Г. С. БАРАНЕНКОВ, Б. П. ДЕМИДОВИЧ, В. А. ЕФИМЕНКО,
С. М. КОГАН, Г. Л. ЛУНЦ, Е. Ф. ПОРШНЕВА, Е. П. СЫЧЕВА,
С. В, ФРОЛОВ, Р. Я. ШОСТАК, А. Р. янпольский
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
по
МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
ДЛЯ ВТУЗОВ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Б. П. ДЕМИДОВИЧА
ИЗДАНИЕ ШЕСТОВ,
СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебного пособия
для высших технических учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВ А 1968
517.2
Б 24
УДК 510(076.1)
Задачи и упражнения по математическому анализу
для втузов
Под редакцией Б. П. Демидовича.
М., 1968 г., 472 стр. с илл.
Редактор А. П. Баева.
Техн, редактор К- Ф. Бру дно.	Корректор А. в. Баку лова.
Печать с матриц. Подписано к печати 8/IV 1968 г. Бумага 60х90‘/1в. Физ. печ. л. 29,5.
Условн. печ. л. 29,5. Уч.-изд. л. 30,98. Тираж 150 000 экз.
Цена книги 97 коп. Заказ № 2605
Издательство <Наука».
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая типография
имени А. А. Жданова Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР. Москва, Ж-54, Валовая, 28.
2-2-3
2-68
ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия к первому изданию ................................  7
Предисловие к четвертому изданию.................................. 8
Предисловие к пятому изданию ..............................* . .	8
Глава I. Введение в анализ........................................ 9
§ 1.	Понятие функции.........................................   9
§ 2.	Графики элементарных функций............................. 14
§ 3.	Пределы....................................................20
§ 4.	Бесконечно малые и бесконечно большие....................31
§ 5.	Непрерывность функций......................................34
Глава	II. Дифференцирование функций ...........................40
§ 1.	Непосредственное вычисление производных...................40
§ 2.	Табличное дифференцирование................................44
§ 3.	Производные функций, не являющихся явно заданными ... 54
§ 4.	Геометрические и механические приложения производной ... 58
§ 5.	Производные высших порядков..............................64
§ 6.	Дифференциалы первого и высших порядков..................68
§ 7.	Теоремы о среднем........................................72
§ 8.	Формула Тейлора..........................................73
§ 9.	Правило Лопиталя — Бернулли раскрытия неопределенностей . 75
Глава III. Экстремумы функции и геометрические приложения
производной......................................................79
§ 1.	Экстремумы функции одного аргумента.......................79
§ 2.	Направление вогнутости. Точки перегиба....................87
§ 3.	Асимптоты.................................................89
§ 4.	Построение графиков функций по характерным точкам .... 91
§ 5.	Дифференциал дуги. Кривизна...............................97
Глава	IV. Неопределенный интеграл.............................102
§ 1.	Непосредственное интегрирование..........................102
§ 2.	Метод подстановки........................................108
§ 3.	Интегрирование по частям.................................111
§ 4.	Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен . . 113
§ 5.	Интегрирование рациональных	функций .....................116
§ 6.	Интегрирование некоторых иррациональных функций.........120
!♦
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 7.	Интегрирование тригонометрических функций...............123
§ 8.	Интегрирование гиперболических функций..................128
§ 9.	Применение тригонометрических и гиперболических подстано-
вок для нахождения интегралов вида J R (х,У ах2-{- bx -f- с ) dx,
где 7? — рациональная функция........................129
§ 10.	Интегрирование различных трансцендентных функций........130
§ 11.	Применение формул приведения ...........................131
§ 12.	Интегрирование разных функций...........................131
Глава V. Определенный интеграл....................................133
§ 1.	Определенный интеграл как предел суммы..................133
§ 2.	Вычисление определенных интегралов с помощью неопреде-
ленных ......................................................135
§ 3.	Несобственные интегралы.................................138
§ 4.	Замена переменной в определенном интеграле..............141
§ 5.	Интегрирование по частям................................144
§ 6.	Теорема о среднем значении..............................145
§ 7.	Площади плоских фигур...................................147
§ 8.	Длина дуги кривой........................................153
§ 9.	Объемы тел..............................................155
§ 10.	Площадь поверхности вращения............................160
§ 11.	Моменты. Центры тяжести. Теоремы Гульдена...............162
§ 12.	Приложения определенных интегралов к решению физических
задач....................................................166
Глава VI. Функции нескольких переменных...........................172
§ 1.	Основные понятия........................................172
§ 2.	Непрерывность ..........................................175
§ 3.	Частные производные.....................................177
§ 4.	Полный дифференциал функции.............................179
§ 5.	Дифференцирование сложных функций........................182
§ 6.	Производная в данном направлении и градиент	функции . . . 185
§ 7.	Производные и дифференциалы высших порядков.............188
§ 8.	Интегрирование полных дифференциалов....................193
$ 9.	Дифференцирование неявных функций.......................195
§ 10.	Замена переменных.......................................202
§ 11.	Касательная плоскость и нормаль к поверхности...........207
§ 12.	Формула Тейлора для функции нескольких переменных .... 210
§ 13.	Экстремум функции нескольких переменных.................212
§ 14.	Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений
функций .....................................................216
§ 15.	Особые точки плоских кривых.............................219
§ 16.	Огибающая...............................................221
§ 17.	Длина дуги пространственной кривой......................222
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 18.	Вектор-функции скалярного аргумента.....................223
§ 19.	Естественный трехгранник пространственной кривой........226
§ 20.	Кривизна и кручение пространственной кривой ............230
Глава VII. Кратные и криволинейные интегралы ....................233
§ 1.	Двойной интеграл в прямоугольных координатах............233
§ 2.	Замена переменных в двойном интеграле..................239
§ 3.	Вычисление площадей фигур...............................242
§ 4.	Вычисление объемов тел..................................244
§ 5.	Вычисление площадей поверхностей........................246
§ 6.	Приложения двойного интеграла к механике................247
§ 7.	Тройные интегралы.......................................248
8.	Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Несобст-
венные кратные	интегралы.................................255
§ 9.	Криволинейные интегралы.................................259
§ 10.	Поверхностные интегралы.................................269
§ 11.	Формула Остроградского —	Гаусса.........................271
§ 12.	Элементы теории поля....................................273
Глава VIII. Ряды.................................................277
§	1.	Числовые ряды	......................................277
§	2.	Функциональные	ряды....................................288
§	3.	Ряд Тейлора............................................295
§	4.	Ряды Фурье.............................................301
Глава	IX. Дифференциальные уравнения.............................306
§ 1.	Проверка решений. Составление дифференциальных уравне-
ний семейств кривых. Начальные условия.......................306
§	2.	Дифференциальные уравнения 1-го порядка.................308
§ 3.	Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися
переменными. Ортогональные траектории........................310
§ 4.	Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка .... 314
§ 5.	Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравне-
ния Бернулли.................................................315
§ 6.	Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множи-
тель ........................................................318
§ 7.	Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные
относительно производной ................................... 320
§ 8.	Уравнения Лагранжа и Клеро.....................*	.... 322
§ 9.	Смешанные дифференциальные	уравнения	1-го	порядка.......324
§ 10.	Дифференциальные уравнения	высших порядков..............329
§ 11.	Линейные дифференциальные уравнения.....................332
§ 12.	Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с посто-
янными коэффициентами....................................    334
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 13.	Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэф-
фициентами порядка выше 2-го..................................340
§ 14.	Уравнения Эйлера........................................341
§ 15.	Системы дифференциальных уравнений......................342
§ 16.	Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью
степенных рядов..........................................344
§ 17.	Задачи на метод Фурье...................................346
Глава X. Приближенные вычисления..................................350
§ 1.	Действия с приближенными числами........................350
§ 2.	Интерполирование функций................................355
§ 3.	Вычисление действительных корней уравнений..............359
§ 4.	Численное интегрирование функций........................365
§ 5.	Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных
уравнений.....................................................368
§ 6.	Приближенное вычисление коэффициентов Фурье.............376
Ответы............................................................378
Приложения .......................................................460
I.	Греческий алфавит........................................460
II.	Некоторые постоянные....................................460
III.	Обратные величины, степени,	корни,	логарифмы............461
IV.	Тригонометрические функции...............................463
V.	Показательные, гиперболические	и	тригонометрические функции 464
VI.	Некоторые кривые.........................................465
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В сборнике подобраны задачи и примеры по математическому
анализу применительно к максимальной программе общего курса
высшей математики высших технических учебных заведений. Сбор-
ник содержит свыше 3000 задач, систематически расположенных в
главах (I — X), и охватывает все разделы втузовского курса выс-
шей математики (за исключением аналитической геометрии). Особое
внимание обращено на важнейшие’ разделы курса, требующие проч-
ных навыков (нахождение пределов, техника дифференцирования,
построение графиков функций, техника интегрирования, приложения
определенных интегралов, ряды, решение дифференциальных урав-
нений).
Учитывая наличие в некоторых втузах дополнительных глав
курса математики, авторы включили задачи на теорию поля, метод
Фурье и приближенные вычисления. Приведенное количество задач,
как показывает практика преподавания, не только с избытком удов-
летворяет потребности студентов по практическому закреплению
соответствующих разделов курса, но и дает возможность препо-
давателю разнообразить выбор задач в пределах данного раздела
и подбирать задачи для итоговых заданий и контрольных работ.
В основном задачник предназначен для студентов-заочников и
студентов вечерних факультетов технических вузов машиностроитель-
ных специальностей, а также лиц, занимающихся самообразованием.
В начале каждой главы дается краткое теоретическое введение и
приводятся основные определения и формулы, относящиеся к соот-
ветствующему разделу курса. Здесь же показаны образцы решений
особо важных типовых задач. Это обстоятельство, по нашему мне-
нию, в значительной мере облегчит студенту-заочнику пользование
задачником в самостоятельной работе. На все вычислительные задачи
даны ответы; в задачах, отмеченных звездочкой (*) или двумя
звездочками (**), в ответах приведены соответственно краткие
указания к решениям или решения. Для наглядности часть задач
иллюстрируется чертежами.
Сборник сложился в результате многолетнего преподавания
авторами высшей математики в технических учебных заведениях
ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. Понятие функции
1 °. Действительные числа. Числа рациональные и иррацио-
нальные носят название действительных, или вещественных, чисел. Под аб-
солютной величиной действительного числа а понимается неотрицательное
число |а| , определяемое условиями: | а | = а, если а^О, и |а|= — а, если
а < 0. Для любых вещественных чисел а и b справедливо неравенство
[а + Ь|с:|а|+1И
2°. Определение функции. Если каждому значению *) перемен-
ной величины х, принадлежащему некоторой совокупности (множеству) Е,
соответствует одно и только одно конечное значение величины у, то у на-
зывается функцией (однозначной) от х, или зависимой переменной, опреде-
ленной на множестве Е; х называется аргументом, или независимой пере-
менной. То обстоятельство, что у есть функция от х, кратко выражают
записью: y~f{x) или y = F (х) и т. п.
Если каждому значению х, принадлежащему некоторому множеству Е,
соответствует одно или несколько значений переменной величины у, то у
называется многозначной функцией от х, определенной на множестве Е,
В дальнейшем под словом «функция» мы будем понимать только одно-
значные функции, если явно не оговорено противное.
3°. Область существования функции. Совокупность значе-
ний х, для которых данная функция определена, называется областью суще-
ствования, или областью определения этой функции.
В простейших случаях область существования функции представляет
собой: или отрезок (сегмент) [а, Ь], т. е. множество вещественных чисел х,
удовлетворяющих неравенствам а^х^Ь; или промежуток (интервал) (а, Ь),
т. е. множество вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам
а < х < Ь. Но возможна и более сложная структура области существования
функции (см., например, задачу 21).
Пример 1. Определить область существования функции
1
У~
Решение. Функция определена, если
х2 — 1 > 0,
*) В дальнейшем все рассматриваемые значения величин будут предпо-
лагаться вещественными, если явно не оговорено противное.
8
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
г. Москвы. В нем, кроме оригинальных задач и примеров, поме-
щены многочисленные общеизвестные задачи, а также ряд задач
и примеров из существующих руководств. В частности, был широко
использован изданный на правах рукописи «Задачник по высшей
математике» (Москва, изД. МВТУ, 1944 г.)—коллективный труд
преподавателей кафедры высшей математики МВТУ, в числе
которых, кроме некоторых авторов настоящего сборника, были
также ныне скончавшиеся И. П. Ветчинкин и С. Ф. Шурлапов.
Хотя работа между авторами в основном была распределена
по главам, каждый автор, как член авторского коллектива, несет
полную ответственность за весь сборник в целом.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
Четвертое издание сборника незначительно отличается от пре-
дыдущих. Исправлены замеченные опечатки в тексте и ответах.
В некоторых местах несущественно изменены формулировки. До-
бавлено несколько новых задач, номера которых, с целью сохра-
нения старой нумерации, оформлены с помощью дробной десятич-
ной нумерации, например задачи, вставленные непосредственно
после № 2016, имеют номера 2016.1, 2016.2 и т. п.
О всех замечаниях и пожеланиях по поводу сборника авторы
просят сообщить по адресу: Москва, В-71, Ленинский проспект, 15,
Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической
литературы.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Пятое издание сборника напечатано с матриц четвертого и
отличается от него лишь некоторыми исправлениями опечаток
в тексте и ответах.
Большая часть замеченных опечаток сообщена В. В. Третья-
ковым, которому авторы выражают свою благодарность.
Москва, 1965 г.
Авторы
10
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
т. е. если |х|> 1. Таким образом, область существования функции представ-
ляет собой совокупность двух интервалов: — со < х < —1 и 1 < х < оо.
4°. Обратные функции. Если уравнение y~f (х) может быть одно-
значно разрешено относительно переменного х, т. е. существует функция
x = g(y) такая, что y^f[g(y)]> то функция x — g(y), или в стандартных
обозначениях y = g(x), называется обратной по отношению к y = f(x). Оче-
видно, что g[f (х)]=х, т. е. функции f (х) и g(x) являются взаимно обрат-
ными.
В общем случае уравнение y=zf(x) определяет многозначную обратную
функцию x = f~l(y) такую, что y^=f if"1 (у)) для всех у, являющихся значе-
ниями функции f(x).
Пример 2. Для функции
£/=1—2“^	(1)
определить обратную.
Решение. Решив уравнение (1) относительно х, будем иметь:
2~^ = 1 - у
Область определения функции (2), очевидно, следующая: — оо< у < 1.
5°. Сложные и неявные функции. Функция у от х, заданная
цепью равенств y — f(u), где ц = ф(х) и т. п., называется сложной, или
функцией от функции.
Функция, заданная уравнением, не разрешенным относительно зависимой
переменной, называется неявной. Например, уравнение x84~#s=l опреде-
ляет у как неявную функцию от х.
6°. Графическое изображение функции. Множество точек
(х, у) плоскости XOY, координаты которых связаны уравнением y = f(x)9
называйся графиком данной функции.
1.	** Доказать, что если а и b — действительные числа, то
||а| ——
2.	Доказать следующие равенства:
а)	м=|«1-р|; в) |у|=^ (^0):
б)	|а|2 = а2; г) Va2 = |ab
3.	Решить неравенства:
а) \х — 1|<3; в) |2х4-1|<1;
б)1х+11>2; О |х—1 |<|х+11.
4.	Найти /(-1), /(0), /(1), /(2), /(3), /(4), если
f(x) = x> — 6х2 -[-Их — 6.
5.	Найти/(0),	/(—{)>	/(— х),	/(у),	если
/(х) = У 1 4-х2.
6.	Пусть /(x) = arccos (1gх). Найти/(1), /(Ю). *)
*) lgx = logi0x, как всегда, обозначает десятичный логарифм числа х.
§ 1]
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
и
7.	Функция /(х)— линейная. Найти эту функцию, если
/(-1) = 2 и/(2) = -3.
8.	Найти целую рациональную функцию f(x) второй степени, если
/(0)=1, /(1) = 0 и/(3) = 5.
9.	Известно, что /(4) = — 2, /(5) = 6. Найти приближенное зна-
чение /(4, 3), считая функцию /(х) на участке 4 х 5 линейной
(линейная интерполяция функции}.
10.	Функцию
... Г 0, если х^О,
х, если х>0,
записать при помощи одной формулы, пользуясь знаком абсолютной
величины.
Определить области существования функций:
и. а) у = ]/^+Т; б)	17. ^ = lg|±i.
-	1	о ____1 х* — Зх 4“ 2
12-	У =	18. у = 1g.Т-Н'--
13.	а) у —Ух2— 2; б) у = хУх2— 2. vl9. y = arccos
14. **	у = У 2-[-х — х2.
15.	У — У	X 4	7==- Л	1 У2+х
16.	у = У X	Xs.
20. ,y = arcsin (ig^j
21. у = l^sin 2x.
22.	Пусть /(x) = 2x4 —3xs —5xa4-6x—10. Найти
<P (*) =4l/W+/(—*)] и
23.	Функция /(x), определенная в симметричной области
—	называется четной, если /(—х)=/(х), и нечетной,
если /(—х) = — /(х).
Выяснить, какие из данных функций являются четными и какие
нечетными:
а)	/(х)=4(а* + а"*>;
б)	/(х) = V1 4-х-|-х2 — V1 — х 4-х2;
в)	/(х) =	+ 3/(х-1)2-,
г)	/W = lg J-z4;
Д) f (х) = 1g (х + /1 + х!).
12
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
24*. Доказать, что всякую функцию/(х), определенную в интер-
вале— /<х</, можно представить в виде суммы четной и нечет-
ной функций.
25. Доказать, что произведение двух четных функций или двух
нечетных функций есть функция четная, а произведение четной
функции на нечетную есть функция нечетная.
26.	Функция /(х) называется пери-
одической. если существует положи-
тельное число Т (период функции)
такое, что f(x-\-T)=f(x) для всех
значений х, принадлежащих области
существования функции /(х).
Dв
Рис. 2.
Определить, какие из перечисленных ниже функций являются
периодическими, и для периодических функций найти наименьший
период их Т:
а)	/(х)= 10 sin Зх;	г) /(x) = sin2x;
б)	f(x) = a sin Хх4- b cos Ах; д) f (х) = sin (Ух).
в)	f(x)= |Agx;
27.	Выразить длину отрезка y = MN и площадь S фигуры AMN
как функции от х = АМ (рис. 1). Построить графики этих функций.
28.	Линейная плотность (т. е. масса единицы длины) стержня
АВ = 1 (рис. 2) на участках ДС=/г, CD = l2 и DB = l%
(1г	l2-\-19 = I) равна соответственно qx, q2 и q2. Выразить массу m
переменного отрезка АМ = х этого стержня как функцию от х.
Построить график этой функции.
29.	Найти <р[ф(х)] и ф[ф(х)], если ср(х)=х2 и ф(х) = 2л;.
30.	Найти /{/[/(х)]}, если /(%) =	.
31.	Найти /(х-|~1), если /(х—1)—х2.
32.	Пусть f(n) есть сумма п членов арифметической прогрессии.
Показать, что
/(/г + 3)_3/(д + 2) + 3/(/г4-1)-/(/г) = 0.
33.	Показать, что если
f(x) = kx-\-b
и числа хп х2, х3 образуют арифметическую прогрессию, то числа
/(хх), /(х2) и /(х8) также образуют арифметическую прогрессию.
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
13
§ 1]
34.	Доказать, что если /(х) есть показательная функция, т. е.
f(x) = ax (а^>0), и числа хр х2, х3 образуют арифметическую
прогрессию, то числа /(х*), /(х2) и /(х3) образуют геометрическую
прогрессию.
35.	Пусть
/И = 1г^.
Показать, что
36.	Пусть <р (х) = -^ (ах-\-а~х) и ф W — -j («*— а~х). Пока-
зать, что
ф(х4-.У) —ф(х)фО')4~ФО;)ФО')
и
Ф (X 4- у) = ф (х) ф (у) + ф О') Ф (X).
37.	Найти /(— 1), /(0), /(1), если
( arcsin х при — 1 х 0,
j arctgx при 0<^x<^-j-oo.
38.	Определить корни (нули)* области положительности и области
отрицательности функции у, если:
а)	у = 1	г) у — х8 — Зх;
б)	У = 24-х —хг; A)J' = lgj^-
в)	у — 1 —x-f-x2;
39.	Для функции у найти обратную, если:
а)	у = 2x4- 3;	Oj = lg-|;
б)	у — х2 — 1;	д) у = arctg Зх.
в)	у = р/1 —х3;
В каких областях будут определены эти обратные функции?
40.	Для функции
( х, если х 0,
-У=| х2, если х^>0,
найти обратную.
41.	Данные функции записать в виде цепи равенств, каждое звено
которой содержит простейшую элементарную функцию (степенную,
показательную, тригонометрическую и т. п.):
а)	у = (2х — 5)’°;	в) y = lgtg-j;
б)	y = 2cosx;	г) у = arcsin (3“*2).
14
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
42.	Сложные функции, заданные цепью равенств, записать в виде
одного равенства:
а)	у = и\ a=sinx;
б)	_y = arctg«, u = V~v, v=\gx;
I 2u, если и^О,
в)	У~ | 0, если и^>0;
и = хг — 1.
43.	Записать в явном виде функции у, заданные уравнениями:
а) хг — arccosy = n;
б) 10х4-1(У'=10;
в) х + |у| = 2у.
Найти области определения данных неявных функций.
§ 2.	Графики элементарных функций
Построение графиков функций и = f (х) в основном производится путем
наметки достаточно густой сети точек М, (х,, у$, где yi — t (х,) («
и соединения последних некоторой линией, характер которой У	__
ложение промежуточных точек. Для вычислений рекомендуется
логарифмической линейкой,
Рис. 3.
Построение графиков облегчает знакомство с графиками основных эле-
ментарных функций (см. приложение VI). Исходя из графика
У — ((х),	(Г)
§ 2]	ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ	15
с помощью простых геометрических построений получаем графики функций:
1) ^1== —f (х) — зеркальное отображение графика Г относительно оси ОХ;
2) у2 = f (—х) — зеркальное отображение графика Г относительно оси ОУ;
3) ys = f (х — а) — график Г, смещенный вдоль оси ОХ на величину а\
4) у^ = b + 7W ~ график Г, смещенный вдоль оси OY на величину b (рис. 3).
Пример. Построить график функции
. ( Л \
у = sin ( х—— 1.
Решение. Искомая линия есть синусоида # = sinx, сдвинутая вдоль
Построить графики линейных функций (прямые линии)*.
44.	y = kx,	если k — 0, 1, 2, ~ , — 1, — 2.
45.	у — х-\-Ь, если # = 0, 1, 2,— 1, — 2.
46.	у = 1,5x4- 2-
Построить графики целых рациональных функций 2-й степени
(параболы)-.
47.	у = ах2, если а=1, 2,-~»— L — 2, 0.
48.	у = х2-]-с, если £ = 0, 1, 2, — 1.
49.	у = (х— х0)2, если хо = О, 1, 2, — 1.
50.	j=j04~(x—О2, если j/o = O, 1, 2, — 1.
51*. у = ах2 + &* + G если: 1) а= 1, Ь =— 2, с = 3; 2) а ——2,
Ь — 6, с = 0.
52.	у = 2-[-х — х2. Найти точки пересечения этой параболы
с осью ОХ.
Построить графики целых рациональных функций степени выше
второй:
53*. у = х3 (кубическая парабола).
54.	у = 2-\-(х — I)8.
55.	у — х* — Зх-]-2.
56.	у = х\
57.	у = 2х2 — х\
16
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
Построить графики дробно-линейных функций (гиперболы):
58*. у = ~.
z X
59.	1 У = —х-
60.	х — 2 У = Т+2'
61*.	v=y -1	— , если х.= 1, у.=—1, w = 6.
62*.	_ 2х - 3 У Зх + 2 •
Построить графики дробных рациональных функций:
63.	, 1 у=х^-
64.	X2 У~х + 1-
65*.	1 У=*-
66.	1 У=^-
67*.	10	.	л	У J = ~i j_ i (локон Аньези). X -f- 1
68.	2х у = —^— (серпентин Ньютона).
69.	1	1 У = х + ^.
70.	у = х*-\-~ (трезубец Ньютона).
Построить графики иррациональных функций:
71*. 72. 73*. 74.	y = Vx. у=УЪ у=\/хг (парабола Нейля). у = =кх]Лх (полукубическая парабола).
75*.	у =гЬ-|* У25 — х2 (эллипс).
76.	j =	1 (гипербола).
77.	У /1-х2
78*.	У = ±х 4-37^ (циссоида Диоклеса).
79.	j = ±x У 25 — х*.
§ 2]
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
17
Построить графики тригонометрических функций:
80*. j = sinx.	83*.	j/ =	ctgx.
81*. у = cos х.	84*.	j/ =	sec,r.
82*. y = tgx.	85*.	у = cosec	х.
86. <y = Hsinx, если Л=1, 10,	— 2.
87*. j = sin/zx, если л =1, 2, 3, у .
88. j = sin(x — ср), если ф = 0,	— -5-.
89*. j = 5sin(2x— 3). 90*. y = asinx-\-bcosx,	если a = 6, b =— 8.
91. у — sin х -J- cos х.	96. у == 1 — 2 cos x.
92*. j/ = cos2x.	97. у = sin x — у sin 3x.
93*. j/=x-|“sinx-	98. у = cos x у cos 2x.
94*. y — x sinx.	99*. у — cos — .
95. у = tg2 x.	100. j/ =-)- k^sin x.
Построить графики показательных и логарифмических функций:
101. у = ах, если а = 2,-^ , е (е = 2, 718 ...) *).
102*. j/ = logax, если а=10, 2, ~ , е.
103*. <y = shx, где shx = ~(ex — е~х).
104*. j = chx, где chx —у (е*е-х).
105*. j = thx, где thx = ^~.
	1
106. 107*.	y= 10х, j = e-*2 {кривая вероятностей}.
108. 109. 110. 111.	y = \gx\	114. J = lg(— x). _y = lg2x.	115. _y = log2(14-x), J = !g(1g*)•	И6. _y = lg(cosx).
112.	У=1^-	И7. j = 2-*sinx.
) О числе е подробнее см. стр. 21.
18
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
Построить графики обратных тригонометрических функций:
118*. у = arcsinx.	122. у — arcsinу .
119*. у = arc cos х.	123. у = arccos у.
120*. <y=arctgx.	124. у — к -ф- arcctg х.
121*. у = arcctg х.
Построить графики функций:
125.	^ = |х|.
126.	^ = 1(х + |х|).
127.	a)j = x|x|; б) у = logrr |х|.
128.	a) j/ = sin х 4“ 1 sin х б) У = sin х — | sin х ].
г 3 — х2 при |х (1;
129.	J = < 2 при |х|>1.
-	1*1
130.	а) ^ = [х], б) у = х— [х], где [х] — целая часть числах,
т. е. наибольшее целое число, меньшее или равное х.
Построить графики функций в полярной системе координат (г, ф)
(г> 0):
131.	r= 1 (окружность).
132*. г=~ (спираль Архимеда).
133*. г = е^ (логарифмическая спираль).
134*. г = -^ (гиперболическая спираль).
135.	г = 2 cos ср (окружность).
136.	г = (прямая линия).
137.	r = sec2~ (парабола).
138*. г= 10 sin Зф (трехлепестковая роза).
139*. г = а(1 cosф) (а^>0) (кардиоида).
140*. г2 = а2 cos 2ф (а 0) (лемниската).
Построить графики функций, заданных параметрическим способом:
141*. x = f5, y = t2 (полукубическая парабола).
142*. x=10cosf, у = sin t (эллипс).
143*. x=10cos5f, у = 10 sin51 (астроида).
144*. х = a (cos t	1 sin /),y=a (sin i — f cos t) (развертка круга).
§ 2]
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
19
at2 .	.
= (декартов лист).
at .	. <
у—^==^ (полуокружность).
У —2* — 2“* (ветвь гиперболы),
у = 2 sin21 (отрезок прямой линии).
y = t2 — i\
145* у . at
• х 14-/”
_________ а
х—
Х=2‘ + 2"\
х = 2 cos2
x = t — t\
х = а (2 cos t — cos 2/), у = a (2 sin t — sin 2t) (кардиоида) '.
146.
147.
148.
149.
150.
Построить графики функций, заданных неявно:
151*
152.
153*.
154.
155.
'. х* -\-у2 = 25 (окружность).
ху=\2 (гипербола).
уг = 2х (парабола).
ш + б^1 <э-°млс>-
/=х2(100 —х2).
2	2	2
156*. х9 -]-j3 = as (астроида).
157*. x+j/=101gj/.
158.	x2 = cosj.
_____________	у
159*. Ух2 -]-уг= eArctg* (логарифмическая спираль).
160*. х9 + у9— Зху = 0 (декартов лист).
161.	Составить формулу перехода от шкалы Цельсия (С) к шкале
Фаренгейта (F), если известно, что 0°С соответствует 32°F и 100°С
соответствуют 212°F.
Построить график полученной функции.
162.	В треугольник, основание которого £=10 и высота Л = 6,
вписан прямоугольник (рис. 5). Выразить площадь этого прямоуголь-
ника у как функцию от основания его х.
Построить график этой функции и найти наибольшее ее значение.
163.	В треугольнике АСВ сторона ВС=а, сторона АС=Ь и пе-
ременный угол АСВ=х (рис. 6).
Выразить ^ = пл. Д ЛВС как функцию от х. Построить график
этой функции и найти наибольшее ее значение.
20
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
164.	Решить графически уравнения:
а)	2х2 —5х4-2 = 0;	г) 10"* = х;
б)	х*-|-а:—1=0;	д) х= 1 4-0,5sinx;
B)lgx = 0,lx;	е) ctgx = x	(0<x<n).
165.	Решить графически системы уравнений:
а)	ху=10, х-\-у = 7;
б)	ху — 6, хг -\-уг=\3;
в)	х* — х-\-у = 4, у* — 2х — 0;
г)	х* -|-j=10, х4~.У* = 6;
д)	у = sin х, у = cos х (0 х 2л).
§ 3.	Пределы
1°. Предел последовательности. Число а называется пределом
последовательности xlt хг,	, хп, ...;
lim хп = а,
если для любого е > 0 существует число W = N (е) такое, что
| хп — а | < е при п> N.
Пример 1. Показать, что
(1)
(2)
число
Следо-
Решение. Составим разность
с 2*4-1	____L_
Л-Н	л + Г
Оценивая эту разность по абсолютной величине, будем иметь:
21+2 _ 2 I = —< 8
л +1 I л 4-1
если
л > ---1=N (е).
е
Таким образом, для каждого положительного числа е найдется
2V ——--1 такое, что при л>М будет иметь место неравенство (2).
вательно, число 2 является пределом последовательности хп = (2л 4~ 1)/(л 4~ 1),
т. е. справедлива формула (1).
2°. Предел функции. Говорят, что функция f (х)—>Д при х—>а
(А н а- числа), или
lim f (х) = Д,
х-*а
если для любого 8>0 существует б = б(е)>0 такое, что
| f (х) — А | < е при 0 < | х — а | < д.
ПРЕДЕЛЫ
21
§ 3]
Аналогично
lim f(x) = A,
X-+QD
если | f (x) — A | < e при | x | > N (s).
Употребляется также условная запись
lim f (x) = oo,
x-+a
которая обозначает, что | f (х) | > Е при 0 < | х — а | < б (£), где Е — произ-
вольное положительное число.
3°. Односторонние пределы. Если х < а и х —> а, то условно
пишут х—>а — 0; аналогично, если х>а и х—>а, то это записывается
так: х—>« + 0. Числа
f(a — 0)= lim f(x) и f (а 4-0) = lim f (х)
х -> а — о	х -> а °
называются соответственно пределом слева функции f (х) в точке а и пре*
делом справа функции f (х) в точке а (если эти числа существуют).
Для существования предела функции f (х) при х—> а необходимо и до-
статочно, чтобы имело место равенство
/(а-0)=/(а + 0).
Если существуют lim Д (х) и lim Д(х), то имеют место следующие тео-
х-+а х~>а
ремы:
1)	lim [Д (х) + Д (х)] = lim Д (х) + lim Д (х);
х~>а	х~>а	х-+а
2)	lim [Д (х) ft (х)] = lim Д (х)- lim Д (х);
х-+а	х->а	х-+а
3)	lim [Д (х)/Д (х)] — lim Д (х)/ lim ft (х)	(lim Д (х) # 0).
х-+а	х-+а х-»а	х~>а
Частое применение находят следующие пределы:
Х->0 х
lim (1 -f-lY= lim (1 +а)“ = е = 2,71828 ...
Х-> ОО \ Х J	а —> О
Пример 2. Найти пределы справа и слева функции
f (х) =arctg у
при х —► 0.
Решение. Имеем:
Н4-0)= lim (arctg-L) = £
х-+ 4-о \ х / z
/(—0)= lim farctg^-
Х-+ — о \	х
Предела же функции / (х) при х —> 0 в этом случае, очевидно, не суще-
ствует.
22
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. 1
166.	Доказать, что при п—>со предел последовательности
ill 1
’ 4 ’ 9 ’	’ л2
равен нулю. Для каких значений п будет выполнено неравенство
(8 — произвольное положительное число)?
Произвести численный расчет, если: а) 8 = 0,1; б) 8 = 0,01;
в) 8 = 0,001.
167.	Доказать, что предел последовательности
при п—>оо равен 1. При каких значениях будет выполнено
неравенство
К—1|<8
(8 — произвольное положительное число)?
, Найти N, если: а) 8 = 0,1; б) 8 = 0,01; в) 8 = 0,001.
168.	Доказать, что
limx2 = 4.
Х~>2
Как подобрать для заданного положительного числа е какое-ни-
будь положительное число S, чтобы из неравенства
|х — 2|<б
следовало неравенство
I х2 — 4 К 8?
Вычислить S, если: а) 8 = 0,1; б) 8 = 0,01; в) 8 = 0,001.
169.	Выяснить точный смысл условных записей:
a) lim lgx = —оо; б) lim 2х = -[-оо; в) lim /(х) = оо.
X->4-0	х->оо
170.	Найти пределы последовательностей:
ai 1 _1 1 _1
а) 1>	2’3’	4 ’ • • • > п > • • • >
О) t , з , J , . . . ,	’ • • • ’
В) /2, у42/2, |Z21/2 /2, ... ;
г) 0,2; 0,23; 0,233; 0, 2333; ...
§ 3]
ПРЕДЕЛЫ
18
Найти пределы:
171,	Д™
172.	,|Ш <«+1>(»+а<»+з).
п—>оо	п
173.	,1т П+3 + 5+7+	-K2,.-Jj 2. + 1
п-+оо L	п т *
174.
Нт
п-»оо
n + (-D"
п - (- 1)"
175.
2П + 3" *

178*. lira
Л —> GO
Р4-2^4-32 + ... +па
п9
179. Пт (/л 4-1— уп).
П~+ 00
180.
lim
л-*оо
п sin п!
п2 + 1
При- отыскании предела отношения двух целых многочленов относи-
тельно х при х—► оо оба члена отношения полезно предварительно разделить
на хп, где п — наивысшая степень этих многочленов.
Аналогичный прием во многих случаях можно применять и для дробей^
содержащих иррациональности.
Пример 1.
lim ~	+ 5) (4х — 6) __
; -> QQ	ЗХ® “j- X   1
Пример 2.
lim	- —
*->00 р/х9 + 10
181. lim
Х->00 Л 1 1
182.
lim
Х->00
1000%
х2- 1
183. lim
X-J-GO
184. lim
х2 - 5х + 1
Зх 7
2х2 — х + 3
х8 — 8х + 5 *
24
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
185. Пт ^4-зт-2);
х + оо *‘ + 5
187. lim	.
X -> со X -|- р/ X
188.	lim -----.
х->со 10 4- х У X
Ух*4Й
189.	Нт -4,4-.
190.	lim	.
*-*4-ооу/ % j/ х _р ]/"J
Если Р (х) и Q (х) — целые многочлены и
дел рациональной дроэи
Р (а)	0 или Q (а)	0, то пре-
lim£W
х->а Q (х)
находится непосредственно.
Р (х)
Если же Р (a) = Q (а) = 0, то дробь
Q (х)
или несколько раз на бином х — а.
рекомендуется сократить один
Пример 3.
lim ,x_Z-4...= X tiX! — Зх 4-2	: lim X ~>2 (x	lim i±2 = 4. — 2)(x —1)	,->2x-l
191. lim		1Q-	.. Xs —3x-f-2 195. xhtnxl_4xJ3 .
ino i- x2 — 5x 4- 10 »92.Jim x2_J .		196. Um *2^ <°,+*) *4-* ,-a
,Ю-Л"!,<-+3. + 2-		197. lim (* + ft)3-< Й-.0	h
!94. lim 8 7 V / • x 2 x2 — 4x 4- 4		198 lim ( —!	2_
		x-> 1	\1 - X	1 — X*
Выражения, содержащие иррациональности, приводятся к рациональному
виду во многих случаях путем введения новой переменной.
Пример 4. Найти
Ип] уг^х-1,
*-»» /1 4-х — 1
Решение. Полагая
14-x = fA
имеемгч
lim	+хт!-.— Пт 4 = lim ^+у+1___3.
х ->о	1 4- х — 1 У-+1У ~~ 1 у~>1 ^ + 1	2’
.. V X — 1
199. lim ----------г-
201. Пт
х -* 1
200.
lim
X -> 04
/х-8
?/ х — 4
202. lim
X -> 1
{/х’-г j/x-f-i
ПРЕДЕЛЫ
25
Другим приемом нахождения предела от иррационального выражения яв-
ляется перевод иррациональности из числителя в знаменатель или, наоборот,
из знаменателя в числитель.
Пример		5.			
lim L1 х->а X	— а	£ — lim 	* = x~*a (x — а) (У	a x + V~a) = lim - x-*a 1	1	7==-4=	(«><»• fa 2/a
203.	lim X -> 7	2- /х-3 xz — 49 x — 8 j*/"x — 2' ч/		.	209.	lim J h -* о	Ух-j-fi — X h
204.	lim		210.	lim£	x2 -2x^-6- Ух84-2х-6
	X -* 8			X-*3	x2 — 4x -f- 3	*
205.	lim X -> 1	V x — 1 j/x-Г	211.	lim	(fx-fa— fx).
206.	lim	3- V5 + x 1 - ’ y~i 4- x — Vi — x .	212.	lim	[V'x (x-fa) — x].
207.	X -* 4 lim X -* 0		213.	lim x->-f-oo	(]/x2 — 5x 6 — x).
		x /x+3 - Г'4 h	214.	lim x->-4-oo	X (f X* 4" 1 — x).
208.	lim h -> о		215.	lim X -► OO	U+3/l-x’).
При вычислении пределоз во многих случаях
используется формула
lim 5^ = 1
х о X
и предполагается известным, что lim sin х = sin а
г -» а
и lim cos х — cos а.
х -> а
Пример 6. lim —F1	— lim | X ->o X	X ->o	<sin5x e’	\ = b5 = 5.	
216. a) lim — ; X -> 2 X	220.	i- /	. л \ hm [ /2 sin — n -* QO V	n	/	
1- sin x 6) lim 	. x -> 00 л			
217. lim X -> 0 x	221.	lim Х-» 0	1 — cos X X2
218. lim s4^-. x 0 sm 2x	222.	lim x -> a	sin x — sin a x — a
.. sin лх 219. hm -r-z— . x j sm Злх	223.	lim x -> a	cos x — cos a x — a
26
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. х
224. lim 1^.
Х^-гх + 2
225. Um
Й-.0	h
4
227.	a) lim аг sin —;
х-»о	х
б)	lim xsin —.
х -> 00	х
228.	lim (1 — x)tg^.
229.	lim ctg2x ctg ----x
x-»o	\
1-sin-J
230.	lim-------—.
XH.K n~x
not <•	1 — 2 COS X
231.	lim ------5—.
я n — 3x
232. lim X -> 0	cos tnx — cos nx X2	л
233. lim X -> 0	tgx — sinx x’ •
234. lim	arcsin x
X -> 0	x ‘
235. lim	arctg 2x
X -> 0	sin3x ’
236. lim	1 -X2
X 1	sinftx
237. lim	x — sin 2x
x -> 0	x + sin 3x ’
	ЛХ
	COS-JJ-
238. lim	2
1	1 - Ух*
239. lim	1 — ~/cos X
X -> 0	X2	*
lim У 1 + sin * ~ У1 — sin *
X -» 0	x
При нахождении пределов вида
lim [<p (х)]* <*> = С
х -> а
(3)
следует иметь в виду, что:
1)	если существуют конечные пределы
lim ф (х) — А и lim ф (%) = В,
х а	х -> а
ТО С=АВ\
2)	если lim ф (х) = А # 1 и lim ф (х) = ± оо, то вопрос о нахождении
х -> а	х -+ а
предела (3) решается непосредственно;
3)	если lim ф (х) = 1 и lim ф(х) = оо, то полагают ф(х) = 1 + а (х), где
х -* а	х -+ а
а (х) —> 0 при х —► а и, следовательно,
1	lim а (х) ф (х) lim [<р (х) — 1] ф (х)
С= lim |[l+a(x)laW|aw> + W) = ex'*a	=e*"*e
х -> а 1
где е — 2,718. . . — неперово число.
Пример 7. Найти
lim fsj22xy+\
X ]
Решение. Здесь
lim	2 и lim (1-|-x) = lj
х-+о \ х. }	Ж-Ю
ПРЕДЕЛЫ
27
§ 3]
следовательно,
lim
х -> о
1+*
= 2! = 2.
Пример 8. Найти
lim
х -> оо
% + 1 у2
2х + 1J ‘
Решение. Имеем:
х4-1
lim 2 + 1..— lim ---£
Х->(7; 2Х -J- 1 Х~*СГ> 2 I 1
' X
1
2
и
Поэтому
Пример 9. Найти
lim х2 = -{-оо.
х -> 00
Решение. Имеем:
lim Л——1= lim -------------------=1.
X -> 00 х 4“ 1 х -> 00 | . 1
' X
Произведя указанное выше преобразование, получим:
В данном случае, не прибегая к общему приему, можно найти предел
проще:
Вообще, полезно помнить, что
28
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
л..	1*	(х\х
241. lim X-1—	.
плг» 1- Iх — 1 V+1
242. hm	—г
Х-1 к*2-1/
243.
lim
X -> 00
244. lim
X -> о
sin х
х2-2х + 3\ х
х2-Зх4-2/
/ х2 -1-9 \№
245.	lim	.
х-»оД2х2 + 1;
/	1 \п
246.	lim 1 — - ) .
В-»«Л	п)
247.	lim (1 +-У.
Х^ОгД	х)
ало 1-	( X \*
248.	lim —г-; I .
X-»QO
плп г /X— 1V + 2
249.	lim —r-z
x^oo Д + 3/
250.	lim (1 4--V .
n -> (JO \	J
1
251.	lim (1 sin x) *.
X -» о
1
252**. a) lim (cosx)* ;
X -> 0
1
6)	lim (cosx)*2.
X -> 0
При вычислении приведенных ниже пределов полезно знать, что если
существует и положителен lim / (х), то
х -> а
lim [In f (х)] =ln [lim /(%)].
x -> а	x -> a
Пример 10. Доказать, что
lim !n.(1-+^ = i.
х —> о	х
Решение. Имеем:
1 1
lim llkfLzL^l— lim [In (1 + %) x ] — In [lim (1 + %) x ] =ln e= 1.
X ->o X	x ->o	x -> 0
Формула (♦) часто используется при решении задач.
253.	lim [In (2х -1)—1п(х-|-2)].
х -> 00
254.	lim	+ №> .
X -> о	х
255.	lim (— In д/'.
х-^0 \ х V \-х)
256.	lim х [In (х-J-1) — 1пх].
*->4-00
257.	lim ln<c°sx).
х -> о х~
258*. lim I.
х -* о х
259*. Пт ^-=-1 (а>0).
X -> о х
260*. lim //({/а—1) (а>0).
261.
262.
lim
X -> о
еах _ gbx
X
1 — е
x->o SV1’
263. a) lim — ;
Х-.0 х
.. ch х — 1
б) hm --------2—.
х -> о	Л
(см. №№ 103 и 104).
П -> GO
§ 3J
ПРЕДЕЛЫ
29
Найти следующие односторонние пределы:
. а)
б)
265. а)
б)
lim  г_____— ;
.. *
11Ш	-	.
lim th х;
Х-> —ОО
lim th х,
х
ех — е~х
266. a) lim
пло х 1 /sinxl
268. a) lim '----L;
х -> - о х
_ v | sinxl
б) hm ------1.
269. a) lim ;
х ->1 -о I *	1 I
б) lim т~—L-.
х^,+о |х - И
270. a)	lim -Ц;
х_2-о*-2
б) lim —.
X->2 4-0^ 2
б) lim ---------.
1 + ех
267. a)	lim —(1	;
Х-* — 00 Х
..	1п(14-ех)
б)	lim —-—------’.
х->4-оо х
Построить графики функций:
271**. у= lim (cos2nx).
п 00
272*. у = lim	(х>0).
273.	у = lim \/х2ос2.
а -> о
274.	у= lim (arctgzzx).
п -> оо
275.	у = lim у/\4-хп (х>0).
п -> а>
276.	Превратить в обыкновенную дробь данную смешанную перио-
дическую дробь
« = 0,13555...,
рассматривая ее как предел соответствующей конечной дроби.
277.	Что делается с корнями квадратного уравнения
ах2 -|-йх4-с = 0,
если коэффициент а стремится к нулю, а коэффициенты b и с посто-
яаны, причем £=^=0?
278.	Найти предел внутреннего угла правильного л-угольника при
п—► оо.
30
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[гл. I
279.	Найти предел периметров правильных л-угольников, вписан-
ных в окружность радиуса /? и описанных вокруг неег при п—>оо.
280.	Найти предел суммы длин ординат кривой
у — е~х cos лх,
проведенных в точках х = 0, 1, 2, ... , п, при п—>оо.
281.	Найти предел суммы площадей квадратов, построенных на
ординатах кривой
как на основаниях, где х— 1, 2, 3, ... , л, при условии, что п—>оо.
282.	Найти предел при п—>оо периметра ломаной линии
. Мп, вписанной в логарифмическую спираль
если вершины этой ломаной соответственно имеют полярные углы
~ л	пл
Фо=°>	••• ’ <Р'’=Т
283.	Отрезок АВ=а (рис. 7) разделен на п равных частей, и
на каждой получившейся части, как на основании, построен равно-
бедренный треугольник, с углами при основании, равными а = 45°.
Показать, что предел периметра образовав-
шейся ломаной линии отличен от длины от-
резка АВ, несмотря на то, что в пределе
ломаная линия «геометрически сливается с
отрезком АВу>.
А
Рис. 7.
Рис. 8.
284.	Точка Q делит отрезок АВ=! пополам; точка С2 делит от-
резок АСг пополам; точка С8 делит отрезок С2С\ пополам, точка С4
делит отрезок С2Са пополам и т. д. Определить предельное положе-
ние точки Сп, когда п—>оо.
285.	Катет а прямоугольного треугольника разделен на п равных
частей, и на получившихся отрезках построены вписанные прямоуголь-
ники (рис. 8). Определить предел площади образовавшейся ступен-
чатой фигуры, если п—>оо.
286.	Найти постоянные k и b из уравнения
lim
X QO
kx -\-b
х’ +1
х2 + 1
= 0.
Ц)
Выяснить геометрический смысл равенства (1).
§ 4|	БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ	31
287*. Некоторый химический процесс протекает так, что прирост
количества вещества за каждый промежуток времени т из бесконечной
последовательности промежутков (/т, (/-|-1)т) (Z=0, 1,2, ...) про-
порционален наличному количеству вещества, имеющемуся в начале
этого промежутка, и величине промежутка. Предполагая, что в началь-
ный момент времени количество вещества составляло Qo, определить
количество вещества через промежуток времени /, если прирост
количества вещества происходит каждую л-ю часть промежутка вре-
t
мени т= — •
Найти Qt= lim Qt”\
п оо
§ 4. Бесконечно малые и бесконечно большие
1°. Бесконечно малые. Если
lim а (х) = О,
х -> а
т. е. если | а (х) | < е, при 0 < | х — а | < б (е), то функция а (х) называется
бесконечно малой при х а. Аналогично определяется бесконечно малая а(х)
при X -> 00.
Сумма и произведение ограниченного числа бесконечно малых при х а
есть также бесконечно малые при х а.
Если а(х) и р (х) — бесконечно малые при х а и
lim = с,
где С — некоторое число, отличное от нуля, то функции а (х) и р (х) называ-
ются бесконечно малыми одного и того же порядка\ если же С = 0, то гово-
рят, что функция а (х) есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению
с Р (х). Функция а (х) называется бесконечно малой порядка п по сравнению
с функцией р (х), если
lim  ”/х\ = С,
IP (*)]"
где 0 < | С | < 4- оо.
Если
lta^=l,
wa Р (х)
то функции а (х) и р (х) называются равносильными (эквивалентными) бес-
конечно малыми при х а\
а (х) ~ Р (х).
Например, при х->0 имеем:
sinx~x; tgx~x; 1п(1-|-х)~х
и т. п.
Сумма двух бесконечно малых различных порядков равносильна тому из
слагаемых, порядок которого ниже.
32
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[гл. t
Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если члены от-
ношения заменить равносильными им величинами. В силу этой теоремы при
нахождении предела дроби
lim^W
х->а Р (х)
где а (х) -> О и (3 (х) -> 0 при х -> а, в числителе и знаменателе дроби можно
откидывать (или добавлять) бесконечно малые высших порядков, подобранные
так, чтобы оставшиеся величины были равносильными прежним.
Пример 1. 
4-	2х*	, Ухг 1
lim ;	--т——= Пт	t
х-»о In (1 4” 2х) х->о 2х 2
2°. Бесконечно большие. Если для любого сколь угодно боль*
шого числа N существует такое d (N), что при 0 < | х — а | < б (N) выполнено
неравенство
то функция f (х) называется бесконечно большой при х а.
Аналогично определяется бесконечно большая /(х) при х->оо. Подобно
тому как это сделано для бесконечно малых, вводится понятие бесконечно
больших различных порядков.
288.	Доказать, что функция
/U) = —
является бесконечно малой при х—> оо. Для каких значений х вы-
полнено неравенство
если е — произвольное число?
Произвести расчет для: а) 8 = 0,1; б) 8 = 0,01; в) 8 = 0,001
289.	Доказать, что функция
f(x) — 1 —х2
является бесконечно малой при х—>1. Для каких значений х выпол-
нено неравенство
I/W 1<8>
если 8 — произвольное положительное число? Произвести численный
расчет для: а) 8 = 0,1; б) 8 = 0,01; в) 8 = 0,001.
290.	Доказать, что функция
является бесконечно большой при х—>2. В каких окрестностях
|х— 21 S выполнено неравенство
если N—произвольное положительное число?
Найти S, если: a) N= 10; б) N= 100; в) N= 1000.
§ 4]
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ
33
291.	Определить порядок малости: а) поверхности шара, б) объ-
ема шара, если радиус шара г есть бесконечно малая 1-го порядка.
Каковы будут порядки малости радиуса шара и объема шара по от-
ношению к поверхности этого шара?
292.	Пусть центральный угол а кругового сектора АВО (рис. 9)
радиуса R стремится к нулю. Определить порядки бесконечно малых от-
носительно бесконечно малой а: а) хорды АВ\
б) «стрелки» CD\ в) площади Д ABD.
293. Определить при х—>0 порядки
малости относительно х функций:
1+х
]/" x-j-Ух;
г) 1 — cos х;
д) tgx—sinx.
Рис. 9.
в) /х2 — Ух!;
294.	Доказать, что длина бесконечно малой дуги окружности по-
стоянного радиуса равносильна длине стягивающей ее хорды.
295.	Являются ли равносильными бесконечно малый отрезок и бес-
конечно малая полуокружность, построенная на этом отрезке, как на
диаметре?
Пользуясь теоремой об отношении двух бесконечно малых, найти;
.. sin3x-sin5x
296.	lim	.
Х о (Х - X ’)’
298. lim .
1~x
arcsin _
1/1 _ V»
297. lim —— f J- * .
In(l-x)
299.
lim
X -> 0
cos x — cos 2x
1 — COS X
300.	Доказать, что при x—>0 величины у и	—1 рав-
носильны между собой. Пользуясь этим результатом, показать, что
при |х| малом имеет место приближенное равенство
/1+х^ 1+|.
(1)
Применяя формулу (1), приближенно найти:
а) /Г06; б) /0^7; в) /10; г) /120
и сравнить полученные значения с табличными данными.
2 Г. С. Бараненков и др.
34
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
301.	Доказать, что при х—»-0 с точностью до членов порядка л*
имеют место приближенные равенства:
а)	=s 1 — х;
б)	/а‘4-х^= а +	(а>0);
в)	(1 -,-х)" =s 1 4"лл: (л — натуральное);
г)	lg(l 4-х) чг Л1х,
где М= 1g е=0,43429...
Исходя из этих формул, приближенно вычислить:
1) ГД)2 ’ 2> 07: 3) Тб5: 4)	5> 1-04’; 6> °’934; 7> te1-1-
Сравнить полученные значения с табличными данными.
302. Показать, что при х—► оо целая рациональная функция
F(x) = a0xn4-a1x"-14-... 4-а„ (ао=Н=О)
есть бесконечно большая величина, равносильная старшему члену аохп.
303. Пусть х—► оо. Принимая х за бесконечно большую вели-
чину 1-го порядка, определить порядок роста функций:
а) №—100х— 1000;	в) х-[~Ух',
б)-<:	г) /7=2^.
§ 5.	Непрерывность функций
1°. Определение непрерывности. Функция f (%) называется
непрерывной при х = | (или «в точке 5»), если: 1) эта функция определена
в точке т. е. существует число f (|); 2) существует конечный предел
lim f (х); 3) этот предел равен значению функции в точке т. е.
lim/(х)==/(£).	(1)
Полагая
х = £4- Д£,
где Д£->0, можно переписать условие (1) так:
lim Д/(£) = lim [/(5 + Д5)-7(5)] = О,	(2)
Д(; —► О	Д' -> О
т. е. функция f (х) непрерывна в точке £ тогда и только тогда, когда в этой
точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно
малое приращение функции.
Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интер-
вала, сегмента и т. п.), то она называется непрерывной в этой области.
§ 5]
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
35
Пример 1. Доказать, что функция
# = sin х
непрерывна для любого значения аргумента х.
Решение. Имеем: •
by = sin (х + Дх) — sin х = 2sin —
. Дх
__91nT
Дх
т
• Дх.
Так как
. Дх
Sltl-s-
lim ——-=1
Х->0 Дх
2
и
то при любом х имеем:
lim ку — 0.
Следовательно, функция sinx непрерывна при — оо < х < -f- оо.
2°. Точки разрыва функции. Говорят, что функция /(х) терпит
разрыв непрерывности при значении х = х0 (или в точке х0), принадлежащем
области определения функции или являющемся граничным для этой области,
если в этой точке нарушается условие непрерывности функции.
Пример 2. Функция f (х) — тт—-*—(рис. 10, а) разрывна при х = 1. Эта
(1 X)
функция не определена в точке х—1, и как бы мы ни выбрали число [ (1),
пополненная функция /(х) не будет непрерывной при х=1.
Если для функции /(х) существуют конечные пределы:
lim f (х) = f (х9 — 0) и lim f (х) = f (х0 -f- 0),
X —> Хо — О	X -> Хо 4- О
причем не все три числа f (х0), /(х0 — 0)., f(Xj4“0) равны между собой, то х^
называется точкой разрыва 1-го рода. В частности, если
f(xo-O) = /(xa + O),
то х0 называется устранимой точкой разрыва.
Для непрерывности функции f (х) в точке х0 необходимо и достаточно,
чтобы
/(х0) = /(хэ — 0) = /(хо4~0).
Пример 3. Функция /(х) = ^Ц^ имеет разрыв 1-го рода при х = 0<
I х |
В самом деле, здесь
/(-|-0)= lim
и
/(—0) = Hm ^=-1.
7	х->-о — х
2*
36
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
Пример 4. Функция у — Е(х), где Е (х) обозначает целую часть числа х
(т. е. Е (х) есть целое число, удовлетворяющее равенству х ~ Е (х) q, где
O^q < 1), разрывна (рис. 10, б) в каждой целочисленной точке: х = 0, ± 1,
±2,	, причем все точки разрыва 1-го рода.
В самом деле, если п — целое, то Е (п — 0) = п — 1 и Е(п-\-0) = п.
Во всех остальных точках эта функция, очевидно, непрерывна.
Точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва 1-го рода,
называются точками разрыва 2-го рода.
К точкам разрыва 2-го рода относятся также точки бесконечного раз-
рыва, т. е. такие точки х0, для которых хотя бы один из односторонних
пределов /(х0 —0) или /(хо-[-О) равен оо (см. пример 2).
Рис. 10.
Пример 5. Функция r/ = cos— (рис. 10, в) в точке х = 0 имеет раз-
рыв 2-го рода, так как здесь не существуют оба односторонних предела:
1 •	л	. ।	л
lim cos	—	и	lim cos	—.
Х-> — О	Х	Х->4-0	%
3°	. Свойства непрерывных функций. При исследовании
функции на непрерывность нужно иметь в виду следующие теоремы:
1)	сумма и произведение ограниченного числа функций, непрерывных
в некоторой области, есть функция, непрерывная в этой же области;
2)	частное от деления двух непрерывных в некоторой области функций
есть непрерывная функция при всех значениях аргумента из этой области,
не обращающих делителя в нуль;
§ 5]
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
37
3)	если функция f (х) непрерывна в интервале (а, Ь), причем множество
ее значений содержится в интервале (Л, В), и функция <р (х) непрерывна
в интервале (Л, В), то сложная функция ср [/ (х)] непрерывна в интервале (а, Ь).
Функция f (х), непрерывная на отрезке \а, Ь], обладает следующими свой-
ствами:
1)	f (х) ограничена на [а, Ь], т. е. существует некоторое число Л4 такое,
что \f(x)\^M при a^x^zb;
2)	/(х) имеет на [а, Ь\ наименьшее и наибольшее значения;
3)	/(х) принимает все промежуточные значения между двумя данными,
т. е. если f (а) ~ Л и f (р) — В (а а < Р Ь) и Л # В, то, каково бы ни было
число С, заключенное между числами Л и В, найдется по меньшей мере одно
значение х~у(а< у < р) такое, что f(y) = C.
В частности, если / (а) / (Р) < 0, то уравнение
/W —О
имеет в интервале (а, Р) по меньшей мере один вещественный корень.
304.	Показать, что функция у=х2 непрерывна при любом зна-
чении аргумента х.
305.	Доказать, что целая рациональная функция
Р[х} = айхп а1хп~х. +«„
непрерывна при любом значении х.
306.	Доказать, что дробная рациональная функция
п(<л+	+ ... +ап
непрерывна для всех значений х, за исключением тех, которые обра-
щают знаменатель ее в нуль.
307*. Доказать, что функция у — Ух непрерывна при х^О.
308.	Доказать, что если функция /(х) непрерывна и неотрица-
тельна в интервале (я, Ь), то функция
также непрерывна в этом интервале.
309*. Доказать, что функция у — cos х непрерывна при любом х.
310.	Для каких значений х непрерывны функции: a) tgx и б) ctgx?
311*. Показать, что функция j> = |x| непрерывна. Построить гра-
фик этой функции.
312.	Доказать, что абсолютная величина непрерывной функции
есть функция непрерывная.
313.	Функция задана формулами
/	_ 4
Дх) = { —- "Р”
А при х = 2.
Как следует выбрать значение функции Л=/(2), чтобы пополненная
таким образом функция /(х) была непрерывна при х==2? Построить
график функции у =f(x).
38
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
314.	Правая часть равенства
/(х) = 1 — х sin
теряет смысл при х = 0. Как следует выбрать значение/(0) для того,
чтобы функция f(x) была непрерывна при х = 0?
315.	Функция
/(x) = arctg ^41
теряет смысл прих = 2. Можно ли так определить значение/(2),
чтобы пополненная функция была непрерывной при х=2?
316.	Функция f(x) не определена при х = 0. Определить /(0)
так, чтобы /(х) была непрерывна при х = 0, если:
л Д-х)" — 1
а) Дх) =-—— ------- (п — натуральное);
б) /(X)
___ 1 — COS X '
X2 *
в) Дх) = 1п(1 +х) - In.(1- х).
Г) =
a)/(x) = x2sin у;
е) /(x) = xctgx.
Исследовать на непрерывность функции:
317.	у = -^.
' х — 2
318.	=
'	14-х
319.	, =
J х2 — 4
320.	у = ~.
J |х I
321.	a) ^ = sitiy;
323.	j = In (cos х).
324.	у = 1п | tg у .
325.	J = arctgy.
326.	_y = (14-x)arctgr4y2
327.
328. y=e~* .
329. y =----Ц—.
1
330.
( x2 при x^3,
\ 2x —1 при x^> 3.
Построить график этой функции.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
39
§ 5]
331.	Доказать, что функция Дирихле %(х), равная нулю при х
иррациональном и равная 1 при х рациональном, разрывна для каждо-
го значения х.
Исследовать на непрерывность и построить графики функций:
332.	y = lim	(х>0).
и->оо 1 Т Л
333.	_y = lim(xarctg«x).
Z2-»CO
334.	a) j/ = sgnx, б) j/ = xsgnx, в) j/ = sgn(sinx), где функция
sgn х определяется формулами:
( 4-1, если х О,
sgnx={ 0, если х = 0,
— 1, если х < 0.
335.	а) у — х— Е(х), б) у — хЕ(х), где Е(х) есть целая часть
числа х.
336.	Привести пример, показывающий, что сумма двух разрыв-
ных функций может быть функцией непрерывной.
337*. Пусть а—правильная положительная дробь, стремящаяся
к нулю (0<^а<^1). Можно ли в равенство
' Е (14-а) = £(1— а)4-1,
справедливое для всех значений а, подставить предел величины а?
338.	Показать, что уравнение
х3 —1=0
имеет в интервале (1, 2) действительный корень. Вычислить прибли-
женно этот корень.
339.	Доказать, что любой многочлен Р(х) нечетной степени
имеет по меньшей мере один действительный корень.
340.	Доказать, что уравнение
tgx = x
имеет бесконечное множество действительных корней.
ГЛАВА II
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
§ 1. Непосредственное вычисление производных
1°. Приращение аргумента и приращение функции. Если
хи Xj — значения аргумента х, а у = [(х) и ух —f (х,) — соответствующие
значения функции y — f(x), то
Дх = Х1 — X
х на отрезке [х, xj, а
by = yt—y
или
by = f(xl) — f(x) = f(x + bx) — f(x) (1)
— приращением функции у на том же
отрезке [х, xj (рис. 11, где Дх = Л44
и by —AN). Отношение
представляет собой угловой коэффици-
ент секущей ММ графика функции
У ~ / (х) (рис. 11) и называется средней скоростью изменения функции у на
и!резке [х, х-[-А*]-
Пример 1. Для функции
у = х2 — 5х 4- 6
вычислить Дх и Дг/, соответствующие изменению аргумента:
а)	от х — 1 до X— 1,1;
б)	от х = 3 до х — 2.
Решение. Имеем:
а	) Дх= 1,1 — 1 — 0,1,
Дг/= (1,12 — 5 • 1,1 4-6) -(I2-5-1 4-6) = —0,29;
б	) Дх = 2-3 = —1,
\у — (22 - 5-2 4- 6) — (З2 - 5-3 4- 6) = 0.
Пример 2. Для гиперболы У — на1°1ТИ угловой коэффициент
секущей, проходящей через точки с абсциссами х = 3 и хг = 10.
§ 1J	НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
41
Решение. Здесь Дх=10 —3 = 7 у = ±, {/1=4; &у = ~ — ^- =
о	1U	1U О
7	ку	1
== —or - Следовательно, k=^~-^= —
30	Ах	30
2°. Производная. Производной у'— от функции // = /(х) по аргу-
ку
менту х называется предел отношения , когда Ах стремится к нулю, т. е.
у' = lim —
Дх->о Ах
если этот предел существует.
Величина производной дает угловой коэффициент касательной МТ к графи-
ку функции у = [(х) в точке х (рис. 11):
/=tg <р.
Нахождение производной у' называют дифференцированием функции.
Производная y'=f'(x) представляет собой скорость изменения функции в
точке х.
Пример 3. Найти производную функции
t/ = x2.
Решение. По формуле (1) получаем:
Д// — (х 4~ Ах)2 — х2 = 2хАх 4- (Ах)2
и
2х 4- Ах.
Ах '
Следовательно,
у' = lim —= lim (2х 4-	= 2х.
Дх->о Ах дх->о
3°. Односторонние производные. Выражения
/1(х) = Ит/(х + Ах>-^*)-
_ 0 Дх
И
f’(x)= lim /(* + **)-/(*).
'+	дх-> + о	Дх
называют соответственно левой или правой производной функции f (х) в
точке х. Для существования /' (х) необходимо и достаточно, чтобы
f- (X) = f’+ (X).
Пример 4. Найти /2.(0) и /^_ (0) для функции
/ (х) — | х |.
Решение. Имеем по определению
/1(0) = lim LJil—_1,	/1(0) = lim L^£! = l.
Дх->-о Дх	дх-4 + о Дх
42	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ функций	[гл. и
4°. Бесконечная производная. Если в некоторой точке имеем
lim
д*->о Ах
то говорят, что непрерывная функция f (х) имеет бесконечную производную
в точке х. В этом случае касательная к графику функции у = f (х) перпен-
дикулярна к оси ОХ.
Пример 5. Найти /' (0) для функции
у =
Решение. Имеем:
[' (0)— lim /..^Х = lim —?—— оо.
Дх->о Дх Дх-> О 3/ Дх2
341.	Найти приращение функции у=х2, соответствующее пере-
ходу аргумента:
а)	от х = 1 до хх = 2;
б)	от х=1 до х1= 1,1;
в)	от х=1 до х1 = 1Д-Л.
342.	Найти &у для функции y=f/ х, если:
а)	х = 0, Дх = 0,001 ;
б)	х = 8, Дх =— 9;
в)	х = а, Дх = Л.
343.	Почему для функции j/ = 2x-|~3 можно определить прира-
щение &у, зная только, что соответствующее приращение Дх = 5, а
для функции у — х2 этого сделать нельзя?
344.	Найти приращение Ду и отношение для функций:
а)	у = -^21 2р	при х=1	и	Дх = 0,4;
б)	у =]/ х	при х = 0	и	Дх = 0,0001;
в)	y = \gx	прих= 100000	и	Дх = — 90000.
345. Найти \у и
Ду
Дх
, соответствующие изменению аргумента от
X до х4-Дх для функций:
а)	у = ах Ь\
б)	у—х9\
х 1
в) У=^'>
г) У = У *'>
Д) У = 2Х\
е)^ = 1п х.
§ 1]	НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ	43
346.	Найти угловой коэффициент секущей к параболе
у — 2х— х2,
если абсциссы точек пересечения равны:
а)	х1= 1, х2 = 2;
б)	хх=1, х2 = 0,9;
в)	х2 = 1-|-й.
К какому пределу стремится угловой коэффициент секущей в послед-
нем случае, если h—>0?
347.	Какова средняя скорость изменения функции у=х3 в про-
межутке 1 х 4?
348.	Закон движения точки есть s = 2t2	где расстоя-
ние s дается в сантиметрах и время t — в секундах. Чему равна сред-
няя скорость точки за промежуток времени от до / = 5?
349.	Найти средний подъем кривой у — 2х на отрезке 1^х^5.
350.	Найти средний подъем кривой^ = f(x) на отрезке [х, х Дх].
351.	Что понимают под подъемом кривой у =/(х) в данной точ-
ке X?
352.	Дать определение: а) средней скорости вращения; б) мгно-
венной скорости вращения.
353.	Нагретое тело, помещенное в среду с более низкой тем-
пературой, охлаждается. Что следует понимать под: а) средней
скоростью охлаждения; б) скоростью охлаждения в данный мо-
мент?
354.	Что следует понимать под скоростью реагирования вещества
в химической реакции?
355.	Пусть m=f(x)— масса неоднородного стержня на отрез-
ке [0, х]. Что следует понимать под: а) средней линейной плот-
ностью стержня на отрезке [х, x-j-Д-хф б) линейной плотностью
стержня в точке х?
356.	Найти отношение для функции у = у в точке х = 2,
если: а) Дх=1; б) Дх = 0,1; в) Дх = 0,01. Чему равна производная у'
при х = 2?
357**. Найти производную от функции j/=tgx.
358.	Найти у'= lim для функций:
а)	у = х9;	в) y=Y
б)	г) y = ^gx.
359.	Вычислить /'(8), если	х.
360.	Найти /'(0), /'(1), /'(2), если/(х) =х(х — I)2(х — 2)3.
44	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ функций	[гл. II
361.	В каких точках производная от функции/(х) = х8 численно
совпадает со значением самой функции, т. е. /(х)=/'(х)?
362.	Закон движения точки есть у = 5/2, где расстояние 5 дано в
метрах, а время i — в секундах. Найти скорость движения в момент
времени f = 3.
363.	Найти угловой коэффициент касательной к кривой^ = 0,1 х8,
проведенной в точке с абсциссой х = 2.
364.	Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = sin х
в точке (л; 0).
365.	Найти значение производной от функции/(х) = у в точке
х = Хо (Хо =7^= 0).
366*. Чему равны угловые коэффициенты касательных к кривым
у=-~-и у = х2 в точке их пересечения? Найти угол между этими
касательными.
367**. Показать, что следующие функции не имеют конечных про-
изводных в указанных точках:
а)	у = г/х2 в точке х = 0;
б)	у — f/х — 1 в точке х — 1;
2k 4- 1
в)	j/ = | cos х | в точках х — —2~л (Z? = 0, + 1, + 2, .. .).
§ 2.	Табличное дифференцирование
Г. Основные правила нахождения производной. Если
с __ постоянная и и = <р (х), v = ф (х) —• функции, имеющие производные, то
1)	(с)' = 0;
2)	(х)'= 1;
3)	(и ± vY = и' ± v';
4)	(cuY=cu'\
5) (uvY — u'v
(v * 0);
(v 0).
2°. Таблица производных основных функций
I.	(xnY — nxn~l-	V. (tg xY	•
II.	(KT)'=—(*>0).	VI. (Ctgx)'=-^.
2 у x	л
III.	(sin x)'= cos x.	VII. (arcsin x)'—-==1= (1 x ] < 1).
У 1 — x2
IV.	(cosx)' = — sinx.
§ 2]	ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ	45
VIII.	(arccos xY =--([ х [ < 1).
у 1 — х2
IX.	(arctgx)' = j-p-^.
X.	(arcctg х)' = —
XI.	(ах)' = ах\па.
XII.	(е*)'=е*.
XIII.	(In х)' — ^	(х>0).
XIV.	(iogax)'=-1J- = ^	(х>0. а>0).
XV.	(sh xY = ch x.
XVI.	(chx)'— shx.
XVII.	(thx)'=-j4—.
4 ch2x
XVIII.	(cthx)'=-----’	.
'	' sh2 x
XIX.	(Arshx)' = ,  —
/Ц-хг
XX.	(Arch x)' = -74=r	<1x I > J)-
*	У x2 — 1
XXI.	(ArthxI^-j-^-f (|X|<1).
XXII.	(Arcthx)' = -JTZTT (|*I>D-
3°. Правило дифференцирования сложной функции.
Если yz= f(u) и ы = ф(х), т. е. y — f [ф (х)], где функции у и и имеют произ-
водные, то
Ух = Уии'Х	О)
или в других обозначениях
dy_______________________________dy du
dx du dx'
Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа диф-
ференцируемых функций.
Пример 1. Найти производную функции
у = (х2 — 2х -|-3)5.
Решение. Полагая у—и5, где и = х2 — 2x4-3, согласно формуле (1)
будем иметь:
у' = (и*)'а (х2 - 2х + 3)'х = 5и* (2х - 2) = 10 (х - 1) (х2 - 2х + 3)\
Пример 2. Найти производную функции
у = sin8 4х.
46
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[гл. II
Решение. Полагая
y — us\ u = sh\v\ v = 4xt
находим:
у' = 3a2‘cosu*4= 12 sin2 4х cos 4х.
Найти производные следующих функций (в №№ 368—408 пра-
вило дифференцирования сложной функции не используется):
А. Алгебраические функции
368.	y = xs — 4х’4~2х — 3. 369.	у = ~.—-4	—0,5х*. 370.	у = ах2 4“ + с* 371.	у = - —. z	а 372.	y = atm-}-btm-,-n. 373.	y = -^±L. 374.	^=^4-In 2.	2	5 375. у = Зх3 — 2x 1 4-х’’. 376*. у = хг Ух*. 377. у=-^=	 р/ X2 хр^ X 378. У=^4^£. ' с -j-dx 379 v	 2х~(~3 У х2 — 5х + 5 ’ 2	1 380. у =^—±— — А. J 2% — 1 х 381. у = !+££. \-Vz
Б. Функции тригонометрические и обратные круговые
382. у = 5 sin х 4- 3 cos х. 383. у = tg х — ctg х. 384. v==s±l£±££H л sin х — cosx* 385.	sin t — (t*—2) cos t.	386.	у = arctg x -J- arcctg x. 387.	j = xctgx. 388.	y = xarcsinx. 389. у =	,
В. Функции показательные и логарифмические
390.	y = x,-ex. 391.	y = (x— 1) ex. 392.	y = ^. 393.	y = ^.	394.	f(x) = ex cos x. 395.	y = (x2 — 2x4-2) e*. 396.	у — ex arcsin x. 397. = Inx
ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
47
§ 2J
398.	j = xslnx— ~ .
О
399.	j = -4-21n х —— .
X	X
400.	y = lnxlgx — Ina loga x.
Г. Гиперболические и обратные гиперболические функции,
401. у	= х shx.	405. у	= arctgx — Arthx.
402. у		 X2	406. у	= arcsinx Arshx.
	ch х ‘			Arch x
403. у	= th х — х.	407. у	X
		3 cth x			Arcthx
404. у	In X	408. у	1 — x2 ’
Д. Сложные функции
Найти производные следующих функций (в №№ 409—466
необходимо использовать правило дифференцирования сложной функ-
ции с одним промежуточным аргументом):
, 409**. у = (1 + Зх — 5х2)80.
Решение. Обозначим 1Зх —- 5х2 — щ тогда y~uSQ. Имеем:
уа = 30и29, их = 3- 10х;
y'x = 30uZ9-(3- 10х) = 30 (1 +3х-5х2)29.(3- 10х).
. < л ( ах + & \8
410.	^ = (—^—) .
411.	/tV) = (2a + 3^)\
412.	^ = (3 4-2х2)4.
414	3	1	1
41J. J 56(2х—1)’	24(2х—1)®	40(2x-l)s>
414.	y — V 1 —х2.
415.	y = Va-\-bx*.
416.	у = [а‘1г — х‘1^.
417.	_y = (3 — 2sinx)5.
Решение. /= 5 (3 — 2 sin x)4- (3 — 2 sin x)' — 5 (3 — 2 sin x)4 (— 2 cos x)=?
= — 10 cos x (3 — 2 sin x)4.
418.	у = tg x —	tg’ x + tg5 x.
419.	у = Vctgx — j/'ctga.	421.* x = cosec2/-]-sec2/.
420.	у = 2x + 5 cos8 x.	422. Дх) = - —-j—-2.
48
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[гл. II
423.		
z 3 COS3 X COS X
424.	y==	3 sin x - 2 cos x ,
425.	у — I/sin2 x -I-Jj-.
J y	1 COS3 X
426.	у = У1 arcsin x.
427.	у = У arctg x — (arcsin x)s.
428.	V=-4— •
л arctg x
429. y = Vxex -|-x.
430. у = УЧех-2Х-У 1 In’x
431. j = sin 3x cos y-|-tg Ух
Решение, у' = cos Зх • (Зх)' — sin ~
п	О 1	. X .	1
3	COS Зх — т Sin т Н-7=-7= •
5	°	2 у х cos2 у х
432. _y = sin(x2— 5x-|- l)4~tg-^
433. /(х) = cos (ах 4~ Pl-
434. f{t) = sin t sin (i —H *₽)-
1 4- cos 2x
435- У=У=^тх-
436. / (x) = a ctg .
437. у — — cos (5x2) — 
438. у — arcsin 2x.
r,	,	1
Решение.// —	— -
У1 — (2x)2
439.	у = arcsin — .
440.	/ (x) = arccos Уx.
441.	у = arctg
442.	у = arcctg .
443.	j = 5e"x2.
444.	v—
5*
(*)' + -’	(/7)'=
\ 0 J cos2 У x
J- COS X2.
(2x)' =	.„-7.
У1 - 4x2
445.	^ = x2102*.
446.	/(0==*sin2f.
447.	у = arccos ex.
448.	у = In (2x-f-7).
449.	j = lgsinx.
450.	j = ln(l —x2).
451.	у = ln2x — In (In x).
§ 2]
ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
452.	у = In (ех -|- 5 sin х — 4 arcsin х).
453.	j = arctg(lnx)-|-ln(arctgx).
454.	у — /1п х 1 In (К х + !)•
Е. Разные функции
455.	** у = sin’ 5х cos2 4-.
О
лес	П	4
456.	у —— ёг,----sr.-----
z 2 (х — 2)2 х — 2
447	— _	15	10	1
40/. у 4(Х-3)4	3 (х — З)3	2(х —З)2*
458-
459.	1^--2.. + |.
Л	X
* Л аг Уаг+х2'
461.	у= *’ —.
3 1Л1+Х2)3
462.	_у = -|-)!/хг-|-ух|/ х-}-^- xf/x2 -}-^х2 у/х.
463.	у=| /(14-хТ-4 /U + *’)5.
АПЛ 4 4 f X — 1
464.	у -д у
465.	y = xi(a — 2x>}2.
4RR ••	^ + ^\т
466.	у — \а_Ьхп) •
Лс,	9	3	।	2	1 
°	У 5(х + 2)5	(х + 2)4 “Г (х + 2)’	2(х + 2)2‘
468.	у — (а	х) У а — х.
469.	у — У(х 4- а) (х + Ь) (х -|- с).
470.	г = 1/у-[-Уу.
471.	/(0 = (2^4- 1) (3/4-2) |/3<4-2.
472.	х==
у 2ау — у2
473.	j = ln(/r4^— 1) — 1п(/Т+^4-1).
474.	у=-^ cos’ х (3 cos’% — 5).
„ (tg2x-l)(tg4x + 10tg2x + l)
475.	у=-----------Jtg’x	’
50
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 11
476.	У tg 5х.	у __ arcsin	•
477.	<y = ysin(x2).	х
478.	,y = sinV).	7	/14-х4
479.	у = 3 sin х cos’x sin’x. ^7 v = arccos x
480.	1 s	,	J У1-Х2 У= 3 tg x — tgx + x.	j .	488. v =—== arcsin ( x 1/ — ).
481.	cosx.4,	л if h	\ t a/ У- з^х+з^*-	_	
482.	y=y asin2x-|“₽cos2x.	1	a
483.	у = arcsin x2 —arccos x2. 490. _y = x]/a2—x24~a2arcsin-^- .
484.	.У = у (arcsin x) arccosx. 491, j?=arcsin(l—x)-}-|/2x—x2.
492.	y = (^ x — arcsin Y % +	— %2,
493.	j = In (arcsin 5x).
494.	у = arcsin (In x).
495.	x x sin a J = arctgl_xcosa. 2	5t^ + 4
496.	^=3 arctg	3
497.	y = 3b2 arctg j/	— (3b	2x) Ybx — x2.
498.	y= — Y 2 arcctg — x.
499.	. y = y^\
500.	у = esln2jc.
501. 502.	F(x) = (2m amx b^. F(t) = eat cos pt
503.		 (a sin fix — P cos 0x) e*x У	a24-P2
504. у =jq е~х (3 sin Зх — cos Зх).
505. у = хпа~х2.	507. j = 3C‘8“.
606. у = Y cos х сУ^х. 508. у = In (ах2 4“ Ьх	с)>
§ 2]
ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
51
509.	_y = ln(x+Va24-xs).	514*.j = ln^^.
510.	у = х — 2/74-21п(1 + Кх ). 515. = 1п(х~	2-.
511.	у = 1п(а-|_-’с4_УГ2сх-|-х2).
5|2-^ = 1К- _	516-->’ = -ж + 1",8^
513. у = In cos -—-.
z	х
517.	y = ^V^^ —
518.	= In In (3 — 2x’).
519.	^ = 5 In’ (ax 4-ft).
521.	jz = -^ln(x2 — a') + £ln
2 x 1 ’ 2a x 4- a
522.	4y = x«sin ^Inx—.
ело	1 i . X 1 COS X
523.	> = -lntg¥-T^.
524.	f{x) =/x2 4- 1 — In L+X£±l,
ene 1 1 *2 — 2x 4-1
525.	у =-5- In -f-j-J-t .
Л 3 x2 +x +1
526.	у = 2arcsinsx 4- (1 — arccos 3x)2.
527.	jr = 3^^4-4S^rr-
•'	1 3 cos’ bx •
528. у
1 ^tgl + 2-Уз
tg-j + 2 + >/T*
529.	у = arctg Inx.
530.	у = In arcsinx -j” у x 4“ arcs*n In
531.	у = arctg In 4-.
ron	i 1 i * — 1
532.	у = — arctg^= 4- g In .
533.	у = In 1 У}1:'1-* 4- 2 arctg}/sin x .
1 - Ksinx 1
3 , x2+1 I 1 . x— 1 . 1	.
534.	у = T In	4- T 1 n	4- y arctg x.
52
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 11
535.	/(х) = | In (1 + х) - 4 In (хг - х + 1) + рЦ arctg^J
536. f(x) = **-r= -f- In У 1—x2.
' ' '	/1 -x2 1
537.	у = sh’ 2х. 538.	у = е,х ch 0х. 539.	у = th’ 2х. 540.	у — In sh 2х. 541.	v = Arsh^j. л	аг 547.	_у = (1х2+ И 548.	Найти у', если:	542.	>y = Archlnx. 543.	у = Arth(tgx). 544.	у = Arcth (sec х). 2х 545.	у = Arth 7-=^. J	1 +* 546.	y=4-(x2 — 1) Arth хФ i x. z	z | Arsh x— •— x/1 4“x2*
a) j = |x|;
6) j = x|x|.
Построить графики функций у и у'.
549.	Найти у', если
у = 1п|х| (х^О).
550.	Найти f (х), если
_______________________J 1—х при х^О,
/ Х |	при х^>0.
551.	Вычислить f (0), если
/ (х) = cos Зх.
Решение. /' (х) = е"х ( — 3 sin Зх) — е~х cos Зх;
f' (0) = е° ( — 3 sin 0) — е° cos 0 = — 1.
552.	/(х) = In (1х)arcsin. Найти /'(!)•
553.	j=tg3^. Найти
7 б	\dx J х=г
554.	Найти (0) и /L (0) для функций:
а)	/(х) = Ksin (х2); г) /(х) = х2 sin у, х=^0; /(0) = 0;
б)	f(x)= arcsin^^; д)/(x) = xsiny, х^0; /(0) = 0.
в)	/(х) = —х=^0; /(0) = 0;
1 +ех
555.	Для функции /(х) = е“* найти /(0)4~х/'(0)-
§ 2]
ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
53
556.	Для функции /(х) = j/1-]-x найти	— 3)/'(3).
557.	Даны функции /(x) = tgx и <р(х) = 1п(1—х), найти •
558.	Дляфункций/(х)= 1—хиф(х) = 1—sin^ найти /.у.
559.	Доказать, что производная четной функции — функция нечет-
ная, а производная нечетной функции — функция четная.
560.	Доказать, что производная периодической функции есть
функция также периодическая.
561.	Показать, что функция у = хе~х удовлетворяет уравнению
ху' = {1 — х)у.
X2
562. Показать, что функция у = хе 2 удовлетворяет уравнению
ху' = (1 — хг)у.
563. Показать, что функция у = т—т——у-,—
1  I  X I 1П X
нию ху' =у (у 1п X—1).
удовлетворяет уравне-
Ж. Логарифмическая производная
Логарифмической производной функции y = f(x) называется производная
от логарифма этой функции, т. е.
/1 ч/ У' Г (х)
(In у)' =	—	.
У f (*)
Применение предварительного логарифмирования функции иногда упрощает
нахождение ее производной.
Пример. Найти производную сложно-показательной функции
У~ uv,
где и = ср (х) и v = ф(х).
Решение. Логарифмируя, получим:
In у — v In и.
Дифференцируем обе части последнего равенства по х
(In#)' — и' In и 4-v (In и)',
или
1 , Z1 , 1 ,
— и —V In и 4-и — и ,
У	и
отсюда
у'=у (v'\п и± и1') ,
или
#' = UV ( V' In и -f- — и' } .
54
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. И
564. Найти у', если
3 X 2 Х • S	9
У = ух . г Sin X COS X.
1 Т"Х
2
Решение. In г/ = — Inx + In (1 — x) — In (1 4~x2) -|-31nsinx -f- 2 In cosx,
О
2	2 1 , Д) 2x , 9 1	2sinx
у У	3 x ’’’ 1 - x	1 + x’ + sin x C0SX	cos x ’
/ 2	1 2x	\
откуда / =	+ 3ctgx-2tgxJ .
565. Найти у', если j? = (sinx)*.
Решение. In y~x In sin x; ~ y* = In sin x +x ctg x;
У
у' ~ (sin x)x (In sinx -|-x ctg x).
Найти y\ применяя предварительно логарифмирование функции
566. j = (%4-l)(2x+l)(3x+ 1).		574. у = У х. 575. y = xv~x.
567. у	_	(* + 2)а	
	(х + 1)’ U4-3)1’	
568. у	= -1Z х(х~х>> V х — 2	576. у = ххХ.
569. у	г хг -f-1	577. у = х’,пх.
570. у	= _ (х - 2)9	578. у = (cos x)’in х.
	У(х- 1)5(х- 3)" ‘	
571. у			Ух- 1	/	. 1 \* 579. у = ( 1 4- -) . \	' х /
	j/(x + 2)2 /(х + ЗИ	
572. у	= хх.	580. у = (arctg х)х.
573. у	==хЛ	
§ 3. Производные функций, не являющихся явно заданными
1°. Производная обратной функции. Если для функции
у = [(х) производная ух 0, то производная обратной функции х = /~1 (у)
есть
или
dx____ 1
dy dy'
dx
§ 3] ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ, НЕ ЯВЛЯЮЩИХСЯ ЯВНО ЗАДАННЫМИ
55
Пример 1. Найти производную х^, если
У~Х + 1пх.
_	. 1 х 4-1	/	х
Решение. Имеем уг—1 ч-------= —!; следовательно, хи = гт* •
1 х х	У х +1
2°. П р о и з в о д н ы е ф у н к ц и й, заданных параметрически.
Если зависимость функции у и аргумента х задана посредством параметра t
х = <р(0>
Х/ = гр (0>
то
или в других обозначениях
dy
dy__ dt_
dx dx
di
Пример 2. Найти если
r	dx
( x = a cos /,
| у — a sin t.
~	it	dx	. л du	, Л
Решение. Находим = —a sin t и =. a cos t. Отсюда
dy a cos t
:—- = — cb t-
dx — asmt
3°. Производная неявной функции. Если зависимость между
х й у задана в неявной форме
F (х, у)—О,	11)
то для нахождения производной ух~у' в простейших случаях достаточно:
1) вычислить производную по х от левой части уравнения (1), считая # функ-
цией от х\ 2) приравнять эту производную нулю, т. е. положить
1/)=0,	(2)
и 3) решить полученное уравнение относительно у'.
Пример 3. Найти производную ух, если
х*у* — Заху — 0.	(3)
Решение. Составляя производную левой части равенства (3) и прирав-
нивая ее нулю, получим:
Зх2 + Зу2у' —За(у + ху') = О,
отсюда
,___х2 — ау
У "~~ах —р’
56
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
(ГЛ. II
581. Найти производную ху, если
а)	у = 3х + х’;
б)	у = х — — sin х;
в)	у = 0,1х-^-е2.
Определить производную у' =^х Для функций у, заданных
параметрически:
х — а cos21,
y — b sin21.
fx — a cos’ f,
^ = bsin’ /
584.
'____2а/
Х 1 +/3 ’
•У 1 +t1	•
x — cos> Z
У cos 2t ’
y— sin>t
У cos 2/
!3at
x 144”
3T/2
У ~ 14-/”
= arccos -- 
/1-Н2
586.
587.
। x = a(cos/-|-/sin/),
| _y = a (sin / — / cos /).
= arcsin -?=
T~>	dy	, л
595. Вычислить при r = —, если
x = a(t — sin f),
у = a( \ —cos/).
Л	dy a sm t	sin t
Решение. —--------------д- =	. и
dx a (1 — cos t) 1 — cos t
. л
Sin-y
= --------= 1
2.	1 —cos—
2	2
§ 3] ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ, НЕ ЯВЛЯЮЩИХСЯ ЯВНО ЗАДАННЫМИ
57
I Х = /1п/,
596.	Найти при если { inZ
597.	Найти — при ^ = -7- > если JX е( cos^*
dx	4	= е sin /.
598.	Доказать, что функция у, заданная параметрически уравне-
ниями
j х = 2/-|-3/2,
1 y = f’-[-2t5,
удовлетворяет уравнению
599.	При х—2 справедливо равенство
х2 — 2х.
Следует ли отсюда, что
(х*)' = (2х)'
при х = 2?
600.	Пусть у — У а2 — х2. Можно ли почленно дифференцировать
равенство
х2-\-у2 = а2?
Найти производную у' =~^
601. 2х — Ьу 4- 10 = 0.
602. £ + 4 = 1.
603. х’+>»8=а’.
604.	х2-\-х2у-{-у2 — 0.
605.	V x-\-]f y = V a.
606.	3/P + i/p —
607.	/=4^.
608.	у — 0,3sinj/=x.
609.	a cos2 (x
от неявных функций^:
610.	tgy = xy.
611.	xy = arctg.
612.	arctg(x4“.V)=x-
613.	ey = x-\-y.
_y_
614.	In x-[” e x =c.
615.	In y-l~~~=c-
616.	arctg %=$ 1п(*2Ч-/).
617.	Vx2 4-^2 = с arctg .
618.
58
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
619. Найти у' в точке 2И(1; 1), если
2у = 1 4-ху3.
Решение. Дифференцируя, имеем 2у' = у9 4“ Зху2у’. Полагая х=1 и
у—\, получим 2у' = 1 4-3/, откуда / —— 1.
620. Найти производные у' заданных функций у в указанных
точках:
а)	(х-|-<у)8 = 27 (х—при х = 2 иу=1;
б)	уеу = ех+1 при х = 0 и у= 1;
в)	= у ПРИ х— 1 и У — 1.
§ 4. Геометрические и механические приложения производной
1°. Уравнения касательной и, но р мал и. Из геометрического
смысла производной следует, что уравнение касательной к кривой y~f(x)
или F (х, t/) = 0 в точке М (х0, t/0) будет
у — Уь=у* (х — хв),
где J/'есть значение производной / в точке М (х0, t/0). Прямая, проходящая
через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью
к кривой. Для нормали получаем уравнение
* — Хо + у'о (У~Уо) =0.
2°. Угол между кривыми. Под углом между кривыми
У = fi (х)
и
y — f2 (х)
в их общей точке М0(х0, yQ) (рис. 12) понимается угол со между касательными
МйА и МоВ к этим кривым в точке /Ио.
По известной формуле аналитической геометрии получаем:
/2 f
§ 4]
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
59
3°. Отрезки, связанные с касательной и нормалью,
для случая прямоугольной системы координат. Касательная
и нормаль определяют следующие четыре отрезка (рис. 13):
t = ТМ — так называемый отрезок касательной,
Sf =ТК — подкасательная,
п =NM — отрезок нормали,
Sn = KN — поднормаль.
Так как КМ = | yQ | и tg ф = y'Q, то
t=TM=	;
п = им = \уа /I + (^)2|;
St=TK =
У.
Уо .
7'
связанные с касательной и нормалью,
s„ = | у:1у'а |.
4°. О т р е з к и,
полярной системы координат. Если кривая задана
для случая
в полярных координатах уравнением г = /(ф), то угол р, образованный каса-
тельной МТ и полярным радиусом г = ОМ (рис. 14), определяется следующей
формулой:
.	t/ф	г
s r	dr	г
Касательная МТ и нормаль MN в точке М вместе с полярным радиусом
точки касания и перпендикуляром к полярному радиусу, проведенным через
полюс О, определяют следующие четыре отрезка (см. рис. 14):
t~MT — отрезок полярной касательной,
n = MN — отрезок полярной нормали,
Sf=OT — полярная подкасательная,
Sn = ON — полярная поднормаль.
Эти отрезки выражаются следующими формулами:
t = MT =^Г| Уг2+(г')2;
п = М N =
621.	Какие углы <р образуют с
у = х— хг в точках с абсциссами:
Sn = ON = \K |.
осью ОХ касательные к кривой
а) х = 0; б)	в) х — 1?
Решение. Имеем у' = 1 — 2х. Отсюда: a) tg ф = 1, ф = 45°; б) tg ф = О,
ф = 0°; в) tg ф=— 1, ф = 135° (рис. 15).
60	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. II
622.	Под какими углами синусоиды у = sin х и j/ = sin2x пере-
секают ось абсцисс в начале координат?
623.	Под каким углом тангенсоида^ — tgx пересекает ось абсцисс
в начале координат?
624.	Под каким углом кривая у = г0,5х пересекает прямую х = 2?
625.	Найти точки, в которых касательные к кривой у = Зх4-[~
Ц-4х3—12х2—20 параллельны оси абсцисс.
626.	В какой точке касательная к параболе
у — х2 — 1х 3
параллельна прямой — 3 = 0?
627.	Найти уравнение параболы у = х2 Ьхс, касающейся
прямой х=-у в точке (1; 1).
628.	Определить угловой коэффициент касательной к кривой
х34“.У2 — ХУ — 7 = 0 в точке (1; 2).
629.	В какой точке кривой^2 = 2х3 касательная перпендикулярна
к прямой 4х — Зу 2 = 0?
630.	Написать уравнение касательной и нормали к параболе
У = У~Х
в точке с абсциссой х = 4.
Решение. Имеем у' = —; отсюда угловой коэффициент касатель-
2у х
ной к = [у']х=-4==	. Так как точка касания имеет координаты х = 4, у — 2,
то уравнение касательной есть у — 2 — (х — 4), или х — 4у -ф-4 = 0.
В силу условия перпендикулярности угловой коэффициент нормали
^= — 4,
откуда уравнение нормали у — 2 =— 4 (х — 4), или 4х -ф- у — 18 = 0.
631.	Написать уравнение касательной и нормали к кривой
у = хг-\-2х2— 4х— 3 в точке (—2; 5).
632.	Найти уравнение касательной и нормали к кривой
у = р/ х — 1
в точке (1; 0).
633.	Составить уравнения касательной и нормали к кривым в ука-
занных точках:
a)	y/ = tg2x в начале координат;
_______________I
б)	у = arcsin —2“ в точке пересечения с осью ОХ;
в)	j/ = arccos3x в точке пересечения с осью OY;
г)	у = In х в точке пересечения с осью ОХ;
д)	у = е1~*2 в точках пересечения с прямой ^=1.
§4]
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
61
634.	Написать уравнения касательной и нормали в точке (2;2)
к кривой	(	। । I
I
I 3 I 1
I У ~ 2t2 ' 2Г
635.	Написать уравнения касательной к кривой
X=/COS/, J/= / Sin /
. л
в начале координат и в точке / = —.
636.	Написать уравнения касательной и нормали к кривой
x34~J24“2x — 6 — 0 в точке с ординатой у = 3.
637.	Написать уравнение касательной к кривой хъ —2ху=0
в точке (1; 1).
638.	Написать уравнения касательных и нормалей к кривой
у = (х—1)(х— 2)(х— 3) в точках ее пересечения с осью абсцисс.
639.	Написать уравнения касательной и нормали к кривой
у* = 4х4Ц-6ху в точке (1;2).
640*	. Показать, что отрезок касательной к гиперболе ху = а\
заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.
641.	Показать, что у астроиды х2 3	y2,z=a2 2 отрезок касательной,
содержащийся между координатными осями, имеет постоянную вели-
чину, равную а.
642.	Показать, что нормали к развертке окружности
х = a (cos t	1 sin /), у = a (sin t — t cos t)
являются касательными к окружности х2-\-у2 = а2.
643.	Найти угол, под которым пересекаются параболы у = (х— 2)2
и у = —4-|-6х— х2.
644.	Под каким углом пересекаются параболы у = х2 и у = х3?
645.	Показать, что кривые у = 4х2 2х — 8 иу=х'— х-|-10
касаются друг друга в точке (3;34). Будет ли то же самое в точке
(-2; 4)?
646.	Показать, что гиперболы
ху — а2 и х2—у2 = Ь2
пересекаются под прямым углом.
647.	Дана парабола j/2 = 4x. Вычислить в точке (1;2) длины от-
резков касательной, нормали, подкасательной и поднормали.
648.	Найти подкасательную кривой j> = 2*b любой ее точке.
649.	Показать, что у равносторонней гиперболы х2 —у2 = а2 длина
отрезка нормали в любой точке равна полярному радиусу этой точки.
650.	Показать, что поднормаль гиперболы х2—у* —а2 в любой
ее точке равна абсциссе этой точки.
62	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. II
X2 I/2
651.	Показать, что подкасательные эллипса —4-^=1 и ок-
Q2 1 Ь2
ружности х2-j-j/2 = а2 в точках, имеющих одинаковые абсциссы, равны
между собой. Какой прием построения касательной к эллипсу отсюда
вытекает?
652.	Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной
и поднормали у циклоиды
( x—a(t — sin /),
( j/ = a(l— cos/)
в произвольной точке / = /0.
653.	Найти угол между касательной и полярным радиусом точки
касания у логарифмической спирали
r — aek\
654.	Найти угол между касательной и полярным радиусом точки
касания у лемнискаты г2 = a2cos2<p.
655.	Найти длины отрезков полярных касательной, нормали, под-
касательной и поднормали, а также угол между касательной и полярным
радиусом точки касания у спирали Архимеда
г = ау
в точке с полярным углом <р = 2л.
656.	Найти длины отрезков полярных подкасательной, поднормали,
касательной и нормали, а также угол между касательной и полярным
радиусом у гиперболической спирали г = -~ в произвольной точке
=	г = г0.
657.	Закон движения точки по оси ОХ есть
x = 3t —1\
Найти скорость движения точки для моментов времени: /о = 0,
t = 1 и /2 — 2 (х дается в сантиметрах, t — в секундах).
658.	По оси ОХ	две точки, имеющие законы движения
Х= 100-1-5/
где />0. С какой скоростью удаляются эти точки друг от друга в
момент встречи (х дается в сантиметрах, / — в секундах)?
659.	Концы отрезка АВ=5 м скользят по перпендикулярным пря-
мым ОХ и OY (рис. 16). Скорость перемещения конца А равна 2 м1сек.
Какова скорость перемещения конца В в тот момент, когда конец А
находится от начала координат на расстоянии ОА = 3 лг?
§4]
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
63
660*. Закон движения материальной точки, брошенной в вертикаль-
ной плоскости XOY {рис. 17) под углом а к горизонту с начальной
скоростью г/0, дается формулами (без учета сопротивления воздуха)
.	• gt2
x = vQt cos a, y = vQt sin а—~,
где t — время, g—ускорение силы тяжести. Найти траекторию дви-
жения и дальность полета. Определить также величину скорости дви-
жения и ее направление.
661.	Точка движется по гиперболе у — ~ так, что ее абсцис-
са х растет равномерно со скоростью 1 единица в секунду. С ка-
кой скоростью изменяется ее ордината, когда точка проходит положе-
ние (5; 2)?
662.	В какой точке параболы у2 = 18х ордината возрастает вдвое
скорее, чем абсцисса?
663.	Одна сторона прямоугольника имеет постоянную величину
а =10 см, а другая b изменяется, возрастая с постоянной скоростью
4сл$/сеяг. С какой скоростью растут диагональ прямоугольника и его
площадь в тот момент, когда #=30 см?
664.	Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5 см/сек,
С какой скоростью растут площадь поверхности шара и объем шара
в момент, когда радиус его становится равным 50 см?
665.	Точка движется по архимедовой спирали
г — мр
(а =10 см) так, что угловая скорость вращения ее полярного радиуса
постоянна и равна 6° в секунду. Определить скорость удлинения по-
лярного радиуса г в момент, когда г=25 см.
64	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. И
666.	Неоднородный стержень АВ имеет длину 12 см. Масса его части
AM растет пропорционально квадрату расстояния текущей точки М от
конца А и равна Юг при АМ=2 см. Найти массу всего стержня
АВ и линейную плотность в любой его точке М, Чему равна линей-
ная плотность стержня в точках А и В?
§ 5. Производные высших порядков
1°. Определение высших производных. Производной вто-
рого порядка или второй производной функции # = /(х) называется производ-
ная от ее производной, т. е.
(/)'•
Обозначается вторая производная так:
'/'> или , или /" (х).
d2x
Если х —	— закон прямолинейного движения точки, то есть уско-
рение этого движения.
Вообще, производной п-го порядка от функции y = f(x) называют про-
изводную от производной порядка (п — 1). Для n-й производной употребляются
обозначения
у{п\ или , или f{n} (х).
Пример 1. Найти производную 2-го порядка от функции
*/ = 1п (1 — х),
n	,	- 1 г, ( - 1 V 1
Решение, у — :-------; у — i------- = ..-----.
а 1 — х у \1 — х J (1 — х)2
2°. Формула Лейбница. Если функции и — (р (х) и о=ф(х) имеют
производные до n-го порядка включительно, то для вычисления n-й производ-
ной произведения этих функций можно пользоваться формулой Лейбница
(uv)^=u^v +nu<n-»t>' + п(” ~ П и'"-2 V" + ... H-uv»”».
3°. Производные высших порядков функций, задан-
ных параметрически. Если
то производные ух-
лены по формулам:
dtf	7	d2y	~
-/ ,	... последовательно могут быть вычис-
dx	хх	dx2
' yt
Ух=7
xt
Для производной 2-го порядка имеет место формула
г/ _xt Ун xtt yt
УXX	( ’\Ъ	•
УXX	^Ух)х
х,
Уххх= -^- и Т-Д-
xt
§ 5]
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
65
Пример 2. Найти у", если
f х = a cos /,
( y=bsint.
Решение. Имеем:
(b sin t)t i/ —	—	b-cost 			 —ctot
(a cos t)t	— a sint	a C
и
f	b < Д' b -1
у,  \	а С £	_ а * sin2/
(acos/^	—a sin/
b
a2 sin’ / ’
А. Производные высших порядков явных функций
Найти производные 2-го порядка от следующих функций:
667.	j/ = x84“7x®— 5х4“4*	671.	у = 1п(х-|-
668.	у — ех\	672.	f (х) = (1 + х2) arctg х.
669.	^ = sin2x.	673.	у = (arcsin х)2.
670.	у = In У 1	х2.	674.	у = a ch~ .
х2 I 2х I 2
675.	Показать, что функция у ——-  2 ~ удовлетворяет диф-
ференциальному уравнению 1 -\-у'* = 2уу\
676.	Показать, что функция у = у х2ех удовлетворяет дифферен-
циальному уравнению у" — 2у'-\-у—ех.
677.	Показать, что функция у — Схе~х -\-Сге~2х при любых по-
стоянных Сх и (^удовлетворяет уравнению X ~Ь Зу'2у = 0.
678.	Показать, что функция у — е2х sin5x удовлетворяет урав-
нению у" — 4у' 4~ %$У = О-
679.	Найти у'", если-у = х8 — 5x24“^x— 2.
680.	Найти (3), если /(х) = (2х— З)5.
681.	Найти уу от функции у = In (1
682.	Найти yvl от функции у = sin 2х.
683.	Показать, что функция у = е~х cos х удовлетворяет диффе-
ренциальному уравнению ^IV4“ 4^ = 0.
684.	Найти /(0), /'(0), /'(0) и (0), если
/(x) = evsin х.
685.	Уравнение движения точки по оси ОХ есть
Х= 100 4- 5/ — 0,001 /’.
Найти скорость и ускорение точки для моментов времени 7=0,
/1=1; /,= 10.
3 Г. С. Бараненков и др.
66
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
686. По окружности х2 -\-у2 = а2 движется точка с постоянной
угловой скоростью ш. Найти закон движения ее проекции на ось
688. Найти
ОХ. если в момент / = 0 точка занимает по-
ложение М9(а. 0) (рис. 18). Найти скорость
и ускорение движения точки Afv
Чему равны скорость и ускорение точки
Л/, в начальный момент и в момент прохож-
дения начала координат?
Каковы максимальные значения абсолют-
ной величины скорости и абсолютной вели-
чины ускорения точки
687.	Найти производную n-го порядка
от функции у = (ах 4- Ь)п (п — натуральное
число).
производные л-го порядка от функций:
а)-У = Г“7: б) У =
689. Найти п-ю производную от функций:
a) -y = sinx;	
б) у — cos 2х;	ео=4±£.
в) у — е~зх; Г) у = 1п (1 4-х);	ж) у = sin2x; з) у = 1п (ах-\-Ь}.
690. Применяя формулу Лейбница, найти у{п\ если:
а)	у = хех;	г) у==1±±.г
б)	у=хге-гх;	ч \ ,
B)> = (l-x«)cosx;	д) У = х 1пх-
691. Найти/w (0), если /(x) = ln t 2, / •
Б. Производные высших порядков функций, заданных парамет-
рически, и неявных функций
d^u
Найти от следующих функций:
692. a)J	x=lnf,	( x = arctgZ,	j х = arcsin/, y=t'-,	6) { j=in(i4-n;B I y=Vi-t*.
693. а) <	x = acosf.	( x = a(t— sinf), в) < у = a sin/; ( y = a(l—cosf);
б) 1	x = acos’f,	( x = a(sinrf — fcosf), p\	' <y = asin’/;	{ у — a (cos 14-1 sin i).
§ 5]
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
67
(x — cos2f,
• а' |y = sin2/;
<x = e~at,
y — eat.
695. а) / * =
I У=2‘‘:
( х = 1п/,
Iy 1-t ‘
слс и H d!x	(x—^cost,
696. Найти если j> = etsint
co_ H „ d*y , n (x = ln(l 4-f),
697. Найти ~2 при / = 0, если	1
698.	Показать, что j/, как функция от x, определяемая уравнени-
ями х= sin/, = aet -\-Ье~* ^2, при любых постоянных а п b
удовлетворяет дифференциальному уравнению
Найти у' =~3 от следующих функций:
дао lx = sect,	(х = е~1,
ЬУ9, V = tgt 70h
_ЛП jx = e"*cos/, _Л_ __ dny	(x=\nt,
7®®»	= е”*8Ш f. 702. Найти , если
703.	Зная функцию у =f(x), найти производные х", х"' обратной
функции х=/”1(-у).
704.	Найти У, если х24-У=1.
Решение. На основании правила дифференцирования сложной функ-
ции имеехм 2х -\-2yy' — (У, отсюда у' =— ~ и у”=.—	= —	*
Подставляя вместо у' его значение, окончательно получим:
1
У	У3	У3 ’
Определить производные yrt от следующих функций j>=/(x),
заданных неявно:
705.	У = 2рх.
706.	-2 +£=1.
а2 1 Ь*
707.	= х 4-arctg у.
d2t/ d2x
708.	Имея уравнение j = x4-ln^, найти и
709.	Найти У в точке если
х2 4“ 5хУ + У2 —	+ У — 6 = 0.
710.	Найти У в точке (0;1), если
х4 — xj+У = 1.
3*
68
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
711.	а) Функция у задана неявно уравнением
х1%ху 4~.У* — 4х 2.У — 2 = 0.
Найти в точке
dx’	'	1
б) Найти если х2 -\-у2 = а\
§ 6.	Дифференциалы первого и высших порядков
1®. Дифференциал первого порядка. Дифференциалом (пер-
вого порядка) функции y — f(x) называется главная часть ее приращения,
линейная относительно приращения Ax = dx независимой переменной х. Диффе-
ренциал функции равен произведению ее
производной на дифференциал независимой
переменной
dy = y'dx.
Отсюда
Если MN—дуга графика функции y—f(x)
(рис. 19), МТ — касательная в точке
М (х,у) и
PQ = Дх —dx,
О	Р Q 7 то приращение ординаты касательной
Рис. 19.	t ЛТ — dy
и отрезок ЛМ = Д^.
Пример 1. Найти приращение и дифференциал функции # = 3х2 —х.
Решение. 1-й способ:
Ду == 3 (х + Дх)2 — (* + Дя) — Зх2 + х
или
Дг/ = (6х- 1) Дх + 3(Дх)2.
Следовательно,
dy~ (6х — 1) Дх = (6х — 1) dx.
2-й с п о с о б:
/ = 6х — 1; dy = у’ dx — (6х — 1 )dx.
Пример 2. Вычислить &у и dy функции # = 3х2 —х при х=1 и
Дх = 0,01.
Решение. &у = (6х — 1) • Дх + 3(Дх)2 = 5- 0,01 + 3 • (0,01 )2 = 0,0503
и
dy = (6х - 1) Дх = 5-0,01 = 0,0500.
2°. Основные свойства дифференциалов:
1)	dc=0, где с = const.
2)	dx = Ax, где х — независимая переменная.
3)	d (си) = с du.
4)	d (и it и) = du ±dv.
5)	d (uv) = и duv du.
a ( u \ vdu — udv z .
6)	—*— (p#0)-
7)	df{u) = f'(u) du.
§ 6]	ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ	69
3°. Применение дифференциала к приближенным вы-
числениям. Если приращение Дх аргумента х мало по абсолютной вели-
чине, то дифференциал dy функции y~f(x) и приращение At/ функции при-
ближенно равны между собой
Д г/ dy,
т. е.
/ (х + Дх) — f (x)^ff (х) Дх,
откуда
f (х + Дх) f (х) + /' (х) Дх.	(1)
Пример 3. Насколько приблизительно изменится сторона квадрата,
если площадь его увеличилась от 9 м2 до 9,1 м2?
Решение. Если х — площадь квадрата и у — сторона его, то
«/=/**•
По условию задачи: х = 9; Дх = 0,1.
Приращение Д// стороны квадрата вычисляем приближенно:
ky^dy — у'кх = %	• 0,1 =0,016 м,
4°. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалом
второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка:
d2y = d(dy).
Аналогично определяются дифференциалы третьего и т. д. порядков.
Если y — f(x) и х — независимая переменная, то
d2y — y"(dx)2,
d*y = y"' (dx)3,
dny = y<”> (dx)n\
Если же y = f(u), где w = <p(x), то
d2y = у" (du)2 + yf d2u,
d*y~y’" (du)3 -\-3>y"du-d2u-\-y' d3u
ит. д. (Здесь штрихами обозначено дифференцирование по и.)
712.ч Найти приращение &у и дифференциал dy функции j = 5x-|-
-[-х2 при х = 2 и Дх = 0,001.
713.	Не вычисляя производной, найти
d(l —х9)
при X— 1 и Дх =------у.
714.	Площадь квадрата S со стороной, равной х, выражается по
формуле S — x*. Найти приращение и дифференциал этой функции и
выяснить геометрическое значение последнего.
715.	Дать геометрическую интерпретацию приращения и дифферен-
циала следующих функций:
а) площадь круга S = jtx2; б) объем куба v = x9.
70
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. П
716.	Показать, что при Ах—>0 приращение функции у = 2х,
соответствующее приращению х на величину Дх, при всяком х экви*
валентно выражению 2х Дх In 2.
717.	При каком значении х дифференциал функции у = х2 не эк-
вивалентен приращению этой функции при Дх—>0?
718.	Имеет ли функция ^ = |х| дифференциал при х = 0?
719.	Пользуясь производной, найти дифференциал функции^ = cosх
Л а эт
при X — -г и Дх—.
о	оо
720.	Найти дифференциал функции
2
при х = 9 и Дх = — 0,01.
721.	Вычислить дифференциал функции
> = tgx
при х = 1 И Дх = ^.
Найти дифференциалы
значений аргумента и его
722.	У = ^г.
723.	.
z 1 — х
724.	у = arcsin ~ .
725.	у= arctg .
726.	y=e~*\
следующих функций для произвольных
приращения:
727.	_y = xlnx — х.
728.	v = ln|^ .
л 1 -f-х
729.	г = ctg фcosec ф.
730.	s=arcctg?.
731.	Найти dy, если х2-\-2ху—у2 = а*.
Решение. Пользуясь инвариантностью формы дифференциала, получим:
2х dx + 2 (у dx 4- х dy) — 2у dy = O. Отсюда
j х + у ,
dy =-----1—?- dx.
х — у
Найти дифференциалы следующих функций, заданных неявно:
732.	(x+<y)2(2x4-j)’ = 1.
733.	у = е~У\
734.	In )/х2-|-у2 = arctg ~ .
735.	Найти dy в точке (1; 2), если у2—j=6x2.
§ 6]	ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ	71
736.	Найти приближенное значение sin 31°.
Решение. Полагая х = аге 30° — и Дх = агсГ =	, из форму-
6	180 'г н j
лы (1) (см. 3°) имеем sin ЗГ^= sin 30° j^cos 30°=0,500 0,017 •	= 0,515.
737.	Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно
вычислить:
a)	cos 61°;	г) 1g 0,9;
б)	tg44°;	д) arctg 1,05.
в)	е0’2;
738.	Насколько приблизительно увеличится объем шара, если его
радиус R= 15 см удлинится на 2 мм?
739.	Вывести приближенную формулу (для | Дх|, малых по сравне-
нию с х)
и с ее помощью найти приближенные значения для У5; 1/17; /70;
/640.
740.	Вывести приближенную формулу
и найти приближенные значения для /10, /70, /200.
741.	Найти приближенные значения функций:
а)	у = х3 — 4х2 4“ 5х 4“ 3 при х — 1,03;
б)	/(х) = /14-х при х = 0,2;
В) /(х) =	4^ при *=0,1;
г) у = ех~х2 при х=1,05.
742.	Найти приближенное значение tg 45° 3'20".
743.	Найти приближенно arcsin 0,54.
744.	Найти приближенно/17.
£
745.	Показать, основываясь на формуле закона Ома/=— , что
к
малое изменение тока, обусловленное малым изменением сопротив-
ления, может быть найдено приближенно по формуле
Д/= —4
К
746.	Показать, что относительная погрешность в 1% при определе-
нии длины радиуса влечет за собой относительную погрешность при-
близительно в 2% при вычислении площади круга и поверхности шара.
747.	Вычислить d2y, если -y = cos5x.
Решение. d*y = у" (dx)2 == — 25 cos 5х (dx)2.
72
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
748.	а =	—х2, найти d2ti.
749,	j==arccosx, найти d2y.
750.	j = sinxlnx, найти d2y.
751.	= найти d2z.
х
752.	z = x2e~x, найти d'z.
753.	z =	, найти d*z.
2 — x ’
754.	w==3sin(2x-|-5), найти dnu.
755.	j==£*cosa sin (x sin а), найти dny.
§ 7.	Теоремы о среднем
1°. Теорема Ролля. Если функция f (х) непрерывна на отрезке
а^х^Ь, имеет производную /' (х) в каждой внутренней точке этого отрезка и

то для аргумента х существует по меньшей мере одно значение £, где
а < g < Ь, такое, что
га>=о.
2°. Теорема Лагранжа. Если функция f (х) непрерывна на отрезке
a jC х^ b и имеет производную в каждой внутренней точке этого отрезка, то
/(Ь) — / (a) = (b — а) /' (&),
где а < £ < Ь.
3°. Теорема Коши. Если функции f (х) и F (х) непрерывны на отрезке
а^х^Ь и при а<х<6 имеют производные, не обращающиеся в нуль
одновременно, причем F (b)^F (а), то
f(b) — f (a)
F(b)-F (а) Т'(£)
где а < < Ь.
756.	Показать, что функция /(х)=х — х8 на отрезках — l^x^O
и O^x^l удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Найти соответствующие
значения
Решение. Функция f(х) непрерывна и дифференцируема для всех
значений х; кроме того, /( — 1) = /(0) = /(1) = 0.Следовательно, теорема Ролля
применима на отрезках —l^x^O и O^x^l. Для нахождения числа 5
составляем уравнение: f (х) = 1 — Зх2 = 0. Отсюда
причем — 1 <	< 0; 0 < ?2 < 1.
51—	3 ;	— J
757.	Функция f(x)=f/(x — 2)2 на концах отрезка [0, 4] прини-
мает равные значения
/(0)=/(4)= f/4”
Справедлива ли для этой функции теорема Ролля на отрезке [0, 4]?
758.	Выполнены ли условия теоремы Ролля для функции
на отрезке [0, л]?
/(x) = tgx
§ 8J	ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА	73
759.	Пусть
/(х) = х(х+1)(х + 2)(х + 3).
Показать, что уравнение
/'(*) = О
имеет три действительных корня.
760.	Уравнение
очевидно, имеет корень х = 0. Показать, что это уравнение не может
иметь другого действительного корня.
761.	Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа для функ-
ции
/(х)=х— х9
на отрезке [— 2, 1] и найти соответствующее промежуточное значение g.
Решение. Функция f(x) — x — № непрерывна и дифференцируема для
всех значений х, причем /'(х) = 1 — Зх2. Отсюда по формуле Лагранжа име-
ем f (1) — f ( — 2) — 0 — 6 — [1 — ( — 2)] /' (^), т. е. f' (£) = — 2. Следовательно,
1 — 3g2 =—2и^= ±1; годится только значение g ——1, для которого спра-
ведливо неравенство — 2< £ <1.
762.	Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа и найти
соответствующую промежуточную точку g для функции f(x)=x*^ на
отрезке [-1.1].
763.	Для отрезка параболы у = х , заключенного между точками
Л(1; 1) и 5(3; 9), найти точку, касательная в которой параллельна
хорде АВ,
764.	Пользуясь теоремой Лагранжа, доказать формулу
sin (x-j-^)— sin х = h cos g,
где x<^<^x-\-h.
765.	а) Для функций /(х) — х*-)-2 и F(x)=x9—1 проверить
выполнение условий теоремы Коши на отрезке [1, 2] и найти g;
б) то же для /(x) = sinx и 5(x) = cosx на отрезке ^0, уj.
§ 8.	Формула Тейлора
Если функция f(x) непрерывна и имеет непрерывные производные до
(п — 1)-го порядка включительно на отрезке а^х^Ь(или Ь^х^а), причем
в каждой внутренней точке этого отрезка существует конечная производная
/(п)(х), то на этом отрезке справедлива формула Тейлора
f(X) = f (а) + (х - а) Г (а) +	f (а) + (2Ц~~’	(“> + •••
• • • + f{n ’ *’(а) + /<я>
где g = a -|-0 (х — а) и 0 < 0 < 1.
74	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ функций	[гл. и
В частности, при а —О имеем (формула Маклорена):
f(X) = f (0) 4- xf (0) +	f" (0) +... +	/<»-» (0) + /<"> (5),
где £ = бх, 0 < 0 < 1.
766.	Многочлен f(x) = xz — 2№ —Зх —5 разложить по целым по-
ложительным степеням бинома х — 2.
Решение. /'(х) = Зх2 — 4х + 3;	(х) = 6х — 4; f(x) = 6; /<"> (х) = 0
дляп^4. Отсюда:
f(2) = 11; Г (2) = 7; /" (2) = 8; Г' (2) = 6.
Следовательно,
х»_2х^+Зх + 5 = 11+(^-2)-7 + (х~2)8 -8	"6
ИЛИ
х3 _ 2х2 + Зх + 5 = 11 + 7 (х - 2) + 4 (х - 2)2 + (х - 2)8.
767.	Функцию f(x) = ex разложить по степеням бинома
члена, содержащего
Решение. f{n} (х) = ех для всех п, [{п) ( — 1) = — . Следовательно,
е.=1+(х + 1)2 + Ц^1 + (^)1 + (Ц^Л
где £ = — 1 4-0 (х-f- 1), 0 < 0 <1.
768.	Функцию /(х) = 1пх разложить по степеням х—1 до члена
с (х— I)2.
769.	Функцию /(x) = sinx разложить по степеням х до члена с х9
и до члена с х5.
770.	Функцию f(x) = ex разложить по степеням х до члена с х"”1,
771. Показать, что sin(a-|“^) отличается от
sin а h cos а
не более чем на /г2.
772.	Выяснить происхождение приближенных формул:
a)	Vl+x^l+yx — ±-хг, |х|<1,
б)	1	X == 1 4 g-Х 9Л'1’ |Х1<СЬ
и оценить их погрешность.
773.	Оценить погрешность формулы
774.	Тяжелая нить под действием собственного веса провисает по
цепной линии ey = ach•—. Показать, что для малых |х| форма нити
приближенно выражается параболой
§9]
РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
75
— \ имеет место
приближенное равенство
X	_____
V а — х
§ 9.	Правило Лопиталя — Бернулли раскрытия неопределенностей
лп	„	0 оо „
1°. Раскрытие неопределенностей типа — и Пусть од-
нозначные функции f (х) и ср (х) дифференцируемы при 0 < | х — а | < ht
причем производная ср'(х) не обращается в нуль.
Если / (х) и <р (х) — обе бесконечно малые или обе бесконечно большие при
f М
е. если частное представляет в точке х = а неопределенность
х—т.
О
типа —
или —, то
оо
г /(*) г f'(x)
lim	hm Ц*
x -> д Ф W x -> а Ф (x)
при условии, что предел отношения производных существует (правило Ло-
питаля— Бернулли). Правило применимо и в случае, когда а=<х>.
fr (х)
Если частное ' вновь дает неопределенность в точке х = а одного
Ф (х)
из двух упомянутых типов и f (х) и ф' (х) удовлетворяют всем требованиям,
ранее сформулированным для f (х) и ф (х), то можно перейти к отношению
вторых производных и т. д.
f(x)
Однако следует помнить, что предел отношения у может существо-
вать в то время, как отношения производных не стремятся ни к какому пре-
делу (см. № 809).
2°. Прочие неопределенности. Для раскрытия неопределенно-
стей типа 0 *оо преобразуем соответствующее произведение Д(х)-Д(*)» гДе
lim Д (х) = 0 и lim Д (х) — оо, в частное	(тип	или М Цтип —.
х а	х-> а	*	\ О J 1 \ оо J
h(x)	AW
В случае неопределенности типа оо — оо следует преобразовать соответ-
ствующую разность Д (х) — Д (х) в произведение Д (х) [1— и’раскрыть
f (х)
сначала неопределенность у ; если lim
к виду
. Л «.
L м
= 1, то приводим выражение
, А (*)
А (*)
1
AW
Неопределенности типов 1°°, 0°,
ного логарифмирования и нахождения предела логарифма степени [Д (х)/а
(что потребует раскрытия неопределенности типа 0*оо).
В некоторых случаях правило Лопиталя — Бернулли полезно комбинировать
с нахождением пределов элементарными средствами.
тип
оо° раскрывают с помощью предваритель-
76
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[гл. п
Пример 1. Вычислить
1;^ 1ПХ (	oo\
im ctgT ^неопределенность типа —1.
Решение. Применяя правило Лопиталя — Бернулли, имеем:
lim lim (Ml = -lim
х-> о Ctg х x-»o(ctgx)' х-> о X '
„	о
Получили неопределенность типа , однако применять правило Лопиталя —
Бернулли нет надобности, так как
lim
х —> о X
lim . sinx — 1-0 = 0.
к -> о х
Таким образом, окончательно
находим:
lim llLL —0.
х -> о ctg х
Пример 2. Вычислить
(sh^x — х2) (^определенность типа оо — оо).
Приведя дроби к общему знаменателю, получим:
]. / 1	1\ п. х2 — sin2x/	0\
lim ---------- = lim ———— неопределенность типа .
x->o\sin2x х2/ х -> о х2 sin2 х \	О/
Прежде чем применить правило Лопиталя — Бернулли, заменим знаменатель
последней дроби эквивалентной ему бесконечно малой (гл. I, § 4) x2sin2x х4.
Получим:
lim ( —1------= lim
X_>o\sin2x х2 у х->0 х4
По правилу Лопиталя — Бернулли
lim ( 1	1	2х “ sin 2х
х -> о \ sin2 х
х2 —sin2*/	0
I неопределенность типа —
_L\ Пт 2x-sin2x =lim 2-2cos2x
x2 У *->o	4x8	x->0	12 x2
Далее, элементарным
ИШ (-4-------2
x-»o\sin2x х2
путем находим:
1\	1 — cos 2х__Jj 2 sin2 х____
о 6х2	~~х->а 6х2	3'
Пример 3. Вычислить
lim (cos 2х)*2 (неопределенность типа I00).
Логарифмируя и применяя правило Лопиталя — Бернулли, получим:
Um In (cos 2x)*2 = lim 3 ln cos 2*	— 6 lim 512*
: о	x -> о X2	x -> о 2x
6.
Следовательно, lim (cos2x)*a = e
§9J
РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
.77
Найти указанные пределы функций:
776. lim
х-и
х3 — 2хг — х 2
х3 — 1х -|- 6
Решение, lim ------------
-> i xs — lx 4- 6
x cos x — sin x
p •
1 — X
J . ЛХ •
l-smT
ch x — 1
1 — cos X *
-ол tgx-sinx
780. lim —-------
xs - 2x2 - x + 2 _ Hm 3x2 - 4x - 1 _ I
X -> 1	3x2 - 7	2
777. lim
778. lim
779. lim
781. lim
x — sin x
sec2 x — 2 tg x
1 -|- cos 4x
782. lim
tgx
tg5x
ex
783. lim T.
X ->CD Л
784. lim ^4=
785. lim
786. lim
я
X
ЛХ *
c4
In (sin mx)
In sin x
787. lim (1 — cos x) ctg x.
(1 — cos x) cos X
Решение, hm (1 — cos x) ctg x= hm '-----r—----=
X-»0	X -> о	SHI X
= lim <1~cosy) . lim cosx= lim 1=0.
x -*o sin X x -> о	x -* о cos X
788.	lim (1 — x) tg .
789.	lim arcsin x ctg x.
x -+ 0
790.	lim(xne_JC), лД>0.
X -> 0
791.	lim x sin —.
X->00	x
792.	lim xn sin — ,	0.
x-*<x> x
793.	lim In x In (x—1).
X -> 1
794.	limf-Ц------Д.
Inx/
Решение, lim (-----
x-> Дх — 1
_ J__\____x In x — x + 1 ____
InxJ x->l (x — l)lnx
x •-----In x — 1	.	—
i.	x	i;™	lnx	x
— lim -----------------------= hm ------------------------— hm -----------—
in H-!- (x-l)	'’’inx- — + 1	+4
X v	X 1	X ‘ X2
1
2 *
795. lim f—Ц —
Х-.Л*-3
796. lim
X -> 1
2(l-/x)
1
з(1-/Г)
78
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. П
797. lim
х
Ctgx
п
2cosx
798. lim Xх.
X -> о
Решение. Имеем	хх = у\	1пг/ = х1пх; lim In = lim х In х =
х->о х->о
2
г= lim	lim—£_ = о, откуда limт. е. lim х*=1.
х -> о 1 х -> о 1	X ~>0	о
X	X2
799. lim Xх.
4" 00
3
800. Птх*+1ПЛ .
х -> о
801. limxsin*.
Х->0
804.	limx1""* .
X -> 1
805.	lim (tg )
Х-> 1 \	’ /
1
806.	lim (ctg x)ln х.
КХ
cos —
802. lim(l— х) г.
807. lim f—Vе*.
X-* 0 V x J
803. lim (1	x*}x •	808. lim (ctg x)sin *.
X 0	X -> 0
D	809. Доказать, что пределы:
Рис. 20. не МОГУТ быть найдены по правилу Лопиталя —
Бернулли. Найти эти пределы непосредственно.
810*. Показать, что площадь кругового сегмента с малым централь-
ным углом а, имеющего хорду АВ — Ь и стрелку CD = h (рис. 20),
приближенно равна
S^^bh
U
со сколь угодно малой относительной погрешностью при а—>0.
ГЛАВА III
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 1. Экстремумы функции одного аргумента
1®. Возрастание и убывание функций. Функция y — f(x) на-
зывается возрастающей (убывающей) на некотором интервале (отрезке), если
для любых точек хт и х2, принадлежащих данному интервалу (отрезку), из
неравенства Xj < х2 следует неравенство f (xj < f (х2) (рис. 21, а)
(f (xt) > f (х2) (Рис. 21, б)). Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь]
и Г (х) > 0 (г (х) < 0) при а < х < Ь, то f (х) возрастает (убывает) на
отрезке [а, Ь].
В простейших случаях, область существования функции f (х) можно раз-
бить на конечное число промежутков возрастания и убывания функции (про-
Рис. 22.
межутки монотонности). Эти промежутки ограничены критическими точ-
ками х (где /' (х) = 0 или же f' (х) не существует).
Пример 1. Исследовать на возрастание и убывание функцию
t/ = x* —2х-{-5.
Решение. Находим производную
/=2х — 2 = 2 (х — 1).	(1)
Отсюда у’ =0 при х=1. На числовой оси получаем два промежутка моно-
тонности^—оо, 1) и (1, + оо). Из формулы (1) имеем: 1)если — оо<х<1,то
у’ < 0 и, следовательно, функция f (х) убывает в промежутке (—оо,1);2)если
1<х<4-00, то #'> 0 и, следовательно, функция f (х) возрастает в проме-
жутке (1,4-оо) (рис. 22).
80	ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [гл. III
Пример 2. Определить промежутки возрастания и убывания функции
У==х^2’
1
Решение. Здесь х = —2 — точка разрыва функции и /= — (x+2)*<Q
при х — 2. Следовательно, функция у убывает в промежутках — оо< х <—2
Пример 3.
Исследовать на возрастание и убывание функцию
1 5	1 з
у=ьх --3х-
Решение.
Здесь
(2)
%4 — х2 = 0, найдем точки xt = —1, х2 = 0, х8 = 1, вкото-
____ _________ у' обращается в нуль. Так как у' может изменять знак
только при переходе через точки, в которых она обращается в нуль или
терпит разрыв непрерывности (в данном случае точки разрыва для у' отсутст-
Решив уравнение
рых производная
И
fto)
fa*)
Рис.
23.
логично найдем,
что
например, взять х =
вуют), то в каждом из интервалов (— оо,— 1),
(— 1, 0), (0, 1) и (1, —оо) производ-
ная сохраняет постоянный знак, поэтому в
каждом из этих интервалов исследуемая
функция монотонна. Чтобы выяснить, в ка-
ких из указанных интервалов функция воз-
растает, а в каких — убывает, нужно уз-
нать, каков знак производной в каждом из
этих интервалов. Для того чтобы выяснить,
каков знак у' в интервале (—оо, —1), до-
статочно узнать знак у’ в какой-нибудь
одной точке этого интервала; взяв, например,
х = — 2, получим из (2) / = 12 > 0, следо-
вательно, у' > 0 в интервале (—оо, — 1) и
функция в этом интервале возрастает. Ана-
интервале (—1, 0) для проверки можно,
' 0 в интервале (0, 1) ^здесь можно ис-

О

4/
К
пользовать х —и у’ > 0 в интервале (1, со).
Таким образом, исследуемая функция возрастает в промежутке (—оо, — 1),
убывает в промежутке (—1, 1) и опять возрастает в промежутке (1, оо).
2°. Экстремумы функции. Если существует такая двусторонняя
окрестность точки х0, что для всякой точки х # х0 этой окрестности имеет
место неравенство f (х) > f (х0), то точка х0 называется точкой минимума
функции y — f(x), а число f (х0) — минимумом функции y — f (х). Аналогично,
если для всякой точки х ?= xt некоторой окрестности точки хА выполняется
неравенство f (х) < f (xj, то xt называется точкой максимума функции
f(x), a f (xj — максимумом функции (рис. 23). Точка минимума или макси-
мума функции называется ее точкой экстремума, а минимум или максимум
функции — экстремумом функции. Если х0 — точка экстремума функции f (х),
то Г (хо) = 0 (стационарная точка), или же f' (х0) не существует (необходи-
мое условие существования экстремума). Обратное предложение не верно:
точки, в которых /' (х) = 0 или же ff (х) не существует (критические точки),
не обязательно являются точками экстремума функции f (х). Достаточные
признаки существования и отсутствия экстремума непрерывной функции f (х)
даются следующими правилами:
§ 1]
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА
81
1. Если существует такая окрестность (х0 — д, + критической точ-
ки х0, что f' (х) > 0 при х0 — д < х < х0 и /' (х) < 0 при х0 < х < х0 4~ д, то
xQ — точка максимума функции / (х); если же f (х) < 0 при х0 — б < х < х0
и /' (х) > 0 при х0 < х < х0 + д, то х0 — точка минимума функции f (х).
Если, наконец, найдется такое положительное число б, что /' (х) сохра-
няет неизменный знак при 0 < | х — х01 < д, то точка х0 не является точкой
экстремума функции /(х).
2. Если f (х0) = 0 и /" (х0) < 0, то х0 — точка максимума функции /(х);
если f (хо) = О и/"(х0)>0, то х0 —точка минимума функции /(х); если же
f(xo) = O, f'(xo) = O, a f" (хо)^О, то точка х0 не является точкой экстремума
функции /;(х).
В более общем виде: пусть первая из не равных нулю в точ-
ке xQ производных функции / (х) имеет порядок k. Тогда, если
k — четное, то точка х0 является точкой	*
экстремума, а именно точкой максимума,	/
если (х0) < 0, и точкой минимума, если	/
/(А) (х0) > 0- Если же k — нечетное, то точка	/
х0 не является точкой экстремума.	/
П р и м е р 4. Найти экстремумы функции	/
у = 2х 4- 3 jj/x2.	/
Решение. Находим производную	/
^ = 2+зТГ=з^(^Г+1)- (3)	/
1/ X 1/ X	fi
Приравнивая производную у’ кулю, по-
л у чаем:	---..........6—Д----------►
Ух +1 = 0.	0|	*
Отсюда находим стационарную точку Xf=—1.	Рис. 24.
Из формулы (3) имеем: если х = —1 — h,
где h — любое достаточно малое положительное число, то у' > 0; если же
х = —1+^» то /<0*). Следовательно, х, = —1 есть точка максимума
функции у, причем #тах = 1.
Приравнивая нулю знаменатель выражения у’ из (3), получаем
j/x = 0;
отсюда находим критическую точку функции х2 = 0, где производная у1
не существует. При х = —Л, очевидно, имеем у’ < 0; при х = А имеем
у’ > 0. Следовательно, х2 = 0 есть точка минимума функции у, причем
#min == 0 (рис. 24). Исследование поведения функции в точке хх =— 1 можно
также провести с помощью второй производной
____2
Зх,3/
У
Здесь #"<0 при Xi=—1 и, следовательно, xt =—1 есть точка максимума
функции.
3°. Наименьшее и наибольшее значения. Наименьшее (наи-
большее) значение непрерывной функции f (х) на данном отрезке [а, 6] дости-
гается или в критических точках функции, или на концах отрезка [а, Ь].
*) Если определение знака производной у’ затруднительно, то можно
произвести арифметический расчет, взяв в качестве h достаточно малое поло-
жительное число.
82	ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [гл. Ill
Пример 5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
# = № — 3x4-3
на отрезке — 1 х 2 .
Решение. Так как
/ = 3х2-3,
то критическими точками функции у являются х,=—1 и х2—1. Сравнивая
значения функции в этих точках и значения функции на концах заданного
отрезка
«/(-!) = 5; ?(1) = 1; '/(-14)==4T; У(24) = ПТ’
заключаем (рис. 25), что наименьшее значение функции т = 1 достигается
в точке х=1 (в точке минимума), а наибольшее М = 11 4-достигается в точке
о
x = 2-g (на правом конце отрезка).
Определить промежутки убывания и возрастания функций:
Рис. 25.
811. у=1—4х— х2.
812. у = (х — 2)2.
813. ^ = (х4-4)3.
814. у = хг(х— 3).
815., = ^.
816' •>' = (7^Т?-
817. y = -t—/—пг.
J X2 — 6х — 16
818. _у = (х — 3)/х.
819. j = y — Ух.
820. j = x4-sinx.
821. ^ = xln х.
822. у — arcsin (1 4~х)*
823. у — 2ех'~*х.
824. j = 2^.
ех
825. у = е-.
Исследовать на экстремум
следующие функции:
826. <у = х24-4х4-6.
Решение. Находим производную данной функции #' = 2x4-4. При-
равняв у' нулю, получаем критическое значение аргумента х = —2. Так
как у* < 0 при х < — 2 и у' > 0 при х > — 2, то х = — 2 является точкой
§ 1]	ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА	83
минимума данной функции, причем */т|п = 2* Тот же результат мы получим,
используя знак второй производной в критической точке: //" = 2 > 0.
827.	j = 24-x — х\
828.	у = х9 — Зх24-Зх-|-2.
829.	у = 2х3 + Зх2 — 12х + 5.
Решение. Находим производную
у' = бх2 6х — 12 — 6 (х2 + х — 2).
Приравнивая производную у' нулю, получаем критические точки ^=3—2
и %2 = 1. Для определения характера экстремума вычисляем вторую производ-
ную у" — 6 (2х	1). Так как у" (— 2) < 0, то xt = — 2 есть точка макси-
мума функции 4/, причем #rnax = 25. Аналогично имеем у" >0; поэтому
х2 = 1 есть точка минимума функции у и r/min =—2-
830. у — х*(х — 12)2.
831. у = х(х — 1)2(х — 2)’.
, х2 — 2х 4- 2
'• У —---------------------г~
J	X. — 1
834 v =	(х-2)(8-х)
	X2	*
OQE <1		16
ООО. у		х (4 — х2) ’
836. у =	4
	/ха + 8‘
837. у =	X
	р/х2 — 4 ’
838. у =	j/{X2— I)2.
839. у =	2 sin 2х 4- sin 4х.
840.	у — 2 cos 4“ 3 cos -у •
841.	у = х — 1п(1 4-х).
842.	у = х 1п х.
843.	у = х In2 х.
844.	j = chx.
845.	х = хех.
846.	j = x2e“*.
847.
848. у = х — arctg х.
Определить наименьшие и наибольшие значения функций на ука-
занных отрезках (если отрезок не указан, то следует определить
наименьшее и наибольшее значения функции во всей области суще-
ствования):
849.
850.
851.
у — 1+%2 •
у — |/х(10 — х).
у = sin4 X -|- cos4 X.
852.	у=arccos х.
853.	у — х’ на отрезке[—1,3].
854.	j = 2x’4-3xs—12x4-1:
а)	на отрезке [— 1, 5];
б)	на отрезке [—10, 12].
84	ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [гл. ш
855.	Показать, что при положительных значениях х имеет место
неравенство
х-[~>2.
1 х
856.	Определить коэффициенты р и q квадратного трехчлена
У — х*-\гРхЛ~Я так, чтобы этот трехчлен имел минимум у = 3 при
х=1. Объяснить полученный результат геометрически.
857.	Доказать неравенство
е*>1-^х при х^=0.
Решение. Рассмотрим функцию
f(x) = e*-(14-x).
Обычным приемом находим, что эта функция имеет единственный минимум
f(0) = 0. Следовательно,
т е.	/(х)>/(0) при х#0,
е* > 1 + х при х # О,
что и требовалось доказать.
Доказать неравенства:
х^
858.	х—6<sinx<x при х>0.
859.	COS X > 1 -у при X 0.
860.	х — — <ln(l 4-х)<^х ПРИ *^>0.
861.	Данное положительное число а разложить на два слагаемых
так, чтобы их произведение было наибольшим.
862.	Кусок проволоки данной длины I согнуть в виде прямоуголь-
ника так, чтобы площадь последнего была наибольшей.
863.	Какой из прямоугольных треугольников с заданным перимет-
ром 2р имеет наибольшую площадь?
864.	Требуется устроить прямоугольную площадку так, чтобы
с трех сторон она была огорожена проволочной сеткой, а четвертой
стороной примыкала к длинной каменной стене. Какова наивыгоднейшая
(в смысле площади) форма площадки, если имеется I погонных метров
сетки?
865.	Из квадратного листа картона со стороной а требуется сде-
лать открытую прямоугольную коробку наибольшей вместимости, вы-
резав по углам квадраты и загнув выступы получившейся кресто-
образной фигуры.
866.	Открытый жестяной бак с квадратным основанием должен
вмещать v литров. При каких размерах на изготовление бака потре-
буется наименьшее количество жести?
867.	Какой из цилиндров с данным объемом имеет наименьшую
полную поверхность?
§ 1]	ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА	85
о
Рис. 26.
868.	В данный шар вписать цилиндр с наибольшим объемом.
869.	В данный шар вписать цилиндр с наибольшей боковой по-
верхностью.
870.	В данный шар вписать конус с наибольшим объемом.
871.	В данный шар вписать прямой круговой конус с наибольшей
боковой поверхностью.
872.	Около данного цилиндра описать прямой конус наименьшего
объема (плоскости и центры их круговых ос-
нований совпадают).
873.	Какой из конусов, описанных около
данного шара, имеет наименьший объем?
874.	Полоса жести шириной а должна быть
согнута в виде открытого цилиндрического же-
лоба (рис. 26). Каков должен быть централь-
ный угол ср, чтобы вместимость желоба была
наибольшей?
875.	Из круглого листа вырезать такой сектор, чтобы, свернув
его, получить воронку наибольшей вместимости.
876.	Открытый сосуд состоит из цилиндра, заканчивающегося
снизу полусферой; толщина стенок постоянна. Каковы должны быть
размеры сосуда, чтобы при данной вмести-
$	&	мости на него пошло минимум материала?
877.	Определить наименьшую высоту
h=OB двери вертикальной башни ABCD,
X.	чтобы через эту дверь в башню можно
было внести жесткий стержень MN дли-
I	ны Z, конец которого М скользит вдоль
**^**1 х.	горизонтальной прямой АВ. Ширина баш-
_____!_______ни d<^l (рис. 27).
А &	м	878. На координатной плоскости дана
рис 27.	точка Л40(х0, у0), лежащая в первой чет-
верти. Провести через эту точку прямую
так, чтобы треугольник, образованный ею с положительными полу-
осями координат, имел наименьшую площадь.
879.	В данный эллипс вписать прямоугольник наибольшей площади
со сторонами, параллельными осям эллипса.
880.	В сегмент параболы у* = 2рх, отсекаемый прямой х — 2а,
вписать прямоугольник наибольшей площади.
1
1-|-х2
881. На кривой у
ная составляет с осью
882. Гонцу нужно
берегу реки, в пункт
найти точку, в которой касатель-
ОХ наибольший по абсолютной величине угол.
добраться из пункта Л, находящегося на одном
В, находящийся на другом. Зная, что скорость
движения на берегу в k раз больше скорости движения по воде, опре-
делить, под каким углом гонец должен пересечь реку для того, чтобы
86	ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [гл. П1
достичь пункта В в кратчайшее время. Ширина реки — й, расстояние
между пунктами А и В (вдоль берега) — d.
883.	На прямолинейном отрезке АВ=а, соединяющем два источ-
ника света А (силы р) и В (силы q\ найти точку Ж, освещаемую
слабее всего (освещенность обратно пропорциональна квадрату рас-
стояния от источника света).
884.	Лампа висит над центром круглого стола радиуса г. При
какой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего на
краю стола, будет наилучшая? (Освещенность прямо пропорциональна
косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квад-
рату расстояния от источника света.)
885.	Из круглого бревна диаметра d требуется вырезать балку
прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина х и высота у
этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление:
а) на сжатие, б) на изгиб?
Примечание. Сопротивление балки на сжатие пропорционально пло-
щади ее поперечного сечения, а на изгиб — произведению ширины этого се-
чения на квадрат его высоты.
886. Однородный стержень АВ, который может вращаться около
точки А (рис. 28), несет груз Q кг на расстоянии а см от точки А
Рис. 28.
и удерживается в равновесии вертикальной
силой Р, приложенной к свободному кон-
цу Z? стержня. Погонный сантиметр стержня
весит q кг. Определить длину стержня х
так, чтобы сила Р была наименьшей,
и найти Pmin.
887*. Центры трех вполне упругих ша-
ров А, В, С расположены на одной пря-
мой. Шар А массы М со скоростью v
ударяет в шар В, который, получая извест-
ную скорость, ударяет в шар С массы т.
Какова должна быть масса шара В, чтобы
скорость шара С оказалась наибольшей?
888.	Имея N одинаковых электрических элементов, мы можем раз-
личными способами составить из них батарею, соединяя по п элементов
последовательно, а затем полученные группы (числом — j — парал-
лельно. Ток, даваемый такой батареей, определяется формулой
Nn$
NR-\-nzr ’
где — электродвижущая сила одного элемента, г — его внутреннее
сопротивление, R — внешнее сопротивление.
Определить, при каком значении п батарея даст наибольший ток.
§ 2J	НАПРАВЛЕНИЕ ВОГНУТОСТИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА	87
889.	Определить, при каком диаметре у круглого отверстия
в плотине секундный расход воды Q будет иметь наибольшее значе-
ние, если Q = cy]fh — у, где h — глубина низшей точки отверстия
(h и эмпирический коэффициент с — постоянны).
890.	Если х2, ...,хп— результаты равноточных измерений
величины х, то ее наивероятнейшим значением является то, при
котором сумма квадратов погрешностей
п
а = 2 U —х<)2
имеет наименьшее значение (принцип наименьших квадратов}.
Доказать, что наивероятнейшее значение величины х есть сред-
нее арифметическое результатов измерений.
§ 2. Направление вогнутости. Точки перегиба
1°. Вогнутость г р а ф и к а ф у н к ц и и. Говорят, что график диффе-
ренцируемой функции у — f (х) вогнут вниз на интервале (а, Ь) (вогнут
вверх на интервале (an bj), если при а<х<Ь дуга кривой расположена
ниже (или соответственно при а, < х < Ьг выше) касательной, проведенной в
любой точке интервала (а, Ь) (или интервала (a,, bj) (рис. 29). Достаточ-
называется точкой перегиба (рис. 29).
ным условием вогнутости вниз (вверх)
графика у — f (х) является выполне-
ние* на соответствующем интервале
неравенства
Г W < 0	(/" (х) > 0).
Вместо того чтобы сказать, что гра-
фик вогнут вниз, говорят также, что
он направлен выпуклостью вверх.
Аналогично график, вогнутый вверх,
называют также направленным выпук-
лостью вниз.
2°. Точки перегиба. Точка
(х0,/(х0)),в которой изменяется направ-
ление вогнутости графика функции,
Для абсциссы точки перегиба х0 графика функции y = f(x) вторая произ-
водная f"(xQ) — 0 или f (х0) не существует. Точки, в которых f'(x)=0 или
У (х) не существует, называются критическими точками 2-го рода. Крити-
ческая точка 2-го рода ха является абсциссой точки перегиба, если у (х)со-
храняет постоянные знаки в интервалах ха — д < х < х0 и х0 < х < х0 + б,
где д — некоторое положительное число, причем эти знаки противоположны,
и не является точкой перегиба, если знаки у (х) в указанных выше интервалах
одинаковы.
Пример. 1. Определить интервалы вогнутости и выпуклости, а также
точки перегиба кривой Гаусса
Решение. Имеем:
— №
у = е х.
/=—- 2хе
и

88	ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [гл. III
Приравняв вторую производную у" нулю, находим критические точки
2-го рода
1 1
*!=----— и х2 = —..
/2	/2
Эти точки разбивают числовую ось — оо< х < оо на три интервала: I (— оо,^),
П (xlt х2) и III (х2, 4-оо). Знаки у" соответственно будут 4-, —, 4" (в этом
можно убедиться, взяв, например, по одной точке в каждом из указан-
ных интервалов и подставив соот-
ветствующие значения х в у").
Поэтому: 1) кривая вогнута
*	1
вверх при — оо < х <----— и
/2
< х < 4~ оо; 2) вогнута вниз
1 1
при — 7TL < X < —— . Точки
/2	/2
4^4—точки перегиба
(рис. 30).
Заметим, что ввиду симметрии относительно оси 0Y кривой Гаусса иссле-
дование знака вогнутости этой кривой достаточно было производить лишь на
полуоси 0 < х < 4~	у
Пример 2. Найти точки перегиба гра-	м
фика функции
У— j/x-f-2.
Решение. Имеем:
^ = -^-(* + 2) 3 =	~2----- - (1)
9	9 У (х + 2)’
Очевидно, у" в нуль нигде не обращается.
Приравнивая нулю знаменатель дро-	Рис. 31.
би в правой части равенства (1), получаем,
что у" не существует при х — — 2. Так как у" > 0 при х < — 2 и у" < 0 при
х > — 2, то (—2, 0) есть точка перегиба (рис. 31). Касательная в этой точке
параллельна оси ординат, так как первая производная у' при х = —2 бес-
конечна.
Найти интервалы вогнутости и точки перегиба графиков функций:
891. у=х* — 6х2 + 12x4-4.
892. у = (х-{- I)4.
896.	у = COS X.
897.	у=х— sinx.
898.	у = х* In х.
894. У=-^-2.
895. у=3/4хг— 12х.
899. у = arctg х — х.
900. j = (14-x2)e\
§ 3J
АСИМПТОТЫ
89
§ 3. Асимптоты
1°. Определение. Если точка (х, у) непрерывно перемещается по
кривой у = /(х) так, что хотя бы одна из координат точки стремится к бес-
конечности, и при этом расстояние точки от некоторой прямой стремится
к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.
2°. Вертикальные асимптоты. Если существует число а такое,
что
lim /(х) = оо,
х-+а
то прямая х = а является асимптотой (вертикальная асимптота),
3°. Наклонные асимптоты. Если существуют пределы
lim	= ki
х—>-j-Qo Х
И
lim [f (х) — ^х] = blt
x-*-f-oo
то прямая y = kYx + bi будет асимптотой (правая наклонная или, в случае
&i = 0, правая горизонтальная асимптота).
Если существуют пределы
lim L^ = kt
X —00 X
и
lim [f (х) — k2x} = b2t
X - 00
то прямая у — k^x -f- b2 — асимптота (левая наклонная или, в случае k2 — О,
левая горизонтальная асимптота). График функции y = f(x) (функция
предполагается однозначной) не может иметь более одной правой (наклонной
или горизонтальной) и более одной левой (наклонной или горизонтальной)
асимптоты.
Пример 1. Найти асимптоты кривой
х2
У —/хг - f
Решение. Приравнивая знаменатель нулю, получаем две вертикальные
асимптоты:
х — — 1 и х = 1.
Ищем наклонные асимптоты. При х—► -|~00 получаем:
kt= lim — = lim — Х-._. -. — 1Т
х->Ц-оох х->-(-ао х ух2 — 1
» г /	\ v X2 — xVX2 — 1	_
bx — lim (у — х) ~ 11 гл -----------------= О,
х->4-00	х-> + оо	Ух2- 1
следовательно, правой асимптотой является прямая у = х. Аналогично при
х —► — оо имеем:
k2 = lim — — — 1,
х -> — 00 X
bi= lim (y-|-x) = O.
90
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[гл. III
Таким образом, левая асимптота есть у —— х (рис. 32). Исследование на
асимптоты данной кривой упрощается, если учесть симметрию этой кривой.
Пример 2. Найти асимптоты кривой
0 = х4-1пх.
Решение. Так как
lim # = —оо,
х ->4- о
то прямая х = 0 является вертикальной асимптотой (нижней). Исследуем кри-
вую только на наклонную правую асимптоту (так как х > 0).
Имеем:
k= lim — = 1,
Х->4-00 %
b = lim (у — х)= lim 1пх= ос.
*->4-00
Следовательно, наклонной асимптоты нет.
Если кривая задана параметрическими уравнениями х = ф(/); У = ф(/), то
сперва исследуют, нет ли таких значений параметра при которых одна из
Рис. 32.
функций ф (t) или ф (0 обращается
в бесконечность, а другая остается
конечной. При ф ((0) = оо, а ф (/0) =
=с кривая имеет горизонтальную
асимптоту у=-с. При ф(/0) = оо,
а ф (Q = с кривая имеет вертикаль-
ную асимптоту х~с.
Если ф (f0) = ф (/0) = оо и при
том
lim 7п7п = k’ Um W ~ Л<Р<01=*.
r->r0
то кривая имеет наклонную асимп-
тоту y = kx-\- b.
Если кривая задана полярным
уравнением г — f (ф), то можно най-
ти ее асимптоты по предыдущему правилу, преобразовав уравнение кривой к
параметрическому виду по формулам: х = г cos ф — f (ф) cos ср; у~г sin(p =
= f (<р) sin <p.
Найти асимптоты кривых:
907->=ТЗ=г
903.., = ^.	ив. у = х-2 + 7=.
904«-У = 7Гр9-	909. j = e-*’4-2.
905. j = j/x1—-L	910.
§ 4] ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ ПО ХАРАКТЕРНЫМ ТОЧКАМ 91
1
911.	у = ех.
912.	j =
913.	j=ln(14-x).
914.	x=t\ <y = /-]“2arctgt
915.	Найти асимптоту гиперболической спирали r = ~.
§ 4.	Построение графиков функций
по характерным точкам
При построении графика функции следует, прежде всего, найти область
определения этой функции и выяснить поведение функции на границе ее об-
ласти определения. Полезно также предварительно отметить некоторые осо-
бенности функции (если они имеются), как-то: симметрия, периодичность, по-
стоянство знака, монотонность и т. п.
Далее, нужно найти точки разрыва, точки экстремума функции,
точки перегиба, асимптоты и т. д. Найденные элементы позволяют выяснить
общий характер графика функции и получить математически правильный
эскиз его.
Пример 1. Построить график функции
Решение, а) Функция существует всюду, кроме точек х= ± 1.
Функция — нечетная, поэтому график функции симметричен относительно
точки О (0; 0). Это обстоятельство упрощает построение графика.
б)	Точками разрыва являются точки х = —1их=1, причем lim
х->1 То
и lim у =^00, следовательно, прямые х=±1 являются вертикальными
*-> — 1 То
асимптотами графика.
в)	Ищем наклонные асимптоты. Имеем:
А»! = lim — = О,
*->4-оо *
&!= lim у =оо,
*->4-оо
следовательно, правой наклонной асимптоты нет. Из симметрии графика сле-
дует, что левая наклонная асимптота также отсутствует.
г)	Находим критические точки 1-го и 2-го рода, т. е. точки, в которых
обращается в нуль или не существует первая или соответственно вторая
производная данной функции.
92
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[гл. III
Имеем:
х2 —3
3^/(х2- I)4
2х (9 — х2)
9 р/(х2 — 1)’ *
(1)
(2)
Производные / и у” не существуют только при х= ±1, т. е. только в тех
точках, где не существует и сама функция у, поэтому критическими точками
будут лишь те точки, где у' или у" обращаются в нуль.
Из (1) и (2) следует:
у' = 0 при х = ± УЗ;
у”— О при х = 0 и х = ±3.
Таким образом, у' сохраняет постоянный знак в каждом из интервалов
(—оо, — УЗ), (— Уз, — 1), (— 1, 1), (1, УЗ) и (Уз, + оо), а у" — в каждом
из интервалов (—оо, —3), (—3, — 1), (— 1, 0), (О, 1), (1, 3) и (3, + оо).
Для того чтобы выяснить, каковы именно знаки у’ (или соответственно у")
в каждом из указанных интервалов, достаточно определить знак у' (или у”)
в какой-нибудь одной точке каждого из этих интервалов.
Результаты такого исследования удобно свести в таблицу (таблица I),
вычислив также ординаты характерных точек графика функции. Заметим, что
ввиду нечетности функции у вычисление достаточно провести лишь при
х^>0; левая половина графика восстанавливается по принципу нечетной сим-
метрии.
Таблица I
X	0	(0, 1)	1	(1, /3)	/3=& 1,73	(V3, 3)	3	(3, + ею)
У	0	—	±00	+	XL = 1,37. |*/‘2	+	1,5	+
у'	—	—	1 не сущ.	1	0		+	+
If	0	—	не сущ.	4-			0	—
Выво- ды	Точка пере- гиба	Функция убывает; график вогнут вниз	Точка раз- рыва	Функция убывает; график вогнут вверх	Точка минимума	Функция возра- стает; график вогнут вверх	Точка пере- гиба	Функция возра- стает; график вогнут вниз
§ 4] ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ ПО ХАРАКТЕРНЫМ ТОЧКАМ 93
д)	Пользуясь результатами исследования, строим график функции
(рис. 33).
Пример 2. Построить график функции
Решение, а) Область существования функции: 0 < х < -f~ оо •
б) В области существования точек разрыва нет, но при приближении
к граничной точке (х = 0) области существования имеем:
,.	1пх
lim у= lim-------=— оо.
л;—>о	х->о х
Следовательно, прямая х = 0 (ось ординат) является вертикальной асим-
птотой.
в) Ищем правую наклонную или горизонтальную асимптоту (левая на-
клонная асимптота отсутствует, так как невозможно, чтобы х—►— оо):
k = lim — = О,
b~ lim # = 0.
Х->4-00
Следовательно, правой горизонтальной асимптотой является ось абсцисс: у = 0.
Таблица II
X	0	(0,1)	1	(1, е)	е 2,72	3 (е, е7)	3 а2 4,49	(ег, + со)
У	— 00	—	0	+	— =5:0,37 е	+	-4==0,33 2^ег	+
У'	не сущ.	+	+	+	0	—	—	—
	не сущ.	—	—	—	—	—	0	+
Выводы	Граничная точ- ка области оп- ределения функции. Вер- тикальная асимптота	Функция воз- растает; гра- фик вогнут вниз	Точка пере- сечения гра- фика с осью ОХ	Функция воз- растает; гра- фик вогнут вниз	Точка макси- мума функции	» Функция убывает; гра- фик вогнут вниз	Точка перегиба	Функция убывает; гра- фик вогнут вверх
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [гл. ш
§ 4] ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ ПО ХАРАКТЕРНЫМ ТОЧКАМ
95
г) Находим критические точки. Имеем:
,	1 — In X
. 21пх — 3
/=
х = е;
х = е3/\
(таблица II). При этом»
х* '
у' и if существуют во всех точках области существования данной функции и
/ =0 при 1пх = 1, т. е. при
3
if = 0 при 1пх=~, т. е. при
Составляем таблицу, включая характерные точки
кроме найденных характерных точек, полезно найти также точки пересечения
графика с осями координат. Положив ^ = 0, находим х=1 (точка пересече-
ния кривой с осью абсцисс); с
осью ординат график не пересе-
кается.
д) Пользуясь результатами ис-
следования, строим график функции
(рис. 34).
Построить графики указан-
ных ниже функций, определив
для каждой функции область ее
существования, точки разрыва,
точки экстремума, интервалы
возрастания и убывания, точки
вогнутости, а также асимптоты
ее графика, направление
перегиба
графика.
916. у	= хг — Зх\	927.
917. у		6х* — X* 9	•	928.
918. у	==(х-1)‘(х + 2).	929.
919. у	_(х-2)«(х + 4) 4	930.
920. у		(х8 - 5)’ 125	•	931.
921. v	__х* —2х-|-2	
✓	х — 1	932.
922. у		х4 — 3 X	933.
923. у	_х4-|-3 X	934.
924. у	1 X	935.
925. у-	_ 1	936.
	х2 + 3* о	937.
926. у		 о	938.
	х2 — 4 *	
4х
_____4х — 12
У (х - 2)’ •
___ X
У xi _ 4 ’
_	16
У х2 (х — 4)
Зх4 + 1
у= у X-j- У 4— X,
у — ]/8 х —J/8— х,
у = Ух* — Зх.
96
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[гл. rti
939. 940. 941.	у = jj/x+l — у/ х— 1 .		964. 965.	sinx v		
				у 1 ( 1 я \ ’ sin 1 x-f--y 1 у = sin x- sin 2x.
	У = У =	 £/N-4)2- /(х-4)«.		
		:^(х-2)’+|/(х-4)г.		
942.	V —	4	966.	у = cos x- cos 2x.
	У	/4-х*		j = x-]-sinx.
943.	V —	8	967.	
	У	х Yхг — 4 ’	968.	x = arcsin (1 — у/ x*}.
944.		X		
	У —	р/хг - 1	969.	arcsin x
				
945.	v —	X		Л У 1 - X2
946.	У У =	у (X - 2)* хе~х.	970.	у = 2x — tg x.
947.	у =		X а +- г» 	'	971.	j/ = xarctgx. 1	/ Л
		\ 'а 1	972.	j = xarctg— при
948.	У =	g8X — X2 — 14		X и j = 0 при x = 0.
949.	у —	(2 4-х*) е~х\		
950.	У =	2 |х|— х2.	973.	y = x-j-2 arcctg x.
951.	У =	In X Vx ’ хг . X -7Г 1П — . 2 а	974.	J=4+arcct&x-
952.	У —		975.	y= In shx.
953. 954.	V —	X	976.	j==Arch(x-|--j .
	у У=	In X (х + 1) 1п*(х-/ 1).	977.	y = tf’in*.
955.	У =	Щх’- 1)+ ^1-	978. 979.	у	^arcsin Vx 9 y = e^z^x.
956.	У =	X	980.	jr = ]n sinx.
957.	У —	In (1	981.	J=lntg^T—g-j.
958.	У =	In f е 4-Д . к х /	982.	^ = lnx — arctgx.
959.	У =	sin х 4- cos х.	983.	j, = cosx — Ineos X.
960.	У —	. sin 2х smx 1 - 2 .	984.	j/ = arctg (Inx).
961.	У=	COS X — cos1 X.	985.	у = arcsin In (x2 4“ !)•
962.	У =	sin’x 4“ cos’	986.	y = xx.
963.	\)		1	987.	1
	У	sin x -f- cos x ’		y = Xx.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДУГИ. КРИВИЗНА
97
§ 5]
Рекомендуется также построить графики функций, указанных е
№№ 826—848.
Построить графики функций, заданных параметрически:
988.	x = t2—2t, y = t2 + 2t.
989.	x = acos3/, y = asini (a>0).
990.	x = ie*,	y — te~l.
991.	x = f +	j = 2f + e-2‘.
992.	x = a(shf—t), y = a(cht—1) (a>0).
§ 5. Дифференциал дуги. Кривизна
Г. Дифференциал дуги. Дифференциал дуги s плоской кривой,
заданной уравнением в декартовых координатах х и у, выражается формулой
ds => К(dx)2 4- (dy)2;
при этом, если уравнение кривой имеет вид:
а) y = f (x), то ds= "j/" 1+ ^“£0 dx ПРИ dx>0;
f dx\2
1+ [-г] dy при dy>$;
в)	х=<р (0, = то ds — j/”dt при dt >0:
г)	F(x, f/) = 0, то ds=y I,, у \dx\ = V х y\dy\.
IM IM
Обозначая через a угол, образованный положительным направлением
касательной (т. е. направленной в сторону возрастания дуги кривой s) с
положительным направлением оси ОХ, получим:
dx
cos a = -j-,
ds
. dy
sin a = ~ •
ds
В полярных координатах
ds= V(dr)2+ (r dtp)2 =	r2+	) dq>.
Обозначая через p угол между полярным радиусом точки кривой и ка-
сательной к кривой в этой точке, имеем:
ft dr
cosp = ^,
sin
r ds
2°	. Кривизна кривой. Кривизной К кривой в ее точке М назы-
вается предел отношения угла между положительными направлениями
4 Г. С. Бараненков и др.
98	ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [гл. ш
касательных в точках М nN кривой (угол смежности) к длине дуги MN=&$,
когда N—+M (рис. 35), т. е.
,, Да da
К= lim—= -у-,
д.у	as
где а —угол между положительными направлениями касательной в точке М
и оси ОХ.
Радиусом кривизны R называется величина, обратная абсолютной величи-
не кривизны, т. е.
Линиями постоянной кривизны являются окружность ^К = -А-, где а —ра-
диус окружности) и прямая (К = 0).
Формулы для вычисления кривизны в прямоугольных координатах сле-
дующие (с точностью до знака):
1)	если кривая задана уравнением в явной форме y = f(x)t то
к=—
2)	если кривая задана урав-
нением в неявной форме
F(x, у) = 0, то
р' р" р'
Гух гуу гу
(?;2+г;а),/а ’
3)	если кривая задана уравнениями в параметрической форме х = <р(/),
0 = ф(О, то
Iх у 1
I х" / I
(x'* + n,/’ ’
где
x>_dx	x”-^	tf-^У
x~dt'	y~dt’ di* '	ir~dt*‘
В полярных координатах, когда кривая задана уравнением /• = /(<р), имеем:
где
___г*-|-2/78 ~ гг*
~ (г* + г'1)'1*
, _dr_ „_^г
dtp И Г dtp* ’
3°. Окружность кривизны. Окружностью кривизны (соприкасаю-
щейся окружностью) кривой в ее точке М называется предельное положение
окружности, проведенной через точку М и две другие точки кривой Р и Q,
когда Р—и Q—► Al.
§5)
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДУГИ. КРИВИЗНА
99
Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны, а центр окруж-
ности кривизны (центр кривизны) находится на нормали к кривой, проведен-
ной в точке М в сторону вогнутости кривой.
Координаты X и Y центра кривизны кривой вычисляются по формулам
х_„ УО+Л	+
-----7—’
Эволютой кривой называется геометрическое место ее центров кривизны.
Если в формулах для определения координат центра кривизны рассмат-
ривать X и Y как текущие координаты точки эволюты, то эти формулы дают
параметрические уравнения эволюты с параметром х или у (или же /, если
сама кривая задана уравнениями в параметрической	<
форме).	£
Пример 1. Найти уравнение эволюты пара-	/
болы у — х2.	Ъ/
Решение. Х= — 4х3, Y =	• Исклю- i
чив параметр х, найдем уравнение эволюты в явном
v 1 . QZ X \2/з	\	.
видеУ=у + 3^—J	\
Эвольвентой (инволютой) кривой называется
такая кривая, для которой данная кривая является **
эволютой.	—L
Нормаль МС эвольвенты Г2 является касатель-
ной к эволюте 1\; длина дуги ССХ эволюты равна	Рис‘
соответствующему приращению радиуса кривизны ССХ =|Л11С1 — Л4С[, Поэтому
эвольвенту Г2 называют также разверткой кривой Гп получающейся разма-
тыванием натянутой нити, намотанной на Г\ (рис. 36). Каждой эволюте соот-
ветствует бесчисленное множество эвольвент, отвечающих различным перво-
начальным длинам нити.
4°. Вершины кривой. Вершиной кривой называется точка кривой,
в которой кривизна имеет максимум или минимум. Для определения вершин
кривой составляется выражение кривизны К и находятся ее точки экстремума.
Вместо кривизны К можно взять радиус кривизны = и искать его точ-
ки экстремума, если в этом случае вычисления проще.
Пример 2. Найти вершину цепной линии y = ach-^- (а > 0).
х	1	х	1
Решение. Так как r/' = sh —, а у" —— ch — , то /< =---------и, сле-
а	а	а	,2 х
a ch2 —
а
г» и* х	r, dR	2х	„	dR
довательно,	/? = ach* —	.	Имеем -т-=	sh	—.	Приравнивая	производную -т—
а	ах	а	ах
2х
нулю, получим sh — = 0, откуда находим единственную критическую точку
л _	а	d2R
х = 0. Вычисляя вторую производную и подставляя в нее значение
л	d2R I	2 . 2х I	2	п г
к = 0, получим	n = “'ch —L = -->0. Следовательно, % —0
J dx2 I х = 0	а а | х = 0	а
есть точка минимума радиуса кривизны (или максимума кривизны) цепной линии.
Вершиной цепной линии z/ = ach~ , таким образом, является точка Л (0, а).
4*
100	ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ (гл. nt
Найти дифференциал дуги, а также косинус и синус угла, обра-
зованного с положительным направлением оси ОХ касательной к каж-
дой из следующих кривых:
993.	х* -\-уг = аг (окружность).
994.	^ + р=1 (эллипс).
995.	= 2рх (парабола).
996.	х*1*-\-уг1* = аг1> (астроида).
997.	^ = achy (цепная линия).
998.	x = a(t — sin/); j = a(l — cost) (циклоида).
999.	x=acos3/, y = asin*t (астроида).
Найти дифференциал дуги, а также косинус или синус угла,
образованного полярным радиусом и касательной к каждой из сле-
дующих кривых:
1000.	г = аф (архимедова спираль).
1001.	г — ^ (гиперболическая спираль).
1002.	r = asec2~- (парабола).
1003.	r = acos2~- (кардиоида).
1004.	г==а? (логарифмическая спираль).
1005.	r2 = a2 cos 2ф (лемниската).
Вычислить кривизну данных кривых в указанных точках:
1006* у = х4— 4х3—18х2 в начале координат.
1007.	х24~ху-|-у2 = 3 в точке (1; 1).
1008.	в вершинах А (а, 0) и В(0, Ь).
1009.	х = /2, у — ? в точке (1; 1).
1010.	r2 = 2a2cos2<p в вершинах с полярными углами ф = 0 и
ф = л.
1011.	В какой точке параболы j/2 = 8x кривизна равна 0,128?
1012.	Найти вершину кривой у = ех.
Найти радиусы кривизны (в любой точке) данных линий:
1013.	у = х1 (кубическая парабола).
1014.	+ = 1 (эллипс).
1015.	х=^-1-^-.
§ 5]	ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДУГИ. КРИВИЗНА	101
1016.	x = «cos’f; y = asva*t (астроида).
1017.	х — a (cos t	1 sin /); у = a (sin t — / cos /) (эвольвента круга).
1018.	r — aek^ (логарифмическая спираль).
1019.	r = a(lcos ф) (кардиоида).
1020.	Найти наименьшее значение радиуса кривизны параболы
у2 = 2рх.
1021.	Доказать, что радиус кривизны цепной линии j/ = ach-^
равен длине отрезка нормали.
Вычислить координаты центра кривизны данных кривых в ука-
занных точках:
1022.	ху=1 в точке (1; 1).
1023.	ау2 = х9 в точке (а, а).
Написать уравнения окружностей кривизны данных кривых в ука-
занных точках:
1024.	у = х2 — Ю в точке (3; 1).
1025.	у—е* в точке (0; 1).
Найти эволюты кривых:
1026.	у* = с2рх (парабола).
1027.	^ + уг=1 (эллипс).
1028.	Доказать, что эволютой циклоиды
x = a(t— sin /); у = а (1 — cos /)
является смещенная циклоида.
1029.	Доказать, что эволютой логарифмической спирали
г = ае*>
является также логарифмическая спираль с тем же полюсом.
1030.	Показать, что кривая (развертка окружности)
х = а (cos 14~ t sin /); у = a (sin t — /cos /)
является эвольвентой окружности x = acos/; jj = asin/.
ГЛАВА IV
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1.	Непосредственное интегрирование
1°. Основные правила интегрирования.
1)	Если F' (х) = f (х), то
J f(x)dx = F(x) + C,
где С—произвольная постоянная.
2)	J Af (х) dx = A J f (х) dx, где А — постоянная величина.
3)	j [К (х) ± (х)] dx= (х) dx ± J /2 (х) dx.
4)	Если J f (х) dx = F (х) 4- С и и = ср (х), то
J f (и) du = F (и) 4- С.
В частности,
У f (ах 4- 6) dx= ~ F (ax-f- &) + С (a 0).
2°. Таблица простейших интегралов.
Л	y" + 1
I. I x»dxz=*+ct
j	n -f- 1
II. Уу = 1п|х| + С.
Hl- j^ = larctg^+C=-larcctg | + C, (a^0)._
IV.	=	^+C (^0).
Si +c
V.	C  dx — =ln |x + ]/x‘4-a|4-C (a #0).
J Ух2 + a
VI.	f  - d*—= arcsin — 4- C = — arccos — 4" Q (a > 0).
Jya2-x!	a	a
VII.	taxdx = ^ + C (a>0); §e*dx = ex + C.
§ 1]
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
103
VIII.	j sin x dx = — cos x 4- C.
IX.	J cos x dx = sin x 4- C.
X. 1	? dx .	. } cos‘x	+
XI.	C	—ctgx-f-C. J sin2x	& 1
XII. (	I ^ = ln jtg-^| + C=ln|cosecx-ctgx|4-C.
XIII. 1	fc^7=ln|tg(l+T)l+C=lnltgx'hsecx! + C‘
XIV. (	1 sh x dx — ch x + C.
XV.	J ch x dx = sh x + C.
XVI.	^x=ihx+c-
XVII.	—cthx + C.
J shJx	1
Пример 1.	\ (ах2 + bx-J- с) dx — \ ax2dx \ bx \ cdx^a
x*dx-\-b	=	+	+	+
Применяя основные правила
найти следующие интегралы:
1), 2), 3) и формулы интегрирования,
; 1031. J
* 1032. J (6х2 + 8x4-3) dx.
* 1033. J х (х 4“ л) (х 4- b) dx.
*1034. J (а 4- bx*}2 dx.
♦ 1035. ^]^2pxdx.
•,03в- J •
• 1037. J (ги)~ах.
’1038. На? — x*)'dx.
.1039. J (|/*+1)(х-Vx+l)dx.
.1040. C^ + ‘)y-.2)rfx,
J у*
C — xn)2
.1041. x) dx.
J V X
. 1042. C^a~yxA-dx.
J V ax
.1043.
_,f dx
’ 1045. I .
J /4+ x2
•‘“«Чгга-
104
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
(ГЛ. IV
1047.	- dx. 1049. a) f ctg’xrfx;
J /4-х*	J
1048*. a) J tg* x dx;	б) J cth’ х dx.
6)Jth’xdx.	1050. J 3xexdx.
3°. Интегрирование путем подведения под знак диф-
ференциала. Правило 4) значительно расширяет таблицу простейших ин-
тегралов. А именно, в силу этого правила таблица интегралов оказывается
справедливой независимо от того, является переменная интегрирования
независимой переменной или дифференцируемой функцией.
С dx If	— ~
П р и м е р 2. I у- - — = -г- | (5х — 2) 2 d (5х — 2) =
J У 5х — 2 b J
1 1 1
1 f ~2	1	«2 I п 1 (5х —2)2	2 s „
_-lu du_—.-р4-С—-g Y F-C —-g-УЬс-2 + С,
J	2	2
где было положено и = 5х — 2. Использовалось правило 4) и табличный
интеграл I.
Пример 3. f 7*-dx.. =4- f-7=^= = 4ltJ (^ + /ГТ?)4-С.
И	J/1-1-х*	2 J/1+(X*)«	2 -т-г -г ,т
Неявно подразумевалось м = х2, причем применялось правило 4) и таб-
личный интеграл V.
Пример 4. У x2e*3dx == ~ J ех3 d (х®) = ~ е*3 -f- С
в силу правила 4) и табличного интеграла VII.
В примерах 2, 3, 4, прежде чем использовать тот или иной табличный
интеграл, мы приводили данный интеграл к виду
J f (ф (х)) <р' (х) dx = J f (и) du, где и = <р (х).
Такого рода преобразование называется подведением под знак дифферен-
циала.
Полезно отметить часто применяемые преобразования дифференциалов,
которые, в частности, использовались в примерах 2 и 3:
a) dx ==	d (ах + Ъ} (л / 0); б) xdx = -^-d(xz) и т. п.
Применяя основные правила и формулы интегрирования, найти
следующие интегралы:
1051 **•	1052 1053-
U “““ Л	и I “Л
1052**’	1054-
J 2х 1	J a -j- ох
§ И
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
105
1055.	С ах + Ь . \ 	<~adX. J ax-hp	1076.	P x-4-3 . 1	dx. J Ух*-4
1056.	J х-1	1077.	Г xdx Jx2 —5’
1057.		1078.	C xdx
	J x-f-3		J2x! + 3-
1058.	(* х*-|-х*-f-1 . \	dx. J х— 1	1079.	f ax + b , 1 •« a । i.tdx. J а8х24~Ь8
1059.	J(a + x-a)dx*	1080.	P x dx
			J у a* - x‘
1060*.	С 	dx J (х+1)’ЯХ-	1081.	P X8 \ i—i—-,dx. J 1 +*
1061.	f b dy	1082.	P x*dx
	Jfi-л		J Ух‘ - 1
1062. 1063*.	\ У а — bx dx. f *	dx.	1083.	Г i/arcsin x , J У !-«•
1064.	J Ух2 -f-1 jy7+inxrfx	1084.	Г . к I arctg v J 4H-xs dX'
1065.	Р dx	1085.	\x-^T^2xdx. J 1 + 4x2
	J Зх2-|-5’		
1066.	С dx	1086.	f	dx
	J 7х2 - 8 ‘ С	dx			
1067.			J ]/(1+х2)1п(х + УГта’
	J (а + Ь) — (а — Ь)х* (0<Z><a).	1087.	J	dx.
			
	р х2	1088.	42“8X dx.
1068.	J x2 + 2dX- Г*	Y9	1089.	J (ef — e~f) dt.
1069. 1070. 1071.	\ 1	8 dx. J а2 — х2 Cji^5x+_6 J	ax‘ f dx	1090. 1091.	r* X_		 J (ea e a Y dx. J axbx X' P nix	1
	J /7+8x2		
1072.	p	1092.	\a-=J-dx. J Vax
	J У 7 - 5x2		
1073.	P 2x — 5 ,	1093.	e~(xi+'}xdx.
	P 3 — 2x	1094.	J X’7x*dx.
1074.	J 5x2 +7dX'		1
1075.	f ^x±Ldx. J Убх* + 1	1095.	
106
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. IV
1096. С 5Г*-^= .
J У х
1097-
1098. J ехУа — be* dx.
1099. j(e“ 4-l)’-e«dx.
""•Иг
HOI C aX^-
,,U1* J 1	a2* *
p p-bx
1102.	‘^dx.
JKi
1104. j sin (a bx) dx.
1105. ( cos —^dx.
J
1106. J (cos ax 4~ sin ax)‘ dx.
1107. f cos V x-^=.
J У x
1108. j sin(lgx)y.
1109*. Jsin2xdx.
1110*. Jcos2xdx.
1111. J sec* (ax -J- b) dx.
1112. ^ctg2axrfx.
p dx
ins. Г—- .
Jsin —
1114. Г----T ♦
1 rt	t r*	Л> I
1 3 cos 5x-—
J	\	4 J
1116. C-MV
J cos2x’
1117. Jxsin(l—x*)dx.
1118. 1119.	(7—l__iYdx. J tg x dx.
1120.	J ctg x dx.
1121.	\^-~bdx'
1122.	p dx W'
1123.	
1124.	J xctg(x2-|- 1) dx.
1125.	C
	J sin x cos x *
1126.	P	X	X \ cos — sin — dx. J a a
1127.	sin’ 6x cos 6x dx.
1128.	?z^ax_dxt J sin5 ax
1129.	P sin 3x , \ o-j	5-dx. J 34- cos3x
1130.	P sin x cos x , I r „ - T =dx. J У cos8x — sin2x
1131.	J Kl + 3 cos2 x sin 2x dx
1132.	§ tg’-| sec2 у dx.
1133.	I  2 ~dx. J COS2X /•	2
1134.	\ ctg’ X . ] 	dX. J sin2 X
1135.	P 1 -J- sin 3x , \	2Q	 dX- J cos2 3x
1136.	P (cos ax + sin ax)2 d$ J	sin ax
1137.	P cosec2 3x , J b — a ctg 3x X‘
1138.	J (2 sh 5x — 3 ch 5x) dx.
1139.	? sh2 x dx.
§ П
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
107
1140.	•
J shx
1141. f-^-.
J chx
1142. С-гД-
J shxchx
1143. Jthjcdx.
1144. cthxdx.
Найти неопределенные интегралы:
1145.	У х |/5— х* dx.	1162.	P sec2 x dx
			J F4 — tg2x
1146.	С	- 1 \ “I	Л  J x* — 4x 4-1	1163.	f dx 1	X
	Л	Y2		] cos —
1147.	I , -sdx. J x’4-5 J xe~x2 dx.		J a
1148.		1164.	f	4“ ln x j 1 		dx. J	X
1149.	г3_у2 + зх2^ J 2 + 3x2	1165.	
1150.	P X5 - 1 , \ —г—г dx. J * + 1	1166.	C xdx J sin (x2) ‘
1151.	f dx J F?’	1167.	pearctgx+xln(1+x.)+1 J	l+x‘	aXt
1152.	fL^sinxrf	1168.	Csinx-_cosxdx J sinx-f-cosx
	J x + cos x		p/l	• x \2
1153.	C tg 3x — Ctg3xrfv J sin 3x	1169.	( ( 1 — SIH —7= ) 1	X
	P dx		1	sin -==
1154.	J xln2x*		J	/2
	P qpt2 X	1170.	\-^—zdx.
1155.	I sec x_ dx		J x2 — 2
	J У tg2x — 2	1171.	CJbttf dx.
1156.	C(? [ x	dx		J x(l+x2)
	J	1 2x2 + lJ 2x2+l •	1172.	J gsin’ x Sjn 2x dx.
1157.	J asin^cos xdx.	1173.	f S-^dx.
	p x^		J У 4 — Зх2
1158.	C	dx. J l/x’+l f xdx	1174. 1175.	C dx
1159.			C	dx
	J V1 -x4’		J (a + &) + (a-6)x*
1160.	J tg2 ax dx.		(0<*<a).
1161.	C sin2 у dx.	1176.	{-T£=,dx. J Ke2* - 2
108
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. IV
1177.	С Лх
	' sin ах cos ах ’
1178.	Р . /2л/ ,	\ .. J Sin т + <р0 j dt.
1179.	Р	dx
	} х (4 — In2 х) ’
	Р	X arccos 77
1180.	\-J-dx. /4 - х*
1181.	\ е ~ *8 х sec’ х dx.
1182.	Р sin х cos х , 1 у.	 :dX. J У2 — sin4x
1183.	P dx
	J sin2 x cos2 x ‘
farcsinх4-х .
1184. I—г....„Т. dx.
J Fl-*1
1185. f secxtgx dx. J ]/ sec2 x + 1
non C cos2x , 1186. \ 7-;	57Г dX.
J 4-f-cos’2x
P dx
ll87- S>+S4-
1188. j /!^+_[4'+ '> dx.
1189. Jx’ch(x’ -{-3)dx.
p qth x
1190. J^dx.
§ 2.	Метод подстановки
Iе. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Полагая
Х= ф (/).
где / — новая переменная и (р — непрерывно дифференцируемая функция, бу-
дем иметь:
J/(x)dx=J/[<p(01<p'W^.	(1)
Функцию <р стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть формулы
(1) приобрела более удобный для интегрирования вид.
Пример 1. Найти
J хУх — 1 dx.
Решение. Естественно положить t = Ух — 1, отсюда х = /24-1, и
dx — 2t dt. Следовательно,
= J (/2 + 1)/-2/ dt = 2 p/4+/2)t// =
2	2	2	-	2	—
4" "y/’ -}- C — ^(x — О2 4"”з (x — О2 C.
Иногда применяются подстановки вида
и = ф(х).
Допустим, что нам удалось подынтегральное выражение [(x)dx преобра-
зовать к такому виду:
f(x)dx = g(u)du9 где ц = ф(х).
§ 2]	МЕТОД ПОДСТАНОВКИ	109
Если J g (и) du известен, т. е.
J g (и) du = F (и) С,
то
p(x)dx = F[(p(x)] + C.
Этим способом мы уже, собственно говоря, пользовались в § 1, 3°.
Примеры 2, 3, 4 (§ 1) можно было решить следующим образом:
Пример 2. и = 5х — 2; du = 5dx; dx= — du.
i
f , dx =1 f	+
J 5x — 2 5 J f u 5 _L 5
2
Пример 3. u=x2\ du = 2xdx* xdx~~ .
f --!== у f у— :=y 1П (U 4- /T+^) 4-C =
J /14- x* 2 J К i + иг 2
=-i-in (№ 4-УТ+х5) 4-с.
Пример 4. u=xs; du = 3x2dx; x2 dx=~ .
о
Cx’e*3dx=l C eudu=4-e“4-C = 4-«*3 + C-
J	у J
2°. Тригонометрические подстановки.
1)	Если интеграл содержит радикал У а2— х2, то обычно полагают х =
= a sin t\ отсюда	_____
У а2 — х2 = a cos t.
2)	Если интеграл содержит радикал Ух2 — а2, то полагают x = asec/;
отсюда
Ух2 — а2 = a tg t.
3)	Если интеграл содержит радикал Ух2-]-а2, то полагают x = atgZ;
отсюда
Ух2-{-а2 = a sec t.
Заметим, что тригонометрические подстановки не всегда оказываются
выгодными.
Иногда вместо тригонометрических подстановок удобнее пользоваться
гиперболическими подстановками, которые имеют аналогичный характер
(см. пример 1209).
О тригонометрических и гиперболических подстановках более подробно
см. в § 9.
Пример 5. Найти
J X2
по
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[гл. W
Решение. Полагаем х = tg /. Следовательно, dx =	.
Сугх24"1 j _dt ______________Г sec i cos2/ dt _
J ? x J	tg2 7	cos2/““J sin2/	cos21 ~~
__P dt ______P sin2/ cos2/ _P dt I C cos t dt —
““ J sin2/ cos /““ J sin2/» cos / “’ J cos / J sin2 / “
= ln|tg/ + secH-^ + C = ln|tg/+VT+V7|-
-	tg-+c=in I x + I - -T<X"+c.
1191. Применяя указанные подстановки, найти интегралы:
1
х~ t
J x Ух* — 2 ’
в) J x (5x2 — 3)7 dx, 5x* — 3 = t\
——, / = sinx<
sin2*
Применяя подходящие подстановки, найти интегралы:
1192.	J x(2x-]-5)Iodx.
1193.	С 1 + х j I Ц= dx. J 1+/X
1194.	Г dx
	) x /2х 4- Г
1195.	С dx
	
	J Vex-l'
Р In 2х dx
J In 4х х *
1197. narcsin*)* dx.
J /I-*1
Г в1*
1198.	>	. dx.
J Г^ + 1
1199.
J У cos X
1200*.	f dx
	)	14-х»
Применяя тригонометрические подстановки, найти интегралы:
1201.	f x2dx J /1-х’	1205. f Ух1 dx. J x
1202.	r x9dx	190И* C
	J /2-х’	12SUU • 1 _			:	r. J x* У 4 — x*
1203.	^=^dx.	1207. Jj/1— x*dx.
1204*.		
	J x /x! - 1	
§ 3}
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
111
1208.	Вычислить интеграл
f dx
J Ух(1-х)
с помощью подстановки jc = sin‘t
1209.	Найти
J V с? -\-х* dx,
применяя гиперболическую подстановку x = asht
Решение. Имеем: Уа2 -j- х2 = ya2-j-a2sh4 = a ch t и dx = ach/df.
Отсюда
J y*a24-x2dx= J a ch t*a ch t dt —
. C .. . ..	, Г ch 2t 4- 1 ,. a2 f 1 .	, Л , ~
= a2 \ ch21 dt = a2 \ -~— dt = I -x- sh 2t -f- / + C =
J	J "	" \"	/
Д2
= -g- (sh t ch t +1) 4- C.
Так как
x ,,	/a2 + x!
shf —— , ch/=~---------!—
a	a
и	_______
t U 4 I u < x + У a2 + x2
r==ch t + sh / = ——----5,
*	a
то окончательно получаем:
j ya* + x’ dx = у ydr+xi+ у In (* + V^+T!) + ct,
где C! = C—Ina —новая произвольная постоянная.
1210.	Найти
Г **
J Ух2 —а2’
полагая х = acht
§ 3. Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям. Если и = <р(х) и v ==
= ф(х) — дифференцируемые функции, то
J и dv = uv — J v du.
Пример 1. Найти
J х In х dx.
dx	х2
Полагая u = lnx; dv = xdx, имеем du — — ; a==—. Отсюда
x	2
Ci	i C x2 dx x2 . x2 n
1 xln xdx = -^\nx - \	- X=vlnx — -t + C.
112
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. IV
Иногда, чтобы свести данный интеграл к табличному, приходится применять
формулу интегрирования по частям несколько раз. В некоторых случаях с
помощью интегрирования по частям получают уравнение, из которого опре-
деляется искомый интеграл.
Пример 2. Найти
е* cos х dx.
Имеем ех cos х dx = eFd (sin х) = ех sin х — ех sin х dx = ех sin х -f-
4- J exd (cos х) = ех sin х -f- ех cos х — J ех cos х dx.
Следовательно,
J ех cos х dx = е* sin х 4- ех cos х — е* cos х dx,
откуда
С	6х
I ех cosx dx = (sin х 4- cos х) 4* С.
Применяя формулу интегрирования по частям, найти интегралы:
1211. J	\ In х dx.	1224.	In2 x dx.
1212. 1	1 arctg x dx.	1225.	C In x , i s-dx-
1213. 1	1 arcsin x dx.	1226.	f In* J I J r X
1214.	1 x sin x dx.	1227.	\ x arctg x dx.
1215.	f x cos 3x dx.	1228.	J x arcsin x dx.
1216.	C ~ dx. I e*		
1217.	f x-2~x dx.	1229.	J In (x -J- V1 + x2) dx.
1218**.	J x2e8X dx.	1230.	C xdx J sin2 x *
1219*.	(x2— 2x-}~5) e~x dx.	1231.	C x cos x . \ . , - dx. J sin2 X
1220*.	^x,e~~*dx.	1232.	J ex sin x dx.
1221.	J x sin x cos x dx.	1233.	J 3* cos jc dx.
1222*.	J (x! 4- 5x -f- 6) cos 2x dx.	1234.	( ea* sin bx dx.
1223.	f x* In x dx.	1235.	( sin (In x) dx.
§ 4]	ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН	113
Применяя	различные методы, найти	интегралы:
1236.	j x*e~xtdx.	1246.
		J /1-х
1237.	j e^dx.	1247. J xtg22xdx.
1238.	f (х2— 2x-|-3)lnx(/x.	
1239.	f xlnj-^^dx. (* ln2x . \	dx.	1248. \ ^rdx. J e* 1249. j cos2 (In x) dx.
1240.		
1241.	C In (In x) , \ —1	- dx. 1	V	1250**. L-i jf n. dx. J (x2 + I)2
	J	J*	12S1* C
1242.	J x2 arctg 3x dx.	• J (x’-f-a2)2’ p		
1243.	1 x (arctg x)2 dx.	1252*. J V аг— x2dx. p 		
1244. 1 1245.	f (arcsin x)2 dx. P arcsin x . \	s— dx. )	X2	1253*. j 1254*. f ~
		J У9-Х»-
§ 4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен
1°. Интегралы
С тх-\-п ,	~ ч
в и д a j —2	_|_ с dx. Основной прием вычисле-
ния — приведение квадратного трехчлена к виду:
ах2 4- bx -f- с = а (х + k)2 + Z,
(1)
где k и I — постоянные. Для выполнения преобразования (1) удобнее всего
из квадратного трехчлена выделить полный квадрат. Можно также пользо-
ваться подстановкой
2ах + b = t.
Если т = 0, то, приводя квадратный трехчлен к виду (1), получаем таб-
личные интегралы III или IV (см. § 1, 2°, таблицу простейших интегралов).
Пример 1.
114
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. IV
Если m $6 О, то из числителя выделяется производная 2ах 4~ Ъ квадрат-
ного трехчлена
Г	Гт /п । ах । f тЬ\
I тх + п я __ I 2а	2а)
J axz-{-bx-\-c J ах2-{-Ьх-{-с
=£1п|°х1 + 6ж + с1 + (я-^)^
и таким образом, мы приходим к интегралу, разобранному выше.
Пример 2.
f х-1 я	С "2 (2х-1)--2	1
] -з---: dx= 1  =-----: dx = — In X2 — X — 1 —
J х2-х- 1	J x2 — x—1	2 ‘	1
'{	1 A
dk*“2j 1	'	1
1 \t e =4-lnlX»-X-l|----^=1П
_ _LV ——	2	2/5
С ’
2х - 1 - /5
2х - 1 + /5
2
2°. Интегралы вида f —
Методы вычислений аналогичны разобранным выше; В конечном итоге интег-
рал приводится к табличному интегралу V, если а > 0, и VI, если а < 0.
Пример 3.
р dx	1 р	dx	1	. 4х — 3 , _
J V2 + 3x-2x*	/2 J y<25_^__3y	/2	5	1
Пример 4.
Г х+3	f _^ + 2	+ 2 С _
J /х’ + 2х 4- 2	2 J /хг4-2х4-2 J У (х -|- 1)’ + 1
= Ух‘ + 2х + 2 + 2 In (х 4-1 4- /х* 4-2x4-2) + С.
г>	С	dx	г>
3°. Интегралы вида I ---------7-7^-—-^=—:. С помощью обрат-
J (тх 4-п) Vax’-|-Z>x4-c
ной подстановки
—Т" = <
тх-\-п
эти интегралы приводятся к интегралам вида 2°.
Пример 5. Найти
Г_________________________dx______
J (х4-1)/^Ян ’
Решение. Полагаем
*+1 =7*»
отсюда
dx—	/2 .
115
§ 41
Имеем:
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
4°. Интегралы вида У ах2 4” bx-^-cdx. Путем выделения из квад-
ратного трехчлена полного квадрата данный интеграл сводится к одному из
следующих двух основных интегралов (см. №№ 1252 и 1253):
1) Уа2 — х2 dx = ~ У а2 — х2 -j- arcsin -j + С,
(а >0);
Пример 6.
J V1 -2Х-Х2 dx = У ]/2-(1+хУ d (1 4- х) =
= -ф-- У1 — 2х — хг 4- arcsin *	4- С.
2	у% 1
Найти	интегралы:		
1255.	Р dx	1264.	Г	dx
	J х24-2x4-5-		' /х24-рх4-<?
1256.	С dx	1265.	f Зх - 6	,
			
	J х24-2х ‘		’ Ух2 — 4х 4- 5
1257.	С dx	1266.	С 2х — 8	, 1	-dx. J У1 - X - X2
	J3x2-x4-l-		
1258.	0 х dx	1267.	1				 dx. J /5х2 - 2х 4-1
	J хг — 7х 4-13 '		
1259.	С Зх - 2	,	1268.	Р dx
	J Xs — 4х 4- 5		J X У1 - X2 
1260.	С (х-1)2 > \ , ."п  1- х dx.	1269.	Г	dx
	J х2 4- Зх 4- 4		J X V хг 4- X - 1 ‘
1261.	С х2 dx	1270.	Г	dx	.
	J х2 - 6х 4- 10 •		J (х-1)/х2-2‘
1262.	С	dx		1271.	
	J У24-ЗХ-2Х2’ Г		J (х4-1) V4-2х’ У j/x2 -|- 2х 4- 5 dx.
1263.		1272.	
	J V X — X2		
116
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. IV
1273. JV* — x2dx.
1274. J]/2— х — х2 dx.
1275.
x dx
x* — 4x2 -j- 3 *
1277.
1278.
1279.
e*dx
V1 4-e*4-e2*’
_______sin x dx_____
У cos2 x 4“ 4 cos x 4“ 1
_______In xdx_______
x /1 — 4 Inx — ln2x
1276. f-т-,--------C°Sf ~rTf)dx.
J sin2 x — 6 sin x 4- 12
§ 5. Интегрирование рациональных функций
1°. Метод неопределенных коэффициентов. Интегрирова-
ние рациональной функции после выделения целой части сводится к интегри-
рованию правильной рациональной дроби
Р(х)
Q(x)’
(!)
где Р (х) и Q (х) — целые многочлены, причем степень числителя Р (х) ниже
степени знаменателя Q (х). Если
Q (х) = (х — а)Л... (х — /)\
где а, . . . , I — различные действительные корни многочлена Q (х) и а, . . . , X—
натуральные числа (кратности корней), то справедливо разложение дроби (1)
на простейшие дроби:
Р	I___^2 I	I__|
Q (х)“х - аТ(х - а)гТ ' “Т (х - q)iT" ‘
_1_ —л-____________________—___1-.. .4-—^_.
Фх-/^(х-/)2^	^(х-/)х
(2)
Для вычисления неопределенных коэффициентов Alf А2.°^е части тож-
дества (2) приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при
одинаковых степенях переменной х (первый способ). Можно также
определять эти коэффициенты, полагая в равенстве (2), или ему эквивалент-
ном, х равным подходяще подобранным числам (второй способ).
Пример 1. Найти
Р xdx ___________.
J (х — 1) (х 4- I)2-/-
Решение. Имеем:
X	_ А .	|	#2
(х — 1)(х4-1)2“х- 1+х4-1"*~(х4-1)2 •
Отсюда
л (х 4-1)2 4-вх (х — 1) (х +1) 4-в± (х — 1).	(3)
а)	Первый способ определения коэффициентов. Перепишем тождество (3)
в виде
х (А 4- Вх) х* 4- (24 4- В2) х 4- (4 - Bj - В2).
§ 5]	ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ	117
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим:
О = Л+ВХ; 1=2Л4-Ва; 0 = Л-В1-В2.
Отсюда
Вх = —В2 = у.
б)	Второй способ определения коэффициентов. Полагая х = 1 в тожде-
стве (3), будем иметь:
1 = Л-4, т. е. Л =-~-.
4
Полагая х —— 1, получим:
т. е. =
Далее, полагая х = 0, будем иметь:
О = А — Bt — Вг,
т. е. В, = А — В2 = —
Следовательно,
__ 1 Г dx 1 С dx . 1 С dx _____________
Т J 4 J 2 J (х 4- 1)х —
= 4 In Iх - 11 - I In |х +11 —+ С =
~ ~ 2(х-|-1) + Т1П 17+11 +С"
Пример 2. Найти
С —%х	. — /.
Jx’ — 2хг+х
Решение. Имеем:
1	_	1	_ Л_ В С
х* — 2х2 + х х (х — 1 )2 х *" х — 1 (х — 1 )2
и
1 = А (х — 1 )2 + Вх (х — 1) -|- Сх	(4)
При решении этого примера рекомендуется комбинировать два способа
определения коэффициентов. Применяя второй способ, полагаем х — 0 в тож-
дестве (4); получим 1 = А. Затем, полагая х=1, получим 1 — С. Далее, при-
меняя первый способ, приравняем в тождестве (4) коэффициенты при х2.
Будем иметь:
0 = Л 4-В, т. е. В = — 1.
Таким образом,
Л=1, В = —1 и С=1.
Следовательно,
'Ч?-- ‘"I ' - '1-7^т+°-
118
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. IV
Если многочлен Q(x) имеет комплексные корни a±ib кратности Л? то
в разложение (2) дополнительно войдут простейшие дроби вида
Mtx + ^	Mtx + N^
? +рх + q ’ ‘t“ (Хг +рх 4- q)k ’
(5)
где
х2 -f- рх -f- q = [х — (а 4- ib)] [х — (а — i&)]
и Мр ...» Mk, — неопределенные коэффициенты, определяемые
способами, указанными выше. При k=l дробь (5) интегрируется непо-
средственно; при k > 1 применяется метод понижения, причем предвари-
тельно квадратный трехчлен х24“Р*4“<7 рекомендуется представить в виде
(Р \	/	р2 X	Р
x4*v ) "Ь (	) и сДелать подстановку х-^^- = г.
£ /	\	4 J	&
Пример 3. Найти
/.
1
2(г’+1)
\ л 1______dx =
J (х24-4х4-5)’ах
Решение. Так как
х24-4х4-5 = (х4-2)24-1,
то, полагая x-{-2 = z, получим:
» Г z—1 , _______Г zdz Г (1 4-z2) — z2
' “J (z‘ + l)*dz~ J (z2+l)’ J (г24-1)а dz —
= ~2(z’4-l) — j pqn + j Zd[~ 2(z2 + l)J — —!
x	, 1	z 4-1
- arCtgZ-2(?+l) + 2 arCtgZ = “27?T1)
-1 arctg z + C = - 2 (^_ + 3 + 5) _ | arctg (x + 2) + C.
2°. Метод Остроградского. Если Q (x) имеет кратные корни, то
J Q (x) Qi (x)
W Q, (x) — общий наибольший делитель многочлена Q (х) и его производной
Q' W;
Qt(x) = Q(x):Ql (х);
Х(х) и Y (х) — многочлены с неопределенными коэффициентами, степени ко-
торых соответственно на единицу меньше степеней Qi (х) и Q2 (х).
Неопределенные коэффициенты многочленов X (х) и Y (х) вычисляются
при помощи дифференцирования тождества (6).
Пример 4. Найти
(6)
dx
— I)2*
Решение.
Лх2 + Вх + С . Г Рх2 4- Ех 4- f
Xs — 1 J X8 — 1
§ 5]	ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ	119
Дифференцируя это тождество, получим:
1	_ (2 Ах +J3) (х3 — 1) — Зх2 (Ях2 + Вх + С)	Dx2 + Ex 4- F
(х3—I)2”"	(х3- I)2	+	х3—1
или
1 = (2Ах В) (Xs - 1) — Зх2 (Ах2 4- Вх 4- С) 4- (Dx2 4- Ех 4- F) (х3 - 1).
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х, будем иметь!
D = 0; Е-Я = 0; F - 2В = 0; D4-3C = 0; Е4-2Я = 0; B4-F = -lj
отсюда
1	2
Я = 0; В = —С = 0; D = 0; Е = 0; F = —4
о	о
и, следовательно,
Р dx ______	1 х 2 Р dx
J (Xs- 1)2““"’3'х^=Л~Т J	(7)
Для вычисления интеграла в правой части равенства (7) разлагаем дробь
1
----j- на элементарные дроби:
_______________________jwx+jy^
X3— 1 X — 1 "* X2 4"х + 1 ’
т. е.
1 — Z, (х2 4~х 4~ 1) 4“ ^х (х — 1) 4~ А^(х — 1).	(8)
Полагая х=1, получим
о
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и ле-
вой частях равенства (8), находим:
L4-Af = 0; L —7V = 1,
т. е.
«=-г л,=-4-
Поэтому _
Р dx ____ 1 Р dx IP х4-2	, _
J X3 - 1 “T J	з* J x2 4-x4-i	~
= yln|x- 11-1 In (x2+ *4-1) --j=arctg 4-C
И
P dx	x , 1 . x2 4- X 4“ 1 .	2	. 2x +1
J(x’-1)2 —-3(x’-l)+9 ln (x — I)2 +3/3"arCg /3
Найти	интегралы:		
1280.	P	dx	1283.	C 2x24-41x —91	. J (х-1)(х-]-3)(х-4)аЛ
	J (•» + a) (x + b)'		
1281.	p x2 — 5x 9 , \ -i—p—H dx. J x2 — 5x 4- 6	1284.	Г 5x’4-2	. J x3~5x24-4xflX>
1282.	P	dx	1285.	P dx
	J (x- 1)(x4“2)(x4-3)‘		J X (x 4- l)2'
120
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. IV
1286.	С «•-! л \ ТТ	dx. J 4х’ — х	1294.	Р dx h’+r
1287.	С х4 — 6х’-4-12х2 4-6 . 1 	!	L— /г у J х1 - 6х2 + 12х - 8	'	1295.	Р dx
			J х4 +1 ’
1288.	С 5х*+6х + 9 J (х - З)2 (x-f-l)2"*’	1296.	Р dx
			J X4 4-х2 4-Г
1289.	С_^х±7_ J (х2-3х- 10)2“л‘	1297.	С dx
			J (14-*!)2,
1290.	р 2х ~3 d J (х! -3x4-2)’аХ'	1298.	C	3x + 5 J (x24-2x4-2)2“X<
1291.	\^£-dx. J х(х*4-1)	1299.	p	dx
			J (х4-1)(х24-х4-1)2>
1292.	Г х4 J X* - 1 dx-	1300.	C X’ +1 ri J (x2__4x + 5)2
1293.	Р	dx		
	J (х2 - 4х 4- 3) (х2 4- 4х 4-5)	•	
Применяя метод Остроградского, найти следующие интегралы:			
1301.	Р	dx	1303.	P dx
	J (х4-1)2(х24-1)2.		J (*’4-D‘‘
1302.	(* dx	1304.	C x4-2x24-2 . J (x2-2x + 2)2
	J (X* - 1)х *		
Применяя различные приемы, найти интегралы:
1305.	P	X5 \ 	2	dx J (x’4-l)(x*4-8)ax-	1310*.	P dx
			J x(x’4-l)‘
1306.	f x’ -l-x*	, J x12 -2x44-ldX’	1311. 1	p dx
			) X (Xs -4-1)2 •
1307.	P x2 - x + 14 . J (x - 4)’ (x - 2}ax-	1312. ।	p	dx
			| (x24-2x4-2)(x24-2x4-5)
1308.	P dx	1313. ।	p x2 dx
	J x4(x’4-l)2’		) (x-l)10’
1309.	C	dx		1314.	p dx
	J x8 — 4x2 5x — 2 ‘		} x84-xe*
§ 6. Интегрирование некоторых иррациональных функций
1°. Интегралы вида
Pi	Р?
р_ Г fax4-b'\qi fax4-b\Q2	1
J |_ \cx-j-d /	\cx4~d J	J
где R — рациональная функция и рр р8,
числа.
Интегралы вида (1) находятся с помощью подстановки
ах + Ь
cx + d	’
Tfifi п — общее наименьшее кратное чисел qlt qit ...
(1)
— целые
§ 6]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
121
Пример 1. Найти | 	---гут.— :: ; .
J У 2х — 1 — /2х - 1
Решение. Подстановка 2х — 1 = z* приводит интеграл к виду
_______dx_________Г 2z9dz _ Р z2dz _
УГ2х-1 - у^2х—1 J z‘“г J 2“ 1
= 2j(z + l+7^-j)dz=(2 + l)‘ + 21nlz-l|+C =
= (1 + >Ах - l)2 + In ( рЛх-! - 1)’ + C.
Найти интегралы:
1315.
1316.
1317.
1318.
1319.
1320.
1321.	J x + 2dx'
1322.	Г	dx
	J (2 - x) У 1 - x
1323.	f -j /~x — 1 . | x 1/ —.—г dx. J r x-f-l
1324.	f
1325.	f *+3 dr J X*/2x + 3
2°. Интегралы вида
Рп (х)____
Уах.г	Ьх -|- с
где Рп(х) — многочлен степени п.
Полагают
,/	dx = Qn-i W ^ax‘ + bx+c + k
у ах2 +	+ с
(2)
______dx_______
Y ах2 4- Ьх 4- с 9
(3)
где Qrt.i (х) — многочлен степени (п — 1) с неопределенными коэффициентами
и X - число.
Коэффициенты многочлена Qn_i(x) и число X находятся при помощи
дифференцирования тождества (3).
Пример 2. Сх2 Vx2 4-4dx = (*dx =
= (Ax’+Bxs4-Cx+D)/?+4 + A, f _	 .
J /*2 + 4
122
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[гл; IV
Отсюда
? + 4х*. = (ЗЛ х’ + 2Вх + С) /хЧ7* +(-*-*-+ D) Х + Ъ  
/хг-}-4 т	/х*4-4	/х*4-4
Умножая на Ух2 4-4 и приравнивая коэффициенты при одинаковых степе-
нях х, получим:
А =4-; В = 0; С = 4-; 0 = 0; Х = — 2.
4	2
Следовательно,
^xtYxi^dx = ^^V'xr+4-2ln (х + УТ+^+С-
3°. Интегралы вида
С------,dx	.	(4)
J (х — а)" Vах2 + Ьх -{-с
Приводятся к интегралам вида (2) с помощью подстановки
	х — а
Найти	интегралы:
1326.	Г хМх ,.	1329. f——г. JJ/x’-x + l	J х‘/ха- 1
1327.	С r -rdx.	1330. С	 J VI-хг	J (х4-1)’Ух44-2х
1328.	с х®	,	юг»! С х24-х4-1	, 1  Г --dx.	1331. 1 —-^=L=dx. J У1+ха	JxVx’-xH-l
4°. Интегралы от дифференциальных биномов
хт (а 4- bxn)p dx,
(5)
где т, пир- рациональные числа.
Условия Чебышева. Интеграл (5) выражается через конечную
комбинацию элементарных функций лишь в следующих трех случаях:
1) если р — целое число;
tn I 1
2) если —----целое число. Здесь применяется подстановка а 4* bxn =zs,
где s — знаменатель дроби р;
3) если Ш Р — целое число. В этом случае используется подста-
новка ax~n-\-b~zs.
Пример 3. Найти
т.	о	111	/и4-1	2 о
Решение. Здесь /и = —~ ; п = ~\ р = -тг\-=----:---= 2.
Следовательно, имеех место случай 2) интегрируемости.
$ 71
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
123
Подстановка
»
1+х* =?•
дает: х=(г* — I)4; dx = 12z*(z’ — l)*dz. Поэтому
С (	—1—	Гг‘(г’— 1)’
/ = ]х 41+x4J‘ dx = 12J	=
Р	12
= 12 \ (z‘-z,)dz = yz’-3z44-C,
где г = -р/” 1 + J/x.
Найти интегралы:
V1332. jx*(14-2xt)"T<fr.
1333. С -.-/£	.
J {/1+х4
1335.
1336.
1337.
1334.
§ 7. Интегрирование тригонометрических функций
1°. Интегралы вида
J sinw х cos" х dx = /Л)„,	(1)
где тип—целые числа.
1) Если т = 2k -f- 1 — нечетное положительное число, то полагают
!т п = — J sin2* х cos" х d (cos x) =—J (1 — cos2 x)k cos” x d (cos x).
Аналогично поступают, если n — нечетное положительное число.
Пример 1. sin10х cos’xdx = sin10х (1 — sin2х) d (sinх)==
____________________________sinnx	sin18 x t r
~ 11	13
2) Если /пип — четные положительные числа, то подынтегральное вы-
ражение (1) преобразуют с помощью формул:
sin2 х = (1 — cos 2х), cos’ х = (1 -j- cos 2х),
sin х cos х = -^ sin 2х.
124
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. IV
Пример 2. cos’Зхsin4Зхdx = (cosЗхsinЗх)1 sin1 Зхdx =
С sin’ 6х 1 — cos 6х .	1 (*, . . „	...	...
= \ —----------g---dx = -g- I (sin2 Ьх — sin2 6x cos 6x) dx =
1 P /1 — cos 12x	. . c » \ .
=-g- \ (-------g---sin2 6x cos 6x I dx —
1 / x sin 12x	1 . , „ \ . _
= 8 (Л---------24--jg sln 6xj4-C.
3) Если m = — |x и n =— v —целые отрицательные числа одинаковой
четности, то
/	= С	—— = С cosed* х secv”* х d (tg х) ==
J sin1* x cosv x J	s
P-	V - 2	p. -{-У _
— j*(’(1+{g,x) 1 d(tgx) = J'1
• В частности, к этому случаю сводятся интегралы
4) Интегралы вида Jig™xdx (или ctg“xdx) , где т— целое пело-
жительное число, вычисляются с помощью формулы
tg1 х = sec* х — 1
(или соответственно ctg*#==cosec*x — 1).
§ Л
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
123
Пример 5.
_tg»x
~ 3
X-l)dx=^ — tgx-f-x + C.
и
,. .	tg’X
х — l)dx=-^~
и
5) В общем случае интегралы 1т>п вида (1) вычисляются с помощью фор*
мул приведения (рекуррентных формул), выводимых обычно интегрированием
по частям.
т-г	- С dx С sin2 х 4- cos2 х , Р . sin х . . С dx
Пример 6. \\	-----dx = \sinx----=—ах4-\-------* =
r	Jcos’x J cos’x	J cos’* J cosx
.	1	1 P cos x , , C dx sin x , 1 . .,	.	. . „
= sinx----j-----— I —=— dx4-1 ------=------4--KIn tgx4-secx-(-C.
2 cos2 x 2 J cos2 x 1 J cos x 2 cos2 x 1 2	1 * *	11
Найти	интегралы:		
1338.	J cos* x dx.	1352.	p	dx
			J sin у COS* -y
1339.	J sin1 xdx.		[sin(x+-j)
1340.	У sin2 x cos’ x dx.	1353.	
			J sin x cos x
1341.	\ Sin8 у cos5 у dx.	1354.	e dx J sin’x ’
1342.	C cos’ X ,	1355.	У sec5 4x dx.
1343.	J sin4 x dx.	1356.	У tg2 5x dx.
1344.	J sin8 x cos8 x dx.	1357.	J ctg8 x dx.
1345.	У sin8 x.cos4xtfx.	1358.	J ctg4 x dx.
1346.	J cos® 3x dx.	1359.	
1347.	P dx J sin4 x‘	1360.	J x sin’x* dx.
1348.	P ^x J COS® X ‘	1361.	C^^dx. J sin4x
1349.	P COS2 X , \ -r-g—dx. J sin’x	1362.	P . s з z	 \ sin x у cos
1350.	P dx	1363.	P	dx
	J sin2 x cos4 x*		J У sin x cos’ x
1351.	P	dx 1	~ лао! ~ •	1364.	P dx
dx.
xdx<

126
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. IV
2°. Интегралы вида j sh mx cos nx dx, j sin mx sin nx dx и
cos mx cos nx dx.
В этих случаях применяются формулы:
1)	sin mx cos nx —[sin (m n) x + sin (m — n) x[;
A
2)	sin mx sin nx = ~ [cos (m — n) x — cos (m -f- n) xj;
3)	cos mx cosnx — -^ [cos (m — n) x + cos (m -f- n) x].
Пример 7. J sin 9x sin x dx = J у [cos8x— cos lOx] dx =
= ~ sin 8x — sin Юх + C.
Найти интегралы:
1365.	J sin 3x cos 5x dx.
1366.	J sin 1 Ox sin 15xdx.
1367.	j* cos у cos у dx.
1368.	jsinycosydx.
3°. Интегралы вида
J R (sin x, cos x) dx,
1369.	J cos(ax~\-b)cos(ax—b)dx.
1370.	J sin <of sin (<o/ -f" Ф) dt.
1371.	J cos x cos* 3x dx.
1372.	sin x sin 2x sin 3x dx.
(2)
где R — рациональная функция.
1) С помощью подстановки
tgy = i.
откуда
, It	1 —. 2dt
sinx— C0SX—dx— 1+/S’
интегралы вида (2) приводятся к интегралам от рациональных функций новой
переменной t.
Пример 8. Найти
С____________=i.
J 1 + sin х cos х
Решение. Полагая tg == /, будем иметь:
Р 2dt
2>+2'-'- = ^ТТГ = 1"1‘+<1+С = "1|Н-|«1|+С-
J +1-На ' 1-Н’
§7]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
127
2) Если имеет место тождество
R ( — sin х, — cos х) э R (sin x, cos x),
то для приведения интеграла (2) к рациональному виду можно применить
подстановку tgx=t
Здесь
, t	1
sin х =  -   , cos х — r
и
. , . dt
x=arctg/, dx = y-p-t.
Пример 9. Найти
Jl+^n8x = /-	<3)
Решение. Полагая
.	. . 2 t* . dt
tgx = /, sin’x^-j-pi,dx = -rT?,
будем иметь:
dt________________________________________ r dt 1 f d(t^2) _
I * \	Л+2/* /2 J 1 + (/V~W~
= 4= arctg (t V 2) + C = arctg ( У2 tg x) + C.
У 2	у 2
Заметим, что интеграл (3) вычисляется более быстро, если предварительно
числитель и знаменатель дроби разделить на cos8x.
В отдельных случаях полезно применять искусственные приемы (см.,
например, № 1379).
Найти интегралы:
1373.	1	p ) 3 4~ 5 cos x *
1374.	।	P	dx
	) sin x cos x ’
1375.	1	f.-?°SX dx. ) 1 4“ cos X
1376.	P sin x . I :	j	dX. ) 1 — sin x
1377.	P	dx	
	) 8 — 4 sin x + 7 cos x *
1378. 1	P	dx	
	) cos x -|- 2 sin x -}- 3 *
1379**. 1	P 3 sin x 4- 2 cos x . ) 2 sin x 4- 3 cos x
1380.	) 1 - tg X
1381*.	C
	) 1 4-3cos2x*
Р dx
J 3 sin2 х + 5 cos2 х ‘
Р________________dx______________
J sin2 x -j— 3 sin x cos x cos2 x*
P dx
J sin2 x — 5 sin x cos x ’
1385.	P sin x	. \ 71	7T dx. J (1 — cos X)8
1386.	P sin 2x , \ -rn—п" dx. J 1 4“ Sin2 X
1387.	P cos 2x , J cos* x 4- sin* x ax*
1388.	P	cos x	 , J sin2 x — 6 sin x 4-5
1389*.	P	dx
	J (2 — sin x) (3 — sin x) *
1390*. f}~-s;nx + C0SJfdx.
J 1 -j-sinx — cosx
128
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. IV
§ 8. Интегрирование гиперболических функций
Интегрирование гиперболических функций вполне аналогично интегриро-
ванию тригонометрических функций.
Следует помнить основные формулы:
1)	ch2x — sh2x = 1;
2)	sh2x = (ch 2х — 1);
3)	ch’x = -i-(ch 2x4-1);
4)	sh x ch x = sh 2x.
Пример 1. Найти
ch2 х dx.
Решение. Имеем:
ch2 x dx = (ch 2x + l)dx = -i- sh 2x -f- ~ x J- C.
Пример 2. Найти
ch8 x dx.
Решение. Имеем:
ch8 x dx = J ch2 x d (sh x) = J (1 -|~ sh2 x) d (sh x) =
,	, sh’x . ~
= shx H—3~+C-
Найти	интегралы:		
1391.	sh3 x dx.	1397.	J th3 xdx.
1392.	J ch4 x dx.	1398.	J cth4 x dx.
1393.	J sh3 x ch x dx.	1399.	C d*
			J sh2x4"c^2x ’
1394.	Jsh^xcl^xdx.	1400.	C	dx
			J 2 sh x + 3 ch x
1395.	f	1401*.	C
	J sh x ch2 % ’		J th x — 1 *
1396.	C d*	1402.	C
	J sh2xch2x*		J /ch2x*
§ 9] ИНТЕГРАЛЫ ВИДА \ /? (х, У ах2	4~ с) dx
129
§ 9. Применение тригонометрических и гиперболических
подстановок для нахождения интегралов вида
J R (х, У ах2 4-	+ с) dx,	(1)
где /? — рациональная функция.
Преобразуя квадратный трехчлен ах2-\-Ьх-\-с в сумму или разность
квадратов, сводим интеграл (1) к одному из интегралов следующих типов:
1)	J R(z,
2)	j R (z, V'tn2 + z2) dz\
3)	R (z, Уz2 — tn2) dz.
Последние интегралы берутся соответственно с помощью подстановок:
1) z = /nsin t или z = /nth t,
2) z = mtgf илиг=±пг8Ь/,
3) z — tn sec t или z — m ch t.
Пример 1. Найти
f--------------------------= /.
J (х + 1УУгхг + 2х + 2
Решение. Имеем:
а:84-2х4-2 = (х + 1)2-|-1.
Положим х -J- 1 = tg тогда dx = sec2 tdt и
C	dx	__f sec21 dt _ Ceos t . _
J l)a /(X + I)2 + 1 J ‘g2 t sect “ J —
______L_ , r_ _ Vxi + 2x + 2 ,
sin t	x 4~1	"*
Пример 2. Найти
x У x2 4- x 4- 1 dx = 1,

Решение. Имеем:
(1 \2 q
+t-
Полагая
х 4- -g-— ~2~ sh Z и dx = ch t dt,
получим:
sh t —
chf.-L.2ch t dt =
| sh t ch2/ dt 1- j* ch2 t dt =
3/1 ch31	3/1 . 4
= —8------3~—8 h>Sh/
5 Г. С. Бараненков и др.
130
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. IV
Так как
2 /	1 \	2
sh<=:rhх + 2j’ cht=y^Vx2+* + i
то окончательно имеем:
/ = у (х2 + *+ 1)2 —j	Vх2 + %4~ 1 —
—-ygln ^x + y + lrx2 + x + l^ + С.
Найти интегралы:
1403. Jj/З — 2х — х2 dx. 1404. 1405. С .. ** dx. J Уэ+%2	1409. $ Ух2 — 6x — 1 dx. 1410. У(х24-х+1)~Лс. 1411. f		 J(x-l)/x2— 3*4*2
1406. J Ух2 — 2x-\-2dx.	Г	dx 1412. 1	£* J (x2 — 2* 4-5)2
1407. ^Vx* — 4dx.	1413. f	.. J (14-х2)У 1—x2
1408. J У x2 x dx.	1414. f	^7— • J (1 -x2)]/ 14-x2
§ 10. Интегрирование различных трансцендентных функций
Найти интегралы:
1415.	j (x24~ Ь2 e2X dx.	1421.	P	dx
			j е^^ех-2л
1416.	J x2 cos2 3x dx.	1422.	
			J Уе2*4-^4-Г
1417.	J x sin x cos 2x dx.	1423.	C x2 In . dx. J . 1 —x
1418.	J e2*sin2x dx.	1424.	J In2 (X + ]/ 1	^2) dx.
1419.	J ex sin x sin 3x dx.	1425.	J x arccos (5x — 2) dx.
1420.	\ xex cos x dx.	1426.	\ sinxshx dx.
§ 12]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗНЫХ ФУНКЦИЙ
131
§ 11.	Применение формул приведения
Вывести формулы приведения для интегралов:
1427,	/ = f > найти L и
J (х 4-а)	*	’
1428.	— \ sin"xdx; найти It и Is.
1429.	/„== С ; найти /, и / .
п j cos" х	•	4
1430.	/в = ^ хпе~* dx; найти
§12. Интегрирование разных функций
1431.	С	dx	1445.	Р	2х +1	. 1	-	 dx., J У (4№ - 2х + 1)’
	J 2хг - 4х 4- 9 *		
1432.	С * ~ 5 dx J х2-2х + 2а '	1446.	f	d х	
			J р/5 — х 4- У5 — х ’
1433.	Г			г dx-	1447.	Г	х2	. | —===== dx.
		1448.	J V(x2- 1)« С	х dx
1434.	С dx		J (1 4-х1) У1 -х4’ Г	xdx
	J х (х2 4“ 5) * С	dx	1449.	
			
1435.			J у j 	2х* — х4
	J (х + 2)2(х + 3)‘-		г х 4-1	, 1	'  • - dx.
1436.	С	dx	1450.	
	J (х+1)!(хг + 1)’ С dx		Лх1-]-!)”
1437.			г	dx
	J (х2 4~ 2)2 ‘ Р	dx	1451*.	
1438.			J (х2 4- 4х) У 4 — х2
	J х4 — 2х2 + 1 *	1452.	yi^x2 — 9 dx.
1439.	С xdx 			
	J (х2 — X + 1)’ *	1453.	J V х — 4х2 dx.
1440.	С з - 4х . I	= dx.	1454.	Г	dx
1441.	J (1 -2Ух)2 fO^ + D’dx. J	X3		J хУх24-х4-1
			
		1455.	$ x]/x24-2x-|-2dx.
1442.	Г	dx	1456.	f	dx
	J Ух* + х + \'		J x4 V x‘ - 1 ’
1443.	fl — [/2х 1	L	НХ	1457.	f dx
			
	J у^ ’		J x У1 - xa *
1444.	Г	dx	1458.	C dx
	ЛУ?4-Ух)2 •		) У14-x’ ‘
5*
132
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. IV
1459.	1	dx. J Vi -Н4	1480.	Г x arctg x . 1 -r-::,6 dX. J Vi4-x2
1460.	J cos4 х dx.	1481.	J sin2 у cos у dx.
1461.	С _	1482.	P	dx
	J cos х sin5 х ’		J (sin x 4-cos x)2 ’
1462.	f 1+/^ dx.	1483.	P	dx
	J sin2 x		J (tgx 4~ 1) Sin2X *
1463.	P sin8 x , s z—- dx.	1484.	J shxchxrfx.
	J у COS8 X		
		1485.	C sJlLZE^ dx.
1464.	cosec5 5x dx.		J V\^-x
1465.	f sin2 x . \ 	5- dx.	1486.	fT^lchhX2 dx.
	J cos°x		J sh2 x -j—ch2x
1466.	\ Sin -7 — X Sin — Ч-X }dx. J \ 4	)	\ 4 1 J	1487.	<\~dx. J sh2x
1467.	CfQ w K)| X	1488.	P dx
			j	•
1468.	P	dx	1489.	J e2X - 6ex + 13 dX"
	J 2 sin x + 3 cos x — 5 *		
1469.	P dx	1490.	I 	r dx.
			
	J 2 + 3 cos2 x		
1470.	P	dx			J (ex+DT
	J cos2 x-|-2sin x cos x4-2sin2 x * P dx	1491.	
1471.			
	J sin x sin 2x ’ P	dx		
		1492.	J (x2— 1) 10-“ dx.
1472. 1473.			
	J (2 —|— cos x) (3 + cos x) ’ fz sec'x	dx. J / tg2 x 4- 4 tg X 4- 1	1493. 1494.	J/e*-}-l dx.
1474.	[ cosax -dx. J У a2	sin2 a*	1495.	C x3 arcsin — dx. J	X
1475.	P x dx	1496.	J cos (In x) dx.
	J cos2 3x *		
1476.	J x sin2 x dx.	1497.	J (x2— 3x) sin 5x dx.
1477.	J x2e*3 dx.	1498.	J x arctg (2x -|- 3) dx.
1478.	J xe2X dx.	1499.	arcsin У x dx.
1479.	f x2 In УI —x dx.	1500.	\ 1 x | dx.
ГЛАВА V
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы
1°. Интегральная сумма. Пусть функция f (%) определена на от-
резке а^х^Ь и а = х0 < xt < . . . < х„ = 6 — произвольное разбиение этого
отрезка на п частей (рис. 37). Сумма
вида
П — 1
(1)
I— о
где x(-<gz^xz+1; Дх,- = xl + 1 — Xf,
Z = 0, 1, 2, ... (n- 1),
называется интегральной суммой
функции f (х) на [а, /?]. Геометричес-
ки Sn представляет собой алгебраи-
ческую сумму площадей соответству-
ющих прямоугольников (см. рис. 37).
2°. Определенный интег-
рал. Предел суммы Sn при условии,
что число разбиений п стремится к
бесконечности, а наибольшая из раз-
ностей Дх,-— к нулю, называется определенным интегралом функции /(х)
в пределах от х — а до х=Ь, т. е.
ь
П — 1	р
lim	i f (£/) Дх,- = j / (х) dx.	(2)
max &Xi -> о i z= о	a
Если функция f (x) непрерывна на [a, b], то она интегрируема на [a, b], т. e.
предел (2) существует и не зависит от способа разбиения промежутка интег-
рирования [а, Ь] на частичные отрезки и от выбора точек на этих отрез-
ках. Геометрически определенный интеграл (2) представляет собой алгебраи-
ческую сумму площадей фигур, составляющих криволинейную трапецию аАВЬ,
в которой площади частей, расположенных выше оси ОХ, берутся со знаком
плюс, а площади частей, расположенных ниже оси ОХ, — со знаком минус
(см. рис. 37).
Определения интегральной суммы и определенного интеграла естественно
обобщаются на случай отрезка [а, 6], где а > Ь.
Пример 1. Составить интегральную сумму Sn для функции
/(%) = ! 4-х
134
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
на отрезке fl, 10], деля этот отрезок на п равных частей и выбирая точки
совпадающими с левыми концами частичных отрезков [х/, Х/+1]. Чему ра-
вен lim S„?
п 00
П	о а 10 - 1	9 t	...	, , 9i _
Решение. Здесь Axz- = —-—= — и ^ = Х[ = х0 + гДх/= 1 + — . От-
91	91
сюда f (%•) = 1 + 1 -J- “ = 2 Н— . Следовательно (рис. 38),
ti	ti
s”=S (2+t)I=7',+S(°+1+-+“-|) =
__ 1Я I $1 n 1) 1	_58 1
+  2—— 18	1 — TTj —58~2- —2Ti’
Hm S„ = 5si.
П -> 00	Z
Пример 2. Найти площадь криволинейного треугольника, ограничен-
ного дугой параболы // = х2, осью ОХ и вертикалью х = а (а>0).
Решение. Разобьем основание а на п равных частей Ах = ~. Выбирая
значение функции в начале каждого промежутка, будем иметь:
Площади вписанных прямоугольников вычисляются умножением каждого на
основание Ах=~(рис. 39). Суммируя, получим площадь ступенчатой фигуры
5п=7Г0гУ [1+2! + зг+••.+(«-!)’] .
Пользуясь формулой суммы квадратов целых чисел
V = w<n+ 1) (2л + О
6	’
1
§ 2]	ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	135
находим:
_а*(п — l)n (2n — 1).
6п8
отсюда, переходя к пределу, получим:
а8 (л — 1) п (2п — 1) _ а2
6Й8 “T •
S = lim S„ = lim
п -+ 00 п 00
Вычислить определенные интегралы, рассматривая их как пределы
соответствующих интегральных сумм.
Ь	1
1501. \dx.	1503. J x*dx.
а	—2
Т	ю
1502. $ (V<i + gf}dt,	1504. \lxdx.
в	о
v9 И g---ПОСТОЯННЫ.	5
1505*. Jx’dx.
1
1506*. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной ги-
перболой
осью ОХ и двумя ординатами: х = а и x = b
1507*. Найти
X
/(x) = J sin i dt.
О
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью
неопределенных
1°. Определенный интеграл с переменным верхним
пределом. Если функция f (/) непрерывна на отрезке [а, Ь], то функция
F(x) = ^ f(t)dt
а
есть первообразная для функции /(%), т. е.
F' (x) = f(x) при а^х^Ь.
2°. Формула Ньютона — Лейбница. Если F’ (х) = f(x), то
ъ	ь
^f{x)dx = F(x) | = F(d) — F(a).
а	а
186	ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[ГЛ. V
Первообразная F (х) вычисляется путем нахождения неопределенного интеграла
J f(x)dx = F(x} + C.
3
Пример 1. Найти интеграл х4dx.
— 1
3	3
р х5 I З5 (_______IV 4
Решение. \ х4dx=	----г— = 48-р-.
J	о j о о	о
—1 — 1
1508. Пусть
ь
Найти:
2} —
' da’ 1 db '
Найти производные следующих функций;
х	х*
1509. F(x) = 5	(*>0)- 15и-	=
1	х
о	Ух
1510. F(x) = \ /1 Ц-Л. 1512. /= J cos (t1) dt (x>0).
X
1513.	Найти точки экстремума функции
х
Р sin t	л	\ гч
y=\—^-dt в области х^>0.
о
Применяя формулу Ньютона — Лейбница, найти интегралы:
1	X
1514.	С г^-.	1516. ( e*dt.
J 1 +*	J
о	~х
— 1	X
1515.	J Т3'	1517> $ wstdt.
— 2	0
С помощью определенных интегралов найти пределы сумм:
1518**. lim М _1_ 2. ।	.	।
п 00 \п2 1 п2 1	‘ п2 J
1519“ Ji"„(4i+iT2+"-+^)-
,520. 11m .', + г',+ -,-+"у
n->oo	nP+l	1
§ 21
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
137
Вычислить интегралы:
2 1521. j (х2 —2x-(-3)dx. 1 8 1522. $ (V2x-{-l/x)dx.	1534 f __ dx -
	J У 5 + 4x - x2 2 1535. (* y*dy .
0	J У/ + 4
1523.	dy.	71 4
1 6	1536. J cos2 a da.
1524. J Ух — 4dx. 2 1525. C dx	0 71 2 1537. Jsin’q)d(p.
J У 25 4- Зх •	0 g2
1526. j — 2 1527 C X d*	P dx 1538. \ J X In X e !539. j s_i2J12Z>
J %2+-3x4-2* 0	1 к
И28. j	1540. J tg x dx. IT
1529 C d*	4 К
152 • J x24-4x + 5- 0 1540 С	3 1541. ctg4 (p d<p. к 6
1MU* J x2 — 3x + 2 ’ 3 1	1 542 C	/7 v
.531. 0	1&42- J i +etxdx. 0 1
7C	1543. J chxdx.
1532. sec2 a da. 7t T У2 ~2~	dx	0 la з 1544. f J ch2 x In 2 TC
1533. J У1 -x1' 0	1545. ^sh2xdx. 0
138
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Тгл. V
§ 3. Несобственные интегралы
1 °. Интегралы от неограниченных функций. Если функция
f (х) не ограничена в любой окрестности точки с отрезка [а, Ь] и непрерывна
при с<х<си с<х^Ь, то по определению полагают:
Ь	с — е	Ь
f/(x)dx = lim С f(x)dx4-lim f f (х) dx.	(1)
J	6 о J	T) -> о J
i	a
Если пределы в правой части равенства (1) существуют и конечны, то несоб-
ственный интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходя-
щимся. При с~а или с=Ь определение соответствующим образом упро-
щается.
Если существует непрерывная на [а, Ь] функция F (х) такая, что F' (х)= f(x)
при х Ф с (обобщенная первообразная), то
ь
f (x)dx = F (b) — F(a).	(2)
а
Ь
Если | f (х) F (х) при а^х^Ь и J F(x)dx сходится, то интеграл (1)
а
также сходится (признак сравнения).
Если /(х)^0 и lim }/(х)|с —	= Л оо, А # О, т. е.	Л .д
при х-+с, то: 1) при m< 1 интеграл (1) сходится, 2) при т^ \ интеграл (1)
расходится.
2°. Интегралы с бесконечными пределами. Если функция
f (х) непрерывна при а«Сх< оо, то полагают
оо	Ь
\ / (х) dx = 1 im \ / (х) dx
J	Ъ -> 00
а	а
(3)
и в зависимости от существования или несуществования конечного предела
в правой части равенства (3) соответствующий интеграл называется сходя-
щимся или расходящимся.
Аналогично
ь	ь
f / (х) dx = 1 im f / (х) dx
J	a -> — оо
— oo	a
oo	b
\ f (x) dx = 1 im \ f (x) dx.
a -> — oo
-oo	b->4-oo a
И
00
Если |/(x)|^F(x) и интеграл J F(x)dx сходится, то интеграл (З)тоже
а
сходится.
Если f (х)^0 и lim If (х)хт\ = А оо, А # 0, т. е. f (х) прих-+оо,
х -> оо'	-X
то: 1) при т > 1 интеграл (3) сходится, 2)при 1 интеграл (3) расходится.
§ 3J
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
139
Пример 1.
С — = lim lim С lim (1— 1^-U lim —1^ = оо
J Хг е о J X' е о J X2 7) -> о	) т) -* О \1]	]
*-1	— 1	s
— интеграл расходится.
Пример 2.
ь
= lim C_*L_ =
1+х2 ь-^ooj l-t-x2
О
lim (arctg b — arctg 0) = —
b -> qo	2
Пример 3. Исследовать сходимость интеграла Эйлера — Пуассона
00
J е - х2 dx.	(4)
о
Решение. Положим
00	1	00
е - х2 dx = е - х2 dx 4- е-х2 dx.
О	0	1
Первый из двух интегралов в правой части не является несобственным, а
второй сходится, так как е — х2^е~х при х^1 и
оо	Ъ
\ e~xdx = lim \е~х dx — lim (-—е“ь-J-e”1) r=e-1;
J	b -> QO J	b -> 00
следовательно, интеграл (4) сходится.
Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл
(5)
Решение. При х -> + оо имеем:
Так как интеграл
dx
3
х "з
сходится, то наш интеграл (5) также сходится.
Пример 5. Исследовать на сходимость эллиптический интеграл
(б)
140
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[гл. V
Решение. Точка разрыва подынтегральной функции: х=1. Применив
формулу Лагранжа к разности 1—х4 = (1—х) (1 +х) (1 +%2), получим:
11 1
УТ^х*	(1-х) Лх’ К(1-х)(1+х)(1+х2)
1 . 1_________
(1-хр К(1+х) (1 +х2)
Следовательно, при х 1 будем иметь
1
УТ^х*
Так как интеграл
сходится, то данный интеграл (6) также сходится.
Вычислить несобственные ходимость):			интегралы	(или	установить их рас-
1546.	Р dx J FT' 0	1547.	2 Г dx J х — 1	1548.	1 Р dx j Гр' 0
1549.	3 р dx	1550.	Р dx	1551	00 С —
	J (х-1)2* 0		J У 1—X2 0		J X ’ 1
1552.	00 С	1553.	00 Р dx	1554.	00 Р dx
	J & ’ 1		J 1		J 1-м2* — 00
					1
	оо		00		2
1555.	Р	dx	. 1556.	J sin х dx. 0	1557.	Р dx
	J х2 + 4х + 9 	 00				J X In X ’ 0
2	оо	оо
1558. С1559. С(а > 1). 1560. С-^-(а>1).
J xln2x	J X In X v '	J xln2x х *
о	a	а
л
2	оо
1561. J ctgxdx. 1562. \e~kxdx (k>0).
О	0
§ 4)
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
141
1563.
J X2 + 1
о
1564. СГЛ,<».
J (хг - I)2
2
1565.
J х’+ 1
О
1566. f , d-<r
J х3 — 5х2
о
Исследовать сходимость интегралов:
1567.
1568.
100
С	dx
j л/* + 2	+%s
о V ' V
4-00
Р _______dx______
J 2х+у^+~1 4-5’
1572. Ст^-.
J Inx
1
OO
«r-o Csinx ,
1573. \ dx.
7L
2
1569.
00
С dx
j х‘+’
1570.
х dx
1574*. Доказать, что эйлеров интеграл 1-го рода (бэта-функция)
В (р,	=	—x)q~1 dx
о
сходится при р^>0 и <7^>0.
1575*. Доказать, что эйлеров интеграл 2-го рода (гамма-функция)
Г (р) — У xp~1e~xdx
о
сходится при р^>0.
§ 4.	Замена переменной в определенном интеграле
Если функция f (х) непрерывна на отрезке а^х^Ъ и х — ф (/) — функ-
ция, непрерывная вместе со своей производной ф'(f), на отрезке а^/^Р,
где а — ф (а) и Ь — ф (Р), причем / [ф (01 определена и непрерывна на отрезке
а t р, то
ь ?
р(х)б/х=р[ф (0] у' (t)dt.
а	л
Пример
1. Найти
х2 ’Ка2 — х2 dx
о
(а > 0).
142
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
Решение. Положим
х = а sin /;
dx = a cos t dt.
x
Тогда f = arcsin— и, следовательно, можно принять а = arcsin 0 = 0,
л
Р = arcsin 1 = —. Поэтому будем иметь:
а	Т
х* V аг — хг dx — а’ sin21 J^a2 — аг sin2 t a cos i dt =
0	0
it	it	it
V	V	V
= a* C sin2 i cos21 dt = — C sin2 2/ dt = fL C (1 — cos 4/) dt =
J	4 J	8 J
о	oo
n
a4 (	1 . .\|	ла4
— v f — sin 4/1	= —
8 \	4 J j	16
о
1576.	Можно ли интеграл
2
J j/1 — x2dx
0
вычислить с помощью подстановки x=cosf?
Преобразовать определенные интегралы с помощью указанных
подстановок:
т
1577.	dx, x — 2t — 1.	1579. f-, x = sht
!	J v x2 -f” i
f» f
1578.	| p==, x = sint 1580. J f(x)dx, x = arctgf.
\ V X °
2
1581. Для интеграла
ь
^f(x)dx (b^a)
a
указать целую линейную подстановку
в результате которой пределы интегрирования сделались бы соот-
ветственно равными 0 и 1.
§ 41
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
143
Применяя указанные подстановки, вычислить следующие интегралы;
1582.
4
С dx
J 1 +
о
29
1583. j
3
(х — 2)*1'
(х-2)2/»4-3
dx,
In 2
1584. J dx,
О
x = t\
x — 2 = z*.
ex— 1=A
1585.
К
С dt
J 3	2 cos t 1
1586.	f . 	,
J 1 4“ a* SIR2 x ’
0
С помощью подходящих
1587.	[ T<1 ~x‘dx.
J xz
vT
2
2	_____
1588.	J ^X,x~ - dx.
1
Вычислить интегралы;
1591. С .. -dx—=.
J x У x’-f-Sx + l
1
1592' J (1-H2)2'
— 1
1595. Доказать, что если /(x)
a
J f(x)dx=s
tgx = t.
подстановок вычислить интегралы!
In 5	______
1589- J
0
5
1590. f-------^=.
J 2x + /Зх + 1
a
1593. J Vax — x2 dx.
0
2 It
1594. f=—---------.
J 5 — 3 cos x
о
— четная функция, то
a
2 J f(x) dx.
0
Если же /(x)— нечетная функция, то
а
J f(x) dx — Q.
— а
144
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
1596. Показать, что
00	СО	СО
J e~x‘dx = 2 § e~x,dx — §~=dx.
-00	о	о
1597. Показать, что
It
1	2
С dx Р sin х .
\\ ---------------dx.
J arccos х J х
о	о
1598. Показать, что
J /(sinx)dx — j /(cosx)dx.
о	о
§ 5. Интегрирование по частям
Если функции и (х) и v (х) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, ft],то
ь	ь	ъ
J и (х) v' (х) dx = и (х) v (х) [ —и (х) и'(х) dx.	(1)
а	а	а
Применяя формулу интегрирования по частям, вычислить интегралы:
к
V	со
1599. jxcosxdx.	1603.	хе~х dx.
0 е 1600. Jlnxdx.	1604.	0 00 J е " ах cos bx dx (а 0).
1 1601. ^xze*xdx.	1605.	0 со j e-GXsin bx dx (a^>0).
0 тс 1602. ? ех sin х dx.		0
о
1606**. Показать, что для гамма-функции (см. № 1575) справед-
лива формула понижения:
Г(р+ 1)=рГ (р) Отсюда вывести, что Г	1) = #!, если п	(р>0). — натуральное.
§ 6]
ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
145
1607. Показать, что для интеграла
тс	к
2	2
= J sin”xdx = J cos” xdx
о	о
справедлива формула понижения
Найти /п, если п — натуральное. Пользуясь полученной формулой,
вычислить и /10.
1608. Применяя многократное интегрирование по частям, вычи-
слить интеграл (см. № 1574)
1
В (/>, ?) = j хр~* (1 — x)?_1 dx,
о
где р и q — целые положительные числа.
1609*. Выразить через В (бэта-функцию) интеграл
тс
"Т
Jm п = ^ sin^x cos” х dx,
о
если т и п — целые неотрицательные числа.
§ 6. Теорема о среднем значении
Г. Оценки интегралов. Если /(x)^F(x) при а^х^Ь, то
ь	ь
J f (%) dx F (х) dx.	(1)
а	а
Если / (х) и ф (х) непрерывны при а^х^Ь и, кроме того, ф(х)^0, то
b	b	ь
tn J ф (х) dx j / (х) ф (х) dx М J ф (х) dxt	(2)
а	а	а
где пг — наименьшее, а М — наибольшее значение функции / (х) на от-
резке [а, 6].
В частности, если ф(х)=1, то
ь
m(b — а) J / (х) dx М (Ь — а).	(3)
а
146	ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[ГЛ. V
Неравенства (2) и (3) можно соответственно заменить эквивалентными им
равенствами:
ь	ь
J f W <Р (x)dx = f (с) j <р (х) dx
а	а
И
b
f(x)dx = f(£) (Ь — а),
а
где с и | — некоторые числа, лежащие между а и Ь.
Пример 1. Оценить интеграл
к
2	___________
/ = J 1 + ~ sin2 х dx.
о
Решение. Так как 0 sin2 х 1, то имеем:
л . л 1 Л 3
Т< <;Т Г Т'
т. е.
1,57 < Z < 1,91.
2®. Среднее значение функции. Число
ь
t^ = r=-aSf(X)dx
а
называется средним значением функции f(x) на отрезке а^х^Ь.
1610*. Не вычисляя интегралов, определить их знак:
2	2ТС
a)	j* х9 dx;	в) J dx.
-1	о
тс
б)	J х cos х dx;
о
1611.	Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:
	1		1
а)	J У1 х2 dx	или	J х dx;
	0		0
	1		1
б)	J х2 sin2 xdx	или	J хsin2xdx;
	0		0
	2		2
в)	f е*2 dx	или	\ ех dx.
§ 7J
ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР
147
Найти средние значения функций на указанных промежутках;
1612.	Дх) = х‘,
1613.	f(x) = a-}-bcosx, —л<х«^л.
1614.	/(x) = sin*x,	0«^х<л.
1615. /(x) = sin4x,	0^х<л.
1
1616. Доказать, что С-т=^= заключен между -f-	0,67 и
J /2+х-хг	3
о
0,70. Найти точное значение этого интеграла.
Оценить интегралы:
1617. J /4+л* dx.
О
— 1
«к
1619- jio+fen •
о
1620*.
1621.
х /tg х dx.
2
Р sinx .
\ -----ах.
J *
7Г
1622. Интегрируя по частям, доказать, что
§ 7. Площади плоских фигур
1°. Площадь в прямоугольных координатах. Если непре-
рывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением y-=f(x)
[/(х)^0], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой,
двумя вертикалями в точках х = а и х=Ь и отрезком оси абсцисс а^х^Ь
(рис. 40), определяется формулой
ь
S=^f(x)dx.	(1)
а
№
Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную параболой у — j, пря-
мыми х=1 и х = 3 и осью абсцисс (рис. 41).
148
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
Решение. Искомая площадь выражается интегралом
f х2 .	,1
S=j-dx = 4y .
Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную кривой х = 2 — у — у*
Рис. 40.	Рис. 41.
Решение. Здесь изменены роли осей координат и поэтому искомая
площадь выражается интегралом
1
S = У (2 — у — уг) dy = 4 у ,
- 2
где пределы интегрирования ух — — 2 и у2~\ найдены как ординаты точек
пересечения данной кривой с осью ординат.
В более общем случае, если площадь S ограничена двумя непрерывными
кривыми y~fx(x) и y — fi(x) и двумя вертикалями х~а и х~6, где
/1 (х) </2 (х) при а^х^Ь (рис. 43), то будем иметь:
ь
S=$[f2(x)-A(x)ldx.	(2)
а
ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР
149
§ 7]
Пример 3. Вычислить площадь S, заключенную между кривыми
у = 2 — х2 и уS 6 * * 9 — х*	(3)
(рис. 44).
Решение. Решая совместно систему уравнений (3), находим пределы
интегрирования: Xj =—1 и х2 = 1. В силу формулы (2) получим:
1	8
S= f (2-xt-xal’)dx = (2x-^- — ^х* У =2-^.
J	\ О О	j —1	10
-1
Если кривая задана уравнениями в параметрической форме х = ф(/),
У = ф (f), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя
Рис. 45.
и отрезком оси ОХ, выра-
отрезке f2]].
45), используя его парамет-
вертикалями, соответствующими х = а и х — Ь,
жается интегралом
S = J ф (/) ф' (0 dt,
6
где и /2 определяются из уравнений
а = ф (/т) и & = ф(/2) [ф(/)^Она
Пример 4. Найти площадь эллипса S (рис.
рические уравнения
х = a cos t,
y= b sin t.
Решение. Ввиду симметрии достаточно вычислить площадь одной чет*
верти, а затем учетверить результат. Полагая в уравнении х — a cos t сначала
х — 0, затем х = а, получим пределы интегрирования и t2 = 0. Поэтому
тс
О	2
-i- S = J b sin а (— sin t) dt = a b J sin2 t dt =
К	0
2
и, следовательно, S = nab.
150
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
2°. Площадь в полярных координатах. Если непрерывная
кривая задана в полярных координатах уравнением г = f (ф), то площадь сектора
АОВ (рис. 46), ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусами ОА
и ОВ, соответствующими значениям ф1 = а и ф2 = Р» выразится интегралом
3
а
Пример 5. Найти площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли
г3 = a2 cos 2ф (рис. 47).
Решение. В силу симметрии кривой определяем сначала одну четверть
искомой площади
Т	2L
1 с 1 Р .	аг Г1 I * аг
a2cos2<pdq> = y Isin 2<р I
0;
Отсюда S = a2.
1623.	Вычислить площадь, ограниченную параболой у —Ах— х*
и осью абсцисс.
1624.	Вычислить площадь, ограниченную кривой j? = In лт, осью
ОХ и прямой х = е.
1625*. Найти площадь, ограниченную кривойу—х(х— 1)(х — 2)
и осью ОХ.
1626.	Найти площадь, ограниченную кривой у* = х, прямой у=1
и вертикалью х = 8.
1627.	Вычислить площадь, ограниченную одной полуволной сину-
соиды у = sin х и осью ОХ.
1628.	Вычислить площадь, заключенную между кривой ey==tgx,
осью ОХ и прямой х = -^- .
1629.	Найти площадь, заключенную между гиперболой ху = т2,
вертикалями х — а и х = 3а (а^>0) и осью ОХ.
1630.	Найти площадь, содержащуюся между локоном Аньези
а2
y = -2-j—9 и осью абсцисс.
z х2 а2
1631.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой =
прямой у = 8 и осью OY.
ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР
151
§ 7]
1632.	Найти площадь, ограниченную параболами у2 — 2рх и
х2 = 2ру.
1633.	Вычислить площадь, ограниченную параболой у — 2х — х2
и прямой у = — х.
1634.	Вычислить площадь сегмента, отсекаемого прямой у —
= 3 — 2х от параболы у — х\
1635.	Вычислить площадь, заключенную между параболами у — х\
У = ~2 и прямой у — 2х.
1636.	Вычислить площадь, заключенную между параболами
у2	О
>=ТИ у = 4--х\
1637.	Вычислить площадь, заключенную между локоном Аньези
1 №
= j у и параболой у = —л
1638.	Вычислить площадь, ограниченную кривыми у = е\ у=е~х
и прямой х= 1.
1639.	Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой — р=1
и прямой х = 2а.
1640*. Найти площадь, ограниченную астроидой
2	2	2
х 8 4“ У 8 —а*.
1641.	Найти площадь между цепной линией
. х
у = а сп — ,
z	а ’
осью OY и прямой j =	1).
1642.	Найти площадь, ограниченную кривой а2у2 — х2(а2—№).
1643.	Вычислить площадь, содержащуюся внутри кривой
2
1644.	Найти площадь между равнобочной гиперболой х2 — у* = 9,
осью ОХ и диаметром, проходящим через точку (5; 4).
1645.	Найти площадь между кривой у = ^9 осью ОХ и орди-
натой х= 1 (х^> 1).
1646*. Найти площадь, ограниченную циссоидой у2 = и ее
асимптотой х = 2а (а^>0).
1647*. Найти площадь между строфоидой =	и ее
асимптотой (а^>0).
1648.	Вычислить площади двух частей, на которые кругх2 Ц-^у2 = 8
разделен параболой у2 = 2х.
152
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
1649.	Вычислить площадь, содержащуюся между окружностью
x2-|-j2=16 и параболой №=12(j—1).
1650.	Найти площадь, содержащуюся внутри астроиды
х = a cos31\ y = b sin31,
1651.	Найти площадь, ограниченную осью ОХ и одной аркой
циклоиды
x = a(t— sin/),	^ = 0(1 —cos/).
1652.	Найти площадь, ограниченную одной ветвью трохоиды
{x = at— b sin /,
у = а — b cos t
и касательной к ней в низших ее точках.
1653.	Найти площадь, ограниченную кардиоидой
х — а{2 cos /— cos 2/),
у = а (2 sin t — sin 2/).
1654*. Найти площадь петли декартова листа
__ За/ в
Х—1 + /3’
За/2
1 +t3 ’
1655*. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
r=a (1 —cos ф).
1656*. Найти площадь, содержащуюся между первым и вторым
Рис. 48.
витками спирали Архимеда г = а(р
(рис. 48).
1657. Найти площадь одного ле-
пестка кривой r = acos2(p.
1658. Найти площадь, ограничен-
ную кривой r2 = a2sin4<p.
1659*. Найти площадь, ограничен-
ную кривой r = a sin Зф.
1660. Найти площадь, ограничен-
ную улиткой Паскаля
г = 2 4“ cos ф.
1661. Найти площадь,
ограниченную параболой r = asec2-y и
полупрямыми ф = "4 и ф=~ .
1662. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом
г=—— ------------------------( 0	8<^ 1).
1 + 8 COS ф '	'
1663. Найти площадь, ограниченную кривой г = 2асозЗф и ле-
жащую вне круга г = а.
1664*. Найти площадь, ограниченную кривой У* — **
§ 8]
ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ
153
§ 8.	Длина дуги кривой
1®. Длина дуги в прямоугольных к о о р д и н а т а х. Длина s
дуги гладкой кривой у = f(x), содержащейся между двумя точками с абсциссами
х = а и х = Ь, равна	ь
s= J У \ 4~//2 dx.
а -
Пример 1. Найти длину астроиды х2/3-|-#2/з = а2/3 (рис. 49).
Решение. Дифференцируя уравнение астроиды, получим:
Поэтому для длины дуги одной четверти астроиды имеем:
а	а
Отсюда s —6а.
2°. Длина дуги кривой, заданной параметрически. Если
кривая задана уравнениями в параметрической форме х = <р(0 и у — ф (/) (ф(0
и ф (/)—непрерывно дифференцируемые функции), то длина дуги s кривой равна
^2
J у х'г+у'2 dt,
где и 4 - значения параметра, соответствующие концам дуги
Пример 2. Найти длину одной арки циклоиды (рис. 50)
I х = а (t — sin t),
I у — a (1 — cos t).
Решение. Имеем = a (1 — cos/) и У,==~& — a sin t Поэтому
2тс	2тс
s = J У a1 (1 — cos 02 + a2 sin2t dt = 2a J sin -y dt — 8a.
0	0
Пределы интегрирования ^=0 и tz~ 2л; соответствуют крайним точкам
арки циклоиды.
154	ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[ГЛ. V
Если гладкая кривая задана уравнением г = /(ф) в полярных коор-
динатах г и ф, то длина дуги s равна
3
S —	/ r2-|-r'2J(p,
а
где а и Р — значения полярного угла в крайних точках дуги.
Пример 3. Найти длину всей кривой г — a sin3 (рис. 51). Вся кри-
вая описывается точкой(г, <р) при изменении ф от 0 до Зл.
Ф ®
Решение. Имеем г = a sin2 — cos -х-, поэтому длина всей дуги кривой
О О
«и__________________________8 я
s = ( 1/ a2 sin® — -J- a2 sin4 cos2 ~ dtp = а С sin2 d(p =	.
Jr	о	о о	Jo	2
о	о
1665. Вычислить длину дуги полукубической параболы у2 — х* от
начала координат до точки с координатами х = 4, > = 8.
1666*. Найти длину цепной линии jr = ach — от вершины Л (0; а)
до точки В(Ь; Л).
1667.	Вычислить длину дуги параболы = 2 отх = 0 дох=1.
1668.	Найти длину дуги кривой у = е\ содержащейся между точ-
ками (0; 1) и (1; е).
1669.	Найти длину дуги кривой j/ = lnx от x = j/3 до х = ]/8.
1670.	Найти длину дуги у = arcsin (е~х) от х = 0 до х=1.
1671.	Вычислить длину дуги кривой х = insect, содержащейся
между —0 и J = y .
1672.	Найти длину дуги кривой х = ~у2----L Inji от ^=1
до у = е.
1673.	Найти длину дуги правой ветви трактриссы
х = У а2—2 —д 1 п I	~~ у I от у = а до y = b
I У I
§ 9J
ОБЪЕМЫ ТЕЛ
155
1674.	Найти длину замкнутой части кривой 9ау2 — х(х— За)2.
1675.	Найти длину дуги кривой у = In cth от х = а до
х = Ь (ООО).
1676*. Найти длину дуги развертки окружности
x = a(cos/-|~^sin/), I
у = a (sin t — / cos /) f 0T
/ = 0 до t=T.
1677. Найти длину эволюты эллипса
х —— cos3/; у = 4-sin3/ (с2 = а2 — Ь2).
а	Ь '
1678. Найти длину кривой
х = а(2 cos/ — cos 2/), 1
у = а (2 sin / — sin 2/). j
1679.	Найти длину первого витка спирали Архимеда г = «ф.
1680.	Найти всю длину кардиоиды r = a (1 cos <р).
1681.	Найти длину дуги части параболы r = asec2	отсекаемой
от параболы вертикальной прямой, проходящей через полюс.
1682.	Найти длину дуги гиперболической спирали гф = 1 от точки
^2; до точки ; 2^ .
1683.	Найти длину дуги логарифмической спирали г — ает*
(/п^>0), находящейся внутри круга г —а.
1684.	Найти длину дуги кривой ср = ~ f г от г— 1 до г = 3.
§ 9. Объемы тел
1°. Объем тела вращения. Объемы тел, образованных вращением
криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью ОХ и двумя
вертикалями х = а и х = Ь, вокруг осей ОХ и OY, выражаются соответ-
ственно формулами:
ъ	ь
1) Ух = л; y2dx; 2) Vy — 2л ху dx ♦).
а	а
*) Пусть тело образовано вращением около оси OY криволинейной трапе-
ции, ограниченной кривой y = f (х) и прямыми х = а, х = Ь и у = 0. За элемент
объема этого тела принимают объем части тела, образованного вращением
около оси OY прямоугольника со сторонами у и dx, отстоящего от оси OY на
ь
расстоянии х. Тогда элемент объема dVy = 2nxydx, откуда Уу = 2л J ху dx.
а
156
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[гл. V
Пример 1. Вычислить объемы тел, образуемых вращением фигуры,
ограниченной одной полуволной синусоиды у = sin х и отрезком О^х^л
оси ОХ вокруг: а) оси ОХ и б) оси OY.
Решение.
те
Р	Л2
а)	\ sin2 xdx — -g-;
о
те
б)	— 2л х sin х dx = 2л ( — х cos х sin х)* — 2л2.
о
Объем тела, образованного вращением около оси OY фигуры, ограничен-
ной кривой x = g{y), осью OY и двумя параллелями у —с и y~d, можно
определять по формуле:
d
Yy= л х2 dy,
с
получающейся из приведенной выше формулы 1) путем перестановки коор-
динат х и у.
Если кривая задана в иной форме (параметрически, в полярных коорди-
натах и т. д.), то в приведенных формулах нужно сделать соответствующую
замену переменной интегрирования.
В более общем случае объемы тел, образованных вращением фигуры,
ограниченной кривыми уг = Д (х) и у2 = f2 (х) (причем (х) «С /2 W) и пря-
мыми х = а, х = Ь, вокруг координатных осей ОХ и OY, соответственно
равны
ь
Vx=n — УТ) dx
а
И
ь
Уу=2я х (уг — yjdx.
а
Пример 2. Найти объем тора, образованного вращением круга
л2 + (У — Ь)2 «С а2 (Ь^а) вокруг оси ОХ (рис. 52).
Решение. Имеем:
ух = Ъ —	— х2 и у2 = b + У а2 — х2.
Поэтому
а
Vx—n [(Z? -рУа2 ~ х2)2 — (b — Va2 — х2)2] dx~
— а
а
= 4л b J У а2 — х2 dx = 2л2 а2Ь
— а
(последний интеграл берется подстановкой x = asin/).
§ 9]
ОБЪЕМЫ ТЕЛ
157
Объем тела, полученного при вращении сектора, ограниченного дугой
кривой г = F (ф) и двумя полярными радиусами ф = а, <р = р, вокруг полярной
оси, может быть вычислен по формуле
3
2 С
= — л \ г3 sin ф^ф.
О С/
а
Этой же формулой удобно пользоваться при отыскании объема тела, по-
лученного вращением вокруг полярной оси фигуры, ограниченной некоторой
замкнутой кривой, заданной в полярных координатах.
Пример 3.
г = a sin 2ф вокруг
Решение.
Определить объем,
полярной оси.
образованный вращением кривой
1/р
2
У г3 sin ф dtp = ~ тса'
о
2
У sin3 2ф sin ф dtp =.
о
32 S С • 4	3	.	64	3
— — ла3 \ sin4 ф cos3 ф аф = —ла’,
о J	Юэ
о
2°. Вычисление объемов тел по известным поперечным
сечениям. Если S = S (х) — площадь сечения тела плоскостью, перпенди-
кулярной к некоторой прямой (которую принимаем за ось ОХ), в точке с
абсциссой х, то объем этого тела равен
*2
V — j S (%) dx,
Xt
где Xi и х2 — абсциссы крайних сечений тела.
Пример 4. Определить объем клина, отсеченного от круглого цилиндра
плоскостью, проходящей через диаметр основания и наклоненной к основа-
нию под углом а. Радиус основания равен R (рис. 53).
158
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
Решение. Примем за ось ОХ диаметр основания, по которому се-
кущая плоскость пересекает основание, и за ось OY диаметр основания, ему
перпендикулярный. Уравнение окружности основания будет х2 -\-у2 = R2-
Площадь сечения АВС, отстоящего на расстоянии х от начала коорди-
нат 0, равна
1	1	и2
S (х) — пл./\АВС~~ АВ-ВС^ —yytga — — tga.
Поэтому искомый объем клина есть
R	R
V = 2~y у2 tgadx = tga J (R2 — х2) dx = -|-tg а/?\
о	о
1685.	Найти объем тела, получающегося от вращения вокруг оси
ОХ площади, ограниченной осью ОХ и параболой у = ах — х2(а^>0).
1686.	Найти объем эллипсоида, образованного вращением эллипса
вокруг оси ОХ.
1687.	Найти объем тела, получающегося при вращении вокруг
оси ОХ площади, ограниченной цепной линией у — a ch , осью ОХ и
прямыми х = ± а.
1688.	Найти объем тела, образованного при вращении вокруг
оси ОХ кривой ^ = sin2x в промежутке х = 0 до х = л.
1689.	Найти объем тела, образованного вращением площади, огра-
ниченной полукубической параболой = осью ОХ и прямой
х=1, вокруг оси ОХ,
1690.	Найти объем тела, образованного вращением той же пло-
щади, что в задаче 1689, вокруг оси OY,
1691.	Найти объемы тел, образуемых вращением площади, огра-
ниченной линиями у = ех, х = 0, у = 0, вокруг: а) оси ОХ и б) оси OY.
1692.	Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OY
той части параболы j2==4ax, которая отсекается прямой х — а.
1693.	Найти объем тела, образованного вращением вокруг прямой
х==а той части параболы у2 ==4ях, которая этой прямой отсекается.
1694.	Найти объем тела, образованного вращением вокруг прямой
у= — р фигуры, ограниченной параболой у2 — 2рх и прямой х = -~ .
1695.	Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
площади, содержащейся между параболами у = х2 ny — j/x.
1696.	Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
петли кривой (х — 4а)у2 = ах(х — 3a)(a^>0).
1697.	Найти объем тела, производимого вращением циссоиды
х2
у2 — —-— вокруг ее асимптоты х = 2а.
1698.	Найти объем параболоида вращения, радиус основания ко-
торого /?, а высота Н.
§ 9]
ОБЪЕМЫ ТЕЛ
159
1699.	Прямой параболический сегмент, основание которого 2а и
высота Л, вращается вокруг основания. Определить объем тела вра-
щения, которое при этом получается («лимон» Кавальери).
1700.	Показать, что объем части, отсекаемой плоскостью х — 2а
от тела, образованного вращением равнобочной гиперболы х2—у2 = а2
вокруг оси ОХ, равен объему шара радиуса а,
1701.	Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, огра-
ниченной одной аркой циклоиды x — a(t — sin/), j> = a(l—cos/) и
осью ОХ, вокруг: а) оси ОХ, б) оси OY и в) оси симметрии фи-
гуры.
1702.	Найти объем тела, образованного вращением астроиды
x = acos’f, у=а sin3/ вокруг оси ОУ.
1703.	Найти объем тела, которое получается от вращения кар-
диоиды r = a(l cos ср) вокруг полярной оси.
1704.	Найти объем тела, образованного вращением кривой
r = acos2q) вокруг полярной оси.
1705.	Найти объем обелиска, параллельные основания которого —
прямоугольники со сторонами А, В и а, Ь, а высота равна h.
1706.	Найти объем прямого эллиптического конуса, основание ко-
торого есть эллипс с полуосями а и Ь, а высота равна /г.
1707.	На хордах астроиды х^-^-у^ — а21», параллельных оси ОХ,
построены квадраты, стороны которых равны длинам хорд и плоскости
которых перпендикулярны к плоскости XOY. Найти объем тела, обра-
зованного этими квадратами.
1708.	Деформирующийся круг перемещается так, что одна из то-
чек его окружности лежит на оси OY, центр описывает эллипс
—[-^-=1, а плоскость круга перпендикулярна к плоскости XOY.
Найти объем тела, образованного кругом.
1709.	Плоскость движущегося треугольника остается перпендику-
лярной к неподвижному диаметру круга радиуса а. Основанием тре-
угольника служит хорда круга, а вершина его скользит по прямой
параллельно неподвижному диаметру на расстоянии h от плоскости
круга. Найти объем тела (называемого коноидом), образованного дви-
жением этого треугольника от одного конца диаметра до другого.
1710.	Найти объем тела, ограниченного цилиндрами x2-{-z2 = az
и yz-\~z2 = a2.
1711.	Найти объем сегмента, отсекаемого от эллиптического па-
раболоида	плоскостью х — а
1712.	Найти объем тела, ограниченного однополостным гипер-
болоидом	------------5=1 и плоскостями z = 0 и z = h.
а2 1 Ь* сг
1713.	Найти объем эллипсоида —л	р 4" р — 1 •
160
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
§ 10. Площадь поверхности вращения
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ дуги глад-
кой кривой у=[(х) между точками х = а и х = Ь, выражается формулой
ь	ь
$х=2л J y~dx = 2n J г/У1 + y'*dx
а	а
(1)
(ds — дифференциал дуги кривой).
В случае иного задания уравнения кривой площадь поверхности Sx полу-
чается из формулы (1) путем соответствующей замены переменных.
Пример 1. Найти площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси ОХ петли кривой 9#2 = х (3 — х)2 (рис. 54).
Решение. Для верхней части кривой при	имеем:
j	_ I ।
у — -у- (3 — х) У х. Отсюда дифференциал дуги ds = —-^=-dx. На осно-
2у х
вании формулы (1) площадь поверхности
3
$ = 2л С(3-х) У*
О
х 4~ 1
2/х
dx — Зя.
Пример 2. Найти площадь поверхности, образованной вращением
одной арки циклоиды х = a (t — sin /); z/= а (1 — cos/) вокруг ее оси сим-
метрии (рис. 55).
Решение. Искомая поверхность образуется вращением дуги ОА вокруг
прямой АВ, уравнение которой х = па. Принимая у за независимую перемен-
ную и учитывая, что ось вращения АВ сдвинута относительно координатной
оси OY на расстояние па, будем иметь:
5 = 2л
2(2
Vna~x)Tydy'
о
§ 10]	ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ	161
Переходя к переменной /, получим:
5 = 2л J (ла — а/+ а sin/) *|/~=
о
те
= 2я J (ла — а/ 4~а sin t) 2а sin ~ dt =
о
л sin — t sin -f- sin t sin dt =
о
[t	t	t	4	t1*	(	4\
— 2л cos — + 2/ cos —— 4 sin -s- 4“ "T sin’ *T = 8л ( л —- )
Л	2.	2	О	Z J О	\	*J /
1714.	Размеры параболического зеркала АОВ указаны на рис. 56.
Требуется найти площадь поверхности этого зеркала.
1715.	Найти площадь поверхности «веретена», кото-
рое получается в результате вращения одной полу-
волны синусоиды j,= sinx вокруг оси ОХ.
1716.	Найти площадь поверхности, образованной
вращением части тангенсоиды y = tgx от х — 0 до х =
= -j- вокруг оси ОХ.
1717.	Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением вокруг оси ОХ дуги кривой у = е~х, от х = 0
ДО х = 4-оо.
1718.	Найти площадь поверхности (называемой ка-
теноидом}, образованной вращением цепной линии у —
— a ch-^- вокруг оси ОХ, в пределах от х = 0 до х =
1719.	Найти площадь поверхности вращения астроиды
>:а/з 4“У/з = ая/з вокруг оси OY.
1720.	Найти площадь поверхности вращения кривой х=~у2—~In^y
вокруг оси ОХ, от у=1 до у
1721*. Найти поверхность тора, образованного вращением окруж-
ности х24“СУ — ^)2 = а2 вокруг оси ОХ(Ь^>а).
1722.	Найти площадь поверхности, образованной вращением эллипса
— 4-12 = 1 вокруг: 1) оси ОХ; 2) оси OY(a^>^).
1723.	Найти площадь поверхности, образованной вращением одной
арки циклоиды x=a(t — sin/), <у=за(1—cos t) вокруг: а) оси ОХ;
б) оси OY; в) касательной к циклоиде в ее высшей точке.
1724.	Найти площадь поверхности, образованной вращением во-
круг оси ОХ кардиоиды
х = а (2 cos t — cos 2f), )
у = a (2 sin t — sin 2f). J
6 Г. О. Бараненков и др.
162	ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[ГЛ. V
1725.	Определить площадь поверхности, образованной вращением
лемнискаты г2 = а2 cos 2ф вокруг полярной • оси.
1726.	Найти площадь поверхности, образованной вращением
кардиоиды r = 2a(l 4~cos ф) вокруг полярной оси.
§ И. Моменты. Центры тяжести. Теоремы Гульдена
1°.	Статический момент. Статическим моментом относительно
оси / материальной точки Л, имеющей массу /пи отстоящей от оси / на рас-
стоянии d, называется величина Mi — md.
Статическим моментом относительно оси / системы и материальных
точек с массами mit т2,	, mnt лежащих в одной плоскости с осью и
удаленных от нее на расстояния dlt dv ..., dn, называется сумма
п
Mt — 2 midi-	(О
i = 1
причем расстояния точек, лежащих по одну сторону оси /, берутся со знаком
плюс ( + ), а по другую — со знаком минус ( — ). Аналогично определяется
статический момент системы точек относительно плоскости.
Если массы непрерывно заполняют линию или фигуру плоскости XOY, то
статические моменты и Му относительно координатных осей ОХ и OY
вместо сумм (1) выражаются соответствующими интегралами. Для случая гео-
метрических фигур плотность считается равной единице.
В частности: 1) для кривой х = х (s); y = y(s)t где параметр s есть длина
дуги, имеем:
L	L
Mx=^y(s)ds*t My=^x(s)ds	(2)
о	о
(ds = У(dx)2(dy)2 — дифференциал дуги);
2) для плоской фигуры, ограниченной кривой у — у (х), осью ОХ и двумя
вертикалями х = а и у — b, получаем:
ъ	ь
Mx=^~§yly\dx-, My = ^x\y\dx.	(3)
а	а
Пример 1. Найти статические моменты относительно осей ОХ и OY
треугольника, ограниченного прямыми: ~-у == 1, х = 0, у = 0 (рис. 57).
Решение. Здесь у = Ь \1 —— ). Применяя формулы (3), получаем:
Рис. 57.
массы /и, отстоящей от оси I
2°. Момент инерции. Моментом
инерции относительно оси / материальной точки
на расстоянии d, называется число l^md*.
§ 11]	МОМЕНТЫ. ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ. ТЕОРЕМЫ ГУЛЬДЕНА	163
Моментом инерции относительно оси I системы п материальных точек
с массами znp /пй, ...» тп называется сумма
п
/z= 2 midb
i=i
где dv ..., dn — расстояния точек от оси /. В случае сплошной массы вместо
суммы получаем соответствующий интеграл.
Пример 2. Найти момент инерции треугольника с основанием b и вы-
сотой h относительно его основания.
Решение. Основание треугольника примем за ось ОХ, а его высоту —
за ось OY (рис. 58).
Разобьем треугольник на бесконечно тонкие горизонтальные полоски
толщины dy, играющие роль элементарных масс dm. Используя подобие тре-
угольников, получаем:
dm = b  dy
и
(11х=угйт = ^уг (h — y) dy.
Отсюда
h
^^^^(h-yydy^^bh*.
О
3°. Центр тяжести. Ко-
ординаты центра тяжести пло-
ской фигуры (дуги или площади)
массы М вычисляются по формулам
где Mv и Му — статические моменты массы. В случае геометрических фигур
масса М численно равна соответствукицей дуге или площади.
Для координат центра тяжести (х, у) дуги плоской кривой y=?f(x)(a^x^b),
соединяющей точки А (а\ [(a)] и В (d; [(b)), имеем:
в ь
^xds J х р7" 1 4- (y')2dx
в ъ
У ds ^yVl+(y,Y dx
J V l+(y')2dx
$ /1+({/')’dx
Координаты центра тяжести (x, у) криволинейной трапеции а<х^6,
0«^#<С/(х), могут быть вычислены по формулам
ь	1 ъ
J ху dx	Y J у2 dx
— а	— а
X— т; » У— q »
Ь
где S = J у dx — площадь фигуры.
а
6*
164
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
Аналогичные формулы имеют место для координат центра тяжести тела.
Пример 3. Найти центр тяжести дуги полуокружности х*-\-у*~аг
(рис. 59).
Следовательно,
—	-2
х = 0; у —— а.
п
4°. Теоремы Гульдена.
Теорема 1. Площадь поверхности, полученной от вращения дуги пло-
ской кривой вокруг некоторой оси, лежащей в одной плоскости с кривой и
ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности,
описываемой центром тяжести дуги кривой.
Теорема 2. Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры
вокруг некоторой оси, лежащей в плоскости фигуры и ее не пересекающей,
равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описывае-
мой центром тяжести фигуры.
1727. Найти статические моменты относительно осей координат
отрезка прямой линии
- + 4=!.
а 1 b
заключенного между осями координат.
1728.	Найти статические моменты прямоугольника со сторо-
нами а и b относительно его сторон.
1729.	Найти статические моменты относительно осей ОХ и OY и
координаты центра тяжести треугольника, ограниченного прямыми:
х-^-у — а, х = 0 и у — 0.
1730.	Найти статические моменты относительно осей ОХ и OY и
координаты центра тяжести дуги астроиды
д;2/в yZ!i-а2/\
лежащей в первом квадранте.
1731.	Найти статический момент окружности
r = 2a sin ф
относительно полярной оси.
§ И]	МОМЕНТЫ. ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ. ТЕОРЕМЫ ГУЛЬДЕНА	165
1732.	Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии
< х
y = ach —
а
от х = — а до х = а.
1733.	Найти центр тяжести дуги окружности радиуса а, стяги-
вающей угол 2а.
1734.	Найти координаты центра тяжести дуги первой арки циклоиды
x = a(t — sin/); j/ = a(l —cos/).
1735.	Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
эллипсом	и осями координат ОХ и OY (х^О, j/^0)
(О
1736.	Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
кривыми	_________________2. ..___
V " •— Л , у  " У Л •
1737.	Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
первой аркой циклоиды
x =	— sin/), =	— cosf)
и осью OX.
1738**. Найти центр тяжести полусферы радиуса ас центром в
начале координат, расположенной над плоскостью XOY.
1739**. Найти центр тяжести однородного прямого кругового ко-
нуса с радиусом основания г и высотой h.
1740**. Найти центр тяжести однородного полушара радиуса а с
центром в начале координат, расположенного над плоскостью XOY.
1741.	Найти момент инерции окружности радиуса а относительно
ее диаметра.
1742.	Найти момент инерции прямоугольника со сторонами а и b
относительно его сторон.
1743.	Найти момент инерции прямого параболического сегмента с
основанием 2Ь и высотой h относительно его оси симметрии.
1/^
1744.	Найти моменты инерции площади эллипса	1
относительно его главных осей.
1745**. Найти полярный момент инерции кругового кольца с
радиусами /?, и /?2 (/?j	/?2), т. е. момент инерции относительно
оси, проходящей через центр кольца и перпендикулярной к его пло-
скости.
1746**. Найти момент инерции однородного прямого кругового
конуса с радиусом основания R и высотой Н относительно его оси.
1747**. Найти момент инерции однородного шара радиуса а и
массы М относительно его диаметра.
1748. Найти поверхность и объем тора, получающегося от вра-
щения круга радиуса а вокруг оси, расположенной в плоскости круга
и отстоящей от центра его на расстоянии b(b^a).
166
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
1749. а) Определить положение центра тяжести дуги астроиды
х2/* -\-yil* = a2l\ лежащей в первой четверти.
б) Найти центр тяжести фигуры, ограниченной кривыми у**^2рх
и х* = 2ру.
1750**. а) Найти центр тяжести полукруга, пользуясь теоремой
Гульдена.
б) Доказать, пользуясь теоремой Гульдена, что центр тяжести
треугольника отстоит от его основания на одну треть высоты.
§ 12. Приложения определенных интегралов
к решению физических задач
1°. Путь, пройденный точкой. Если точка движется по некоторой
кривой и абсолютная величина скорости ее v = f (t) есть известная функция
времени /, то путь, пройденный точкой за промежуток времени [/П /2], равен
G
s=
Пример 1. Скорость точки равна
0 = 0,1/’ м/сек.
Найти путь s, пройденный точкой за промежуток времени Т — 10 сек, про-
текший от начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот
промежуток?
Решение. Имеем:
ю
Р	Z4 Но
s= 0,1М = 0,1-7	=250л(
J	4 |о
о
и
vcp = ^-=--25 м/сек.
2°. Работа силы. Если переменная сила X = f (х) действует в направ-
лении оси ОХ, то работа силы на отрезке [xlt х2] равна
A — ^f{x)dx.
Xi
Пример 2. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину
на 6 см, если сила 1 кГ растягивает ее на 1 см?
Решение. Согласно закону Гука сила X кГ, растягивающая пружину
на хм, равна X = kx, где & —коэффициент пропорциональности.
Полагая х = 0,01 м и X = 1 кГ, получим k — 100 и,следовательно, Х=100х.
Отсюда искомая работа есть
0.06
А = J lOOxdx = 5Ox1|oO,O6 = O,18 кГм.
о
3°. Кинетическая энергия. Кинетической энергией материальной
точки, имеющей массу т и обладающей скоростью vt называется выражение
K—mv\
§ 12] ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 167
Кинетическая энергия системы п материальных точек с массами tnli
^2» •••» обладающих соответственно скоростями vl} v2, vn, равна
” m.vf
(О
Для подсчета кинетической энергии тела его надлежащим образом раз-
бивают на элементарные частицы (играющие роль материальных точек), а за-
тем, суммируя кинетические энергии этих частиц, в пределе вместо суммы (1)
получают интеграл.
Пример 3/ Найти кинетическую энергию однородного кругового цилинд-
ра плотности б с радиусом основа-
ния R и высотой h, вращающегося
с угловой скоростью о вокруг
своей оси.
Решение. За элементарную массу dm принимаем массу полого цилиндра
высоты А, с внутренним радиусом г и толщиной стенок dr (рис. 60). Имеем:
dm = 23tr-h& dr.
Так как линейная скорость массы dm равна и = гсо, то элементарная кинети-
ческая энергия есть
u2dm ч 9, R j
dK = —g— = nr (d hft dr.
Отсюда
R
iz «а С j л
К = лсо2Аб \ г2 dr =------.
о
4°. Давление жидкости. Для вычисления силы давления жидкости
используют закон Паскаля, согласно которому сила давления жидкости на
площадку S с глубиной погружения h равна
где у — удельный вес жидкости.
Пример 4. Найти силу давления, испытываемую полукругом радиуса г,
погруженным вертикально в воду так, что его диаметр совпадает с поверх-
ностью воды (рис. 61).
Решение. Разбиваем площадь полукруга на элементы^ полоски, парал-
лельные поверхности воды. Площадь одного такого элемента (отбрасывая б. м.
высшего порядка), находящегося на расстоянии h от поверхности, равна
dS ~ 2xdh — 2 Vr'-h'dh.
168
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[гл. V
Сила давления, испытываемая этим элементом, равна
dP — yhds — 2yh У г2 — h2 dh,
где у — удельный вес воды, равный единице.
Отсюда вся сила давления есть
Г	8_
Р = 2 j h Vr2-h2dh = — (г2 - /г2)2
О
1751.	Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной
скоростью v0, без учета сопротивления воздуха, дается формулой
где t — протекшее время и g—ускорение силы тяжести. На каком
расстоянии от начального положения будет находиться тело через
t сек от момента бросания?
1752.	Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной
скоростью ^0, с учетом сопротивления воздуха, дается формулой
f = c-tg (—f + arctgу0
где t — протекшее время, g—ускорение силы тяжести и с — постоян-
ная. Найти высоту поднятия тела.
1753.	Точка оси ОХ совершает гармонические колебания вокруг
начала координат, причем скорость ее дается формулой
v==vQ COS (dt,
где t — время и cd — постоянные.
Найти закон колебаний точки, если при t = 0 она имела абсциссу
х = 0. Чему равно среднее значение абсолютной величины скорости
точки за период колебаний?
1754.	Скорость движения точки v — te~°’он м[сек. Найти путь,
пройденный точкой от начала движения до полной остановки.
1755.	Ракетный снаряд поднимается вертикально вверх. Считая,
что при постоянной силе тяги ускорение ракеты за счет уменыпе-
А
ния ее веса растет по закону j=——^ (а —	найти ско-
рость ракеты в любой момент времени t, если начальная скорость ее
равна нулю. Найти также высоту, достигнутую ракетой к моменту
времени t = tt.
1756*. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выка-
чать воду из вертикальной цилиндрической бочки, имеющей радиус
основания R и высоту Н.
1757. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы
выкачать воду из конического сосуда, обращенного вершиной вниз,
радиус основания которого равен R и высота И.
1758. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы
выкачать воду из полусферического котла, имеющего радиус R= 10 м<
§12] ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
169
1759. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы
выкачать масло через верхнее отверстие из цистерны, имеющей форму
цилиндра с горизонтальной осью, если удельный вес масла у, длина
цистерны Н и радиус основания /?.
1760**. Какую работу надо затратить, чтобы тело массы т под-
нять с поверхности Земли, радиус которой /?, на высоту й? Чему
равна эта работа, если тело должно быть удалено на бесконечность?
1761**. Два электрических заряда е0 = 100CGSE и e1 = 200CGSE
находятся на оси ОХ соответственно в точках хо = О и = 1 см.
Какая работа будет произведена, если второй
заряд переместится в точку х2 = 10 см?
1762**. Цилиндр с подвижным поршнем
диаметра £> = 20 см и длины I = 80 см запол-
нен паром при давлении р= 10 кПсм2. Какую
работу надо затратить, чтобы при неизменной
температуре {изотермический процесс} объем
пара уменьшить в два раза?

2а
Рис. 62.
ро=1 кГ[см\ до объема 1^=10 м*?
1764**. Вертикальный вал веса Р и радиуса а опирается на под-
пятник АВ (рис. 62). Сила трения между небольшой частью о осно-
вания вала и прилегающей к ней поверхностью опоры равна F =
где р — const есть давление вала на поверхность опоры, отнесенное
к единице площади опоры, а р— коэффициент трения. Найти работу
силы трения при одном обороте вала.
1765**. Вычислить кинетическую энергию диска массы М и ра-
диуса /?, вращающегося с угловой скоростью со около оси, проходя-
щей через центр диска перпендикулярно к его плоскости.
1766. Вычислить кинетическую энергию прямого круглого конуса
массы Л4, вращающегося с угловой скоростью со около своей оси,
если радиус основания конуса R, а высота Н.
1767*. Какую работу надо затратить, чтобы остановить железный
шар радиуса /?=2 л/, вращающийся с угловой скоростью cd=1000<?5/^wh
вокруг своего диаметра? (Удельный вес железа у = 7,8 Г[см\)
1768. Вертикальный треугольник с основанием b и высотой h по-
гружен в воду вершиной вниз так, что его основание находится на
поверхности воды. Найти силу давления воды.
1769. Вертикальная плотина имеет форму трапеции. Вычислить
силу давления воды на всю плотину, если известно, что верхнее осно-
вание плотины а = 70 м, нижнее основание й = 50 м, а высота плотины
й = 20 м.
1770. Найти силу давления жидкости, удельный вес которой у, на
вертикальный эллипс с осями 2а и 2й, центр которого погружен
170	ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	(ГЛ. V
в жидкость на уровень Л, причем большая ось 2а эллипса параллельна
уровню жидкости (h^b).
1771.	Найти силу давления воды на вертикальный круговой конус
с радиусом основания R и высотой /7, погруженный в воду вершиной
вниз так, что его основание находится на поверхности воды.
Разные задачи
1772.	Найти массу стержня длины /=100 см, если линейная плот-
ность стержня на расстоянии х см от одного из его концов равна
6=24-0,001 х1 —.
1773.	Согласно эмпирическим данным удельная теплоемкость воды
при температуре f	100°) равна
с = 0,9983 —5,184.10“Ч 4“ 6,912-10“Ч2.
Какое количество тепла нужно затратить, чтобы 1 г воды нагреть от
температуры 0°Сдо температуры 100° С?
1774.	Ветер производит равномерное давление рГ1см* на дверь,
ширина которой b см и высота h см. Найти момент силы давления
ветра, стремящейся повернуть дверь на петлях.
1775.	С какой силой притяжения действует материальный стержень
длины I и массы М на материальную точку массы т, находящуюся на
одной прямой со стержнем на расстоянии а от одного из его концов?
1776**. При установившемся ламинарном (струйном) течении
жидкости через трубу круглого сечения радиуса а скорость течения v
в точке, находящейся на расстоянии г от оси трубы, дается формулой
где р — разность давлений жидкости на концах трубы, р — коэффи-
циент вязкости, I — длина трубы. Определить расход жидкости Q,
т. е. количество жидкости, протекающей через поперечное сечение
трубы в единицу времени.
1777*. Условие то же, что и в задаче 1776, но труба имеет прямо-
угольное сечение, причем основание а велико по сравнению с высотой 2Ь.
В этом случае скорость течения v в точке Ж(х, у) определяется
формулой
Определить pacx^Jb жидкости Q.
1778**. При изучении динамических свойств автомобиля часто
используется построение диаграмм специального вида: на оси абсцисс
§ 12] ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 171
откладываются скорости на оси ординат — величины, обратные
соответствующим ускорениям а. Показать, что площадь S, ограниченная
дугой этого графика, двумя ординатами v = vx и v = v2 и осью абс-
цисс, численно равна времени, необходимому для того, чтобы увели-
чить скорость движения автомобиля от до {время разгона).
1779. Горизонтальная балка длины / находится в равновесии под
действием направленной вниз вертикальной нагрузки, равномерно рас-
пределенной по длине балки, и опорных реакций А и В (а = В==~^ ,
направленных вертикально вверх. Найти изгибающий момент Мх
в поперечном сечении х, т. е. момент относительно точки Рс абсциссой х
всех сил, действующих на часть балки АР.
1780. Горизонтальная балка длины I находится в равновесии под
действием опорных реакций А и В и распределенной по длине балки
нагрузки с интенсивностью q = kx. где х — расстояние от левой опоры и
k — постоянный коэффициент. Найти изгибающий момент Мх в сечении х.
Примечание. Интенсивностью распределения нагрузки называется
нагрузка (сила), отнесенная к единице длины.
1781*. Найти количество тепла, выделяемое переменным сину-
соидальным током
г т • /2л ,	\
в течение периода Т в проводнике с сопротивлением R.
ГЛАВА VI
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Основные понятия
1°. Понятие функции нескольких переменных. Обо-
значения функций. Переменная величинам называется однозначной
функцией двух переменных х, у, если каждой совокупности их зна-
чений (х, у) из данной области соответствует единственное определенное
значение г. Переменные х, у называются аргументами или независимыми
переменными. Функциональная зависимость обозначается так:
г —/(х, у), или z~F(x, у) и т. п.
Аналогично определяются функции трех и большего числа аргументов.
Пример1. Выразить объем конуса V
gk	как функцию его образующей х и радиуса
основания у.
\ Решение. Из геометрии известно, что
\ объем конуса равен
\2	о
/• j	’у где h — высота конуса. Но h = Ух? — у*. Сле-
।	довательно,
1 Г
О
рис> 63.	Это и есть искомая функциональная зависи-
мость.
Значение функции z — f(x, у) в точке Р (а, Ь), т. е. при х~а и
у—Ь, обозначается /(а, Ь) или f (Р). Геометрическим изображением функ-
ции z — f(x, у) в прямоугольной системе координат X, У, Z, вообще говоря,
является некоторая поверхность (рис. 63).
Пример
2. Найти /(2, —3) и /(1> 7
если
f (х, у) =
х2 + ^
2х«/
Решение. Подставляя х = 2 и у = — 3, находим:
/(2, -3)
_2г + (-3)2_	_13
~ 2-2-(— 3) —	12*
§ и
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
173
Подставляя х = 1 и заменяя у на ,
будем иметь:
f Cl у} —	' =хг + Уг
\ X J 2-1 (У\ 2хУ ’
\ к J
т- е- f (1.	у}-
2°. Область существования функции. Под областью суще-
ствования (определения) функции z — f(x, у) понимается совокупность точек
(х, у) плоскости XOY, в которых данная функция определена (т. е. принимает
определенные действительные значения). В простейших случаях область суще-
ствования функции представляет собой конечную или бесконечную часть
координатной плоскости XOY, ограниченную одной или несколькими кривыми
(граница области).
Рис. 64.
Рис. 65.
Аналогично для функции трех переменных u — f (х, у, z) областью суще-
ствования функции служит некоторое тело в пространстве OXYZ.
Пример 3. Найти область существования функции
1
?.=   	—- .
V4 - х-— уг
Решение. Функция имеет действительные значения, если 4 — х* — у1 > О
или х* -f- у1 < 4. Последнему неравенству удовлетворяют координаты точек,
лежащих внутри окружности радиуса 2 с центром в начале координат. Область
существования функции есть внутренность этого круга (рис. 64).
Пример 4. Найти область существования функции
г = arcsin + V*У-
х
Решение. Первое слагаемое функции определено при — 1 у 1
или —2^х^2. Второе слагаемое имеет действительные значения, если
ху^О, т. е. в двух случаях: при { или ПРИ {	класть суще-
ствования всей функции изображена на рис. 65 и включает границы области.
3°. Линии и поверхности уровня функции. Линией уровня
функции г = /(х, у) называется такая линия f (х, у) = С на плоскости XOY 9
174
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
в точках которой функция принимает одно и то же значение z — C (обычно
проставляемое на чертеже в виде отметки).
Поверхностью уровня функции трех аргументов u=rf(x, у; г) называется
такая поверхность f (х, у, z) = C, в точках которой функция принимает по-
стоянное значение и = С,
Пример 5. Построить линии уровня функции z = x2y.
С
Решение. Уравнение линий уровня имеет вид х2у = С или у = ^. По-
лагая С = 0, ± 1, ± 2, ... , получим семейство линий уровня (рис. 66).
1782.	Выразить объем V правильной
четырехугольной пирамиды как функцию ее
высоты х и бокового ребра у.
1783.	Выразить площадь S боковой по-
верхности правильной шестиугольной усе-
ченной пирамиды как функцию сторон х и
,, у оснований и высоты z.
1784.	Найти /(у ’ 3) ’	~ если
У
1785.	Найти /(j, х), /(—х, —у\
л ( 1	1 \	1	г., ч хг — у*
f — , — , г;-------г, если /(х, v) = —X——.
\ х 'у ) ' f (X, у)' j \ •> 2ху
1786.	Найти значения, принимаемые функцией
f(x, у)=1 4-х— у
в точках параболы у = х2, и построить график функции
F(x)=/(x, х2).
1787.	Найти значение функции
 ** + 2х V + У*
в точках окружности x24"J2 = ^2*
1788*. Определить /(х), если
^>о>-
1789*. Найти f(x,y), если
/(*+У> х— у) = ху-\-у*.
1790*. Пусть z = ]/y -|-/( Vx—1). Определить функции fnz,
если z = x приву=1.
1791**. Пусть z = xf(j~^ . Определить функции / и я, если
2 = ^1 4“.У2 ПРИ х=1.
§ 2]
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
175
1792. Найти и изобразить области существования следующих
функций:
а)	г—У 1 —х2—у2;	и)	z=yy sin х;
б)	z==l-yy — (х— у)’;	К)	z = In (хг-|-у);
в)	г=1п(х-|-у);	л)	z = arctg .ХГг tl Ь 1 +х2у2 ’
г)	.? = x-|-arccosy;	м)	1 z=-r-.—5;
д)	z=Vx — х2-УУ 1— у2;	Н)	z=—г 1 	; У у — Ух
е)	• У z = arcsin — ; X	О)	1 । 1 z =	— х — 1 1 у
ж)	z — Ух2— 4~у]^4—у2;	п)	z=Vsin (х1 -|-у2).
з)	х = У (x’-|-y2— a2} (2a2—	х2-	-У2) («>0);
1793. Найти области существования следующих функций трех
аргументов:
а)	и — ]/хj/y"+Уг;	в) и — arcsinх-{-arcsinуarcsin.?;
б)	и — In (xyz);	г) и = ]/ 1 —хг—уг— z1.
1794.	Построить линии уровня данных функций и выяснить ха-
рактер изображаемых этими функциями поверхностей:
a)	z = x-{-y;	г)	г=Уху;	ж)	z=~\
б)	z = x2-\-y2-,	д)	,г = (1-}-*+у)2;	з)	z = y=-\
в)	z = x2 — у2;	е)	z= 1 — |х| — |у|;	и)	z=^^.
1795.	Найти линии уровня следующих функций:
a)	z =	г) z=f(y — axY>
б)	z = arcsinху\	д) z=f[~^.
в)	z=/(/x2-f-j2);
1796.	Найти поверхности уровня функций трех независимых пе-
ременных:
а)	и = х-\-у 4-z,
б)	и = х2-|-.У2+А
в)	и==х24~.у2 — z\
§ 2.	Непрерывность
1°. Предел функции. Число А называется пределом функции
z = f(xt у) при стремлении точки Р' (х, у) к точке Р (а, Ь), если для любого
в > 0 существует такое д > 0, что при 0 < q < д, где q =	— а)2 + (у — Ь)2—
176
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
расстояние между точками Р и Р', имеет место неравенство
| f (х, у) - А | < е.
В этом случае пишут:
lim f(x,y) — A.
х -> а
y->b
2°. Непрерывность и точки разрыва. Функция z= f (х, у)
называется непрерывной в точке Р(а, b)t если
lim f (х, y) = f(at b).
x a
y^b
Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется
непрерывной в этой области.
Нарушение условий непрерывности для функции f (х, у) может происходить
как в отдельных точках (изолированная точка разрыва), так и в точках,
образующих одну или несколько линий (линии разрыва), а иногда и более
сложные геометрические образы.
Пример 1. Найти точки разрыва функции
г=^.
х2 — у
Решение. Функция потеряет смысл, если знаменатель обратится в нуль.
Но х2 — у = 0 или z/ = x2 — уравнение параболы. Следовательно, данная функ-
ция имеет линией разрыва параболу у = х2.
1797*. Найти следующие пределы функций:
a) lim (х‘4-/) sin 1 ;
х -> о	XV
6>А”Я^:
у-* 00
1798. Исследовать на
ч sin ху
в) lim----- ;
х-> о х
у->2
г) lim (1	;
х->оо\ 1 XJ
y-^k
непрерывность функцию
д)“тгЬ;
X I У
у-*о
е) lim
х-> о
X2 — у2
х2 + у2 ’
у-*о
f[x VX_J /1— X*— У* при
1	О прих1+/>1
1799. Найти точки разрыва следующих функций:
а)	2 = In ]/ х2	в) z = _ j —7г;
1 А £/
кч	1	ч	1
б)	Z = ---Гг ;	г)	COS— .
' (X — у)2	'	ху
1800*. Показать, что функция
/	2 ПРИ *2+.У2 =И= °>
z—t х2 + у2	Н	I Z -7- >
непрерывна по каждой из переменных х и у в отдельности, но не
является непрерывной в точке (0, 0) по совокупности этих переменных.
§ 3]
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
177
§ 3.	Частные производные
1°. Определение частных производных. Если z = f(x,y),
то, полагая, например, у постоянной, получаем производную
g=iiln
t'A Дх —> о
которая называется частной производной функции z по переменной х. Ана-
логично определяется и обозначается частная производная функции г по
переменной у. Очевидно, что для нахождения частных производных можно
пользоваться обычными формулами дифференцирования.
Пример 1. Найти частные производные функции
z — 1 n tg — .
У
Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим:
дг_ \	1	1 _	2
дх . х в х ' у . 2х ’
tg — cos2 — у sin —
У У	У
Аналогично, рассматривая х как постоянную, будем иметь!
dz__ 1	.	1	/_____х\ _ 2х
ду а *	2*1 У2	, . 2х ’
tg — cos2 — 4	7 у2 sin —
У У	У
Пример 2. Найти частные производные функции трех аргументов
и = х*у2г + 2х — 3# -J- z 4- 5.
Решение. &с2У2г 4“ 2,
| = 2x^-3,
dz * 1
2°. Теорема Эйлера. Функция f (х, у) называется однородной функ-
цией измерения и, если для любого действительного множителя k имеет место
равенство
f(kx, ky) = knf(x, у).
Целая рациональная функция будет однородной, если все члены ее одного и
того же измерения.
Для однородной дифференцируемой функции измерения п справедливо
соотношение (теорема Эйлера):
Xf'x (х, у) + yfy (х, у) = nf (X, у).
178
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	[ГЛ. VI
Найти	частные производные	функций:
1801.	г = хг-\-у* — Заху.	1808. z = x?.
1802.	х — у ^+у'	1809. z=edn*. 	
1803.	II	1810. z — arcsin 1/	• Г X -j- у
1804.	г— ух*—уг.	1811. z = In sin	. Vy
1805.	X	1812. и = (ху)г.
	Ух2 + ? 		
1806.	г —In (х Ц-Ух2-j-J'2)	.	1813. u^zxy.
1807. £ = arctg-^.
1814. Найти /*(2; 1) и /^(2; 1), если /(х, j)= д/'хУ-\-~; .
1815. Найти /;(1; 2; 0), f'(l; 2; 0), /'(I; 2; 0), если
f{x, у, z)=la(xy-\-z).
Проверить теорему Эйлера об однородных функциях (№№
1816—1819):
1816. /(х, j) = Ax‘ + 2Bxj + Q*. 1818. Дх, =	.
у х “г У
1819. /(x,j-) = ln|.
1817. z=z-^—t.
х2 + у*
1820. Найти/f —V где
дх\ г j
дх дх
дг дф
(ty ду_
дг дф
—	«	dz I dz л
1822.	Показать, что	= если
1821. Вычислить
, если х = г cos <р и у = г sin ф.
1823.	Показать, что х^--}-у^- = ху -\-z, если
дх 1 ' ду ' 1
, L
z — xy	хе *.
1824.	Показать, что ^4-^-4-0, если
’ дх 1 оу 1 дг
u~(x—y)(y — z)(z—x).
1825.	Показать, что ^4-^4-^= 1, если
’ дх 1 ду 1 дг
§ 4]	ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ	179
1826.	Найти z = z(x, у), если
дг_________________________ х
ду x2+yi*
1827.	Найти z = z(x, у), зная, что
и 2(x,^)==sinj при х=1.
1828.	Через точку М (1; 2; 6) поверхности z = 2x2-[-y2 проведены
плоскости, параллельные координатным плоскостям XOZ и YQZ.
Определить, какие углы образуют с осями координат касательные
к получившимся сечениям, проведенные в их общей точке 7И.
1829.	Площадь трапеции с основаниями а, b и высотой h равна
с 1 /	1 I, и л dS dS dS
S=~2 (a-\~b)h. Найти	и, пользуясь чертежом, выяснить
их геометрический смысл.
1830*. Показать, что функция
..	\ J -2~l^ 2 ? если х2 4-у2=^=0,
/(х,з0 = 1 х2 + &* ’	‘ л ’
I 0, если х=у = 0,
имеет частные производные f'x(x, у) и f?(x,y) в точке (0; 0), хотя
и разрывна в этой точке. Построить геометрический образ этой
функции вблизи точки (0; 0).
§ 4. Полный дифференциал функции
1°. Полное приращение функции. Полным приращением
функции z = f (х, у) называется разность
Дз — Д/ (х, у) — f (х + Дх, у + Ду) — / (х, у).
2°. Полный дифференциал функции. Полным дифференциалом
функции z = f(xt у) называется главная часть полного приращения Ди, ли-
нейная относительно приращений аргументов Дх и Ду.
Разность между полным приращением и полным дифференциалом функ-
ции есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с () = ”КДх*4-Ду2.
Функция заведомо имеет полный дифференциал в случае непрерывности
ее частных производных. Если функция имеет полный дифференциал, то она
называется дифференцируемой. Дифференциалы независимых переменных,
по определению, совпадают с их приращениями, т. е. dx = Ax и dy~&y.
Полный дифференциал функции z = f(x, у) вычисляется по формуле
, дг , , дг ,
аг = з- ах 4- з~ dy.
дх ‘ ду и
Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов м —jj(x, у, г)
вычисляется по формуле
. ди . , ди . , ди .
du — 3— dx -j— 3— dy -+- 3- dz.
dx ' dy v 1 dz
Пример 1. Для функции
I(X, у) = х2+ху — у*
найти полное приращение и полный дифференциал.
180
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
Р е ш е н и е. f (х 4- кх, у + Ду) = (х + Дх)2 + (* + д*) (У + ДЯ) — (У +
Д/ (х, у) — |(х 4- Дх)2 + (х + Дх) (у + ку) - (у + Д(/)2] - (х2 + ху - у2) —
— 2х-Дх 4- кх* -\-x-ky 4- у • Дх 4- кх-ку — 2у • ку — ку2 =
— [(2х 4- у) Дх 4- (х - 2у) к у} 4- (Дх2 4- кх • ку — ку2).
Здесь выражение df — (2х 4~#) кх 4~(х — 2//) ку есть полный дифференциал
функции, а (кх2 4- кх-ку — ку2) есть бесконечно малая высшего порядка по
сравнению с бесконечно малой q = УДх2 4~ ку2.
Пример 2. Найти полный дифференциал функции
2 = Ухг + у\
Решение.
dz___ х . dz у
,	X J
dz — ----------- - dx
I У d  х rfx + у
3°. Применение полного дифференциала функции к
приближенным вычислениям. При достаточно малых | Дх | и | ку (,
а значит, при достаточно малом q = }^Дх2 4~ к у2 для дифференцируемой
функции z~f(x,y) имеет место приближенное равенство kz^dz или
А dz А , dz А
кг кх 4-ч- ку.
dx dy ”
Пример 3. Высота конуса Н = 30 см, радиус основания R = 10 см.
Как изменится объем конуса, если увеличить Я на 3 мм и уменьшить R
на 1 мм?
Решение. Объем конуса равен V = ~nR*H. Изменение объема заме-
ним приближенно дифференциалом
ДИ ^dV = ^-n(2RH dR4-R2 dH) =
= 4-л( — 2-Ю-30-0,1ЮО-0,3) =— 10n=s — 31,4 см*.
Пример 4. Вычислить приближенно 1,02s’01.
Решение. Рассмотрим функцию г=ху. Искомое число можно считать
наращенным значением этой функции при х = 1, г/ = 3, Дх = 0,02, ку = 0,01.
Первоначальное значение функции г — 1’ = 1,
kz^dz=yxy~x кх-\-ху In х ку = 3-1-0,02 4- 1 -In 1 -0,01 =0,06.
Следовательно, 1,02s’01	1 4~ 0,06 = 1,06.
1831. Для функции f(x,y)=xzy найти полное приращение и пол-
ный дифференциал в точке (1; 2); сравнить их, если:
а) Дх = 1, ку = 2; б) Дх = 0,1, Ду = 0,2.
1832. Показать, что для функций и и v нескольких (например,
двух) переменных справедливы обычные правила дифференцирования:
a) d(u-\-v) = du-\-dv\ б) d(uv)—v du-\-udv;
. , / и \ v du — и du
в) d — =------5------.
' \v)	u2
§ 4]
ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
181
Найти полные дифференциалы следующих функций:
1833. 1834.	z=x*-\-y*— Зху. г = хгу3.	1841. 1842.	* = lntgf .
			Найти df(\\ 1),
1835.	х2 — у2 Z = —\ 2 •	1843.	если f(x,y) = ^. 4
1836.	^ = Sin2X-[-coS2^.		u = xyz.
1837.	z =уху.	1844. 1845.	и — Ухг-\гу3-\-г2.
1838.	Z— In (№ -f-J2). /	V \	1846.	\	У / x ХУ u = arctg
1839.	/(^,^)=in(i4--j.	1847.	z Найти df(3; 4; 5),
1840.	z = arctg -J + arctg у.	если/(х,^)г) = -~==..’ yx2+V	
1848. Одна сторона прямоугольника а— 10 сл/, а другая Ь— 24 см.
Как изменится диагональ I прямоугольника, если сторону а удлинить
на 4 мм, а сторону b укоротить на 1 мм? Найти приближенную ве-
личину изменения и сравнить с точной.
1849. Закрытый ящик, имеющий наружные размеры 10 см,
8 см и 6 см, сделан из фанеры толщиной в 2 мм. Определить при-
ближенно объем затраченного на ящик материала.
1850*. Центральный угол кругового сектора, равный 80°, желают
уменьшить на 1°. На сколько надо удлинить радиус сектора, чтобы
площадь его осталась без изменения, если первоначальная длина
радиуса равна 20 см?
1851.	Вычислить приближенно:
а) (1,02)’ -(0,97)’; б) /(4,05)2(2,93)2;
в) sin 32°-cos 59° (при переводе градусов в радианы и при вы-
численйи sin 60° брать три значащие цифры; последний знак округ-
лить).
1852.	Показать, что относительная ошибка произведения при-
ближенно равна сумме относительных ошибок сомножителей.
1853.	При измерении на местности треугольника АВС получены
следующие данные: сторона а = 100 м ± 2 м, сторона b — 200 м ± 3 м,
угол С=60°±1°. С какой степенью точности может быть вычислена
сторона с?
1854.	Период Т колебания маятника вычисляется по формуле
где I—длина маятника и g—ускорение силы тяжести. Найти по-
грешность в определении Т, получаемую в результате небольших
ошибок Д/ = а и Д^=р при измерении I и g.
182
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
1855.	Расстояние между точками Pt(x9, _у0) и Р(х, у) равно Q,
а угол, образованный вектором PtP с осью ОХ, равен а. На сколько
изменится угол а, если точка Р, при неизменной точке Ра, займет
положение Pi(x-\-dx, j’-j-dj’)?
(1)
(2)
§ 5.	Дифференцирование сложных функций
1°. Случай одной независимой переменной. Если z = f (х, у)
есть дифференцируемая функция аргументов хну, которые в свою очередь
являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t:
x = 4(t), y = ^(t),
то производная сложной функции г = f [ф (/), ф (/)] может быть вычислена по
формуле
dz__dzdx
dt dxdt dy dt ’
В частности, если t совпадает с одним из аргументов, например х, то
«полнаяэ производная функции г по х будет:
dz_____________________________dz idzdy
dx дх ‘ dy dx *
dz
Пример 1. Найти , если
г = езх+2У, где x = cosf, y = t\
Решение. По формуле (1) имеем:
ffc = егх+гу. з ( _ sin t) 4- егх+’У • 2 • 2t =
at
= e’JC+V (4/ - 3 sin I) = ег cos ‘+’‘’(4/ - 3 sin t).
Пример 2. Найти частную производную и полную производную
dz
-г-, если
dx
z = еху, где у — ф (х).
dz
Решение, “уеху* На основании формулы (2) получаем
^ = уехУ +хехУ<(' (х).
2°. Случай нескольких независимых переменных. Если
z есть сложная функция нескольких независимых переменных, например
z = f(x, у), где х = ф(ц, ц), у = ^(и, и) (и и и — независимые переменные; Д
<р, ф— дифференцируемые функции), то частные производные z по и и и вы-
ражаются так:
dz__dzdx . dz_ ду
ди дхди дуди
а
dz___dz дх i_dzdy
ди дх ди ‘ ду ди *
(3)
(4)
§ 5]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ	183
Во всех рассмотренных случаях справедлива формула
dz = ~ dx -[- - dy
дх 1 ду J
(свойство инвариантности полного дифференциала).
Пример 3. Найти ~ и ~ , если
r F	ди до
г,	и
z = f(x,y), где x = uvt У = ~<
Решение. Применяя формулы (3) и (4), получим:
5^=4 (*> y)-v + fy(x, у)~
и
dz г / ч г /
to = fx(x' y)u-fy(x, у)^.
Пример 4. Показать, что функция z = ф (х2 -f- у2) удовлетворяет урав-
дг dz ~
нению и^----х—= 0.
у дх ду
Решение. Функция ф зависит от х и у через промежуточный аргу-
мент х2 + У2 — t, поэтому
dz dzdt , , , .	_
ч- = -п -ч- = Ф (х2 4- у2) 2х
дх dtdx	1	’
и
dz dzdt , z , . ,ч о
=	= ф (xz 4- у* 2у.
ду dtdy	\	&
Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь:
у - х д/у=г/Ф' (хг+у2)2х - *ф' (*2 + у2) 2у ~
= 2ху <р' (х2 + уг) — 2ху ф' (х2 + у2) = О,
т. е. функция z удовлетворяет данному уравнению.
1856.	Найти ~, если
at
t	1 ±
z = —, где х = е, _у = 1п/.
1857.	Найти ~, если
at
и — In sin	, где х — З/2, у = 1//24- 1/
V У	к -г
1858.	Найти , если
dt1
u = xyz, где х = /2-|-1, у = ln Z, (z = tgt
1859.	Найти , если
at 1
г.— , где x = /?cost у = R sin t. z = H.
Vx2 + y2
1860.	Найти если
dx
г = где H = sin х, v — cosx.
184
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
1861.	Найти у и у , если
дх dx ’
z = arctg — и у = х\
1862.	Найти ~ и ~ , если
ox dx
z = xy, где>у = ф(х).
1863.	Найти и —, если
дх ду'
z=f(u,v), где и = х2—у2, v — exy,
1864.	Найти ~ и , если
ди dv ’
z = arctg-у, где x = usmv> y = ucosv.
.«лi- тт и. dz dz
1865.	Найти ч- и ч-, если
дх ду ’
,?=/(«), где и = ху-{-~ .
1866.	Показать, что если
н = Ф(х24-^24“^2), где х — /? cos <р cos-ф,
у = R cos ф sin ф, z—R sin ф,
то
ди ~ ди
— = 0 и -^- = 0.
dtp	дф
1867.	Найти если
u=f(x,ytz), где у = ф (х), £ = ф(х, у).
1868.	Показать, что если
z =/(*4- ау),
где f—дифференцируемая функция, то
dz	dz
ду	дх
1869.	Показать, что функция
w=f{u. v),
u — x-^at^ v=y -|-W, удовлетворяет уравнению
dw	dw I .dw
ЧТ -- 5— “4— 0	•
dt	dx ‘ dy
§ 6] ПРОИЗВОДНАЯ В ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ И ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ 185
1870.	Показать, что функция
2^у(р(хг—уг)
удовлетворяет уравнению
1 dz । 1	___ г
х дх' у ду у2, *
1871.	Показать, что функция
Z = Xy-\-X^ (у)
удовлетворяет уравнению
дг у дг ,
х з- +.У — =	4-г.
дх 1 л ду л 1
1872.	Показать, что функция
X2
z = е?(р (уе2У2)
удовлетворяет уравнению
, , дг > дг
(х -У >к+хУ%=хУ*-
1873.	Сторона прямоугольника х = 20л/ возрастает со скоро-
стью 5 м/сек, другая сторона у = 30 м убывает со скоростью 4 м/сек.
С какой скоростью изменяются периметр и площадь прямоуголь-
ника?
1874.	Уравнения движения материальной точки
х = /, y = t\ z — t*.
С какой скоростью возрастает расстояние этой точки от начала
координат?
1875.	Два парохода, вышедшие одновременно из пункта Д, дви-
жутся один на север, другой на северо-восток. Скорости движения
пароходов: 20 км/час и 40 км/час. С какой скоростью возрастает
расстояние между ними?
§ 6. Производная в данном направлении и градиент функции
1°. П р о и з во д н ая функции в данном направлении.
Производной функции z = у) в данном направлении 1 = РРХ называется
d£ = lim
dl p.p-^o PXP ’
где f (P) и f (Pj) — значения функции в точках Р и Рр Если функция г диф-
ференцируема, то справедлива формула
дг дг	. дг .	/1ч
-57 —ч-cos а 4-х-sin а,	(1)
dl дх	1 ду	' '
где а — угол, образованный вектором I с осью ОХ (рис. 67).
186
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
Аналогично определяется производная в данном направлении I для функ-
ции трех аргументов u~f(x, у, г). В этом случае
ди ди , ди о . ди
-^7 = -V- cos а + -ч- cos р + — cos v,
dl дх 1 ду г 1 dz 1
(2)
где а, р, у — углы между направлением I и соответствующими координатными
осями. Производная в данном направлении характеризует скорость изменения
функции в этом направлении.
Пример 1. Найти производную функции z = 2х2 — Зу2 в точке Р (1; 0)
в направлении, составляющем с осью ОХ угол в 120°.
Решение. Найдем частные производные
Здесь
Применяя формулу (1), получим:
данной функции и их значения в точке Р:
cos а = cos 120° — —~ ,
т/’З'
sinа_sin 120°	•
А
Знак минус показывает, что функция в данной точке и в данном направлении
убывает.
2°. Градиент функции. Градиентом функции z~f(x> у) назы-
вается вектор, проекциями которого на координатные оси являются соответ-
ствующие частные производные данной функции:
. dz . , дг .
gradz = i
ь дх 1 dyJ
(3)
Производная данной функции в направлении I связана с градиентом функ-
ции следующей формулой:
dz	,
д,=пр/ grad г,
т, е. производная в данном направлении равна проекции градиента функции
на направление дифференцирования.
Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к соответствую-
щей линии уровня функции. Направление градиента функции в данной точке
есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке,
-	,	dz
г. е. при Z = gradz производная принимает наибольшее значение, равное
§ 6] ПРОИЗВОДНАЯ В ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ И ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ 187
Аналогично определяется градиент функции трех переменных u = f(x, у, г):
, ди . . ди . . ди .	’
gradw = з-/ 4-— / 4--ч-л.	(4)
5 дх 1 ду' 1 dz	v '
Градиент функции трех переменных в каждой точке направлен по нормали
к поверхности уровня, проходящей через эту точку.
Пример 2. Найти и построить градиент функции z = x2y в точке Р (1; 1).
Решение. Вычислим частные производные и их значения в точке Р.
dz	, (дг\	.
~ = х2;	=1.
ду \ду р
Следовательно, grad г = 21 +/ (рис. 68).
1876.	Найти производную функции z =
— х2— ху — 2у2 в точке Р(1; 2) в направлении,
составляющем с осью ОХ угол в 60°.
1877.	Найти производную функции z =
=х* — 2х2у	1 в точке ^(1; 2) в направлении, идущем от
этой точки к точке N (4; 6).	_________
1878.	Найти производную функции z—\n]^x2-]-y2 в точке Р(1; 1)
в направлении биссектрисы первого координатного угла.
1879.	Найти производную функции и = х2—	в точке
/И(1;,2; —1) в направлении, составляющем одинаковые углы со
всеми координатными осями.
1880.	Найти производную функции и — ху -j-yz-^zx в точке
М (2; 1; 3) в направлении, идущем от этой точки к точке N(5; 5; 15).
1881.	Найти производную функции я = In	в начале
координат в направлении, образующем с осями координат OX, OY,
OZ углы, соответственно, а, 0, у.
1882.	Точка, в которой производная функции в любом направле-
нии равна нулю, называется стационарной точкой этой функции.
Найти стационарные точки следующих функций:
a)	z = x2~\~xy 4-J2 — 4х — 2у;
б)	z = x'-\-y* — Зху;
в)	и = 2у2 -\-z2 — ху— yz-\-2x.
1883.	Показать, что производная функции z—~ , взятая в любой
точке эллипса 2х2 -[-у2 =С2 вдоль нормали к эллипсу, равна нулю.
1884.	Найти grad г в точке (2; 1), если
=	— Зху.
1885.	Найти grad г в точке (5; 3), если
z = y х2—у2.
1886.	Найти grad и в точке (1; 2; 3), если u = xyz.
188	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	[гл. VI
1887.	Найти величину и направление grad я в точке (2; —2; 1),
если
и — х2-\-у2-\^.
1888.	Найти угол между градиентами функции ^ = 1п ~ в точках
Д(|; 1) и В (1; 1).
1889.	Найти величину наибольшего подъема поверхности
^ = x24-4y2
в точке (2; 1; 8).
1890.	Построить векторное поле градиента следующих функций:
a) z — x-\-y\	в) z = x2-\-y2\
§ 7.	Производные и дифференциалы высших порядков
1°. Частные производные высших порядков. Частными
производными второго порядка функции z = f(x, у) называются частные про-
изводные от ее частных производных первого порядка.
Для производных второго порядка употребляются обозначения
д fdz\___d2z__	.
дх \ дх ) ~ дх2 ~ fxx ( ’ у^’
д (dz\	d2z	v .
ч-	— К., (х, у) и т. д.
ду\дх)	дхду	ХУ
Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка
выше второго.
Если частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то
результат многократного дифференцирования не зависит от порядка диффе-
ренцирования.
Пример !. Найти частные производные второго порядка от функции
X Х
2 = arctg —.
Решение. Найдем сначала частные производные первого порядка:
dz___	1	1 _ у
дх ~ . £2 ’ ~у—*2+у2 ’
Ф у2
дг___	1	( х \_____ х
др j . xf	х2+у2 ‘
-t" у2
Теперь дифференцируем вторично:
д2г___д( у А___________ 2ху
дх2 дх \х2 + У* J (х2 + У2)2 *
д2г__д ( х А___________ 2ху
dy2~~S~y \ ~ х2 + у2) “(x2-f- у2)2 ’
д2г _ д ( у А __ b(x2+z/2) -2у-у_ х2 — у2
дхду ду\х2 + у2)	(х2+у2)2	(х2 + у*)* ’
§ 7] ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ	189
Заметим, что так называемую «смешанную» частную производную можно
найти и иначе, а именно:
д2г __ д2г __д / х \_________	1 *(х2 4~#2) — 2х-х_ х2 — у2
дх ду дудх дх \ х2 4- У2 j	(х2 4" У2)2	(%2 + У2)2 *
2°. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалом
второго порядка функции z = f(x, у) называется дифференциал от дифферен-
циала (первого порядка) этой функции
d2z = d (dz).
Аналогично определяются дифференциалы функции г порядка выше вто-
рого, например:
dsz = d (d2z)
и, вообще,
dnz — d(dn~1z).
Если z = f(x, у), где х и у — независимые переменные и функция f имеет
непрерывные частные производные второю порядка, то дифференциал 2-го по-
рядка функции z вычисляется по формуле
,2 д2г , , । о d2z , , , d2z , ,
d2z~—, dx2+ 2 —— dxdy-j- — dy2.	(1)
dx2 1 dxdy 1 dy2 *	' r
Вообще, при наличии соответствующих производных справедлива символиче-
ская формула
dnz — ( dx dy z,
\ дх ‘ ду)
которая формально развертывается по биномиальному закону.
Если z—l(x, у), где аргументы х и у суть функции одного или несколь-
ких независимых переменных, то
,2 d2z , 2 । n d2z , , । д2г . j 1	। dz
d2z = dx + 2 dx dy + У! dy2 + d2x 4- ч- d2y.	(2)
дх2 1 дхду v 1 ду2 v 1 дх 1 ду	' ’
Если х и ^ — независимые переменные, то d*x = O, d2y = 0 и формула (2)
становится тождественной формуле (1).
Пример 2. Найти полные дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции
z = 2х2 — Зху — у2.
Решение. 1-й способ. Имеем:
~ = 4х — Зу, ч- — — Зх — 2у.
дх	ду	у
Поэтому
dz — dx 4“ dy — (4х — Зу) dx — (Зх 4- 2г/) dy.
Далее,
— —4	—	3 ———2
дх* ’ дхду~ ’ ду*~ ’
откуда следует, что
d2z	d2z	d2z
d‘z dx1 + 2dxdy 4-^-г dy* = 4dx* -6dx dy - 2dy*.
2-й способ. Дифференцированием находим:
dz = 4x dx — 3 (y dx 4- x dy) — 2ydy~ (4x — 3y) dx — (3x 4- 2y) dy.
190	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	[гл. VI
Дифференцируя еще раз и помня, что dx и dy не зависят от х и у, получим:
d2z = (4dx — 3dy) dx — (3dx -f- 2dy) dy = 4dx2 — 6dx dy — 2dy2.
d2z
1891. Найти
ч n , п 2 > если
дх ду 1 ду21
Z — с
d2z d2z
» еСЛИ
дх ду ’ ду2 ’
z=ln (хг-
1892.	Найти ч-2
дх2
д2г
1893.	Найти ч—, если
дх ду ’
z = Vr2xy-\-y2.
d2z
1894.	Найти если
дхду ’
х X + у
г = arctg-—— .
& 1 — ху
д2г
1895.	Найти ^-2, если
г=/хг+/4-^.
1896.	Найти все частные производные 2-го порядка функции
и — ху	yz -j- zx.
д9и
1897.	Найти , если
и — xyPz"1.
d9z
1898.	Найти ^--я-2, если
С/Лк \J И
z = sin(xy).
1899.	Найти f”xx(0, 0), fxy(0, 0), 4(0, 0), если
/(х,_у) = (14-*)т(1+Я’.
d2z d2z
1900.	Показать, что	д-=т~а", если
1 дхду ду дх ’
/X — у
•
1901.	Показать, что	если
z — xy.
1902*. Показать, что для функции
С добавочным условием /(0, 0) = 0 имеем
4(0,0)=-1, 4(0, о)=4-1.
§ 7]	ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ	191
шло и Я №	№
1903.	Найти ч-., д—д-, ч-j, если
дхг ’ дхду ду2 ’
*=/(«, 1/),
где и*=*х*-\-у\ v — xy.
д2и
1904.	Найти д-», если
дх2 ’
u—f(x, У, г), где z = <f>(x, у).
d2z d2z d2z
1905.	Найти F2, чЦ-, й > если
дх2 ’ дхду' ду2'
где п = ф(х,.у), ^ = Ф(х,ву).
1906.	Показать, что функция
. У
и = arctg
удовлетворяет уравнению Лапласа
d2u . д2и____________________________хч
дх^'ду2 — °’
1907.	Показать, что функция
. 1
и — In — ,
г ’
где г = У(х — а)2	— Ь)\ удовлетворяет уравнению Лапласа
д2ц I д2ц__п
• ду2 ~ и*
1908.	Показать, что функция
и (х, /) = A sin (a kt Ф) sin кх
удовлетворяет уравнению колебаний струны
д2и__ 2 djw
dt2 а дх2 *
1909.	Показать, что функция
1	(х - *р)а -НУ - Уо)а-Н* - *р)а
д (х, у, z, t) =--7=- е	*a2t
v J (2aVntY
(х0, J%, £0, а — постоянные) удовлетворяет уравнению теплопроводности
ди___ г[д2и . д2и . д2и\
dt а \ дх2 ду* dz2 J *
1910.	Показать, что функция
и = ф (х — at) 4“ Ф U 4” а0>
192
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
где ф и гр — произвольные дважды дифференцируемые функции, удо-
влетворяет уравнению колебаний струны
д2и___ 2 д2и
dt2 а дх2
1911.	Показать, что функция
г=«р(4) + Ч1(|)
удовлетворяет уравнению
V* _L 2xv — + V2 — — О
Х дх*^ху дхду'У
1912.	Показать, что функция
удовлетворяет уравнению
1913.	Показать, что функция z—f\x -J-ф (.у)] удовлетворяет
уравнению
dz d2z __dz d2z
dxdxdy dydx2 9
1914.	Найти u = u(x, у), если
функции и=и(х, у), удовлетворяющей
^=о
дхг ’
z=exy.
и = xyz.
(t), где /=х24-у2.
1915.	Определить вид
уравнению
1916.	Найти d2z, если
1917.	Найти d2u, если
1918.	Найти d*z, если
г—ф
1919.	Найти dz и d2zy если
V	X
z=u, где и = ~, <и = ху.
1920.	Найти d2z, если
г>), где и = ах> v — by.
§ 8J 
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
193
1921.	Найти если
z=f(u, v), где и—хеу, v=yex.
1922.	Найти d*z, если
г=е* cosy.
1923.	Найдя дифференциал 3-го порядка функции
z=xcos_y-|"> sinx,
определить все частные производные 3-го порядка.
1924.	Найти d/(l, 2) и d2/(l, 2), если
f (х, у) = х*	ху у* — 41пх— lOlnj».'
1925.	Найти d2/(0, 0, 0), если
f(x, у, z) = х* -}- 2у2 -|- 3z2 — 2ху	4xz -|- 2yz.
§ 8.	Интегрирование полных дифференциалов
1°. Условие полного дифференциала. Для того чтобы выра-
жение Р (х, у) dx Q (х, у) dy, где функции Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны
в односвязной области D вместе со своими частными производными первого
порядка, представляло собой в области D полный дифференциал некоторой
функции и (х, у), необходимо и достаточно выполнение условия
дх ду ‘
Пример 1. Убедиться в том, что выражение
(2х + у) dx (х 4- 2г/) dy
есть полный дифференциал некоторой функции, и найти эту функцию.
Решение. В данном случае Р ==2х-{- yt Q = x-\-2y. Поэтому
dQ дР t
=	= 1 и, следовательно,
дх ду
(2х 4- у) dx 4- (х 4- 2у) dy = du = ^dx + dy,
где и — искомая функция.
По условию ~ = 2х 4- у, следовательно,
«= J (2х 4-у) dx — х2 4-ху 4-<р (у).
Но, с другой стороны, |^ = х4-<р'(у) = х4-2г/, откуда <р' (у) = 2г/, <р (у) =
= У2 4-Си
и = х24-хг/4-г/84"С.
Окончательно,
(2х 4- у) dx 4- (х 4- 2у) dy = d (х2 + xy-j- у* + С).
2°. Случай трех переменных. Аналогично выражение
Р(х, у, z)dx + Q(x, у, z)dy-j-R(x, у, z)dz,
7 Г. С. Вараиенков и др.
194
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
где Р (х, у, z), Q (х, у, г), R (х, у, г) — непрерывные,, вместе со своими част-
ными производными 1-го порядка, функции переменных х, у и г, тогда и
только тогда представляет собой полный дифференциал некоторой функции
и (х, у, г) в пространственно односвязной области D, когда в Ь выполнены
условия
dQ дР dR dQ дР	dR
дх	ду 9 ду	dz ’ dz	дх *
Пример 2. Убедиться в том, что выражение
(Зх8 + Зу - 1) dx + (z8 + Зх) dy + (2уг + 1) &
есть полный дифференциал некоторой функции, и найти вту функцию.
Решение. Здесь Р = 3х84“3у —1, Q = z84-3x, R = 2#z-j-l. Уста-
навливаем, что
дх ду 9 ду дг 9 дг дх
и, следовательно,
(Зх8 4- Зу — 1) dx (z8 4- Зх) dy 4~ (2уг 4- 1) dz = du =
ди . , ди , . ди .
== ~- dx-+--^-dydz,
дх 1 ду 1 дг
где и — искомая функция.
Имеем:
g = 3x«+3^-l,
значит,
я = (3х84-3^— l)dx = x84-3x# —х4-ф (У, *)•
С другой стороны,
ди о । дф « I п
^=3x + g = 2*+3x,
ди 5<р	„	. ,
to	to
откуда = и g^- = 2yz4- 1. Задача сводится к отысканию функции двух
переменных ср (у, г), частные производные которой известны и выполнено
условие полного дифференциала.
Находим <р:
Ч> (У> е) = J t*dy = yz*+ty (z),
57 = 2yz 4-ф' (г) = 2уг +1,
ip'(z)=l, i|)(z) = z4-C,
т. е. <р(у, е) = уг*4-г4-С. Окончательно получаем:
« = х*+— ж + уг’4-г-}-С.
Убедившись, что данные ниже выражения являются полными диф-
ференциалами некоторых функций, найти эти функции.
1926. ydx-\-xdy.
1927. (cosx-j-Sx’j) dx4~(x’—
§ 9]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ	195
100ft (x+2y)dx-f-ydy
1928, (х + у)’
1929. ^^dx—^^dy.
x2-j-y2	*+// л
1930. — dx — -.dy.
У У* '
1931. —х---(/х4-	...dy.
/х‘+у»	^/х’+у8 л
1932. Определить постоянные а и b так, чтобы выражение
(ах8 + 2ху 4- у8) dx — (х8 + 2ху + бу8) dy
(х8 + у8)8
было полным дифференциалом некоторой функции х, и найти послед-
нюю.
Убедившись, что данные ниже выражения являются полными диф-
ференциалами некоторых функций, найти эти функции.
1933. (2х 4-у + z) dx 4- (х -|- 2у 4- z) dy -|- (х 4~У 4“ 2^) dz.
1934. (Зх8 -|- 2_у8 4- Зг) dx -|- (4ху -f- 2у — z)dy-\- (Зх —у — 2) dz.
1935. (2xyz — 3y*z - j- Зху* 4~ 2) dx -|-
4- (x*z — Qxyz-{- Зх*у 4-1) dy 4- (х*у — Зху* 4“ 3) dz.
193в- (7-г)‘"'+(т—
1937 xdx-\-ydy-\-zdz
Ух2 + */2 + *а
1938*. Даны проекции силы на оси координат:
v__ У v_________
(*+у)"	(*+уУ ’
где % — постоянная величина. Каков должен быть коэффициент X,
чтобы сила имела потенциал?
1939. Какому условию должна удовлетворять функция f(x9 у)9
чтобы выражение
/(X, y)(dx-\-dy)
было полным дифференциалом?
1940. Найти функцию и, если
du=f (ху) (у dx-\-x dy).
§ 9. Дифференцирование неявных функций
1°. Случай одной независимой переменной. Если уравне-
ние f(x, у) = 0, где f(x, у) — дифференцируемая функция переменных х и у,
определяет у как функцию от х, то производная этой неявно заданной функ-
ции при условии, что fy (х, у) # 0, может быть найдена по формуле
dy^ 4(х. У)	.
/;(х, у)’
7*
196
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
Производные высших порядков находятся последовательным дифференциро-
ванием формулы (1).
Пример 1. Найти — и , если
dx dx2
(x2 + /)8-3(x2 + t/2) 4-1=0.
Решение. Обозначая левую часть данного уравнения через f (х, t/),
найдем частные производные
f'x (xt у) = 3 (х2 4- у2)2• 2х - 3• 2х = 6х [(х2 4- у2)2 - 1],
fy (*, у) = 3 (х2 4- у2)2 • <2у - 3• 2у = бу [(х2 4- у2)2 - 1].
Отсюда, применяя формулу (1), получим:
dy __	fx (х> У) __ 6х [(х2 4- у2)2 - 1] __	х
dx ~	fy (х, у) ~~	К*2 4- У2? ~ И “	У *
Чтобы найти вторую производную, продифференцируем по х найденную пер-
вую производную, учитывая при этом, что у есть функция х:
1 dy	f х \
d2y__ d f x\_______	’ X dx______ У X \ ~yj________ if-^x2
"dx2 dx \ ~y J	y2 “	y2 ~~ y* ‘
2°. Случай нескольких независимых переменных. Ана-
логично, если уравнение F (х, у, ?) — О, где F (х, у, z) — дифференцируемая
функция переменных х, у и г, определяет г как функцию независимых пере-
менных х и у и Fz(xy у у г) # 0, то частные производные этой неявно задан-
ной функции могут быть найдены по формулам:
дг _ _ F'x(x, г)	<h___ F'y (х< у'	(2)
дх~ Р'г(х, у, г)' дУ~~	Fz(x, у, г)'
Другой способ нахождения производных функции
цируя уравнение F(x, у, ?) = 0, получим:
dF , , dF , , dF .
ч— dx 4“ ч- dy 4“ ч“ dz — 0.
dx 1 dy 1 dz
Отсюда можно определить dzt а следовательно, ~
п	п и »	dz dz
Пример 2. Наити ч- и ч-, если
dx dy
х2 — 2z/2 4- 3z2 — yz 4- у ~ 0.
z следующий: дифферен-
dz
dy'
и
Решение. 1-й способ. Обозначая левую часть данного уравнения
через F (х, у у z)t найдем частные производные
Рх(х* У> г) = 2х, F'y(Xy у у z) = — 4у — z4- 1, F'z(x, yt г)=^бг — у.
Применив формулы (2), получим:
дг_	F'x(x, У, е)_ 2х .	дг _	F'y(x, у, г) _	1 _	_ г
дх~	F'z(x, у, г)~	6г-у'	ду~	р'г(х, у, г)~ 6г~У
2-й способ. Дифференцируя данное уравнение, получим:
2х dx — 4у dy 4- 6z dz — у dz — z dy 4~ dy = 0.
§ 9J	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ	197
Отсюда определяем dz, т. е. полный дифференциал неявной функции:
__ 2х dx 4~ (1 — 4// — г) dy
у — 6г
Сравнивая с формулой dz = ||dx4~|^ dy, видим, что
дг __ 2х дг_________1 — 4у — г
дх у — 6г' ду у —6г
3°. Система неявных функций. Если система двух уравнений
J F(x, у, и, 0 = 0,
I G (х, у, и, 0 = 0
определяет и и v как дифференцируемые функции переменных х и у и якобиан
Р(Л G) _
D (и, 0 “
dF
ди
dG
ди
dF
dv
dG_
dv
7*0,
то дифференциалы этих функций (а следовательно, и их частные производные)
могут быть найдены из системы уравнений
dF , , dF . , dF . . dF ,
-х- dx + -3- dy 3- du + -3- dv = 0,
dx	‘	dy	*	du	1	dv
dG	.	.	dG	,	-	dG	,	.	dG	n
3—	dx 4- 3—	dy 4- 3— du + 3— dv = 0.
dx	1	dy	1	du	*	dv
(3)
Пример 3. Уравнения
u-\-v — x-\- у, xu-\-yv—\
,	„ du du dv dv
определяют и и v как функции от х и у\ наити	и .
Решение. 1-й способ. Дифференцируя оба уравнения по х, полу-
чим:
ди_, dv__.
dJ + dx“”1’
, ди , dv _
и+х^+у^=°’
отсюда
ди  и 4- у dv и-j-x
дх	х — у’ дх	х — у*
Аналогичным образом найдем:
ди  и 4~ У	ди v 4“х
ду~ — х — у'	ду~~х — у'
2-й способ. Дифференцированием находим два уравнения, связываю-
щие дифференциалы всех четырех переменных:
du 4- dv = dx 4“ dy,
x du-]-udx у dv-]-v dy = Q.
198
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
Решив эту систему относительно дифференциалов du и dv, получим)
d __(“+y)dx + (v+l/)dy	dv_(u + x)dx+(v+x)dy
x—y ’	x—у
Отсюда
иЛ-У ди__________________________ и~^У
дх~ х — у* ду~~ х — у*
dv_и-\-х dv__и -р х
дх~~~х — у' ду~~~ х — у*
4°. Параметрическое задание функции. Если дифферен-
цируемая функция я от переменных х и у задана параметрически уравнениями
и
х = х(и, и), у = у(и, г),
D(x, у)
D(u, v)
dx dx
du dv
ду ду
du dv
z = z(u, v)
#0,
то дифференциал этой функции может быть найден из системы уравнений
уравнениями
(и о).
, dx , . дх .
dx = — du + -ч- dv,
du 1 dv
• dy — <^-du-}-—dv,
du 1 dv
. dz . , dz .
dz = 4- du + -г- dv,
du 1 dv
Зная дифференциал dz = p dx + P dy, находим
dz dz
т~ = р и x- = <7.
dx r dy
Пример 4. Функция z аргументов x и у задана
х = а + и» p = «2 + t>2, z = u, + c/’
и- dz dz
Найти з- и
dx dy
Решение. 1-й способ. Дифференцированием находим три уравнения,
связывающие дифференциалы всех пяти переменных:
{dx — du -}-dv,
dyz=2udu-\- 2v dv,
dz = 3u2 du 4- 3a2 dv.
Из первых двух уравнений определим du и dv*.
, 2v dx — dy . dy — 2u dx
dU== 2(v—u)’ dv= 2(v — u)‘
Подставим в третье уравнение найденные выражения du и dv:
td^-2udx=
2 (у —и) 1	2 (v — и)
=(“-3= _3ииdx+3 („+v)d
2(v — u)	2
(4)
частные производные
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
199
§9J
Отсюда
дг „ дг 3 . . .
(« + »).
2-й способ. Из третьего данного уравнения можно найти!
^-3i?-4-3a2-
дх~3 dx'3v дх’ ду~3 dy + 3v ду'
Продифференцируем первые два уравнения сначала по х, затем по ух
1___ди . dv 0_______ди ._dv
дх' дх’	ду'ду9
_ о ди , о dv	-	о ди , _ dv
О = 2и ч- + 2v ч-,	1	= 2и ч- 4- 2v ч- .
дх 1 дх	ду '	ду
Из первой системы найдем:
ди , v dv____________________________ и
дх' v — и9 дх и — v *
(5)
dv__ 1
ду — 2 (v — и)
Из второй системы найдем:
ди__ 1
ду~2 (и — и)9
Подставляя выражения || и в формулу (5), получим:
^. = 3и*—---|-3v2	— Зии,
дх v-и1 и —и
дг п ,	1	,о.	1	3 . . .
— “ 3U2 зт------- 4- 3t>2 > Ч-;-; = — (Ц + 0.
ду 2 (и — и) 1	2 (v — и) 2
1941.	Пусть у есть функция х, определяемая уравнением
^+^==1.
а2 Ь2 ’
ил dy d2y	d8y
Найти /, и .
dx ’ dx2	dx9
1942.	Пусть у есть функция, определяемая уравнением
x2-|-j/2-|-2axy = 0 (а> 1).
d2u
Показать, что ^- = 0 и объяснить полученный результат.
1943.	Найти , если у = 1
ах	'	'
1944.	Найти и если у = х-\-\пу.
1945.	Найти	и	, если
\ал;/^=1 \ах /х-i
хг — 2ху 4-J* + •»+>’ — 2 — 0.
Пользуясь полученными результатами, приближенно изобразить
график данной кривой в окрестности точки х= 1.
200	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	[гл; VI
1940. Функция у определяется уравнением
in pGc* -j-y2 —a arctg (а^О).
Найти Гх и S’
1947.	Найти и 44, если
ах ахг
1	— 1п(е^+«"*>) = 0.
1948.	Функция z переменных х и у задана уравнением
х’4-2у’-|-г’ — 3>xyz— 2у4~3 = 0.
и „ дг дг
НаЙТИ дх И ду‘
1949.	Найти и если
дх ду *
XCOSJ/c°s^c°s 1.
1950.	Функция z задана уравнением
х2 + У* — z2 — ху = 0.
Найти и ~ для системы значений х =—1, у = 0, z=l.
дх ду	> j >
и р	dz	дг	д2г	д2г	д2г	х2 , у2 . г2 .
1951.	НаЙТИ	ч-,	Ч-,	ч-г,	3~3“ ,	Т?	>	еслИ	*л + Ъ + "г=Ь
дх	ду'	дх2 '	дхду'	ду2	'	а2 1 Ь2 1 с2
1952.	/(х, у, z) = 0. Показать, что	——*•
1953.	г = ф(х, у), где у есть функция х, определяемая уравне-
нием ф(х, у) = 0. Найти
1954.	Найти dz и d2z, если
х2 +у2 + ^2 = ^2.
1955.	Пусть z есть функция переменных х и у, определяемая
уравнением
2х2	2у2 -±z2 — 8xz — z 4- 8 = 0.
Найти dz и d2z для системы значений х = 2, у = 0, z==l.
1956.	Найти dz и d2z, если ln^ = x4-y + ^—!• Чему равны
производные 1-го и 2-го порядков функции zl
1957.	Пусть функция z определяется уравнением
х2 + У 4~ = ф	+ Ьу + cz),
где <р — произвольная дифференцируемая функция и a, bt с — посто-
янные. Показать, что
{су — bz) + (az — cx)py = bx — ау.
§ ?J	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ	201
1958.	Показать, что функция z, определяемая уравнением
F(x— az, у — bz) = 0,
где F—произвольная дифференцируемая функция своих аргументов,
удовлетворяет уравнению
dz । . дг ,
а^-А-Ь ч-= 1.
дх 1 ду
1959.	=0. Показать, что х~*-\- y^=z.
1960.	Показать, что функция z, определяемая уравнением
<у = Хф(г)-]~'ФСг), удовлетворяет уравнению
д2з (дг\2_9 дг te д2г . д2г ( дг\2_
дх2 \ ду ) дхду дх ду * ду2 \ дх )
1961.	Функции у и z независимой переменной х заданы системой
уравнений х2 4"У — -г2 = 0, x24-2y24-3z2 = 4. Найти ~	,
•	ах ах ах
d2z	1 л .
при х=1, у=о, z=l.
1962.	Функции у и z независимой переменной х заданы системой
уравнений
xyz — a, х-[-у -\-z = b.
Найти dy, dz, d2y, d2z.
1963.	Функции и и v независимых переменных х и у заданы
неявно системой уравнений
и = х-\-у, uv=y.
Вычислить
ди ди д^и д2и д2и dv dv d2v d2v d2v	___~	«
dx ’ dy ’ dx2 ’ dx dy ’ dy2 ' dx1 dy' dx2 ’ dxdy' ду2 П^И X
1964.	Функции и и v независимых переменных х и у заданы
неявно системой уравнений
u-\-v = x, и—yv = 0.
Найти du, dv, d2u, d2v.
1965.	Функции и и v переменных х и у заданы неявно системой
уравнений
х = ф(н, v),	v).
т т „ ди ди dv dv
Найти di' dy' di’ dy-
1966.	а) Найти и , если x = ncos<p, у — и sin v, z = cv.
б)	Найти 5- и , если x = u-l-v, у = и — v, z — uv.
в)	Найти dz, если x = ea+v, y = ett~v, z = uv.
202	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	[гл.VI
1967.	z— F(r, ф), где г и ф — функции переменных х и у,
определяемые системой уравнений
Х = ГСО5ф, 1у = г8Шф.
Найти —
дх
1968.
Рассматривая z как функцию х и у, найти и , если
х = асо8фсо5ф, у=&8тфС05ф, z = csinip.
§ 10. Замена переменных
При замене переменных в дифференциальных выражениях входящие
в них производные следует выразить через производные по новым перемен-
ным, используя правила дифференцирования сложных функций.
1°. Замена переменных в выражениях, содержащих
обыкновенные производные.
Пример 1. Преобразовать уравнение
« d2y , о dy , а2 л
х2 -744-2% /4--уу=о,
dx2 1 dx 1 х2
полагая х = ~ .
Решение. Выразим производные от у по х через производные от у
по t. Имеем;
dy
dy__dt__ dt __ dy
dx dx________dt 9
dt t2
d_(dy\
d2y__d /dy\___dt \dx)_____
dx2 ’ dx\dx J	dx
dt
(2,s+‘'₽)<-''>=2,,s+'‘S-
Подставляя найденные выражения производных в данное уравнение и заме-
няя х через у , получим:
? • '• (23?+'j?)+24(-
или
Пример 2. Преобразовать уравнение
х
%=о,
dx
приняв у за аргумент, а х за функцию.
§ ют
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
203
Решение. Выразим производные от у по х через производные от х
по у
dff=l,
dx dx *
dy
—	йах
cFy__d /±\d/J_\ dy_ dy* , 1 _ dy*
dx*	dxfrfxj	dyfdxjdx	/ £с\г’ ~
\dyJ	\dy/	\ dy J dy	\dy)
Подставив эти выражения производных в данное уравнение, будем иметь?
d*x -
х_____dJL __________1=0,
/dx\’ * /dx\e	dx
- \dy) J \dy)	dy
или, окончательно,
Пример. 3. Преобразовать уравнение
Лу-.х+у
dx х — у9
перейдя к полярным координатам
x=rcos(p, # = rsin(p.	(1)
Решение. Рассматривая г как функцию (р, из формул (1) получим:
dx = cos ф dr — г sin ф dyt dy = sin ф dr + r cos ф ^ф,
отсюда
, dr .
.	,	. , j	sin ф -j—J- r cos ф
dy sin ф dr -|- r cos Ф ^Ф 	^^ф 1	т
dx	cos ф dr — г sin ф dy	л „dr
v	cos Ф 2ф — r sin Ф
dy
Подставляя в данное уравнение выражения для х, у и , будем иметь?
, dr ,
sin ф з—н г cos ф
dtp 1_____2__г cos Ф + г Ф
d?	г cos ф — г sin ф ’
COS Ф -3---Г sin Ф
dф
или, после упрощений,
dr__________________________________
dy~r‘
2Оф Замена переменных в выражениях, содержащих
частные производные.
Пример 4. Уравнение колебаний струны
^ = 0^	(а#0)
204
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[гл. Vi
преобразовать к новым независимым переменным а и 0, где а = х — at,
Решение. Выразим частные производные от и по х и t через частные
производные от и по а и р. Применяя формулы дифференцирования сложной
функции
ди du da । du др	ди др^
dt	dadt "Г*dp dt ’ дх дадх др дх*9
получим:
ди ди, ч . ди (ди ди\
ди__ди 1 .ди ____ди . ди
dx~da* 1+др ’ 1~“да ' др’
Дифференцируем вторично, применяя те же формулы:
д2и_д (ди\___д (ди\ да . д /ди\ др_
д^“д/ \dFJda \dt J dt др \д?J dt
/ d2u д2и\ .	. . (d2u	&и \
—	дс?>( а) +а	дад$) а~~
-а W ^дадр^д^)'
d2u д (ди\  д (ди\	dp 
дх2 дх \дх/	да \дх ) дх др \ дх) дх
___(д2и . д2и \ iif \д2и\
\да5"' дадр/ ‘ 1 + \дадр ^др2/ *
_д2и д*и д2и
“да2 ‘ 2да др"1" др2’
1 =
Подставив в данное уравнение, будем иметь:
, (d2u п d2u d2u\_______ 2 Л
а (da2 2<?adp-)-dP2>)~a
> d2u
'd^dp
или
-^- = 0.
da dp
«	• dz ,
Пример 5. Преобразовать уравнение gj +
1 1
новые независимые переменные и = х, v =--------
г	ух
1	1
Z	X
W =
_	„	дг
Решение. Выразим частные производные и
dw
изводные и
между старыми
gg-. Для этого продифференцируем
и новыми переменными
.	.	. dx	dy	, dx
du — dx, dv = -r----, dw = —
x2	y2	x2
приняв за
ду
и за новую функцию
dz
через частные про-
данные соотношения
dz
§ 10J
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
205
С другой
стороны,
Поэтому
. dw . , dw .
dw = 5— du + -47- dv.
du 1 dv
dw , , dw . dx dz
7- du + ^-dv = -7---r
du	1 dv x2 z2
или
Отсюда
dw (dx dy\ dx dz
dv \ x2 y2 J x2 z2
и, следовательно,
dw 1 dw\ - , z2dw ,
— -------9] dx- dy
du x2 dv J y2 dv
dz  2 / 1	dw
dx Z \x2	du
и
dz__z2 dw
dy~y2dv*
Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим:
, . / 1 dw 1 dw \ . 9 dw .
X2z2 -7 — ^----74— +?2	=
\х2 du х2 dv J 1 dv
или
^ = 0.
du
1969. Преобразовать уравнение
'!S+2's+->’=0’
полагая х=ег.
1970. Преобразовать уравнение
полагая x = cost
1971. Преобразовать следующие уравнения, приняв за аргументу:
= 0,
б)
' dxdx9
1972. Тангенс угла ц, образованного ка-
сательной МТ и радиусом-вектором ОМ
точки касания (рис. 69), выражается сле-
дующим образом:
v X
tg|A =---------•
Преобразовать это выражение, перейдя
х —г cos ф, j = r sin ф.
= 0.
к полярным координатам:
206
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
1973. Формулу кривизны линии
[1+(/)21в/*
выразить в полярных координатах x = rcos(p, jz = rsin<p.
1974.	Преобразовать к новым независимым переменным и и V
уравнение
dz	dz	л
z dx	dy ’
если и = х, v—x*
1975.	Преобразовать к новым независимым переменным и и V
уравнение
dz I dz	n
X л---— z = 0,
dx 1 z dy	’
если и = х. v=~.
* х
1976.	Уравнение Лапласа
। dga__л
dx? ‘ dy*~u
преобразовать к полярным координатам г и ср, полагая
x = rcoscp, j = rsinq).
1977. Преобразовать уравнение
№
d*z___ 2 d2z
дх* у ду*
= 0,
X
полагая и — ху и *и = —.
1978.	Преобразовать уравнение
dz dz . ч
У-дх-Хду = ^-^г'
введя новые независимые переменные
«=4+-~
и новую функцию w = ln^-----
1979.	Преобразовать уравнение
d2z о ।	__л
dx2	dx dy ' ду2 ’
приняв за новые независимые переменные и = х -^-у> z/ —и за но-
вую функцию
§ 11J КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ 207
1980.	Преобразовать уравнение
д** | 2 д2г 	*
дх2 ‘ дх ду ’ ду2 '
полагая и=х-^-у, v—x— yt w=xy — z, где w=w(z/,
§ И. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
1®. Уравнения касательной плоскости и нормали
для случая явного задания поверхности. Касательной
плоскостью к поверхности в точке М (точка касания) называется плоскость,
в которой лежат все касательные в точке М к различным кривым, проведен-
ным на поверхности через эту точку.
Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной пло-
скости в точке касания.
Если уравнение поверхности в декартовой системе координат задано
в явной форме г = f (х, у), где f (х, у) — дифференцируемая функция, то
уравнение касательной плоскости в точке М (х0, yQ, е0) поверхности есть
Z — z0 = fx(x0, yQ) (X — х6) 4- /' (х0, у0) (Y — yQ).	(1)
Здесь 20 = f(x0, yQ), а X, Y, Z —текущие координаты точки касательной
плоскости.
Уравнения нормали имеют вид
X Хф _____ Y — yQ Z — 7^
fx (*0. У<) f'v (Ха, — 1	(2)
где X, У, Z —текущие координаты точки нормали.
Пример 1. Написать уравнения касательной плоскости и нормали
х2
к поверхности г = ——У* в ее точке М (2; —1; 1).
Решение. Найдем частные производные данной функции и их значе-
ния в точке М
д2=х	(-} ==2,
дх *	\дх)м
дг о (дг\ ___________л
ду~~ У' \ду)м~~%*
Отсюда, применяя формулы (1) и (2), будем иметь: г — 1 ==2(х — 2)-f-2(^-f-l)
х — 2 и *4** 1
или 2х + 2у — г — 1 = 0—уравнение касательной плоскости и —-—=—j--- =
2—1
=-^71-----уравнения нормали.
2®. Уравнения касательной плоскости и нормали для
случая неявного задания поверхности. В том случае, когда
уравнение гладкой поверхности задано в неявной форме
F (х, у, е) = 0
и F (х0, у^ ро) = 0, соответствующие уравнения будут иметь вид
Fx(x0, Уо> г.)(-Х — *о)+^у(*о« Уо> г0)(/ — ул) + ул. г0)(Z — г0) = 0 (3)
208	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	[ГЛ. VI
— уравнение касательной плоскости и
*0	=	~ #0	—»	~ g0
Рх (*о» Уа* ®о) Ру <*о» У& ?о) Pg (*о» Уь* U
— уравнения нормали.
Пример 2. Написать уравнения касательной плоскости и нормали
к поверхности 3xz/2 —г8 = с8 в точке, для которой х = 0, у = а.
Решение. Найдем аппликату точки касания, подставив х=0, # = а
в уравнение поверхности: — е’ = а’, откуда е = —а. Таким образом, точка
касания есть М (0, а, — а).
Обозначив через F (х, у, г) левую часть уравнения, найдем частные про-
изводные и их значения в точке Mt
F'x = 3^’	= — За2,
Г'=3X2,	(^)м = 0,
F' = Зху — За2, (FZ)M = — За2.
Применяя формулы (3) и (4), получим:
— За2 (х — 0) 4- 0 (у — а) — За2 (? 4- а) = 0
или х 4-е+ а = 0 — уравнение касательной плоскости,
х — 0___у — а____2 4~ °
— За2” 0	“ — За2
х у —a e-j-a
или	— = —j------уравнения нормали.
1981.	Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к следующим поверхностям в указанных точках:
а)	к параболоиду вращения z — x2-\-y* в точке (1; — 2; 5);
х2 а2	а2
б)	к конусу	те4п-----г	в точке (4; 3; 4);
10 У	о
в)	к сфере -J-z2 = 2/?z в точке (/?cosa; /?sina; R).
1982.	В каких точках эллипсоида
02 “Г Ь2 ~Г g»
нормаль к нему образует равные углы с осями координат?
1983.	Через точку Л4 (3; 4; 12) сферы x2-J-j2-J-z2 = 169 про-
ведены плоскости, перпендикулярные к осям ОХ и ОУ. Написать
уравнение плоскости, проходящей через касательные к получившимся
сечениям в их общей точке Л4.
1984.	Показать, что уравнение касательной плоскости к централь-
ной поверхности 2-го порядка
ах2 by2 cz2 = k
в ее точке И4(х0, j0, z*) имеет вид
ах^ + by „у+cztg=k.
§ 111 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ Й НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ 209
1985.	К поверхности хг4"2/ + 3-г‘ = 21 провести касательныв
плоскости, параллельные плоскости x-\-4y-\-6z—0.
I у2 “^2
1986.	К эллипсоиду 4“^t	= 1 провести касательные плос-
кости, отсекающие на координатных осях равные по величине отрезки.
1987.	На поверхности х2-\-у2— — 2х = 0 найти точки,
в которых касательные плоскости параллельны координатным плоско-
стям.
1988.	Доказать, что касательные плоскости к поверхности xyz—ml
образуют с плоскостями координат тетраэдр постоянного объема.
1989.	Показать, что касательные плоскости к поверхности
= отсекают на осях координат отрезки, сумма
которых постоянна.
X* I и1
1990.	Показать, что конус	и сфера
<1 г i f Ь' + *\*	»»	, ..
*+/ + (*—=?•(*+«)
касаются друг друга в точках (0, ±Ь, с).
1991.	Углом между двумя поверхностями в точке их пересече-
ния называется угол между касательными плоскостями, проведенными
к данным поверхностям, в рассматриваемой точке.
Под каким углом пересекаются цилиндр x2-\-y2 — R2 и сфера
(х — /?)’4-у2Ц-z* = R2 в точке "V""’ °)?
1992.	Поверхности называются ортогональными, если они пе-
ресекаются под прямым углом в каждой точке линии их пересе-
чения.
Показать, что поверхности х2-|-у2 -\-z* — r2 (сфера), j = xtgcp
(плоскость) и zt = (x24-^*)tgt Ф (конус), являющиеся координатны-
ми поверхностями сферических координат г, <р, ф, взаимно ортого-
нальны.
1993.	Показать, что все плоскости, касательные к конической
поверхности z =	в ее точке /И(х0, у^ £0), где хо^=О, про-
ходят через начало координат.
1994*. Найти проекции эллипсоида
х2 -j- у* 4- z* — ху — i=o
на координатные плоскости.
1995. Доказать, что нормаль в любой точке поверхности враще-
ния ^=/(угх14“У) (/'=/=0) пересекает ось вращения.
210
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. V
f 12. Формула Тейлора для функции нескольких переменных
Пусть функция f(x, у) имеет в окрестности точки (а, Ь) непрерывные
частные производные всех порядков до (п 1)-го включительно. Тогда в рас-
сматриваемой окрестности справедлива формула Тейлора:
f(x, y)csf(a, b) + ^-\f’x(a, b)(x-a) + fy(a, 6)(y-6)]4-
4-^-1/к* (a. b) (x - ay + 2fxt/ (a, b) (x -a)(y-b) + fyy (a, b) (y
где
(x’ »)= taiiji [(x ” a)Tx+to-ь)тЛ "+I f la+8 (x ~ °)’ 6+9 to -
(0<9<l).
В других обозначениях:
f(х + Л. У + А) = f (X, у) + jj [hfx (х, у) + kf’y (х, у)] +1 [ft‘4 (х, у) +
+ 2hkfxy(x, y) + k>fyy(x, ₽)] + --+^(Ai+A^)'’/(x. У) +
1	/ д д\п+1
+ (МПГ>(а£+Ч)	f(* + *by + W. (2)
или
Af(«. y)^=df(x, y) + ^-d‘f(x,
•••+^“4to, У) +	d”+V (X + 9Л; У + »А).	(3)
Частный случай формулы (1) при a=ft=0 называется формулой Мак-
лорена.
Аналогичные формулы справедливы для функции трех и большего числа
переменных.
Пример. Найти приращение, получаемое функцией f(x, у) —
=х* —	-|- Зху при переходе от значений х = 1, у = 2 к значениям х, = 1 -[-ft,
= 2
Решение. Искомое приращение можно найти, применяя формулу (2).
Вычислим предварительно последовательные частные производные и их зна-
чения в данной точке (1, 2):
/^(х, y) = 3xt + 3y,
fy(x, у)=-6у‘4-3х,
[^(х, у)=6х,
Су(х, у) = 3,
fyy(X, У)=“~^У,
txxx(x, У)—^,
f/on,(x. У) — ®,
f^(x, у)=0,
ty„ (X, »)=-12,
fx(l-, 2) = 3-1 4-3-2 = 9,
<(1; 2) = — 6-4 4-3-1 = — 21.
fxx(l-, 2) = 6-1 = 6,
f^(l; 2) = 3,
fy-yd; 2) = -12-2 = -24,
fxxx(l; 2) = 6,
f^yd; 2) = 0.
fxyy (i; 2) = 0.
f^d; 2) = -12.
§ 12] ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 211
Все дальнейшие производные тождественно равны нулю. Подставляя
найденные результаты в формулу (2), получим:
Д/(х, y)=f(l+h, 2 + k)-f(l, 2) = Л.9 + й(-21)-р
+ [Л’-6 + 2ЛА-3 4- & (— 24)] +	[й*-6 4- ЗА2А-0 4- ЗЛАМ 4- k* (—12)] =
= 9Л - 21 k 4- ЗЛ2 4- ЗЛА - 12А» 4- Л‘ - 2А’.
1996.	Разложить /(х-|-Л, по Нелым положительным сте-
пеням h и А, если
/(х, у) — ах2 4-2£ху4- су2.
1997.	Функцию /(х, у) — — х2 4~ 2ху 4~ Зу2— 6х— 2у — 4 раз-
ложить по формуле Тейлора в окрестности точки (—2; 1).
1998.	Найти приращение, получаемое функцией /(х, у)—х2У
при переходе от значений х=1, у—1 к значениям
х1=14-А» У1 = 14-^
1999.	Функцию /(х, у, z) = х2 у2 z2 2ху—yz— 4х—
— Зу— z^4 разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
(1; 1; 1).
2000. Разложить /(x-j-^» У4“^> *4~^) по пелым положитель-
ным степеням Л, k и Z, если
/(х, у, ^) = х24-/4-^2 — 2ху — 2xz — 2yz.
2001.	Разложить по формуле Маклорена до членов 3-го порядка
включительно функцию
/(х, у) = ех sin у.
2002.	Разложить по формуле Маклорена до членов 4-го порядка
включительно функцию
/(х, у) = cos х cos у.
2003.	Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1; 1)
до членов 2-го порядка включительно функцию
/(X, у)=ух.
2004.	Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
(1; —1) до членов 3-го порядка включительно функцию
f(x, у) = ех+у.
2005.	Вывести приближенные формулы с точностью до членов
2-го порядка относительно величин аир для выражений
х х 1+а хх 1/(1 -4-а)от + (1 + р)и*
a) arctgp^j; б) у 1	,
если |а| и |р| малы по сравнению с 1.
2006*. Используя формулы Тейлора до членов 2-го порядка, вы-
числить приближенно
a) /L03, /^98; б) (0, 95)2-»‘,
212
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	[ГЛ. VI
2007. Пусть z есть та неявная функция от х и у, определяемая
уравнением z* — 2xz -|- у = 0, которая принимает значение z = 1
при х = 1 и у — 1. Написать несколько членов разложения функции z
по возрастающим степеням разностей х—1 и у—1.
§ 13. Экстремум функции нескольких переменных
1°. Определение экстремума функции. Говорят, что функ-
ция /(х, у) имеет максимум (минимум) f (а, Ь) в точке Р (а, Ь), если для всех
отличных от Р точек Р' (х; у) в достаточно малой окрестности точки Р выпол-
нено неравенство f(a, b) > f (х, у) (или соответственно f (а, Ь)< /(х, у)). Мак-
симум или минимум функции называется ее экстремумом. Аналогично
определяется экстремум функции трех и большего числа переменных.
2°. Необходимые условия экстремума. Точки, в которых
дифференцируемая функция /(х, у) может достигать экстремума (так называ-
емые стационарные точки), находятся путем решения системы уравнений
у) = 0, fy(x, у) = 0	(1)
(необходимые условия экстремума). Система (1) эквивалентна одному уравне-
нию df(x, у) = 0. В общем случае в точке экстремума Р (а, Ь) функции f (х, у)
или df (а, Ь) = 0, или df (а, Ь) не существует.
3°. Достаточные условия экстремума. Пусть Р (а, Ь) — ста-
ционарная точка функции f (х, у), т. е. df (a, b) = Q. Тогда: а) если
d2f (а, Ь) < О при dx2 -|- dy2 > 0, то /(а, Ь) есть максимум функции f (х, у)\
б) если d2f(a, b) > 0 при dx2 -\-dyz > 0, то f (а, b) есть минимум функции
f(x, у)\ в) если d2f (а, Ь) меняет знак, то f (а, Ь) не является экстремумом
функции f(x, у).
Приведенные условия эквивалентны следующим: пусть fx(a, b) = f (а, Ь)=
= 0 и A = fxx(a, b), B = fxy(at b), C = fyy(a, b). Составим дискриминант
к—АС —В2.
Тогда: 1) если А > 0, то функция имеет экстремум в точке Р (а, Ь),
а именно максимум, если А<0 (или С < 0), и минимум, если А>0 (или
С > 0); 2) если А < 0, то экстремума в точке Р (а, Ь) нет; 3) если А = 0,
то вопрос о наличии экстремума функции в точке Р (а, Ь) остается открытым
(требуется дальнейшее исследование).
4°. Случай функции многих переменных. Для функции
трех и большего числа переменных необходимые условия существования
экстремума аналогичны условиям 1°, (1), а достаточные условия аналогичны
условиям 3°, а), б), в).
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию
г — х2 -f— Зхг/2 — 15х — 12г/.
Решение. Найдем частные производные и составим систему уравне-
ний (1):
^=Зх!4-3«/!-15 = 0, ^=6хг/- 12 = 0
дх 1	ду
или
/ х2+(/2-5 = 0,
[ ху — 2 = 0.
Решая систему, получим четыре стационарные точки:
Р>(1; 2); Р2(2; 1); Р.(-1; -2); Р^-2, -1).
§ 13]	ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	213
Найдем производные 2-го порядка
. д*г с
3-^ = ох, ^-^- = 6у, ч-г — бх
дх? дхду а ду1
и составим дискриминант Д=ЛС — Вг для каждой стационарной точки.
1)	Для точки Р,: А = (^} =6, B =	= 12, С=(Й) =»
\дх*]Р1	\dxdylPl	Xdfjp,
= 6, А = АС — Вх = 36 — 144 < 0. Значит, в точке Р, экстремума нет.
2)	Для точки Р2: Л = 12, В = 6, С=12; Д = 144 — 36 > О, Л>0.
В точке Р, функция имеет минимум. Минимум этот равен значению функции
при х = 2, г/= 1:
2min = S + 6-30- 12 = -28.
3)	Для точки Р#: Л=—6, В =—12, С = —6; Д = 36- 144<0.
Экстремума нет.
4)	Для точки Р4: Л = —12, В = —6,С = —12; Д = 144 — 36 > О, А < 0.
В точке Р4 функция имеет максимум, равный zmax =— 8 - 64-30 4-12 = 28.
5°. Условный экстремум. В простейшем случае условным экст-
ремумом функции f(x, у) называется максимум или минимум этой функции,
достигнутый при условии, что ее аргументы связаны уравнением <р (х, </) = 0
(уравнение связи). Чтобы найти условный экстремум функции / (х, у) при нали-
чии соотношения <р (х, у) = 0, составляют так называемую функцию Лагранжа
F(x, y) = f(x,	у),
где К — неопределенный постоянный множитель, и ищут обычный экстремум
этой вспомогательной функции. Необходимые условия экстремума сводятся
к системе трех уравнений
£_w+l«t=0,
дх дх 1 дх
< ЭР _df..d<f	(2)
Ф=^+Х57-0’
<р (х, у) —О
с тремя неизвестными х, у, X, из которой можно, вообще говоря, определить
эти неизвестные.
Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается
на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа
&F	d2F	d2F
d2F(x, y) = (^dx2 + (2.^-dxdy-\-c^dy2
'	' дх2 ' дхду у 1 ду2 v
для испытуемой системы значений х, у, Л, полученной из (2) при условии,
что dx и dy связаны уравнением
Зх dx + ^dP = 0 (dx* + dy* 0).
А именно, функция /(x, у) имеет условный максимум, если d2F < 0, и условный
минимум, если d2F >0. В частности, если дискриминант Д для функции
F (х, у) в стационарной точке положителен, то в этой точке имеется условный
максимум функции /(х, у), если 4 < 0 (или С < 0), и условный минимум,
если А > 0 (или С > 0).
Аналогично находится условный экстремум функции трех или большего
числа переменных при наличии одного или нескольких уравнений связи (число
которых, однако, должно быть меньше числа переменных). Здесь приходится
вводить в функцию Лагранжа столько неопределенных множителей, сколько
имеется уравнений связи.
214
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
Пример 2. Найти экстремум функции
г = 6 — 4х — Зу
при условии, что переменные х и у удовлетворяют уравнению
+ =
Решение. Геометрически задача сводится к нахождению наибольшего
и наименьшего значений аппликаты z плоскости г=6 — 4х — Зу для точек
пересечения ее с цилиндром х2 + у2 = 1.
Составляем функцию Лагранжа
F (х, у) = в-4х-Зу + К(хг + уг— 1).
dF	dF
Имеем = — 4 4-2А.Х, ^-= —- 3 +	Необходимые условия дают систему
уравнений
— 44-2Хх = 0,
— 3 4-2Х«/ = 0,
х24-У2=1.
решая которую,	найдем:			
	Xi	___5 ~ 2 ’	4 Х,~ 5 ’	3 У,~'5
и	Х/2 = -	2 ’	II 1	3 f/2 —— у.
Так как	dzF дх2	= 2Х,	-^- = 0 дх ду	^=2К, ду1
то
d2F = 2Х (dxz + dy2).
5	4	3
Если X — — , х—— и =	, то d2F>0, и, следовательно, в этой точке
2	о	О
5	4	3
функция имеет условный минимум. Если Х = — —, х =----------=- и	—р">то
£	о	э
&F < 0, и, следовательно, в этой точке функция имеет условный максимум.
Таким образом,
А I 16 I 9 —11
^тах — 6 4" 5 4“ 5 — И,
, -К 16	9-1
«min — 6 — у — у— 1.
6°. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Функция, дифференцируемая в ограниченной замкнутой области, достигает
своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке или
в точке границы области.
Пример 3. Определить наибольшее и наименьшее значения функции
г = х2 4-01 — ху 4-х 4- у
в области
х^О, z/^rO, х4-У^= —3.
§ 13]	ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	215
Решение. Указанная область есть треугольник (рис. 70).
1)	Найдем стационарные точки:
2% 2* —” у	1 = 0,
Zy S3 2J/ —*4-1 = 0;
отсюда х = — 1, у = — 1; получаем точку М (— 1; — 1).
В точке М значение функции z^ =—1. Исследование на экстремум —
не обязательно.
2)	Исследуем функцию на границах области.
При х = 0 имеем z = y*-f-y, и задача сводится к отысканию наиболь-
шего и наименьшего значений этой функции од-
ного аргумента на отрезке — З^у^О. Проведя
исследование, найдем, что (гнаиб)х=в = 6 в точке
(0; —3); (гнаим)х=0 = —4 в точке (о; —4) 
При г/= 0 получаем г = х*-}-х. Аналогично
найдем, что (гНаиб)у=о = 6 в точке (—3; 0);
(гИанм)^=о = —4 в точке	°) •
При х 4- у = — 3 или у = — 3 — х будем иметь
z=3x24-9*4“6- Аналогичным образом найдем, что
3	7	3	3 \
(2наим)х+д/= — j == j" в точке I	~»	2~) >
(гнаиб)х+^=-в — ® совпадает с (2’наиб)х=0 и
(?наиб)у=о- На прямой X 4“ У = — 3 можно было бы
исследовать функцию на условный экстремум, не приводя к функции одного
аргумента.
3)	Сопоставляя все полученные значения функции г, заключаем, что
гнаиб = 6 в точках (0; —3) и (—3; 0); гнаим = —1 в стационарной точке Af.
Исследовать на экстремум следующие функции двух перемен-
ных:
2008.	г = (х— 1)’4-2/.
2009.	z = (x — 1)х — 2/.
2010.	z = x2-\-xy-\-y*— 2х— у.
2011. z = xzy2 (6 — х — у) (х>0, ^>0).
2012. z = x*-\-y*— 2х2-\-4ху— 2у\
2013. z = xy]/
2014. z =1—(х* + /)%.
2015. г=(х2+/)е-<х2+^>.
2016.1. ^=4+4+у (х>0, у>0).
2016.2. г = е*~у(х* — 2/).
Найти экстремумы функций трех переменных:
2017. u — x‘-\-yi-\-zt — xy-f-x — 2г.
2018. a = x + g+4+4 (*>°» У>°> *>°)-
216
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
Найти экстремумы функций г, заданных неявно:
2019*. х24-/4-г‘ —2х4-4у —6г—11 = 0.
2020. Xs — у2 — 3Х-\-4у-\-гг-[-г — 8 = 0.
Определить условные экстремумы функций:
2021. z = xy при х-|-у=1.
2022. z = x-\~2y при хг-[-у2 = 5.
2023. г = х2-[-уг при -^•4"у = Г
2024. z — cos2 х + cos2 у при у — Х = -^-.
2025. и=х— 2y-\-2z при х2у2z2 = 9.
2026. и = х24-/4-гг при ^-4--|^4--J-=l (а>г»>с>0).
2027. u — xy'z' при x-j-y-^z= 12 (х^>0,	z>0).
2028. u = xyz при условиях: х4” ^4“^ = 5, ху-\-yz-[-zx — 8.
2029. Доказать неравенство
i±4±?a=r^,
если х^0, у^0, z^0.
У Казани е. Искать максимум функции u=xyz при условии х + У + z;=S.
2030. Определить наибольшее значение функции 2'=14-x4_^
в областях: а) х^ 0, у > 0, х4~.У б) х 0, у 0, х—у^ 1.
2031.	Определить наибольшие и наименьшие значения функций
a) z—x2y и б) z=x2—у2 в области х2 4~У*^1-
2032.	Определить наибольшее и наименьшее значения функции
£ = sinx4~sin j4-sin (х4~у) в области 0^х^-у,
2033.	Определить наибольшее и наименьшее значения функции
Z — x9-\-y2 — Зху в области 0^х^2, —
§14. Задачи на отыскание наибольших и наименьших
значений функций
Пример 1. Положительное число а требуется разбить на три неотри-
цательных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
Решение. Пусть искомые слагаемые будут х, у, а — х — у. Ищем
максимум функции f (х, у) --ху (а — х — у).
По смыслу задачи функция /(х, у) рассматривается внутри замкнутого
треугольника х^0, x-j-y^a (рис. 71).
Решая систему
f'x(x, у) = у(а — 2х —у) = 0,
fy(x, у) = х(а — х— 2у) = 0,
§ 14] ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ 217
получим для внутренности треугольника единственную стационарную точку
(Д Д \	„ ТТ
—; — ) . Для нее проверяем выполнение достаточных условии. Имеем
о о J
fxx v) = — 2у, fxy (X, у)—а- 2х—2у, fyy (х, у) = -2х.
л с" ( а
Следовательно, А	—<хх (”з”f
D__f ( Д	£_\______£
b — 'xy I з	’	з )	—	з а»
.у / д	а \	2
с ^уу\з ’ з "з а и
Д = АС - В1 > О,
Итак, в точке	функция достигает мак-
симума. Так как на контуре треугольника функция
f (х, у) = 0, то этот максимум будет наибольшим
значением функции; т. е. произведение будет на-
л а
ибольшим, если х=у=а— х — у — — \ причем
о
д’
наибольшее значение произведения равно .
А <0.
Примечание. Задачу можно было решать методами условного экстре-
мума, отыскивая максимум функции и—хуг при условии х + у -\-z = a.
2034.	Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данный
объем V, найти тот, полная поверхность которого наименьшая.
2035.	При каких размерах открытая прямоугольная ванна данной
вместимости V имеет наименьшую поверхность?
2036.	Из всех треугольников данного периметра 2р найти тот,
который имеет наибольшую площадь.
2037.	Найти прямоугольный параллелепипед с данной площадью
поверхности 5, имеющий наибольший объем.
2038.	Представить положительное число а в виде произведения
четырех положительных сомножителей так, чтобы их сумма была
наименьшей.
2039.	На плоскости XOY найти точку М(х, у), сумма квадратов
расстояний которой от трех прямых: х = 0, j = 0, х—
была бы наименьшей.
2040.	Найти треугольник данного периметра 2/?, который при вра-
щении около одной из своих сторон образует тело наибольшего объема.
2041.	На плоскости даны три материальные точки Р1(х1, jJ,
(ха> Ja)»	с массами т2, т2. При каком положении
точки Р(х, 3/) квадратичный момент (момент инерции) данной системы
точек относительно точки Р (т. е. сумма
будет наименьшим?
2042.	Через точку /И (а, Ь, с) провести плоскость, образующую
с плоскостями координат тетраэдр наименьшего объема.
2043.	В эллипсоид вписать прямоугольный параллелепипед наи-
большего объема.
218
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
2044.	Определить наружные размеры открытого прямоугольного ящи-
ка с заданной толщиной стенок 6 и емкостью (внутренней) Итак, чтобы
на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала.
2045.	В какой точке эллипса
касательная к нему образует с осями координат треугольник наимень-
шей площади?
2046*. Найти оси эллипса
5№ + 8ху + 5у2 = 9.
2047.	В данный шар вписать цилиндр с наибольшей полной по-
верхностью.
2048.	Русла двух рек (в пределах некоторой области) приближенно
представляют параболу у = х2 и прямую х—у — 2 = 0. Требуется
соединить данные реки прямолинейным каналом наименьшей длины.
Через какие точки его провести?
2049.	Найти кратчайшее расстояние от точки (1, 2, 3) до прямой
X___ у ____
1 “ -3 — 2 *
2050*. Точки А и В расположены в различных оптических средах,
отделенных одна от другой прямой линией (рис. 72). Скорость рас-
пространения света в первой среде равна во второй — Пользуясь
«принципом Ферма», согласно которому световой луч распространяется
вдоль той линии АМВ, для прохождения которой требуется минимум
времени, вывести закон преломления светового луча.
2051. Пользуясь «принципом Ферма», вывести закон отражения
светового луча от плоскости в однородной среде (рис. 73).
2052*. Если в электрической цепи, имеющей сопротивление /?,
течет ток /, то количество тепла, выделяющееся в единицу времени,
пропорционально I2R. Определить, как следует разветвить ток / на
токи /п /8 при помощи трех проводов, сопротивления которых Rv
Rz, чтобы выделение тепла было наименьшим?
§ 15J
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
219
§15. Особые точки плоских кривых
1°. Определение особой точки. Точка М (х0, у0) плоской кривой
f (xf у) = 0 называется особой точкой, если ее координаты одновременно
удовлетворяют трем уравнениям:
f (*0» yQ) = 0, f'x (х0, у*) = 0, /' (х0, yQ) = 0.
2е. Основные типы особых
Af (х6, yQ) производные 2-го порядка
fXX ^0» ^о)»
Ху (^0» #о)>
C~fyy (*0» У()
не все равны нулю и
Д = АС - В2,
тогда:
а)	если Д > 0, то Л! — изолированная
точка (рис. 74);
б)	если Д < О, то Л4 — узел (двойная
точка) (рис. 75);
в)	если Д = 0, то М — или точка воз-
точек. Пусть в особой точке
врата 1-го рода (рис. 76) или 2-го
рода (рис. 77), или изолированная точка, или точка самоприкосновения
(рис. 78).
При решении задач этого раздела предполагается обязательным построе-
ние кривых.
Пример 1. Показать, что кривая у* = ах* + х9 имеет: узел, если а > 0;
изолированную точку, если а<0; точку возврата 1-го рода, если а = 0.
Решение. Здесь f (х, у) = ах* 4~ х9 — у*. Найдем частные производные
и приравняем их нулю
f'x (х, у) 2ах 4- Зх2 = О,
(х, у)=з—2у = 0.
Эта система имеет два решения: 0(0; 0) и ДО^— -|-а; 0^, но коорди-
наты точки ДО не удовлетворяют уравнению данной кривой. Значит, имеется
единственная особая точка 0(0; 0).
220
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[гл. vi
Найдем вторые производные и их значения в точке 01
fxx У) = ^а + 6х, А = 2а,
f/) = 0, В = 0,
fyy(*>y) = -2> С = —2,
Д = ЛС —В2 = —4а.
Следовательно,
если а > 0, то Д < 0 и точка О — узел (рис. 79);
если а < 0, то Д > 0 и точка О — изолированная точка (рис. 80);
если а = 0, то Д=0. Уравнение кривой в этом случае будет #2 —Xs или
где х^О; кривая симметрична относительно оси ОХ, являю-
щейся касательной. Следовательно, точка М — точка возврата 1-го рода
(рис. 81).
Выяснить характер особых точек кривых:
2053.	у2= — х2 + *4-
2054.	(у — х2)2 = х*.
2055.	аУ = а2х* — х*.
2056.	х2у2 — х2 — у2 = 0.
2057.	х2 4“ У* — Заху = 0 (декартов лист}.
2058.	у2 (а — х) = х9 (циссоида).
2059. (х2 -\-у2)2 = а2 (х2—у2) (лемниската).
2060. (a-j-х) J2 = (а— х)х2 (строфоида).
2061. (х2-\-у2)(х — а)2=Ь2х2 (а^>0, Ь>0) (конхоида). Рас-
смотреть три случая;
1) а>6, 2) а — Ь, 3) а<Ь.
2062. Выяснить изменение характера особой точки кривой
у* = (х — а)(х — Ь)(х — с) в зависимости от значений а, Ь, с
(а^Ь^с вещественны).
§ 16J.
ОГИБАЮЩАЯ
221
§ 16. Огибающая
1°. Определение огибающей. Огибающей семейства плоских
кривых называется кривая (или совокупность нескольких кривых), которая
касается всех линий данного семейства, причем в каждой своей точке ка-
сается какой-нибудь линии рассматриваемого семейства.
2°. Уравнения огибающей. Если зависящее от одного перемен-
ного параметра а семейство кривых
Дх, у, а) = 0
имеет огибающую, то параметрические уравнения последней определяются из
системы уравнений
( f (X, у, а) = О,
( /«(*> У, а)- о.
Исключая из системы (1) параметр а, получим уравнение вида
D(x, jO = 0.	(2)
Следует отметить, что формально получаемая кривая (2) (так называемая
«дискриминантная кривая») наряду с огибающей, если таковая имеется, может
содержать геометрическое место особых точек данного семейства, не входя-
щее в состав огибающей этого семейства.
При решении задач этого параграфа рекомендуется делать чертежи.
Пример. Найти огибающую семейства
прямых
х cos a + у sin a — р = 0 (р = const, р > 0).
Решение. Данное семейство прямых
зависит от параметра а. Составим систему
уравнений (1)
( х cos a + у sin a — р = 0,
I — х sin a + у cos a = 0.
Решив систему относительно x и у, по-
лучим параметрические
щей
х = р cos a,
Возводя оба уравнения
вая, исключим параметр а:
х‘ + У* = Рг-
Таким образом, огибающей данного семейства прямых служит окружность
радиуса р с центром в начале координат. Данное же семейство прямых есть
семейство касательных к этой окружности (рис. 82).
2063. Найти огибающую семейства окружностей
2064. Найти огибающую семейства прямых
у=кх+ъ
уравнения огибаю-
# = psina.
в квадрат и склады-
(k — параметр, р = const).
(1)
222
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	[ГЛ. VI
2065.	Найти огибающую семейства окружностей одинакового ра-
диуса 7?, центры которых находятся на оси ОХ.
2066.	Найти кривую, которую огибает отрезок длины /, когда его
концы скользят по осям координат.
2067.	Найти огибающую семейства прямых, образующих с осями
координат треугольник постоянной площади S.
2068.	Найти огибающую эллипсов постоянной площади S, оси
симметрии которых совпадают.
2069.	Исследовать характер «дискриминантных кривых» семейств
следующих линий (С—параметр):
а)	кубических парабол у = (х— С)8;
б)	полукубических парабол у2 = (х — С)9;
в)	парабол Нейля у9 = (х— С)2;
г)	строфоид (а 4“*) О'— С)2 = х2(а— х).
ряда, расположенных в одной
2070.	Уравнение траектории дви-
жения снаряда, выпущенного из точ-
ки О с начальной скоростью -у0под
углом а к горизонту (без учета со-
противления воздуха), будет
у = х tg а---------- .
cos2 а
Принимая угол а за параметр, найти
огибающую всех траекторий сна-
и той же вертикальной плоскости
(«парабола безопасности») (рис. 83).
§ 17.	Длина дуги пространственной кривой
Дифференциал дуги пространственной кривой в прямоугольных декарто-
вых координатах равен
ds = /dx24-dy2+d22,
где х, yt z — текущие координаты точки кривой.
Если
х = х(0, y = y(t), z = z(t)
— параметрические уравнения пространственной кривой, то длина дуги
участка ее от t = tx до t~t2 равна
В задачах 2071—2076 найти длину дуги кривой:
2071.	x = t, y — t\ z=^-ot i = 0 до t — 2.
2072.	x = 2costf, v = 2sin/, z — ^-i от / = 0 до 1 = л.
* л
§ 18]	ВЕКТОР-ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА	223
2073.	x=^cosf, j = e,sin/, z=ef от t—0 до произвольного t.
2074.	j =	^=7 от •* = ° ДО * = 6.
2075.	х* — 3у, 2xy==9z от точки 0(0; 0; 0) до точки
М (3; 3; 2).
2076.	v = a arcsin —, z= 4- In от точки О (0; 0; 0) до точки
а 4 а — х	'
м (х„ у» zj.
2077.	Положение точки для любого момента/(/^>0) определяется
уравнениями
x = 2t, y = \nt, z — i\
Найти среднюю скорость движения между моментами i = 1 и t = 10.
§ 18. Вектор-функции скалярного аргумента
1°. Пр о и з во д н а я вектор-функции скалярного аргу-
мента. Вектор-функция a = a(t) может быть определена путем заданий
трех скалярных функций ах(0. ay(t) и аг (0 — ее проекций на координат-
ные оси:
а = ах (0 i + av (t) J + az (t) k.
Производная вектор-функции a =s a (0 по скалярному аргументу t есть
новая вектор-функция, определяемая равенством
lim a(t+M)-a(t)_dax (f)	dgHO	daz(t)
~ dt dt
Модуль производной вектор-функции равен
13= /Ш+Ш+Ш'-
Конец переменного радиуса-вектора г = r (t) описывает в пространстве кривую
r==x(t)i + y(t)J+z(f)k,
называемую годографом вектора г.
—	dr
Производная представляет собой вектор, касательный к годографу в
соответствующей точке, причем
\dr | ds
Idtl^dt*
где s — длина дуги годографа, отсчитываемая от некоторой начальной точки.
О	1^1	1
В частности, ь- =1.
Ids I
Если параметр t есть время, то = v — сектор скорости конца век-
cPr dv
тора г, а	= w — вектор ускорения конца вектора г.
224
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
2°. Основные правила дифференцирования вектор-
функции скалярного аргумента.
n d , , .	. da . db de
1)й«. + (,-с) = й. + 7(_я;
2)	(та)—т~ , где т — постоянный скаляр;
dl	dt
3) X (<ра)=^ а + <р^ , где <р (/) — скалярная функция от /;
***	Ul	III
b)^(axb) = d£*b + a^
ел d /Л1 da d<P .
6) ^а[<₽(01 = Зф’ЙГ’
7) а^~ = 0, если |a| = const.
Пример 1. Радиус-вектор движущейся точки в любой момент времени
задан уравнением
r = i^4t2J + 3t2k.	(1)
Определить траекторию движения, скорость и ускорение движения.
Решение. Из уравнения (1) имеем:
х—1, у — — 4/2, z = 3/2.
Исключая время t, находим, что траектория движения есть прямая линия
X— 1— У
О —4	3’
Из уравнения (1), дифференцируя, находим скорость движения
g=-8tf+6tt
и ускорение движения
^=-87+6*.
Величина скорости равна
|^|=/(=w+w = 10111.
Отметим, что ускорение постоянно и имеет величину
|^| = /<-8)г + 6’=10.
2078. Показать, что векторное уравнение г — г1 = (г2 — г,)/,
где и г2 — радиусы-векторы двух данных точек, является уравне-
нием прямой.
2079. Определить, какие линии являются годографами следующих
вектор-функций:
a)	r = at-\-c-,	в) r = acos t-\-bsint;
б)	r = at2-\-bt; г) r=ach/4-6sh/,
§ 18]	ВЕКТОР-ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА	225
где а, Ь и с — постоянные векторы, причем векторы а и Ь перпен-
дикулярны друг другу.
2080.	Найти производную вектор-функцию от функции «(/) =
= a (t) а? (/), где а (/) — скалярная функция, а а0 (/) — единичный век-
тор, в случаях, когда вектор a(t) изменяется: 1) только по длине,.
2) только по направлению, 3) по длине и по направлению (общий
случай). Выяснить геометрический смысл полученных результатов.
2081.	Пользуясь правилами дифференцирования вектор-функции
по скалярному аргументу, вывести формулу для дифференцирования
смешанного произведения трех вектор-функций а, b и с.
2082.	Найти производную по параметру t объема параллелепипеда,
построенного на трех векторах:
a = i-\-
с = — t2i -j-t*j -j- k.
2083.	Уравнение движения
г — 3i cos t	4/ sin t,
где t — время. Определить траекторию движения, скорость и ускоре-
ние движения. Построить траекторию движения и векторы скорости
j. г\ j. Л «л
и ускорения для моментов / = 0,	и / = у.
2084.	Уравнение движения
г = 2/ cos t -|- 2/ sin t -|- 3kt.
Определить траекторию движения, скорость и ускорение движения.
Чему равны величины скорости и ускорения движения и каковы их
л
направления для моментов /=0 и / = — ?
2085.	Уравнение движения
r — i cos a cos со/ -|- j sin а cos sin со/,
где а и со — постоянные и / — время. Определить траекторию движе-
ния, величины и направления скорости и ускорения движения.
2086.	Уравнение движения снаряда (без учета сопротивления воз-
духа)
r = vot —
где ^0{^0х,	v02} — начальная скорость. Найти скорость и уско-
рение в любой момент времени.
№
2087.	Доказать, что если точка движется по параболе — ,
z — 0 таким образом, что проекция скорости на ось ОХ остается
постоянной const 1, то и ускорение остается постоянным.
8 С. Г. Бараненков и др.
226
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[гл. VI
2088.	Точка, находящаяся на нарезке винта, завинчиваемого в балку,
описывает винтовую линию
x=acos6, j = asin6, z=A6,
где 0 — угол поворота винта, а — радиус винта, ай — высота подъема
при повороте на один радиан. Определить скорость движения точки.
2089.	Найти скорость точки на окружности колеса радиуса а,
вращающегося с постоянной угловой скоростью со так, что его центр
при этом движется прямолинейно с постоянной скоростью и0.
§ 19. Естественный трехгранник пространственной кривой
Во всякой неособой точке М (х, у, г) пространственной кривой r = r(t)
можно построить естественный трехгранник (триэдр), состоящий из трех
взаимно перпендикулярных плоскостей (рис. 84):
1)	соприкасающейся плоскости MMtM2 — содержащей векторы ~ и ;
2)	нормальной плоскости MMaMs — перпендикулярной к вектору ~ и
могут быть вычислены по формулам
3)	спрямляющей плоскости
перпендикулярной к двум
первым плоскостям.
В пересечении получаются три
прямые: 1) касательная ММ2}
2) главная нормаль ММ2; 3) би-
нормаль MMlt определяемые соот-
ветственно векторами:
dr
1)	(вектор касатель-
ной)*,
n dr.d~r z	л
2)	^2 (вектор би-
нормали)}
3)	N=BXT (вектор главной
нормали).
Соответствующие единичные
векторы
Т=Х. в=-®-	V==X
|7Т Р |Л|’	v |tf|
dr
ds’
dt
Если X, Y, Z — текущие координаты точки касательной, то уравнения ка-
сательной в точке М (х, у, е) имеют вид
X-x_Y-у_2-г
Тх ~ Tv Т,
О)
§ 19] ЕСТЕСТВЕННЫЙ ТРЕХГРАННИК ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ 227
где Тх =	, Ту = ~, Тг = ; из условия перпендикулярности прямой и
плоскости получаем уравнение нормальной плоскости
Tx(X-x) + Ty(Y-y) + Tz(Z-z) = Q.	(2)
Заменяя в уравнениях (1) и (2) Тх, Ту, Тгна Вх, By, Bz и Nx, Nz, полу*
чим уравнения бинормали и главной нормали и, соответственно, соприка-
сающейся плоскости и спрямляющей плоскости.
Пример 1. Найти основные единичные векторы Т, У и f кривой
х = t, y = t\ z — t3
в точке t = 1.
Написать уравнения касательной, главной нормали и бинормали в этой
точке.
Решение. Имеем:
r~ti + t*j + t*k
и
g=/4-2V4-3^,
d3r
Отсюда при /=1 получим:
Т=^ = / + 2/ + ЗЛ;
* 1
1 2
О 2
J
-6
2
= 6/-6/ + 2Л;
= —22Z — 16/4-18Л.
k
Следовательно,
= Z -Ь 2/4- ЗЛ? = 3Z-3/ + A? = -HZ-jy+9fe
/14	’ ₽	/19	’ V /266
Так как при / = 1 имеем х = 1, #=1, 2 — 1, то
х — 1_у — 1__г — 1
1 — 2 — 3
— уравнения касательной,
х — 1_______________________у — 1_z — 1
Т“—1
— уравнения бинормали и
х — 1_у — 1__г — 1
— 11~ —8 ~ 9
— уравнения главной нормали.
Если пространственная кривая задана как пересечение двух поверхностей
F (х, у, z) — Qt G(x, у, г) = 0,
то вместо векторов ~ и можно брать векторы dr {dx, dy, dz{ и
8*
228
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	[ГЛ. VI
d2r jd2x, d2y, d2z\, причем одну из переменных х, у, z можно считать незави-
симой и полагать ее второй дифференциал равным нулю.
Пример 2. Написать уравнение соприкасающейся плоскости окружности
х2+г/2 + г2 = 6, х + г/+г = 0	(3)
в точке ее Л4 (1; 1; — 2).
Решение. Дифференцируя систему (3), считая х независимой перемен-
ной, будем иметь:
х dx 4- у dy	z dz = О,
dx 4- dy 4- dz = О
dx2 4~ dy2 4- у d2y 4- dz2 4- г d2z = 0,
d2# 4" d2z = 0.
Полагая x=l, #=1, z =—2, получим:
dy — — dx\ dz = 0;
2	2
d2y — —-- dx2\ d2z = — dx2.
о	о
Следовательно, соприкасающаяся плоскость определяется векторами
(22
\dx, — dx, 0} и <0, —^-dx2,	— dx2
I	и	и
ИЛИ
{1, — 1, 0} и j0, - 1, 1}.
Отсюда нормальный вектор соприкасающейся плоскости есть
i J
1 -1
0 - 1
k
о
1
В —

и, следовательно, ее уравнение
— 1 (х — 1) — 0,— 1) — (*4-2) = 0,
т. е.
х4-г/4-г = 0,
что и должно быть, так как наша кривая расположена в этой плоскости.
2090.	Найти основные единичные векторы т, V, кривой
х = 1 — cos t, у = sin t, z = t
. Jt
в точке /=-g.
2091.	Найти единичные векторы касательной и главной нормали
конической спирали
г = е* (i cos 1Ц— / sin t -|- k)
в произвольной точке. Определить углы, составляемые этими прямыми
с осью OZ.
2092.	Найти основные единичные векторы т, V, кривой
^ = х2, z=2x
в точке х = 2.
2093.	Для винтовой линии
л = a cos/, j = asin/, z = bt
§ 19] ЕСТЕСТВЕННЫЙ ТРЕХГРАННИК ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ
229
написать уравнения прямых, составляющих ребра естественного трех-
гранника в произвольной точке линии. Определить направляющие коси-
нусы касательной и главной нормали.
2094.	Написать уравнения плоскостей, образующих естественный
трехгранник кривой
х2 4“у2 4- z2 = 6, х2 —y2-\~z2 = 4
в точке ее Л4(1; 1; 2).
2095.	Составить уравнения касательной, нормальной плоскости и
соприкасающейся плоскости кривой
x = t, y — t2, z = ts в точке Л4(2; 4; 8).
2096.	Составить уравнения касательной, главной нормали и бинор-
мали в произвольной точке кривой
Найти точки, в которых касательная к этой кривой будет параллельна
плоскости х4“3у4"^— 10 = 0.
2097.	Составить уравнения касательной, соприкасающейся плоско-
сти, главной нормали и бинормали кривой
/2
х = /,	у = — /, z = -2
в точке / = 2. Вычислить направляющие косинусы бинормали в этой
точке.
2098.	Написать уравнения касательной и нормальной плоскости
к следующим кривым:
a)	x = /?cos2f, у = /?sin t cos t, z = R sin t при t = ~-t
6)	z = x2-\-y2, x=y в точке (1; 1; 2);
в)	x2 -[-у2 -\-z2 = 25, x-[-z = 5 в точке (2; 2 j/3; 3).
2099.	Найти уравнение нормальной плоскости к кривой z = x2—у2,
у=х в начале координат.
2100.	Найти уравнение соприкасающейся плоскости к кривой
х = е*, у — е~г, z = t]^2 в точке t = 0.
2101.	Найти уравнения соприкасающейся плоскости к кривым:
а)	х2 -]-.г2 = 9, х2—у2 = 3 в точке (2; 1; 2);
б)	х2 = 4у, x3 = 24z в точке (6; 9; 9);
в)	x2-\-z2 = a2, y2-\-z2 = b2 в любой точке кривой (х0, yQ, z0).
2102.	Составить уравнения соприкасающейся плоскости, главной
нормали и бинормали к кривой
j2 = x, x2 = z в точке (1; 1; 1).
ЕЗО
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
2103.	Составить уравнения соприкасающейся плоскости, главной
нормали и бинормали к конической винтовой линии x = /cosf,j =
= f sin z = bt в начале координат. Найти единичные векторы каса-
тельной, главной нормали и бинормали в начале координат.
§ 20. Кривизна и кручение пространственной кривой
1°. Кривизна. Под кривизной кривой в точке М понимается число
Где <р _ угол поворота касательной (угол смежности) на участке кривой MN,
&s — длина дуги этого участка кривой. R называется радиусом кривизны.
Если кривая задана уравнением r = r(s), где s — длина дуги, то
R | ds* | •
Для случая общего параметрического задания кривой имеем:
1-У^1
1 J dt* dt*)
R Idrl3 •
I dll
2°. Кручение. Под кручением (второй кривизной) кривой в точке М
понимается число
T = lim А
0 as-ю As
где 0 — угол поворота бинормали (угол смежности второго рода) на участке
кривой МN. Величина р называется радиусом кручения или радиусом второй
кривизны. Если r = r(s), то
dr d2r dsr
1 _х Tsd^de
q I ds I (<Fr\* 9
\ds2J
d&
где знак минус берется в том случае, когда векторы и у имеют одинаковое
направление, и знак плюс — в противоположном случае.
Если r = r(t), где / — произвольный параметр, то
dr d2r d9r
1  dt de It9
\dt* dt*)
Пример 1. Найти кривизну и кручение винтовой линии
г =i a cost -f-/asin6/	(а>0).
§ 20] КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ	231
Решение. ]	Лмеем:			
	dr _ __ dt	i a sin t +J a cos / +		
	&r__ dt2~~~	i a cos/-	-Ja sin /,	
	dsr__	i a sin / -	-ja cos/.	
Отсюда dr d2r_ dtX dt2~	i — a sin / — a cos t —	i k a cost b aslnt 0	= i ab sin / —	Jab cos t -\-a~k
и	dr d2r dtr	 'dt'dt2 dt3~~	— a sin / — a cos / a sin /	a cos / b — a sin / 0 — a cos / 0	= a2b.
Следовательно, на основании формул (1) и (2) получим;
и
1  а У а2 4- Ь2  а
Я~(а2 + Ь2)3/з ~а2-\-Ь2
1 __ а2Ь_________ b
Q а2 (а2 + Ь2) а2 + Ь2 9
т. е. для винтовой линии кривизна и кручение постоянны.
3°. Формулы Френе
dx__ V ___________Т . р d|_ v.
ds R ’ ds R'* q 9 ds	q
2104.	Доказать, что если кривизна во всех точках линии равна
нулю, то линия — прямая.
2105.	Доказать, что если кручение во всех точках кривой равна
нулю, то кривая — плоская.
2106.	Показать, что кривая
х= 1 + 3t + 2/2, у = 2 — 2/—5/2, z=\ — t*
— плоская; найти плоскость, в которой она лежит.
2107.	Вычислить кривизну линий:
a)	x=cos/, у — sin/, z = ch/ при / = 0;
б)	х2—y2-yz2=l, у2 — 2x-\-z—0 в точке (1; 1; 1).
2108.	Вычислить кривизну и кручение в любой точке кривых:
а) х = е* cos /, у = е* sin /, z = etet
б) x = ach/, у = ash/, z = at {гиперболическая винтовая линия).
2109.	Найти радиусы кривизны и кручения в произвольной точке
(х, у, z) линий:
а)	х2 = 2ау, x2 — 3a2z\
б)	Xs = 3р2у> 2xz=p\
232	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	[гл. VI
2110. Доказать, что тангенциальная и нормальная составляющие
вектора ускорения выражаются формулами
dv	v2
<М) =-т-Т. W =-—\9л
' dt >	' R ’
где v — скорость, R—радиус кривизны траектории, т и v — единич-
ные векторы касательной и главной нормали к кривой.
2111. По винтовой линии r = iacost-}-Jasint-\-btk движется
равномерно точка со скоростью v. Вычислить ее ускорение w.
2112. Уравнение движения есть
Г —
Определить в моменты времени f = 0 и /=1: 1) кривизну траекто-
рии и 2) тангенциальную и нормальную составляющие вектора уско-
рения движения.
ГЛАВА VII
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах
1®. Непосредственное вычисление двойных интегра-
лов. Двойным интегралом от непрерывной функции f(xty), распространен-
ным на ограниченную замкнутую область S плоскости XOY, называется предел
соответствующей двумерной интегральной суммы
f f(x, y>dxdy= lim	f. (Xi, yk) Ьх£ук,	(1)
J	max Ajq -> о 1 R
W	max Ду* + 0
где Axt- = xr+1 — X/, Ду£ = Ул+1 —У* и сумма распространена на те значения
i и k, для которых точки (x/; yk) принадлежат области S*
2°. Расстановка пределов интегрирования в двой-
ном интеграле. Различают два основных вида области интегриро-
вания.
1) Область интегрирования S (рис. 85) ограничена слева и справа пря-
мыми x = Xi и х = х2 (х2 > xj, а снизу и сверху непрерывными кривыми
Рис. 86.
Рис. 85.
£/ = ф1(х) (АВ) и у = ф2(х) (CD) [ф2 (х)^фх (х)], каждая из которых пересе-
кается с вертикалью х = Х (хг < X <х2) только в одной точке (см. рис. 85).
В области S переменная х меняется от хг до х2, а переменная у при постоян-
ном х меняется от у1 = (^1(х) до у2 = ф2(х). Вычисление интеграла (1) может
234
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VH
быть произведено путем сведения к повторному интегралу по формуле
х2 <Р2 (х)
ЭД f (X, у) dxdy = ^dx fix, у) dy,
(S)	Xi <Р1 (х)
<р2 (х)
где при вычислении J f (х, у) dy величину х полагают постоянной.
91 (х)
2) Область интегрирования S снизу и сверху ограничена прямыми y~yt
и у = у2 (у2 > г/i), а слева и справа непрерывными кривыми х =	(у) (АВ) и
х = ф2(г/) (CD) [ф2 (y)^^>i («/)], каждая из которых пересекается с горизон-
талью у = Y (у! < Y <у2) только в одной точке (рис. 86).
Аналогично предыдущему имеем;
У 2	(у)
^1(х, у) dxdy=^dy J f (х, у) dx,
(5)	yt (у)
ф2(у)
где при вычислении интеграла J f (х, у) dx величина у считается постоянной.
Ф1 (у)
Если область интегрирования не принадлежит ни к одному из разобран-
ных выше видов, то ее стараются разбить на части, каждая из которых отно-
сится к одному из этих двух видов.
Пример 1. Вычислить интеграл
1 1
/=ЭД ix-\-y)dy.
О X
Решение.
О	о
Пример 2. Определить пределы интегрирования интеграла
Рис. 87.
И t (X, у) dx dy,
<S)
если область интегрирования S (рис. 87)
ограничена гиперболой у2 — х2 = 1 и двумя
прямыми х = 2 и х~—2 (имеется в виду
область, содержащая начало координат).
Решение. Область интегрирования
ABCD (рис. 87) ограничена прямыми х =
= — 2их = 2и двумя ветвями гиперболы:
y=V\ +хг и у = — /1 +хг,
т. е. принадлежит к первому виду. Имеем:
2	V1 4-х»
^t(x,y)dxdy= dx j t(x, y)dy.
(5)	—2	—
§ 1J
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 235
Вычислить следующие повторные интегралы:
2113. j dy § (хг 2у) dx.
О О
2114. LxC—
J J(x+#
8	1
2"5- иШ-
о о
246.
8	8
2117.	J dy J (x-}-2y)dx.
-3	р2-4
2тс а
2118.	dtp J г dr.
о a sin <р
тс
2	S COS ф
2119.	dq> § гг sin1 <р dr.
ТС	о
т
1	У i — *2
2120.	J dx j У 1—x2—y2dy.
о о
Написать уравнения линий, ограничивающих области, на которые
распространены нижеследующие двойные интегралы, и вычертить эти
области:
2	2—у	S	2Х
2121.	J dy $ f(x,y)dx. 2124. J dx J f(x, y) dy.
— 8 V2	1 X
— 1	—
4	S
8 Jtf-I-»	8	V25 — JC2
2122. § dx $ f(x,y)dy.	2125. $ dx	$ f{x, y)dy.
1	№	0	0
4	10—у	2	X^2
2123. J dy $ f(x,y)dx.	2126. $ dx j f(x,y)dy.
о у	-1	x2
Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке
в двойном интеграле
y}dxdy
(S)
для указанных областей S.
2127.	5 — прямоугольник с вершинами 0(0; 0), Д(2;0), В(2; 1),
С(0; 1).
2128.	*$ — треугольник с вершинами 0(0; 0), Л (Г, 0), В(1; 1).
2129.	S — трапеция с вершинами 0(0; 0), Д(2;0), В(1; 1),
С(0; 1).
2130.	S— параллелограмм с вершинами А (1; 2), В (2; 4), С(2; 7),
0(1; 5).
2131.	*$— круговой сектор О АВ с центром в точке 0(0; 0), у
которого концы дуги Д(1; 1) и В(—1; 1) (рис. 88).
236
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
2132.	S — прямой параболический сегмент АОВ, ограниченный пара-
болой ВО А и отрезком прямой ВЛ, соединяющим точки В( — 1; 2)
и Л(1; 2) (рис. 89).
2133.	S— круговое кольцо, ограниченное окружностями радиусов
г — 1 и /?==2, с общим центром 0(0; 0).
2134.	5 ограничена гиперболой у2— х2—\ и окружностью х2Ц-
—_у2 = 9 (имеется в виду область, содержащая начало координат).
2135.	Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле
J $ fix, у) dx dy,
(S)
если область S определяется неравенствами
а)	х^О; у^О; х-]-у^1; г) у^х; х^—1; у^ 1
б)	х2-]-у2^а2;	д) у^х^у-{-2а;
в)	х2У2 х;	Q^y^a.
Переменить порядок интегрирования в следующих двойных инте
гралах:
4 12ЛГ	2Д	V tax
2136.	} dx \ f{x. у) dy.
о зх2
1 зх
2137.	J dx J fix, y)dy.
О 2Х
а	V а2 — х2
2138.	J dx J f(x, y)dy.
о g2 — X2
2а
a	Угах —х2
2139.	dx fix,y)dy.
а	о
1
2140.	j dx j f{x, y)dy.
0 V 2ax —x2
1	l-y
2141.	J dy J /(x, y}dx.
0	— Ki -y2
i Vз -y2
2142.	J dy /(x, y)dx.
0 y2
§ 1] ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 237
RVt
2 х	R VR*-x*
2143.	J dx y)dy-\- J dx f(x,y)dy.
0 о	rVT 0
2
ir sin.v
2144.	J dx J f(x,y}dy.
о 0
Вычислить следующие двойные интегралы:
2145.	И xdxdy, где 5 — треугольник с вершинами 0(0; 0),
(5)
А (1; 1) и В(0; 1).
2146.	И xdxdy, где область интегрирования S ограничена пря-
(5)
мой, проходящей через точки А (2; 0), В(0; 2), и дугой окруж-
ности с центром в точке С (0; 1), радиуса 1 (рис. 90).
2147.	С С г У-— , где S — часть круга радиуса ас центром
V J У а2 - х2 - у2
в точке 0(0; 0), лежащая в первой четверти.
2148.	—yzdxdy, где S — треугольник с вершинами
(5)
0(0; 0), Л(1; — 1) и В(1; 1).
2149.	JJVXy — y2dxdy, где 5 — треугольник с вершинами
(S)
0(0; 0), Л(10; 1) и В(1; 1).
X
2150.	еу dxdy, где S — криволинейный треугольник ОЛВ,
(S)
ограниченный параболой у2 — х и прямыми х = 0, ^=1 (рис. 91).
238	КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[ГЛ. V1I
2151.	С С > где S— параболический сегмент, ограниченный
J J х -г У
(5)	2
параболой ву = — и прямой у — х.
2152.	Вычислить интегралы и вычертить области, на которые они
распространены:
те
те iJ-cosjf	2 зсизу
a)	J dx J j2sinxdy; в) J dy J xtsiaiydx.
о о	о
2
те
Т 1
б)	J dx J у* dу,
О	COS*
При решении задач 2153—2157 рекомендуется предварительно
делать чертеж.
2153. Вычислить двойной интеграл
J J ху* dx dy,
(S)
если S есть область, ограниченная параболой у2 = 2рх и прямой
х = р.
2154*. Вычислить двойной интеграл
ху dxdy>
(S)
распространенный на область S, ограниченную осью ОХ и верхней
полуокружностью (х — 2)24“^2=1‘
2155. Вычислить двойной интеграл
С С dx dy
J J /2^’
где S— круг радиуса а, касающийся осей координат и лежащий в
первом квадранте.
2156*. Вычислить двойной интеграл
^ydxdy,
(S)
где область S ограничена осью абсцисс и аркой циклоиды
J x = R(t — sin/),
( j ==/?(!— cos/) (0^/^2л).
§ 2J
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
239
2157.	Вычислить двойной интеграл
j j ху dx dy,
(S)
в котором область интегрирования S ограничена осями координат и
дугой астроиды
X=/?COS*/, у— Rsin’t t •
2158.	Найти среднее значение функции /(х, у)=хуг в области
5{0<х< 1;	< 1}.
Указание. Средним значением функции f (х, у) в области S называется
число
7 = пл. -у JJ [ (х, у) dx dy.
(S)
2159.	Найти среднее значение квадрата расстояния точки (х, у)
круга (х — a}2 -\-yz R2 от начала координат.
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле
1°. Двойной интеграл в полярных координатах. При
переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат х, у к поляр-
ным г, ф, связанным с прямоугольными координатами соотношениями
х = г cos ф,	у = г sin ф,
имеет место формула
f (х, у) dx dy = f (r cos ф, r sin ф) г dr dy.	(1)
(S)	(S)
Если область интегрирования S ограничена лучами г = а и г = р(а<Р) и
кривыми г = г, (ф) и г = г2 (ф), где гг (ф) и г2 (ф)	(ф) г2 (ф)) — однознач-
ные функции на отрезке а^Ф^Р, то двойной интеграл может быть вы-
числен по формуле
0 г2 (ф)
J J F (ф» И г dr dy = j dy F (ф, r) r dr,
(S)	л (cp)
где F (ф, r)—f(r cos ф, r sin ф). При вычислении интеграла J F (ф, г) г dr
„	г» (ч>
величину ф полагают постоянной.
Если область интегрирования не принадлежит к рассмотренному виду, то
ее разбивают на части, каждая из которых является областью данного вида.
2°. Двойной интеграле криволинейных координатах.
В более общем случае, если в двойном интеграле
/ (х, у) dx dy
(S)
240
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[ГЛ. VII
требуется от переменных х, у перейти к переменным и, о, связанным с х, у
непрерывными и дифференцируемыми соотношениями
х = ф (U, О), ^=ф(и, V),
устанавливающими взаимнооднозначное и в обе стороны непрерывное соот-
ветствие между точками области S плоскости XOY и точками некоторой обла-
сти S' плоскости UO'Vt и при этом якобиан
дх ду
. D (х, у)  ди ди
D (и, о)	дх ду
до до
сохраняет постоянный знак в области S, то
справедлива формула
ЭД f (X, y)dxdy =
(S)
= ЭД f 1ф °)> Ф (“> °)) МI du do-
(S')
Пределы нового интеграла определяются
Рис. 92.	по общим правилам на основании вида обла-
сти S'.
Пример 1. Перейдя к полярным координатам, вычислить
У1 — х2 — уг dx dy,
(S)
где область S — круг радиуса R = 1 с центром в начале координат (рис. 92).
Решение. Полагая х = г cos ф, y — r sin ф, получаем:
У1 — хг — уг = У1 — (г cos ф)2 — (г sin ф)2 = У'1 — г2.
Так как в области S координата г при любом ф изменяется от 0 до 1, а ф
изменяется от 0 до 2л, то
2n 1
J J У1 — х2 — у* dx dy = у б/ф J гУ 1 — г2 dr = -^-jt.
(S)	о о
Перейти к полярным координатам г, ср и расставить пределы
интегрирования по новым переменным в следующих интегралах:
2	2	2	2
2160. JdxJ/(x, y)dy. 2161. J dx
0	0	0	0
2162. ЭД/(х, y)dxdy,
(S)
где 5— треугольник, ограниченный прямыми у = х, у=— X, у—1.
1 1
2‘63. j dx
— 1	X2
§ 2J
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
241
2164. f(x, y)dxdy, где область S ограничена лемнискатой
(S)
(х* У*)* — а* (х* — У*)’
2165. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной
интеграл
П У dxdy,
(S)
где S — полукруг диаметра а с центром в точке С(|; 0J (рис. 93),
2166. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной ин-
теграл
И(**+У)<**<*л
(3)
распространенный на область, ограниченную окружностью х2-\-у2=2ах.
2167. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной
интеграл
И Va* — xt — ytdxdy,
(3)
где область интегрирования S—полу-
круг радиуса а с центром в начале ко-
ординат, лежащий выше оси ОХ.
2168. Вычислить двойной интеграл
от функции /(г, <р) = г по области, ог-	Рис. 93
раниченной кардиоидой г = а (1-|- cos ср)
и окружностью г = а. (Имеется в виду область, не содержащая
полюса.)
2169. Переходя к полярным координатам, вычислить
а	V а2 — х2
J dx J	Ух2	У* dy.
о	о
2170. Переходя к полярным координатам, вычислить
И V — хг — / dx dy,
(S)
где область S ограничена лепестком лемнискаты
(х2 -j- /)’ = а2 (х2 — у2) (х > 0).
2171*. Вычислить двойной интеграл
/	(S)
242
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
распространенный на область S, ограниченную эллипсом	Ь
переходя к обобщенным полярным координатам г и ф по формулам:
X	у
a	Y’	b т
2172**. Преобразовать
с	рх
$ dx j f(x, y)dy
О	ax
(0<^a<^p и c^>0), введя новые переменные и = х-\-у, uv = y.
2173*. Выполнить замену переменных и = х-\-у, <и = х — у в
интеграле
1 1
$ dx J/(x, y)dy.
О о
2174**. Вычислить двойной интеграл
dxdy,
(З)
где S — область, ограниченная кривой
/। у^\г_____х*___у*
Указание. Произвести замену переменных
х = ar cos <р, y=br sin ф.
§ 3.	Вычисление площадей фигур
1°. Пл ощадь в прямоугольных координатах. Площадь
плоской области S равна
пл. S = J J dx dy.
Если область S определена неравенствами а^х^Ь, ф (х) «С у «С ф (х), то
ь ф(х)
пл. S = J dx J dy.
а ф(х)
2°. Площадь в полярных координатах. Если область S в
полярных координатах г и ф определена неравенствами а «С Ф «С 0, £ (ф) «С г «С
<;Р(Ф), то
Р ^(ф)
пл. S = J г dtp dr = J dtp rdr,
(S)	«	/(Ф)
§ 3]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР
243
2175. Построить области, площади которых выражаются интегра-
лами:
2	Х-|-2
а)	dx dy;
-1 хг
а Уа>-у‘
б)	dy J dx.
о а — у
Вычислить эти площади и изменить порядок интегрирования.
2176. Построить области, площади которых выражаются интегра-
лами:
я
2*	d(l-|-COS(p)
б) J	г dr.
п	а
2
Вычислить эти площади.
2177. Вычислить площадь, ограниченную прямыми х=у, 2у,
—	х-\-Зу = а(а>0).
2178. Вычислить площадь, лежащую над осью ОХ и ограничен-
ную этой осью, параболой j2 = 4ax и прямой =
2179*. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом
(у — х)24~*2 = !•
2180.	Найти площадь, ограниченную параболами
^=10x4-25 и у2 =— 6х4~9.
2181.	Переходя к полярным координатам, найти площадь, ограни-
ченную линиями
х2-[-у2 = 2х, хг-[-у2 = 4х, у = х, у = 0.
2182.	Найти площадь, ограниченную прямой г cos ф = 1 и окруж-
ностью г = 2. (Имеется в виду площадь, не содержащая полюса.)
2183.	Найти площадь, ограниченную кривыми
г = а(1 4-cos ф) и г = асо5ф(а>0).
2184.	Найти площадь, ограниченную линией
/ ха . У_______________________х2____
VT ‘ 9~)	"4	9 •
2185*. Найти площадь, ограниченную эллипсом
(х — 2у 4- З)2 4- (Зх 4- 4у — I)2 = 100.
2186. Найти площадь криволинейного четырехугольника, ограни-
ченного дугами парабол х2 = ау, x2 = ^y,jz2 = ax, у2 = 0х (0«^я<2
0<а<₽).
Указание. Ввести новые переменные и и и, полагая
xz = uy, y2 = vx.
244
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
2187. Найти площадь криволинейного четырехугольника, ограни-
ченного дугами кривых у2 = ах, у2 = Ьх, ху — а, xy = 0 (0<^а<^/>,
°<а<₽).
Указание. Ввести новые переменные и и v, полагая ху = и, y2 = vx.
§ 4. Вычисление объемов тел
Объем V цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью
z = f(x, у), снизу плоскостью z = 0 и с боков прямой цилиндрической по-
верхностью, вырезывающей на плоскости XOY область S (рис. 94), равен
v=И y)dx dy'
(5)
2188. Выразить при помощи двойного интеграла объем пирамиды
с вершинами 0(0; 0; 0), Л(1; 0; 0), В(1; 1; 0) и С(0; 0; 1)
(рис. 95). Расставить пределы интегрирования.
В задачах 2189—2192 нарисовать тела, объемы которых выра-
жаются данными двойными интегралами:
1	1 — X
2189. dx J (1—х—y)dy.
о о
2	2 —X
2190. J dx $ (4— х — У)йу.
О	О
2193. Нарисовать тело, объем
4	V а* — х2
J dx J Vа2 — х2—У* dy, и
о о
найти величину этого интеграла.
2 Vl — X2
2191. \ dx $ (1— x)dy.
о	о
2	2
2192. J dx J (4 — х — y)dy.
О	2 —X
которого выражается интегралом
из геометрических соображений,
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ
245
§ 4]
2194.	Найти объем тела, ограниченного эллиптическим параболои-
дом z — 2x2-\-y2 + 1, плоскостью х-1-у = 1 и координатными пло-
скостями.
2195.	Тело ограничено гиперболическим параболоидом z = x2— у2
и плоскостями j = 0, z = 0, х=1. Вычислить его объем.
2196.	Тело ограничено цилиндром x2-\-z2 = a2 и плоскостями
j/ = 0, 2 = 0, у = х. Вычислить его объем.
Найти объемы тел, ограниченных следующими поверхностями:
2197.	az = y2, х2 у2 — r\ г = 0.
2198.	у = Ух, у = 2Уху x-}-z = 6, z = 0.
2199.	z = x2у\ у = х2у J>=1, z = 0.
3
2200.	x-\-y-\-z — a, Sxy — af	х-\- у = а, у=0, z=0.
Г2 72	h
2201.	^-+±-=1, у=±х, у — 0, z = 0.
2202. х2 -]-у2 = 2аХу z = axf z = px(a^>0).
В задачах 2203—2211 использовать полярные и обобщенные по-
лярные координаты.
2203.	Найти весь объем, заключенный между цилиндром
х2-[-у2 = а2 и гиперболоидом х2-\-у2— z2 =—а2.
2204.	Найти весь объем, заключенный между конусом 2 (х2 -f- у2) —
— z2 = 0 и гиперболоидом х2-[-у2— z2 ——а2.
2205.	Найти объем, ограниченный поверхностями 2az = x2 +/,
х2+У — z2=a2y z = 0.
2206.	Определить объем эллипсоида
*2 I */* I	*
а2 ' b2 Т с2 *
2207.	Найти объем тела, ограниченного параболоидом 2az =
= х2-\~у2 и шаром х2-\-у2-[-z2 = 3a2. (Подразумевается ' объем,
лежащий внутри параболоида.)
2208.	Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью XOY,
цилиндром х2 у2 — 2ах и конусом x2-[-y2 = z2.
2209.	Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью XOYy
поверхностью г =	и цилиндром х2 у2 = R2.
2210.	Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью XOY,
*	х2 । У2	х2 I у2 о х
параболоидом z =	и цилиндром	2 —.
2211. В каком отношении гиперболоид х2-}-у2 — z2 = a2 делит
объем шара х2у2z2 За2?
2212*. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z — x-\-y9
ху=1, ху = 2у у = х, у = 2х, z — 0 (х^>0, у>$).
246
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
§ 5. Вычисление площадей поверхностей
Площадь о гладкой однозначной поверхности z = fj(x,y), имеющей своей
проекцией на плоскость XOY область S, равна
(S)	\	/	\
2213. Найти площадь части плоскости —4--гЧ—-=1, заклю-
а * о 1 с
ченной между координатными плоскостями.
2214. Найти площадь части поверхности цилиндра х2-}-у2 —
= /?2(z^0), содержащуюся между плоскостями z = mx и
z=пх (т п > 0).
2215*. Вычислить площадь части поверхности конуса х2—y2—z2,
расположенную в первом октанте и ограниченную плоскостьюy-^-z = а.
2216.	Вычислить площадь части поверхности цилиндра х2 -\-у2 = ах,
вырезанную из него сферой х2 -\-y2-\~z2 = a2.
2217.	Вычислить площадь части поверхности шарах2-{-у2-{-z2 —а2,
х2 । ,у2	.
вырезанную поверхностью -р-— 1.
2218.	Вычислить площадь части поверхности параболоида
у2 -\-z2 = 2ах, содержащуюся между цилиндром у2 = ах и плоско-
стью х = а.
2219.	Вычислить площадь части поверхности цилиндра х2-[~у2^=2ах,
содержащуюся между плоскостью XOY и конусом х2 -\-y2 = z2.
2220*. Вычислить площадь части поверхности конуса х2 —y2 = z2,
лежащую внутри цилиндра х2 -\-у2 — 2ах.
2220.1*. Найти площадь части цилиндра jj2 = 4x, вырезанную
сферой х2 +/ -\~z2 = 5x.	_______
2220.2. Найти площадь части конуса z = х2 4“.У2> вырезанную
цилиндром (х2у2)2 = а2 (х2—у2).
2221*. Доказать, что площади частей поверхностей параболоидов
= и х2—y2 = 2az, вырезаемых цилиндром x2-\-y2 = R2,
равновелики.
2222*. Шар радиуса а прорезан двумя круглыми цилиндрами, диа-
метры оснований которых равны радиусу шара и которые касаются
друг друга вдоль одного из диаметров шара. Найти объем и пло-
щадь поверхности оставшейся части шара.
2223*. В шаре радиуса а вырезан просвет с квадратным основа-
нием, сторона которого также равна а. Ось просвета совпадает с
диаметром шара. Найти площадь поверхности шара, вырезанной про-
светом.
2224*. Вычислить площадь части винтовой поверхности
2= с arctgлежащей в первом октанте и заключенной между ци-
линдрами х2-\-у2 = а2 и х2 4-У = Ь2.
§ 6]
ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К МЕХАНИКЕ
247,
§ 6» Приложения двойного интеграла к механике
1°. Масса и статические моменты пластинки. Если
S — область плоскости XOY, занятая пластинкой, и q (х, у) — поверхностная
плотность пластинки в точке (х; у), то масса М пластинки и ее статические
моменты Мх и Aly относительно осей ОХ и 0Y выражаются двойными инте-
гралами
М = J J е (•*> у) dx dy> Мх— j j уо (x, у) dx dy,
(S)	(S)
(1)
(2)
(3)
от центра и равна S на краю
(S)
Если пластинка однородна, то Q (х, у) = const.
2°. Координаты центра тяжести и пластинки. Если
С(х, у) — центр тяжести пластинки, то
— Му — Му
М 9 у М 9
где М — масса пластинки и Мх, Му—ее статические моменты относительно
осей координат (см. 1°). Если пластинка однородна, то в формулах (1) можно
положить q=1.
3°. Моменты инерции пластинки. Моменты инерции пластинки
относительно осей ОХ и 0Y соответственно равны
/х= И	у^dx dy> 1у ~ И dx dy~
(S)	(S)
Момент инерции пластинки относительно начала координат
А> = J J (хг + у2) е (х, у) dx dy = lx + ly-
(S)
Полагая q (x, #)=1 в формулах (2) и (3), получаем геометрические моменты
инерции плоской фигуры.
2225.	Найти массу круглой пластинки радиуса /?, если плотность
ее пропорциональна расстоянию точки <	.	.	.
пластинки.
2226.	Пластинка имеет фор-
му прямоугольного треугольника
с катетами ОВ= а и О А == Ь, при-
чем плотность ее в любой точке
равна расстоянию точки от катета
О А. Найти статические моменты
пластинки относительно катетов
О А и ОВ.
2227.	Вычислить координаты
центра тяжести фигуры ОтАпО
(рис. 96), ограниченной кривой j = sinx и прямей ОА, проходящей
через начала координат и вершину	1^ синусоиды.
248
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
2228.	Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
кардиоидой г — а (1 cos ф).
2229.	Найти координаты центра тяжести кругового сектора радиу-
са а с углом при вершине 2а (рис. 97).
2230. Вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограничен-
ной параболами <у2 = 4х-{-4 и у2 =— 2х-|“4-
2231.	Вычислить момент инерции тре-
угольника, ограниченного прямыми х -J-j = 2,
х = 2, у = 2, относительно оси ОХ.
2232.	Найти момент инерции кругового
кольца с диаметрами d п D(d<D): а) отно-
сительно его центра и б) относительно его
диаметра.
2233.	Вычислить момент инерции квад-
рата со стороной а относительно оси, про-
ходящей через его вершину перпендикуляр-
но к плоскости квадрата.
2234*. Вычислить момент инерции сегмента, отсекаемого от пара-
болы у2 — ах прямой х = а, относительно прямой у =— а.
2235*. Вычислить момент инерции площади, ограниченной гипер-
болой ху = 4 и прямой х = 5, относительно прямой х=у.
2236*. В квадратной пластинке со стороной а плотность пропор-
циональна расстоянию от одной из ее вершин. Вычислить момент
инерции пластинки относительно стороны, проходящей через эту вер-
шину.
2237. Найти момент инерции кардиоиды г = а (1	cos ф) относи-
тельно полюса.
2238. Вычислить момент инерции площади лемнискаты г2 = 2а2 cos 2ф
относительно оси, перпендикулярной к ее плоскости в полюсе.
2239*. Вычислить момент инерции однородной пластинки, ограни-
ченной одной аркой циклоиды x = a(t — sin/), j/ = a(l —cos/) и осью
ОХ, относительно оси ОХ.
§ 7.	Тройные интегралы
1°. Тройной интеграл в прямоугольных координатах.
Тройным интегралом от функции /(х, у, z), распространенным на область V,
называется предел соответствующей трехкратной суммы:
И ? f U, У, z) dx dydz = lim S 2	/ (*/> У/> zk) by,txzk.
maxAxj->o i j k
\v)	max Ayj -> о
max -> о
Вычисление тройного Интеграла сводится к последовательному вычислению
трех обыкновенных (однократных) интегралов или к вычислению одного
двойного и одного однократного.
§ 71
ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
249
Пример 1. Вычислить
/
= J j х3//2? dx dy dz,
v v
где область V определяется неравенствами
О х 1, 0 у ^х, 0 г ^ху.
Решение. Имеем:
Пример 2. Вычислить
распространенный на объем
J J J х2 dx dy dz
(Ю
х2
эллипсоида
У2
b2
Решение.	I
а	а
J х2 dx dy dz = у х2 dx J dy dz = J x2Syz dx,
(V)	— a (Syz)	— о
d2 z2 x2
где Syz есть площадь эллипса —- + ^-=1 —» x = const, равная
— л
Поэтому окончательно имеем:
a
Шх2 dx dy dz—лЬс C x2 ( 1—na2bc.
(Ю	-a
2°. Замена переменных в тройном интеграле. Если
в.тройном интеграле
f (х, у, z) dx dy dz
(У)
от переменных x, у, z требуется перейти к переменным и, v, w, связанным с
х, у, г соотношениями х = (р (u, v, w), y = ty(u, v, w), z=% (u, v, w), где функ-
ции <p, ф, %:
1)	непрерывны вместе со своими частными производными 1-го порядка;
2)	устанавливают взаимнооднозначное и в обе сто’рюны непрерывное соот-
ветствие между точками области интегрирования V пространства OXYZn точ-
ками некоторой области V' пространства O'UVW*,
250
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
3)	функциональный определитель (якобиан) этих функций
дх	дх	дх_
ди	dv	дш
{ — Щх* У>	?) _. ду	ду	ду_
D (и, v,	ш)	ди	dv	дш
dz	дг	дг
ди	dv	дш
сохраняет в области V постоянный знак, то справедлива формула
J J j Кх* У* z) dx dy dz = ^^ f[q Vf ‘Ф (и> v> ^)» X (и» “011 \dudvdw.
В частности,
1) для цилиндрических координат г, (р, h (рис. 98), где
x==rcos<p, f/ = r sincp, z = h,
получаем, что I—г,
2) для сферических координат <р, ф, г (ср — долгота, ф — широта, г — ра-
диус-вектор) (рис. 99), где
х — г cos ф cos ср, у = г cos ф sin <р, г — г sin ф,
имеем / — г2 cos ф.
Пример 3. Переходя к сферическим координатам, вычислить
j J j Vx2 + «/2 + ? dx dy dz,
где V — шар радиуса R.
. Решение. Для шара пределы изменения сферических координат <р (дол-
готы), ф (широты) и г (радиуса-вектора) будут:
0<<р<2л, —0<r<R.
Поэтому будем иметь:
тс
2 ТС	2	R
J J j V £ + «/2 + г2 dx dy dz = J dtp J ^ф J r r2 cos ф dr = лR4.
(V)	о	°
"" 2
§ 7]
ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
251
3е. Приложения тройных интегралов. Объем области трех-
мерного пространства 0XYZ равен
V = J J J dx dy dz.
(Ю
Масса тела, занимающего область V,
М=\^^ у (х, у, z) dxdydz,
(V)
где у(х, у, z) — плотность тела в точке (х; у; 2).
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей
Mxy = J П Y	У’ 2 dx dy dz;
(V)
MYz— j y(x> У, z)xdxdydz;
(V)
мгх=\^ Y<*> У’ z)ydxdydz.
(Ю
Координаты центра тяжести
- — Myz ~_Mzx -^.Mxy
M ’ y~ M 9 M *
Если тело однородно, то в формулах для координат центра тяжести мож-
но положить у (х, у, z) = 1.
Моменты инерции относительно осей координат
lx= J J J + 2*) Y (*> У> z) dx dU d^>
1у~ ИУ< i)dxdydz;
(У)
у’ ^dxdydz-
tV)
Полагая в этих формулах у(х,у,г) = \, получаем геометрические мо-
менты инерции тела.
А. Вычисление тройных интегралов
Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле
S И У1 dz
(Ю
для указанных областей V.
2240» V — тетраэдр, ограниченный плоскостями
x-\-y-\-z = 1, х = 0, ^ = 0, z — 0.
2241» V — цилиндр, ограниченный поверхностями
х2+У = /?2, з = 0, z = H.
252
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
2242*. V—конус, ограниченный поверхностями
аа "Г Ьг —	> z~c-
2243.	V— объем, ограниченный поверхностями
z— 1—х2—у2, z — 0.
Вычислить следующие интегралы:
2244.	[ dx [ dy f	.
J J J ^x + ff + z + l
0	0	0
/4Х -y3
2
2245.	dx dy J x dz.
0	0	0
a	V а3 — x3	V a3 — x3 — y3
2246.	[dx C dy C —-----------d2 -----
J	J	У J	/а2_х2_^_гг
0	0	0
1	1 -X 1 — x—y
2247.	dx dy xyz dz.
0	0	0
2248. Вычислить
ШАх dy dz
(х + ^ + г + D”
(И
где V — область интегрирования, ограниченная координатными плос-
костями И ПЛОСКОСТЬЮ X	1.
2249. Вычислить
Ш (Х+.У + *)’dx аУ dz>
(Ю
где V—общая часть параболоида 2az х2-\-у2 и шара х24“«У2“Ь
4-22<Зй2.
2250. Вычислить
z2 dx dy dz,
(И
где V—общая часть шаров х2 Ц-.У2 4“ и х2 -\-y2-\-z2 2Rz.
2251. Вычислить
J J j z dx dy dz,
(Ю
где V — объем, ограниченный плоскостью z = 0 и верхней полови-
j^2
ной эллипсоида	+ *^’=
§ 7]
ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
253
2252. Вычислить
Ш (^ + ^-\-^dxdydz,
(И)
х2 \ У2 \ г2 .
где V — внутренность эллипсоида
2253. Вычислить
\\\zdxdy dz,
(У)	h*
где V—область, ограниченная конусом Z2=-^{х2-\-у2) и плоскостью
z — h,
2254. Переходя к цилиндрическим координатам, вычислить
dx dy dz,
т
где V — область, ограниченная поверхностями х2 -[-у2 -\-z2 = 2Rz,
хг-^-у2 = z2 и содержащая точку (0,0,/?).
2255. Вычислить
2 V2X— х2 а ____________
dx J dy J z V x2 у2 dz,
ООО
преобразовав его предварительно к цилиндрическим координатам.
2256. Вычислить
2 Г	V 2ГХ — X2	Уы2 — X2 —у2
§ dx J dy j dz,
0	— V 2ГХ — X2	0
преобразовав его предварительно к цилиндрическим координатам.
2257. Вычислить
R VR2—x2 V/?2 — х2 —у2
dx dy У (х2 -{-y^dz,
-R -VR2 __д.2	о
преобразовав его предварительно к сферическим координатам.
2258. Перейдя к сферическим координатам, вычислить интеграл
И S	dx dy dz,
т
где V — внутренность шара х2у2z2 х.
Б. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов
2259. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела,
ограниченного поверхностями
у2 = 4а2 — Зах, у2 = ах, z — ± Л.
254
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
2260**. Вычислить объем части цилиндра х2 -^-у2 = 2ах, содер-
жащейся между параболоидом х2 -\-у2 = 2az и плоскостью XOY.
2261*. Вычислить объем тела, ограниченного сферой х2^-)/2^-
-\-z2 — a2 и конусом z2 = x2-\-y2 (внешнего по отношению к конусу).
2262*. Вычислить объем тела, ограниченного сферой x2-\-y2-\-z2—^
и параболоидом х2 -\-y2 = %z (внутреннего по отношению к парабо-
лоиду).
2263.	Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью XOY>
цилиндром х2-\-у2 — ах и сферой х2-\-у2-\-z2 = a2 (внутреннего по
отношению к цилиндру).
2264.	Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом
тг Ч- 4г = 2 — и плоскостью х = а.
Ь2 ' с2 а
2264.1.	Найти объем тела, ограниченного поверхностью
/ х2	1 у2 ।	z2 \2__х2	, у2	г2
\ а2 £2 ~с2 J	а2	*" Ь2	с2
2264.2.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями
а2 + Ь2 + с2 ’ а2 ‘ Ь2 с2
В. Приложения тройных интегралов к механике и физике
2265. Найти массу М прямоугольного параллелепипеда О^х^а,
O^y^b, 0^z*^c, если плотность в точке (x,jz, z) есть Q(x,y, z) —
— x-^-y-^-z.
2266. Из октанта шара x2-\-y2-[-zz	с2, х^О,	z^O
вырезано тело ОАВС, ограниченное координатными плоскостями и
плоскостью	1
(рис. 100). Найти массу этого тела,
если плотность его в каждой точке
(х, y.z) равна аппликате этой точки.
2267*. В теле, имеющем форму
полушара х2 -\-у2 -\-z2	a2, z^O,
плотность изменяется пропорционально
расстоянию точки от центра. Найти
центр тяжести этого тела.
2268. Найти центр тяжести тела,
ограниченного параболоидом^2 -J- 2z2=
= 4х и плоскостью х = 2.
2269*. Найти момент инерции круглого цилиндра, высота кото-
рого h и радиус основания а, относительно оси, служащей диамет-
ром основания цилиндра.
2270*. Найти момент инерции круглого конуса, высота которо-
го Л, радиус основания а и плотность Q, относительно диаметра
основания.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
255
§ 8]
2271**. Найти силу притяжения, оказываемого однородным конусом
с высотой h углом а при вершине (в осевом сечении) на материальную
точку, содержащую единицу массы и расположенную в его вершине.
2272**. Показать, что сила притяжения, действующая со стороны
однородного шара на внешнюю материальную точку, не изменится, если
всю массу шара сосредоточить в его центре.
§ 8. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
Несобственные кратные интегралы
1°. Дифференцирование по параметру. При некоторых
ограничениях*), налагаемых на функции f(x,a), fa(xt а) и на соответ-
ствующие несобственные интегралы, имеет место правило Лейбница
00	00
J f(x, a) dx = j*	(х, a) dx.
a	a
Пример 1. С помощью дифференцирования по параметру вычислить
00
_ р-В*1
I ---------dx (a > 0, 0 > 0).
о
Решение. Пусть
X
--------~--------dx = F (а, р).
о
Тогда
dF («, P)
da
ОО	00
{ xe-ax,dx — le-axt I = —
J	2а	I	2а
о	о
Отсюда F(a, 0) = —у lna-{-C(0). Чтобы найти С (0), полагаем в последнем
равенстве a = 0. Имеем 0 = —~ In 0 4- С (0).
Отсюда С(0) = -~1п0. Следовательно,
Ла. Р) = —-g-In a +-i-In Р = у In
2е. Несобственные двойные интегралы, а) Случай
бесконечной области. Если функция I (х, у) непрерывна в неогра-
ниченной области S, то полагают:
ЭД Цх, У) dx dy = lim J J f(x, y) dx dy,
(О
♦) См. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интеграль-
ного исчисления, т. II, гл. XIV, § 3, п. 520, Физматгиз, 1962.
256
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VJI
где а—конечная область, целиком лежащая в5, причем а-> S означает, что
мы расширяем область о по произвольному закону, так чтобы в нее вошла и
осталась в ней любая точка области S. Если предел в правой части существует
и не зависит от выбора области о, то соответствующий несобственный инте-
грал называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.
Если подынтегральная функция f (х, у) неотрицательна (/ (х, у) 0), то для
сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы предел
в правой части равенства (1) существовал хотя бы для одной системы
областей о, исчерпывающих область S.
б) Случай разрывной функции. Если функция f (х, у) непре-
рывна в ограниченной замкнутой области S всюду, за исключением точки
Р (а\ Ь), то полагают:
J J f (х, у) dx dy = lim J J f (x, y) dx dy,
(S)	s *0 (S.)
(2)
где Se —область, получаемая из S путем удаления малой области диаметра е,
содержащей точку Р. В случае существования предела (2), не зависящего от
вида удаляемых из области S малых областей, рассматриваемый несобственный
интеграл называется сходящимся, а в противном случае — расходящимся.
Если /(х, у)^0, то предел в правой части равенства (2) не зависит от
вида удаляемых из области 5 областей; в частности, в качестве таких областей
можно брать круги радиуса — с центром в точке Р.
Понятие несобственных двойных интегралов легко переносится на случай
тройных интегралов.
Пример 2. Исследовать на сходимость
Я (14-х2+уТ’	(3)
(5)
где S — вся плоскость X0Y.
Решение. Пусть а — круг радиуса р с центром в начале координат.
Переходя к полярным координатам, при р Ф 1 имеем:
2ТС р
1 (а)=П d + x2 + y^=j d<₽ j (14-гТ=
(а)	О О
2тс
о
Если р< 1, то lim /(о)— lim / (о) — оо и интеграл расходится. Если же
о -> S	р -> со
р>1, то lim 7(о) —_5— и интеграл сходится. При р=1 имеем I (о) =
р —> ОО	Р — 1
2ТС р
= С ЛфС — Л In (1 +q2); lim Z(o)~ оо, т. е. интеграл расходится.
J J 1	Р -> 00
о о
Таким образом, интеграл (3) сходится при р> 1.
2273. Найти /'(х), если
со
=	(х>0).
X
$ 8]	НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	257
2274.	Доказать, что функция
4-со
Р xf(z) ,
«= I .	; -v,dz
J х2 + (#~2)
-00
удовлетворяет уравнению Лапласа
дх*^ ду*~"-
2275.	Преобразование Лапласа F(p) для функции /(/) опреде*
ляется формулой
F(p} = \e-ptf(t) dt.
О
Найти Р(р), если: а) /(/)—1; б) f{t) = eat; в) /,(f) = sin0f;
г) /(/) = COS0t
2276.	Пользуясь формулой
О
вычислить интеграл
1
х”"1 Inxdx.
о
2277*. Пользуясь формулой
00
= l (р>0),
о
вычислить интеграл
00
$ ee-ptdi.
О
Применяя дифференцирование по параметру, вычислить следующие
интегралы:
2278. Je~gX~g~^rfx (а>0, Р>0).
О
00
рp-QX
2279. \----------sin тх dx (а > 0, 0 > 0).
о
9 Г. С. Бараненков и др.
258
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
о
2281.	(|а|<1).
J х2 У 1 — х2
о
00
2282.	(а>0).
Вычислить следующие несобственные интегралы:
2283.	Jdx $ e-<*+J,,dy.
о о
1	£ X
2284.	J dy еУ dx.
о о
2285.	ДО; с* 4^ * где $ — область, определяемая неравенствами
V)
22w\p4(I.+»+?? <“>0)-
о о
2287. Интеграл Эйлера — Пуассона, определяемый формулой
00
7=^ е”*8 dx, может быть записан также в виде I
о
множая эти формулы и переходя
вычислить /.
00
j dy. Пере-
0
затем к полярным координатам,
dz
(%2+^+z2+l)2-
2288. Вычислить \
о
Исследовать на сходимость несобственные двойные интегралы:
2289**.	\nV х2 -\-у2 dx dy, где S — круг х2 -\-у*
(S)
2290. J J	> где $ — область, определяемая неравенством
(S) 1
(«внешность» круга).
2291*. Cf AfXd-y — > где	— квадрат
JJ /(х-уГ
§ 9]
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
259
2292«
(V)	’ z
где V — область, определяемая нера-
венством х2 —2 —^2	1 («внешность» шара).
§ 9. Криволинейные интегралы
1°. Криволинейные интегралы первого типа. Пусть
/(х, У) — непрерывная функция и у = ц> (х) [а^х^Ь] — уравнение некоторой
гладкой кривой С.
Построим систему точек 2Иг-(х/, #;) (1 = 0, 1, 2,	п), разбивающих кри-
вую С на элементарные дуги Мг^\М; = As;, и составим интегральную сум-
п
му Sn = 2 f (ХЬ	Предел этой суммы при п -> оо и max As,--> О
f=i
называется криволинейным интегралом первого типа
п
Um У f (xi’ Уй ^si ~\f(x> У)ds
(ds — дифференциал дуги) и вычисляется по формуле
ь
f (к, у) ds=^ [ (х, ф (х)) /1 + (ф' (х))’ dx.
С	а
В случае параметрического задания кривой С: х = <р(/), # = ф	р]
имеем:
J / (х, у) ds= J f (ф (0, t (0) /<р'2 (0	(0 dt.
С	а
Рассматривают также криволинейные интегралы
первого типа от функции трех переменных f(x, у, z),
взятые по пространственной кривой, которые вы-
числяются аналогично. Криволинейный интеграл 1-го
типа не зависит от направления пути интегриро-
вания', если подынтегральную функцию f интерпрети-
ровать как линейную плотность кривой интеграции
представляет собой массу кривой С,
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл
С, то этот интеграл
J (х 4- у) ds,
с
где С —контур треугольника АВО с вершинами А (1; 0), В (0; 1) и 0(0; 0)
(рис. 101).
Решение. Здесь уравнение АВ'. у = 1—х, уравнение OB'. х = 0,
уравнение ОА: у = 0.
260
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
Поэтому будем иметь:
j (x+y)ds = j (x + y)ds + j (x + y)ds + j (x + y)ds —
С	AB	BO	OA
1 1 1
0	0	0
2°. Криволинейный интеграл второго т и п а. Если Р (х, у)
и Q (*» У) ~ непрерывные функции и </ = <р (х) — гладкая кривая С, пробегаемая
при изменении х от а до Ь, то соответствующий криволинейный интеграл
второго типа выражается следующим образом:
ь
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy=^[P (X, ф (х)) + ф' (х) Q (х, ф (х))] dx.
С	а
В более общем случае, когда кривая С задана параметрически: х = ф(/),
0 =	где t изменяется от а до 0, то имеем:
3
J Р (X, у) dx + Q (X, у) dy = J [Р (ф (0, ф (0) ф' (/) + Q (ф (0. Ф (0) (01 Л-
С	а
Аналогичные формулы справедливы для криволинейного интеграла второго
типа, взятого по пространственной кривой.
Криволинейный интеграл второго типа меняет свой знак на об-
ратный при изменении направления пути интегрирова-
ния. Механически этот интеграл можно интерпретировать как работу со-
ответствующей переменной силы {P(x,r/), Q (х, у)\ вдоль кривой интегра-
ции С.
Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл
У y2dx-\-x2dy,
с
где С — верхняя половина эллипса х = a cos t, y — b sin t, пробегаемая по ча-
совой стрелке.
Решение. Имеем:
о
С у2 dx х2 dy = J [b2 sin8t*(— a sin t) 4- a2 cos2 t-b cos /] dt =
с	it
о	0
= — ab2 § sin8 t dt -j- a2b J cos8 tdt = ~ ab2.
7C	It
3®. Случай полного дифференциала. Если подынтегральное
выражение криволинейного интеграла второго типа есть полный дифферен-
циал некоторой однозначной функции U = U (х, у), т. е. Р (х, у) dx 4* Q(x> y)dy=
— dU (x, y)t то этот криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирова-
261
§ 9]	КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ния и имеет место формула Ньютона — Лейбница
(*2; У г)
j Р (х, y)dx + Q (х, y)dy = u (х2, уг) - U (хи yt),
(х>; у.)
(1)
где (Хр г/J — начальная и (х2; у2) — конечная то
контур интеграции С замкнут, то
р	Y
Р (х, у) dx + Q (х, у) dy = 0.	(2)
с	у
Если 1) контур интеграции С содер-
жится целиком внутри некоторой односвяз-
ной области S и 2) функции Р (х, у) и
Q (х, у) вместе со своими частными произ-
водными 1-го порядка непрерывны в об-
ласти S, то необходимым и достаточным
условием для существования функции U яв-
ляется тождественное выполнение в облас- q
ти S равенства
пути, d частности, если
6 fo/y?





Л
Рис. 102.
(см. интегрирование полных дифференциалов). При невыполнении условий
1) и 2) наличие условия (3) не гарантирует существования однозначной
функции U и формулы (1) и (2) могут оказаться неверными (см. задачу 2332).
Укажем способ нахождения функции U (х, у) по ее полному дифференциалу,
основанный на использовании криволинейных интегралов (т. е. еще один
способ интегрирования полного дифференциала). За контур интегрирования С
возьмем ломаную PqP^M (рис. 102), где Ро (х0; г/0) — фиксированная точка,
М (х; у) — переменная точка. Тогда вдоль Р^Рг имеем у — у0 и dy ~0, а вдоль
РХМ имеем dx = 0. Получаем:
(х; у)
(х, у) —U (х0, г/0) = J Р (х, у) dx + Q (х, у) dy
(*<ь У o')
X	у
— Р(х, у0) dx + J Q (х, у) dy.
Хо	Уо
Аналогично, интегрируя по ломаной PQP2M, имеем:
у	х
и (X, У) — и (х0, у„)— Q (х0> у) dy + J Р (х, у) dx.
Уо	*о
Пример 3. (4х + 2у) dx -f- (2х — 6г/) dy = dU. Найти (/.
Решение. Здесь Р (х, у) — 4х + 2г/ и Q (х,у) = 2х — 6г/; причем уело*
вие (3), очевидно, выполнено. Пусть хо = О, yQ = 0. Тогда
X	у
U (х, y)=^4xdx+ J (2х-6г/)аг/ + С^=2х2 + 2хг/-Зг/2 + С
о	о
262	КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[ГЛ. VII
ИЛИ
у	*
U (х, у) = \ -6ydy + j (4х + 2у)4х + С = —Зу1 + 2х* + 2ху + С,
О	о
где С = £7 (0; 0) — произвольная постоянная.
4°. Формула Грина для плоскости. Е ели С — граница области
S и функции Р (х, у), Q (х, у) непрерывны, вместе со своими частными про-
изводными 1-го порядка, в замкнутой области S + C, то справедлива формула
Грана
fpdx + Qdy = ^^-^)dxdy,
С	(S)
где обход контура С выбирается так, чтобы область S оставалась слева.
5°. Приложения криволинейных интегралов. 1) Площадь,
ограниченная замкнутым контуром С, равна
(направление обхода контура выбирается обратным движению часовой стрелки).
Более удобна для приложений следующая формула площади:
S — ^^(xdy-ydx) — ^^xid	.
С	с
2) Работа силы, имеющей проекции Х = Х(х, у, z), Y = Y (х, у, z),
Z = Z(x, yt z) (или соответственно работа силового поля), вдоль пути С вы-
ражается интегралом
А= J Xdx + Y dy-\-Zdz.
с
Если сила имеет потенциал, т. е. если существует функция U = U (х, у, г)
(потенциальная или силовая функция) такая, что
у	dU—7
дх ду дг
то работа, независимо от вида пути С, равна
(*2,Уа, г2)	г2)
А = J Xdx + Y dy + Zdz= J dU = U (x2, y2, z2) - U (xlf ylt z,),
Z.)	Zi)
где (xlt ylt zj — начальная и (x2; y2*t z2) — конечная точки пути.
А. Криволинейные интегралы первого типа
Вычислить следующие криволинейные интегралы:
2293. ^xyds, где С—контур квадрата |х|4~|.У|=л (а^>0).
с
0 ds
2294. j р======-, где С—отрезок прямой, соединяющей
с
точки 0(0; 0) и А (1; 2).
§ 9]
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
263
р	। if
2295. \xyds, где С—четверть эллипса	-|—— 1» лежащая
с
в первом квадранте.
2296. \y*ds, где С — первая арка циклоиды x = a(t — sin/),
с
у = а(1 — cos /).
2297.	гДе С—дуга развертки окружности х =
с
= a(cos /-{-/sin/), .У = я (sin/— /cos/) [0<: /^ 2 л].
2298. J (х2 +У)2 ds, где С—дуга логарифмической спирали
с
г = ает?	0) от точки Л(0; а) до точки О(—оо; 0).
2299. \{x-\-y)ds, где С—правый лепесток с		лемнискаты
гг = а‘ cos 2<р. 2300. У (х 4- z) ds, где С—дуга кривой с	x = i,	у О’
г=е [о < t < i], Р	ds 2301. \ ”t~l гг"а > гДе С—первый виток J х ~т~У i 2 с x = acos/, 3/ = asin/, z = bt. 2302.	z2 ds, где С—окружность с	винтовой линии х’4-^2 + г, = аж,	
х=у.
2303*. Найти площадь боковой поверхности параболического ци-
3
линдра у =-^ х2, ограниченной плоскостями г = 0, х = 0, z = x,
j/ = 6.
2304.	Найти длину дуги конической винтовой линии x = ae*cos/,
у = ае* sin/, z = ael от точки 0(0; 0; 0) до точки А (а; 0; а).
2305.	Определить массу контура эллипса ^-j-y2= 1, если линей-
ная плотность его в каждой точке Л4 (х, у) равна |.
2306.	Найти массу первого витка винтовой линии x = acos/,
у = a sin /, z = bt, если плотность в каждой точке равна радиусу-
вектору этой точки.
2307.	Определить координаты центра тяжести полуарки циклоиды
х—а (/ — sin /), у — а(1 — cos /) [0	л].
2308. Найти момент инерции относительно оси OZ первого витка
винтовой линии x = acos/, у — a sin /, z = bt.
264
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
2309» С какой силой масса М, распределенная с постоянной плот-
ностью на окружности х2-|~.у2 = л\ z — Q, воздействует на массу т,
помещенную в точке А (0; 0; Ь)?
Б. Криволинейные интегралы второго типа
Вычислить следующие криволинейные интегралы:
2310.	J (х2— 2xj) dx-J-^xj ~Н.У2)4У> где АВ—дуга параболы
АВ
у = х* от точки А (1; 1) до точки В(2; 4).
2311.	J (2а—y)dx-\~xdy, где С—дуга первой арки циклоиды
с
x = a(t— sin /), у = а(1—cos/),
пробегаемая в направлении возрастания параметра t.
2312.	J 2ху dx — x2dy, взятый вдоль различных путей, выходящих
ОА
из начала координат О (0; 0) и закан-
чивающихся в точке Л (2; 1) (рис. 103):
а)	прямой ОтА;
б)	параболы ОпА,
которой является ось
в)	параболы ОрА,
которой является ось
г) ломаной линии ОВА;
д) ломаной линии ОСА.
условиях задачи 2312.
осью симметрии
ОУ;
осью симметрии
ОХ;
в
Рис. 103.
2313. f 2ху dxх2 dy
ОА
2314*. (j)	_^_у2—, взятый вдоль окружности х2-р
-^-у* = а2 против хода часовой стрелки.
2315.	J у2 dx—[—х2 dy, где С есть верхняя половина эллипса
с
x = acost, y = bsint, пробегаемая по ходу часовой стрелки.
2316.	Jcosj/dx— sinxdy, взятый вдоль отрезка АВ биссектри-
Ав
сы второго координатного угла, если абсцисса точки А равна 2 и
ордината точки В равна 2.
2317.	фху d— , где С—правый лепесток лемнискаты г2 —
==a2cos2<p, пробегаемый против хода часовой стрелки.
2318.	Вычислить криволинейные интегралы от выражений, являю-
щихся полными дифференциалами:
(2; s)	(з ; 4)
a) j xdy-^-ydx, б) J xdx-\-ydy,
(—i;a)	(о; i)
О; О
в) $ (х+у) (dx-^-dy),
(о; о)
§ 9J
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
266
г)
Д)
е)
\ —* * у (по пути, не пересекающему ось ОХ),
(к «>
(*; у)
dx-)- dy
х+у
(по пути, не пересекающему прямую х—_у = 0),
to; у»)
J <p(x)dx4-ip(^)rfy.
to; уд
2319. Найдя первообразные функции подынтегральных выражений,
вычислить интегралы:
а)
б)
(»; »)
J (х4	4ху ’) dx	(6х2_у2 — 5у4) dy,
(>;»)
С	xdy — ydx
J (x - yf
<»: — О
(путь интегрирования не пересекает прямой у = х),
в) С	(путь интегрирования не пересекает прямой
О: О (Х + У)	У=-х),
О: О	,
г) f (	4-j) dx-j-(	—4~х)4у-
J ДКх* + У* ) '\Ухг-\-уг )
(о; о)
2320. Вычислить
/ — С xdx + ydy
J/l+^+s/8’
взятый по ходу часовой стрелки вдоль четверти эллипса	L
лежащей в первом квадранте.
2321. Показать, что если f(u) есть непрерывная функция и С—
замкнутый кусочно-гладкий контур, то
//(х2 + У*) ах + j dy) = °-
с
2322. Найти первообразную функцию U, если:
a) du — (2x-\-3y)dx-\-(3x — 4y)dy;
б) du = (Зх2 — 2ху + J2) dx — (х2 — 2ху	З^2) dy;
в) d« = e*-x[(14-x-|-j)dx4-(l--x-—_y)dyj;
266	КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[ГЛ. VII
Вычислить криволинейные интегралы, взятые вдоль пространствен-
ных кривых:
2323.	— z)dx-\-[z— x}dy-\-(x—y)dz, где С — виток вин-
с
товой линии
{х = a cos t,
у = a sin
z = bt,
соответствующий изменению параметра t от 0 до 2л.
2324.	фу dx + z dy 4- х dz, где С — окружность
с
х — Rcos acos t,
« у = R cos a sin t,
k z = /?sina (a = const),
пробегаемая в направлении возрастания параметра.
2325.	J ху dx -\~yz dy 4- zx dz, где	О A — дуга
OA
x* + J2 + £2 = 2>Rx, z = x,
окружности
расположенная по ту сторону от плоскости XOZ, где J^>Q.
2326. Вычислить криволинейные интегралы от полных дифферен-
циалов:
а)
б)
в)
г)
(в; 4; 8)
j	х dx 4-У dy — z dz,
(1;о, — 8)
(а\ Ь; с)
J yz dx 4- zx dy 4- xy dz,
(1; 1; 1)
(З; 4; Б)
С х dxу dy z dz
J У*х2 + f/2 + z2
(0; 0; 0) f 1 » 1
(1; 1; 1)
yz dx -\-zxdy-\- xy dz
xyz
(путь интегрирования расположен в
первом октанте).
В. Формула Грина
2327.	С помощью формулы Грина преобразовать криволинейный
интеграл
1	dx-[-y [xy + In (x + /х’+Р)] dy,
С
где контур С ограничивает область S.
§ 9J	КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	267
2328.	Применяя формулу Грина, вычислить
2(x2^y2)dx-[-(x^y)2 dy,
с
где С—пробегаемый в положительном направлении контур треуголь-
ника с вершинами в точках А (1; 1), В(2; 2) и С(1; 3). Проверить
найденный результат, вычисляя интеграл непосредственно.
2329.	Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
(f) — х2у ху2 dy,
с
где С—окружность x2-]~y2 = R2, пробегаемая против хода часовой
стрелки.
2330» Через точки 4(1; 0) и В(2; 3) проведены парабола АтВ,
осью которой является ось OY, и хорда ее АпВ. Найти
ф	— (х—У)ау непосредственно и применяя формулу
АтВпА
Грина.
2331. Найти J еху [j/2 dx-{- (1 4" ху) dy], если точки А и В лежат
А т В
на оси ОХ, а площадь, ограниченная путем интеграции АтВ и от-
резком АВ, равна S.
2332*. Вычислить £ х	. Рассмотреть два случая:
с х *
а) когда начало координат находится вне контура С,
в) когда контур окружает п раз начало координат.
2333**. Показать, что если С—замкнутая кривая, то
ф zqs (X, п) ds = 0,
с
где $ — длина дуги и п — внешняя нормаль.
2334. Применяя формулу Грина, найти интеграл
I=(j) [х cos (X, п) 4“У sin (X, n)]ds,
с
где ds — дифференциал дуги и п — внешняя нормаль к контуру С.’
2335*. Вычислить интеграл
с х + у
взятый вдоль контура квадрата с вершинами в точках А (1; 0), В(0; 1),
С(— 1; 0) и £>(0; — 1), при условии обхода контура против хода ча-
совой стрелки.
268
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Dl. VII
Г. Приложения криволинейного интеграла
Вычислить площади фигур, ограниченных следующими кривыми:
2336. Эллипсом x = acosf, ,y = /?sin/.
2337. Астроидой x = acos8f, у = asin31.
2338. Кардиоидой х = а (2 cos t — cos 2/), у — a (2 sin t — sin 2f).
2339*. Петлей декартова листа — 3axy = 0 (a^>0).
2340. Кривой (х-(-.У)3 = яху.
2341*. Окружность радиуса г катится без скольжения по непод-
вижной окружности радиуса 7?, оставаясь вне нее. Предполагая, что
2^
-у---целое число, найти площадь, ограниченную кривой (эпициклои-
дой), описанной какой-нибудь точкой подвижной окружности. Разо-
брать частный случай r — R (кардиоида).
2342*. Окружность радиуса г катится без скольжения по непод-
вижной окружности радиуса R, оставаясь внутри нее. Предполагая,
р
что-у-----целое число, найти площадь, ограниченную кривой (гипоци-
клоидой), описанной какой-нибудь точкой подвижной окружности.
р
Разобрать частный случай, когда г = — (астроида).
2343.	Поле образовано силой, имеющей постоянную величину Ли
направление положительной полуоси ОХ. Найти работу поля, когда
материальная точка описывает по ходу часовой стрелки четверть ок-
ружности х2 — R2, лежащую в первом квадранте.
2344.	Найти работу, производимую силой тяжести при перемеще-
нии материальной точки массы т из положения А(хр ур zj в поло-
жение В(х2; ур г2) (ось OZ направлена вертикально вверх).
2345.	Найти работу упругой силы, направленной к началу коор-
динат, величина которой пропорциональна удалению точки от начала
координат, если точка приложения силы описывает против часо-
вой стрелки четверть эллипса	= 1, лежащую в первом квад-
ранте.
2346.	Найти потенциальную функцию силы R { X, К, Z } и опреде-
лить работу силы на данном участке пути, если:
а)	^¥=0, У=0, Z = — mg (сила тяжести) и материальная точка
перемещается из положения Л(хх, jp zj в положение В(х2, у2, z2);
б)	— Z— — где p = const и г =
х= хг уг (сила ньютоновского притяжения) и материальная
точка из положения А (а, Ь, с) удаляется в бесконечность;
в)	Х= — k2x, Y= — k2y, Z =— k2z, где k = const (упругая
сила), причем начальная точка пути находится на сфере х2-|-ву1--[-
-Yz* = R\ а конечная — на сфере х2-\-у2z2 = г2 (R^> г).
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
269
§ 10]
§ 10. Поверхностные интегралы
Iе, Поверхностный интеграл первоготипа. Пусть [(х,у,г)—
непрерывная функция и г = ф(х, у) — гладкая поверхность S.
Поверхностный интеграл первого типа представляет собой предел ин-
тегральной суммы
п
SA f (х, У> z)ds= lim V/(x;, yb z^Sj,
где AS/ — площадь Лго элемента поверхности S, точка (xf-, yb Zj) принадлежит
этому элементу, причем максимальный диаметр элементов разбиения стре-
мится к нулю.
Значение этого интеграла не зависит от выбора стороны поверхности S,
по которой производится интегрирование.
Ёсли проекция в поверхности S на плоскость XOY однозначна, т. е. вся-
кая прямая, параллельная оси OZ пересекает поверхность S лишь в одной
точке, то соответствующий поверхностный интеграл первого типа может быть
вычислен по формуле
J J / (*. У> Z) dS = J р [х, у, <Р (х, у)]	1 + Ф х (х, у) + <f‘ (X, у) dx dy.
S	(«)
Пример 1. Вычислить поверхностный интеграл
Р (x + y + z)dS,
где S — поверхность куба 0х1,
Вычислим сумму поверхностных интегралов по верхней грани куба (z = 1)
и по нижней грани куба (z —0)
р + l)dxdy+ Р (x + z/)dxdjf=P (2х-f-2у + 1) dx dy — 3.
0 0	0 0	0 0
Очевидно, что искомый поверхностный интеграл в три раза больше и равен
JJ (х + у + z) dS = 9.
Поверхностный интеграл второго типа. Вели
Р = Р (х, у, z),Q = Q (х, у, z), Р = R (х, у, z) — непрерывные функции и S+ —
сторона гладкой поверхности S, характеризуемая направлением нормали
п { cos a, cosp, cosy }> то соответствующий поверхностный интеграл второго
типа выражается следующим образом:
J J Р dy dz -f- Q dz dx R dx dy = у у (P cos a Q cos P -J- R cos y) dS.
При переходе на другую сторону S“ поверхности этот интеграл меняет
свой знак на обратный.
Если поверхность S задана в неявном виде F (х, у, z) = 0, то направляю-
щие косинусы нормали этой поверхности определяются по формулам
1 dF а 1 dF	1 dF
cos a = — — , cos P = — ч— , cos у = — x— ,
D dx r Ddy r D dz
270
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
где
D=±
1 /ZdFV . ZdFV . ZdFV
V \dx / * \dy J * \дг / *
и выбор знака перед радикалом должен быть согласован со стороной поверх-
ности S.
3®. Формула Стокса. Если функции Р = Р (х, у, z), Q — Q (х, у, г),
R = R(x, у, г) — непрерывно дифференцируемы и С —замкнутый контур,
ограничивающий двустороннюю поверхность S, то имеет место формула
Стокса
(f) Р dx 4- Q dy -j- R dz ==
C	CC FZ^ #Q\ i (dP dR\ Q , fdQ dP\ 1 .c
= И 3--------1	cos a 4- 3---3“ 1	cos 6 4- № — 3- )	cosy	dSt
J J [_\дУ	dz J \dz	dx J r 1 \dx dy J ’J
•s
где cos a, cos 0, cos у — направляющие косинусы нормали к поверхности S,
причем направление нормали определяется так, чтобы со стороны нормали
обход контура С совершался бы против хода часовой стрелки (в правой си-
стеме координат).
Вычислить следующие поверхностные интегралы первого типа:
2347. J (х2 4~^2) dS, где S—сфера № Ц-^у2 Ц-г2 = «2.
2348. J Jl/rx24“3't^, где S — боковая поверхность конуса
$
а2 1 a2 b2 L	J
Вычислить следующие поверхностные интегралы второго типа:
2349.	J J yz dy dzxz dz dxху dxdy, где S — внешняя сторона
поверхности тетраэдра, ограниченного плоскостями х = 0, ;/ = 0,
2=0, х-\-у -\-z = a.
2350.	§§zdxdy, где S— внешняя сторона эллипсоида4“3г 4~
s
I zz 1
2351.	хj j х2 dy dz у2 dz dx 4“ z2 dx dy, где S — внешняя сторона
поверхности полусферы x2у2z2 = a1 (г^О).
2352.	Найти массу поверхности куба O^x^l,
O^z^ 1, если поверхностная плотность в точке Л4(х; у; z} равна xyz.
2353.	Определить координаты центра тяжести однородной пара-
болической оболочки a^ = x24“J2
2354.	Найти момент инерции части боковой поверхности конуса
относительно оси OZ.
§ 11]	ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО — ГАУССА	271
2355.	Применяя формулу Стокса, преобразовать интегралы:
а)	$ (х1 — yz} dx (у1 — zx) dy -J- (z* — xy) dz;
c
6)	fy dx-\-z dyx dz.
c
Применяя формулу Стокса, найти данные интегралы и проверить
результаты непосредственным вычислением:
2356.	(fi (у -J- z} dx -}- (z -}- х) dy -J- (x y) dz, где C — окружность
c
x* + У* + z* — a\ x у + z = 0.
2357.	(fi (y — z)dx-]-(z — x)dy-\-(x—y)dz, где C—эллипс
c
х24"^±:==Ь x-\-z=\.
2358.	$ * dx-\-(x-\-y) dy (x-}-y z) dz, где C — кривая №
c
₽=asinf, >y = acosf, z = a (sin fcos f) [0^/^2л].
2359.	(j) y*dx -}~z*dy-\- xtdz, где ABCA — контур A ABC c
ABCA
вершинами A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(0; 0; a).
2360.	В каком случае криволинейный интеграл
/= ф Pdx-\-Qdy-\-Rdz
с
по любому замкнутому контуру С равен нулю?
§ 11. Формула Остроградского — Гаусса
Если S — замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая объем V, и
Р = Р(х,у, z), Qz=Q(x, у, z), р = Р (х, у, z) — функции, непрерывные вместе
со своими частными производными 1-го порядка в замкнутой области V, то
имеет место формула Остроградского — Гаусса
CJ (Р cos а 4-Q cos Р 4-/? cosY)dS = yyy	+ + dxdydz,
S	(Ю 4
где cos а, cos0, cos у — направляющие косинусы внешней нормали к по-
верхности S.
Применяя формулу Остроградского—Гаусса, преобразовать следую-
щие поверхностные интегралы по замкнутым поверхностям S, ограни-
чивающим объем V (cos a, cos р, cos у — направляющие косинусы
внешней нормали к поверхности S).
272	КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	(ГЛ. VII
2361.	xy dx dy yz dy dz 4~ zx dz dx.
s
2362- П x2 dy dz 4- y2 dz dx -f- z2 dx dy.
s
2363 СCxcosoe + ycosP+zcosydS
’ J J
О
2364, П (£cosa+^cosP+£cosY)rfs-
5
С помощью формулы Остроградского — Гаусса вычислить следую-
щие поверхностные интегралы:
2365.	j j х2 dy dz-\-у2 dz dx-\-z2 dx dy, где S— внешняя сторона
s
поверхности куба O^x^a, 0 ^y ^a, O^z^a.
2366.	И x dy dz-\-у dz dxz dx dy, где S — наружная сторона
s
пирамиды, ограниченной поверхностями х-\- y-\-z = a, №0,
у = 0, z = 0.
2367.	х9 dy dz yz dz dx 4- z* dx dy, где S — внешняя сторона
сферы х24~У 4“^2 = ^2-
2368.	(x2 cos a 4“ >2 cos 0 -}-z2 cos y) dS, vrq S — внешняя пол-
s
ная поверхность конуса
у2	w.2	<*»2
^ + ^г—|г = °
2369.	Доказать, что если S—замкнутая поверхность и I — любое
постоянное направление, то
J J cos (п, Z) dS = 0,
s
где п — внешняя нормаль к поверхности S.
2370.	Доказать, что объем тела V, ограниченного поверхностью S,
равен
V= *1 jy (х cos a 4" .У cos ₽ 4“ z cos Y)
s
где cos a, cos0, cosy — направляющие косинусы внешней нормали к
поверхности S.
§ 12]
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
273
§ 12. Элементы теории поля
1°. Скалярное и векторное поля. Скалярное поле определяется
скалярной функцией точки и = [(Р) = [(х, у, z), где Р (х, у, г)—точка про-
странства. Поверхности f (х, у, z) = Ct где С = const, называются поверхно-
стями уровня скалярного поля.
Векторное поле определяется векторной функцией точки а = а (Р) = а (г),
где Р —точка пространства и г = xi -\-yj-\-zk — радиус-вектор точки Р.
В координатной форме a = axi -}-ayJ-\-a2k, где ах = ах (х, у, z), а^=ау (х, у, г),
а2 = az (х, у, z) — проекции вектора а на координатные оси. Векторные линии
(силовые линии, линии тока) векторного поля находятся из системы диффе-
ренциальных уравнений
dx dy dz
ах ау а2
Скалярное или векторное поле, не зависящее от времени t, называется
стационарным, а зависящее от времени — нест а ционарным.
2°. Градиент. Вектор
где V —J4”	— оператор Гамильтона (набла), называется ера*
диентом поля U = f (Р) в данной точке Р (ср. гл. VI, § 6). Градиент направ-
лен по нормали п к поверхности уровня в точке Р в сторону возрастания
функции U и имеет длину, равную
дп V \дх J \ду J '\дг ) '
Если направление задано единичным вектором l\ cos a, cos Р» cosy|,^o
dU at, t а г, dU .dU о , dU
= grad (Л/ = grad, £7 = ^-cos а 4-^ cos	cosy
(производная функции U по направлению I),
3°. Дивергенция и вихрь. Дивергенцией векторного поля а (Р) =
дах . да„ . да2
= ах14- ayj 4- azk называется скаляр div а.—	4"	— ^а'
Вихрем векторного поля а (Р) = axiayJa2k называется вектор
ду dz J \ dz дх Jj ' \ дх ду j

4°. Поток вектора. Потоком векторного поля а (Р) через по-
верхность S в сторону, определяемую единичным вектором нормали
n|cosa, cos р, cos у j к поверхности 3, называется интеграл
JJe«dS = JJa„dS=JJ(aх cos а 4- ау cos Р 4- az cos Y) dS.
s	s	s
Если 3 — замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, а п — единич-
ный вектор внешней нормали к поверхности 3, то справедлива формула
274
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
Остроградского — Гаусса, которая в векторной форме имеет вид
div adxdydz.
5°. Циркуляция вектора; работа поля. Линейный интеграл
от вектора а по кривой С определяется формулой
a dr = J as ds = j axdx + aydy + azdz
c c c
(1)
в представляет собой работу поля а вдоль кривой C(as — проекция вектора
а на касательную к С).
Если кривая С — замкнутая, то линейный интеграл (1) называется цирку-
ляцией векторного поля а вдоль контура С.
Если замкнутая кривая С ограничивает двустороннюю поверхность S, то
справедлива формула Стокса, которая в векторной форме имеет вид
(j) a dr =	п rot a dS = j j (rot a)n dS,
c	s	s
где я — вектор нормали к поверхности S, направление которого должно быть
выбрано так, чтобы для наблюдателя, смотрящего по направлению п, обход
контура С совершался в правой системе координат против хода часовой
стрелки.
6°. Потенциальное и соленоидальное поля. Векторное
поле а (г) называется потенциальным, если
а = grad U,
где [/== / (г) — скалярная функция (потенциал поля).
Для потенциальности поля а, заданного в односвязной области, необхо-
димо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т. е. чтобы rota = 0.
В этом случае существует потенциал U, определяемый из уравнения
dU = axdx + aydy -f- azdz.
Если потенциал (/ — однозначная функция, то J a dr = U (В) — V (А); в
АВ
частности, циркуляция вектора а равна нулю: (j) a dr =0.
с
Векторное поле а (г) называется соленоидальным, если в каждой точке
поля div а = 0; в этом случае поток вектора через любую замкнутую поверх-
ность равен нулю.
Если поле является одновременно потенциальным и соленоидальным, то
div(grad£/)=0 и потенциальная функция U является гармонической, т. е. удов-
n d2U , d2U , d2U А дг, п
иетворяет уравнению Лапласа ^2 “г 0, или Д(/ = 0, где Д =
д2 д2 д2
+	— опер ат°Р Лапласа.
2371. Определить поверхности уровня скалярного поля U=f(r),
где г х?угг*. Каковы будут поверхности уровня поля
t/=F(Q), где е = Ух*4-у?
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
275
§ 121
2372.	Определить поверхности уровня скалярного поля
ту	2
и=arcsin -===.
/7+7
2373.	Показать, что векторными линиями векторного поля я(Р) = Г,
где с — постоянный вектор, являются прямые, параллельные вектору г.
2374.	Найти векторные линии поля а = —	где —
постоянная.
2375.	Вывести формулы:
a)	grad (C1U-\-CtV) = C1 grad U-\-Ct grad V, где Cx и — по-
стоянные;
6)	grad (UV) = U grad V —V grad U;
в)	grad (67s) = 267grad 67;
ч Л ( U А У grad U - U grad V
r) grad^vj=-^---------;
д) grad cp (U) = <p' (U) grad 67.
2376.	Найти величину и направление градиента поля t7=x*-f-
-+/+-Z8— 3xyz в точке А (2; 1; 1). Определить, в каких точках гра-
диент поля перпендикулярен к оси OZ и в каких точках равен нулю.
2377.	Вычислить grad 67, если 67 равно соответственно: а) г, б) г2,
В) у , Г) /(г) (r = /?+y + ?).
2378.	Найти градиент скалярного поля U=cr, где с — постоян-
ный вектор. Каковы будут поверхности уровня этого поля и как они
расположены относительно вектора с?	2	,	2
2379.	Найти производную функции 67=-^-	в данной
точке Р(х, у, z) в направлении радиуса-вектора г этой точки. В ка-
ком случае эта производная будет равна величине градиента?
2380.	Найти производную функции 67= у в направлении
Z{cosa, cos0, cosy}. В какОхМ случае эта производная равна нулю?
2381.	Вывести формулы:
a)	div (С.а. 4~ См,) = С. div а. 4- С2 div а2, где С. и С—посто-
янные;
б)	div (Uc) = grad 67*с, где с — постоянный вектор;
в)	div (Ua) = grad 67-а +~ 67div а.
2382.	Вычислить div^~^.
2383.	Найти div а для центрального векторного поля a(P)=f (г)1^ ,
где г = Ух*-\-у2-\-г*.
2384.	Вывести формулы:
a)	rot (С1а1	С2а2) = Ct rot -|- Q rota2, где С1иС2 — постоянные;
б)	rot (67с) = grad 67где с — постоянный вектор;
в)	rot (Ua) — grad 67 X а + С rot а.
2385.	Вычислить дивергенцию и вихрь вектора а, если а равно
соответственно: а) г; б) гс и в) f(r)c> где с — постоянный вектор.
276	КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	[ГЛ. VII
2386.	Найти дивергенцию и вихрь поля линейных скоростей то-
чек тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью со вокруг
оси OZ в направлении против хода часовой стрелки.
2387.	Вычислить вихрь поля линейных скоростей я =»<о X г точек
тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью со вокруг неко-
торой оси, проходящей через начало координат.
2388.	Вычислить дивергенцию и вихрь градиента скалярного поля £/.
2389.	Доказать, что div (rot а) = 0.
2390.	Пользуясь теоремой Остроградского — Гаусса, доказать,
что поток вектора а = г через замкнутую поверхность, ограничиваю-
щую произвольный объем v, равен утроенному объему.
2391.	Найти поток вектора г через полную поверхность цилин-
дра xb+j2</?2,
2392.	Найти поток вектора а — хЧ-\-yzj-\-z2k через: а) боковую
поверхность конуса —~ , 0 z Н\ б) через полную поверх-
ность конуса.
2393*. Вычислить дивергенцию и поток силы притяжения
F— — ™ точки массы т, помещенной в начале координат, через
произвольную замкнутую поверхность, окружающую эту точку.
2394.	Вычислить линейный интеграл вектора г вдоль одного вит-
ка винтовой линии х = R cos t\ j = z — ht от f = 0 до f=2n.
2395.	С помощью теоремы Стокса вычислить циркуляцию вектора
a — x'yH-^-j-^-zk вдоль окружности х24-<у2 = ^2; z = 0, приняв
в качестве поверхности полусферу z = YR2— х2—у2.
2396.	Показать, что если сила F—центральная, т. е. направлена к
неподвижной точке 0 и зависит только от расстояния г до этой точки:
F=/(r)r, где /(г)— однозначная непрерывная функция, то поле —
потенциальное. Найти потенциал U поля.
2397.	‘Найти потенциал U гравитационного поля, создаваемого ма-
териальной точкой массы т, помещенной в начале координат:
а = —^г* Показать, что потенциал U удовлетворяет уравнению
Лапласа Д{7=0.
2398.	Выяснить, имеет ли данное векторное поле потенциал U, и
найти (7, если потенциал существует:
а)	а = (5x2j — 4xj) i 4- (Зх2 — 2j) /;
б)	a=yzi-\-zxj-\-xyk*,
в)	a = +	+	+
2399. Доказать, что пространственное центральное поле д=/(г)г
k
будет соленоидальным только при /(г) = ^г, где £ = const.
2400. Будет ли соленоидальным векторное поле а = г (гХг)> гДе
с — постоянный вектор?
ГЛАВА VIII
РЯДЫ
§ 1.	Числовые ряды
1°. Основные понятия. Числовой ряд
00
а1 + а2 + • • • + ап + • • • = 2 ап
называется сходящимся, если его частичная сумма
$п — а\ + а2 4“ • • • + ап
имеет предел при п—► оо. Величина lim Sn называется при этом суммой
л -> со
ряда, а число .
Rn = $ Sn = ап+1 + ап+2 + • • •
— остатком ряда. Если предел lim Sn не существует, то ряд называется
п -> со
расходящимся..
Если ряд сходится, то lim an = Q (необходимый признак сходимости),
п -> cP
Обратное утверждение неверно.
Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы для всякого
положительного числа е можно было подобрать такое JV, что при п > N и
любом положительном р выполнялось неравенство
I ап + 1 +^ + 2 + • • • Л~ап+р I < е
(критерий Коши).
Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если прибавить или
отбросить конечное число его членов.
2°. Признаки сходимости и расходимости знакополо-
жительных рядов.
а) Признак сравнения I. Если 0 ап Ьп, начиная с некоторого
п~п^ и ряд
со
+ ^2 + • • • +	‘ • • = 2	Ф)
П = 1
сходится, то ряд (1) также сходится. Если ряд (1) расходится, то расходится
и ряд (2).
В качестве рядов для сравнения удобно, в частности, выбирать геометри-
ческую прогрессию
2 aqn (а * 0),
278
РЯДЫ
[гл. VIII
которая сходится при .[ q | < 1 и расходится при [ q |	1, и гармонический ряд
00	.
И = 1
являющийся рядом расходящимся.
Пример 1. Ряд
_L j__! । !—и	j—!—l , ,
1-2 ‘ 2-22 ‘ 3-22 '	^л-2я
сходится, так как здесь
__ I 1
а"~ п-2п<'2" ’
причем геометрическая прогрессия
знаменатель которой q = -^t сходится.
Пример 2. Ряд
In 2 . In 3 ,	. In л .
-2“ + —+ ••• + — + •••
.	Inn
расходится, так как его общий член больше соответствующего члена
~ гармонического ряда (который расходится).
б)	Признак сравнения II. Если существует конечный и отличный
от нуля предел lim (в частности, если ап ~ Ьп), то ряды (1) и (2) сходятся
п -> 00 Ьп
или расходятся одновременно.
Пример 3. Ряд
1+у + т+”-+2^=л + "-
расходится, так как
lim ( 1— ; — =-L о,
п -> со \2л — 1 п )	2
х 1
а ряд с общим членом — расходится.
Пример 4. Ряд
__!_____।—!—I—!—l ф * I ;
2—1'22 —2’23 —З’ ’2я — л'
сходится, так как
(2я - л : 2й) = h т’ е* 2 я —л ~ 2я ’
х 1
а ряд с общим членом сходится.
в)	Признак Даламбера. Пусть ап > 0 (начиная с некоторого л=л0)
и существует предел
lim a_H±l~q,
п -► оо ап
§ п
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
279
Тогда ряд (1) сходится, если д< 1, и расходится, если q > 1. Если q = \9 тс
вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда
1_|_А । Ад.	I 2n~1 I
2 ‘ 22 ‘ 23 ‘	‘ 2п > ‘’
Решение. Здесь
__2л — 1
ап—‘ 2п ’ an+l
2л+ 1
2«+i
и
lim lim ^+inL = X
>-> 00 ап и-»оо2п+,(2п- 1)	2
Г -> 00 ]___
2л
Следовательно, данный ряд сходится.
г)	Признак Коши. Пусть	(начиная с некоторого л = л0) Р
существует предел
lim ?/an = q.
И -> СО
Тогда ряд (1) сходится, если д<1, и расходится, если q > 1. В случае,
когда q—1, вопрос о сходимости ряда остается открытым.
д)	Интегральный признак Коши. Если an~f (л), где функция
f(x) положительна, монотонно убывает и непрерывна при	то ряд
(1) и интеграл
со
$ f W dx
а
сходятся или расходятся одновременно.
С помощью интегрального признака доказывается, что ряд Дирихле
Л = 1
сходится, если р>1, и расходится, если р«С1. Сходимость многих рядов
можно исследовать при помощи сравнения с соответствующим рядом Дирихле (3).
Пример 6. Исследовать сходимость ряда
— Д- _L -4- — д_ . д_______!_____l #
1 *2	3-4 ‘ 5*6 ‘	(2л — 1) 2л ‘
Решение. Имеем:
_	1	_ 1	1	~ J_
(2л — 1) 2л 4л2______4л2 ’
1 ~2л
Так как ряд Дирихле при р = 2 сходится, то на основании признака сравне-
ния II можно утверждать, что и данный ряд сходится.
3°. Признаки сходимости знакопеременных рядов.
Если ряд
1 ai I + 1 а2 I + • • • + I ап । + • • • ,	(4)
составленный из абсолютных величин членов ряда (1), сходится, то ряд (1)
также сходится и называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (1)
280	ряды	[гл. yin
сходится, а ряд (4) расходится, то ряд (1) называется условно (неабсолютно)
сходящимся.
Для исследования на абсолютную сходимость ряда (1) можно использовать
для ряда (4) известные признаки сходимости знакоположительных рядов.
В частности, ряд (1) сходится абсолютно, если
Пт ]ед+*|< 1 или Нт УКГ<1.
п -> оо I ап I	п -> оо
В общем случае из расходимости ряда (4) не следует расходимость ряда (1).
Но если lim I > 1 или lim £/] ап | > 1, то расходится не только
п -> со | ап I	И 00 *
ряд (4), но и ряд (1).
Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда
-bt + b,-(6„>0)	(5)
выполнены условия: 1) Ьг^ bt 2) lim bn = 0, то ряд (5) сходится*
п -> со
Для остатка ряда в этом случае справедлива оценка
I Rn I bn+i-
Пример 7. Исследовать сходимость ряда
Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
>+(4У+(Я+Ш‘+-+(ггЬУ+-
Так как
Ит 1//б~ЦТ = Iim 9~Ц = Пт “=
л->00 У \2П   1 ) п оо --- 1 П -> 00 2 _--
п
то данный ряд сходится абсолютно.
Пример 8. Ряд
’-4+т-...+(-1)"+*4+-
сходится, так как выполнены условия признака Лейбница. Этот ряд сходится
неабсолютно (условно), так как ряд
1+Т + Т+-"+^+"-
расходится (гармонический ряд).
Примечание. Для сходимости знакочередующегося ряда не достаточно,
чтобы его общий член стремился к нулю. Признак Лейбница утверждает
лишь, что знакочередующийся ряд сходится, если абсолютная величина
общего члена ряда стремится к нулю м о н о т о н н о. Так, например, ряд
. б + 2	5' ' 3	•••+ k
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
281
расходится, несмотря на то, что его общий член стремится к нулю (монотон-
ность изменения абсолютной величины общего члена здесь, конечно, нарушена).
Действительно, здесь =	+ где
причем lim S^ = oo(S^—частная сумма гармонического ряда), в то время
k -> оо
как предел lim существует и конечен (S^ — частная сумма сходящейся гео-
А -*00
метрической прогрессии), следовательно, lim S2^ = oo.
k -* 00
С другой стороны, для сходимости знакочередующегося ряда выполнение
признака Лейбница не необходимо: знакочередующийся ряд может сходиться,
если абсолютная величина его общего члена стремится к нулю не монотонно.
Так, ряд
1—-----------L_l j---------!-------L + .
22и-з» 42и- •••-Г(2П~1)»	(2п)2‘
сходится и притом абсолютно, хотя признак Лейбница и не выполнен: абсо-
лютная величина общего члена ряда хотя и стремится к нулю, но не монотонно.
4°. Ряды с комплексными членами. Ряд с общим членом
сп = ап +	(i’ =—1) сходится тогда и только тогда, когда одновременно
с©	с©
сходятся ряды с действительными членами 2 ап и 2 пРичем в этом
n = i	Л = 1
случае
00	00	оо
2	5 ьп-
И = 1	Л = 1	И = 1
Ряд (6) заведомо сходится и называется абсолютно сходящимся, если схо-
дится ряд
членами которого являются модули членов ряда (6).
5°. Действия над рядами.
а)	Сходящийся ряд можно умножать почленно на любое число k, т. с.
если
ai + а2 + • • • + ап + • • • == •$’
то
ka^ -f- ka2 -|- .,. kan -|- ... = kS.
б)	Под суммой (разностью) двух сходящихся рядов
ai + аг + • • • + ап + • • • =•$1,	(7)
4" ^2 + • • • 4” “Ь • • • = ^2	(8)
понимается соответствующий ряд
(a1±61) + (a2±62) + ...+(an=t bn)+..
в)	Произведением рядов (7) и (8) называется ряд
С1 + С2 + • • • + сп + • • • »	(9)
где Cn==atbn + a2bn_. + ... +	2, ...).
Если ряды (7) и (8) сходятся абсолютно, то ряд (9) сходится также абсо-
лютно и имеет сумму, равную
282
РЯДЫ
[гл. VIII
г)	Если ряд сходится абсолютно, то его сумма не изменяется при пере-
становке членов ряда. Это свойство не имеет места в случае, если ряд
сходится неабсолютно.
Написать простейшую формулу л-го члена ряда по указанным членам:
2401. 1 + 4 + |+'.+ ...	2404. 1+4 + 1 + 1+...
2402-	4 + I + I + 4+--- 2405. -1 + 4 + ^ + ^+...
2403. 1 + 4+I + 4 + ...	2400.| + 4 + ^ + 4+...
5' + t+r + s+s+s+-"
2408 1 -I- — -4- * 3 54- 1 *3‘5‘7 I
1 Ь4ф Ь4.7ф 1.4.7.10+ * • ’
2409. 1 —1-1-1 ——
2410. 1+4 + 3 + 4'_b5 + i'_b • • •
В №№ 2411 —2415 требуется написать 4—5 первых членов
ряда по известному общему члену ап.
2411.	Зп — 2 ап— Я2_|_1 •	2414. ап	ряр •
2412.		(П 1	• пп\ 1 2 -f- Sin 1 cos nn
2413.	а _2 + (-1)" а"	пг	2415. a =		. n	n\
Исследовать сходимость рядов, применяя признаки сравнения
(или необходимый признак):
§ И
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
283
П2 03	ПП
2423.	2 + т + у-{- ... +—+ • • •
2424.	14--L + -L+...4- * -L ...
1 КТ 1 / 3 1 /п 1
2425.	^+р+|г+.	...
242в 1+Е£+±Т+. ,
2420, 2^з/2Ф4КЗФ Ф(«4-1)/п
С помощью признака Даламбера исследовать сходимость рядов:
2427	* 4- А 4- 5 4-	4- 2п ~~ * 4-
949Я 2 | 2*5 I 2*5*8 ।	I 2*5*8.. .(Зп — 1) »
1 “Г1.5"Г 1.5.9“Г ••• “Г 1.5.9.. ,(4п — 3) '
С помощью признака Коши исследовать сходимость рядов:
242,. ’ + (Зу+(±у+... + (^У+...
2430. 4+(4)+ (!)•+... +(^Г+-
Исследовать сходимость знакоположительных рядов:
2431.
2432.
2433.
2434.
1
7*10
2й"1
"л5’
2436. '22 Зг ! Зг 4J
2437,
(п + 1)2-1“ ”
_________!_______4
(Зп - 2) (3/1 4- 1)
^-4-
2n2 +1 '
И I
+ 1“Г •••
, 2п + 1
••-Г (п + 1)2(п + 2)2
Зп
Зп+1
284
РЯДЫ
[гл. VIII
2441 _1L4._2L__i__JL__l.	4
2 + 1 > 22 +М 2’ + 1	••• т 2" + 1 1
2442. 1+2+^+...+-Г1.+
2443 ±4-k?4_l±i4- I ЬЗ-5...(2п-1) ,
^л' 4 ^4-8 ‘ 4-8-12^ ” ‘	4-8-12.. .4л	'
2444 <H2 + ^_|_<1L24-	4-^4-
z • 2) -f- 4! -+ 6| -+ ... -f- (2п)! -+ .. .
2445. 1000
. 1000-1002 . 1000-1002-1004
‘	1-4 “Г 1.4.7
1000-1002-1004...(998+ 2п)
1-4-7 . ..(Зл —2)
..	2 | 2l5-8_|_	. 2-5-8-11-14...(6л-7)(6л-4)
244b. j -f- i.5.9T • • • 4“ 1.5.9.13.17...(8л - 11)(8л -7)
9447 1x214	4-	1-5-9. ..(4л-3)
л-*-*/. 2	2.4.6Т • • • Т 2-4-6-8-10.. .(4л — 4) (4л — 2)
2448.
1 . 1-11 . 1-11-21 .	। 1-11-21...(Юл-9)
П-!- 3! "Г 51 "Г •••“Г (2га — 1)!
2449 ] J !—L 	LA1?	L 1 | 1.3.5^ 1.3.5-7-9 *	।	1-4-9...Л*	।
	• • • 1 1-3-5-7-9.. ,(4л — 3) ' ‘•
оо 2450. У, arcsin	со 2457. ^2 n-lnn-ln Inn ‘ rz—2
00 2431-	+	оо 2458. £ -т-^— • п2 — п
п = \ оо 2452. ЕЦ1!-!).	Пг=.2 СО 2459. Е г 1	• • /л (л + 1)
2453. Е И = 1	СО 2460. Е г	1	-?=♦
	
si- П = 2	ОО 246Е ^2л1пл + /П^-
ОО 2455- S П — 2	со 2462. Е --V-1 л у п - У л
ОО	
2456. П — 1	2463* 21(2п-1)(5/" -1)‘
§ и
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
285
2464, £ (1 — cos т) *	2467, S •
л = 1 '	'	П = 1
2465. £	2468*. £^-'.
1ХГЛ	Л = 1
2466. £	.
Л = 1
GO
2469. Доказать, что ряд £ пР 1п? п :
1) сходится при произвольном q, если />^>1, и при ^^>1, если
/> = 1;
2) расходится при произвольном q, если р< 1, и при q^ 1, если
р=1.
Исследовать сходимость следующих знакопеременных рядов.
В случае сходимости исследовать на абсолютную и условную сходи-
мость.
2470 1-14-1- I	I
^470. I 3 ~t~ 5	•••-+- 2п - 1 + • • •
_L+_L
/2	/3
2471.
2472.
2473.
2474.
1—14-1—	। (-I)'1'1” I
7 ' 13	* ’ ’ “Г 6n — 5 ~Г ‘ ’
J_______L-J-l__________L(— П”-» .?.?,+ !__________L
1-2	2-3 ' 3-4	•••4^1	4	rt(ra_|_|)4-
n2 -|-n
2475. _4-2+4 + ^_...+(_l)~.l„+...
2476.
2477.
2478.
2479.
2480.
.•• + (- 1)"
2	,	3_______4
2VT-i-г’з/з'-1 4 VT - 1
1 —3'5 I 3'5'7 i /	3-5-7...(2/z + l) ,
2	2-5 । 2-5-8	•••T'	2-5-8...(3n - 1) I"
1	»-4 । 1-4-7	, f	l-4-7,.,(3n-2)
7	7-9 >7-9-11	•••"TV	4	7-9-11...(2л + 5)
sin a I sin 2a ।	. sin na .
iHo~r (in io)‘> * • • ' (in io)n "1 • • •
286
РЯДЫ
[гл. vnr
оо	со
2481. £ (-1)»^.	2482. £ (- 1)»-’ tg-J- .
~ п	п Vn
2483. Убедиться в том, что признак сходимости Даламбера не
00
решает вопроса о сходимости ряда 2 где
Л = 1
2^-1	2^-1
fl!2^-i==3?F7i>	a2k===~~^k~	(^=== 1, 2, ...),
в то время как с помощью признака Коши можно установить, что
этот ряд сходится.
2484*. Убедиться в том, что признак Лейбница неприменим к зна-
кочередующимся рядам а) — г). Выяснить, какие из этих рядов рас-
ходятся, какие сходятся условно, какие сходятся абсолютно:
.	1______1	,	1_______________L_
а /2-1	/1 4- 1	/3 - 1 /34-//4-1 /1 + 1
/мл - 1 ’ a*k Vk + ~\ +1 /
б) 1_L д_ J_L _l_ J_L _j__
'	3*2	З3 ‘ 22	З5	• • •
( 1 1 \ .
I a2k- 1 — 2*-1’ a^k—	32*-1J ’
I i I I I I I I
B) 3-+-3 —32+5-—35+ •••
( ________________ 1 __________1_\ .
^a2*-i 2k — 1’ a*k 3k)’
4 3	^7	5 ‘ 11	9
(	_	1	__ IX
4й— i> aik 4k —3) '
Исследовать сходимость рядов с комплексными членами:
2485.	у> п (2 + i)n Z* 2п п=л CD	2489.	00 00
2486.	уч п (2i — 1)п з« П—1	2490.	у	!	. ^(л+0/ п
	00		CD
2487.	у	!	.	2491.	у	1	 [п + (2п - 1)П‘
	оо		00
2488.	»м	2492.	у, |-П(2-/) + 1 1" [п (3 - 2i) - 3iJ
§ П
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
287
2493.	Между кривым» и у=^, справа от точки их пе-
ресечения, построены отрезки, параллельные оси OY и отстоящие
один от Другого на одинаковом расстоянии. Будет ли сумма длин
этих отрезков конечной?
2494.	Будет ли конечной сумма длин отрезков, о которых шла
речь в предыдущей задаче, если кривую У—^i заменить кривой
ОО	00
2495.	Составить сумму рядов	Схо-
И = 1	nz=l
дится ли эта сумма?
оо	оо
2496.	Составить разность расходящихся рядов
П = 1	» = 1
и исследовать ее сходимость.
00
2497» Сходится ли ряд, образованный вычитанием ряда У, —у
И=1
оо
из ряда у, у?
И = 1
2498.	Подобрать такие два ряда, чтобы их сумма сходилась, а
разность расходилась.
00	00
2499.	Составить произведение рядов	оп-1 • Схо-
^пУп
дится ли это произведение?
2500.	Составить ряд (1 + у + j + • • • +	+ • • •) • Схо-
дится ли этот ряд?
2501.	Дан ряд —1+^i—4~ • • • 4~ „1^ ~Ь •  • Оценить
ошибку, допускаемую при замене суммы этого ряда суммой первых
его четырех членов, суммой первых пяти членов. Что можно сказать
о знаках этих ошибок?
2502*. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
1+ШУ+^4У+-+Ж+-
суммой его первых п членов.
2503. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
288
РЯДЫ
[гл. vffl
суммой его первых п членов. В частности, оценить точность такого
приближения при л=10.
2504**, Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
1+i+^+	•••
суммой его первых п членов. В частности, оценить точность такого
приближения при л = 1000.
2505**, Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
суммой его первых п членов.
00
2506, Сколько членов ряда / л -------— нужно взять, чтобы вы-
п —1
числить его сумму с точностью до 0,01? до
п
0,001?
2507. Сколько членов ряда (2п-|- 1)5”
вычислить его сумму с точностью до 0,01?
2508*. Найти сумму ряда ^ + ^3 + 3^ + •••
2509. Найти сумму ряда
нужно взять, чтобы
до 0,001? до 0,0001?
1 .
4~ (jZх — у/х — |/х) -j- • • • 4~ (2А I/х—2k	х)4-...
§ 2, Функциональные ряды
1°. Область сходимости. Множество значений аргумента х,
для которых функциональный ряд
/1(х) + /2(х) + .	(1)
сходится, называется областью сходимости этого ряда. Функция
S(x) = lim Sn(x),
П CD
где Sn (х) = Л (х) + /2 W + • • • + fn W, а х принадлежит области сходимости,
называется суммой ряда, a Rn(x) = S (х) — Sn(x) — остатком ряда.
В простейших случаях для определения области сходимости ряда (1) до-
статочно применить к этому ряду известные признаки сходимости, считая х
фиксированным.
Пример 1. Определить область сходимости ряда
х + 1 , (х+1)г , (х + 1)* ,	, (х + 1)п .	,9.
1-2 1" 2-2г "г 3-2’	"т „,2л	W
Решение. Обозначив через и„ общий член ряда, будем иметы
Ига I«я+11 _ Hm Iх + 11 "+,2"п _ |х+И
»->оо |«„| ~ поо 2П**(«+ 1) 1*+1 |и—	2
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
289
§ 2]
На основании признака Даламбера можно утверждать, что ряд сходится (и
притом абсолютно), если - *	1 - < 1, т. е. при —3 < х < 1; ряд расходится,
если	> j, т. е. если — оо <х< —3 или 1 <х< оо (рис. 104). При
получаем гармонический ряд 1 +-4*+ 4"4“ • • • > который расходится, а
2. о
при х =—3 —ряд —I-]-“2—-у 4" . • •, кот°Рый (в соответствии с призна-
ком Лейбница) сходится (неабсолютно).
Итак, ряд сходится при —3^х< 1.
2°. Степенные ряды. Для всякого степенного ряда
Со 4-с, (X - а) +сг(х - а)г + ... +сп(х - а)п + ...	(3)
(сп и а — действительные числа) существует такой интервал (интервал схо-
димости) jx — a\<ZR с центром в точке х = а, внутри которого ряд (3)
сходится абсолютно; при | х — а | > R — ряд расходится. Радиус сходимости
Расход.
-J V о /	*
Рис. 104.
Р может быть в частных случаях равен также 0 и оо. В концевых точках
интервала сходимости x~a±R возможна как сходимость, так и расходимость
степенного ряда. Интервал сходимости определяют обычно с помощью при-
знаков Даламбера или Коши, применяя их к ряду, членами которого являются
абсолютные величины членов данного ряда (3).
Применив к ряду абсолютных величин
|Со|+|с1Цх-а| + ...+]сЛх-аГ + ...
признаки сходимости Даламбера и Коши, получим для радиуса сходимости
степенного ряда (3) соответственно формулы
lim
п -> оо
J___
/таг
и R — lim I
п -> оо I сп + 1
Однако пользоваться ими следует весьма осторожно, так как пределы, стоя-
щие в правых частях этих формул, часто не существуют. Так, например,
если бесконечное множество коэффициентов сп обращается в нуль (это, в част-
ности, имеет место, если ряд содержит члены только с четными или только
с нечетными степенями (х — а)), то пользоваться указанными формулами нельзя.
В связи с этим рекомендуется при определении интервала сходимости применять
признаки Даламбера или Коши непосредственно, как это сделано выше при
исследовании ряда (2), не прибегая к общим формулам для радиуса сходимости.
Если z = х + iy — комплексное переменное, то для степенного ряда
«о +<а (2 - е0) + С2 (2 - 2о)2 + • • • +с„ (2 - Z„)n 4- . . .	(4)
(сп = ап -J- *о = хо"Н#о) существует некоторый круг (круг сходимости)
| г — zQ | < R с центром в точке z = z0, внутри которого ряд сходится абсо-
лютно; при | z — г01 > R ряд расходится. В Точках, лежащих на самой окруж-
ности круга сходимости, ряд (4) может как сходиться, так и расходиться.
10 Г. С. Бараненков и др.
290
РЯДЫ
[гл. VIII
Круг сходимости обычно определяют с помощью признаков Даламбера или
Коши, примененных к ряду
|c0|+|c1|.|2-2oH-|c2l.|Z-z0|’ + ...4-|cn|-|z-^l” + -.-.
членами которого являются модули членов данного ряда. Так, например, с по-
мощью признака Даламбера легко обнаружить, что круг сходимости ряда
z + 1 । (г + 1)2 । (* + 1)8 »	. (г + 1)" .
1*2 "Г 2-22	3-28	• • • • п.2« “*•••
определяется неравенством | г + 1 ] < 2 (достаточно повторить приведенные
на стр. 288 выкладки, служившие для определения интервала сходимости ряда
(2), заменив лишь х на z). Центр круга сходимости находится в точке z = — 1,
а радиус R этого круга (радиус сходимости) равен 2.
3°. Равномерная сходимость. Функциональный ряд (1) сходится
на некотором промежутке равномерно, если, каково бы ни было е > 0, можно
цайти такое /V, не зависящее от х, что при n > N для всех х из данного про-
межутка имеет место неравенство | Rn (х) ] < е, где Rn (х) — остаток данного ряда.
ОО
Если | fn (х) | «С сп (п = 1, 2,...) при а «С х «С b и числовой ряд 2 сп схо-
П = 1
дится, то функциональный ряд (1) сходится на отрезке [а, 6] абсолютно
и равномерно (признак Вейерштрасса).
Степенной ряд (3) сходится абсолютно и равномерно на всяком отрезке,
лежащем внутри его интервала сходимости. Степенной ряд (3) можно почленно
дифференцировать и интегрировать внутри его интервала сходимости (при
|х — а | < R), т. е. если
Со + С1(«-а)+с2(х -а)а+ ... +сп(х - а)" + ... — f (х),	(5)
то для любого х из интервала сходимости ряда (3) имеем:
С14-2с2(х — а) + ... +псп(х — а)"-1+ ...=/'(ж),	(6)
XXX	X
J cQdx + J q (х — a) dx + J с2 (х — a)2 dx + ... + сп (х — а)п dx + ... =
Xq	Xq	Xq	Xq
<?>
П—0	X0
(число x0 также принадлежит интервалу сходимости ряда (3)). При этом ряды
(6) и (7) имеют тот же интервал сходимости, что и ряд (3).
Найти область сходимости ряда:
ОО 2510. 2^- И = 1	2513.	00 Е И==1	sin (2п — 1)х (2п - I)2 •
00		00	
2511. £ (-1)”+1^.	2514.	Е	2" sin .
и = 1		п=о	
00		00	
2512. £(-!)” ‘ . « = 1	п	2515**.	Е л=о	COS fix епх •
§ 2]
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
291
2516.	оо	оо У (—l)"+,e-"sin*.	2521. У \	(п -4- 1 )5 х2п аз	со
2517.	V 21	9V>9 V	1)П~' 2-1	rt.3«(x-5)wt И = 1	И = 1 00	со
2518.	2	2523« 2 и = 1	П=1л аз	оо
2519.	(2п -Ох"’	2524 *	(Х "Ь 2"хп) * 00	00
2520.	S (Йг-	2525. S л”. И = 1'	1	П~—\
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать схо-
димость на концах интервала сходимости:
2526.	со	со £л	2535. ЕЙ- И=0	И=1
2527.	ЕЙ-	=53». Е И=1	П=1 4	1	7
2528.	SsS-	2б37- И = 1	и=о
2529.	V	„_чя у * (х\п 2* (4п - З)2 ’	2558>	п + 1 \ 2 ) ’ И=1	И=1	4	7
2530.	f	2539. f И=1	П=1
2531.	у (п + 1)«хгп	2540 у хп~* 2^ 2п +1 ’	^п.ЗМпп’ Л=0	‘	w = 2 00	оо
2532.	У (— 1)" (2л + 1)’ хп. 2541. £ х”'- и=о	И=1
2533.	СО	СО У .	2542**. У л!хп|. п! И = 1	Л=1
2534.	Ё	ЗИ8*. Ё 2-й» • И=1	И=1
10*
292
РЯДЫ
[гл. VIII
2544*. 2545.	00 n" у х” Z- п" • И = 1 У (_	(x-5)f> '	п-3" * П = 1	2554. У?Ц£±г. пп п = 1 2555 У1 — 5‘ ~(«-Н)1пЧл + 1) •
2546.	е со" с 1 Xс «Н!	2556 У	^2П 2556. 2<(л + 1)1п(п+1) •
2547.	nMs ? 1 со Й м а	СО 2557.
2548.		00 2558.
2549.	у (* + 3)п п2 •	СО 2559*.	4-iya(x— 1)”.
2550.	ОО У Л"(х4-3)п. П=1	СО 2560. П = 1
2551.	V (х + 5)2Аг~1 2п-4п п = 1	°0	Ч Z	i—7. п -4— 2 2561. 22(-l)BVCT-(x-2)n.
2552.	00 У (X - 2)п (2п -1)2"’	2^62 'У	2) (* 3)" 2о62.	(Zl4-1)2 2« + 1 ’ п=о	'
2553. Оп[	У , n„+i (2п—1)гв(х—	11” ORftQ V\ 1\л (х — 3)"
	1	’ (2п + 1)Г,Т+Т эеделить круг сходимости:	
2564. У inzn. и=о 00 2565. У(1+л0г".		2566. E44‘L- П = 1 2567.	.
2568. (1 + 2i) + U + 2/) (3 + 2t)«-+- ... 2/) (3-4-20 ... (2л + 1 + 20 zn 4- . 25Ю- 1 +.1..Л.-| + (|_ог(|_й)+ .. . 1 _____	z"	1	,		
		*• • । (1—i)(l —2«) ... (1-ш) ।
2570. £(4^ У zn. \ п 4- 2t J n=Q4	‘	J		
§ 2]
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
293
2571. Исходя из определения равномерной сходимости, доказать,
что ряд
14- * 4~ *2 4~ • • • 4~ 4~ • • •
не сходится равномерно в интервале (—1, 1), но сходится равно-
мерно на всяком отрезке, лежащем внутри этого интервала.
Решение. Пользуясь формулой суммы геометрической прогрессии,
получим при |X I< 1
хп + *
R„(x) = xn+I+x"+2 + ...=^-
Возьмем лежащий внутри интервала (—1, 1) отрезок [— 1ф-а, 1 — сс], где
а — сколь угодно малое положительное число. На этом отрезке | х |	1 — а,
|1— х|^а и, следовательно,
I«. И -«.
Для того чтобы доказать равномерную сходимость данного ряда на отрезке
[— 1 4-а, 1 — а], нужно показать, что к любому 8>0 можно подобрать та-
кое N, зависящее только от 8, что при всяком n > N будет иметь место не-
равенство | Rn (х) | < 8 для всех х из рассматриваемого отрезка.
/1 (х\гг +1
Взяв любое 8 > 0, потребуем, чтобы v--------------------—<8;	отсюда
(1 — а)"+1 < еа, (п ф-1)	In (1	— а) < In (еа), т. е. п ф- 1 > [J
In (1 — а) < 0) и п > -	— 1. Положив, таким образом, N =.—-------  —
\	/ \ / ^ln(l—a)	F	In (1 — а)
— 1, мы убеждаемся,	что	при п > N, действительно, | Rn	(х) | < 8	для
всех х из отрезка [—1ф-а,	1 — а] и равномерная сходимость	данного	ряда
на любом отрезке, лежащем внутри интервала (— 1, 1), тем самым дока-
(так как
In (еа)
зана.
Что же касается всего интервала (— 1, 1), то он содержит точки, сколь
угодно близкие к точке х=1, а так как lim Rn(x) = lim -___________— оо, то
X -» 1	X -> 1 1 — X
как велико бы ни было п, найдутся точки х, для которых Rn (х) больше
любого, сколь угодно большого числа. Следовательно, нельзя подобрать такое
N, чтобы при n'yN неравенство I Rn (х) | < 8 имело место во всех точках
интервала (— 1, 1), а это и означает, что сходимость ряда в интервале (—1. 1)
не является равномерной.
2572. Исходя из определения равномерной сходимости, доказать, что;
а) ряд
сходится равномерно во всяком конечном интервале;
б) ряд
х2 х4 . хв	. (— I)"’1?"
1	2'3	•••“+“ п ~Г • •
сходится равномерно во всем интервале сходимости (—1, 1);
294
РЯДЫ
[гл. VIII
в) ряд
1 +р+^+	•
сходится равномерно в интервале (l-j-б, оо), где 6— любое поло-
жительное число;
г) ряд
(Х2 — х4) 4» (х4 _ Xе) 4- (Xе — X8) + ... + (х2П — х2п+2) + . . .
сходится не только внутри интервала (—1, 1), но и на концах этого
интервала, однако сходимость ряда в интервале (—1, 1) — неравно-
мерная.
Доказать равномерную сходимость функциональных рядов в ука-
занных промежутках:
00
«уП
2573.	z, р на отрезке [—1; 1].
П = 1
00
пг-тл V'sinnx	„	„
2574.	/ u  на всей числовой оси.
И = 1
00	Хп
2575.	на отРезкеЛ°> 1]-
И = 1
Применяя почленное дифференцирование и интегрирование, найти
суммы рядов:
v2 v3	vn
2576.	x + i-+i-+.
2577.	х-|+|-	+ • • •
<<8 v5	yin “ 1
2579.	+	...+(-1Г-Л_+...
2580. l + 2x + 3x24-...+(«4-l)x,‘4-...
2581. 1 — Зх2-j-5х4 — ..•+(— 1)”-’(2л — 1)х2П-‘+ •..
2582. 1-2 4-2-Зх +3-4х2 4-...л (л 4-1) х"-14- ...
Найти суммы рядов:
2583-7 + р + 1-+•+?+•
у5 уЪ	- 8
2584. х + i+i+...+i-,
2585., +
nron 1,3.5,	,
+ (-‘Г1
8~ • • • ‘ (2п — ОЗ""1
2п — 1 ।
2" i • • •
§ 3]
РЯД ТЕЙЛОРА
295
§ 3. Ряд Тейлора
1°. Разложение функции в степенной ряд. Если функция
f (х) допускает в некоторой окрестности | х — а | < R точки а разложения
в степенной ряд по степеням х — а, то этот ряд (ряд Тейлора) имеет вид
/(х) = /(а) + /'(а)(х-а)+^-)(х-аГ+...+О^)(х-а)'«+... (1)
При а = 0 ряд Тейлора называют также рядом Маклорена. Равенство (1)
справедливо, если при | х — а | < R остаточный член ряда Тейлора
Г	”	<Л>
К„(х) = /(х)_ Ь(а)+	(х — a)*j —► О
л = 1
при п—> оо.
Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой
Rn W =	/<И+” Iе + ® <* “ а)Ъ где о < fl < 1	(2)
(форма Лагранжа).
Пример 1. Разложить функцию /(x) = chx в ряд по степеням х.
Решение. Находим производные данной функции f(x) = chx, f'(x)*a
= sh х, f (x) = ch x, f’" (x) — sh x, ...; вообще f(n> (x) = ch x, если n — четное,
и /<Л) (x) — sh x, если n — нечетное. Полагая a = 0, получим f (0) = 1 f (0) = 0,
f"(0) = l, /"'(0) = 0, ...; вообще f(n)(0) = 1, если n — четное, и /<">(0) = 0,
если п — нечетное. Отсюда на основании (1) имеем:
chx=1+S+4i+-+(b+-	(3)
Для определения интервала сходимости ряда (3) применим признак Даламбера.
Имеем:
lim I х*“+* х™ I— lim х* —о
п ->оо I (2п + 2)! * (2n)l J ~« -foo (2л -И 1) (2п 4-2) —°
при любом х. Следовательно, ряд сходится в интервале — оо <х< оо. Оста-
точный член в соответствии с формулой (2) имеет вид
Rn = (п + 1)1 Ch вх’
Лп(х) = (п + 1)! sh 9х>
Так как 0 > 0 > 1, то
| chOx| — —
если п — нечетное, и
если п — четное.
I X I " + 1	| X I”
и поэтому I Rn (х) 1	j)| е|*|. Ряд с общим членом сходится при
любом х (в этом можно легко убедиться с помощью признака Даламбера),
поэтому в соответствии с необходимым признаком сходимости
lim
п->оо(п + 1)!
О,
296
РЯДЫ
[гл. VIII
а следовательно, и lim Rn(x) — 0 при любом х. Это означает, что сумма
п ->со
ряда (3) для любого х действительно равна ch х.
2°. Приемы, применяемые при разложении в степен-
ные ряды.
Пользуясь основными разложениями
+	(—оо<^<со),
"”'=Т-з>+й--•+<-')" (Й+Т)! + "' <-»<*<”>
г2	Г2П
III.	cosx=1-2F+^-...+(-1)”(-2^+... (—оо<х<оо),
IV.	(i+x)”=i+^+m(m2F1)*2+--.
(/n-W + 1)x» + ... (- 1<х<1)*),
V.	ln(l+x) = x-y + |S-...+(-l)tt-‘J+-.. (—1<х<1),
а также формулой для суммы геометрической прогрессии, можно во многих
случаях просто получать разложение данной функции в степенной ряд, при-
чем отпадает необходимость исследования остаточного члена. Иногда при
разложении полезно использовать почленное дифференцирование или интегри-
рование. При разложении в степенные ряды рациональных функций реко-
мендуется разлагать эти функции на простейшие дроби.
Пример 2. Разложить по степеням х **) функцию
f(Х} = (1 - х) (1 4-2х) •
Решение. Разложив функцию на простейшие дроби, будем иметь:
=	14-2Х 
Так как
TJ_=l+x+x2+...==	(4)
и=о
и
l_ = l-2x + (2xr-...= ^(-l)W,	(5)
п —о
то окончательно
f (X) = У хп 4- 2 У (— 1)и2”х" = У [1 + (— 1)п 2"+’] хЛ. (6)
и=о	и=о	п=о
*) На границах интервала сходимости (т. е. при х = —1 и при х=1)
разложение IV ведет себя следующим образом: при /и^О абсолютно схо-
дится на обеих границах; при 0>m>—1 расходится при х — —1 и услов-
но сходится при х = 1; при т^ — 1 расходится на обеих границах.
**) Здесь и в дальнейшем подразумевается «по целым и положительным
степеням».
§ 3]
РЯД ТЕЙЛОРА
297
Геометрические прогрессии (4) и (5) сходятся соответственно при I х ] < 1 и
1 1
| х | <	; следовательно, формула (6) справедлива при | х [ < — , т. е. при
л
1	1
2	<х< 2 ’
3°. Ряд Тейлора для функции двух переменных. Разложе-
ние функции двух переменных f (х, у) в ряд Тейлора в окрестности точ-
ки (а; Ь) имеет вид
dl2	1 Г д	д!п
+	f^b) + ...+±	+	f(a, &) + ... (7)
Если a = b = 0, ряд Тейлора называют также рядом Маклорена. Здесь
приняты следующие обозначения:
[(х-а)^ + (у-6)^]/(а, Ь)
= ^_У)	(х-а) + ^^)
дх	' ду
х=а
у = Ь
(у—ьу,
х=а
у=Ь

f{a>b)==^y).
1 v ' дх1
4-2
д^(х, у)
дхду
х = а
у=Ь
Iz*/
х — а	х=а
уг=Ь	у=Ь
(у — Ь)г и т. д.
Разложение (7) имеет место, если остаточный член ряда
/	1 Г	/5	”1
Rn(x,y)=f(x,y)-U(a, 6)4-22^-	+	/(а.
при п___>»оо. Остаточный член может быть представлен в виде
1 Г д	д "1 *4~ 1
где 0 < 0 < 1.
х=а-|-9(х — а)
У=Ь + 9(У-Ь)
Разложить по целым положительным степеням х указанные функ-
ции, найти интервалы сходимости полученных рядов и исследовать
поведение их остаточных членов:
2587. а*(а>0).	2589. cos(x-|~a)-
г.-™ , I 1 я\	2590. sin’x.
2588. sin + -j j .	2591*. In (2 -J- x).
298
РЯДЫ
[ГЛ. VIII
Пользуясь основными разложениями I—V и геометрической про-
грессией, написать разложение по степеням х следующих функций и
указать интервалы сходимости рядов:
2592.	2х—3	2598. cos‘x.
	(X - I)2 •	
2593.	Зх — 5 х1 — 4х + 3 *	2599. sin Зх x cos
2594.	хе~2Х.	2600.	.
2595.	ех\	2601. -7L-- .
		/4- x2
2596.	shx.	2602. lnj-i^.
		
2597.	cos 2х.	2603. in (1x — 2x*).
Применяя дифференцирование, разложить по степеням х следующие
функции и указать интервалы, в которых эти разложения имеют место:
2604. (1 -\-х) In (1 -|-х).	2606. arcsin х.
2605. arctg х.	2607. In (x-j-V 14~х2).
Применяя различные приемы, разложить по степеням х заданные
функции и указать интервалы, в которых эти разложения имеют место:
2608. sin2 x cos2 x. 2609. (l+x)e'\	2616.	X С sin х , J—dx-
2610. (1-j-<?*)’• 2611. р/84-х. 2612 х* Зх -|- 1 2Ы2. х2_5л + 6 . 2613. ch’x.	2617. 2618.	0 X 5 e~x* dx. 0 у *n (1 +*) о
2614. —j . 4 — x*	2619. ОТ Hyj	X C
2615. In (x2 4-3x4- 2). Написать три первых отличных		J у 1 - X* 0 in члена разложения в ряд
2623. secx.
2624. In cos х.
2625. exsinx.
по степеням х функций:
2620. tgx.
2621. thx.
2622. ecos*.
2626*. Показать, что для вычисления длины эллипса можно поль-
зоваться приближенной формулой

где в — эксцентриситет и 2а— большая ось эллипса.
РЯД ТЕЙЛОРА
299
§ 3]
2627» Тяжелая нить под влиянием собственного веса провисает по
цепной линии j = ach-^ , причем а=у , где Н—горизонтальное на-
тяжение нити, a q— вес единицы длины. Показать, что при малых х,
с точностью до величин порядка х4, можно принять, что нить про-
висает по параболе j =	.
2628. Разложить функцию х8— 2х2— 5х — 2 в ряд по степеням
х-]-4.
2629. /(х) = 5х’	— 4х2— Зх-)-2. Разложить f(x-\-h) в ряд по
степеням h.	
2630. Разложить	1пх в ряд по степеням х—1.
2631. Разложить	1 . у в ряд по степеням х— 1.
2632. Разложить	р в ряд по степеням х-^*-
2633. Разложить	1	1 л о—г-б в ряд по степеням хч-4. х2 4- Зх -у 2	г	1
2634. Разложить	-л -г4—г-= в ряд по степеням х4-2. х2 4- 4х 4-1	1
2635. Разложить	ех в ряд по степеням х-}-2.
2636. Разложить	]/х в ряд по степеням х — 4.
2637. Разложить	Л cosx в ряд по степеням х —	.
2638. Разложить	.	я cos х в ряд по степеням х —	.
I__х
2639*. Разложить 1пх в ряд по степеням -г-т— .
1 -f- X
2640. Разложить - у---- -г в ряд по степеням .
У 1 +*	1 “г х
2641. Какова величина допущенной ошибки, если приближенно
положить
2642. С какой точностью будет вычислено число если вос-
пользоваться рядом
arctgx = x —j + y—
взяв сумму его первых пяти членов при х= 1?
2643*. Вычислить число с точностью до 0,001 при помощи
разложения в ряд по степеням х функции arcsin х (см. пример 2606).
800
РЯДЫ
[гл. VIII
2644.	Сколько нужно взять членов ряда
1 х2 ।
cos х= 1 — — 4- . .
чтобы вычислить cos 18° с точностью до 0,001?
2645.	Сколько нужно взять членов ряда
х8 .
sinx = x— + . . .,
и!
чтобы вычислить sin 15° с точностью до 0,0001?
2646.	Сколько нужно взять членов ряда
еХ=1 + -п + ^+-".
чтобы найти число е с точностью до 0,0001?
2647.	Сколько нужно взять членов ряда
ln(14-x) = x —
чтобы вычислить In 2 с точностью до 0,01? до 0,001?
2648.	Вычислить р/ 7 с точностью до 0,01 с помощью разложе-
ния функции р/8-j-x в ряд по степеням х.
2649.	Выяснить происхождение приближенной формулы
дг	вычислить с ее помощью V23, положив а = 5, и оце-
нить допущенную при этом ошибку.
2650.	Вычислить J/19 с точностью до 0,001.
2651.	При каких значениях х приближенная формула
cos х 1 — у
дает ошибку, не превышающую 0,01? 0,001? 0,0001?
2652.	При каких значениях х приближенная формула
sin х х
дает ошибку, не превышающую 0,01? 0,001?
1/2
2653.	Вычислить J ~^-dx с точностью до 0,0001.
о
1
2654.	Вычислить ^e~x*dx с точностью до 0,0001.
о
1
2655.	Вычислить j J/ xcosxdx с точностью до 0,001.
§ 4]
РЯДЫ ФУРЬЕ
301
С sin х
2636. Вычислить I -==rdx с точностью до 0,001.
J У х
о
1/4	______
2657.	Вычислить J )/* 1 -№ dx с точностью до 0,0001.
о
1/9
2658.	Вычислить J У хех dx с точностью до 0,001.
о
2659.	Разложить в ряд по степеням х и у функцию cos (х—у}, найти
область^сходимости полученного ряда и исследовать остаточный член.
Написать разложения по
указать области сходимости
2660. sin х-sin .у.
2661. sin(x'4~^‘).
a*»*-	
степеням х и у следующих функций и
рядов:
2663*. 1п(1 — х — у ху).
2664*. arctg .
1 л у
2665. /(х, у) — ах*-у2Ьху-[-суг. Разложить f(x-\-h, у
по степеням h и k.
2666. /(х, у) = х* — 2у*-\-Зху. Найти приращение этой функции
при переходе от значений х— 1, j==2 к значениям х= 1-^-Л» у — 2-\-k.
2667. Разложить функцию ех+у по степеням х — 2 и j/-|-2.
2668. Разложить функцию sin(x-|-^) по степеням х и у — ~.
Написать три-четыре первых члена разложения в ряд по степеням
х и у функций:
2669. e*cosj.
2670. (14-х)1^.
§ 4.	Ряды Фурье
1*. Теорема Дирихле. Говорят, что функция f (х) удовлетворяет
условиям Дирихле в интервале (а, Ь), если в этом интервале функция
1)	равномерно ограничена, т. е.	при а<х<Ь, где М — по-
стоянная;
2)	имеет не более чем конечное число точек разрыва и все они 1-го рода
(т. е. в каждой точке разрыва £ функция f (х) имеет конечный левый
предел f (5 — 0) = lim f(l — е) и конечный правый предел f (g + 0) == lim f (S+e)
< —► 0	t->0
(«>Я;
3)	имеет не более чем конечное число точек строгого экстремума.
Теорема Дирихле утверждает, что функцию f(x), удовлетворяющую
в интервале (^я, л) условиям Дирихле, во всякой точке х этого интервала,
в которой f (х) непрерывна, можно разложить в тригонометрический ряд Фурье*.
[(х)^ 1+ aY cos х -f- sin x cos 2x -f- sin 2x -f- ... H-a^cosnx-j-
4-sinnx4- ...>	(1)
302	ряды	[гл. viii
где коэффициенты Фурье ап и Ь„ вычисляются по формулам	1
тс	к
1 р	1 р
оя = — \ f(x)cosnxdx(n = Of 1,2, ...); bn = ~ I f (х) sin nx dx(n = 1, 2, ...).
Л J	Л J
— тс	— тс
Если х — принадлежащая интервалу (— л, л) точка разрыва функции f (х), то
сумма ряда Фурье S (х) равна среднему арифметическому левого и правого
пределов функции:
S« = l[/(x-°) + /(x + 0)].
В концах интервала х = — л и х = л
S(-n) = S(n) = y [/(—л 4-0)4-/(п-0)1.
2®. Неполные ряды Фурье. Если функция f(х) — четная (т. е.
f (— х) = / (х)), то в формуле (1)
Ьд = 0 (л= 1, 2, ...)
и
тс
2 С
ап = — \ f (х) cos nxdx (л = 0, 1, 2, ...).
о
Если функция / (х)—нечетная (т. е. f (— х)=— f (х)), то ап = 0 (и = 0, 1, 2,...) и
2 Р
bn — ~ I f(x)s\nnxdx (п=1, 2,
о
Функция, заданная в интервале (0, л), может быть по нашему усмотрению
продолжена в интервал (— л, 0) либо как четная, либо как нечетная; следо-
вательно, ее можно по желанию разложить в интервале (0, л) в неполный ряд
Фурье по синусам или по косинусам кратных дуг.
3°. Ряды Фурье периода 2/. Если функция f (х) удовлетворяет
условиям Дирихле в некотором интервале (— /, /) длины 2/, то в точках непре-
рывности функции, принадлежащих этому интервалу, справедливо
. а9 , лх . , . лх , 2лх , . . 2лх .
f(x)=-^4-a1cos-j-4-b1sin-j4-a8cos-j-4-6ssin-y-4- ...
... 4- ап cos 4"
где
i	1
1 P . . . ПЛХ , . л 1 n \ I
a„ = y I f(x)cos-ydx (n = 0, 1, 2, ...),
-z	I
i	I
ь„=-у C /(x)sin^rf* (n=l, 2, ...). I
-i	J
В точках разрыва функции /(х) и в концах х= ± / интервала сумма ряда
Фурье определяется аналогично тому, как это имеет место при разложении
в интервале (—л, л).
В случае разложения функции / (х) в ряд Фурье в произвольном интервале
(а, а -р 2/) длины 21 пределы интегрирования в формулах (2) следует заменить
соответственно через а и а 21,
разложение
ллх
(2)
§4J
РЯДЫ ФУРЬЕ
303
Указанные ниже функции разложить в ряд Фурье в интервале
(—л, л), определить сумму ряда в точках разрыва и на концах интер-
вала (х =— л, х = л), построить график самой функции и суммы
соответствующего ряда (также и вне интервала (—л, л)):
2671. f(x) =
сг при —л<^х^0,
с2 при 0<^х<^л.
Рассмотреть частный случай, когда q = —1, с2 — 1.
{ах при —л<^х^0,
Ьх при 0^х<^л.
Рассмотреть частные случаи: а) а^Ь=\\ б) а = —1, й=1;
в) а—О, Ь=\; г) а=1, Ь = 0.
2673. f(x) = x2.	2676. /(x) = cosax.
2674. f(x) = eax.	2677. f(x)=shax.
2675. f(x) = sin ax.	2678. /(%)== ch ax.
2679.	Функцию /(x) = ^-y^ разложить в ряд Фурье в интервале
(О, 2л).
2680.	Разложить в интервале (0, л) по синусам кратных дуг
функцию /(х) = -~. Полученное разложение использовать для сумми-
рования числовых рядов:
*)	б> 1+4-4-п+й+^
в) 1 — у+у-и +l3— *' •
Указанные ниже функции разложить в интервале (0, л) в неполные
ряды Фурье: а) по синусам кратных дуг, б) по косинусам кратных дуг.
Нарисовать графики функций и графики сумм соответствующих рядов
в области их существования.
2681.	/(х) = х. Найти с помощью полученного разложения сумму
ряда
1 •••
2682. /(х) = х2. Найти с помощью полученного разложения суммы
числовых рядов
1) 1 • • •;
2683. f(x) = eax.
1 при
2684. /(*) = ' п
I 0 при
2) 1 — у 4“ у ~ у Ч~ ‘ ’ *
304
РЯДЫ
[гл. VIII
х при 0<^х^ — ,
2685. /(х) =	л 2
|л— х при у <^х<^л.
Разложить в интервале (0, л) по синусам кратных дуг функции:
2686.	л*)=	х при 0< I ГЧ	Л [ 0 при у <	^Х < <^х <	. Л С
2687.	ZW =	х (л — х).		
2688.	/(*) =	. X sin ~2 ‘		
Разложить в интервале (0, л) по косинусам кратных дуг функции:
2689.	( 1 при 0<^ХгС/г, [ 0 при А<^х<^л.
2690.	/(х) = /	п₽и °<Х^2А' 1	0 при 2А<^х<^л.
2691.	/(х) = х sin х. 1 cos х при 0 <^х	~
2692.	\	л	' 1 —COSX При -у <^х <л.
2693. Используя разложение функций х и хг в интервале (0, л)
по косинусам кратных дуг (см. №№ 2681, 2682), доказать равенство
cos пх
п = 1
Зх2 —• блх + 2л2 л
----jj-3-- (0<х<л).
2694**. Доказать, что если функция f(x) — четная и при этом
/^у-"Ь	~------------х^ , т0 ее Ряд ^yPbe в интервале (—л, л)
представляет собой разложение по косинусам нечетных кратных дуг,
а если функция f(x) — нечетная и / ^у -f- х) =/^у—х^, то она
разлагается в интервале (—л, л) по синусам нечетных кратных дуг.
В указанных интервалах разложить в ряд Фурье функции;
2695. /(х) = | х| (— 1<х<1).
2696. /(х) = 2х (0<х<1).
2697. f(x) = ex
2698. /(х)= 10 —х (5<х<15).
§ 4]	ряды фурье	305
Разложить в указанных интервалах в неполные ряды Фурье: а) по
синусам функции:	кратных дуг и б) по косинусам кратных дуг следующие
2699. 2700. 2701.	/(х)=1 (0<х<1). /(х) = х (0<х</). ( X при	1,
2702.	f(x) 1 2 — х при 1<^х<^2.
2703.	Разложить по косинусам кратных дуг в интервале	, 3^
функцию	.	з /и=	пр"?<х*2' 13 — х при 2 х 3.
ГЛАВА IX
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Проверка решений. Составление дифференциальных уравнений
семейств кривых. Начальные условия
1®. Основные понятия. Уравнение вида
F (х, у, у', ... , «/<"’) = 0,	(1)
где у = у (х) — искомая функция, называется дифференциальным уравнением
п-го порядка. Любая функция г/ = <р (х), обращающая уравнение (1) в тождество,
называется решением этого уравнения, а график этой функции — интегральной
кривой. Если решение задано в неявном виде Ф (х, г/) = 0, то оно обычно
называется интегралом.
Пример 1. Проверить, что функция f/ = sinx является решением урав-
нения
у" +у = 0.
Решение. Имеем:
у'= cosx, у" — — sinx
и, следовательно,
у" 4- у = — sin х -|- sin х г 0.
Интеграл
Ф(х, у, , С„) = 0	(2)
дифференциального уравнения (1), содержащий п независимых произвольных
постоянных Ср Сп и эквивалентный (в данной области) уравнению (1),
называется общим интегралом этого уравнения (в соответствующей области).
Придавая в соотношении (2) постоянным Сп ..., Сп определенные значения,
получаем частный интеграл уравнения (1).
Обратно, имея семейство кривых (2) и исключая параметры Ср ...» Сп
из системы уравнений
получим, вообще говоря, дифференциальное уравнение вида (1), общим инте-
гралом которого в соответствующей области является соотношение (2).
Пример 2. Найти дифференциальное уравнение семейства парабол
г/ = С1(х-С2)2.	(3)
Решение. Дифференцируя два раза уравнение (3), будем иметь:
у' = 2С, (х - С2) и / == 2СР	(4)
Исключая из уравнений (3) и (4) параметры Q и С2, получим искомое диффе-
ренциальное уравнение	,
Легко проверить, что функция (3) обращает это уравнение в тождество.
§ 1]	СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И ПРОВЕРКА РЕШЕНИЙ	307
2°. Начальные условия. Если для искомого частного решения
у = у (х) дифференциального уравнения
y™ = f(x, у, у', ... ,	(5)
заданы начальные условия (задача Коши)
уМ — Уо> у'(х„) = у'о, ... , у<п~» (Х„) = у(п~ц
и известно общее решение уравнения (5)
#~Ф(*> ^1» ••• » ^л)>
то произвольные постоянные Сп ... , Сп определяются, если это возможно,
из системы уравнений
#0 ~ Ф (*0» Cv * • • > Cn)t	1
у' = ф' (*о» Си • • • > Cn)t
.°.................... >
(«-0=ф(«-0(Хо, Clt ... , Сп).
о
Пример 3. Найти кривую семейства
у = С1ех + С2е^х,
для которой у(0)= 1, у’ (0) = —2.
Решение. Имеем:
/ = €^-2^-^.
Полагая в формулах (6) и (7) х = 0, получим:
1 = С14-С2, — 2 = Cj —2С2>
откуда
С1 = 0, С2=1
и, следовательно,
Выяснить, являются ли решениями данных дифференциальных урав*
нений указанные функции:
^2704. ху' = 2у, у = 5х\
2705. / = х* + /, У = ~~-
,/2706. (x-|~y)dx-4-xdy = 0, У = С 2ХХ~'
/2707. Х-Ь-У —0» y = 3sinx— 4cosx.
l/2708.	=	х = С, cos со/-J-C2sinco/.
^2709. у" — 2y' y = 0\ a) y — xex, б) у = хгех.
t''2710. / —(4 + \)y+X,V = 0.
у = С^х-\-Сге^х.
Показать, что для данных дифференциальных уравнений указан-
ные соотношения являются интегралами:
12711. (х— 2у)у' — 2х— у, Xs — ху -\-уг — Сг.
,2712. (х—у + 1)/ = 1, у = х-\-Сеу.
(2713. (ху—х)у“4-xji'2 4“j/ — 2у' = 0, jr=ln(xy).
808
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
Составить дифференциальные уравнения заданных семейств кривых
(С, С,, С2, Са — произвольные постоянные):
2714. у = Сх.
2715. у=Сх*.
2716.	уг = 2Сх.
2717.	хг -j-y = C2.
2718.	у = Сех.
2719.	х’ = С(№— уг).
1 -у-
2720.= 2-[-Се 2.
2721. 1п^=1 -\-ау
(а — параметр).
2722. (у—yQ)2 = 2px
(yQ, Р — параметры).
2723. y = Cie2X-^Cte^x.
2724. у = C1cos2x-|- C2sin2x.
2725. ^-(С1+С2х)^4-С8.
2726.	Составить дифференциальное уравнение всех прямых на
плоскости XOY.
2727.	Составить дифференциальное уравнение всех парабол с
вертикальной осью на плоскости XOY.
2728.	Составить дифференциальное уравнение всех окружностей
на плоскости XOY.
Для данных семейств кривых найти линии, удовлетворяющие
заданным начальным условиям:
2729.	х2 — у2 = С, у(0) = 5.
2730. у = (С1 + С2х)е2Х, у(0) = 0, у'(0)=1.
2731. у — Ct sin(x — С2), у (л) = 1, у(л) = 0.
2732. у = Схе-х-\-С2ех-\-Съе2Х\
j(0) = 0, У(0)=1, /(0)=-2.
§ 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
1®. Виды дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка с неизвестной функцией у, раз-
решенное относительно производной у', имеет вид
y’ = f(x, у),	(1)
где /(х, у) — данная функция. В некоторых случаях выгодно за искомую
функцию считать переменную х и записывать уравнение (1) в виде
x' = g(x, у).
(1')
где g(x, =
, dy , dx . .
Учитывая, что у и х =dy’ Дифференциальные уравнения (1) и
(Г) можно записать в симметрической форме
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = O,
(2)
где Р (х, у) и Q (х, у) — известные функции.
Под решениями уравнения (2) понимаются функции вида у = <р(х) или
< = ф(у), удовлетворяющие этому уравнению. Общий интеграл уравнений (1)
§ 2]
УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА
309
и (Г), или уравнения (2), имеет вид
ф(х, у, С) = 0,
где С — произвольная постоянная.
2°. Поле направлений. Совокупность направлений
tga = /(x, у)
называется полем направлений дифференциального уравнения (1) и обычно
изображается при помощи системы черточек или стрелок с углом наклона а.
Кривые f (%, y) — k, в точках которых наклон поля имеет постоянное зна-
чение, равное kt называются изоклинами. Построив изоклины и поле направ-
лений, в простейших случаях можно приближенно нарисовать поле интеграль-
ных кривых, рассматривая последние как кривые, которые в каждой своей
точке имеют заданное направление поля.
Пример 1. Методом изоклин построить поле интегральных кривых
уравнения
у'=х.
Решение. Построив изоклины х = k (прямые линии) и поле направлений
приближенно получаем поле интегральных кривых (рис. 105). Общим реше-
нием является семейство парабол
х2
У=^ + С.
Методом изоклин построить приближенно
поле интегральных кривых для указанных
ниже дифференциальных уравнений:
2733. у' = —х.
2734. У'=-Х~.
2735.	/ = 1 +/.
2736.	=	.
л х — у
2737.	у' = х*-}-у2.
Ч
3°. Теорема Коши. Если функция	рИс. 105.
/(х, у) непрерывна в некоторой области
U | a < х < А, b < у < и имеет в этой области ограниченную производную
f (х, у), то через каждую точку (х0, г/0), принадлежащую U, проходит одна
и только одна интегральная кривая у = <р (х) уравнения (1) (ф (х0) = yQ).
4°. Метод ломаных Эйлера. Для приближенного построения ин-
тегральной кривой уравнения (1), проходящей через заданную точку MQ (х0,
эту кривую заменяют ломаной с вершинами УИДх/, у{), гць
Xi+1= Xi + bxb yi+i = yt + byi,
Дх/ = Л(шаг процесса),
byi = hf(Xi, у,) (1 = 0, 1, 2. ...).
Пример 2. Методом Эйлера для уравнения
/ КУ
у = т
найти у (1), если у (0) = 1 (А = 0, 1).
310
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
Составляем таблицу:
i	*1	У1	20
0	0,	1	(У
1	0,1	1	0,005
2	0,2	1,005	0,010
3	0,3	1,015	0,015
4	0,4	1,030	0,021
5	0,5	1,051	0,026
6	0,6	1,077	0,032
7	0,7	1,109	0,039
8	0,8	1,148	0,046
9	0,9	1,194	0,054
10	1,0	1,248	
Итак, у (1) = 1,248. Для сравнения приводим точное значение {/(1) =
==/*""=^ 1,284.
Методом Эйлера найти частные решения данных дифференциальных
уравнений для указанных значений х\
2738. у'=у, у(0)=1; найти у(1) (Л=0,1).
2439. у =	найти у (2) (h = 0,1).
2740. у' = —	у(0) = 2; найти у(1) (Л = 0,1).
2741. у’=у —	j(0)=l; найти Я1) (Л=0,2).
§ 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории
Iе. Уравнения 1-го порядка с разделяющимися пере-
менными. Уравнением с разделяющимися переменными называется урав-
нение 1-го порядка вида
y' = f(x)g(y)	(1)
или
X (х) Y (у) dx + X. (х) Y. (у) dy = O.	(V)
Разделив обе части уравнения (1) на g(y) и умножив на dx, будем иметь
f (х) dx. Отсюда, интегрируя, получим общий интеграл уравнения (1)
в виде
Аналогично, разделив обе части уравнения (1') на Xt(x)Y (у) и проинтегри-
ровав, получим общий интеграл уравнения (Г) в виде
Х(х)
X. (х)
Y1(y)du-C
Y^)dy-C'
(2')
dx -|-
§ 3] УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 311
Если для некоторого значения у — у0 мы имеем g(yQ) = O, то функция
У — Уь является также, как непосредственно легко убедиться, решением урав-
нения (1). Аналогично прямые х = а и у — b будут интегральными кривыми
уравнения (Г), если а и b являются соответственно корнями уравнений
(х) = 0 и Y (у) = 0, на левые части которых приходилось делить исходное
уравнение.
Пример 1. Решить уравнение
у'=~-	(3)
В частности, найти решение, удовлетворяющее начальному условию:
i/(l) = 2.
Решение. Уравнение (3) можно записать в виде
dy_ У
dx х *
Отсюда, разделяя переменные, будем иметь:
dy_________________________________dx
У"" х
и, следовательно,
In | у | = — In | х | + In Clt
где произвольная постоянная In Сг взята в логарифмическом виде. После
потенцирования получим общее решение
У=у-.	(4)
где С = ± СР
При делении на у мы могли потерять решение */ = 0, но последнее содер-
жится в формуле (4) при С —0.
Используя заданное начальное условие, полу чим С = 2, и следовательно,
искомое частное решение есть
2°. Некоторые дифференциальные уравнения, приво-
дящиесяк уравнениям с р а з де л я ю щ и м и ся переменными.
Дифференциальные уравнения вида
у'= f (ахby + с) (Ь#0)
приводятся к уравнениям вида (1) при помощи замены и = ах by -[-с, где
и — новая искомая функция.
3°. Ортогональные траектории — кривые, пересекающие линии
данного семейства Ф(х, у, а) —0 (а — параметр) под прямым углом. Если
F(x, yt у') = Ъ есть дифференциальное уравнение семейства, то
г/.-у)=о
— дифференциальное уравнение ортогональных траекторий.
Пример 2. Найти ортогональные траектории семейства эллипсов
л;24-2^ = а2,	(б)
812
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
Решение. Дифференцируя обе части уравнения (5), находим дифферен-
циальное уравнение семейства
х + %УУ' = О-
Отсюда, заменяя у' на — ^7-, получим дифференциальное уравнение ортого-
нальных траекторий
2//	, 2у
х----- = 0 или у= — .
У	* х
Интегрируя, будем иметь # = Сх2 (семейство парабол) (рис. 106).
4°. Составление дифференциальных уравнений. При со-
ставлении дифференциального уравнения в геометрических задачах часто мо-
жет быть использован геометрический смысл производной как тангенса угла,
Рис. 106.
образованного касательной к кривой с положительным направлением оси ОХ;
это позволяет во многих случаях сразу установить соотношения между орди-
натой у искомой кривой, ее абсциссой х и у', т. е. получить дифференци-
альное уравнение. В других случаях (см. №№ 2783, 2890, 2895) используется
геометрический смысл определенного интеграла как площади криволинейной
трапеции или длины дуги. При этом непосредственно из условия задачи полу-
чается простейшее интегральное уравнение (поскольку искомая функция содер-
жится под знаком интеграла), однако путем дифференцирования обеих его
частей можно легко перейти к дифференциальному уравнению.
Пример 3. Найти кривую, проходящую через точку (3; 2), для кото-
рой отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями,
делится пополам в точке касания.
Решение. Пусть М (х, у) есть середина касательной АВ, по условию
являющаяся точкой касания (точки А и В — это точки пересечения касатель-
ной с осями OY и ОХ). В силу условия ОА=2у и ОВ = 2х. Угловой коэф-
фициент касательной к кривой в точке М (х, у) равен
0А ~ у
dx ОВ х
§ 3] УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 313
Это и есть дифференциальное уравнение искомой кривой. Преобразовав,
получим:
— 4-—= 0
х 1 у
и, следовательно,
In х In у= In С или ху — С.
Используя начальное условие, определим С = 3-2 — 6. Итак, искомая кривая
есть гипербола ху = 6.
Решить дифференциальные уравнения:
2742.	tg х sin2 у dx -j- cos2 x ctg у dy = O.
2743.	xy' — y = y*. 4
2744.	xyy'—\—x2.
2745.	у — xy' — a( \ x2yf).
2746.	3e*tg ydx-\- (1—ex) sec2j/dy = 0.
2747.	y'tgx = y.
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным
начальным условиям:
2748.	(1 -\~ех)-у-у' = ех; у=1 при х = 0.
2749. (ху2 -j- х) dx -j- (*’ У — y)dy =0; у=1 при х=0. *
2750.	y'sinx = ylny; у=1 при х=у.
Решить дифференциальные уравнения, использовав замену пере-
менных:
2751.	y = (x + j)2.
2752.	у = (8х-|-2у4-1)2.
2753.	(2х-]-Зу — \)dx-^-(4x-{-fiy —5) dy = 0.
2754. (2х — y)dx-[-(4x — 2^-]-3) dy = 0.
В №№ 2755 и 2756 перейти к полярным координатам:
2755. /=22^.
2756. (x2-\-y2)dx— xydy = 0.
2757*. Найти кривую, у которой отрезок касательной равен рас-
стоянию точки касания от начала координат.
2758.	Найти кривую, у которой отрезок нормали в любой точке
кривой, заключенный между осями координат, делится пополам в этой
точке.
2759.	Найти кривую, у которой подкасательная имеет постоянную
длину а.
2760.	Найти кривую, у которой подкасательная вдвое более
абсциссы точки касания.
2761*. Найти кривую, у которой абсцисса центра тяжести пло-
ской фигуры, ограниченной осями координат, этой кривой и ординатой
любой ее точки, равна 8/4 абсциссы этой точки.
314
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
2762. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3; 1),
для которой отрезок касательной между точкой касания и осью ОХ
делится пополам в точке пересечения с осью OY.
2763. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (2; 0),
если отрезок касательной к кривой между точкой касания и осью OY
имеет постоянную длину 2.
Найти ортогональные траектории данных семейств кривых (а —
параметр), построить семейства и их ортогональные траектории.
2764. х2-[-у2 = а2.	2766. ху = а.
2765. у2 = ах.	'	2767. (х —а)2 + у2 = а*.
§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
1°. Однородные уравнения. Дифференциальное уравнение
Р(х, y)dx + Q(xt y)dy = O	(1)
называется однородным, если Р (х, у) и Q(x, ^ — однородные функции оди-
накового измерения. Уравнение (1) может быть приведено к виду
и при помощи подстановки у = хи, где и — новая неизвестная функция,
преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Можно также
применять подстановку х = уи.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
•Решение. Полагаем у = их-, тогда и -f- хи’ = -f- и или
-и^ dx
е 11 du = — .
х
Q
Интегрируя, получим и=—Inin — > откуда
1 1 С
у — — xln In .
X
2°. Уравнения, приводящиеся к однородным. Если
/дрс + М + сЛ
(2)
и 6 = I 01 МФ 0, то, полагая в уравнении (2) х = и-\-а, у = и-}-Р, где по-
I а2 *2 I
стоянные аир определяются из системы уравнении
aia +	4-^ = 0, а2а + М + сг =
получим однородное дифференциальное уравнение относительно переменных
и и v. Если 6 = 0, то, полагая в уравнении (2) aLx -j- Ь1у = и, получим урав*
нение с разделяющимися переменными.
§ б] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ 315
Проинтегрировать дифференциальные уравнения:
2768. у’=^ — 1-	2770. (х — y)ydx — x*dy=0.
2769. у' = -х-±^.
2771. Для уравнения (x2-^y2)dx— 2xydy = 0 найти семейство
интегральных кривых, а также выделить кривые, проходящие соот-
ветственно через точки (4; 0) и (1; 1).
2772. ydx-\-(2]/Ty — x)dy=0.
2773. xdy — ydx=]/rx!‘-}-yidx.
2774.  (4x2 4- Зху+/) dx + (4/ -|- Зху + х2) dy=0.
2775. Найти частное решение уравнения (х2—3_у2) dx-\-2xy dy=Q
из условия, ЧТО при х = 2.
Решить уравнения:
2776. (2х —j-|-4)dj + (x —2j + 5)dx = 0.
9777 1/_____ 1	977R v'___ * Н~ 2# -j" 1
2777. у —	•	2778. у • 2х + 4у + 3‘
2779. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 0) и
обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной
на оси OY, равен полярному радиусу точки касания.
2780**. Какую форму следует придать зеркалу прожектора,
чтобы лучи от точечного источника света отразились параллельным
пучком?
2781. Найти уравнение кривой, у которой подкасательная равна
среднему арифметическому координат точки касания.
2782. Найти уравнение кривой, для которой отрезок, отсекаемый
на оси ординат нормалью в любой точке кривой, равен расстоянию
этой точки от начала координат.
2783*. Найти уравнение кривой, для которой площадь, заключенная
между осью абсцисс, кривой и двумя ординатами, одна из которых
постоянная, а другая — переменная, равна отношению куба переменной
ординаты к соответствующей абсциссе.
2784. Найти кривую, для которой отрезок на оси ординат, отсе-
каемый любой касательной, равен абсциссе точки касания.
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Уравнение Бернулли
Г. Линейные уравнения. Дифференциальное уравнение вида
у'4-Р(х) y==Q(x)	(1)
1-й степени относительно у и у' называется линейным.
Если функция Q(x)s=0, то уравнение (1) принимает вид
^ + Р(х)у = 0	(2)
316	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. IX
и называется однородным линейным дифференциальным уравнением. В этом
случае переменные разделяются и общее решение уравнения (2) есть
- Г р (х) dx
У = с е J	(3)
Для решения неоднородного линейного уравнения (1) применяем так
называемый метод вариации произвольной постоянной; этот метод состоит
в том, что сначала находим общее решение соответствующего однородного
линейного уравнения, т. е. соотношение (3). Затем, полагая в этом соотно-
шении величину С функцией от х, ищем решение неоднородного уравне-
ния (1) в виде (3). Для этого подставляем в уравнение (1) у и y't
определяемые из (3), и из полученного дифференциального уравнения опреде-
ляем функцию С (х). Таким образом, общее решение неоднородного уравне-
ния (1) получаем в виде
- f P(x)dx
у=С(х)е J
Пример 1. Решить уравнение
/ —tgx-t/-[-cosx.	(4)
Решение. Соответствующее однородное уравнение есть
/ - tgx-y = 0.
Решая его, получим:
у = С •.
COS X
Считая С функцией от х, дифференцируя, находим:
1 dC , sin х „
У —-------- -------=— • С.
cos х dx cos2 х
Подставляя у и у’ в уравнение (4), получим:
1	dC . sin х п . С ,	dC
----- • 3-----г~~ • с — tg X 		Н COS X, или -7- = C0S2 X,
cos х dx cos2 x---------------cos x-dx
откуда
P	1	1
C (x) = \ cos2 x dx = — x + ~ sin 2x C\.
Следовательно, общее решение уравнения (4) имеет вид
( 1	, 1 . о . п \ 1
— х 4-— sin 2х -4-С. -----.
*	\2	4 г cosx
Для решения линейного уравнения (1) можно также применить подстановку
i/ = uu,	(5)
где и и v — функции от х. Тогда уравнение (1) примет вид
[u' + Р (х) и] v + v'u = Q (х).	(6)
Если потребовать, чтобы
и' + Р (х) и = 0,	(7)
ю из (7) найдем и, затем из (6) найдем и, а следовательно, из (5) найдем у.
§ 5] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ 317
2°. Уравнение Бернулли. Уравнение 1-го порядка вида
У' +P(x)y = Q(x) у*,
где а ф 0 и а / 1, называется уравнением Бернулли. Оно приводится к линей-
ному с помощью подстановки г = у1~^. Можно также непосредственно при-
менять подстановку у — ии, или метод вариации произвольной постоянной.
Пример 2. Решить уравнение
У' — ~УхУу •
Решение. Это — уравнение Бернулли ^а_у). Полагая
получим:
u'v v'u~ ~ uv-\-хУ ии или v ^и' —и^ -\-v'u~x Уии. (8)
Для определения функции и потребуем выполнения соотношения
,	4 п
и-----и — О,
х
откуда
и = х4.
Подставляя это выражение в уравнение (8), получим:
v'x* — х У их4,
отсюда находим и:
v=(|ln |х|+с)а,
и, следовательно, общее решение получим в виде
=	|х|+су.
Найти общие интегралы уравнений:
2786- Е-Т=-
2786.	+ =
2787*. (1 +>’) dx—(]/ 1 siny — ху) dy.
2788.	y*dx — (2ху + 3) dy = 0.
Найти частные решения, удовлетворяющие указанным условиям:
2789.	ху'+у — е* = 0; у = Ь при х—а.
2790.	у' —	—1—х=0; у=0 при х=0.
2791.	у' —	= у = 0 при х = 0.
318
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
Найти общие решения уравнений:
2792-	®+т=-^’-
2793.	У+х=0.
2794.	_ydx-|-^—у х’_у^ dy— 0.
2795.	Зх dy — у (1 -|~ * sin х — Зу3 sin х) dx.
2796.	Даны три частных решения у, yv у2 линейного уравнения.
Доказать, что выражение сохраняет постоянное значение при
любом х. Каков геометрический смысл этого результата?
2797.	Найти кривые, для которых площадь треугольника, образо-
ванного осью CLY, касательной и радиусом-вектором точки касания,
постоянна.
2798.	Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый
касательной на оси абсцисс, равен квадрату ординаты точки касания.
2799.	Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый
касательной на оси ординат, равен поднормали.
2800.	Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый
касательной на оси ординат, пропорционален квадрату ординаты
точки касания.
2801.	Найти уравнение кривой, для которой отрезок касательной
равен расстоянию точки пересечения этой касательной с осью ОХ
от точки Л4(0, а).
§ 6. Уравнения в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель
1°. Уравнения в полных дифференциалах. Если для диф-
ференциального уравнения
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy~O
(О
выполнено равенство	, то уравнение (1) может быть записано в виде
dU (х, у) —0 и называется уравнением в полных дифференциалах. Общий
интеграл уравнения (1) есть U (х, у) = С. Функция U (х, у) определяется
способом, указанным в гл. VI, § 8, или по формуле
с	г
U=\ Р(х, J/)dx-(-^ Q(x0> y)dy
*о	Уо
(см. гл. VII, § 9).
Пример 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
(Зх2 + бху2) dx + (6х2у + 4у‘) dy — O.
§ 6]
УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ
319
Решение. Это — уравнение в полных дифференциалах, так как
? (3* а~ )=	— 12ху и, следовательно, уравнение имеет вид
оу	ох
dU-О.
Здесь
^ = 3х24-6ху2 и ^ = 6хгу4-4у»;
отсюда
и = (Зх2 4- 6xz/2) dx + ф (у) = х’ + 3xV 4- Ф (у).
Дифференцируя U по. у, найдем — = 6х2у 4- ср' (у) — 6х2у 4- 4#8 (по условию);
отсюда (р'(у) = 4у* и <р (у) = г/4 CQ. Окончательно получим U (х, г/) = х34-
4~ Зх2//2 4“ у* + CQ, следовательно, х8 4- Зхгуг 4" У* = С есть искомый общий
интеграл данного уравнения.
2°. Интегрирующий множитель. Если левая часть уравнения (1)
не является полным дифференциалом и выполнены условия теоремы Коши,
то существует функция pi = pi(x, у) (интегрирующий множитель) такая, что
р.(Р dx + Qdy) = dU.	(2)
Отсюда получаем, что функция pi удовлетворяет уравнению
А (ц/>) =	(u.q).
ду г ' дх. '
Интегрирующий множитель pi легко находится в двух случаях:
1 (дР dQ\ Е</ ч
° q уу - st;=F (х)> тогда =11 (х);
2)	Т0ГДа Н=Р(^)-
Пример 2. Решить уравнение (*2ху 4-x2i/4-2g') dx(хгу*) dy—0.
Решение. Здесь Р = 2ху 4- х*У 4~	> Q = х2 4" У2 и "н* (
о	Q \Оу ox J
2х 4- х14- У2 — 2х 1	/ч
=----"х8+^2-------= ’ следовательно И = Н (х)*
т д (piP) д (piQ) дР dQ . п ф
Так как -	ИЛи pi	= pi	4" Q 3е > то
ду дх г ду г дх 1 dx*
dp.	1 fdP dQ\ . j	.
— = 77 3------3^ ]dx = dx и lnpi=x, pi= Л
pi Q \dy dx)	r > r
Умножая уравнение на pi = e*, получим:
e* (2ху + х*у + ^ dx-}-ex (x*+y*)dy = 0
— уравнение в полных дифференциалах. Проинтегрировав его, будем иметь
общий интеграл
^(х24-^)=с.
320	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. IX
Найти общие интегралы уравнений:
2802. (х-[- у) dx-\-(x-\-2y) dy = 0.
2803. (х2 у2 2х) dx -j- 2ху dy — O.
2804. (х3 — Зх/ + 2) dx — (Зх2у — у2} dy = 0.
2805.
1 z z	x2 + f
2806. ^ + ^-=Д2^ = 0.
у3 1 у* z
2807. Найти частный интеграл уравнения
(х еу j dx Ц- еУ fl — j dy — О,
удовлетворяющий начальному условию у(0)=2.
Решить уравнения, допускающие интегрирующий множитель вида
р, = р, (х) или р ==p(j;):
2808. (x-]-y2)dx— 2ху dy = 0.
2809.	у (1 + ху} dx — xdy = 0.
2810.	~dx-\-(y3 — lnx)dy=0.
2811.	(x cos у — у sin у) dy (x sin у -f- у cos y} dx — 0.'
§ 7. Дифференциальные уравнения 1-го порядка,
не разрешенные относительно производной
1°. Дифференциальные уравнения 1-го порядка выс-
ших степеней. Если уравнение
f (х, У, у') — 0,	(1)
например, второй степени относительно у', то, разрешая уравнение (1) отно-
сительно у', получим два уравнения:
/ = fi(*, У),	y'=f2(*> У)-	(2)
Таким образом, через каждую точку M0(xc, yQ) некоторой области
плоскости проходят, вообще говоря, две интегральные кривые. Общий интеграл
уравнения (1) в этом случае имеет вид
Ф(Х, у, С)^ф,(х, у, С)Ф2(х, у, 0 = 0,	(3)
где Ф1 и Ф2 - общие интегралы уравнений (2).
Кроме того, для уравнения (1) может существовать особый интеграл.
Геометрически особый интеграл представляет собой огибающую семейства
кривых (3) и может быть получен в результате исключгния С из системы
уравнений
Ф(х, У» 0 = 0, ф'с(х, у, 0 = 0	(4)
или в результате исключения р = у' из системы уравнений
F (х, У, Р) = 0, Fp(x, у, р) = 0.	(5)
§ 7]	УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА	321
Заметим, что кривые, определяемые уравнениями (4) или (5), не всегда
являются решениями уравнения (1); поэтому в каждом отдельном случае
необходима проверка.
Пример 1. Найти общий и особый интегралы уравнения
ху’г + 2ху' — у = 0.
Решение. Решая относительно у', имеем два однородных уравнения:
/=-1+/1+|. «-=-1-/1+^.
определенных в области
х(х+у)>0,
общие интегралы которых
или
(2х + у - С) - 2 Ухг-)-ху = О,	(2х -j-у - С) + 2 Ухг + ху = 0.
Перемножая, получим общий интеграл данного уравнения
(2х + у - С)2 - 4 (х2 + ху) = 0
или
(у-С)* = 4Сх
(семейство парабол).
Дифференцируя общий интеграл по С и исключая С, найдем особый интеграл
j/4-x=o.
(Проверка показывает, что р4"х==0 есть решение данного уравнения.)
Особый интеграл можно также найти, дифференцируя хр2 + 2хр у = О
по р и исключая р.
2°. Решение дифференциального уравнения методом
введения параметра. Если дифференциальное уравнение 1-го порядка
имеет вид
* = Ч(У, У'),
то переменные у и х могут быть определены из системы уравнений
1 дер . дф dp	. ч
, х = ф(р, р),
р ду * др dy	т v
где р = у' играет роль параметра.
Аналогично, если # = ф(х, у')> то х и у определяются из системы уравнений
дф . dibdp	, .	.
Р =	+	Р = Ф(х, р).
г дх 1 др dx	т
Пример 2. Найти общий и особый интегралы уравнения
,а , । я2
У = У
Решение. Делая подстановку у' — р, перепишем уравнение в виде
2	। х2
У = Р -хр + -^.
11 Г. С. Бараненков и др.
322	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. IX
Дифференцируя по х, считая р функцией от х, имеем
n dp	dp
p = 2pd-X-p~XTx + x
или ^(2р — х) = (2р — х), или ^=1. Интегрируя, получим р=х-\-С. Под-
ставляя в первоначальное уравнение, имеем общее решение:
у = (х + С)г-х(х + С)+^- или у = ~ + Сх + С*.
Дифференцируя общее решение по С и исключая С, получаем особое реше-
х^ /
ние: р = —. (Проверка показывает, что р = ~ есть решение данного урав-
нения.^
Если приравнять нулю множитель 2р — х, на который было произведено
х
сокращение, то получим Р —тг и, подставив р в данное уравнение, получим
х^
— то же самое особое решение.
Найти общие и особые интегралы уравнений (в №№ 2812 —
2813 построить поле интегральных кривых):
2812. у’г — Цу' =
2813. 4у'2 —9х = 0.
2814. уу'г— (xv 4~ 1) v'-l-x=0.
2815. уу'* — 2ху’ -\-у — 0.
2816.	Найти интегральные кривые уравнения у,г 4“.У* == Ъ прохо-
дящие через точку М ^0; у) .
Вводя параметр у'—р, решить уравнения:
2817.	x = sin/4-lny.	2820. 4у = хг 4~у'*.
2818.	у = у,геУ.	2821. ех = ^^у'~.
2819. у = у'2-|-2 1пу'.
§ 8. Уравнения Лагранжа и Клеро
Г. Уравнение Лагранжа. Уравнение вида
р = х<р(р) + ф(р),	(1)
где Ру'> называется уравнением Лагранжа, При помощи дифференцирова-
ния, учитывая, что dy = pdxt уравнение (1) сводится к линейному относи-
тельно х:
pdx = 4>(p)dx + [x<p' (p) + V (p)]dp.	(2)
Если р^ф(р), то из уравнений (1) и (2) получаем общее решение
§ 8]	УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И КЛЕРО	823
в параметрическом виде:
х = Cf (р) + g (р), у — [Cf (р) + g (р)] ф (р) + Ф (р),
где р — параметр и f (р), g (р) — некоторые известные функции. Кроме того,
может существовать особое решение, отыскиваемое обычным приемом.
2°. Уравнение Клер о. Если в уравнении (1) ф(р)ар, то получаем
уравнение Клеро
у=хр + ^(р).
Общее решение его имеет вид у = Сх-\-1|) (С) (семейство прямых). Кроме того,
существует особое решение (огибающая), получающееся в результате исклю-
чения параметра р из системы уравнений
( Х= — 1|>'(р).
1 Р = рл: + 1’(р)-
Пример. Решить уравнение
у = 2у'Х-\-~.	(3)
У
Решение. Полагаем у' = р, тогда у = 2рх 4- ~; дифференцируя и за-
меняя dy через pdxt получим:
р dx = 2р dx 4- 2х dp —
или
dx	2.1
—------% 4—г •
dp	р Р’
Решив это линейное уравнение, будем иметь:
х = ^(1п р + С).
Следовательно, общий интеграл будет:
* = ^(1пр + С),
</ = 2рх + у.
Для нахождения особого интеграла по общему правилу составляем систему
г/ = 2рх + у, 0 = 2х — ~ .
Отсюда
1	2
и, следовательно,
у= ±2]^2х.
Подставляя у в уравнение (3), убеждаемся, что полученная функция не
является решением и, следовательно, уравнение (3) не имеет особого интеграла.
11»
324	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. IX
Решить уравнения Лагранжа:
2822. у = ^х (У + у)-	2824. ,F = (1+/)*+/*.
2823. у=у'-{-у/Г 1—у2.	2825*. у = — уУ(2х+/).
Найти общий и особый и интегралы уравнений Клеро и построить
поле интегральных кривых:
2826. у=ху' -\-у'\
2827.	у = ху'-\-у'.
2828.	y = xy'-j~y/ 1-[-(Х).
2829.	у = ху’ -|- ~.
2830.	Найти кривую, для которой площадь треугольника, образо-
ванного касательной в любой точке и осями координат, постоянна.
2831.	Найти кривую, если расстояние данной точки до любой
касательной к этой кривой постоянно.
2832.	Найти кривую, для которой отрезок любой ее касательной,
заключенный между осями координат, имеет постоянную длину /.
§ 9.	Смешанные дифференциальные уравнения
1-го порядка
2833.	Определить типы дифференциальных уравнений и указать
методы их решения:
a)	U4-yy = xarctg^-;
б)	(х — у)у' — уг;
в)	y' = 2xy4-xs;
г)	у' = 2ху-4-у3;
д)	xy'+y^siny-
е) (У — ху') —у";
ж) у = хеу,\
з) (у'—2ху)]/у = х3;
и)	У=(х+У’;
к)	xcosy'4-.Уsiny'= 1;
л)	(Xs — ху)у'=у*;
м)	+
+ (/ + Зх2/) dy = O;
н) (№—0;
о) (ху9-[-In х) dx = y* dy.
Решить уравнения:
2834.	а) — у cos-^-^х-]-х ^s~dy = ^\
б) xln-^-afy—ydx = §.
2835.	xdx=(y — y’^dy.
2836.	(2xy* — y) dx -|- x dy = 0.
2837.	xy' -j-y==xy2 In x.
2838. y = xy'-[-y'lny'.
§ 9]	СМЕШАННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	325
2839. у = ху'	V — аУ' •
2840. x2(.y+l)dx + (x’— 1)(J— l)dy = 0.
2841.	— еу dy) —	=
2842./ —	=	2845. (1 — x2)y' -^ху = а.
2843. уеУ={у*-\-2хеу)у'.	2846. xy'—	— x=0.
2844. у' -[- у cos x = sin x cos x. 2847. /(xcos_y-|-asin2j)=1.
2848. {x2y — x2 4- у — 1) dx	{xy 4~ 2x — 3y — 6) dy = 0.
2849./ =
2850. xy2 dx = {x2y	2) dy.
2851. / =
2852. 2dx 4- |/"y dy —
2853. /=|4-tg|.
2854. jfj'4-/ = cosx.
2855. x dyу dx=y2 dx.
2856. y' (x -j- sin / = 1.
2857. y^=-p^-p2.
2858. x’dx — (x4 4- /) dy=0.
dx = 0.
2859. x2y'2 -\-3xyy' -\-
4-2/==0.
xdx+ydy ,
Vx2 + y2 -Г”
 xdy — ydx______Q
“f" У2
2860.
2861. ^dx4-(x^ — 2y)dy — 0.
2862. jr = 2x/4-/14-ys.
2863. /=y(l 4- InУ — In x).
2864. {2ex+yl)dy —
— yex dx = (k
2865./= 1 (4±^)’.
2866. xy {xy14- 1) dy — dx =
= 0.
2867. a(xy’ -\-2y) = xyy'.
2868. xdy — у dx—y2 dx.
2869. {x2 — 1 )’/2 dy 4~ {x2 4"	Vx2—\) dx=Q.
2870. tgx^— y = a.
2871. Va2-[-x2dy-[-{x-[-y — Va2-[-x2)dx = 0.
2872. хуу'2 — (х2-\-у2)у'-[-ху = а.
2873. y = xy'-}--^.
2874. (3x2 4- 2xy — y2) dx 4- (x2 — 2xy — Sy2) dy = 0.
2875.	Zypd£ = 3/4-4/.
326	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. IX
Найти решения уравнений при указанных начальных условиях:
2876.	У—У — О ПРИ
2877.	ех~уу'=1; у=1 при х=1.
2878.	у' ctg х -j-У = 2; ^ = 2 при х = 0.
2879.	^(/4-1)=1; ^ = 0 при х=0.
2880. у’ 4“J = cosx; = у при х = 0.
2881.	у' — 2у =— х2; у=^- при х = 0.
2882.	у'-^-у = 2х; у ——1 при х = 0.
2883.	ху'—у; а) у ==1 при х=1; б) у = 0 при х — 0.
2884.	2ху'=у; а) у=1 при х=1; б) у = 0 при х = 0.
2885.	2хуу'-[~х2—у2 = 0; а) ^ = 0 при х = 0; 6)^ = 1 при
х=0, в) у = 0 при х=1.
2886.	Найти кривую, проходящую через точку (0; 1), у которой
подкасательная равна сумме координат точки касания.
2887.	Найти кривую, зная, что сумма отрезков, отсекаемых каса-
тельной к ней на осях координат, постоянна и равна 2a.
2888.	Сумма длин нормали и поднормали равна единице. Найти
уравнение кривой, если известно, что кривая проходит через начало
координат.
2889*. Найти кривую, у которой угол, образованный касательной
и радиусом-вектором точки касания, постоянен.
2890.	Найти кривую, зная, что площадь, заключенная между
осями координат, этой кривой и ординатой любой точки на ней,
равна кубу этой ординаты.
2891.	Найти кривую, зная, что площадь сектора, ограниченного
полярной осью, этой кривой и полярным радиусом любой ее точки,
пропорциональна кубу этого радиуса.
2892.	Найти кривую, у которой отрезок, отсекаемый касательной
на оси ОХ, равен длине этой касательной.
2893.	Найти кривую, у которой отрезок касательной, заключен-
ный между осями координат, делится пополам параболой у2 = 2х.
2894.	Найти кривую, у которой нормаль в любой ее точке равна
расстоянию этой точки от начала координат.
2895*. Площадь фигуры, ограниченной кривой, осями координат и
ординатой какой-либо точки кривой, равна длине соответствующей
дуги кривой. Найти уравнение этой кривой, если известно, что она
проходит через точку (0; 1).
2896. Найти кривую, у которой площадь треугольника, образо-
ванного осью абсцисс, касательной и радиусом-вектором точки каса-
ния, постоянна и равна а2.
§ 9]
СМЕШАННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
327
2897. Найти кривую, если известно, что середина отрезка,
отсекаемого на оси ОХ касательной и нормалью к кривой, есть
постоянная точка (а\ 0).
При составлении дифференциального уравнения 1-го порядка, особенно
в физических задачах, часто бывает целесообразно применять так называемый
метод дифференциалов, заключающийся в том, что приближенные соотноше-
ния между бесконечно малыми приращениями искомых величин, справедливые
с точностью до бесконечно малых высшего порядка, заменяются соответст-
вующими соотношениями между их дифференциалами, что не отражается на
результате.
Задача. В резервуаре находится 100 л водного раствора, содержа-
щего 10 кг соли. Вода вливается в резервуар со скоростью 3 л в 1 мин, и
смесь вытекает из него со скоростью 2 л в 1 мин, причем концентрация
поддерживается равномерной посредством перемешивания. Сколько соли будет
содержать резервуар по истечении 1 часа?
Решение. Концентрацией с данного вещества называется количество
его, заключенное в единице объема. Если концентрация равномерна, то коли-
чество вещества в объеме V равно eV.
Пусть количество соли, находящееся в резервуаре по истечении t мин,
есть х кг. Количество смеси в резервуаре в этот момент будет (100 4-/) л и,
х	.
следовательно, концентрация с =	кг на 1 л.
В течение промежутка времени dt из резервуара вытекает 2dl л смеси,
содержащих 2с dt кг соли. Поэтому изменение dx количества соли в резервуаре
характеризуется соотношением
— dx — 2с dt, или — dx
2х л.
100 +1dt'
Это и есть искомое дифференциальное уравнение. Разделяя переменные и
интегрируя, получим:
In х — — 2 In (100 + 0+In С
или
__ С
х~ (loo + o’’
Постоянное С определится из условия, что при t = 0, х=10, т. е.
С = 100 000. По истечении часа в резервуаре будет содержаться соли
100 000 о п
^-Тбб^3’9^
2898*. Доказать, что для тяжелой жидкости, вращающейся около
вертикальной оси, свободная поверхность имеет форму параболоида
вращения.
2899*. Найти зависимость давления воздуха от высоты, если
известно, что это давление равно 1 кГ на 1 см1 на уровне моря и
0,92 кГ на 1 см1 на высоте 500 м.
2900*. Согласно закону Гука, эластичный шнур длины Z под дей-
ствием растягивающей силы F получает приращение длины klF(k —
= const). На сколько увеличится длина шнура под действием его
веса W, если подвесить шнур за один конец? (Начальная длина
шнура Z.)
328	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. IX
2901.	Решить ту же задачу при условии, что к концу шнура
подвешен груз Р.
При решении задач 2902—2903 использовать закон Ньютона, по
которому скорость охлаждения тела пропорциональна разности тем-
ператур тела и окружающей его среды.
2902.	Найти зависимость температуры Т от времени если
тело, нагретое до То градусов, внесено в помещение, температура
которого постоянна и равна а градусов.
2903.	Через сколько времени температура тела, нагретого до
100°, понизится до 30°, если температура помещения равна 20° и
за первые 20 мин тело охладилось до 60°?
2904.	Замедляющее действие трения на диск, вращающийся
в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти
зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, что
диск, начавший вращаться со скоростью 100 об]мин, по истечении
1 мин вращается со скоростью 60 об1мин.
2905*. Скорость распада радия пропорциональна наличному коли-
честву его. Известно, что по истечении 1600 лет остаётся половина
первоначального запаса радия. Найти, какой процент радия окажется
распавшимся по истечении 100 лет.
2906*. Скорость истечения воды из отверстия на расстоянии h
по вертикали от свободной поверхности определяется формулой
v = с 2gh,
где с 0,6 и g—ускорение силы тяжести.
В какое время вода, заполняющая полусферический котел диамет-
ра 2 м. вытечет из него через круглое отверстие на дне радиуса 0,1 м.
2907*. Количество света, поглощаемого при прохождении через
тонкий слой воды, пропорционально количеству падающего света и
толщине слоя. Если при прохождении слоя воды толщиной 3 м по-
глощается половина первоначального количества света, то какая
часть этого количества дойдет до глубины 30 м!
2908*. Сила сопротивления воздуха при падении тела с парашю-
том пропорциональна квадрату скорости движения. Найти предель-
ную скорость падения.
2909*. Дно резервуара, вместимость которого 300 л, покрыто
смесью соли и нерастворимого вещества. Допуская, что скорость
растворения соли пропорциональна разности между концентрацией
в данный момент и концентрацией насыщенного раствора (1 кг соли
на 3 л воды) и что данное количество чистой воды растворяет 1/, кг
соли в 1 мин. найти, сколько соли будет содержать раствор по
истечении 1 часа.
2910*. Электродвижущая сила е в цепи с током /, имеющей со-
противление R и индуктивность L. складывается из падения напря-
§ 10] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ	329
жения RI и электродвижущей силы самоиндукции L . Определить
ток / в момент времени если e = Esintot (Е и со — постоянные) и
i=0 при t = 0.
§ 10. Дифференциальные уравнения высших порядков
1°. Случай непосредственного интегрирования. Если
У("> = /(*),
то
y=^dx J ... J/(x)dx4-C1x'’-14-C2x«-2 + ...4-C„.
4 п раз
2°. Случаи понижения порядка. 1) Если дифференциальное
уравнение явно не содержит у, например
у', у") = 0,
то, полагая у'=р, получим уравнение порядка на единицу ниже
F (х, р, р’) = 0.
Пример 1. Найти частное решение уравнения
ху" + у' 4-х=0,
удовлетворяющее условиям
у — 0, у' =0 при х~ 0.
Решение. Полагая у' = р, имеем у" = р', откуда
хр' 4~Р 4-х = 0.
Решая последнее уравнение как линейное относительно функции р,
получим:
РХ=С1—у.
Из условия у' = р — 0 при х = 0 имеем 0 = — 0, т. е. = 0. Следовательно,
или
dy	х
dx	2 ’
откуда, интегрируя еще раз, получим:
Полагая у — 0 при х = 0, находим С2 = 0. Следовательно, искомое частное
решение есть
у = -тх’.
330
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
2) Если дифференциальное уравнение явно не содержит х, например,
F(y, У'>Уп) = Ъ,
, п dp
то, полагая у =р, у =р~9
получим уравнение порядка на единицу ниже
F(y’ p’₽t)=0-
Пример 2. Найти частное решение уравнения
УУ" — у'* = у*
при условии #=1, у' = 0 при х = 0.
dp
Решение. Полагаем у' = р, тогда у" = р-~ и наше уравнение преоб-
разуется в следующее:
урТу~рг = У*-
Мы получили уравнение типа Бернулли относительно р (у считаем аргу-
ментом). Решая его, найдем:
Р =	/С,4-г/г.
Из условия у'=р = О при у=1 имеем Cj =—1. Следовательно,
Р = ±У V у* —1
или
Интегрируя, имеем:
arccos — z+= х = С2.
У	2
Полагая у=1 и х —О, получим С2 = 0, откуда — = cosx или j/ = secx.
У
Решить уравнения:
2911. v"=—.
л X
29!2. / = - А.
2913. /=1 — у'г.
2914.	=
2915. уу"=у’г.
2916. уу"-\-у'г = 0.
2917. (1+х2)У4-/24-1=0.
2918. у' (1 +/’) = «/.
2919. х2у"-}-ху'= 1.
2920. уу"=у‘у' + у'*.
2921. уу" — у’(1 4-у) = 0.
2922. у” = —
' У
2923. (х + 1) у"—(x-f-2) /+*+
-|-2 = 0.
2924. ху"=у'\п^.
2925. / + 1(У)г=ху.
2926. х/'4-у==1+х.
2927. У"24-У'2=1>
§ 10] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ	331
Найти частные решения при указанных начальных условиях:
2928.	— 2х/ = 0; j = 0, у' = 3 при х = 0.
2929.	1 + у'2 = 2уу"'> У=К у' = 1 при х=1.
2930.	уу"-\-у,2=у’\ у—\, у'=1 при х = 0.
2931.	ху” = у'; j = 0, у = 0 при х = 0.
Найти общие интегралы уравнений:
2932.	у у' = /У + У2 у" — у'у".
2933.	+У’.
2934.	у'г — уу"=угу'.
2935. уу"-\-у’г — <у'31п>у = 0.
Найти решения, удовлетворяющие указанным условиям:
2936. у"у* — 1; у = 1, у'= 1 при х = -^\
2937. уу"у'г — 1; _У=1> У=1 при * = 0-
2938.	ху"=У1 4“у'а; у = 0 при х=1; у = 1 при х = е*.
2939.	_у"(1 4-1пх)4-^--у' = 2 4-1пх; у — ±-, у' — 1 при х = 1.
2940.	у" —	1 4-In у);	у=±, у'=1 при х=1.
2941.	у"—у'г-\-у'(у — 1) = 0; у — 2, у'— 2 при х = 0.
2942.	Зу'у"=у4-j'34-1; у — — 2; у'= 0 при х = 0.
2943.	уг-{-у'а — 2уу” — 0; у — 1, У = 1 при х = 0.
2944.	уу'-{-у'г ~{-уу" — 0; У= 1 при х = 0 и у = 0 при	х = —1.
2945.	2/ 4-(У2 — 6х)./ = 0; у = 0, у' = 2 при х = 2.
2946.	у'уа-\-уу"—у2 = 0; _У=1, У' — 2 при х = 0.
2947.	2уу" — 3_у'2 = 4У; _у=1, у' = 0 при х = 0.
2948.	^уу"-\-уа—У2 = О; _У=1, у1 при х = 0.
2949.	у"=у'г— у, у== —	y' — j при х = 1.
2950.	у"-{-^геу1у’ — 2уу'2 = 0; у=1, у' = е при х = —
2951.	14-уУ'4->'2 = 0; у = 0, у'=1 при х=1.
2952.	(1 4~>У)У = (1+У2)У; У — 1’ у'=1 при х = 0.
2953.	(x-j-1)У'4-*У’=У; у = —2,у' = 4 при х=1.
Решить уравнения:
2954.	у' = ху"а-\-у"\
2955.	у' = ху"-[-у" — У2.
332	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. IX
2956. у'"* = 4у”.
2957.	уу'у" _=у'3 -}-у"\ Выделить интегральную кривую, прохо-
дящую через точку (0; 0) и касающуюся в ней прямой =
2958.	Найти кривые постоянного радиуса кривизны.
2959.	Найти кривую, у которой радиус кривизны пропорциона-
лен кубу нормали.
2960.	Найти кривую, у которой радиус кривизны равен нормали.
2961.	Найти кривую, у которой радиус кривизны вдвое больше
нормали.
2962.	Найти кривые, у которых проекция радиуса кривизны на
ось OY постоянна.
2963.	Найти уравнение каната подвесного моста, предполагая,
что нагрузка распределена равномерно по проекции каната на гори-
зонтальную прямую. Весом каната пренебречь.
2964*. Найти положение равновесия гибкой нерастяжимой нити,
укрепленной концами в двух точках и имеющей постоянную нагрузку
q (включая вес нити) на единицу длины.
2965*. Тяжелое тело без начальной скорости скользит по наклон-
ной плоскости. Найти закон движения, если угол наклона равен а,
а коэффициент трения р.
Указание. Сила трения равна pJV, где N — сила реакции плоскости.
2966*. Силу сопротивления воздуха при падении тела можно
считать пропорциональной квадрату скорости. Найти закон движе-
ния, если начальная скорость равна нулю.
2967*. Моторная лодка весом 300 кГ движется прямолинейно
с начальной скоростью 66 м/сек. Сопротивление воды пропорцио-
нально скорости и равно 10 кГ при скорости 1 м/сек. Через
сколько времени скорость будет равна 8 м/сек?
§ 11. Линейные дифференциальные уравнения
1°. Однородные уравнения. Функции	•••
..., yn = q>n(x) называются линейно зависимыми, если существуют постоян-
ные Сп С2, ...» Сп, не все равные нулю, такие, что
+ С2у2 + ... + Спуп 0;
в противном случае данные функции называются линейно независимыми.
Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения
У{п} + Р, (х) У^ +...+Рп(х)У=^	(1)
с непрерывными коэффициентами РДх) (/ = 1, 2, . . ., п) имеет вид
У =	+ С2у2 + ... + СпУп>
где Уц у2, ..., уп — линейно независимые решения уравнения (1) (фундамен-
тальная система решений).
2°. Неоднородные уравнения. Общее решение неоднородного
линейного дифференциального уравнения
Ут 4- Р. W г/*"-" + •. • + Рп W у=f И	(2)
§ 11]
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
333
с непрерывными коэффициентами Р/(х) и правой частью f(x) имеет вид
У = Уь + ¥,
где yQ — общее решение соответствующего однородного уравнения (1) и У —
частное решение данного неоднородного уравнения (2).
Если известна фундаментальная система решений ylt у2, .уп однород-
ного уравнения (1), то общее решение соответствующего неоднородного урав-
нения (2) может быть найдено по формуле
y=Cl(x)yiJrCi(x)yi-\-... -j-C„(x)y„,
где функции Q(x) (t = 1, 2, ..., и) определяются из системы уравнений
С\(х) + С2 (х) уг	+ . •.(х)
+ с2 (*) у2	4“ • • • 4“ сп (х) уп = о,
(3)
с; (х) у? - 2> + С' (X) у(п-г> + ... + < (X) у(пп - = О,
+	+ ...+C'„(x)y^-^ = f(x) t
(метод вариации произвольных постоянных).
Пример. Решить уравнение
ху" + у* — х2.
Решение. Решая однородное уравнение
ху" 4-^ = 0,
получим:
у~Сх 1пх4-С2.
(4)
(5)
Следовательно, можно принять
Ух — In х и у2 — 1
и решение уравнения (4) искать в виде
г/ —C1(x)lnx + Ct(x).
Составляя систему (3) и учитывая, что приведенный вид уравнения (4) есть
^-|_Л- = х, получим
( С' (х)1пх + С^(х).1=0,
| с;«7+с;(х).о=х.
Отсюда
С1(х) = |’ + >‘ и Сг(х) = -у1пх + £ + В
и, следовательно,
у=£’4-а1пх+в,
где А и В — произвольные постоянные.
334
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
2968. Исследовать на линейную зависимость следующие системы
функций:	
а) х, x-f-1;	д) х, хг, х ;
б) №, —2хг;	е) 0х, е2Х, еах;
в) 0, 1, х;	ж) sinx, cosx, 1;
г) х, x-f-l, х-|-2;	з) sin‘x, cos’x, 1.
2969. Составить линейное однородное дифференциальное урав-
нение, зная его фундаментальную систему решений:
a)	yI = sinx, j2 = cosx;
б)	у1 = ех, уг — хех;
в)	Л = Уг = х2-,
г)	y1 = e^ci У2 — ех sinx, у& — е cosx.
2970. Зная фундаментальную систему решений линейного одно-
родного дифференциального уравнения
У1~х> уг=-хг, =
найти его частное решение у, удовлетворяющее начальным условиям
y|x=i = 0,	д!'|х==1 = —1, у |л==1 = 2.
2971*. Решить уравнение
/+4/+з’=°.
sin х
зная его частное решение yt==z——.
2972. Решить уравнение
х2 (1пх— 1)у"— ху' -\-у — 0,
зная его частное решение уг = х.
Методом вариации произвольных постоянных решить неоднород-
ные линейные уравнения:
2973. х2/ —ху' = 3х’.
2974*. х2у"-\-ху'—у = х2.
2975. у"' у' = sec х.
§ 12. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка
с постоянными коэффициентами
1°. Однородное уравнение. Линейное уравнение 2-го порядка
с постоянными коэффициентами р и q без правой части имеет вид
уп+ру’ + <7У = 0.	(1)
Если А?! и kz — корни характеристического уравнения
Ф (*) — Ь* 4-р/г + q = 0,	(2)
§ 12J	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА
335
то общее решение уравнения (1) записывается в одном из следующих трех
видов:
1)	у — Cxekix -\-C2ek*x, если kx и k2 вещественны и kx &2;
2)	y = ekix(Cx 4-С2х), если ^ = ^2;
3)	y=e®x(C1cosPx-|-C2sinPx), если kx = а 4~₽(’ и &2 = а — fk*(P 0).
2°	. Неоднородное уравнение. Общее решение линейного неод-
нородного дифференциального уравнения
уГ+ру' + qy=tW	(3)
можно записать в виде суммы
У = Уо + ¥>
где — общее решение соответствующего уравнения (1) без правой части,
определяемое по формулам 1) — 3), и Y — частное решение данного уравне-
ния (3).
Функция Y может быть найдена методом неопределенных коэффициентов
в следующих простейших случаях:
1. f (х) = е“хРп (х), где Рп (х) — многочлен степени п.
Если а не является корнем характеристического уравнения (2), т. е.
<р(а) 0, то полагают Y ~еах Qn(x), где Qn (х) — многочлен степени л с не-
определенными коэффициентами.
Если а есть корень характеристического уравнения (2), т. е. <р (а) =0,
то Y = xreax Qn (х), где г — кратность корня а (г = 1 или г = 2).
2. f (х) = еах [Р„ (х) cos bx Qm (х) sin Ьх].
Если ф (а z+z bi) Ф 0, то полагают
Y = еах [Sy (х) cos bx -f- Ту (х) sin &х],
где Sy(x) и Ту (х) — многочлены степени W = max{n,
Если же ф(а±г6()=0, то
Y = xreax [Sy (х) cos bx 4- Ту (х) sin bx],
где г — кратность корней a + bi (для уравнений 2-го порядка r== 1).
В общем случае для решения уравнения (3) применяется метод вариации
произвольных постоянных (см. § 11).
Пример 1. Найти общее решение уравнения 2у” — у’ — у = 4хе**.
Решение. Характеристическое уравнение 2kz —k — 1=0 имеет корни
^ = 1 и &2 =—Общее решение соответствующего однородного уравне-
ния (первый вид) yQ = Схех 4- С2е 2 . Правая часть заданного уравнения
f (х) = 4хе2Х = еах Рп (х). Следовательно, Y — е2Х (Ах 4- В), так как л = 1
и г = 0. Дифференцируя Y два раза и подставляя производные в данное
уравнение, получим:
2е*х (4Ах + 4В + 4А) - е2Х (2Ах + 2В 4» А) - е2Х (Ах + В) = 4хе2Х.
Сокращая на ё*х и приравнивая друг другу коэффициенты при первых
степенях х и свободные члены в левой и правой частях равенства, имеем
4	28
5А = 4 и 7А-|-5В = 0, откуда А=у и 3=—
336	 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. IX
( 4	28\
Таким образом, У = е2х ( — х — — ), а общее решение данного урав-
\ О	Zt) J
нения есть
v л —7-х ,	/ 4	28 \
+ г 4-е
Пример 2. Найти общее решение уравнения if — 2у' 4-У = хе*.
Решение. Характеристическое уравнение k2 — 2^ + 1 =0 имеет дву-
кратный корень #=1. Правая часть уравнения имеет вид f(x) — xe*\ здесь
а = 1 и п=1. Частное решение Y = х2е* (Ах 4“ В), так как а совпадает
с двукратным корнем &=1 и, следовательно, г = 2.
Дифференцируя Y два раза, подставляя в уравнение и приравнивая
коэффициенты, получим А = ~, В = 0. Следовательно, общее решение дан-
ного уравнения запишется в виде
y = (Ct 4-Ctx)e*4-lx’e*.
Пример 3. Найти общее решение уравнения if 4- у = х sin х.
Решение. Характеристическое уравнение k2 +1 = 0 имеет корни
kx = i и 62 =—I. Общее решение соответствующего однородного уравнения
будет [см. 3), где а = 0 и 0 = 1]:
yQ = Сх cos х Ct sin х.
Правая часть вида
f (х) = еа* [Рп (х) cos bx -f- Qm (х) sin bx],
где a = 0, 6 = 1, P„(x) = 0, Qm(x) = x. Ей соответствует частное решение
Y = х [(Ах 4- В) cos х 4~ (Сх 4~ D) sin х]
(здесь 7V = 1, а = 0, 6=1, г=1).
Дифференцируя два раза и подставляя в уравнение, приравниваем коэф-
фициенты в обеих частях равенства при cosx, xcosx, sinx и xsinx. В ре-
зультате получатся четыре уравнения 2А 4-2D = 0, 4С = 0, — 2В-[-2С = 0,
— 4Л = 1, из которых и определяются А ——В = 0, С = 0, D = 1/4.
X2	X
Поэтому Y = — — cos х 4- — sin х.
Общее решение
X2	X
у = Ci cos х 4" sin X — J cos X 4- — sin х.
3°. Принцип наложения решений. Если правая часть уравне-
ния (3) есть сумма нескольких функций
/(х) = А(х) + /,(х)4-...4-/„(х)
и У;(( = 1, 2, п) — соответствующие решения уравнений
У" + РУ' + m = fi(x) (t = l, 2,	n),
то сумма
y=r14-rs4-.,.4-r„
является решением уравнения (3).
§ 12]	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА	337
Найти общие решения уравнений:
2976. у" — 5у'-]-6у = 0.
2977. у" — 9у = 0.
2978. У' — / = 0.
2979. y'4-j> = 0.
2980. у" — 2у'	2у — 0.
2981.	у" 4у —13у = 0.
2982.	У' + 2/+у = 0.
2983.	у” — 4у' -j- 2у — 0.
2984.	y" — ky = 0(k=£0).
2985. у=у" -\-у'.
2986. ^ = 3.
Найти частные решения, удовлетворяющие указанным условиям:
2987.	у"— 5у~1~4у=0; у = 5, у' = 8 при х=0.
2988.	у" -j- Ъу' -j-2у = 0; у=1,у' —— 1 при х = 0.
2989.	у4^ = 0; _у = 0, у'= 2 при х=0.
2990.	у" -j- 2у = 0; ^=1, у' —О при х — 0.
2991.	у” = ^' у — а> У = 0 при х = 0.
2992.	у'4*Зу = 0; у —О при х=0 и у = 0 прих = 3.
2993.	у'4“Л2.У=0; у=0 при х— 0 и у—О прих=1.
2994.	Указать вид частных решений для данных неоднородных
уравнений:
a)	у"— 4у — х2езх;
б)	У'4-9у=с°8 2х;
в)	У* — 4у 4-4j = sin 2х4“^5
г)	У'4~2У+ 2.y=e*sinx;
д)	у"— 5у 4~6jr=(x24- 1) ех-[-хе2Х;
е)	у" — 2уг 4- 5у = хех cos 2х — х2ех sin 2х.
Найти общие решения уравнений:
2995. у" — 4у'-\-4у = х2.
2996. у" — у' -[~у = х8 -^-6.
2997. у"^2у'-^у=е2х.
2998.	у" — 8у + ?у= 14.
2999.	y,f—у—ех.
3000.	У'4-^= cos х.
3001. у"-~у' — 2y=8sin2x.
3002. y"--yf — ^y = xe2x.
3003. У' — 2y 4-.y=sinx4“'sh
3004.	у" 4~У = sin2 x.
3005.	y" — 2yf 4- 5y = ex cos 2x.
3006.	Найти решение уравнения У'4~ 4jr==sin х, удовлетворя-
ющее условиям	yf = 1 при х = 0.
338	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. IX
Решить уравнения:
dzx,
3007.	^-\-(лгх = A sin pt.	Рассмотреть случаи: 1) р=/=®',
2) р = ®.
3008. у” — 7/ + 12у = — е**.
3009. у” — 2у' = хг — 1.
ЗОЮ. у" — 2у' -{-у = 2ех.
ЗОН. у" — 2у' = е2х-}-5.
3012. у” — 2у' — %у = ех — 8 cos 2г.1
3013. у” -|- у' = 5х-|"2е*.
3014. у" — у' — 2х—1—Зе*.
3015.	2_у'у — ех-^-е~х.
3016. у" — 2_y'-j-10^ = sin3x-4-e*.
8017. у" — 4У4-4_у = 2е‘* + |.
3018. у"— Зу'= хcos х.
8019. Найти решение уравнения у" — 2yf = eiX -f-	— 1, удов-
летворяющее условиям: у = &, у'=1 при х = 0,
Решить уравнения:
3020.	у"—у = 2х sinx.
3021.	у"— 4у = е2Х sin2x,
3022.	у " + 4у = 2 sin 2х — 3 cos 2х 1.
3023. у"— 2у'-{-2у = 4ех sinx.
3024. у" — хех-^у.
3025. у" -\-9y — 2xsinx-{-xe9X.
3026. у" — 2у'— Зу = х (\-\-е9Х).
3027. у"— 2у’ — Зх-\-2хех.
3028. у" — 4у' -(- 4у = хе2Х.
3029. У'4-2у' — Зу = 2хе-8Х+(х+1)г*.
3030*. y"4-y = 2xcosxcos2x.
3031. у" — 2у = 2хех (cos х — sinx).
Применяя метод вариации произвольных постоянных, решить
уравнения:
3032. y”-lry = tgx.	3036. У”+У = -^с’
3033. У'4-_У = ctgх.	3037. y'+j = ^T7-
3034. у” — 2у' -|~_у=^- .	3038. a) y" — y=thx;
3035 у" —2у' —у	——— •	б) у 2у 4х вх •
§ 12]	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА	339
3039. Два одинаковых груза подвешены к концу пружины.
Найти уравнение движения, которое будет совершать один из
этих грузов, если другой оборвется.
Решение. Пусть увеличение длины пружины под действием одного
груза в состоянии покоя равно а и масса груза т. Обозначим через х коор-
динату груза, отсчитываемую по вертикали от положения равновесия при
наличии одного груза. Тогда
d^x
m~dt* =тё-к(х + а),
. т8	&х	g
где, очевидно, k = —и, следовательно, —vt=- = — — х. Общее решение есть
a	at	а
x = C1cosl/ -Z+C.sinl/ Начальные условия дают х = а и ^=*0
г а	г a	at
при / = 0; отсюда Cj = a и С2 = 0, следовательно,
х = a cos j/ 1.
3040*. Сила, натягивающая пружину, пропорциональна увеличе-
нию ее длины и равна 1 кГ, когда длина увеличивается на 1 см.
К пружине подвешен груз весом 2 кГ. Найти период колебатель-
ного движения, которое получит этот груз, если его слегка оття-
нуть книзу и затем отпустить.
3041*. Груз весом Р = 4 кГ подвешен на пружине и увеличи-
вает ее длину на 1 см. Найти закон движения груза, если верх-
ний конец пружины совершает вертикальное гармоническое колеба-
ние j/ = 2sin30f см и в начальный момент груз находился в покое
(сопротивлением среды пренебрегаем).
3042. Материальная точка массы т притягивается каждым из
двух центров с силой, пропорциональной расстоянию (коэффициент
пропорциональности равен k). Найти закон движения точки, зная,
что расстояние между центрами 2Ь, в начальный момент точка нахо-
дилась на отрезке, соединяющем центры, на расстоянии с от сере-
дины его, и имела скорость, равную нулю.
3043. Цепь длины 6 м скользит вниз с подставки без трения.
Если движение начинается с момента, когда свисает 1 м цепи, то во
сколько времени соскользнет вся цепь?
3044*. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой
скоростью со около перпендикулярной к ней вертикальной оси.
Шарик, находящийся внутри трубки, скользит по ней без трения.
Найти законы движения шарика относительно трубки, считая, что:
а)	в начальный момент шарик находился на расстоянии а от оси
вращения и начальная скорость шарика равна нулю;
б)	в начальный момент шарик находился на оси вращения и имел
начальную скорость vQ.
340
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
§ 13. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами порядка выше 2-го
1°. Однородное уравнение. Фундаментальная система решений
Уп У2» • ••> Уп однородного линейного уравнения с постоянными коэффициен-
тами
у{п} ч-ад*"'1’ +...+«„_,/+апу=0	(1)
строится на основе характера корней характеристического уравнения
kn +	+...+an^k + an = 0.	(2)
А именно: 1) если k есть вещественный корень уравнения (2) кратности т,
то ему соответствует т линейно независимых решений уравнения (1):
#!= + уг = х^х,	ym — xm~lekx;
2) если а ± fit — пара комплексных корней уравнения (2) кратности т,
то ей соответствует 2т линейно независимых решений уравнения (1):
Ух = е*х cos Рх, у2 = еах sin Рх, у8 = хе*х cos Рх, у4 = хеах sin Рх, ...
..., У2т-1 — cos Рх, у2т = хт~ V* sin Рх.
2°. Неоднородное уравнение. Частное решение неоднородного
уравнения
У<л) +	4-... + а„_,/ +а„у = f (х)	(3)
отыскивается на основе правил § 12, 2° и 3°.
Найти общие решения уравнений:
3045. у'"— 13/+12/=х0. 3046. у'" — у' = 0. 3047. /"+^=0.	
3048. yv-	-2/ = 0.
3049. у”'-	-3/+3/—y = 0.
3050. jlv-	- 4y = 0.
3051. ,ylv-	-8v"+ 16j = 0.
3052. yv-	- у = 0.
3053. yv-	-2У+^ = 0.
3054. yv-	- а*у= 0.
3055. yv-	- 6У + 9j = 0.
3056. yv4	-а2у"= 0.
3057. yv + 2/"+y = 0.
3058. yv^2y'4-y = 0.
3059. yn»4-^.yn-1»4-
...+ «/+j==0.
3060. yv — 2y
3061. yv — 2y"'у" = x*.
3062. y'" — y — x*—1.
3063. yv4-y" = cos4x.
3064. У"+У = х24-1 + Зхех.
3065. у"'-!гу"-!(-у'+У=хех.
3066. у'" + _y' = tgxsec x.
3067. Найти частное решение
уравнения
/" + 2/ + 2У + У = х,
удовлетворяющее начальным условиям у(0) = у'(0)=уг(0) = 0.
§ 14]
УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
341
§ 14. Уравнения Эйлера
Линейное уравнение вида
(ах + Ь)п (ах + Ь)п~' у<п~"+.. .+Ли-1 (ах + b)y + Апу = f (х), (I)
где а, Ь, Лп Лп_1? Ап — постоянные, называется уравнением Эйлера.
Для области ax-j- b > 0 вводим новую независимую переменную t, полагая:
ах	b = е*.
Тогда
dt) *
у'"=а>е~>‘ (g-3-^-4-2^ ит. д.
и уравнение Эйлера преобразуется в линейное уравнение с постоянными
коэффициентами.
Пример 1. Решить уравнение х2у" 4~ ху' 4~У = 1.
Решение. Полагая х=Л получим:
dy__
dx dt’ dx2 \dt2 dt)*
Следовательно, данное уравнение примет вид
откуда
у = Сх cos 14- С2 sin / 1
или
у = Сг cos (In х) 4- С2 sin (In х) 4- 1.
Для однородного уравнения Эйлера
4“ AlXn~ 4“ ... 4“ An_ixy' 4- Апу = 0	(2)
при х > 0 решение можно искать в виде
y = xk.	(3)
Подставляя в (2) у, у', ..., г/(П), определяемые из соотношения (3), получим
характеристическое уравнение, из которого можно найти показатель k.
Если k — действительный корень характеристического уравнения кратно-
сти tn, то ему соответствуют т линейно независимых решений
yr—xk, y2z=xk\n х, y3 = xk (In х)2, ym = xk(\n x)m~J.
Если a ± р/ — пара комплексных корней кратности tn, то ей соответствует 2tn
линейно независимых решений
tji =х* cos (Р 1п х), z/2 = xa sin (Р In х), у9 = х* In х cos (Р In х),
Z/4 = Xa In X sin (Р In х), ..., y2m_i=Xa (Inx^-'COS (P Inx),
Уггп = х* (lnx)w-1sin(P Inx).
Пример 2. Решить уравнение
x2y" — Зху' +4y==0.
Решение. Полагаем
y = xk; у' = kxk~\ y" = k(k—l)xk~2.
342	дифференциальные уравнения	[гл. IX
Подставляя в данное уравнение, после сокращения на xk получим характери-
стическое уравнение
^-4^ 4-4 = 0.
Решая его, находим:
А?! = k2 = 2,
следовательно, общее решение будет:
у = CYx2 4- С 2х' 1пх.
Решить уравнения:
3068.	+ =
ахг 1 ах ' z
3069. хгу" — ху' — 3_у — 0.
3070. х2у" 4-х/ + 4^ = 0.
3071. хУ" —Зх2/ + бху — 6,у = 0.
3072. (Зх4-2)/ + 7/ = 0.
3073. У = р-
3074. Z+Z-l-^^o.
3075. х2у"— 4ху' -\~6у = х.
3076. (1 4-х)2У' — 3(1 4-х)У 4-4у = (1 4-х)3.
3077. Найти частное решение уравнения
X2/' — ху' 4- у = 2х,
удовлетворяющее начальным условиям: у=0, у'—1 при х=1.
§ 15. Системы дифференциальных уравнений
Метод исключения. Для нахождения решения, например, нормаль-
ной системы двух дифференциальных уравнений 1-го порядка, т. е. системы
вида
g = Z(x, У,г)> £ = g(x,y,z),	(1)
разрешенной относительно производных от искомых функций у и г, диффе-
ренцируем по х одно из них. Имеем, например:
dx2 дх ду ' дг &	' '
Определяя г из первого уравнения системы (1) и подставляя найденное вы-
ражение
г = ф(х.г/,|)	(3)
в уравнение (2), получим уравнение 2-го порядка с одной неизвестной функ-
цией у. Решая его, находим:
у = С„ Сг),	(4)
§ 15]
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
343
где Ct и С2 — произвольные постоянные. Подставляя функцию (4) в формулу (3),
определяем функцию z без новых интеграций. Совокупность формул (3) и (4),
где у заменено на ф, дает общее решение системы (1).
Пример. Решить систему
g-; + 2# + 4z = 1 + 4х,
dz ।	3 2
{dl + !'-Z==-2X-
Решение. Дифференцируем первое уравнение по х:
^ + 2^ + 4^ = 4.
ах2 1 dx 1 dx
ti	1 Л , . dy
Из первого уравнения определяется г = —11-|-4х —
л	dz 3 9	, 1	3	1 dy
из второго будем иметь: = у х2 + х + ^ — у У-•
dz
и ~ в уравнение, полученное после дифференцирования, приходим к урав«
нению 2-го порядка с одной неизвестной у:
- бу = — 6х* - 4х + 3.
dx2 'dx	1
и тогда
Подставляя z
Решая его, найдем:
у =	+ C2e~tx + х2 4- х,
и тогда
Аналогично можно поступать и в случае системы с большим числом урав-
нений.
Решить системы:
3078. .	IX] IX Н 1 м	1^ II	II 1	3081.	( dx Tt=y< dy dl=z>
	\i=y+5z-		dz di~—x-
3079. .	А'г		\ z J
	[Й+^+з^».		dx	. -dt=y+z>
	[g=-3,-z.	3082.	
3080.	| dz -г = у— ydx z		1 dz	,
344
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ IX
3083.<	~=y-\-z, dx	i » dz	.	, — =x4-у 4-z. dx	1 z 1
	^4-2j' + ^ = sinx,
3084. <	д,
	— 4y — 2z = cos x.
3088*. а)
б)
в)
dx ____ dy   dz
х3 4- Зх^2	2у3	2y*z 9
dx __ dy dz a
x —у ГГУ 9
dx __ dy ____ dz
У — z z—x x — у 9
g + 3^ + 4^ = 2x,
3085. £
\.сГх-У~г=х'
выделить интегральную кривую,
проходящую через точку
(1; 1; -2).
_у = 0, г —О при х = 0.
3086.
^—4Х_ ^_|_36/=0,
^4-2х-у4-2/=0;
3089.
х = 0, у=1 при t — 0.
' dy	у*
dx	z ’
dz   1
dx	2 У'
3087.
3090.
jg_^_3z=_X.
3091**. Снаряд вылетает из орудия с начальной скоростью v9 под
углом а к горизонту. Найти уравнение движения снаряда, принимая
сопротивление воздуха пропорциональным скорости.
3092*. Материальная точка М притягивается центром О с силой,
пропорциональной расстоянию. Движение начинается из точки А на
расстоянии а от центра с начальной скоростью t/0, перпендикулярной
к отрезку ОА. Найти траекторию точки М.
§ 16. Интегрирование дифференциальных уравнений
с помощью степенных рядов
Если интегрирование дифференциального уравнения при помощи элемен-
тарных функций не удается, то его решение в некоторых случаях можно
искать в виде степенного ряда
оо
У = 2 сп(х-хл)п.	(1)
71 = 0
Неопределенные коэффициенты сп(п = 0, 1,2, ...) находятся путем подстанов-
ки ряда (1) в уравнение и приравнивания коэффициентов при одинаковых
степенях бинома х — х0 в левой и правой частях полученного равенства.
Можно также искать решение уравнения
У’ = [(х, УУ, где y(x„) = yt,	(2)
§ 16]	ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ	845
в виде ряда Тейлора
(3)
71 = 0
где у (х0)—у0, у' (х0) = f (х0, у0) и дальнейшие производные у(п) (х0) (п == 2, 3,...)
последовательно находятся при помощи дифференцирования уравнения (2) и
подстановки вместо х числа х0.
Пример 1. Найти решение уравнения
/ — ху~0,
если у~у„ у' — Уц при х = 0.
Решение. Полагаем
У = с0 +(\х 4- ... +спхп + ...,
отсюда, дифференцируя, получим:
у" = 2-1с2+3-2с3х+ ... 4-n(n — l)crtxn“24-(n4-l)ncn+1x"’1 +
4" (П + 2) (Л + 1) Сп + 2хП + • • •
Подставляя у и if в данное уравнение, приходим к тождеству
[2- 1с, + 3.2с5х + ... + n (п - 1) спхп~* + (п +1) псп+1хп'1 +
+ (n + 2)(7i + l)^+2^4-...]-x[co+^ + ...+Vn + .-.]^O-
Собирая в левой части полученного равенства члены с одинаковыми степе-
нями х и приравнивая нулю коэффициенты при этих степенях, будем иметь
с2 = 0; 3-2с3— с0 —0, £, = 3--^;	4*3с4— сх = 0,	=	5*4с5 с2 = 0,
ит-д-
Вообще,
___	Со	_ Cf
~ 2-3-5-6-...-(36 — 1) 3fe ’ C’ft+1 — 3-4-6-7-...-36 (3fe4-l) ’
£3^+2 —0 (& —1, 2, 3, ...).
Следовательно,
(х^ х$	x*k	\
1 +Гз-Н-3-5-6^~	2-3-5-6-...-(3fe — 1) 3fe +•”} +
/	у*	у?	уЗ&4-1	\
+ С| (х + з?4 + 3.4.6-7 + ’’’ + 3-4-6-7....-ЗЙ(3^4-1) +•••)’
где с„ = уа и С1=у'л.
Применяя признак Даламбера, легко убедиться, что ряд (4) сходится при
— ОО < X < + 00.
Пример 2. Найти решение уравнения
уо=у(О) = 1.
Решение. Полагаем
ff	fff
У = Уо + у'.х 4-~Хг +	х‘ + ...
346
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
Имеем у0 = 1, yQ = 0 4- 1 = 1. Дифференцируя обе части уравнения у’ — х -f- У»
последовательно находим у"=1 у',	уи = 1 4- 1 = 2, у'" = у", у”' = 2,
и т. д. Следовательно,	9 о
у=1	+ уг*’ + •••
Для разбираемого примера найденное решение можно записать в конечном
виде	у=1+х + 2(е*-1 -х) или у = 2ех- 1-х.
Аналогично следует поступать в случае дифференциальных уравнений
высших порядков. Исследование сходимости полученных рядов, вообще гово-
ря, сложно и при решении задач этого параграфа обязательным не предпола-
гается.
Найти с помощью степенных рядов решения уравнений при ука-
занных начальных условиях.
В №№ 3097, 3098, 3099, 3101 исследовать сходимость по-
лученных решений.
3093.	у' = у-^-х2; у — —2 при х = 0.
3094.	у’ = 2j4“x—1’ У—У о при х==
3095.	у' =у2 -^-х2; У — ^ при х = 0.
3096.	у' = х2— у2; у = 0 при х = 0.
3097.	(1—х)у'=1-\-х— у; j = 0 при х —0.
3098*. ху” у=0; у=0, у’ — 1 при х = 0.
3099. yr-J"*y = O; у' — ® при х = 0.
3100*. у'4“ — У 4~.у=0; j=i, у = о при х=о.
3101*.	_У=1, У = 0 при х = 0.
3102.	-4“х cos * = 0; х=а; ^£ = 0 при / = 0.
at 1	at
§ 17. Задачи на метод Фурье
Для нахождения решения линейного однородного
уравнения в частных производных по методу Фурье
частные решения этого уравнения специального типа,
представляет собой произведение функций, зависящих только от одного аргу-
мента. В простейшем случае имеется бесконечная совокупность таких ре-
шений ип(п— 1, 2, ...), линейно
независимых в любом конечном
числе между собой и удовле-
творяющих заданным граничным
условиям. Искомое
представляется в
положенного по
решениям:
дифференциального
сначала отыскивают
каждое из которых
решение и
виде ряда, рас-
этим частным
со
и — Cnt/j
И = 1
(1)
Остающиеся неопределенными коэффициенты Сп находятся из начальных
условий.
§ 17]
ЗАДАЧИ НА МЕТОД ФУРЬЕ
347
Задача. Поперечное смещение и = и (х, t) точек струны с абсциссой х
в момент времени t удовлетворяет уравнению
д2и . д2и
dt2 дх2
т
где а2 = (То — сила натяжения, Q — линейная
(2)
плотность струны). Найти
форму струны в момент времени /, если концы ее х = 0 и х = / закреплены
4Л
и в начальный момент t — Q струна имела форму параболы а = ух(/—х)
(рис. 107) и точки ее имели скорость, равную нулю.
Решение. Согласно условию задачи требуется найти решение и = и (х, t)
уравнения (2), удовлетворяющее граничным условиям:
w(0, 0 = 0, w(Z, 0 = 0	(3)
и начальным условиям:
и(х, 0) = уХ(/ —х), ut(x, 0) = 0.	(4)
Ищем ненулевые решения уравнения (2) специального вида
и = Х(х)Т(0.
Подставив это выражение в уравнение (2) и разделив переменные, получим:
ТЧ0 _*"(*)
а2Г(0 Х(х) ’
Так как переменные х nt являются независимыми, то тождество (5) воз-
можно лишь в том случае, когда общая величина отношения (5) будет посто-
янной. Обозначая эту постоянную через — V, найдем два обыкновенных диф-
ференциальных уравнения:
Г (0 + (аК)2-Т (0 = 0 и X" (х) + №Х (х) = 0.
Решая эти уравнения, получим:
Т (0 = A cos a Kt + В sin a Kt,
Х(х) = С cos Кх 4- D sin Кх,
где А, В, С, D — произвольные постоянные. Из условия (3) имеем: Х(0) = 0
и Х(1) = 0, следовательно, С = 0 и sin К1 = 0 (так как D не может одновремен-
но с С равняться нулю). Поэтому К^ = — ,где k — целое число. Легко убе-
диться, что мы не потеряем общности, взяв для &лишь положительные зна-
чения (£ = 1, 2, 3, ...). Каждому значению К^ соответствует частное ре-
шение
/ л kait . , п . kan . \ . kлх
uk = I Ak cos -у-1 -f- Bk sin -у- t j sin — ,
удовлетворяющее граничным условиям (3).
Составим ряд
оо
( л kaitt . D , kant\ . knx
u=2^ Мл cos—— 4-BAsin —j—j sitl-y-
л = 1 '	*
348
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
сумма которого, очевидно, удовлетворяет уравнению (2) и граничным усло-
виям (3).
Подберем постоянные Ak и Bk так, чтобы сумма ряда удовлетворяла на-
чальным условиям (4). Так как
00
ди V* kan ( л . kaitt . _ kant\ . kitx
dt=Z* — ( -Л48Ш-7-4-Вйсо8-г)зт-г,
то, полагая / = 0, получим:
со
/ лч	л • knx 4/z /f
и(х,0) = 2^ 4ftsin —	х(1-х)
А=1
И
00
ди (х, 0) V1 kail г» . клх п
k = l
Следовательно, для определения коэффициентов Аъ и Въ надо разложить в
4А
ряд Фурье по одним синусам функцию и (х, 0) = х (I —- х) и функцию
ди(х, 0)
dt
По известным формулам (гл. VIII, § 4, 3е) имеем:
i
л 2 0 4h . . knx ,	32h
—x)sin i dx^Tisk9t
0
если k — нечетное, и Лл = 0, если k — четное;
i
kail n 2 (\ . kstx ,
-j- Bk — у \O-sin —dx = 09 Bk = 0.
о
Искомое решение будет:
oo co. <2n + 0 QltZ
_32h\y s I . (2n +1) nx
U n’ zZu (2n + l)s Sin I
n=0
3103*. В начальный момент t = Q струна, закрепленная на кон-
гсх
цах х — 0 и х — 19 имела форму синусоиды H = z4sin-y, причем
скорости точек ее были равны нулю. Найти форму струны в момент
времени /.
3104*. В начальный момент t=0 точкам прямолинейной струны
0<^x<^Z сообщена скорость ^=1. Найти форму струны в момент
времени /, если концы ее х = 0 и х = /закреплены (см. задачу 3103).
ЗАДАЧИ НА МЕТОД ФУРЬЕ
349
§ 17]
3105*. Струна длиной/= 100 см, закрепленная на концах х = 0
и х = 1, в начальный момент оттянута в точке х = 50 см на расстоя-
ние /г = 2 см, а затем опущена без толчка. Определить форму
струны для любого момента времени /.
3106*. При продольных колебаниях тонкого однородного прямо-
линейного стержня, ось которого совпадает с осью ОХ, смещение
u — u(x,t) поперечного сечения стержня с абсциссой х в момент
времени t удовлетворяет уравнению
д2и___ 2 д2и
£
где а2 = — (Е—модуль Юнга, Q — плотность стержня). Определить
продольные колебания упругого горизонтального стержня длины
/=100 см, закрепленного на конце х = 0 и оттянутого на конце
х = 100 на длину AZ = 1 см, а затем отпущенного без толчка.
3107*. Для прямолинейного однородного стержня, ось которого
совпадает с осью ОХ, температура и — и(х, /) в сечении с абсцис-
сой х в момент времени t при отсутствии источников тепла удовле-
творяет уравнению теплопроводности
ди 2 д2и
dt~~a &?'
где а — постоянная. Определить распределение температуры для
любого момента времени t в стержне длины 1= 100 см, если изве-
стно начальное распределение температуры
и(х, 0) = 0,01 лт (100 — х).
ГЛАВА X
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Действия с приближенными числами
1°. Абсолютная погрешность. Абсолютной погрешностью
(абсолютной ошибкой) приближенного числа а, заменяющего точное число Л,
называется абсолютная величина разности между ними. Число Д, удовлетво-
ряющее неравенству
|Л-о|<Д,	(1)
называется предельной абсолютной погрешностью. Точное число А нахо-
дится в границах о — Д«СЛ^а + ^ или, короче, А=а± Д.
2°. Относительная погрешность. Под относительной погреш-
ностью (относительной ошибкой) приближенного числа а, заменяющего точ-
ное число А (А > 0), понимается отношение абсолютной погрешности числа а
к точному числу Л. Число б, удовлетворяющее неравенству
| Л Jfl| <д,	(2)
называется предельной относительной погрешностью приближенного числа а.
Так как на практике А^а, то за предельную относительную погрешность
Б А
часто принимают число о = — .
3°. Число верных десятичных знаков. Говорят, что положи-
тельное приближенное число а, записанное в виде десятичного разложения,
имеет п верных десятичных знаков (цифр) в узком смысле, если абсолютная
погрешность этого числа не превышает единицы n-го разряда. В этом слу-
чае при п > 1 за предельную относительную
число
погрешность можно принять
где k — первая значащая цифра числа а. Обратно, если известно, что
1	( 1 V”1
;—тт	, то число а имеет п верных десятичных знаков
2 (я + 1) \ Ю/
в узком смысле. В частности, число а заведомо имеет п верных знаков в уз-
.	1 / 1 V
ком смысле, если * ^“2 ( уд ) •
Если абсолютная погрешность приближенного числа а не превышает еди-
ницы последнего разряда (таковы, например, числа, возникшие при измерении
с точностью до соответствующей единицы), то говорят, что все десятичные
знаки этого приближенного числа верные в широком смысле. При наличии
§ 1]	ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ	351
большего числа значащих цифр в приближенном числе последнее, если оно
является окончательным результатом вычислений, обычно округляют так, что-
бы все оставшиеся цифры были верными в узком или широком смысле.
В дальнейшем мы будем предполагать, что в записи исходных данных все
цифры верные (если не оговорено противное) в узком смысле. Что касается
результатов промежуточных вычислений, то они могут содержать одну-две
запасные цифры.
Заметим, что примеры этого параграфа, как правило, представляют собой
результат окончательных вычислений, и поэтому ответы к ним даются при-
ближенными числами, содержащими лишь верные десятичные знаки.
В дальнейших вводных статьях приводятся лишь краткие указания; за под-
робностями следует обращаться к литературе (например, Дж. Скарборо,
Численные методы математического анализа, ГТТИ, М,—Л., 1934).
4°. Сложение и вычитание приближенных чисел. Пре-
дельная абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких чисел
равна сумме предельных абсолютных погрешностей этих чисел. Поэтому,
чтобы иметь в сумме небольшого количества приближенных чисел, все деся-
тичные знаки которых верны, лишь верные цифры (по меньшей мере в широ-
ком смысле), следует подравнять все слагаемые по образцу того слагаемого,
десятичная запись которого обрывается ранее других, сохраняя в каждом из
них запасной знак. Затем сложить полученные числа, как точные и округ-
лить сумму на один знак.
Если приходится складывать неокругленные приближенные числа, то их
следует округлить, сохраняя в каждом из слагаемых один-два запасных знака,
а затем руководствоваться приведенным выше правилом сложения, удержи-
вая соответствующие лишние знаки в сумме до конца выкладок.
Пример 1. 215,21 + 14,182 + 21,4 = 215,2 (1) + 14,1 (8) + 21,4 = 250,8.
Относительная погрешность суммы положительных слагаемых не превышает
наибольшей из относительных погрешностей этих слагаемых.
Относительная погрешность разности не поддается простому учету. Осо-
бенно неблагоприятна в этом смысле разность двух близких чисел.
Пример 2. При вычитании приближенных чисел 6,135 и 6,131, с четырьмя
верными десятичными знаками, получаем разность 0,004. Предельная относи-
4-0,001 +±0,001	,
тельная погрешность ее равна о =-----0004------=	= 9,25; следова-
тельно, ни один знак разности не является достоверным. Поэтому следует
по возможности избегать вычитания близких между собой приближенных
чисел, преобразуя, в случае надобности, данное выражение так, чтобы эта
нежелательная операция отсутствовала.
5°. Умножение и деление приближенных чисел. Предель-
ная относительная погрешность произведения и частного приближенных чисел
равна сумме предельных относительных погрешностей этих чисел. Исходя из
этого и применяя правило числа верных знаков (3°), мы сохраняем в ответе
лишь определенное количество знаков.
Пример 3. Произведение приближенных чисел 25,3*4,12 = 104,236.
Предполагая, что все знаки сомножителей верные, получаем, что пре-
дельная относительная погрешность произведения
6 = ^20,01+^0,01 ^0,003.
352
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
Отсюда число верных знаков произведения равно трем и результат, если он
является окончательным, следует писать так: 25,3*4,12=104 или точнее
25,3-4,12=104,2 ±0,3.
6°. Возведение в степень и извлечение корня из при-
ближенных чисел. Предельная относительная погрешность m-й сте-
пени приближенного числа а равна /w-кратной предельной относительной
погрешности этого числа.
Предельная относительная погрешность корня /n-й степени из прибли-
женного числа а составляет — -ю часть предельной относительной погреш-
ности числа а.
7°. Вычисление погрешности результата различных
действий над приближенными числами. Если Аар . ..,Аап —•
предельные абсолютные погрешности приближенных чисел alt ..., ani то
предельная абсолютная погрешность AS результата
S = / (Oj, •.., ап)
приближенно может быть оценена по формуле
д5Н -^\да«+•••+1^1
Предельная относительная погрешность S тогда равна
Пример 4. Вычислить S = 1п (10,3-|-У 4,4); приближенные числа 10,3
и 4,4 верны в написанных знаках.
Решение. Подсчитаем сначала предельную абсолютную погрешность AS
в общем виде: S = ln (а+ УТ), AS =------—7= (+	Имеем Аа =
а + У b \	2 У Ь J
= A5^s~; 1^4,4 = 2,0976.мы оставляем 2,1, так как относительная по-
л 1 1 1
грешность приближенного числа У 4,4 равна	= gg ; абсолютная по-
грешность тогда равна ^2	за десятые доли можно поручиться.
oU 40
Следовательно,
до_ 1	( 1 . 1	1 \	1 fir М— 13 -ones
10,3 + 2,1 \ 20	’ 20?2Д J ~ Т2?4"20 к 1	4^> ~ 2604	’
Значит, сотые доли будут верны.
Теперь ведем вычисления с одним запасным знаком:
1g (10,3 4- /44) 1g 12,4 = 1,093; In (10,3 + /4Л)	1,093-2,303 = 2,517.
Получаем ответ: 2,52.
8°. Установление допустимых погрешностей прибли-
женных чисел при заданной погрешности результата
действий над ними. Применяя формулы пункта 7 при заданных нам
величинах AS или 6S, считая при этом равными друг другу все частные диф-
,	I df I А	I д/ I
ференциалы	или величины -ч2— тн-, мы вычисляем допустимые
1^1	I дак | | /1
§ 1]	ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ	853
абсолютные погрешности Дап ..., Да„, ... приближенных чисел ах> ...»
......входящих в действия (принцип равных влияний).
Следует отметить, что иногда при подсчете допустимых погрешностей
аргументов функции невыгодно пользоваться принципом равных влияний, так
как последний может предъявить практически невыполнимые требования.
В этих случаях рекомендуется разумно перераспределить погрешности, если
это возможно, с таким расчетом, чтобы суммарная погрешность не превы-
шала заданной величины. Таким образом, поставленная задача, строго говоря,
неопределенна.
Пример 5. Объем «цилиндрического отрезка», т. е. тела, отсеченного
от кругового цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания,
равный 27?, под углом а к основанию, вычисляется по формуле У==-^- 7?3 tg а.
С какой точностью следует измерять радиус 7? & 60 см и угол наклона а,
чтобы объем цилиндрического отрезка был известен с точностью до 1%?
Решение. Если ДУ, Д7? и Да—предельные абсолютные погрешности
величин V, 7? и а, то предельная относительная погрешность вычисляемого
объема V есть
ДУ_ ЗД7?	2Да	1
V 7? ‘sin 2а	100*
„ ЗА/? 1 2Да 1	~
Полагаем	И 7ш2Т<200- °ТСВДа
А п R 60 СМ ,
AJ?<600 ® 600 — мм'
радиана ^9'.
Итак, мы обеспечим требуемую точность ответа в 1%, если будем изме-
рять радиус с точностью до 1 мм, а угол наклона а с точностью до 9'.
3108.	В результате измерения получены верные в широком
смысле в написанных знаках приближенные числа:
а) 12°07'14"; б) 38,5 см; в) 62,215 кг.
Вычислить их абсолютные и относительные погрешности.
3109.	Вычислить абсолютные и относительные погрешности при-
ближенных чисел, верных в узком смысле в написанных знаках:
а) 241,7; б) 0,035; в) 3,14.
3110.	Определить число верных знаков*) и дать соответствую-
щую запись приближенных чисел:
а)	48 361 при точности в 1°/0; в) 592,8 при точности в 2°/0.
б)	14,9360 при точности в 1°/0;
3111. Произвести сложение приближенных чисел, верных в на-
писанных знаках:
а) 25,3864-0,494-3,104-0,5; в) 38,14-2,04-3,124.
б) 1,2.10’4-41,724-0,09;
*) Верные знаки понимаются в узком смысле.
12 Г. С, Бараненков и др.
354	ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ	[гл. X
3112. Произвести вычитание приближенных чисел, верных в напи-
санных знаках:
а) 148,1 —63,871; б) 29,72— 11,25; в) 34,22 — 34,21.
3113*. Вычислить разность площадей двух квадратов, стороны
которых по измерению равны 15,28 см и 15,22 см (с точностью
до 0,05 мм).
3114.	Вычислить произведение приближенных чисел, верных в на-
писанных знаках:
а) 3,49-8,6; б) 25,1-1,743; в) 0,02-16,5,
Указать возможные границы результатов.
3115.	Стороны прямоугольника равны 4,02 м и 4,96 м (с точ-
ностью до 1 см). Вычислить площадь прямоугольника.
3116.	Вычислить частное приближенных чисел, верных в на-
писанных знаках:
а) 5,684:5,032; б) 0,144:1,2; в) 2,16:4.
3117.	Катеты прямоугольного треугольника равны 12,10 см
и 25,21 см (с точностью до 0,01 см). Вычислить тангенс угла,
противолежащего первому катету.
3118.	Вычислить указанные степени приближенных чисел
(основания степеней верны в написанных знаках):
а) 0,41582; б) 65,23; в) 1,52.
3119.	Сторона квадрата равна 45,3 см (с точностью до 1 мм).
Найти площадь квадрата.
3120.	Вычислить значения корней (подкоренные числа верны
в написанных знаках):	____
a) J/2JT5; б) ^/65^; в) /81,1.
3121.	Радиусы оснований и образующая усеченного конуса равны
/?=23,64 см±0,0\ см\ г== 17,31 cjf + 0,01 см\ 1= 10,21 см-А^
4-0,01 см\ число эт = 3»14. Вычислить по этим данным полную
поверхность усеченного конуса. Оценить абсолютную и относитель-
ную погрешности результата.
3122.	Гипотенуза прямоугольного треугольника равна
15,4 см-4-0,1 см\ один из катетов равен 6,8 см4-0,1 см. Как
точно могут быть определены по этим данным второй катет и при-
лежащий к нему острый угол? Найти их значения.
3123.	Вычислить удельный вес алюминия, если алюминиевый
цилиндр диаметром 2 см и высотой 11 см весит 93,4 г. Относитель-
ная погрешность измерения длин равна 0,01, а относительная погреш-
ность взвешивания равна 0,001.
3124.	Вычислить ток, если электродвижущая сила равна
221 вольт	вольт, а сопротивление равно 809 ол 4- 1 ом,
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
855
§ 2]
3125.	Период колебания маятника длины I равен
Т=2Я/1,
где g—ускорение силы тяжести. С какой точностью следует изме-
рить длину маятника, период колебаний которого близок к 2 сек.
чтобы получить период его колебаний с относительной погрешностью
в О,5°/о? Как точно должны быть взяты числа л и g?
3126.	Требуется измерить с точностью в 1°/0 площадь боко-
вой поверхности усеченного конуса, радиусы оснований которого
2 м и 1 м, а образующая 5 м (приближенно). С какой точностью
следует измерить радиусы и образующую и со сколькими знаками
следует взять число л?
3127.	Для определения модуля Юнга по прогибу стержня прямо-
угольного сечения применяется формула
Г — 4 ' d3bs ’
где I—длина стержня, b и d — основание и высота поперечного се-
чения стержня, 5—стрела прогиба, Р—нагрузка. С какой точностью
следует измерить длину I и стрелу 5, чтобы погрешность Е не пре-
вышала 5,5°/0 при условии, что Р известна с точностью до О,1°/о,
величины d и b известны с точностью до 1°/0, /^50 см, s^2,5 см2
§ 2. Интерполирование функций
1°. Интерполяционная формула Ньютона. Пусть хс,
хи •••» хп — табличные значения аргумента, разность которых h=kxt
(Kx[ = Xi+1 — х{\ i = 0,1.n — 1) постоянна (шаг таблицы) nyQ, ylt . ..,уп —
соответствующие значения функции у. Тогда значение функции у для проме-
жуточного значения аргумента х приближенно дается интерполяционной
формулой Ньютона
у = + д-Ау0 + 9 ~ ° АЧ + • • • + ^(<? ~ °' 'le ° АЧ. (О
где q = X-~*‘ и ку^у^у^, &2у0 = &уг — &у^ ...—последовательные
конечные разности функции у. При x = Xj (t = 0, 1, ...» и) полином (1) при-
нимает соответственно табличные значения У[ (Z = 0, 1, ..., п). Как частные
случаи формулы Ньютона получаем: при п = 1 — линейное интерполирование-,
при п = 2 — квадратичное интерполирование. Для удобства пользования
формулой Ньютона рекомендуется предварительно составлять таблицу конеч-
ных разностей.
Если у = f (х) — многочлен л-й степени, то
= const и A”+1yt- = 0
и, следовательно, формула (1) является точной.
12*
356
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
В общем случае, если f (х) имеет непрерывную производную f(rt+n(x) на
отрезке [а, 6], включающем точки х0, xv хп и х, то погрешность фор-
мулы (1) равна
Rn (х) = у - £	+ O д =
Z—О
=	(2)
где 5 — некоторое промежуточное значение между jq (i = 0, 1, ..., п) и х.
На практике пользуются более удобной приближенной формулой
\п+'и
Rn W (Т+щ q{q “ °' ‘ '(q ~ п)‘
Если число п можно взять любым, то его следует выбирать так, чтобы
разность Д"+1#о^О в пределах данной точности; иными словами, разности
Д^о Должны быть постоянны в заданных десятичных разрядах.
Пример 1. Найти sin 26° 15', пользуясь табличными данными
sin 26° = 0,43837, sin 27° = 0,45399, sin 28° = 0,46947.
Решение. Составляем таблицу
i	Xi	У1		Д’У/
0	26°	0,43837	1562	- 14
1	27°	0,45399	1548	
2	28°	0,46947		
q г.	26° 15' —26°	1
Здесь Л = 60, q —-------= -^.
Применяя формулу (1), используя первую горизонтальную строку таб-
лицы, имеем:
1/1-Л
1	4 \ 4 J
sin26° 15'= 0,43837 + —0,01562 +	. (- 0,00014) = 0,44229.
Оценим погрешность Р2. Используя формулу (2) и учитывая, что если
у = sinx, то | у<п> |«С 1, будем иметь:
|»	4 U	Г- 7	11
|Кг1^	31	\ 180) —128 57,33*	4	'
Таким образом, все приведенные знаки sin 26° 15х — верные.
С помощью формулы Ньютона можно также по заданному промежуточ-
ному значению функции у находить соответствующее значение аргумента х
(обратное интерполирование). Для этого сначала определяем соответствую-
щее значение q методом последовательных приближений, полагая:
4 ЬУЛ
§ 2]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
357

п!
и
^>-1).дч	.
4 ~д 2! д«/о •••
(i = 0, 1, 2,
За q принимаем общее значение (с заданной точностью!) двух последователь-
ных приближений qw = q<m + l\ Отсюда х = х0-{- q-h.
Пример 2. Пользуясь таблицей
X	г/ = sh х	д</	
2,2	4,457	1,009	0,220
2,4	5,466	1,229	
2,6	6,695		
приближенно вычислить корень уравнения shx = 5.
Решение. Принимая у0 = 4,457, имеем
^>=1=М57 = 01543 =
4	1,009	1,009	’	’
। 9W(1-<?W) . ДЧ =0 5з8 , 0,538-0,462 0,220
4	4	'	2 Д% ’ т
2
1,009
= 0,538+0,027 = 0,565;
9<« = 0,538 + О^ббб^МЗб , 0/220 _ 0 538	0,02? _ 0565<
Z	I,ммУ
Таким образом, можно принять
х = 2,2+ 0,565-0,2 = 2,2+ 0,113 = 2,313.
2°. Интерполяционная формула Лагранжа. В общем слу-
чае полином степени п, принимающий при % = %/ заданные значения
yi(i = Qi 1,	и), дается интерполяционной формулой Лагранжа
<х — х,) (х — хг).  .(х — хп) (х — х0)(х — х2)...(х — хп)
(х0 — Xi) (х„ — х2).. .(х„ — хп) у° — х0) (х, — х2)...(х, — х„)у' ‘
1_ (X - Xq) (X — X,). . ,(Х - Xk_t) (X - Xft + ,).  .(х - хп)	,
(Хд Хо) (X/f Хг), . . (xk X^_j) (Х^ Хд + j) . . . (Xfy xn)
I (X—X0)(X —X;)...(x —Xn_J
(Xn XG) (Xn X2). . . (Xn Xn _ x) n
3128. Дана таблица значений величин х и у.
X	1	2	3	4	5	6
У	3	10	15	12	9	5
Составить таблицу конечных разностей функции у.
3129. Составить таблицу разностей функции у = х* — 5х2 х — 1
для значений х=1, 3, 5, 7, 9, 11. Убедиться в том, что все ко-
нечные разности 3-го порядка равны между собой.
858
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
3130*. Используя постоянство разностей 4-го порядка, составить
таблицу разностей функции j=x4—Юх’Ц-2№Зх для целых
значений х, заключенных в промежутке l^x^lO.
3131. Дана таблица
1g 1 = 0,000,
lg2 = 0,301,
lg 3 = 0,477,
lg 4 = 0,602,
lg 5 = 0,699.
линейного
Вычислить с помощью
lg2,5, lg 3,1 и lg4,6.
3132. Дана таблица
sin 10° = 0,1736,
sin 11° = 0,1908,
sin 12° = 0,2079,
интерполирования числа: lgl,7,
sin 13° = 0,2250,
sin 14° = 0,2419,
sin 15°= 0,2588.
Уплотнить таблицу, вычислив по формуле Ньютона (при п = 2) зна-
чения синуса через полградуса.
3133. Составить интерполирующий многочлен Ньютона для функ-
ции, заданной таблицей
X	0	1	2	3	4
У	1	4	15	40	85
3134*. Составить интерполирующий многочлен Ньютона для функ-
ции, заданной таблицей
X	2	4	6	8	10
У	3	11	27	50	83
Найти у при х = 5,5. При каком х величина j=20?
3135. Функция задана таблицей
X	— 2	1	2	4
У	25	— 8	— 15	— 23
Составить интерполирующий многочлен Лагранжа и найти значение
у при х = 0.
§ 3]	ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ	359
3136. Из опыта найдены величины укорочения пружины (х мм)
в зависимости от нагрузки (Р к Г) на эту пружину:
X
49
10	15	20	25
105 172 253 352
30	35
473 619
40
793
5
Найти нагрузку, дающую укорочение пружины на 14 мм.
3137. Дана таблица величин х и у
X	0	1	3	4	5
У	1	— 3	25	129	381
Вычислить значения у для х = 0,5 и для х = 2: а) с помощью ли-
нейного' интерполирования; б) по формуле Лагранжа.
§ 3. Вычисление действительных корней уравнений
1°. Установление начальных приближений корней.
Приближенное нахождение корней данного уравнения
/(х) = о	(1)
складывается из двух этапов: 1) отделения корней, т. е. установления про-
межутков, по возможности тесных, внутри которых находится один и только
один корень уравнения (1); 2) вычисления корней с заданной степенью
точности.
Если функция / (х) определена и непрерывна на отрезке [а, д] и
f (a)-f (b) < 0, то на отрезке [а, д] находится по меньшей мере один корень £
уравнения (1). Этот корень будет заведомо единственным, если f' (х) > 0 или
f (х) < 0 при а < х < Ь.
Для приближенного нахождения корня £ рекомендуется на миллиметро-
вой бумаге построить график функции y = f(x). Абсциссы точек пересечения
графика с осью ОХ и являются корнями уравнения /(х) = 0. Иногда удобно
данное уравнение заменить равносильным ему уравнением ф(х) = ф(х).
Тогда корни уравнения находятся как абсциссы точек пересечения графиков
у = ф(х) и у = ф(х).
2°. Правило пропорциональных частей (метод хорд).
Если на отрезке [а, д] находится единственный корень g уравнения /(х) — 0,
где функция /(х) непрерывна на отрезке [а, Ь]9 то, заменив кривую у — f (х)
хордой, проходящей через точки (а; / (а)) и (b\ f (6)), получим первое при-
ближение корня
ci = а ~ / (b)- / (а)(6 — о)'
Для получения второго приближения q формулу (2) применяем к тому из
отрезков [at q] или (q, я], на концах которого функция /(х) имеет значе-
360
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
ния противоположных знаков. Так же строятся и следующие приближения.
Последовательность чисел сл(п=1, 2, ...) сходится к корню £, т. е.
lim сп — ^.
П-+<Х)
Вычисления приближений cif с2, ..., вообще говоря, следует производить
до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые нами в ответе деся-
тичные знаки (в соответствии с заданной степенью точности!); для промежу-
точных выкладок надлежит брать один-два запасных знака. Это замечание
имеет общий характер.
Если функция f(x) имеет отличную от нуля непрерывную производную
/' (х) на отрезке [а, д], то для оценки абсолютной погрешности приближен-
ного корня сп можно воспользоваться формулой
г
где р,= min \f (х) |.
а^х^Ь
3°. Способ Ньютона (метод касательных). Если f' (х) # 0
и /"(х)^0 при а^х^д, причем f (a) f (b) < 0, / (а)/"(«)> 0, то последова-
тельные приближения хп(п — 0, 1, 2, ...) корня | уравнения f(x) = Q вы-
числяются по формулам
х9 = а, хп = х„_1 — ^^ (п=1, 2, ...).	(3)
При данных предположениях последовательность хп (п= 1, 2, ...) —мо-
нотонная, и
lim хп = g.
Z7->OO
Для оценки погрешностей можно воспользоваться формулой
где
lx„-g|
ц= min |f (х)|.
а^х^Ь
Практически удобнее пользоваться более простыми формулами
где
х0 — а, хп — Хп-i af(xn-i) (п—1> 2, ...),	(3 )
1
а = дающими примерно ту же точность, что и
Если f(b) f" (b)>0, то в формулах (3) и (3') следует
4°. Способ итерации. Пусть данное уравнение
формулы (3).
положить х0 = Ь.
приведено к виду
х = ф(х),
(4)
гДе I ф* (х) I < 1 (г — постоянная) при а^х^Ь. Исходя из начального
значения х0, принадлежащего отрезку [а, 6], построим последовательность
чисел хр х2, ... по следующему закону:
*1 = ф (Хо)> ^2=ф(А:1)» •••» ^ = ф(Л:П-1)» •••	(5)
Если а^хп^Ь (и=1, 2, ...), то предел
5 = lim хл
л->ао
является единственным корнем уравнения (4) на отрезке [а, &], т. е.
хл суть последовательные приближения корня £.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ
361
§ 3]
Оценка абсолютной погрешности n-го приближения хп дается формулой
Поэтому, если хп и xn+i совпадают с точностью до е, то предельная абсо-
Для преобразования уравнения f(x) = 0 к виду (4) заменяем последнее
эквивалентным уравнением
х = х — kf (х),
где число 1/0 выбирается так, чтобы функция ~ [х — 1/;(х)] = 1 — If (х)
была малой по абсолютной величине в окрестности точки х0 (например,
можно положить 1 — If (х0) = 0).
Пример 1. Привести уравнение 2х — In х — 4 = 0 при начальном при-
ближении корня х0 = 2,5 к виду (4).
Решение. Здесь f (х) = 2х — In х — 4; f (х) = 2---'.Пишем эквива-
лентное уравнение х = х — 1 (2х — In х — 4) и в качестве одного из под-
ходящих значений 1 берем 0,5 — число, близкое к корню уравнения
1—xfa —— М =0, т. е. к Д^О.б.
\ X / |х=2,5	1 ,6
Исходное уравнение приводится к виду
х = х — 0,5 (2х — In х — 4)
или
х = 2-|-~ 1пх.
Пример 2. Вычислить с точностью до 0,01 корень £ предыдущего
уравнения, заключенный между 2 и 3.
Вычисление корня по способу итерации. Используем ре-
зультат примера 1, полагая х0 = 2,5. Вычисление ведем по формулам (5)
с одним запасным знаком.
xt — 2 4- J In 2,5^=2,458,
хг = 24- у In 2,458	2,450,
х, = 2 + j In 2,450 = 2,448,
xt= 2 + y In 2,448 =5=2,448.
Итак, g^2,45 (процесс дальнейших приближений можно прекратить»
так как третий десятичный знак (тысячные) закрепился).
Приведем оценку погрешности. Здесь
<p(x) = 24-iinx и ф'(х) = ^.
362
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
Считая, что все приближения хп лежат на отрезке [2,4; 2,5], получим:
r = max | <р' (х) | = £-|-£ = 0,21.
Следовательно, предельная абсолютная погрешность приближения х3 в силу
приведенного выше замечания есть
Д —= 0,0012 = 0,001.
Таким образом, точный корень £ уравнения содержится в границах
2,447 < £ < 2,449;
можно принять £=^ 2,45, причем все знаки этого приближенного числа будут
верными в узком смысле.
Вычисление корня по способу Н ь ю т о н а. Здесь
t(x) = 2x-lnx-4,	f(x) = 2-l, Г(х) = 1.
На отрезке 2 х sC 3 имеем: f (х) > 0 и f" (х) > 0; f (2) f (3) < 0; f (3) f" (3) > 0.
Следовательно, условия пункта 3° при х0 = 3 выполнены.
Принимаем
«=(2-4-)” = °.6.
Вычисления ведем по формулам (3') с двумя запасными знаками
хх = 3 - 0,6 (2• 3 - In 3 - 4) = 2,4592;
х2 = 2,4592 — 0,6 (2-2,4592 — In 2,4592 — 4) = 2,4481;
х8 = 2,4481 - 0,6(2-2,4481 — In 2,4481 — 4) ==2,4477;
х4 = 2,4477 - 0,6 (2-2,4477 - In 2,4477 - 4) = 2,4475.
На этом этапе вычисления прекращаем, так как число тысячных больше
не изменяется. Даем ответ: корень £ = 2,45. Оценку погрешности мы опу-
скаем.
5°. Случай системы двух уравнений. Пусть требуется вы-
числить, с заданной степенью точности, действительные корни системы двух
уравнений с двумя неизвестными
J f,(x, у)=о,	/6)
|ф(х,у)=0,
и пусть имеется начальное приближение одного из решений (£, t|) этой си-
стемы х = х0, у = уо.
Это начальное приближение можно получить, например, графически,
построив (в одной и той же системе декартовых координат) кривые f (х, у) = 0
и <р(х, //) = 0 и определив координаты точек пересечения этих кривых.
а)	Способ Ньютона. Предположим, что функциональный опреде-
литель
, д(А Ф)
d(xt у)
не обращается в нуль вблизи начального приближения х = х0, у = у0. Тогда,
по способу Ньютона, первое приближение решения системы (6) имеет вид
Xj = х0 -j- «0, У1 = Ус + Ро» гДе Ро ”” решение системы двух линейных
уравнений
( t(*«. У<,)Ч-«Х(-«»> уй) +	(х6> уо) = о,
\ ф (хй, УоУ + ^'х^ ^Ч-РоФу^о- У») = °«
§ 3]	ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ	363
Второе приближение получается тем же приемом:
x»=xi4“®i> У« = У1 + Р1.
где ар Pj — решение системы линейных уравнений
( £(*i, У1)+<Х11'х(х1> У1) + ₽4(*1> У1) = 0,
| ф(*1> yi) + ai<P*(xi> ^1) +Р1Фу (xi. У1) —О-
Аналогично получаются третье и последующие приближения.
б)	Способ итерации. К решению системы уравнений (6) можно при-
менить и способ итерации, преобразовав эту систему к эквивалентному виду
J x = F (х, у),	т
I у — ф(х, у)	(7>
и предполагая, что
|^(Х, У)| + |ф;(х,	|^(Х, у)| + |ф;(х, г/)|<г<1 (8)
в некоторой двумерной окрестности U начального приближения (х0, у0), со-
держащей и точное решение (£, т]) системы.
Последовательность приближений (х„, уп) (л = 1, 2, ...), сходящаяся н
решению системы (7), или, что то же, к решению системы (6), строится по
следующему закону:
= F (х0, £/0),	= Ф (х0, у0),
x2 = F(xlt yx)t уъ — Ф(хи yj,
*! = F (x2, y2), yz = Ф (x2, y2),
Если все (x„, yn) принадлежат U, to lim xn = g, lim yn = r\.
n->oo	л->оп
Для преобразования системы уравнений (6) к виду (7) с соблюдением
условия (8) можно рекомендовать такой прием. Рассмотрим систему уравнений
af(x, У) + Рф(х, у) = 0,
У1(х, у)Ц-дф(х, у) = 0,
эквивалентную системе (6) при условии, что
i:si
# 0. Перепишем ее так:
х = х + аЦх, у) + Рф(х, y) = F (х, у),
y = y + yl(x, у) + бф(х, у) = Ф(х, у).
Выберем параметры a, Р, у, б такими, чтобы частные производные функций
F (х, у) и Ф(х, у) были равны или близки к нулю при начальном приближе-
нии, т. е. находим a, (J, у, д как приближенные решения системы уравнений
I +	(х0, Уо) + РФ* (х0> у„) = О,
а/у(х0, У») + Рфу (х0, У„)=0,
ytx (*<>• Уд + дФх (*о- Уд = °>
, 1 + yf'y (х0. Уо) + (хо> Уд = °-
При таком выборе параметров a, Р, у, б, в предположении, что частные
производные функций f (х, у) и <р (х, у) изменяются не очень быстро в
окрестности начального приближения (х0, у0), условие (8) будет соблюдено.
364	ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ	[ГЛ. X
Пример 3. Привести систему уравнений
J х24~У2 — 1 =0,
( х8 — х = 0
при начальном приближении корня х0=Ю,8, i/o = O,55 к виду (7).
Решение. Здесь f (х, r/) = x2 + yz — 1, ф (х, у) = х8 — у\ f/(x0, у0) == 1,6,
(*«> У<) = 1.1; Фх (*0> Уо) = 1 >92, <Ру (х„, у„) = — 1,
Записываем систему, эквивалентную исходной,
( а,(хг + у*—Г) + Р(хг-у) = 0, / 1а, 01	\
| Y(x*4-^-i)4-d(xs-!/)=o Uy. «I	J
в виде
x = x-f-a(x24-y2— 1)4-Р(х* — у),
у=у+у(**+уг- 1)~Н (Xs-У)-
Выбираем в качестве подходящих числовых значений а, 0, у и д решение
системы уравнений
14-1,6a 4-1,920 = 0,
1,1a —0 = 0,
1,6у 4-1,926 = 0,
v 14- 1,1у - б=о,
т. е. полагаем а=^ — 0,3, f — 0,3,	— 0,5, 6^0,4.
Тогда система уравнений
J х = х — 0,3 (х2 + */2 — 1) — 0,3 (х8 — у),
] у = у-0,5 (х2 + уг^ 1) 4-0,4 (Xе — г/),
эквивалентная исходной, имеет вид (7), причем в достаточно малой окрестно-
сти точки (х0; у0) условие (8) будет выполнено.
Методом проб отделить действительные корни уравнений и с по-
мощью правила пропорциональных частей вычислить их с точностью
до 0,01.
3138. х9 — ат —1 = 0.
3139. х4+0,5х—1,55 = 0.
3140. х9 — 4х— 1=0.
Исходя из графически найденных начальных приближений, спосо-
бом Ньютона вычислить с точностью до 0,01 действительные корни
уравнений:
3141. х8 — 2х — 5 = 0.	3143. 2* = 4х.
3142. 2х — 1пх —4 = 0.	3144. lgx = —.
ь X
Используя найденные графическим путем начальные приближения,
способом итерации вычислить с точностью до 0,01 действительные
корни уравнений:
3145. х9 — 5х-р"0,1=0.	3147. Xs — лт^-2 = 0.
3146. 4х = cos х.
§ 4]	ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
36S
Найти графически начальные приближения и вычислить с точно-
стью до 0,01 действительные корни уравнений и систем:
3148.	№ — ЗхЦ- 1 = 0.	3154. х*-|-2х —6 = 0.
3149.	х8 — 2х2-|-Зх — 5 = 0.	3155. ех-]-е-'х— 4 = 0.
3150.	х44-х2 —2х — 2 = 0.	/х2+/ — 1=0,
3151.	x.lnx—14 = 0.	)х8— у = 0,
3152.	— 0,5 = 0.	qi-7	— 4 = 0,
3153.	4х — 7sinx = 0.	)j_lgA:—1=0.
3158. Вычислить с точностью до 0,001 наименьший положитель-
ный корень уравнения tgx = x.
3159. Вычислить с точностью до 0,0001 корни уравнениях*1Ьх=1.
§ 4.	Численное интегрирование функций
1°. Формула трапеций. Для приближенного вычисления интеграла
ь
$ f. (х) dx
а
(f (х) — непрерывная на [а, д] функция) делим промежуток интегрирования
[а, 6] на п равных частей и выбираем шаг вычислений h — а. Пусть
Xj — x0-[-ih (х0 = а, xn = b, / = 0, 1, 2, ...» п) — абсциссы точек деления и
yi = f (xz) — соответствующие значения подынтегральной функции у = 1 (х).
Тогда по формуле трапеций имеем:
ь
^f(x}dx^h (У<,'^У'* + У1 + Уг+-„+'/П-1)	(1)
а
с абсолютной погрешностью
Л2
где М2 = max |(х) | при а^х^Ь.
Для достижения заданной точности е при вычислении интеграла шаг
вычислений h определяется из неравенства
т. е. h должен иметь порядок У'е. Полученное значение h округляется в
сторону уменьшения так, чтобы
было целым числом, и это дает нам число делений п. Установив h и п по
формуле (1), вычисляем интеграл, беря значения подынтегральной функции
с одним или двумя запасными десятичными знаками.
366
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
2°. Формула Симпсона (параболическая формула). Если
л —четное число, то в обозначениях 1° справедлива формула Симпсона
ь
^f(x)dx^-L [(у„ + уп) 4- 4(у, + yt +... + уп_,) +
+ 2(^2+^+ ••• +#И-1)] (3)
с абсолютной погрешностью
Л4
^<180(6-0)^	(4)
где М4 = тах | /IV (х) | при а<х^ Ь.
Для обеспечения заданной точности е при вычислении интеграла шаг
вычислений h определяется из неравенства
^(Ь-а)М^г,	(5)
т. е. шаг h имеет порядок р/е. Число h округляется в сторону уменьшения
. b — а .
так, чтобы п==—— было целым четным числом.
h
Замечание. Так как определение шага вычислений h и связанного с
ним числа п из неравенств (2) и (5), вообще говоря, затруднительно, то на
практике h определяют грубой прикидкой. Затем, получив результат, удваивают
число л, т. е. половинят шаг h. Если новый результат совпадает с прежним
в сохраняемых нами десятичных знаках, то вычисление заканчивается. В про-
тивном случае этот прием повторяют и т. д.
Для приближенного вычисления абсолютной погрешности R квадратурной
формулы Симпсона (3) можно также использовать принцип Рунге, согласно
которому	___
где V и V — результаты вычислений по формуле (3), соответственно с ша-
гом Ли //==2Л.	_
3160. Под действием переменной силы F, направленной вдоль
оси ОХ, материальная точка переместилась по оси ОХ из положения
х = 0 в положение х=4. Вычислить приближенно работу А силы F,
если дана таблица значений ее модуля Л:
X	0,0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0
F	1,50	0,75	0,50	0,75	1,50	2,75	4,50	6,75	10,00
Вычисление провести по формуле трапеций и по формуле Симпсона.
1
3161. Вычислить приближенно J (Зх*— 4x)dx по формуле тра-
о
пеций, полагая п= 10. Вычислить этот интеграл точно и найти абсо-
§ 4J
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
367
лютную и относительную погрешности результата. Установить верхнюю
границу Д абсолютной погрешности вычисления при л= 10, используя
формулу погрешности, приведенную в тексте.
3162. Вычислить с точностью до 10“4 по формуле Симпсона
принимая л=10. Установить верхнюю границу Д абсолют-
о
ной погрешности, используя формулу погрешности, приведенную в
тексте.
Вычислить с точностью до 0,01 следующие определенные интег-
ралы:
3163.	Р dx	3168.	2 P sin x , \	dx.
	111	*		
	J 1 +*		J x
	0		0
	1		1C
3164.	Р dx	3169.	P sin x . 1	dx.
			
	J 1 + хг'		J x
	0		0
	1		2
3165.	Р dx	3170.	P COS X J \	dx. J X
	J 1 + х* *		
	0		1
			те
	2		t
3166.	J xigxdx. i	3171.	CJ2^Ldx. J 1+* o
	2		1
3167.		3172.	J e~x* dx.
	1		0
3173. Вычислить с точностью до 0,01 несобственный интеграл
00
a dx	1
j	применив подстановку х = —. Проверить вычисление, при-
1
ь
Р dx
менив формулу Симпсона к интегралу \ .—т, где b выбрано так,
J 1 -г х
Р dx 1	1 л — 2
чтобы \ 7-;----5<С-7Г*Ю 2.
J I + х2 2
ь
3174. Плоская фигура, ограниченная полуволной синусоиды у=sinx
и осью CLY, вращается вокруг оси ОХ. Вычислить по формуле Симп-
сона с точностью до 0,01 объем тела вращения.
3175*. Вычислить по формуле Симпсона с точностью до 0,01 длину
дуги эллипса-р	= 1, расположенную в первой коорди-
натной четверти.
368
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
§ 5. Численное интегрирование обыкновенных
дифференциальных уравнений
1°. Метод последовательных приближений (метод Пи-
ik а р а). Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка
y'—f(x, у)	(1)
(Ътри начальном условии */ = #0 при х = х0.
Решение у(х) уравнения (1), удовлетворяющее заданному начальному
условию, вообще говоря, может быть представлено в виде
У(х)~ lim у/(х),	(2)
/ -> 00
где последовательные приближения у,(х) определяются по формулам
Уо(х) = УЛ,
X
У1(х)=Уо + р (х, у,_, (*)) dx
Хо
(i =0, 1, 2,
Если правая часть Цх, у) определена и непрерывна в окрестности
₽||х — Хо|<а. 1у —
и удовлетворяет в этой окрестности условию Липшица
I f (X, 1/1) — [ (*. Уг) |< L I у, - i/t|
(L — постоянная), то процесс последовательных приближений (2) заведомо
сходится в промежутке
I х — х01 < Л,
где
h = min fa,
R \ М )
и
Af = max \f(x, t/)|.
R
При этом погрешность
Rn = I У (х) Уп (x)l	Af L” - (п ।	,
если только
|х — х0]<Л.
Метод последовательных приближений (метод Пикара) с незначитель-
ными видоизменениями применим также к нормальным системам дифферен-
циальных уравнений. Что касается дифференциальных уравнений высших
порядков, то их можно записывать в виде систем дифференциальных урав-
нений.
§ 5]	ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ	369
2°. Метод Рунге — Кутта. Пусть требуется на данном промежутке
найти решение у(х) задачи (1) с заданной степенью точности е.
Для этого сначала выбираем h = — *° (шаг вычислений), деля отрезок
[х0, X] на п равных частей так, чтобы А4 <8. Точки деления xz-определяются
по формуле
Х/ = х04-/А	(Z = 0, 1, 2,
Соответствующие значения ^ = //(xz) искомой функции по методу Рунге —
Кутта последовательно вычисляются по формулам
A</z = -L ( *</> + 2Л’‘> + 2*<‘ > + <"),
где
х = 0, 1, 2, ..., п
и
*(/> = f(xltyi)h,
k^ — f (xz + y. yi + ^~)h,
k?=t(xi + ^. yi + -^-)h,	(3)
^=T(xt + h, Vi + k^h.
Метод Рунге — Кутта имеет порядок точности А4. Грубую оценку погреш-
ности метода Рунге — Кутта на данном промежутке [х0, X] можно получить,
исходя из принципа Рунге:
d___ I Угт Ут I
R~~	15
где п = 2/и, yim и Ут — результаты вычислений по схеме (3) с шагом А и шагом 2А.
Метод Рунге — Кутта применим также для решения системы дифферен-
циальных уравнений
/=/(*, У, г), г' = <р(х, у, г)	(4)
с заданными начальными условиями: у = у0, г = г0 при х = х0.
3°. Метод Милна. Для решения задачи (1) по методу Милна, исходя
из начальных данных у = у0 при х = х0, находим каким-нибудь способом по-
следовательные значения
У1=У(*г)> Уг = У(Х1)> Уг — У(хг)
искомой функции у(х) (например, можно воспользоваться разложением реше-
ния у(х) в ряд (гл. IX, § 17) или найти эти значения методом последователь-
ных приближений, или применить метод Рунге — Кутта и т. п.). Приближения
У1 и У/ для следующих значений у^ (1 = 4, 5, ..., п) последовательно нахо-
дятся по формулам
_	4А	\
У/ = ^/-44”'о’ (2/>_ а —	+ 2//-1),
» -	<4
370	ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ	[гл. X
где
fi = f(Xb У() и 7i = f(xit у ft.
Для контроля вычисляем величину
8/ = ^lPz-^b	(6)
Если 8/ не превосходит единицы последнего сохраняемого нами в ответе
десятичного разряда 10~от для у(х), то в качестве У; берем и переходим
к вычислению следующего значения у;+1, повторяя процесс. Если же 8/ > 10 “от,
то следует начать работу сначала, уменьшив шаг вычислений. Величина на-
чального шага приближенно определяется из неравенства Л4< 10“от.
Для случая решения системы (4) формулы Милна отдельно пишутся для
функций у(х) и г(х). Порядок вычислений остается прежним.
Пример 1. Дано дифференциальное уравнение у' =у — х с начальным
условием #(0) = 1,5. Вычислить с точностыо до 0,01 значение решения этого
уравнения при значении аргумента х= 1,5. Вычисления провести по комби-
нированному методу Рунге — Кутта и Милна.
Решение. Выбираем начальный шаг вычислений h из условия Л4 < 0,01.
Избегая сложной записи h, остановимся на h ==0,25. Тогда весь участок ин-
тегрирования от х = 0 до х= 1,5 разобьем на шесть равных частей, дли-
ной 0,25, с помощью точек (Z = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6); соответствующие зна-
чения решения у и производной у' обозначим через У; и у^
Первые три значения у (не считая начального) вычислим по методу
Рунге — Кутта (по формулам (3)); остальные три значения — у„ ys, у9 — по
методу Милна (по формулам (5)).
Значение ул будет, очевидно, ответом задачи.
Вычисления проведем с двумя запасными знаками по определенной схеме,
состоящей Из двух последовательных таблиц 1 и 2. В конце таблицы 2 мы
получаем ответ.
Вычисление значения у9. Здесь
f(x, У)— — x + 4f,xo = 0, #0 = 1,5,Л = 0,25.
Имеем
Ду„= l- <*<•> + 2Л<’> + 2ft<«> + й<°>) =
= 1.(0,3750 4-2-0,3906 4-2-0,3926 4-0,4106) = 0,3920;
О
k^ = f(xa, ya)h = i— 0 4-1,5000)0,25 = 0,3750;
f h	X
*<«> = Hx0 4-^-, y„4--i-j Л=(—0,125 4-1,5000 4-0,1875)0,25 = 0,3906;
f h	kw \
fe<°> = f I x0 4- У , у, 4—j h = (—0,125 4- 1,5000 4- 0,1953) 0,25 = 0,3926;
feW = I (x0 4- h, ya 4- й<0)) h = (— 0,25 4- 1,5000 4- 0,3926) 0,25 = 0,4106;
y1==y04-AyQ = 1,5000 4-0,3920 = 1,8920 (первые три знака в этом при-
ближенном числе гарантированы).
Аналогично вычисляются значения yt и у9. Результаты вычислений при-
ведены в таблице 1.
§ 5]
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
371
Таблица 1. Вычисление yt, уг, у, по методу Рунге — Кутта.
f(x, у) = — x-f-y; h = o,25
Зна- чение i		У1	у',3* у$		Л 1 2 ;	№ а
0	0	1,5000	1,5000	0,3750	1,5625	0,3906
1	0,25	1,8920	1,6420	0,4105	1,7223	0,4306
2	0,50	2,3243	1,8243	0,4561	1,9273	0,4818
3	0,75	2,8084	2,0584	0,5146	2,1907	0,5477
Зна- чение i	w \ yi+~2-)			е		У1+1
0	1,5703	0,3926	1,6426	0,4106	0,3920	1,8920
1	1,7323	0,4331	1,8251	0,4562	0,4323	2,3243
2	1,9402	0,4850	2,0593	0,5148	0,4841	2,8084
3	2,2073	0,5518	2,3602	0,5900	0,5506	3,3590
Вычисление значения у4. Имеем: f (х, у)=—х -j-y, ft=0,25, х4=1;
уо=1,5000,	у, = 1,8920,	у, = 2,3243,	у, = 2,8084;
у' = 1,5000,	у' = 1,6420,	у'= 1,8243,	у'= 2,0584.
Применяя формулы (5), находим:
4/i	,	,	,
У» = У о + -3 (Ч - Уг + 2у.) =
= 1,5000 4- ^25 (2.1,6420 - 1,8243 + 2-2,0584) = 3,3588;
О
у' = /(х4, у4) = — 1 +3,3588 = 2,3588;
У*=У»+4 (У* + 4^+^) =
О
= 2,3243 +	(2,3588 + 4'2,0584 + 1,8243) = 3,3590;
о
, _ |У<-PJ _ |3,3588 - 3,3590| _ 0,0002	. о 001-
е4—	29	—	29	— “гэ- 1	2 и,ии1’
следовательно, пересмотр шага вычислений не требуется.
Получаем i/4 = p4 = 3,3590 (первые три знака в этом приближении
гарантированы).
372
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
Аналогично производим вычисления значений у$ и ув. Результаты вычис-
лений даны в таблице 2.
Таким образом, окончательно имеем:
у (1,5) = 4,74.
4°. Метод Адамса. Для решения задачи (1) по методу Адамса, ис-
ходя из начальных данных y(xQ) — y9 мы находим каким-нибудь способом
следующие три значения искомой функции у(х):
yl = y(xl) = y(xa + h), yt=zy(xt) — y(xlt + 2h), у„ = у (х.) = у (хл + Зй)
(эти три значения можно получить, например, с помощью разложения у(х)
в степенной ряд (гл. IX, § 16), или найти их методом последовательных при-
ближений (п. 1°), или применяя метод Рунге — Кутта (п. 2°) и т. п.).
С помощью чисел х0,	х2, х8 и yQt уА, у2, у2 мы вычисляем величины
Я» Я и Яг* Яз> где
<7о = hy'o = hf (хо> Уо)> = hy’i = hf (xi, У1)'
Уг = hy'2 = hf (хг, y2), q, = hya = hf (xa, y3).
Составляем, далее, диагональную таблицу конечных разностей величины q\
X	У	&У = — У п + 1 Уп	У' = = f (х< У)	Я = =y'h	bq = 	 Яп + l	Яп	Д2д = = А<7п+1- А<?„	Д®7 = =Аг9п+1—Д2д„
хо	Уо	&Уо	f (XQ* Уо)	Яг			АЧ>
Х1	У1	&yt	f(xi. У1)	Ях	Д^1	Аг«!	Д’<7,
Х2	Уг	&Уг	fix» У г)	Яг		Д2чг	A’tfj
Х3	Уз	Ьу,	f(xi, У>)	Яз	д<7»	Дг<7,	
ХЛ	Уь	&У,	f (xt> У^	Яь	А 91		
Х3	Уз	&yt	f (xs, yt)	Яз			
Х3	Уг						
Метод Адамса заключается в продолжении диагональной таблицы раз-
ностей с помощью формулы Адамса
15	3
^Уп = 9п +	+	(7)
Так, используя числа qs, Д</2, &2qlt A3qQ, расположенные в таблице раз-
ностей по диагонали, мы с помощью формулы (7), полагая в ней л = 3,
15	3
вычисляем Д*/8 = +“2	A2*?1 + Найдя значение Д#„ мы вы-
числяем у* = у2 + Д^з- Зная же х4 и у„ мы вычисляем q* = hf (х4, г/4), вносим
у^ &у3 и д4 в таблицу разностей и пополняем затем ее коиечными разно-
стями Д</8, Д2д2, Д\Р расположенными вместе с д4 по новой диагонали, па-
раллельно прежней.
Затем, используя числа новой диагонали, мы с помощью формулы (8),
полагая в ней п = 4, вычисляем Д#4, у^ и q$ и получаем следующую диагональ:
сл
Таблица 2. Вычисление^, у&, у* по методу Милна, /(х, «/) =— х-{-у\ /г = 0,25.
(Курсивом обозначены входные данные)
Зна- чение i	*i	Vi	y'i=	У1 =	У,)	y'i=	У i = f(Xi> yt)	f	Пересмотр шага в/	У1	У;=	вычислений (сле- = f(X'	и )	дуя показаниям р 1	формулы (6))
0	0 1,	5000	1,5000 j | HI	1	li' 1	1'. 1
1	0,251,	8920	1,6420 1 1 III	1	1 Т 
2	0,502,.	3243	7,524? ИЦ | | |	i	
3	0,75 2,<	8084	2,0584	| И j	|	
					II II	II	1 1 । 1 1 ।	1 1 1 1
4	1,00		3,3588	2,3588	3,3590	=^7-10~5	3,3590	2,3590	не требуется
5	1,25		3,9947	2,7447	3,9950	10“5	3,9950	2,7450	не требуется
6	1,50		4,7402	3,2402	4,7406	=^1,4*10“5 |4 -7406|	не требуется
					Ответ:	у (1,5) = 4,74
ОО
со
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
374	ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ	[гл. X
qs,	С помощью этой диагонали мы вычисляем значение у^
искомого решения у(х) и т. д.
Формула Адамса (7) для вычисления \у исходит из предположения, что
третьи конечные разности А3^ являются постоянными. В соответствии с этим
величина h начального шага вычислений определяется из неравенства
Л4< 10”т (если мы желаем получить значение у(х) с точностью до 10"т).
В этом смысле формула Адамса (7) эквивалентна формулам Милна (5) и
формулам Рунге — Кутта (3).
Оценка погрешности для метода Адамса сложна и практически беспо-
лезна, так как в общем случае дает сильно завышенные результаты (см.,
например, Л. К. Коллатц, Численные методы решений дифференциальных
уравнений, гл. I, 4-8—4-9). На практике следят за ходом третьих конечных
разностей, выбирая шаг h столь малым, чтобы соседние разности А3д/ и
A3qz+1 отличались между собой не более чем на одну-две единицы заданного
разряда (не считая запасных знаков).
Для повышения точности результата формула Адамса может быть
пополнена членами, содержащими четвертые и высшие разности величины q.
При этом возрастает число первых значений функции у, нужных нам для на-
чального заполнения таблицы. Формулы Адамса повышенной точности мы не
будем здесь приводить.
Пример 2. Вычислить при х=1,5 с точностью до 0,01 по комбиниро-
ванному методу Рунге — Кутта и Адамса значение решения дифференциального
уравнения у'=у — х с начальным условием у (0) = 1,5 (см. пример 1).
Решение. Используем значения ух, yv ys, полученные нами при ре-
шении примера 1. Их вычисление приведено в таблице 1.
Последующие значения у^ yf, у9 мы вычисляем по методу Адамса (см.
таблицы 3 и 4).
Таблица 3. Основная таблица для вычисления	по методу Адамса.
f(x, у) = —х + у\ h = 0,25
(Курсивом обозначены входные данные)
1 Значение i |	*1	У[	Ду/	y'i= =f (Xi. У if	<7/ =	Д<7,	Д*<7<	ДЧ
0	0	1,5000		1,5000	0,3750	0,0355	0,0101	0,0028
1	0,25	1,8920		1,6420	0,4105	0,0456	0,0129	0,0037
2	0,50	2,3243		1,8243	0,4561	0,0585	0,0166	0,0047
3	0,75	2,8084	0,5504	2,0584	_ 0,5146	0,0751	0,0213	
4	1,00	3,3588	0,6356	2,3588	0,5897	0,0964		
5	1,25	3,9944	0,7450	2,7444	0,6861			
6	1,50	|4,7394|						
Ответ: 4,74
§ 5]	ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ	375
Таблица 4. Вспомогательная таблица для вычисления по методу Адамса.
1	S	ч
Qi А?,-.	АЧ-3-+ у А’<7,_,
Значение i	Qi	1 < -11м		оо] GO г*	А«/,-
3	0,5146	0,0293	0,0054	0,0011	0,5504
4	0,5897	0,0376	0,0069	0,0014	0,6356
5	0,6861	0,0482	0,0089	0,0018	0,7450
Значение у6 = 4,74 будет ответом задачи.
Для случая решения системы (4) формула Адамса (7) и схема вычислений,
показанная в таблице 3, применяются отдельно для обеих функций у(х)
и z(x).
Найти три последовательных приближения решений указанных
ниже дифференциальных уравнений и систем:
3176. у=х2+/; у(0) = 0.
3177. у' = х-\-у -\-z, z'=y— z; у(0)=1, z(0) —— 2.
3178. y" =—y; y(0) = 0, У(0)=1.
Методом Рунге—Кутта, полагая шаг 7z=O,2, вычислить прибли-
женно для указанных промежутков решения данных дифференциаль-
ных уравнений и систем:
3179. у’ = у — х; у(0)=1,5 (0<х<1).
3180.	у'= у — У; у(1)=1 (1<х<2).
3181.	y' = z-^-l, z'=y — х, у(0)=1, z (0) — 1 (O^x^l).
Применяя комбинированный метод Рунге — Кутта и Милна или
Рунге — Кутта и Адамса, вычислить с точностью до 0,01 значения
решений указанных ниже дифференциальных уравнений и систем при
указанных значениях аргумента:
3182.	уг = х-\-у\	у=1	при	х = 0.	Вычислить	у	при	х = 0,5.
3183.	у’ = хг-\-у\	у=1	при	х = 0.	Вычислить	у	при	х=1.
3184.	у’=2у— 3;	у=1	при	х=0.	Вычислить	у	при	х = 0,5.
( у' =—х +
( z =х-\-2у + у —2, z =— 2 при х = 0.
Вычислить у и z при х = 0,5.
( У’ =— Зу — z,
( z —у — z\ у = 2, z =—1 при х —0.
Вычислить у и z при х = 0,5.
376
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
3187. у” = 2—у; у = 2, у'=—1 при х = 0.
Вычислить у при х=1.
3188.	1 =0; j = 1,j' = 0 прих=1.
Вычислить у при х— 1,5.
3189. 4S+-s-cos2^ = 0; х = 0, х’=\ при f = 0.
аг 1 2
Найти х(л) и х'(л).
§ 6. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье
Схема 12 ординат. Пусть yn — f(xn) (п — 0, 1, ...» 12) —значения
функции у = f (х) в равноотстоящих точках хп — —^- отрезка [0, 2л], причем
у0 —у12. Составим таблицы:
Уо У1 У 2 Уз Уь Уз Уз
Ун Ую Уз Уз У1
Суммы (S)	I и0 их ut и9 Ui us и*
Разности (Д)	I v2 v3 u4 vs
	^0	^2 ^3 «в	Ui v2 v9
Суммы Разности	S0 S1 s2 ss	Суммы tQ ti t2	Разности	&2 ^9 T1 T2
Коэффициенты Фурье an, bn (n = 0, 1, 2, 3) функции y = f(x) прибли-
женно могут быть определены по формулам:
6а0 = s0 + «1 + «2 +	Sbi	=	0,50^ + 0,866о2 + <*3»
6at = *о + 0,866/, + 0,5/2,	662	=	0,866 (т, + т2),
6a2 = s0~ 5з + °,5($1 — s2),	6^	=	0! —о3,	(1)
6о3 ==	/2,
где 0,866 = -^— =1 — уд — 3Q-
Имеем:
3
f (*) -у + (ап cos пх 4- bn sin пх).
П = 1
Употребительны также другие схемы. Для облегчения вычислений исполь-
зуются шаблоны (см., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики,
т. II, 1962, гл. VI, 424—430).
Пример. Найти полином Фурье для функции y~f(x) (0<х<2я),
заданной таблицей
Уо	Ух	У2	У»		Уз	Ув	У1	y8	Ув	У10	Ун
38	38	12	4	14	4	— 18	-23	-27	-24	8	32
§ 6]
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ
877
Решение. Составляем таблицы:
У	38	38 32	12 8	4 -24	14 -27	4 -23	-18
и	38	70	20	-20	-13	- 19	-18
V		6	4	28	41	. 27	
и	38 — 18	70 - 19	20 - 13	-20	V	6 27	4 41	28
S	20	51	7	-20	0	33	45	28
t	56	89	33		т	— 21	-37	
По формулам (1) имеем:
а0 = 9,7;	ai = 24,9;	а2=10,3; а3 = 3,8;
^ = 13,9; &2 = —8,4;	£, = 0,8.
Следовательно,
/ (х)	4,8 4- (24,9 cos х -f-13,9 sin х) + (10,3 cos 2х — 8,4 sin 2х) 4-
+ (3,8 cos Зх -f- 0,8 sin Зх).
Пользуясь схемой 12 ординат, найти полиномы Фурье для следую-
щих функций, заданных на отрезке [0, 2л] таблицами своих значений,
соответствующих равноотстоящим значениям аргумента (y0=j12):
3190. уа	=—7200	Уг	= 4300	Уг	=	7400	Уг	= 7600
Уг	= 300	Уг	= 0	У,	= — 2250	Угг	= 4500
Уг	= 700	Уг	= — 5200	'л	=	3850	Угг	= 250
3191. уа	= 0	У г	= 9,72	Уг	= 7,42	Уг	= 5,60
Уг	= 6,68	У г	= 8,97	У г	= 6,81	Угг	= 4,88
Уг	= 9,68	Уг	= 8,18	У г	= 6,22	Угг	= 3,67
3192. Л	= 2,714	Уг	= 1,273	Уг	= 0,370	Уг	= — 0,357
Уг	= 3,042	Уг	= 0,788	Уг	= 0,540	Угг	= —0,437
Уг	= 2,134	Уг	= 0,495	Уг	= 0,191	Угг	= 0,767
3193. Вычислить несколько первых коэффициентов Фурье по
схеме 12 ординат для следующих функций:
а) /(х) = 2~(х* — Злх24~2л2х) (0^х^2л),
б)/(х) = -^(х —л)‘	(0<х<2л).
ОТВЕТЫ
Глава I
1. Решение. Так как а = (а — b) 4" Ь, то | а |	| а — b | + | Ь |. Отсюда
I а — 6 | ^ | а | — | b | и |а—Ь| = |6 —	— |а|. Следовательно,
I а — 6 | 11 а | — | Ь 11. Кроме того, | а — & | = | а 4* ( “ ^) I Iа I +1 — I =
==| а | 4-1 Ь |. 3. а) — 2< х < 4; б) х < — 3, х > 1; в) — 1 < х < 0; г) х > 0.
4. _ 24; - 6; 0; 0; 0; 6. 5. 1; 1 -Ь /Г+F; |х |"*/1 + хг-, l/j/T+x5;- 6. л;
^;0;7./(х) = —|-х + 1. 8. f(x) = -p-^x+1.9.0,4. 10. |(х +1х |).
11. а) — 1 ^х < + оо; б)_— оо < х< 4- оо. 12. ( — оо, — 2),( — 2, 2), (2, 4- оо).
13. а)— оо < х^ — У 27,У 2 ^х< 4- оо; б) х==0, | х |^У 2 .14.-1 ^х^2.
Решение. Должно быть 24--* — хг^ 0, или х2 — х — 2 «С 0, т. е.
(х4-1)(х —2)<0. Отсюда или х4~1^0, х-2<0,т. е. — 1^х^2;
или же х 4- 1	0, х — 2 О, т. е. х — 1, х 2, — что невозможно. Таким
образом, — 1=^х^2. 15. — 2<х«с0. 16,> — оо<х«С—1, O^xs^l.
17.	— 2<х<2.	18.	— 1<х<1,	2<л<Н-оо. 19. — -1-<х<1.
О
20. 1 <:х	100. 21. fat «Сх «с kn 4~ (k = 0,	1, zt=2, ...). 22. <р (х) = 2х4 —
— 5х2 — 10, ф(х) = — Зх’4"6х. 23. а) Четная; б) нечетная; в) четная; г) не-
четная; д) нечетная. 24. У к а з а н и е. Использовать тождество f (x)=-^-f/: (х) 4-
1	2
4- f (— я)] + “й" I/ W “ f (~ *)!• 26* а) Периодическая, Т — -л; б) периоди-
2	О
2л
ческая, Т =	; в) периодическая, Т = л; г) периодическая, Т = л; д) непери-
одическая. 27. у = х, если 0<:х=Сс; у—Ь, если с < х^а; S = <^x2, если
Ьс
О^х^с; S — &х —- t если с<^х^а. 28. ш — дгх при О х/f, m — д1/14~
+	— при /|<х</!4-/г;	m=o1Z14-g2/24-ge(x —/1 —/2) при
К 4- 4 < х < h 4- 4 4- 4 = 29. Ф (ф (х)) = 22Z, ф (ф (х)) = 2Х\ 30. х. 31. (х4-2)2.
37.----; 0; -2.38. а) г/ = 0 при х — —1, у > 0 при х > — 1, у < 0 при
х< —-1; б) у — 0 при х ——1 и х = 2, у > 0 при — 1 < х < 2, £/ < 0 при
— оо < х < —1 и 2<х<4“00*> в) г/>0 при — оо < х < 4~ г) У = ® при
х = 0, х = — Уз и х = У 3, у > Опри — У 3 < х < 0 и У 3 < х < 4- оо,
ОТВЕТЫ
37»
#<0 при — оо < х < — УТи 0< х < У”3; д) # = 0 при х = 1, #>0 при
— оо < х < — 1 и 1<х<4-00, г/ < О при 0< х < 1. 89. а) х= у (у — 3)
(— оо < р < 4-оо); б) х = Уу 4-1 и х = — /г/4-1 Н^К + °°);
в) х = р/1 — у3 (—ОО < #<4-оо); г) х = 2-10^	( — оо < у < -f- оо);
fl)x = ytgr/	40. х = у при-оо<г/<0; х = у^ при
0<#< + °°- 41. а) у = и™> и = 2х — 5; б) y — 2at u = cosx; в) y = \gut
u = tgD,	; г) t/ = arcsinu, и = 3^, v = — х2. 42. a) t/ = sin2x;
б)	у = arctg’K 1gх; в) у = 2(хг — 1), если | х|1, и y = Q, если|х|>1.
43. а) У = —-cosx2, У л ^Ix/s^V^n; б) г/= 1g (10 — 10*), — оо<х<1;
в)	у — -у при — оо < х < 0 и у = х при 0 х < 4~ °о • 46. Указание. См.
приложение VI, черт. 1. 51. У к а з а н и е. Дополнив квадратный трехчлен до
полного квадрата, будем иметь y = yQ 4-а (х — х0)2, где х0 = — Ь/2а и
у9 = (4ас — Ь2)/4а. Отсюда искомый график есть парабола t/ = ax2, сдвинутая
вдоль оси ОХ на величину х0 и вдоль оси OY на величину у0. 53. Указа-
ние. См. приложение VI, черт. 2. 58. У к а з а н и е. См. приложение VI,
черт. 3. 61. Указание. График представляет собой гиперболу # = ~ , сдви-
нутую вдоль оси ОХ на величину х0 и вдоль оси OY на величину у0. 62. У к а-
2	13
зание. Выделив целую часть, будем иметь у =	— -д-
о У
65. Указание. См. приложение VI, черт. 4. 67. Указание. См. прило-
жение VI, черт. 5. 71. Указание. См. приложение VI, черт. 6. 72. Ука-
зание. См. приложение VI, черт. 7. 73. Указание. См. приложение VI,
черт. 8. 75. Указание. См. приложение VI, черт. 19. 78. Указание.
См. приложение VI, черт. 23. 80. Указание. См. приложение VI, черт. 9.
81. Указание. См. приложение VI, черт. 9. 82. Указание. См. прило-
жение VI, черт. 10. 83. Указание. См. приложение VI, черт. 10. 84. У к а-
зание. См. приложение VI, черт. 11. 85. Указание. См. приложение VI,
черт. 11. 87. Указание. Период функции Т = 2л/л. 89. У к а з а н ие.
Искомый график есть синусоида t/ = 5sin2x с амплитудой 5 и периодом я.
сдвинутая вправо вдоль оси ОХ на величину 1 -g-. 90. Указание. Полагая
а = A cos ф и Ь = — A sin <р, будем иметь у = A sin (х — ср), где А = У а2 4~ Ь9
и ф = Arctg	В нашем случае А = 10, ф = 0,927. 92. Указание.
cos2x = у (1 4- cos 2х). 93. Указание. Искомый график есть сумма гра-
фиков У1 = х и i/2 = sinx. 94. Указание. Искомый график есть произве-
дение графиков ух = х и Уъ = sin х., 99. Указание. Функция — четная.
Для х>0 определяем точки, в которых 1) у = 0; 2) у=1 и 3) у = —1.
При х—^4~ 00 У—► 1. Ю1. Указание. См. приложение VI, черт. 14.
102. Указание. См. приложение VI, черт. 15. 103. Указание. См. при-
ложение VI, черт. 17. 104. Указание. См. приложение VI, черт. 17.
105. Указание. См. приложение VI, черт. 18. 107. Указание. См. при-
ложение VI, черт. 18. 118. Указание. См. приложение VI, черт. 12.
380
ОТВЕТЫ
119. Указание. См. приложение VI, черт. 12. 120. Указание. См. при-
ложение VI, черт. 13. 121. Указание. См. приложение VI, черт. 13.
132. Указание. См. приложение VI, черт. 30. 133. Указание. См. при-
ложение VI, черт. 32. 134. Указание. См. приложение VI, черт. 31.
138. Указание. См. приложение VI, черт. 33. 139. Указание. См. при-
ложение VI, черт. 28. 140. Указание. См. приложение VI, черт. 25.
141. Указание. Составим таблицу значений
t	0	1	2	3	• • •	—1	—2	—3
X	0	1	8	27	• ••	—I	—8	—27
У	0	1	4	9	...	1	4	9
Построив полученные точки (х, у), получим искомую кривую (см. приложе-
ние VI, черт. 7). (Параметр i при этом геометрически не откладывается!)
142. См. приложение VI, черт. 19. 143. См. приложение VI, черт. 27. 144. См.
приложение VI, черт. 29. 145. См. приложение VI, черт. 22. 150. См. приложе-
ние VI, черт. 28. 151. У к а з а н и е. Разрешив уравнение относительно у, по-
лучим у = + У25 — х2. Теперь искомую кривую легко построить по точкам.
153. См. приложение VI, черт. 21. 156. См. приложение VI, черт. 27. Достаточ-
но построить точки (х, у), соответствующие абсциссам х — 0, zt~, + а. 157. Ука-
зание. Разрешая уравнение относительно х, будем иметь х— 10 1g у — у{*}.
Отсюда получаем точки (х, у) искомой кривой, давая ординате у произвольные
значения (у > 0) и вычисляя по формуле (*) абсциссу х. Следует иметь в виду,
что 1gу—► — со при у—►О. 159. Указание. Переходя к полярным коор-
динатам г -J-#2 и tg(p = ~, будем иметь г — (см. приложение VI,
черт. 32). 160. Указание. Переходя к полярным координатам х = г cos <р
и y = r sin <р, будем иметь г = cos3(p si"~^ (см- приложение VI, черт. 32).
161. F = 32 4-1,8C. 162. t/ = 0,6х (10 — х); t/max = 15прих = 5. 163. у = -^sinx;
I/max = ^- при х = £. I64- а) х1 = 7>-> х2 = 2; б) х=0,68; в) х1 = 1,37, х2=10;
г)	х = 0,40; д) х=1,50; е) х = 0,86. 165. а) хг = 2, У! = 5; х2 = 5, у2 = 2;
б) хг= — 3, yf= — 2; х2 = — 2, у2 = — 3; х3 = 2, г/3 = 3; х4 = 3, г/4 = 2;
в) хх = 2, ^ = 2; х2^3,1, у2^ —2,5; г) х^ —3,6,	— 3,1; х2^ —2,7,
л У~2~
у2=^2,9; х, =^2,9, г/,^1,8; х4=^3,4, у4^-1,6; д) х1==-,	=-у-J
xt = ^, Уг =	166.	а) п^4; б) п > 10; в) п=а32.
167. n>±--l=N. a) W=9; б) N = 99; в) W = 999. 168. d = ^ (е < 1).
а) 0,02; б) 0,002; в) 0,0002. 169. a) lg х < -N при 0 < х <д (ЛГ); б) 2х > N
ОТВЕТЫ
381
npnx>XW); в) |/(х)|>Л' при |х|>Х(У). 170. а) 0; б) 1; в) 2; г) .
□и
14	3	1
171. 4. 172. 1. 173. —4- 174.1. 175.3.176. 1. 177. —. 178. Указа-
2	2	4	3
ние. Использовать формулу I2 -|-22-|- ... 4-«2 = -g- п (n-f-1) (2л -|-1). 179. 0.
180. 0. 181. 1. 182. 0. 183. оо. 184. 0. 185. 72. 186. 2. 187. 2. 188. оо. 189. 0.
190. 1. 191.0. 192. оо. 193. - 2.194. оо. 195.	. 196.	. 197. Зх2. 198. — 1.
£	0(1
1	4	11	3	1
199. - . 200. 3. 201. 4.202. — . 203. —	204. 12. 205. 4- 206. —	.
2	о	У	оо	2	о
207.1.208. —U^.209.	Л_ . 210. — 4-. 211. 0. 212.	213. — 4-.214. 4-.
2 V х	3 У хг	3	2	2	2
215. 0. 216. a) 4-sin2: б) °- 217- 3. 218. 4- 21»- 4^ • 22°- л- 22L V •
£	£	О	Л
222.
229.
236.
cos а. 223. — sin а. 224. л. 225. cos х. 226_-L=:
К2
4-. 230. 0. 231.--------4
2	V
.227. а) 0; б) 1.
232. ^(пг-тг). 233. у. 234. 1.
о
228.—
п
2
235.4
о
2	1	1	14
—. 237. — — . 238. п. 239. — . 240.1.241. 1. 242. 4 . 243. 0. 244- 4.
п	4	4	4	2
245. 0. 246. е~1. 247. е2. 248. е"1. 249. е"4. 250. е*. 251. е. 252. а) 1. Ре-
шение.
lim (cos х) х = lim [1 — (1 — cos х)]х = lim ( 1 — 2 sin2 —
х->°	X->0	X ->0\	2
lim (cosx)х = е° = 1. б) . Решение. Аналогично предыдущему
х-ю	У е
(см. a)), lim(cosx)*2
Х->0
lim
Так как Ит
Х->0
= — 2 lim
<г-*о
254. 10 1g е. 255. 1. 256. 1. 257.
lim (cosx)*2 = е 1 =-^=- . 253. In 2.
r->o	Vе
—. 258. 1. Указание. Положить
382
ОТВЕТЫ
е* — 1 = а, где а —► 0. 259. In а. Указание. Использовать тождество
а — е1п а. 260. 1п а. Указание. Положить — = а, где а —>0 (см. № 259).
п
261. а — Ь. 262. 1.	263. а) 1); б) у. 264. а)	-1; б)	1. 265. а) -1;
б) 1. 266. а) 1; б) 0 .	267. а) 0; б)	1. 268. а) - 1;	б) 1. 269. а)	- 1; б) 1.
270. а) — оо; б) 4“°°- 271. Решение. Если х#£л (& = 0, ±1, ±2, ...),
то cos2x< 1 и £/ = 0;	если же х =	1гл, то cos2x=l	и t/=l.	272.	у = х при
0^х< 1; У = ± при	х=1; у = 0	при х> 1.273.	(/ = |х|.	274.	у = —~
при х < 0; у = 0 при х = 0\ у = ~ при х > 0. 275. у= 1 при 0^х^ 1; у = х
61	с
при 1<х< + °°. 276.	. 277. хг—>---; х2—► оо. 278. л. 279. 2л/?.
280. —Ц-.281. 1 4- .282.	1 . 284-lim АСп=^ . 285.	. 286. k = 1,
е — 1	3	71	п->оо	3	2
ez - 1
л’ 4-1
6 = 0; прямая У — х является асимптотой кривой у = ^2
287. Q<”) = Q0(l+^.y, где k — коэффициент пропорциональности («закон
\ П J	!
сложных процентов»); Qt — Q^ekt, 288. | х | > —; а) | х | > 10; б) | х | > 100;
е
в) |х|> 1000.	289.	|х-1|<у при 0 < е < 1; а) | х - 1 | < 0,05;
б) (х- 1 |< 0,005; в) |х- 1 )< 0,0005. 290. |х-2|< 1 = 6; а) 6 = 0,1;
1	3
б) 6 = 0,01; в) 6 = 0,001. 291. а) Второй; б) третий, у, у. 292. а) 1; 6)2;
1	2
в) 3. 293. а) 1; б) у ; в) у; г) 2; д) 3. 295. Нет. 596. 15. 297. — 1.298. — 1.299. 3.
300. а) 1,03 (1,0296); б) 0,985 (0,9849); в) 3,167 (3,1623). Указание. /10"=
= /9+Т=3	1+ у; г) 10,954 (10,954). 301. 1) 0,98 (0,9804); 2) 1,03(1,0309);
3) 0,0095 (0,00952); 4) 3,875 (3,8730); 5) 1,12 (1,125); 6) 0,72 (0,7480); 7) 0,043
1	2
(0,04139). 303. а) 2; б) 4; в) ; г) -5-. 307. Указание. Если х > 0, то
Z	о
при | Ах | < х имеем | Ух 4- Ах — Ух | = | Ах | / (Ух-}-Дх + Ух)=^ | Ах | /Ух.
309. Указание. Воспользоваться неравенством | cos (х 4- Ах) — cos х |	|Ах|.
л
310. а) хф	где k — целое число; б) х#£л, где k — целое число.
311. Указание. Воспользоваться неравенством | ] х 4~ Ах | — | х 11 j Ах |.
313. Л=4. 314. /(0)= 1. 315. Нет. 316. а) / (0) = л; б) /(0)=у ; в)/(0) = 2;
г) /(0) = 2; Д) /(0) = 0; е) f (0) = 1. 317. х = 2 — точка разрыва 2-го рода.
318. х = —1 — устранимая точка разрыва. 319. х = — 2 — точка разрыва
2-го рода; х = 2 — устранимая точка разрыва. 320. х = 0 — точка разрыва
ОТВЕТЫ
383
1-го рода. 321. а) х = 0 —точка разрыва 2-го рода; б) х = 0 — устранимая
точка разрыва. 322. х = 0 — устранимая точка разрыва, x = kn (fe=±l,
JT
±2, ...) —точки бесконечного разрыва. 323. х = 2л&± — (£ = 0, ±1,
±2, ...) —точки бесконечного разрыва. 324. x = kn (k = 0, ±1, ±2, ...)—
точки бесконечного разрыва. 325. х = 0 — точка разрыва 1-го рода.
326. х = —1—устранимая точка разрыва; х = 1 —точка разрыва 1-го рода.
327. х = — 1 — точка разрыва 2-го рода. 328. х = 0 — устранимая точка раз-
рыва. 329. х = 1 — точка разрыва 1-го рода. 330. х = 3 — точка разрыва
1-го рода. 332. х=1 — точка разрыва 1-го рода. 333. Функция непрерывна.
334. а) х = 0 — точка разрыва 1-го рода; б) функция непрерывна; в) x — kx
(k — целое) — точки разрыва 1-го рода. 335. a)x = k (& —целое) — точки раз-
рыва 1-го рода; б) х — k (k^O — целое) — точки разрыва 1-го рода. 337. Нет,
так как функция у = Е(х) разрывна при х=1. 338. 1,53. 339. Указание.
Показать, что при х0 достаточно большом имеем Р (— х0) Р /о) < 0.
Глава II
341. а) 3; б) 0,21; в) 2ft+ **. 342. а) 0,1; б) - 3; в) ya-\-h- ^/а. З44.а)624;
1560; б) 0,01; 100; в) —1; 0,000011. 345. а) аДх; а; б) Зх'Дх + Зх (Дх)’
+ (Дх)’; Зх!4-ЗхДх + (Дх)г; в)
1
г) Yx + Дх —
2хДх + (Дх)\
х2(х4-Дх)2 ’
д) 2*(24*—1);
2х-[-Дх
х2 (х Дх)2 *
2*(2Дх—1)
Дх *
. . х4-Дх 1 .
е)	Дх п
348. 15 см/сек. 349. 7,5. 350?	351. f (х) = lim ft* + ^х) — Кх)
352.	а) ; б)
346. а)
-1; б) 0,1; в)
— /г; 0. 347. 21.
Дх	w	Д1 '
dtp Дф
тг = !1т лТ» гДе ф —величина угла поворота в момент L
СИ Дг->о ZXt
Д 7^	dT	dO
353.	а) -7- ; б) Пт — , где Т — температура в момент /. 354.4-^ =
Д£	dt	Af-ю Дг	dt
= lim 9 где Q — количество вещества в момент t. 355. а) ; б) Пт — .
ДГ->0 Д^	Дх Дх->о Дх
356. а) -1^=-0,16; б) -1 =-0,238; в)	- 0,249; у',=
О	И	£\] 1	•* —«
= — 0,25.	357. sec! х. Решение. у' — Нт	^Sx _
Д*-*о	Дх
= lim	slnАх________= 11т	Нт _	1	’
дх-ю Дх cos х cos (хД*)
2	1
= sec2x. 358. а) Зх2; б) —	; в) —
sin Дх ..
Пт_________________________
дх->о cosx cos (х 4“ Дх) cos2 х
г) ж- 359- 1V р*
j/8 + Д^-3/8
Дх '
ш е и и е. [' (8) = Нт ^8 + Д*>—= lim
*	' Дх-+о	Дх	Дх-ю
= Кт ------- 8 + Дх — 8
ДхГ’/(8 4- Дх)г4- з/(8Ч
Дх
384
ОТВЕТЫ
= lim	—1 .. z ---------=-^. 360. f(0)= —8, Г (0 = 0,
4х-ю |/(8-ЬДх)г + 2 {/8-|-Дх4-4	12
f (2) = 0. 361. x1==0; x2 = 3. Указание. Уравнение /'(x) = /(x) для дан-
ной функции имеет вид Зх2 = х8. 362. 30 м/сек. 363. 1, 2. 364. — 1.
365. /'(х0) =—366. — 1; 2; tg(p = 3. Указание. Использовать резуль-
Х°
таты примера 3 и задачи 365. 367. Решение, а) /' (0) = нш --—
Дх->о Дх
= lim
Дх-> о
в) f-
(2k+ 1
\	2
JT
У14-Дх -1
; б) f(i)= 1пп г——-----------= lim
Дх-Ю дх	Дх->о
I /2^ + 1 I А \ I
cos I —— л; -|- Дх )
— lim 1-----А—-----------Al — lim
Дх-*—О	Дх	Дх->— О
Д—-1---=4-00
»/(Дх)‘
। sin Дх |_
Дх
/' ( + ‘ = lim |s-ln.A*'. = 1. 368.5х4 — 12х2 + 2. 369. — 4- 4- 2х — 2х’.
' + \	2 J дх->+о Дх	1	З1
Их*
370.	2ах4-Ь.	371.------- .	372.	mat1"-1 + b (т + «)
373. -ваХ>  374. —4- 375. 2х ’ - 5х2 -Зх"4. 376.4 х’ . Указа-
х	з
н ие.
2	8
у = х2хТ=хТ. 377.
4Ь___________2а
Зх2 р/х Зх jJ/G?
Ьс —
(с 4- dx)2
-2х2-6х4-25 осп 1 — 4х QQ1	1
ЗЖ (х2 —5х+5)2 ‘	38°-	х2(2х—I)2' 38Е	
4	— 2
382. 5 cos х — 3 sin х. 383. n . 384.	. 385. t2 sin t. 386. у' = 0.
sin2 2х (sin х — cos x)2	*
1
/Д7
387.	ctgx-	-	. 388. arc sin x 4“ z-- X • 389. sin2x	у i —. x2	x arctg x.	390. *V(x4-7).
391.	xex.	392. e*4^' 393‘	*	394.	(cos x — sin x).
395. x2ex.		396.	/arc sin x 4—•-—- Y у 1 - X* J	397.	x (2 In x — 1) ln2x
		2 In x 2		2 In x 1
398.	3x2 In x.	399.			j	j . X 1 X2	X2		400.	xlnlO x
2xchx —x2shx
401. shx4-xchx.	402. ---ch2”*---*	— th2x.
— 3 (x In x 4~sh x ch x) __ — 2x2 лл 1	. ,	,	1
404.-----—, - —□----~ .405. ,--T. 406. - Arsh x 4- - arrsin x.
xln2x-sh2x	1— x4	j/4 4-х2
407. ^-/^l^rchx 4Ж l±2xArcthx 3a (qx±b\\ 4„
x’/x2-!	(1-х2)2	c\ о )
x2__ 1	— x	hx^
+186’1/. 412. 16x (3 +2x2)’. 413.	---4,. 414. .	. 415. , X- - .
(2x-l)«	/1-х»	з/^ + бх»).-
ОТВЕТЫ
385
420.
422.
425.
427.
429.
416.
— 1. 418.1^^+^
2— 15cos2xsinx. 421.
sin x
(1—3 cos x)8 ’
2cosx 3sinx
3 i/sin^ +cos-x
1
____________t	419, 	1	e
cos2%_______2sin2 x /ctg x
16 cos 2/. указание. x = sin"2/ 4~COS~2^
_л. 3cosx4-2sinx
424. —-- 		— •
2 У 15 sinx — 10 cosx
1
423.
sin82/
sin8 x
cos4x
2 (1 4-x2) Уarctgx
+ } .430. _
-		31
a
~ 2 a
x2 cos2 —
x
X cos (х2 — 5х 4» 1)
3 (arcsin x)2
2ex - 2* In 2
У (20х - 2 х 4- 1)т
433. — a sin (ax 4~ P)«
426. r____________ r ------------.
2 У1 — х2У 1 4~ arcsin x
- 1
428.
5 ln4x
X
435.
_ 2 cos x
sin8 x ’
436.
439.
— 2
- 1
sin2 x
a
440. -----1—
9 1/ V - Y2
442.
- 1
443. - Юхе-*2.
445.
2xl02* (1 4-х In 10). 446. sin 2* 4" 2*/cos 2Z In 2. 447.
(1 4-x2) (arctg x)z *
432. (2х — 5) X
434. sin (2t -|- Ф)<
437. х cos 2xz sin 3x4
441. г-Д
444. — 2x5~x2ln5.
— ex
/1 - e2x '
_ 21nx
451. -----
x
450. -j—Д-
1 — X2
1
_______1
X In X
1
2
2Г+Т ‘	449. ctgxlge.
(ex 4- 5 cos x) /1 — x2 — 4
(ex 4~ 5 sin x — 4 arcsin x) /1 — x2 (1 In2 *) x (1 4~ x2) arct£ x
11	x
---	---4-------------• 455. Решение, у' — (sin8 5x)' cos2 4-
2x/lnx4-l 2(/x+x)	3
-|- sin’ 5x ( cos2 =з 3 sin2 5x cos 5x-5cos2 Д sin’ 5x-2cos Д f — sin Д-) Д =
\ v j	&	о	О J о
i - . 9 -	-	, x	2 . s _	x . x	Лр-П	4x 4- 3
— 15 sin2 5x	cos 5x	cos2 ——	— sin3 5x cos	— sin —	.	456.	.
x4- 4x -^6 _ 458	, 459. --1 -........  .	460.	. 1	.
(1 —	x2/2x2 —2x4-1	/(a24-x2)3
(l+/x)’	,z________ 1
---------- . 463. x5 У (1 4-х’)2. 464. 4/--г... , 6Г..
у v 1	7 у (х— 1) (х4~2)5
ло, X3 - 1
—------------------ 467. ----------•
(a-bxn)m+l ‘	(Х4-2)11
469. Зх2 4- 2 (а 4- b 4- с) х + ab 4- <>с 4- ас .
448.
452.
453.
454.
457.
461.
465.
468.
(x - 3)’
хг
/(1 + *2)4
. 462.
. , . n	. r ,. .2abmnxn 1 (a 4-	bxn)m 1
4x8 (a	— 2x3)	(a	— 5x8). 466.	---------------——------------
a — 3x
2 У a — x
13 Г. С. Бараненков и др.
386
ОТВЕТЫ
470.
473.
477.
482.
485.
489.
493.
496.
1+2/у
ьУуУ(у + УУг'
471. 2 (7/+4) УЗ/4-2. 472. —JL=L= .
V	/(2^-r/2)’
—1— •.	474. sin8 х cos2 х. 475.  . J—т- .	476. 10 tg 5х sec2 5х.
уех I j	sirrx C0S4X
xcosx2. 478. З/2 sin 2/8. 479. 3cosxcos2x. 480. tg*x. 481. -0S-r* .
0	<С1П* Y
(q — fl) sin 2x
2 У a sin2x -J- fl cos2 x
2	1
xV2x2 - 1 ’ 486' 1 + *z
У (a>0). 490. 2/a2-№(a>0). 491.
________5_______ 494	1
У1 — 25x2 arcsin 5x	x У1 — In2 x
484	1 arcsin x (2 arccos x — arcsin x)
"2	/Г^72
, x arccos x — 'K1 — хг .oo 1
( ------------о •	• 4oo. ' .....— •
(1 - x2),J	V a - bx*
—7-------—— 492. arcsin Уx,
V2x - x*
sin q
495. -r-------------j—r .
1 — 2x cos a 4- x2
1
54~4 sinx
497. 4x 1/	.	498.	.	499. 4 V e“x-
V b — x 14- cos2 x 2
500. sin2xesin2*. 501. 2m2p(2mamx -\-b)p 1 amx In a. 502. e** (a cos fl/ — fl sin fl/).
503. ea*sinflx.	504. e“xcos3x.	505. x""1 (n — 2x2 In a).
506. -lytgx(l+rcosxlna). 507. *	. 508.	+	.
(/S'M
1	Vx	1	— 2
509. 	510. V .	511. —......	512. —
/a24-x2	14-/x	У2ах + х2	xln*x .
513.---------- •	514. . ~b t Указание. r/ = 51n(x — 2) —
x2Sx	x2 — x — 2	7
oi / I .4	3x2—16x4-19	-<n	1	-1- ,/—=-=-
— 31n(x4~l)-	515. 7-Гт;--516. -т-j----------. 517. Уxz — a2,
' 1	(x — l)(x — 2) (x—3)	sin’ X cos x r
— 6x2	15a in2 (ax 4- b)
” (3 - 2x’) 1 n(3 - 2x’)	9‘ ax + b
520.
522.
526.
2 sin In x.
523. -r-l—•	524. 1С1_±£г.
sin’ X	X
sin ax
[2arcsin 3* ln 2 4- 2 (1 - arccos 3x)]. 527. ^3COS bx
2-.й1.^.
Ух2 + а2 x~a2
525.
in 34
a cos ax cos bx 4- b sin ax sin bx
530.
cos26x
1
. 528.
1
532.
У1 — x2 arcsin x
X2
In x
X
1 4" 2 sin x
1
X У1 — In2 X
2
534.
536.
arcsin x
533. -----7=-
cosxy sinx
537. 6sh22x-ch2x.
x + 1
Xs — 1
sin2ax
cos2bx
S29-		/1	/! 2	>	•
x(l 4- in2 x)
531--------/I I 1 2 t •
x(l -|-ln2x)
X* — 3x R,B 1
 53S- r+? •
538. e'x (a ch flx 4- ₽ sh flx).

388
ОТВЕТЫ
613.
617.
622.
, 1 1
У ~ еУ - 1 ~х-\-у- 1 •
614. — -1-е х.
X
су-\-хУхг + у* 618 a: In у — у . У_
СХ - У Ух1 + у2'	' у\пх-х’ х'
9
45°; arctg2=s:63026'. 623. 45°. 624. arctg —
615 _Z_. 616.^.
х—у х — у
620. а) 0; б) у; в) 0.
36°21'.625. (0; 20); (1; 15);
(-2; - 12). 626.(1; - 3). 627. у = х2 - х -J- 1. 628. k =	. 629. (	;
II	\ о
— —	631. у — 5 = 0; х-1-2 = 0. 632. х —1=0; у = 0. 633. а) у = 2х;
16 /
у = — -^-х; б) х — 2у — 1=0; 2ху — 2 = 0; в) 6х 4- 2у — л = 0;
2х — бу 4- Зя = 0; г) у — х — 1; у — \—х\ д) 2х4~# — 3 = 0;
х — 2у-\-\~б для точки (1; 1); 2х — t/4~3 = 0; х 4" 2# — 1=0 для
точки (-1; 1).	634. 7х—10z/4-6 = 0,	10x4-7^ — 34 = 0.	635. = 0;
(л 4-4)х4-(л — 4)У — —	= 0. 636. 5лг-|-6у — 13 = 0, 6х —5(/4-21=0.
1 — X
637. х-\-у — 2 = 0. 638. В точке (1; 0): у = 2х — 2; у = ——; в точке (2; 0):
3________________________________________________________х
у — — х-\-2',у — х — 2\ в точке (3; 0): у = 2х — 6; У ——-—. 639. 14х —
— 13г/4“ 12 — О’» 13х 4~ 14у — 41 = 0.	640. Указание. Уравнение каса-
х у
тельной х---к х—=1. Следовательно, касательная пересекает ось ОХ в точке
2х0 2yQ
А (2х0, 0) и ось OY в точке В (0, 2//0). Находя середину отрезка АВ, получимточку
(х,,, £/0)-643. 40°36'. 644. В точке (0, 0) параболы касаются; в точке (1, 1) — пе-
ресекаются под углом arctgy^8°8'. 647.	S^=S„ = 2; / = п = 2}^2.
648.	. 652. Т = 2а sin 4-tg= *> N = 2a sin ; St = 2а sin2 tg ; S„=xisin t.
1П £	£ L	£	£ L
653. arctg jr . 654. 4- + 2<p-	655. St = 4 n2a; Sn = a; t = 2na У1 -f- 4л2;
п=аУ\4-4л2; tgp.=2n.	656. St = a-, Sn = —,; t = ]/> _|_ 02;
<Po	co
n=—Va’-f-gJ; tgp. = — <p0.	657. 3 см/сек; 0; —9 см-сек. 658. 15 см^сек.
3	S 9
659.—x- м/сек. 660. Уравнение траектории y — xtga----------------xz.
2v*9 cos2 a
Дальность полета равна - ° -------.Величина скорости У v*— 2vogtslna-\-g2t2,t
v a.	uosina — gt
угловой коэффициент вектора скорости —------------------—. Указание.
Vq cos Ct
Для определения траектории нужно исключить параметр t из данной системы.
Дальность полета — абсцисса точки А (черт. 17). Проекции скорости
dx dy „	-ж / /dx\2 , fdy\^
на оси:	и . Величина скорости у I	) » вектор скорости
направлен по касательной к траектории. 661. Убывает со скоростью 0,4.
ОТВЕТЫ
389
/9	9 \
662. (-3- , тг ) • 663. Диагональ растет со скоростью 3,3 см/сек, площадь —
\ о 2 /
со скоростью 40 см2)сек. 664. Площадь поверхности растет со скоростью
л
0,2л м21сек, объем — со скоростью 0,05л м81сек. 665. — см]сек. 666. Масса
о
всего стержня составляет 360 г, плотность в точке М равна 5х г/сл/, плот-
ность в точке А равна 0, плотность в точке В есть 60 г/см. 667. 56хв 4- 210х4.
668. е*’(4хг + 2).	669. 2 cos 2х.	670.	671. г	.
Л 1	, 2х	2	. 2х arcsin х 1.x	... „
672. 2arctg х 4~ т—;—г- 673. -j--2 + л-----гтгг • 674. — ch — .679./"=6.
&	' 1 4-х2	1 — х2 1 (1 — х2)3 2	а а
24
680.	(3) = 4320.	681. f/V——	. 682. z/Vi = _ 64 sin2х. 684. 0; 1;
' v '	(х + 1)
2; 2,	685. Скорость v— 5; 4,997; 4,7. Ускорение а — 0; — 0,006; —0,06г
686. Закон движения точки Мг есть х~ a cos со/; скорость в момент t равна
— tzco sin со/; ускорение в момент t: — am2 cos со/. Начальная скорость 0; начальное
ускорение: — аса2; скорость при х = 0: =F асо; ускорение при х = 0: 0. Макси-
мальное значение абсолютной величины скорости czco. Максимальное значение
абсолютной величины ускорения дсо2. 687. у{п) = п\ап. 688. а) п\ (1 — х)~(/г + 1),
б) ( — 1)"+1 1	* 3) а 689. a) sin ^х + п ; б) 2п cos ^2х-|- п 5
2п.х”~7
/__з)п е~гх'	r) <__1)1 . a ( 1)	+1 n! .
в) (	3) e ,	r)(	1)	(1_|_x)n.	д) 7T +
”	3) (~l)n'1(n- 1)! a‘
ж) 2п 1 sin 2х -|- (л
б) 2п~1е~2Х
X cos yx 4- -g-j — 2nx cos
r) (-1)"-Ы-3...(2п-3)
(ax b)n
2п(-\)п~1х^(П~	(- 1)"
/	. (n — 1) л \	.	14
f x 4~ '---(n — 1) cos
ч 2n!
e) (1— x)" + ,;
690. a)x-ex -+-nex-t
2П-\~ 1
2пх~Г
(0) = (п — 1)!
1
692. a) 9/8; 6) 2t2 + 2; в) — /1 - tz.
-1 . . ~1
.	. 4 t ’	17 at sin3/ *
4a sm4 —
69S. a) (1+(=)(!+3<!); 6)',(1 +„'j .696.	— 2e
699. ’-SSil.
sin /
dzx
702. mntm. 703. -==;
dy2
bl
a2y*'
Ш. 7Ю.------L
256	16
d(l—x’)=l при
691.
б)
_______________ •
За cos4 t sin t ’	7
706.
709.
713.
694.
693. a) .	;
' a sin81
a) 0; 6) 2esof.
(I — /)8 ‘	(cos/-|- sin 0s *	*\dx2)t = o	1’
700. 4g842!in<~C°.S0 •	701. - 6e>‘ (1 + 3t + /=)•
705.
yz
d2x__ 1
dx*" (1 - //)’; 3^ — ^
by = 0,009001; dy = 0,009.
(sin t -|-cos i)s
- f" (X). d’x _ 3(Г (х)]г - f (x) Г" (X)
[f (X)]’ ’ dy2
9s
711. a)l; 6)-
О
x = 1 и Ax = —
I/' W]
708.
й2У  У
Г2 *
За2х
У*
. 712.
1
3 *
714. dS = 2x&x,
390
ОТВЕТЫ
Д3 = 2х Дх + (Дх)2. 717. При х = 0. 718. Нет. 719. dy — — Л-=к- 0,0436-
720.	dt^^^0’00037-	721. dy = ^- = 0,0698. /Uv	40	—^dx 722. x„+t •
723.	z,.fr ..	724. ;.dx—.	725.	726. —2xe~x*dx.
	(1-х)2	/!-х!	x24-a2	
727.	i j	— 2dx	_ЛЛ 14- cos <p . Inxdx.	728. -z	г.	729.	4-з—-d(p. 1 — x8	sin2 ф Y	730.--^. 14-ей
732.	_733. -yg~y ^-=_JL_dx.	734. Lt-^dx.
	7x-i-5y	_Л x — у	x-У
	уг — хе У	
735.	¥dx. 737. а) 0,485; б) 0,965; в) 1, 2; г) —0,045; д)	4 + 0,025=0,81. 4
738. 565_слЛ	739. /5 = 2,25; /j7 = 4,13; /70=5=8,38;	/640=5=25,3.
740. £/10 = 2,16; £/70 = 4,13; £/200 = 5,85. 741. а)5; б) 1, 1; в)0,93; г)0,9.
742.1,0019.	743. 0,57. 744. 2,03. 748.  ~	.	749. ~Х (d^‘  .
(l-x’)/j	(1-х2)'*
. 2cosx sinx\.,	21nx —3., ,а
750. ( —sinx Inx 4---------l(dx)2.	751. -------(dx)8.
752.	— e~x (x2 — 6x4-6) (dx)’. 753. - 4	. 754. 3-2" sin ( 2x 4- 5 4* ^\dx)n.
(2 X)	\	2 J
755.	ex co*a sin (x sin a -|- na) (dx)n. 757. Нет, так как /' (2) не суще-
л
ствует. 758. Нет. Точка х = —-точка разрыва функции. 762. £ = 0.763. (2, 4).
765.	а)	б) 1»=^-.	768. In х = (х - 1) - (х - I)2 4-2(*где
5= 1 4~в (х — 1), 0< •< 1.	769. sinx = x— |t4~ft cos &, где g1 = etx,
О I ОI
0<J1<l;sinr==x——^j-cosg,, где 1-г = 9гх, 0<9,<l.
770.	^=1+л + ^+^ + ...+_^г + £2Л где 5 = вх, 0<в<1.
1 х^	5 х*
772.	Погрешность: а)—------— ; б) ь-г--; в обоих случаях £ = 0х;
716(14-^)’	81(1+£)/э
3	1
0< 0< 1.	773. Погрешность меньше — = —.	775. Решение. Имеем
/а-\-х	(. , х\8Л	х\ 2 гл	л
—!— = {1-4---) (1---)	. Разлагая оба множителя по степеням х,
а — х \	{ a J \ л ]
/ - . х \ 1	. . 1 л 1 X1 .
получим: ( 1 Н---^14-—------------1--------------* 4“ "FT Т"Г “Б----------
J \ 1 a J 1 2 а 8 а2 \ a J 1 2 а 1 8 а2
_____	X
/ а 4- х , , х , х2 „	а
-	*	1	+ 2^-j. Далее, разлагая е по
степеням , получаем тот же многочлен «а 1 4~	•	777. ~ у •
ОТВЕТЫ
391
1	л2	2
778. оо. 779. 1. 780.3. 781. у. 782. 5. 783. оо. 784. 0. 785. — . 786.1.788.— .
789. 1. 790. 0. 791. а. 792. оо для п > 1; а для п—\\ 0 для n< 1. 793. 0.
795. 4-- 796. 4;. 797. - 1. 799. 1. 800. е*. 801. 1 802. 1. 803. 1. 804. — .
5	12	е
1	1	S
805. —. 806. —. 807. 1. 808. 1. 810. Указание. Найти Пт -------------t
е	е
О
D2
где S = — (а — sin а) — точное выражение площади сегмента (7? — радиус
соответствующей окружности).
Глава 111
811. ( — оо, — 2) — возрастает; (— 2, оо) — убывает. 812. ( — оо, 2) — убывает;
(2, оо) — возрастает. 813. (—оо, оо) — возрастает. 814. (—оо, 0) и (2, оо) —
возрастает; (0, 2) — убывает. 815. (—оо, 2) и (2, оо) — убывает. 816. ( — оо, 1) —
возрастает; (1, оо) — убывает. 817. ( — оо, — 2), ( — 2, 8) и (8, оо) — убывает.
818. (0,1) — убывает; (1, оо) — возрастает. 819. ( — оо, — 1) и (1, оо) — возрас-
тает; (—1, 1) —убывает. 820. (—оо, оо) — возрастает. 821. fo, — — убы-
/ 1 \ \ е /
вает; , оо \ — возрастает. 822. ( — 2, 0) — возрастает. 823. ( — оо, 2) — убы-
вает; (2, оо) —возрастает. 824. (—оо, а) и (а, оо) —убывает. 825. (—оо, 0)
9	1
и (0,1) — убывает; (1,оо) — возрастает. 827. утах = — при х = — . 828. Экстре-
мума нет. 830. r/mJn = 0 при х = 0; #min = 0 при х=12; г/тах= 1296 при
х = 6. 831. #min — 0,76 при х=^0,23; #тах = 0 при х = 1; r/min — 0,05 при
1,43. При х = 2 экстремума нет. 832. Экстремума нет. 833. Угг^ =—2
9	/—
при х = 0; r/min = 2 при х = 2. 834. */тах = при х = 3,2. 835. г/тах = — 3 V 3
Х = —	г/т1п = 3/3 при х = -^=. 836. Утах = /2 при х = 0.
V 3 ___	___ г 3	__ _____________________
'/n-ax = — /3 при х = — 2/3; ут1п = Уз при х = 2 /3. 838. i/min ~ О
при
837.
2	'	1 \
при х = ±1; t/„,ax = 1 при х = 0. 839. у„Хп = —— /3 при х = ( k — -g- ) л;
3	/	1 Л
Уггах=-2 Т 3 ПРИ х = ( *+'6' П ) <Й = 0’ ± *’ ± 2> • • •)• 840- Утах =5 при
~	2л	,Л (L , 2 \	г л
х=12£л;	утах. = 5 cos —-	при х=12 £±— л; = —5 cos — при
о	\ о J	о
х= 12 (ft ± л; ymi„= 1 при х = 6(2й-[-1)л (fe = 0, ±1, ±2,...).
1	1	4
841. j-min = 0 при х = 0. 842.	= —— при х=у. 843. J/max = p	при
х = ^- ’ Утт = 0 при х=1. 844. {/min=l при х = 0. 845. Ут!п=—у	при
4
х = — 1. 846. ут1П = 0 при х = 0; утах = -^~ при х = 2. 847. ут1а = е при
х=1.	848. Экстремума нет. 849. Наименьшее значение т =	~
при
392
ОТВЕТЫ
х ——1; наибольшее значение Л4=—при х = 1. 850. т = 0 при х = 0 и
1	л
х = 10; Л4=5 при х = 5. 851. т = — при х = (2k -f- 1) ~г~; Л4 = 1 при
ЬгТ
х — — (k = 0, ±1, ±2, .. .). 852. т = 0 при х = 1; М = л при х = — 1.
853. т = •— 1 при х — — 1; М = 27 при х = 3. 854. a) tn = — 6 при х= 1;
Л/= 266 при х = 5; б) /?г = — 1579 при х — —10; М =3745 при х =12.
а
856. р — —2, д = 4. 861. Каждое из слагаемых должно быть равно — .
/
862. Прямоугольник должен быть квадратом со стороной —. 863. Равнобед-
ренный. 864. Сторона площадки, примыкающая к стене, должна быть вдвое
больше другой стороны. 865. Сторона вырезаемого квадрата должна быть
равна . 866. Высота должна быть вдвое меньше стороны основания.
867. Тот, высота которого равна диаметру основания. 868. Высота ци-
2/?	/~~2
линдра радиус его основания R у -у, где R — радиус данного шара.
869. Высота цилиндра /?У^, где R — радиус данного шара. 870. Высота
4	4
конуса где Я — радиус данного шара. 871. Высота конуса -ttR, где
О	О
3
R — радиус данного шара. 872. Радиус основания конуса -^-г, где г — ра-
диус основания данного цилиндра. 873. Тот, высота которого вдвое больше
диаметра шара. 874. <р = л, т. е. сечение желоба — полукруг. 875. Централь-
цилиндрической части должна
иметь форму полусферы.
быть равна
нулю,
2	3
877. /z = (/8 -dT)7.
а 2 и b У2 , где а
т. е.
876. Высота
сосуд должен
878’2T + 27=L
и Ь — соответствующие полуоси эллипса. 880. Коорди-
наты вершин прямоугольника, лежащих на параболе а, ± 2 j/".
(1	3 \	1
-г).	882. Угол равен наибольшей из величин arccos -г- и
/3 V	r	k
a:ctg4- 883. АМ=а t	. 884. ~^= . 885. а) х = у = -^ ;
d	+	_/2	/2
6)x = ^L; y =	886. х= l/^;Pmin = /2^Q. 887. /Л^Г.
УЗ	го	г q
Указание. При вполне упругом ударе двух шаров скорость, которую при-
обретает неподвижный шар массы т1 после удара о него шара массы т2,
2т2и ооо 1 / NR /
двигавшегося со скоростью v, равна	. 888. п— у —— (если это
число не целое или не является делителем числа /V, берут ближайшее к най-
денному значению целое число, являющееся делителем числа /V). Так как
пгг
внутреннее сопротивление батареи равно , то физический смысл найден-
879. Стороны прямоугольника
886. х =
ного решения таков: внутреннее сопротивление батареи должно быть воз-
ОТВЕТЫ
393
2
можно ближе к внешнему сопротивлению. 889. у—— к. 891. ( — оо, 2) —
вогнут вниз, (2, оо) — вогнут вверх; М (2, 12) — точка перегиба. 892. (— оо, оо)—
вогнут вверх. 893. ( — оо, — 3) — вогнут вниз, (— 3, оо) — вогнут вверх; точек
перегиба нет. 894. ( — оо, — 6) и (0,6) — вогнут вверх, ( — 6, 0) и (6, оо) —
/	9 \	/	9 \
вогнут вниз; точки перегиба Мх I —6; —у) »	(0; 0)> М21б; -у ) .
895. ( — оо, — /3) и (0, У 3) — вогнут вверх; ( — Уз, 0) и (У3, оо) — вогнут
вогнут вверх; М (
вниз; точки перегиба Л41>2(±УЗ; 0) и 0(0; 0). 896. (4я -f-1) ~ ,
(4/г3)вогнут вверх, ^(46 4-3)-^-,	(4&-f-5)y-^—вогнут вниз
(k = 0, ±1, ±2, ...); точки перегиба—(2fe-f-l) у J 0^. 897.(2/?л, (2Ze-f-l) л) —
вогнут вверх, ((2k — 1) л, 2/гл) — вогнут вниз (k ~ 0, ±1, ±2, . . .); абсциссы
точек перегиба равны х = £л. 898. ^0,	— вогнут вниз, , 00
1	3 \
~ 2ё®"у — точка перегиба. 899. ( — оо, 0) — вогнут
вверх, (0, оо) — вогнут вниз; 0(0, 0) — точка перегиба. 900. ( — оо, — 3) и
( —1, оо) —вогнут вверх, ( — 3, — 1) — вогнут вниз, точки перегиба —
/И, ( — 3; и Мг (— 1; -|-) . 901. х = 2; 1/ = 0. 902. х = 1, х = 3; у = 0.
903. x=i2; у~\.	904. у — х. 905. у — —х (левая), у — х (пра-
вая). 906. {/ =— 1 (левая), у — 1 (правая). 907. х— ± 1, у —— х (ле-
вая), у = х (правая). 908. у —— 2 (левая), у — 2х — 2 (правая). 909. г/= 2.
910. х = 0, у=1 (левая), у —0 (правая). 911. х==0, у—\. 912. г/= 0.
913. х — —1.	914. у — х — л (левая); {/ = х-|-л (правая). 915. у —а.
916. {/так —О при * —0; {/min —— 4 при х —2; точка перегиба Мх (1, —2).
917. {/тах=1 ПРИ х — ± УЗ; «/min —0 при х — 0,	течки перегиба
М1>2 f ± 1;918,	= 4 при х = — 1; 1/^ = 0 при х = 1; точка
перегиба Мх (0, 2). 919. {/тах — 8 при х — — 2; r/min = 0 при х = 2; точка пе-
региба М (0; 4). 920. «/min — —1 при х = 0; точки перегиба М12(±Уб;0)
/	64 \
и Л43>4 ( ±- 1; — |25 ) • 921. {/max — — 2 при х = 0; ymin — 2 при х —2; асимп-
тоты х —1, у — х — 1. 922. Точки перегиба /И1>2(± 1, Т 2); асимптота х=0.
923 {/так — — * при х==—1; {/min~4 при х=1; асимптота х = 0.
924. {/min — 3 при х=1; точка перегиба — 44 ( —рУ 2; 0); асимптота х — 0.
925. {/max = у ПРИ х = точки перегиба Ml 2	± 1; асимптота у = 0.
926. {/гоах — — 2 при х = 0; асимптоты х = ± 2 и {/ = 0. 927. {/min ——1 при
х — —2;	{/ma< —1 ПРИ х—2\ точки перегиба — О (0; 0) и
/	Уз~\
441)2 I ± 2УЗ; ±	; асимптота {/ = 0. 928. {/так = 1 при х=4; точка
(8 \
5; -Q- ) ; асимптоты х = 2 и {/ = 0. 929. Точка перегиба —
У /	27	8
0(0; 0), асимптоты х = ± 2 и {/==0. 930. {/гаах =— — при х — у ; асимптоты
х —0, х = 4 и {/ — 0. 931. {/max — — 4 ПРИ х — —1; {/min —4 при х = 1;
асимптоты х = 0 и г/ —Зх. 932. А (0; 2) и В (4; 2) — концевые точки
394
ОТВЕТЫ
</max = 2 К2 при х = 2. 933. А (—8; —4) и В (8; 4) —концевые точки. Точка
перегиба 0(0; 0). 934. Концевая_точка А(—3; 0), //min=_—2 при х = — 2.
935. 1
Концевые точки Л(—]/"3; 0), 0(0; 0) и 5(^3; 0); утах=}/Г2
х — — 1; точка перегиба — М I у 3 + 2у 3 , Т/ 6 у 1 + —— 1 .
\	У	V 3 /
t/max=l при х = 0; точки перегиба —Л41? 2 (± 1*, 0). 937. Точки пере-
—	(0; 1) и Л42(1; 0); асимптота </ = — х. 938. «/тпах = 0 при х = — 1;
^min = — 1 (при х = 0). 939. t/raax = 2 при х = 0; точки перегиба Л41>2(± 1; £/Г);
асимптота у = 0. 940. //mjn =—4 при х = — 4; утах~^ ПРИ * = 4; точка пе-
региба — 0(0; 0); асимптота у = 0. 941. ут\п=> при х = 2, r/min= |J/4
При Х = 4; //max= 2
943. Асимптоты
при
936.
гиба
при х = 3. 942. t/min = 2 при х = 0; асимптоты х=±2.
КГ
х=±2 и у = 0.	944. z/min = -5—
при х=КЗ;
Утах —
и М2
при х = — КЗ; точки перегиба — Мг — 3; —, 0(0; 0)
3
асимптоты х=± 1. 945. ymjn — при х = 6; точка пе-
/	12 \	1
М ( 12;	; асимптота х = 2. 946. //тах = — при х= 1; точка
I ?/Ю0/	е
перегиба —Л4
асимптота у = 0.	947. Точки перегиба —
и
; асимптота г/ = 0. 948. #гпах = е2 при х = 4;
точки перегиба—Мх, 2 I &	; е 2 асимптота у = 0. 949. #тах = 2 при
х = 0; точки перегиба—Л11, 2 ± 1;• 950. r/max= 1 при х= ± 1; r/mjn = O
при х = 0.	951. //max = 0’74 при х = е2^7,39; точка перегиба —
I	<2 2
М (е8/3	14,39; 0,70); асимптоты х = 0 и г/ = 0. 952.	= —— при
; точка перегиба—М f ~^= ; —	953. ут\п = е при х~е\ точка
у е	\ У е3	/
перегиба — М	асимптота х=Г,	у—>0	при	х—► 0.
4	1
954. Утах = ^^ °»54 ПРИ х = ^2-—1 —0,86; Z7min=0 при х = 0; точка
перегиба — Л4 —1	—0,63; у=^0,37^ ; у—>0 при х—> —14-0 (пре-
дельная концевая точка). 955. //т1-п= 1 при х=± К2; точки перегиба
Л41 г(± 1,89; 1,33); асимптоты х= ± 1. 956. Асимптоты хг/ = 0. 957. Асимптоты
1/=’О (при х—>4- со) и у — — х (при х—> —оо). 958. Асимптоты
х — — у ; х = 0; у = 1; функция не определена на отрезке	oj .
959. Периодическая функция с периодом 2л. ymjn — — Y2 при х = ~ л 4-2/гл;
!/тах=К2 при x = ^- + 2kit (k = 0,	±1,	±2, ...); точки перегиба —
ОТВЕТЫ
395
Mk л 4- kn\ 0j. 960. Периодическая функция с периодом 2л.
= —7 при * = у л —|— 2/гл; г/тах = ~У'3 при х — у + 2Ал (k = 0,
±:1, zt2, ...); точки перегиба — Mk (А’л; 0) и Nk (arccos (—-^-|-2&л;
rsV 15 ). 961. Периодическая функция с периодом 2л. На отрезке [ — л, nJ
16 J
Утах = у ПРИ х== —j’’ Pmin = — 2 при х~^л\ ую|п = 0 при х = 0; точки
перегиба — Л4М (ztz 0,57; 0,13) и (±z 2,20; — 0,95). 962. Нечетная периоди-
ческая функция с периодом 2л. ’На отрезке [0, 2л]: #тах = 1 при х = 0;
Упйп=0.71 при x = j; ymax = l при х = ^-, ymln = —1 при х = л;
5	3
</max = —0,71 при х = -л; pmin = —1 при х = -л; г/гаах=1 при х = 2л;
точки перегиба —/И, (0,36; 0,86); М2 (1,21; 0,86); М, (2,36; 0); Mt (3,51; - 0,86);
Ms (4,35; —0,86); Л4в(5,50; 0). 963. Периодическая функция с периодом 2л.
У*2	л ।	У2	3	। о. л
= — при х = —+2fcr; £max =--------—при х = — -^л -J-2br (А’ = 0.
з
z±z 1, it 2, ...); асимптоты х = — л-j-^л. 964. Периодическая функция с пе-
= 0, ±z 1,	2,...); ас и мп-
риодом л; точки перегиба —
3
тоты х= — л 4- kn. 965. Четная периодическая функция с периодом 2л. На
4	1
отрезке [0, л]: z/max = —— при х = arccos #тах = 0 ПРИ х~л»
3 У 3	у 3
4	/	1 \
Ут1п= — ууу ПРИ = arccos	; Pmin = 0 при х = 0; точки пере-
х .. (п	. VT 4/7\ „ /	. /2	4 /7\
гиба — Mt ( у ; 0 ) ; Мг (arcsin-^-; - I ; М, ( л—arcsin-у- ;-------I-
966. Четная периодическая функция с периодом 2л. На отрезке [0, л]: утак = 1
л	2	(	1	\	2
при х = 0; Утм — —— при х = arccos ( — —?= ; l/min = ——f= при
зуб	\ у 6 /	3 и о
1	1	( П
х= arccos —r/min = —1 при х = л; точки перегиба — Mj I — ; 0 I ;

4
Т V 18/
967. Функция нечетная. Точки перегиба — Mk (£л; &л) (& = 0, ±=1, ±2, ...).
968. Функция четная. Концевые точки — At 2 (rtz 2,83, — 1,57); #max^= L57 при
х —0 (точка возврата); точки перегиба — М1>2 (±: 1,54; — 0,34). 969. Функция
нечетная. Область существования —1 < х < 1. Точка перегиба 0(0; 0);
асимптоты x = ztl. 970. Функция нечетная. г/тах = ^—14~2&лпри
х = -^-4-£л; ^^ = 4- л + 1 + 2£л при х==~ л + &л; ючки перегиба —
4	2	4
2k 1
Л4д(£л, 2£л); асимптоты х ——л (6 = 0, ztz 1» z± 2, ...). 971. Функция
396
ОТВЕТЫ
It
четная; z/^^ —0 при х~ 0; асимптоты */ =—— х—1 (при х—► — оо) и
= у*- 1 <п₽и х—4-оо). 972. pmin = 0
тота у= 1. 973. z/min= 1 4-у при х— 1;
при х = 0 (угловая точка); асимп-
Зл ,	,
Ушах = "у — 1 ПР" х = —	точка
перегиба (центр симметрии) (0, л); асимптоты у = х -j- 2л (левая) и у — х (пра-
вая). 974.	974. z/min 1,285 при х—1; r/max=^ 1,856 при х = —1;
точка перегиба — Л1
х
асимптоты yz=z-^--\-Jl (при X---------->— оо) и
(при х—> + °°)- 975. Асимптоты х — 0 и у— х — 1п 2. 976. r/mjn 1,32
при х =	1; асимптота х = 0. 977. Периодическая функция с периодом 2л.
1	3	л
^min—— “ при х = — л-{-2Ал; t/max = e при Х = —4-2/гл (А = 0, z±= 1,
zt 2, ...); точки перегиба — ^arcsin " + л; е 2 и
/	У5*__ 1	К8 + 1\
(—arcsin ----------И (2А -ф- 1) л; е 2	). 978. Концевые точки А (0; 1)
и В(1; 4,81). Точка перегиба — М (0,28; 1,74).	979. Точки пере-
гиба — А4 (0,5; 1,59); асимптоты у ^0,21 (при х—>—оо) и #^4,81
(при х—>4~°о). 980. Область определения функции — совокупность интерва-
лов (2Ал, 2Ал-|-л), где А = 0, zb 1, ±2, ... Функция периодическая с перио-
л
дом 2л; z/max = 0 при х = — 4-2Ал (А = 0, zb 1, zb 2, ...); асимптоты х = Ал.
981. Область определения — совокупность интервалов ^2А—у^л,
л^, где k — целое число. Функция периодическая с периодом2л.
Точки перегиба — Mk (2k л; 0) (k = 0, zb 1, zb 2, ...); асимптоты
л
х = z+z — + 2Ал. 982. Область определения х > 0; функция монотонно воз-
л
растающая; асимптота х = 0. 983. Область определения | х — 2Ал ] < —
(k — 0, zbl, ±2, ...). Функция периодическая с периодом 2л; z/min = 1 при
л
х = 2Ал (k = 0, zbl, zb 2, ...); асимптоты х_ — Ц-Ал. 984. Асимптота
л
у ^z 1,57; у—>---— при х—► 0 (предельная концевая точка). 985. Концевые
* ( 1 \ е
точки — Ац 2 (zb 1,31; 1,57); //min = 0 при х = 0. 986. z/mjn = ( ~ \ ^z 0,69 при
х — ^z 0,37; у—>1 при х—>-|-0. 987. Предельная концевая точка —
(“+i
А (+ 0; 0); r/max_ е е ^z 1,44 при х = е^2,72; асимптота у—\\ точка пере-
гиба - М. (0,58; 0,12) и М2(4,35; 1,40). 988. xniin = — 1 при t =: 1 (yz=z 3);
j/min = —1 при f — —1(х=:3). 989. Для получения графика достаточно изме-
нять t в пределах от 0 до 2л; xmjn = — а при t = n(y=z 0); xmax = a при
Зл
t~ о (у =0); J/min —— а (точка возврата) при / =	—(х = 0); </тах = 4-а
ОТВЕТЫ
397
ч ± л ,	.	. л Зя 5л 7л
(точка возврата) при i — (х = 0); точки перегиба при/ = —, — , — ,
(х=±—У=±~т=\ • "°- -^min ~ ~ири^= — 1 (у= — е); утах = -^
\	2/2	/2/	е	е
при t = 1 (х = е); точки перегиба
- Viev *) при t=-/1
и |/2в^2; J—_Л	при / =/2 ; асимптоты х = 0 и у = 0. 991. xmin = 1
\ 2 /
и pmin=l при t~0 (точка возврата); асимптота у = 2х при t—>4~оо.
992. wmhl=0 при t = 0. 993. ds =. — dx; cosa = —; sin g =------------------.
*/miu r	у	a	a
j 1 п fa4 — c2x2 .	a /a2 — x2 .
994. ds — — 1/ —p-----------r dx; cos a —	; stag
a v a2 — x2	/a4 — c2x2
в = /a2 — b2. 995. ds = у /p2 -j" У2 dx; cos a =
3 f' Q	3 f~ X
996.	ds = у — dx; cos a = у — ; sin a =
У
Ур‘+у2'
bx
-	--== , где
/a2 — c2x2
P
sin a = -  t .
l-p2+ y*
997.	ds — ch — dx;
a
1
cos a —-------
i x
ch —
a
x	t	t
; sin a — th—. 998. ds = 2a sin — dt; cos a — sin— ; sing —
a	2	2
t
= cos 2
999. ds — 3a sin t cos t dt;
cos a = — cos t; sin a = sin t.
1000. ds = a /1 + cp2 dtp; cos 0
1002. ds
cos3
= —, . — . 1001. ds =-^/1 4-®2 dip; cosP==
/14- <p2	Ф Y
— dtp; sin 6—cos-2-. 1003. ds = a cos-—dq>;
cp Y r 2	2
~2
a
sin P = cos ---.	1004. ds— Г/1 4“ (In a)2 dip; sin fi —	1
2	у 14-(In a)1
a2	1
1005. ds~— d<o; sin0=cos2<p. 1006.	/< —36.	1007.	K=—~.
Г	b	6	3	3^2
1008. Кл—^=;	1009. K =----1010. К. =—т= в обеих вер-
ь‘ а*	13/13	а /2
шинах. 1011.	и -з).	1012. f —’
\ о / \о	/	\2	2 /
1Ю. « = |('+^>"'  <»« R = <‘v+^“. ,»,5. R = f£±V-
1016. R = | J a sin2t .	1017. R = |atf|. 1018. R = | г /1 + Л21."
1019. R = |-у a cos-2-1 •	Ю20. R„aliM = |p|.	1022. (2; 2).
1023Ц--^а; ^aj .	1024. (x - З)2 + - у J = T .
1025. (x4-2)2 + (p — 3)2 = 8. 1026. pY2 = ~ (X — p)2 (полукубическая парабола).
1027. (aX)8 +(&Г)3 —с3, где с2 — а2 — Ь\
398
ОТВЕТЫ
Глава IV
В ответах этого отдела ради краткости произвольная аддитивная постоян-
ная С опущена.
1031. yflV. 1032. 2х’4-4х* 24-3х. 1033. у-|-. 1034. а2х 4-
71—1
„ 	А 5
zj у4 Ь2У7	Оу г-	Л у	-	О — —	—
. 1035. £2 /2рх. 1036. -—г- . 1037. Упх. 1038. а2х —/а« х« +
2 I	о	И 1	к	и
+ 9 : J _х> . 1039 2^.	Ю40. 3 * 5 *-^±_3^±-бУх.
/	О	О	!□	/
mil 2х2 mYx 4xm + nYx I 2х2ПУх 1n.n п ЛГ— А .	-г—
1041.	-------г + —л—ГТ" • *042* 2а V ах — ^х + 4х У ах~~
4т + 1	2/и + 2n -|- 1 ‘ 4n + 1
Л в । 2х8	1ЛА«>	1	* х	1	1 Iх —/10
— 2х24---—:.	1043. —— arctg——.	1044.  — In ------—= •
5 /ах	/7	/7	2 /10	| х 4- /10
1045. In (х 4- /44- х2).	1046. arcsin—•	1047. arcsin——
2/2	/2
— In (х + /х2 4- 2). 1048*. a) tg х — х.	У к	азание.	Положить tg2x = sec2x —	1;
б) х — th х. Указание.	Положить	th2	х = 1 —	. 1049. а) — ctg х —	х;
б) х — cth х. 1050. . ^е\ ,	. 1051. а	1 n I	—— I.	Решение. С —-— dx	=
In 34-1	J	а — х I	J а — x
— x)
---= — а!п|а — x| 4~ alnC=aln
= — а
1052. х + In | 2х 4- 11.
n	п	2x4-3	,,	2
Решение. Разделив числитель на знаменатель, получим - ' . — 1 4* л . . .
£Х -j- 1	zX "4— 1
1053. —4^ + ^ln|34-2x|. 1054. у — у2 In | а+ Ъх |. 1055. ^-х4-
+ fe«--aPln|ctx+p|. Ю56.^4-*4-21п|х-1|. 1057.	+ 2х 4- In | х 4-3 |.
х* х2	Ь2
1058. ^-4--д 4" х2 4*2х 4-3 In | х — 1 |. 1059. агх 4-2а6 In | х - а | — —- .
1060. In |х4-114-^. Указание.	= J .^.±0^ 1 dx=
= 108’- ,062-
1063.	Решение. С	| f
J у х2 4-1	2 J у х2 4-1
1064. 2/%4-^4 •'065-4= arctfc'4 1/ — \ 1066. —4|п	.
г ' 2	/15 Ч Г 5/	4/14 х/74-2/2
inc? ____1___1- У « 4~ fr 4~ х Va b	i/’o"arrt„
ОТВЕТЫ
399
1069.
t
1070.
24т1п(2/?'+Г7+'
Д 1п|Зх2-2|-------Д=1п
О
— у In (5х24~ 7).
1071.
1073.
х/3-/2
2/6	х/3 + /2
1075. Д /бх2^
О
X — у 1П (хг 4- 4) + arctg у.
1072.-Д= arcsin (х 1/ Д ) .
.1074.  Дг. arctg
/35	8
Л + In (х/5 + У5х*+1).
У 5
1076. /х2 - 4 + 3 In | х + /х2 - 41. 1077. у In |х2 — 5|. 1078. Д In (2х*4-3).
1079. Д In (агхг + Ьг) + — arctg 1080. Д arcsin Д. 1081. Д arctgЛ
2а	а b	2 а*	3
j	_____ 2________________________ (arctg Д-Y
1082. 4 in |х’4-/х’- 1 |.	1083. 4/(arcsin х)2.	1084.	,
о	3	4
1085. Д1 и(1 4- 4х2) —^(агсД2х)Д. Ю86. 2 /1п (х 4- /1 4- х2). 1087. — —е~тх.
О	О	(И
2Х	_2Х
1088. — х-Д-421089. /4-еЧ	1090. ^-еа +2х — ~е “.
О 1П 7	£	£
1 М* Ъ*\ п
1091. ч-----j—г ( тх------х ) — 2х.
In а — In b \bx ах J
2	( 1	2
1092.	\ 4-	а	4- а
In а	\ 3	1
1093. - g-Дл • ,094- 2ТГ7 7Л ,095> ~е* ' ,096- Н5	1 ’°97’ln |е*“11’
1098.	1099. ^(е« 4-1)’ . 1100. Д--Д^In(2х 4-3).
tjU	*	О О 111
Указание.
1
2х 4-3
1102.
2Ь 1П
|14-е~*х|
11 -е~6*| ’
1Д______
з V 2*4-зУ
1103. arcsin ?.
HOI- 4arct8<a*>*
1104. — Д cos (а 4- Ьх).
1105./2 sin 4= .
/ 2
1106.x—Дсоз2ах. 1107. 2sin/x. 1108. — In 10-cos(Igx).
у	cin	1	у
1109. -7г--. Указание. Положить sin2x = — (1 — cos 2х). 1110. -77 -|-
2	4	2	2
. sin 2х ..
4----— . Указание.
‘	4
1112 _cjg«x_x>
а
См. указание к задаче 1109. 1111. — tg(ax4"&)«
"’’“'"Hl- "»• е'"|«(¥+т)|-
1115.
1118.
X-------^z= Ctgx У2 — У2 In
V
1116. -Д tg (x®).	1117. Д cos(l - x2).
X I
tg —2— . 1119. — In I cosx [. 1120. In I sinx|.
400
1121.
1124.
1128.
1131.
1134.
1137.
1140.
1145.
1148.
1150.
1153.
1155.
1157.
1161.
1164.
1167.
1169.
1171.
ОТВЕТЫ
(a-6)ln|sin^-^|.	1122. 51п |siny |.	1123. - 2 In | cos Ух |.
у ln|sin(x2+1)|.	1125. In | tg х |.	1126. ySin2-^-. 1127.	.
—  \.	1129. — 4- In (34- cos Зх). ИЗО. — 4- У cos 2х’
— 4 /(1 + 3 cos2 X)3.	1132.	1133-
5
1135.1 (tg3x + ^). 1136. l(ln|tg^| + 2sinflx) .
1-In 1 ft — a ctg Зх I. 1138. 1 ch 5х — 1 sh 5х. 1139. — 4 + 4-sh2x.
За	5	5	2	4
In | th ~ j . 1141. 2 arctg e* * * * * * * * * x. 1142. In | th x |. 1143. Inch*. 1144. In | shx |.
~	]/(5 - x^- 1146. 1 In | x4 — 4x + 1 |.	1147. arctg
— 4e’X‘- ,149- yarct8 (x у4у)—y=ln(x /3 + /2+ 3x2).
1 —4r + x-21nlx + l |.	1151.---Д=.	1152. ln|x + cosx|.
о 2	у ex
l(ln|sec3x+tg3x| + s-A_).	H54.	.
In | tg x +/tg2 x — 2 |.	1156.	/2 arctg (x /2) - 4 (2x^—) ‘
a3inx	?/ (x3 +1)2	I	1
-=--.	1158. v n - . 1159. 4-arcsin (x2). 1160. — tg ax — x.
Ina	2	2	a
x sin x	. tgx	,	. I, fx . л \ I
у-----у	1162. arcsin-у- .	1163. aln|tg^ + T;| •
Q __________ _________________________ 1 I	I
j/(l+lnx)4.	1165.	-2 In I cos/x- 1|.	1166. yin tg у •
arcttrv i In2 (1 + *2) I i
earcig,v -----\__j---/ arcfg x
1^2 In I tg -X- | — 2x — ]^2 COS .
I 2 ]/Y|	/2
1168. — In | sin x cos x |.
1170. x+4=ln vl •
/2	x+/2
In | x |+2arctgx. 1172. esln+ 1173. arcsin£ljLу 4 _ 3x2.
ОТВЕТЫ
401
1174. х-In (14-е*). 1175.
1	,	-./а-b
1176. ln(e*4-/e2*—2).
1177. In | tg our |.
,l78- -^cos (^+ '₽«)•
1179. 4 In
4
24-lnxl
2 — In x I
( x \*
I arccos -у I	.	, . 2
1180. —-----------— . 1181. — e-tg*. 1182. — arcsin ( ^4^
2	2	\ /2
1183. — 2ctg2x. 1184. (arcs^x)-
1186. —In
4/5
/5 4- sin 2x
1^5 — sin 2x
/1 — x2. 1185. In (sec x 4~/sec2 x 4-1)-
1187. —arctg(4^4 . Указание.
/2	4/2/
f dx
rra^=Lin2x+X2c7^=Jt^?T2- ”88- 4/[In(*+/i+^)]s.
1189. lsh(x’4-3).
О
1190. Д75 3th * П91. a) _L arccos^ ПРИ
In 3	V 2	x r
x > /2;
1	9 r_______ r.--------
6) -ln(14-e-*); в) ± (5x2 - 3)’; г) у V(x 4- 1)’ - 2 Vx 4- 1;
,) ..|sl., + rw.>. 1192. 1	.
1193.	1194. In I У^+2 I'
\ °	2	/	IУ 2x 4-1 + 1 I
1195. 2 arctg /ё*^П. 1196. In x - In 2 In | in x 4- 2 In 2 |. 1197. (arcsin.^L*.
1198. 4(е* — 2)/ё^+~1- 1199. 4( cos2x —5 Wcosx. 1200. In I--------7=^
\	/	1-4-1/x2-4-1
I	___ I
Указание. Положить x = — • 1201. —— У1 — x2 -{- — arcsin x.
1202. — 4/2 — x2 — 4/2—x2. 1203. /x2 — a2 — aarccos—. 1204. aiccos—,
о	о	XX
если x > 0, и arccos (-, если х<0*), Указание.
\ х J	'
1205. /хЯ7! — In 11 ^~х2 + 1 . 1206. — ^~4	.
| х	4х
Положить х = — .
Примечание.
*) В дальнейшем, в
ответ, годный лишь для
тегральной функции.
аналогичных случаях, иногда будет указываться
какой-нибудь части области существования подын-
402
ОТВЕТЫ
Вместо тригонометрической можно применить подстановку х = у •
1207. у У*Г— х2 + уarcsinх. 1208. 2arcsin ]/х. 1210. Ух2 — а2
+ 4 In | x-f- ]/x2 — a2 ].	1211. x In x — x. 1212. x arctg x —In (1 -px2).
z	z
xsin3x , cos3x
1213. x arcsin x -f- у 1 — x2.	1214. smx — xcosx. 1215. —5-----1---5— •
о	У
*±1	x In 9 4-1	e,x
1216. — ЧД. 1217. — - Д. X . 1218. ^=-(9x2—6x-f-2). Решение. Вмес-
ex	2х In2 2	27 4	1
то многократного интегрирования по частям можно применять следующий
способ неопределенных коэффициентов:
j x2e2Xdx = (Ах2 + Вх + С) е9х
или, после дифференцирования,
х2е*х = (Ах2 + Вх + С) Зе8Х + (2Ах + В) е2х.
Сокращая на е*х и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
х, получим:
1 =ЗЛ; 0 = ЗВ + 2Л; 0 —ЗС + В,
12	2	л
откуда Д — —; В =------С~—. В общем виде \ Рп (х) eaxdx = Qn (х) еах,
<5	У	Z/	J
где Рп (х) — данный многочлен степени п и Qn (х) — многочлен степени п с не-
определенными коэффициентами. 1219. —е~х (х2 + 5). Указание. См. зада-
X
чу 1218*. 1220. —Зе 8 (х8-|-9х2 4-54х-|-162). У к а з а н и е. См. задачу 1218*.
tool xcos2x . sin 2х	2х2-|-1 Ох-|-11 . о , 2х-{-5 о
1221.----------------— .	1222. ---!— ------sin 2х 4--у—cos 2х.
4	1	8	4	1	4
У Казани е. Рекомендуется также применить способ неопределенных коэф-
фициентов в виде
\ Рп (х) cos рх dx = Qn (х) cos рх + Rn (х) sin рх,
где Рп (х) — данный многочлен степени л, Qn (х) и Rn (х) — многочлены сте-
пени п с неопределенными коэффициентами (см. задачу 1218 *).
1223. £1пх-£.	1224. х 1пг х — 2х 1пх 4-2х.	1225. —	’
3	9	1	2х2	4х2
1226. 2/71пх-4УГ.	1227. arctg х —.	1228. ~ arcsin х —
—arcsinx + у У1 — х2.	1229. х In (х -f- У1 +х2) — У"1 -J- х2.
1230. —xctgx + ln|sinx|. 1231. — -Д- + In I tg 4 I • 1232. ^sin-Xo~ C0sx)
b 1	1	1	sin x 1 I 6 2 I	2
1233.
3х (sin x -|- cos x ln3)
1 +(ln3)2
1234 gg* (a sin cos M
a2 + b2
ОТВЕТЫ
403
1235. у [sin (In х) - cos (In x)]. 1236. -е—(хг + У). 1237. Че*"* (fx - 1).
1238. (y-x’ + 3x)lnx-^4-y- 3x.	1239. In ||^|-x.
1240.	—	—	— y*	1241. [in (inx) — 1 [• in x.
1242. -i-arctg 3x4-7^5 In (9x’-H).	1243. (arctg x)2 — x arctg x -f-
О	IO 1oz	z
+ In (1 + **)• 1244. x (arcsin x)2 4- 2 У1 — x2 arcsin x — 2x. 1245. —
х
/1 — V2
In | cos 2х | х2
4 Т*
х cos (2 In х) 4~ 2* sin (2 In х)
|.	1246. — 2/1-х arcsin/х 4-2/х. 1247.
е~х /cos 2х — 2sin 2х
1249.
2 к 5
X	1
. 1250. — х . 2 :-1Ч 4- -z-arctg х. Решение. По-
2(х2 4- 1) ’ 2	&
лагая
сюда
1251.
ство
10
и = х и dv=—X^^2t получим du — dx и п = — -	.
С х2 dx __ х । С dx ______________ х ,1	. г
J (х24- 1)2 — “2(х24-1) + 3 2(х24-1)““"2(х24-1)"1"ТаГС	‘
2а2 \ ~а аГС g а + х2 4-
1 = ^[(х‘ + а2)-х2].
От-
а з а н и е. Использовать тожде-
шен
1252. ~ У & ~ х2 + arcsin —. Ре-
2	1 2 а
ие. Положим и = Уа2 — х2 и dv = dx* отсюда du =---------*	. и
У а2 - х2
v — %;	имеем
а2 — х2 dx~x У а2 — х2
* а~ dx = xyа2 — х2
а2 — х2
а2 — х‘
— х2 dx .. / 9 а
- ...—. — х у а2 — х2 —
Л? -%2
9 Г dx п
а2 I Г ---- . Следо-
I 1Л/72   Г2
вательно,
а2 — х2 dx — х У а2 — х2 4- a2 arcsin ~. 1253. ~УА~ух2~У
4- 4* 1п | х 4- У А 4- х21. Указание. См. задачу 1252*. 1254. —/9- х24*
Z
Q	у	1	у L 1
4-4-arcsin—. Указание. См. задачу 1252*.	1255. arctg .
Z	о	Z	Z
1256. 4 I" I-т-й I • 1257. -L arctg .	1258. 4 ln(x2 - 7х 13)4-
2	|х4-2|	/П * /П	2	п- /тг
7	9у__7	Q
4- arctg	1259. g-1п (х2 — 4х 4-5) 4*4 arctg(x — 2),
404
ОТВЕТЫ
к
1260. х- -j-In (х2 + Зх + 4)
9
-—arctg
V1
2*4-3
V1
. 1261. x-|-31n(x2-6x + 10)4-
1 4x —
4-8 arctg (x — 3).	1262.	arcsin—-
1264. ln|x + -|- + Kx2 + px + 4
1266.	— 2 /1 - x — x2 — 9 arcsin 2* 4 .
/э
+ —4 In (x /5 - 4=+ /5x2 - 2x 4- 1 .
5/5	/5	J
9 - Y	9 _ Y
1269. —arcsin—— . 1270. arcsin-----—-
x/5	(1 — x)/2
1272. ^4 /х2 4-2x+5 4- 2 In (x 4- 1 4- /х2 4-2x4-5). 1273. ^j—
4-iarcsin(2x — 1). 1274.44 2-x—x24-|-arcsin4^- 1275. 4-ln I I •
О	4	о	о	4 I X ~~ 1 j
1276.	arctg-yS“'\	1277. In [ex 4-I4-/I + e*.
— .	1263. arcsin (2x — 1).
1265. 3/x2 - 4x4-5.
1267.	4- /5x2 - 2x 4- 1 4-
□
1268.	In -----£== .
1 4- /1 - x2
(x >/2). 1271. —arcsin—4
1278. — In J cos x 4- 2 4- "Kc°s2 x 4- 4 cos x -J- 1 I- 1279. — 1 — 4 In x — In2 x —
— 2 arcsin 2+,!?*• 1280. In | TqHi | (“ ^ 6)- 1281. x 4-3 In | x - 3 | —
— 3 In I X — 2|. 1282. -j^ln
1	1 si
xT(x - 4)~*~
(x - 1) (x 4-3)21
(x4-2)‘ P

1284. 5x4-In
1285.
4-in
_L_ v 1
4
(x - 1)
+ 16ln|(2x-l)’(2x4-l)’|‘
X'
11
,287- T-(^2T2
x-2‘ ,288’	2(x—3)
2(x + l)-’289-
27	30
49 (x — 5)	49 (x 4- 2) + 343
. 1290. —
2(x2—3x-|-2)'
1291. x4-ln
1292. x 4-у In | j —-^агс^х- 1293-	Injx—3|—
- 1 In |x - 11 4-1 In (x2 4- 4x 4- 5) 4- 4o arct8 + 2>- ,294‘ |ln Z-V+I4
1
/3“
arctg
2x - 1
/3 ’
1295.
1 + 1
4/2 x2 —х/24-l
/2	4 x/2
—arctgj—
X
8
ОТВЕТЫ
405
1296.
lln^ + x+l
4	х2-х+1
1	, хг - 1
—— arctg—
2 /3 x /3
1297 —2L_ . arctgx
I297’ 2(1 4- x2) + 2
'*>» 2(Д 2,'+2) + "‘8 <*+>•	1„Ц + 1,+-/+Д.|) +
4---arctg	-1 In (x2 4-x 4-1).	1300. -~x " ^.-b
3/3	/3	2	2 (x2 -4x4-5)
4- у 1П (X2 - 4x 4- 5) 4-у arctg (x - 2). 1301.	Q 1 In |x + 11-
+ ,302. |orc(g, _ .
I303- тда?5+®,,‘1'--,3M- «-f4^+2I"<*’-&+2)+
4- arctg(x-l). 1305.	(8 In | xs 4-8 | - in |x’4-1 I). 1306. yln|x4-l| —
-lln|x’4-x‘- 1|
1  Jn 2x44-l -/5
2/ 5	2x4 4- 14-/5
1307.
1J . - j_1-4
2(x—4)2 ' x—4 '
-4-21nl--5I.	1308. 4- f 2 In I I-----ттл)' 1309. —Ц 4-
1	1X — 21	3 \ I x3 I x3 x3 +1 /	x— 1 1
I x_2 I	1
+ In ---j- .	1310. In I x I—In I x7-|-1 |. Указание. Положить
l=(x’4-l)-x’. 1311. ln|x|-yln|x’4-l|4-^-pT). 1312. Iarctg(x4-D-
1	. X 4” 1	111	1	1
--7-arctg—FT— . 1313. —7-7-7T-9 —	---iTs—	•	1314. — —
6	& 2	9(x—I)9	4 (x — I)8	7(x—I)7	5x5 1
, 1	1 t	1O1C o_/--г Г(х-1)8 . 3(x-l)2 , 1
+ 37 — у-arctgx.	«is. 2/x-1 p—у-Х4--Д-^—L-f-xj ,
1316.	[2 У (ax 4- fc)5 - 5b у (ax 4- fc)2] .	1317. 2 arctg /Г/1.
1318. 6 yic 4-3 ^/x-|-2/x — 61n(l 4- уГ).	1319. yx^/x —
— у	3/F4-2/F-3 ya-6 £/x-31n| 1 4- j/*|4-
1321.
1320. In
(/x4-l-l)2
2	. 2/x4- 1 4-1
arctg —--——!— .
Г Q	&
1322. — 2 arctg "Kl — x.
1323.	(x-2)4-yln|x4-/x2-l|.	1324. 11п?1±£±_14_
, 2	. 2z-)-l , 2z	1/0+1 1QO. /27+3
+ /Г 2Т?+^Т’ Z=V a±i- *325--------------------1Г--
406
ОТВЕТЫ
1326.	Кх2-*+1 -4-ln (2Х-1+2 /х2-х+1).
4	о
1327. -8~t:4^ + 3xVl-x2. 1328. (Ях-^х3 +|x6Wl+x2-
1 и	\ 10 Z4 О 1
£ ._________
-^1п(х+К1+х2).
1329. (дТг+ягИ Ух^—1 —^arcsin . 1330.
\ 1Л О/v 1	ОХ
2(x^1)2 Кх2 + 2х - у ausin	. 1331. Я + In | х | + у In (х—!-]-/?)-
-ln(l—4 +	где Я=Ухг-х+1. 1332. J+** , .
К 2	/	2 /1+2х3
1	?/х-4+1 + 1	1	_____
1333. -г In ; ._—--aictg Ух"4+1 .	1334.
4	— t 2	6 V
1335.
10
(z—l)3 У з . 2z + l
In —----—h ----arctg —,
z2 + z+l 5	/3
где
(2x2 —1) /'l-f-x2
3x3
z= p/l 4-x6.
1336. --jr—+3X* • 1337. —2 У (x 4+l)2.	1338. sin x—1 sin3x.
8 x(2 + x3)/a	3
1339. — cosx + -|-cos3x — -kcos5x. 1340.	. 1341. _l_cos8* —
о	□	о о	4	2
1 x	sin2x 1	о,..	.	3x sin2x , sin4x
3	2	2	2 sin2 x ’	'	8	4 r 32
x sin4x	x sin4x . sin3 2x	5	, 1 , „
1344. -g-	1345.	“64“ + 43 •	1346‘ i6x+T2Sn6x +
1	1	ctp3 x	9	1
+ KjSin 12x— —j sin«6x. 1347. — ctgx--------------------. 1348. tg x+—tg3 x 4--i-tg5x.
ul	1 *1*1	□	о	□
1349.	1350. igx + {Six_2c(g2x. 1351. -bg2x + 31n |tgx|-
О	Э	□	z
-2ТЬ-Г<Ь' l352' ^Г|+21”1'е7|- |ЗИ-ТГ[1”Н| +

1354.
sin4x . 3 sin 4x 3 . I (o . я \i
,355‘ 16cos44x+32cos24x+32 n|tg(2x+ 4 / | ’
ct<j2 X	1
1357.----77---ln/sinx|. 1358. —- ctg3x + ctgx + x.
Л	о
— cosx 3cosx 3	1 XI
4 sin4 x 8 sin2 x** 8 П| ^~2|
1356. 4- tg 5x — x.
О
1359. 4tg2| +
. . , x * , 01 I x I ,	1О/>Л x2 sin2x2
+ tg»y-3tgy+31n |cos 3-j + x. 1360.	—----g—
1362. — v cos< x + 4-1/ cos14 x —-Д cos18 x .
4 v 5 У	16 и
1361.
о
1363. 2 KtgT
ОТВЕТЫ
407
1364.
1365.
1 . г24-г/2 + 1	1	. z/2
—— In —I—’-=1-------arctg
2/2	г2-г/2 + 1	/2 sz2-l’
cos8x , cos2x	sin25x , sin5x	3 . 5x . . . x
---i6~ + —- ,366------50- + -10-* 1267.ys.nT + 3s.ny.
где z = /tgx.
1368.
3
3	x	1
-—cos———cosx. 1369.
2	о	2
2
sin 2ax x cos 2b /cosqp sin (2(o/4~(F)
л------"j-	9 1370*	~
4a 1	2	2	4co
1371.
sin x , sin 5x . sin 7x
20~ + ~28“
2
1372. cos 6х — cos 4х —cos 2х.
24	1о	о
1373.
T,n
2 + tgf
2-tg|
1374.
-L m
/2
1375. *-tg4-
1376.
— х -j- tg x + sec x.
1377. In
‘Ч~5
tg4-3
6 2
12	5
— x — — In |2 sin x -f-З cos x |. Решение.
Jo	Jo
+ 2 cos № a (2 sin x 4~ 3 cos x) 4- 0 (2 sin x 4- 3 cos x)'.
12	5
3a 4“ 20 = 2 и, следовательно, a = — °	T
1 о
_ 12pJv 5 (* (2 sin x 4- 3 cos x)‘
"Тз v“
1379.
1378.
Положим 3sinx4"
Отсюда 2a — 30 — 3,
o	u	..	ГЗ sin *4-2 cos x,
0=——. Имеем \ —-------Hr---dx~
r	13	J2sinx4-3cosx
12	5
-------—---- rfx	=	%	—	In I 2 sin x 4- 3 cos x |.
2 sin x 4-3 cos x 13	13	1	1	1
1380. —In | cos x — sin x ].	1381.
Указание. Числп-
тель и знаменатель дроби разделить на cos2x. 1382. - Lz arctg
у 15
2tgx4-3-/13
Указание. См. задачу 1381. 1383. —Д=г In
н и e.
1385.
1388.
У к а з a-
2tgx + 3 + ri3
См. задачу 1381. 1384. у In j | • Указание. См. задачу 1381.
—----------г-х.	1386. In (1 + sin2 x). 1387. —H In ^2+sln2x .
2(1 —cos x)2	2/2	/2 —sin2x
2tg4-l t 3tgf_i
----—------—arctg	—— . У к a-
/З /2	2/2
1 1 1
1 . 5 — sin x _oo_ 2	.
— In  -------:— . 1389. arctg-
4	1 — sin x 1^3
з а н и e. Использовать тождество	4	. - — 5--;
(2 — sin x) (3 — sin x) 2 — sin x 0—sinx
1390. — x 4-2 In
tg^+l
Указание. Использовать тождество
408
ОТВЕТЫ
1 — sirfх 4~ cos х _ j j_________________2__________ ch’x
1 4- sin x — cos x ‘ 1 + sin x — cos x *	° 3
1392. y +
. sh 2x . sh 4x ._no sh4x	x sh 4x	I x I 1
+ — + -32-- 1393-— • *394- " + -32-- ,395- ‘T tI + c-EO
f h2x	cth ® X
1396. - 2cth2x. 1397. In (ch x) —/г—. 1398. x—cthx——+~. 1399.arctg(thx).
2	u
2	/3th| + 2\
1400. — arctg ^—y--J
^или y=arctg(e*/5)J .	1401. —
sh 2x x
~4	~2 '
Указание. Использовать тождество -г--------------;—==
sh х — ch х
£=Esh х-|" ch х-
1402. —In (/2ch х 4-/ch 2х) . 1403.
1/2	*
/3-2х-х2 +
Н-2 arcsili	1404. ^-/2 4-х2 4-1 п (х 4-/2 +х2).	1405. у/Э + х2 —
Q	_____ У ______ 1	_________ 1	_______
— - In (х + /9 +х2). 1406.	/х2 - 2х + 2+ -у In (х - 1 + /х2—2х+2).
1407. у /х2 — 4 — 2 In | х + /х2 — 4 |.
1408. 2Х+ 1 /х2+х—
— 4-1п |2х + 1 +2/х2+х|.	1409. ^Цг-?/х2-6х — 7 —
о	2
— 8 In | х - 3+ /х2 - 6х - 7|. 1410. ^(2х + 1) (8х2 + 8х + 17) /х2+х+1+
Q7	________
+ 1281п(2х+1+2/х2+х+1).
1411. 2 1/ --? 1412.—~ - -	-.
2 х — *	4 / х2 — 2х + 5
1413
1
/Trctg
х/2
/Г=Т2
1414. —/=1п
2/2
/1 +х2 + х/2|
/1+х2 — х/"2]
z>?x /	7
1415. — { х4-2х’4-5х2-5х+у
1 I х2
1416.	\^х3 + у sin 6х +
. х с 1 . _ \	.... х cos Зх . sin Зх , х cos х sinx
+ -cos6x-3gSIn6xJ.	1417. в— + -18" + —--------------------Г-
1418.	(2 - sin 2х - cos 2х).	1419. f ?-.-.2х / cos 2х. —
о	2 \	5
4 sin 4х-f-cos 4х \	. .п ех _ , .	, ч .	,	. дл< х ,
---------iy--------].	1420. у [х (sin х 4-cos х) — sin х].	1421. — — 4-
+ 4-ln|e* - 1 |+4-1п(е*+2).	1422. х - In (2 +ех + 2 / е'-х + х + 1).
О	о
1423. у Гх’ In + In (1 - х’) + х2
1424. х!п-(х + / 1 + х2) —
ОТВЕТЫ
409
cos x sin "1 x . n — 1 .
7i । n~ n~*
1428. In —
— 2/1х2 In (х-]-/T-j-х2)2х.	1425.	arccos(5x-2)-
_^/20x-25x^3. 1426. ^x-^shxJ427 7n=J x
х [(xJ4-a2)n-1 + (2n-3)/n-1]:	/'2 = 2a2G? + a2 + "a arctg^)5
,	1 |x (3x2 4- 5tz2) .3	x
2 ~4a2 [_2a2 (x2-f-а2)2 + 2a3 arCtg ~a
.	3x cos x sin3 x	3 sin 2x	T
л = -------5--------jg-; /, =---------j-^cosxsm'x-^cosx.
1429. ln — (n_ 1)cosn-ix + n_ j rn-2<	/2~2cos2x+2 П Itg \ 2 + 4
li = ^h + ^tgX- ,43°- /Л = -Л’Х + «/п-Г. /10 = -в-*(х”+Юх’ +
cos x sin4 x
8
4
4- 10-9x8 4- ... + 10*9*8...2x4-10-9... 1).
1431.	1_ arctg
/14 S
/2(х —1)
V 7 ’
1432. In У x2 — 2x 4- 2 — 4 arctg (x - 1). 1433.++-j-lln ^x24-x + ^+
+ 1 arctg (2x+l). 1434.1 In 1/ + -. 1435. 2 In I I------!—
'2	&	1 '	5	rx2-|-5	| x 4- 21	x4~2 x4-3*
,n|/^+’
Г^-г + 1п
1 — X2 1
1437.
1	2x- 1
6 X2 — x +
2	. 2x - 1
——arctg ——
з/з /3
1442.
in
- 1 I) •	,439‘ 6 (x2-x4-l)’
И40. ^(3+2/7)	_1------U-Л-
1 — 2 / x	x 3x / x 2x2
4-x4- i'j . 1443. /2х-1 У(2хГ*. 1444.——1—
1445.
2x — 1
V 4x2 — 2x -t- 1’
1446. -2(J/5-x-
1447.
1448.
1 -x1
1	. x2 + 1
— arcsin —7— .
2
1	• 2(x4-1)
-----7= arcsin —4—-
8/3	x+^
1452. -i/x2-9--j-ln|x4-/x2-9|.
1449.
X — 1
1450. +=
Указание.
1451.1 In
О
1
V4 - x2 - 2
x — 2
X
X
J ZJ[
4 \ x x 4
1453.	(8x — 1) Vx — 4x2 + arcsin (8x — 1).
410
ОТВЕТЫ
Я.	.	Н55. (i4^i±2>Xiy12i±_2_
х2+2 У х2-|-х1	3
^/х2 + 2х + 2 —-tin (х + 1 + V~x2 + 2x4-2).	1456.	~ 1 —
/(x2- I)3
3x3
1457. -t In
О
V1 - х3 - 1
1458. —tln|z - 1 | +
О
4- -t In (z2 + z + 1) - 2/Ц arctg
где
г
х
5^
2
1459.
1461.
In I tg X I — Ctg2 X — -t Ctg4 X.
1463.
1465.
A (cos2 x — 6) jj/cos2 x. 1464.
tgax , tg8x
3^5
cos 5x
20 sin4 5x
1466. 4" sin 2x.
4
।. 3x . sin 2x . sin 4x
!4bU. -g-H -	Г~з2“.
.	2]^(ctgx)8
1462. — ctgx — .— * - — .
3 cos 5x ) 3 L 5x|
'~~ 40sin25x ‘ 40 ° |t2'2|-
i 4t4-1
,468--^7varctg—---
•14691 yWrctg(RD-
1	1	2
1470. arctg (2 tg x -f-1)« 1471.	In | tg x 4- sec x | — cosec x. 1472. ——- X
2	1/3
/. X\	/4 x\
/‘g-jA 1 ftg21	____________
Xarctg\pT/ 'yTarctg VpT/’ 14731 ln ltgx+2 + ’tlg2x4-4tgx+l|.
1474. -t In (sin ax]Ka2 -|- sin2 ax).	1475. -t x tg 3x-|- -t In | cos 3x |.
а	о	У
1476.	— X Si.n 2* —	. 1477. -t e*3. 1478. ~ (2x - 1). 1479.
4	4	о	o	4	о
Xln/r^J _±1n|x-l l-^-yg-y-	l480- /Г+^arctgx-
— ln(x-|-/l-|-x2). 1481. 4sin 17) sinX“ 4Sin4 ’ 14821 ~Г-4-1 tax*
1 “i" IL' Л*
sh^ x	________ 1
1483. In | 1 4- ctg x | — ctg x. 1484. —— . 1485. — 2 ch)/ 1 — x. 1486. -j- In ch 2x.
1x1	1	ex — 3
1487. — x cth x4-ln [ sh x |. 1488.	I ~ 2 I • 1489‘ Тагс*£ —о— .
4	4	Z
4 . ,____ 4 .  ____ 1	1 _L_ 9х	10"2X
I«o. y;/(.-+1)’1«>. |-l„r±?.i«.-n^x
x (•'- 1 + |-Тл+5ТТт<1') •	l«3. 2VF7T+lnl7,*-+l ~ 1 .
z \	‘ In 10 1 2 In2 10/	уex 4-1 4-1
ОТВЕТЫ
411
,,л<1 . х arctg х ,.nc 1 / .	. 1 , х24-2 /-_\
1494. In -------— .	1495.— х* arcsin--s-Vx2-!.
x	4\ x 3 Vх 7
x	1/2
1496. — (cos In x -J- sin In x).	1497. I —x2 cos 5x -f- x sin 5*4*
2,	□ \	□
+ 3xcos5x-f-^cos5x — -f-sin5x) .	1498.	Г(^2 — 2) arctg (2x4-3)4-
o j	" L
+ J In (2xl + 6x4-5)- yl. 1499.1 /x^x* 4- ( X - ~\ arcsin /£ 15ОО.Ц^.
Глава V
'Vi	Oio _ 1
1501. b-a. 1502. v0T-g-- . 1503. 3. 1504.	.	1505. 156. Указа-
0	6 2	ln2
н и e. Отрезок оси ОХ от х = 1 до х — 5 разбиваем на части так, чтобы абс-
циссы точек деления образовали геометрическую прогрессию: х0~ 1,
хх = ход, х2 = хйд2, ...,xn — xQqn. 1506. In—. Указание. См. зада-
чу 1505. 1507. 1 — cos х. Указание. Использовать формулу sin а 4“sin 2а-|—••
...4-sinna= ?  [cos-7- — cos fn + тЙ al .	1508. 1) = — -Д—-
o , a I 2	\	2 7 J	da In a’
2sinT
2)l = lr . 1509. Inx. 1510. — У 14-x1. 1511. 2xe~*4 —e~*‘. 1512. -C0S* 4-
db In b	1	2 }Лх
4- Л cos -= . 1513. x — пл (n = 1, 2, 3, ...).	1514. In 2. 1515. — 4
1 xz x2	8 •
1516. ex — e~x = 2 sh x. 1517. sinx. 1518. -у. P e шe н и e. Сумму stt =
1.2,	। n — 1	1/1,2,	. n — 1 \
= ^ + ^+ -+ -4?- = 1г(7Г + ^4--+—J можноРассматРивать
как интегральную для функции /(х) = хна отрезке 10,1]. Поэтому lim =
П-ЮО
можно рассматривать как ин-
^jxdx —у. 1519. 1п2. Решение. Сумму s„ — д +	“• +
4-11_ = 1/—!—4-—!_
п4-«	"(14-1	14--
\ ' п 1 п
тегральную для функции f (х) = т—на отрезке [0, 1], где точки деления
имеют вид xk = 1 4-	= 1, 2, ...» и). Поэтому lim sn = \ i .	= 1 n 2.
П	П-^QD J 1 1Л
О
1520. —J—г .	1521.1.	1522. ^ = 331.	1523. 1. 1524.^.
р -j-1	3	3	3	4	3
9	19	9	1
1525. _±.	1526. 4 In 4.1527. In 4- 1528. 35т^—321n 3.1529.arctg3-
— arctg 2 = arctg у. 1530. In у. 1531.	1532. 1 - 1= . I533.y.
412
ОТВЕТЫ
б • ,535- у,п —г~
1534.
1539.
1 — cos 1. 1540. 0. 1541.
rr 1	9
1536. -тг + 4-.	1537.	1538. In2.
8'4	3
1542. arctge-^-. 1543. shl =
9/3	6	4
= ^-(e-1V 1544. th (In 3) - th (In 2) =1. 1545. - 4+4 sh2л. 1546.2.
2 \ e J	5	2	4
1547. Расходится. 1548.	* -- , если p< 1; расходится, если 1. 1549. Рас-
ходится. 1550. -у. 1551. Расходится. 1552. 1. 1553. —J—р если р > Г, рас-
тс
ходится, если р^ 1. 1554. п. 1555.	. 1556. Расходится. 1557. Расходится.
111 л2
1558.	~ . 1559. Расходится. 1560.-j—.1561. Расходится. 1562.—. 1563.-5-
1п 2	in a	k 8 •
1	1	2л
1564. — 4-— 1пЗ. 1565. —. 1566. Расходится. 1567.Сходится. 1568. Рас-
3’4	з/з
ходится. 1569. Сходится. 1570. Сходится. 1571. Сходится. 1572. Расходится.
2	1
1573. Сходится. 1574. Указание. В (р, q) = f (х) dx Ц- f (х) dx, где
0	1
f (х) = хр'~1 (1 — так как lim f(x)xx~p— \ и lim (1 — x)x~q f (x) = 1, то
x —> о	X —> 1
оба интеграла сходятся при 1 — р < 1 и 1 — <7 < 1, т. е. при р > 0 и q > 0.
1	00
1575. Указание. Г (р) = f (х) dx J f (х) dx, где f (х) — х?’1 е~х. Первый
О	1
интеграл сходится при р > 0, второй — при р произвольном. 1576. Нет.
п
2	2	In 3	00
1577. 2/7 J /7 dt. 1578. J	• 1579. J dt. 1580. J	dt.
1	It	In 2	О
6
9	л
1581. x = (b — a)t4-a. 1582. 4 — 2 In 3. 1583. 8 --— л. 1584. 2 — 4
2 /3	2
1585. -£=. 1586. —. 1587. 1 - 4  1588. /3”--£. 1589. 4 - Я.
/5	2/1 + a2	4	3
1590. -yin 112. 1591. In	. 1592. у + ~p 1593.	. 1594.	.
1599. 4 — 1- 1600. 1. 1601. C-i-4 1602. 4-‘(en + l). 1603.1. 1604. - f . .
2	8	2	a2 -f- b2
co
ь	C -
1605. ^p^2 . 1606. Ре ш e н и e. Г (p -f- 1) = j xpe x dx. Применяя формулу
о
интегрирования по частям, полагаем хр — и, е~х dx — dv. Отсюда
du = рхр "1 dx, V — — е~х
ОТВЕТЫ
413
и
оо
г (р + 1) = [-	Р J хР~'е~х dx = рГ (р).	(♦)
о
Если р является натуральным числом, то, применяя формулу (*) р раз и учи-
тывая, что
00
Г(1) = р“* dx = l,
о
получим:
Г(р + 1) = р!
.	135... (2k- 1 л
1607. /2ь —--->—тгг— тг» если п = 2я —число четное;
2К 2-4-6...2k	2
2-4-6 2k
l2k+i~7Т3Т5---(2^-p'l) ’ еСЛИ + 1 ~ число нечетное.
_ 128.	_63л
/э“315;	1О“512‘
1608. ——. 1609. 4"в (—тг“ »	Указание. Положить
(р-f-^-l)!	2	\	2	2 /
sin2* — t. 1610. а) Плюс; б) минус; в) плюс. Указание. Начертить график
подынтегральной функции для значений аргумента на отрезке интегрирования.
1	1	3
1611. а) Первый; б) второй; в) первый. 1612. —. 1613. а. 1614. —-. 1615. —
3	2	о
1616. 2arcsin4-. 1617. 2</</5: 1618. 4</<4.1619. Лл</ <4л.
о	У	/	1<5	/
JT2
1620. О < / < — . Указание. Подынтегральная функция монотонно растет.
OZ
1	.	тЛГ	39	1
1621. — < 1 < —9— . 1623. $ = -^. 1624. 1. 1625. у. Указание. Учесть
знак функции. 1626. 4 — . 1627. 2. 1628. In 2. 1629. m2 In 3. 1630. ла2. 1631. 12.
1632. 4 р\ 1633. 4-t	1634. 10 4- 1635. 4. 1636. 4. 1637.
о	2	о	<э	2	о
1638. е-±~ — 2 = 2(ch 1 — 1). 1639. ab (2 /3~— ln(2-f- У 3)]. 1640.	ла’.
4
Указание. См. приложение VI, черт. 27. 1641. 2Л”1. 1642. — а2. 1643. 15л.
<5
9
1644. — In 3. 1645. 1. 1646. Зла2. Указание. См. приложение VI, черт. 23.
/ л \	4
1647. 6/2 ( 4“	• Указание. См. приложение VI, черт. 24. 1648. 2 л	—
ибл —4- 1649. 4 л и 4Л Т” * 1650. 4 па6- 1651. Зла',
о	о	о о	3	о
з
1652. л (bz + 2ab). 1653. бла2. 1654. — а2. У к а з а н и е. Для петли параметра
3
меняется в пределах	См. приложение VI, черт. 22.1655. — ла2.
414
ОТВЕТЫ
1663. а2
Указание. См. приложение VI, черт. 28.1656. 8л5а2. Указание. См. при-
ложение VI, черт. 30. 1657.^-. 1658. а2. 1659.	. Указание. См. при-
о	4
о	14__о 1/'"9	ппг
ложение VI, черт. 33. 1660. л. 1661.---------——а2.	1662.------Ц57-
2	3	(1 — е2)/а *
л 1/^3 \	—
— 4- -Ц- 1 . 1664. л)^2. Указание. Перейти к полярным коор-
о 2 J
Q	___ ___________________
динатам. 1665. — (10 |Ч0 — 1). 1666. yh2 — а2. Указание. Использовать
формулу ch’a-sh2а =1. 1667. /1In (1 4-/2). 1668. /14-е2- /24-
4- |п У1 +е* ~ 0 (/2~+ О , I669>	1670< 1п (е _|_ у^—Г).
1671. In (2 4-/3).	1672 ^-(е24- 1).	1673. aln-j. 1674. 2а /3?
— 1	sh b	1
1675. In, 4-а — b = In-=—. 1676. — аТ2. У к а з а н и е. См. приложе-
е2а — 1 1	sh а	2
ние VI, черт. 29. 1677.	7 — • 1678. 16а.	1679. ла/1 4-4л2 4-
ab
4-^- In (2л 4-/1 4-4л2). 1680. 8а. 1681. 2а1У~2+ In (/М- 1)]. 1682.
4- |п1+^.	1683. а Z1 + w2 1684 1 [4 ln 3j |685	. 1686> 4 nabt
2	tn	2	30	3
1687. ^(е24-4-е-2).	1688. 4 л2.	1689. vx = -%-.	1690. vv = 4 л.
4	8	4	у I
1691.	= Оу = 2л. 1692.	1693. || па3. 1694. -^-пр3. 1695.-^л.
z	и	1Э	о	1U
1696.	(15 - 16 In 2). 1697. 2л2а3. 1698.	. 1699. || лй’а. 1701. а) 5л’а3;
2	2	1 э
б) бл’а3; в) (9л2 - 16).	1702. па3. 1703. 4 ла3. 1704. Д-ла3.
о	1 иЬ	о	21
1705. f ДВ4-Л-4—+afcV 1706-	,707‘ Т^а’- 1708- 4nfl2t-
о \	2	j	□	1 иэ	э
1709. A na2h. 1710. 4а’- 1711. ла’/pq. 1712. nabh (1 4-4^ • 1713. 4лаЬс-
Z	и	\ ОС J	о
1714. 84(/173- 1); 4 ла2 (5/5-8).
О	о
1716. Л (/5~- / 2) 4- л In ,2<^j+1)
.	/54-1
л я2	ла2
1718. ^(e2-e-24-4)=^-(24-sh2). 1719.
1715. 2л [/2 4-In (/2 4-1)].
1717. л [/2 4-In (14-/2)].
12
ла2. 1720. 4 (е - 1) (е2 4- е 4- 4).
О	о
1721. 4л2аЬ. Указание. Здесь у = b ±}^а2 — х2. Взяв знак плюс, получим
внешнюю поверхность тора, а знак минус — получим внутреннюю поверх-
о ь2 । 2ла£>	.	о , , лЬ2, 14-е
ность тора. 1722.	1) 2лЬ2-|-----arcsine; 2) 2л а2 -In -—!—,	где
е	el — е
ОТВЕТЫ
415
в = —---- (эксцентриситет эллипса). 1723. а) —; б) 16л2а2; в)—ла2,
а	о	о
1724. паг. 1725. 2ла2 (2 - / 2). 1726. -ф ла2. 1727. Мх=-%- Vа’-f- Ьг;
О	о	z
1728. Ма = ^-,	1729. MX=MY~\
___	п	Q __________	_ О
х = у =4. 1730. Мх—Му = -^аг-, х =у =^-а. 1731. 2ла2. 1732.х = 0;
О	0	0
*- a 2 4-sh2 ^пл — а sin а —	_	—	—	4 -у 4а
У=~г - i. 1— -1733. х =---------; у = 0. 1734. х =ла; у =^-а. 1735. £=—<
4 sh 1	а	3	Зл>
1736. х=у=^. 1737. х — ла-,у = ~а. 1738. ( 0; 0; Ре-
оЛ	zU	о	\	2 /
ш е н и е. Разбиваем полусферу на элементарные шаровые пояса площади do го-
ризонтальными плоскостями. Имеем скг = 2лас£г, где dz — высота пояса. От-
fl
2л az dz
сюда г = ——g— = —. В силу симметрии х =у =0. 1739. На расстоянии
ZjIu	£
3
— высоты от вершины
конуса.
Решение.
Разбиваем конус на элементы
плоскостями, параллельными основанию. Масса элементарного слоя dmi =
= ynQ*dz, где у — плотность, z — расстояние секущей плоскости от вершины
л
С г2
л \ -тг г’ dz
г	—-	J	з	/	3 \
конуса, Q =-г-г. Отсюда z =—------------= — h. 1740. ( 0; 0; 4- —а).
Л	1	4	\	о /
тлг2й
Решение. В силу симметрии х =у =0. Для определения z разбиваем
полушар на элементарные слои плоскостями, параллельными горизонтальной
плоскости. Масса такого элементарного слоя dm = улг2 dz, где у — плотность,
г — расстояние секущей плоскости от основания полушара, г = ]/ a2 — z2 —
радиус сечения. Имеем:
л \ (a2 — z2) z dz
О	11
z =—2— --= 4 а. 1741. / = ла’. 1742. Ia = -^aba-,	1ь = ^а'Ь.
Z .	□	Ой
— ла’
о
4	11	1
1743. / = hb\ 1744. 1а = ^лаЬ\ 1ь = ±ла*Ь. 1745. / = ± л (Rj - RJ).
Решение. Разбиваем кольцо на элементарные концентрические кольца. Мас-
са такого элемента dm = y2nrdr и момент инерции / = 2л^г’^г =
/?1
= у л (Rj — RJ); (у = 1). 1746. / = — л^Ну. Решение. Разбиваем конус
на элементарные цилиндрические трубки параллельно оси конуса. Объем такой
элементарной трубки dV = 2nrhdrt где г — радиус трубки (расстояние
416
ОТВЕТЫ
до оси конуса), h — Н[\---------— I — высота трубки; тогда момент инерции
\ R J
R
р ( f У\	vji Н
1 = У \ 2пН 11--------г* dr =>———, где у — плотность конуса. 1747. / —
J \ R. ]	10
о
2
= — Ма2. Решение. Разбиваем шар на элементарные цилиндрические
э
трубки, осью которых является данный диаметр. Элементарный объем dV =
=2nrh dr, где г — радиус трубки, h — 2а j/" 1 — Г—2 — ее высота. Тогда момент
а___________________________
инерции / = 4лау \ 1/ 1 — г3dr = — ла5у, где у — плотность шара, а так
о
4	2	—
как масса М—— лп3у, то / = -— Ма2. 1748. V = 2n2a2b\ S = Mi2ab\ 1749. а) х =
о	о
—	2	__ ___ 9	_ ______ 4г
= У = -g- а\ б) х = у — — р. 1750. а) х =0, у = — — . Указание. Оси ко-
ординат выбраны так, что ось ОХ совпадает с диаметром, начало координат —
____________________
в центре круга; б) х = —. Решение. Объем тела — двойного конуса, по-
лученного от вращения треугольника вокруг его основания, равен V=
= -^- nbh2, где b — основание, h — высота треугольника. По теореме Гульдена
тот же объем V = 2лх bh, где х —расстояние центра тяжести от основа-
л — h	St2	С2 / Vn \
ния. Отсюда х = 4. 1751.	1752.	4- In 1 4- -Ц- ) . 1753. х —
3	°	2	2g \	' с2 J
= —sin со/; исо = —о0. 1754. S=104^. 1755. о = In f—; Л =-4-X
(О	ср л 0	b \а — bt J	b2
X р/i — (а — btx) In——з—l . 1756. A=~R2H2. Указание. Элемен-
L	а — btx\	2
тарная сила (сила тяжести) равна весу воды в объеме слоя толщиной dx, т. е.
dF~ynR2dx, где у—вес единицы объема воды. Следовательно, эле-
ментарная работа силы dA = ynR2 (И — х) dx, где х — уровень воды. 1757. А =
= yR2H2. 1758. A = ~RiTM =^0,79-104 = 0,79-107
— ynR3H. 1760. A — --m^^h ; A(*> = mgR. Решение.
1 + —
R
r, , mM
на тело массы m, равна F~k—^, где г — расстояние
Так как при r = R имеем F = mg, то kM — gR2. Искомая работа будет иметь
л С h л U ™ f 1	1 \ fngh п /
вид А — \ k —г dr — kmM ------------ . При h = оо имеем
J r	\ R R + hJ . h
R	1
Aao = tngR. 1761. l,8-1043pa. Решение. Сила взаимодействия зарядов
€ €
F дин- Следовательно, работа при перемещении заряда из точки xt в
кГм. 1759. Л =
Сила, действующая
от центра Земли.
1
Я R
dr —
ОТВЕТЫ
417
*2
р dx	/ 1	1 \
х2 будет: А==еое1 \ ~2' = е0е1 (------1=1,8* 10*эрг. 1762.А = 800лIn2 кГм.
J X	\ Xj	Х2 ]
Х1
Решение. Для изотермического процесса pv = pQv0. Работа при расширении
ft
газа от объема и0 до объема равна Д= V pdv — pQvQ In —.	1763. Д^з
J	»0
fo
^15000 кЛи.Р еше н ие.Для адиабатического процесса справедлив закон Пуассо-
Vi k	k-
на pvk=zpQv& где 1,4. Отсюда Д= dy =	[1 — ( —	1«
J tr « — i L \ vi J J
fo
4
1764. Д = ~лрРа. Решение. Если а — радиус основания вала, то давле-
о
р
ние на единицу площади опоры р = -^.Сила трения от кольца шириной dr,
удаленного от центра на г, равна г dr. Работа силы трения на кольце при
.	ja 4лиР ,, _	л . 4лцР. .
полном обороте есть «Д = ——— rzdr. Поэтому полная работа А = -~— X
а
р	4	1
X \ г2 dr = у лрРа. 1765. — MR2(&\ Решение. Кинетическая энергия
о
v2dm ог2(о2 ,	.	_	,
элемента диска dR = —%- = - — — da, где da = 2nrdr — элемент площади, г —
М
расстояние его от оси вращения, Q—поверхностная плотность, q=—. Таким
Л R
R
. Mat* t.	Ма>г С , .	3
образом,	г da- Отсюда К \ r dr = —4— • 1766- К = эд X
О
м
XMRW. 1767.К = -=- 7?2со2=2,3- 10* к Гм. У Казани е.Количество необходимой
о
работы равно запасу кинетической энергии. 1768. Р—~~^~ • 1769. Р=^а
11,3.10’ Т. 1770. P^=abynh. 1771. Р =	— (вертикальная составляющая
направлена снизу вверх). 1772. 533 —г. 1773. 99,8 кал. 1774. М =
о
а
kMm	ч лра4 п	С п л
1775.-7—j—г? (k—постоянная тяготения). 1776.	Решен и е. О=\и‘2лгагг=
а (а 4-Z)	8р/	J
о
a	2b
2лРС/2 2ч лр[а2г2	г4!® лра* л .	2 ab2
== т~т \ (а —r)r dr = ’nr/ Hi----т- =-гт* 1777. Q= \vady~^. р— .
4|i/ J	2р/ L 2	4 J о 8ptZ	J 3 р/
о	о
Указание. Ось абсцисс направить по большой нижней стороне прямоуголь-
ника, ось ординат — перпендикулярно к ней, в середине. 1778. Решение.
f2
о С 1 J	-	dv	1 J
S=\ — dv‘, с другой стороны, ~^ = а, откуда dt = — dv, а следовательно,
ft
14 Г. С. Бараненков и др,
418
ОТВЕТЫ
время разгона
х+ _£.х==^
о^2	2
х
1779. Мх = — J ~-(x — t)dt +-S- х =
о
X
1-у). 1780. Мх = - ^(x-t)ktdt-i-
О
4~4х —~(f —х2). 1781. Q = 0,12 77?/J кал. Указание. Использо-
вать закон Джоуля — Ленца.
Глава VI
9	О	-
1782. V = 4 (уг-х^х.	1783.	5= т (х ±у) /4г« + 3 (х - #.
О	о
1784. /(1; з)=|; /(1; - 1) = -2. 1785.	.
1786. f(x, х2) = 1+х-х«. 1787. €=^^..1788. f (х) =	
У к а з а н и е. Представить данную функцию в виде /(---) =	+ 1
и	X* — хи
и заменить-^- через х. 1789. /(х, #) =—-—Решение. Обозначим
,	~	u-\-v u — v . u-f-v u — v ,
х^у = и, x-y = v. Тогда х~—1— , г/ ——; f(Utv) = —±-----------+
, [и — сА2 и2 — uv ~
4~1 —-— ) = —х— . Остается переименовать аргументы и и v в х и у.
1790,. f (и) ==_и2 4- 2и\	2 = х —J 4-VV.	Указание. В тождестве
х = 1 +/(1/Гх —1) положим х — 1 =и\ тогда х — (и + I)2 и, следовательно,
f(u) = u2 + 2u. 1791./(4/) = Рл1+^2;z=i V^x2-]-^2. Решение. При х = 1
/ \ Л /
имеем тождество ]Л1 4-1/2= 1 ./f ~ j , т. е. f (у) = 1^1 -±-у‘- Тогда f (~ j=
= j/"14”^~J и г==х j/"	х* "ЬU* * 1792. а) Единичный
круг с центром в начале координат, включая окружность (х*-f-*/2	1);
б) биссектриса у = х I и III координатных углов; в) полуплоскость, расположен-
ная над прямой х + У — 0 (х -|- у > 0); г) полоса, заключенная между прямыми
у= ± 1, включая эти прямые ( — 1	1); Д) квадрат, образованный отрез-
ками прямых х=±1 и у— £ 1, включая его стороны
—	е) часть плоскости, примыкающая к оси ОХ и заключенная
между прямыми f/=±x, включая эти прямые и исключая начало координат
( — х^у^х при х > 0, х<г/<- х при х < 0); ж) две полосы х2,
— 2^у^2 и xs^ — 2, — 22; з) кольцо, заключенное между окружно-
стями х2-\-у2~а2 и х24-^2 — 2а2, включая границы; и) полосы 2пл«Сх^
«С(2я4- 1) У^Ъ и (2п4-1) я «Сх tC (2п 4~2) л, 0, где п — целое число;
к) часть плоскости, расположенная выше параболы у = — х*(х24-#>0);
л) вся плоскость XOY; м) вся плоскость XOY, за исключением начала коор-
динат; н) часть плоскости, расположенная выше параболы у2 = х и вправо от
оси OY, включая точки оси ОУ и исключая точки параболы (х^0, {/>1^ х);
о) вся плоскость, за исключением точек прямых х=1 и ^ = 0; п) семейство
концентрических колец 2nk «Сх2 4~//2^я (2k 4-1)	(k~0,	1, 2, ...).
1793. а) I октант (включая границу); б) I, III, VI и VIII октанты (исключая
ОТВЕТЫ
419
границу); в) куб, ограниченный плоскостями х = ± 1,	и г = ± 1,
включая его грани; г) шар радиуса 1 с центром в начале координат, вклю-
чая его поверхность. 1794. а) Плоскость; линии уровня — прямые, параллель-
ные прямой = б) параболоид вращения; линки уровня — концентри-
ческие окружности с центром в начале координат; в) гиперболический пара-
болоид; линии уровня — равносторонние гиперболы; г) конус 2-го порядка;
линии уровня — равносторонние гиперболы; д) параболический цилиндр, обра-
зующие которого параллельны прямой х -\-у -f-1 = О, линии уровня — парал-
лельные прямые; е) боковая поверхность четырехугольной пирамиды, линии
уровня — контуры квадратов; ж) линии уровня — параболы у = Сх2; з) линии
уровня — параболы у~сУх\ и) линии уровня — окружности С (х2	у1) = 2х.
1795. а) Параболы у — С — х2 (С > 0); б) гиперболы ху = С (| С |	1); в) окруж-
ности х2у2 — С2\ г) прямые у = ах-]-С- д) прямые у — Сх (х 0). 1796. а) Пло-
скости, параллельные плоскости х у -f- г = 0; б) концентрические сферы
с центром в начале координат; в) при и > 0 — однополостные гиперболоиды
вращения вокруг оси OZ; при и < 0 — двуполостные гиперболоиды вращения
вокруг той же оси; оба семейства поверхностей разделяет конус х2 t/2 — z2 = 0
(и~0). 1797. а) 0; б) 0; в) 2; г) ek\ д) предел не существует; е) предел не
существует. Указание. В пункте б) перейти к полярным координатам.
В пунктах д) и е) рассмотреть изменение х и у вдоль прямых y — kx и по-
казать, что данное выражение может стремиться к различным пределам
в зависимости от выбранного k. 1798. Непрерывна. 1799. а) Точка разрыва
при х = 0, ^ = 0; б) все точки прямой х — у (линия разрыва); в) линия раз-
рыва — окружность х2-|-#2 = 1; г) линии разрыва — координатные оси.
1800. Указание. Положив у — ул = const, получим функцию ср, (х) =	1
х2+^/2
которая непрерывна всюду, так как при yt 0 знаменатель х2 + У2Х £ 0, а при
2х и
У1=0 <р,(х)^0. Аналогично при х = х1 = const функция ф2 (у) —--— не-
х’ А-у'-
прерывна всюду. По совокупности переменных х, у функция г имеет разрыв
в точке (0,0), так как не существует lim г. Действительно, перейдя к поляр-
X -> о
ным координатам (х = г cos ф, у — г sin ср), получим г — sin 2<р, откуда
что если х -► 0 и у -► 0 так, что ф— const (0 ^ф 2л), то г
эти предельные значения функции г зависят от направления ф, то г не имеет
предела
видно,
sin2q>. Так как
g = 3(x’-ay), g = 3((/'-ax).
. 1803 *	* -L.
дх х‘ ду х
дг _ у*
^"~(%2+^)3/3 ’
У 
при х -► 0
дг 2у
1801.
2х
У - 0.
дг__
ду~~~~ (х + у)*'
дг^________У_
ду~~	_
1806.	у- 1 
дх Ух*+у* di
—	1808.
х’+г/1
у dz	1 >ю £
—— ,	" —- С
х	ду	х
_____________________ifti 1	1
ду~ 1У1(хл-у4) ‘	° д
,8,г- ^ = Уг (ху)‘-‘, ^ = хг ху)
1802.
1804.
дг
дх
~~(х + у}2'
X
Vi^y3'
ху
1805.
дг___
дУ~~~(.
1807.	,,
дх	х2 -\-у2
дг	и sin —	„
1809. ~ = -	* cos ~
дх	х2_______
дг ух2 У2х2 — 2у2
дг v _, дг v.
- =	«, ^ = хПпх.
1810.^=f
дх | у | (х‘ - у*)
* + j ctg*+.a
. . ’ дУ Чу V у V у
= (ху)г 1п (ху). 1813. д£=уг*У In а,
и
£ У
* cos ~ .
X
14*
420
ОТВЕТЫ
^ = xz^1nz, д± = хугхУ~\ 1814.	^(2,1) = |,	f’(2, l) = 0.
Uy	UZ	Zf	z
1818. /;(11 2; 0)= 1. /,(1; 2; 0) = l, f-(1; 2; 0) = ±. 1820. - .	*
И \У Vе )
ti	X?	1
1821. r. 1826. г = arctg у + <p (x).	1827. г= — -f-£/21 n xsin— у .
1828. 1) tga = 4, tgP = oo, tg y = -^-; 2) tga= oo, tg 0 = 4, tg у = -|-.
1829.	=	=4-^, 37=4-(« +t). 1830. У к а з а н и e. Проверить,
да 2 db 2 dh 2
что функция равна нулю на всей оси ОХ и на всей оси ОУ, и воспользоваться
определением частных производных. Убедиться в том, что fx (0, 0)=/^ (0, 0) = 0.
1831. Д/ = 4Д% + \у 4~2Дх24“2Дх Д# + Ьх*Ьу; df = 4dx -j-dy; а) Д/ — df=8;
б) Д/ — df — 0,062. 1833. dz = 3 (х2 — y)dx 4-3 (у9 — х) dy. 1834. dz = 2xy9dx-{-
4- 3xzyzdy. 1835. dz =	(ydx — x dy). 1836. dz = sin 2x dx — sin 2y dy.
(•* 4“ У )
9
1837. dz = yzxy 'dx 4~x>' (1 -\-y In x) dy. 1838. dz = -j—t—;г (x dx у dy),
x 4" У
l/x\	9	/ и X
1839. df = —j— ( dx-dy] . 1840. dz = 0. 1841. dz =-— ( dy ——dx] .
/ v \ n z I	2y\ x )
x sin — 4	z
x
du = yz dx-{- zx dy 4- xy dz.
1845. du= (+ 4 I ”*X
x X 1	<
— In
У J '
1847,
ХУ-]—dzj .
df (3, 4, 5) =
1849. 75 см9
Указание. Положить
1842.	d/(l, l) = dx — 2dy.	1843.
1844. du — —— 1	 (x dxи dy-±-z dz).
Ух^ + у2 + г^
X [(^ + 4”) zdx + f1------
1846. du = -s-^-i—i[ydx+xdy-^dz'\
x У ”T"г \	*	/
= KE (Sdz — 3dx — 4dy).	1848. dl~ 0,062 см; Д/ = 0,065 см.
2o	।
(относительно внутренних размеров). 1850. см.
о
дифференциал площади сектора равным нулю и найти отсюда дифференциал
радиуса. 1851. а) 1,00; б) 4,998; в) 0,273. 1853. С точностью до 4 м (точнее
4,25 м).
dz
~~dt
du
dt	”г cos2
= (sin x)cos x (cos x ctg x — sin x In sin x).
, * 1862. -^- = ухУ~1-,	%- =
dx
— vj + xexyf^u, v).
d^ ft 1 X f . У X
dj=41-^rr (xy+~)!
= i'x (x, у> ч) 4- <₽' W ty (*. y> z)+
1856.
1858.
1854. л gg_ J4
. ё Vlg
e‘ (Un t — 1)
1ln‘/	•
da = ~ (dy cos a — dx sin a)
1857.	= j
1855.
I860.
dz___
dx 14-x2 ‘	dx
1863. ^ = 2xf'a(u, vj + y^f^u, v)i
1864.	—0, -^~=1-
du dv
dz	(	,	1 X £f (	1
v- — x 4— ] f xy 4- -
ду	Д	‘	x J 1 \	‘	i
1865.
1867.
1861.
185a	= 0
at
dz___ у
dx x2 4- Уг
ОТВЕТЫ
421
+ /*(*, У,	У) +	(*> УУ ф' (*)]• 1873. Периметр возрастает соскоро-
14-2/2-4-3/4
стью 2 м/сек, площадь возрастает со скоростью 70 м*/сек. 1874.
20 1^5 — 2 /2 км/час. 1876. — ЦР  >877. 1. 1878.	1879.
. 1881. -?S.“+5.OSP+COSV. I882. а) (2; 0); б) (0; 0) и (1; 1); в) (7| 2| I).
1О	и
9/-3/ 1885. -|-(5Z-3/). 1886. 6/4-3/4-2Й. 1887. |gradu|=6;
2	2	1	3
cosa = —, cosP = —cosy = -x-. 1888. cos(p =	. 1889. tg«p=^8,944;
3	3	3	/10
d2z __
dx dy
2x
r2 — X2
1875.
1880.
1884.
abcxy
(fe2x24-aV)3/*’
№_ 1
ду2~~ (х2+У)3.
,ОЛС дги д2и
• 896, дх2~ ду2~~
=оф ух* ~*у$~ ’г7 ~
1891. g =______
дхг (b2x2 + a2y2)12
__________________1802 — — 2 ('y~_
дУ* (b2x2-j-a2y2)’fi' дх‘ (х2+у)2'дхду
1893.-Д- =	. 1894. ~ = 0. 1895. g
dx dy (2ху у2)31з dx dy	dx2
= —= 0-	— &и — д‘и —I 1897 dau
dz3 ’ дх ду ду дг дгдх '	’ дх ду дг
d*z	ч
1898.	$ = — х2у cos (ху) — 2х sin (ху).	1899. fxx (0, 0) = tn (т — 1);
fxv(Qt 0)~mn; fyy(O, 0) = n(n— 1). 1902. Указание. Проверить, поль-
зуясь правилами дифференцирования и определением частной производной,
что (х. у) = у [р=-^ +	(при х2 + у2 * 0), С (0, 0) = 0 и, еле-
довательно, fx (0, //) = — у при х = 0 и при любом у. Отсюда f'Xy (0, у) = — L
в частности, f (0, 0) = —1. Аналогично находим, что fyX (0, 0) = 1.
19°3. д^==2/,'(а, v) + 4x2f'aa(u,v)+4xyf"av(u. v) + y2f'^,(u, о);
= ^ (“. v) + 4xyf'ua (и, v) + 2 (х2 + у2) f"„v (и, v) + xyflv (и, о);
^=2/'(u, v) + 4y2f”tt„(u, v) + 4xyf"av(u, v) + x2f'^(u, v).
«904. g=/;x+24<p;+/L(<₽;)2+/>:x.
19°5. g = f';ia «рлУ + фХ + C + Ых + f'„^
gx dy ~ fan *Рл Фу “Ь fav (Фх'фу "Ь Фх Фу) 4" fm> Фх Фу ~Ь fa Фху 4” fv Фху>
g = faa (Фу)' 4- 2/^ фу фу 4- fm (ФуГ 4- / « Фуу 4- №чу
1914. ц(х, у) = ф (х) 4- ф (У).	1915. и(х, у) = хф (у) 4~ ф (у).
1916. d2z =	\(у dx + х dy)2-{-2dx dy], 1917. d2u = 2 (х dy dz-\-y dx d?4-z dx dy).
14* Г. С. Бараненков и др.
<р^83°37'.
д*г
abcx2
422
ОТВЕТЫ
/ х \ху
1918. d2z = 4<р" (0 (xdx + y dy)1 + 2q>' (0 (dx1 + dy1).	1919. dz = (-1 X
X (yin — dx-\-x In — dy \; Л =	[(У1 ln2-^--{-—dx2
V У W J	\ У J LV У * J
4- 2 (xy	In — In — 4-	In — dx	dy 4-	(x2 In2 — — ~ )dy2]	.
\ У ey~ у J 1	\ ey у J J
1920. d2z = a2f'ia(u, v) dx2 + 2abf"uv (u, v) dx dy b2fvv(u, v) dy2.
1921. d2z = (ye^+^f^+iye^yf^ 4- y^xf"vv) dx1^
+ 2 (eyf'a + exf’v + x^f"aa + ex+y (1 + xy) fav + yelxfm) dx dy 4-
+ (xeyf'a 4- xzelyf"aa + 2x^yfav + elxf"m)) dy1.	1922. d’z =
= e* (cos у dx3 — 3 sin у dx2 dy — 3 cos у dx dy2 -f- sin у dy3).	1923. d3z =
—у cos x dx3 — 3 sin x dx2 dy — 3 cos у dx dyzx sin у dy3. 1924. df (1; 2) = 0;
d2/(l; 2) = 6dx2 + 2dxdy + 4,5dy2. 1925* d2f (0, 0, 0) = 2dx2 4-4dy2-f-6dz2 —
— 4dx dy 8dx dz + 4dy dz. 1926. xy-^C. 1927. x3y-------^-4“sin* + C-
d
I928-	+ In (x + у) + C. 1929. l,n(x'+^+2arctg4+C-
X -j- у	Z	fr
1930. y + C. 1931. /x2+ya4-C. 1932. a = — 1, 6=—1, z=y*y^ 4-C.
1933. x1 + y1 + z1 + xy 4- xz + yz 4- C. 1934. x14- Ixy14- 3xz 4- y1 - yz—2z 4- C.
1935. x’(Zz-3xy2z4-4xV4-2x4-i/4-3z4-C.	1936. у 4--j 4-4-C.
1937. Ух2 + r/2 4-224-C. 1938. X = — 1. Указание. Написать'условие пол-
ного дифференциала для выражения Xdx-^Ydy. 1939. fx = fy. 1940. м =
ху
= С ftzldz-l-C. 1941.^ = — ~t =--------^ = -^. 1942. Урав-
а2у3' dx3 а* у*	г
dy у* In у
пары прямых. 1943.	=	•
(dy\ о t (d2y\
(/•) =3или— 1; -Л =
\dx/x=i	\dx2)x—i
(a24-l)(x24-y2) ]M7 Лу__У_,
* dx x f
г sin x — cos у t
cos x — у sin z *
dz  c2y .
dy	b2z ’
1953.	=
dx
= j/(2)dz4-C.1941.g = -g} g =
a
некие, определяющее у, есть уравнение
у &У— у
-1* dx2-(1 - у)1'
1946.	=
dx ах — у
дг х2 — уг дг __
ху — г2' ду 3 (ху — г2)
1950.^=-!; ^ = v- 1951-
дх ' ду 2
д2г __ с*ху
дхду^^ a2b2zsi
dy i
1944. ~ = —
dx у —
= 8 или — 8.
=	1948.
dxz x2
dz____x sin у — cos z
dy cosx — f/ sin z *
d2z c* (b2 — yz).
dx2 a2b2z3 *
dx
1945.
d2y _ ________________
dx2 (ах — у)3
6j/2 - 3xz - 2 1949 dz=,
дх <
дг	с2х
дх	а2г
д2г______с*(аг — х2)
ду2 а2Ь*г3
d2z
Фх Фу
2 ч<
x2~aZdy\
г
dz = — — dx — — dy\ (Fz — -------------
e г
4
1955. dz = Oj d2z = ^=(dx2 + dy2).
io
(1 _ г)8 (dx24-2dx dy-t-dy1).	1961.	= oo ;
1954.
е, dx1-2,%dxdy +
1956. dz = j g (dx + dy)\
dx 5
d2z__ 4
dx2““25*
ОТВЕТЫ
423
1962. dy = y-^--— dx',
х(у-г)
X [(*-# + (У -
* = -!• ^=0-
дх ’ ду и’
+ гт^
dz =--------
* (У - z)
+ (z-x)2]dx2. 1963.
— -^о- д2о __
дх2 ’ дхду ’
,	1 j у
dv=r^7,dx-T-r7.dy;
г (х — у) ,	„	...	а
—------ rfx: 6fty== —бГг== —
ди___ди___.
дх ~ду ’
^?=о.
ду2
x* (у - г)3 74
д2и  д2и  д2и
дх2	дхду	ду2~~ 1
1964. du — T^—dx-\-
(\-\-y)tdxdy
d2u = — d2u
2и
(T+i/p
dy*.
1965.
^dx-^dy	—y'dx + ^dy
du =----——•;	du — —---—,----
Ф« Ф»	Ф« Ф»
Фа
1966. a) ~
dx
. J 1
в) dz
csino dz ccosv	dz 1 , , v	dz 1 z
=----д-у = -^-’б) ^ = T(V + U)’	^=2(V-U)’
2^a-[e“~°(«4-u)dx4-e“+®(o — u)dyj. 1967.	= F'r (r, <p)cos<p —
— ^ф('’.ф)~; ^ = F'r(r> Ф)8‘пФ+/7ф(г> ф)^5.1968.^=—^-cos<pctgi|>;
g = -1 sin ф ctg 1969. g + g+^0. 1970. g=0. 1971. a) =0;
d3x
6) ^s=0. 1972. tg(t:
/*-
1973. K=-7
d2r
1974. ^ = 0. 1975. u~—
] 3/з	du	du
— z=0. 1976. ^ + X^4-l^=0. 1977.	—	1978.^ = 0
dr2 r2 dcp2 1 r dr	du du 2u du du
1979. ^ = 0. 1980.	=	,98b a) 2x - 4y - ar - 5 = 0; J- = ^T =
ди2	ди2 2	2	—4
г — 5	. л с л х — 4	/7 — 3 z — 4 ч ,
— ——р б) Зх4-4у —6z = 0; -р- —= __ 6 ; в) х cos а + У sin а —
-R = Q,	x_-R^a.^y-R^az=z-R_i	а»
cos а	sin а 0	уа* _1_ _|_ сг
Ь2	с2
±^====:	+ г -----------.	1983. Зх + 4г/+12г-169 = 0.
a2 -j- Ь2 + с*	У а2 + Ь2 4- с2
1985. х 4“ 4//4-6г = ± 21. 1986. х ± // ± г = ± Vа2 4- Ь2 4"	1987. В точках
(1; ± 1; 0) касательные плоскости параллельны плоскости XOZ\ в точках
(0; 0; 0) и (2; 0; 0) — плоскости YOZ, Точек, в которых касательная плоскость
л
была бы параллельна плоскости X0Y, на поверхности нет. 1991. — .
О
{? — п
х24-у2 — х —1____0 проекция на пло-
х = 0,	~ ’ р = 0,
З^г	J Зх3
4-z2 — 1 =0. Проекция на плоскость XJZ: —4-z2—1=0.
У к а з а н и е. Линия касания поверхности с цилиндром, проектирующим эту
поверхность на какую-нибудь плоскость, представляет собой геометрическое
место точек, в которых касательная плоскость к данной поверхности перпен-
дикулярна к плоскости проекции. 1996. f (x-\-ht у 4- k) = ax2 -\-2bxy 4~^2 4*
скос1Ь YOZ:
14**
424
ОТВЕТЫ
+ 2 (ах 4- ty) h 4- 2 (6x4-су) k 4- ah14- 2b hk 4- ck*. 1997. f (x, y) = 1 - (x 4- 2)4-
+ 2(x4-2)((/- l)4-3(i/-I)1.	1998. &f(x,y') = 2h+k + h’! + 2hk4-hik.
1999. f (x, у, z) = (x — I)2 + (у - I)24- (z - I)2 4-2 (x—1) (y-1 )-(y-l) (г - 1).
2000.	/(x-l-й, y + k, E4-/) = f(x, у, z)-|-2[/i(x —y —z)-f-fe(y — x —z)4-
4- l(e-x _ V))4- ць, k, I).	2001. у 4-xy + -*-У ~. 2002. 1 -4-
+ *‘+6«‘»' + !'‘. 2003. l+(9-|) + u-l)W-l). 2004. l + |(«-l) +
+ №-и>1+|("-1>+,№+1)1'+---')4,-<у+'>1’-2W5-"> аге'гГ^
4+1' «+₽>-4	-»	+PI\,+1(^)+
+ Л l<3m* — 4m) a* - 3m»a₽ + (3n* — 4n) P’). 2006. a) 1.0081; 6) 0.902. Указа-
□z
н и е. Применить формулу Тейлора для функций: a) f(x, y}—Y ху у в окре-
стности точки (1» 1); б) f (х, у)~ух в окрестности точки (2; 1). 2007. z =
= ]	2 (х — 1) — (г/— 1) — 8 (х — 1)2+ 10 (х — 1) (z/ — 1) — 3 (г/— I)2 -f-
2008. emln = 0 при х = 1, у~0. 2009. Экстремумов нет. 2010. zmin
при х= 1, у = 0. 2011. j____
при х = У~2, у= — V 2 и при х = — У 2, £/=У~2- При х
глю	ab	а	Ь
ремумов нет. 2013. гтах =—-т=. в точках х = Т7==, у = -7^ и
3 у Г
___ b ____________ ab
У	г’п1° ЗУ 3
z/=^==.	2014. гтах=;] ]
1
нестрогий максимум « = — в
= У"Зприх-=1, # = —1.
2016.2. emax = 8e‘2i
г/ = 0.
?тах=108 при _х = 3, */ = 2. 2012. г^п = ~8
= у — 0 экст-
а
х =----— ,
- в точках X = —7=1, y = -^=z.
3	V 3 * V 3
a	b
в точках « =	, yz=z— ——
и x== —
a
при х = у = 0. 2015. гт1п = 0 при х = у = 0;
точках окружности лг-f-j/2= 1.
2016.1. emin = 6 при x = 4,
гтах = 8е *при x = — 4, y =—2; экстремума нет при
4	2	1
2017.	— у при х = ——, £/ = —у , г=1. 2018. urain = 4
при х = — ’	г=1. 2019. Уравнение определяет две функции, из ко-
2016. zmax—
^ = 2.
x = 0,
торых одна имеет максимум (гтах = 8) при х = 1, у— — 2, другая —
минимум (zmfn = — 2) при х=1, у = —2; в точках окружности (x — l)2-f-
-f- {у 4- 2)х = 25 каждая из этих функций имеет краевой экстремум г = 3.
У к а з_а н и е. Упомянутые в ответе функции определяются явно равенствами
г = 3 ± У25 — (х — I)2 — (у 4- 2)г и существуют, следовательно, только внутри
и на границе окружности (х — 1 )2 4- (У + 2)2 = 25, в точках которой обе
функции принимают значение г = 3. Это значение является наименьшим для
первой функции и наибольшим для второй. 2020. Одна из функций, определяе-
мых уравнением, имеет максимум (2тах = — 2) при х = —1, у = 2, другая—ми-
нимум (zmjn = 1) при х = —1, t/ = 2; обе функции имеют краевой экстремум
в точках кривой 4х8 — 4г/2 — 12х 4-16у —• 33 = 0. 2021. гтах = -|- при х =
= {/== — .	2022. етах = 5 при х=1, ^ = 2; гтШ = —5 при
х = —1, у — ~ 2.	2023. ет1п = || при « =	0 =	.
ОТВЕТЫ
425
пмл 24-/2	7л . . 9л , .	2-/2
2024- «шах =—Чг— при X =	4- кл, у = -g- 4- ЛЛ| гт|П =-
Зл	5л
х = -5-4-£л, i/=— 4“ 6л. 2025. amin = —9 при х = — 1, y = 2t z =
о	о
итах = 9 при х = 1, г/ = —2, г = 2. 2026. и{
umin—c при х = г/ = 0, г=±с. 2027.
/4
г = 6. 2028. атах = 44/27 в точках	—-;
/ 7	4	4 \
(у; у; yj; “min = 4 В точках (2; 2; 1)
большее значение z = 3 при х = 0, У—1, б)
х=1, # = 0. 2031. а) Наибольшее значение
при
2;
|тах = а при х—±а, у = г = 0;
тах = 2-42-6’ при х = 2, t/ = 4.
_4	_7\	/_4	"
3 ’ 3 / ( 3 ’
(2; 1; 2) (1; 2; 2).
। наибольшее значение г = 2 при
г=_?_прих=± 1/-L,
7
2030. а) Наи-
£
3
и— ]/ наименьшее значение z
у~ V 3
2
при X

значение z = l при х=±1, // = 0; наименьшее
значение г = —1 при x = 0, y= ± 1. 2032. Наибольшее значение z =—-—
л
при х~у — -^ (внутренний максимум); наименьшее значение z = 0 при х =
= £/ = 0 (краевой минимум). 2033. Наибольшее значение г =13 при х = 2,
г/ =—1 (краевой максимум); наименьшее значение z = —1 прих = // = 1
(внутренний минимум) и при х = 0, у — —1 (краевой минимум). 2034. Куб.
2035. р/2V , р/ 2V, -i-p/2V. 2036. Равносторонний треугольник. 2037. Куб.
2038. .a = p/a*p/a«p/a«p/a. 2039. М	.2040. Стороны тре-
угольника: -гр, — р и ~ . 2041. х= -М-Х-.8 2 Г 3 ? t у —	...
4	4	2	т1 + т2 4-	4" т2 4“
х у z	2d 2b 2с
2042.----к» 4--= 3. 2043. Измерения параллелепипеда:	, ——: ,
а b с	r г	/3 /3 /3
x = y = 2d + *T2V, г = |.
ось 2а = 6, малая ось 2Ь = 2.
где а, b и с — полуоси эллипсоида. 2044.
а	b
2045. х= ±	, у— ± ~т=, 2046. Большая
У 2	у 2
Указание. Квадрат расстояния точки (х, у)
координат) равен х2 4- у2. Задача сводится к отысканию экстремума функции
х2-\-у2 при условии 5х2 4~ 8хг/ 4“ 5г/2 == 9. 2047. Радиус основания цилиндра
эллипса от его центра (начала
2
2 +	, высота
2
2----, где R — радиус шара. 2048. Канал
должен соединять точку
па
.	, /11	5\
с точкой прямой -г-; —б“ );
\ о	о /
4;/273а 2050.^-5= — . Указание. Оче-
14 r	sin Р v2
его длина —— . 2049.
о
видно, точка М, в которой луч переходит из одной среды в другую, должна нахо-
диться между Л1 и ВА, причем AM = ——, ВМ ~	, XjM=a tg a, ВкМ =з
cos os	cos p
426
ОТВЕТЫ
==MgP. Продолжительность движения луча равна CQSa"bp.........сЬТр' Задача
•	г / О \	I	Ь
сводится к отысканию минимума функции / (а, р) =---------1------х при ус-
Pj COS Ot V2 cos р
Ловии, чтоо tga + & tgР =с. 2051. а = 0. 2052. /j:/2:/8 = -i-:-^-У к а за-
7м а2 а 3
йие. Найти минимум функции /(7П /2, /8) = 7,^ + 122R2 -f- I23RS при усло-
вии, что /j-J—/2 + 7, = 7. 2053. Изолированная точка (0; 0). 2054. Точка возврата
2-го рода (0; 0). 2055. Точка самоприкосновения (0; 0). 2056. Изолированная
точка (0; 0). 2057. Узел (0. 0). 2058. Точка возврата 1-го рода (0; 0). 2059. Узел
(0; 0). 2060. Узел (0; 0). 2061. Начало координат — изолированная точка, если
а > Ь,— точка возврата 1-го рода, если а = Ь, и — узел, если а < Ь. 2062. Если
среди величин а, b и с, нет равных между собой, то кривая не имеет особых
точек. Если а —/? < с, то А (а, 0) — изолированная точка; если а<Ь = с, то
В (bt 0) — узел; если а = Ь = с, то А (а, 0) — точка возврата 1-го рода.
2063.	у=±х.	2064. у* = 2рх. 2065. y—±R. 2066. х^ + у1^?1’.
£067. xy = ~S. 2068. Пара сопряженных равносторонних гипербол, уравнения
которых, если оси симметрии эллипсов принять за оси координат, имеют вид
хг/=±—. 2069. а)Дискриминантная кривая у = 0 является геометрическим
местом точек перегиба и огибающей данного семейства; б) дискриминантная
кривая у = 0 является геометрическим местом точек заострения и огибающей
семейства; в) дискриминантная кривая у = 0 есть геометрическое место точек
заострения и не является огибающей; г) дискриминантная кривая распадается
на прямые: х = 0 (геометрическое место узловых точек) и х = а (огибающая).
2070. // = -^- —	2071. 72072. /9 +4л2. 2073. / 3(^—1). 2074. 42.
tg 2v2	6
2075. 5. 2076. х04~г0. 2077. 11 + —2079. а) прямая; б) парабола; в) эллипс;
г) гипербола. 2080. 1)	а0; 2) а ; 3)	2081. (abc) —
=	+ (а +	2082. 4/(/24-1).	2083. x = 3cos/;
\dt /	\ dt J ' \ dt J	'
t/ = 4 sin/ (эллипс); v~4J, w = — 37 при / = 0; v =—7	2	2/,
w = — —? 7 — 2 У 2Jпри t = ~ ; v =— 37, w = — 4/ при * = -£-• 2084.x=
= 2 cos /, у = 2 sin/, z = 3/ (винтовая линия); tf = — 27 sin t -f- 2/cos / ЗА?;
п = У'13 при любом /; w = — 27 cos t — 2j sin /; ш = 2 при любом /;
® = 2j4-3A?, w = —-27 при/=0; v =— 27-f-ЗЛг, w = —2/при / = -^-.
2085. х = cos a cos со/; у — sin a cos co/; z = sinco/ (окружность); ® =
=—co7 cos a sin со/ — coJ sin a sin co/-1-coA? cos co/; v=| co |; w = —co27 cos a cos co/ —
— co2/ sin a cos со/ — co2A? sin co/; w = co2. 2086. v = V	+( v0(2 — gt)2;
wx — wy = Q't wz = — g; w — g. 2088. co’l^a2-j-Zz2, где co = ^ — угловая ско-
рость вращения винта. 2089. Кa2co2 + и* — 2aaw0 sin со/. 2090. т =	(7 + ^);
ОТВЕТЫ
427
V
V = —J; ₽=Х2(/-й). 2091. t = ~[(cos?-sin0/4- (sin H-cos () Л-й];
уз
i	Уз
-[(sin/ +cos t) i + (sin/ — cos/)/]; cos(x, 8) = —^-; cos(p, z)=0.
2	3
2092. T =	=	g=.T2L+^.2093/--aCOSZ =
/21	/105	/5	- a sin t
у — a sin t г — bt,	, x—a cos t	y~a sin t z—bt,,
=------— = —— (касательная); —;—;---------------r =-----(бинормаль);
a cos t b	bsmt —b cos t a r
x — a cos t у — asm t z — bt ,	. u
——-— = -—-7—^— =—-— (главная нормаль). Направляющие косинусы
„	a sin t о a cos i	b т,
касательной: cos a =--7=; cos p =	 —-; cos v =	. Ha-
4 Г 9 1 t 9 ’	1	1 / •> I L 2	’	1Г -9 I t. 9
правляющие косинусы главной нормали: cos а, = cos t\ cos — sin t\ cos = 0.
2094. 2x —z = 0 (нормальная плоскость); у — 1 = 0 (соприкасающаяся пло<
%________________________________________________________2 и_____4	2 — 8
скость); х 2з — 5 = 0 (спрямляющая плоскость). 2095г —:— =
1	4	1
(касательная); x-j- 4y-f- 12з — 114 = 0 (нормальная плоскость); 12х — бу -j-г —
t* t’ tz
х-Т У~Т г-Т
-j— (ка-
t3
у
— 2/ =
, y-~3
— 8=0 (соприкасающаяся плоскость). 2096. —— = —-— =
f* ?	tz	t'
x-7 У-Т	x--
-------- :----------« = —57s---7 (главная нормаль); —j—
2-----х-
—4
х — 2
1
. 2097.
сательная);
e 2	fl 11
= —(бинормаль); M, ( —; — -y; —
у 4-2 z — 2 z	\ I л z
= _— (касательная); x-}-y = 0 (соприкасающаяся плоскость);
x ~j —j —(главная нормаль); =	= —^(бинормаль);
R	R
1	1	X 2	2
cos a2 = cos P2 =	, cos y2 = 0. 2098. a) —— = ——
У 2	У 2	zu
z	Ч -.ГТГ	А/	к X — 1 у — 1	2—2
(касательная); х у 2 — г = 0 (нормальная плоскость); б) —।—== ।— =——
— 1
«
(касательная); х 4-r/+ 4z — 10 = 0 (нормальная плоскость), в) —
—д—?_(касательная); 2 У 3 х + у — 2]f 3 г = 0 (нормаль-
ная плоскость). 2099. х -|~ у = 0. 2100. х — у — г У 2 = 0. 2101. а) 4х — у—
— 2 — 9 = 0; б) 9х — 6//-J- 2z — 18 = 0; в) bzx3Qx — а2у30у -f- (а2 — b2) zjz =
= a2bz (аг — b2). 2102. 6х — 8у — г-|-3 = 0 (соприкасающаяся плоскость);
х — 1 у — 1	8 — 1.	ч х — I у I г — 1	.
-	= ——(главная нормаль); —— =	:—(бинормаль).
о! ZO — 22	— О о	1
428
ОТВЕТЫ
хО I
2103 ta— ess О (соприкасающаяся плоскость); q’/ (главная нормаль);
} (бинормаль):	р=^±*! *>=/.2106.2x4-
+ 3^+19?-27 = 0. 2107. а) /Т; б) . 2108. а) К = ^—^;Т==^ :
r,'f = T=v4lA- !|“
2111 ITT L2 •	2112. К = 2, и\.= О, wn = 2 при t = 0; К = Л/ — ,
(Г -f- 9	т	"	/ Г 14
И’’=Д’ "»=2/г4 при(=1.
Глава VI!
2113. 4-|. 2114. 1п^. 2115. -£:. 2116. Z. 2117. 50,4. 2118.	2119.2,4.
3	24	12	4	2
2120.	. 2121.х=^ — 1; х = 2-у; у=—6; ^ = 2. 2122. у = х1; у=:х + 9;
*=1: х = 3. 2123 у = х\ у=\0 — х; y = 0't у=4. 2124. г/=~; г/ = 2х;
*= 1; х=3. 2125. #==О; у = "К25 — х2; х = О; х = 3. 2126. у = х2; £/ = х-4-2;
12	2	1
— 1:	х = 2.	2127. J dy J f (х> y)dx— J dx^ f(x, y)dy
0	0	0	0
11	lx	1 Я—у
2128. j dy f (x, y) dx = j dx j f (x, y) dy. 2129. J dy J f(x, y) dx =
О у	Oo	0	0
1]	2	2 — X	2	2X-J-3
= dx J / (X, y) dy 4- dx f(x, y)dy. 2130. J dx J f(x, y)dy =
0	0	10	1 2X
z
4	2	S 2	7	2
= $4//^y(x, »)dx4- J dy J f (x, y)dx+^dy § j (x, y)dx.
21	41	S У-2
2	_____
1 у	V7	У*2 — у’	0 V2 —xa
2131. ^dy J f(x, y)dx-± dy J f (xf y)dx= dx f(xty)dy +
о -y	1 -Vi^y5	_
/У
2
4 $ dx J Цх, y)dy. 2132. J dx^f(x, y)dy=^dy f(x, y)dx.
OX	— 1	2X2	0	/”y
V T
2133. у dx J f(x, y)dy+ J dx J Цх, y)dy-\- J dx J t(x,y)dy+
-1	-1	-1 rrrp
ОТВЕТЫ
429
2 V4 — X2	*-1	V4— у2	]	_ Vl — у2
+	$ Ж y}dy=. У dy J f(x, y)dx+ dy j f(x, y)dx+
1	— Va — x2	2 — V 4 — y3	““ 1	— V 4 — y2
1	/4 —y2	2	V4- v2
4-	J dy j /(x, y)dx+ § dy J f(x, y)dx.
— j Vl — y2	1	— V A — y2
— 2	V 9 - X2	2 Vl-|“Xa
2134. J dx J	f(x, y)dy+ J dx J	j(x, y)dy+
~ ’	- V 9 — X2	— 2	- V l-f-x3
3 V9 — X2	—1	— Vy2 — 1	— 1 Vo — y2
+ $d*	$ !(x,y)dyss J dy J f(x, y)dx± J dy j(x, y)dx-f-
8 —V9 — x2	— W —Ve — у2	— V~i Vy2 -1
1 V9 — y2	V"s	О2 — 1	V’e V9 — y3
+ J dy J f(x, y)dx-\- J dy j f(x, y)dx+ J dy f(x, y)dx.
~1	— V9 — y2	1	— V9 — y2	1 Vy2 — 1
11 — x	11 — у	a	V a2 — xa
2135. a) J dx f(x, y)dys=z J dy / (x, y)dx: 6) dx J f(x, y)dy =
0	0	00	— a _ Va2 — x2
a	Va2 — y2	1	Vx — x3
= J dy J /•(*• y)dx; в) J dx f(x, y)dy =
_____	~~a — Va2 — y2	0	— Vx — x2
14“V1 -Ay2
’/»	2<	1	1	1 у
— \ dy	f(x> y}dx; r) J dx J f(x, y)dy= dy f (x, y)dx:
’/a 1 — Vi — 4y2	— 1 x	— 1	— 1
2
a y-j-za	ax	на а	за a
$ f(x<y)dx=^dx^f(x,y)dy+^dx^/(x,y)dy + ^dx f(x,y)dy.
ОУ	00	а о	за x—за
1/ Z
48 Г 8	2	2	3	1
2136. J dy j f(xt y)dx. 2137. dy f (x, y)dx^^dy^ j (x, y)dx.
о у	0 X	2 У
12	3	*8
a ________
2	Va2 —у2	a Va2 —y2
2138.	j dy J /(x, y)dx-f- § dy J I (x, y) dx.
0 Va» — 2ay	d 0
2
a V"s
,2 a	a	a
2139.	j dy f(x, y) dx + J dy J f(x, y)dx.
0	®	a VT a - Va2 — y2
8	~T“
430
ОТВЕТЫ
a a —Vaa-ya	a ta	vVia la
2140.	J dy j f(x, y)dx + ^dy f(x, y)dx + § dy ^f(x,y)dx.
0 yi	0 a+Va^-y^	» У*
4Я	4Я
Ki -xa	L _____
or	ii — x	i V ix
2141.	px J f(x, y)dy+^dx p(x, y)dy. 2142. $ dx § f (x, y)dy +
—1	00	00
,____ RV~i
VT 1	V 8	p*"x2	2 Vfla-ya
4- J dx J/(x, y)dy-{- j dx J f(x, y) dy. 2143. j dy f(x, y)dx.
i о	V7 0	о у
8
1 к —arcsin у
2144. [dy C f(x, y)dx. 2145. 1 • 2146 A . 2147. ~a. 2148.	. 2149.6.
J J	о	о z	о
0 arcsin у	___
2150. 1. 2151. 1п2. 2152. a) 1 I б)	°) 2-L 2153.ps.
z	о	юи	о	21
з Vi - (х - 2)а
2154. рх	J	xydy = j-. 215!
1	о
2nR y=f(x)
н и е* У У уdx d^== dx У У dy=
(S)	о о
следний интеграл получается из
R*
x = R(t-sinO. 2157.
к 1
4	COS ф
2160. У С?ф rf(r cos Ф» г sin ф) dr -|-
о	о
Л	2
91Л1	1
J dtp j rf(r) dr.
о о
К	sin ф	8Л
T	COS* ф	4
2163. J/(tg<p)d<p '•^ + p(tg<
о	ок
Я ________ с
5. -^aV2a. 2156. nRs. Указа-
О	Z
2Л	/?(1 — COS/)
₽ (1 — cos t) dt у у dy, где по-
о	о
предыдущего в результате замены
2158. 1.	2159. а!4-^’.
о	’ 2
к	1
2	sin	Ф
J	б/ф	J	rf (г cos ф, г sin ф) dr.
к	0
4
8Л 1
4	sin Ф
2162. J ^Ф J rf (г cos Ф, г sin Ф) dr.
к о
4
1	sin ф
э1пф	К	СО8аф
р) d(p J г dr -|- / (tg Ф) dq> § г dr.
О	8п	О
4	4
к	_____ 8тс	.
д’ a cos 2ф	4 а Vcos 2ф
2164. у б/ф гДгсозф, г sin ф) dr + J б/ф г/(гсо8ф, rs^Jdr.
к	о	8Д О
ОТВЕТЫ
431
2 a cos <р	8
2165. рФ $ r2sin<₽ar = ^.	2166. 1ла».	2167.
О о
2168.	+	2169.	2170.
\ У 2 /	о	\ и	У / 2
2
2171. -х-лад. Указание. Якобиан l — abrt Пределы интегрирования:
и
3 с
14-3
0«Сф<С2л,	<^1.	2172. J dv J f(ti—uv, uv)udu. Решение,
а О
14-«
Имеем лг = и(1—и) и y=uv\ якобиан 1 = и. Определяем пределы и как
от функции с: и (1 — о) = 0 при х = 0, откуда и = 0 (так как 1 — v 0);
о
и = ^——^ при х — о.
Пределы изменения v: так как у = ах, то
uv = аи (1 — и),
(X	Q
откуда 0 = ^-7—-; для у — рх
находим
1 а	2	2 — я
7	1 ГСл СгМ4“У U ~ *Л Л I Сл С е / U 4" V
2173.	— j<fo + jdaj Ц41-.
о — а	1 а — 2
о 14-^	* 2—z>
1 Г С С г ftlA-v U—v\. , Р . Р , (и 4- V
= 2 [W Ц 2 Г+П Ц 2 ’
й
1+р-
0 =
Указание.	После	замены переменных	уравнения	сторон	квадрата	будут
.	Л	Л	,	Г ( аг	b2 \	. ak	.	abl
u = v\ и -[-v = 2;	и	—	v = 2', a —	—	v.	2174.	ab	I I -yr--ту arctg ft	+	гт	•
I	ft	J	Oil	HR j
f az	b2 \
Решение. Уравнение кривой r^ = r2 I cos2<p — sin2 <p j, откуда ниж«
/" a2	b2
ний предел для г есть 0 и верхний г = у — cos2<p — sin2 <р. Так как г
д2	Ь2
должно быть вещественным, то ту cos2cp — sin2cp 0; отсюда для первого
,	_ ak _>
координатного угла имеем tgcp^^. Вследствие симметрии области интег-
1
рирования относительно осей можно вычислить — всего интеграла, ограни-
чиваясь первым квадрантом:
dx dy = 4
, ьа • 2
COS2<P— SI П2 Ф
abr dr9

1 V*y 4 У у
2175. a) 4-i-; dy J dx + § dy J dx,
0	_ yy 1 У - 2
6)
a	V a2—x2
0 a-x
432
ОТВЕТЫ
о	/ тг \	7д2	10
2176. а) 4: б) (24-4-) а’.	2177.	2178.	а*. 2179. л. Ука-
2	\ ' 4 /	120	3
зание.	2180.^/15. 2181. 3 (4+4) •	2182.	—
о	\ 4	2 /	о
5
2183. у ла2. 2184.6.	2185. Юл. Указание. Сделать замену
переменных х —2# = u, 3x-f-4i/ = u 2186. Д (b — а) (|3 — а).
V
11	IX
1	h	Р	Р	Р	Р	ла3
2187. 4(Р—а)1п — . 2188. v= I dy\ (1 -x)dx = \ dx I (1 -x)dy. 2193. -g--
О	U	J	J	J	J	в
о у	oo
Q 2194. 4.	2195. 4.	а3 2196.	. 2197.	2198.	48 У	-• 2”>9. «L
4	6	3	4а		5	105
о’ 2200. Г8.	2201. О	2202.	ла8 (а — Р).	2203.	4 3	ла’ (2 VУ— 1).
2204. 4 ла’ (/2- 1). 2205.^. 2206. ^-nabc. 2207.	(6/У-5).
О	□	О	u
2208. уа’. 2209. ла (1 - е-*2).	2210.	. 2211.	—2.
2212. ?^Д-(2]/*2—1). Указание. Сделать замену переменных ху = и,
о
4 = V. 2213. 4/a’b24-fc’ct4-csa’.	2214. 4(m — п) R\ 2215.	a2.
Указание. Интегрировать в плоскости Y0Z. 2216. 4a2. 2217. 8a2 arcsin-^ .
2218. у ла2 (3 УПЗ — 1).	2219. 8а2. 2220. Зла2. Указание. Перейти
к полярным координатам. 2220.1. Указание. Спроектировать поверхность на
3
координатную плоскость X0Y. 2220.2. a?Y 2. 2221. о==-|-ла2 ^1+~2^ 2—lj .
16
Указание. Перейти к полярным координатам. 2222. у а2 и 8а2. Указа-
т/"2"
н и е. Перейти к полярным координатам. 2223. 8a2arctg -^-=— . Указание,
о
а	а	а
2	2	2
° = f J /а2	- И = У	ИнтегРиР°вать по ча’
0	0	о	___
a/З . ,
стям, а затем сделать подстановку х = ——sin/; ответ преобразовать.
2224. ~ ( b 'У Ь2 + с2 — а У a2 -|- с* + с1 In ДЛ V Указание.
4 к	г -г -г a + yaZ + ciJ
2лд/?2	a*b а262
Перейти к полярным координатам. 2225. —-—.	2226. —; —
и	1 & Z4
ОТВЕТЫ
433
-	12 — л2 — л	—	5 -	_	— 2а sin а
2227. х~ —-------у ------------г. 2228. х —— а; у~ 0. 2229. х~ ;
3 (4 — л) 6 (4 — л) ‘	6	За
7=0. 2230. х = —; у=0.	2231. /у=4.	2232. a) /0 = £(D4-d4);
О	uz
б) /jr=-j^-(D4-d4).	2233. / = |л	2234. -|-а4. Указание.
а	Vах
Sc	3
dx \ (y~i~a)2dy.	2235. 16 In 2 — 9—. Указание. Расстояние
°	— Vox
х___у
точки (xt у) от прямой х = #, равное d = —, находится с помощью нор-
1 ,_________ г__
мального уравнения прямой. 2236.	/ = —/га5 |7у 2 4“ 3 In (у 2 4-1)],
где k — коэффициент пропорциональности. Указание. Поместив начало
координат в ту вершину, расстояние от которой пропорционально плотности
пластинки, направим оси координат по сторонам квадрата. Момент инерции
определяется относительно оси ОХ. Переходя к полярным координатам, имеем:
К	1С
4	a sec ф	2	а cosec ф
/х=^ф J kr (г sin ф)2 г dr 4- J dy J	kr (r sin ф)2 r dr. 2237./0=~ ла4.
0	0	тс	о
2238. /0 = -^~.	2239. ла4. Указание. Принять за переменные инте-
1	1 — X 1 — х — у
грирования t и у (см. задачу 2156). 2240. dx J dy J f(x, yt z)dz.
оо	о
R V7?»-xa h
2241. J dx J dy J f (x, y, z) dz.
-R -У/?» -a*	0
2242. J dx J dy J f(xt yt z)dz.
1	V1 — X2	Vl—X2 — y2
2243.	J dx J dy J f(x, y, z)dz.
—1	— Vi — ж* 0
2244.	£(31 +12/У-27 УЗ). 2245.	. 2246.	2247. ±
lu	о	о	IZO
2248. £ ln2 — £ . 2249. ~ (18 /Т —	. 2250. nRs. 2251.	.
2	16	5 \	6 J	480	4
2252. -1-nabc. 2253.	2254. nR\ 2255. £al. 2256.
О	4	У	и \ и J
434
ОТВЕТЫ
2257	2258.	• 2259. ^a‘h. 2260. 4 ла’. Решение. о =
15	10	9	4
_____ х24~Уа	*
2а Yzax — х2 2а	2	гдсозср 2а
= 2 dx J dy J cfz = 2 J б/ф r dr ^dh=z
0	0	0	0	0	0
к	n
2	2a COS Ф	2	r 
n(*,	(» r'dr 1 r(2acoscp)4, 3	. onci 2nas V2 ,7
= 2\ d® \	—- = -\-------J<p = -r ла3. 2261. --------. У к a-
J J 2a a J 4	4	3
оо	о
19
зание. Перейти к сферическим координатам. 2262. -^-л. Указание.
а3
Перейти к цилиндрическим координатам. 2263. — (Зя — 4). 2264. лаЬс.
2264.1.	2264.2. ^-(/2-1)а6л	2265. ^(а + &+с).
4 у 2	*
2266.	(6с2 — а2 — &2).	2267. х = 0; z/ = 0; z — ^-a. Указание.
24	о
Ввести сферические координаты. 2268. х = ---, г/= 0, г = 0.
О
2269. (За2 4- 4/г2). Указание. Ось цилиндра принимается за ось OZ,
плоскость основания цилиндра—за плоскость XOY. Момент инерции вы-
числяется относительно оси ОХ. После перехода к цилиндрическим коорди-
натам квадрат расстояния элемента rdydrdz от оси ОХ равен г2 sin2 фz2.
2270. (2hz + За2). У к а з а н и е. Основание конуса принимается за пло-
60
скость XOY, ось конуса — за ось OZ. Момент инерции вычисляется отно-
сительно оси ОХ. Переходя к цилиндрическим координатам, для точек поверхно-
сти конуса имеем: г = ~ (h—г), причем квадрат расстояния элемента г б/ф dr dz
от оси ОХ равен г2 sin2 ф 4-г2.	2271. 2ji/?qH (1 — cos а), где k — ко-
эффициент пропорциональности и р — плотность. Решение. Вершина ко-
нуса принимается за начало координат, а его ось — за ось OZ. Если ввести
сферические координаты, то уравнение боковой поверхности конуса будет
. л	h
ф = —---а, а уравнение плоскости основания — г —	« Из сим-
метрии следует, что результирующее напряжение направлено по оси OZ.
Масса элемента объема dm = Qr2 cos ф dtp dty dr, где q — плотность. Компо-
нента по оси OZ притяжения этим элементом единицы массы, находящейся
в точке 0, равна - sin ф = kg sin ф cos ф б/ф б/ф dr. Результирующее притя-
к
2л 2	h cosec ф
жение равно б/ф б/ф j ftp sin ф cos ф dr. 2272. Решение. Вве-
0	0	о
дем цилиндрические координаты (р, ф, z) с началом в центре шара и
осью OZ, проходящей через материальную точку, массу которой полагаем
равной т. Расстояние этой точки от центра шара обозначим через Пусть
г = ]Лэ2 4“ (£ — г)2 — расстояние от элементарного объема du до массы т.
ОТВЕТЫ
435
Сила притяжения элементарного объема dv шара и материальной точ-
. dv	М
ки т направлена вдоль г и численно равна — «утт > где у = т---------------
г	4-я/?’
О
плотность шара и dv = q dqp dQ dz — элементарный объем. Проекция этой силы
на ось OZ будет:
dF —-------— cos (гг) = — kmy  q dq> dQ dz.
2 It
Отсюда F =
У7?2 - za
f
о -R
.	4 ПЗ 1
= kmy^nR9^t
4
но так как — у nRs = M, to
О
00
J уге~х^ dy -e~x\
R
0
_ kMm
2275. а) 1(р >0); б) при р >а;
1	2
2276.----2277. 4. Указание.
п2	р8
> pt -|_ ps & > °); r) pt ps
Продифференцировать два раза
00
Се-^Л=—. 2278. In— . 2279. arctg— —arctg—. 2280. Д-1п(1-1_а).
J	р	а	т	tn	2	1 '
о
2281. Л (У 1 — а’—1). 2282. arcctg-5-. 2283. 1. 2284. -L . 2285.	.
2286. ^-2. Указание. Перейти к полярным координатам. 2287.	.
2288. -Q-. 2289. Сходится. Решение. Исключим из S начало координат
8
вместе с его е-окрестностью, т. е. рассмотрим /, = J J In Ух2 Уг dx dyt
(\)
где удаляемая область — круг радиуса в с центром в начале коорди-
«Л 1
нат. Перейдя к полярным координатам, имеем /в= J dqp £ г In г dr =
о •
2К	t
— j [4"ln/’|,I— 7 jrdr] d<₽==2jI (т~ Tlns—?)•	Отсюда
О	в
lim /в = 2290. Сходится при а> 1. 2291. Сходится. Указа-
е->0
полоской и полагаем
ние. Окружаем прямую у = х узенькой
2292. Сходится
3
при а > у .	2293.
dy
4,/<«-«
0.	2294. In
/5+3
2
2295.	•	£296‘ ТГЯ’’ 2297* T [(’+ 4л2)‘ “ ! l •
3(а + &)	15	3 L	J
436
ОТВЕТЫ
2298.	0,8 Kl.+Zl*. 2299. а’/Т.	2300.	(56/7 - 1).
5т	54'	'
2301.	arctg —. 2302. 2лаг. 2303. £ (10 /Тб - 1). Указание.
ab	а	27	'
f (х, y)ds можно геометрически интерпретировать как площадь цилиндри-
с
ческой поверхности с образующей, параллельной осн OZ, основанием — кон-
туром интегрирования и высотами, равными значениям подынтегральной функ-
ции. Поэтому S = где С — дуга О А параболы # = уХ2, соединяющая
с
. 	/ a2b	V а2 — Ь2 \
точки (0; 0) и (4; 6). 2304. а /З? 2305. 2 ( b2 4——=== arcsin —-/ *
\ у а2 — Ь2	а /
2306. Уог4-й2^л/а2+ 4л6г+^ In
(4	4 \	.	_ kMtnb
4-а, 4а).	2308.	2ла2/а24-Ь2.	2309.	“ .=
2310.	2311. —2ЛО2.	2312. a) -1; 6)0; в) г) —4;
ои	о	5
2318.
2319.
2322.
2326. а) — 2; б) abc — 1;
д) 4. 2313. Во всех случаях 4. 2314. —2л. Указание. Использовать
4
параметрические уравнения окружности. 2315.—аб2. 2316. — 2 sin 2. 2317. 0.
«3
у2
а) 8; б) 12; в) 2; г) у; д)1п(*4-#); е) J <р (х) dx + J ф (у) dy.
yt
а) 62; 6)1; в) ~ + 1п2; г) 14-/57 2320. УГ^а2 - /1 + Ь2.
а) х24-Зх#-2#24-С; б) х8 — х2у -f- ху2 — у2 + С; в) ех~у (х 4-404" С;
г)1п|х + #|+С. 2323. -2ла (а 4-6). 2324. - nR2 cos2 а. 2325.
г) 0.	2327. / = J j у2 dx dy.
(S)
2328. — у. 2329.	. 2330. —у. 2331. 0. 2332. а)0; б) 2пл. Указа-
ние. В случае б) формула Грина применяется в области, заключенной ме-
жду контуром С и кругом достаточно малого радиуса с центром в на-
чале координат. 2333. Решение. Если считать, что направление касатель-
ной	а
cos(X, п) — cos (У,	=
совпадает с направлением положительного обхода контура, то
следовательно, ф cos (X, л) ds = $^ds —
с	с
= (f) dy = O. 2334. 2S, гдеЗ — площадь, ограниченная контуром С. 2335. — 4.
3
Указание. Формулу Грина применять нельзя. 2336. nab. 2337. ~ ла2,
о
3
2338. бла2. 2839. у а2. Указание. Положить # = fx, где / — параметр.
ОТВЕТЫ
437
d*
2340. — . 2341. л (R-f-г) (R + 2г); 6л/?2 при R = г. Указание. Уравнение
д I
эпициклоиды имеет вид х = (R 4-г) cos t — г cos—~~ t, у = (R + г) sin t —
r । r
— rsin—y—'tt где / — угол поворота радиуса неподвижного круга, про-
3	R
веденного в точку касания. 2342. л (R — г) (R — 2r); -^^R2 при г — —- .
о	4
Указание. Уравнение гипоциклоиды получается из уравнения соответствую-
щей эпициклоиды (см. задачу 2341) заменой г на — г. 2343. FR.
k
2344. mg (2j — г2). 2345. — (а2 — b2), где k — коэффициент пропорционально-
сти. 2346. а) Потенциал (7 = — mgz, работа mg(z1 — z2); б) потенциал
М	Ц,	k2
U = —, работа------7—-  —; в) потенциал U =-------------(х2 -f- У* 4- z2),
г	у az -j- b2 + с2	2
работа ^(Rs-r2).	2347. А2348•	2349. 0.
Z	и	о
2350. —nabc. 2351. — . 2352. —. 2353.	- а. 2354. 1Х2
3	2	4	10(5 /5 - 1)	2
2355. а) 0; б) — (cos а + cos 0 + cos у) dS. 2356. 0. 2357. 4л. 2358. — ла2.
(3)
2359. —а’. 2360.	=	=	=	2361.	°«
ду dz dz дх дх ду
2362.	2 J + +	2363.
=«	+	236S. Зи*. 2366. t. 2367.2.Л
2368.	• 2371. Сферы; цилиндры. 2372. Конусы. 2373. Окружности
х2 -|~y2 = cj, 2 = сг. 2376. grad U (Л) = 9/ — 3/ — ЗЛ; | grad U (Л) | = |/99==
= 3/П; z2 = xy}	2377. а) у; б) 2г; в) - ~; г)
2378. grad(cr) = c; поверхности уровня — плоскости, перпендикулярные к
вектору г. 2379.	|£- = |gradt/| при а = Ь=с. 2380.	=
И; = 0 при / J_r. 2382. А. 2383. div а = у f (г)-J-f (г).
2385. a) divr = 3, rotr = 0; б) div(rr) = ~, rot (гг) = ^у-^;в) div (f(r)c)=z
=^(cr), rot (/ (r) c) = i-^-cXr. 2386. divt> = 0; rot® = 2(o, где «> =
= (o&. 2387. 2(0/1°, где л° — единичный вектор, параллельный оси вращения.
д2и	д2и	д*и
2388. div grad =	+	rot grad t/ = 0.	2391.	3nR2//.
ox*	oy*	or
438
ОТВЕТЫ
2392. а) ± п R*H (3R* + 2/7*); б) nR*H (R* 4- 2Я*). 2393. d iv F=0 - во
всех точках, кроме начала координат. Поток равен — 4шп. Указание.
При вычислении потока использовать теорему Остроградского — Гаусса.
г
2394. 2л W. 2395. ~	. 2396. U = § rf(r)dr. 2397.	. 2398. а) Не имеет;
б) U = xyz-[-С\ в) U~xy-}-x2 -\-tyz 4-С. 2400. Да.
Глава VIII
2401. л——~2402- Л- 24°3-	2404. -L 2405.	2406.^-.
2п — 1 2п 2п 1 п2 (п 4-1)’ Зл 4- 2
2407.  .--г-,; . 2408.	~	. 2409. (— 1)" + I. 2410. л<п-,>" + 1.
п (п 4-1)	1-4*7 ... (3/1 — 2)	'
2416. Расходится. 2417 Сходится. 2418. Расходится. 2419. Расходится.
2420. Расходится. 2421. Расходится. 2422. Расходится. 2423. Расходится.
2424. Расходится. 2425. Сходится. 2426. Сходится. 2427. Сходится. 2428. Схо-
дится. 2429. Сходится. 2430. Сходится. 2431. Сходится. 2432. Сходится.
2433. Сходится. 2434. Расходится. 2435. Расходится. 2436. Сходится. 2437. Рас-
ходится. 2438. Сходится. 2439. Сходится. 2440. Сходится. 2441. Расходится.
2442. Сходится. 2443. Сходится. 2444. Сходится. 2445. Сходится. 2446. Сходится.
2447. Сходится. 2448. Сходится. 2449. Сходится. 2450. Расходится. 2451. Схо-
дится. 2452. Расходится. 2453. Сходится. 2454. Расходится. 2455. Расходится.
2456. Сходится. 2457. Расходится. 2458. Сходится. 2459. Расходится. 2460. Схо-
дится. 2461. Расходится. 2462. Сходится. 2463. Расходится. 2464. Сходится.
2465. Сходится. 2466. Сходится. 2467 Расходится. 2468. Расходится. Указа-
ние. —•”•> 1- 2470. Сходится условно. 2471. Сходится условно. 2472. Схо-
дится абсолютно. 2473. Расходится. 2474. Сходится условно. 2475. Сходится
абсолютно. 2476 Сходится условно. 2477. Сходится абсолютно. 2478. Сходится
абсолютно. 2479. Расходится. 2480. Сходится абсолютно. 2481.Сходится условно.
2482. Сходится абсолютно. 2484. а) Расходи 1ся; б) сходится абсолютно; в) рас-
ходится; г) сходится условно. Указание. В примерах а) и г) рассмотреть
ряд 2 (a2A_iа в примерах б) и в) исследовать отдельно ряды
fc = i
QU	GO
2	" 2	2485. Расходится. 2486. Сходится абсолютно. 2487. Схо-
Л = 1	* —1
дится абсолютно. 2488. Сходится условно. 2489. Расходится. 2490. Сходится
абсолютно. 2491. Сходится абсолютно. 2492. Сходится абсолютно. 2493. Да.
1 4-(_ 1)"	„	1
2494. Нет. 2495. \ —то_—— ; сходится. 2496. > г——----------п; сходится.
Хи* 3"	2п (2п — 1)
n = l	nsxi
2497. Расходится. 2499. Сходится. 2500. Сходится. 2501. |/^4| <	, |/?,|;
I	• £\j
Rt<0,R(>0, 2502.	2—-. Указание. Остаток
ряда можно оценить с помощью суммы геометрической прогрессии, пре-
[11 /IV 1	1
2 п 4-1 ‘ \ 2 J (п -f-1) (п + 2) ' J
ОТВЕТЫ
439
1
1 I 1	2503 R ____«4-2	.
т;'F+n,+,,,r Rn<(n+ d(«+i)i•
R„ < 3 • 10"’. 2504. y^-j- </?„<—.Решение. Rn—^n _|_ ц. + (rtp2)'^’''
_________J	 I 	!	|_	- /	1____L
•••> (n + l)(n+2)__________________________04-2)0+3)_• Ц + 1	«4-2/ T
. (	1	1	\ ._____1	. n <	1	|	1	|	-1
Ч«+2 ^+з;ф---------n + Г 2<л<'п(n + 1) ' (n +1)0 + 2)^-n •
2505. Для данного ряда легко можно найти точное значение остатка:
„17 , 16\ 7 1 \гп~г
Rn~ 15 (" +15А 4 )	•
Решение. Rn

Умножим на
16R,I —(
Вычитая, получим:
15 п / 1 >
16 Rn —п ( 4 J
1 \««+»
2П
2П
= П
,-1Б
Отсюда находим приведенное выше значение Rn. Полагая л = 0, находим
/16\2
сумму ряда S — (	. 2506. 99; 999. 2507. 2; 3; 5. 2508. S = 1. Указа-
ние. ап~---------г 2509. S = 1 при х > 0, S = —1 при х < 0; S —0
п п п -f-1
при х~ 0. 2510. При х>1 сходится абсолютно, при х<1 расходится.
25П. При х>1 сходится абсолютно, при 0<х^1 сходится неабсолютно,
при х^0 расходится. 2512. При х>е сходится абсолютно, при 1<х<е
сходится неабсолютно, при	расходится. 2513.	— оо<х<оо.
2514. —оо<х<оо. 2515. Сходится абсолютно при х > 0, расходится при
хсО. Решение. 1) [ап | «С , а при х>0 ряд с общим членом
сходится; 2)	при x«C0, a cos их не стремится к нулю при л—> оо,
так как из cosnx—►О следовало бы, что cos2nx—► — 1; таким образом,
при х^0 нарушен необходимый признак сходимости. 2516. Сходится
абсолютно при 2kn < х < (2k	1) л (k = 0, ±1, ±2,...); в остальных
точках расходится. 2517. Расходится везде. 2518. Сходится абсолютно
при х / 0. 2519. х > 1, х< — 1. 2520. х > 3, х< 1.2521. x^l, х<— 1.
1	2	1
22. х^5~, х<44. 2523. х > 1, х< — 1. 2524. - 1 < х < — ± ,
о	о	2
у < х<1. Указание. При этих значениях х сходится как
ряд
х*, так
440
ОТВЕТЫ
ОО	j
и ряд V5 . При |х|^1 и при |х] <— общий член ряда не стремится
2*хЛ	2
к нулю. "2525. — 1 <х<0, 0<х< 1. 2526. - 1 <х< 1. 2527. — 2<х<2.
2528. — !<_*<!. 2529.-х <—L. 2530. — 1 <х<1. 2531.—1<х<1.
/2/2
2532. — 1 < х < 1. 2533. — оо < х < оо. 2534. х = 0. 2535. — оо < х < оо.
2536. — 4 < х < 4. 2537. -	< х < ^ . 2538. — 2 < х < 2. 2539. — е <х<е.
О	О
2540. — 3 <х < 3. 2541. — 1 < х < 1. 2542. — 1 < х < 1. Решение. Рас-
ходимость ряда при |х|^1 очевидна (интересно, однако, отметить, что рас-
ходимость ряда на концах интервала сходимости х — ± 1 обнаруживается не
только с помощью необходимого признака сходимости, но и с помощью при-
знака Даламбера). При | х ] < 1 имеем:
lim	—1= lim ] (n + 1)х"1 " | <lim (н+1) | x]n = lim гчЦй = 0
Л->(30	n\ ХП‘	I 71->ЭО	7Z->GO	n->00 -
I X I
(последнее равенство легко получить с помощью правила Лопиталя).
2543. —1«Сх«с1. Указание. С помощью признака Даламбера можно не
только найти интервал сходимости, но и исследовать сходимость данного ряда
на концах интервала сходимости. 2544. — 1 х 1. У к а з а н и е. С помощью
признака Коши можно не только найти интервал сходимости, но и исследо-
вать сходимость данного ряда на концах интервала сходимости. 2545. 2< х <;8
2546. — 2<х< 8. 2547. — 2 < х < 4. 2548. 1 <х<3. 2549. — 4<х < —2
2550. х = —3. 2551. — 7 < х < — 3. 2552. 0 <х <_ 4. 2553. —
4	4
2554. — е — 3<х<е— 3. 2555. — 2<х<0. 2556. 2 < х < 4. 2557. 1 <х<3
2558. — 3 х — 1. 2559. 1 ---— < х < 1 + — . Указание. При х = 1 -f- А,
в	€	g
(•+iV .
ряд расходится, так как lim -----—-— = —== # 0.	2560. — 2 < х < 0.
п->оо е	у е
2561. 1 <х<3. 2562. 1 <х<5. 2563. 2<х<4. 2564. |г| < 1. 2563. | г | < 1.
2566. 12 — 211 < 3. 2567. | г | </2? 2568. 2 = 0. 25о9. | г | < со. 2570. | г | < 2- .
2576.	- 1п(1-х)	(—1<х<1).	77 In(l-f-x) (— 1<х<1).
2578. у In (I I < 1)- 2579. arcfef (| х | < 1). 2580. jp (I х I < 1).
258'-(ГТХ-(|'|<|,' 2582'</^(|'|<1)- Ж
2584. farct£ х —	^ (I х | < 1). 2585. —У к а з а н и е. Рас-
Л \	1 “у* X, J	О
X® х*	1
смотреть сумму ряда х—5-+^-----... (см. задачу 2579) при х = -— .
do	у 3
00
2586. 3. 2587. а*= 1 + £	( - 00 < х < 00). 2588. sin (х +	=
77 = 1
__	П* — П
И2 Г. . х1 х8 х4 Xs	1ЧТ~хп 1
"2 L 21	31+41+51	•••+(	п! +•••]•
ОТВЕТЫ
441
х^	х^
2589. cos (х 4- a) = cos а — х sin а — —. cos а 4- — sin а 4- — cos а + .. о
2!	3!	4!
. хп . Г (п+1)л] ,	,	/ ч огпл • 2	2х2 23*4 [ 25%6
* • • + п!Sltl [a+	2 J +’ • •(~С° < х<с°)- 2590‘ sm х— 2Г — Т'+'б!-------• • *
927J-1 у2П	у
•" + (~1)"~' + +•(-^<*<^)- 2591. 1п(2+х)^1п24--2 -
— 77^ + + — •••+(— 1)"',+1 + ---(-2<х<2). Указание. При
исследовании остаточного члена воспользоваться теоремой об интегрирова-
нии степенного ряда. 2592. ---------= —
r	i v _ 1 И
^(n+3)x« (|х|< 1).
п = о
2593~ ^^4х + 3=-Е(1++0 хП	2594. хе- = х +
72 — 0
со	00
/_ 1\Я-1 9?Z-1 уП	„	у2П
+ Л—(П - ip.—(_ °°< х<°°)-2595-е* =1 + Хтгг (- °°<х<00)-
и — 2	п = 1
у2п + 1	^2-	92п х2п
гж- £ ₽+1)Г <-“<«<“)	2И’- 1 + V <--1 >"7й)Г •
П = 1
И99.
v2H4-1	1	1 у2 1 О у4
260°.	- (_3<х<3).	2601.	- + у. - + —-4-
_|_l±5f! _i_ I 1-3-5... (2п-1)
Г24-6 27 Т’,,Г	2-4-6...2n	22П+1'*’* *	h
2М2.2 2М3.
И = 0	И=1
J2.	у«	_	X2”4"1
2604.	х+^-1}п__ (|Х|<1). 2605. £(_1)П_ (|х|<1).
2606.
2607.
1-3-5...(2п - 1) х2п+1 .
+	2-4-6...2Л	2п4-14‘
(|х|<1).
1	1Р 1'3-5---(2п-1) х2П+1
2 ' 3 -1”2-4 5	•••+-( И 2-4-6...2п 2п-Н + ”‘
(|х|<1).
СО
—О4П —3 у2П
2608. У (- 1)”+’ С - (- оо < х < оо).
П = 1
15 г. С. Бараненков и др.
442
ОТВЕТЫ
00
2609. 1 -f*	I)”'1 —•*” (—оо<х<оо).
П = 2
2610. 8 4-3	1+21+ЗП~‘ хп (_да<х<оо).	2611. 2 + ^-^--
2-х»	, 2-5х’ ,	, ,	12-5.8...(Зп-4)х- ,
25 * *-32*2!	23-33-3! ’ *”	;	28""1-3',-п!	Г‘”
00
(—оо<х<оо). 2612. -1-^ (2^4-2^) х« (—2 < х < 2).
И = 1
со	оо
2613. 1 4- | S< И < <”) 2614. ^21	(|х|<Г2).
П=-1	П~0
00
2615. 1п24- У' (- 1)"-*(14-2-я)2	(—1<х<1).
П —1
со
м •	у2 71 +1
2616. £ (— ^4(2n 4-1) (2п 4-1)!	(— оо < х < со),
п —о
00	2П + 1	00	П
2617. х4-£(-1)"(-2^2^ (|*|<оо). 2618. £(-1)"+’2 (|х|<1).
П=1	П=1
гв». » + 2V+4fe^+ - + 111 »"" + - <!>!<).
4L*3 О 4L*5	^*3	9
2620. х+_4_2_ + ...	2621. х-14-2---
2622. е(1-24-£_...).	2623. 1 4-2 + U+...
2624. - (у+^ + ^+ •••}• 2625. х 4-хг 4—1 х’4-... 2626. У к а з а-
ние. Исходя из параметрических уравнений эллипса x = acos/, у = Ь sin/,
вычислить длину эллипса и полученное выражение разложить в ряд по степе-
ням е.	2628. х3 — 2x2 -5x- 2 = —78 4-59(х + 4) —14(х4-4)2 +
+ (х4-4)3 (—оо<х<оо).	2629./(x-|-/z) — 5x3 — 4x2 — 3x4-2 4-
4- (15х2 — 8х — 3) h + (15х — 4) hz -|-5/is	(—оо<х<оо; — оо < h < оо).
00	00
263°. у^(— 1)"-1(*СС 1)П(0<х<2). 2631. У (— 1)"(х —О'» (0 < х < 2).
72 —1	Л = 0
2632. 2 (« + 1) (х Н-1)”	(-2<х<0).
п = о
2633.	(2-"-1 — 3-п-1) (х 4_4)”	(-6<х<-2).
п =0
со
2634. О" {Х£?Г- (-2-КЗ<х<-24-КЗ).
п=о
ОТВЕТЫ
443
2635. е”2
[‘+Е
п~ 1
(^+2Н
n! |
х — 4
(|х|<оо). 2636.2+^-5
1	<*~4)2 I
4 ‘	24	"+'
ЬЗ (х-4)3	1-3-5 (х-4)\	, ,	1-3-5...(2л-3) (х-4)" ,
4-6	2*	4-6-8 2е ’"•••'г''	4-6-8... 2п ' 2ан
(О < х < 8).
ОО
+
Л— 1
оо / _ ^У"’1
2бз?. Sy»" (+—
—(|-|<”>-2MS-
п = о
2638. 1-|.
(О < х < оо).
Указание. Сделать замену
1пх по степеням t. 2640. т-Д-----
1 +х 2 \ 1
 ЬЗ-5 ... (2/г-З) / х V /	1
^2.4-6 ... (2п — 2) U +х) +	2^
1 —х
ч—;— = t и
разложите»
х \3 ,
0	1	1	тг 1	1
2«'. IRI<5r<w- “«	1«1<гт- »--б=т+т 3
I -3 \ 2 7
— х 5~~ в’523. Указание. Чтобы доказать, что ошибка не превы-
шает 0,001, нужно оценить остаток с помощью геометрической прогрессии, пре-
X2
вышающей этот остаток. 2644. Два члена, т. е. 1-•	2645. Два члена,
т. е. х — 4- • 2646. Восемь членов, т. е. 1 4- V* Д-. 2647. 99; 999. 2648. 1,92.
2649. | R |< 0,0003. 2650. 2,087. 2651. | х [ <0^69; | х | < 0,39; | х | < 0,22.
2652. ]х| < 0,39; | х | < 0,18.	2653. у ~ 23-3-3!°’4931’	2654’ °’7468’
2655. 0,608 . 2656. 0,621. 2657. 0,2505. 2658. 0,026.
СО
2659. 1 +£(_1)у^2
п — х
(— оо < х < со; — оо < У < оо).
ж».	+	(-»<«<«.;-»<»<»)•
^saM	2^ * \ l> J I
Л = 1
2661.	• <-со<х<со; _да<(/<да).
Л = 1
со
2662. 1 +2 У, (у — х)"; | х — 1 < 1. Указание.
п — 1
1 —х + у
1 +х-у
=-14-
+ ------------- . Воспользоваться геометрической прогрессией.
15’
444
ОТВЕТЫ
2663. — Х (— 1 х < 1; — 1 г/ < 1). Указание. 1 — х — у-\-
п = \
Х2П+1 I у2П + 1
+ ху = (\-х)(\-у).	2664. 2J-1)"----2^Г~
п л
—	Указание.
arctg
х + У _
1 — ху
arctg х arctg у (при |х |<1,
|г/|<1).	2665.	f(x-\-h, уk) =ах2-[-2bxy-(-су2-(-2 (ахby) ft
4- 2 (bx 4- су) k 4- ah2 4- 2bh + ck2. 2666. f (1 4- ft, 2 4- k) - f (1, 2) = 9ft - 21*4-
+ 3h2+3hk - 12k2 4- h2 - 2k\ 2667. 1 4- j? ——
x 4" (	2/1	x2 — u2 x* — 3xw2
2M8. 1 +JJ (-D-J.-----\2B), 7J .286». 1+, + »-^+	3,	|
n=l
00
лл„л < .	।	ci+c2 2(q — c.) sin(2n4-l)x
2670. l+x+xy + -^x2y + ... 2671. ^—5----~„~"L 2n 4-l	:
rt=-0
S«» = a±*; s(±4 = 14^.2872.	4g" + 'l«-
+ (« + 6)У(=1)"-',4Г;3(±»> = ’-4"«.2в7з4' + <£(-1>"^
Аиия	Г1	&	О	Jtaeel	il
n = l	71 — 1
OO	n
3(4-л)=лА 2674. — sh an [ 77- +	\ (a cos nx — n sin nx)
л	I ла	а —i— n
n = i
00
„ , ч , ллигг. 2 sin an	n sin nx
S (± n) = ch an. 2675. —-— / (— 1)	, если a — не целое; sm ax, если
П— 1
00
о/, ч /ч	2 sin an [ 1 , v1/ lv„acosnx
а —целое, S(± n) = 0. 2676. —-— 1—4* \ (— 1)	I , если a — не
n = l
целое; cos ax, если a — целое; S (± jt) = cos an.
2677.	у	S(±„)=o.
л	a2 4- n2 4
n = l
oo	oo
2sh an I 1 .	/ ..„acosnx“l o. , ч , ЛЛ__ sin nx
2678- -ц-	S(±Jt)==chOT-2679>	— ‘
n=l	n=i
00	(X)
2680.	a) " 6) ” . B) « . 2681. a) 2 У
X-i 2n — 1	7 4	' 3	7 21/3	'	n
n—1	r	H=J
ОТВЕТЫ
445
л 4 уч cos (2/i — 1) x n2
6li~L.....(2n-i)2"у 2682< a)
n=l
GO
£b„sin«x, Где&2Й_1 = ^^у
П = 1
8	, л л2 yi
л(2А—1)’’ a btk~~ k’ 6) 3 +42-i
cosnx. Л^_	Л_2
n2 ’	J 6 ’ ' 12 •
2683.
QO	CO
2 v< ri / nn a^nsinnx .,xeait—\ . 2a y-^ [(—IJccsnx
7 . [1—(—1) б 1 -ГП 2 ; 6)--7 12---—T~\-T----
л	J a2 -\-n2 an л	a2 4- n2
n = i	n 1
2684.
tn , nn
2
a) л 2j —n—sin nxi 6)
n —1
n= 1
. nn
s>n^-
-----cos nx.
n
2685.
all V (_ iv»-isin &n-\)x .	Л._2
я	>	(2n — I)2 ’	4 л
72 — 1
GO
Ecos 2 (2n — 1) x
(2n — I)2
n = 1
2686. ^6„sinnx, где Ь2к = (— 1)* 21, b2k+1 = (- 1)* —(2Д_ 1)2-.
2687.
А у sin<2”-;^.. 2688. А у (_ 1)Я-
-ц X (2n — l)3	л X-iv 7
n — 1	n — 1
j n sin nx
4n2 — 1 *
2689.
2691.
2/i / 1 . sin nh
*— Hr + 7  ]— cos nx
л \ 2 1 X«^ nh
n = \
GO
1_созх + 2£(_1Г
П = 2
cos nx лллл
1-------.2692.
n2 — 1
n—\
QO
n^.cos2nx
in2—!
n = i
7t	2
2 P	2 C
2694. Решение. 1) a2n = — \ f (x) cos 2nx dx — —\ f (x) cos 2nx dx -J-
Л J	Л J
о	0
7t
2 p	jx
+ “\ f (x) cos 2nx dx. Если сделать замену —x в пеРВ0М интеграле
7t
2
и t = x— во втором интеграле, то, воспользовавшись предположен-
ным тождеством /	0 ~0 ’ легко обнаружить, что агп — О
(п = 0, 1, 2, ...); V
•л:
тс	2	тс
2) Ь2п —. —	С / (х) sin 2пх dx~ —	С / (х) sin 2пх dx —	С f (х) sin 2пх dx.
Л	J	Л	J	л	J
О	0	тс
2
445
ОТВЕТЫ
Та же замена, что и в случае 1), с учетом предположенного тождества
£ l Л । , \ j. f Л! . \
I (ут" ‘ I —I I ~2—‘) приводит к равенствам 4>2„ = 0(п = 1, 2, ...).
2695.
1	4 у cos(2n+l)nx	2 у
7 ~ 2- —(2п'+1)2	• 2696- 1 —5Г 2-
п=о	П=1
sin 2плх
п
2697.
sh I у+ 2
плх . плх'
COS —4------ЛП Sin -J—
/2 _|_ п2д 2
2698.
2699.
00
4 V5 sin2(n—1)лх
2„-1
(2п— 1) лх
cos -------
(2n —I)2
00	. плх
2/V	sinT
б) 1. 2700. а) ~ К ( — !)« + ! ——
Л	П
П—1
<ю
2701. а) Л bn sin , где	d2V + l =
п-i	£
8 Г л2 41
л [26+1	(26+I)3]’
да	пх
4л 4л2 V	C0S Т
П—1
00	. (2п + 1)лх
„	sin'----------
27»2. .)	<-D"	(2„ + 1), ;
п = о
1	4 у? cos (2n+ 1) лх
2	(2п + 1)2
2703.
2	9 у5 1 2плх , 1 V' cos 2ллх
Т-2л«2и	C0S—3 |’2л52а п2
П=1	п=1
Глава IX
2704. Да. 2705. Нет. 2706. Да. 2707. Да. 2708. Да. 2709. а) Да;
б) нет. 2710. Да. 2714. у—ху' =0.	2715. ху'—2у = 0.
2716. у — 2ху'=0. 2717. х dx + y dy = O. 2718. у'=у. 2719. Зу2— х2 =
=-2хуу'. 2720. хуу' (ху2-\- 1) = 1. 2721. у—ху'\п~ .	2722. 2ху”-\-у' =0.
2723. у” — у' — 2у = 0. 2724. / + 4z/ = 0. 2725. у"’ — 2уп + у' =0. 2726. у” =0.
2727.	/"=0.	2728. (1 +/2) у'" — Зу'у"2 = 0.	2729.	у2—х2=25.
2730. у = хе2Х. 2731. у = —cos х.	2732. у — -&( — 5е~х-]-9ех — 4е2Х),
2738.	2,593 (точное значение у = е).	2739.	4,780 (точное значение
у — ^(е— 1)). 2740. 0,946 (точное значение г/=1). 2741. 1,826 (точное
значение у = }^ 3).	2742. ctg2 у — tg2 * + С. 2743. х = —^^=1 ;
V 1 + */2
1/ = и. 2744. х2 + г/2 = In Сх2. 2745.	=	2746-	*8 0 =
= С(1— из; х = 0. 2747. r/ = Csinx. 2748. 2е2 = fe~ (1 Ч-ех). 2749.	1 +
+ 1/2 = Г-!х2 • 275°*	2751- arctg (х +£/)=* +С. 2752. 8х +
ОТВЕТЫ
447
-f-2y+l=2tg(4x + C). 2753. x4-2^4-31n |2х4-3//-7|=С. 2754. 5x4-
4-10«/4-C = 31n| 10х-5г/4-6]. 2755. е = т-—- или уг = 2Cx-\-С\
£  LUu vp
2756. Ibq —„ \
*	2 cos2 (p
w2
In | cos (p | 4- С или In | x I — —2= C- 2757- Прямая у—Сх
или гипербола у — —. Указание. Отрезок касательной равен
/----7—\"2	—
у А .2758. уг-х* = С. 2759. i/ = Ce“. 276O. у2 = 2рх. 2761. у=
X
\ ху dx
3
= ах2. Указание. По условию----------= —х. Дифференцируя дважды по х,
х	4
f У dx
получим дифференциальное уравнение. 2762. у2—-— х, 2763. у = ]/4 — х2 -|-
О
2 — 1/4 — х2
4-2 In-----—------. 2764. Пучок прямых y = kx, 2765. Семейство подобных
эллипсов 2х2 4- У2 — Сг, 2766. Семейство гипербол х2 — у2 = С. 2767. Семей-
С	С х
ство окружностей х2 4~ (у—Ь)2—Ь2. 2768. r/ = xln—. 2769. У—~------•
2770. х — Сеу. 2771. (х — С)г — у2 = С^ U -^2)2 - у2 = 4; у = ±х.
/Т
2772. у — 4- In | у\ = С. 2773.	х = 0. 2774. (х2 4~ у2)2 (х 4-
+ уУ=,С. 2775. у = х у 1 --|x-	2776’ (х + У~ 1)’ = С(х-//4-3).
2777. Зх 4-1/4-2 In | х+//— 1 | = С. 2778. In 14х 4- Sy 4- 5 | 4- Sy - 4х = С.
2779. х2 = 1 — 2у. 2780. Параболоид вращения. Решение. В силу симмет-
рии искомое зеркало является поверхностью вращения. Начало координат
помещается в источнике света; ось ОХ — направление пучка лучей. Если
касательная в любой точке М (х, у) кривой сечения искомой поверхности
плоскостью XOY образует с осью ОХ угол (р, а отрезок, соединяющий начало
координат с точкой М (х, у),— угол а, то tg а = tg 2ф —	• Но tg >
tg(p — у'. Искомое дифференциальное уравнение у — уу'2 — 2ху' и его реше-
ние у2 = 2СхС2. Плоское сечение — парабола. Искомая поверхность —
параболоид вращения. 2781. (х — у)2 — Су — 0.	2782. х2 = С (2уС).
X
2783. (2у2	х2)8 — Сх2. Указание. Использовать, что площадь равна у dx.
а
1 С
2784.	У—— Сх — х In ] х |.	2785. у = Сх-}-х2. 2786. У — A'*4-^z-
ех . ab — еая
=	------х—
2787. х Y1 4~ У2 4~ ccs У =	Указание. Уравнение линейно относительно
dx	1
JCH-. 2788. х = Су2 -—.	2789.
dy	У
448
ОТВЕТЫ
2790.	# = (х У1 — х2 4-arcsin х) 1/•	2791.	У — -— .
2 ' г '	7 г 1 — х	у cos х
2792. у (х2 + Сх) = 1.	2793.	r/2 = xln—.	2794. х2 =* 2 .
J v ’	х	у 4- Су2
2795. #5 (3-|-Cecos х) — х. 2797. ху — Су2 4~ а2.	2798.	у2 4~х -)-а^ = 0.
2799. х = у\п^.	2800.	—= 1.	2801. х2 4- у2 — Су + а2 — 0.
2802. *L + xy + y2 = C. 2803.	~ + ху2 + х2 = С. 2804. ~ —+
z	о	4 z
+ 2х + ^- = С. 2805. х2 4-г/2 —2 arctg —= С. 2806. хг—уг = Су\
О	X
2	Х	j 2	2
2807. Х--\-уеУ —2.	2808.	1п|х| — — = С. 2809.	-4-^-=: С.
2 1	1 х	у 2
2810.	-i-lnx4-4-^2 = C. 21
у 2
2812. (х2С2 + 1 - 2Су) (х2 + С2 - 2С
2813. Общий интеграл (у-\-С)2 = х2
(х2	\ ? У2 \
интеграл ( у — у 4- С I [ х — у + С ]
2815. Общий интеграл^ у2-\-С2 =
1 Уз .
2816. у = у cos х ±-^у~ sin х.
2818. / « = ^ + о"' + с.
I у~р2еР.
Особое решение # = 0.
ill. (х sin у 4- У cos у — sin у) ек = С.
У) = 0; особый интеграл х2 — у2 = 0.
; особого интеграла нет. 2814. Общий
|=0; особого интеграла нет.
2Сх; особый интеграл х2 — у2 = 0.
/ x = sinp4-lnp,
2817. {	,	,	,	, _
J p = psin р 4-cosp 4“Р 4-С-
2819. I « = 2О-у + С.
I У = р*4-21пр.
2820. 4у = хг рг, In | р — х | — С 4
2821.
2822.
2823.
In Vрг 4- уг 4- arctg	= С,
у — С + ^т-, у= ±2х.
и
I х = In | р | — arcsin р 4- С,
) у=р + УТ=?.
у2 I р2
х = In * Ос°б°е решение у = ех,
2824 ! ^Се~Р-2р+2,
) у = С(1+р)е-Р-р^ + 2.
г 1	- —
2825. х=-т(Ср 2 — р),
I
I 1	~
у = т(2Ср2 +р\
Указание. Дифференциальное уравнение, из которого определяется х как
функция от р, однородно. 2826. у = Сх 4~ С2; у — — — . 2827. у = Сх-[-С\
особого решения нет. 2828. у — Сх 4~ У1 4"	xz-\-y2 = \. 2829. у=.
= Cx4--g-; //2 = 4х. 2830. ху = С. 2831. Окружность и семейство ее
касательных. 2832. Астроида х2^	= а213. 2833. а) Однородное;
у = хи; б) линейное относительно х; x = uv\ в) линейное относительно у,
y = uv\ г) уравнение Бернулли; y = uv\ д) с разделяющимися пе-
ременными; е) уравнение Клеро; привести к виду р = х/ ±)Л/'5;
ж) уравнение Лагранжа; дифференцировать по х; з) уравнение Бернулли;
у = ии\ и) приводящееся к уравнению с разделяющимися переменными
ОТВЕТЫ
449
и — х-\-у\ к) уравнение Лагранжа; дифференцировать по х; л) уравне-
ние Бернулли относительно х; x — uv; м) уравнение в полных дифферен-
циалах; н) линейное; у — uv\ о) уравнение Бернулли; y = uv.
2834. a) siriy =—ln|x|+С; б) х = у-еСу+1. 2835. хг -J- yi = Су\
2836. У— /х. 2837. ху (с--| In’x') =1. 2838. i/ = Cx4-ClnC;
X -j- G	\ z /
особое решение y = —e~{x+1\ 2839. у — Сх^У—aQ особое решение
a	I x3 — 1 I	1	1
=	2840. 3z/ + ln!—--—=	2841.-^-^—arctgz/-—ln(14-p2)=C.
TA	уУ —kJ	£	Z
1
2842. у — хг(\-}-Сех). 2843. x = уг (C — e~y). 2844. y = Ce ~sin x 4-sin x— 1.
2845. y = ax + cVl^x*. 2846. y=(x + In | x | -|-Q.
2847. x = Ces}ay — 2a (1 +sin y). 2848. £ + Зх + у -f- In [(x—3)’°| у — 1 |’]=C.
и 1	9	— —
2849. 2 arctg 2—2 = ln Cx. 2850. x* = 1 - — _|_ Се У . 2851. x’ = Cey - y—2.
zX	y
2852. j/*-ф- In | x | =. C. 2853. у = x arcsin (Cx). 2854. y2=Ce~2X sinx-[-
4	1
+ — cos x. 2855. xy = C(y— 1).	2856. x — Cey — -- (sin у cos y).
5	z
2857. py = C(p—l).	2858. xl = Cety - y> - 4 уг - 4 у - ~ .
4 , О OZ
2859. (ху + С)(хгу + С) = 0. 2860. Vхг-{-уг — — — С. 2861. хеу—уг = С.
У
2862. I х = £ -	± In (p + VT+P),	2863. y = xeCx.
I y = 2px + Vl+^.
2864. 2ex — y' = Cy*.	2865. In 11/-f-21 + 2 arctg £^2 = C.
2866. рг4-Се~т4-£ —2 = 0. 2867. хг-у — Се^. 2868.	x-{-y = C.
2869. У=	2870. r/ = Csinx-a. 2871. у = ln (x+Vg+g+C
4(x2— 1)’/’	x + /a2 + x2
2872.	(y-Cx)(r/2-x24-C)=0.	2873. y = Cx+^, r/ = -|
2874.	x3 + x2y — y2x —y3=C.	2875. pz + 4#2 = Cy\ 2876. у — x — 1.
2877.	y — x. 2878. у = 2.	2879. y = 0.	2880. z/ = -|-(sinx -|-cosx).
2881.	z/ = -L(2x2 + 2x4- 1).	2882. у = e~x	2x — 2. 2883. a) y — x;
б) у — Cx, где С — произвольно; точка (0; 0) —особая точка дифференци-
ального уравнения. 2884. а) у2 — х, б) у2 — 2рх\ (0, 0) — особая точка.
2885. а) (х — С)2 4~*/2 = С2; б) нет решения; в) х2-{-у2~ х; (0, 0) — особая
х
точка. 2886. у~еу .	2887.	у\ — (У 2а ± |/ х)2	2888.	у2— 1— е~х.
2889. г — Сеа^. Указание. Перейти к полярным координатам.
450
ОТВЕТЫ
2890.	3r/2 —2х = 0.	2891. г — Лер. 2892. х2 Д- (у - b)z = Ь2.
2893. z/24- 16x —0. 2894. Гиперболы у2 — х2 — С или окружности х2-\-у2 = С2.
2895. у = -^-(ехе~х). Указание. Использовать, что площадь равна
X	X
S(*	______
ydx, а длина дуги \ у 1 -\-у'2 dx. 2896. х =-\-Су. 2897. у2=4С (С-]-а—х).
J	У
о	о
2898. Указание. Пользоваться тем, что равнодействующая силы тяжести
и центробежной силы нормальна к поверхности. Принимая ось вращения за
ось OY и обозначая через w угловую скорость вращения, получаем для
плоского осевого сечения искомой поверхности дифференциальное уравнение
g^ = (n2x. 2899. р = е ~0,000167 Л. У к а з а н и е. Давление на каждом уров-
не вертикального воздушного столба можно считать обусловленным только
давлением вышележащих слоев. Использовать закон Бойля — Мариотта, по
которому плотность пропорциональна давлению. Искомое дифференциальное
уравнение dp ——kpdh. 2900. s = -^klw. Указание. Уравнение ds =
= kw~^-dx. 2901. s=^ + |A(. 2902. T = a -J- (T„ — a) e~kt. 2903. 4e-
/ 3 U '
рез час. 2904. cd=100( — I об/мин. 2905. 3a 100 лет распадется 4,2%
\ О j
начального количества Qo. Указание. Уравнение ~- = kQ-, Q —
t
(1 \1600
— j . 2906. t 35,2 сек. Указание. Уравнение jt (h2 — 2h) dh =
/ 1 \z 1
==Я\1о)°^’ 2907. ц)24 ’ Указание. Уравнение dQ = —kQdh\ Q =
h
2908. и
при t -> oo (k — коэффициент пропорциональ-
ности). Указание. У равнение m = mg — kv2\ v
dx ( 1
2909. 18,1 кг. У к а з а н и е. Уравнение L
300/ •
Е	—— t
2910. t	£2^2 t(# s*n ~ cos	L ]• Указание. Урав-
нение Ri Л —£ sin cot 2911. у = х In | х | Д- Сгх -{- С2. 2912. 1 -{-С^у2 —
= (с, 4-^1/. 2913. у=1п|е2* + С1|-х + Сг. 2914. у = Сг + С2 In | х |.
2915. y = Ctec’x. 2916. у = i/C^ + C,. 2917. у = (1 -|_С2) In | х + С. ] —
— CjX-f-C,. 2918. (х - CJ — a In | sin У-2~ | •	2919. y = -l(ln|x|)2-f-
+ С, In | х | + Сг. 2920. х = ± In |	1 + С2; у + С. 2921. у = С,ес>х + ^- .
2922. у = ± 1 Гх С2 - х2 + С2 arcsinI + С2. 2923. у = (С.е* + 1) х + С2.
ОТВЕТЫ
451
2924. у — (С'Х — С,) eci "*"*С2; у — -^-x’-f-C(особое решение). 2925. у=СххХ
Х(х—Ct)4-C2; у=^-\-С (особое решение). 2926. У=тй4~?г + С1х1п|хЦ-С2х-(-С3.
2927.y=sin(C,4-x)+C2x+C3. 2928. у=х’+3х. 2929. </=у (х2+1). 2930. у =
= х-Н. 2931. у = Схг. 2932.	; у—с. 2933. лг=С1Н-1п|У-=^ I .
1 с2е	I {/'т_ь21
2934. х =^-1^ I—£—I.	2935. х = Cty‘ + у 1пУ + С2.
G2 1 У I ^2 I
г2 _ 1 е2 — 1
2935. 2г/2 —4х2= 1	2937. г/ = х-{-1. 2938. # = (g2	in | х |
1 _ Г2	е2 I 1	1	1
ИЛИ У^2Т~е2 + 1) + ~4 1пМ* 2939‘ У =	2940. у = ух\
3	—	е
2941. у = 2ех. 2942. х = —у (у+ 2)’. 2943. у = ех. 2944. уг = -^—^-^
е~х	'	9 W —	8	Зе’*
4-1----	2945. y = £lJ-x2 --и-.	2946. у =	. 2947. у = sec2х.
1 с,	О	О	Z ~[" "
2948. у — sin х + 1 • 2949. У = \-1> * 2950. х =----- е~у* 2951. Решения
2	(* + €? +1)8
нет. 2952. у = ех. 2953. у = 2 In | х | - у .	2954. у =--------|-----[-
4	JL	х2
+ Т Ci(x-h 1)2 + С2. Особое решение у = С. 2955. у = Сх (Сх — C^x-f-Q.
о	2
Особое решение у = —jy^- + £•	2956. У — (ci + х)4 + Сг* + С3.
2957. у = Ci +	у=1 — ех\ у = —14~е х; особое решение
у = —-^— . 2958. Окружности. 2959. (х — CJ2 — С2у1 + kC\ = 0. 2960. Ц?п-
С< — X
ная линия у = a ch —g—9 • Окружность (х — х0)2 + г/2 = а2.
2961. Парабола (х — х0)2 = 2ау — а2. Циклоида х — х0 = a (t — sin /), у =з
= а (1 — cos /). 2962. еау + = sec (ах -j- CJ. 2963. Парабола. 2984. у =
== 91 IL е н Х +	— е н + или у = a ch ct, где Н — постоян-
2 Q	2Cj у	а
ное горизонтальное натяжение, а у= а. Указание. Дифференциальное
уравнение = j/^l +	•	^б5- Уравнение движения =
а/2
х= g (sin а — р, cos а). Закон движения s = y (sin а — р cos а). 2966. $ =
=TinchG
л г	d2S
Указание. Уравнение движения tn —
452
ОТВЕТЫ
/ g[ \ 2
-mg- k\dt j ' 2^’ ЧеРез 6,45 сек. Указание. Уравнение движения
300 dzx
-—= — 10у. 2968. а) нет; б) да; в) да; г) да; д) нет; е) нет; ж) нет; з) да.
2969. а) у" + у = 0; б) у" - 2/ + у = 0; в) х2у" - 2ху’ + 2у = 0; г) у"' - Зу" +
4~ 4/ — 2у — 0. 2Г70. у — Зх — 5х24~2х3. 2971. у= ~ (С\ sin х 4~ С2 c°s х).
Указание. Применить подстановку у — ухи. 2972. у — Схх 4~ С2 In х. 2973. у =
xz	В
= А 4- Вх2 4- X4 s, 2974. у = —4~ Ах^-. У к а з а н и е. Частные решения од-
и	X
1
нородного уравнения уг — х, у2 =—. Методом вариации произвольных по-
X	X3
стоянных находим: (?! = —-J- Л; С2 —------g- 4~ В. 2975. //=Л-|—2^51паг-|-
4- С cos х -j- I sec x -f- tg x | 4- sin x 1 n | cos x | — x cos x. 2976. у — Cxezx 4“ C2e3<
2977. y — CAe~sx-\-C2ezx. 2978. у — Сг-\-С2ех. 2979. у Сг cos x 4~ C2 sin x.
2980. у — ex (Ct cos x 4- C2 sin x). 2981. у — e ~zx (Q cos 3x 4~ C2 sin 3x). 2982. у =
= (C, + C2x) e~x. 2983. y = e2x (Сгех ГГ+ C2e ~x ^2 ). 2984. Если k > 0, (/ =
= Cyex +C2e ~x Vk ; если k < 0, у = Ct cos У — kx-\-C2 sin У — kx. 2985. y=^
-Л YLX	УГ1 \
— e 2 (C,e 2 +C2e 2 ). 2986. y=e2 ( C, cos -y- x 4- C2 sin x 1 .
2987. у == 4ex 4~	2988. y = e~x. 2989. t/ = sin2x. 2990.	У—\.
2991. у —a ch , 2992. y~0. 2993. y — C sin лх. 2994. a) xe2X (Ax2 -j-Bx-j- C);
6) A cos 2x 4- В sin 2x\ в) A cos 2x 4~ В sin 2x 4- Cx2e2X', r) ex (A cos x 4~ В sin x);
д) ex (Ax2 4- Bx 4- C) 4- xe2X (Dx 4- £); e) xex [(Лх2 4- Bx 4~ C) cos 2x 4-
4- (Dx2 + Ex + F) sin 2x], 2995. у = (C. + C2x) e2x 4- 4 (2x2'4- 4x + 3). 2996. y^
О
— e2 cos + C2 sin -|-x’-|-3x2. 2997. y—(Cl-\-C2x)e~x-\-
4- e2X. 2998. у = C2ex 4- C2e2X + 2. 2999. y=C2ex 4- C2e ~x 4- у xex. 3000. у =
1	2
= Cj cos x 4- C2 sin x 4- -в- x sin x. 3001. y~ C]ex4_ zx-f* (3 sin 2x4- cos 2x).
z	о
3002. y=Cie2X + C2e-2x + x(^-^e2X.	3003. z/ = (C14-C2x)e*4-
4- 4- cosx4-4 e* — 4 e~x- 3004. y = C, -4- C2e~x 4*4 x + 4(2COS2X—sin2x).
z	4 o	2 2U
3005.	y = ex (Cj cos 2x 4- C2 sin 2x) 4- ex sin 2x.	3006. у = cos 2x 4-
1	A
4- -у (sin x 4- sin 2x). 3007. 1) x = Cx cos co/ 4“	sin (О/ 4—2-2 s^n 2) x=
о	co — p
A
= Ci cos (dt 4- C2 sin (dt — — t cos (dt. 3008. у = Cyesx 4~ C2e4X — xeix. 3009. у =
= Ct + C2e2X + -^ —	— y. 3010. i/ = ex(C14-C2x4-x2). 3011. y = C,+
-j-C2e2X— xe2X—~x. 3012. y==CJe 2X 4- C2e^x— — ex 4- — (3cos2x4~sin2x).
ОТВЕТЫ
453
3013. y = Cl+C2e'x + ex+^x2-5x. 3014. y = C1 + C2ex-3xex-x-x2.
3015. у== (Ci+C^ + y хг^е~х + ^-ех. 3016. y — (Cx cos Зх-f-C, sin Зх)ех+
1	6х	X I 1
J--Zein Qv _Lfi ллс QiA	Qfl17 11  IC’	v_Lv2^2X I Л A QA1 Я n Г Г
+ C2e,x - A (cos x 4- 3 sin x) -	— y
-j + ~- 3020. у = Сгех-j-C2e~x -
e2x
+ C2e2x — — (sin 2x -j- 2 cos 2x).
—	(3 sin 2x -j- 2 cos 2x)	.	3023.
3024. у = С1ех + С2е~х + ^(хг-х)ел
-4- 4- x sin x — X cos x -I- X (Зх — 1) e,x.
'4	16	54
4- X (2 - 3x) 4- (2x* - x) e,x. 3027.
3028.	у = (^С1+Сгх + ^егх.
— X (2X8 4- x) e~>x 4- X (2x8 4- 3x) ex.
o	lb
, X	. X8 .	X о i 3	.
4~ -Г COS X 4" -T Sin X-cos 3x 4- — si
4	4	о	32
4 1^2Л I л	| g . uv^.y-------^1Г
3019. y = Xe« (4*4-1) -X-
-xsinx — cosx. 3021. y — Cxe~2X-[-
3022. у = Cx cos 2x 4- C2 sin 2x —
у = ex (Cj cos x 4“ C2 sin x — 2x cos x).
3025. у = Cx cos 3x 4- C2 sin 3x 4-
3026. у = Cj™ + C2e‘x 4-
у = Cj 4- C2e2X — 2xex — x —	x8.
3029.	у = Cve‘2x 4- C2ex —
3030.	у — Cj cos x 4- C2 sin x 4-
Зх. Указание. Произведение
косинусов преобразовать к сумме косинусов. 3031. у = Схе х^2^~С2ех^2 4”
4- хех sin х 4-^ cos х. 3032. у = Ct cos х 4- С2 sin х 4~ cos х In | ctg 4- -5-^ | .
3033. y = Ct cos х 4-С2 sinx 4-sinx-In| tg~ |.	3034. у = (Cj 4“C2x) 6х 4-
— xe*ln|x|. 3035. y = (Ct 4“^гх) e~x -j-xe^x\n | x |. 3036. y = Clcosx-i-
— C2sinx4-xsinx 4-cosx In| cos x| . 3037. y = Cl cosx 4-C2 sinx — x cosx4~
— sin x InJ sin x I . 3038. a) у = Ctex 4~ C2e ^x 4~ (ex 4“ e“x) arct2 eX> 6)	=
z=zCxex 4- C2e^x ^4" eXi* 3040. Уравнение движения	2 —
g \dt2 J
— A(*4-2) (k = 1); Т = 2л 1Л —сек. 3041. x = 2gsin30<~60^JS-ln	cm.
v 1 7 '	}	V g	g — 900
4
Указание. Если x отсчитывать от положения покоя груза, то — х" = 4 —
— k(x9-\-x — у — I), где х0 — расстояние точки покоя груза от начальной
точки подвеса пружины, I — длина пружины в состоянии покоя; поэтому
4 d2x
Л(х0 —/) —4, следовательно, —	= (х — g), где 6 — 4, g = 981 см/сек2,
d2x	f	9Z? \	d2<<
3042. m^- = k(b -x)-k(b+x)- x^ccosU J/ ±2). 3043. 6^—^;
t= j/ 4 In (6 4- /35). 3044. a) r — -^ (еш! +е~ш‘); б) r = (ewt - e~mt).
454
ОТВЕТЫ
d2r
Указание. Дифференциальное уравнение движения =
3045. t/ = C1 + C2ex + C3e12X. 3046. У — Сх + С2е~х + С3ех.
3047. у = С1е~х -{-е2 ^С2 cos х 4- С3 sin .
3048. у = С, + С2х + С3ех УГ + С4е ~х УГ.	3049. у = ех (С, + С2х + С3х-).
3050. у — ех (Ci cos х + С2 sin х) -f- е~х (Cs cos х С4 sin х).
3051. у = (С, + С2х) cos 2х 4“ (С3 4“ С4х) sin 2х.
— / 1Лз	т/'з’ \
3052.	у = Cj 4- С2е х-\-е2 ( С3 cos х + С4 sin х ],
3053.	у = (Cj + С2х) е~х + (С3 + С4х) ех.
3054.	у = Схеах + С2е~ах 4~ С3 cos ах 4- С4 sin ах,
3055.	у = (Cj + С2х) еУГх 4- (С, 4- С,х) е~УТх .	3056. у = С, 4- С2х 4-
4~ С3 cos ах 4- С4 sin ах, 3057. у — Cj 4“ С2х 4~ (С3 + С4х) е~х- 3058. у — (Сх -|-
4- С2х) cos х 4- (С3 4~ Qx) sin х, 3059. y=e~x(Cl-{~C2xJr...JrCfixn~i).
3060. у—сх 4- с2х 4- с3 4- с4х 4“ "2"
3061.	у = С. 4- С2х 4- 12х2 4- Зх3 4-1 X* 4-1 х5 4- (С3 4- С4х) ех.
3062.	у=С^ех ~\-е 2 ^С2 cosх 4* G sinх^— х3 — 5.
3063.	у = Cj 4- С2х 4~ С,х2 4~ С4е “ х 4*	(4 cos 4х — sin 4х).
Юоо
3064.	у= С,е~х + С2 + С5х +	- lx8 +1	•
( х	3 \
3065.	у— Схе~х 4~ С2 cos х 4~ С3 sin х 4~------5- ) .
\ 4	о /
3066. у = Cj 4“ С2 cos х 4- С3 sin х 4 sec х 4* cos х In | cos х | — tg х- sin х 4~ х sin х.
3067. у = е х-^е
^соз-^-х-р
2
1	• /3 \ .	„
— Sln— х^ + х-2.
3068. у = (Ct 4* С21п х) у . 3069. г/ = С1х34"~«
3070. у = Cj cos (2 In х) 4- С2 sin (2 In х).
3071. у = Сгх 4~ С$х2 4- Сгх3. 3072. = Cj 4“ ^2 (^х 4~ 2) ~4^з.
г
3073. у = С\х2 4~	. 3074. у = Сх cos (Inx) 4~С2 sin (Inx).
3075. у = Cjx’ 4- С2х2 + jx. 3076. у = (х + I)2 [С, 4- Cs In (х + 1)] + (х + 1)’.
3077. у = х (In х 4- In2 х). 3078. у = С4 cos х 4- С2 sin х, г = С2 cos х — Сх sin х.
3079. у = е^х (Cj cos х 4- sin х), г=^- е^х [(С2— 2CJ cos х — (Сх 4" 2CJ sin х].
3080. у=(С1-С2-С1х)е~2л:, z = (CYx + С3)е~2Х.
ОТВЕТЫ
455
___ /	т/*о	т/"о
3081.	х = С^-{-е 2 ( С2 cos t -|- С3 sin -у- t
г = С,,' +,~Т	+ sta lg ,) .
3082.	x = Cte-‘ + Cs.est, y = C,e~t + C2e^, г =— (С, -f-C.) е~' + Сгег‘.
3083.	у = С, + Сгегх - X (х2 4- х), z — С2егх - С, + -j (х2 - х - 1).
3084.	у = С, Сгх -|- 2 sin х, г =—2С,— С2 (2x4-1) — 3sinx — 2cosx.
3085.	у = (Сг - 2С, - 2С2х) е~х - 6х 4- 14, z = (С, 4- С2х) е~х 4- 5х - 9;
С, =9, С2 = 4,
(/=14(1 — е~х) — 2х (3-f-4e~x), г = — 9 (1 - е~х) 4-х (5 4-4е~*).
3086.	х — l0e!t — 8es( — ef 4-6/ — 1; у = — 20е2< -j-8es( 4- Зе* 4- 12/ 4- 10.
3087-	у=(с2С17Г2’ г=ЧЧ? 3088* а) (х2У>У==с>’ 4==С«
— X)	и2 X	х	у
...____ у	z
б) In у х2 + У2 — arctg--|- Сп	. = С2. в) Указание. Интегрируя од-
X у х2-[-у2
нородное уравнение •	• , находим первый интеграл In }Лк2 4~ #2 =
х у	X —j у
= arctg~-4-Ci. Далее, пользуясь свойствами производных пропорций, имеем
dz xdx у dy х dx-{-у dy _	.	1 . . , , 8. . . „
— — --------г — —i—; = —Н—г— • Отсюда 1 п z = —1 п (х2 4- у2) 4- In С2 и,
z х(х —у) у (х +у) х2у2	“	2 V	2 .
следовательно, /--------. — С2; в) х -|- У + z = 0, х2 -f- У2 + — 6.
Указание. Применяя свойства производных пропорций, имеем:
dx dy dz dx -{-dy -{-dz	, , , , ,
-----— —— —-------=------!—!; отсюда dx -4- dy 4- dz ==0 и, следова-
y — z z — x x — у--------0
тельно, x -{- у -{-z = Сг. Аналогично
. ^5._- ydy _г±__ хах +у dy +z dz х dx + у dy + z dz = Q
x(y — z)y(z — x)z(x — y)	О
и х2-{-у2 {-z2 = С2. таким образом, интегральные кривые — окружности
х у _|_ z = СХ, х2 -J- У2 + z2 = С2. Из начальных условий х=1, #=1»
z = — 2 будем иметь Cj=O, С2 = 6.
8089. у = Схх2 + у —	(3 In2 х — 2 In х),
z=l -2C1x + ^ + y(31n2xH-lnx- 1).
3090.	у = Сгех}Г2 -{-С2е х^2 -|- Cs cos х С4 sin х + ех — 2х,
z = — Схех 1/2 — С2е ~ х 12 — cos х — sin х---L ех 4- х.
4	4	2
k	k
oleosa/.	Ц т ..	.	. Л
3091.	х=—^-------( 1 — е т ), {/ = р sin a ( 1 — е т ’ —
wg/ n	dvx	dvy
-----t Решение. m-~——kvx\ m= — kvy — mg при начальных
k	dt x at J
456
ОТВЕТЫ
условиях: xQ = yQ — 0, t^0 = ti0 cos a, vyo = vQsina при t = 0. Интегрируя по-
-Lt	--Lt
лучим: vx = u0cosae m , kvv -|- mg~ (kvQ sin a -\-mg) e m .
олап	k j.	vnVm . k x2 . k2y2 .
3092.	x = ex cos ——.У——~~r—sin-—/,	— 4-----— = 1. Указание.
Vm	k Ут a2 mv2
Дифференциальные уравнения движения:
d^c__ _k2x.	— — k2u
mdt2— kx'mdt2~ У‘
3093.	y = — 2-2x-x2. 3094. (/ =	-2-x-|- j--
\	* /	^4
111	1	9	21
3095.	y = ^+TX + j^+V^+^ + ^ + ...
1	1	2
3096.	t/ = yx’ — x7 + 7<1j,27x" — ...
%2 x^ x^
3097.	у — x + 7—5 +	+ q-7 + • • • ; ряд сходится при — 1 ^x^ 1.
1 • Л Z • о 0*4
X2	X3	X4
3098.	y = x — ^-|)2 2 + (2!ji,3 —(31)2.4 + — 5 РЯД сходится при —oo< x < +oo.
Указание. Использовать метод неопределенных коэффициентов.
1	1-4	1-4-7
8099. у — 1---хг Xs х9-------— Xе -Р •••; РЯД сходится при —оо< х < 4~ <»•
м* о!	У!
sin х
3100. у = ——. Указание. Использовать метод неопределенных коэффи-
%2 X4 х6
циентов. 3101. у— 1 — у	—2г;42.62- + ••• ;ряд сходится при |х| <4-00.
Указание. Использовать метод неопределенных коэффициентов.
31O2-*=y,-iz2+lz4-^‘+g/8---0-
ClTlt SIX
3103. и = A cos -j- sin -у- . Указание. Использовать условия: и (0, /) = 0,
/, .. Л , m Л . лх ди (х, 0) _
и (/, t) = 0, и(х, 0) = .4sin — , ——^ — 0.
со
2/ v-ч 1	. (2k 4-1) nat . (2/г-|-0лх w
3104- “ =	(2F+TpslnL-V--------sin^----1--• Указание- Ис-
k = о
пользовать условия: a (0, /) = 0, и (/, /) —0, и (х, 0) —0,	= 1.
00
8/г	1 .мл nnat . плх
3105. и = -ъ У -у sin —cos—z—sin —т-.
л2 Z-in2 2	/	/
n = l
Указание. Использовать
условия:
( 2hx	I
л	|7” для 0 < х ’
ЛИ^ = 0, ц(0, 0=0, и(1, 0=0. и(х,0) = 1	,	.
[ 2/ф - yj для 7<х<1,
ОТВЕТЫ
457
Е,	(2п4-1)ал/ . (2zz4“l)3TX	.<	л
Апю$~—— sin---------------, где коэффициенты Ап =
TIZ=Q
— 4 f 4 sin (2п 4т'~~ dx ~ /р8 jTi ~2 • Указание. Использовать
ZJ /	2/	(2п + 1 )2 л2
о
условия: и(0, 0 = 0, ^-^ = 0, и(х, 0)=4, ^-°> = 0.
OX	*	Ос
СО	G2n2Tt2t
л<л_ 400	1 /1	\ •	пях Гоо2^	w	тя
3107.	и = —т	У —я (1 —•	cos пп) sin	—- •	е 100 .	Указание.	Использо-
л3 X—и3	’	100
вать условия: «(0, /) = 0, и (100, 0 = 0, и (х, 0) = 0,01х (100 — х).
Глава X
3108.	а)<1"; <0,0023%; б) < 1 мм\ <0,26%; в) < 1 ?; <0,0016%.
3109. а) <0,05; <0,021%; б) <0,0005; <1,45%; в) <0,005; <0,16%.
3110. а) 2 знака; 48- 10s или 49-Ю3, так как число заключено между 47877 и
48 845; б) 2 знака; 15; в) 1 знак; 6-Ю2. Практически результат следует
писать в виде (5,9 ±0,1)-102. 3111. а) 29,5; б) 1,6-102; в) 43,2. 3112. а) 84,2;
б) 18,5 или 18,47±0,01; в) результат вычитания не имеет верных знаков, так
как разность равна одной сотой при возможном значении абсолютной погреш-
ности в одну сотую. 3113*. 1,8±0,3 см2. Указание. Воспользоваться фор-
мулой приращения площади квадрата. 3114. а) 30,0 ±0,2; б) 43,7 ±0,1;
в) 0,3±0,1. 3115. 19,9±0,1 м2. 3116. а) 1,1295±0,0002; б) 0,120±0,006;
в) частное может колебаться между 48 и 62. Следовательно, в записи част-
ного нельзя считать достоверным ни один десятичный знак. 3117. 0,480.
Последняя цифра может колебаться на 1. 3118. а) 0,1729; б) 277-108; в) 2.
3119. (2,05 ±0,01)-108 см2. 3120. а) 1,648; б) 4,025±0,001; в) 9,006±0,003.
3121. 4,01-108 см2. Абсолютная погрешность 6,5 см2. Относительная по-
грешность 0,16%. 3122. Катет равен 13,8 -|- 0,2 см; sin а — 0,44 ±0,01;
а = 26° 15'±35'. 3123. 2,7±0,1. 3124. 0,27 ампер. 3125. Длину маятника
следует измерить с точностью до 0,3 см\ числа л и q взять с тремя знаками
(по принципу равных влияний). 3126. Радиусы и образующую измерить с от-
носительной погрешностью 1/300. Число л взять с тремя знаками (по принципу
равных влияний). 3127. Величину / измерить с ючностью 0,2%, a s измерить
с точностью 0,7% (по принципу равных влияний).
3128.
X	У	&У	А2//	д8(/		А5//
1	3	7	- 2	- 6	14	-23
2	10	5	— 8	8	— 9	
3	15	— 3	0	— 1		
4	12	— 3	— 1			
5	9	— 4				
6	5					
458
ОТВЕТЫ
3129.
X	У	Д'/	Д2г/	Д’у
1	—4	-12	32	48
3	-16	20	80	48
5	4	100	128	48
7	104	228	176	
9	332	404		
11	736 ।			
3130.
X	У	Д'/	Д2//	д8(/	Д4г/
0	0	—4	—42	—24	24
1	—4	—46	—66	0	24
2	—50	— 112	—66	24	24
3	— 162	— 178	—42	48	24
4	—340	—220	6	72	24
5	—560	—214	78	96	24
6	—774	— 136	174	120	24
7	—910	38	294	144	
8	—872	332	438		
9	—540	770			
10	230				
Указание. Вычислить первые пять значений у и, получив Д4г/0 = 24,
повторить число 24 по всему столбцу четвертых разностей. После этого
остальная часть таблицы заполняется с помощью действия сложения (дви-
гаясь справа налево).
3131. а) 0,211; 0,389; 0,490; 0,660; б) 0,229; 0,399; 0,491; 0,664. 3132. 0,1822;
0,1993; 0,2165; 0,2334; 0,2503. 3133. 1 + х -|-х2 + х3. 3134. У =	** —х”
ОТВЕТЫ
459
+ — x2 — — х 4- 8; У 22 при х = 5,5; у = 20 при х 5,2. Указание. При
вычислении х для // = 20 принять yQ— 11. 3135. Интерполирующий много-
член у = х2 — 10х -J-1; у=1 при х = 0. 3136. 158 кГ (приближенно).
3137. а) у (0,5) = -1, у (2) =11; б) у (0,5)= —	, г/(2) = —3. 3138. —1,325.
3139. 1,01. 3140. — 1,86; —0,25; 2,11.3141.2,09.3142.2,45; 0,019.3143. 0,31;
4. 3144. 2,506. 3145. 0,02. 3146. 0,24. 3147. 1,27. 3148. - 1,88; 0,35; 1,53.
3149. 1,84 . 3150. 1,31; -0,67. 3151. 7,13. 3152. 0,165. 3153. ±1,73 и 0.
3154. 1,72. 3155. 1,38. 3156. * = 0,83; £/ = 0,56; х = — 0,83; у — — 0,56.
3157. *=1,67; //= 1,22. 3158. 4,493. 3159. ± 1,1997. 3160. По формуле тра-
пеций 11,625; по формуле Симпсона 11,417.3161. —0,995; — 1; 0,005; 0,5%;
А = 0,005. 3162. 0,3068; А = 1,3-10"5. 3163. 0,69. 3164. 0,79. 3165. 0,84.
3166. 0,28. 3167. 0,10. 3168. 1,61. 3169. 1,85. 3170. 0,09.3171.0,67.3172.0,75.
3173. 0,79, 3174. 4,93. 3175. 1,29. Указание. Воспользоваться параметри-
ческими уравнениями эллипса x = cos /, //=0,6222 sin t и преобразовать формулу
длины дуги к виду $ /1 - е2 cos2 t-dt, где е — эксцентриситет эллипса,
о
3176.	y1(x) = -j,	y2(x) = -д-+§з.	Л^) = у +63^ 2079 ^ 59535'
v2	r3 Oy2	r4 r3
3177.	y2 (X) = --x + l, Уг(х)= -g-+--------* + l, y,(x) = r-- + ^-------
— x + 1; г, (x) = Зх - 2, г2 (х) =	— 2х2 + Зх - 2, г, (х) =~ — 2х2+3х—2.
3178.	г/,(х)=х, у2(х) = х —у , у, (х) = х — у +	. 3179.	г/(1) = 3,36.
3180. </(2) = 0,80. 3181. у(1) = 3,72; г(1) = 2,72. 3182. #=1,80. 3183. 3,15.
3184. 0,14. 3185. у (0,5) = 3,15; г (0,5) =—3,15.	3186. у (0,5) = 0,55;
г (0,5) =—0,18.	3187.1,16. 3188.0,87. 3189. х (л) = 3,58; х' (я) = 0,79.
3190. 429 + 1739 cos х — 1037 sin х — 6321 cos 2х 4е 1263 sin 2х — 1242 cos Зх —
— 33sin3x. 3191. 6,49 — 1,96 cos х-|-2,14 sin х — 1,68 cos 2х-|-0,53 sin 2х —
— 1,13 cos Зх + 0,04 sin Зх. 3192. 0,960 -|- 0,851 cos х 4* 0,915 sin х -|- 0,542 cos2x-f-
4 0,620 sin 2х 4 0,271 cos 3 х 4 0,100 sin Зх. 3193. а) 0,608 sin х 4 0,076 sin 2х 4’
4 0,022 sin Зх; б) 0,338 4 0,414 cos х 4" 0,1 П cos 2х-|- 0,056 cos Зх.
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Греческий алфавит
Аа	— альфа	НП	— эта	Nv	— ню	Тт	— тау
вр	— бэта	00	— тэта	sg	— КСИ	Ги	— ипсилон
Гу	— гамма	II	— йота	Оо	— омикрон	Фф	— фи
Ад	— дельта	Кх	— каппа	Пл	— пи	хх	— хи
Ее	— эпсилон	ЛК	— ламбда	PQ	-ро		— пси
ZS	— дзета	Mil	— мю		— сигма	Qg)	— омега
II. Некоторые постоянные
Величина	X	Igx	Величина	X	1g X
л	3,14159	0,49715	_1_ е	0,36788	1,56571
2л	6,28318	0,79818	е2	7,38906	0,86859
л ~2	1,57080	0,19612	/г	1,64872	0,21715
л т	0,78540	Т,89509		1,39561	0,14476
1 л	0,31831	1,50285	М = Ige	0,43429	1,63778
л2	9,86960	0,99430	J- = ln 10 М	2,30258	0,36222
]/" л р/л	1,77245 1,46459	0,24857 0,16572	1 радиан аге 1°	57°17'45* 0,01745	2,24188
е	2,71828	0,43429	g	9,81	0,99167
ПРИЛОЖЕНИЯ
461
Ill. Обратные величины, степени, корни, логарифмы
X	_1_ X	X2	X9	/х	/10х	/г	У 10х	j/100x	1g X (ман- тиссы)	In X
1,0	1,000	1,000	1,000	1,000	3,162	1,000	2,154	4,642	0 00	0,0000
1,1	0,909	1,210	1,331	1,049	3,317	1,032	2,224	4,791	0414	0,0953
1,2	0,833	1,440	1,728	1,095	3,464	1,063	2,289	4,932	0792	0,1823
1,3	0,769	1,690	2,197	1,140	3,606	1,091	2,351	5,066	1139	0,2624
1,4	0,714	1,960	2,744	1,183	3,742	1,119	2,410	5,192	1461	0,3365
1,5	0,667	2,250	3,375	1,225	3,873	1,145	2,466	5,313	1761	0,4055
1,6	0,625	2,560	4,096	1,265	4,000	1,170	2,520	5,429	2041	0,4700
1,7	0,588	2,890	4,913	1,304	4,123	1,193	2,571	57540	2304	0,5306
1,8	0,556	3,240	5,832	1,342	4,243	1,216	2,621	5,646	2553	0,5878
1,9	0,526	3,610	6,859	1,378	4,359	1,239	2,668	5,749	2788	0,6419
2,0	0,500	4,000	8,000	1,414	4,472	1,260	2,714	5,848	ЗОЮ	0,6931
2,1	0,476	4,410	9,261	1,449	4,583	1,281	2,759	5,944	3222	0,7419
2,2	0,454	4,840	10,65	1,483	4,690	1,301	2,802	6,037	3424	0,7885
2,3	0,435	5,290	12,17	1,517	4,796	1,320	2,844	6,127	3617	0,8329
2,4	0,417	5,760	13,82	1,549	4,899	1,339	2,884	6,214	3802	0,8755
2,5	0,400	6,250	15,62	1,581	5,000	1,357	2,924	6,300	' 3979	0,9163
2,6	0,385	6,760	17,58	1,612	5,099	1,375	2,962	6,383	4150	0,9555
2,7	0,370	7,290	19,68	1,643	5,196	1,392	3,000	6,463	4314	0,9933
2,8	0,357	7,840	21,95	1,673	5,292	1,409	3,037	6,542	4472	1,0296
2,9	0,345	8,410	24,39	1,703	5,385	1,426	3,072	6,619	4624	1,0647
3,0	0,333	9,000	27,00	1,732	5,477	1,442	3,107	6,694	4771	1,0986
3,1	0,323	9,610	29,79	1,761	5,568	1,458	3,141	6,768	4914	1,1314
3,2	0,312	10,24	32,77	1,789	5,657	1,474	3,175	6,840	5051	1,1632
3,3	0,303	10,89	35,94	1,817	5,745	1,489	3,208	6,910	5185	1,1939
3,4	0,294	11,56	39,30	1,844	5,831	1,504	3,240	6,980	5315	1,2238
3,5	0,286	12,25	42,88	1,871	5,916	1,518	3,271	7,047	5441	1,2528
3,6	0,278	12,96	46,66	1,897	6,000	1,533	3,302	7,114	5563	1,2809
3,7	0,270	13,69	50,65	1,924	6,083	1,547	3,332	7,179	5682	1,3083
3,8	0,263	14,44	54,87	1,949	6,164	1,560	3,362	7,243	5798	1,3350
3,9	0,256	15,21	59,32	1,975	6,245	1,574	3,391	7,306	5911	1,3610
4,0	0,250	16,00	64,00	2,000	6,325	1,587	3,420	7,368	6021	1,3863
4,1	0,244	16,81	68,92	2,025	6,403	1,601	3,448	7,429	6128	1,4110
4,2	0,238	17,64	74,09	2 049	6,481	1,613	3,476	7,489	6232	1,4?51
4,3	0,233	18,49	79,51	2,074	6,557	1,626	3,503	7,548	6335	1,4586
4,4	0,227	19,36	85,18	2,098	6,633	1,639	3,530	7,606	6435	1,4816
4,5	0,222	20,25	91,12	2,121	6,708	1,651	3,557	7,663	6532	1,5041
4,6	0,217	21,16	97,34	2,145	6,782	1,663	3,583	7,719	6628	1,5261
4,7	0,213	22,09	103,8	2,168	6,856	1,675	3,609	7,775	6721	1,5476
4,8	0,208	23,04	110,6	2,191	6,928	1,687	3,634	7,830	6812	1,5686
4,9	0,204	24,01	117,6	2,214	7,000	1,698	3,659	7,884	6902	1,5892
5,0	0,200	25,00	125,0	2,236	7,071	1,710	3,684	7,937	6990	1,6094
5,1	0,196	26,01	132,7	2,258	7,141	1,721	3,708	7,990	7076	1,6292
5,2	0,192	27,04	140,6	2,280	7,211	1,732	3,733	8,041	7160	1,6487
5,3	0,189	28,09	148,9	2,302	7,280	1,744	3,756	8,093	7243	1,6677
5,4	0,185	29,16	157,5	2,324	7,348	1,754	3,780	8,143	7324	1,6864
462
ПРИЛОЖЕНИЯ
Продолжение
X	X	X2	Xs	/х	V 10х	уг	j/10x	р/100х	1g X (ман- тиссы)	In X
5,5	0,182	30,25	166,4	2,345	7,416	1,765	3,803	8,193	7404	1,7047
5,6	0,179	31,36	175,6	2,366	7,483	1,776	3,826	8,243	7482	1,7228
5,7	0,175	32,49	185,2	2,387	7,550	1,786	3,849	8,291	7559	1,7405
5,8	0,172	33,64	195,1	2,408	7,616	1,797	3,871	8,340	7634	1,7579
5,9	0,169	34,81	205,4	2,429	7,681	1,807	3,893	8,387	7709	1,7750
6,о	0,167	36,00	216,0	2,449	7,746	1,817	3,915	8,434	7782	1,7918
6,1	0,164	37,21	227,0	2,470	7,810	1,827	3,936	8,481	7853	1,8083
6,2	0,161	38,44	238,3	2,490	7,874	1,837	3,958	8,527	7924	1,8245
6,3	0,159	39,69	250,0	2,510	7,937	1,847	3,979	8,573	7993	1,8405
6,4	0,156	40,96	262,1	2,530	8,000	1,857	4,000	8,618	8062	1,8563
6,5	0,154	42,25	274,6	2,550	8,062	1,866	4,021	8,662	8129	1,8718
6,6	0,151	43,56	287,5	2,569	8,124	1,876	4,041	8,707	8195	1,8871
6,7	0,149	44,89	300,8	2,588	8,185	1,885	4,062	8,750	8261	1,9021
6,8	0,147	46,24	314,4	2,608	8,246	1,895	4,082	8,794	8325	1,9169
6,9	0,145	47,61	328,5	2,627	8,307	1,904	4,102	8,837	8388	1,9315
7,0	0,143	49,00	343,0	2,646	8,367	1,913	4,121	8,879	8451	1,9459
7,1	0,141	50,41	357,9	2,665	8,426	1,922	4,141	8,921	8513	1,9601
7,2	0,139	51,84	373,2	2,683	8,485	1,931	4,160	8,963	8573	1,9741
7,3	0,137	53,29	389,0	2,702	8,544	1,940	4,179	9,004	8633	1,9879
7,4	0,135	54,76	405,2	2,720	8,602	1,949	4,198	9,045	8692	2,0015
7,5	0,133	56,25	421,9	2,739	8,660	1,957	4,217	9,086	8751	2,0149
7,6	0,132	57,76	439,0	2,757	8,718	1,966	4,236	9,126	8808	2,0281
7,7	0,130	59,29	456,5	2,775	8,775	1,975	4,254	9,166	8865	2,0412
7,8	0,128	60,84	474,6	2,793	8,832	1,983	4,273	9,205	8921	2,0541
7,9	0,127	62,41	493,0	2,811	8,888	1,992	4,291	9,244	8976	2,0669
8,0	0,125	64,00	512,0	2,828	8,944	2,000	4,309	9,283	9031	2,0794
8,1	0,123	65,61	531,4	2,846	9,000	2,008	4,327	9,322	9085	2,0919
8,2	0,122	67,24	551,4	2,864	9,055	2,017	4,344	9,360	9138	2,1041
8,3	0,120	68,89	571,8	2,881	9,110	2,025	4,362	9,398	9191	2,1163
8,4	0,119	70,56	592,7	2,898	9,165	2,033	4,380	9,435	9243	2,1282
8,5	0,118	72,25	614,1	2,915	9,220	2,041	4,397	9,473	9294	2,1401
8,6	0,116	73,96	636,1	2,933	9,274	2,049	4,414	9,510	9345	2,1518
8,7	0,115	75,69	658,5	2,950	9,327	2,057	4,431	9,546	9395	2,1633
8,8	0,114	77,44	681,5	2,966	9,381	2,065	4,448	9,583	9445	2,1748
8,9	0,112	79,21	705,0	2,983	9,434	2,072	4,465	9,619	9494	2,1861
9,0	0,111	81,00	729,0	3,000	9,487	2,080	4,481	9,655	9542	2,1972
9,1	0,110	82,81	753,6	3,017	9,539	2,088	4,498	9,691	9590	2,2083
9,2	0,109	84,64	778,7	3,033	9,592	2,095	4,514	9,726	9638	2,2192
9,3	0,108	86,49	804,4	3,050	9,644	2,103	4,531	9,761	9685	2,2300
9,4	0,106	88,36	830,6	3,066	9,695	2,110	4,547	9,796	9731	2,2407
9,5	0,105	90,25	857,4	3,082	9,747	2,118	4,563	9,830	9777	2,2513
9,6	0,104	92,16	884,7	3,098	9,798	2,125	4,579	9,865	9823	2,2618
9,7	0,103	94,09	912,7	3,114	9,849	2,133	4,595	9,899	9868	2,2721
9,8	0,102	96,04	941,2	3,130	9,899	2,140	4,610	9,933	9912	2,2824
9,9	0,101	98,01	970,3	3,146	9,950	2,147	4,626	9,967	9956	2,2925
10,0	0,109	100,00	1000,0	3,162	10,000	2,154	4,642	10,000	0000	2,3026
ПРИЛОЖЕНИЯ
463
IV. Тригонометрические функции
х°	X (радианы)	sin х	tg*	ctgx	COS X j		
0	0,0000	0,0000	0,0000	00	1,0000	1,5708	90
1	0,0175	0,0175	0,0175	57,29	0,9998	1,5533	89
2	0,0349	0,0349	0,0349	28,64	0,9994	1,5359	88
3	0,0524	0,0523	0,0524	19,08	0,9986	1,5184	87
4	0,0698	0,0698	0,0699	14,30	0,9976	1,5010	86
5	0,0873	0,0872	0,0875	11,43	0,9962	1,4835	85
6	0,1047	0,1045	0,1051	9,514	0,9945	1,4661	84
7	0,1222	0,1219	0,1228	8; 144	0,9925	1,4486	83
8	0,1396	0,1392	0,1405	7,115	0,9903	1,4312	82
9	0,1571	0,1564	0,1584	6,314	0,9877	1,4137	81
10	0,1745	0,1736	0,1763	5,671	0,9848	1,3963	80
и	0,1920	0,1908	0,1944	5,145	0,9816	1,3788	79
12	0,2094	0,2079	0,2126	4,705	0,9781	1,3614	78
13	0,2269	0,2250	0,2309	4,331	0,9744	1,3439	77
14	0,2443	0,2419	0,2493	4,011	0,9703	1,3265	76
15	0,2618	0,2588	0,2679	3,732	0,9659	1,3090	75
16	0,2793	0,2756	0,2867	3,487	0,9613	1,2915	74
17	0,2967	0,2924	0,3057	3,271	0,9563	1,2741	73
18	0,3142	0,3090	0,3249	3,078	0,9511	1,2566	72
19	0,3316	0,3256	0,3443	2,904	0,9455	1,2392	71
20	0,3491	0,3420	0,3640	2,747	0,9397	1,2217	70
21	0,3665	0,3584	0,3839	2,605	0,9336	1,2043	69
22	0,3840	0,3746	0,4040	2,475	0,9272	1,1868	68
23	0,4014	0,3907	0,4245	2,356	0,9205	1,1694	67
24	0,4189	0,4067	0,4452	2,246	0,9135	1,1519	66
25	0,4363	0,4226	0,4663	2,145	0,9063	1,1345	65
26	0,4538	0,4384	0,4877	2,050	0,8988	1,1170	64
27	0,4712	0,4540	0,5095	1,963	0.8910	1,0996	63
28	0,4887	0,4695	0,5317	1,881	0,8829	1,0821	62
29	0,5061	0,4848	0,5543	1,804	0,8746	1,0647	61
30	0,5236	0,5000	0,5774	1,732	0,8660	1,0472	60
31	0,5411	0,5150	0,6009	1,6643	0,8572	1,0297	59
32	0,5585	0,5299	0,6249	1,6003	0,8480	1, 0123	58
33	0,5760	0,5446	0,6494	1,5399	0,8387	0,9948	57
34	0,5931	0,5592	0,6745	1,4826	0,8290	0,9774	56
35	0,6109	0,5736	0,7002	1,4281	0,8192	0,9599	55
36	0,6283	0,5878	0,7265	1,3764	0,8090	0,9425	54
37	0,6458	0,6018	0,7536	1,3270	0,7986	0,9250	53
38	0,6632	0,6157	0,7813	1,2799	0,7880	0,9076	52
39	0,6807	0,6293	0,8098	1,2349	0,7771	0,8901	51
40	0,6981	0,6428	0,8391	1,1918	0,7660	0,8727	50
41	0,7156	0,6561	0,8693	1,1504	0,7547	0,8552	49
42	0,7330	0,6691	0,9004	1,1106	0,7431	0,8378	48
43	0,7505	0,6820	0,9325	1,0724	0,7314	0,8203	47
44	0,7679	0,6947	0,9657	1,0355	0,7193	0,8029	46
45	0,7854	0,7071	1,0000	1,0000	0,7071	0,7854	45
		CCS X	ctg лг	tg*	sin x	X	x°
						(радианы)	
464
ПРИЛОЖЕНИЯ
V. Показательные, гиперболические и тригонометрические функции
X	6х	е х	sh х	ch х	th х	sin x	COS X
0,0	1,0000	1,0000	0,0000	1,0000	0,0000	0,0000	1,0000
0,1	1,1052	0,9048	0,1002	1,0050	0,0997	0,0998	0,9950
0,2	1,2214	0,8187	0,2013	1,0201	0,1974	0,1987	0,9801
0,3	1,3499	0,7408	0,3045	1,0453	0,2913	0,2955	0,9553
0,4	1,4918	0,6703	0,41Q8	1.0811	0,3799	0,3894	0,9211
0,5	1,6487	0,6065	0,5211	1,1276	0,4621	0,4794	0,8776
0,6	1,8221	0,5488	0,6367	1,1855	0,5370	0,5646	0,8253
0,7	2,0138	0,4966	0,7586	1,2552	0,6044	0,6442	0,7648
0,8	2,2255	0,4493	0,8881	1,3374	0,6640	0,7174	0,6967
0,9	2,4596	0,4066	1,0265	1,4331	0,7163	0,7833	0,6216
1,0	2,7183	0,3679	1,1752	1,5431	0,7616	0,8415	0,5403
1,1	3,0042	0,3329	1,3355	1,6685	0,8005	0,8912	0,4536
1,2	3,3201	0,3012	1,5095	1,8107	0,8337	0,9320	0,3624
1,3	3,6693	0,2725	1,6984	1,9709	0,8617	0,9636	0,2675
1,4	4,0552	0,2466	1,9043	2,1509	0,8854	0,9854	0,1700
1,5	4,4817	0,2231	2,1293	2,3524	0,9051	0,9975	0,0707
1,6	4,9530	0,2019	2,3756	2,5775	0,9217	0,9996	—0,0292
1,7	5,4739	0, 1827	2,6456	2,8283	0,9354	0,9917	—0,1288
1,8	6,0496	0,1653	2,9422	3,1075	0,9468	0,9738	—0,2272
1,9	6,6859	0,1496	3,2682	3,4177	0,9562	0,9463	—0,3233
2,0	7,3891	0,1353	3,6269	3,7622	0,9640	0,9093	—0,4161
2,1	8,1662	0,1225	4,0219	4,1443	0,9704	0 8632	—0,5048
2,2	9,0250	0,1108	4,4571	4,5679	0,9757	0,8085	—0,5885
2,3	9,9742	0,1003	4,9370	5,0372	0,9801	0,7457	—0,6663
2,4	11,0232	0,0907	5,4662	5,5569	0,9837	0,6755	—0,7374
2,5	12,1825	0,0821	6,0502	6,1323	0,9866	0,5985	—0,8011
2,6	13,4637	0,0743	6,6947	6,7690	0,9890	0,5155	—0,8569
2,7	14,8797	0,0672	7,4063	7,4735	0,9910	0,4274	—0,9041
2,8	16,4446	0,0608	8,1919	8,2527	0,9926	0,3350	—0,9422
2,9	18,1741	0,0550	9,0596	9,1146	0,9940	0,2392	—0,9710
3,0	20,0855	0,0498	10,0179	10,0677	0,9950	0,1411	—0,9900
3,1	22,1979	0,0450	11,0764	11,1215	0,9959	0,0416	—0,9991
3,2	24,5325	0,0408	12,2459	12,2366	0,9967	—0,0584	—0,9983
3,3	27,1126	0,0369	13,5379	13,5748	0,9973	—0,1577	—0,9875
3,4	29,9641	0,0334	14,9654	14,9987	0,9978	—0,2555	—0,9668
3,5	33,1154	0,0302	16,5426	16,5728	0,9982	—0,3508	—0,9365
ПРИЛОЖЕНИЯ
465
VI. Некоторые кривые (для справок)
466
ПРИЛОЖЕНИЯ
9. Синусоида и косинусоида
У — sin х и у — cos х.
10. Тангенсоида и котангенсоида
У = tgx и // —ctgx.
ПРИЛОЖЕНИЯ
467
468
ПРИЛОЖЕНИЯ
13. Графики обратных тригонометрических функций
у~ Arctg х и у — Arcctgx.
14. Графики показательных функций
у — ех и у — е~х.
ПРИЛОЖЕНИЯ
469
470
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЯ
471
25. Лемниската Бернулли
(*’	— а2 (х2 — у2)
или г2 = a2 cos 2ф.
27. Гипоциклоида (астроида)
(х — a cos3 t,
\у = а sin31
2	2	2
или х г +ys = а3 .
26. Циклоида
x~a(t — sin t),
у = а(\ — cos t).
29. Эвольвента (развертка) окружности
I х — a (cos t t sin /),
\ y — a (sin t — t cos t).
472
ПРИЛОЖЕНИЯ
34. Четырехлепестковая роза
г — а\ sin 2<р'.