Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. средней школы - Сидоров Ю.В., Шабунин М.И., Колягин Ю.М., Федорова Н.Е., Алимов Ш.А.

Автор: Сидоров Ю.В. Шабунин М.И. Колягин Ю.М. Федорова Н.Е. Алимов Ш.А.
Теги: алгебра математический анализ функциональный анализ
ISBN: 5-09-003850-3
Год: 1992
Похожие
Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы
Алгебра и начала математического анализа 10 профильный уровень
Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9-10 классов средней школы
Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы
Текст
                    
• ” М< H Hi.li ФОРМУЛЫ
II И( । «НОМ1 1РИИ
Г
«In а | rns'ii I
lg 11 • < fg a I
cos a
tin (a | 0) sin a cos 0 + sin 0 cos a
< os (a } 0)—«cos a cos 0 —sin a sin 0
t|f(a I 0)»^±.уР
I tg a tg 0
sin 2а 2 sin a cos а
III 2a — 2-^ r-
l tg2 a
cos 2а — cos2 а — sin2 а
1 4- cos а = 2 cos2 —
2
I — cosa = 2sin2—
2
slim | sin 0 = 2 sin cos -—P
2	2
«in a — sin 0 = 2 sin -—E cos
2	2
col a f cos 0 = 2 cos cos
2	2
co» a cos 0 — — 2 sin sin



Алгебра
и начала анализа
УЧЕБНИК
ДЛЯ
10-TI КЛАССОВ
СРЕДНЕЙ
ШКОЛЫ
Утверждено
Государственным комитетом СССР
по народному образованию
МОСКВА
«ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1992
ББК 22.14я72
А45
Авторы:
Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров,
Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин
Учебник занял трепе место на Всесоюзном конкурсе
учебников для средней общеобразовательной школы
Издание подготовлено под научным руководством
академика А. Н. Тихонова.
Условные обозначения в учебнике
А — начало решения задачи
А — окончание решения задачи
О — начало обоснования утверждения
ф — окончание обоснования утверждения
--- —	— до этой черты расположены задачи обязательного
минимума
@е
*	— дополнительные задачи, иногда более сложные
*	* — трудные задачи-
|— выделение основного материала
— текст, который важно знать и полезно помнить
(необязательно наизусть)
— материал, отсутствующий в программе, но авторы
считают его полезным
Проверь — самостоятельная работа для проверки знаний по
себя
основному материалу
Алгебра и начала анализа: Учеб, для 10—И кл. сред.
А45 шк. / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.—
М.: Просвещение, 1992.— 254 с.: ил.— ISBN 5-09-003850-3.
. 4306020500—199	г ,
А —.АЬТпчЧ—ио— письмо Госооразоаания СССР
1 ии (Оо)---У £
ББК 22.14я72 Ц-
+ 22.161И72
SBN 5-08-003850-1
© Алимов Ш. А. и другие, 1992
ГЛАВА I
Показательная функция
Некоторые наиболее часто встре-
чающиеся виды трансцендентных
функций, прежде всего показатель-
ные, открывают доступ ко многим
исследованиям.
§ 1. СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
И ЕЕ ГРАФИК
В курсе алгебры рассматривалась степень с действительным
показателем. Напомним основные -свойства степени. Пусть
л>-0, £>0, х, «1 и х2 — любые действительные числа. Тогда
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Эйлер Леонард (1707—1783)—математик, механик, физик и астроном,
нкллемик Петербургской Академии Наук. Научные труды Л. Эйлера относились
ио леем областям естествознания, к которым можно применить математические
МГН1Д14.
3
Кроме того, в курсе алгебры рассматривались функции у=х2,
2
у=х\ у=^/х, у=х3 и т. д., т. е. степенные функции у=хг, где
г — заданное число, ах — переменная.
В практике используются также функции у=2х, у=У,
, У—(^) и т- Д-» т- е- Функция вида у=ах, где а — за-
данное число, а х — переменная. Такие функции называют
показательными. Это название объясняется тем, что аргументом
показательной функции является показатель степени, а основа-
ние степени — заданное число.
I Показательной функцией называется функция у=ах, где
а — заданное число, а>0, a=f= 1.
Показательная функция обладает следующими свойствами:
II) Область определения показательной функции — мно-
жество 7? всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень ах, где а>0, опре-
делена для всех x£R.
12) Множество значений показательной функции — мно-
жество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение
ах=Ь, где а > 0, а ф 1, не имеет корней, если b 0, и имеет корень
при любом Ь>0. По свойству степени (6) это уравнение не имеет
корней, если 6^0. То, что это уравнение имеет корень при любом
Ь>0, доказывается в курсе высшей математики. Это означает,
что любая прямая у = Ь, где 6>0, пересекается с графиком
показательной функции.
3) Показательная функция у —а* является возрастающей
на множестве всех действительных чисел, если а > 1, и убываю-
щей, если 0<а<1.
О Пусть а>1 и х2>хь Покажем, что у (*2)>{/(xi)» т- е-
аХ2>ах'.
Так как х2>хь то х2 —Xi>0 и по свойству степени (7)
имеем аХ!-ж,>1, т. е. =^>1. Отсюда, учитывая, что аХ|>0,
получаем а*2>ах'.
Пусть 0<а<1 и х2>*1. Покажем, что у (х2)<.у (xi), т. е.
аХ2<ах>.
Так как 0<а<1, то ~>1. и поэтому (-£)**
т. е. —, откуда аХ2<.ах‘. •
аХ2 ах‘
4
('
Построим графики функций у=2“ и y=(^j t используя
рассмотренные свойства, по нескольким точкам, принадлежащим
графику (рис. 1 и 2).
Отметим, что график функции у—2х проходит через точку
(0; 1) и расположен выше оси Ох. Если х<0и убывает, то график
быстро приближается к оси Ох (но не пересекает ее); если х>0
и возрастает, то график быстро поднимается вверх. Такой же
вид имеет график любой функции у=ах, если а>1 (рис. 3).
График функции	также проходит через точку (0; 1)
и расположен выше оси Ох. Если х>0 и возрастает, то график
быстро приближается к оси Ох (не пересекая ее); если х<0 и
убывает, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид
имеет график любой функции у=ах, если 0<а<1 (рис. 4).
5
Пока 1.1ТСЛЫ1.П1 функции чисто ш nti'ii iyen и при <>пи< iiinii
различных физических Пропсе. ОН I IK, /HbllHHIHIIHIHI'Hl /ни ши)
вписывается формудон
ж (/)*-»!(, (^ ) lf	(8)
где т (/) и /По — масса рллиовкihhiioiо внпсс1па < осн п<н iпенно
п момент времени /ив nn4iiJii.iii.ift момент прем» ни I О, Т —
период полураспада (промежуток примени, ,»а который первона-
чальное количество вещества умспыцлстсн вдвое).
С помощью показательной функции выражается давление
воздуха в зависимости от высоты подьсма, ток самоиндукции
в катушке после включения постоянного напряжения и т. д.
Задача 1. Решить уравнение 3х = 27.
Л По свойству показательной функции данное уравнение
имее” корень, таг как 27 > 0. Одном из корней является число
х==3, тек как З3 = 27. Других корней нет, так как функция
у = 3* возрастает на всей числовой прямой, и поэтому 3х>27
при х>3 и Зх<27 при х<3 (рис. 5). ▲
Задача 2*. Период полураспада плутония равен 1**0 суткам.
Сколько плутония останется через 10 лет, если его начальная
масса равна 8 г?
Л Воспользуемся формулой (8). В данной задаче t -= 10“ 36о
(считаем, что в году 365 дней), 7= 140. —г=—. Вычисления
*	Г 14
проведем на микрокалькуляторе МК-54 по программе
365 Bf
14 4-	0,5 F
ху
8 X 1,134509а-<6 7.
Ответ.
1,13-IO"7 г.
Через 10 лет плутония останется примерно
Упражнения
I.	Построить график функции-
1)	у=У- 2)
2.	Используя график функции J/==3X, найти приближенное зна-
чение:
2
1)	-х/3;	2) 3 3;	3) —;	4) З"1-5.
3.	Изобразить схематически график функции:
1)	у=0,4х;	2) ^=(V2)X;	3)	4) f/=(V3/.
4.	(Устно.) Используя свойство возрастания или убывания
показательной функции, сравнить числа:
1)	1.73 и 1; 2) О.З2 и 1; 3) 3,2'-6 и 3,2’-6;
4)	0.2-3 и 0,2-2; 5)	г (--)М; 6) 3" и Зз н.
5.	Найти координаты точки пересечения графиков функций:
1)	у = 2х и у = 8;	2) у=Зх и t/=~;
«5
3> «'=(()* ". »=1Т; 4> “=(т)"" »=»•
6.	(Устно.) Решить уравнение:
1)	5Х=-Ь 2) 7х=49; 3)	=^', 4) (±) =^f.
7.	(Устно.) Выяснить, являе гея ли возрастающей или убывающей
функция:
1) у=0,3-х; 2)	i 3) ^==1.3-2х; 4) 0,7”3х.
7
8.	Построить график функции;
1)	у=Зх —2; 2)	। ?• 31 " 2'"; 4) ч г ’•
9.	Доказать, что графики функций// 2‘симметричны
относительно оси ординат.
10*. Построить график функции
1)	У = 2|х|; 2) {/-(-у)''1; 3) y-I.V-21; 4) у = 2-Зх.
И**. При радиоактивном распаде количество вещества умень-
шается вдвое за сутки. Сколько вещества останется от
250 г через 1,5 суток? 3,5 суток? Вычисления провести на
микрокалькуляторе.
12**. На некотором лесном участке можно заготовить 4-105 м3
древесины. Ежегодный прирост деревьев равен 4%. Сколько
можно заготовить древесины на этом участке через 5 лет?
Вычисления провести на микрокалькуляторе.
§ 2. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений
и неравенств, т. е. уравнений и неравенств, в которых неизвестное
содержится в показателе степени.
1.	Уравнения
Решение показательных уравнений часто сводится к решению
уравнения
а*=аь,
где а>0, а=/= 1, х — неизвестное. Это уравнение имеет единствен-
ный корень х = Ь, так как справедлива следующая теорема:
| Теорема. Если а>0, а=/=1 и ах:=ах', то Xi=x2.
О Предположим, что равенство х1 =х2 не выполняется, т. е.
Х1<х2 или Х1>Х2. Пусть, например, xi<x2. Тогда если а>1, то
показательная функция у=ах возрастает и поэтому должно вы-
полняться неравенство ах'<2ах\ если 0<а<1, то функция убы-
вает и должно выполняться неравенство ах‘>ах*.
В обоих случаях получилось противоречие с условием
ах'=ах\ •
Задача 1. Решить уравнение 4*2Х= 1.
А Запишем уравнение в виде 2х+2 = 2°, откуда х4-2=0.
Ответ. х=— 2. ▲
8
Задача 2. Решить уравнение 23х-Зх = 576.
А Так как 23х=(23)х=8х, 576=242, то уравнение можно
записать в виде 8Х-3Х=242 или в виде 24х = 242. Отсюда х = 2.
Ответ. х=2. ▲
Задача 3. Решить уравнение 3*+'—2-Зх-2 = 25.
Д Вынося в левой части за скобки общий множитель 3х-2,
получаем 3х-2 (З3 —2)=25; 3х-2-25 = 25, откуда 3х-2 =1,
х—2=0, х = 2.
Ответ. х=2. ▲
Задача 4. Решить уравнение 3х = 7х.
Д Так как 7х =#0, то уравнение можно записать в виде уг— 1>
откуда =1, х=0.
Ответ. х=0. ▲
Задача 5. Решить уравнение
3-2х+1+2.5х“2=5х4-2х“2.
А Запишем уравнение в виде 3-2x+I —2Х-2 = 5Х—-2-5*~2,
откуда	2Х-2(3-23—1)=5х-2(52 —2),	2х-2-23 = 5х-2«23,
(f)*“!=l,x-2=0.
Ответ. х=2. ▲
Задача 6. Решить уравнение 9х — 4 «3х — 45=0.
Д Заменой 3х — t данное уравнение сводится к квадратному
уравнению t2 — 4t—45=0. Решая это уравнение, находим его
корни: /1=9, <2=—5, откуда 3х=9, Зх=—5. Уравнение 3х=9
имеет корень х=2, а уравнение 3х =—5 не имеет корней, так
как показательная функция не может принимать отрицатель-
ные значения.
Ответ. х=2. ▲
2.	Неравенства
Решение показательных неравенств часто сводится к решению
неравенств az>ab или ах-<аь. Эти неравенства решаются с
помощью свойства возрастания или убывания показательной
функции.
9
Задача 7. Решить неравенство Зх<81.
Л Запишем неравенство в виде 3Х<34. Так как 3> 1, то
функция у—У является возрастающей. Следовательно, при
х<4 выполняется неравенство 3х<34, а при х^4 выполняется
неравенство 3х ^З4. Таким образом, при х<4 неравенство
3Х<34 является верным, а при х^4— неверным, т. е. неравен-
ство 3х <81 выполняется тогда и только тогда, когда х<4.
Ответ. х<4. ▲
Задача 8. Решить неравенство >д/8.
Л Запишем неравенство в виде
Так как	—убывающая функция, то х<—
Ответ. х< —— . ▲
Задача 9. Решить неравенство 16х-|-4х— 2>0.
Л Обозначим 4Х=/, тогда получим квадратное неравенство
/2-Н —2>0. Это неравенство выполняется при /<—2 и при
/>1. Так как t—4x, то получим
два неравенства 4х <—2, 4Х>1.
Первое неравенство не имеет реше-
ний, так как 4х>0 при всех x£R.
Второе неравенство можно записать
в виде 4х >4°, откуда х>0.
Ответ. х>0. ▲
Задача 10*. Решить графи-
( 1 \х 2
чески уравнение ( — 1 =х—
Л Построим графики функций
и У=х~-у (Рис- 6)-
Из рисунка видно, что графики
этих функций пересекаются в точке
с абсциссой х«1. Проверка показы-
вает, что х = 1 — корень данного
уравнения:
\*3/	3	3	3
10
Покажем, что других корней нет. Функция	убы-
вающая, а функция у=х—|- возрастающая. Следовательно,
О
при х> 1 значения первой функции меньше —, а второй —
□
больше при х<1, наоборот, значения первой функции
больше а второй — меньше Геометрически (рис. 6) это
означает, что графики этих функций при х>1 и х<1 «расхо-
дятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х=#1. а
Заметим, что из решения этой задачи, в частности, следует,
что неравенство (-0 >х—~ выполняется при х<1, а нера-
венство
(v) <х—I— ПРИ
\ *5 /	О
3.	Системы уравнений
Задача 11. Решить систему уравнений
г х+2у= — 1,
14х+и*=16.
А Решим эту систему способом подстановки:
х=—2у—1, 4-2»-1+»’=42,
откуда —2у—1+у2=2, у2—2у—3=0, yi=3, у2= —1. Найдем
значения х:
xi = —2-3—1 = -7, х2=—2-(-1)—1 = 1.
Ответ. (-7; 3), (1; —1). ▲
Задача 12*. Решить систему уравнений
r3tf+l —2Х=5,
t 4х—6-3!/+2=0.
Д Обозначим 2х = и, 2>y = v. Тогда система запишется так:
{Зи —и = 5,
и2-6и+2=0.
11
Решим эту систему способом подстановки:
u — 3v — 5, (За-5)2-6»+2=0, '
9и2—36и+27 =0, и2 — 4v+3=0, Vi = l, t?2 = 3. Найдем значе-
ния и: U1 — —2, «2=4. Возвратимся к принятым обозначениям:
1) 2х =—2, Зу=1. Так как первое из этих уравнений кор-
ней не имеет, то решений системы в этом случае нет.
2) 2х = 4, 3^=3, откуда х = 2, у=1.
Ответ. (2; 1). А
Упражнения
Решить уравнение (13—18).
13. 1) 4х-1 = 1;	2) 0,33х-			2=1; 3)(-|-)'=25;
3) 22х=24Л	4) (		4-г _1_. 20 ’	
14. 1)	27х=-|-; 2) 400х=		
15. 1)	3-9Х=81;	2)	2-4х=64;
3)	*+ — 3 2.3Х"2=1;	4)	0,5х+7-0,51-2х=2;
5)	0,6х+3=0,62х-5;	6)	б^-^б1-2'.
16. 1)	32х_| + 32х= 108;	2)	23х+2 —23х-2 = ЗО;
3)	2х+,+2х-1+2х=28;	4)	зх-*-зх+зх+,=бз. X
17. 1)	5Х=8Х; 2) (-Ь)'=|	(i)'=	; 3) Зх=52х; 4) 4х=32.
18. 1)	9х—4-Зх+3=0;	2)	16х-17-4Х+16=0;
3) 25х-6-5х+5=0; 19. Решить неравенство:		4)	64х—8х —56=0.
1) Зх>9;
4) 4х <А-;
(1)’>+
5)
20. Решить систему уравнений:
| 2х —у— 1,
(5х+у=25;
2)
х—у = 2,
Зх*+«=-1-.
12
Решить уравнение (21—28).
21. 1) Зх’+х-,2=1;
JT-1
3) 21-2=4;
22. 1) 0,3x’-x'+x_, = 1;
4-(х-3)	,__
3) 5,12	=5,1^53;
2) 2х!-7х+10=1;
£ 1
4) 0,5х=4х+'.
2)
(*4-)--!'+5
= 1;
4) 100*,-, = 101-5ж.
23. 1)
4)
Юх=\/Тоб;
10х=—;
АДоооб
2) 10x=V10 000;	3) 2252х!-24= 15;
5) (VTO)X= 10х’-х;	6) KXZ-^IO1-5*.
Iх
24. 1) 2-’.(£) =^.
3)
0,06=5х’
4) 0,7^тта’-0,7-2 = 0,7^.
2) 5»-.(Х)
2Б. 1) 7х —7х-1 =6;
3) 53х + 3-53х“2= 140;
26. 1) 7х-2=32-х;
х-Ь2
3) 3 4 =5Х+2;
2) З^-' + З2*-2 —32*-4 = 315;
4) 2х+,4-3-2х-'-5-2х+6=0.
2) 2Х-3=33“Х;
х—3
4) 4 2 =32(х-3).
27. 1) Зх+3 + Зх=7х+,4-5-7х;
2) Зх+4+3-5х+3 = 5х+44-Зх+3;
3) 28-х4-73-х=74-х4-23-х-11;
4) 2х+1+2х~' — 3Х-1=3Х-2 —2х-3+2«Зх-3.
28. 1) 8-4х—6-2х+1=0;
3) 132х+1 — 13х—12=0;
5) 23х + 8-2х —6-22х=0;
2> (т)‘+(т)“-6=°:
4) 32х+1~ 1О-3Х + 3=О;
6) 53х+,4-34.52х-7-5х = 0.
Решить неравенство (29—31).
И» I) 5Х“‘<^5;	2) 32>9;
П 2-х’+3х<4; 5) (2-)2х’"3х>-|-;
Ml I) Г ,2 + Зх-*<28;
)) 2ах-'4-22х-24-22х-3>448;
3) Зх’“4>1;
2) 2х-‘+2х+3>17;
4) 53х+‘-53х-3<624.
13
31. 1) 9х —3х —6>0;	2) 4х —2Х<12;
3) 52х+,4-4-5х—1>0;	4) 3-9Х+11-Зх<4.
32. Решить графически уравнение:
” (т)'-х+*	2>
3) 2Х=—х—4) Зх=11 — х.
4	'
33*. Решить графически неравенство:
> (т)’>*+|;
3) 2Х^9 —|-х;	4) Зх>—2-х—
3	3	3
34*. Решить графически уравнение:
1) 2х = 3-2х —х2;	2) 3~X=-Jx;
3>(т)'=НН	4>(т)'=лЭ-‘-
35. Решить систему уравнений:
г 5х — 59 = 100,	( 2х-9-3^ = 7,
1 5x_|-f-5y_,=30;	2) I 2х-3»=^-
36*. При каких значениях х сумма чисел 2х-1, 2х-4 и 2х-2 рав-
на сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии
6,5; 3,25; 1,625; ...?
37*. Решить уравнение:
1) З2х+6 = 2х+3;
3) 2х • 3х = 36х’,
2) 5х-2=42х-\
4)
9-v^t__L
27"
38**. Решить неравенство:
1) 0,4х —2,5х+1 > 1,5;
4х
3) ———<4;
4х — 3*
2) 25-0,042х>0,2х(3~х);
4> (т)’-32-(т)''“'<0-
14
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
39.	Сравнить числа:
1)	4“^ и 4~Л	2)
3)	(т)" " (1)"	«>
40.	Сравнить с единицей число:
1)	2) (-к)Л	3)
41.	(Устно.) Является ли функция возрастающей ил»убывающей:
I) у=0,78х;	2) у = 1,69х;
з)	у=(-г)~'	4) У=4~х?
42.	В каком промежутке находятся значения функции при
*€[—1; 2]:
1)	у = 5х;	2) у = 5~х?
Решить уравнение (43—45).
14.	1) 2х4-2Х“3 = 18;	2) 3*+4-Зх+, = 13;
3)	2-Зх+' —6.3Х~'—Зх=9;
4)	5х+1+3-5Х-1—6-5*4-10=0.
45. 1) 52х—5х —600=0;
2)	9х —3х —6=0;
3)	3Х+9Х~*-810=0;
4)	4х+2х+‘ - 80=0.
4(1. Решить неравенство:
1) 3х-2>9;	2) 52х<^;
40
3) 0.7х,+2х<0,73;	4) (~У>±
I/ Решить графически уравнение:
I) 2 *=3x4-10;	2) (-0~'=2х+5.
15
ПРОВЕРЬ СЕБЯ!
1.	Построить схематически график функции:
2.	Сравнить числа:
3.	Решить уравнение:
3х+1=27х-1.
02х’+4х-5=1; 2Х+* 3—2х+1 = 12; 4-22х—5-2х4-1=0.
4.	Решить неравенство:
7х"2 >49; (0,5)x’-2>-J-.
48. Доказать, что последовательность значений функции у=2х
при натуральных значениях х составляет геометрическую
прогрессию.
49. За первый год работы предприятие имело а рублей прибыли.
В дальнейшем каждый год прибыль увеличивалась на р%.
Какой станет прибыль предприятия за n-й год работы?
50. Построить график функции:
1) у=зх-1;	2) у = Зх-‘;
з) у=(-|-)г+2-2;	4) У=22"х+3.
Решить уравнение (51—53).	_______
51. 1) 0,6х.(-^)Х’-12=(-^)3;	2) 16д/о,255^^ = 2^+*.
— 2.
52. 1) 2-33х-* + 27Х 3 = 9х-‘4-2-32х-1;
2) 2^+2—2^+1 = 124-2^_|;
3) 22•9х-1—1-.Зх+34—|-.Зх+2=4;
4) 5«4Х-1 — 16х4-0,25-22х+24-7 = 0.
16
Al I) ' *4-2х4-а=5х+,+3-5\
• j Г>2х —7х —52x-17-f-7x-17=0;
I) 2',_| —3Х'=3Х’_| —2X'+2;
I) I 4*+-L.9x+2=6-4x+1—~9x+l.
О	z
Al Решить неравенство:
x—3 1) «,4?+т<1;	2)	2х’-5х’<10-3(103-х)2;
4* —2I+1 -p8 qx.	д\	1 1
	
2'-*	3*4-5 'зг+'-1
НА Решить систему уравнений:	
	|2х-5’=10,
н 1 у~21’+1 1	2 1 V2 /	’ 8~’ 'i< ’. Построить график функции:	|5«_ 2х = 3.
1) t/=2x+,xl;	2) y=|3lx| —3|.
А/*. Решить уравнение:
n qx+o.s	£ A
1) ^=——=5-0,04х;	2) 4-3x —9-2x = 5-32-22;
V5
3) 2-4x —3-10х —5-25x=0; 4) 4-9x+12x-3-16x=0.
AN**, Решить неравенство:
1) 3|х-2|<9;	2) 4,х+1|>16;
3) 2|х~2|>4|х+11;	4) 5|х+4|<25|х|.
ГЛАВА II
Логарифмическая
функция
П.С. Лаплас
Изобретение логарифмов, сокра-
тив работу астронома, продлило
ему жизнь.
§ 3. ЛОГАРИФМЫ
Задача 1. Найти положительный корень уравнения х4=81.
Д По определению арифметического корня имеем
x=V8f=3. ▲
Задача 2. Решить уравнение 3х=81..
Д Запишем данное уравнение так: 3х = 34, откуда х=4. Д
В задаче 1 неизвестным является основание степени, а в за?
даче 2 — показатель степени.
Способ решения задачи 2 состоял в том, что левую и правук
части уравнения удалось представить в виде степени с одним и
тем же основанием 3. Но уже, например, уравнение 3х = 80 таким
способом решить не удается. Однако вы знаете, что это уравнение
имеет корень. Чтобы уметь решать такие уравнения, вводится
понятие логарифма числа.
В § 2 было сказано, что уравнение ах = Ь, где а>0, а=£1
Ь>0, имеет единственный корень. Этот корень называют ло-
гарифмом числа b по основанию а и обозначают loga b. Например,
корнем уравнения Зх=81 является число 4, т. е. log381=4.
Лаплас Пьер Симон (1749—1827)—французский математик, физик
астроном, адъюнкт Французской Академии Наук. После Великой
революции принимал активное участие в реорганизации системы
Важнейшие направления его исследований — математика, небесная механи!
и математическая физика. Один из создателей теории вероятностей.
18
О I как, логарифмом положительного числа b по основа-
нию а, где д>0, а^=1, называется показатель степени,
и которую надо возвести число я, чтобы получить Ъ.
Например, log2 8=3, так как 23 = 8; logs -^-= —2, так как
|	log? 7 = 1, так как 7*=7; log4 1=0, так как 4° = 1.
Определение логарифма можно кратко записать так:
1 =
♦•о равенство справедливо при Ь>0, а>0, о=/=4. Его обычно
1и1т|||вают основным логарифмическим тождеством.
з
Например, 4,ОК*5=5;	°8* =3; 13 В 4 =-|-.
С помощью основного логарифмического тождества можно
показать, например, что х—logs 80 является корнем уравнения
;г - 80. В самом деле, 31ов’80=80.
Действие нахождения логарифма числа называют логарифми-
ропанием.
Задача 3. Вычислить log64 1 28.
Л Обозначим log64 128=х. По определению логарифма
1>Г«и 128. Таккак64=26,128=27, то26х=27, откуда 6х=7, х=-^-.
Ответ. logM 128=-|~. ▲
I л д а ч а 4. Вычислить з~2‘1о8’5.
Л Используя свойства степени и основное логарифмическое
ютлегтво, находим:
2 loE,5_(3log, 5) —2_g —2__1_
25
I л д а ч а 5. Решить уравнение log3 (1 —х) = 2.
Но определению логарифма 32 = 1 — х, откуда х= — 8. ▲
1 I д я ч а 6*. При каких значениях х существует logs - ?
1пк как основание логарифма 5>-0 и 5^= 1, то данный ло-
«•|>нфм tyniecTByeT тогда и только тогда, когда ^^->0.
|-нн 14 • <> неравенство, находим 1<х<2. ▲
г»
Упражнения
Вычислить (59—66).
59. 1)	log216;	2) log264;	3) log22;
4)	log21;	5) log2-b	6) log2 -j--
60. 1)	!og3 27;	2) logs 81;	3) 10g3 3;
4)	log31;	5) log3-b	6) log3-L 0
61. 1)	logi	2) log£ 4; 2	3) logo.5 0,125;
4)	logo-s-;-;	5) logo,51;	6) logj \[2. 2
62. 1)	logs 625;	2) log6 216;	3) log4-jV;	4) logs 7^5.
63. 1)	Iog£ 125;	2) log ± 27;	3) ,og«	4) log! 36.
	б	3	4 м	6
64. 1)	glogs 18.	2) 51оВб16;	3) 10'OB.o2.	4) (2_у°84®
65. 1)	35 logs 2.	2) (хГл	3) 0,321°e«6;	4) 7Т106,9
66. 1)	glogs 5.	2) g'ogj 12.	3) 16loe*7;	4) 0,125lo8’J*.
67. Решить уравнение:
1) log6x=3; 2) logsX=4; 3) log2(5—х)=3;
4) log3(*+2)=3;	5) 1об1(х—1-) = -2;
6) log, (0,5+х)= — 1.
6
Вычислить (68—70).
68. 1) log2V2;
69. 1) 921°е>5;
4) 27","’4‘;
2>
2)
5) 103-,og1'5;
3) 1Оё0.5^-; 4) log7
3) (_L)-3>°*3.
6) (Х)1+2-4\
V
20
/О I) 1<>цу 1<щл Н1,	2) logs log2 8;	3) 2 log27 log10 1000;
О ' I"U»I"Uj8; 5) log< logie 2564-log4-\/2;
li) I liigy |og4 |64-Iog^ 2.
2
Hum ниц., при каких значениях x имеет смысл выражение
П1 /I)
fl I) (12-х);	2) log2(x—12);
’) l"g I (—x);	4) logi
H I) log6(49—x2);	2) logy(x2-J-x—6);	3) log3(2—x—x2);
4) log6(x2+2x+7); 5) log36^±*;	6) log6±^.
X — О	Ox -j- О
Решить уравнение (73—74).
П I) 2х=5;	2) 1,2X=4;	3) 42x+3=5;	4) 7’-2x=2.
M*. 1) 72x+7x-I2=0;
3) 8x+‘— 82x-i=30;
2) 9х—3х—12=0;
<> (i)'-s(i)+«=»•
§ 4. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
При выполнении преобразований выражений, содержащих
«и прифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто
н< пользуются различные свойства логарифмов. Рассмотрим ос-
IIDIIIIMC из них.
О	Пусть а>0, а=#=1, Ь>0, с>0, г — любое действи- тельное число. Тогда справедливы формулы:		
		loga (6c)=logo Ь 4-logo с,	(1)
		logo -у= logo b — logo с.	(2)
		loga b' = rloga b.	(3)
« । По основному логарифмическому тождеству
а'°«-ь=Ь,	(4)
а'°е‘с=с.	(5)
21
1)	Перемножая равенства (4) и (5), получаем:
a10g. Ь + loga С_
откуда по определению логарифма loga b 4- logo с = loga (be).
Формула (1) доказана.
2)	Разделив равенства (4) и (5), получим:
fllogsb —lOgqC Ь
С
откуда по определению логарифма следует формула (2).
3)	Возводя основное логарифмическое тождество а'°е‘1’=Ь
в степень с показателем г, получаем:
arlo«‘b=br,
откуда по определению логарифма следует формула (3). •
Приведем примеры применения формул (1) — (3):
1) logs 18 + loge2 = log636=2;
2) log1248 — logt24-=log|2 12=1;
3) logs 4 __ 1о^4 — J
logs 4 7 l°E3
Задача. Вычислить logs д/3—|-logs12+logs 50.
Д Применяя формулы (1) — (3), находим:
logs д/3 —logs 12 + logs 50 = logs
^2= logs 25 = 2.
<12
Упражнения
Вычислить (75—80).
75. 1) logic 5+logi02;
3) logi2 2+logi2 72;
76. 1) log2 15-log2-||;
3) log , 54 —log£ 2;
2) logic 8 + logio 125:
4) log3 6 + log3	.
2) logs 75 —logs 3;
4) logs 77г—logs 32.
10
77. 1) logi3V169; 2) lognV12T;
3)logi_W43; 4) iog2-b_.
3	^140
22
/К. i) logs 12 —logel5-j-loge 20;
2)	logs 154-logs 18 —logs 10;
3)	-^-log736 — log? 14—31og7\^T;
4)	2 log । 6—i-log^ 4004*3 log^ViS.
з 2 з	з
79. 1)
logs 8 ,
logs 16'
9. logs 27
’ logs 9
3)
logs 36—logs 12
logs 9
.. 1ок?8
* log7 15—log7 30
logs 24—logs 72
80. 1) -------f------
logs 18—T logs 72
О
3)
loga 4 +logs У1б_
logs 20+3 logs2 ’
log7 14—logy 56
2) ------5-----
logs 30—logs 150
3 logy 2—i- logy 64
I-------t—
4 logs 2+— logs 27
0
81. Найти x по данному его логарифму (a>0, Ь>0):
1) log3 x=4 log3 a 4* 7 log3 b\
2) logs x=2 logs a—3 logs b.
82*. Вычислить:
1) 36,og,54- 10l-IoB,°2—8,OB’3;
2) ( 81т Г'°е'4 4- 25,OBl” 8) • 49'°B’2.
83**. Доказать, что если a>0, a Ь>0, р=#0, то
log &=—lOgo&.
(Г	p
Используя эту формулу, вычислить:
1) log36 2—^-log£3;
2	6
2) 2 log25 30 4-l°go,2 6.
23
§ 5. ДЕСЯТИЧНЫЕ И НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ
Для логарифмов чисел составлены специальные таблицы
(таблицы логарифмов). Логарифмы вычисляют также с помощью
микрокалькулятора. И в том и в другом случае находятся только
десятичные или натуральные логарифмы.
О Десятичным логарифмом числа называют логарифм
этого числа по основанию 10 и пишут 1g b вместо logio Ь.
Натуральным логарифмом числа называют логарифм
этого числа по основанию е, где е — иррациональное
число, приближенно равное 2,7. При этом пишут In Ь
вместо loge b.
Иррациональное число е играет важную роль в математике
и ее приложениях. Число е можно представить как сумму:
1 +т+Л+гк+---+i23 :+••• 
1	I • Z I•Z•О	I-Z*o. «.’Л
Вычисление числа е на микрокалькуляторе проводится по
программе:
е* 2,7182818.
Вычисления на микрокалькуляторе lg b и In Ь проводятся
соответственно по программам:
In .
Например, вычисляя 1g 13, получаем:
13 0 Е 1Л139433;
вычисляя In 13, получаем:
13 17
In 2,5649493.
Оказывается, что достаточно знать значения только десятич-
ных или только натуральных логарифмов чисел, чтобы находить
логарифмы чисел по любому основанию. Для этого используется
формула перехода от логарифма по одному основанию к лога-
рифму по другому основанию:
(1)
где 6>0, а>0, а#=1, с>0, с=/=1.
Докажем справедливость формулы (1).
24
О* Запишем основное логарифмическое тождество а'°е‘ь=Ь.
Возьмем от обеих его частей логарифмы по основанию с:
logc aloe“(’=logc b.
Используя свойство логарифма степени, получаем:
logcb
logc а ‘
logo b - logo а = logc b, откуда loga b =
Из формулы (I) при с =10 и с=е получаются формулы
перехода к десятичным и натуральным логарифмам:
ф	'og.fr-M.	(2)
Задача 1. С помощью микрокалькулятора МК-54 вычислить
log3 80.
Л 1) С помощью десятичных логарифмов:
80 F 1g
3 F 1g
3,9886927.
2) С помощью натуральных логарифмов:
80 F
In] 3 [f] [Тп
3,9886928.
Ответ, logs 80 « 3,99. ▲
Формула перехода от одного основания логарифма к другому
иногда используется при решении уравнений.
Задача 2. Решить уравнение log2 x + log4
Л По формуле перехода
logs х log2 X
log4 х—----------=——
Б log2 4	2
1	3
Поэтому уравнение принимает вид log2 x+-g-log2 x=-g~, откуда
log2 х=1, х=2. ▲
Задача 3*. Двухпроцентный вклад в Сбербанк, равный
а рублям, через п лет становится равным а (1,02)п, а трехпроцент-
ный вклад становится равным а (1,03)я. Через сколько лет каждый
из вкладов удвоится?
25
Л 1) Для первого вклада 2а=а (1,02)”, откуда (1,02)"=2,
n=logi,02 2. Вычисления проведем на МК-54:
2 F In
In
36,002788.
2)	Для второго вклада n = logi,03 2 и программа вычислений
такова:
20[Ei 1>03 0 Н [Я 23,449772.
Ответ. По первому вкладу приближенно через 36 лет, а
по второму — через 23,5 года.
Упражнения
Вычислить с помощью микрокалькулятора (84—85).
84.	1) 1g 23;	2) 1g 7;	3) lg 0,37;	4) Ig-^-.
о
85.	1) In 81;	2) In 2;	3) In 0,17;	4) ln-|-.
86.	Выразить данный логарифм через десятичный и вычислить
на микрокалькуляторе с точностью до 0,01:
1)	log725;	2) logs 8;	3) log90,75;	4) logo.75 1,13.
87.	Выразить данный логарифм через натуральный и вычислить
на микрокалькуляторе с точностью до 0,01:
1)	log75; 2) logs 15; 3) logo ? 9;	4) logi.iO,23.
Решить уравнение (88—89).
88.	1) logsх=2 logs ЗЦ-4 logzs 2; 2) log3x=9 log27 8 — 31og34;
3) log2x—2 log 1 x=9;	4) logex2 3 * + log^x=3;
2
5) log2x4-log8x = 8;	6) log4x-logi6x=-j-.
89. 1) logix—9 logex=4; 2) log3x— 151og27x + 6=0;
3) logix+5 loge x—1,5=0; 4) 16 log26 x-|-3 log« x— 1 =0.
90*.Вычислить (не используя микрокалькулятор):
1)
logs 2 log<3.
logs 6 log4 6 ’
2 log2 3
log4 9 ’
2>('^2+^)'87'.
. . 10g27 8
4)
26
91**. Число жителей города-новостройки увеличивается ежегодно
на 8%. Через сколько лет число жителей удвоится?
92**. При одном качании поршневого насоса из сосуда удаля-
ется 1,2% имеющегося в нем воздуха. Через сколько ка-
чаний насоса в сосуде останется часть первоначаль-
ной массы воздуха?
93**. Вычислить на микрокалькуляторе МК-54 приближенное зна-
чение числа е по формуле	23+2^4^”’ '
-J----!—— при: 1) п=7; 2) я = 8; 3) п=9; 4) я=10.
§ 6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК
О
В математике и ее приложениях часто встречается
логарифмическая функция
у = logo х,
где а — заданное число, а>0, а#= 1.
Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения логарифмической функции — мно-
жество всех положительных чисел.
27
Это следует из определения логарифма, так как выражение
logo х имеет смысл только при х > 0.
12) Множество значений логарифмической функции — мно-
жество R всех действительных чисел.
Это следует из того, что для любого действительного числа
b есть такое положительное число х, что logflx = 6, т. е. уравне-
ние \ogax = b имеет корень. Такой корень существует и равен
х=аь, так как \ogaab — b.
3) Логарифмическая функция y=logQx является возрас-
тающей на промежутке х>0, если а>1, и убывающей, если
0<а<1.
О Пусть а > 1. Докажем, что если х2 > Х| > 0, то у (х2) >у (xi),
т. е. loga х2>loga Хь Пользуясь основным логарифмическим
тождеством, условие x2>xi можно записать так: а|ов“Х2>а1ОЕ“Х|.
Из этого неравенства по свойству степени с основанием а>1
следует, что logflx2>logaxi.
Пусть 0<а<1. Докажем, что если х2>Х|>0, то
logx2<logax1. Записав условие x2>xi в виде
получим loga x2<loga Xi, так как 0<а<1. •
4) Если а>1, то функция y=logox принимает положи-
тельные значения при х>1, отрицательные — при 0<х<1.
Если 0<а<1, то функция t/ = logax принимает положитель-
ные значения при 0<х< 1, отрицательные — при х> I.
Это следует из того, что функция y = [ogax принимает зна-
чение, равное нулю, при х=1 и является возрастающей на про-
межутке х>0, если а>1, и убывающей, если 0<а<1.
Из рассмотренных свойств логарифмической функции
i/ = logaX следует, что ее график расположен правее оси Оу
и имеет вид, указанный на рисунке 7, если а > 1, и на рисунке 8,
если 0<a< 1.
28
На рисунке 9 изображен график функции y=\og3X, а на ри-
сунке 10 — график функции t/=log£X.
3
Отметим, что график любой логарифмической функции
</=logax проходит через точку (1; 0).
При решении уравнений часто используется следующая
теорема:
О| Теорема. Если logaxi = logax2, где a>0, а=#1,
I Xi>0, х2>0, то Х|=х2.
О Предположим, что xi^=x2, например х2>хь Если а>1,
то из неравенства x2>Xi следует, что logo x2>loga хг, если
0<а<1, то из неравенства x2>Xi следует, что logax2<logaXi.
В обоих случаях получилось противоречие с условием logaXi =
= logax2. Следовательно, xi=x2. •
Задача 1. Решить уравнение logs (Зх — 2)=logs 7.
Л Используя доказанную теорему, получаем Зх—2=7, откуда
Зх=9, х=3. ▲
Задача 2. Решить неравенство log2 х<3.
Л Пользуясь тем, что 3=log2 23 = log2 8, запишем данное
неравенство так: log2 x<log2 8. Так как функция y = log2x
определена при х>0и возрастает, то неравенство log2x<log28
выполняется при х>0 и х<8.
Ответ. 0<х<8. ▲
Задача 3. Решить неравенство log, х< — 2.
У
Л Запишем данное неравенство так: log£ x^log£ 9. Функ-
з	з
ция у = log । х определена при х^О и убывает, поэтому неравен-
У
ство выполняется при х>0 и х^9.
Ответ. х^>9. ▲
29
Упражнения
94.	Сравнить числа:
В logs-!--»	2) log, 9 и log I 17;
3)	log± е и !og± л; 4) log2^ и log2^.
95.	Выяснить, является ли положительным или отрицательным
число:
1)	log3 4,5;	2) log3 0,45;	3) logs 25,3;	4) loge,5 9,6.
96.	Сравнить с единицей число х, если:
i)	log3x= — 0,3;	2) logi jc = 1,7;
3)	lgx=0,2;	4) log/x = l,3.
97.	Выяснить, является ли возрастающей или убывающей
функция:
1)	f/ = log0.075 x; 2) y = log^x; 3) </=lgx; 4) t/=inx.
2
98.	Построить график функции:
1)	t/=log2x; 2) j/=log± х.
2
99.	По графику функции i/=log2x найти приближенно log23;
log2 0,3; log2 5; log2 0,7.
100.	Изобразить схематически график функции:
1)	y = lgx; 2) $/=1пх;	3) z/ = log0.4x; 4) y — iog^x.
Решить неравенство {101 —102).
101. 1) logs x>logs 3;	2) log , x<logj
5	5
3) lgx<lg4;	4) lnx>ln0,5.
102. 1) log3x<2;	2) log0.4x>2;
3) logi x^rlG;	4) log0.»x^2.
103. Решить уравнение:
1) log3(5x-l)=2;	2) logs (Зхф-1)=2
3) log4 (2x—3)= 1;	4) log7(x4-3)=2;
5) lg(3x—1)=0;	6) lg(2-5x)=l.
104. Построить график функции:
1) y = log3(x— 1);	2) J/ = log±(x4-i);
3
3) y=14-log3x;	4) y = log^x—1;
5) y=14-log3(x— 1); 6) y=log± (x+1)—1.
з
30
105*. Решить графически уравнение:
1) log2 х= —x-f-1;	2) log£X=2x—5;
2
3) log 1 х=4х2;	4) log3x=2—1-х2.
2
106**. Построить график функции:
1) y=|log3x|; 2) y=log3 |х|;
3) y = Iog2|3—х|;	4) y = |l-log2x|.
107**. Показать, что графики функций y=Iog2x и y=log£ х
2
симметричны относительно оси абсцисс.
§ 7. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
Известно, что зависимость скорости v от времени t движения
тела, брошенного вверх с начальной скоростью оо, выражается
формулой v = vo — gt. Из этой формулы можно найти обратную
зависимость — времени от скорости: t = и°g ". Функцию
называют обратной к функции w(/)=vo — gt, а функ-
цию v (/) — обратной к функции t (о). Отметим, что в этом примере
каждому знашнию £ соответствует единственное значение v и,
наоборот, ка кдому значению v соответствует единственное зна-
чение £.
Рассмотрим теперь показательную и логарифмическую
функции. Обозначим символом f (х) показательную функцию,
a g (х) — логарифмическую функцию:
f (х)=ах, g(x)=logax,
где а — заданное число, а > 0, а #= 1.
Решим уравнение ах=у относительно х. По определению
логарифма x = logay. Поменяв в этом равенстве местами х и у,
получим логарифмическую функцию y = loga х. Функцию y=logo х
называют обратной к функции у—ах. Если из равенства y = logax
найти х, то получим х=ау, а поменяв местами х и у — показа-
тельную функцию у=ах. Функцию у=ах называют обратной
к функции y = logax. Поэтому функции f(x) и g(x) называют
взаимно обратными.
Вообще если функция y=f(x) задана формулой, то для
нахождения обратной функции нужно решить уравнение
f (х)=у относительно х и затем поменять местами х и у.
Если уравнение f(x)=y имеет более чем один корень, то
функции, обратной к у=/(х), не существует.
31
Например, функция f (х)=х2 не имеет обратной, так как
уравнение х2=у имеет два корня х1>2 = ±д/у для любого у>0.
Если функцию у=х2 рассматривать только на промежутке х^О,
то она будет иметь обратную у=\/х, так как уравнение х2=у
при у^О имеет только один неотрицательный корень.
Задача 1. Найти функцию, обратную к функции у——Ц-.
Д Решая это уравнение относительно х, получаем х = 2-|——.
у
Заменив х на у и у на х, находим у=2-|——. Д
В этой задаче область определения функции у=—есть
множество действительных чисел, не равных 2, а множество ее
значений — все действительные числа, не равные 0. График этой
функции изображен на рисунке И.
Для обратной функции у=24—— область определения — мно-
жество действительных чисел, не равных 0, а множество значе-
ний— все действительные числа, не равные 2. График обратной
функции изображен на рисунке 12.
Вообще область определения обратной функции совпадает
с множеством значений исходной функции, а множество зна-
чений обратной функции совпадает с областью определения
исходной функции.
Можно показать, что если функция имеет обратную, то
график обратной функции симметричен графику данной функ-
ции относительно прямой у—х.
Примеры графиков взаимно обратных функций показаны на
рисунке 13.
Рис. II
Рис. 12
32
Упражнения
108. Найти функцию, обратную к данной:
1) у=2х—1; 2) у=-5х+4; 3) у=2-х—4)у = ^;
5) у=х34-1; 6)у=х3 —3;	7) у = Зх; B)y = log0.5x.
109. Найти область определения и множество значений функ-
ции, обратной к данной функции:
1) у=-2х+1;	2) y=-J-x-7;	3) у=х3-1;
4) у=(х—I)3;	5) у=|-;	6) У=^-
ПО. На одном рисунке построить график данной функции и
функции, обратной к данной:
1) f/=3x-l;	2) у=^-\
3) у—х2 — 1 при х>0;	4) у—(х— I)2 при х> 1.
2 Заказ 41	33
§ 8. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Задача 1. Решить уравнение
log2(x+l) + log2(x+3)=3.	(1)
А Предположим, что х — такое число, при котором равенство
(1) является верным, т. е. х— корень уравнения (1).
Тогда по свойству логарифма верно равенство
log2 (х+1) (х + 3)=3.	(2)
Из этого равенства по определению логарифма получаем:
(х+1)(х + 3)=8.
откуда х2-|-4х-|-3 — 8, т. е. х2+4х —5=0.
Последнее равенство верно, если х( = 1 или х2=—5.
Итак, предположив, что число х — корень уравнения (1),
мы показали, что х может быть равным или 1, или —5.
Проверим, являются ли эти числа корнями уравнения (1).
Подставляя в левую часть данного уравнения х=1, получаем
log2(1 + 1)+ log2(1 +3)=log224-log24= 1 +2 = 3, т. e. x=l —
корень уравнения (1).
При х = — 5 числа х +1 и х + 3 отрицательны, и поэтому
левая часть уравнения (1) не имеет смысла, т. е. х= —5 не явля-
ется корнем этого уравнения.
Ответ. х = 1. ▲
Заметим, что х=—5 является корнем уравнения (2), так
как log2 ( — 5+ 1) ( — 5+3)=log2 8 = log2 23=3. Получилось, что
число х=1 является корнем обоих уравнений (1) и (2), а число
х=— 5 не является корнем уравнения (1), но является корнем
уравнения (2). Таким образом, при переходе от уравнения (1)
к уравнению (2) корень х= 1 сохранился и появился посторонний
корень х= —5. В этом случае уравнение (2) называют следствием
уравнения (1).
О
Если все корни первого уравнения являются корнями
второго уравнения, то второе уравнение называется
следствием первого уравнения.
Отметим, что в уравнении, которое является следствием
данного, не всегда появляются посторонние корни; важно лишь
то, чтобы корни исходного уравнения не терялись.
В большинстве случаев, как и в задаче 1, уравнения ре-
шаются постепенным переходом к более простым уравнениям,
которые являются следствием исходного уравнения. В таких
случаях после нахождения корней необходима их проверка.
34
Задача 2. Решить уравнение
log2 (1 —х)=3 —log2 (3—х).
Л Перенесем логарифм из правой части в левую:
log2 (1 —x)4-log2(3—х)=3,
откуда
log2 (1 —х) (3 —х)=3,
(1 —х) (3—х)=8.
Решая это уравнение, получаем Xi=5, х2= — 1.
Число Х|=5 не является корнем исходного уравнения, так
как при х = 5 левая и правая части уравнения теряют смысл.
Проверка показывает, что число х= — 1 является корнем исход-
ного уравнения.
Ответ, х— — 1. ▲
Задача 3. Решить уравнение
lg (2х2 — 4х+ 12) = lgx + lg (x-f-3).	(3)
Л По свойству логарифмов
lg(2x2-4x+12) = lg(x2-|-3x),	(4)
откуда
2х2—4x4- 12=х2 + 3х,	(5)
х2 —7x4-12 = 0,	(6)
Х!=3, х2 = 4. Проверка показывает, что оба значения х явля-
ются корнями исходного уравнения.
Ответ. Xi = 3, х2 - 4. ▲
Проверкой можно убедиться в том, что числа Xi=3 и Хг=4
являются корнями не только уравнений (6) и (3), но и уравнений
(4) и (5). Все эти уравнения других корней не имеют. Такие
уравнения называют равносильными.
О| Уравнения, имеющие одно и то же множество корней,
I называют равносильными.
В частности, два уравнения, не имеющие корней, являются
равносильными.
I Отметим, что любое из двух равносильных уравнений яв-
ляется следствием другого.
Большинство уравнений, с которыми вы встречались в курсе
алгебры, решались с помощью перехода от данного уравнения
к равносильному. Так решались уравнения первой степени с
одним неизвестным, квадратные уравнения, показательные уравне-
ния.
35
Напомним, что уравнение заменяется ему равносильным при
следующих преобразованиях:
любой член уравнения можно переносить из одной части
в другую, изменив его знак на противоположный;
обе части уравнения можно умножить или разделить на
одно и то же число, не равное нулю.
Однако не при любом преобразовании уравнение заменяется
на равносильное. Например, при возведении обеих частей уравне-
ния -у/х—х—2 в квадрат получается уравнение х=(х — 2)2, которое
является следствием первого, но не равносильным ему. Поэтому
после решения второго уравнения необходимо проверить, яв-
ляются ли его корни корнями исходного уравнения.
Задача 4. Решить уравнение
log7 (Зх+4)=log7 (5х+8).
Л Приравнивая выражения, стоящие под знаком логарифма,
получаем:
, Зх4-4=5хЦ-8,
откуда х= —2. Выполняя проверку, убеждаемся, что при х= —2
левая и правая части исходного уравнения не имеют смысла.
Ответ. Корней нет.
.Здесь посторонний корень появился потому, что при переходе
от равенства логарифмов к равенству чисел не было учтено
требование, чтобы эти числа были положительными.
Рассмотренные примеры логарифмических уравнений показы-
вают, что при их решении с использованием свойств логарифмов
получаются уравнения, которые являются следствиями исход-
ного. Поэтому необходима проверка, которая позволяет обна-
ружить посторонние корни. ▲
Задача 5. Решить уравнение
log4 (2х — 1) - log4 х=2 log4 (2х— 1).	(7)
Л Преобразуем данное уравнение:
log4 (2х— !)• Iog4 х— 2 log4(2x—1)=0,
log4 (2х — 1) • (log4 х—2)=0.
Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения
к нулю, получаем:
1) log4(2x—1)=0, откуда 2х—1 = 1, Xj = l;
2) log4x—2=0, откуда log4x=2, х2 = 16.
Проверка показывает, что оба значения х являются корнями
исходного уравнения.
Ответ. Xi = l, х2=16. ▲
36
Отметим, что если обе части уравнения (7) разделить на
выражение log4(2x—1), то будет потерян корень х=1.
Вообще при делении обеих частей уравнения на выраже-
ние, содержащее неизвестное, может произойти потеря корней.
Поэтому уравнение, обе части которого содержат общий мно-
житель, решают переносом всех членов в одну часть и разло-
жением на множители.
При решении уравнений главное не потерять корни, а на-
личие посторонних корней можно установить проверкой. По-
этому важно следить за тем, чтобы при преобразовании
уравнения каждое следующее уравнение было следствием
предыдущего.
Задача 6. Решить систему уравнений
( log2 X — log2y=l,
t 4у2+x— 12 = 0.
Л Из первого уравнения выразим х через у: log2 — =log22,
У
—=2, х=2у. Подставив х=2у во второе уравнение системы,
получим 4у2 + 2у—12=0, откуда yi=-|-, у2=—2.
Найдем значения х: Х| = 3, х2 =—4. Проверкой убеждаемся,
что (3; -|-)— решение системы, а (—4; —2) — постороннее
решение.
Ответ. ^3;	. ▲
Упражнения
111.	Установить, какое из данных двух уравнений является
следствием другого уравнения:
1)	х — 3 = 0 и х2—5х 4-6=0;
2) *2~3 4*,+-2=0 и х2-3x4-2=0;
X— 1
3) loge х-Hoge (х—2)= 1 и loggX (х—2)= 1;
4) 1 х| =5 и д6?=5.
Решить уравнение (112—116).
112. 1) log2(x—5)4-log2(x-J-2)=3;
2) log3 (х —2)4-log3 (х4-6)=2;
3) lg(x4-V3)4-lg(x-^) = 0;
4) lg(x— l) + lg(x4-l) = 0.
37
113. 1) lg(x—1)—lg(2x—ll)=lg2;
2)	Ig(3x-l)-lg(x4-5)=lg5;
3)	log7 (2x* 2 — 7x4-6)—log7 (x —2)=log7 x;
4)	log3(x3 — x)—log3x = log33.
H4. 1) 4-lg(x2+x-5)=lg5x4-lg^;
2)	4-lg(x2-4x-l)=lg8x-lg4x.
115.	1) log3 (5x4-3) =log3 (7x4-5);
2)	log± (3x—l)=logi (6x4-8).
2	2
116.	1) log7(x—1) log7 x=log7 x;
2)	log ± x log, (3x —2)=log± (3x —2);
3)	log2 (3x 4-1) log3 x=2 log2 (3x 4-1);
4)	l°g^/5 (x—2) logs x=2 log3 (x—2).
117.	Решить систему уравнений:
n f 1g *-lg У=2,	t log3 x4-!og3 y=2,
' (x—10y=900;	' t x2y—2y4-9=0.
Решить уравнение (118—120).
118. 1) log5x2=0; 2) log4x2=3; 3) log3x3=0; 4) log4x3=6;
5) lg x4 54-lg 4x=24-lgx3;	6) lg x-|-lg x2 = lg 9x.
119. 1) log4 (x4-2) (x4-3)4-log4 ~=2;
X -j— о
2) log2£-14-|og2(x-l)(x4-4)=2;
AT4
3) logsx2 — log3—^-=3;
x-f-o
120. 1) 2318X-5,8X= 1600;
3) —J----1----—=1-
’ 44-lgx ' 2—Igx
4) log2£y^4-log2x2 = 5.
2) 2|оВэХ’-51о8эХ=400;
4) —!----1---?—=1.
1 5-lgx^l + lgx
121. Выяснить, равносильны ли уравнения:
1) 2х—7--4х4~5 и 2x4-12=0;
2) -L(2x-1)=1 и 2*=1=1;
Э	о
3) х2 —Зх4-2=0 и Х24-Зх4-2=0;
4) (х—2)2=3 (х—2) и х-2=3;
5) |2х-1|=3 и 2х —1=3.
38
122.	Не решая уравнений, выяснить, равносильны ли они:
1)	2х—1=4—1,5х и 3,5х—5=0;
2)	х(х—l)=2x-j-5 и х2—Зх —5 = 0;
3)	23х+1 =2-3 и Зх-f-1 = —3;
4)	log3(г—1)=2их—1=9.
123.	Решить систему уравнений:
n0gx-lS!»=7.	Г tog2x+-log!-=4.
' I ig*4-igf/=5; J I xy—2.
Решить уравнение (124—126).
124*. I) log2x—2 1ogx2= — 1;	2) log2x-f-i°g-2=2,5;
3)	log3 x + 2 logx 3=3;	4) log3 x—6 log* 3= 1.
125**. 1) log, 9 +’og^ 4=2;	2) log,, 16-log^ 7=2.
126**. 1) lg(6-5x —25-20х)—lg 25=x;
2) lg (2x+x+4)=x-x lg 5.
§9. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
При изучении логарифмической функции рассматривались
неравенства вида logox<6 и logax^ft. Приведем примеры ре-
шения более сложных логарифмических неравенств. Обычный
способ решения таких неравенств заключается в переходе от
них к более простому неравенству или системе неравенств,
имеющей то же самое множество решений.
Задача 1. Решить неравенство
1g (х+ 1)С2.
(О
Л Правая часть данного неравенства имеет смысл при всех
значениях х, а левая часть — при х+1>0, т. е. при х>—1.
Промежуток х> — 1 называют областью определения нера-
венства (1). Так как логарифмическая функция с основанием
10 возрастающая, то неравенстве (1) при условии x-f-l>0
выполняется, если х+1^100 (так как 2 = 1g 100). Таким об-
разом, неравенство (1) равносильно системе неравенств
х> —1,
х+КЮО,
(2)
т. е. неравенство (1) и система (2) имеют одно и то же множество
решений. Решая систему (2), находим —1<х^99. м
39
Задача 2. Решить неравенство
log2 (х —3)+k>g2(x —2)< 1.	(3)
А Логарифмическая функция определена при положительных
значениях аргумента, поэтому левая часть неравенства имеет
смысл при х — 3>0 и х—2>0.
Следовательно, областью определения этого неравенства явля-
ется промежуток х>3. По свойствам логарифма неравенство (3)
при х>3 равносильно неравенству
log2 (х—3)(х—2)<log2 2.	(4)
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая.
Поэтому при х>3 неравенство (4) выполняется, если
(х —3) (х—2)<2.
Таким образом, исходное неравенство (3) равносильно системе
неравенств
г (х-3) (х-2)<2,
I х>3.
Решая первое неравенство этой системы, получаем х2— 5хф-
+4^0, откуда 1 ^х^4. Совмещая этот отрезок с промежутком
х>3, получаем 3<х^4 (рис. 14). А
Задача 3*. Решить неравенство
log1(x2 + 2x—8)> —4.	(5)
2
Д Область определения неравенства находится из условия
х2-|-2х —8>0.
Неравенство (5) можно записать в следующем виде:
l°g£ (x2-f-2x — 8)^log i 16.
2	2
Так как логарифмическая функция с основанием — является
убывающей, то для всех х из области определения неравенства
получаем:
х2+2х—8<16.
Таким образом, исходное неравенство (5) равносильно системе
(х2+2х—8>0,
неравенств {х2 + 2х_8<16
г х2 + 2х-8>0,
(х2 + 2х —24^0.
D 1	3 4 X
Рис. .14
40
-............................. f///////////////z////////2\	r
-4	0 2 X -6	0	4 X
Рис. 15	Рис. 16
-5-4	0 2 Ч X
Рис. 17
Решая первое квадратное неравенство, получаем х<—4,
х>2 (рис. 15). Решая второе квадратное неравенство, полу-
чаем — 6^х^4 (рис. 16). Следовательно, оба неравенства систе-
мы выполняются одновременно при — 6^х< —4 и при 2<х^4
(рис. 17).
Ответ. —6^х<—4, 2<х^4. ▲
Упражнения
127. Найти область определения функции:
1) y=lg(3x—2);	2) y=log2 (7—5х);
3) y=log± (х* 2—2);	4) y=log7(4—х2).
2
Решить неравенство (128-
128. 1) log3(x+2)<3;
3) log3(x+l)< -2;
5) log± (4-Зх)> -1;
5
129. 1) lgx>lg84-l;
3) log2(x—4)<1;
130. 1) logis (x—3)+logi5(x
2) iog± (x—2)+log± (1
3	3
130).
2) log8(4-2x)>2;
4) log^ (x—1)> —2;
3
6) log 2 (2 —5x)<—2.
3
2) lgx>2 — Ig 4;
4) log± (3x—5)>log£ (x-H).
5	5
-5)<1;
-x)>-2.
131. Найти область определения функции:
1) y=log5(x2—4х+3);	2) t/=log6Y±^.
Решить неравенство (132—137).
132. 1) |Og62£p2>0;	2) logji ^£^<0;
3) lg(3x—4)<lg (2x4-1);
4) log±(2x4-3)>log±(x-H).
2	2
41
133.	1) logs (х1 —4х-|-3)< 1;	2) log6 (x2-3x-J-2)> 1;
3)	log3(x2+2x)>l;	4) log2(x2 — 2,5x)<— 1.
134.	1) 1g (x2 —8x+13)>0;	2) log± (x2-5x-|-7)<0;
3)	log2 (x24-2x)<3;	4) log± (x2-5x—6)>-3.
2
135.	1) logo,2X — log5(x — 2)<logo,2 3;
2)	Igx —logo.i (x—l)>log0.i 0,5.
136.	1) log2 ч x—5 logo.2 x< — 6;
2)	log2., x + 3 logo.i x>4.
2) 1о8з(2-3-х)<х+1-к^з4;
3)	logjt,_3(4x + 7)>0;
4)	log,-. (A/6- 2x)<0.
Бх— 6
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ П
Вычислить (138—142).
138. 1) logis 225;		2) log4 256, 4) bg7-|-.
	3) logs^;	
139.	1) log_ 64; 4	2) log± 81; 3
	3) l°g±^: 3	4) log j.
140.	1) log,, 1;	2) log77; 3) log,664; 4) log27 9.
141.	1) (0,l)-1E°-3;	2) 10-1E4;
	3) 5-,OE=3;	4) (X)-—.
142.	1) 4 log, 3-	--log, 27 —2 log, 6;
	2	2	2
	2) -^-IgOOOl+lgVlOOO—2-lgV10 000. о	D	
143.	Вычислить с	помощью микрокалькулятора:
	1) log8 7;	2) log3 12;	3) log,.3 0,17;	4) logo,38,l
42
144.	Построить график функции:
1)	y=log4x; 2) y=logix.
4
Какая из данных функций является возрастающей? убы-
вающей? При каких значениях х каждая функция принимает
положительные значения? отрицательные значения? значения,
равные нулю?
145.	Выяснить, является ли возрастающей или убывающей
функция:
1)	y=logo.2x: 2) !/ = log^x; 3) y = log± х\ 4) y=log^x.
е	2
146.	Решить графически уравнение:
1)	log3x = 5—х;	2) log I х=3х.
з"
147.	Найти область определения функции:
1)	y = log7 (5—2л); 2) y=log2 (х2 —2х).
Решить уравнение (148—150).
148.	1) log3 (Зх—1)=2;	2) log£ (7-8х)= —2;
2
3)	2 log! ¥ = logi (2х2—х);	4) lg (х2 — 2)=lgх.
2	2
149.	1) 1g (х2 — 2x)=lg30— 1;
2)	log3(2x2+x)=log36 — lc,g3 2;
3)	lg2x — 31g x=4;
4)	log2 x—5 log2 x4~6=0.
150.	1) log2 (x—2)+log2 (x—3)= 1;
2)	log3(5—x)+log3(— 1— x)=3;
3)	lg(x—2)4-lgx=lg3;
4)	logystx— l)+logv6(x+4)=log^6.
Решить неравенство (151—153).
151.	1) log2(x—5)<2;
2)	log3(7-x)>l;
3)	logl(2x+l)>-2;
2
4)	log£ (3 —5x)< — 3.
"2
152.	1) log3(5—4x)<log3 (x—i);
2) log0,3(2x+5)>log0i3(x-|-l).
153.	1) lg(x2 + 2x+2)<l;
2) log3 (x2 + 7x—5)> 1.
.43
ПРОВЕРЬ СЕБЯ!
1.	Вычислить: logs 125; 1g0,01; 2log23; 321ogs7;
log2 68 —log2 17.
2.	Построить схематически график функции:
y = logo.2X; t/ = log2 х.
3.	Сравнить числа:
logo,2 3 и logo,2 2,5; log2 0,7 и log2 1,2.
4.	Решить уравнение:
logs (Зх+1)=2;
log3 (х4-2)+log3 х=1;
In (х2 —6х + 9) = 1п З + ln (х + 3).
5.	Решить систему уравнений:
( 1п х —In у — In 3,
( х — 2у = 5.
6.	Решить неравенство:
log3 (х — 1)<2; log! (2—х)> — 1.
т
154. Вычислить:
•) ***£;	2) 3)
4) 3,6|ов’* * *|0+1;	5) 21og5V5+31og28;
6) log2 log2 log2 216.
155. При каких значениях х справедливо неравенство:
1) logx 8 < log* 10;	2) logx < logx
156. Решить графически уравнение:
1) log3x=—;	2) 2x = log±x.
%	п
44
Решить уравнение (157—162).
157.	1) 34х=10;	2) 23х=3;	3) 1,33х-2 = 3;
4) (-j-)5+4X=1>5;	5) 16х—4х+1 —14=0;
6) 25x-j-2-5x—15=0.
158.	1) log3x4-log9x+log27X=-j|;
2)	log3 x+log^x-f-log^ х=6;
3
3)	log3 x-log2 х = 4 log3 2;
4)	logs x-log3 х=9 logs 3.
159.	1) log3(2 — x2)—log3( —x)=0;
2)	log6(x2—12)—log5(—x)=0;
3)	log2 -\/x—3 + log2 ^Зх—7=2;
4)	lg(x-|-6)-lg/2x-3’=lg4.
160.	1) log^f2x + 4 log4 x + loge x= 13;
2)	logo.s(x-}-2)—log2(x—3)=-|-log£ (—4x—8).
161.	1) log± 54-log± 124-i-logl3=l;
*	X1
2)	4-l°gx7 — logi 3 — logxi28=l. »
Vi
162.	1) log2 -2-= log2 x;	2) log1 -^-= log i x;
x *	~2 • —x	"2
3)	lgg|=lgx; 4) lg£5|=lgx.
163.	Решить неравенство:
1)	log^(x—4)+log^(x+l)<2;
2)	Iog3^(x — 5)+log3^(x+12)^2;
3)	log3(8x2+x)>2 + log3x2 + log3x;
4)	log2x4-log2(x—3)>log24;
5)	log! (x-lO)-log! (x+2)>-l;
5	S
6)	log£ (x+10)4-log 1 (x+4)>— 2.
V?	V?
45
164*. Доказать, что есл-и последовательность положительных
чисел является геометрической прогрессией, то их лога-
рифмы по одному основанию образуют арифметическую
прогрессию.
•165*. Найти три последовательных члена геометрической про-
грессии, если их сумма равна 62, а сумма их десятичных
логарифмов равна 3.
166*. Построить график функции:
1) У=-г—<;	2) «/=-7^-.
logi X	In X
Решить уравнение (167—169).
. Л .	3 Igs х——Igx	„   
167**. 1) xg9+9gx=6;	2) х 3 = I0()\/T6.
168**. 1) 3+2 logx+I 3 = 2 log3 (x+1);
2) 1 +2 log<+2 5 = log5(x+2).
169**. 1) log2 (2х —5)—log2 (2х —2)=2—x;
2) logi_x(3—x)=log3_x(l—x).
170**. Решить неравенство:
1) log± (2x+2-4x)>-2;
3
2) log£ (6x+,-36x)>-2.
ГЛАВА III
И. Ньютон
Тригонометрические
уравнения и неравенства
Корень уравнения есть число, ко-
торое, будучи подставленным в
уравнение вместо обозначающей
его буквы или вида, приводит к
исчезновению всех его членов.
§ 10. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ (ПОВТОРЕНИЕ)
В курсе алгебры рассматривались синус, косинус и тангенс
произвольного угла, выраженного в градусах или радианах.
Там же были доказаны основные формулы, которые исполь-
зовались для преобразований тригонометрических выражений.
Напомним эти формулы.
1. Основное
д е с т в о:
тригонометрическое
т о ж-
sin2 a+cos2 сс=1.
(1)
2.	Зависимость между синусом, косинусом,
тангенсом и котангенсом:
tga = s“l-H, ctga = ^S-2-, tga-ctga = l. (2)
& cos а ° sin а Б Б	'
Ньютон Исаак (1643—1727} — английский математик, физик, механик,
астроном; основоположник современной механики; одновременно с немецким
математиком Г. Лейбницем ему принадлежит разработка дифференциального
и интегрального исчислений.
47
3.	Формулы сложения:
sin (a + ₽) = sin a cos p-pcos a sin p,
sin (a —p)=sin a cos p — cos a sin p,
cos (a + p)=cos a cos p — sin a sin p,
cos (a —p) = cos a cos p + sin a sin p.
(3)
4.	Формулы синуса и косинуса двойного
угла:
sin 2a = 2 sin a cos a, cos 2a = cos2 a — sin2 a.
5.	Формулы приведения.
Для синуса:
(4)
sin (-£-4-a) = c°s a, sin	—a sin (л-f-a) =—sin a, sin (л — a) sin (^+а) = — cos a> s*n("y— a>	= cos a, = sin a, - — cos a.
(5)
Для косинуса:		
	cos	= — sin a, cos — a) — sin a, cos (л-J-a) = —cos a, cos (л — a)= —cos a, cos (-y4-a) = sin a, cos (y—a) =—sin a.	(6)
Для тангенса и котангенса:		
	tg(y-+a) = -ctga, tg(y-a) =ctga, ctg(2+a)- tga, ctg(-=—a)-tga.	(7)
Формулы приведения запоминать необязательно. Для того
чтобы записать любую из них, можно руководствоваться сле-
дующими правилами:
48
1)	В правой части формулы ставится тот знак, который
имеет левая часть при условии ОСаС—.
2)	Если в левой части формулы угол равен Ьа
или -^-±а, то синус заменяется на косинус, тангенс —
на котангенс и наоборот. Если угол равен л±а, то замены
не происходит.
Например, покажем, как с помощью этих правил можно
получить формулу приведения для cos |-<х). По первому
правилу в правой части формулы нужно поставить знак «—»,
так как если 0<а<-2-, то Ьа<л, а косинус во второй
четверти отрицателен. По второму правилу косинус нужно заме-
нить на синус, следовательно, cos (-£-+ а) = — sin а.
6.	Формулы синуса, косинуса, тангенса
угла (—а):
sin (—а)= —sin а, cos (—а)=cos а, tg (—а)= —tg а.	(8)
7.	Формулы синуса и косинуса угла а + 2лп,
тангенса угла а+лп, n£Z:
sin (a + 2nn)=sin а, cos (a-]-2nn)=cos а,
tg (a + nn)=tg a, n gZ.
Приведем несколько примеров применения формул (1) — (9).
Задача 1. Вычислить tg а, если sin а= —0,8 и л<а<Д^.
А Сначала найдем cos а. Из формулы (1) cos2 а = 1 — sin2 а =
= 1—(—0,8)2=0,36. Так как в третьей четверти cosa<0, то
cos a= — 0,6.	По формулам (2) находим tga=^^=
= —0,8_ 4	.
= -0,6	3 ' ж
49
Задача 2. Упростить выражение
sin За cos а-bcos За sin а
2 cos2 а — 1
Л Используя формулы (1), (3) и (4), получаем:
sin За cos a-bcos За sin а _ sin (За~Ьа)
2 cos2 а — 1	2 cos2 а — sin2 а — cos2 а
sin 4а 2 sin 2а cos 2а о „• о .
—---5---———---------------= z Sin 2а. А
cos а — sin а cos 2а
Задача 3. Вычислить sin
А Используя формулы (8) и (9), получаем:
(-^)= -sin -sin (бп+^)= -sin .
По формулам приведения находим:
— sin	—sin (л——) = — sin -7-= —7-.
6	\ б /	6	2
Ответ. sin( —	= А
Упражнения
171.	Выразить в радианной мере углы 60°; 45°; 120°; 135°;
270°; 720°.
172.	Выразить в градусной мере углы -7-; —; —л; —; Зл; —л.
2	6	6	2	4
173.	Изобразить на единичной окружности точки, полученные
поворотом Р (1; 0) на угол а, если:
1)	sina=-i-; 2) sina=—3) cosa = l;
4)	cosa=0; 5) sina= —1;	6) cos a———.
4
174.	Вычислить:
1)	sin а, если cos	-т-л<аС2л;
Э z
2)	cos а, если sin a=-|-, ~<а<:л;
5 z
3)	tg а, если sina=—л<а<-^-л;
lo	z
4)	ctg а, если cosa=—Ц-, л<а<-|-л.
50
175.	Вычислить sin(a4-P). если sina=4~H 0<a<-2-;
О
cos 3=-^-и 0<p<-y-
176.	Вычислить sin 2a, если
sin a=^ и -2-<а<л.
2	2
Вычислить (177—178).
177.	1) sin 405° —cos 315°;	2) cos 690°-sin 780°;
3)	sin -^-л4- cos л; 4) cosл 4-sinл.
178.	1) sin(—|"n):	2) cos-^-л;	3) tg-ул;
..	.	7	c. f 13 \ c, 19
4) clg-j-n;	5) cos^—-g-nj;	6) sin-л.
Упростить выражение (179—180).
179, 1) sin(—a)4-cos (л+«)
1 +2 cos(-^- — -) cos (—
180. 1)  sin-2°—;	2)
1 — cos a
3) sing —tgg .	4x
cos a—1
2 sin2 a—1 .
5) —----------—; b)
sm'a-cos я
181. Доказать тождество:
sin (	л 4- a) + sin (2 n+a)
2) --—--------———
'	2 cos (—a) sin( —a) + l
sin 2g .
1 — sin2 a ’
cos a — cig a .
sin a — 1 *
cos2 2g
1 -pcos 4a"
1)	(1 4-ctg2 a4~cos12-sin2 a cos2 a = 1;
2)	^1 4-tg2 a4-^r^)-sin2 a cos2 a = 1;
3)	(£os£ । ^iU-bVsin 2a=2 cos (a —p);
xsin a cosct /
4)	/'cosa_sina\.sin 2₽== _2 sin (a-P).
7 \cosp sinp/
182.	Синус острого угла равен -Ц-. Найти косинус смежного с
ним угла.
183.	Косинус угла треугольника равен -9-. Найти синус угла,
смежного с данным, при той же вершине треугольника.
51
184.	Доказать тождество:
1)	-4----sin2 a—tg2 а = cos2 а;	3) «?s «+sin
cos а	cos а—sin а 1 —tg а
2)	l-s°n2a + tg a'Ctg	4) £lgfZ-~1=co-sg~-sin“.
’ ctg«+l cosa + sina
185**. Вычислить:
1)	sin 575° • cos 845° — cos 1405° • sin 1675° — tg 215° • tg685° —
-tg2 35°;
2)	sin-^-ctg^+cos^—tg— 4----------?-----|-7;
3 Б 6	6 s 3	23л . Пл ’
COS ——Sin -X-
о b
3)	4 sin 18°-sin 306°;	4) cos y-cos у-cos у.
186.	Упростить:
ctg(y—a)—tg(n4a)4~sin(y —a)
cos (л -|- a)	’
sin (л—a) 4- cos ( у 4- a) 4- ctg (л—a)
2)	. /3л X	'
4-2-“)
187.	Упростить выражение и найти его числовое значение:
. /19л X ,	„ , .
suit—5 a 14-cos (7л 4-a)
D - /Ил X--------------- ПРИ
cos^—-—f-a J—stn (а—л)
2)	!&L*±«)vtg(4"-P) ПрИ о= " р "
14-ctg(yn4-a)tgp
188.	Упростить выражение:
I \ cos а—2 sin а 2—cos2 а .	2 cos °4~s'n а_2 — 3 sin2 а
' sina4-cosa cos 2а ’	' cos (—a)4-sin а /л '
sin^y4-2a
189*. Доказать тождество:
1)2 cos2	= 1 — sin a;
2)	2sin2(-2-4-f-) = 14-sina;
3)	kL“12“.ctga=l; 4) -sin2a — tga.
' sin 2a Б	' 14-cos2a Б
52
>99**. Доказать, что если 0<а<-^-и О<0<-^-, то
sin (a + 0)<sin аЦ-sin 0.
191**. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения:
1)	sin 2а + cos2 а;	2) sin2 а — sin а-cos а.
19.?**. Доказать тождество:
1) sin a*sin (0 —а)+sin2—a) = sin2-|-;
2) cos2 а — sin2 2а=cos2 a cos 2а — 2 sin2 a cos2 а.
193*. Упростить выражение:
1) Ма+т)СО5?(аНг) .
cig2(a—=-)-cos2(a+-f)
ctg (270° — a) ctg2 (360° — а) — 1
' 1 —tg2 (а—180°)* ctg(180° + a) ’
§ 11. СУММА И РАЗНОСТЬ СИНУСОВ.
СУММА И РАЗНОСТЬ КОСИНУСОВ
Задача 1. Упростить выражение
(sin(a+#)+sin(a-E))sin#-
Л Используя формулу сложения и формулу синуса двойного
угла, получаем:
(sin (“+&)+sin (“-#))sin и =(sin а cos #+
+ cos a sin -^-4-sin a cos	—cos a sin sin 77=
IX	IX	IX/	IX
= 2 sin a cos sin —=sin a sin =-|-sin a. ▲
IX	IX	U X
Эту задачу можно решить проще, если использовать формулу
суммы синусов:
sin a + sin 0 = 2 sin cos °2 -	U)
53
С помощью этой формулы получаем:
(sln(a+f)+sin(“~T?))sint=
= 2 sin a cos-jy sin -^=-1 sin а.
Докажем теперь справедливость формулы (1).
О Обозначим	Тогда х-^-у—а, x—y — fi,
и поэтому sina + sinp = sin(x4-z/)4-sin(x—f/) = sinxcost/4-
+ cos х sin у 4-sin x cos у—cos x sin у— 2 sin x cos y —
—2 sin ^±£cos -_L •
2	2
Наряду с формулой (1) используются формула разности
синусов, а также формулы суммы и разности косинусов:
О
sin a —sin р=2 sin “2 -Р- cos ”2^ .	(2)
cos a + cos p=2 cos	cos
(3)
cos a — cos p = — 2 sin sin
(4)
Формулы (3) и (4) доказываются так же, как и формула (1);
формула (2) получается из формулы (1) заменой р на — р (до-
кажите самостоятельно).
Задача 2. Вычислить sin 75°4-cos 75°.
Д sin 75° 4-cos 75° = sin 75° +sin 15° =
=2 sin 75° + 15° cos ^°~15°=2 sin 45° cos 30° =
£
__g д/2 ~\/3_д/б д
2 ' 2	2 ' A
54
Задача 3. Преобразовать в произведение
2 sin а-Ьл/З-
А 2 sin a+y/3 = 2^sin a+^)=2(sin a + sin-2-) =
= 4sin(f+f)cos(f-f).A
Задача 4*. Доказать, что наименьшее значение выражения
sin a + cos а равно — -у/2, а наибольшее равно -^2.
А Преобразуем данное выражение в произведение:
sin a+cos a = sin a + sin^-5—al =2 sin ^cos( a—;p
cos (a—j-).
Так как наименьшее значение косинуса равно —1, а наи-
большее равно 1, то наименьшее значение данного выражения
равно —1)= —у/2, а наибольшее равно -у/2-1=^/2. ▲
Упражнения
194.	Упростить выражение:
1)	sin(f+a) + sin(f-a);
2)	cos(-J— ₽)- cos(^+p);
3)	sin2 (-^-+a) —sin2 (-^—a);
4)	cos2(a-^-)—cos2(a+-£-).
195.	Вычислить:
1) cos 105° +cos 75°;
lln  5л .
3) cos—+cos—;
5) sin — -sin-,
2) sin 105° —sin 75°;
4) COST7~cos^:
6) sin 105° +sin 165°.
196.	Преобразовать в произведение:
1)	1+2 sin a;	2) 1—2 sin a;
3)	1+2 cos a;	4) 1+sina.
55
197.	Доказать тождество:
sin a + sin За
1) -------------— tg2a;
cos a + cos За
sin 2a + sin 4a
2) -------------= ctg a.
cos 2a—cos 4a
198.	Упростить выражение:
1)	2(cos a + cos За).
2 sin 2a + sin 4a *
1	+ sin a — cos 2a — sin 3a
2	sin2 a + sin a — 1
Доказать тождество (199—200).
199.	1) cos4 a —sin4 a + sin 2а=д/2 cos^2a—2-
+ a) + cos
2) cos a + cos (-y

200. 1)
2)
sin 2a + sin 5a — sin 3a n •
,	_ , 9	—— Z Ы Г1 ОС ।
cos a+1 —2 sin 2a
sin a + sin 3a + sin 5a + sin 7a a
cosa—cos3a+cos5a —cos7a ®
201. Записать в виде произведения:
1) cos 22°+cos 24° +cos 26°+cos 28°;
2) cos-^-+cos-y-+cos-^.
1Z	4	о
202*. Доказать тождество tg a+tg ft= Sin(a+P) и вычислить:
cosa-cosp
1) tg 267° + tg 93°;
2)
203**. Разложить на множители:
1)	I—cos a + sin a;
2)	1—2 cos a + cos 2a;
3)	1+sin a—cos a—tg a;
4)	1+sin a + cos a+tg a.
56
§ 12. УРАВНЕНИЕ cos х=а
Из курса алгебры известно, что значения косинуса заключены
в промежутке [-1; 1], т. е. — 1 cos a sC 1. Поэтому если
|а| > 1, то уравнение cosx = a не имеет корней. Например,
уравнение cosx =—1,5 не имеет корней.
Задача 1. Решить уравнение cos х—-|-.
Л Напомним, что cos х — абсцисса точки единичной окруж-
ности, полученной поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала коор-
динат на угол х. Абсциссу, равную имеют две точки окруж-
ности Mi и М2 (рис. 18). Так как -|-=cos-~-, то точка Mi полу-
X	м
чается из точки Р (1; 0) поворотом на угол xi=-2-, а также на
О
углы x—^-+2nk, где k=±i, ±2..........Точка М2 получается
из точки Р (1; 0) поворотом на угол х2 =—а также на углы
о
—~}-2nft, где Л=±1, ±2.........Итак, все корни уравнения
0
cos х=~— можно найти по формулам х=-^—|-2л&, х— ——-\-2nk,
2	3	3
k£Z. Вместо этих двух формул обычно пользуются одной:
x=±^+2nk, kQZ. ▲
Задача 2. Решить уравнение cos х= —±~.
Л Абсциссу, равную —имеют две точки окружности
М। и М2 (рис. 19). Так как —^-=cos~, то угол %! =—, а пото-
2	3	3
57
му угол х2 =—у. Следовательно, все корни уравнения
1	о—
cosx =—— можно найти по формуле х=±—+2лй, AfZ. л
z	3
Таким образом, каждое из уравнений cos х — J- и cos х= —
имеет бесконечное множество корней. На отрезке О^х^л каж-
дое из этих уравнений имеет только один корень- Xi =
п
3
корень уравнения cosx=y- и Х|=-у—корень уравнения
cosx=—i-. Число называют арккосинусом числа — и за-
писыьают: arccos 4-=-^-, а число 4г— арккосинусом, числа
2	*5	о
(-1)
и записывают: arccos
НН
Вообще уравнение cos х=а, где —	1, имеет на отрезке
О х л только один корень. Если а 0, то корень заключен в про-
межутке р); y-J; если а < 0, то в промежутке (-2-; nJ. Этот ко-
рень называют арккосинусом числа а и обозначают arccos а
1рис. 20).
О Таким образом, арккосинусом числа а£[—1; 1] на-
зывается такое число а£[Э; л], косинус которого равен а:
arccos а = а, если cosa=a и О^схеСл.
(1)
Например, arccos-='=" так как cos	и 0<-^-<л;
arccosf	так как cos-^——-5- и 0^4г^л-
\ Z / О	О	Z	о
58
о
Аналогично тому, как это сделано при решении за-
дач 1 и 2, можно показать, что все корни уравнения
cosx=a, где |а|	1, выражаются формулой
х= ±arccos а + 2лп, ngZ.
(2)
Задача 3. Решить уравнение cos х — —0,75.
Л По формуле (2) находим
х=±arccos (—0,75)2лп, n£Z. ▲
Значение arccos (—0,75) можно приближенно найти на ри-
сунке 21, измеряя угол РОМ транспортиром.
Приближенные значения арккосинуса можно также находить
с помощью специальных таблиц или микрокалькулятора. На-
пример, значение arccos (—0,75) можно вычислить на микрокаль-
куляторе МК-54 по программе
0,75 /-/
F cos“' 2,4188583.
Итак, arccos (—0,75)^2,42.
В данном случае переключатель микрокалькулятора Р-ГРД-Г
был установлен в положение Р (радиан).
Если вычисления проводить в градусной мере, то переклю-
чатель микрокалькулятора Р-ГРД-Г следует установить в поло-
жение Г (градус). Программа вычислений остается прежней:
0,75 /-/
cos-1 138,59038.
F
Итак, arccos (—0,75)»139°.
Задача 4*. Решить уравнение (4 cos х— 1) (2 cos 2х-|- 1)=0.
Л 1) 4cosx—1=0, cos х=—, х= ± arccos—-|-2лп, n£Z.
4	4
2)	2 cos 2х-|-1 =0, cos2x=—2х= ±-^+2л/1,
х=±-^-4-лп, n^Z.
О
Ответ. х=±arccos-|-4-2лп, х=±-^-+лп, n^Z. ▲
Можно доказать, что для любого а£[—1; 1] справедлива
формула
arccos ( — а)—п — arccos а.
(3)
59
Эта формула позволяет выражать значения арккосинусов
отрицательных чисел через значения арккосинусов положитель-
ных чисел. Например:
arccos ( ——- л — arccos — - л ——=^;
\	2/	2 зз
arccos f—= л —arccos ^=л——=—.
\	2 /	2	4	4
Из формулы (2) следует, что корни уравнения cos х—а при а—О,
a=l, а= — 1 можно находить по более простым формулам:
О		cos x=0	х=-^+лп, n£Z	(4)
		cos x= 1	х = 2лп, n£Z	(5)
		COS X = — 1	х = л + 2лд, ngZ	(6)
Задача 5. Решить уравнение cos -^-= — 1.
О
А По формуле (6) получаем -^-=л+2лп, n£Z, откуда
о
х=3л+6лп, n£Z. ▲
Упражнения
Вычислить (204—205).
204.	1) arccos 0;	2) arccos 1;	3) arccos^;
4)	arccos -i-;	5) arccos ;	6) arccos
205.	1) 2 arccos 0 + 3 arccos 1;	2) 3 arccos (—1)—2 arccos 0;
3)	12 arccos ^—3 arccos ( —0 ;
4)	4 arccos (-$ +6 arccos (—.
206.	Сравнить числа:
1)	arccos -|-и arccos (—0 ; 2) arccos (—у' и arccos ( — 1).
Решить уравнение (207—210).
207.	1) cosx=^;	2) cosx=-i-;
3)	cosx= —	4) cosx=—-0
60
208.	1) cosx=-|-;	2) cosx=-|-;
3)	cos x= — 0,3;	4) cos x= — 0,2.
209.	1) cos4x=l;	2) cos2x= —1;	3) y/2cos-y= —1;
4)	2 cos-|-=-\/3;	5) cos(x-|—y)=0; 6) cos(2x—2-)= 0.
210. 1) cos x-cos 3x=sin Зх-sin x;
2) cos 2x-cos x |-sin 2x-sin x=0.
211. Выяснить, имеет ли смысл выражение:
1) arccos (д/б —3);
3) a rccos (2—-Дб);
5) tg (2 arccos ;
2) arccos (V?—2);
4) arccos (1 — д/5);
6) tg (з arccos у)
Решить уравнение (212—213).
212.	1) cos* 2 2x = 1 4-sin2 2x;	2) 4cos2x=3;
3)	2 cos2 x=l 4*2 sin2 x*; 4) 2-\/2 cos2 x= 14~л/2.
213.	1) (14-cos x) (3—2 cos x)=0;
2)	(1 —cos x) (4-|-3 cos 2x)=0;
3)	(l-|-2cosx)(l— 3cosx)=0;
4)	(1 — 2 cos x)(24~3 cos x)=0.
214*. Решить уравнение:
1) arccos (2x — 3)=-2-;	2) arccos £±-L=25..
3	00
215**. Доказать, что при всех значениях а, таких, что — 1 ^а^1,
выполняется равенство cos (arccos а)=а. Вычислить:
1) cos (arccos 0,2);	2) cos (arccos ( —|-)) ;
3) cos (n4- arccos -|-) ;	4) sin (y+ arccos -y) i
5) sin (arccos
216**. Доказать, что arccos (cos a)=a при О^а^л. Вычислить:
1) 5 arccos (cos-у) ;	2) 3 arccos (cos 2);
3) arccos (cos y) ;	4) arccos (cos 4).
217*. С помощью микрокалькулятора решить уравнение:
1) cos х=0.35;	2) cosx=—0,27.
6> *«(arccos^-
61
§ 13. УРАВНЕНИЕ sin*=fl
Известно, что значения синуса заключены в промежутке
[—1; 1], т. е. —Iosina 5^21. Поэтому если |a| > 1, то уравне-
ние sinx = a не имеет корней. Например, уравнение sin х=2 не
имеет корней.
Задача 1. Решить уравнение sin х=-^~.
Д Напомним, что sin х — ордината точки единичной окруж-
ности, полученной поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала коор-
динат на угол х. Ординату, равную имеют две точки окруж-
ности Mi и М2 (рис. 22). Так как -^-=sin-^-, то точка Afj полу-
чается из точки Р(1; 0) поворотом на угол Х|=—, а также на
углы л=-£—)-2лй, где Л=±1, ±2.....Точка М2 получается из
точки Р (1; 0) поворотом на угол , а также на углы х=^Ц-
+2л£, т. е. на углы х=л—^-+2лй, где £ = ±1, ±2, ... . Итак,
6
все корни уравнения sin х=-|- можно найти по формулам
x = -£--|-2nfe, х=л—|~2л&, k£Z.
Эти формулы объединяются в одну:
х=(—1)п-2-4-лп, n£Z.	(I)
В самом деле, если п — четное число, т. е. n=2k, то из форму-
лы (1) получаем x=-~f-2nAi, а если п — нечетное число, т. е.
О
п = 2&4-1, то из формулы (1) получаем х=л
тН-2лЛ.
О
Задача 2. Решить уравнение sin х= —р.
Л Ординату, равную ——, имеют две точки единичной ок-
ружности ЛЬ и М2 (рис. 23), где Xi =—2_, х2=—Следо-
вательно, все корни уравнения sinx =—р можно найти по фор-
мулам х ——2_-|-2nfe, х= —^2-f-2n/t, k£Z.
6	ь
Эти формулы объединяются в одну:
х=(-1)"(—£-)+лп, n£Z.	(2)
В самом деле, если n — 2k, то по формуле (2) получаем х= —р+
-|-2лЛ, а если n = 2ft —1, то по формуле (2) находим х= —^г+
4-2лй. Ответ. х=(-1)"(—р) + лл, n£Z. А
Итак, каждое из уравнений sinx=-p и sinx=—i- имеет
бесконечное множество корней. На отрезке —2-^1 х^-р каждое
из этих уравнений имеет только один корень: Xi =-2— корень
уравнения sin х=-^-и xt = —2— корень уравнения sin х= —р.
Число — называют арксинусом числа и записывают:
6	Z.
arcsin-|-=-2-; число —2- называют арксинусом числа —и
пишут: arcsin ( —0 = —2-.
Вообще уравнение sinx=e, где —на отрезке
—Д-г^х^-р- имеет только один корень. Если а^О, то корень
заключен в промежутке £(); -pj ; если а<0, то в промежутке
[ —р; о) . Этот корень называют арксинусом числа а и обозна-
чают arcsine (рис. 24).
О Таким образом, арксинусом числа а£[—1; 1] назы-
вается такое число а 6^—2-; -2-J , синус которого равен а.
arcsin а = а, если sin а=а и —
2 \	^=5 2
(3)
63
Например, arcsin ^=-2-, так как sin -7-=-^ и —
X 4	4 л	л 4	£
Аналогично тому, как это сделано при решении задач
1 и 2, можно показать, что корни уравнения sinx=a,
где |а|^1, выражаются формулой
х=(— 1)" arcsin a-f-лп, n£Z.
(4)
Задача 3. Решить уравнение sin х=-%~.
о
Д По формуле (4) находим х=(—l)n arcsinn^Z. ▲
Значение arcsin можно приближенно найти из рисунка 25.
измеряя угол РОМ транспортиром.
Значения арксинуса можно находить с помощью специальных
таблиц или с помощью микрокалькулятора. Например, значение
. о
arcsin — можно вычислить на микрокалькуляторе МК-54 по
программе
2 В|
3
	F	sin 1
7,2972769-10~
Итак, arcsin0,73. При этом переключатель микрокальку-
«3
лятора Р-ГРД-Г был установлен в положение Р (радиан).
64
Задача 4*. Решить уравнение (3 sin х—1) (2 sin 2х+1) = 0.
Л 1) 3 sin х—1 =0, sin х=-^-, х = (—1)" arcsinи £Z.
2)	2 sin 2х+ 1 =0, sin 2х= —у, 2х=(— l)n arcsin ( —0 +
+лп=(-1)п(—=-) + nn=(-l)n+,f+^,x=(-l)n+,-^+^.
n£Z.
Ответ. х=(— 1)" arcsin	х=(— l)n+l	» n£Z.▲
Можно доказать, что для любого а£[—1; 1] справедлива
формула
arcsin ( —а)= —arcsin а.	(5)
Эта формула позволяет находить значения арксинусов отри-
цательных чисел через значения арксинусов положительных
чисел. Например:
arcsin ( —0 = — arcsin -|-= —;
arcsin (	= _arcsin -Z-.
Отметим, что из формулы (4) следует, что корни уравнения
sinx = a при а = 0, а=1, а= — 1 можно находить по более прос-
тым формулам:
sin x = 0	х=лп, ngZ
sin x = 1	x=-^—|-2лп, n£Z
sin x— — 1	x=—~Ь2лп, n£Z
Задача 5. Решить уравнение sin 2х = 1.
Л По формуле (7) имеем 2х=-^--|-2лп, n^Z, откуда
х=^-+лп, n{Z. ▲
Упражнения
Вычислить (218—219).
218.	1) arcsin 0;	2) arcsin 1;
4)	arcsin	5) arcsin (—:
3 Заказ 41
3) arcsin
6) arcsin (—•
65
219.	1) arcsin 1 — arcsin (—I);	2) arcsin — 4-arcsin (-----
л/2	V л/2-
3) arcsin -i—|-arcsin
4) arcsin ( —^0 + arcsin ( —0 .
220. Сравнить числа:
1) arcsin — и 4 Решить уравне.	arcsin (—0; ние (221—224).	2) arcsin (—	-0 и arcsin (—1).
221. 1) sinx=^:		2) sin	»
3) sin x= —	1 . y/2 *	4) sinx= —	1 2 ’
222. 1) sinx=-|~;	2) sin	3) sin x= —	-04) sinx=^.
223. 1) sin 3x = 1;	2) sin 2x =	-1;	3)	sin	— 1;
4) 2 sin 0=	V3; 5) sin 04-	y)=0;	6)	sin (2x4-0=0.
224.	1) sin 4x cos 2x=cos 4x sin 2x;
2)	cos 2x sin 3x=sin 2x cos 3x.
225.	Выяснить, имеет ли смысл выражение:
1)	arcsin (д/5—2);	2) arcsin (д/5—3);
3)	arcsin (3—4) arcsin (2 — дЩ));
5)	tg (б arcsin -0 ;	6) tg (2 arcsin .
Решить уравнение (226—228).
226.	1) 1 — 4 sin x cos x = 0;	2) д/З + 4 sin x cos x = 0;
3)	1+6 sin-j-cos-j-=0;	4) 1 — 8 sin-7-cos —=0.
4	4	3	3
227.	1) 14~cos 5x sin 4x=cos 4x sin 5x;
2)	1—sin x cos 2x=cos x sin 2x.
228.	1) (2 sin x—1) (3 sin x+l) = 0;
2)	(4 sin x —3) (2 sin x+1)=0;
3)	(2 sin 2x—l)(sin 4x+I)=0;
4)	(4 sin 3x—1) (2 sin x + 3)=0.
229*. Решить уравнение:
1)	arcsin (f-3)=f;
2)	arcsin (3 —2x)=—0
66
2) sin (^arcsin ( —;
4) cos (y — arcsin -0 ;
6) tg( arcsin -pLA .
230**. Доказать, что sin (arcsin а)=а при — 1	1. Вычислить:
1) sin (arcsin-0 ;
3)	sin (л 4-arcsin-у
5) cos (arcsin -0 ;
231**. Доказать, что arcsin (sin a) = а при —Вы-
числить:
1) 7 arcsin (sin-0 ;	2) 4 arcsin (sin -0 ;
3) arcsin (sin y) ;	4) arcsin (sin 5).
232*. С помощью микрокалькулятора решить уравнение:
1) sin х = 0,65;	2) sinx =—0,31.
§ 14. УРАВНЕНИЕ tgx=a
Известно, что тангенс может принимать любое действительное
значение. Поэтому уравнение tgx=a имеет корни при любом
значении а.
Задача 1. Решить уравнение tg х=у/3.
Л Построим углы, тангенсы которых равны -\/3. Для этого про-
ведем через точку Р (рис. 26) прямую, перпендикулярную РО,
и отложим отрезок РМ =д/3, через точки М и О проведем пря-
мую. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух диа-
метрально противоположных точках М\ и М2. Из прямоугольного
треугольника РОМ находим yj=-^=*\/3 = tg Xi, откуда xi=-y.
Таким образом, точка ЛЬ получается из точки Р(1; 0) поворотом
вокруг начала координат на угол -2-, а также на углы х=-^--|-2л£,
где k— ±1, ±2, ... .
Точка М2 получается поворотом точки Р (1; 0) на угол Х2=-2-4-
3
4-л, а также на углы х=-~Ьл4-2лЛ, где ft = ±l, ±2, ... .
Итак, корни уравнения tg х=-^3 можно найти по формулам
х=у+2л/г, х=у4-л (2ft4*1), Эти формулы объединяют-
ся в одну:
х=-2-4~лп, nfZ. ▲
3 1
67
Задача 2. Решить уравнение tg х= —д/З.
Д Углы, тангенсы которых равны —д/З, указаны на рисун-
ке 27, где РМЛ.РО, РМ — ^/З. Из прямоугольного треугольни-
ка РОМ находим /LPOM=-^~, т. е. Xi =—2-. Таким образом,
точка Mi получается поворотом точки Р(1; 0) вокруг начала
координат на угол Xi=—2-, а также на углы х——2--|-2л&,
где k — ± 1, ±2, ... . Точка М2 получается поворотом точки Р (1; 0)
на углы х=—2—л (2& 4-1), k£Z. Поэтому корни уравнения
tg х=—д/З можно найти по формуле
х=—2—|-лп, ngZ. А
О
Итак, каждое из уравнений tgx=^/3 и tgx=—д/З имеет
бесконечное множество корней. На интервале —2-<х<-2-каж-
дое из этих уравнений имеет только один корень: х(=-2—ко-
о
рень уравнения tg х=д/3 и х1= —2-корень уравнения tg х=
О
= —^3. Число -2- называют арктангенсом числа д/З и записы-
вают: arctg д/3=-2-; число —2- называют арктангенсом числа
О	о
—д/З и пишут: arctg (—д/3)= —2_.
68
Вообще уравнение tgx = a для любого a£R имеет на интер-
вале —2~<'х<'~2~ только один корень. Если а^О, то корень
заключен в промежутке р}, -2-) ; если а<0, то в промежутке
(—2-; Ср . Этот корень называют арктангенсом числа а и обо-
значают arctg а (рис. 28).
О
Таким образом, арктангенсом числа a£R называется
такое число а
-2-) , тангенс которого равен а.
arctg а = а, если tga = a и —2~<~а<'~2~'
(D
Например, arctg 1 =-^-, так как tg-2-=l и —;
arctg(-f) = -f ’ таК как tg(-f)=“^ И
л
	2 
Аналогично тому, как это сделано при решении за-
дач 1 и 2, можно показать, что все корни уравнения
tgx = a, где а£/?, выражаются формулой
х = arctg а + ям, п £ Z.
(2)
Задача 3. Решить уравнение tg х = 2.
Л По формуле (2) находим x = arctg24~nn, n£Z. ▲
Значение arctg 2 можно приближенно найти из рисунка 29,
измеряя угол РОМ транспортиром.
0) Рис. 28	5)	Рис. 29
69
Приближенные значения арктангенса можно также найти по
таблицам или с помощью микрокалькулятора.
Например, значение arctg 2 можно вычислить на МК-54 по
программе
2
F tg“* 1,1071486.
Итак, arctg 2« 1,11.
Задача 4*. Решить уравнение
(tg х + 4) (ctg х—^3)=0.
A 1) tgx4-4=0, tgx=—4, x = arctg ( — 4)4-ял, n£Z.
При этих значениях x первая скобка левой части исходного
уравнения обращается в нуль, а вторая не теряет смысла, так
как из равенства tgx =—4 следует, что ctgx =——. Следо-
4
вательно, найденные значения х являются корнями исходного
уравнения.
2)	ctg х—\/3=0, ctgx=-y/3, tgx=—, х = arctg-—}-лп —
7з	фз
—-^-+лп, n^Z.
Эти значения х также являются корнями исходного урав-
нения, так как при этом вторая скобка левой части уравнения
равна нулю, а первая скобка не теряет смысла.
Ответ. x=arctg(—4)4-ли, х=-2—|-лл, ngZ. ▲
6
Можно доказать, что для любого a£R справедлива формула
arctg (—а) = —arctg а.	(3)
Эта формула позволяет выражать значения арктангенсов от-
рицательных чисел через значения арктангенсов положительных
чисел.
Например:
arctg (—л/3)= —arctg д/3 = —
О
arctg (—1)= —arctg 1 = ——.
70
Упражнения
Вычислить (233—234).
233.	1) arctg 0; 2) arctg (—1); 3) arctg ( —	; 4)arctg-\/3.
234.	1) 6 arctg -\/3—4 arcsin ( ~^j=) >
2)	2 arctg 1 +3 arcsin ( —0 ;
3)	3 arctg ( —4-2 arccos ( — —) ;
4)	5 arctg(—\/3)—3 arccos (—y^) .
235.	Сравнить числа:
1)	arctg ( — 3) и arctg 2;	2) arctg ( — 5) и arctg 0.
Решить уравнение (236—239).
236.	1) tgx=-L;	2) fg *=л/3;	3) tgx=-^3;
уз
4)	tg x= — 1;	5) tgx=4;	6) tgx=—5.
237.	tg 2x=0;	2) tg3x=0;	3) 14-tg-|-=0;
4)	л/3 + tgf^O.
238. 1) (tg x—1) (tg х4-д/3)=0;	2) (л/3 tg x+1) (tg х-д/3)=0;
3) (tg x — 2) (2 cos x— l)=0; 4) (tg x —4,5) (1 4~2 sin x)=0;
5) (tgx+4)(tg^~l)=0;	6) (tg-A-+l)(tgx-l)=O.
239*. 1) arctg (5x—l)=-2-;	2) arctg (3—5x)=—2-.
240**. Доказать, что tg (arctg a)=a при любом а. Вычислить:
1) tg (arctg 2,1);	2) tg (arctg (—0,3));
3) tg(n — arctg 7);	4) ctg (-2-+arctg-б) .
241**. Доказать, что arctg (tg a)=a при —2-<a<y-. ®ы"
числить:
1) 3 arctg (tg y-) i * 1 2 3) 4 arctg (tg °-5)’-
3) arctg (tgyt); 4) arctg (tg 13).
242*. С помощью микрокалькулятора решить уравнение:
1) tgx=9;	2) tgx=—7,8.
71
§ 15. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В предыдущих параграфах были выведены формулы корней
простейших тригонометрических уравнений sinx = a, cosx=a,
tg х = а. К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические
уравнения. Для решения большинства таких уравнений требу-
ется применение формул преобразований тригонометрических
выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригоно-
метрических уравнений.
1. Уравнения, сводящиеся к квадратам
Задача 1. Решить уравнение sin1 2 x-f-sin х—2 = 0.
Д Это уравнение является квадратным относительно sin х.
Обозначив sinx=y, получим уравнение у2+у — 2=0. Его корни
1/1 = 1, У2=—2. Таким образом, решение исходного уравнения
свелось к решению простейших уравнений sin х=1 и sinx= —2.
Уравнение sinx=l имеет корни х=-^-+2лл, n£Z; уравне-
ние sinx=—2 не имеет корней.
Ответ. х=~—|-2лп, n^Z. А
Задача 2. Решить уравнение 2 cos2 х—5 sin х4-1=0.
Д Заменяя cos2x на 1—sin2 х, получаем:
2 (1 —sin2 х)—5 sin х+1 =0, или 2 sin2 х-|-5 sin х —3 = 0.
Обозначая sin х=у, получаем 2у2 + 51/ — 3 = 0, откуда у\ = —3,
1) sin х = — 3 — уравнение не имеет корней, так как | — 3| > 1.
2) sinx=-|-, х=(—1)г-arcsin-|-+лп=(—1)'!-2-4-лп, n£Z.
Ответ. х=(—1)п-^-4-лл, n£Z. А
6
Задача 3*. Решить уравнение 2 sin2 х — cos х—1=0.
А Используя формулу sin2 х= 1 — cos2 х, получаем:
2(1—cos2x)—cos х—1=0, или 2 cos2 x+cos х— 1 =0.
COS Х = 1/, 21/2 — у— 1=0, 1/1 = 1, 1/2 =—
1) cosx=l, х=2ли, ngZ.
2) cos х= — -i-, х = iarccos (—04-2лл=±(л —
— arccos-0 + 2лп= ±(л—-|-2лп= ±-у+2лл, n£Z.
Ответ. х=2лл, х=±—4~2лл, n£Z. А
о
72
Задача 4. Решить уравнение tg х — 2 ctg х-|-1 =0.
Д Так как ctgx = r-!—, то уравнение можно записать в виде
1g X
tg х —	1 —0.
S tg*
Умножая обе части уравнения на tg х, получаем:
tg2 *4-tg х—2 = 0.
tgx=y, у2+у — 2 = 0, yi = l, У2=— 2.
1)	tgx=l, х=-^-4-яп, ngZ.
2)	tg х— —2, x = arctg (— 2)4-лп = —arctg 24-ян, n£Z.
Отметим, что левая часть исходного уравнения имеет смысл,
если tgx=/=O и ctgx=#=O. Так как для найденных корней tgx=/=O
и ctgx#=O, то исходное уравнение равносильно уравнению
tg2 x-|-tg х —2=0.
Ответ. х=-^—\-лп, х=—arctg 24-лп, n£Z. ▲
Задача 5. Решить уравнение
3	cos2 6x4-8 sin Зх cos Зх —4=0.
Л Используя формулы
sin2 6x4-cos2 6х = 1, sin 6х = 2 sin Зх cos Зх,
преобразуем уравнение:
3 (I —sin2 6х)4-4 sin 6х—4=0,
3 sin2 6х — 4 sin 6x4-1 =0.
Обозначив sin6x=y, получим уравнение Зу2 — 4у4-1=0, от-
куда 1/1 = 1, у2=-^-.
1) sin6x=l, 6х=-2-4~2лп, х=-^-4~^~ > n£Z.
z	lz «5
2) sin6x=-|-, 6х=(—1)" arcsin-j—ряд, x=^~-‘l arcsin-|~4~
о	ООО
+^,n£Z.
Ответ. x=-^-4-^y, x=^-^ arcsin , n£Z. ▲
12	3	о	о о
2. Уравнения вида a sin х 4- b cos х=с
Задача 6. Решить уравнение 2 sin х —3 cos х=0.
Д Поделив уравнение на cosx, получим 2tgx —3 = 0,
tgx=-|-, х = arctg|-лп, n£Z. ▲
73
При решении этой задачи обе части уравнения 2 sin х—
— cosx = 0 были поделены на cosx. Напомним, что при делении
уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть
потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли кор-
ни уравнения cos х = 0 корнями данного уравнения. Если cos х = 0,
то из уравнения 2 sin х — cos х=0 следует, что sinx=0. Однако
sin х и cos х не могут одновременно равняться нулю, так как
они связаны равенством sin2 x-|-cos2 х= 1. Следовательно, при
делении уравнения a sin x-\-b cos х=0, где а=/=0, Ь=£0, на cosx
(или sin х) корни этого уравнения не теряются.
Задача 7. Решить уравнение 2 sin x-pcos х = 2.
Л Используя формулы sin х = 2 sin y"Cos cos x=cos2 у
—	sin2 у-и записывая правую часть уравнения в виде 2 = 2-1 =
= 2 (sin2 у—р cos2 у) , получаем 4 sin у- cos у—р cos2 у— sin2 у=
= 2 sin2 у-p 2 cos2 у-, 3 sin2 у—4 sin y-cos y—Pcos2 y-=0.
Поделив это уравнение на cos2 у-, получим 3 tg2 у—
—	4tgy—pi=0. Обозначая tgy-=y, получаем уравнение Зу2 —
z	Z
—	4у+1=0, откуда i/i = l, у2=-у.
О
1) tgf=l, v=T+nn’ х=т+2лп’ nez-
2) tgy-=y-, y-=arctg у—рлп, x = 2 arctg у—Р2лп, n£Z.
Z О Z	о	О
Ответ. x=y—Р2лп, х=2 arctg у-+2лп, n£Z. ▲
z	о
Задача 8*. Решить уравнение sin 2х — sin х — cos х — 1 = 0.
Л Выразим sin 2х через sinx + cosx, используя тождество
sin 2x=(sin x-f-cos х)2 — 1.
Обозначим sin x-pcos х=/, тогда sin2x = t2 —1 и уравнение при-
мет вид t2—t — 2 = 0, откуда Л =— 1, /2 = 2.
1) sin x-j-cos х= — 1, 2 sin у-cos у—р cos2 у—sin2—=
= — sin2 у—cos2 у, 2 sin у cos у+2 cos2 -£-=0,
cos-y^sin y4-cosy-^=0, cosy-=0,
y-=y—рлп, х=л-р2лп, ngZ;
sin у-4-cos y-=0, tg -|-= — 1,
x
2
Л I
—рлп, X
4
|-2лп, n^Z.
л
74
2
2) Уравнение sin x + cos x=2 не имеет корней, так как sin х^ 1,
cosx^l и равенства sinx=l, cosx=l одновременно не могут
выполняться.
Ответ. х = л + 2лп, х=—^-4-2лп, n£Z. ▲
3. Уравнения, решаемые разложением
левой части на множители
Многие тригонометрические уравнения, правая часть кото-
рых равна нулю, решаются разложением их левой части на мно-
жители.
Задача 9. Решить уравнение sin 2х — sin х=0.
А Используя формулу для синуса двойного аргумента, за-
пишем уравнение в виде 2 sin х cos х — sinx=O.
Вынося общий множитель sin х за скобки, получаем
sin х (2 cos х—1)=0.
1) sinx=0, х = лп, ngZ.
2) 2 cos х—1=0, cosx=-~, x= ±-~|-2лл, n£Z.
Ответ. х = лм, x=±-2—|-2лп, ngZ. ▲
О
Задача 10. Решить уравнение cos Зх + sin 5х=0.
А Используя формулу приведения sin а = cos	, за-
пишем уравнение в виде
cos Зх + cos — 5х) = 0.
Используя формулу для суммы косинусов, получаем:
2 cos (-2—x)-cos^4x—^")=0.
1) cos(-^—х)=0, х—2-=-^—|-лп, х=-|-л4-лп, n£Z;
2) cos ( 4х —= 0, 4х—=-=-£-+лл, х=Л-л4~, n£Z.
Ответ. х=—л + лп, х=-^-л+—, n£Z. ▲
4	16	4
Задача 11. Решить уравнение sin 7x + sin 3х = 3 cos 2х.
А Применяя формулу для суммы синусов, запишем уравне-
ние в виде
2 sin 5x-cos 2х = 3 cos 2х, или 2 sin 5x-cos 2х —3 cos 2х=0,
откуда cos 2x^sin 5х—|-)=0.
75
Уравнение cos2x = 0 имеет корни х=-^~, а уравнение
sin 5х=-|- не имеет корней.
Ответ. х=—+—, ngZ. ▲
4'2^
Задача 12. Решить уравнение cos Зх-cos x = cos 2х.
Л Так как cos2x=cos(3x—x)=cos Зх-cos x + sin 3x«sin x,
уравнение примет вид: sin x-sin 3x=0.
1) sinx=0, х=л,2, ngZ;
2) sin 3x=0, x—^-, n£Z.
•J
Заметим, что числа вида лп содержатся среди чисел вида
х=^-, n£Z, так как если n=3k, то ^ = лк. Следовательно,
<5	3
первая серия корней содержится во второй.
Ответ. х=^-, n£Z. ▲
Часто бывает трудно усмотреть, что две серии корней, полу-
ченных при решении тригонометрического уравнения, имеют об-
щую часть. В этих случаях ответ можно оставлять в виде двух
серий. Например, ответ к задаче 12 можно было записать
и так:
х=лп, х=-^-, n£Z.
Задача 13*. Решить уравнение
(tg х+1)(2 cos 2L--7з)=0.
А 1) tgx4-l=0, tgx= — 1, х=—2-+лп, n£Z.
Эти значения х являются корнями исходного уравнения, так
как при этом первая скобка левой части уравнения равна нулю,
а вторая не теряет смысла.
2) 2 cos А—д/3=0, cos-A=3^,	х=±-£-+
'	3 v	3	2	3	6	2
-|-6лп, n£Z.
При этих значениях х вторая скобка левой части исходного
уравнения равна нулю, а первая скобка не имеет смысла. Поэтому
эти значения не являются корнями исходного уравнения.
Ответ. х=——-|-лп, n£Z. ▲
76
Задача 14*. Решить уравнение 6 sin2 х+2 sin2 2х = 5.
Л Выразим sin2 х через cos 2х. Так как cos2x=cos2x—
— sin2 х, то cos2x=(l—sin2x)—sin2 х, cos2x=l—2sin2x, от-
куда sin2 x=-^-(l —cos 2x). Поэтому исходное уравнение можно
записать так:
3 (1 —cos 2х)+2 (1 —cos2 2x)=5j
или 2 cos2 2х-|-3 cos 2х=0, cos 2х (2 cos 2х + 3)=0.
1) cos2x=0, x=-—f--^-, n£Z;
2) уравнение cos2x=—|-корней не имеет.
Ответ. х=——+~^, n£Z. ▲
4	2 v-
Упражнения
Решить уравнение (243—263).
243.	1) sin2x=—;	2) cos2x=—;
4	'	2
3)	2 cos2 х —cos х—1=0;	4)	2 sin2 x+sin x—1 =0;
5)	2 sin2 x + sin x —6 = 0;	6)	2 cos2 x + cos x —6=0.
244.	1)	2 cos2 x —sin x+1 =0;	2)	3 cos" x — sin x— 1 =0;
3)	4sin2x — cos x—1=0;	4)	2 sin2 x+3 cos x=0.
245.	1) tg2x = 2;	2) tgx = ctgx;
3)	tg x + 3 ctg x = 2-\/3;	4) tg2 x —3 tg x—4=0;
5)	tgx—->/3ctgx+l=-\/3;	6) tg2 x —tg x+1 =0.
246.	1) 1+7 cos2 x = 3 sin 2x;	2) 3 + sin 2x=4 sin2 x;
3)	cos 2x+cos2 x+sin x cos x=0;
4)	3 cos 2x + sin2 x + 5 sin x cos x = 0.
247.	1) y/3 cos x+sin x=0;	2) cosx=sinx;
3)	sinx=2cosx;	4) 2 sin x + cos x=0.
248.	1)	sin x — cosx=l;	2)	sin x+cos x=l;
3)	д/З sin x + cos x = 2;	4)	sin Зх + cos Зх=д/2.
249.	1)	cosx=cos3x;	2)	sin5x=sinx;
3)	sin2x=cos3x;	4)	sin x+cos 3x=0.
250.	1)	cos 3x — cos 5x = sin 4x;	2)	sin lx — sinx=cos4x;
3)	cos x + cos 3x = 1 cos	2x;	4)	sin2 x — cos2 x=cos 4x.
77
ства cosx^-i- являются числа х, которые принадлежат про-
межутку -^-^х^-^. Все решения Данного неравенства — мно-
о	О
жество отрезков —4-2лп ^х^—+2лп, ngZ. ▲
3	3
Задача 3. Решить неравенство sin х^ —
Д Ординату, не меньшую--—, имеют все точки дуги М1ММ2
единичной окружности (рис. 32). Поэтому решениями неравен-
ства sinx>—являются числа х, принадлежащие промежут-
JT -И"**	Л Т~»
ку ———. Все решения данного неравенства — множество
отрезков —^-+2лп^х^^-+2лп, n£Z. А
Отметим, что все точки
мой М1М2, имеют ординату,
все числа х£^—
окружности, лежащие ниже пря-
Меньшую —i- (рис. 32). Поэтому
являются решениями неравенства
sin х< —1~. Все решения этого неравенства — интервалы
^+2лп; —М-2ли) , neZ. ▲
Задача 4*. cos — 1) <1 —.
Д Обозначим —1=у. Решая неравенство cosy^—
(рис. 33), находим ^+2лп^у^-^4-2лм, ngZ. Заменяя
У=~%— 1. получаем -у+2лп^-^— 1 ^-^+2лп, откуда 1 4--^+
4-2лп1 -)--^4-2лп, 4 + Зл4-8лп^х^44-5л-|-8лп, n£Z.
Ответ. 4 + Зл + 8лпх4 + 5rt + 8лп, п£Z. ▲
80
Упражнения
Решить неравенство				(264—271		))	1; 4) sinx^l
264.	1) 3) 265.	1) 3) 266.	1) 3) 267.	1)	cos х^-^-;		2)	sin x'	2) 4) 2) 4) 2) 4) >1;	cos x<—",	
	cos X' COS Х5 cos х2 sin х' sin x^ sin x2	w "' v \v и \ v 1 1	~ •&! I				cos x^ — 2	
						cos x< —2;	
						cos x<l — 1.	
						sin x^^; 2	
						sin x> —^. 2	
						3) sinx^ —	
268. 1) 3)	д/2 cos 2x 1; sin^+^j^		£- : 2 ’		2) 4)	2 sin 3x > — 1	2 ’
269*. 1	) cos(	’+2);	>_1_ " 2	»	2)		2 ‘
270**.	1) sin2	x4-2 sin xy.		>0;	2)	cos2 X — cos x<0.	
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
Упростить выражение (271—272).
271. 1)	а) -* tgа;	2) ctg а( 1+sin2“-cos а) .
' \ sin а	/ 2 6	X cos а	/
273. Доказать тождество:
1) 1 +tg «-tg Р= cos(g~P)- ;	2) tga—tg0 =
7	1 ь b cos a-cos p	°	6 r
Вычислить (274—275).
274. 1)
2)
2 sin 6a cos2 (-^"+ 3aj — sin 6a при a =-^;
cos 3a + 2 cos
(n — 3a)- sin2	—1,5a) при
\ 4	<5o
275. 1)
(cos 75° —cos 15°) .
1—2 sin2 15°
2cos2-^-—1
2) -----------2-------
1+8 sin2 4- cos2
О	о
81
27G. Доказать тождество:
1\ 2 sin 2а —sin 4а_.9	о\ 2 cos 2а —sin 4а_,2 ( л	\
2sin2a + sin4a	®	' 2 cos 2а + sin 4а \ 4	/	'
277.	Показать, что:
1)	sin 35° + sin 25° = cos 5°;	2) cos 12° — cos 48° = sin 18°.
278.	Вычислить:
1)	2 arcsin	Ц-3 arcsin (—0 ;
2)	arcsin-!--4 arcsin 1;
^/2
3)	arccos (—0 —arcsin2^;
4)	arccos (—1)—arcsin (—I);
5)	2 arctg 1+3 arctg(—-^0 ;
6)	4 arctg (—l) + 3 arctg-/3-
Решить уравнение (279—288).
279.	1) cos(4-2x)=—0	2) cos(6 + 3x)=	;
3)	V2cos(2x+^-) + l=0;	4) 2cos(0—Зх)-д/3=0.
280.	1) 2 sin (Зх—0 + 1=0;	2) 1 -sin (-*-+-0=0;
3)	3 + 4 sin(2x+l)=0;	4) 5 sin (2x—I) —2=0.
281.	1) (1+-\/2 cos x)(l—4 sin x-cos x)=0;
cos 2x)=0.
2)	f)=+
4) l-tg(x+-0=O.
2) 3sin2x — 5 sin x—2 = 0;
4) 6 cos2 x+7 cos x—3=0.
2) 8cos2x—12sinx+7=0.
2) 2tg2x —tgx — 3=0;
4) tgx+ctgx=2.
2) 4 sin 3x+5 cos 3x=0.
2) 4 sin x+3 cos x=6.
2) cosx=cos3x;
0; 4) sinx-sin5x — sin25x=0.
^;3) cosx<^;4) cosx>—
2)	(1 — v2 cos x) (1 +2 sin 2x
282.	1) tg(2x+-0=-1;
3)	V3-tg(x—0=0;
283.	1) 2 sin2 x + sin x=0;
3)	cos2 x—2 cos x=0;
284.	1) 6sin2x—cosx+6=0;
285.	1) tg2x + 3tgx=0;
3)	tg x—12 ctg x+1 =0;
286.	1) 2 sin 2x = 3 cos 2x;
287.	1) 5 sin x + cos x=5;
288.	1) sin 3x=sin.5x;
3)	cos2 3x — cos 3x • cos 5x
289.	Решить неравенство:
1)	sinx^—^;2) sinx<
82
ПРОВЕРЬ СЕБЯ!
1.	Найти значение выражения:
। +cos 2a.-_Sin_2a_	а=2_л;
cos а cos (0,5л + а)	3
sm z5°+sin 15° arccos / —L \ _|_ arcsin	.
2.	Решить уравнение:
sin Зх-cos x—sin x-cos 3x= 1;
2 cos* 2 * x + 5 cos x = 3;
tg x— 3 ctg x=0;
sin 3x —sin x=0;
2 sin x-}-sin 2x—0.
3.	Решить неравенство:
sinx>~; cosx<0.
290. Упростить выражение:
cos p । sin	1 —cos 4a
, sin a cos az cos (it—P4-a)
Доказать тождество (291—292):
sin (2a — 3 л) 4~ 2 cos (	4- 2a )
291. 1) -------7------г-------------—= -д/3 ctg 2a;
2 cos (y— 2aJ 4—cos (2a—3л)
2) _________4 sin4 («.-1-5")______= _2 cte2 a-
' sin4 (a — 2,5л) 4-cos4 (a 4-2,5л)—1	®
__________—2 cos4 (a —л)_____________ c| 2
cos4 (a — 1,5л) 4- sin4 (a 4-1.5л) — 1
4)
2 cos
cos (4,5л — 2a) 4-2 cos
= ?«
л/з
292. 1)
1 —cos a4-cos 2a  a.
sin 2a —sin a	° ’
, . a
sin a 4- sin -z-
2)-----------
14-cos a4-cos
83
3)	cos За + cos 2а + cos а +1 = 2 COS СС COS ;
. о г а	2	2
cos а+ 2 cos2 —— 1
.2 sin а —sin За + sin 5g 	2 cos 2а
' cos а — 2cos2a + cos3a	, а
tgy
293. Упростить выражение:
t \ 2 (cos а + cos За) .	n\ 1 -psin а — cos 2а —sin За
2 sin 2а-f-sin 4а ’	'	2 sin2 а-р sin а —1
Вычислить (294—295).				
294. 1)	cos ( arccos	;	2)	cos	(arccos -0 ;
3)	sin (arccos ;	4)	sin	(arccos 0 ;
5)	tg (arccos0 ;	6)	!g(	arccos ^0 .
295. 1)	sin (4 arcsin 1);	2)	sin	(3 arcsin 0
3)	cos (5 arcsin ^0 ;	4)	cos	(6 arcsin 1);
5)	tg (2 arcsin 0 ;	6)	te(	4 arcsin 0 .
Решить уравнение (296—303).
296.	1) sin 2*4*2 cos 2*= 1;	2) cos 2*4-3 sin 2*=3.
297.	1) 3 sin2 *4-sin * cos * —2 cos2 *=0;
2)	2 sin2 *4-3 sin * cos *—2cos2*=0.
298.	1) 1 4~ 2 sin *=sin 2* 4-2 cos *;
2)	1 4-3 cos * = sin 2* 4-3 sin *.
299.	1) sin (*+0 4- cos (*4—0 = 14- cos 2*;
2)	sin (x—0 4- cos (*—0 = sin2*.
300.	1) cos3 * sin * — sin3 * cos * =-|-;
2)	sin3 * cos *4-cos3 * sin x=-~~.
301.	1)	sin2 *4-sin2 2*= 1;	2)	sin2 *4*cos2 2*= 1;
3)	sin 4*=6 cos2 2*—4;	4)	2 cos2 3*4-sin 5*=	1.
302.	1)	sin2*—cos * cos 3*=-^-;	2)	sin3*=3sin*;
3)	3 cos 2* — 7sin* = 4;	4)	I 4-cos *4-cos 2*=0;
5)	cos 4* — sin 2* = 1;
6)	5 sin 2*4-4 cos3 *—8 cos *=0.
84
303.	1) sin x 4- cos x= \/2 sin 7x;
2)	sin x-j-sin 2x+sin 3x = 0;
3)	sin x — sin 3x=sin 2x — sin 4x;
4)	cos x — cos 3x = cos 2x — cos 4x.
304**.
305**.
и ..	1 4-cos 2a
Наити значение выражения -------!, если
c‘gT-‘gT
sin a + cos a = m.
3 \ . ,7
a —— nJ — sin’ ( 1
sin6 a + cos6 a — 1
1 — cos'
Доказать, что выражение --------
не зависит от a, если a=/=-^, ngZ.
306**. Пусть a, p и у — внутренние углы треугольника. Дока-
зать, что sin2 a + sin2 p + sin2 у — 2 cos a cos p cos у=2.
Вычислить (307—308).
307*. 1) sin (arcsin -0 ;
3) sin (л — arcsin 40
5) cos (-2— arcsin -0
308*. 1) tg(n-arctg-f-);
3) ctg (y + arctg 3) ;
2) sin^arcsinj у ;
4) sin (л + arcsin-0 ;
6) cos (-£-+arcsin.
2) tg (л + arctg-0 ;
4) ctg (-y— arctg 2) .
Решить уравнение (309—313).
309**.
1)
sin 2x q.
sin x
cos 3x q.
cos x ’
sin x sin 5x= 1;
2) ^-=0;
sin x
5)
sin 5x
0;
3) _cos2z=0;
COS X
6)
2) !
4)
2) 
2)
4)
1)
3) cos x sin 5x = — 1;
311**. 1) 2 cos 3x=3 sin x+cos x;
312**. 1) sin 2x + cos 2x = 2 tg x+1;
313**. 1) cos2 x + cos2 2x=sin2 3x;
2) cos2 x + cos2 2x + cos2 3x =-|-
314**. При каких значениях а уравнение sin4 x + cos4 x=a имеет
корни? Найти эти корни.
315**. Решить неравенство:
1) 2cos2x+sinx—КО;	2) 2 sin2 х—5cosx+l>0.
310**.
cos lx
sin x cos 4x= — 1;
sin x cos 3x = — 1.
cos 3x — cos 2x = sin 3x.
sin 2x — cos 2x = tg x.
85
ГЛАВА IV
У. Томсон
Тригонометрические
функции
Я не мог понять содержания ва-
шей статьи, так как она не
оживлена иксами и игреками.
§ 17. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И МНОЖЕСТВО
ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Вы знаете, что каждому действительному числу х соответ-
ствует единственная точка единичной окружности, получаемая
поворотом точки (1; 0) на угол х радиан. Для этого угла опре-
делены sin х и cos х. Тем самым каждому действительному чис-
лу х поставлены в соответствие числа sin х и cos х, т. е. на мно-
жестве R всех действительных чисел определены функции
y=sin х и y=cos х.
I Таким образом, областью определения функций у = sin я и
y=cosx является множество R всех действительных чисел.
Чтобы найти множество значений функции y = sin х, нужно вы-
яснить, какие значения может принимать у при различных зна-
чениях х, т. е. установить, для каких значений у есть такие зна-
чения х, при которых sinx=y. Известно, что уравнение sinx=a
имеет корни, если |а|	1, и не имеет корней, если |а| > 1.
Томсон Уильям, лорд Кельвин (1824—1907) —-английский физик, прези-
дент Лондонского королевского общества. Дал одну из формулировок второго
начала термодинамики, предложил абсолютную шкалу температур (шкалу
Кельвина).
86
Следовательно, множеством значений функции y = sin х
является отрезок —1=Су^1.
Аналогично множеством значений функции y = cosx также
является отрезок —l^y^l.
Задача 1. Найти область определения функции
sinx + cosx
Л Найдем значения х, при которых выражение ——-----------
не имеет смысла, т. е. значения х, при которых знаменатель равен
нулю. Решая уравнение sin x-J-cos х=0, находим tgx= — 1,
х=—j-4-лп, nQZ. Следовательно, областью определения дан-
ной функции являются все значения х#=—2-4- лп, n£Z. А
Задача 2. Найти множество значений функции
у = 34-sin х cos х.
Л Нужно выяснить, какие значения может принимать у при
различных значениях х, т. е. установить, для каких значений а
уравнение 3-f-sin х cos х—а имеет корни. Применяя формулу
синуса двойного угла, запишем уравнение так: З-f-^-sin 2х = а,
откуда sin2x = 2a— 6. Это уравнение имеет корни, если ]2а—
— 61 1, т. е. если — 1 ^2а — 6^ 1, откуда 5^2а^7, 2,5^а<Г
^3,5. Следовательно, множеством значений данной функции яв-
ляется промежуток 2,5 ^у^ 3,5. ▲
Функция y=tgx определяется формулой у=tg х= Sln * .
Эта функция определена при тех значениях х, для которых
cos х=£0.
Известно, что cosx=0 при х=-2-4-лп, n£Z.
Следовательно, областью определения функции y = tg х яв-
ляется множество чисел х#=-2—|-лн, n£Z.
Так как уравнение tgx=a имеет корни при любом дейст-
вительном значении а, то множеством значений функции y = tg х
является множество R всех действительных чисел.
Функции y=sin х, y = cosx, y=tgx называются тригономет-
рическими функциями.
87
Задача 3. Найти область определения функции
y = sin 3%4-tg 2х.
Л Нужно выяснить, при каких значениях х выражение
sin3x + tg2x имеет смысл. Выражение sin Зх имеет смысл при
любом значении х, а выражение tg 2х — при 2х+=-2—|-лп, n£Z,
т. е. при х=/=-2-+-^у, n£Z. Следовательно, областью опреде-
ления данной функции является множество действительных чисел
+“2"> n^Z. ▲
Задача 4*. Найти множество значений функции
у = 3 sin х + 4 cos х.
Л Выясним, при каких значениях а уравнение 3sinx +
+4cosx=a имеет корни. Поделим уравнение на д/32+42 =5:
4-sin х + 4-cos х=-^~. Так как 0<~<1, то очевидно найдется
ODD	D
такой угол а первой четверти	, что cos а=-|- (этот
угол а = arccos ^-1 . Тогда sin а = 1 — cos ос = 1 — —, откуда
sin а =-|-, так как 0<а<4~. Уравнение примет вид sin х cos а +
5	2
+cos х sin а=-|-, т. е. sin (х + а)=-|-. Это уравнение имеет кор-
ни, если —т. е. — 5^а^5.
5
Ответ. —5^у^5. Л
Упражнения
316.
317.
318.
Найти область определения функции:
1) y=sin2x;	2) y=cos-^-;	3) y = cos—-;
4) y=sin-^-;	5) y = sin-Vx;	6) у=со5д/^-.
Найти множество значений функции:
1) y=l+sinx;	2) у—I—cos х ;
3) y=2 sin x + 3;	4) y = l—4cos2x;
5)	y=sin 2x cos 2x + 2;	6) y=-|-sin x cos x—1.
Найти область определения функции:
>)	2)	3)	4) ^=te5x-
VUO Л	Olli л	О
88
Найти область определения функции (319—320).
319. 1) 4)	y=-\/sin х4-1; у=д/1 —2 sin х	2) ; 5)	у = д/соэх—1; 3) у=-\/2 cos х—1;		
			y = lg sin x;	6) у = In cos X.	
320. 1)	1		11—	2	-
	2 sin2 х — sin х 1	>	“1 У 2 COS X »—	— sin2 x 1	Э
У	.	. „ >	У	з , sin х — sin Зх	cos' х -|- cos X 321. Найти множество значений функции: 1) у = 2 sin2 х — cos 2х;	2) у— 1 — 8 cos2 х sin2 х; ,,— l+8cos2x.	—щ n c:n2 о					
5)	J	4 у— 1 —2 Icos х	1;	ЧП	~ 6) y = sinx-|-sin		G+t)-
322*. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
у = 3 cos 2х—4 sin 2х.
323*. Найти множество значений функции y = sinx— 5cosx.
324**. Найти множество значений функции
у = 10 cos2 х—6 sin х cos х-|-2 sin2 x.
§ 18.	ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ, ПЕРИОДИЧНОСТЬ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Вы знаете, что для любого значения х верны равенства
sin(—х) =—sin х, cos ( — x)=cos х.
Следовательно, y = sin х — нечетная функция, a y = cos х —
четная функция. Так как для любого значения х из области
определения функции y = tg х верно равенство tg ( — х)= —tg х,
то y = tg х — нечетная функция.
Задача 1. Выяснить, является ли функция
y=24-sin х cos^-^-J-x)
четной или нечетной.
Л Используя формулу приведения, запишем данную функцию
так: y=2-|-sin2x. Имеем у(—x)=24-sin2(—х)=2+( — sinx)2 =
= 2 +sin2 х=у (х), т. е. данная функция является четной. ▲
Известно, что для любого значения х верны равенства
sin (х 4* 2л) = sin х, cos (х 4-2 л) = cos х.
Из этих равенств следует, что значения синуса и косинуса
периодически повторяются при изменении аргумента на 2л. Та-
кие функции называются периодическими с периодом 2л.
89
О Функция f (х) называется периодической, если сущест-
. вует такое число Т =# 0, что для любого х из области оп-
ределения этой функции выполняется равенство f (х—7") =
=f(x)=f(x+T).
Число Т называется периодом функции f (х).
Из этого определения следует, что если х принадлежит об-
ласти определения функции f (х), то числа х+Г, х — Т и вообще
числа x-f-TX n£Z, также принадлежат области определения
этой периодической функции и f (х-|- Tn)=f (х), n£Z.
Покажем, что число 2л является наименьшим положи-
тельным периодом функции у — cosx.
О Пусть 7’>0 — период косинуса, т. е. для любого х выпол-
няется равенство cos (х-|-7 )=cos х. Положив х = 0, получим
cos 7 = 1. Отсюда T=2nk, k£Z. Так как 7'>0, то Т может при-
нимать значения 2л, 4л, 6л, ... и поэтому период не может быть
меньше 2л. 9
Можно доказать, что наименьший положительный период
функции у = sin х также равен 2л.
Задача 2. Доказать, что f(x)=sin3x— периодическая
функция с периодом .
Д Если функция f (х) определена на всей числовой оси, то для
того, чтобы убедиться в том, что она является периодической
с периодом Т, достаточно показать, что для любого х верно ра-
венство f (x + T)=f (х). Данная функция определена для всех х£/?,
и f (х+^ =sin 3^х+-у-) =sin (3x-|-2n)=sin 3x=f (х). ▲
Покажем, что функция tg х является периодической с пери-
одом л. Если х принадлежит области определения этой функ-
ции, т. е. х=/=-^-+лп, n£Z, то по формулам приведения полу-
чаем:
tg (х — л) = — tg (л—х)= — ( — tgx)=tgx, tg (x-|-n)=tg х.
Таким образом, tg (х—л)=tg x=tg (х-}-л).
Следовательно, л — период функции tg х.
Покажем, что л — наименьший положительный период
функции tg х.
О Пусть Т — период тангенса, тогда tg (х + Т) = tg х, откуда
при х=0 получаем:
tg Т — О, Т = /гл, k £ Z.
Так как наименьшее целое положительное k равно 1, то л —
наименьший положительный период функции tg х. •
90
Задача 3. Доказать, что tg — периодическая функция
с периодом Зл.
Д Так как tg^=tg(f+n)=lgf. Ig£^_tg(f-
— л) = tg —, то tg — периодическая функция с периодом Зл. ▲
/о	о
Периодическими функциями описываются многие физические
процессы (колебания маятника, вращение планет, переменный
ток и т. д.).
На рисунке 34 изображены графики некоторых периодичес-
ких функций.
Отметим, что на всех последовательных отрезках числовой
прямой, длина которых равна периоду, график периодической
функции имеет один и тот же вид.
Упражнения
Выяснить, является ли данная функция четной или нечетной
(325—326).
325.	1) y=cos3x;	2) y=2sin4x;	3) y=-|-tg2x;
4)	//=xcos-^-;	5) y=xsinx;	6) i/=2sin2x.
326.	1) y=sinx+x;
2)	y=cos(x-^-) —x2;
3)	y=-3—cos ^-2-+x^-sin (л—x);
4)	y=-~-cos 2x sin (-|-л—2x^+3;
5)	y=.siIL*._|_sin x-cos x; 6) y=x2 + [+cosx
91
327.	Доказать, что данная функция является периодической с
периодом 2л:
1)	y=cosx—1;	2) y = sinx+l; 3) y = 3sinx;
4)	У=—5) y = sin(x —-J-) ;	6) у = cos (х4--^).
328.	Доказать, что данная функция является периодической с
периодом Т, если:
1)	y = sin2x, 7’=л;	2) y = cos-|-, T=4n;
3) y = tg2x, Т=^-	4) y=sin^, Т=-|-л.
329. Определить, является ли данная функция четной или не-
четной:
П и— 1-COSX . пх	Vsii?7 . о, COS2X-X* 1 2 .
° У 1+cosx ’	у- 1+COS2X ’ 6> У sin х ’
4) у= x3 * *+.sm 2х 5) y=3cosx. 6) у=х |sin х| sin3 х.
COS X
Найти наименьший положительный период функции (330—
331).
330*. 1) y=cos-|-x; 2) t/ = sin-|-x; 3) y = tg^-;
О	Z	Z
4) y= |sin x|.
331**. 1) t/=sin x-f-cos x; 2) y = sinx-}-tgx.
332**. Пусть функция f (x) определена на всей числовой прямой.
Доказать, что:
1) f (х)4- f (—х) — четная функция;
2) f (х)—[(—х) — нечетная функция.
Используя эти функции, представить f (х) в виде суммы
четной и нечетной функции.
§ 19. ФУНКЦИЯ y=cosx,
ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
Напомним, что функция y = cosx определена на всей число-
вой прямой и множеством ее значений является отрезок [—1; 1].
Следовательно, график этой функции расположен в полосе между
прямыми у= — 1 и у=\.
Так как функция y=cosx периодическая с периодом 2л, то
достаточно построить ее график на каком-нибудь промежутке
длиной 2л, например на отрезке —л^х^л; тогда на проме-
жутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2лп, n£Z,
график будет таким же.
Функция y=cos х является четной. Поэтому ее график симмет-
ричен относительно оси Оу. Для построения графика на отрезке
92
— л^х^л достаточно построить его для О^х^л, а затем сим-
метрично отразить относительно оси Оу.
Прежде чем перейти к построению графика, покажем, что
функция y = cosx убывает на отрезке О^х^л.
О В самом деле, дри повороте точки Р (1; 0) вокруг начала ко-
ординат против часовой стрелки на угол от 0 до л абсцисса точки,
т. е. cos х, уменьшается от 1 до — 1. Поэтому если O^xi <хг^л,
то cos X| 2> cos х2 (рис. 35). Это и означает, что функция y=cos х
убывает на отрезке [0; л]. •
Используя свойство убывания функции y=cosx на отрезке
О^х^л и найдя несколько точек, принадлежащих графику,
построим его на этом отрезке (рис. 36).
Пользуясь свойством четности функции y = cosx, отразим по-
строенный на отрезке [0; л] график симметрично относительно
оси Оу, получим график этой функции на отрезке [—л; л] (рис. 37).
Так как y=cosx — периодическая функция с периодом 2л
и ее график построен на отрезке [—л; л] длиной, равной периоду,
распространим его по всей числовой прямой с помощью сдвигов
на 2л, 4л и т. д. вправо, на —2л, —4л и т. д. влево, т. е. вообще
на 2лп, n£Z (рис. 38).
Рис. 35	Рис. 36
93
Итак, график функции у—cosx построен геометрически на
всей числовой прямой, начиная с построения его части на отрезке
[0; л]. Поэтому свойства функции у — cos х можно получить, опи-
раясь на свойства этой функции на отрезке [0; л]. Например, функ-
ция y=cosx возрастает на отрезке [—л; 0], так как она убы-
вает на отрезке [С; л] и является иетной.
Перечислим основные свойства функции у —cosx-,
1)	Область определения—множество Р всех действительных
чисел.
2)	Множество значений — отрезок [—1; 1].
3)	Функция у — cosx периодическая с периодом 2л.
4)	Функция у = cosx четная.
5)	Функция у — cosx принимает:
—	значение, равное 0, при х—-~|-лп,
—	наибольшее значение, равное 1, при х=2лп, п£%\
—	наименьшее значение, равное —1, при х=л + 2лп, n£Z\
— положительные значения на интервале ( —; -2-) и на
интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на
2ли, п=±1, ±2, ...;
—	отрицательные значения на интервале (-2-; и на ин-
тервалах, получаемых сдвигами этого Иптервала на 2лп,
п Ч~ 1, -4- 2, ... .
6)	Функция у=ccs х:
—	возрастает на отрезке [л; 2л] и на отрезках, получаемых
сдвигами этого отрезка на 2лп, п=±1, ±2, ... ;
—	убывает на отрезке [0; л] и на отрезках, получаемых
сдвигами этого отрезка на 2лп, п=±1, ±2, ... .
Задача 1. Найти все корни уравнения cosx=—i-, при-
надлежащие отрезку —л^х^2л.
Д Построим графики функций y=cos х и у= —|-на данном
отрезке (рис. 39). Эти графики пересекаются в '.рех точках, аб-
сциссы кот >рых Xi, Хг, х3 являются корнями уравнения cos х= —i-.
94
На отрезке [0; л] корнем уравнения cosx=—является число
Xi = arccos (—=-^ - Из рисунка видно, что точки х2 и Xi сим-
метричны относительно оси Оу, т. е. х2 =—Х| = —а х3 =
О
=х2 + 2л=-^+2я=^.
Ответ. х.=^, х2=-^, хз=^. ▲
□	о	о
Задача 2. Найти все решения неравенства cosx>—
принадлежащие отрезку —л^х^2л.
Л Из рисунка 39 видно, что график функции y = cosx лежит
it	1	/ 2л 2лД
выше графика функции у=—— на промежутках ( ——; — J и
z	\	о	«5 /

Ответ.
_2£<х<2п, — <Х^2л. ▲
3	3	3
Упражнения
Пользуясь графиком функции у = cosx, выполнить упраж-
нения (333—338).
333.	(Устно.) Выяснить, при каких значениях х, принадлежащих
отрезку [0; Зл], функция у—cos х принимает:
1)	значение, равное 0; 1; —1;
2)	положительные значения;
3)	отрицательные значения.
334.	(Устно.) Выяснить, возрастает или убывает функция у = cos х
на отрезке:
1)	[Зл; 4л];	2)	[—2л; —л];
3)[2л;-^];	4)	о] ;
5)	[1; 3];	6)	[-2; -1].
335.	Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на
одном из них функция у=cosx возрастала, а на другом
убывала:
|) [f; *].	2) [-t; f];
3)[0;i],	4) [-л; fj.
95
336. Используя свойство возрастания
y = cosx, сравнить числа:
1) cos у и cos-у-;	2)
3) cos(—и cos(—£) ;	4)
5) cos 1 и cos 3;	6)
или убывания функции
cos — и cos —
7	7
cos (—-у) и cos
cos 4 и cos 5.
337. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; Зл]:
1) cosx=y;	2) cosx=^;
3) cosx=—4) cosx =—i-.
338. Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку
[0; Зл]:
1) COSX^S	_1_. 2 ’	2) cos х> —j-;
3) cosx<	2 ’	4) cosx<^. 2
339. Выражая	синус через	косинус по формулам приведения.
сравнить числа:
1)	cos -2- 5	и sin-2-; 5		2)	sin у и		cos у-;
3)		и	sinT;	4)	sin 5	и	COS-22; 5
5)	cos -2- 6	и	sln7?;	6)	COS — 8	и	sin1j-
340. Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку
_2L<r	Зл 
2 ’ :	2 ‘
1) cos2x=y-; 2) cos3x=^.
341. Начти все решения неравенства, принадлежащие проме-
жутку —-2-<х<-^:
1) cos2x<y; 2) cos3x>^.
342*. Построить график функции и выяснить ее свойства:
1) y=l-]-cosx; 2) y — cosx — 2;
3) y=cos2x;	4) j/=3cosx.
343*. Найти множество значений функции y = cosx, если х при-
надлежит промежутку:
344**. Построить график функции:
1) у= |cos х| ;	2) у = 3 —2 cos (х—1).
96
§ 20.	ФУНКЦИЯ y=sinx,
ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
Функция y = sinx определена на всей числовой прямой, яв-
ляется нечетной и периодической с периодом 2л. Ее график можно
построить таким же способом, как и график функции y = cosx,
начиная с построения, например, на отрезке [0; л]. Однако проще
воспользоваться следующей формулой:
sin x = cos (х—у).
Эта формула показывает, что график функции y=sin х можно
получить сдвигом графика функции y=cos х вдоль оси абсцисс
вправо на —- (рис. 40).
График функции y = sinx изображен на рисунке 41.
Кривая, являющаяся графиком функции y = sinx, называется
синусоидой.
Так как график функции y=sinx получается сдвигом гра-
фика функции y=cos х, то свойства функции y=sin х можно по-
лучить из свойств функции y=cosx.
Перечислим основные свойства функции y = sinx:
1)	Область определения — множество R всех действитель-
ных чисел.
2)	Множество значений — отрезок [—1; 1].
3)	Функция y = sinx периодическая с периодом 2л.
4)	Функция y = sinx нечетная.
4 Заказ 41
97
5)	Функция у = sin х принимает:
—	значение, равное 0, при х = лп, n£Z;
—	наибольшее значение, равное 1, при х=-2—|-2лп, n£Z;
—	наименьшее значение, равное — 1, при х= ——+2лп,
n£Z;
—	положительные значения на интервале (0; л) и на
интервалах, получаемых сдвигами этого интервала
на 2лп, п= + 1, ±2, ... ;
—	отрицательные значения на интервале (л; 2л) и на
интервалах, получаемых сдвигами этого интервала
на 2лп, п = ±1, ±2, ... .
6)	Функция y = sin х:
— возрастает на отрезке £—-y-j и на отрезках, по-
лучаемых сдвигами этого отрезка на 2лп, л=±1,
±2, ...;
[л ЗиЛ
—; — и на отрезках, получае-
мых сдвигами этого отрезка на 2лп, п=±1, ±2, ... .
Задача 1. Найти все корни уравнения sinx=-|-, принад-
лежащие отрезку —л^х^2л.
Д Построим графики функций y=sinx и у=-|- на данном
отрезке (рис. 42). Эти графики пересекаются в двух точках, абс-
циссы которых являются корнями уравнения sinx=-i-. На от-
резке —уравнение имеет корень х\ =arcsin — ——.
L х Z J	2	6
Второй корень х2 = л—7-=-^, так как sin (л——^=sin—.
ь ь	\	6 / б
Ответ. Xi =—, х2=—. ▲
6	6
98
Задача 2. Найти все решения неравенства sin х<-^-, при-
надлежащие отрезку — л^х^2л.
Л Из рисунка 42 видно, что график функции у = sin х лежит
ниже графика функции У=-^~ на промежутках £—л;	и
(т.н-
Ответ. —л^л<-2-, Д?<х^2л. ▲
6	6
Упражнения
Пользуясь графиком функции y = sinx, выполнить упражне-
ния (345—350).
345.	(Устно.) Выяснить, при каких значениях х, принадлежащих
отрезку [0; Зл], функция y = sinx принимает:
1)	значение, равное 0; 1; — 1;
2)	положительные значения;
3)	отрицательные значения.
346.	(Устно.) Выяснить, возрастает или убывает функция y = sin х
на промежутке:
3> (-" -f):
5)[2;4i	6) (6; 7).
347.	Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на од-
ном из них функция y=sinx возрастала, а на другом
убывала:
1)	[0; л];	2) [у-; 2л];	3) [-л; 0];	4) [—2л; -л].
348.	Используя свойство возрастания или убывания функции
y = sinx, сравнить числа:
1)	sin и sin ;	2) sin -у* и sin ;
3)	sin ( - а) к sin ( -is) ;	4) sin ( -&) n sin ( -is) ;
5) sin 3 и sin 4;
6) sin 7 и sin 6.
349.	Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; Зл]:
1)	sinx=^;	2) sinx=^;
3)	sinx=—4) sin х — —
'	2 '	2
99
350.	Найти все решения
[0; Зл]:
1)	sin х>-|~;
неравенства, принадлежащие отрезку
2) sinx^^;
4) sinx<—
3) sin х^ —
351.	Выражая косинус через синус по формулам приведения,
сравнить числа:
1)	sin -2- и cos —;	2) sin — и cos — ;
9	9	8	8
3)	sin — и cos —;	4) sin — и cos —.
’	5	14	’	8	10
352.	Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку
1)	sin2x= —	2) sin Зх=^.
2	2
353.	Найти все решения неравенства, принадлежащие проме-
Чтг —	-
жутку —-у^х^л:
1)	sin 2х^—2) sin3x<^.
354.	Построить график функции и выяснить ее свойства:
1)	у=1—sin х;	2) y = 2 + sinx;
3)	y = sin3x,	4) y = 2sinx.
355*. Найти множество значений функции z/ = sinx, если х при-
надлежит промежутку:
356**. Построить график функции:
1) y = sin |х|;	2) y=|sinx|.
357**. Сила переменного электрического тока является функцией,
зависящей от времени, и выражается формулой
J=A sin (©/ +<р),
где А — амплитуда колебания, ш — частота, <р — начальная
фаза. Построить график этой функции, если:
1) Л =2, <0=1, t==y;
2) Л = 1, (о=2, Ф=-^-
100
§ 21. ФУНКЦИЯ y=tgx,
ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
Напомним, что функция y = tgx определена при x=/=-^—j-nn,
n£Z, является нечетной и периодической с периодом п. Поэтому
достаточно построить ее график на промежутке ^0; -у) . Затем,
отразив его симметрично относительно начала координат, полу-
чить график на интервале (—у; -у) . Наконец, используя пе-
риодичность, построить график функции у — tg х на всей области
определения.
Прежде чем строить график функции на промежутке[0; y-J ,
покажем, что на этом промежутке функция y=tgx воз-
растает.
О* Пусть 0<xi<x2<-y. Покажем, что tgxi<tgx2, т. е.
sin Xi	sin х2
COS Xi	cos х2
По условию O^xi <х2<-—-, откуда по свойствам функции
t/ = sinx, имеем O^sin Xi Csin х2, а по свойствам функции
у=cosx имеем cos Xi>cosх2>0, откуда 0<—!—<—!—.
COS Х1 COS Х2
Перемножив неравенства sin Xi <sin х2 и —5—<—-—, получим
cos Xi cos Хг
sin Xi	sin хг ф
COS Xi	COS Х2
Используя свойство возрастания функции y = tgx на про-
межутке 0^х<-у и найдя несколько точек, принадлежащих
графику, построим его на этом промежутке (рис. 43).
Пользуясь свойством нечетности функции y=tgx, отразим
построенный на промежутке |\); -у^ график симметрично относи-
тельно начала координат; получим график этой функции на
интервале (—у; -у) (рис. 44).
Напомним, что при х=±у- функция y = tgx не определена.
Если и х приближается к -у, то sin х приближается к 1,
a cos х, оставаясь положительным, стремится к 0. При этом дробь
"^7=tgx неограниченно возрастает, и поэтому график функции
101
y=tgx приближается к вертикальней прячой х=~^~- Ана ло-
гично при отрицательных значениях х, больших —2- и прибли-
жающихся к —2-, график функции y=tgx приближается к вер-
тикальной прямой х=—
Перейдем к построению графика функции y=tgx на всей об-
ласти определения. Функция y=tg х периодическая с периодом л.
Следовательно, график этой функции получается из ее графика
на интервале (—-у) (рис. 44) сдвигами вдоль оси абсцисс
на лп, nfZ (рис. 45).
102
Итак, весь график функции y = tgx строится с помощью гео-
метрических преобразований его части, построенной на проме-
жутке Jo; -2-) .
Поэтому свойства функции y=tg х можно получить, опираясь
на свойства этой функции на промежутке ^0; -у) . Например,
функция y = tgx возрастает на интервале (—-у) , так как
эта функция возрастает на промежутке |\); -^-) и является не-
четной.
Перечислим основные свойства функции y=tgx:
1)	Область определения — множество всех действительных
чисет х#=-2—|-лп, n£Z.
2)	Множество значений — множество Ц всех действительных
чисел.
3)	Функция y=tgx периодическая с периодом л.
4)	Функция y=tgx нечетная.
5)	Функгия y=tgx принимает:
—	значение, равное 0, при х=лп, n£Z;
—	положительные значения на интервалах
(лп; ]-лп) , n£Z;
—	отрицательные значения на интервалах
(—|-лп; лп) , n£Z.
6)	Функция y=tgx возрастает на интервалах
( —у+ лп; -£-+ лп) , п £ Z.
Задача 1. Найти все корни уравнения tg х=2, принадлежа-
щие отрезку —л^х^п^-.
А Построим графики функций y=tg х и у = 2 на данном от-
резке (рис. 46, а). Эти графики пересекаются в трех точках, абс-
циссы которых хь х2, х3 являются корнями ург нения tgx=2.
На интервале (—|-; -у) уравнение имеет корень Xi = arctg2
Так как функция y=tgx периодическая с периодом л, то х2 =
= arctg2-|-n, x3=arctg2 —л.
Ответ. Xi = arctg2, х2 = arctg 2 + л, x3 = arctg2 —л. 4
103
надлежащие отрезку -лСх<—.
Д Из рисунка 46, а видно, что график функции y = tg х лежит
не выше прямой у=2 на промежутках [—л; х3], (—xij и
(т-; *2] ’ Ответ, —л<х<-л + ап^2, —£-<x^arctg 2,
-^-<x^n4-arctg 2. А
Задача 3. Решить неравенство tg х> 1.
А Построим графики функций y=tgx и у—\ (рис. 46, б).
Рисунок показывает, что график функции j/ = tgx лежит выше
прямой у = 1 на промежутке -у) , а также на промежутках,
полученных сдвигами его на л, 2л, Зл, —л, —2л и т. д.
Ответ. —
4
рлп<х<-2-+^. n£Z. А
104
Тригонометрические функции широко применяются в мате-
матике, физике и технике. Например, многие процессы, такие,
как колебание струны, колебание маятника, напряжение в цепи
переменного тока и т. д., описываются функцией, которая задает-
ся формулой у=А sin (cox-j-cp). Такие процессы называют гар-
моническими колебаниями, а описывающие их функции — гар-
мониками (от греческого harmonikos — соразмерный). График
функции у=А sin (сох + <р) получается из синусоиды y=sinx
сжатием или растяжением ее вдоль координатных осей и сдви-
гом вдоль оси Ох. Обычно гармоническое колебание является
функцией времени: у=А sin (<о^ + <р), где А — амплитуда коле-
бания, со — частота, ср — начальная фаза, — период колебания.
Упражнения
Пользуясь графиком функции y=tgx, выполнить упражне-
ния (358—363).
358.	(Устно.) Выяснить, при каких значениях х из промежутка
— л^х^2л функция у—tgx принимает:
1)	значение, равное 0;
2)	положительные значения;
3)	отрицательные значения.
359.	(Устно.) Выяснить, является ли функция y=tgx возрас-
тающей на промежутке:
'> [t  “• 2> (т “); 3> (-fi f) ; 4) 31
105
360.	Используя свойство возрастания функции y = tgx, сравнить
числа:
l)tgfHtg-=-;	2) tg и tg ;
3)	4> ‘е(-т) ” “К-т)’
5) tg 2 и tg 3;	6) tg 1 и tg 1,5.
361. Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку
(— л; 2л):
1) tgx=l; 2)tgx=-^3; 3)tgx= — ^3; 4)tgx= —1.
362. Найти все решения неравенства, принадлежащие промежут-
ку (— л; 2л):
l)tgx>l; 2)tgx<^; 3)tgx< —1;	4)tgx>—Л/3.
363. Решить неравенство:
l)tgx<l; 2)tgx^A,/3;	3)tgx<—4)tgx> —1.
О
364. Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку
[0; Зл]:
1) tgx = 3;	2) tgx=—2.
365. Решить неравенство:
1) tgx>4; 2)tgx^5;	3)tgx<—4;	4)tgx^—5.
366. Найти все решения неравенства, принадлежащие про-
межутку [0; Зл]:
1) tgx>3; 2)tgx<4; 3)tgx<—4;	4)tgx>—3.
367. Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку
1) tg2x=V3; 2) tg3x= —1.
368. Найти все решения неравенства, принадлежащие про-
межутку ' ——; л) :
1) tg2x<l;	2) tg3x<—л/З.
369*. Построить график функции и выяснить ее свойства:
1) y=tg(*+-f) : 2)y = tgx-2;
3) y=Ytgx; 4) y = tg"2"-
370*. Найти множество значений функции ^=tgx, если х при-
надлежит промежутку:
О [--=; f]  2) (т; т) • 3> <0;	4) [f: т] 
371**. Построить график функции:
1) y = tg|x|; 2) y=|tgx|; 3) y=ctgx; 4) У=^-
372**. Решить неравенство:
1) tg* 1 2 3x<l; 2)tg2x^3; 3)ctgx^—1; 4)ctgx>V§.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
373.	Найти область определения функции:
1)	y = sin x-]-cos х; 2) y=sinx+tg*J
3)	y=^sin х ;	4) у=д/cos х;
ex „__ 2х .	_ COS X
U 2sinx—1 ’	2 sin2 х—sin х
374.	Найти множество значений функции:
1)	у=1 — 2 sin2 х;	2) у=2 cos2 х — 1;
3)	у = 3 — 2 sin2 х;	4) у=2 cos2 х-рб;
5)	y = cos3x-sinx — sin 3x«cos х+4;
6)	у = cos 2х cos х + sin 2х sin х — 3.
375.	Выяснить, является ли данная функция четной или нечетной:
1)	y=x2 + cosx; 2) у=х3 — sin х;
3)	у=(1—х2) cos х; 4) у=(1+sin х) sin х.
376.	Найти наименьший положительный период функции:
1)	y=cos 7х;	2) y=sin-^-.
377.	Найти корни уравнения, принадлежащие промежутку [0; Зл]:
1)	2cosx+^ 3 = 0;	2) д/З—sin x = sin х;
3)	3tgx=^;	4) cos х+1=0.
378.	Найти все решения неравенства, принадлежащие проме-
жутку [—2л; —л]:
1)	1-|-2 cos х^О; 2) 1—2sinx<0;
3)	24~tgx>0;	4) 1—2tgx<0.
379.	Решить графически уравнение:
1)	cosx=xz;	2) sinx=l — х.
ПРОВЕРЬ СЕБЯ!
1.	Найти область определения функции y = tg4x. Является
ли эта функция четной?
2.	Построить схематически график функции y=sinx;
y=cosx на отрезке [—л; 2л]. При каких значениях х
у(х)=1, у(х)= —1, у(х)=0, у(х)>0, у(х)<0, функция
возрастает? убывает?
3.	Построить схематически график функции y=tgx на от-
резке [—г-71’"г-]’ ПРИ каких значениях х tgx = 0,
tgx<0, tgx>0?
4.	Решить неравенство tgx^ — 1.
107
380.	Найти область определения функции:
J) y = tg(2x+-|-) ;	2) y=Vtgx.
381.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1)	y = cos4 х — sin4 х\ 2) y = sin	sin (х—;
3)	у=\—2 |sin3x|; 4) y = sin2x— 2 cos2 х.
382.	Выяснить, является ли данная функция четной или нечетной:
1)	y = sin x + tg х;	2) y = sinxtgx;
3)	y = cos х+ |sin х|;	4) y = sin х |cos х|.
383.	Найти наименьший положительный период функции:
1)	у = 2 sin (2x4-1);	2) y=3tg-£-(*+1).
384.	Решить графически уравнение:
1)	cosx=|x|;	2) sin х= — |х-4-1|.
385.	Найти нули функции:
1)	у = sin2 x + sin х; 2) y=cos2 х —cos х;
3)	у = cos 4х — cos 2х + sin х;
4)	y = cosx— cos2x — sin Зх.
386*. Найти все значения х, при которых функция у =1,5 —
— 2 sin2-^- принимает положительные значения.
387*. Найти все значения х, при которых функция y = tg2x—1
принимает отрицательные значения.
388**. Построить график функции:
I)	(,=2sin(f+f)-2;
2)	y=J-cos(2x-++2;
3)	y = sin х+ |sin х|;
4)	у = cos х—Vcos2 х.
389**. Найти множество значений функции:
1) у = 12 sin х — 5 cos х;
2) y=cos2 х — sin х.
390**. Решить неравенство:
1)	sin x^scos х;
2)	tgx>sinx.
108
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ КУРСА
АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА X КЛАССА
391. Выяснить основные свойства функции и построить ее график:
1) у=3*+1;	2) ^=(А.)Х-3;
3)	y = log2(x+l);	4) y = log1(x— 1).
392. Сравнить числа:
_L	2	2
1)	2,5 7 и 2,50-5;	2) 0,2 3 и 0,2 4 ;
3)	log3.iVIO и log3,i 3;	4) log0.3-|- и log0,3-|-.
393. Какому из промежутков 0<а<1 или а>1 принадлежит
число а, если:
1) а02>1;	2)	а"1,3>1;
3)	п-3-'<1;	4)	а2,7<1;
5) logc 0,2>0;	6)	logol,3>0;
7) loga2,4<0;	8)	loga0,4<0?
Решить уравнение (394—397).
394.	1)	2,43-2х=2,43*-2;	2)
3)	3x+2=-L;	4)
')	(Ж4 =	21
3)	2х-5х=0,1 (10х-2)2;	4)
396.	1)	5х+‘ + 5х+5х-' = 155;	2)
3)	7х-7х-'=6;	4)
397.	1)	32х —3х=72;	2)
^.^=216;
32х—2-32х-‘—2-32х“2=1;
Зх+2 + Зх=10.
4х—2х+‘ = 48.
Решить неравенство (398—399).
398.	1) 3)	2,5I“x>2,5~3x; («4Г'	2) 4)
399.	1) 3)	0,043x-2>52-x; 5x’+3*+i.5<5^5;	2) 4)
0,13х-4>0,132-х;
8х-3< 0,1252х;
0,2х!~6х+7>1.
Вычислить (4®®—401).
400. 1) log27 729;	2) log9 729;
4) logs -f-;	5) log|
3) log2729;
3
6) log S
109
401. 1) 1о£2д/64;	2) log8log4logs 16;	3) 2log’16;
16
4)	3'°«4;	5) 25“log‘2;	6) 64°-SIog>10.
Решить уравнение (402—403).
402.	1) 5 logs x=3 log2 *4-6;
2)	5 logs x—3 log3 9 = 2 log5 x\
3)	(log2x)2 —3 log2x 4-2=0;
4)	(logs x)2 4- 5 = 2 log3 x3.
403.	1) log3(*4-l)4-log3(*4-3)=l;
2)	Ig(l-3x)-lg(x4-5)=lg5;
3)	ln-J-=ln(*4-2);
4)	log3 д/Зх —6— logs д(х —3=1.
Решить неравенство (404—405).
404.	1) logj^Sx—l)>0;
2)	logs(Зх—1)<I;
3)	logo.s (1 4"2x)> 1;
4)	log3 (1 —2x)< — 1.
405.	1) log0,s(x2 —5*4-6)> — 1;
2)	log8 (x2 — 4x4-3)< 1;
3)	logo,5 (3x—4)<log0,5 (x—2);
4)	logo.s (4 —x)>logo,s 2 —logo.s (x — 1).
406.	Решить графически уравнение:
1)	0,5x=2x4-l;	2) 2*=3—x2;	3) log3x=4—x;
4)	log^ x=4x2;	5) 2*=logo,sx;	6) (-0 =log3x.
407.	Вычислить:
1)	2 arctg I — 3 arcsin
2)	8 arccos =^4-6 arctg д/З;
3)	3 arcsin(—0—6 arccos (—0;
4)	12 arctg(—д/З)4-4 arccos
Решить уравнение (408—414).
408.	1) sin2x=^-;
3)	3 cos х —2=0;
409.	1) 3 sin2 x4-2 sin x—8 = 0;
2)	3cos2x—5cosx—12=0;
3)	д/З tg x=24--\/3ctg x;
4)	3 tg2 x—4 tg x 4-5 = 0.
410.	1) (3—4 sin x) (3 ]-4 cos x)=0
2) (24-5 sin x) (3 — 5 cos x)=0
3) (tgx-5)(tgx4-V3)=0;
4) (tgx4-3)(tgx-bl)=0.
411.	1) sin 2x=3 sin x cos2 x;
3)	cos 2x 4- cos2 x=0;
412.	1) cos x-|-cos 2x=0;
3)	sin 3x-|-sin x=2 sin 2x;
413.	1) 2 cos x-|-sin x=0;
3)	-\/3 sin x—cosx=0;
414.	1) sin4 x —cos4 x-|-2 cos2 x=
2)	cos4x — sin4x — sinx=2i
3) sin4x—2sin2x — sinx=<
4)	2sin2x — cos4x=l—sin4
2) cos 3x= —
4) 2 tg x 4-5=0
2) sin4x = sin 2x;
4) sin2x=cos2x.
2) cos x — cos5x=0;
4) sin x4-sin 2x4-sin 3x=0.
2) sin x4--\/3 cos x=0;
4) z2 cos x—2 sin x=0.
cos 2x;
2
:os x;
os4 x;
415.	Упростить выражение:
1)	tgaj-tg p .	2) (sin a-|-cos a)24-(sin a—cos a)2;
ctg a+ctg p	'	/lx	/ >
416.	Используя графики синуса или косинуса, найти все корни
уравнения, принадлежащие промежутку [—л; Зл]:
1)	cosx=—i-;	2)sinx=—
111
417.	Найти область определения функции:
1)	y = 2x + lg (6-Зх);	2) у=3~х—2 In (2х-(-4);
4)y=tgf.
418.	Построить график функции:
1)	у = 2х-1 —3;	2) y = log2(x4-2)4-3;
3)	y=3sinx—2;	4) y = 24-cos2x.
419.	Выяснить, является ли четной или нечетной функция:
1)	у = 2х4-2-х;	2) у=3х-3'х;
3)	У = 1П<Т7;	4) У=11ПЙП-
Решить уравнение (420—422).
420.	1) 4^х=4=64-2^х=4;	2) -д^4х(х-1)-^=^;
3)	7-4х’—9-14х24-2-49х’=0;
4)	5х+44-3-4х+3=4х+* + 4-5х+3.
421.	1) log4(24-V*+3)=l;	2) loS±V*2-2x=
3)	y-log3(x—2)=log3^+l— log3 2;
4)	-|-log3^+ 1)=l°g3V^+4 — 2 l°g3V2.
422.	1) x1+lgx=10x;	2) xlgx=100x;
3)	41+ig*—6'kx_2-32+,bx’=0;
4)	5,+,oe*x4-0,2.51OB-< *=5,2;
5)	log2(17-2x)4-log2(2x4-15)=8;
6)	log2 (3 + 2x)4-log2 (5- 2х)=4.
Решить неравенство (423—425).
423.	1) 3,3**+6х< 1;	2) (А.у-Х*>А.;
3) 163х^7-643 4 5 6 (0,25)-2>0;
X—3
4) 8,4х!+6х+11<1;
5) 22х+1-21.(-|-)	4-2>0;
6) 34-зх_35^	*4-6>0.
112
424. 1) (х2—4) logo,5X>0;
2)	(3x — l)log2x>0;
4) (1 —x2 *) log3 x<0.
425. 1) х,+1еж<0,1-2;
3) x + 3 > log3 (26 + 3х);
2) д/х41йХ<10х;
4) 3 — x < logs (20 + 5х).
Решить систему уравнений
(426—427).
426.
1) |2Х+У=32,
|331/-х = 27;
3) |3Х-2У = 576,
I log^(y-x) = 4;
427. 1) j log4x —log2y = 0,
I x2-5i/2 + 4=0;
2) [3х—22tf=77,
(з7 —2tf=7;
4) f lgx + lgy=4,
I x'e»=1000.
2) | 3х-2"=972,
I logyHx—y)=2;
3)	I -L-J-=2_;
S x I/ 15
U°g3 X + log3 У = 1 + logs 5;
4)	jx2 + y4=16,
I log2x4-2 log2 y = 3.
428.	Между какими целыми числами заключено число:
1)	1g 50;	2) log2 10?
Вычислить (429—431).
429.	1) log4sin-^;	2) log10tg-2-;
3)	log8 sin -|-л;	4) log2cos-i-n;
5)	log2 sin -2—log±tg-2-;
Z	2	’
6)	log3 1 — log4 tg -2- logs COS 0.
430.	1) ctg (arctg д/3);	2) ctg (arctg 1); 3) sin (arctg (—д/3));
4)	sin (arctg -0; 5) cos (arctg 1); 6) cos (arctg ( —д/3)).
431. 1)
3)
5)
cos (б arccos
sin (4 arccos
tg(2 arccos
2) cos (3 arccos -0;
4) sin (5 arccos 0);
6) tg(3 arccos
113
Решить уравнение (432—438).
432.	1)	4 sin* x+sin2 2х = 2;	2)	sin4 -y+cos4 -|-=-|-.
433.	1)	д/3 sin 2x —cos 2x=-^3;	2)	6 sin x+5 cos x=6.
434.	1)	tg3 x + tg2 x—2 tg x —2 = 0;	2)	1 —cos x=tg x —sin x.
435.	1) sin x+sin 2x=cos x+2 cos2 x;
2)	2 cos 2х=д/б (cos x—sin x).
436.	1) 2 —tg2x= , cos.2? ;
’ s l-f-sin2x
cos 2x	।
2)	—--—— =cos x+sin x.
1 — sin 2x
437.	1) 4 sin2 x — 8 sin x cos x+10 cos2 x=3;
2)	3 sin2 x —4 sin x cos x + 5 cos2 x = 2;
3)	2 sin x cos x+5 cos2 x=4;
4)	3 sin2 x — 2 sin x cos x = 1.
438.	1) cos x sin 9x = cos 3x sin 7x;
2)	sin x cos 5x = sin 9x cos 3x;
3)	sinxsin3x=—;
2
4)	cosxcos3x=—
439.	Используя графики тригонометрических функций, найти все
решения неравенства, заключенные в промежутке [—Зл; л]:
1)	2 cos х—д/з<0;	2)	д/2 sin х+1 ^0;
3)	V3 + tgx<0;	4)	3tgx—2>0.
440.	Выяснить, является ли функция четной или нечетной:
1)	y=xsinx;	2)	y=x2cos2x;
3)	y=x+sinx;	4)	y=x+cosx.
441.	Найти наименьший положительный период периодической
функции:
1)	у=cos Эх;	2) y=sin-^-;
3)	y=tg5x;	4) y=sinx+tgx.
442.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1)	y = sin2x—-\/3cos2x;	2) у=2 cos 2x + sin2 х.
443.	Решить графически уравнение:
1)	cosx=3x—1;	2)	sinx=0,5x3;
3)	cosx=^x;	4)	cosx=xa.
444.	Построить график функции:
1)	y=|cosx|;	2)	y=|sinx|;
3)	У= Itgх|;	4)	y = sin |х|.
114
Упростить выражение (445
cos 4g — cos 2a .
sin 3a sin a *
4 sin2 a — sin2 2a	.
4 — 4 sin2 a — sin2 2a	’
д/2 —cos x —sin x .
sin x — cos x
445. 1)
446. 1)
447. 1)
447).
qx 14-cos a + cos 2rt-;-cos 3a
f cos a + 2 cos2 a— 1
o\ tg22a tg2a—1
9	tg2a—tg22a	’
n\ 1 -|-cos x+sin x + tg x
' sin x+cos x
448*. Вычислить:
3 sin2 a+ 12 sin a cos a+cos2 a если tg a=2’
'	sin2 a + sin a cos a —2 cos2 a	’
2)	sina-cosa если ctga==J_.
sin a —cos a	4
Доказать тождество (449—450).
440» i\ 1~2sin2g _ 1—tg <x .
 ' l+sin2a 1 + tga ’
n, , l л ।	\ 1+sin 2a .
2) tg(-+a)= cos2g-.
3) l-sin2a_ = ctg2 (-H-
' 1+sin 2a S \ 4	/
41	1 —it (»-tg2g)L.
’ 4 sin2 a • cos2 a	4 tg2 a
450*. 1) 14-cosx+cos2x+cos3x=4cos-|~cosx«cos~x;
2)	4sinx-sin(-2—sin(-|-+x) = sin 3x;
3)	cos f cos f cosf=f;
.. о c to sin 24x
4)	cos 3x cos 6x cos 12x= . „—.
'	R Qin
451*. Найти область определения функции: _______
1) у=V'°go,8 (х2 — 5х 4- 7);	2) у=д logo,5 (х2—9);
3) y=^pogo.7^|;	4) y=V’ogo.4(x-x2).
452**. Доказать, что sin (arccos х)=-71«—х2, cos (arcsin х)=
=л/1 —х2 при — 1гСх<1. Вычислить:
1) cos(arcsin J;	2) sin(arccos(—^-)).
453**. Доказать, что при — 1<х<1 сумма arcsin х +arccos х=
= С, где С — постоянная; найти С.
Решить уравнение (454—456).
454**. 1) 165i"Sx+16coslj[=10;
2) (л/з+л/8)х+(л/3-л/8)х=34.
115
455**. 1) tg хф-ctg 2x=2 ctg 4x;
2)  sni4x	=-^2 (sin x + cos x).
•Ч-т)
456**. 1) sin3x l c°s 3-f _	2	.
cos 2x sin 2x sin 3x ’
2) tg 2x 4- ctg x=8 cos2 x.
457**. Решить систему уравнений:
1) (2Х-8~У=2^2,
I ,оё9-7+0’5==4-1о&з9у:
2) ( 3,og'2=y,o8=»i
< 9log,3___ylogrx
458**.
Решить неравенство:
1) x,g’x-3,ex+1>1000;
3) 4х+2х-4
5) 3 sin х>2 cos2 х;
2)
4)
6)
31ех+2<3'вх2+5—2;
2х-1-!	9.
2х+' + 1	’
sin2 х+2 sin х>0.
459**. Нарисовать эскиз графика функции:
t/=arccosx;
у= 1x4-31 — |х
у = arcsin х;	2)
У=—4—;	4)
sm х
у= |х- 11 + |х + 2|;	6)
1)
3)
5)
ГЛАВАV
Производная
и ее применения
§ 22. ПРОИЗВОДНАЯ
У каждого человека есть опреде-
ленный кругозор. Когда этот
кругозор сужается до бесконеч-
ности малого, то он обращается
в точку. Тогда человек и гово-
рит, что это есть его точка зре-
НИЯ'	Д. Гильберт
Задача 1. На станции метро расстояние от тормозной отмет-
ки до остановки первого вагона равно 80 м. С какой скоростью
поезд метро должен подойти к тормозной отметке, если дальше
он двигается равнозамедленно с ускорением 1,6 м/с2?
Л Для решения задачи нужно найти скорость движения
поезда в момент прохождения тормозной отметки, т. е. мгновенную
скорость в этот момент времени. Тормозной путь вычисляется по
формуле s = ^-, где а — ускорение, t — время торможения. В дан-
ном случае s=80, а=1,6, поэтому 80=0,8/2, откуда (=10 с.
По формуле v—at находим мгновенную скорость v = 1,6 -10=
= 16, т. е. п=16 м/с. ▲
От мгновенной скорости зависит решение многих практических
задач. Например, от скорости вхождения в воду спортсмена,
прыгающего с вышки, зависит глубина его погружения; от скорос-
ти запуска спутника зависит выход его на заданную орбиту. При
нахождении мгновенной скорости используется средняя скорость
движения за малый промежуток времени. Рассмотрим, как связа-
ны между собой средняя и мгновенная скорости движения.
Гильберт Давид (1862—1943)—немецкий математик. Труды Гильберта
оказали большое влияние на развитие многих разделов математики (теория
чисел, математическая логика, дифференциальное и интегральное исчисления,
математическая физика и др.).
117
Пусть точка движется вдоль прямой и за время t от начала
движения проходит путь s (/), т. е. задана функция s (/).
Зафиксируем какой-нибудь момент времени t и рассмотрим
промежуток времени от t до t-\-h, где h — малое число. За время
от t до /Ч-ft точка прошла путь длиной
Средняя скорость движения точки за этот промежуток времени
равна отношению
+ —s(t)
с₽	h
Из курса физики известно, что при уменьшении h это отношение
приближается к некоторому числу, которое называется мгновенной
скоростью в момент времени t и обозначается v (/). Число v (f)
называют пределом данного отношения при h, стремящемся к ну-
лю, и записывают так:
v lim	.
h-o h
Это равенство означает, что отношение	(0 можно
h
рассматривать как приближенное значение мгновенной скорости
v (/). Если h, уменьшаясь, стремится к нулю, то погрешность при-
ближения становится сколь угодно малой, т. е. также стремится
к нулю.
Например, если s(t)=3t2, то
..	^s(t+h)-s(f)	= 3(t+ft)2-3f8 = б^+ЗЙ2 _, о,
с₽ ft	h	h VL-f-on.
Если h -* 0, то 6/-|-3/i -> Gt, т. е. иср -> v (/)=6/.
Отношение	называют разностным отношением, а
его предел при й О называют производной функции s (f) и обо-
значают s'(/) (читается: «Эс штрих от тэ>).
Вообще пусть функция f (х) определена на некотором про-
межутке, х — точка этого промежутка и число Л=#0 такое, что
x-f-Л также принадлежит данному промежутку. Тогда предел
разностного отношения	f W ПрИ й -> О (если этот пре-
д
дел существует) называется производной функций f (х) в точ-
ке х и обозначается f' (х) (читается: «Эф штрих от икс>.).
Таким образом,
f' (x)=lim №+h)—.
Л-.0	П
U)
118
Отметим, что в формуле (1) число й, где й=/=0, может быть как
положительным, так и отрицательным, при этом число х-}-й
должно принадлежать промежутку, на котором определена функ-
ция f (х).
Если функция f (х) имеет производную в точке х, то эта функция
называется дифференцируемой в этой точке. Если функция f (х)
имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то
говорят, что эта функция имеет производную на этом промежутке.
Операция нахождения производной называется дифференциро-
ванием.
Задача 2. Найти производную функции f(x)—х2.
Л Составим разностное отношение:
Нх+й)—f (х) _ (х+ftj8—хг _ 2xh+h2
ft	ft	ft	'
Если h -► 0, to 2х-|-й -► 2x, поэтому lim f	=
л —о ft
=iim (2х4-Л)=2х. Следовательно, (x2)' = 2x. ▲
Л-»0
Задача 3. Найти производную функции f (х)=х3.
Л Найдем сначала разность f (x-j-й)—f (х)=(х-}-й)3 — х3 =
=х3 + Зх2й + Зхй2 -ф й3—х3 = h (Зх2 + Зхй + й2).
Составим теперь разностное отношение:
Hx+ft)-£W = ft(3x»+3xft+ft^ =3х2 + 3хЛ + /12
Если й -► 0, то й2 -► 0 и Зхй -► 0, поэтому Зх2 + Зхй 4* й2 Зх2.
Следовательно, lim f W  =3х2, т. е. (х3)'=Зх2. ▲
л -►о h
Задача 4. Найти производную функции f(x)=C, где С —
заданное число.
д f(x+ft)-f(x) = С^С =0
Так как разностное отношение равно нулю при любом й =/= 0, т. е.
его значение не меняется при й -► 0, то предел этого отношения
также равен нулю. Таким образом, производная постоянной равна
нулю: (С)' = 0. ▲
Задача 5. Найти производную линейной функции f(x)=
= йх-|-й.
f(x+ft) —f (х) _ fe(x + ft)+fe — (fex-f-ft) _ kh
ft	ft	ft
119
-Так как разностное отношение равно k при любом й=/=0, то
и предел этого отношения при h -> 0 также равен k. Следовательно,
(kx-\-b)' = k. ▲
Применяя формулу
(kx-\-by = k,
например, получаем (Зх-|-7)' = 3; (— 2х + 1)' =—2; (5х)' = 5;
(х)' = 1.
Изучение теории пределов не входит в программу средней
школы. Поэтому мы не рассматриваем строгое определение преде-
ла разностного отношения и его свойства. По эт°й же причине
в курсе математики средней школы некоторые формулы для
производных строго не доказываются или вообще принимаются без
доказательства.
При нахождении производных простейших функций мы пользу-
емся наглядными представлениями. Например, мы считаем нагляд-
но понятным, что если й -> 0, то и 5й -> 0, й2 -► 0, 5— Зй -> 5 и т. п.
Упражнения
460.	Используя определение производной, найти f' (х), если:
1)	f(x)=3x+2;	2) f(x) = 5x + 7;
3)	f(x)=3x2 —5х;	4) f(x)=-3x2-f-2.
461.	С помощью формулы (йх + й)' = k найти производную функ-
ции:
1)	f(x)=2x;	2) f(x)=4x;
3)	f(x)=— 7х+5;	4) f(x)=—Ex—7.
462.	Точка движется по закону s(l)=14~31. Найти среднюю
скорость движения за промежуток времени:
1)	от 1 = 1 до 1=4;	2) от 1=0,8 до 1 = 1.
463.	Найти мгновенную скорость движения точки, если:
1)	s(l)=2l + l; 2) s(l)=2 —31.
464.	Закон движения задан формулой $ (1)=0,2514-2. Найти:
1)	среднюю скорость движения от 1=4 до 1 = 8;
2)	скорость движения в моменты 1=4 и 1=8.
465.	Найти мгновенную скорость движения точки, если закон ее
движения s (1) задан формулой:
1)	s(0=v/2;	2) s(0=512.
466.	Определить скорость тела, движущегося по закону s (1)=
= 12 + 2 в момент времени:
1) 1 = 5;	2) /-=10.
120
§ 23. ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ
Задача 1. Доказать, что (-0 =—
Л Пусть f (х)=-^-, х#=0. Тогда
! (x+h)-f (х)=^ —L=A=feta. — д ,
f(x+h) — f(x) =	1
h	(x+li)x
Если h -► 0, то x-\-h^»-x, и поэтому знаменатель дроби стре-
мится кх2. Следовательно, f' (х)= —у- - При этом предполагалось,
что если х>0, то и х+Л>0, а если х<0, то й x+/i<0.
Таким образом, формула (—) = —справедлива при
х=#0. ▲	х
Задача 2. Доказать, что (д/х)'=77^ 
Л Пусть f(x)=Vx, х>0, х + й>0. Составим разностное
отношение:
f (x + ft) — f (х) __ Ух-рЛ—Ух
h	h
Умножим числитель и знаменатель на сумму д/х+Л+V*- Полу-
чим:
f (x+ft)—f(x) _ (Vx+h—Ух)(-Ух+/г+т/х)	_
h	h (тД+Л+У^)
(x-p/t)—x ____ h 1
h (-vx-p/i + Ух)	h (-yjx+h + Ух)	Ух+Л+Ух
Если h 0, то -Ух + /г стремится к Vx, поэтому знаменатель
последней дроби стремится к 2-\/х. Следовательно, f' (х)=—.
Таким образом, формула (д/х)' =—справедлива при
2 Ух
х>0. ▲
Итак, в этом и предыдущем параграфе получены следующие
формулы для производных:
(С)' = 0; (х)' = 1, (х2)'=2х;
(л>)-=3х>; (Х)'= -X. х^О; 1^)'=^. х>0.
121
Четыре последние формулы являются формулами производной
степенной функции f (х) = хр для р=2; 3; — 1; у-. Их можно запи-
сать так:
4	±_.
(х2)'=2х2 *, (х3)'=Зх3 ’, (х *)'=(— 1)х~‘_|, (х )'=-L-x2 .
Вообще справедлива формула производной степенной функции для
любого действительного показателя:
(хр)'=рхр-‘.
(1)
Эта формула справедлива при тех значениях х, при которых
правая часть формулы (1) имеет смысл.
Например, (х5)'=5х4; (х3)'=-^х 3; (х2)'=-|-х2;
(х^=^-*.
Задача 3. Вычислить f' (9), если / (х)=— .
-1 _3
А Г(х)=(х 2)'=~±х 2;Г(9)=—i-9 2 = -А-. ▲
А	2	54
Пользуясь формулами (хр)' = рхр_ 1 и (fex+b)' = k, можно найти
производные степенной и линейной функции, например (х7)' = 7х6,
(Зх—1)' = 3. В более сложных случаях, например при нахождении
производной функции (Зх — f)7, можно воспользоваться следующей
формулой:
OI
((/гх+й)р)'=р/!(Лх + 6)р-1.
(2)
Применяя формулу (2) при А = 3, b= — 1, р=7, получаем
((Зх—1)7)'=21 (Зх—I)6.
Задача 4. Вычислить f' ( — 3), если f (х)=-\/4—7х.
А Запишем данную функцию так: f (х)=( —7х-|-4)2. По фор-
__i_
муле (2) находим f (х)= —^-( —7х + 4) 2. При х= —3 получаем
Г (-3)=-^-25" 2 = -0,7. ▲
122
Задача 5*. Доказать, что fl/x)' =—-— на промежутке:
I) х>0; 2) х<0.
А 1) Если х>0, то д^х=х3 и по формуле (1) получаем
(W=vx 3
о
1
3^’
2) Если х<0, то \[х= —V(—х)= —(—*)3 и по формуле (2)
получаем (Vx)' = (-l)~(—l)( — x) 3=
3	3 V(—X)
1
з^х7
Упражнения
Найти производную функции (467—472).			
467.	1) х6;	2) х7;	3) х“;		4) х*3.
468.	1) х“2;	2) х"3;	3) х“4;		4) х“7.
469.	1) х2;	2) х3;	3) х”;		4) хА
470.	1) Д; 2) Д; 3)	4)	»	5) -Д; 6)
471.	1) (4х —З)2;	2) (5x4-2)“3;	3)	(1— 2х)“в;
	4) (2 —5х)4;	5) (2х)3;	6)	(-5Х)4.
472.	1) V2*4-7;	2) V7—Зх;	3)	^Зх;	4)
473.	Найти f' (х0), если: 1) Цх)=х6, х0=у-;	2)	f(x)—x~2, х0 = 3;
	3) f (х)=д/х, х0 = 4;	4)	f (х)=^/х, х0 = 8;
	5) /(х)=д/5—4х, х0 = 1;	6)	f(x)=—i==-, Хо = л/Зх+1
474.	Найти производную функции 1) 	!	•	2) 	?	• 7 (2-ЬЗх)2 ’	7 (3 —2х)3 ’	3)	V(3x-2)2;
	4)V(3-I4x)2;	5) — V3X —7	6)	I V(l-2x)2
475. При каких значениях, х производная функции f (х) равна 1,
если:
1) f(x)=x3;	2) f(x>V^?
476. Найти мгновенную скорость тела, движущегося по закону
s(0=VH-T, в момент времени /=3.
477*. Найти производную функции:
1) 16х4;	2) 4х2-Ы2х+&
123
§ 24. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
При вычислении производной полезными являются следующие
правила дифференцирования:
О
1. Производная суммы равна сумме производных:
(f (*)+g (x))'=f' (x)+g' (x).
(1)
Подробно это свойство производной формулируется так: если
каждая из функций f (х) и g (х) имеет производную, то их сумма
также имеет производную и справедлива формула (1).
О* Обозначим f (x)+g(x)=F (х). Тогда F (х+й)— F (х)=
—f (х + ^)—f (x)+g	— g (x). Поэтому разностное отношение
равно
F(x + ft) —F(x) _ f (x+ft)—f(x)  g(x + fe) —g(x)
h	h "T h
При h -> 0 первая дробь в правой части имеет предел, равный
f (х), вторая дробь имеет предел, равный g' (х). Поэтому левая
часть имеет предел, равный F' (x)=fr (x)+g' (х), т. е. справедливо
равенство (1).
Аналогично доказывается, что производная суммы несколь-
ких функций равна сумме производных этих функций; производ-
ная разности равна разности производных.
Задача 1. Найти производную функции:
1)	f (х)=х3-х2+х-3;
2)	f(x)=^—L .
Vх
Д 1) Г(х)=(х3)'-(х2)'+(х)'-(3)'=Зх2-2х4-1.
1	_1	__1	1
2)	Г(х)=(х2)'-(х 2)' = ^-х 2+1-х 2.А
2. Постоянный множитель можно вынести за знак
производной:
(cf(x)Y = cf'(x).
(2)
О* Обозначим cf (x)=F(x), тогда
F(x-|-F)-F(x) = c{(x+h)-cfM = f(x + h)-fM
h	h	h
откуда при получаем F' (x)=cf' (x). •
124
Задача 2. Вычислить f' ( — 2), если f (х)=-^-х5 — 3x3-f-
+ 7х— 17.
Л Г W=(^5)'-(Зх3)' + (7х)'-(17)' =4-(х5)'-3 (х3)' + 7(х)' =
=-|-х4 —9х2 + 7; f'(—2)=-|-(—2)4—9(—2)2+7=—9. ▲
Приведем без доказательства формулы производной произве-
дения и частного.
О
3.	Производная произведения:
(f W • g W)'=Г (*) • g W+f W • g' W-
(3)
Задача 3. Проверить справедливость формулы (3), если
f (х)=3х2— 5, g (x)=2x-f-7.
Л В левой части формулы (3) получаем (f (х) • g (х))' =	а
= ((Зх2 — 5) (2х + 7))' = (6х3 + 2lx2 — 1 Ох — 35)' = 18х2 + 42х — 10.
В правой части формулы (3) получаем f' (x)-g (x)-|-f (x)-g'(x)=
==(Зх2 - 5)' • (2x + 7)+(Зх2 - 5) • (2x+7)'=6x (2x + 7)+(Зхй -5)2 =
= 18x2 + 42x—10. ▲
Задача 4. Найти значения x, при которых значение произ-
водной функции f (х) = (х—1)9(х + 2)ь равно нулю.
Л По формуле (3) получаем /'(х)=9 (х—1)8(х-|-2)6 +
+ 6 (х- I)9 (х + 2)5 = 3 (х- I)8 (хф-2)5 (Зх + 6 + 2х—2)=
= 3(х-1)8(х + 2)5 (5x4-4).
Решая уравнение 3 (х — 1 )8 (х4-2)5 (5х4-4) = 0,	находим:
f' (х) = 0 при Xi = 1, х2 = — 2, х3= —0,8. ▲
4.	Производная частного:
( Ш V = f'W-gW-Hx)-g'(x)
VgW/	g2W
(4)
Задача 5. Найти производную функции F (х)=-^,^ -.
Л Обозначим x3 = f(x), x24-l=g(x)- По формуле (4) нахо-
дим:
/?/	(х3)'(х2 + 1) —х3 (х2+1)'
(х2+1)2
Зх2(х2+1)-х32х _ х«-|-Зхг
(х2+1)2	(х2+1)2 ’
125
Задача 6. Найти значения х, при которых значение произ-
___1
х2 + 3
водной функции f (х)
: 1) положительно; 2) отрицательно.
А
По формуле (4) получаем f' (х)
1) Решая неравенство 2	2 >0,
(* +3)
х<0.
2) Решая неравенство	<0,
х>0. ▲
— 2х
(Х2 + 3)2 •
находим: f' (х)>0 при
находим: f' (х)<0 при
Упражнения
Найти производную функции (478—480).
478.	1) х2 + х;	2) х2-х;	3) Зх2;	4) -17х2;
5)	— 4х3;	6) 0,5х3;	7) 13х24-26;	8) 8х2—16.
479.	1) Зх2-5x4-6;	2) 5х24-6х-7;	3) х44-2х2;
4)	х5 — Зх2;	5) х34-5х;	6) — 2х3-|-18х;
7)	2х3-Зх24-6х4-1;	8) -Зх3+2х2 —х-5.
480.	1) х2+^г;	2) х34-^-;	3) 2\[х-^[х-, 4) З^х4-7'4/х.
481.	Найти f' (0) и f’ (2), если:
1)	f(x)=x2-2x4-1;	2)	f(x)=x3 —2х;
3)	f(х)=—х34-х2;	4)	/(х)=х24-х-|-1.
482.	Найти f' (3) и f' (1), если:
1)	Нх)=^+4;	2)	f(x)=V^4-^+l;
х х	3*3^
3)	4;	4) /(х)=х2-х~2.
-ух *
483. Найти значения х, при которых значение производной функ-
ции f (х) равно 0, если:
1) f(x)=x3 —2х;	2) f (х)= —х24-Зх-Ь1;
3) f (х)=2х3-|-Зх2—12х—3;	4) f (х)=х3 + 2х2-7х4-1;
5) f (х)=3х4 — 4х3 — 12Х2;	6) f (х)=х44-4х3 — 8х2—5.
484. Найти производную функции:
1) (х—2)2-х3; 2) (х2 —х)(х3-|-х); 3) (х4-2)-^/х;
4) (х—l)Vx.
485. Найти f' (1), если:
1) f(x)=(x-l)8(2-x)7;	2) / (х)=(2х —1)5(14-х)4;
3) f (х)=д/2^Ь(3-2х)8;	4) f (х)=(5х-4)6-^=2.
486. При каких значениях х значение производной функции
у=(х—З)5 (2 4- 5х)6 равно 0?
487. Найти производную функции:
1 \ X5 -р X3 -р X .	-^х -р -X2 -pl
7	х4-1	’	>	х-1	•
126
488. Найти f'(I), если:
1) fW
2х—1 .
2x4-1 ’
3} f(x)
2)
4)
_2х —3 .
5 — 4х ’
Найти производную функции (489—492).
489. 1) 490. 1) 3)	X44-х34-81 . 2) X34-х24-It х2	»	х (х4-2) ^х-,	’ • з) хУх4-х24-3 . 4) 2)^ 4> (^+^)	хУЁ4-Зх-|-18
491. 1)	(2х-3)5(Зх24-2х4-1);	2) (х-1)4(х4-1)7;	
3)	V3x4-2 (Зх- I)4;	4) V2*4-l-(2x-3)3.	
492. I)	2 х2—3x4-1 .	9) Зх24-2х—1 ,	
	х+1	’	1	2x4-1	’	
3)	2х  1 . I -х2	х ’	-Jx	2—х	
493. Выяснить, при каких значениях х производная функции
494.
принимает положительные значения:
1) f (х)=х4-4х2-(-1;	2) f (x)=3r*—4Х3—I2x2-f-3;
3) f(x)=(x + 2)2-\fc	4) f(x)=(x-3)^-
Выяснить, при каких значениях х производная функции
принимает отрицательные значения:
1) (5 —Зх)4 (Зх—I)3;	2) (2х — З)2 (3 — 2х)3;
3) 3^_1_	4)
1 1—2х ’	7 1—Зх
495. Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от
времени t по закону ф(/)=0,И2—0,5/4-0,2. Найти угловую
скорость (в рад/с) вращения тела в момент времени / = 20 с.
496*. Тело, масса которого т=5 кг, движется прямолинейно по
закону s = 1 —/-Н2 (где s измеряется в метрах, t — в секун-
дах). Найти кинетическую энергию тела через 10 с после
начала движения.
497**. В тонком неоднородном стержне длиной 25 см его масса
(в г) распределена по закону щ = 2/2-|-3/, где / — длина
стержня, отсчитываемая от его начала. Найти линейную
плотность в точке: 1) отстоящей от начала стержня на 3 см;
2) в конце стержня.
498**. Найти производную функции f (х) = ^х2— 5х-|-6 при х<2
и при х>3.
127
§ 25. ПРОИЗВОДНЫЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ФУНКЦИЙ
Элементарными функциями называют степенную, показатель-
ную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их
различные комбинации. При решении многих практических задач
часто приходится находить производные таких функций.
Например, напряжение в цепи переменного тока выражается
формулой U \t)=A sin (<о/ + <р); для нахождения силы тока 1(f)
нужно уметь находить производную U' (t), так как /(/)=£/'(/).
1. Производная показательной функции
Показательная функция f (х)=ах, где а>0, а=/=1, определена
на всей числовой прямой и имеет производную ri каждой ее точке.
Любую показательную функцию можно выразить через показа-
тельную функцию с основанием е по формуле
а* = е*1па	(!)
так как exIno=(elno)x = ax. В курсе высшей математики доказывает-
ся, что функция ех обладает замечательным свойством: ее произ
водная также равна ех, т. е.
A I	(?у=7	(2)
Можно также доказать, что
(ekx+by = kekx+b.
(3)
Например, (е3*+')'=Зе3*+‘; (е~2х~У = -2е~2х~\
Задача 1. Найти производную функции ах, где а>0, а#= 1.
А Используя формулы (1) и (3), находим (аху =(ех|п0)' =
= 1п а-ех|па=1п а-ах. ▲
Итак,
(аху = ах In а.	(4)
Например, (3*)'=3Х In 3, (0,7*)'=0,7* In 0,7.
2*. Производная логарифмической функции
Логарифмическую функцию logax с любым основанием а>0,
а=/=1 можно выразить через логарифмическую функцию с основа-
нием е с помощью формулы перехода
!оёах=^.	(5)
128
Производная функции In х выражается формулой
(6)
Справедлива также формула
(In (kx + b)Y=^.	(7)
Например, (In (4х-3))'=-*-, (In (1-2х))'=—|-=-А-.
О	1 —• ZA	Za — 1
Задача 2. Найти производную функции logaх, где а>0,
1.
Л Используя формулы (5) и (6), находим:
(loga х)'=(г^)	(1ПХ)' =-Г-
46	\1п а / In a v ' xln а
Итак,
(logax)'=-r— .
46 7	л In a
(8)
Например, (log3 х)'=—J—, (lgx)'=—J—.
A 111 О	A 111 1U
3.	Производные тригонометрических функций
Покажем, как можно вывести формулу производной синуса.
Обозначим f(x)=sinx, составим разностное отношение
f(x + h) — f (х)   sin (x+/i)—sin x
h ~	h	~~
„ . h ( , h\ . h
2 sin — cos ( x+—J	sin-	,	.
=------------—•-----= —-—cos(x+—). Если /i —» О, to
Л	h	\	2/
T
x+-^—> x и cos ^x+-0 cos x. Можно доказать, что
. ft
sm у
—------► 1 при h -> 0. В этом можно наглядно убедиться с помощью
Т
5 Заказ 41*	129
микрокалькулятора. Например, при h=0,5; 0,1; 0,01; 0,001 дробь
. h
sinT
—-— принимает соответственно значения:
~2
0,9896158;	0,99958336;	0,9999984;	0,99999994.
Таким образом, (sin x)' = cos х.
Аналогично можно убедиться в том, что (cosx)' =—sin х.
Итак, справедливы формулы
(sin х)' = cos х, (cos х)' = — sin х.
(9)
Справедливы также формулы
(sin (kx-\-b))' — k cos (kx-{-b), (cos (fcx4-6))'= — k sin (fex + fe). (10)
Например, sin(-|-x—1 )=-~-cos(-|-x—1), cos(3 —4x)=
= — ( —4) sin (3 —4x)=4 sin (3 —4x).
Задача 3. Найти производную функции tg х.
Л Используя правило дифференцирования частного и фор-
,,	/ sin х	(sin х)' cos x — sin x (cos xY
мулы (9), находим (tg x)	=E-J---------------------
__ cos2 x4~sin2 x _	1
COS2 X	COS2 X
4. Применение правил дифференцирования
и формул для производных к решению задач
Приведем сводную таблицу.
(f (х)+g (х))' = г (х)+ (х). (cf (х))' = cf' (х),
(/ (X) g W = f (X) g (x) + f (X) g' (X), (Ш Y ^rWgW-fWg^x)
(xY)'=pxp-'.	(lnx)'=^,
(аж)'=ах In a, (log“ x)'=7]^ •
(sin x)'=cos x, (cos x)'= — sin x.
130
Задача 4. Найти производную функции:
1) f (x)=sin (2%+ 1)—3cos(l—х);
2) f (х)=е-3х sin (5х—1);
3)
X I 1
A 1) f' (x)=2 cos (2x-f-1)—3 sin (1—x);
2) /' (x)= — 3e-3x sin (5x— l)+5e~3x cos (5x— 1);
3)
(x-|-1)—1-In 3x
f'^=3X (xW
x 4-1 —x In 3x
x(x+l)2
Задача 5*. Найти значения x, при которых значение произ-
водной функции f(x)=x2 — 2 In х равно нулю; положительно; от-
рицательно.
Л Найдем производную f (х)=2х——=-	.
Заметим, что равенство (х2 —2 In х)' = 2х—— справедливо при
тех значениях х, при которых обе его части имеют смысл, т. е.
при х>0.
Выражение 2 (х ~ равно нулю при Xi.2= ± 1, положительно
на промежутках —1<х<0их>1, отрицательно на промежутках
х< — 1 и 0<х< 1.
Так как х>0, то (х)=0 только при х=1; f' (х)>0 при х> 1,
f' (х)<0 при 0<х<1. ▲
Упражнения
Найти производную функции (499—507).
499.	1)	е*4-1;	2)	ех+х2;
	3)	е2х+—; X	4)е	“3x+Vx. •х | ,	
500.	1)	е2х+,Ч-2х3;	2)	е2	1;
	3)	е0.3х + 2_|__1_ . -у[х	4)	е'-х + х“3.
501.	1)	2х+ех;	2)	3х—х-2;
	3)	е2х—х;	4)	e3x + 2x2.
502.	1)	0,5х+е3х;	2)	3х—е2х;
	3)	e2-x+Vx;	4)	е3-х+к-
131
503.	1) 2 In х 4-3х;
3)	log2x+^;
504.	1) sinx4~x2;
3)	cosx + e';
505.	1) sin(2x—1);
3)	cos (1 — x);
506.	1) cos —l)+e3x;
3)	-i-sin 2х+д/2х;
507.	1)	2) ——
e”	sin x
2) 31nx —2х;
4) Зх-3 — log3x.
2) cos x—1;
4) sin x —2х.
2) cos (x 4-2);
4) sin (3—x).
2) sin (-*-+ 3) + 2х;
\ 0	/
4) 3 cos 4x—-7-
'	2x
3) In x-cos 3x;	4) log3x-sin2x.
508.	Найти значение производной функции f (х) в точке х0:
1)	f (х)=е2х-44-2 In х, х0 = 2;
2)	f (х)=е3х-2 — In (Зх— 1), Хо=-|-;
3)	f (х)=2х — log2x, х0=1;
4)	f W=logo,5X — 3х, х0=1.
509.	Выяснить, при каких значениях х значение производной
функции f (х) равно 0:
1)	f(x)=x — cos х;	2)	f (x)=-i-x — sin х;
3)	f (x)=2 In (x4-3)—x;	4)	f (x)=ln (x-|- l)-2x;
5)	f (x)=x24-2x-12 Inx;	6)	f (x)=x2-6x-8 In x.
510.	Выяснить, при каких значениях	х значение производной
функции f (х) положительно:
1)	f(x)=ex—х;	2) f (х)=х In 2 — 2х;
3)	f(x)=ex-x2;	4) / (х)=ех--^х.
Найти производную функции (511 515).
511.	I)	2) -J±=Z-2ln^
V 0	0	vo	0
1— х	2—X
3)	2e~4-3cos-^£;	4) Зе 3 —2sin-^..
512.	1) 5sin^-4A/^?;	2) ^yZT-3cos^
/---- 3 —Sx	. ---- X-4
3> 6Veif+4e ’ ;	41 2ЛН^~5£ 5
513.	1) 0,5x-cos2x:	2) 5^/x-e~x-,
3)	In (1 —3x)-sin x;	4) e3-2x-cos (3 —2x).
132
514.	1) 1+cos<; 2)	3) -e-~-	4) - 5“	.
sinx	3+1	cos 2x — 5	' sin 3x+7
515.	1) e*~e~x ;	2)	;
' x	7	In 2-x ’
3) sin x —cos x .	1—sin 2x
x	sin x — cos x
516.	Выяснить, при каких значениях х значение производной
функции f (х) равно 0:
1)	f W=5 (sin х — cos х)+д/2 cos 5x;
2)	f (x)= 1 —5 cos 2x4-2 (sin x—cos x) —2x.
517*. Найти значения производной функции f (х) в точках, в кото-
рых значение этой функции равно нулю-
1) f (х)=е2х In (2х—1);
2) f(x)
Sin X— COS X
sin x
518*. Вычислить f'(x)4-f (x)4-2, если f(x)=xsin2x, х—л.
519*. Найти значения x, при которых значение производной
функции f (х) равно нулю; положительно; отрицательно:
1) f (х)=х— 1п х; 2) f(x)=xlnx;
3)	f(x)=x2lnx; 4) f (х)=х3 — 3 In х.
520**. Найти производную функции In (х2 — 5x4-6) при х<2 и
при х>3.
§ 26. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Напомним, что графиком линейной функции y=kx-{-b являет-
ся прямая (рис. 47). Число ft = tg а называют угловым коэффици-
ентом прямой, а угол а — углом между этой прямой и осью Ох.
Если & >0, то0<а<;-2- (рис. 47, а); в этом случае функция
y = kx-\-b возрастает и говорят, что прямая направлена вверх.
Если k<zO, то —(рис. 47, б); в этом случае
функция y=kx-\-b убывает и говорят, что прямая направлена
вниз.
133
Выясним геометрический смысл производной дифференцируе-
мой функции y=f(x).
Пусть точки А и М принадлежат графику функции y=f(x)
(рис. 48). Если точка А неподвижна, а точка М движется по графи-
ку, приближаясь к точке А, то прямая AM приближается к некото-
рой предельной прямой АВ (рис. 48). Эту прямую АВ называют
касательной к графику функции y=f(x) в точке А.
Пусть х и хф-Л — абсциссы точек А и М (рис. 49), тогда их
ординаты равны f (х) и f (х-)-Л). Из треугольника АСМ (рис. 49)
имеем tg Z-CAM=-^- или
6	АС
tg Z. САМ = M+V-fW .	(1)
Если число х фиксировано, a h 0, то точка А неподвижна, а точ-
ка М, двигаясь по графику, стремится к точке А. При этом пря-
мая AM стремится к касательной АВ, угол САМ стремится к уг-
лу а, и поэтому левая часть формулы (1) стремится к tg а. Правая
часть формулы (1) при h -* 0 стремится к f' (х). Таким образом,
из формулы (1) при h -> 0 получаем:
О
/'(*)=tg а.
(2)
Итак, геометрический смысл производной состоит в том,
что значение производной функции в точке равно угловому
коэффициенту касательной к графику функции в этой
точке.
Задача 1. Найти угол между касательной к графику функ-
ции y = sinx в точке (0; 0) и осью Ох.
Л Найдем угловой коэффициент касательной к кривой
у = sin х в точке (0; 0), т. е. значение производной этой функции
при х = 0.
134
Производная функции f (x)=sin х равна f' (x)=cos х. По фор-
муле (2) находим tg a—f' (0)=cos 0 = 1, откуда a = arctg 1 =
(рис. 50). ▲
Отметим, что это свойство полезно для построения графика
y = sin х: в точке (0; 0) синусоида касается прямой у=х (рис. 50).
Задача 2. Найти угол между касательной к параболе у=х2
в точке (1; 1) и осью Ох и написать уравнение этой касательной.
Д Производная функции f (х)=х* равна f' (х)=2х. По форму-
ле (2) находим tg a=f' (1)=2-1 =2, откуда a = arctg 2 (рис. 51).
Найдем теперь уравнение касательной АВ к параболе у=х2
в точке А (1; 1) (рис. 51). Если y = kx-j-b — уравнение прямой АВ,
то & = tga = 2, т. е. уравнение касательной имеет вид у — 2х-\-Ь.
Подставляя в это уравнение координаты точки (1; 1), получаем
1 =2-1 +Ь, откуда b = — 1. Следовательно, у=2х — 1 —уравне-
ние искомой касательной. ▲
Аналогично тому, как это сделано в задаче 2, выведем уравне-
ние касательной к графику дифференцируемой функции y=f(x)
в точке (х0; f (хо)) (рис. 52).
Если y = kx-]-b — искомое уравнение, то по формуле (2) нахо-
дим /s=tg a=f' (хо), т. е. уравнение касательной имеет вид
135
y—f' (xo)x-J-Ь. Подставляя в это уравнение координаты точки
(хо; f (х0У), получаем f (x0)=f' (х0) х0 + Ь, откуда b=f(x0)—f' (х0)х0.
Итак, уравнение касательной y=f (хо) x-f-f (хо)—f' (хо) хо или
У — f (*o) + f' (x0) (x — x0).
(3)
ИЛИ £/ =
Задача 3. Найти уравнение касательной к графику функции
y = cosx в точке с абсциссой Хо=-г-.
а	6
Л Значения функции f(x)=cosx и ее производной в точке
хо=-£- равны: f (x0)=cos . Г (-*о)= —sin — = —Ис-
пользуя формулу (3), найдем искомое уравнение касательной:
т/з
У=2
Касательная к графику функции y = cosx в точке
изображена на рисунке 53.
Задача 4*. Показать, что касательная к параболе у = х2
в точке с абсциссой х0 пересекает ось Ох в точке
Л Пусть f(x)=x2, тогда f' (х)=2х, f(xo) = Xo и f' (х0)=2х0.
По формуле (3) находим уравнение касательной:
У=хо + 2х0 (х — х0)=2х0х — Хо.
Найдем точку пересечения этой касательной с осью абсцисс.
Из равенства 2х0х — Хо=О находим х=у-. А
136
Отсюда следует простой геометрический способ построения ка-
сательной к параболе у=х1 2 в точке А с абсциссой х0: прямая,
проходящая через точку А и точку оси абсцисс, касается пара-
болы в точке А (рис. 54).
Построив касательную к параболе, можно построить ее фокус F.
Напомним, что фокусом является точка, в которую нужно помес-
тить источник света, чтобы все лучи, отраженные от параболичес-
кого зеркала, были параллельны оси симметрии параболы. Для
построения фокуса F нужно построить прямую АВ, параллельную
оси Оу, и прямую AF, образующую с касательной такой же угол,
как и прямая АВ (рис. 55).
Упражнения
521. Найти значения k и Ь, если прямая y—kx-\-b проходит через
точку (х0; Уо) и образует с осью Ох угол а
1) а=~~, х0 = 2, у0=-3;	2)а=^-, х0=-3, у0=2;
3) а=—2-,х0=1, Уо=1;	4) а =—р хь= —1,у0= —1.
522. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции
y=:f(x) в точке с абсциссой хо-
1) f(x)=x3> хь=1;
3) f (x)=ln х, х0 = 1;
2) f(x)=sinx, x0=-j-
4) f (х)=ех, x0 = ln 3.
523. Найти угол между касательной к графику функции y—f(x)
в точке с абсциссой х0 и осью Ох:
1) Нх)=у-х3, *о=1;
3) f (х)=2 ^с, х0 = 3;
Зх-Ц
5)	2 . Jto = 0;
2) fW=V Хо==1’
4) f(x)=±|, х0=3;
6) f (x)=ln(2x+l), х0 = 2.
524. Написать уравнение касательной к графику функции у=[ (х)
в точке с абсциссой х0:
1) f(x)=x2 + x+l, х0 = 1;
3) Г(х)=А х0=3;
5) f(x)=sinx, х0 — ~у
7) f (х)=1п х, х0 = 1;
2) f(x)=x—Зх2, х0=2;
4) f(x)=±-, х0=—2;
6) f(x)—e\ хо=О;
8) /(x)=V*« Хо=1.
137
525. Написать уравнение касательной к графику функции y—f (х)
в точке с абсциссой х=0:
1) f(x)=x-2V^+T;	2) f(x)=x+-J-;
Л 1
3) f (x)=e2x4-sin х; 4) f (x)=sin 2х — In (хф-1).
526. Найти угол между осью Оу и касательной к графику функции
y=f(x) в точке с абсциссой х=0:
1) f(x)=x + e-x;	2) f(x)=cosx; ,
3) f (x)=x2 + sin х; 4) f (х)=д/х+1 4-е2.
527*. Под каким углом пересекаются графики! функций (углом
между кривыми в точке их пересечения называют угол
между касательными к этим кривым в этой точке):
1)	у —8—х и y — i^x+4-,
2)	y=Y(x+1)2 и У=Т(х-1)2;
3)	у = 1п (14-х) и t/ = ln (1 — х);
4)	у — е* и у=е~х?
528*. Показать, что графики двух данных функций имеют одну
общую точку и в этой точке — общую касательную; написать
уравнение этой касательной:
1) y=xi и у=х6 + 2х2;	2) у=х4 и у=х3 —Зх2;
3) у=(х+2)2 и у=2 — х2;	4) у=х(2+х) и у=х(2 —х).
529*. Найти точки графика функции y=f (х), в которых касатель-
ная к этому графику параллельна прямой y=kx:
1) f(x)=ex + e-\	2) f(x)=A/3^+T, fe=-|-;
3) f (x)=sin2x, k=2;	4) f (x)=x + sinx, k=0.
x I 2
530**. В каких точках касательная к графику функции у=-	
образует с осью Ох угол, равный —^-?
531**. Найти точки, в которых касательные к кривым f(x)=x3 —
—х—1 и g (х)=3х2—4x4-1 параллельны. Написать уравне-
ния этих касательных.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
Найти производную функции (532—536).
532. 1) 2х4— х34-Зх4-4;	2) — х54-2х3 — Зх2 — 1;
3) 6VJ+y; 4) J—8A/J;	5) (2х+3)*;
6) (4—Зх)7;	7) W=2;	8) —1=.
138
533. 1) ех— sinx; 2) cosx—In х; 3) sin x—^x\
4) 6x4—9ex; 5) -^+4ex;
6) Д-+4~1пх.
ОЛ	z
534.
535.
536.
1)
3)
1)
4)
1)
sin 5x+cos (2x — 3);	2)
sin (x—3)—In (1 —2x);	4)
x2 cos x;	2) x3 In x; 3)
x sin 2x;	5) e~x sin x; 6)
x3+1 . n\ x2 . o\ sin x ,
x2 + 2 ’	Jt’ + l *	' x-H ’
e2x —In 3x;
6 sin ——e'~3x.
3
5xex;
ex cos x.
4) lnjc
' l-x 
537. Найти значения x, при которых значение производной функ-
ции f (х) равно нулю; положительно; отрицательно:
1) f(x)=2x3—х2;	2) f (х)= — Зх3+2х2+4;
3) / (х)=х5 —5х3 —20х;	4) f (х)=(х-ЬЗ)3 (х-4)2;
5)	iW=^;	6)
л z	х
538.	Найти значение производной функции f (х) в точке х0, если:
1)	f W=cos х sin х, Хо=-^-;	2) f (х) = ех In х, х0 = 1;
3>	*°=f>	4)	Хо=О.
539.	Написать уравнение касательной к графику функции в точке
с абсциссой хо:
1)	у=х2 — 2х, х0=3;	2) у=х34-Зх, х0 = 3;
3) y=sinx, *о=-£-;	4) y = cosx, х0=-2-.
о	о
540.	Закон движения тела задан формулой s (/)=0,5/2 +3/4-2
(s — в метрах, t — в секундах). Какой путь пройден телом
за 4 с? Какова скорость движения в этот, момент времени?
ПРОВЕРЬ СЕБЯ!
1.	Найти значение производной функции f (х)=Зх34-4х — 1
в точке х=3.
2.	Найти производную функции:
-^-4-2д/х—ех; (Зх —5)4; 3 sin 2x*cosx; —
3.	Найти угловой коэффициент касательной к графику функ-
ции y=cos Зх в точке с абсциссой х0=-т-.
6
4.	Найти угол между касательной к графику функции
У=х4 —2х34-3 в точке с абсциссой хо=-^- и осью Ох.
139
Найти производную функции (541—542).
541.	1)	y = cos2 Зх;	2)	y=sin2 »	2
	3)	y = sin x-cos х+х;	4)	у = (х34-1) cos 2х;
	5)	y=(x4-i) V*5;	6)	y=Vx—1 (х4 — 1).
542.	1)	_ 1 —cos 2х У 1 + cos 2х ’	2)	s	4х
	3)	„ — Х	4)		 sin x + cos х V sin х — cos х
		л/*+2		
543. Найти значения х, при которых значение производной функ-
ции f (х) равно нулю; положительно; отрицательно:
1) f (х)=2х + 2-х;	2) f (х)=32х—2х In 3;
3) f (x)=x+ln 2х;	4) f (х)=х4-1п (2х+1);
5)	f(x)=6x—х-\/х;	6) f (х)=(х4“ 1)V*+1 —Зх.
544.	Найти все значения а, при которых f' (х)^0 для всех действи-
тельных значений х, если f (х)=х34-Зх2-|-ах.
545.	Найти все значения а, при которых f' (х)<0 для всех действи-
тельных значений х, если f (х)=ах3—6х2—х.
546.	Найти все значения а, при которых уравнение f' (х)=0 не
имеет действительных корней, если:
1)	f(x)=ax2-^-;	2) f(x)=ax4-y-;
3)	f (х)=ах3-|-Зх24-6х;	4) f (х)—х2+Ьх2 + ах.
547.	Найти все значения а, при которых неравенство f' (х)<0
не имеет действительных решений, если:
1)	f (x)=cix74-x3-1;	2) f (х)=х54-ах34-3;
3)	f(x)=(x+a)V^;	4) f(x)=x-|-A
548.	Под каким углом пересекаются графики функций:
1)	у=2д/х и у=2 д/6 —х;
2)	у—^2х-\-\ и у=1?
549.	Написать уравнение касательной к графику функции в точке
с абсциссой Хо:
1)	у = 2 sin-р х0=^-;	2) y = 2-x-2“2x, х0=2;
3) У—ХЛ2 . *о=2;	4) у=х4-1п х, Хо=е.
*5 — X
140
550*. Найти уравнения касательных к графику функции у =
=-|-х3—|-х2, параллельных прямой у — бх.
551*. Прямая касается гиперболы у=— в точке (1;4). Найти
площадь треугольника, ограниченного этой касательной и
осями координат.
552**. Прямая касается гиперболы у=—, где k>0, в точке с
абсциссой х0.
1) Доказать, что площадь треугольника, ограниченного этой
касательной и осями координат, не зависит от положения
точки касания; найти эту площадь.
2) Доказать, что эта касательная проходит через точки
(х0; —) и (2х0; 0).
ГЛАВА VI
Применение
производной
Теория без практики мертва или
бесплодна: практика без теории не-
возможна или пагубна. Для теории
нужны знания, для практики, сверх
всего того,—и умение.
А. Н. Крылов
§ 27.	ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ
Производная широко используется для исследования функций,
т. е. для изучения различных свойств функций. Например, с по-
мощью производной можно находить промежутки возрастания и
убывания функции, ее наибольшие и наименьшие значения.
Рассмотрим применение производной к нахождению промежут-
ков возрастания и убывания функций.
Пусть значения производной функции y=f(x) положительны
на некотором промежутке, т. е. f (х)>0. Тогда угловой коэффици-
ент касательной tga=f'(x) к графику этой функции в каждой
точке данного промежутка положителен; это означает, что каса-
тельная к графику функции направлена вверх и поэтому график
функции на этом промежутке «поднимается», т. е. функция f (х)
возрастает (рис. 56).
Если f' (х)<0 на некотором промежутке, то угловой коэффици-
ент касательной tg a=f' (х) к графику функции y=f(x) отрицате-
лен. Это означает, что касательная к графику функции направлена
вниз и поэтому график функции на этом промежутке «опускается»,
т. е. функция f (х) убывает (рис. 57).
Крылов Алексей Николаевич (1863—1945) — советский математик, механик
и кораблестроитель, академик. Основные исследования относятся к теории
корабля, строительной механике, теории дифференциальных уравнений и истории
науки.
142
УЛ
Ь Итак, если f' (х)>0 на промежутке, то функция f (х)
В возрастает на этом промежутке.
Если f' (х)<0 на промежутке, то функция f (х) убывает
на этом промежутке.
Строгое доказательство этого утверждения выходит за рамки
школьного курса математики.
Задача 1. Доказать, что функция
f(x)=x4-X
возрастает на промежутке х> 1.
А Найдем производную; f'(х)=1—~1. Если х>1,
то —— >0, т. е. /' (х)>0 при х> 1, и поэтому данная функция
возрастает на промежутке х>1. ▲
Промежутки возрастания и убывания функции часто называют
промежутками монотонности этой функции.
Задача 2. Найти интервалы мо-
нотонности функции f(x) = x* 3—Зх2.
Л Найдем производную: f (х)=
=Зх2 — 6х. Решая неравенство /' (х) > О,
т. е. неравенство Зх2—6х>0, находим
интервалы возрастания: х<0, х>2.
Решая неравенство f' (х)<0, т. е. не-
равенство Зх2 — 6х<0, находим интер-
вал убывания: 0<х<2. ▲
График функции у=х3— Зх2 изобра-
жен на рисунке 58. Из этого рисунка
видно, что функция у = х3— Зх2 воз-
растает не только на интервалах х<0их>2, но и на промежут-
ках х<0 их>2; убывает не только на интервале 0<х<2, но и
на отрезке 0^х^2.
Упражнения
553.	Доказать, что функция f (х)=х2-}--|- возрастает на проме-
жутке х>1, убывает на промежутках х<0 и 0<х<1.
Найти интервалы возрастания и убывания функции (554—558).
554.	1) у=х2—х;	2) у = 5х2 — Зх—1;
3)	у=х24-2х;	4) у=х2+ 12х- 100.
555.	1) у=х3 —Зх; 2) у=х4 —2х2;
3)	у = 2х3 —Зх2 —36х+40;
4)	У=х3 —6х2+9.
556-	У=^	2)
3)	у — —д/х —3;	4)	у = 1 -f-З д/х —5.
557.	1)	У=^;	2)	у=	;
3)	у=(х—1)е3х;	4)	у=х-е~3х.
558*. 1) у = х — sin 2х;	2)	у = Зх + 2 cos Зх.
559**. При каких значениях а функция возрастает на всей число-
вой прямой:
1) у — х3— ах;	2) у = ах — sin х?
§ 28. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ
На рисунке 58 изображен график функции у=х3 — Зх2. Рас-
смотрим окрестность точки х=0, т. е. некоторый интервал, содер-
жащий эту точку. Как видно из рисунка, существует такая окрест-
ность точки х=0, что наибольшее значение функция х3 — Зх2 в этой
окрестности принимает в точке х=0. Например, на интервале
(— 1; 1) наибольшее значение, равное 0, функция принимает в точ-
ке х = 0. Точку х = 0 называют точкой максимума этой функции.
Аналогично точку х = 2 называют точкой минимума функции
х3 — Зх2, так как значение функции в этой точке не больше ее значе-
ния в любой точке некоторой окрестности точки х = 2, например
окрестности (1,5; 2,5).
О Точка х0 называется точкой максимума функции f (х),
если существует такая окрестность точки Хо, что для всех х
из этой окрестности выполняется неравенство
f(x)<f(x0).
Например, точка хо = 0 является точкой максимума функции
|(х)==1— х2, так как f (0)=1 и при всех значениях х верно нера-
венство f(x)<l (рис. 59).
О Точка хо называется точкой минимума функции f (х),
если существует такая окрестность точки Хо, что для всех х
из этой окрестности выполняется неравенство
f(x)>f(xo).
Например, точка Хо = 2 является точкой минимума функции
f (л)=3+(х —2)2, так как f (2)=3 и f (х)>3 при всех х (рис. 60).
О Точки минимума и точки максимума называются точ-
ками экстремума.
Рассмотрим функцию f (х), которая определена в некоторой
окрестности точки хо и имеет производную в этой точке.
145
О Если хо — точка экстремума дифференцируемой функ-
ции f (х), то f' (Хо)=О.
Это утверждение называют теоремой Ферма*.
Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: в точ-
ке экстремума касательная параллельна оси абсцисс и поэтому
ее угловой коэффициент f' (х0) равен нулю (рис. 61).
Например, функция f (х)= 1 —х2 (рис. 59) имеет в точке хо=0
максимум, ее производная f' (х)= — 2х, f' (0)=0. Функция f (х)=
=(х—2)2-|-3 имеет минимум в точке Хо=2 (рис. 60), f' (х)=
= 2(х —2), Г (2)=0.
Отметим, что если f' (хс)=0, то этого недостаточно, чтобы ут-
верждать, что Хо обязательно точка экстремума функции f (х).
Например, если f(x)=x3, то f' (0)=0. Однако точка х = 0 не
является точкой экстремума, так как функция х3 возрастает на
всей числовой оси (рис. 62).
Итак, точки экстремума дифференцируемой функции нужно
искать только среди корней уравнения f' (х)=0, но не всегда корень
этого уравнения является точкой экстремума. Точки, в которых
производная функции равна нулю, называют стационарными.
Таким образом, для того чтобы точка Хо была точкой экстрему-
ма, необходимо, чтобы она была стационарной точкой.
Приведем достаточные условия того, что стационарная точка
является точкой экстремума, т. е. условия, при выполнении кото-
рых стационарная точка есть точка максимума или минимума
функции.
Если производная левее стационарной точки положительна,
а правее — отрицательна, т. е. при переходе через эту точку
производная меняет знак с « + » на « — », то эта стационарная
точка является точкой максимума (рис. 63).
* Ферма Пьер (1601—1665)—французский математик, один из основопо-
ложников теории чисел и математического анализа.
146
Действительно, в этом случае левее стационарной точки функ-
ция возрастает, а правее убывает, т. е. данная точка есть точка
максимума.
Если при переходе через стационарную точку производная
меняет знак с « — » на « + », то эта стационарная точка является
точкой минимума (рис. 64).
Если при переходе через стационарную точку производная
не меняет знак, т. е. слева и справа от стационарной точки
производная положительна или отрицательна, то эта точка не
является точкой экстремума.
Задача 1. Найти точки экстремума функции f (х)=
=х4—4х3.
Л Найдем производную: f (х)=4х3— 12х2=4х2 (х — 3). Най-
дем стационарные точки: 4х2 (х—3)=0, Х|=0, х2=3.
Методом интервалов устанавливаем, что производная f' (х)=
=4х2(х—3) положительна при х>3, отрицательна при х<0 и
при 0<х<3.
Так как при переходе через точку xi=0 знак производной не
меняется, то эта точка не является точкой экстремума.
При переходе через точку х2 = 3 производная меняет знак
с « —» на « + ». Поэтому х2=3 — точка минимума. ▲
Эскиз графика функции у—х*—4х3 изображен на рисунке 65.
Задача 2. Найти точки экстре-
мума функции f (х)=х3—х и значе-
ния функции в этих точках.
Л Производная равна f' (х)=
—Зх2— 1 =з(х-|--^) (х—-^.При-
равнивая производную к нулю, на-
ходим две стационарные точки:
Xi = —р и х2=-р. При переходе
-уЗ	-уЗ
через точку х\ =—производная
меняет знак с « + » на « — ». Поэтому
147
Xi =—— точка максимума. При переходе через точку х2=-^
производная меняет знак с «—» на « + », поэтому Х2—-^~ —
точка минимума.
Значение функции в точке* максимума равно	=
=—-—, в точке минимума [(—}=--------—
Зд/з	'л/3/	3^3
Упражнения
560.	Найти стационарные точки функции:
1)	* 1 2) У=2х3-15х2 + 36х-
3)	у — е2х — Чех\	4) y = sinx—cos х.
561.	Найти точки экстремума функции:
1)	у=2х2-20х+1;	2) у=.3х2 + 36х—1;
3)	у=т+т;	4)
562.	Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:
1)	у=х3 — Зх2;	2) у=х4 —8х2 + 3;
3)	y=x + sinx;	4) y = 2cosx + x.
563. Найти точки экстремума функции: 6
1) у=х+д/3—х; 2) у=(х—I)7;
3) у—х — sin 2х;	4) y = cos3x —Зх.
564*. Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:
п „= (2-х)3 .	2) ц=^-*3+2х2 .
4 У (3-х)2 ’	' У (х-1)2 ’
3) у=(х—1)е3х;	4) y=sin х-ф-i-sin 2х.
565**. Исследовать на экстремум функцию у = (х+ 1)" е~х, n£N
(п — натуральное число).
§ 29. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ПОСТРОЕНИЮ
ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
Если график функции на некотором промежутке представляет
собой непрерывную линию, т. е. линию, которую можно провести,
не отрывая карандаша от листа бумаги, то эту функцию называют
непрерывной на этом промежутке (рис. 66). Существуют также
функции, которые не являются непрерывными. Например, иа ри-
сунке 67 изображен график функции, которая непрерывна на
промежутках [а; с] и (с; Ь], но разрывна в точке х=с и потому не
148
является непрерывной на всем отрезке [а; Ь]. Все функции, которые
изучаются в школьном курсе математики, являются непрерывными
на каждом промежутке, на котором они определены.
I Отметим, что если функция имеет производную на некотором
промежутке, то она непрерывна на этом промежутке.
Обратное утверждение неверно. Функция, непрерывная на про-
межутке, может не иметь производную в некоторых точках этого
промежутка. Например, функция y=|log2x| непрерывна на про-
межутке х>0, но не имеет производной в точке х=1, так как в
этой точке график функции не имеет касательной (рис. 68).
Перейдем к построению графиков с помощью производной.
Задача 1. Построить график функции f (х)=х3 — 2х2+х.
Л Эта функция определена при всех x£R. С помощью произ-
водной найдем промежутки монотонности этой функции и ее точ-
ки экстремума. Производная равна f' (х)=3х2—Найдем
стационарные точки: Зх2 — 4x4- 1=0, откуда Х|=-|-, х2=1.
Для определения знака производной разложим квадратный
трехчлен Зх2 — 4х4~ 1 на множители: f'(x)=3^x—^(х—1).
Производная положительна на промежутках и х>1;
следовательно, на этих промежутках функция возрастает.
При -|-<х<1 производная отрицательна; следовательно, на
этом интервале функция убывает.
Точка Х| =-|- является точкой максимума, так как слева от
этой точки функция возрастает, а справа убывает. Значение функ-
ции в
Точка х2 = 1 является точкой минимума, так как слева от этой
точки функция убывает, а справа возрастает; ее значение в точке
минимума равняется f (1)=0.
з
2_|—L=_l_.
1 3	27
149
Результаты исследования представим в следующей таблице:
X	*<4	1 3	1 — <х<1 О	1	х> 1
rw	+	0	—	0	+
/(*)		4 27		0	
Знак «-*» означает, что функция возрастает, а знак «-*» озна-
чает, что функция убывает.
При построении графика обычно находят точки пересечения
графика с осями координат. Так как f (0)=0, то график проходит
через начало координат. Решая уравнение f (х)=0, находим точки
пересечения графика с осью абсцисс:
х3-2х2 + х=0, х(х2 — 2х+1)=0, х(х —1)2=0,
откуда х=0, х=1.
Для более точного построения графика найдем значения функ-
ции еще в двух точках:	—1"> f (2)=2.
Используя результаты исследования, строим график функции
у—х3— 2х2-]-х (рис. 69). ▲
Для построения графика функции обычно сначала исследуют
свойства этой функции с помощью ее производной примерно по та-
кой же схеме, как и при решении задачи 1.
При исследовании свойств функции полезно найти:
1)	область ее определения;
2)	производную;
3)	стационарные точки;
4)	промежутки возрастания и убывания;
5)	точки экстремума и значения функции в этих точках.
Результаты исследования удобно записать в виде таблицы.
Затем, используя таблицу, строят график функции. Для более
точного построения графика обычно находят точки его пересече-
ния с осями координат и, быть может, еще несколько точек
графика.
150
Задача 2. Построить график функции f (х)= 1 —|-х2—х5.
1)	Область определения — множество R всех действительных
чисел.
2)	f'(x)=—5х—5х4=—бхЩ-х3).
3)	Решая уравнение — х(14-х3)=0, находим стационарные
ТОЧКИ Х|= — 1 и х2=0.
4)	Производная положительна на интервале —1<х<:0,
следовательно, на этом интервале функция возрастает. На проме-
жутках х< — 1 их>0 производная отрицательна, следовательно,
на этих промежутках функция убывает.
5)	Стационарная точка Xi = — 1 является точкой минимума,
так как при переходе через эту точку производная меняет знак
с « —» на « + »; f(—1)=— 0,5. Точка х2=0 — точка максимума,
так как при переходе через нее производная меняет знак с « + »
на « — »; f (0)= 1.
Составим таблицу:
X	х< —1	— 1	— 1<х<0	0	х>0
Г (*)	—	0	+	0	—
Н*)		-0,5		1	
Используя результаты исследования, строим график функции
у=1—|-х2—х5 (рис. 70). ▲
График функции у= \ —|-х2—х5 построен с помощью иссле-
дования некоторых свойств этой функции. По графику можно выя-
вить и другие свойства данной функции. Например, из рисунка 70
видно, что уравнение 1 —|-х2—х5=0 имеет три различных дейст-
вительных корня.
Для построения графика четной (нечетной) функции доста-
точно исследовать свойства и построить ее график при х>0,
а затем отразить его симметрично относительно оси ординат
(начала координат). Приведем пример.
Задача 3. Построить график функции f (х)=х+—.
Л 1) Область определения: х=/=0.
2)	Данная функция нечетная, так как f(—х)=—=
= — (х+-— f (х). Поэтому сначала исследуем эту функцию и
построим ее график при х>0.
151
3)	f'(x)=\-± = (Х+2ИХ-2)
4)	На промежутке х>0 функция имеет одну стационарную
точку х=2.
5)	Производная положительна на промежутке х>2, следова-
тельно, на этом промежутке функция возрастает. На интервале
0<х<2 производная отрицательна, следовательно, на этом ин-
тервале функция убывает.
6)	Точка х=2 является точкой минимума, так как при пере-
ходе через эту точку производная меняет знак с «—» на « + »;
f(2)=4.
Составим таблицу:
X	0<х<2	2	2
/'(*)	—	0	+
		4	
Найдем значения функции еще в двух точках: f (1)=5, f (4)=5.
Используя результаты исследования, строим график функции
у=х-|—при х>0. График этой функции при х<0 строим с по-
мощью симметрии относительно начала координат (рис. 71). А
Для краткости записи решения задач на построение графиков
функции большую часть рассуждений, предшествующих таблице,
можно проводить устно.
В некоторых задачах требуется исследовать функцию не на
всей области определения, а только на некотором промежутке.
152
Задача 4. Построить график функции f (х)= 1 + 2х2— х4 на
отрезке [—Г, 2].
Л Найдем производную f' (х)=4х—4х3=4х (1 4-х) (1 — х). Со-
ставим таблицу:
X	— 1	—1<х<0	0	0<х<1	1	1<х<2	2
f'W	0	—	0	+	0	—	— 24
f(x)	2		1		2		— 7
Используя эту таблицу, строим график функции у= 1 4*2х2—х4
на отрезке [— 1; 2] (рис, 72). ▲
Упражнения
Построить график функции (566—567).
566.	1) у=х3 —Зх2+4;	2) у=24-3х—х3;
3)	у= — х34-4х2—4х;	4) у=х3+6х2-|-9х.
567.	1) у=-х4 + 8х2—16;	2) у=х4-2х2 + 2;
3)	у=-1-х4-^-х6;	4) у=6х4—4х6.
568.	Построить график функции:
1)	у—х3 — Зх2 + 2	на отрезке [—1; 3];
2)	у=х4 —10х24-9 на отрезке [—3; 3].
Построить график функции (569—571).
569. 1) у = 2-Ь5х3-Зх5; 3) У=4х5 — 5х4;	2) у = 3х5 —5х3; 4) у=-^х5 —|-х3 + 2х.
570. 1) y = 3x4-J-; ОХ 3) у = х+4 ;	2) 4) у=х—^.
\х 571*. 1) у=-~ ; 1 У	х—2’ -n и— х2+х-1 . У х2-2х+1 ’	2) »/=~х5+3х~1; 4) у= Х—2Х2 1 У	(Х-2У	'
572**. Построить график функции у
х3 —4
(х-1)3
тельных корней имеет уравнение
ных значениях С?
. Сколько действи-
= С при различ-
х3 — 4
(х-1)3
153
§ 30. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ
ФУНКЦИИ
1.	На практике часто приходится решать задачи, в которых
требуется найти наибольшее или наименьшее значение из всех
тех значений, которые функция принимает на отрезке.
Рассмотрим, например, график функции f (х)= 1-)-2х2 —х4 на
отрезке [— 1; 2]. Этот график был построен в предыдущем параг-
рафе (рис. 72).
Из рисунка видно, что наибольшее значение на этом отрезке,
равное 2, функция принимает в двух точках: х= — 1 и х= 1; наи-
меньшее значение, равное —7, функция принимает при х=2.
Точка х = 0 является точкой минимума функции f (х)=
= 1+2х2—х4. Это означает, что есть такая окрестность точки
х=0, например интервал (—i-;	что наименьшее значение
в этой окрестности функция принимает при х=0. Однако на боль-
шем промежутке, например на отрезке [— 1; 2], наименьшее значе-
ние функция принимает не в точке минимума, а на конце отрезка.
Таким образом, для нахождения наименьшего значения функ-
ции на отрезке нужно сравнить ее значения в точках минимума и на
концах отрезка.
Вообще пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [a; fe] и имеет
производную в каждой внутренней точке этого отрезка.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке [а; Ь] нужно:
1)	найти значения функции в концах отрезка, т. е. числа
Но)иНЬ);
2)	найти ее значения в тех стационарных точках, которые
принадлежат интервалу (а; Ь);
3)	из найденных значений выбрать наибольшее и наи-
меньшее.
Задача 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции f(x)=x3-}—на отрезке ; 2 j.
А О=6Т’^2)=9Т-
2) f' (х)=Зх2-^=^=^, Зх4 —3=0, Х| = 1, х2= —1.
Интервалу (-5-; 2) принадлежит одна стационарная точка
х< = 1, f(l)=4.
3) Из чисел 6— 9-^- и 4 наибольшее 9— наименьшее 4.
Ответ. Наибольшее значение функции равно 9-|-, наимень-
шее равно 4. ▲
154
Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции f(x)=x-j—— на отрезке [2; 4].
Д f(2)=2,5, f(4)=4,25.
2)	1-^=0, х, = -1, х2=1.
На интервале (2; 4) стационарных точек нет.
3) Из чисел 2,5 и 4,25 наибольшее 4,25, наименьшее 2,5.
Ответ. Наибольшее значение функции равно 4,25, наимень-
шее равно 2,5. ▲
2.	При решении многих задач часто приходится находить наи-
большее или наименьшее значение функции не на отрезке, а на
интервале.
В практических задачах обычно функция f (х) имеет на задан-
ном интервале только одну стационарную точку: либо точку макси-
мума, либо точку минимума. В этих случаях в точке максимума
функция f (х) принимает наибольшее значение на данном интервале
(рис. 73), а в точке минимума — наименьшее значение на данном
интервале (рис. 74).
Задача 3. Число 36 записать в виде произведения двух
положительных чисел, сумма которых наименьшая.
Л Пусть первый множитель равен х, тогда второй множитель
равен —. Сумма этих чисел равна х4~. По условию задачи х —
положительное число. Таким образом, задача свелась к нахожде-
нию такого значения х, при котором функция f (х)=х-(-у- прини-
мает наименьшее значение на интервале х>0.
Найдем производную (х)= 1 —-|f-=	-
Стационарные точки Xi =6 и х2= —6. На интервале х>0 есть
только одна стационарная точка х=6. При переходе через точку
х=6 производная меняет знак с« — » на « + », и поэтому х=6 —
точка минимума. Следовательно, наименьшее значение на интерва-
155
§ 30. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ
ФУНКЦИИ
1.	На практике часто приходится решать задачи, в которых
требуется найти наибольшее или наименьшее значение из всех
тех значений, которые функция принимает на отрезке.
Рассмотрим, например, график функции f (х) = 1 Н-2х2 —х4 * * * * на
отрезке [—1; 2]. Этот график был построен в предыдущем параг-
рафе (рис. 72).
Из рисунка видно, что наибольшее значение на этом отрезке,
равное 2, функция принимает в двух точках: х= —1 и х=1; наи-
меньшее значение, равное — 7, функция принимает при х=2.
Точка х = 0 является точкой минимума функции f (х) =
= 1+2х2 —х4. Это означает, что есть такая окрестность точки
х=0, например интервал (—j-;	что наименьшее значение
в этой окрестности функция принимает при х = 0. Однако на боль-
шем промежутке, например на отрезке [— 1; 2J, наименьшее значе-
ние функция принимает не в точке минимума, а на конце отрезка.
Таким образом, для нахождения наименьшего значения функ-
ции на отрезке нужно сравнить ее значения в точках минимума и на
концах отрезка.
Вообще пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [а; Ь] и имеет
производную в каждой внутренней точке этого отрезка.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке [a; fe] нужно:
1)	найти значения функции в концах отрезка, т. е. числа
2) найти ее значения в тех стационарных точках, которые
принадлежат интервалу (а; £>);
3) из найденных значений выбрать наибольшее и наи-
меньшее.
Задача 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции f (х)=х3+-на отрезке 2 j.
A Kf)=6T’H2)=9f.
2) f'(x)=3x2-^-=-^i^, Зх4 —3 = 0, X! = l, x2=-l.
Интервалу ^-^-;2^ принадлежит одна стационарная точка
Xt = l, f(l)=4.
3) Из чисел 6-|-, 9-|- и 4 наибольшее 9-|-, наименьшее 4.
Ответ. Наибольшее значение функции равно 9 у-, наимень-
шее равно 4. ▲
154
Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции f (х) = х + — на отрезке [2; 4].
Д f(2)=2,5, /(4)=4,25.
2)	1-т-=0, х, = — 1, х2=1.
На интервале (2; 4) стационарных точек нет.
3)	Из чисел 2,5 и 4,25 наибольшее 4,25, наименьшее 2,5.
Ответ. Наибольшее значение функции равно 4,25, наимень-
шее равно 2,5. ▲
2.	При решении многих задач часто приходится находить наи-
большее или наименьшее значение функции не на отрезке, а на
интервале.
В практических задачах обычно функция f (х) имеет на задан-
ном интервале только одну стационарную точку: либо точку макси-
мума, либо точку минимума. В этих случаях в точке максимума
функция f (х) принимает наибольшее значение на данном интервале
(рис. 73), а в точке минимума — наименьшее значение на данном
интервале (рис. 74).
Задача 3. Число 36 записать в виде произведения двух
положительных чисел, сумма которых наименьшая.
Л Пусть первый множитель равен х, тогда второй множитель
равен у-. Сумма этих чисел равна *+“• По условию задачи х —
положительное число. Таким образом, задача свелась к нахожде-
нию такого значения х, при котором функция f (х)=х+у- прини-
мает наименьшее значение на интервале х>0.
Найдем производную f' (х)= 1 — ^-= (Х+6Ж~6)-.
Стационарные точки Xi=6 и Хг = — 6. На интервале х>0 есть
только одна стационарная точка х = 6. При переходе через точку
х = 6 производная меняет знак с< —»на«4->, и поэтому х=6 —
точка минимума. Следовательно, наименьшее значение на интерва-
155
§ 30. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ
ФУНКЦИИ
1.	На практике часто приходится решать задачи, в которых
требуется найти наибольшее или наименьшее значение из всех
тех значений, которые функция принимает на отрезке.
Рассмотрим, например, график функции f (х) = 1 + 2х2 —х4 на
отрезке [—1; 2]. Этот график был построен в предыдущем параг-
рафе (рис. 72).
Из рисунка видно, что наибольшее значение на этом отрезке,
равное 2, функция принимает в двух точках: х= — 1 и х = 1; наи-
меньшее значение, равное —7, функция принимает при х=2.
Точка х = 0 является точкой минимума функции f (х) =
= 14-2х2 —х4. Это означает, что есть такая окрестность точки
х = 0, например интервал (—что наименьшее значение
в этой окрестности функция принимает при х = 0. Однако на боль-
шем промежутке, например на отрезке [ — 1; 2], наименьшее значе-
ние функция принимает не в точке минимума, а на конце отрезка.
Таким образом, для нахождения наименьшего значения функ-
ции на отрезке нужно сравнить ее значения в точках минимума и на
концах отрезка.
Вообще пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [a; ft] и имеет
производную в каждой внутренней точке этого отрезка.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке [a; fe] нужно:
1)	найти значения функции в концах отрезка, т. е. числа
2) найти ее значения в тех стационарных точках, которые
принадлежат интервалу (я; Ь);
3) из найденных значений выбрать наибольшее и наи-
меньшее.
Задача 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции / (х)=х3-)--|- на отрезке 2 j.
А ^(т)=6Т’Н2)=9^.
2) f (x) = 3x2-^=^=^, Зх4—3=0, Х! = 1, х2=-1.
Интервалу	принадлежит одна стационарная точка
Xi = l,f(l)=4.
3) Из чисел 6-^-, 9-|- и 4 наибольшее 9у-, наименьшее 4.
Ответ. Наибольшее значение функции равно 9-у, наимень-
шее равно 4. ▲
154
Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции f(x) = x-|—— на отрезке [2; 4].
Д [(2)=2,5, f (4)=4,25.
2)	х, = -1,х2=1.
На интервале (2; 4) стационарных точек нет.
3)	Из чисел 2,5 и 4,25 наибольшее 4,25, наименьшее 2,5.
Ответ. Наибольшее значение функции равно 4,25, наимень-
шее равно 2,5. ▲
2.	При решении многих задач часто приходится находить наи-
большее или наименьшее значение функции не на отрезке, а на
интервале.
В практических задачах обычно функция f (х) имеет на задан-
ном интервале только одну стационарную точку: либо точку макси-
мума, либо точку минимума. В этих случаях в точке максимума
функция f (х) принимает наибольшее значение на данном интервале
(рис. 73), а в точке минимума — наименьшее значение на данном
интервале (рис. 74).
Задача 3. Число 36 записать в виде произведения двух
положительных чисел, сумма которых наименьшая.
Л Пусть первый множитель равен х, тогда второй множитель
равен —. Сумма этих чисел равна *+~- По условию задачи х —
положительное число. Таким образом, задача свелась к нахожде-
нию такого значения х, при котором функция f (х)=х-)~ прини-
мает наименьшее значение на интервале х>0.
Найдем производную (х)= 1 3f-= (х+6И-~6)-.
Стационарные точки Xi = 6 и х2= — 6. На интервале х>0 есть
только одна стационарная точка х=6. При переходе через точку
х = 6 производная меняет знак с« —»на« + », и поэтому х = 6 —
точка минимума. Следовательно, наименьшее значение на интерва-
155
ле х>0 функция f (х)=х+— принимает в точке х=6 (это зна-
чение f (6)= 12).
Ответ. 36 = 6-6. ▲
3*. При решении некоторых задач на нахождение наиболь-
шего и наименьшего значений функции полезно использовать
следующее утверждение:
Если значения функции f (х) неотрицательны на некотором
промежутке, то эта функция и функция (J (х))п, где п — нату-
ральное число, принимают наибольшее (наименьшее) значение
в одной и той же точке.
Задача 4*. Из всех прямоугольников, вписанных в окруж-
ность радиуса R, найти прямоугольник наибольшей площади.
Л Найти прямоугольник — это значит найти его размеры, т. е.
длины его сторон. Пусть прямоугольник ABCD вписан в окруж-
ность радиуса R (рис. 75). Обозначим АВ=х. Из /\АВС по теоре-
ме Пифагора находим ВС=д/4/?2 —х2. Площадь прямоугольника
равна:
S(х)=х-у/4/?2—х2, где 0<х<2Я.
Задача свелась к нахождению такого значения х, при котором
функция S (х) принимает наибольшее значение на интервале
0<х<2Я.
Так как S(x)>0 на интервале 0<х<2/?, то функции S(x)
и f (x)=(S (х))2 принимают наибольшее значение на этом интер-
вале в одной и той же точке.
Таким образом, задача свелась к нахождению такого значения
х, при котором функция f (х)=х2 (4/?2 —х2)=4/?2х2 —х4 принимает
наибольшее значение на интервале 0<х<2/?.
Найдем производную
f' (х)=8/?2х—4х3 = 4х(Яд/2-|-х)(/?-\/2—х).
На интервале 0<х<2/? есть только одна
стационарная точка x = R^j2—точка
максимума. Следовательно, наибольшее
значение функция f (х) (а значит, и функ-
ция S (х)) принимает при x=R^[2.
Итак, одна сторона искомого прямо-
угольника равна R д/2, другая равна
-\/4/?2—(/? д/2)2 —R д/2, т. е. искомый пря-
моугольник — квадрат со стороной R д/2,
его площадь равна 2R2. ▲
156
Упражнения
573.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f (х)=2х3 + Зх* 2 3 4 — 36х:
1)	на отрезке [—4; 3];	2) на отрезке [—2; 1].
574.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1)	f (х)=х4 — 8х2 + 5 на отрезке [—3; 2];
2)	f (х)=х4—— на отрезке [—2; —0,5];
3)	|(х)=х—Vх на отрезке [0; 4];
4)	f (x) = sin x + cos х на отрезке [л; ^-j.
575.	Найти наибольшее (или наименьшее) значение функции:
1)	f (х)=х24--Ц- на интервале х>0;
2)	f (х)=——х2 на интервале х<0.
576.	Число 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов
которых наименьшая.
577.	Записать число 625 в виде произведения двух положительных
чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
578.	Из всех прямоугольников с периметром р найти прямоуголь-
ник наибольшей площади.
579.	Из всех прямоугольников, площадь которых равна 9 см2,
найти прямоугольник с наименьшим периметром.
580. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
I	1) f (х)= In х —х на отрезке -i-; 3 ;
2) f (х)=х 4- е~х на отрезке —1;2];
3) f (х)=2 sin x4-cos 2х на отрезке [0; 2л];
4) f (х)=2 cos х—cos 2х на отрезке [0; л].
581. Найти наибольшее значение функции:
1) 3^/х — х^с на промежутке х>0;
2) Зх —2хд/х на промежутке х>0.
582. Найти наименьшее значение функции:
1) е3х — Зх на интервале (—1; 1);
2) ——|- In х на интервале (0; 2).
583*. Найти наибольшее значение функции:
1) х\/5 —х на интервале (0; 5);
2) х '^4 — х на интервале (0; 4).
167
Рис. 77
584*. Из квадратного листа картона со стороной а нужно сделать
открытую сверху коробку прямоугольной формы, вырезав по
краям квадраты и загнув образовавшиеся края (рис. 76).
Какой должна быть высота коробки, чтобы ее объем был
наибольшим?
585*. Равнобедренные треугольники описаны около квадрата со
стороной а так, что одна сторона квадрата лежит на основа-
нии треугольника (рис. 77). Обозначая ВД=х, найти такое
значение х, при котором площадь треугольника наименьшая.
586**. Из всех прямоугольников, у которых две вершины лежат
на оси Ох, а две другие — на параболе у = 3 —-х2, выбран
прямоугольник с наибольшей площадью. Найти эту площадь.
587**. Найти на параболе у=х2 точку, ближайшую к точке
А (2; 0,5).
588**. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб.
При каком угле наклона боковых стенок к основанию пло-
щадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
589.	Найти интервалы возрастания и убывания функции:
1)	у=2х34-Зх2—2;	2) у=^-х3 —х2 —4x4-5;
о
3)	4)
590.	Найти стационарные точки функции:
1)	у=х4-4х3-8х2-|-1;	2)	у=4х4-2х24-3;
3)	4)	у=cos 2х-|-2 cos х.
591.	Найти точки экстремума функции:
1)	у=х3-4х2;	2) у=3х4—4х3.
592.	Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:
1) у=х5-2,5х24-3;	2) у=0,2х5—4х2 —3.
158
593.	Построить график функции:
1)	У="у+3х2;	2) у=—£+х2.
594.	Построить график функции:
1)	у = 3х2—6x4-5 на отрезке [0; 3];
2)	у=-~х4—|-х3—|-х24~2 на отрезке [—2; 4].
595.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1)	f (х)=х3 — 6х24-9 на отрезке [—2; 2];
2)	f (х)=х34~6х24~9х на отрезке [—4; 0];
3)	|(х)=х4— 2х24-3 на отрезке [—4; 3];
4)	f(x)=x4— 8х24~5 на отрезке [—3; 2].
596.	Доказать, что из всех прямоугольников данного периметра
наименьшую диагональ имеет квадрат.
597.	Из всех равнобедренных треугольников с периметром р
найти треугольник с наибольшей площадью.
598.	Из всех прямоугольных параллелепипедов, у которых в осно-
вании лежит квадрат и площадь полной поверхности равна
600 см2, найти параллелепипед наибольшего объема.
ПРОВЕРЬ СЕБЯ!
1.	Найти интервалы возрастания и убывания функции
у = 6х —2х3.
х 3
2.	Найти точки экстремума функции У=——I---.
о X
3.	Построить график функции:
у = 2х4—х24-1; у=х3 — Зх.
4.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y=x-j--~- на отрезке [1; 5].
5.	Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8 м,
а высота 3 м. Какой длины должны быть стороны осно-
вания, чтобы объем параллелепипеда был наибольшим?
599.	Доказать, что функция у= 1,8х5 — 2-|-х34-7х4-12,5 воз-
растает на всей области определения.
600.	Доказать, что функция у=х(14-2у/х) возрастает на всей
области определения.
159
F
Рис. 78
y=xe;
y- 25
9
1—x	3—x
4-^1-
y=x(x—\)3.
1) f W=2 sin x-J-sin 2x на отрезке [о;
— л
601.	Найти точки экстремума функции:
1)	у—х In х;	2)
4)
602. Построить график функции:
')	2)
3)	</=(х-1)!(*+2);	4)
603.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
2)	f (х)=2 cos %+sin 2х на отрезке [0; л].
604.	Тело движется по закону s(f)=Gt2 — t3. Какова наибольшая
скорость тела?
605.	Из всех прямоугольных треугольников, у которых сумма
одного катета и гипотенузы равна /, найти треугольник
с наибольшей площадью.
606*. Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг радиуса R
так, что одна сторона прямоугольника лежит на диаметре
полукруга, выбран тот, у которого наибольшая площадь.
Найти эту площадь.
607*. Открытый кузов грузового автомобиля имеет вид прямо-
угольного параллелепипеда с площадью поверхности 25.
Каковы должны быть длина и ширина кузова, чтобы его
объем был наибольшим, а отношение длины к ширине равня-
лось -|-?
608**. Найти точки экстремума функции у=	-
609**. Построить график функции:
1) У=(*2 —2) у=|х1-^1+Зх;
3) у—х2^е~х;	4) у=х3-е~х.
610**. Груз, лежащий на горизонтальной плоскости, нужно сдви-
нуть с места силой, приложенной к этому грузу (рис. 78).
Определить угол, образуемый этой силой с плоскостью, при
котором величина силы будет наименьшей, если коэффициент
трения груза равен k.
160
ГЛАВА VII
Интеграл
Нет ни одной области математи-
ки, как бы абстрактна она ни
была, которая когда-нибудь не
окажется применимой к явлени-
Лобачевский
§ 31. ПЕРВООБРАЗНАЯ
Рассмотрим движение точки вдоль прямой. Пусть за время I от
начала движения точка прошла путь s (0. Тогда мгновенная
скорость v (/) равна производной функции $ (0, т. е. v(f)=s' (/).
В практике встречается обратная задача: по заданной скорости
движения точки v (0 найти пройденный ею путь s (0, т. е. найти
такую функцию s (0, производная которой равна v (f). Функцию
s (0, такую, что s' (t)=v (t), называют первообразной функции v (0.
Например, если v (f) = at, где а — заданное число, то функция
а/2
s(0=-^— является первообразной функции v (/), так как s' (0=
=(-^-)' = а/ = п(0.
Функция F (х) называется первообразной функции f (х)
на некотором промежутке, если для всех х из этого про-
межутка
F'(x)=f(x).
Например, функция F (x)=sin х является первообразной функ-
ции f (x) = cos х, так как (sin х)'= cos х; функция F (х)=— явля-
4
ется первообразной функции f (х)=х3, так как =х3.
Лобачевский Николай Иванович (1792—1856) — русский математик, созда-
тель неевклидовой геометрии, совершившей переворот в представлении о природе
пространства.
6 Заказ 4J	161
Задача 1. Доказать, что функции -у, -у+1. —4явля-
ются первообразными одной и той же функции f(x)=x2.
А 1) Обозначим Ft(x)=-^-, тогда F't (х)=3-—=х2=f (х).
2) f2(x)=^+i, /ад=(^-+1 ),=(т) +(1),=х2=^ W-
3) F3(x)=^- 4, ЕЦх)=(^~4')'=x2=f(x). А
n	X3
Вообще любая функция —+ С, где С — постоянная, явля-
ется первообразной функции х2. Это следует из того, что произ
водная постоянной равна нулю. Этот пример показывает, что
для заданной функции ее первообразная определяется неодно-
значно.
Пусть Ft (х) и Fz (х) — две первообразные одной и той же функ-
ции f (х). Тогда F' (x)=f(x) и Fz (x)=f (х). Производная их раз-
ности g(x)=Fi (х)—Г2(х) равна нулю, так как g'(x)=Fi(x)—
-FW=f(x)-f(x)=O.
Если g' (х)=0 на некотором промежутке, то касательная к
графику функции y=g(x) в каждой точке этого промежутка па-
раллельна оси Ох. Поэтому графиком функции y=g(x) является
прямая, параллельная оси Ох, т. е. g(x)=C, где С — некоторая
постоянная. Из равенств g (х) = С, g (x)=F| (х)—Fz (х) следует, что
Fi (x)=F2(x)+C.
Итак, если функция F (х) является первообразной функции
f (х) на некотором промежутке, то все первообразные функции
f (х) записываются в виде F(x)4-C, где С — произвольная
постоянная.
Рассмотрим графики всех первообразных заданной функции
f (х). Если F (х) — одна из первообразных функции f (х), то любая
первообразная этой функции получается прибавлением к F (х) не-
которой постоянной: Е(х)+С. Графики функций y = F(x)+C по-
лучаются из графика y = F(x) сдвигом вдоль оси Оу (рис. 79).
Выбором С можно добиться того, чтобы
график первообразной проходил через
заданную точку.
Задача 2. Для функции f (х)=х
найти такую первообразную, график ко-
торой проходит через точку (2; 5).
Л Все первообразные функции
f(x)=x находятся по формуле F(x) =
JC2
=—+С, так как F'(х) — х. Найдем
число С, такое, чтобы график функции
у=— +С проходил через точку (2; 5).
132
2* 2
Подставляя х = 2, у— 5, получаем 5=— + С, откуда С = 3. Сле-
X2
довательно, /7(х)=—+ 3. ▲
Задача 3. Доказать, что для любого действительного
р=/= — I функция F (х)=
I (х)—хр на промежутке х>0.
является первообразной функции
Л Так как (х₽+1)'=(р +1)-хр, то ) =^-^~ =хр. ▲
Например, первообразная функции
1 х
— +1
Г~	X 2
первообразная функции -ух равна ------
4+1
равна
=—ху/х.
3 v
X ’
Упражнения
611. Показать, что функция F (х) является первообразной функ-
ции f (х) на всей числовой прямой:
1) F(x)=^, ((х)=х5 *;	2) F(x)=4+1, f(x)=x4;
3) F (х)=х3+2, f (х)=3х2;	4) F (х)=-^ +3, f (х) = 2х3.
612. Показать, что функция F (х) является первообразной функ-
ции f (х) при х>0:
1) F(x)=^-,	2) F(x)=-L+3, f(x)=-±-,
3) F(x)=14-^, /(x)=-l-;4) F(x)=^,
2 -Jx	о yr
613. Пользуясь утверждением задачи 3, найти все первообразные
функции:	_£
1) х2;	2) х3;	3) х-3;	4) х 2.
614. Для функции f (х) найти первообразную, график которой
проходит через точку М:
1) f(x)=x2, M(l;2);	2) f(x)=x, M(-l;3);
3)	4) f(x)=Vx, M(9; 10).
615. Показать, что функция F (x) является первообразной функ-
ции f (х) на всей числовой прямой:
1) F (х)=3е\ f (х)=е3 ; 2) F (х)= 1 -j-sin 2х, f (x)=2cos2x.
163
§ 32. ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ
Напомним, что операцию нахождения производной для задан-
ной функции называют дифференцированием. Обратную операцию
нахождения первообразной для данной функции называют ин-
тегрированием (от лат. untegrare — восстанавливать).
Таблицу первообразных для некоторых функций можно соста-
вить, используя таблицу производных. Например, зная, что
(cosx)' =—sin х, получаем (— cosx)' = sinx, откуда следует, что
все первообразные функции sin х записываются в виде —cos х4-С,
где С — постоянная.
Приведем таблицу первообразных.
Функция	Первообразная
X”, р^-1	yp+1 Fh+c
—, *>0 X	In x-J-C
ех	e' + C
sin х	—cos x-|-C
cos X	sin x-|-C
(kx + b/.p^ — l,fcy=O	(fex + fcy+l r *(p+l)
-——, л=/=о kx + b	i-ln (ftx-|-fc)+C
	JL £>»* + !+ c
sin (kx + b), A=/=0	—cos (fex-f-fe)
cos (Ax-f-fc), fc#=0	-J- sin (kx+b) R
Отметим, что во всех рассмотренных примерах и в дальней-
шем функция F (х) является первообразной функции f (х) на та-
ком промежутке, на котором обе функции F (х) и f (х) определены.
Например, первообразной функции  является функция
-|-1п(2х — 4) на таком промежутке, на котором 2х — 4>0, т. е.
на промежутке х>2.
164
Правила интегрирования можно также получить с помощью
правил дифференцирования. Приведем следующие правила ин-
тегрирования:
©Пусть F (х) и G (х) — первообразные соответственно
функций f (х) и g (х) на некотором промежутке. Тогда:
1) функция F(x)±G(x) является первообразной
функции f(x)±g(x);
2) функция aF (х) является первообразной функции
af (х).
Задача 1. Найти одну из первообразных функции f (х)=
=х2 + 3 cos х.
Л Используя правила интегрирования и таблицу первообраз-
ных для функций х₽ при р = 2 и для cosx, находим одну из пер-
X3
вообразных данной функции: F (х)=——|-3sinx. ▲
Задача 2. Найти все первообразные функции
е'~х—4 sin (2x4-3).
Д По таблице первообразных находим: одной из первообразных
функции е'~х является функция —е'~х, а одной из первообраз-
ных функции sin (2x4-3) является функция —i-cos (2х-(-3). По
правилам интегрирования находим одну из первообразных дан-
ной функции: — е’“*4-2 cos (2x4-3).
Ответ. — е1 “*4-2 cos (2х4-3)4-С. А
Упражнения
Найти одну из первообразных функции (616—618).
616.	1)	2х5 —Зх2;	2) 5х44-2х3;	3) —4-4;
	4)	2	3 .	5) -\/х4-2^*;	6) 4\Zx —6-\/х;
		X3	X ’	
	7)	Зх34-2х— 1;	8) 6х2 —4x4-3.
617.	1)	3 cos х —4 sin х;	2) 5 sin х-|-2 cos х,
	3)	ех — 2 cos х;	4) Зе —sin х;
	5)	5 — е“*-|-3 cos х; 6 V*—~+3е*; X	6) 1 4- Зе* — 4 cos х; 81	। 3	л-—х
	7)		°)	Г V* х
618.	1)	(х4-1)4;	2) (х-	2)3;	3) —2-=;	4) -2-; Vx —2	W+3
	5)	——1-4 cos (х4-2); X— 1	6)	2 sin (х—1).
135
619. Найти все первообразные функции:
1) sin (2% + 3);	2) cos(3x-|-4);
3) cos 1 ) ;	4) sin(f+5);
5)	6) e3*-5;	7) A; 8>
620. Для функции f (x) найти первообразную, график которой
проходит через точку М:
I) /(х)=2х + 3, Л4 (1; 2);	2) f(*)=4x-l, М(-1; 3);
3) f(x)=sin2x,	5^;	4) f(x) = cos3x, М (О; 0).
Найти одну из первообразных функции (621—624/
621. 1)	е2х — cos Зх;	2)	e^-psin 2х;
3)	2 sin ——5с +-J ; 5	4)	3 cos	2е
5)	— 3 cos (6х — 1);	6)	-^ *+4 sir (4x4-2); V 5
	3	.	2		4	3
')	V2X-1 1 1-х’		т/Зх+Г 2х—5‘
622. 1)	2х4 —4х3+х . 3	2)	6х3- -Зх + 2 . 5
3)	(14-2хДх-3);	4)	(2х-3)(24-3х).
623. 1)	(2x4-	2) (Зк-	-2)3\^;	3)	4)
			
624. 1)	sin x-cos х;		
2)	sin х cos Зх — cos х sin Зх.		
625*. Найти первообразную функции у = 2 sin 5х 4- 3 cos —, ко-
торая при х=-^- принимает значение, равное 0
О
626**. Найти одну из первообразных функции:
X—1	.
х2+х — 2 ’
1)
2}
3) cos2 х; 4) sin Зх-cos 5х.
166
§ 33. ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ
И ИНТЕГРАЛ
Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке 80. Эта фи-
гура ограничена снизу отрезком [а; Ь] оси Ох, сверху графиком
непрерывной функции y=f(x), принимающей положительные
значения, а с боков отрезками прямых х=а и х = Ь. Такую фи-
гуру называют криволинейной трапецией. Отрезок [a; Ь] назы-
вают основанием этой криволинейной трапеции.
Выясним, как можно вычислить площадь S криволинейной
трапеции с помощью первообразной функции f (х).
Обозначим S (х) площадь криволинейной трапеции с основа
нием [а; х] (рис. 81), где х — любая точка отрезка [а; Ь]. При
х — а отрезок [а; х] вырождае тся в точку, и поэтому 5 а)=0;
при х = Ь имеем S(b)—S.
Покажем, что S (х) является первообразной функции f (х),
т. е. S' (x)=f (х).
О Рассмотрим разность S(x-j-ft) — S(х), где ft>0 (случай
й<0 рассматривается аналогично). Эта разность равна площа-
ди криволинейной трапеции с основанием [х; х4~й] (рис. 82).
Если число h мало, то эта площадь приблизительно равна
f (х)-Л, т. е. S(x4-ft)—5(x)«f (x)-/t.
Следовательно, — ^«/(х). При h-*-0 левая часть
этого приближенного равенства по определению производной
стремится к S' (х), а погрешность приближения при h 0 ста-
новится как угодно малой. Поэтому при h 0 получается ра-
венство S'(x)=f(x). Это и означает, что 5 (х) является перво-
образной функции f (х). •
Любая другая первообразная F (х) отличается от S(x) на
постоянную, т. е.
E(x)=S(x)+C.	(1)
Из этого равенства при х = а получаем F(a)=S(a)-f-C. Так
как 5(а>=Ц то C=F(a) и равенство (1) можно аалгсать так;
S(x) = F (x)—F(a).
Отсюда при х = Ь получаем:
S(6)=F(b)-F(a).
167
Итак, площадь криволинейной трапеции (рис. 80) можно
вычислить по формуле
S = F(fe)-F(a),	(2)
где F (х) — любая первообразная функции f (х).
Таким образом, вычисление площади криволинейной трапе-
ции сводится к отысканию первообразной F (х) функции f (х),
т. е. к интегрированию функции f (х).
Разность F (Ь)— F (а) называют интегралом от функ-
ь
ции f (х) на отрезке [а; 6] и обозначают так: $ f (х) dx
а
(читается	«Интеграл от а до b эф от икс дэ икс»), т. е.
	ь \f(x')dx = F(b')-F(a-).	(3) а
Формулу (3) называют формулой Ньютона — Лейбница в честь
создателей дифференциального и интегрального исчисления.
Из формул (2) и (3) получаем:
ь
S=\f{x)dx.
а
(4)
Задача 1. Найти площадь криволинейной трапеции, изо-
браженной на рисунке 83.
з
Л По формуле (4) находим S = $x2dx. Вычислим этот ин-
।
теграл с помощью формулы Ньютона — Лейбница (3). Одной из
168
X
Рис. 85
первообразных функции f(x) = x2 является F(x)=-^-. Поэтому
з
S=jx2dx=F(3)-F(l)=-^—£=8-|- (кв. ед). ▲
Формулы (3) и (4) справедливы и для случая, когда функ-
ция f (х) положительная внутри отрезка [а; &], а на одном из
концов отрезка или на обоих концах равна нулю.
Задача 2. Найти площадь криволинейной трапеции, изо-
браженной на рисунке 84.
Д Функция F (х)= —cos х является первообразной для функ-
ции f(x)=sinx. По формулам (3), (4) получаем:
S = J sin xdx=F (л)—F (0)=(—cos л) —(—cos 0)=
О
= 14-1=2 (кв. ед.). ▲
Исторически интеграл возник в связи с вычислением пло-
щадей фигур, ограниченных кривыми, в частности площади кри-
волинейной трапеции. Рассмотрим криволинейную трапецию, изо-
браженную на рисунке 85. На этом рисунке основание трапеции —
отрезок [а; 6]—разбито на п отрезков (необязательно равных)
точками Xj, х2, .... Хл-i.
Через эти точки проведены вертикальные прямые. На первом
отрезке [хо; Xi] выбрана произвольно точка ci и далее на этом
отрезке построен прямоугольник высотой f (ci); на втором отрез-
ке [хг, х2] выбрана точка с2 и на этом отрезке построен пря-
моугольник высотой f (с2) и т. д. Площадь данной криволиней-
ной трапеции приближенно равна сумме площадей построенных
прямоугольников:
Sn=f (ci) ДХ14-f (с2) Дх2-Ь...Ч-/ (с«) &Хп,	(5)
где Дх1—длина первого отрезка, т. е. Axi=xi — Хо, Дх2 =
= х2 —Xi и т. д. Таким образом, площадь S криволинейной тра-
пеции можно приближенно вычислять по формуле (5), т. е. S«Sn.
169
Сумму (5) называют интегральной суммой функции f (х) на
отрезке [a; 6]. При этом предполагается, что функция f (х) не-
прерывна на отрезке [а; 6] и может принимать любые значения
(положительные, отрицательные и равные нулю). Если п -+ оо
и длины отрезков разбиения стремятся к нулю, то интегральная
сумма 5П стремится к некоторому числу, которое и называют
интегралом от функции f (х) на отрезке [а; 6] и обозначают
ь
$ f (х) dx. При этом также справедлива формула Ньютона — Лейб-
а
ница.
Упражнения
627.	Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную:
1)	графиком функции у=(х—I)* 1 2, осью Ох и прямой х=2;
2)	графиком функции у = 2х—х2 и осью Ох;
3)	графиком функции у=—, осью Ох и прямыми х=1,
х = 4;
4)	графиком функции у—~\[х, осью Ох и прямой х=4.
628.	Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной пря-
мыми х=а, х = Ь, осью Ох и графиком функции p=f(x):
1) а = 2, b = 4, f(x)=x3;
2)	а = 3, b = 4, f(x)=x2;
3)	а=— 2, b = l, f(x;=x2+l;
4)	а = 0, 6 = 2, f(x)=x34-l;
5)	а=-^-, b=^-, f(x)=sinx;
6)	а==—2-, 6=0, f (x)=cos х.
629.	Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и пара-
болой:
1)	у = 4 — х2;	2) у=\ — х2;
3) у=-х2 + 3х —2;	4) р=-х2 + 4х—3.
630. Найти площадь фигуоы. огпаниченной прямыми х=а, х=6,
осью Ох и графиком функции y=^f (x):
1) о=1, 6 = 8, f (х)=\/х;	2) а = 4, 6=9, /(х)=д/х.
631. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой х=6, О(ью
Ох и графиком функции y=f(x):
1) 6 = 2, f(x)=5x—х2, 2<х^5;	2) 6 = 3, f (х)=х2 + 2х;
3) 6 = 1, f (х)=е* —1;	4) 6 = 2, f (x)=I-^k
170
§ 34. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
Интегралы можно приближенно вычислять с помощью ин-
тегральных сумм. Такой способ приближенного вычисления ин-
теграла требует громоздких вычислений. Им пользуются в тех
случаях, когда не удается найти первообразную функции f (г)
и для вычислений обычно используют ЭВМ, составляя специаль-
ные программы. Если же первообразная функции известна, то
интеграл можно вычислить точно, используя формулу Ньютона —
Лейбница.
Приведем примеры вычисления интегралов по формуле Ньюто-
на — Лейбница с помощью таблицы первообразных и правил
интегрирования.
1
Задача 1. Вычислить интеграл (х— 1) dx.
о
Л Одной из первообразных функции х— 1 является функция
г
* Поэтому \(х— 1)<а=(—-|)~(-у—°)=^ 1 =
= -Т-‘
При вычислении интегралов удобно ввести следующее обозна-
чение:
Е(6) —Г(а) = Е(х) |а.
Тогда формулу Ньютона — Лейбница можно записать в виде
f (х) dx—F (х) |
Задача 2. Вычислить интеграл \ sin xdx.
sin xdx=(— cos x) | -o=( — cos a)—(— cos (—a)) =
= — -cos a + cos ( — a)=0„
так как cos (— a)=cos a. A
з
Задача 3. Вычислить интеграл \ f dx.
— i -j2x-}-3
ri	г	'	1 I3	1
A J ‘ - dx= \(2% + 3) ^dx=(2x + 3)T |_1=(2.3 + 3)T-
-1 у2х-|-3
-(2-(-l) + 3)^=3-l=2. ▲
171
Задача 4. Вычислить интеграл $ cos^2x+-^-) dx.
-	л
т
л
А 5 cos(2x+T)dx==_rsin(2x+^)l =_r(sin (2л + т)_
-sin("+t))“r(;f-(-f ))=f •ж
3
Задача 5*. Вычислить интеграл $ х д/*+ 1 dx.
о
3	3
Л $ х ’у/х + 1 dx =$ (х + 1 — 1) V*+ 1 dx =
о	о
3	3	1 /о	5 о	3 з
= 5 ((%+ 1Г-(х+ 1)т) dx=(-|-(x + 1Г—|-(х+1)^) | о =
Упражнения
Вычислить интеграл		(632—639).	
632. 1) 5)	1 $ xdx\	2) 0 3 6) 2 Л	3 x2dx; 0 2 -~dx; i x	2	3 3) 3x2dx;	4) 2xdx; -1	—2 4	9 7) -y/xdx;	8)	dx. 1	4 V*
633. 1)	е \—dx; t х	In 2 2) 0	2л exdx;	3) $ cos x dx; —л
4)	л J sin х dx; — 2п	л	0 5) J sin 2x dx;	6) J cos3xrfx —2л	—Зл	
634. 1)	J (2x—3)dx; -3 О		— 1 2) J (5 —4x)dx; -2
3) 5)	$ (1—3x2)dx; — i — i J (6x2 + 2x- 10) dx; — 2		1 4)	J (x2+i)rf%; - 1 2 6) (3x2 — 4x + 5) dx. 0
172
4	9 635 1. \(x — 3^/x)dx;	2) \(2x——\dx; 0	1 4 2	3 3) Je3jtdx;	4) j 2e2xdx. 0	1	
636. 1) 5 3) i 2 637. 1) j 1 3) ’ 2 638. 1) $ 1 3) 639**. 1) 3) S)! 1	1	0 J x(x + 3)(2x-l)dx;	2) J (x+1)(x2-2)dx; -2	-1 !	g	—1 |(*+т) dx;	4) 3 ~^dx;	2) (^^-dx; W	i >	7 \—^—dx;	4) { —*— dx. л/Зх+l	l-yfc+2 1 1	0 ОЛ -p z cos (зх——dx\	.. 7 . /Л n\ 1	\	4 '	4) ) sin(2x+-|-j dx. Я л	“7 J sin2 xdx;	2) J sin x cos x dx\ “Л	о n f (cos2 x — sin2 x) dx;	4) J (sin4 x+cos4 x) dx; 9	0 J		 4 J x2 -у/x +1 dx;	6) j ^~4jc+5 dx. »	3
640**. Найти все числа b > 1, для которых выполняется равен-
*
ство J (6 —4x)dx>6—5&.
।
§ 35. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ С ПОМОЩЬЮ
ИНТЕГРАЛОВ
Задача 1. Вычислить площадь криволинейной трапеции,
ограниченной осью Ох, прямыми х= — 1, х = 2 и параболой
у=9-х2.
Д Построим график функции у=9 —х2 и изобразим данную
трапецию (рис. 86).	2
Искомая площадь S равна интегралу S= $ (9—x2)dx.
— i
По формуле Ньютона — Лейбница находим:
г2	/ з ч . 2
S= ) (9—л2) dx={9x—у J |	=
=(9-2—^)-(9(-1)-^)=21. А
Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной парабо-
лами у—х2, у = 2х—х2 и осью Сх.
Л Построим графики функций у=х2, у—2х —х2 и найдем
абсциссы точек пересечения этих графиков из уравнения х2 —
= 2х — х2. Корни этого уравнения Xi=0, х2=1. Данная фигура
изображена на рисунке 87. Из рисунка видно, что эта фигура
состоит из двух криволинейных трапеций.
Следовательно, искомая площадь равна сумме площадей этих
трапеций:
S = jx2dx + j(2x—x2)dx=^- + (х2-^) =1. А
3 ч J	О 1 0	\	3 / 1 1
174
Рис. 88
Рис. 89
Задача 3. Найти площадь S фигуры, ограниченной отрез-
ком £-2-; у] оси Ох и графиком функции y = cosx на этом от-
резке.
А Заметим, что площадь данной фигуры равна площади
фигуры, симметричной данной относительно оси Ох (рис. 88),
т. е. площади фигуры, ограниченной отрезком £-у; -у] оси Ох и
графиком функции у=— cosx на отрезке [-2-; -yj, На этом
отрезке — cos х 0, и поэтому
Зл
S=J ( —cosx)dx=( —sinx)|"^=( —sin-y)—( —siny)=2. ▲
Вообще если f (x)^0 на отрезке [a; fe] (рис. 89), то площадь
ь
S криволинейной трапеции равна S=$ (—f (x)) dx.
Задача 4. Найти площадь S
фигуры, ограниченной параболой
t/=x2 + l и прямой у=х-|-3.
А Построим графики функций
у=х2+1 и^/=х-|-3. Найдем абсцис-
сы точек пересечения этих графиков
из уравнения х2 +1 =x-f-3. Это урав-
нение имеет корни xi = — 1, хг=2.
Фигура, ограниченная графиками
данных функций, изображена на ри-
сунке 90. Из этого рисунка видно,
что искомую площадь можно найти
как разность площадей Si и 5г двух
трапеций, опирающихся на отрезок
175
[—1; 2], первая из которых ограничена сверху отрезком прямой
у=х-|-3, а вторая — дугой параболы у = х2+1. Так как
2	2
Si = (x + 3)dx, S2 —	(*24-l)dx,
-I	-I
2	2
TO S = S1-S2= J (x + 3)jx- $ (x2+l)dx.
-1	-i
Используя свойство первообразных, можно записать S в виде
одного интеграла:
2	2
S= J ((x+3)-(x2 + l))dx=J (x+2-x2)dx=
-i	-i
__/ X2 I о	x3 \ | 2	. c
~( 2 +2x— 3 )|	4’5- *
Вообще площадь фигуры, изображенной на рисунке 91,
равна
ъ
S=\(f2(x)-h(x))dx.
а
(1)
Эта формула справедлива для любых непрерывных функций
fi (х) и f2(x) (принимающих значения любых знаков), удовлетво-
ряющих условию
f2(x)>f,(x).
Задача 5. Найти площадь S фигуры, ограниченной пара-
болами у=х2 и у = 2х2—1.
Построим данную фигуру (рис. 92) и найдем абсциссы точек
пересечения парабол из уравнения х2 = 2х2 — 1.
Это уравнение имеет корни Xi,2=±l. Воспользуемся фор-
мулой (1). Здесь fi(x)=2x2—1, fz\x)=x2.
i	i
S= $ (х2—(2х2—l))dx=^ (—x2-|-l)dx=
-i	-i
Упражнения
641.	На рисунке 93 изображены криволинейные трапеции. Най-
дите площадь каждой из них.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (642—651).
642.	1) Параболой у=(х+1)2, прямой у=1—х и осью Ох\
2)	параболой у=4—х2, прямой у=х-|-2 и осью Ох\
3)	параболой у=4х —х2, прямой у=4 — х и осью Ох;
4)	параболой у=3х2, прямойj/=1,5x4*4,5 и осью Ох.
643.	1) Графиками функций у=-\[х, у=(х— 2)2 и осью Ох;
2)	графиками функций у=х3, у=2х—х2 и осью Ох.
644.	1) Параболой у=х2-(-Зх и осью Ох;
2)	параболой у=х2—4x4-3 и осью Ох.
177
645.	1) Параболой у=х2-|-1 и прямой у—3—х;
2)	параболой y=(x-f-2)2 и прямой y=x-f-2;
3)	графиком функции у=-^х и параболой у = х2;
4)	графиком функции у=д/х и прямой у=х.
646.	1) Параболами у=6х2, у=(х—3)(х —4) и осью Ох;
2)	параболами у=4 — х2, у=(х— 2)2 и осью Ох.
647.	1) Графиком функции y = sinx, отрезком [0; л] оси Ох
и прямой, проходящей через точки (0; 0) и 1
2)	графиками функций y = sin х, y = cos х и отрезком ^0; -2-J
оси Ох.
648.	1) Параболой у = 6х— х2 и прямой у=х+4;
2)	параболой у = 4—х2 и прямой у=х-|-2.
649.	1) Параболой у=2—х2 и прямой у=—х;
2)	прямой у=\, осью Оу и графиком функции y = sinx
при О^Х^у-.
650*. 1) Параболой и ——x2-f-4x — 3 и прямой, проходящей че-
рез точки (1; 0) и (0; —3);
2)	параболой у=— х2 и прямой у=—2;
3)	параболами у—1—х2 и у—х2—1;
4)	графиком функции у=х3 и прямыми у=1 и х=—2.
651**. 1) Параболой у=х2-(-10 и касательными к этой пара-
боле, проведенными из точки (0; 1);
2) гиперболой У=~, прямой х=1 и касательной к кривой
у=-^- в точке с абсциссой х=2.
652**. Фигура ограничена линиями у=х2ф-1, у=0, х=0, х=1.
Найти точку (х0; уо) графика функции у=х2+1, через ко-
торую надо провести касательную к этому графику так,
чтобы она отсекала от фигуры трапецию наибольшей пло-
щади.
§ 36. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА
К РЕШЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
1. Простейшие дифференциальные уравнения
До сих пор рассматривались уравнения, в которых неизвест-
ными являлись числа. В математике и ее приложениях прихо-
ди гея рассматривать уравнения, в которых неизвестными явля-
ются функции. Так, задача о нахождении пути s (f) по заданной
скорости v (/) сводится к решению уравнения s' (f)=v (/), где
и (/) — заданная функция, a s (/) — искомая функция.
Например, если v(t)=3 — 4t, то для нахождения s (/) нужно
решить уравнение s'(/) = 3— 4/.
Это уравнение содержит производную неизвестной функции.
Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями.
Задача 1. Решить дифференциальное уравнение у'=х-}-\.
Л Требуется найти функцию у (х), производная которой рав-
на х-Н, т. е. найти первообразную функции x-pl. По правилам
нахождения первообразных получаем:
где С — произвольная постоянная. А
Решение дифференциального уравнения определяется неод-
нозначно, с точностью до постоянной. Обычно к дифференциаль-
ному уравнению добавляется условие, из которого эта постоянная
определяется.
Задача 2. Найти решение у (х) дифференциального урав-
нения у'—cosx, удовлетворяющее условию у(0)=2.
Л Все решения этого уравнения записываются формулой
у (x) = sin х-фС. Из условия у(0)=2 находим sin 0-|- С=2, откуда
0=2.
Ответ. y=2-|-sinx.A
Решение многих физических, биологических, технических и
других практических задач сводится к решению дифференциаль-
ного уравнения
У' = ку,	(1)
где k — заданное число. Решениями этого уравнения являются
функции
y = C-ek\	(2)
где С — постоянная, определяемая условиями конкретной задачи.
179
Например, скорость т' (/) размножения бактерий связана с
массой т (/) бактерий в момент времени t уравнением
т' (f)=km (/),
где k — положительное число, зависящее от вида бактерий и
внешних условий. Решениями этого уравнения являются функции
т (t}= Сек1.
Постоянную С можно найти, например, из условия, что в момент
t = 0 масса бактерий то известна. Тогда т (0)=то = Сек °=С,
и поэтому
т (t)—moeht.
Другим примером применения уравнения (1) является задача
о радиоактивном распаде вещества. Если т' (t) — скорость ра-
диоактивного распада в момент времени t, то
т' (/)= — km (/),
где k — постоянная, зависящая от радиоактивности вещества.
Решениями этого уравнения являются функции
m(t)=Ce~kt.
Если в момент времени t масса равна т0, то С=т0 и поэтому
т (f)=moe~k‘.	(3)
Заметим, что на практике скорость распада радиоактивного
вещества характеризуется периодом полураспада, т. е. проме-
жутком времени, в течение которого распадается половина ис-
ходного вещества.
Пусть Т — период полураспада, тогда из равенства (3) при
t=T получаем -^=тое~кт, откуда
Поэтому формула (3) запишется так:
т (t)=m0‘2~T.
2. Гармонические колебания
В практике часто встречаются процессы, которые периоди-
чески повторяются, например колебательные движения маятника,
струны, пружины и т. д.; процессы, связанные с переменным
электрическим током, магнитным полем и т. д. Решение многих
таких задач сводится к решению дифференциального уравнения
У"=— у,	(4)
180
l ie w — заданное положительное число, у = у(х\ у"—(у' (х))'.
Функцию (у'(х))' называют второй производной функции у (х)
и обозначают у" (х) или коротко у". Решениями уравнения (4)
являются функции
у (х) = С( sin (wx4-C2),	(5)
।де Ci, С2 — постоянные, определяемые условиями конкретной
1адачи. Уравнение (4) называют дифференциальным уравнением
гармонических колебаний, а равенство (5) называют уравнением
. армонических колебаний.
Например, если у (/) — отклонение точки свободно колеблю-
щейся струны от положения равновесия в момент времени t, то
у (t)—A sin (со/ + ср),
। де Л — амплитуда колебания, со — частота, ср — начальная фаза.
График гармонического колебания является синусоидой.
3. Примеры применения первообразной и интеграла
Задача 3. Цилиндрический бак, высота которого равна
5 м, а радиус основания равен 0,8 м, заполнен водой (рис. 94).
За какое время вытечет вода из бака через круглое отверстие в
дне бака, если радиус отверстия равен 0,1 м?
А Обозначим высоту бака //, радиус его основания R, ра-
цнус отверстия г (длины измеряем в метрах, время — в секундах).
Скорость вытекания жидкости v зависит от высоты столба
жидкости х и вычисляется по формуле Бернулли
v = o -\ligx.
(6)
где g=9,8, о — коэффициент, зависящий от свойства жидкости;
для воды о=0,6. Поэтому по мере убывания воды в баке скорость
вытекания уменьшается (а не постоянна).
Пусть / (х) — время, за которое вытека-
ет вода из бака высотой х с тем же ра-
диусом основания R и с тем же отверстием
радиуса г (рис. 94). Найдем приближенно
t (х+Й)- t (х)
разностное отношение ——------—, счи-
тая, что за время /1=/(x-]-/i)—t (х) ско-
рость вытекания воды постоянна и выра-
жается формулой (6).
За время t\ объем воды, вытекшей из
бака, равен объему цилиндра высотой h
с радиусом основания R (рис. 94), т. е.
равен nR2h. С другой стороны, этот объем
равен объему цилиндра, основанием кото-
Рис. 94
181
рого служит отверстие в дне бака, а высота равна произведению
скорости вытекания v на время ii, т. е. объем равен лг2иЦ. Таким
образом, nR2h=nr2vtt. Отсюда, учитывая формулу (6) и обо-
значение ti = t (х-|-Л)—f(x), получаем:
R2 Г
h r2a V2£ Vх
причем погрешность приближения стремится к нулю при h -> О.
Следовательно, при h -> 0 получается равенство
И*)= 2 R^’-7=' откуда / (х)= /'	 2-фс + С.
r2o\2g л!х
Если х = 0 (в баке нет воды), то /(0) = 0, поэтому С=0. При
х — Н находим искомое время:
r2<y-y{g
Используя данные задачи, вычисляем:
108.
Ответ. 108 с. А
о
получаем:
0.08
Используя данные задачи,
0.08
Л=( 1000xdx = 1000^-1
о	2 1
= 3,2 (Дж). ▲
3 а д а ч а 4. Вычислить работу силы F
при сжатии пружины на 0,08 м, если для
ее сжатия на 0,01 м требуется сила 10 Н.
Л По закону Гука сила F пропорцио-
нальна растяжению или сжатию пружины,
т. е. F—kx, где х — величина растяжения
или сжатия (в м), й — постоянная. Из
условия задачи находим й. Так как при
х=0,01 м сила F=10 Н, то й=—= 1000.
Л
Следовательно, F (x)=kx = 1000л.
Работа силы F (х) при перемещении
тела из точки а в точку b равна
ь
A F (х) dx.
Упражнения
653.	Тело движется прямолинейно со скоростью v (/) (м/с). Вы-
числить путь, пройденный телом за промежуток времени от
t = t\ до t = t2:
1)	v (/)=3/2 + 1, <1=0, /2=4;
2)	v(t)=2t2 + t, <i = l, /2 = 3.
654.	Скорость прямолинейно движущегося тела равна v (/)=
=4/ — /2. Вычислить путь, пройденный телом от начала
движения до остановки.
655.	Решить дифференциальное уравнение:
1)	у' = 3 —4х;	2)	у'	=	Ъх2 — 8хф- 1;
3)	у' = 3е2х;	4)	y'	=	4cos2x;
5)	i/ = 3sinx;	6)	y' = cosx— sin х.
656.	Найти решение дифференциального уравнения, удовлетво-
ряющее данному условию:
1)	z/' = sinx, «/(0)=0;
2)	у' = 2 cos х, у(л)=1;
3)	/ = Зх2+4х-1, t/(l)=-2;
4)	t/' = 24-2x — Зх2, у(—1)=2;
5)	у' = ех, у(1)=1; “
6)	у' = е х, у(0) = 2.
657.	Показать, что функция у= cos wx-f-С2 sin сох при любых
значениях Ci и С2 является решением дифференциального
уравнения у" ф- ы2у=0.
658.	Масса радия, равная 1 г, через 10 лет уменьшилась до
0,999 г. Через сколько лет масса радия уменьшится до
0,5 г?
659.	Вычислить работу, которую нужно затратить на сжатие
пружины на 3 см, если сила в 2 Н сжимает эту пружину на
1 см.
660.	Вычислить работу, которую нужно затратить при растяжении
пружины на 8 см, если сила в ЗН растягивает пружину
на 1 см.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
661. Для функции f (х) найти первообразную, график которой
проходит через точку М:
1) f(x)=cosx, М (0; —2);
3)	М(4; 5);
5) f (х)=Зх2ф-1, М(1; -2);
2) f(x) = sinx, М (— л; 0);
4) f(x)=ex, М(0; 2);
6) f(x)=2 —2х, М(2; 3).
183
662. Вычислить интеграл: 2 1) 2dx; — 1		2)	2 J (3 — x)dx; — 2	3)	3 J (x2 — 2x) dx; 1
4)	1 (2х — Зх2) dx; — ।	5)	8 J \[xdx; i	6)	2 [ dx . !x3 *
7)	л J sin х dx; 0	8)	л J cos x dx. л		
663.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1)	y = V*> *=1, х=4, у=0;
2)	у = cosx, х=0, х=—, y=Q;
3)	у—х2, у=2—х;
4)	у = 2х2, у=0,5x4- 1,5;
5)	у=\[х, х= — 8, х= —1, у = 0;
6)	y=V’ х=~3- *=-!. У = 0.
ПРОВЕРЬ СЕБЯ!
1.	Показать, что функция F(х)=е2*-|-х3 — cosx является
первообразной для функции f (х) = 2е2х 4- Зх2 4- sin х на
всей числовой прямой.
2.	Для функции f (х)=3х2 -|-2х — 3 найти первообразную,
график которой проходит через точку М (1; —2).
3.	Вычислить:
Л
2	4	Т	л
$ Зх3 dx;	^7;	$ cos х dx;	$ sin	2х dx.
I	2*	О	п
•5
4.	Найти площадь фигуры, ограниченной: а) параболой
у=х2 4- х — би осью Ох; б) графиками функций у=х2 4- 1
иу=10.
184
Вычислить интеграл (664—665).			
664. 1)	$ (5х4 — 8х3) dx\ 0	2)	$ (6x3 —5x)dx; — i
3)	4 S V«(3—7) dx-	4)	8 |4V^(1—7) dx'
5)	3 5 Vх+1 dx; 0 л	6)	6 $ -yj2x — 3 dx. 2 я 7	/	\
665. 1) 3)	S Tcos(x+7_)dx; 3 $ 3 sin (3x —6) dx\ i	2) 4)	ifsin(x-f)dx' 3 8 cos (4x — 12) dx. 0
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (666—667).
666. 1) у=-^-, У=4х, х=1, у=0;	2) у=-р-,у=х,х=2,у=0;
3) у = х24-1, у=х4~1;	4) у=х2-\-2, у = 2х4-2.
667. 1) у = х2 — 6x4-9, у = х24*4х4-4, у=0;
2)	У=х24-1, У=3—х2;
3)	у—х2, у = 2 -72х;
4)	У=^[х, у=^4 — 3х, у=0.
668*. Найти площадь фигуры, ограниченной:
1) параболой у=х2 — 2x4-2, касательной к ней, проходя-
щей через точку пересечения параболы с осью Оу, и пря-
мой х=1;
2) гиперболой у=-^-, касательной к ней, проходящей че-
рез точку с абсциссой х = 2, и прямыми у = 0, х = 6.
669**. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) у = х3 —Зх2—9x4-1, х=0, у=6, х<0;
2) у=х4 —2х24-5, у = 1, х=0, х= 1.
670**. При каком значении k площадь фигуры, ограниченной
параболой у=х24-рх, где р — заданное число, и прямой
у = Лх-4-1. наименьшая?
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ КУРСА
АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА XI КЛАССА
671.	Найти значение производной функции f (х) в точке Хо:
1)	f (х)=х3—у-+х, *0=-^-;
2)	f(x)=^+o,5x2-l, хо=4-;
3)	f(x)=^+±-x, Хо=-2;
4)	f (х)=х-3-^+Зх, х0 = 3;
5)	f (х)=х2 In (2—х), х0= 1;
6)	у = х3<?\ х0 = — Г,
7)	f(x)=-!^, х0 = 1;
8)	у=^, *о=4~-
sin х	4
672.	Найти значения х, при которых значение производной функ-
ции f (х) равно 0:
1)	f(*)=sin2x— х;
2)	f (x)=cos 2x-J-2x;
3)	f(x)=(2x-l)3;
4)	f (x)=(l —Зх)5.
673.	Показать, что f' (l)-f' (0), если f (x)=(2x — 3)-(3x24~ 1).
674.	Найти значения x, при которых значения производной функ-
ции f (х)=х3— 1,5х2—18x4—\/3 отрицательны.
675.	Найти угловой коэффициент касательной к графику функ-
ции у=[(х) в точке с абсциссой х0:
1)	i (x)=sin x4-cos х, хо=-^-;
2)	/(x)=cos3x, xq=-2~.
6
676.	Найти угол между осью Ох и касательной к графику функ-
ции у={ (х) в точке с абсциссой х0:
U f (*)=А—V*. *o=i;
4Х
2) f (x)=2xV*. *о=4-.
О
186
«77. Написать уравнение касательной к графику функции у=/ (х)
в точке с абсциссой х0:
1)	x0=-L;
4х\х	4
2)	f(x)=2x4— х2 + 4, х0 =— 1.
678.	Исследовать функцию y=ffx) и построить ее график:
1)	f (х)=4х3 + 6х2;	2) f (х)=3х2 — 2х3;
3)	4) Н*)=*4—^х2-
679.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1)	у=^]х-\-5 на отрезке [—1; 4];
2)	у = х2—— на отрезке [1; 2],
3)	у = 3 sin хф-4 cos х на отрезке ^0;
4)	y = sin х-|-2д/2 cos х на отрезке ^0; -y-J;
5)	j/ = lnx — х на отрезке [0,5; 4];
6)	у = 2хе2х на отрезке [—1; I];
7)	у = х V5 —Зх2 на отрезке ^0;
8)	у=х т/1—х5 на отрезке [0; 1].
680.	Периметр осевого сечения цилиндра 6 дм. При каком ра-
диусе основания цилиндра его объем будет чаибэльшин?
681.	Найти наибольший возможный объем цилиндра, площадь
полной поверхности которого равна 51л см2, если извест-
но, что радиус основания не меньше 2 см и не больше 4 см.
682.	В правильной пирамиде SABC из вершины S проведена
высота SO. Найти сторону основания пирамиды, если объем
пирамиды является наибольшим при условии, что 5О-{-ЛС=
=9 и I <ДС<8.
683.	В правильной четырехугольной призме диагональ равна
2-\/3. При какой высоте призмы ее объем наибольший?
684.	Для функции f(x)=x~2 + cos х найти первообразную, гра-
фик которой проходит через точку М^0,5л. —
187
685. Вычислить:
Л
1) $ sin х dx;
п
т
2
4) $ (х2 — 6х + 8) dx;
।
।
7) \-^—dx;
о3~2х
2) J cos x dx; 3)
Л
2e
5) SO+t)^
e
I
8) -Z—dx.
2,5-4x
(x2 4- 2x + 3) dx;
— 2
6) $(x-2+l)dx;
।
686.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1)	у = 4х— х2, у=5, х=0, х = 3;
2)	у=х2— 2x4-3, х=1, х = 2, у=1;
3)	у=^-, у=—х24-4x4-1;
4)	у = х2 —2х-|-8, у=6, х= — 1, х = 3;
5)	t/ = sinx, у—0, х=-у, х=л;
6)	y — cosx, у=0, х=—х——.
6’6
687.	Пуля вылетает из пистолета вверх со скоростью 360 м/с.
Найти скорость пули в момент /= 10 с и определить, сколь-
ко времени пуля поднимается вверх. Уравнение движения
пули h = vot — 4,9/2.
688.	Колесо вращается так, что угол поворота прямо пропорцио-
нален кубу времени. Первый оборот был сделан колесом
за 2 с. Определить угловую скорость колеса через 4 с после
начала вращения.
Найти производную функции (689—691).
аяо п »-		_xs — Зх34-2х2 — х + 3	I ..	1Л~ Т	0.4 1 lAv-0.2.	
	у -	X3		у — 1 \JA-	ОЛ	|	1 vA	у
3)	У-	=x*Jx’^Jx;	4)	6х V* г  "V*
690. 1)	У-	_ Зхг-2х-Ц . *4-1	2)	2хг—3x4-1 . У	2х+1
3)	У	_1пх4-2 .	4)	, 	 4 In х
		X		У 14-1пх‘
188
691.	I) y=(2x4-i)2-V^-i;	2) y=x2.V(x + i)2;
3)	y = sin 2x-cos Зх;	4) y==x-cos2x.
692.	Найти значения x, для которых производная функции f (х)=
= (х—1) (х —2) (х —3) равна —1.
693.	Определить знак числа f' (2), если:
1)	f (х)=е3-2х-х2;	2) f(x)=^.
694.	Дана функция f (х) = j . Найти f' (0),
695.	Найти значения х, при которых f' (x)^g' (х), если f (х)=
=х3 + х2-]-хд/3, g (х)=х^/3+1.
696.	Найти угловой коэффициент касательной к графику функ-
ции у=х3—х-|- 1 в точке пересечения его с осью Оу.
697.	Найти угловой коэффициент касательной к графику функ-
ции у = Зх3—1 в точке с ординатой у=2.
698.	Прямая у=4х — 3 является касательной к параболе у=
= 6 — 2х-|-х2. Вычислить координаты точки касания.
699.	Найти точки, в которых касательные к графику функции
у=4х3 —9х2 + 6х-|-1 параллельны оси абсцисс.
700.	На параболе у=3х2 + 7х+1 найти такую точку, в которой
касательная к параболе образует угол -у с осью абсцисс.
701.	Написать уравнение касательной к графику функции y=f (х)
в точке с абсциссой х0:
1)	f(x)=xln2x, Хо=0,5;	2) f (х)=2~*, х0= 1;
3) f(x)=^, х0=-^;	4) f(x)=x3e'-\ х0=1.
\!х	у
702. Найти промежутки монотонности функции:
1) У=%^	2) У=^Г--
Найти точки экстремума функции (703—704).
703. 1) у = (х—I)3 (х —2)2;	2) у = 4 +(6-х)4.
704. 1) у = 3^+4*+4	2)	х2+6х-|-3
’ J х2+х+1	' у Зх-р4
705. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на дан-
ном отрезке:
1) у = 2 sin x-|-sin 2х, [Ъ; -у ];
2) у = 2 sin x-|-cos 2х, ^0; -у j.
189
706.	Исследовать функцию и построить ее график:
1) у=-1-х3 —х2 —Зх+9;
О
3) у=4-х4-2х2+^-;
4	4
5)
2) у=-1-х3+х2-Зх-9;
4) у=—x4-f-6x2 — 9;
6) у=^^.
' v 2х
707.	Каковы должны быть коэффициенты р и q квадратичной
функции у=х2 -\-px-\-q, чтобы при х=5 она имела минимум,
равный 1?
708.	Какой должна быть высота конуса с образующей в 20 дм,
чтобы его объем был наибольшим?
709.	Какую наименьшую площадь поверхности имеет цилиндр,
если его объем равен V?
710.	Найти радиус основания цилиндра, вписанного в шар ра-
диуса R и имеющего наибольшую площадь боковой по-
верхности.
711.	Найти высоту цилиндра наибольшего объема, вписанного в
шар радиуса R.
712.	Найти высоту конуса максимального объема, вписанного в
шар радиуса R.
713*. В конус с заданным объемом V вписана пирамида, в осно-
вании которой лежит равнобедренный треугольник с углом
при вершине, равным а. При каком значении а объем пира-
миды будет наибольшим?
714. Для функции f(x)=cos4x найти первообразную F (х), если
715. Найти первообразную функции:
1) у=_1	 ' *	х+1 X—1 ’	2) У=—— • 7 у 4х — 1
716. Вычислить:	
1) J (V*+ V*5) dx;	2) $	dx;
0	2
л	л
3) $ (1 — 2 sin2 x)dx;	4) J (2 cos2 х— 1) dx;
	Л 7Г
3	4
6> 2	 1	в) J
190
717.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1)	у=^х—\, у=3 — х, у=0;
2)	у= — х24*6х —2, у=х2— 2x4-4;
3)	у= —у, у = -х3, у=\;	4) у =	у^х2, У=^-
718*. Найти все значения Ь, при каждом из которых функция
f (х)— sin 2х—8 (Ь + 2) cos х—(4b2 4- 16b 4-6) х является убы-
вающей на всей числовой прямой и при этом не имеет ста-
ционарных точек.
719*. Найти все значения х, при которых касательные к графи-
кам функций у=3 cos 5х и у=5 cos 3x-f-2 в точках с абсцис-
сой х параллельны.
720*. Через точку А ^2; —у) проведена касательная к параболе
у=—т“Х2, пересекающая ось абсцисс в точке В, а ось ор-
5
динат в точке С. Найти радиус окружности, вписанной в
треугольник ВОС (О — начало координат).
721**. Через точку А (3; —4) проведена касательная I к гипер-
боле у = ——. Найти радиус окружности с центром на оси
ординат, касающейся прямой I и оси абсцисс.
722**. Сигнал с корабля можно различить в море на расстоянии
1 мили. Корабль А идет на юг, делая 3 мили в час, и в
настоящее время находится в 5 милях к западу от корабля
В, который идет на запад со скоростью 4 мили в час. Бу-
дут ли корабли на расстоянии, достаточном для приема
сигнала?
723**. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у =
=0,5х2— 2x4-2 и касательными к ней, проведенными через
точки Л(1; -у) и В (4; 2).
724**. Через точку графика функции у—^/х с абсциссой а, где
-|-^а^2, проведена касательная к этому графику. Найти
значение а, при котором площадь треугольника, ограни-
ченного этой касательной, осью Ох и прямой х=3, будет
наименьшей, и вычислить эту наименьшую площадь.
725**. Дана фигура, ограниченная кривой y = sinx и прямыми
у=0, х—Под каким углом к оси Ох нужно
провести прямую через точку (0; 0), чтобы эта прямая раз-
бивала данную фигуру на две фигуры равной площади?
191
дня итогового
повторения курса алгебры
Умение решать задачи
тическое
плаванию,
жах, или
научиться
подражая
постоянно
прак-
искусство, подобное
или катанию на лы-
игре на фортепьяно:
этому можно, лишь
избранным образцам и
тренируясь...
Д. Пойа
1.	Числа и алгебраические преобразования (726—779).
2.	Уравнения (780—819).
3.	Неравенства (820—845).
4.	Системы уравнений и неравенств (846—852).
5.	Текстовые задачи (853—872).
6.	Функции и графики (873—923).
7.	Комбинированные задания (924—929).
8.	Задачи, предлагавшиеся на выпускных экзаменах
(930—933).
1.	Числа и алгебраические преобразования
726.	Найти 2,5% от 3,2.
727.	Найти число, если 42% его составляют 12,6.
728.	Какой процент составляет 1,3 от 39?
729.	Сколько процентов составляет 46,6 от 11,65?
730.	Найти число, 175% которого составляют 78,75.
731.	Найти 180% от 7,5.
Пойа Дьердь (1887—1985) —американский математик, родился в Венгрии.
Основные исследования относятся к теории вероятностей, математической физике,
теории чисел. Основоположник современной эвристики (раздела психологии, изу-
чающего закономерности творческого мышления).
192
732.	Цена товара была снижена сначала на 24%, а затем на
50% от новой цены. Найти общий процент снижения цены
товара.
733.	В сплаве содержится 18 кг цинка, 6 кг олова и 36 кг меди.
Каково процентное содержание составных частей сплава?
734.	Стоимость товара и перевозки составляет 394 р. 20 к.,
причем расходы по перевозке товара составляют 8% стои-
мости самого товара. Какова стоимость товара без учета
стоимости его перевозки?
735.	Высота пирамиды равна 5 см, а площадь ее основания
равна 4 см2. На сколько процентов увеличится объем этой
пирамиды, если и площадь ее основания, и высоту увели-
чить на 10%?
736.	При делении некоторого числа на 72 получится остаток,
равный 68. Каким будет остаток, если это же число раз-
делить на 12?
737.	Сумма двух чисел равна 1100. Найти наибольшее из них,
если 6% одного числа равны 5% другого.
738.	По вкладу, вносимому на срок не менее года, Сбербанк
выплачивает 3% годовых. Вкладчик внес в Сбербанк вклад
в размере 600 р. Какую сумму денег он получит в конце
второго года со дня вклада? в конце третьего года со дня
вклада?
739.	По обычному вкладу Сбербанк выплачивает 2% годовых.
Вкладчик внес 500 р., а через месяц снял со счета 100 р.
Какая сумма денег будет на его счету по истечении года
со дня выдачи ему 100 р.?
Вычислить (740—741).
74() .4	5,48 + 8,02	2 ) 20-88:13 + 45:0,36 .
' (7,97+ 8,77):3,72 ’	’	19,59+11.95 ’
3) 23,276:2,3-3,6-(17,2-0,125+0,005:0,1)+6,25-3,2;
4) 9,25  1,04—(6,372:0,6 +1,125 • 0,8): 1,2 + 0,16 • 6,25.
о 1	9	3	1
28:1т+7у:22+1—-9Т+14:1Т
741. 1)
2)
ь4)4-з°4
2/10__Zo .
3) (0,645:0,3-1 ^)-(4:6,25-1:5+-у--1,9б);
4 > (4— 01375 ): °’125+12 ): (0,358 - °’108)-
7 Зиказ 41
193
742. Найти неизвестный член пропорции:
1) Ю:4-=х:1—,
8±	4
3)
' 4’
2) х:0,75 = 9^-:П-4;
х __ 1,456
15	1,05
Вычислить (743—745).
743.
744.
745.
743.
1) (625 ^75°-s 6-8,70).(^+l);
1 т/8
D (а*) ;
3)
1)	logeV2;
4) (V3)2-,O<^7;
2)
4)
2)
5)
45^)-183^/5.
(2^ )V3.2—3-
(5т/5+т/3 р/5—V3
10^i:
3)	52 + 1066 2.
6) 1б°-51ое<10+|
Какое из чисел больше:
*3
1) т/8 или 2'"”+'ЧЛ	2) т/5 или
3)	тД8 или 4'"в1+“'+.
log® 2— -j • log^S
4)	%Ji8 или	?
Упростить (747—748).
747.	1) 2т^;	2) fi&X* •
Vsw
3)	Зд/^—А-^04-з7180-4д/^;
4)	—?-------2-----4—.
V6-V5 V5+V2 д/б-л/2 ’
5) <га-”>-л/^=2^Т7’ “>«>о. ‘>0;
6) ^Ь2 + 2ftV2+2+V62-2Ь^2 + 2, Ь>^2.
194
748.	1) Va4(9a1 2 3-6a+l);	2) VF(4b4 + 4feJ+1);
3)	—2----1--— при a > 0, a =# 1;
1 —\/a	1 +д/а
-yja—^b ПрИ b>Q, a^=b.
a-\[b — b -\[a
749.	Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
1)	— ;	2)	;	3) -у=;	4)
д/З	-\/5	\Ь	2^/а
5)	—;	6)	—;	7)	—-—;	8)	—-—.
<3—^/2	л/6 + л/5	<10—^7	-/П+т/З
750.	Освободиться от иорациональности в числителе дроби:
')f;	2)f;	з)^;
751.	Записать в виде обыкновенной дроби число:
1)	0,(4); 2) 2,(7); 3) 0,(21); 4) 1,(36); 5) 0,3(5); 6) 0,21(3).
752.	Записать в виде десятичной периодической дроби следующие
числа-
1) |-;	2) 2-И;	3) -L;	4) 5-£-.
о	У	/	11
753. Может ли быть рациональным числом:
1) сумма двух положительных иррациональных чисел;
2) произведение двух иррациональных чисел;
3) частное от деления сум.лы двух неравных иррациональ-
ных положительных чисел на их произведение?
754. Доказать, что если а и Ь — натуральные числа и ~^ab —
рациональное число, то
также рациональное число,
а если -yjab — иррациональное число, то и
циональное число.
755. Пусть а — рациональное число, b — иррациональное число,
причем а=/=0. Доказать, что а-}-Ь, а-Ь, —иррацио-
нальные числа.
195
Рис. 95
756.	Имеют ли общие точки промежутки:
1)	[1; Зд^ + 2л/7] и [Зл/З + 4; 15];
2)	(0; V^+л/б) и (д/48-1; 10);
3)	[2; 2д/5 + 2д/б] и (3 72+л^2; И);
4)	[1; 1+л/з]и(-^—; 4)?
757.	Пусть 0<a<ft. Доказать, что на числовой оси;
1)	точка — середина отрезка [а; ft];
2)	точка	—середина отрезка [—ft; а];
3)	точка	—середина отрезка [—а; ft];
4)	точка — середина отрезка [—ft; —а];
5) точка а+ь-,
'	1+с
где с>0, лежит внутри отрезка [a; ft].
758.	1) Вычислить диаметр круга х, вписанного в равносторон-
ний треугольник (рис. 95), если а = 6 см.
2у Вычислить угол а заготовки, изображенной на рисунке
96, если а=4 см.
759.	Вычислить ширину / ущелья по данным, указанным на
рисунке 97.
760. Вычислить длину моста по данным, указанным на рисунке 98.
Рис. 97
Рис. 98
196
761. Найти числовые значения всех остальных тригонометричес-
ких функций по данному значению одной из них (о < а <
	1)	cos a = 0,8;	2)	sin a=-^~;
762.	3) tg а = 2,4; Вычислить:		4)	ctg a=~. 6	24
	1)	arccos ^cos -2-);	2)	sin (arcsin
	3)	cos (arcsin	4)	ctg (arctg 2);
763.	5) sin ^2 arcsin Вычислить: 1)	«*6*+^ при tga= ' ctg а — tg a 1 s 2)	sil3. а~со?.к. при tga = sin а + cos а sin a-cos а	+	 3)		5— при tg a sin a — coscz		6) 5 ’ __2_. ‘ 5 ’ =_3_ 4	tg (2 arctg 3). »
4) sin а-cos а, если sin a-|-cos а=-|-.
О
Упростить (764—769).
764. 1)	а2 + За + 2 10 —2а . а2 — 25 а + 2 ’
2)	62-1	26 + 1  b + 2 . 62 + 26—3 6+1 1 6 + 3 ’
3)	а + 2 /2а2—a—3.2a—3X. a—2 \a2+5a+6" a—2 /*
4)		1 \.862 + 8b+2 26+1 \ ’Г 6 Л 62—46	6 ’
76Б. 1)	71+2m  1 X ,/l+2m	1 X. \ 1 + m m ) \ m	l-j-m/
2)	/^_4|86_2\./_а__ 26 X . \262	a2/’\26 a J'
3)	a I a2+a —1	।	a2—a— 1	2a3 . a2 —1	a3—a2+a— 1 a3 + a2+a—1 a4 —1 ’
4)	1		2a		1	2 a2+5a + 6 1 a2+4a+3 1 (a+l)2+a+l	a+3‘
197
766. 1)
_J------L.+_^;
44-4-\/a 2 2q 4 — 4-\fa
2)
а^/2 + а—^2— 1
a^2 — 2 — ^2 + 2a '
768.
— io
P (аЬ-2+а~2ЬГ'-(а-3 + Ь-3).
769.
770.
771.
19b
9a—25a~‘	а+7+10а~‘ \4
CL	2fl
2	1 3
'3a —5a 2
4	3 1	2
T -Г.Т T
0 a —a b —a__________________
4	3 1	2 2
a^-2a^b^+a^b^
3\lb
2)
з) -F2
—(b2+18fe + 81)°-5;
4) (VFg
(VaV*)6
(W
Разложить на множители:
1) 1+cos a + sin a; 2)
3) 3—4 sin2 a;	4)
Доказать, что если а + Р+^ = л, то:
1) sin a + sin p—sin v = 4 sin ^-sin-|-cos
2) sin 2a + sin 2p + sin 2y=4 sin a-sin p«sin y.
1 —cos a—sin a,
1 —4 cos2 a.
Упростить выражение (772—774).
772. 1) 2 sin (-2—a) sin a;	2‘g-J 2) 	— ; i+tg2y
	4 2 a 1 — tg V 3) 	 !+‘g2y	2c‘gy 4) 	 1+cte2y
5) . i+w(4-)’	rx sin 2a ' 1 + cos 2a '
773. J ) 1 + cos 2a . '	2 cos a ’	o\ tg a — sin a . ’ tg a + sin a ’
n\ sin a-|-sin p . cos a+cos p ’	4) cos2 (a + p) — cos2 (a — p) . '	sin 2p
i-\ sin a-|-sin 3a + sin 5a . ' cos a+cos За+cos 5a ’	c\ 2 sin 2a+sin 4a 7 2 sin 2a—sin 4a ’
/74. 1) l-sin^-Зл) — cos2-~F sin2-2-;
_________1 +sin 2а--
cos (2а — 2n)-ctg(a-|-Л
Feos2 а;
2)
3) cos2 (а4-20)4-sin2 (а —20)—1;
4) sin2 (a-J-20)-|-sin2 (а — 20)— 1.
Доказать тождество (775—779).
775. 1) sir ^-2—|-a ) =^(sin a-|-cos а);
2) cos (“И а )	(cos а — sin а);
3)
(а—J")=V3 cos а;
4)	соб(-^-4-а) Feos(-=—a)=-\/3cosa.
776. 1)
--------=sin а;
. а . . а
tgy+ctgy
2)
etga-tga
etga-Hga
— cos 2a.
199
777.	1) (1 +cos a)-tg-2-=sin a;
2)	1 + sin a = 2 cos2 --
3)	1—sin a = 2 sin2-----2-);
4)
л/3+tg
2 sin^ + a
a =----------
cos a
778.	1) l-tg2a=^^;
'	° cos a
779.	l-|-cos a + cos 2a=4 cos a-cos6-^-+-^-)• cos(-2----
\ u i< J \ о
2. Уравнения
780.	Решить уравнение:
qч Зх —16 । i х 4- 6 х 4" 3 .
12	'	~ 4	6 ’
4)	^-(x-7)-3x-^^=-(x+^-).
781.	При каком значении a уравнение a(x— 3)+8 = 13(x+2)
имеет корень, равный 0?
782.	При каком значении Ъ уравнение 1 — b (х+4)=2 (х—8)
имеет корень, равный 1?
Решить уравнение (783—794).
783.	1) х(х+1)-(х+2)(х+3)+9 = х(х + 4)-(х+5)(х+2);
2) 2(х + 3)(х+1)+8=(2х+1)(х+5).
Зх ।___2x4-5 .
х-|-5	х ’
4х2-1 j 2	.	2	.
4х2 — 16x4-7	2х—1 ' 2х—7’
5__।_2 _	11
х —2 х—4 х2 —6x4-8'
784. 1 -^-+^-4=4;
х4-1 х—2
3) ——=—?—;
’ 3x4-7	5x4-9
_3____— 4
1 х4-3 х—3	х2—9 ’
785. 1) (a — fe)x = a2+(a + fe)x;
2) a2x=a + b + b2x.
786. 1) х2 — 2х—15=0;	2) Зх2+4х-4=0;	3) 7х2+4х=0;
4) 12х2—4х=0;	5) 2х2-х=1;	6) 4х2-100=0.
200
787.	1)	X2 	7х	 1 . 12 ~ 12	2)	2х-£=4; 3	6
	3)	(х —3) (х —2) = 6(х —3);	4)	Х2_1ьц-Д_=о. 6	2
788.	1)	х— 1 =——; X— 1	2)	х24-12_ 7х .
				х — 3	х — 3 ’
	3)	-тт4—^7=0;	4)	Зх2 	2	2x-f-1
		х+ 1 X—1		Зх—1	3x4-1
789.	1)	Зх—1	7	7х2 —28 . 18 .	2)	х-|-1	12 	2 — х
		х+2	24-х	х2 —4 1 2 — х*		х-|-3 х2 — 9	3 — х ’
790.	1)	2х ।	1	। Зх 4~9		q . х—3 Г 2x4-3 1 2х2 —Зх—9	2)	2	1 _2х— 1
				х2—х4-1 л-4-1	х34-1
791.	1)	х —44-—=0; X	2)		12_+4==0. х4-2	х4-2 1
792.	1)	х4-7х24-12=0;	2)	х4—Их2 4-30=0;
	3)	х4—13х24-36 = 0;	4)	2х4 — 5х2 4-2 = 0;
	5)	х — 2 -\[х= 15;	6)	4	— 5 = 0.
793. 1)		2х-24-4х“'4-3 = 0;		
	2)	(х2-х)24-12=8(х2-х);		
	3)	$ 1 $ 4- ьэ II о		
	4)	Зх2	5х	п г. (х-1)2	х-1		
794.	 1)	х2 — Зах— Ь2-}-— = 0; 4	2)	х2-|-ах—fe24--^-=0;
	3)	х I 2х	Ь2	4)	2х	х _ 5а2
		х — Ь	х + Ь	4(х2 —Ь2)’		2х — а 2х-|-а	4х2 — а2
795. При каком условии трехчлен ах2 + Ьх + с является квадра-
том двучлена?
796. Доказать, что корни уравнения ах2-t-bx-j-a=O есть взаим-
но обратные числа, если а=/=0.
Решить уравнение (797—798).
797. 1) |2л: —3| =7;
3) lf-fl=x-1;
798. 1) |6 —2х| =3x4-1;
3) |3х—11 4-14—х| =5;
2) |х4-6|=2х;
4) 2х — 7=|х —4|.
2) 2 |х-2| = |х| - 1;
4)
201
799. Найти наименьший корень уравнения |х2 —Зх—6|=2х
800. Найти наибольший рациональный корень уравнения
|х2—8x-f-5| = 2х.
Решить уравнение (801—808).
801. 1) д/2* + 7=х+2;	2)
3) V2x + 3-Vx+l = l;	4)
5) -^-=V8-3x;	6)

802. 1) Зх-7 = 81;	2)

3> (1) =(т) 	О
803. 1) 95х-95х-'=8;	2)

3) 4-_(i)2-+(X) 2 =208; 4)
804. 1) 52х+5.73х+,=35’2 С+6);
2) (0,2)х’.52х+2=(-Л j .
805. 1) 2 1g х —1g 5 = 5+3 1g 2;
2) i-ig2=f(ig-|-+igx+^-ig3);
3) ig(’ +*)-ig 2 lg*;
4х—4х-1+4х-2 = 52.
х = 2—д/2х —5;
-\/х + 2 у/3—х — 3;
2Х+4—2х = 120;
4) 21gx=-lg£-l-j.
806. 1) log2 (2х—18)+log2 (х—9)=5;
2) Ig(?+19)-Ig(x+I)=l.
807. 1) 5|оВэХ’ —6-5log3X+5=0;
2)	2510g3X—4-5log3X+I = 125;
3)	log4(x+3)—log4(x—1)=2 — log48;
4)	lgl0+^-lg(271+3^)=2.
808. I) lg (3х-2 —2)=0;	2) V^=10;
3) xlgx=10;	4) xlog3X=9x;
5)	xIgx—1 = 10 (1 —x_|gx);	6) x^=^F.
809. Могут ли корни уравнения (х—т) (х—ri)=k2 быть чисто
мнимыми, если т, п и k — действительные числа?
202
810.	Решить уравнение (z— комплексное число):
1)	z24-2z + 5=0;	2) z2-6z4-10=0;
3)	9z2-6z+10 = 0;	4) 4z2+16z+17 = 0;
5)	z2 + 4z+19 = 0;	6) z2-2z + 3=0.
Решить уравнение (811—819).
811.	1) sin 2x=3 cosx; 2) sin4x = cos4x—sin4 x;
3)	2 cos2 x — 1 4-4 sin 4x;
4)	2 cos 2x 4- 2 cos x • sin2 x = cos x;
5)	sin 2x4*2 sin x — 3cosx=3;
6)	2 cos x4*cos 2x = 2 sin x.
812.	1) sin3 x-pcos3 x=0;	2) 2 sin2 x-Psin2 2x=2;
3)	8 sin x-cos 2x-cos x=-\/3;
4)	4 sin x-cos x-cos 2x=cos 4x;
5)	2 sin2 x4*3 sin2 2x=0.
813.	1) sin3 x-cos x4*cos3 x-sin x=cos 2x;
2)	cos2 x4*7 sin2 x=8 cos x-sin x;
3)	9 sin x-cos x4*5 sin2 x=7;
4)	24*cos2 x4*3 sin x-cos x=sin2 x.
814.	1) sin 5x=sin 3x;	2) cos 6x4*cos 2x=0;
3)	sin 3x4*cos 7x=0;	4) sinx=cos5x.
815.	1) sin (x4--^) 4-sin (x4-^) =2 sin-y;
2)	sin(x4-^)4-cos(x4-^-)=*^;
3)	sin x 4- sin 5x=sin 3x;
4)	cos 7x — cos 3x=3 sin 5x.
816.	1) 54-sin 2x=5 (sin x4*cos x);
2)	sin 2x=(-\/2 —1) (14-sin х-4-cos x);
3)	54-sin x4-2 sin x-cos x=cos x;
4)	2-|-2 cos x=3 sin x-cos x4*2 sin x.
817.	1) sin x 4-sin 2x4* sin 3x4-sin 4x=0;
2)	cos x 4-cos 2x4-cos 3x4-cos 4x=0.
818.	1) tg2 3x—4 sin2 3x=0;
3)	ctgx^tgx+jL)^!;
s>
819.	1) tg2x=3tgx;
3) tE(*+f)+,B(*-t)
2) sin x-tg x=cos x4*tg x;
4) 4ctg2x=5—Л-;
sin X
6) sin x • ctg 3x=cos 5x.
2) ctg2x = 2ctgx;
2; 4) tg(2x4-l)-ctg(x4-l)=l.
203
3. Неравенства
Решить неравенство (820—821).
820. 1)
2)
3)
х + 4
4
4)
821. 1)
3)
1,5х 3 < 4х 4- 0,6;
JQX 6х —7 ^20x4-1 .
2	3’
2)
3x4- 1 -2 (34-х)<4х4-1;
2х — 5
— 3
Зх —8
9>х — 2х~37
4	3
4)
4 — Зх 5 — 2х
8
822. При каких
U 7	>
5)
’ 7x4-5 ’
823. При каких
Их —23 .
’	7
4) Ю-4х.
’ 9x4-2 ’
824. Решить неравенство:
2) ^v<4;
х—3
«П 2^3
5)
12	’
значениях х
2)
’ Зх—2 ’
6) 3x4-10.
’ 40 —х ’
значениях х
6)
7 —х 2 + Зх п
9	3 ^>U;
5х — 7 х 4- 2о
6	7
положительна дробь:
21х —5 .	t \ 3 —Их .
д) k_4v ’	4	’
8)
’ 6 + Зх
дробь:
4x4-9 .
2х—5 ’
18 —7х ->
— 4х2 —1 ’
6—Зх ’
7) Z±2_;
’ 5 —4х
отрицательна
•
' Зл-2’
г \ 6 — 5х ,
5) —.
3)
6)
3)
6)
3	2 .
2х-Т-3^ 3 ’
-^-<4.
х + 3^
1) ^±£<2;
х~ 1
4) -^-<1;
х —4
825. Решить квадратное неравенство:
2)
4)
6)
3)
5)
7)
х2 — 8х+7<0;
х2 — 6х^8х—45;
4x4-21 —х2>0;
Зх2 —2х + 7>0;
Зх2
8)
8х2 — 2х— 1 <0;
9)
Решить неравенство (826—827).
10) 5х2
826. 1)
х? —9
х2 —4
2) (2х2 + 3)(х-|-4)3>0.
204
5>ЙЙ<°; 6> 53В1>0-
828.	При каких значениях х выражение lg(x2 + 8x+15) не име-
ет смысла?
829.	При каком наименьшем целом значении т уравнение
(т— 1)х2— 2 (	х-\-т— 3=0 имеет два различных дей-
ствительных корня?
830.	При каких целых значениях т уравнение (т — 7)х2 +
+ 2(т— 7)х-|-3 = 0 не имеет действительных корней?
831.	При каком наибольшем целом значении х выражение
-Р+з *
х2_ду_|_ и пРинимает отрицательное значение?
832.	При каком наименьшем целом значении х выражение
—-—принимает положительное значение?
Решить неравенство (833—841).
833.	1) |х— 3| <6;	2) |х —3,4| >0,6; 3) |х —7|>2;
4) |2х — 3| <0,5;	5) |2х-3|<х;	6) |4—х| >х;
7) |х2 —7х+12|<6; 8) |х2 —Зх —4|>6;
9) |2х2—х — 11 >5;	10) |Зх2-х-4|<2.
834.	1) 2“х+5<-!-;	2) (-L-V*-21 >-L;
’	4 ’	' \ 3 /	27 ’
|х-1
3)	4х2+х-12>1;	4) 3’2х+г< —
Vsf
835.	1) Зх+1-9х~Ь=:^3,	2) Зх+,+Зх-'<10.
2 ,
836.	1) 22х — 4Л-'+83 -2-4>52;
2)	f»+2 — 2л+34-5х-2>5х+1+2х+4.
837.	1) 3log2M<_L;	2) 5Ice!(x2-4x+3.5)>_L
«38. 1) log6 (2 — х)<loge (2х + 5);	2) log , (х2-2)> - 1.
у
839.	1) 4i°Bc!s(3-2x)<2;	2) |оК3(х~1)<0;
2х — I
3) Vfg^<4-;	4) log1x<log,(2x4-6)4-2.
z	т т
205
840.	1) logl(logl^tl)<0; 2) log,(log4(x2-5))>0;
3)	logn (x-}-27)—logn (16 —2x)<logn x.
841.	1) cos( —3x)>^;	2) cos^2x—^-)<—
3)	2sln(f-f)eos(^+f)>f.
842.	С помощью графика решить неравенство:
1)	sinx<-i-;	2) sinx>—
3)	tgx —3^0;	4) cosx>-|-.
о
Доказать неравенство (843—845).
843.	1)
2)	—^>(~1г)3- если а>°. 6>°. а^Ь-
844.	1) (а4-Ь)(а6-|-1)^4аЬ, если а>0, Ь>0;
2)	а4 4-6а2 Ь2 4-Ь* > 4аЬ (а2 + Ь2), если а^Ь.
845.	1) -f-+7-4”7>3, если а>0, 6>0, с>0;
2)	2а2 4- Ь2 4- с2 2а (Ь 4- с);
3)	а24-а64 Ь24-2а—2ft4-<>0;
4)	3 (14-а24-о4)^(1 4-а+^У, если а>0.
4. Системы уравнений и неравенств
Решить систему уравнении (346—847).
84G. 1) |3х —2у = 5,
v 6х4-2у=7;
3) | Зх — Зу—1=0,
1 х4-3у—5=0;
847. 1) (-£-|-2-=1,
’ I 2 1 3
V=TX~3;
3) (^-2у=3,
1 12х+5£3х==3.
2) | 5х —7у=3,
1бх4-5у=17,
4) (2х—у—13=0,
( х4-2у4~ 1 =0.
2) (Ar3Z_£±i=io
' I 5	2
lf+f=l0;
4) (4^+V-6'
lx	о
I х4-у
X 4	3
206
Найти действительные решения системы (848—850).
848. 1) ( у + 5=х2,	2) fxy=16,	3) |x-f-y = 20
( х2+у2 = 25;	) х___(ху=96;
v у
4) ( ху = 12,	5) (ху=—30,
1х+у = 7;
6) гх2 + 2у2 = 96,
(х = 2у.
849. 1) ( х2+х-}-у = 6,
\у—х = 3;
3) |2х+у = 4,
(х2-|-х-|-у = 10,
850. 1) (-—JL=-^-,
< у х 2
(х2-Ьу2 = 20;
3)	| х2 = 13х-|-4у,
1у2=4х4-13у;
х—у=11;
2) |х2-у2 = 13,
(х—у=1;
4) f х2 —Зу= —5,
( 7х + 3у=23.
4) гЗх2+у2—4х=40,
12х2+у2+3х = 52.
851. Найти наименьшее и
наибольшее целые решения системы:
2х—3 Зх + 5 х	х-|-4
2	3	6	<	2	’
। 2х— 8 । 4—Зх ________у-р2
1	3 + 2 <'Z	’ 3 ’
852. Решить систему неравенств:
2)
хЧ^1 л-р2	—3
5	4	3
х—। । х—5
3	15 ’
5.	Текстовке задачи
853.	Пассажир поднимается по неподвижному эскаттгору за
3 мин, а по движущемуся — за 45 с. За какое время подни-
мает эскалатор неподвижно стоящего на нем пассажира?
854.	Теплоход прошел расстояние между двумя пристанями по
течению реки за 7 ч, а против течения за 9 ч. Определить
расстояние между пристанями, если скорость течения реки
2 км/ч.
855.	Пароход должен был пройти некоторое расстояние за
2,25 суток, но оказалось, что он проходил за каждый час на
2,5 км больше, чем предполагалось, а потому прошел на-
меченный путь за 2 суток. Какое расстояние должен был
пройти пароход?
207
856.	Один рабочий выполняет некоторую работу за 24 дня, дру-
гой рабочий ту же работу может выполнить за 48 дней.
За сколько дней будет выполнена эта работа, если рабочие
будут работать вместе?
857.	Бассейн наполняется двумя трубами за 7,5 ч. Одна первая
труба наполняет бассейн на 8 ч быстрее, чем одна вторая.
За сколько часов первая труба, работая отдельно, может
наполнить бассейн?
858.	При уборке урожая было собрано 4556 ц яровой пшеницы с
общей площади 174 га, причем на целинных землях собрано
по 30 ц с одного га, а на остальной площади — по 22 ц.
Сколько гектаров целинных земель было освоено?
859.	Разность двух чисел относится к их произведению как 1:24,
а сумма этих чисел в 5 раз больше их разности. Найти эти
числа.
860.	Три дроби имеют числители, равные единице. Сумма этих
дробей равна 1. Разность между первой и второй дробями
равна третьей дроби. Сумма первых двух дробей в 5 раз
больше третьей дроби. Найти эти дроби.
861.	Бригада рабочих должна была к определенному сроку из-
готовить 360 деталей. Перевыполняя дневную норму на
9 деталей, бригада за день до срока перевыполнила плано-
вое задание на 5%. Сколько деталей изготовит бригада к
сроку, если будет продолжать работать с той же произво-
дительностью труда?
862.	Катер направился от речного причала вниз по реке и, пройдя
36 км, догнал плот, отправленный от того же причала за
10 ч до начала движения катера. Если бы катер отправился
одновременно с плотом, то, пройдя 30 км и повернув обрат-
но, встретил бы плот на расстоянии 10 км от речного при-
чала. Найти собственную скорость катера.
863.	Две организации приобрели театральные билеты. Первая
организация израсходовала на билеты 30 р., а вторая, ку-
пившая на 5 билетов меньше и заплатившая за каждый би-
лет на 30 к. меньше первой организации, уплатила за биле-
ты 18 р. Сколько театральных билетов купила каждая орга-
низация?
864.	От пристани отправился по течению реки плот. Через
5 ч 20 мин вслед за плотом с той же пристани отправилась
моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 17 км. Како-
ва скорость плота, если известно, что скорость моторной
лодки по течению больше скорости плота на 48 км/ч?
865.	При уборке урожая с каждого из двух участков собрано
по 210 ц пшеницы. Площадь первого участка была на
0,5 га меньше площади второго участка. Сколько центнеров
пшеницы собрано с одного гектара на каждом участке, если
урожай пшеницы н? первом участке был на 1 ц с 1 га больше,
чем на втором?
208
866.	Расстояние от дома до школы 700 м. Сколько шагов делает
ученик, проходя путь от дома до школы, если его старший
брат, шаг которого на 20 см длиннее, делает на 400 шагов
меньше?
867.	Найти четыре числа, являющиеся последовательными чле-
нами геометрической прогрессии, если третье число больше
первого на 9, а второе больше четвертого на 18.
868.	Найти сумму первых двенадцати членов арифметической
прогрессии, если сумма первых трех ее членов равна нулю,
а сумма четырех первых равна 1.
869.	Найти четыре числа, зная, что первые три из них являют-
ся тремя последовательными членами геометрической про-
грессии, а последние три — арифметической прогрессии.
Сумма первого и четвертого чисел равна 16, а второго и
третьего равна 12.
870.	Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна
62. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый ее члены
являются соответственно первым, вторым и десятым чле-
нами арифметической прогрессии. Найти первый член гео-
метрической прогрессии.
871.	Произведение пятого и шестого членов арифметической про-
грессии в 33 раза больше произведения ее первого и вто-
рого членов. Во сколько раз пятый член прогрессии больше
второго, если известно, что все члены прогрессии поло-
жительны?
872.	В треугольнике, площадь которого равна 12 см2, середины
сторон соединены отрезками. Во вновь полученном треуголь-
нике точно так же образован новый треугольник и т. д.
Найти сумму площадей всех получающихся таким построе-
нием треугольников.
6.	Функции и графики
873.	График линейной функции у——|-х-|-6 проходит через
точку (—2; 3). Найти Ь.
874.	График линейной функции y — kx-\-3 проходит через точку
(—1; 4). Найти k.
875.	Найти коэффициенты k и b линейной функции у =kx-\-b,
если ее график проходит через точки А и В:
1)	Л (— 1; — 2), В (3; 2);	2) А (2; 1), В(1; 2);
3)	Л (4; 2), В (—4; —3);	4) Л (—2; —2), В (3; —2).
876.	Через точку Л ( — 3; 2) проходит прямая, параллельная пря-
мой, проходящей через точки В ( — 2; 2) и С (3; 0). Записать
формулы, задающие линейные функции, графиками которых
являются данные прямые.
209
877.	Выяснить, принадлежит ли прямой х4--^-=1 точка А:
1)	Л(—1;4);	2) Л (0; 3);	3)Л(1;0);	4)Л(-|-;-1).
878.	Линейная функция задана формулой у=——х-1-2. Найти:
'	4
1)	точки А и В пересечения ее графика с осями координат;
2)	длину отрезка ЛВ;
3)	расстояние от начала координат до прямой у— — ~-х4-2.
879.	Найти значения х, при которых график функции у=3х — 1
расположен: 1) выше оси Ох- 2) ниже оси Ох.
880.	Найти значения х, при которых значения функции у=
= —2x4-1: 1) положительны; 2) отрицательны.
881.	Найти значения х, при которых график функции у—2х—1
лежит ниже графика функции у—Зх—2.
882.	Найти значения х, при которых график функции
у—(д/З—2) х—\/3 лежит выше графика функции у—
=(14-л/3)х4-2л/з.
883.	Доказать, что функция у=2х—3 возрастает.
884.	Доказать, что функция у=—-\/Зх — 3 убывает.
885.	Выяснить, пересекаются ли графики следующих функций:
1)	у—Зх—2 и у=Зх-4-1;
2)	у—Зх—2 и £/=5x-j-l;
3)	у=3х — 2 и у=6х—4.
886.	Построить графики функций:
1)у=2—|х|;	2) у=|2—х|;	3) у = |2-х| 4- |х-3|.
Выяснить, пересекают ли графики каждой из данных функ-
ций прямую у=3. В случае утвердительного ответа найти
координаты точек пересечения.
887.	Дана функция у=х2 —2х —3.
1)	Построить ее график и найти значения х, при которых
У (х)<0.
2)	Доказать, что эта функция возрастает на промежутке
[1; 4J.
3)	Найти значение х, при котором функция принимает наи-
меньшее значение.
4)	Найти значения х, при которых график функции у=х2 —
—2х—3 лежит выше графика функции у = — 2х-|-1.
5)	Записать уравнение касательной к параболе у=хг —
—2х—3 в точке с абсциссой, равной 2.
21»
H88. Дана функция у=—2x2-f- 3x4-2.
1)	Построить ее график и найти значения х, при которых
у(х)<0.
2)	Доказать, что функция у = — 2х2 4~ Зх 4- 2 убывает на
промежутке [1; 2].
3)	Найти значение х, при котором функция принимает
наибольшее значение.
4)	Найти значения х, при которых график функции
у = — 2х24-Зх-|-2 лежит ниже графика функции у=
= 3x4-2.
5)	Записать уравнение касательных к параболе у= —2х2-}-
4-Зх-}-2 в точках с ординатой, равной 3.
889.	Выяснить, пересекаются ли графики функций:
1)	у=х2 и у=х4-6;	2) У=-^- и у=4(х4-1);
3)	У=^х2 и	4) У=2х“1 и У=^Г-
ох	х
890.	Исследовать функцию на четность и нечетность:
1)	у=2х2 — 1;	2) у=х—х3;
3)	у=х5—А-;	4) у=^-±.
891.	Найти наименьший положительный период функции:
1)	y = cos-y;
2)	y=2sin0,6x.
892.	Исследовать функцию на четность и нечетность и построить
ее график:
1)	у=— х44-4х2-5;
2)	у=х3 —4х.
893.	Найти наибольшее (наименьшее) значение функции у = ах2 +
4-6х—4, если у (1)=0 и у(4)=0.
894.	Найти точки Пересе 1ения графика квадратичной функции с
осями координат:
1)	у=2х5 —5х ’-6;
2)	у=2х2 —5x4-2;
3)	у = 4х24-12x4-9.
895.	1 loc i роить график функции у=ах2 4- Ьх 4- с, если у (—2) = 15,
у(3)=0, у(0)=-3
890. Построить график функции у=д/‘75— х5. Указать по графику
промежутки монотонности функции. Доказать, что график
данной функции симметричен относительно оси Оу.
211
897. Построить график функции у=-—Доказать, что функ-
ция у——убывает на промежутках х<2 и х>2. В какой
точке график функции у=—пересекает ось ординат?
Найти область определения функции (898—899).
898.	1)	y = lg(2 —х)—Vx + 2;	2)	y=lg(x2+2x—15);
	3)	y=~\f^—^’ w V x-f-3	4)	
899.	1)	,л/х2-7х-Ц2 . log2(x—1)	2)	y = lg(l — lg(x2 —5x4-6));
	3)	u=-,/*2-6x-16 	4)	f/ = Vlog । (x —3)—1 .
		y V x2—12x4-11 ’		
Найти множество значений			функции (900—901).	
900.	1)	y = x2-|-6x-|-3;	2)	у = — 2x2 4- 8x — 1;
	3)	y = ex+l;	4)	У = 24-Л
901.	1)	у=0,5 4-sin ^x—0;	2)	y = cos 2x—2-;
	3)	y—2 sin x — 3 cos x;	4)	у = 0,5 cos x-j-sin x.
902.	Найти угол между осью Ох и касательной к графику функ-
ции у=х3—х2— 7x-J-6 в точке М (2; —4).
903.	Найти тангенс угла, который касательная к графику функции
у=х2~е~х в точке с абсциссой х=1 образует с осью Ох.
904.	Найти угол между осью Ох и касательной к графику функции
у=—cos(3x—2-) в точке с абсциссой х—-^-.
3	\	6 /	3
905.	Записать	уравнение	касательной	к	графику	функции
f (х)= з в точке его пересечения с осью Ох.
906.	Записать	уравнение	касательной	к	графику	функции
f (х)=д/хг4~1 в точке с абсциссой х=4.
907.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (х)=
=х2(2х— 3)—12 (Зх — 2) на отрезке —З^х^б.
908.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (х)=
=2 In3 х—9 In2 х4~12 In х на отрезке е4 ^х^е3.
909.	На параболе у=х2 найти точку, расстояние от которой до
точки А ^2; -0 является наименьшим.
910.	На координатной плоскости даны точки А (3; — 1) и D (4; — 1)
Рассматриваются трапеции, у которых отрезок AD является
одним из оснований, а вершины другого основания лежат на
212
дуге параболы у=1—х2, заданной на отрезке [—1; 1]. Сре-
ди этих трапеций выбрана та, которая имеет наибольшую
площадь. Найти эту площадь.
VI1. На координатной плоскости дана точка /((3; 6). Рассматри-
ваются треугольники, у которых две вершины симметричны
относительно оси Оу и лежат на дуге параболы у = 4х2, задан-
ной на отрезке [— 1; 1], а точка К является серединой одной
из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, который
имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.
912. Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения ра-
вен р, выбран цилиндр наибольшего объема. Найти этот
объем.
913. Из всех цилиндров, которые можно поместить внутри сферы
радиуса R, найти цилиндр наибольшего объема.
014. Консервная жестяная банка заданного объема должна иметь
форму цилиндра. При каком соотношении между диаметром
основания и высотой расход жести будет наименьшим?
015. Из всех правильных треугольных призм, которые вписаны
в сферу радиуса R, выбрана призма наибольшего объема.
Найти высоту этой призмы.
016. Из всех цилиндров, вписанных в конус с радиусом основания
R и высотой И, найти цилиндр наибольшего объема.
017. Найти экстремумы функции:
1) f (х)=х’4"3х2 —9x4-4;	2) f (х)=х4 —2х54*5.
018. Исследовать с помощью производной функцию у=х3 — Зх + 2
и построить ее график. Найти точки, в которых касательные
к графику параллельны оси Ох.
019. Исследовать с помощью производной функцию у—х2 — 5х2 —
—х4-5 и построить ее график. Записать уравнение каса-
тельной к графику этой функции в точке с абсциссой, рав-
ной 4.
920. Исследовать с помощью производной функцию и построить
ее график:
1) У=— ^-+х2;	2) у=х4 —2х2 —3.
ограниченной линиями (921—923).
2) у=4х—х2, х=1, х=2, у=0;
4) у=х2 + 3, у=х4-5;
6) у = 2^/х, 6—у=0, х=0.
Вычислить площадь фигуры,
021. 1) у=^/х, у—2, х = 9;
3) у=4 — х2, у = 2х2 — 8;
5) У — ~\[х, У—х2\
«22. 1) у=9—х2, у=(х—I)2 —4;
3) у=х~2, У=^—х2, х>0;
«23. 1) у = cosx, х==-^~< У=0;
2) у=(х—2)2, у=4—х;
4) у=х2, у=\[х.
2) y = sin ~ У=^1х, х=л;
3) y = cosx, у=х4-1, у=0;
4) у—У, х = — 1, х = 1, у—0.
213
7. Комбинированные задания
924.	1) Решить уравнение sin 2х-|-cos 2х-|-1—0.
2)	Решить неравенство 0,55-1 ^2-0,ох.
3)	Вычислить: 5-102-|°в,°°25..
4)	Для функции [ (х)——хэ найти первообразную, график
которой проходит через точку (1; —0,5). Вычислить значе-
ние первообразной в точке х = 2.
5)	При каком уменьшаемом разность будет наибольшей,
если вычитаемое равно удвоенному квадрату уменьшае-
мого?
925.	1) Решить уравнение sin2 х4-0,5 sin 2х — 1.
2)	Решить неравенство 0,6 2х2+8х>»1.
3)	Вычислить: Ю05|ов*10+1.
4)	Для функции f(x)=2^/x найти первообразную, график
которой проходит через точку (4, 10j. Вычислить значение
первообразной при х=^/9.
5)	При каком значении первого множителя произведение
будет наименьшим, если второй множитель на 3 единицы
меньше первого?
926.	1) Решить уравнение sin x=tg-^-.
2)	Решить неравенство log^ х4“log (*4~ 1) <l°g i (2x4-5).
2	2	2
3)	Доказать, что функция у=3;.'2— 12x4-11 при х>2 воз-
растает.
4)	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у=— Зх2—х— 1, х= — 1 иу= —15.
5) Упростить выражение
927.	I) Решить уравнение sin х= ctg
2)	Решить неравенство log2 х -|- log2 (2х — 1) < log2 <2х 4- 2).
3)	Доказать, что функция у=—2х24*4х—7 при х>1 убы-
вает.
4)	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у=х2—4x4-8, х= —1, х=4, у=3.
5)	Упростить выражение
(4а—9а~‘	। а—4-Р З'х-'Х 2
2а2—За 2	а2—а 2 '
214
*»28. 1) Автомашина прошла 150 .см по шоссе и 90 км по грунтовой
дороге, пи которой скорость ее движения стала меньше
на 20 км/ч. С какой скоростью двигалась автомашина по
грунтовой дороге, если время движения по шоссе и по
грунтовой дороге одно и то же?
2)	Упростить выражение —cos « + cos2 a —sm2 а—
1 4~cos а+cos 2а + cos За
3)	Решить уравнение lg Vx~3 + lg-\/2х—3+1 =lg 30.
4)	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 4 —х2, у=2х—х2, х — 0.
5)	Найти значения х, при которых f' (х)^0, если f(x)=
= 16 1пх—2х2.
’>29. 1) Моторная лодка прошла вниз по течению реки 91 км и
после четырехчасовой остановки вернулась обратно, за-
тратив на всю поездку сутки. Какова скорость течения
реки, если собственная скорость лодки равна 10 км/ч?
2)	Упростить выражение —Р’”2	sin4 а—
н	4—sin2 2а—4 sin2 а ’
3)	Решить уравнение 8х+18*—2-27х=0.
4)	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у=х2 — 4, у=х2 —6х-{-8 и х=0.
5)	Найти значения х, при которых f' (х)^0, если f (х)=
=х2—2 In х.
8. Задачи, предлагавшиеся на выпускных экзаменах
930. 1) Упростить выражение 0,5 (tg 75° —ctg 75°).
2)	Решать уравнение logs х= — S2-(^?+.3)..
3)	Решить неравенство 2-0,52х-*<0,251-3х.
4)	Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
у=х2— 2x4-1 и осями координат.
5)	В правильной пирамиде MABCD высота МО=2,
Z. МАО=45°. Найти высоту другой пирамиды, имеющей
наибольший объем, если ее вершина находится в точке О.
а основанием является сечение пирамиды MABCD плос-
костью, параллельной основанию ABCD.
031. 1) Упростить выражение cos (—2а)4-cos (1,5л 4-2а)* tg а.
2)	Решить уравнение -2  = ~^~з5 .
3)	Решить неравенство и найти какие-нибудь два его реше-
ния: logo,6 (х—1)>— 2.
4)	Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком
функции у=0,5х2—2x4-6, касательной к графику этой
функции в точке с абсциссой х0=3 и прямой х=1.
215
5)	Основанием пирамиды MABCD служит квадрат ABCD,
ребро МА перпендикулярно плоскости основания, МС=
= 5 д/2, 0 < ВСНайти наибольшую площадь тре-
угольника смв.
932.	1) Решить уравнение 2 sin2 х = 1—(2 — cos х)2.
2)	Решить неравенство log2 х + log2 (х— 2)<3.
3)	Фигура, ограниченная линиями у=—, х=1, х=10,
у=0, делится прямой х = 3 на две части. Определить, ка-
кая из полученных фигур имеет большую площадь.
4)	Решить уравнение д/289—х2 = х2 — 49.
5)	Основанием прямой призмы служит равнобедренный пря-
моугольный треугольник, а периметр большей ее боковой
грани равен 24 см. Какие длины должны иметь стороны
основания призмы, чтобы ее объем был наибольшим?
933.	1) Решить уравнение 32*+*+32х+2=-|-.
2)	Доказать, что функция у = logo,5 (3 — 2х) возрастает на
всей области определения.
3)	Решить неравенство sin х>0,5 -д/2. Указать одно решение,
принадлежащее отрезку [—л; л].
4)	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у=—, х—4, у—х-1-2. Известно, что In 2«0,69.
5)	Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна
2 \/3, а высота может принимать любые значения, при-
надлежащие отрезку [1; 3]. Найти наибольший объем пи-
рамиды.
ЗАДАЧИ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ
1. Разные задачи
934.	Решить уравнение:
1)	-у*2 —6х+9+У25+ 10х+х2 = 8;
2)	-\[х2 + 4х + 4 — У%2 — 6х + 9=6;
3)	-W - х) (27+х)+V(27 + х)2 = 7;
4)	V8-^ + W+^ = 5.
935.	Доказать утверждение: если уравнение хл+а|Хп-1 +
+ а2хп-2 + ... + ап_1Х+а„ = 0 с целыми коэффициентами а\,
а2, •••. имеет рациональный корень хо=#О, то этот корень яв-
ляется целым числом, причем — также целое число и в ре-
Хо
зультате деления «столбиком» левой части уравнения на
х—хо получается многочлен (п —1)-й степени.
Используя это утверждение, решить уравнение:
1)	х3 —3х2+х = 3;	2) х3 —Зх2—4х+12=0;
3)	х5+х4 —6х3 —14х2 —Их—3 = 0;
4)	х4 — Зх3 — 2х2 — 6х—8=0.
936.	Решить уравнение:
1)	sin x + cos х= — 1;	2) д/3 sin x + cos х=у/2;
3)	5 sin x+cosx = 5;	4) 4 sin x + 3 cos х = 6.
937.	Пересекает ли график функции у=х3— 6х2+11х—6 ось Ох
в точках, абсциссы которых являются целыми числами?
938.	Уравнение 2х3 + тх2 + «х+12 = 0 имеет корни xi = l,
х2=—2. Найти третий корень этого уравнения.
939.	Решить систему уравнений и установить, при каких значениях
параметров а и b она имеет решение:
1)	Jlog!/x+logxy=-|-, 2) | х2 + у2 = а2,
I I 12	I logi x + log6 у —2.
(х+у=а+а,	1	ь
940.	Решить систему уравнений:
1)	(ху=у\	2)(х^=у,
Ь3=у2;	[у^=х<;
3)(х-у=^-,	4)|х-у=—Ь
I sin х = 2 sin у,	I 2	. 2	1
v	^cos лх —sm лу=—;
217
5)
д/2 sin x = sin у,	6) J cosx.sin t/=—
Д/2 cos х=д/3 cosy;	( sin 2x+sin 2y=0.
941.	Решить неравенство у-+лС———— •>().
г	х3+6х2 + 5х—12 —
942.	Решить неравенство:
1)	д/2х —5<д/5х + 4;	2) д/Зх —2>х—2;
3) д/5х+11 >х4~3;	4) д/х+3>х-|- 1;
5)	д/2х—7 ^д/бх-|- 13;	6) д/3—х<Сд/Зх —5.
Построить график функции (943—945).
ОЛЯ n II —		\х , X Зх + 2 . 2х—3 ’	2) У = 4) У =	2	. 1—2х ’ 2х
3)	С7			
				2-|х1 ’
944 11		2	и —	1
	У	(х— 1)(х—3)	у —	COS X
		1 .	41 и —	3
°)	У	In X	У	х(х+2)
945. 1)	У —	log2 sin х;	2) У=	д/cos х;
3)	У =		4) У =	• 2 : S11T X.
946.	Доказать тождество:
1)	logt a • logc b • logd c = logd a;
2)	logO1 ,a,.,„.o. x-—-------------!-------------—
'	— -----1---------1- 4-----*—
logO1x logo, X logUjix
2.	Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в вузы
Решить уравнение (947—952).
947.	1) д/х+3—д/2х—1=д/3х—2;
2)		1_+_____1__= " £ •
i-VT=x	i+vr^x	’
з)	2х+1 —г-д/.2*^1 =з-
х	V х ’ 4
4)	—!— -------1____
2—V4—х	2+V4—х	д/4—х
218
_L 1	1
958. 1) 9-4* + 5-6л = 4-9* ;
2)	log2 (x2— 3) — log2(6x—10)+1=0;
3)	^_Ly°g2X+1 = 92-iog! +
4)	x — logs д/31—9x = 1 — log3 -д/1+32<’-+
5)	2 Iog2 x — 2 ’og2 —— =3 -\/log2
л/2
6)	logx (2x2 — 3x—4)=2.
949.	1) 1+logx (5 —x) = log7 4-logx 7;
2)	1+ logx (4—x)=log5 3-logx 5;
3)	(log4(2x+9)+l)logx+22 = l;
4)	(log9(7—x)+1) log3_x 3= 1.
950.	1) cos 3x — sin 6x + sin 2x — cos 7x = 0;
2)	cos 3x—sin 6x—cos 7x—2 sin 2x=0, x£[0; л];
3)	cos x + cos 2x+cos 3x=0;
4)	cos3 x—3 cos2 x+cos x=2 cos ('y+“^')*sin (y- —
5)	sin2 x+cos2 3x= 1;	6) ctg x + sin 2x=ctg 3x.
951.	1) -y/5 sin x + cos 2x+2 cos x=0;
2)	д/2— 3 cos 2x=д/sm x;
3)	sin x + cos x=д/l +tg x;
4)	д/5 sin 2x — 2 = sin x — cos x.
052. 1)
2)
2 <_ sjc_
sin Зх+sin x
2 sin x
cos x—cos 3x
—4-=c°s’(x+-J-);
-X=4sin!(x+-j).
953. Найти все корни
удовлетворяющие
954. Найти все корни
удовлетворяющие
уравнения cos х+(1 +cos х) tg2 х—1=0,
неравенству tgx>0.
уравнения sin>4 x+sin4 ^x+-^ = sm2^,
неравенству lg(x—-\/2х+24)>0.
955. Найти наибольший на интервале	корень уравнения
cos
(Sx+-;0 —2 sin x-cos 2х = 0.
219
Решить систему уравнений
956. 1) [ х—Зу= — 5,
4 х___2у    23 .
(.31/	х	6
3) |2х2 + (у-4)2=6,
1 4х— ху = 2;
(956—958).
2) [ Х+У I Х~У — J0
< х — у	х+у 3 ’
L2+y2 = 5;
4)
'x+y + z = 6,
' (x + z)(y + z)=15,
Sy~ l)(x+z)=4.
957. 1) [6х-2-3* = 2,
( 6Х-3У = 12;
3) [x + 2y+,=3,
|4х + 4* = 32;
958. 1) |ху = 20,
| х'^=2;
2) [7-2x + 6y = 2,
| 3-2x+1 —5y = 93;
4) r 10 (y —x)—л4 = 9,
l л/у+л/у — 2х = д/^-
2) (y4+19 = 20(x+y),
I V*+V* + 2y=y/2;
3)	[ 27.32х~!' + 3х! = 4л/3.
( lg(y —4x) = 2 lg(2 + 2x—y) — Igy;
4)	[ 8-2-x-2tf+2«2=3^,
( lg(* + 4y)=2 lg (2 — x — 2y)— Igx.
Решить неравенство (959—961).
959.	1) 2*-3 > —;	2)	~b,5, >1;
4 — x x	lx+l|
3)	x~4 < 1;	4)	< 1.
л/8+х	-^x—\
/ 9\x2 —5x + 6
960.	1)	<1;
2)	5х —Зх+1>2(5х-‘—3х-2);
3)	log27^-<-l;
4)	log3((x+2)(x+4))+log± (x+2)<-i-log^7.
961.	1) log± (14-x-Vr^4)<0;
2_____
2) V2 + l°g*9-logi x<2;
з	,
3) log, (1 —16x2)>0;
з 2X
4) ----!-------------!-----<0.
logs(3 — 2x)	4 —log6(3 —2x)
220
i>62. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у =
= —2х3 + Зх2 + 12x4-5 на отрезке [—2; 1].
"Н>3. Найти наибольшее значение функции у = 3 -\/3 sin x-sin 2х на
отрезке [—
’>64. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у =
= 24х —cos 12х —3 sin 8х на отрезке
I х I 1
965.	Найти наименьшее значение функции у = 3*2	
966.	Найти координаты точки пересечения касательных к графику
функции y=cosnx, проведенных в точках с абсциссами
1	7
Х = — и х = —.
6	о
967.	Написать уравнения тех касательных к графику функции
х3 4-1
у =	, которые вместе с осями координат ограничивают
треугольник площади 1/2.
968.	В какой точке графика функции у = (х — I)2, 0<х< 1, нужно
провести касательную к графику, чтобы площадь треугольни-
ка, ограниченного этой касательной и осями координат, была
наименьшей?
969.	На параболе у = 2х2— Зх-|-8 найти точки, касательные в ко-
торых проходят через начало координат.
970.	При каком значении k площадь фигуры, заключенной между
параболой у=х2-|-2х— 3 и прямой y=kx-\-l, наименьшая?
971.	Парабола у=х24-р*4-<7 пересекает прямую у = 2х— Зв точ-
ке с абсциссой 1. При каких значениях р и q расстояние от
вершины параболы до оси Ох является наименьшим? Найти
это расстояние.
972.	Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у=4х—х2
и касательными к ней, проходящими через точку Мб) .
973.	Найти все значения х, при которых функция у = 6 cos2 х 4*
4-6 sin х —2 принимает наибольшее значение.
974.	Найти все значения а, при которых наименьшее значение
функции у=х2-|-(а4-4) х-|-2а4-3 на отрезке [0; 2] равно —4.
975.	Найти все значения а, при каждом из которых наименьшее
значение квадратичной функции у = 4х2 — 4ах-\-а2 — 2а-j-2
на отрезке [0; 2] равно 3.
976.	Найти все значения параметра а, при которых вершины
двух парабол у = 4х24-8ах — а и y=4czx2— 8х-|-а—2 лежат
по одну сторону от прямой у = — 5.
977.	Найти расстояние между ближайшими точками графиков
функций у=—Зх24-8х — 9 и у=х2-|-8х4-13.
978.	Найти первый член и знаменатель геометрической прогрес-
сии, если сумма и произведение первых трех ее членов соот-
ветственно равны 63 и 1728.
г	221
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО КУРСУ
АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА
Арксинус, арккосинус и арктангенс числа.
Арксинус числа а, —	(обозначается arcsin а),—
такое число а, —2-^ а	синус которого равен a; arcsin(—а)—
= — arcsin а.
Например, arcsin =-р arcsin ( —0 = — arcsin ~= —2_.
Арккосинус числа а, —1 а<11 (обозначается arccos а),—
такое число а, О^а^л, косинус которого равен а\ arccos (— а)=
=л —arccos а.
Например, arccos =-^-, arccos^—0=л — arccos
Арктангенс числа a, a^R (обозначается arctg а), —такое
число а, —2-<'‘а<''-2"’ тангенс которого равен a; arctg ( —п)=
= — arctg а.
Например, arctgд/3=-^-, arctg(—1)=—arctg 1 = —р
Формулы корней простейших тригонометрических уравнений:
sinx=a, |a| <1; х=(—1)" arcsin а+ лп, ngZ;
cosx = a, |a|<U; x= ±arccos a4*2лп, n£Z;
tgx = a, a£R\ x = arctga-f-nn, n£Z.
Дифференциальное уравнение — уравнение, которое содержит
производную неизвестной функции. Например,
y'=ky, t/" + co2y=O.
Решение дифференциального уравнения определяется неодно-
значно. Например, решениями дифференциального уравнения
у’ — 2х=0 являются функции у = х'2+С, где С — произвольная
постоянная.
Для единственности решения задаются дополнительные усло-
вия. Например, для единственности решения дифференциального
уравнения гармонических колебаний у" А~ч>2у—О достаточно за-
дать амплитуду А и начальную фазу колебаний, тогда уравнение
гармонических колебаний у=А sin (wt-b<p) определится одно-
значно.
222
Интеграл от функции y=f(x) на отрезке [а; Ь] (обо-
ь
шачается J f W dx) — предел интегральных сумм f (ci) Axi +
а
pf (с2) Дх2-|-...+/ (Си) Дхп при условии, что длина наибольшего из
огрезков [Xfc-i; х*] стремится к нулю. Здесь a=xo<Zxl<Z...<.xn-i<.xn==
b, &xk=xk — Xk-\, Сй€[хл_1; *4
Формула Ньютона — Лейбница:
ь
\f(x)dx=F(b)-F(a\
а
где F (х) — первообразная функции f (х) на отрезке [а; Ь].
Площадь криволинейной трапеции с основанием [а; &], ограни-
ченной сверху графиком функции f (х), принимающей положитель-
ные значения, равна
ь
S = \f (х) dx.
а
Логарифм положительного числа х по основанию а, а>0,
а 1 (обозначается loga х) — показатель степени, в которую
надо возвести число а, чтобы получить х, т. е. aios°x=x.
Например, logs 27=3, log i -~-=2, log3-i-=—2, 3log3'*=4.
2 4	3
Логарифмирование — действие нахождения логарифма числа.
Свойства логарифмов (а>0, а=/=1, х>0, Xi>0, х2>0, p£R):
1	- lOga (XiX2)= 10ga X| + loga x2.
2.	loga — = loga Xi — loga X2.
*2
3.	loga Xp = p loga x.
4.	ЕСЛИ loga X| = loga X2, OO, a#=l, TO X|=X2.
Десятичный логарифм числа — логарифм этого числа по осно-
ванию 10, обозначается 1g а.
Натуральный логарифм числа — логарифм этого числа по ос-
нованию е, обозначается In а.
Число е — иррациональное число, ех 2,718.
Формула перехода от одного основания логарифма к другому:
10gaX=^.
logo a
Например, log35=^-|-; log56=YLr-
lg □	In D
223
Логарифмическая функция — функция
у = loga х, где а > 0, а =/= 1.
Свойства логарифмической функции:	j
1.	Область определения — множество всех положительных!
чисел.
2.	Множество значений — множество R всех действительных
чисел.
3.	Возрастающая, если а > 1; убывающая, если 0<сК1.
4.	Принимает положительные значения при х>1, отрицатель-
ные — при 0<х< 1, если а> 1; положительные — при 0<х< 1,
отрицательные при х>1, если 0<а<1.
Нечетная функция — функция f (х), обладающая свойством
f (—x)=-f W
для каждого х из области ее определения.
Например, f (х)=х3, f (x)=sin х — нечетные функции.
Обратная функция к функции y=f (х) — функция y=g(x),
которая получается при решении уравнения f(x)=y относитель-
но х и заменой х на у и у на х.
Например, у = 2х— 1 обратная к функции y=^il; лша-
рифмическая функция у — loga х является обратной к показатель-
ной функции у=ах. Графики взаимно обратных функций y=f (х) и
y=g(x) симметричны относительно прямой у — х.
Первообразная функции f (х) на промежутке — такая функ-
ция Е(х), что F' (x)=f (х) на этом промежутке.
Если F (х) — первообразная функции f (х), то все перво-
образные можно записать в виде Е(х)4-С, где С — произвольная
постоянная.
Правила нахождения первообразных:
Если F (х) и G (х) — первообразные функций f (х) и g (х) соот-
ветственно, то:
1) F (х)+ G (х) — первообразная функции f (x)+g (х);
2) aF (х) — первообразная функции af (х).
Первообразные некоторых функций:
Функции	Первообразные
хр, р=/= —1			kC р+1 1
—, х>0 X	In x-f-C
ех	ех+С
sin х	— cos х+с
cos X	sin х-фС
224
Периодическая функция — функция f (х), обладающая свой-
I  вом
H*-T)=Hx)=f(x+T)
для каждого х из области ее определения и для некоторого Т=/=0.
Число Т называют периодом этой функции.
Например, f(x) = sinx— периодическая функция с наимень-
шим положительным периодом, равным 2л.
Показательная функция — функция
у = ах, где а>0, а =0=1.
Свойства показательной функции:
1.	Область определения — множество R всех действительных
чисел.
2.	Множество значений — множество всех положительных
чисел.
3.	Возрастающая, если а>1; убывающая, если 0<а<1.
Производная функции f (х) в точке х — предел разностного
отношения
f' (х)= lim	.
й-о Л
Дифференцирование — операция нахождения производной.
Правила дифференцирования:
i-(fW+g(x))'=r(x)+g'(4
2.	(cf(x)Y = cf'(x).
3.	(f (x)-g (x))'=r (x)-g (x)+f (X).g' (x).
4	( f(x) A' = fW-gW—f(x)-g'(x)
 X g(x) )	g2(x)
Производные некоторых функций.
1.	(xpy=pxp-1.
Например, (c)' = 0, где с — постоянная; (х)' = 1; (х2)'=2х;
(\1х)'=-^—, где х>0;	=—Л, где х#=0.
2 ух	\ х / х
2.	(ех)' = ех.
3.	(ах)' = ах1па.
4.	(1пх)'=-^-, х>0.
5.	(logaх)' =——, х>0, а>0, а=/=1.
°	х In а
6.	(sin x)'=cos х.
7.	(cos х)' = — sin х.
И Заказ 41
225
Геометрический смысл производной: f' (х) есть угловой коэффи-
циент касательной к графику функции y — f(x) в точке (х; f (х)).
Уравнение касательной к графику функции у = )(х) в точке
(х0; f (х0)):
y=f (хо)+Г (хо) (х—Хо).
Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одно и то же
множество корней.
Например, уравнения х2 — 5х+6=0 и (х — 2)(х—3)=0 рав-
носильны; уравнения log2x=3 и 2х—16=0 равносильны.
Уравнение называется следствием данного уравнения, если
множество его корней содержит все корни данного уравнения.
Например, уравнение х24-х— 6=0 является следствием урав-
нения д/б—х=х.
Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каж-
дое из них является следствием другого.
Тригонометрические формулы.
Основное тригонометрическое тождество:
sin2 аф-cos2 а= 1.
Зависимость между тангенсом, котангенсом, синусом и коси-
нусом:
tg а-ctg а=1,
tga=^S2-, ctga=-^.
cos a	sin a
Формулы сложения:
sin (a + P)=sin a cos P+cos a sin p,
sin (a —P)=sin a cos p —cos a sin p,
cos (a-f-p)=cos a cos p —sin a sin p,
cos (a — p)=cos a cos p-J-sin a sin p,
tg(a+P)=TE^^-’
I—tg a tg p
tg (a-p)= ige-tKP-.
1+tgatgp
Формулы двойного угла:
sin 2a=2 sin a cos a, cos 2a = cos2 a —sin2 a,
tg2a=-A^.
1— tg a
226
Формулы преобразования суммы и разности синусов и косину-
сов в произведение:
sin a + sin р=2 sin cos
sin a —sin В=2 sin cos ,
r	2	2
cos a + cos p=2 cos cos °~-P ,
cos a —cos B=—2 sin -+-& sin	.
r	2	2
Формулы приведения получают по следующим правилам:
1. В правой части формулы ставится тот знак, который имеет
левая часть при условии 0<а<-^-.
2. Если в левой части формулы угол равен -^-±« или у-±«.
то синус заменяется на косинус, тангенс — на котангенс и наобо-
рот. Если угол равен л±а, то замены не происходит.
Например, sin(y-±a) = — cos a, cos (л — a) =—cos a.
Тригонометрические функции — функции «/ = sinx, y=cos x,
//=tgx, y=ctg X.
Свойства тригонометрических функций
Функция у = sin х
1.	Область определения — множество R всех действительных
чисел.
2.	Множество значений — отрезок [—1; 1].
3.	Периодическая, наименьший положительный период равен
2л, т. е. sin (*+2n)=sin х.
4.	Нечетная: sin (—х)= — sin х.
5.	Наибольшее значение, равное I, принимает при х=-^-+2лп,
n£Z; наименьшее значение, равное —1, принимает при х=
—2-+2лп, ngZ; значение, равное нулю, принимает при х=лп,
n£Z; положительные значения — на интервалах (2лп; л+2лп),
n£Z; отрицательные значения — на интервалах ( —л+2ли; 2лп),
n£Z.
6.	Возрастающая на промежутках |—^-+2лл; -2-+2nnj,
ncZ; убывающая на промежутках [-^-+2ли; ^- + 2лп^, ngZ.
227
Функция y=cosx
1.	Область определения — множество R всех действительных
чисел.
2.	Множество значений — отрезок [—1; 1].
3.	Периодическая, наименьший положительный период ра-
вен 2л.
4.	Четная.
5.	Наибольшее значение, равное 1, принимает при х = 2лп,
n£Z; наименьшее значение, равное —1, принимает при х=л+2лп,
n£Z; значение, равное нулю, принимает при х=-^-4-лп, n£Z; по-
ложительные значения — на интервалах (—^-+2лп; |-2лл),
n£Z; отрицательные значения — на интервалах (-^+2лщ ^ +
-|-2лп\ n£Z.
6.	Возрастающая на промежутках [—л + 2лп; 2лл], n£Z; убы-
вающая на промежутках [2лп; л-|-2лп], n£Z.
Функция y = tgx
1.	Область определения — множество всех действительных
чисел, кроме -y-f-л/г, k£Z.
2.	Множество значений — множество R всех действительных
чисел.
3.	Периодическая, наименьший положительный период равен л.
4.	Нечетная.
5.	Значение, равное нулю, принимает при х = лп, n^Z; положи-
тельные значения — на интервалах (лп; -^—Елп), ngZ; отрица-
тельные значения — на интервалах (—~|-лп; ли), n£Z.
6.	Возрастающая на интервалах (—J-лп;	|f-лп), n£Z.
Четная функция — функция f (х), обладающая свойством
f(-x)=/(x)
для каждого х из области ее определения.
Например, f (х)=х2, f (х) = cos х — четные функции.
Экстремум функции.
Возрастание и убывание функции. Если f' (х)>0 на промежут-
ке, то функция f (х) возрастает на этом промежутке. Если f' (х)<0
на промежутке, то функция f (х) убывает на этом промежутке.
228
Точка максимума функции f (х) — точка Хо, такая, что для всех
, из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство
I 1')^/ (хо)-
Точка минимума функции f (х) — точка Хо, такая, что для всех
। из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство
I (х0).
Точка экстремума функции — точка максимума или минимума.
Стационарная точка функции — точка, в которой производная
Функции равна нулю.
Теорема Ферма (необходимое условие экстремума). Если диф-
ференцируемая в точке Хо функция f (х) имеет в этой точке экстре-
мум, то f' (хо)=О.	_
Достаточное условие экстремума. Если при переходе через ста-
ционарную точку Хо производная функция меняет знак с < + » на
«—», то Хо — точка максимума этой функции, если производная
меняет знак с «— > на <-|-», то хо — точка минимума.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функ-
ции на отрезке нужно найти значения этой функции в точках
экстремума и в концах отрезка, а затем выбрать из них наиболь-
шее и наименьшее.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
X КЛАСС
2	2
5. 2) х= — 1;4)х= — 2.11.88,4 г; 22,1 г. 12. 4.87-106м3. 13.2) х=у; 4) х=—-
14. 2) х= 0,5; 4) х=4 15. 2) х=2,5; 4) х=9; 6) х=0,4. 16. 2) х=1; 4) х=3.
17. 2) х=0;4) х=0.18-2) х|=0,*1=2;4) х=1. 19.2)х<2;4) х< — 0,5; 6) х>3.
20. 2) (0; —2); (—1; -3). 21. 2) х>=2, х2=5; 4) х=—i-. 22. 2) х, = 1, х2=—3;
4) х, =0.5, *2= — 3. 23. 2) *=0,8; 4) х= — 1; 6) х,=0,5, *!= — 3. 24. 2) *1=0,3,
х2=—0,2; 4) х=4. 25. 2) у=3; 4) х=2. 26. 2) х=3; 4) *=3. 27. 2) *=
= —3; 4) х=4. 28. 2) х= —1; 4) Xi = l, х2= —1; 6) х= —1. 29. 2) х>4;
4) х<1, х>2; 6) 1<х<2. 30. 2) х>1; 4) х<1. 31. 2) х<2; 4) х< — 1.
4
35. 2) (3; — 2). 36. х=4. 37. 2) х = 2; 4) х=3,25. 38. 2) —2<х<1;4) —-<х<2.
»- 2,	« (±)-<(4-)-. «. 2) (4Г<, 4) (±Г-3>,.
42. 2) 0,04<у<5. 43. 2) х= — 2; 4) *i=3, х2= — 1. 44. 2) х=0; 4) х=2.
45. 2) х=1;4) х=3.46.2) х< — 1; 4) — 2<х<2.49. а (1 +0,01p)""'. 51.2) х=24.
52. 2) х=9; 4) х= 1. 53. 2) х=0; 4) х= —0,5. 54. 2) —3<х< 1; 4) — 1 <х< 1.
55. 2) (1;1). 57. 2) х = 4; 4) х=1. 58. 2) х<—3, х>1; 4) х< —1-^, х>4.
О
59. 2) 6;'4) 0; 6)—3. 60. 2) 4; 4) 0; 6) —1. 61. 2) —2, 4) 1; 6) —62. 2) 3;
4) —3. 63. 2) —3; 4) — 2. 64. 2) 16; 4) 6. 65. 2) 64; 4) 3. 66. 2) 144; 4) 1. 67. 2) х=
•=625; 4) х=25;6) х=5,5.68.1) —1,5; 4) —1-^-.69.2) -|-;4) 5,2;6) ly.70.2) 1;
4) -i-; 6) 2. 71. 2) х> 12; 4) х>0,5. 72. 2) х< —3; х>2; 4) х — любое действи-
^5	1
тельное число; 6) —— Сх-<4. 73. 2) x=logi,24; 4) х=—(1 —log7 2). 74. 2) х=
2	1
<=log34;4) xi==-l.x2=log2 2.75.2) 3; 4) 2.76.2) 2; 4) -3.77.2) у; 4) —1у.
3	_	2
78. 2) 1,5; 4) —4. 79. 2) 1,5; 4) -3. 80. 2) 1у; 4) 0. 81. 2) *=р-- 82. 1) 3; 2) 19.
83. 2) 1. 84. 2) 0,845; 4) —0,176. 85. 2) 0,693; 4) -0,154. 86. 2) 1,29; 4) —0,42.
87. 2) 1,3; 4) —15,42. 88. 2) х=8; 4) х=3; 6) х=2. 89. 2) Xi=9, ха=27;
4) Х1=4-, х2=л/2. 90. 2) 1; 4) 0,5. 91. 9 лет. 92. 3052 качания. 93. 2) 2,7182788;
л/5
4) 2,7182819. 94. 2) log2 9>logj, 17; 4) log2-^- >log2-^-. 95. 2) log3 0,45<0;
3	3
230
4) logo.5 9,6<0. 96. 2) x< 1; 4) x> 1.101. 2) x>-b 4) x>0,5.102. 2) 0<x<0,16;
О
4) x^0,16. 103. 2) x=8; 4) x=46; 6) x= —1,6. 108. 2) y= 4~* ; 4) y =
О
2x 4-1	- ___
—X—; 6) y=\lx+3\ 8) {/=(0,5)*. 111. 2) Второе; 4) каждое из двух —
 ледствие другого. 112.2) х=3;4)х=-^2.113.2) Корней нет; 4) х=2.114.2) х=5.
115. 2) Корней нет. 116. 2) х=1; 4) Xi=3, х2=5. 117. 2) (1; 9). 118. 2) Х|.2=±8;
1) х=16; 6) х=3. 119. 2) х=3; 4) Xi=4, х2=—8. 120. 2) х=9; 4) Xi = 100, х2=
1000. 121. 2) Да; 4) нет. 122. 2) Да; 4) да. 123. 2) (в; -0. 124. 2) х,=4, х2=-^;
1	2	7
.1) х,=3, х2=9; 4) х,=27, х2=—. 125. 2) х=—. 126. 2) х=-4. 127. 2) х<—-,
I) —2<х<2. 128. 2) хС—30; 4) 1<х<10; 6) х< — 0,05. 129. 2) х>25;
5	2
4) — <х<3 130. 2) 2<х<3, 11 <х< 12. 131. 2) — —<х<1. 132. 2) х>7;
о	•	<5
4) решений нет. 133. 2) х< —1, х^4; 4) х< — 0,5. х>3. 134. 2) х<2, х>3;
4) —2<х< —1. 6<х<7. 135. 2) х>2. 136. 2) 0<х<0,1, х>10 000.
137. 2) log3-^-<x<log3-^-, x>log32; 4) х<?~  -1- , -^-<x<^L 138. 2) 4;
Z	о	х О	Z
2	1
4) -3.139. 2) -4; 4) 6. 140.2) 1; 4)	141. 2) 4; 4) 4. 142. 2) -2.2. 143. 2) 2,26;
о	4
4) —1,73. 145. 2) Возрастающая; 4) убывающая. 147. 2) х<0, х>2. 148. 2) х=
3	3
—4) х = 2. 149. 2) *1 = 1, х2=—4) х(=4, х2 = 8. 150.2) х=—4; 4) х=2.
151. 2) х< 10; 4) х< — 1. 152. 2) Решений нет. 153. 2) х< —8, х> 1. 154. 2) —4,5;
4) 36; 6) 2. 155. 2) 0<х<1. 157. 2) x=ylog23; 4) x=-i-(log( 1,5 — 5);
1 а
6) x=log53. 158. 2) х=27; 4) xi=27, х2=^. 159. 2) х= —4; 4) Х| = 14, х2=6.
160. 2) Корней нет. 161. 2) х=4,5. 162. 2) Х|=2, х2=5; 4) корней нет.
163. 2) 5<х<6;4) х>4;6) —4<х< —3. 165. 2; 10; 50 или 50; 10; 2.167.2) Х| =
— 10. х2=0,1. 168. 2) xi=23, х2= —1,8. 169. 2) х=2 —Д 170. 2) хСО,
1о.5<х<.1. 171. -£;-£•,	; 4п- ,72- 90°; зо°; 150°; бзо°; 54°°; 4950 
о 4 о 4	2
4	12	56	л/2	д/2
П4. 2) --; 4) -g-. 176. -. 177. 2) 0; 4) 0. 178. 2) -2_; 4) -1; 6) у.
179. 2) —---!----. 180. 2) 2 tg а; 4) ctg а; 6) 0,5. 182.	. 183.	. 185 2) 0;
sin а —cos а	Б	'	17	41	'
1) —1. У к а з а н и е: записать данное выражение в виде — 4 sin 18°-cos 36° =
4 sin 18°-cos 18е-cos36°	.
—-----------cos 5-------, далее воспользоваться формулой синуса двой-
ною утла; 4) Указание: записать данное выражение в виде
О
, л	л	2л	4л
•in — cos — cos — cos —
7	7	7	7	А
--------------------, далее воспользоваться формулой синуса двойного угла,
sin —
231
186. 2) —1. 187. 2) V3 188. 2) — ytg2a. 191. 2) —.  y—- 193.2) I.
194. 2) V2sin₽; 4) sin 2a.	195. 2) 0;	4) —6) yL 196. 2)
481п(й_т)СО5(й+т); 4) 2б1п(т+т) cos(t~t) *98- 2) 2sin“-
201. 2) 2 t/з sin sin 4 202. 2) 0. 203. 2) 2 cos a (cos a— 1). 4) (sin a + cos a)X
24 о
x( 1 +—J— Y 204. 2) 0; 4) 4’. 6)	. 205. 2) 2л; 4) 8л. 206. 2) arccosf ~) <
\ cos a /	34	\	4 /
<arccos(—1). 207. 2) x=±4+2nn, nEZ; 4) x=±^ + 2лл, nEZ. 208. 2) x=
О	4
Q	Л
»=±arccos——р2лп, nQZ\ 4) x=±arccos(—0,2)+2лп, n£Z. 209. 2) x=—Ц-лп,
4	x
n6Z; 4) x=±4+6nn, nEZ; 6) x=^+^. n£Z. 210. 2) x=4+™. nEZ.
z	о A	.	X
211. 2) Да; 4) нет; 6) да. 212. 2) х=±у+ял, nEZ; 4) х=+у+лл. nEZ.
213.2) x=2an,nEZ; 4) x= ±-|-+2лп, x= ±arccos( —+2nn, nEZ. 214.2) x=
- -2,5. 215. 2) —4) !•; 6) -L 216. 2) 6; 4) 2n-4. 217. 2) x« ±1,84 + 2лл,
ООО
nEZ. 218. 2)	4) 4» 6) —4- 2,e- 2) °! 4) “4- 22°- 2) arcsinf >
>arcsin (-1). 221.2) x=(-1)" у+лл, nEZ; 4) x=(— iy*+ * у+яп, nEZ. 222.2) x=
«=(—1)" arcsin -у+лл, nEZ; 4) x=(— 1)” arcsin -у +лл, nEZ. 223. 2) x= —y+
+лл, nEZ; 4) x=(—1)“^+2лл, nEZ; 6) x=—r+4’ n^Z- 224- 2) x=nn<
nEZ. 225. 2) Да. 4) нет; 6) нет. 226. 2) x=(—Ip+'-^+y, nEZ; 4) x=
“=(—•)" -y arcsin"y+“y~- n Ez- 228- 2) x=(.~ 1)"+ '4^‘nn’ *=(— arcsin "|-+
+лл, nEZ; 4) x=(-l)“4-arcsin 4 + v • n^Z- 229' 2)	23°- 2) -4-i
o	4 o	4	о
4) —у 6)-Y. 231.2) 2; 4) 5—2л. 232.2) x»(—l)'"+l-0,32 +пл, n£Z. 233.2) —у;
О О	4
4) 4- 234. 2) 0; 4) -^.235. 2) arctg(-5)<arctg0. 236. 2) x=4+JW« "eZ;
3	IX	о
4) x=-4+™.«eZ;6) x=—arctg5+лл, nEZ-237. 2) x=4.	238. 2) x=
4	о
»4+лл, x=—^-+nn, nEZ; 4) x=arctg4,5+лл, x=(— 1)"+‘4+ял. "€Z;
3	o	°
ej х=4+лл. nEZ. 239. 2)	. 240. 2) -0.3; 4) -6. 241. 2) 2; 4) 13-4л.
4	о

ЛИ. 2) х« —1,444-лл, n£Z. 243. 2) х=-^-4-у; 4) х =—^-4-2лл, х=( — 1Гу+
I пл, ngZ; 6) корней нет. 244. 2) х=—^-4-2лл, х=(—1)" arcsin-|-+лп, n£Z;
2	о
4)	г=±^+2лл, n£Z. 245. 2) х=-^-4-у, ngZ; 4) х=—^-4-лл, x = arctg 44-
I лл, n£Z; 6) корней нет. 246. 2) х=—^-4-лл, x=arctg 34-лл, n£Z; 4) х=
— nrctg3 + nn, х= — arctg-^-4-лл, n£Z. 247. 2) х=-^-4-лл, n£Z; 4) х=
——arctgy + лл, n£Z. 248. 2) х=-^-4-2лл, х=2лл, n£Z; 4) x=-j7> +“J“’
n(Z 249. 2) х=~, X=-F-+V’ n^Zi 4) JC=-T-+nn’	n£Z’
ИВО. 2)	х=(-1Г^ +y. "CZ; 4) x=-=-4-y, n£Z. 251. 2),x=
 —^-4-лл, x = ±л + 8лл, n£Z; 4) x=arctg 34-лл, х=л4-2лл, n£Z. 252. 2) x=
6
«-14-ЯЛ, ж=(—1)"-^-4-лл, nez; 4) Х=у4-лл, x = —^-4-лл, n£Z. 253.2) x=
4-^. nGZ; 4) x=4+"«. х=(-1)п44-лл, n£Z. 254. 2) х=-£-4-2лл.
j-2nn, n£Z\ 4) х=п4-2лл, х=-^-4-2лл, n£Z. 255. 2) x= —^—Ьлл, х=-^-4-2лл,
|и2лл, n£Z. 256. 2) х=-^-4-лл, ngZ. 257. 2) Корней нет; 4) х = пл, n£Z.
2B8. 2) х=пл; 4) х=^?, n£Z. 259. 2) x=arctg 24-лл, x = arctgлл, ngZ;
4) корней нет. 260. 2) х=лл, х= ±arccos-^-4~2лл, n£Z. 261. 2) х=—^-4-лл,
О	*
» —g-4-(-1)" arcsin 2~^- 4-лл, n£Z. 262. 2) х=4+^. "6Z. 263. 2) х=
4	д/2
— ^-4-^, n£Z. 264. 2) -^-4-2лл<х<Ц^ 4-2лл, n£Z; 4) ^4-2лл<х<^4-
*t Z	о	о	»	
| 2лл, n£Z. 265. 2) Решений нет; 4) х=л4-2лл, ngZ. 266. 2) —^--{-2пп^х^.
<^4-2лл, n£Z; 4) —£-4-2ли<х<^ 4-2лл, n£Z. 267. 2) Решений нет;
4	о	о
4) х=44-2лл, лег. 268. 2) ~ 4-^ <*<^ 4-^. "€Z; 4) 2лл<х<
z	1о о	IO о
44-2лл, лег. 269. 2) 12-Зл4-8лл<х<12 —л4-8лл, n£Z. 270. 2) —v+
3
л	1	-\/2
I 2лл<х<у4-2лл, ngZ. 271. 2) 2 sin а. 272. 2) —ctg а. 274. 2) —. 275. 2)
78. 2)	4)	6) 0. 279. 2) х=-2±^-|-^. "EZ; 4) х=^-±^ 4-
I . n£Z. 280. 2) х=-£-4-4лл, ngZ; 4) х=-^-4-(—1)“-1-arcsin -т—Ьтг. n€Z.
«I	о	Z	Z	О Z
233
281. 2) х=±4+2я«. *=—r+v- neZ 282- 2> *=S+V- n^Z- 4) x=s
о z	oO о
4~лл, ngZ. 283. 2) x=( — l)’+l arcsin -|-4-лп( n£Z; 4) x — ±arccos|-2лл,
2o	о	о
n£Z. 284. 2) x=(—l)"arcsin	—-—|-лл, nfZ. 285. 2) x =—f-лл, x=
= arctg 1,5+rm, ngZ; 4) x=-^—Ьлл, ngZ. 286. 2) x=—i-arctg -r-+-x-. n£Z.
4	«□	4 о
2Ы. 2) Корнеи нет. 288. 2) х=-^-, n£Z; 4) х=-=-, х=-х-, х=—-f-—, n£Z.
2	и	2	О о
289.2) — ~ +2лл<х<-^-+2лл, n£Z\ 4) -4-2лл<х<^р 4-2лл, n£Z. 290.
4	4	4	4
4 sin 2а. 293. 2) 2 sin а. 294.2) у; 4) у; 6) 1. 295.2) 0; 4) - 1; 6) 0. 296.2) *=у+
4-ли, x=arctgу4-лл. n^Z. 297. 2) x=arctgу4-лл, х=—arctg24-лл. n£Z.
298. 2) х=-^-4-лл,n6Z.299.2) х=лл,х=±-^-4-2лл,n£Z.'300.2) х=(-1)п-^4-
4-^р. n£Z. 301. 2) х=лл, х=±-^-4-лл, n£Z; 4) х=-^-4-2лл, *=—<^ +
+^~, n£Z. 302. 2) *=лп, ngZ; 4) х=-^-4-лл, х=±-^4-2лл, n£Z; 6) х=
11	.20
=-£-4-лл, х=(—1)“-^-4-лл, n£Z. 303. 2) х=^, х= 4~2лл, n£Z; 4) х = 2лп,
2	О	2	о
*=44-^-. «62. 304.	307. 2) —Ь 4)	6) -А 308. 2) -Ь 4) 2.
О D	Z	Q	О	О	44
309. 2) х= ±-?-4-лл, n£Z; 4) х= ±-^--|-лп; 6) корней нет. 310. 2) х= —^-4-2лл;
о	о	2
4) корней нет. 311. 2) х=—^-4-ли, х=2лл, х=—^-4-2лп, х= ’1-4-(—1)"Х
Xarcsin-^ 4~лл, n£Z. 312. 2) х=-^-4--?г» ngZ. 313. 2) х=±-х-+л«> X="S’+
4	4	2	00
4-^, n^Z. 314. 4-<аС1. x=±4-arccos(4a—3)4-w. n62. 315. 2) -^-4-
4	2	4	2	О
4-2лл<х<^4-2лл, ngZ- 316. 2) x£R; 4) x /-0, 6) x<—l.x>l. 317.2) 0<yC2;
4) —3<y^5; 6) —1,25<i/<—0.75. 318. 2) х^лл, n£Z; 4)	n€Z.
319. 2) х=2лл n€Z;4) — 4-2лл<х^-£-4*2лл, nGZ; 6) --£-4-2лл<х<-£-4-
О	О	2	2
4-2ЛЛ, nez. 320. 2) x#=4+^. «6Z, 4) x^4 +nn- "eZ- 32b 2>
4) l<pC10:6) —V§Cj/CV3-322. 5h—5.323.—v^6^!/CV26-324.
325. 2) Нечетная; 4) нечетная; 6) четная. 326. 2) He является четной и не явля-
ется нечетной; 4) четная; 6) четная. 329. 2) Четная; 4) нечетная; 6) четная.
330. 2) у; 4) л. 331. 2) 2л. 335. 2) [“у! °]- [°=у]; 4) [-«! 0} [в;
234
OJl	iVJfc ..	I VIJI 1	/ VJl 1	«X	. _	Г-
i.lll. 2) cos-y Ceos-y-; 4) cos^—у Iccos^—у / •	6) cos 4<CO3 5-
M7. 2) -1; 7-.	4)	338. 2) O^. ^<x<^;
<±2rn	О 0 м	о о	О
л 11л	13л	„„„	л л ,.	. Зл Зл
I) , <x<-7-, -z-<x<3n. 339.	2) sin—<cos—;	4) sin — >cos-^-;
(>oo	11	5	5
Л
cos->
л 11л
12’ ”12”
Зл Ш 21 л . " . U2-	23,1  25л зл! 2) -— <х<
— .340. 2)	12-341.2)	12<*<
13л 23л	25л m д/2 V2
'<Т2--Т2-<'<Т2-М3-21 --Г^-Г-
И’. 2) [у у ) [^;2я}. О [-2»; -$} [-¥ -"] «8- 2)
11л	/ 8л \	. ( 9л \ _	.	. _	л Зл 9л
sin-у—; 4) sin^—у ^>sin^—— J-, 6) sin7>sm6. 349. 2) —; —; —;
'Al; 4)	350. 2) 0<X<-J,	<x<^. Ц1<х<3л; 4) ^-<x<^-
. 9л 9л . л Зл	11л Юл 5л
.151. 2) sin-g->cos —; 4) sm-g-Ccos-^. 352. 2) —; —; —у;
4л. л 2л 7л 8л	Зл	11л	10л ___ 5л
7’ Т’ V’ Т' 353’ 2) ~2<Х<“9~’ ""“9"<Х<-"9"’
4л л 2л 7л 8л _	_
Т<х<"9- V<x<V’V<x<n- 355- 2)	•
«10. 2) tg^<tg^; 4) tg(—j)<tg(—1); 6) tg 1 Ctg 1,5.
'«’• 2> -T= T- T: 4> -T’ T: T-362- 2> -"<*<-¥ -T<x<i-
”-<x<T’ т<*^2л; 4) -"<*<-I- --T<z<£’ T<x<¥’
?<х<2л. 363. 2) 4+ял^х<4+лп' n^Z’ 4) —1+лп<х<-1+лл,
3	о	Л	л.
nCZ. 364. 2) —arctg 2+л, —arctg 2+2л, —arctg 24-Зл. 365. 2) —1-p
)iui<xCarctg 5+лл, n£Z; 4) —arctg 5+лп ^xc-y+nrt, n£Z. 366. 2) 0Cx<
<arctg4, -1<x<arctg 4+л, CxCarctg 44-2л,	<х<3л; 4) 0<х<-1,
x	z	x
—arctg 34-n<x<^p, —arctg 3+2л<х<^р, —arctg 3+3л<х<3л.
оч 5л. л- л- 7л- 11л чая 04 —l^r^--4”	_l^-v<r——
7 2)	12 ’	12 ’ 4 ’ 12 ’ 12 ’ 368‘ 2)	2 < <	9 '	6 < <	9 ’
"<х<^, -1<х<^, ^<х<л. 370. 2) у>\- 4) уеИ. 372. 2) —J+
| лл<х< —arctg 3+лп, arctg З+ллСхС-у+лп, n^Z’, 4) лл<хС-^-+лл.
ntZ. 373. 2) х=/=-1+лл, n€Z; 4) —14-2лл<х<-1+2лл, ngZ; 6) х^£=лп,
, , (_1)"^4-лл,лег. 374.2) -1<1/<1;4) 5СлС7;6) -4<j/<-2. 375. 2) Не-
235
четная; 4) не является четной и не является нечетной. 376. 2) 14л. 377. 2) —;
О
2л 7л 8л ,,	„	11л	7л	,1^.^
4) л, Зл. 378. 2) Г-<Х<—Х-; 4) arctg-д—2л<х<
3	3	3	о	о	2
<У. 380. 2) лл<х<у + лл, n£Z. 381. 2) у и —у; 4) 1 и —2. 382. 2) Чет-
ная; 4) нечетная. 383. 2) 4л. 385. 2) х=у+лл, х = 2лл, n£Z; 4) х=ур-,
х=-£- + лл, х =—^- + 2лл, n£Z. 386. —4-2лп<х<^ 4-2лп, ngZ.
4	Z	О	о
387. -у+у <х<у+у. 389. 2) -1<у<у. 390. 2) лл <х<у+ лп, h£Z.
—	—	4	3
392.2) (0.2)3 >(0.2)4; 4) log0.3-=-<logo.3-г- 393. 2) 0<а<1; 4) 0<а<1;
о	4
3
6) а> 1; 8) п>1. 394. 2) х=1; 4) х=—395. 2) х=9; 4) х=0. 396. 2) х=1;
* 1
4) х = 0. 397. 2) х=3. 398. 2) х<3; 4) х< 399. 2) х< 1; 4) 3—t/2<x<3 +
О
+^2. 400. 2) 3; 4) —1; 6) —3. 401. 2) 0; 4) у, 6) 1000. 402. 2) х=25; 4) *,=3.
х2 = 243. 403. 2) х=—3; 4) корней нет. 404. 2) -|-<х<2; 4) -^-<х<-^-. 405.
о	«эх
2) — Кх<1, 3<х<5; 4) l<xs$2, 3sgx<4. 407. 2) 4л; 4) —л. 408. 2) х =
= ±—. n£Z;4) х= —arctg 2,54-лл, n£Z 409.2) Корней нет; 4) корней нет.
4	3	2	3	л
410. 2) х=(—ly+'arcsin-=-+лл, х= ±arccos -=-+2лл, n£Z; 4) х=—-—Ьлл,
5	О	4
х= —arctg з+лл, nfZ. 411. 2) х=у, х=±у+лл, n^Z; 4) х=у+лл, х=
=arctg -|-+лп, n£Z. 412. 2) х=^,х=^, n£Z; 4) х=^,х=±^ +2лл, nfZ.
х	х о	х	о
413. 2) х= —у+ лл. "EZ1 4) х=у+лл, ngZ. 414. 2) х= —^-+2лп, n(Z; 4) х =
=4+v- ”ez- 4,5‘ 2) 2; 4)	6) Г 4,в- 2)	Т-
4 Z	о о о о
417. 2) х> —2; 4) х=/=2л-|-4лл, n(Z. 419. 2) Нечетная; 4) четная. 420. 2) Xi = l,5,
х2=—0.5; 4) х=—3. 421. 2) х, = —1. х2 = 3; 4) х = 0. 422. 2) х, = 100, х2=0,1;
4) Х1 = 1,х2=Дг;6) х = 0.423.2) х£К;4) х<3;6) х< 1log3 5.424. 2) 0<х<
< * х>1; 4) о<х<1. х>1. 425. 2)	<х<10. 426. 2) (4; 1); 4) (10. 1000),
3	V10
(1000, 10). 427. 2) (5; 2); 4) (л/8; М&). 428. 2) 3<log2 10<4. 429. 2) 0; 4) -1; 6) 0.
430. 2) 1; 4) у; 6) у. 431. 2) -1; 4) 1; 6) -1. 432. 2) х=±у+^у-. n£Z.
433. 2) х=-^--|-2лп, х=2 arctg +2лл, n£Z. 434. 2) х=2лл, х=-^-+лп, n£Z.
i	11	4
435. 2) х=у+лл, х=^+2лл, х=|^ +2лл, n(Z. 436. 2) х=—^-+ял, х=>
236
^-4-2n/l, х=2лл, ngZ. 437. 2) х=-^-4-лл, x = arctg 34-лл, ngZ; 4) x=
• ±л/3 .	, _	ял л , лл	л , лл
•"‘ tg—тг~	«€z- 438. 2) х=—-, *=v+t> n^Z; 4) х=т+’о‘* х=
Z	о	о	Z
I у + лп, n£Z. 439. 2) —Зл<х<——^-Cxjgn;
2	5л , 2	„	Зл . 2	л
I) arctg ——Зл<х<—г-, arctg ——2л<х<—, arctg—— л<х<—
О	А	О	Z	О	А
и.	440. 2) Четная, 4) не является четной и не является нечетной.
411.2) Юл; 4) 2л. 442. 2) 3 и —2. 445. 2) 2 cos а. 446. 2) ctg а ctg За. 447. 2) 1 +
| ——. 448. 2) 14- 451. 1) 2<х<3; 2) —V10<x< —3; 3<х< V10; 3) х> 1;
4 ns х	7
4) ()<х< 1. 452. 2) j|. 453. С==у.454. 1) х= ±-^-4-™. n£Z; 2) х,=4, х2=-4
4Г.5, 2) х=4+лп, x=(_iy£+™ n£Z. 456. 2) х=^ 4-лп. х=(-1)"+'^ 4-
А	Ач т	т
neZ. 457. 2) (7(loSs3 lo8'2)3; 5(’°g53log? 2)’) 458. 2) x>0 01; 4)
<4 2лп<х<л + 2лп, n£Z.
XI КЛАСС
4(10. 2) Г(х)=5; 4) /'(х)=—6х. 461. 2) Г (х)=4; 4) f'(x)=—5. 462. 2) гср=3.
403. 2) v (0= —3- 464.2) v (4)=0,25, v (8) = 0,25. 465. 2) v (t)=lOt. 466.2) v (10)=20.
2
4(17. 2) 7х6; 4) 13х12. 468. 2) -З»-4; 4) — 7х“8. 469. 2) -^-х3; 4)
О
4/0. 2)	; 4) -?-; 6)-----^г. 471. 2) -15(5x4-2)-’;4) -20(2-5х)’;
х10 З^х 4xV?
Г., 2SWU-. 472. 2)	<>	‘)
6	4	4	8
474. 2) --”--; 4)----,	6) --------475. 2) х=^
(3 —2х)’	V(3-14x)5	3 (1 —2х) V(1 -2х)2	27
4/0. -L 477. 2) 8x4-12. 478. 2) 2х—1; 4) —34х; 6) 1,5х2; 8) 16х. 479. 2) 10x4-6;
4
4)Бх’-6х;6) - 6х24-18;8) -9х24-4х-1. 480.2) Зх2-^-; 4)
461. 2) Г(0)=-2, Г(2)=10; 4) /'(0)=1, Г(2)=5. 482. 2)r(3)=^---^.
/•(!).= —L; 4)/'(3)=1Ь^1 f (1)=3.483.2) х= 1,5; 4) Х| = 1,хз= —7-; 6) х,=0.
А	У
|,хз=—4. 484. 2) 5х’-4х34-3х2-2х; 4) ^£zl. 485. 2) 192; 4) 31,5.
2 \х
4Ж1. х1=3, х2=-0,4, х3=1А. 487. 2)	В Х -1. 488. 2) 1; 4) —
Н	2Vx(x—I)2
4ИМ. 2) 2x4-1-^-; 4) 14-Л=-----1г-. 490. 2) -	+4 ; 4) —tL.
vz	3/v	w«/v	Oo/..	Г.
237
«- 2,	«. 2)
4) (*+2)(5х-хг-4) 493	— 1<х<0, х>2; 4) х>1. 494. 2) х=#1,5;
2хл/х(2-х)2
4) х>0,5. 495. 3,5 рад/с. 496. 902,5 Дж. 497. 2) 103 г/см.
2х_________5
498. —	----. Указание: записать данную формулу при х>3 в виде
2т/(х—2)(х —3)
-xlx—2-^х—З, а при х<2 в видед/2—х--^3—х. 499. 2) е*+2х; 4) —Зе-3х4—.
v	2\х
500.2) — е*'”'---; 4) -^~*-Зх~*. 501. 2) 3х In х4-2х~3; 4) Зе3х-|-4х.
2	2-^-i
502. 2) Зх1пЗ-2е*х; 4) -е’-*--1. 503. 2) -5—2х 1п 2; 4) —Эх"4--^.
jr°	X	X 1П О
4) cos х—2х In 2. 505. 2) -sin (х4-2); 4) -cos(3—х). 506.
.	, 1	3х(in 3-sin х—cos х)
4-2х In 2; 4) — 12sin 4х4-у^ . 507. 2) —--
504. 2) —sin х;
2>т“*(тг+3)
sin*x
4) -sin 2x4-2 logs x-cos 2x. 508. 2) 0; 4) —y——3 In 3. 509.
X 1П о	1П
4-2nn, n£Z; 4) x=—0,5; 6) x=4. 510. 2) x<0, 4) x>0. 511. 2)
4-^Д- J 4) -e~3~ —i-cosl±^. 512. 2)	_____
2—5x	2	4	3(2-x)V2^T
----------3-----------«Г®". 513. 2) 	-- •(! —2x)e-x;
2(x4-2)V(x-|-2)3------2-yx
2e3-lx(sin(3—2x)—cos(3—2x)). 514. 2)	(1 +3*)~2* v'33x In 3 .
"	2V*(3x4-l)a
5*42 In 5sln 3x+14 In 5-3 cos 3x)	1 /
(sin 3x4-7)*	' x*ln2\
4)
4)
'3
1) x=±y-4
О
____L_+
2V6—6x
. x—2
s,n —;
______2х 4-
In 2	+
4)
4-logs x); 4) sin x 4-cos x. 516. 2) x=y4"2nn, x=2nn, ngZ. 517. 2) 2. 518. 24-2л.
519. 2) f'(x)=O при x=e~‘, f' (x)>0 при x>e~'. f (x)<0 при 0<x<e_|;
ox__к
4) Г (x)=0 при x= 1, f‘ (x)>0 при x> 1, f (x)<0 при 0<x< 1. 520. -j—	 -.
л~’DX“T“U
Указание: записать данную функцию при х>3 в виде 1п(х—3)4-1п(х—2),
_/з
а при х<2 в виде In (3—х)4-1п (2—х). 521. 2) Л = 1, 6=5; 4) k=—2— , b =
= -1-^ . 522. 2)	4) 3. 523. 2)	4)	6) arctg-?-. 524. 2) у=
и	X	О	D
14	11
= -11x4-12; 4) j,=Tx4-T; 6) у=х4-1; 8) у=— х+~^. 525. 2) «/=1; 4) у=х.
526. 2) 0; 4)	527. 2) у; 4) у. 528. 2) у=0; 4) у=2х. 529. 2) (1; 2); 4) (л+2лп;
я4-2лп), nCZ. 530. (3;5), (1; -у). 531. (1; -1), у=2х-3; (1;0), у=2х-2.
238
6	9
MI2. 2) -5x4+6x2-6x; 4) "------------=—- ; 6) -21 (4-3x)6;
x4 yx’
2	1	II
II) ------,_   533. 2) - sinx------; 4) 24x3-9ex; 6)-
(l_4x)Vb=4x	*	x4 2x
1	Or
M4. 2) 2e2x——; 4) 4 cos-f-3e1-3'. 535. 2) x2(l+31nx); 4) sin 2x +
X	о
„	„	.	_„ 2x—x4	I—x + xlnx
| 2xcos2x; 6) (cos x— sin x). 536. 2) --; 4) -----------.
(x’ + l)2	x(l — x)2
4	4
537. 2) f' (x)=0 при x=0 и при *=-<p f' W>0 при 0<x<—, f (x)<0 при x<0
4
и при x>—; 4) f' (x)=0 при x=4, x= —3 и x=l,2, f'(x)>0 при x<—3.
3<х<1,2 и x>4. f’ (x)<0 при l,2<x<4; 6) f (x)=0 при x=l, f' (x)>0
при x> 1, f (x)<0 при x<0 и при 0<x< 1. 538. 2) e; 4) 0.5. 539. 2) y=30x—54;
4)	x+±+^. 540. s(4)=22 m, v (4)=7 м/с. 541. 2) у sinx;
4) Зх2 cos 2x —2 (x3 +1) sin 2x; 6) -1--+4X3 Vx^T.
3 Цх— I)2
М2. 2)----; 4)	---r. 543. 2) f' (x)=0 при x=0, /' (x)>0 при x>0,
8х2л(х+4 sin2x-l
/'(x)<0 при x<0; 4) f' (x)>0 при x>—6) f'(x)=0 при x=3, f' (x)>0
ирих>3,//(х)<0при —1<х<3. 544.a^l.545.a< —12.546.2) a^0;4) a>12.
547. 2) a>0; 4) a<0. 548. 2) y. 549. 2) y= —In 2-x+^ +y In 2; 4) y=
19
«(14-e-1) x. 550. y=6x+-—, z/=6x—54. 551. 8 кв. ед. 552. 2k кв. ед, 554. 2) Воз-
o
растает на промежутке х>0,3, убывает на промежутке х<0,3; 4) возрастает на
.|ромежутке х> —6, убывает на промежутке х< —6. 555. 2) Возрастает на про-
межутках — 1<х<0 и х> 1, убывает на промежутках х< — 1 и 0<х< 1; 4) воз-
растает на промежуткахх<0 и х>4, убывает на интервале 0<х<4. 556. 2) Убы-
вает на промежутках х<0 и х>0; 4) возрастает на промежутке х> 5. 557.2) Воз-
растает на интервале 0 < х < 3,2, убывает на промежутках х < 0 и х > 3.2; 4) возрас-
тает на промежутке х<-^-, убывает на промежутке х>~. 558. 2) Возрастает на
о	О
интервалах---------П1-<х<-^--|---n£Z. 559. 2) о>1. 560. 2) Х|=2,
1о	о	1о о
Xi=3; 4) х=—n^Z. 561. 2) х=—6 — точка максимума; 4) х=—8 —
точка максимума, х=8 — точка минимума. 562. 2) х=0 — точка максимума,
у (0)=3, х= —2 и х=2 — точки минимума, у{—2)=у (2)= —13; 4) х=-^-+2пп,
= т/3 + -?-+2лп, ngZ; х=^ -}-2лп — точ-
/	и	О
5л
—у/З-Ь-g-+2лп, n£Z. 563. 2) Точек экстремума
1 —точка максимума, у(—1)=0,25;
n£Z — точки максимума, j/^y-)-2nn
ки минимума, у
нет; 4) точек экстремума нет. 564. 2) х=
239
х = 0 и х=4— точки минимума, у(0) = 0, г/(4)=10-?-; 4) x=-^- + 2rtn, n£Z—
О	о
х= ——+ 2лп, n£Z — точки минимума.
точки максимума,
у(^ —у+2пл	 565. Если п — нечетное число, тох=п —1 — точка мак-
симума; если п — четное число, то х=п — 1 — точка максимума, х = — 1 — точка
4	4
минимума. 572. Один корень при с<~, с >4, два корня при с~~д< С=1, с = 4; три
4
корня при — <с<1, 1<с<4. Указание: дополнительно к общему исследова-
нию функции сравнить значения функции с числом 1. 573. 2) Наибольшее значение
равно 68, наименьшее равно —31. 574. 2) Наибольшее значение равно —2, наи-
меньшее равно —2,5; 4) наибольшее значение равно —1, наименьшее равно
—д/2. 575. 2) Наибольшее значение равно —3. 576. 25+25. 577. 25-25. 578. Квад-
рат со стороной 579. Квадрат со стороной 3 см. 580. 2) Наибольшее значение
равно 2+е-2, наименьшее равно 1; 4) наибольшее значение равно 1,5, наименьшее
равно —3. 581. 2) 1. 582. 2) 1. 583. 2) 3. 584.	585. х = а. 586. 4. 587. (1; 1).
2
588. — л. 589. 2) Возрастает на промежутках х< — 1 и х>2, убывает на интервале
о
— 1<х<2; 4) убывает на промежутках х<3 и х>3. 590. 2) Х| = 0, Х2.з=±0,5;
4) х—лп, х=±^ +2пл, n£Z. 591. 2) х=1 —точка минимума. 592. 2) х=0 —
точка максимума, у (0)= —3; х = 2 — точка минимума, у (2)= — 12,6. 595. 2) Наи-
большее значение равно 0, наименьшее равно —4; 4) наибольшее значение рав-
но 14, наименьшее равно —11. 597. Равносторонний треугольник со стороной
598. Куб с ребром 10 см. 601. 2) х= — 1 — точка минимума; 4) х= —3 — точка
о ч
максимума, х = 4,5 — точка минимума. 603. 2) Наибольшее значение равно
3 л/з	3 л/З	II	21
—77—, наименьшее равно------. 604. 12. 605. Катеты -т- и ——, гипотенуза —.
2	2	3	-^3	3
S
— . 608. х= — л/2 — точка максимума, х=-\/2 — точка
15
х4	х2 5	2 г-
минимума. 610. arctg ft. 613. 2) —+ С; 4) 2 -\[х-}-С. 614. 2) -^-+-у", 4) -g-xy/x —8.
606. Л2. 607. 2
616.	2) х5+^-; 4)	—-у—31пх; 6) ЗхЦх—4x-^x; 8)	2х3—2х2+3х.
617.	2) 2 sin х—5 cos х; 4) Зе' + cosx; 6) х + Зе* — 4 sin х; 8) 8 V*+3 In х + 2е~х.
618.	2) 2-(х-2)4; 4) yW+3)2; 6) 3 In (х-3)+2 cos (х-1). 619. 2)
l-sin(3x+4)+C. 4) —4 cosf-^+s'j+C; 6) 2-e3x-s+C; 8) -LIn(Зх-1)+C.
*	5	\ 4	/	О	o
620. 2) 2Х2 —х; 4) -|-sin3x. 621. 2) 4е4—i-cos2x; 3) —10 cos—
О	2.	О
240
<х^х; 4) (
-	|-е + 3 ; 4) 21 sin-^-+-|-е	2 ; 6) 2* —cos (4х+2); 8) -|--73х+1 —
z	/о	3 -^5	о
-	|-1п(2х—5). 622. 2)3*4~3*2±- ; 4) 2х3 —|х2-6х. 623. 2) (-^-х —|-)х
-^-х— 3 ) 2 т/х. 624. 2) -i-cos2x. 625. 6 sin---------------|-cos5x— 2,8.
3	/	2	2 Ь
«26. 2) ln(x+2); 4) -i-cos2x—cos 8x. 628. 2) 12 4s 4) 6; 6) ~ 629. 2) 1-b
4	lb	3	z	3
1	9	3
4) I—. 630. 2) 12—. 631. 2) 18. 632. 2) 9; 4) 5; 6)	8) 2. 633. 2) 1; 4) 2; 6) 0.
3	3	о
9	1 I
«34. 2) 11; 4) 2—; 6) 10. 635. 2) 68; 4) e6-e2. 636. 2)	; 4) 5. 637. 2) 4 л/3; 4) 8.
3	Iz
638. 2) 4In 2.5; 4) 0,5. 639. 1) л; 2) 0,5; 3) 0,5, 4)	5) 16-^; 6) l,5+ln2.
3	4	lUb
22	1	11	1
640. b=2. 641.	I)	8	2) 1—;	3)	2	In 4.	642.	2)	6	4)	4.	643. 2) ~. 644.	2)	1^-.
3	3	b	12	3
645. 2)	-g-;	4)	4'	M6-	2> 8- 647‘ 2>	2—648.	2)	4,5.	649.	2)	1.	650.	2)
4) 6,75. 651. 1) 18; 2) In 2—652. (0,5; 1,75). 653. 2) 21-i-M. 654. 1(>|-м.
655. 2) у—2^ — 4x’+x4-C; 4) y=2 sin 2x+C; 6) i/=sin x+cos x+C. 656. 2) y=
—2sinx+l; 4) j/=2x+x2—x3+2; 6) y=3—e~‘. 658.	«6927 лет.
659. 0,09 Дж. 660. 0,96 Дж. 661. 2) —cos x— 1; 4) e’ + l; 6) 2x—x2 + 3. 662. 2) 12;
4) -2; 6)	8) 2. 663. 2) A; 4) 1’^; 6) ~ 664. 2) 0; 4) -3; 6) 8-f--
О	Z	InZ	У	o
«65.2) —3-; 4) 2 sin 12. 666.2) 1; 4) l-i-. 667. 2) 2-|-; 4)	668. 1) -b 2) 4 In 3 — 2.
0	3	3 У	3
669. 1) 1,75, 2) 3^. 670. k=p. 671. 2)	4) 3_L; 6) -|-; 8) -2. 672. 2) x=
-j+лп, n£Z; 4) *=y. 674. —2<x<3. 675. 2) —3. 676. 2) y. 677. 2) y=
— —6x— 1. 679. 2) 3,5 и 0; 4) 3 и 1; 6) 2e2 и —8) 0,5 и 0. 680. 1 дм. 681. 54л см3.
682. 6. 683. 2. 684. sinx-1—l. 685. 2) л^~1 ; 4) 1у; 6) 2-|-; 8) In 3.
1	1	--
086. 2) 1—; 4) 9-5-; 6) 1. 687. v (10) = 262 м/с, /«37 с. 688. 12л. 689. 2) -5х 2 4-
з	з
4>	«. 2)	4) -(,+4,п>)!	
2х (4х 4- 3)
691. 2)  3^_ZI_7-;4) cos2x — 2х sin 2х. 692. х=2. 693.2) f'(2)> 0. 694. f (0)=4,
I (у) =8 (7 + 4^3). 695. —|-<хС0. 696. -1. 697. 9. 698. (3; 9). 699. (1; 2),
(0.5;2,25). 700. (—1; —3). 701.2) у=0.5(1+ln х—х In 2); 4) у=2х—1.702. 2) Воэ-
рпстает на промежутках х<0 и х>0. 703. 2) х=6 — точка минимума. 704. 2) х=
2
•—0 — точка минимума, х=—2-~---точка максимума. 705. 2) 1,5 и 1. 707. р=
3
241
= -10, 9 = 26. 708. 20?^ дм. 709. З^о7. 710.	711.	712.
3	д/2	<3	3
713.-^. 714. -g-(2 sin 4х —9). 715. In (4х-!)+<?. 716.2) 11,25; 4)
6) 5,5+7 In 2. 717. 2) 2-|-, 4) In 2. 718. 6>^/3—1, 6< —3—л/З. 719. х=лл, х=
О
==-+"-, n£Z. 721. 3 или 12. 722. Нет, так как наименьшее расстояние между ко-
8	4	И
раблями будет равно 3 милям через 48 мин. 723.1	. 724. a=l,S=4. 725. arctg ^j-.
Упражнения для итогового повторения
курса алгебры
726. 0,08. 727. 30. 728. 3-| %. 729. 400%. 730. 45. 731. 13,5. 732. 62%. 733. 30%,
10%, 60%. 734. 365 р. 735. 21%. 736. 8. 737. 600. 738. 636 р. 54 к., 655 р. 64 к.
739. 408 р. 85 к. 740. 2) 4; 4) 1,02. 741. 2) 4; 4) 2. 742. 2) 0,5; 4) 20,8. 743. 2) 1083.
15
з
744. 2) 64; 4) 25. 745. 2) —10; 4) -у-; 6) 160. 746. 2) Второе; 4) первое.
747. 2) д'З; 4) 0; 6) 26. 748. 2) |6| .(262 +1); 4) —. 794. 2) 2 ^5; 4)	;
-\'ab	za
___	2	4	1	7
6) 3(y/6-V5); 8) VH-V3. 750. 2) — ; 4) — ; 6)	751. 2) 2 — ;
V5 уб	V7 +v5	»
4	16	r-
4) 1 tv : 6)	- 752. 2) 2,(1); 4) 5,(18). 753. 2) Да. 756. 2) Да; 4) да. 758. 1) 2т/3»
II	75
9
«3,46 см; 2) 2 arcsin ~«68,5°. 759. 120 tg 36° «87 м. 760. 130 (tg 22°+tg 44°)«
lo
12	5	24	24	7
«178 м. 761. 2) costz=—, tga=—; 4) tga=y» sina=^g, cosa=^g.
762. 2) 0,5; 4) 0,5; 6) —763. 2) -A; 4) -±. 764. 2) 3^+П; 4) ~
765. 2) Q2\4fc2 ; 4) 0. 766. 2) -t 767- 2) 4:4) r-1 r-- 768- 2) 16a2.
ab	' ^2	ab -Ja+^b
769. 2) —6^/6; 4) '\a~2b. 770. 2) 2-^/2 sin у sh(-|—j-j; 4) 4sin(a+y)x
Xsin(a—у У 772. 2) sin a; 4) sin a; 6) tg a. 773. 2) lg2 у ; 4) —sin 2a;
6) ctg2 a. 774. 2) —sin2 a; 4) —cos 2a cos 4₽. 780. 2) x=3; 4) x=8. 781. a= —6.
782. 6=3. 783. 2) x=3. 784. 2) x= —1,25; 4) x=— 1; 6) x=5. 785. 2)
9	1
786. 2) xi = —2, x2=-o-; 4) Xi=0, x2=—; 6) Xi,2=±5. 787. 2) X|=2, x2 = 10;
о	о
4) x.=± *г=-|-. 788. 2) x=4; 4) x=3. 789. 2) Корней нет. 790. 2) x=2.
791. 2) Х|.а=~1^Л^. 792. 2) x1.J=±y/5, х3.4=л/б; 4) X|.2=±-^. *3.4=
242
,/о
L-y; 6) x=l. 793. 2) xi,2=±2, x3= — 1, x4=3; 4) x,=2, xa—0,25.
/94. 2) X|,2=—y±6;	Xi=a, x2=—2,5a. 795. a>0, Ьг=4ас. 797. 2) x=6;
9	5
1) x=3-=-. 798. 2) X!=3, x2=4; 4) x=l. 799. x=3. 800. x=5. 801. 2) Корней
3	3
нет; 4) Xi=2, x2= — 1; 6) Xi = 0, x2=2, x3=-^. 802. 2) Xi=3, x2=2; 4) Xi=3,
x,= -l. 803. 2) x=3; 4) x=3. 804. 2) x,=4, x,= -2. 805. 2) х=25-Д;
4) х=-Д. 806. 2) xi = l, x2=9. 807. 2) x=9; 4) x=18. 808. 2) x,= 0.01, x2 = 100;
4) Х|=Д-, x2=9; 6) xi = l,x2=4. 809. Нет. 810. 2) Zi,2=3±i; 4) z,.2=—2+-
О	*
0) z,.2 = l±i^. 811. 2) x=^+^, x=(-l)“^+v-	4> X=T+F
ix x	“ x
H6Z; 6) х=^4-ля. 812. 2) x=^-+nn, x=^+y. nGZ; 4) x=-^+^,
n£Z. 813. 2) x=-T-4-nn, x=arctg-4 +^n. n£Z-, 4) корней нет. 814. 2) x=- -4
'“'r’+T- k€Z> 4) x=^+^, x=^+^, r£Z. 815. 2) х=4+2ПЛ, n6Z;
О *т	IX о	О X	о
4) x==^, n£Z. 816. 2) х=л4-2лл, x= —£-4-2лл, х=-£-4-2лл, n£Z; 4) х=л+
u	x	4
}2лл, x=-£- Ь2лп, x=-^-+(—1)"arcsin—+nn, n£Z. 817. 2) x=4r+nn
2	4	3-^2	2
*=-?-4--?- . ngZ. 818.2) x=(— 1)п+1 -?-+лл, n£Z; 4) x=(—1)л+1 arcsin-|-+лл,
DO	О	0
n£Z; G/ х=-^+лл, x=='fg+'£’> n6Z. 819. 2) Корней нет; 4) х=лл, n£Z.
820. 2) x>—2; 4) x> 1. 821. 2) x>56; 4) x<0.1; 6) x>5. 822. 2) x<0.5,
x>-^-; 4) ХС-Д-; 6) — 3-|-<x<40; 8) —2<x<8. 823. 2) x<-|-, x>-?-;
Olio	ox
2	5	4
4) x< ——, x>—; 6) x<2-y 8’4.2) — 16<x<3; 4) x<-4, x>6, 6) x<—3,
x>—2,5. 825. 2) x^5, x^9; 4) —3<x<7; 6) x£R; 81 решений нет;
10) — l,4<xsg0. 826. 2) x>—4. 827. 2) —7<x<2, x>5; 4) x<-2—
2+-v/5<x<l; 6) x<—4, —l<x<2, x>3. 828. —5<x< —3. 829. /n=2.
830. m=8, m=9. 831. x=6. 832. x= —1. 833. 2) x<2,8, x>4; 4) l,25<x<l,75;
C) x<2; 8) x<-2, l<x<2, x>5; 10)  ~2^<x<~ , l<x<b±^.
bob
834. 2) — l<x<5; 4) — l,5<x<0,9. 835. 2) x<l. 836. 2) Решений нет.
837. 2) х<1, x>3. 838. 2) —V5<x<—Д	839. 2) 1<х<2;
4) x>3. 840. 2) —3<x<—Д V6<x<3. 841. 2) у+лл<х<^+лл, t^Z.
842.2) —arcsin 4-4-2nn<x<arcsin 4-+л+2лл, ngZ, 4) —arccos 4—k 2лл<
4	4	3
243
<;х<агссоз 4-+2лп, nQZ. 846. 2) (2; 1); 4) (5; -3). 847. 2) (—1200; 500);
О
849. 2) (7; 6); 4) (2; 3), ( -
дней.
4) (7; 2). 848. 2) (—8; -2), (8; 2); 4) (3; 4), (4; 3); 6) (8; 4), (-8; -4).
9; 28-0. 850. 2) (3; I), (-3; -1); 4) (3; 5), (3; -5).
851. 2; 12. 852. 2) х>5. 853. 1 мин. 854. 126 км. 855. 1080 км. 856. 16
857. 12 ч. 858. 91 га. 859. 8; 12. 860. 0 у, 0 861. 432 детали. 862. 15 км/ч.
863. 25 и 20 билетов или 20 и 15 билетов. 864. 3 км/ч. 865. 21 ц, 20 ц. 866. 1400 ша-
гов. 867. 3; —6; 12; —24. 868. 27. 869. 1; 3; 9; 15 или 16; 8; 4; 0. 870. 2 или
12-?-. 871. В 3 раза. 872. 16 см2. 873. Ь = —2. 874. k = — 1. 875. 2) fe=-l, 5=3;
5
4) 5 = 0, b= —2. 876. y=—0+0 У=— 0+0 877. 2> HeT; 4> Aa-
□	о о
878. 2) 3 0 879. 2) x<0 880. 2) x>0,5. 881. x>l. 882. x< — д/З.
885. 2) Да. 886. 2) (— 1; 3), (5; 3). 887. 4) x< —2, x>2. 888. 4) x=#0. 889. 2) Да;
4) да. 890. 2) Нечетная; 4) четная. 891. 2) Д0 893. 2,25. 894. 2) (0; 2), (2; 0),
О
(0,5; 0). 898. 2) х<—5, х>3; 4) х< —7, х>6. 899. 2) 05-д/41)<*<2,
3<х<4-(5+у/4Г); 4) 3<х<3 0 900. 2) у^7; 4) у^2. 901. 2) -1 —
<1—0 4) —VE25<£/<VL25. 902. -+. 903.	904. —0 905. у=х+1.
40
906. t/=3x—3. 907. 132; —57. 908. 9; 4. 909. (1; 1). 910. — . 911. 2. 912.	913. г=
—, H=R —. 914. /? = //. 915. 0. 916. г=0 Л=-^. 917. 2) х=0 — точ-
з	д/З	д/З	3	3
= R
ка минимума, х=0,4— точка максимума. 918. (1; 0), (—1; 4). 919. у=1х—43.
921. 2) 30 4) 4,5; 6) 18. 922. 2) 4,5; 4)	. 923. 2) -0д£-2; 4) 00
О	14	О	и 1П О
924. 1)	*= —7-+"". "GZ; 2) х>2; 3) 100; 4) У=00 ; 4; 5) 0,25.
х	4	1л 4
л	л	4^21
925. 1) х^-^+лп, х=—+лл, n£Z; 2) — 4<х<0; 3) 160; 4) -=-х —
i	4	о	о о
5) 1,5. 926. 1) х=2лл, х=4+лл, n£Z; 2) х>3; 4) 31,5; 5) 0?	927. 1) х=
*	д/а—у&
= л+2пп, х=-£+лп, n£Z; 2) 0,5<х<2; 4) 16 0 5) 9а. 928. 1) 30 км/ч;
л	О
tg2 СС
-----; 3) х=4.5; 4) 4; 5) 0<х^2. 929. 1) 3 км/ч; 2)	; 3) х=0; 4) 12;
2 cos а-cos а
2) *
5) 0<х<1. 930. 1) д/З; 2) х=3; 3) х>0,5; 4) -А-
О
; 5) 1. 931. 1) 1; 2) х=-1;
1<х<5; 4) 10 5) 12,5. 932. 1) х=2пп, n£Z; 2) 2<х<4; 3) правая;
О
3)
4) Х|.г=±8; 5) 4-^2 см, 8 см. 933. 1) х= —1,5; 2) -^--|-2лл<х<^+2лп, n£Z;
244
I) 10 —8 in 2»4,48; 5) 21934. 1) — 5<x<3; 2) x>3; 3) xt=0. x2= —19.
О
V низание: ввести обозначения y=\'8— x; z=^27+x, откуда jy3-|-z3 =
 15 (1). Исходное уравнение записать так: у2 —yz + z2 = 7 (2). Поделив урав-
нение (1) на (2), получить у-{-г=5 (3). Решая систему уравнений (2),
< В. найти значения у и далее использовать введенные обозначения;
• » х,=73. х2=—8. 935. 1) х=3; 2) Xi.2=±2, х3=3; 3) х, = —1, х2 = 3;
I) х, = —1, х2=4, x3.,= ±i^2. 936. 1) х=л-|-2лп, х=—у+2ли, n£Z;
'') *= ±у+у+2лл, n£Z; 3) х=у+2лл, х = 2 arctg -у + 2лп, n£Z; 4) корней
||< |. 937. х, = 1. х2=2, х3=3. 938. х3 = 3. 939. 1) (а; а2), (а2; о), если а>0 и
.1 / I; ( —а—1; (а+1)2), ((а+1)2; —а—1), если а< —1 и а=/=—2. 940. 1) (1; 1),
(<; т); 2) (,: 1)1 (2; 4): 3) (т+яя; _т+лп)- ”6Z; 4) (_т+":
(-л), „ez; 5) (у+2лл; у + 2лй), (-у + 2лл; —у+2лй), (у+2лл;
'"‘^2лл),(-у+2лл; -y + 2nfe). n£Z, k£Z, 6) ((-1)‘у + лл; (-1)‘-J+
| л* + лп\(±4+v-v±4+v+2n*). Л€4 k£Z. 941. х<-4, -3<
<х<—2, — 1<х<1, х>2. 942. 1) х>2,5; 2) -|-<х<6; 3) —2<х<1;
О
4) —3<х<1; 5) 2<х<3. 947. 1) х=Г; 2) х=0,5; 3)	4) х=-|-.
948. 1) х=0,5; 2) х=2; 3) х, = 2, х2 = 32; 4) х=1,5; 5) х,=\^. х2=2; 6) х=4.
l»49. 1) х=4; 2) х=3; 3) х=8; 4) х=—9. 950. 1) *=у.	2) °.
л; 3) *=-7-+~гг. *=±^-+2лл, ngZ; 4) х=-^-4-лл, х=2лл, n£Z;
Ь) х=-5-л, ngZ; 6) х=у + лп, n£Z. 951. 1) х=^+2лп, n£Z; 2) х=(-1)"-£-+
| лл, ngZ; 3) х=2лл, х=-^--(-2лп, х=-—^--|-лп, ngZ; 4) х=^+2лл,
»“-^+(2л+1)л, nfZ. 952. 1) х=-^-( (—1)" arcsin-?-+лп) , ngZ; 2) х=
-	arcsin у+ли), nez. 953. х=у+(2л4-1)л, n£Z. 954. х=лл, х =
-“4-лл, пег. 955. х=у. 956. 1) (1; 2), (-4; у); 2) (2; 1), (-2; -1),
(2; -1), (-2; 1); 3) (1; 2), (-1; 6), (^; 4-^/2), (-д/2; 4+^); 4) (1; 2; 3),
(I, Б; 0), (3; 2; -1), (3; Б; -2). 957. 1) (1; log3 2); 2) (3; -9); 3) (-17; log2 10);
4) (1; 2), (-1; 0). 958. 1) (2; 10), (10; 2); 2) (0; 1). (2; -1); 3)	уЧ-^),
(	4-^); 41 (4-^ ^)-(4+-^	«*•11 -'<«<»•
|<х<4;2) — 2<х< — 1,х>— 1; 3) —8<х<8;4) 1 <х<5. 960. 1) х< —у,
245
х>2; 2) х>3; 3) —1<х<0; 4) —2<х<3. 961. 1) х>2; 2)	• х> * =
3)__-<х<0, 0<х<4- ‘. 4) — 311<х< —11, 1<х<1.5. 962. 18 и —2. 963. 4.
9	4	Ь
964. 4л+^-1 и -4л-^|--1. 965.	966.	—j)- 967. у=
=х+ ! „=JLX_А, 968.(-1- Л) 969.(—2; 22), (2, 10). 970. Л=2. 971. р= -2,
V25 А/5	\ 3 9 /
9=0, d = l. 972. 2,25. 973. х=(—1)"-^-+лп, n£Z. 974. а= —3,5. 975. а=1—\/2,
a=5+V10. 976. а<—4, —|~<а<0. 977. 2^5- 978. 6|=3, <?=4 или Ь|=48,
1
’=т-
ПРОВЕРЬ СЕБЯ!
Глава I.
1) См. рис. 99.
Ч1Г>(4)'’
3) х=2; Х1 = 1, Хг=— 5; х = 1; Xi=0, Ха=— 2.
4) х>4, —2<х<2.
Глава II.
1) 3; —2; 13; 49; 2.
2) См. рис. 100.
246
В logo.s 3<log0.2 25; log20,7<log21,2.
1) x=8; x=l; Xi=O, x2=9.
•) (б; у); 6) КхСЮ; -3<x<2.
I лава III.
• ) 1; t/3; n.
’) x=y+wi, n£Z; х=±-^-+2лл, n£Z; х=±-£-+лл, n£Z.
’) у+2лп<х<-|-л+2лп, n£Z, у+2лп<х<у л+2лл, n£Z.
Глава IV.
3
я;
л
1) x=jt-£-(l+2n), n£Z; нет.
') sinx=l при х=у; cosx=l при х=0, 2л; sinx=— 1 при х=——
cos х= — 1 при х= —л, л; sin х=0 при х=0, л, 2л; cos х=0 при х= —-, у,
у я; sinx>0 при 0<х<л; cosx>0 при -у<х<у, у л<х<2л; sin х<0
при —л<х<0, л<х<2л; cos х<0 при —л<х<у, —^-<х<ул; возрас-
я л 3
тают: sinx при — у<х<у, ул<х<2л; cos х при —л<х<0, л<х<2л;
убывают: sinx при —л<х<—у, у<х<ул; cos х при 0<х<л.
•') tgx=O при х=—л, 0; tgx>0 при — л<х<—, 0<х<-£; tgx=0
"Ри —=-л<х<—л, —^-<х<0.
<) —j-+nnCx<y4-лл, n£Z.
1лава V.
I) 85;
1 —<?*; 12 (Зх—5)3; 6 cos 2х cos х—3 sin 2х sin х;	.
t) Л=-3*
л
“=~Т-
1лава VI.
I) Возрастает при —1<х<1, убывает при х< — 1, х>1.
V) Точка максимума (—3; —2); точка минимума (3; 2).
247
3)	См. рис. 101.
4
4)	Наибольшее у(5)=5 —, наименьшее у (2)=4.
О
5)	2 м.
Глава VII.
2) F(x)=x3 4+x’-3x-l.
3) "т:Т: 1: -L
5
4) а) 20— кв. ед.; б) 36 кв. ед.
О
БЕСЕДА
•	НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ПРОГРЕСС И МАТЕМАТИКА»
Одной из характерных особенностей нашего времени являет-
•	и широкое применение математических методов и электронно-
ш.| числительных машин в самых различных областях человечес-
кой деятельности. «Диагноз ставит ЭВМ», «Соавтор конструкто-
||.1> — такие заголовки нередко встречаются сегодня в газетах.
Бурный процесс математизации науки, техники, народного хо-
|>|йства начался в пятидесятых годах после появления и быстро-
|<| совершенствования ЭВМ. Он привел к формированию совре-
менной прикладной математики, которая включает круг вопросов,
«низанных с использованием математических методов и вычисли-
ил иной техники.
Математика является одной из самых древних наук. Она заро-
лилась на заре человеческой цивилизации под влиянием потреб-
ностей практики. Строительство, измерение площадей земельных
участков, навигация, торговые расчеты, управление государством
(ребовали умения производить арифметические вычисления и оп-
ределенных геометрических знаний. В дальнейшем математика
развилась в стройную логическую систему как составная часть
общего комплекса научных знаний. Потребности естествознания,
1ехники, всей практической деятельности людей постоянно стави-
ли перед математикой новые задачи и стимулировали ее разви-
IHC. В свою очередь прогресс в математике делал математичес-
кие методы более эффективными, расширял сферу их примене-
ния и тем самым способствовал общему научно-техническому
прогрессу.
Роль математики в различных областях человеческой дея-
К’льности и в разное время была существенно различной. Она
< кладывалась исторически, и существенное влияние на нее оказы-
н ал и два фактора: уровень развития математического аппарата
и степень зрелости знаний об изучаемом объекте, возможность
описать его наиболее существенные черты и свойства на языке
математических понятий и уравнений или, как теперь принято го-
ворить, возможность построить «математическую модель» изучае-
мого объекта.
Математическая модель, основанная на некотором упрощении,
идеализации, не тождественна объекту, а является его прибли-
женным отражением. Однако благодаря замене реального объ-
ема соответствующей ему моделью появляется возможность
। формулировать задачу его изучения как математическую и
«использоваться для анализа универсальным математическим ап-
паратом, который не зависит от конкретной природы объекта.
Математика позволяет единообразно описать широкий круг
фактов и наблюдений, провести их детальный количественный
• 1Н1ЛИЗ, предсказать, как поведет себя объект в различных усло-
виях, т. е. спрогнозировать результаты будущих наблюдений.
249
А ведь прогнозирование всегда трудная задача, и оправдываю-
щиеся прогнозы являются предметом особой гордости любой
науки.
Сложность построения и исследования математической моде-
ли существенно зависит от сложности изучаемого объекта. Ма-'
тематические методы давно и весьма успешно применяются в
механике, физике, астрономии, т. е. в науках, в которых изуча-
ются наиболее простые формы движения материи. Математи-
ка стала языком этих наук, относящихся к разряду точных.
Значительную роль играла также математика в технике. Этим
вплоть до недавнего времени исчерпывалась сфера широкого
применения математических методов. Ситуация резко изменилась
с появлением ЭВМ. Причина этого заключается в следующем.
В математике часто встречаются задачи, решения которых не
удается получить в виде формулы, связывающей искомые ве-
личины с заданными. Про такие задачи говорят, что они не
решаются в явном виде. Для их решения стремятся найти какой-
нибудь бесконечный процесс, сходящийся к искомому ответу.
Если такой процесс указан, то, выполняя определенное число
шагов и затем обрывая вычисления (их нельзя продолжать
бесконечно), мы получим приближенное решение задачи. Эта
процедура связана с проведением вычислений по строго опре-
деленной системе правил, которая задается характером процесса
и называется алгоритмом.
Такой подход к решению математических задач был известен
еще до появления ЭВМ, но применялся весьма редко из-за исклю-
чительной трудоемкости больших вычислений. Когда Лаверы
«открыл» за письменным столом «на кончике пера» новую пла-
нету (Нептун), рассчитав ее траекторию по возмущениям тра-
ектории планеты Уран, то это было научным подвигом, навсегда
вошедшим в историю науки. Однако в большинстве случае*
исследователи стремились избегать больших вычислений. По
этому сложные математические модели, для которых не удавалоа
получить ответа в виде формул, либо вообще не рассматрива
лись, либо упрощались с помощью дополнительных предположе
ний. Упрощение модели снижало степень ее соответствия изучав
мому объекту, делало результаты исследования объекта мене<
точными и, следовательно, менее интересными, а иногда и при
водило к ошибкам.
Опытный вычислитель тратил на выполнение одного арифме
тического действия в среднем за рабочую смену около полмину
ты. Современные ЭВМ выполняют миллионы операций в секунду
Таким образом, за короткий срок, порядка 30 лет, благодаря
ЭВМ скорость проведения вычислений возросла примерно i
100 миллионов раз. Такого скачка не было за всю историю чело
вечества ни в одной сфере человеческой деятельности.
Применение численных методов на базе ЭВМ сразу сущест
венно расширило класс математических задач, допускающие
250
исчерпывающий анализ. Теперь уже исследователю при построе-
нии математической модели какого-то объекта не нужно стре-
миться к упрощениям, которые были необходимы раньше при
желании получить ответ в явном виде. Его внимание прежде
всего должно быть направлено на то, чтобы правильно учесть
все наиболее существенные особенности изучаемого объекта и
отразить их в математической модели. После того как модель
построена, встает вопрос о разработке алгоритма решения со-
ответствующей математической задачи и его реализации на ЭВМ.
Таким образом, ЭВМ изменили подход к применению матема-
тики как метода исследования. Они вызвали переориентацию
многих сложившихся направлений математики и развитие ряда
новых.
Сегодня ЭВМ являются одним из определяющих факторов
научно-технического прогресса. Их применение способствует
ускорению развития ведущих отраслей народного хозяйства, от-
крывает принципиально новые возможности проектирования
сложных систем при значительном сокращении сроков их раз-
работки и внедрения в производство, обеспечивает выбор оп-
тимальных режимов производственно-технологических процессов,
создает условия для совершенствования управления и повыше-
ния производительности труда. Если обычно машины брали на
себя физические функции человека в процессе производства,
делали его сильнее, то ЭВМ помогают человеку в умственной
деятельности, делают его умнее. Они являются одним из важных
факторов превращения науки в непосредственную производи-
тельную силу нашего общества. Без ЭВМ не могли бы разви-
ваться многие крупные научно-технические проекты современ-
ности (космические исследования, атомная энергетика, сверх-
звуковая авиация и т. д.).
Благодаря ЭВМ идет интенсивный процесс математизации не
только естественных и технических, но также и общественных
наук. Важное значение приобрело применение математических
методов в экономике. Математическое моделирование начинает
широко использоваться в химии, геологии, биологии, медицине,
психологии, лингвистике. Большое внимание уделяется подготов-
ке высококвалифицированных кадров, способных реализовать те
огромные возможности, которые открывает эффективное исполь-
зование ЭВМ. Во многих университетах и институтах созданы
факультеты прикладной и вычислительной математики. Под-
тверждается точка зрения К. Маркса, который, по словам
П. Лафарга, считал, что «наука только тогда достигает совер-
шенства, когда ей удается пользоваться математикой>.
Академик А. Н. Тихонов,,
профессор Д. П. Костомаров
ПРЕДМЕТНЫЙ
Арккосинус числа 58
Арксинус числа 63
Арктангенс числа 69
Гармонические колебания 105
Геометрический смысл производной 133
Дифференциальное уравнение 179
Дифференцирование 119
Дифференцируемая функция 119
Интеграл от функции на отрезке 168
Интегральная сумма 170
Интегрирование 164
Касательная к графику функции 134
Косинус 47
Криволинейная трапеция 167
•%
Логарифм числа 19
—	десятичный 24
—	натуральный 24
Логарифмирование 19
Логарифмическая функция 27
Логарифмические неравенства 29
—	уравнения 29
Наибольшее значение функции 154
Наименьшее значение функции 154
Непрерывная функция 148
Обратная функция 31
Основное логарифмическое тождест-
во 19
Первообразная функции 161
Периодическая функция 90
УКАЗАТЕЛЬ
Период функции 90
Площадь криволинейной трапеции 167
Показательная функция 4
Показательные неравенства 9
—	уравнения 8
Производная функции 118
—	логарифмической функции 128
—	показательной функции 128
—	произведения 125
—	суммы 124
—	тригонометрических функций 129
—	частного 125
Равносильные уравнения 35
Разностное отношение 118
Синус 47
Следствие уравнения 34
Стационарная точка 146
Степенная функция 4
Таблица первообразных 164
Тангенс 47
Теорема Ферма 146
Точка максимума функции 145
—	минимума функции 145
—	экстремума 145
Тригонометрические неравенства 79
—	уравнения 57
—	формулы 47
—	функции 86
Угловой коэффициент прямой 133
Формула Ньютона — Лейбница 168
—	перехода для логарифмов 24
Элементарные функции 128
252
СОДЕРЖАНИЕ
Глава I. Показательная функция
§ 1.	Свойства показательной функции и ее график.................... 3
§ 2.	Показательные уравнения и неравенства......................... 8
Упражнения к главе I................	15
Глава II. Логарифмическая функция
§ 3.	Логарифмы.................................................... 18
§ 4.	Свойства логарифмов.......................................... 21
§ 5.	Десятичные и натуральные логарифмы............................24
§ 6.	Логарифмическая функция и ее	график...........................27
§ 7.	Обратная функция............................................. 31
§ 8.	Логарифмические уравнения.................................... 34
§ 9.	Логарифмические неравенства...................................39
Упражнения к главе II ...............	42
Глава III. Тригонометрические уравнения и неравенства
§ 10.	Тригонометрические формулы (повторение).................. 47
§11.	Сумма и разность синусов. Сумма и разность	косинусов	...	53
§12.	Уравнение cosx=a......................................... 57
§13.	Уравнение sinx=a......................................... 62
§ 14.	Уравнение tgx=a.......................................... 67
§ 15.	Решение тригонометрических уравнений......................72
§ 16.	Примеры решения простейших тригонометрических	неравенств	.	.	79
Упражнения к главе III.............................................81
Глава IV. Тригонометрические функции
§ 17.	Область определения и множество значений тригонометрических
функций.................................................... 86
§ 18.	Четность,	нечетность,	периодичность тригонометрических функций 89
§ 19.	Функция	y = cosx, ее	свойства	и	график......................92
§ 20.	Функция	y = sinx, ее	свойства	и	график .....................97
§ 21.	Функция	y=tgx, ее	свойства	и	график.....................101
Упражнения к главе IV....................................107
Упражнения для повторения курса алгебры и начал анализа X класса 109
253
Глава V. Производная и ее применения
§ 22.	Производная...................................................117
§ 23.	Производная степенной функции.................................121
§ 24.	Правила дифференцирования.....................................124
§ 25.	Производные некоторых элементарных функций....................128
§ 26.	Геометрический смысл производной..............................133
Упражнения к главе V................................................138
Глава VI. Применение производной к исследованию функций
§ 27.	Возрастание и убывание функции................................142
§ 28.	Экстремумы функции............................................145
§ 29.	Применение производной к построению графиков функций ...	148
5 30. Наибольшее и наименьшее значения функции......................154
Упражнения к главе VI...............................................158
Глава VII. Интеграл
S 31. Первообразная.................................................161
5 32. Правила нахождения первообразных..............................164
5 33. Площадь криволинейной трапеции и интеграл.....................167
§ 34. Вычисление	интегралов........................................171
§ 35. Вычисление	площадей	с помощью интегралов.....................174
5 36. Применение производной и интеграла к решению практических
задач.........................................................179
Упражнения к главе VII..............................................183
Упражнения для повторения курса алгебры и начал анализа XI класса 186
Упражнения для итогового повторения	курса	алгебры...................192
Задачи для внеклассной работы.......................................217
Краткие 'теоретические сведения по курсу алгебры и начал анализа 222
Ответы и указания...................................................230
Беседа «Научно-технический прогресс	и	математика».................249
Предметный указатель................................................252

Учебное издание
Шавкат Арифджанович Алимов
Юрий Михайлович Колягин
Юрий Викторович Сидоров
Надежда Евгеньевна Федорова
Михаил Иванович Шабунин
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
УЧЕБНИК ДЛЯ 10-11 КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редакторы Н. А. Шагирова, Л. Н. Беленовская
Младший редактор Л. И. Заседателева
Художники Б. Л. Николаев, В. В. Костин
Художественный редактор Ю. В. Пахомов
Технические редакторы М. М. Широкова, Л. М. Абрамова
Корректор И. А. Корогодина
ИБ № 13 889
Сдано в набор 16.04.91. Подписано к печати 23.10.91. Формат бОХЭО’/и-
Бумага типограф. № 1. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл.
печ. л. 16+0,25 форз. Усл. кр.-отт. 16,69. Уч.-изд. л. 12,10+0,42 форз. Ти-
раж I 335 000 экз. Заказ № 41. Цена 1 р. 80 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство <Просвещение> Ми-
нистерства печати и массовой информации РСФСР.
129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знаме и полиграфический комбинат
Министерства печати и массовой информации РСФСР. 410004, Саратов, ул. Чер-
нышевского, 59.
Сведения о пользовании учебником
№	Фамилия и имя ученика	Учебный год	Состояние учебника	
			В начале года	В конце года
1				
2				
3				
4				
5				
ЛОГАРИФМЫ
fl'°8a» J= ft	£0go bc = fog* _|_ fog, c
log, -7 = logn b - ioge c log. b^p Joga b
log с = ,|0^ c	log b = —I—
l°E» a	logb a
ПРОИЗВОДНАЯ
(c)' = 0	(kx-|- b)' — k (xp)' =рх"-'
(ex)'=ex (lnx)'=y
(sinx)' = cosx	(cosx)' = — sinx
(f(*)+g(x)y = f' (x) + gf (x)
(cf(x)Y = cf'(x)
(f(x) • g(x))'=f'(x)g<x) + f(x)g'(*)
/f(x)\'_ f'(x)g(x) - f (x)gz(x)
\g(x)/	g2(x)
ФУНКЦИЯ	III	)Й1* A IM А •
/» ✓ I
1 . и
Ihi •


h* • l I
f' f (?
ill* • | (
I ••• •
мн • । i
СТЕПЕНИ
ас aXt=ax
°" _ x-z,
дх« а
Н = aXXi
(afr)x= схЬ'
Х
'5' Ьх
ИНТЕГРАЛ
S / (х) dx = F (Ь) - F (a),	F' (х) =f (х)
ФУНКЦИЯ
ПЕРВООБРАЗНАЯ
х*. р=#-1
^-,х>0
sinx
cosx

СОВЕТСКИЕ УЧЕБНИКИ
БОЛЬШОЙ СКЛАД НА САЙТЕ
«СОЕТСКОЕ ВРЕМЯ»
SOVIETIME.RU