Автор: Граськин С.С.
Теги: геометрия топология математика аналитическая геометрия математический анализ тригонометрия
ISBN: 978-5-7038-3281-3
Год: 2009
Текст
f
f
Издательс :о к им. H. . Ба ана
Тригонометрия
Теория и практика
решения задач
Под редакцией С.С. Граськина
Утверждено Методической комиссией
факультета «Фундаментальные науки»
МГТУим. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия
Москва 2009
УДК 514.116(075.8)
ББК 22.151.0
Т67
Авторы:
Граськин С.С., Афанасьева А.В.,
Гутнер М.Е., Гутнер С.Х., Кулинич Н.В.
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доцент ЕА. Власова,
канд. физ.-мат. наук, доцент В.Д. Морозова,
методист ОМЦ ЮОУО ДО Л.В. Федотова
Тригонометрия: теория и практика решения задач:
Т67 учеб. пособие / [С. С. Граськин, А. В. Афанасьева, М. Е.
Гутнер, С. X. Гутнер, Н. В. Кулинич ; под ред. С. С. Граськина. -
М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2009. - 325, [3] с.: ил.
ISBN 978-5-7038-3281-3
Учебное пособие представляет собой расширенный курс
лекций и семинарских занятий по тригонометрии для слушателей
СУНЦ МГТУ им. Н.Э. Баумана. Содержит основные
теоретические положения по основам тригонометрии, методам решения
тригонометрических уравнений и неравенств, в том числе с
параметром, а также подборку задач различного уровня сложности для
аудиторной и самостоятельной работы.
УДК 514.116(075.8)
ББК 22.151.0
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009
ISBN 978-5-7038-3281 -3 © Оформление. Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2009
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
1. Тригонометрические функции и их свойства 7
1.1. Понятие угла 7
1.2. Измерение углов 9
1.3. Определение и свойства тригонометрических выражений 15
1.4. Основные тригонометрические формулы 25
1.5. Тригонометрические функции 48
1.6. Линейные преобразования графиков функций 57
Контрольные вопросы и задания 70
Задачи и упражнения 71
Ответы к задачам и упражнениям 82
2. Обратные тригонометрические функции и их свойства 85
2.1. Обратные тригонометрические функции 85
2.2. Основные тождества, содержащие тригонометрические
и обратные тригонометрические функции 103
2.3. Примеры тождественных преобразований 111
Контрольные вопросы и задания 113
Задачи и упражнения 114
Ответы к задачам и упражнениям 118
3. Тригонометрические уравнения 121
3.1. Общие положения 121
3.2. Простейшие тригонометрические уравнения 123
3.3. Основные методы решения тригонометрических уравнений .. 131
3.4. Решение тригонометрических уравнений с ограничениями .... 171
3.5. Системы тригонометрических уравнений с двумя
неизвестными 180
3.6. Решение тригонометрических уравнений с параметром 187
Контрольные вопросы и задания 195
Задачи и упражнения 197
Ответы к задачам и упражнениям 211
4. Тригонометрические неравенства 227
4.1. Простейшие тригонометрические неравенства 227
4.2. Основные методы решения тригонометрических неравенств .. 244
4.3. Решение тригонометрических неравенстве параметром 267
3
Оглавление
Задачи и упражнения 280
Ответы к задачам и упражнениям 289
5. Уравнения и неравенства, содержащие обратные
тригонометрические функции 305
5.1. Простейшие уравнения, содержащие обратные
тригонометрические функции 305
5.2. Решение уравнений, содержащих обратные
тригонометрические функции 307
5.3. Простейшие неравенства, содержащие обратные
тригонометрические функции 309
5.4. Основные методы решения неравенств, содержащих
обратные тригонометрические функции 315
Задачи и упражнения 316
Ответы к задачам и упражнениям 321
Литература 325
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие является первым выпуском полного
курса элементарной математики для слушателей
Специализированного учебно-научного центра при МГТУ им. Н.Э. Баумана. Оно
учитывает специфику углубленной математической подготовки
слушателей и отражает многолетний опыт работы авторов на
кафедре «Основы математики и информатики» университета.
В основу учебного пособия положен курс лекций по
тригонометрии, который авторы на протяжении ряда лет читают учащимся
10-х и 11-х классов физико-математического лицея №1580 при
МГТУ им. Н.Э. Баумана, а также опыт проведения семинарских
занятий.
Одной из проблем преподавания математики в школе и в вузе
является недостаток отведенного на обучение времени для
изложения материала. Поэтому часть фактов не доказывается, в ряде
случаев приводятся схематичные или иллюстративные
доказательства. Цель данного пособия - достаточно строгое, углубленное и
доступное изложение учебного материала, ставшего для школы
традиционным.
Пособие состоит из пяти глав и имеет так называемую
блочную структуру. Каждая глава начинается с изложения
теоретического материала, далее приводятся типовые примеры с решениями
и иллюстрациями, контрольные вопросы и задания для
самопроверки, задачи и упражнения для самостоятельного решения и
ответы. Содержание материала и стиль его изложения определялись, с
одной стороны, требованиями к уровню математических знаний
поступающих в МГТУ им. Н.Э. Баумана абитуриентов, с другой
стороны, необходимостью разработки курса, позволяющего вести
занятия со старшеклассниками разного уровня подготовки.
Работа над пособием между авторами распределена следующим
образом: основной текст (теоретический материал и примеры глав
1-4) написан профессором С.С. Граськиным; § 1.6, 4.3, 5.3-5.5 -
А.В. Афанасьевой; § 3.4-3.6 - С.Х. Гутнер, контрольные вопросы
5
Предисловие
и задания, задачи и упражнения для самостоятельного решения ко
всем главам подготовлены и проверены А.В. Афанасьевой, М.Е.
Гутнер, С.Х. Гутнер, Н.В. Кулинич.
Авторы выражают благодарность всем коллегам по кафедре
«Основы математики и информатики» СУНЦ МГТУ им. Н.Э.
Баумана, принявшим участие в обсуждении данного учебного пособия.
Замечания и предложения, связанные с улучшением качества
пособия, просьба присылать по адресу Director@1580.ru.
1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
И ИХ СВОЙСТВА
1.1. ПОНЯТИЕ УГЛА
Пусть заданы два совпадающих луча [ОА) и [ОВ), имеющих
общее начало - точку О (рис. 1.1, а).
Луч [ОА) неподвижен, а луч [ОВ) ■
О В А
может вращаться в плоскости отно- а
сительно точки О по ходу или
против хода часовой стрелки, совершая
произвольное число оборотов. На
рис. 1.1, б показан один из
поворотов луча [ОВ) против хода часовой
стрелки, а на рис. 1.1, в - по ходу
часовой стрелки.
Пусть подвижный луч [ОВ)
совершил такой поворот по ходу
часовой стрелки, при котором он
впервые совпал с начальным лучом [ОА)
(рис. 1.2, а). Этот поворот принято называть полным оборотом по
ходу часовой стрелки.
Рис. 1.1
&-^
©-г
Рис. 1.2
Если же луч [ОВ), совершив поворот против хода часовой
стрелки, впервые совпал с неподвижным лучом [ОА\ то такой
поворот называют полным оборотом против хода часовой стрелки
(рис. 1.2,6).
7
I. Тригонометрические функции и их свойства
Таким образом, при неполном обороте получается фигура,
ограниченная по направлению вращения рассматриваемыми лучами
[ОА) и [ОВ) и частью плоскости.
Определение 1.1. Углом а называется множество точек
плоскости, состоящее из двух лучей [ОА) и [ОВ\ имеющих общее
начало, и ограниченной ими по направлению вращения части
плоскости.
Определение 1.2. Часть плоскости, не включающая границы и
ограниченная лучами [ОА) и [ОВ) по направлению вращения,
называется внутренней областью угла а, а оставшаяся часть
плоскости, также не включающая границы, - внешней областью угла а.
Полному обороту соответствует полный угол, образованный
движением луча по ходу или против хода часовой стрелки. Если
подвижный луч [ОВ) не совершает поворота, то он задает нулевой
угол.
Очевидно, что при полном обороте по ходу или против хода
часовой стрелки вся плоскость вращения делится лучами [ОА) и
[ОВ)на два угла а и (3 (рис. 1.3),
которые принято называть взаимно
дополнительными. При этом внутренняя область
одного из них является внешней для
другого, и наоборот.
При повороте луча [ОВ) против хода
часовой стрелки взаимно дополнительный
Рис. 1.3 угол Р будет равен разности полного угла
по ходу часовой стрелки и угла а, а при
повороте по ходу часовой стрелки взаимно дополнительный угол а
будет равен разности полного угла против хода часовой стрелки и
угла (3.
Если лучи [ОА) и [ОВ) впервые совпадают, то мы имеем два
взаимно дополнительных угла, один из которых нулевой, а второй -
полный.
Если при повороте луч [ОВ) занял положение вдоль прямой,
совпадающей с неподвижным лучом [ОА), в противоположном
8
1.2. Измерение углов
направлении с лучом [ОА\ то
образованную при этом пару
углов а и Р называют
развернутыми углами (рис. 1.4).
Внутренняя область каждого
развернутого угла называется
полуплоскостью.
Рис. 1.4
1.2. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ
М
Рис. 1.5
Различают градусную и радианную меру измерения углов.
Градусная мера измерения углов. Пусть подвижный луч
[ОБ) совпадает с неподвижным
лучом [ОА\ не совершая поворота
(рис. 1.5).
На неподвижном луче [ОА)
возьмем некоторую точку М, а на
подвижном луче [ОБ) - точку N,
совпадающую с точкой М. Проведем
окружность с центром в точке О
радиусом R, равным длине одного из
отрезков \ON\ или \ОМ\. Теперь при
повороте луча [ОБ) по ходу часовой
стрелки или против хода часовой
стрелки точка N будет перемещаться
вдоль этой окружности (рис. 1.6).
Из планиметрии известно, что
образуемый при таком повороте угол а будет называться
центральным.
Определение 1.3. Мерой центрального угла, равного 1/360
части полного угла, является угловой градус, а мерой дуги, на
которую опирается этот угол, - дуговой градус.
Таким образом, единицы измерения центральных углов и дуг,
на которые они опираются, совпадают.
Рис. 1.6
9
1. Тригонометрические функции и их свойства
Принято считать, что при вращении луча [ОБ) против хода
часовой стрелки он задает положительный угол, а при вращении по
ходу часовой стрелки - отрицательный угол.
Таким образом, полный угол, образованный движением луча
против хода часовой стрелки, называется полным положительным
углом, а полный угол, образованный движением луча по ходу
часовой стрелки, - полным отрицательным углом. При повороте
луча [ОБ) на половину полного оборота против хода часовой стрелки
получаем положительный развернутый угол (угол а на рис. 1.4), а
при повороте на половину полного оборота по ходу часовой
стрелки - отрицательный развернутый угол (угол (3 на рис. 1.4).
Определение 1.4. Центральные углы (дуги), задаваемые мерой
и направлением, называются направленными углами (дугами).
Поэтому поворот подвижного луча [ОБ) против хода часовой
стрелки задает положительный угол а (а > 0), а поворот по ходу
часовой стрелки - отрицательный угол а (а < 0), т. е. если,
например, подвижный луч [ОБ) совершает поворот, равный 1/360 части
полного оборота против хода часовой стрелки, то тем самым
подвижный луч [ОБ) задает некоторый положительный угол, равный
одному градусу (1 °), а если он совершает полный оборот, то задает
полный положительный угол, равный 360°.
Для измерения угла используются меры: одна минута (Г) и
одна секунда (Г).
Если подвижный луч [ОБ) совершил поворот против хода
часовой стрелки, равный 1/60 части поворота, соответствующего углу,
равному 1°, то говорят, что луч [ОБ) задает угол, равный Г.
Если подвижный луч [ОБ) совершил поворот против хода
часовой стрелки, равный 1/60 части поворота, соответствующего углу,
равному Г, то говорят, что луч [ОБ) задает угол, равный Г. Таким
образом, угол, равный 60", равен Г, угол, равный 60', равен 1°.
Пусть луч [ОБ) совершил четверть полного оборота против
хода часовой стрелки. Тогда говорят, что луч [ОБ) задает положи-
10
1.2. Измерение углов
тельный прямой угол, т. е. угол, равный 90°. Развернутый
положительный угол - это угол, равный 180°.
При вращении подвижного луча [ОБ) по ходу часовой стрелки
градусная мера соответствующих углов будет отрицательной.
Теорема 1.1. Отношение длины дуги окружности, на которую
опирается некоторый центральный угол, к радиусу этой
окружности не зависит от радиуса.
Изложим основную идею теоремы. Пусть сначала подвижный
луч [ОБ) совпадает с неподвижным лучом [ОА). Выберем на
лучах совпадающие друг с другом точки M\,N\ и М2, N2
соответственно. Проведем две окружности с центром в точке О радиусами
Я, =|CW,| и R2=\ON2\.
При повороте луча [ОВ),
например, против хода часовой стрелки
задается центральный угол а. На
окружности радиусом R\ этому углу
будет соответствовать дуга M\N\, a
на окружности радиусом ^2 - дуга
M2N2 (рис. 1.7). Соединим точки
М\ и N\, М2 и N2 хордами.
Рассмотрим треугольники: AON\M\ и
AON2M2, у которых ОМ\ =ON\,
OM2=ON2, ZM\ON\ = ZM2ON2. Следовательно, ACW,M,
подобен AON2M2, и тогда
М.ЛГ, _ M2N2
мхо " м2о'
Если в качестве центрального угла взять угол, соответствующий
достаточно малому повороту луча [ОБ), то хорда M]N] будет
мало отличаться от дуги M\N]9 а хорда M2N2 -от дуги M2N2.
С учетом этого можно записать отношение
11
I. Тригонометрические функции и их свойства
МгМ M2N2
мю м2о
М,М M2N2
Д| R2 _
При бесконечном числе оборотов подвижного луча [ОВ)
центральный угол может выражаться в градусах любым
действительным числом.
Радианная мера измерения углов. Пусть точка N, двигаясь при
вращении луча [ОВ) по окружности радиусом R, прошла расстояние
/, равное радиусу (рис. 1.8).
Определение 1.5. Радианной
мерой угла а называется такое число,
абсолютное значение которого равно
отношению длины дуги /, пройденной
по окружности радиусом R точкой N
подвижного луча [ОВ), к радиусу R, и
знак которого определяется
направлением совершенного поворота.
Радианная мера угла положительна, если
поворот осуществлен против хода
часовой стрелки, и отрицательна, если по ходу часовой стрелки.
Определение 1.6. Центральный угол, опирающийся на дугу,
длина которой равна радиусу окружности, имеет радианную меру,
равную единице, или говорят, что его мера равна единице.
Если луч [ОВ) не совершил поворота относительно луча [ОА\
то задаваемый им угол будет нулевым и радианная мера этого угла
также будет равна нулю.
Если луч [ОВ) совершил полный оборот против хода часовой
стрелки (рис. 1.9, я), то точка N, двигаясь по окружности, прошла
расстояние /, равное длине окружности С. Так как / = С = 2nR, то
/ 2nR .
— = = 271.
R R
Рис. 1.8
12
1.2. Измерение углов
Рис. 1.9
Следовательно, радианная мера полного положительного угла
равна 2я, а при полном обороте луча [ОБ) по ходу часовой
стрелки радианная мера полного отрицательного угла равна -2п
(рис. 1.9,6)
Если луч [ОБ) совершил четверть полного оборота против
хода часовой стрелки, то точка N, двигаясь по окружности, прошла
. nR in
расстояние / = —. Тогда — = —, т. е. радианная мера угла, соот-
2 R 2
ветствующего четверти полного оборота, равна —.
Если луч [ОБ) совершил половину полного оборота против
хода часовой стрелки, то радианная мера соответствующего угла
будет равна п.
При повороте луча [ОБ) по ходу часовой стрелки радианная
мера соответствующих направленных углов будет отрицательной.
Очевидно, что между градусной и радианной мерами
существует взаимосвязь. Так как полный оборот луча [ОБ\ например,
против хода часовой стрелки соответствует углу, в градусной мере
равному 360°, а в радианной мере - 2я, то из пропорции
360° 2тг
получаем формулы перевода из радианной меры в градусную
360° 180°
а° = а = а
2п л
и из градусной меры в радианную
13
I. Тригонометрические функции и их свойства
о 2п о П
а = а° = а° .
360° 180°
Следует отметить, что в обозначениях меры угла в радианах
слово «радиан», как правило, опускается, поэтому в дальнейшем
под углом an понимается угол, равный an радиан, а под углом
Р понимается угол, равный (3 радиан (а, (3 - любые
действительные числа, т. е. (а, (3) е R). При бесконечном числе оборотов
подвижного луча [ОВ) угол а выражается в радианах любым
действительным числом и между радианной мерой угла и
действительными числами существует взаимно однозначное соответствие.
Теорема 1.2. Всякому действительному числу однозначно
соответствует радианная мера некоторого угла а.
Доказательство. Представим луч [ОХ) как тонкую
нерастяжимую нить, которую будем наматывать на окружность
единичного радиуса R = 1 (рис. 1.10). Очевидно, что при этом каждая точка
на прямой займет на окружности
/~ ^\ определенное место и каждому от-
/ | \ резку на прямой будет соответство-
1 j Ik вать на окружности дуга. Например,
у ! , I \ отрезку [ОА\] будет соответст-
, ^^ | ^s\ , \ вовать дуга ОА{, отрезку [ОА2] -
-1 ° Ах\ А2 х ДуГа од^ и т д Если обозначить
Рис. 1.10 ч_, ч_,
радианную меру ОА{ через ai, OA2
через ot2, OAj через а,, то радианной мере угла oti будет
соответствовать отрезок [ОА\], длина которого равна координате точки
А\ на действительной оси, а радианной мере угла a 2 - отрезок
[ОА2], длина которого равна координате точки А2 на
действительной оси, и т. д. Что и требовалось доказать.
Градусная или радианная мера суммы (а + (3) или разности
(а - Р) углов а и Р равна сумме (разности) мер каждого угла.
14
1.3. Определение и свойства тригонометрических выражений
1.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Пусть на плоскости введена прямоугольная система координат
Ouv (рис. 1.11). Проведем окружность с центром в начале
координат радиусом, равным единице измерения длин. Такую
окружность принято называть единичной окружностью. Единичная
окружность пересекает ось Ои в точках (1; 0) и (-1; 0) и ось Ov в
точках (0; 1) и (0; -1). Неподвижный луч [ОА) на выбранной
плоскости совпадает с положительным направлением оси Ои.
Подвижный луч [ОВ\ задающий произвольный угол а, обязательно
пересекает единичную окружность в некоторой точке М(а; Ь), где
а, Ъ - абсцисса и ордината этой точки в системе координат Ouv.
Сначала рассмотрим ряд частных случаев. Если подвижный
луч \ОВ) задает нулевой угол а, то он пересекает единичную
окружность в точке Mi(l;0)(pHC. 1.12). Если этот же луч задает
71
угол —
то он пересекает единичную окружность в точке
А/2(0; 1), если он задает угол л, то он пересекает единичную ок-
Л
— , то он пе-
2/
ресекает единичную окружность в точке М4(0;-1).
ружность в точке Мз (-1; 0), если он задает угол
(-1;0У
Мъ[
Н;оА
V
м2
О
(0;1)
\Mi (1;0)
J В А и
М4(0;-1)
Пусть теперь луч [ОВ) задает угол, равный
15
1. Тригонометрические функции и их свойства
Найдем координаты точки М, соответствующей этому углу.
Рассматривая равнобедренный прямоугольный треугольник ОМК
(см. рис. 1.11), получаем
1
ок2 = 1
-, ок=~=.
2 V2
V
/ я
/а=4-
\ °
*щ
к]
и
Следовательно, точка М имеет
координаты
Рис. 1.13
тЛгсллг)-
Аналогично, если подвижный луч
[ОБ) совершил поворот на угол —,
6
то ордината точки М будет равна —
(катет, лежащий против угла —,
равен половине гипотенузы), а абсцисса
ОК
4 2
2 '
т. е. координаты точки М будут равны
ординаты соответствующей точки М будут равны
Для угла — ко-
Для произвольного угла а очевидны следующие утверждения.
1. Подвижный луч [ОБ), задающий угол (а ± 2л), пересекает
единичную окружность в той же точке М(а\ Ъ).
2. Подвижный луч [ОВ\ задающий угол (а + л), пересекает
единичную окружность в точке N(-a; -b\ симметричной точке
М(а; Ь) относительно начала координат (рис. 1.14).
3. Подвижный луч [ОВ\ задающий угол (-а), пересекает
единичную окружность в точке Р(а; -6), симметричной точке
М(а; Ь) относительно оси Ои (рис. 1.15).
16
1.3. Определение и свойства тригонометрических выражений
Рис. 1.14 Рис. 1.15
4. Подвижный луч [ОВ\ задающий угол (л-а), пересекает
единичную окружность в точке Q(-a; 6), симметричной точке
М(а; Ь) относительно оси Ov (рис. 1.16).
Таким образом, если задан лю- vf
бой угол а, то, рассматривая
каждый раз прямоугольные
треугольники ОМК, у которых гипотенуза
\ОМ\ есть радиус единичной
окружности (см. рис. 1.11), а катеты
\ОК\ и \МК\ - соответственно
абсцисса и ордината точки
пересечения подвижного радиуса [ОВ), за- Рис. 1.16
дающего этот угол, с единичной
окружностью, введем известные из геометрии понятия синуса и
косинуса угла а:
\мк\ \ок\
sina = 7 г, cosa = 7 т,
\ОМ\ \ОМ\
т. е. синус угла а равен отношению противолежащего катета к
гипотенузе, а косинус угла a - отношению прилежащего катета к
гипотенузе. Учитывая теперь, что \ОМ\ = 1, МК = Ь, ОК = а, дадим
следующее определение.
Определение 1.7. Число, равное ординате точки М единичной
окружности, называется синусом угла а, т. е. 6 = sin а, а число,
17
I. Тригонометрические функции и их свойства
равное абсциссе точки М, -
косинусом угла а, т. е. а = cos а.
Отношение ординаты точки М к ее
абсциссе называется тангенсом угла
и а, т. е. — = tga, а отношение абс-
а
циссы к ординате - котангенсом
угла а, т. е. — = ctga (рис. 1.17).
Рис. 1.17 Ъ
Из определения следует, что для
любого угла а существуют синус и косинус этого угла и притом
единственные.
Тангенс существует для всех углов, кроме углов, у которых
абсциссы соответствующих им точек единичной окружности
равны нулю. Котангенс существует для всех углов, кроме углов, у
которых ординаты соответствующих им точек равны нулю.
Далее, учитывая, что Ъ = sin a, a = cos а, получаем
sin a cos a
tga= , ctga = — .
cos a sin a
Отметим некоторые свойства введенных понятий.
Свойства синуса угла
1. Так как для любого угла а ордината соответствующей
точки М единичной окружности не может быть меньше (-1) и больше
1 и она всегда заключена между ними, включая (-1) и 1, то для
любого угла справедливо неравенство
-l<sina <1.
2. Если ордината точки М, задающей угол а, равна Ь, то, как
было показано ранее, ордината точки Р, задающей угол (-а), есть
число (-Ь) (см. рис. 1.15). Следовательно, для любого угла а
справедливо утверждение
sin(-a) = -sina.
3. Если ордината точки М, задающей угол а, равна Ь, то
ордината точки N, задающей угол (я + а), есть число (-Ь) (см.
рис. 1.14). Следовательно, для любого угла а справедливо
утверждение
18
1.3. Определение и свойства тригонометрических выражений
sin(7i + a) = -sina.
4. Если ордината точки М, задающей угол а, равна Ь, то
ордината точки Q, задающей угол (л-а), также равна Ъ (см. рис. 1.16).
Следовательно, для любого угла а справедливо равенство
sin(7i-a) = sina.
5. Если ордината точки М, задающей угол а, равна Ь, то и
ордината точки, задающей угол (a ± 2я), также равна Ъ. Поэтому для
любого угла а справедливы равенства
sin a = sin (a + 2n) = sin (a - 2n).
Используя метод математической индукции, докажем
справедливость утверждения
sin a = sin (a + 2nn) = sin (a - 2nn),
где n - любое целое число. Действительно, при п = 1, как уже
отмечалось выше, равенство верно. Пусть при п = к рассматриваемые
равенства верны, т. е.
sin a = sin (a + 2izk) = sin (a - 2nk).
Докажем, что и при п = к + 1
sin a = sin(a + 2п(к +1)) = sin(a - 2п(к +1)).
Так как
sin (a + 2п(к +1)) = sin (a + 2пк + 2п) =
= sin (oti + 2я) = sin oti,
то
sin (a + 2nk - 2ii) = sin oti,
где oti =OL + 2nk и sin(a + 27i&) = sina.
6. Если рассматриваемый угол a e (0; я), то ордината
соответствующей точки М будет положительным числом и,
следовательно, синус угла, принадлежащего I и II четвертям единичной
окружности, будет положительным.
19
1. Тригонометрические функции и их свойства
Учитывая, что sin a = sin(a±27m), можно утверждать: sin a
положителен, если радианная мера угла а при некотором целом п
принадлежит интервалу 2кп < a < 7i + 2пп. Некоторые из этих
интервалов показаны на числовой прямой (рис. 1.18).
п=0 п= 1
1 У////ЛУ///Л 1 У////ЛУ///Л
тс_ 0 _л_ я 3| 2л 5л Зя х
2 2 2 2
Рис. 1.18
Аналогично можно показать, что sin a отрицателен, если
радианная мера угла а при некотором целом п принадлежит
интервалу л + 2пп < а < 2п + 2пп. Некоторые из этих интервалов
приведены на рис. 1.19.
п = -2 п = -\ л=0
У////ЛУ///Л 1 У////ЛУ///Л 1 V////AW//A 1 1
-Зтс __5я -2тс_^я -тс п_ 0 _п_ п Ът± 2тс _5я Зтс х
2 2 2 2 2 2
Рис. 1.19
7. Поскольку sin 0 = sin 71 = 0 и для любого целого п sina =
= sin(a±27m), то очевидно, что при угле а, таком, что его
радианная мера равна числу, кратному п, т. е. a = nk (k - любое целое
число), sin a = 0. Некоторые из указанных чисел а приведены на
числовой прямой (рис. 1.20).
к=-\ к=0 к=\ к=2
1 1 1 1 * 1 ♦ 1 ♦ 1 * 1 1
-Зтс _5тс -2тс_3тс -тс тс_ 0 _тс_ тс Зтс 2тс 5тс Зтс х
2 2 2 2 2 2
Рис. 1.20
Свойства косинуса угла
1. Так как для любого угла а абсцисса соответствующей точки
М единичной окружности не может быть меньше (-1) и больше 1 и
всегда заключена между ними, включая (-1) и 1, то для любого
угла справедливо неравенство -1 < cos a < 1.
20
1.3. Определение и свойства тригонометрических выражений
2. Если абсцисса точки М, задающей угол а, равна а, то и
абсцисса точки Р, задающей угол (-а), также равна а (см. рис. 1.15).
Следовательно, для любого угла а справедливо утверждение
cos (-a) = cos а.
3. Если абсцисса точки М, задающей угол а, равна а, то
абсцисса точки N, задающей угол (я + а), равна (-а) (см. рис. 1.14).
Следовательно, для любого угла а справедливо равенство
cos (71 + а) = - cos а.
4. Если абсцисса точки М, задающей угол а, равна а, то
абсцисса точки Q, задающей угол (л-а), равна (-а) (см. рис. 1.16).
Поэтому для любого угла а будет справедливо следующее равенство:
cos(7i-a) = -cosa.
5. Если абсцисса точки М, задающей угол а, равна а, то и
абсцисса точки Q, задающей угол (a ± 2пп), также равна а.
Следовательно, для любого угла а справедливы равенства
cos a = cos(a + 2п) = cos(a - 2я).
Используя данные равенства и применяя метод
математической индукции, легко доказывается справедливость утверждения
cos a = cos (a + 2nn) = cos (a - 2izri),
где п - любое целое число.
Это свойство косинуса угла можно сформулировать
следующим образом: косинус любого угла а не изменяется при
изменении угла на 2пп (п - любое целое число).
6. Если рассматриваемый угол ае —; — , то абсцисса
точки М, соответствующей этому углу, всегда будет положительным
числом и, следовательно, косинус угла, принадлежащего I и IV
четвертям единичной окружности, будет положительным.
Учитывая, что cosa = cos(a±27oz), можно утверждать: косинус угла a
положителен, если радианная мера угла при некотором целом п
принадлежит интервалу — + 27ш; — + 27Ш . Некоторые из этих
интервалов показаны на числовой прямой (рис. 1.21).
21
1. Тригонометрические функции и их свойства
п=-\ п=0 п=\
1 У////ЛУ///Л 1 У////ЛУ///Л 1 У////ЛУ///Л 1
-Зя __5я -2я_^я -я я_ О _я_ я ^я 2я _5я Зя х
2 2 2 2 2 2
Рис. 1.21
Аналогично можно показать, что cos а отрицателен, если
радианная мера его угла - число а - при некотором целом п
принадлежит интервалу — + 2пп;— + 2пп . Для некоторых значений п
эти интервалы показаны на числовой прямой (рис. 1.22).
п=-\ п=0 п=\
1 1 У////ЛУ///А 1 У////ЛУ///А 1 У////ЛУ///А
__5я -2я_3я -я я_ 0 _я_ я Зя 2я 5я Зя 7я х
2 2 2 2 2 2 2
Рис. 1.22
Учитывая, что cos— = cos — = 0 и cos a = cos(a + 2пп),
получаем: если угол а такой, что его радианная мера при некотором
целом п равна числу — + 7М , то косинус этого угла равен нулю.
Некоторые из указанных чисел а приведены на числовой прямой
(рис. 1.23).
п = -2 п=-\ п=0 п=\ п=2
1 1 1 * 1 * 1 * 1 * 1 ♦ 1
-Зя __5я -2я_^я -я я_ 0 _я_ я ^я 2я _5я Зя х
2 2 2 2 2 2
Рис. 1.23
Свойства тангенса угла
71
1. Для любого угла а, такого, что а Ф — + пп, п е Z,
справедливо равенство
tg(-a) = -tga.
22
1.3. Определение и свойства тригонометрических выражений
Действительно, для любого угла а справедливы равенства
sin(-a) = -sina; cos (-a) = cos a.
71
Поэтому для любого угла а, такого, что а Ф — + 7Ш, п е Z,
согласно определению тангенса получаем
sin (-a) -sin a sin a
tg(-a) = )-^- = = = -tga.
cos (-a) cos a cos a
2. Для любого угла а, такого, что аФ — + пп, neZ,
справедливы равенства
tga = tg(7c + a) = -tg(7c - a).
Действительно, используя свойства синуса и косинуса угла,
согласно определению тангенса получаем
ч sin (71 + a) -sin a sin a
tg(7t + a) = —) - = = = tga,
cos(7c + a) -cos a cos a
sin (л-a) sin a sin a
tg(7i-a) = - = = = -tga.
cos (л-a) -cosa cos a
Используя метод математической индукции, можно доказать, что
указанное свойство тангенса справедливо и для любого целого
7Г
числа л, и для любого угла а, такого, что а Ф — + пп9 neZ, т. е.
tg a = tg (a + nn) = tg (a - nri).
Таким образом, тангенс любого угла, такого, что а Ф — + пп,
п е Z, повторяется при изменении угла на пп (п - любое целое
число).
3. Для любого угла а, синус и косинус которого имеют один и
тот же знак, тангенс угла а положителен. Этот случай
соответствует условию, когда угол а принадлежит I или III четверти, т. е.
радианная мера угла а при некотором целом п принадлежит
интервалу 7ш; — + 7Ш (рис. 1.24).
23
1. Тригонометрические функции и их свойства
п=-2 п=-\ л = 0 п=\
W#i F^^ \ЯШ \&Ш-
5я
2
-2я Зя
2
-я
я
2
0
я
2
я
Зя
2
2я
5я
2
Зя х
2 2
Рис. 1.24
Для любого угла а, синус и косинус которого имеют разные
знаки, тангенс угла а отрицателен. Этот случай соответствует
условию, когда угол а принадлежит II или IV четверти, т. е. радиан-
ная мера угла а при некотором целом п принадлежит интервалу
— + пп;пп (рис. 1.25).
п=-\ п=О я=1 л = 2
н—ты—ты—ты—ты—ты—-
-2я__3я -я __я_ 0 _я_ я Зя 2я _5я Зя х
2 2 2 2 2
Рис. 1.25
4. Для любого угла а, синус которого равен нулю, тангенс
тоже равен нулю (см. рис. 1.21).
Свойства котангенса угла
1. Для любого угла а, такого, что а^пп, п е Z, справедливо
равенство
ctg(-a) = -ctga.
Действительно, согласно определению котангенса и свойствам
синуса и косинуса угла,
ч cos (-a) cos a cos a
ctg(-a) = —;—- = —:— = —: = -ctga.
sin (-a) -sin a sin a
2. Для любого угла а, такого, что а Ф — + пп, п е Z,
справедливы равенства
ctga = ctg(7i + a) = —ctg(7r - a).
Данные равенства легко доказываются с помощью следующих
соотношений:
ч cos(7i + a) -cosa cosa
ctg (л + a) = = = = ctg a,
sin (71 + a) -sin a sin a
24
1.4. Основные тригонометрические формулы
ч cos(7i-a) -cosa cosa
ctg(7i - a) = = = = -ctga.
sin (л -a) sin a sin a
Используя метод математической индукции, это свойство
котангенса можно распространить и для любого целого числа п, т. е.
ctg a = ctg (a + ял) = ctg (a - nn).
Поэтому в общем случае котангенс любого угла а, такого, что
а Ф nn, л е Z, повторяется при изменении угла на пп (п - любое
целое число).
3. Для любого угла а, косинус и синус которого имеют один и
тот же знак, котангенс угла а положителен, т. е. угол а
принадлежит I или III четверти а е пп\ — + пп\\ (см. рис. 1.24).
Для любого угла а, косинус и синус которого имеют разные
знаки, котангенс угла а отрицателен, т. е. угол а принадлежит II
или IV четверти а е — + пп; пп (см. рис. 1.25).
4. Для любого угла а, косинус которого равен нулю, котангенс
тоже равен нулю (см. рис. 1.23).
1.4. ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
1.4.1. Основные тригонометрические тождества
Теорема 1.3. Для любого угла а справедливо равенство
sin2 a + cos2 a = 1,
называемое основным тригонометрическим тождеством.
Доказательство. Пусть на плоскости подвижный
единичный вектор ON задает некоторый угол а. Координаты точки N
(конца этого вектора) будут соответственно равны (cosa; sin a)
(рис. 1.26). Так как квадрат расстояния между любыми двумя
точками плоскости, заданными своими координатами, равен сумме
квадратов разности одноименных координат, то для точки
N(cosa; sin a) и начала координат О(0;0)имеем
25
1. Тригонометрические функции и их свойства
(cosa-0)2+(sina-0)2=l2,
W(cos a;sin a) или
a \M(1;0)
Рис. 1.26
sin2 a + cos2 a = 1. (1.1)
Что и требовалось доказать.
Основное тригонометрическое
тождество позволяет для любого угла a
по одной известной величине находить
другую. Действительно, тождество
(1.1) равносильно уравнению
sal = VI
1 — sin a,
которое, в свою очередь, равносильно совокупности уравнении,
т. е.
sa| = Vl-sin2a <=>
sa = Vl-sin2a,
sa = -Vl-sin2a.
(1.2)
Первое равенство совокупности (1.2) справедливо при таких
значениях угла а, при которых cos а > О, т. е.
я ^ л _
— + 2пп; —h 27ГЛ7
2 2
Второе равенство совокупности (1.2) справедливо при таких
значениях угла а, при которых cos а < О, т. е.
Я ^ 371 „
—h 27ГЛ?; — + 27Ш
2 2
, YIElL
Далее, основное тригонометрическое тождество (1.1)
равносильно следующему уравнению:
|sina| = vl-cos2a,
которое, в свою очередь, равносильно совокупности уравнений, т. е.
sine
ia| = vl-
cos a <=>
ia = vl-cos2a,
ia = -Vl-cos2a.
(1.3)
26
1.4. Основные тригонометрические формулы
Первое равенство совокупности (1.3) справедливо при таких
значениях угла а, при которых sin а > О, т. е. ае[27ш; 7г + 27ш],
neZ, a второе - при таких значениях угла а, при которых
sin а < О, т.е. ае[-п + 2пп; 2пп], neZ.
Примеры
1. Вычислить sin а, если cos а = — наел; — . Так как для
5 \ 2)
любого угла а е л; — sin а отрицателен, то
ia = -vl
l-cos2a =-Jl
_9___4
" 25 ~ 5'
2. Вычислить cosa, если sina = ; ae ; . Так
2 I, 2 2)
как для любого угла а е ; — cosa отрицателен, то
л—г^~~ Г^" х
cosa = -Vl-sin а=-Л\— = —.
V 4 2
Следствия из основного тригонометрического тождества
71
Следствие 1. Для любого угла а, такого, что а Ф — + 7Ш, п е Z,
справедливо равенство
l + tg2a = ^-. (1.4)
cos a
Доказательство. Так как а Ф — + пп, neZ, то cos a Ф 0 и
основное тригонометрическое тождество (1.1) можно почленно
разделить на cos2 a. В результате получим
cos2 a sin2 a
1 1 2
-=— о 1 + tgza =
27
I. Тригонометрические функции и их свойства
Равенство (1.4) показывает, в какой зависимости находятся тан-
. Учиты-
генс и косинус одного и того же угла | а Ф — + 7Ш, т
вая, что равенство (1.4) равносильно равенству
1
cos a =
VT
/l + tgza
для различных углов а получим следующую совокупность:
1
I cos a = —j=
1
cos a =
V! + tg2a
cosa =
/l + tgza
1
(1.5)
£
+ tg2a
Первое равенство совокупности (1.5) справедливо при таких
значениях угла а, при которых cos а > 0, т. е.
ае — + 2пп: — + 2пп
{2 2
а второе при таких значениях угла а, при которых cos а < 0, т. е.
а е — + 2пп: — + 2пп
{2 2
Очевидно, что равенство (1.4) позволяет также определить
tga, если известно значение cos a. Действительно,
tg'a =
/l-cos a
cos a
-<=> tga Г
tga =
Vb^c
tga = --
^
(i.6)
cos a
Первое равенство совокупности (1.6) справедливо, когда tga и
cos a имеют один и тот же знак, а второе - когда tg a и cos a
имеют разные знаки (рис. 1.27). Следовательно, при
28
1.4. Основные тригонометрические формулы
2тт\ — + 2тт U — + 2тт\ п + 2тт
2 ) 12
, т
имеет место первое равенство совокупности (1.6), а при
-п + 2пп: —ч- 27Г/7 U —ч- 27гл?; 2ъп
2 ) I 2
второе равенство совокупности (1.6).
v | cos a
Рис. 1.27
Примеры
1. Вычислить cos а, если tga = -2 и ае| -—; 0 |. Так как для
любого угла а е | —; 0 ] cos a > 0, то
1 1
Vl + tg2a Vbb4 41'
2. Вычислить tg a, если cos a = — наел; — . Так как для
2 { 2)
( ЗтО
любого угла а е л; — tg a положителен, а cos a отрицателен, то
29
I. Тригонометрические функции и их свойства
tga = -
/1-cos a
cos a
■=s.
Следствие 2. Для любого угла а, такого, что а Ф пп, п е
справедливо равенство
1
1 + ctg a = -
(1.7)
Доказательство. Так как а Ф 7Ш, п е Z, то sin a Ф О и основное
тригонометрическое тождество (1.1) можно почленно разделить на
sin2 a. В результате получим
1 sin2 a cos2 a
^^<=>—^ + —,— =
-<=>! + ctg a =
Для одного и того же угла а из равенства (1.7) очевидна
зависимость котангенса от синуса угла. Зная одну из этих величин,
можно вычислить другую. Действительно, поскольку аФпп, neZ, то
справедливы следующие равносильные преобразования:
1
1 + ctg a
-<=> sin a =
у]\ + ctg2a
1
/l + ctgza
1
(1.8)
V^
+ ctg a
В совокупности (1.8) первое утверждение выполняется при
условии, что sin a > 0, т. е. а е (2пп; п + 2пп), а второе утверждение -
при условии, что sin a < 0, т. е. а е (-я + 2пп; 2пп), neZ.
Очевидно, что, зная sin a, можно вычислить ctg a:
30
1.4. Основные тригонометрические формулы
2 l-sin2a | |
ctg a = —— о |ctga|
/1 — sin a
sin a
ctga:
ctga:
VI-sin2 a
sin a
Vl-sin2a
(1.9)
Если ctga и sin a имеют один и тот же знак, то в совокупности
(1.9) справедливо первое равенство, если ctga и sin a имеют
разные знаки, то справедливо второе равенство (рис. 1.28).
Рис. 1.28
Таким образом, при
a
— + 27м; 27М U 27м; — + 2ш
2 ) I 2
, «64
из совокупности (1.9) выбираем равенство со знаком «+», а при
ae
— + 27м; л + 2тт U 27ш; — + 2тт
2 ) I 2
равенство со знаком «-».
Примеры
Зтг
1. Вычислить sin a, если ctga = 2 и аеи;— |. Так как для
любого угла а е л; — sin a отрицателен, то
31
1. Тригонометрические функции и их свойства
1 1 1
sina = —. —. =—=.
Vl + ctg2a vl + 4 V5
2. Вычислить ctga, если sina = — и ae -я;— . Так как
5 I 2)
для любого а е -я; — sin a отрицателен, а ctg a положителен,
VI -sin2 a V 25 4
ctga = : = -" = -.
sina _£ 3
5
Теорема 1.4. Для любого угла а, такого, что a^-/?,«eZ,
справедливы равенства
tgactga = l, tga = , ctga = . (1-Ю)
ctga tga
„ sin a cos a
Доказательство. По определению tga = , ctga = .
cos a sina
^ г- к г* sina cos a ,
Отсюда для любого аф — п, «eZ, tgactga = = 1.
2 cos a sina
Что и требовалось доказать.
Таким образом, равенства (1.1) - (1.10) позволяют по одной
известной величине из совокупности sina, cos a, tga и ctga найти
все остальные.
Примеры
4
1. Вычислить cos a, tga, ctga, если sina = — и
ае -л; . Так как для любого угла ae -п; — cos a
отрицателен, то в соответствии с совокупностью (1.2) имеем
32
1.4. Основные тригонометрические формулы
s а = -VI - sin2 а = -А\ -
25 ~ 5'
Поскольку cos а Ф О, то
sin а <ч 4
tga = = Ч- = Т-
cos a -> 3
Поскольку sin а* 0, то
cos a s 3
ctga = - = —т = т-
sin a 4 4
2. Вычислить sin a, cos a, tga, если ctga = -3 и ае — ;я .
Так как для любого угла ае —; л справедливо равенство
tgactga = l, то
1
tga = = •
ctga
1
3
Далее можно воспользоваться равенствами совокупности (1.5) или
(1.8), например, для а е —; л cos a отрицателен, следовательно,
Vl + tg2a ГТ >/U"
V 9
Синус угла а е | —; л | будет положительным, следовательно,
ia = VI-cos2 a = A\ = /—.
V Ю V10
33
I. Тригонометрические функции и их свойства
1.4.2. Формулы сложения
Пусть на плоскости подвижный единичный вектор ON задает
некоторый угол, радианная мера которого равна а, тогда при
дальнейшем его повороте на некоторый угол р он будет задавать
угол (а + Р), называемый суммой двух данных углов. Радианная
мера этого угла есть число, равное а + р. Подвижный вектор,
соответствующий этому углу, обозначим ОВ.
Теорема 1.5. Для любых углов аир справедливо равенство
cos(a + Р) = cos a cos р - sin a sin р, (1.11)
т. е. косинус суммы двух углов равен произведению косинуса
первого угла и косинуса второго угла минус произведение синуса
первого угла и синуса второго угла.
Доказательство. Выполним следующие построения (рис. 1.29):
из точек N и В опустим перпендикуляры на ось Ои. Точки
пересечения этих перпендикуляров
обозначим D и С соответственно. Кроме
того, из точки В опустим
перпендикуляр на вектор ON. Точку
пересечения этого перпендикуляра с век-
_^ тором обозначим Е, а точку пересе-
и чения перпендикуляра [ВС] с этим
же вектором обозначим F.
Пусть OF = a, FE = Ъ. Тогда,
если за начало отсчета в этой
системе координат мы принимаем по-
Рис. 1.29 ложение подвижного вектора ON,
то вектор ОВ задает угол Р и по
определению косинус и синус этого угла будут равны
cosf> = [OE] = [OF] + [FE] = a + b, sin p = [££].
Если же рассматривать систему координат Owv, то вектор [ОВ]
задает угол (а + Р) и по определению cos (а + Р) = [ОС]. В этой же
системе координат вектор [ON] задает угол а и по определению
cosa = [0D], sin a = [ND].
34
1.4. Основные тригонометрические формулы
Так как отрезки [OD] и [ON] пересечены параллельными
прямыми (ВС) и (ND), то имеет место отношение
[ОС] = [OD]
[OF] [ON]
Однако \ON\=l \OD\=cosa,\OF\=a, | 0C|=cos(a + p). Поэтому
cos(a + B) cos a cos(a + B)
— = =>я = —.
a 1 cos a
Из подобия прямоугольных треугольников OND и BFE имеем
отношение
[EF] _ [ND]
[BE]~[OD]
Поскольку \EF\=b, \BE\= s'mfi, |M)| = sina, |0D|=cosa, то
b sin a , sinasinB
= =>6 = -.
sin(3 cos a cos a
В результате получаем
n cos(a + B) sinasinB cos (a + B) + sin a sin В
cos|3 = ^ + - = — -.
cos a cos a cos a
После преобразований находим
cos (a + P) = cos a cos P - sin a sin p,
что и требовалось доказать.
Приведем несколько следствий из доказанной теоремы 1.5.
Следствие 1. Для любых углов аир справедливо равенство
cos (a - Р) = cos a cos p + sin a sin p, (1-12)
т. е. косинус разности двух углов равен произведению косинуса
уменьшаемого угла и косинуса вычитаемого угла плюс
произведение синуса уменьшаемого угла и синуса вычитаемого угла.
Доказательство. Предположим, что единичный вектор ОВ,
задающий в системе координат Ouv угол (а + Р), совершил поворот
относительно вектора ON, задающего угол а, по ходу часовой
стрелки, задав тем самым в этой системе угол (~Р). Следовательно,
35
I. Тригонометрические функции и их свойства
cos (а + (-Р)) = cos а cos (~Р) - sin а sin (~Р).
Затем, поскольку
cos(~P) = cosP, sin(-P) = -sinP,
найдем
cos (a - Р) = cos а cos p + sin а sin P,
что и требовалось доказать.
71
Следствие 2. Если а + Р = —, то для любого угла а (или Р)
справедливы равенства
cos —a =sina, sin —a | = cosa.
{2 {2
Доказательство. Поскольку Р = а, то
о (п 1 п • п •
cos В = cos —a =cos—cosa + sin —sina =
[2 J 2 2
= 0 cosa + 1 sin a = sin a.
Теперь, подставив вместо угла а угол р, найдем sin(3 = cos Р .
Отсюда, учитывая, что Р = а, получим sin а = cos а, что
и требовалось доказать.
Следствие 3. Для любых углов аир справедливо равенство
sin(a + Р) = sin a cos P + cos a sin p, (1-13)
т. е. синус суммы любых двух углов равен произведению синуса
первого угла и косинуса второго угла плюс произведение косинуса
первого угла и синуса второго угла.
Доказательство. На основании следствий 1 и 2 имеем
sin(a + P) = cos
-(a + P)
= cos
a -p
= cos —a cosp + sin —a |sinP = sinacosP + cosasinP,
что и требовалось доказать.
36
1.4. Основные тригонометрические формулы
Следствие 4. Для любых углов а и (3 справедливо равенство
sin(a - Р) = sin a cos (3 - cos a sin (3, (1-14)
т. е. синус разности двух углов равен произведению синуса
уменьшаемого угла и косинуса вычитаемого угла минус произведение
косинуса уменьшаемого угла и синуса вычитаемого угла.
Доказательство. Представляя
sin(a-(3) = cos
-(a-P)
-a +
sin(a-P) = cos a cos P +sin a sinP =
= sin a cos P - cos a sin p,
что и требовалось доказать.
Следствие 5. Для любых двух углов аир, таких, что
а Ф — + пп, л е Z, Р Ф — + пп, л е Z, и a + Р * — + %к, к е Z, спра-
2 2 2
ведливо равенство
tg(a + P) =
tga + tgp
1-tgatgp'
(1.15)
Доказательство. Для любых двух углов, удовлетворяющих
условию (1.15), справедливы следующие равенства:
tg(a + p):
sin(a + Р) _ sin a cos P + cos a sin p
cos(a + P) cos a cos p-sin a sin p
sin a cos p +cos a sin p sin a cos p cos a sin p
cos a cos P _ cos a cos P cos a cos P
cos a cos p-sin a sin p cos a cos p sin a sin p
cos a cos P
что и требовалось доказать.
cos a cos P cos a cos P
tga + tgp
1-tgatgp'
37
1. Тригонометрические функции и их свойства
Следствие 6. Для любых двух углов а и (3, таких, что
а* — + 7Ш, neZ, $* — + nm,meZ, a-$* — + nk,keZ, cnpa-
2 2 2
ведливо равенство
tg(a_P)=JML. (U6)
1 + tgatgp
Доказательство. Рассмотрим цепочку следующих равенств:
tg(a-P) = tg(a + (-P))=;g" + f-P>=ig^.
l-tgatg(-p) 1 + tgatgp
Тогда
tg(a_p) = J^zMP.(
1+tgatgp'
что и требовалось доказать.
Следствие 7. Для любых двух углов аир, таких, что
a*7M, neZ, fi*nm,meZ, и а + $*пк,кеХ, а-$ = пк,
к е Z, справедливы следующие равенства:
cfc(a + P)-c*°c*P-1, (1.17)
ctgP + ctga
Cg(a-P) = №!gEli. (U8)
ctgp-ctga
Доказательства этих равенств аналогичны доказательствам
следствий 5 и 6.
Следующие следствия определяют правила вычисления суммы
и разности синусов и косинусов различных углов.
Следствие 8. Для любых двух углов аир справедливо
равенство
п „ a + Р а-Р ,, ,Лч
cosa + cosP = 2cos -cos -, (1.19)
2 2
т. е. сумма косинусов любых двух углов равна удвоенному
произведению косинуса полусуммы этих углов и косинуса полуразности
этих углов.
38
1.4. Основные тригонометрические формулы
Доказательство. Для доказательства воспользуемся
формулами (1.11) и (1.12) для любых углов хиу:
cos (х + у) = cos х cos у - sin x sin y9
cos (x - у) = cos x cos у + sin x sin у.
Сложив почленно эти равенства, получим
cos(x +>>) + cos(;c-_y) = 2cosx cosj>.
Обозначая
[jc + j> = a,
находим
a+B а-В
_ . . а + р а-р _.
Тогда cos a + cos р = 2 cos cos , что и требовалось
доказать.
Аналогичные следствия 9-11 сформулируем без доказательств.
Следствие 9. Для любых двух углов аир справедливо
равенство
„ . а + Р . а-Р
cos а - cos р =-2 sin sin , (1.20)
т. е. разность косинусов любых двух углов равна удвоенному
произведению синуса полусуммы этих углов и синуса полуразности
этих углов, взятому с обратным знаком.
Следствие 10. Для любых двух углов аир справедливо
равенство
• п ~ • ос + Р а-Р /Л „,ч
sina + sinP = 2sin -cos -, (1.21)
2 2
т. е. сумма синусов любых двух углов равна удвоенному
произведению синуса полусуммы этих углов и косинуса полуразности
этих углов.
39
I. Тригонометрические функции и их свойства
Следствие 11. Для любых двух углов а и (3 справедливо
равенство
. п ~ • ос — В а + В
sina-sinp = 2sin cos , (1.22)
2 2
т. е. разность синусов любых двух углов равна удвоенному
произведению синуса полуразности этих углов (из меры угла, стоящего
под знаком уменьшаемого синуса, вычитается мера угла, стоящего
под знаком вычитаемого синуса) и косинуса полусуммы этих углов.
Следствия 12-14 определяют правила вычисления
произведений синусов и косинусов различных углов.
Следствие 12. Для любых двух углов а и (3 справедливо
равенство
cosa cosP = — [cos(a-P) + cos(a + P)], (1-23)
т. е. произведение косинуса любого угла а и косинуса любого угла
Р равно полусумме косинуса разности этих углов и косинуса
суммы этих углов.
Доказательство. По формулам (1.11) и (1.12) находим
cos (a + Р) = cos a cos P - sin a sin p,
cos (a - P) = cos a cos p + sin a sin p.
Сложив почленно эти равенства, получим
cos (a + Р) + cos (a - P) = 2 cos a cos P,
откуда
cos a cos p = —[cos (a - P) + cos (a + P)],
что и требовалось доказать.
Следствие 13. Для любых двух углов аир справедливо
равенство
sin a sin p = - [cos (a - р) - cos (a + p)], (1.24)
т. е. произведение синуса любого угла а и синуса любого угла Р
равно полуразности косинуса разности этих углов и косинуса
суммы этих углов.
Доказательство аналогично доказательству следствия 12.
40
1.4. Основные тригонометрические формулы
Следствие 14. Для любых двух углов а и (3 справедливо
равенство
sina cosP = -[sin(a + P) + sin(a-P)], (1-25)
т. е. произведение синуса любого угла а и косинуса любого угла Р
равно полусумме синуса суммы этих углов и синуса разности этих
углов, причем разность берется так, что из меры угла, стоящего
под знаком синуса, вычитается мера угла, стоящего под знаком
косинуса.
Доказательство. Воспользуемся следствиями 3 и 4:
sin (a + Р) = sin a cos P + cos a sin p,
sin (a - P) = sin a cos P - cos a sin p.
Складывая эти равенства, получаем
sina cosP = — [sin(a + P) + sin(a-P)],
что и требовалось доказать.
Следствия 15-20 определяют формулы двойных и тройных
углов.
Следствие 15. Для любого угла а справедливо равенство
sin2a = 2sina cosa, (1.26)
т. е. синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса
и косинуса данного угла.
Доказательство. Полагая в формуле (1.13) Р = а, находим
sin 2a = sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a,
что и требовалось доказать.
Следствие 16. Для любого угла а справедливо равенство
cos2a = cos2 a -sin2 a, (1-27)
т. е. косинус двойного угла 2a равен квадрату косинуса угла a
минус квадрат синуса этого угла.
Доказательство. Полагая в формуле (1.11) Р = а, находим
cos 2a = cos (a + a) = cos a cos a - sin a sin a = cos2 a - sin2 a.
41
I. Тригонометрические функции и их свойства
Следствие 17. Для любого угла а, такого, что
а Ф — + пп, л е Z,
2
4 2
справедливо равенство
tg2a =
2tga
1-tgV
(1.28)
Доказательство. Полагая 2a = a + а и применяя формулу
тангенса суммы двух углов для Р = а, находим
tg2a = tg(a + a) =
что и требовалось доказать.
tga + tga _ 2tga
1-tgatga l-tg2a
Следствие 18. Для любого угла а, такого, что a^-«,«eZ,
справедливо равенство
ctg 2a
ctg a -1
2ctga
(1.29)
Доказательство. Представив 2a = a + a, no формуле (1.17)
найдем
ctg 2a = ctg (a + a) =
ctga ctga -1 _ ctg a -1
ctg a + ctg a 2ctga
что и требовалось доказать.
Следствие 19. Для любого угла а справедливы равенства
sin 3a = 3sin a - 4sin3 a,
cos За = 4 cos3 a - 3 cos a.
(1.30)
Доказательство. Представляя За = 2а + а, на основе
следствий 3, 15, 16 запишем
42
1.4. Основные тригонометрические формулы
sin За = sin (2а + а) = sin 2а cos а + cos 2а sin а =
= 2sina cosa cos a + (cos2 a-sin2 a)sina =
= 3sin a cos2 a - sin3 a = 3sin a(l - sin2 a) - sin3 a =
= 3sina-4sin3 a,
cos 3a = cos(2a + a) = cos 2a cos a - sin 2a sin a =
= (cos2a-sin2a)cosa-2sina cosa sina =
= cos3 a - 3 sin2 a cos a = cos3 a - 3 cos a(l - cos2 a) =
= 4cos3a-3cosa,
что и требовалось доказать.
Следствия 15-18 позволяют получать формулы для
половинных углов. Например, для любого угла а справедливы равенства
2 a _ 1 + cosa
(1.31)
cos
2 2
. 2 ос 1-cosa
sin — = .
2 2
Действительно, в соответствии с формулой (1.27) имеем
2 ОС -2<Х о 2 » i^o 2 ОС
cosa = cos sin — = 2cos 1<=>2cos — =
2 2 2 2
2 a 1 + cosa
= 1 + cos a <=> cos — = ,
2 2
2 ОС . 2 ОС , ~ • 2 ОС ^ • 2 ОС
cos a = cos sin — = l-2sin — <=>2sin — =
2 2 2 2
. 2 oc 1 - cos a
= 1-cosa <=> sin — = .
2 2
Для любого угла a, такого, что а Ф п + 2пп, neZ, справедливо
следующее равенство:
tg2a = l-cosa (132)
2 1 + cosa
Вместо равенства (1.32) можно получить и другие соотношения.
Например, для любого угла а, такого, что а Ф пт, т е Z,
43
1. Тригонометрические функции и их свойства
«g^ = ^^, (133)
2 sin a
а для любого угла а, такого, что а Ф л + 2пт, т е
а sina ., _ ..
tg- = - • (1-34)
2 1 + cos a
Доказательства формул (1.33) и (1.34) следующие. Так как в
персе a
вом случае а ф пт, meZ, то sin— Ф О и cos— Ф 0. Следовательно,
2 2
.а . а . а . 2 а
sin— sin— 2sin— 2sin — .
tga= 2 = 2 2 = 2 =l-cosa
2 ™a ™a %;„a sina sina
cos— cos— zsin —
2 2 2
ОС 7Г
Так как во втором случае а Ф п + 2пт, meZ, то — Ф — + пт,
a a
sin— ф0 и cos— ф0. Следовательно,
2 2
.а . а _ а
sin— sin— 2cos —
а о ? 9 sina
tg—= — = - = •
2 ™oa W2a 1 + cosa
cos— 2 cos —
2 2
Рассмотрим формулы, связывающие синус и косинус двойного
угла с тангенсом или котангенсом любого угла а, такого, что
а Ф — + ш, neZ.
2
Следствие 20. Для любого угла а, такого, что а Ф — + пп,
neZ,справедливы равенства
l-tg2a . 2tga
cos2a = ^т—, sin2a = Е-т—. (1-35)
1 + tg a 1 + tg2a
44
1.4. Основные тригонометрические формулы
7С
Доказательство. Так как а Ф — + 7Ш, п е Z, то
cos2a = -
cos2a =cos2a со52а = 1~*ёа
cos2 a + sin2 a cos2 a sin2 a l + tg2a
2 sin a cos a
. „ 2 sin a cos a cos2 a 2tga
sin 2a = cos a - —
cos2 a + sin2 a cos2 a + sin2 a l + tg2a
что и требовалось доказать.
Проиллюстрируем применение формул (1.11) — (1.35).
Примеры
, ^ 571 771 71
1. Вычислить cos—, cos—, tg—.
12 12 12
Решение
57С (Ъ тС\ 7С 7С.7С.7С
cos— = cos —+ — = cos— cos — sin— sin— =
12 U 4j 6 4 6 4
УЗ V2 1 V2 _л/2(л/3-1)
2 ' 2 2' 2 2
77c ( Ьк\ 57c V2(l-V3)
cos— = cos те =-cos- - -
12 I 12J 12 4
2. Вычислить tg 9° - tg 63° + tg 81 ° - tg 27°.
45
I. Тригонометрические функции и их свойства
Решение
tg9°-tg63° + tg81°-tg27° = (tg9° + tg81°)-(tg63° + tg27°) =
= [tg (90° - 81 °) + tg 81 °] - [tg (90° - 27°) + tg 27°] =
= (ctg 81 ° + tg 81 °) - (ctg 27° + tg27°) =
1
tg81°
l + tg281°
tg81°
+ tg81<
l + tg227°
1
tg27°
+ tg27° =
1
1
tg27° J
1 cos81°
= cos281° cos227° =
tg81° tg27°
1 cos27°
cos2 81° sin81° cos2 27° sin27°
1 1
cos 81 ° sin 81 ° cos 27° sin 27°
2 2
2cos81° sin81° 2cos27° sin27°
2 2 2(sin54°-sinl62°)
sin 162° sin 54° sin 162° sin 54°
_2[sin54°-sin(180°-18°)]_
sin54°sin(180°-18°)
. 54°-18° 54°+ 18°
2(sin54°-sinl8°)_ 2sin 2 °0S 2
sin 54° sin 18° sin 54° sin 18°
4sinl8°cos36° 4cos36°
sin 54° sin 18° sin 54°
4cos(90°-54°) 4sin54°_
sin 54°
sin 54°
46
1.4. Основные тригонометрические формулы
3. Преобразовать в произведение следующие суммы:
1 . (п Л
sina + —, sina + cos —5a .
2 12 '
Решение
1 . . я Л . (а л ^ fa я^
sina + — = sin a + sin— = 2 sin — +— cos
2 6 I 2 12 J 12 12,
sina + cosl —5a I = sina + sin5a =
= 2 sin 3a cos(-2a) = 2 sin 3a cos 2a.
4. Найти:
а) tg - + a -tg --a , если tg2a = 3;
б) sin 3a + cos 3a, если sina-cosa = —=■;
V2
1 ос „
в) , если tg— = 2.
2 + cos a + sin a 2
Решение
ч (n } (n } tg^ + tga tgj-tga
a) tg - + a -tg --a}--*- -^— =
v J v J 1-tg-tga 1 + tg-tga
4 4
= 1 + tga 1-tga = (1 + tga)2 -(1-tga)2 =
1-tga 1 + tga 1 - tg2a
_ (1 + tga -1 + tga)(l + tga +1 - tga) _
~ l-tg2a "
4tga 2tga
^— = 2 ^—= 2tg2a = 2-3 = 6;
1 - tgza 1 - tgza
47
I. Тригонометрические функции и их свойства
б) sin За + cos За = 3sin а - 4sin3 а + 4cos3 а - 3cosa =
= 3(sin a - cos a) - 4(sin3 a - cos3 a) = 3(sin a - cos a) -
- 4(sin a - cos a)(sin2 а + sin a cos a + cos2 a) =
= 3—j=-4—j=(\ + sin a cosa) = -=(3-4-4sina cosa) =
V2 V2 V2
= —p-(-l-4sina cos a) = —=-(—3 + 2(1 -2sin a cosa)) =
V2 V2
(-3 + 2(sin2 a - 2 sin a cos a + cos2 a)) =
1
■ —j=(-3 + 2(sin a - cos a)2) = -=
V2 V2
-3 + 2
4~2
1
">/2
(-2) = ->/2;
в) cos a:
2 oc
l + tg2^"1 + 4"
2tg,
2-2 4
1 + tg
2a 1+4 5
2 + cos a + sin a o_l, j_ И
5 5
1.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Для любого угла а или для любого действительного числа х как
радианнои меры соответствующего угла существуют синус и
косинус этого угла (числа). Следовательно, можно задать функции
>> = sin;c(pHC. 1.30), >> = cos;c с областью определения -
множеством всех действительных чисел.
Графиком функции y = s'mx является синусоида, а графиком
функции у = cos х - косинусоида. Рассмотрим общие свойства этих
функций.
48
7.5. Тригонометрические функции
V
\ °
У
В
/ 1
1/\х \
^^hxJM0 и 0/
я я я я\ Зя /2я х
6 3 2 \ 2 У
-it
Рис. 1.30
Свойства функции ^S"1*' Используя основные свойства
синуса угла, получим следующие свойства функции у = sin x.
1. Область определения D(y) = R.
2. Область значений функции Е(у) = [-1; 1].
3. Функция периодическая. Основной период функции Т = 2л.
Функция нечетная, так как sin(-;c) = -sin;c для любых х е R,
следовательно, график функции симметричен относительно начала
координат.
4. Точки пересечения с осями координат: с осью ординат
график функции пересекается в точке (0; 0), с осью абсцисс - в точках
вида (пп; 0), п е Z.
5. При х е (2пп; п + 2пп) функция принимает положительные
значения, а при х е (-п + 2пп; 2пп) - отрицательные.
6. При хе
— + 27ш; — + 27Ш
2 2
функция возрастает от
наименьшего значения унаИм
= -1, если х = — + 2пп. neZ. до наи-
2
большего значения _унаиб = 1, если х = — + 2пп, п е 2
При хе
— + 2пп\ — + 2пп
2 2
функция убывает от наибольшего
значения унаиъ = 1, если х = — + 2пп, л е Z, до наименьшего
значения унаим = -1, если х = — + 27М, п е Z.
49
I. Тригонометрические функции и их свойства
Докажем рассматриваемые свойства. По определению функция
y = smx будет возрастающей (монотонно возрастающей), если
для двух значений аргумента х\ и *2, взятых из области
определения функции, таких, что — + 2пп<х\ <xi < — + 2nn,
выполняется неравенство sin xi > sin x\. В нашем случае необходимо ДОКа-
зать, что при — + 2тт <х\ <Х2< — + 2тт имеет место неравенство
sin^2 >sin^i. Рассмотрим разность (sinx2 -sinxi), для которой
_ . Х2 ~ X] Х2+Х\
sin^2 -sin^i = 2sin cos .
Докажем, что первая часть этого равенства положительна для
любых значений х\ и Х2, таких, что —<х\<Х2<—. Неравенство
7С 71
Х2<— равносильно неравенству -хг >—, сложив которое с не-
п
равенством jci >—, получим
JCi - Х2 > -7С <=> Х2 - Х\ < П.
Учитывая, что Х2~х\ > О, имеем 0 < Х2 - х\ < я, или
откуда
. Х2 — Х\
sin— L>0.
2
Аналогично докажем, что для любых значений jci и Х2, таких,
71 71 Х2+ Х\ Л „ „ 7С 71
что — < х\ < х2 < —, cos > 0. Действительно, — < jci < —
2 2 2 2 2
и —<Х2<—. Складывая эти неравенства, получаем -п<х\ +
+ Х2 < П, ИЛИ
50
7.5. Тригонометрические функции
откуда
2 2 2
Х2+Х]
cos >0.
Следовательно,
_ . Х2 ~ Х\ Х2+Х\
2sin — cos— > О,
ИЛИ Sin^2 >Sin^i.
Докажем, что на отрезке
71 37Г
~2'Т
функция y = s'mx убывает,
- 71 371
т. е. для любых значении х\ и *2, таких, что — < jci <*2 <—,
выполняется неравенство sinx2 <sin;ci. Вычитая из неравенства
— <х\ <Х2< — действительное число (-я), переходим к
равносильному неравенству
п п
< JCi - 7С < Х2 - 7С < —.
2 2
На отрезке
7С_ 7С
~~2' ~2
функция y = s\x\x будет возрастающей.
Поэтому для Х2 - п> х\ - п справедливо неравенство sin (jc2 -n)>
> sin (jci - л), и тогда
sin[—(7Г - Х2)] > sin[—(те - jci )] <=> -sin(7c - Х2) > -sin(7c — jci ) <=>
<=> sin(7c -X2)< sin(7c - jci ) <=> sin X2 < sin jci.
Аналогично доказывается, что для любых «eZ и для любых
значений jci и х2, таких, что — + 2пп<х\ <х2 < — + 2пп,
функция >> = sin;c будет возрастающей, а для любых значений jci и *2,
таких, что — + 2пп <х\ <Х2< — + 2пп, - убывающей.
51
1. Тригонометрические функции и их свойства
71
7. В точках х = — + 2пп, neZ, функция принимает свое
наименьшее значение унаим =_1> а в точках х = — + 2пп, neZ, -
наибольшее значение унаиъ =1 (см. рис. 1.30).
Свойства функции y = cosx. Используя основные свойства
косинуса угла, получим следующие свойства функции у = cos*.
1. Область определения D(y) = R.
2. Область значений функции Е(у) = [-1; 1].
3. Функция периодическая. Основной период функции Т = 2п.
Функция четная, так как cos(-x) = cos* для любых х е IR,
следовательно, график функции симметричен относительно оси ординат.
4. Точки пересечения с осями координат: с осью ординат
график функции пересекается в точке (0; 1); с осью абсцисс - в точках
вида — + пп; 0 , п е Z.
5. При хе\— + 2iw; — + 2пп функция принимает
положительные значения, а при х е — + 2пп; — + 2пп - отрицательные.
6. При х е [-л + 2пп; 2пп] функция возрастает от наименьшего
значения д>Наим =-1, если х = -п + 2пп, neZ, до наибольшего
значения >>наиб = 1, если х = 2пп, neZ. При хе[2пп; п + 2пп]
функция убывает от наибольшего значения д>Наиб = 1» если х = 27Ш,
п е Z, до наименьшего значения д>Наим = -1, если х = п + 2пп, neZ.
Доказательство аналогично доказательству монотонности
функции y = s'mx. Например, рассматривая два значения х\ и Jt2,
такие, что -п < х\ < Х2 < 0, докажем, что cos Х2 > cos x\.
Действительно, если
_ . Х2 + Х\ . Xi — Х\
cos х2 - cos jci = -2sin sin
2 2
И X2 < 0, X\ > -П <=> —JCi < 7C, TO
52
7.5. Тригонометрические функции
0<х2-Х] <7ioO<^-^<-^>sin^-^>0,
2 2 2
-2тг<х2+х, <0o-7i<^^L<0^>sin^^<0.
2 2
Тогда cos х2 - cos xi > 0 => cos x2 > cos x\.
7. В точках х=п+2ш, neZ, функция принимает свое
наименьшее значение _уНаим=_1> а в точках х = 2пп, neZ, -
наибольшее значение >>наиб =1 (рИС. 1.31).
An
2
-2я
ЗтсЧ
2 N
-п
/я
2
У
1
0
-1
2 N
я
Узя
' 2
2я
57С4
2
х
Рис. 1.31
Свойства функции y = tgx. Используя основные свойства
тангенса угла, получим следующие свойства функции y = tgx.
1. Область определения D(y) = — + тт\ — + пп , neZ.
2. Область значений функции Е(у) = R.
3. Функция периодическая. Основной период функции Т = п.
Функция нечетная, так как tg(-x) =-tgx для любых х е D(y\
следовательно, график функции симметричен относительно начала
координат.
4. Точки пересечения с осями координат: с осью ординат
график функции пересекается в точке (0; 0), с осью абсцисс - в точках
вида (пп; 0), п е Z.
5. При хе пп; — + 2пп , neZ, функция принимает
положительные значения, а при *е — + 7ш; пп |, леД -
отрицательные.
53
1. Тригонометрические функции и их свойства
6. Функция не является монотонной на всей области существо-
[71 71 |
— + пп; — + пп , weZ,
функция является монотонно возрастающей.
Действительно, если взять, например, два значения аргумента
Зп Зп
из области определения х\ = и Х2 =—, то Х2>х\, но
4 4
tg*2=tg—= -l, tgxi = tg —■— =1, т. е. tgxi>tgx2. Однако,
если взять — + пп<х\ <Х2 < — + пп, neZ, то tg*2>tg;ci. Взяв,
п п п п
например, —<xi<^2< —, *2-;ci>0, x\ >— и Х2< —
\-Х2 >— , получим цепочку следующих равносильных
неравенств:
Поскольку
-7С < Х\ - Х2 < О <=> 0 < Х2 - Х\ < П.
sinx? sinxi
tg*2-tg*l-
COS X2 COS X\
_ cos x\ sin X2 - cos X2 sin x\ _ sin(^2 - x\)
COS X2 COS X\ COS ^2 COS X\
то для — < x\ < X2 < — и 0 < x2 - x\ < n имеем cosxi > 0, cosx2 > 0,
sin(^2 - x\) > 0 и, следовательно, tg*2 - tg*i > 0 <=> tg*2 > tgx\.
7. Точек экстремума функция не имеет.
Учитывая данные свойства, можно построить график функции
у = tgx, называемый тангенсоидой (рис. 1.32).
Замечание. В силу периодичности и нечетности заданной
7С^
функции достаточно построить ее график на промежутке
Для этого в точке В единичной окружности, соответствующей ну-
0;
2У
54
7.5. Тригонометрические функции
Зтс
2
^
/"*
(
)
7С
2
У
Л
(
J
7С
2
^
S*
(
)
Зтс
2
*
Рис. 1.32
левому углу поворота подвижного луча [ОВ), проведем
касательную / к этой окружности (рис. 1.33, здесь Nj, / = 1, 2, 3,..., - точка
пересечения подвижного луча [ОВ) с единичной окружностью).
Г п\
Тогда для любого угла хе 0; — значение функции y = tgx
будет равно длине отрезка [ВТ/], где 7}, / = 1, 2, 3,..., - точка
пересечения луча [ОВ) с касательной /.
Рис. 1.33
55
I. Тригонометрические функции и их свойства
Свойства функции y = ctgx. Используя основные свойства
котангенса угла, получим следующие свойства функции у = ctg x.
1. Область определения D(y) = (пп; п + 7ш), п е Z.
2. Область значений функции Е(у) = Ш.
3. Функция периодическая. Основной период функции Т = п.
Функция нечетная, так как ctg(-x) = -ctg;c для любых xeD(y),
следовательно, график функции симметричен относительно начала
координат.
4. Точки пересечения с осями координат: с осью ординат
график функции не пересекается, с осью абсцисс пересекается в
точках вида — + пп: 0 , л е Z.
U )
5. При хе 7ш; — + пп , neZ, функция принимает
положительные значения, а при х е\ — + пп; пп\, п е Z, - отрицательные.
6. Функция не является монотонной на всей области
существования. Однако на каждом из интервалов (пп; п + пп\ л е Z,
функция убывает.
7. Точек экстремума функция не имеет.
Учитывая данные свойства, можно построить график функции
y = ctgx, называемый котангенсоидой (рис. 1.34).
-2я
^
ЗяЧ -п
У
_jl\ о
V
\
V
X
Рис. 1.34
56
1.6. Линейные преобразования графиков функций
Замечание. На интервале (0; я)
график функции y = ctgx можно
построить следующим образом. В точке М
единичной окружности, соответствующей
71
углу поворота, равному —, проведем
касательную 1\. Произвольному
положению х е | 0; —
подвижного луча
Рис. 1.35
[ОВ) на касательной 1\ будет
соответствовать точка 7}, / = 1,2,3,... (рис. 1.35, здесь N/, / = 1,2,3,..., -
точка пересечения подвижного луча [ОВ) с единичной
окружностью). Тогда длина отрезка [М7}] будет равна значению функции
и значению функции, взятому с об-
у = ctgх для любых хе|
Обратным знаком, для любых х е
1.6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
1.6.1. Общие положения
Существует ряд преобразований, с помощью которых по
графику функции у = f(x) можно построить графики других функций,
заданных аналитически.
Определение 1.8. Графиком функции y = f(x) называется
множество точек координатной плоскости хОу, координаты
(х; у) которых удовлетворяют уравнению у = f(x), x e D(f), т. е.
выполняются два условия:
1) любая точка с координатами (хо; уо), где х0 е £>(/), уо =
= f(xo), принадлежит этому множеству;
2) любая точка, принадлежащая этому множеству точек, имеет
координаты (*i; у\), такие, что у\ = f(x\), х\ е D(f).
57
I. Тригонометрические функции и их свойства
Обозначив график функции у = /(х) символом Г/•(*),
рассмотрим следующие утверждения.
Утверждение 1. График функции у = f(x-a\ где а*0,
получается из графика функции у = f(x) путем сдвига
(параллельного переноса) вдоль оси абсцисс на \а\ единиц влево, если а<0,
или на а единиц вправо, если а > 0.
Действительно, функция у = f(x - а) определена для всех х,
при которых x-aeD(f). Возьмем любую точку M(xq; уо),
принадлежащую Г/^), тогда уо = f(x0). Докажем, что точка
М\(х0 +а; уо) принадлежит Г/•(*_,,). Подставив координаты точки
М\ в уравнение у = f(x - а\ получим верное равенство: уо =
= f((xo +a)-a) = f(xo\ т. е. точка М\ принадлежит Г/(Х-а), и
чтобы ее получить, нужно точку Mq сдвинуть вдоль оси Ох на
величину \а\.
Утверждение 2. График функции у = f(x) + Ъ, где Ъ Ф 0,
получается из графика функции y = f(x) путем сдвига вдоль оси
ординат на Ъ единиц вверх, если Ъ > 0, или на \Ь\ единиц вниз,
если Ь<0.
Действительно, область определения функции у = f(x) + Ъ
совпадает с областью определения функции у = f(x). Возьмем любую
точку M(xq; уо), принадлежащую Г/•(*), тогда уо =/(xq). Точка
M\(xq; уо +Ь) принадлежит Гf^+ь, так как ее координаты
удовлетворяют уравнению уо + Ъ = /(xq ) + b. Следовательно, чтобы
получить точку М\, нужно точку Мо сдвинуть вдоль оси Оу на
величину \Ъ\.
Замечание. Сдвиг графика - это такое преобразование, при
котором все точки графика перемещаются на один и тот же вектор -
вектор переноса. График функции у = f(x - а) получаем путем
сдвига графика у = f(x) на вектор р(а; 0), а график функции
у = f(x) + Ъ - путем сдвига на вектор q(0; Ъ). Из этого следует,
что график функции у = f(x -a) + b получается из графика
функции у = f(x) при параллельном переносе на вектор г (а; Ь).
58
1.6. Линейные преобразования графиков функций
В следующих двух преобразованиях используется осевая
симметрия. Напомним, что симметрией относительно прямой /
называют преобразование плоскости, переводящее точку X в точку Х\
такую, что прямая /является срединным перпендикуляром к
отрезку XX'.
Утверждение 3. График функции у = f(-x) симметричен
графику у = f(x) относительно оси ординат.
Доказательство. Область определения функции y = f(-x)
симметрична области определения функции у = f(x)
относительно начала координат. Возьмем любую точку Mo (xq ; уо),
принадлежащую Гд;ф тогда уо = f(xo). Точка M\(-xq; уо)
принадлежит Гд_;ф так как ее координаты удовлетворяют условию
Уо = f(-(~xo))- Точки Мо и М\ симметричны друг другу
относительно оси ординат, что и требовалось доказать.
Утверждение 4. График функции у = -f(x) симметричен
графику функции у = f(x) относительно оси абсцисс.
Доказательство. Область определения функции y = -f(x)
совпадает с областью определения функции y = f(x). Возьмем
любую точку Mq(xq; уо\ принадлежащую Гдд.), тогда уо =
= f(xo)- Точка М\(х0; -у0) принадлежит Г-д^, так как ее
координаты удовлетворяют условию -уо = -f(xo). Следовательно,
точки Мо и М\ симметричны друг другу относительно оси абсцисс,
что и требовалось доказать.
Замечание. Из курса геометрии известно, что параллельный
перенос и осевая симметрия являются движениями, т. е.
преобразованиями, которые сохраняют расстояния между точками.
Преобразования, рассматриваемые ниже, деформируют
график, т. е. изменяют расстояние между его точками.
Утверждение 5. График функции у = f(kx), где к > О, к Ф1,
получается из графика функции y = f(x) сжатием в к раз при
Ы и растяжением в — раз при 0<к<\.
59
I. Тригонометрические функции и их свойства
Доказательство. Функция у = f(kx) определена для всех х, для
которых число кх принадлежит области определения функции у =
= f{x). При к > 1 это все точки, абсциссы которых в к раз меньше
соответствующих абсцисс графика у = f(kx). При 0 < к < 1 это все
точки, абсциссы которых в — раз больше соответствующих абсцисс
к
графика у = /(кх). Возьмем любую точку М0(х0; у0),
принадлежащую Г/•(*), т. е. ее координаты связаны соотношением у0 =
= f(xo). Точка М\ —; у Л принадлежит Г/^), так как ее
координаты удовлетворяют условию уо = f \ к— = f(xo). Таким образом,
ордината точки графика Гд^о с абсциссой — совпадает с
к
ординатой точки графика y = f(x) в точке xq. При 0<к<\
происходит растяжение в — раз, а при к > 1 - сжатие в к раз вдоль оси
к
абсцисс графика функции у = f(x), так как при 0 < к < 1 абсциссы
всех точек графика увеличиваются в — раз, а при к > 1 уменыиают-
к
ся в к раз, что и требовалось доказать.
Утверждение 6. График функции у = Af{x\ где А > О, А Ф1,
получается из графика функции у = f(x) растяжением в А раз от
оси Ох, если А > 1, и сжатием в — раз, если 0 < А < 1.
А
Доказательство. Область определения функции у = Af(x)
совпадает с областью определения функции у = f(x). Возьмем любую
точку Mq(xq; уо\ принадлежащую Г/•(*), тогда yo=f(xo). Точка
M\(xq; Ауо) принадлежит Г^д*), так как ее координаты
удовлетворяют условию Ауо = Af(xo). Таким образом, ордината точки
графика ГАдХ) с абсциссой х0 при А > 1 в А раз больше, а при 0 < А < 1 в
— раз меньше соответствующей ординаты Г/•(*). Следовательно,
А
60
1.6. Линейные преобразования графиков функций
при А > 1 происходит растяжение в А раз, а при 0 < А < 1 - сжатие в
— раз вдоль оси ординат графика функции у = f{x\ что и требова-
А
лось доказать.
Замечание. При сжатии (растяжении) вдоль оси Оу точки
пересечения Yf(X) с осью Ох остаются на месте. При сжатии
(растяжении) вдоль оси Ох точка пересечения Г д^ с осью Оу
остается на месте.
Утверждения 1-6 помогают по графику функции y = f(x) с
помощью преобразований построить график функции у = Af(kx +
+а) + Ъ. Для этого нужно составить цепочку простейших
преобразований, последовательно применив которые, получим искомый
график. Рассмотрим две схемы преобразований.
Схема 1
y = f(x)^-^y = f(x + a)-^y = f(kx + a)^-^y =
= Af(kx + a)—Г-^>у = Af(kx + a) + b:
а) сдвиг вдоль оси Ох на \а\ единиц;
б) сжатие (растяжение) вдоль оси Ох к (от ) оси Оу;
в) сжатие (растяжение) вдоль оси Оу к (от ) оси Ох;
г) сдвиг вдоль оси Оу на \Ь\ единиц.
Схема 2
= Af(kx + a)—^y = Af(kx + a) + b:
а) сжатие (растяжение) вдоль оси Ох к (от ) оси Оу;
б) сдвиг вдоль оси Ох на
единиц;
в) сжатие (растяжение) вдоль оси Ох к (от ) оси Оу;
г) сжатие (растяжение) вдоль оси Оу к (от ) оси Ох.
Если к <0(к = -\k\), то при построении графика функции
y = f(kx) последовательно применяются два преобразования (в
любом порядке):
61
I. Тригонометрические функции и их свойства
у = /(х) >y = f(-x) >y = f(-\k\x)
ИЛИ
у = f(x) >у = Я\к\ х) >у = Л-1*| х).
Если А<0(А = -\А\\ то график функции y = Af(x) строителе
применением утверждений 4 и 6, например: y = f(x) >у =
=\A\f(x) >y = -\A\f(x).
1.6.2. Графики функций, содержащих знак модуля
Пусть задан график функции у = f(x). Рассмотрим построение
графиков функций у=\/(х)\ и у=/(\х\).
Утверждение 7. График функции y=\f(x)\ совпадает с
графиком функции у = f(x) при тех значениях аргумента, при которых
f(x) > 0, и симметричен ему относительно оси Ох при тех
значениях аргумента, при которых f(x) < 0.
Действительно, согласно определению модуля
. , \ f{x) для тех х, при которых/(х) > 0,
\/(х)\ =
l~f(x) для тех х, при которых/(х) < 0.
Возьмем произвольную точку Мо(хо; уо), принадлежащую
графику функции у = /(*), т. е. уо = f(x0), и рассмотрим два случая.
Случай 1. Если уо>®, то |/(*о)| = f(xo) = Уо и точка
Мо(*о; .Уо) принадлежит графику функции у = /(xq).
Случай 2. Если уо<0, то \f(x0)\=-f(x0) = -y0 и точка
Мо(хо;-уо) принадлежит графику функции y = f(xo).
Таким образом, график функции j> = |/(*)| на тех
промежутках, на которых f(x) > 0, совпадает с графиком функции у = f(x),
а на тех промежутках, на которых f(x) < 0, график функции
y = \f(x)\ получается из графика Г д^ с помощью симметрии
относительно оси Ох.
62
1.6. Линейные преобразования графиков функций
Следовательно, чтобы получить график ri^i из графика
Г/(*), нужно выполнить следующие условия:
все точки Г/•(*), лежащие на оси абсцисс и выше ее, оставить
без изменения;
все точки Г/•(*), лежащие ниже оси Ох, симметрично
отобразить относительно оси Ох.
Замечание. Очевидно, что график T\f(X)\ не имеет точек ниже
оси Ох.
Утверждение 8. График функции у = /(\х\) совпадает с
графиком функции y = f(x) на множестве неотрицательных
значений аргумента и симметричен ему относительно оси Оу на
множестве отрицательных значений аргумента.
Действительно, согласно определению модуля
[х, если х>0,
1*1 =
|_-лг, если х<0.
Возьмем произвольную точку Mq (хо ; уо), принадлежащую
графику функции y = f(x), тогда уо = /(*о). Если xq >0, то /(|*о|) =
- /(*о) - ^о и точка М0 (xq ; уо) принадлежит Г ^\, т. е. на
множестве неотрицательных значений графики функций y = f(x) и
У = /(\х\) совпадают. Так как /(|-*|) = /(|лг|), то функция у =
= f(\x\) является четной и ее график при х < 0 получается с
помощью симметрии относительно оси Оу.
Следовательно, чтобы построить график функции y = f(\x\),
зная график функции у = /(*), нужно поступить следующим
образом:
все точки графика, лежащие на оси ординат и справа от нее,
оставить без изменения;
построить часть графика, соответствующую отрицательным
значениям аргумента, отобразив правую часть графика
симметрично относительно оси Оу.
Замечание. При построении графика функции у = f(\x\) точки
Г/•(*), лежащие слева от оси ординат, никакой роли не играют.
63
1. Тригонометрические функции и их свойства
Все графики функций, которые рассматривались ранее,
можно также представить как геометрическое место точек
(множество), координаты которых удовлетворяют уравнению у = /(х).
Следующее утверждение показывает, как построить одно из
геометрических мест точек, элементом которого является график
функции.
Утверждение 9. Геометрическое место точек, координаты
которых удовлетворяют уравнению |>>| =/(*), совпадает с участками
графика функции у = /(*), для которых f(x) > 0, и к этим
участкам нужно достроить участки, симметричные им относительно оси
абсцисс.
Доказательство. Согласно геометрическому смыслу модуля
\y\ = f(x)^l[y = -f(x),
{f(x)>0.
Возьмем произвольную точку Mq (xq ; yo), принадлежащую
графику функции y = f(x\ тогда yo = f(xo\ т. е. значения *о,
при которых /(xq ) < 0, в геометрическое место точек не войдут.
Если /(;со)>0, то точки М\(х0;/(х0)) и М2(х0; - f(x0))
принадлежат геометрическому месту точек \у\ = f(x\ что и требовалось
доказать.
1.6.3. Арифметические действия над графиками функций
Определение 1.9. Суммой (разностью) функций y = f(x) и
У = ё(х) на их общей области определения X = D(f) П D(g)
называется функция, значения которой для каждого хеХ находят
по формуле у = f(x) + g(x) (у = f{x) - g(x)).
Таким образом, если взять произвольное значение xq e X, при
котором точка М\ (хо; у\) принадлежит Г д^, а точка М2 (*о; уг)
принадлежит Гg(X), то точка М3 (xq ; у\ + уг) будет принадлежать
64
1.6. Линейные преобразования графиков функций
Г/•(*)+£(*)• Следовательно, чтобы построить график функции у =
= f(x) + g(x\ нужно рассмотреть точки графиков y = f(x) и
у = g(x) для всех х, входящих в общую часть областей
определения этих функций, и для каждого такого х выполнить
алгебраическое сложение соответствующих ординат. Обычно к ординатам
точек графика наиболее простой функции из входящих в сумму
функций прибавляют ординаты соответствующих точек графика
другой функции.
Чтобы построить график разности двух функций y = f(x)-
-g(x\ необходимо из ординаты точек графика уменьшаемого
вычесть ординаты соответствующих точек графика вычитаемого или
поступить следующим образом:
а) построить графики функций у\ = f(x) и у2 = -g(x);
б) построить график функции
y = y]+y2=f(x) + (-g(x)\
что наиболее предпочтительно.
Определение 1.10. Произведением (частным) функций у =
= f(x) и у = g(x) на их общей области определения X = D(f) П
f)D(g) называется функция, значения которой для каждого хеХ
находят по формуле у = f(x)g(x) у = при g(x) ф0\.
{ g(x) )
Из определения следует, что если точка М\ (х0; у\)
принадлежит Гдд.), а точка М2(х0; у2) принадлежит Гя(х), то координата
xq принадлежит общей части областей определения функций у =
= f(x) и y = g(x). Пусть точка М3(^о; у\ • у2) принадлежит
графику функции у = f(x) g(x). Тогда, чтобы построить график
функции у = f(x) g(x), нужно рассмотреть точки графиков у = f(x) и
у = g(x), у которых абсциссы х входят в общую часть областей
определения этих функций, и для каждого такого х выполнить
умножение соответствующих ординат точек этих графиков.
65
1. Тригонометрические функции и их свойства
1.6.4. Примеры построения графиков функций
Пример 1. Построить график функции у = cos x— .
71 < 371^
~~29 ~г)
длиной, равной одному периоду. График искомой функции полу-
Построим график функции у - cos* на промежутке
чается из графика функции >> = cos;c путем сдвига на — единиц
вправо (рис. 1.36).
^
-2тс
~Х
\
Зтс
2
\ ,
-ТС
V
ТС
2 У
У
,* 1'
/0
-1
в
7^ч
-
\с
тс
2\
D
Et
Зтс у
/ 2 /
/ 2к х
Рис. 1.36
Выберем «удобные» точки Л, 5, С, Д £ и сместим их на —
единиц вправо. По этим точкам построим участок графика
>> = cos х— . Далее график продлеваем на всю числовую
прямую, используя периодичность функции.
Пример 2. Построить график функции у = sin 2x.
Согласно утверждению 5 этот график получается сжатием
графика функции y = s'mx в 2 раза вдоль оси Ох (к оси Оу).
Воспользуемся периодичностью функции у = sin x. Построим график
rsjnx на отрезке длиной, равной одному периоду, например на
отрезке [-я; я) (рис. 1.37).
Абсциссы «удобных» точек А, Д С, D уменьшатся в 2 раза, т. е.
каждая точка станет ближе к оси Оу в 2 раза (точки А\, Д, С\, Д).
66
1.6. Линейные преобразования графиков функций
л л
-2к _Ж -к _л
V \Л
2к х
В В
Рис. 1.37
Точка (9(0; 0) пересечения графика с осью ординат останется на
месте. В результате получим часть искомого графика на отрезке
71 71
2 2.
. Далее график продлеваем на всю числовую прямую.
Замечание. Пример 2 иллюстрирует следующую теорему: если
У - f(x) ~ периодическая функция с периодом Г, то у- f(kx) -
Т
периодическая функция с периодом —, где к е Ш \ {0}.
к
Пример 3. Построить график функции у = -ctg 2х — +1.
Напишем цепочку преобразований:
у = ctgx а >у = ctg2x б >у = ctg 2he--
= -ctg[2jc-—J—^;y = -ctg(2jc--) + l:
а) сжатие в 2 раза вдоль оси Ох (к оси Оу);
-*у-
б) сдвиг вправо вдоль оси Ох на
единиц;
в) зеркальное отражение относительно оси Ох;
г) сдвиг вверх на одну единицу.
Применим последовательно все эти преобразования к одной
ветви графика у = ctg x (в том числе и к его асимптотам). В
результате получим одну ветвь искомого графика (рис. 1.38: а - у = ctgx;
67
I. Тригонометрические функции и их свойства
асимптоты п, т; б - >> = ctg2;c; асимптоты п\, т\\ в - у-
= ctg [2(х- п /8)]; асимптоты /?2, т2; г - у = -ctg(2jt-7i/4);
асимптоты «2, тг, д - у = -ctg(2x - л/4) +1; асимптоты «2, тг).
Далее график продлевается на всю числовую прямую (см.
рис. 1.38, е).
у'
10
У
10
п\
5
0
-5
10
|
1
Л
[ I
тх
п
2
п
X
У
10
5
0
-5
10
II /i2 \т2
\к Зя\ \5п к х
18 8 \| 8
У
10
5
0
-5
-10
" \п2 |!т2
7С] /'Зя ]5я К X
81/8 | 8
68
1.6. Линейные преобразования графиков функций
Пример 4. Изобразить на плоскости геометрическое место
точек, удовлетворяющих уравнению \у\ = sin x.
К приведенному уравнению применим следующий
равносильный переход:
у = sin х,
y = -s'mx,
sinx>0.
В соответствии с этим переходом построим участки графика
функции y = s'mx при таких значениях х, при которых sin x > 0, и
достроим симметричные им относительно оси Ох участки (рис. 1.39).
1,5 к
0,5 [
Рис. 1.39
Пример 5. Построить график функции y = x + cosx.
Построим графики функций у\ = х и }>2-cosx (рис. 1.40).
Сумма этих двух функций определена при любом действительном
значении х.
Выберем точки, в которых удобно найти значение суммы этих
функций. В точках вида х = — + nk, keZ, значения у2 = 0,
следовательно, при этих значениях х точки искомого графика будут
лежать на прямой у\ = х. В точках вида х = 2пк, & е Z, значения
У2 = 1, следовательно, у = х +1, т. е. к ординате у\ прибавляем
единицу. А в точках вида x = Ti + 2iik, &eZ, значения У2=~\
69
I. Тригонометрические функции и их свойства
Рис. 1.40
следовательно, у = х-\, т. е. из ординаты у\ вычитаем единицу.
Плавно соединяя полученные точки, находим график искомой
функции.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Что называется полным отрицательным углом?
2. Что называется центральным углом? Чему он равен?
3. Дайте определение радианной меры угла.
4. Запишите формулы перевода из радианной меры в градусную и
из градусной меры в радианную.
5. Что называется единичной окружностью?
6. Дайте определение синуса угла. Перечислите свойства функции
у = sin х. Постройте график этой функции.
70
Задачи и упражнения
7. Дайте определение косинуса угла. Приведите свойства функции
у = cos*. Постройте график этой функции.
8. Дайте определение тангенса угла. Перечислите свойства функции
y = tgx. Постройте график этой функции.
9. Дайте определение котангенса угла. Перечислите свойства
функции у = ctgx Постройте график этой функции.
10. Докажите основное тригонометрическое тождество. Запишите
его свойства.
11. Запишите формулы сложения.
12. Запишите и докажите формулы синуса и косинуса двойного
угла.
13. Запишите формулы, связывающие синус и косинус двойного
угла с тангенсом любого угла а, такого, что а Ф — + пп, neZ.
14. Что называется графиком функции у = /0е)?
15. Как построить график функции у = f(x) + a по известному
графику функции у = /(*)?
16. Как построить график функции у = f(x + а) по известному
графику функции у = /(я)?
17. Как построить график функции y = f(-x) по известному
графику функции у = f(x)?
18. Как построить график функции у = af(x) по известному
графику функции у = /0е)?
19. Как построить график функции у = \f(x)\ по известному
графику функции у = /0е)?
20. Как построить график функции у = f(\x\) по известному графику
функции y = f(x)?
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Измерение дуг и углов
1.1. Переведите градусы в радианы (используя калькулятор с точностью
до третьего знака после запятой):
а) 15,3006°; 6)71,1711°; в) 15,2817°; г) 115,7305°; д) 125,2101°.
71
1. Тригонометрические функции и их свойства
1.2. Переведите радианы в градусы (используя калькулятор с точностью
до третьего знака после запятой):
а) 0,3008; б) 0,5728; в) 1,0472; г) 1,3452; д) 1,4850.
1.3. Вычислите радиус окружности, если ее дуга длиной 0,84 м содержит
1,5 радиан.
1.4. Круговой сектор, имеющий площадь 0,39 м2, стягивается дугой в
1,4 радиан. Вычислите радиус круга.
1.5. Углы треугольника относятся как 1:3:5. Вычислите их значения в
радианной мере.
2. Числовые значения и знаки тригонометрических функций
2.1. Найдите знак выражения:
ч sin 210° cos 280° ^ sin 150° tg2 280°
а) ; б) - •
tg200°ctg2160° ctgl40°cosl60°
в) sin 140°-sin 150°; г) cos60°-cos70°;
д) tgl60°-tgl70°; e) sin 40° - tg40°;
ж) cos80°-ctg80°; з) tg85°-ctg85°.
2.2. Вычислите значение выражения:
ч . ( \Ъп\ 17тг 22тг 37тг
a) sin —— + cos^ + tg ——ctg——;
\ 6 J 6 3 4
^ . ( 47тЛ тг ( 2ЪпЛ 19тг
6)s.n(-— j-tg- + ^-_ j-ctg—.
2.3. Вычислите значение выражения:
а) sin9135o + cos(-585°) + tgl395o + ctg(-630°);
б) sin (-810°) + cos (-900°) + tg (-395°) ctg (575°).
тл тт 1 V3 11
2.4. Докажите, что cos 75 = —1= =■ • —.
72 2 72 2
2.5. Вычислите без таблиц и калькулятора:
a) sin 75°; б) tgl5°.
3 5 15
2.6. Найдите cos(a + (3-у), если cosa = -, cosB = —, sin у = ,
V H U 5 13 Г 17
72
Задачи и упражнения
2.7. Найдите tg (а-р +у), если tga = 3, tgp = 4, ctgy = —.
2.8. Найдите sin —a , если cosa = — и — < a < 7t.
U J 2 2
2.9. Найдите ctga, если tg —+ a =2.
2.10. Используя правило знаков по четвертям, найдите знак
произведения:
а) sin 130° sin 220°; б) cos 205° sin 310°;
в) tg 135° tg 230°; г) sin 320° tg 145° cos 320°;
д) sin—cos—; e) sin2,4 cos(-l,5) tg(-2,2).
2.11. Найдите значение выражения:
7t .371 ( Tl\
а) ctg—h tg7r —sin cos — +sin7t;
б) cos (-7t) sin — sin
ч .,71 ,7t_ .71
в) sin3 tg3 2 cos2—.
6 4 2
2.12. Дано: f(x) = 4sin3* + 5cos3*-2sin*. Вычислите: /(0), /
3. Вычисление значений тригонометрических функций
по заданному значению одной из них
3.1. Дано: sina = -, a e 0; — . Вычислите: cosa, tga, ctga.
3.2. Дано: cosa = -, ae 0;— . Вычислите: sina, tga, ctga.
3.3. Дано: sina = —, ae — ;n \. Вычислите: cosa, tga, ctga.
13 12 J
73
I. Тригонометрические функции и их свойства
3.4. Дано: cosa = , ae —;л . Вычислите: sina, tga, ctga.
3.5. Дано: tga = —, ae it;— . Вычислите: sina, cos a, ctga.
->, tt 8 ( Ъп\ п
3.6. Дано: ctga = —, ae л;— .Вычислите: sina, cosa, tga.
\5 { 2 J
3.7. Дано: tga = a, ae—; 2л . Вычислите: sina, cosa, ctga.
3.8. Дано: ctga = b, ae —; 2л . Вычислите: sina, cosa, tga.
3.9. Вычислите:
a) sin 4a, если ctga = -3; 6) cos4p, если tgp = 2.
3.10. Вычислите:
a) sin3a, если tg— = -2; 6) cos3a, если ctg—= 0,5.
3.11. Вычислите:
a) tg2 a , если sin2a = —; 6) ctg2 —+ p
если sin 2p = 0,25.
3.12. Вычислите:
cosa-2sina
a) cos 2a, если = -0,5;
sina-2cosa
. _ cosa + 2sina
o) sin 2a, если = -2.
2sina-3cosa
3.13. Дано: sina-cosa = 6. Найдите:
a) sin a cos a; 6) |sina + cosa|; в) sin3 a-cos3 a; r) sin4 a + cos4 a;
д) sin6a + cos6a; e) sin4 a(l + sin2 a) + cos4a(l + cos2 a);
ж) (sin6 a + cos6 a + 3sin2 acos2 a)(sin4 a + 2sin2 a cos2 a + cos4 a).
3.14. Дано: tgp-ctgp = 6. Найдите:
a) tg2p + ctg2p; 6) |tgp + ctgp|;
в) tg3p-ctg3p; r) tg4p + ctg4p.
74
Задачи и упражнения
4. Основное тригонометрическое тождество.
Упрощение выражений
4.1. Упростите выражение:
cos a _ч sin а
а) :— + tga; о) ctga + -
1 + sina 1+cosa
в) a + tga ctga; r) (l-cos2p)tg2p+l-tg2p;
l-cos2a
■y -y COS2 В Ct22 В
A)(ctga + tga) -(ctga-tga) ; e) ctg'p—, w *H.
sin2 p-tg2p
4.2. Проверьте выполнение равенства:
а) sin2 a + cos2 a - 2 sin2 3p - 2 cos2 3p = -1;
_4 sina + cosa
б) = tg3a + tg2a + tga + l;
cos2 a
ч cosa-sina
в) = ctg3a-ctg2a + ctga-l;
sin3 a
ч ctg2a-cos2a
r) — = ctg6a;
tg2a-sin2 a
д) sin3 a (1 + ctga) + cos3 a (l + tga) = sin a + cos a;
е) sin6a + cos6a + 3sin2a cos2 a = 1;
ж) (sina + cosa)" = 1 +sin2a;
ч cos a + sin a
з) = tg2a + sec 2a.
cosa-sina
5. Преобразование суммы тригонометрических функций
в произведение и обратно
5.1. Проверьте справедливость равенства:
а) cos 47° + cos 73° = cos 13°; б) sin 87° - sin 27° = cos 57°;
в) cos 29° - cos 31 ° = sin 1 °; r) sin 18° + sin 42° = cos 12°;
д) sin 93° - cos 63° = sin 33°; e) cos 14° - sin 16° = cos 46°.
5.2. Упростите выражение:
ч cosa-cosp _ч cosa + cosp
а) -; б) -.
sin a + sin p sin a-sin p
5.3. Упростите выражение:
75
I. Тригонометрические функции и их свойства
ч sin 4а-sin 6а _ч sin 7(3 + sin 11(3
a) ; б) —.
cos3a + cos7a coslOp-cos8p
5.4. Докажите справедливость формулы:
а) sina cosp = — (sin(a + p) + sin(a-p));
б) sina sinp = —(cos(a-p)-cos(a + p));
в) cosa cosp = — (cos(a-p) + cos(a + p)).
5.5. Вычислите:
а) sin 15° cos 7° - cos 11 ° cos 79° - sin 4° sin 86°;
б) cos 17° cos 73° - sin 13° cos 21 ° - cos 4° cos 68°.
5.6. Упростите выражение:
sin 3a-sin a cos 2a _4 cos 2a-cos 4a
a) — : ; 6)
sin 3a + sin a cos 2a - cos a cos 3a
5.7. Докажите тождество:
ч sin5a-2sin3a cos3a
а) = ctg5,5a;
1-cos 5a-2 sin2 3a
^ 2cos22p + cos5p-l
б) = ctg4,5p;
sin5p + 2cos2p sin2p
ч sin4a + 2sin2a
в) — = cos a tg 2a;
2 (cos a + cos 3a)
ч 2cosp + cos3p + cos5p
r) - = 4cos2p.
cos3p + sinp sin3p
5.8. Вычислите значение выражения:
ч cosl la + 3cos9a + 3cos7a + cos5a 1
а) , если cosa = -;
cos 8a 3
б) cos2a-cos6a, если cosa = —j=;
V3
в) sin 5a-sin 3a, если sin a = —j=.
V5
5.9. Преобразуйте произведение в сумму:
.p.
а) 2 sin a cos3p; 6) 2 sin a cos- ,
76
Задачи и упражнения
в) 2 sin a sin2p; г) 2 cos За cos2p;
д) 2 sin 2а cos а; е) 2 sin а cos 5а;
ж) 2 sin а sin 7а; з) 2 cos (-а) cos 5а;
и) 2cos2-; к) 2sin2-^;
4 V3
л) 2sin2 —+ а ; м) 2cos2 —+ а .
U ) U )
5.10. Преобразуйте сумму в произведение:
а) sin a + sin 2а + sin За;
б) cos2а-cos4а + cos6а;
в) 2sin2 2а + 2sin2 4а + 2sin2 6а -3;
г) 2cos2 — + 2cos2a + 2cos2—;
д) 2sin2--2cos26p.
6. Формулы двойного и половинного аргумента
6.1. Вычислите sin2а и cos2а, если cosa = —, — <а<2п.
25 2
6.2. Вычислите sin2B и cos2B, если sinB = , 7Г<В<—.
н 13 Н 2
6.3. Вычислите sin— и ctg —, если sina = -^—, — <а<2л.
2 2 2 2
6.4. Вычислите cos— и tg —, если tga = v3, л<а<—.
2 2 2
6.5. Вычислите tga, если ctg2a = 3.
6.6. Вычислите ctgp, если tg2p = -5.
6.7. Докажите справедливость формулы:
2tgf 1-tg2^
а) sina = ^—; б) cosa= —;
l + tg2| ,+tg2|
в) sin3a = 3sina-4sin3a; г) cos3a = 4cos3a-3cosa.
77
I. Тригонометрические функции и их свойства
6.8. Вычислите:
а) sin2a, cos2а, tg2a, e^Htga = -;
б) sin2p, cos2p, ctg2p, если ctgp = -—.
6.9. Вычислите:
a)
, если tg—= 3;
2-3sina 2
6) 2sina ,еслис1е<*=-2.
4 + 5cosa 2
7. Упрощение тригонометрических выражений
7.1. tgf —-a jtg(7r + a)-cos[- + a jsin(7r + a).
7.2. ctg(^ + p]ctg(7r-p)-ctg(| + p]tg(27r + P).
7.3. [ctg (6,5л - a) cos (-a) + cos (n - a)] +
2sin2(7i-a)
tg(a-Tt)
-z-sin(-a)tg —+ a
cos (2,57r +a)
ctg(37t + a)
tga
-<?♦■)'
sin a-— / \ / \
7.5. -4 Hctgla-^J-cosf^ + ajsin(a-7r).
n rtg|
sin | - + a
tg —-a -cos(7t-a)sin(37t + a)
7.6. —^ J- .
[cos(3,57r-a) + sin(l,57t + a)l -1
7.7.
in —-a +cosp +[sina + sin(7t + p)] -4sin2
7.8. 2sin(—+ 2*j + 2cos2;c + cos2;c-l.
7.9. 2(cos4a-sin4a) -cos4a.
¥
78
Задачи и упражнения
7.10.
cos4a-cos4| —-a | + cos4a-2cos3a cosa.
s 4a
7.11.
7.12.
-fM
57Г
+ 2a
-ctg
н
-sin2 4a.
7.13.
(l+cos2a)(l+cos4a)
4sinf4a-^0
ctg2[2a-^-tg2[2a + ^
г /J—r-ctgf2a-4
2 J cos(4a-37i) I 4 J
ctg|4a-^| +
7.14.
sin2| 4a-^
7.15.
7.16.
7.17.
7.18.
7.19.
7.20.
ctg(^-2a) + tg(^ + 2a)
2 + cos3x + cosx-4cos2 x
+ -sin8a.
sin2— cos 2x
2
4(sin4 x + cos4 x) + cos 6* - 3
cos5x cosx
4cos2 2*-2 + 2sin* cos*-sin6*
sin2 —-X cos4л
U J
2 cos2 — - a + cos2 a - 2 sin a cos a -
U J
-sin2 a
1 + cos 2a
2cosf^-alcosf^-^lcos^ctg2fa + ^
ctg2(a-|)-cos2(| + a)
sin2 - + a +cos a-- cos - + a
U J { 2) {2 J sii
tg(| + a]tg(a-|]-ctg2(a-|]
sin2 2a
79
1. Тригонометрические функции и их свойства
4sin
7.21.
7.22.
(?*■)
«'(т-!Н(т*!)
cosf^ + al l + tg2fa-^l(sin-2fa-
2cosf^-°0cos<*
I 2 2) 2
7.23. Докажите тождество:
l + ctg2[—+ a
а) cos(67r + a)tg(37r-a) =
sin (47i - a) ctg (57i + a)
sin (4л + a) tg (5л - a)
б) ) f^l <r = -tg'a;
cos(67r-a)ctg(47i + a)
B) cos(87r-a)tg(37r-a) =
sin (бл - a)ctg(5л - a)
r)
cosa + sina=tg 7t+a
cosa-sina v4
д) sin2a + cos — -a cos — + a = —;
U J U J 4
е) b5in2a=tg2f«_a>l;
l + sin2a U J
ж) 4sin a + — sin a-— =-3 + 4sin2a.
7.24. Упростите выражение:
а)
s;n2 „ (l + cosa)
5Ш-« + 2 + ^ '— при ae
l + 2cosa + cos2a sin2 a
**}
_. tga-sina l fn ]
б) — — приае —; 7i ;
ytga + sina sin a v2 у
в) Jl±sina+jE^ np„aef«;37E\
Vl-sina Vl + sina U 2 J
80
Задачи и упражнения
7.25. Докажите справедливость равенства:
а) cos^ + cos^ + cos^U-i;
7 7 7 2
б) sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° = —;
16
в) sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = —.
16
7.26. Зная, что А, В и С- внутренние углы некоторого треугольника,
докажите справедливость равенства:
а) sin 4А + sin АВ + sin АС = -4sin 2А sin 2В sin 2C;
А В С
б) sin A + sin В + sin С = 4cos—cos— + cos—;
2 2 2
в) sin 2А + sin 2B + sin 2C = 4sin A sin В sin C.
8. Периодичность тригонометрических функций
8.1. Вычислите период функции:
a) _y = cos3*; б) y = cos—; B)y = tg2x;
4
г) j/ = ctg|; д), = 81п(! + ^; e)jv = 3sin(^-l).
8.2. Вычислите период функции:
a) у = sin 5*-cos 4* +1; б) у = 2sin — -3sin —;
У '43
в) v = sin — + sin —; г) у = sin3 — -3cos — + cos5*;
У 3 5 4 8
fl)* = tg^-4ctg^-2.
9. Линейные преобразования графиков,
содержащих тригонометрические функции
9.1. Постройте график функции:
a)j/ = sin(* + 0 6)j/ = cos(*-|);
B)^ = tg^ + ^; r)j, = sin(| + |
81
I. Тригонометрические функции и их свойства
д) .у = cos (2* +1,5л); е) ^ = tg(3jc + —
9.2. Постройте график функции
).y = 2cos[ х-%\ 6)y = h\n(2x + —\
в)у = 1 + 3sin jc; r)_y = 2cos *-— -4;
д) y = 2tg(x-\); e) y = 2tgx-\.
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ И УПРАЖНЕНИЯМ
1.1. а) 0,267; 6)1,242; в) 0,267; г) 2,020; д) 2,185.
1.2.а)17,235°; 6)32,819°; в) 60,000°; г) 77,074°; д) 85,084°.
1.3.0,56.1.4.0,75.1.5. ^;-;—.
9 3 9
2.1. а) минус; 6) плюс; в) плюс; г) плюс; д) минус;
е) минус; ж) минус; з) плюс.
2.2. а) ~3 + Л^3; 6)^^. 2.3. а) -1; 6) -3.
2 2
2.5. a) ^±7б;б) 2_V5.2.6. --*!.
4 1105
2.7. i. 2.8. -^' + ^. 2.9. Ш£.
3 4 11
2.10. а) минус; 6) плюс; в) минус; г) плюс; д) плюс;
е) плюс.
2.11. а) 1; 6) 1; в) --. 2.12. 5; 3; -3.
8
3.1. cosa = ^?-; tga = —\=', ctga = 2V2.
з 2V2
4 4 3
3.2. sina= —; tga = —; ctga = —.
5 3 4
12 5 12
3.3. cosa = ; tga = ; ctga = .
13 & 12 & 5
82
Ответы к задачам и упражнениям
3.4. sina = —; tga = -—; ctga = -—.
17 Б 8 Б 15
4 3 3
3.5. sina = —; cosa = —; ctga = —.
5 5 Б 4
3.6. sina = ; cosa = ; tga = —.
17 17 8
3.7. sina =
3.8. sina =
/1+Д2
1 ,
yj\+b2 '
-; cosa =
1 - ctga = -.
J\ + a2
yj\ + b2 b
3.9. а) -Щ 6) -^-.3.10. a) -4; 6)-^.
25 25 5 125
3.11. а) -Ь 6) ^. 3.12. a) 1; 6) ^.
2 5 61
3.13. a) 1^1; 6) V^; в) b(±=f)', г) Ш^.;
1±б^зм e)^2+i ,44+3И
4 2 2 2
3.14. a) 62+2; 6) V^+4; в) 6(62+3); г) 64+462+2.
4.1. a) ——; 6) ——; в) ——; г) cos2 а; д) 4; e) 0.
cosa sin a sin2 a
5.2. a) tg(^); 6) ctg(^
5.3. a) _^in«_; 6) _£££2§. 5.5. a) 0; 6) -^^
cos 2a
sinp
5.6. а) i; 6) 2.5.8. a) —; 6) -—; в) —Щ=.
2 27 27 25V5
5.9. a) sin(a + 3p) + sin(a-3p); 6) sin a + — +sin a-— ;
в) cos(a-2p)-cos(a + 2p); r) cos(3a-2p) + cos(3a + 2p);
д) sin 3a + sin a; e) sin 6a-sin 4a; ж) cos(6a)-cos(8a);
з) cos(8a) + cos(6a); и) cos — +1; к) 1-cos-p-;
л) 1 +sin 2a; м) 1-sin 2a.
83
I. Тригонометрические функции и их свойства
5.10. a) sin2a(l + 2cosa); б) cos4a(2cos2a-l);
в) -cos8a(2cos4a + l); г) cos2a(2cosa + l);
ч . а + 12р а-12р
д) -2 cos -cos -.
2 2
6.1. sin2a = -336. cos2а = -^Z. 6.2. sin2p = ^; cos2p = -i^.
625 625 169 169
6.3. >1п| = ^Ж; ctg| = -1-^.6.4. cos| = -I; tg| = ^3.
6.5. /13-бУТо 66 ^i
V 7 726-1
3 4 3
6.8. a) sin2a = —; cos2a = —; tg2a = —;
5 5 4
6)sin2p = --^; cos2p = -^-; ctg2p = -—.
13 13 & 12
6.9. a) -16; 6) —К
35
7.1. cos2 а. 7.2.
cos2p
7.3. 1.7.4. 1.7.5. cos2 a.
7.6. -±ctg2a. 7.7. 0. 7.8. 0. 7.9. 1. 7.10. 0.
7.11. 0.7.12. 0.7.13.0. 7.14.0. 7.15.-4.7.16.2.7.17.4.
7.18.1.7.19. -1.7.20. 0. 7.21. 1.7.22. -ctg2a.
7.24. a) —; 6) -ctga; в) ^—.
sin a cos a
8.1. a) ^; б) 8тг; в) ^; г) 5тг; д) 4тг; е) 4.
8.2. а) 2тг; б) 24тг; в) ЗОтг; г) 16тг; д) бтг.
2. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
И ИХ СВОЙСТВА
2.1. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2.1.1. Определение обратных тригонометрических функций
Рассмотрим функцию y = s'mx. Поставим задачу: по
заданному числу а найти угол х, такой, что его синус равен этому числу.
Сразу отметим, что если а > 1 или а < -1, то данная задача
решения не имеет, поскольку Isirucl < 1 (рис. 2.1).
Рис. 2.1
Если же а е [-1; 1], то существует бесконечно много таких углов
х, синус которых равен а (см. рис. 2.1). Однако если разбить область
определения функции у = sin x на промежутки монотонности, то на
каждом из этих промежутков в силу существования обратной
функции данная задача имеет единственное решение. Выделим, к
примеру, промежутки возрастания функции — + 2пп < х < — + 2пп, пеХ.
Из них выделим промежуток
71. 71
V 2.
и будем считать его главным.
85
2. Обратные тригонометрические функции и их свойства
Каждому значению х е
_ 7Г . 7Г
2' 2.
соответствует единственное
значение y = sinx, и, наоборот, для каждого значения >>е[-1; 1]
существует на отрезке
71. п_
V 2.
единственное значение х, синус которого
равен у. Обозначив это значение через arcsin у, получим функцию
х = arcsin у, где у - аргумент функции или в обычных обозначениях
у = arcsin х, здесь х - независимая переменная, а у - зависимая
переменная.
Определение 2.1. Арксинусом действительного числа а, \а\ < 1,
называется значение угла (число) а, принадлежащего промежутку
71. 71
2' 2_
синус которого равен а.
Таким образом, а = arcsin а, если —<а<— и since =
= sin(arcsina) = а, |^г| < 1. Согласно определению, arcsin 0 - это
такой угол а, что -—<а<— и since = 0. Из этого вытекает, что
arcsin0 = 0. Аналогично arcsin 1 =—, arcsin(-l) = —, arcsin— =—,
2 2 2 6
arcsin— = —, arcsin— = — и т. д. Из определения кроме равен-
sin (arcsin a) = a, ae[-l;l],
следует также очевидное равенство
arcsin(sin a) = а, а е
71. 71
2' 2.
(2.1)
(2.2)
Отметим еще одно важное свойство арксинуса числа а: для любых
ае[-1;1] справедливо равенство arcsin(-a) =-arcsinя. Пусть
sina = a, ae[-l;l], ae
_ 7С . 7С
2' 2.
. Причем sin а = a, arcsin(-a) =
-- р, sin р = -а. Следовательно, а = -р.
86
2.1. Обратные тригонометрические функции
Примеры
„: 2
1. Вычислить: sin arcsin— . Так как — е[-1; 1], то
справедлива формула (2.1) и, следовательно, sin arcsin— = —.
2. Вычислить: arcsin sin— . Ввиду невозможности
применения формулы (2.2) нельзя записать arcsin sin— =—. Поэтому
сначала представим -^ = 2л + —, тогда sin— = sin[ 2л + — | = sin—,
7л.
3
причем — е|
= sin£
3
71. 71
2' 2.
Следовательно, arcsin sin— = arcsin sin—
\ Ъ ) \ 3
Ъ \ Ъ) Ъ
(•
3. Вычислить: arcsin(sin(-7)). Очевидно, что число (-7)2
2' 2.
(2л-7)е
. Однако легко увидеть, что sin(-7) = sin(27E - 7) и число
поэтому arcsin(sin(-7)) = arcsin(sin(27i - 7)) =
_ 7Г . 7Г
V 2.
= 2л-7.
Рассмотрим функцию y = cosx (см. рис. 1.31). Решим
следующую задачу: по заданному числу а найти угол х, такой, что его
косинус будет равен этому числу. Очевидно, что данная задача при
а>1 и при а<-\ решения не имеет, а при |я|<1 имеет
бесчисленное множество решений (рис. 2.2).
~У=~а~а> 0"
'5л -2л _ 37ПЦ. -л У_л_ О
. 2 2 --*%чг*^—2
-1
л /Зл 2л 5л*
*/__2 2-
Рис. 2.2
87
2. Обратные тригонометрические функции и их свойства
Однако если разбить область определения функции y = cosx
на промежутки монотонности, то на каждом промежутке в силу
существования обратной функции рассматриваемая задача имеет
единственное решение. Для данной функции выделим промежутки
убывания, т. е. 2пп < х < п + 2пп, п е Z, и из всех этих
промежутков выделим промежуток [0; я], на котором функция убывает от
.Унаиб =1 ДО .Унаим = -1- Назовем этот промежуток главным.
Каждому значению х е [0; п] соответствует единственное значение
>>е[-1; 1], и, наоборот, каждому значению >>е[-1; 1]
соответствует единственный угол (действительное число) хе[0;7г].
Обозначив это действительное число через arccos >>, получим функцию
x = arccosy, взаимно обратную функции y = cosx. В
общепринятых обозначениях у = arccos х, где у - зависимая переменная, ах -
независимая переменная.
Определение 2.2. Арккосинусом действительного числа я,
\а\ < 1, называется значение угла (число) а, принадлежащего
промежутку [0; я], косинус которого равен а .
Таким образом, угол а есть арккосинус действительного
числа а, т. е. а = arccos а, если выполняются два условия:
О < а < я, cos а = cos(arccos а) = а, \а\ < 1. (2.3)
Исходя из данного определения, нетрудно найти:
arccos 0 = —; arccos 1 = 0; arccos(-1) = п: arccos — = —;
2 2 3
у/2 п 73 тг
arccos -— = —; arccos -*— = —
2 4 2 6
и т. д. Действительно, arccos0 - это угол а е [0; я], косинус
которого равен нулю, т. е. cos a = 0. Следовательно, таким углом может
быть только а = —. Другие значения вычисляются аналогично.
Из определения кроме равенства (2.3) следует также равенство
arccos (cos a) = а, ае[0;л]. (2.4)
2.1. Обратные тригонометрические функции
Отметим еще одно важное свойство арккосинуса числа а: для
любых а е [-1; 1] справедливо равенство
arccos (-a) = я - arccos a. (2.5)
Действительно, если arccos a = ос, ае[-1;1], ае[0;я], то
cos(arccostf) = cos а = а. Если arccos (-а) = р, а е [-1; l], р e [0; я],
то cos (arccos (-a)) = cos p = -а. Следовательно, cosoc = -cosp.
Отсюда следует, что р = я - ос, т. е. arccos (-а) = я - arccos a.
Примеры
1. Вычислить cos arccos— . Так как — е[-1; 1], то
справедлива формула (2.3) и, следовательно, cos arccos— =—.
2. Вычислить arccos cos—- . Непосредственно применить
формулу (2.4) нельзя, так как —— £ [0; я]. Однако если представить
6
!^Ь = 2я + Ь со81^ = со8Г2я + ^] = со8^,
6 6 6 I 6J 6
то arccos cos—— = arccos cos 2я + — = arccos cos— = —, так
I 6 J { { 6)) I 6) 6'
как -е[0;я].
3. Вычислить arccos(coslO). Очевидно, что число 10 £[0; я].
Однако cos(l 0) = cos(l 0 - 4я) и (10 - 4я) е [0; я], поэтому
arccos (cos 10) = arccos (cos (10 - 4я)) = 10 - 4я.
Рассмотрим функцию y = tgx (см. рис. 1.33). Решим
следующую задачу: по заданному числу а найдем угол лг, такой, что его
тангенс будет равен этому числу. Очевидно, что для любого числа
а на всей области определения функции y = Xgx эта задача имеет
бесчисленное множество решений (рис. 2.3).
89
2. Обратные тригонометрические функции и их свойства
лов возрастания выделим интервал
который назовем
Рис. 2.3
Однако на интервалах возрастания — + пп < х < — + пп, п е Z,
данная задача имеет единственное решение. Среди всех интерва-
2' 2)
главным. На этом интервале функция y = Xgx монотонно
возрастает от (-оо) до (+оо) и для любого значения у е Ш существует
единственный угол хе\ —;— ,такой, что tgx = y. Этот
единственный угол будем называть арктангенсом действительного числа
у и обозначать х = arctg>>.
Таким образом, получена функция x = arctg}>, взаимно
обратная функции y = tgx. В общепринятых обозначениях y = arctg;c,
где у - зависимая переменная, ах- независимая переменная.
Определение 2.3. Арктангенсом любого действительного
числа а называется значение угла (число) а, принадлежащего интер-
71 71N
валу —; — , тангенс которого равен а.
Таким образом, угол а есть арктангенс любого
действительного числа а е М, т. е. а = arctga, если выполняются два условия:
-— <ос<—, tgoc = tg(arctgtf) = tf, ae
Исходя из данного определения, нетрудно найти:
(2.6)
90
2.1. Обратные тригонометрические функции
arctgO = 0; arctgl = -; arctg(-l) = --;
4 4
arctgVb^; arctg^ = ^;
6 3 3 6
lim arctg;c = —; lim arctg;c = -—.
Действительно, arctgO - это угол осе -—; — , тангенс которого
равен нулю, т. е. tgoc = 0. Следовательно, таким углом на
интервале —;— может быть только угол ос = 0. Другие значения
вычисляются аналогично.
Из определения кроме равенства (2.6) следует также очевидное
равенство
arctg(tga) = a, ae(-|;£|. (2.7)
Наконец, отметим еще одно важное свойство арктангенса
числа а: для любых aeR справедливо равенство
arctg(-a) = -arctgtf. (2.8)
По определению левая часть доказываемого равенства есть
oc = arctg(-tf), яеМ, ocef--;-
I 2 2
и тогда
tgoc = tg(arctg(-tf)) = -tf,
а правая часть -
P = arctgtf, яеМ, Ре(--;-
и тогда tgp = tg(arctgtf) = tf. Следовательно, tgoc = -tgp. Отсюда
а = -р, т. е. arctg(-tf) = -arctga.
Примеры
1. Вычислить tg(arctg(-6)). Согласно (2.7) tg(arctg(-6))=-6.
91
2. Обратные тригонометрические функции и их свойства
2. Вычислить arctg(tg(-6)). Так как число -б£
чала представим tg(-6) = tg(27i - 6), (2л - 6) е
2 2
_7С. 7Г
2' 2.
. Тогда
arctg(tg(-6)) = arctg(tg(27i - 6)) = 2п - 6.
Рассмотрим функцию y = cigx (см. рис. 1.35). Решим
следующую задачу: по заданному числу а найдем угол х, такой, что его
котангенс будет равен этому числу. Очевидно, что для любого
числа а на всей области определения функции у = ctgx данная
задача имеет бесчисленное множество решений (рис. 2.4).
Рис. 2.4
Однако на интервалах убывания функции пп < х < п + пп,
п е Z, данная задача имеет единственное решение. Среди всех
интервалов убывания выделим интервал (0; я), который назовем
главным. На этом интервале функция у = ctgx монотонно убывает
от (+оо) до (-оо) и для любого значения yeR существует
единственный угол хе(0;п), такой, что ctgx = y. Этот единственный
угол будем называть арккотангенсом действительного числа у и
обозначать x = arcctg}>.
Таким образом, получена функция x = arcctgy, взаимно
обратная функции y = ctgx. В общепринятых обозначениях y = arcctg;c,
где у - зависимая переменная, ах- независимая переменная.
92
2.1. Обратные тригонометрические функции
Определение 2.4. Арккотангенсом любого действительного
числа а называется значение угла (число) а, принадлежащего
интервалу (0; я), котангенс которого равен а.
Таким образом, угол а есть арккотангенс любого
действительного числа а е К, т. е. а = arcctg я, если выполняются два
условия:
0<ос<7г, ctgoc = ctg(arcctgtf) = tf, aeR. (2.9)
Исходя из данного определения, нетрудно найти:
arcctg0 = -; arcctgl = -; arcctg(-l) = —; arcctgV3=-;
arcctg^ = |; arcctg(-V3) = ^; arcctgf-^j = ^;
Hm arcctg x = 0; lim arctg x = n.
Действительно, arcctg 0 это есть угол ае(0;л), котангенс
которого равен нулю. Следовательно, таким углом на интервале (0; п)
может быть только а = — (см. рис. 2.4). Другие значения функции
у = arcctg х, приведенные выше, вычисляются аналогично.
Из определения кроме равенства (2.9) следует также равенство
arcctg (ctg a) = а, а е (0; п). (2.10)
Отметим еще одно важное свойство арккотангенса числа а: для
любых aeR справедливо равенство
arcctg (-a) = n- arcctg a. (2.11)
Доказательство этого утверждения основывается на следующих
положениях. По определению
а = arcctg (-л), aeR, а е (0; я), ctg а = ctg (arcctg (-a)) = -я,
р = arcctg я, aeR, р e (0; я), ctg p = ctg (arcctg a) = а.
Следовательно, ctg а = - ctg р. Отсюда р = п - а или arcctg(-a) =
= 7i -arcctg a.
93
2. Обратные тригонометрические функции и их свойства
Примеры
1. Вычислить ctg(arcctg5). По формуле (2.9) для любых aeR
находим
ctg(arcctg5) = 5.
2. Вычислить arcctg(ctg5). Так как число 5^(0; я), определим
значение функции при х = 5, воспользовавшись периодичностью
функции y = ctgx. При хе(0;п) ctg5 = ctg(5-7t), где (5-я) e
е (0; я). Тогда по формуле (2.10) найдем
arcctg(ctg5) = arcctg(ctg(5 - п)) = 5 - п.
2.1.2. Свойства и графики обратных
тригонометрических функций
Обратная тригонометрическая функция у = arcsin x.
Используя основные свойства арксинуса действительного числа я,
\а\ < 1, вытекающие из определения, получим следующие свойства
функции у = arcsin x.
1. Область определения D(y) = [-1; 1].
_7Г. 71
. 2' 2_
3. Функция непериодическая, нечетная, так как arcsin (-*) =
= -arcsin x для любых xeD(y). Следовательно, график функции
симметричен относительно начала координат.
4. С осями координат график функции пересекается в точке
О(0; 0).
5. При хе(0; 1] функция принимает положительные значения,
а при х е [-1; 0) - отрицательные.
6. При любых хе[-1;1] функция возрастает от наименьшего
значения yHaiiM=-— при х = -\ до наибольшего значения yHaiie =
= — при jc = 1.
2. Область значений функции Е(у) =
94
2.1. Обратные тригонометрические функции
Докажем это свойство. В основу доказательства положено
свойство взаимно обратных функций: если функция у = f(x)
строго монотонна на числовом промежутке X, то имеется обратная
функция y = F(x\ строго монотонная на числовом промежутке
Y = f(X). Если у = f(x) монотонно возрастает на промежутке X,
то у = F(x) тоже монотонно возрастает на промежутке Y. В нашем
случае функция y = s'mx на числовом промежутке
п. п_
V 2.
тонно возрастает. Следовательно, на промежутке [-1; 1]
существует обратная функция >> = arcsin;c, которая также будет
монотонно возрастающей. Действительно,
возьмем -1 < х\ < Х2 < 1. Обозначим
arcsinxi =(Х|, arcsin;c2 =ос2, тогда
sinai=;ci, sina2=;c2. Функция
>> = arcsin;c будет возрастающей,
если из условия sinai <sinoc2
следует, что (Х| < ос2. Последнее
неравенство является очевидным в силу
возрастания функции y = s'mx на
7Г. 7с1
V 2 J
В заключение отметим, что
график функции у = arcsinx (рис. 2.5)
может быть также построен на основе связи графиков взаимно
обратных функций с помощью симметрии относительно биссектрисы
первого и третьего координатных углов.
Обратная тригонометрическая функция у = arccos x.
Используя основные свойства арккосинуса действительного числа я,
\а\ < 1, вытекающие из его определения, получим следующие
свойства функции у = arccos x.
1. Область определения D(y) = [-1; 1].
2. Область значений функции Е(у) = [0; п].
отрезке
п
2
/
/
-1;
Л/
/ /
/ /
/
У
п
2
1
-1
. п
2
0
-
/ у = х
/
/
J^-y = arcsin x
i'f ^~~1—У = sm jc
1 тг х
2
Рис. 2.5
95
2. Обратные тригонометрические функции и их свойства
0;
3. Функция не является периодической и не является ни
четной, ни нечетной. Здесь следует отметить, что согласно
рассмотренным ранее свойствам arccos (-jc) = п - arccos x.
4. Точки пересечения с осями координат: с осью абсцисс
график функции пересекается в точке (1; 0), с осью ординат - в точке
§)■
5. Для любого xeD(y) функция принимает неотрицательные
значения, т. е. arccos х > 0 для любых х е [-1; 1].
6. Для любого х е D(y) функция убывает от наибольшего
значения }>наиб-л при jc = -1 до наименьшего значения }>наим-0 при
JC = 1.
График функции у-arccosx изображен на рис. 2.6. Здесь же
приведено построение графика с помощью симметричного
отображения графика функции у =
= cosx, заданного на
промежутке [0; я], относительно
биссектрисы первого и
третьего координатных углов.
Обратная
тригонометрическая функция у=
= arctgjc. Используя
основные свойства арктангенса
любого действительного
числа, вытекающие из его опре-
рис# 2.6 деления, получим следующие
свойства функции у = arctgx.
1. Область определения D(y) = R.
2. Область значений функции Е(у) = —; — .
3. Функция не является периодической и является нечетной, так
как arctg(-x) = -arctg;c для любых xeD(y). Следовательно, график
функции симметричен относительно начала координат.
4. С осями координат график функции пересекается в
единственной точке (9(0; 0).
96
2.1. Обратные тригонометрические функции
5. При хе(0;+оо) функция принимает положительные
значения, а при х е (-оо; 0) - отрицательные.
6. На всей числовой оси функция монотонно возрастает.
График функции >> = arctg;c изображен на рис. 2.7. Здесь же
показано его построение с помощью симметричного отображения
Рис. 2.7
графика функции у = tgx, заданной на интервале
2 2
,
относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Прямые у = ±— являются асимптотами графика функции
>> = arctg;c при х^±оо.
Обратная тригонометрическая функция y = arcctgx.
Используя основные свойства арккотангенса любого
действительного числа, вытекающие из его определения, получим следующие
свойства функции >> = arcctg;c.
1. Область определения D(y) = R.
2. Область значений функции Е(у) = (0; п).
3. Функция не является периодической и не является ни
четной, ни нечетной.
4. С осью абсцисс график функции не пересекается, а с осью
ординат пересекается в точке | 0; —
97
2. Обратные тригонометрические функции и их свойства
-71
71
2
/
/
/
/
/
/
/
У
п
7Г
2
Л
/
п
2
-71
\у=п \ /У х
• /1
! / 1
/
i / '
i / 1
г\ -;/ |
\> / \ 1 У - arcctg х
/ VJ г-^—
7U'XN 7t|
2 ^ !
y = Q\%x\ j
X
Рис. 2.8
5. На всей числовой прямой
функция положительна.
6. На всей числовой прямой
функция монотонно убывает.
График функции у = arcctg х
изображен на рис. 2.8. Здесь же
показано построение графика
рассматриваемой функции с помощью
симметричного отображения
графика функции y = ctgx, заданного
рис 2.9 на интервале (0; я), относительно
биссектрисы первого и третьего
координатных углов. Прямые у = 0 и у = п являются асимптотами
графика функции у = arcctg х при х —> ±оо.
Примеры
1. Построить графики функций: а) у = sin (arcsin х), б) у =
= arcsin(sin х):
а) воспользовавшись равенством (2.1), получим у =
= sin(arcsin;c) = ;c, jte[-l;l]. Тогда графиком искомой функции
будет являться часть прямой у = х на отрезке х е [-1; 1] (рис. 2.9);
98
2.1. Обратные тригонометрические функции
б) воспользовавшись равенством (2.2), получим у-
-- arcsin(sin x) = x,JcelR.
На отрезке хе
_ 7С . 7Г
2' 2.
графиком искомой функции будет
являться часть прямой у = х (рис. 2.10). Функция y = smx
периодическая с периодом Т = 2л. Следовательно, на отрезке
Зя. 5л
_ 2 ' 2 .
у = х-2п.
Рис. 2.10
графиком искомой функции будет часть прямой
Рассмотрим график искомой функции на отрезке х е
7Г . Зл
.2' 2 .
В этом случае х-т
_ П_. 7Г
V 2.
следовательно,
>> = arcsin(sin ((jc - л) + л)) = - arcsin sin(x - я) = я - jc.
я. Зя
Графиком искомой функции на отрезке х €
.2 2
будет
являться часть прямой у = я - х.
Аналогично построим график на всей числовой прямой.
2. Найти область значений функции у = arcsin2 х + 2 arcsin х-3.
Е- Е
V 2.
и рас-
Введем новую переменную t = arcsin jc, / е
смотрим функцию f(t) = t2 + 2/-3. Нужно найти множество
значений £(/) этой функции при / е
_ 7Г . 7Г
2' 2.
99
2. Обратные тригонометрические функции и их свойства
Графиком квадратичной функции у = f{t) является парабола с
ветвями, направленными вверх, и с вершиной в точке to = -\,
/(/о) - _4. Наименьшее значение функция принимает в вершине -
/на
-4. Наибольшее значение достигается либо в точке t\ =—,
2
либо в точке /2 = —:
2
™=/§Н§
Л'2) = /
-3 = -
-7Г-3.
Так как /(/|)>/(/г)» то f(t\) = — + я-3 есть наибольшее зна-
4
чение функции. Функция у непрерывна, поэтому область значений
Е(у) на отрезке ti
тт2
П^
+ 7Г-3
Ответ: Е(у) =
_ П_. 71
V 2.
- + 7Г-3
есть множество
/(-О; /
3. Построить график функции >> = arctg;c—. Согласно
утверждению 2 (см. § 1.6) этот график получается из графика у = arctgx
путем сдвига вниз на — единицы. Так как у графика у = arctgx есть
4
две горизонтальные асимптоты у = ±—, то они также сдвигаются
вниз на — единицы (рис. 2.11). Следовательно, у = — и у = —— -
4 4 4
горизонтальные асимптоты графика функции у = arctgx —.
4. Построить график функции у = — arccosx.
71
100
2.1. Обратные тригонометрические функции
Рис. 2.11
В соответствии с утверждением 6 § 1.6 этот график получается
сжатием графика у = arccos x в п раз вдоль оси Оу (к оси Ох\
т. е. ординаты всех его точек уменьшаются в п раз.
«Удобные» точки А(-\; п\ В 0; — переходят в точки Д(-1; 1),
ВО;- (рис. 2.12). Точка С(1; 0), лежащая на оси абсцисс,
остается на месте.
5. Построить график функции
sin(2-
И)1 -?'
Напишем цепочку
преобразований, которые нужно применить к
графику функции jy = arcsin;c,
чтобы получить искомый график:
а) симметричное отражение
относительно оси Оу;
б) сдвиг вправо на две единицы;
в) все точки графика, лежащие на
оси Оу и справа от нее, оставляем без
изменений, и правую часть графика отобразим симметрично
относительно оси Оу;
г) все точки графика, лежащие на оси абсцисс и выше нее,
оставляем без изменения, а точки, лежащие ниже оси Ох,
симметрично отобразим относительно оси Ох;
Рис. 2.12
101
2. Обратные тригонометрические функции и их свойства
-3 -2 -1 О
-1
1 2\ 3 х
-3 /-2-1 О
У
\ 1
-3 -2 -1 О
-1
1 2\ 3 х
/ \{ \
1 2\ 3 х -3\-2/-1 О
1\2/3 х
Ш
-3 \-2 /-1 О
AAL_ \A/ \М
1 \ 2/3 jc -3-2-10 1 2 3 jc
-1
Рис. 2.13
2.2. Основные тождества с тригонометрическими функциями
д) сдвиг вниз на — единиц;
4
е) выполняем преобразования, подобные пункту г), т. е.
у = arcsin*—*—>у = arcsin(-jc)—^—>у = arcsin(-(x - 2))—*—>уz
= arcsin(—|jc| + 2)—L—>}> = arcsin (-|лг| + 2)—й—»>> =
= |arcsin(—|jc| + 2)| - -—*->y = |arcsin(-|jc| + 2)| - -
Применим эти преобразования последовательно. На рис. 2.13,
а-е штриховыми линиями изображены графики, к которым
применяется одно из преобразований (см. цепочку преобразований), а
сплошными линиями - графики, полученные в результате этого
преобразования. Результат преобразований показан на рис. 2.13, ж.
2.2. ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Из определения обратных тригонометрических функций и
общего понятия обратной функции с очевидностью вытекают
следующие восемь тождеств (см. формулы (2.1)-(2.7)):
sin (arcsinх) = х, \х\< 1,
arcsin (sin x) = х, \х\ < —,
11 2
cos(arccos;c) = ;c, |*|<1,
arccos(cos;c) = ;c, 0<x<n,
tg(arctgx) = ;c, xeM,
arctg(tgx) = ;c, |*|<—,
ctg (arcctg x) = х, х е К,
arcctg(ctgx) = ;c, 0<x<n.
На основании полученных тождеств сформулируем и докажем
ряд других соотношений, связывающих тригонометрические и
обратные тригонометрические функции.
103
2. Обратные тригонометрические функции и их свойства
Теорема 2.1. Для любого х, такого, что \х\<\, справедливо
равенство
sin(arccos;c) = VI-х2. (2.12)
Доказательство. В данном и во всех последующих
рассуждениях стандартным приемом при доказательстве является переход
от обратных тригонометрических функций к обычным
тригонометрическим функциям. В нашем случае этот прием реализуется
следующим образом.
Пусть arccos;c = y. Тогда для любого |*|^1 и для любого
0<у<п справедливо равенство x = cosy. Выразим теперь sin у
через х:
|sin у\ = у]\ - cos2 у = V1 - х2.
Поскольку 0 < у < я, то sin у > О, следовательно, |sin y\ = sin у и
тогда sin у = VI - *2, или sin (arccos x) = V 1 - х2. Что и требовалось
доказать.
Теорема 2.2. Для любого х справедливо равенство
sin(arctg:c)= , х . (2.13)
VI + х2
Доказательство. Пусть arctg;c = y. Тогда для любого xg! и
любого у, такого, что |у|<—, справедливо равенство x = tgy.
Выразим sin у через х, воспользовавшись ограничением на угол у и
формулами, связывающими тригонометрические функции одного
и того же аргумента у. Так как sin у = tgy cosy и 1 + tg2y = =—»
cos у
I I tgy I I 71
то |siny|= i Учитывая, что у < — и x = tgy, получаем
>/i"+tgAy
sin у =
<Ji^?'
104
2.2. Основные тождества с тригонометрическими функциями
или
sin (arctg х) = . х .
у/\ + х2
Что и требовалось доказать.
Теорема 2.3. Для любого х справедливо равенство
sin(arcctg:c) = , 1 (2.14)
Vl + x2
Доказательство. Пусть arcctgx = jv. Тогда для любого xeR и
любого >>, такого, что 0<>><7i, справедливо равенство x = ctgy.
Выразим sin у через х, воспользовавшись ограничением на угол у
и следствием основного тригонометрического тождества:
[l + ctg2>; = ^^,
<^ sinzv _^ . 1
I * =>siny= .
[0<>^<7Г yl\ + Ctg2y
Вернувшись к старой переменной, получим
sin (arcctg x) = . .
VI + х2
Что и требовалось доказать.
Теорема 2.4. Для любого jc, такого, что |jc| < 1, справедливо
равенство
cos (arcsin x) = V1 - х2. (2.15)
Доказательство. Пусть arcsin x = y. Тогда для любых
значений переменных х и у, таких, что |*|^1, |д>|<—, справедливо
равенство x = s'my. Выразим cos>> через х, воспользовавшись
ограничением на угол у и основным тригонометрическим тождеством,
Isin2V + COS2V = l, Г. . Г —:—
\\cosy\ = J\-smz у, r —г-
\ п\ ^У ^>cosy = y]\-smz у,
\у-^\ [cos>>>0
105
2. Обратные тригонометрические функции и их свойства
или cos>> = vl-*2, т.е. cos(arcsin;c) = vl-*2, Ы^1- Что и
требовалось доказать.
Теорема 2.5. Для любого х справедливо равенство
cos(arctgx) =
1
(2.16)
у/\ + х2'
Доказательство. Пусть arctg;c = }>. Тогда для любого
действительного х и любого значения у, такого, что \у\ <—, справедливо
равенство x = tgy. Воспользовавшись предыдущими
рассуждениями, выразим cosy черезх:
—, fcosj>>0,
1
. . I ^Z> I'.IIS V = =
1 |COS^ =-
1 + tgV
cos2 у'
\У\<:
\A
cos>> =
+ tg2y
VT
+ tg2y
В результате получим
cos(arctgx)
1
-, xe\
(2.17)
VT+x2:
Что и требовалось доказать.
Теорема 2.6. Для любого х справедливо равенство
cos (arcctg x) = . х
у1\ + х2
Доказательство. Пусть arcctgx = y. Тогда для любого
значения х и любого значения у, такого, что 0 < у < я, справедливо
равенство x = ctgy. Выразим cosy через ctg>>, учитывая знак sin у
при 0<у<п:
cosy
ctgy = -
smy
0 < у < 71,
1 + Ctg2y = —
sin2 у
sin у > О,
cosj> = ctg>> smy,
i • i 1
\smy \
cosy
__ctg>^_
V1+ctg2
\A
+ ctgzy
106
2.2. Основные тождества с тригонометрическими функциями
В результате получим cos(arcctg:c) = , х , xeR. Что и требо-
VI + х2
валось доказать.
Теорема 2.7. Для любого х, такого, что |jc| < 1, справедливо
равенство
tgCarcsinx^-^—-. (2.18)
VI -х2
Доказательство. Пусть arcsin x = у. Тогда для любых
значений переменных х и у, таких, что |jc| < 1 и \у\ <—, справедливо
равенство x = smy. Выразим igy через х:
Г sin .у
tg^ = -,
cosy
cos2 у = 1 - sin2 у
или
tg(arcsinx)= , x \x\<\.
VI -x2 ' '
Что и требовалось доказать.
Теорема 2.8. Для любого значения х, такого, что |jc| < 1 и х Ф О,
справедливо равенство
tgtarccosx)^1"*2. (2.19)
х
Доказательство. Пусть arccos;c = }>. Тогда для любых
значений х и у, таких, что |jc| < 1, 0 < у < я, справедливо равенство
х = cosy. Выразим tgy черезх, учитывая, что cosy ф 0:
107
|cos>>| = <y/l-sin2iy,
cos>>>0,
sinjv
>ЧУ-
^
sin у
sin2 у
tg^ =
COS V
2. Обратные тригонометрические функции и их свойства
sxny
Чу = —-»
cos .у
О < у < 71,
sin2 у = 1 - cos2 у
У£
ftflUfb*
J\ - cos2 v
tgy=^
cos .у
.*,=£
tgCarccosx)^1 *2, xe[-l;0)U(0;l].
Что и требовалось доказать.
Теорема 2.9. Для любого значения х, такого, что х Ф 0,
справедливо равенство
tg(arcctgjc) = -. (2.20)
Доказательство. Пусть arcctg;c = }>. Тогда для любого
значения х и любого значения у, такого, что 0 < у < п, справедливо
равенство x = o\gy. Выразим Xgy через х: Xgy = , если
ctg>>
уФ—, neZ. Следовательно, при уе(0; - JU[ -; n J tgy = -.
При у = — имеем х = 0. Значит, полученное равенство
выполняется для любого действительного х, кроме х = 0, т. е.
х'
Теорема 2.10. Для любого значения х, такого, что |*|^1 и
х ф 0, справедливо равенство
tg(arcctgx) = —, х е R \ {0}. Что и требовалось доказать.
ctg(arcsinx)^^1 х2 . (2.21)
х
Доказательство. Пусть arcs'mx = y. Тогда для любых
значений х и у, таких, что |*|^1, Н^-» справедливо равенство
x = s'my. Выразим ctg>> через х:
108
2.2. Основные тождества с тригонометрическими функциями
c\gy =
\*<-\
cos2 .у
cosy
sin j^ '
=><
= \-sm2 у
ctg (arcsin x)
\cOSy\ = yj\-
cos>>>0,
cosy
sin2 y,
>ctgy
.#
sin2 у
sin у
ctgy-
smy
.VT
xe[-l;0)U(0;l].
Л
Что и требовалось доказать.
Теорема 2.11. Для любого значения х, такого, что |jc| < 1,
справедливо равенство
ctg(arccos;c) =
Vb^2"
(2.22)
Доказательство. Пусть arccos;c = }>. Тогда для любых
значений х и у, таких, что | jc| < 1, 0 < у < я, справедливо равенство
x = cosy. Выразим ctg у через х:
ctg у
cosy
sin у
0<у<п, --
sin2 у = 1 - cos2 у
В результате получим
=^-
\smy\
sin у > О,
cosv
smy
cosA у,
>ctgy
cosy
'VT
cos2 у
ctg(arccos x) =
VT
<1.
Что и требовалось доказать.
Теорема 2.12. Для любого значения х, такого, что хф О,
справедливо равенство
ctg(arctgx) = -.
(2.23)
109
2. Обратные тригонометрические функции и их свойства
Доказательство. Пусть &ro\gx = y. Тогда для любого
действительного значения х и любого значения у, такого, что \у\ < —
справедливо равенство x = \gy. Выразим cXgy через х: ctg>> = ,
Чу
если уф—п, пеХ. Следовательно, для уе\—; О U 0; —
получаем ctgy = —. Значит, ctg(arctg;c) = — для любого хеМ, кроме
х = 0. Что и требовалось доказать.
Для удобства пользования всеми приведенными выше
тождествами сведем их в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Теорема 2.13. Для любого jc, такого, что |*|<1, справедливо
равенство
ПО
2.3. Примеры тождественных преобразований
arcsin х + arccos х = —. Ы < 1.
2 ' '
Доказательство. Здесь может быть предложено несколько
вариантов доказательства. В частности, рассматриваемое тождество
будет доказано, если
arcsin х = — arccos x.
2
или
sin (arcsin x) = sin —-arccos x .
Левая часть рассматриваемого соотношения по определению есть
sin (arcsin x) = х, \х\ < 1,
а правая -
sin — - arccos x = cos (arccos х) = х9 \х\<\.
Следовательно, для любого |jc| < 1 левая и правая части
тождественно равны. Что и требовалось доказать.
2.3. ПРИМЕРЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Применимость на практике рассматриваемых тождеств
проиллюстрируем следующими примерами.
Пример 1. Вычислить sin | arccos — |-cos
arcsin —
Ъ)
Решение. Воспользовавшись табл. 2.1, найдем
sin arccos -
fi 1 2^2
1— =—-—; cos
1 _2л/2
Следовательно,
sin arccos -
I :
.2V2 2V2
= 0.
111
2. Обратные тригонометрические функции и их свойства
n/290*
Пример 2. Вычислить cos(7t-arctgl7).
Решение. Воспользовавшись формулами приведения и табл. 2.1,
найдем
cos(7i -arctgl7) = -cos(arctgl7) = —, = -
Vl + 172
Пример 3. Вычислить cos 2arctg — .
Решение. Обозначим arctg — = ос. Тогда
cos 2arctg — = cos 2a = 2cos2 a -1,
cosa = cos arctg — = , = —p=
l У 3JJ ГУ л/10
V Q
cos(2arctg(-I^2^]2-
f3f1 = 2i._1 = 4.
LVToJ Ю 5
Пример 4. Доказать тождество
arcsin x = <
arcctg^1 x2 , xe(0;l],
-я + arcctg^1"* , x e [-1; 0).
Решение. Рассмотрим сначала х е(0; 1] и вычислим
sin
sin(arcsin;c) = ;c,
arcctg-
x
, = Ы = JC.
Аналогично для хе[-1;0) найдем
112
Контрольные вопросы и задания
sin(arcsin;c) = ;c,
-7t + arcctg——— | = sin(-7t)cos
farcctgN/bZl
i-cos (-я) sin
1 arcctgvl I
X
= (-!)(*) = H)(-*) = *
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Дайте определение арксинуса действительного числа а. Почему
этот угол принадлежит отрезку
_7Г . 71
V 2.
2. Дайте определение арккосинуса действительного числа а.
Почему этот угол принадлежит отрезку [0; 7i]?
3. Дайте определение арктангенса действительного числа а.
4. Дайте определение арккотангенса действительного числа а.
5. Постройте график функции у = arcsin x. Перечислите свойства
этой функции.
6. Постройте график функции у = arccos x. Приведите свойства
этой функции.
7. Постройте график функции >> = arctg;c. Укажите свойства этой
функции.
8. Постройте график функции >> = arcctg;c. Перечислите свойства
этой функции.
9. Используя график функции у = arcsin jc, решите неравенство
. 71
10. Используя график функции у = arccos x, решите неравенство
arccos х<—.
4
11. Используя график функции y = arctg;c, решите неравенство
arctgx>-—.
113
2. Обратные тригонометрические функции и их свойства
12. Используя график функции у = arcctg х, решите неравенство
arcctg *>—.
13. Докажите тождество sin (arccos х) = VI - х2.
14. Докажите тождество sin (arctg х) = ,
Vl + x2
15. Докажите тождество sin (arcctg х) = ,
Vl + x2
16. Докажите тождество tg (arcsin х) = , х
у/\-х2
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Найдите значения всех тригонометрических функций угла:
a) arcsin -- ; б) arctg(-2); в) arccos —= ; г) arcctg — .
2. Вычислите:
a) arccos 0 + 2 arccos —+ arccos —^— -3 arccos -— + arccos l;
б) 2 arccos 0 + arccos —■= —arcsin — ;
I V2j 2 2
3 arccos (- - J + arcsin 1 3 arctg -= + arcsin I - - J
л + arccos - — + arcsin - — arccos - — + 2 arctg v3
{2) {2) { 2)
д) arctg0 + arctg —=■ + 4arctgl + 3arctg v3;
V3
е) arcctg 0 - arcctg —=■ + arcctg 1 - arcctg v3;
V3
:->/3.
ж) arccos — - 7i +arcsin —;
\ 2) 2
114
Задачи и упражнения
2arcsin -— + arccos 1
з) arccos — - л + arcsin —; и) —-,—-—г ;
У 2J 2 И
2arccos —■= \-п
к) arcsin -^— + arccos— arctg v3 + arcctg —=■ ;
л) arccos -— +arctg —= + arcsin ^— + arcctg 1.
3. Вычислите:
a) arcsin sin— ; 6) arctg tg—— ; в) arccos cos— ;
r) arcctg I ctg— J; д) arcsin ( sin— J; e) arctgfctg—];
ж) arccos cos— ; 3) arcsin(sin5); и) arccos (cos 10);
к) arctg (tg (-6)); л) arcctg (ctg (-10)); м) arcsin (sin 10);
н) arctg(tg(-7)); o) arctgf-tg^J + arctgf ctgf--^ J J;
n) arcsin sin ^^-+arccos cos—— 1; p) arccos (cos (-5));
c) arccos (cos 4); т) arcsin (sin 6); y) arccos (sin (-3));
ф) arcsin2 (cos 92°).
4. Вычислите:
a) sin 3arctgv3+2arccos— ; 6) cos 3arcsin —+ arccos —
в) sin arccos— ; r) sin —-arccos ;
I 11/ [2 { \\)У
д) tg —+ arccos— ; e) cos arcsin ;
ж) cos —-arcsin— ; 3) ctg n-arcsin — ;
и) ctg I—+ arctg (-2) I; к) cos arctg'
115
2. Обратные тригонометрические функции и их свойства
л) sinf arctg — 1; м) tgf arcsin—I;
н) tg 7r + arcsin ; о) ctg —-arcsin^—
5. Найдите:
a) sin| arcsin[ sin— ; 6) sin| arcsin[ sinJ
в) cos 2arcsin- ; r) sin(2arctg3);
д) cos — arccos- ; e) sin 2arcsin- ;
U 8/ I 5J'
ж) cos(2arctg 2); з) sin —arccos- ;
и) tg —arccos— ; к) sin 2arccos— .
6. Вычислите:
a) tg arccos-+ arcsin— ; 6) ctg arcsin — arccos— ;
в) cos 2 arctg 5 +arccos- ; r) cos (arctg 2-arctg 3);
д) sin arctg — + arccos-=■ ; e) tg arccos- + arcsin— .
7. Вычислите:
a) arctg — + 2 arcsin-^=; 6) 2 arctg 3 + arctg 7;
5 2 3 1
в) arcsin — + 2arctg —; r) arctg-+ arctg—;
4 1 4
д) 2 arctg 2 + arcsin —; e) arcctg - + arcctg —;
13 19 ( 3
ж) arctg3 +—arcsin-; з) arctg8 +arctg — + arcctg —
и) 2 arctg--arcctg—; к) arctg(3 + 2V2J-arctg—.
8. Проверьте равенство:
a) arcsin —+ arcsin — + arcsin— = —; 6) 2arccos—= arccos-;
5 13 65 2 4 8
116
Задачи и упражнения
в) arctg - + arctg - + arctg — + arctg - = —;
2 1
г) arctg— + arctg2 + arccos —1== + n = 0;
3 V65
д) — arccos - + arctg — + — arccos — = —;
2 5 2 2 5 4
е) arcctg (-2) - arcctg — - arctg - = n.
9. Постройте график функции:
a) y = sin (arcsin x); 6) y = arcsin (sin x);
в) у = cos (arccos x); г) у = arccos (cos x);
Д) У = tg (arctg x); e) ^ = arctg (tg x);
ж) _y = ctg(arcctgx); з) _у = arcctg(ctgx),
и) у = arcsin|jc|-harcsin x; к) у = arcsin(|x|Ч-лг);
л) у- max {arcsin x; arccos x}; м) _y = min {arcsin x; arccos*};
н) у = sin I arcsin у|jc| -11; о) у = ^— arccos vx^.
10. Найдите область определения функции:
2х I
а) у = arcsin ; б) у = V7t-4arccos;t;
х-1
в) ^-6arcsin|; г)^^^;
д) _у = ./arctgл: +—; е) у = arcsin(х2 -4х + 4).
11. Найдите множество значений функции:
а) у = arcsin2 л: -2 arcsin х; б) у = - arccosx
arccos л:+ 3
в) У= arctg* + ; г) >; = Varcctgx;
2 arctg л:+ 3
д) ^ = arcsin (W 2*+ |1; e) у = Ш^;
ж) _у = arccos—^ -; з) у = arccos *
2(х-1)' " 2(х-1)'
117
2. Обратные тригонометрические функции и их свойства
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ И УПРАЖНЕНИЯМ
1. a) sina = --, cosa = ^^-, tea = \=, ctga = -2л/2;
3' 3 * 2V2 *
2 1 1
6)sina = —-=, cosa = —j=, tga = -2, ctga = —;
л/5 л/5 2
1 2 1
B)sina = -p, cosa = —=, tga = —, ctga = -2;
л/5 л/5 2
г) sina = —^, cosa = —;=, tga= —, ctga= —.
л/13 л/13 * 2' * 3
2. а) -7я; б) 1**; в) I; г) 1; д) Ш; е) -*;
12 12 3 9 6 4
ж) 0; з) ^; и) -£; к) -^; л) ^.
4 3 12 6
3. а) — о) — в) — г) — д) — е) —
7 7 7 7 7 11
ж) £; з) 5-2тг; и) 4тг-10; к) 2тг-6; л) 4тг-10;
м) Зтг-10; н) 2тг-7; о) £; п) ^L; p) 2тг-5; с) 4-тг;
т) 6-2тг; у) *Щ; ф) 4°.
12
4. а) _ VI; б) 1; в) Ж, г) _^; д) 1 ; е) V09
2 2 1111 л/?5 12
ж) -±; з) 2^2; и) 2; к) ±; л) ±; м) JL;
„) 2 ^
л/285 л/тг2-2
5. а) i; б) -i; в) J-\ г) ^; д) 1; е) ^;
2 2 25 5 4 25
ж) 1 з) 1 и) I. к) 120
4 3 3 169
6. а) 2^0±1 . б) ^(1+^); в) _12 + 1<Ь/2. г) JL.
л/15-2л/2 1-Зл/5 39 50
д) 2V2 + 1, е) 1 + 2л/30
л/?5 ' л/Г5-2л/2'
118
Ответы к задачам и упражнениям
7.а)Я;б)^; в)*; г) ^; д) я; е) ^1;
4 4 2 4 4
2 2'' 4' ' 4
8. а) нет; б) да; в) да; г) да; д) нет; е) нет.
9. а) у = х, *е[-1;1]; б) у = х, х е К;
в) у = х, хе[-\; 1];
г) _у = л:, л: е К; д) _у = х, л: е М;
е)
и)
я)
а = х-А:7г,
2
j/ = 0, *е[-1;0],
_y = 2 arcsin x, xe(0; l];
i))/ = i, xeR; з) <
У = а,
ae(0;n),
a = x-kn,
x^kn, keZ;
y = 0, *e[-l;0],
у = arcsin 2x, jce|0; —|;
у = arccos x, xe
у = arcsin x, x e
2
VI. i"
н)
--y/-x-\, xe[-2;-l),
[^ = 7^1, jcg(1;2];
m)
o)
у = arcsin x, xe
у = arccos x, x e
2
s.
y = arccos x, xe(0; l],
y = arccos л: - n, xg[-1;0).
10.a)[-.;l];6)[f;.j;B)[-3;f];
4ШИ];д)[1;+°°);е)[,;3]
119
2. Обратные тригонометрические функции и их свойства
"■•>[-,!т+4*[«И:
-)[f;f]:e)[-f;0)u(a;f];
->[-t:t№!!}
3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
3.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Определение 3.1. Тригонометрическим уравнением
называется уравнение вида
/W = g(*X (3-1)
где f(x) и g(x) - тригонометрические выражения.
Здесь и далее ограничимся изучением уравнений с одной
переменной, хотя приводимые результаты во многом остаются
справедливыми и в случаях двух, трех и более неизвестных.
Определение 3.2. Уравнения вида s'mx = a, cosx = a, tgx = a,
ctgx = a называются простейшими тригонометрическими
уравнениями.
Сначала сделаем несколько общих замечаний.
Замечание. Областью допустимых значений (ОДЗ)
тригонометрического уравнения (3.1) называется пересечение
(конъюнкция) областей (множеств) определения функций у = /(х) и
y = g(x), т.е. £> = £>(/)C)D(g).
Всякое число х, взятое из ОДЗ уравнения (3.1), называется
допустимым значением данного уравнения.
Замечание. Число х\, взятое из ОДЗ уравнения (3.1),
называется решением или корнем данного уравнения, если при подстановке
его вместо неизвестного х уравнение (3.1) превращается в верное
числовое равенство f{x\) = g{x\).
Решить уравнение f(x) = g(x) - это значит найти все его
корни или доказать, что это уравнение не имеет корней.
Из данного определения следует, что уравнение f(x) = g(x) не
имеет корней только в двух случаях:
а) если ОДЗ уравнения есть пустое множество;
121
3. Тригонометрические уравнения
б) если ОДЗ уравнения есть непустое множество Д но ни для
одного элемента х\ этого множества не выполняется числовое
равенство /(*i) = g(*i).
Замечание. Тригонометрические уравнения f(x) = g(x) и h{x) =
= ф(х) называются равносильными или эквивалентными, если
любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения,
а любой корень второго уравнения - корнем первого уравнения.
Из данного определения, в частности, следует, что если каждое
из этих уравнений не имеет корней, то рассматриваемые
уравнения также будут равносильными.
Кроме того, тригонометрические уравнения f(x) = g(x) и
h(x) = y(x) называются равносильными на множестве Е, если
любой корень первого уравнения, принадлежащий множеству Е,
является корнем второго уравнения и, наоборот, любой корень
второго уравнения, принадлежащий множеству Е, является
корнем первого уравнения.
Замена одного уравнения другим, ему равносильным,
называется равносильным переходом, который обозначают так: f(x) =
= g(x)<^h(x) = y(x).
Замечание. Тригонометрическое уравнение И(х) = у(х)
называется следствием тригонометрического уравнения f(x) = g(x),
если любой корень второго уравнения является корнем первого
уравнения.
Замена одного тригонометрического уравнения его следствием
обозначается так: f(x) = g(x) => h(x) = (p(x).
Если уравнение f(x) = g(x) не имеет корней, то любое
уравнение h{x) = ф(х) есть его следствие.
Из последнего замечания также очевидно, что если
/(*)= g(x) => Кх)= ф(*)> то множество Е решений уравнения
f(x) = g(x) является подмножеством множества Е\ решений
уравнения h{x) = ф(лг), т. е. Е с Е\.
3.2. Простейшие тригонометрические уравнения
3.2. ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ
Пусть у = f(x) - одна из элементарных тригонометрических
функций y = s'mx, y = cosx, y = tgx или y = ctgx. Тогда
уравнение f(x) = а определяет общий вид простейших
тригонометрических уравнений. Для простейших тригонометрических уравнений
справедливы следующие утверждения.
1. Если функция у = f(x) периодическая с основным периодом
Г, то и решение простейшего уравнения f(x) = а имеет основной
период, равный Т. Следовательно, если найдено некоторое решение
хо данного уравнения, то и любое число хп = хо + пТ, п е Z, также
является решением этого уравнения. Множество всех решений вида
хп =хо+пТ называется серией решений уравнения f(x) = a.
2. Если уравнение f(x) = а на промежутке длиной Т имеет к
корней, то данное уравнение на всей числовой прямой имеет к
серий решений. Тогда совокупность к серий решений и
определяет множество Е всех решений уравнения f(x) = a.
3. Если уравнение f(x) = a на промежутке длиной Т не имеет
корней, то оно не имеет корней и на всей числовой прямой,
т. е. Е есть пустое множество.
Уравнение вида cosjc = a. Областью определения функции
у = cos х является множество всех действительных чисел, т. е.
D(f) = R. Значит, ОДЗ уравнения
cos х = a (3.2)
есть множество D-Ж. На заданном множестве функция y = cosx
является периодической функцией с основным периодом Т - 2п.
Следовательно, рассматриваемое уравнение имеет основной
период Т = 2я, т. е. если будет найдено одно х0 или несколько
решений на любом промежутке длиной 2я, то и любое число
хп = xq+ 2nn, n e Z, также будет решением этого уравнения.
В качестве такого промежутка рассмотрим полуинтервал (-п; п].
Разобьем этот полуинтервал на два множества Д = (-я; 0),
£>2 = [0; я] и найдем решения уравнения (3.2) на каждом из них.
123
3. Тригонометрические уравнения
Сначала рассмотрим множество/^ =[0; я], на котором
функция y-cosx монотонно убывает от наибольшего значения
.Унаиб=1 ДО наименьшего значения >>наиМ=-1, т. е. для любых
xelDi имеем уеЕ = [-\;\]. Следовательно, если число а такое,
что \а\ > 1, то на множестве D2 уравнение (3.2) корней не имеет, а
если число а такое, что \а\ < 1, то на множестве D2 уравнение
(3.2) имеет единственный корень. Обозначим этот единственный
корень через хо. Поскольку xq e[0; п] и число я е[-1; 1], то будут
справедливы следующие равносильные преобразования:
cosxo = а <=> arccos (cos ;с0) = arccos я <=> х0 = arccos я.
Рассмотрим множество Д = (-я; 0), на котором функция
y = cosx возрастает и для любого xeD\ принимает значения
уе(-\;\). Следовательно, если число а такое, что |я|>1, то на
множестве Д уравнение (3.2) корней не имеет, а если число а
такое, что \а\ <1, то на множестве Д уравнение (3.2) имеет
единственное решение. Обозначим этот корень через х\. Учитывая, что
функция y = cosx является четной функцией на всей числовой
прямой, получаем х\ =-xq, т. е х\ =-arccosa.
Таким образом, на полуинтервале (-я; п] уравнение (3.2) при
различных а имеет разные решения:
а) при а = 1 - единственное решение xq = arccos 1 = 0;
б) при а = -1 - единственное решение xq = arccos(-l) = я;
в) при \а\ < 1 - только два решения: х0 = arccos а; х\ = - arccos a.
При \а\ > 1 уравнение (3.2) не имеет решений.
Каждое из перечисленных решений, полученных на
полуинтервале (-л; я], дает серию решений уравнения (3.2) на всей
числовой прямой.
Значит, имеем:
а) при а = 1 - одну серию решений хп - 2пп, п е Z;
б) при а = -1 - одну серию решений х/с =п + 2nk, keZ;
124
3.2. Простейшие тригонометрические уравнения
в) при каждом я, таком, что \а\ < 1, - две серии решений:
хт = arccos а + 2пт, т е Z, и х/ = -arccos а + 2л/, / е Z.
При каждом я, таком, что |я|>1, уравнение (3.2) решений не
имеет.
Обычно последние две серии решений уравнения (3.2)
записывают с помощью одной формулы в виде
xq =± arccos a+ 2nq, qeZ.
Итоги решения уравнения (3.2) сведем в табл. 3.1 и
проиллюстрируем на единичной окружности (рис. 3.1).
И>1
о /1
Рис. 3.1
Уравнение вида sinx=a. Областью определения функции
y = s'mx является множество всех действительных чисел, т. е.
D(y) = R. Значит, ОДЗ уравнения
smx = a (3.3)
есть множество D = R. На заданном множестве функция y = smx
является периодической с основным периодом Т = 2л.
Следовательно, уравнение (3.3) имеет основной период Т = 2л, т. е. если
будет найдено одно xq или несколько решений уравнения (3.3) на
любом промежутке длиной 2л, то и любое число хп = xq + 2ля,
п е Z, также будет решением рассматриваемого уравнения. В каче-
л Зл^
стве такого промежутка рассмотрим полуинтервал
зобьем этот полуинтервал на два множества Д
_(л. Зл
2 2
. Ра-
V 2.
и D2
Л 2
Найдем решения уравнения (3.3) на этих множествах.
125
3. Тригонометрические уравнения
Сначала рассмотрим множество Д
на котором
_ 7U . 7U
2' 2_
функция y = smx монотонно возрастает от наименьшего значения
.Унаим =-1 до наибольшего значения >>Наиб =1. Таким образом, для
любых хеД получаем уеЕ = [-\;\] и для числа я, такого, что
|я|>1, на множестве Д уравнение (3.3) решений не имеет. Для
числа я, такого, что |я|<1, уравнение (3.3) на множестве Д имеет
единственное решение. Обозначим это единственное решение
через xq. Поскольку xq e
и число а б [-1; 1], то будут спра-
_ 71. 71 |
V 2_
ведливы следующие равносильные преобразования:
sin хо = а <=> arcsin (sin xo) = arcsin a <=> хо = arcsin a.
Рассмотрим множество Д> = —;— , на котором функция
y = s'mx убывает и для любых хе£>2 принимает значения
уе(-\;\). Следовательно, если число а такое, что |я|^1, то на
множестве Di уравнение (3.3) решений не имеет, а если число а
такое, что \а\ <1, то на множестве Di уравнение (3.3) имеет
единственное решение. Обозначим это единственное решение через х\.
На всей числовой оси график функции у = sin x симметричен
относительно вертикальной прямой х = —. Учитывая это
обстоятельство, выразим корень х\ через *о, т. е. jci = те — jco или
х\ =7t-arcsinа. Итак, на полуинтервале
(3.3) при различных а имеет разные решения:
—; — I уравнение
а) при а = 1 - единственное решение хо = arcsin 1 = —;
б) при а = -1 - единственное решение хо = arcsin (-1) = —;
в) при Ы<1 -два решения: xq = arcsin a; x\ =n- arcsin a.
126
3.2. Простейшие тригонометрические уравнения
При \а\ > 1 уравнение (3.3) не имеет решений.
Каждое из перечисленных решений, полученных на
полуинтервале
1
-—;— |, дает серию решений уравнения (3.3) на всей
числовой прямой. Значит, множеством всех решений уравнения
(3.3) является объединение следующих подмножеств:
а) при каждом я, таком, что \а\ > 1, - пустое множество, т. е.
уравнение (3.3) решений не имеет;
б) при а = 1 - множество, состоящее из одной серии решений
вида
хт = —ь 271/72, т е Z;
2
в) при а = -1 - множество, состоящее из одной серии решений
вида
xk =-- + 2nk, кеХ;
2
г) при \а\ < 1 - множество, состоящее из двух серий решений:
хп = arcsin а + 2пп, п е Z, и хр = п - arcsin a + 2пр, реХ.
Последние две серии решений уравнения (3.3) записываются с
помощью одной формулы в виде
xq ={-\)q arcsin a + nq, q e Z.
Итоги решения уравнения (3.3) сведем в табл. 3.1 и
проиллюстрируем на единичной окружности (рис. 3.2).
Уравнение вида tgjc = a. Областью определения функции
y = igx является множество всех действительных чисел, кроме
х = — + пп, п е Z. Значит, ОДЗ уравнения
Xgx = a (3.4)
есть множество D = R \ \— + пп>, п е Z. На заданном множестве
12
функция y = \gx является периодической с основным периодом
127
Таблица 3.1
Вид
тригонометрического
уравнения
cos х = а
(рис. 3.1)
sinx = a
(рис. 3.2)
tgx = a
(рис. 3.3)
ctgx = a
(рис. 3.4)
а<\
Нет
решений
Нет
решений
х = arctg a + тот,
weZ
x = arcctga + 7w,
weZ
а=-\
х - л + 2ли,
neZ
х = -- + 2пп,
2
П€ Z
x = arctga + 7OT,
weZ
x = arcctga + 7OT,
weZ
-1<а<1
x = ±aiccosa + 2nk,
keZ
x = (-l)narcsina +
+ nk, ksZ
x = arctg а + ли,
ие Z
x = arcctga + ля,
we Z
a=l
x = 2л/я,
meZ
x = — + 2nm,
meZ
x = arctga + 7OT,
weZ
x = arcctga + nw,
weZ
a>l
Нет
решений
Нет
решений
х = arctg a + ля,
weZ
x = arcctga + nw,
weZ
3.2. Простейшие тригонометрические уравнения
V
с
-1
v = a
--. И>1
v = -a
Рис. 3.2
Т = 71. Следовательно, уравнение (3.4) имеет основной период
Г = 7г, поэтому вначале отыщем все решения уравнения (3.4) на
одном из промежутков длиной, равной п. В качестве такого про-
71. 7Е>
межутка выберем интервал
2 2
, на котором функция
у = tg х монотонно возрастает, принимая любые числовые
значения, т. е. для любых хе\ -—;—=> у е(-оо;оо). Таким образом,
для любого числа а уравнение (3.4) на интервале —; — имеет
единственное решение. Обозначим это решение через *о.
Поскольку xq е -—; — и число я еМ, то будут справедливы
следующие равносильные преобразования:
tg;c0 = а <=> arctg(tgx0) = arctga <=> х0 = arctga.
Итак, на интервале —; — уравнение (3.4) при любом а
имеет единственное решение xo=arctga, которое на всей ОДЗ
уравнения дает следующую серию решений: хп = arctga + пп,
weZ. Результаты, полученные при решении уравнения (3.4),
сведем в табл. 3.1 и проиллюстрируем на единичной окружности
(рис. 3.3):
129
3. Тригонометрические уравнения
Xgx
cos*
М(*0 + л)
Рис. 3.3
cosx = u\ — = a.
и
Уравнение вида ctgx = a.
Областью определения функции y = c\gx
является множество всех
действительных чисел, кроме х = пп, п е Z. Значит,
ОДЗ уравнения
ctgx = tf (3.5)
есть множество D = R\{nn}, neZ. На
заданном множестве функция у = ctg x
является периодической с основным
периодом Т = п. Следовательно,
уравнение (3.5) имеет основной период
Т = л, поэтому сначала отыщем
решение данного уравнения на одном из
промежутков длиной, равной я, а затем
получим серию решений на всей
числовой прямой. В качестве такого
промежутка выберем интервал (0; я), на котором функция y = ctgx
монотонно убывает, принимая любые числовые значения, т. е.
х е (0; я) => у е (-оо; оо). Таким образом, для любого числа а
уравнение (3.5) на интервале (0; п) имеет единственное решение.
Обозначим это решение через хо. Поскольку хое(0;п) и число
aeR, то будут справедливы следующие равносильные
преобразования:
ctg хо = а <=> arcctg(ctg хо) = arcctga <=> хо = arcctg a.
Итак, на интервале (0; п) уравнение (3.5) при любом а имеет
единственное решение хо = arcctg а, которое на всей ОДЗ
уравнения дает серию решений вида
Рис. 3.4
х„ = arcctg а + пп, nz
130
3.3. Основные методы решения тригонометрических уравнений
Результаты, полученные при решении уравнения (3.5), сведем в
табл. 3.1 и проиллюстрируем на единичной окружности (рис. 3.4):
, cos*
ctg x = а; = а;
sin*
cos;c = w; sin;c = v; — = а.
v
3.3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Решение произвольных тригонометрических уравнений
сводится в конечном счете к решению простейших
тригонометрических уравнений рассмотренных выше видов. Чтобы выполнить
такой переход, применяют как обычные методы, используемые
при решении рациональных алгебраических уравнений, так и
методы, используемые только для решения тригонометрических
уравнений. К общим методам решения тригонометрических
уравнений относятся, например, метод замены переменной (метод
подстановки), метод разложения на множители, метод оценок, а к
частным - метод рационализации тригонометрических уравнений,
метод сравнения аргументов одноименных тригонометрических
функций, метод введения вспомогательного аргумента,
использование тождественных тригонометрических преобразований и
целый ряд других специальных приемов, предусмотреть которые в
общей теории не представляется возможным.
3.3.1. Общие методы решения тригонометрических уравнений
Метод замены переменной (метод подстановки). Суть
метода заключается в том, чтобы данное тригонометрическое
уравнение свести к уравнению вида
g [/(*)] = О, (3.6)
где f(x) = t - одна из тригонометрических функций или
тригонометрическое выражение, содержащее аргумент, a g(t) - рацио-
131
3. Тригонометрические уравнения
нальная, дробно-рациональная или иная другая элементарная
функция. Сначала делается замена f(x) = t и решается
алгебраическое (рациональное, иррациональное и т. д.) уравнение
g(0 = 0.
(3.7)
Уравнение (3.7) может не иметь решений, тогда и уравнение (3.6)
также не имеет решений. Если уравнение (3.7) имеет конечное
число решений t\, ti,..., tm, то уравнение (3.6) будет равносильно
совокупности уравнений
(3.8)
f(x) = tm.
Множество всех полученных решений совокупности (3.8)
простейших тригонометрических уравнений является множеством
решений исходного тригонометрического уравнения (3.6).
Перейдем к рассмотрению некоторых частных случаев.
Уравнение вида g(simr) = 0. С помощью замены sin* = 7,
\t\ <1, решение данного уравнения сводится к решению системы
уравнений
(3.9)
Если существуют действительные решения системы уравнений
(3.9) t,-, / = 1, 2, 3,..., т, то далее из решения совокупности
простейших тригонометрических уравнений
smx = t\,
132
3.3. Основные методы решения тригонометрических уравнений
получаем серии решений каждого уравнения на всей числовой
прямой:
Xj = (-1)" arcsin tj -h 7Г/7, n e Z.
Если система (3.9) решений не имеет, то и рассматриваемое
тригонометрическое уравнение также не имеет решений.
Аналогично решаются уравнения вида g(cos;c) = 0; g(tgx) = 0;
g(ctg*) = 0.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 3.1. Решить уравнение
6sin2;c-5sin;c + l = 0.
Решение. В соответствии с представленной схемой решение
данного тригонометрического уравнения сводится к решению
системы уравнений
[sin х = t,
j-l<f<l,
[6t2-5t + \ = 0.
Далее находим корни квадратного уравнения 6t2 - 5t +1 = 0:
5±>/25-24 5±1
'U= 12 "'
2 3
которые удовлетворяют условию 11 \ < 1. Тогда исходное уравнение
равносильно совокупности
sin;c = —,
2
sin;c = -.
L з
Решая каждое уравнение, находим
133
3. Тригонометрические уравнения
6
х = (- \)k arcsin— +nk, k е Z.
3
Замечание. Множество решений исходного уравнения
представляет собой объединение множеств решений первого и второго
уравнений совокупности. Целочисленные параметры в этих
множествах можно обозначать как одной, так и разными буквами.
Разные буквы обычно используются, если элементы из разных
множеств сравниваются между собой. В противном случае
допускается обозначение целочисленных параметров одной буквой.
Пример 3.2. Решить уравнение
2cos4 х - 7cos2 x - 4 = 0.
Решение. Пусть cos2 х = t, 0 < t < 1. Тогда данное
тригонометрическое уравнение сводится к решению системы
Го</<1,
\2t2-lt-4 = 0.
Отыскав корни квадратного уравнения
7±>/49 + 32 7±9
'1.2 = : = —г~'
'i=4; t2=-
получаем
"0</<1,
/ = --, O/G0.
2
/ = 4
Таким образом, исходное уравнение решений не имеет.
Уравнение вида g (sin x, cos x) = 0. С помощью замены cos x =
= w, |и| < 1, sinх = v, | v|< 1, данное уравнение сводится к системе
g(y,u) = 0,
u2 + v2=\.
134
3.3. Основные методы решения тригонометрических уравнений
Определим все действительные решения этой системы. Затем,
воспользовавшись подстановкой и решив простейшие
тригонометрические уравнения, найдем все корни исходного уравнения.
Пример 3.3. Решить уравнение
sin 2х - cos 2х = 1.
Решение. Пусть cos 2x = и; sin 2x = v. Тогда решение
рассматриваемого уравнения сводится к решению системы:
fv-w = l, fv = l + w, fv = l + w,
L2+v2 = l ° \(\ + u)2+u2 = \ ° [2u + u2+u2=0 °
= 1 + u, f v = 1 + к,
[u2+u = 0 1и(и + 1) = 0
Подставляя найденные значения щ = О, ui = -1 в первое уравнение
системы, находим vj = 1, V2 = 0. Следовательно, решением
системы является множество Е = {(1; 0); (0; -1)}.
Переходим к решению систем простейших
тригонометрических уравнений:
sin 2дг = 1, Jsin2;c = 0,
cos 2x = 0 [cos2jc = -1.
Находим решения первого уравнения первой системы в виде
2х = — + 27Ш, п е Z, или х = — + пп, п е Z, и второго уравнения в
виде 2х = — + 2nk, к е Z, или х = — + пк, к е Ъ. Сравнивая между
собой полученные решения, замечаем, что множество решений
первого уравнения является подмножеством решений второго
уравнения. Поэтому решение рассматриваемой системы
sin 2x = 1,
cos 2x = 0
135
3. Тригонометрические уравнения
записываем в виде множества Е\ = I— + 7ш>, weZ.
Теперь рассмотрим вторую систему:
sin 2х = О,
cos2;c = -l.
Решения уравнений этой системы будут следующими:
sin2х = О <=> 2х = пт, т е Z, <=> х = —т. meZ;
2
cos2x = -\o2x = n + 2nl, /eZ, <=> x = - + nl, /eZ.
2
Пересечение множеств полученных решений дает множество
E2 = \— + nl\,lsZ. Объединение множеств Е\ и Е2 позволяет
получить множество Е решений исходного уравнения:
Е = \- + пп; - + nl),neZ, /eZ.
U 2 J
Замечание. Исходное уравнение относится к числу линейных
уравнений относительно тригонометрических функций у = sin x и
>> = cos;c. Эффективным методом решения подобных уравнений
является метод введения вспомогательного аргумента, который
будет рассмотрен далее.
Уравнение вида R (sin x, cos x) = 0. В этом уравнении
R (sin х, cos x) - симметрический многочлен относительно
неизвестных функций y = s'mx и >> = cos;c. Симметрический
многочлен - это такой многочлен, вид которого не меняется при любой
перестановке переменных, т. е. /?(sin;c, cos;c) = /?(cos;c, sin*).
Эффективным методом решения уравнений данного типа является
сведение их к соответствующим алгебраическим уравнениям с
помощью замены: sinх + cosх = t, |f|<v2.
К данному типу уравнений относится также уравнение вида
R (sin х ± cos х, sin x cos x) = 0.
Действительно, используя замену t = sin;c± cos*, получаем
136
3.3. Основные методы решения тригонометрических уравнений
t2 = sin2 л: ±2 sin л: cos* + cos2* = l±2sin* cos*.
t2-\
Отсюда sin* cos* = ± , и тригонометрическое уравнение
R (sin x ± cos x, sin x cos x) = 0
сводится к алгебраическому уравнению вида
Пример 3.4. Решить уравнение
(sin х -1) (cos x -1) = 1.
Решение. Очевидно, что рассматриваемое уравнение
равносильно уравнению
(sin*-l)(cos*-l)-l = 0.
Замена sin* на cos* и наоборот не меняет вида уравнения.
Решение исходного уравнения найдем с помощью замены:
sin* + cos* = 7, -\J2<t<\l2.
Действительно,
(sin * -1) (cos * -1) -1 = 0 <=> sin * cos * - sin * - cos * = 0 <=>
<=> sin * cos * - (sin * + cos *) = 0.
Поскольку
t2 = (sin* + cos*)2 = sin2* + 2sin* cos* + cos2* =
t2-\
= l + 2sin* cos*<=>sin* cos* = ,
2
то вместо тригонометрического уравнения получаем равносильное
ему алгебраическое уравнение
!—^±-t = 0 <^> t2-2t-\ = 0.
2
Находим его корни:
02 = 2±лДТ4 = 2±2л/2;/1=1_Л; ,2=lWI
137
3. Тригонометрические уравнения
Очевидно, что условию удовлетворяет лишь один из
корней t\=\- V2. Поэтому решения исходного уравнения будут
включать только решения уравнения вида sinх + cosх = 1 - v2.
Воспользовавшись равносильными преобразованиями
sin;c + cos;c = V2sin x + -
4
получим
Отсюда
«"S-Tf
*+?£ = (-l)"arcsin —r^ + nn, neZ, <^>
4 V2
<=>x = (-l)"arcsin-^=^--- + ™, neZ.
V2 4
Уравнение вида /[#(*)] = О» Напомним, что в данном
уравнении функция f(t) - одна из тригонометрических функций, а
g (x) = t - рациональная, дробно-рациональная или иная другая
элементарная функция. Решение такого уравнения отыскивается
следующим образом: аргумент тригонометрической функции
обозначаем через t и находим решение простейшего тригонометрического
уравнения типа sinf = a; cost = a; tgt = a; ctgt = а. Найдя корни
этого уравнения f,-, / = 1, 2, 3,..., т, решим уравнение g(x) = tj. Следует
отметить, что при решении уравнения g(x) = t\ вместо t,- надо
подставлять все полученные решения простейших тригонометрических
уравнений, а не их частные серии.
Пример 3.5. Решить уравнение
4J 2
Решение. Пусть 6х = t. Тогда имеем простейшее тригоно-
4
метрическое уравнение относительно переменной t:
138
3.3. Основные методы решения тригонометрических уравнений
cost-^- = 0 <^> cost = ^-,
2 2
из которого находим
t = ±arccos^- + 2пп = ±- + 2ъп, neZ.
2 6
Так как t = 6х—, то для отыскания х получаем уравнения
откуда
6х = -±- + 2пп, nsZ, <^> х = -\-±- + 2пп I, net
4 6 6U 6
Полученное решение можно записать и в виде совокупности
571 , 71 г,,,
х = 1—п, пе £,
72 3
х = 1—п, пеА
72 3
Пример 3.6. Решить уравнение
tgfjc2 + 4jc + —1-1=0.
Решение. Пусть х2 + 4х + — = t. Тогда имеем простейшее три-
4
гонометрическое уравнение относительно переменной t:
tgf-l = 0 <=> tgf = l,
из которого находим
t = arctg 1 + Tin = — + Tin, neZ.
4
Для отыскания х получаем уравнения
x2 + 4x + - = - + Tin, neZ, <=> x2 + 4x-nn = 0, «eZ,
4 4
откуда
x = -2 ± -J A + Tin, neZ.
139
3. Тригонометрические уравнения
Чтобы корни исходного уравнения были действительными,
необходимо выполнить неравенство 4 + 7ш>0. Решая это неравенст-
4
во, находим п>—, neZ. Следовательно, л = -1,0,1,... И реше-
ние исходного уравнения можно записать в виде
х = -2±у/4 + пп, neZ, n>-\.
Метод разложения на множители. Суть метода заключается в
следующем: если левая часть уравнения f(x) = 0, где f(x)-
тригонометрическое выражение (функция), зависящее от одного
аргумента, может быть представлена в виде произведения f(x) =
= fi(x)fi(x)...fm(x), то корнями данного уравнения будут все
решения совокупности уравнений
Г/К*)=о,
/2(*)=о,
!./».(*)=о,
принадлежащие области определения функции f(x). Отметим, что
областью определения функции f(x) называется множество D
значений переменной х, при которых одновременно определены
функции f\(x), fi(x\ ..., fm(x), т. е. множество D есть пересечение
множеств Д, / = 1, 2, 3,..., т\
D = D[{\D1{\...{\Di{\...Dm.
Обозначим через X множество корней исходного уравнения
f(x) = 0, через Х\ - множество корней уравнения /](*) = 0, через
Xi - множество корней уравнения fz(x) = 0 и т. д. Тогда
множество X есть пересечение двух множеств. Первое множество -
объединение множеств X,- корней уравнений fj(x) = 0, i = \,2,3,...,m,
а второе - область определения функции f(x) (ОДЗ исходного
уравнения):
140
3.3. Основные методы решения тригонометрических уравнений
x = (Xx\jx2\j...\jxi\j...\jxm){\{Dx{\D2{\...{\Di{\...{\Dm) =
( т Л
и*
V/=i )
П
( т Л
Пд
w=i )
=
( т \
\}х,
Ki=\ J
Пример 3.7. Решить уравнение
2sin3 х + 2cos2 x - sin x = 1.
Решение. Очевидно, что данное уравнение будет равносильно
уравнению
2 sin3 л:+ 2 cos2 л:-sin л:-1 =0.
Левую часть уравнения обозначим через f(x\ т. е.
f(x) = 2 sin3 x + 2 cos2 x - sin x -1.
Область определения этой функции - множество всех
действительных чисел D = Е. Упростим функцию f(x) и представим ее в
виде произведения:
f(x) = 2 sin3 x + 2 cos2 x - sin x -1 =
= (2 sin3 x - sin x) + (2cos2-1) =
= sin x(2 sin2 x -1) + [2(1 - sin2 x) -1] =
= sin x(2sin2 * -1) + (1 - 2 sin2 x) =
= sin x(2 sin2 * -1) - (2 sin2 * -1) = (2 sin2 x - l)(sin * -1).
Следовательно, на множестве D = R получим равносильное
уравнение
(2 sin2 д: - l)(sin jc -1) = 0.
Корнями данного уравнения будут все корни совокупности
уравнений
[2sin2;c-l = 0,
|_sin jc — 1 = 0.
Корнями первого уравнения этой совокупности являются числа,
удовлетворяющие простейшим тригонометрическим уравнениям:
s'mx = —j= или sin;c = —-,=. В первом случае
141
3. Тригонометрические уравнения
х = (-l)"arcsin^ + Tin = (-\)"- + пп, л е Z,
у/2 4
во втором случае
jc = (-l)*arcsin[--j=] + nk = (r\)k+x- + nk9 Ь
Объединение полученных решений
х = (-\)п- + пп, neZ,
4 «*=* + */,/<
x = (-\)k+]^ + nk,keZ, 4 2
4
дает корни уравнения 2 sin2 х -1 = 0.
Корнями второго уравнения рассматриваемой совокупности
являются числа
Объединение корней
х = — + 2кт. т <
2
* = £ + £/, /€Z,
4 2
л: = — + 2пт, /weZ,
2
дает решение исходного тригонометрического уравнения.
Пример 3.8. Решить уравнение
tg*-sin;c = l-tg;c sin*.
Решение. Очевидно, что данное уравнение будет равносильно
уравнению
igx - sin x + tg* sin x -1 = 0.
Левую часть полученного уравнения обозначаем через /(*), т. е.
f(x) = tgx-s'mx + tgx sin д: — 1.
142
3.3. Основные методы решения тригонометрических, уравнений
Областью определения функции f(x) является множество всех
действительных чисел, кроме х = — + 7ш, и е Z, т. е.
£> = R\| \- + nn\,nsA
[2
Упростим функцию f(x) и представим ее в виде произведения:
f(x) = (tg* + tg* sin x) - (sin x +1) =
= tg* (1 + sin x) - (1 + sin x) = (1 + sin x)(tg;c -1).
Следовательно, множество решений X исходного уравнения есть
объединение множеств Х\ и Хг решений уравнений 1 + sin x = О,
tg*-l = 0, принадлежащих ОДЗ исходного уравнения. Найдем
эти решения:
sinjc = — 1 <=> х = -— + 7Ш, weZ,
2
tgjc = 1 <=> х = arctgl + 7сЛ = — + nk, keZ.
4
Видно, что все корни первого уравнения не принадлежат
множеству D. Значит, решением исходного уравнения является множество
всех корней только второго уравнения, т. е.
Метод оценок (метод мажорант). Эффективным способом
решения целого ряда тригонометрических уравнений вида
/?(sin;c, sinoc;c) = 0, /?(sin;c, cosoc;c) = 0,
R(cosx, cosoc;c) = 0,
где а - произвольное число, является метод оценок (метод
мажорант), в основе которого лежит свойство ограниченности
тригонометрических функций y = s'mx и >> = cos;c. Рассмотрим
применение метода на следующих примерах.
143
3. Тригонометрические уравнения
Пример 3.9. Решить уравнение
cos 3* +cos—-2 = 0.
2
Решение. Поскольку |cos3jc| < 1 и
ние равносильно системе:
5*
[cos3;c = l,
[3* = 2кп, п е rL
lcos—= 1 ° j — = 2nk, £eZ, °
< 1, то данное уравне-
Х = Ш9 „eZ,
з
4nk j r?,
x- , keZ.
5
Число x будет решением системы, если оно является решением
обоих уравнений. Поэтому, приравнивая обе серии решений,
находим
2пп _ 4nk
3 ~ 5 '
откуда
,5 2пп _5п_5п + п-п_6п-п_ _п_
~ 4тг 3~6~ 6 ~ 6 ~П в'
Так как (к, п) g Z, очевидно, что выражение — должно быть це-
6
лым числом, т. е. — = р - целое число и п = 6р. Тогда решение
6
системы записывают в виде
X = 6/7 = 471/7, /7 G Z.
Легко убедиться, что и вторая серия решений дает те же самые
значения х. Действительно,
к = —п = —6р = 5р, х = —к =—5р = 4пр, pel,.
66 5 5
Таким образом, решением исходного уравнения являются числа
x = 4itp, /?eZ.
144
3.3. Основные методы решения тригонометрических уравнений
Пример 3.10. Решить уравнение
sin5 х + cos5 x + sin4 x = 2.
Решение. Перепишем заданное уравнение в виде
sin5 х + cos5 x = 2 - sin4 x.
Левую часть полученного уравнения обозначим f(x) = sin5 x +
+ cos5;c, а правую часть - g(x) = 2 - sin4 x. Далее воспользуемся
неравенствами
sin5 х < sin2 x < 1; cos5 x < cos2 x < 1,
из которых следует
f(x) = sin5 x + cos5 x < sin2 x + cos2 x = 1.
В то же время
g(*) = 2-sin4;c>l.
Так как для любого х е R f(x) < 1, g(x) > 1, то уравнение f(x) =
= g(x) имеет решение только тогда, когда его правая и левая части
одновременно обращаются в единицу. В силу этого заданное
уравнение равносильно системе
sin5 х + cos5 x = 1,
2-sin4 л: = 1.
Поскольку второе уравнение системы эквивалентно совокупности
двух уравнений, система равносильна совокупности двух систем:
Г Jsin5 х + cos5 x = 1,
[sinx = 1,
J sin5 x + cos5 x = 1,
I [sin* = -1.
Из первой системы совокупности следует, что cos х = 0, т. е.
х = — + 7Ш, neZ. Из второй системы следует, что cos5* = 2, т.е.
145
3. Тригонометрические уравнения
данное уравнение решений не имеет. В результате решением
исходного уравнения является решение системы
х = —ь 7ш, п е Z,
2 <^> x = -+2nk, keZ.
Метод оценок весьма эффективен и при решении уравнений
типа f(x) = g(x), где f(x) - одна из тригонометрических функций,
a g(x)- рациональная, дробно-рациональная или иная
элементарная функция. Пусть для любых х е D f(x) > M (f(x) < М), а
g(x)<M (g(x)>M), где М- некоторое число, и пересечение
множеств значений функций f(x) и g(x) состоит из одного или
нескольких чисел. Тогда решение исходного уравнения сведется к
решению равносильной системы уравнений типа
g(x) = Mh м,б(£(/)П£(г)).
Проиллюстрируем данный подход на следующем примере.
Пример 3.11. Решить уравнение
cos юг+ *2-6*+ 10 = 0.
Решение. Перепишем заданное уравнение в виде
cos six = -х2 + бдг —10.
Обозначив f(x) = cos тсс, g(x) = -х2 + 6х -10, получим уравнение
f(x) = g(x\ в котором |/(*)|<1, т. е. £(/) = [-1;1], a E(g) =
= [-оо;-1]. Следовательно, E(f) П E(g) = {-\} ив результате имеем
равносильную систему:
cosra: = -l,
<=> х = 3.
х2 + 6х-\0 = -\
146
3.3. Основные методы решения тригонометрических уравнений
3.3.2. Частные методы решения
тригонометрических уравнений
Метод рационализации тригонометрических уравнений
Универсальная тригонометрическая подстановка. Ранее
рассматривались подстановки, которые сводили тригонометрические
уравнения типа g(sin;c) = 0, g(cos;c) = 0 и подобные им к решению
обычного рационального алгебраического уравнения. Здесь же
будем находить решения уравнения вида
g(sin;c, cos;c) = 0, (3.10)
где g(v, и) - дробно-рациональная функция переменных v = sin *,
w = cos;c. Подстановка вида t = tg—, называемая универсальной
тригонометрической подстановкой, позволяет тригонометрическое
уравнение (3.10) превратить в дробно-рациональное уравнение
вида
Ъ \-t2
«|т^2.ег1=0- (ЗЛ1)
Действительно, по формулам половинных углов найдем:
2tg-
2 2t
sin х = *— = ,
cos;c =
1 + tg2* 1 + ^2
2 (3.12)
2*
1_Ы1
1-tg2^ 1 ,2
.2* \ + t2'
1 + tg 2
Вычислив корни t = t,-, / = 1, 2, 3,..., m, уравнения (3.11), получим
простейшие тригонометрические уравнения tg— = th / = 1, 2, 3,...
..., m, решения которых находятся по формулам х = 2arctgf, + 2пп,
neZ.
Замечание. Хотя указанный способ решения
тригонометрических уравнений довольно прост, он не всегда рационален, по-
147
3. Тригонометрические уравнения
скольку подстановка t = tg— приводит к довольно громоздким
вычислениям. Кроме того, замена левых частей формул (3.12)
(тригонометрических функций y = s'mx и >> = cos;c) их правыми
частями приводит к возможной потере корней исходного
уравнения (3.10). Поэтому необходимо еще проверить, будут ли значения
х, при которых функция y = tg— не определена, т. е. — = — + 7м,
л е Z, <=>* = 7i + 27M, п е Z, корнями исходного уравнения.
Рассмотрим ряд более простых рационализирующих
подстановок.
Уравнение вида g (sin дг, cos x) = g(sin дг, - cos x). Очевидно,
что к этому типу уравнений относятся уравнения вида (3.10), не
меняющиеся при замене х на (п-х). Действительно, sin(7i-;c) =
= sin;c, cos(7i-;c) = -cos;c. Эффективным способом сведения
подобных тригонометрических уравнений к рациональным
алгебраическим является замена t = sin x. В результате решение
рассматриваемого уравнения сводится к решению следующей системы:
Is'mx = t,
\t\<l
g.(0 = o,
где gi(0- некоторая рациональная алгебраическая функция.
Пример 3.12. Решить уравнение
7tgx-tgf^ + xl = ^.
V 2 ) cos*
Решение. Сначала упростим данное уравнение:
tg^ + *) = tg(3n + ! + *) = tg^ + x) = -ctgx,
l\gx + ctg* = .
cos*
Найдем ОДЗ исходного уравнения:
148
3.3. Основные методы решения тригонометрических уравнений
[cos** О,
sin** О
\х Ф nk, k е Z,
<=> ** — л, л*
2
При ** — л, rceZ, справедливы следующие преобразования:
cos*
5
cos*
.. 7 sin2 * + cos2 * - 5 sin * Л ^
sin* cos* cos* sin*
<=> 7 sin2 * + cos2 * - 5 sin * = 0 <=>
<=> 7 sin2 * +1 - sin2 *-5sin* = 0<=>6 sin2 * - 5 sin * +1 = 0.
Таким образом, получено квадратное уравнение относительно
функции у = sin*. Решая его, находим совокупность уравнений:
sin* = —,
2
sin* = -
3
х = (-\)п- + пп9 neZ,
6
* = (-l)*arcsin- + 7iA:, к
Видно, что найденные корни принадлежат ОДЗ исходного
уравнения.
Уравнение вида g (sin x, cos x) = g (-sin x, cos x). Очевидно,
что к этому типу уравнений относятся уравнения вида (3.10), не
меняющиеся при замене переменной * на (-*). Действительно,
sin(-*) = -sin*, cos(-*) = cos*. Эффективным способом сведения
подобных тригонометрических уравнений к рациональным
является замена t = cos *. В результате решение рассматриваемого
уравнения сводится к решению следующей системы:
Icosx = t,
£2(0 = 0,
где g2 (0 - некоторая рациональная алгебраическая функция.
Пример 3.13. Решить уравнение
tgx + (sin^0 ctg* = ^-.
V 4 у sin*
149
3. Тригонометрические уравнения
Решение. Находим ОДЗ рассматриваемого уравнения:
[cos**0, ** — + 7Ш, пел
Sin** 0 ^ ; , ™
L he Ф ш, к е Z,
<^> x*±L U
Поскольку
sinf^E] = sinf67C + 7C + ^ = sinf7C + ^
4 2
то на ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению
\-4
tg^ + |-^f| ctg*
2 ) sin*
^ siruc , ^ cos*
О h 4 :
COS*
sin*
4 ? ?
= <=> sinz* + 4cosz* = 4cos*.
sin*
Последнее уравнение не меняется при замене * на (-*), и после
замены
sin2* = 1 -cos2*
приходим к уравнению 3cos2 * - 4cos* +1 = 0, из решения
которого при замене t = cos* получаем корни t\ = 1 и ti = -, т. е.
cos* = l,
™ 1 °
* = 27М, П G Z,
* = ±arccos- + Ink. k е rL
3
Корни, соответствующие серии решений * = 2пп, п е Z, будут
посторонними, так как они не принадлежат ОДЗ исходного
уравнения. Следовательно, корнями исходного уравнения будут числа из
серии
* = ± arccos - + Ink. k e Z.
3
Уравнение вида g(sin*, cos дг) = g (-sin дг, -cos*). Очевидно,
что к этому типу уравнений относятся уравнения вида (3.10), не
меняющиеся при замене переменной * на (п + *). Действительно,
150
3.3. Основные методы решения тригонометрических, уравнений
sin(7i + ;c) = -sin;c, cos(71 + *) =-cos*.
Эффективным способом решения таких уравнений является
рационализирующая подстановка t-\%x. Однако следует отметить,
что использование этой подстановки сужает ОДЗ исходного
уравнения и, как следствие, приводит к возможной потере корней. В
результате решение рассматриваемого уравнения сводится к
решению следующей системы:
ftg* = f,
где £з(0 - некоторая рациональная алгебраическая функция.
Пример 3.14. Решить уравнение
l + Cos-'^|sin* + sinf!^ + xl = ^--
3 у V 2 ) cos*
Решение. Находим ОДЗ рассматриваемого уравнения:
7Г
2
Поскольку
cos I ^1) = cos Г2тг + ^ U cos^ = -1
Ъ ) \ Ъ) 3 2
sin I —— + х =sin 87C- —+ jc =sin JC-— | = -cosjc,
2 ) \ 2 ) \ 2;
то на ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению
3sin х - cosx <=>3sin* cos*-cos2 * =
cos*
3 9
= 1 <=> — sin 2x - cosz * = 1.
2
Полученное уравнение не меняется при замене * на (л + *),
поэтому его можно привести к виду g3(t) = Q, t = tgx,
воспользовавшись следующими формулами:
™c^v- sin 2*^—-—
1 + tg2* 1 + tg2*
151
3. Тригонометрические уравнения
В результате имеем следующее рациональное уравнение:
\+t2 \+t2 \+t2 \+t2
^ Зг-l-1-'2=o<=>-f2+3r_2 = o<^>t2-3t + 2 = 0.
\+t2
Найдем его корни:
откуда
x = — + nn, neZ,
4
x = arctg2 + nk, keZ.
Видно, что обе серии решений удовлетворяют ОДЗ исходного
уравнения.
На практике широкое распространение получили некоторые
специальные виды тригонометрических уравнений, для решения
которых рассмотренные выше подходы не рациональны.
Примерами таких уравнений являются:
- уравнения, линейные относительно функций y = s'mx и
у = cos x;
- уравнения, однородные относительно функций y = s'mx и
у = cos х.
Рассмотрим методы решения этих уравнений.
Метод введения вспомогательного аргумента. Рассмотрим
линейное относительно синуса и косинуса тригонометрическое
уравнение
as'mx + bcosx = c, (3.13)
где а, Ь, с - произвольные числа, причем |а| + |6|*0. Одним из
способов решения данного уравнения является сведение его к
решению равносильной системы рациональных уравнений с
помощью подстановки v = sinjt, k = cosjc, |v|<l, |к|<1. Однако такой
подход не всегда эффективен, поскольку приводит к увеличению
объема вычислений. Рациональнее использовать так называемый
метод введения вспомогательного аргумента. Суть метода заклю-
,3±1.
2 '
t\ = 1; h = 2,
"tg* = l,
tg* = 2
152
3.3. Основные методы решения тригонометрических уравнений
чается в следующем. Поскольку уравнение (3.13) рассматривается
при условии, что |а| + |6|*0, то обе его части можно разделить на
число у/а2 + Ъ1 Ф 0. В результате получаем равносильное
уравнение
, sin:c+ , cos:c= , с
y/a2+b2 y/a2 + b2 y/a2+b2
Очевидно, что существует некоторый угол (р, для которого
cos(p= , а ; sin9^
a2+b2 JJTb2
Тогда последнее уравнение принимает вид
с
COS ф Sin X + Sin ф COS X =
ja^Tb2'
Видно, что тригонометрическое выражение, стоящее в левой части
уравнения, есть синус суммы двух углов: ф и х, т. е.
cos ф sin х + sin ф cos x = sin (x + ф). Следовательно, зт(;с + ф) =
yfa^Tb2
j^Tb2
>1, то полученное уравнение, а
следовательно, и исходное уравнение решений не имеют. Если
< 1, то по формуле корней для простейшего тригономет-
JJTb2]
рического уравнения получаем
jc + m = (-l)ITarcsin , с + itn, «gZ, о
yfJTb2
<=> х = (-1)"arcsin-p=£ --ф + 7ш, neZ. (3.14)
у/а2 + b2
Еще раз подчеркнем, что угол ф находят из системы выражений
С05ф = —р а , 5Шф = -р=
^Ть2 ^Ть2
153
3. Тригонометрические уравнения
При этом, поскольку (p = arcsin
Ф = arccos
и (р*
71 . 7Г
2' 2.
условие
Ja2+b2
а " ф g [0; я] может быть выполнено только при
я >0.
Пример 3.15. Решить уравнение
V3 sin*-cos* = 2.
Решение. В нашем случае а = >/3; Ь = -\; с = 2. Находим
л/я2+62=7з7Т = 74=2;
.^.
= 2 = 1.
V^TP" 2 ' yla2+b2 2' Vfl2+62 2
Следовательно, имеем следующую цепочку равносильных
преобразований:
v3sin*-cos* = 2<=> sin*— + cos* —
[2 I 2.
= 1<=> sin*——cos*- =
I 2 2)
= 1<=>I sin* cos—-cos* sin —1 = 1 <=> sinI jc — — 1 = 1 <=>
<^=>д:- — = — + 2тт:«, rceZ, <=>* = — + 2тш, neZ.
6 2 3
Пример 3.16. Решить уравнение
cos*-v2sin* = —.
4
Решение. Так как a = -V2~ <0, умножим исходное уравнение
на(-1):
v2sin*-cos* = —.
4
154
3.3. Основные методы решения тригонометрических уравнений
Находим
_7
7^^ = 7271 = 73; -_£ ,= 4 =_ 7
7^2+ь2 7з 47з
Ф = arcsin . = arcsin -Ц=/ = - arcsin —т=.
Ja2+b2 73 73
Следовательно,
V2si" - 7~-=-' - !
Так как
sin;c-cos;c =— <=> sin x - arcsin —j= i- j=.
4 1, 73j 473
7
= —т= > 1, исходное уравнение решений не имеет.
4V3
7
47з|
Однородные уравнения. Однородным относительно синуса и
косинуса называют уравнение вида
+ tfisin* cos" ]x + aocos"x = 0. (3.15)
Если л = 1, то уравнение (3.15) принимает вид a\smx +
+ tfocos;c = 0 и называется однородным уравнением первого
порядка.
При п - 2 из уравнения (3.15) получаем уравнение
аг sin2 х + а\ sin x cos x + ao cos2 x = О,
которое называется однородным уравнением второго порядка, а
при п = 3 - уравнение
яз sin3 л: + <Я2 sin2 д: cos д: + а\ sin д: cos2 x + ao cos3 д: = О,
которое называется однородным уравнением третьего порядка.
Общий метод решения основан на сведении таких уравнений к
обычным рациональным уравнениям с помощью
рационализирующей подстановки t = tgx. Однако следует помнить, что
введение подстановки t = tgx приводит к сужению ОДЗ исходного
уравнения и, как следствие, возможна потеря корней исходного
155
3. Тригонометрические уравнения
уравнения. Поэтому алгоритм решения однородных уравнений
(3.15) будет состоять в следующем.
1. Сначала проверяем, не являются ли корни уравнения
COS* = ()<=>* = — +7М, Л G Z,
2
корнями исходного уравнения. Очевидно, что это условие будет
выполняться при ап = 0.
2. Разделим обе части уравнения (3.15) на cos";c*0. В
результате приходим к равносильному уравнению
a„tgnx + a„-\tgn-lx + ... + a\tgx + ao = 09
которое заменой t = tgx сводится к рациональному уравнению
ап t"+an-\ t"~l +... + а\ t + a0 = 0.
3. Находим решения t,- полученного рационального уравнения.
Если рациональное уравнение решений не имеет, то и исходное
тригонометрическое уравнение (3.15) тоже решений не имеет.
В противном случае получаем простейшие тригонометрические
уравнения tgjt = f,-,/ = 1, 2, 3,...,/и, из решения которых находим
х = arctgtj + пп, пе Z.
Замечание. В ряде случаев к уравнению вида (3.15) сводятся и
более общие уравнения, например:
a2s'm2x + a\smx cosx + a0cos2x = b, (3.16)
где b - произвольное число. Действительно, представив уравнение
(3.16) как
#2 sin2 х + а\ sin x cos x + ao cos2 х = b(s'm2 x + cos2 x) <=>
<=> (#2 -6)sin2;c + tfisin;c cos;c + (tfo -6)cos2;c = 0,
получаем однородное уравнение
As'm2x + Bs'mx cos;c + Ccos2;c = 0,
где А = #2 - Ь\ В = а\\ С = ао -Ь.
156
3.3. Основные методы решения тригонометрических уравнений
Пример 3.17. Решить уравнение
sin2;ccos2;c-4sin;c cos3;c + 3cos4;c = 0.
Решение. В данном случае очевидна следующая цепочка
равносильных преобразований:
sin2* cos2;c-4sin;c cos3x + 3cos4x = О<=>
<=> cos2 x (sin2 x - 4sin x cos x + 3 cos2 x) =
Г cos2 x = 0,
[sin2*-4sin* cos;c + 3cos2;c = 0.
Сначала найдем корни уравнения
cos2 * = 0<=> cos * = ()<=>* = — + nk, ksZ.
2
Далее получим корни уравнения sin2;c-4sin;c cos;c + 3cos2;c = 0.
Так как корни уравнения cos x = 0 не являются корнями
последнего уравнения, разделим обе его части на cos2 х Ф 0. В результате
получаем уравнение
tg2jc-4tgjc + 3 = 0,
которое после замены t = tg* преобразуется в квадратное
уравнение
Его корни t\=\\ ?2 = 3. Следовательно, приходим к совокупности
простейших тригонометрических уравнений:
х = — + 7Ш, meZ,
4
;c = arctg3 + 7itt, neZ.
Объединяя полученные решения с решениями уравнения
cos х = 0, получаем ответ:
хеI— + кк, — + 7Ш, arctg3 + 7М, к, т, neZ
tg* = 3
157
3. Тригонометрические уравнения
Метод сравнения аргументов. Для решения
тригонометрических уравнений вида
sinf\(x) = sin/2(x), cosf\(x) = cos/2(x),
tgMx) = tgf2(xl ctgMx) = ctgf2(x)
используется метод сравнения аргументов, основанный на
следующих утверждениях.
Теорема 3.1. Для любых двух функций f\(x) и f2(x),
удовлетворяющих уравнению
sin/j(jt) = sin/2(jt), (3.17)
справедливо равенство
Мх) = (-\уМх) + пп,пе2
или
[f\(x) = f2(x) + 2nn,neZ,
\_f\(x) = (л - f2(x)) + 2nk, к е \
(3.18)
(3.19)
Доказательство. Справедливость утверждений (3.18) и (3.19)
следует из формулы
• у/ \ • у/ ч ^ f\(x)+fiix) • f\(x)-f2(x) Л
smf\(x)-smf2(x) = 2cos-m J JZK ' sin71v J Jzy ' = 0<=>
<=>
2
siny —J = 0
2
'/i(jc) + /2(jc) = 7C + 27cit, ke'z
f\(x) - f2(x) = 2itn, neZ,
Mx) + f2(x) = n + nk
2 2
JMzJ№ = „„ „ = •*.
<=>
'Mx) = (ji-f2(x)) + 2nk, к el
Mx) = f2(x) + 2nn, neZ.
Объединение полученных решений позволяет получить равенство
(3.18).
Теорема 3.2. Для любых двух функций f\(x) и f2(x),
удовлетворяющих уравнению
cos./i(x) = cos/2(x), (3.20)
158
3.3. Основные методы решения тригонометрических уравнений
справедливо равенство
f\(x) = ±f2(x) + 2nn, nei
(3.21)
f\(x) = f2(x) + 2nn, п€
Mx) = -f2(x) + 2nk9k<
(3.22)
Доказательство. Доказательство утверждений (3.21) и (3.22)
аналогично приведенному выше и основано на цепочке
следующих преобразований:
cos/j(*)-cos/2(*) =
= 01> -2sin *V>+ № sin fM ~ №> = О ^
2 2
sin — = О,
2
• f\{x)-f2{x) n
sin ^ —^ = 0
2
<=>
<=>
/i(*) = -/2(*) + 27c£, A:gz
7i(x) + /2(x) = 27E*,*eZ,
/i (*) - fi(x) = 2nn, л е Z,
<=>/i(x) = ±/2(x) + 27Em, me
Теорема З.З. Для любых двух функций f\(x) и f2(x), таких,
что f\ (х) Ф — + пк, к е Z, и fi(x) Ф — + пт, т е Z,
удовлетворяющих уравнению
tg/i(*) = tg/2(*),
справедливо равенство
/К*) = /2(*) + ял, rceZ.
(3.23)
(3.24)
Доказательство теоремы основано на цепочке следующих
равносильных преобразований:
tg/i(*) = tg/2(*) <=> tgf\(x)-tgf2(x)--
= 0 <^>
l0<^ sin(/i(x)-/2(x)) :
cos/i(*)cos/2(*)
159
3. Тригонометрические уравнения
sin(/i(*)-/2(*)) = 0,
fx(x)*- + nk,keZ,
f2(x)* — + nm,meZ.
f\(x)-f2(x) = im, ле2
/\{х)Ф- + ък, £eZ,
/2(х)ф — + пт, meZ,
f\(x) = f2(x) + 1in, Yli
fl(x)^- + nk, ksZ,
fi(x)± — + m, тел
Теорема 3.4. Для любых двух функций f\(x) и f2(x), таких,
что yj(jc)Ф ilk, k е Z, и f2(x) Ф 7Ш, /weZ, удовлетворяющих
уравнению
ctg/i(x) = ctg/2(x), (3.25)
справедливо равенство
f\(x) = f2(x) + nn9neZ. (3.26)
Доказательство теоремы основано на цепочке следующих
равносильных преобразований:
ctg/i(х) = ctg/2(x) <^> ctg/iW- ctg/2(x) =
= 0^_sm(Mx)-fi(x))=0^
smf\(x)smf2(x)
fsinC/i (дс) - f2{x)) = 0, f/iW - f2(x) = nn,ns Z,
<=> jsin/j(;c)*0, <=> j yj(jc) *пк, кeZ, <=>
[sin f2(x) ф0 [/2(х)ф ът, meZ,
Шх) = Мх) + пп,пеХ9
o\fi(x)*nk,keZ,
[f2(x)*nm,meZ.
Проиллюстрируем рассматриваемый метод решения
следующими примерами.
160
3.3. Основные методы решения тригонометрических уравнений
Пример 3.18. Решить уравнение
sin|4jt--l = sin(-—-3*1.
1) \ 3
Решение. Из утверждения теоремы 3.1 заключаем, что
sinl 4jc--) = sin[-— -3*j<^>
4x-- = -—-3x + 2nn9 neZ,
7 3
4*-1 = (тс + — + 3x\ + 2nk,ke1
я , 5 , 2я ™
jc = — + — + —п, neZ,
3 49 7
х = Ш + 1 + 2пк, keZ.
3 7
1Х = ~— + - + 27Ш, A7GZ
3 7
3 7
Пример 3.19. Решить уравнение
cos*2 = cos(4;c-3).
Решение. Из утверждения теоремы 3.2 заключаем, что
Г*2 = (4;с-3) + 27ш, rceZ,
cos x2 = cos(4;c - 3) <=>
-(4x-3) + 2nk,k<
Решая эти квадратные уравнения, получаем
4±л/16-(12-8тш) „ л—=—
jci 2 = = 2 ± VI + 2пп я,
2
-4±Vl6 + (12 + 8it*) = 2±y^-
*з,4:
2лА:.
Очевидно, что решения квадратных уравнений могут быть
найдены лишь при условии 1 + 2пп > 0, а именно при п > О, п е Z, и
7 Г*>-1,
7 + 2яА: > 0, т. е. к > -
2тс
keZ.
161
3. Тригонометрические уравнения
Пример 3.20. Решить уравнение
tg[9jc-^] = ctg[-J-2x|.
Решение. Обозначим
5тг
9х-^ = Мх\
о
-2x = f2(x).
Тогда получаем уравнение tg/j(jt) = ctg/2(*). При /2(х)Фпт,
m e Z, справедливо равенство ctg/2(*) = tg — - f2(x) .
Следовательно,
tg/i(*) = tg^-/2M, 0
[/iOOФ7ш, /wgZ,
Mx) = ^-f2(x)j + nn,n
Mx)*- + nk,keZ,
/2 (х) Ф ±7im, m е Z,
8 2 4
8 2
2дг^±ят, meZ,
7х = —+ ™,rteZ,
8
9**^ + 7сД;, £eZ, <=>
8
2*^— ±7Ш, meZ,
1 17С , 7С ™
jc = + — л, rceZ,
56 7
**^ + ^A;,A:eZ,
8 9
71 , 71 г,,,
**— ±—т, те А
8 2
162
3.3. Основные методы решения тригонометрических уравнений
Очевидно, что в представленной серии решений могут быть
найдены такие значения п е Z, k e Z, m e Z, при которых +
56
+—п = — + — к и —- + — п = -— ±— т. Из первого уравнения на-
789 56 7 82
ходим
9 7 56 8 7 14
тс 7 тс14 7 14 14
= \4п + 4п-9 =п ( 4к-9
14 14
4»7_9
Поскольку к,п - целые числа, то и выражение = р должно
14
быть целым числом. Следовательно,
14р + 9
4п-9 = \4р <=> 4л = 14/?+ 9 <=> п = — .
Тогда первая серия решений уравнений рассматриваемой системы
дает следующие значения х:
1Ьг 7С ПТЕ , 7tfl4/7 + 9^ 29тг 7С ™
х = + —п = + — — = + — р, peZ,
56 7 56 1\ 4 ) 56 2
, 14/7 + 9
а вторая серия решении после подстановки к = — + р =
4
18/7 + 9 Зл , я ™
= — позволяет получить неравенство хф— + — /?, /?eZ.
Видно, что при любом /? g Z эти серии решений не совпадают.
Аналогично можно доказать, что при любом /?eZ не будет
совпадения первой серии решений с х = -— +—т, meZ.
Уравнения, содержащие тригонометрические функции с
разными аргументами. Для решения целого ряда
тригонометрических уравнений, содержащих тригонометрические функции с
разными аргументами, используются рассмотренные ранее триго-
163
3. Тригонометрические уравнения
нометрические формулы, многие из которых являются верными
равенствами для всех значений, входящих в них переменных.
Примерами таких формул являются формулы двойного аргумента,
половинного аргумента, формулы для суммы и разности синусов и
косинусов, произведения синусов и косинусов, для синуса и
косинуса суммы и разности двух аргументов и др.
Рассмотрим применение формул преобразования суммы
тригонометрических функций в произведение. При этом члены
уравнения группируют так, чтобы после перехода к произведению
каждое из них содержало один и тот же множитель.
Пример 3.21. Решить уравнение
sin 3* + sin 2х + sin x = 0.
Решение. Воспользуемся следующими равносильными
преобразованиями:
sin 3* + sin 2x + sin x = 0 <=> 2 sin 2x cos x + sin 2x = 0 <=>
<=> sin 2*(2 cos x + sin x) = 0 <=>
sin 2x = 0,
sin л:+ 2 cos л: = 0.
Решая простейшие уравнения sin2;c = 0, x = —n, m
+ 2 cos л: = 0, * = arctg(-2) + 7iA:, &eZ, находим
xsl—n; -arctg2 + 7iA:, n, k e
Пример 3.22. Решить уравнение
sin 2х + sin 3* + cos 4x = cos x.
Решение. Сгруппируем члены уравнения следующим образом:
(sin 2х + sin Зд:) + (cos 4x - cos x) = 0,
а затем перейдем в каждой из скобок к произведению
5 v 5 3
2sin—х cos—2sin—x sin—* = 0.
Вынесем общий множитель 2 sin—x за скобку и получим уравне-
164
3.3. Основные методы решения тригонометрических уравнений
2sin—х\ cos— -sin—x 1 = 0,
решение которого сводится к решению совокупности уравнении
sin—* = 0,
2
х 3
cos—sin—* = 0.
Для первого уравнения совокупности находим — * = 7Ш<=>
<=> х = —^1, neZ. Во втором уравнении заменим
. 3
sin—х
2
= cos(E-lx) = cos(lx-?L
\2 2 J U 2
<=> cos—cos
2
(J.-»)...
2 4
= 0.
Решение полученного уравнения найдем, решая совокупность
двух простейших уравнений:
sin jc —— =0,
x-- = nk9 x = - + nk, £eZ,
4 4
-- + - = 7i/, x = - + 2nl, /eZ.
2 4^ L 2 4 2
Ответ содержит три серии решений:
jci =—п, хо=—\-nk, X2= — + 2nL n.k.leZ,.
5 4 2
Аналогично можно применять формулы преобразования
произведения в сумму, если уравнение содержит парные
произведения синусов и (или) косинусов. Поясним это на примерах.
Пример 3.23. Решить уравнение
sin х sin 3* + sin 6x sin 1 Од: = 0.
165
3. Тригонометрические уравнения
Решение. Заменим произведения тригонометрических функций
их алгебраическими суммами:
cos 2х - cos Ах _ cos Ах - cos 16х _ ^
2 2
Умножив обе части уравнения на 2 и приведя подобные члены,
получим
cos 16х - cos 2х = О <=> - 2 sin 9x sin lx = 0.
Решим теперь совокупность двух простейших уравнений
sin 9x = 0,
sin lx = 0
9* = 7M, Х = — П. П€
9
lx = izk, x = — k, ki
1
Ответ содержит две серии решений:
х\=—п, Х2=—к, n.kel,.
9 7
Ряд тригонометрических формул не для всех значений
переменных являются верными равенствами, но при этом ОДЗ правой
части и ОДЗ левой части этих равенств совпадают. Например,
равенство tg:c= sin x выполнено для всех x* — + nn,neZ. При
1 + cos 2x 2
этом область определения левой части равенства как функции
аргумента х, т.е. f\(x) = tgx, совпадает с областью определения
правой части f2(x)= sm2x , или D(f]) = D(f2).
1 + cos 2x
Другие тригонометрические формулы тоже выполняются не
для всех значений переменных, но в отличие от предыдущего
случая левые и правые части этих равенств имеют разные области
определения, например:
ctg* = -!-, (3.27)
tgx
sin2x = 2tg^ , (3.28)
1 + tgV
166
3.3. Основные методы решения тригонометрических уравнений
cos 2x = l tg* (3.29)
1 + tg2jc
tg(jc_a) = Ji£z*L. (3.30)
l + tg*tga
Если к левой и (или) правой частям тригонометрического
уравнения f\(x) = f2(x) применить формулы (3.27)-(3.30) таким
образом, что левая часть этих формул будет заменена правой частью, то
это может привести к потере корней исходного уравнения. Поэтому
такие преобразования в процессе решения уравнений недопустимы.
Если к левой и (или) правой частям тригонометрического уравнения
f\(x) = fz(x) применить формулы (3.27)-(3.30) таким образом, что
их правая часть будет заменена левой частью, то возможно
приобретение посторонних корней. Поэтому при использовании таких
преобразований необходима проверка в конце решения.
Проиллюстрируем рассматриваемые утверждения
следующими примерами.
Пример 3.24. Решить уравнение
6tg2*-2cos2;c = cos2;c. (3.31)
Решение. Преобразуем заданное уравнение с помощью
тригонометрических формул
2cos2;c = l + 2cos2;c, tg2x=l~cos2x
1 + cos 2x
к виду
s l-cos2x
1 + cos 2x
-(1 +cos 2*) = cos 2*. (3.32)
Отметим, что левая и правая части второй из двух приведенных
выше тригонометрических формул определены, хотя и не для всех,
но для одних и тех же значений х, а именно они определены для
всех х ф — + пп, neZ. Следовательно, на множестве
D = R\l
уравнения (3.31) и (3.32) будут равносильными. Найдем решения
уравнения (3.32):
167
3. Тригонометрические уравнения
6(l-cos2x)
— --2cos2;c-l = 0.
1 +cos 2л:
Если cos2х = t, \t\<\, то приходим к цепочке следующих
равносильных преобразований:
6(1-0_2,_1 = 0 ^ 6(l-t)-(2t + m + t)=0^
\+t \+t
^5~9< -2t2=0^2t2+9t-5=0^2t> + 9t-5 = 0,
\+t \+t
откуда t\=-5; t2=—. Первый из полученных корней не
удовлетворяет условию 111 < 1, а второй позволяет из уравнения cos 2x =
= — получить решения
6
Пример 3.25. Решить уравнение
sin2;c-3cos2;c = 3. (3.33)
Решение. Преобразуем левую часть данного уравнения с
помощью тригонометрических формул (3.28) и (3.29):
2V
2tg* 3l-tg2*_3
1 + tg2* 1 + tg2*
2tg*-3 + 3tg2x=3Q2(tg*-3)=0
1 + tg2* 1 + tg2*
(3.34)
Отметим, что формулы (3.28) и (3.29) применены так, что левая их
часть заменена правой частью. Следовательно, данное
преобразование не только не является равносильным, но и, возможно,
приведет к потере корней. Действительно, решениями уравнения
(3.34) будут следующие значения х:
;c = arctg3 + 7itt, weZ,
168
3.3. Основные методы решения тригонометрических уравнений
и в то же время значения х = — + 7ш, п е Z, при которых уравнение
(3.34) не определено, также являются корнями исходного
уравнения (3.33). В этом легко убедиться непосредственной
подстановкой. В результате получаем корни исходного уравнения:
— + 7м; arctg 3 + пп; п е
Пример 3.26. Решить уравнение
^£^- = 1. (3.35)
tg* + l
Решение. Учитывая, что tg— = 1, перепишем уравнение (3.35) в
виде
tg*-tg^
4 _i
tgx + tg^
Применим к левой части полученного уравнения
тригонометрическую формулу (3.30). Причем это преобразование связано с
заменой правой части формулы (3.30) ее левой частью. Следовательно,
при такой замене возможно приобретение посторонних корней.
В результате получаем
tgfJC-—] = 1<=>Х = —+ 7ЕЛ, П<еЪ.
Однако проверка показывает, что ни один из полученных корней
не является корнем исходного уравнения и, следовательно,
исходное уравнение корней не имеет.
Приведенные примеры доказывают, что при решении
уравнений применять различные тригонометрические формулы надо
очень внимательно, помня о том, что формальное их
использование может привести как к потере, так и к приобретению корней.
Однако такого не произойдет, если применять каждую из
формул (3.27)-(3.30) на том множестве Д из ОДЗ решаемого
уравнения, на котором определена правая часть соответствующей
формулы. Тогда на множестве Д в результате такого преобразования
169
3. Тригонометрические уравнения
получим уравнение, равносильное исходному. Найдя корни этого
уравнения и отобрав те из них, которые принадлежат множеству
Д, получим множество решений исходного уравнения. При этом
следует помнить, что решения исходного уравнения найдены
только на части ОДЗ, а именно на множестве Д. Поэтому для
решения в целом необходимо рассмотреть еще ту часть ОДЗ, которая
осталась после выделения множества Д. Таким образом, при
решении тригонометрических уравнений с помощью
тригонометрических формул (3.27)-(3.30) необходимо использовать
следующую логическую схему.
1. Найти ОДЗ исходного тригонометрического уравнения.
2. Разбить ОДЗ на два подмножества Д и Д: Д -
множество, представляющее собой ту часть ОДЗ, на которой определена
правая часть используемых формул (3.27)-(3.30); £>2 -
множество, представляющее ту часть ОДЗ, которая осталась после
выделения множества Д.
3. Решить уравнение на множестве Д.
4. Решить уравнение на множестве Di.
5. Объединить серии решений, найденные на обоих
множествах Д и Д>.
Найдем по указанной схеме решения некоторых уравнений,
рассмотренных выше.
Пример 3.27. Решить уравнение
sin 2x - 3 cos 2x = 3.
Решение
1. Находим ОДЗ исходного уравнения. Это есть множество Е
всех действительных чисел.
2. Разбиваем множество всех действительных чисел на два
подмножества. Подмножество Д - это множество, на котором
определены функции
1 + tg2*
г ,, l-tg2X
1 + tgz*
170
3.4. Решение тригонометрических уравнений с ограничениями
Очевидно, что Д=М\<— + 7М, neZ). Тогда множество Z>> =
= М\|- + тш, rcezj.
3. На множестве Д имеем следующую цепочку равносильных
преобразований:
sin2:c-3cos2:c = 3^> 2tg* -31"tg/=3<=>
1 + tgz* 1 + tgz*
<=> x = arctg 3 4- 7Г/7, n e Z.
4. Решаем исходное уравнение на множестве Z>>. Подставив
каждое из чисел х = — + 7ш, п е Z, в исходное уравнение, получим
верное числовое равенство.
5. Объединив множества корней на Д и £>2, найдем все
решения исходного уравнения:
arctg3 + пп; — + пп\, neZ.
3.4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С ОГРАНИЧЕНИЯМИ
3.4.1. Отбор корней в тригонометрических уравнениях
Часто при решении тригонометрических уравнений требуется
найти корни, которые принадлежат определенному промежутку
или удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. В этом
случае для каждой серии решений находят только те значения
неизвестного, которые удовлетворяют указанным ограничениям.
Рассмотрим это на примерах.
Пример 3.28. Найти все корни уравнения cos3;c-cos;c =
= v3sin;c, принадлежащие промежутку [0; я].
Решение. Выполним следующие преобразования:
171
3. Тригонометрические уравнения
cos3;c-cos;c = v3sin;c <=>-2sin2;c sin;c = v3sin;c<=>
<=> 2 sin л: sin 2* + v3sin;c = 0 <=> sinx(2sin2x + v3) = 0 <=>
Г* = nk,
sin;c = 0,
sin 2x =
7з «
2x --
-71 + 271/
x = nk,
X = Ь7Ш,
6
2
* = — 7t + 7t/,
3
где k, n, I g Z. Теперь определим корни из этих серий решений,
принадлежащие отрезку [0; п]. Для этого решим следующие
неравенства:
0<7с£<7с, £е{0;1}; 0<-- + 7ш<7с, п = \; 0<-п + п1 <п, 1 = 0,
т. е. отрезку [0; я] принадлежат корни <0; п, — п, — п).
( 5 2)
Ответ: {О: я, —п. —п>.
3.4.2. Решение тригонометрических уравнений с модулем
В тригонометрических уравнениях знак модуля может быть
использован для создания ограничений на аргумент *, т. е.
/(И), или непосредственно для самой тригонометрической
функции |/(*)|. В первом случае раскрытие модуля приводит или к
решению совокупности двух смешанных систем
/0*1)=о о
*>о,
/(*) = о,
х<0,
/(-*)=о,
или к решению равносильного уравнения, полученного на основе
свойств тригонометрических функций.
172
3.4. Решение тригонометрических уравнений с ограничениями
Во втором случае снятие модуля приводит к следующим
равносильным преобразованиям:
1) при а<0 уравнение |/(;с)| = <я решений не имеет, т.е.
jcg0;
2) при а > О
|/«| = я-
Л*)* о,
f(x) = -a
а>0,
а>0,
Лх) = -а.
Для тригонометрического уравнения вида |/(*)| = <?(х) имеем
|Я*)| = ф(х) о
Д*)>0,
/М = ф(*Х <
/(*) = -Ф(х)
ф(х)>0,
/М = Ф(*),
ф(х)>0,
Дх) = -ф),
а для уравнения вида |/(д:)| = |cp(jc)| -
|/«| = |ф«| о
f(x) = (f(x),
_/(*) =-Ф(х).
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 3.29. Решить уравнение
cos2jt + 5sin|jt|=3.
Решение. Приведем уравнение к функции одного аргумента:
cos2 х - sin2 x + 5 sin |jc| = 3 <=> 1 - 2 sin2 x + 5 sin |jc| = 3 <=>
<=> 2sin2 jc - 5sin |jc| +2 = 0.
Учитывая, что sin |jc| - функция четная и sin2 |jc|= sin2 x, запишем
2sin2 |jc| -5sin |дг| +2 = 0.
Введем новую переменную sin \x\=t, t e [-1; l], тогда
173
3. Тригонометрические уравнения
2t2-5t + 2 = 0, tl2 =
5±л/25-16 _ 5±3
откуда
"/1=2,
Так как f е [-1; 1], то 7 = 2 - посторонний корень.
Рассмотрим решение уравнения sin|jc|=—. Очевидны
следующие преобразования:
\\x\=z,
sin|jc| = — <=>
2
sinz = —, <=>
2
z>0
\x\=z, z>0,
* = - + 2тсД:, £eZ,
Z = — 7C + 27C/, / <
6
Поскольку z=|jc|>0, следует отобрать такие значения к и /,
чтобы обеспечить неотрицательные значения z =|jc| . Так как
U,/>0,
то, следовательно,
|х| = - + 2те*,
|JC| = -7C + 27C/
6
jc = ± - + 2nk
Х = ±\ -71 + 271/ |.
Ответ: х\ = ±(- + 2nk\ х2 =±[-тс + 2тс/ ], k,leZ+.
Можно предложить и другой способ решения этого уравнения.
По определению
\х\=а, я>0, х-
а при *>0,
-а при *<0.
174
3.4. Решение тригонометрических уравнений с ограничениями
Поскольку у = sin x - функция нечетная, то
2sin2 х- 5sin|jc| + 2 = 0 <=>
*>0,
2 sin 2 х - 5 sin х + 2 = О,
*<0,
2 sin2 * + 5sin;c + 2 = 0
*>0,
x = - + 2nk, k>0,ki
X = —71 + 27Ш, П > О, П G z
6
U>o,
sin;c = —,
I 2
fjt<0,
sin;c = —
I 2
*<0,
x = — + 2nm, m<0, mi
6
x = --n + 2nl, /<0,/g2
6
Произведем замену m = -/, / = -g и запишем решение в виде
* = ---2те/,
6
Ответ:
Х = 7С-27СР-.
6 *
х = ±\- + 2nd , d>0,deZ.
x = ±(-n + 2np\p>0,pei
Если знак модуля относится к самой тригонометрической
функции, т. е. |/(jc)|, то применяем схемы решения,
соответствующие уравнениям
175
3. Тригонометрические уравнения
\f(x)\ = a, |/«| = ф(*), |/М| = |Ф(х)|.
Рассмотрим ряд примеров.
Пример 3.30. Решить уравнение
1 + 2|siruc| = 2cos2jc.
Решение. Приведем заданное уравнение к одному аргументу,
учитывая при этом, что 2cos2;c = 2(l-2sin2 x). В результате
получим
1 + 2|sinjc| = 2 -4sin2 x <=> 4sin2 xч- 2|simc| -1 = 0.
Поскольку
sin*, sin л: > 0,
-sin*, sin л: < 0,
полученное уравнение равносильно совокупности двух систем,
т. е.
4sin2 jc-h 2|sinдг| — 1 = 0 <=>
sin л: > 0,
4 sin2 * + 2sin*-l = 0,
sin*<0,
4sin2 л: - 2sin л:-1 = 0.
Решим первую систему из совокупности:
(sin л: > 0,
,-2±л/4 + 16 _-1±У5
fsinjc > 0,
4sin2 jc + 2sin д: —1 = 0 sin;c = -
При sin*>0 решение уравнения sin;c = — запишем в виде
4
x = (-\yarcsm^^ + nn, neZ.
4
Решим вторую систему из совокупности:
176
3.4. Решение тригонометрических уравнений с ограничениями
с . л [sin;c<0,
sin jc < 0,
4sin**-2sin*-l = 0 ° sinx=2±ViO=i±^(
т.е. sin;c =—— и Ar = (-l)"arcsin^ + nn, neZ.
4 4
Объединим полученные результаты:
* = ±arcsin — + 7М, neZ.
4
Заданное уравнение 1 + 2 |sin x| = 2 cos 2дг можно решить другим
способом, учитывая, что |sin jc| = sin2;c. Приведем уравнение к
одному аргументу:
2cos2* = 2(l -2sin2 x) = 2^1 -2|sinjc|2) = 2-4|sinjc|2 <=>
<^=> 1 ч-2|sinjc| = 2 — 4|sinjc| <=> 4|sinx| +2|sinjc|-l = 0.
Отсюда Isinjcl = —~ . Так как Isinд:|>0, выбираем только ре-
' ' 4 ' '
— , тогда sin;c = ±— и
шение вида sin* =- , тогда sin;c = ±- и х = (-\)"х
' i 4 4
х ±arcsin — -h7ГЛ7, т.е. * = ±arcsin— + nn, neZ.
Пример 3.31. Решить уравнение
2|sin дг| ч- 3|cosjc| = 3.
Решение. Поскольку 2|sin лг| -h 3|cos jc| = 3 <=> 2|sin jc| = 3 — 3|cos jc| ,
возведем обе части уравнения в квадрат: 4sin2* = 9-18|cos;c| +
+ 9cos2* и после очевидных преобразований получим уравнение-
следствие 13cos2 д: — 18|cosjc| + 5 = 0. Полагая |cos;c| = }>, 0 <>><!,
177
3. Тригонометрические уравнения
9±4
найдем у = , т.е.
У = 1
У =
5 Если |cosjc| = 1, то из исходного
13*
уравнения следует, что |sin jc| = 0, и тогда x = nk, keZ. При
х = пк исходное уравнение обращается в числовое тождество, т. е.
х = пк - корень исходного уравнения. Если же |cosx| = —, то
13
cos;c = .
13
Если cos;c = —, то sinjt = ±Jl- —
13
cos;c = , то sinjt = ±Jl-
13 А'
13
-±— и Isinjcl = —. Если
13 ' ' 13
= ±— и |sinjc| = —, откуда
\Ъ) 13 ' ' 13
19 19
jci =(-\)n arcsin — + пп, xi = (-1)"+1 arcsin — + nn, neZ.
13 13
Полученные решения логично объединить и записать в виде
12
jc = ± arcsin — + 71А7, neZ.
13
3.4.3. Решение тригонометрических уравнений
со знаком радикала
Тригонометрическая функция может быть использована в
качестве неизвестного в иррациональном уравнении, т. е. в качестве
тригонометрических уравнений могут быть рассмотрены уравнения
вида yjf(x) = (р(*), где f{x\ (p(*) - произвольные
тригонометрические выражения. Эти уравнения решают методами равносильных
преобразований или путем перехода к уравнению-следствию. В пос-
178
3.4. Решение тригонометрических уравнений с ограничениями
леднем случае следует проверить все полученные корни
непосредственно подстановкой в исходное уравнение. Рассмотрим некоторые
приемы решения на примерах.
Пример 3.32. Решить уравнение
Vl-cos* + V2sin* = 0.
Решение. Применим к решению метод равносильных
преобразований:
г г- . [l-cos* = 2 sin2x,
Vl-cos* =-V2sin*<=>^ <=>
[sin*<0
fl - cos* = 2(1 - cos2 jc), f2cos2 x - cos* -1 = 0,
sin*<0 sin*<0
cos* = l,
cos* =—, <=>
2
sin*<0
* = 2nk, k e Z,
2
* = — 7C + 27C/, I Si
3
x = —n + 2nn, ni
3
sin*<0.
Если x = 2nk, то sin* = 0 и, следовательно, найденная серия ре-
2
шений является корнями исходного уравнения. Если * = — 7С + 27С/,
2
то sin*>0. Эти корни посторонние. Если х = —п + 2пп, то
sin*<0. Следовательно, эта серия решений также является
корнями исходного уравнения.
Решим это уравнение методом возведения в квадрат, т. е.
перейдем к уравнению-следствию:
Vl - cos * + v2 sin * = 0 <=> Vl-cos* =
= -v2sin* =>l-cos* = 2sin2 *,
откуда
179
3. Тригонометрические уравнения
2cos2;c-cos;c-l = 0,
Icos jc| < 1
cos;c = l,
1 <=>
<=>
x = 2nk, keZ,
x = —k + 2tiL /eZ,
3
x = —n + 2nn, net
3
Проверка. Подставим x = 2nk в исходное уравнение:
/l-l + V2 • 0 = 0, т. е. х = 2пк - корень уравнения, затем подставим
c = -n + 2nl: Jl + - + V2^-*0, т.е. x = -n + 2nl, /eZ, не
является корнем исходного уравнения. Подставим х = —п + 2пп,
получим . /1 + — + V2 -— = 0, следовательно, х = —п + 2пп, п е Z, -
V 2 ^ 2 ) 3
корень исходного уравнения. Напомним, что здесь проверка
является обязательным этапом решения.
2
Ответ: х = 2пк, х = —п + 2пп, k,neZ.
3
3.5. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
При решении систем тригонометрических уравнений
используются те же подходы, что и при решении систем обычных
алгебраических уравнений. Для простоты изложения ограничимся
тригонометрическими системами с двумя неизвестными х и у.
Решения таких систем обычно записываются в виде упорядоченных
пар (х; у) или в виде системы.
Итак, рассмотрим сначала систему тригонометрических
уравнений
180
3.5. Системы тригонометрических уравнений с двумя неизвестными
Мх;у) = 0,
/2(*) = 0,
(3.36)
где f\(x;y), fi{x\y)- тригонометрические функции двух
неизвестных х и у. Для системы (3.36) справедливы следующие
утверждения о равносильных преобразованиях.
1. При изменении порядка следования уравнений системы
(3.36) вновь полученная система равносильна заданной.
2. При замене одного из уравнений системы (3.36)
равносильным уравнением вновь полученная система равносильна заданной.
3. Если в одном из уравнений системы (3.36) одно из
неизвестных, например х, выразить через другое неизвестное у и
подставить это выражение вместо х в другое уравнение, то получим
систему уравнений, равносильную данной.
Пример 3.33. Решить систему уравнений
sm{x-y) = — >
х + у ■■
Решение. Решение системы отыскивается на основе
следующих равносильных преобразований:
sin(;c- y) = —,
2
х + у = !
2
sin(;c- y) = —,
2
sinl х-- + х) = -.
71
sin I — — 2л:
cos 2* = -
,-f-*
2x = ±arccos — + nk, k e i
71
2x = ± 7t-i ) + nk,keZ,
181
3. Тригонометрические уравнения
2x = ±— + nk, keZ,
3
71
у = --х
x = ±- + -k9 keZ,
3 2
3 2
,-f-
<
x = -- + -n, «eZ,
3 2
71
* = - + -*, ifceZ,
3 2
' 6 2
х = -- + -л, neZ,
3 2
^=5тг_71 ^eZ<
'62
Ответ: Л1 + ^;1-^Це^
,3 2 6 2 "
_2L + iLw;57£_iLw
3 2 6 2 J
rceZ
4. Если первое уравнение системы (3.36) заменить
тригонометрическим уравнением, равным сумме первого уравнения,
умноженного на некоторое число oci Ф О, и второго уравнения,
умноженного на некоторое действительное число (Х2, то полученная
система тригонометрических уравнений будет равносильна
заданной, т. е.
Г/К*;дО = 0, \oi]f](x;y) + a2f2(x;y) = 09
\f2(x;y) = 0^ \Мх;у) = 0.
Из утверждения 4 вытекают два важных следствия.
Следствие 1. Если первое уравнение системы
тригонометрических уравнений (3.36) заменить суммой или разностью первого
и второго уравнений системы, то вновь полученная система
тригонометрических уравнений будет равносильна заданной.
Следствие 2. Если первое уравнение системы
тригонометрических уравнений (3.36) равносильно совокупности уравнений, т. е.
Мх;у) = 0 <=>
Ы*;>0 = о,
,gm(x;y) = 0,
182
3.5. Системы тригонометрических уравнений с двумя неизвестными
то система (3.36) равносильна совокупности следующих систем
уравнений:
" gi (*;>>) = о,
gi(x;y) = 0,
М*У) = 09
gm(x;y) = 0,
fi(x;y) = 0.
Однако в отличие от систем алгебраических уравнений
решение систем тригонометрических уравнений имеет ряд
особенностей. В частности, при решении систем с двумя неизвестными
появляются два целочисленных параметра. Проиллюстрируем это на
примере.
Пример 3.34. Решить систему уравнений
sin(;c + у) = О,
sin(;c - у) = 0.
(3.37)
Решение. Из первого уравнения системы (3.37) следует, что
х + у = пп, п е Z, а из второго - что х - у = nk, keZ. При
произвольно взятых значениях п и к из решения системы линейных
уравнений
х + у = пп,
х- у = пк
(3.38)
находим
х = *(п + к)9 у = ^{п-к\
где n,keZ. Полученные пары (х;у) и только они составляют
множество решений системы (3.37).
Замечание. Было бы ошибкой вместо системы линейных
уравнений (3.38) рассматривать систему уравнений
183
3. Тригонометрические уравнения
х + у = пп,
У (3.39)
х-у = пп, п еZ,
полученную в результате употребления одной буквы для
обозначения целочисленных параметров в различных сериях решений
первого и второго уравнений системы (3.37). Различие систем
(3.38) и (3.39) состоит в том, что система (3.38) охватывает все
возможные значения целочисленных параметров п и &, в то время
как система (3.39) охватывает лишь пары значений (х;у) с
равными значениями целочисленных параметров. Это и приводит к
потере решений.
Для преобразования уравнений системы (3.36) используются
все те методы решения, которые были рассмотрены выше.
Приведем примеры использования методов подстановки, разложения на
множители и ряда других.
Пример 3.35. Решить систему уравнений
[sin л: + cos у = 1,
(3.40)
[cos 2x- cos 2y = \.
Решение. Применим ко второму уравнению системы (3.40)
следующие равносильные преобразования:
cos 2х - cos2>> = 1 <=> 1 - 2sin2 x - 2cos2 у +1 = 1 <=>
<=> 2 cos2 v + 2 sin2 x = 1 <=> sin2 x + cos2 у = —.
2
Очевидно, что в силу утверждения 2 вновь полученная система
тригонометрических уравнений
1sin;c + cos}> = l,
• 2 2 1 (3.41)
sinz * + cosz у = —
2
будет равносильна исходной. Обозначив
sin;c = v, |v|<l,
cos>> = w, Ы<1,
184
3.5. Системы тригонометрических уравнений с двумя неизвестными
вместо системы (3.41) получим систему
M + V = l,
<=>
И-1»
М-1
и = 1 - v,
l-2v + v2+v2=-,
2
И-1»
|v|<l
и = 1 - v,
1
v = —,
2
М-1»
М<1
и = 1 - v,
(l-v)2+v2=-,
2
И-1»
|v|<l
и = 1 - v,
<=>
<=>
2v2-2v + - = 0,
2 «
И-1'
М<1
и = —.
2
Следовательно, исходная система (3.40) равносильна системе
' _ 1
ОТКуда Х = (-\)п — -h 7T/7, Yli
6
cos y = —,
2
3
Пример 3.36. Решить систему уравнений
3
cos* cosy = —,
4
sin* sin у = —.
4
(3.42)
Решение. Используя следствие 1, переходим к равносильной
системе уравнений:
185
3. Тригонометрические уравнения
cos* cosy + sin* s'my = —, \cos(x-y) = —,
[cos x cos у - sin x sin у = 1
Находим решение каждого уравнения:
[cos(;c + >>) = 1.
1 я
cos(x-y) = — <^>х-у = ±—ь27ш, л ел
cos(;c + .у) = 1 <=> л: + .у = 27гА:, k e Z.
В результате получаем совокупность двух систем линейных
уравнений с целочисленными параметрами:
\х-у = — + 2пп, пi
з
[х + у = 2пк,к eZ,
Ьс - v = ь 2itn, л е Z,
3
[jc + >> = 27c£, A: eZ.
Искомые решения первой системы уравнений
а второй -
х = —\-п(п + к); у = \-п(к-п), k,nt
6 6
х = -- + п(п + к); у = - + п(к-п), k,neZ.
6 6
Таким образом, упорядоченные пары
- + п(п + к); -- + п{к-п\ к,пе1
6 6
- + 7с(л + Д:); - + я(*-л), it, rceZ
6 6
задают множество всех решений системы (3.42).
186
3.6. Решение тригонометрических уравнений с параметром
3.6. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С ПАРАМЕТРОМ
Пусть дано уравнение вида f(x, a) = О, где f(x, a) -
произвольное тригонометрическое выражение.
Если при значении параметра а = ао тригонометрическое
выражение f(x, ao) не имеет смысла ни при каких значениях х, то
такие значения параметра а будем называть недопустимыми
значениями параметра для выражения f(x, a).
Если при значении параметра а = ао тригонометрическое
выражение /(*, яо) имеет смысл хотя бы при некоторых *, т. е.
область определения выражения f{x,a) no x - непустое множество,
то такие значения параметра а будем называть допустимыми
значениями параметра для выражения f(x,a).
Решить уравнение f(x, а) = О - это значит найти решения
семейства уравнений, которые получаются из исходного уравнения
при различных допустимых значениях параметра а.
При нахождении множества решений можно выделять
критические значения параметра. Под критическими значениями
параметра понимают такие значения из области допустимых значений
параметра, при переходе через которые происходит изменение
зависимости решения, например изменяются число решений, форма
записи решений и т. д.
Единая методика решений уравнений с параметром
отсутствует. Однако для решения целого ряда задач, таких, как, например,
решить уравнение f(x, a) = 0 для каждого допустимого значения
параметра я, можно сформулировать общие рекомендации.
1. Из множества допустимых значений параметра найти все
критические значения и все множество допустимых значений
разбить на интервалы.
2. Найти множество решений уравнения в каждой области.
3. Найти решения уравнения при критических значениях
параметра.
Для нахождения множества решений уравнения /(*, а) = О
обычно используют аналитические и графические методы.
187
3. Тригонометрические уравнения
Аналитические методы применяют для решения уравнений
вида f(g(x, а)) = 0 или f(a, g(x)) = О, где g(x, a); g(x)-
тригонометрические функции или тригонометрические выражения, а / -
произвольные алгебраические выражения. Сначала на каждом
интервале изменения параметра заменой t = g(x) или t = g(x, a)
уравнение f(a, g(x)) = О или f(g(x, a)) = О сводим к
алгебраическому уравнению (линейному, дробно-линейному, квадратному и
др.), а затем, сделав переход к прежней переменной, находим
решения исходного уравнения.
Если в задаче с параметром требуется найти не все множество
решений при допустимых значениях параметра, а определить
только те значения параметра, при которых решения задачи
удовлетворяют тому или иному дополнительному условию, например
условию единственности решения и др., то при решении такого
рода задач используют методы поиска необходимых условий.
Пример 3.37. Найти все значения параметра я, при каждом из
которых множеством решений уравнения
4 2
(a3 -<3 + l)cos2x-a +a sin2х = cos2x
2
являются все действительные числа.
Решение. Так как по условию задачи решением данного
уравнения является вся числовая прямая, то, очевидно, что решением будет
число х = 0. Подставив х = 0 в данное уравнение, получим
я = 0,
а = \.
Допустимыми значениями параметра а являются все
действительные числа, а множество значений Qi = {-1; 0; 1} является
необходимым условием справедливости поставленной задачи. Однако
найденные значения а требуют дополнительной проверки,
поскольку условие а е С1\ говорит лишь о том, что при этих значениях а
число * = 0 является решением данного уравнения и о других
значениях хеШ пока ничего не известно. Подставим найденные
значения параметра а в исходное уравнение. В результате получим
а3 - а +1 = 1 <=> а(а2 -1) = 0 <=>
188
3.6. Решение тригонометрических уравнений с параметром
а) при а = -\ cos2;c-sin2;c = cos2;c<=>cos2;c = cos2;c=>;ceIR;
б) при а = 0 cos2 х = cos 2л: <=> sin2;c = 0<=> sin л: = 0 <=> х = пп,
я е Z, т. е. решением полученного уравнения являются отдельные
серии аргумента х и, следовательно, xel не является
множеством решений исходного уравнения;
в) при а = 1 cos2 х - sin2 x = cos 2x <=> cos 2x = cos 2x => х е Е.
Таким образом, из множества Qi ={-l; 0; 1} поставленной
задаче удовлетворяют лишь значения а е Q2 = {-1; 1}-
Поиск необходимых условий в задачах с ограничениями
облегчает ряд стандартных приемов. Одним из таких приемов
является использование «удобной» точки (пример использования
«удобной» точки приведен ранее). Суть этого приема состоит в
следующем.
Пусть по условию задачи требуется определить значения
параметра, при которых тригонометрическое уравнение f(x, a) = 0
выполняется при всех значениях переменной х из некоторого
заданного множества. Подставив в данное уравнение какое-либо конкретное
значение переменной из этого множества, получим те значения
параметра а, среди которых обязательно содержатся искомые. В связи
с этим возникает вопрос: какие значения х следует взять? Очевидно,
что это должны быть такие значения х из заданного множества,
которые не приводят к громоздким вычислениям и при которых
множество значений параметра Qi содержит наименьшее значение
элементов. Выделение множества Q2 из Qi (достаточные условия)
проводится путем дополнительных рассуждений.
В ряде случаев при решении тригонометрических задач с
параметром удобно использовать различные свойства
тригонометрических функций (ограниченность, монотонность, периодичность,
четность), а также симметрию тригонометрических выражений.
Рассмотрим это на примере.
Пусть требуется найти число я, при котором уравнение
f(x, a) = 0 имеет единственное решение. Пусть f(x, a) - четная
тригонометрическая функция относительно аргумента х при любом
допустимом значении параметра а. Согласно определению четной
функции при любом xeD(f) выполняется условие f(x, a) =
= /(-jc, а). Поэтому, если тригонометрическое уравнение f(x, a) =
= 0 с четной функцией /(jc, а) имеет единственное решение, то
189
3. Тригонометрические уравнения
этим решением может быть лишь д: = 0. Далее, решив уравнение
/(О, а) = 0, находим множество Qi необходимых значений
параметра, при каждом из которых уравнение f(x,a) = 0 может иметь
единственное решение. Затем при каждом aeQ\ проверяем, имеет
ли уравнение f(x,a) = 0 решения, отличные от * = 0, и отбираем
лишь те значения параметра я, при которых корень х = 0 является
единственным.
Пример 3.38. Решить уравнение
as'mx = \.
Решение. Если а = 0 (первое критическое значение параметра),
то исходное уравнение не имеет решений, так как 0 • sin х = 1.
Если я* О, то уравнение имеет вид sin;c = —. Так как Isinjc| < 1,
я
следует решить неравенство
<1. Его решения: яе(-оо;-1]и
U [1;+°°) (я = 1, я = -1 - критические значения параметра). Если
яе(-1;1), то
>1 и множество решений исходного уравнения
\а
есть пустое множество.
Ответ: при <яе(-оо; -l]U[l; +00) х = (-\)" arcsin — + nn, neZ;
при ае(-\; 1) хе0.
Пример 3.39. Решить уравнение
sinax7i = 0.
Решение. Если а = 0 (критическое значение параметра), то х -
любое действительное число, так как sin0 = 0. Если я*о, то
х = —, neZ.
а
Ответ: при а = 0 хеЕ; при а^О х = —, neZ.
а
Пример 3.40. Решить уравнение
я sin2 * + cos;c = 0.
190
3.6. Решение тригонометрических уравнений с параметром
Решение. Приводим уравнение к виду я cos2 *-cos*-tf = 0 и,
используя замену переменной cos* = 7 (И<1), получаем систему
[ki<i.
Если а = О (первое критическое значение параметра), то t =
= cos* = 0, откуда х = ^ + пт, msZ. Если я*0, то корни
квадратного уравнения t\^ = -z—[\±у\ + 4а2 I. Оценим значения этих
корней. Так как |;| < 1,
\t2\ = — (\ + yl\ + 4a2)>— (1 + 2И)>1,
1 ' 2|fl|V / 2\а\У ' "
т. е. |^| > 1 • Это посторонний корень. Функция f(t) = at2 -t-a на
концах отрезка [-1; 1] принимает значения противоположных
знаков (/(-1) = 1, /(1) = -1), поэтому уравнение f(t) = 0 на этом
отрезке имеет хотя бы один корень, следовательно, корень
t\ = —(1 - vl + 4я2 ) расположен на отрезке [-1; 1].
Ответ: при а = 0 х = ^ + пт, meZ;
при
я*0 * = ±arccos-Ml-Vl + 4tf2 \ + 2izn, neZ.
Часто в задачах требуется установить, при каких значениях
параметра а уравнение имеет хотя бы одно решение или не имеет его
вовсе.
Пример 3.41. Найти значения параметра я, при которых
уравнение
sinjc — 1 , 2-sin л:
: + а = -
sin*-2 3-sin*
имеет решение.
Решение. Сделаем замену sin* = 7 и, учитывая, что |f|<l, при-
/_i i-t
ведем исходное уравнение к виду —о+а = 1.—• После
приведения к общему знаменателю получим равносильную систему
191
3. Тригонометрические уравнения
at2 -5at + 6a-\ = 0,
\t\<\.
При а = О уравнение решений не имеет.
Абсцисса вершины параболы to = — не принадлежит отрезку
[-1; 1]. Согласно теореме о расположении корней квадратного
уравнения имеем f{-\)f{\) < 0, что равносильно неравенству (\2а -1) х
1 . Г
х (2а -1) < О, откуда находим значения параметра а: а
Ответ: а
12'2
12'2
Пример 3.42. Найти целые значения параметра я, при которых
уравнение 2-2cos2;c = 3tf + 4sin;c имеет решение.
Решение. Исходное уравнение преобразуем к виду
2 -1(\ - 2sin2 *) = За + 4sin x <=> 4sin2 x - 4sin x - За = 0.
Сделаем замену sin* = f, |f|<l. Тогда исходная задача сводится
к нахождению всех целых значений параметра а, при которых
уравнение At2 -4t-3a = 0 имеет хотя бы одно решение на отрезке
[-1; 1]. По теореме о расположении корней квадратного уравнения
приходим к неравенству /(-1)/(1)<0. Из решения этого
неравенства /(-l)/(l)<0<=>(8-3fl)(-3fl)<0<=>fl[fl-|j<0<=>fle[o; |]
находим целые значения параметра а, при которых только один
корень уравнения принадлежит отрезку [-1; 1] (а = 1, а = 2).
Для определения значений а, при которых оба корня находятся
на отрезке [-1; 1], решим систему
D>0,
Л-1)>0,
/0)*о,
-\<t0<\
4 + 12я>0,
8-Зя>0,
-3л>0, о<
2
а<0.
-[-И-
192
3.6. Решение тригонометрических, уравнений с параметром
Видно, что отрезку
-ko
принадлежит единственное целое
3
значение а = 0.
Все найденные значения следует объединить.
Ответ: я е{0;1;2}.
В целом ряде задач с параметрами целесообразно использовать
графические методы решения. При этом применяют два подхода:
1) построение графического образа в системе координат
«переменная - параметр» Оха;
2) построение графического образа в системе координат Оху.
В первом случае сначала строится графический образ задачи,
который затем пересекается прямыми а = const. Далее в
зависимости от постановки задачи проводится отбор получаемых решений.
Во втором случае параметру а отводится роль, отличающаяся от
роли переменной х. Если, например, требуется найти решение
тригонометрического уравнения f(x, a) = g(x, а), то сначала строим
графики функций у = f(x, а) и у = g(x, а), задающих на
координатной плоскости хОу в зависимости от параметра а семейство
кривых. Для удобства анализа графиков график одной из функций
должен быть «неподвижен», а график другой функции должен
«двигаться» при изменении параметра. При этом широко
используются линейные преобразования графиков.
Решим пример 3.42 графическим методом в координатах (х; у):
2-2cos2;c = 3tf + 4sin;c <=> 4sin2 *-4sin;c-3tf = 0.
После замены sin* = t, \t\ < 1, исходная задача сводится к
нахождению всех целых значений параметра а, при которых уравнение
t2 -t = —a имеет хотя бы одно решение на отрезке [-1; ll. Рассмот-
4 l J
рим на этом отрезке функцию f(t) = t2-t (рис. 3.5). Видно, что
наименьшее значение функции f(t) на заданном отрезке, равное
f(t) = —, достигается в вершине параболы, т. е. при t = —, а наи-
193
3. Тригонометрические уравнения
большее значение - f(t) = 2 при
t = -1. Следовательно, уравнение будет
иметь решение при —ае
-Х-Л
4
<=>яе
1. 8
з'з.
. Поскольку по условию
t задачи а е Z, то искомыми значениями
параметра будут а е {0; 1; 2}.
Встречаются задачи, где требуется
Рис. 3.5 определить значения параметра, при
котором уравнение имеет
единственное или другое конечное число решений. Обычно
тригонометрические уравнения в силу периодичности тригонометрических
функций имеют одну или несколько серий решений. В условии
этих задач явно или через область допустимых значений
указывают определенный промежуток, которому должны принадлежать
корни уравнения.
Пример 3.43. Найти все значения параметра я, при которых
уравнение 4cos2;c-(4tf-2)sin;c = tf + 3, хе -—;0 , имеет
единственное решение.
Решение. Сделаем замену sin* = 7, |f|<l. Тогда
первоначальное уравнение примет вид 8f2 + 2(2<я-1)Л-(я-1) = 0, его корни
равны t\ =— и t2 =—(1-я).
Из множества решений уравнения sin;c = — только х =
= -arcsin— принадлежит заданному интервалу —;0 , других
решений на интервале быть не должно.
Следовательно,
(1-*)<-!,
(1-л)>0
>де(-оо;1]и[3;+оо).
194
Контрольные вопросы и задания
Необходимо учесть, что при а = — корни уравнения
совпадают, т. е. t\ =t2 =—, поэтому исходное уравнение имеет единст-
4
венное решение на интервале -—; О .
Ответ: яе(-оо; l]Ll|-]u[3; +oo).
Пример 3.44. Найти значения параметра а, при которых
уравнение sin yja - х2 = О имеет ровно шесть корней.
Решение. Сначала решим уравнение s'm\Ja-x2 = 0. Получим
\1а-х2=кп, к = 0,1, 2,..., х = ±\1а-к2п2. Уравнение будет
иметь ровно шесть корней, если подкоренное выражение будет
положительным при к = О,1, 2 и отрицательным при к > 3.
Значения параметра а находим из двойного неравенства
а-Ъ2ъ2 <0<а-22п2 <=> 4тг2 <а<9п2.
Ответ: ае
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Дайте определение тригонометрического уравнения. Какие
тригонометрические уравнения называются простейшими?
2. Дайте определение области допустимых значений
тригонометрического уравнения. Что означает выражение «решить
тригонометрическое уравнение»?
3. Какие преобразования тригонометрических уравнений
называются равносильными? Приведите примеры равносильных
преобразований.
4. Какие преобразования тригонометрических уравнений
называются следствием? Приведите примеры следствий
тригонометрических уравнений.
195
3. Тригонометрические уравнения
5. Запишите решение простейшего тригонометрического
уравнения cosx = a. Проиллюстрируйте решение на единичной
окружности и на графике функции у = cos *.
6. Запишите решение простейшего тригонометрического
уравнения sin х = а. Проиллюстрируйте решение на единичной
окружности и на графике функции у = sin x.
7. Запишите решение простейшего тригонометрического
уравнения igx = a. Проиллюстрируйте решение на единичной
окружности и на графике функции у = tg*.
8. Запишите решение простейшего тригонометрического
уравнения ctgx = a. Проиллюстрируйте решение на единичной
окружности и на графике функции у = ctg*.
9. Дайте общую характеристику методов решения
тригонометрических уравнений. Расскажите содержание метода замены
переменной. Приведите примеры решений.
10. Расскажите о применении метода замены переменной для
тригонометрических уравнений вида g(sin х, cos x) = 0; /?(sin*±
±cos*, sin* cos*). Приведите примеры решений.
11. Объясните содержание метода разложения
тригонометрических уравнений на простые множители. Приведите примеры
решений.
12. Расскажите содержание метода оценок. Приведите примеры
решений.
13. Объясните решение тригонометрических уравнений с
помощью универсальной тригонометрической подстановки.
Почему при использовании универсальной тригонометрической
подстановки возможна потеря корней исходного
тригонометрического уравнения?
14. Расскажите о методах решения тригонометрических уравнений
вида
g(sin x, cos x) = g(sin *, - cos x),
g(sin*, cos*) = g(-sin*, cos*),
g(sin*, cos*) = g(-sin*, -cos*),
где g - рациональная функция.
15. Расскажите содержание метода введения вспомогательного
аргумента. Приведите примеры решений.
196
Задачи и упражнения
16. Объясните решение однородных тригонометрических
уравнений. Приведите примеры решений.
17. Расскажите о методе сравнения аргументов одноименных
тригонометрических функций. Сформулируйте и докажите
теоремы о сравнении аргументов для функций y = s'mx, >> = cos;c,
y = tgx, y = ctgx.
18. Расскажите о способах решения тригонометрических
уравнений с разными аргументами. Приведите примеры
равносильных и неравносильных преобразований, а также логическую
схему решения тригонометрических уравнений при
использовании неравносильных преобразований.
19. Объясните особенности решения тригонометрических
уравнений, связанные с отбором корней, и способы отбора корней.
20. Запишите равносильные преобразования тригонометрических
уравнений, содержащих знак модуля. Приведите примеры
решений.
21. Запишите равносильные преобразования тригонометрических
уравнений, содержащих знак радикала. Приведите примеры
решений.
22. Объясните решение систем тригонометрических уравнений с
двумя неизвестными. Перечислите основные утверждения о
равносильных преобразованиях систем тригонометрических
уравнений. Приведите примеры решений.
23. Объясните решение тригонометрических уравнений с
параметром. Перечислите основные методы решения и расскажите их
суть. Приведите примеры решений.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
Простейшие тригонометрические уравнения
1. Решите простейшее уравнение.
1.1. sin х = —. 1.2. sin 2х + — =1. 1.3. 2sin д: cos*-3sin2;t = 0.
2 I A)
1.4. sin-cos--cos-sin- = -. 1.5. sin V* =-1. 1.6. sin |*|=-—.
2 3 2 3 4 2
1.7. |sin*| = l. 1.8. sin2* = -. 1.9. cosx = 0. 1.10. cosf3x-- j = -1.
197
3. Тригонометрические уравнения
1.11. sin2--cos2- = -. 1.12. cos-cosx-sin-sin;c = -.
2 2 2 6 6 4
1.13. cos(x2) = l. 1.14. (cosx)2=l. 1.15. tgx = -j=.
1.16. tgf^-*l = -l. 1.17. -*Щ- = 5.
Ь i) i-tg2x
tgj-tg* ^ ,
1.18. = = V3. 1.19. ^Jtg2x = \.
1 + tgxtg^
4
►fb
1.20. ctg* = l. 1.21. ctg 2x +
1.22. ctg[--3] = -l. 1.23. — = V7-V2.
U J tg*
1.24. |ctgx| = —. 1.25. ctgW=l.
Метод замены переменной
2. Решите уравнение, сводящееся к квадратному уравнению.
2.1. cos2 x + sin4 x = 1. 2.2. l + cosx + 2cos— = 0.
2
2.3. sin4- + cos4- = l--cos2-. 2.4. sin4 - + cos4 - = l-2sin2-.
2 2 2 2 3 3 3
2.5. tgx-V3ctg;c + l=V3. 2.6. 4sin3 x + 4sin2 x-3sin;c-3 = 0.
2.7. sin2 x-3cos2 x = 4sin;c. 2.8. 2sin3x-cos2;c-sin;c = 0.
2.9. 2sin2x-3sin;c + l = 0. 2.10. tg2x + 4tgx + 3 = 0.
2.11. 6sin2x-5cos;c-5 = 0. 2.12. —\- = 3-tgx.
3. Решите уравнение, используя подстановку sinx±cos;c = /.
3.1. 4(sinx-cosx) = 3cosxsinx. 3.2. 4(sinx + cosx) = 3sinxcosx.
3.3. l + sinxcosx = sinx + cosx. 3.4. sinx-cos;c = l-3sinxcos;c.
cos2x
Dsx-sin
3.7. yjl + As'mx cos* = sinx + cos;c. 3.8. sin3*-cos3* = 1-sin*cos*.
3.5. (sinл: + cos*)3 =sin2x + l. 3.6. —™*2*— + sin2x = l.
cos x- sin x
198
Задачи и упражнения
3.9. sin3x + cos3x = l + 2sin2x.
4. Решите уравнение со сложными функциями в аргументе.
4.1. tg(3sinx) = -l. 4.2. 2cos(>/jc + 7c) = -1. 4.3. 3tg2(nx--] = 1.
4.4. ctg2[7uc + —] = -. 4.5. sin22x = -. 4.6. tg -тг + ^-sinx 1 = 1.
\2) 3 4 12 4
4.7. ctgf_37C + 7г73С08Х_ 1 4S s[Jlncosx) = _l.
4.9. sin(-7rsinx) = -. 4.10. tg(4sinx) = 7з.
4.11. cosf-r—1 = -. 4.12. 2cosU(sinx-13 + ^- || = >/з.
Метод группировки
5. Решите уравнение методом группировки (разложения на множители).
5.1. 2sin2x cosx-sin2x = cosx(2cosx-l).
5.2. cos 2x sin x -1 + sin х = cos 2x.
5.3. sinx tg2x-cosx-sinx + tg2x cosx = 0.
5.4. 1 + tgx = sinx + cos x. 5.5. tg5x = sin2 x tg5x.
5.6. sin3 x-sin2 x = sin2 x cos2 x. 5.7. sin 2x cos 2x-sinx cos x = 0.
5.8. Найдите число корней уравнения sin2x + 2sinx = 1+cosx на отрезке
И-з].
Метод оценок
6. Решите уравнение, используя метод оценок.
6.1. cos2x-cos5x = 2. 6.2. cos3x-2cos7x = -3.
Зх 7х
6.3. sin х sin 5х = 1. 6.4. sin — sin — = 1.
11 11
6.5. sin 2x + sin 1 Ox = 2. 6.6. sin13 x + cos17 x = 1.
6.7. (cos4x-cos2x) =5 + sin3x. 6.8. Vsin 3x + Vcos 3x = 1.
6.9. sin4 x + 2cos3 x + 2sin2 x-cosx + 1 = 0.
6.10. 2cos3 x-sin4 x-cosx-2sin2 x = \.
199
3. Тригонометрические уравнения
Методы рационализации тригонометрических уравнений
7. Решите уравнение, используя универсальную тригонометрическую
подстановку.
7.1. 1 + cos2х = ctgх. 7.2. sinx-2cos;c + tg;c = 2.
7.3. tgx+ cosx = 2. 7.4. 5sin2x-5cos2;c = tg;c + 5.
1 + sinx
7.5. 2 sin 2x -cos 2x = g* + . 7.6. sin x - ctg - = 0.
tgx + 1 2
7.7. tg2x + sin2;c = — ctgx.
16
Метод вспомогательного угла
8. Решите уравнение методом введения вспомогательного угла.
8.1. sin*+ 2 cos* = 6. 8.2. 2sinx + 3cosx = 1.
8.3. V3cosx-sin* = 2. 8.4. 5sin3x + 2v6cos3x = 7sin 7.x.
8.5. 2sinl U + cos3x + v3sin3x = 0.
8.6. cosx + cos3x + (v3cosx + sin;c)cos;c = 0.
8.7. 5sinx-12cos;c + 13sin3;c = 0.
8.8. Найдите число корней уравнения sinx + cosx принадлежащих
отрезку [-|; *].
8.9. Найдите число корней уравнения sinx-cosx = 1, принадлежащих
Г О 197С~|
отрезку -2п; .
Однородные уравнения
9. Решите однородное уравнение.
9.1. sin2x + 3sin;c cosх + 2cos2 х = 0.
9.2. sin2 x + 2 sin x cos x - cos2 x = 0.
9.3. 2 sin2 x + sin л: cos x + cos2 x = 1.
9.4. 6sin2x + sin;c cosx-cos2 x = 2.
9.5. 2sin2-cos2--5sin-cos3- + 3cos4- = 0.
2 2 2 2 2
200
Задачи и упражнения
9.6. tgx sin2 х-2sin* cosx + cos2 x = 0.
9.7. sin4 x + cos4 x = -. 9.8. cos x - sin x = 0.
8
9.9. 3cosx + 2sin;c = 0. 9.10. 3sinx-cos;c = .
cos*
Методы решения тригонометрических уравнений
с различными аргументами
10. Решите уравнение, используя метод сравнения аргументов.
10.1. sin5x = sin(3x + 7i). 10.2. sin .x = sin 2.x.
10.3. cosx = cos3;c. 10.4. cos Зх = cos 5x.
10.5. sinЗх = cos*. 10.6. cos х = sin 3.x.
10.7. tg2x = ctg3;c. 10.8. tg2x = tg3x.
10.9. sin (я sin x) = cos (n cos x). 10.10. sin(7rcos;c) = cos(7rsin;c).
10.11. sin3x = sin —. 10.12. sin4x = sin —.
15 16
11. Решите уравнение, предварительно преобразовав произведение
тригонометрических функций в сумму.
11.1. sin* sinЗх + sin6x sinl0;c = 0. 11.2. cos2x cos3x = cosx cos4x.
11.3. cos 3x cos 6x = cos Ax cos Ix. 11.4. sin 3x cos x = sin 5x cos 3x.
11.5. 2sin2.x cos 3.x + sin х +cos 2.x = 0. 11.6. sin.xsin3.x = —.
2
11.7. sin 2.x sin6.x = cos* cos 3.x.
12. Решите уравнение, предварительно преобразовав суммы
тригонометрических функций в произведение.
12.1. sin2x + sin3x + cos4x = cosx. 12.2. sinx-cos2x + sin3x-cos4x = 0.
12.3. cos x + sin Ax = cos Ix. 12.4. sin 3x + sin 7x = V3 cos 2x.
12.5. tg 3x + tg 2x = tg л: + tg Ax. 12.6. ctg x - ctg 2x - ctg 3x + ctg Ax = 0.
12.7. cos7x + sin8x = cos3x-sin2x. 12.8. cos5x + cos7x = cos(7t + 6x).
12.9. cos — + 5x + sin x = 2 cos 3x.
12.10. sin2x-sin3x + sin8x = cos 7x + — n .
13. Решите уравнение методом понижения степени.
13.1. sin2 x + sin2 2.x = sin2 Зх + sin2 Ax. 13.2. sin2 x + sin2 2x + sin33.x = 1,5.
201
3. Тригонометрические уравнения
13.3. cos2 x + cos2 2х + cos2 Зх + cos2 Ax = 2.
13.4. sin 7x + sin 9x = 2 L
H-cos2(4+2x)
Методы решения уравнений, содержащих тригонометрические
функции под знаком радикала
14. Решите уравнение, содержащее тригонометрические функции под
знаком радикала.
14.1. V6sinx + V3sin2x =0.
14.2. 2cosx + V6sin;c =0.
14.3. V3 +2 sin х-2 cos* = v2(sinx + cosx).
14.4. . /sin4 x + cos4 x — + sin x - cos x = 0.
V 8
14.5. (2cos2 x-cosx-l^ctgx =0.
14.6. Vl-cosx = sinx.
14.7. /—sinx-V-cosx = /-
14.8. J—sinx-vcosx = /-
V2 V:
sinx-v-cosx = /—sin х +cos*.
4 V4
sinx-vcosx =J—cosx-sinx.
2
14.9. ^7-4tgA:=V3(2tgA:-l).
Методы решения тригонометрических уравнений с модулем
15. Решите уравнение, содержащее тригонометрические функции под
знаком модуля.
15.1. 4cosx + |cos;c| = sin;c. 15.2. 5sinx + |sin;c| = cosx.
15.3. 1 н-2|sinjc| = 2cos2x. 15.4. 5sin2 x + 8cos;c + l =|cosx| + cos2 x.
sin*
16. Найдите корни уравнения *——L = l-cos2;c, принадлежащие задан-
sinx
ному отрезку х е
Ы-]
202
Задачи и упражнения
17. Найдите сумму целых корней уравнения (х2-12х + 23) ctg —
= 12ctg|.
18. Решите уравнение.
18.1. 27rcosjc = |jc|-|jc-7r|. 18.2.
2sinx | 2| | 2|
19. Решите уравнение, содержащее модуль в аргументе
тригонометрической функции.
/г
19.1. sin|л:| sinx-cos|;c| cosx = —. 19.2. 2cos2x + v3sin|;c| + l = 0.
19.3. cos|x| cosx + sin|;c| sinx = ^—. 19.4. 2 cos2 x + \ = 5sin|jc|.
19.5. 2cos2x + 3V3sin|;c| = 5. 19.6. 2cos2 (x2) +V3sin(x2) + 1 = 0.
Методы решения тригонометрических уравнений
с отбором корней, принадлежащих заданному промежутку
20. Найдите корни уравнения, принадлежащие заданному промежутку.
20.1. 2cosx + sin;c + sin2;c + l = 0, хе[7г;27г].
20.2. cosx + cos9;c + cos5;c = 0, хе 0; — .
20.3. 2cosx + 2sinx + sin2x + 2 = 0, xe[7i; 2л].
20.4. tg д: + ctg д: = 2V2, д: е [-л; 0].
20.5. Vl-cosx = sin х, хе [п; Зл].
21. Найдите число корней уравнения, принадлежащих заданному
промежутку.
21.1. cos2x + v2sin;c = 1, хе[-3; 2].
21.2. 2 cos2 л-+ 5 sin л-= 5, х е[0; 16].
21.3. cos х- — = cosx, хе\-п: —л
V 6J I 6
21.4. sin л-+ cos 2л-= 0, хе[0;л].
203
3. Тригонометрические уравнения
21.5. 2sin2x-5cos;c-4
21.6. 3cos2x-10sin;c-6 = 0;
°>Ч0;В
22. Найдите наименьший корень уравнения tg2x -(V3 + l)tgjc + V3 =0,
принадлежащий интервалу (0°; 90°).
23. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения sinx + cosx +
+ sin Зх + cos Зх = 0 (ответ выразите в градусах).
24. Найдите сумму корней уравнения cos8x-4sin6;c-cos4;c = 0,
принадлежащих отрезку —; — 71 (ответ выразите в градусах).
25. Найдите все корни уравнения sin2 x(tgx-l) = 3sinx(cosx + sinx)-3,
принадлежащие области определения функции у = %1-Ах-х2 -3.
26. Решите уравнение.
26.1. V9-x2(2sin27Dt + 5cos7Dt) = 0.
sin3x sin2x sin* _
cos3x
у, 2 sin Ax - sin 2x - cos 3x + 2 sin x -1 _ q
2sin2x-v3
fc
26.4. J^±^
2x
sinI 2\x--n || + 19|sinjd-10
27. Определите, сколько различных корней имеет уравнение.
27.1. 7-*2-21лл; (sin3x cos 6x-sin* cos8x) = 0.
27.2. \/25iix + x2 (cos Ix cos x + sin x sin 5x) = 0.
28. Определите, сколько корней имеет уравнение.
28.1. fl-2sin2 — JV9-4jc2 =0.
28.2. f—! llV4-x2 =0.
Vsin2* у
204
Задачи и упражнения
Смешанные и комбинированные уравнения
29. Решите уравнение.
29.1. 3lsin*-'l = 9. 29.2. 2l*-2lsin* = >/2"т\
29.3. log^ cos2 x = log^ ф - tg x.
sin*
29.4. logctg,(tg2;c-V3tg;c + V3) = -l.
29.5. log3 (2 sin л: -1 +18sin2 x) = - logj_ (l - 7 sin x).
з
29.6. log2 (3 sin л- - cos x) + log2 cos x = 0.
29.7. log5((x + 19)cos;c) = log5f^±I9\
v ' \cosxJ
29.8. 8 lsin2 x + 8 lcos2 x = 30. 29.9. 4si"2 x - 2~cos4x = 0.
29.10. (2ixct&nxY 275xct&nx = 9С^ЛГ
30. Подберите корень уравнения и, используя свойство монотонности
функций, докажите его единственность.
30.1. 2costuc = 9a:2, х>0. 30.2. * + sinf—1 = 1.
. 3
30.3. 2cos| — 1 + 3 = 2х.
•(f)-
31. Подберите корень уравнения и, используя неравенства, докажите его
единственность.
31.1. 16cosx + 8;c2 = 16 + д:4. 31.2. cos2x + ;c2 =1.
31.3. x-sin;c = 4sin3-. 31.4. cos — + sin— = y[x~ + -t=.
3 2 2 2^
32. Подберите корень уравнения и, исследуя функцию на экстремум,
докажите его единственность.
32.1. 2sin2^ = x2+2;c + 3. 32.2. sin^ = 6х-х2 -10.
2 2
32.3. cos2 — = х2-Ах + 5. 32.4. cos7Uc + a:2 -6х + 10 = 0.
2
Ъ2&. — = х\%[-?Р—\-\, х>Ь. 32.6. 2* + 2-*=2cos2f^±*\
4 6U2+4j Кб)
205
3. Тригонометрические уравнения
Системы тригонометрических уравнений
33. Решите систему уравнений.
Г sin (х-у) = 2 sin х sin у, [sin л: + sin у = V2,
71
33.1.
33.3.
33.5.
\х + у = -
{cos2 х + cos2 _у = cos х + cos у,
cos(x-y) = 1.
(cosx + cos_y = 1,
cos2x + cos2^ = -l.
33.2. ,
cos* cos_y = —.
sin л: cosx =
1
33.7. \
tg[ x--\ = smy,
tg[ x + — =2cos^.
33.4.
33.6.
33.8.
Icosx siny = —.
1 ' 2
[cos x + sin x = cos _y + sin y,
[sin2x + sin2>' = 1.
cosx + cosy
[sinx + sin^
=V2.
f0,4,
33.9. <j cos j/
[cos* sin^ = 7^4-
33.11.
33.13.
33.15.
33.17.
33.19.
3tg — + 6sinx = 2sin(_y-x),
tg —-2sinx = 6sin(^ + ;c).
33.10.
33.12.
3sinx + cos_y = 0,
6cosx-2sin^ = 7.
*(x + y) yft'
I sin x- sin ' x = sin>',
[cos x - cos-1 x = cos y.
(cosx + sin^ = 0,
cos2 x-cos2_y = 1.
[sinx + cos_y = -1,
[cos2 x + sin2 y = \.
fcos;c-sin_y = 1,
[sin2x + cos2_y = 1.
33.14.
33.16.
33.18.
33.20.
[sin(x + j/) V2'
fcos;c-sin_y = 0,
[cos2 x + sin2 у = 2.
Jsin;c-cos_y = 0,
[cos2 ^-cos2x = 1.
fsin;c + cos_y = 1,
[cos2x + sin2^ = 1.
fcos x - cos у = sin (x + y),
206
Задачи и упражнения
33.21.
[3ctgx = tg3y,
33.22. tg! + tg2=i'
33.23.
cosx = sin2y. I г-
[tgx + tgy = 2V3.
tgx + ctgx = 2sinL-^J,
tgx + ctgy = 2sinhc + — .
«™ Jsin(* + ->0 = o> fsin(jc + 3/) = 0,
33.24. a) \ б) ^
[sin(x-y) = 0; [cos(x-y) = l.
U + y=*,
33.25. a) j 4
[tgx + tgy = l;
fsinx + siny = 1.
33.26. a) j^^
6) \ " 3
ltg*+tgy = V3.
6)
{cos* + cosy =
l*+rl=f-
-Д
33.27. a)
2
sin2 x + sin2 у = —,
4
x + y = ^;
3
6)
cos2 7tx-sin27ry =
*-.У = т-
;cos(x-y) = 2cos(;c + y),
v -^ v -r'' cos* cosy
3 6) 1
cos* cosy = :
(sinx + siny = 0, ■
33.29. a) \ б) ^
I cos x +cos у = 0;
sinx-siny =
ctgx ctgy
1
.1 + V2
4 '
= 3 + 2V2.
cos x + cosy =
7J
fsinx + cosy = 0,
33.30. a) . 2 2 16)
sinzx + cosz у = —;
I 2
cosx + cosy =
sin2 x + sin2 у
in2 v = -L.
(sin* cosy-cosx siny = 1, cos* cosy-sinx siny = —
33.31. a)< 6) < 2
cos x -sin у = 1; . . ,
L 7 [sinx-siny = -1.
207
3. Тригонометрические уравнения
--.^ ч cosxJcosу = 0, ^ч Vsinx cosу = 0,
33.32. a) < v ' 6) < '
[cos2x-2cos2 у + 2 = 0; [2sin2 x-cos2y-2 = 0.
ftg x + sin 2x = sin 2y, fctg x + sin 2 у = sin 2x,
33.33. а к бм /
[2 sin у cos (x + y) + sin x = 0; [2 sin у sin (x + y) = cos x.
33.34. a)
33.35. a)
33.36. a)
33.37. a)
33.38. a)
33.39. a)
6)
33.40. a)
sin И sin>' = 1
sin И
||cosx|cosx =
6) \l sin у
[|cosx-l| + |siny| = 4; I |cosjc|2 + |siny-l|2 =4.
sinz x + cosz y = —,
4
cosxsin y = -*—, 6)
y 4
cos x > 0;
cosz x + sinz у = —,
У 2
sinxcosy = -
6)
sin(x + y) 2
cosy _ 3
{V2sinx = siny,
V2 cos x = y/3 cosy;
(3sin;c + cosy = 0,
6cosx-2siny = 7; ' [4sinx + 2cosy = 5.
(sin;c = siny,
6)
sin(x + y) 4
2cosx-siny = 0,
Jsin;c = sin2y,
[cos* = sin y;
6)
cosx = sin2y.
{4siny-6V2cos;c = 5 + 4cos2y,
cos2x = 0;
fl + 2cos2;c = 0,
[v6cosy-4sin;c = 2V3(l + sin2 y).
(cos2y + 3sin;c siny = 0, J3sin2 x-cos*cosy = 0,
21cos2x-cos2y = 10; |l lcos2x + cos2y = 6.
208
Задачи и упражнения
ы1.ш)\&у-тхЧ*{х+б)+*{у+¥1\ш0-
[(cos х + sin у){2 + sin 2у + cos у) = 0;
(cosat + cos^-V^M tg2( л: + — J + ctg2 ( Г + — J 1 = 0,
cosxcos_y— (sin^ + sin2^-2) = 0.
6)
33-42. a) ; 6) „
34. Найдите все значения xe[0;7r], удовлетворяющие системе
уравнений:
[2sin3;c + 2cos4;c = l + V2, [2sin4;c + 2cos3;c = 7з + V2,
а) \ 6)\ ш
[2sin7x-2sinx = v2; 12 sin 7.x+ 2 sin ;c = v6.
Методы решения тригонометрических уравнений
с параметром
35. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет
решение:
a) 2cosx-5sin;c = я; б) 4sinx + 9cos;c = я.
36. Определите, при каких значениях параметра а уравнение cosx = tf
имеет наибольшее количество корней на отрезке -—; — .
37. Определите, при каких значениях параметра а уравнение sin;c = tf
имеет наибольшее количество корней на отрезке —; —— .
38. Найдите все такие значения параметра Ь, при которых уравнение
4sin3x-3cos6;c = 6 не имеет корней.
39. Найдите все такие значения параметра Ь, при которых уравнение
2 cos 2x - cos Ax = Ъ имеет хотя бы один корень.
40. Для каждого значения параметра q решите уравнение
qs\nx-\
cos* + sin*
209
3. Тригонометрические уравнения
41. Для каждого значения параметра q решите уравнение
qcosx-\
cosx + sinx
42. Определите все действительные значения параметра я, при которых
уравнение имеет решение. Найдите решение уравнения.
42.1. sin2 x-2s\nx + a = Q.
42.2. cos4x-(tf + l)cos2;c-(tf + 2) = 0.
42.3. a sin x + 2V'а +1 cos x = 2а +1.
42.4. sin2x-(tf + 2)(sin;c + cos;c) + 2tf + l = 0.
42.5. cos4x-(tf + 2)cos2;c-(tf + 3) = 0.
42.6. sin4x + (fl-5)sin2;c-2(tf-3) = 0.
42.7. sin2x + tfsin;c + l-tf2 =0.
42.8. sin4 x + cos4 x = a.
42 О °2 = sin2 x + a2 -2
l-tg2x cos2x
42.10. Определите, при каких значениях параметра а уравнение
/4- а
cos* = имеет на отрезке I —п; —п I ровно два различных
V а + \ °
решения.
42.11. Определите, при каких значениях параметра а уравнение
[S«!H
[ениях napai
2 sin2 Зх- (2л + 1)sin Зх + а = 0 имеет на отрезке — п; п\ ровно три
различных решения.
42.12. Определите число корней уравнения asmx~ =flcosx- на
tf-2cos;c a-2s\nx
отрезке [20п; 29п].
43. В зависимости от значений параметра а решите уравнение.
43.1. i!M^! + a = sin2Ll2. 4}2 tg4jc-tg(2jc-£) = e-l.
sinx-2 sinx-3 V 4у
43.3. sin6 x + cos6 x = a sin Ax.
44. Определите, при какой зависимости между параметрами а и b имеет
решение уравнение sin ax cos bx = 1.
210
Ответы к задачам и упражнениям
45. Определите, при каких значениях параметра а выражение
3 + sinx(2sin;c + a cos x) равно -1 хотя бы при одном значении х.
46. Определите, при каких значениях параметра а выражение
1 + sin x(a sin x + 5 cosx) не равно нулю ни при каких значениях х.
47. Определите, при каких значениях параметра а уравнение имеет хотя
бы один корень.
47.1. 5tfsin2;c = ctgx + tgx. 47.2. tgx + ctgx = 6tfsin2x.
48. Найдите число корней уравнения cos2 x + cosx = а на отрезке [0; 2л).
49. Определите, при каком значении параметра а уравнение имеет ровно
один корень.
49.1. ^ а'; —^ = 0. 49.2. cos x = x2+a. 49.3. cos д: + cos ax = 2.
sin2*
50. Определите, при каком значении параметра а уравнение
(я2 - 5а + б) sin х = а - 3 имеет на отрезке [0; 2л] ровно один корень.
51. Определите, при каких значениях параметра а промежуток [0; а]
содержит не менее трех корней уравнения 2cos2х -\\ + 2sin х\ = 1.
52. Определите число корней уравнения cos* ctgx-sinx = a cos2л: на
отрезке [0; 2л].
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ И УПРАЖНЕНИЯМ
1.1. (-1)"+1- + тш, neZ. 1.2. - + 7Ш, «eZ.
V ; 6 8
1.3. -п, «eZ. 1.4. (-1)" 2arcsin- + —, neZ.
2 К J 4 3
1.5. — (4л-1)\ neZ. 1.6. (-\)k+l- + nk, keK 1.7. ^ + пк, к(
4 V ; V ; 3 2
1.8. - + -п, «eZ. 1.9. - + 7Ш, «eZ. 1.10. —п + -пп, neZ.
4 2 2 18 3
1.11. ±-тг + 2тш, «eZ. 1.12. ±arccos- + 2™--, neZ.
211
3. Тригонометрические уравнения
1.16. -—7Г + 27Ш, neZ. 1.17. -arctg5 + -w, neZ. 1.18. -— + тш, neZ.
14 2 2 12
1.21.-arcctg2 +^w-^, neZ. 1.22. ^ + 6 + 2тш, ле2
2 2 6 2
1.23. arcctg(V7-V2) + 7iw, weZ.
1.24. arcctg — + nn; n - arcctg — + nn, neZ.
1.25. ±(- + 7гД keZ, k>0.
2.1. —, neZ. 2.2. n + 2nn;2n + 4nk, n,keZ.
2
2.3. n + 2nn; ± — + 2nk, n,keZ.
2.4. 3nn, лeZ. 2.5. —+ тгАг; -- + тш, it,«eZ. 2.6. ±- + nk, kel
3 4 3
2.7. (-\)k+i- + nk, keZ. 2.8. -- + —;-- + 2тш, k,neZ.
v ; 6 4 2 2
2.9. ^ + 2тш;(-1)*^ + 7г£, «ДеХ.
2 6
2.10. — + 7ш; -arctg3 + 7i/w, n,meZ.
4
2.11. n + 2nn; iarccos— + 2nm, n, meZ.
2.12. — + nn; - arctg 2 + nm, n, m e Z.
4
3.1. —+ (-l)"arcsin—i= + nn, neZ.
4 V ; 3^
3.2. -± 7r-arccos—!;= +27Ш, «eZ.3.3. 2лА:;- + 27Ш, &, ле2
4 I 3V2J 2
3.4. — + 27Ш; n + 2nk; (-lY"+l arcsin—^= + —+ шя, n,k,meZ.
2 V ; 3V2 4
212
Ответы к задачам и упражнениям
3.5. -1 + пп; (-1)"^ + тш--, «eL
4 4 4 4 4
3.7. - + 27ш;2тгА:, m,keZ.
2
3.8. - + 2тш; 7г + 2тгА:; (-1Y" arcsin ^^- + - + пт, п,к,т<
2 У ' 42 4
3.9. - + 2тш; 2тгАг; (-1)" arcsin ^17~5-- + тш, n,k,mel
2 v ; 2>/2 4
4.1. (-1)"+ arcsin — + 7ш; (-1) arcsin — + 7гАг, n,keZ.
v ; 12 v ; 4
4.2. 7i2f- + 2wl ; 7i2f2^--l , n, keZ,n>0, k>\.
4.3. -- + it;^- + «,it,«GZ. 4A.- + k;- — + n,k,ne2
24 24 4 12
4.5. ±- + тш; ±- + тш, weZ. 4.6. (-l)"+1 - + nn, neZ.
6 3 V ; 4
4.8. iarccos —+ 27Ш; iarccos —\ + 2nn; ±arccos — + 2nn,neZ.
9 I 9j 9
4.9. (-1)" arcsin- + nn; (-1)"arcsin- + nn; (-l)"arcsin — + nn, n eZ
000
4.10. (-1)" arcsin — + nn; (-1) + arcsin — + 7гАг, я, к eZ.
12 6
4.11. (-1)"arcsin ! + тш, «,iteZ. 4.12. (-1)"+1 ^ + nn, net
K } ±*+2пк К } 4
3
5.1. ±^ + 2тш; *+2™;K + 2nn,neZ.
3 6 3 2
5.2. - + 7Ш, weZ. 5.3. -- + 7Ш, weZ.
2 4
5.4. — + тш;2тш, weZ. 5.5. —, weZ.
4 5
5.6. тш; - + 2тш, weZ. 5.7. ±- + тш; —, n eZ. 5.8. 2.
2 6 2
6.1. 7Г + 27ГА:, iteZ. 6.2. 0. 6.3. ^ + тг£, iteZ.
213
3. Тригонометрические уравнения
6.4. 11 Г-+ лА:|, keZ. 6.5. - + nk, ke2
U J 4
6.8. — п; - + —*, n,keZ. 6.9. n + 2nk, keZ. 6.10. 2nk, keZ
3 6 3
7.1. - + тш;- + тг*, n,keZ.
2 4
7.2. n + 2nn; 2arctg ^5 +2nn, neZ. 7.3. ±- + 2nn, neZ.
6 2 3
7.4. arctg2 + 7rw; arctg (V6-l) +7i/;-arctg (V6 + l) +7i*, m,l,keZ.
7.5. — + 71*; -arctg2 + 7iw, k,meZ. 7.6. —+ 7Г*; 7t + 27rw, *,/we Z.
7.7. arctg2 + 7m; - arctg 2 + 7i/w; — + nk, w,/w, *eZ.
1 w 1
8.1. 0.8.2. -arcsin—F= + (-l) arcsin—= + nn, n eZ.
Vl3 V ' Vl3
8.4. -w + -arccos-; -* + — -—arccos-, w, *eZ.
2 4 7 5 10 10 7
8.5. *„_JL; ЯЛ.+ 77С л, А: е Z.
7 84 4 48
8.6. - + nk; -n + 2nm; —n + -nn, *,/w, weZ.
2 6 18 3
8.7.-arccos —+—;---arccos —+ — , n, *eZ. 8.8.1.8.9.7.
4 13 2 2 2 13 4
9.1.-arctg 2 +ли; -- + nk, w,*eZ.
4
9.2. arctg(-l±V2) + 7iw, weZ. 9.3. nn; - - + nn, n e Z.
9.4. -— + nn; arctg — + nk, n, * e Z.
4 ё4
9.5. 7i + 27iw; —+ 271*; 2arctg —+ 27i/w, w, *,/w eZ.
2 2
9.6. ^ + тш; arctg ~l±^5 +nk, w, * e Z.
4*2
214
Ответы к задачам и упражнениям
9.9. -arctg- + 7iw, «gZ. 9.10. - +nk; arctg2 +nm, k,meZ.
10.1. -n; 1 + nn, neZ. 10.2. *+2™. 2nk,n,keZ.
4 2 3 3
10.3. — ;nn, n,keZ. 10.4. -n;nn,neZ.
2 4
Ю.5. ^ + ^, «gZ. 10.6. * + ™; *+7W, neZ.
4 2 8 2 4
10.7. — + -n, neZ. 10.8. тш, wgZ.
10 5
10.9. — iarccos—^= + 27ш; —+ (-1)" arcsin—т= + пп, neZ.
4 2V2 4 V ; 2V2
10.10. -iarccos—^= + 27iw;- + (-l)"+'arcsin—l-= + nn, neZ.
4 2V2 4 v ' 2V2
10.11.-5- + ^; 1^ + M ,n,keZ .10.12. JL+™;15* + **, „ д е Z.
45 3 45 3 64 2 64 2
U1 7Ш 7Ш weZ> jL2> 7Ш neZU3t ™ „eZ,
9 7 2 10
П.4. M; JL+™, „eZ. Ц.5. -7L+2M; _JL+2™, „eZ.
2 12 6 6 3 14 7
Ц.6. Я + 7СЛ ±7C+ eZ> 1L?> JL+**; * + ™ „eZ.
4 2 6 10 5 6 3
12.1. -тш; - + тш; - + 2тш, «gZ. 12.2. - + nn; — + — n, neZ.
5 4 2 2 10 5
12.3.^; (-l)*+1^L+**, w,jt€Z.
4 v ; 18 3
12.4. * + *n; (-1)*-*+**, n,keZ. 12.5. ^, «gZ.
4 2 v ; 15 5 5
12.6. —, «gZ. 12.7. —; -^ + 2nk; ^ + -nl, n,k,leZ.
5 5 2 10 5
12.8. -5- + -^; ±^ + 2roi, it, л e Z. 12.9. * + **; -*+тш, Jfc,/ieZ.
12 6 3 6 3 4
215
3. Тригонометрические уравнения
* + *,
8 4
13.3. 1 + пп; ± + т; 1 + ^k, n,m,keZ.
2 10 5 4 2
13.4. * + тш; А+2тш 2пк *eZ>
2 11 11 5
14.1. пк;— + 2пп, k,neZ. 14.2. -п + 2пп, neZ.
4 6
14.3. -- + 2тш; —+ 2тгАг, w,iteZ. 14.4. -— + 2тш; — + 2тгАг, л, A: eZ.
6 3 12 12
14.5. --тг + 2тш; - + 7ГА:, w,JteZ. 14.6. ^ + 2тш; 2тгАг, л, A: e Z.
3 2 2
14.7. -^ + 2тш; — -arcsin—{1= + 2nk, n,keZ.
2 4 4V2
14.8. -- + 2тш; —-arcsin—^= + 2тгА:, w,iteZ.
2 4 2V2
4
15.1. arctg5 + 27iA:;7r + arctg3 + 27rw, k,neZ.
15.2. arctg- + 27iA:; arctg- + 7i + 27iw, k,neZ.
6 4
15.3. ±arcsin^^- + ™, weZ. 15.4. ±-тг + 2тш, «eZ. 16. -тт. 17.6.
4 3 4
18.1. -; 2nk + -n; 2nn--n; ±- + 2nm,
2 3 3 3
A: = -1, -2,-3,..., л = 0,-1,-2,..., m = \, 2, 3,...
18.2. (-1)"+1*+7Ш; (-lf^-row, m,/ieZ.
6 6
19.1. —7Г + 7ш; — 7Г + 7ГА:, n, k>0, n, keZ.
12 12
19.2. (-\)k^ + nk; (-\)"+l- + nn,ke-(Z),neZ.
19.3. - + nk; ^ + тш, it, л e -(Z).
8 8
19.4. (-1)*^ + тгА:; (-1)"+1- + 7Ш, * > 0, л<0, k,neZ.
6 6
216
Ответы к задачам и упражнениям
19.5. (-\)k- + nk; (-\)"+4 + nn,k>0, л < О, k,nel
19.6. ±J(-iy+1- + ™, п €
20.1. Щ^. 20.2. -2-;^; £; £; ^. 20.3. тг; ^тс.
2 3 10 10 2 6 3 2
20.4. -^;--7Г. 20.5. ^; 2тг. 21.1. 2. 21.2. 3.
8 8 2
21.3. 3. 21.4. 1. 21.5. 4. 21.6. 3. 22. 45°. 23. -22,5°.
24.750°. 25. -—;- — ;--. 26.1. ±3;±-;±-;±-.
4 3 3 2 2 2
26.2. —, keZ. 26.3. п + 2пк;-п + 2пп;-n + 2nl, k,n, I e2
3 3 6
26.4. --;--. 27.1. 127. 27.2. 152. 28.1.2. 28.2.4.
6 2
29.1. -^ + 2тш, «gZ. 29.2. тел; -; 4, «gZ.
2 3
29.3. arctg 2 + 27ш; л - arctg 3 + 2пк, п, к е Z.
29.4. - + 7Ш, «gZ. 29.5. (-l)"+1arcsin- + 7iw, «gZ.
3 К J 3
29.6. - + 2пп; arctg2 + 27iA:, n,keZ.
и и = _г-7.-1. 29 Я н ,
"6 2
29.9. * + ™Ь ±^ + пк, n,keZ. 29.10.- +л; -, «gZ.
4 2 6 2 8
30.1. -. 30.2. i. 30.3.2. 31.1.0. 31.2.0. 31.3.0.
3 2
31.4. 0,5. Указание: используйте неравенство Коши - Буняковского:
>/*+-Ц> 2 />/*-!= = >/2.
2Vx V lyfx
-1. 32.2. 3. 32.3. 2. 32.4.
33.1.(|(4Я-1);|(5-4я)),Яс
32.1. -1. 32.2. 3. 32.3. 2. 32.4. 3. 32.5. 2. 32.6.0.
217
3. Тригонометрические уравнения
33.2. (-1)"^ + (л1 + 2л)тс; (-\)т- + (т-2п)п , т, neZ,
((-\)я+1*+(т + 2п + \)п; (-lf+1 *+(m-2n-\)n\ m, neZ.
33.3. \- + nm + 2nk;- + nm), k,meZ,
Ь 2 )
(2ти(т + /);2тш), /, neZ.
33.4. Ы + п(п + ^\^ + п(п-Ц\, n,keZ.
33.5. (±£ + 2nk;±- + 2wi\ k,neZ.
33.6 r_7L + (_l)w7L + ^;_7L + (_l)w7L + ^A л, А: еZ,
И eV2 4 J'
33.8. (- + 2n(n-k); ^ + 2nk\ n,keZ.
33.9. [arcsin70^2+27rw;- + 27iA: J, n,keZ,
(7i +arcsin V0^2 + 27iw;— + 27i/), w, / e Z.
33.10. [ arccos —+ 27iw; arcsin —+ 71 (2w +1)1, n,keZ,
{ 28 28 v >)' ' '
(27 17 ^
-arccos — + 2nk; -arccos— + 2nk , n,keZ.
28 28 J
33.11. Указание: почленно перемножить уравнения.
(nk; 2nn), (-arccos- + 2nk; — + 2nn J,
arccos — + 27U&; —- + 2nn ,
I 7 3 J'
218
Ответы к задачам и упражнениям
33.12. Г- + тш; - + лА:|, п, keZ.
U '4 У
33.13. Указание: возвести в квадрат обе части каждого уравнения и
результаты сложить.
±^ + 2тс*;+^ + 2тсД Г±^ + 2тс*;+^ + 2тсД к, пе2
4 4 ^ V 4 4
-- + 2nl;n + 2nm\, n,k,l,meZ.
2 '
33.15. [тг + 27гА:; - + 2тш , 2тс/; -- + 2тш |, к,п,1,те2
- + 2пт; тс + 2тс/ 1, k,n,m,leZ,
I J
33.17. (я*; тт + 2тт«), Г-- + 2тсю; - + 2тс/), *, и, /и, / е Z.
33.18. (тш; 2тс*), - + 2тш; - + 2тс/ , п,к,т,1е2
33.19. Г- + 2тс*;2тш), Г- + тсш; --+2тс/ ], к,п,т,1е2
71 . 71
V 8
33.21. ^(2* + 1);тшJ, f(-l)*£ + 7C*;(-i)*£ + 7w], *,ие.
33.22. Г-(6* + 1);-(бл + 1)\ *, «gZ,
2arctg 1^р5. + 2тс*; 2arctg 1 + ^10 + 2тс« |, *, n e 2
2arctg 1±^- + 2тс*; 2arctg Ь^ + 2тг* I, * e 2
V3 V3
33.23. f^(8* + l); -(8л+ 5)1, *,weZ.
219
3. Тригонометрические уравнения
33.24. а) \ 2 к, п е Z; б)
х = ±(п + 2к),
у = 1(п-2к),
n,keZ.
33.25. а)
у = пп, | .
14 {У = -7Г":'
4 п, к ел
\х = пп,
б) *
3 и, к е 2
у = —7гАг,
33.26. а)
б)
6
У 6
' 6
' 6
n,keZ;
7тг
2тгАг,
-^ + 271*,
6
я, к ел
33.27. а)
Х = ^ + 7Ш,
[у = -пп,
х = пк,
п п, keZ; б)
у = — пк,
У 3
* = - + *,
6
у = -- + к,
6
iteZ.
33.28. а)
б)
х = ±- + п(к + т),
у = ±- + п(к-т),
+ п(к + п),
У 24 V ;
х = ^ + п(к + п),
24 V ;
24 V ;
к, т е2
х = -^ + п(к + п),
24 V ;
У 24 V ;
24 V ;
к, пе2
к, пе2
24 V ;
220
Ответы к задачам и упражнениям
33.29. а) \ ' . ч / е Ш, k e Z;
б)
2 V ;
у = ^ + 2пп,
6
6 V ;
у=--+2ш,
У 2
к, п ел
33.30. а)
К J 6
у = ± — + 2ш,
3
jc = (-l)*+I ^н-тгА:,
у = ±- + 2пп,
У 3
к, п e"t
б)
^ + 7Г£,
3
х = ^ + пк,
2
У 3
k,neZ,
х = ± + 2пк,
у = — + пп,
2
х = --+2пк,
3
у = — + пп,
2
k,neZ.
33.31. а)
х = - + 2п(п + к),
3 V ;
у = -- + 2пк,
6
3 V ;
5тг
&, я ел
+ 2тгАг,
б)
х = -^ + 2п(п-к),
у = ^ + 2пк,
У 6
х = -- + 27г(я-А:),
У 6
n.keZ.
33.32. а)
Х = ^ + 7г£,
у = ±- + 2тш,
4
k,neZ; б)
v ; 4
2
к, и е2
Гд: = 7i« —7iA:,
33.33. аМ я£ я, к е 2
221
3. Тригонометрические уравнения
б)
'x = ?*+n(n-2k),
6 V '
3
х = -К+п(п-2к),
у = ^ + пк,
У 3
Jjc = —+ тс(я-2Д
[у = пк,
х = £ + п(п-к)
пк
n,keZ,
п, к е Z.
1х = ± arccos (1 - V3 J - 2лА:,
к, п eZ;
у = ---2пп,
2
б)
{х = п + 2пп,
у = arcsin11 - v3 I + 2пт,
(х = п + 2пп,
у = п- arcsin (1 - V3 J + 2пт,
33.35. а)
х = ±- + 2пп,
у = (-\)'* + *к,
x = ±- + 2toi,
4
п, к е2
б)
у = ±^ + 2пк,
у = ±^ + 2пк,
У 6
и, к е/,
33.36. а) \
х = ^ + 2пк,
6
у = ^ + 2пп,
4
4
* = -^ + 2тс*,
4
А:, п е2
х = -- + 2пк,
у = -± + 2пп,
4
k,neZ;
222
Ответы к задачам и упражнениям
б)
(-Й
+ 271 к,
.43
у = arcsin— + 2пт,
У 48
х = п - arcsin | + 2пк,
24)
43
у = п- arcsin — + 2пт,
У 48
к, т е/,
33.37. а)
27
х= arccos— + 27U&,
28
у=п- arcsin
28J
+ 27TW,
27
х = -arccos— + 2лА:,
28
у = arcsin + 2пт,
I 28j
к, т el
6)
37
x = arcsin — + 2nk,
40
13
у = arccos — + 2nm,
20
37
x = 7t - arcsin — + 2nk,
40
v = - arccos — + 2nm,
20
к, т el
33.38. a)
l- + 2nk,
\y = ± + 2nn,
{ 6
л: = 2nk,
тс _ k,n eZ,
y = - + 2nn,
ix = 2nk + n,
+ 2ЛИ,
: = ^ + 2тсЛ,
I 6
I 3
I 6
1* = -— + 2пк,
3
= -* + 2tw,
6
L«eJ
к, п el
6)
x=52L + 27cJt,
y=5l + 2nn,
6
х = - + 2тг£,
2
у = ^ + 2тш,
У 2
|л = Зтс + 27сЛ
1 2
" 2
х = ^ + 2тгА:,
У 6
iwe^
х = -- + 2тгА:,
6
У 6
х = --^ + 2тг£,
6
у = -- + 2тш,
У 6
k,neZ,
k,neZ.
223
3. Тригонометрические уравнения
33.39. а) <
33.40. а) <
б)<
33.41. а) •
б)<
4 п, т е Z; б) •
у = (-\)т± + пт,
n,/neZ.
у = ±- + 2тои,
4
х = — н-7гАг, \х = -— + nk,
6 1
0 it,«GZ;
у = -— + пп, \у = — + пп,
1 6 Г 6
6
у = ±- + 2тш,
; 6
1 6
У = ±— + 27Ш,
6 k, n e Z,
у = ±- + 2тш,
/ 6
6 А:, я е Z.
y = ±—+ 2тш,
1 6 1/6
х = -- + 2ли,
3
' 6
Х = -- + 27Ш,
4
у = - + 2тгА:,
; 4
[* = -£ +тс/,
6 n,k,l,me Z;
у = + nl + 2nm,
I 3
4 «,UeZ.
;, = _32L + 27CJt,
4
33.42. a)(0;l), (l;0), (±;-Q, (0;-l), (-1;0), [-1; l);
34. а)Ы;-Ц; 6) U; ^
(12 12) (12 12
35. a) ae [-729; 729]; 6) ae [-797; 797]. 36. a e
>/3.
224
Ответы к задачам и упражнениям
37. ае
^;lj. 38.Ц-да;-з|)и(7;+да). 39. * е [-3; |].
40. При qe(-\; 1) 0; при q = -l x = -- + 2nk; при q = 1 х = - + 2тгА:;
при g = -V2 х = —— + 2пк; при q =
4
Л
- + 2ттАг;
при ^e(-oo;-V2)u(-V2;-l)lj(l; V2)lj(V2; + oo)
x = (-l) arcsin — + nk, keZ.
4
41. При q e(-l; 1) 0; при g = -1 л: = 7i + 2лА:; при g = 1 x = 2nk;
при g = -V2 x = — + 2лА:; при q = V2 x = — + 27iA:;
4 4
nPH^e(-oo;-V2)u(-V2;-l)u(l;V2)u(V2;+oo)
x = ± arccos—+ 27Г&, &eZ.
42.1. При ae[-4; 2] л: = (-l)"arcsin 3~v9~4^ +wc> weZ.
42.2. При ое[-2;-1] x = ± arccos J a+ 2+ rrn, neZ.
42.3. При яе[-1;11 x = arcsin —— ±arccos^±1 + 2тш, weZ.
F L J я + 2 я + 2
42.4. При «e[-V2; V2] л: = -±arccos-j= + 2nn, neZ.
42.5. Прияе[-3; -2] x = nk±—arccos(2a+ 5), neZ.
42.6. При яе[2;3] x = nk±—arccos(2a-5), neZ. При других а реше-
42.7. При ое[-2; 1) л: = (-\)" arcsin fl ^5fl2 4+тш;
При AG
-1;
>
л/5'
x^(-l)warcsin^±V^2-4+^;
при a e(l; 2] л: = (-1)" arcsin ^ + ^2 4+7Ш, „
42.8. При oe —; 1J x = ±-arccos(4a-3)
+ **, «g2
2
225
3. Тригонометрические уравнения
2
+ пп, we/
а'
5 Х '1+- 1 + тш, пе!
42.9. При \a\>\,a*y/3 х = iarcsin J—
42.10. АеГ^;з1 42.11. я = 1.
42.12. При л = -V2 пять корней; при я = v 2 четыре корня;
при а Ф ±v2 девять корней.
43.1. ПрияеГ— ;-1 x = (-l)warcsin[
При других а решений нет.
43.2. При яе(-оо;0)11[2;+оо) х = ±Iarctg.p^- + —;
2 \ о 2
при а = 0 х = — + — к, к eZ; при а е (0; 2) решений нет.
43.3. При У<- 0; при U>- x = -(-l)warcsin . 5 +^ + ^,
11 2 М 2 4V ; л/64я2+9 4 4
где coscp- -~ 7/
л/б4я2+9'
л 4к + \, а 4к-\
44а = 4к+]_ а_=Ак^ к щ. (-оо;-47б1иГ47б;+оо).
А 4л + Г А 4л-1 V J L ' /
46. (5,25; +оо).47.1. яе|-;+оо\ 47.2. ае\-
48. При а <— 0; при а = — два решения;
4 4
при а е —; 0 четыре решения; при а = 0 три решения;
при а е (0; 2] два решения; при а > 2 решений нет.
49.1. fle{l}U{7t*}, keZ. 49.2. а = \. 49.3. <ieR\Q.
50. а = \. 51. я>-тг.
6
52. При \а\ < 1 или а = ±v2 четыре корня;
при \а\ = 1 пять корней;
при \а\ > 1 или а Ф ±V6 шесть корней.
226
4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
4.1. ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
НЕРАВЕНСТВА
Определение 4.1. Неравенства вида
cosx>a, s'mx>a, tgx>a, ctgx>a,
cosx<a, s'mx<a, tgx<a, ctgx<a
принято называть простейшими тригонометрическими
неравенствами.
Решение простейших тригонометрических неравенств находят с
помощью графиков тригонометрических функций или с единичной
помощью окружности.
Сначала рассмотрим решение простейших тригонометрических
неравенств с помощью графиков тригонометрических функций.
Пусть у = f(x) - некоторая элементарная тригонометрическая
функция с основным периодом Т и задано неравенство f(x) > a.
Тогда, если будет найдено решение данного неравенства на
промежутке длиной Г, множество всех решений можно определить в
силу периодичности функции у = /(*), т. е. если интервал Хо е Т -
решение заданного неравенства на промежутке Г, то любой из
интервалов
Х/с = (а\ ± кТ; ot2 ± кТ), keZ, а\ < а 2, (0:2 - oti) < Г,
также будет решением заданного неравенства. Таким образом,
множеством всех решений неравенства f(x) > а будет серия
интервалов Хк.
Интервал, равный основному периоду Г, можно взять любым.
Однако на практике следует придерживаться двух рекомендаций.
227
4. Тригонометрические неравенства
1. Выбранный интервал должен содержать в себе промежуток,
на котором тригонометрическая функция строго монотонно
возрастает либо строго монотонно убывает.
2. Множество решений заданного неравенства на этом
промежутке должно представлять собой один интервал.
С учетом этих рекомендаций рассмотрим решения следующих
неравенств.
Неравенство вида cos доя. Функция у = cos д; определена на
всей числовой прямой. Поэтому ОДЗ неравенства
cosx>a (4.1)
есть множество D(f) = Е, а область значений £(/) = [-1; 1].
Следовательно, при а<-\ неравенство (4.1) справедливо при
любом значении х, а при а>\ решением (4.1) будет пустое
множество.
При а = -1 неравенство (4.1) выполняется для всех значений х,
кроме тех, при которых cos* = -l, т.е. кроме х = п + 2пп, neZ.
Это множество решений можно записать в виде серии интервалов
Хп = (-я + 1тт\ л + 2тш), п е Z.
Если я е(-1; 1), то решение неравенства (4.1) найдем на
промежутке длиной, равной основному периоду, т. е. Т = 2л. В
качестве такого промежутка выберем промежуток (-л; л] (рис. 4.1),
X
. \.
-2ти
У
2
1
.<*!
371 -7U ^7С 0
~2\ Уу -,
-2
-
Т=2п
а2
7U 7
yv
а> 1
а=\
/ \ .<.
/ \ •
С .37U
2ти
57U 37U X
2 \
а = -1 V
а<-\
-
228
4.1. Простейшие тригонометрические неравенства
поскольку он полностью удовлетворяет двум, перечисленным
выше, рекомендациям:
- содержит полуинтервал (-л; 0], на котором функция у = cos*
монотонно возрастает, и полуинтервал (0; л], на котором функция
убывает;
- решение заданного неравенства - интервал Jfo =(0:1,0:2)-
полностью принадлежит выбранному промежутку (-л; л].
Рассмотрим сначала промежуток [0; л], на котором функция
y = cosx монотонно убывает от своего наибольшего значения
Ушиб = 1 ДО своего наименьшего значения утим =-1.
Следовательно, если при х = ot2 функция принимает значение, равное я, то при
х < ot2 и х е [0; л] она принимает значение, большее чем я, т. е.
при х < а2 => /(*) > /(а2), (х, а2) е [0; л], /(а2) = а,
при х > а2 => /(*) < /(а2), (*, а2) е [0; л].
Таким образом, решением неравенства (4.1) на промежутке
[0; л] будет полуинтервал [0; 0:2), а 2 = arccos я, и в силу четности
функции y = cosx на втором интервале (-л; 0) решением
неравенства (4.1) будет интервал (aj; 0), равный при ai = -a2
интервалу (-ot2;0), т. е. (-arccos я; 0). Объединив полученные
решения, заключаем, что на полуинтервале (-л; л] неравенству (4.1)
удовлетворяют значения *е(-arccos я; arccos я), а в силу
периодичности функции y = cosx множеством всех решений заданного
неравенства является серия интервалов
Х„ - (-arccos я + 2 ля; arccos я + 2 ля), п е Z.
Итак, множество всех решений тригонометрического
неравенства (4.1) есть:
1) при а е (-оо; -1) - множество (-оо; + оо);
2) при а = -\ - серия интервалов Хп = (-л + 2ля; л + 2ля),
neZ;
3) при яе(-1;1) - серия интервалов Хп = (-arccos я + 2ля;
arccos а + 2ля), п е Z;
4) при а е [1; + оо) - пустое множество.
229
4. Тригонометрические неравенства
Рассмотрим решение этого же
неравенства на единичной
окружности (рис. 4.2). Очевидно, что при
а>\ заданное неравенство не
выполняется ни при каком *, а при
а<-\ выполняется для всех х.
Пусть теперь -1 < а < 1. Тогда
множество точек единичной
окружности, абсциссы которых больше я,
находится правее прямой и-а.
Рис. 4.2 Значит, множество всех таких точек
есть дуга /, концами которой
являются точки М и N. Причем эти точки не входят в
рассматриваемое множество. Находим значения х\, Х2, соответствующие
точкам М и N. Точка М расположена на верхней полуокружности,
ее абсцисса равна я, следовательно, х\ = arccos а. Точка N
расположена на нижней полуокружности, ее абсцисса также равна а
и Х2 =-х\9 следовательно, xi = - arccos а. По дуге / обход
выполняется против хода часовой стрелки, и тогда любое значение х,
удовлетворяющее неравенству (4.1), принадлежит выделенной
дуге при условии, что -arccos а < х < arccos а. В силу периодичности
функции у = о,о$х заключаем, что
- arccos а + 2лп <х< arccos а + 2тш, п е Z.
При а--\ arccos(-l) = 7t и, следовательно, получаемое решение
будет иметь вид
-71 + 2%П < X < 71 + 27Ш, П G Z.
Неравенство вида cosjt<a. Функция у = о,о$х определена на
всей числовой прямой. Поэтому ОДЗ неравенства
cos*<a (4.2)
есть множество D(f) = R, а область значений E(f) = [-\; 1].
Следовательно, при а > 1 неравенство (4.2) справедливо при любом
значении х, а при а < -1 решением неравенства (4.2) будет пустое
множество. При а = 1 решением неравенства (4.2) будут все зна-
230
4.1. Простейшие тригонометрические неравенства
У
2
1
\ /
• \ /
-27U 37U -7U 7U 0
~2V У2 -,
-2
Г=2ти
\ /
U\\\ , ,/la2
a> 1
a=\
\ -1<а<1
7U 7U 37U 27U 57U ЗЛ X
2\ /2 2\
a<-l
чения х, кроме тех, при которых cos* = l, т.е. *еМ\ {{Ink},
JfceZ).
Если а е (-1; 1), то для решения неравенства (4.2) выберем
промежуток [0; 2л), на котором решение заданного неравенства
представляет собой один интервал (на рис. 4.3 этот интервал
заштрихован).
Разобьем этот промежуток на две части: D\ = [0; л] и /^ =
= (л; 2л). На промежутке D\ функция y = cosx убывает и,
следовательно, решением неравенства (4.2) являются все значения
jce(ai;7c], где oti =arccosa. На интервале £>2=(л;2л) функция
>> = cos* возрастает и, следовательно, решением неравенства (4.2)
являются все те значения х, которые удовлетворяют условию
хе(л;а2), где значение ot2 в силу симметричности функции
y = cosx относительно прямой х = л будет равно a2=27t-ai =
= 2л-arccos a. Объединяя решения, найденные на D\ и Di,
получаем, что на промежутке [0; 2л) множество всех решений
неравенства (4.2) есть интервал (arccos я; 2л-arccos я).
Воспользовавшись периодичностью функции >> = cos*, найдем множество всех
решений неравенства (4.2) на всей области определения:
Хп = (arccos а + 2лп; 2л - arccos а + 2ля), п е Z.
231
4. Тригонометрические неравенства
Итак, множество всех решений тригонометрического
неравенства (4.2) есть:
1) при а 6 (-оо; -1] - пустое множество;
2) при а б (-1; 1] - серия интервалов
Хп = (arccos а + 2тш; 2л - arccos а + 2тш), п е Z;
3) при а б (1; + оо) - множество Ж.
Решение этого неравенства показано на единичной окружности
(рис. 4.4).
При а>\ неравенство справедливо для всех х, при а<-\
решением неравенства (4.2) будет пустое множество. При -1 <а<\
множество точек единичной окружности, абсциссы которых
меньше я, находится левее
вертикальной прямой, проходящей через
точку (а; 0). Множество этих точек
образует дугу / (на рис. 4.4 эта дуга
заштрихована). Причем концы этой
дуги, точки М и N, не входят в
рассматриваемое множество. Найдем
значения х\, Х2, соответствующие
точкам М и N единичной
окружности. Точка М расположена на
рис# 4.4 верхней полуокружности, ее
абсцисса равна а, следовательно, х\ =
= arccos а. Поскольку по дуге / обход выполняется против хода
часовой стрелки, то Х2 >х\ и Х2 = 2п-х\ = 2л-arccosя. Любое
значение х, удовлетворяющее неравенству (4.2), принадлежит
выделенной дуге при условии arccos а <х< 2л -arccos а. С учетом
периодичности функции у = со$х приходим к окончательному
ответу:
arccos а + 2пп <х<2п- arccos a + 2nn, neZ.
Неравенство вида sin х > а. Функция у = sin x определена на
всей числовой прямой. Поэтому ОДЗ неравенства
sinx>a (4.3)
232
4.1. Простейшие тригонометрические неравенства
есть множество D(f) = Е, а область значений функции -
множество £(/) = [-1; 1].
Следовательно, при а<-\ неравенство (4.3) справедливо при
любом действительном значении *, т. е. хеЕ; при а> 1 -
решением неравенства (4.3) будет пустое множество. При а = -\
неравенство (4.3) выполняется для всех значений х, кроме тех, при
которых sinх = -1, т. е. кроме х = -— + 2тш, п е Z.
Это множество решений можно записать в виде серии
интервалов
-^ + 2тш;^ + 2тш1, /ieZ.
2 2 )
Если я е(-1; 1), то решение неравенства (4.3) сначала найдем
на некотором промежутке длиной, равной основному периоду, т. е.
Т = 2я. В качестве такого промежутка выберем полуинтервал
—; — , на котором решение заданного неравенства представ-
/ \^y = smx
/ . \
У
2
1
-27U 37U -7и\ 7U <У
2 \ 2 /
-2
Т=2п
£i ot2,
а> 1
а=\
-\<а< V \
7U A 37U /27U 57U 37U\ X
2 \ 2 / 2 \
а<-\
Рис. 4.5
ляет собой один интервал (рис. 4.5). Разобьем выбранный
промена котором функция
7С. 71
V 2.
жуток на две части: на отрезок D\
L Z ZJ
>> = sin* возрастает от своего наименьшего значения yHZWA =-l
233
4. Тригонометрические неравенства
до своего наибольшего значения ути^ = 1, и на интервал /^ =
= —; — , на котором функция y = sinx монотонно убывает. На
множестве D\ решением неравенства (4.3) являются все значения
71
*, удовлетворяющие условию хе\ щ; — |, где sinai =a и по
определению ai = arcsin а. На множестве Di решением неравенства
(4.3) являются все значения хе —; а 2 , где величина а2 в силу
симметричности функции y = sinx относительно прямой х = —
будет равна а2 = л - arcsin а (см. на рис. 4.5 заштрихованную
область). Объединяя решения, найденные на множествах Д и 1>2,
получаем, что на промежутке -—; — множество всех решений
неравенства (4.3) есть интервал (arcsin a; n - arcsin а). Далее,
воспользовавшись свойством периодичности функции у = sin x,
находим окончательное решение неравенства (4.3) в виде серии
интервалов
Хп = (arcsin а + 2тш; п - arcsin а + 2тш), п е Z.
Итак, множество всех решений тригонометрического
неравенства (4.3) есть:
1)при а е (-оо;-1)- множество Ш;
2) при а е [-1; 1) - серия интервалов
Хп = (arcsin а + 2лп; л - arcsin а + 2тш), п е Z;
3) при а е [1; + оо) - пустое множество.
Решение этого неравенства показано на единичной окружности
(рис. 4.6). При -1<я<1 множество точек единичной окружности,
ординаты которых больше я, находится выше горизонтальной
прямой, проходящей через точку (0; а). Множество этих точек
образует дугу / (на рис. 4.6 эта дуга заштрихована). Найдем значения
углов *i и Х2, соответствующих точкам М и N. Точка М лежит
234
4.1. Простейшие тригонометрические неравенства
промежутке
решениями
на правой полуокружности, ее ордината равна я, и,
следовательно, *i = arcsin а. Точка N лежит на левой полуокружности, ее
ордината также равна я, и поскольку обход дуги происходит против
хода часовой стрелки, то *2 > х\, т. е.
Х2 = л - arcsin а. Таким образом, на
71 . Ъ]С
V 2
неравенства (4.3) являются значения
х, удовлетворяющие условию
arcsin а < х < п - arcsin я,
а с учетом периодичности функции
y = sinx получаем ответ в виде
серии интервалов
Рис. 4.6
Хп - (arcsin а + 2тш; л - arcsin а + 2тш), п е Z.
Неравенство вида simt<a. Функция y = s'mx определена на
всей числовой оси. Поэтому ОДЗ неравенства
sin*<a (4.4)
есть множество D{f) = М, а область значений функции - множество
£(/) = [-!;!] (рис. 4.7). Следовательно, при любом яе(-оо;-1]
/
/
-2тс
Т=2п
У
2
1
\. у = sinx
а2
37Г -П\ П
2 \ 2
7
-2
/
ах
2
а> 1
а=\
"\ -1 <а<\/^ "\
\ . / . \
X А 37Г /27t
г \ 2 /
5л 37Г х
2
а = -\
а<-\
-
Рис. 4.7
235
4. Тригонометрические неравенства
решением неравенства (4.4) будет пустое множество, а при любом
а е (1; + оо) - множество всех действительных чисел. При а = 1
неравенству (4.4) удовлетворяют значения х из интервалов:
Х„ =
-^ + 2тш; *+2пп\ т
2 2 )
При ае(-\; 1) решение неравенства (4.4) сначала найдем на
произвольном промежутке длиной, равной основному периоду, т. е.
Т = 2л. В качестве такого промежутка целесообразно выбрать
Зтс. л 1
промежуток
на котором:
1) функция у = sin* имеет промежутки монотонности;
2) решение неравенства (4.4) представляет собой один
интервал (на рис. 4.7 этот интервал заштрихован).
Разобьем данный промежуток на две части: на отрезок
71. ТС
2 2.
, где функция у = sin x монотонно возрастает и,
следовательно, если sin oti =я, то для любого хе
_7С . _Л
V 2.
удовлетворяющего условию jc <otj, будет справедливо неравенство (4.4).
Значит, на отрезке
_ 7С . 7С
V 2.
решением неравенства (4.4) будут зна-
-—; oti ], причем aj =arcsina. На другой части
промежутка, на интервале
.М-.
функция у = sin х убывает, и,
2 2,
следовательно, для sin CL2=a и любого х из этого интервала,
удовлетворяющего условию х > ot2, будет справедливо неравенст-
37Е. _ IIs
" 2 ' 2.
во (4.4). Значит на интервале
решением неравенства
(4.4) будут значения jce аг; — . Причем в силу
симметричности функции y = smx относительно прямой х = — значение ot2
236
4.1. Простейшие тригонометрические неравенства
равно (Х2 = -я - arcsin а. Объединение полученных решений
позволяет получить множество всех решений заданного неравенства
на всем промежутке ; —
Хо = (-л - arcsin a; arcsin a).
Учитывая периодичность функции у = sin x, находим решение
неравенства (4.4) на всей числовой оси:
Хп = (-я ~ arcsin а + 2тш; arcsin а + 2тш), п е Z.
Таким образом, множество всех решений тригонометрического
неравенства (4.4) есть:
1) при а е (-оо; -1] - пустое множество;
2) при а е (-1; 1] - серия интервалов
Хп = (-я ~ arcsin а + 2лп; arcsin а + 2тш), п е Z;
3) при я е (1; + оо) - множество всех действительных чисел Ш.
На единичной окружности решение этого неравенства
выглядит следующим образом. При -1 <а<\ множество точек
единичной окружности, ординаты которых
меньше я, находится ниже
горизонтальной прямой, проходящей через
точку (0; а) (рис. 4.8). Множество
этих точек образует дугу / (на
рис. 4.8 эта дуга показана
штриховкой). Значения углов х\ и Х2,
соответствующих точкам М и N, будут
равны: jci = arcsin a, X2=-n- arcsin a.
Таким образом, на промежутке
Зя. 7С [
2 ' 2}
ного неравенства в виде х е (-я - arcsin a; arcsin а), а с учетом
периодичности функции у = sin х - серию интервалов Х„. Итоги
решения тригонометрических неравенств (4.1)-(4.4) сведем в
табл. 4.1.
получаем решение задан-
Рис. 4.8
237
Таблица 4.1
Неравенство
cosx>a
cosx<a
sin л: > a
sin л: < а
Значение параметра
a<-\
(-«>; -к»)
0
(-»;+«>)
0
a = -\
(-л + 27сл; л + 2пи),
«eZ
0
«eZ
0
-1<<7<1
(-arccoso + 27u;;
arccoso + 27u;), neZ
(arccoso + 27u;;
2n-arccosa + 27i/;),
«eZ
(arcsin a+ 2пи;
л - arcsin a + 2iw),
(-% - arcsin a + 2nn;
arcsin о + 27сл),
«eZ
a = l
0
(27сл; 2п + 27сл), neZ
0
r_32E + 2TO,;JE + 27»il,
neZ
a>l
0
(-«>; +oo)
0
(-co;+oo)
4.1. Простейшие тригонометрические неравенства
Неравенство вида tgx>a. Функция y = tgx определена на
ж числовой оси, за и
этому ОДЗ неравенства
всей числовой оси, за исключением точек хь = — + лк, к е Z. По-
2
tgx>a
(4.5)
является множество всех действительных чисел, кроме хц =
= - + nk,keZ, т.е. £>(/) = R\ |- + 7iA:|, к eZ ]. Областью
значений функции y = tgx на множестве D(f) является множество
E(f) = (-оо; + оо). Следовательно, при любом а неравенство (4.5)
всегда имеет решение. Из графиков функций y = \gx и у = а
можно заключить следующее (рис. 4.9): сначала необходимо найти
решение данного неравенства на промежутке | —; — , а затем в
силу периодичности функции у = tg x распространить это
решение на все множество D(f). Поскольку на промежутке -—; —
функция у = tg х монотонно возрастает и при х = хо принимает
значение tg*o =а, то при любом x>xq, таком, что хе -—;— ,
Рис. 4.9
239
4. Тригонометрические неравенства
tg*>tg*o> т.е. igx>a. Следовательно, на промежутке
решением неравенства (4.5) является множество дго;
-2L- Е
V 2)
\
Поскольку *o=arctga, то решение неравенства (4.5) на заданном
промежутке записывается в виде Хо = arctg <г, — . Учитывая
периодичность функции y = tgx на всем множестве £>(/), запишем
решение неравенства (4.5) при любом а:
arctg a + nk\ — + nk
k e[
На единичной окружности решение неравенства (4.5) выглядит
следующим образом (рис. 4.10): проведем к правой полуокружности
касательную (линию тангенсов) в точке (1; 0), на которой отметим
точку А(\;а). Соединим точку А с
центром окружности. Отрезок [ОА]
пересекает единичную окружность в
точке М. Значение угла xq,
соответствующего этой точке, будет равно
*о = arctg а. Любое значение х будет
удовлетворять неравенству (4.5), если
tg*>tg*(b т.е. tgx>a. На рис. 4.10
видно, что эти значения х на линии
тангенсов образуют луч (а; + оо), ко-
Рис. 4.10 торому на единичной окружности
будет соответствовать дуга
И1;*)
arctg а; — . На всей числовой оси, кроме х = — + пк, к с
решения неравенства (4.5) находят с учетом периодичности функции.
Неравенство вида tgjt<a. Решение неравенства
tgx<a (4.6)
отыскивается так же, как и ранее, т. е. строится график функции
у = tg х и проводится прямая у = а, где а - любое
действительное число (рис. 4.11).
240
4.1. Простейшие тригонометрические неравенства
Рис. 4.11
На промежутке -—; — , на котором функция y = tgx
возрастает, находится точка пересечения графиков этих функций
*o=arctga. Поскольку для любого х
—; — I, такого, что
2 2'
х < *о •> выполняется условие
tg*<tg*o или igx<a, решением
неравенства (4.6) на промежутке
-—; — будет множество -—; *о
2 2J К 2
arctg я L На всей числовой
оси, кроме jcjt = — + nk, k i
решением неравенства (4.6) при любом а рис 4 12
будет серия интервалов
-—+ nk; arctg а + пк
Решение неравенства (4.6) показано на единичной окружности
(рис. 4.12): на линии тангенсов отмечаем точку А(\;а), причем
tgxo=a, т. е. *о = arctg а. Любое действительное значение х,
241
4. Тригонометрические неравенства
кроме Xk = — + пк, к е Z, удовлетворяет неравенству (4.6) при
условии, что принадлежит лучу (я; - оо), которому соответствует дуга
-—; arctgtf .
Неравенство вида ctg доя. Функция y = ctgx определена на
всей числовой прямой, за исключением точек Хк = пк, к е Z.
Поэтому ОДЗ неравенства
ctgx>a (4.7)
есть множество D(f), включающее все действительные числа,
кроме Хк = лк, keZ. Областью значений функции у = ctg x на
множестве D(f) является множество E(f) = (-оо; + оо).
Следовательно, при любом а неравенство (4.7) всегда имеет решение. По
графикам функций y = ctgx и у = а сначала находим решение
неравенства (4.7) на промежутке (0; л) (рис. 4.13). Так как на этом
Рис. 4.13
промежутке функция у = ctg x убывает, для любого значения
х е (0; л), такого, что х < хо, *о = arcctga, справедливо
неравенство ctg*>ctg*o, т.е. ctgjoa. Значит, на промежутке (0; л)
решением неравенства (4.7) является множество Xq = (0; arcctga), и,
учитывая периодичность функции y = oXgx, находим решение
неравенства (4.7) на всей области определения D(f):
242
4.1. Простейшие тригонометрические неравенства
Xk = (лк; arcctga + лк), keZ.
Проиллюстрируем решение
неравенства (4.7) на единичной
окружности (рис. 4.14). В точке (0; 1)
единичной окружности проведем
касательную, называемую линией
котангенсов. На этой линии отметим точку
А(а; 1), абсцисса которой будет
равна произвольному числу а.
Соединив эту точку с началом координат, Рис. 4.14
получим радиус-вектор ОА, который
пересекает единичную окружность в точке М. Угол,
соответствующий точке М, обозначим через *о- Причем по определению
*о =arcctga. Взяв любое значение *е(0; л), такое, что х<хо, на
линии котангенсов получим множество точек, образующих луч
(а; + оо). Этому лучу на единичной окружности будет
соответствовать дуга Хо = (0; arcctga), которая и определяет множество
решений искомого неравенства на промежутке (0; л). На любом
другом промежутке (лк; л + лк), к е Z, решение неравенства (4.7)
находят с учетом периодичности функции y = ctgx, т.е. Х^ —
= (лк; arcctga + лк), keZ.
Неравенство вида ctgx<a. Решение неравенства
ctgx<a (4.8)
отыскивается так же, как и ранее. Строим графики функций
y = ctgx и у = а, где а -любое действительное число (рис. 4.15).
Находим точки их пересечения. Причем на промежутке (0; л) из
равенства ctg*o=tf следует равенство XQ=2KQ,ciga. На этом же
промежутке функция y = ctgx убывает, и, следовательно, для
любого х > xq очевидно неравенство ctg х < ctg *о •> т. е. ctg x < а.
Таким образом, на промежутке (0; л) решением неравенства (4.8)
будет множество Xq = (arcctga; л), а на любом другом
промежутке (лк; л + лк), к е Z, - множество
Хк = (arcctga + лк; л + лк), к е Z.
243
4. Тригонометрические неравенства
Рис. 4.15
Проиллюстрируем решение
неравенства (4.8) на единичной окружности
(рис. 4.16). На линии котангенсов
отмечаем произвольную точку А(а;\),
которой будут соответствовать на
единичной окружности точка N и
центральный угол хо, причем *о =
= arcctga. На промежутке (0; л) для
любого х > xq на линии котангенсов
получаем луч (я; - оо) и
соответствующую ему дугу (arcctga; л).
Это и будет множество решений неравенства (4.8) на данном
промежутке (0; я).
/7
-И
V
1
^7
0
А(а;\)
]\ и
Рис. 4.16
4.2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Решение произвольных тригонометрических неравенств
сводится в конечном счете к решению простейших
тригонометрических неравенств видов (4.1)-(4.8) с применением тех же основных
приемов. В частности, на практике широко используют метод
подстановки, рационализацию тригонометрических выражений,
разложение на простые множители, преобразования на основе
различных тригонометрических формул и многие другие приемы.
244
4.2. Основные методы решения тригонометрических неравенств
При этом также используют преобразования, связанные с
освобождением от знака модуля, возведение в натуральную степень,
освобождение от знаменателя, сокращение неравенства на общий
множитель. В качестве общего метода решения всех этих
неравенств, как правило, применяется метод интервалов. Разберем
некоторые частные случаи этих общих приемов.
Метод подстановки. Неравенства вида
sin/О) > я, sin/О) < я, (4.9)
cos/0)>a, cos/0)<a, (4.10)
tg/(*)>*, tg/(x)<*, (4.11)
ctg/(*)>tf, oXgf(x)<a (4.12)
с помощью замены t = f(x) сводятся к простейшим
тригонометрическим неравенствам вида (4.1)-(4.8). В (4.9)-(4.12) /(*)-
произвольная алгебраическая функция. В результате сначала
решается простейшее тригонометрическое неравенство, а затем
обычное алгебраическое неравенство.
Пример 4.1. Решить неравенство
sinf^ + ^l<-j=. (4.13)
Решение. Пусть t = — + —, тогда неравенство (4.13) будет
иметь вид sinf<—^-. Воспользовавшись решением неравенства
V2
(4.4), находим, что на промежутке -—; —
есть интервал
искомое решение
7Ь= -7t-arcsin-j=; arcsin-j= =[-—; -|,
{ V2 V2 J I 4 4/
(5тг
ь2тш;
—+ 2тш , neZ. Возвращаясь к переменной х, получаем множе-
4 )
ство всех решений исходного неравенства:
245
4. Тригонометрические неравенства
-^ + 2тш<^ + ^<^ + 2тш, >?eZ,<=>
4 2 12 4
4 12 2 4 12
<=> - —+ 2тш <-*< — +2тш, neZ, <=>
3 2 6
0_М+47сл<х<7с + 4тс eZ>
9 3 9 3
~ ( 8л , 4л я , 4и 1 ™
Ответ: + — л;— + — п , weZ.
I 9 3 9 3 J
Пример 4.2. Решить неравенство
9tgf5*-^l>-5. (4.14)
Решение. Пусть t = 5x- —, тогда неравенство (4.14) будет
4
иметь вид
9tg>>-5otg>>-^.
Воспользовавшись решением неравенства (4.5), находим, что на
промежутке -—;— искомое решение есть полуинтервал 7о =
arctg — ; — , а на всей области определения функции
у = tgt - серия полуинтервалов
Tk = arctgf —5-] + 7сЛ:; - + nk ], jfceZ.
Возвращаясь к переменной х, получаем множество всех решений
исходного неравенства
arctgf--| + 7c£<5jc--<- + 7c£, £eZ, <=>
\ 9) 4 2
<=>--arctg- + wit<5jc<^ + 7uit,iteZ,<=>
4 9 4
246
4.2. Основные методы решения тригонометрических неравенств
arctg-
<=>--- 9_ + Ек<х<2к + кк, keZ.
20 5 5 20 5
Ответ:
arctg-
20 5 5 20 5
, ki
Пример 4.3. Решить неравенство
2cos(VJc + 7t) + l>0.
(4.15)
Решение. В отличие от рассмотренных выше примеров в этом
неравенстве функция f(x) = 4x + л определена не на всей
числовой оси, а лишь при х>0. Поэтому ОДЗ неравенства (4.15) есть
множество D = [0; + оо). На этом множестве сделаем замену
t = yfx + n. Тогда исходное неравенство (4.15) запишем в виде
2 cos/1 +1 > 0 <=> cos t > —L
V2
Воспользовавшись решением простейшего тригонометрического
неравенства (4.1), находим t\
-arccos -— + 2 ял <t <arccos -— + 2тш, neZ.
Учитывая свойство функции у = arccosf, вычислим
arccos -— =7i-arccos— = n-— = —.
\ 2) 2 3 3
Следовательно,
-— + 2mt<t< — + 2тш, /ieZ.
3 3
Сделаем обратный переход к переменной х:
-— + 2nn<Jx + n< — + 2тш, neZ, о
3 3
<^-^ + 2лп<у[х<-- + 2лп, neZ.
3 3
247
4. Тригонометрические неравенства
Из найденной серии решений отберем лишь те решения, которые
удовлетворяют условию х > 0, т. е. определим значения
целочисленной переменной п из неравенства
_57L + 27W£0<=>27w>^L<=>/i^ = ^.
3 3 6л 6
Таким образом, неравенству п > — удовлетворяют п > 1, п е Z, и
6
тогда решение неравенства (4.15) записывается в виде
^ + 2лп) <х<(-^ + 2лп) , п>\.
Ответ:
-^ + 2пп
з j уз
\2 / \2
, п>\, net
С помощью метода подстановки также решаются неравенства
вида
/(sin*)>a, f(smx)<a, (4.16)
f(cosx)>a, f(cosx)<a, (4.17)
f(tgx)>a, f(tgx)<a, (4.18)
f(ctgx)>a9 f(ctgx)<a, (4.19)
в которых тригонометрические функции стоят под знаком другой
функции. Путем замены sin* = f, |f|<l, cosx = t, |f|<l, tgjc = /,
ctgx = t неравенства (4.16)-(4.19) приводятся к алгебраическим
неравенствам вида
f(t)>a, f(t)<a. (4.20)
Если решением алгебраических неравенств (4.20) является
множество r = [fi;f2]> т0 Для нахождения множества всех
решений исходных неравенств (4.16)-(4.19) запишем следующие
системы простейших тригонометрических неравенств:
Z1! < sinJC < /2* f|<COS*<f2, '|^tg*<f2, f | < Ctg JC < *2 •
Если решением алгебраических неравенств (4.20) является
пустое множество, то и множество всех решений
тригонометрических неравенств (4.16)-(4.19) также будет пустым.
248
4.2. Основные методы решения тригонометрических неравенств
Следует отметить, что к неравенствам вида (4.16)-(4.19)
относятся неравенства f(g(x)) > я, f(g(x)) < я, где g(x) -
произвольное тригонометрическое выражение. Например, к подобным
неравенствам относятся неравенства вида
/?(sin*, cos*)>0, /?(sinjc, cos*)<0, (4.21)
где R - рациональная функция. Подобные неравенства решаются
с помощью различных рационализирующих подстановок.
Если под функцией / подразумевать функцию более общего
вида, то неравенства
/(sin х, cos x) > О, /(sin x, cos x) < О (4.22)
с помощью замены
sin* = v, |v|<l, cos* = «, |м|<1
могут быть сведены к решению системы вида
f/(«,v)>0,
I М2 + V2 = 1,
[|v|<l.
Проиллюстрируем рассматриваемые приемы некоторыми
примерами.
Пример 4.4. Решить неравенство
sinl 4jc + ^L|<4/1. (4.23)
Решение. Приняв g(*) = sin 4* + — ], приходим к
иррациональному неравенству
т<$.
которое, в свою очередь, может быть сведено к равносильной
системе неравенств
|*«<f.
U*)>0,
249
4. Тригонометрические неравенства
sin|4* + ^]<^
sinI 4* + ^|>0.
(4.24)
Решение полученной системы тригонометрических неравенств
(4.24) найдем с помощью графика функции >> = shu, где t =
= 4* + — (рис. 4.17). Сначала находим решение системы (4.24) на
/ \
2-
У
1
-^-1
7=271
у = sin t
А , 1\
/о 71 t\ 7и\37Г
2 2-
л/З
п
У i
Рис. 4.17
произвольном промежутке длиной Т = 2%. В качестве такого
промежутка возьмем промежуток, на котором решение одного из
неравенств системы (4.24) представляет один интервал. Пусть таким
7Е. 371^
"2' 2
_7С. 371 '
. 2' 2.
промежутком будет
sin t > О на промежутке
.л
Тогда решением неравенства
будет отрезок [0; я], а
решением неравенства sin f < -
полуинтервал
л.
; ?о или интервал
\t\; — , где to = arcsin — = —, t\=n-arcsin— = —. В результа-
K2J 23 23
те решением системы неравенств
sin К
7з
sinf >0
250
4.2. Основные методы решения тригонометрических неравенств
на промежутке
__л. Зл
V 2
будет совокупность неравенств
0<f<^,
3
2л
<t<n.
На всей числовой оси в силу периодичности функции у = sin t
решение системы (4.24) запишем в виде
2nn<t< — + 2лп,
3 /ieZ.
— + 2лл<г<л + 2лл,
. 3
Вернемся к переменной х:
2лп<4х + — <- + 2лп,
3 3
— + 2лп<4х + — <л + 2лл,
. 3 3
-^ + 2пп<4х<-^ + 2пп,
3 3
-л + 2пп <4х< -— + 2лл,
3
_5л + л/7<;с<_л + л
12 2 3 2
«€Z,0
weZ, <=>
/ieZ.
4 2
6 2
Ответ:
5л _,_ л_м. _ л. 2LW ll 1^ — ^ j^"• _Ж_1_1^
L + — я:
12 2 3 2
+ — я; - — +—л
4 2 6 2.
, яел
Пример 4.5. Решить неравенство
? 1
2cos 2*-sinz2*<—.
4
Решение. Воспользовавшись основным тригонометрическим
тождеством, получим
251
4. Тригонометрические неравенства
? 1
2cos2*-1 + cosz 2х < —,
4
или
8cos2*-4 + 4sin22*<l <=> 8cos2* + cos22*-5 <0.
Пусть cos 2x = t, \t\<\. Тогда запишем систему неравенств
Ut2+%t-5<0,
1и<1.
Находим ее решение:
Ifel-V,
11 2 2) <=>*е
Следовательно,
-ф
-1<cos2;c<-.
2
Левая часть неравенства выполняется для всех значений *, т. е.
множество его решений (-оо, + оо), а правая часть - для значений
х, удовлетворяющих условию
arccos— + 27t«<2*<27t-arccos— + 2nn, neZ, <=>
2 2
<=> — + тш < х < — + тш, п е Z.
6 6
Отеет\ — + тш; — + тш , я е Z.
U 6 J
Разложение на простые множители. Целый ряд
тригонометрических неравенств решается с помощью разложения на простые
множители. Например, неравенства вида
/(*)£((*)>/МЫ*),
/(*)&«</МЫ*),
где f{x) и gi,2(*) - тригонометрические функции или
тригонометрические выражения, решаются следующим образом.
252
4.2. Основные методы решения тригонометрических неравенств
1. Находим ОДЗ заданных неравенств.
2. Переходим на ОДЗ к равносильному неравенству:
/(*)[*! 00 " S200] > 0, /(*)[gl (X) - g2(*)] < 0.
3. Переходим на ОДЗ к равносильной совокупности двух
систем:
- для первого неравенства (4.25):
Г/«>о,
Ul(*)-g2(*)>0,
j/«<o,
UiW-g2W<0;
- для второго неравенства (4.25):
[/(*)< 0,
giW-g2W>o,
/«>о,
giW-g2W<o.
Проиллюстрируем данный подход примером.
Пример 4.6. Решить неравенство
cos 2х > -j2(cosx- sinx).
(4.26)
Решение. Воспользовавшись формулой для косинуса двойного
угла, неравенство (4.26) преобразуем к виду
cos2 х - sin2 x > -j2(cosx- sin x) <=>
<=> (cos x - sin x) (cos x + sin x) > V2 (cos x - sin x).
(4.27)
Тригонометрические выражения, стоящие в правой и левой частях
неравенства (4.26), справедливы для любых значений jc.
Следовательно, ОДЗ неравенства (4.26) - множество £> = (-оо;+оо).
Перейдем от неравенства (4.27) сначала к равносильному неравенству
(cos* - sin x) (cos* + sin x - v2) > 0,
а затем к равносильной совокупности систем неравенств
253
4. Тригонометрические неравенства
cos*-sin*>0,
cos* + sin*>
cos*-sin*<0,
C0SX + S\X\X<y[2.
(4.28)
Находим решение данной совокупности. Рассмотрим неравенство
cos*-sin*>0. Умножением на (-1) получим неравенство sin*-
-cos* < 0, к левой части которого применима формула
sin*-cos* = V2sin[ х- — .
Тогда запишем цепочку следующих равносильных
преобразовали sin * -- < О о sin he-- <0 О
<^>-n + 2nk<x--<2nk, keZ, <=>
4
<?>-^ + 2nk<x<^ + 2nk, keZ.
4 4
В свою очередь, решением неравенства cos* + sin*>v2 будет
множество
sin* + cos*> V2 <=> V2sin * + — > V2 <=>sin * + — >1<=>
<=> x + ^ = ^ + 2nl, /eZ, о^ = - + 2л/, /eZ.
4 2 4
Таким образом, решением системы
fcos*-sin*>0,
cos* + sin*> V2
совокупности (4.28) будет множество {— + 2тш; п е \
14
Рассмотрим неравенство cos x - sin x < О, которое равносильно
неравенству
254
4.2. Основные методы решения тригонометрических неравенств
sinx-cosx>0<=>>/2sinhc-- >0<=>sinhc-- >0<=>
<^>2пт<х- — <п + 2пт, meZ, <^> — + 2пт<х< — + 2пт, meZ.
4 4 4
Находим решение неравенства cos* + sinx < >/2. Для него получим
V2sin[ * + -)<V2osin[ x + -)<\<^xe(-oo;+oo).
Следовательно, решением системы
[cos*-sin*<0,
cos* + sin*<
совокупности (4.28) будет множество
, weZ,
^ + 2лт: ^ + 2лт
А 4
которое и будет решением совокупности систем (4.28) в целом.
Ответ'.
^ + 2тш;^ + 2тш
4 4
, nt
Метод интервалов. В основе метода лежит следующее
утверждение: если тригонометрическая функция у = f(x) определена и
непрерывна на некотором промежутке X и не имеет корней на
этом промежутке, то для любого хеХ функция у = f(x)
сохраняет свой знак. Поэтому, чтобы решить тригонометрическое
неравенство
/(*) > 0 или /(*)<0, (4.29)
где f(x) - произвольное тригонометрическое выражение,
необходимо:
1) найти область определения D(f) и период Т функции
2) записать и решить на промежутке длиной, равной основному
периоду Г, соответствующее тригонометрическое уравнение,
заменив знак неравенства знаком равенства;
255
4. Тригонометрические неравенства
3) на числовой оси отметить промежуток, равный длине
основного периода Г, и разбить его точками разрыва функции f(x) и
корнями уравнения f(x) = 0 на интервалы, на которых f(x)
сохраняет свой знак;
4) на выбранном промежутке провести отбор интервалов
решений неравенства (4.29) методом пробных точек;
5) провести отбор характерных для неравенства (4.29) точек -
корней уравнения f(x) = 0 и концов промежутков ОДЗ. Если
исходное тригонометрическое неравенство нестрогое, то корни
уравнения f(x) = О входят в ответ, в противном случае корни
уравнения f(x) = О не являются решением неравенства (4.29). Концы
промежутков ОДЗ проверяются непосредственной подстановкой в
исходное неравенство;
6) с учетом периодичности функции у = f(x) найти решение
на всей числовой прямой.
Проиллюстрируем сказанное следующим примером. Пусть
задано тригонометрическое неравенство f(x)>g(x), где /(*),
g(x) - произвольные тригонометрические функции. Находим
основной период указанных функций (как наименьшее общее
кратное периодов функций f(x) и g(x)). Предположим, что этот
период равен числу 7]. На числовой прямой выбираем произвольный
промежуток длиной, равной 7], например промежуток [0;7j). На
заданном промежутке находим ОДЗ рассматриваемого
неравенства. Пусть ОДЗ состоит из двух промежутков (а; Ь] и [с; 7]), где
с>Ь>а>0. При этом уравнение f(x) = g(x) на промежутке
[0; Т\) имеет два корня х\ и Х2 (рис. 4.18). Корни уравнения
разбивают ОДЗ неравенства на четыре промежутка: А, В, С, D.
Выбрав на каждом промежутке по одной пробной точке, проверяем
выполнение неравенства. Если, например, для хеА и xeD
исходное неравенство выполнятся, то промежутки (а; х\) и (х2',Т\)
включаются в ответ. Теперь рассмотрим характерные точки.
В данном случае к ним относятся корни уравнения f(x) = g(x), т. е.
точки jci и Х2 и концы промежутков ОДЗ (точки бис,
точка а не входит в ОДЗ). Корни уравнения jci и Х2 необходимо
256
4.2. Основные методы решения тригонометрических неравенств
У
0
А
а х
Т\
В
С
D
j b с х2 х
Рис. 4.18
включить в ответ, поскольку исходное неравенство нестрогое.
Выполним проверку неравенства в точках Ъ и с. Если при
непосредственной подстановке каждой точки неравенство выполняется, то
точки входят в ответ. В противном случае их следует отбросить.
Пусть для определенности при х = Ъ неравенство f(x) > g(x)
выполняется, а при х = с не выполняется. Тогда х = Ъ следует
записать в ответ, а х = с - исключить.
Проведем отбор интервалов и характерных точек,
удовлетворяющих неравенству. В нашем случае объединим два интервала
(я; х\), (jc2 ; 7]) и характерные точки {*i} U {*2} U {Ь}. В результате
получим решение неравенства f(x) > g(x) на промежутке [0; 7]) в
виде множества Xq = (а; х\]U{b}U[*2\Т\). С учетом основного
периода 7] найдем серию решений на всей числовой прямой:
Х„=(а + пТ\\х\+пТ\\\}{Ь + пТ\}\}[хг+пТ\\Т\+ пТ2), пеZ.
Пример 4.7. Решить неравенство
sin* + sin2* + sin3*>0. (4.30)
Решение. Пусть /(*) = sin* + sin2* + sin3*. Найдем основной
период этой функции. Поскольку основной период функции
/j(*) = sin* равен 7] =2я, основной период функции /2(*) = sin2*
Т
равен Ti = — = л, а основной период функции /з (х) = sin 3* равен
Т о
7з = — = —-, то наименьшее общее кратное этих периодов будет
равно Т = 2л и поэтому Т = 2л - период функции /(*). Так
как f(x) непрерывна на всей числовой прямой, то она будет непре-
257
4. Тригонометрические неравенства
рывна и на любом промежутке длиной, равной 2л. В качестве
такого промежутка выберем промежуток [0; 2л). На заданном
промежутке находим корни уравнения:
sin х + sin 2x + sin Зх = 0.
Поскольку sin* +sin3* = 2sin 2* cos*, то 2sin2* cos* + sin2* = 0
и справедлива цепочка следующих равносильных преобразований:
sin2*(2cos* + l) = 0 <=>
sin 2x = 0,
1 <*
c = ±^ + 2nk, keZ.
3
Выполним отбор корней, принадлежащих промежутку [0; 2л):
0<-п<2п о 0<л<4, weZ, <=>ле{0;1;2;3};
2
0<^ + 2л£<2л <=>-2ZE<27uifc<^ <=>
3 3 3
o-J-<£<^, £eZ,o£ = 0;
3 3
0<-2jL + 2nl<2n <=> ^<2л/<-^ <=>
3 3 3
о^</<^, /eZ, <=>/ = l.
3 3
Следовательно, промежутку [0; 2л) принадлежат корни: х\ = 0;
Х2=—;х2=п; ха = —; *5 =—-; *б =—-• Отметим рассматривае-
2 2 3 3
мый промежуток и найденные корни на числовой оси (рис. 4.19).
Функция f(x) на каждом из полученных интервалов А, В, С,
D, Е и F непрерывна и сохраняет свой знак, который несложно
установить методом пробной точки. Например, если х-
■А,
Л = [0;|],то
/f^ = siniL + sinIL + sinIL = I+V3+i = 3±V3>0
{б) 6 3 2 2 2 2
258
4.2. Основные методы решения тригонометрических неравенств
А
LL
7=271
l^J
Е
11
J71 27Г 7Т 47Г 371 271
2 3 3 2
Рис. 4.19
если x = ^eF, F = \^;2n\ то
6 {2 )
Ч 6 J 6 3 2
= sin I 2я--l + sin[4я--l + sinl 6 л--
<0.
6) \ Ъ) \ 2
= -| sin^ + sin^ + sin^--^b/3
6 3 2
Для других интервалов имеем:
если х е 5, 5 = (-; —1, то /(*) < 0;
если *еС, С = [—; л ), то /(*)>0;
если хеД £> = ( л; —), то Д*)<0;
если *е£, £ = f—; ^\ то /(*)>0.
В результате на промежутке Т = [0; 2л) неравенство (4.30)
выполняется для
^е|0;^]и[^;л|и'^-^
2) \ 3 ; V 3 2
При этом корни уравнения sin х + sin 2х + sin 3* = 0, т. е. точки
259
4. Тригонометрические неравенства
2 3
х4=п;х5=^;х6=^,
3 2
в решение не входят. Ответ записываем с учетом периода функции
Ответ: 2тш; - + 2тш IU ( — + 2лп; л + 2лп 1 U
Пример 4.8. Решить неравенство
tg|-tg|>0. (4.31)
Решение. Пусть f(x) = tg—-tg—. Найдем основной период
этой функции. Основной период функции y = tgx равен л,
следовательно, основной период функции f\(x) = tg— будет равен
7]= 2л, а основной период функции /2(*) = tg— будет равен
72 = Зл. Тогда Т = 6% будет основным периодом функции /(*).
Итак, решение неравенства (4.31) сначала отыщем на любом
промежутке длиной, равной основному периоду функции f(x). В
качестве такого промежутка возьмем промежуток [0; 6л). На
заданном промежутке находим корни уравнения
tg|-tg| = 0.
Воспользовавшись методом сравнения аргументов, получаем
2 3
откуда х = бпп, neZ. Промежутку [0; 6л) принадлежит один
корень *| =0.
260
4.2. Основные методы решения тригонометрических неравенств
Некоторые точки указанного промежутка не входят в ОДЗ
неравенства (4.31):
2 2
.3 2
х Ф л + 2тм, п е Z,
**^ + Зл£, jfceZ.
2
К числу таких точек относятся:
О<л + 2лп<6л <=>-л<2лл<5л <=>--<«<- =>л = 0;1;2;
2 2
*i = л, ^2 = Зя, *з = 5л;
0<^ + Зл£<6л о-^<Зл£<^ о-^<£<^ =>jfc = 0;l;
2 2 2 2 2
v _ Зл. _ 9я
2 2
Т=6п
Л I /2 I /3 I /4 I /5 I /б
>жмш ымжтямъ Ътш>
я Зя
2
Зя
Рис. 4.20
9я 5я 6я
2
Найденные точки разрыва функции f(x) и корни уравнения
отметим на промежутке [0; 6я) числовой оси (рис. 4.20). Получено
шесть интервалов:
/,=(0;я), h=(n;fy h=[f;3n
/4=(37i;?) /5=(?;54 /б=(5л;б71)'
на каждом из которых функция непрерывна и сохраняет свой знак.
Установим этот знак методом пробных точек. Выбираем,
например, x = — el\, определяем
261
4. Тригонометрические неравенства
/M = tgiL_tgIL = i_V3=3W3>a
J\2) Б4 Б6 3 3
Аналогично имеем
xel2, /(*)<0; xel3,f(x)>0;
xel4, f(x)<0; xel5, f(x)>0; xel6, f(x)<0.
В результате получаем решение неравенства (4.31) на промежутке,
равном длине основного периода функции f(x):
хе(0;я)и[^;ЗяЪ[^;5я\
Запишем решение неравенства (4.31) на всей числовой прямой в
виде серии интервалов:
(бтш; л + бтш) U — + бтш; Зтс + бтш U
и( — + 6тш;5тс + 6тш), neZ.
Ответ: (бтш; тс + бтш) U — + бтш; Зтс + бтш U
U( — + 6тш;5тс + 6тш), neZ.
Неравносильные преобразования тригонометрических
неравенств. Для преобразования различных неравенств,
содержащих тригонометрические выражения, применяют различные
тригонометрические формулы. Большинство из этих формул
справедливы при любых значениях переменной. Однако некоторые из них,
например
1 • * 2tg*
ctg* = ——, sin2* = ELr-,
tg* 1 + tg2*
1-tg2* , оч tg*-tgB
cos2* = --^-, tg(jc-p) = —&- f-,
1 + tg2JC 1 + tgJC tgp
применимы лишь на том множестве изменения неизвестной, на
котором одновременно имеют смысл и левая и правая части
применяемой формулы. В этих случаях общая схема решения
неравенства следующая.
262
4.2. Основные методы решения тригонометрических неравенств
1. Находим ОДЗ неравенства и основной период функции
/(*), равной заданному тригонометрическому выражению.
2. Разбиваем ОДЗ на два множества: D\ - вся та часть ОДЗ, где
одновременно имеют смысл обе части применяемой
тригонометрической формулы; £>2 - та часть ОДЗ, на которой применяемая
тригонометрическая формула смысла не имеет.
3. Находим решение исходного неравенства на множестве Д,
учитывая, что на этом множестве преобразования исходного
неравенства равносильные.
4. Находим решение исходного неравенства на множестве Z^.
5. Объединением множества решений, найденных на D\ и Г>2,
получаем множество всех решений исходного неравенства.
Приведем некоторые примеры решения такого типа
неравенств.
Пример 4.9. Решить неравенство
tg*>2ctg;c. (4.32)
Решение. Пусть /(*) = tg*-2ctg*. Тогда исходное
неравенство равносильно неравенству f(x)>0. Основной период функции
f(x) будет равен Т = л, и ОДЗ исходного неравенства есть
множество Dn = тм; — + пк U — + пп; л + пк , п е Z. На каждом из
подмножеств D\n = пк; — + пк\ и Г*2п = — + пк; к + пк ,
составляющих множество D„, формула ctg* = применима, по-
tg*
скольку одновременно определены ее правая и левая части.
Поэтому
tg* > 2ctg* о tg* > — о tg X~ > 0.
tg* igx
С помощью замены tg* = t, /el, находим
^^>Oofe[-V2;0)U[V2;+oo),
263
4. Тригонометрические неравенства
tgx>-V2,
tgjc<0,
tgx>V2.
Решением неравенства -V2 < tgx < 0 на множестве Д> = 0; — U
U —; я будут значения х, удовлетворяющие условию п-
-arctgv2 <x<n (рис. 4.21). Решением неравенства tgx>v2 на
У*
Рис. 4.21
множестве Dq = 0; — U —; п\ будут значения х,
удовлетворяющие условию (см. рис. 4.21)
arctgV2<x<-.
Объединение двух этих решений дает промежуток
jcg arctg>/2; — U(rc-arctgV2; п\.
Запишем ответ с учетом периодичности функции /(jc) = tgjc-
-2ctgx.
264
4.2. Основные методы решения тригонометрических неравенств
Ответ: [ arctgVJ + пп; — + пп IU (-arctgVJ + п(п +1); я(« + 1)), п е Z.
Пример 4.10. Решить неравенство
cos2xtg;c>0. (4.33)
Решение. Пусть /(x) = cos2;c tgx. Тогда исходное неравенство
(4.33) представляется в виде f(x) > 0. Основным периодом
функции f(x) будет Т = я, и ОДЗ неравенства есть множество Д, =
mi; — + пп U — + пк\ п + пп
.2 12
К левой части неравенства (4.33)
применим формулу
о 1-tg2*
cos2x = ^т—.
1 + tg2x
Несмотря на то что левая часть формулы определена для любого
х е R, а правая часть лишь для тех х, которые удовлетворяют
условию хф — + тш, weZ, на ОДЗ определены обе части формулы.
Следовательно,
1 - \я}х
cos2x tgx>0<=> ^т— tgx>0.
1 + tg2x
Воспользовавшись заменой tgx = f, получаем
^>о.
1+Г2
Поскольку 1 +12 > 0 для любого t е R, то полученное дробно-
рациональное неравенство равносильно простому рациональному
неравенству f(l-f2)>0, для которого методом интервалов
находим решение fe(-oo; — 1) U (0; 1). Вернувшись к старой
переменной, имеем следующую совокупность:
[tg*<-l,
ftgx>0,
[tgx<l.
265
4. Тригонометрические неравенства
, У
! у=\ 1
_к]
2! / -1
l\ Tl
y = tgx/ |
У | Зтг
^1 1 4
/|
/ |
1
6""л icf !/"я Зл1 *
4 2J У
у — \ Zi
Рис. 4.22
На заданном множестве Dq =
0;!Я!;л
искомыми
значениями переменной х будут следующие (рис. 4.22):
!<х<2±,
0<х<-
С учетом периодичности функции f(x) находим
пп; K+n„)\jU + nn; ^ + тш|, m
Ответ: \ пп; — + пп |(J(— + пп; — + пп , neZ.
У 4 ) \2 4 )
Замечание. В качестве промежутка, длина которого равна
основному периоду Т = я, в обоих рассматриваемых случаях можно
было взять промежуток -—;— \{0} и воспользоваться
свойством нечетности функции, что позволило бы несколько упростить
решение задачи.
266
4.3. Решение тригонометрических неравенств с параметром
4.3. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
С ПАРАМЕТРОМ
При решении тригонометрических неравенств с параметром
очень часто приходится учитывать свойства функций, входящих в
неравенство, и одновременно использовать замену переменной, а
также другие способы, аналогичные тем, которые были
рассмотрены ранее применительно к уравнениям. Все эти элементы
решения на практике встречаются в самых различных сочетаниях.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 4.11. Для любого значения параметра р решить
неравенство
sinЗх-2d sin2 — >0.
2
Решение. Преобразуем исходное неравенство к виду
sin3x + /? соъЪх> р.
Сделаем подстановку sin3;c = tf, cos3x = 6. Тогда исходное
неравенство можно записать в виде равносильной системы уравнений
a + pb>p, \а>-р{Ъ-\\
+ b2=\ \a2+b2=\.
Воспользуемся геометрической интерпретацией решения
полученной системы на координатной плоскости ЬОа, для чего
рассмотрим функцию а = -р(Ь-\). Данная функция описывает
семейство прямых, проходящих через точку с координатами (1; 0) и
имеющих угловой коэффициент, равный tga = -p, где
V 2
а = -р(Ь -1) с окружностью а2 + Ь2 = 1
ае -—;— . Найдем координаты точек пересечения прямой
(-p(b-\)f+b2=\o
\bi=l
оb2(\ + p2)-2bp2 + р2 -1 = 0 <=> pi-\
L р +\
267
4. Тригонометрические неравенства
В результате получим следующие координаты точек пересечения:
(1; 0) и
-1. 2р
(рис. 4.23). Графическое решение системы
кр2+\' р2+\у
(4.34) для различных случаев изменения параметра/? приведено на
рис. 4.23, где я-/?е(0; +оо); б-/? = 0; в - р е (-оо; 0).
Заштрихованная область соответствует неравенству системы (4.34).
J Ъ-о
^Ц (ftП Ъ
ре (-~;0)
-р —> -оо
(/?->+ оо)
Рис. 4.23
Из приведенного рисунка следует, что
при /? е (0; +оо)
Зх е 2пп; arccos
/?2+1
- + 2пп |<=>xe| ^-: -arccos^
. 2%п
2-1 3 i
р2+\
268
4.3. Решение тригонометрических неравенств с параметром
при р = 0
Зхе(2пп;п + 2пп)^хе(^;± + ^\
при р е (-оо; 0)
Зх е I 2%п\ 2% - arccos^-r + 2%п <=>
р2 + \ )
О;се|27Ш;2я_1агсС084^ + ^
3 3 3 р2+1 3
Ответ: при /?е(0;+оо) jcef^Eu; J-arccos^—U^ ;
V ) \Ъ Ъ р2+\ 3 )
при р = 0 хе(^;± + ^\
2М;2я_1агсс08Р^+27ш
3 3 3 р2+1 3
при /?е(-оо;0) jcel^p^-iarccos^—7 +
Пример 4.12. Для любого значения параметра я решить
неравенство
a s'mx>2a + \.
Решение. Найдем граничные значения параметра, при переходе
через которые опорные неравенства, определяющие вид его
решения, меняют знак. При а = О исходное неравенство принимает вид
О > 1 и, следовательно, его решением будет 0. Кроме того,
коэффициент а при sin* определяет вид равносильного неравенства:
при а е (-оо; 0) исходное неравенство будет равносильно
неравенству sinjc< , а при яе(0;+оо) неравенству sinjc> .
а а
Решая полученные неравенства, необходимо учесть, что |sinjc|<l,
следовательно, сравнивая выражение, стоящее в правой части
неравенства, с единицей, получаем -\ = ^-^-, сравнивая с ми-
269
4. Тригонометрические неравенства
3
нус единицей, получаем +1=— -. Итак, опорные
неравенства меняют свой знак при яе<-1; -—; 0>. Теперь разобьем
множество всех значений параметра критическими значениями на
промежутки: (-оо; -1), -1; -— , -—; 0 , (0; +оо).
Найдем решения неравенства на каждом промежутке при
критических значениях параметра а:
1) яе(-оо;-1) sinx<^bi, где ^±!>1 о jcgM;
2) а = -\ sinx<l <=> xeR\- + 2тш ;
3)flef-i;-i>|sinjc<-^bi, где -1<2а+1<1<=>
V Ъ) а а
<=> х е | -я - arcsin 2<3 + 1 + 2лл; arcsin 2<3 + 1 + 2лл |;
4) я = -- sinx<-l <=> хе0;
3
5) яеГ-±;()1 sinx<^I, где 2^±i<-l о хе0;
v 3 j л л
6) я = 0 0-sinx>l <=> 0>1 <=> хе0;
7) яе(0;+оо) Sinx>^±i, где ^±!>1 о хе0.
я а
Ответ: при я е (-оо; -1) хеМ;
при яе{-1} x<=R\\- + 2nn ;
при д€ -1; — \хе\ -я - arcsin + + 27ш; arcsin + + 27Ш
I 3j I я я
ПрИ AG
--; +оо хе0.
3
270
4.3. Решение тригонометрических неравенств с параметром
Пример 4.13. Найти значения параметра я, при которых нера-
5 V
ведливо для любого х
венство 71+ — (х2 + ax)+cos(x2 + <xc) + sin 2х2+2ах + — <0 спра-
71. Зя
2' 2 _
Решение. Полагая t = х2 + ах, перепишем исходное
неравенство в виде тс + —f + cosf + sin 2f + — < 0. Отсюда
5 КЗ)
n + ^t + sin(^-t] + sm(2t + ^]<0,
|r2/ + |J + sinf2r + |)<|r-^-sinf|-r|,
Обозначим 2t + — = u и t- — = v, тогда последнее неравенство
3 2
будет иметь вид
—w + sinw <— v + sinv.
Поскольку функция y(b) = — b + s'mb является строго
возрастающей, так как y\b) = — + cosb>0 для любых beR, то
у(и) < y(v) <=> и < v. Следовательно,
2t+*<t-l<^t<-^.
3 2 6
Вернемся к исходной переменной. Тогда х2 +ах<-—. Таким
6
образом, для всех хе
.2' 2 ,
должно выполняться неравенство
271
4. Тригонометрические неравенства
х2 + ах + — < 0. Требуемые значения параметра а найдем из ус-
6
426 «<
9^2+л37г + 57г<0
[4 2 6
Ответ: я-1 -М_1
2 3 0л<_3я_5
л<_3я_5 2 9
2 9
2 9
Пример 4.14. Для каждого значения параметра а найти все
решения неравенства cos х + > а.
COS*
Решение. Наиболее простым и наглядным методом решения
этой задачи является так называемый метод сечений, в котором
используется графическая интерпретация решения. Обозначив
cosx = r, где \t\<\, построим график функции a = t + - на
координатной плоскости Юа и найдем те значения Г, для которых
выполняется неравенство а < t + -.
Исследуем функцию а = t + - для построения ее графика.
Найдем производную функции a'(t) = \-Ar = - 4 • Рассмотрим
t2 t2
знаки производной:
a\t)
Следовательно, функция a(t) = t + - монотонно возрастает на
t
промежутках t е (-оо; -1); t е (1; +оо) и монотонно убывает на
промежутках fe(-l;0); Г е (0; 1). Точка (-1;-2) является точкой
максимума функции, а точка (1; 2) - точкой минимума функции.
272
4.3. Решение тригонометрических неравенств с параметром
Изобразим график функции a{t) (рис. 4.24), учитывая при этом
ограничения на переменную V. О < \t\ < 1.
а е (2;+~)
Рис. 4.24
Отметим на плоскости штриховкой множество точек,
удовлетворяющих неравенству a<t + -. Придавая параметру а
различные значения, получаем возможность найти решение задачи для
каждого значения параметра.
Найдем абсциссы точек графика функции a (t) = t + - для
произвольного значения параметра а, решив для этого уравнение
п ,Л ^ \t2-at + \ = 0, q±Ja2-4
t f*0 2
При этом -l<f = f|<0 для а<0 и 0<f = f2<l Для a>0.
Приведем теперь решение неравенства а < t + - для любого значения
параметра а:
273
4. Тригонометрические неравенства
-1;
. а + у] а1 - 4
11(0; 1];
при яе(-оо;-2)
при а е {-2}
при а е (-2; 2]
при яе(2;+оо)
Вернемся к исходной переменной х, если f = cos;c. В
результате получим:
при a е (-оо; -2)
re{-l}U(0;l];
fe(0;l];
fe 0;
, а->/а2-4
хе(-| + 27м;| + 2тш]и
arccos^+^H + 2тш; 2л - arccos д + Jf~*- + 2тш
2 2
при д = -2
jcе ( —у+ 27м; -^ + 27мJU {п + 2пп}, п е Z;
при л е (-2; 2]
хе(-^ + 27ш;^ + 2тш), «eZ;
при яе(2; + оо)
jc е | -у + 2лл; - arccos g~^ ~4 + 2лл
,«6^;
ча-у/а2-4
2
arccos -—^ L + 2лл; -J + 2пп \, net
Ответ: при яе(-оо; -2)хе1~ + 2пп; ^ + 27ш)и
U [arccos a + ^l + 2пп; 2п - arccos а + ^^ + 2тш
274
4.3. Решение тригонометрических неравенств с параметром
при а --2
xel~ + 2nn;^ + 2nn\\J{n + 2nn}, neZ;
при а е (-2; 2]
хе(-^ + 2пп;^ + 2ш\ neZ;
при а е (2; +оо
X
и
)
е( -■£ + 2тш; -arccos^~^2~4+ 2тш
^ 2 2
arccos^~^2~4+ 2тш; £ + 2яи 1 л е
2 2 )
и
Z.
Пример 4.15. Для любого значения параметра а решить
неравенство 0 < cos* < 2-я2.
Решение. Наиболее простым и наглядным методом решения
данного двойного неравенства также является метод сечений, в
котором используется графическая интерпретация решения.
Построим на координатной плоскости хОу графики функций у = cos x и
у = 2 - а2 и найдем те значения х, при которых график функции
y = cosx находится выше прямой у = 0 и одновременно ниже
прямой у = 2-а2.
Из рис. 4.25 следует, что если 2 - а2 < О <=> \а\ > V2, то
неравенство 0 < cos* < 2-я2 не имеет решений. Если 2-д2=0<=>
<=> \а\ = у/2, то исходное неравенство принимает вид 0 < cos* < 0<=>
<=>cosx = 0<=> jce|-^ + 7c£>, keZ. Если 0<2-a2<\ <=> 1<|а|<>/2,
то решением неравенства будут значения х, такие, что
-^ + 2пк < х < -arccos(2 - а2) + 2пк,
2 keZ.
arccos (2 - а2) + 2пк < х < ^ + 2пк,
При 2-а2 >1<=> \а\ <1 решением исходного неравенства будут
значения х, такие, что -— + 2пк <х< — + 2пк, keZ.
2 2
275
4. Тригонометрические неравенства
У
Зя\ -к /п 0
2 N^ ^У 2
-1
2 \^ ^/ 2
2-а2>1
2-а2=1
(27а2)е(0;1)
2л 2-а2 = 0 *
2-а2<0
Рис. 4.25
Ответ: при
при|я|=±72 jcep + 7citJ,iteZ;
при 1 <|а|<у/2 хе
и
пр
-- + 2яА:; - arccos(2 - я2) + 2л£
arccos(2 - а2) + 2яА:; - + 2л£
и |а|<1 хе
2
ь2л£;^ + 2л
2
, jfceZ;
t
, jfceZ.
Пример 4.16. Найти все значения параметра а, при которых
неравенство (a2 +a-2)cos2;c + 2(tf + 5)|sin;c| -(я2 + а - б) > 0
справедливо для любого х е R.
Решение. Преобразуем исходное неравенство:
[а2 + а - 2)cos 2х + 2{а + 5) |sin jc| -{a2 + а - б) > 0 <=>
<=> [а2 + а - 2)(l - 2sin2 х) + 2{а + 5) |sin jc| -[a2 + а - б) > 0 <=>
<=> [а2 + а - 2)sin2 х-(а+ 5) |sin jc| -2 < 0.
По свойству модуля \а\2=а2. Если сделать замену
|sinjc|=f, то sin2;c = f2, где Ге[0;1], и тогда задачу можно пере-
276
4.3. Решение тригонометрических неравенств с параметром
формулировать следующим образом: при каких значения параметра
а все числа отрезка 0<Г<1 удовлетворяют неравенству
(a2+a-2)t2-(a + 5)t-2<0? Для решения этой задачи обозначим
f(t) = (а2 + а - 2 J Г2 - (а + 5)t - 2 и рассмотрим следующие случаи.
Случай 1. При а е (-оо; - 2) U (1; + °°) ветви параболы
направлены вверх. Все числа отрезка 0 < t < 1 удовлетворяют неравенству
/(f) < 0 тогда и только тогда, когда парабола располагается так,
как это показано на рис. 4.26.
О 1
t
Рис. 4.26
Составим систему опорных неравенств для заданных
положений параболы:
Гае(-оо;-2)11(1;+оо),
/0)^0, о
/(0)<о
ае(-оо;-2)11(1;+оо),
-2<0, о
я2-9<0
<=> а е[-3;-2)11(1; 3].
Случай 2. При а = -2 неравенство (a2 +a-2}t2 -(a + 5)t-2<
2
<0 эквивалентно неравенству -3r-2<0<=> t> —, которое
выполнится для любого значения Г, принадлежащего отрезку
0<Г<1.
Случай 3. При а = \ неравенство (<з2 +a-2)t2 -(a + 5)t-2 <0
эквивалентно неравенству -6r-2<0<=> t>-—, которое
выполнится для любого значения Г, принадлежащего отрезку 0 < t < 1.
Случай 4. При а е (-2; 1) ветви параболы направлены вниз. Все
числа отрезка 0 < t < 1 будут удовлетворять неравенству f{t) < О
при положениях параболы, представленных на рис. 4.27.
277
4. Тригонометрические неравенства
01
01
Рис. 4. 27
Составим систему опорных неравенств для заданных
положений параболы:
*е(-2;1),
/(0)<о, о
*е(-2;1),
-2<0, <=>ае(-2;1).
я2-9<0
В итоге, объединяя все найденные значения параметра я,
получаем яе[-3; 3].
Ответ: яе[-3; 3].
Пример 4.17. Найти все значения параметра я, при которых
неравенство cos 2х + а < 2v х2 + 16 —х + имеет единственное
<3 + cos2;c
решение.
Решение. Отметим, что функция у(х) = cos 2x + a-2yJx2+\6 +
+ х + является четной при любом допустимом значении па-
# + cos2;c
раметра а. Поэтому, если число х является решением неравенства
у(х) < 0, то и число (-х) также будет решением данного
неравенства. Следовательно, единственным решением исходного
неравенства может быть лишь х = 0.
При х = 0 имеем
1 + я<8-
16
(я + 1)2-8(я + 1) + 16
а + \
а + \
<0о
Д^<
а + \
0»
а<-\.
Исследуем заданное неравенство при значениях а = 3 и а < -1:
278
4.3. Решение тригонометрических неравенств с параметром
при а-3
cos2x + 3<2Vx2+16—*2+16 o(3 + cos2-V^2+16) <0«
3 + cos2x v '
<=> 3 + cos 2 - Vx2 +16 = 0 <=> л/х2 +16 = 3 + cos 2х <=>
<=> 4 < л/х2 +16 = 3 + cos 2х < 4 => х = 0;
при а<-\
I л + cos 2х - yjx2 -161
— <0 <=> a + cos2;c<0.
я + cos 2x
Очевидно, что при а<-\ неравенство cos2x<-a справедливо
для любых х. Таким образом, только при а-Ъ решение
неравенства х = 0 является единственным.
Ответ: а = 3.
Пример 4.18. Найти все значения параметра, при которых
система неравенств
\х2 +2рх + 4р2 + 2р + 4 < 4sin-y + 3cos>>,
|0<^<2я
имеет единственное решение.
Решение. Преобразуем первое неравенство системы, выделив
полный квадрат в левой его части, а в правой части введем
вспомогательный угол ф, разделив и умножив ее на пять. В результате
получим
х2 +2рх + 4р2 + 2р + 4<4s'mу + 3cosу <=>
<=> (х + р)2 +3р2 +2p + 4<5s'm(y + q>\
4 • 3
где созф = —; sin(p = —.
Так как в левой части данного неравенства стоит
квадратичная функция, график которой представляет собой параболу с
ветвями, направленными вверх, то множество ее значений есть
\3р2 +2р + 4;+оо\ В свою очередь, множество значений функ-
279
4. Тригонометрические неравенства
ции, стоящей в правой части, - [-5; 5]. Следовательно, для
выполнения условий задачи необходимо, чтобы минимальное значение
функции (х + р)2 + Ър1 +2/? + 4 (достигается при х = -р)
совпадало с наибольшим значением функции 5sin(>> + (p) на отрезке
у е [0; 2 л], т. е. должно выполняться соотношение
Ър2 + 2р + 4 = 5 «► Ър1 + 2р -1 = 0 <=>
Р = ~1
р = з-
Отметим, что условие у е [0; 2л] гарантирует существование
единственного максимума для правой части первого неравенства
исходной системы, представляющей собой периодическую
функцию с периодом, равным 2л.
Ответ: ое<-1; —
1 3
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
Простейшие тригонометрические неравенства,
системы и совокупности
1. Решите неравенство.
l.l.a) cosjc>-; 6)sin*>-^-.
2 2
1.2. a) ctgjc>-l; 6)tgx<-^-.
1.3. a) sin* < 0,3; 6) cosx>—.
7
1.4. a) tgx>5; 6) ctg*<-^-.
1.5. a) sin2;t>cos2;t; 6) v3sin;t<-cos;t.
1.6. a) V3cos3*-sin3*>-l; 6) cos--V3sin-< V5.
_£ + ^>_V3.
1.7. a) tg(^! + |J>-^-; 6) ctg(2* + l)<l.
280
Задачи и упражнения
1.8. a) cos
*-!>-!; б)
Ъ) 3
sin 2x
1
2) 5"
1.9. a) ctgroc>-5; б) ctgf- + *]>--.
л/3 1
1.10. a) sin* cos;t>—; б) sin* cos* <—.
4 4
1.11. a) --<cosx<--; б) -<sinx<-.
2 4 4 2
1.12. a) -2<ctgx<-; б) 2<tgx<3.
1.13. а)
tgf2jc-—| >л/3; б) 0<|ctgx|<V3.
1.14. a) 0<sin2x<-; б) IcosjcI >—.
4 ' ' 2
1.15. a) sin(2rccos;t)<0; б) cos (0,5 л sin х)< —.
1.16. a) cos*2 >-; б) sinVx<
V2
2. Решите систему неравенств.
„ 1
2.1. а)
V2'
б)
ftg,<A
2.2. а) \ & 3
[ctgx>-V3;
1
б)
sinx>-
cosx> —.
2
cosx<^;
2
ctgx>_V3.
2.3. a)
sinx>-, [ . 4
V cosx>—,
б) 5
cosx<-; [tgx<2.
siruc<-, ftgx>0,2,
2.4. a) \ 7 б) \ &
J)t л |ctgx<0,3.
[ctgx<4; L 5
281
4. Тригонометрические неравенства
ctg
ctg 2x
ftg2jc< 1,
2.5. а) \ ( к\ /-б)
[sin3*>±, [cos*<0,
2.6.а) 2 б) . Зх
/— sin —>0.
-!)
>о,
+±)>-А
2.7. а)
[sin*<I,
2 2 1 б>
cos 2л: > —;
1 2
[sin**-I,
1 3 2
C0S^<_V2.
{ 4 2
3. Решите совокупность неравенств.
3.1. а)
3.2. а)
3.3. а)
4 г
sinx>—,
51б)
cosx<—;
2 L
sinx<-0,5,
4 б)
ctgx<-;
'*>H>-i
л 7з
cos2x <--*—;
2
cosx<—,
2
tgx>-3.
ctg x< 0,2.
5
- 6)
sin 2x < ^~
2
V
cos3x> --^
Тригонометрические неравенства, системы
и совокупности смешанного типа
4. Решите неравенство.
4.1. а) ^*>0, хе[-щп]; б) fx-^¥sinx--l> 0, хе[0;2л].
4.2.а) ^2+Дг8<0; б) >/7 + 12х-4д^а
Vsinx cos*
4.3.а) sin^^>0, хе\—Ц-1; б) tg(x2-4)<0, x e ГО; 31.
х-\ L 2 5J
282
Задачи и упражнения
4.4. a) sin 2л: - 6 sin л:+ V3 cos ж л/27; б)
7з-(
->0.
sin л: + cos л:)
4.5. а)
3sinx
2 + cosx|
^V3; б)
3cosx
2-sin д:
>.л
4.6. a) s[nx~} <0; б) 5s[nx <2.
2sinx-l 2sinx+l
4.7. a) 2sin2x-sinx<0; б) 2cos2 x + V3cosx< 0.
4.8.а) 1~cos2x>0; б) 3cos2 x sinx-sin2 х< -1.
2sinx+l
4.9. а) 2sin2 x + v3sin;t-3 > 0; б) cos2х < 2 + v3 cosx.
4.10. a) 11 sin л: + cos 2л: < 6; 6) cos 2л:+ 5 cos л:+ 3 >0.
4.11. a) 2 cos2 л:-7 cos л: >-3; 6) 2(sin2 x + l)< 7 cos*.
4.12. a) 2sin2- + cos2x<0; 6) cos2 2x + cos2 x < 1.
2
4.13. a) 2cos4 x< 0,5 + cos2x; 6) 2cos2x-5 < 4V5sinx.
4.14.a) tg2x + (2-V3)tgx-2V3<0; 6) tg2x-(l + >/3)tg* + V5 >0.
4.15. a) 4sinx + ^— < 8; 6) 4cosx — > 8.
sin л: cos л:
4.16.a) -!->2cos*+l; 6) 2sin'x + sin*-l <0
cos* sinx-l
4Л7. a) 2 + V2-4COS2* > 2; g) l-4sin2x < 2
2sin 2x + sinx-l cos2 л: + cos л: -sin2 л:
4.18. a) V3(tgx + ctgx)>4; 6) 2tg 2x < 3tg л\
4.19. a) sin- + cos-<sin*~3; 6) 3sin2roc> V2sin4roc + 3cos2roc +V32.
2 2 V2
4.20. a)
V5h
->-?-; 6) ^<- 2V5"tg*
2sin3 л:-cosл:sin2л: 2sinx sin4x 4cos4 x-sin2 2x
4.21. a) ctgx + ^!il^<0; 6) _cos*_^*£
cosx-2 l-2sin;t 2
4.22. a) sin л: sin 2x - cos л: cos 2x > sin 6x;
6) sin 2x sin Зл: - cos 2x cos Зл* > sin 10л\
4.23. a) sin2x > -2 sin x\ 6) 2sin2x sinx< 2cosx-sin2x.
l + cosx
283
4. Тригонометрические неравенства
4.25. а
4.26. а
б;
4.27. а
4.28. а
4.29. а
4.30. а
4.31. а
4.32. а
4.33. а
4.34. а
4.35. а
4.36. а
б;
4.37. а
4.38. а
4.39. а
4.40. а
sin3:c-cos3:c
4.24. а) ьпил сиьод:<0; б) (Sinx + cosx)(73sinx-cosx)>0.
sin3x + cos3;t v '
cos2;t< v2(cos;t-sin;t); 6) sin л: + cos л: > v2cos 2x.
5 sin2 л:-3 sin л: cos л:-36 cos2 л: > 0;
4sin2 x-sinx cos л:-3 cos2 x>0.
l-3cos2 x + — sin2x< 0; 6) 3sin2 л: + sin 2л:-cos2 x>2.
2
sin л: + cos л: < ; 6) (l -tgx)(l + sin2x) < 1 + tgx.
cos*
2sin2;t-sin;t + sin3;t< 1; 6) cos л:-sin 2л: - cos 3x< 0.
cos л: + cos 2x + cos Зл: < 0; 6) sin;t + sin2;t + sin3;t>0.
sin 2x - sin Зх < 0; 6) cos 2x cos 5л: < cos 3x.
x + —\ |sinx| + sinA:> 0; 6) cosa:<|cosa:| hc + —
(x-2) |cosa:| < cosx; 6) sinjc + (jc-4)"|sinjc| >0.
cosx Icosxl <—; 6) sinxlsinxl >—.
1 ' 2 ' ' 2
sin л: sin|jc| > —; 6) cos* cos|;t| < —.
V2sin2x>2sinx(l + |l-V2sinJ);
2cos2 a:>cosa:(1 + |1 -2cosx|).
1 |ctgjc-l| + l 1 |tgx-V3| + V3
—l-—\>]— !—: 6) —l-—\>i ! .
sinz л: tgx cos^a: ctg*
>/5-2sinjc >6sinjc —1; 6) V2 + 4cosx > — + 3cosx.
Vsinx + Vcosx > 1; 6) |sinx| + |cosjc| > 1.
Isin jc| < IcosjcI; 6) cos л:—> sinjc + — .
1 ' ' ' I 2 2
5. Найдите все решения неравенства, удовлетворяющие заданному
условию.
5.1. a) 3cosx + l <cos2x<(4-V3Jsinx + l-2V3, |*| < я;
б) (4 + V3Jsinx + 2V3 + l<cos2x<5cosx-3, \x\<n.
284
Задачи и упражнения
5.2. а) -у/б sin л: cos л: < sin л: + cos х, |лг| < тс;
б) yjl sin л: cos л: < cos л: - sin х, \х\ < п.
6. Найдите целые решения системы неравенств.
3
6.1.
>х,
х-2
cos— <0.
2
7. Докажите, что из первого неравенства следует второе.
7.1. Зх2 -31дг + 8<0 => cos^—<0.
6-х
8. Изобразите на плоскости геометрическое место точек, координаты
которых удовлетворяют неравенству.
8.1. a) sin (х - .у) > 0; б) cos(x + .y)<0.
8.2. а) ^^- < 0; б) cos* cos^ > 0.
sin у
8.3. a) sin[ic(|*| + |.y|)]>0; б) cos[ic(|*-l| + |.y|)]<0.
Неравенства, содержащие логарифмическую,
показательную и тригонометрические функции
9. Расположите в порядке возрастания три числа.
9.1. а) я, = log0.5 sin 2x; a2 = -1 - log2 sin х;
аъ = log05 0 -cos 2jc), если 0< х < —;
4
б) я, = 1 + log2 cos х; а2 = log2 (1 + cos 2x);
аъ = 1 - 2 log0 5 sin 2х, если 0 < л: < —.
6
10.1. а) Найдите все положительные значения /, при каждом из которых
выполнено неравенство
<0;
. „ 1 . „ sin/
10g6sin/ Т 10ёб —Г-
о о
285
4. Тригонометрические неравенства
б) Найдите все отрицательные значения /, при каждом из которых
выполнено неравенство
log3cos, 3 log3 COS/
11. Решите неравенство.
11.1. a) (logsin,2)2 <logsin,(4sin3*); б) (logtg,3)2 < loglgx(3tg^).
11.2. a) 2^loe0-5,g*-1 <1; б) 10• 0,3>е^ct^ >3.
11.3. а) х^пх > 1, х > 0; б) х2™*-™2* < -, х > 0.
л:
H.4.a)logsin^_(^-^ + 3)>0;
6)iog^in,+cos>2+2*+0^-
11.5. a) log^(sinv+cos^(V6sinx + V2cosx)>l;
б) logsin.,_cos.,(sin;t-5cos;t)> 1.
11.6. a) log2cos£ Vl + 2cos2x < 1;
6) log
2sin*
2cos2x <—.
Неравенства с параметром
12. Для любого значения параметра а решите неравенство.
12.1. a) flrsinx —3 < 0; б) (a-2)s\nx> 2а+ 3; в) (Зя+ 2)cos;t> я-5;
г) (2я-1) cosjc < |а|; д) (дг — 3)sinjc< |2дг — 3|.
12.2. а) -5а < 12cos;t < Зя+ 4; б) A-a1 <sinx<0.
12.3.а) cos2(2x + l)<flr; б) |sin(3jc-1)| >а.
12.4. (cosx-a) cosx + — < 0.
12.5. flfsin2 x + 2cosA:-flf + l >0.
13. Определите, при каких значениях параметра а неравенство
справедливо для любых значений х:
а) a1 +tf-sin2x-2a cos ж 1;
б) cos2 x + 2asinx-a2 >a-2;
286
Задачи и упражнения
в) а (4 - sin х) - 3 + cos2 x + a>0;
г) 2а - 4 + а (3 - sin2 x)~ + cos2 л: < 0;
д) -5 + 5tf + sin2 x + tf(3-cos;t) >0;
е) (flf2+flf-2)cos2x + 2(fl + 5)|sinx|-(flf2+flf-6)>0;
ж) sin6 x + cos6 ;t + tfsin;tcos;t >0.
14. Определите, при каких значениях параметра а неравенство
(tf-l)sin2 л: + 2(tf-2)sin;t + tf+ 3< 0 не имеет решений.
15. Определите при каких значениях параметра а выполняются
следующие условия:
а) неравенство sin2 x-2(a-2)s\nx + a < 0 не имеет решений на
отрезке [0; я];
б) неравенство cos2 x-2(tf-3)cos;t + 2tf+ 9 >0 выполняется на от-
[«?]=
резке | 0;
в) неравенство sin5 л: + cos5 x-a(s\nx + cosх) > (sin д: + cosх)>
х sin л:cos* выполняется на отрезке
И
16. Определите, при каких значениях параметра к функция не принимает
значений больше 3.
а) у(х) = k(2s\nx + cos2 х+\);
б) у(х) = k(2s\n2x-2cosx-\y
17. Решите неравенство для любого значения параметра а.
a) cos* <а\ б) sinx + < а.
cos* sin*
18. Решите неравенство при допустимых значениях параметра а.
a)*-arcsinOs,0, 6)*-arcctga^0
х - arctg а х- arctg a
19. Определите, при каких значениях параметра а неравенство
справедливо для всех л: на указанном отрезке.
а) -(х2 -cix)--<s\n(x2 -cix) + cos(2x2 -2cix + -\ xe[n;2n];
287
4. Тригонометрические неравенства
б) n + ^(x2+ax) + cos(x2+ax) + sin(2x2+2ax + l)<0, хеГ^;—j
20. Определите, при каких значениях параметра р система неравенств
имеет единственное решение.
\х2 + 2рх + 3р2 +3/7 + 3 <3 sin .у-4 cos .у,
а) i
[0<^<2я;
jx2 +2px + 4p2 -5p + 3<4s'my-3cosy,
\0<у<2к.
21. Определите, при каких значениях параметра а неравенство
справедливо для любых значений л\
а) |3sin2 дг + 2crsin jc cosx + cos2 x + a\ < 3;
б) |5sin2 л: + 2я sin л: cos л: + cos2 х + я+ l| <6.
22. Определите, при каких значениях параметра а неравенство
I х2 + 9
cos л: - 2v*2 + 9 ^ а имеет единственное решение.
a + cosx
23. Найдите наибольшее значение параметра а, при котором
неравенство имеет решение.
а)а^(х2-2х + \) + —-^—<^тЦ
V ; jc2 -2jc+1 | 2 Г
б) V^(8x-x2-16) + Ц >-^|cos*|.
V ; 8х-х2 -16 3 ' '
24. Определите, при каких значениях параметра а неравенство имеет
конечное число решений. Для каждого а найти эти решения.
а) у]3п-2\х\\ ctg2 (cosx) + actg(cosx) + — < 0;
б) yJ2n - \х\ (ctg2 (sin х) - 2 a ctg (sin x)-a)< 0;
в) tg2 (cos у/4п2-х2) - 4a tg (cosyl4n2-x2) + 2a + 2<0;
r) tg2 (sin V9?r2 - x2 \ - 2a tg (sin V9?r2 - x2) + a + 2 < 0.
25. Определите, при каких значениях параметров а и Ъ система
неравенств имеет единственное решение.
\b + cosax<2, Гя+ sinta< 1,
а) \ , б) \
\х2+2Ьх + 9<0: Ьс2+^ + 1^0.
288
Ответы к задачам и упражнениям
26. Определите, при каких значениях параметра р система неравенств
имеет единственное решение.
\х2 + 2рх + 4р2 + 2р + 4 < 4s'm у + 3cosу,
[О < у < 2л;
\х2 +2px + 3p2 +3/7 + 3 <3sin^-4cos>y,
[О < у < 2л.
а)
б)
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ И УПРАЖНЕНИЯМ
1.1. а) хеГ-^ + 2лл;^ + 2лД «eZ;
б) хеГ-^ + 2тш; ^ + 2лД /ieZ.
п , weZ;
1.2. а) хе\ пп;—+пп
б) хе\ -- + пп;-- + пп\ neZ.
1.3. a) xe(rc-arcsin0,3 + 2rcw; 2л + агс8т0,3 + 2ли), nel
:cos — \ + 2кп: arccos — \ + 2кп
б) х<=
V 7
1.4. а) хб arctg5 +ли; — + пп ], weZ;
б) jce arctg -— + ли; к + пп |, wez
1.5. а) хе[- + лл; — + кп I, weZ;
б) хе(^ + 2ли; Ш + 2я/Л /ieZ.
Г_5я + 2м я + 2тш! z
L 18 3 6 3 J
1.6. а) хе
б) хе — + 4ли; Зл + 4ли ], weZ.
289
4. Тригонометрические неравенства
1.7. а) хе[ — + 2кп; к + 2кп
, neZ;
б) хе
1.8. а) хе
«-I+™;«_I+™|flfei
.822222.
— arccos,
3 V 3
[Л) + 2пп-Л,
•В)
+ 2тш
б) хе —+ ——arcsin- + тш; — + л + —arcsin- + тш I, wei
U 2 2 5 4 2 5 '
1.9. a) jce In; — arcctg(-5) + w , neZ;
6) xe\ -— + nn; arctg — + nn , neZ.
1.10. а) jcef-^ + jiw; - + тш |, weZ;
U 3 J
б) xef^ + тш; Н£ + ЯД neZ.
U2 12 J
1.11. a) xe
-— + 2nn; -arccos] --) + 2nn |U
U| arccos — + 2тш; — +2nn
б) л: е arcsin — + 2nn; — + 2nn
1 4 6
}>
ij
• 1
+ 2тш; я - arcsin — + 2nn \, ne
1.12. а) л:e arcctg — + nn; arcctg (-2)+ тш, weZ;
б) л:e[arctg2 + nn; arctg3 +ял), neZ.
1ЛЗ.а) xe(-±+™;-±+™)[j(l± + ^;^+™\ neZ;
{ 8 2 24 2 J {24 2 8 2 J
6) xe\^ + nn;^ + nn){j(- + nn;^ + nn\ neZ.
1.14.a) хеГ-- + тш; яд? )u( nn; - + nn\ neZ;
6) x(=(-- + nn;- + nn\ neZ.
290
Ответы к задачам и упражнениям
1.15. а) хе(- — + 2пп; -* + 2m)\j(-- + 2nn; 2nn ]U[ 2nn^ + 2nn ]U
иГ- + 2яд7;^ + 2яд?1 neZ;
б) jce arcsin — + пп; я-arcsin — +пп I, пе"/,
КЗ 3 '
1.16. а) хе
и
$Щ-^--{¥*».
ff^-4
- + 2-КП
б) хеГо;^Ъ (^ + 2яи1 ; № + 2пп) 1 «eNU{0}.
2.1. а) дгеГ-^ + 2яд7;- + 2яд?1иГ— + 2ял;^ + 2яД «eZ;
L 6 4 J U '6 J
б) xe
1- 2nn; h 2nn
2.2. a) xef-£ + iw;-£+iw Uliw; -+iw , «eZ;
б) хеГ^ + 2ял; — + 2nn)[j(n + 2nn',^ + 2nn\ neZ.
2.3. a)xe агссо8- + 2яд7; я - arcsin - + 2яи , weZ;
I 3 3 J
6) xe
- arccos — + 2nn; - я + arctg2 + 2яи U
и[-- + 2яд7; arctg2 + 2jiwjUl- + 2jiw; arccosf -- ) + 2ял
2.4. a) x e (arctg 4 - я + 2яи; 2nn) U arctg 4 + 2nn; arcsin — + 2яи U
U я-arcsin — + 2яи; я + 2яи , we 2
б) хе аг^0,3 + яи; — +кп , weZ.
2.5. а) *е(- + тш;—+ тш, «eZ;
U '12 J
291
4. Тригонометрические неравенства
б) хеЫ + пп; — +пп\ neZ.
2.6. а) хеГ^ + 2тш;^ + 2лД «eZ;
L 18 '2 J'
б)хе[-+10тш;
^+io™)u(-
3 2 J
[j(^ + \0nn;5n + \0nn][j(^^ + \0nn;^ + \0nn\, net
П , W€
8л ,
Юте
2.7. a) jce I-* + 2iw;£ + 2iwJ(J( — + 4iw;-^L + 4iw I, ие^
б) х е Гзя + 24iw; 12* + 24тш~| U Г— + 24iw; 1 Зя + 24iw~| U
иМ9я + 241сл;^ + 241сл1иГ—+ 24iw;21ic+24iwl/ieZ.
3.1. a) jcef arcsin - + 2кп;— + 2пп |, weZ;
I 5 3 J
б) jc e R.
arcctg- + 2rcw; п + 2пп )Ц —
3.2. а) л: е | arcctg — + 2пп:
+ 2кп; 2к + 2пп , пе
б) хе[ arcctg0,2 + кп; я + arctg — + кп ], ие2
3.3. а) л: е
^ + 2iw;^ + 2iwW—+ 2iw;2ic + 2iwl «eZ;
12 12 J U2 J
■[!
6) jce|^ + 2iw;—+ 2roi|, «e^
'.3 18 '
4.1.a),e[^n]u[-,-f]u[-f;0];6),e[0;f)u(?;?}
4J.a)*€[-*;-«)U(0;2];6)*6{-i|u(|;|].
6) xe[0; V4^)uf J4^; гЪГJ^; V^luU^^; 3
292
Ответы к задачам и упражнениям
4.4. а) хеГ-^ + 2яд7;-- + 2яд?1иГ- + 2яд7;- + 2яД nt
( s ^
б) хе — + кп: — + кп , we2
U 6 J
4.5. a) xeR; б) хе|- + 2тш;—+ 2тш], «eZ.
4.6.а) xe(^ + 2nn;^ + 2nn][j(^ + 2nn;^ + 2nn\ «eZ;
б) хеГ-^ + 2тш;^ + 2лЛ «eZ.
4.7.а) xe(2nn;^ + 2nn][j(— + 2пп;п + 2пп\ «eZ;
б) хе(-^ + 2пп;-^ + 2пп)и(Е + 2пп;^+2пп\ пь
4.8. а) xeN-+2rcw;2rcwjU(2rcw; л + 2тш)11
и(я + 2яд?;— + 2тш), «eZ;
б) л: е arcsin — я + 2тш; - — + 2тш U
U -— + 2кп; - arcsin - + 2тш , «eZ.
I 2 3 /
4.9. a) xef^ + 2rcw;—+ 2шЛ «eZ;
б) хе(-^ + 2пп; ^ + 2пп\ ne't
4.10. a) хеГ^ + 27ш;-^ + 2тш1 /
L6 6 J
б) хеГ-—+ 2я«;—+ 2я«1,
4.11. а) хеЫ+2пп;^- + 2кп\ «eZ;
б) х<=(-^ + 2кгг, £ + 2пп\ «eZ.
4.12. a) xe(-^ + 2nn;-^ + 2nn)[j(^ + 2nn',^ + 2nn\, we2
, «6Z
, иел
293
4. Тригонометрические неравенства
4.13.
4.14.
4.15,
4.16,
б) *ef£ + iw;- + iwW-+iw;^ + nn\ n<=Z.
a) xej^ + ^j, «eZ; б) х<= Ш\ |-* + 2iw; -2* + 2пп\, п<=1
а) л: е -arctg 2 + пп; — + пп , п е Z;
б) xef-^+roi;-^ + iw,|u('-+iw;- + iw\ «eZ.
а) хе(- + 2тш; — + 2nn){J(n + 2nn;2n + 2nn), neZ;
б) jcef--^ + 2iw;-^ + 2iwi>|uf- + 2iw;^L + 2iw>], «eZ.
i. а) xe\-^ + 2nn;-^ + 2nn\{j(E + 2nn;^ + 2nn\ «eZ;
б) jcef^ + 2iw;^ + 2iw>|uf- + 2roi;^L + 2iw>], weZ.
4.17.
а) x e(^ + 2nn; ^+2nn\[j\^ + 2nn; ^ + 2nn\ neZ;
б) xJ-^+2nn;^ + 2nn)[j\— + 2nn; n + 2nn)[j
{j[n + 2nn;— + 2nn\, neZ.
4.18,
4.19,
4.20,
4.21
a)xe nn; — + nn U — + nn; — + nn , net
1 6 J U 2 '
6) xe\ — + nn; nn
+ nn \, ne£.
а) x<=\^ + 4nn\, «eZ;6)
i. а) x e
]uft+-f
xe\- + n\, neZ.
18 J
я + 2ш * + 1ш\{5л 2 | z
4 2 2 2 J I 6 J
а) xe - + 2тш; л + 2тш JU — + 2nn; 2n + 2nn\ neZ;
б) jcef-^ + 2iw;^L + 2iw>]uf-- + 2iw;^ + 2iw>], weZ.
294
Ответы к задачам и упражнениям
U 3 18 3 J K2 3 18 3 )
б) xer_JL+2M;_JL + ^u (jL+2™; 1* + Ш\ „eZ.
I 10 5 30 5 J llO 5 30 5 J
4.23. a) x<=(2nn;— + 2nn\\j(n + 2nn; — + 2nn\ weZ;
6) xe(-^ + 2nn; ^ + 2nn)u(E + 2nn; ^ + 2nn\ weZ.
4.24.a);tef-^+™;^+™l,7eZ;
I 12 3 12 3 J
6) xe\- + nn;— + nn), weZ.
U 4 J'
4.25. a) xe\-^ + 2nn; £ + 2iwl neZ;
L 4 '4 J'
U2 4 J ll2 4 У
4.26. а) л: е arcctg - + кщ arcctg +n« , weZ;
6) jce — + nn; я-arctg — + кп , weZ.
4.27. a) xe -arctg2 + ял; — + nn , weZ;
б) л: e — + тш; я - arcctg - + nn , weZ.
4.28. a) x e f^ + 2яи; *■ + 2nn){j(n + 2яи; ^L + 2яи1 U
[j(— + 2nn; 2я + 2яД weZ;
б) хеГ-- + ял; -+кп j, weZ.
4.29. а) дгеГ-^ + 2яд7;^ + 2яд71иГ- + 2яд7;^ + 2яд?1и
U(—+ 2iw;^ + 2iw],/ieZ;
295
4. Тригонометрические неравенства
б) хе -л + 2тш;-- + 2тш U 2тш;- + 2тш U
{j(^ + 2nn;^ + 2nn\ «eZ.
430.a)xe(-£ + 2iw;£+2iwW— + 2iw; ^ +2iwj(J
uf^L + 2iw;^+2iw\/ieZ;
6) xef 2тш; ^ + 2nn\[j(—+ 2кп; к + 2пп\U
uf^L + 2iw;^ + 2iw\/ieZ.
431. a)jcef-^ + 2iw;--^+2iw>]uf2iw;-^ + 21^111
u(— + 2iw;ic + 2iw\ weZ;
б) хеГ-^+гял^ялЪГгял^ + гялЪГ— + 2iw;£ + 2iwj(J
U [Ц. + 2кп; 4ZL + 2jwW^ + 2iw; ^ + 2iw ]U
U^ + 2iw;^ + 2iwj,/ieZ.
4.32. а) дге(-я;--)и(яд?;я + лд7), weZ\{-l}
5тг.
6)x4"ff;iJu("2;f)u(-!+7C'7;f+7C4'7eZ40;"2}-
4.33. a) jceM;^luJ- + iw],/ieZ\{0}; б) хе(-оо; n)\J[5; +оо).
— +2пп\ neZ;
4 J
^ + 2ял1иГ—+ 2iw;ic + 2iwl «eZ.
иГ--;+оо1, weN;
4.34. а) х е
б) хе
4.35. а) х е
б) хе
296
± + 2кп;
4
2 ял;
4 4
4 4
Ответы к задачам и упражнениям
4.36. a) xe[-n + 2nn;2nn][j\- + 2пп;— + 2пп , neZ;
б) хер + 2яд7;^ + 2яд7"|иГ-- + 2яд7;^ + 2яД «eZ.
4.37. а) хе — + кп; к + кп U ял; — + пп , «eZ;
б) хеГ-^ + ™;™1иГ- + ли;- + лЛ «eZ.
4.38.а) хе^ + 2тш;-^ + 2лЛ «eZ; б) хе^ + тш; —+тш 1 «eZ.
4.39. а) хе(27ш;- + 27ш), «eZ; б) хФ—, n<=Z.
4 4
б) хе|-^ + 2ш?;-- + 2ли U 2тш;—+ 2тш], «е2
5.1. а) .
б)*Н~}.
"«Ч^МтИ^'фтйЧ-тН-
6.1. х = 2-Ап, weNU{0}.
9.1. а) а2<а{ < аъ\ б) аъ<а2<ах.
10.1. a) /ej^ + 2™j,weNU{0}; б) /е{2тш}, л = -1,-2,-3,...
11.1. a) xef2™;- + 2™)uf— + 2тш; л + 2тш), «eZ;
б) л: е I яи; arctg - + nn
+ кп , nei
11.2. а) х е | arctg — + ял;
;- + пп \, neZ; б) хе\-+пп;- + пп\, «eZ.
4 J U 4 J
297
4. Тригонометрические неравенства
П.З.а) xe(0;l]U - + 2тш , weNU{0};
б) хе(0;1)и(л + 27ш;^ + 2тшЪ (— + 2пп; 2к + 2кп ], /ieN.
11. 4. а) х<=
б) хе
11.5. а) хе
б) хе
11.6. а) хе
-^;lluf-;2luf-- + 2iw;^ + 2iw\/ieZ\{0};
-^;о1иГ2яд?;— + 2я/Л «eZ.
-£ + 21ю;--^ + 21шЪГ21ет;—+ 2гоД «eZ;
6 12 J L 12 J
arctg5 + 2rcw;- + 2rcw)u(- + 2rcw; л + 2тш), weZ.
■arccos— + 2тш; - —+ 2тш U
4 6 '
,V6
U — + 2nn; arccos^- + 2rcw I, we2
1б 4 '
б)*е[ 2тш; £ + 2iwW—+ 2iw; л + 2тш ]U
(J[ arcsin^bli + 2яд7; £ + 2iw | (J
U[— + 2iw;ic-arcsin^^ + 2iw |,weZ.
12.1. а) при я е (-co;-3) xe arcsin — + 2тш; я -arcsin — + 2тш , weZ,
прия = -3 xeIR\{-- + 2rcw}, weZ,
при fle(-3; 3) xeR,
прия = 3 jceR\|-+2jiw|, weZ,
при я e (3; + oo) д: е -я - arcsin — + 2nn; arcsin — + 2nn , weZ;
298
Ответы к задачам и упражнениям
б) при а е (-оо; -5) х е К,
прия = -5 *еК\{- + 2яи|, weZ,
прияе -5; — хе\-п-arcsin а+ + 2пп; arcsin с7+ +2пп , we
V Зу V я-2 я-2 у
при Аб —; +оо | 0;
в) при яе -со;— *е arccos——— + 2тш; 2л-arccos— + 2пп , we
I 2) I Зя + 2 Зя + 2 J
прия = — *eIR\{2rcw}, weZ,
прийб!--; -j xeR,
прия = — xeR\{n + 2nn}, we2
при ое -; +oo
*e -arccos— + 2rcw; arccos— + 2тш , weZ;
J V 3a + 2 3a + 2 J
г) при are -co; — л:el-arccos ' ' +2тш; arccos ' ' +2тш I, we2
F { 3J { 2a-\ 2a-\ '
прия = - х<=Ш\{к + 2кп}, weZ,
прияе(-;1) jceIR,
прия = 1 хеШ\{2кп}, weZ,
( W M "I
прияе(1;+со) xe arccos ' + 2nn; 2n - arccos ' ' +2nn \, weZ;
F V ; 2a-\ 2a-\
д) при яе(-оо; 0)U(2; +co) х<=Ш,
прияе{0;2} х(=Ш\\-- + 2пп\, weZ,
< ч ( \2а~2\ \2а~2\ 1
прияе(0;2) хе arcsinJ L + 2кп; к - arcsinJ l + 2nn , we
299
4. Тригонометрические неравенства
12.2. а) при а е -оо;
ч)
0,
прия =— * = ±arccos— + 2тш, we2
2 24
—(-И)
arccos — + - + 2тш; arccos —- + 2пп
—arccos[ —- +2ял; -arccos —+ - +2тш
I 12J U 3J
прияе1у;|| *e
arccos —+ - +2тш; 2rc-arccos —+ - \ + 2nn
U 3j U 3J
при ae -; +00 | jce 11
б) при ae[-2; 2] 0,
при яе(-оо; —V5JU(V5; +00) хе(-п + 2пп; 2тш), «eZ,
приле{±75} *е(-я + 2яи;-- + 2яи]и(-- + 2яи;2яи], weZ,
при ае^-у/5; -2JU(2; Тб) *е(-л + 2лл; -rc-arcsin(4-tf2))U
U(arcsin(4-tf2) + 2rcw; 2тш), weZ.
12.3. а) при яе(-оо;0] 0,
прияе(0; l] хе(± arccosVa—U^; -Urccos(-V^)--U^),
при я e(l; +00) jceM;
б) при яе(-оо;0] xel,
прияе(0;1) xe(-arcs\na + - + ^-; ^--arcsina + - + ^
V ; U 3 3 3 3 3 3
прия = 1 jcejI + iL + Ml „€
при я e(l; +00) 0.
300
Ответы к задачам и упражнениям
12.4. при йб(-оо; -1) х<=(— + 2пп;— + 2пп\ neZ,
прия = -1 jce — + 2пп; п + 2кп U[к + 2кп; — + 2кп , пе
ае(-\; --) хеI -arccosа + 2пп; - — + 2пп JU
U — + 2тш; arccosа + 2кп , neZ,
при
при а = — 0,
при ае\—;1 хе\—- + 2пп; -arccosa + 2nn U
U arccos а + 2кп; — + 2пп , neZ,
при я е (!;+«>) хе(-— + 2пп;— + 2пп\ neZ.
12.5. при ае(-оо; -1) хб1,
прия = -1 ;teIR\{- + 2rcw}, «eZ,
приае(-1;0)11(0;3)
jc е - arccos ^а + \ + 2^. arccos va + 1 + 2тш , w e Z,
I a a )
прия = 0 хе(-— + 2пп; — + 2пп), neZ,
прия = 3 л:е -arccos— +2тш; 2пп U
U2яи; arccos(--) + 2тш , weZ,
при я е(3; +оо) *е -arccos ]~^a + ] + 2тш; -arccos ] + ^a + ] +2nn U
U arccos 1 + ^ + 1 + 2яи; arccos]~^a + ] +2кп\, пеЪ.
13.a)aeU-l±^Ul^;+oo|;
301
4. Тригонометрические неравенства
б) aef-oo;-l±^lu(2;+oo);
в) ае[±. +соу г) ^e^_co;_Ij; д) a>L
е) |я|<3; ж) |я|<-.
14. яеГ-; +
15. а) яе(0;5); б)яеГ-^;+оЛ в)ае[-6;1].
16. а) *е[-3;1]; б) *е[-1;3].
17. а) при я е(-со; 0) jcel -—+ 2яи; -arccos
а + у/а2 +4
+ 2кп
при
arccos a + ^+^- + 21^; ^ + 2яи
2 2
а = 0 хе(--+2яи;- + 2яи)и{я + 2яи}, we
прияе(0;+оо) *е — + 2яи; — + 2тш U
arocosfl~>^r^+2iW; 2я-arccos£z>/*E± + 2ro,
б) при я е (-оо; -2] xel -я + 2тш; - я - arcsin a + yJa + 2яи
arcsin + 2яи; 2пп I, п е а
при ore(-2; 2) д:е(-я + 2яд7; 2яи), пе/.
при а = 2 хе(-я + 2яи;2яи)и|— + 2ят, пе/,
при ore(2; +оо) д:е(-я + 2яд7; 2ял)и
и
. a-yja2 -4 ~ • а-у/а2 -4
arcsin - + 2яи; я - arcsin -
2 2
+ 2ял
302
Ответы к задачам и упражнениям
18. а) при я = -1 хе(--; -\
при ае(-1; 0) *е —; arcsina U arctga; —
прий = 0 Лб(-|:о)и(о;|).
прияе(0;1) хе -—; arctga U arcsintf; —
прия = 1 xef-^;^
б) при я = -1 jfefo;—1
при я е(-1; 0) хе(0; arcctg a] U(arccosл; я),
прия = 0 xJo;l\{jU;n
при ае(0; 1) xe(0; arccos a) U [arcctg а; я),
при я = 1 *е —; я .
19. а) ае(2я--;+<Д б) a ef-oo; -**-!
20. а) ре(-2; Ij; б)/>б{-±;2
21.a).e[-il;0]; ,Ue[-f,0}
22. я = 2.
23. a) a = —; 6) я = -.
16 9
24. a)ae{-2ctg2l (l+ 2ctgl); 2},
при tf = -2ctg2l (l + 2ctgl) x = 0,
при а = 2 xe<±arccos -—; ± 2я-arccos -—>;
6).J_1;^!Ll
1 l + 2ctglj
при а = -\ xel^ + arcsin—;-arcsin —; я + arcsin—; 2я-агс8т —>
(4444)
при a= «g2l хе(_3я;я
l + 2ctgl I 2 2
303
4. Тригонометрические неравенства
в) а е \ -
при а =
г)ае\-\;
J_. 2 + tg2l
2' 4tgl-2
2
2 + tg2l
4tgl-2
2 + tg2l
2tgl-l
хе{0;±2л};
при a = -\ xe<±J9n2 -\n + arcsin— ; ±J9rc2- 2л-arcsin
при e=l±*!i ХЛ±&±Ш
2tgl-l 1 3 2
25. a) ^ или -^ 3 3 и е Z
i* = -3> 6 = 3,
o) <(. m или
26. a)
[ft el
P = -l
p-h 6)
b = ^ + 2nn,
2
P = -2,
_ 1
5. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
5.1. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Пусть дано простейшее уравнение
arccos;c = <3. (5.1)
Областью определения функции /(*) = arccos x является
множество £>(/) = [-1; 1], которое и является ОДЗ уравнения (5.1). На
множестве D(f) функция /(*) = arccosx будет монотонно
убывающей с областью значений £(/) = [0;тс]. Следовательно, для
любого значения а, такого, что а<0 или а>п, уравнение (5.1)
решений не имеет. Для любого значения я, удовлетворяющего
условию 0<я<тс, уравнение (5.1) имеет единственное решение.
Обозначим это решение через х0. Тогда, поскольку х0 -
единственное решение уравнения (5.1) и х0 е[-1; 1], яе[0; тс], будет
справедлива цепочка следующих равносильных преобразований:
arccos х = а <=> cos(arccos xq ) = cos а о xq = cos я.
В частном случае при а = О имеем х0 = 1, а при а = п имеем
*о =-1-
Пусть дано простейшее уравнение
arcsin* = я. (5.2)
Областью определения функции f(x) = arcsin x является
множество D(f) = [-1; 1], которое и будет ОДЗ уравнения (5.2). На
множестве D(f) функция f(x) = arcsinx монотонно возрастает и имеет
область значений £(/) =
_ 7Е . 71
2' 2.
Следовательно, для любого
305
5. Уравнения и неравенства с тригонометрическими функциями
значения я, такого, что а<-^- или а>тг, уравнение (5.2) корней
не имеет. Для любого значения а, удовлетворяющего условию
--^<а<-^, уравнение (5.2) имеет единственное решение.
Обозначим это решение через xq. Тогда, поскольку xq - единственное
решение уравнения (5.2), xqg[-1;1] и ad
71. 71
~2' 2
будет
справедлива цепочка следующих равносильных преобразований:
arcsin;co=<3 <=> sin(arcsin;co) = sin<3 <=> *o=sin<3.
В частном случае при а = -— имеем xq = -1, а при Д = ^- имеем
х0 =1.
Пусть дано простейшее уравнение
arctg;c = <3. (5.3)
Областью определения функции /(x) = arctg;c является множество
всех действительных чисел, т. е. D(f) = R. Это же множество
является ОДЗ заданного уравнения. На множестве D(f) функция
/(x) = arctg;c монотонно возрастает и областью ее значений будет
интервал £(/)=-—; — . Следовательно, для любого значения я,
такого, что а<-— или я ^5, уравнение (5.3) решений не имеет.
При -—<а<— уравнение (5.3) имеет единственное решение xq.
Поскольку xq - единственное решение, xq е (-оо; + оо) и
а е ——; — , очевидны следующие равносильные преобразования:
tg (arctg хо) = tg a <=> х0 = tg а.
Пусть дано простейшее уравнение
arcctg;c = <3. (5.4)
Областью определения функции /(x) = arcctg;c является
множество всех действительных чисел, т. е. D(f) = R. Это же множество
306
5.2. Решение уравнений с тригонометрическими функциями
является ОДЗ заданного уравнения (5.4). На множестве D(f)
функция /(x) = arcctg;c монотонно убывает и областью ее
значений будет интервал E(f) = (0; п). Следовательно, для любого
значения я, такого, что а<0 или а>п, уравнение (5.4) решения не
имеет. Для яе(0; п) уравнение (5.4) имеет единственное решение
jco. Поскольку х0 - единственное решение (5.4), x0eR и
а е (0; я), то очевидны следующие равносильные преобразования:
arcctgxo -a <=> ctg(arcctg;co) = ctgtf <=> х0 =ctga.
5.2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ОБРАТНЫЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Решение произвольных уравнений, содержащих обратные
тригонометрические функции, в конечном счете сводится к решению
уравнений простейшего типа. Для преобразования произвольных
уравнений к простейшим уравнениям (5.1) —(5.4) обычно
используют те же самые приемы, что и при решении обычных
тригонометрических уравнений. К числу таких приемов (методов)
относятся метод замены переменной (метод подстановки) и метод
разложения на простые множители (см. гл. 3).
Метод замены переменной. Уравнения вида
/(arcsin x) = 0; /(arccos x) = 0;
/(arctg x) = 0; /(arcctg x) = 0,
где / - произвольная алгебраическая функция, решаются с
помощью замены:
arcsinх = Г, - — <t<—; arccos* = f, 0<t<n:
2 2
arctgx = f, - — <t<—; arcctgx = f, 0<t<n.
Если корнями уравнения f(t) = 0 являются числа t\,t2,...,t„,
то в дальнейшем задача сводится к отысканию решений
простейших уравнений
arcsinx = t\,..., arcsinx = tn,
arccos x = t\,..., arccos x = tn,
307
5. Уравнения и неравенства с тригонометрическими функциями
arctgx = t\,..., arctgx = tn,
arcctgx = t\,..., arcctgx = tn
и объединению этих решений.
Если же уравнение f{t) = О решений не имеет, то и
простейшие уравнения (5.1)-(5.4) также не будут иметь решений.
Проиллюстрируем данный подход на примере.
Пример 5.1. Решить уравнение
2arcsin2;c-arcsin;c-6 = 0. (5.5)
Решение. Находим ОДЗ заданного уравнения: |jc| <1. На ОДЗ
сделаем замену: arcs in x = t, — <t<—. В результате получим
2f2-f-6 = 0 и
. _1 + УГТ48_1 + 7 . _ 3. . _9
«1,2- : -—Г"» «1-~"Г» «2-^-
4 4 2
Корень ^=2 не удовлетворяет условию —<Г<—. Поэтому
приходим к выводу, что из совокупности двух простейших
уравнений
arcsin;c = —,
2
arcsin x = 2
второе уравнение решений не имеет, а единственный корень
первого уравнения будет равен
. ( 3) . 3
хп =sin — =-sin—.
У 2] 2
Для любого х выполняется неравенство |sinjc|<l, следовательно,
полученный корень х0 входит в ОДЗ.
3
Ответ: xo=-sin—.
2
Уравнения вида
arcsin(/(x)) = 0; arccos(/(x)) = 0;
arctg(/(*)) = 0; arcctg(/(*)) = 0,
308
5.3.Простейшие неравенства с тригонометрическими функциями
где f(x) - произвольная алгебраическая функция, также
решаются с помощью замены t = f(x). Сначала необходимо найти корни
простейших уравнений (5.1) —(5.4), а затем уже корни уравнения
f(x) = th где t, - корень одного из простейших уравнений (5.1)-
(5.4).
Пример 5.2. Решить уравнение
arccos(;c2-2;c-l) = -. (5.6)
Решение. Находим ОДЗ заданного уравнения: jc2-2jc-1 <1.
Решая данное неравенство, получаем хе [1-V3;0]U[2; 1 + 7з].
Сделаем замену t = х2 - 2х -1. Тогда arccos t = —, t = — или
3 2
х2 -2х-\ = —. Отсюда х= —, и оба найденных корня
принадлежат ОДЗ.
Ответ: х= ~ —.
5.3. ПРОСТЕЙШИЕ НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
При решении простейших неравенств, содержащих обратные
тригонометрические функции, для наглядности воспользуемся
изображением соответствующих множеств на координатной
плоскости. Как известно, такое изображение множеств называется
«методом областей».
Пусть даны простейшие неравенства
arccos x>a, (5.7)
arccos;c<<3. /5.8)
Изобразим на координатной плоскости а Ох множество точек,
координаты которых удовлетворяют неравенству (5.7) или (5.8). Для
этого построим график функции а(х) = arccos x. Областью
определения этой функции является отрезок [-1; 1]. Поэтому искомые
309
5. Уравнения и неравенства с тригонометрическими функциями
точки плоскости лежат на отрезке -1 < х < 1 и находятся ниже
графика функции а(х) = arccosx для неравенства (5.7) (рис. 5.1) и
выше графика этой функции для неравенства (5.8) (рис. 5.2). Так как
неравенства строгие, то точки графика не принадлежат множеству
решений. Функция а(х) = arccos x строго убывает на отрезке [-1; 1]
и принимает все значения от п до 0, следовательно, для любого
яое(0;л) неравенство (5.7) равносильно неравенству -\<х<
< cos ао, а неравенство (5.8) - неравенству cos яо < х < 1.
Рис 5.1
Тогда в зависимости от значения параметра а множество
решений неравенства (5.7) имеет вид:
при а е (-оо; 0) *е[-1; 1], при а = 0 *е[-1;1),
при яе(0;л) xe[-l; cos а), при яе[л;+оо) решений нет.
Множество решений неравенства (5.8) имеет вид:
при а е (-оо; 0] решений нет, при а е (0; я) хе (cosя; 1],
при а = п *е (-!;!], при яе(л;+оо) jce[-l;l].
Пусть даны простейшие неравенства
arcsin;c>tf, (5.9)
arcsin;c<<3. (5.10)
Построим график функции a(x) = arcsmx и изобразим на
координатной плоскости аОх множество точек, координаты которых
310
5.3.Простейшие неравенства с тригонометрическими функциями
удовлетворяют неравенству (5.9) или (5.10). Так как функция
а (х) = arcsin x определена только при значениях хе[-1; 1], то
искомое множество точек лежит в отрезке -1 < х < 1 и находится
ниже графика функции д(;с) = arcsinx для неравенства (5.9) и выше
графика этой функции для неравенства (5.10) (рис. 5.3 и 5.4).
Функция а(х)= arcsin x строго возрастает на отрезке [-1; 1] и
принимает значения -—; — , поэтому для любого яо е -—; —
неравенство (5.9) равносильно неравенству sin<3o<x<l, а
неравенство (5.10)- неравенству -1 < х < sin щ.
Рис. 5.4
Тогда в зависимости от значения параметра а множество
решений неравенства (5.9) имеет вид:
приае -оо;-— хе[-\; 1], при а = -— *е(-1;1],
при а е -—; — \ х е (sma; 1], при а е I -—• -
V 2 2) \_ а
Множество решений неравенства (5.10) имеет вид:
— ' решений нет,
; + оо решении нет.
при а е -оо;
при си
V 2
jcg[-1; sintf),
311
5. Уравнения и неравенства с тригонометрическими функциями
при а = — х е [-1; 1), при а е —; + оо х е [-1; 1].
Пусть даны простейшие неравенства
arctg;c>tf, (5.11)
arctg;c<tf. (5.12)
Построим график функции a{x) = axo\gx. Областью определения
этой функции является вся числовая прямая, а множеством
значении - интервал
2 2
. Поэтому при а е
; + оо неравенство
его решением явля-
(5.11) решений не имеет, а при ае\ -оо; - —
ется любое действительное число. Аналогично неравенство (5.12)
не имеет решении при а е -оо;
а при ае
7С.
; + °°
х е(-оо; + оо).Функция a{x) = axo\.gx является строго
возрастающей на множестве действительных чисел IR, поэтому при любом
*•*' неравенство (5.11) равносильно неравенству
«О
2 2
х > tgtfo, а неравенство (5.12) - неравенству х < tgtf0.
Тогда в зависимости от я множество решений неравенства
(5.11) имеет вид:
:е(-оо; + оо),
при a е -оо;
при ае
при си
V 2
х e(tg#; +oo),
—; +оо | решении нет.
Множество решений неравенства (5.12) имеет вид:
решении нет,
при а е | -оо; - —
при а е -—; — х е (-оо; tgtf),
при си
—; +оо хе(-оо; +oo).
312
5.3.Простейшие неравенства с тригонометрическими функциями
На рис. 5.5 и 5.6 штриховкой отмечено множество точек
плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенствам (5.11) и
(5.12) соответственно.
Рис. 5.5
Рис. 5.6
Пусть даны простейшие неравенства
arcctg;c>tf, (5.13)
arcctg;c<<3. (5.14)
Аналогично решению неравенств (5.11) и (5.12) изобразим на
рис. 5.7 множество точек плоскости, координаты которых
удовлетворяют неравенству (5.13), а на рис. 5.8 множество точек
плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству (5.14).
Рис. 5.7
Рис. 5.8
Тогда, учитывая, что функция а(х) = arcctgx строго убывает на
множестве R и принимает все значения из интервала (0; я),
получаем (см. рис. 5.7) решения неравенства (5.13):
при a е (-оо; 0] хе(-оо;+оо),
313
5. Уравнения и неравенства с тригонометрическими функциями
при яе(0;л) хе(-оо; ctgtf),
при де[л; + оо) решений нет.
Решения неравенства (5.14) имеют следующий вид (см. рис. 5.8):
при а е (-оо; 0] решений нет,
прияе(0;л) x&{o\ga\ +oo),
при а е [я; + оо) хе(-оо; + оо).
Пример 5.3. Решить неравенство
arcsinx-2arccosx>—. (5.15)
Реше/ше. Воспользуемся тождеством arcsin;c + arccos;c = — при
|jc| < 1. Тогда неравенство (5.15) равносильно неравенству
(5.16)
На графике функции tf(x) = arcsin;c отметим точки, в которых
значения функции больше — (рис. 5.9). Множество абсцисс этих
точек и является решением неравенства (5.16), а следовательно, и
неравенства (5.15), т. е. sin —- < х < 1.
3arcsinх-п > — <=> arcsinx>—-.
3 9
Ответ:
sin^;l
9 .
я
2
4л
9
/0
Л
п4я
18
ft
cos—
18
Рис. 5.9
Рис. 5.10
314
5.4. Основные методы решения тригонометрических неравенств
Замечание. Неравенство (5.15) с учетом тождества arcsin x+
+ arccos x = — при М<1 также равносильно неравенству
3 arccos х < — <=> arccos x < —. Тогда искомым решением будет
6 18
множество jcel cos—; 1
18 .
(рис. 5.10).
5.4. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ,
СОДЕРЖАЩИХ ОБРАТНЫЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
При решении неравенств, содержащих обратные
тригонометрические функции, используют основные методы решения
алгебраических уравнений и неравенств: замена переменной, замена
неравенства равносильной системой, а также свойства обратных
тригонометрических функций и др.
Приведем несколько примеров.
Пример 5.4. Решить неравенство
arcsin2 х - arcsin x > 2.
Решение. Сделав замену переменной t = arcsin x, где
te
_ 7С . 7С
V 2,
получим равносильную систему неравенств
f(f-2)(f + l)>0,
п п <=>--<Г<-1.
-<t<- 2
2 2
Вернемся к исходной переменной х: -—< arcsinx<-\.
Получили простейшее неравенство, решением которого будет
множество —1 < л: < sin(—1).
Ответ: [-1; -sinl].
Пример 5.5. Решить неравенство
arccos^—!- < arccos(х2 -4х + з). (5.17)
315
5. Уравнения и неравенства с тригонометрическими функциями
Решение. Функция /(*) = arccos* убывает на множестве
Df =[-\;\]. Следовательно, неравенство (5.17) равносильно
системе неравенств
\^->х2-4х + 3,
2
\х2-4х + 3>-1
I 2
Решая эту систему, получаем 1 < х < 3.
Ответ: (1; 3].
Пример 5.6. Решить неравенство
arccos (х2 - 3) + arccos (х2 - Зх + 3) < 0. (5.18)
Решение. Каждая функция у = arccos (х2 - 3) и у = arccos (x2 -
-Зх + 3) неотрицательна для любого х из области ее определения.
Поэтому неравенство (5.18) равносильно следующей системе
уравнений:
| arccos (х2 -3) = 0,
1 1 « , <=>*z
larccos(;r-Зх + 3) = 0 Ijc-3jc + 3 = 1
Ответ: {2}.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
5.1. Решите уравнение:
a) 6arcsinx-rc = 0; б) 6arcsinV*-rc = 0;
в) arccos] х2- — х--) = -; г) 4arctg(x2 -Зх + 3)-п = 0;
д) arctg(21x2 — 13jc + 1) = —; е) arcctg7 + arcsin л: = —;
4 4
ж) arcsin [tg-j-arcsin /- -- = 0; з) 4arctg^^- = rc.
316
Задачи и упражнения
5.2. Решите уравнение:
a) arcsin ^^ = 2л-гос; б) arcsin ^±1 = 2я + —;
2х-\ х + \ 2
в) arcsin(x2-2д- + 2) = —; г) arcsin—= —;
v ' 2 х 2
д) arccos-!- = -(l-x4).
д-2 2
5.3. Решите уравнение:
a) arcsin sin — = 2д- -1; б) д-2 = arcsin (sin д-) +1 Од-;
в) arccos (cos д-) = д-2 +1 Од-; г) arcctg (ctg (4д-2 -1 Од- -10)) = д-2 - Зд\
5.4. Решить уравнение:
а) — + sin (arcsin 2д-) = 6д-2; б) cos (arccos Зд-) = 8д-2;
в) sin (arcsin (2д-2+Зд-)) = 2д- + 3; г) cos (arcsin д-)=|д-|.
5.5. Решите уравнение:
а) arcsin (бд-2 - 5д- + 2) - — = arccos (бд-2 + д- -1);
б) arcsin (Зд-2 +1) = arctg (5д-2 - б).
5.6. Решите уравнение:
а) arccos д--arcsin д- = —;
6
б) 4 arctg д- - 6 arcctg д- = я;
в) arctg3x - arcctg3x = —;
4
г) arcsin д-2 +д- + -= = arccos д-2 +д- + -= ,.
5.7. Решите уравнение:
а) arcsin2 д- +arccos2 д- = -^-;
36
б) 18arcsin д- arccosд- = я2;
в) 2arcsin2 д-- 5 arcsin д- + 2 = 0;
г) 2 arcsin2 д- - arcsin д- - 6 = 0;
д) arctg2(3A- + 2) + 2arctg(3;t + 2) = 0;
317
5. Уравнения и неравенства с тригонометрическими функциями
е) 2arcsinx = —+ п
3 9arcsin;t
ж) 9(arccos 2л:) -Зяarccos 2x -2п2 = 0.
5.8. Решите уравнение:
2х I
a) 2arctgx = arcsin ; б) arcsin;t = arccos VI -х2.
\ + х2
5.9. Решите уравнение:
a) arcsin 2л: + arcsin л: = —; б) arccos л: + arccos 2л: = —;
2 3
в) arctg л: + arctg Зл: = —; г) arcsin 2л: + arctg —^ = —.
2 2л: 2
5.10. Решите уравнение:
а) arcsin л: + arccos (1 - л:) = arcsin (-л:);
б) arccos л: + arccos (1 - х) = arccos (-х).
5.11. Решите уравнение:
а) агс8т2л: = 2агс8тл:; б) 2агс8тл: = агссо8 2л:;
в) arccos л: = arctg л:; г) arccos — = 2arctg (л: -1);
1 л:
д) arctg л: = 2arctg —; е) 3 arctg -=■ = 2arctg л:;
л- V3
ж) 2 arccos — = arccos (3 - х); з) arccos — л: = 2 arcsin x;
и) агссо8л: = — arcsin2л:; к) 4arccos^v2j = 3arcsin^V3 j.
5.12. Решите уравнение:
Ах 2 I 1
а) агссо8л:-л = arcsin—; б) arcsin—=■-arcsin vl -x = arcsin-;
3 3V^ 3'
в) arctg (лч-2)-arctg (лч-1) = —; г) arcsin — + arccos х + — \ = —;
4 2 у 2 J 6
д) arctgl\[x2+x\ + arcsin(у[х2+х + \ 1 = —.
5.13. Решите уравнение:
Зл:
а) arcsin — + arcsin
5
б) arctg л: + arctg 2л: + arctg Зл: = я:
a) arcsin — + arcsin— = arcsin л:;
5 5
318
Задачи и упражнения
в) arcsin Зх-arccos 4л: + arcsin 5л: = —;
2
г) arctg (l - л:) + arctg л: + arctg (1 + л:) = arctg Зл\
5.14. Решите уравнение:
a) л: = arcsin (cos л:); б) 2jc = arcctg(tgjt);
в) sin(5arcctgjf) = 1; г) arcsin(cos(2arcctg;t)) = 0;
д) х +—arccos (cos 15л:+ 2 cos 4л: sin2x) = —;
6 V ' 12
е) л:+ -arcsin (sin 17л:-2 sin 5л: sin3x) = —;
8 16
ж) х = — arctg (tg 6л: + cos 7л:); з) д: = 0,2arctg(ctg5A: + cos8A:);
6
и) arccosfl + cosfH-^+2jc + 11ll-— = 0;
U I л:2+4л: + 7 )) 3
к) arcsinfcosfK -2^2^7x-8V П_к=0
1, I л:2-5л: + 7 ) 2) 6
5.15. Для любого значения параметра а решить уравнение
arcsin л: arccos л: = a1.
5.16. Определите, при каких значениях параметра а уравнение имеет
единственное решение.
a) (x-tf)arccos(;t + 3) = 0; б) (x-l)arccostf = 0.
5.17. Определите, при каких значениях параметра а уравнение имеет
единственное решение.
а) sin (arccos 5x) = а + arcsin (sin (lx - 3));
б) arccos (cos 5л: + 4) - a = cos (arcsin 6x).
5.18. Решите систему уравнений:
a)
arccos 2 v + arcsin 3x = —,
arcsin 2 v arccos Зх = ——;
У 64
arccos Зл: + arcsin 2 v = —,
4
arcsin Зх arccos 2 v = ——;
У 64
!arcsin I - + sin у I = у - -, [arctg (x tg y) = 2y,
\2 J 3 rM
2 о • i л bt2tg2Wtg2.y-2) = l-2x.
x2 + 2xsin^ + 3cos.y = 0; I 6 ;^6; /
319
5. Уравнения и неравенства с тригонометрическими функциями
5.19. Определите, при каких целых значениях параметра к система имеет
решения. Найдите эти решения.
п2к
arccos л: + arcsin у = -
4
/ • \2 Я2
(arcsin v) arccos* =—;
V ' 16
1 (arctg x) + (arccos у) =п2к,
arctg д: + arccos у = —;
1 (arccos х) + (arctg у) + arccos д: arctg у = п2к,
arccos л: + arctgy = —.
5.20. Решите неравенство:
a) arctgх>—; б) arccos*<-—;
6 3
в) 2arccos— >—; г) arccos <—;
2 2 1-х 2
д) arcsin-^—>Я; е) arcsin ^х2-9х + 8 < тс.
д:2 + Зд: 6 2 6
ж) arcsin(rcarctg;t)>0.
5.21. Решите неравенство:
а) arcsin (д-2 + 1)< 2;
б) -arcsin(6x-x2-10) + ->arctg(x3-3x2+l);
в) arccos (2х2 - 1х) < - arccos (д:2 - 2х - 3).
5.22. Решите неравенство:
a) arcsin д:< arcsin (1-х); б) arccos д: > arccos д:2.
5.23. Решите неравенство:
a) arcsin д: + 2 arccos д: > я; б) arcsin д: > arccos jc.
5.24. Решите неравенство:
a) 4arctg2x + 5rcarctg;t>-rc2; б) arctg2*-4arctg х + 3 >0;
в) 4arcsin2 д:> л arccos x; г) 16arctgxarcctgx> я2;
д) -5 < arctg2 2x - 6 arctg 2д: < 7.
5.25. Решите неравенство:
a) arcsin 2д-> arccosд-; б) arcsin д:< arccos 2х;
в) 2arctgx> arcsin д-; г) arcctg д: < arccos 2x;
д) arccos(8д-2-5д-)< 2arccosд-; е) arccos3x< 2arctg(2xv3 j;
320
Ответы к задачам и упражнениям
ж) arctgvx >arccos(l -х); з) arccos 3x +arcsin (л:+!)<—;
6
и) arccos2;t + arccos(l-;t)> arccos-.
5.26. Решите неравенство:
а) arcsin (sin л:) + 3 arccos(cos jc) > 3jc —18;
б) 2arcsin (sin x) + arccos(cos x) > -x - 3.
5.27. Решите неравенство:
а) 2 cos (arcsin л:)-sin — arccos* < 0;
б) 2 sin (2arccos x)-3 sin (arccos x)>0;
в) sin (arccosx)- v3 cos — arccosл: < О;
г) 3 sin (2 arccos x)- 2 cos (arcsin x)>0.
5.28. Найдите все л: на отрезке [-3; 1], для которых неравенство
х(к(х +1)- 4arctg(3w2 +12/и +11)) > 0
выполняется при любых целых т.
5.29. Найдите все д: на отрезке [-7; 2], для которых неравенство
x(rc(;t + 2)-8arctg(2Aw2 + 12Aw + 17))>0
выполняется при любых целых т.
5.30. Найдите все д: на отрезке [-1; 4], для которых неравенство
х(п(х-1) + 4arctg(5w2 +1 От + 4)) > 0
выполняется при любых целых т.
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ И УПРАЖНЕНИЯМ
5.1.а)1;б)|;в){-1;з);г){1;2};
Д){0;^|; е)|;ж)4;з)2.
5.2. а) ^-; б) -3; в) 1; г) ±1; д) ±1.
321
5. Уравнения и неравенства с тригонометрическими функциями
5.3. а) ^—£; б)0;в)0;г) ^-.
14 3
5.4. а) --; б)
±;в)_з;г)±Д5.5.а)1;
б) 0.
3 16
5.6.a)I;6)tg^;B)l^;r)0.
5.8. а) [-1; 1]; б) [0;1]. 5.9. а) ^; б) I; в) ^; г) |.
5.10. а) 0; б) 0;
-1н
hV5.
5.11.а)0;б)^±^;в)^^ ,
r)V2; д)±73; е){±1; 0}; ж) 2;
3) i±Vl; И) I; К) 1.
4 2 2
5.12. а) -|; б) |; в) {-2;-!}; г) 0; д){-1;0}.
5.13.а){±1;0};б)1; в) I; г) {±1; о|.
5.14. а) £; б) ±^; в) 1-5-; ctg^; ctg^
4 6 (10 510 510
Г)±,;Д) -JL;JL;e) JL;JL;
I 16 34) (38 30)
5.15. При ае{±-|
при \а\>— x<E0.
322
Ответы к задачам и упражнениям
5.16. а) яе(-оо-4)11[-2;+оо); б) яе[-1;1).
5.17. а) {ю(2-7з)1; б) aeiln-A--; 2я-4 + ^|.
5.18. а)
У =
2-V2
V2-V2,
б)
^ =
V2-V2.
_ Уз+75
v = arccos —;
4
_ _1_ Глг = 3, Гл: = 3
г) 2
5.19. а) при it = 1
в) при к = 1
>-!• >~!-
x = tg
*(l-V7)
>» = cos
x = cos-
ic(l + V7)
4
i(l + >/5)
he = cos—
б) при к = 2 «j 4
^ = ±1;
ic(-l+>/5)
^ = tg
5.20.a)f-^;+ool;6)f^;lj; в) [-2; V2]; г) (-оо; -3];
Д)
-з-Узз. -3-V2T
-3+V2T, -з+Узз
2 ' 2
.)(.;2]u[§:§) «>(*,!].
5.21. а) 0; б) 3; в) 0.
5.22. а) Го; А б) [-1; 0). 5.23. а) [-1; 0); б) | ^-; 1 .
5.24. а) [-1;+оо); б) (-оо; tgl); в) {-l}U
Д.
2
; г)1
;4-1;Й
323
5. Уравнения и неравенства с тригонометрическими функциями
5.25. а) И; I
5'2
6)|'f;i
5-л/57, lW I . 5 + V57
16 'з) Ь' 16
; в) (0; I); г) (-1; о);
;е) [!;}]; ж) 0;
-5-2>/з.
26 '
; и)
15 + 2>/42
57
5.26. а) Г-оо; i^L+l» 1 (J[8я -18; 18 - Зя];
5.27.а) [-1; -j]u{l}; б) {-l}u[j; l]; в) {-l}u[-^; l];
r)H}u[i;l].
5.28. *e[-3;-2)U{l}. 5.29. xe[-7; 4)U{2}. 5.30. jte{-l}U(2; 4].
ЛИТЕРАТУРА
Алгебра и начала анализа. 8-11-й кл.: Пособие для школ и классов с
углубл. изучением математики /Л.И. Звавич, Л.Я. Шляпочник, М.В. Чин-
кина. 3-е изд., стер. М.: Дрофа, 2002. (Дидактические материалы.)
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие.
4-е изд., стер. М.: Высш. шк., 1999.
БудакА.Б., Щедрин Б.М. Элементарная математика: Руководство для
поступающих в Вузы. М: Издательский отдел УНЦ ДО, 2001.
Васильев А.В., ЗазА.И. Математика: Сборник задач для поступающих в
вузы с примерами решения экзаменационных билетов. М.: Учебный центр
«Ориентир» при МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин КВ., Смирнова С.Ф. Сборник
конкурсных задач по математике. М.: Наука, 1983.
Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами.
3-е изд., доп. и перераб. М.: Илекса; Харьков: Гимназия, 1999.
Григорьев Е.А. Математика. Задачи вступительных экзаменов в МГУ
им. М.В. Ломоносова с ответами и решениями (1999-2004 гг.). М.: Изд-
во УНЦ ДО, 2005.
Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: Учеб.
пособие для учащихся школ и классов с углубл. изучением математики. М.:
Просвещение, 1995.
Литвиненко В.К, Мордкович А.Г. Практикум по элементарной
математике. Тригонометрия: Учеб. пособие. М.: Вербум-М, 2000.
Лужина Л.М., Натяганов В.Л. Сборник задач по геометрии и
тригонометрии: Учеб. пособие. М.: Издательский отдел УНЦ ДО, 2001.
Лурье М.В. Тригонометрия. Техника решения задач: Учеб. пособие.
М.:Изд-воУНЦДО,2004.
Математика: Сборник задач с решениями для поступающих в вузы /
Н.В. Мирошин, А.В. Баскаков, П.А. Михайлов и др.; Под ред. В.М.
Говорова, Н.В. Мирошина. М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство
ACT», 2002.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер:
Пособие для школьников и абитуриентов. М.: Илекса, 2005.
Моденов В.П. Математика: Пособие для поступающих в вузы. М.:
ООО «Издательство Новая Волна», 2002.
325
Литература
Пособие по математике для поступающих в вузы / Под ред. Г.Н.
Яковлева, 4-е изд. М: Оникс 21 век, 2001.
Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И. Алгебра,
тригонометрия и элементарные функции. М: Высш. шк., 2001.
Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи
по математике: Справочное пособие. М: Наука, 1992.
Родионов ЕМ. Решение задач с параметрами. М: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2001.
Сборник задач для подготовки и проведения письменного экзамена
по алгебре за курс основной школы: 9-й кл. / С.А. Шестаков, И.Р.
Высоцкий, Л.И. Звавич; Под ред. С.А. Шестакова. М.: ACT: Астрель, 2005.
Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учеб.
пособие / П.Т. Дыбов, А.И. Забоев, А.С. Иванов и др.; Под ред. А.И. Прилеп-
ко. 2-е изд., испр. и доп. М: Высш. шк., 1989.
Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы: Учеб.
пособие / В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; Под ред. М.И. Ска-
нави. 6-е изд. М: Оникс 21 век, 2001.
Сборник задач по алгебре для 8-9-х классов: Учеб. пособие для
учащихся школ и классов с углубл. изучением курса математики / М.Л. Га-
лицкий, A.M. Гольдман, Л.И. Звавич. М.: Просвещение, 1992.
Система тренировочных задач и упражнений по математике / А.Я.
Симонов, Д.С. Бакаев, А.Г. Эпельман и др. М.: Просвещение, 1991.
Спокойный Ю.Г. Тригонометрия. Руководство по решению задач.
М.: Наука и техника, 1997.
Ткачук В.В. Математика абитуриенту. М.: МЦНМО, 2001.
Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. СПб.: ЧеРо-на-Неве, 2006.
3000 конкурсных задач по математике. 5-е изд., испр. М.: Айрис-
пресс, 2003.
Учебное издание
Граськин Сергей Сергеевич
Афанасьева Анна Владимировна
Гутнер Мария Евгеньевна
Гутнер Светлана Хаимовна
Кулинич Наталья Валерьевна
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Теория и практика решения задач
Редактор Н.Г. Ковалевская
Технический редактор Э.А. Кулакова
Художник Н.Г. Столярова
Корректор Е.В. Авалова
Компьютерная графика О.В. Левашовой
Компьютерная верстка О.В. Беляевой
Оригинал-макет подготовлен в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.60.953.Д.003961.04.08 от 22.04.2008 г.
Подписано в печать 07.07.09. Формат 60x90/16.
Усл. печ. л. 20,5.
Тираж 500 экз. Заказ №
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана.
E-mail: press@bmstu.ru.
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5.
Отпечатано с диапозитивов
в ГУП ППП «Типография «Наука».
121099, Москва, Шубинский пер., 6.
ISBN 978-5-7038-3281-3
Для заметок
327