Г. К. Клейн
СТРОИТЕЛЬНАЯ
МЕХАНИКА
СЫПУЧИХ ТЕЛ
Издание 2-е, переработанное и дополненное
Москва СтроАнэда
г и
1977
.Укргиьрокдумунст^

УДК 624.131Л
Печатается по решению секции литературы по строитель¬
ной физике и конструкциям редакционного совета Стройнз-
дата
Клейн Г. К. Строительная механика сыпучих тел. Изд. 2-е,
зб, и доп. М., Стройиздат, 1977. 256 с.
книге освещены основные вопросы статики сыпучих тел
применительно к грунтам, зерну, цементу н другим материалам.
Рассмотрены свойства сыпучих тел и их напряженное состоя¬
ние, расчет оснований сооружений на прочность и откосов на
устойчивость, определение давления сыпучего тела на подпор¬
ные стены, на стенки хранилищ и на заглубленные сооружения,
а также другие вопросы. Для облегчения практических расче¬
тов приведены вспомогательные таблицы и графики, а также
числовые примеры.
Книга предназначена для инженерно-технических работни¬
ков в качестве пособия по проектированию различных соору¬
жений, взаимодействующих с грунтами и другими сыпучими
телами. Она будет также полезна для научных работников,
аспирантов и студентов.
Табл. 26. Рис. 168. Список лит.: 155 назв.

В соответствии с «Основными направлениями развития народного хозяй¬
ства СССР на 1976—1980 гг>, утвержденными XXV съездом КПСС, предстоит
осуществить проектирование многих промышленных, гидротехнических, тепло¬
энергетических. транспортных и специальных сооружений. При этом необходи¬
мо решать ряд сложных вопросов, связанных с определением давления грунта
на сооружение н с установлением несущей способности грунта под действием
различных нагрузок. Поставленные задачи по расширению вместимости храни¬
лищ сельскохозяйственных продуктов и развитию производства цемента и про¬
дуктов химической промышленности говорят о необходимости решения вопро¬
сов, касающихся давления зерна и различных сыпучих материалов иа ограж¬
дающие поверхности хранилищ.
Ответы на эти, а также на многие другие вопросы дает строительная
механика сыпучих тел, которая за последние десятилетия и особенно за по¬
следние годы обогатилась рядом крупных исследований, результаты которых
пока еще недостаточно широко внедрены в проектную практику. Это объяс¬
няется отчасти тем, что огромное число работ, опубликованных в различных
монографиях, журнальных статьях и сборниках трудов организаций, остают¬
ся недостаточно известными широким кругам инженерно-технических работни¬
ков и не выполняют той роли, которую они могли бы играть в ускорении тех¬
нического прогресса и снижении стоимости строительства.
В предлагаемой книге содержатся краткое и доступное для широкого кру¬
га специалистов изложение основных вопросов строительной механики сыпу¬
чих тел и ее практическое приложение. При этом ввтор ограничился рассмот¬
рением вопросов только статики и кинематики сыпучих тел, так как вопросы
динамики детально разработаны в монографии Г. А. Гениева и М. И. Эстрина,
вышедшей в 1972 г. [24], а также в книгах Н. К. Синтко [112] и Г. 11. Глуш-
кова [28].
При рассмотрении каждого вопроса в книге сначала приводятся строгие
в математическом смысле решении, а затем их упрощенные варианты, полу¬
чившие широкое практическое распространение. Такая последовательность из¬
ложения облегчает оценку тех дополнительных допущений, на которых построе¬
ны различные упрощенные решения.
По сравнению с первым изданием, вышедшим и свет в 1956 г., книга ко¬
ренным образом переработана н дополнена с учетом развития механики сыпу¬
чих тел за истекшие 20 лет.
Автор приносит благодарность д-ру техн. наук, проф. Г. А. Гениеву за цен¬
ные замечания, сделанные при рецензировании рукописи.

ВВЕДЕНИЕ
§ 1. ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
СЫПУЧИХ ТЕЛ
Существует ряд физических тел, состоящих из множества от¬
дельных более или менее однородных частиц (песчаные и гравелис¬
тые грунты, дробленый уголь, цемент и другие зернистые и порош¬
кообразные материалы), которые по физическим свойствам занимают
промежуточное положение между твердыми телами и жидкостями
и называются сыпучими телами или просто сыпучими.
Сыпучие тела отличаются от твердых подвижностью частиц,
способностью сохранять форму только в известных пределах, свой¬
ством оказывать давление на ограждающую поверхность, неспособ¬
ностью или незначительной способностью сопротивляться растяже¬
нию и тем, что их способность сопротивляться сдвигающим усили¬
ям находится в зависимости от действующих сжимающих сил. Жид¬
кости отличаются от сыпучих тел большей подвижностью частиц,
отсутствием постоянной формы и еще меньшей способностью со¬
противляться сдвигающим усилиям.
Частицы сыпучего тела могут быть однородными или разнород¬
ными по материалу, размерам и форме, иметь все три измерения
одного или разных порядков, гладкую или шероховатую поверх¬
ность. Частицы могут находиться в упругом или пластическом со¬
стоянии и обладать той или иной степенью прочности. Форма частиц
сыпучего может быть самой различной. Промежутки между части¬
цами, называемые порами могут быть заполнены воздухом, водой
или каким-либо цементирующим веществом.
Механика сыпучих тел занимается изучением взаимодействия
их с другими физическими телами, а также взаимодействием их
частиц и возникающих при этом сил и перемещений.
Строительная механика сыпучих тел содержит изложение
способов определения давления и сопротивления сыпучего тела при
различных воздействиях на него со стороны сооружения и нагрузки.
Как известно, в механике твердых упругопластическнх тел раз¬
личают два основных направления. Первое, принятое в сопротивле¬
нии материалов и строительной механике, характеризуется введе¬
нием некоторых упрощающих допущений, которые позволяют ре¬
шать ту или иную задачу элементарным путем, не прибегая к слож¬
ному математическому аппарату. Для второго направления, при¬
нятого в теории упругости и пластичности, характерно выдвижение
на первый план возможно большей математической строгости реше¬
ния, что в большинстве случаев требует применения сложных и
точных математических методов.
В механике сыпучих тел также можно наметить два направления.
К первому следует отнести теории, построенные на допущении о той
или иной форме поверхности скольжения, позволяющие получить
4

решение многих важных практических задач элементарным путем.
Второе направление, которое назовем теорией сыпучей среды, ис¬
ходит из дифференциальных уравнений равновесия и условий со¬
стояния для каждой точки рассматриваемого объема сыпучей среды.
Граница между этими двумя направлениями механики сыпучих тел
не может быть четко проведена и не стабильна. Некоторые решения
задач механики сыпучих тел занимают промежуточное положение
между указанными двумя направлениями и могут быть отнесены
к любому из них.
По мере развития механики сыпучих тел решения теории сыпу¬
чей среды, подтверждающиеся опытом, должны переходить в об¬
ласть строительной механики сыпучих тел, заменяя решения, по¬
строенные на более грубых допущениях. Однако отказаться от них
совсем было бы неправильным по следующим причинам.
Во-первых, применение на практике многих решений теории
сыпучей среды оказывается чрезмерно сложным и приводит в то же
время к результатам, очень мало отличающимся от тех, которые по¬
лучаются при расчетах элементарными методами.
Во-вторых, преследуя цель сохранить математическую строгость
решения, теория сыпучей среды не всегда отражает все основные
стороны физических явлений, происходящих в реальных сыпучих
телах. Учесть же все эти явления, подвергнув их строгому матема¬
тическому описанию, оказывается слишком сложным. Поэтому стро¬
гая теория сыпучей среды во многих случаях не дает ответа на во¬
просы, поставленные строительной практикой, или расходится
с действительностью; в этих случаях неизбежно приходится поль¬
зоваться упрощенными решениями, приближенно учитывающими
ряд важных факторов и оправдывающими себя на практике.
Параллельно с развитием теории сыпучей среды будут разви¬
ваться и упрощенные методы строительной механики сыпучих тел.
При этом они не могут ограничиваться изучением сыпучих тел,
находящихся в состоянии предельного равновесия, как это было
до последнего времени. Необходимо исследовать сыпучие тела в со¬
стоянии стационарного, т. е. устойчивого пли упругого, равновесия
а также в состоянии движения. В этом направлении уже сделаны
первые шаги, имеющие большее практическое значение.
При решении задач предельного равновесия по существу рассма¬
тривается стадия разрушения сыпучего тела, поэтому в механике
твердых деформируемых тел этой категории задач соответствуют
задачи, исследуемые в теории предельного равновесия и в теории
пластичности. При этом решение оказывается в большинстве сту-
чаев возможным без рассмотрения деформаций и перемещений сыпу¬
чего тела. В качестве основных механических характеристик по¬
следнего в расчетные формулы входят значения объемной массы
внутреннего трения н сцепления. Типичной задачей этой катего¬
рии будет задача об определении давления на подпорную стену
получившую незначительное смещение, вследствие которого сыпучее
тело, поддерживаемое подпорной стеной, пришло в движение.
5

Решение задач теории упругого равновесия сыпучего тела, во¬
обще говоря, невозможно без рассмотрения его деформаций и пере¬
мещений, т. е. без принятия того или иного закона упругости.
К числу таких задач относится определение давления сыпучего на
подпорную стену или на подземное сооружение, находящееся в со¬
стоянии упругого равновесия.
Так же как и остальные разделы механики, механика сыпучих
тел опирается на опыты, которые позволяют осветить физическую
сторону явлений и процессов, происходящих в сыпучих телах, и
обосновать те или иные предпосылки и допущения. Следует иметь
ввиду, что только из опыта могут быть получены для разных сыпу¬
чих тел числовые значения физико-механических характеристик,
входящих в расчетные формулы. Значение опыта в механике сыпу¬
чих тел еще большее, чем в других разделах механики, так как яв¬
ления и процессы, происходящие в сыпучих телах, сложнее, чем
в твердых или жидких, и менее изучены.
Строительная механика сыпучих тел, являясь одним из разделов
строительной механики, раньше была составной частью предмета
строительной механики стержневых систем. С развитием механики
грунтов и ее выделением в самостоятельную дисциплину механика
сыпучих тел прочно вошла в нее как одни из методов исследования
механических явлений, происходящих в грунтах.
В современной механике грунтов кроме расчетной механиче¬
ской модели сыпучего тела находит применение также и ряд других
моделей, например упругое тело, пластическое тело, грунтовая
масса и др. Отсутствие единой расчетной модели в механике грунтов
объясняется многообразием свойств природных грунтов и их спо¬
собностью приходить в различные состояния в зависимости от влаж¬
ности, температуры, нагрузки и др. Применение той или иной меха¬
нической модели зависит от рода и состояния грунта.
Однако хотя роль механики сыпучих значительно шире, чем
изучение одной из механических моделей, используемых в механи¬
ке грунтов, грунты являются важнейшими объектами, к которым
применяют методы механики сыпучих тел.
Кроме грунтов решения строительной механики сыпучих тел
применяют и к другим сыпучим материалам и продуктам сельского
хозяйства, например к цементу или зерну при расчете хранилищ.
4 2. КРАТКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ
строительной механики сыпучих тел
Возникновение и развитие механики сыпучих тел, так же как
и других разделов механики, связано с развитием техники.
известно, что начало строительной механики как самостоятель¬
ной дисциплины положено работами Леонардо да Винчи (1452—
YViT ^ И *алилсо Галилея (1564—1642 гг.). Несколько позднее,
в Х\ II п., зарождается и механика сыпучих тел, связанная с зада¬
чами строительства и фортификации.
б

Новые задачи возникли перед строительной механикой, в част¬
ности перед механикой сыпучих тел, начиная с 30-х гг. XIX столе¬
тия в связи с возникшими требованиями железнодорожного транс¬
порта, обусловленными строительством мостовых опор и возведе¬
нием насыпей для железнодорожного полотна. В течение второй
половины XIX в. строительная техника продолжала совершенство¬
ваться в направлениях, которые требовали дальнейшего интенсив¬
ного развития механики сыпучих тел (строительство плотин, боль¬
ших мостов, набережных и зданий).
В Советском Союзе строительная механика сыпучих тел полу¬
чила большое развитие в связи с задачами, поставленными перед
строителями пятилетннми планами, для выполнения которых по¬
требовалось решение ряда сложных проблем, относящихся к грун¬
там и другим сыпучим телам.
Огромное влияние на развитие механики сыпучих тел оказало
гидротехническое строительство, начатое по плану ГОЭЛРО, при¬
нятому па VIII съезде Советов (22/Х II 1920) по инициативе В. И. Ле¬
нина. Возведение крупнейших по тому времени гидроэлектростан¬
ций: Волховской, Земо-Авчальской, обеих Свирскнх, Днепровской
и др., строительство Беломорско-Балтийского канала, канала имени
Москвы, крупнейших водозаборных сооружений, а также быстрое
развитие промышленного и транспортного строительства вызвали
необходимость дальнейшей разработки механики сыпучей среды
в направлении изучения давления грунта на подпорные стены и ус¬
ловий устойчивости откосов и прочности оснований. Опыт специа¬
листов — строителей и проектировщиков обогатил теорию сыпучих
тел и особенно механику грунтов, которая начиная с 20-х гг. стала
быстро развиваться и достигла больших успехов. При этом теоре¬
тическая разработка механики сыпучих тел в СССР шла параллель¬
но с экспериментальными исследованиями.
Первые опубликованные исследования по механике сыпучего
тела относятся к концу XVII в. Эти исследования проводились
с целью определить давление, оказываемое засыпкой на подпорную
степу. Одной из первых работ в этом направлении была работа
М. Бюлле (1691 г.). В ней принято допущение, что при сдвиге стены
сползет некоторая часть сыпучего тела по плоскости естествен¬
ного откоса, проходящей через заднее нижнее ребро стены. Несмо¬
тря на очевидную ошибочность этого допущения, в самом методе
содержатся и рациональные положения — о сдвиге стены, о сполза¬
нии некоторой части сыпучего тела и о плоскости скольжения, ко¬
торые, несомненно, помогли III. Кулону достаточно точно решить
эту же задачу в 177.3 г. III. Кулон базировался на этих допущениях
и, кроме^того, использовал принцип предельного равновесия, при¬
мененный в 1638 г. Г. Галилеем для определения несущей способно¬
сти балок при изгибе, а также закономерности статического трения,
установленные опытным путем А. Амонттшом в 1699 г.
Для частного случая, когда засыпка ограничена горизонталь-
ои плоскостью, а задняя грань стены вертикальная и абсолютно
7

гладкая Ш. Кулон предложил определять давление земли на стену
исходя из предельного равновесия	призмы, сползающей	по неко¬
торой плоскости, наклон которой	выбирается	из того	условия,
чтобы реакция стены оказалась наибольшей. При этом Ш. Кулон
не столько стремился найти истинную плоскость скольжения,
сколько заботился о том, чтобы не преуменьшить расчетное дав¬
ление на стену по сравнению с фактическим. Работа Ш. Кулона,
представляющая собой синтез предложений Г. Галилея, М. Бюле
и А. Амонтоиа, была большим шагом вперед и не потеряла своего
зачения до настоящего времени.
^ Теория Ш. Кулона впоследствии	развита Ж.	Понселе	(1840 г.),
V . К. Кульманом (1866 г.), Г. Ребханом (1871 г.) и	М. Леви	(1883 г.),
"которые распространили ее на случай шероховатой стены с на¬
клонной и ломаной ограждающей поверхностью при произвольном
очертании поверхности засыпки. В своих исследованиях они пре¬
имущественно использовали графический метод. Эта теория получи¬
ла завершение в работах А. И. Прилежаева (1908 г.), В. П. Скрыль-
никова (1927 г.), И. П. Прокофьева (1928 г.), Н. И. Безухова
(1934 г.), В. В. Синельникова (1946 г.), И. А. Симвулиди (1934 г.),
Г. А. Дубровы (1947 г.), М. Г. Бескина (1954 г.) и др.
Различные пространственные задачи, связанные с давлением
грунтов на ограждения, решены Б. Н. Жемочкиным (1951 г.),
Г. П. Глушковым (1951 г.), В. И. Титовой (1951 г.), Б. В. Бобрико¬
вым (1952 г.), П. В. Дергачевым (1959 г.) и др.
Наряду со всесторонней разработкой теории давления сыпу¬
чего тела, основанной па допущениях Кулона—Понселе, разрабо-
л таны и другие методы определения давления на подпорные стены.
у Среди них особого внимания заслуживают предложения Е. А. Гав-
рашенко (1937 г.), Ф. М. Шихиева (1955 г.) и М. Е. Кагана (1960 г.),
которые рассматривали условия равновесия элементарного слоя сы-
k пучего тела за подпорной стеной и получили криволинейные эпюры
< давления на ограждения. Дальнейшее уточнение в этом направ¬
лении сделано 3. В. Цагарелн (1962 г.), который примял объемлю¬
щую поверхность скольжения криволинейной и в наибольшей сте-
, пени приблизил расчетные эпюры давлений к экспериментальным.
Развитие строительной техники привело к увеличению давлений,
передаваемых на грунт от сооружений. В ряде случаев возникла
необходимость возводить их на слабых грунтах. Это поставило
перед специалистами по механике сыпучих тел новую задачу —
^ определение глубины заложения фундамента из условия прочности
основания.
Приближенное решение этой задачи предложено в 70-х гг. про¬
шлого столетия Г. Е. Пауксром. Пионером в области эксперимен¬
тального исследования этого вопроса был В. И. Курдюмов, который
в 1889 г. впервые произвел опытное исследование движения частиц
леска под загруженной моделью фундамента и рядом с ней. Опыты
В.	И. Курдюмопа и его последователей, среди которых в первую оче¬
редь необходимо отметить М. П. Пузыревского (1929 г.) и И. В. Яро-
ft

польского (1933 г.), показали» что формула Г. Е. Паукера приво¬
дит к неверным результатам, так как Паукер не учел такой важный
фактор, как ширину фундамента. Вопрос о прочности грунта
под фундаментом требовал дальнейшей разработки, и формула
Г. Е. Паукера последовательно заменялась более совершенными
формулами, предложенными П. К. Янковским, Н. П. Пузыревскнм
С.	И. Велзецким, Н. М. Герсевановым и др.
Дальнейшее развитие теория прочности основании получила
в работах В. В. Соколовского (1939 г.), В. Г. Березанцева (1952 г.).
М. И. Гсрбупова-ПосадсЕа (1939 г.), М. В. Малышева (1951 г.),
П. Д- Евдокимова (1956 г.), В. С. Христофорова (1951 г.), А. С. Стро¬
гонова (19G8 г.) Н. Н. Маслова и др.
Вопросы устойчивости откосов, важные для гидротехнического,
железнодорожного и автодорожного строительства и для горных
работ, рассмотрены в 1930 г. Г. Креем и В. Фелленнусом, которые
предложили, в частности, принимать поверхность скольжения круг-
,-лоцилиндрической. Однако для нахождения наиболее «опасной
поверхности скольжения» они дали только способ повторных по¬
пыток. Коренное упрощение расчетов путем составления таблиц
и графиков сделано М. М. Сокольским в 1937 г. В дальнейшем раз¬
витие этого вопроса дано в работах М. Н. Гольдштейна (1938 г.),
Г. М. Шахунянца (1948 г.), Б. М. Ломизе (1954 г.) Н. Н. Маслова.
Советскими учеными детально разработан и другой важный для
гидротехнического и дорожного строительства вопрос о расчете
тонких и массивных заглубленных стен, рассмотренный ранее
Г. Креем. Следует отметить работы И. П. Прокофьева, а также
A. А. Каншнна и Н. И. Буданова, положившие в 1928 г. начало тео¬
рии расчета заглубленных стен под действием горизонтальных сил.
Эта теория развита и дополнена С. С. Давыдовым (1937 г.),
И. В. Урбаном (1939 г.), Д. В. Ангельским (1937 г.), С. М. Кудри¬
ным (1936 г.), Б. Н. Жемочкмнмм (1948 г.), Л. М. Емельяновым
(1948 г.), Г. И. Глушковым (1951 г.), В. Б. Гуревичем (1961 г.),
B. С. Кирилловым (1963 г.), В. С. Христофоровым (1948 г.),
Г. С. Шпиро (1962 г.) и др.
Большой вклад в теорию расчета тонких и массивных заглублен¬
ных стен сделан Н. И. Безуховым (с 1934 г.), который в ряде работ
дал общее решение задачи об устойчивости, прочности и жесткости
таких стен при произвольном их профиле, при произвольной форме
в плане и при любом законе изменения коэффициента постели грун¬
та по глубине.
В этих работах уже содержатся в четко оформленном виде основ¬
ные идеи современной методики предельных состояний о рассмотре¬
нии трех различных преде-тьных состояний сооружения и расчлене¬
нии коэффициента запаса на его составные части. Интересно, что
эта плодотворная идея зародилась именно в строительной механике
сыпучих тел.
Задача об определении давления на дно и стены цилиндриче¬
ского или призматического хранилища сыпучего впервые решена

X. Янсеном в 1895 г. на основе допущения, что в каждой горизон¬
тальной плоскости вертикальное давление распределено равно¬
мерно. Более точные решения даны Л. М. Емельяновым (1940 г.),
Е. М. Гутьяром (1935 г.), Я* Б. Львиным (1957 г.), II. П. Плато¬
новым (1959 г.) и др.
Динамические явления, происходящие в сыпучем теле при исте¬
чении его из отверстия, впервые обнаружены С. Г. Тахтамышевым
в 1940 г. . ^
рЫхлема определения нагрузок на подземные сооружения тесно
связана с механикой сыпучих тел. Первая попытка определения
нагрузки на подземные сооружения на основе гипотезы о возник¬
новении над выработкой разгружающего свода непосредственно из
породы, воспринимающего давление вышележащих масс ее, принад¬
лежит В. Риттеру (1879 г.). Дальнейшее развитие эта гипотеза по¬
лучила в работах Ф. Эигессера, О. Коммереля и особенно
М. М. Протодьяконова (1908 г.), который применил к горным по¬
родам методы механики сыпучих тел.
Начало друюму направлению в механике сыпучих тел, которое
будем условно называть теорией сыпучей среды, положено в 1857 г.
В. Ренкииым. Он рассмотрел предельное напряженное состояние
весимого сыпучего тела, занимающего половину пространства,
т. е. образующего бесконечный в трех направлениях массив, огра¬
ниченный сверху плоскостью. Результатами, полученными для од¬
нородного массива сыпучего тела, В. Ренкин без достаточного на
то основания предложил пользоваться и в тех случаях, когда эта
однородность нарушена устройством подпорной стены. Некоторые
дополнения к теории В. Ренкипа даны в работах М. Леви (1883 г.),
Е. Винклера, О. Мора и А. Фельми (1937 г.).
Дальнейшее развитие эта теория получила в работах Ф. Кёттера
(1909 г.), который свел задачу о разыскании действительной
формы поверхности скольжения к вариационной задаче, и в работах
Л. Прандтля (1920 г.), Г. Рейснера (1925 г.), А. Како (1934 г.)
и др. К этому же направлению в механике сыпучих тел примыкает
и оригинальная работа И. П. Пузыревского (1929 г.), в основу
которой он положил дифференциальные уравнения равновесия
плоской задачи теории упругости. При этом вместо условия неряз-
рывностн деформаций он ввел допущение о том, что касательное на¬
пряжение в данной точке будет некоторой функцией полярного уг¬
ла, определяющего положение этой точки по отношению к началу
координат.
Таким образом, в работе И. П. Пузыревского уже содержится
идея простого радиального распределения напряжений в грунте,
развитая впоследствии Н. М. Ивановым, Ж. Гриффисом, О. Фрелн-
хом и др.
Впервые высказав мысль о динамическом характере давления
грунта, изменяющегося во времени, Н. П. Пузырсвскнй вывел про¬
стые расчетные формулы для определения давления грунта в состоя-
Ю

нии наибольшей разрыхленностн и в стационарном состоянии. Эти
формулы приводят к результатам, достаточно хорошо отвечающим
данным опытов и наблюдений. Работы Н. П. Пузыревского продол¬
жены И. Б. Яропольским, который в 1933 г. экспериментальным
цутем установил, что давление, оказываемое сыпучим телом на под¬
порную стену, зависит от ее перемещения. Обработав эксперимен¬
тальные данные, он установил математическую зависимость меж¬
ду этими величинами. Аналогичные исследования проведены в боль¬
шом масштабе К. Терцаги.
К концу 30-х гг. текущего столетия почти все важные в прак¬
тическом отношении задачи предельного равновесия сыпучего тела
были решены методами строительной механики, т. е. на основе раз¬
личных допущений относительно формы поверхности скольжения.
Несмотря на это, общий метод строгого решения задач теории пре¬
дельного напряженного состояния сыпучей среды, начало которой
положено В. Ренкиным, в это время еще не был разработан. Даль¬
нейшие шаги на этом пути сделаны в 1936—1941 гг. К. В. Самсо¬
новым и В. И. Новоторцевым, которые, не прибегая к сложному
математическому аппарату, получили ряд важных решений. В част¬
ности, В. И. Новоторцев разработал метод расчета устойчивости
основании сооружений при действии вертикальных и горизонталь¬
ных сил и наличии пригрузкн на поверхности рядом с сооружением,
т. е. решил задачу в более широкой постановке, чем она была
в 1920 г. решена Л. Прандтлем. Работы В. И. Новоториева, разви¬
тые П. Д. Евдокимовым, положены в основу метода расчета устой¬
чивости основании сооружений, рекомендованного СНиП П-Б.3-62
(Основания гидротехнических сооружении).
В 1942 г. В. В. Соколовский опубликовал монографию «Статика
сыпучей среды» (115J, представляющую собой обобщение ряда его
статей, вышедших в свет в 1939 г. В работах В. В. Соколовского
содержится разработка общего метода решения основных задач ста¬
тики сыпучей среды, находящейся в предельном напряженном со¬
стоянии. Показав, что задачи о давлении земли на подпорную сте¬
ну и об устойчивости оснований н откосов представляют собой
частные случаи одной задачи, В. В. Соколовский свел решение
к интегрированию системы дифференциальных уравнений. Для ре¬
шения этой системы уравнений В. В. Соколовским использован
метод характеристик, разработанный С. А. Христиановичем.
В 1945	1948 гг. С. С. Голушкевичем (29) разработан графиче¬
ски» метод решения основных задач предельного равновесия сыпу¬
чей среды, основанный на графическом интегрировании дифферен¬
циальных уравнении. А\етод С. С. Голушкевича может рассматри¬
ваться как синтез методов теории предельного напряженного ссстоя¬
ния сыпучей среды и графических методов строительной механики
сыпучего тела.
Успешно продолжена и развита теория В. В. Соколовского в тру-
ьгаХи п * ЬеРезанц?ва	А.	Гениева	1241,	М.	В.	Малышева	1841,
упиенанта [104], С. А. Строганова I117J н многих зару'беж-
11

ных ученых — Е. Дембнцкого, Ю. Кравченко, Р. Негре, Р. Си-
бил я, Б. Л\он тел я, П. Ститца, Ж. Бнареза, Ж. Жиру и др.
Значительное развитие графических методов и построений, пред¬
ложенных С. С. Голушкевичем, и распространение их на многие
важные и сложные частные случаи сделано в ряде работ Ф. М. Ши-
хневым и П. И. Яковлевым, которые, кроме того, получили из этих
построений значительно более удобные и точные аналитические
решения.
Теория предельного равновесия сыпучей среды, даже в ее стро¬
гом варианте, отражала лишь одну статическую сторону проблемы
н исключала из рассмотрения деформации и перемещения. Такая
теория оказывалась мало пригодной для расчета сооружений по
перемещениям и на трещиностойкость.
Некоторые задачи теории деформаций сыпучего тела впервые
поставлены в 1876 г. Ж. Буссинеском, сделавшим попытку опреде¬
лить давление сыпучего тела на подпорную стену, находящуюся
в состоянии упругого равновесия с учетом ее перемещений.
П. А. Миняевым в 1916 г. впервые на основе эксперименталь¬
ных данных показано, что теория упругости может быть применена
для определения напряжений и деформаций сыпучих тел. Подня¬
тые им вопросы получили (начиная с 20-х гг.) решение в работах
К- Терцаги, Н. М. Герсеваиова, Г. И. Покровского, Н. А. Цыто-
внча (1371, В. А. Флорина [1271, Д. Е. Польшина [261, И. И. Черкасо¬
ва 11381, Ф. М. Шихнева 11411 и др. Своими экспериментальными
и теоретическими исследованиями они осветили ряд узловых
вопросов физики и механики грунтов, связанных с деформациями
последних.
Для определения давления грунта в состоянии покоя и от вре¬
менной нагрузки на его поверхности Е. А. Гаврашенко (1937 г.),
В.	Е. Головеичицом (1940 г.), Г. И. Глушковым (1954 г.), П. П. Ар¬
гуновым, О. Я. Шехтер, Т. А. Маликовой и др. использованы ре¬
шения теории упругости для полупространства, полуплоскости и
четвертьплоскости.
Для определения давления засыпки в зависимости от перемеще¬
ний подпорной стены различные способы предложены Н. Н. Дави-
денковым (1933 г.), Г. И. Покровским (1937 г.), В. II. Быковским
(1958 г.), Г. А. Дубровой (1963 г.), Р. В. Лубеновым и П. И. Яков¬
левым (1964 г.), В. Ф. Раюком (1965 г.) и др.
Учет совместности перемещений стены, ее основания и засыпки
впервые разработан И. К. Снитко (1959 г.) на основе допущения,
что в состоянии упругого равновесия в засыпке возникает плоскость
скольжения, соответствующая теории Ш. Кулона. Другое решение
этой же задачи, в котором последнее допущение не было использо¬
вано, предложено автором в 1963 г. и развито И. М. Беспрозваиной
r 1967 г.
Наиболее полный учет всех действующих при этом факторов сде¬
лан в работе В. Т. Бугаева, выполненной под руководством
Ф. М. Шихнева в 1972 г.

Однако в кинематической теории сыпучего тела, так же как и
в теории предельного равновесия, сыпучее тело рассматривается
в качестве сплошной среды, что дает право пользоваться в расчетах
понятием о напряжении, дифференциальными уравнениями рав¬
новесия и условиями неразрывности деформаций.
Другой путь состоит в рассмотрении дискретной зернистой
структуры сыпучего тела и применении к его исследованию стати¬
стического метода. На этой основе Г. И. Покровским (1937 г.)
создана так называемая «контактная теория», позволившая уста¬
новить связь между давлением, производимым на сыпучие тела,
и их деформациями. Эта теория развита М. Н. Троицкой в 1947 г.
Исследованию механических свойств сыпучего тела на основе
экспериментов, теории систем с односторонними связями и стати¬
стической механики посвящены работы М. С. Бернштейна и А. Г. Им-
мермана [61, Р. А. Муллера 1881, И. И. Кандаурова [601, и И. Т. Сер¬
геева 11051. Ими изучены явления, происходящие в местах кон¬
тактов структурных элементов сыпучего тела, и дано описание
этих явлений на основе формул математической статистики. Так
решены задачи о распределении давлений в сыпучих телах, о дав¬
лении их на ограждения и др.
Несмотря на большие успехи, достигнутые в дискретной теории
сыпучего тела, она пока еще не находит широкого практического
применения, так как, во-первых, еще не свободна от ряда положений
и допущений, взятых из теории сплошной среды, и, во-вторых,
пока еще нет достаточно надежных способов экспериментального
определения значений механических характеристик сыпучего тела,
входящих в расчетные формулы дискретной теории. Это заставляет
. отдать предпочтение более разработанной и лучше освоенной теории,
в которой сыпучее тело рассматривается в качестве сплошной
среды.
Несмотря на свою более чем двухвековую историю, механика
сыпучих тел еще находится в периоде интенсивного развития и еще
не свободна от многих «белых пятен» и противоречий как в области
основных положений, так и в практических методах расчета.

Глава 1
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СЫПУЧИХ ТЕЛ
§3. КРУПНОСТЬ, ФОРМА ЧАСТИЦ,
зерновой состав и однородность сыпучих тел
Крупность частицы сыпучего тела характеризуется наибольшим
ее размером — длиной а, выраженной в миллиметрах. Так, напри¬
мер, крупность зерен ржи составляет в среднем 7,86 мм, а пшени¬
цы — 6,84 мм.
Форма частицы определяется соотношением между ее длиной а
и поперечными размерами Ь и с. Для зерен ржи последние два раз¬
мера составляют в среднем 2,64 мм, а для пшеницы — 3,27 мм.
Кроме того, различают частицы угловатые, или острокромчатые,
и округленные.
Зерновым или гранулометрическим составом сыпучего тела на¬
зывается относительное содержание в нем частиц различной круп¬
ности, выраженное в процентах от общего веса пробы. Зерновой со¬
став сыпучего тела устанавливается последовательным просеиванием
или грохочением взятой пробы через ряд решет или сит с отверстия¬
ми разной величины. При этом взятая проба разделяется на фрак¬
ции, каждая из которых включает все частицы между установлен¬
ными для данной фракции наименьшим и наибольшим размерами.
Класс фракции определяется размерами отверстии двух сит: того,
через которое прошла данная фракция, и того, на котором она
задержалась. Процентное содержание фракций, лежащих выше сита
с отверстиями данного размера, в общем
весе взятой пробы называется выходом дан-
ной фракции сверху.
Таким образом, зерновой состав сыпу¬
чего тела выражается процентным весовым
содержанием отдельных фракций. Он мо¬
жет быть изображен в виде графика
(рис. 1), на котором по оси абсцисс от¬
кладываются размеры отдельных фракций
или их логарифмы (иногда в процентах от
размера наибольшей частицы), а по оси ор¬
динат— выход сверху отдельных фракций
в процентах от веса всей пробы.
Совокупность частиц размером от наи¬
большего а1ПП1 до 0,8 а,пах называется
группой наибольших частиц. Процентное
содержание этой группы в исследуемой
пробе обозначено на рис. 1 буквой А.
По степени однородности состава раз¬
личают рядовые сыпучие тела, когда от-
а, мм
РИС. I
14

ношение размеров наиболь-
ших и наименьших частиц
^ 2t5f Vi сортированные,
%1Q
 amax / о
когда —- ^ АО.
flmln
В каждом сыпучем теле
имеются частицы, размер ко¬
торых наиболее типичен для
данного сыпучего тела. Наи¬
более типичными размерами
рядовых сыпучих тел счи¬
таются:
размер, составляющий 0,8
от наибольшего размера ча¬
стиц, если группа наиболь¬
ших частиц составляет ме¬
нее 10%:
дт = 0,8агаах»	(1*1)
наибольший размер ча¬
стиц, если группа наиболь¬
ших частиц превышает 10%
(ат — Я max)*
Для сортированных сыпу¬
чих тел типичным будет сред¬
ний размер частиц
Отах~Ьаш1п	,,
«т =	  •	(1-2)
В зависимости от разме¬
ров частиц сыпучие тела раз¬
деляются на категории, при¬
веденные в табл. 1.
Пылеватые сыпучие тела
не могут быть разделены на
фракции просеиванием. Для
этого применяется гидравли¬
ческий анализ.
Для грунтов принята сле¬
дующая классификация ми¬
неральных частиц по их
крупности (табл. 2).
Крупнообломочные и пес¬
чаные грунты в зависимости
от гранулометрического со¬
става подразделяются вСНиП
11-15-74 на виды, указанные
в табл. 3.
ТАБЛИЦА 1. КЛАССИФИКАЦИЯ
СЫПУЧИХ ТЕЛ ПО КРУПНОСТИ
ЧАСТИЦ
Сыпучне тела
Типичный размер
частиц, им
Крупнокусковые .
Более 160
Среднекусковые .
160-60
Мелкокусковые . .
60—10
Зернистые . . . ’
10—0,5
Порошкообразные
0,5—0,05
Пылеватые ....
Менее 0,05
ТАБЛИЦА 2. КЛАССИФИКАЦИЯ
МИНЕРАЛЬНЫХ ЧАСТИЦ ГРУНТОВ
ПО КРУПНОСТИ
Частицы
Размер частиц, мм
Галечные ....
Более 20
Гравелнстые . . .
20—2
Крупные песчаные
2—0,5
Средние »
0,5-0,25
Мелкие »
0,25—0,05
Крупные пылева-
ТЫ6
0,05—0,01
Мелкие пылеватые
0,01-0,005
Глинистые . . . .
Менее 0,005
ТАБЛИЦА 3. ВИДЫ КРУПНООБЛО¬
МОЧНЫХ И ПЕСЧАНЫХ ГРУНТОВ
Г рунты
Распределение частиц
по крупности,
% от веса
Щебенистый (га-
лечниковый) . .
Дресвяный (гра¬
вийный)
• • • •
Гравелистый песок
Крупный »
Песок средней
крупности . . .
Мелкий песок . .
Пылеватый песок
Крупнее 10 мм
более 50
Крупнее 2 мм
более 50
Крупнее 2 мм
более 25
Крупнее 0,5 мм
более 50
Крупнее 0,25 мм
более 50
Крупнее 0,1
более 75
Крупнее 0,1
менее 75
15

§ 4. ПОРИСТОСТЬ, ВЛАЖНОСТЬ
И ОБЪЕМНАЯ МАССА СЫПУЧИХ ТЕЛ
Промежутки между частицами или зернами, из которых состоит
сыпучее тело, называются порами. Объем пор, выраженный в до¬
лях от общего объема сыпучего тела, принятого за единицу, назы¬
вается пористостью. Иногда пористость выражают в процентах.
Пористость сыпучих тел зависит от их гранулометрического соста¬
ва, т. е. от относительного содержания частиц различной крупно¬
сти, от формы и взаимного расположения частиц и от испытывае¬
мого давления.
Отношение объема пор к объему твердого вещества называется
коэффициентом пористости.
Между пористостью и коэффициентом пористости существует
такая зависимость:
в
п =
или
I -f-e
п
(1.3)
е =
1 — п ’
(1.4)
где п — пористость; в — коэффициент пористости.
Коэффициент плотности укладки определяется по формуле
/С — 1 — п = 1/1 -Ье.	(1.5)
Для воображаемого сыпучего тела, частицы которого представ¬
ляют собой шары одинакового диаметра и уложены с наибольшей
возможной плотностью, характеризующейся тем, что каждый шар
расположен в вершине тетраэдра (рис. 2, о) и касается 12 других,
пористость и коэффициент пористости соответственно равны:
п - 0,258, е = 0,352.
Если же шары уложены так, что каждый из них расположен
в вершине куба и соприкасается с другими в шести точках, из кото¬
рых четыре лежат в плоскости (рис. 2, б), то п = 0,476 не = 0,923.
Укладка шаров в первом случае называется плотной, а во втором —
рыхлой.
Могут быть и другие значения коэффициентов пористости при¬
родных сыпучих тел, состоящих из частиц неправильной формы
иногда с разными размерами. Так, например, М. С. Бернштейн и
А. Г. Иммерман [61, производя опыты по варьированию структуры
насыпного песка, получили значе¬
ния коэффициента пористости для
песка крупностью 0,2—3 мм, не
рассеянного по фракциям, в пре¬
делах от 0,475 до 0,78. Для выде¬
ленной фракции I—3 мм им удава¬
лось довести коэффициент пористо-
рис. 2	сти	до 0,812 и более.
16

Наиболее плотная структура достигалась, когда песок в виде
«дождя» падал на сосуд, в котором поверхность песка все время
оставалась почти горизонтальной.
Наиболее рыхлая структура песка получилась при отсыпаннн
его с малой высоты из передвижного бункера.
Предельные значения коэффициентов пористости воздушно-
сухого песка также установлены экспериментально Н. В. Ксстыле-
вой 172]. Наибольший коэффициент пористости — 1,012 в пылева¬
том песке при предельно рыхлом состоянии, а наименьший —
0,415 в крупном песке в предельно плотном состоянии. Для приве¬
дения песка в предельно рыхлее состояние его отсыпали через во¬
ронку в цилиндрический сосуд, а для приведения песка в предель¬
но плотное состояние его уплотняли постукиванием в конусо¬
образном сосуде, расширяющемся книзу.
Наименьшая пористость в предельно рыхлом состоянии наблю¬
дается в неоднородных по гранулометрическому составу песках
средней крупности с окатанными и иолуокатанными зернами изо¬
метрической формы. В то же время такие пескн при уплотнении
сохраняют большую пористость, чем пески с остроугольными и
бесформенными зернами.
Зода, заполняющая целиком или частично промежутки между
частицами сыпучих тел, может быть связанной, свободной или паро¬
образной.
Связанная, или гигроскопическая, вода поглощается из окружаю¬
щего воздуха и удерживается на поверхности частиц сыпучего
тела в виде пленки силами молекулярного притяжения. Перемеще¬
ние этой воды от одной частицы к другой под влиянием давления,
передаваемого сыпучему телу, невозможно.
Свободная вода находится вне радиуса действия молекулярных
сил, связывающих ее с поверхностью частиц сыпучего тела. Эта
вода может перемещаться под действием силы тяжести и сил поверх¬
ностного натяжения. Количество свободной воды, содержащейся
в сыпучем теле, зависит от испытываемого нм давления.
Парообразная вода, или водяной пар, образуется в порах сыпу¬
чего тела и заполняет их даже при самом малом количестве сво¬
бодной воды. Кроме того, в самих частицах сыпучего тела может
еще находиться так называемая конституционная влага.
Сыпучие тела, содержащие свободную воду, называются влаж¬
ными .
Когда сыпучее тело длительное время находится на открытом
воздухе, свободная вода испаряется и тело переходит в состояние
естественной влажности. Удаление связанной воды возможно
высушиванием сыпучего тела при температуре 105е С до достижения
нм постоянного веса. В таком состоянии сыпучее тело называется
сухим.
Влажностью сыпучего тела назывании ртнвшгттцг веса содер¬
жащейся в нем свобо/у**НГ ГВ!ШТ|«о^‘вр^ы к весу твердых частиц.
17
укот ИЧрОКОММ> яством у
щ 4	™	щ	г	г	I	—

Влажность определяется по формуле
б,—G2
W * 	  ,	(1.6)
и2
где G — вес данного объема сыпучего тела до просушивания; Ог — вес
этого1 же объема после просушивания.
Степень водонасыщенности, т. е. доля заполнения объема пор
водой, определяется по формуле
ш = Л£2_(	(1.7)
ерп
где ЯГ — влажность сыпучего тела; е — коэффициент пористости в естествен¬
ном состоянии; р„ — плотность воды; рч — плотность материала частиц,
которая для органических веществ колеблется в пределах от 1,2 до 1,4 г/см3,
а для большинства минералов, входящих в состав грунта, составляет 2,4—
2.8	г/см*.
Объемной массой сыпучего тела называется масса 1 м3 его в ки¬
лограммах. Объемная масса сыпучего тела зависит от плотности
частиц, от пористости и от степени заполнения его водой.
Объемная масса сыпучего тела с порами, заполненными воздухом,
выражается такой формулой:
р=рч(1 —п) = —.	(**8)
1 + е
Объемная масса сыпучего тела с порами, заполненными водой,
* .	Рч4-еРп	н rt\
Р1 = Рч(1— n)-fpBn= ——.	(1.9)
1 -j-e
Объемная масса сыпучего тела с порами, частично заполненными
водой и частично воздухом,
Рг = р.,(1-п)(1 + ^)=Р"('~1:(1.10)
I е
При полном погружении сыпучего тела в воду оно взвешивается
и теряет часть своего веса. Однако потеря в весе составляет не
9,81 « 10 кН на каждый кубический метр, а меньше, так как вода
вытесняется из занимаемого ею объема только твердыми частицами.
В результате условная объемная масса сыпучего тела, взвешенного
в воде, составляет:
рю.^(Рч-р.)(1-п) = -Г,{-~Р" =р (1.11),
1-Ье	1-fe	{
Объемные массы различных сыпучих тел с порами, заполненными
воздухом, приведены в табл. 4 (см. ниже, § 6).
18

§ 5. ДЕФОРМАЦИЯ СЫПУЧИХ ТЕЛ
Как известно, силой в механике называется величина, являю¬
щаяся мерой механического взаимодействия материальных тел,
в результате которого происходит изменение кинематического со¬
стояния этих тел. Изменение кинематического состояния сыпучего
тела при действии на него каких-либо других тел проявляется в его
деформации, т. е. в изменении его объема и формы.
~ Следует различать деформации сыпучего тела двух основных
видов — структурные и упругие.
Структурные деформации сыпучего тела заключаются в пере¬
мещениях его частиц или их агрегатов как отдельных твердых тел.
Такие перемещения обусловливаются изменяемостью сыпучего
тела как системы, составленной из отдельных элементов при недо¬
статочном числе связен у этих элементов, или же разрушением
имеющихся связей. При этом минимально необходимое число свя¬
зей для каждой частицы, расположенной внутри сыпучего тела,
равно шести, а каждый контакт между частицами эквивалентен
трем связям. Наибольшее же возможное число связей для частицы
сыпучего тела составляет 12 (если принять, что она, как и другие
его частицы, шарообразной формы).
После приложения нагрузки происходит или переход частиц
сыпучего тела в новое, более устойчивое положение равновесия, или
разрушение сыпучего тела как системы в результате разрушения
связей между частицами.
Структурные деформации необратимы и носят разрывной харак-
тер, т. еЛнё являются непрерывными функциями координат. От
пластических деформации структурные отличаются тем, что первые
возможны при неизменном объеме, а вторые связаны с изменением
объема.
Упругие деформации сыпучего тела обусловлены обратимыми
и необратимыми деформациями непосредственно зерен. Упругие
деформации неразрывны в пределах объема, занимаемого каждым
зерном. В общем случае упругие деформации могут быть нелиней¬
ными.
Соотношение между величинами деформации различных видов
зависит от материала и формы частиц, а также от степени уплот¬
нения сыпучего тела. Так, для сыпучих тел с жестким скелетом,
например для песка, наибольшую величину сбычно имеют струк¬
турные деформации.
Необходимо отметить, что данный вопрос, впервые рассмотрен¬
ный П. А. Миняевым (1914 г.) и Г. И. Покровским (1937 г.), зна¬
чительно развитый в последнее время в работах ДА. Н. Гольдштейна,
Н.	Я. Денисова, 11. И. Черкасова и Ф. М. Шихнева, еще нуждается
в дальнейшей разработке и требует специального эксперименталь¬
ного исследования различных сыпучих тел, в первую очередь зер¬
новых.	’	1
19

Испытывают сыпучее тело на сжатие в сосуде с жесткими стен¬
ками, исключающими возможность бокового расширения. Увеличе¬
ние давления на поверхность сыпучего тела приводит к его уплот¬
нению, выражающемуся в уменьшении пористости.
Зависимость между давлением, производимым на сыпучее тело,
и его коэффициентом пористости изображается кривой, которая
ноент название кривой уплотнения.
В общем случае эта кривая достаточно точно описывается таким
уравнением:
е=С—A (/7c-hp),“rt,	(1.12)
где р — давление, производимое на сыпучее тело; г — коэффициент пори¬
стости; А. С, Рс н п “ параметры, определяемые из опыта.
Если параметр п оказывается равным единице, то вместо урав¬
нения (1.12) нужно применять следующее:
е=С—A In (РсН-р).	(1.13)
Пользуясь формулами (1.12) и (1.13) и выбирая то или иное
значение параметра и, можно получить уравнение прямой (п ~ 0),
параболы (0 < п < 1), логарифмической кривой (п = 1), обобщен¬
ной гиперболы (1 < п < 2) или простой гиперболы (п = 2) (рис. 3).
Логарифмическая зависимость между нагрузкой и деформацией,
пропорциональной изменению коэффициента пористости, представ¬
ляет собой лишь одну из математических зависимостей, которые
могут быть использованы для описания компрессионного процесса.
Процесс уплотнения сыпучего тела необратим, так как он связан
главным образом со структурными деформациями. Поэтому кривая
разгрузки, носящая название кривой набухания, не совпадает
с кривой уплотнения, а проходит ниже ее. При повторных загруже-
инях после разгрузок наблюдается явление гистерезиса вследствие
того, что кривые повторных нагружений не совпадают с кривыми
предыдущих разгрузок, а образуют петли. Это отчетливо видно на
рис. 4. где изображена полученная автором кривая сжатия пшена.
Следует иметь в виду, что частицы сыпучего тела соприкасают¬
ся одна с другой не по всей их поверхности, а в отдельных точках
контакта. Поэтому действительные напряжения в этих точках или,
вернее, по этим площадкам во много раз превосходят те средние
напряжения, которые получаются в результате расчета, в основу
которого положена модель сплошной среды. В большинстве случаев
даже при небольших средних расчетных напряжениях действитель¬
ные напряжения в контактах настолько велики, что деформация
должна носить пластический характер.
Так, например, по подсчетам И. М. Черкасова [138], при сред¬
нем напряжении в массиве песка 0,1 МПа наибольшее контактное
напряжение будет порядка 2000 МПа. При этом поверхность кон¬
тактов между частицами не остается постоянной, а возрастает с
увеличением действующих сил. Все это приводит к нелинейной за¬
висимости между силами, действующими на сыпучее тело, и его
деформациями и перемещениями.
20

#
i
1<n <2
6, кПа
1200
1000
РИС. 3
О opt 002 003 opt 005 OfiB 00/
е, гм
РИС. 4
70 мм
РИС. 5
Совершенно другой характер но¬
сит зависимость между нагрузкой и
деформацией сыпучего тела при сжа¬
тии его в условиях возможности бо¬
кового расширения, например при
давлении штампа, установленного на
поверхности сыпучего тела или на
некоторой глубине от нее.
Типичная кривая многократного
нагружения и разгрузки штампа диа¬
метром 100 мм, полученная И. И. Чер¬
касовым в лабораторном опыте с люберецким песком, представ¬
лена на рис. 5.
Осадка штампа при нагружении и разгрузке изображается не¬
прерывной кривой с характерными петлями гистерезиса. Если песок
предварительно не уплотнен, то начальный участок кривой всегда
обращен выпуклостью в сторону оси нагрузок и не имеет точек пе¬
региба.
При разгрузке штамп несколько поднимается вверх под дейст¬
вием упругих сил сыпучего тела, причем возвратное перемещение
характеризуется также кривой линией, кривизна которой, однако,
невелика и непостоянна. Это возвратное движение штампа было
особенно ясно заметно в полевых опытах, где относительная точ¬
ность измерений была в 10 раз выше; они подтвердили правильность
результатов лабораторных опытов. Кривые последующих нагру¬
жений резко отличаются по виду от кривой первого нагружения
штампа. Их начальные участки почти прямолинейны н наклонены
под бблыиим углом к оси осадок. Прямолинейность графика со¬
храняется на всем его протяжении от значения нагрузки, равной
21

нулю. до значения нагрузки, несколько меньшей той, которая была
приложена к штампу в предшествующем цикле. Далее обнаружн-
вдется кр>тге падение кривой, и осадка штампа при нагрузках,
превышающих предшествовавшую, быстро возрастает, причем опыт¬
ные точки ложатся на продолжение кривой первого нагружения.
Общая зависимость между давлением на сыпучее тело и его де¬
формацией может быть установлена исходя из самых простых пред¬
положений относительно картины передачи давления от одной
частицы к другой через контакты между ними.
Основоположник так называемой контактной теории —
Г. И. Покровский. Его идеи впоследствии развиты М. Н. Троицкой
1123]. Проведенные ею в Дорнии теоретические и эксперименталь¬
ные исследования имели целью выяснить зависимость между силой,
действующей на грунт, и его деформациями. Однако при обработке
экспериментального материала обнаружено, что один из парамет¬
ров кривой уплотнения оказывается для данного грунта постоян¬
ным лишь в определенном интервале пористости.
Это указывает на недостаточную общность исходного дифферен¬
циального уравнения и побуждает сделать попытку дальнейшего
обобщения контактной теории.
В качестве рабочей гипотезы принимается, что в сыпучем теле
давление от одной частицы к другим передается при помощи си¬
стемы точек контакта. Чем больше число контактов, тем больше со¬
противление сыпучего тела действию сил, т. е. тем меньше деформа¬
ции при действии данной силы. Число же точек контакта изменяет¬
ся в зависимости от величины силы, увеличиваясь при увеличении
силы благодаря уменьшению пористости и уменьшаясь при возник¬
новении различных форм нарушения структуры сыпучего тела.
При сжатии без бокового расширения возможно только умень¬
шение пористости, сопровождающееся увеличением числа точек
контакта, т. е. упрочнением системы. Наоборот, при сдвиге увели¬
чение силы приводит к уменьшению числа точек контакта и паде¬
нию сопротивления сыпучего тела.
Таким образом, увеличение числа точек контакта приводит,
с одной стороны, к увеличению приращения давления dp, необхо¬
димого для дальнейшего приращения относительной деформации de,
а с другой — к уменьшению этого приращения давления. В про¬
стейшей, но достаточно общей форме этот процесс может быть выра¬
жен таким дифференциальным уравнением
гд« L — аел!
I
I
М,1’Аппа' ХаРактеРичУк»щая жесткость сыпучего тела; е — отно*
Р* — предел несущем
:я от того, которое
показателей степе-
22

ни т и и, что, однако, делает его более общим и гибким, позволяя
достигнуть лучшего совпадения с данными опытов.
При повторных нагружениях и разгрузках кривизна и наклон
ветвей разгрузки постепенно уменьшаются, петли гистерезиса со¬
кращаются, а начальные участки кривых нагружений все бо¬
лее выпрямляются. В результате последовательных нагружений
и разгрузок сыпучего тела происходит коренное изменение его
структуры — оно приобретает свойство упругости в большом диа¬
пазоне нагрузок. Это явление, названное И. И. Черкасовым упроч¬
нением, весьма сходно с явлением так называемого наклепа в ме¬
таллах. Интересно, что вибрационное воздействие на песок хотя
и приводит к весьма значительному его уплотнению, но не дает
упрочнения. Наоборот, вибрация снимает упрочнение, созданное
ранее приложенными нагрузками.
Упрочнение возникает исключительно в связи с процессами,
происходящими в контактах, во-первых, вследствие разрушения
острых контактов и замены их тупыми и, во-вторых, благодаря
увеличению при структурных деформациях общего числа контактов
в первом нагружении и более равномерному распределению нагруз¬
ки между контактами при последующих нагружениях. Увеличение
числа тупых контактов происходит из-за поворотов и смещений
зерен, стремящихся перейти в более устойчивое положение.
Для завершения структурных деформаций необходимо несколь¬
ко последовательных циклов нагружения и разгрузки. Вибрация
же вызывает беспорядочное движение зерен и приводит к изменению
их взаимного расположения. При этом ранее образовавшиеся кон¬
такты исчезают и возникают новые. В вибрируемом сыпучем теле
происходит более плотная укладка зерен, но упрочнение, созданное
предшествовавшим нагружением, снимается, и для его восстанов¬
ления требуется после вибрации повторное многократное загру¬
жен ие.
Упрочнение в песке возникает и под действием силы тяжести.
В глубинных слоях песок оказывается весьма сильно упрочненным
давлением вышележащей толщи, когда нет бокового расширения.
Сопротивление сыпучего тела растягивающим усилиям обуслов¬
лено сцеплением и внутренним трением, действующими между ча¬
стицами.
Модуль деформации сыпучего тела выражается как производная
E = JlL==L-APc+r)n(Ps-pr	(L]5)
de	{Pc	+	p)n	+	{ps	—	p)m
Интегрирование дифференциального уравнения (1.14) при на¬
чальных условиях р — 0, е = 0 оказывается возможным лишь для
конкретных значений т и п и приводит при т 1 и п Ф 1 к сле“
дующему результату:
П

Частные* случаи зависимостей (1.15) и (1.16) изображены на
РИСа)6Компрессия, т. е. сжатие при невозможности бокового рас¬
ширения (рл -*■ «>)э
Ес=£(Рс + Р)а-	(1-17)
Эта формула показывает, что модуль деформации увеличивается
при увеличении давления
(1.18)
Это уравнение на рис. 6 изображается кривой /.
Выразим относительную деформацию через коэффициент пори¬
стости при помощи зависимости геометрического характера
i
е =
вс—s
1 ~Ьбс *
(1.19)
где ес — коэффициент пористости, отвечающий давлению рс> т. е. началь¬
ный коэффициент пористости; е — коэффициент пористости, отвечающий лю¬
бому давлению р.	«■
Получим
в=ес + А[р1с п—(рс + р)1 л],
(1.20)
где
1 —f- в(
L(\-n)
Введя обозначение для постоянной величины
(1.21)
получаем уравнение (1.12) кривой уплотнения, соответствующее
экспериментальным данным.
б)	Сдвиг несжимаемого сыпучего тела (рс -> оо)
dp
= Z.(Pa-P)m.
(1.22)
РИС. ft
Это выражение показывает, что
при сдвиге модуль деформации сыпу¬
чего тела уменьшается с увеличением
давления
g~~7Г~(m 1)	*	0-23>
Этому уравнению соответствует
кривая 2 на рис. 6.
в)	Пластическая	деформация
<р = р.)
dp
етв~^“=0; е-» оо (прямая 3 на рис. 6)

г)	Линейная деформация (рс и р9 достаточно велики по срав¬
нению с р):
Lpnc Р7
£у= —	—	=	const;	(1.24)
РПЛР?
р Рп.+Р? р
e=T~~V-^r==E-	(К25>
L Piр?
Эта зависимость изображается прямой 4 на рис. 6, а случаю
одновременного действия сжатия и сдвига соответствует кривая 5.
Интегрирование дифференциального уравнения (1.14) при т = 1
и п — 1 приводит к формулам, предложенным М. Н. Троицкой,
которые сохраняются в силе для данного частного случая.
а)	Сжатие при невозможности бокового расширения:
1 , РсЧ~Р	,, „„V
е = — In ;	(1.26)
L	р с
е = С—A In (рс+ р),	(1*27)
где
(1.28)
1 Ч" ес
б)	Сдвиг несжимаемого сыпучего тела
е = —In—U-29)
L р8—р
в)	Пластическое течение
е со.
г) Линейная деформация
1	4	р
е =
- =	(1.30)
^ Рс + Ре £у
Так как при вдавливании штампа в сыпучее тело происходят
одновременно сдвиг и сжатие, то модуль деформации, естественно,
оказывается меньшим, чем в случае сжатия при невозможности
бокового расширения.
Исходя из формул (1.17)—(1.25) можно сдапать вывод, что мо¬
дуль деформации сыпучего тела — величина переменная, изменяю¬
щаяся в зависимости от давления и вида деформации в пределах
от 0 до оо, а точнее — до значения модуля деформации непосредст¬
венно зерен сыпучего тела.
Все зависимости, полученные в этом параграфе, хорошо под¬
тверждаются данными опытов. Что касается параметров, входящих
в эти зависимости, то в настоящее время мы пока еще не располагаем
достаточным опытным материалом для того, чтобы можно былс
рекомендовать определенные численные значения этих параметроЕ
25

для конкретных сыпучих тел. В этом направлении требуется еще
большая научно-исследовательская работа.
Формулой (1.16) устанавливается в достаточной мере сложная
нелинейная зависимость между деформациями сыпучего тела и дей¬
ствующим на него давлением. При использовании этой зависимости
для решения практических задач строительной механики сыпучих
тел встречаются непреодолимые в настоящее время затруднения.
Поэтому целесообразно, так же как это делается в отношении
твердых тел, заменить действительный график деформации сыпу¬
чего тела упрощенным, показанным на рис. 6 пунктирной линией.
Он состоит из двух участков: наклонного, изображающего упругую
стадию сопротивления сыпучего тела, и горизонтального, изобра¬
жающего стадию предельного равновесия.
§ 6, СОПРОТИВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА СДВИГУ.
ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ И СЦЕПЛЕНИЕ
Прочность сыпучего тела, т. е. его сопротивление разрушению,
в основном определяется его сопротивлением сдвигу или срезу.
Сопротивление сыпучего тела растяжению связано с его сопротив¬
лением сдвигу, а сопротивление сжатию зависит от прочности ча¬
стиц и от тех давлений, которые возникают в местах контакта и
которые, как указано выше, могут достигать очень больших значе¬
ний.
Простейший способ определения сопротивления сыпучего тела
сдвигу (срезу) состоит в следующем. Сыпучее тело помещают
в обойму, состоящую из двух частей: неподвижной нижней и верх¬
ней, которая может смещаться в горизонтальном направлении по
сечению /—/ под действием сдвигающей силы Т (рис. 7). Нормаль¬
но к сечению /—/ прикладывается сила N. Для измерения горизон¬
тальных перемещений устанавливается индикатор. Часто подвижной
делают нижнюю часть, а неподвижной — верхнюю.
Каждый опыт производится при постоянном значении силы N
н при постепенном увеличении силы Т до тех пор, пока не произой¬
дет сдвиг одной части сыпучего тела по другой. Опыт повторяется
для различных значений силы N и для каждого из них находится
предельное значение сдвигающей силы, т. е. силу сопротивления
сыпучего тела сдвигу 7’11р.
Результаты опытов показывают, что зависимость между сопро¬
тивлением сыпучего тела сдвигу Тир и силой нормального давления
N имеет вид кривой линии, изображенной на рис. 8. Так как в этой
линии на всем ее протяжении, кроме начального участка, очень
небольшая кривизна, то для практических целей ее заменяют пря¬
мой (показанной на рис. 8 пунктирной линией). Это равносильно
принятию закона Дмонтона—Кулона, согласно которому сила со-
сып^че,г> тсла сдвигу, складывающаяся из сил вну-
Р	рения	и	сцепления,	выражается	формулой
W •VJ + cF,	(1.31)
26

где f — коэффициент внутреннего трения сыпучего тела, равный тангенсу
угла Ф внутреннего трения, т. е. f = tg ф или (р = arc tg/; с — удельное
сцепление, т. е. сила сцепления, приходящаяся на единицу площади F,
по которой происходит сдвиг. Эта величина выражается в кПа или в МПа!
Для получения удельного сопротивления сдвигу нужно отнести
силу сопротивления сдвигу, равную сдвигающей силе Т (1.31),
к единице площади сдвига (Я)
т
тпр = ~~- = 0 tg ф-f с = о' tg ф,	(1.32)
N
где о = у —давление, нормальное к поверхности сдвига; a' = a0-j-o—при¬
веденное нормальное давление, т. е. с учетом давления, обусловленного вну¬
тренними силами, сцепления, называемое давлением связности; о0=~
б Ф
давление связности.
Зависимость (1.32) может быть изображена графически в виде
графика сдвига, как это показано на рис. 9. При этом, поскольку
величина ог0 отложена в сторону отрицательных значений а, она
характеризует сопротивление сыпучего тела всестороннему равно¬
мерному растяжению. Условие прочности сыпучего тела против
сдвига выражается так:
т<тпр,	(1.33)
где т — действующее касательное напряжение, принимаемое равномерным
по всей площади сдвига.
Производя геометрическое сложение сил N и Г, как это сделано
на рис. 7, найдем их равнодействующую Я, которая отклоняется
от нормали к поверхности сдвига на угол б. Этот угол называется
углом отклонения.
Тогда Т = TV tg 6 или т = cr tg б и условие (1.33) можно пред¬
ставить в виде	,
atg б с a tg ф-f с. '	■
Разделив обе части этого выражения на а, получим
tg б < tg ф-f-— = tg ф.	(1*34)
о а
Для несвязного сыпучего тела с = 0, и в этом случае формулы
(1.32)	и (1.34) переходят в такие:
тпр = о tg ф; б < ф*
Для состояния предельного равновесия или предельного напряжен-
ного состояния в выражениях (1.33) и (1.34) сохраняются только
знаки равенства.
Таким образом, для несвязного сыпучего тела, находящегося
в предельном, напряженном состоянии, угол отклонен и я равен_угл у
внутреннего трения.
Значения углов внутреннего трения и удельного сцепления ра
личных сыпучих тел приведены в табл. 4.
27

6)
РИС. 7
\
I
1
н
I
•1
РИС. 9
Л
РИС. 10
Опыты с тем же прибором, снабженным индикатором для измере¬
ния перемещений, показывают, что до достижения касательными
напряжениями т их предельного значения тпр зависимость между
т и перемещениями сдвига А при постоянном нормальном давлении
о носит характер, близкий к линейному, подобно тому, как это будет
в отношении деформаций упругих тел, т. е.
т Д,
(I.35)
где Ц — коэффициент пропорциональности, выражающийся в Н/сма.
Зависимость (1.35) изображена графически на рис. 10.
После достижгиня касательными напряжениями их предельного
значения, которое выражается формулой (1.32), происходит срыв
верхней части прибора с заполняющим ее сыпучим телом, носящий
характер пластической деформации.
28

Применяется и другая аппроксимация закономерности сопро¬
тивления сыпучего тела сдвигу, преложенная Н. И. Безуховым
и р. И. Глушковым и изображенная на рис. 11. Она отличается от
предыдущей тем, что по вертикальной оси откладывается отвлечен¬
ная величина отношения т/а, в котором о — постоянная величина.
В пределах первого участка ломаной, соответствующего услов¬
ной упругой стадии сил сопротивления сдвигу, принимается сле¬
дующая зависимость:
=рД,
(1.36)
где = tg pi — так называемый модуль сопротивления сыпучего тела
сдвигу, имеющий размерность см-1 и зависящий от величины нормального
давления по поверхности контакта.
При достижении некоторого предельного значения величиной,
равной отношению т/а, она принимается постоянной:
:пр .	.	с
-~ = 16ф-ь —
О	о
(1.37)
Однако на основании своих опытов Г. И. Глушков пришел к
выводу, что модуль р. в сильной степени зависит от величины дав¬
ления а по поверхности сдвига, поэтому использование формулы
(1.36) в практических расчетах затруднительно.
Исходя из экспериментальных данных Ф. М. Шихиевым приня¬
та зависимость между отношением напряжений т/а и углом сдвига
у, показанная на рис. 12. При этом для предельного угла сдвига
уПр угол отклонения достигает величины угла внутреннего тре¬
ния ф.
В допредельном состоянии принята линейная зависимость между
углом отклонения и углом сдвига, которая, однако, приводит к
нелинейному закону упругости, связывающему четыре константы —
угол внутреннего трения ф, удельное сцепление с, коэффициент бо¬
кового давления |0 и критический угол сдвига упр.
Возникновение внутреннего трения в сыпучих телах объясня¬
ется, во-первых", тем, что одни частицы входят в углубления между
другими частицами и зацепляются Друг за друга, а во-вторых, тем,
что_между частицами непосредственно на поверхности контакта
возникают сидытрения скольжо-
нприл ипани я. Трение в массе
сыпучего тела определяется ~не
только скольжением частиц. _ а в
значительной мере и_х качением.
Поэтому угол внутреннего тре¬
ния сыпучего тела существенно
отличается от угла статического
сухого внешнего трення скольже¬
ния между отдельными твердыми
частицами сыпучего тела.
29

Величина угла внутреннего трения зависит от ряда причин и в
первую очередь от плотности укладки частиц сыпучего тела, от i
их флрмы, размеров, однородности, характера их поверхно¬
сти и др.
Более детальные исследования показывают, что сопротивление
сыпучего тела сдвигу находится в зависимости от плотности, влаж¬
ности и крупности частиц, а также от величины перемещения,
В начальной стадии, названной М. Н. Гольдштейном стадией
не установившегося сдвига, непрерывно изменяется соотношение меж-
д\ трением скольжения, трением качения и зацеплением. При этом
область изменения пористости увеличивается при увеличении пере¬
мещения. Поэтому и зависимость между сдвигающей силой Т и нор¬
мальной силой N на начальном участке графика (рис. 8) носит слож¬
ный характер.
Во второй стадии — стадии установившегося сдвига — область
изменения пористости уменьшается и сдвиг происходит только
в пределах тонкого пограничного слоя.
Сопротивление сдвигу но какой-либо площадке F в этой стадии
достаточно точно выражается уравнением (1.31).
Таким образом, внутреннее трение и сцепление сыпучего тела — ,
величины такого же рода, что и предел текучести или предел проч¬
ности твердого тела. Эта аналогия между силами трения и силами :
внутреннего сопротивления материалов отмечена Б. В. Дерягиным
1431.
Экспериментальные исследования Г. И. Глушкова [28] показа¬
ли. что она идет еще дальше. В опытах Г. И. Глушкова прямоуголь¬
ный металлический лоток размером в плане 150 X 52 см и высотой
55 см наполняли песком. На поверхность песка укладывали бе¬
тонный блок или металлическую рамку, наполненную песком, ко¬
торым давали дополнительную нагрузку сверху, различную в раз- 1
ных опытах. К блоку или рамке посредством троса ступенями при¬
кладывали горизонтальное усилие, создаваемое реечным домкра¬
том и регистрируемое динамометром. Для измерения перемещений
блоков или рамки применяли индикаторы часового типа, допускав- <
шне измерение с точностью до 0,01 мм.	I
Все без исключения опыты показали, что по мере увеличения j
горизонтальных сдвигающих сил наблюдается непрерывный рост
горизонтальных перемещений. Когда эти перемещения достигали
определенной величины, чаще всего 2—3 мм, происходил срыв бло¬
ков, после чего наблюдалось равномерное движение их при постоян¬
ном значении сдвигающей силы. Зависимость между горизонталь¬
ной сдвигающей силон, которая по условию равновесия должна
бьггь равна силе трения, и величиной горизонтального перемещения
Л показана на рис. 13, где приведены результаты одного из многих
хорошо согласующихся опытов. Из рисунка видно, что при разгруз¬
ке блок во всех случаях получал небольшое обратное перемеще¬
ние. Это указывает на наличие упругих сил в общем составе сил
трении.	I

В тех опытах, где вместо бетонного блока применяли рамку
с песком, наблюдалось значительное уменьшение сдвигающей силы
после достижения ею предельной величины.
На основании этих опытов Г. И. Глушковым и были предложены
зависимость (1.36) и график, изображенный на рис. 11.
Опыты Н. В. Костылевои 172] с песками разной крупности пока¬
зали, что угол внутреннего трения увеличивается с увеличением
плотности песка и с увеличением крупности его зерен. В песках,
однородных по гранулометрическому составу, и в песках с окатан¬
ными зернами углы внутреннего трения меньше, чем в песках раз¬
нородного состава и песках с неокатанными зернами.
Если поры сыпучего тела заполнены каким-либо цементирующим
веществом, то между частицами возникают силы сцепления, препят¬
ствующие как взаимному отрыву одной части сыпучего тела от дру¬
гой, так и их взаимному сдвигу.
^ Сцепление между частицами возникает также и в том случае,
когда поры сыпучего тела частично заполнены водой. При этом
у поверхности воды, ограниченной вогнутыми менисками, возника¬
ют силы поверхностного натяжения, притягивающие одну частицу
к другой. Поверхностное натяжение и обусловленное им сцепление
тем больше, чем меньше размеры пор.
Некоторое сцепление между частицами сыпучего тела может быть
и в том случае, если поры его заполнены воздухом. Это сцепление,
называемое зацеплением, возникает благодаря тому, что частицы
зацепляются друг за друга своими неровностями и заклинивают друг
друга. Влияние зацепления возрастает с увеличением плотности
сыпучего тела.
О)противление сыпучего тела сдвигу в пристенном слое у ло¬
ве р х н о стТГТо ору же н ия подчиняется весьма сложным закономер¬
ностям ПЛоэтому. принимая угол трения^между сыпучим телом и
поверхностью соозджения ра
вет_ствующими_ м а терна л а м и, i
пёрщепрйБлюкеийе^
ограж
оСГрлдрения сыпучего тела о твердое тело не может прев<
yjvia^BHyTpgHHero трения, в противном случае поверхность
Дающая сыпучее тело,
cjojib_jrepo^oпатой7что ^щТГдол-
—йы—происходить не по
.'Поверкоюстпа по проходя-
же самое относится
и квеличине^цеплeiшя.
1ри плотном состоянии тела
сопротивление трения возникает
как результат царапания высту-
зющих острых краев его частиц
по ограждающей поверхности.
103
л
/
1
■Ч
п
1
/1
J
II
1
% Г 9
РИС. II

Если сыпучее тело рыхлого сложения, то отдельные его частицы
при движении изменяют взаимное положение и сопротивление тре¬
ния в этом случае связано с перекатыванием частиц по поверхности
скольжения.
Коэффициент трения стали о грунт нарушенного сложения со¬
ставляет, как показывают опыты Ю. А. Ветрова [191, примерно 2/3
от коэффициента трения о грунт ненарушенного сложения.
При изменении нормального давления коэффициент трения не
остается постоянным; он несколько уменьшается с увеличением дав¬
ления для грунтов ненарушенного сложения и несколько увеличи¬
вается с увеличением давлений для грунтов нарушенной структуры.
Влажность грунта, как показали эти опыты, наиболее существенно
влияет на значение коэффициента трения. В пределах изменения
влажности от воздушно-сухого состояния до максимальной капил¬
лярной влагоемкости коэффициент трения стали о грунт может
уменьшиться в два раза и более. Зависимость коэффициента трения
стали о грунт от влажности выражается по предложению Ю. А. Вет¬
рова, следующим уравнением:
/ =	(1-38)
где ВТ — влажность грунта, %; f0 н А — постоянные параметры, которые,
например для суглинка, будут: f0 = 1,01; А = 4,08.
В табл. 4, составленной по различным литературным источни¬
кам, приведены некоторые данные об объемных массах, углах тре¬
ния и величинах сцепления для различных сыпучих тел.
$ 7. УГОЛ ЕСТЕСТВЕННОГО ОТКОСА,
КОЭФФИЦИЕНТ БОКОВОГО ДАВЛЕНИЯ
И КОЭФФИЦИЕНТ ПУАССОНА
Степень подвижности частиц сыпучего тела зависит от величины
внутреннего трения и сцепления между частицами; она характери¬
зуется углом естественного откоса и коэффициентом бокового дав¬
ления.
Как известно, твердое тело принимается в механике в качестве
сплошного, обладающего постоянной формой; считается также, что
частицы его неподвижны. Отношение между главными напряжения¬
ми в твердом теле может быть каким угодно. В противоположное^
этому жидкость обладает весьма значительной подвижностью ча¬
стиц, не имеет собственной формы и, будучи налита на горизонталь¬
ную плоскость, растекается. Она принимает форму сосуда, в кото*
рой налита, и оказывает гидростатическое давление на его стенки.
Отношение между главными напряжениями в жидкости равно едиф
нице, так как давление, произведенное на жидкость, передастся
одинаково #> все стороны.
Сыпучее тело по физическим свойствам занимает промежуток
мое положение между твердым телом и жидкостью. Оно обладаем
32

ТАБЛИЦА 4. НЕКОТОРЫЕ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЫПУЧИХ ТЕЛ
Сыпучее тело
Объемная
масса р,
т/м*
МОК
Агломерат железной ру¬
ды
Бобы • • •„* * '
Гипс крупный . •
» мелкий . • •
Глина мокрая	.	•
,	влажная	.	•
»	сухая .	*	•
Глинозем . . • •
Горох
Гравий мокрый . •
» сухой . •
Гречиха
Земля растительная
рая
Земля влажная
»	сухая .	•	•
» формовочная
Зола
Известь обожженная
» гашеная в по
рошке
Известняк дробленый
Камень
Карбид
Клинкер
Кокс
Конопляное семя
Криолит
Кукуруза неочищенная
Крупа манная . .
Лузга подсолнечная
Льняное семя . .
Мел дробленый
Мука ржаная . .
* пшеничная ..
Нефелиновый концентрат
Овес
Опилки древесные
Отруби
Окалина
Песок мокрый !
влажный
__ С£\о?Г
Подсолнух
Просо .
Пшеница ’ ! !
Пыль угольная
Рис . . .
рожь . . ; ;
Руда железная
»
»
0,6-0,7
1,4—1,*;
1.3—2
0,9
1.3—1,5
0,35—0,7
0,5—0,6
0,85—1
0,7—0,75
0,68
0,3
0,65—0.75
М
0,4—0,55
0,45—0.6
U-1,3
0,4—0,5
0,15—0.3
0,18—0.45
1,9-2,1
2
1.7-1.8
rtfc=r“
,4
0.65—0.85
0,65—0,8
0,7
0,5—0, о
0,65—0,о
9 I 9
—1 a4i
^	3*к.	1169

Сыпучее тело
Объемная
масса
р, т/м*
Угол
пнутрея*
него тре¬
ния ф.
град
81
2 % Я
5=9
и оа
Продолжение табл. 4
Угол трения ф„, град
Материал
руда медная
•
Сахар
Свехлоончиое семя . -
Селитра
Сода кальцинированная
Солод 	  *
Соль поваренная . . .
Спек дробленый . . .
Суглинок мокрый	.	.
* влажный	.	.
» сухой .	.	.
Сульфат аммония	.	.
Торф
Уголь каменный песо
тированный ....
Уголь дробленый . .
.	»	бурый
к Фосфоритная мука . .
Ш Фтористый аммоний
Щ Цемент
В Чечевица
Щ Шлак
Ш Щебень
Г ШгыГ,
Ячмень
1.9
0,7—0,91
0,27—0,3|
0,8-1,1
0,5-1,251
0,32—0.56
0,7-1,31
1,4
2,1
1.9
1,6
0,8—0,91
0,3—0,71
0,95
0,8
|0,6—0,65|
1,3—1,8
0,8—0,9
1,0—1,6
|0,6—0,85|
0,6-1
1 О 9
10,84—0,891
0,43—0,751
50
38
40
35—45
22
30—50
43—50
20-25
15—20
20—40
40
45-50
27—32
35
30—45
40—45
33—40
27—40
25—35
30—50
40—45
34—44
27—45
1
10
100
сталь
дерево
бетон
40—45
—
—
25—35
■' *
1
26
--
27—35
31—36

27—37
19—39

16—40
40—45

30
27

24 33
17—30


24

22—50
17

25—32
17—31
	■
27—36


20—25
18—23
24
ограниченной подвижностью частиц и может сохранять форму лишь
в том случае, если ограничено поверхностями, образующие кото¬
рых — откосы — составляют с горизонтальной плоскостью угол, не
превосходящий определенного предела (рис. 14). Этот предельный
угол р* называется углом естественного откоса, так как свободно
отсыпаемое сыпучее тело принимает форму конуса, образующие ко¬
торого составляют с горизонтом именно этот угол. Сыпучее тело, по¬
мещенное в сосуд, оказывает давление на его стеики относительно
меньшее, чем гидростатическое. Отношение между главными напря¬
жениями сыпучего тела не может превосходить некоторой величины
I.	называемой коэффициентом бокового давления, который, так ж*
как и угол естественного откоса, характеризует подвижность частии
сыпучего тела и зависит от внутреннего трения и сцепления между
его частицами.	^
Для установления зависимости между углом естественного отко¬
са и углом внутреннего трения сыпучего тела рассмотрим какую-
либо часть его весом О, находящуюся на поверхности откоса; крУ'
тизна последнего характеризуется углом естественного откоса Ре
(рис. 15). На выделенную часть сыпучего тела весом G в направ¬
лении откоса действуют две равные и направленные в противопо¬

ложные стороны силы: сдвигающая Q — G sin ре и удерживающая
равная сумме сил трения и сцепления 7пр = G cos р е tg <р -f cF
(F — площадь контакта между рассматриваемой частью сыпучего
тела и откосом). Приравнивая эти силы одну к другой, получаем
G sin р*>=б cos ре tg ф-f cF.
Разделим уравнение на Gcospe:
,gp‘=,g*+^;-	с-39»
Отсюда следует, что угол естественного откоса связного сыпу¬
чего тела больше угла его внутреннего трения у свободной поверх¬
ности. Для несвязного сыпучего тела угол естественного от¬
коса по этому подсчету получается равным углу внутреннего
трения.
П. А. Миняев в 1916 г. на основании опытов пришел к выводу,
что угол естественного откоса равен углу трения лишь для слоев,
лежащих очень близко от свободной поверхности сыпучего тела.
Для слоев, лежащих в глубине сыпучего тела или находящихся под
давлением, угол внутреннего трения больше угла естественного от¬
коса, так как здесь частицы плотно вклиниваются в промежутки
между другими частицами, вследствие чего угол внутреннего трения
больше, чем угол трения скольжения. П. А. Миняев нашел из опыта
для песка средней крупности угол внутреннего трения <р = 39°40',
угол естественного откоса оказался равным рс = 32°. Н. В. Неми¬
лое произвел многочисленные измерения этих углов для рыхлых
песчаных и гравелистых грунтов и нашел, что для них в сухом со¬
стоянии ф = 46°, а ре = 33°.
Основываясь на том, что плотность сыпучего тела у поверхно¬
сти откоса меньше, чем в глубине, М. С. Бернштейн (11] пришел
к выводу, что угол внутреннего трения вблизи откоса должен быть
меньше угла внутреннего трения внутри сыпучего тела, а следова¬
тельно, угол естественного откоса несвязного сыпучего тела должен
ыть меньше угла его внутреннего трения.
П. Н. Платонов [94] предложил следующую приближенную зави¬
симость между углом естественного откоса и углом внутреннего тре-
РИС. IS
35

„ИЯ сыпучего тела:
гас а - некоторая постоянная; К - коэффициент плотности укладки частиц
сыпучего тела: А'т„ и Кт|п - наибольшее и наименьшее возможное значе-
мня этого коэффициента.
Из формулы (1.40) следует, что равенство углов естественного от¬
коса и внутреннего трения сыпучего тела может быть только при
д* д	когда	его плотность наименьшая. А это может быть
только на" поверхности сыпучего тела. Во всех остальных случаях
угол естественного откоса должен быть меньше угла внутреннего
трепня несвязного сыпучего тела.
Однако исходя из того, что при отсыпаиии конуса сыпучего тела
пористость его оказывается не наибольшей, М. Н. Гольдштейн
1311 пришел к противоположному выводу, что угол естественного
откоса песка даже в предельно рыхлом состоянии несколько больше
угла внутреннего трения.
У плотно уложенного сыпучего тела угол естественного откоса
больше, чем у рыхлого. Так, например, М. С. Бернштейном и
А. Г. Нммермаиом установлено, что при объемной массе песка
1,7 т/м3 угол естественного откоса равен 39°, а при объемной мас¬
се 1,45 т/м3, соответствующей более рыхлой структуре, угол есте¬
ственного откоса достигает только 35°.
Наличие двух противоположных точек зрения относительно то¬
го. что больше — угол внутреннего трения или угол естественного
откоса сыпучего тела, свидетельствует о том, что вопрос этот тре¬
бует еще дополнительного исследования.
Необходимо иметь в виду, что величина угла естественного от¬
коса зависит также от высоты откоса и от степени шероховатости
тон поверхности, на которую он осыпается. Таким образом, угол
естественного откоса зависит от ряда факторов п, строго говоря,
не можег рассматриваться в качестве физической постоянной сыпу¬
чего тела.
Для целей же практики можно считать (как это делалось до на¬
стоящего времени), что для сыпучего тела, лишенного сцепления,
угол естественного откоса при отсыпке конуса равен углу внутрен¬
него треиня, а для сыпучего тела, обладающего сцеплением, —
больше угла внутреннего трения.
Опытами установлено, что при сжатии сыпучих тел, когда не¬
возможно боковое расширение, всякое приращение давления на сы¬
пучее тело в одном направлении вызывает пропорциональное увели¬
чение давлении непосредственно сыпучего тела на жесткую стенку
в перпендикулярном направлении. Этот закон выражается таким
уравнением:
=	(1-41)
телiTcxtuKv"rnt'v"р 0 и ^ поди мос на сыпучее тело; рх — давление сыпучего
npcn^nuMonaiKHftrTif пеРпемднкУлярном направлении; £0 — коэффициент
стоянии покоя. * Ы1ваниыЯ коэффициентом бокового давления, в со*
36

После интегрирования выражения (1.41) получим:
Рх = |о Pr+pJ,
(1.42)
где р,-постоянная интегрирования, являющзяся начальным давлением сы¬
пучего тела при его уплотнении. Для рыхлого сыпучего тела р* = 0.
Для различных грунтов опытным путем разными исследователя¬
ми (В. Г. Булычевым, Н. В. Лалетиным, Г. И. Покровским, И. И. Эр¬
лихом, К. Терцаги и др.) по-
	 ТАБЛИЦА	5.	КОЭФФИЦИЕНТЫ
БОКОВОГО ДАВЛЕНИЯ U ДЛЯ ТИПИЧНЫХ
ГРУНТОВ
Г рунты
Коэффициент боко¬
вого давления
для груитов
сухого
влаж¬
ного
насы¬
щенно*
го
Пески
0,4
0,45
0,45
С>глинки ....
0,5
0,55
0,6
Глины
0,6
0,7
0.7
лучены средние значения ко
эффициентов бокового давле¬
ния, приведенные в табл. 5.
Закон, выражаемый урав¬
нением (1.42), может рассмат¬
риваться как обобщение за¬
кона Паскаля. При этом для
жидкости Н0 =1 и рх = 0.
Г. П. Покровский, поль¬
зуясь методами статистиче¬
ской механики, установил
связь между коэффициентом
бокового давления сыпучего
тела, углом его внутреннего трения, величиной сцепления и дав¬
лением, испытываемым сыпучим телом. Эта связь выражается
формулой
%
£ = 1 —0,74 tg <р— 1,52/р2.	>	(1.43)
Для исследования коэффициента бокового давления Ж. Биаре-
зом, М. Орлиаком, X. Реми и Б. Томасом 11471 сконструирована
установка с обоймами разной жесткости, в которую помещали пе¬
сок или условное сыпучее тело в виде шариков. При измерении
бокового давления, вызванного вертикальным давлением, получе¬
ны следующие результаты.
Б случае очень деформируемых обойм коэффициент бокового дав-
очеиь близок к расчетному по формуле, предложенном
In —
1 —sin
1 -f sin ф
B случае очень жестко- обоймы коэффициент бокового давле-
М ^Казывается даже больше, чем по формуле, предложенной
/цаки, £0 = j —sjn ^ л иногда достигает величины с0 —
^	1 *—Sin ф
~~cos qT~- Впрочем ни та, ни другая формула не имеют достаточно
строгого обоснования.
^е°ри" твердых деформируемых тел большую роль играет
Щ (жцнент поперечной деформации или коэффициент Пуассона,
отношение поперечного сужения (расширения) к продольно у
37

удлинению (укорочению) материала. При этом предполагается, что
этот коэффициент является одной из механических постоянных мате¬
риала и не зависит от условий его деформирования или от условий
постановки опыта для определения величины этого коэффициента.
Для несвязных сыпучих тел такое понимание коэффициента Пуас¬
сона лишено физического смысла, т. к. нет возможности их испытать
на растяжение, а работать на сжатие они могут только в усло¬
виях стесненного бокового расширения.
Таким образом, в механике сыпучих тел коэффициент Пуассона
должен рассматриваться в качестве условной величины, связанной
с коэффициентом бокового давления некоторой математической за¬
висимостью. основанной на ряде допущений.
Во-первых, принимается, что образец сыпучего тела, помещенный
в кольцо компрессионного прибора, ведет себя так же, как сплошное
твердое деформируемое тело.
Во-вторых, допускается, что зависимости между напряжениями
н деформациями сыпучего тела подчиняются уравнениям обобщен¬
ного закона Гука, два из которых выражают деформацию бокового
расширения, которая благодаря жесткости кольца может быть при¬
нята равной нулю, т. е.
ех=е1/ = -£- [рх—Но (Pi/+Pz)1=0,
где рх и рх = pv — соответственно вертикальное и боковое давления, испы¬
тываемые образцом сыпучего тела; Е — модуль деформации, который можно
считать величиной постоянной или переменной.
Так как ^ Ф 0, то равно нулю выражение, стоящее в прямоуголь¬
ных скобках. Это позволяет получить
Отсюда
Но _	*
Рх — Ру — . Pi — bo Pi •
1 Mo
И.-Т7Г-	C'44)
1 ~гъ о
Величина бокового давления рх при данном вертикальном дав¬
лении рг может быть найдена измерением.
Совершенно ясно, что при наличии некоторой боковой подвиж¬
ности образца грунта давление рх будет иметь другое значение
так же, как и значения £0 и р0. Поэтому последние две величины
могут относиться только к условиям, когда отсутствует боковое
расширение сыпучего тела. Эго и было подтверждено описанными
опытами.	1 ^
тиые значения коэффициентов Пуассона для различных
л*«иа ml* ^ютветствУЮ1Дие значения коэффициентов бокового дав-
гр> а в состоянии покоя приведены в табл. 6.
S3

Если принять ЧТО 10 =
__ \ — sin ф, то отысканием
соответствующей величины
sin ф легко определить вели¬
чины 1а 11 Иа, которые также
приведены в табл. 6. Этими
величинами естественнее и
пользоваться для расчетов в
тех случаях, когда имеется
возможность бокового расши¬
рения сыпучего тела. ^
Вследствие большой роли пористости и структурных деформа¬
ций значение коэффициента Пуассона ни в какой мере не характе¬
ризует сжимаемость сыпучего тела, т. е. его способности изменять¬
ся в объеме при действии внешних сил. Как известно, твердые
упругопластические тела с коэффициентом поперечной деформации,
близким к 0,25, более сжимаемы, чем те, у которых этот коэффициент
близок к 0,5. Что касается сыпучих тел, то очень часто встречаются
песчаные грунты с совершенно незначительной сжимаемостью при
коэффициенте поперечной деформации 0,25—0,3 и, наоборот, силь¬
но сжимаемые глинистые грунты со значительно большим коэффи¬
циентом поперечной деформации, доходящим до 0,4—0,45. В этом
заключается одна из особенностей сжатия сыпучего тела.
§ 8. РАСЧЕТНЫЕ МОДЕЛИ СЫПУЧИХ ТЕЛ
Для упрощения исследования в механике сыпучих тел, как и
в других разделах механики, прибегают к научной абстракции, т. е.
оперируют не непосредственно материальным объектом, подлежа¬
щим изучению, а его упрощенной схемой или моделью. При этом,
сохраняя основные свойства реального сыпучего тела, отвлекаются
т некоторых его свойств, не играющих существенной роли в изу¬
чаемом явлении или рассматриваемой задаче. Метод абстракции игра¬
ет в механике сыпучих тел весьма важную роль; отвлекаясь от всего
частного, случайного, индивидуального, свойственного различным
сыпучим телам, легче установить общие закономерности, которым
они подчиняются.
Как известно, в механике твердого тела пользуются различными
расчетными моделями: абсолютно твердого тела, упругого тела,
пластического тела и др. В механике жидкостей расчетной моделью
>дст идеальная жидкость.
единственный критерий правильности тех или иных расчетных
моделей сыпучего тела — опыт, практика. Только та расчетная мо¬
дель может считаться верной (т. е. достаточно точно отражающей
и объясняющей явления, происходящие в сыпучих телах), которая
орошо согласуется с действительностью, с наблюдениями.
ир_ настоящее время в механике сьшучнх_тел НСДРДьауf ~
^уые_моделн:, сплошную. (каытииуальну k>X>ji зернистую иДСДР6
39
г рунты	д.
Крупнообломочные 0
Пески . .
Супеси
Суглинки
Глины . .
,27
0,29
0,31
0,37
0,41
0,37
0,41
0,45
0,59
0,7
н
^а
0,19
0,23
0,2
0,26
0,23
0,29
0,29
0,42
0,35
0,54

uvvrt спелы. В качестве основной расчетной модели реального сщту.
чего тела нспол'ьзуют сплошную среду, обладающую способностью
сопротивляться растяжению и.сдвигу только в пределах сил внут¬
реннего трения и сцепления. Такая расчетная модель называется
связной Ш)учсй средой.
Среда, в которой отсутствует сцепление, называется идеально
сыпучей средой или несвязанной сыпучей средой, а среда, в которой
отсутствует внутреннее трение, — идеально пластической.
Другая расчетная модель сыпучего тела — зернистая среда,
т. е. среда, состоящая из соприкасающихся твердых зерен правиль¬
ной формы. Такая среда может быть безраспорной и распорной.
^Взаимодействие зерен подчиняется вероятностным законам.
! Для сыпучих тел может быть еще принят тот или другой закон
\ упругости, что дает возможность решать задачи не только предель¬
ного, но и упругого равновесия.
Преимущество сплошной модели сыпучей среды состоит в том,
что она дает возможность пользоваться понятием о напряжении как
^ интенсивности внутренних сил и применять дифференциальные
уравнения равновесия в той же самой, уже привычной для инженера
форме, в которой они применяются в теории упругости и пластич¬
ности. Использование допущения о сплошности позволяет заменить
все разнообразные сыпучие тела единой расчетной моделью, свойства
которой могут быть охарактеризованы небольшим числом постоян¬
ных. определяемых из опытов, методика проведения которых уже
хорошо отработана.
Однако всех этих доводов в пользу модели сплошной среды было
бы недостаточно для ее обоснования, если бы она не приводила к ре¬
зультатам с приемлемой для практики точностью.
Этот вопрос был исследован еще в 1898 г. Ф. С. Ясинским, ко¬
торый показал, что степень точности определения напряжений на
основе допущения о сплошности составляет
т у Л
где Л — порядок линейных размеров тела, в котором определяются напряже¬
ния; а — порядок линейных размеров элемента тела, сохраняющего еще все
физические свойства данного тела.
Если считать, что расчеты, связанные с сыпучими телами,
должны обеспечить точность порядка 10%	=0,lj	и	наименьшее
'там»1,ню величины а составляет 10аг (где ах —средний размер ча¬
стиц), то гипотезу о сплошности можно применять для сыпучего
тела с размерами не менее
А^ат*^ 10-102 ат==1 000ат.
А -^^ЮОО^м* ^2 ПССКа ПРИ типпчмом размере частиц ят = 2 мм
, м •
,,омн,,ть1 цто в этом подсчете имеются в вндУ
J Р напряжения сжатия, действующие в массиве сыпу*
40
1
*А

чего тела. В действительности же имеются контактные напряжения,
возникающие в точках соприкосновения зерен, которые, как это
указано выше, весьма велики даже при относительно малых сред¬
них напряжениях в массиве сыпучего тела.
Расчетная модель идеальной сыпучей среды весьма хорошо со¬
ответствует действительной природе таких сыпучих тел, как зерно,
мука, крупа, цемент и т. п.
Разнообразные грунты, встречающиеся в природе, по свой¬
ствам далеко не всегда укладываются в рамки одной расчетной моде¬
ли. Критерием применимости той или иной расчетной модели к дан¬
ному грунту следует считать характер его основных связей.
Расчетная модель идеальной сыпучей среды достаточно хорошо
отвечает свойствам песчаных и крупнообломочных грунтов, части¬
цы которых связаны только контактами.
Расчетная модель связной сыпучей среды пригодна для глини¬
стых и суглинистых грунтов в сухом состоянии. Частицы этих грун¬
тов связаны не только контактами, но также и цементирующим ве¬
ществом, обусловливающим сцепление, которое в ряде случаев
может быть принято постоянным.
Модель зернистой среды, позволяющая учесть действительную
гранулометрическую структуру сыпучего тела и изучить поведение
отдельных частиц и их совокупностей на основе принципов стати¬
стической механики, имеет то преимущество, что она свободна от
зaвeдoмo^ феноменологического допущения о сплошности.
С.	A. fop ид (129J справедливо отмечает, что в песчаных, граве¬
листых и галечных грунтах" условие сплошности не выполняется
Даже при малых перемещениях в состоянии устойчивого (непре¬
дельно roJ~ равновесия и что к несвязным грунтам применима теория
напряжении механики сплошной среды, но не применима теория
деформаций.
Однако взамен допущения о сплошности в механике зернистых
сред приходится прибегать к ряду других, относящихся к идеализа¬
ции формы частиц и к условиям их контактирования. Величины не¬
точностей, вносимых этими допущениями, еще не выяснены. Кроме
того, пока еще не существует методики экспериментального опре¬
деления тех постоянных величин, которые характеризуют механи¬
ческие свойства сыпучих тел как дискретной среды.
Поэтому в дальнейшем будем в основном пользоваться лредстав-
ением о сыпучем теле как о сплошной среде и при рассмотрении
го на пряже иного состояния заменять действительные силы, дей¬
ствующие па отдельные его частицы в точках их контакта,
оображаемыми силами, непрерывно распределенными по любому
сечению сыпучего тела.
напряжением сыпучего тела будем называть, как и в теорш*
плошных сред, предел отношения
р=—,	<<•««
и AF
гДе Др усилие, действующее на элементарную площади А/1 ^0.
41

Полное напряжение р раскладывается на нормальное к площадке
а и касательное к ней т.
Лля скальных пород можно пользоваться расчетной моделью
Y п р угбпГили /п р у го пл астнчес ко го твердого тела.
При применении определенной расчетной модели к тому или
другому грунту следует не только исходить из общих свойств этого
грунта* но также учитывать пределы изменения нагрузки и то со¬
стояние, в которое приходит грунт при действии этой нагрузки.
Так,’например, любой грунт, доведенный до состояния предель¬
ного равновесия, соответствующего механическому разрушению
связей, уподобляется сыпучему телу и может быть принят для рас¬
чета в качестве сыпучей среды. И, наоборот, даже песчаный грунт,
находящийся в состоянии допредельного равновесия, может при
известных условиях рассматриваться в качестве упругого тела.
Глава II
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
§ 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
1.	Общий случай пространственной задачи
Рассматриваем элементарный параллелепипед, выделенный
из сыпучей среды (рис. 16), в системе координат х, у, z. Такая си¬
стема в механике сыпучих тел оказывается наиболее удобной, так
как при расположении начала координат на поверхности сыпучей
среды ось z направляется в глубь ее и совпадает с направлением си¬
лы тяжести.
Нормальные напряжения обозначаются буквой а с одним ин¬
дексом, показывающим, какой оси координат перпендикулярна та
площадка, на которую действует нормальное напряжение. В то же
время индекс показывает, какой оси параллельно это напряжение.
Касательные напряжения обозначаются буквой т с двумя индексами.
Первый нз них указывает, какой оси перпендикулярна площадка,
по которой действует касательное напряжение, а второй — какой
оси параллельно это напряжение. Так, ткг обозначает касательное
напряжение, действующее по площадке, перпендикулярной оси х,
и направленное параллельно оси г.
Нормальные напряжения считаются положительными при сжа¬
тии и отрицательными при растяжении. Касательное напряжение
считается положительным, если оно совпадает с направлением оси
и если при этом направление сжимающего напряжения по той же
площадке совпадает с положительным направлением соответствую'
щей оси.	v
сжимающее напряжение направлено противоположно
и,пГ-“Му напРавле,,ию оси, то положительное касательное
Р	направлено	в	сторону,	обратную направлению осн.
42

Положительные направления напряжений, действующих на вы¬
деленный из сыпучего тела элементарный параллелепипед, показа¬
ны на рис. 16. Эти напряжения заменяют действие на выделенный
параллелепипед отброшенных масс сыпучей среды и при переходе
от левой грани к правой, от задней к передней и от верхней к ниж¬
ней получают приращения, представляющие собой функции коор¬
динат х, у и г. При переходе от левой стороны параллелепипеда
к правой нормальное напряжение ах, являющееся функцией коорди¬
нат х, у и z, изменяется только в зависимости от изменения коорди¬
наты 'х на величину dx и на правой грани становится равным ох -f
_l О?* dx где — частная производная ох по х. Точно также
' дх	о*
устанавливаются приращения нормальных напряжений оу и az
и касательных ххуу хухУ тХ2, тгх, хуг и т2у.
Кроме напряжений, действующих по его граням, на выделенный
элементарный параллелепипед действует еще объемная сила тяже¬
сти, приложенная в его центре тяжести и равная ydx dtj dzy
где’ у = pg — объемная масса р сыпучей среды, умноженная
на g = 9,81 « 10 м/с2.
Для выделенного элементарного параллелепипеда можно соста¬
вить шесть уравнений равновесия:
2Х = 0; 2У = 0; XZ = 0j )
2мх=о; ту=о* тг=о. J
(2.1)
Из трех последних, составленных в виде уравнений моментов
всех сил относительно осей координат, проходящих через центр
дб,
е> <,
/
/ дг
t . ,
*1 дУ
tJLdl''
РИС. 16
43

тяжести параллелепипеда, после приведения подобных членов и от-
брасывання бесконечно малых третьего порядка получаем:
Tj,1=Trj,; Тгх = Т хг\ Тху=ТуХ.	(2*2)
В этом заключается известное из сопротивления материалов
свойство парности или взаимности касательных напряжении, поз¬
воляющее менять порядок индексов у т.
Из первых трех уравнений (2.1) после приведения подобных
членов и использования соотношений (2.2) получаем три дифферен¬
циальных уравнения равновесия:
дах д^ху I
дх	ду	дг
+ = . (2 3)
дх	ду	дг	1
dTrx I	dtyz . дог
дх^ду	дг ~У‘
Полненные уравнения (2.3) содержат шесть неизвестных функ¬
ции: <тх, оу, <jz, rXJ/, туг, и т 2Х. Для нахождения этих функций не¬
обходимо составить еще три уравнения, связывающие напряжения
сыпучего тела.
Если перемещения всех точек тела должны быть непрерывными
функциями координат, т. е. если любая прямая, мысленно выделен¬
ная внутри тела, не должна иметь после деформации переломов или
уступов, то этим недостающим уравнением будет уравнение нераз¬
рывности деформаций, в котором деформации выражены через на¬
пряжения посредством физической зависимости. Неразрывность
деформаций не следует отождествлять со сплошностью тела, ибо
последнее свойство характеризует лишь отсутствие в нем пустот.
Сплошность тела и неразрывность деформаций часто сопутствуют
одно другому, но можно привести примеры, когда тело допустимо
считать сплошным, а его деформации нельзя принять неразрывными,
и наоборот. Так, например, дисперсное тело типа губки не может
считаться сплошным, но перемещения его точек—непрерывные
функции координат, следовательно, неразрывны. С другой стороны,
жидкость может рассматриваться как сплошное тело, но перемеще¬
ния ее частиц могут и не быть непрерывными функциями координат.
Являясь достаточно верным для твердых тел в упругой стадии их
работы, условие неразрывности деформации в большинстве случаев
ис выполняется в сыпучих телах, деформации которых в основном
структурного характера. Кроме того, некоторые растягивающие
и касательные напряжения могут достигнуть предела прочности
сыпучего тела. Поэтому, применяя решения классической теории
упругости к сыпучим телам, нужно отдавать себе отчет в том, что эти
решения далеко не всегда дают правильное представление о дейст¬
вительных напряжениях и перемещениях сыпучего тела.
44

Изучение сыпучего тела в состоянии упругого равновесия на
основе нелинейного закона упругости с учетом структурных де¬
формаций представляет собой, как это уже указывалось, весьма
сложную задачу. Эту задачу обычно заменяют более простой в ко¬
торой деформации совершенно не рассматриваются, а напряженное
состояние принимается таким, какое бывает в начальный момент
движения сыпучего тела, и характеризуется тем, что в каждой точ¬
ке сыпучего тела возникает сдвиг. Такое напряженное состояние
сыпучего тела называется предельным.
2.	Плоская задача
В случае плоской деформации сыпучей среды, т. е. для такого со¬
стояния, когда все ее точки могут перемещаться только в двух на¬
правлениях, или, иначе говоря, в одной плоскости xOz, а напря¬
жения — в направлении, перпендикулярном этой плоскости, не
изменяются, координату у из рассмотрения исключаем. Для этого
сторону параллелепипеда в направлении оси принимаем равной
единице. Для полученной таким образом элементарной призмы из
трех уравнений равновесия (2Х = 0; 2Z = 0; ZM = 0) получа¬
ются два дифференциальных уравнения равновесия:
dvx , дтхт Л doz t дххг
_|___=0; ——= у.	(2.4)
дх дг	дг	дх
Кроме того, из условия, что относительная деформация в направ¬
лении оси у отсутствует, можно найти
(2.5)
где Но — коэффициент Пуассона, связанный с коэффициентом бокового дав¬
ления £0 условной зависимостью (1.44).
> .V Дифференциальные уравнения (2.4) содержат три неизвестные
функции ах, а2 и тхг, для определения которых достаточно соста¬
вить еще одно уравнение, связывающее напряжения сыпучей среды.
3.	Осесимметричная задача
Осесимметричную задачу удобнее всего рассматривать в цилин¬
дрических координатах z и г; ось 2, являющаяся осью симметрии,
направляется вниз.
Двумя меридиональными плоскостями, двумя цилиндрическими
поверхностями и двумя плоскостями, перпендикулярными .оси г,
«3 сыпучего тела выделяется бесконечно малый объем (рис. 17).
1к)бая меридиональная плоскость zOr есть плоскость симметрии,
поэтому касательные напряжения в меридиональных плоскостях
равны нулю. Любая площадка, совпадающая с меридиональной
плоскостью, будет главной площадкой. Главное напряжение <?*.
Действующее по этой площадке, обозначается <Je; налряженяе*

действующее по площадке цилиндрической поверхности, обозна¬
чается стг.
Проектируя на оси z и г все силы, действующие на элементарный
объем, получаем после преобразовании и сокращений два дифферен¬
циальных уравнения равновесия:
В этих двух уравнениях содержатся четыре неизвестные функции
о., стг, со и тгх, поэтому необходимо составить еще два дополнитель¬
ных уравнения.
§ 10. НАПРЯЖЕНИЯ ПО НАКЛОННЫМ ПЛОЩАДКАМ
К Пространственная задача
Чтобы подойти к изучению предельного напряженного состоя¬
ния сыпучего тела, рассмотрим напряжения, возникающие по на¬
клонным площадкам любого сплошного тела.
Для площадки, наклонной по отношению к граням элементар¬
ного параллелепипеда и имеющей нормаль v (рис. 18), составляю-
щие напряжений, параллель-
(2.6)
даг дх rz	gr—q е
г <1
ные координатным осям, вы¬
ражаются следующими фор¬
мулами:
где / = cos (дг, о); т — cos (у,
i>); п = cos (г,	о) — направля¬
ющие косинусы.

Полное напряжение, действующее по рассматриваемой наклон
ной площадке, выражается так:
Pjv+pjv-	(2.8)
Нормальное напряжение по наклонной площадке
ov = oxl*+oy m*-\-oz п?-\-2тху lm-\-2xytmn-\-2xzxnl.	(2.9)
Касательное напряжение по той же площадке
Т=]/Р?”-Ст?*	(2.10)
Через каждую точку напряженного тела всегда можно провести
три взаимно перпендикулярные плоскости, по которым касательные
напряжения	отсутствуют,	а нормальные	имеют
экстремальные значения (максимум, минимакс и минимум). Такие
плоскости называются главными плоицадками, а действующие по
ним нормальные напряжения — главными нормальными напряже¬
ниями. Последние определяют решением кубического уравнения
с тремя действительными корнями:
(J3 —О2 (ахТ-аи + az)4-° (°Х	ffz-j-tfz CTjc —(°х Gy ^z4*
-}-2тху Туг тгх—(Ух хгуг—ау т\х—аг х\у) = 0.	(2.11)
При этом
^1 + а2 + &3 = Gx + Пу -|- Oz = Зстср,
где аср — среднее нормальное напряжение в данной точке.
По трем парам площадок, делящим пополам двугранные углы
между главными площадками, действуют такие главные касательные
напряжения:
i2 i —~— ;
. ст2 —
Т23 = ±	“
03—0j
Т31	±	“
(2.12)
Наибольшим из них по абсолютной величине будет касательное
мен^ЯЖеНИе Тз1’ котоРое равно полуразности наибольшего н наи-
ьшего главных нормальных напряжений.
наз	ыРе площадки, равно наклоненные к главным плоскостям,
ываются октаэдрическими. Направляющие косинусы для этих
площадок I т — п ~ —у- ~о,578 н соответствуют углу 54°44'.
жае^г°ЛН°е иапРяжение по каждой октаэдрической площадке выра-
ся через главные нормальные напряжения формулой
Рокт=\/~a|).	<2-13>
47

Нормальное к касательное напряжения по той же площадке:
а0кт =	(Щ-Ь°2+а3) — аср;
(2.14)
*©*т
9
= —У(Щ-а*)> + (а3— а3)2+(о3 — о{р=■— Ух*, +т£з +'*1х . (2.15)
Кроме того, в теории пластичности находит применение еще одна
величина, назьшаемая приведенным или обобщенным напряжением
I	     з
oi= у- V(ai— a2)2+(aa—a3)2-f (a3—ai.)2 —	t0Kx.
(2.16) 1
2.	Плоская и осесимметричная задачи
Рассматривая плоское деформированное состояние сыпучей
среды, будем считать, что ау = ст2 — промежуточное по величине
главное напряжение (рис. 19). В этом случае из трех уравнений
(2.7) остаются два:	ж	•	j
(2.17)
Кубическое уравнение (2.11) переходит в квадратное, из решения
которого находят следующие выражения для главных напряжений:
Ox~hoz t 1 ^ г— _ —	—
ст1,я= “	±	~	у (ох—az)2-f-4T
2
XZ
2 2
Направления главных площадок находят из уравнения
2т*г
(2.18)
tg 2а=
От —о
(2.19)
zx
д*
С
dx
*4
1
,—.
* *г* 7
i
РИС. 19
d +
"О,
*1
^+drnQ!C
М. А
2 °тах
РИС. 20

Главные касательные напряжения действуют по площадкам»
составляющим с гл а в н ыми площадками углы 45°, и выража юте я
формулоиГ
'—'	~	ai—а3 1 г
*13 = —2—=Т У (0Гзс~а^2 + 4т«-	(2.20)
При совмещении координатных ссей z их соответственно с на¬
правлениями главных напряжений оА и о3 нормальное и касатель¬
ное напряжения по площадке» наклоненной под углом а к оси о8,
выражаются формулами^
о = <Ji cos2 a-f a8 sin2 a;
_	— стз . „	) I	(2.21)
t=  —sin 2a.	11
Угол 6 между направлением полного напряжения р, действую¬
щего по данной площадке, и нормалью к ней называется углом
отклонения.
Угол отклонения считается положительным, если он отсчиты¬
вается против часовой стрелки от нормали к площадке:
tg6= —.	(2.22)
a
Подставив вместо о и т их выражения по формулам (2.20) и раз¬
делив числитель и знаменатель на cos2 а, получим
.с (ai—a3) tg a
igo = —; гг*	(2.23)
+ tg2a
Для нахождения наибольшего значения угла отклонения при¬
равняем нулю производную от этого выражения по а.
Получим уравнение
fai—°э) (стз—<Ti tg2 a)
cos2 a (<тз -f oi tg3 a)2
= 0,
которого следует, что a3 — a, tg2 a = 0, так как множитель
 °i — аа
cos* a(c34-0ltg2 а)з не равен нулю.
жен^ЮАа ^Г0Л наклона площадки к направлению главных напря-
ии, соответствующий наибольшему углу отклонения, опреде-
ляется формулой
иМе^1'0т РезУльтат показывает, что в каждой точке сплошного тела
Расн*10*1 АВе ПЛ°ВДДКИ с наибольшим углом отклонения, которые
иаппяЛ0ЖеН"Ы симметРИЧН0 относительно направлений главных
стпп!ч,ЖеН/Н“ и наклонены к ним под одним и тем же углом в разные
°Р°ны (рис. 20).
49

К
Наибольший угол отклонения получим, подставив найденное
значение tg а в выражение (2М):
*«w=±2f=|-	(2'25)
После ряда преобразований из этого выражения получим
a,	lTsinfimmJ JL гг is"»».)	(2.26)
ТГ'±»»ью7х g \4	2 ■
ЧЛЧ	ет	ГГ
S'	(2'27)
Верхние знаки в этих выражениях соответствуют так называе¬
мому активному или минимальному напряженному состоянию,
а нижние — пассивному или максимальному.
^ Сопоставляя формулы (2.24) и (2.25), получим
(2.28)
Отсюда следует, что площадки с наибольшими углами отклоне¬
ния составляют один по отношению к другим углы, равные ± 6 max
(рис. 20).
Главные напряжения могут быть выражены в зависимости от
наибольшего угла отклонения следующими формулами:
<*1,3 — <*ср 0	i s,n бщах)»	(2.29)
где
oi Н~ °з стг -Г о.т
~2~=3~2~-
В случае осесимметричном деформации в каждой точке сыпучей
среды также имеются две площадки скольжения, проходящие через
направление главного напряжения oq и составляющие с направле¬
нием бблыиего главного напряжения сг2 углы =Ь 	2
Отметим, что формулы этого параграфа, так же как и формулы
§9, справедливы для любого тела, которое рассматривается в ка¬
честве сплошного, и не отражают специфических особенностей
сыпучего тела.
i
'max
§ 11. УСЛОВИЯ ПРОЧНОСТИ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
Так же, как и в механике твердых тел, в механике сыпучих
должен быть установлен критерий для характеристики напряжен¬
ного состояния, при котором происходит разрушение или наступает
тек)честь. Такой критерий позволяет использовать результаты про¬
стого эксперимента для оценки прочности сыпучего тела, находя¬
щегося в сложном напряженном состоянии. С другой стороны, этот
50

„тевий должен дать возможность составить дополнительные урав-
иЯ которые в сочетании с дифференциальными уравнениями
вновесия позволят определить неизвестные функции'нормальных
^касательных напряжении для построения полей напряжений в сы¬
пучем теле.
1у ТаК Как_зхлдМя_Еа£жтесия ^рассматриваются в совокупности
ктс^ЭУ!ШЩМ-ЛШВДел прочности сыпучего тел а,
^^р^Тпостроенную на этой основе, наз~ывают~га>орщ?ц предель-
равновесия\
1.	Условие прочности Кулона — Мора
В твердом теле до наступления текучести наибольший угол от¬
клонения ничем не ограничен и определяется, как это следует из
формул (2.25) или (2.27), только соотношением между главными на¬
пряжениями. Для равновесия же сыпучего тела необходимо, чтобы
сдвигающая сила была меньше суммы сил внутреннего трения и
-.цепления.
В состоянии предельного равновесия, т. е. в состоянии, не-
лосредственно предшествующем сдвигу, должно удовлетворяться
равенство (1.33).
Приняв для сыпучей среды допущение о сплошности, можно
написать условие предельного равновесия сыпучего тела в точке
в форме напряжений
| т | = atg ф-f c = a' tg <г,	(2.30)
где |т| — абсолютная величина касательной составляющей напряжения;
о — нормальное напряжение; (р — угол внутреннего трения; с — удельное
сцепление; а' — приведенное нормальное напряжение.
Его можно рассматривать как равнодействующую денствитель-
с
ного напряжения и нормального сжимающего напряжения сг0 =
которое называется давлением связности.
Зная действительное нормальнее напряжение по какой-либо
площадке, можно найти приведенное напряжение и, наоборот, по
известному значению приведенного напряжения можно найти на¬
пряжение действительное. В первом случае к действительному на¬
пряжению нужно прибавить давление связности, а во втором —
из приведенного напряжения вычесть давление связности.
состоянии предельного равновесия наибольший угол откло¬
няя равен углу внутреннего трения, т. е.
ihnn^CA0/Br?TejIbII°* для случая плоской деформации на основании
Ч»Рмул (2.26) н (2.27) можно написать:

1
или
(2.33)
Входящие в эти выражения о[ и оз определяются формулами:
где а, и ств — главные напряжения без учета давления связности.
Подставляя эти величины в выражение (2.32) вместо а[ и cj,
получаем для случая ст, > <т3 условие прочности Кулона— Мора
Выражая главные напряжения через составляющие полного
напряжения с помощью формул (2.18), получаем условие предель¬
ного равновесия для связного сыпучего тела в такой форме:
* (oz— 0*)а+4tJz = si п* <р (стг -f о*+2<т0)2.	(2.34)
%
Уравнение предельного равновесия для идеально сыпучего тела
получим, приняв в уравнении (2.34), с = 0:
Когда нет внутреннего трения ((р = 0), уравнение (2.34) пере¬
ходит в условие пластичности Сен-Венана—Треска:
Состояние предельного равновесия в данной точке сыпучего те¬
ла наступает на тех двух площадках, проходящих через эту точку,
которые соответствуют наибольшему углу отклонения бтах = ф-
Как указывалось выше, эти площадки расположены симме¬
трично по отношению к направлению действия главных напряжений
(с учетом давления связности) в данной точке и составляют один
с другим углы ^ ± ф. Они будут площадками скольжения. Если
л»
во всех точках сыпучего те-та, образующих некоторую поверхность,
наступает состояние предельного равновесия, то эта поверхность
называется поверхностью скольжения. При этом весь объем, огра¬
ниченный этой поверхностью и отделенный ею от остальной части
сыпучего тела, будет находиться в состоянии предельного равно¬
весия.
Если же состояние предельного равновесия наступает во всех
точках какого-либо объема сыпучего тела, то такое состояние буде>*
называть (пользуясь терминологией С. С. Голушкевича) предель-
ным напряженным состоянием. При этом в данном объеме сыпучего
тела возникает бесчисленное множество поверхностей скольжения.
о[ = cti-fст0 и = сгз-Ь ао •
0\ — а3
sm ф= —;	•
о1"Ьаз"Ь2а0
(2.35)
(2.36)

Подставив в выражения (2.25), (2.26), (2.27), (2.28) и (2.29)
вместо величины угла 6та, угол ф, получим для состояния предель-
ного равновесия следующие формулы:
Ид 1 ч- sin ф
0i 1 ± sin
1П Ф 1 « /' л Ф \
^=‘еЧттт):	<2-26')
01 — 03
S,n<P = ±^7;	(2-27')
а=±(7-Т-|);	(2.28')
01,3= 0ср (1 ± Sin ф).	(2.29')
В каждой точке любого плоскодеформированного тела, в том чис¬
ле и сыпучей среды, касательные напряжения достигают своего наи¬
большего	значения	по	площадкам, составляющим	с	главными пло¬
щадками	углы,	равные В твердых телах	по	этим	площадкам
может произойти сдвиг, если касательные напряжения превзойдут
определенный предел. Всыпучих же телах, где сопротивление сдвн-
ПУ-0пределяется не только величиной сцеплеаия, но и величиной
действующего по данной площадке дю^мальНого сжимающего на -
уважения, опасными в отношении сдвига будут не те площадки,
по которым действуют наибольшие по абсолютной величине каса-
1 Т|
тельные, напряжения, а те, для которых отношение1-^-, являюще-
еся,тангенсом уг./та отклонения приведенного напряжения (с учетом
^аКп^ния ~сШптбстТГР~Nia.Trrr о к ажетСЯ На ибо,ТЕшим. Сдви г
произойдет" й'том случае, если у тсаз аТГшТГугтят ДбстйгнеТ вел и ч ш! ы
угла внутреннего трения. При этом площадки скольжения будут
иметь определенные углы наклона к линиям действия главных на¬
пряжений, равные:	j — £ и а3 — ^ -f
Переходя непрерывно от одной точки сыпучего тела к другой
и находя каждый раз направления главных нормальных напряже¬
ний и площадок скольжения, получим две сетки кривых. Каждая из
них состоит из двух систем линий, касательные к которым совпадают
для одной сетки с направлением главных нормальных напряжений
в данной точке, а для другой — с направлением площадок скольже¬
ния.
Линии первой сетки называются траекториями главных напря¬
жений\ а второй — линиями скольжения. Расположение траектории
главных напряжений 1—1 и 2—2, а также линии скольжения 3—3
и 4—t в окрестности некоторой точки сыпучего тела показано на
рис. 21.
S3

*ГбтаХ
Для осесимметричной задачи урав.
нение предельного равновесия, осно¬
ванное на гипотезе Кулона—Мора,
приводится к следующему виду:
1 (2.37)
COS ф
at—а3	ffx-f-стз
—I	tg ф —ГГ =с*
В случае плоской задачи выполне¬
ние этого условия оказывается доста¬
точным для наступления предельного
напряженного состояния в точке сы¬
пучей среды. В случае осесимметрич¬
ной деформации необходимо, чтобы
было выполнено еще одно из двух
условий:
cos ф	2
1	О2—Оз
COS ф
2
— tg ф  ——с.
(2.38)
Одновременное выполнение всех трех условий возможно лишь
в том случае, когда все три главные напряжения постоянны и равны.
При осесимметричной деформации по направлению от оси г
ое = ст2 = сг3, а при деформации к оси z а о = сг2 =
Условие прочности Кулона—Мора имеет тот недостаток, что оно
не учитывает влияние среднего по величине главного напряжения.
Эго влияние для связных сыпучих тел незначительно, а для идеаль¬
ных сыпучих тел значения их прочностных характеристик зависят
от вида напряженного состояния при испытаниях. В исследованиях
влияния среднего главного напряжения М. В. Малышев [84] уста¬
новил, что условием прочности Кулона—Мора можно пользоваться,
если принять для расчетов такие величины <р и с> которые были
определены при том же виде напряженного состояния.
2. Условие прочности Мизеса — Боткина
Более общим критерием прочности следует считать энергетиче¬
скую гипотезу Р. Мизеса, согласно которой разрушение материала
наступает тогда, когда удельная энергия, затраченная на изменение
формы тела, достигает определенной величины.
Этот критерии для твердых деформируемых тел выражается
уравнением
(<т, - O’,)»+(or,—Ста)2+(<Ji—ст3)==2*2,	(2.39)
где к — постоянная пеличинл.

Этот же критерий может быть выражен через наибольшее окта¬
эдрическое касательное напряжение уравнением
*У2
окт ^	 (2.40)
Применительно к сыпучим телам этот критерий представлен
А. И. Боткиным и А. С. Строгановым [117] в таком виде:
ai = aCptgo)-f с.	(2.41)
Здесь Oi и аср выражаются формулами (2.16) и (2.14), а значе¬
ние со будет характеристикой прочности сыпучего тела и опреде¬
ляется из опыта, но в отличие от угла внутреннего трения ф пара¬
метр со зависит от всех трех главных напряжений.
Результаты опытов Ф. М. Шихнева и В. В. Ковтуна, проведенных
на трехосном приборе с кварцевым песком, насыщенным водой, по¬
зволили сравнить параметры ф и со при осесимметричной и плоской
деформациях. При этом в первом случае найдено со = 25° иф = 36',
а во втором со = 28° и ср = 40°. Таким образом, прочность песка
оказалась выше в условиях плоской деформации по сравнению с
осесимметричной.
Анализируя результаты своих экспериментов, М. В. Малышев
[84] пришел к выводу, что гипотеза прочности Р. Мизеса —
А.	И. Боткина в применении к песчаным грунтам опытами не под¬
тверждается. Исходя из несовпадаемости идеальных, принятых
в теории предельного равновесия, и реальных площадок скольже¬
ния в зернистой среде им предложено такое условие прочности,
учитывающее влияние среднего по величине главного напряжения
о2 и являющееся обобщением условия прочности О. Мора:
Ol — Q3	^ 1	(1	X)	(<?!	(Тд)	(<Т2	Од)
(cTi+a3-f-2a0) sin ф= Y (СЦ—a3)(a!-f a3-f2o0) sin ф
где
, sin	sin	26i
к=^бГ;Х=1^Г‘
и 62 — углы отклонения соответствующих полных напряжений от норма¬
лей к главным площадкам.
При X = У = 1, т. е. для наиболее рыхлого сложения среды,
выражение (2.42) превращается в условие прочности Мора.
При плоском деформированном состоянии, когда ст2 =
— М- (<*1 + сг3), из (2.42) получается такое условие прочности:
Pi —q3	_ 1	[(1 —M)ai —1^з1 [Hqi —(1 —м)а.з1 (2 43)
(gi + a3 + 2a0)	)'	}	(oi—а3) (^ + 03 + 2^) sin ф
где р — коэффициент Пуассона.
55

В целях упрощения М. В. Малышевым предложен вариант ли
неарнзации условия (2.42) на двух участках:
1
1
о9 <яг< — (oi-f-оз) н — (Ох + аз) < а2 < cfi.
»
В пространстве о1э а2, а3 условие прочности (2.42) представляет,
ся шестиугольной пирамидой с криволинейными гранями, которые
при б1 = О становятся плоскими; условие же прочности Мизеса—
Боткина изображается конусом.
На октаэдрической плоскости условие (2.42) представляется
шестиугольником с криволинейными сторонами, условие Мора —
шестиугольником с прямолинейными сторонами, а условие Ми¬
зеса—Боткина — окружностью или эллипсом.
1
$ 12 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПРЕДЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕННОГО
СОСТОЯНИЯ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
1.	Плоская задача
Полагая в правых частях формул (2.17) а,
= О, получаем после ряда преобразований:
<7i -fa3	о\ -f- (Тз	1
ях —			—	  cos	2а;
а1+ст3 , СГ1—(7з
яг —	    —	cos	2а;
t	В
CTi — (Jo
T.tz — ’ ^— sin 2а.
Вводим обозначения
о=
°i—я*
2 sin ф *
тогда
ai 4- я3
= о—оп.
2 -
Согласно рис. 22
откуда
Р = а+ ——2_,
4	2	’
2“+4=2Р+ф
И
РИС. 22
56
cos 2а = sin (2p~f- ф);
sin 2а=—cos (2р4-ф).
(2.44)
(2.45)
(2.46)

ч„мП^нсаВ22)ВЫРаЖеНИЯ (2'45) ” (2 46) В уРаВнение (2.44) полу-
oz=a [1 + sin <psin (2p-f ф)]~а0;
<J* = o[l-sin9sin(2p+^)]_0(li ,	(
TXZ——crsin фС05 (2Р4-ф).	j
Величина о называется характеристикой напряжений
Подставляем выражения (2.47) в дифференциальные уравнения
равновесия (2.4). После ряда преобразований получаем систему
двух уравнений с двумя неизвестными функциями а и Р:
[■
да „ да 1
—cosP-j-— sin р|-|-2ст tg ф
аГео,|И ах
—sin pi = Х£21Ш±21
COS ф
да	да
sin (Р + ф) — соэф + ф)
дг
дх
с°5(р+Ф)
Г д&
~ 2а te 91 ~дГ Sin (Р+<р)~
у sin р
cos ф
(2.48)
Решением этой системы уравнений, полученной В. В. Соколов¬
ским, являются некоторые функции ст (г, х) и р (z, х) с непрерывными
частными производными в некоторой замкнутой области сыпучего
тела. Графики этих функций называются характеристиками.
Характеристики совпадают с линиями скольжения, так как и те,
и другие имеют одинаковые углы наклона к оси z.
Для получения уравнений характеристик нужно найти произ¬
водные от a по z и ,v и приравнять одновременно нулю числитель
и знаменатель каждой производной. В результате получаются два
уравнения, называемые дифференциальными уравнениями харак¬
теристик:
dx
dz
cos р
dz
sin p
dx
(2.49)
sin (P “I- ф) cos (P"b ф)
Первое уравнение определяет первое семейство линии скольже¬
ния, а второе — второе семейство линий скольжения. На рис. 22
направление линий скольжения показано линиями / и 2. Касатель¬
ные к линиям скольжения первого семейства наклонены к оси z
под углом р, а касательные к линиям скольжения второго семейст¬
ва — под углом р — ^ + Ф*
Общими интегралами дифференциальных уравнений (2.49) будут
соответственно уравнения первого и второго семейств характери-
стнк:
^ (г r) = const и В (г, x)=const.

Тогда уравнения (2.49) можно представить в следующем виДе:
cosp-f-r" sin Р=0;
д:	дх
— sin (Р + ф)-4р-cos(p + <F) = °-
дг	ох
(2.50)
Гнетема четырех уравнений (2.48) и (2.49), называемая основ-
ной, с помощью формул преобразования приводится к канониче-
с ко и форме:
дх 0 дг .
— cosp—— sm Р=°;
дВ	дВ
дх
дг
sin (Р +<P) + ^J cos (P + Ф)^0'*
ад
iL , 2atga, JL + Tco»(P±3!)-gL=o;
dB + 2 atgq> dB + cQs ^ cQs p dB
да	ар	-
—— — 2aigq —rr~\-
dA
у sin p
dz
dA cos cp sin (р+ф) dA
= 0.
(2.51)
Решение этой системы дифференциальных уравнении в частных
производных гиперболического типа обычно выполняется прибли¬
женным методом. Отыскание неизвестных функций заменяется опре¬
делением величин х, zy а и р в конечном числе узловых точек некото¬
рой сетки характеристик, причем вычисления ведутся в табличной
форме.
Если у производных а по z или х знаменатель обращается
в нуль, а чиститель отличен от нуля, то вместо характеристик, соот¬
ветствующих линиям скольжения, будут получаться так называемые
линии разрыва, на которых величины производных напряжений
обращаются в бесконечность. Линии разрыва соответствуют скачко¬
образным изменениям составляющих напряжений в сыпучей среде,
пришедшей в состояние предельного равновесия, но в которой име¬
ются области, находящиеся в состоянии упругого равновесия.
Линин разрыва могут либо совпадать с линиями скольжения,
либо являться их огибающими.
В.	В. Соколовский, пользуясь выведенными им дифференциаль¬
ными уравнениями, дал решение ряда плоских задач предельного
равновесия механики сыпучих тел. Из них отметим следующие:
распределение напряжений в сыпучей среде; прочность оснований
под нагрузкой; определение активного и пассивного давления сы¬
пучего тела на подпорные стены; определение давления сыпучего
тела, заключенного между параллельными стенками; устойчивость
откосов.
Для многих частных случаев В. В. Соколовский получил зам¬
кнутые строгие в математическом смысле решения, а для всех ос¬
тальных случаев дал общий приближенный метод решения, осно¬
ванный на построении сетки характеристик по способу Массо.
\

Взамен численного метода решен™
сия сыпучей среды С. С. Голушкевич Г2чГДаЧ Предельного равно
графический „его. не toee
2.	Осесимметричная задача
В_этом случае составляющие напряжения т
посредством величины а =	е	опРеделяЮТся
выражениями, аналогичными вьйени'ям^.^ ? С1еДующим"
Or
Oz
Т rz
а0
а [1 -J-sin ф sin (2р + ф)]
а [1—sin ф sin (2р — ф)]
— а sin ф cos (2р-|-ф);
а (1 sin ф)—а0.
о0\
а0;
(2.52)
В последней формуле знак минус соответствует деформации сы¬
пучего тела, направленной от оси г, а знак плюс — деформации,
направленной к оси z.
Подставив составляющие напряжений в дифференциальные урав¬
нения равновесия, В. Г. Березанцев получил следующие дифферен¬
циальные уравнения предельного равновесия:
да о , до
cos р+ —— sin р
дг
дг
ар
ар
+ 2atgq>( -^7- cosP+ 77-sinpl-f-
дг
О „	1	-+-	sin	ф
+ — [sin (Р + Ф) ± cos PI tg ф	=у
r	cos	ф
дг
sin (Р + ф)
да	до
— sin (р + ф)—— cos (Р + Ф)
or	ог
cos <р
sin (Р+<г)—
ар
~"aTC0s^"l'tp)
о	п	1 =F sin ш cos Р
+ — [sin (Р + Ф) ± cos /3] tg Р —— = V
cos ф
cos ф
(2.53)
Решение этой системы уравнений дает выражение первого и вто
рого семейств линий скольжения:
А (г, г) = const и В (г, г) = const.
Система уравнений (2.53), так же как и аналогичная система
(2.48), может быть приведена к каноническому виду. Решение ее
может быть получено для ряда частных случаев в замкнутой фор¬
ме, а в общем случае путем построения сетки характеристик, являю¬
щихся линиями скольжения.
Если рассматривать некоторую область сыпучего тела, находя¬
щуюся в предельном напряженном состоянии, и геометрически по¬
добную ей модель, линейные размеры которых уменьшены в N раз,
то в подобно расположенных точках области и ее модели напряжения
59

будут подобными. Т. е. уменьшенными в N раз при одинаковых зНа.
чевиях	с	yl
„е 0 _ негмальные напряжения; I - линейные размеры.
Foih линейные размеры модели уменьшены в N раз, то в подоб-
НО расположенных точках модели области напряжения будут
совпадать, если объемный вес модели будет увеличен в N раз.
$ 13. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
В механике сыпучих тел, как же как и в механике твердых упру-
гопластнческих тел, наряду с аналитическими методами решения
задач еще применяют и графические. Рассмотрим основные графиче¬
ские способы изебражения напряженного состояния сыпучего тела.
1.	Круговой график напряжений (круг Мора)
Вычисление напряжений, действующих по наклонным площад¬
кам в какой-либо точке, с помощью формул (2.21) может быть заме¬
нено следующим графическим построением.
В системе прямоугольных координат а и т (рис. 23) на оси а
в избранном масштабе напряжений откладываются отрезки О А и
ОВ, изображающие величины главных напряжений и сг3.
На отрезке АВЛ равном разности и а3 как на диаметре, строят
окружность. Для нахождения нормального и касательного напря¬
жений оа и та, действующих по площадке, нормаль к которой со¬
ставляет с большим главным напряжением сгх угол а, нужно постро¬
ить при центре С центральный угол 2а (или угол а при точке В),
откладывая его в случае положительного значения против часовой
стрелки. Точка D, лежащая на окружности, соответствует данной
площадке, а ее координаты — нормальному и касательному напря¬
жениям о* и та. Угол отклонения б, определяемый условием (2.22),
выражается на чертеже углом, образуемым с осью а секущей ОД.
При наличии сцепления к главным напряжениям должно быть
прибавлено давление связности сг0, что равносильно переносу на¬
чала координат из точки О в точку О'. При этом главные напряжения
и оз выражаются отрезками О'А и О'В.
Так как предельное равновесие в какой-либо точке сыпучего
тела, обладающего сцеплением, наступает в том случае, если ДД*1
двух площадок, проходящих через эту точку, будет выполняться
условие (2.28), то прямые 0'D\ проведенные под углом qj к оси 0
и отвечающие этому условию, должны быть касательными к окру^*
ости в тех ее точках, которые соответствуют данным площадкам. ,
для идеального сыпучего тела с - 0 и касательная должна мр0' ;
яодять через начало координат О. Из чертежа следует, что ^ \ ^
*

РИС. 23
РИС. 24
- | и а2 = 5 -f- 2. Таким образом, эти
глы определяют направление площадок
кольжения по отношению к направле¬
ны главных напряжений erf и оз.
Возникновение двух симметричных
ЛоЩадок скольжения отвечает возмож¬
ности провести из точки О' под углом (р
симметричные касательные к окруж-
эсти. Из рис. 23 следует, что приведен¬
ие напряжения по площадкам сколь-
сния равны так же, как и деиствн-
мьные напряжения по этим площадкам. При этом приведен
ые напряжения, действующие по площадкам скольжения, буду!
спряжениями сопряже.шыми, т. е. направление одного н.ч „их па-
!Ллельно пло1дадке, по которой действует другое, и наоборот.
РИС. 25
61

По всем остальным площадкам, проходящим через данную точку:
сыпучего тела и изображаемым другими точками окружности, в том
числе н точкой D, напряженное состояние будет непредельным.
Условию предельного равновесия в данной точке сыпучего тела
удовлетворяют все круги, касательные к предельным прямым, про.
веденным из начала координат О' под углом ср к оси о (рис. 24).
Область плоскости, заключенная внутри угла 2ср, называется
областью возможных напряжений. В общем случае пространст-
венного напряженного состояния в системе прямоугольных коорди-
нат (рис. 25) на оси о в избранном масштабе напряжений отклады-
ваются отрезки, изображающие значения главных напряжений
а,,02иа5, и на разностях этих отрезков как на диаметрах строят
окружности /,// и III. Напряжения, действующие по площадкам,
параллельным направлениям ах, а2 и а3, изображаются соответст¬
венно кругами /, II и III. Напряженное состояние по площад¬
кам, пересекающим все три главные оси, изображается координа¬
тами точек, лежащих в заштрихованной площади на рис. 25.
2.	Характеристические круги
Это построение, предложенное С. С. Голушкевичем, позволяет
найти направление площадок скольжения, проходящих через концы
данной площадки, если известны угол внутреннего трения сыпу¬
чего тела и направление полного напряжения или давления, дейст¬
вующего на эту площадку. Построение начинается с того, что в про¬
извольном приемлемом масштабе вычерчивается прямоугольный
треугольник ABC, один из острых углов которого, например, угол
ЛВС, равен углу внутреннего трения сыпучего тела ср (рис. 26).
Из вершины прямого угла А треугольника опускается перпенди¬
куляр AD на гипотенузу, п вершина С угла, равного л/2 — ф,
принимается за центр трех концентрических окружностей, радиусы
которых равны CD, СА и СВ. Малый круг называется кругом пло¬
щадок, средний — кругом вершин, а большой — кругом полюсов.
Если продолжить линию AD до пересечения с окружностью
круга вершин в точке Е, то хорда АЕ, являющаяся одновременно
касательной к окружности круга площадок, разделит круг вершин
на две неравные части. Из рассмотрения четырехугольника А В ЕС
видно, что угол АСЕ = 2 (л/2 — ф).
Возьмем произвольную точку М на большей по длине части ок-
ружностн круга вершин и соединим эту точку с концами А и Е <|
хорды круга вершин.
Очевидно, что
,	LACE я
L ЛМЕ = - =— ф.
Если же взять точку М’ на меньшей части окружности круг3
вершин, лежащую по другую сторону от хорды АЕ, то
L ЛМ'£=я/2-Ьф.
т
i

В § И показано, что площадки скольжения в сыпучем теле,
находящемся в состоянии предельного равновесия, образуют между
собой углы я/2 —- ф и л/2 + ср, поэтому прямые МЛ и ME (или
прямые М'А и М'Е) можно рассматривать как направления одной
пары площадок скольжения из бесчисленного множества таких
площадок, проходящих через концы площадки, совпадающей по
направлению с хордой АЕ.
Очевидно, что треугольник ABC, определяющий соотношение
между радиусами кругов, может быть ориентирован совершенно
произвольно, а треугольник ВСЕ, построенный лишь для дока¬
зательства теоремы, при решении практических задач можно не
строить.
В результате можно сформулировать следующую теорему.
Если какую-либо площадку, проведенную в сыпучем теле, нахо¬
дящемся в состоянии предельного равновесия, изображать парал¬
лельной ей хордой круга вершин, касающейся круга площадок,
то любые две прямые, проходящие через концы хорды и пересекаю¬
щиеся на окружности круга вершин, будут параллельны возможным
направлениям площадок скольжения,
проходящих через концы рассматри¬
ваемой площадки.
Пример 1. Пусть требуется опреде¬
лить направления площадок скольжения,
проходящих через концы площадки KL.
находящейся внутри предельно напряжен- g
ного сыпучего тела, на которую действует
приведенное напряжение р (рис. 27, а).
Для решения этой задачи строим систе¬
му кругов, отвечающих заданному углу
внутреннего трения q> (рис. 27, б).
Прежде всего в произвольном мас¬
штабе строится произвольно ориентиро¬
ванный прямоугольный треугольник ABC,
угол ABC которого равен заданному уг-

л\’ф Из вершины прямого угла А опускается перпендикуляр AD на гипо
тенузу и радиусами CD, СА и СВ проводятся концентрические круги. Пр0!
водится хорда’ kl круга вершин, касательная к кругу площадок и парад,
лельная данной площадке KL. Через центр С системы кругов и точку п Ка.
сання хорды kl с окружностью круга площадок проводится прямая до Пересе, i
ченыч в точке £ с окружностью круга полюсов. Через точку Е проводится
прямаз. параллельная приведенному напряжению р, действующему по пло.
пилке KL, она пересекает круг вершин в точках М' и М. Прямые kM и Щ
определяют направление одной из возможных систем площадок скольжения,
ж прямые йЛГ и /ДГ — направление другой. На основании свойства сопряжен¬
ности напряжений по площадкам скольжения на рис. 27, б произведено раз¬
ложение полного приведенного напряжения р на два направления — рг и р2,
параллельные первым двум площадкам скольжения, а также на направле¬
ния р[ н pi, параллельные другим двум площадкам скольжения. Таким обра¬
зом, задача имеет два решения, для которых направления площадок сколь¬
жения и действующих по ним напряжений показаны на рис. 27, гид.
Глава III
ПРОЧНОСТЬ ОСНОВАНИЙ СООРУЖЕНИЙ
§ 14. УСЛОВИЯ ПРОЧНОСТИ ОСНОВАНИЙ
Если на горизонтальной поверхности сыпучего тела на полосе
шириной b приложена равномерная нагрузка р при наличии боковой
пригрузки q (рис. 28), то начало текучести основания у краев за¬
груженной полосы наступает при величине нагрузки, впервые най¬
денной Н. П. Пузыревским:
п	п{д+о0)	.	.п	п
Рп.Т— .	.	(3.1)
ctgq)-f ф— л/2
с
где <т0 =	—	давление связности.
Для идеально связного сыпучего тела, лишенного внутреннего
трения, при ф -► 0 из формулы (3.1) получается
Рн.т = яс + <7.	(3.2)
При дальнейшем увеличении нагрузки области текучести будут
увеличиваться и распространяться на все большую глубину, пока
не произойдет выпирания сыпучего тела рядом с загруженной поло¬
сой. При этом несущая способность основания по условию прочности
будет полностью исчерпана. Теоретически это должно произойти
при предельной нагрузке, выражаемой формулой Прандтля—Рейс*
нера
(9 + %) ея tgtp~c0.	(3,3)
I —Sin ф
Для идеально связного сыпучего тела
Pup — 5,J4c~j~p,	(ЗД!	!
64

РИС. 28
■I
Промежуточное по величине давле¬
ние, при котором области предельного
напряженного состояния грунта под
краями фундамента распространяются
на глубину, равную х/4 ширины послед¬
него, выражается формулой
я(0,25у6-И-{- ст0)
Pi/4" ctg(p + (p_n/2	+?•
(3.5)
РИС. 30
В действительности фундаменты со¬
оружений (рис. 29) находятся в более
сложных условиях работы, так как, во-
первых, они обладают значительной
жесткостью в поперечном направлении; во-вторых, их подошва
находится не на поверхности, а на некоторой глубине h от
нее; в-третьих, давление по подошве распределено неравномерно
и может иметь не только нормальную, но и касательную составля¬
ющую; в-четвертых, эксцентрицитеты равнодействующих фактиче¬
ского или расчетного и предельного давления могут быть различ¬
ными.
Опыты показывают, что из-за этих причин при разрушении осно¬
вания сыпучее тело не приходит полностью в предельное напряжен¬
ное состояние и что непосредственно под фундаментом образуется
уплотненный клин, называемый ядром.
Форма разрушения основания под давлением от фундамента,
передающимся на поверхность основания, зависит от вида грунта,
от степени заглубления фундамента и от величины эксцентрицитета
и угла наклона нагрузки, действующей на основание.
В зависимости от относительного заглубления hJb фундаменты
па песчаном основании подразделяются В. Г. Березанцевым на сле¬
дующие группы:
а) незаглубленные и малозаглубленные при О
б) средней глубины заложения, когда 0,5
в) глубокого заложения при ^ > 2.
Для первых двух групп, относящихся к фундаментам мелкого
заложения, предельное состояние по условию прочности хяракте-
Л
Ь
2;
0,5;
Зек, и 69
66

ризуется сдвигом части грунта в основании по сформировавшимся
поверхностям скольжения, выходящим на поверхность. При этом
происходит выпирание грунта. Первые две группы фундаментов
отличаются только разной формой поверхностей скольжения.
Для фундаментов глубокого заложения в предельном состоянии
области сдвигов достигают определенной степени развития, но вы-
пирания грунта не происходит.
В зависимости от величины эксцентрицитета е нагрузки, деист-
вующей на фундамент мелкого заложения, возможна одна из следую¬
щих трех форм выпирания грунта, каждой из которых соответст¬
вует определенная форма уплотненного ядра под подошвой фунда¬
мента.
Первая форма разрушения основания (рис. 30, а), возможная
при величине эксцентрицитета, равной предельной, характеризует¬
ся односторонним выпиранием грунта в сторону, противоположную
направлению эксцентрицитета, и наступлением предельного напря¬
женного состояния во всей области, ограниченной объемлющей
поверхностью скольжения. Уплотненного ядра в этом случае не
возникает.
Вторая форма разрушения (рис. 30, б) возможна при эксцентри¬
цитетах, меньших предельного. Она характеризуется двусторонним
несимметричным выпиранием и возникновением несимметричного
уплотненного ядра, по сторонам которого расположены части грун¬
та, находящегося в предельно напряженном состоянии.
Наконец, третья форма разрушения может быть при централь¬
ной нагрузке на фундамент (рис. 30, в). При этом возникает двусто¬
роннее симметричное выпирание и симметричное уплотненное ядро.
Однако и при центральной нагрузке может произойти разрушение
основания несимметричной формы с односторонним выпиранием
грунта. При этом величина предельной нагрузки мало зависит от
того, по какой форме произойдет разрушение.
Таким образом, напряженное состояние основания оказывается
смешанным — частично предельным и частично упругим. Поэтому
наиболее строгим будет и смешанное решение задачи, которая
поставлена и решена для одного частного случая М. И. Горбуновым-
Посадовым [34]. Однако общее решение смешанной задачи для про-
извольнон нагрузки 1Гафундамент^ пока ещ^отсутствует, поэтому
в Настоящее время" цел есообр азнсГ пользоваться ~п щйэлиженн ыми ре*
[цениямщ, построенными на~тех или иных допущениях. Обычно
жесткость фундамента нё^Титывают и дола10т^огГущенне о том, что
направление давления для всех точек подошвы одинаково и что
давление распределено по ширине подошвы фундамента по закону
прямой. Кроме того, подошва фундамента считается расположенной
на поверхности земли, а влияние заглубления учитывается приложи*
нием к этой поверхности рядом с фундаментом вертикальной равно¬
мерно распределенной нагрузки интенсивностью q — yh. Очевидно»
что это допущение направлено в запас прочности основания и устои^ ,
чивостн фундамента, так как нетронутый грунт основания оказывает ,

ся более благоприятным, чем несвязанная с основанием боковая
пригрузка того же веса. Кроме того, в ряде случаев еще приходит¬
ся принимать те или иные допущения относительно очертания по¬
верхностей скольжения, по которым происходит сдвиг грунта под
сооружением при разрушении основания.
В настоящее время существует довольно много различных реше¬
ний, приводящих в большинстве случаев к сильно отличаю¬
щимся результатам.
Из многих решений следует отдать предпочтение наиболее стро¬
гим в теоретическом отношении решениям В. В. Соколовского [115]
и решениям В. Г. Березанцева [3], базирующимся на эксперимен¬
тальных данных и анализе теоретических положений В. В. Соко¬
ловского.
При расчете оснований весьма важен вопрос о коэффициенте за¬
паса прочности основания, который выражается отношением равно¬
действующих нагрузок: предельной /?пр и расчетной R, т. е.
При этом предполагается, что силы/? и /?пр имеют не только оди¬
наковый угол наклона б, но и одинаковые эксцентрицитеты, т. е.,
что е = епр. В действительности значение е может быть любым, в то
время как равнодействующая предельной нагрузки при заданных у,
Ф, си сможет быть определена только при определенном ее положе¬
нии, т. е. при единственном значении епр. При^щгих_значетах
е Ф епр пока еще нет возможности найти величину предельного дав¬
ления на основание и приходится находить соотношение (З^БУдля
неподобных напряженных состояний, т. е. допускать еще одну не¬
точность. Оправданием ее служит то, что, как правило, равнодейст¬
вующая предельной нагрузки при е Ф оказывается больше, чем
при е = епр. Однако, строго говоря, это требуется доказать в каж¬
дом конкретном случае построением при данном коэффициенте за¬
паса эквивалентной эпюры расчетного давления, которая вписы¬
вается или хотя бы касается эпюры предельных давлении. Такой
прием предложен М. В. Малышевым и описан Н. А. Цытовичем
1137] и В. Г. Березанцевым 13]. Более простым оказывается сравне¬
ние наибольших расчетных сгтах и предельных ртах краевых дав¬
лений с обеспечением некоторого коэффициента запаса
Мнешпи cimujjci, ivuj/rvvi umiu -	— —
Ниже рассматриваются три способа решения задачи: строго тео¬
ретический способ, предложенный В. В. Соколовским, в котором не
учитывается образование клина уплотненного грунта, способ, пред-
ложгннып В Г Березанцевым, являющийся наиболее общим, и
способ, предложенный Тран Во Нгиемом 1154].
k = Rnp/R
(3.6)
ki =
(3.7)
3*
67

§ 15. РЕШЕНИЯ ТЕОРИИ
ПРЕДЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
1.	Случай равномерной вертикальной нагрузки
Если на некотором участке поверхности сыпучего тела действует
нормальное к этой поверхности давление, то в сыпучем теле возни,
кает напряженное состояние. Принимая это напряженное состояние
предельным, В. В. Соколовский нашел составляющие напряжений,
удовлетворяющие дифференциальным уравнениям (2.48). При этом
задача имеет два решения, отвечающих минимальному и максималь*
ному давлениям на основание. В случае минимального (активного)
давления при произвольной нагрузке р(х) распределение напряже-.
ний у поверхности будет:
1 —sin ф	2сг0
oz=Tр(х); 0х = р{X)——. —(3.8)
1 -f- Sin Ф	1 -f“ Sin ф	'
При этом оба семейства линий скольжения вблизи поверхности
наклонены к вертикали под углами 45° — ф/2.
Если давление на поверхность распределено равномерно (рис. 31),
то составляющие напряжений с учетом объемных сил на любой глу¬
бине z будут определяться такими формулами:
\
ct,=y*4-p; ^x=(Yz-fp)
1—sin ф
2а
о
т~, = 0.
(3.9)
1+5Шф	1 -{*-sin ф
4
Максимальному давлению (пассивному сопротивлению) в этом
случае соответствует такое распределение напряжений:
ofz=Y2-Ьр; <7*=(y2+р)
l-f-sin ф
+
2а,
3
(ЗЛО)
I
1—sin ф ' 1—sin ф
т хг = 0.
Для сохранения предельного равновесия сыпучего тела необхо
днмо рядом с нагрузкой р приложить равномерную пригрузку ин- ^
тенсивнсстью
1—sin ф	,	2	5Шф	,
Я=Р 't-г-.— е*Р {—71 tg ф}— ст0 -7-7-.^ ехр {—я tg ф}.
(ЗЛО
l-f-sin ф '	“	т'	w 1 -f-sin ф
В сыпучем теле, находящемся в предельном напряженном со¬
стоянии, различаются три области (рис. 31).	I
В треугольнике ОАВ пре-
I	а	дельное напряженное состояние
будет минимальным, т. е. соот*.
ветствующим активному давде*
нию. Сетка линий скольжения
состоит из двух семейств пар ал¬
лельных прямых, составляют***
ГВ " с осью г углы 45° — ф/2.
В треугольнике OCD пределу
еис, si	иое напряженное состояние ок
*
Л
1::тпт:пппп1тнтп1тт1
f
л
тш '

зывается максимальным, т. е. соответствующим пассивному сопро¬
тивлению сыпучего тела. Сетка линий скольжения также образо¬
вана двумя семействами параллельных прямых, составляющих с
осью Z углы 45° + ф/2.
В секторе ОВС первое семейство линий скольжения является
пучком прямых, проходящих через точку О, второе же семейство
состоит из логарифмических спиралей, определяемых в полярных
координатах уравнением
r=cexp|^-y-f-|-_njij tgф|.	(3.12)
Если нагрузка р действует на участке О А длиной b, то пригрузка
q должна быть приложена на участке OD длиной не менее
,	1-f	sin ф ['я	)
/=6ТГ^ехр(тЧ*	(злз)
При	учете	объемных сил прямолинейными будут	лишь	линии
скольжения	в	треугольнике ОАВ, а в двух других	областях оба
семейства линий скольжения криволинейны.
Для определения наименьшей величины заглубления Л, при ко¬
торой сыпучее тело сохраняет предельное равновесие, достаточно
подставить в формулу (3.10) вместо q выражение yh + q и решить
полученное уравнение относительно h.
2.	Случай наклонной равномерной нагрузки
Если равномерное давление, действующее на поверхности сыпу¬
чего тела, имеет нормальную и касательную составляющие put
(рис. 32), то искомая величина требуемой пригрузки определяется
формулой
q = p	-——- exp [— (W + -г*-г т) tg ф} —
1 -|-sin ф sin qO I \	2	/	j
_CT0 fl— ‘~S'ny„ exp [-(2* +-7+4) <g<p}]. (3.14)
°[ 4-sin<psin(2t + iF) l\ 2	/	(J
где
я CD 6.1	.	/	sin	6	a0sin6	V
— — 4* h”T“ arc sin —;	———	1;
4	2	2	2	\	sin	ф	asincp	/
Для определения наименьшей величины заглубления А, при кото¬
рой сыпучее тело сохраняет предельное равновесие, если известны
шачения нормальной и касательной составляющих давления вдоль
>снования (рис. 33), достаточно подставить в формулы (3.14) вместо
/ выражение у А + q и решить полученное уравнение относительно А.

РИС. 33
РИС. 34
3. Случай наклонной неравномерной нагрузки
Наиболее общее и достаточно строгое решение для предельной
полубесконечной наклонной нагрузки получено В. В. Соколовским
суммированием предельной нагрузки для весомого идеально сыпу¬
чего тела и предельной нагрузки для невесомого сыпучего тела, об¬
ладающего только сцеплением. При этом для вертикальной и го¬
ризонтальной составляющих предельной нагрузки в сечении х по¬
лучены выражения (рис. 34):
где Ny, Nq, Nc — коэффициенты, значения которых получены Вычисли¬
тельным центром АН СССР по построенной сетке линий скольжения как функ¬
ций угла внутреннего трения ф и угла б наклона нагрузки к вертикали.
Значения этих коэффициентов приведены в табл. 7.
Формулами (3.15) и (3.16) в качестве приближенных можно поль¬
зоваться и при конечной ширине b фундамента, если исходить из
условия одностороннего выпирания сыпучего тела. Для получения
краевых ординат эпюры предельной нагрузки в формулу (3.15)
нужно подставить х = 0 и х = Ь. Средняя ордината нормальной со-
L
ставляющей нагрузки находится при х = а = ^ и выражается фор*
Равнодействующая предельной наклонной нагрузки будет равнз>
Рпр = Муух-{-iVq q-f Ncc\
^пр —Рпр б,
(3.15)
(3.16)
мулой
Pnp = Wvya+Nqq+Nc с.
(3.17)
R Ь
*ор- cos 6
(3 > 18)

ТАБЛИЦА 7. ЗНАЧ ЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ Ny, N И N
ПОЛУЧЕННЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМ ЦЕНТРОМ АН СССР ^
Ny
Nq
No
Ny
Nq
Nc
0
0
0,17
0,56
1,4
3,16
6,92
1
1,57
2,47
3,94
6,4
10,7
5,14
6,49
8,34
11
14,9
20,7
—
0,09
0,38
0,99
2,31
5,02
5

1,24
2,16
3,44
5,56
9,17

2,72
6,56
9,12
12,5
17,5
15,32
18.4
30,2
И,1
15,6
25.4
35,19
33.3
46,2
24,38
27,9
38.4
86,46
6472*
75,3
61.38
52,7
61,6
Ny
Nq
No
10


0,17
1,5
2,84
0,65
2,84
6,8*
I 1,51
\ 4,65
5 10
3,42
) 7.6S
14,3
7,64
i 12,9
20,6
17,4
22,8
31,1
41,78
42,4
49,3
Ny
Nq
Nc
15



0,25
1,79
2,94
0,89
3,64
7,27
2,15
6,13
11
4,93
11,4
16,2
11,34
18,1
24,4
27,61
33,3
38,5
Ny
-
-
.
0,32
1,19
2,92
6,91
16,41
Nq
20




2,09
4,58
7,97
13,9
25,4
Nc



3
7,68
12,1
18,5
29,1
Ny
0,38
1,5
3,85
9,58
Nq
25
2,41
5,67
10,2
18,7
Nc
3,03
8,09
13,2
21,1
Ny
0,43
1,84
4,96
Nq
30
2,75
6,94
13,1
nI
3.02
8,49
14,4
Ny
0,47
2,21
У
35
3,08
8,43
4
Nc
2,97
8,86
AL
I
0,49
V
40

3,42
4
Nr.
' 1

2,88
Формулы (3.17) и (3.18) — универсальные, так как они выражают
предельные величины давлений и равнодействующей нагрузки на ос
нованне для загружеинй любых видов, для любых глубин заложе¬
ния и по любым методам. Меняются лишь числовые значения коэф-
финне нто в К у, N я и Ne (см. табл. 7).
71

§ 16. РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ ОСНОВАНИЯ
С >"4ЕТОМ ОБРАЗОВАНИЯ
УПЛОТНЕННОГО КЛИНА ГРУНТА
1.	Фундаменты протяженные
Для незаглубленных и малозаглубленных фундаментов (0^^- ^
0,5> при грунтах основания с внутренним трением и сцеплением
или только внутренним трением, при действии наклонной или вер¬
тикальной нагрузки, приложенной с эксцентрицитетом или цент¬
рально, применяется метод В. В. Соколовского, описанный выше
[формулы (3.15)—(3.18) и табл. 7]. Если нагрузка от фундамента вер¬
тикальная и приложена центрально, то более точные результаты мо¬
гут быть получены при рассмотрении симметричной схемы разруше¬
ния основания с учетом образования под подошвой уплотненного
ядра в виде трехгранной призмы с основанием в виде равнобедренно¬
го прямоугольного треугольника (рис. 35).
Начиная от вершины ядра сектор с центральным углом л/2 +
4- ф/4 ограничен дугой логарифмической спирали, которая выра¬
жается уравнением
Г —
1/2
=- ехр
Зл
—е tg
(3.19)
где 0 — полярный угол, отсчитываемый от поверхности земли.
В результате решения дифференциальных уравнений предель¬
ного равновесия с учетом принятого очертания линий скольжения
и уравнения равновесия ядра, которое рассматривается как абсо¬
лютно жесткое тело, В. Г. Березанцевым получены коэффициенты
к формулам (3.15)—(3.18), приведенные в табл. 8 и отличающиеся от
соответствующих коэффициентов табл. 7.
ТАБЛИЦА 8. ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ Ny, NqU NCt
ПОЛУЧЕННЫЕ В. Г. БЕРЕЗАНЦЕВЫМ
J	Ф,	град
ST
С s
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
%
А'т
J
4.6
6,
7.6
0.8
13,6
16
21 ,6
28,6
39,6
52,4
74,8
100,2
154,6
220,6
319,2
*v«
4.4
5.3
6.5
8
0.8
12,3
15
19,3
24 ,7
32,6
41,5
54 ,8
72
98,7
137,2
195
i
ь
11.7
13.1
15.1
17.2
19.8
23,2
25.8
31 ,5
38
4 7
55,7
70
84 ,7
108,8
1*11,2
187,5
1.6
1.7
1.0
2
2,1
2.3
2,5
2,6
2,8
3,1
3,3
3,5
3,9
4,3
4,8
6,3
Для фундаментов средней глубины заложения (0,5 <! £ ^ ^
на несвязных грунтах основания очертание поверхностей скольже
ни я оказывается другим, чем в случае малозаглубленных фундамен
тов, и принимается таким, как это показано на рис. 36.
П

РИС. 35
Предельное давление в случае центральной нагрузки определяет¬
ся по формуле
Pnp = Nyyat	(3,20)
где Ny — коэффициент, определяемый по табл. 9 в зависимости от угла вну¬
треннего трения ф н отношения И/Ь.
ТАБЛИЦА 9. ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА Ny
h
Ny п
ри ф, град
Ь
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
0,5
28
35
45
58,4
83,4
105,4
144
197
274
400
570
1
42,6
58,8
69,6
90,4
118
159
210,6
292,4
408
590
824
2
72,6
97
117,8
152,4
188,8
276
354
484
662
954
1334
Для фундаментов глубокого заложения В. Г. Березанцевымтакже
получены соответствующие значения коэффициента A'v, но для таких
фундаментов предельное состояние по прочности основания уже не
является диктующим, так как несущая способность основания не мо¬
жет быть полностью использована из-за больших осадок.
Основываясь на результатах экспериментов, Тран Во Нгием
[154] предложил для определения несущей способности сыпучего
основания при внецентренной наклонной нагрузке расчетную схему,
показанную на рис. 37. При этом он принял, что на грань ОВ уп¬
лотненного клина и на часть AF грани А В действует пассивное дав¬
ление, распределенное по закону треугольника и составляющее
z
РИС. зв

РИС. 37
I
с нормалями к этим площадкам углы ф. Иа протяжении линии BF\
по которой предполагается скольжение, распределение давлений
полнено интегрированием уравнения Кёттера. Для упрощения рас¬
четов принято, что у вершины В клина давления, действующие на
смежные грани, равны, поэтому давление в любой точке S площадки
BF выражается
sin (ф—P).
Составив три уравнения равновесия всех сил, действующих на
клин ОАВ, н произведя многочисленные испытательные расчеты для
разных значений аир при определенных значениях ф и б, автор
получил, значения,' силы Рпр — Rnр cos б и соответствующие значе¬
ния относительного эксцентрици¬
тета епрlb. Эти величины представ¬
лены на графиках рис. 38 и 39 в
зависимости от углов ф и б.
s О $• roa lb* W?5°309 J59 40* Ь59
S
РИС. м
74
РИС. 39

ппумео 2. Для фундамента шириной b — 2а = 4 м при глубине заложе-
''р_ о м основанием для которого служит суглинок с объемной массой
нНЯ I Гт/м3 (У= 18 кН/м3)*> Умоы внутреннего трення ф = 24° и удельным
Р**,-рнием Ю кПа, требуется определить три вида равномерных давле¬
на- лавление, соответствующее началу текучести, давление, при котором
Спасти текучести доходят до глубины, равной 1/4 ширины фундамента, н
рлельное давление. Определить также допустимое равномерное давление
НЕи коэффициенте запаса k = 3.
По формуле (3.1) при q — yh — 18 • 2 — 36 кПа и при о0 = с ctg ф =
__ до • 2,25 = 22,5 кПа находим давление, соответствующее началу теку¬
чести
„«+„„)	ЗИМЗб+а.б)	+36=го1кПа-
■Рп-Т—	я	,	25
с(бФ+ф~у 2,25+3,14 — -1,57
Ъ
Давление, при котором области текучести достигают глубины = 1 м,
определяется по формуле (3.5)
я(0.25Т6 + 9+о,) .	3.14	(0,25.18-4	+	36	+	22,5)	,	„г„	„
ctg(p + cp—л/2	' 4	2,25+0,436—1,57	+
Предельное давление в случае двустороннего выпирания грунта по фор¬
муле (3.15) и табл. 8
p^A^va + A^ + Wc <7 = 9,8-18-2+9,8-36+19,8-10 = 904 кПа.
Предельное давление при одностороннем выпирании по формуле (3.15)
н табл. 7.
Рпр = 6,17-18-2 + 9,84-36 +19,54-10 = 771 кПа.
При этом коэффициенты определены интерполяцией.
Допустимое среднее равномерное давление на основание
ь
p = pnvfk = 771/3 = 257 кПа (—2,5 кгс/см2).
Это давление близко к значению piU.
Пример 3. Проверить прочность основания сооружения шириной Ь —
= 2а = 6 м, если оно передает на основание силу R = 500 кН/м, приложен¬
ную под углом 8 = 15°, и с эксцентрицитетом е = 0,75 м. Фундамент заложен
на глубину h =2 м в песчаный грунт, насыщенный водок, со значением у —
= 10 кН/м3 и углом внутреннего трення ф = 25°.
Пригрузка от грунта, лежащего выше подошвы,
q=yhz= 10-2 = 20 кПа.
Равнодействующая предельной нагрузки по формуле (3.18) с коэффици¬
ентом из табл. 7 для заданных значений ф и й
/?
Япп =	(2,15.10-3 + 6,13-20)= 1262 кН/м.
cos 15°
Коэффициент запаса прочности основания
Лг= /?пр//?= 1262/500 = 2,53.
ещ ^ак как расчетный и предельный эксцентрицитеты не равны, то нужнв
_ сопоставить краевые ординаты эпюры предельных и расчетных давлений.
ся 3-сь и Далее по тексту значение у сыпучего тела (в кН/м*) получает-
ем умножения его плотности или объемной массы р (в т/м*) на gZZ 10 м/с*.
75

.	МГИТ***
р, = 2,15-10 0+6.13-20= 122,6 кПа;
tg 6= 122.6-tg 15* = Э2,8 кПа;
Pl>,pm„ = 2,15-10-6+6,13-20=251,6 кПа;
/ь=Рь tg б=251,6-0,258 = 65 кПа.
Эксцентрицитет предельной нагрузки при трапециевидной эпюре предель-
цит давлений составляет:
Ь Р0 + 2РЬ	Ъ_
tup*
3 р9 -j-Pb	2
Краевые ординаты эпюры расчетных давлений:
Rcos5 /	6е	\	500*0,968
6. 35м+с.
3	122,6+	251,6	2
^га!п —
Стах =
(-■г)-
Rcosb
1 +
*1 =
6е
Ь
Р max
Graax
6*0,75,	г,
1— —:—1 = 20,2 кПа;
500*0,968/1+ 6_^7_51=141кПа.
6
251,6
141
= 1,78.
2.	Фундаменты круговые в плане
Приближенная формула для определения предельного давления
жесткого шероховатого незаглубленного и мало заглубленного фун¬
дамента на связное основание выведена В. Г. Березанцевым (3J на
основе ряда допущений, оправданных опытными данными. Уплот¬
ненное ядро под подошвой фундамента принимается в виде конуса
с углом при вершине по меридиональному сечению равным 90°. Для
объемлющей поверхности скольжения, начинающейся от вершины
уплотненного ядра, принято очертание, показанное на рис. 40. Об¬
разующая этой поверхности состоит из отрезка логарифмической
спирали ВС и отрезка прямой CD.
Путем интегрирования одного дифференциального уравнения
предельного равновесия по заданному очертанию поверхности сколь¬
жения с использованием условия равновесия уплотненного ядра как
vmvnmiiiini
щ»ии1ишннти
JJ
I
РИС. 40

ого тела получена формула для средней интенсивности
нГп> давления на основание
Рпр = Му уа + Nq q -f Nc с,
а радиус подошвы фундамента; Ny, Nq, Nc — коэффициенты,
яяя которых приведены в табл. 10.
ТАБЛИЦА 10. ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ N И N
		9	С
предел ь-
(3.21)
зиаче-
Коэф-
фици-
f еят
Ny
Nq
Nc
I
2 а
4,1
4,5
12,8
1,44
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
5,7
7,3
9,9
14
18,9
25,3
34,6
48,8
69,2
97,2
142,5
216
317
6,5
8,5
10,8
14,1
18,6
24,8
32,8
45,5
64
87,6
127
185
270
16,8
20,9
24,6
29,9
36,4
45
55,4
71,5
93,6
120
161
219
300
1,5
1,58
1,65
1,73
1,82
1,91
1,99
2,11
2,22
2,34
2,45
2,61
2,76
Формулой (3.21) и табл. 10 можно воспользоваться и для расчета
фундаментов, имеющих в плане форму квадрата со стороной 2а,
Для фундаментов средней глубины заложения (0,5 < -5- <
< 2) очертание линий скольжения принято таким же, как и
в случае соответствующей плоской задачи. Предельное давление на
несвязное основание выражается формулой
Рир = Му уа.	(3.22)
Коэффициент Ny в этом случае определяется по табл. 11.
jt_
2 а
0,5
1
1,5
2
ТАБЛИЦА 11. ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА Ny
Ny, при ф. град
26
43
60
87
140
30
81
107
162
250
32
105
140
200
325
35
180
228
319
520
38
310
360
480
820
40
458
520
690
1200
42
684
812
1100
1570
Другие значения коэффициентов для жесткого штампа получень
А. Ьиарезом, И. Легалем, Р. Негре и П. Стютцем (1481, которые ис
ользовали дифференциальные уравнения В. Г. Березанцева и опре
делили угол при вершине уплотненного конического ядра под штам
поли*3 ^словия минимума нагрузки, разрушающей основание. Мм*
и в таблЫ12НаЧеНИЯ коэФФициентов» приведенные в формуле (3.21;
6ашнПцРлиа»Л„2П^е2ить "Редельную нагрузку на основание фундамент!
(келкий пр т^ом 2а = 6 м н глубиной заложения Л = 6 м, если грунп
^88 18 кН/м?К сРедне^ плотности) характеризуется расчетным значением
и углом внутреннего трения ф = 30°. В соответствии с рекомен-
77

КоэФФВД"**7
Av5
ТАБЛИЦА 12. ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ПОЛУЧЕННЫЕ Ж. БИАРЕЗОМ И ДР.
Ф, град
О I 6 I 16
0
1
6,3
v , Ng И N
с»
0,13
1,64
21
1,8
5,4
38
• >
9,1
16,35
64
156
186
220
лтиями В. Г. Березанцева следует снижать на 2° расчетный угол внутрен-
него трения при решении осесимметричных задач по предложенным им фор.
мулам. Примем ф = 30°	2	—	28	.
Относительная глубина заложения фундамента hJ2a = Ь/Ь = 1 > 0,5
относится к категории средней.
Для определения предельного давления на основание пользуемся форму.
лой (3.22) и табл. 11:
Pap—Ny70=83,5*18.3 = 4509 кПа.
По методу Ж- Бнареза н др.
pnp=Ny ya-j-iVfl <7 = 21 * 18• 3-f-38-18*6 = 5230 кПа,
т. е. на 16?о больше.
§ 17. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
I. Опыты В. И. Курдюмова
Первые опыты по исследованию поведения песчаного грунта при
вдавливании в него заглубленной модели фундамента проведены
в 1890 г. В. II. Курдюмовмм. Для опытов использован стеклянный
ящик, наполненный песком. Модель фундамента нагружали верти¬
кальной, постоянно увеличивающейся нагрузкой. Так как модель
стояла вплотную к стенке, она была хорошо видна снаружи и с нее
последовательно сделано несколько фотоснимков на одну и ту же
пластинку. При этом изображение частиц песка, пришедших в дви¬
жение, получилось в внде нерезких черточек, направленных по тра¬
ектории движения. Частицы же, оставшиеся неподвижными, изо¬
бражены на снимке резко.
В процессе опыта В. И. Курдюмову удалось установить последо¬
вательность движения частиц. Вначале при малых нагрузках в дви¬
жение приходят лишь частицы песка, расположенные на небольшой
глу нне под подошвой фундамента; они перемещаются вниз. При уве¬
ли 1снии нагрузки область движения частиц распространяется на
“ глу JKHe слои песка» причем частицы, расположенные у краев
^“^аМсИТа* уже начинают перемещаться в стороны. Дальнейшее
L.upmieuHiIle«Har*)y3KH ПРИВ0ДИТ к тому, что эти частицы получают пе-
nof-H'-iKur в и только ВСТ0Р°ны, но и вверх. Наконец, при некоторой
тавипччнн- ^РУГКе равновесие нарушается, грунт около фундамен¬
та вин учив,к-тся вверх и образует валики.
78

Позднее М. X. Пигулевским обнаружено, что при вдавливании
песок жесткого штампа под последним образуется уплотненное
® о грунта, которое является как бы продолжением штампа и раз¬
двигает подобно клину окружающий грунт.
2 Исследования А. А. Ничипоровича и Н. Я. Хрусталева
Для проверки различных методов оценки несущей способности
оснований во Всесоюзном научно-исследовательском институте водо¬
снабжения, канализации, гидротехнических сооружений и инженер¬
ной гидрогеологии (ВОДГЕО) начиная с 1935 г. были проведены мно¬
гочисленные опыты как на центробежной машине, так и в лотке.
Опыты в лотке проведены на моделях шириной 15—48 см при верти¬
кальных напряжениях по подошве 1,5—50 кПа, а опыты на центро¬
бежной машине — при ширине моделей 8—24 см и напряжениях
70—600 кПа.
Аналогичные опыты проведены во Всесоюзном научно-исследова¬
тельском институте гидротехники Б. Е. Веденеева (ВНИИГ).
На основе анализа всего экспериментального материала
А. А. Ничипоровичем и Н. Я. Хрусталевым [911 результаты всех
опытов приведены к одинаковому масштабу и опытные точки, пе¬
ресчитанные на натуру при ширине основания 10 м, нанесены на гра¬
фик для установления зависимости между вертикальной р и горизон¬
тальной t составляющими давления на основание при разрушении.
По формуле, выведенной В. Г. Березанцевым, построена кривая
i = f (р) (рис. 41). На этом рисунке опыты ВОДГЕО на центрифуге
t,K(la.
РИС. 41
79

обозначены значком^., опыты ВОДГЕО в лотке — А, опыт*
ВНПпи^зтом°оказалось. что начальный участок графика изображает-
ся ппячюй линией, образующей с осью р угол <р. Следовательно,
/ Jo tg ф и сдвиг в этом случае происходит непосредственно по ос-
Если угол наклона равнодействующей давления на основание
меньше упа трения, то разрушение основания характеризуется
односторонним выпиранием, причем выпирающая область грунта
оказывается тем большей, чем меньше угол б. Наконец, при верти¬
кальной нагрузке на фундамент выпирание может быть уже дву-
сторонним в зависимости от возможности поворота сооружения.
Опыты показали, что наличие эксцентрицитета несколько изме¬
няет картину потери прочности основанием, незначительно снижая
общую прочность при эксцентрицитете в сторону горизонтального
давления и повышая ее при эксцентрицитете в противоположную
сторону.
3.	Опыты В. Г. Березанцева
Начиная с 1949 г. В. Г. Березанцевым при консультации
H. А. Цытовича в лаборатории механики грунтов Ленинградского
инженерно-строительного института (ЛИСИ) проведены опыты
по исследованию устойчивости полосовых и круглых фундаментов [81.
Модели полосовых фундаментов размерами 9,8x22,2 и 4,5x22,2
см. Основанием их были мелкозернистые пески с объемной массой
I,65—1,75т/м3 и с углом внутреннего трения 30—35° при коэффициен¬
те пористости 0,6—0,5, а также супеси, суглинки и глины. Опыты
проведены как на заглубленных, так и на незаглубленных моделях
фундаментов при различных эксцентрицитетах вертикальной на¬
грузки.
Очертание поверхностей скольжения определяли по деформации
тонких горизонтальных меловых полосок, специально введенных
в грунт у прозрачной боковой стенки сборного ящика. Расстояние
между стенками ящика было равно длине модели. Результаты опытов
показали, что если положение равнодействующей давления на мо¬
дель фундамента соответствует положению центра тяжести теорети¬
ческой эпюры давлений, то очертания поверхностей скольжения
в песчаном грунте, полученные экспериментально, достаточно хоро¬
шо совпадают с теоретическими по методу В. В. Соколовского.
Если же эксцентрицитет равнодействующей давления меньше
теоретического, то очертание поверхностей скольжения не совпадает
с полученным в результате расчета. В этом случае разрушение осно¬
вания характеризуется двусторонним несимметричным выпиранием
грунта с образованием уплотненного ядра. При центральном при*
ложеиии нагрузки происходит двустороннее симметричное выпира*
ние н образуется несимметричное ядро с формой поперечного сече-
*п*я, близкой к равнобедренному прямоугольному треугольнику-
*9

« статочного числа опытных данных об очертаниях несимметричного
ядра при различных эксцентрицитетах пока нет.
В тех опытах, где основанием служила	пластичная	глина	(7	=
^ 20,9 кН/м3, Ф == 17°, с = 33	кПа	ие =	0,64),	выпиранию	пред¬
шествовало значительное неравномерное уплотнение грунта, сопро¬
вождающееся его разрывом по краям модели. Выпирание грунта
в стороны происходит уже после значительной осадки модели, на¬
ступающей вслед за разры¬
вом поверхностного слоя.
Опыты с круглыми штам¬
пами диаметром 16 см при
различном заглублении их в
грунт проведены в 1949 г.
А. Я- Лускиным при уча¬
стии В. Г. Березанцева и
О.	А. Савинова. При этом
основанием служил влажный
разнозернистый песок с объ¬
емным весом 19—20 кН/м3,
углом внутреннего трения 40°
и коэффициентом пористости 0,61. В табл. 13 результаты опы¬
тов сопоставлены с результатами расчета по формуле (3.21).
Ширина кольца, образуемого валиками выпирания грунта во¬
круг штампа, составляла примерно 1,5 его диаметра.
4.	Опыты А. С. Кананяна
Экспериментальное исследование разрушения песчаного основа¬
ния при действии вертикальной нагрузки проведено в Научно-иссле¬
довательском институте оснований и фундаментов Госстроя СССР
А. С. Кананяном [61]. Опыты проводились со штампами шириной
Ю и 15 см и длиной 82 см на песчаном основании.
При этом оказалось, что незначительная неоднородность плот¬
ности песка в основании приводит даже при строго вертикальном
вдавливании штампа в песок к двустороннему несимметричному вы¬
пиранию. Предельное давление и размеры уплотненной зоны песка
под штампом увеличивались с увеличением трения между песком
и подошвой штампа. При этом экспериментально найденное предель¬
ное давление оказалось значительно больше расчетного, подсчитан¬
ного по формулам, предложенным В. В. Соколовским, В. Г. Березан-
невым, М. И. Горбуновым-Посадовым и А. С. Кананяном.
5* Опыты М. В. Малышева
ты ^ ^ Малышевым в 1951 г. проведены лабораторные эксперимен-
ектП0 0„пРеДелению несущей способности песчаных оснований и тра-
Пло°грш] пеРемещеннй частиц песка. Опыты проведены в условиях
Кои Деформацни в лотке размером 300x90x23 см с остеклеяноЙ
ТАБЛИЦА 13. СРАВНЕНИЕ ОПЫТНЫХ
И РАСЧЕТНЫХ ДАННЫХ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ
УСТОЙЧИВОСТИ ФУНДАМЕНТОВ
Заглублепне
штампа
в грунт, см
Предельное давление, к Па
по данным
опытов
по формуле
(3.21)
0,5
350
363
4
500
486
7,5
700
608
13,5
1000
820
М

стенкой. В качестве сыпучего тела взят сухой песок средней круп.
ясстн с углом внутреннего трения <р = 33° и коэффициентом по-
ристости е в пределах 0,54—0,58.
К моделям фундаментов шириной 15, 20 и 30 см, установленным
как на поверхность основания, так и с заглублением, прикладывали |
центрзльно-вертнкальную силу, а в ряде опытов еще и горизонталь- :
ную сдвигающую силу. Вертикальную силу в ходе опытов увеличи¬
вали до тех пор, пока не наступало выпирание песка из основания.
В тех опытах, в которых прикладывали горизонтальную силу, ее
увеличивали до тех пор, пока не происходил сдвиг модели с захватом
части основания при постоянной величине вертикальной силы. На¬
гружали модель при помощи домкрата, а в ходе опытов измеряли
вертикальные и горизонтальные усилия и соответствующие им пере¬
мещения. Для регистрации перемещений частиц применяли способ
фотофиксации.
Установлено, что потеря несущей способности основанием под
штампами шириной 15, 20 и 30 см происходила соответственно при
давлении 80, 100 и 150 кПа.
Опытами подтверждено возникновение уплотненного ядра под
штампом, которое, как правило, очерчивалось двумя вогнутыми кри¬
выми; они не всегда начинались у краев штампа, особенно если он
был гладким. Под сдвигаемым штампом ядро начиналось в средней
части штампа. При небольших нагрузках сдвиг штампа происходил
по поверхности основания и только с увеличением вертикальной на¬
грузки формировалось ядро, начинающееся от кромки штампа с той
стороны, куда происходил сдвиг.
6. Опыты А. С. Строганова
А. С. Строганов [117] произвел опыты с разрезным штампом при
измерении давлений на каждый элемент и с доведением сыпучей сре¬
ды до предельного состояния, характеризуемого независимостью кон¬
тактных давлений от перемещений. Это позволило выполнить гранич¬
ные условия, соответствующие
теоретическим.
Разрезной штамп, состоящий
из шести швеллеров размером
12x100 см, устанавливали на по¬
верхность песчаного основания с
обеспечением одностороннего вы¬
пирания песка для воспроизведе¬
ния кинематических условий, соот¬
ветствующих теоретическому Ре'
шению. Перемещения штампа уве‘
личивали ступенями вплоть
в $	19	30 42	54 $5 ~ наступления предельного соСГО[
'	яния. Результаты одного из зк
рис, 42	перимеитов представлены в вИ^
р,*Ла.

эпюр давлений на рис. 42, где незалитые кружки соответствуют
вдавливанию штампа с большой скоростью (продолжительность
опыта ч)» а кружки, залитые черным, —с малой скоростью
(продолжительность опыта ^ 8 ч). Ниже показана теоретическая
эпюра предельных давлений.
Глава IV
устойчивость откосов
9
§ 18. УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ откосов
Исходя из характера их работы следует различать откосы насы¬
пей и выемок (карьеров). В первом случае откосы ограничивают ис¬
кусственно создаваемый массив сыпучего тела конечных разме¬
ров (рис. 43, я), тогда как во втором (рис. 43, б) откос образуется
удалением некоторого объема сыпучего тела из массива с наруше¬
нием его естественного напряженного состояния и с сохранением
практически неограниченной протяженности в направлении, проти¬
воположном выемке. Поэтому при прочих равных условиях откосы
насыпей должны быть более пологими, чем откосы выемок.
Все силы, действующие на сыпучее тело, ограниченное откосом,
могут быть разделены на два рода: сдвигающие и удерживающие.
К первым относятся нагрузки, приложенные на гребне откоса, сдви¬
гающая составляющая собственного веса сыпучего тела и гидроди¬
намическое давление; ко вторым — силы внутреннего трения и сцеп¬
ления сыпучего тела. Степень устойчивости откоса обычно опреде¬
ляется соотношением между этими силами и характеризуется коэф¬
фициентом запаса устойчивости или, короче, коэффициентом устой¬
чивости, который должен быть больше единицы (от 1,1 до 1,5).
В процессе эксплуатации насыпи или карьера действительный
коэффициент устойчивости откоса не остается постоянным, а изме¬
няется в зависимости от изменения нагрузок и физико-механиче¬
ских свойств сыпучего тела при его увлажнении и других процессах.
При увеличении сдвигающих или при уменьшении удерживающих
сил фактический коэффициент устойчивости может снизиться до
единицы, после чего происходит нарушение устойчивости откоса—
оползень или обвал.
Оползнем называется отрыв части массива сыпучего тела под дей¬
ствием возросших сдвигающих сил, постепенно отделяющейся от
ого массива и целиком перемещающейся вниз. Обвал отличается от
внечЗНЯ Т6М> ЧТ0 он происходит
чагти П11°’ пРичем отделившаяся
nrw?. Масс1,ва при движении вниз
«_ • • •
валычяЯ НЭ отдельные куски. Об-
Гением1ДС всего вызываются умснь-
Тела рпп сопР°тивления сыпучего
Мигающим усилиям.	Р11С.	4з
II

S 19. РЕШЕНИЯ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛЬНОГО
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
Исходя из системы дифференциальных уравнений (2.48) В. В. Со.
юэловский решил многие задачи, касающиеся устойчивости откосов
11151. Ниже приведены некоторые результаты этих решений,
1.	Определение предельной интенсивности
нормального давления,
действующего на гребень откоса
Для откоса произвольного очертания в замкнутой форме может
бьггь выражено только нормальное давление ро в точке О (рис. 44),
при котором наступает предельное напряженное состояние откоса.
Эго давление выражается формулой
р°=0» [ 1+!'"-1'ехр {(л ~2М ф>—1
L 1 —sin ф
(4Л)
где Ро — угол между касательной к поверхности откоса в точке О и горп»
зонтальной плоскостью.
Для плоского откоса на основе численного интегрирования диф¬
ференциальных уравнений предельного равновесия получено сле¬
дующее выражение для предельного давления на горизонтальную
поверхность массива сыпучего тела на расстоянии х = х— от бровки
откоса:
Рх — c~\~Gqi
(4.2)
где х — относительная координата; oz — величины безразмерного давления,
которые приведены в табл. 14 для различных значений Р, ф, с и х.
ТАБЛИЦА М. ЗНАЧЕНИЯ БЕЗРАЗМЕРНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО ДАВЛЕНИЯ "аг
Значения аг при ф, град
10
20
30
40
при Р, град
о 1
10
0
10
20
0
10
20
30
0
10
20
30
0
д.34
7,51
14.8
12,7
10,9
30,1
24,3
19,6
15,7
75,3
55,9
41,4
30,6
0.5
9,02
7.9
17,9
14,8
12
43
32,6
24,4
18,1
139
94
62,6
41,3
I 9.64
8,26
20,6
16,6
14,1
53,9
39,8
28,8
20,3
193
126
81,1
50,9
1.5
10,2
8.62
23,1
18,2
14,1
64
46,5
32,8
22,3
242
157
98,5
59,8
2
10,8
8,95 25,4
19,9
15
73,6
52,9
36,7
24,2
292
186
115
68,4
2.5
11,3
9,28
27,7
21.4
15,8
82,9
59
40,4
26
339
215
132
76,7
3
и,а
9,59
29,8
23
16,7
91,8
65,1
44,1
27,8
386
243
148
84,9
3.5
12,3
9,89
31,9
24,4
17,5
101
71
47,6
29,4
432
271
164
93
4
12,8
10,2
34
25,8
18,3
109
76,8
51,2
31,1
478
299
179
101
4.5
13.2
10.5
36
27,2
19,1
118
82,6
54,7
32,7
523
327
195
109
5
13,Г
10,8
38
28,7
19,9
127
88,3
58,1
34,3
568
354
211
117
5,5
14.1
11
39,9
30
20,6
135
94
61,6
35,8
613
381
226
125
6
14,5
11,3
41,8
31,4
21.4
143
99,6
65
37,4
658
409
241
132
40
22,6
27.1
31
34.7
38.1
41.3
44.4
47.5
50,4
53,3
56.2
59 ,
61.7
М

2 ОлреДеление очертания поверхности равноустоичивого откоса
ппи заданном равномерно распределенном давлении на его
гребне
Решение этой задачи по методам теории сыпучей среды возмож¬
но лишь при нормальном давлении
2с cos ф
(4.3)
Р о >
1—sin ф
При этом угол, образуемый касательной к поверхности откоса
с горизонтальной плоскостью в точке О, равен:
п_ ctgy
Р°~ 2 1п
Ро
+ 1
1 —sin ф
Ш_ф]
Шф J
(4.4)
о0 / 1 + sin
Если не учитывать внутреннего трения (<р = 0) сыпучего тела
и исходить только из значения сцепления, то для такой среды
с идеальным сцеплением кривая, являющаяся производящей откоса,
определяется уравнениями:
где з
Z —
— (Я+2-2Р)--^
У	У
2 с
х=-
In
sin р
sin Ро
(4.5)
p=4+i- Ро
(4.6)
2 ’ 2с
При этом условие (4.3) принимает такой вид:
Ра>2с.
Теоретическим профилем равноустойчивого, а следовательно,
и наиболее экономичного откоса будет профиль с переменной по вы¬
соте крутизной. Для построения
предельного контура такого откоса
при заданных значениях объемного
веса у, угла внутреннего трения ф
11 удельного сцепления с сыпучей
среды может служить график, по¬
казанный на рис. 45, построенный
л38 32 28 24 20 16 12 8 Ч 0
РИС. 44
РИС. 45
85

в безразмерных координатах:
7= — л-;
V
г.
с
с
Действительные координаты линии откоса получаются умноже¬
нием этих значений на отношение -.
Для получения контура равноустойчивого откоса, отвечающего
определенной величине коэффициента запаса устойчивости /г, дей-
стапельные значения tg <р и с уменьшаются в k раз. На горизонталь¬
ной поверхности равноустойчивого откоса может быть приложена
еще вертикальная равномерная нагрузка, предельная интенсивность
которой выражается формулой
Эта нагрузка может быть заменена слоем сыпучего тела, способ¬
ным находиться в предельном равновесии при вертикальном отко¬
се высотой
Дтя идеально связного материала (при ср = 0) имеем:
3.	Предельное равновесие откоса
при действии на его гребне давления
с нормальной и касательной составляющими
Рассматривается предельное равновесие сыпучего тела в форме
клина, одна из сторон которого свободна от напряжений, а другая
(горизонтальная) находится под действием нормальной и касатель¬
ной составляющих давления, отношение между которыми постоян¬
но (рис. 46):
с
(4.8)
Р
(4.9)
В секторе / сыпучее тело находится в простейшем предельном
состоянии, которое определяется:
X = sin2 0—cos 0 *l/sin2 ср—sin2 0;
(4.Ю)

угол а,Характеризующий направ¬
ление прямой О А, выражается форму¬
лой
1 /	sin	0	\
а = —[ 0-f-arcsin ;	—	. (4.11)
2 \	sin	ф	1
Линии скольжения состоят из двух
семейств параллельных прямых.
Предельное состояние в секторе II	рис.	4и
уже не будет простейшим, оно опреде¬
ляется интегрированием дифференциальных уравнений предель¬
ного равновесия при заданных граничных условиях в виде на¬
грузки.
4.	Напряженное состояние откоса
у его перелома
Решение для сыпучего клина, образованного двумя гранями от¬
коса, получается различным в зависимости от величины угла пере¬
лома (больше или меньше я).
а)	Напряженное состояние сыпучего клина с углом при вершине,
большим я
Предельное напряженное состояние может возникнуть лишь
в двух крайних секторах / и II (рис. 47), в то время как в среднем
секторе III остается упругое напряженное состояние.
Углы а и Р, определяющие наклон прямых ОА и ОБ, которые
разделяют секторы, находятся из решения двух уравнений:
го (1 —А*) (1 + tg 01 tg р) = л (1 —А*) (1 + tg 02 tg а);
m [(1 — Ai) tg 0X + (I + A*) tg M =»n [(1 — A*) fg 0j + (1 + X,) tg а] — I, (4*12)
■где
A-i = sin2 0i-[“Cos 0i l/sin2 ф—sin2 0i;
^2 — sin2 024“cos 02 "l/sin2 ф — sin2 02;
m^.(1-Xl)(1+tg9ltga)
cos2 ф (tg a—tg P)
n U-M(l-Hg0atgP) _
cos^ q>(tg a — tg P)
РИС. 47
87

Составляющие предельного напряжения в секторе / определяют,
ся формулами:
а, )
ах j	cos2	ф
Y(*+*tgWt
(1—Х\) (1 ± A-i);
Тгх= —
COS2 ф
(4.13)
Этя формулы остаются справедливыми и для сектора //, если
вместе н кх взять 02 и При этом напряженное состояние в сек¬
торах I в II простейшее, т. е. такое, при котором линии скольжения
представляют собой параллельные прямые.
Упругое напряженнее состояние в секторе III определяется фор¬
мулами:
о
о
1 l =	ztg	P)(l	±Xi)-|-yn	(z	tg	а—х) (1 ± Х2);
X J
Ta=—ym(x—ztg Р) (1—Xx) tg 0! —7 п (z tg а — х) (1 — Х2) tg 02.
(4.14)
В частном случае, когда левая и правая части откоса симметрич¬
ны относительно вертикальной оси, проходящей через точку перело¬
ма (Bi = —02 = 0 и р == —а), предельное напряженное состояние
сектора I определяется формулами:
02
0*
V(z+*tg 0)
COS2 ф
(1-м (1±Х);
V(*+* tg0) tg0
2х —	:	(1—Я) •
cos2 ф
(4Л5)
Упругое напряженное состояние в секторе III:
уг
COS2 ф
Vх
Jcos2 ф
(l + tg0tg а) (!-*,)(! ±Я);
(1 + tg 0 tg сс) (1 —X2) tg 0 ctg а.
Г (4.16)
Другой частный случай, когда один из откосов, например левый,
горизонтален (0а = О, Я2 = sin ф, 0Х = 0, Ях = Я).
Напряжения в секторе /;
о
а
:Ь
7 (z-f-x tg 0)
(1—X) (1±Я);
*zx= —
(I-Я)2.
COS2 ф
__ Т (g+дс tg 0)
COS2 Ф
f
Напряжения в секторе ///
я« 1
д^ f — 7"» (-«—г tg Р) (1 ±Х) + тл (г lg а—х) (1 ± sin <р);
т,*- —уш (х—г tg р) (I —X) tg 0.
(4.17)
(4.1»

Третий частный случаи, рассмотренный ранее В. Ренкиным, ког-
пткос прямолинейный (рис. 48). В этом случае предельное напря¬
женное состояние будет:
<*z ) Y(z-fxtg0)
сг*
cos2 ф
у (z-\-x tg 6) tg Q
COS2 ф
(1—X) (1 ± X);
(1 — A,)2,
(4.19)
где
k=sin2 0 ± cos 0 *|/sin2 ф—sin20.
Двум знакам в этой формуле соответствуют два вида напряжен¬
ного состояния сыпучего тела: минимальное и максимальное. Для
горизонтальной “плоскости (0 = 0) получаем:
1 sin ф
Y2‘, Ох=уг ,	Tzx = 0.	(4.20)
1 . * ***—
1 ± Sin ф
Для откоса, крутизна которого соответствует углу внутреннего
трения (0 = ф):
(
°Ъ )=Y(Z+Ar tg ф) (I ± sin2 ф);
)
тгх— —У (z tg ф) sin ф cos ф.
(4.21)
б)	Напряженное состояние сыпучего клина с углом при вершине,
меньшем л
В этом случае предельное напряженное состояние может воз¬
никнуть во всем клине, причем в крайних секторах это предельное
напряженное состояние будет простейшим и определяется прежними
выражениями (4.13).
При этом:
sin 01	sin	0а
arcsin ~ ; 2р= —2р-Ь02—arcsin
sin ф
Sin Ф
Предельное напряженное со¬
стояние в секторе III не будет ^
простейшим и не может быть
выражено в замкнутой форме. 0д
РИС, 48
0,2 о,б о,в 1
РИС. 49
1,2 х/г
89

Для частного случая, когда обе стороны клина одинаково накл0.
нены к горизонту, можно найти распределение напряжений по дю-
бому горизонтальному сечению клина.
В пределах сектора 111 напряжения будут выражаться так:
az=Y*V. t*x = yz/zx.
Величины sz и tzx—известные функции от х/г и могут быть пай.
дены лишь численным интегрированием.
На рис. 49 изображены полученные В. В. Соколовским эпюры
распределения величин sr и tzx в сечении на некоторой постоянной
глубине г, для разных значений параметра s0, который является
некоторой функцией угла а. Пунктирные линии на этом графике
соответствуют границе сектора III. Сравнение этих результатов с те¬
мн, которые получаются на основе предположения о линейном ха-
рактере изменения давления 5Z = 1 — - tg 0, показывает значитель¬
ное их расхождение.
§ 20. РАСЧЕТ ОТКОСОВ ПО МЕТОДУ
КРУГЛОЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ СКОЛЬЖЕНИЯ
На основании данных наблюдений и опытов, а также результатов
строгих, с математической точки зрения, решений можно с достаточ¬
ной для практических целей точностью принять, что поверхности
скольжения в оползневых участках откосов круглоцилиндри¬
ческие.
Предположим, что центр О и радиус кривизны R этой поверх¬
ности заранее известны. Разобьем сползающую призму вертикаль¬
ными плоскостями на ряд элементов (рис. 50) , размер которых в на¬
правлении, перпендикулярном чертежу, равен единице. На каждый
элемент действует сила веса G/ с учетом временной нагрузки на греб¬
не откоса и взвешивания, если откос на некоторую часть высоты на¬
ходится под водой. Эта сила может быть разложена на составляю¬
щие: нормальную Ni — Gt cos 0i и касательную Qt = Gi sin 0**
Последняя будет сдвигающей си¬
лой, вызывающей сползание откоса.
Сила сопротивления сдвигу сы¬
пучего тела, находящегося за по¬
верхностью скольжения, может
быть представлена в виде суммы
сил трения и сцепления
Tt — Ni tg (pj-f asi^Gt cos 0/ tg (pi-fci s<-
Здесь si — длина дуги поверхности
скольжения в пределах данного эле¬
мента i; фi и С( — угол внутреннего
трения и удельное сцепление в преДе*
лах дуги sj.
рис. GO
90

можно
вы-
рассматривая равновесие отдельного элемента с учетом горнзон'
ьных и вертикальных сил взаимодействия между ним и соседшг
элементами, можно составить для всей сползающей призмы три
Сравнения равновесия статики. Еще более общее уравнение мо>
олучить, если применить принцип возможных перемещений и
разить работу, совершаемую всеми силами на возможном перемеще- '
нии элементов призмы.
Однако недостаточная изученность сил взаимодействия между
эчементами, а также сложность получения окончательных резуль¬
татов являются причиной того, что их обычно не учитывают, тем бо¬
лее что их суммарный момент относительно точки О невелик.
Однако это допущение вносит некоторую неточность, так как
нормальные и касательные напряжения, действующие по боковым
плоскостям, могут передавать усилия с одних элементов на другие
и вызывать перераспределение нормальных и касательных состав¬
ляющих сил сопротивления между отдельными участками поверх¬
ности скольжения.
Условие равновесия откоса сводится к уравнению моментов
всех сил, действующих на сползающую призму, относительно
центра О поверхности скольжения.
£
2Л/О = 0 или ZGiXi — —2Г/ = 0.
k
При этом силы сопротивления сдвигу уменьшены в k раз с учетом
необходимости обеспечить определенный запас устойчивости откоса
против разрушения.
При «проверочном расчете существующего или запроектирован¬
ного откоса расчетный коэффициент устойчивости определяется как
отношение момента сил сопротивления сдвигу к моменту сдвигаю¬
щих сил
k = R1T‘ - =	•	(4.22)
ZGtXi ZQi
Подставляя вместо сил Tt и Q,- их выражения и учитывая, что
0f и sin °г =7>(>
получим
t T,Gi Z{ t6 ф/Ч-RSci	fA
«=			•	I*--a)
1 Gi xi
Во всех этих формулах суммирование распространяется на все
элементы, на которые разбита сползающая призма.
Если величины удельного сцепления и углов внутреннего тре¬
ния одинаковы для всех элементов откоса (с = const и ф = const),
0 коэффициент устойчивости будет равен:
где s —
ZGiXi
Длина всей кривой скольжения.
91

При расчете откосов обычно обеспечивается коэффициент устой¬
чивости в пределах 1,1	1»5.
Отдует иметь в виду, что для тех элементов, которые на рис. 5ф
расположены слева от вертикали, проведенной через точку О, сдви-
гающие силы направлены в сторону, противоположную сдвигу всей
призмы. Это учитывается знаком «минус» при соответствующей ве¬
личине XI в формулах (4.23) и (4.24).
Коэффициент устойчивости откоса при наличии в нем фильтра-
ционного потока должен быть определен с учетом взвешивания грун-
та в воде. Для этого можно воспользоваться формулой
2Gt zjigyi+PZcj si
IG,xi+yBRb2hi ’	( ,25)
где ув _ удельный вес воды; hi — высота части элемента, занятого
фильтрационным потоком, выше уровня воды в нижнем бьефе; b — ширина
элементов.
Что касается уравнений равновесия в форме уравнений проек¬
ций всех сил на вертикальную и горизонтальные силы, то первое
из них удовлетворяется автоматически, поскольку вертикальная
сила С*, действующая на каждый элемент, уравновешивается сила¬
ми Ni и ТI. Второе же уравнение проекций оказывается неудовлет¬
воренным, так как горизонтальные составляющие объемных сил
сыпучей среды просто не рассматриваются.
Учитывая еще допущение, на которое было обращено внимание
выше, метод круглоцилиндрических поверхностей скольжения мож¬
но оценивать только в качестве приближенного. Несмотря на это,
непосредственное применение этого метода на практике встречает
некоторые затруднения. Сложность задачи заключается в отыскании
наиболее опасной поверхности скольжения, которая определяется
тремя параметрами: радиусом R и двумя координатами центра ок¬
ружности. Метод повторных попыток, предложенный Г. Креем и
К. Терцаги, позволяет решить эту задачу, но оказывается весьма
трудоемким, поэтому рядом исследователей (М. Н. Гольдштейном,
Г. И. Тер-Степановым, М. М. Сокольским, П. Д. Лабасовым,
Б. М. Ломизе и др.) предложены различные таблицы и графики, об¬
легчающие отыскание опасной поверхности скольжения.
В результате аналитического решения этой задачи для прямо¬
линейного откоса в однородном грунте методом множителей Лагран¬
жа Б. М. Ломизе [781 построил график (рис. 51), позволяющий решать
следующие задачи:
1) определять допустимую высоту откоса h, если известны зна¬
чения у, ip, с и к и крутизна откоса 1: m = tg р;
2) определять требуемую крутизну откоса 1 : ш, если известны
значения Л, у, «р, с, h и к\
3) определять коэффициент устойчивости к, если известны значе*
ния у, ф, с н т.
Таким образом, одного этого графика достаточно для решения
всех основных задач, возникающих при расчете устойчивости нл° ,
92

осов в однородных грунтах. На этом графике по горизон-
НОЙ ОСИ отложены отношения а по вертикальной —
Т3 м каждая кривая соответствует определенному значению т
пРоиная от т = 0,25 до т = 6.
иа р" и расчетные данные находятся в области / графика, то это
чает что опасная поверхность скольжения выклинивается в ос-
оЗН^нии’за пределами откоса. Если же расчетные данные оказы-
нов в области //, то опасная поверхность скольжения проходит
B3ne3 точку пересечения откоса с основанием. Граница между об¬
ластями нанесена на графике (рис. 51) штрихпунктирной линией.
При tg фрасч = ПГ = °’246, Т’ 8- ПРИ Фрасч = 14°’ 0ПаСНаЯ П0'
верхность скольжения всегда проходит через точку пересечения от-
коса с основанием. Выклинивание опасных поверхностей скольже¬
ния за пределами откоса может быть только при очень малых зна¬
чениях угла внутреннего трения.
Пример б. Найти требуемую крутизну откоса высотой h = 6 м при ко-
вйкЬициенте устойчивости k == 1,3, если объемный вес, угол внутреннего тре¬
ния и сцепление грунта составляют у = 18 кН/м3, ф — 15 и с — 5 кПа.
Находим значения и щ, отвечающие условиям равновесия откоса:
tg ф tg 15
1,3
= 0,268;
ky ft
1,3-18.6
= 0,0356.
По графику (рис. 51) находим т = 2,17. При этом опасная поверхность
скольжения пройдет через подошву откоса, так как искомая точка на гра¬
фике попадет в область //.	1П
Пример 6. Проверить устойчивость откоса высотой Л — 1U м и крутиз¬
ной 1 : /72 = 1 : 2,5, если у — 20 кН/м8, ф — 17°, с 10 кПа.
О 0,05 0,10 0.150,200,250,200,250,400,450,500,55Of600tS50,700)75
tfff
РИС. 61
93

Определяем относительное сцепле
с	10
\Н 20*10
= 0,05.
Огкллдымя на осях координат значения tg ф — tg 17° = 0,306 и =
= 0*05. ваходим точку Л1 н соединяем ее прямой с началом координат
f?*e. 5*i). На пересечении этой прямой с кривой т = 2,5 находим точку Af'
*	tg	Ф	'
«cropoft на оси абсцисс соответствует —= 0,23.
Иехомый коэффициент устойчивости
0,306	,	_
k = —-—=1,33.
0,23
Еще проще расчет откосов по методу круглоцнлиндрических по- I
верхностей скольжения производят по формуле и таблице коэф¬
фициентов, предложенным М. Н. Гольдштейном (см. [136])]для коэф¬
фициента устойчивости
k = Atgy-\-B ——— ,	(4.26)
yh
где А и В — коэффициенты, зависящие от крутизны откоса 1 : т, приведен»
ные в табл. 15.
ТАБЛИЦА 15. ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ А И В
Крутизна откоса 1 :т
фицн-
еят
1 : I
1 : 1,25
1 : 1.5
1 : 1,75
1 : 2
1 : 2,25
1 : 2,5
1 : 2,75
1 : 3
А
2,34
2,64
2,64
2,87
3,23
3,19
3,53
3,59
3,59
в
5,79
6,05
6,5
6,58
6,7
7,27
7,3
8,02
8,81
Эти коэффициенты соответствуют наиболее распространенному
случаю, когда поверхность скольжения проходит через нижнюю
кромку откоса. Для связных грунтов с небольшими углами внутрен*
него трения (ф < 6°) при залегании на некоторой глубине плотного
подстилающего слоя поверхность скольжения может пересечь по*
верхность основания за пределами откоса.
Пример 7. Проверить устойчивость откоса, рассмотренного в предЫДУ ,
щем примере, по формуле (4.26)	[
k = 3,53 • 0,306 4- 7,30 • 0,05 = 1,44
вместо 1,33, полученных с помощью графика рис. 51.	]

I РАСЧЕТ откосов при замене
ПОВЕРХНОСТИ скольжения плоскостью
Самое грубо приближенное определение предельной высоты от-
оса может быть сделано на основе допущения, что опасная поверх¬
ность скольжения плоская и наклонена к горизонту под углом 0
(рис. 52).
рассматривается условие предельного равновесия сползающей
призмы ABC весом G при действии сдвигающей силы Q и удерживаю¬
щей силы Т. Эти силы выражаются так:
yh? sin (р—0)	.
0=—	г~ —/Г » Q=Gsin 0;
2 sin р sin G
с	ch
T = N tg Ф + ТГ L = G cos 0 tg ф-J-
2	2	sin	6
При этом исходя из неравномерности распределения давлений
по плоскости скольжения учтена только половина силы сцепления с.
Уравнение предельного равновесия записывается в форме
ch
Q — T или G sin 9 = G cos 9 tg у-{- - — . - — «
Разделив это уравнение на cos 0 и подставив вместо G его выра¬
жение, получим
./4	1	с	sin р
tg 0—tg ф=	—	.
yh sin (р — 0) cos 0
Отсюда
.  	g	sin	p
ysiri(p—0) (sin 0—cosOtgy)
Для определения опасной плоскости скольжения, соответствую¬
щей минимальной высоте /г, приравняем нулю производную выраже¬
ния (4.27) по 0. Из полученного уравнения находим
6 = -^ •	(4.28)
Таким образом, опасная плоскость скольжения проходит по
иссектрисе угла, заключенного между углом откоса р н углом внут¬
реннего трения ф сыпучего тела.
Подставляя найденное значение 0 в выражение (4.27), получим
формулу для предельной высоты откоса
.	«>29)
Леплен10*1 ^ЮРМУЛЫ	следует, что при	с = 0,	т.	е.	при	отсутствии
ИеевязнНЯ’ откос	м°ж^т быть устойчивым,	если	р	^ ф,	т.	е.	массив
0Г0 СЬ1лУчего тела находится в равновесии только в том слу-
95

чае, если угол его откоса р с горизонтальной плоскостью не боль
угла внутреннего трения этого сыпучего тела. Этот вывод друг^
путем уже был получен в § 7.	**
Коэффициент устойчивости такого откоса при отсутствии дру>
гнх нагрузок может быть определен по формуле	*у'
tg ф
(4.30)
tg р
Для вертикального откоса р = я/2 и
2с cos ф	2с
Лдр —
у (1 — sin ф)
tg
(4.31)
Отсюда следует, что вертикальный откос без крепления может со¬
хранять устойчивость только при с Ф 0.
При отсутствии внутреннего трения, т. е. при <р = О,
2с °
— •	(4.32)
Адр —
Формула (4.31) совпадает с формулой (4.9), полученной при стро¬
гом решении задачи.
Пример 8. Определить предельную высоту вертикального откоса для
мокрого глинистого грунта, характеризующегося значением у = 20 кН/м»,
углом внутреннего трения ф = 17° и удельным сцеплением с = 10 кПа.
о 025 05
1	1,5	2
m=ctg'P
РИС. 52
РИС БЗ

По формуле (4.29) находим
__10	0,956	 4
*пр— 20	(90° —17°) ~1,35м-
sin2	—
2
При отсутствии внутреннего трения по формуле (4.32) получается Апр =
-з1 М.	.
На графике (рис. 53)^ нанесены две кривые, изображающие зависимость
между предельной высотой откоса Лпр и его заложением т для грунта, обла¬
дающего значением у = 20 кН/м3, углом внутреннего трения <р = 17°
и сцеплением с — 10 кПа. Кривая / построена на основе допущения, что по¬
верхность скольжения плоскость, а кривая 2 — на основе допущения о
круглоцилиндрической поверхности скольжения. Из рассмотрения этого
графика следует, что для одиночного откоса ^Р = —j результаты почти совпа¬
дают и расходятся тем сильнее, чем больше т.
При насыщении откоса водой условия его устойчивости сущест¬
венно изменяются, так как, во-первых, сыпучее тело подвергается
взвешиванию и, во-вторых, появляется сила гидродинамического
давления, направленная по касательной к линии фильтрации потока
воды, вытекающего из откоса (рис. 54).
Рассмотрим откос, угол которого с горизонтальной плоскостью
составляет р, и выделим у поверхности объем сыпучего тела, равный
единице. На этот объем кроме вертикальной силы собственного веса
б = Увзв 1 действует еще сила гидродинамического давления W, ка¬
сательная к плоскости откоса, которая определяется формулой
W=yBni.	(4.33)
Здесь увзв — удельный вес сыпучего тела во взвешенном состоянии; Ув —
удельный вес воды; п — пористость сыпучего тела; i— гидравлический уклон,
т. е. уклон депрессионной кривой, который у поверхности откоса определяет¬
ся углом Р, т. е. i = 1 : т — tg р.
Сдвигающая сила, касательная к откосу, представляется в виде
суммы двух сил; касательной составляющей силы G и силы W;
Q—G sin р-{-№.
Удерживающая сила, равная силе трения выделенного объема по
поверхности откоса, выражается через нормальную составляющую
силы G и через угол внутреннего трения <р сыпучего тела
T—G cos р tg ф.
Рассматривая состояние предельного равновесия откоса, примем
Для угла р предельное значение рпр и приравняем силы Q и Т. Раз-
и!5В полУченное уравнение на G cos рпр и подставив вместо сил G
их выражения, найдем такое соотношение
Рпр+~ sin Рпр — Ф*
Твзв
Иие vr?a’ оНая ?»• Vdsd. П И ф. можно определить
,1ла Рпр.
4 3**<* 1169

При этом угол <р для сыпучего тела, насыщенного водой
быть взят другим, чем для сухого состояния.	’	л>Кек
Коэффициент устойчивости более пологого откоса, определяе
углом р, находится как отношение удерживающей силы к слвн°Г°
ющей, т. е.	д	Ига’
k_T __ YB3BCOSptg(p
Q Увзв sin P + Yb'1 tg P *	(4-35)
При отсутствии фильтрационного потока воды второе слагаемое
в знаменателе этой формулы обращается в нуль и формула (4.35)
переходит в (4.30).
Коэффициент устойчивости откоса может быть выражен и другим
отношением:
|	L	РПР
1	tgp- ’	(4’36)
где Рпр определяется из уравнения (4.34).
Неукрепленные откосы насыпей и выемок для объектов географи¬
ческих районов, подверженных землетрясениям, выполняются бо¬
лее пологими, чем обычно принятые для данного сыпучего тела, на
величину сейсмического угла
ф = arc tg/С,	(4.37)
где К = ~— коэффициент сейсмичности; / — сейсмическое ускорение; g —
о
ускорение свободного падения.
§ 22. ДАННЫЕ ОПЫТОВ И НАБЛЮДЕНИЙ
Исследование сползания земляных откосов методом центробеж¬
ного моделирования проведено в 1934 г. С. И. Мигиным. Опыты
позволили выявить условия, при которых происходит обрушение
откосов, и изучить форму и положение поверхностей сползания зем¬
ляных масс.
Модели откосов выполняли из сухого песка средней крупности
и глины; в последнем случае опыты производились как без напора
воды, так и при наличии напора. На центрифуге испытывали три
песчаные модели, каждая с двумя откосами, которые устраивал1
возможно более крутыми. Высота профиля модели до опыта составл
ла 13 см, что соответствовало в натуре 12,9 м. После вращения ь
ретки в течение 5 мин (что соответствовало 34 суткам в	се
натуры) осадка модели составила 0,3 см (в натуре 0,3 м).	^
значение угла наклона откоса к горизонту после опытов для
трех моделей получилось равным 32°05', что лишена 3% отли^н110Го
от угла естественного откоса данного песка (33°06'), полу4
в стеклянной банке.	откос3*
В процессе опыта ничто не указывало на сползание в

Дно карет ни	Г
РМС. 55
РИС. 66
целых, хотя бы и малых, призм песка. Вместе с тем откосы стали
несколько положе, приняв более устойчивое положение. Поверх¬
ность их осталась плоской. Откосы, сложенные из глины со значи¬
тельным сцеплением, были подвергнуты центрифугированию в те¬
чение 1 ч (что соответствовало в натуре приблизительно 20 мес.).
При этом откос крутизной 1:1, высотой 12 см (13,7 м) понизился на
1,9 см (2,16 м), а откос крутизной 1:3, высотой 10,4 см (13,2 м) —
на 1,2 см (1,2 м). Обрушению откоса из глинистого грунта в боль¬
шинстве случаев предшествовало образованию трещин на гребне от¬
коса, параллельных образующей откоса.
Обрушение откоса происходило одновременно по нескольким по¬
верхностям скольжения одного и того же характера. В большинстве
случаев поверхности скольжения близки к круглоцилиндрнческим,
причем радиусы этих поверхностей увеличиваются по мере прибли¬
жения их к поверхности откоса. Результаты испытания модели от¬
коса показаны на рис. 55. При этом пунктирные линии соответст¬
вуют очертаниям откоса после опыта. Вверху у гребня откоса и при
выходе наружу в основании откоса кривизна меньше, чем в средней,
наиболее заглубленной в толщу откоса части поверхности скольже¬
ния. Большинство поверхностей скольжения начиналось от гребня
модели, пересекало весь профиль откоса и выходило наружу около
линии пересечения поверхности откоса с основанием. Г, И. Покров-
ский и И. С. Федоров указывают [951, что сопоставлением значитель¬
ного числа экспериментов удалось установить средний профиль об¬
рушенного откоса, который немногим отличается от прямолинейного
и несколько вогнут. Во многих случаях оказывалось почти невозмож¬
ным получить обрушение откоса, так как наблюдалось оседание и
«ползание отдельных частей грунта из-за деформации скашивания.
Методом центробежного моделирования также исследованыотко-
ы запроектированного деривационного канала у Самарской луки
откосы Волго-Донского канала, который по предварительному про-
3 ТУ проходил в мелкозернистых песках с прослойкой глины. Ре-
дУльтатъг исследований откоса высотой 10 м приведены на рис. 56.
-Д Цеитробежиого моделирования оказался очень удобных* для
своГАеЛеННЯ Усто11411 вости откосов в грунтах, физико-механические
К0Т0РЬ,Х недостаточно изучены, а также откосов, покрытых
4*
99

Глава V
ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
§ 23. УСЛОВИЯ РАБОТЫ ПОДПОРНЫХ СТЕН
Задача об определении давления сыпучего тела на ограждающую
поверхность — одна из наиболее сложных. Сложность заключается
в том, что здесь встречаемся со случаем взаимодействия трех различ¬
ных тел: засыпки, стены, поддерживающей ее, и основания, на кото¬
ром, стена стоит. Если на поверхности сыпучего тела имеется нагруз¬
ка, задача еще более усложняется.
Давление, оказываемое сыпучим телом на ограждающую стену,
зависит не только от ее высоты и наклона, от очертания свободной
поверхности засыпки и ее механических свойств, но также _и от
^жесткости стены н основания. Решение задачи с учетом всегоJyxa-
'занного представляет собой пока еще не преодоленные трудности,
н существующие.методы расчета основаны на различных допуще¬
ниях. Критерий применимости того или иного метода к практиче¬
скому расчету сооружений — совпадение результатов расчета сдан¬
ными наблюдений и опытов. Кроме того, серьезное значение имеет
большая или меньшая сложность решения, связанная с применением
того или иного метода.
Стены, ограждающие сыпучее тело, могут быть следующих типов:
а) подпорные — массивные (рис. 57, а) и тонкоплитиые
(рис. 57, б), поддерживающие массив сыпучего тела благодаря зна¬
чительному собственному весу или весу самого сыпучего тела, рас¬
положенного над фундаментной плитой;
б) заглубленные, удерживающие сыпучее тело благодаря защем¬
лению их в основание (рис. 57, в)\
в) стены емкостен для хранения сыпучих тел, которые представ¬
ляют собой часть замкнутого снизу и с боков сооружения, заклю¬
чающего сыпучее тело, и которые удерживают это сыпучее тело бла¬
годаря связи с остальными стенами и с днищем (рис. 58);
г) стены заглубленных сооружении, отличающиеся от стен ем*
костей тем, что сыпучее тело находится не внутри сооружения, а сна¬
ружи (рис. 59).
Давление сыпучего тела на
ограждение и условия работы
последнего различны в каждом
из этих четырех случаев.
В данной главе рассматрн*
вается вопрос только о ДавЛ
нин на подпорные стены сып)
чего тела, в качестве которо
в основном имеется в BlJ
РИС. ы
*1С1 U 1WIC1|	ivv	у
в основном имеется в в J
грунт. Вопросы опредсле
100

вления сыпучего тела на стены и днище емкостей и заглублен¬
ных сооружений рассмотрены в последующих главах.
Сыпучее тело, находящееся за подпорной стеной, стремясь пгд
влиянием силы тяжести прийти в движение и занять объем, ограни¬
ченный поверхностью естественного откоса, встречает сопротивление
стены и оказывает на нее давление. Это давление зависит не только от
механических свойств сыпучего тела и геометрических размеров сте¬
ны и откоса, находящегося за ней сыпучего тела, но также и от ха¬
рактер3 и величины перемещений стены, которые в свою очередь за¬
висят от жесткости непосредственно стены и ее основания.
Давление, оказываемое сыпучим телом на абсолютно жесткую
и неподвижную стену через достаточно большой промежуток вре¬
мени, называется установившимся или давлением состояния покоя
(давлением при покое).
При перемещениях подпорной стены находящееся за ней сыпу¬
чее тело приходит в движение, сопровождающееся возникновением
элементарных сдвигов по отдельным площадкам. При этом в зави¬
симости от направления перемещения давление сыпучего тела на
стену снижается или повышается по сравнению с давлением при
подое.
Примерный график, показывающий изменение равнодействующей
или силы давления Q сыпучего тела па подпорную стену в зависи¬
мости от величины ее перемещения А, изображен на рис. 60. На этом
графике сила давления при покое обозначена через Q0. При некото¬
рых величинах перемещений в ту и другую сторону в сыпучем теле
образуются уже сплошные поверхности скольжения. При этом в слу¬
чае движения подпорной стены в сторону от засыпки сила давления
сыпучего тела иа подпорную стену падает до своего нижнего преде¬
ла Qa, называемого силой активного давления, распором или напором,
а в случае движения подпорной стены в сторону засыпки достигает
РИС, 59
РИС. 00

верхней) предела <?„, называемого силой пассивного сопрогпивлен
или отбором. Эти термины в механике сыпучих тел и в мехами^
грунтов стал)! настолько привычны, что сейчас уже трудно перейГ
к более правильным — нижний и верхний пределы силы давления
сыпучего тела.
Перемещения подпорных стен носят сложный характер. Они
складываются из перемещений стены как твердого тела, зависящих от
деформации основания, и из упругих или пластических перемеще¬
ний, связанных с деформацией непосредственно тела стены. Послед-
ние имеют значение только для тонких (гибких) стен. Всякое слож¬
ное перемещение подпорной стены как твердого тела относительно
основания может быть разложено на три составляющие: горизонталь¬
ное поступательное перемещение, вертикальное поступательное пе¬
ремещение и поворот вокруг той или иной оси. При абсолютно жест¬
ком основании такой поворот возможен относительно нижнего перед¬
него или нижнего заднего ребра подпорной стены, а при деформи¬
руемом основании — вокруг некоторой оси, расположенной ближе
к середине ширины подошвы.
При некоторых величинах нагрузок, действующих на подпорные
стены, их перемещения могут достигнуть таких значений, что про¬
изойдет сдвиг (скольжение) стены по основанию (рис. 61, а) или ее
опрокидывание (рис. 61, б). И в том и в другом случае стена теряет
устойчивость и перестает выполнять свое назначение как инженер¬
ное сооружение, т. е. наступает его предельное состояние. При не¬
достаточно прочном основании потеря устойчивости подпорной стены
может произойти при разрушении основания с возникновением в нем
поверхностей скольжения, с выпиранием грунта из-под подошвы
сооружения и даже с опрокидыванием стены в противоположную
сторону (рис. 61, в).
Предельным состоянием подпорной стены следует также считать
развитие в ее основании недопустимо больших по условиям эксплуа¬
тации деформаций в виде осадок или кренов.
Перечисленные предельные состояния в действительности могут
быть достигнуты в чистом виде лишь в качестве исключения, и чаще
всего истинная форма нарушения равновесия подпорной стены со¬
держит в себе одновременно элементы сдвига и поворота при нали¬
чии соответствующих деформации основания.
Давление, которое оказывает засыпка на подпорную стену,33
висит от объемной массы р этой засыпки, ее угла внутреннего трени
Ч и удельного сцепления с.
и)
д)
у*
/
/
/
РИС. 61
Ориентировочные значения v
зух, указанные в СНиП 11-И м Ла?ъРИстик груитоп 9
«еких сооружений»), приведены »	стены	г?СЫПКИ па‘
Аены в табл. 16. ены г,,дротехни-
ТАБЛИЦА 16	у.„
подпорных РЛСТН,<И пантов ЗДг
_______ Лорных стнн град. ™;«сывкн „ЛЗУ*
коэффициент
пористости
ф, град, для грунтов
объемная
масса,
т/м1
коэффици¬
ент водо-
иасыщения
0,41-0,5	1,75-1,8
0,51-0,6
1,6—1,65
0,61-0,7
1,55—1,6
На работу подпорной стены большое влияние оказывает величи¬
на угла отклонения силы давления сыпучего тела от нормали к зад¬
ней грани стены; от этого угла зависит не только величина давления
сыпучего тела, по и величина момента, опрокидывающего подпор¬
ную стену. Угол отклонения зависит от угла трения сыпучего тела
о стен у, от соответствующего удельного сцепления, рт угла наклона
задней грани стены и от угла наклона поверхности сыпучего тела за
j подпорной стеной. Угол отклонения возрастает с увеличением пере¬
мещения степы, что особенно заметно при уплотненной засыпке.
Для уплотненного сыпучего тела угол отклонения больше, чем
Для рыхлого, поэтому направление давления не постоянно по высо-
те стены, так как угол отклонения возрастает с глубиной. Когда нет
сцепления между сыпучим телом и стеной, предельным значением
Угла отклонения должен служить угол внутреннего трения сыпучего
бы3’ ТаК Как в ПР0ТИВ1ЮМ случае сдвиг сыпучего тела происходил
^^.П0^ЭД_1ей грани стены, а по соседней с ней поверхности, прохо-
ЩРи внутри сыпучего тела.
ния °	П-И. 10-65 угол отклонения равнодействующей давле-
Поло^нта от нормали к тыловой грани стены 6 принимается равным
НОГО иие угла внутреннего трения 6 = 0,5 <р. При наличии специаль-
Р°хова °енования Допускается принимать: для стен с повышенной ше-
гРэнью°СТЬЮ тылов°н грани, например, со ступенчатой тыловой
^Донаск3 Также для бутовых и ряжевых 6 = q:; для мелкозернистых
п^рхноЩеНИЬ,Х песков и ПРИ наличии вибрационных нагрузок на
110кРьггыуТл засыпк”. а также при тыловых гранях подпорных стен,
битумной гидроизоляцией, 6 = 0.
Ж
103

§ 24. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АКТИВНОГО ДАВЛЕНИЯ
СЫПУЧЕГО ТЕЛА ПО МЕТОДУ В. В. СОКОЛОВСКОГО
В основу этого наиболее строгого и общего метода теории предел
иого равновесия положено допущение о том, что сыпучее тело в
которой области за подпорной стеной целиком находится в^гшедел**
ном напряженном состоянии, т. е. что в любой точке этой областГ
ограниченной .некоторой объемлющей поверхностью скольжения’
выполняется условие (2.34). Для того чтобы такое состояннеТ7аст\-'
пило, необходимо, чтобы стена получила некоторое незначительное
перемещение в направлении;.лдтивного давления, велйчЯШПЙто.
рого* однако, не фиксируется и в"“расчетные уравнения не вхбДнт,
В зависимости от наклона задней грани подпорные стены разде¬
ляют на крутые, когда задняя грань служит одной из поверхностей
скольжения (рис. 62, а), и пологие, когда обе поверхности скольже¬
ния проходят внутри сыпучего тела (рис. 62, б). В случае горизон¬
тальной поверхности засыпки и при отсутствии сцепления к крутым
относят подпорные стены, когда задняя грань составляет с вер-
тика лью угол
■V -Г ^ д. rein S*n	фо	/СП
ос < arcsin .	,	(5*1)
2	sin	ф^ 2	'
где ф0 — угол трения засыпки по подпорной стене.
Переходные значения углов наклона задней грани подпорной
стены, отделяющие крутые стены от пологих, приведены в табл. 17.
Для крутой подпорной стены (рис. 63) в области / сыпучее тело
находится в простейшем предельном состоянии, составляющие на¬
пряжения которого определяются выражениями:
Ог
Ох
V(z+A:lgJ^ (1_Х)(1 ±а.);	(5<2)
COS2 ф
У (г+* tg ft)
к
COS2 ф
Tjx:	■	„	-	tgP(l->0»,	(5-3)
где X=sina p-f-cos p T/sin® ф—sin2 p.

ТАБЛИЦА 17. ПЕРЕХОДНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ УГЛОВ а

Угол фо» определяющий положение прямой ЛС, выражается
формулой
п m О	1	.	М
(5.5)
к п -?-4-
*“Т" 2 +
1	sin	Й
— aresin
2	sin	ф
Линии скольжения состоят из двух семейств параллельных пря¬
мых. Предельное состояние в области II уже не будет простейшим
и находится интегрированием дифференциальных уравнений пре¬
дельного напряженного состояния.
Если угол трения засыпки по подпорной стене совпадает с уг-
лом внутреннего трения, т. е. ф0 = (р, то огибающая поверхность
скольжения совпадает с задней гранью подпорной стены.
Нормальное и касательное давление о 0 и т0 в верхней точке под-
порной стены может быть выражено непосредственно через заданное
нормальное давление р0 на сыпучее тело у этой точки. Для этого
служат формулы:
F0
Ро
COS3 фо [ 1 — COS ф У tg2 ф — tg2 фо 1
14-sin ф
sin фо
Ф
То = 00 tg фо-
X
.	.	sin(PoA,
Хехр 2а + ф0— arcsin —;	 tg	ф
1\	sin	ф	/
(5.6)
При отсутствии сцепления и при ф0 = ф линия контакта под¬
порной стены и сыпучего тела будет линией разрыва. В случае не¬
весомой сыпучей среды при действии на ее поверхности равномерно
распределенной нагрузки в треугольниках AEF и ABD (рис. 64)
сетку линий скольжения образуют два семейства параллельных пря¬
мых, а в области ADF одно семейство состоит из прямых, проходя¬
щих через точку А, а другое — из логарифмических спиралей.
Напряжения вдоль подпорной стены постоянны и определяются
формулами (5.6).
При наличии объемных сил прямолинейными будут лишь линии
скольжения в треугольнике AEF, а в остальных областях оба се¬
мейства линий скольжения криволинейны.
. .При абсолютно гладкой (ф0 = 0) и вертикальной (а = 0) под*
порной стене нормальное активное давление на нее на любой глуби*
ие г определяется формулой
}? = o = (Vz+p)tg»	'f')-2ctg (_4’~
£
2
I
(5.Я
подпорной стены вертикя*.
роховатость характеризует!^3’ 3 ее «*-
ным углом трения, т. е. Ког!я "Редель-
и a - 0, напряженное состой0 ^	0
ки будет простейшим ,,° Не Засьщ-
следующими формулат;	Пре^яется
Ot
Ох
l = Y (z + * tg Ф) (I =F siп^ ф);
J	?
—V(2 + a: tg ф) sin фсоБф. j
(5.8)
Составляющие активного давления
на заднюю грань подпорной стены бу¬
дут:
ох = yz cos2 ф;
tzx = —yz sin ф cos ф.
(5.9)
РИС. 65
В общем случае В. В. Соколовский
применяет приближенный численный
метод решения исходных дифферен¬
циальных уравнений при заданных гра¬
ничных условиях, сводящийся к оты¬
сканию значений искомых функций в
конечном числе узловых точек сетки
характеристик.
§25. СЛУЧАЙ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ
ПОВЕРХНОСТИ ЗАСЫПКИ
Для частного, но наиболее часто
встречающегося случая, когда поверх¬
ность земли горизонтальна, а подпорная
стена со стороны засыпки плоская, нормальная о н касательная
т — составляющие давления грунта в любой точке на глубине а от
оверхности (рис. 66)—выражается следующими простыми фор¬
мулами:
РИС. 66
o = Qyr—oyz,
т=7уг = туг,
(5.10)
(5.11)
где
Линиями скольжения как для невесомой среды, так и для сред ^
обладающей объемными силами, будут два семейства параллель
них прямых (рис. 65).	#	:
В другом частном случае, когда поверхность сыпучего тела из
клонена к горизонту под углом внутреннего трения, задняя гра I
106
^ ^ ^cos а Расстояние от верха стены до рассматриваемого сечения;
РУнта; q ^ассматрнваемого сечения от верха стены; у — объемный вес
Л°8ским (1151 к°эффнциеиты, значения которых вычислены В. В. Соко-
Q ДЛЯ пологих подпорных стен н 3. Н. Буцъко f I5J — для крутых;
. соГа н т = - ^	,
т*бл ,	cos а —коэффициенты, значения которых приведены
* *8.

с
u
X
ж
<
X
X
ж
ж
ч
ж
<
О о
|5
^ о
<*
5 о
* U
z .
с в
О *
3 :*
=; -
< о
SS
О S
= о
а с
г<
г н
ui х
X *
•	Ж
*	X
<п г
О и
*5
ж <
К
А
<
О
ь>
о
«9
*
•э
Ск
U
~>_о-о-о-о-©-©-о-о~о-.о-«
SS 8S3
ас сч оо сч оо
а> — О) -* ©
00 СЧ ОО СЧ 00	00	сч
аз ~ч аз —• аз	—
tf ю ^ л з*
о *-« о ©
—•
аз сч аз сч сп
со
© СЧ 03 с5
gsssss
о* о о О* О ©’ о" © ©" ©* ©“ о О о о о о о о о о о о сГ
^	СЧ 00 сч	сч
сЬ	03 О о	©
Og СО 00 СЧ 00
СЧ сч rf 00	сч	*ь
ОО СЧ 00 оо сч оо сч ао СО 00 00 СО
•* *
о о
О о о‘ о о ©‘ © © о о о О оооооооооо
о
ю
аз Tf аз ю оо со оз со со сч аз ю
N ^ N (М N
о* о о о о* о" о" о о о о о оооооооооо оо
Sm s	03	Tf	03 ia ОО	^ OJ PJ PJ tN	03 Ю 00 Оз
О 00 — 5 N - ММ N	n^ncon	со сч <3 $
ч
т
X
р
1 СХ
I U
» а
X
3
1
S
о
>;
X
13
Б
к
о
о
о
о
С4
о
+
00
ао
о
о о о о
оо
г- о
2
т	•*	•
о о о о
оо
Г4»
т со
^ о
о о о о
СЧ Ю
ао —
«к	»
о о
00
—
о о
со со
—
т т
о о
со
г^
о" о
о
•и
о
7
о
W
— <о 00 01
N О (О ^
о" о* о" о
сч со ю
I*- — h- СЧ
сВ
со N о со
со ^ ю со со
ю —♦ со С>
Ю СЧ Ю СО
оооооооооооооооооо
о>
со
ю сч
tp *н
о о о о
-Г	СО
СО	ю	^
•к	«ъ	*
о о о о
сч сч
со сч
#* »
о о
ю сч
о" сГ
ю
ю
о о
О	X	N
ю	о	^	^
•* *к т	9
о	о	о	о
0,58
0
0,53
0,14
0,5
0,29
00 СО СЧ СО
Т*< ^ Ч* СО
#* й* •* «к «к
о о о о о о
0,49
0
0,45
0,12
0,41
0,24
0,37
0
0,34
0,13
0,31
0,26
0,41
0
0,37
0,1
0,33
0,19
0,3
0
0,25
0,1
со о
сч ^
«к «к
о о
со со ^ —• О
СО О СО ^ тг
rf ао ^ ш со
^ о ^ ^ со
оо N ю о)
сч о сч — сч
СП N N ^
^ О —« ^
оооооооо ооооо ооооооооооо
СО	сч ю о ^ со
СО	со О Ш -н ХГ
00 S СО со N
СО О со -н сч
СО СО —< СЧ СО	ТРЮСЧ
СЧОСЧ^И—	«-Н о —« ^
оооооооооооооооооооооооо
г:	^	;2	t	°	t	оо	со	оо ю СО о —	о	со oo
СО	Ю О lii ^ со	со о	со ^ сч ^0^0^	о	о о	о
*	«»*»#.	#к	•>	«к	*к	#к	ОТ	«к	#к	»
ооооооооооооо ооооооооооо
о
со
*
4
a
г-	сч in о) о> *-*
1Л	ю о t О со
£- Ю Ю О СО COCO^t^t4-
сч О СЧ О «	о	*—« о о
СО СЧ Ю й
о о о о
оооооооооооо ОООООООООООО
ю
**
21
о	о
^	сч
о
СЧ
о
о
сч
о
со
о
Ч5Г
г
л
Z
&
*
I
1Ь!К101И'0|И10|Н|^|^Ю|И1Ь|И1Ь1Ь>1Ь|Ь>1С)1И1&1Ь*1&|Ь>
106

При этом утолщенная ступенчатая линия в этой тайл™
коэффициенты, относящиеся к крутым (левая частГтабщщы^
,< пологим стенам.	та°лицы)	и
для крутых подпорных стен коэффициенты 5 и ^ связаны за™
СИМОСТЬЮ	Зави-
т-atgф0=а tg6.	(5J2)
Таким образом, в этом случае полное давление отклоняется от
нормали к поверхности стены на угол б = <р0.	от
Для пологих же подпорных стен угол отклонения давления от
нормали к стене меньше угла трения по ней:
б = агс tg — < ф0
ст
Полное давление засыпки на глубине z составляет
до=Уо* + тЪ = уг 1/Q2Т2 = уг Va2-f
(5.13)
где I = a2-f т2— коэффициент активного давления грунта на подпорную
стену.
Горизонтальная и вертикальная составляющие полного давле¬
ния на подпорную стену выражаются следующими формулами:
ox = q° cos (a-f 6) = yz£ cos (a-f 6) = yz (acos a—xsin a) = Yz£x*. (5.14)
oz = q° sin (a-f 6) = yz£ sin (a-f 6) = yz (a sin a-f Tcosa)=vz£z, (5.15)
где
lx = £ cos (a-f 6) = a cos а—т sin a;
£z = £ sin (a-f 5) = a sin a-f т cos a.
Для этих коэффициентов составлены графики (рис. 67, 68 и 69)—
сплошные линии при разных значениях углов а и ф и при трех зна¬
чениях угла ф0, равных 0, ф/2 и ф. Штриховые по Кулону.
Для получения условных давлений, отнесенных к вертикальной
проекции стены, нужно разделить результаты, получаемые по фор¬
мулам. (5.13), (5.14) и (5.15), на отношение высоты грани к ее длине
5 по наклонной, т. е. на his = cos ct. Тогда для полного давления на
глубине z и для его составляющих получим следующие формулы.
<7°
Y*S
— yzX;
(5.16)
</=
cos a
cos a
Ox
Yrlx
= yzbxi
(5.17)
Чх--
cos a
cos a
oz
(5.18)
Яг =
cos a
cos a
— Y* ftz »
109

-30е'20° -JO0 О 10я 200 30я 00° 50° 60° 70° 60я ЭО°(А
где
РИС. 67
cos а
cos а
cos а
Равнодействующая давления (сила давления) на участок стены
протяжением г и высотой z = г cos а
yzrl yz2 £
уг‘
Я.
(5.19)
2	2	cos	а	2
Равнодействующая давления на всю подпорную стену высотой h
Q—
yhsl yh2I yh2
2 cos a
I.
(5.20)
Горизонтальная и вертикальная составляющие этой силы вьт
ражаются соответственно следующими формулами:
Q*=
yh2 Ex yh2
2 cosa
Xf
О	yH2	У1*2	г
2 2 cos a	2	**
Для идеально гладкой (ф0 = 0) и вертикальной (а =
нон стены при горизонтальной поверхности засыпки (Р
(5.21)
(5.22)
0) подпор
= 0) актив
J10

а
1
0,9
0,8
op
op
0,5
op
op
Op
0,t
0
-op
-op
-op	_	.
-ж-20*-}0° 0 100 20° J0° 4Q° 50° 60° 709 00° 90°o(
РИС. 68
ное давление грунта и равномерной нагрузки на его поверхности
интенсивностью р при учете сцепления с выражается формулой
(5.7).
Пример 9. Требуется определить исходя из теории В. В. Соколовского
активное давление грунта на 1 пог. м подпорной стены, показанной на рис. 70.
Высота стены h — 4 м, угол наклона стены к вертикали а = 20°, значение
V == 18 кН/м8, угол внутреннего трения грунта ф =30°, угол трення грунта
о стену	ф0	= I5°f поверхность	грунта горизонтальная.
По	графику, показанному	на рис. 68, для заданных	значений ф — 30 ,
Фо = ф/2 и а = 20° находим = 0,38 и £2 = 0,25.
Горизонтальная и вертикальная составляющие активного давления на
глубине Л = 4 м определяются по формулам (5.14) и (5.15):
ах = уА£х= 18-4-0,38 = 27,4 кПа;
стг = уЛ£2 = 18-4-0,25 = 18 кПа.
Чтобы отнести давления к вертикальной проекции стены, нужно pas
Делить	эти	результаты на cos а = cos 20° = 0,94. Тогда	получим.
qx=	=27,4/0.94 = 29.2 кПа:
cos а
0, = -^-= 18/0,94 = 19,1 кПа.
cos а
111
Обогначе- шонысоврот-	_	 __
ниепривык нымуклономл	'•'пены с прямы* уклоном Га >0)

-JO*-го*-to* о 109 Z0° 30° HO* SO* 60° 70* до9 30°<к
РИС. сэ
Полное давление у низа стены бу¬
дет равно:
ч=У~ч%+ч\=
= У29,2Ч-19,12=34,9 кПа
I.» и \ t—I \ Эпюры давлений показаны на
яj*iia	Я?*па ЩкПа ШкРа. рнс* 70* Равнодействующую активного
давления грунта на стену можно опре*
РИС. 70	делить по формуле (5.20) или но пло¬
щадям эпюр давлений. Избираем по-
г	следний способ,
орнзонтальная составляющая равнодействующей давления
ЯхЬ
29,2-4
= 58,4 кН/м;
вертикальная составляющая
ЯгЬ 19,1-4
- = 38,2 кН/м;
равнодействующая активного давления
112
п Ф 34,9-4
д=а~“ -у~ = 69’8 кН/м

2б влИЯНИЕ ОСНОВАНИЯ ПОД ЗАСЫПКОЙ
§
Существенное дополнение к решению В. В. Соколовского сдела¬
но Е. Н. Быковым, В. И. Игнатовым и А.С. Шулевым [55], которые
?0едложнли способ учета влияния жесткого основания, ограничи-
"Lmero засыпку снизу (рис. 71). Поэтому у нижней грани засыпки
линии скольжения совпадают с основанием и определяются углом
я — рх с горизонтом, а главнее напряжение — углом = л
р! — в» где е 4	2 угол наклона линии скольжения к
главному направлению. Авторы приняли, что главнее направление
постепенно меняется вдоль стенки от т]'0 до г|\ Соответственно изме¬
няется вдоль стенки и значение давления о, связанное с уг¬
лом ф-
Исходя из анализа экспериментальных эпюр давлений принято,
что приращение угла о|) от начала F переходной зоны происходит по
параболическому закону с приближением к основанию, С учетом
этих условий авторами выполнено численное решение задачи о дав¬
лении засыпки на подпорную стену при следующих данных: а =
__ о, ф = ср0 = 25°, Pi = 0. Полученная сетка линий скольжения
показана на рис. 72. Для сравнения пунктирной линией нанесена
соответствующая сетка, построенная для i|5 = const, т. е. без учета
влияния основания.
На рис. 73 показана расчетная эпюра давлений, полученная
сучетом влияния основания для стенки высотой 1,25 м при значении
у = 14,5 кН/м3 и при равномерной нагрузке р = 4 кПа на поверх¬
ности засыпки (кривая 1). Пунктирная линия 2 получена без учета
влияния основания, а точки нанесены по экспериментальным дан¬
ным, полученным Ф. М. Шихиевым [141]. Аналогичные эпюры полу¬
чены и 3. В. Цагарели [133]. Учет влияния основания под засыпкой
позволяет снизить расчетную величину давления на 15%, но при
этом центр давления повышается до уровня 0,4 0,45 высоты стены,
считая от основания.
0 0250.5 0.75 1 0 /5,(75 ^ X
■rrTtt
у, кПс.
О 2 U 6 8 ?0
РИС. 71
РИС. 72
РИС. 73

§ 27. ПАССИВНОЕ ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
При перемещении подпорной стены в сторону сыпучего тела про.
является его пассивное давление, точнее сопротивление или отпор
(рис. 74). Для вертикальной гладкой стены высотой h при горизон¬
тальной поверхности засыпки строгое решение приводит к формуле
для пассивного давления засыпки на глубине z при наличии равно¬
мерной нагрузки р на поверхности засыпки и при учете сцепления с:
(я фА .( 31 ЧМ
+	g	1т~~	2	/	(5>23)
Равнодействующая пассивного давления определяется как пло¬
щадь эпюры давлений.
Сопоставление формул (5.7) и (5.23) позволяет сделать вывод,
что пассивное сопротивление грунта при одинаковых условиях на¬
много больше, чем его активное давление q. Так, например, при ф =
= ЗО3 и с = О
(l-4-sin Ф)2 _ (1 + 0,5)2 ^
(1 —sin ф)2	(1—0,5)2	*	,1
Это отношение будет тем меньше, чем меньше угол внутреннего
трения грунта,	и	при	ф =	0, т. е. для	жидкости,	равно	единице.
Когда	угол трения	грунта о стену ф0	не	может быть	принят рав¬
ным нулю, нормальная и касательная составляющие пассивного
сопротивления грунта на глубине г от горизонтальной поверхности
засыпки выражаются следующими формулами:
о = о уг;	(5.24)
т=туг,	(5.25)
где ант — коэффициенты сопротивления грунта, значения которых, вычис¬
ленные по методу В. В. Соколовского, приведены в табл. 19.
При этом жирная ступенчатая линия выделяет в этой таблице
коэффициенты, относящиеся к крутым (левая часть таблицы) и по¬
логим стенам.
Для крутых подпорных стен коэффициенты опт связаны зави¬
симостью
т —atg ф0.
Для пологих подпорных стен уго^1 ,
отклонения полного давления оТ
нормали к задней грани стены мень* I
ше угла трения по ней, т. е.
I
6=73 arc tg — < ф0.
Л 1
1л
Яи
Ял

т А Б Л И И л 19. ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ НОРМАЛЬНОЙ и КАСАТЕЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩИХ ПАССИВНОГО
О
U
О
*
О
аз
О
4
о
X
о
о
0Э
03
о
н
(U
5
о
с
<
4
ш
h
О
и
ш
у
>>
с
*М
и
*
X
с
(U
*=;
СП
5
н
о
о.
с
о
и
*
«о
а
U
Ч
я
£
Я
Р*
а
CJ
(О
3
03
(У
н
о
сз
я
о
4
03
га
ЕС
О
о
О
00
о
N»
о
<£>
О
ю
о
о
со
о
см
о
ел
о
СО
га
а
U
о
&
fct
га
а
и
ц
к
га
сг
га
*
^о~о-о~о~о~о-,о~о-о-,о~о~
СО Ю СО ю —
о о о о о
З-о-о 8 8 8 з; я ”
- О - о ° о- -* 5 !- о 5 о - 0
о О)
*+ О со
LO 00 ю ю ю
О О О — о
О — О — О — О
СМ 00
со о
N	W	СЦ	^
—1	со	С*	со
—	•	ф	*
О — О —I	о	—
lO n N
ту —
со
о
о
о —
00 CM	СМ СМ со <0	men	~
о « о -< о « о - о с -Г о - о -
S
с
сч
ten СО
LO
00 о
— CM —
ю со
со ем
О — о — о — о"
со	—
—	см	—
ф	ф	ф
— О -«	©
г>- см
см СМ —
»	ф	ф
— о —< о
ю
см
со см
со —
со
со
ф
— о
ю
CM
CM
CM
о
CM
00
оо
CM
о
см ю
Tt* СМ
т
— о
Ю n N N
*Т —< LO <>J
ф	ф	ф	ф
см
со
— о
ю см
— 0 — 0
ю
TJ*
00
со со
— о — о
со см
*? ю
Ф	ж
— о
со о
со Ю
Р*	4»
— о
00
оо
— о
со
ф
— о
оо
|М О
см *t см 00
О со - N
— о см* о*
а> а> ю ©
— СО 00
см о" см" о"
см
СО
^ *0
со *т
— о—о
о —
to оо ю
ф	ф	ф
— о — о
см
е-.
см см
со со
— о см о
о —
ю —
см со
ф •
см —
О) —
N- со
»	ф
см —
N.
СО
о
ю
N*
— о см о
СО
N.
о
со
— О СМ с
см о со
чГ см
со
ю —
см* ем*
оо —
о
со см*
см
00 о
ф	ф
2,02
0
О N CM
ОС МО О
см* о со ем
2,66
0
N- N- N* 5
Ф Ф Ф ш
— со ю
2,43
0
^ to СМ ю
Ю О ч** ю
со о ^ см
.
3,42
0
lO N •**
«Г СО ю О
ф ф ф »
со см о 00
СМ
to ^ оо О ^ «^*COrf
ю — со ем о ю оо о
СО N N	— О —
CM СО CM СО — COO N
— О — о-lГоСМОСМОСМ — СО О ^ - 1ПСОМ*ООСОП«
—	N. ю СО — со
ю	СО — N- со со
СО СМ N СМ
Oi Ю СО СМ N
—СО	N^ Ю
N- Ю	СМ СМ
ем	ао	со	со
_	ф	ф	ф	ф
о - о о о см" о см' О со^	-	со о ю - ^ ^ о о	2	-г	О	^
см
со
еп —	^	ОО	СО	—	CM	N-	—	00	СО	—	СМ	СО	Г?	52
03 £ 5	3>	"	Ю	-	О»	СО	Ю	-	а& ей
о - О	о	W о СО	О	^	^ о N N	Cl	Й	00	О 0>	N	- <0
Stsss	°	;г	s	s	-	= йss
о о e»ono»o«-eoeei2t.nog:g«
ю
о	о
—	см
ю	о
—	со
о
см
о
о
ом
о
«с
113

Горизонтальная н вертикальная составляющие пассивного со-
противления выражаются теми же формулами (5.14) и (5.15), Что
и при определении активного давления. Коэффициенты другие.
По табл.'19 находим коэффициенты нормальной и касательной составляю-
Ш1Х пассивного сопротивления грунта о = 4,46 и т = 1,2 и вычисляем ко¬
эффициент пассивного сопротивления грунта
§ 28. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ
НЕКОТОРЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ
В некоторых частных случаях решение дифференциальных урав¬
нений предельного напряженного состояния, как при учете объем¬
ных сил, так и при отсутствии их, может быть получено в замкнутой 1
форме. Мы ограничимся приведением в готовом виде окончательных
результатов некоторых решений, полученных В. Г. Березанцевым [31.
Для определения активного и пассивного давления сыпучего |
тела на цилиндрическое ограждение решение получено при учете j
объемных сил и в предположении отсутствия трения между сыпучим
телом и ограждением (ф0 = 0). Составляющие напряжения вырз* j
жаются формулами (рис. 75):
*п=6п= V^+i2=V4,464-1.22=4,63.
Нижняя ордината эпюры пассивного давления
<7п=<уЛфЯ.п = 18-2*4,63 = 167 кПа.
Сила пассивного сопротивления грунта
Эта сила отклоняется от нормали к стене вниз на угол ф0 = 15°.
or=ra0(yr-f-p) tg2
Л ф
4 ± 2 ] М (5.26)
ffa = Y г-fp; тГ2 = 0.
* \о
г
РИС. 76

Как при активном, так и
при пассивном давлении сы¬
пучего тела на цилиндриче¬
ское ограждение величина
давления совпадает с той ко
торая получена для плоско'
го ограждения.
Если в сыпучем теле на
поверхности которого имеет
ся нагрузка, сделана шли»™
пряженное состояние яя дрическая выемка та п
мулами, соответствующими^011 опРе^яется слелу£??ЛЬНОе На‘
(рис. 77) давлению на огоажпГТИВНОМу ^ис- 76) н ?“И *°р‘
d 0ГРаждение выемки:	ласснвному
РИС. 77
От = р tg2
Ф
а
tg ф
I —
— р
a
+
tg ф
где
(5.27)
a.=±2tgq,tg(y ±-2-)
(5.28)
,	,г	971	пяет	пп|| г = а нормальное равномерно
Первая из формул (5.27) дает пр	'	ие	Q	на	ограждение,
распределенное активное или	нагоузки	приложенной	на
вторая определяет закон РаспРе^®н коая выемки р. Решение по-
поверхности, интенсивность которой у края выем р
лучено без учета объемных сил.
§29. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ
АКТИВНОГО ДАВЛЕНИЯ ЗАСЫПК
на подпорные стены	тоебует
Применение метода В. В. ^^^ол^шкевичем даГпредложен
множества вычислений, лоэтому« *гпособ определения давления с
достаточно простой графически псн0Ваиный на следующих до )-
пучего тела на подпорные стен ,
щеннях (рис. 78).	гКрпмой разрушения систем“’ го
Во-первых, принимается, ч ^?живаемого ею массива сы У
стоящей из подпорной стены и У Р авленин давления с од Р
тела, будет перемещение степь	липучего тела, отделив	-
меинымоползанием »ек0™Р°" ^ть называется ^^^“зделяется
остального его массива. Эта ча	13аЮ1дая призма ра Д
Во-вторых, принимается, что ^"^ость
члоскостями скольжения на тр $ласть наибольших на р-
пряжений /, особую область //	.	СТь	скольже*
В-третьих, действительная °^^Л^Г/ плоскостями, а в пред
Ния заменяется в пределах областей	а7

пах области II сохраняется цилиндрическая поверхность, произвол
’лящая которой есть логарифмическая спираль с центром в верхней
точке задней грани стены. Направление поверхностей скольжения
определяется с помощью характеристических кругов, рассмотрен¬
ных в § 13.
В качестве второй поверхности скольжения принимается непо-
средственно задняя грань стены.
В-четвертых, система рассматривается в состоянии предельного
равновесия, т. е. в состоянии, соответствующем начальному моменту
процесса сдвига стены и оползания призмы. Это позволяет принять
условие, что реактивные силы, действующие на сползающую приз¬
му со стороны стены и со стороны оставшейся в равновесии части
сыпучего тела, а также силы взаимодействия между отдельными час¬
тями этой призмы отклоняются от нормалей к соответствующим пло-
^ скостям на углы ф0 и q\ равные углам трения сыпучего тела по этим
^ плоскостям. С другой стороны, поскольку рассматривается началь-
J нын момент процесса разрушения системы, оказывается возможным
|г применить условия равновесия к ее первоначальному недеформиро-
ванному состоянию. Они сводятся к выполнению условия замкнуто¬
сти многоугольника всех сил, действующих на сползающую призму.
Этого достаточно для определения величины давления.
Пусть требуется определить активное давление сыпучего тела
на заднюю грань А В подпорной стены (рис. 78, а) при вертикальной
равномерно распределенной нагрузке р на поверхности сыпучего
тела. Прежде всего по заданной величине угла внутреннего трения
Ф строим в произвольном масштабе систему характеристических
кругов (рис. 78, в). Для нахождения границ области III делаем сле¬
дующие построения. Проводим хорду ab круга вершин, параллель¬
ную задней грани стены и касательную к кругу площадок. Из цент¬
ра кругов С, через точку касания, проводим радиус Ск и продолжаем
его до пересечения с кругом полюсов в точке tv, этот радиус будет
а)	р	-'J*-	в)
РИС. 78
118

мальным к задней грани стены. Из точки „
—-г,»,гг r'uirrxmoT'o Фйпл „	  и	п	иод	заданным
VOPADi **“’ *'1 	^	г*'*'-M««v» панравлеиие ЛИНИ
жения, ограничивающих область ///. Проведя на рис. 78, а из точек
r ц А линии, параллельные bd и od до их взаимного пересечения
В точке D, получаем границы области III.
Для нахождения границ области I делается аналогичное по¬
строение. Проводим хорду а'е круга вершин, параллельную поверх¬
ности сыпучего тела и касательную к кругу площадок. Из центра
кругов С через точку касания kr проводим радиус Ck’ до пересечения
в точке п* с кругом полюсов; этот радиус будет перпендикулярен
поверхности сыпучего^тела. Из точки п' проводим прямую n f, па¬
раллельную равнодействующей поверхностной нагрузки и веса
призмы U которая в данном случае будет вертикальной. Эта прямая
пересекает круг вершин в точке /, которую соединяем с точками а'
и е концами хорды круга вершин. Линии a'f и е[ будут параллельны
линиям скольжения, ограничивающим область /. Одну граничную
прямую этой области, отделяющую ее от области II, мы получим,
проведя на рис. 78, а из точки А прямую, параллельную a'f. Что
касается второй граничной прямой, параллельной EF, то она может
быть построена лишь после того, как будет найдена принадлежащая
ей точка F, лежащая в то же время на прямой, разделяющей об¬
ласти lull.
Так как линия DF является логарифмической спиралью, то,
зная ее конечный радиус AD, можно вычистить начальный радиус
AF, измерив предварительно заключенный между ними угол
Для этого используется формула, вытекающая из уравнения лога¬
рифмической спирали
ГКОИ   0 tg Ф
~	С*	$
иач
* й конечный раДНУсЫ
где Гнач и /коп " начальны	(5.29)
Отсюда	«пл-°1гФ-
ре параллельную
Найдя -гонку F.
Гранину области 11	^иХ точках б^рав„овешнваюше
вой, касательными к ко Р е(,ствця силЫ ^’ч(0 определ11™ KV .4
Для нахождения линии Д ^ ^ необхоД'и ^„„„в том у
давления на плоскостях ппямых BD " силы Rs* ^лкоди-
L, лежащую на пересечет»'^тЮ действия № ^ ^ „еобхоД ^
е точкой L, получим исков У ноГОугоЛЬИНка (Р^й прНзМы Gi,
Для построения сило00 цаетёй сполз	"°
вычистить веса отделы

G При этом площадь области //.являющейся сектором логарифм
ческой спирали, вычисляется по формуле
f. = —— (A&-AF*)'	(5.30)
4 tg <р
Вычисленные значения веса отдельных частей сползающей приз-
мы накладываются в центрах тяжести соответствующих областей.
Кооме того посередине отрезка АЕ прикладывается сила Р ~ рав.
нодействующая нагрузки, приложенной на этом участке.
Для построения многоугольника сил в принятом масштабе от-
кладываем силы Р и Gx и уравновешиваем их равнодействующую си-
ламп Rx и S,. Последние составляют с нормалями к плоскостям
скольжения EF и AF углы <р и, следовательно, соответственно па¬
раллельны направлениям AF и EF, которые образуют угол
Год0 _ ф). Силу 5|, обратную силе Sx, представляющую собой дав¬
ление на плоскость AF, складываем с силой G2 и их равнодействую¬
щую уравновешиваем силами R2 и S2, параллельными направле¬
ниям AL и BD. Сила 5£, обратная силе S2f представляет собой силу
давления на плоскость AD. Сложив эту силу с силой <?3, уравновесим
их равнодействующую двумя силами: R3 и Q, из которых R3 па¬
раллельна AD, а сила Q отклоняется от нормали к задней грани
стены на угол ф0 и будет реакцией стены.
Искомая сила активного давления грунта на стену равна силе
Q, но направлена в обратную сторону.
Найденную силу активного давления грунта на подпорную сте¬
ну можно разложить на две составляющие, одна из которых —
Qy — представляет собой действие объемных сил — веса грунта,
а другая Q —действие нагрузки, приложенной на поверхности.
При отсутствии последней вместо сил Rx, R2 и R3, изображенных
сплошными линиями на силовом многоугольнике (рис. 78, б), нужно
провести параллельные им линии, показанные пунктиром. При этом
сила активного давления иа стену изображается вектором, обратным
по направлению вектору Qv.
Когда есть нагрузка на поверхности грунта, пунктирная линия,
параллельная R3, разделяет вектор Q на две части, одна из которых
дает силу активного давления Qy от одних только объемных сил —
собственного веса грунта, а следовательно, другая часть, равная
Рр> представляет собой силу активного давления на стену от на*
грузки, приложенной на поверхности.
Пассивный сопротивлением, или отпором, сыпучего тела назы¬
вается, как это было указано в § 27, предельное сопротивление сы¬
пучего тела производимому на него давлению со стороны стены,
переметающейся в сторону сыпучего тела, в начальный момент об¬
разования в нем сплошных поверхностей скольжения.
ели линия действия внешней силы совпадает с линией действия
силы пассивного сопротивления сыпучего тела, то вся область, ог¬
раниченная объемлющей поверхностью скольжения, приходит и
120

предельное напряженное состояние. В противном случае зе стеной
возникает смешанное напряженное состояние.
При выпирании сыпучего тела силы трения направлены противо¬
положно тому, как они направлены при его сползании. Призма сы¬
пучего тела, ограниченная объемлющей поверхностью скольжения
называется призмои выпирания. Так же, как и при определении ак¬
тивного давления сыпучего тела, призма выпирания разделяется на
три области.
При определении пассивного сопротивления сыпучего тела дав¬
лению на него со стороны крутой подпорной стены указанные по¬
строения и их последовательность сохраняются, но направление
плоскостей скольжения определяется уже не для минимального
предельного напряженного состояния, а для максимального. Кро¬
ме того, вычислению подлежит не начальный радиус логарифмичес¬
кой спирали, а конечный, который находится по формуле
AF = AD>eQ tg<5P.	(5.31)
Графическое определение пассивного сопротивления сыпучего
тела при давлении на него крутой стены дано на рис. 79.
§30. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ АКТИВНОГО ДАВЛЕНИЯ
ПО ВЫСОТЕ СТЕНЫ
Давление сыпучего тела на подпорную стену определяется не
только величиной и направлением, но также и законом распределе¬
ния, от которого зависит положение равнодействующей этой на¬
грузки.
Для получения закона распределения давления по высоте стены
принимают допущение о том, что при сдвиге стены высотой h дав¬
ление сыпучего тела на ее верхнюю часть высотой г не зависит от то¬
го, сдвигается или нет нижняя часть стены, т. е. давление будет та¬
ким же, как на стену высотой г.
В общем случае, когда поверхность засыпки не плоская, для по¬
строения эпюры сил давлений стену разбивают по высоте на несколь¬
ко частей (рис. 80, а) и для каждого горизонтального сечения г оп¬
ределяют силу давления на вышележащую часть.
Откладывая в определенном масштабе на каждой глубине z
соответствующую силу давления Qz на всю вышележащую часть
стеньг, получим эпюру сил давления, показанную на рис. 80, в. Ор¬
динаты этой эпюры выражаются в кН, м. Среднее давление qz на
Каждом участке можно найти как приращение силы давления на
этом участке. Соответствующая эпюра давлении, построенная на
адней грани стены, показана на рис. 80, а. Ее ординаты, отложен-
ьге под углом § ^ фо ох Нормалн к задней грани стены, выражаются
стри ^ти °РДИнаты можно отложить и нормально к задней грани
um. Ы* ^аш-е всего эпюру давлении строят на вертикальной пР°е
Аол*ТеИЫ’ а ее °РД11наты откладывают горизонтально. При это
ны быть предварительно разделены на cos а (рис. оС /•
121

В <£'9	rf(cos*
РИС. 80
РИС. 81
При плоской поверхности засыпки сила активного давления, как
это следует из законов подобия, пропорциональна квадрату рассмат¬
риваемой части высоты стены, поэтому эпюра сил давления будет
квадратной параболой (рис. 81). Давление на любой глубине г от
верха стены можно найти как производную сил давлений по длине
задней грани стены
dQz	dQz cos a	22)
dr
dz
где а — угол наклона задней грани стены к вертикали.
Эта производная оказывается уже функцией первой степени от¬
носительно z. Стедовательно, величина активного давления сыпу¬
чего тела на стену возрастает пропорционально z и эпюра давлении
будет в виде треугольника с наибольшей ординатой q на уровне по¬
дошвы стены (рис. 81, б).
Равнодействующая Р нагрузки, действующей на поверхности
сползающей призмы, и величина отвечающего ей активного давление
на стену пропорциональны высоте стены, поэтому соответствую^
эпюра сил давлений будет в виде треугольника, а эпюра давлений ^
прямоугольника.
122

Нижние ординаты эшоры давлений определяются из тех vcao
И час;и этой эпюры «
9=9у+др=-^-+-^-.	(5	33)
равнодействующие активного дзвлення сыпучего телз О и О
приложены на уровне центров тяжести соответствующих эпюо дав¬
лений. Так как эпюра qY в виде треугольника, то ее центр тяжести
находится на высоте /г/3 от подошвы стены. Эпюра др — прямоуголь¬
ная, поэтому ее центр тяжести лежит посередине высоты стены. Си¬
лы Qv ^ составляют с нормалями к плоскости стены углы <р0.
Глава VI
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ ПРИ ЗАМЕНЕ
ПОВЕРХНОСТИ скольжения ПЛОСКОСТЬЮ
§31. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
Упрощенный метод определения давления сыпучих тел на под¬
порные стены приводит к наиболее простому решению задачи, обе¬
спечивая во многих случаях достаточную точность результатов.
Саедуя установившейся традиции, этот метод будем условно назы¬
вать «теорией Кулона». Он основан на следующих допущениях
(рис. 82).
1. Формой разрушения системы, состоящей из подпорной стены
и удерживаемого ею массива сыпучего тела, будет перемещение сте¬
ны в сторону от массива с одновременным сползанием некоторой
призмы последнего по некоторой поверхности скольжения.
2. Эта поверхность скольжения заменяется плоскостью.
3. В качестве второй поверхности скольжения принимается не¬
посредственно задняя грань стены.
4. Сползающая призма рассматривается как абсолютно твердое
тело, что позволяет заменить действующие на нее объемные и по-
верхностные силы их рав-	с	С
нодействующими G, Q и R.
3. Рассматривается сы¬
пучее тело, лишенное сцеп¬
ления.
б.	Рассматривается сн-
ема в состоянии предель-
сто° ^аонопесия» т- е. в со-
ИачЯНни’ соответствующем
мешЛ,Ь,!Юму моментУ пеРе-
^ *ия стены и скольже-	рис* 82

нню
сыпучего тела. Это позволяет считать, что реактив-
„ризмы сып>	сползающую	призму со сторо„ы
СИЛЫ, действу иди 	 лп,„01%я	ирппппижнпй
НЫе силы. дет-»>. и	оставшейся	неподвижной,	откло-
тИЫ,,лг^пматей к соответствующим плоскостям на углы %
Я,,ЮГСолвные углам трення грунта по этим плоскостям. С дру.
. р^ныс ji г жялЛ4,__пиояртгя начальный момент ппл
Ц-JZZ поскольку рассматривается начальный момент про-
Ем^доушевия системы, оказывается возможным применить уело-
Е^рмювесия к ее первоначальному недеформированному состоя-
""'кооме того, задача по-прежнему рассматривается как плоская.
Сползающая призма находится в равновесии под действием трех
сил: собственного веса G, реакции Q подпорной стены и реакции R
остальной части сыпучего тела.
Ррякпия подпорной стены равна искомому активному давлению
на нее грунта, но направлена в противоположную сторону.
" Условия равновесия сползающей призмы будут выполнены, если
силы С, Q и R образуют замкнутый треугольник (рис. 82, б), а на
поле сил будут пересекаться в одной точке.
Обозначив угол между вертикальной плоскостью и задней гра¬
нью стены через а, а неизвестный угол между горизонтальной пло¬
скостью и плоскостью скольжения через 0, найдем углы силового
треугольника:
а—Ф0; 0—ф; л—е+ф.
Проектируя все силы, действующие на сползающую призму, на
ось U, перпендикулярную силе R, получим:
W=—G sin (0—ф)-(-(? sin	ф) = 0,
отсюда
_ _ sin (0—ф)
Q—G	—— .	/с	I)
sin (tp-fO—ф)	'
сил^ГнайдсГ’ ПроекТируя все с,,лы на ось V, перпендикулярную
D_r sin ф
sin 0—ф) *	*
"	(6'2)	“держат три неизвестные - силы Q в R
го тела онГвпо^ппп” ’ ТО при данном объемной массе сыпуче;
призмы	котооая	в	,	РСЛеЛЯетСЯ ПлоцгаДыо основания сползаюшей
™льжёв“	?	е	от	у“ла	8РеДЬ 3аШ’СИТ °Т Направдения ™ОСК0СТ"
торой и(^ннаТ*опмя ПР:ГЖе,,Н0Й	Гвоздевым, согласно ко-
значению разрушающей нГт-пТ™” системы отвечает наименьшему
плоскости скольжения таw а* следует принять угол наклон-
ло наибольшим Тогла пля*' 4 ы активное давление на стену
дуется минимальная	ИЛИ СДВИГЗ СТСНЫ
дополнительная разрушающая нагрузка.
ж

^^сностн), позволяет	1,3 Сражений
% ,.,о*,е-„» в должно «„в p.S'SS.'rS.SS
(б. и*
—-п
“9	(6.3)
Произведя дифференцирование выражения ffi 1) пп	о
ияв производную нулю, получим	(6-1}	по	0	и	"Р'фав-
G=—sin(9 ф)sin (tfr-fe—qfl
dO	sin ip	*	(6.4)
Из рис. 82, где линия ЕН проведена под углом ф к линии	ВН
видно, что:	v .шипи ап.
G= у (пл. АВЕ)\ dG = -yBEdO;
2
Sin (0 —ф)=-^- ;
^ BE *
sin (‘ФЧ-О—ф) sin (л—ф) ВН
sin tp	sin	BE
Подставляя эти выражения в формулу (6.4), получим
1	EL	ВН	1
7(пл. АВЕ) = — уВЕ*— — =, — уЕ1.-ВН,	(6.5)
ИЛИ
пл. АВЕ—пл. ВЕН.
Эту теорему, известную под названием первой теоремы Ребхана,
можно сформулировать так:
Наибольшее активное давление сыпучего тела на плоскую заднюю
грань подпорной стены соответствует такому направлению пло-
скости скольжения, при котором основание сползающей призмы А BE
Ровновелико треугольнику ВЕН.
Приняв точку Н за центр окружности, сделаем в точке / засеч-
*У радиусом ЕН на линии ВС. Площади треугольников ВЕН и
HI общей высотой EL относятся одна к другой, как их основания:
пл. ЕН/ ^ HI _ ЕН
пл. ВЕН " ВН ВН
По доказанному ранее площадь ВЕН равна площади АВЕ. Кро-
Того, замечаем, что треугольник ВЕН и силовой треугольник с
Явными углами подобны, поэтому
Подставляя эти данные в предыдущее уравнение, получим
пл. EHI _	Q
пл. ABE ~ G ?(ПЛ. АВЕ)

Отсюда можно найти давление грунта на стену:
Q = y (пл. EHI).	(ц
В этом заключается вторая теорема Ребхана, которую сформуЛи.
давление сыпучего тела на плоскую заднюю грань под¬
порной стены равно весу призмы с основанием в виде треугольника
£ Условие пересечения линий действия сил G, Q и Я в одной точке,
эквивалентное равенству нулю суммы моментов этих сил относи-
тельно" любой точки плоскости, допускает бесчисленное множество
положений сил Q и R с заданным направлением (рис. 82)-
Рассматривая любое из этих положении (рис. 82, а), составим
уравнение моментов относительно точки В:
2MB = Qr0—Rr +	—
В этом уравнении две неизвестные величины г0 и г не могут
быть определены однозначно.
Таким образом, уравнение моментов позволяет связать величи¬
ны плечей г0 и г, определяющих положение сил Q и jR, но не дает
возможности определить величины этих плечей без дополнительных
допущений относительно распределения давления по высоте стены.
§ 32. ГРАФИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ	,
ОПРЕДЕЛЕНИЯ АКТИВНОГО ДАВЛЕНИЯ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ	i
!
Один из таких способов (рис. 83), предложенный К. Кульманом, i
основан на графическом нахождении максимального значения силы |
Q как функции угла 0. Для нахождения опасной плоскости сколь-1
жен и я проводят несколько возможных плоскостей скольжения
(BEV ВЕ2, ..., ВЕп) и для каждой из них вычисляют вес сползаю¬
щих призм Glf G2, ..., Gn. Величины эти в определенном масштабе;
сил откладывают от точки В на прямой внутреннего трения ВС»
Через точку В проводят так называемую основную линию В* /
под углом ф + Ф0 к задней грани стены и из концов отрезков ft* j
G2i Gn проводят прямые, параллельные основной линии, Д°
пересечения каждой из них с соответствующей плоскостью сколь#е \
иия. Полученные точки соединяют плавной кривой. Все построен
ные таким образом треугольники оказываются подобными силовым»
и все линии, параллельные основной, выражают величину c]i,n j
активного давления Q, соответствующую данной плоскости сколь# |
иия. Для нахождения наибольшего значения Q к кривой провоД j
касательную, параллельную линии ВСУ и полученной точкой нас * ,
имя определяют опасную плоскость скольжения и наибольшее з ‘ (
чение Q.
Это построение, непосредствен но вытекающее из формул
и	справедливо	при любом очертании поверхности засЫ

Другой равноценный способ fL^r 1 | | i^fSL
(рис. 84), предложенный М. Г. Бес-	*,	4 * хз
киным, основан на применении
теорем Г. Ребхана. В этом случае	‘84
площади оснований сползающих призм Sb S2t ..., S„, соответст¬
вующие различным возможным плоскостям скольжения ВЕи ВЕ2
ВЕПУ откладывают в виде ординат графика, по горизонтальной
оси которого отложены соответствующие значения отрезков х. Сое-
вянив концы ординат плавной кривой, получим кривую S. Точно
шже строят кривую F площадей треугольников ВЕхН1ч ВЕ2Н2,...
..., ВЕпНп. Точкой пересечения кривых 5 и F определится значение
х} соответствующее равенству площадей АВЕ и ВЕН, т. е. соответ¬
ствующее опасной плоскости скольжения.
Для определения величины активного давления грунта достаточ¬
но провести через точку Е прямую ЕН, параллельную AD, до пе¬
ресечения с линией ВС в точке Н и отложить на линии ВС отрезок
= ЕН; умножив площадь треугольника EHI на у грунта, полу¬
чим значение силы Q — активного давления его на подпорную стену.
Если поверхность грунта представляет собой плоскость, то ос¬
нованием сползающей призмы будет треугольник АВЕУ который
п° первой из теорем Г. Ребхана должен быть равновелик треуголь¬
нику ВЕН (рис. 85). Так как эти треугольники с общим основанием
Е, то, очевидно, должны быть равны их высоты /, следовательно,
и <tr ЗВН0 И паРаллельно ЕН, поэтому КН равно и параллельно АЕ
1 фигура АЕНК будет параллелограммом.
ДИ1 П0Д°бия треугольников ВЕС и ВКН можно составить пропор-
ВС BE
 _   •
Из
ВН ВК '
ПоА°бия треугольников ВЕН и BKD
BE ВН
^овательно.
В К	RD '
, или BH* = BC'BD.
(6.7)
ВН BD
127

Таким образом, отрезок ВН будет среднепропорциональным ^
«у отрезками ВС и BD. Если в точке D восстановить перпендикуД
м пересечения с полуокружностью, построенной на отрезке ВС
"как на диаметре, то хорда BF будет среднепропорциональной между
диаметром ВС и прилегающим отрезком BD, следовательно BF J
 д//
~~ В соответствии с доказанным для определения активного давле.
ння грунта, ограниченного сверху плоскостью, на подпорную стену
можно выполнить построение, предложенное Ж* Понселе, в такой
последовател ьности:
1) провести линию ВС под углом внутреннего трения к горизон-
tv до пересечения с поверхностью сыпучего тела;
* 2) на отрезке ВС как на диаметре построить полуокружность;
3) из точки А провести прямую под углом (ср + Фо) к задней
грани стены до пересечения с линией ВС в точке Z);
4) в точке D восстановить перпендикуляр до пересечения с полу¬
окружностью в точке F;
5) радиусом BF сделать засечку на линии ВС в точке Н\
6) через точку Н провести прямую, параллельную АОл до пере¬
сечения с поверхностью
грунта в точке £;
7) из точки Н ра¬
диусом ЕН сделать за¬
сечку на линии ВС в
точке /;
8) точки В и Е соеди¬
нить прямой, которая
дает след плоскости
скольжения, что позво¬
ляет определить угол 0;
9) точки Е и / соеди¬
нить прямой и найти
площадь треугольника
EHI; умножив значение
этой площади на значе-
РИС. 85
РИС. 86
РИС. 87
128

РИС. 88
РИС. 89
ние V грунта, получим силу активного давления грунта на под¬
порную стену.
Существует несколько особых случаев, когда данное построение
невыполнимо или выполнимо только при некотором его видоизмене¬
нии, а именно:
1. Поверхность сыпучего тела наклонена к горизонту под углом,
равным углу внутреннего трения, т. е. р = <р (рис. 86). Построение
невыполнимо, так как точка С удаляется в бесконечность. Тем не
менее треугольник EHI может быть построен в любом месте между
двумя параллельными прямыми. Плоскость скольжения проходит
точку В под углом внутреннего трения, а сползающей призмой будет
весь бесконечно большой объем грунта, заключенный между двумя
параллельными плоскостями.
2. Линия AD, проведенная из точки А под углом ф -f ф0 к по¬
верхности стены, пересекаются с линией ВС выше поверхности грун¬
та (рис. 87). Построение оказывается выполнимым, но полуокруж¬
ность нужно строить уже не на ВС, а на BD, так как отрезок ВН
должен быть по-прежнему среднепропорциональным между ВС и
BD. Треугольники АВЕ и ВЕН равновелики.
3. Поверхность сыпучего тела составляет с задней гранью сте¬
ны угол ф + ф0 (рис. 88). Построение невыполнимо, но на основании
первой !1з доказанных теорем для нахождения точки Е достаточно
Разделить отрезок АС пополам.
4. а + ф0 > При этом линии AD и АС пересекаются с дру¬
гой стороны напорной грани подпорной стены. Давление на нее не
Может быть найдено, так как угол ф = 90° — а — фп оказывается
^рнцательным, т. е. силовой треугольник не будет замкнут.
Пример И. Определить графически силу давления грунта на подпорную
енУ высотой h = 6 м, если угол наклона стены к вертикали а — 10 , поверх-
грунта горизонтальна, у = 18 кН/м3, упм внутреннего трения грунта
30 и угол трения грунта о степу ф0 = 15°.
тот роизведя построение Ж. Понселе (рис. 89), найдем исходя из прння-
масштаба длин размеры треугольника EHI, показанные на чертеже^
ила давления грунта на подпорную стену по формуле (6.6)
3,9*3,6	_	,..
Q = Y (пл * £///)= 18			— 126 кН/м.
СКолРезультат получается в кН на 1 м стены по ее длине. Плоскость
ь*ения BE составляет с горизонтом угол 0 = 60 .
5 3*«. 116,

§ » ФОРМУЛУ ДЛЯ ОПРШЛЕНМЯ
£ю*Т£°«л?1|л"ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
№ Обшей формулы (6. !> ДЛЯ силы активного давления груш, *
„опорнуюстену можно вывести соответствующую увернутую**.
„«a*, когда поверхность мсыпки плоская. Для яо£
I
ем построение, показан
8Ш (в—f)
^	siod'fe—р)
I
sin (0— «•)
— у BH-EL ■ ■ ■ ■■ - ■ г
2 1	sm(t+0—*)
I
I
1
уЕН • EL** -г~ уЕН* sin t;
(М
EH** AD
CH
CD
sin
A3
(f+*-^ CH
sin t	CD
k con (f— a) Cff
cw a list CO
Отношение BDIBC может быть выражено:
вс—вт~ вс —\ bc7bd \вс{\Ж—I'Ep)
ся
CD
вС—ВО
BC—BD
BC-BD
Отношение BDIBC можно найти из рассмотрения трс\ год
i4£D и ABC и выразить через синусы их углов:
BD ВРАВ
ВС= АВ ВС
»in (f + у») smff— р)
япр со* (а—Р)
(0.IU
Подставляя последовательно полученные значения отношии*
BD СН
АС» CD 11 ^ в Ф°Р1ГУЛЫ №.10), (6.9) н (6,0), после прет бра
получим:
I
СН*
Q=-7*FW,*k,*=4' ?»* -?Р.^~а|
2	г	сов*	а	sin*	в	аз*
sin
2 со* а
(0.1Я
rae Ь — коэффициент am в кого даялеяяя грунта на год горную стеЯТ*
моторы Л выражается фориуло#	'
5
ОВД в
COS*(p — g)
,+ |/ (УТФ.) Яп (ф-8)
605 (®+ Ф») «я (*—0)
cos* в cos (а + ф»)
(6.1»
Формула (6.12) по виду совпадает с формулой (5.20), однако коэф
фишиепты активного давления, найденные по методу Ш. Куло»*
КМ

--сколько отличаются от соответствующих коэффициентов, подсчи-
!~яиых по методу В. В. Соколовского.
угол 0» который образует плоскость скольжения с линией го¬
ризонта, можно определить из силового многоугольника на рис. 85.
Ддк этого нужно предварительно определить вес сползающей приз-
В частном случае, когда поверхность сыпучего тела, ограничена
(фиэоятпльной плоскостью (Р *= 0), а задняя грань стены прини-
0§ется идеально гладкой (<рв — 0), формула (6.13) значительно упро¬
щается и принимает вид
I
cos а.	(6.14)
В этом случае угол наклона плоскости скольжения к линии гори¬
зонта ояреде.т яется
я . ф4-а
в=—.	(6.15)
Если, кроме того, стена еще и вертикальная (а = 0),
le.te.(2L_	/—с^ф—у
*	*	\	4	2	I	1	-f-sin	ф	V	1	-f-sin ф /	'
16)
Эю выражение совпадает с соответствующим решением В. В. Соко-
Мскгго.
При этом
я ф
в=т+Т •
При плоской поверхности грунта, наклоненной к горизонту под
уттюм р =* ф*, и при вертикальной задней грани стены
X-cospte* (7— у)'	<6',7)
t*
cos Ф
v = at с cos о •
cos р
кроче того, Р — ф “ ф«. то:
Х = со5ф; 0 = ф.
(6.18)
Горизонтальная и вертикальная составляющие давления грунта
Сажаются формулами:
,	,	v	У**	%	•	(619)
Q**Qcos(a-|-To)es"^ **•	v
.	ь	У*1	\	(6.20)
Q,=Q si п (л Н- фо) * “j *»■•
5*	131

При этом в
мулами:
общем случае коэффициенты %х и К выражаются фор.
Хх * X cos (а+Фо) —
1 +
Xj = X sin (tt-Ь Tel¬
cos2 (ф —а)
sin (ф-ftPo) s*n (ф ft)
cos (а ■+• Фо) cos (а— Р) -
cos3 (ф—а) tg(a-Mp»)
cos2 а
(6.21)
1 +
sin (ф I фо) Бт(ф — Р)
cos (а -\- фо) cos (а — Р) _
cos2 а
(6.22)
п
При а + ф0>	соз(а + фи)<0
и формула (6.13) приводит к мнимым значениям X, так как не удов-
летворяются условия равновесия сползающей призмы.
Увеличенные в 1000 раз значения коэффициентов Хх, вычислен¬
ные по формуле (6.21), приведены в табл. 20.
Для получения значений ХиХг их нужно соответственно разде¬
лить на cos (а + ф0) или умножить на tg (а + ф0).
Для перехода к коэффициентам табличные значения должны
быть умножены на cos а.
Пример 12. Определить аналитически силу давления грунта на подпор¬
ную стену, рассмотренную в примере И.
Коэффициент активного давления грунта исходя из теории- Ш. Кулона
определяется по формуле (G.13)
cos2 (30° —10°)
1 / sin (30° -f 15°) sin (30° —0°)
I	cos (10°-f-15°) cos (10°—0°)	_
cos2 10° cos (10°4-15°)
0,942
1 +
/
v
= 0,378.
0,9852-0,906
формуле3 (б72)ВН°Г° давления гРУ,|Та на подпорную стену определяется
л VЛа ,	.	18 -62
Q = 2	•	2—0*378= 123 кН/м.
or	полученный	в примере II, отличает
давления можио^Л^*0» НИ В' В' Соколовск°го' то коэффициент активно
атому графику находим еГ=о!з5, ^ ="о,15 >ПрИВеденным на Рис' 68-
\
1
cos а
cos а
стены
132
Л соответствии	давлемия	по высоте подпори
Ф рмулой (5.32) достаточно продифференцир00*

Т А Б Л ИЦ А 20. ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ АКТИВНОГО ДАВЛЕНИЯ
%х ПО МЕТОДУ Ш. КУЛОНА (УВЕЛИЧЕНИЕ В 1000 РАЗ)
Уклон задней
граня стены
к вертикали
/= tg а
—0,2
(а =
-11°20')
Ф, град
О
II
е
&
2
3
15
523
20
417
25
330
30
257
35
198
40
148
45
108
Р
= 0
ф
фо = 2
Фо=|ф
Фв = Ф
4
5
6
480
469
449
378
367
348
295
286
270
229
221
207
175
169
158
132
126
118
96
93
86
ф. = о
589
482
388
306
237
178
129
Р =
Ф/2
Ф
2
« 2
Фв—^Ф
Фв =ф
&
0
еа
8
9
10
11
552
542
524
835
446
435
418
762
354
345
329
675
278
270
256
587
214
208
195
496
160
155
146
406
116
102
95
320
15
556
510
499
475
627
587
576
556
883
20
454
409
397
376
526
485
473
453
822
-0,1
25
368
327
316
296
434
396
384
365
747
(а=
30
295
260
250
233
353
319
309
291
666
—5°44')
35
234
205
196
181
282
253
245
228
580
40
Ч182
159
152
140
220
197
190
176
492
*
45
139
121
116
106
168
1
149
140
133
405
15
588
1
538
524
500
665
621
609
587
933
20
490
440
426
401
569
523
510
486
883
А
25
406
359
345
322
482
436
423
400
824
0
/ _ л \
30
333
291
279
257
402
360
334
326
750
(а = 0)
35
271
235
224
205
330
293
283
262
672
40
218
187
183
161
267
235
226
207
587
45
172
148
145
125
210
|
185
177
160
500
15
619
564
549
521
701
654
640
615
983
20
525
469
453
424
612
561
545
518
948
Л /V 4"%
0,1
25
449
389
373
345
529
477
461
434
900
лпЛ
(а=:5°44')
30
372
321
306
280
452
402
387
359
Г, А А
839
*в/»Л
/
35
309
264
251
226
381
335
318
294
4% ж\ тт
768
40
254
216
204
180
316
275
263
237
л о ft
689
С АС
45
207
174
164
143
257
223
212
188
605
, 0,2
'a==;ilo20')
15
20
25
30
35
40
1
648
559
479
409
347
292
588
495
416
349
292
243
571
477
398
332
275
229
541
444
365
299
244
197
737
654
576
502
432
367
684
596
516
442
376
316
669
579
498
424
360
300
Л1?
642
548
465
390
323
265
01 Ч
1036
1016
982
933
872
800
720
45
243
200
186
157
307
262
Л/
•Г ы

выражение (6.12). Это приводит к такому результату для давления на глуби,
не г:
J>L=J«k.= JL (Jf	(6.23)
cos a dz dz \	2	)
Ппн 2 “ h о = vAX*
Площадь треугольной эпюры давлении равна силе давления сыпучего
выезжаемой формулой (6.12).
Так как эпюра давлений имеет вид треугольника, то ее центр тяжести
в з ходите я на высоте h/3 от подошвы стены.
§ 34. ПАССИВНОЕ ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
Для определения пассивного давления или сопротивления сы¬
пучего тела на основе допущения о плоскости скольжения следует
исходить из того, что при выпирании призмы сыпучего тела за под¬
порной стеной силы трения действуют на выпирающую призму в про¬
тивоположные стороны по сравнению с тем, как они действовали
на сползающую призму.
Это позволяет применить те же графические способы построения
и те же формулы, которые используют для определения активного
давления, изменив знаки при углах ср и ф0 на обратные.
Однако необходимо иметь в виду, что неточность, связанная
с заменой криволинейной поверхности скольжения плоскостью, ока¬
зывается значительно большей при определении пассивного сопро¬
тивления сыпучего тела, чем при определении его активного давле¬
ния. Эта неточность быстро возрастаете увеличением угла внутрен¬
него трення и по данным С. С. Голушковича и В. С. Христофорова
при ф = 16° достигает 17%, при ф = 30° — почти 100%, а при ф =
= 40° получается семикратное преувеличение расчетного отпора.
Только для вертикальной гладкой стены при горизонтальной по¬
верхности засыпки^поверхность скольжения действительно оказы¬
вается плоскостью, которая наклонена к горизонту под углом 0
= 45° При этом для пассивного сопротивления теория
Ш. Кулона приводит к строгой формуле (5.23).
Так как для развития пассивного давления сыпучего тела до
величин, определяемых по теории предельного равновесия, необхо¬
димы значительные перемещения сооружений, то при отсутствии обо-
мыаГпЯ^В03М0ЖН0СТН и Д°пУстимости таких перемещений в СНиП
О'бо рекомендовано принимать коэффициент пассивного сопро*
тивления An = 1.
{ 35. ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
НА ПОЛОГУЮ СТЕНУ
Как указано выше, пологой называется такая подпорная стен3'
на задней грани которой не возникает предельного напряженного
состояния и для которой обе поверхности скольжения, ограничив3*?
щис сползающую призму, проходят внутри засыпки (см. рис. 62,
134

для определения давления грунта на пологую подпорную стену
Поддерживающую плоении откос С. С. Голушкевичем npSSo
графическое построение (рис. 90). Поверхности скольжения при этом
принимаются в качестве плоскостей, составляющих угол - <р
(рис. 90, а), и определяются углами:	2
01 = 02+ф:	(б	24)
(6-25)
Веса сползающей и пристенной призм обозначены на рис 90
соответственно через и G2.
Окончательная формула для силы давления сыпучего тела на по¬
логую подпорную стену приводится к следующему виду1:
л УН2	I
Q =	 ,	(6.26)
2	cos а	'	1
где
sin 02 \2	.	.	sin	02
А   -f Д2 + 2Л£5т(02+ф) i ;	(6.27)
COS ф /	COS	ф
cos2 (а—B)cosro
А =	*	     ;	(6.28)
cos а cos (02—Р) sin (ф—©г)
B = sin(a-02)cos(a-P)_
cos a cos (02—р)
Направление силы Q определяется углом, который она состав¬
ляет с вертикалью:
. A sin02cos(O2-f ф)	/с олч
ib = arcsin	:	•	lo.ouj
cos ф]
Любая ордината истинной эпюры давлений на глубине г будет
равна:
<7° —	cos а = y\z.	(6.31)
dz
Эти формулы, строго говоря, справедливы только в том случае,
если угол отклонения б силы Q от нормали к стене не превосходит
Угла трения .сыпучего тела о поверхность^стены.
Однако, как показывают подсчеты, результаты получаются до
статочно точными и при несоблюдении этого условия, так как вели¬
ка Равнодействующей давления на пологую стену по Teo{V!!J
Соколовского очень мало зависит от величины угла фо*
гРУнгаП0ДР°б»Ь|« вьтод формулы см. в статье автора <0пре^л^Нт^ДрннесН(>о-
ру * ,,а пологую подпорную стену». В сбор. «Исследования
ениЧ вып. 12. М., Госстройиэдат, 1963.
. _ ^

РИС. 91
касается направления равнодействующей,
то она существенно зависит от величины
угла ф0.
Для того чтобы отнести подпорную сте¬
ну Jk категории пологих, угол а должен
быть больше угла 02.
Если на поверхности сползающей приз¬
мы приложена вертикальная равномерная
нагрузка интенсивностью ру то ее равно¬
действующая Р прибавляется к весу б,
сползающей призмы на силовом много¬
угольнике
При горизонтальной поверхности засыпки р = 0 и
п ф	,	1 —sin ф
— ; ф = arc tg — ;
2	1-f-sinqp
o1 = iL+JP
4	2
tg a.
r; В этои случае сползающая призма и действующие на нее силыока*
зьшаются симметричными относительно вертикальной плоскости,
на которой отсутствуют сдвигающие силы (рис. 91). На эту плокость
будет действовать только горизонтальная сила давления засыпки
тзкая же, как на вертикальную гладкую стену, т. е.
Y^2
Qx =	-	tg*
я
2
(6.32)
2	"	\ 4
Сила Qx будет передаваться и на рассматриваемую пологую под
гторную стену. Кроме того, на нее будет действовать еще вертикаль
мая сила, равная весу вышележащего грунта в объеме пристенно
призмы и половины сползающей призмы
п УН2 *	(б*33*
Qz=-у-tg a.	'
При этом равнодействующая давления грунта на пологую
порную стену составит:

nvTbix подпорных стен формулы (6.32) и (6.33) неприменимы,
Для кру сползающая призма оказывается несимметричной.
тзк каКдфВерхности сыпучего тела, ограниченной плоскостью есте-
гтвеяиого откоса, Р = ф. в* =0; при Р =» Ч>. % =!§■•
е пелен не пассивного сопротивления сыпучего тела давлению
гой стены сводится к тем же построениям, которые применяют
°Т [^определении действующего на ее активного давления.
13 Требуется определить активное давление грунта на подпор-
рИ v (пис 92) высотой h = 6,5 м, наклоненную к вертикали под углом
ну»	поверхность	засыпки наклонена к горизонту под углом fl =
a==J я объемная масса и углы трения засыпки составляют соответственно
^ 1*8 т/м3 (У — 18 кН/м3), ф = 30 и ф0 — 15 .
Р Угол наклона передней плоскости скольжения к вертикали находят по
формуле (6.25)
02= arc tg
cos 30° sin (30° —15°)
cos 15°4- "1/sin230°—sin2 15°—cos30° cos(I5°—30°)
По формулам (6.28) и (6.29) находятся коэффициенты:
cos2 (60°—15°) cos 30
— = 21°52\
sin (60°-21° 52') cos (601-151
cos 60° cos (21° 52' —15°)
Коэффициент активного давления засыпки на подпорную стену находят
по формуле (6.27)
1,46 Sm21°i^2- - У-f 0,8662 + 2-1,46-0,866*sin 51° 52' X
cos 30°
X
sin 21° 52'
cos 30
= 1,41.
Равнодействующая активного давления засыпки на подпорную стену
определяется по формуле (6.26)
Q =
18-6,5М,41 кН/м>
2-0,5
Угол наклона этой силы к верти-
алн находят по формуле (6.30)
Ф = агс sin X
х jH6sin 210 52'-cos51°52'	•
^        100
1,41 cos 30°
Чали^ГОЛ отклонения силы Q от нор
к стоне составляет:
уи — а—г|) = 90о~60° —16° =
= 14° < ф5= 15”.
* S
рис от
137

§ 36. ДЕЙСТВИЕ НАГРУЗОК,
ПРИЛОЖЕННЫХ НА ПОВЕРХНОСТИ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
1.	Общие уравнения
Здесь рассмотрим только методы, основанные на применении
теории предельного равновесия.
Если на поверхность засыпки действует какая-либо вертикаль¬
ная нагрузка (рис. 93), то опасная плоскость скольжения может быть
иной, чем без этой нагрузки.
Однако для любой плоскости скольжения BE силовой треуголь¬
ник при учете нагрузки оказывается подобным силовому треуголь¬
нику без нагрузки, так как стороны первого G* = G + Р, Q* и В*
остаются соответственно параллельными сторонами G, Q и R вто¬
рого.
Из подобия этих треугольников следует, что
Р
Q* — Q 14-
G
(6.35)
где Р — равнодействующая нагрузки, приложенной на поверхности спол¬
зающей призмы; Q — сила давления грунта без нагрузки, соответствующая
данной плоскости скольжения.
Угол 0, определяющий опасную плоскость скольжения, находит¬
ся из условия максимума силы Q*. Тогда из силового треугольника
можно определить равнодействующую давления на стену от массы
засыпки и нагрузки
Q-=(G+P) 1иЗ;(+0-Ф) •	<6'36>
Если на поверхности сполза¬
ющей призмы приложена непре¬
рывная нагрузка (рис. 94), то
функция, выражающая силу д-{-Р,
и ее первая производная будут
также непрерывными. Прираще¬
ние dG 4- dP складывается из при-
а)
РИС. «
РИС. 9-1
136

ращения веса сползающей призмы и приращения находящейся на
ней нагрузки.
dG+dP = —~yBEidO~peBEde,
где Ре - интенсивность нагрузки в месте выхода плоскости скольжения
на поверхность засыпки.
В этом случае, приравняв нулю производную выражения (4 36)
получим	’
G+P= —
dG-\- dP sin (9—ф) sin	9-— ф)
d®	sin	<p
Подставляя вместо производных их выражения, взятые по
рис. 94, получаем:
„ , „ I BH-EL , 2ре BH.EL \
0+р=у[~^+~-^г )■	<6'37>
el
Из чертежа видно, что ВН ^ — НМ (т. е. длине перпендикуляра
RH FI
опущенного из точки Н на линию BE), а —^— равно площади
треугольника ВЕН. Если отложить на продолжении линии BE от-
2 р0
резок EN = и — и соединить точку N с точкой Я, то площадь тре¬
угольника BHN будет численно равна значению выражения в скоб¬
ках.
Следовательно, в этом случае для отыскания опасной плоскости
скольжения первую кривую (рис. 94, 6) строят с учетом равнодей¬
ствующих нагрузок, прибавляемых к весам сползающих призм
(кривая G Я), а вторую — с учетом добавочных площадей тре-
2 ра	_	-
угольников EHN с основанием-^— [кривая у (F + / Л-
Силу активного давления, возникающего при совместном дейст¬
вии массы грунта и нагрузки, находят из уравнения (6.36), в кото¬
рое подставляют значение G + Р — пл. 5ЯЯ, а также значение
sin (0—ф)	ВН . а л BL
  	——=	;	sin(0—ф) = — •
sin (‘ф-Ь 0—ф)	ВН	BE
После преобразований получим
Q.=J_§^+^-^sin(0-4	(6-38)
2	Y	2
В этой формуле первое слагаемое в скобках предстзвляетгабой
"*°Шадь треугольника EHI, о котором Н/ = ЕН и соответствует
гяпЛеп,,ю засьшки» когда нет нагрузки на поверхности. Р
мое, учитывающее действие этой нагрузки, выражается
139

дополнительного треугольника HIT, у которого стороны, образу*.
щне угол 6 — Ф* равны ЕН и ^ .
Таким образом, при действии непрерывной нагрузки на поверх-
„огти засыпки вместо обычного треугольника давления EHI строят
четырехугольник ЕНТ1, в котором сторона НТ параллельна BE
2 Ре
и равна EN = —.
Для построения эпюры давления на подпорную стену в этом слу.
чае можно применить тот же способ, который приведен в § 30 для
давления только засыпки.
2.	Сплошная равномерная нагрузка
Рассмотрим частный, но часто встречающийся случай, когда
поверхность грунта плоская, а нагрузка интенсивностью р равно¬
мерно распределенная по всей сползающей призме (рис. 95).
В этом случае:
G=y
АЕ
cos(a-P); Я = /? ЛЯ cos р.
2 cos a
Подставляя эти выражения в формулу (6.36), получим:
2р cos a cos р
* = G Г
1 +
yh cos (a — p)
sin (Q—ф)
sin (ty + 0—ф)
(6.39)
Так как выражение, стоящее в квадратных скобках, — величи-
dO*
на постоянная, то оно в выражении производной = 0 может
at)
быть сокращено, и тогда это уравнение не будет отличаться от урав-
нения -^0=0. Это означает, что максимальная величина активного
давления грунта на подпорную стену при сплошной равномерно рас¬
пределенной нагрузке бу¬
дет соответствовать ^ той же
плоскости скольжения, что и
без нагрузки.
Исходя из формул (6.35)
и (6.39) можно найти равно¬
действующую давлений на
стену
■		!	1.	(6.40)
yh 1 -f tg a tg Р J
Давление в любой точК^
на глубине z от верха сте»
14-
рис. 95
140

^ожно наити, дифференцируя по г выражение (6.40), написанное
ддя части стены высотой г\
(	,	р	\
Чг~ dz ~HVZ+T+Igatgp)-	<6'4»
Из этой формулы следует, что давление возрастает по закону пря-
мой и в каждой точке стены равно давлению qz = Xyz грунта без
равномерной нагрузки, к которому прибавляется постоянная вели¬
чина
?0 = ?P = T+tga,gp’	<6-42>
Эпюра давлений в виде трапеции показана на рис. 95. Точка пе¬
ресечения эпюры с вертикальной осью находится от верха стены на
высоте
Н°=Н° l + tgatgp '	(б*43)
р
где hQ = - — высота слоя грунта, которым условно может быть заменена
нагрузка р, если исходить из равенства производимых ими давлений на го¬
ризонтальную плоскость.
Величина	—т—5	может быть больше или меньше единицы
1 -j- tga tg р
в зависимости от того, одинаковые или разные знаки у углов а и р.
Эта величина может заметно отличаться от единицы. Так, например,
при a = —20° и р = 30° она равна 1,265. Поэтому игнорирование
этого множителя допустимо лишь при небольших значениях аир.
Если поверхность засыпки — горизонтальная плоскость (Р = 0)
или если задняя грань стены вертикальная (а 0), то 1
= 1 и формулы (6.40) и (6.41) имеют вид:
**>
q'z = \{yz-\- р).	(6.45)
Пример 14. Определить давление засыпки на подпорную стену, рассмо-
ренную в примере 12, если на поверхности засыпки действует вертикальная
вномерно распределительная нагрузка р = 12 кПа.
Danu 0(Тользовавшись результатами, полученными в примере 12, найдем
ностиА твУ10и*Ую Давления сыпучего тела с расположенной на его ловерх-
иагрузкой по формуле (6.44):
2
i+ 2р
-0,378-^( 1 +	)	-122 (1+О.ЗД-149кН/ы.
yh
Давление на уровне верха стены по формуле (6.45) при г = 0

Давление на
Центр тяжести
от подошвы стены на высоте
«е н» уровне подошвы степы при г = й = 6 м
?=МуЛ+р) = 0,378(18.6+12) = 45,4 кПа.
тяжести трапециевидной эпюры давлений (центр давления) надо-
дится
М9+ад _ 6(45,4 + 2-4,54)_„ ,Q „
г‘~ 3 (?+ ?о)	3(45,4 + 4,54)
3.	Полосовая нагрузка
Рассмотрим случай полосовой неравномерно распределенной
нагрузки начинающейся на некотором расстоянии от стены (рис.96).
Если плоскость скольжения проходит так, что эта нагрузка распола¬
гается за пределами сползающей призмы, то по теории предельного
равновесия она не оказывает давления на стену. Если плоскость
скольжения выходит на поверхность засыпки в пределах загру¬
женного участка, то определять давление на стену следует так же,
как в случае сплошной нагрузки, занимающей всю сползающую приз¬
му, но при соответствующей величине равнодействующей на¬
грузки.
Если, наконец, плоскость скольжения выходит па поверхность
за местом приложения нагрузки, то последняя целиком прибавля¬
ется к весу сползающей призмы. На кривых, служащих для опреде¬
ления направления опасной плоскости скольжения в пределах распо¬
ложения нагрузки, имеется дополнительный участок (рис. 96).
Плоскость скольжения при учете нагрузки (BE) оказывается более
крутой, что без нагрузки (ВЕХ). Однако это при упрощенных мето¬
дах расчета обычно не учитывается.
Практически в случае плоской поверхности засыпки и равномер¬
но распределенной нагрузки, начинающейся на некотором расстоя¬
нии сот верха задней грани подпорной стены н занимающей всю
остальную часть сползающей призмы, эпюру давлений строят, как
показано на рис. 97. Из точки е проводят линии еа и eh под углами
*f и 9 к горизонту. Для части подпорной стены, лежащей выше
точки а, эпюру давлений строят без учета нагрузки, а для той части»
которая лежит ниже точки 6, — с учетом нагрузки. Для среднего
участка а подпорной стены на эпюре давлений проводят переход*
иую прямую.	г
142

РИС. 96
жащих выше точки а и ниже
точки -Ьи эпюру давлений
строят без учета нагрузки,
для части стены между точ¬
ками Ь и аг — с учетом на¬
грузки. Для частей стены
между точками а и b и между
точками ал и Ьх на эпюре дав¬
лений проводят переходные
прямые.
РИС. 97
РИС. 98
4.	Сосредоточенная нагрузка
Если на поверхности грунта действует сосредоточенная, линей-
Иая, равномерно распределенная в направлении длины стены на¬
грузка интенсивностью /\ то при выделении участка стены единич¬
ной длины (рис. 99) эта нагрузка рассматривается как сосредоточен¬
ный груз и прибавляется к массе сползающей призмы. Что касается
приращения полной нагрузки, то оно ограничивается одним прира¬
щением веса сползающей призмы dG. Поэтому при определении на¬
правления плоскости скольжения первую кривую (G + Р) строят
с Учетом сосредоточенного груза. В ней под грузом имеется уступ
^личиной Р, а во второй кривой — так же, как и без нагрузки.
*\ак видно из этого рисунка, действие сосредоточенного груза при¬
водит к увеличению крутизны плоскости скольжения по сравнению
улучаем, когда нагрузка отсутствует.
Сила активного давления грунта определяется умножением пло*
Щзди треугольника EHI на у грунта. Изменение положения груза
на поверхности сползающей призмы в пределах между подпор
0,1 стеной и точкой Е не оказывает никакого влияния ни на положе-
143

РИС. 99
РИС. 100
ние плоскости скольжения, ни на ве¬
личину активного давления. Однако
от положения груза Р будет зависеть
распределение давления по высоте
подпорной стены.
Перемещение груза Рот точки £ до точки Ег сопровождается по¬
воротом плоскости скольжения вокруг точки В и последовательно
уменьшающимся влиянием груза от полной его величины Р до нуля
в соответствии с законом изменения кривой yF на этом участке.
При расположении груза Р правее точки Ех он уже не оказывает
влияния на подпорную стену.
Более простой способ определения давления на подпорную стену
от действия линейной нагрузки, основанный на допущении, что груз
Р не меняет направления плоскости скольжения, показан на рис. 100.
Из точки приложения груза Р проводятся прямые ав и be, составляю¬
щие углы ф и 0 с горизонтальным направлением.
К треугольной эпюре давлений на подпорную стену от одной мас¬
сы грунта на участке ab добавляется дополнительный треугольник,
площадь которого, равная равнодействующей давления от действия
силы Р на подпорную стену, определяется исходя из уравнения
(6.1) по формуле
Qp = P
sin (0—(р)
sin (^-{-6— <р)
(6.46)
где 0 — угол наклона плоскости скольжения к горизонту без учета силы
После определения равнодействующей Qp дополнительную орД
нату цР эпюры давлений находят по фэрмуле
2 QP
(6.47)
где Нр — расстояние между точками а и 6 по вертикали, т. е. высота
подпоркой стемы, иа которую передается действие силы Р.
Иногда ординату qp откладывают посередине участка ab
дает менее точные результаты.
час
144

в случае вертикальной (а = 0) гладкой (<р„ = 0) подпорной стены
лри.г°Ризонтальнои поверхности засыпки (Р = 0) имеем:
е—2- + -*
4	2
Я
^i = c tg q?;
hp = c (tg 0—tg ф) = с
-(f-f)
я ,	9	\
7+l-)cos9
COS Ф
(6.48)
(6.49)
Qp = P
Sin (0 — q?)
=я
in I-!-*-)
\ 4	2	I	f	я	ф	\
ГГ'-я“(т—2У (6-50>
cos — —
n
4
2 j
<7p =
2Qp
2/> <g ( ~4~~ "f”) °0S 9
(6.51)
Пример 15. Построить эпюру давлений на подпорную стену, показан¬
ную на рис. 101, если на горизонтальной поверхности песчаной засыпки на
расстоянии с - 2м от подпорной стены действует линейная нагрузка интен¬
сивностью Я = 45 кН/м, у = 19 кН/м*, угол внутреннего тренпя грунта ф=
= 35°. Угол трения грунта о стену ф„ = 0. Высота подпорной стены Л = 6 м.
По табл. 20 для а — 0, 6 = 0, ф = 35° и ф0 = 0 находим коэффициент
активного давления грунта Л = 0,271.
Нижняя ордината эпюры давлений грунта, показанной на рнс. 101, равна
q = yhl = 19.6 - 0,271 = 30,9 кПа.
Сила давления грунта
qh	30,9-6	_п
0 = ——— 	=92,7	кН/м.
4 2	2
Для построения эпюры давлений от нагрузки Р находим:
hi = c tg ф = 2 - tg 35е = 2-0,7= 1,4 м;
с	2	2
hn —
cos ф
cos 35°	0,819
- = 2,45 м;
Qp^ptg /-2- --2.) =45-0,521=23.4 кН/м;
hn
Ордината эпюры давления
сыпки на этом уровне
*=,^=19.1,4.0,271^.21 кПа-
мяН *1£НЯ ^
Равнодействующая л
Подпорную стену	u	„
Q. = Q+Q„ = 92.7 + 23.4 = U6,1 кН,«-
2-2,34
2,45
= 19,2 кПа.
-5-г
Т?
Qe
fi л
121 *Ла
РИС. )01
145

‘А+%
РИС. 102
5.	Равномерно распределенная
нагрузка, касательная
к поверхности засыпки
При действии на плоской поверхно¬
сти засыпки равномерно распределен¬
ной нагрузки, касательной к этой по¬
верхности интенсивностью t (рис. 102, а),
многоугольник сил показан на рис.
102, б. Он состоит из двух треугольни¬
ков — верхнего и нижнего. При этом
равнодействующая касательной нагруз¬
ки, приложенной к поверхности спол¬
зающей призмы, будет:
cos (а—0)
T = tAE = th	. /Q — •
cos asm (0—p)
Полный вес сползающей призмы и
равнодействующей давлений склады
вается из двух частей каждая:
G = GL+G2\ Q* = QI-rQ2-
Из рассмотрения верхнего треугольника по теореме синусов сле¬
дует:
sinf-^ + p^
\ 2	)	cos	0	cos	(a—0)	.
"	   =	tfl	  ^
q;=t
sin \|)
sin(a —p-f(p0)
sin ij)
= th
9
cos a sin (0—P)
cos (a—0) sin (os—Р~Цфо)
cos a sin (0 —P) sin ф
(6.52)
(6.53)
Рассматривая нижний треугольник, можно написать
sin (0—ф)
[
G—th
Ql — (G—Gi)
sin (ty + 0—<p)
cos (a—0) sin (g—р-{-фп)
cos a sin (0—p) sin
sin (0—ф)
„ sin (ty-f-0—ф)
Равнодействующая давлении на подпорную стену
cos р cos (a—О)
cos a sin (0—p)
cos(a—0)sin(a—р + фп) ] sin (0—ф)
(6,54
+
4-
ь
th
	1	sin (Q-ф)	.6	5
cos a sin (0— ф) cos (a -f- ф0) J sin(t|4-0—ф) *
илгп^пялпр^!^’ ^°хРаняется в силе условие максимума силы актш
шего положений <*'Г0Р°е ^Ужнт для нахождения угла 0, определяй
ще положение опасной плоскости скольжения.
146

Вместо достаточно сложнот
(6.55)	по в можно провести несколЬ^ФференцнР0вания
ження под разными углам, 0 ,Г0ПВ ° В°ЗМ0Жных ™оскоЖГ',я
чины G и Q, принять наибольшее зм^ 8 ДЛя Ка*Дой из1т Ь'
Дтя вертикальной гладкой стены	ВДли‘
сти засыпки ос = 0. р = 0> % =	горизонтальной'поверлно-
2 1 Gx = о.
у№
С = С2=-^— ctg 0; <3; = 7'=Mctg0.
Из уравнения (6.55) имеем:
Q*=-Vctg6
ИЛИ
tg(e—ф)+4,
Y* J
уЛ*
**.	(6.56)
Q* Qy + Qt — ^ tg(9— ф) ctg 0-f /Л ctg 0.	(6.57)
Первое слагаемое этого выражения дает силу давления самого
сыпучего тела, а второе силу давления от действия касательной
нагрузки на его поверхности.
Заменив в выражении (6.57) постоянное значение h на перемен¬
ное z и произведя дифференцирование, получим давление на любой
глубине г, считая от поверхности засыпки.
, dQ*
Яг = _JJ~ = У2 1б (0—Ф) ct6 0+( ctg 0=угк*.	(6.58)
Эпюра давлений будет состоять из треугольника, представляю¬
щего давление сыпучего тела и прямоугольника, изображающего
Давление от действия касательной нагрузки, приложенной на по¬
верхности засыпки. При этом угол 0, входящий в формулу (6.54) и
(6.55)	и отвечающий условию максимума силы активного давления,
оказывается меньше, чем без касательной нагрузки. Его можно оп¬
ределить, приравняв нулю производную выражения (6.54) по 0.
приводит к уравнению
 !in*! .	(6.59)
cos2 (0—ф)	ТА
Значения угла 0, полученные из решения этого уравнения для
разных углов внутреннего трення ф и для разных значений отно-
^ення П' пРеДставлены на графике рис. 103. На этом же графике
^Унктирными линиями нанесены кривые значении коэфонциента
в Формулах (6.56) и (6.58), т. е. кривые значений коэффициента
дивного давления сыпучего тела с учетом действия на его поверх
сти касательной нагрузки.	л
Скг, Рассмотрення этого графика видно, что угол 0 наклона п. -
сти скольжения к горизонту тем больше отличается от величи

** f ^ f ’ чем больше интенсив-
по сравнению со значением
по сравнению со
ность t касательной нагруЗКи
- о
0,7 СЯ, что при действии Такой
06 нагрузки скольжение может
произойти даже по плоскости
0,5 /?лппа пп ППГГЛ'и ТТОЪЖ пплл.г-
°>8 произведения yh. Оказывает
°>8 произведения yh. Оказыв
более пологой, чем плоскость
0,4 угла внутреннего трения. Си-
0j ла же давления сыпучего те¬
ла на подпорную стену зна-
W чительно увеличивается при
0,1 действии касательной нагруз-
о ки по сравнению со случаем,
o,i 0,2	о,j	о,ч 0,5 когда она отсутствует.
_ Отметим, что данный спо-
нне приводит к преуменьшению суммарного расчетного Дав*
ления.
и __ Пример 1в. Построить эпюру давлений на подпорную стену высотой
7 от касательной нагрузки t = 20 кН/м, приложенной на горизонталь*
о поверхности засыпки (рис. 104, а), если ее объемная масса и угол внутрен*
неготрения соответственно равны р = 1,67 т/м3 и ф =30°. По графику рис. 1°3
Для отношения ^ = --у. ^ ^ ^ = 0,1 и для ф = 30° находим 0 = 50°.
порной ^ены^ ^ определяем ординату эпюры давлений у основания под
Я* =■ 16,7• 12 tg (50°—30°) ctg 50’ -f 20 ctg 50э = 200 - 0,351 -0,839+
+ 20-0,839 = 61 + 16,8 = 77,8 кПа.
Равнодействующая давлений на стену
=	+	qth=*	-^—+16,8-12 = 366 + 202 = 568 kW*
рис. 103
РИС. 104
соб построения эпюры давле¬
ний приближенный, так как
при дифференцировании вы¬
ражения Q* по z оставлено
без учета того, что непосред¬
ственно угол 0 в выражении
(6.56)	есть функция глуби¬
ны z. Однако этот способ все
же более строг, чем способ,
основанный на допущении,
что угол 0, когда есть каса¬
тельные силы, остается таким
же, как и при действии одного
только веса сыпучего тела.
При этом последнее допуте*

Пои отсутствии касательной нагрузки X = О ЗП м
ординаты эпюры давлений и сила давлений:	'	°°тветствующве
<7 = уЛЯ=16,7-12.0,333 = 66,7 кПа;
Л Qh 66,7.12
Q=S“T“=	2	=	4°° кН/м’
Соответствующие эпюры давлений показаны на рнс. 104 б
на котором пунктирной линией показана эпюра давлений сыпучего
тела, когда нет касательной нагрузки.
Более строгий подход к решению этой задачи с учетом зависимо¬
сти угла 0 от глубины z рассматриваемого уровня приводит к неко¬
торому увеличению ординат эпюры давлений у верха подпорной
стены. Отметим, что касательная нагрузка вызывает значительно
большее давление на подпорную стену, чем нагрузка той же интен¬
сивности, но расположенная нормально к поверхности засыпки.
Так, в условиях рассмотренного примера вместо ординаты эпюры дав¬
лений qt = 16,8 кПа получили бы при нагрузке р = 20 кПа qp —
= рХ = 20*0,333 = 6,66 кПа.
6.	Сейсмическое давление
сыпучего тела
Активное давление засыпки на подпорные стены, возводимые
в географических районах подверженных землетрясениям силой от
7 баллов и выше, должно быть определено с учетом сейсмической
силы инерции St вызванной массой m=Glg сползающей призмы.
Эта сила инерции выражается через массу пг сползающей призмы
и через .сейсмическое ускорение j следующей формулой*.
5 = m/=— I = GKc*
g
(6.60)
Ф
где g—ускорение свободного падения; Kq — ~£	коэффициент сейсмичности,
зависящий от расчетной сейсмичности, выраженной в баллах.
При этом СНиП II-A. 12-69 установлено:
дли 7 баллов Кс =
8	»	Кс — 0*05;
9	»	/Сс=0,1.
Так как во время землетрясения
*ла инерции может быть любого на-
равления, то следует принять наи-
элее невыгодное для устойчивости
адпорной стены — горизонтальное.
1РИ этом многоугольник сил, дейст-
^кицих на сползающую призму, бу-
 	   ..n^QUn	НЯ
 	  »»u	,w	С		*
таким, как это показано на
105.
Нели повернуть чертеж подпор¬
ки стены вместе с многоугольником
РИС. 10*

сил на угол 6> = arc tg Кс протип часовой стрелки, то равноод
ствующая сил G и 5, равная Gc C0Sq) ^	^	^с• 0Кажется
вертикальной, а задняя грань стены, плоскость скольжения и ПЛо.
скость внутреннего трения составят углы ас = а + о с вертикалью
0 ^ 0 +/ 0) и ф = ф + О) с горизонтом. При этом должно бып
соблюдено условие замкнутости треугольника сил, т. е.
sin (0С—Фс)	G	sin (8С—фс)
Qc=Gc бш^с+Ос-ФсГ c°sw sin(il)c+0c— фс) ’	(	61)
где
л
фс=-^-— ССс—фо •
Вместо формулы (6.13) для коэффициента активного сейсмическо-
го давления грунта при плоской его поверхности получим выраже¬
ние
cos2 (ф—а)
^ ^ ^ sin (фс-f фо) sin (ф— ft)
a
cos2 а cos (ac-f фо)
(6.62)
cos (ас + ф0) cos (а—p)
Необходимо еще учесть, что угол внутреннего трения сыпучего
тела понижается при встряхивании. По имеющимся данным можно
принять фрасч = ф — 0) и фо = 0.
В СНиП il-A. 12-69 рекомендуется другая формула, из которой
получается такое выражение для коэффициента активного давления
сыпучего тела
A.c = (l-h2/Cctg ф)Х,	(6.63)
где Я — соответствующий коэффициент без учета сейсмичности воздействия.
Пример 17. Определить силу сейсмического давления сыпучего тела
на подпорную стену, рассмотренную в примере 12, если расчетная сейсмич¬
ность сооружения 9 баллов.
При h = 6 м. 10*. р = 0, у = 18 кН/м3, ф = 30°, ф0 = 0 и /Сс*0»1
имеем следующие величины углов:
(i>=sarc tg /Сс=--агс tg0,l=5° 44';
ac=:a-i-(D=10o-f 5° 44'= 15° 44';
фрпеч —30° 5° 44' = 24° 16';	фс=фрасч4-®=30°.
Коэффициент сейсмического активного давления по формуле (6-^1
 	cos2	(24°	16'— 10°)
2
COS 15* 44'.cos 10° C0S* 10°’cos 15° 44'
Сила сейсмического давления сыпучего тела
п Лг 18’6*
“	2	с	~	2	^*468=152	кН/м.
150
	 =0,468.
sin 30° sin 24° 16'
cos 15° 44' *гоч 1ft

при 0ТСутств„и сейсмического воздействия в примере ,2 получено * =
„ 0>378. Таким образом, Р = f =	=	1>235
формула же (6.63) дает заведомо заниженный результат
^с = (1 +2»0,1 -tg 30°) 0,378 = 0,42,
превышающий величину коэффициента активного давюпи* ,,nu
сейсмического воздействия всего в 1,115 раз.	Р	otc-VTCT0hh
Данные наблюдений значительно лучше подтверждают жтчен-
„ую величину динамического коэффициента активного давления
|| = 1 y2oOw
К таким же результатам пришли Ф. М. Шихнев и П И Яковлев
[142], которые применили для определения сейсмического давления
грунта способ, предложенный С. С. Голушкевичем, и дали получен¬
ному им графическому решению аналитическую интерпретацию.
Для определения пассивного давления формула (6.62) с обрат¬
ными знаками при углах фс пригодна только в частном случае,
когда подпорная стена вертикальна, а поверхность засыпки за ней
горизонтальная.
§ 37. УЧЕТ СЦЕПЛЕНИЯ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
Сцепление сыпучего тела, обусловленное силами капиллярного
натяжения воды и молекулярного притяжения частиц, а также це¬
ментацией, уменьшает активное давление и увеличивает пассивное
сопротивление сыпучего тела, поэтому до последнего времени влия¬
ние сцепления из осторожности при расчетах не учитывалось. Неко¬
торым оправданием этому служит то, что для обратных засыпок из
песчаных и крупнообломочных грунтов влияние сцепления относи¬
тельно невелико по сравнению с внутренним трением, а в засыпках
из глинистых грунтов сцепление сильно снижается при их увлаж¬
нении. Кроме того, сцепление снижается также вследствие колеба¬
ния температуры и возникновения в грунте пластических деформа¬
ций.
В настоящее время расчетные величины удельного сцепления
нормированы и силы сцепления учитывают при определении актив¬
ного давления грунта на подпорные стены.
Следует, однако, иметь в виду, что нормированные величины сцеп¬
ления относятся в основном к грунтам, являющимся основаниями
^оружении. Поэтому для обратных засыпок с нарушенной структу¬
ру необходимо брать меньшие расчетные значения сцепления (на-
иример, в два — четыре раза).
Кроме того, необходимо иметь в виду, что в верхнем слое засып*
яэ сцегтление создает отрицательные давления, т« е. растягивающие
"Ряжения, которые должны быть исключены из расчета, TaK*f
тпр Не могут быть восприняты грунтом, подвергающимся при *
ПР Щннообразованию. Разрушение может произойти легче всего
еРтнкальным или близким к ним плоскостям.
151

Приняв такую форму разрушения, получим схему иЛи ^
действия сил на сползающую призму (рис. 106, и). Соответствующе
многоугольник сил показан на рис. 106, б. Так как он ссстоит из
пяти сил, то они могут не пересекаться в одной точке. Условие Зам.
киутости веревочного многоугольника не ставится, поэтому рассмат.
рнваемый способ приближенный.
Силы сцепления выражаются так:
.	-	со	(Л—Л0)
S=cl; Г= cos а ’	<6-М)
где с и Со — удельное сцепление в засыпке и между засыпкой и подпорной
лтпипй глптветствсино.
Проектируя все силы, действующие, на сползающую призму,
на ось U, перпендикулярную к силе R, получим:
vf/ss—Gsin (0—ф) + Q sin (ф + 0— ф) 4-Т sin (0— ф—a)-f S cos(p=0,
где
Отсюда
я
^ = — а—фо-
G sin (0—ф)—S cos cp— Т sin (0—tp—а)
sin (tJj+B—ф)
Неизвестными величинами в этом уравнении оказываются сила
Q и угол 0. Величины G и 5 выражаются через угол 0, а величина Т
заранее задана. Поэтому, как и при отсутствии сцепления, для опре¬
деления наибольшего активного давления достаточно составить еще
одно уравнение
dQ
dQ
= 0.
При произвольном очертании поверхности засыпки аналитичес¬
кое решение этих уравнений оказывается трудно выполнимым, по¬
этому целесообразно определять активное давление по формуле
(6.65) для нескольких возможных плоскостей скольжения, проведен¬
ных под разными углами 0,, 02, ..., 0„ к линии горизонта. Расчетным
будет наибольшее из различных значений активного давления, вы¬
численных по формуле (6.65) для разных плоскостей скольжения.
Глубина распространения трещин принимается равной предель¬
ной высоте Лс, при которой связный грунт может сохранять верти¬
кальный откос, когда нет ограждения, и при горизонтальной поверх*
иости засыпки. Эта высота определяется по формуле, в которую
, ir5,aM H50I рекомендует ввести еще поправочный коэффициент
4 3. Тогда

i—
РИС. 107
При этом будут исключены растя¬
гивающие напряжения в верхней ча¬
сти сползающей призмы, вызванные
внутренними силами сцепления.
Наличие спепления оказывает
влияние на угол отклонения б си¬
лы давления Q* от нормали к плос¬
кости подпорной стены.
Если при отсутствии сцепления этот угол для крутой подпорной
стены равен ф0, то когда есть сцепление, угол отклонения опреде¬
ляется выражением
РИС. 106
tg
с Q sin фо + Г ,	,	c0h
о =— 	=	tg	фо-f—
Q cos фо
Q cos a cos ф0
(6.67)
Таким образом, чем больше сцепление, тем больше угол б по
сравнению с углом <р0.
При постоянной интенсивности сил сцепления по высоте стены
(Со = const) угол отклонения б будет переменным, уменьшаясь с
увеличением давления q, т. е. с высотой стены или с глубиной рас¬
сматриваемой точки подпорной стены от поверхности засыпки.
Из формулы (6.65) следует, что сцепление уменьшает активное
Давление грунта. При этом сцепление пропорционально высоте сте-
иы, в то время как сила давления без учета сцепления пропорцио¬
нальна квадрату высоты стены, поэтому относительное влияние сцеп¬
ления сказывается тем сильнее, чем меньше высота подпорной сте¬
ны.
При плоской поверхности засыпки влияние сцепления может
ыть учтено независимо от основного давления, определяемого по
Ч^Рмулам для идеального сыпучего тела.
0 может быть сделано исходя из того, что сцепление проявляет
е я как внутреннее давление связности постоянной величины во
Всех т°чках рассматриваемой области <т0 = и направленное
Нутрь этой области.
153

Для сползающей призмы такое напряженное состояние соответ¬
ствует действию равномерной нормальной нагрузки <т0 по всем ее гра.
ням (рис. 107).
Нагрузка, приложенная на поверхности засыпки раскладывается
на вертикальную и касательную составляющие, которые будут соот¬
ветственно равны
а°- и a0tg{3.
cos р
Вертикальная составлющая создает дополнительное давление
на стену, которое в соответствии с формулой (6.42) будет равно:
(6-68)
Касательная составляющая, направленная в сторону от стены,
создает отрицательное давление на нее, которое выражается вто¬
рым слагаемым формулы (6.58)
<7с, t~ —ao tg Р ctg 0.	(6.69)
При этом ввиду малости величины касательной составляющей
нагрузки, действующей на поверхности, можно пренебречь ее вли¬
янием на направление линии скольжения, т. е. на величину угла 0.
Тогда дополнительное давление, учитывающее сцепление, напра¬
вленное под углом ф0 к поверхности стены и отнесенное к ее верти¬
кальной проекции, составит
?с-'+?с-‘=1^р' (l+igatgp _sinpctg9) •	(6J0)
Кроме того, на подпорную стену будет еще действовать нормаль¬
ное отрицательное давление а0. Суммарные отрицательные давления
qс, возникающие у верхней части стены, должны быть исключены.
Для частного случая, когда поверхность засыпки горизонтальна,
а задняя грань подпорной стены вертикальная и идеально гладкая,
полное давление на стену от влияния сцепления будет
0 ,	с , «/ я	Ф
Я с—	.	~	tg2	I	—
tg Ф	tg Ф	4	2
tg<p
я ф
'-.„■I--,
—Wf-ih |U"
^то выражение вполне соответствует тому, что дает строгое ре
шение . В. Соколовского. Поэтому высота /гс, на которой возник
нут отрицательные давления, подлежащие исключению, определяет
ся из уравнения

— _L f
4 +T
Отсюда можно получить формулу
Л0=2 — *g( 4 -г —).	(6.72)
Пример 18. Определить давление суглинистого грунта на вертикальную
подпорную стену (рис. 108]I высотой h — Юме учетом сцепления. При этом
лапы у ^ 20 кН/м , ф 20 , ф0 15 , с — 20 кПа, с0 = Ю кПа.
Предельная высота вертикального откоса и глубина распространения
трещин от поверхности грунта определяются по формулам (6.72) и (6.66):
2-2 / 20° \
-г—tg(45°+ —— )=2,85 м;
2с
Лс = tg
У
4
hT= —-h0= 1,33-2,85 = 3,82 м.
Сила сцепления грунта со стеной (прилипание)
71 = с0 (Л—/гт)=э Ю (10 —3,82) = 61,8 кН/м.
Сила внутреннего сцепления грунта по плоскости ВЕХ
S = cl~
с (h—Лт)	20(10—3,82)
sin 0
Вес сползающей призмы
V (й2-Л?)
sin 0
123,6
sin 0
кН/м.
G =
20(102 — 3,822)	854
Q =
2 tg 0	2	tg	0	tg	0
Сила давления грунта по формуле (6.65)
G sin (0—ф)—S cos ф—Т sin (9 — ф)
cos (Ф+Фо — 0)
Для разных плоскостей
скольжения, определяемых
углами 0, полученные резуль¬
таты сводим в табл. 21.
Максимальная величина силы
активного давления грунта на
Подпорную стену оказывается
Равной Q = 182 кН/м и соответ¬
ствует углу 0 = 50°.
Для нахождения ординат
давлений имеем два ус-
эпюры
ловля:
Я (^т *^c)
(/*т—АсЖА — Лт) ~
Я-0,97
0.97+6,18 _0'135?:
9о + <7
2 (Л //т) =
*• 135(7
'г ' 6,18 = Q= 182 кИ/
г
£
у
V
г
tv
{ ,11
л
Г
Y ъ*
г51гЭкПа
м
РИС. I08
155

ТАБЛИЦА 21 РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТО! К ПРИМЕРУ 18
0. град
sin 0
40
0,643
45
0,707
47 У,
0,737
50
0,766
52У,
0,793
55
0,819
60
0,866
t* о
0,839
1
1,091
1,192
1,303
1,428
1,732
sin (0 —ф)
0,342
0,423
0,462
0,5
0,537
0,574
0,643
cos (0 —
Ф — Фо)
0,996
0,985
0,972
0,966
0,954
0,94
0,906
G, кН/м
1015
854
781
715
655
598
492
S, кН/м
192
176
168
161
156
151
143
кН/ы
147
151
179
182
181
176
157
q = 51,9 кПа и = 7 «Па-
Составляющие активного давления грунта на подпорную стену с учетом
силы сцепления:
Q* = Q3Cr=Q cos ф0= 182*0,966= 175,5 кН/м;
Q* = Q2-fT = Q sin ф0+7= 182-0,259+61,8 = 109 кН/м.
Равнодействующая этих сил
Q* + V(Qx)2 + (Q*zf = V175,52-f 1092 =204 кН/м.
/I
Соответствующая нижняя ордината эпюры давлений
2 Q*	2-204
q*=
h—fi
10—3,56
= 63,5 кПа.
Сравним эти результаты с теми, которые получаются без учета сцепле¬
ния. Для этого по табл. 20, интерполируя, найдем величину коэффициента
активного давления = 0,42.
Составляющие активного давления:
, yh*	20-102
Qx = bx —— =0,42—-— = 420 кН/м;
Qz —Qx tg фо = 420-0,268= 118 кН/м;
Q = у4204- 1182 = 436 кН/м.
Сопоставляя эти результаты с теми, которые были получены при
учете сцепления, можно обнаружить, что учет сцепления, почти не
отразившись на величине вертикальной составляющей силы дзвле
ння грунта, привел к огромному снижению горизонтальной состав
ляющен (почти в 2,5 раза).
Учитывая, что для устойчивости подпорной стены опасности
представляет именно эта сила, можно сделать вывод, что учет cue
ления грунта дает возможность облегчить конструкции подпори •
стен и снизить их стоимость. В то же время это надо делать с вея
чаншей осторожностью. Учитываемые в расчете значения удеЛЬН° е
сцепления должны быть значительно меньшими, чем те, котор
приведены в табл. 4 в качестве расчетных.
156

,g ДАВЛЕНИЕ сыпучего тела
ПРИ ЕГО ломаной поверхности
U НА ЛОМАНУЮ ПОВЕРХНОСТЬ ОГРАЖДЕНИЯ
Неограниченно простирающийся откос, начинающийся на неко¬
тором расстоянии от задней грани стены (рис. 109).
В этом случае эпюру давлений строят следующим приближенным
способом. Линию откоса продолжают до пересечения сзадней гранью
стены и строят две эпюры давлений: одну с нижней ординатой а
для стены высотой h при горизонтальной поверхности засыпки и
другую С нижнеи ординзтои qx для стены высотой hx при поверх¬
ности засыпки ограниченной откосом. Эпюры накладывают одну на
другую, и в качестве расчетной на любой глубине принимают боль¬
шую из ординат.
Ломаная поверхность засыпки (рис. 110). В этом случае эпюру
давлений составляют из трех эпюр: первую с нижней ординатой q
строят для стены высотой h при горизонтальной поверхности засып¬
ки; вторую с нижней ординатой qx — для стены высотой hx при нали¬
чии откоса и третью с нижней ординатой q2 — для стены высотой
h + К ПРИ горизонтальной поверхности засыпки. Эпюры совме¬
щают так, как это показано на рис. 110.
Равнодействующую давлений, как и в предыдущем случае, опре¬
деляют отысканием полной площади эпюры давлений.
Ломанное очертание задней поверхности подпорной стены. На
рис. 111 показан многоугольник сил афф^е, действующих на спол¬
зающую призму за подпорной стеной ломаного очертания. В этом
многоугольнике сила давления Qx грунта на верхнюю грань может
быть определена аналитически или графически независимо от очер¬
тания нижней грани. Известны также углы, которые составляют си¬
лы Qx и Q2 с вертикалью:
п . 71
\J)1=——«1—фо и Ф2 = 1Г—1а*—Фо-
2 ^
Для определения равнодействующей давления Q* на нижнюю
грань стены разложим силу Qj на составляющие Qi и Q\, которые
Могут быть определены по теореме синусов:
sin	cos(gi-Ho)_	(б73)
1 sin фз	со5(аа+фв)
sin (Ф1—Ф2)	п sin (Ot tti)_	(6.74)
Qi — ”1 Sin	1 cos (a*-f ф0)
Вы МеждУ ст°ронами треугольника сил аф2е существует зависимость
Текающея также из теоремы синусов
sin (9—ф) _	.	(6.75)
Q=Q,+Qi=(0+Qi) sin№l+e-<p)
IS7

РИС. 100
РИС. по
РИС. III
Вес G сползающей призмы А1ВХВ2Е можно представить как раз
носгь веса G, призмы А2В2Е и веса ДО призмы А1А2ВХ, т. е.
G = Gi—AG,
где	AC-	yh*	cos Ф +at) sin (аа—сц)	^	(6.76]
2 cos* dj cos (p — a2)
Это значение постоянно,	так	же как и значения	Q(	и Q". Тогдя
sin (0—<р)	(6-771
Qa —Q—Q1 = (Gi—AG+ QJ)
sin	—	ф)
158

Примем, что плоскость скольжения В2Е получит такой наклон
при котором значение Q2, а следовательно, н Qj будет наибольшим"
Пр„ этом	^
dQ '	(6.78)
Уравнения (6.77) и (6.78) дают возможность найти два неизвест¬
ных значения — Q-. и 0. Производя дифференцирование выражения
(6.77) и приравняв производную нулю, получим после некоторых
преобразований
Cx-AG+q?---^^8-?)*"^9-») .	(6	79>
dQ	sin	tfo	'	'
Здесь
dG=-~ у(В2 E)*dQ.
Выражение (6.79) отличается от выражения (6.4) только тем, что
в левой части вместо G имеем G — AG -f QI, а в правой вместо угла
ф будет г|)2. Поэтому здесь вместо уравнения (6.5) можно написать
пл. А2В2Е—пл. Ai А2 ^i~b = пл. В*ЕН.	(6.80)
У
Площади треугольников В2ЕН и EHI с общей высотой EL от¬
носятся один к другому как их основания:
пл. EHI IH ЕН
пл. В2ЕН “ В2Н ~ В2Н
Так как треугольник ВгЕН подобен силовому треугольнику
иф2е, то
ЕН &+<?,'
В2Н G+QI
Поэтому При пл. Afi^zE -f ^ = пл.В2ЕН
пл. EHI	 Q2+Q1	Qa-fQi
<2?	~	G-j-Qi ~ У(пл* AiBiBiE) + Ql
пл. А1В1В2Е+ ^
•тсюда
q3 = y(im. EHI)-Q[.	(681>
Соотношения (6.80) и (6.81) выражают развитие теорем, предло-
*енных Г. Ребханом, для ломаной подпорной стены.
Чтобы найти положение опасной плоскости скольжения и силы
явления на нижнюю грань стены, можно применить построение, по¬
данное на рис. 111. Прежде всего проводят несколько возможных
^костей скольжения: B2EV В2Е2 В2Еп и для каждой из них
Дят значения площадей оснований сползающих призм 01,	а,***»

РИС. 112
1,295 Ц85 Щ
' -тГ-яНу/
*	л|	ли	]/?: л	„л	„
&•*	4- -ч+-^—г'	\а=49хПа
^-1	х //	/ П:?П*Пп &“Г
и
М
.	’р*20к Па
Щ J
Н/Ля	у'*8 fix Па'
Sn. Отложив эти величи¬
ны в виде ординат графика
от горизонтальной оси, про-
0я
веденной на расстоянии
?,"«V	с ,
дг=12,7хПа
РИС. М3
от начала координат, и соеди¬
нив концы ординат плавной
кривой, получают кривую
01
У '
Из верхней точки каждой
плоскости скольжения про¬
водят прямую под углом
Фг = \ — а2 + фо К ЛИНИИ
ВгС и находят площади треугольников ВоЕ^Н^ В2ЕгНг, ••••
В2ЕпНп. Величины этих площадей откладывают в виде ординат
от оси х и строят кривую F. Точкой пересечения кривых опреде¬
ляется положение опасной плоскости скольжения. После этого
обычным порядком строят треугольник EHI и по формуле (6.81)
находят равнодействующую давления сыпучего тела на нижнюю
грань. Если поверхность тела ограничена плоскостью, то можно
принять, что давление на нижнюю грань стены распределено п
линейному закону, и определить давления в точках ВА и Я3 и
двух уравнений (см. рис, 112):
*	\	Яг	}	Qi	+	Qa
Уравнения (6.80) и (6.81) позволяют найти положение плоско^
скольжения и силу давления грунта на нижнюю грань стены, по»
зуясь построением, предложенным. Ж. Пон селе. Для этого пря
160

I
К Bi Д°лжна ^ыть заменена прямой А'2ВЪ проведенной так, чтобы
„Л.	=	пл-	Л1Л*В1	При этом исходной точкой для
построения будет уже неточна А или Л2, а точка Ai (рис. 112). Од¬
нако линия AiD проводится под углом ф+ф0 не к линии A2Bit а к
чияии АоВ2.
На практике находит применение и другой, более простой спо¬
соб, когда давление на грань ВгВ2 определяют как давление на
^тветствующую ^нижнюю часть фиктивной грани независимо от
очертания верхней грани. Однако такой способ может привести
к очень большим неточностям при определении давления грунта на
нижнюю грань.
Неточность данного приема состоит в том, что при определении
давления на нижнюю грань стены BVB2 площадь основания сползаю¬
щей призмы необоснованно преувеличивается на площадь тре¬
угольника AiA2Blt которая фактически в основании сползающей
призмы отсутствует (рис. 112). Кроме того, замена верхней грани
стены более пологой плоскостью, служащей продолжением нижней
грани, приводит к преувеличению вертикальной составляющей реак¬
ции верхней грани стены. Оба фактора действуют в противополож¬
ном направлении, но отнюдь не компенсируют один другого.
Для подпорной стены выпуклого профиля, наоборот, преумень¬
шаются вес сползающей призмы и вертикальная составляющая ре¬
акции верхней грани.
Пример 19. Определить давление грунта на подпорную стену, показан¬
ную на рис. 113, при следующих данных: ht = 3 м, ht = 2,25 м, ах = 0;
а2 = — 30°; Р = 0, р = 20 кПа, у = 16 кН/м», <р = 35°,	= 25 .
Нагрузка р, действующая на поверхности засыпки, заменяется эквнва-
р 20
лентным слоем грунта толщиной h0 = — = jg = 1,25 м.
(6 2зУ^^ННаТЫ ЭПЮРЫ давлення на веРхнюю грань определяются по формуле
I	q0 = yh0 = 16-1,25*0,245 = 4,9 кПа;
[■	<7i = Y (Ло+Ai) ^i= 16*4,25-0,245=» 16,7 кПа.
|i: Здесь Xj = о,245 — коэффициент активного давления на верхнюю грань,
| Взятый интерполяцией по табл. 20.
1 Сила давления грунта на верхнюю грань:
д ?0+?1	.	4.9-Ь 16._7_ 3 — 32.4 кН/м;
I	—	2	2
^ = — - ai-9,=90» - 0» - 25"=65»;
а„ - фо = 90°+30» - 25'=95»
sinjW_	М06 = 29 5)(н/м;
— sin Ч’> "	О-996
- sin(<|>i—Ч>,) .,о t ГРА— _|6.3кН/м.
Ql = Ql sin^r'3 ' 0.«»
161
ь
Пб9

Соединив точки Аг и В2 прямой, проводим линию Bv4| пар31
neibHo" Л,В, и, соединив точки А\ и В2 прямой, заменим ломану*
граничную поверхность А,В,В2 сползающей призмы плоскост *
Л\В не изменив площади основания сползающей призмы, так как
треугольники А1В1В2 и А1А\В2 равновелики.
Точку А2 получим, уменьшив площадь основания сползающей
призмы на отношение
«-„31.,,02 м*.
Y	16
Дня этого расстояние между точками А{ и А'2 должно быть рав-
но ±23 = 0,32 м.
Угол, образованный фиктивной гранью А'2В с вертикалью, и
коэффициент активного давления на эту грань по формуле (6.13)
оказываются равными:
а; = -.20°45'; Яд ==0,122.
Ординаты эпюры давлений:
=	(/i0-h*i) = 16-0,122-4,25 = 8,3 кПа;
q*=yK{ho+hi-\-h2)= 16-0,122-6,5 = 12,7 кПа.
Сила давлений на нижнюю грань
_£]±72_	8,3+12,7	2,25 = 23.6 кН/м.
2	2
Эти результаты близки к результатам решения В. В. Соколов¬
ского.
При определении же давления на нижнюю грань независимо от
верхней имеем: q{ = 5,2 кПа; = 8,1 кПа и Q2 = 14,9 кН/м.
В этом случае расхождение в результатах доходит до 36%.
9 39. ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
С РАЗ ГРУЗОМ НЫМИ ПЛОЩАДКАМИ
И С ФУНДАМЕНТНЫМИ ПЛИТАМИ
1.	Стены с разгрузочными площадками
Разгрузочные площадки или платформы применяют для умень¬
шения давления грунта на подпорные стены и для повышения их
устойчивости.
Рассмотрим подпорную стену, показанную на рис. И4, в* ДЦ'
влеиие на верхнюю грань стены будет таким же, как и без разгрУ30
ной площадки. Оно может быть определено по методу Ш.
или по методу В. В. Соколовского независимо от очертания нижи
грани и наличия разгрузочной площадки. Равнодействующая Да
ления на верхнюю грань обозначена через Qt.
162

Давление на горизонтальную разгрузочную площадку прини¬
мают вертикальным и равным весу вышерасположенного грунта
Пои плоской поверхности засыпки ординаты трапецеидальной эпю¬
ры давлений будут равны:
q' — yh[\ q* = yh{.	(6 83)
Равнодействующая же давления засыпки на разгрузочную пло¬
щадку составит:
л — .4 Я* ,	уЬпп	,,	,	,	...
Зпл —	0 опл=—— (Лх -ЬЛ1),	(6.84)
где Ьпл — ширина разгрузочной площадки.
При определении давления на нижнюю грань нужно исходить из
наиболее опасных поверхностей скольжения, которые при примене¬
нии метода Ш. Кулона заменяют плоскостями. Одной из них будет
плоскость ВоЕ, а в качестве второй для крутой подпорной стены при¬
нимается ее'задняя грань. Многоугольник сил, действующих на
сползающую призму АВВ1В2Е, показан на рис. 114, б. В этом мно¬
гоугольнике известны по значению силы Qj и Q„л, а также углы,
составляемые силами Qt и Q2 с вертикалями. Если провести линию
а1д1 параллельно линии аб, то многоугольник сил	будет соот¬
ветствовать ломаной поверхности	в которой фиктивная
грань АгВг параллельна действительной грани АВ.
Таким образом, определение давления на ломаную стену с раз¬
грузочной площадкой сводится к определению давления на ломаную
стену без разгрузочной площадки и к дополнительному учету давле¬
ния на эту площадку, равному весу грунта, расположенного на ней.
Если консольной разгрузочной площадкой разделяется плос¬
кая задняя грань подпорной стены на два участка, как это показа¬
но на рис. 115, а, то обычно прини¬
мается, что плоскости скольжения
для верхнего и нижнего участков под¬
порной стены параллельны. Кроме
того, принимается, что давление на
участок В' 1 между платформой и
прямой Bj/, проведенной под углом <р
к горизонту от конца площадки, воз¬
растает пропорционально глубине,
счнтая от низа площадки. Давление
на участок стенки 2В2 принимается
таким же, как и при отсутствии пло¬
щадки. Давление на промежуточном
Настке 1—2 принимается возраста¬
ем по переходной прямой. Эти до-
^Щения приводят к эпюре давлений
а стену, показанной на рис. 115, б.
При этом в случае разгрузочной
'10Шадки, доходящей до нижней
6*	163
РИС 114

плоскости скольжения, как это показано на рис. 115, а пунктирна
линией, эпюра давлений принимается по рис. 115, в.	v
В действительности эффект от устройства разгрузочной площал
кн будет не таким значительным, так как нижняя плоскость скольже¬
ния должна занять такое положение, при котором давление на ниж¬
ний участок стены, а следовательно, и на всю стену окажется нал*
большим. При этом нижняя плоскость скольжения будет более по¬
логой, чем верхняя.
Для более строгого решения задачи нужно исходить из массы
сползающей призмы Афф'В^Е и силового многоугольника, пока¬
занного на рис. 115, г.
Вес этой призмы составляет: G — у (пл. АВ2Е — пл. AA^fl).
164
РИС. 116

для нижнего силового треугольника будет справедливо соотно¬
шение
Q = Qi+Qs=C —51,1 (е-Ф) . .
ф)	(6,85)
Однако вес сползающей призмы в этом случае равен*
G = y(пл. AB2E)-Qna.
cos (a-f <ро) 0,98 ~0,512,
Размеры Лф 1,6 м и Л0 = 2,1 м определяются из решения косоугольных
треугольников. 0 = 58°.
Ординаты эпюры давлений равны:
<71 = Yai^= 18.4.0,512 = 36,8 кПа;
<72=18.1,6-0,512=14,7	>
<7з= 18-7,7*0,512=70,7	»
<74= 18.9-0,512=83	»
На разгрузочную площадку будет действовать вертикальная сила, рав¬
ная весу лежащего на ней грунта:
4,24-4,8 л
= — -g - ' 3-18 = 242 кН/м.
Взамен разгружающих плит П. И. Яковлевым 1143] предложено
и экспериментально исследовано разгружающее устройство нового
типа в виде горизонтальных консольных балок. При расстоянии
между балками порядка 0,15—0,2 от высоты подпорной стены и не¬
большом увеличении их вылета по сравнению с вылетом плиты они
благодаря явлению сводообразования в засыпке дают такой же раз*
гРУжающий эффект, как и плиты. Давление на балки при этом повы¬
шается по сравнению с весом лежащего над ними грунта.
Для разгрузки подпорных стен применяют также экранирукшцп
Рамы и отдельные сваи, забитые в пределах сползающей призмы.
этой же целью увеличивается угол естественного откоса засыпки
(До 46 на воздухе и до 39° в воде) добавлением к ней отходов лесопи¬
ления — «рееК».
, ^ Стены с фундаментными плитами
"PH определении активного давления сыпучего тела на подпор-
о5оа,стенУ уголкового профиля необходимо учесть возможность
из ниВания различных плоскостей скольжения в засыпке и выбрать
* наиболее опасную.
165

РИС. 117
В большинстве случаев можно ограничиться рассмотрением пло¬
скостей скольжения по схемам, показанным па рис. ^117, о. и б.
В случае а опасная плоскость скольжения А В и давление на
нее могут быть найдены так же, как в случае пологой подпорном
стены. При этом угол отклонения равнодействующей давлений от
нормали принимается равным углу внутреннего трения ср сыпучего
тела. К собственному весу подпорной стены прибавляется вес G за¬
сыпки в объеме призмы с основанием АА'В'В. В случае б, который
может наблюдаться при короткой тыловой консоли фундаментной
плиты, плоскость скольжения А'В' и силу Q2 определяют как для
пологой подпорной стены. При этом находят и положение точки А'.
Силу давления Q! па верхнюю часть стены определяют независимо
от нижней части и принимают с углом отклонения б =^. Силу Qj
определяют с учетом пригрузки от веса сыпучего тела, расположен¬
ного выше горизонтальной линии, проведенной через точку А*. Вес
С3 призмы А'ВВ' прибавляется к весу подпорной стены.
Для приближенных расчетов допускается принимать давление
Q сыпучего тела действующим на вертикальную плоскость СВ и
направленным под углом р к горизонту. При этом к подпорной стене
добавляется вес G призмы ЛВВ'С сыпучего тела.	.
При горизонтальной поверхности засыпки за подпорной стеши
как в случае а, так и в случае б все углы наклона плоскостей сколь
жения к вертикали принимают равными 45° — гр/2. В этом случз
силу давления на вертикальную плоскость СВ' (которая для пЛ
скостен скольжения будет плоскостью симметрии), определяют ПР
Чо 0 и принимают горизонтальной. Во всех случаях учитыв
еще давление грунта па типовую грань В'В" фундамента.
§ 40. ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ МЕТОДА, ОСНОВАННОГО
НА ЗАМЕНЕ ПОВЕРХНОСТИ СКОЛЬЖЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ
Метод III. Кулона, в основе которого лежит допущение о за ^
криволинейной поверхности скольжения плоскостью,
рокос распространение на практике благодаря простоте и в
иости применения во многих частных случаях.

g связи с имеющимся более строгим методом В В Сокгюпп-п
m по которому составлены таблицы коэффициентов'ак™«нп£
^„я сыпучего тела, естественно возникают следуюнше “1сы-
Л) каково расхождение в результате полученных по ZeZZ
ор12) какая из этих теорий лучше подтверждается данными опытов?
3) какова область применения каждой из них?	опытов!»
Для ответа на первый вопрос достаточно сопоставить коэффи¬
циенты активного давления по методам Ш. Кулона и В. В. Соко¬
ловского. Это пока можно сделать только доя частного случая плес¬
ком "Задней поверхности стены, наклоненной под любым углом а
к вертикали, при горизонтальной поверхности засыпки. Для дру¬
гих же случаев коэффициенты активного давления по*теории
В. В. Соколовского еще не вычислены.
Сопоставлены результаты по методам В. В. Соколовского и
Ш. Кулона отдельно для величин горизонтальных и вертикальных
составляющих активного давления, так как на устойчивость под¬
порной стены эти составляющие оказывают противоположное дей¬
ствие. При этом оказалось, что наиболее значительны расхожде¬
ния результатов для пологих подпорных стен с большой шерохо-
/ Ф	\
ватостью Про = f и особенно ср0 = <pl. Однако н доя крутых под-	,
порных стен разница в давлениях может доходить до 15%. При	[
этом для стен с обратным уклоном (а < 0) метод Ш. Кулона при-	х
водит к преуменьшению (до 15%) горизонтальной составляющей
давления и к меньшим отрицательным значениям для вертикаль¬
ной составляющей по сравнению с методом В. В. Соколовского.
При небольших прямых уклонах задней граня (до 40°) горизон¬
тальные составляющие давления грунта по теории Ш. Кулона ста¬
новятся больше, чем но методу В. В. Соколовского, на величину до
10%. При этом вертикальные составляющие по сбеим теориям при¬
мерно одинаковы.
Для больших положительных значений угла а (больше 40
ЭД) уже обнаруживаются значительные расхождения между ре¬
зультатами по методу LIJ. Кулона и В. В. Соколовского.
Наконец, для а >• 90° — ф0 величина cos (а *г Чо). стоящая
П°Д корнем в формулах (6.21) и (6.22), становится отрицательной и
Эти Ф°рмулы приводят к мнимым значениям величии активного дав¬
ания засыпки на подпорные стены по методу Ш. Кулона,
ия, 6пКие Расхождеиия между результатами по методам ^
Пп 1 * В- Соколовского для больших значении а, т. е. для п •	'
3aiu°*)Hblx стен» следует отнести за счет того, что в этих с.)*
ния ЯЯ гРань стены уже не служит второй поверхностью с ^
я*)^ Кот°Рая так же, как и первая, образуется в самсм гр> •	^
равипJla 3a^HeiUf грани такой подпорной стены условие пр " н
КасдТоСС1,я выполняется и зависимость между нор а.
Дьными напряжениями выражается неравенством
т < о tg фо
167
I

Прн применении метода Ш. Кулона это обычно не учитывай*
„ им пользуются без каких-либо ограничении, что может привесу
к заметным" просчетам, а иногда даже и к абсурдным результатам
Болес мелкие расхождения между результатами по метода^
В. В. Соколовского и Ш. Кулона объясняются заменой криволи¬
нейной поверхности скольжения плоскостью.
Как показано ниже, метод Ш. Кулона может привести к непра-
внльным результатам расчета в том случае, когда его применяют
для определения давления грунта на подпорную стену с ломаным
очертанием задней поверхности. Это будет в случае, когда к до¬
пущениям Ш. Кулона добавляют еще допущение о том, что давле-
вне на нижние грани ломаной поверхности стены можно определять
независимо от очертания верхних граней.
Чтобы ответить на второй вопрос, надо иметь в виду, что спе
циальные опыты, имеющие целью проверить метод В. В. Соколов
ского, до сих пор не ставились. Те опыты, которые обычно приво
дят в литературе в качестве подтверждения метода Ш. Кулона
еще в большей степени могут служить и для подтверждения мето
да В. В. Соколовского, так как, во-первых, все эти опыты охваты
вали как раз ту область, в которой результаты обоих методов прак
тически совпадают, и, во-вторых, уже А. И. Прилежаевым в 1907 г
на основании обработанных им опытов других исследователей
опытов, приведенных им самим, было установлено, что только верх
нне части поверхностей скольжения всегда близки к плоскостям
То обстоятельство, что согласно опытам нижние части поверх
ностен скольжения могут быть и не плоскими, говорит в пользу
метода В. В. Соколовского и против метода Ш. Кулона.
Из изложенного следует, что никаких преимуществ, кроме боль¬
шей простоты применения, метод Кулона не имеет.
Вместе с тем указанные ошибки, к которым приводит в ряде
случаев неправильное применение метода Ш. Кулона, не являются
следствием его основного допущения о плоскости скольжения. Эти
ошибки, имеющие важное значение для тех или иных частных слу¬
чаев, могут быть устранены. Такими частными случаями оказыва¬
ются прежде всего пологие и ломаные стены, которые рассмотрены
ниже и для которых приведены решения, основанные на методе
Ш. Кулона с введением в него необходимых поправок.
В настоящее время метод Ш. Кулона следует применять в тех
случаях, для которых еще не составлены таблицы коэффициен¬
тов активного давления, вычисленных по методу В. В. Соколов*
ского.
пт ^?ССМ0ТРенные методы определения давления сыпучего тела
Ш. Кулона, В. В. Соколовского и С. С. Голушкевича наиболее и
вестнц н распространены в Советском Союзе. Однако допушени »
на которых они построены, не единственно возможные, поэтому 11
вестный интерес представляют теории, построенные на дрУгиХ ;
лущениях, не противоречащих данным опытов.

f л а8 а
VII,
ПСОВЫЕ СЛУЧАИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ
гЫПУЧЕГО ТЕЛА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ.
ДАННЫЕ ОПЫТОВ И НАБЛЮДЕНИЙ
4, АКТИВНОЕ давление сыпучего тела
НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ ОГРАНИЧЕННОЙ ДЛИНЫ
Если подпорная стена длиной одного порядка с высотой, а со¬
седние массы грунта не воздействуют на подпорную стену, налри-
1/ПГПЯ ОНИ огоаничены откосами (Ч'ГТГШ \1пгта\ m
 	 I	j	^	J	J	IV	A tn ^ , Пd 11р Н -
мер когда они ограничены откосами (устой моста), то задача долж¬
на быть рассмотрена как пространственная. В этом случае сполза¬
ющее тело (по предложению Б. В. Бобрикова [9]) принимается
_ пппо rrn nvmiJUlT-I ЛПЯ vrpupvmnrn PUUQV йот/ гтоитшп  	—
в виде полуцилиндра, усеченного снизу наклонной плоскостью,
составляющей с горизонтом угол 0 (рис. 118). Исходя из условия
— л пл п t_ ТТГ\ГГ\ nanUOPPPTtCT ОП/Л ТТ О О ТГ\Т ТТ СЬ Г'/’Л TQ п О	ПГ\Л1«А^А^М
Г	J	\г	А	/	•	д	IIJ	J> Vt'ivDfi 71
предельного равновесия сползающего тела и пренебрегая силами
трения по цилиндрической поверхности, можно найтн активное
давление на верхнюю и нижнюю части вертикальной гладкой сте¬
ны при горизонтальной поверхности засыпки:
<71 = 0,392у/ tg (0—ф);
(7.1)
?2 = YZ 1-
0,43 z \ tg (0—ф)
tg 0	/
tg в
(7.2)
При этом h2 = g-tg Q} а угол 0, как и в плоской задаче, нахо¬
дят из условия максимума силы давления, которое приводит
к уравнению
8,82 -у- cos2 0—sin 20 =
— sin2 (0—ф).	(7.3)
О 02 ofi 0,6 06 1,0 12 1Ц 16 1,8 г
I / h
(ис. 118
РИС. 119
169*
м

Равнодействующая активного давления на подпорную стену
<? = 0,ШуЛ/3(м1-у tg ej tg (0—ср).	(7	^
Центры давлении для верхней и нижней частей находят от низа
стены на уровнях:
0,16 (у J tg2 0 —у tg 0 + 2,2
			7	’	(7.5)
4,4 — — tg О
h
22=зО, 173/ tg 0.	(7.6)
Если же общая высота стен h<Zh2, т. е. если верхняя часть
сползающего тела в форме цилиндра отсутствует, то вместо урав¬
нения (7.3) следует пользоваться уравнением
/ sin 2 (0 — ф) — sin 20 „ _ 2 sin 2 (0 —ф) —sin 20
~	"	— vJ | /У	,	•	I	/	•/)
h	cos 0	sin О
Равнодействующая давлений в этом случае выражается фор¬
мулой
jlfi_ tgjO-^ IJ_ _	(7.8)
v 2 tg о U tgo;
Для определения давления на любой глубине z служит формула
(7.2).
Центр давления находится от основания на высоте
~ tg 0-0,22
zQ=h—	z—	‘	(7.9)
(I	\	3
3 ytgO-0,29
На основе этих формул построены графики (рис. 119 и 120). На
рис. 119 кривыми 1 \\ 2 показана зависимость между углом 0 и от¬
ношением Uh. При этом штриховая линия отделяет участки кри¬
вых, относящихся к стенам с h ^ /г2 (слева) от участков кривых
для стен, высота которых h > h2.
Кривыми 3 и 4 даны зависимости между отношениями QIQ& ?
//Л, где Q — давление сыпучего тела в условиях пространственной
задачи, Qa соответствует давлению в условиях плоской задачи. Кри*
вые построены для двух различных значений угла внутреннего
трения сыпучего тела: ф = 30 и ф = 40°.
Эпюры давлений, построенные по формулам (7.1) и (7.2) для Paj*
ных отношений hk при ф = 30°, показаны на рис. 120 сплошны*
линиями. Эти эпюры в отличие от соответствующих эпюр
задачи, показанных штриховыми линиями, криволинейны. Р
этом атя стен с h> ht при llh 1 давление на некоторой глу 1
170

от поверхности становится
постоянным.
Из рис. 119 И 120 видно
что сила давления на стену
ограниченной длины меньше
чем на такой же участок вы¬
деленный из подпорной стены
неограниченной длины. Пои
этом разница тем больше
чем меньше длннз стена / по
сравнени*0 с высотой h. При
“ V **•’ **5 решения для
условии плоской задачи во
всех ^случаях достаточно
точны.
Пример 21. Определить лаг
ленне засыпки ня п™
стену Л = 4 м „ / =Тм0Р"Г
у=17кн/м».ф = !)0^;;-и
о орт on opt ops о.з5 m; ms
Г "	■	1
Ш 0,7
РИС. 120
■	»	I	т	и	~ *
Так как llh = 4/4 = 1, то на графике рис. 119 (кривая 2) видно, что
Л < Л2, 0 = 67°30' и Q/Qa = 0»9. Сила активного давления на всю стену дли-
 Л А ш -
ной 4 м
Q = 0,9Qa = 0,9/
y/ia
tg* 45°—
Ф \	17-42
= 0.9*4 —“— tg*[ 45°—
40
= 106 кИ.
На основании формулы (7.9) эту силу можно считать прнложеннсй на
уровне = 4/3 = 1,33 м.
Ординату эпюры давлений на любой глубине г определяют по формуле
(7.2)
Яг=уг
tg (0—ф)
1 —
0,43
Z
I
ML
tff0 с tee ч	2’414	4
8 =3,68tO-0.<H5z) = 3.68t-0..64c».
Нижняя ордината эпюры да”дс""Г' "Р" *	^а-
, = 3,68-4 - 0.164.^ = 4,7-2.6	^	дс.
- • находящегося в услови	и
Для участка стены„^""“результаты расчета дают Q
формированного состоя ни , Р
q ~ 14,7кГ1а.
§42. АКТИВНОЕ ДАВЛЕН11^4нрПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
НА КРИВОЛИНЕПНЫЕ В ПЛАН	лц.,.	ю	вогнутой	СТО-
e,«c»,ru«	°ч»»—
Если исходить из теории предевает разрывы и лере*
считать, что ограждение пр Р
в сторону от сыпучего тела, •	171

В этом случае (по предложению В. И. Титовой [122]) сполза
юшес тело расчленяют меридиональными плоскостями на беско-
нечно малые элементы, один из которых показан на рис. 121.
Для вертикальной гладкой подпорной стены при горизонталь,
ной поверхности засыпки из условия предельного равновесия уста.
навливэется зависимость между массой сыпучего тела G и силой даа.
ления Q на единицу длины окружности стены
Тйctg0)
д=01в(о-ф)
(7.10)
где # —радиус внутренний поверхности стеньг.
Дифференцируя это выражение по 0 и приравнивая произвол-
ную нулю, получим уравнение, которое позволяет наити угол 0,
соответствующий условию максимальности силы Q.
h л sin 20—sin 2 (f) —ф)	, n
— «3——		—tg 0-	|7	ж
R	sin	20-2	sin	2	(0-ф)	b
Для заданного отношения h/R угол 0 находят из этого уравне¬
ния подбором.
Дифференцирование выражения (7.10) по h=z позволяет най¬
ти давление на глубине г:
У lg (0—ф)
tg 0
Пг -э ——
2
2 —
R tg О
(7.12)
Эта (]х;рма разрушения сыпучего тела возможна только при та¬
кой высоте стены, при которой внутренняя образующая сползаю¬
щего тела не пересекает центральной оси стены, что соответствует
условию h/R ^ (gO. Предельные значения h/R можно получить
из формулы (7. II), приравняв (h/R)nv = tg0np.
Подбором можно определить отношение (h/R)nri при различных
значениях ф. Для (р = 25 ... 35° они колеблются в пределах
3, / 3—3,8.
Гаким образом, при высотах h/R ^ 3,73—3,8 можно, применяя
формулу (7.11), найти для любой точки по высоте стены угол 0.
соответствующий наибольшему давлению, а затем по формуле
(/.12) нантн ординату эпюры давлений, которая в данном случае
оказывается криволинейной. Когда высота стены превышает этот
предел, вместо формул (7.10) — (7.12) полу*
У! ча ют:
Q-
yhR
2 tg (0—Ф) — tg 0 tg (0 —ф)*. (7.К)
(7.13)
h_
R
sin 20-f- sin 2 (0—ф)
6 cos3 0
yR tg (0—ф).
(7.15)
(7.16)

h,*
ол
0,4
0,5
0,6
v
0,8
0,S
1
Vi
гЛ
\ *
\\
1
\н
1
1
i 1
0 0,1 0,20,3 0,4 0,5 0,6 0,1 0,8 0,9 1 1,1
РИС. 122
J 4	5	6
РИС. 123
На рис. 122 показаны кривые равнодействующих, т. е. сил дав¬
лении, самих давлений и углов 0 для частного случая ф ~ 30°.
Прн этом зона I графика соответствует h < #tgO, а зона 11 — Л >
> /?tg0. Кривая 1 дает значения безразмерных давлений
qlyR, кривая 2— значения углов 0, кривая 3 соответствует отноше¬
нию QlyR2, кривая 4 показывает давления на плоскую стену.
Для проверки теоретических выводов В. И. Титовой поставле¬
ны опыты с ячейкой высотой h = 1м и диаметром 0,7 м, в которую
был насыпан из воронки рыхлый песок со средней объемной мас¬
сой 1,65т/м3 и углом внутреннего трения ф = 28...31°. Результаты
опыта (кривая /) на рис. 123 хорошо согласуются с теоретическими
данными (кривая 2) и очень далеки от результатов, получаемых
по формуле LII. Кулона для прямолинейной в плане степы (кривая
3). Формула Кулона приводит к сильному преувеличению расчет¬
ного давления.
Пример 22. Определить давление засыпки и* круговую в плане стену
при у = 17 кН/м\ (р = 40°, фо = 0. h = 8 и, R = 8 м.
Так как h/R = 8/8 = 1 < 3.7. то для определения угла 0 пользуемся
Формулой (7.11). Это уравнение обращается в тождество при 0— 75 4^.
Подставляя значение 0 в формулу (7.10), находим полное давление на единицу
Длины окружности задней поверхности стены:
Q = Л _ —?— ctR 75е 45'W 75е 45' tg (75" 45'-40’)-91,2 кН.
2	\	3-8	)
Нижняя ордината эпюры давлений по формуле (7.12) прн г =~ Л = 8 м
17'8	-(2—	—			r-W(75°45'-40e) = 21,7 кП«.
' \	8	tg	75е	45	/
<?- —
2 tg 75° 45' V 8
Для прямолинейной в плане стены при тех же данпых
Q= 118 кН и <7 = 29,5 кПа.
т

s 43 ПАССИВНОЕ ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
ПМ ОГРАНИЧЕННОЙ ДЛИНЕ СООРУЖЕНИЯ
Пон определении пассивного давления сыпучего тела на огра*.
дение ограниченной ширины / в плане Г. И. Глушковым 128] уста.
новлена форма тела выпирания. В целях ее упрощения и в разви-
тне предложений Л. Бреннене, Э. Ломейера и Б. А. Урецкого
он принял схематизированную форму (рис. 124). При этом объем
тела выпирания складывается из объема призмы и объема двух
пирамид, составляя
л- I tg~l
v=-^o\3,+2/,“l^’	(7-17>
ГдС о — угол наклона главной плоскости скольжения к горизонту, который
должен быть найден из условия минимальности силы пассивного сопротивле¬
ния сыпучего тела; 6 — угол расширения тела выпирания в плане, который
должен быть найден из того же условия.
Для упрощения задачи обычно принимают, что угол 0 остается
таким же, как и при плоской деформации, а сила трения по боко¬
вым граням тела выпирания не учитывается. Для угла б по
предположению Л. Бреннеке и Э. Ломейера принимается вы-
ражеиие 2 tg j = tgO. Тогда сила пассивного сопротивления сыпу¬
чего тела может быть определена по формуле для случая плоской
деформации, в которую в качестве множителей вводятся ширина
/ ограждения и отношение общего объема тела выпирания к объе¬
му его средней призматической части. С округлением и в запас при¬
нимается
у///2 / h
Qn-
i+
2/
tg2
Л
(7.18)
Опыты, проведенные Г. И. Глушковым на моделях, заглублен¬
ных в песок с углом внутреннего трения q> = 37°, показали, что
влияние пространственной работы массива сыпучего тела при воз¬
никновении его пассивного давления оказывается значительно
большим, чем это следует из формулы (7.18), в которой не учиты¬
ваются. силы трення по боковым граням выпирающего тела.
РИС. J24
РИС. 125

С 44. ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
в состоянии покоя
В некоторых стуча я х перемещения подпорных стен стишком
малы для того, чтобы давление засыпки могло снизиться до актив¬
ного давления. Примерами таких сооружении могут служить мас¬
сивные подпорные стены на скальном основании, а также стены
очень жестких подземных сооружении, испытывающих одинаковое
давление с обеих сторон. Такие практически неподвижные стены
испытывают допредельное давление засыпки, находящейся
в состоянии упругого равновесия. При определении давления на
подпорную стену, которую можно считать абсолютно неподвижной,
засыпку рассматривают как упругое тело. Ееш поверхность засып¬
ки горизонтальна, а задняя грань стены вертикальна и трение по
ней не учитывается (<р0 = 0), то граничные условия на задней гра¬
ни стены в отношении горизонтальных перемещений и сдвигающих
напряжений соответствуют условиям на вертикальной плоскости
полупространства, являющейся плоскостью симметрии к заданной
нагрузке и к ее зеркальному изображению (рис. 125).
Если исходить из того, что вертикальное напряжение от собст¬
венной массы грунта на глубине z равно az — yz, то горизонталь¬
ное напряжение на этой же глубине можно определить из уравне¬
ния обобщенного закона Гука для плоского деформированного
состояния и условия, что относительная деформация в направле¬
нии оси х равна нулю. Отсюда
a*=az	=	7гбо.	(7-19>
i-|i
где р — коэффициент Пуассона грунта.
Значение £0 = f—; является коэффициентом бокового давления
грунта в состоянии покоя.
При действии линейной нагрузки Р и ее зеркального изображе¬
ния, параллельных заднему верхнему ребру подпорной стены, дав¬
ление на нее исходя из формулы теории упругости (формула ла-
мана).
. 4Px2i = — a*.	(7-20)
Х Л (x2-f22)a	Z
где х — расстояние от линии приложения нагрузки до задней р
стеиы.
При этом касательное напряжение тхх на задней грани стены у
Дет равно нулю.	_	Я1ТИв	»-	ппи.
Значения коэффициента ах в зависимости от отнош '
*Дены в [66]. Для получения наибольшего давления на дан
®«не г линия нагрузки должна быть отодвинута ?
* = г. При этом ох = 0,318 (Р,г). При заданном расстоянии * от

ЛИНИН действия нагрузки наи&льште давление будет на глубИНе
• — 0 578 .v н составит ох = U,/oo (/ !*).	и
Пт. действии вертикальной сосредоточенной силы Р и ее Зер.
кального изображения давление на вертикальную плоскость, сов-
падаюшую с задней гранью подпорной стены, выражается форму,
лой Буссннеска с коэффициентом 2:
ЗР г *2 2	1	—	2ц	/	1	(2/?Ч~	z)
Ojc=°
Я
R{R+ г)	(/?+г)2/?з	р з
2 Р -
= —(7.21)
Где х _ расстояние от сосредоточенной силы до задней грани стены по пер.
пенднкуляру; у — расстояние от точки приложения сосредоточенной силы до
взятой на поверхности стены точки по направлению, параллельному кордону
стены:
Я=Улг2+1,г+22.
Напряжения о, в некоторой области рассматриваемой верти-
кальной плоскости могут оказаться отрицательными, т. е. растя¬
гивающими. Однако в большинстве случаев они будут погашаться
сжимающими напряжениями от собственной массы грунта. Для об¬
легчения использования формулы (7.21) Г. И. Глушковым сос¬
тавлен график значений ах для коэффициента Пуассона р, = 0,3
(рис, 126).
Следует иметь в виду, что давление на подпорную силу в боль¬
шой степени зависит от значения \i. При и = 0,5 (что соответст¬
вует материалу, сохраняющему при деформации постоянный объем)
формула (7.21) упрощается и приобретает вид
ЗР	*2	г	2Р	-
а*.	(7.22)
я	t/S-f-	г2)5 /2 г2
Чтобы в данной точке стены на глубине г давление было наиболь
шнм, сосредоточенный груз должен быть установлен протш
этой точки (// = 0) на расстоянии х = 0,816 г. При это?
<7Х = 0,1776 (P/z*). При заданном расстоянии х наибольшее давле
ние будет на глубине z = 0,5 х и составит ох = 0,0684 (P/z2).
^гот метод определения давления грунта может иметь пока лшш
ограниченное применение, так как он относится к частному слу1
чаю абсолютно гладкой жесткой и неподвижной стены при горизон*
тальной поверхности засыпки.
Для приближенного определения давления грунта на подпор*
ную стену в более общем случае (произвольная поверхность засып¬
ки, наклонная стена и угол трения по ней засыпки гр„^0) примем
доп\щенне, что в сыпучем теле отношение между главными на¬
пряжениями (точнее между их приращениями) равно коэффнииен*
ту бокового давления, т. с. для плоской задачи
лз^£о<>1.	<7,23)
176

/
ч
' op op op op op op 1 ip г
Отношение x /z
РИС. 126
Выражая главные напряжения
через нормальные при помощи
формулы (2.18), после несложных
преобразований получим
=	(°г+а*>2-
(7.24)
4	5	6	7	В	910
В	у - *(8,7 нг'1
РИС. 127
ЧТО ОНИ
Сравнивая это уравнение с ус¬
ловием (2.35) предельного напря-	Л*иап\чкить.
Генного состояния (при с = 0), можно лег*>	^	уравнении
уличаются лишь параметрами (1 ьот	0
(*•24) вместо sin ф в уравнении

Учитывая, что дифференциальные уравнения равновесия 0СГа
кхгся одними и теми же в обоих случаях, можно свести решение за!
дач связанных с непредельным равновесием грунта, к использова
кн 10 тех же формул и графических построении, которые примени!
ются для решения задач предельного равновесия. Однако при зт0м
придется принять угол отклонения полного давления от нормали
к условной площадке скольжения равным некоторому условному
углу внутреннего трения <русл, определяемому из уравнения
• L-zk
фусл— arCSinj_|_£0 *
(7.25)
отсюда
1—sin фуСЛ
|| *
1 4" Sin фусл
Фусл
(7.26)
Если исходить из нормированных значений коэффициентов бо¬
кового давления, то углы отклонения окажутся значительно мень¬
шими, чем действительные углы внутреннего трения. Так, для пес¬
ка с коэффициентом бокового давления £о = 0,43 и фусл = 23°
30', в то время как действительные углы внутреннего трения пес¬
чаных грунтов лежат в пределах 30—43°. Это означает, что давле¬
ние сыпучего тела в состоянии покоя значительно превышает его
активное давление, что вполне согласуется с данными опытов. *
Пример 23. Построить эпюру давлений на подпорную стену, рассмотрен¬
ную в примере 15, при условии, что она стоит на скальном основании и может
быть принята абсолютно неподвижной. При этом h = 6 м. Засыпка песчаная
с у = 19 кН/м3.
Для песчаного грунта засыпки коэффициент бокового давления в состоя¬
нии покоя по табл. 6 равен £0 = 0,41. Нижняя ордината эпюры давлений на
неподвижную стену по формуле (7.19)
q = ax= 19*6-0,41 =46,7 кПа,
т. е. ка 58% больше, чем соответствующая ордината эпюры активного дав-
смещении подпорной стены.
/1ля построения эпюры давлений от линейной нагрузки Р — 45 кН/м
разобьем стену по высоте на шесть частей и для каждой точки деления най¬
дем соответствующую ординату
ТАБЛИЦА 22. РАСЧЕТЫ
К ПРИМЕРУ 23
х/г
к Па
0
0.5
1
2
3
4
5
6
о©
4
2
I
0,667
0,5
0.4
0,333
0
0,035
0,102
0,159
0,135
0.102
0,076
0,058
0
6,3
9,2
7,15
4,05
2,29
1,37
0,87
по формуле (7.20)
2 Р -
Яр — °хр = °х =
2-45 - л стх
 ах=90
z	г
Вычисления по этой фор*
муле сведены в табл.
Эпюра давлений на под*
порную стену показана н
рис. 127.

Равнодействующую Дополнительного
стену от действия силы Р подсчитывают каГп!”"” На Горную
рая заменяется площадями отдельных трапеций ЭПК>Р“’ кот°-
Qp = Y«U:P.5 + 9,2.0,75+ 7,15.1 + 4.05-1 +
+2.29.1 + ],37.1+о,87.0>5)=25,34 кНи.
Это значение превышает зняи^ни»
„ОГО давления от нагрузки, найденное в прщ,^'** аС,'8^ акт,1В’
§ 45. ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА	г
НА ПОДПОРНУЮ СТЕНУ В ЗАВИСИМОСТИ
ОТ ЕЕ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
Исходя из данных опытов можно принять следуют vm vnn
ную диаграмму изменения давления о на пп,2 1 Упрощен-
симости от ее горизонтального перемещенияТна® Зави'
не а, которое зависит от сдвига и поворота стены (ри^И^Гл
наклонного прямолинейного участка этой диаграммы „з^ны S
179

чения трех ординат, соответствующих активному давлению грунта
давлению его на неподвижную стену и пассивному давлению.
При этом:
Ял~Уг^л\ <7о = Уг^о» Яп — У^т	(7.27)
где Хй, Х0. Хп — коэффициенты давления грунта соответственно активно-
го состояния покоя и пассивного.
Для вертикальной идеально гладкой подпорной стены при го-
рнзонтальной поверхности засыпки эти коэффициенты выражаются
формулами:
1 —sin <р ^ р t ,	1	-Ь	sin у
Ая '=>	~~	I	—*	Г I Ап — .	. I
1 sin ф	1	—	р	1	—	sintp
где ф — угол внутреннего трения сыпучего тела; р — коэффициент Пуассо¬
на.
Если принять, что движение подпорной стены начинается лишь
после укладки засыпки и исходить из простейшей теории осадок
поверхности сыпучего тела по теории Фусса — Винклера, считая
коэффициент постели k нарастающим пропорционально глубине,
то на глубине г давление засыпки на гладкую вертикальную зад¬
нюю грань подпорной стены, переместившуюся и одновременно по¬
вернувшуюся в сторону от засыпки,
qz = yz‘k0—kzA — kzQ (h—г),	(7.28)
где А и 0 — горизонтальное и угловое (креп) перемещения подпорной стень*|
к —- коэффициент, характеризующий изменение[коэффнцнента постели с глу¬
биной; для иескальных грунтов техническими условиями проектирования же¬
лезнодорожных, автодорожных и городских мостов и труб (СИ 200-62) уста¬
новлены значения k в пределах от 1000 до 20 000 кН/м*.
Силу давления грунта на подпорную стену определяют интегри¬
рованием выражения (7.28).
(7.29)
о
Эпюра давлений складывается из трех эпюр, две из которых
треугольной формы, а третья — параболической (рис. 128, в, г,
Ри перемещениях стены в сторону засыпки второе и третье ела*
гаемые в (формулах (7.28) и (7.29) должны быть взяты со знак^
плюс. В соответствии с принятой диаграммой давлений сила Q ,,е
может быть меньше Qa и больше Qn.
еперь рассмотрим давление на подпорную стену в случае сов
местного ее перемещения с перемещениями основания и грУ11^
у передней грани фундамента. Для этого найдем действу*
стену силы и их моменты. Момент, сопротивляющийся крену п0Д*
180

порной стены, когда давление на основание передается по всей ши¬
рине подошвы, выражается формулой (см. рис. 128, б)
~12~0'	(7.30)
где Ь — ширина подошвы подпорной стены; 0 — угол крена; k - коэффи¬
циент постели грунта в основании подпорной стены, принимаемый для не-
скальных грунтов равным kh (кН/м3), но не менее 10к, для скальных грунтов
этот коэффициент принимают в пределах от 300 ООО до 15 ООО ООО кН/м*.
Силу Т сопротивления основания сдвигу подпорной стены при¬
мем пропорциональной перемещению Д, т. е.
Г=т6 = &т5Д,	(7.31)
где Ь — ширина подошвы подпорной стены; т — сдвигающее напряжение по
поверхности основания; kr — коэффициент сопротивления грунта сдвигу под¬
порной стены по основанию (кН/м3), который можно принять равным 0,5—
0,7 от значения коэффициента постели к.
Сила сопротивления основания сдвигу подпорной стены не мо¬
жет превосходить предельного значения
Tnp=Nf,	(7.32)
где N —	сила нормального давления от	подпорной стены	на	ее основании;
f — коэффициент трения между подошвой подпорной стены и поверхностью
основания.
Условия равновесия подпорной стены, заглубленной в основа¬
ние на /гф и переместившейся в сторону от засыпки:
w Y/l2 л */l2A	^/i3e t l t ТфЛф n	ЛфЛфД Лфйфв
2'Y = — *0——-—	-МД J-	Кф	2	Г"^0’
vJ и V^3 % 6Л3Д	kh* 0	„	kb* 0	уфА$Л0ф
2Af„ = —Х„-—		 Се-—	g
кфкф&. йфЛфв л
•' ■	-	"	V/ •
6 12
При составлении этих уравнений учтена возможность различ¬
ных значений, у,It и Х0 для задней и передней граней стены.
Последние отмечены буквой ф. Третье уравнение равновесия
при гладкой вертикальной задней грани подпорной стены дает
возможность непосредственно найти среднюю величину осадки s:
ZZ=G—kbs = o,
где G — пес подпорной стены, отнесенный, как н все остальные силы, к 1 м
Длины.
Уравнения равновесия удобно представить в форме каноничес-
К,1Х уравнений метода перемещений:
гддЛ+где0 + Яло==О;	(7.33)
гед д +геее + /?ео=0'
1*1

<
Гдд = 3 (kh2-\-kф Лф -\-2kT Ь)\
где==гед = ^3Н-£фйф‘>
= — (ЛЛ4 —f- /2ф Лф —}— /г^3) *
2
кд0= — з (т/«2 ^о—тф /4 ^оф);
Лео= — fh3 К + Уф	^оф+бйа
tptMa I) 1))	y--7V,J«/7e
^НУ
[ ыг [. &/?
ее
РИС. 12^
(7.34)
При этом линейное перемещение и угол крена будут выражать¬
ся формулами:
Д =
е=
где^ео~гее ^до
о	*
гддгее“~где
где ^др—гдд7?ео
гддгее~где
(7.35)
(7.36)
Найдя перемещения Л и 0, можно, пользуясь формулами (7.28),
(7.29), (7.30) и (7.31), определить давление засыпки на заднюю и пе¬
реднюю грани подпорной стены, значение эксцентрицитета е силы
N и силу сопротивления Т основания сдвигу.
Применение предлагаемых формул к расчету подпорной стены
показано на числовом примере.
Пример 24. Определить давление грунта на подпорную стену высотой
= 9,8 мм с шириной подошвы Ъ = 6 м, с вертикальной задней гранью, за-
Ллубленную на высоту /|ф = 1,8 м. Поверхность засыпки горизонтальная
грис. 129). Грунт засыпки со стороны задней и передней граней — песок
(средней крупности рыхлый с у = 18 кН/м3, <р = 35°, ср0 = 0, р = 0,3, fc=
= 2500 кН/м4, Грунт основания — скала, для которой k = 500 000 кН/м\
kr = 350 000 кН/м3, f — 0,6. Вес стены вместе с грунтом на фундаментной
плите составляет G — 900 кН/м, а плечо этой силы относительно середины по¬
дошвы а = 0,42 м.
Все исходные данные — величины расчетные, т. е. в них уже содержатся
коэффициенты перегрузки и учтено снижение механических характеристик
грунтов.
Коэффициент давления грунта в состоянии покоя
л И* 0.3
*0 = 1	=1—ГТ = 0'‘13-
1—р 1 — 0,3
Коэффициенты выражений (7.35) и (7.36) для определения неизвестны*
перемещений определяют по формулам (7.34):
г д д - 3 (2500 • 9,82 -}- 2500 • 1,82 -f 2 • 350 000 • 6) = 13 340 000;
гле *= гед = 2500 (9,83 -{-1, 8а) = 2 370 000;
1
гев " 2 (2500 • 9,84 4- 2500.1,84 -J- 500 000 • G3) = 65 500 000;
Ядо* -3.18-0,43 (9,82- 1,82) = -2150;
#во- — 18-0,43 (9,8»— 1,8®)-f6.900-0,42 — 4960.
|82

Линейное перемещение и угол крена определяют по формутам (7 ы
(7.36), они оказываются равными Л = 1,485 : I0~4 м; Й~704 ifi-?
Силу давления грунта на заднюю грань полпопнпй	'
ф„р«улеУ(7.29). При этом перемещения^ и 6 S поТо^^ГнымТ Л°
18-9,82	2500-9,82	2500-9,83
Q^~~2	2	••485-10 	  7,04-10-6	= 325,5 кН/м.
Эта сила превышает силу активного давления
(45«-271 = 234 кН/м
на 39% и оказывается расчетной.
Силу давления (или, точнее, отпора) грунта на переднюю грань фундамен¬
та определяют по формуле (7.29), причем перемещения А и 0 уже считаются
отрицательными, так как они направлены в сторону грунта:
У‘ф ftftj , , kh% 18-1,82 _ _ 2500-1,82
+ д + —=	1	 0,43 +	-	 1,485-10-* =
2500-1,82
=	  7,04-10-2	=	12,5 + 0,601 +0,171 = 13,3 кН/м.
Это превышает силу активного давления грунта на переднюю грань сте-
НМ
Тлф^„ 18-1,82
Qa*=—у-2--	у— 0,271 = 7,9 кН/м	£
на 68%.	^	m
Сила	сопротивления основания	сдвигу подпорной стены	^
Г = /гх 6А = 350 000*6* 1,485* 10~4=312,2 кН/м.
Предельное же значение силы трения оказывается равным:
Гпр = Л^=900*0,6 = 540 кН/м > 312,2 кН/м.
Силы Q, и Т взаимно уравновешиваются.
Действительно, = 325,5 — 312,2 — 13,3 = 0.
Это служит одной из проверок правильности определения значении
А и 0.
Для построения эпюр давления используют формулу (7,28)
Для задней грани
Яг — уг\0—АгД—kz (ft—z) 0= 182*0,43 —25002*1,485* 10 4
—25002 (9,8—2) 7,04* 10"6 = 5,662+0,1762s.
Для передней грани
Янь = у г Х0 +Ъ А + А г (А ф — г) 0 = 18 • 2 • 0,43+ 2500г * 1,485* 10"4 +
+ 2500г (1,8—г) 7,01* 10-6 = 8,44г—0,176га.
^аиДенное значение угла крена позволяет определить эксцентриц
исходя из формулы (7.30):
еввЛ Aft^ 500 000>63_ 0 QQ00704=0,704 м.
N	12/V	12*900
183

Зная значение эксцентрицитета, можно построить эпюру реакций грувТа
основания,	найдя ее	крайние ординаты
Л’	6е \	900 /	6-0,704	\	f 255,6	кПа;
°тех = у (	1 ±	~~ь~) “ 6	\	±	6	/	1 44,4 кПа,
min	'
Эпюры давлений, действующих на подпорную стену со стороны задней
грани, передней грани, и основания, показаны на рис. 129.
Проверка устойчивости подпорной стены на опрокидывание сводится
к определению коэффициента запаса
к,= — =	  =4,26	>	1,5.
3	2е 2-0,704
Если рассчитать эту же подпорную стену, когда основание нескалыюе,
и принять для него k = 50 000 кН/м3 и kT = 35 000 кН/м3, то сила давления
на такую же подпорную стену (Q = 195,9 кН/м) оказывается уже меньше силы
активного давления и расчетным будет последнее значение.
В рассмотренном примере влияние сдвига и крена подпорной
стены как факторов снижения давления на нее оказывается одина¬
ковым. Подсчеты показывают, что относительное влияние поворо¬
та тем больше, чем выше подпорная стена и чем жестче ее основа¬
ние.
Предлагаемая методика расчета подпорных стен с учетом их пе¬
ремещений может быть распространена и на случай, когда стена
не вертикальная и не гладкая, а поверхность засыпки не горизон¬
тальная. Легко решаются также и задачи, связанные с определе¬
нием давления грунта на массивные сооружения типа шлюзов и су¬
хих доков. Для таких сооружений большие реактивные давления
засыпки возникают даже от температурных перемещений.
Расчеты показывают, что для подпорных стен на нескальных ос¬
нованиях перемещения обычно оказываются достаточными для тс-
го, чтобы давление засыпки снизилось до активного. Поэтому для
таких подпорных стен принятие активного давления грунта в ка¬
честве расчетного может считаться обоснованным. Однако это ока¬
зывается неприемлемым для подпорных стен на скальном основа¬
нии, а также для жестких подпорных стен, связанных с другими
массивными сооружениями. В этих случаях расчетное давление
грунта следует определять с учетом перемещений подпорной стены.
Отметим, что в действительности часть перемещений подпорной
стены происходит в процессе обратной засыпки пазухи грунтом-
Это учтено в решении В. Т. Бугаева (11] определением эффектив¬
ных смещений, под которыми понимаются части полных смещении,
возникающие в процессе засыпки пазух от действия слоя гр унта *
расположенного выше рассматриваемого уровня.
Для определения эффективных смещений В. Т. Бугаев на осно¬
ве кинематической теории Ф. М. Шнхиева [141] получил формуй
(7.37)

_ расстояние рассматриваемого
г от поверхности засыпки; /гх —
Z,M
а)
^„циент постели при горизонталь-
и перемещении стены; b — ширина
кош вы стены; k — коэффициент по¬
бели грунта в основании; %0 — коэф-
фиинент бокового давления состояния
локоя*
Вычислив значения эффектив¬
ных смещений для каждого рас¬
сматриваемого горизонтального
смещения, можно построить эпю¬
ру эффективных смещений. По
этой эпюре можно определить гра¬
ницу между верхней областью до¬
предельного и нижней областью
предельного равновесия засыпки,
которая соответствует критическому значению перемещения ог¬
раждения
ah ctg ф / m-f-H
V
7 V-
// \
Я
' Л
в
Ч
8 Л1,
1
г
V
\ 1
9
\
с
fi
7
С
' 1
п !
! \
!
1 Л\
0 12 3 4 5 6
Зсрсректибные
смещения д.}ф,мм
I
РИС. 130
О 20 40 60 80
Давления
у,к0а.
кр —
1+5
—0,5
а
(7,38)
1-5
т
а
где а — безразмерный коэффициент, численно равный коэффициенту сжима¬
емости и определяемый компрессионными испытаниями при нормальном дав¬
лении 100 кПа; ф — угол внутреннего трения засыпки; £а — коэффициент
активного давления в состоянии предельного равновесия; Н0 — коэффициент
бокового давления в состоянии покоя.
т
V
1+
4 'б2 % И
(1-Ы2
Здесь ф0 — угол трения засыпки о тыловую грань стены.
Коэффициент бокового давления для каждого сечения в области
Допредельного напряженногоо состояния засыпки определяется
По формуле
Р,-Г-'42 + 4я2—(2я — Л)я-Н2 —Л) V+ia +4tgyo [(Л-2л)а-(2*—Л)*1
{А+2«)2— (2А - А )з (! - 4 tg* ф0)
(7.39)
И =1_2|л
а
В области предельного равновесия действует активное боковое
Явление, определяемое по значению коэффициента 5,.
На рис. 130, а показана эпюра эффективных смещений, пост¬
роенная по этой методике В. Т. Бугаевым для стенки высотой 2 м
3 песчаной подушке, толщиной 50 см прн у — 17 кН/м\ ф — 35 ,
* ^ 4500 кН/мя и kx * 2250 кН/м3, а на рис. 130, б — эпюра дав-
ен”й, которая достаточно хорошо соответствует эпюре, получен-
По данным опыта и показанной пунктиром-
1 ОС

$ H. ДАННЫЕ НАБЛЮДЕНИИ и опытов
I. Опыты л. и. Прилежаева
Первые опубликованные экспериментальные исследования
* этой области относятся к 1740 г., однако методика их была
слишком примитивной, чтобы можно было сделать какие-либо вы*
воды. Более поздние эксперименты, проведенные начиная
с 1807 г.. подробно описаны А. П. Прилежаевым, который обрабо¬
тал результаты этих экспериментов и сравнил опытные значения
коэффициентов активного давления с расчетными.
Опыты А. И. Прилежаева были проведены на вертикальных н
наклонных подпорных стенках высотой 10—40 см, которые закры¬
вали собой с передней стороны ящик с засыпкой и могли переме.
щаться параллельно самим себе или вращаться вокруг нижнет
ребра. Чтобы установить очертание сползающих призм, применен
метод фотографирования, а для определения значений давления я
моментов от давления засыпки использовался пружинный динамэ-
метр. Кроме того, были измерены перемещения верха стены. В ка¬
честве засыпки применен просушенный песок объемной массой
1,6 тм3 и углом естественного откоса 32* 30\ а также -ерно (рожь)
с объемной массой 0,625 т м1 и углом естественного откоса 25°.
Из всех опытов А. И. Прилежаев сделал следующие выводы:
1. Сползающая призма выделяется из сыпучего массива сразу
всей своей массой.
2. Поверхности скольжения всегда проходят через подошву
стены и могут быть вогнутыми, выпуклыми и ттлсскими; верхние
части поверхностей скольжения всегда близки к плоскостям.
3. При одном и том же уклоне стены поверхности скольжения
тем поло же, чем круче поверхность засыпки.
4. Нагрузка, расположенная на поверхности засыпки, значи¬
тельно увеличивает объем сползающей призмы и активнее давление
на стену.
5. Во время движения стены происходит постепеннее уменытх-
ние горизонтального давления на нее и появляется постепенно уве¬
личивающаяся вертикальная сила, вызванная трением.
6. Угол отклонения почти всегда меньше угла естественного от¬
коса засьткн и не зависит от у гла наклона поверхности засыпки.
7. Значения горизонтальной составляющей давления, а так¬
же опрокидывающего момента относительно подошвы стены более
или менее близки вычисленным по методу Кулона при = Ф-
8. Метод Ренкина в большинстве случаев дает несколько пре*
увеличенные результаты, а направление давлений сыпучего теля
при поднимающейся или опускающейся под углом естественного
отксса засыпке не отвечает этому методу.
9. Плотность, угол внутреннего трения и угол трения сыпучеГ0
тела о поверхности стены изменяются во время перемещения стены
и сползающей призмы.
10. Центр давления находится на высоте от 1/3 до 1/2 полно*
высоты стен ы.
т

2 Опыты И. П. Прокофьева
опыты были проведены в 19-16 г. 196, 971 в лабораторных уело-
0НЯХ на специальной установке в виде ящика высотой 72 см со стек¬
лянными продольными стенками. Одна поперечная стенка модели¬
ровала подпорную стену и могла перемещаться параллельно самой
а также поворачиваться вокруг своего верхнего или нижнего
ребра. На поверхности сыпучего тела, примыкающей к стек-
ляиной стенке, была нанесена темными линиями прямоугольная
сетка, совпадающая с сеткой из белых линий, нанесенной на стек¬
лянной стенке ящика н остающейся во время опыта неподвижной.
При деформации сыпучего тела, вызванной перемещением под¬
вижной стенки ящика, темная сетка искажалась и смещалась по
отношению к белой сетке, что позволяло установить границы и
ф>рму сползающей части сыпучего тела.
При повороте стенки вокруг нижнего ребра на угол около 1° 30'
в определенной области сыпучего тела все прямоугольники об¬
ратил ись в параллелограммы, причем перекос их возрастал от ни¬
за стенки кверху. Поверхность песка спадала к стенке без резких
переломов. Отсюда И. П. Прокофьев сделал вывод, что при таком
перемещении стенки происходит равномерный сдвиг по всем слоям
сыпучет тела и каждый слом сползает по нижележащему. Сполза¬
ющая часть сыпучего тела по форме приближается к клину.
При повороте стенки вокруг верхнего ребра на угол около 1° 30'
искажение сетки носит совершенно иной характер. Прямоуголь¬
ные элементы сетки опускаются вниз, параллельно самим себе, без
заметного перекоса; это указывает на то, что в основном происхо¬
дит оседание сыпучего тела. Очень незначительный перекос пря¬
моугольников наблюдался лишь у поверхности сыпучего тела, где
происходили также разрывы линий сетки, определяющие границу
зоны оседания сыпучего тела. В нижней части сыпучего тела
было заметно некоторое выпирание его в сторону стенки. На осно¬
вании этих опытов И. П. Прокофьев принял в качестве кривой, ог¬
раничивающей область оседания, логарифмическую спираль и ус¬
тановил, что полное давление на стену в этом случае очень близко
к активному давлению по методу Кулона, но центр давления лежит
значительно выше (0,46 Л). При поступательном перемещении
стенки в сторону от сыпучего тела на 10 мм, что составляет около
1,5% высоты стенки, деформация смещающейся части сыпучего те¬
ла носит промежуточный характер.
И. П. Прокофьев подверг также экспериментальному исследо¬
ванию стенки с ломаным очертанием задней грани. В этом случае
при сдвиге стенки сползающая масса сыпучего тела разделяется на
две части, сползающие по верхней и нижней граням.
При перемещениях сыпучего тела, состоящего из дв>х раз о
Родных слоев — песчаного и глинистого, поверхность снолэаi >
имеет ясно выраженный выпуклый или вогнутый излом на гра
слоев.

3. Опыты И. В. яропольского
Весьма интересные по результатам опыты проведены в 1933
с метким cvnhm песком. Установка для опытов состояла из деое'
вянного ящика длиной 1300, шириной 1036 и высотой 601 мм.
боковые стснкн яшика сделаны из зеркальных стекол толщиной
Юмм.Подвижнуювертикальнуюстенку ящика подвешивали к оно-
рам на шариковых подшипниках так, что точка вращения совпада-
лас передней плоскостью стенки. Перемещения стенки при прове-
денни опыта измеряли индикаторами.
На основании ряда опытов И. В. Яропольский установил, что
давление песка на вертикальную стенку есть функция перемещения
стенки и что это давление претерпевает три последовательные ста¬
дии (рис. 131).
Первая стадия соответствует упругому давлению песка на стену
и характеризуется отсутствием сил внутреннего трения. Коэффи¬
циент давления песка в начале этой стадии, т. е. в состоянии покоя,
равен единице. Горизонтальное давление песка на стену умень¬
шается в зависимости от ее перемещения А по закону, близкому
к линейному.
Вторая стадия отвечает давлению песка в начале сдвига, при
котором появляются силы внутреннего трения между частицами.
Эта стадия соответствует весьма малому перемещению стены — на
0,1—0,2 мм, т. е. в пределах до диаметра песчинок. В конце этого
перемещения значение давления близко к теоретическому актив¬
ному.
Третья стадия наступает при перемещениях стенки, больших
0,1—0,2 мм, и соответствует давлению разрыхленного песка, весь¬
ма медленно приближающемуся к нулю.
Из рассмотрения рис. 131 следует, что точку, отвечающую ак- I
тнвному давлению, можно наметить лишь очень условно, так как
вся кривая совершенно гладкая. Поэтому и само понятие активно¬
го давления сыпучего тела как давления, происходящего в первое
мгновение процесса отодвигания
стены, или давления, соответ- 1
ствующего незначительному ее *
смещению, будет чисто услов¬
ным. Можно говорить лишь о ,
давлении сыпучего тела, нахо- }
дящегося в данном состоянии. 1
при определенном перемещении j
стены.	I
Опыты Яропольского пока- ,
зал и также, что давление i
пучего тела на неподвижна
стену гораздо больше, чем ^
которое условно считается 3
тивным.
РИС. 131

Аналогичные опыты со стенкой высотой 2,18 м проведены
К Тер на ги и описаны Б. Б. Маркевичем. Этими опытами также
выявлено большое влияние плотности засыпки за стеной на давле¬
ние.
4. Опыты Г. П. Канканяна
В этих опытах1, поставленных в 1936 г., установка состояла из
модели подпорной стены высотой 1,1 ми длиной 0,3 или 0,6 м, ко¬
торая могла перемещаться вдоль лотка. Давления измеряли пье¬
зометрическими динамометрами в четырех точках по высоте стены.
Кроме того, сбщее давление на стену определяли пружинным ди¬
намометром. Опыты проводили над мелким сухим песком с объем¬
ной массой 1,6 т/м3 и углом естественного откоса 35°. Песок насы¬
пали слоями по 10 см. Угол наклона поверхности песка за стеной,
р менялся от —35 до 4-35°, а угол наклона стены а — от —20 до
+30° 30'. При перемещениях стены в сторону от засыпки на 10 мм
в последней возникла ясно видимая поверхность скольжения, близ¬
кая к плоскости, направление которой зависело от углов а, р и ц.
Опыты показали, что эпюры давлений криволинейные с наи¬
большими ординатами около середины высоты стены и с нулевыми
ординатами у подошвы и что центр давления находится на расстоя¬
нии 0,4—0,5 высоты стены от подошвы.
5. Опыты В. И. Швея
Эти опыты2 были проведены в 1938—1939 гг. методом центро¬
бежного моделирования на моделях стенок с вертикальной задней
гранью. Высота моделей, равная глубине кареток центрифуги,
составляла 45 см при ширине 35 см. Средние секции моделей ши¬
риной 6 см были сделаны подвижными. Для измерения давления
грунта на стену применено 42 аэростатических динамометра прс,ф.
Г. И. Покровского, которые были распределены по двум стенкам
на десяти вертикалях и в восьми уровнях. Кроме того, применена
специальная аппаратура для регистрации давления на подвижную
часть подпорной стены в зависимости от ее перемещений. Все опы-
ты производились над мелким песком со следующими характерис¬
тиками: объемная масса в сухом состоянии р = 1,73 т'м*, порис¬
тость п = 35,29%, угол естественного откоса ф = 32°. В разных
сериях опытов песок укладывали за стенку сухим и с водой. Основ¬
ным материалом для количественных выводов послужили пока¬
яния индикаторов, так как показания динамометров давали бель-
ш°н разброс.
су* 1 ^анканян Г. П. Определение величины угла обрушения и давления
iJLor£ Псска на подпорную стену.—-«Журнал технической фнзнкн*, т. VII,
Ып-1 24, 1937.
тех». Швсй В* И. О давлении грунта на подпорные стснкн. — «Журнал
ческой физики», т. X., вып. 7, 1940.
189

Эпюры давлений, построенные по показаниям индикаторов
форме близки к треугольной, но у самой подошвы ординаты их
резко уменьшаются.
Опыты выявили, что коэффициенты бокового давления песка
(—0,4) значительно выше подсчитанных по методу Кулона и близ-
кн к тем, которые соответствуют состоянию покоя.
Сравнение эпюр давлений, полученных для сухого и намы¬
того песка прн отводе воды до набора полного числа оборотов
центрифуги, показало их близкое совпадение; давление же намыто¬
го песка при отводе воды во время центрифугирования оказалось
значительно большим. Опыты с намывом его при одном и том же
способе отвода воды привели к одинаковым результатам.
Опыты показали, что трение сухого песка по вертикальной под¬
порной стене развивается почти полностью, трение мокрого песка
оказывается меньшим.
6. Опыты Г. А. Дубровы
Эксперименты со стенкой высотой 0,68 мне песчаной засыпкой
[451 дали хорошую сходимость с теоретическими подсчетами по те¬
ории предельного равновесия.
7. Опыты Р. Г. Мелешкова
Измерения давлений песка с объемной массой 1,7 т/м3 и углом
внутреннего трения 36° па подпорную стенку высотой 1,17 м при
повороте ее вокруг верхнего ребра [87J показали, что поверхность
скольжения очерчена по логарифмической спирали, что эпюра дав¬
лений криволинейная и что центр давлений находится на высоте
0,42—0,43 от полной высоты засыпки. Равнодействующая давле¬
нии оказалась на 24% больше вычисленной по теории предельного
равновесия.
8. Опыты М. Е. Кагана
* Было измерено давление зерна на стены зерноскладов высотой
4,2 м (591. Зерно имело объемную массу 0,78 т/м3 и угол внутренне¬
го трения 26°. Установлено, что эпюры давлений имеют криволи¬
нейную форму с максимальными ординатами на высоте около 0,3
от полной высоты засыпки и с нулевыми ординатами у верха и
у подошвы. Центр давлений находился на высоте 0,37—0,43 от вы¬
соты засыпки, а коэффициент давления был на 5—20% меньше,
чем по теории предельного равновесия.
9. Опыты В. В. Синельникова
Для выявления характера поверхности скольжения в завиС*д
мости от формы и значения перемещения задней грани подпору
стенкн были проведены лабораторные опыты со стенкой Db,cPis „
0,8 м и с условной сыпучей средой объемной массой 0,91 т. ^
19о

оМ внутреннего трения 32° и состоящей из множества алебаст¬
ровых цилиндров диаметром 1 и 2 см при длине 3,5 см [109J.
Р Другая серия опытов была проведена с песком объемной массой
1 55 т/м3 и углом внутреннего трения около 31°; песок засыпали
за стенку высотой 1,2 м.
результаты опытов показали, что при поступательном переме¬
щении стенки поверхность скольжения близка к плоскости, а при
повороте стенки относительно низа возникает несколько плоско¬
стей скольжения, положение которых плохо согласуется с теорией
предельного равновесия Кулона. При повороте стенки относитель¬
но ее верха выявить поверхность скольжения не удалось.
Ю. Опыты Р. В. Лубеного и П. И. Яковлева
В Одесском институте инженеров морского флота проведено
более 600 опытов по определению давления засыпки и повторно
прикладываемой на ее поверхность нагрузки на неподвижную вер¬
тикальную стенку высотой 109 см [79, 143]. Исследования показа¬
ли, что и с пригрузкой, и без нее давление засыпки на неподвиж¬
ную стенку на 60% больше, чем теоретическое активное давление.
Было обнаружено, что после приложения к поверхности засып¬
ки временной нагрузки с последующей разгрузкой в засыпке со¬
храняются большие остаточные давления, которые при повторных
нагружениях лишь незначительно увеличиваются по сравнению
с давлениями от первого нагружения. Опыты показали, что в раз¬
рез с теорией предельного равновесия давление от равномерной
нагрузки, действующей на поверхность засыпки, не сохраняется
постоянным, а убывает с увеличением глубины. Эпюры давлении
оказались близкими к вычисленным по теории упругости.
Было также исследовано влияние поступательного перемеще¬
ния стенки на давление засыпки.
Специальному изучению были подвергнуты стенки с разгрузоч¬
ными площадками различной ширины и разным заглублением. Ус¬
тановлено, что при смещениях стенки в засыпке образуется внут¬
ренняя поверхность скольжения, направление которой зависит от
ширины площадки. Объем сыпучего тела, заключенный между
этой поверхностью скольжения, площадкой и стенкой, перемеща¬
ется вместе со стенкой как одно целое, а взаимного перемещения
частиц в этом объеме не наблюдалось.
Положение внешней поверхности скольжения зависит от шири-
Ны 11 заглубления площадки, что особенно заметно в верхней части
Засыпки.
Установлено также, что вертикальное давление в засыпке, меж-
ее поверхностью и площадкой при перемещениях стенки, доста-
чных для возникновения состояния предельного равновесия,
ачителыю меньше, чем давление от массы вышележащей за-
Ы11^и и нагрузки.
Опытные эпюры давлений на участок стенки, находящейся ни-
илощадкн, имели криволинейное очертание.
194

11. Опыты 3. В. Цагарели
Для исследования давления грунта на подпорные стены
турных размеров в Грузинском политехническом институте имен'
В. П. Ленина были созданы две крупногабаритные установки с раз!
личными очертаниями задней грани подпорной стены высотой 4 м
1133, 1341. Одна установка имела ширину 1,2 м, а другая 3,6 м.
Чтобы выявить значение и характер распределения давления
грунта, через каждые 40 см по высоте стены были установлены
мессдозы с датчиками сопротивления.
В качестве сыпучего тела применялся крупный морской песок
р в 1,8 т/м3 с углом внутреннего трения 37°. Таким же был и угол
естественного откоса.
Наибольшее число экспериментов было проведено на стенках
с вертикальной задней гранью и горизонтальной поверхностью за¬
сыпки; подвергались исследованию и стены с задней гранью, накло¬
ненной в сторону засыпки, а также стены с горизонтальной и на¬
клонной разгрузочными площадками.
3.	В. Цагарели исследовал форму поверхности скольжения,
возникающую в засыпке в состоянии предельного равновесия, ха¬
рактер распределения давления по высоте стены, а также значения
горизонтальной и вертикальной составляющих давления засыпки
при различных перемещениях стены.
Установлено, что поверхности скольжения во всех случаях кри¬
волинейные, эпюры нормальных составляющих давлений также
криволинейные с нулевыми ординатами у верха и у подошвы стен¬
ки и с центром давления на высоте в среднем 0,42 от ее полной вы¬
соты.
Характерные формы экспериментальных поверхностей сколь¬
жения и эпюр давлений показаны на рис. 132 сплошными линиями,
а теоретические по решению Кулона — штриховыми. Угол откло¬
нения давления от нормали к ог¬
раждению оказался равным углу
внутреннего трения при шерохо*
ватой поверхности стенки и j
этого угла при гладкой.
Для стенок с разгружают#*
ми площадками, пересекают#^
поверхность скольжения, Давл
иие на верхний и нижний У43^,,
оказывается независимым. ь
же площадка не доходит до' #
верхности скольжения, то по ^
няя мало отличается от т0^тд1щ
торая получается при отсу
площадки.
05 h
ljJ3h f
РИС. 132

|2 Эксперименты Р. М. Фильрозе
Проведенные под руководством JI. М. Емельянова эксперимен-
I с моделями подпорных стен высотой 4,25 м в условиях, близких
к натурным, показали, что когда стена имеет возможность откло¬
ниться от засыпки, боковое давление близко к давлению по теории
предельного равновесия [125].
В случае когда из-за большой ширины стены (3,5 м) ее переме¬
щения малы, эпюра давлений имела криволинейную форму с мак¬
симальной ординатой, расположенной около середины высоты
засыпки и в 2—2,5 раза превышающей расчетную по теории пре¬
дельного равновесия. Вертикальные составляющие давлений в за¬
сыпке у стен оказались в 1,5—2 раза меньше гравитационного дав¬
ления.
13. Исследования Гидропроекта
Результаты многолетних натурных измерений давления песча¬
ных грунтов на стены камер шлюзов волжских ГЭС имени
В. И. Ленина и имени XXII съезда КПСС и Боткинской ГЭС пока¬
зали, что равнодействующие давлений значительно превосходили
засчетные значения, найденные по теории предельного равновесия
14, 56]. На шлюзах волжских ГЭС наблюдалось превышение
в 3 раза, а на Боткинской — почти в 2 раза. Давления оказались
даже выше тех, которые соответствуют состоянию покоя при коэф¬
фициенте бокового давления 0,45. Ординаты криволинейных эпюр
давлений грунта возрастали с увеличением глубины до некоторо¬
го уровня и понижались почти до нуля у основания стен. Центры
давлений находились на высоте 0,36—0,45 от полной высоты за¬
сыпки.
Кроме постепенного нарастания давлений в течение ряда лет,
давление понижалось в зимние периоды и изменялось при колеба¬
ниях температуры и уровня воды в камерах шлюзов. По мере напол¬
нения камер давление грунта на верхние участки стен возрастало,
а на нижние — несколько снижалось.
14.	Эксперименты В. Т. Бугаева
В Одесском институте инженеров морского флота под руковод¬
ством Ф. М. Шихиева [11] были проведены лабораторные опыты
в лотке с моделью жесткой подпорной стенки высотой 1 м и длиной
м и полунатурные опыты с подпорной стенкой из бетонных бло-
ов высотой 1 м и длиной 2 м. Кроме того, в Феодосийском порту
следоБзиз работа подпорной стенки набережной уголкового про¬
филя высотой 6,4 м.
нудитй^ИС а показаны эпюры давлений, полученные при прн-
ки а льном поступательном горизонтальном перемещении стен-
па рис. 133, б — при повороте ее вокруг нижнего ребра. На
^ За» .,

о
ч
а)
S4
73
04
№15
103
——1
Г— - 'Г	1
* *•
\*\
U %
kZ
^-3
—т
]
9
V /
К \
л \
л
*V
V
г
1 >
* 1
»
\
м
2
1,8
1,8
т
12
9
1
ар
ор
02
р= 12 кН/м
6)
<
К*
Ч Г I . .
Чк
1 1
[ %
\ *
V гт
2
> *
\
V
-Л
1, -
Г
ч
-у -
О
> \
U.
/
Щ
см
\'
\
3
\
и
а
|
Г
Т\
К
и
V
V
л
К1
&
р
л
>
\
Ч
\
\
\
\
\
‘ \
1
J
N
V
q, к Па.
РИС. 134
О 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
q,x/7a
РИС. 133
обоих рисунках опытные кривые /
получены при перемещениях стенки
после засыпки пазухи за ней на всю
высоту. Кривая 2 также получена
экспериментально, но уже при пере¬
мещениях, которые придавались стен¬
ке после засыпки каждого слоя тол¬
щиной до 20 см. Кривая 3 построена
расчетом по методу Кулона.
Результаты опытов показали, что
эпюра давлений песка на стенку,
смещающуюся после завершения засыпки пазухи, заметно отли¬
чается от эпюры давлений на стенку, смещающуюся в процессе за¬
сыпки. Во втором случае в верхней части засыпки возникала об¬
ласть допредельного напряженного состояния, в которой концент¬
рировались давления.
К таким же результатам привели и полунатурные опыты с пес¬
ком средней крупности (р = 1,7 т/м3, <р = 35°). Давление засыпки
измеряли гидравлическими датчиками, установленными по оси стен¬
ки через 35 см по высоте, а перемещения контролировали механи¬
ческими индикаторами. Давление засыпки измеряли после отсып¬
ки каждого слоя и прекращения перемещений.
На рис. 134 показаны полученные В. Т. Бугаевым эпюры Да^'
лени я засыпки (кривые 1) и эпюра давления засыпки при действ!
на ее поверхности равномерно распределенной нагрузки 11
теисивностью 12 кПа (кривая 2). На этом же рисунке нанесе
прямые 3, построенные по Кулону.	р0.
Было установлено, что наибольшие перемещения стенки t
исходили в начальный период засыпки грунта, а к окончани
перемещения практически затухали.
194

Чтобы выявить влияние податливости основания, проведены
серии опытов. В опытах первой серии стенка была установле-
* на бетонное покрытие толщиной 17 см, а в опытах второй и треть-
Нй серий — на песчаных подушках толщиной 30 и 50 см.
6 В опытах первой серии сила давления грунта оказалась на 62%
больше, чем по теории Кулона, в опытах второй и третьей серий —
на 25%. Значения равнодействующих давлений с точностью до 5%
сходились с результатами расчета по методике, рассмотренной в §45.
В натурных исследованиях уголковой подпорной стенки набе¬
режной железобетонные контрфорсные блоки высотой 6,4 м были
установлены на каменную постель толщиной 1,7 м, в основании
которой залегали илистые и мелкие пески мощностью слоя 4,5—6 м.
За стенкой отсыпали камень крупностью 15—30 см (р = 1,4 т/м3,
Ф = 45°) и песчаный грунт (р = 1,7 т/м3, ср = 30°).
Установлено, что в начальный период засыпки пазухи за под¬
порной стенкой эпюра бокового давления близка к треуголь¬
ной, но давления примерно в 1,5 раза превышают расчетные по те¬
ории предельного равновесия. По мере увеличения высоты засыпки
эпюры давлений искривлялись. При этом давления на верхнюю
часть стенки оказываются в 2—2,5 раза больше, чем по теории
предельного равновесия, а на нижнюю часть стенки — на 20—30%.
Горизонтальные перемещения в период строительства достигли
«70% полных перемещений.
15. Опыты Б. JI. Тарасова
Исследовано давление суглинистого грунта на неподвижную
и смещаемую подпорную стену высотой 194 см 1119]. Установлено,
что боковое давление на неподвижную стену значительно больше
активного давления и зависит от степени уплотнения и способа
укладки грунта за стеной. Давление на неподвижную стену рас¬
пределено по ее высоте по линейному закону, за исключением ниж¬
него участка, на котором происходит уменьшение давлений. Центр
давления находился на высоте около 0,36 от полной высоты
засыпки.
Незначительные перемещения стены (0,5—1 мм) вызывали рез¬
кое уменьшение и перераспределение давлений по высоте. В слу¬
чае поступательного перемещения и крена стены в сторону от за¬
сыпки эпюра давлений приобретала вогнутую форму с понижением
Центра давлений.
16. Опыты В. Д. Савельева
Пассивное давление песчаного грунта на жесткую стенку при
Различных очертаниях свободной поверхности засыпки было иссле¬
довано 1 в лотке высотой 2 м, шириной 1,5 и длиной 4,5 м со стек-
иня п^авельев В* Д* Некоторые результаты экспериментального нсследова-
откосе1СпНВНОГО*давления гРУ,,та на жесткую стенку, расположенную на
iDvn»,’ иДесский нн-т инженеров морского флота. Морские порты. Научные
вып. 5. М., 1972.
7*
195

лянными боковыми стенками, на
торых была нанесена сетка. Такая**0"
сетка в песке позволяла получит6
картину перемещений в процессе вы*
пираиия грунта. Напряжения на по*
верхности стенки измеряли с помо-
щью проволочных датчиков сопро¬
тивления.
В результате опытов установлено
что при поступательном перемещении
стенки и при повороте ее вокруг
верхнего ребра эпюры давлений име¬
ют вид вогнутых кривых с резким уве¬
личением ординат к подошве (рис.
135). Сила пассивного давления ока¬
залась примерно па 25% меньше, чем
при треугольной эпюре.
При повороте вокруг нижнего
ребра эпюры давлений оказывались
выпуклыми с постепенно уменьшающимися книзу ординатами,
а сила пассивного давления оказалась больше, чем по клас¬
сической теории; это увеличение достигает 45% и более в зависи¬
мости от очертания свободной поверхности засыпки. При любом
очертании свободной поверхности засыпки и независимо от харак¬
тера перемещения стенки сыпучее тело выпирало по криволиней¬
ной поверхности скольжения, а области предельного напряженного
состояния возникали не во всей выпирающей призме, а лишь
в некоторых ее частях.
* *
♦
Большинство рассмотренных здесь экспериментальных иссле¬
дований, а также некоторые другие свидетельствуют о том, что дав¬
ление сыпучего тела на практически неподвижные стены может
быть значительно больше того, которое получается в расчетах по
теории предельного равновесия. Отсюда следует, что давления за¬
висят от кинематических условий, в которых работают подпор¬
ные стены, т. е. от их перемещений, совместных с перемещениями
засыпки и основания. У стен камер шлюзов эти перемещения зави¬
сят еще и от колебаний уровня воды в камере, и от изменений тем¬
ператур воздуха, воды и грунта.
В большинстве опытов давления уменьшались к основанию
стены, что противоречит не только приближенной теории предель¬
ного равновесия Кулона, но и строгой теории В. В. Соколовского,
что требует объяснения. Причин для уменьшения давлении на ниж¬
ние части стен может быть несколько.
Во-первых, сказывается влияние основания, на которое уложе
на обратная засыпка и которое благодаря силам трения и cue -
zfh
Г35', 9д = 15°
fl=0
100	150
q2,K/1a
РИС. 135
196

ления препятствует перемещениям нижних слоев этой засыпки
Г55).
Во-вторых, снижение давления на нижнюю часть подпорной
стены может произойти вследствие влияния сил трения и сцепле-
нИя между сползающей частью засыпки и остающейся под ней не¬
подвижной массой сыпучего тела. Это влияние особенно значитель¬
но для нижней части сползающей призмы, которая здесь имеет ми¬
нимальную ширину. Идентичные решения, учитывающие этот фак¬
тор, даны в работах [140 и 58].
В-третьих, снижение давлений на нижнем участке стены может
быть объяснено возникновением здесь перемещений в сторону от
засыпки при навале верхней части стены на засыпку [56] и 1129).
В-четвертых, как показано в работе [109], снижение давлений
на нижнюю часть стены может произойти из-за влияния боковых
стенок, которые присущи всем опытам в лотке, а также подпорным
стенам ограниченной длины, когда сказывается эффект зависания
засыпки у стенок или у соседних масс грунта, находящихся
в покое.
Могут быть и другие причины, также имеющие кинематичес¬
кий характер. Поэтому актуальнейшей задачей является дальней¬
шая разработка кинематической теории сыпучих тел, которой уже
посвящены работы [8, 11, 12, 16, 18, 20, 32, 4*5, 65, 80, 102, 111, 112,
125, 129, 141 и др.].
Глава VIII
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
С ЗАГЛУБЛЕННЫМИ СТЕНАМИ
§ 47. НЕЗААНКЕРЕННЫЕ ТОНКИЕ СТЕНКИ
Стена называется заглубленной, если устойчивость ее обеспе¬
чивается в основном не собственной массой, а сопротивлением ос¬
нования, в которое она заглублена.
Если толщина стенки мала по сравнению с высотой, то ее отно¬
сят к категории тонких и рассматривают в качестве стержня, пре¬
небрегая сопротивлением основания по подошве и собственной
массой.
Опыты Н. В. Лалетина и других исследователей показали, что
верхний свободный конец стены при действии на него горизон¬
тальной силы Р отклоняется в сторону действия силы вследствие
поворота стены вокруг некоторой точки С, лежащей на глубине zc
от поверхности основания (рис. 136), а также из-за деформации из¬
гиба стены, работающей как упругий стержень. На защемленную
стены высотой /;2 действует реакция основания противо¬
положного направления на участках ВС и CD. На этих же участках
0 ратной стсроны стены действует и активнее давление сыпучего
197

тела, направленное в сторо¬
ну, противоположную дейст¬
вию отпора на данном участке.
Эпюра реакций основания
при возрастании силы Р по¬
следовательно проходит ста¬
дии, показанные на рис. 136.
Пройдя чисто упругую ста¬
дию, конец которой показан
на рис. 136, а, реактивные
давления достигают характер¬
ной упруго-пластической ста¬
дии (рис. 136, б).'Для упрощения кривую, соответствующую упругой
реакции, на переходном участке часто заменяют прямой, показан¬
ной на рисунке штриховой линией. Несущая способность основа¬
ния тонкой стенки оказывается полностью исчерпанной при до¬
стижении эпюрой реакции формы, показанной на рис. 136, в, кото¬
рую иногда для упрощения заменяют эпюрой, изображенной па
рис. 136, г.
В основу расчета может быть положена любая из этих четырех
эпюр, первая из которых соответствует концу упругой стадии со¬
противления основания у поверхности, а две последние — дости¬
жению им состояния предельного равновесия по всей глубине за¬
делки стены. Эпюра, показанная на рис. 136, б} соответствует
промежуточному состоянию, когда давления достигли предельного
значения не только в верхней части эпюры, но и в нижней.
Для вывода расчетных формул используем показанную на
рис. 128, а упрощенную диаграмму зависимости между давлениям!
на сыпучее тело и его перемещениями и допущение о возрастали
коэффициента постели основания с глубиной по линейному заК° £
как это принято в § 45 и в большинстве существующих методов р
чета шпунтовых ограждений, а также в СН 200-62 для рас
опор глубокого заложения.	тИ.
Рассмотрим случай, когда тонкая стенка поддерживает вi I ^
кальный откос котлована или насыпи (рис. 137, а). Будем исх
я
6)
4^
\
и
и
в

того, что при отсутствии перемещений стенки на нее с обеих
из рон действует давление связного сыпучего тела в состоянии
^коя, которое со стороны насыпи при перемещении стенки в про¬
тивоположную сторону снижается до значения активного дав¬
ления и с учетом сцепления действует по высоте
2 с , /л го \
Л=Я-— t6(T + f).	(8.1)
где у = р g, ф — угол внутреннего трения, с — удельное сцепление.
На глубине гг от вершины треугольной эпюры активное давле¬
ние
Я71=уггК*
Г№	Xa	=	te2(n/4-4>/2).	(8.2)
Со стороны основания на глубине z давление возрастает из-за
линейного горизонтального перемещения Д и угла крена 0 до зна¬
чения	о
Яг — У\ z~{-kAz-j-kQ z (Л2—z).	(8.3)
Здесь k — параметр, характеризующий возрастание коэффициента постели
с глубиной, расчетные значания которого указаны в § 45.
Положение центра вращения (точка С на рис. 137) определяется
из условия, что реакция основания на этом уровне, выражаемая
двумя последними слагаемыми формулы (8.3), равна нулю.
Отсюда
гс=/12+Л/е.	(8.4)
При этом сс < Л2> так как значение А получается отрицатель¬
ным.
Давление, выражаемое формулой (8.3), нигде не может превы¬
сить значения пассивного сопротивления основания, которое без
учета сцепления равно:
Qn,z — yz^ni	(8.5)
где
Яп= 1/An = tg2 (л/4-f-ф/2).
Сцепление можно учесть отдельно как равномерную нагрузку
по всей высоте области пассивного сопротивления основания с ин¬
тенсивностью
qc — 2c tg (л/4-Ьф/2).
Таким образом, при работе основания в упруго-пластической
стадии часть эпюры реакций, расположенная выше точки Е, сов¬
падает с эпюрой пассивного давления сыпучего тела. Чтобы уста-
ппиИТЬ завиашость м<?жду координатой Ze и глубиной забивки
равняем значение давления в точке Е из уравнения (8.3) прн
I
\
199

г = 2е соответствующему пассивному давлению по форму™
(8.5). При этом для упрощения выводов и в небольшой запас в пев
вом слагаемом (8.3) заменим коэффициент давления состояния по'
коя Л* коэффициентом Ла. Сделав это и обозначив Л = Хп —
получим формулу, выражающую требуемую глубину забивки в за¬
висимости от ze, Д и 0:
Концу упругой стадии работы основания соответствует появле¬
ние пластических деформаций только у самой его поверхности, т. е.
при zE = 0.
Если исходить из предельного состояния, соответствующего
случаю, показанному иа рис. 136, б, то давление qD у подошвы
стенки со стороны откоса не должно превышать пассивного сопро¬
тивления, которое в данном случае считается отрицательным, так
как действует с обратной стороны. Приравнивая выражение (8.3)
при z — /и к уЛп Н, получим
Для определения неизвестных перемещений Д и 0 рассмотрим
стенку с основанием как единую статически неопределимую сис¬
тему, к которой применим метод перемещений с переходом
к основной системе, показанной на рис. 137, б. Направления неиз¬
вестных Д и 0, изображенные на этом рисунке, будем считать поло¬
жительными.
Система из двух канонических уравнений метода перемещений,
выражающая условие отсутствия суммарных реакций введенных
связей по направлению искомых неизвестных, имеет такой же вид,
как уравнение (7.33).
Умноженные на 6 силовые реакции по направлению перемеще¬
ния Д от единичных перемещений Д и 0 находят интегрированием
соответствующих членов выражения (8.3) в пределах упругой час¬
ти эпюры реактивных давлений, т. е. от ze до h2:
(8.6)
200

При определении моментных реакций по направлению переме¬
щения 0 подынтегральные значения силовых реакций предвари¬
тельно умножены на плечо элементарной силы относительно подош¬
вы стенки Л2	z.
В свободные члены уравнений входят значения: активного дав¬
ления засыпки со стороны насыпи, уменьшенное из-за наличия
сцепления; первоначального давления на стенку грунта основания
в пределах упругой части эпюры реакций, которое ввиду своей ма¬
лости заменяется значением активного давления между точками
р и Е\ пассивного сопротивления основания между точками В и Е
с учетом сцепления. Активнее давление со стороны насыпн прини¬
мается до подошвы стенки исходя из того, что ниже точки С пер¬
воначальное давление мало отличается от активного по сравнению
с пассивным сопротивлением. Кроме того, участок CD очень неве¬
лик и главное непосредственно примыкает к точке вращения.
При рассмотрении предельного состояния по рис. 136,6 ограни¬
чим реактивнее давление в точке D значением уК Я, которое вместе
с учтенным активным давлением дает требуемое значение уЛпЯ.
Если учитывать активнее давление только выше точки С, то в этом
сечении на суммарной эпюре давлений появится ничем не оправ¬
данный уступ.
Умноженные на 6 свободные члены уравнений выражаются фор¬
мулами:
я00 = V [Ьа (hi -/13) + X (ЗЛ2-2ze) гЦ + 3qc (2hs- гЕ) гЕ. (8.12)
Уравнения (7.33), (8.6), (8.7) содержат четыре неизвестных Д,
0, ze и Л2, которые можно найти, решая эти уравнения совместно.
Если исходить из предельного состояния, соответствующего
концу чисто упругой стадии работы основания, то нужно принять
?£ = 0, и тогда для определения Д, 0 и h2 достаточно уравнений
(8.6)	и (7.33).
Чтобы определить Д и 0 при работе стенки в упругой стадии при
заданной глубине заложения Л2, достаточно всего двух уравнений
(7.33), а при работе стенки в упруго-пластической стадии необхо¬
димо еще уравнение (8.6), позволяющее определить 2е-
Исходя из предельного состояния, соответствующего концу уп¬
ругой стадии работы основания, и не учитывая сцепления, из реше¬
ния канонических уравнений (7.33) можно получить простые выра¬
жения для перемещений:
—	1^-а	(h\—Л2) -f-Xz£] -J-6<7C zE‘
(8.11)
Д = — ~=— to2 (2о) -f - 3);
k
(8.13)
(8.14)

Подставляя эти выражения в формулу (8.6) при zE = о
изведя некоторые сокращения, получим
4<o3-f 9a)2-f 6ш = Хд — 1.
и про.
(8.15)
По этому уравнению построен график (рис. 138, кривая 1) д»
определения требуемой глубины h2 в зависимости от заданных знаЯ
чений Л, и угла внутреннего трения <р грунта. Этой кривой следует
пользоваться при расчете очень ответственных сооружений, для
которых недопустимы остаточные перемещения.
Если исходить, как это обычно делается, из другого предельно¬
го состояния по прочности основания, соответствующего эпюре
на рис. 136, б, то нужно совместно решить систему уравнений
(8.6), (8.7) и (7.33). Из их решения для случая с = 0 на рис. 138
построена кривая 2, по которой требуемое заглубление стенки мень¬
ше, чем по кривой 1.
Полному исчерпанию несущей способности основания соответ¬
ствует эпюра рис. 136, в. Для этого предельного состояния, при
котором в основании как бы возникает пластический шарнир, ре¬
шение может быть получено непосредственно из двух уравнений
равновесия, которые позволяют найти zc и h2. Перемещения же мо¬
гут при этом неограниченно возрастать. Кривая, построенная та¬
ким способом, без учета сцепления, практически совпадает с кри¬
вой 2 на рис. 138, а также с кривой, построенной на основе строгого
решения В. В. Соколовского. Это подтверждает правомерность
предлагаемых приближенных решений и позволяет оценить часто
применяемую на практике еще более упрощенную схему по
рис. 136, г. Составив для этого случая уравнение моментов относи¬
тельно точки D и решив его, получим
Построенная по этому уравнению кривая 3 проходит несколько
ниже кривой 2 (см. рис. 138).
Чтобы рассчитать на прочность непосредственно стенку, необ¬
ходимо определить ее наибольший изгибающий момент, предвари¬
тельно составив выражение поперечной силы в сечении г0 и прирав¬
няв его нулю.
Для упругой стадии сопротивления основания при отсутствии
сцепления
Q _ У**» (fr + *о)а _ У^а 2о _	kz%Q
2 2 2 6
(ЗЛ2—2zo)	0 •
Отсюда можно найти

гх
—
ч
-1
,4'
! /уГ\
-24
10	15
20 25	30	35	Wf
РИС. 1Э9
5 10 15 20 25 30 35 00 1/5
Уград
РИС. 138
Если область пластических де¬
формаций основания настолько раз¬
вита, что Ze ^ z0, то
Qz0 —
У^а (fti-fzp)2 У^п го
= 0.
Отсюда:
20=/2i/(A,n— 1);
у h\ Хп
М max —
6(Лп-1)2
(8.18)
(8.19)
Условие Ze~> для условной упруго-пластической (рис. 136, б),
а тем более для предельной стадии всегда соблюдается.
Для расчета стенки по второму предельному состоянию — по
деформациям необходимо определить горизонтальнее перемеще¬
ние верха стенки
Ь=д+яе=7
R
(8.20)
При о = 0 для конца упругой стадии при подстановке в формулу
(8.20) значений А и 0 из выражений (8.13) и (8.14) коэффициент
£ =	6Ха&)2	(1	-}-(о)2.
(8.21)
Значения коэффициента 7 для упруго-пластической стадии по
рис. 136, б можно определить исходя из значений А и 0.
На рис. 139 приведены значения коэффициента / для разных от¬
ношений /г2//г 1 и для углов внутреннего трения грунта ф = 15...45°.
На этом графике две штриховые линии отделяют области упругой,
Упруго-пластической и пластической работы основания. При этом
конец упруго-пластической стадии практически совпадает с дости¬
жением предельного напряженного состояния в точке D.
При тех значениях угла <р, которым соответствуют небольшие
По условию прочности основания глубины заложения стенки, ин¬
тенсивное возрастание перемещения наступает уже в конце упру-
г°и стадии работы основания и главенствующее значение прнобре-
203

тает расчет по второму предельному состоянию.^ Кроме ropH3o„
тального перемещения стенки, рассматриваемой как абсод^
жесткой, необходимо еще определить перемещение, связанней
с упругой деформацией изгиба стенки.
* При расчете стенки на устойчивость и прочность нужно Нс.
ходить из расчетного значения угла внутреннего трения груцТа
а расчет по деформациям вести исходя из нормативного значения!
Пример 25. Проверить достаточность глубины забивки и прочность де.
рсвянной шпунтовой стенки толщиной d — 10 см, если — 2 м, h2 = 2 м
у =* 18 кН/м3, ф = 30°.
Коэффициенты активного давления, пассивного сопротивления и их раз.
ность: Ха — 0,333; Хп “3; X = 2,667.	^
По графику рис. 138, кривая 2, находим Л2/«1 — 1. 1аким образом, за¬
данная глубина забивки Л2 = hx = 2 м достаточна. Наибольший изгибающий
момент действует от поверхности земли на глубине
г0=>Л1/(Хп-1) = 2/(3-1)=1 м.
На 1 м длины стенки в плане действует изгибающий момент
уИПп 18-23.3	10	„
 ——  =а	=18 КН-М .
тах 6 (Хп—I)2	6	(3-1)2
Момент сопротивления горизонтального сечения стенки на 1 м ее длины
в плане
Г = (М2)/6 = (Ь0,12)/6 = 0,00167 мз.
Нормальные напряжения в шпунте от изгиба
а =	18/0,00167=	10800 кПа</?„=120 кгс/см2« 12000 кПа.
Пример 26. Определить требуемую глубину забивки, подобрать сечение
и проверить прогиб стального шпунта, поддерживающего насыпь высотой
Aj = 3,2 м, если нормативные объемная масса и угол внутреннего трения пес¬
чаного грунта средней крупности р = 1,9 т/м3 и фн = 36°, а параметр, харак¬
теризующий возрастание коэффициента постели с глубиной k = 5000 кН/м\
Принимая расчетный угол внутреннего трения грунта на 2° меньше нор¬
мативного, т. е. ф = 34°, по кривой 2 рис. 138 найдем /i2Mi = 0,8. Отсюда
Ла — 0,8 • 3,2 = 2,56 м.
Расчетный изгибающий момент действует на глубине
^o~hif(Ka—1)=3,2/(3,55 — 1)= 1,25 м
и составляет ка 1 м длины ограждения
,,	_	19-3,23.3,55	„ „ „
М"“ -	=	i73".	55	-! )==56 •6 ИКН'
Требуемый момент сопротивления на 1 м длины ограждения при расчет¬
ном сопротивлении на изгиб стали R„ — 1200 кгс/см3 « 210 000 кПа
W = мтпх1*и = 56,6-1003/210000 = 284 сМз.
Принят стальной шпунт корытного профиля типа ШК*2 шириной 40 см.
у которого момент сопротивления на 1 м длины составляет 285 см3.
Чтобы определить перемещение верха стенки, исходим из нормативно
значения угла внутреннего трения грунта фн = 36°, значения k = 5000 кН/»£
момента инерцни поперечного сечения одной сваи /, =730 см4 н модуля упру
гости стали Е ~ 2,1 - 10» кгс/сма«2,1 . 108 кПа. При этом основа'"
еще не достигнет стадии сопротивления, показанной на рис. 136,6. т
204

делить горизонтальное перемещение верха стенки по графику рис. 139
дпГ/ь//»! — °’8 и для = 36°’ находим f = 15* т<>гда
/,=7,-=" = 15 (19/5000) = 0,057 м=5,7 см.
К
к этому нужно прибавить упругий прогиб самой стенки, который приближен¬
но можно принять равным прогибу ее надземной части.
yXah\ 19-0,259.3,25.108
ЗОЕ/ _30-2,Ы08.730-2,5-0’°145м==1,45сМ’
Полное горизонтальное перемещение / = 5,7 -f 1,45 = 7,15 см, т. е. Vie
часть высоты надземной части стенки. Это говорит о важности расчета по вто¬
рому предельному состоянию незаанкеренных стенок и о нецелесообразности
их устройства при высоких насыпях или откосах.
И. В. Урбан 1 пришел к выводу, что расчет шпунтовой стенки
как бесконечно жесткой приводит к преувеличению требуемой глу¬
бины ее погружения и расчетного изгибающего момента, по кото¬
рому подбирается сечение стенки. Он пришел также к выводу о не¬
обоснованности определения требуемой глубины забивки шпунта
исходя из максимального давления, возникающего у нижнего кон¬
ца стенки. По его мнению, несущая способность стенки определяет¬
ся ее прочностью исходя из предельной треугольной эпюры напря¬
жений, возникающей в верхней части стенки, т. е. из предельного
состояния (см. рис. 136, а).
Этот вывод представляется недостаточно убедительным, так как
он основан на недопустимости расчета, учитывающего развитие
пластических деформаций, и, кроме того, он сделан с учетом пред¬
ставления о том, что коэффициент постели грунта у поверхности
равен нулю. В действительности же он имеет здесь некоторое конеч¬
ное значение.
§ 48. МАССИВНЫЕ СТЕНЫ ГЛУБОКОГО ЗАЛОЖЕНИЯ
1.	Расчет в упругой стадии
сопротивления основания
Такие стены (рис. 140) можно рассчитать исходя из тех же до¬
пущений, которые приняты при расчете тонких незаанкеренных
стенок с дополнительным учетом сопротивления основания по по¬
дошве стены.
В этом случае к двум уравнениям (7.33) метода перемещении
добавляется третье (независимое от двух первых)
r5s s4"^so —0»	(8.22)
где s вертикальная осадка по осн сооружения;
R$o~—AV
1 Урбан И. В. Расчет тонких стенок с учетом упругих свойств грунта
« стенки. - «Труды МИИТ», вып. 55, 1939.
205

IT иффпнвгптп уравнений (Т.ЗЗ) при неизвестных для v
пЛ ствол* рлОсты основания получаются нз формул* (8.8) __ ■,{№'
в результате деления результатов на 6; при ге = 0:	'
гдз “	:	1гдв“',в4’=-^—	5
trw=<***+ ***)•
Второе слагаемое (в скобках) последнего выражения учитывает
реакцию основания по подошве стены.
Сюбодные члены уравнении:
йдо*3—Q* ^00 =—(М-{-Qb)»
Неизвестные перемещения s, А и В находят, совместно решай
уравнения (8.22) и (7.33). Неизвестные выражают формулами:
kbl
(8.23)
ш>
*hj4Qh+ хЩ
0 =
tfHff )
ia «aQft-t-злп
(«*>
■г
\т
(8.25)
С помощью этих формул можно опре¬
делить напряжения по подошве и по бо¬
ковым граням стены. Краевые напрял**
ния по подошве стены составляют:
mtn
mat
N 6M2QA-f3M)
  =—
3*3-1-—Н*
к
(8.28)
^ Реактивное давление основания в л*£
1 бой точке боковой грани на глубине*
поверхности
ИК. 14В
1Д + 0(Л-*)1
(8.#>
1Я
л*

Горизонтальное давление у низа стены найдем, приняв г *■ Л,
4	Л* (QA -{- ЗЛ1)
ЯАЖ	Г	.	(8.28)
36»-f — А*
к
Положение центра вращения С определяют из условия, что го¬
ризонтальная реакция основания на этом уровне равна нулю. При¬
равняв нулю выражение (8.27), после преобразований получим
2	3W+-jA*
 *	(829)
•т •(«+•*)
* Нагрузки, соответствующие концу упругой стадии сопротив¬
ления основания, определяют из условия, что касательная к эпю¬
ре реакций у поверхности основания совпадает с предельной пря¬
мой. определяемой угловым коэффициентом
т
пр
-»+^Мт+1Н(т-#	<•■•»
где с0 — удельное сцепление на уровне подошвы стены.
Дифференцируя выражение (8.27) по 2, получим уравнение ка¬
ртельной
m=(dqt)l(dz) = k [Д-f в (А—2г)].	(8.3*1)
Приняв z-О, имеем
^	тв«=»А	(Д-|-А0).
Подставив вместо тв значение шцр, а вместо А его выражение
по формуле (8.24), придем к уравнению для определения Q и Л!, со¬
ответствующих концу упругого сопротивления основания и при-
■нмаемы- в качестве допустимых
8-^A(2QA4-3M)
4 +	  г	=тпр.	(8.32)
Л*	А
ЗАЗ-f — И*
При этом напряжения по подошве стены и наибольшее напря¬
ги6 по вертикальной грани, определяемое по формулам (8.26) и
' *28)» не должны выходить за допустимые пределы.
207

В частном случае тонкой заглубленной стены можно поииа*
Ь = 0 н N = 0. Тогда из формул (8.29) и (8.32):	Ть
4^-+3k
м , ,
6 —4-4Л
(8.33)
6 / М
— [3Q + 4	1-т
пр
(8.34)
2.	Расчет по предельной стадии
сопротивления1 основания
В основу определения предельных нагрузок С. Е. Кудриным1
положена расчетная схема, показанная на рис. 141. При этом силы
трения в состоянии предельного равновесия приняты равными со¬
ответствующим равнодействующим нормального давления, умно¬
женным на коэффициент трения f0 между стенкой и основанием,
т. е.:
Т\ = “ fo пгПр z£;
Т2=“ ШпР
Tz = f0V,
где V — равнодействующая реакции основания по подошве стены.
Для плеча этой силы принято предельное значение лг0 — 0,46.
Уравнения равновесия:
22 = Д/Пр—Ti+Тг—V=0;
2X = Qnp~mnp -A -f-	(Л2—•г^)4-7’3 = 0;
ТЫ St Ы м	Л	2	\	тпр/«3	!тпр 4/,	2
2Ми = <?прЛ4-Мпр—тпр —	—	гсJ4-—-— — —-—yl~~J гс
„ b	Ь
—П ~y~t* ——^°=°.
1 Кудрин С. М. Устойчивость опор в грунтах ОНТИ НКТП СССР. ГлаВ
ная редакция энергетической литературы, 1936.
208

В этих трех уравнениях
содержатся пять неизвестных
JVDP, Qnp. Mnp. V и zc- При
этом внешние силы оказы¬
ваются связанными соотно¬
шением
0123456789 10
M/Qh
РИС. 142
Мпр + (?Пр Л+ /о NПр
М
пр
4-л -
гпр
— (1-Ь/о)2
— I
(8.35)
Координата центра вращения стены определяется из решения
уравнения третьей степени
гс ч3
+ 7
3
= ТГ fo
М
пр
Qnr> л
Qnp Л
Л^пр
ffinn b№
+0,3
ь
h
5 ,
4 т
2N
пр
+0,5. (8.36)
:пр **	/ "'пр«"‘	«* \ -г	#мПр
Если для тонкой заглубленной стенки считать b = 0, N — 0
и не учитывать сил трения из-за малости их плеча, то формулы
(8.35) и (8.36) будут иметь вид:
Л2
Qnp — шпр ^ zc —
^ + 6J— —лз(з -^Г^ + ЗЛ ) = 0.
(8.37)
(8.38)
Qnp и V Qnp
Так как этот метод расчета относится к предельным нагрузкам,
^при практическом его использовании должен быть обеспечен ко-
9Ффициент устойчивости не менее 2.
Положение центра вращения стены, а следовательно, и предел ь-
нагрузка по формуле (8.37) зависят от отношения Л1ир/(0ПРЛ).
а Рис. 142 (кривая /) дан график для определения отношения
209

гс'Л, с помощью которого легко найти положение центра bd
а затем и предельную нагрузку Qup по формуле (8.37). ^ения,
Для сравнения на этот же график нанесена кривая 2, позвп
щая найтн положение центра вращения тонкой стенки *при
основания в упругой стадии.	Работе
$ 49. ЗААНКЕРЕННЫЕ ТОНКИЕ СТЕНКИ
Расчет таких стенок (рис. 143, а) может быть выполнен на оси
ве тех же допущений, которые приняты для расчета безанкерныт
стенок. Кроме того, перемещения анкерной плиты и деформацт
анкерной тяги не учитываются. Тогда в качестве неизвестного ос¬
тается только значение Д горизонтального перемещения, подошвы
стенки, которое определяется из уравнения метода перемещений
Ггдд ^+^до 0 •
(8.39)
Увеличенные в б раз реакции основной системы (рис. 143, б) вы¬
ражаются формулами:
2
гдд —
6k г	3£
— J (Лх + *)Л--£^(А»-*а)(2ЙН-А,+«я);	(8.40)
гЕ
Rip= h (А2>-а (А-2А1-2Аа)+Л| \а (ЗА1+2Лг) +
"Ь ze ^ (3^i-j-2z£)-{-6<7^ Zj^.	(8.41)
Чтобы найти глубину Ze, нужно составить еще одно уравнение,
выражающее условие, что давление qE достигает значения пассив-
РИС. М3
210
Г

сопротивления сыпучего тела. При с = О
"0Г0	-	Л,+*в
qE = V*a гЕ 4- k гЕ Л - ^ = уХп г£.
Огсюдз
*£= -=^- {h± -f Л,)—Лх.	(8.42)
Конец чисто упругой стадии сопротивления сыпучего тела в ос¬
новании стенки определяется условием, что при
.	г = 0	=	уХп»
которое приводит к уравнению
hl(h1+h2) = kj(M).	*	(8.43)
При полном исчерпании несущей способности основания эпюра
его реактивных давлений приобретает треугольную форму с на¬
ибольшей ординатой qo = yknh2-
В этом случае из двух уравнений моментов, составленных от¬
носительно точки А' прикрепления анкера и эпюры пассивного со¬
противления основания относительно центра С, можно проверить
достаточность принятой глубины погружения стенки и определить
значение анкерного усилия:
h^\-h2——j < ЯПЛ| +	(8.44)
5= ТЬ Я» (*-*.) f	(8>45)
б ( Л, + — Л2
где k — коэффициент запаса, принимаемый в пределах 1 —1,5.
Для	получения расчетного анкерного усилия вводится	еще ко¬
эффициент	1,5,	учитывающий неравномерность натяжения	анкер¬
ных тяг. Наибольший изгибающий момент
Мтах — S (2о — Ло)—	(8.46)
6
20=|/ 2JL.
Учитывая перераспределение давления грунта с концентрацией
к опорам (см. штриховую линию рис. 143), в формулу (8.46)
Годится коэффициент 0,65—0,75.
бы еРная плита, передающая усилие тяги на грунт, должна
D*b закреплена за пределами сползающей призмы стенки и выпи¬
ли призмы анкерной плиты. Тогда
£ = Я tg (я/4 — ф/2) -1- Лпл tg* (л/4 + ф/2).	(8.47)
211

Пример 27. Проверить достаточность глубины забивки
стенкн и определить расчетные значения анкерного усилия ,.3аа,,КеРевмЛ*
момента, если: А» =0.5 м. Л, =1.5 м, Ла = 0.9 м. /,*= i „ йзги6аюша*
«Г = 30°. «f, = 0. с= 0. * = 1.25.	пл	1	м*	V = 18кН/м»
Определив коэффициенты Аа = 0,333 и А„ = 3, проверяем „о
неравенства (8.44):	Полнение
а» А» Aa- y)= 1.25 0,333.2,92 ( 1,5-Ь0,9	M-j = 5 03.
AnА| ^Aj-b — А2 j =3-0,92 ^ 1,5-|—— 0,9^ = 5,1 > 5,оз.
Искомые усилия определяем по формулам (8.45) и (8.46):
о	уАа h- (Ai—А3)	18-0,333-2,92 (2,9—0,9)
_6(а1 + |а2)“	6(1’5+0’6)	_8КН/М'
Для расчета анкера принимаем:
Зрасч = 1,5 • 8 = 12 кН/м;
= 1 / -В£- = 1 f. 218. . =1,63 м;
У уК V 18-0,333
„ „	18-0.333-1.633
Мтах^й (1,63—0,5)—	  =	4,74	кН-м/м;
О
А4расч —0,75*4,74 = 3,56
(	30°	\	(	30° \
1 = 2,9 tg |^45°— — J +1 tg (45°+ —1 = 3,4 м.
Сравнение результатов с теми, которые были получены в при¬
мере 25, показывает, что анкеровка стенки позволяет уменьшить
глубину забивки и снизить расчетный изгибающий момент.
Рассматривая тонкую заанкерованную стенку как балку на уп¬
ругом основании с возрастающим по глубине коэффициентом
постели, В. С. Христофоров показал, что учет гибкости стенки поз¬
воляет еще больше снизить требуемую глубину забивки и значение
расчетного изгибающего момента.
§ 50. ДАННЫЕ ОПЫТОВ
1.	Опыты А. М. Латышенкова
В лабораторных условиях^ был и испытаны модели ШПУН™ВС”(
одиночных свай в металлическом лотке размером 48 X 96 X ьи
со стеклянной стенкой. Дубовые модели свай круглого и квадр
212

г
а)
р=вОиН Р=120кН	Р-150кН	Р-200кН
3)27нПа п,33 к Па	21,33 нП а	43.39	к	Па
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70f,M*
РИС. 144
ного сечений размерами от 2 до 7,5 см и дощатый шпунт забивали
на глубину до 75 см в утрамбованный песок средней крупности1.
Горизонтальные нагрузки создавали натяжением троса, при¬
крепленного на определенной высоте к свае. Натяжение определя¬
ли для больших моделей показанием динамометра, включенного
в тягу, а для малых моделей — непосредственно весом дроби, соз¬
дающим натяжение троса. Отклонения моделей шпунтов и свай от
вертикального положения измеряли с помощью индикаторов, а на¬
пряжения грунта на высоте погруженной части одиночной сваи —
с помощью гидростатических мессдоз, которые, однако, позволили
получить лишь качественную картину распределения напряжений.
Песок имел различные влажность и плотность.
Было проведено около 250 опытов; каждый повторяли
3—10 раз.
Эпюры напряжений по высоте сваи, полученные эксперимен¬
тально для разных горизонтальных нагрузок (рис. 144, а), подтвер¬
ждают эпюры, показанные на рис. 136, а и б. Кривые зависимости
горизонтального прогиба верхнего конца круглой сваи d = 2 см
(кривая 1) и квадратной одиночной связи b — 2 см (кривая 2)
№i = 7 см, /г2 = 28 см) от действующей силы Р показаны
Рис. 144, б.
Опыты показали, что фактическая горизонтальная сила, соот¬
ветствующая пределу упругого сопротивления грунта, составляет
лам 1^1ТЫшенков А. М. Сопротивление свай и шпунтов горизонтальным си-
М V РУДЫ лаборатории гидротехнических сооружений ВОДГЕО, вып. 1.
•» осстройиздат, 1939.
213

для тонких стен 96—123% нагрузки, вычисленной по фст
(6.34), доходя в плотно утрамбованном песке до 148% и состав'Г*
в среднем для нижнего предела около 100%.	Ля*
Для одиночных круглых свай в эту формулу должен быть в
ден коэффициент, учитывающий повышение сопротивления rpvi^*
вследствие его пространственной работы под давлением сван. ,Та
Предельная нагрузка, соответствующая полному выворачив
нню шпунтов и свай, превосходит нагрузку, соотвётствующуГ
концу упругой стадии: для шпунта — в 3—3,3 раза, для круглых
свай — в 15—21 раз, для квадратных свай — в 11—14 раз.
Поэтому формула (8.37), приводящая к результатам, которые
превосходят результаты, даваемые формулой (8.34), в 2—3 раза
может считаться достаточно осторожной для определения предель¬
ной горизонтальной нагрузки на тонкую стену.
2.	Опыты Б. Н. Жемочкина
Опыты были проведены в лабораторных условиях с песчаным
грунтом, имеющим 72% зерен размером меньше 0,6 мм и пористость
в рыхлом состоянии 49% [50J.
Деревянные модели одиночных свай 10 X 10 X 100 см закапы¬
вали на глубину 35—65 см и к их верхнему концу на высоте 10—
60 см прикладывали горизонтальную нагрузку, создаваемую
с помощью рычага и полиспаста и измеряемую динамометром. Од¬
новременно измеряли горизонтальные перемещения точки прило¬
жения силы.
На рис. 145 изображены кривые зависимоспГмежду действую¬
щей на сваю силой Р и перемещением ее точки приложения /. Кри¬
вая 1 соответствует плотному песку, кривая^2 — слегка уплотнен¬
ному, а кривая 3 — рыхлому песку.
40	50
f,CM
РИС. 145
РИС. 146
214

Соавиение этих кривых показывает, что независимо от того, как
воначально был уплотнен грунт, сваи находятся после значи-
пер кого перемещения почти в одинаковых условиях.
^Олыты позволили установить, что пока грунт находится в уп-
гой стадии работы, центр вращения сваи расположен на некото¬
рой высоте от ее нижнего конца. При дальнейшем увеличении си¬
лы и наклона сваи центр вращения опускается, причем самое низ¬
кое его положение приблизительно соответствует наибольшему
внешнему усилию.
Приняв центр вращения одиночной сваи в предельном состоя¬
нии у ее нижнего конца и считая эпюру реакций, с одной стороны
сваи, состоящей из треугольника и двух парабол, а с другой сторо¬
ны— сосредоточенной у нижнего конца сваи (рис. 146), Б. Н. Же-
мочкин предложил следующую формулу для предельной горизон¬
тальной нагрузки на сваю:
г	(<71	+ 2<7*+2<7з)	...
Рпр НЬ+Н>~'	(8-48)
Для определения qlt q2 и q3 Б. Н. Жемочкин предложил полу-
эмпирические формулы с учетом состояния уплотнения грунта.
Действительное сопротивление свай по опытам Б. Н. Жемочки-
на оказалось на 20—30% больше найденного по формуле (8.48).
3.	Опыты Г. И. Глушкова
Исследования были проведены на моделях размером в плане
10 X 10 см и на натурных бетонных сооружениях до 114 X 114 см
массой до 5 т [28].
Была установлена криволинейная зависимость между горизон-
•тальной силой, приложенной к верху массива, и его горизонталь¬
ным перемещением. Установлено, что положение центра вращения
сооружения зависит от нагрузки. Центр вращения сооружения мо¬
жет оказаться и ниже подошвы.
4.	Опыты И. Ф. Разоренова
Исследована устойчивость одиночных заглубленных фундамен¬
тов в песчаных и суглинистых грунтах при действии горизонталь¬
ной нагрузки. Исследования проводились с фундаментами призма¬
тической и ступенчатой формы при отношении ширины b к глуби¬
не заложения h в пределах 0,1—0,5 [100].
Экспериментами установлено, что выше оси поворота перед
Фундаментом и ниже оси поворота с тыльной стороны фундамента
возникают уплотненные клинья грунта. При дальнейшем увели¬
чении нагрузки эти клинья прорезают окружающий грунт, сме¬
щая его частицы в стороны, а не вверх. Предельной, по мнению
• Ф. Разоренова, следует считать такую нагрузку, которая вы-
ывает незатухающие во времени перемещения фундамента.
215

Реактивное давление грунта по передней и задней граням ж
дамента может в несколько раз превосходить пассивное conn
ление. Очертание эпюр реактивного давления грунта завис ,В‘
его свойств. Так, в песке эпюры прямолинейны, а в суглщГ* °Т
криволинейны.
5. Опыты Ю. М. Гончарова
Эти опыты, проведенные в натуре [331, показали, что ординат
эпюры давлений грунта на уровне анкера и у поверхности основа**
ни я близки по значению.
6. Опыты Г. Е. Лазебника и Е. И. Чернышевой
Эксперименты были проведены в масштабе 1:5с моделями гиб¬
ких шпунтовых стенок в лотке размером 5 X 2,5 X 1,65, м, наполнен¬
ном мелким песком различной плотности, на поверхности кото¬
рого была приложена равномерная нагрузка [751.
В опытах измеряли значения давлений песка в активной и пас-
. сивной областях, усилия в анкерных тяжах, горизонтальные пе¬
ремещения стенки в пределах ее свободной высоты и деформации
j крайних волокон в шпунтине.
Исследования позволили установить следующие закономер¬
ности.
По сравнению с эпюрой активного давления, по Кулону, наблю¬
дается некоторое увеличение давлений около анкерной опоры и
уменьшение их в пролете и у низа гибкой стенки. Равнодействую¬
щие активного давления на гибкую стенку составляют всего 65 —
75/6 теоретических по Кулону. Давление на жесткую стенку
может быть больше теоретического в пределах до 30%.
При плотном основании и значительной глубине забивки наи¬
большая ордината криволинейной эпюры отпора находится близко
от поверхности основания, а центр пассивного давления располо¬
жен примерно на ^ глубины
забивки от поверхности.
При рыхлом основании, не¬
большой глубине забивки, жест¬
кой стенке и при подходе соору¬
жения к предельному состоянию
по потере устойчивости эпюра
пассивного давления имеет фор¬
му треугольника.
Характерные эпюры проги*
бов, давлений и изгнбаюши*
моментов, полученные Е. И*
нышевой, показаны соответс
венно на рис. 147, а о.
с)
б)
б)
Р.
--4
1б,2*Н/м
Масштабы изгиб.
'и*ибо$ давлений моментов
1см о 2 Ч ВвЮщПа 100Н. см
РИС. М7
2I6

На основании своих опытов авторы пришли к выводу, уже ранее
рлаиному В. С. Христофоровым, что учет гибкости стенки позво¬
ляет снизить требуемую глубину забивки и расчетный изгибающий
М°МИзТза рубежных опытов наиболее известны опыты Г. П. Чебота-
0ева [1551 и П. Роу, из которых следовало, что уточнение методики
расчета шпунтов должно идти по линии учета вертикальных сил.
Глава IX
ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
НАДНИЩЕ И СТЕНКИ ХРАНИЛИЩА
§ 51. ПОСТАНОВКА ВОПРОСА
Хранилища для сыпучих материалов в зависимости от отно¬
шения их высоты к размерам в плане подразделяют на бункера и си-
лосы.
Бункерами называются хранилища, у которых высота от вы¬
пускного отверстия до верха засыпки превышает размер в плане
менее чем в 1,5—2 раза; силосами называют хранилища, высота ко¬
торых по крайней мере в 1,5—2 раза превосходит эти размеры.
При определении давления сыпучего тела на стенки бункера
принимают, что это давление действует, как в неограниченном мас¬
сиве, т. е. что вертикальнее и горизонтальное давление на любой
глубине z составляет соответственно:
<7z = Yz; =	(9.1)
» где £ — коэффициент бокового давления.
Силы трения, возникающие между засыпкой и стенками бунке¬
ра, не учитывают, т. е. принимается, что давление действует на
стенки нормально.
Давление	на	наклонную стенку воронки	бункера	определяют
как давление на	косую площадку и выражают	формулой
qa=yz (cos2a-{-£sin2 a),	(9.2)
где a — угол наклона стенки воронки бункера к горизонту.
При загрузке бункера малого объема с большой высоты расчет¬
ную нагрузку умножают на динамический коэффициент до 1,4.
Для коэффициента бокового давления обычно принимают его
значение, соответствующее отношению главных напряжений
в состоянии предельного равновесия засыпки, т. е.
£а = (1 — sin <p)/(l-fsin ф).	(9.3)
6v^ неправильно, так как упругие перемещения жестких стенок
УНкера слишком малы для того, чтобы в засыпке могли появиться
217
I

сплошные поверхности скольжения. Правильнее вводить
коэффициент бокового давления £0 сыпучего тела в сосрасче*
покоя, который значительно больше, чем в состоянии преде?ЯНИи
равновесия. Например, для зерна в среднем £а = 0,3, a
При определении давления на стенки и днище силосов°Г
вают влияние трения засыпки о стенки. Однако опыты мнИТы'
исследователей с различными сыпучими показали, что явле°ГИХ
происходящие в снлосах, весьма сложны и трудно поддаются^*
тематическому описанию, особенно во время истечения сыпуч**3'
тела через отверстие в днище.	у	ег°
Во-первых, вследствие трения частицы сыпучего тела, па
положенные у стенок, «зависают», в результате чего горизонталь*
ные слон засыпки испытывают депланацию, т. е. искривляются*
а вертикальное давление распределяется по площади горизонталь¬
ного сечения силоса неравномерно, достигая наибольшего значе¬
ния на оси силоса.
Во-вторых, существенное значение имеет уплотнение засыпки
возрастающее с глубиной под влиянием собственной массы. *
В-третьих, установлено, что давление в силосе повышается
в период разгрузки и зависит от формы движения сыпучего в сило¬
се. Эти формы отличаются друг от друга по виду траекторий и по
изменению вертикальных и горизонтальных составляющих скорос¬
тей зерен, лежащих в горизонтальных плоскостях. Начальная фор¬
ма движения, наблюдающаяся в первые секунды после открытия
задвижки выпускного отверстия, характеризуется тем, что движе¬
ние сыпучего происходит только вследствие его разрыхления.
Начальная форма движения переходит в первую или во вторую. Пер¬
вая форма движения характеризуется тем, что внутри массы сыпу¬
чего, остающейся неподвижной, над выпускным отверстием образу¬
ется движущийся столб, который пополняется зернами, скатываю¬
щимися с поверхности сыпучего тела, принимающей вид коничес¬
кой воронки (рис. 148, а). При второй форме приходит в движение
после открытия выпускного отверстия почти вся масса сыпучего
(рис. 148, б). При этом давление на стенки оказывается значитель¬
но большим, чем при первой форме
движения.
В-четвертых, давление сыпучего в
силосах зависит от деформируемости
ограждающих конструкций.
В-пятых, давление сыпучего повы¬
шается при динамических воздействиях.
Таким образом задача о давлении
сыпучего тела в силосе, строго говоря,
должна рассматриваться как динамиче¬
ская. Однако для упрощения ее сво
дят к статической, вводя затем Разл|^
ные эмпирические поправочные коэф*
фициенты.
а)
aifcn
РИС. 148
218

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ЗАСЫПКИ
НА ДНИШЕ И СТЕНКИ СИЛОСА
! Результаты строгого решения
Такое решение получено Р. Негре [152]. Он пользовался исход¬
ными зависимостями В. В. Соколовского и.В. Г. Березанцева и
путем интегрирования системы дифференциальных уравнений ме¬
тодом Рунге — Кутта получил сетку характеристик и эпюры рас¬
пределения нормальных давлений qx на стенки цилиндрического
силоса бесконечной глубины.
На рис. 149, а в безразмерных координатах <7*/(у#) показаны
эпюры давлений для разных значений угла внутреннего трения <р
сыпучего тела при углах трения его о стенку ф0 = ф/2, а на
рис. 149, б — эпюры давления для ф = 20° при различных значе¬
ниях угла ф0. Из рассмотрения этих
кривых видно, какое сильное влияние
на значение давления qx оказывают раз¬
меры углов трения ф и ф„.
а)
0
1
2
3
4
5
6
7
8.
x/R
5)о
1
2
3
4
5
6
7
8
t/R
V
% ^!2
l\j
^у=10°
\ N
V
-у>=.
10°
'(р = Ч0°
I 1
1 ЧХ!
ч> =
20°
■■о
V
?
\ А—
'

~-ч>
\
\
•
\
2.	Решение X. Янсена
Для определения статического дав¬
ления сыпучего тела на днище и стен¬
ки призматического или цилиндриче¬
ского силоса до сих пор широко при¬
меняется формула X. Янсена, вывод
которой основан на следующих допуще¬
ниях (см. рис. 150, о).
Во-первых, вертикальное давление
qz на любой глубине z от поверхности
сыпучего тела принимается равномерно
распределенным по всей площади F го¬
ризонтального сечения силоса.
Во-вторых, горизонтальное давление
qx в любой точке сыпучего тела, в том
*)
в)
Чх
ГГТПТТ
и°
-ч
П*
т
РИС. 149
РИС. 150

числе и у стенок снлсса, принимается пропорциональным
кальному давлению, т. е.	ВеРтц.
Qx=*lQz*
где | — коэффициент активного бокового давления.
В-третьих, принимается, что сопротивление сыпучего
сдвигу у стенок силоса	TejIa
т=/о Qx+с01
(9.5)
где fQ — tg ф0 — коэффициент трення засыпки о стенку силоса, с0 — ул
ное сцепление между засыпкой и стенкой.	УДель-
В-четвертых, влияние днища не учитывается, т. е. силос прищ-
мается как бы неограниченной глубины.
В-пятых, засыпка считается несжимаемой.
Выделив элементарный слой толщиной dz на глубине z от поверх-
ности, рассмотрим условие его равновесия под действием собствен¬
ной массы yJFdz, вертикального давления на слой сверху q
и снизу qz + dqz, а также сил трения и сцепления, действующих
у стенок. При этом силы, действующие вниз, считаются положи¬
тельными.
yFdz+Fqz—Fq2—Fdqz—c0 Udz—fQ \Uqz dz — О,
где U — периметр стенок силоса.
Приводя подобные члены и интегрируя это дифференциальное
уравнение при граничном условии, т. е. при z = 0 давление
qz = 0, получим
■ -4# (-ч-^i)-
Обычно при расчете силосов сцепление не учитывают, и тогда
формула (9.6) упрощается и принимает вид формулы X. Янсена:
yF (\ п ( folUz)\	...
*"мЩ,"*хр1—“))•	(9Л)
Чтобы получить боковое давление на стенки, используют зави¬
симость (9.4).
Из формулы (9.6) следует, что с увеличением глубины г при¬
ращение давлений qz и qx уменьшается (рис. 150, б), а само давле¬
ние при z оо стремится к пределу
л	yF ()-CaU \	(9.8)
г,°° U\U ( yF )'
Исходя	из	результатов экспериментов, проведенных	рядДО
исследователей, показавших, что формула (9.7) приводит	к сиЛ*еС#
*гу приуменьшению расчетного давления по сравнению с Ф3*1” у.
ким, в Технических условиях проектирования силосов для с
чих тел (СН 302-65) предусмотрено увеличение расчетного в у
220

ального давления для днища и бокового давления для нижней час-
стенки на протяжении j- ее высоты в два раза по сравнению
вычисленным по формуле (9.7),
С	в	силосах	для	зерна	при расчете днищ и самой	нижней	части
стенок	высотой,	равной	0,15 высоты силоса,	а	также	при	расчете
с^нок силосов для угля по всей высоте поправочный коэффициент
не предусмотрен.
расчетные давления получают умножением нормативных зна¬
чений на коэффициент перегрузки 1,3.
В качестве расчетных значений ср и ф0 следует принимать ниж¬
ние пределы, приведенные в табл. 4.
Чтобы облегчить использование формулы (9.7), ее можно при¬
вести к простому виду, умножив числитель и знаменатель на zfF:
Яг=Куг,	(9.9)
где
/С=(1—exp {—v})/v;	(9.10)
v = (fotUz)/F.	(9.11)
ч
Коэффициент /(, называемый коэффициентом зависания, опре¬
деляют в зависимости от v по табл. 23.
ТАБЛИЦА 23 КОЭФФИЦИЕНТ ЗАВИСАНИЯ
о
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
К
1
0,975
0,95
0,928
0,906
0,885
0,864
0,844
0,824
0,805
0,786
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1
1,1
К
0,769
0,752
0,735
0,719
0,703
0,688
0,673
0,659
0,645
0,632
0,606
1,2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1,9
2
2,25
2,55
К
0,582
0,56
0,538
0,518
0,499
0,481
0,463
0,447
0,432
0,397
0,367
2,75
3
3.5
4
4.5
5
6
7
8
9
10
К
0,34
0,318
0,276
0,248
0,219
0,198
0,167
0,142
0,125
0,111
0,1
Пример 28. Определить расчетное давление зерна в нижней части желе30'
бетонного силоса высотой h ~ 20 м и внутренним диаметром D о м*
для зерна у *= 7 кН/ма, угол его внутреннего трения ф — 30 и угол трения
его о бетон ф0 = 25° (/0 — 0,466).
Находим коэффициенты;
|= ,|-si£l= '~si Pi2! =0.333;
5 l + sinq> 1 -(-sin 30“
f,lUh 0,466-0,333-3.14-5-20
V~ F ”	0,25-5»-3,14
221

Для этого значения коэффициента v по табл. 23 находи
фициент зависания К = 0,37. По формуле (9.9) определяемМ КоэФ*
ное давление на днище	Расчет.
<7,*/СуЛ = 0,37-7-20 = 51,8 кПа.
Расчетное давление на нижнюю часть стенки с поправочны
эффицнентом 2 составляет:	м	Ко*
<7х=2£<7х = 2-0,333-51,8 = 34,6 кПа.
Подсчеты показывают, что одна из основных причин расхож
ния между данными опытов и формулой Янсена — заниженные рас
четные значения коэффициента £, вычисленные по формуле (9з\
Эта формула дает отношение между главными напряжениями сы!
пучего тела в состоянии предельного равновесия, в то время как
в действительности коэффициент | является отношением между
горизонтальным и вертикальным напряжением в состоянии непре¬
дельного равновесия.
Второй основной причиной этих расхождений, имеющей не мень¬
шее значение, является то, что формула (9.7) не учитывает нараста¬
ющего уплотнения сыпучего тела по глубине.
Наконец, третьей причиной, играющей уже значительно мень¬
шую роль, чем две первые, является неравномерность распреде¬
ления вертикального давления в горизонтальных плоскостях, не
учитываемая формулой (9.7).
Среди ряда решений, приведенных в технической литературе,
заслуживают внимания решения Е. М. Гутьяра, в котором учтено
увеличение плотности сыпучего тела с глубиной, и решения
Л.М. Емельянова1 и Я- Б. Львина 181], в которых учтена неравно¬
мерность распределения вертикального давления в горизонталь¬
ных плоскостях.
3.	Решение Е. М. Гутьяра
Вывод расчетной формулы проводится так же, как и формулы
Янсена, но с учетом влияния модуля деформации Е и коэффициен¬
та поперечной деформации р сыпучего тела.
При этом коэффициент бокового давления
5,=Т^-.	<9-12'
1 —р
Относительная деформация сжатия элементарного слоя в вер¬
тикальном направлении
1 Емельянов Л. М. Напряженное состояние засыпки, ограниченной па
лельными стенками. — еСовстский метрополитен», 1940, № 12.

{Хлотность засыпки на глубине z с учетом ее гравитационного
„плотне" ия
У	Vi	Ро
Л
* 1
2^2 \
1 —М. )
___ На _ плотность засыпки у поверхности,
где Ро g
Так как второе слагаемое знаменателя мало по сравнению с еди¬
ницей, можно заменить это выражение следующим:
Tz=Yo(l + ВЯг),	(9.13)
где
В =
1 —
2р2
(9.14)
После подстановки выражений £0 и уг в уравнение равновесия
слоя dz, после его сокращения на значение F и приведения подобных
членов получают дифференциальное уравнение
YoU-f Я<72) — dqz—fo loqzdz = 0.
После разделения переменных и интегрирования при гранич¬
ном условии для z — 0, <7z = 0 получают:
Яг =
УаР
toloU-BFiol
I — exp
— Тог
foloU
Уо F
— В
(9.15)
В зависимости от соотношения между В и (/0 Ь/ЛКУо^) возмож¬
ны различные закономерности возрастания давления (рис. 151).
1. При В >■ (Ufa 1о)КУоИ давление стремится к бесконечнос¬
ти при z >■ оо (кривая /).
2. При В = (U 1а1оУ(УоИ после раскрытия неопределенности
Яг^^оУо	(9.16)
т. е. давление возрастает пропорци¬
онально глубине (прямая 2).
3. При В < (U lJo)l(y0F) давле¬
ние возрастает по закону экспонен¬
циальной кривой 3 и при 2 —*- ОО
стремится к пределу
4l=UUa-ByaF' (9-17)
4. При В — 0, что возможно толь-
о для Е = оо, формула (9.15) пере-
наимри В Ф°РМУЛУ (9-7) и дает
с тп ее Давление по сравнению
®ая 4)Я пРеАЫДУш‘нми случаями (кри-
РИС. 151

Прямая 2 является касательной к кривым /, 3 и 4 в
ординат. В практике обычно встречается предпоследии!'343^ Ко*
Таким образом, формула (9.15) позволяет объяснить п
тех экспериментов, которые значительно превосходили пУ‘ПЬТать1
ты расчета по формуле (9.7).	РсзУльта-
Однако применение формулы (9.15) на практике требует ч
расчетных значений модулей деформации для разных сыпучиуЗИИя
Этих данных в настоящее время нет. Поэтому приходится п ^'
ваться формулой (9.7) с коэффициентом £а по формуле (9.3) ис*11*30'
деннем поправочного коэффициента 2, рекомендуемого ТУ
и СН 302-65. В свете изложенного выше решения этот коэйхь
циент приобретает определенный физический смысл.
4.	Решение Я. Б. Львина
Другое обобщение формулы Янсена для круглого в плане сило¬
са сделано Я. Б. Львиным [135], который, отказавшись от допуще¬
ния о равномерном распределении давления в плане и рассмотрев
условия равновесия уже не слоя dz, а элементарного кольца, полу¬
чил вместо обыкновенного дифференциального уравнения уравне¬
ние с частными производными
dqz . . £ ( dqz , qz \
lr + So/o(17+T)=V.
где г и г — цилиндрические координаты.
Для вертикального давления в силосе с радиусом поперечного
сечения R решение дифференциального уравнения приводит
к двум формулам:
ft=J£_(,_-LV	(9.18)
lofoV . 2R)' 42 2g0fi,
Это решение указывает на необходимость различать две обла¬
сти, граница между которыми определяется условием z = г, при*
водящим у стенок к равенству z = R. В верхней области давление
возрастает по параболическому закону от нуля до максимального
значения q2, а в нижней оно остается постоянным и равным <7™, чт0
совпадает с асимптотическим значением давления по Янсену, ко¬
торое выражается формулой (9.8).
Решение Я. Б. Львина может быть обобщено на случай, когд^
коэффициенты трения в основном объеме сыпучего тела ивпрпстен
ном слое различны, а также для силосов некруговой формы в пл
не. Однако, как указывает сам автор, количественный РазРыв,6т]1д.
шествующий между решением Янсена и данными натурных на .
дений, в предложенном им решении не устраняется.
Еще одно обобщение формулы Янсена предложено А.^М. И
ловым [1351, который учел совместность работы зерновой ма
стенок силоса, рассматриваемых в качестве упругого кольца.
224

ученная им формула отличается от формулы (9.7) тем, что
П°л> коэффициента бокового давления в состоянии предель-
°М^Т<Ра®иовесия или В состоянии покоя* подставляется
li= ^	.	(9.19)
l~|i +— т
и — коэффициент Пуассона сыпучего; R — радиус силоса; б — толщина
стенки силоса; т — отношение модулей упругости сыпучего материала и си¬
лоса.
§ 53. ДАННЫЕ ОПЫТОВ И НАБЛЮДЕНИЙ
5.	Опыты С. Г. Тахтамышева, М. С. Бернштейна и Б. А. Петрова
Первые, весьма несовершенные опытные исследования давле¬
ния сыпучего тела в силосах, поставленные в конце XIX столетия,
в том числе и исследования Янсена, в большинстве случаев под¬
тверждали его формулу. Между тем среди результатов этих иссле¬
дований были и такие, которые в 2 и даже в 5 раз превышали рас¬
четные значения давления на стенки (опыты Пранте и Плейснера).
Несмотря на это, формула Янсена прочно вошла в практику про¬
ектирования силосов, а методика опровергавших ее опытов бы¬
ла признана неудовлетворительной.
Однако неоднократные аварии железобетонных силосов зер¬
новых элеваторов, выражавшиеся в появлении и развитии верти¬
кальных трещин в стенках, заставили усомниться в справедливос¬
ти этой формулы и предпринять новые, широко поставленные экспе¬
рименты.
Крупные опыты провел С. Г. Тахтамышев в 1938—1939 гг. на
трех зерновых силосах элеватора в Баку (высота силосов 28 м при
диаметре двух из них по 7 м и третьего — 4,8 м) и в 1939—1940 гг.
на силосах с фосфоритной мукой в Воскресенске.
Нормальные давления измеряли с помощью 20 мессдоз диамет¬
ром 200 мм, заделанных в стенки и днище силосов на пяти горизон¬
тах по высоте силоса.
Опыты С. Г. Тахтамышева, в которых изменяли скорость запол¬
нения силоса, режим разгрузки, расположение выпускного отвер¬
стия и ряд других факторов, выявили весьма сложную картину на¬
пряженного состояния сыпучих, находящихся в силосе.
В значительном числе случаев значение давления на стенку пос¬
ле полного загружения силоса оказалось близким к расчетному,
Найденному по формуле Янсена. Однако были случаи, когда дей-
вительное давление оказывалось значительно меньше расчетного
когда действительное давление превосходило расчетное в 2 раза.
На !Р" выДеРживанин зерна в силосе несколько суток давление
стенку несколько падало.
8 *
3*«. 1169
ОО

ТАБЛИЦ Л 21 ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ
НА СТЕНКУ СНЛОСА
Выпуск зерна в большинстве случаев приводил к значи
(в 2.5—3 раза) повышению давления на стенку в средней J6;ibHoMy
соты силоса. У днища же давление при выпуске уменьшалРети вы-
рактерные графики давлений по высоте стенки силоса, поЛуСЬ*
С. Г. Тахтамышевым. показаны на рис. 152 (кривые /'соотв НЫе
ют теоретическому давлению, кривые 2 — давлению послееТствУ*
нения силоса, кривые 3 — давлению через 8 сут. и кривые4
ленпю в начале выпуска).	Дав*
Наблюдая за раскрытием трещин в стенке силоса при вып
зерна. С. Г. Тахтамышев обнаружил явление пульсации давлен°Ке
период которой изменялся в пределах от 6 с до 25 мин.	я>
В 1941 г. М. С. Бернштейн провел опытысмелким песком из
ном (рожь) на моделях в виде половины цилиндра диаметром 35?
и высотой 140 см с застекленной передней стенкой. Давление изме'
ряли одним мембранным при
бором, помещенным на высо-
те 50 см от днища.
Зависимость между давле-
нием и формой истечения
установленная во время опы¬
тов, проведена в табл. 24.
Таким образом, опыты
М. С. Бернштейна подтвер¬
дили вывод, сделанный С. Г.
Тахтамышевым, что при вто¬
рой форме истечения давле¬
ние на стенку значительно
больше, чем при первой. Давление при выпуске резко увели¬
чивается только для второй формы истечения.
Давление и форма истечения зависели от пористости сыпучего
тела, причем большей пористости соответствовали большее давле¬
ние на стенку и вторая форма истечения, меньшей пористости —
меньшее давление на стенку и первая форма истечения.
Вторая форма истечения наблюдалась при заполнении модели
сосредоточенной струей через воронку, как это бывает в действи¬
тельности.
Первая форма истечения возникала при заполнении силоса рас¬
сеянным «дождем» через конический зонт с большим числом отвер¬
стий.
Иногда формы истечения переходили одна в другую; причины
такого чередования остались невыясненными.
Первая серия опытов Б. А. Петрова [92] была проведена на м
дели силсса высотой 2 м, диаметром 40 см. Давление измеряли м ^
бранными манометрами, установленными в днище и в ниж
ти стенки. Вторую серию опытов проводили на модели разиi Р .
в плане 60 X 60 см, высотой 180 см с применением более чув ^
тельных мембранных приборов, связанных с индикаторами- ^
зудьтаты опыта показаны на рис. 153 (а — давление на дниш *
Давление, %
Зссыпкл
Форма
истечения
после
заполнения
во время
выпуска
Песок
Первая
100
100
Вторая
250
410
Зер»со
Первая
Вторая
100
154
100
215
ТЖ

«.пение на стенку). Одни опыты (кривая 1) были проведены со све-
^еизготовленным цементом, а другие — с цементом, который
Предварительно вылеживался в мешках два-три месяца после по¬
мола (кривая 2). Модель загружали цементом равномерно и непре¬
рывно. Также равномерно и непрерывно происходило нарастание
давления на днище и стенки. При динамическом воздействии на мо¬
дель (легкое постукивание) давление цемента резко возрастало.
Кривой 3 на рис. 153, а и б показаны результаты расчета по фор¬
муле Янсена при коэффициенте £ = 0,333.
Из сопоставления экспериментальных кривых Б. А. Петровым
были получены действительные значения коэффициента для выле¬
жавшегося цемента £ — 0»53 и для свежеизготовленного £ =
= 0,79.
Однако использование этих данных в формуле Янсена приво¬
дит к заниженным результатам не только для давления на стен¬
ку, но и на днище. Совер¬
шенно очевидно, что, обла¬
дая большой сжимаемостью,
особенно в свежеизготовлен-
ном виде, цемент имел не¬
большой модуль деформации,
что и обусловило более ин¬
тенсивное нарастание давле¬
ния по глубине, чем это полу¬
чается по Янсену. Б. А. Пет¬
ровым были исследованы так¬
же давление цемента и формы
его истечения при разгрузке
моделей цементных силосов
через отверстие в днище.
Ctvenue 7-7
РИС. 152
Л,см
о
10
30
50
70
90
110
130
150
0
а)
Г— 1 '
г
I
л
i
^2
3 -1
-4
&
V
5
10
15
Н,см
0
10
30
50
70
90
5)
%

3
—
=1
5
\
ч0
1
... 1 °о
у
' N
П
|
и
-г- —*
V
!в0' \
21
|
\
i
t
*
*
■ ■v
\
S
1
%
_
т
Го
Л
1_
г-Л
я
20	25
qz,Kna.
0
10
15	20
25
8*
РИС. 153

6. Опыты ЦНИЛ и НИИЖБ
Давления на стенки снлосов определяли в натурных vrn
на снлосах элеваторов в Москве, Херсоне, Болшево рВИя'х
Кзыл-Ту, Тоболе, Спицевке и др. Результаты этих опытов
саны в работах В. С. Кима, И. С. Хорошего [135J и др. 0пи‘
Во всех экспериментах применяли мессдозы, расположена
расстоянии от 3 до 12 м по высоте и периметру. Давления в бо”3
шинстве случаев записывали в разное время, и на графиках фнкЛЬ*
ровалн максимальные давления, которые для разных мессдоз^1*
совпадали во времени.	е
Во всех экспериментах 25—30% мессдоз фиксировали давление
в 1,5—2,5 раза, а в единичных случаях даже в 4—5 раз больше те¬
оретических, подсчитанных по формуле Янсена. Давления возрас¬
тали не только при выпуске, но и при заполнении силоса. Часть
мессдоз показывала снижение давлении при выпуске сыпучего
Прн синхронных записях ни в одном эксперименте не получи¬
лось одновременного увеличения давлений на все мессдозы и во
всех опытах наблюдалось неравномернее распределение давлений
по периметру и высоте силоса.	_
Таким образом, эксперименты дали изменчивую картину давле¬
нии, которые пульсируют в каждой точке. Представление об
этих изменениях дает рис. 154, а, на котором показано изменение
давлении в силосе элеватора в Ельце (мессдозы № 11, 12 и 13 рас¬
положены, как показано на рис. 154, б).
Было установлено, что при наполненных зерном смежных си-
лссах горизонтальное давление на стены загружаемого силоса воз¬
растает на 10—15% по сравнению с тем случаем, когда смежные
силосы опорожнены.
На участке стенок, расположенном ближе к стыкам силосов,
горизонтальное давление, как правило, на 80% больше, чем на
средних участках наружных стенок. Эксперименты подтвердили
способность зерна стойко сохранять напряженное состояние, воз¬
никшее при загружении и частичной разгрузке силоса.
В нижиен части силоса на уровне 2 м роста давления зерна при
разгрузке почти не наблюдалось. Давление на дно несколько сни¬
жалось в первый период выпуска и оставалось почти постоянным
до полной разгрузки. Значения давлений на дно не превосходят
нормативных.
Результаты исследований горизонтального давления зеРня9м
ребристые стены квадратных в плане силосов размером 3,2 X >-
в Кзыл-Ту показали, что максимальное горизонтальное давле^
при наполнении силоса не превышало расчетного по Янсену, а
разгрузке возрастало на 10—20%.	„ сиЛОс-
Прн выпуске зерна из круглого силоса через смежный ^ м
звездочку и при расстоянии между перепускными отвеРстИ,^^ер-
давления возрастали в круглом силосе. Если иерепускны
стия находились через 3 м, то этого уже не происходило.

о^^Па. а)
60
6)
NSH
ч
Ns 12-
№ 13
20м
□ □ D
1км
s'
Ом
ODD
2,1м
О □ О
1	15	2	25	3
Время в часах
РИС. I54
з8с
100
Н,нИ
РИС. 156
1—1 1 I 3—1
' О 005 OJ 0J5 02 0,25 0,3
в
РИС. 156
Зерно в звездчатом силосе опускалось при разгрузке до очеред¬
ного отверстия, а затем уровень зерна в звездочке оставался посто¬
янным до тех пор, пока поверхность зерна в круглом снлосе не
достигала низа отверстия. Далее уровень зерна в звездочке резко
понижался до отметки верха следующего по высоте отверстия.
Пульсирующие толчки и подвижки зерна в звездчатом силе се
хорошо заметны в центре и по периметру стен силоса.
По мере опускания уровня зерна частота пульсации увеличи¬
валась, а амплитуда уменьшалась. Интересные результаты были
получены в Болшево на силосах нз ребристых колец диаметром
6 м, опоясанных предварительно-напряженной арматурой. По де¬
формациям этой арматуры, которые измеряли тензодатчиками, опре¬
делены кольцевые усилия N по высоте испытываемых силосов.
На рис. 155 показаны графики для двух одинаковых силосов.
кривая / соответствует заполнению силоса, а кривая 2 — разгруз¬
ке*. кривые 3 и 4 соответствуют давлениям, вычисленным по форму-
Ле л. Янсена с коэффициентами 1 и 2.
229

Опыты, проведенные на мелькомбинате им. Цюрупы, показал
что прн наемпанин «дождем» можно уложить в силос на 5—6% 7*1н'
на больше, чем при обычном загруженин с транспортера. В лабо
раторных условиях эта разница в зависимости от вида сыпучего т
ла доходит до 10—20%, а иногда и более. Было установлено, чте
движение сыпучего тела всегда связано с образованием поверхнос¬
тей скольжения, т. е. со сдвигом, которому, как правило, сопут¬
ствует разрыхление сыпучего тела. Сдвиг не сопровождается изме¬
нением объема сыпучего тела только при некоторой «критическом»
плотности укладки. Если плотность при заполнении оказалась
больше критической, то после открытия задвижки сыпучее разрых¬
ляется, а если меньше, то уплотняется. На рис. 156 показано измене¬
ние коэффициента плотности К в потоке сыпучего тела в процессе
выпуска в зависимости от доли 0 выпущенного зерна по отношению
к его первоначальному объему в силосе. При этом кривая 1 отно¬
сится к плотной, а кривая 2 — к рыхлой начальной укладке. г
Таким образом, плотность при движении сыпучего в силосе от¬
личается от плотности его прн заполнении. При движении сыпуче¬
го с ускорением его плотность все время изменяется. Все это при¬
водит к тому, что плотность сыпучего в разных местах силоса ока¬
зывается неодинаковой и зависит от его предыдущих состояний.
7. Опыты П. Н. Платонова, А. В. Анатольева и А. П. Ковтуна
Опыты проводились в Одесском технологическом институте
им. М. В. Ломоносова 194] на моделях и в реальных силосах с по¬
мощью плавающих датчиков с фиксированным расположением
в потоке и позволили определять вертикальные, горизонтальные
и касательные давления в любом сечении по высоте силоса и у его
стенок.
Опыты позволили сделать вывод, что колебание давлений в си¬
лосах объясняется процессами образования, разрушения и вос¬
становления сводчатой структуры сыпучего тела, возникающей
в результате соответствующего расположения частиц, соединя¬
ющихся в сложные кинематические цепи. Частота пульсации,
зависящая от скорости разрушения и восстановления кинема¬
тических цепей, возрастает с ростом скорости движения потока сы¬
пучего.
Измерения давлений в силосах одного размера показали, что
с увеличением жесткости стен давление на них повышается. При
этом наибольшего значения давление па более жесткие стены Д°
стигает быстрее, чем на менее жесткие.
Совместность работы стенок силоса и сыпучего подтверждав
также результатами экспериментов и теоретическими исслед°
киями А. М. Трухлова [135 , проведенными в Саратовском поли ^
ническом институте. Эксперименты были проведены на моде,^иЯх
тырех связанных между собой силосов и состояли в измеР е;1Ь-
деформаций стен прн различных комбинациях наполнения о
ных «банок» и «звездочки».
230

Глава X
ДАВЛЕНИЕ сыпучего тела
НА ЗАЛОЖЕННОЕ В НЕГО СООРУЖЕНИЕ
§ 54. ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА НА СООРУЖЕНИЕ.
ЗАЛОЖЕННОЕ НА НЕБОЛЬШОЙ ГЛУБИНЕ
ОТ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Давление, оказываемое сыпучим телом на заложенное в него
сооружение (трубу, тоннельную обделку, крепь и пр.), зависит от
глубины заложения сооружения и от того, как оно уложено: э а -
кры тым или о т к р ы т ы м способом. В первом случае
нарушение массива сыпучего тела чаще всего ограничивается срав¬
нительно небольшой областью вокруг сооружения, во втором же
случае массив сыпучего тела оказывается нарушенным о т к р bi-
mo й о ы р а б о т к о й (трап ш е е й) до самой поверхности,
и давление на сооружение будет большим, чем в первом случае.
Давление на сооружение, уложенное под насыпью, будет еще
большим.
Во всех случаях давление, испытываемое сооружением, зависит
от его собственной жесткости и жесткости основания. Жесткое со¬
оружение, как правило, подвергается большему давлению, чем
гибкое. Так же влияет и жесткость основания. Наконец, давление
сыпучего тела на заложенное в него сооружение зависит от влаж¬
ности и степени уплотнения сыпучего тела над сооружением и осо¬
бенно рядом с ним.
Следует также иметь в виду, что давление на подземное соору¬
жение не остается постоянным, а меняется в зависимости от темпе¬
ратурно-влажностных условий и в большинстве случае нарастает
с течением времени.
Рассмотрим сооружение типа трубы или тоннеля (большой
длины), заложенное в однородном грунте на глубине h от поверх¬
ности, не превышающей его поперечных размеров (рис. 157, о).
Допуская, что само сооружение не изменяет предельного на¬
пряженного состояния сыпучего тела, и рассматривая задачу как
статическую и плоскую, имеем следующие выражения для глав¬
ных напряжений в произвольной точке у верхнего свода сооруже¬
ния, лежащей на глубине г от поверхности:
Нормальнее и касательное напряжения в этой точке можно оп¬
ределить, пользуясь формулой (2.21) для напряжений по наклон¬
ам площадкам:
ох = у*;
(Ю.1)
1 — sin ф
(10.2)
а= у г (cos2 a-f-1 sin2 a);
т = 7г (1— £) sin a cos a.
(10.3)
(10.4)
Ш

,,„я cbmv4ero тела о сооружение ра.
,.ы«ть что угол тРен ч,„„ отклонения полного давле-
™р,же"“я 5 ““г,‘б>1" **
И,|Я 0Т "дельного значения.	кальНого давления на верх-
°,е“Р вышерасположенвого cmjw,
S	»jx	„	„«лввых	Г
ЭпЮрЫ Тля сооружения с круговы	ыми	линиями.	На
„роенные Д*я 'П'ловине рис. 158, а	q_
казаны на пра зана эпюра п°лиНя *шЫкающие к ней массы
Л€ВШПВВЖИВ>“	Подпорную
SSTS— ~
К выражениям (Ш-*) v
со=(1 —tg a tg ф)2.
(10.5)
#»
\\\
■с
i
N
V
Соответствующие эпюры пока¬
заны на рис. 158. Их можно
заменить более простыми эпю¬
рами вертикальных и горизонталь¬
ных давлений, показанными на
рис. 158, б пунктиром.
Равнодействующую давлений на
обе половины сооружения круго¬
вого поперечного сечения (силу дав¬
ления на основание) можно найти
интегрированием выражений (10.3)
и (10.4) с учетом дополнительного
I
РИС. 157
i
232
к
РИС. 158
II

множителя to:
Л/2
/? = £>! \ (cr sin a-f-т cos a) da-\~
о
At uAs
1
я
-LDi (’ (cr sin а-j-xcosa) (1 —
п/2
(Лг-А
— tg a tg ф)2 da = '{hDi
Dx
h
(10.6)
coopy-
o,b
op
0,6
op
Of*
op
02
op
' 0
'Op
-02
>1
Г !
i 1
i
A
i
t
/
jfi
!
i i ! i
. . i 1 >
r\
!
i
\
i
1
1
1
1
1
I
1
a2
1
^ t
1
1
1
*
' 0 Op 0,2 Op Up 0,5 Dt6 OJ OB 09 1
lQuMta.
РИС. 159
где Di — наружный диаметр
жен ия.
Значения параметров Ах и Л2
в зависимости от угла внутренне¬
го трения ф приведены на рис. 159.
При ф = 0 (т. е. в пределе для
жидкости R = —(nyDl)!4) давле¬
ние на сооружение равно взвеши¬
вающему давлению.
При ф = 30° (т. е. для сыпучего тела, обладающего углом внут¬
реннего трения среднего значения) R = yDx (0,8/г — 0,03 Dx) «
« 0,8у/iDlf в то время как равнодействующая давлений на верхнюю
половину сооружения составляет (yhD^) — на 25% больше. Таким
образом, давление сыпучего тела на нижнюю половину сооружения
составляет заметную часть от общего давления.
Формулы (10.3) и (10.4) справедливы лишь в том случае, когда
вблизи сооружения нет стенок котлована или траншеи, а также
при отсутствии перемещений сооружения по отношению к засыпке.
При возникновении такого перемещения на поверхности сооруже¬
ния появляются дополнительные сдвигающие усилия, направлен¬
ные в сторону, противоположную его перемещению. Распределе¬
ние касательных усилий по поверхности трубы подчиняется тому
же закону, что и распределение относительной скорости движения
сооружения и грунта
T = Tmaocsin а,	(10.7)
гДе Тупдх — касательное напряжение на концах горизонтального диаметра.
Если засыпка при оседании перемещается по отношению к со¬
оружению вниз, то и касательные усилия, действующие на соору¬
жение, будут направлены книзу, и наоборот.
§ 55. ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА НА СООРУЖЕНИЕ,
ВОЗВЕДЕННОЕ ЗАКРЫТЫМ СПОСОБОМ НА БОЛЬШОЙ ГЛУБИНЕ
ОТ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
При укладке сооружения на большую глубину поверхности
скольжения могут не простираться на всю толщу сыпучего тела,
соединяясь между собой и образуя над сооружением замкнутую
область, выше которой образуется так называемый естественный
233

<7
4 I Ч * -г
И t lit t LLLt-f.
РИС. 160
разгружающий свод. Давление на coon
жение равно весу сыпучего тела, за У'
мающего область нарушения, т.’ е ИИ*
ходящегося внутри разгружающее
свода.	0
Основной нагрузкой, действующей
на разгружающий свод, является cog.
ственная масса вышележащего сыпучего
тела, которую при большой глубине за¬
ложения можно считать равномерно
распределенной. Поэтому при невоз¬
можности возникновения в сыпучем те¬
ле, образующем разгружающий свод, изгибающих моментов, при¬
водящих к появлению растягивающих напряжений, свод должен
бьггь очерчен по параболе.
Рассмотрим условия предельного равновесия половины свода,
на которую кроме вертикальной нагрузки q действуют силы Я, Т,
V' и S (рис. 160). Сила Я является реакцией отброшенной половины
свода или распором, а силы Т и V — составляющими опорной ре¬
акции свода. Сила 5 рассматривается как дополнительная сдвига¬
ющая сила, действующая изнутри свода и пропорциональная
его высоте, т. е.
S = shCt	(10,8)
где s — коэффициент пропорциональности.
Для определения пяти неизвестных Я, 71, V, S и hc есть всего
три уравнения равновесия, из которых можно получить:
2Х — 0; Н — Т—S = T—shc;
ZZ = 0; V = qB{2\
ША = 0; H = qB2J8hc.
[(Ю.9)
Четвертое уравнение выражает условие предельного равнове¬
сия сыпучего тела у пяты свода
T=Vig<p = qBf/2t	(Ю.Ю)
где ? и / угол и коэффициент внутреннего трения сыпучего тела.
Выразим s из первого уравнения равновесия:
5 =
Т—И	qB
2h
I-
В
4 К
Стрела подъема свода hc определяется из условия, чтобы знзче^
ние 5 достигло своего максимума, при котором запас прочности сво
да будет наибольшим. Это условие позволяет составить пятое ура
иение
ds
dhc
qB
2
й
2К
= 0.
234

Отсюда
В
hn —	|
с ч
(10.11)
Исследуя вторую производную (drs)l(dh\) при найденном значе¬
нии Лс> можно убедиться, что она отрицательна, т. е. выражение
(10.И) действительно соответствует максимуму s.
Если же не учитывать силу 5, то из условий равновесия и усло¬
вия предельного равновесия
hc=BJ4.
Таким образом, введенное М. М. Протодьяконовым дополни¬
тельное условие приводит к увеличению расчетной высоты свода
в 2 раза. При этом наибольшая ордината параболической эпюры
давлений на подземное сооружение
qB = lhc=(yB)/2t.	(10.12)
При высоте h залегающего над выработкой слоя сыпучего тела,
меньшего или равного высоте Лс, принимают hc = h.
Расчетный пролет разгружающего свода определяют по фор¬
муле
B = b+2A0tg(-^—jJ.	(Ю.13)
где b и li0 — ширина и высота сооружения.
Нагрузка на сооружение принимается равномерно распреде¬
ленной, а ее равнодействующая
Q = qbb = yBbJ2l.	(10.14)
Отметим, что во многих литературных источниках сила S изоб¬
ражается в виде горизонтальной нагрузки, направленной в сторо¬
ну свода и равномерно распределенной по его высоте; нагрузка
эта трактуется как некоторое дополнительное сопротивление сдви¬
гу. Условия же равновесия записывают так же, как это сделано вы¬
ше. Однако если силу 5 направить внутрь свода, то она должна
иметь тот же знак, что и сила 7\ а если она действует по всей вы¬
соте hc свода, то она должна входить и в уравнение моментов. Но
это уже приводит к совершенно другим результатам.
Теория М. М. Протодьяконова условно применяется не только
к сыпучим телам, но и к любым связным горным породам. В этом
случае f уже является не только коэффициентом внутреннего тре¬
ния, но и коэффициентом сопротивления сдвигу, который учитыва¬
ет суммарное действие сил внутреннего трения и сцепления; он
называется коэффициентом крепости.
Для связных сыпучих тел коэффициент крепости
/кр ■= tg ф-Ьс/а,	(10.15)
где ф — угол внутреннего трення; с — удельное сцепление; о — сжимающее
апряжонне, при котором определяется сопротивление связного сыпучего
е-ла или грунта сдвигу.
235

ТАБЛИЦА 26. КОЭФФИЦИЕНТЫ
КРЕПОСТИ ПО ПРЕДЛОЖЕНИЮ
м. М. ПРОТОДЬЯКОНОВА
Грунт
Коэффициент
крепости fKр
Условный
угол внут¬
реннего
трения
Плывун, болотис¬
тый. разжиженный
0,3
* 9
Песок, мелкий гра¬
вий, насыпной, до¬
бытый уголь . . .
0,5
27
Растительная земля,
торф, легкий суг¬
линок. сырой песок
0,6
30
Тяжелый, лесс, гра¬
-
40
вий, мягкий уголь
0,8
Глина плотная . . .
1
45
Щебенистый, галька,
разрушенный сла¬
нец, твердая глина
1,5
60
Из формулы (10.15) с.1е
дует, что с увеличением нов"
мального напряжения о зна
чение коэффициента крепости"
уменьшается, приближаясь к
значению коэффициента внут¬
реннего трения. Численные
значения коэффициентов кре¬
пости для некоторых грун¬
тов и соответствующие услов¬
ные углы внутреннего трении
Фу = circ\.Q fKр приведены
в табл. 25.
Для определения актив¬
ного давления на крепь оди¬
ночной выработки кругового
поперечного сечения на ос¬
нове теории В. В. Соколов¬
ского В. Руппенайт получил
формулу
1—sin ф
?= 1 + 5]Пф (‘?с+сГо)>хр {—я tg <р}-ог„.
(10.16)
где <70 — нагрузка от массы вышерасположенных пород на уровне центра
выработки с учетом коэффициента концентрации, который для песков состав¬
ляет 1 — 1,3, а для глин — 1,8—2; о0 — давление связности.
Пример 29. Определить вертикальное давление на подземное сооружение
размерами Ь — 1,5 м и /|0 = 2 м, заложенное на большой глубине от поверх¬
ности, если для грунта у = 16,5 кН/м3 и его коэффициент крепости /Кр= 0*5
(ФУ = arc tg 0,5 = 26°30').
Расчетный пролет разгружающего свода по формуле (10.13)
\	(	26°30/
j = 1,5+2-2 tg ^45°— -у-
a=6+2A0tg|^-—Jb
= 3,98 м.
Наибольшее вертикальное давление на сооружение находим по формуле
(10.12)
Y В	16,5-3,98
?-=^Г=^~=65'7кПа-
Для получения расчетного давления нужно ввести еще коэффициент пере*
грузки л = 1,5.
§ S8. ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА НА СООРУЖЕНИЯ,
ВОЗВЕДЕННЫЕ ИЛИ УЛОЖЕННЫЕ ОТКРЫТЫМ СПОСОБОМ
НА БОЛЬШОЙ ГЛУБИНЕ ОТ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
1.	Случай укладки в траншею
При возведении подземного сооружения открытым спо ^
с последующей обратной засыпкой выработки, которую
зывать траншеей, свойства ненарушенного грунта, слага
236

ш "	ЯZ k
IjLiliiiili
ттпттт
s
-Л-
N
та
Траншея
2	4	6
РИС. 162
8 10
h/д..
РИС. 161
го стенки траншеи, всегда
отличаются от свойств вы¬
нутого грунта. Как бы
тщательно ни был уплотнен вынутый грунт при обратной за¬
сыпке, его структура нарушена, в то время как за пределами
стенок траншеи грунт находится в состоянии, более или менее
близком к тому, в котором он находился до ее устройства. По¬
этому при уплотнении траншейной засыпки под действием ее соб¬
ственной массы и давления грузов, перемещающихся по поверхности
земли, она оседает, и между нею и стенками траншеи (так же как
в силосах) возникают силы трення, которые воспринимают часть
веса засыпки, расположенной выше сооружения. Остальная
часть передается на сооружение и на засыпку, заполняющую про¬
межутки между сооружением и стенками траншеи, называемые па¬
зухами.
Для единицы длины траншеи с вертикальными стенками
(рис. 161) применяется формула (9.6), полученная для силосов,
в которую вместо площади и периметра горизонтального сечения
силоса подставляют F = В и U — 2. Тогда на уровне верха соору¬
жения при z = h
где
уВ (1— -2с~)
п М уВ I (	(	2lf0h
*в= W—( ехр|”“~/Г
Равнодействующая вертикального давления
Q = qBB — Ктр yh В,
2с
уВ В /.	|	2lf0h
2$/о Л
(10.17)
(10.18)
I —
К
тр
(10.19)
237

Из формулы (10.19) следует, что значение коэффициента к
зависит от отношения h В, произведения £ /0 и отношения
для определения Л'то можно пользоваться нижней частью графиКа;
показанного на рис. 162, при составлении которого сцепление с при¬
нято равным нулю. При этом, имея в виду, что для ряда грунтов
произведение I f„ имеет примерно одинаковое значение и что при
обычных значениях ЫВ KTD сравнительно мало изменяется в за¬
висимости от I /о, можно остановиться на двух стандартных рас.
четных значениях этого произведения: для песчаных и супесча¬
ных засыпок (кривая 1 на рис. 162)	=	0,43	•	tg 25°«0,2; для
глинистых засыпок (кривая 2 на рис. 162) I /„ = 0,54 • tg 15° =
- 0,145.
Чтобы определить давление на подземное сооружение, уложен¬
ное в траншее, необходимо иметь в виду, что формула (10.18) не
учитывает поперечных размеров самого сооружения. Поэтому для
небольших отношений между шириной траншеи В и шириной со¬
оружения b и при плотной утрамбовке пазух можно ввести в фор¬
мулу (10.18) поправочный множитель ф, меньший единицы, учиты¬
вающий передачу части полной нагрузки Q на засыпку пазух.
При увеличении ширины траншеи достигается такой предел от¬
ношения Bib, при котором влияние стенок траншеи уже не сказы¬
вается на значении расчетной нагрузки на сооружение. При этом
сооружение работает в условиях насыпи. Поэтому расчетная на¬
грузка на сооружение в траншее не должна превосходить расчет¬
ной нагрузки для сооружения, уложенного в насыпи.
Для траншей с переменной по высоте шириной практически
можно пользоваться формулой (10.18), принимая в качестве рас¬
четной ширину траншеи на уровне верха сооружения и определяя
коэффициент Д'тр по рис. 162 для отношения h/BCJ), где Вср — ши¬
рина траншеи на глубине hi2 от поверхности.
Боковое давление засыпки на сооружение в узкой траншее или
не учитывается совсем, или при хорошем уплотнении пазух при¬
нимается равным вертикального давления. Для более шире-
1
них траншеи этот коэффициент может быть повышен до ^ и даже
1
Д0 4 *
2.	Случай укладки под насыпью
Вертикальная нагрузка на сооружение, уложенное под насыпью»
определяется в предположении, что в засыпке образуются поверх
нести скольжения, являющиеся плоскостями, касательными к со¬
оружению. В случае если сооружение обладает большей жесткостью*
чем грунт, расположенный рядом с ним, силы трения, действую
шие на призму грунта, лежащую непосредственно над трубой,
имеют обратное направление по сравнению с рассмотренным выше
сл>чгем траншейной укладки.

Таким образом, жесткое сооружение под насыпью оказывается
яагруженным не только весом лежащей на нем засыпки, но и доба¬
вочной нагрузкой, обусловленной силами трения по плоскостям
скольжения.
При уменьшении жесткости сооружения силы трения и обус¬
ловленная ими добавочная нагрузка уменьшаются. Если трубы
очень гибкие (например, тонкостенные металлические), то силы
трения в плоскостях скольжения меняют свое направление и на¬
грузка на трубу оказывается уже меньшей, чем вес вышерасполо-
женной засыпки.
Спедует иметь в виду, что при большой высоте засыпки над со¬
оружением h > 2,25 b плоскости скольжения уже не проходят на
всю ее высоту.
Основная нагрузка на сооружение под насыпью определяется
по формулам (10.1) — (10.6). Кроме того, для сооружения жест¬
кость которого превышает жесткость грунта насыпи, учитывается
дополнительное вертикальное давление, которое принимается рав¬
номерно распределенным по горизонтальной проекции сооружения
с равнодействующей:
0доп=уЛ&(/С„-1),	(10.20)
где Д'п — коэффициент концентрации давления грунта в насыпи, определяе¬
мый по верхней части графика рис. 162 в зависимости от произведения sx;
х — отношение высоты выступающей из основания части сооружения к его
полной высоте; s—коэффициент, учитывающий жесткость основания под со¬
оружением и принимаемый равным: для очень жесткого основания s= 1,
для жесткого основания s = 0,7, для плотного основания s — 0,5, для подат¬
ливого основания s = 0,3, для очень податливого основания s = 0.
Для гибких сооружений дополнительное давление не учитывают.
Пример 30. Определить вертикальное давление на железобетонную тру¬
бу внешним диаметром Dj = 0,72 м, если она уложена в траншее шириной
В = 1,8 м на глубине h = 4 м от поверхности; грунт песчаный маловлажный,
у = 16,5 кН/м3. Уплотнение пазух слабое.
Для отношения И/В = 4/1,8 = 2,22 по нижней части графика рис. 162
(кривая 1) находим Дтр = 0,65 и по формуле (10.18) без поправочного коэф¬
фициента получаем значение расчетного вертикального давления на трубу
Q = Д'тр yBh = 0,65-16,5-1,8-4 = 77,3 кН/м.
Пример 31. Определить вертикальное давление на трубу, уложенную
обычным способом в насыпи на плотное основание при тех же данных, что и в
предыдущем примере. Для отношения /i/Dj = 4/0,72 = 5,56 по верхней части
графика рис. 162 (кривая /) для sx = 0,5 находим Кя = 1.38 и определяем
исходя нз формулы (10.20) равнодействующую вертикального давления на
трубу:
Q = Кп yBh = 1.38-16,5-0,72-4 = 65,6 кН/м.
Для получения расчетных нагрузок вводится коэффициент перегрузки
я® 1,2.
239

§ 57. ДАННЫЕ ОПЫТОВ И НАБЛЮДЕНИИ
Данные опытов по определению давления засыпки на труб
уложенные в траншеях и в насыпях, весьма многочисленны,
касается туннелей, то экспериментального материала пока еше ъи?
чнтельно меньше.	Щ	На'
Ниже приведены основные результаты некоторых опытов по
определению давления грунта на подземные сооружения.
1. Опыты Н. Н. Давиденкова
Опытные работы по определению вертикального и бокового дав¬
ления засыпки высотой от 3,9 до 4,2 м в траншеях шириной 1,8—
2.8 м были проведены при укладке канализационного коллек¬
тора диаметром 0,6—0,8 м в Ленинграде. Струнные динамометры
были установлены как на самой трубе, так и на различных уровнях
по высоте траншеи.
Засыпка состояла из смеси насыпного грунта, песка и суглинка
объемной массой 1,94 т/м3.
На рис. 163 нанесены значения давлений (незалитые кружки и
квадраты при укладке динамометров в 1928 г., залитые кружки и
квадраты по откопанным динамометрам в 1929 г.). Все без исклю¬
чения динамометры показали (примерно за 7 мес.) рост давления
в пределах от 4 до 33/6. В некоторых случаях давление нарастало
непрерывно; в других случаях наблюдений, сделанных зимой,
давления снижались, что было вызвано промерзанием грунта,
а затем это снижение перекрывалось новым возрастанием дав¬
лений.
Отношение наибольшего давления к весу вышележащего стол¬
ба грунта доходило в широких траншеях до 1,25 и даже до 1,5.
Наименьшее значение этого отношения, равное 0,72, было полу¬
чено в узких траншеях.
Ч6у«Па
а 20 “0 60 80 100 120 О 20 40 60 80
п V
5
6
7
8
V п
% 1
\ 1
\ 1
1 \*л ^
\39
[29
т
.
зГ,
\13
\19
; я* и Ж
—i,~~. V 14
324
. I ’
16
4
i—t— ^ j \ .
. г‘ л"
flea m/jyfau j
РИС. №
Боковое давление ока
залось равным 0,33—0,56
вертикального. В широких
траншеях это отношение
остается постоянным во
времени, а в узких оно
повышается, достигая та¬
кого же значения, как и в
широких.
На рис. 163 видно, что
теоретические кривые про*
ходят в самой гуще эксП^
риментальных точек, 4
сл у ж ит	по дтвер жден ием
формулы (10.18).
ДО

о Опыты Г. И. Покровского
li. С. Федорова и И. Г. Купцова [95]
Опыты были проведены методом центробежного моделирования
с песком и глиной в сухом и влажном состоянии. Применявшаяся
деревянная модель трубы имела наружный диаметр 5,2 см, длину
10 см и массу 0,161 кг. Это соответствовало в принятом масштабе
моделирования бетонной трубе длиной 3 м, внутренним диаметром
1,25 м с толщиной стенок 0,15 м.
Модели траншей при переходе к натуре имели следующие раз¬
меры:
Траншея нормальной^ширины: глубина 3,9 м, ширина 2,1 м
» увеличенной" »	»	4,5 »	»	2,7	»
По окружности трубы были установлены аэростатические динамо¬
метры для измерения нормальных давлений и приборы для изме¬
рения касательной составляющей давления. Модель трубы укла¬
дывали на подсыпку с таким расчетом, чтобы над трубой оставалась
засыпка, высота которой соответствовала в натуре 2,4 м. Засыпан¬
ную грунтом модель трубы подвергали действию центробежной
силы в течение 25 мин, что соответствовало в масштабе времени
периоду 15,6 дня.
В результате опытов авторы пришли к следующим выводам.
1. Наибольшее нормальное давление наблюдается в верхней
точке трубы; иногда оно на 20—30% превышает давление в нижней
точке. Наименьшее деление наблюдается на концах горизонталь¬
ного диаметра (рис. 164).
2. Наибольшее касательное давление всегда наблюдается па
концах горизонтального диаметра, постепенно убывая до нуля к
концам вертикального. Касательные давления направлены снизу
вверх и для нижней, и для верхней половины трубы.
3. Наибольший угол отклонения давления от нормали наблю¬
дается на концах горизонтального диаметра, где он приближается
к углу внутреннего трения грунта. Влияние степени шероховато¬
сти поверхности трубы незначительно.
ТАБЛИЦА 2G. НОРМАЛЬНЫЕ
И КАСАТЕЛЬНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ
ДАВЛЕНИЙ НА ТУННЕЛЬНУЮ ОБДЕЛКУ
№ точки на
рис. 1G4
Грунт Метро-
строя, кПа
Песок, кПа
о
т
С
т
1
99
0
26
0
2, 2'
90
11
23
13
3, 3'
72
17
17
15
4, 4'
83
11
32
11
5
13
—
—
—
PMC. 1W

*1. Трамбование пазух как для песка, так и для глины несколь
ко увеличивает боковое давление на трубу. При плохом трамбова*
нни получаются значительные отступления давлений в отдельных
точках от их средних значений.
Аналогичные опыты были проведены с моделями тюбинга тон.
неля метро диаметрами в натуре 2, 4 и 6 м, уложенными на глуби¬
не 18 м, причем под моделями находился слой песка 6 м.
Грунт, уложенный в каретку центрифуги, уплотняли вращенн.
ем машины в течение 30 мин. После установки модели тюбинга про¬
изводили центрифугирование еще в течение 25 мин. Средние зна¬
чения нормальных и касательных давлений для пяти точек по ок¬
ружности, показанных на рис. 164, приведены в табл. 26.
3.	Опыты Азербайджанского
института сооружений (АзИС)
Крупные экспериментальные работы были проведены на специ¬
альном опытном участке и затем в производственных условиях1 на
трассе второго Бакинского водопровода. Давления траншейной за¬
сыпки на поверхность водовода размером 1,89 X 2,78 м и реактив¬
ные давления со стороны основания измеряли электроакустиче¬
ским методом.
Эксперименты были проведены на опытном участке и в четырех
различных пунктах трассы водовода, имеющей длину около
180 км. Глубина траншеи во всех случаях была равна 6 м при ши¬
рине понизу 3 ми поверху 9м. Таким образом, толщина слоя засып¬
ки над трубой составляла около 3 м. Большая
часть траншеи проходила в суглинках и глинах.
На трассе определяли не только начальное
давление засыпки на водовод, но и наблюдали
за последующими изменениями давления в тече¬
ние семи месяцев.
Типичные эпюры распределения полных,
нормальных и касательных давлений по пери¬
метру поперечного сечения трубы, полученные
экспериментально, показаны на рис. 165.
Полная вертикальная нагрузка на сооруже¬
ние составляла при уплотненных пазухах 1118
1,69 веса столба грунта, лежащего над соору¬
жением, а при неуплотненных — 1,65—2,8 веса
того же столба грунта. При этом вертикальные
проекции нормальных и касательных состав¬
ляющих давления от общей вертикальной на
грузки на сооружение составляют соответствен
1 Дацко Н. Ф. Давление земли на TPy6onP[!??JJ!
больших сечений. Баку, Изд. Азерб. ин-та соору
ний, 1939.
242
I

но' при уплотненных пазухах 73—52 и 27—48%; при неуплот¬
ненных пазухах 57—46 и 43—54%. Отношение давления на'уров¬
не горизонтального диаметра к давлению в шелыге составляет при
уплотненных пазухах не менее 0,27, а при неуплотненных колеб¬
лется в пределах 0,24—0,2. Касательные силы во всех случаях на¬
правлены вниз и могут быть приняты, кроме верхней части, про¬
порциональными нормальному давлению в данной точке, причем
коэффициент пропорциональности равен 0,52—0,67 f для уплотнен¬
ных пазух и 0,9 / для неуплотненных в начальный момент и не
менее среднего значения коэффициента среза в последующем.
В шелыге касательные силы равны нулю и возрастают на протя¬
жении каждой половины верхней части до своего предельного зна¬
чения.
Сопоставление опытных и теоретических значений полных вер¬
тикальных нагрузок подтверждает применимость формулы (10.18)
с поправочным множителем, меньшим единицы.
4. Опыты П. М. Зелевича
Эти опыты были проведены с прямоугольными железобетонными
трубами 3 X 3,1 и 2 X 3,1 м, уложенными под насыпями высотой
соответственно 17,53 и 11,53 м [52]. Насыпи отсыпали из суглинка
с р = 2 т/м3; углом внутреннего трения ср = 11° 33' и удельным
сцеплением с = 107 ...124 кПа. Под фундаментами труб залегали
влажные суглинки с включениями гальки, гравия и песка (р =
= 1,9 т/м3, ср = 10° и с = 36 кПа). В качестве засыпки около
мессдоз использован мелкий песок толщиной слоя 0,5—1,5 м.
Замеры показали, что верти¬
кальное давление на верхние
плиты при всех высотах засып¬
ки почти в 2 раза превышало
вес толщи грунта над трубой
(рис. 166).
Горизонтальное давление на
стенки труб равно вертикально¬
му, умноженному на коэффи¬
циент бокового давления грун¬
та, который для суглинков на¬
ходился в пределах 0,42—0,58,
а для песчаной засыпки был ра¬
вен 0,215. При этом ординаты
эпюр горизонтальных давлений
уменьшались книзу.
Установлено также, что вер¬
тикальное и горизонтальное дав¬
ления суглинков возрастают и
по окончании засыпки.	рис.	юб
700
600
«о
tx
«ч
i"
illll
•
•
3w
-
•
V
<
2m
8 10 12 14 16 18
H, v
243

5. Опыты А. Л. брика
Экспериментальные работы были проведены с железобет
ми трубами внутренним диаметром 1,25 м, уложенным на *°ННЬ1‘
менты с углами охвата 1 Юн 60°, или на плоскую подошву шипУ НД?‘
равной наружному диаметру и 0,8 от его значения [10]. Под фуН°Й’
ментами и под плоскими подошвами была сделана щебеночная
готовка.	Лод*
Некоторые трубы имели круглую форму и были уложены на по
готовку с углом охвата 90°.	д’
С помощью мессдоз были измерены нормальные и касательные
составляющие давления засыпки по контуру труб. Было уста¬
новлено, что нормальное давление в верхней точке трубы возрас¬
тает с увеличением жесткости опирания. Так, при наибольшей вы¬
соте насыпи над трубой (6,5 м) это давление для круглой трубы
составляло 154 кПа, для трубы с плоской подошвой — 175 кПа и
для трубы на фундаменте — 197 кПа.
Боковое давление на концах горизонтального диаметра состав¬
ляло соответственно 50, 45 и 32 кПа.
Касательные составляющие давлений, направленные вниз, до¬
стигают своего наибольшего значения около середины верхних
квадрантов, где они равны нормальным составляющим, умноженным
РИС. 167

коэффициент трения между засыпкой и поверхностью трубы
который оказался около 0 5. Типичные эпюры давлений &
мСНЫб-на”Те)НЫХ Т) П°Ка3аНЫ "а РНС- 167 («-«а фунда-
По подсчетам А. Л. Брика, касательные составляющие давле-
ний увеличивают наибольшие изгибающие моменты, вызванные
нормальными составляющими, до 40°.
6. Опыты В. Н. Денисова
Под руководством проф. С. С. Давыдова замерены давления
грунта на обделке сборных коллекторных железобетонных тунне¬
лей диаметром от 2 до 4 м, уложенных в песчаные грунты щи¬
товым способом в разных районах Москвы на глубине от 4,4 до 15 м
[41]. Было установлено, что средняя нагрузка на обделку большей
частью намного меньше веса столба грунта до поверхности и что
нагрузки сильно зависят от диаметра выработки. Так, давление на
туннели глубиной 2 м составляет 13—15 кПа, а на туннели глу¬
биной 4 м доходит до 61—69 кПа.
Нагрузка обычно возрастает до максимальной в течение первых
3 суток, а затем в течение 20—40 сут. происходит перераспре¬
деление давления, сопровождающееся ростом нагрузки на одних
участках и снижением ее на других, до стабилизации давления.
Эпюры давлений по контуру туннеля имеют самое разнообраз¬
ное очертание с несколькими максимумами и минимумами в различ¬
ных точках сечения выработки, что объясняется шарнирной кон¬
струкцией блочного кольца обделки, неоднородностью грунта и
другими случайными причинами. Неравномерность давлений ха¬
рактеризуется коэффициентом 0,4—0,8, который с течением време¬
ни снижается.
В результате проведения испытаний авторы рекомендуют при¬
нимать для расчета эллиптическую эпюру давлений с наибольшей
ординатой, равной расчетной нагрузке по теории К. В. Руппенейта
или по формуле М. М. Протодьяконова, и с наименьшей ординатой,
равной нулю. Направление большей оси эллипса нельзя считать
вертикальным.
7. Опыты С. И. Мальгинова
Опыты проведены в лабораторных и производственных услови¬
ях с железобетонными туннелями прямоугольного поперечного се¬
чения, уложенными открытым способом в глинистый грунт
на глубину 0,9—1,6 м от поверхности1. Засыпка имела плотность
Р = 1,6 т/м3, угол внутреннего трения <р = 26° и удельное сцепле¬
ние с от 0 до 15 кПа.
\ Мальгинов С. И. Особенности статической работы прямоугольных тон¬
нелей о глинистых грунтах. В сб.: трудов Уральского Промстройннипроекта,
*>29, Свердловск, 1970.
245

к 17 а
Для лабораторных исследований *
ли применены замкнутые рамные г ы‘
размерами 50 X 60 и 70 х 70 см и г Ки
км со свободно опертым пеоекпи,*
размером 70 X 70 см.	рекРытнем
В натурных условиях измерены
лени я засыпки на туннель размен
2 X 2,2 м, возведенный в траншее
Для измерения давления засыпки
были применены электрогндравлически
мессдозы, установленные заподлицо I
наружной поверхностью туннеля.
Опыты показали, что прогиб пере¬
крытия вызывает образование над тун*,
нелем разгружающего свода в засыпке
При этом происходит концентрация дав¬
лении на участках ригеля, примыкаю¬
щих к углам, и снижение давления в
средней части пролета. Отношение мак¬
симального давления к минимальному
находилось в пределах 1,3—2, При
свободном опиранин плит на стенки
разгружающий свод выходил за пределы конструкции, а распре¬
деление давления по перекрытию более равномерное.
Средние значения вертикального давления на перекрытие со-
авили 70—75% веса налегающей толщи засыпки и пригрузки на
ее поверхности. Боковое давление во всех опытах составляло
0,2—0,35 значения вертикального давления на перекрытие. При
этом боковое давление возрастало с глубиной по линейному закону
до половины высоты стенки, а затем уменьшалось в ее нижней
части.
Рыхлая засыпка производила значительно меньшее боковое
давление, которое составляло всего 0,08—0,18 вертикального.
С развитием пластических деформаций в слабых грунтах ос¬
нования эпюра реакций приобретала параболическую форму.
В плотных грунтах наблюдалась резкая концентрация давлении
под стенками и разгрузка пролета днища. Установлено, что нагруз¬
ки росли в основном в первые дни после окончания засыпки и че¬
рез 20—25 дн. приостанавливались.
Типичные эпюры активных давлений засыпки и реактивных дав¬
лений со стороны основания на туннель показаны на рис. 168.
РИС. 168
8.	Опыты П. В. Дергачева
Эти опыты были проведены с железобетонными трубами вн>т
ренним диаметром 1,5 м, уложенными под 18—22-метровым ело
намытых шламовое плотностью скелета 1,48—1,65 т/м, Уг
внутреннего трения 28—39' и влажностью 15—27%.
246

Основанием труб служили плотные гравелистые пески.
Было установлено, что вертикальное давление на трубы доходи-
>10 до 1,5-кратного значения уА, а на уровне горизонтального диа¬
метра составляло 0,5—0,8 этого значения.
Касательные составляющие не измерялись.
9. Опыты С. О. Оспанова и Г. М. Сондюкова
Эти опыты были проведены со стальными трубами диаметром
1000 мм с толщиной стенки 12 мм, уложенными в траншею при вы¬
соте слоя суглинистой засыпки над трубой до 4,2 м. Было установ¬
лено, что способ опирания трубы влияет на значение вертикаль¬
ного давления, которое во всех случаях оказалось меньше уА. Бо¬
ковое давление составляло 0,4—0,6 вертикального.
10. Опыты Г. Р. Розенвассера1
Участок туннеля длиной 36 м был построен из сборных желе
зобетонных целыюзамкнутых сводчатых блоков высотой в свету
2,3 м, шириной 2 м, длиной 1 м, толщиной стенок 0,15 м. Туннель
был уложен на небольшой глубине от поверхности земли в суг¬
линистый грунт. Плотность скелета грунта колебалась по 1,3 до
1,6 т/м3 при влажности около 25%.
Сооружение подвергалось действию подвижной нагрузки от
трайлера с давлением на каждую из двух осей задней тележки
200 кН. Эта нагрузка располагалась различным образом по отно¬
шению к сооружению.
Наибольший интерес представляли измерения реактивных кон¬
тактных давлений при односторонних воздействиях активной на¬
грузки на сооружение. Было установлено, что соотношение реак¬
тивных и активных давлений в симметрично расположенных по от¬
ношению к вертикальной плоскости точках находится в пределах
от 25 до 70% в зависимости от плотности засыпки и что контактные
условия лучше всего описываются местно-деформнруемой расчет¬
ной моделью основания при коэффициенте постели, связанном
с плотностью засыпки экспоненциальной зависимостью,
Установлен также весьма интересный факт, что предельное
состояние железобетонной конструкции по прочности наступает
раньше, чем переход окружающей грунтовой среды в состояние
предельного равновесия в результате перемещений сооружения.
Крупные экспериментальные исследования нагрузок на тунне¬
ли мелкого заложения от воздействия горных выработок проведе¬
ны Г. Р. Розенвассером совместно с С. Н. Клепиковым и И. С. Ду-
бянским.
зен-ассеР	Экспериментальные	исследования	взаимодействия
нструкцин проходных коммуникационных туннелей и грунта в условиях
1968,U1(jJH 1 пР°кладкн* Известия вузов. — «Строительство и архитектура»,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алипов В. В. Давление грунтового заполнителя в железобетон»
стых конструкциях.— «Основания, фундаменты и механика грунтов**^.*
2. Безухов Н. И. Основы теории упругости, пластичности и
М., «Высшая школа», 1961.	п°лэучест».
3. Бсрсзанцев В. Г. Осесимметричная задача предельного равновеп.,,
пучсй среды. М., Гостехнздат, 1952.	я СЬ|-
4. Бсрезанцев В. Г. Расчет прочности песчаных оснований coonv*ou, г
Л., Госстройиздат, 1960.	РУженнй,
5. Бернштейн М. С. Статика сыпучей среды. Справочник проектировщик
промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчетно-теове-
тияескнй, кн. 2. М., Стройиздат, 1973.	р	‘
6. Бернштейн М. С., Иммерман А. Г. О статических свойствах несвязного
сыпучего тела в предельном равновесии. Научно-исследовательский институт
по строительству. — В кн.: Исследования. Массивные и стержневые системы
М., Госстрой издат, 1952.
*7. Бескин М. Г. Давление грунта на подпорные стенки при наличии вре¬
менной нагрузки на поверхности. — В кн.: Исследования по теории сооруже-
ннГу вып. VI. М., Госстройнздат, 1954.
* 8. Бсспрозванная И. М. Расчет подпорных стен с учетом их жесткости,
перемещений н деформации основания. — «Гидротехническое строительство»*
1967. Хя L
** 9. Бобриков Б. В. Активное давление сыпучего тела на подпорные стенки
ограниченной длины. Труды МИИТ, вып. 77.— «Мосты и строительные конст¬
рукции». М., Трансжелдориздат, 1952.
10. Брик А. Л. Исследование воздействия грунтовой среды на звенья круг¬
лых труб. — В кн.: Труды НИИ мостов ЛИИЖТ нм. В. И. Образцова,
вып. 243. М., «Транспорт», 1965.
v1l. Бугаев В. Т. К учету влияния процесса засыпки грунта за жестко»
подпорной стенкой на величину распределения бокового давления. Одесски»
ин-т инженеров морского флота. Морские порты. Научные труды, вып. 5. М..
«Транспорт», 1972.
^12. Бугров К. О. О давлении несвязного грунта на жесткую стенку с уче¬
том ее перемещений. — «Основания, фундаменты и механика грунтов», 1972,
Хч 5.
''ЬЗ. Будин А. Я. Тонкие подпорные стенки. JT., Стройиздат, 1974.
14. Бурмистров М. А. Давление грунта по подошве и на стенки камеры
шлюзов. — В кн.: Труды Гидропроекта, Хя 5. М., «Энергоиздат», 1961.
15. Буиько 3. Н. Об определении давления засыпки на крутые подпорные
стевки. АН СССР «Инженерный сборник», т. 23, 1956.
>1*16. Быковский В. Н. Расчет давления сыпучего тела на ограждения с уче^
том их подвижности. Научные доклады Высшей школы. — «Лесоинженсрн
дело», 1958, № 1.	ш
17. Бялер И. Я. К вопросу о расчете несущих конструкций многопролет
станций метрополитена. Изд. АН СССР, ОТН, 1954, № 7.
*18. Варгии М. И. Исследование зависимости давления водонасыщенi ^
грунта от смещения подпорной стенки. — «Гидротехническое строитель
196)8. Хя 12.	тгпги	Сборник
v 19. Ветров Ю. А. Коэффициент трения стали по грунтам. Km-*
научных трудов Киев. Гос. изд-во техн. литературы Украины 1951.
^20. Вялов С. С. Вопросы теории деформируемости связных грУ
«Основания, фундаменты и механика грунтов», 1966, № 3.	методу
21 Гвоздев А. А. Расчет несущей способности конструкции п
предельного равновесия. М., Стройиздат, 1949.	Гтооитель‘
22. Гениев Г. А. Об одном варианте теории сыпучей среды. 4 к
мая ч<еданика н расчет сооружений», 1965, Хя 6.
248

^ 23. Гениев Г. А. К вопросу обобщения условия предельного равновесия
сыпучей среды.— «Основания, фундаменты и механика грунтов», 1968, ЛЬ 2.
у 24. Гениев Г. А., Эстрин М. И. Динамика пластической и сыпучей сред.
М., Стройиздат, 1972.
25. Герсеванов Н. М. Собрание сочинений, т. I и И. М., Стройвоеимориз-
дат. 1948.
26. Герсеванов Н. М., Польшнн Д. Е. Теоретические основы механики
грунтов н их практическое применение. М., Стройиздат, 1948.
27. Глушков Г. И. Определение горизонтальных напряжений в грунте.—
«Гидротехническое строительство», 1954, № 3.
4/28. Глушков Г, И. Статика и динамика сооружений, заглубленных в грунт.
М., Стройиздат, 1967.
V29. Голушкевич С. С. Плоская задача теории предельного равновесия сы¬
пучей среды. М., Гостехиздат, 1948.
30. Гольдштейн М. Н. Внезапное разжижение песка. Днепропетровский
институт инженеров железнодорожного транспорта «Вопросы геотехники»,
сб. ЛЬ 1. М., Госстройиздат, 1953.
^31. Гольдштейн М. Н. Механические свойства грунтов. М., Строннз-
дат, №73.
>*32* Гольцман В. X. Боковое давление обратных грунтовых засыпок.—
«Гидротехническое строительство», 1967, ЛЬ 8.
v 33. Гончаров Ю. М. Расчет тонких стенок с учетом перераспределения
активного давления грунта по высоте стенки. — «Основания, фундаменты и ме¬
ханика грунтов», 1962, ЛЬ 5.
34. Горбунов-Посадов М. И. Расчет устойчивости песчаного основания
под жестким штампом в условиях смешанной задачи. — «Основания, фунда¬
менты и механика грунтов», 1961, № 6.
35. Горбунов-Посадов М. И. Устойчивость фундаментов на песчаном ос¬
новании. М., Госстройиздат, 1962.
36. Горбунов-Посадов М. И. и Кречмер В. В. Графики для расчета устой¬
чивости фундаментов. М., Госстройиздат, 1951.
37. Григорьян С. С. Об осесимметричных движениях сыпучей среды.
ПММ. т. 21, вып. 2. Изд. АН СССР, 1957.
38. Григорьян С. С. Об основных представлениях динамики грунтов. ПММ.
т. XXIV, вып. 6, 1960.
39. Гуревич В. Б. Речные портовые гидротехнические сооружения М..
«Транспорт», 1969.
40. Давыдов С. С. Расчет и проектирование подземных конструкций. М.
Стройиздат. 1950.
41. Денисов В. Н. Результаты замеров давления грунта на обделку кол¬
лекторных тоннелей Москвы. — «Основания, фундаменты и механика грунтов».
1963. ЛЬ 4.
42. Дергачев П. В. Об устойчивости ячеистых конструкций. — «Основания,
фундаменты и механика грунтов», 1959, ЛЬ 5.
\/43. Дерягин Б. В. Что такое трение (очерки о природе трения). Изд.
ЛИ СССР. 1952.
/44. Дуброва Г. А. Методы определения распорного давления грунта при
расчете гидротехнических сооружении. М., Машстройнздат. 1947.
*45. Дуброва Г. А. Взаимодействие грунта н сооружения. М., «Речной
транспорт», 1963.
^46. Евдокимов П. Д. Устойчивость гидротехнических сооружений н проч¬
ность их оснований. М., «Энергия*. 1966.
47. Емельянов Jl. М. К вопросу об устойчивости глубоких опор, имеющих
вертикальные плоскости симметрии. Научные записки Московского гидроме¬
лиоративного нн-та, т. 15, М., 1948.
48. Желанкин Г. К. К расчету заанкерованных шпунтовых стенок по пре¬
дельным состояниям. — «Речной транспорт», 1965, № 6.
49. Жемочкин Б. Н. Расчет упругой заделки стержня (изгиб стержня
в Упругом полупространстве). М.. Стройиздат, 1948.
249

50 Жемочким Б. И. Опыты с моделями свай, работающих на г
ную нагрузку в лабораторных условиях. — В кн.: Исследованнп°?И30Пта.и.
сооружений, вып. IV. М., Стройнздат, 1949.	По	теорцн
§1. Жсмочкмн Б. Н. О расчете ячеистых перемычек. — В кн • и
ння по теории сооружений, вып. V. М.. Госстройнздат, 1951.	”	СЛеДова.
52. Зелевнч П. М. Давление грунтов насыпи на прямоугольные т
«Транспортное строительство», 1964, JYs 1.	“РУбы.^.
53. Зеленский В. С. Определение давления сыпучей среды на
стенки с ребристой гранью. — «Основания, фундаменты и мехапикз г?П0Риые
1969. .V? 6.	гРУ»тов»,
54. Зснков P. JI. Механика насыпных грунтов. М. «Машки
ни с. . 1964.	"«острое.
>55. Игнатов В. И., Быков Е. Н., Шулев А. С. О распределении дат
засыпки на подпорную стоику. — «Основания, фундаменты и механика "гвЖ,Я
тов», 1973, ,V« 5.
56. Ильин А. А. Исследование давления грунта на стенки камер шчт
«Речной транспорт», 1961, JVJb 6.	"	308-
57. Иоселевнч В. А. О законах деформирования нескальных грунтов —
«Основания, фундаменты и механика грунтов», 1967, N° 4.
58. Каган М. Е. О давлении на подпорную сгеику при нелинейном его
распределении. — «Строительная механика и расчет сооружений», 1960, № 6
59. Каган М. Е., Перельман М. И. Давление зерна на стены зерноскла¬
дов.— «Мукомольно-элеваторная промышленность», 1959, № 1.
^60. Кандауров И. И. Механика зернистых сред и ее применение в строи¬
тельстве. М., Стройнздат, 1966.
61. Кананян А. С. Экспериментальное исследование разрушения песчаного
основания вертикальной нагрузкой. Труды Научно-исследовательского ннстн-
тута оснований и фундаментов. Сб. № 24 «Механика грунтов». М., Госстрой¬
нздат. 1954.
62. Киселев В. А. Строительная механика. М., Госстройнздат, 1960.
63. Клейн Г. К. Строительная механика сыпучих тел. М., Госстройиз-
дат. 1956.
64. Кленн Г. К. Давление грунта на подземные сооружения, симметрич¬
ные относительно вертикальной оси. Труды НИИОСП. Сборник № 41. М.,
Госстройнздат, 1959.
^ 65. Кленн Г. К. Давление на подпорную стену в зависимости от ее пере¬
мещений н жесткости основания. — «Основания, фундаменты и механика
грунтов». 1963, № 4.
^66. Клейн Г. К. Расчет подпорных стен. М., «Высшая школа», 1964.
67. Клейн Г. К. Расчет шпунтовых ограждений в упругой н предельной
стадиях сопротивления основания. — «Основания, фундаменты и механика
грунтов*. 1965. № 6.
68. Клейн Г. К. Расчет подземных трубопроводов. М., Стройнздат, 1969.
69. Клепнков С. Нм Розенвассер Г. Р., Дубянский И. С. Исследование
нагрузок на коммуникационные тоннели мелкого заложения от воздействия
горных разработок. — «Основания, фундаменты и механика грунтов*,
1974,. № 3.
70. Костюков В. Д. Определение бокового давления на подпорные стенки
с учетом разброса значений физико-механических характеристик засыпки.
«Гидротехническое строительство». 1967, № 9.
71. Корбашев В. Ф. Давление сыпучей среды на криволинейные в плане
подпорные стены гидротехнических сооружении. — «Гидротехническое стро •
тельство», 1968, № 2.	д
72. Костылева Н. В. Определение сопротивления сдвигу и KPHT,,,jej;D0B
пористости песка на стабилометре. Днепропетровский институт инжен р ^
железнодорожного транспорта. — «Вопросы геотехники», сб. № I, М.. Госс р
иэдат. 1952.	ук.
73 Кречмер В. В. Метод расчета шпунтовых стенок как УиРУГуД.^д-цова-
нйй с учетом сжимаемости грунта в области заделки. — Труды НИИ
ний и фундаментов, № 39. — «Механика грунтов», 1956.

^74. Лазебник Г. Е., Смирнов А. А., Симаков В. И. Экспериментальное оп-
деление коэффициента бокового давления и коэффициента Пуассона несвяз¬
ных грунтов. — «Основания, фундаменты и механика грунтов», *1967, № 4.
‘ ' 75. Лазебник Г. Е., Чернышева Е. И. Исследование распределения давле¬
ния грунта на модели глубоких одноанкерных подпорных стенок. — «Основа¬
ния, фундаменты и механика грунтов», 1966, № 2.
76. Лазебник Г. Е., Чернышева Е. И. Влияние способов производства ра¬
бот на величину усилии в подпорных тонких одноанкерных стенках.— еГндро-
тсхническое строительство», 1967,	5.
77. Лихачев В. П., Лузан С. В, и др. Методы расчета устойчивости и проч¬
ности гидротехнических сооружений. Под ред. М. М. Гришина. М., Строй¬
издат, I960.
78. Ломнзе Б. М. Нахождение опасной поверхности скольжения при рас¬
чете устойчивости откосов. — «Гидротехническое строительство», 1954, № 2.
79. Лубенов Р. В., Яковлев П. И. Исследование давления грунта с рав¬
номерно распределенной нагрузкой на неподвижную стенку. ММФ СССР,
отдел учебных заведений. Научные труды. «Гидротехника», вып. 2. М., «Мор¬
ской транспорт», 1962.
г180. Лубенов Р. В., Яковлев П. П. Влияние поступательного перемещения
вертикальной стенки на величину распорного давления грунта и на его напря¬
женное состояние. ММФ СССР, отдел учебных заведений. Научные труды —
«Гидротехника», вып. 3. М., «Транспорт», 1964.
81. Львин Я. Б. Геометрический вывод теоремы Ребхана. — В кн.: Иссле¬
дования по теории сооружений, вып. 7. М., Госстройиздат, 1957.
82. Малышев М. В. О влиянии среднего главного напряжения и о поверх¬
ностях скольжения. — «Основания, фундаменты и механика грунтов», 1963.
№ 1.
83. Малышев М. В. Распределение напряжений и деформаций в нелнней-
но-деформируемом основании, нагруженном сосредоточенной силой. — «Осно¬
вания, фундаменты и механика грунтов», 1963, Л» 3.
V 84. Малышев М. В. Об использовании для сыпучих грунтов условия проч¬
ности Губера — Мизеса — Боткина. — «Основания, фундаменты и механика
грунтов», 1969, № 5.
85. Маслов Н. Н. Условия устойчивости склонов и откосов в гидроэнер¬
гетическом строительстве. М., Госэнергоиздат, 1955.
86. Марголин В. М., Дьяконов В. П. Устойчивость вертикальных стенок
траншей под гидростатическим напором. — «Основания, фундаменты и меха¬
ника грунтов», 1973, № 1.
87. Мелешков Р. Г. Экспериментальное определение давления грунтов на
некоторые виды набережных стенок. ГИУ ВМФ СССР. Сборник трудов № 3.
Военнздат, 1960.
88. Муллер Р. А. К статистической теории распределения напряжении
в зернистом грунтовом основании.— «Основания, фундаменты и механика грун¬
тов», 1962, № 4.
89. Мухин И. С., Срагович А. И. Построение предельных контуров равно¬
устойчивых откосов. Изд. АН СССР, 1954.
90. Напетваридзе Ш. Г. Сейсмостойкость гидротехнических сооружений.
М., Госстройиздат, 1959.
91. Ничилоровнч А. А., Хрусталев Н. Я. О расчете устойчивости плотин
на нескальных основаниях. — «Гидротехническое строительство», 1949, № 6.
92. Петров Б. А. О давлении цемента на стснкн и днище силосов. Гип-
роцемент, «Труды», вып. XIV. AV., Промстройиздат, 1951.
93. Петрова-Ясюнас J1. П. Методика расчета оползневых склонов по пре¬
дельным состояниям. — «Транспортное строительство», 1962, Л» 12.
94. Платонов Н. П., Ковтун А. П. Давление зерна на стенки силосов
заеваторов. — «Мукомольно-элеваторная промышленность», 1959, ,\*9 12.
95. Покровский Г. И., Федоров И. С. Центробежное моделирование для
Решения инженерных задач. М., Госстройиздат, 1953.
т
I

96. Прокофьев И. П. К вопросу о давлении грунта на жестку1
вращающуюся вокруг верхнего конца. Труды МИИТ, вып. 69 М т„ СТе,,ку
дорнздат, 1946.	*	Ра,,С)кел'
97. Прокофьев И. П. Давление сыпучего тела и расчет подпопн.^
М.. Стройиздат, 1947.	Ст°иок.
96.	Протодьяконов М. М. Вопросы разрушения и давления todhuv
С6, статен. М., Углетехнздат, 1955.	н	4 поРод.
99. Рабинович И. М. Курс строительной механики стержневму
ч II АТ. Госстройнздат, 1954.	систем,
100. Разоренов И. Ф. Вопросы испытаний и расчета одиночных фунла
тов на горизонтальную нагрузку. — «Железнодорожное
1952. .N*5 12.
101 Рашидов Т. Р. Динамическая теория сейсмостойкости сложных
сто* подземных сооружений. Ташкент, «Фан», 1973.	'	сн*
-0*102. Раюк В. Ф. Расчет давления грунта на подпорные стенки t Рецнг •
транспорт», 1965, № 5.	но"
103. Ризаев Ш. Р. Теория и методы расчета устойчивости откосов. Таш.
кент, «Фан», 1969.
104. Руппенант К. В. Некоторые вопросы механики горных пород. д\
Углетехнздат, 1954.
105. Сергеев И. Т., Савченко Ф. М. Экспериментальные исследования дав¬
ления грунта на поверхность анкерной плиты. — «Основания, фундаменты и
механика грунтов», 1972, № 5.
106. Симвулиди И. А. Расчет инженерных конструкций на упругом осно¬
вании. М., «Высшая школа», 1973.
107. Синельников В. В. Аналитический вывод формул давления сыпучего
тела на стенку. Труды МИИТ, вып. 69. М., Трансжелдориздат, 1946.
4 108. Синельников В. В. Давление сыпучих тел и расчет подпорных стен,
гл 7. — В кн.: А. В. Даркова и В. И. Кузнецова «Строительная механика». М.,
«Высшая школа». 1962.
109. Синельников В. В. Экспериментальное изучение образования линий
скольжения в сыпучей среде. Труды МИИТ, вып. 131. М., Трансжелдорнз*
дат. 1961.
110. Скуратов В. С. О методе расчета портовых шпунтовых стенок.
* Речной транспорт», 1953, № 2.
^111. Снитко Н. К. Определение действительного бокового давления грун¬
та по уравнению совместности перемещений сдвига. — «Основания, фунда¬
менты и механика грунтов», 1963, № I.
v 112. Снитко Н. К. Статическое и динамическое давление грунтов и расчет
подпорных стенок. Л., Стройиздат, 1970.
ИЗ. Соболевский Ю. А. Устойчивость откосов мелиоративных каналов.
Минск. «Урожай», 1965.
114. Соболевский Ю. А. Криволинейные очертания однородных откосов.
М.. «Высшая школа», 1969.
115. Соколовский В. В. Статика сыпучей среды. Изд. АН СССР, 19***
также Фнзматнздат, 1960).
116. Соловых С. Ф. О связи напряженного состояния сыпучего тел
с формой движения его в силосе. Известия вузов. — «Строительство и архи¬
тектура >, 1962, № 5.	ж
^17. Строганов А. С. Экспериментальные исследования условии пласт х
ского течения и некоторых задач теории предельного равновесия сыпу
сред.— Инженерный журнал «Механика твердого тела». М., «Наука», iyb.qc7
118. Строительная механика в СССР. 1917—1957. М., Стройиздат,
Строительная механика в СССР. 1917—1967. М., Стройиздат, 1969. -и1Сция
' 119^ Тарасов Б. J1. Экспериментальное исследование активного Д‘ * ха.
глинистого грунта на подпорную стенку. — «Основания, фундаменты и
ипка грунтов», 1968, .N? 2,	Вопр0'
120.	Теплиикий Е. И. Давление породы на подземные сооружения- *
сы расчета и методы возведения подземных сооружений». Сборник ЛЮ
оснований и подземных сооружении. М., Госстройиздат, 1959.
252

121.	Терцаги К. Теория механики грунтов. М., Госстройиздат, 1961.
'Л22. Титова В. И. Определение давления сыпучего тела на круговую в пла¬
не стену. — «Гидротехническое строительство, 1951, .N*2 3.
123. Троицкая М. Н. Зависимость между силой и деформацией как основа
расчета прочности грунтов в дорожных конструкциях. Гушосдор МВД СССР.
Дорнии, вып. VII. «Исследование деформаций полотна автодорог». М., Дориз-
дат, 1947.
124. Федоров И. В. Методы расчета устойчивости склонов и откосов. М.,
Госстройиздат, 1962.
*125. Фильрозе Р. М. Экспериментальные исследования давления грунта
на подпорную стенку. — «Гидротехническое сторительство». 1967,	3.
126. Фисенко Г. JI. Устройчивость бортов угольных карьеров. М., Угле-
технздат, 1956.
127. Флорин В. Л. Основы механики грунтов. Т. I и П. М., Госстройиз¬
дат, 1959, 1961.
128. Фотиева Н. Н., Лыткин В. А. К расчету анкерных плит глубокого
заложения. — «Основания, фундаменты и механика грунтов», 1969, Ла 6.
'■/Т29. Фрид С. А. К определению суммарного давления грунта засыпки на
стены камер шлюзов. Труды Гидропроекта Лг2 I. М., «Энергия», 1964.
130. Хаимович М. И. Опытное определение давления зерна в силосах.—
«Строительная промышленность», 1944, № 5, 6.
131. Харр М. Е. Основы теоретической механики грунтов. М.» Стройнз-
дат, 1971.
132. Христофоров В. С. Расчет устойчивости грунта в основании сооруже¬
ний с учетом клина уплотнения грунта. — «Гидротехническое строительство»,
1951, № 2.
133. Цагарели 3. В. Экспериментальное исследование давления сыпучей
среды на подпорные стены с вертикальной задней гранью и горизонтальной
поверхностью засыпки. — «Основания, фундаменты и механика грунтов»,
1965, № 4.
134. Цагарели 3. В. Новые облегченные конструкции подпорных стен. М.,
Стройиздат, 1969.
135. ЦИНТИ Госкомзага СССР. Давление сыпучих материалов в силосах
и бункерах, 1969.
136. Цытович Н. А. Механика грунтов. Изд. 4. М., Стройиздат, 1963.
137. Цытович Н. А. Механика грунтов (краткий курс). М., «Высшая шко¬
ла», 1973.
138. Черкасов И. И. Механические свойства грунтовых оснований. М..
«Автотранснздат», 1958.
139. Шахунянц Г. М. Основы практического расчета свободных и поддер¬
живающих откосов. Труды МИ ИТ, вып. 71. 1948.
* 140. Шихиев Ф. М. О распределении давления грунтов по высоте подпор¬
ных стен. Одесск. ии-т инженеров морского флота. Научные труды, юбилей¬
ный выпуск. ММФ СССР, 1955.
VT41. Шихиев Ф. М. Исследование деформаций н напряженного состояния
грунтов. ММФ СССР. Отдел учебных заведений. Научные труды. — -Гидро¬
техника», вып. 2, 1962.
142. Шихиев Ф. М., Яковлев П. И. Об активном давлении грунта при сей¬
смических воздействиях. — «Прикладная механика», т. 7. 1971, <\<? 7.
^43. Яковлев П. И. Исследование работы разгружающих плит подпорных
стенок. ОУЗ ММФ. Научные труды. — «Гидротехника», вып. 3. М., «Транс¬
порт», 1964.	к
144. Яковлев П. И. Аналитическая интерпретация задачи С. С. Голушке-
нча о давлении грунта на подпорную стенку. — «Строительная механика н
расчет сооружений», 1964, № 5.
* 145. Яковлев П. И. К расчету оснований инженерных сооружений па >с-
M4UfiC^a «Строительная механика и расчет сооружений», 1965, № 6.
Жаю Яковлев П. И. Уточнение метода расчета подпорных стенок с разгру-
пл,|тамм- Одесский ии-т инженеров морского флота. Морские порты,
научные труды, вып. 4. 1970.

147. Biarez J., Orliac М., Remy C.t Thomas B. Contraintes dans un*
circulair clastique remplie dc sable. C. R. Acad. Sc. Paris, t 267 oen.ceint
.V 13, 1968.	*	berie	A,
148. Biarez J„ Legal J., Negre R., Stutz P. Le calcul de lequilibn» r
dation non profond. C. R. Acad. Sc. Paris, t. 265. Serie A, N. Y., 1967
149. Huntington W. C. Eart Pressures and Retaining Walls,'№ V 19^7
150. Kczdi A. Erddrucktcorien. Springer Verlag. Berlin—Gettinrre^r.i;j ,
berg. 1962.	e,deU
151. Lehr H. Praiectarea Si constructia batardourilor. “Hidrotehnica” icn
ЛУ 10 (рум.).	*	^
152. Negre R. Determination de la repartition des contraintes sur la na •
d’un silo de revolution dan le cas d’un materiau pulverulent non сЬагеё Г 'S*
Acad. Sc. Paris, t. 266. Serie A, № 2, 1968.	‘	*
153. Reimbert M. et A. Mur de soutenement Traite theorique et oration»
Editeur Eyroll, Paris. 1965.	‘
154. Tran Vo Nhiem. Terme de surface de la force portant limite d’une fon-
dation a charge inclinee excentrce par la methode du coin trianguiaire minimal*
Comptes rend us de l'Academie des sciences, t. 267, serie A, № 2, 1968, Paris.
155. Tschebotarioff, G. P. Foundations, Retaining and Earth structures Me.
GRAW-H1LL BOOK Company, New Yore, 1973.

я
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 	 3
Введение
§	1. Предмет и задачи строительной механики сыпучих тел ....	4
§ 2. Краткий очерк развития строительной механики сыпучих тел 6
Глава I. Механические свойства сыпучих тел
§	3.	Крупность, форма частиц, зерновой состав и однородность сы¬
пучих тел
§ 4. Пористость, влажность и объемная масса сыпучих тел ....	16
§ 5. Деформация сыпучих тел	19
§ 6. Сопротивление сыпучего тела сдвигу. Внутреннее трение и сцеп¬
ление 	26
§ 7. Угол естественного откоса, коэффициент бокового давления
и коэффициент Пуассона 	32
§ 8. Расчетные модели сыпучих тел	39
Глава II. Теория напряжений сыпучего тела
§ 9. Дифференциальные уравнения равновесия	42
§ 10. Напряжения по наклонным площадкам	46
§11. Условия прочности сыпучего тела	50
§ 12. Дифференциальные уравнения предельного напряженного состоя¬
ния сыпучего тела	56
§ 13. Графическое изображение напряженного состояния сыпучего
тела	60
Глава III. Прочность оснований сооружений
§ 14. Условия прочности оснований	64
§ 15. Решения теории предельного напряженного состояния ....	68
§ 16. Расчет прочности основания с учетом образования уплотнен¬
ного клина грунта г	72
§ 17. Экспериментальные данные	78
Глава IV. Устойчивость откосов
§ 18. Условия устойчивости откосов	83
§ 19. Решения теории предельного напряженного состояния ....	84
§ 20. Расчет откосов по методу круглоцилиндрическнх поверхно¬
стей скольжения	90
§21. Расчет откосов при замене поверхности скольжения плоскостью 95
§ 22. Данные опытов и наблюдений	98
Глава V. Давление сыпучего тела на подпорные стены
§ 23. Условия работы подпорных стен	100
§ 24. Определение активного давления сыпучего тела по методу
В. В. Соколовского	104
§ 25. Случай горизонтальной поверхности засыпки	107
§ 26. Влияние основания под засыпкой	113
§27. Пассивное давление сыпучего тела	114
§ 28. Основные результаты решения некоторых осесимметричных
задач  	П6
§ 29. Графический метод определения активного давления засыпки на
подпорные стены	117
§ 30. Распределение активного давления по высоте стены . .... 121
Глава VI. Определение давления сыпучего тела на подпорные стены
при замене поверхности скольжения плоскостью
| Основные уравнения и теоремы	123
• Графические способы определения активного давления сыпучего
5 чч На п°Дп°Рные стены	126
• ормулы для определения активного давления сыпучего тела
на подпорные стены	    J30
255

4 34. Пассивное давление сыпучего тела
4 35. Давление сыпучего тела на пологую стену	 ’	*	•
4 3«. Действие нагрузок, приложенных на поверхности сыпучего’те и!
4 37. Учет сцепления сыпучего тела
$ 3d. Давление сыпучего тела при его ломаной поверхности н на
ломаную поверхность ограждения
4 ЗУ. Дапленне грунта на подпорные стены с разгрузочными пло
щядкамн и с фундаментными плитами
4 40. Пределы применимости метода, основанного на замене поверхно¬
сти скольжения плоскостью
Глава VII. Особые случаи определения давления сыпучего тела на
подпорные стены. Данные опытов и наблюдений
4 41. Активное давление сыпучего тела на подпорные стены ограни¬
ченной длины
§ 42. Активное давление сыпучего тела на криволинейные в плане
подпорные стены ••••»»•«••••••»•••»,, в.
§ 43. Пассивное давление сыпучего тела при ограниченной длине
сооружения
4 44. Давление сыпучего тела в состоянии покоя
§ 45. Давление сыпучего тела на подпорную стену в зависимости от
се перемещений
§ 46. Данные наблюдений и опытов	  .	.	.
Глава VIII. Взаимодействие сыпучего тела с заглубленными стенами
§ 47. Незаанкерениые тонкие стенки
4 48. Массивные стены глубокого заложения
4 49. Заанкеренные тонкие стенки .1
4 50. Данные опытов	*
Глава IX. Давление сыпучего тела на днище и стенки хранилища
4 51. Постановка вопроса
§ 52. Определение давления засыпки на днище и стенки силоса . . .
4 53. Данные опытов и наблюдений
Глава X. Давление сыпучего тела на заложенное в него сооружение
4 54. Давление сыпучего тела на сооружение, заложенное на неболь¬
шой глубине от поверхности земли
§ 55. Давление сыпучего тела на сооружение, возведенное закрытым
способом на большой глубине от поверхности земли . . . .
4 56. Давление сыпучего тела на сооружения, возведенные или уло¬
женные открытым способом на большой глубине от поверхности
земли	’
4 57. Данные опытов и наблюдений
Список литературы
ГЕОРГИЯ КОНСТАНТИНОВИЧ КЛЕПН
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА СЫПУЧИХ ТЕЛ
Редеаинч литературы по строительным материалам и конструкциям
Зав редакцией И. А. Рабинович
Редакторы Т. В. Горячева, Л. В. Б о л о т и и а
Мл. редахтмр Л. Л. К о з и А
Внешнее оформление художника И. А. Ш и л я е в а
Технический редактор Г. В. К л и м у iu к и и а
корректор В. А. Быкова
Сдано в набор 1/1Х 1976 г.	Подписано к печати 25/11 1977 г.
Формат нуаанйч; 00x 90'/i« д. л.	Бумага	типографская ТА 2
le печ я, (уч. над. 16.42 л.»
Тяраж VW кх Над. J* AV1-4456 Зак. М 1169. Цена 97 хоп.
Строй#* дет
lOVi* Каляевская ул., 23а
Мос*о*скхя типография М 4 Союзполнгрпфпрома
мри Государственном комитете Совета Министров СССР
яп делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
И-41. Б. Переяслааская ул.. дом 40	*