10) удовлетворяются тождественно,
а третье становится таким:
ydxdy- 2ад* = 4-м> (ю.п)
где sk — площадь фигуры, ограниченной контуром Lk.
Решение задачи о кручении ортотропного стержня
можно свести к решению аналогичной задачи для изотропного
стержня с другим поперечным сечением. Введем новые
переменные
*i = *; f/i = fc/, A0.12)
где
V V «55
Тогда уравнение A0.7) примет такой вид:
^ + J^ = 2-0--2GA A0.13)
дх] дУ\ «44 IV/
Уравнения, подобные A0.13), имеют место в задачах о
кручении изотропных стержней.
179

При преобразованиях A0.12) эллиптический стержень
останется эллиптическим. В его поперечном сечении
горизонтальная ось не изменяется, а вертикальная
увеличивается или уменьшается в зависимости от значения
коэффициента Р, характеризующего анизотропию стержня. То же
самое происходит и с эллиптическими полостями,
ослабляющими стержень, однако их оси в поперечном сечении
стержня могут поворачиваться и менять свои длины.
После определения в преобразованной области
функции я|) (х, у) напряжения, возникающие в рассматриваемом
ортотропном стержне, находятся по формулам
*—!>£-: *.---£-. (W.I4)
Одновременно можно вычислить напряжения в
изотропном стержне, форма которого определяется
преобразованиями A0.12). Для этого воспользуемся формулами
*»--&■: 1,,,—Цг- С0.15)
Из выражений A0.14) и A0.15) следует, что
txz = ptx^i = pG1,&T^l2l; jq jg
При этом было учтено, что напряжения xx%Zx и xlJyZx
пропорциональны величинам Gl9 Ох в силу линейности
уравнения A0.13).
Для определения жесткости ортотропного стержня,
учитывая выражения A0.12) и A0.16), переписываем
третье условие A0.10). Получаем
-1- GJ J [ (*л,Л - yxTXlZl) dx.dy, = M. A0.17)
Здесь интегрирование ведется по области 5Х,
полученной из области S при использовании преобразований
A0.12).
Из формулы A0.17) получаем
GiP^-jyW'* D=\[(x^-y1:cXlZi)dx1dyv A0.18)
где D — жесткость изотропного стержня, имеющего
поперечное сечение 5^
Таким образом, возникла возможность вначале решить
задачу о кручении изотропного стержня с поперечным се-
180

чением St и найти возникающие в нем напряжения xXlZt
и tVJi, а следовательно, и функции xXlZl, tVlZl. Тогда
напряжения в рассматриваемом ортотропном стержне можно
определить по формулам
тхг = 4" Р2Мад V = -1. РЛГт,а. A0.19)
Этот подход позволяет известные решения для
изотропного стержня использовать при изучении напряжений в
ортотропном стержне, поперечное сечение которого
получается на основании аффинных преобразований A0.12).
Пусть функция
i^G^*. A0.20)
При этом уравнение A0.13) принимает вид
Введем комплексную переменную zx = xt + iyx и ей
сопряженную хг = хх — iyv Тогда ^ = — (гх + г2);
Уг = "y (z — zi)- Поэтому оператор Колосова d = -^ \-
+ i -г— = 2 —=-; оператор, ему сопряженный, d = 2-я—;
а оператор Лапласа у2 = ^ — 4 —. В связи с этим
dzdz
уравнение A0.21) станет таким:
4 -^- = -2. A0.22)
OZiOZ-i
Частное решение уравнения A0.22) принимает вид
хр* = —^гг. Общее решение однородного уравнения,
соответствующего уравнению A0.22), выражается следующим
образом: я|)о = Л (Zi) + Fi (Zi), где Fx {z^j — аналитическая
функция комплексного переменного гг. Следовательно,
я|>* = XY Z& + 2Re Ft (z±). A0.23)
Из формул A0.15), A0.16) и A0.20) видно, что
18!

Отсюда получим
= 21 -^- = l [2F\ (гг) -~гх\. < 10.25)
Определение функции F (гх) проводится из граничных
условий A0.9), которые на основании формул A0.20) и
A0.23) становятся такими:
2Re Fx (tx) = — 4" tii + <Ь- (Ю.26)
Здесь /j — аффикс точки на одном из контуров поперечного
сечения стержня; & —- произвольные постоянные, не
влияющие на его напряженное состояние. В дальнейшем они
не определяются.
Для вычисления напряжений, возникающих в ортотроп-
ном стержне, следует использовать формулы A0.19) и
<10.25).
Если произвольную аналитическую функцию F (гг)
представить в виде
Fi(*i)=-tF(*J, (Ю.27)
граничные условия A0.26) примут форму, полученную
Н. И. Мусхелишвили [70]:
F (/х) -7Щ = itj, + сТ. A0.28)
При этом зависимости A0.25) выразятся так:
^A-S^^F'^-fe. A0.29)
§ 2.
Кручение стержня, ослабленного
продольной полостью
Рассмотрим эллиптический ортотропный стержень,
ослабленный эллиптической полостью. В поперечном
сечении стержня будем иметь эллиптическое кольцо,
ограниченное контурами L и Lv Полуоси внешнего эллипса
примем равными а и 6, а внутреннего — аг и bv Центры
эллипсов и направления их главных осей совпадают
(рис. 10.2).
182

Представление для функции F (гг) возьмем такими:
е.—/г
е.—k
F{zx) = i 2 Ш1+Вк(С " + mSr)l- (Ю-30)
Здесь ЛЛ и Sfe — искомые постоянные коэффициенты;
£i и £ связаны с комплексной переменной zx неявными
зависимостями вида
у-\
zi-tfiGi + roiSi ); г1==;?0(Г' + ^). (Ю.31)
где
п _ ai + pfei . _ J_—j£i_. г> .
9 » "*i
1 — pc
m° 1 + pc '
q + pb .
2
Ci =
h
A0,32)
с =
На контуре Lx
F(tx) = i 2 tV +Bk(ok + тго-к)} + iB0. A0.33)
fe=2,4,-...
При этом
3=0,2,...
Коэффициенты a*p вычисляются
по формулам (9.74). В них нужно
только опустить индекс /.
На контуре L
F(td = i S [Л*"* +
fc=l,4,...
Рис. 10.2
*_*v
где
00 .
A0.35)
A0.36)
C=2,4,...
Из граничных условий A0.28) на контурах L и Ьг для
определения коэффициентов Ak и ВЛ методом рядов
получим следующую алгебраическую систему:
*\ D*
Ак + A + mi) В^ = 6ift; A + mk) Bk + Al = 6k. A0.37)
Здесь
62 = #2т; 6fe = 0 (ft #2);
б12 = /??тх; 6lfe = 0 (ft #2).
A0.38)
18а

Жесткость стержня D определяется по формуле
D=G,A + D0), A0.39)
где
/ = - -L1 J tfjtfat (a) d [со (о)];
" (Ю.40)
Ц, = - -f j [/=■ (а) + F (а)] d fco (а) со (о)].
Здесь со (а) представляет собой граничное значение
отображающей функции внешности единичного круга у на
внешность внутреннего или внешнего эллипса в
поперечном сечении стержня.
При реализации формул A0.40) вначале нужно взять
интегралы, рассматривая внешний контур, а затем вычесть
из полученных результатов те, которые получаются при
рассмотрении внутреннего контура.
В результате образования в стержне продольной полости
концентрация напряжений в нем возрастает. Она
увеличивается при сближении внутреннего и внешнего контуров
поперечного сечения стержня.
§ 3.
Кручение стержня, ослабленного
двумя продольными полостями
Пусть стержень ослаблен двумя одинаковыми
эллиптическими полостями (рис. 10.3).
Представление для функции F (гг) возьмем таким:
П2г) = ;2«ГЧ(-1)^] +
+ i 2 Bkg-" + т№) + iB,. A0.41)
Функция £ связана с гг
зависимостью A0.31), а £х и £2 —
зависимостями следующего вида:
Л=1, Р2 = -1. A0.42)
Выражения для Rx и тх даны
формулами A0.32).
Рис. 10.3
184

На контуре L
F (h) = i S lA^k + ®k (о~* + mW)\ + iB09 A0.43)
где
* °°
Ak = 2 a^^ml
fem==I A0.44)
a,m = -L lim -£- i;Tw + (- Dm £Г].
На контуре 1г
P (У = * S [ V* + (Bl + £fc) (a* + m\o-k)] + i (Bl + E0).
A0.45)
Здесь
_/г_ 1
ft&n = m,2 f Pm (/ + 2 ]/mx cos я/) cos ЬИ/; A0.46)
о
k_ l
7few = (_l)mmi 2 f[g2B/ + 2l/m^cos.Ti/)]~mcos^W/;
6
Pm — полиномы Фабера для области эллипса,
ограниченного контуром Lj.
Алгебраическая система, полученная из граничных
условий A0.28) на контурах L и Ьъ имеет вид
Al + (\+mko)Bk~8k; Ak + (l+m1)X
X(Bl + EJ = 6lk, A0.47)
где бп =IR1(\ + mx)\ b\2 = и\тг\ bxk = 0 (k > 3);
выражения для 6fe приведены в формулах A0.37).
Определение жесткости стержня проводится по
формулам A0.39), A0.40).
Если с < 1 и Р<1, то концентрация напряжений в
стержне с двумя полостями мало отличается от той,
которая имеет место в сплошном стержне. В таких случаях
создание полостей приводит к уменьшению веса стержня
без заметного изменения в нем концентрации напряжений.
Это объясняется тем, что полости создаются в менее
напряженных зонах стержня. Совсем другая картина наблю-
185

дается в стержне, для которого с > 1 и Р > 0. Здесь
создание полостей вблизи внешней боковой поверхности
приводит к значительному увеличению концентрации
напряжений.
§4.
Кручение неортотропных стержней,
ослабленных продольными полостями
Пусть в каждой точке стержня имеется только одна
плоскость упругой симметрии. В этом случае уравнения
закона Гука A0.3) имеют вид
8* = 0; £у = 0; 82 = 0; Ууг=: ^uTyz + #45T*z» /iq лп\
Ухг = a4bTyz + аъьххг\ уху = 0.
Подставим выражения A0.48) в уравнения совместности
A0.4) и проведем интегрирование. Получим
д%,„ ( <3tv, дт,„ \ dxv,
На основании формул A0.6) уравнение A0.49) станет
таким:
««-^-2«»^ + "»-^--2в- О0-5»)
Частное решение уравнения A0.50) можно взять,
например, в виде
% = -4-*2. A0.51)
4
Общее решение однородного уравнения
следуя С. Г. Лехницкому [55], будем искать таким:
% = F(x + iiy). A0.53)
Подставив выражение A0.53) в уравнение A0.52),
увидим, что параметр ц> удовлетворяет следующему
алгебраическому уравнению:
а55^2-2а4# + а44 = 0. A0.54)
Корни уравнения A0.54) fxi.2 = а ± *Р не могут быть
вещественными [55]. Они являются комплексно
сопряженными, т. е. fi2 = |xle
186

В связи с этим решение уравнения A0.50) примет вид
г|; =
044
^ + F{x + \i1y) + F(x + vL^y). (Ю.55)
Здесь х + \iifj = гг — обобщенное комплексное
переменное. Введем, как и в гл. II, аффинные преобразования
Xl = х + ay; уг = |3#. A0.56)
В области Sx переменная гг = хг + i\j\ становится
обыкновенной комплексной переменной. Функция F (zx)
является аналитической в этой области. Граничное условие
A0.9) примет вид
2ReF(tx) =
" X2 + Ck>
A0.57)
где tx — аффикс точки контура в области Sv
Определение функции F (z2) из граничного условия
A0.57) проводится таким же образом, как и в гл. II.
Напряжения, возникающие в стержне, выражаются через эту
функцию на основании формул A0.6) и A0.55) следующим
образом:
9-ft
T« = 2Re[(i1F/Bi)l; Уг = ^-*-2ReF'(*i). (Ю.58)
§ 5.
Изгиб консоли, ослабленной
продольными полостями
Пусть стержень на одном торце защемлен, а на
втором изгибается усилиями, равнодействующая которых
равна Р (рис. 10.4).
Применяя полуобратный
метод для решения задачи об
изгибе данного стержня,
будем считать, что неравными
нулю являются напряжения
%XZt Ту? и сгг. При этом
°2 = --?-уг, A0.59)
где / — момент инерции
поперечного сечения стержня.
Из первых двух уравнений равновесия по-прежнему
получаются равенства A0.1). Третье уравнение равновесия
187

принимает вид
d%vr, дт„, р
Уравнения закона Гука становятся следующими:
__ р _ р __ р
е^ — ~ а1ъуг\ гу — р a23yz] &г — — uz3yz\
A0.61)
Вместо уравнений совместности A0.4) будем иметь
дх \ ду дх ) J ai3'
д (dy^_Jyxz^^ (Ю-62)
ду \ дх ду
Интегрируя эти уравнения, на основании формул A0.61)
получаем
д%„~ d%Yy op
«44 ~it - аьь ~щ~ = 2# + -т- a„*. A0.63)
Положим
„,_*L; v__^ + ^. „0.64,
Такое введение функции напряжений яр позволит
удовлетворить уравнению A0.60) тождественно. Уравнение
A0.63) станет таким:
«44 -^f + «55 ^f = — 20 Г а1вх. A0.65)
Подставим выражения A0.64) в граничное условие на
боковой поверхности стержня A0.8). Для функции i|) оно
примет вид
Ф = Г {№ + **• A0-66)
Рассмотрим случай, когда при изгибе консоли
закручивания не возникает^ = 0). Таким же образом, как ив §4,
решение уравнения A0.65) можно представить так:
где
*! = * + %; V-V-r1-'
Г 5
188

Граничное условие A0.66) примет вид
2Re F (tx) = -f (-^- xf + 4- f y*dx} + ck. A0.68)
Константы ck не влияют на распределение напряжений
в консоли и в дальнейшем не определяются.
После нахождения из граничного условия A0.68)
функции F (zx) касательные напряжения вычисляются по
формулам
2Я а13
т,? = 2f$ Re [if (*,)]-
ruz = -2ReF,(zl) +
A0.69)
2/
Хотя граничное условие A0.68)
имеет более сложную правую часть,
чем аналогичное условие A0.57),
нахождение функции F Bг)
проводится одинаково. Поэтому задачи
изгиба и кручения стержня
целесообразно решать одновременно.
Изгиб консоли,
ослабленной
продольной полостью. Рассмотрим
задачу об изгибе ортотропной
консоли с одной продольной полостью (рис. 10.5). Поперечное
сечение консоли имеет такой же вид, как и в § 2.
Функцию F (гг) представим так:
Рис. 10.5
FW
2
[A£Tk + Bi(JTk + n^]. A0.70)
Связь £х и £ с переменной zt выражается соотношениями
A0.31).
Алгебраическая системп, которой удовлетворяют
коэффициенты Ак и Bk, принимает вид A0.36). При этом
Р
8/
tf3(l + m0)(l-m0J
Р Rl(\+m0){\
<hs
+ ■
2Р2
8/
■та
Al
'=--1,3,...
flj= v а'шВ,
-); б2 =
0;
A0.71)
v
/=1,3,.
Коэффициенты а« и ам вычисляются таким же
образом, как и в § 2, а 6^ определяются из соотношений A0.38),
если в них заменить mQ и RQ соответственно на т1 и Rlm
189

Интересно отметить, что концентрация напряжений в
сплошной ортотропной консоли незначительно изменяется
по сравнению с концентрацией напряжении в такой же
изотропной консоли. Если же в ортотропной консоли создана
продольная полость, то она существенно возрастает в
случае, когда с > 1 и Р > 1, а внешний и внутренний контуры
находятся близко друг от друга.
Изгиб консоли с двумя продоль-
н ы ми полостям и. Пусть консоль ослаблена
двумя продольными полостями, причем поперечное сечение ее
имеет такой же вид, как и в § 3.
Представление для функции F (zj возьмем таким:
F(Zl)= v4jG-* +(-!)*£■*] +
k=\
+ 2 Я*(Г* + /я&*). A0.72)
fe=l,3,...
Зависимости £, £j и £2 от zi имеют такой же вид, как и
в§3.
Для определения коэффициентов Ak и Вк бесконечная
алгебраическая система принимает вид A0.47), где 6k
представлены выражениями A0.38), а
б;2=-^-/^-^A-т1J; A0.73)
Концентрация напряжений в ортотропной консоли с
двумя продольными полостями незначительна, если с < 1
и Р < 1. Если же с > 1 и р > 1, то, как и для консоли с
одной полостью, концентрация напряжений в ней
получается значительно большей, чем в изотропной.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Буров А. К., Андреевская Г. Д. Стекловолокнпсше
анизотропные материалы и их техническое применение. М., Изд-во
АН СССР, 1956.
2. Григолюк Э. И., Фильштинский Л. А.
Перфорированные пластинки и оболочки и связанные с ними проблемы. Обзор
результатов. Итоги науки. Упругость и пластичность. М., «Наука»,
1967.
3. Душутина Н. И.,Me глинский В. В. Об изгибе
анизотропной эллиптической плиты с внецентренным эллиптическим
отверстием.— В сб.: Некоторые задачи теории упругости о
концентрации напряжений и деформации упругих тел. Вып. 4. Саратов, Изд-во
Сарат. ун-та, 1969.
4. Иванов Г. М. Действие сосредоточенных сил при изгибе
анизотропной двусвязной плиты.— В сб.: Теоретическая и
прикладная механика. Вып. 1. Харьков, Изд-во Харьк. ун-та, 1970.
5. И в а н о в Г. М. Одна задача изгиба изотропной эллиптической
плиты с эллиптическим отверстием.— В сб.: Механика твердого тела.
Вып. 2. Киев, «Наукова думка», 1970.
6. И в а н о в Г. М., К о с м о д а м и а н с к и й А. С. Изгиб
анизотропной эллиптической плиты с эллиптическим отверстием под
действием сосредоточенных нагрузок. — В сб.; Механика твердого тела.
Вып. 1. Киев, «Наукова думка», 1969.
7. Иванов Г. М., Меглинский В. В. Чистый изгиб
анизотропной эллилтической плиты с отверстием.— В сб.: Некоторые
задачи теории упругости о концентрации напряжений и деформации
упругих тел. Вып. 4. Саратов, Изд-во Сарат. ун-та, 1969.
8. I в а н о в Г. М., Меглшський В. В. Згин ашзотропноТ плити
моментом, диочим на жорстке ядро.— У зб.: Теоретична i прикладна
мехашка. Вип. 3. XapKiB, Вид-во Харк. ун-ту, 1972.
9. К а л о е р о в С. А. Напряженное состояние анизотропной
полуплоскости с конечным числом эллиптических отверстий. —
«Прикладная механика», 1966, т. 2, вып. 10.
10. К а л о е р о в С. А. Распределение напряжений в
анизотропной полуплоскости с эллиптическим упругим ядром.— «Известия
АН АрмССР. Механика», 1967, т. 20, вып. 3.
11. Калоеров С. А. Концентрация напряжений в
анизотропной полуплоскости с двумя эллиптическими отверстиями.—
«Прикладная механика», 1968, т. 4, вып. 7.
12. Калоеров С. А. Напряженное состояние полуплоскости с
эллиптическим отверстием.— «Прикладная механика», 1969, т. 5»
вып. 4.
491

13. К а л о е р о в С. А. Концентрация напряжений около
эллиптического отверстия в изгибаемой анизотропной полуплоскости.—
В сб.: Некоторые задачи теории упругости о концентрации напряжений
и деформации упругих тел. Вып. 4. Саратов, Изд-во Сарат. ун-та,
1969.
14. К а л о е р о в С. А. Напряженное состояние анизотропной
полуплоскости с эллиптическими отверстиями, расположенными вдоль
границы.— «Известия АН АрмССР. Механика», 1969, т. 22, вып. 2.
15. К а л о е р о в С. А. Распределение напряжений в
анизотропной полуплоскости с подкрепленным круговым отверстием.—
«Известия АН АрмССР. Механика», 1969, т. 22, вып. 3.
16. К а л о е р о в С. А. Распределение напряжений в
подкрепленной по границе анизотропной полуплоскости с эллиптическим
отверстием. — В сб.: Некоторые задачи теории упругости о концентрации
напряжений и деформации упругих тел. Вып. 5. Саратов, Изд-во Сарат.
ун-та, 1970.
17. К а л о е р о в С. А. Растяжение анизотропной полуплоскости
с эллиптическим изотропным ядром.— В сб.: Механика твердого тела.
Вып. 2. Киев, «Наукова думка», 1970.
18. К а л о е р о в С. А. Напряженное состояние полуплоскости с
эллиптическим упругим кольцом.— В сб.: Теоретическая и прикладная
механика. Вып. 3. Харьков, Изд-во Харьк. ун-та, 1972.
19. К а л о е р о в С. А. Напряженное состояние полосы с
эллиптическим отверстием.— В сб.: Механика твердого тела. Вып. 7.
Киев, «Наукова думка», 1975.
20. К а л о е р о в С. А., К о с м о д а м и а н с к и й А. С.
Напряженное состояние анизотропной полуплоскости с эллиптическим
отверстием, близко расположенным от границы.— В сб.: Некоторые
задачи теории упругости о концентрации напряжений и деформации
упругих тел. Вып. 3. Саратов, Изд-во Сарат. ун-та, 1967.
21. Калоеров С. А., Космодамианский А. С.
Действие сосредоточенной силы в анизотропной полуплоскости с
эллиптическим отверстием.— «Прикладная механика», 1969, т. 5, вып. 11.
22. К а л о е р о в С. А., Космодамианский А. С.
О действии сосредоточенных сил в анизотропной полуплоскости с
эллиптическим отверстием.— В сб.: Теоретическая и прикладная механика.
Вып. 1. Харьков, Изд-во Харьк. ун-та, 1970.
23. К а л о е р о в С. А., К о с м о д а м и а н с к и й А. С.
Упругое равновесие весомой анизотропной полуплоскости с эллиптическим
отверстием.— «Прикладная механика», 1971, т. 7, вып. 1.
24. К а н т о р о в и ч Л. В., Крылов В. И. Приближенные
методы высшего анализа. М., Физматгиз, 1962.
25. К о п н и н а В. И., М е г л и н с к и й В. В.
Квазирегулярность бесконечной системы в задаче об изгибе составной анизотропной
плиты.— В сб.: Механика деформируемых сред. Вып. 1. Саратов,
Изд-во Сарат. ун-та, 1974.
26. Космодамианский А. С. Упругое равновесие
анизотропной пластинки с конечным числом эллиптических отверстий.—
«Известия АН АрмССР. Сер. физ.-мат. наук», 1960, т. 13, № 6.
27. К о с м о д а м -и а н с к и й А. С. Определение напряженного
состояния анизотропного массива вблизи горизонтальных горных
выработок. — В сб.: Исследования горного давления. М., Госгортех-
издат, 1960.
28. Космодамианский А. С. Приближенный метод
определения напряженного состояния анизотропного массива с двумя оди-
192

ваковыми эллиптическими выработками. —В сб.: Исследования
горного давления. М., Госгортехиздат, I960.
29. Косм ода мианский А. С. О напряженном состоянии
анизотропной пластинки с двумя неодинаковыми отверстиями.—
«Известия АН СССР. Механика и машиностроение», 1961, № 4.
30. К о с м о д а м и а н с к и й А. С. Кручение и изгиб поперечной
силой ортотропных стержней с полостями.— «Известия АН АрмССР.
Сер. физ.-мат. наук», 1962, т. 15, № 3.
31. Космода мианский А. С. О напряженном состоянии
анизотропной пластинки с двумя бесконечными рядами эллиптических
отверстий.— «Инженерный жунал», М., 1962. т. 2, Ъып. 3.
32. Космода мианский А. С. Некоторые задачи теории
упругости о концентрации напряжений. Автореф. докт. дис. Киев, 1963.
33. К о с м о д а м и а н с к и и А. С. Упругое равновесие
анизотропной полуплоскости, ослабленной эллиптическим отверстием.—
«Труды Груз, политехи, ин-та», 1963, 8 (93).
34. К о с м о д а м и а н с к и и А. С. Квазирегулярность
бесконечных систем в задачах о напряженном состоянии анизотропной
среды с эллиптическими отверстиями.— «Прикладная механика»,
1965, т. 1, вып. 10.
35. Космодамианский А. С. Новый приближенный метод
определения напряжений в анизотропной пластинке с криволинейным
отверстием.— В сб.: Некоторые задачи теории упругости о
концентрации напряжений и деформации упругих тел. Вып. 2. Саратов, Изд-во
Сарат. ун-та, 1965.
36. Космодамианский А. С. Определение напряженного
состояния пластинки, обладающей сильной анизотропией, с двумя
эллиптическими отверстиями.— «Прикладная механика», 1966, т. 2,
вып. 1.
37. Космодамианский А. С. Многосвязные задачи
плоской теории упругости (обзор).— «Прикладная механика», 1967, т. 3,
вып. 2.
38. Космодамианский А. С. Приближенный метод
определения напряженного состояния анизотропной пластинки с двумя
одинаковыми криволинейными отверстиями.— В сб.: Некоторые
задачи теории упругости о концентрации напряжений и деформации
упругих тел. Вып. 3. Саратов, Изд-во Сарат. ун-та, 1967.
39. Космодамианский А. С. Многосвязные пластинки.
Донецк, Изд. Донецк, ун-та, 1969.
40. Космодамианский А. С. К вопросу изгиба
многосвязной плиты при действии сосредоточенных нагрузок.— В сб.:
Некоторые задачи теории упругости о концентрации напряжений и
деформации упругих тел. Вып. 4. Саратов, Изд-во Сарат. ун-та, 1969.
41. Космодамианский А. С. Плоская задача теории
упругости для пластин с отверстиями, вырезами и выступами. Киев, «Вища
школа», Головное изд-во, 1975.
42. Космодамианский А. С, И в а н о в Г. М. Изгиб
тонких многосвязных плит. Донецк, Изд. Донецк, ун-та, 1973.
43. Космодамианский А. С., М е г л и н с к и й В. В.
Растяжение анизотропной пластинки с эллиптическими отверстиями,
подкрепленными жесткими кольцами.— В сб.: Некоторые задачи теории
упругости о концентрации напряжений, равновесии и колебаниях
упругих тел. Вып. 1. Саратов, Изд-во Сарат. ун-та, 1964.
44. Космодамианский А. С, Нескородев Н. М.
Напряженное состояние анизотропной пластинки, ослабленной двумя
193

криволинейными отверстиями.— «Известия АН АрмССР. Механика»,
1970, т. 23, №5.
45. Кос модам i а н с ь к и й О. С., Нескородев М. М.
Двоперюдична задача для ашзотропного середовища, ослабленого елш-
тичними отворами.— «ДАН УРСР. Сер. А», 1970, вип. 7.
46. К о с м о д а м и а н с к и й А. С, Н е с к о р о д е в Н. М.
Двоякопериодическая задача для анизотропной пластинки с
эллиптическими отверстиями, подкрепленными упругими кольцами.— В сб.:
Сопротивление материалов и теория соооружений. Вып. 13. Киев,
«Буд1вельник», 1971.
47. К о с м о д а м и а н с к и й А. С, Нескородев Н. М.
Двоякопериодическая задача для анизотропной пластинки с
криволинейными отверстиями. — «Прикладная механика», 1971, т. 7,
вып. 3.
48. Космодам1анськийО. С, Нескородев М. М.
Двоперюдична задача для ашзотропноТ пластинки з елштичними
отворами, заповненими пружними ядрами.— У зб.: Теоретична i прик-
ладна механжа. Вип. 2. Харюв, Вид-во Харк. ун-ту, 1971.
49. Космодамианский А. С, Нескородев Н. М.
Напряженное состояние анизотропной полуплоскости с конечным
числом криволинейных отверстий.— «Известия АН СССР. Механика
твердого тела», 1971, № 4.
50. Космодам1анський О. С, Нескородев М. М.
Пружна р1вновага ашзотропноУ пластинки з криволшшним отвором,
шдкртленим пружним юльцем.— У зб.: Теоретична i прикладна
мехашка. Вип. 3. Харюв, Вид-во Харк. ун-ту, 1972.
51. Космодамианский А. С, Нескородев Н. М.
Напряженное состояние анизотропной пластинки с конечным числом
криволинейных отверстий.— В сб.: Механика твердого тела. Вып.
4. Киев, «Наукова думка», 1972.
52. К о с м о д а м и а н с к и й А. С, Нескородев Н. М.
Двоякопериодическая задача для анизотропной пластинки С
криволинейными отверстиями, подкрепленными упругими кольцами.—
«Прикладная механика», 1974, т. 10, вып. 11.
53. Л е х н и ц к и й С. Г. Теория упругости анизотропного тела.
М., Гостехиздат, 1951.
54. Л е х н и ц к и й С. Г. Анизотропные пластинки. М.,
Гостехиздат, 1957.
55. Л е х н и ц к и й С. Г. Кручение анизотропных и
неоднородных стержней. М., «Наука», 1971.
56. М а р к у ш е в и ч А. И. Теория аналитических функций.
М., Гостехиздат, 1950.
57. М е г л и н с к и й В. В. Изгиб анизотропной эллиптической
плиты с эллиптическим отверстием, подкрепленным жестким кольцом.—
В сб.: Некоторые задачи теории упругости о концентрации напряжений,
равновесии и колебаниях упругих тел. Вып. 1. Саратов, Изд-во Сарат.
ун-та, 1964.
58. М е г л и н с к и й В. В. Изгиб изотропной эллиптической
плиты, ослабленной эллиптическими отверстиями.— «Прикладная
механика», 1965, т. 1, вып. 4.
59. Меглинский В. В. Некоторые задачи изгиба двусвяз-
ной ортотропной плиты.— В сб.: Некоторые задачи теории упругости
о концентрации напряжений и деформации упругих тел. Вып. 2. Саратов,
Изд-во Сарат. ун-та, 1965.
60. Мег л п и с к и и В. В. Изгиб эллиптической анизотропной
194

плиты с двумя эллиптическими отверстиями. — «Прикладная механика»,
1966, т. 2, вып. 6.
61. М е г л и н с к и й В. В. Изгиб эллиптической анизотропной,
плиты с эллиптическим отверстием. — «Известия АН АрмССР.
Механика», 1966, т. 19, №3.
62. Мег л и и с к и й В. В. О напряженном состоянии гонкой
анизотропной эллиптической плиты с двумя эллиптическими
отверстиями.—«Прикладная механика», 1967, т. 3, вып. 8.
63. М е г л и к с к и й В. В. Некоторые задачи изгиба тонких
многосвязных анизотропных плит.— В сб.: Некоторые задачи теории
упругости о концентрации напряжений и деформации упругих тел. Вып.
3. Саратов, Изд-во Сарат. ун-та, 1967.
64. Меглинский В. В. Действие сосредоточенной силы,
приложенной в центре анизотропной эллиптической плиты с двумя
отверстиями.— «Прикладная механика», 1970. т. 6, вып. 1.
65. Меглинский В. В. Концентрация напряжений около
эллиптических упругих включений в тонкой анизотропной плите. —
«Известия АН СССР. Механика твердого тела», 1970, № 6.
66. Меглинский В. В. Напряженно-деформированное
состояние опертой по краю анизотропной эллиптической плиты с отверстием..
— «Прикладная механика», 1971, т. 7, вып. 7.
67. Меглинский В. В. Изгиб многосвязной анизотропной
плиты, опертой по краю. В сб.: Некоторые задачи теории упругости о
концентрации напряжений и деформации упругих тел. Вып. 6. Саратов,
Изд-во Сарат. ун-та, 1971.
68. М е г л и н с к и й В. В. Концентрация напряжений около
жестких включений в анизотропной плите.— В сб.: Механика
деформируемых сред. Вып. 1. Саратов, Изд-во Сарат. ун-та, 1974.
69. Меглинский В. В., Ф р о л о в а Г. И. Применение ЭВМ.
при решении задачи изгиба опертой по краю анизотропной плиты с
отверстием.— В сб.: Вычислительные методы и программирование.
Вып. 4. Саратов, Изд-во Сарат. ун-та, 1969.
70. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи
математической теории упругости. М., «Наука», 1966.
71. Н а г и б и н Л. Н. О напряжениях и весомой анизотропной
полуплоскости, ослабленной двумя круговыми отверстиями.—
«Инженерный сборник», 1959, т. 25.
72. Н а г и б и н Л. Н. О напряженном состоянии анизотропной
пластинки с двумя круговыми отверстиями.— В сб.: Некоторые задачи
теории упругости о концентрации напряжений и деформации упругих тел.
Вып. 3. Саратов, Изд-во Сарат. ун-та, 1967.
73. Н а г и б и н Л. Н. Растяжение анизотропной пластинки с
несколькими круговыми отверстиями.— В сб.: Некоторые задачи
теории упругости о концентрации напряжений и деформации упругих
тел. Вып. 4. Саратов, Изд-во Сарат. ун-та, 1969.
74. Н а й м а н М. И. Напряжения в балке с криволинейным
отверстием.—«Труды ЦАГИ», 1937, №313.
75. Нескородев Н. М. Двоякопериодическая задача для
анизотропной пластинки с криволинейными отверстиями,
подкрепленными упругими ядрами.— В сб.: Механика твердого тела. Вып. 5.
Киев, «Наукова думка», 1973.
76. С а в и н Г. Н. Концентрация напряжений около отверстий.
М., Гостехиздат, 1951.
77. С а в и н Г. Н. Распределение напряжений около отверстий.
Киев, «Наукова думка», 1968.
195

78. С а в и н Г. Н., К о с м о д а м и а н с к и й А. С,
Г у з ь А. Н. Концентрация напряжений возле отверстий.—
«Прикладная механика», 1967, т. 3, вып. 10.
79. Смирнов В. И.,Лебедев Н. А. Конструктивная теория
функций комплексного переменного. М., «Наука», 1964.
80. Швецов В. А. Растяжение анизотропной пластинки с
эллиптическими отверстиями, заполненными упругими ядрами.— В сб.;
Некоторые задачи теории упругости о концентрации напряжений и
деформации упругих тел. Вып. 2. Саратов, Изд-во Сарат. ун-та, 1965.
81. Швецов В. А. Распределение напряжений в упругой
анизотропной среде с эллиптическими отверстиями, подкрепленными
упругими кольцами.— «Прикладная механика», 1966, т. 2, вып. 8.
82. Швецов В. А. Упругое равновесие анизотропной пластинки
с конечным числом эллиптических отверстий, подкрепленных упругими
кольцами.— «Прикладная механика», 1966, т. 2, вып. 11.
83. Щ в е ц о в В. А. О напряженном состоянии анизотропной
пластинки с конечным числом эллиптических отверстий, заполненных
упругими ядрами.— В сб.: Некоторые задачи теории упругости о
концентрации напряжений и деформации упругих тел. Вып. 3. Саратов,
Изд-во 4. Сарат. ун-та, 1967.
84. Швецов В. А. Упругое равновесие анизотропной пластинки
с подкрепленным эллиптическим отверстием.— В сб.: Некоторые
задачи теории упругости о концентрации напряжений и деформации упругих
тел. Вып. 4. Саратов, Изд-во Сарат. ун-та, 1969.
85. ШерманД. И. К решению плоской задачи теории упругости
для анизотропной среды.— «Прикладная математика и механика», 1942,
т. 6.
86. Ш е р м а н Д. И. Метод интегральных уравнений в плоских
и пространственных задачах статической теории упругости.— «Труды
Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике». М.,
Изд-во АН СССР, 1962.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 4
Глава I
Плоское напряженное состояние многосвязной пластинки
$ 1. Постановка задачи. Основные уравнения 7
§ 2. Выражение функции напряжений через комплексные
потенциалы С. Г. Лехницкого 10
§ 3. Выражение напряжений и перемещений через потенциалы
С. Г. Лехницкого. Граничные условия для комплексных
потенциалов 14
§ 4. Вид комплексных потенциалов для многосвязных областей 16
Глава II
Напряженное состояние пластинки с эллиптическим
отверстием
§ 1. Построение решения 23
§ 2. Частные случаи напряженного состояния пластинки с
эллиптическим отверстием 25
Растяжение пластинки. 25
Чистый изгиб пластинки 27
§3. Действие сосредоточенных силы и момента в пластинке с
эллиптическим отверстием 28
§ 4. Частные случаи напряженного состояния балки с
эллиптическим отверстием 31
Изгиб поперечной силой плоской консоли 31
Изгиб плоской балки под действием равномерно
распределенных усилий 33
Глава III
Напряженное состояние пластинки с криволинейным
отверстием
§ 1. Построение приближенного решения 35
§ 2. Определение напряжений в пластинке с криволинейным
отверстием 39
§ 3. Растяжение пластинки с криволинейным отверстием .... 42
§ 4. Изгиб свободно опертой балки, ослабленной криволинейным
отверстием 44
197

Глава IV
Напряженное состояние пластинки с эллиптическими
отверстиями
§ 1. Растяжение ортотропной пластинки с двумя эллиптическими
отверстиями 47
§2. Применение метода малого параметра для пластинки,
обладающей сильной анизотропией 51
§ 3. Периодическая задача для пластинки с эллиптическими
отверстиями 55
§ 4. Растяжение пластинки с двумя бесконечными рядами
эллиптических отверстий 58
§ 5. Двоякопериодическая задача для пластинки с эллиптическими
отверстиями 61
§ 6. Упругое равновесие пластинки с конечным числом
эллиптических отверстий 65
§ 7. Растяжение пластинки с двумя неодинаковыми отверстиями 67
Г л а в а V
Напряженное состояние пластинки с криволинейными
отверстиями
§ 1. Напряженное состояние пластинки, ослабленной конечным
числом криволинейных отверстий 69
§ 2. Распределение напряжений в пластинке с двумя
неодинаковыми отверстиями 72
§ 3. Распределение напряжений в пластинке, ослабленной двумя
одинаковыми отверстиями 74
§ 4. Двоякопериодическая задача для пластинки с
криволинейными отверстиями 77
Г л а в а VI
Напряженное состояние полуплоскости, ослабленной отверсти*
ями
§ 1. Постановка задачи и построение решения для полуплоскости
с эллиптическими отверстиями 81.
§ 2. Напряженное состояние полуплоскости с эллиптическим
отверстием 82
Растяжение полуплоскости, ослабленной эллиптическим
отверстием 84
Действие внутреннего давления по контуру
эллиптического отверстия 85
Действие касательных усилий, равномерно
распределенных по контуру эллиптического отверстия 85
Действие сосредоточенной силы на контуре
эллиптического отверстия, ослабляющего полуплоскость SQ
Действие сосредоточенной силы на границе полуплоскости 88
Весомая полуплоскость с эллиптическим отверстием. 88
§ 3. Напряженное состояние полуплоскости с двумя
эллиптическими отверстиями, линия центров которых параллельна границе
полуплоскости 89
§ 4. Растяжение полуплоскости с двумя эллиптическими
отверстиями, линия центров которых перпендикулярна границе
полуплоскости 92
198

§ 5. Полуплоскость с конечным числом криволинейных отверстий 94
Растяжение полуплоскости, ослабленной криволинейным
отверстием 96
Действие внутреннего давления 93
§ 6. Периодическая задача для полуплоскости с криволинейными
отверстиями 98
Глава VII
Напряженное состояние пластинки с отверстиями,
заполненными упругими анизотропными ядрами
§ 1. Постановка задачи 103
§ 2. Напряженное состояние пластинки с двумя упругими ядрами 104
Растяжение пластинки
Чистый сдвиг пластинки 107
Чистый изгиб полосы . . 109
§ 3. Растяжение пластинки с тремя упругими ядрами ПО
§ 4. Периодическая задача для пластинки с упругими ядрами . . 113
§ 5. Двоякопериодическая задача для пластинки с упругими
ядрами 115
§ 6. Двоякопериодическая задача для пластинки с
криволинейными отверстиями, подкрепленными упругими ядрами .... 116
Глава VIII
Напряженное состояние пластинки с отверстиями,
подкрепленными упругими кольцами
§ 1. Напряженное состояние пластинки с двумя упругими
кольцами И9
Растяжение пластинки
Действие внутреннего давления, распределенного по
внутренним контурам колец 122
Чистый сдвиг пластинки 123
Чистый изгиб полосы 124
§ 2. Периодическая задача для пластинки с эллиптическими
отверстиями, подкрепленными упругими кольцами 125
§ 3. Двоякопериодическая задача для пластинки с эллиптическими
отверстиями, подкрепленными упругими кольцами .... 125
§ 4. Двоякопериодическая задача для пластинки с
криволинейными отверстиями, подкрепленными упругими криволинейными
кольцами 127
Глава IX
Изгиб плит, ослабленных отверстиями
§ 1. Постановка задачи. Основные уравнения и граничные условия 130
§ 2. Выражение прогиба, моментов и перерезывающих сил через
комплексные потенциалы С. Г. Лехницкого 135
§ 3. Граничные условия для комплексных потенциалов С. Г.
Лехницкого 139
§ 4. Изгиб эллиптической плиты с одним эллиптическим
отверстием 142
Чистый изгиб плиты 142
Изгиб плиты с жестко защемленным внутренним
контуром 147
199

Действие нормальных усилий на внешнем контуре*
когда внутренний контур плиты жестко защемлен ... 149
Действие изгибающих моментов, приложенных к
внутреннему контуру плиты 152
Изгиб плиты с жестким ядром, к которому приложены
внешние усилия 153
Изгиб плиты с жестким ядром под действием равномерно
распределенной нагрузки 154
Изгиб плиты со «свободно ведомым краем» под действием
равномерно распределенной нагрузки 157
Изгиб плиты под действием распределенной нагрузки,
когда оба контура жестко защемлены 158
§ 5. Изгиб эллиптической плиты с двумя одинаковыми
эллиптическими отверстиями 159
Действие изгибающих моментов, приложенных в
внешнему контуру 159
' Действие изгибающих моментов, приложенных к контурам
отверстий 162
§ 6. Изгиб опертой по краю эллиптической плиты с эллиптическим
отверстием 163
Действие моментов, приложенных к контуру отверстия 163
Действие моментов, приложенных к внешнему контуру
плиты 166
§ 7. Действие сосредоточенных нагрузок 167
Изгиб эллиптической плиты с эллиптическим отверстием 168
Изгиб эллиптической плиты с двумя эллиптическими
отверстиями . ; 171
§ 8. Изгиб кусочно-однородной плиты с эллиптическими
границами 173
ГлаваХ
Кручение и изгиб стержней, ослабленных продольными
полостями
§ 1. Постановка задачи. Построение решения 177
§ 2. Кручение стержня, ослабленного продольной полостью ... 182
§ 3. Кручение стержня, ослабленного двумя продольными
полостями 184
§ 4. Кручение неортотропных стержней, ослабленных
продольными полостями 186
§ 5. Изгиб консоли, ослабленной продольными полостями ... 187
Список литературы 191