ЗУБЧАТЫЕ
СОЕДИНИТЕЛЬНЫЕ
МУФТЫ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ИНСТИТУТ МАШИНОВЕДЕНИЯ им. А.А. БЛАГОНРАВОВА

Э. Л. АЙРАПЕТОВ, Д. Б. МИРЗАДЖАНОВ

ЗУБЧАТЫЕ
СОЕДИНИТЕЛЬНЫЕ
МУФТЫ

Ответственный редактор
доктор технических наук, профессор
А.П. ГУСЕНКОВ

е

МОСКВА
"НАУКА"
1991
УДК 621.825.52.001.2

Зубчатые соединительные муфты/Э.Л. Айрапетов,Д.Б.Мирзаджанов.-
М : Наука, 1991 -248 с. - ISBN 5-O2-OO6665-6.

В монографии приведены результаты теоретических и экспериментальных исследо-
ваний зубчатых соединительных муфт с прямо- и криволинейной формой образующей
зубьев, работающих в условиях перекоса осей соединяемых агрегатов. Изложены ре-
зультаты расчетного и экспериментального определения деформации зубьев и обода
обоймы; изучены закономерности проявления погрешностей монтажа полумуфт на за-
зорах между зубьями; теоритически и экспериментально исследовано распределение
нагрузки между зубьями муфты с учетом износа зубьев и повышенной податливости
обода обоймы; разработан метод расчета на прочность муфты по критериям изгибной
и контактной выносливости зубьев, их износостойкости и изгибной выносливости обо-
да обоймы.

Для специалистов, занимающихся расчетом и проектированием зубчатых соедини-
тельных муфт.

Табл. 12. Ил. 126. Библиогр.: 160 назв.

Gear couplings/E.L Airapetov, D.B. Mirzadganov. — Moscow: Nauka, 1991.

The monograph contains the results of theoretical and experimental investigations of
gear couplings with straight and barrel-shaped teeth subject to misalignment of the coupled
mechanisms. The results of the theoretical and experimental evaluation of teeth and cage de-
formation are presented. The typical effects of the assemblage errors on the clearance bet-
ween teeth are investigated. The load distribution on the teeth is investigated with allowan-
ce for teeth wear and enhanced compliance of the cage. The method is developed for
strength analysis of the coupling concerning the criteria of bending and contact enduranceof
teeth, wear resistance of teethand bending endurance of cage.

The book is intended for the specialists in analysis and design of gear couplings.

Рецензенты : Э.Д. Браун. К. И. Облонский

2702000000-484 $27-90II полугодие
042(021-91

ISBN 5-02-006665-6

©Издательство "Наука”, 1991

ВВЕДЕНИЕ

Зубчатые соединительные муфты делятся на три типа: прямо- и криво-
линейная форма образующей зубьев и шлицевые соединения с прямо-
бочными шлицами. Характерным условием работых этих муфт являются
погрешности взаимного расположения осей соединяемых валов — смеще-
ние и перекос, которые нарушают идеальные условия контактирования
зубьев и шлицов и Приводят к перегрузке контактирующих поверхностей и
их интенсивному износу.

Многолетний опыт использования зубчатых соединительных муфт пока-
зывает, что основным видом их эксплуатационных отказов (80-85%) явля-
ется износ контактирующих поверхностей зубьев и шлицов, обусловленный
уровнем контактных давлений на контактирующих поверхностях и особен-
ностями их относительного движения при наличии погрешностей взаимного
расположения соединяемых валов; примерно 10—15% приходится на схва-
тывание контактирующих поверхностей зубьев, обусловленное дополни-
тельным действием температурного фактора; около 5—10% приходится на
усталостный излом зубьев, валов и других элементов соединительных
муфт, что обусловлено чрезмерной перегрузкой элементов при наличии пог-
решностей взаимного расположения соединяемых валов.

Приведенные данные свидетельствуют о том, что основная причина выхо-
да из строя соединительных муфт — контактные явления, происходящие в
кинематических парах узлов (зубья,шлицы) и приводящие к необходимос-
ти в связи с повышенным износом трущихся поверхностей зубьев и шлицов
своевременно заменять всю соединительную муфту. Следовательно, в
соединительных муфтах при их стандартном исполнении нерационально ис-
пользуется материал, так как наиболее слабый элемент соединительной
муфты (зубья, шлицы) выходит из строя раньше, чем другие ее элементы
(валы, втулки, обоймы), и поэтому он лимитирует срок службы всего уз-
ла в целом.

Естественно, в таких условиях первостепенной задачей расчета и проек-
тирования зубчатых соединительных муфт является совершенствование ме-
тодов расчета нагруженности слабого элемента, т.е. зубьев и шлицов, с уче-
том реальных условий их функционирования — неизбежных погрешностей
изготовления и монтажа и упругих деформаций элементов и контактирую-
щих поверхностей. Однако этим не исчерпывается возможность повышения
долговечности соединительных муфт — на основе теоретического исследо-
вания процессов взаимодействия трущихся поверхностей зубьев и шлицов
должны быть выявлены те конструктивные и технологические мероприя-
тия, которые позволяют решить основную задачу повышения износостой-
кости контактирующих поверхностей зубьев и шлицов - максимально сни-
зить уровень контактных давлений на контактирующих поверхностях и ра-
циональным выбором их геометрии уменьшить относительное скольжение.

Из сказанного следует важный вывод о несоблюдении принципа равно-
прочное™ по контактным давлениям на поверхностях зубьев и шлицов и
изгибным напряжениям в других элементах муфт (зубья, валы, обоймы),
что в конечном счете и приводит к нерациональному использованию мате-
риала, появлению в узле слабого звена (зубья, шлицы) и снижению долго-
вечности муфты. В таких условиях актуальным является изыскание конст-
руктивных и технологических мероприятий, обеспечивающих принцип рав-
нопрочное™ элементов и соединений муфт. Важным является то обстоя-
тельство, что, повышая изгибную Податливость элементов муфт (напри-
мер, обоймы) и поэтому снижая долговечность элементов, удается благо-
приятным образом повлиять на снижение уровня контактных давлений на
поверхностях зубьев и шлицов, что, в результате, приведет к повышению
долговечности соединительной муфты в целом и к более рациональному ис-
пользованию материала.

Естественно, что такой поиск рационального конструктивного исполне-
ния элементов и соединений муфты может выполняться только на базе тща-
тельных теоретических и экспериментальных исследований процессов взаи-
модействия элементов и соединений муфт, что и требует комплексного изу-
чения проблемы расчета и проектирования зубчатых соединительных
муфт. Важным здесь является то обстоятельство, что в узле присутствует
слабый элемент — контактирующие поверхности зубьев и шлицов, который
по критерию износостойкости лимитирует долговечность соединительной
муфты в целом, что и позволяет проектировать прочие элементы муфты
(обоймы, валы) также на ограниченный, но больший исходного по крите-
рию износостойкости контактарующих поверхностей срок службы. Имен-
но это обстоятельство позволяет создавать элементы соединительных муфт
повышенной напряженности, более легкие, податливые, что обеспечит ра-
циональное использование материала, его экономию. Дополнительным эф-
фектом является то обстоятельство, что повышение податливости элемен-
тов соединительных муфт не только приводит к экономии материала, но
более благоприятно распределяет контактные давления на поверхностях
зубьев и шлицов, способствует повышению прочности слабого звена — кон-
тактирующих поверхностей зубьев и шлицов - по их износостойкости.

Таким образом, на основе сказанного усматривается следующая логичес-
кая последовательность повышения долговечное™ зубчатых соединитель-
ных муфт.

1.	Основным видом эксплуатационных отказов зубчатых соединитель-
ных муфт является повышенный износ контактирующих поверхностей
зубьев и шлицов, лимитирующий долговечность соединительной муфты в
целом и связанный с чрезмерной перегрузкой зубьев и шлицов при наличии
погрешностей изготовления и монтажа венцов муфт. Поэтому основным
резервом в повышении долговечности соединительных муфт является улуч-
шение условий контактирования зубьев и шлицов и снижение уровня кон-
тактных давлений на их поверхностях.

2.	Повышенная жесткость валов, обойм муфт приводит к утяжелению

узла, нерациональному использованию материала, необоснованному повы-
шению коэффициентов запаса по изгибной выносливости этих элементов
муфт, так как именно из-за износа контактирующих поверхностей зубьев и
шлицов приходится идта на замену всей соединительной муфты. В таких
условиях основным резервом в повышении долговечности соединительных
муфт является соблюдение принципа равнопрочное™ поверхностей зубьев
и шлицов по критерию износостойкости и элементов соединительных муфт
(валов, обойм) по критерию изгибной выносливости за счет рационально-
го распределения податливости элементов соединительных муфт с учетом
влияния, оказываемого податливостью элементов муфт на условия кон-
тактного взаимодействия зубьев и шлицов.

3.	Повышая изгибную податливость элементов соединительных муфт,
удается добиться более рационального распределения контактных давлений
на поверхностях зубьев и шлицов и снизить их максимальную величину -
это редкий случай в конструировании машин и их узлов, когда, снижая вес,
повышая податливость, удается повысить долговечность узла в целом. Поэ-
тому назначение рациональной величины податливости элементов соедини-
тельных муфт должно выполняться на основе комплексного рассмотрения
нагружения и деформирования элементов и соединений узла в целом.

Отсюда возникает следующий круг задач, требующих своего разрешения
для повышения долговечности соединительных муфт:

1)	разработка метода расчетной оценки изнашивания контактарующих
поверхностей зубьев и шлицов с учетом ограниченной точности изготовле-
ния и монтажа венцов соединительных муфт и повышенной податливости
их элементов,

2)	разработка метода расчетной оценки нагруженности контактирующих
поверхностей зубьев и шлицов с учетом ограниченной точности изготовле-
ния и монтажа венцов, повышенной податливое™ элементов и их повышен-
ного износа.

3)	выявление и реализация конструктивных и технологических меропри-
ятий по повышению долговечное™ соединительных муфт за счет рациональ-
ного распределения контактных давлений на трущихся поверхностях
зубьев и шлицов.

Из приведенного перечня задач, требующих своего разрешения, следует,
что, по существу, должны быть созданы теоретические основы расчета и
проектирование зубчатых соединительных муфт, т.е. создана строительная
механика зубчатых соединительных муфт. Отличительной особенностью рас-
сматриваемого узла является наряду с ограниченной точностью изготовления
и монтажа венцов и повышеной податливостью элементов повышенный из-
нос контактирующих зубьев и шлицов, что и требует комплексного подхо-
да к решению этой проблемы. Нужно подчеркнуть, что создание строитель-
ной механики зубчатых соединительных муфт актуально для ряда отраслей
промышленности, где эти муфты являются ответственным узлом агре-
гата, определяющим его долговечность, таких, как металлургическое обору-
дование, приводы авиационных двигателей, буровое оборудование и др.
Поэтому полученные в работе результаты могут быть распространены и на
различные приводы с зубчатыми соединительными муфтами.

Зубчатые соединительные муфты имеют существенную особенность — по-
вышенную изнашиваемость кинематических пар (зубья и шлицы), которая
требует комплексного подхода к решению проблемы. Связано это с тем,
что повышенная податливость элементов муфты проявляется на характере
передачи усилий через кинематические пары муфты, приводящем к их изно-
су и изменению напряженно-деформированного состояния элементов сое-
динительных пар.

Рассмотрим три проблемы строительной механики упругих систем при-
менительно к зубчатым соединительным муфтам.

Проблема внешних сил должна изучаться с непосредственной привязкой
к конкретной машине, так как внешние силы, действующие на машину или
ее элементы, в первую очередь определяются теми процессами, которые
протекают при нормальном функционировании машины. Особенностью зуб-
чатых соединительных муфт является ограниченная точность изготовления
и монтажа венцов полумуфт, которая в конечном счете и приводит к воз-
никновению в упругой системе, содержащей муфту, группы внешних сил.
Поэтому в настоящей работе внешние силы фигурируют в двух аспектах —
в специфическом для зубчатых соединительных муфт-через погрешности
взаимного положения валов полумуфт (смещение и перекос — это наиболее
общая, характерная для различных приложений соединительных муфт си-
туация) , и в традиционном - через спектр нагружения зубчатых соедини-
тельных муфт в процессе их эксплуатации.

Проблема внутренних сил должна изучаться с учетом трех основных осо-
бенностей работы кинематических пар в зубчатых соединительных муфтах.

1.	Обычно в строительной механике упругих систем число связей, вос-
принимающих внешнюю силу, известно и требуется найти распределение
внешней силы по заданным связям. Исключение составляет класс упругих
систем с односторонними связями, которые воспринимают лишь сжимаю-
щую силу и не воспринимают растягивающую [120]. Однако и в таких
упругих системах свойства этих связей остаются неизменными. В данном
же случае в связи с наличием погрешностей изготовления и монтажа венцов
полумуфт и повышенным износом кинематических пар (зубьев, шлицов)
число дискретных связей (зубьев, шлицов), воспринимающих внешнюю
силу, заранее неизвестно и подлежит определению при решении задачи,
а сами упругие свойства этих дискретных связей различны и зависят от
времени.

2.	Каждая из дискретных связей (зубья, иглицы) является низшей (шли-
цы) или высшей (зубья) кинематической парой, нагружаемой в условиях
начального неприлегания контактирующих поверхностей, обусловленного
погрешностями монтажа валов полумуфт и упругими деформациями эле-
ментов муфт, т.е. эти дискретные связи, в свою очередь, являются распре-
деленными связями с изменяемыми во времени упругими и геометро-
кинематическими характеристиками. Таким образом, в данном случае не-
обходимо разработать методы раскрытия статической неопределимости но-
вого класса дискретно-континуальных упругих систем с односторонними
связями и изменяемыми во времени упругими свойствами дискретных свя-
зей, обусловленными их износом.

3.	Смешения, износ и нагруженность дискретных связей являются взаи-
мосвязанными величинами через уравнение совместности деформаций и пе-
ремещений, поэтому для решения задачи о нагруженности кинематических
пар и элементов муфт необходим комплексный подход.
Проблема допускаемых напряжении должна решаться эксперименталь-
ным путем применительно к конкретным условиям работы зубчатых соеди-
нительных муфт. Отсутствие удовлетворительных расчетных моделей для
описания процесса накопления усталостных повреждений в кинематических
парах и элементах зубчатых соединительных муфт обусловливает экспери-
ментальный метод решения этой проблемы. При этом оценка изгибной вы-
носливости зубьев (шлицов) должна выполняться в модельных условиях,
например, на пульсаторах, с точным воспроизведением характера нагруже-
ния образца. Аналогично контактная выносливость поверхностей зубьев
(шлицов) и закономерности их изнашивания должны исследоваться в мо-
дельных условиях с точным воспроизведением характера нагружения и от-
носительного скольжения контактирующих поверхностей зубьев (шлицов).

Создание строительной механики зубчатых соединительных муфт как
самостоятельного раздела обшей теории этого ответственного узла большо-
го числа машин и механизмов оказывается возможным благодаря много-
численным исследованиям, опубликованным в литературе, посвященным
различным аспектам общей проблемы прочности и износостойкости зубча-
тых соединительных муфт. За последние 35-40 лет опубликовано большое
число работ, посвященных этой проблеме, которые предопределили фор-
мирование строительной механики зубчатых соединительных муфт. Здесь
не представляется возможным привести анализ всех этих работ; в даль-
нейшем изложении, по мере решения соответствующих задач, будут приве
дены ссылки на соответствующие работы.

Настоящая работа посвящается разработке теоретических основ рас-
чета и проектирования, т.е. созданию строительной механики зубчатых сое-
динительных муфт.
Раздел I

ГЕОМЕТРИЯ И ТОЧНОСТЬ
ЗУБЧАТЫХ СОЕДИНИТЕЛЬНЫХ МУФТ

Реальные соединительные муфты имеют ограниченную точность изготов-
ления и монтажа элементов, что совместно с их упругой деформацией при-
водит к неравномерному распределению нагрузки как по боковой поверх-
ности зубьев (шлицов), так и между зубьями (шлицами). Это определило
тот интерес, который специалисты проявляли к изучению именно геометро-
кинематических параметров соединительных муфт.

На первом этапе рассматривается геометрия контакта поверхностей
зубьев (шлицов) при наличии погрешностей их взаимного положения -
трех поступательных смешений в направлении координатных осей и трех
поворотов относительно этих осей. На основе такого рассмотрения опре-
деляется поле зазоров между контактирующими поверхностями зубьев
(шлицов), обусловленное указанными первичными погрешностями элемен-
тов соединительных муфт.

На втором этапе рассматриваются обобщенные погрешности взаимного
положения валов полумуфт - смешения и повороты относительно главных
осей полумуфт, которые затем выражаются через названные первичные
погрешности контактирующих поверхностей зубьев (шлицов). Таким
образом, устанавливается однозначное соответствие между обобщенными
погрешностями взаимного положения валов полумуфт, с одной стороны,
и эпюрой зазоров на зубьях (шлицах) - с другой.

Наконец, на третьем этапе рассматривается картина скоростей скольже-
ния между контактирующими поверхностями зубьев (шлицов), которая
полностью определяется наличием обобщенных погрешностей взаимного
положения валов полумуфт. Таким образом, устанавливается однозначное
соответствие между обобщенными погрешностями взаимного положения
валов полумуфт, с одной стороны, и эпюрой скоростей скольжения на
контактирующих поверхностях зубьев (шлицов) — с другой.
ГЛАВА 1

ГЕОМЕТРИЯ КОНТАКТИРУЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЗУБЬЕВ

1.1. ПРЯМОБОЧНЫЕ ШЛИЦЫ

Рассмотрим картину взаимного положения контактирующих поверх-
ностей прямобочных шлицов при наличии первичных погрешностей —
трех поступательных смешений вдоль координатных осей и трех поворотов
относительно координатных осей. На рис. 1.1 показана боковая поверх-
ность прямобочного шлица и принятая система координат xyz, ось х кото-
рой направлена вдоль длины шлица, ось у - по высоте шлица, ось z -
перпендикулярно к боковой поверхности шлица, начало координат о
совпадает со средней точкой активной части боковой поверхности шлица,
имеющей длину Ь и ширину h. Введем шесть первичных погрешностей
взаимного положения контактирующих поверхностей шлицов: Дх, Д_у,
Да — поступательные смешения вдоль координатных осей ох, оу, oz и

У у Ух ~ повороты относительно этих осей.

Очевидно, что смешения Дх, Ьу, не изменяя зазоров между поверх-
ностями шлицов, лишь уменьшают площадку контакта соответственно
на величину Дхй и Дуй; смешение Да изменяет нормальный зазор в
каждой точке боковой поверхности шлицов на величину Дг.

Относительный поворот поверхностей шлицов на угол ух приводит
к выходу контакта на кромку (вершину) одного из шлицов, поскольку
именно там будет минимальный зазор между поверхностями шлицов, при
этом нормальный зазор между ними будет изменяться независимо от
координаты х для каждой точки боковой поверхности шлица в соответст-
вии с зависимостью (рис. 1.2, а)

Д5 = уух + Дг.	(1.1.1)

где первичная погрешность Дг сохранена для того, чтобы обеспечить вы-
полнение условия Д5 > 0.

Относительный поворот поверхностей шлицов на угол уу приводит
к выходу контакта на торец одного из шлицов, поскольку именно там
будет минимальный зазор между поверхностями шлицов, при этом нор-
мальный зазор между ними будет изменяться независимо от координаты
у для каждой точки боковой поверхности шлица в соответствии с зависи-
мостью (рис. 1.2,6)

Д5 = хуу + Дг,

(1-1-2)

причем первичная погрешность Дг сохранена также для того, чтобы обес-
печить выполнение условия Д5 > 0.

Относительный поворот поверхностей шлицов на угол ух очевидно
не изменит нормальный зазор между ними, а лишь уменьшит площадку
контакта на величину (рис. 1.2, в)

д/г* 2^тг(у-	+ 2*27l(i ~ 2Ъ) *	О-1-3)

В табл. 1 приведена сводка формул по влиянию первичных погрешностей
на изменение нормального зазора между шлицами.
§

3

<1

Влияние первичных погрешностей на нормальный зазор между зубьями и шлицами

4₽	о	Дх ♦ (у - Л/2)ух ♦ (х - Ь/1)уу	X ч а;	1 £  ? S Е  eS «  V 1 Л 1 X Л X	еч  1 М  ♦  i ।  л ? i и ♦ т ** ♦ < * о  К 1 ° с  £ * 1 ?	♦  й  н  = Я
	ем  1 £		-XI		О	+ X Й  (V	-г X !_•  в л <о ?5	*  а- х се ~ - ‘ —  * Sa, X 4  -е ос й -° ।	1  v 1 V Л
£	К  1 е>		ух < m/R  0 - Ryx)42R  ух > m/R (/i-y)42R + (m-y)*  Х(ух - m/R)		* о л  t	г	е  ftj	7	1  гч	♦•	'  к ЮЙ S	X  Е £ Й Е * V t Л 1 е
н <				150Ду < т; ух < m/R; ух<т/15Ь; Дг + (у-150Ду  /2х	\  150Ду > m; ух > m/R; yt > m/lSb; Дг + lyW-yl	<
Ду	О		Ду < m  (у - lS0Ay)*/2R  Ду > m (m-yf/lR + tm-y)*  X (Ду/Яв - m/R)		g h  S + Е  fl*.., Е £ й Е"^$ V 1	Л f  =S ж X Ч С 3 X о О + о 5 х +
И	О		О		♦  й  Зй  1 ч  М +
Тип муфты	Прямобоч-	мыс шлицы	Прямо- линейная образую- щая		Криво- линейная образую- щая

150ду<гп; ух<т/Я; уу< b/lR^; bz + (х - Дх - Ябур’/гЯд ♦ (у - 150Ду - Ryx - 150хух)’/2Я

150Ду > т; ух> m/R; уу< b/lR^\ Дх + (х - Дх - ЯбУу)’/2Яб+(у-m-150ху1),/2Я+(m-уИ150Ду- m ♦ ухЯ)/Я
Рис. 1.1. Система координат
на боковой поверхности шли-
ца

Рис. 1.2. Взаимное положение
поверхностей шлицов при на-
личии первичных погрешнос-
тей

а — Дх и ух; б - Дх и уу\
в - 7Х; г~ Дх. Ух “Ту

1.2.	ЭВОЛЬВЕНТНЫЕ ЗУБЬЯ
С ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ

В зубчатых муфтах в отличие от шлицевых соединений обычно использу-
ются зубья с эвольвентным профилем. Однако, как показано в работе [59J,
профили сопряженных зубьев полумуфт будут идентичны только в том
случае, если они оба сформированы инструментом реечного типа. Если
жг зубья обоймы сформированы долбяком, как это обычно бывает, а
зубья втулки фрезой, то профили зубьев обоймы и втулки будут неиден-
тичны. что приведет к своеобразной профильной модификации зубьев
обоймы и начальному линейному касанию профилей зубьев обоймы и
втулки. Это обстоятельство положительно влияет на нагруженность зубьев
муфты, так как способствует компенсации неизбежных погреш-
ностей взаимного положения контактирующих поверхностей зубьев муфты.

Причина отклонения профиля зуба обоймы при зубодолблении заключа-
ется в том, что рабочий контур долбяка, строго говоря, не является эволь-
вентным из-за наличия переднего и заднего углов заточки режущих кро-
мок долбяка, необходимых для рационального резания. Как показали
расчеты, выполненные в работе [59], отношение разности радиусов кривиз-
ны профилей зубьев обоймы Ro и втулки Лв к радиусу кривизны профиля
зуба втулки Ra для всех номеров муфт составляет [59]

(Ло " *в)/Лв * 1/150,

где Лв = mzsinot/2; т - модуль; z - число зубьев муфты; а - угол
12

давления, откуда

Ло = 1,006667 Лв.	(1.2.1)

Таким образом, контакт зубьев муфты с прямолинейной образующей
в отсутствие погрешностей взаимного положения контактирующих поверх-
ностей сводится к внутреннему контакту цилиндра с цилиндрической
полостью (рис. 1.3, а). На рис. 1.3, а для большей ясности показано взаим-
ное положение рабочих профилей зубьев обоймы и втулки при наличии
погрешности взаимного положения Дг.

Поскольку в данном случае Ло Ф Ra, то зазор вдоль координаты у
не будет оставаться постоянным, а определится из зависимости

△5 ж Дг+ЛВ [1 — (1 — (у//?в)2)й] —/?0 [1 — (1 — (у/Ло)2)и] -

= Да + Лв(1 - cos^B) - Ло(1 - cos<a>),	(1.2.2)

где у>в, |0о ~ угловая координата точки на профиле зуба втулки и обоймы
(см. рис. 1.3,с). Или

ДЗ = Дг + y2/2R, 6S = Д5- Д5т|п = у2/2Л,	(1.2.3)

где Л — приведенный радиус кривизны контактирующих поверхностей
зубьев втулки и обоймы, определяемый из соотношения

1/Л= 1/Лв - 1/Ло = 0,007/Лв = 1/150Л,.	(1.2.4)

Таким образом, из формулы следует линейчатый контакт поверхностей
зубьев втулки и обоймы с изменением зазора по высоте зубьев по пара-
болическому закону.

Очевидно, что смещение Дх. не изменяя зазора между зубьями муфты,
лишь уменьшает площадку контакта на величину Дх  Лк, смещение же Дг
в соответствии с (1.2.3) изменяет нормальный зазор в каждой точке
боковой поверхности зубьев на величину Дг.

Своеобразно влияние смещения Ду на изменение нормального зазора
между зубьями (рис. 1.3, б): в связи с кривизной контактирующих по-
верхностей зубьев в поперечном направлении смещение Ду вызовет
взаимосвязанное с ним изменение нормального зазора Д5. Для решения
задачи о влиянии первичной погрешности Ду на взаимное положение
поверхностей зубьев втулки (обоймы) найдем сначала координаты точки
взаимного касания поверхностей у*, г*. Принимая упрощенную запись
профилей зубьев втулки и обоймы в виде гв = ув/2Лв, го = у2/2Яо и
приравняв между собой производные для обеих поверхностей, получим

Jb/Л, = уо/Л0,

откуда

у*/ло = (у* - Ду)/Л„.

Таким образом, при наличии смешения Ду точка взаимного контакта
поверхностей имеет следующие координаты:

у* =ДуЛ/Ло * 150Ду; г* = 1,125 • 104Ду2/Ло,	(1.2.5)

где 1/Л = 1/Л„ - 1/Лп.

Из первой формулы (1.2.5) следует высокая чувствительность зубьев
муфты к погрешности взаимного положения контактирующих поверх-
ностей.

При контакте поверхностей зубьев втулки и обоймы в точке с коорди-
натой у*, 2* изменение нормального зазора между ними составит

65 = Д5- Д5т|п = (у - 150Ду)2/2Л.	(1.2.6)

Приведенные зависимости справедливы в случае, если точка начального
касания профилей не выходит на вершину зуба. т.е. пока Ау < ш/150.
Если же Ду > т/150. то контакт выходит на вершину зуба и нормальный
зазор между контактирующими поверхностями зубьев будет изменяться
в соответствии с соотношением

55 = Д5-Д5т1П - (т - у?/2R + (<ро -*л)(т-у),

где <РО = m/R0-,	= (т - Ду)/Яв, поэтому

55 = (т -у)2/2Я + (Ду/Лв - m/R)(m -у) =

ж [(«-у)2 + 2(15ОДу-т)(т-y)]/2R.	(1.2.7)

Как следует из зависимости (1.2.7), при смещении контактирующих
поверхностей зубьев втулки и обоймы на величину Ду > т/150 нормаль-
ный зазор между ними содержит линейный и квадратичный член по коорди-
нате (т -у), отсчитываемой от вершины зуба, причем в зависимости от
знака первичной погрешности Ду контакт будет иметь место на вершине
одного или другого зуба.

Относительный поворот поверхностей зубьев на угол ух приводит к
смещению контакта в сторону вершины одного из зубьев, поскольку
именно там будет минимальный зазор между поверхностями зубьев, при
этом нормальный зазор между ними будет изменяться независимо от
координаты х для каждой точки боковой поверхности зуба в соответствии
с зависимостью (рис. 1.3, в)

Д5= Дг -у2/2Яо + (У - /?вУх)2/2Л. -Лв7^/2 =

= Дг + у2/2Л - уху.	(1 -2.8)

Дифференцируя (1.2.8) по у, найдем координату точки с минимальным
нормальным зазором, в которой и произойдет начальный контакт зубьев

у* = Ryx,	(1 2.9)

и, входя с ней в (1.2.8), найдем величину минимального зазора между
поверхностями зубьев в этой точке

Д5т|п = Дг - Ry2x/2,	(1.2.10)

зазор между контактирующими поверхностями зубьев будет изменяться
в соответствии с зависимостью

65 = Д5 - Д5т,п = (у-Лух)2/2Я.	(1.2.11)

Полученные зависимости справедливы в случае, если точка начального
касания профилей не выходит на вершину зуба, т.е. пока у* = Ryx < т.
Если же у* = т, т.е. ух > m/R, то контакт выходит на вершину зуба и
нормальный зазор между контактирующими поверхностями зубьев будет

изменяться в соответствии с соотношением

65 = (т -y)42R + (ух -mlR)(m-y).	(1.2.12)

Из формулы (1.2.12) видно, что при перекосе поверхностей зубьев на
угол ух > m/R нормальный зазор между ними содержит линейный и квад-
ратичный член по координате (ш - у), отсчитываемый от вершины зуба,
причем в зависимости от знака первичной погрешности ух контакт будет
иметь место на вершине одного или другого зуба.

Из сказанного следует высокая чувствительность зубьев муфты к пере-
косу ух — уже незначительный перекос ух приводит к смещению точки
контакта на вершину зуба. Действительно, с учетом (1.2.9) и (1.2.4).
помня, что на вершине зуба у*/т - 1, убеждаемся в том, что перекоса
ух = 0,04/г достаточно для того, чтобы контакт зубьев вышел на вершину
зуба.

Относительный поворот поверхностей зубьев на угол уу приводит к
выходу контакта на торец одного из зубьев, поскольку именно там будет
минимальный зазор между поверхностями зубьев, при этом нормальный
зазор между ними будет изменяться в соответствии с зависимостью
(рис. 1.3, г)

Д5 = Дг + y2/2R + хуу.	(1.2.13)

Из формулы (1.2.13) следует, что, подобно прямобочным шлицам,
в зависимости от знака первичной погрешности уу минимальный зазор
будет при х = 5/2 или х = — Ь/2, т.е. на торце одного или другого зуба,
поэтому изменение бокового зазора, обусловленное первичной погреш-
ностью уу, будет равно

65 = Д5-Д5и|в = |х-Ь/2|7У+//2Л.	(1.2.14)

Относительный поворот поверхностей зубьев на угол уг изменит нор-
мальный зазор между ними следующим образом (рис. 1.3, д):

AS = Az-y2/2Ro + (y-xyx)2cos2yt/2R,.	(1.2.15)

Для каждого фиксированного значения координаты х поворот на угол
уг эквивалентен первичной погрешности Ау « хуг. Поэтому согласно
(1.2.5) точка с минимальным зазором имеет координату

У* = xytR/R^^ 150хух.	(1.2.16)

Из формулы (1.2.16) следует, что геометрическое место точек с мини-
мальным зазором при наличии первичной погрешности у2 является пря-
мой линией, т.е. контакт зубьев по-прежнему остается линейным. Измене-
ние нормального зазора между контактирующими поверхностями зубьев
найдется непосредственно из (1.2.6) в виде

55 = Д5-Д5т,п * (у-у*)2/2Л = (у- 150х7,)2/2Л.	(1.2.17)

Приведенные зависимости справедливы в случае, если точка начального
касания профилей со стороны торцев не выходит на вершину зуба. т.е.
пока соблюдается условие у* < т или (150/2)byz < т. Если же у* = т, то
контакт выходит на вершину зуба со стороны торцев и нормальный зазор
между контактирующими поверхностями зубьев на этом торце будет
изменяться в соответствии с соотношением (1.2.7)

65 = Д5- Д5т|п = [(т-у)1 + (т -у)(756ъ - т)| 2Я.	(1-2.18)

откуда следует, что при выходе контакта на вершин)’ зубе оо стороны
торца нормальный зазор между ними содержит не только квадратичный,
но и линейный член по координате (т - у), отсчитываемой от вершины
зуба. При этом геометрическим местом точек с минимальным нормальным
зазором является прямая, проходящая через кромку и середину активной
части боковой поверхности зуба, т.е. у = кх, где к = 2т/Ь.

В табл. 1 приведена сводка формул по влиянию первичных погрешностей
на изменение нормального зазора между зубьями.

1.3.	ЗВОЛЬВЕНТНЫЕ ЗУБЬЯ С ПРОДОЛЬНОЙ МОДИФИКАЦИЕЙ

Выше было показано, что звольвентные зубья с прямолинейной образую-
щей чрезвычайно чувствительны к перекосу уу, поскольку независимо
от величины первичной погрешности контакт зубьев сразу же выхолит
на торец зубьев, где и концентрируются контактные давления. Это привело
к тому, что на практике стали применять продольную модификацию эволь-
вентных зубьев муфт, основной целью которой являлось исключение
кромочного контакта зубьев при наличии первичной погрешности уу.

В этом случае контакт зубьев сводится к контакту параболоида с цилинд-
рической полостью, т.е. в отсутствие первичных погрешностей контакт
зубьев становится точечным. Однако большая величина приведенного
радиуса кривизны в поперечном направлении R (в плоскости yz) по-преж-
нему делает чувствительным звольвентные зубья с продольной модифика-
цией к первичным погрешностям, поэтому для этого типа зубьев также
является актуальной оценка влияния первичных погрешностей на взаим-
ное положение боковых поверхностей зубьев.

Полученные зависимости без труда могут быть откорректированы для
этого типа зубьев муфт муфт (см. табл. 1).

ГЛАВА 2

ЗАЗОРЫ МЕЖДУ ЗУБЬЯМИ МУФТ

2.1.	ПОГРЕШНОСТИ ИЗГОТОВЛЕНИЯ
ЗУБЧАТЫХ ВЕНЦОВ ПОЛУМУФТ

Процесс изготовления зубчатых венцов полумуфт в части формирования
боковых поверхностей зубьев идентичен процессу изготовления зубчатых
колес, поэтому возникновение погрешностей зубчатых венцов полумуфт
может быть рассмотрено подобно тому, как это делается для зубчатых
колес. По классификации Б.А. Тайца [128], действие отдельных ошибок,
возникающих при зубообработке, сводится к четырем видам: радиальные
ошибки — изменение радиального расстояния между инструментом и
заготовкой, тангенциальные ошибки — нарушение обкатки инструмента
и заготовки или неточности деления, осевые ошибки - погрешности пере-
Рис. 2.1. Схема расположения
валов полумуфт

а — в диметрин; б — во
фронтальной плоскости
проекций; в — в профиль-
ной плоскости проекции

мешения инструмента вдоль оси заготовки, ошибки производящей по-
верхности — отклонение производящей поверхности инструмента.

При решении задач о распределении нагрузки между зубьями муфт
обычно два последних вида ошибок не учитываются, так как осевые ошиб-
ки при малой длине зубьев муфт в равной мере изменяют направление
контактной линии на всех зубьях и поэтому не оказывают влияния на
характер распределения зазоров между зубьями, а лишь приводят к не-
значительному неприлеганию зубьев по их длине.

Из первых двух видов ошибок зубчатых венцов учитывается геометри-
ческий (радиальная ошибка) и кинематический (тангенциальная ошибка)
эксцентриситеты зубчатых венцов, поскольку они проявляются на кривой
зазоров между зубьями с одной частотой - оборотной, причем геометри-
ческий эксцентриситет характеризует погрешность установки заготовки
на зубообрабатываюшем станке, а кинематический эксцентриситет - не-
равномерность вращения заготовки в связи с проявлением первой гармо-
ники кинематической погрешности делительной червячной пары зубо-
обрабатывающего станка.

На рис. 2.1 приведена схема для расчетной оценки влияния, оказывае-
мого погрешностями изготовления и монтажа шаяутяуфт на распределение
17

2. Зак. 821
зазоров между зубьями муфт и в пределах боковой поверхности пары
контактирующих зубьев. Точка профиля зуба, лежащая на делительной
окружности радиуса г, координируется углом в в плоскости ytzt; через
эту точку проведены координатные оси Oz и Оу, первая из которых рас-
положена по касательной к профилю зуба, а вторая по — нормали к нему;
оси координат Ог' и Оу' коллинеарны с осями O,z, и Оху{. соответ-
ственно связанными с основной осью муфты; ось Oz образует с радиаль-
ной линией ОХО угол а, равный профильному углу зуба по делительной
окружности.

Геометрический эксцентриситет Д = ert, характеризующий смещение
зубчатого венца относительно оси вращения полумуфт, составляет с осью
угол 0, который, очевидно, изменяется ио мере вращения муфты.
Как следует из рис. 2.1, а и б, геометрический эксцентриситет эквивален-
тен двум первичным погрешностям Дг и Ду и поэтому не только изменяет
распределение нормальных зазоров между зубьями, но и приводит к изме-
нению зазоров в направлении касательной к профилям зубьев, что вызы-
вает концентрацию контактных давлений по высоте зубьев.

Кинематический эксцентриситет ekj не приводит к радиальной ошибке
положения зубчатых венцов полумуфт, а лишь характеризует относитель-
ное положение зубьев в тангенциальном направлении. Являясь первой
гармоникой кинематической погрешности зубчатого венца, кинемати-
ческий эксцентриситет влияет лишь на первичную погрешность Дг,-.

В зубчатых муфтах с эвольвентным профилем зубьев в отсутствие
геометрического эксцентриситета венцов полумуфт относительным по-
воротом полумуфт можно добиться полного совпадения зубьев венцов
полумуфт, поскольку профили их являются эвольвентами одной и той же
основной окружности. В шлицевых соединениях с прямобочными шли-
цами, боковые поверхности которых не совпадают с радиальными плос-
костями, содержащими ось муфты, эта картина нарушается и погреш-
ность прямобочных шлицов по толщине приводит к неполному контакту
шлицов по высоте при довороте венцов полумуфт и концентрации контакт-
ных давлений на вершине шлицов втулки и соответственно на ножке шли-
цов обоймы.

Так, погрешность толщины прямобочного шлица ДЛ при наружном
диаметре вала втулки D приводит к первичной погрешности ух

ух * 2ДА>/2),

приводящей к концентрации контактных давлений на вершинах шлицов
вала. Поскольку погрешность ДА» включает также и гарантированный
боковой зазор по боковым поверхностям шлицов, го можно утверждать,
что в прямобочных шлицевых соединениях всегда присутствует концентра-
ция контактных давлений по высоте шлицов, причем при центрировании
по внутреннему диаметру d она больше, чем при центрировании по боко-
вым поверхностям шлицов, поскольку в первом случае допуск Дй больше,
чем во втором случае.

Таким образом, из проведенного анализа следует, чго в зубчатых муфтах
погрешности изготовления зубчатых венцов полумуфт приводят к пере-
менным во времени величинам первичных погрешностей на паре зубьев,
координируемой углом в относительно оси У\, жестко связанной с корпу-

сом муфты, причем если кинематический эксцентриситет венцов влияет
лишь на распределение нормальных зазоров между зубьями, то геометри-
ческий эксцентриситет венцов, кроме того, влияет также и на распределе-
ние зазоров по высоте зубьев.

2.2.	ПОГРЕШНОСТИ ВЗАИМНОГО ПОЛОЖЕНИЯ ВАЛОВ

Погрешности взаимного положения валов могут быть сведены к трем
составляющим — осевому смещению Дх,, радиальному смещению Д и
перекосу осей валов у относительно некоторой оси у^, перпендикулярной
общей оси валов в исходном состоянии х,. Если выбрать ортогональную
систему координат таким образом, чтобы ось х, совпала с осями валов,
соединяемых муфтой, ось yt была той осью, относительно которой проис-
ходит перекос осей соединяемых валов в плоскости xxzt, и принять, что
направление смещения валов Д составляет с осью yt угол 0, то получим
рис. 2.1, а, на котором в диметрии изображено взаимное положение валов.

Осевое смещение валов Дх,, очевидно, приводит к относительному
осевому смещению зубьев обоймы и втулки, т.е. Дх = Дх,.

Из рис. 2.1,6 следует, что относительное радиальное смещение валов
полумуфт Д приведет к появлению первичных погрешностей на профилях
зубьев:

Ду = Дсох[0- (в ±о)],

Дг = Asin[0 — (в ± <х)],	2

Из формулы (2.2.1) видно, что в отличие от влияния, оказываемого по-
грешностями изготовления зубчатых венцов, погрешности монтажа вен-

Таблица 2

Влияние погрешностей изготовления и монтажа
на зазоры между зубьями

Вид по» греш- ное гм	Нрямобочныс шлицы	Звольвентные зубья	
		Прямолинейная образующая	Криволинейная образующая
Изготов-	ег sin 1	± а + wf) + eKsin(6 t a + u>t)	
пение	-bbh/D	—	—
Монтаж	Дяп(0д - у>) - — 0,56tIcos^| — - 0.25ГТ1 (sin(ia) + + sin(2y> г a)]	asin(0A - <p) -  — 0,5AtIcos^| —  - 0,25ryJ (sin(ro) +  + sin(2^> г a)] +  + (m -y)42'R +  + (m -y)[150(AcosX  Х(йд-ф)-  - 0,5rT’sin(^ra)sm^+  + 0,5 by) - m\/R	Asin((JA -	-  - 0,25гт’ (sin(»a) ♦ + stn(2y> г a)] + + 0,25(150X7’)//?- — (X - AX)7COS^ + + (x -дх)’/Яб - - 0.25з2[( 150х)’/Я - -Z?6|cos2<>
цов полумуфт приводят к неизменному во времен i ц—upy распре-
деления первичных погрешностй (а значит, и зазоров меж^> зубьями) по
полярному углу в, координирующему рассматриваемую вару зубьев.

Перекос осей валов у относительно координатной оси .у, может быть
учтен из рассмотрения рис. 2.1, б, в. Как следует из рис. 2.1. в.

Дх = Axt = rsinOsiny * г у sin 0,

Дг, = rsin0(l — cosy) * ry2sin0/2.	(2-2.2)

Проектируя величину смещения Az , на нормаль и касательную к профилю
зуба, координируемому углом 0 в соответствии с рис. 2.1,6, получим

Az = -Azjcos(0±a) * — гу*япв cos(f) ± а)/2,

Sy = -Azisin(0 to) * — г у2 sin 0 sin(0 ± а)/2.	(2.2.3)

Поворот осей валов относительно оси у, эквивалентен двум поворотам
их - относительно осей у и z, поэтому из рис. 2-1, б имеем

у у - ycos(0 ± а),

yz = ysin(0 ± а).	(2 2,4)

Таким образом, формулами (2.2.2)-(2.2.4) определяется влияние,
оказываемое погрешностями взаимного положения валов полумуфт, на
первичные погрешности между зубьями (табл. 2).

2.3.	ВЛИЯНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗГОТОВЛЕНИЯ
И МОНТАЖА МУФТ НА ЗАЗОРЫ МЕЖДУ ЗУБЬЯМИ

Влияние погрешностей изготовления и монтажа венцов полумуфт на
зазоры между зубьями (шлицами) может быть выявлено, если в формулы
табл. 1 подставить величины первичных погрешностей. Тогда получим
следующие результаты.

Прямобочные ш л и ц ы. Из табл. 1 имеем

AS = ersin(0r + air) + ек sin(S + ut) + Asin [0Д - (в ± а)] -	(2 3 1)

- 0.5ГУ2 sin 0 cos(0 ± а) + (у - А/2) (2A6/D) + (х - Ь/2)у cos(0 ± а).

Формула (23.1) записана в предположении, что контакт шлицов всегда
происходит на диаметре окружности выступов D. В действительности,
первичная погрешность Sy, обусловленная геометрическим эксцентри-
ситетом ет и радиальным смешением осей полумуфт А, приведет к тому,
что контакт шлицов произойдет на диаметре, равном

D* = D+Ays»D + ^,.005(0,. + cof) + Acos [0д — (0 ± a)] —

— O.Sry2 sin 0 sin(0 ± a).

Если учесть, что (D + Ду)'1	(1 — Sy/D)ID, то изменение положения

кромки шлица по его высоте можно не учитывать и считать, что контакт
шлицов происходит всегда на одной и той же цилиндрической поверх-
ности. Если учесть также, что в осевом направлении точка с минималь-
ным зазором всегда смещена к одному из торцов шлица, введя новую
переменную </> = 0 ± а, вместо (2.3.1) получим следующее выражение для
функции зазоров между шлицами:

AS = er sin (Дг + ыГ) + ег sin (в + cot) + А sin(0A - <р) -	(23 2)

— 0,5 ry1 sin(^ + a) cos <р - bbh/D — 0,5 by сов >р.

Если учесть, что

sin(i£ ? а) cos = 0,5 [sin(? а) + sin(2<^> + а)[,

то видим, что функция зазоров между шлицами AS при перекосе осей
содержит вторую гармонику по углу >р, амплитуда которой равна 0,25гу2;
кроме того, функция зазоров содержит постоянную составляющую
^bh/D + 0,25 ry2sin(+a) и первую гармонику по углу \р, обусловленную
действием А, причем на постоянную во времени функцию зазоров накла-
дывается переменная, изменяющаяся с оборотной частотой ы, составляю-
щая функции зазоров, которая определяется погрешностями ет, ек.

Специального рассмотрения заслуживает последнее слагаемое в (23.2),
характеризующее изменение зазора по длине шлица, при перекосе валов
полумуфт. Дело в том, что на шлицах, координируемых углом <?=0 и
<д = я, минимальный зазор имеет место на противоположных торцах шли-
цов, поэтому изменение знака последнего слагаемого в (2.3.2) указы-
вает на смену сечения (торца шлица) с минимальным зазором.

На рис. 22 приведена кривая зазоров между шлицами. Сплошные кри-
вые by определяют периодическую функцию cos^(0< тг) с периодом я,
которая может быть представлена рядом Фурье, имеющим вид

2	4- cosn(<p — я/2)

cos </> = — — — S ------------------ =

я Я " = 2* (л -1)	(233)

2	4(1	1	1

------— — — сое + — cos 4^?— — cos 6</> + ... .

я	я L 3	15	35	J

Фаза я/2 включена в (2.3.3) потому, что ряд Фурье в этом виде записы-
вается для функции sin<i(0 <	< я), которая, как следует из рис. 2.2,

сдвинута относительно начала отсчета угла у на угол я/2.

Обычно при расчете зазоров и нагрузок в прямобочных шлицевых
муфтах учитывается лишь составляющая by, характеризующая выход
контакта на один из торцов шлицов. Как следует из сказанного, функ-
ция зазоров между шлицами может быть представлена в виде бесконеч-
ного ряда Фурье, содержащего наряду с первой гармоникой (как непод-
вижной, так и вращающейся) также и все высшие четные гармоники по
углу (постоянная составляющая зазора, как не влияющая на харакГер
измерения зазоров между шлицами, опушена).

Таким образом, при перекосе осей полумуфт в шлицевой муфте с пря-
мобочными шлицами возникают две диаметрально противоположные зоны
нагруженных шлицов, в каждой из них шлицы нагружены неодинаково,
так как смешение осей полумуфт А нарушает симметрию нагружения
шлицов в каждой из этих зон. Эго важное обстоятельство — нарушение
симметрии нагружения шлицов, — как будет показано ниже, является
причиной появления в муфтах с перекошенными осями неуравновешен-
ной осевой силы. Отмеченная эпюра зазоров между шлицами, негюд-


вижная относительно опор муфты, периодически (с оборотной частотой
вращения муфты о>) изменяется, что является причиной периодического
перераспределения усилий между зонами нагруженных шлицов и соот-
ветствующего периодического изменения неуравновешенной осевой силы
в муфте.

Оценим в заключение составляющие функции зазоров Д5, изменяю-
щиеся со второй гармоникой по углу у. Как следует из формулы (2.3.2),

Д52 = ----- cos 2<? + — sin(2^ + а) =

Зя	2

/rysina \1^
---------- I	sin(2u? + Ф),
\ 0,212ft/]

(2-3.4)

/0,424ft	\

tg Ф = I-------- Т 1 1 tg а.

\ ry sin а	/

Как следует из (2.3.4), соотношение между составляющими функции
зазора зависит от величины отношения ry/0,424ft; если оно значительно
меньше единицы, то составляющей гу1 /2 можно пренебречь по сравне-
нию с составляющей 2/гу/Зтг. Учитывая, что г = тхЦ, и принимая ft = ф?л,
получим, что r7/0,424ft = гу/0,848, т.е. с увеличением числа шлицов и угла
перекоса и соответственно с уменьшением длины зуба это отношение
увеличивается. Например, для z = 10, 7 = 10'2 и ф = 5 это отношение равно
2,36 • 10-2 < 1,0, однако для больших углов перекоса и хтя муфт с боль-
шим числом зубьев (7 = 0,1, z = 50) это отношение уже больше единицы
и вторым слагаемым в (2.3.4) пренебрегать нельзя. На рис 2.2 штрих-
пунктирной линией обозначена кривая, характеризующая влияние обеих
составляющих в соотношении (2.3.4).
Эвольвентные зубья с прямолинейной образую-
щей. Из табл. 1 имеем

Д5 = ет sin(± а + 0Г + wZ) + cKsin(± а + 6 + wZ) + Дзш(0д - ^>) -

- O.Sry2 sin(y> * a) cos р + [у — 15О(Дсоз(0д —>р)~	(2-3.5)

— 0.5ry2 sin(<p + а) sin р + ху sin «р)]2 /2R + (х- Ь/2) у cos >р.

Как следует из формулы (2.3.5), функция зазоров между зубьями
содержит две группы слагаемых, первая из которых не зависит от очер-
тания профиля зуба и совпадает с зависимостью (2.3.1) для прямобочных
шлицов, а вторая (содержащая координату у и приведенный радиус кри-
визны зубьев R) зависит от очертания профилей зубьев. Поскольку при
наличии погрешности Д контакт выходит на вершину зубьев, а при пере-
косе осей полумуфт у он выходит на один из торцов зубьев, то с учетом
зависимости, приведенной в табл. 1, формула (2.3.5) примет изменен-
ный вид (здесь опущены первые два слагаемых, определяющих перемен-
ную во времени эпюру зазоров между зубьями, обусловленную действием
геометрического е, и кинематического ек эксцентриситетов венцов полу-
муфт) :

Д5 = Д sin(Рд -<р) - 0,5ry2 sin(<р * a) cos +

+ (m ~y')1/2R +(т-у) 115О(Дсо$(0д — <р) ~	(2.3.6)

- 0,5г?2 sin(i0 * а) sin + 0,56? — щ)] /R — 0,5by cos

Вторая группа слагаемых, содержащих у и Я, характеризует распре-
деление зазоров по высоте зубьев, последнее же слагаемое в (2.3.6) харак-
теризует изменение зазоров по длине зубьев и при перемене знака указы-
вает на то, что минимальный зазор на зубе переместился с одного на другой
торец.

Выполненный анализ функции зазоров между зубьями остается спра-
ведливым и для эвольвентных зубьев с прямолинейной образующей -
формула (2.3.4) определяет вторую гармонику зазоров на зубьях, поэто-
му для муфт, в которых 2 достаточно велико, а угол перекоса у * 0,1,
уже нельзя пренебрегать составляющей зазора гу2 по сравнению с by.
Сохраняет силу и рис. 2.2, на котором схематично показано проявление
обеих составляющих зазоров и их суммы на функции зазоров между
зуьями. Здесь также имеется две зоны нагруженных зубьев, не равных
между собой в связи с наличием погрешности положения осей полумуфт Д
и переменной составляющей первой гармоники зазоров, обусловленной
действием ег и ек при вращении муфты. Наконец, в этих муфтах также
появляется неуравновешенная (постоянная и переменная во времени)
осевая сила, связанная с неидентичностью обеих зон нагружения и обуслов-
ленная проявлением первой гармоники функции зазоров.

Эвольвентные зубья с продольной модифика-
цией. Из табл. 1 имеем

Д5 = ег sin(± а + 0r + wZ) + ек sin(± а + 5 + wZ) +

+ Д5ш(0д -<р) -0,5ry2sin(ip? a)cos ip + (х - Дх - Raycos<p)2 /2R6 +

+ [у-150(Дсо8 (Рй — <р) — 0,5 г у2 sin (<0* а) sin +	(2.3.7)

+ х7 sin ^)|2/2Л.
Рис. 2.3. Зазоры между зубьями с продольной модификацией

Как следует из формулы (2.3.7), функция зазоров между зубьями
муфты с продольной модификацией идентична функции зазоров между
зубьями муфты с прямолинейной образующей. Разница заключается лишь
в изменении зазоров по длине зубьев, что, очевидно, связано с продоль-
ной модификацией зубьев. Поскольку при наличии погрешностей Д и у
в связи с большой величиной радиуса кривизны профилей зубьев R на-
грузка концентрируется на вершине одного из зубьев, то для определения
функции зазоров воспользуемся второй зависимостью для Д5 (справед-
ливой при 150 Ду > т); при этом также опущены первые два слагаемые
в (2.3.7), учитывающие ег и ек:

Д 5 = Д аш(Дд - ф) - 0,5ry2 sin(<р ? a) cos ip +

+ (у - т - 150xysin i^)2/2R +

,	(23.8)

+ (ш - у) [150Д cos(/?A — ф) — 0,5ry2 sin(<p ♦ а) sin tR ♦

+ (х - Дх - R6 у cos ф)2 IIRq.

Для анализа характера изменения зазоров между зубьями в формуле
(2.3.8) нужно положить у - т (контакт происходит на вершине зубьев),
после чего она примет вид

Д5= Д5ш(0д - ф) - 0,5ry2 sin(^ * a) cos +

(150ху)2	(2.3.9)

+----------- sin2 >р + (х - Дх - /?6ycos ф)2 'ЗЛд.

2R

Из формулы (2.3.9) видно, что в отличие от зубьев и шлицов с прямо-
линейной образующей, содержащих в функции зазоров все четные гармо-
ники по углу (2.33), в муфте с зубьями, имеющими продольную моди-
фикацию, присутствуют лишь первая и вторая гармоники по углу ф, так
как sin2»p = 0,5(1 - cos 2<Д cos2 v>= 0,5(1 + cos2<p) (рис. 2.3), поэтому
Д£= Д5ш(0д - v?) - (x — Дх) ycos^- O^Sry2 sin(2^ ± a) -

-0,25-y2

(150x)2
R

cos 2<p - O^Sry2 sin(? a) +

(2.3.10)

(150x7)

+ 0,25 -------

R

+ 0,25

(x - Дх)2
~ Re

Сравнивая формулы (2.3.9) и (2.3.10) с зависимостями, полученными
другими авторами {105, 117), убеждаемся в их полной идентичности в
части учета второй гармоники зазора по углу v?. Таким образом, в эволь-
вентных зубьях с продольной модификацией на неподвижную относитель-
но опор муфты кривую зазоров между зубьями, содержащую первую
и вторую гармоники по углу *р, накладывается переменная во времени
и изменяющаяся с оборотной частотой муфты первая гармоника зазоров.
Это приводит к тому, что две зоны нагрузок на зубьях оказываются не-
идентичными и периодически изменяющимися во времени, что вызывает
появление в муфте неуравновешенной осевой силы (постоянной и пере-
менной составляющей во времени), которая отрицательно сказывается
на работе соединительной муфты.

ГЛАВА 3

СКОЛЬЖЕНИЕ МЕЖДУ ЗУБЬЯМИ МУФТ

3.1.	ВЛИЯНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ
ВЗАИМНОГО ПОЛОЖЕНИЯ ВАЛОВ
НА СКОЛЬЖЕНИЕ МЕЖДУ ЗУБЬЯМИ

Скольжение поверхностей зубьев, обусловленное их относительным
смещением в связи с действием первичных погрешностей в муфте, явля-
ется одной из основных причин износа контактирующих поверхностей
зубьев.

В работе [16] приведена простейшая схема для расчета скоростей сколь-
жения на боковых поверхностях зубьев муфты с прямо- и криволинейной
формой образующей при наличии перекоса осей полумуфт. Путь сколь-
жения относительно осей т (касательной) и т? (нормальной) к боковой
поверхности зуба определен в виде

ST = ryrsin a, Sn = ryT cos a,	(3-1-1)

и соответствующие составляющие скорости скольжения будут:

ит = dS-r/dt = -гую sin a sin(a>t ± a),	(3 12)

= dS^/dt = гуы cos a cos(wf i a).

Поэтому суммарная скорость скольжения в направлении образующей
зуба (в наших обозначениях — вдоль оси х) будет равна сумме

= ит +	= ryweos wt.	(3.1.3)
Нужно сказать, что этот результат следует непосредственно из фор-
мулы (2.2.2), если проекцию скорости скольжения по направлению оси
х - vx определить как производную = d&x/dt и учесть, что в = wT(w -
угловая скорость вала).

Кроме того, как следует из формулы (2.2.2), относительный перекос
осей полумуфт сопровождается относительным смешением контакти-
рующих поверхностей зубьев как вдоль оси образующей зуба (ось х),
так и по касательной к профилю зуба (ось у), поэюму наряду с проек-
цией скорости скольжения vx, определяемой по зависимости (3.1.3),
будет существовать проекция скорости скольжения vy, определяемая
согласно (2.2.3) в виде

vy = dby/dt = (ry212) (d/dt) (sin coz sin(o>r ± a)] =	(3 14)

= - (ry2co/2) sin(2a>r ± a),

которая, как видно из (3.1.4), изменяется со второй гармоникой обо-
ротной частоты 2w. Важно подчеркнуть, что амплитуды проекций ско-
ростей скольжения и иу значительно (в у/2 раз) отличаются друг от
друга, однако частота их проявления различна, поэтому при изучении
закономерностей распределения скорости скольжения по боковой по-
верхности зубьев необходимо учитывать обе составляющие скорости
скольжения профилей зубьев.

Зависимость (3.13) для суммарной скорости скольжения приводит-
ся также и в других работах, например в (139], и является общепринятой
при исследовании нагруженности зубчатых муфт. Эта зависимость, однако,
позволяет определять скорость скольжения в средней точке профиля
зуба, лежащей на делительной окружности зубчатого венца. Для произ-
вольной точки профиля зуба по его высоте в зависимости (3.1.3) вместо г
следует принимать текущее значение радиуса гу.

Смешение осей соединяемых валов Д также приведет к появлению сколь-
жения профилей зубьев по направлению оси у, при этом скорость сколь-
жения, согласно (2.2.1),определится в виде

Uy = db/dt = - До> sin [cot ± а - 0].	(3.1.5)

Для уточненного определения скоростей скольжения на профилях
зубьев муфт можно воспользоваться тем, что зубчатая муфта при нали-
чии смещения и перекоса осей соединяемых валов может быть представ-
лена как зубчатая передача внутреннего зацепления с передаточным числом
и = 1 и перекрещивающимися осями. Это позволяет воспользоваться полу-
ченными в работе (72] зависимостями для скоростей относительного
движения звеньев в передаче со скрещивающимися осями:

Vx л 1	0	— (1 - cosy)	sin у cos	—cos 7 sin ift	У1
	- со (1 - cos у)	0	sin у cos tpt	—cos 7 cosi^j	У1
	sin у cos	sin у sin	0	sin 7	*1
					A

(3.1.6)

здесь Х|, /1, Z| — координаты точки профиля зуба в системе координат,
жестко связанной со втулкой, причем ось zt совпадает с осью втулки.
а ось Xj совпадает с кратчайшим межосевым расстоянием А; у — угол
перекрещивания осей; — угол, координирующий положение втулки
по отношению к неподвижной системе координат.

Зависимостями (3.1.6) можно воспользоваться, если обратиться к
рис. 3.1, а, из которого следует, что А =	= Acos 0, если координату zt

заменить х,, ось Xi заменить г, и направить ее по А; принять = соГ;
Zi = ry cos ау; yt = ry sin ay (где ry, ay — текущее значение радиуса и угла
давления в произвольной точке профиля зуба). Тогда в новой системе
координат составляющие скорости относительного движения профилей
зубьев примут следующий вид:

%

и>.

Vx.

О -(1 -cosу) sin у cos wr

= w (1-cos?)	0 sin 7 sin utf

sin у cos cor sin у sin cot	0

-cos у sin cot

—cos 7 cos cur
sin 7

ry cos ay
fy sin ay .

*i

Acos0

(3.1.7)

Тогда составляющая скорости скольжения в направлении оси Х|, сов-
падающей с осью втулки, определится из соотношения

i»Xi =[rycos(cur±ay) + A cos 0] си sin у.	(3.1.8)

Сравнивая первое слагаемое (3.1.8) с (3.13), видим, что они дают совпа-
дающие выражения для составляющей скорости скольжения (если
принять sin 7 « 7).

Таким образом, из формулы (3.1.8) следует, что на боковой поверх-
ности зуба по направлению образующей действует составляющая ско-
рости скольжения, которая, в свою очередь, складывается из двух состав-
ляющих — постоянной, независящей от координаты точки на боковой
поверхности зуба (второе слагаемое), и переменной по высоте зуба
(первое слагаемое).

Составляющая скорости скольжения в направлении оси у, совпадающей
с касательной к эвольвентному профилю зуба, определится из рис. 2.1, а
с учетом первых двух уравнений (3.1.7) в виде

Vy = vy sin |0 - (cot ± а)] - иг cos [0 - (cot ± а)] =

= гу со(1 - cos 7) sin (cur - 0) - Xj а> sin 7 cos(cof - 0) —	(3.1.9)

- Aco cos 0 cos 7 sin (cor - 0).

Из формулы (3.1.9) следует, что в муфте при наличии погрешностей
монтажа А и 7 возникает составляющая скорости скольжения на профи-
лях зубьев по направлению к их касательной, которая хотя и меньше
по абсолютной величине, чем их , но сдвинута по отношению к ней на
фазовый угол 0. Если в (3.1.9) учесть, что угол перекоса у мал и принять
sin 7 = у, cos 7 * 1 - у2/2, то из (3.1.9) получим выражение для vy в упро-
шенном виде:

Vy = си [(гуу2/2) - A cos 0] sin(cor - 0) - X7cu cos(cor - 0).	(3.1.10)

Таким образом, из формулы (3.1.10) следует, что на боковой поверх-
ности зуба по направлению касательной к профилю действует составляю-
щая скорости скольжения, которая, в свою очередь, складывается из
трех составляющих — постоянной, независящей от координаты точки
на боковой поверхности зуба (второе слагаемое), переменной по высоте
зуба (первое слагаемое) и переменной по длине зуба (третье слагаемое).

3.2.	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ СКОЛЬЖЕНИЯ
НА БОКОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ ЗУБЬЕВ

Скольжение профилей зубьев муфт опасно тем, что оно приводит к
относительным микросмещениям контактирующих поверхностей зубьев
и возникновению в связи с этим благоприятных условий для появления
контактной коррозии, схватывания и износа контактирующих поверх-
ностей. Известно, что контактная коррозия возникает при микросмеще-
ниях контактирующих поверхностей, а износ — при их макросмещениях.
Погрешности взаимного положения валов в соединительных муфтах при-
водят как к макроперемещениям (движение площадки контакта по всей
длине зуба при перекосе осей), так и к микросмещениям (относитель-
ное движение поверхностей зубьев по направлению касательной к про-
филям зубьев при смещении осей), поэтому с точки зрения изнашивания
поверхностей зубьев нежелательными в равной мере являются микро-
и макроперемешения поверхностей зубьев и недопустимо отбрасывать
(в связи с малостью величин) составляющие относительных перемещений
поверхностей зубьев.

В соединительных муфтах, кроме кинематического фактора, обобщен-
ного на деформацию элементов муфты, действует также деформационный
фактор, связанный с деформацией собственно зубьев муфт [13, 36, 62].
Механизм действия деформационного фактора заключается в следующем.
Погрешности изготовления и монтажа соединительных муфт приводят
к тому, что зубья муфты нагружены разными усилиями, поэтому при
вращении муфты по мере изменения положения некоторой пары зубьев
по отношению к плоскости смещения или перекоса валов изменяется
нагрузка, действующая на эту пару зубьев, а значит, и деформация ее.
Изменение деформации контактирующих зубьев (их изгибной состав-
ляющей и составляющей, обусловленной податливостью прилежащей
к зубу части обода муфты [10]) приводит к тому, что по мере разрузки
зуба (выхода его из нагруженной зоны) происходит относительное смеще-
ние зубьев по направлению касательной к профилям. По мере последую-
щей нагрузки зуба (приближения и входа его в нагруженную зону)
происходит относительное смещение зубьев в противоположном направ-
лении и т.д„ на поверхностях зубьев возникает знакопеременное сколь-
жение, которое и является причиной появления контактной коррозии —
распространенного на практике вида контактных разрушений на поверх-
ностях зубьев муфт.

Аналогичный механизм возникновения контактной коррозии и схва-
тывания на контактирующих поверхностях зубьев муфт имеет место
и в связи с повышенной податливостью ободьев муфт [12, 13]. В рабо-
те [12] приведены экспериментальные данные, свидетельствующие об
интенсивном схватывании контактирующих поверхностей зубьев муфт
уравнительных механизмов планетарных редукторов, где повышенная
податливость ободьев муфт была причиной относительного скольжения
профилей зубьев, приведшая к контактным разрушениям зубьев.

Для количественной оценки величин микросмещений пары контак-
тирующих зубьев необходимо располагать величиной их упругой дефор-
мации под действием силы Р, изменяющейся во времени в связи с враще-
нием муфты и последовательным входом и выходом зубьев из зоны на-
гружения. Ниже будет специально рассмотрен вопрос об упругой дефор-
мации зубьев муфт, поэтому сейчас для ориентировочной оценки вели-
чины относительных микросмещений зубьев, связанной с их упругой
деформацией, учтем то обстоятельство, что при наличии погрешностей
нагрузка концентрируется на вершине зуба втулки, и определим дефор-
мацию зуба муфты по формулам для деформации зуба колеса (11].

Проектируя радиальную w и тангенциальную v составляющие изгибной
деформации зуба при приложении силы Р в его вершине на касательную
к эвольвенте зуба в этой точке, получим относительное смещение зубьев,
которое и приводит к их упругому скольжению:

Ду = V sin йе — W COS Of.

Как показано в [10], u поэтому, принимая w *0, получим

Ay = vsinae.	(3.2.1)

В работе [11] установлено, что деформация пары прямых зубьев при
приложении силы в вершине одного из них может быть определена из
следующей зависимости:

= 18,7 Р/ЬЕ.	(3.2.2)

Исключая отсюда, согласно [14], контактную составляющую деформа-
ции зубьев =3,7PjbE, которая не влияет на упругое скольжение зубьев,
окончательно получим

ин = 15Р/Ь£,	(3.2.3)

что для стали (£=2,15 • 106 кгс/см2) даст

ии «=7 • 10’6 Р/й, см,

<	(32.4)

= 7 • 10 6 sin OfP/b.

Принимая sin a, = 0,4 и P/b = 50 кг/см из (3.2.4), получим Ду =» 1,5 мкм,
т.е. упругая составляющая скольжения зубьев муфты имеет порядок
1 мкм. Как указано в [138], такая величина периодического относитель-
ного микросмешения контактирующих поверхностей приводит к возник-
новению на них контактной коррозии.

Таким образом, выполненный ориентировочный расчет подтвердил,
что в соединительных муфтах имеются благоприятные условия для по-
явления контактной коррозии в связи с упругим скольжением зубьев,
связанным с их упругой деформацией.

Этот результат, как указано, требует уточненного рассмотрения кар-
тины скольжения профилей зубьев в пределах всей рабочей поверхности
зубьев, учитывая то обстоятельство, что на контактные разрушения по-
верхностей зубьев оказывают влияние не только макросмешения (на
износ), но и микросмещения (на контактную коррозию и схватывание).
Поэтому используем полученные зависимости для анализа характера рас-
пределения скоростей скольжения и относительных смешений контакти-
рующих поверхностей зубьев в пределах рабочих участков боковых по-
верхностей зубьев.

Как следует из формулы (3.1.3), составляющая скорость скольже-
ния по направлению образующей зубьев не остается постоянной по высо-
те зуба, а увеличивается с увеличением радиуса, координирующего рас-
сматриваемую точку гу.

Известно, что ry = ra/cosay, где = mz cos а/2 - радиус основной
окружности зубчатого венца. Поскольку гу и ау зависят от .у, то для полу-
чения зависимости скорости скольжения от координаты у в явном виде
введем малый параметр Да = ау — а, где а — угол давления на делитель-
ном цилиндре. Тогда

ry = г cos a/cos ау = г/(1 - Да tg а) * r( 1 + Да tg а),

откуда

Да =

У.

— 11 etg а = — etg а

и

Гу * г + у, * (г + у) уы cos cot,

(3.2.5)

т.е. скорость скольжения и% изменяется по высоте зуба по линейному
закону с максимумом на вершине зуба. Этим объясняется наблюдаемый
на практике повышенный износ головок зубьев муфт.

Как следует из формулы (3.1.9), составляющая скорости скольже-
ния по направлению касательной к профилю зуба также не остается
постоянной в пределах боковой поверхности зуба — она изменяется по
линейному закону по координатам х и у и достигает своего максималь-
ного значения на вершине зуба в торцовых сечениях (х = ± Ь/2). Поэтому
можно ожидать, что именно в этих местах рабочих поверхностей зубьев
будет наиболее интенсивным их износ.

3.3.	КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ ВЫРАВНИВАНИЯ ЗАЗОРОВ
И СКОРОСТЕЙ СКОЛЬЖЕНИЯ НА БОКОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ ЗУБЬЕВ

Выполненный анализ закономерностей образования зазоров и скоростей
скольжения в пределах контактирующих поверхностей зубьев показал,
что точки с экстремальными величинами зазоров и скоростей скольже-
ния находятся на периферии рабочей поверхности зубьев, т.е. на торцах
и на вершинах зубьев втулки и обоймы. Это позволяет едиными конструк-
тивными методами добиваться выравнивания зазоров между зубьями
и в пределах рабочей части контактирующих зубьев, а вместе с ними мини-
мизации относительных микро- и макросмещений и скоростей скольже-
ния на контактирующих поверхностях зубьев.

Характер распределения зазоров между зубьями зависит от погрешнос-
тей монтажа валов, соединяемых муфтой.

Закономерности образования погрешностей зубчатых колес изучены
достаточно полно [128] и без каких-либо изменений могут быть распрост-
ранены на процесс изготовления зубчатых венцов полумуфт.

Известные методы снижения первой гармоники зазоров между зубьями
муфты сводятся, во-первых, к взаимной компенсации геометрического и
кинематического эксцентриситета каждого из зубчатых венцов полумуфт и,
во-вторых, к взаимной компенсации первых гармоник кинематической
погрешности зубчатых венцов полумуфт при сборке их в соединение [16].

Первая из названных задач решается в процессе нарезания зубчатых
венцов полумуфт, для чего геометрический эксцентриситет ориентируется
в противофазе к кинематическому эксцентриситету кинематической цепи
зубообрабатываюшего станка, и в таком положении нарезается зубчатый
венец каждой из полумуфт [ 128].

Вторая из названных задач решается в процессе сборки муфты, для чего
совмещаются между собой зубья полумуфт с максимальным из двух зна-
чений ег или ек.

Таким образом, в процессе изготовления и монтажа муфты уменьша-
ются или взаимно компенсируются погрешности изготовления зубчатых
венцов полумуфт.

Погрешности монтажа муфт бывают двух типов — радиальные и осе-
вые. К радиальным относятся смещения валов полумуфт, приводящие
к неравномерному распределению зазоров по высоте зубьев. К осевым
относятся осевые смешения и перекос валов полумуфт, приводящий к
неравномерному распределению зазоров по длине зубьев. Методы компен-
сации этих погрешностей различны: если радиальные погрешности компен-
сируются профильной модификацией зубьев, то осевые погрешности ком-
пенсируются продольной модификацией зубьев.

В работе [13] предложено введением профильной модификации зубьев
муфты устранять концентрацию контактных давлений по высоте зубьев и
таким образом повышать их стойкость против появления контактной
коррозии на профилях зубьев.

При этом, по-видимому, рациональной является криволинейная форма
участка профиля инструмента, формирующего головки зубьев втулки и
обоймы, которая имеет общую касательную с прямолинейным участком
профиля инструмента (рис. 3.1). На рисунке Л*- коэффициент высоты
головки; h*— коэффициент высоты ножки, участок, где предусмотрена
криволинейная форма инструмента; р * - коэффициент радиуса кривизны
скругления головки; с* — коэффициент высоты скругления головки;
с*- коэффициент высоты скругления ножки; Д* — коэффициент глубины
модификации.

При такой профильной модификации зубьев муфт; 1) контакт зубьев
является линейным, что позволяет использовать результаты решения
контактной задачи теории крутости при определении параметров контакта
зубьев муфт; 2) муфта становится менее чувствительной к смещению
валов полумуфт, что благоприятно скажется на снижении уровня контакт-
ных давлений на поверхностях зубьев; 3) исключаются из работы участки
головок зубьев втулки и обоймы, в которых имеются благоприятные
условия для появления схватывания, обусловленного деформационным
скольжением контактирующих поверхностей зубьев.
Рис. 3.1. Схема исходного производящего контура для нарезания зубьев муфт с про-
фильной модификацией

Продольная модификация зубьев муфт предусматривается для компен-
сации перекоса между валами полумуфт и связанных с ним неравномер-
ного нагружения зубьев и концентрации контактных давлений на торцо-
вых участках зубьев муфт.

В муфтах с продольной модификацией зубьев (см. рис. 2.3) зазор между
зубьями, обусловленный перекосом осей полумуфт, изменяется по закону

Д50 = [К cos’ (в ± а) - т sin 6 cos (в ± а)] [(1 — cosy)/cosa],	(3.3.1)

при этом точка начального контакта зубьев изменяет свое положение по
длине зуба втулки в соответствии с изменением текущего угла перекоса
Уе =7 cos (в ±«):

Xj = R ув = R у cos (в ± а).

Именно это обстоятельство позволяет введением продольной модифи-
кации зубьев муфт решать одновременно две задачи — выравнивать
нагрузку между зубьями и снижать концентрацию контактных давлений
по длине зубьев. Величина зазора между зубьями может быть определена
в виде [89]

55б = Д5б -Д Semin = ](Л-г sin а)2 + г2 cos2а]й X	(3.3.2)

X (1 -cos [2 (6 -а) + 4*1) ((1 — cos тг)/2 cos а],

а координата точки контакта на профиле зуба втулки [139]

Xj-R sin у cos (6-а).	(3.3.3)

Как следует из (3.3.2), величина 6S6 изменяется со второй гармоникой
параметрического угла (0—а), а согласно (3.3.3) величина xt изменяется
с первой гармоникой этого угла.

Это позволяет интерпретировать связь между 65бихв виде задания
функции 6Se=S(x) параметрически, поскольку они выражены через
третью переменную (в—а), и считать, что точка с минимальным зазором
совершает взаимно перпендикулярные гармонические колебания в двух
аг/Л sin /

Рис. 3.3. Разнозазорность между зубьями муфт с продольной модификацией
г

направлениях — по оси х с оборотной частотой и по оси z со второй гармо-
никой оборотной частоты. Известно [80], что в этом случае точка описы-
вает сложную фигуру — фигуру Лиссажу — очертание которой зависит
от фазового угла ф.

На рис. 3.2 приведены фигуры Лиссажу, соответствующие сложению
взаимно перпендикулярных колебаний (3.3.2) и (3.3.3) при различных
значениях фазового угла ф.

Из приведенных на рис. 3.2 кривых видно, что для произвольного фазо-
вого угла ф (кроме ф = я/2) любому значению координаты Х| по длине
зуба соответствуют два значения зазора и только при ф = я/2 имеется одно-
значное соответствие между х( и 85. Отсюда следует, что при ф я/2
при одном и том же значении координаты xt величина минимального зазора
будет неодинакова в зависимости от направления движения площадки
контакта по длине зуба втулки.

Координата площадки контакта на зубе обоймы определяется из соот-
ношения [139]

х2 = [Л cos (0-а) — г sin в] sin у -

- (R2 — 2 Яг sin а + г2 )'^ sin у cos [(в-а) + ф],	(3.3.4)

где tg ф = г cos a/(R-r sin а).

Функции △5бих2имеют одинаковый фазовый угол ф, и поэтому,
согласно рис. 3.2, в этом случае будет максимальной разность зазоров в
точке с координатой х2 при движении площадки контакта слева направо
и справа налево по длине зуба обоймы. Выбором радиуса кривизны зуба
втулки в продольном направлении R не удается изменить зазоры в точке
с координатой х2 при движении площадки контакта в противоположных
направлениях по длине зуба. Следовательно, в данном случае уменьшения
разности между зазором в точке при движении площадки контакта можно
добиться, минимизируя разнозазорность между зубьями, что достигается
принятием R = г sin а. В этом случае ф = я/2, и для зуба втулки будет одно-
значная зависимость между 8Se их1(а для зуба обоймы минимизирована
величина 85б.

Приведенные на рис. 3.2 кривые характеризуют изменение зазора при
движении контактной площадки по длине зуба. Для того чтобы определить
величину 85б (3.3.2), ответственную за распределение нагрузки между
зубьями, достаточно кривые, приведенные на рис. 3.2, повернуть относи-
тельно оси х на я.

Из приведенного анализа характера изменения минимального зазора
между зубьями усматривается интересный факт, до сих пор не отмечен-
ный в литературе. Обычно считалось, что функция зазоров между зубьями
муфты с непараллельными осями имеет две осн симметрии - ось, отно-
сительно которой происходит перекос валов полумуфт, и перпендикуляр-
ная ей ось.

Как следует из рис. 3.2, это положение не соответствует действитель-
ности. Поскольку для одной и той же координаты х величина зазора между
зубьями неодинакова, то даже в пределах одной зоны нагруженных зубьев
нарушается симметрия эпюры зазоров (а значит, и нагрузок на зубьях)
относительно оси z, (см. рис. 2.1), перпендикулярной оси х>. Если же
учесть, что в связи с кинематической погрешностью зубчатых венцов полу-
34
муфт нарушается также и симметрия эпюры зазоров между зубьями отно-
сительно оси X] (см. рис. 2.1), то станет ясно, что в зубчатой муфте, рабо-
тающей в условиях перекоса валов полумуфт, возникают условия для
появления в муфте неуравновешенных радиальной и осевой сил.

На рис. 3.3 в качестве примера по рис. 3.2 построены кривые разноза-
зорности между зубьями муфты при различной величине фазового угла ф.
Как следует из приведенных данных, симметрия эпюры зазоров относи-
тельно координаты х (или угла в -а) сохраняется лишь при ф = я/2, при
остальных же значениях ф наблюдается тем большее нарушение симметрии
кривой разнозазорности, чем меньше фазовый угол ф. Приведенные резуль-
таты могут объяснить наблюдаемую при экспериментах несимметрию
нагружения зубьев в пределах одной зоны нагруженных зубьев.
Раздел II

ЖЕСТКОСТЬ И СТАТИКА ЗУБЧАТЫХ
СОЕДИНИТЕЛЬНЫХ МУФТ

Зубчатые соединительные муфты имеют обычно в своем составе элемен-
ты (втулки, обоймы) повышенной жесткости, что обусловлено стремле-
нием обеспечить необходимую прочность соединения. В таких условиях
единственным податливым элементом в муфте остаются их зубья (шлицы),
которые в конечном счете и определяют закономерности распределения
нагрузки между нагруженными зубьями (шлицами) и долговечность соеди-
нения. Этим объясняется большое число работ, посвященных определе-
нию составляющих упругой деформации зубьев (шлицов).

Поскольку деформация зубьев (шлицов) является вспомогательным
параметром в общей проблеме раскрытия статической неопределимости
упругой системы, содержащей соединительную муфту, то по-прежнему
остается актуальным построение простейших расчетных зависимостей для
определения упругой деформации зубьев (шлицов). Поэтому здесь при-
водятся результаты расчетных и экспериментальных исследований состав-
ляющих деформации зубьев (шлицов), на основе которых построены
расчетные зависимости для определения суммарной деформации зубьев
(шлицов) и ее контактной и изгибной составляющих.

Поскольку повышенная податливость элементов муфты становится в
таких условиях активным фактором, влияющим на характер распределе-
ния нагрузки между нагруженными зубьями (шлицами), то по-прежнему
остается актуальным построение простейших расчетных зависимостей для
оценки деформированного и напряженного состояния элементов соедини-
тельных муфт.

Заключительным этапом исследования статики соединительных муфт
является раскрытие статической неопределимости упругой системы, содер-
жащей соединительную муфту, составная часть которого — определение
закономерностей распределения нагрузки как по боковой поверхности
зубьев (шлицов), так и между зубьями (шлицами) муфты. В этом разделе
рассматриваются методы раскрытия статической неопределимости упругих
систем с односторонними связями и с учетом особенностей нагружения
соединительных муфт (цикличность системы нагружения, характер дефор-
мирования зубьев (шлицов) муфты) обосновывается дискретно-конти-
нуальный метод раскрытия статической неопределимости упругой системы,
содержащей соединительную муфту.

В соответствии с выбранным методом раскрытия статической неопре-
делимости упругой системы, содержащей соединжтельную муфту, в настоя-
щем разделе приведены результаты расчетных и экспериментальных иссле-
дований параметров контакта пары зубьев (шлицов) в условиях их взаим-
ного неприлегания, обусловленного проявлением погрешностей и упругих
деформаций элементов муфты. На основании этих исследований построены
простейшие расчетные зависимости для определения суммарного сближе-
ния пары зубьев (шлицов), необходимого для решения задачи о распреде-
лении нагрузки между зубьями (шлицами) муфты.

Заключительным этапом раскрытия статической неопределимости сое-
динительных муфт является нахождение характера распределения стати-
ческой нагрузки между зубьями (шлицами). Здесь приведены результаты
расчетных и экспериментальных исследований характера распределения
статической нагрузки между зубьями (шлицами) соединительных муфт.

ГЛАВА 4

ЖЕСТКОСТЬ ЗУБЬЕВ И ШЛИЦОВ

4.1. КОНТАКТНАЯ ЖЕСТКОСТЬ

Определению контактной жесткости зубьев и шлицов муфт посвящено
большое число теоретических и экспериментальных исследований, кото-
рые в целом позволили оценить контактную деформацию зубьев. Однако
полученные закономерности изменения зазоров в пределах боковой по-
верхности зубьев и шлицов вызывают необходимость в корректировке
расчетных моделей, используемых для определения контактной деформа-
ции зубьев и шлицов.

Прямобочные шпицы в отсутствие перекоса погрешностей взаимного
положения могут быть представлены в виде двух шероховатых поверх-
ностей, прижимаемых друг к другу сжимающей силой Р. Как показали
экспериментальные исследования [71], в этом случае между контактной
деформацией До и номинальными контактными напряжениями а = P/bh
существует линейная зависимость

До =соо.	(4.1.1)

где с = (3+4) 10-6 см3/кгс, т.е. при контакте двух шероховатых поверх-
ностей справедлива модель упругого основания (модель Винклера) с
постоянным коэффициентом постели упругого основания с.

В работе [10] на основе зависимости (4.1.1) получена следующая струк-
турная формула для коэффициента постели упругого основания:

с = (21,5+28,7) т/Е,	(4.1.2)

где т — модуль, см; Е - модуль упругости, кгс/см2; постоянная, входя-
щая в (4.1.2), характеризует состояние контактирующих поверхностей,
их чистоту, твердость, наличие смазки.

При наличии погрешностей взаимного положения контактирующих
поверхностей шлицов их расчетная модель изменяется, контактные де-
формации микронеровностей становятся второстепенным фактором, а
определяющим становится непостоянный в пределах боковой поверхности
шлицов просвет между ними. В этом случае определение контактной де-
формации шлицов становится составной частью более общей задачи о
Рис. 4.1. Распределение контактных давлений поперек площадки контакта

раскрытии статической неопределимости упругой системы, содержащей
контактирующие зубья, решение которой приведено ниже (6.2.2).

Эвольвентные зубья с прямолинейной образующей обычно [10] рас-
считываются с использованием той же расчетной модели, что и прямобоч-
ные шлицы, т.е. в предположении, что контактируют две шероховатые
упругие плоскости в отсутствие погрешностей их взаимного положения.
Однако выше показано, что в связи с особенностями зубофрезерования
втулки и зубодолбления обоймы наблюдается некоторая разница радиусов
кривизны контактирующих зубьев. Поэтому более корректной является
расчетная модель, соответствующая задаче И.Я. Штаермана [151] о внут-
реннем контакте цилиндра (зуб втулки) и цилиндрической полости (зуб
обоймы) с малой разницей радиусов кривизны.

Практическое использование решения И.Я. Штаермана затруднено тем,
что эпюры контактных давлений получены им лишь для нескольких част-
ных случаев после решения системы интегральных уравнений численным
методом. Связь между упругим сближением и» и контактным давлением
q (ifi) получена в следующем виде:

-2cos<? In tg---+ sin | </> |

q (<p) d<p -

(4.1.3)

*0

-2ИП J q(<p)dtp0,

-•Po

где

Pi = (Xf + 2 дЭ/4 "MM Дг); * i = i/4 (X, + mt);

X, = E, p</( 1 + Pf) (1 - 2 ₽f); Mr = fr/2 (1 -»r);

Г/ — радиус кривизны r'-го тела; >р,>р0 — текущий и предельный поляр-
ный угол, отсчитываемый от линии действия сжимающей силы; Eh v( —
модуль упругости и коэффициент Пуассона i-го тела (i =1,2).

Определение контактной деформации из (4.1.3) требует знания харак-
тера распределения контактной нагрузки поперек площадки контакта
q(<p). На рис. 4.1 приведены безразмерные эпюры контактных давлений,
полученные И.Я. Штаерманом для трех различных значений угла контакта
(сплошные кривые). Там же пунктирные кривые — результаты расчета
по зависимости

‘7(*) = <?о [1-(<0/^о)1]й.	(4.1.4)

соответствующей решению Герца.

Как видно из приведенных данных, эпюра контактных давлений по
Герцу с высокой точностью соответствует решению [151]. Незначитель-
ное расхождение в области малых величин контактных давлений не имеет
принципиального значения. Отсюда следует, что при практических расчетах
независимо от размеров площадки контакта по сравнению с приведенным
радиусом кривизны контактирующих тел можно принимать эллиптический
закон распределения контактных давлений поперек площадки контакта
(4.1.4).

Размеры площадки контакта «р0 из решения И.Я. Штаермана зависят от
нагрузочного параметра Р/Ее (где е радиальный зазор в подшипнике)
и показаны на рис. 4.2 сплошной кривой. Там же штрихпунктирной кри-
вой показано решение Герца. Значительное расхождение обоих решений в
области больших значений эоны контакта связано с предположением,
что площадка контакта мала по сравнению с радиусом контактирующих
тел и приближенным заданием функции зазоров между ними.

Для приближенной оценки параметров контакта при сжатии цилиндра
с цилиндрической полостью с произвольным значением «р0 воспользуемся
Рис. 4.3. Схема контакта цилиндра с цилиндрической полостью

Рис. 4.4. Зависимость контактной деформации цилиндра с полостью Д,/е от нагрузоч-
ного параметра Р/Ее

моделью упругого основания с постоянным коэффициентом постели
[10]. Схема контакта цилиндра с центром О\ с цилиндрической полостью
с центром О2 показана на рис. 4.3. Здесь заштрихованная область соот-
ветствует зоне контакта сжимаемых тел. Как следует из рис. 4.3, величина
контактной деформации деталей

Д (ф) = Л,-Я2 (ф),

(4.1.5)

где Ri — радиус цилиндра; R2 (ф) - радиус-вектор цилиндрической
полости в системе координат с центром в точке 6),; △ = Д, + е; До — упру-
гое сближение деталей; e = R2-R} — радиальный зазор между деталями
в ненагруженном состоянии.

Связь между Rt и/?2 (<р) имеет вид

R22 =Ла G>) + 2/?2 G>)A + Д2,

где /?2 — радиус цилиндрической полости. Вводя малый параметр
5Л = R2~R2 G>) и учитывая, что6Л/Л2 «С 1 и Д/Я2 «С 1, получим

5/? = ДсО5|£ и Л2(<^) = Л2-Д cost?.	(4.1.6)

Из формул (4.1.6) и (4.1.5) получим выражение для контактной
деформации сжимаемых тел

Д (»р)/е = (cos^/cos v>0) - 1.	(4.1.7)

Сближение деталей До, выраженное через зону контакта ^0. находится
по (4.1.7) из условия, что при <^ = ^0 Д(<£о) = ° в виде

Д0/е = (1/со$<р0) - 1.	(4.1.8)

Зона контакта находится из уравнения равновесия

<Pq	¥>п

2/ Я GO cos>pd>р = 2 /с Д (y>)cos^d^ = P,	(4.1.9)

о	о

где с — контактная жесткость тел.

Выполняя интегрирование в (4.1.9) с учетом (4.1.7), получим

(<А>/cos <р0) - sin >р0 = Р/се.	(4.1 -10)

Из соотношения (5.1.10) видно, что прямая задача (определение зоны
контакта при известной величине Р) требует решения трансцендентного
уравнения, обратная же задача (определение величины Р, при которой реа-
лизуется зона контакта ^0) решается элементарно. На рис. 4.2 пунктир-
ной кривой приведены результаты решения обратной задачи по (4.1.10),

Как следует из рис. 4.2, характер зависимости зоны контакта <р0 от
нагрузочного параметра Р/Ее идентичен для точного и приближенного
решения, однако модель упругого основания более податлива, чем модель
полуплоскости, использованная И.Я. Штаерманом. Действительно, пунк-
тирная кривая построена по (4.1.10) при с~Е, однако известно (4.1.2),
что контактная жесткость двух цилиндров значительно меньше
Е (с = £/3,7), чем и объясняется, что при малых значениях параметра
Р/Ее модель упругого основания дает большее значение зоны контакта,
чем решение Герца.

Для определения контактной жесткости сжимаемых тел воспользуемся
непосредственно результатами решения И.Я. Штаермана по установлению
связи между нагрузочным параметром Р/Ее, зоной контакта <^0 (см.
рис. 4.2, сплошная кривая) и соотношением (4.1.8), связывающим кон-
тактную деформацию тел Д0/е с зоной контакта .

На рис. 4.4 приведены результаты такого расчета величины Д0/е в
функции от нагрузочного параметра Р/Ее (сплошная кривая). Там же
пунктиром показана эмпирическая зависимость

Д0/е = 2/3 (Р/Ее)3'4,	(4.1.11)

соответствующая точному решению в диапазоне изменения нагрузочного
параметра 0 < Р/Ее < 1,0 (чему соответствует 0	53°).

Оценим возможность использования зависимости (4.1.1 Г) в практичес-
ких расчетах. Как следует из (1.2.4),

е = 0,007 Rb - (mz/300) sin а,

что для т = 3 мм, г = 30, а = 20° дает е 3 0,0342 мм и для Р = 50 кгс/см
Р/Ее - 6,8 • 10'3 < 1,0, т.е. формула (4.1.11) дает высокую точность рас-
чета в реальном диапазоне изменения нагрузочного параметра Р/Ее.

Контактная жесткость при сжатии цилиндра с полостью найдется из
(4.1.11) в виде

с = dP/db0=2E (Р/Ее)Ч*.	(4.1.12)

Формулы (4.1.6) и (4.1.12) могут быть использованы только в том
случае, если зона контакта <р0 не распространяется на всю высоту зуба,
т.е. i^o = т/Rb ~ 2/z sin а. После этого с становится постоянной, не зави-
сящей от параметра Р/Ее величиной.

Таким образом, приведенные зависимости, полученные из анализа
точного решения задачи о контакте цилиндра с цилиндрической полостью,
позволяют определять параметры контакта зубьев муфт с прямолинейной
формой образующей в отсутствие перекоса осей соединяемых валов.

Звольвентные зубья с криволинейной образующей обычно [10] рассчи-
тываются с использованием результатов решения плоской контактной
задачи теории упругости о контакте цилиндра (бочкообразный зуб втулки)
с плоскостью (зуб обоймы), при этом кривизна эвольвентных профилей
зубьев во внимание не принималась. Однако отмечалось, что в связи с
особенностью фрезерования зубьев втулки и долбления зубьев обоймы
начальный контакт зубьев с криволинейной образующей происходит нс по
линии, а в точке, поэтому контактная деформация их должна определяться
из решения не плоской, а пространственной контактной задачи теории
упругости.

Известно [119], что решение Герца пространственной контактной задачи
теории упругости по определению параметров контакта двух упругих тел
представлено в таком виде, что требуется использование справочных дан-
ных для определения некоторых коэффициентов, зависящих от отношения
радиусов кривизны в двух главных направлениях:

°н = п„ ](Е/р)гР] Ьн 3 п6 [(Р/Е)2/р\

°н = па [Рр/Е\1 '3, Ьн 3 пь [Рр/Е] Ч3,	<41 13>

где ан — максимальные контактные давления на площадке контакта;
Ьн — упругое сближение контактирующих тел; ан, Ьн — половина длины
и ширины площадки контакта; 1/р 3 1/Pi + 1/р2 — приведенная кривизна
контактирующих тел; 1/Р| 3 \/Rb - 1/Я0 - кривизна зубьев в поперечном
направлении; 1/р2 =I/R& - кривизна зубьев в продольном направлении.

Такая форма записи параметров контакта неудобна при практических
расчетах, особенно при выборе рациональной величины так как
отсутствовала явная зависимость коэффициентов па, ng, па и пь от Р] и р2.
Этот недостаток формул (4.1.13) был устранен в работах [7, 9], в кото-
рых подобраны эмпирические зависимости, устанавливающие связь между
коэффициентами п и отношением кривизн р\1р^ в явном виде. Существен-
ным при этом является тот факт, что выражения в квадратных скобках
в формулах (4.1.13) включают не полную кривизну 1/р, а кривизну в
поперечном направлении 1/р> и лишь коэффициенты п включают отноше-
ние кривизн р|/р2:

па = 0,388 (рМ113. п6 = 1.231 (pj/p2)*/6,

п-' =0,901 (р,/р2)*, ль = 1,109 (р,/р2),/6.	(4.1.14)

Значения коэффициентов л в (4.1.14) приняты с учетом того, что
кривизны 1/Р| и 1/Р2 являются величинами одного порядка. Входя с
(4.1.14) в (4.1.13), получим окончательные выражения для параметров
контакта зубьев

а = 0,388 (Pfe-’/PiP,)*73. 8 = 1,231 [(/»/£)2/(р|р2)*]173,

(4-1.15)

о= 1,110 ((/>Р1/£)(р2//>1)1/2],/3, 8= 1,110 KPp./F)(р./р,)1'2]173,

откуда контактная жесткость зубьев

c^dP/db = 1,219 [ЛЕ*а(р» р2),/а],/э.	(4.1.16)

Таким образом, формулы (4.1.15) позволяют определять параметры
контакта эвольвентных зубьев муфты с криволинейной образующей в
отсутствие перекоса осей соединяемых валов.

При смещении точки начального касания на торец зубьев контактная
деформация возрастает. Как показали экспериментальные исследования
[43, 157J, на торце детали контактная деформация возрастает вдвое, а
на кромке детали - вчетверо по сравнению со случаем приложения
нагрузки в значительном удалении от торцов детали. До последнего вре-
мени учет ограниченных размеров контактирующих деталей осуществлял-
ся экспериментальным путем [15] и лишь в работе [149] с использованием
метода наложения решений эта задача решена аналитическим методом для
1/4 и 1/8 упругого пространства.

На рис. 4.5 приведены результаты измерения контактной деформации
плиты, имеющей длину / = 200 мм, ширину Ь - 120 мм и толщину т =
= 120 мм при изменении точки приложения силы. Рис. 4.5,а иллюстрирует
изменение контактной деформации плиты при смешении точки приложе-
ния силы вдоль длины плиты (линия А) и вдоль торца плиты (линияв),а
на рис. 4.5,6 приведена обобщающая кривая, из которой следует, что
характер изменения контактной деформации плиты в обоих случаях
идентичен.

Из приведенных данных следует двукратное увеличение контактной
деформации плиты при смешении точки приложения силы к торцу. Обра-
щает на себя внимание тот факт, что на торце плиты производная dw/dx
не равна нулю, как это следует из принятой в [43] гипотезы отраженного
момента [159] на контактную деформацию зуба. Вопрос об учете ограни-
Рис. 4.5. Зависимость контактной деформации плиты от расстояния точки приложе-
ния силы от свободного края

a Wk (х)/Р = /\ (я); б: Wk(x)/Wk(lS)=ft(x)

Рис. 4.6. Прогиб балки конечной длины на упругом основании

а. Зависимость И'(х)/И'(О) от 0х; / — краевое приложение силы; II — срединное
приложение силы; б. Зависимость Н'(д(>)/Н'(О) от рхв5 при 01: 1-3; 2-3; 3—4; 4-5;
5-6;6-7

ченных размеров зубьев при определении изгибной деформации их с
наибольшей полнотой изучен в работе [15], при этом показано, что модель
полубесконечной балки на упругом основании с высокой точностью опи-
сывает характер затухания изгибных напряжений по длине зуба.

На рис. 4.6 приведено сравнение характера затухания изгибных пере-
мещений балки полубесконечной длины при варьировании длины послед-
ней (51, выполненное в работе [15] по результатам расчетов, приведенных
в работе [159]. Здесь

^(0x)«e-fljt(cos0x + sin0x)	(4.1.17)

—	коэффициент изгибных перемещений, соответствующий гипотезе отра-
женного момента;

О (fix) = e~fixcosPx	(4.1.18)

—	коэффициент изгибных перемещений, соответствующий реальным усло-
виям деформирования полубесконечной балки на упругом основании.

На рис. 4.6,а показан характер затухания изгибных перемещений по
длине балки, а на рис. 4.6,6 - изменение по длине балки собственных
коэффициентов влияния при изменении координаты точки приложения
сосредоточенной силы 0хо, определенное по зависимости [15]

w (x)/w(0) ж 1+2 е~^х* + Ф (2 0хо),	(4.1.19)

где V/ (2 0хо) = е~2 (cos 2 0хо - sin 2 0хо).

Сравнивая кривые собственных коэффициентов влияния, приведенные
на рис. 4.5,6 и 4.6,6, видим что перемещения выравниваются соответст-
венно на расстоянии 20 мм и 0хо = 1,0 от торца (здесь координата х0 —
безразмерная величина в долях высоты зуба h ).

В работе [15] показано, что коэффициент, характеризующий снижение
контактной жесткости зубьев, может определяться из соотношения

л* (х,у)= {[1 -03 Их (1-х/20)3||] [1-0,5 ||у (1-^/20)’||]}(4.1.20)

где знаки II х и означают, что выражение (4.1.20) справедливо при
х < 20, у < 20, в то же время координата вдоль длины зуба при определе-
нии изгибной деформации зуба выражена в долях его высоты h. Такая
разница координат рассматриваемой точки при определении изгибной и
контактной деформации зуба затрудняет практические расчеты.

По нашему мнению, вводя безразмерные координаты точки на боковой
поверхности зуба, следует принимать один и тот же базовый линейный
размер, например высоту зуба. Поэтому, вводя в (4.1.20) базовый ли-
нейный размер h, получим одну и ту же безразмерную координату
точки при расчете контактной и изгибной деформации зубьев муфт.

Таким образом, формулами (4.1.1), (4.1.11) и (4.1.15) совместно с
(4.1.20) решается задача об определении контактной деформации зубьев
муфт.

4Д. ИЗГИБНАЯ ЖЕСТКОСТЬ

Изгябная деформация прямобочных шлицов в отсутствие перекоса
осей соединяемых валов исследована в работе [61] решением соответст-
вующей плоской задачи теории упругости вариационно-разностным мето-
дом. Изгибно-сдвиговая деформация шлицов, нагруженных вдоль глу-
бины захода hp равномерным давлением а = P/bhp - qhP = 1 кге/мм2,
представлена в виде

wu=co = kwq/E,	(4.2.1)

где q=P/b~ удельная нагрукза; kw - коэффициент изгибно-сдвиговой
деформации шлицов; kw-cE/hp. Расчеты дли различной конфигурации
шлицов дали следующие результаты:

Тил шлица	с- 10s, мм’/кг	kty-cE/hp
прям обочный.  а = 0°. hp = 1 мм.	0,250	5,375
b = 2 мм треугольный, а  30°, hp = 1 мм.	0,204	4,386
Л = 1,57 мм эвольвеитный а = 20°. hp = 2,25 мм	0,262	2,817
а = 30°, hp  1,2 мм	0,109	2,344

При этом анализ показал, что деформация шлицов в основном опреде-
ляется не изгибной, а сдвиговой составляющей.

Для прямобочных шлицов установлено значительное влияние на дефор-
мацию отношения глубины захода hp к толщине шлица 5, которое может
быть учтено следующей эмпирической зависимостью:

с = 0,44 (Лр/S)0'782.

(4.2.2)

Расчет по зависимости (4.2.2) дает отклонение от точных значений,
приведенных в работе [61] в пределах ± 2%.

Для эвольвентных шлицов с а = 30° был выполнен расчет коэффициента
с при варьировании числа шлицов г от 10 до 60, который показал, что
коэффициент с изменяется лишь при z < 22. Эмпирическая формула для
определения коэффициента с может быть записана в виде

с = 0,109 • 10"3 [1 + (22—z)2 10"3], мм’/кгс, z <22,	(4.2.3)

с = 0,109 • 10"3, мм3/кгс, z > 22.

Таким образом, формулами (4.2.1)-(4.2.3) решается задача об опре-
делении изгибной деформации прямобочных и эвольвентных шлицов.

Изгибная жесткость эвольвентных зубьев муфт с прямолинейной обра-
зующей определена в работе [10] на базе расчетной модели консольной
пластины бесконечной длины при равномерном нагружении. Однако, как
показано в гл. 1, в зубьях муфт возникает локализация контакта, связан-
ная как с проявлением погрешностей изготовления и монтажа муфт, так и
с особенностями процесса зубонарезания венцов с наружными и внутрен-
ними зубьями. Это требует видоизменения расчетной модели зубьев муфт и
дальнейшего совершенствования методов расчетного определения их из-
гибной деформации.

Учитывая локализацию контакта на вершине зубьев втулки, в качестве
расчетной модели зуба можно принять консольную пластину ограничен-
ной длины при равномерном распределении нагрузки по длине контактной
линии. В работе [11] на основе обобщения расчетных и экспериментальных
данных по определению деформации зубьев прямозубых цилиндрических
колес, приведенных в работе [10], предложена следующая эмпирическая
зависимость для суммарной деформации зубьев:

= kwq!E,	(4.2.4)
где kw — коэффициент суммарной деформации зубьев,

к к = 3,65+/,	(4.2.5)

где у — координата точки приложения силы, выраженная в долях модуля
зацепления.

Если координату точки приложения силы выразить не в долях модуля
зацепления, а в долях высоты зуба, то для зубьев нормальной высоты
вместо (4.25) можно получить

к w = 3,65 + 11,39 У3.	(4.2.6)

Недостатком формул (4.2.4)-(42.6) является то, что деформация
зубьев не зависит от числа зубьев колеса, в то время как из приведенных
в работе [11] расчетных и экспериментальных данных усматривается такая
зависимость. В связи с этим с целью учета влияния числа зубьев были про-
анализированы результаты экспериментальных 1 [141] и расчетных 2 [11]
исследований деформации зубьев, обобщенных в работе [11]
(рис. 4.7—4.9).

В результате получена следующая зависимость для определения изгиб-
ной деформации зубьев муфт:

kY = »уЕЦч  10*)= 2,15(5,90 + UimU 0 -O.Olz)2] X

X [(0,21 +0,79У3)- ||2< 2оо0,126(1 - У2)(1 -0,005z)2],	(42.7)

Причем в первой квадратной скобке z < 100, а во второй z < 200.

Таким образом, формулой (4.2.7) решается задача об изгибной дефор-
мации прямобочных шлицов и эвольвентных зубьев с прямолинейной
образующей.

Эвольвентные зубья с криволинейной образующей рассчитываются
[10] с использованием расчетной модели консольной пластины, нагружен-
ной равномерно распределенной нагрузкой поперек высоты зуба. Аналогич-
ная расчетная модель была использована при определении изгибной дефор-
мации витка червяка и зуба червячного колеса глобоидной передачи [14],
в которой, как известно, площадка контакта располагается поперек зуба
колеса. Однако отмеченный факт локализации контакта зубьев с криво-
линейной образующей требует корректировки расчетной модели этого
вида зубьев муфт.

С учетом того что площадка контакта зубьев занимает незначительную
часть боковой поверхности зуба, в качестве расчетной модели может быть
принята консольная пластина ограниченной длины, нагруженная в про-
извольной точке боковой поверхности зуба (в связи с проявлением по-
грешностей монтажа муфты) сосредоточенной силой.

В работе [15] показано, что в поперечном сечении тонкая консольная
пластина деформирует так же, как и консольная балка. На рис. 4.10 сплош-
ными кривыми показаны результаты расчета изгибной деформации кон-
сольной балки при варьировании точки приложения силы. Там же для срав-
нения приведены значения относительных упругих перемещений тонкой
консольной пластины бесконечной 1 [156] и конечной 2 [155] длины, ко-
торые с высокой точностью соответствуют результатам расчета упругих
перемещений консольной балки. Это позволяет при определении изгибной
Рис. 4.7. Зависимость коэффициента изгибной деформации зубьев при приложении
нагрузки в вершине зуба от z

Рис. 4.8. Зависимость коэффициента к = W)JWa от г и координаты точки приложения
силы Yp.

деформации зуба пользоваться зависимостью для относительных прогибов
консольной балки (15]

*(У>МУр) = 1&У/Ур)Ч1 ~У/Зур), 0<У<Ур	(4.2.8)

И
w(y)/w(yp) = \,5(у/ур- 1/3), yp<y<h,

гДе Ур ~ координата течки приложения силы Р; у- координата точки, в
которой измеряются перемещения зуба.

Известно, что упругие деформации консольной балки могут быть опреде-
лены из соотношений [134]

w(y) - (Ph3/2EJ)y3(yP/y — 1/3),	0<У<Ур	(4J.9)

И

И-О) = (Ph312ЕГ)у3 (у/?р - 1/3),

уР<у<1,
Рис. 4.9. Зависимость коэффициента к = k^Jk^ от координаты точки приложения
силы	°

откуда собственные коэффициенты влияния

ЧМ/н-О.О) = #,	(4.2.10)

где У — координата точки, выраженная в долях длины балки Л, т.е.у = у/h.

На рис. 4.11 приведены собственные коэффициенты влияния для кон-
сольной балки (сплошная кривая) и тонкой консольной пластины (точки
[156]). Там же пунктирной кривой приведена зависимость (4.2.8). Рас-
хождение расчетных кривых для консольной балки (или пластины) и зуба
объясняется тем, что в первом случае принято жесткое закрепление кон-
соли, а во втором — упругое закрепление зуба в обод колеса. Таким обра-
зом, в поперечном сечении прогиб зуба может оцениваться по зависимости
(4.2.7).

Объединяя зависимость (4.2.8)-(4.2.10) и используя рекомендации
по учету длины зуба при определении его изгибной деформации [15], полу-
чим следующие расчетные зависимости:

w(y) = k(y)kbPh2/nD,	(4.2.11)

где ку — коэффициент упругих перемещений зуба,

к(у) = 0.08 [1 + 8,37 YP У3 (1 - Y/3 У»] kY

на участке 0 < Y < YP и

к(у) = 0,08 [1 + 8Д7 Y3p(Y/YP - 1/3)] kY	(4.2.12)

на участке Yp < Y < 1,0; кь - коэффициент длины зуба (4.1.5),

кь • 1 + 1.19(Л/Ь)2;	(4.2.13)

4. Зах. 821

49
Рис. 4.1 Л Зависимость упругих перемещений консольной балки от точки приложения
силы Ур [11]

Рис. 4.11. Зависимость собственных коэффициентов влияния для консольной пласти-
ны от точки приложения силы Ур (11 ]

D — цилиндрическая жесткость зуба — пластины, D=ESZ /12(1 — v2), S —
эквивалентная толщина зуба.

Формулы (4.2.11)-(4.2.13) справедливы при приложении нагрузки в
среднем сечении длины зуба; при смещении нагрузки к торцу прогиб зуба
будет увеличиваться. В работе [15] предложена следующая эмпирическая
зависимость для оценки уменьшения изгибной жесткости зуба при смеще-
нии точки приложения силы по длине зуба:

п(х) = 1 - [1 - л(0)](1 - 2х/Ь)г,	(4.2.14)

л(0) = 0,25(1 + 2й/й),

которая соответствует длинным зубьям (0 < h/b < 0,5). Очевидно, что с
уменьшением длины зуба близость торца будет сказываться в меньшей сте-
пени и в пределе (h/b -* 0) коэффициент п(х) -* 1,0. До накопления экспе-
риментальных данных по деформации коротких зубьев (h/b > 0,5) можно
пользоваться зависимостью л (0) (4.2.14) и для коротких зубьев, причем
при h/b >1,5, когда л (0) > 1,0, следует принимать л (0) = 1,0 и л(х) = 1,0.
Однако для зубьев муфт с криволинейной формой образующей всегда
соблюдается условие h/b < 0,5, когда справедлива формула (4.2.14).

Таким образом, формулами (4.2.11) -(4.2.14) решается задача об опре-
делении изгибной деформации эвольвентных зубьев с криволинейной об-
разующей с учетом ограниченной длины зубьев и возможности смещения
точки приложения силы по длине зуба.

4.3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

ЖЕСТКОСТИ ЗУБЬЕВ

Экспериментальные исследования жесткости зубьев муфт чрезвычайно
затруднительны, так как приходится иметь дело с незначительными вели-
чинами упругих деформаций зубьев, поэтому на практике, как правило,
используются косвенные методы определения деформации зубьев, при ко-
торых измеряется не сама деформация зубьев, а крутильная жесткость
муфты, которая, естественно, может быть измерена с большей точностью,
чем деформация собственно зубьев, по разности углов закручивания соеди-
няемых муфтой валов.

Связь между крутильной жесткостью муфты см и суммарной жест-
костью зуба с., имеет вид

см = М/* = РгьК»3/гь) = rjc,,	(43.1)

где гь — радиус основной окружности муфты, которая справедлива в слу-
чае, когда нагружена лишь одна пара зубьев. Если же нагрузку восприни-
мает несколько пар зубьев, то связь между см и с3 усложняется, так как
зазоры между зубьями в исходном состоянии перераспределяют нагрузку
между зубьями и в (43.1) угол соответствует наиболее нагруженной
паре зубьев.

Поэтому на практике с целью исключения влияния шаговых погрешнос-
тей зубчатых венцов на результаты измерения крутильной жесткости муф-
ты либо оставляют только две диаметрально противоположные пары зубь-
ев, чем обеспечивается статическая определимость системы и возможность
определения нагрузки, действующей на каждую пару нагруженных зубьев,
либо предварительной приработкой муфты добиваются того, чтобы без
нагрузки в контакте находились все зубья муфты, чем обеспечивается ра-
венство нагрузок, действующих на каждую пару зубьев.

В работе [61] первым из указанных методов исследовалась податли-
вость эвольвентных шлицов с параметрами т = 4,25 мм,2 = 28, а = 20°,
Ь = 10 мм. Для уменьшения влияния остаточных контактных деформаций
шлицевое соединение перед испытаниями многократно нагружалось кру-
тящим моментом, соответствующим а = 25 кгс/мм2. Однако, как показали
испытания, деформация шлицов, рассчитанная по результатам измерения
относительного углового смещения валов, при малых величинах крутяще-
го момента нелинейно зависит от нагрузки и лишь при М > 20 кг • м
(</>18 кгс/мм) связь между деформацией шлицов и нагрузкой q становит-
ся линейной (рис. 4.12).

Для получения эмпирической зависимости между коэффициентом сме-
щения х и коэффициентом деформации шлицов kw из рис. 4.12 были опре-
делены углы наклона прямых на участке q > 18 кгс/мм, что позволило по-
лучить зависимость между kw и х в следующем виде:

kw = 30 - 70(х - 1,0)3, х > 1,0;	(4-3.2)

kw = 30,	х<1,0,

которая с погрешностью, не превосходящей 1%, отличается от эксперимен-
тальных значений.

Сравнивая эмпирическую зависимость (4.3.2) с данными разд. 4.2,
видим, что расчеты значительно отличаются от экспериментальных вели-
чин коэффициента деформаций кц>. Действительно, из расчетов разд. 4.2
имеем к„ = 2,817, а из (4.12) - кК = (21,5-5-28,7)/Ла =10,75-5-14,35, таким
образом, коэффициент суммарной деформации зубьев kw = 2ЛИ + кК =
= 16,38-5-20,00, что более чем в 1,5 раза отличается от экспериментальной
величины кцг = 30. По-видимому, такое несоответствие рассчитанных и
измеренных величин коэффициента деформации зубьев связано с неизбеж-
ной концентрацией нагрузки на вершине зубьев втулки, приводящей к
соответствующему увеличению изгибной и контактной составляющей
деформации зубьев. Так, в работе [16] показано, что коэффициент дефор-
мации при номинальном контакте зубьев kw = 25 увеличивается до kw = 45
при выходе контакта на вершину зубьев. Рекомендованная в работе [16]
величина коэффициента деформации зубьев kw = 30 соответствует эмпири-
ческой зависимости (4.3.2).

В работе [61] вторым из указанных методов исследовалась податли-
вость шлицевого соединения с параметрами: т = 1 мм,/ = 22,а = 30°,h* =
- 0,5, b = 10 мм, при этом зависимость крутильной деформации соедине-
ния от нагрузки исследовалась после предварительной приработки соеди-
нения на пульсаторе при нагружении его крутящим моментом, изменяю-
щимся по пульсирующему циклу 0 <М <Afmax = 24,5 кг -м. На рис. 4.13
приведены результаты определения крутильной деформации шлицевого
соединения Д на радиусе R » 200 мм в зависимости от крутящего момента
после последовательной приработки шлицевого соединения.

В данном случае на крутильную деформацию шлицевого соединения
одновременно влияли два фактора — неравномерное распределение за-
зоров между шлицами в исходном состоянии и постепенный износ шли-
цов в процессе приработки соединения. Поэтому о жесткости шлицов
можно судить по прямолинейному участку функции Д = Д(Л/), когда
в контакте находятся все шлицы соединения.

Приведенные на рис. 4.13 эксперименральныс данные позволяют вос-
становить процесс приработки шлицевого соединения и определить его

жесткость. Верхняя кривая (Ма = 0) соответствует исходному состоянию,
когда приработка соединения отсутствовала. На ней начало прямолинейно-
го участка (М = 7,5 кгм) соответствует входу в контакт всех пар шлицов,
откуда найдется максимальная величина зазора в нсприработанном соеди-
нении So = 0,2 мм. Аналогично может быть найдена величина зазора в при-
работанном соединении после Nu циклов его нагружения Sfj, после чего
величина износа наиболее нагруженной пары шлицов найдется как разность
- SN.

На рис. 4.13 помечены точки, соответствующие началу прямолинейного
участка на кривых Д = Д(Л/), на рис. 4.14 по этим данным построена зави-
симость максимального зазора в соединении SN и величины износа нагру-
женной пары шлицов UN от времени приработки соединения. На рис. 4.13
видно, что после = 4,2 • 10* еще не все шлицы соединения находятся в
контакте, чем и объясняется некоторая нелинейность функции Д = ЩМ)
при Л/ < 2,5 кг • м и нелинейность функции UN = (/(JV) на рис. 4.14.

Из рис. 4.13 следует, что крутильная жесткость шлицевого соединения

см = М/>р = MR/S = (10 кгс  м/0,1 мм) 200 мм = 2 • 106, кгс • см/рад.

Для исследованного соединения гь = 0,9526 см и коэффициент суммарной
деформации зубьев

kw = п/ЩЬЕ) = ггьЬЕ/(2  10е) *21,0

На рис. 4.13 приведены две пунктирные линии, одна из которых соот-
ветствует крутильной жесткости шлицевого соединения, а другая - кру-
тильной жесткости одной пары шлицов, тангенс угла наклона которой в
z = 22 раз больше, чем у первой прямой. Очевидно, что кривая Д =Д(ЛГ),
соответствующая исходному нагружению шлицевого соединения (Na = 0),
касается первой линии в точке М = 0.

Деформация зубьев муфт с прямолинейной образующей исследовалась
первым из указанных методов на модели муфты с параметрами т = 6 мм,
z = 20, b = 26 мм, выполненной из оргстекла (£' = 4 • 104 кгс/см2) для
исключения нежелательных деформаций элементов стенда и повышения
в связи с этим точности измерения деформаций зубьев муфты [16]. При
этом варьировались крутящий момент и угол перекоса в муфте.

На рис. 4.15 приведены результаты экспериментального исследования
деформации зубьев муфты, из которого следует, что с увеличением угла
перекоса между осями муфт связь между Д и Р становится нелинейной.
Этот факт связан, очевидно, с изменяемостью схемы нагружения зубьев
с ростом нагрузки (длина площадки контакта зубьев изменяется с ростом
нагрузки) и будет подробно рассмотрен в гл. 6. Здесь же оценим величину
податливости зубьев муфты в отсутствие перекоса осей муфт (у = 0°),
когда наблюдается линейная зависимость между Д и А

Как следует из рис. 4.15, при Р = 20 кгс Д = 0,0575 мм, откуда коэф-
фициент суммарной деформации зубьев будет равен

kw = bbE/P = (0,0575/20) • 26 • 4 • 102 = 29,9,

что соответствует рекомендованному в [16] значению kw =30.

Представляет интерес определение параметров площадки контакта
зубьев с прямолинейной образующей при изменении угла перекоса меж-
Рис. 4.14. Зависимость износа шлицов от времени приработки шлицевого соединения

Рис. 4.15. Зависимость деформации зубьев муфт с прямолинейной образующей от
нагрузки и угла перекоса

При у®: 1 — О; 2 — I; 3 — 1,5; 4- 1,75; 5- 2

ду осями муфт, выполненное на муфте со следующими параметрами:
т = 3 мм, z = 40, Ь = 15 мм, Р = 14,6 кгс, Е = 4 • 10* кгс/см2, результаты
которого также приведены в работе [16].

На рис. 4.16,а приведены отпечатки пятен контакта на зубьях втулки
с прямолинейной образующей при варьировании угла перекоса между ося-
ми муфт. Обращает на себя внимание тот факт, что при у = 0 площадка
контакта не распространяется на всю рабочую высоту зуба втулки. Как
указано в гл. 1, связано это с тем, что при фрезеровании зубьев втулки и
долблении зубьев обоймы контакт их в отсутствие нагрузки происходит
по линии, а не по всей номинальной поверхности зубьев. Поэтому приве-
денные на рис. 4.16, а отпечатки площадки контакта зубьев муфты с пря-
молинейной образующей являются экспериментальным подтверждением
установленного в [59] факта локализации контакта в муфтах с прямолиней-
ной формой образующей зубьев.

Вместе с тем приведенные на рис. 4.16, а параметры контакта зубьев
при 7 = 0° позволяют выявить существенное несоответствие между уста-
Рис. 4.16. Отпечатки пятен контакта на зубьях втулки с прямолинейной (а) и криво-
линейной (б) формой образующей

а. у, Ь, мм; I, мм: 1 - 0е; 0,9; 15; 2- 30'; 1.33; 12,25; 3- Г; 1,3S; 6,3$; 4 -
1* 3tf; 1,20; 4.25; 5-2*; 1,25: 3,30; б. у; Ь, мм; 4 мм: / - 0°; 1,15; 4,0; 2-30°;
0,9; 3,9; 3- 1 ; 0,8; 3,5; 4- 1 30; 0.75; 3,4

новленной в гл. 1 величиной ^R/Rb = (Яо - Rb)/Rb = 0,007 и следующей
из эксперимента (см. рис. 4.16,о). Действительно, при у = 0° полуширина
площадки контакта Ьн = 0,9 мм, из решения задачи о контакте двух ци
линдров она равна (для v = 0,35)

Ьн = 1«06(«Я/£)4,

где 1//? = 1/Я„ - 1/Я0	= wzsina/2 = 20,52 мм. Из этой завнеи-
мости может быть найдена экспериментальная величина &R/R в виде
(£=4 - 102 кгс/мм2,<? = 14,6/15 =0,9733 кге/мм)

(ДЯ/ЛВ), = (1,О6/ЬЯэ)2<7Яв/£- * 0,07,

что на порядок отличается от полученного в работе [59] значения.

Таким образом, требуется дальнейшее накопление экспериментальной
информации и совершенствование методов исследования с целью уточнен-
ного определения величины.

В работе [60] приведены результаты экспериментальных исследований
внутреннего контакта конических образцов (рис. 4.17, а) с малой разницей
радиусов кривизны - варьирование угла конуса позволяло моделировать
угол перекоса между осями полумуфт. Радиусы кривизны конических
образцов г =28,6 мм и полости R - 28,8 мм были выбраны таким образом,
чтобы выдержать равенство ДА/ЛЬ = 0,007. Для исключения опрокидываю-
щего момента конический образец имел две зоны нагружения (рис. 4.17,6);
для повышения точности измерения параметров контакта деталей они были
изготовлены из оргстекла (Е = 3,94 • 104 кгс/см2, v = 0,284), а на цилин-
дрической полости 2 с угловым шагом 7°30‘ были нанесены риски глуби-
ной не более 0,1 мм.

На рис. 4.17,в приведены результаты экспериментального определения
размеров площадки контакта образцов (а — длина, <р — ширина контакта)
при варьировании сжимающей силы от 500 до 3000 кге с интервалом
500 кге: по оси абсцисс приведена угловая координата точек, расположен-
ных на границе площадки контакта, а по оси ординат — соответствующая
этим точкам текущая полуширина площадки контакта. Из приведенных
данных видно, что площадка контакта ограничена параболой, причем с
увеличением угла перекоса у ее параметры уменьшаются, а с увеличением
сжимающей силы соответственно увеличиваются. Этот факт, очевидно,
связан с изменяемостью схемы нагружения зубьев с изменением сжимаю-
щей нагрузки и будет подробно обсужден в гл. 6.

Здесь же остановимся на результатах экспериментального исследова-
ния при у = 20" * 10'* рад (см. рис. 4.17, в), когда приближенно можно
принять, что испытывались цилиндрические, а не конические образцы. Из
приведенных данных усматривается несколько сомнительных моментов:
во-первых, с ростом нагрузки до 500 кге имеет место резкое изменение
ширины площадки контакта b (0), дальнейшее же увеличение нагрузки
лишь незначительно изменяет величину Ъ (0); во-вторых, ширина площад-
ки контакта в торцовом сечении b (0) практически не зависит от угла пе-
рекоса у.

Поэтому проанализируем лишь характер изменения Ь(у) от нагрузки
при у = 10-4 рад в среднем сечении образца (х = 9 мм). Пересчет зоны кон-
такта в величину контактной деформации образцов, выполненный по
формуле (4.1.8), показал, что между нагрузкой, приходящейся на каждый
нагруженный участок Р/2, и расчетной величиной контактной деформации
существует линейная зависимость (рис. 4.18) при Р/2 > 250 кге. На
рис. 4.18 сплошной кривой показана зависимость (4.1.11), которая с
погрешностью ±30% соответствует экспериментальным данным.

Деформация зубьев муфт с криволинейной образующей исследовалась
первым из указанных методов на модели муфты с теми же параметрами,
40

Рис. 4.17. Параметры внутреннего контакта конических образцов 1 с цилиндрической
полостью 2

1- 250 кгс; 2- S00; 3 — 7S0; 4- 1000; 5- 1250; 6- 1500 кгс

что и муфты с прямолинейной формой образующей (т = 6 мм, z - 20,
b = 26 мм, Е = 4 • 104 кгс/см2) и с радиусами смещения исходного конту-
ра инструмента Rc = 430, 290 и 215 мм [16]. При этом также варьировались
крутящий момент и угол перекоса в муфте.

На рис. 4.19 приведены результаты экспериментального исследова-
ния деформации зубьев муфты при трех значениях координаты точки
начального контакта зубьев, отсчитываемой от среднего сечения зуба
Хр = 0 (1);хР = 6,5 (2) и хР = 10 мм (5), которым соответствует угол
перекоса осей муфт у ~ Xp/Rk. Здесь же сплошными кривыми приведены
результаты расчета по зависимости

△ = к^Р2'3,	(43.3)

следующей из (4.13).
Рис. 4.18. Зависимость контактной деформации образцов от нагрузки

Как видно из приведенных данных, зависимость (43.3) хорошо соот-
ветствует экспериментальным данным. Однако в исследованном диапазоне
нагрузок меньшую погрешность дает линейная зависимость △ = к^Р,
показанная на рис. 4.19 штриховыми линиями.

Естественно, что величина коэффициента к& зависит от координаты точ-
ки приложения силы, так как по мере смещения этой точки податливость
зуба растет в связи с близостью торца.

На рис. 4.20 приведена зависимость коэффициента деформации зуба
от координаты точки приложения силы Хр. отсчитанной от среднего се-
чения зуба. Там же по данным рис. 4.19 приведена зависимость Д(0)/Д(х)
от хР. Сплошная кривая Д(0)/Д(х) построена по формуле (4.2.14) для п =
= 0,5, т.е. в предположении, что на торце зуба контактная деформация
вдвое больше, чем в среднем сечении длины зуба. Из приведенных данных
видно, что погрешность формулы (4.2.14) не превосходит 25%, причем луч-
шее соответствие расчета с экспериментом формула (43.14) даст, если в
ней принять п = 0,25, т.е. четырехкратное увеличение деформации зуба на
торце. Пунктирной кривой на рис. 4.20 показан расчет отношения
Д(0)/Д(х), выполненный по (4.2.14) при п = 0,25.

Параметры площадки контакта зубьев с криволинейной формой обра-
зующей при изменении угла перекоса между осями муфты приведены на
рис. 4.16,6 и выполнены на муфте с теми же параметрами, что и на
рис. 4.16, а: т = 3 мм, z = 40, Ь = 15 мм, Р = 14,6 кгс,£= 4Д04 кгс/см2 и
7?* = 80 мм. Из рис. 4.16, а усматривается противоречие с результатами из-
мерения деформации зубьев. Действительно, с ростом угла перекоса пло-
щадка контакта смещается к торцу и деформация зуба в связи с краевым
эффектом увеличивается. Увеличение контактной деформации должно про-
явиться в увеличении площадки контакта зубьев. Из рис. 4.16,6 следует
обратная картина - со смещением площадки контакта на торец она не уве-
личивается, а, наоборот, уменьшается. Поэтому требуется дальнейшее на-
копление экспериментальной информации по зависимости параметров
площадки контакта зубьев от угла перекоса между осями муфт.
Рис. 4.19. Зависимость деформации зубьев муфт с криволинейной образующей от
нагрузки и координаты точки приложения силы

Рис. 4.20. Зависимость кд и Д(О)/Д(х) от координаты точки приложения силы

В работе [139] проведен комплекс экспериментальных исследований
деформации зубьев муфт с криволинейной формой образующей. Испыта-
ния проводились в модельных и стендовых условиях — модельные испы-
тания проводились на зубьях втулок зубчатого шпинделя (т = 4 мм, z = 48,
Ь = 30 мм, Rk = 55 мм) и зубчатой муфты (т = 8 мм, z = 48, b = 45 мм,
Rk = 340 мм) с имитацией реального нагружения сосредоточенной силой,
прикладываемой в разных точках по длине зуба, при этом соответствую-
щим расположением индикаторов измерялась как суммарная деформация
зуба, так и ее составляющие - контактная, изгибная и деформация основа-
ния зуба. Стендовые испытания проводились на двухзубой муфте при
варьировании угла перекоса между осями муфты (? = (Н3° через 1 °) и
ориентации нагружаемого зуба по отношению к плоскости перекоса
(в = 20°-110° через 30°). Анализ модельных испытаний показал, что на
Рис. 4.21. Зависимость деформации зубьев муфты и шпинделя от нагрузки
При т. мм: 7 — 4; 2— 8; 3—4

контактную и изгибную составляющие деформации зубьев приходится
80—90% от общей деформации зубьев.

На рис. 4.21 приведены результаты экспериментальных исследований
деформации зубьев, выполненных в модельных (/, 2) и стендовых (5) ус-
ловиях при отсутствии перекоса между осями муфт. Как видно из приве-
денных данных, между деформацией зубьев и нагрузкой существует линей-
ная зависимость, причем при модельных испытаниях деформация зубьев на
70% больше, чем при стендовых. Объясняется это, по-видимому, тем, что
при модельных испытаниях нагружение осуществлялось через плоский
пуансон, а при стендовых - через реальный зуб обоймы, в первом случае
контакт был более локализован, чем во втором случае, что и привело к
увеличению контактных деформаций при модельных испытаниях зубьев
втулки.
На рис. 4.22 приведены результаты экспериментального исследования
влияния угла перекоса между осями муфт (пересчитанного в координату
точки приложения силы, отсчитанную от среднего сечения зуба) на отно-
сительную деформацию зуба w(0)/w(jc) . Поскольку в стендовых (5) усло-
виях нагружения муфты варьировался также и угол О , то для этого случая
число экспериментальных точек значительно больше, чем при модельном
(7, 2) эксперименте. Здесь же приведены кривые, построенные по зависи-
мости (4.2.14): сплошная - для п = 0,50, пунктирная — для п = 0,25.

Как следует из приведенных данных, по мере смешения точки приложе-
ния силы к торцу (обусловленному увеличением угла перекоса) деформа-
ция зуба растет (отношение н>(0)/м'(х) уменьшается), однако для т = 4 мм
как в модельных, так и в стендовых условиях экспериментальные точки
ближе к расчетной кривой (4.2.14) для п = 0,25, а для т = 8 мм экспери-
ментальные точки ближе к кривой (4.2.14) для п = 0,50.

Такая закономерность объясняется тем, что, как установлено в работе
[15], величина коэффициента п сама зависит от относительной длины зуба
b/h и в интервале изменения 0 < h/b < 0,5 может быть определена по за-
висимости

п = 0,25(1 + 2h/b).	(4.3.4)

ГЛАВА 5

ЖЕСТКОСТЬ ПОДАТЛИВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МУФТ

5.1. ЖЕСТКОСТЬ ВАЛОВ

Погрешности взаимного положения валов приводят к неравномерному
распределению нагрузки как между зубьями (шлицами), так и по их дли-
не. К ним относятся: погрешности взаимного расположения расточек под
подшипники в корпусе машины (особенно ощутимые, когда опоры соеди-
няемых валов располагаются в разных корпусах); разнозазорность в под-
шипниках валов и их неодинаковая жесткость, связанные как с разбросом
размеров подшипников в пределах поля допуска, так и с применением в
опорах подшипников не одинакового типоразмера; изгибная и крутильная
деформация вала в связи с передачей муфтой крутящего момента и дейст-
вием на валы нагрузок от зубчатых или других механических передач.

Технологические погрешности взаимного положения валов, являясь
по своей природе величинами случайными, могут быть определены на ста-
дии проектирования лишь с некоторой вероятностью. Выше подробно рас-
смотрено влияние погрешностей монтажа элементов муфт на распределе-
ние зазоров между зубьями (шлицами).

Погрешности (зазоры) и деформации подшипниковых опор могут быть
определены из схемы, приведенной на рис. 5.1. В работе [7] показано, что
радиальная деформация подшипников 6 выражается через радиальный за-
зор в подшипнике е/2 следующим образом: для шарикоподшипника

«ш = 2,87(/->/гсш) 0-60(е/2)‘-90,	(5.1.1)
для роликоподшипника

Sp = 2,54(Fr/zcp)0,67 (е/2) *'67,	(5.1.2)

где сш, ср — контактная жесткость шарика и ролика в контакте с наруж-
ным и внутренним кольцом подшипника.

Реакции на опорах первого (Ль B2) и второго (А3. В2) валов, соединяе-
мых муфтой Л/ (см. рис. 5.1), определяются из уравнений равновесия для
каждого вала при заданной конструктивной схеме узла. Так, например, для

Рис. 5.1. Схема расположения зубчатой (шлицевой) муфты

первого вала сила в зубчатом зацеплении Р2 вызовет реакции на опорах

Л, s A(l-(/ll/(bl -/11))L RBl = А/.2/(^1 - Л1),
для второго вала

в А П — (/jl/(^>2 —/22))] , RB, = A/2l/(^2 —/22)»	(5-1-3)

причем эти реакции будут деформировать подшипниковые опоры, в ре-
зультате чего произойдут относительные смешения и перекосы валов: для
первого вала

[(ci 1 +5ц) + (вц + S|2)]/2 = Cie. 1(^11+611) — (ci т + 612 )]/£i =

' 71S,	(5.1.4)

для второго вала

[(вц + 62|) + (е22 + 622)]/2 = е2£, [(е21 +62|) —(е22 + 622)]/£2 =

= 72S,

и относительные смешения

еХ = ^1Е - ^2S- 7х = 71X - 72S-	(5.1.5)

Из приведенных зависимостей видно, что можно значительно уменьшить
суммарные погрешности взаимного расположения валов при заданной
конструкции узла и системе внешних сил за счет рационального выбора
типов подшипников и регулирования в них зазоров.

Изгибная деформация вала на участке, где расположен зубчатый (шли-
цевый) венец, происходит под действием внешних (например, от зубчатых
зацеплений) и внутренних нагрузок, распределенных по длине зубчатого
(шлицевого) венца. Нагрузки зависят от жесткости муфты (в том числе
и валов), поэтому на этапе определения деформации валов должны быть
приняты известными функции координаты х, отсчитываемой вдоль зубча-
того (шлицевого) венца.
Изгибная деформация точки М валов, вызванная усилиями Pt и Р2 в
зубчатых зацеплениях, может быть выражена через углы наклона в точках
Ai и Аз следующим образом [134]:

WP ~	1 +	= R’i(£i ~ Л1X1 i/6£|£7i ] [£? — (М — li j)2] +

+ [Pi(L2-l22)l2i/6L2E/2][L22 - (L2-l22)2],	(5.1.6)

где £7i, El2 — жесткость первого и второго вала на изгиб.

Для определения изгибной деформации валов под действием распреде-
ленной по длине зубьев (шлицов) нагрузки необходимо задаться характе-
ром распределения контактной нагрузки на зубьях (шлицах). Будем счи-

Рис. 5.Z Составляющие кон-
тактной нагрузки на зубчатой
(шлицевой) муфте

тать, что точка М является серединой зубчатого (шлицевого) венца и кон-
тактная нагрузка представлена в виде степенного ряда (рис. 5.2)

?(х) = X	-К х <1.	(5.1.7)

т=0

где 2/ - длина зубчатого (шлицевого) венца, координата х отсчитывается
от среднего сечения (точка М).

Каждый член ряда нагрузки (5.1.7) представим в виде сосредоточенной
силы Ст (для четных т)или сосредоточенного момента Мт (для нечетных
т), приложенных в точке М, величина которых найдется из уравнения рав-
новесия

Qm = 2Sqm{xlI)mdx -	Мт = 0, гп - 2к,

» О	(Ш + 1)

,	w	(5|8)

Cm = о. М„ -	т = 2Л + 1.

о	(т + 2)

Такую замену без потери точности расчета можно сделать, учитывая, что
длина зубчатого (шлицевого) венца значительно меньше пролета £/.

Тогда прогиб в точке М вала определится как сумма прогибов консоли
Л1 (G1) - на конце которой приложена сосредоточенная сила Qm (сосредото-
ченный момент Мт) и опертой балки длины (Li~lu) или (L2-l22), на
опоре которой, ближайшей к точке М, действует момент Qmln (Qmhi)
или Мт.

Прогиб консоли под действием сосредоточенной силы Qm равен для
первого вала

*1, = em/(£/i)[(/nXa/2)-(x3/6)],

что для точки М даст Wj = Qml] i /(3£/j), для второго вала аналогично

*20 = ет/(£72)[(/2 1Х2/2)-(х’/6)]
и

*2 = Cm/h/(3£7,).

Прогиб для консоли под действием сосредоточенного момента равен для
первого вала

что для точки М даст = Мт12 । !(2ЕЦ ), для второго вала

*2м = Мт*г1(2Е12),

что для точки М даст w2 =Mml2l/(2EI2).

Угол наклона в опоре при приложении к ней изгибающего момен-
та М равен [134]

Q = М1ЦЗЕ1),

и прогиб консольного участка
н- = Ох,

что для первого вала в точке М даст

*; = ла,/,,/^,).

а для второго вала в точке М даст
w‘2= ML2l2x!(3EI2},

где М соответственно равен Qmhi (Qm hi) или Мт в зависимости от
того, учитывается сила Qm или изгибающий момент Мт (тл. четная или
нечетная составляющая ряда (5.1.7)).

Таким образом, разность смещений точки М для первого и второго
вала составит

Qm
еУпр = *1 + *2 = —

т = 2к, .

(5.1.9)

+ ^т ( *** 4-	1 \

+ Е12 \ 2	3 /

т = 2к + 1.

Важным фактором, влияющим на нагруженность зубьев (шлицов),

является относительный угол перекоса между осями полумуфт, кото-

s. Зак. 821
рый соответственно равен

Qm /^2 1	. L2l2 1 \

+ --- I--- + ------ I, т = 2к,

Е12 \ 2	3 /

Мт /	L, \

7упр = *. + *а = ^rVl* + “Г +

ГЛ1 \	J /

Мт I	^2 \

+ -----Mi 1 + ----- I. w = 2fc + 1.

EI2 \	3 /

(5.1.10)

(5.1.11)

Таким образом, формулами (5.1.6) —(5.1.9) определяется упругое
смещение в муфте, обусловленное изгибной деформацией валов. Упру-
гий угол перекоса в муфте определится по зависимостям (5.1.10),
(5.1.11), если к ним прибавить угол перекоса 0t + 02, определенный
из (5.1.6) и обусловленный действием нагрузок от зубчатых зацеп-
лений.

Крутильная деформация вала на участке, где расположен зубчатый
(шлицевый) венец, происходит под действием подведенного к венцу
внешнего крутящего момента и внутренних нагрузок, распределенных
по длине зубчатого (шлицевого) венца. По-прежнему будем считать,
что контактная нагрузка представлена в виде (5.1.7), тогда интенсив-
ность распределенного крутящего момента может быть представлена
в виде степенного ряда

т (х) = q (x)r = г f qm (х/1)т, -Кх <1,	(5.1.12)

т с О

где г — радиус действия контактной нагрузки (для зубчатой муфты —
радиус основной окружности).

В соотношении (5.1.12) целесообразно выделить члены ряда с чет-
ным т= 2к и нечетным т = 2Л+ 1 значением т (см. рис. 5.2). Тогда
для т = 2к + 1 контактная нагрузка является самоуравновешенной
системой сил на участке — I <х*£1, а для т = 2к в сечении х = —/ (со
стороны подвода крутящего момента) должен быть приложен сосре-
доточенный крутящий момент Мт, определяемый из условия равнове-
сия в виде

Мт = 2r / q„ (x//)m dx = 2rqml/(m +1),	(5.1.13)

о

причем равновесие системы требует того, чтобы соблюдалось условие

М = £ Мт = 2lr £	—щ = 2*.	(5.1.14)

ги = О	ГП = 0 (Ш + 1)

где М — крутящий момент, подведенный к муфте.

Известно, что относительный угол закручивания 0(х) (угловая де-
формация) выражается через интенсивность распределенного крутящего
момента т (х) следующим образом:

dy (х)	•

* (х) = —~	~ ч	Sm(X)dx+cx,	(5.1.15)

dx	Glk(x)

а угловое перемещение (х) — в виде

dx

</>(х) = —f - fm(x)dx+ctx + c2,	(5.1.16)

Glk (х)

где Ci, с2 — постоянные интегрирования, определяемые из граничных
условий задачи; GIk(x) — жесткость вала на кручение, в общем случае
зависящая от координаты х.

Для четных членов ряда (5.1.12) т = 2к граничные условия имеют вид

х = -/ do(x)/dx = Мк (x)!(GIk) = с, = Mm!(Glk),

(5.1.17)

x=l <p(l) = 0, c2 = -Mm(GJk),

поэтому из (5.1.15) и (5.1.16) получим (для Glk = const)

1 Г х	1 Мт

*(*) = ~7Г~\Мт ~ J4mr(x/irdx = —^[1 ~(х/1Г + '] (5.1.18)
О/д II	J

и

*	Мт1 ( / х

(х) = f в (х) dx + с2 =------- { (----1

-I	2Glk \\1

- 1

Линейное перемещение на радиусе г будет равно

1
(™+2)

т + 2

Mir

5Г (х) = IV (х) = —
2Glk

Ь г ((х//У"+2 -1]MW

2GIk m- 2k (nt + 2)

m = 2k.

(5.1.19)

Для нечетных членов ряда (5.1.12) т = 2к + 1 граничные условия име-
ют вид

(х)	1

Х=-/ —------- = - —— fmk(x)dx+ct =<?, =0,

dx	G/k

х = 0 ^(х) = fO (x)dx + с2 =0,

поэтому из (5.1.15) и (5.1.16) получим (для GJk = const)

0 (х) = -

X
f Чт Г
-I

Чт П

(т + 1)

1

G4

1

G4

X

X

(5.1.20)
и

И*) = / 0 (x)dx 4- С2 =
-/

1

G/k (ет + 1)

но из граничного условия

(5.1.21)

Если для т = 2к + 1 условно ввести момент Мт, определяемый соот-
ношением (5.1.13), то линейное перемещение на радиусе г будет равно

6S (х) = г<р(х) =

Zr	Г/ х

= ---- Z Мт ( —

2Glk m = J fc + 1	[\ /

1	(J_\m+2

(zn + 2) \ / /

(5.1.22)

Таким образом, формулам (5.1.19) и (5.1.22) определяются линей-
ные перемещения под действием произвольной контактной нагрузки,
действующей на зубчатый (шлицевый) венец. Полученные формулы
справедливы для случая, когда крутильная жесткость вала GIk(x) яв-
ляется постоянной по длине венца величиной. Если G/* (х) # const, то
при определении <^(х) необходимо воспользоваться непосредственно
соотношением (5.1.16). Изменяя функцию G/*(x) по длине венца,
можно добиться выравнивания крутильной деформации вала и су-
щественного снижения концентрации контактных давлений в зубчатом
(шлицевом) соединении. Поэтому представляет практический интерес
расчетная оценка крутильной деформации вала при переменной величи-
не GIk (х):

где 5„ = Adn/do — малая величина, что позволило применить приближен-
ное разложение в ряд функции d (х). Учитывая малость 5„, можно за-
писать выражение

l/G/»(x) *

(5.1.23)

которое возможно использовать для решения задачи о крутильной де-
формации вала переменного сечения.
Соотношения (5.1.22а). (5.1.23) справедливы для вала сплошного
поперечного сечения; для втулки, имеющей отверстие, эти соотноше-
ния изменятся и примут вид

Ся(</4(х)-</4)	|	(х\п1[

----------l+4S6„(yJ Д|-

/ d \* 1 )

-( —	.	(5.124)

' do ' J J

г

где 6„ = Д</п/</0; GIk = Gird о [1- (d/d0)*]/32; d0 - средний наружный
диаметр втулки; d — диаметр отверстия втулки

l/G/*(x) *

* | 1 - 4 X Ьп
I л-1

(5.1.25)

Используя более общие зависимости
получим

(5.1.24), (5.1.25), из (5.1.18)

= /в (x)dx + с2 =
-/

1-4 X 5„
Л=1

(5.1.26)

Подынтегральная функция в (5.1.26) может интерпретироваться как
функция интенсивности распределенного крутящего момента, которая
может быть как четной, так и нечетной в зависимости от сочетания пока-
зателей степени тип. если т = 2к и п = 2q оба четные, то подынтеграль-
ная функция четная и постоянная интегрирования определяется подоб-
но тому, как это сделано в (5.1.17); если т = 2к + 1 ил = 2<? + 1 оба
нечетные, подыинтгеральная функция в (5.1.26) распадается на две со-
ставляющие - четную и нечетную, для первой из которых постоянная
интегрирования определяется из (5.1.17), а для второй — из (5.1.21).
Аналогичная картина возникает в случае, когда т - 2к + 1, л = 2q или
т - 2к, п = 2q + 1.

Таким образом, выбирая должным образом характер изменения по-
перечного сечения вала и втулки, можно минимизировать функцию
интенсивности распределенного крутящего момента, а вместе с ней и
закручивание элементов муфты, приводящее к концентрации контакт-
ной нагрузки на зубьях.

Входящая в приведенные формулы жесткость вала (втулки) на кру-
чение зависит от наличия зубчатого (шлицевого) венца, поэтому это об-
стоятельство должно учитываться при расчетной оценке крутильной де-
формации элементов муфты. Точное решение задачи о кручении вала
и втулки сложной конфигурации представляет значительные математи-
ческие трудности (23]. В работе [23] приведен пример расчета для
вала и втулки с шестью прямобочными шлицами со следующими
относительными размерами: для вала — r2/ri = 1,964; Гэ/п = 2,4595;
для втулки — г31г2 = 1,964; Гз/п = 1,9642 = 3,8573, где п - минималь-
ный радиус сечения (для вала - радиус отверстия, для втулки - радиус
окружности выступов шлицов); г2 — максимальный радиус сечения (для
вала — радиус окружности выступов шлицов; для втулки — радиус
наружной цилиндрической поверхности); г2 — радиус окружности
впадин шлицевого венца.

Анализ выполненных расчетов показал, что наличие шлицов неодина-
ково влияет на повышение крутильной жесткости вала и втулки. Если
ввести в рассмотрение эффективный радиус гэф = r2 ±k>,h (где Л - высо-
та шпица), при котором крутильная жесткость вала (втулки) равна рас-
четной величине при наличии шлицов, то окажется, что для вала и для
втулки соответственно

г,ф =г2 + 0.6954Л, гэф = r2 — 0.1018Н,	(5.1.27)

где h, И — высота шлица вала и втулки, те. на крутильную жесткость
вала наличие шлицов оказывает значительно большее влияние, чем
на крутильную жесткость втулки. Формулы (5.1.27) могут использо-
ваться при практических расчетах крутильной жесткости зубчатых (шли-
цевых) валов и втулок.

В работе (19] в результате обработки экспериментальных данных по-
лучено, что повышение крутильной жесткости вала зубчатого колеса
в связи с наличием зубьев (г = 17 4- 30, т = 2 4- 6 мм) может быть учтено,
если в качестве эффективного принять радиус

'эф = г - 0,75т = г2 + 0Д222Л,	(5.1.28)

где г - радиус делительной окружности зубчатого венца; г2 — радиус
окружности впадин; h — высота зуба; т — модуль зацепления.

В работе [19] приведены результаты определения крутильной жест-
кости шлицевого вала методом электромагнитного моделирования, ко-
торые сопоставлены с опубликованными расчетными данными.

Z	Л/г,	c/Grt‘	
4	0,20	/2,080»	/0,3634
	0,25	1,720/1,970	0,0923/0,2328
	0,29	1.685/2,109	0,0609/0,2634
	0,30	-	/2,240	/0,3091
6	0,20	1,899/1,962	0,2428/0,2857
	0,33	-	/2,176	/0,2442
16	0.27	1,724/1,849	0,0871/0.1477

*В числителе - расчетные данные, и эитменателе - экспериментальные.

На рис. 5.3 приведена зависимость kh от z, построенная по приведен-
ным выше данным. Здесь, кроме экспериментальных значений kh (7),
нанесены также расчетыяе значения kh (2) и эмпирическая зависимость

к„ - 0,4/[1 + (z/12)],	(5.1.29)

показанная сплошной кривой.
Рис. 5.3. Зависимость коэффициента полноты к/, at числа шлицов сплошного шлице-
вого вала

Таким образом, из приведенных данных следует, что крутильная жест-
кость вала может определяться, как для сплошного вала, имеющего
радиус

/эф =г2 + 0,4h/[l + (z/12)].

(5.1.30)

Сравнивая (5.1.30) с (5.1.27), видим, что для полого вала наличие шли-
цов в большей мере влияет на его крутильную жесткость, чем для сплош-
ного вала.

5Л. ЖЕСТКОСТЬ ОБОЙМЫ

Изгибная деформация обода обоймы может значительно повлиять на
характер распределения нагрузки между зубьями муфт при наличии по-
грешностей взаимного положения валов, соединяемых муфтой. Поэтому
она может рассматриваться как конструктивный фактор, с помощью
которого можно, компенсируя отрицательное влияние погрешности
взаимного положения валов муфт, добиваться более равномерного
распределения нагрузки между зубьями (шлицами).

В работе (16] определен прогиб обода муфты, измеренный по на-
правлению нормальной составляющей нагрузки на зубьях, при нагруже-
нии его двумя диаметрально расположенными группами сил в следую-
щем виде:

2Рр3 -

и =------ S	с„ cosn (в — вР),	(5.2.1)

я £7 л» г*

где Р - нормальная нагрузка на зубе; р, EI — радиус нейтральной ок-
ружности и жесткость на изгиб обода обоймы муфты; I - момент инер-
ции поперечного сечения обода обоймы муфты, / = />о#о/12; />0. Но -
ширина и высота сечения обода обоймы; в, 0Р — текущее сечение и се-
чение, в котором приложена сила Р; с„ — коэффициент деформации обо-
да обоймы

с» “ ~£7 а I "2sin2a + [ 1 + ~а (я2 ~ l)2]cos2a ) .	(5.2.2)

п1[п—\у (	L Р	J

Здесь первое слагаемое учитывает радиальную составляющую нагруз-
ки на зубьях Рата, а второе — тангенциальную Pcosa и моментную
P/jcosa составляющие нагрузки на зубьях (последняя связана с внецент-
ровым действием на расстоянии h силы Pcosa по отношению к нейтраль-
ной окружности обода обоймы).

Входящий в (5.2.2) коэффициент Ап учитывает конструктивное ис-
полнение обода обоймы и принимает следующие значения: для свобод-
ного кольца Ап = 0; для кольца в упругой среде:

А„ = (к2 4-jtjW2)/ [л2(л2— I)2 + *2 + £\л2];	(5.2.2а)

для кольца, соединенного с оболочкой:

Ап = а2/[л2 (л2- I)2 (л2 + а,) + а,],

где к i = kiP^/El - приведенные коэффициенты податливости упругой
среды в радиальном (/ = 1) и тангенциальном (т = 2) направлениях;

ах = \2Eop2/Golo; аг = \2Е0Н0рь/EIIq ; /0, Яо - длина и толщина обо-
лочки; £0> Go — модуль упругости первого и второго рода материала
оболочки.

Если обод обоймы выполнен в виде короткой консольной оболочки,
то необходимо учесть искривление образующей обода обоймы, что не мо-
жет быть сделано по приведенным зависимостям.

В работе (11] для консольной оболочки длины 21, нагруженной в ди-
аметрально расположенных сечениях группой сил Psina, Pcosa, Phcosa,
определен прогиб в направлении нормальной составляющей нагрузки
на зубьях Р в следующем виде:

2Рр3 -

и = ----- S c„cosn(0-OP),	(5.2.3)

IlDl п = 2к

где D - цилиндрическая жесткость оболочки; D - ЕНо/12(Д - г2); сп -
коэффициент деформации обода обоймы:

£_ ( (l+xP/2Q(l+x/2/)	|

Сп л2(л2-1)2	( [1+(6(1 +н)/л2)(р//)2] ! :

х, Хр - текущая координата и координата точки приложения силы Р.
отсчитываемые от защемленного торца оболочки.

В работе [76] по методике расчета, изложенной в [29], определен
прогиб консольной цилиндрической оболочки в предположении, что
образующая оболочка в деформированном состоянии остается прямо-
линейной. В результате для лй гармоники радиальной qrnccsnO и тан-
генциальной qtncosn6 составляющих нагрузки, приложенных на
свободном торце оболочки, получены следующие выражения для ра-
диальной M/nCosnfl и тангенциальной uncosn0 составляющих упругих
перемещений оболочки:

*'л = (q„P2x/D)с„, и„ = (qt„p2x/D) (сп/п),	(5.2.5)

где сп — коэффициент деформации оболочки:

I „	, Г 1	1 -v 1 / I \2 ] ] '

—+ Нт) ]|  <5-2‘>
где I — длина консольной оболочки.
Приведенные зависимости, хотя и учитывают деформацию образую-
щей оболочки, относятся к достаточно длинным оболочкам, когда со-
средоточенная сила (например, радиальная), разложенная в бесконеч-
ный ряд

Р -

Р = — X cosnfl,	(5.2.7)

Я Л=1

вызывает соответствующий бесконечный ряд прогибов

Рр3 -

и =------ X ипсо5п0.	(5.2В)

тг D1 п= 1

Для коротких консольных цилиндрических оболочек ряд (5.2В) имеет
место чисто форьольно, как математическая операция представления
периодической функции (в связи с цикличностью системы) в тригоно-
метрический ряд, характер же деформирования оболочки изменяется
принципиально — сосредоточенная сила, действующая на короткую
консольную цилиндрическую оболочку в произвольной ее точке, дефор-
мирует лишь незначительную часть поверхности оболочки, непосредствен-
но прилежащую к точке, где приложена сосредоточенная сила, остальная
же часть поверхности оболочки остается недеформированной. Именно
в этом заключается принципиальная разница характера деформирования
короткой и длинной консольной цилиндрической оболочки, связанная
с тем, что для короткой цилиндрической оболочки близость защемлен-
ного торца к сечению, где приложена сосредоточенная сила, существен-
но влияет на затухание изгибных перемещений по периметру оболочки.

Справедливость сказанного наглядно иллюстрируется результатами
экспериментального измерения прогиба части консольной цилиндриче-
ской оболочки из оргстекла при варьировании ее радиуса, выполненного
в работе [24], Длина испытуемых образцов, измеренная по хорде, со-
ставляла L = 200 мм, консоль — Но =45 мм, внутренний радиус оболоч-
ки R = 100; 160; 200; 300 мм и °° (консольная пластина той же тол-
щины), толщина оболочки 5 = 16 мм (лишь для R = 100 мм и R = °°
она равна 15 мм). На наружную цилиндрическую поверхность оболоч-
ки с шагом 10,2 мм наносились продольные риски, отмечая сечения,
в которых измерялись упругие прогибы оболочки. Сосредоточенная
радиальная сила прикладывалась в трех ярусах, на расстоянии 2,10
и 18 мм от свободного торца оболочки.

Измерение прогабов оболочки при нагружении ее радиальной силой
Р - 10 кгс дало следующие результаты, мкм.

R, мм	Xр, мм	у, мм		
		-102	-81,6	-20,4
ОО	2	1,0/0,07*	2,2/0,16	95/0,70
	10	1,0/0,12	1,5/0,18	6,2/0,73
300	2	05/0,04	1.2/0,10	9,0/0,72
	10	0.4/0,05	1,0/0,13	65/0,81
200	2	0,3/0,02	1,0/0.08	9,0/0,72
R, мм	ip, мм	у, мм			
		-102	-S1.6	-20,4	
	10	0,1/0,13	05/0,06	6,0/0,75	
160	2	0/0	0,2/0,02	75/0,68	
	10	0/0	0,1/0,01	55/0,73	
100	2	-0,7 5/-0,08	-05/-0.05	65/0,65	
R, мм	Хр, мм	у, мм			
		0 1	20,4	81.6	102
ОО	2	13,5/1,0	8,0/0,59	1.5/0.11	0,6/0,04
	10	8,5/1,0	6,0/0.72	1,0/0,12	0/0
300	2	12,5/1,0	9,5/0,76	1,5/0,12	0,5/0.04
	10	8,0/1,0	65/0,81	1.2/0,15	0,4/0,05
200	2	12,5/1.0	8,0/0,64	1,0/0,08	0,1/0,01
	10	8,0/1.0	5,5/0,69	0,8/0,10	0/0
160	2	11,0/1,0	7,8/0.71	0,2/0.02	0/0
	10	7,5/1,0	5.5/0,73	0,1/0,01	0/0
100	2	10/1,0	65/0,65	-0.5/-0.05	-0,75/-0,08

‘В числителе — измеренный прогиб, мкм; в знаменателе — относительный прогиб
w 0>)/w (О) в долях прогиба в сечении, где приложена сосредоточенная сила.

Из приведенных данных следует важный для правильного выбора
расчетной модели обода обоймы результат - независимо от отношения
R/Ho прогиб оболочки на расстоянии у/Н0 = 102/45 = 2,27 от точки
приложения силы практически полностью затухает. На рис. 5.4 приве-
дены результаты измерения характера затухания прогиба оболочки по
ее периметру, построенные по приведенным данным. На этот же график
нанесены заимствованные из работы [15] данные, характеризующие
влияние на затухание прогиба бесконечно длинной консольной пласти-
ны координаты точки приложения силы. Там же для сравнения приве-
дены функции >р(0х) = e-|3x(cos0x + sin0x), характеризующие затуха-
ние прогиба в бесконечно длинной балке на упругом основании.

Как следует из приведенных данных, характер затухания прогиба
части цилиндрической оболочки близок к бесконечно длинной балке
на упругом основании с параметром длины балки РНО = 1,2, причем
для больших значений координаты у/Н0 лучшее соответствие дает пара-
метр длины балки 0НО = 1,0. Этот результат соответствует установлен-
ному в работе [15] характеру затухания прогиба консольной бесконеч-
но длинной пластины.

На рис. 55 полученные результаты по затуханию прогиба части кон-
сольной цилиндрической оболочки сопоставлены с приведенными в ра-
боте [15] данными, характеризующими влияние длины консольной
пластины и плиты на затухание прогиба по их длине. Как следует из при-
веденных данных, затухание прогиба по длине части цилиндрической обо-
лочки соответствует бесконечно длинной консольной пластине.

В работе [123] были проведены измерения прогиба арочного зуба (ко-
74


1 - Yp* 1,0; У = 1,0; 2 - l,0;0,7S; 3 - 1,0,0,50; 4 - 1,0; 0,25;5 - 0,75; 1,0; 6 - 0,75;0,75; 7 - 0,75; 0,50; 8 - 0,75; 0,25
Рис. 5.5. Изменение упругих перемещений в пластине и плите конечной длины и части цилиндрической консольной оболочки
Тонкая пластина: h/b: 1 - О; 2 - 0,25; 3 - 0,333; 4 - 0,50; толстая плита: h/b: 5 — 0,333; 6 - 0,50
торый имеет форму части консольной цилиндрической оболочки) при
варьировании радиуса резцовой головки, формирующей выпуклую
и вогнутую боковые поверхности арочного зуба. Нагрузка прикладыва-
лась в среднем сечении зуба как на выпуклую, так и на вогнутую сторо-
ны на расстоянии Хр/Н3 = 0,93; высота зуба составляла Н3 = 70 мм; про-
гиб зуба измерялся в точках, равномерно расположенных по длине зуба
с шагом 0,2/Тз- Радиус резцовой головки варьировался в широких пре-
делах - 73,5; 105; 200; 210; 240 мм и 00 (рейка). Характер затухания
прогиба по длине зуба исследовался на образцах с радиусом резцовой
головки 200; 210 и 240 мм; образцы зубьев для увеличения регистри-
руемых прогибов изготовлялись из оргстекла.

На рис. 5.4 по данным работы [123] нанесены кривые (в точках с коор-
динатами к 0,2х/Н3, к - целое число), характеризующие затухание про-
гиба зуба по мере удаления от среднего сечения, где приложена сосредо-
точенная сила. Испытания показали, что при приложении нагрузки на
выпуклой стороне зуба прогибы затухают быстрее, чем на вогнутой
стороне, однако, как следует из рис. 5.4, это не изменяет общей зако-
номерности прогиба зуба - прогиб в части оболочки изменяется, подоб-
но прогибу балки на упругом основании, с коэффициентом длины, близ-
ким к 0Я3 я 1,2.

На рис. 5 5 также нанесены результаты экспериментов, выполненных
в работе [123], с учетом того, что для них Н3)Ь = 0,25. Как следует из
рис. 5.5, затухание прогиба по длине части оболочки происходит быстрее,
чем в консольной пластине с Н3/Ь - 0,25, и уже при у/Н3 = 2 они практи-
чески отсутствуют.

Таким образом, выполненный анализ характера затухания прогиба по
периметру части цилиндрической оболочки показывает, что он в боль-
шей мере соответствует затуханию прогиба в балке на упругом основа-
нии бесконечной длины, причем выбором параметра балки ph можно
добиться их лучшего соответствия.

Это позволяет, следуя за [15], ввести дискретно-континуальную мо-
дель короткой консольной цилиндрической оболочки. Суть такой модели,
восходящая к идее метода Фурье разделения переменных в решении диф-
ференциальных уравнений в частных производных, заключается в том,
что в одном направлении сохраняются непрерывные свойства системы,
а в другом направлении они задаются в дискретном виде и поверхность
прогибов консольной цилиндрической оболочки ищется в виде

w(0,x)= S w„(x) кп(Р),	(5.2.9)

Л = I

где wn(x) — функция, характеризующая прогиб оболочки в осевом на-
правлении; кп(0) — безразмерная функция, характеризующая затухание
прогиба по периметру оболочки.

В работе [33, т. Ш] показано, что, сохраняя в (5.2.9) лишь первый
член ряда, можно получить основную часть решения — именно в этом
•заключается возможность получения приближенного аналитического
решения задачи о прогибе короткой консольной цилиндрической оболоч-
ки. Поэтому, следуя за работами [15; 33, т. Ill], будем искать функцию
прогиба короткой консольной цилиндрической оболочки в виде

w(x.O) = и>(х)*(в),	(5.2.10)

где w (х) — изменение упругих перемещений оболочки вдоль образующей;
к (0 ) - затухание перемещений по периметру оболочки.

В соответствии с общей идеей построения дискретно-континуальной
модели оболочки [33, т. III] функция w(x) должна удовлетворять гра-
ничным условиям на защемленном торце оболочки. Поскольку в осе-
вом направлении элемент оболочки может быть представлен как кон-
сольная балка длины Л, нагруженная в точке ХР - xP/h сосредоточенной
силой, то граничные условия в осевом направлении будут следующими:
w(0) = w' (0) = 0 в месте защемления оболочки, X=x/h = 0. Изгиб кон-
соли может быть оценен следующим образом (134, т. 1]:

н- (х) = (Ph1/2Е1) (х’хр - х’/З), 0 < х < хР,

и>(х) = (Рй5/2£7)(хх’-х’/З), Хр<х<1,0.	(5.2.11)

Вопрос о соответствии зависимостей (5.2.11) характеру прогиба тон-
кой консольной пластины подробно рассмотрен в работе [15], где по-
казано, что зависимости (5.2.11) с высокой точностью описывают про-
гиб тонких консольных пластин. Там же рассмотрено влияние толщины
пластины на характер изменения прогиба в поперечном направлении.
Поэтому представляет интерес для обоснованного выбора расчетной мо-
дели консольной оболочки оценить характер изменения прогиба оболоч-
ки по мере смешения точки приложения сосредоточенной силы по ее
образующей.

На рис. 5.6, заимствованном из работы [15], приведены данные, ха-
рактезирующие изменение прогиба консольных тонких пластин и тол-
стых плит в поперечном направлении. Кривой / здесь показан расчет для
консольной балки с жестко защемленным противоположным концом
(5.2.11), а кривой П — с упруго защемленным противоположным кон-
цом. Как следует из приведенных данных, формулы (5.2.11) лучше со-
ответствуют тонким пластинам, а толстым плитам лучше соответствует
предположение об упругом характере защемления противоположного
конца балки.

На рис. 5.6, б для сравнения нанесены собственные коэффициенты
влияния, полученные в работе [24] для консольных пластины и части
оболочки. Как следует из приведенных данных, безразмерная координата
точки приложения силы для проведенного эксперимента составляла (45-
10)/(45—2) =0,814, а в зависимости от радиуса оболочки собственный
коэффициент влияния изменялся в пределах от 0,630 (для R = °°) до
0,682 (для R = 160 мм), что, как следует из рис. 5.6,6, лучше соот-
ветствует предположению об упругом характере защемления противо-
положного торца балки. Кривая /Z, соответствующая этому случаю и при-
веденная на рис. 6.6,6, описывается следующей аналитической зависи-
мостью:

w(xF)/w(l,0) = 0,152 + 0,848Хр.	(5.2.12)

Поэтому, объединяя зависимости (5.2.11) и (5.2.12), получим функцию
прогиба оболочки в осевом направлении с учетом упругого характера
Рис. 5.6. Изгибная деформация консольных пластин и плит (11]

а — упругая линии в поперечном сечении; б — собственные коэффициенты влияния.

Данные: 1 - |156|;2- (160];J- (1SS|;4, 5 — | IS]

защемления противоположного торца оболочки

н- (X) = (PHI ЦЕ1) (0.152 + 0,848 (х2 хР - х3 /3)], 0 < х <хР,

н» (х) = (/Wo/2£/) (0,152 + 0,848 (хх2 - х’/З)], х/><х<1,0.	(5 ‘13

Таким образом, зависимостями (5.2.13) определяется функция »v(x),
входящая в (5.2.10) и характеризующая прогиб оболочки в осевом
направлении.

Функция к(6) (5.2.10), как следует из приведенных экспериментов,
может быть найдена из решения задачи о балке на упругом основании
бесконечной длины. Следовательно, консольная короткая оболочка пред-
ставляется в виде продольных консольных балок, являющихся упругим
основанием для балки в окружном направлении. В соответствии с мето-
дом разделения переменных Фурье коэффициенты к„(6), входящие
в (5.2.9), не должны зависеть от координаты х. Это утверждение, спра-
ведливое для (5.2.9), нарушается для приближенного соотношения
(5.2.10) и, как показано в [15J, коэффициент постели упругого основа-
ния для балки в окружном направлении будет зависеть от координаты
точки приложения силы Р(хр).

Таким образом, обод обоймы муфты — короткой консольной цилинд-
рической оболочки — представляется в виде дискретно-континуальной
упругой системы, тл. консольной балки в осевом направлении и балки
на упругом основании бесконечной длины, в окружном направлении.
Это позволяет воспользоваться результатами построения дискретно-кон-
тинуальной модели тонкой консольной пластины, приведенными в рабо-
те (15], а кривизну оболочки в окружном направлении учесть по резуль-
татам экспериментов, приведенных в работе [24].

Из формул (5.2.13) найдем изменение упругих перемещений консоль-
ной цилиндрической оболочки в осевом направлении, представленное
в форме прогиба консольной пластины:

w(x) = k(x)PHUitD,	(5.2.14)

где D = £S3/12(1 - v1) - цилиндрическая жесткость пластины; S — тол-
щина пластины; к (х) - функция прогиба пластины:

Jt(x) = 0,5245 w (х)/(1,0);

на участке 0Сх<хр

и(х) 0,152 + 0,848 (x2xj>-х3/3)

H’(l.O) "	0,152 + 0,848 2/3

и

Ю

*(х) = — [ 1 + 5,58 (х2хр-х3/3)];	(5.2.15а)

на участке хр < х < 1,0
w(x) 0,152 + 0,848 (xxj-х£/3)
w(l,0)	0,152 + 0,848 - 2/3

и
Ю

к(х) = — [1+5,58(хх£-х^/3);	(5.2.156)

коэффициент 0,5245, входящий в эти формулы, получен для тонкой кон-
сольной пластины бесконечной длины [156].

Введенная дискретно-континуальная модель консольной цилиндричес-
кой оболочки предполагает, что в окружном направлении оболочка дефор-
мирует как балка на упругом основании бесконечной длины, для кото-
рой функция прогиба имеет вид

к(0) = e~peR (cos/JOR + sin (30R),	(5.2.16)

где 0 = (к/4£/)'^4 — параметр, характеризующий отношение жесткостей
упругого основания и балки и скорость затухания прогиба балки по мере
удаления от сечения, где приложена сила Р.

В работе [15] на основе анализа теоретических и экспериментальных
исследований деформаций тонких консольных пластин установлено, что
одной из возможных форм представления зависимости параметра 0 от
координаты точки приложения силы/’(хр) является

(0//о)"' = 1,1 хр,	(5.2.17а)

откуда

О,90Я/хр.	(5.2.176)

Соотношение (5.2.176) учитывает тот факт, что по мере приближения
точки приложения силы Р к заделке прогиб оболочки затухает в окруж-
ном направлении более интенсивно. Таким образом, находясь в пределах
Рис. 5.7. Зависимость коэффициента k(R) от относительной толщины (S„/R) и длины
(Ht/R) оболочки

1 — хр = О,55; 2 — хр = 0,778; 3 — арочный зуб

расчетной модели балки на упругом основании, можно откорректировать
функцию прогиба короткой консольной цилиндрической оболочки
(5.2.10)

w(x,e) = к(х) к(в) k(R) PHq/itD,	(5.2.18)

где коэффициенты Л(х) и к (0) характеризуют прогиб оболочки соответ-
ственно в осевом (5.2.15) и окружном (5.2.17) направлениях, а коэф-
фициент к (R) — влияние кривизны оболочки на ее прогиб.

По существу, коэффициент k(R) равен отношению прогибов консоль-
ной цилиндрической оболочки и консольной пластины при приложении
сосредоточенной силы на свободной кромке. Поскольку в теории упру-
гости обе расчетные модели (оболочки и пластины) анализируются незави-
симо и предельным переходом (R -* не удается построить для них
решение в единой форме, то теоретическим путем не может быть найдено
выражение для коэффициента k(R). Поэтому определим коэффициент
k(R) по экспериментальным данным работы [24], где прогиб участка
консольной оболочки измерялся при варьировании ее радиуса??.

На рис. 5.7 приведены значения коэффициента k(R) в зависимости
от отношения Ho/R или So/R, построенные по приведенным выше резуль-
татам работы [24]. Там же приведены данные, характеризующие измене-
ние коэффициента k(R) от отношения So/R для арочных зубьев, при-
веденные в работе [123]. По экспериментальным данным подобрана эмпи-
рическая зависимость для определения коэффициента к (Я) :

Л(Я) = cos(4,5 50/Я),	(5.2.19)

показанная на рис. 5.7 кривой. Естественно, что зависимость (5.2.18) мо-
жет использоваться только для исследованного диапазона изменения пара-
метра So/R.

Таким образом, формулами (5.2.15)—(5.2.19) определяется деформа-
ция консольной цилиндрической оболочки при нагружении ее сосредоточен-
ной радиальной силой Р в точке с координатой хр, вр.

В реальных условиях деформирование обода обоймы происходит под
действием нагрузки, приложенной к зубу муфты, поэтому для определе-
Рис. 5.8. Схема нагружения обода обоймы

ния действительных упругих перемещений необходимо найти силы взаимо-
действия зуба и обода.

Силы взаимодействия зуба и обода обоймы (рис. 5.8) сводятся к нор-
мальным и касательным напряжениям, распределенным в пределах толщи-
ны зуба j. Нормальные напряжения а0 обусловлены действием радиаль-
ной снлыРг на зуб муфты, а0 = Pr/s. Нормальные напряжения О| (2R0/s)
обусловлены действием изгибающего момента М на зуб муфты, а( =
-ЬМ/s2. Касательные напряжения т = Tt (1 — (2 Лв/s)2 ] обусловлены дей-
ствием тангенциальной силы/V на зуб муфты, rt = \,5Рт/з.

Известно, что основной составляющей деформации оболочки является
изгиб ее под действием изгибающего момента М и радиальной силы Рг.
Поэтому, пренебрегая действием касательных напряжений Tj на упругие
перемещения оболочки, найдем дополнительный прогиб зуба муфты »vo6,
обусловленный податливостью обода обоймы, в следующем виде [10]:

*06 = WP sin2a + yMhcos2a,	(5.2.20)

где wP — радиальное перемещение оболочки, обусловленное действием
на зуб радиальной силы Р,; ум — угол поворота сечения, обусловленный
действием на зуб изгибающего момента М; h — расстояние от точки при-
ложения силы на зубе до нейтральной окружности обода обоймы.

Пренебрегая распределенным характером сил взаимодействия зуба
и обода обоймы (в связи с тем, что 3t/R < 1,0), величину wp можно
определить из (5.2.15)—(5.2.19). Для определения величины ум необ-
ходимо располагать решением задачи о деформации консольной цилинд-
рической оболочки под действием изгибающего момента Л/.

Известно, что угол поворота бесконечно длинной балки на упругом
основании в сечении, где приложен сосредоточенный изгибающий мо-
мент М, равен [134]

7м=(М03/*П(0х),	ф(0х) = -e’0x(sin/3x-coS0x). (5.2.21)
Поэтому, следуя за [134], с учетом (52.18) получим

ум = k'(x)k"(0)k(R)2M(pHo)2plifD,	(5.2.22)

где, согласно [5.2.13],

М = (Рт/я) (1 + 0,6 У/)	(5.2.23)

- изгибающий момент в основании зуба при приложении силы Рт на рас-
стоянии Yp = уР!Н3 от заделки зуба в обод муфты (Я3 - высота зуба);
к'(х) — коэффициент, характеризующий изменение изгибающего мо-
мента по длине зуба:

, .	—|03х|	.	—0,(2хр + х)

к (х) = е [cos | (Ззх | + sin | 0зх | ] + 2е	cos 0з х +

+ е Хр * [cos|33(2xf + х) -sin03(2Xj, + x)];	(5.2.24)

хР = Xp!Ht — координата точки приложения силы Рт, измеренная от
торца зуба; 03 — параметр длины зуба; (0Я3)_| = 1,1 YP‘, к"(в) —
коэффициент, характеризующий изменение поворота сечения по пери-
метру оболочки;

Л"(6) « ^(0) = ~e~p9R (sin (30R - cos 00Я);	(5.2.25)

0ЯО = 0,9/Хр.	(5.2.17а)

Очевидно, что при определении прогиба зуба, обусловленного податли-
востью обода обоймы, нужно принять 0 =0 и к"(0) = 1,0, при расчете же
напряжений в ободе обоймы нужно пользоваться зависимостью (5.2.25).
Для расчета прогиба обода обоймы под действием сосредоточенного изги-
бающего момента М из (5.2.23) можно получить

= к'(х)  к'(0) k(R)2M(0Ho)2/irD,	(5.2.26)

где

к'(0) = е~0вК sin (5OR.

Таким образом, формулами (5.2.20) —(5.2.26) решается задача о дефор-
мации обода обоймы под действием сосредоточенной силы, действующей
на зуб в точке с координатой хР,уР. Для того чтобы определить прогиб
и напряжения в ободе обоймы, возникающие при нагружении зуба муфты
в пределах площадки контакта, необходимо располагать характером рас-
пределения контактных давлений на площадке контакта и интегрирова-
нием определить суммарный прогиб обоймы, используя соотношения
(5.2.18), (52.22) и (5.2.26) как функции влияния.

5.3. ВЛИЯНИЕ КОНТАКТНЫХ ДАВЛЕНИЙ НА ЗУБЬЯХ МУФТЫ
НА ДЕФОРМАЦИЮ ОБОДА ОБОЙМЫ

Деформация обода обоймы при нагружении зубьев муфты в условиях
перекоса осей является одним из основных факторов, способствующих
более равномерному распределению нагрузки между зубьями муфты,
поэтому учету деформации обода обоймы муфты посвящен ряд работ.
В работе [76], по-видимому, впервые поставлена задача о распределе-
нии нагрузки между зубьями муфт с прямолинейной и криволинейной
формой образующей при перекосе осей полумуфт с учетом как пере-
менной жесткости зубьев в зависимости от положения их относительно
плоскости перекоса, так и повышенной податливости обода обоймы.
Решение задачи искалось представлением в тригонометрические ряды
зазоров между зубьями, жесткости зубьев и податливости обода обой-
мы, в результате чего была получена бесконечномерная система алгебраи-
ческих уравнений относительно амплитудных значений гармоник иско-
мых нагрузок на зубьях муфты. Укорочение полученной системы алгебраи-
ческих уравнений с сохранением определенного числа входящих в нее
уравнений позволило получить приближенное решение задачи о нагру-
женности зубьев муфты.

Принятый метод решения задачи имеет тот недостаток, что основан на
искусственном распределении всех параметров (зазоров, жесткости
зубьев, податливости обода обоймы) по всем зубьям муфты, хотя в
действительности бывает нагружена незначительная часть зубьев. Поэтому
восстановление нагрузки на зубьях в пределах нагруженной зоны зубьев
и требовало удержания большого числа членов ряда.

Поскольку податливость обода обоймы положительно сказывается
при больших углах перекоса между валами полумуфт и соответственно
малых зонах нагруженных зубьев, то значительного упрощения задачи
можно добиться, если учесть реальную зону нагруженных зубьев и лишь
в ее пределах искать податливость обода обоймы при заданном законе
распределения нагрузки между зубьями. Именно такой подход к реше-
нию задачи принят в работе [3], где нагрузка на зубьях муфты в пределах
зоны нагружения — в0 < в < 0о задана в виде тригонометрического ряда

ОО

<?(0) = q0 + Я (cos тО - cos т0о),	(5.3.1)

т = I т

где Яо — равномерная составляющая нагрузки на зубьях; q0  Т/4гпр0о',
Т — крутяпдай момент, передаваемый муфтой; гв — радиус основной
окружности зубчатого венца; р — радиус нейтральной окружности обода
обоймы.

Для первого члена ряда (5.3.1) прогиб обода обоймы получен в следую-
щем виде: 2яоР* °°

“о(0)= ------- S с'п cos пб,	(5.3.2)

пЕ! п = 2 к

где

f sinnfl0/2

коэффициент сп определяется из (5.2.2У.

Для ли-го члена ряда (5.3.1) прогиб обоймы получен в виде
2 о о4 °°

«т(в)--^- 2 c'nmcosne,	(533)

Ittl п - 2к
где

c'nm = сп(т/п) [sin(zn — л)0о/(лп-л) - sin (лт + п)в01(т + л)].
Таким образом, прогиб обода обоймы под действием нагрузки на
зубьях, распределенной в пределах участка — в0 < в < 0о по закону
(5.3.1), подчиняется соотношению

и(6) = Е и cosnfl,	(5.3.4)

я-2k пт

где

2р4 00 ,

и =------- Е с q .	(5.3.5)

пт *Е1 тЧят т

Из формул (5.3.4), (5.3.5) следует, что учет высших гармоник нагруз-
ки в пределах нагруженной зоны не изменяет характера прогиба обода
обоймы. Это обстоятельство значительно упрощает процедуру расчета
нагрузки на зубьях, так как позволяет ограничиться одним-двумя члена-
ми ряда нагрузки при расчете деформации обода обоймы.

Приведенные соотношения учитывают лишь плоскую деформацию
обода обоймы при циклическом характере ее нагружения (в двух диамет-
рально расположенных зонах). Для обода муфты, выполненного в виде
короткой цилиндрической оболочки, оба эти условия нарушаются —
большее влияние на дополнительный прогиб зубьев, обусловленный подат-
ливостью обода обоймы, оказывает неплоская деформация его, причем
цикличность характера нагружения обода обоймы на ру цвете я в связи
со значительной разницей в величине его податливости при смещении пло-
щадки контакта зубьев по их длине.

Решение задачи о напряженно-деформированном состоянии консольной
цилиндрической оболочки при нагружении ее локальными нагрузками
точными методами вызывает значительные трудности и может быть вы-
полнено лишь численными методами. В работе (73] задача о нагружении
короткой консольной цилиндрической оболочки сосредоточенной радиаль-
ной силой, приложенной в произвольном сечении, смещенном на расстоя-
ние с от свободного торца оболочки, решена на основе полубезмоментной
теории оболочек В.З. Власова. Однако решение получено в столь слож-
ном виде, что окончательные результаты в виде обобщающих графиков,
построенных после расчетов на ЭВМ, приведены лишь для максималь-
ных величин перемещений и деформаций, возникающих в течении, где
приложена сосредоточенная сила.

Аналогично были рассмотрены три расчетные схемы податливых эле-
ментов — консольная цилиндрическая оболочка; кольцо, соединенное
с консольной цилиндрической оболочкой; кольцо, с обоих торцов соеди-
ненное с консольными цилиндрическими оболочками. Входящие в полу-
ченные формулы коэффициенты перемещений и деформаций kt, кх
представлены в виде графиков в зависимости от конструктивных пара-
метров податливого элемента й/р, //р, что не позволяет воспользоваться
результатами работы [73] для решения поставленной задачи о дефор-
мировании обода обоймы зубчатой муфты.

Это обстоятельство вызывает необходимость рассмотрения деформации
обода обоймы с учетом характера распределения контактных давлений в
пределах площадки контакта на нагруженных зубьях.

Для оценки влияния характера распределения контактной нагрузки
на зубе на напряженно-деформированное состояние обода обоймы в осевом
направлении воспользуемся выражением для коэффициента Л(х) (5.2.15).
Контактные давления имеют, очевидно, единую аналитическую (линейную)
зависимость

<1(х) = <7o + <7iX,

(5.3.6)

где flo, qt — постоянная и линейная составляющие нагрузки на площадке
контакта.

Обращаясь к формуле (5.2.15), найдем влияние составляющих распре-
деленной нагрузки q0 и qtx на деформирование обода обоймы
к	а

---г- = <7о f [1 + 5,58(х2Х/> -х3/3)] dxp + q0 f [1 + 5,58(xxJ> -
sin a	x	c

- x|/3) ] dxP = q0 (a - c) | 1 +

- 4c3x + c4) ,

	(x4 — 4дх3 + 6д2х2-

12/*

(5.3.7)

*

-2-	5,58(x2xP -x3/3)] dxp + qt f xp [1 +

sina x	c

а2-с2	5,58

-----+ -----(х5 - 10 д2х3 +

2	60

= 4i

(5.3.8)

+ 5,58 (xxj, - Xp/3) ] dxp

+ 20e3x2 - 15c4x+ 4c5)

где c < x < e; q = P/b', P — внешняя сила; b — длина зуба.

Как показано в гл. 6, на параметры контакта зубьев влияют упругие
деформации податливых элементов, поэтому найдем из (5.3.7) и (5.3.8)
деформативную составляющую угла перекоса между зубьями

*%a/sin2a =	(5,58/3) (х3-Зах2+ Зд2х-с3),	(5.3.9)

к /sin2a = (5Д8/12)<7! (х4-6д2х2 + 8а3х - Зс4)

Г 1 44

и деформативную составляющую кривизны зубьев в осевом направлении

^/sin’^WU-e)3,	(5.3.10)

*pn/sin2a я (5,58/3)?, (х3-За2х + 2д3).

Зависимости (5.3.7) —(5.3.10) позволяют оценивать влияние характера
распределения контактных давлений в пределах площадки контакта на
составляющие деформации обода обоймы — изгиб зубьев, перекос образую-
щих зубьев и кривизну их контактирующих поверхностей.

Для оценки влияния характера распределения нагрузки на зубьях муфты
на напряженно-деформированное состояние обода обоймы в окружном на-
правлении воспользуемся выражениями (5.2.16), (5.2.25) и (5.2.26).
Найдем влияние равномерно распределенной на участке — в0 < в < б0
радиальной нагрузки на зубьях на деформирование обода обоймы при
нагружении его на участке — 0о < 0 < О0 равномерной нагрузкой:

^и'.	2в,-в _fiRg

----5“ = Яо S е (cos ДО0 + sin ДО0) dO +

sin а 0

9 —Зяо

+ q0 f е (cos 0RQ + sin 0RO) dO =	(5.3.11)

о

<7о	-рк(е.-в)	„ -зяо

= ----[2-е	cos 0Я(во-0) - е cos0/?0].

Составляющая радиальной нагрузки вызовет прогиб обода обоймы:

г9«-в-зяе

---I е (cos PRO + sin (ЗЯ0) (cos(0 - во) — cos 0O) dO +
sin a	о

9 -Зяе

+ qt f e (cos /3/70 + sin 0/?0) (cos(0 - 0O) — cos 0O) dO,

о	(5.3.12)

kw,	io,-e _fiK9

---,—= <72 f e (cos (iRO + sin (3R6) (cos 2(0 — 0O) —
sin a о

9 -зяе

— cos 20o) de + q, J e (cos (JR6 + sin (3R0) (cos(0 - 0O) —
о

— cos 20o) dO.

Интегрирование (5.3.12) приводит к чрезвычайно громоздкому выраже-
нию, поэтому целесообразным является численное интегрирование (5.3.12)
с использованием ЭВМ.

Несимметричная составляющая радиальной нагрузки вызовет прогиб
обода обоймы:

kw,	23,-3 _eRg

---5— =<7з / е (cos (iRO + sin 0R6) [sin [0 - (0O-Ф) ] -
sin a о

9 -зяе

— sin(0o-0] dO + q3 f e (cos 0Я0 + sin 0Я0) [sin[0 -	(5.3.13)

о

- (0o- if*)] - sin(0o— Ф) ]d6.

Приведенные соотношения учитывают лишь радиальную составляющую
нагрузки на зубьях. Для учета изгибающего момента, возникающего в
основании зуба, необходимо обратиться к выражению (5.2.24) и проинте-
грировать его с учетом характера распределения радиальной нагрузки по
длине зуба (5.3.6):

kWQ	‘к ,	'к ,

—в—= <7о f к (х)х dx —	= qt / хрк (x,x )dx . (5.3.14)

sin a о	sin о 0	r

Таким образом, может быть оценено влияние характера распределения
контактных давлений на боковых поверхностях зубьев на напряженно-
деформированное состояние обода обоймы.

Определим границы применимости введенной дискретно-континуальной
модели консольной цилиндрической оболочки. Как установлено выше,
при рО = 21 происходит затухание прогиба оболочки, откуда следует,
что I/р = it/4 определяет то значение длины оболочки /, при котором еще
допустимо пользоваться введенной расчетной моделью обода обоймы.

Рис. 5.9. Расчетная схема обо-
да обоймы зубчатой муфты

Поскольку обычно 1/р> 1,0, то в качестве расчетной модели обода обой-
мы можно использовать кольцо /, соединенное с тонкостенной консоль-
ной цилиндрической оболочкой 11 (рис. 5.9).

Для такой расчетной модели обода обоймы в случае плоской деформа-
ции зубчатого венца прогиб определяется зависимостями (5.2.2) совместно
с (52.2а).

ГЛАВА 6

НАГРУЗКА НА ЗУБЬЯХ МУФТ

6.1. МЕТОДЫ РАСКРЫТИЯ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ
СОЕДИНИТЕЛЬНЫХ МУФТ

Соединительная муфта в связи с погрешностями взаимного расположе-
ния контактирующих поверхностей зубьев (шлицов) является много-
кратно статически неопределимой системой, для раскрытия которой долж-
ны использоваться отработанные в строительной механике упругих систем
методы решения.

В соединительной муфте статическая неопределенность упругих систем
бывает двух уровней: во-первых, в пределах каждой кинематической пары
и, во-вторых, в пределах всей муфты в целом. Неизвестными величинами,
подлежащими определению из решения задачи, являются: 1) параметры
площадки контакта в пределах каждой из нагруженных кинематических
пар, 2) характер распределения контактных давлений в пределах площад-
ки контакта каждой из нагруженных кинематических пар, 3) сближение
контактирующих поверхностей каждой из нагруженных кинематических
пар, 4) число кинематических пар, воспринимающих нагрузку при задан-
ном крутящем моменте, 5) характер распределения нагрузки между кине-
матическими парами, воспринимающими заданный крутящий момент,
6) сближение полумуфт, являющееся мерой упругого деформирования
соединительной муфты. Таким образом, соединительные муфты пред-
ставляют специальный класс дискретно-континуальных упругих систем,
содержащих ограниченное число распределенных подсистем (кинематичес-
ких пар).

Соединительные муфты могут быть отнесены к многопарным передачам
зацеплением, методы раскрытия статической неопределимости которых
достаточно подробно освещены в работах [15, 16,43].

Для раскрытия статической неопределимости упругой системы, содер-
жащей кинематическую пару, составляется два интегральных уравнения —
совместности деформаций и перемещений:

w(x,y) = △ -s (х),	(6.1.1)

и равновесия:

fp q (х, у) dxdy = Р,	(6.1.2)

где связь между упругой деформацией w(x, у) и контактным давлением
q(x, у) имеем вид

w(x,у) = fF q(t, s)k(x.y, г, s)dtds,	(6.1.3)

а функция зазора между контактирующими поверхностями s(x, у) при
наличии перекосов ут и уп (рис. 6.1) имеет вид

*(х,У) = 7тх + 7„у,	(6.1.4)

Система интегральных уравнений (6.1.1) и (6.1.2) с учетом (6.1.3) и

(6.1.4) используется для раскрытия статической неопределимости упру-
гой системы, содержащей кинематическую пару. Для этого привлекаются
граничные условия, согласно которым в точках х = 1к, у = 0 и х=0,
у = Лж контактные давления равны нулю — q (1К, 0) = q (0, hK) = 0, откуда
устанавливается связь между сближением контактирующих поверхнос-
тей △ и параметрами площадки контакта /к, hK.

Сложность решения системы интегральных уравнений (6.1.1), (6.1.2)
заключается в том, что функция влияния к (х, у, t, s), входящая в выра-
жение для упругой деформации н’(х.у) (6.1.3) заранее неизвестна, зави-
сит от конструктивного исполнения упругой системы и лишь в редких
случаях может быть представлена в удобном для расчетов аналитичес-
ком виде. Это обстоятельство предопределяет переход от непрерывного
к дискретному методу решения задачи.

Именно такая дискретизация непрерывной упругой системы, содержа-
щей зубчатую передачу, реализована К.И. Заблонским [43]. Для этого
расчетным или экспериментальным путем определяются коэффициенты
влияния, устанавливающие связь между сосредоточенной силой P(t,$),
приложенной в точке площадки контакта с координатами t,x, и упру-
гим перемещением в точке площадки контакта с координатами х, у.
После этого интегралы, входящие в (6.1.2) и (6.1.3), заменяются ко-
нечными суммами и исходная система интегральных уравнений заменя-
ется системой алгебраических уравнений относительно неизвестных со-
средоточенных сил, заменяющих искомую пространственную эпюру кон-
тактных давлений.

Сложность расчета систем с односторонними упругими связями за-
ключается в том, что заранее не известны размеры площадки контакта
F, реализуемые при заданной внешней силе Р. Это равносильно тому,
что в системе алгебраических уравнений, заменяющей систему интеграль-
ных уравнений (6.1.1) и (6.1.2), заранее не известно число уравнений,
и поэтому приходится применять итерационный метод для решения за-
дачи.

Задача о нагруженности кинематических пар значительно усложняется
в связи со взаимным влиянием нагрузок в пределах площадки контак-
та, обусловленным деформацией элементов передачи. Математически это
равносильно тому, что матрица основной системы алгебраических урав-
нений не имеет нулевых элементов — это и предопределяет необходи-
мость использования ЭЦВМ для решения задачи. Однако имеются част-
ные слущи, когда решение задачи может быть получено без использова-
ния ЭЦВМ, когда матрица основной системы алгебраических уравнений
имеет диагональный вид [11], — это бывает в тех случаях, когда взаим-
ное влияние нагрузок отсутствует или им пренебрегают.

В работе [10] модель упругого основания с постоянным коэффици-
ентом постели использована для расчета нагруженности кинематических
пар. В этом случае вместо (6.1.3) связь между w(x, у) и q(x,y) при-
нимает простейший вид

^(х, у) = cq(x,y),	(6.1.5)

где с — податливость упругого основания, или, как принято в строи-
тельной механике, коэффициент постели упругого основания, и система
уравнений (6.1.1), (6.1.2) принимает вид

cq(x.y) = △~(7тх+7яЛ'),	(6Л6)

/ q(x,y)dxdy=P
F

с граничными условиями

<7 = (0,Лк)=0 и △ = 7пЛк при х = 0, y=hK,

<7 = (/к, 0) = О и Д = 7Т 1К при х = /к, у = О
или

△ = %(7г'к+ 7„ЛК).	(6.1.7)

Из выражения (6.1.6) с учетом (6.1.7) и уравнения равновесия

Гк

/dx	f	q(x,y)dy=P,

о	0

в [10) получены следующие выражения для параметров контакта:

1К = (6Лгут 7„) 1/3/7т, Лк = (6РС7Т 7„) ,/3/7и.

△ = (6*7, 7„) ,/3;	<7(0.0) = (6Рс7, 7„) ,/3/с,	(6.1.8)

Лк = <7(0, Q)IPIbh = (6Рс7т 7„ ) x,ibh!Pc.

Полученные зависимости справедливы только тогда, когда одновремен-
но 7Т # 0,	7„	0 и площадка контакта не распространяется на всю

номинальную площадку контакта кинематической пары F - bh. Это серь-
езный недостаток формы записи выражений (6.1.8), так как на начальном
этале расчета неизвестны ни величины углов перекоса, ни параметры площа-
док контакта в кинематических парах, воспринимающих заданный крутя-
щий момент. Это вызывает необходимость построения решения о нагру-
женности кинематической пары в такой форме, чтобы оно было едино-
образным независимо от наличия или отсутствия углов перекоса и раз-
меров площадки контакта в кинематической парс. Такое решение при-
менительно к различным кинематическим парам приведено в [8].

Использование при расчете нагруженности кинематических пар модели
упругого основания в ее традиционном виде — с постоянным коэффициен-
том постели упругого основания - имеет тот недостаток, что не позволяет
учитывать переменную податливость кинематической пары, связанную
как с ограниченными размерами контактирующих поверхностей, так
и с податливостью элементов системы. Этот недостаток был устранен в
работах [4, 10, 14, 15], в которых была введена обобщенная модель упру-
гого основания с переменным коэффициентом постели, что позволило
простейшим путем учитывать переменную в пределах площадки контакта,
податливость контактирующих поверхностей. Достоинством такой расчет-
ной модели является возможность получения выражений параметров кон-
такта в замкнутом виде, что представляется важным для решения задачи
о нагруженности кинематических пар (зубьев, шлицов). Поэтому в
разд. 6.2 модель упругого основания с переменным коэффициентом посте-
ли использована для расчета нагруженности зубьев и шлицов.

Из числа аналитических методов здесь следует отметить метод тригоно-
метрических рядов [76] (учитывающий цикличность системы, содержащей
соединительную муфту) и метод степенных рядов [14]. Дальнейшее разви-
тие метод тригонометрических рядов нашел в работах [3, 139]. В наи-
более общей постановке метод функциональных рядов изложен в работе
[25]. Суть этих методов раскрытия статической неопределимости систем
с односторонними упругими связями заключается в том, что искомая на-
грузка представляется в виде тригонометрического или степенного (в за-
висимости от свойств упругой системы) ряда, для каждого члена которого
расчетным путем определяется деформация элементов системы; входя
после этого в уравнения совместимости деформаций и перемещений, полу-
чают бесконечномерную систему алгебраических уравнений относительно
искомых коэффициентов ряда нагрузок на дискретных связях, которая
может быть решена с любой заданной точностью. В этом случае уравнение
равновесия используется для нахождения числа дискретных связей, воспри-
нимающих заданную внешнюю силу. Однако такой метод решения задачи
применим к физически линейным системам, в которых связь между упру-
гим смещением и нагрузкой на дискретной связи - линейная.

В работе [5] метод функциональных рядов обобщен на физически
нелинейные системы. Предложенный в этой работе метод решения системы
уравнений (6.1.9), (6.1.10) ее диагонализацией позволяет значительно
упростить решение задачи, не прибегая к многократному решению системы
алгебраических уравнений и не используя метод итераций для решения
всей системы в целом.

6.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗКИ
ПО БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗУБА (ШЛИЦА)

В работе [10] предложен метод расчета параметров контакта зубьев
(шлицов) в условиях начального неприлегания контактирующих поверх-
ностей, обусловленного погрешностями монтажа соединительной муфты,
основанный на использовании модели упругого основания с постоянным
коэффициентом постели упругого основания с. В отличие от гипотезы
Винклера в се традиционном виде, когда коэффициент с учитывает
лишь контактную податливость основания, в работе [10] предложено
при определении коэффициента с учитывать все составляющие деформа-
ции зубьев (шлицов) при равномерном распределении нагрузки в пре-
делах площадки контакта, а не только контактную составляющую дефор-
мацию зубьев (шлицов).

При контакте зубьев (шлицов) с прямолинейной формой образующей
схема плопидки контакта при наличии перекоса между зубьями (шлица-
ми) показана на рис. 6.1, где а — соответствует перекосу 7, относитель-
но кромки, б — перекосу уп относительно образующей и в — перекосу
относительно кромки и образующей зубьев (шлицов) одновременно.
В табл. 3 приведены параметры контакта зубьев (шлицов), определенные
в [10] для всех трех случаев нагружения зубьев (шлицов), показанных
на рис. 6.1.

В табл. 3 наряду с выражениями параметров контакта зубьев (шли-
цов), полученными в работе [10], приведены также выражения этих пара-

метров в единообразном виде как произведение соответствующего пара-
метра при номинальном контакте зубьев (шлицов) на коэффициент пере-
грузки. Последняя форма записи выражений для параметров контакта
представляется предпочтительнее, так как позволяет свести расчет к опре-
делению одного параметра — коэффициента перегрузки ку, характери-
зующего влияние перекосов на параметры контакта зубьев (шлицов).

Экспериментальное определение контактных давлений и параметров
площадки контакта на прямобочных шлицах представляет значительные
трудности и может быть выполнено лишь в модельных условиях. В рабо-
те [20] поляризационно-оптическим методом исследован характер рас-
пределения контактных давлений по высоте и длине шлицов. При этом
установлено, что в зависимости от бокового зазора между шлицами эпюра
контактных давлений по высоте шлицов изменяет свой вид - при боковых
зазорах, больщих 0,07 —0,08 мм, она имеет вид треугольника, а при боко-
вых зазорах, меньших 0,07-0,08 мм, — вид трапеции.

В работе [50] установлено, что при минимальном боковом зазоре пло-
пвдка контакта распределяется по всей высоте шлицов, эпюра контактных
давлений имеет вид трапеции, причем коэффициент контактных давле-
ний ку = 1,4; при максимальном боковом зазоре площадка контакта
охватывает менее половины активной высоты шлицов, эпюра контактных
давлений имеет вид треугольника, причем коэффициент контактных дав-
лений ку = ЗД.

Приведенные зависимости позволяют оценить длину площадки контак-
та шлицов /к при известной величине коэффициента ку. Для треугольной
эпюры контактных давлений, очевидно, /К/Л = 2ку, что для ку = 33 дает
результат /К/Л = 0,6, близкий к экспериментально определенной величине.

В работе [20] было также исследовано распределение контактных
давлений по длине шлицевого вала, показавшее, что характер распределе-
ния их определяется скручиванием шлицевого вала и обоймы и непарал-
лельностью осей вала и обоймы. Полученный результат находится в соот-
ветствии с измеренными размерами площадки контакта по длине шлице-
вого вала.

При контакте эвольвентных зубьев муфт с прямолинейной формой
образующей при наличии перекоса между зубьями схема площадки кон-
такта показана на рис. 6.2, где а — соответствует перекосу уг относитель-
но кромки, б — перекосу уп относительно образующей, в — перекосу
относительно кромки и образующей зубьев одновременно.

Наличие угла перекоса ут между контактирующими поверхностями
зубьев, локализуя площадку контакта со стороны одного из торцев зубь-
ев, значительно усложняет ситуацию. В работе [10] задача о контакте
цилиндров с непараллельными осями решена с использованием модели
упругого основания с постоянным коэффициентом постели упругого
основания с. В табл. 4 приведены параметры контакта эвольвентных зубь-
ев муфт с прямолинейной формой образующей, определенные в [10].

Входящая в приведенные формулы величина коэффициента с вносит
неопределенность в расчет параметров контакта цилиндров с непараллель-
ными осями. Поэтому в работе [8] предложен теоретический метод опре-
деления коэффициента с, основанный на том, что из сопоставления реше-
ний классической контактной задачи теории упругости о контакте цилинд-
a

ров с параллельными осями двумя методами - точным и приближенным -
находится выражение для коэффициента с как отношение

с = До/<?о = Ьн/Ян = 7,72 (qR/E3 )н,	(6.2.1)

где индекс Н относится к классическому решению контактной задачи, а
О - к приближенному решению, полученному из модели упругого основа-
ния. Таким образом, удалось обойти основную трудность приближенного
решения контактной задачи, заключающуюся в корректном определении
коэффициента с.

Представляет интерес сопоставить расчет по формулам табл. 4 с экспе-
риментально измеренными параметрами контакта эвольвентных зубьев
муфт с прямолинейной формой образующей. На рис. 4.15 приведена зави-
симость деформации зубьев от нагрузки, построенная по данным работы
[16]. Приведенный в гл. 4 расчет показал, что при у = О расчетная величина
деформации зубьев совпадает с замеренной величиной, причем между на-
грузкой и деформацией существует линейная зависимость.

На рис. 6.3 приведена зависимость коэффициента ку от нагрузочного
параметра Ьу1&ц\ сплошной кривой здесь показана расчетная величина
коэффициента ку. Из приведенных данных видно, что расчет [16] практи-
чески совпадает с экспериментом при угле перекоса у =2,0°, остальные же
эксперименты дают меньшее значение коэффициента ку.

Проанализируем теперь характер изменения коэффициента ку с изме-
нением нагрузки и угла конусности образцов (моделирующего угол пере-
коса между образцами).

Таблица 4

Параметры контакта эвольвентных зубьев муфт
с прямолинейной формой образующей

Параметр контакта	7=0	
	Модель упругого основания | Классическое решение	
Контактные	з ?  напряжения	<т0 = - (  4 \  ПК	3 /  Сближение	л = _ 1  цилиндров	4 '  Полуширина полоски контакта	*2  (для 7=0) или длина длошадки контакта (для 7*0)		2	— \  3	Rc)	о„ = 0.418 —)  ’ tx *  2 Ягсг \'/,	Эдо  -з я )	Л"’Т’  ’сЛ) )
Параметр контакта	7*0	
	с произвольное	С (81	
Контактные	j  напряжения	а-, =-  21  Сближение	Д = 2  цилиндров	7 2  Полуширина	i - 2 Г  полоски контакта	2 L  (Для 7 = 0) или		/2* ГЛГ'»  '2	/ Ry‘ J	^~ky Л/fly

длина площадки
контакта (для у * 0)

Из геометрических соотношений имеем сближение образцов Д7(0)
и половину ширины площадки контакта Ьу (0) со стороны нагруженного
торца:

Ьу(О) = г $1пф7, Д7(0) = г (1 - cosi/>7);

при номинальном контакте образцов при 7 = 0

6о(О) = гsin^o, До(О) = г(1 - cosy>0),
откуда

ку = Л7 (0)/До (0) = (I - cos^)/(1 - со$ф0 ) •	(6.2.2)

На рис. 6.3,6 приведены результаты расчета коэффициента ку, выпол-
ненные по формуле (6.2.2) с использованием экспериментальных данных,
приведенных на рис. 4.17. Там же сплошной кривой приведена зависи-
Рис. 6.3. Зависимость коэффициента ку от нагрузочного параметра Ьу!Ьц [ 261

С при у*'. / - 0,5; 2 — 1,0; 3 - 1,5; 4- 1,75; 5-2,0; б: 1 - т = 20"; 2 - 17'20";
3 — 25'50"; 4- 34'20"

мость коэффициента ку от нагрузочного параметра, построенная по фор-
муле

*т=1 + 0,157 (^/△о(0))’/\	(6,2.3)

Из приведенных данных видно, что экспериментальные значения коэф-
фициента ку с высокой точностью соответствуют зависимости (6.23).
Отсюда следует, что характер деформирования образцов при плотном
контакте существенно отличается от деформирования цилиндров.

При контакте зубьев с криволинейной образующей при наличии переко-
са между зубьями схема площадки контакта показана на рис. 6.4, где а -
соответствует перекосу ут относительно кромки, б — перекосу уп относи-
тельно образующей, в — перекосу относительно кромки и образующей
зубьев одновременно. Как было показано, контакт эвольвентных зубьев
с криволинейной образующей в отсутствие погрешностей взаимного по-
ложения контактирующих поверхностей может быть сведен к внутренне-
му контакту двух упругих тел, имеющих ненулевую кривизну в обоих
направлениях. В этом случае параметры контакта зубьев могут быть опре-
делены из решения пространственной контактной задачи теории упругости
(4.1.13) или (4.1.15).

Однако зубья колес и муфт имеют две особенности, которые сущест-
венно влияют как на величину параметров контакта, так и на уровень кон-
тактной напряженности зубьев.

Первая особенность рассматриваемого класса контактных задач отно-
сится к основному допущению, принятому при решении классической
контактной задачи теории упругости — пренебрежению влиянием объем-
ных деформаций контактирующих элементов на параметры площадки
контакта и уровень контактных напряжений. Вторая особенность отно-
сится к ограниченности тех расчетных моделей, которые используются
в классической контактной задаче теории упругости (полуплоскость и
полупространство), не учитывающих основное свойство реальных тел -
их ограниченные размеры.

Влияние изгибной деформации зубьев на параметры площадки кон-
такта экспериментально исследовано в модельных условиях в работе
[104] применительно к зубчатым передачам Новикова. Испытания пока-
зали. что параметры площадки контакта существенно зависят от изгибной
деформации зубьев. Этот результат был получен на основе прямого экс-
перимента на моделях двух типов - толстостенный блок (толщина 200 мм)
и реальный зуб. Важно подчеркнуть, что ограниченные размеры блока
привели к тому, что близость свободной кромки изменила симметричную
форму площадки контакта; в этом проявилась вторая особенность зубьев
колес и муфт, которая в этом эксперименте не могла быть исключена.
Рис. 6.5. Схема деформирования зубьев с криволинейной образующей

а — при срединном нагружении; б — при смещенном на х0 = рту нагружении

Рассмотрим влияние изгибной деформации звольвентных зубьев муфг
с криволинейной формой образующей для двух случаев расположения
точки начального контакта зубьев по их длине (рис. 6.5). Здесь индексом
г обозначен геометрический радиус кривизны зубьев с криволинейной /
и прямолинейной 2 формой образующей; индексом д — радиус кривизны
зубьев, обусловленный их изгибной деформацией.

При срединном приложении нагрузки (см. рис. 6.5 ,а) радиусы кривизны
контактирующих зубьев в деформированном состоянии будут равны

1/Pi = 1/Рг1 “ 1/РД1. 1/Ра = 1/Рг2 + 1/Рд2 = 1/Рд2	(6.2.4)

и приведенный радиус кривизны зубьев

1/Рс= 1/Pi - 1/Р2 =*де/Рге>	(6.2:5)

где

*дс = 1 -Prl 1(1/Рд1) + (1/Рд2)] = । -(Prl/Рдс)-

При кромочном приложении нагрузки (см. рис. 6.5,6) радиусы кривиз-
ны контактирующих зубьев в деформированном состоянии будут равны

1/Р1 = 1/Рг1 + 1/Рд1, 1/Р: = 1/Рг2 + 1/Рд2 = >/Рд2	(6.2.6)

и приведенный радиус кривизны зубьев

1/Рк = 1/Р1 ♦ 1/Ра = *дк/Рп.	(6.2.7)

где

^ДК — 1 + Prl [(I /Рд! ) + (1 .Рдг)] = 1 + (Prl /рдк).

Из полученных зависимостей усматривается особенность формирования
площадки контакта при упругом деформировании зубьев муфт: при сре-
динном приложении нагрузки приведенный радиус кривизны зубьев уве-
личивается в связи с их упругим деформированием — Лдс < 1 (вместе с
рс увеличиваются и параметры площадки контакта); при кромочном при-
ложении нагрузки приведенный радиус кривизны зубьев уменьшается в
связи с их упругим деформированием - как > 1 (вместе с рк уменьша-
ются параметры площадки контакта).

По мерс смещения точки начального контакта к торцу зубьев при опре-
деленных соотношениях рт1 и ра возможна трансформация внешнего каса-
ния поверхностей зубьев во внутреннее их касание.

Важно подчеркнуть, что нагибная деформация зубьев не только изме-
няет их параметры контакта, но и приводит к появлению деформативной
составляющей скорости скольжения зубьев в осевом направлении, чю,
естественно, сказывается на закономерностях изнашивания кошакги-
рующих поверхностей зубьев. Пользуясь схемой контакта зубьев, приве-
денной на рис. 65,6, найдем относительное смещение контактирующих
поверхностей зубьев, обусловленное их изгибной деформацией.

В отсутствие изгибной деформации зубьев точка первоначального кон-
такта смещена со среднего сечения на величину хг = рту (где у — угол
перекоса между поверхностями зубьев). Точка начального контакта зубьев
при наличии их изгибной деформации найдется из условия, что в ней будет
минимальной величина зазора между зубьями, которая устраняется за
счет дополнительного доворота полумуфт:

лсд=хг*х,	(6.2.8)

где хт = рГ|7 — смещение точки начального контакта зубьев со среднего
сечения, обусловленное лишь геометрическими факторами (продольной
модификации зубьев втулки радиусом рг1); кх — коэффициент, харак-
теризующий смещение точки начального контакта зубьев в связи с их
изгибной деформацией:

. Ас).	(6.2.,>

L \ Рд1 / \ Рд2 / J/ \ Рд /

где /1, li — положение точек по длине зубьев, где изгибная деформация
равна нулю.

Из (6.2.8) относительное смещение контактирующих зубьев (путь тре-
ния), обусловленное изгибной деформацией зубьев, найдется как раз-
ность

Ьх=хт -хд=хг(1 -*х).	(6.2.10)

Переходим к рассмотрению второй особенности контакта зубьев муфт —
учету ограниченных осевых размеров по мере смещения точки начального
контакта зубьев к торцу.

Зависимость (6.2.7) позволяет приближенно оценить параметры контак-
та зубьев с криволинейной образующей при наличии перекоса между зубья-
ми в связи с их изгибной деформацией. Учитывая, что обычно РГ1/рдк < 1,
применяя рахзожение в ряд степенной функции, получим

ау ~ аН куа< =	(6.2.11)

оу оцкуа, Ьу~Ьцкуь,

где индекс Н относится к номинальному контакту зубьев (и параметры
контакта рассчитываются по зависимостям (4.1.15)); индекс у относится
к контакту зубьев в условиях перекоса:

1 РГ1	1 Prl

. куЛ=куЬ^1+ -

РдК	б РдХ
Что касается учета ограниченных осевых размеров зубьев по мере при-
ближения площадки контакта к торцу зубьев (в связи с перекосом зубьев
на угол у), то он может быть сделан согласно зависимости (4.1.20) в сле-
дующем виде:

Аг7 = 1 + (2рг1 ?/Ь) 3.	(6.2.12)

Таким образом, формулами (6.1.2) совместно с (4.1.15) и (6.2.12)
определяются параметры контакта зубьев с криволинейной формой обра-
зующей с учетом изгибной деформации зубьев и ограниченных осевых
размеров (табл. 5)

Оу = онкуОку, Лу — Afjky^ky,	(6.2.13)

ау=Онкуаку, by - ЬцкуЬку.

Таблииа .

Параметры контакта эвольвентных зубьев с криволинейной образующей

Параметр	“ °	ут # 0

Длина пло-	/ рг \Vi(Ppt \'/э	1 Pi

щадки кон- 2fl/j=2-l,U0/	| I I	®ТД = кукуаан. куа = 1 - - ——

такта	\ р, / \ £ '	2 Дк

1 *>,
2°//д ~ ~анкав. к & = 1 ♦ -

Ширина	' Р,\‘/t(Pp,\'I,	1 Pi

площадки 2Л//-2 • 1,1101 I I )	f*y„~ куку^кц, ку^~\-

\ р, /	\ Е '	6

контакта
1 Р|
2*Нд = 2ЬнклЬ. клЬ = I - - —

Сближение	/ А, х’/.Г/^Х* 1 1 ]'/э	1 Р,

дя=1дзц—) [(-у т;]	дт-д=*->Мдн-*7Д=|+

1 Р1

дНд = &Н кл д. к дд — 1-

6 рдс

Максималь-	, р, ,*/,Г/£	1 р,

ное давление аН = 0,388/ I [	| £	”уд = кукуОац, куа = 1 ♦ - ——

\p,J L\p, / J	3 кдк

1 Pi

аНа “ анкцо, каа = 1 + у ——
> Рдс
Коэффициент	/ 2 Р17т V

учета осевых	*7 = 1 +	)

размеров
зубьев

радиусы кривизны зубьев в попереч-
деформативные радиусы кривизны

Примечание, р,, р, — геометрические

ком и продольном направлениях; Рдс, Рдк - деформативные paunyvm
зубьев в продольном направлении при срединном и торцевом приложении нагрузки.

Важным фактором, связанным с ограниченными осевыми размерами
зубьев муфт, является возможное усечение эпюры контактных давлений
в связи со смещением площадки контакта на торец зубьев.

Рассмотренное влияние изгибной деформации зубьев с криволинейной
формой образующей на параметры площадки контакта естественно ска-
зывается и на контактном нагружении зубьев с прямолинейной образую-
щей. В этом случае изгибная деформация зубьев приведет к тому, что на-
чальный кромочный контакт цилиндра с цилиндрической полостью транс-
формируется в контакт двух упругих тел с ненулевой кривизной в обоих
направлениях (положительной в осевом направлении и отрицательной в
направлении высоты зубьев).

На рис. 6.6 приведена схема контактирования зубьев с прямолинейной
образующей при наличии перекоса между зубьями и их изгибной дефор-
мации.

Изгибная деформация зубьев приводит к тому, что исходный перекос
между поверхностями контактирующих зубьев уд уменьшается на ве-
личину

7Д1 +ТЯ1 =*/1/рД1 +/з/рД2.	(6.2.14)

где li, li — координата точки на первом и втором зубе, где изгибная де-
формация равна нулю.

Начальная точка контакта зубьев найдется из условия дз/дх = 0:

х - (Ь/2) - Дх,	(6.2.15)

где

△х = рд [-уд + (/,/рд J) + (/2 /рд2)],

1/Рд= 1/Рд1 + 1/Рд2.

т. е. начальная точка контакта зубьев смещена от торца на расстояние Дх.

Таким образом, контакт эвольвентных зубьев с прямолинейной обра-
зующей с учетом изгибной деформации зубьев также может быть сведен
к начальному точечному контакту двух упругих поверхностей, причем
эпюра контактных давлений на зубьях будет усечена: если большая полу-
ось полуэллипсоида давления равна ац, то со стороны торца зубьев она
будет равна лишь Дх (рис. 6.7).

Известно, что объем полуэллипсоида давления, равный внешней сжи-
мающей силе Р. выражается через параметры площадки контакта ан, blf
и максимальные контактные давления в центре площадки контакта ам
следующим образом:

2

^=- МнЬнОн-	(6.2.16)

Если эпюра контактных давлений усечена на расстоянии Дх от малой оси
площадки контакта, то объем полуэллипсоида давления, по-прежнему
равный сжимающей силе Р, будет

2 . . , .

Р=~ панЬнОнкьх,	(6.2.17)

где к&х — коэффициент, учитывающий усечение эпюры контактных дав-
Параметры контакта зубьеа муфт
с учетом упругой деформации элементов

Параметр	Номинальный контакт

Контакт на торце

Таблица 6

Длина
площадки
контакта

Ширина
площадки
контакта

Сближение

Максималь-
ное дав-
ление

Рис. 6.7. Усеченная эпюра контактных давлений

а - торцовой плоскостью зуба на расстоянии Дх от точки начального контакта О;
б — кромкой зуба на расстоянии Ду от точки начального контакта О

//>, хИ/Ррл'/»	!р* *>i .	\*/i«

2адда2.и1О(-)(-)

у*

V,/P* Pl 7т \’/i«

2ЛНя = 2.1.110[—)	—)	2A7>2.1.43Sp,(— — —)

\p,J \E7	\ E* p2 k^/

Сближение

лений в связи с близостью торцов зубьев:

Максималь-
ное дав-
ление

3 Дх

2 а

^Дх — 1

(6.2.18)

Как следует из формулы (6.2.18), коэффициент к&х при варьирова-
нии О < ^х/а'н < 1,0 изменяется от ОД до 1,0. Из формулы (6.2.15) вид-
но, что при 7д = /1/Рщ + /а/РД2 точка начального контакта зубьев выхо-
дит на горец и с дальнейшим увеличением 7д коэффициент к^х остается
постоянным и равным кАх = 0,5.	,

Для нахождения параметров контакта а'ц, Ь'ц и а'ц, входящих в (6.2.17),
обратимся к уравнению совместности деформаций и перемещений, что

окончательно дает:

Ж*Д/7, ^*(2Дрг)й, с = о;//Д = 0.315(£*Ррг)*/’(Р1/рд)Ч (6.2.19)

0^ = (1,295/*°;“ )Р01£ 08 (рг/рд)ол (7/Рг)°Л-	(6-2.20)

Таким образом, формулой (6.2.20) решается задача о контактных напря-
жениях на эвольвентных зубьях с прямолинейной образующей при выхо-
де контакта на горец зубьев с учетом их изгибной деформации.

Унификация методов расчета контактной нагруженности зубьев муфт
оказывается особенно полезной при решении задачи о распределении на-
грузки между зубьями муфт, так как независимо от геометрии контакти-
рующих поверхностей зубьев используются единые методы и алгоритмы
решения задачи.

Так, например, формула (6.2.20) без каких-либо изменений может
использоваться при оценке контактных давлений на прямобочных шли-
цах, если под рг понимать приведенный радиус кривизны в поперечном
направлении, обусловленный изгибной деформацией зубьев в торцовой
плоскости. Эта формула справедлива также и для случая, когда нагрузка
на прямобочных птицах или эвольвентных зубьях с прямолинейной обра-
зующей локализуется на кромке зубьев (шлицов). Для этого в ней сле-
дует принять 7 - угол перекоса относительно кромки зубьев, обусловлен-
ный их изгибной деформацией в торцовой плоскости, а рг и р - приве-
денный радиус кривизны в торцовой и осевой плоскости, обусловленный
изгибной деформацией зубьев в этих плоскостях.
Располагая выражениями а'ц, с учетом связи между а'ц и параметрами
площадки контакта можно найти зависимости для их определения (табл. 6).

Важно подчеркнуть, что приведенные в табл. 6 зависимости относятся
ко всем рассмотренным формам зубьев и шлицов.

63. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗКИ МЕЖДУ ЗУБЬЯМИ МУФТ

Несмотря на значительное число работ, в которых разрабатывались раз-
личные подходы к решению задачи о распределении нагрузки между зубья-
ми муфт, по-прежнему остается актуальным вопрос совершенствования
этих методов расчета. В соответствии с полученными результатами со-
вершенствование методов расчета нагруженности зубьев муфт должно
проводиться в следующих направлениях: 1) учет нелинейности жесткост-
ной характеристики зубьев муфты; 2) учет переменной жесткости зубьев
муфты по углу 0; 3) учет податливости обода обоймы; 4) учет деформа-
тивной составляющей угла перекоса между боковыми поверхностями
зубьев и кривизны зубьев в точке начального контакта; 5) учет износа
контактирующих поверхностей зубьев.

Влияние износа контактирующих поверхностей зубьев муфт на харак-
тер распределения нагрузки будет рассмотрено в гл. 7, поэтому здесь
учтем первые четыре фактора, влияющие на нагруженность зубьев муфт.
При этом решение задачи получим дискретным методом, предложенным в
работе [5], поскольку он позволяет простейшим образом учесть пере-
численные факторы.

В соответствии с [5] уравнение совместности деформаций и перемеще-
ний для к-й пары зубьев имеет вид

Дк-Дх»(St -5*)- ("об* - "об2). *=1,2,3........z-1,	(6.3.1)

где Д — деформация зубьев; — деформация обода обоймы; S — зазор
между зубьями в ненагруженном состоянии, индекс z относится к послед-
ней паре зубьев, вступившей в контакт, но еше не воспринявшей нагруз-
ку, что позволяет принять Д2 =0.

Деформация *-й пары зубьев, координируемой углом вк относительно
пары зубьев первой, вступившей в контакт (0j =0), выражается через
нагрузку на ней следующим образом:

(63.2)
где а — показатель степени; 0,5 < а < 1,0; 5* — податливость к-й пары
зубьев.

Уравнение равновесия имеет вид

2 Рк=^ = Т/гь,	(6.3.3)

*=1

где Рх ~ суммарная нагрузка, передаваемая муфтой; Т — крутящий мо-
мент; гь — радиус основной окружности зубчатого венца муфты.

Суть метода решения системы уравнения (6.3.1), предложенного в [5],
заключается в их диагонализации, поскольку метод итераций в данном
случае относится лишь к уточненному учету перераспределения нагрузки
между зубьями, вызванному повышенной податливостью обода обоймы.

Уравнение (6.3.1) записывается в виде

Рк=~ [№ - 5*) - ("об* - "об2)1 */О.

О*

2	,	(6.3.4)

Pz • 2 —	- Sk) - (wo6fc - wo6j)]

*=1 5*

Систему уравнений (6.3.2) можно записать в безразмерном виде:
5(тг/2)	-	-

5>/„(яД =	- $*) -("об* " "об,)]*“1.2.3.......z - 1;

6(я/2)	«	_	_

ъ =Pz I(S* ’-(Wo6k ’ и’об‘)1 ’	(6Л5)

где в правых частях уравнений стоят безразмерные величины зазоров и
деформаций, выраженные в долях 5(я/2).

Для выбранных значений зоны нагруженных зубьев 0о и податливости
обода обоймы, представленной в виде g = woej/S(»/2), удастся получить
зависимости вида

Pk=fi(60.g), Pz=fi(60,g).	(6.3.6)

Аппроксимируя функции fi(0o. g), fi(0o, g) соответствующими аналити-
ческими зависимостями, удастся построить решение прямой задачи нагру-
женности зубчатых муфт.

Из решения задачи о нагруженности зубчатых муфт видно, что уравне-
ние равновесия использовалось лишь для определения чем и опреде-
ляется упрощение решения обратной задачи вместо решения прямой зада-
чи. Решение же задачи в безразмерном виде позволяет независимо от гео-
метрии контактирующих поверхностей зубьев муфт использовать единый
алгоритм.

Таким образом, изложенный алгоритм решения задачи о нагруженности
зубьев муфт позволяет учесть первые три из упомянутых факторов.

Деформативная составляющая кривизны зуба 1/Лбд лишь незначитель-
но (через параметр *в) влияет на изменение жесткости зубьев по углу О,
поэтому она может учитываться только на окончательном этапе расчета
зубьев муфт на контактную прочность при оценке уровня контактных
напряжений на зубьях.

В гл. 5 получены зависимости для определения деформативных пере-
коса 7Д и кривизны зубьев, что позволяет перейти к исследованию харак-
тера распределения нагрузки между зубьями муфт с использованием
формул (6.3.3).

Для шлицов с прямолинейной образующей формулы (6.3.3) примут вид

I	п —	11

(cosfl* - cosfl0) -g(cos2ek - cos20o) S P,cos20,
- ~ 8(я/2) L	<-i	J

Pk = Pk ——— = -----------------------------------------------,

6 + — )cosM3 + cos20*)fl - — cos20*)

\ Ут)	X УтТ /

(6.3.7)
где

,	,	2p3S(wl2) yra

6(ir/2)lS2(ir/2)= 4c(irl2)/b2hyTT; g= L.	S(n/2) =

irElS(nl2) 7tT

= Z>7t7-/2.

В формуле (63.7) удержана только составляющая деформации обода
обоймы, соответствующая в (53.4) л = 2; это сделано потому, что с уве-
личением п коэффициент сп резко уменьшается, однако ниже дана оценка
погрешности, возникающей от пренебрежения формой деформаций обода
обоймы (п > 4).

По формуле (63.7) был выполнен расчет распределения нагрузки
между шлицами при варьировании зоны нагруженных зубьев в0 от 20 до
80°, коэффициента податливости обода обоймы g от 0 (жесткий обод
обоймы) до 1,0 в предположении, что упругий перекос зубьев отсутст-
вует (7тя/7гТ=0).

Для зубьев с криволинейной образующей формулы (63.5) примут вид

Р-Р	[(со*20*-со»20о)(1-gSAco»20f)] Х(1-7тд/7тг)а

* " * 5(я/2) "	[(1 + М + t6cos20fc]	(1 + Лбг/Ябд) ’

(63.8)

где

2рэ

6(я/2)/5(я/2)=14,8/й£7?бг7тг; « = “77

S(r/2) , 7ТД
б(ж/2) + 7тГ '

Здесь также удержана лишь составляющая упругой деформации обода
обоймы, соответствующая п = 2, поскольку, как показали расчеты, учет
высших форм деформаций обода обоймы практически не влияет на ре-
зультаты расчета нагрузок на зубьях.

Переходя от относительных нагрузок Рх, к действительным Рх, Р^,
получим между ними связь в следующем виде:

Л =Л(Г) [$2(я/2)/6(я/2)] °-3Р°'7,	(63.9)

где /i(g) =O.O5-O,O4g. 0 < g < 0,25; 0,045-0,02 g. 0 < g < 0,25; 52 (я/2)/
/6 (я/2) = Ь,Й7гГ/4с (я/2).

Эта формула может использоваться для оценки нагруженности не только
прямобочных шлицов, но и зубьев с прямолинейной образующей, посколь-
ку в обоих случаях функция зазоров между зубьями имеет одинаковый
вид (S(0o) = (/>7t/2)cos0).

Таким образом, формулой (63.9) решается задача об определении мак-
симальной нагрузки на зубьях Рх с прямолинейной образующей.

Эти зависимости справедливы для произвольных геометрических и
нагрузочных параметров муфты. На рис. 6.8 и 6.9 приведены данные о рас-
пределении нагрузки между зубьями муфт и относительных величинах
(в долях Рх).

Как следует из приведенных данных, повышение податливости обода
обоймы совершенно не влияет на характер распределения нагрузки между
зубьями с криволинейной образующей, а для зубьев и шлицов с прямо-

Распр<:Дслс,,ис нагРУЗКи в зоне натуженных зубьев с криволинейной обра-
ющси	г

линейной образующей это влияние сказывает с.-. лишь при значительных
зонах нагружения зубьев (0О > 60°), причем пп Йо = 80° максимальную
нагрузку воспринимает не первый зуб, а зу_, координируемый углом
в = 40-45°.

Рассмотрим результаты экспериментальг исследований нагружен-
ности зубьев муфт, работающих в условиях г пекоса осей соединяемых
валов.

1P7
Рис. 6.10. Эпюры напряжений в зубе вспомогательной муфты с прямолинейной фор-
мой образующей [10]

Кривые напряжений я точках: I — А; II — В; а - ут = 0; б — 30'; в — 1°; г — Iе 30’

В работе Л.Б. Эльштейна впервые для тарировки танзодатчиков, на-
клеенных в выкружку с обоих торцов зуба втулки, использовалась вспо-
могательная втулка с одним зубом, у которой все зубья, кроме одного,
были удалены, поэтому величина нагрузки на зубе при произвольной
ориентации его относительно плоскости перекоса была известна - она
равнялась, очевидно, отношению Т/гь. Тензометрируя вспомогательную
втулку с одним зубом при варьировании углового положения его отно-
сительно плоскости перекоса (угол перекоса у = 0; 30'; 1° и 1°30' и вра-
щающий момент на муфте Т = 0,5; 2; 3 и 4 • 10а кг • м), получали своего

fl чгг 1г.Л

-J----1--*-----L---1----1___	

*0	/20	200	200 JOOS"

рода тарировочные графики для тензодатчиков, установленных на не-
рабочей стороне зуба (база 5 мм).

На рис. 6.10 приведены результаты тензометрирования вспомогатель-
ной однозубой муфты при варьировании положения зуба относительно
плоскости перекоса осей полумуфт, имевшей параметры m = 8 мм, z = 32,

a = 20 , b = 20 мм, E = 0,72 • 10“ кгс/см2. Датчик А находился co стороны
свободного торца обоймы, а датчик В — со стороны защемленного торца
обоймы. Поскольку момент входа в контакт зуба со стороны торцов А
и В смещен на угол 0 = я, то кривые рис. 6.10 перестроены таким образом,
чтобы координата в для обоих датчиков была одинакова по отношению к
сечению, где зуб воспринимает максимальную нагрузку (рис. 6.11).

На рис. 6.11 четко видно отсутствие симметрии эпюры напряжений
при смещении площадки контакта по длине зуба. Для точки А, располо-
женной со стороны свободного торца обоймы, напряжения плавно возрас-
тают по мере приближения площадки контакта с противоположного торца.
Для точки В картина деформации зуба несколько иная: датчик В резко
реагирует на момент выхода на зуб площадки контакта, после чего напря-
жения в точке В изменяются в меньшей мере, чем в точке А. Этот факт не
был объяснен в работе Л.Б. Эльштейна и, по-видимому, связан с тем, что
изгибная деформация обода обоймы, приводя к упругому перекосу между
зубьями, компенсировавшему технологический перекос, в большей мере
проявлялась при расположении площадки контакта со стороны торца А,
чем со стороны торца В.

Испытания зуба вспомогательной муфты показали, что напряжения
линейно зависят от величины вращающего момента, передаваемого муфтой.
Это позволило воспользоваться результатами тензометрирования вспомо-
гательной муфты как своеобразной тарировкой тензодатчиков на зубьях
цельной муфты и определить на них нагрузку из следующего соотношения:

^ц(в) =^в(в)(ац(0)/а(в)),	(6.3.Ю)

где индекс ц относится к цельной, а индекс в — к вспомогательной муфте;
Р(6) — нагрузка на зубе; о(0) - напряжения на зубе, координируемом
углом в.

Результаты выполненного эксперимента в работе Л.Б. Эльштейна были
сопоставлены с полученными расчетными зависимостями. При этом в
соответствии с (4.1,2) было принято, что податливость зубьев при номи-
нальном контакте с = 25т/Е. На рис. 6.12 приведены результаты такого
сопоставления рассчитанных (кривая 3) и измеренных величин нагрузок
на зубьях муфт, из которого следует, что зависимости хорошо совпадают
с данными эксперимента. Имеющая место погрешность, составляющая
примерно 10%, объясняется невысокой точностью задания коэффициента
с (4.1.2), приняв с = 22^т/Е (кривая 1) (что также находится в пределах
диапазона, определяемого формулой (4.1.2)), можно добиться полного
соответствия расчета с экспериментом.

На рис. 6.12 наряду с экспериментальными данным, полученными в
работе [76], приведены расчетные данные (кривая 2) из работы [ 11 ].

На рис. 6.13 приведено сопоставление рассчитанных и измеренных вели-
чин эоны нагруженных зубьев 0О, там же для сравнения (в кружках)
приведены результаты расчета 0О, выполненного в работе [16]. Как следует
из приведенных данных, эксперимент, выполненный в работе Л.Б. Эльштей-
на, дает завышенные значения 0О, что объясняется неопределенностью в на-
хождении эоны нагруженных зубьев при тензометрировании зубьев и
податливости обода обоймы. Расхождение с работой [16] находится в пре-
делах 15%.
Рис. 6.1 Z Сопоставление рассчитанных (табл. 7) и измеренных [10] величин макси-
мальной нагрузки на зубьях с прямолинейной образующей

При у^ 1 - 30'; 2 — 1°; 3 — 1*30'

Рис. 6.13. Сопоставление рассчитанных (табл. 7) и измеренных [10] величин зоны
нагруженных зубьев Оо с прямолинейной образующей

1-3 — то же, что на рис. 6.12
В работе [116] приведены результаты исследования нагруженности
зубьев муфт с криволинейной образующей, выполненного тензометри-
рованием зубьев с параметрами т = 8 мм, z = 56, Л = 300 см, b = 60 мм,
а = 20° с помощью тензодатчиков с базой 1=3 мм, наклеиваемых в трех
сечениях по длине зубьев. Как указывалось, важным элементом тенэо-
метрирования зубьев колес и муфт является тарировка тензодатчиков,
которая в работе [116] выполнена следующим достаточно спорным спо-
собом. Зубья втулки и обоймы были дополнительно вручную дообрабо-
таны таким образом, чтобы был смоделирован зазор между зубьями,
обусловленный перекосом осей полумуфт на угол уг =5 • 10-3рад. Это
позволило, не перекашивая оси полумуфт, но изменяя зазор между зубь-
ями, нагружать их силой.зная ее положение по длине зуба (в среднем сече-
нии по длине зуба). По существу, таким образом и была выполнена тари-
ровка тензодатчиков при нагружении их силой, приложенной в среднем
сечении. Что касается тарировки тензодатчиков при перекосе осей полу-
муфт, когда изменяется не только величина нагрузок, но и точка ее при-
ложения по длине зуба, то она в работе [116] не проводилась, а расчетным
путем устанавливалась связь между величиной и положением приклады-
ваемой к зубу силы, с одной стороны, и показанием тензодатчиков на
зубе - с другой.

На рис. 6.14 приведены результаты сопоставления рассчитанных и из-
меренных в работе [116] величин максимальных нагрузок на зубьях
с криволинейной образующей. Крутящий момент на муфте варьировался
от 750 до 3000 кг • м, угол перекоса — от 5  10-3 до 10 • 10-3 рад (что
с учетом преднамеренно внесенной погрешности 5-10“3рад составляет
от 10~2 до 1,5 • 10-2 рад). Кривой I здесь показан расчет по формуле
(табл. 7) при # = 0 (абсолютно жесткий обод обоймы и втулки), а кри-
вой II — при g = 0,75. Из приведенных данных Видно, что повышенная
податливость обоймы и втулки повлияла на нагруженность зубьев муфты.

На рис. 6.15 приведены результаты сопоставления рассчитанных по
(см. табл. 7) и измеренных [116] величин зоны нагруженных зубьев с кри-
волинейной образующей. Здесь также кривой I показан расчет по (см.
табл. 7) при# = 0, а кривой II- при g = 0,75.

Тщательное исследование нагруженности зубьев муфт с криволиней-
ной образующей при варьировании перекоса между осями полумуфт было
выполнено в работе [139]. Был использован тензометрический метод
исследования нагруженности зубьев с помощью двух тензодатчиков с
базой 1 мм, наклеенных в выкружку зубьев с нерабочей стороны на рас-
стоянии 3 мм от обоих торцов.

Испытывался зубчатый шпиндель с параметрами т = 4 мм, z = 48, ЬП1 =
= 30 мм, bot = 45 мм, = 55 мм, а = 20°, крутящий момент изменялся
до 600 кг • м, угол перекоса уг до 4°. Для оценки влияния податливости
обода обоймы на характер распределения нагрузки на зубьях его тол-
щина изменялась от 24 до 8 мм (от 6т до 2т). Уменьшение толщины
обода обоймы до 8 мм соответствует# = 0,50, при этом наблюдалось умень-
шение Л с ростом #.

На рис. 6.15 также нанесены результаты экспериментального опре-
деления эоны нагруженных зубьев 0о. Уменьшение толщины обода обоймы
Рис. 6.14. Сопоставление рассчитанных (табл. 7) и измеренных 128] величин макси-
мальной нагрузки на зубьях с криволинейной образующей

При 1 - 10*’; 2 - 1,25 • 10**; 3 - 1,5 • 10 ’; 4 - 3,49 • 10*’; 5 - 5,24 • 10*’

Рис. 6.15. Сопоставление рассчитанных (табл. 7). и измеренных [28] величин зоны на
груженных зубьев 0, с криволинейной образующей

При ут: 1 - 10*’; 2 — 1,25 • 10*’; 3- 2,5 • 10*’; 4 - 3,49- 10*’; 5-5,24 • 10*’

до 8 мм соответствует g = 0,5 и согласно (см. табл. 7) привело к увеличе-
нию эоны нагруженных зубьев.

Характер распределения нагрузки между зубьями, полученный экспе-
риментально, показан на рис. 6.9. Из сопоставления рассчитанных и из-
меренных величин нагрузок на зубьях следует их хорошее соответствие
(если учесть, что расчетные кривые построены лишь для четырех значе-
ний угла в0); это указывает на удовлетворительную точность зависи-
мости (6.3.8) в части описания характера распределения нагрузки между
забьями муфт с криволинейной образующей.

В заключение остановимся на определении результирующих силовых
факторов, действующих в муфте при перекосе осей полумуфт.

Известно, что в общем случае в неточно изготовленной и установлен-
ной муфте возникают следующие результирующие силовые факторы:
изгибающий момент от упругих сил и сил трения на зубьях муфт, осевая
сила от сил трения на зубьях муфт, радиальная сила от упругих сил и сил
трения на зубьях муфт (рис. 6.16).

Смещение точки приложения равнодействующей контактных давле-
ний в пределах площадки контакта по длине зубьев приводит к тому,
что в муфте возникает изгибающий момент упругих сил, который для
диаметрально расположенных зубьев равен

+ Рп(0 + я)62(0 + я),	(63.11)

где by (0), b2(0+ir) — расстояние от точки приложения равнодейству-
ющей контактных давлений Р„ (в) и Р„ (0 + я) на зубьях, координиру-
емых углами в и в + я до среднего сечения зубчатого венца. Если смеще-
ние осей полумуфт и шаговые погрешности зубчатых венцов отсутст-
вуют, то

Л, (0) = РЯ(0 * я), Л1(0) + Ь2(0 + я) = b(0) = 67cos0,

где Ьу — характеризует максимальное смещение равнодействующей кон-
тактных давлений; Ьу-Ы2- для зубьев с прямолинейной образующей
и by = RyT - для зубьев с криволинейной образующей.

При этом в муфте возникает изгибающий момент в плоскости, пер-
пендикулярной той оси, относительно которой перекошены оси полу-
муфт (на рис. 6.16 это вертикальная ось). Относительно другой оси из-
гибающий момент упругих сил будет равен нулю из-за цикличности на-
гружения зубьев муфты при наличии лишь перекоса осей полумуфт. Таким
образом, при перекосе осей полумуфт в муфте возникает изгибающий
момент упругих сил, равный

М„ = 2 X рп (0) cos20 = 2Р (О) by S cos2 О.

(6.3.12)

или в безразмерном виде

5

А/и=Л/н —— =/>l2Pecos20.	(63.12а)

Полученные результаты позволяют найти изгибающий момент упругих
сил, возникающий в зубчатой муфте с прямо- и криволинейной обоазч-
ющей зубьев при наличии в муфте лишь перекоса осей.

Расчет по зависимости (6.3.12а) позволил получить для зубьев с пря-
молинейной образующей

5

= МПИ (0,43 - 0,lg)F£'“5,	(6.3.126)

О о
5	—

.Йкн=Л/ки—— = 0.542(1 +0.268(1 -g)2]^’62.	(6.3.12b)

На рис. 6.17 приведены результаты расчета по зависимости (6.3.126)
изгибающего момента упругих сил в зубчатой муфте с прямолинейной
образующей зубьев (кривая/), которые сопоставлены с эксперименталь-
ными данными, заимствованными из работы [16]. Из приведенного со-
поставления следует, что экспериментальные значения изгибающего мо-
мента превосходят расчетные значения в среднем на 15%. На рис. 6.17
кривой II показана расчетная величина изгибающего момента в муфте.
увеличенная на 15% по сравнению с (6.3.126), которая независимо от
угла перекоса в муфте ут с высокой точностью соответствует измерен-
ным величинам изгибающего момента. Для сравнения отметим, что при
малых углах перекоса в муфте ут отклонение рассчитанных по (16] и
измеренных величин изгибающего момента в муфте достигает 40—50%.

На рис. 6.18 приведены результаты расчета по зависимости (6.3.12в)
изгибающего момента упругих сил в зубчатой муфте с криволинейной
образующей (кривая /), которые сопоставлены с экспериментальными
данными, заимствованными из работы [16]. При определении экспери-
ментальных величин изгибающего момента было учтено, что пред-
намеренно внесенное изменение зазоров между зубьями, эквивалентное
углу перекоса ут = 5 • 10-3 рад не влияло на возникновение в муфте из-
гибающего момента, поэтому при утъ = 1,25 • 10-2 рад смещение площад-
ки контакта из среднего сечения зубчатого венда определялось для ут =
= 0.75 • 10"2 рад, а при Е = 1,5 • 10-2 рад - для ут  10-2 рад.

Из приведенного на рис. 6.18 сопоставления расчета с экспериментом
следует, что экспериментальные значения изгибающего момента превос-
ходят расчетные значения в среднем на 20%. На рис. 6.18 кривой// показа-
на расчетная величина изгибающего момента, увеличенная на 20% по срав-
нению с (6.3.12в), которая независимо от крутящего момента с высо-
кой точностью соответствует измеренным величинам изгибающего мо-
мента. Для сравнения отметим, что при максимальном крутящем моменте
отклонение рассчитанных по [16] и измеренных величии изгибающего
момента достигает 30%, причем оно изменяет знак с уменьшением крутя-
щего момента.

Рассмотрим схему возникновения сил трения на зубьях муфты и связан-
ного с ними момента сил трения, действующего на валы полумуфт. На
рис. 6.19,а приведена схема сил, возникающих на зубьях муфты при пере-
косе осей. Там же для зубьев, координируемых углами ±в и п±в, показа-
ны направления скоростей скольжения и возникающих в связи с этим
сил трения (осевых) на зубьях муфты. В положении -0, когда площадка
контакта смещается к торцу, скорость скольжения также направлена
к торцу зуба, а возникающая при этом сила трения, препятствуя относи-
тельному движению зубьев, направлена от торца зубьев к середине. В по-
ложении 0=0° скорость скольжения меняет свое направление на проти-
воположное, а вместе с ней изменяет свое направление и сила трения -
она направлена от середины к торцу зуба.

Во второй эоне нагруженных зубьев я — 0o<O<it + Oo направление
скорости скольжения на зубьях и сил трения на них изменяется на проти-
воположное — в положении п — 0, когда площадка контакта смещается
к противоположному торцу, сила трения, препятствуя относительному
движению зубьев, направлена от противоположного торца к середине
зуба, т.е. так же, как и на зубе в положении + 0. В положении я + в сила
трения изменяет свое направление на обратное и действует от середины
зуба к противоположному торцу.

Таким образом, при наличии только перекоса осей полумуфт относи-
тельное скольжение профилей зубьев приводит к тому, что в каждой из
нагруженных зон зубьев возникает момент сил трения, действующий
в плоскости перекоса.
Рис. 6.19. Схема действия осевых сил в зубчатой муфте

Однако рассмотренная схема возникновения момента сил трения в
муфте справедлива только в случае, когда эпюра сил на зубьях муфты
имеет две оси симметрии (рис. 6.19,6)- Если наряду с перекосом в муфте
имеет место смещение осей полумуфт или радиальное биение зубчатых
венцов полумуфт, то силы трения в муфте приведут наряду с моментом
сил трения к возникновению осевой силы в муфте, которая будет иметь
постоянное направление (при смещении осей полумуфт) или периоди-
чески изменяться с оборотной частотой (при радиальном биении зубча-
тых венцов).
На рис. 6.19,e-d схематично показано влияние фазы радиального биения
зубчатого венца на характер изменения осевых сил на зубьях муфты.

Момент сил трения на зубьях, координируемых углом ±0 и я ± 0. будет
равен (см. рис. 7.19,а)

mT(0)= 2P(O)/2Psin0 =4Р(0)/Я smO,

где Л - радиус делительной окружности венца; f — коэффициент трения,
поэтому суммарный момент сил трения в муфте будет равен

о.	в,

,Wt(0) = Smt(0) = 4Pt/Xp(0)sin0.	(63.13)

о	о

Записывая (6.3.13) в безразмерном виде, получим

Мг = М, [б (я/2)/4Я/3 (я/2) ] = Ft SP9sin0.	(6.3.13а)

Расчет по зависимости (6.3.13а) позволил получить эмпирические зависи-
мости для зубьев с прямолинейной образующей

М„, =Мпт [5(я/2)/2RfS2 (я/2)] - (0,052 - 0,016^)Р£°’7”,	(6.3.136)

для зубьев с криволинейной образующей

Мкт = Мкт [5 W2)/2HfS (я/2) ] = (0.075 + 0,04g)PzMI.	(6.3.13в)

Расчеты показали, что формула (6.3.136) лучше соответствует малым
нагрузкам (Ре < 1,0), если же Ре > 1,0, то входящий в (6.3.136) коэф-
фициент 0,016 следует заменить на 0,022.

Обращает на себя внимание тот факт, что из всех силовых факторов,
возникающих в зубчатой муфте, лишь момент сил трения Мкг (6.3.13в)
зависит от Р£ в степени а> 1,0, причем с увеличением податливости обода
обоймы g момент сил трения Мкт увеличивается. По-видимому, это связа-
но с особенностями зубчатой муфты с криволинейной образующей зубьев,
когда функция зазоров между зубьями и деформация обода обоймы
изменяются по аналогичному закону cos20.

Остановимся на определении еще одного параметра, характеризую-
щего нагруженность зубчатых муфт, — крутильной жесткости муфты
с,р, которая определяется как отношение

c^=dM/d>p,	(6.3.14)

где М — крутящий момент, передаваемый муфтой; - относительный
угол поворота венцов полумуфт, обусловленный деформацией зубьев
и обода обоймы.

Крутящий момент М выражается через суммарную нагрузку на зубьях
Ре очевидным образом:

M = Psrb,	(6.3.15)

где гь - радиус основной окружности зубчатого венца.

Относительный угол поворота венцов полумуфт выражается через
деформацию наиболее нагруженной пары зубьев Д следующим образом:

= Д/гь.	(6.3.16)
Параметр	Прямолинейная образующая зубьев		Криполинейная образующая зубьев
Максимальная сила на зубе (безразмерная) Окружная сила в муфте (без- размерная)	Р, -Р, (в(я/2)/5’(я/2)|  РЕ -Ps[6(w/2)/S’(«/2)J	р, -Г, и)	f54 - у*  ?, - Р,[в(я/2)/5(я/2)|  Рх =РЕ[6(я/2)/5(и/2)|
Окружная сила в муфте  Зона нагружен- ных зубьев Момент упру- гих сил (без- размерный)	Рх = М)гь  /54 - У*1  в. -/>U)(— /’г)  754 -  ^h'/,U)^—Рх)  Л?н =	[ б(я/2)/5’ (я/2)61	Мн = М„ [6(я/2Х$(я/2)6 )		
Момент сил трения (без- размерный)	,WI=AfT[6(w/2)/4rft/S’	И, =/.U>  <>т/2)1	Мх =Mr[6(4/2)l4rbfS^/2)}

^•Pzrb>k<p

Крутильная
жесткость
муфты

к.

54 I
х — б^/гу’г

/t(«)S°-(Tr/2) X
0.3

= 0.5/, U)X

Г 54

X------6(я/2)5(л/2)РЕ

6(»/2)/5’(«/2) = 4с(я/2)/Ь’Лу,

6(я/2)/5(ж/2)= 14О/Л£Явт'

Г еометро- жест-
костной пара-
метр

Деформагив- ный параметр	Л W - 005 - 0.04$ (0<$<; 025) /,U)  0.045 - 002$ (0,25 4 g < 10) /,U) = 563°+ 20.9°$ (0 < g < 0Д5)	/.U) = 0,126 -0,088$ (0<$<025)  /.U) = 0.116 -0048$ (025 4g 4 1Д) Ли) = 200°+ 12,08°$ (о<$< 10)
	/2(Х) = 585°+ 1237 (0,25 4g 4 1Д)  /»(£)• 0.43 -0,1л AU) * 0.052 - 0,016к	Ли) = 0,542 *0,145(1 -$)’ /4U) = 0075 ♦ 004?
Коэффициент деформации обода обоймы	g	= 2р’$(я/2)Р1/я£/6(ж/2)
Показатель степени	а, =0,7  о>2 =02  а, -0,885  а, =0,759	а, =0,5  а, =0,5 а, =0,762 а4 - 1,410
С учетом (6.3.15) и (6.3.16) формула (6.3.14) примет вид = (dPiJdA)r2b.	(6.3.17)

Поскольку Д = (5/’1)“, то формулу (6.3.17) можно представить в следу
ющем виде:

с* =Pz(r2lk^,),	(6.3.18)

где к* — коэффициент, учитывающий влияние конструктивных параметров
муфты на ее крутильную жесткость; для зубьев с прямолинейной образу-
ющей

к* =0.35 {Л(?)$0'6

o,s

для зубьев с криволинейной образующей

=0.50/,(£)

В табл. 7 дана сводка формул для определения силовых факторов,
возникающих в зубчатых муфтах.
Раздел III

НАПРЯЖЕНИЯ И ИЗНОС

В ЗУБЧАТЫХ СОЕДИНИТЕЛЬНЫХ МУФТАХ

Методы расчета на прочность зубьев и элементов муфт должны быть
ориентированы на предотвращение эксплуатационных отказов, харак-
терных для этих элементов, и взаимосвязаны между собой, поскольку
стремление к снижению габаритов и металлоемкости соединительных
муфт требует соблюдения принципа равнопрочности при проектирова-
нии их зубьев и элементов.

Известно, что основными видами отказов зубьев соединительных муфт
являются износ, контактная коррозия и их поломка.

Износ зубьев муфт, являясь наиболее распространенным видом отказов,
не только снижает изгибную прочность зубьев (в связи с их утонением
в опасном сечении), но и перераспределяет нагрузку между ними. Если
первое обстоятельство отрицательно сказывается на изгибной выносли-
вости зубьев, приводя к повышению уровня изгибных напряжений, то
второе в связи с приработкой зубьев приводит к перераспределению на-
грузки между зубьями, включению в работу все большего числа зубьев
и, как следствие, к снижению максимальной величины нагрузки, возника-
ющей на зубьях муфт.

Контактная коррозия зубьев муфт, являясь следствием кинематиче-
ских и деформативных относительных микросмещений зубьев муфт,
может стать очагом повышенного износа зубьев и катастрофического
схватывания их контактирующих поверхностей. Поэтому на стадии проек-
тирования зубчатых соединительных муфт должны приниматься меры,
полностью исключающие контактную коррозию на зубьях.

Поломка зубьев возникает в неточно изготовленной и собранной муфте
в связи с резкой концентрацией нагрузки на торце наиболее перегружен-
ного зуба. И хотя поломка зубьев муфт - на практике явление достаточ-
но редкое, необходимо располагать методикой расчета на изгибную вынос-
ливость зубьев, с тем чтобы на стадии проектирования муфты предотвра-
тить этот вид отказа зубьев.

Что касается прочности элементов зубчатых соединительных муфт,
то на практике она обеспечивается увеличением их размеров — диаметра
втулки и толщины обоймы. Это приводит к нарушению принципа рав-
нопрочности узла, поскольку интенсивный износ зубьев муфт лимити-
рует срок службы соединительной муфты.

Таким образом, требования по выбору толщины обода обоймы по
критериям износостойкости зубьев и изгибной выносливости обода явля-
ются противоречивыми и требуется принятие компромиссного решения
при выборе толщины обода. Она должна выбираться из условия обеспе-
чения максимально достижимой износостойкости зубьев муфты с одновре-
менным обеспечением изгибной выносливости обода обоймы муфты за
ограниченный срок службы.

Рациональным выбором толщины обоймы можно добиться более рав-
номерного распределения нагрузки по длине зубьев и, как следствие,
повышения их износостойкости и долговечности муфты. Оптимизация
параметров элементов шлицевых соединений может быть выполнена
на основе методики расчета их на прочность с учетом концентрации на-
пряжений, обусловленной наличием зубьев на элементах.

ГЛАВА 7

ЗАКОНОМЕРНОСТИ ИЗНАШИВАНИЯ ЗУБЬЕВ МУФТ

7.1.	СМАЗКА ЗУБЬЕВ МУФТ

Наиболее эффективным методом борьбы с изнашиванием контакти-
рующих поверхностей деталей машин, в том числе и зубьев муфт, явля-
ется создание масляного клина в контакте подачей в него необходимого
количества смазки. Эта проблема в основном решается эксперименталь-
ным путем. Связано это со сложностью и в первую очередь с нестационар-
ностью процессов, происходящих в контакте зубьев соединительных муфт.
Между зубьями при наличии перекоса между их осями возникают пере-
менные во времени скорости скольжения в двух направлениях — осевом,
в связи с действием кинематических факторов, и в поперечном, в связи
с действием деформативных и кинематических факторов.

Кроме того, нагрузка между зубьями распределяется неравномерно,
поэтому пара зубьев, вступив в эону нагружения, находится под действием
переменных во времени нормальных нагрузок и скоростей скольжения.
Оценка возможности возникновения в таких условиях надежного масля-
ного клина расчетным путем на основе гидродинамической и тем более
контактно-гидродинамической теории смазки представляет значитель-
ные математические трудности и едва ли может быть выполнена аналити-
ческими методами.

В таких условиях важно выявить основные факторы, влияющие на
формирование пленки смазки в контакте, построение или нахождение
на основе ориентировочных теоретических расчетов безразмерных пара-
метров, характеризующих возникновение слоя смазки в контакте, и на-
копление экспериментальных данных по износостойкости зубьев муфт
с целью определения допустимых величин этих параметров.

Гидродинамическая теория смазки, созданная более 100 лет назад
(в 1883 г. русским ученым Н.П. Петровым [34] и независимо от него в
1884 г. английским ученым О. Рейнольдсом [34]) .относилась к изучению
в первую очередь подшипников скольжения.

Обобщенное уравнение Рейнольдса для давлений на случай нестационар-
ного движения вязкой несжимаемой жидкости при коэффициенте вяз-
Рис. 7.1. Изменение нагрузочных и скоростных параметров в зубчатой муфте

кости, зависящем от состояния смазки, имеет вид [55]

Э /ph3dp\ д [ph3dp\
дх\р дх / ду \ р ду /
д	д	др

= 6 — (рЛ1/) + 6—(рЛ5П+ 12рГ+ 12—,
Эх	ду	dt

(7.1.1)

где р и р — плотность и абсолютная вязкость смазки; Л — толщина пленки;
U, W и V — составляющие относительной скорости движения поверхностей
соответственно по направлению скольжения х, перпендикулярно к нему у
и по нормали к поверхностям z. Физический смысл уравнения (7.1.1)
состоит в том, что возникновение гидродинамического давления в масля-
ном клине зависит от трех факторов, влияющих на несущую способность
слоя смазки, — способность создать масляный клин (первое слагаемое),
истечение смазки в поперечном направлении (второе слагаемое) и сдавли-
вание слоя смазки (два последних слагаемых).

Скорость относительного скольжения зубьев U равна

U = dAsT/dt = rywcoswT.	(7.1.2)

Как показано в гл. 6, нагрузка между зубьями муфт при перекосе
осей также распределяется неравномерно по углу в, достигая максимума
в сечении 0 = 0. Поэтому, принимая приближенную запись для анализа
смазки зубьев муфт

/>(0) = /’o(cosO - cos0),	(7.1.3)

где 0 ~ зона нагруженных зубьев; Ро - максимальная нагрузка в сечении
0 = 0, убеждаемся, что пара зубьев, вступающих в контакт, находится
в нестационарных условиях нагружения и относительного смещения. На
рис. 7.1 схематично показан характер изменения скоростей (/. К и на-
Рис. 7.Z Режимы смазки пар скользящих поверхностей

грузок Р на зубьях муфты. Точка в = 0 соответствует торцовому сечению
зуба (или плоскости, перпендикулярной плоскости перекоса), точка 0 =
= тт/2 - среднему сечению зуба (или плоскости перекоса), а точка 0 = 0 -
входу рассматриваемой пары зубьев в эону нагружения.

Таким образом, на участке 0<0<я/2 пара зубьев не контактирует,
так как между зубьями имеется зазор; на участке О<0<0 рассматри-
ваемая пара зубьев набирает нагрузку от нуля в точке в - 0 до Ро в точке
0 = 0; на участке —0<0<О рассматриваемая пара зубьев сбрасывает на-
грузку от Ро в точке 0О = 0 до нуля в точке 0 = -0; на участке -п/2 С
<0 < —0 рассматриваемая пара зубьев не контактирует.

Из приведенной схемы видно, что критическими являются точки 0 = 0
и 0 = ±0. В первой из них сближение поверхностей зубьев отсутствует,
а Р(0) и U(в) достигают максимальной величины, т.е. реализуется чисто
гидродинамический режим трения; в двух других точках нагрузка, дейст-
вующая на зубья, отсутствует и возникновение пленки смазки обусловле-
но наличием скоростей скольжения t/(0) и сближения контактирующих
поверхностей зубьев, причем на участке 0 < 0 < 0 происходит их сближение,
а на участке - 0 С 0 < 0 удаление друг от друга.

Для оценки возможности возникновения пленки смазки между зубья-
ми муфт необходимо располагать соотношениями между толщиной масля-
ной пленки и нагрузочными и скоростными параметрами при различных
режимах трения. Обычно режим трения оценивается по гак называемой
кривой Штрибека, устанавливающей связь между числом Зоммерфельда
50 = rjP = pUjpL — и коэффициентом трения f (рис. 7.2) (здесь г и р -
касательные и нормальные напряжения в слое смазки, L - характерный
линейный размер).

Как следует из схемы рис. 7.2, большим значением So соответствует
большая толщина пленки h>Rz (Rz - высота микронеровностей по-
верхностей) и, следовательно, условия полного гидродинамического режи-
ма, для которых наблюдается пропорциональность между /0 и So (/).
Асимптота 4, проведенная штриховой линией, предложена Н.П. Петровым

f = pUjPh.	(7.1.4)
Из формулы (7.1.4) следует, что характерным линейным размером в фор-
муле Н.П. Петрова является толщина масляной пленки Л.

Очень малым значениям 50 на схеме рис. 7.2 соответствует трение по-
верхностей без смазки (5). когда в связи с малой величиной U или значи-
тельной величиной Р происходят выдавливание слоя смазки и металли-
ческий контакт поверхностей. Граничная смазка (2) наступает тогда,
когда имеет место частичный контакт микронеровностей поверхностей
и частичный масляный клин на остальной части поверхностей.

Показанная на рис. 7.8 кривая лишь условно может использоваться
для анализа режимов трения в зубчатых муфтах, так как в них имеет
место не только скольжение, но и сближение поверхностей зубьев. Поэто-
му качественно рассмотрим явления, происходящие в слое смазки при
сближении поверхностей зубьев муфт. В работе [100| приведена следу-
ющая -зависимость для скорости сближения поверхностей, на которые
действует нагрузка Р:

И =-Ph3/2nkL*.

где к, Lr — постоянные, определяемые формой пластин: для круглой
пластины £ = 3я/64, Lr-D - диаметр пластины; для прямоугольной
пластины к = 1/2, £, = L - длина пластины.

Время необходимое для уменьшения толщины пленки до значения
h, равно

где й0 — начальная толщина сдавливаемой пленки.

Для зубьев муфт, очевидно, й0 равно зазору в точке с координатой 0, т.е.

йо = (Й7/2) (1 - cos0) +йт|п.	(7.1.6)

а время, за которое рассматриваемая пара зубьев пройдет угловое рас-
стояние /3, равно

t=30&nn.	(7.1.7)

Тогда, обьединяя (7.1.5)-(7.1.7), можно найти выражение для определе-
ния толщины масляной пленки в сечении 0 = 0:

1/й2 = (1/йо) + (ЗО0Ро/лпцкЬ*) *3()QP0/ininkL*,	(7.1.8)

так как при 0 = 0 1'' 0 и й0 > й.

Из формулы (7.1.8) следует,что приближенно &2~д/Ро-т.е. число Зом-
мерфельда в некоторой степени характеризует и толщину пленки смазки,
остающуюся после ее сдавливания.

Таким образом, в режиме гидродинамической смазки влияние клина
(при скольжении) и сдавливания (при сближении) в смазке на ее толщину
характеризуется числом Зоммерфельда.

В условиях граничной смазки трение может быть представлено в виде
суммы трех составляющих - жидкостной (/ж), твердой (/тв) и деформа-
ционной (/деф):

/гр.см = /ж + /тв + /деф<	(7-1-9)

первая из которых обусловлена сдвигом смазочной пленки, вторая -
появлением контакта неровностей поверхностей, третья — деформацией
контактирующих поверхностей.

Именно в режиме граничного трения особенно сложно определить тол-
щину масляной пленки между поверхностями, так как приходится решать
совместную контактно-гидродинамическую задачу.

Контактно-гидродинамическая теория смазки, созданная у нас в стране
в 40-х годах трудами А.Н. Грубина, А.И. Петрусевича, АМ. Эртеля.
Д.С. Коднира, стала за эти годы теоретической основой расчета на контакт-
ную выносливость ряда деталей машин. Применительно к расчету толщины
масляной пленки в зубчатых муфтах с криволинейной образующей зубьев
эта задача решалась АЛ. Поповым [111 ]. В работе И.Я. Татарникова [131]
сделана попытка определить толщину масляной пленки между микроне-
ровностью, моделируемой в виде цилиндра, скользящей и прижимаемой
к плоскости при наличии между ними слоя смазки.

В контактно-гидродинамической теории смазки тремя важными пара-
метрами являются [101]: параметр нагрузки, параметр скорости, пара-
метр материалов соответственно:

W'= WIE'R, U'^iiUlE'R, G = mE',	(7.1.10)

где IV, U' — безразмерные величины; W — нагрузка на единицу длины
цилиндра; R — приведенный радиус кривизны цилиндров ]//? = l/Rx + i/R2,
!/£' = 0.5 [(1 - Р] )/£, + (1 - р2)/£2] ; Е{,	- модуль упругости и коэф-

фициент Пауссона цилиндров; U — относительная скорость скольжения;
До - вязкость смазки;т - пьеэокоэффициент смазки в соотношении

д = доехр(шр).	(7.1.11)

А.Н. I рубин впервые получил формулу для определения толщины
пленки, которая может быть представлена через параметры (7.1.10) следу-
ющим образом:

h/R= 1,95 [(G(/')e/IV']''•.	(7.1.12)

Аналогичное выражение было получено Даусоном и Хиггинсоном [161]:

*mln/« = l,6(G0-‘(/’°«’/IV'0‘3).	(7.1.13)

Анализ этих формул показывает, что йт|п почти не зависит от Е' и IV*. по-
этому формулу (7.1.13) можно записать в следующем приближенном
виде:

*min = const (доU)°'\	(7.1.14)

В работе [100] показано, что толщина пленки между сферой и плос-
костью в условиях контактно-гидродинамической смазки выражается через
упругогидродинамическое число ЕН следующим образом:

*min = const (£Я),	(7.1.15)

где (ЕН) = (jiU/(WIR)) (E/q0); n(JI(WIL) — идентично числу Зоммер-
фельда в гидродинамической теории смазки, а отношение (£7<?о) может
быть названо упругим числом (q0 — максимальное давление по Герцу).

Таким образом, формулы (7.1.12) —(7.1.15) могут быть использо-
ваны для оценки величины слоя смазки и износостойкости зубьев муфты.
Наконец, третий режим работы нары трения, как это следует из рис. 7.2,
характеризуется трением поверхностей без смазки (J), т.е. когда h<R3
и на большей части контактирующих поверхностей наступает металли-
ческий контакт. Трудно точно установить момент перехода граничного
трения в сухое, поэтому необходимо располагать оценками коэффици-
ента трения для каждого из трех режимов смазки, приведенных на рис. 7.2,
что позволит перейти от качественных к количественным характеристикам
процессов смазки и трения зубьев муфт.

Перед тем как перейти к рассмотрению износа зубьев муфт, остано-
вимся еще на одном вопросе, имеющем отношение к смазке зубьев муфт.
При статическом расчете распределения нагрузки между зубьями муфт
(см. гл. 6) была учтена деформация зубьев и ободьев муфт, между тем
наличие слоя смазки между контактирующими зубьями изменяет упругие
свойства системы, так как сам слой смазки обладает как жесткостными,
так и диссипативными свойствами.

В работе [100] отмечается, что сдавливаемый слой смазки имеет жест-
кость к и коэффициент демпфирования с, определяемые из соотношений

k=Fyn{,/z =BA/h,

c=FatM„^z = Wl(dh/dt) = 2kfiLilh\	(7.1.16)

где В - pl(bvlv) — объемный модуль жидкости; р абсолютное давление
внутри жидкости; А - площадь пластины.

Из формул следует, что с уменьшением толщины слоя смазки h коэф-
фициенты кис быстро возрастают, причем в зависимости от ориентации
рассматриваемой пары зубьев по отношению к плоскости перекоса осей
полумуфт (т.е. при вращении муфты) коэффициенты кис значительно
изменяются.

Вводя приведенную жесткость зубьев

(1/*,) + (1/*см),

где к3, ксм — жесткость собственно зубьев и слоя смазки между ними,
видим, что наличие смазки влияет на жесткость лишь менее нагруженных
пар зубьев, а также, очевидно, и на зону нагруженных зубьев и на величину
максимальной силы на зубьях.

По-видимому, учет упругих свойств смазки приведет к некоторому уве-
личению зоны нагруженных зубьев и снижению величины максимальной
силы на зубьях. Это обстоятельство может быть учтено, если в полученные
в гл. 6 расчетные зависимости ввести коэффициент увеличения податливос-
ти зубьев, равный отношению 1 + к3/ксм.

7.2.	ИЗНОС ЗУБЬЕВ МУФТ

Проблема износа зубьев муфт в свете решаемых в работе задач представ-
ляется в двух аспектах - в традиционном, для оценки закономерностей
изнашивания контактирующих поверхностей зубьев при нестационарных
условиях нагружения, и в специальном, для изучения процесса макропри-
работки. когда изменение геометрии контактирующих поверхностей зубь-

ев приводит к изменению уровня контактных и изгибных напряжений на
зубьях и перераспределению нагрузки между зубьями.

Первое из названных направлений проблемы износа твердых тел разви-
то в работах И.В. Крагельского [56], а второе — в работах А.С. Проникова
1П8].

При расчетах износа сопряжений обычно принимается линейная связь
между износом и и временем изнашивания г (или числом циклов нагруже-
ния сопряжения .V):

7 = u/t = const,	(7.2.1)

где 7 — скорость изнашивания.

Как показано в [56], согласно усталостной теории износа интенсивность
изнашивания

<	(7.2.2)

где 1 <т <3, причем для приработанных поверхностей ш * 1.

По-видимому, для зубьев муфт после их приработки допустимо приня-
тие в (7.2.1) показателя степени т равным единице, что соответствует
износу при микрорезании, тогда и не зависит от 7 при одинаковом пути
трения, т.е.

и = kqa £.	(7.2.3)

Вводив (7.2.1) значением из (7.23), получим зависимость

7 = vl - kqav.	(7.2.4)

которая будет использована в дальнейшем при исследовании износа зубьев
муфт.

Переходим к анализу закономерностей деформирования зубьев муфт с
учетом износа их контактирующих поверхностей. Нужно отметить, что при
износе зубьев муфт наблюдаются две стадии — частичной или полной прира-
ботки зубьев (рис. 7.3). На стадии износа I нагружены не все зубья муфты,
а лишь часть из них, находящаяся в интервалах изменения угла 0 -$< 6
ия-0<О<я + 0. На этой стадии зона нагруженных зубьев постепенно уве-
личивается. достигая в пределе значения /3 = я/2. На стадии износа II нагру-
жены все зубья муфты и изнашивается вся их боковая поверхность.

Известно, что между положением точки контакта по длине зуба, с одной
стороны, и положением зуба по отношению к плоскости перекоса - с дру-
гой, существует однозначное соответствие, поэтому представляется воз-
можным определить очертание изношенного участка профиля зуба. Пере-
кос зубьев изменяется в соответствии с зависимостью

7(0) = 7cos0.	(7.2.5)

поэтому для определения профиля изношенного участка длины зуба полу-
чим следующее дифференциальное уравнение:

7(0) = ds(e)/d6 - 7cos0.	(7.2.6)

Поскольку 0 = лх/6, то, разделяя в (7.2.6) переменные и интегрируя,
получим

$(х) * by/*(-sinюс/Ъ + с).	(7.2.7)
Рис. 7.3. Две стадии износа зубьев муфт с прямолинейной образующей (/„ - длина
изношенного участка)

Стадии износа: а — I; б— II

Рис. 7.4. Схема деформирования зуба при наличии износа

Постоянная с найдется из условия, что при О =0 (х =/и) износ равен нулю,
т.е. с = sin(n/„/Z>) и

by /	п/и	пх \

s(x) = — (sin----- - sin—— I.

it \ b	b !

(7.2.7a)

Из формулы (7.2.7a) следует, что изношенный участок длины зуба
имеет переменную продольную кривизну

1/Я(х) = d?i(x)ldx2 = -(iry/ft) sin(nx/Z>).	(7.2.8)

Это значит, что применяемая на практике продольная модификация зубь-
ев по дуге окружности не является оптимальной с точки зрения сокраще-
ния времени приработки зубьев муфты. Как следует из (7.2.8), кривизна
зуба в продольном направлении должна быть равна нулю на торце зуба
(Л(0) = °°) и достигать максимального значения пу/b в середине зуба, т.е.
Я(Ь/2) = b/ity. Обычно ограничение, накладываемое на R, связано с тем,
чтобы точка контакта зубьев не выходила на торец - R < b/2y [11J. Одна-
ко, как следует из (7.2.8), сокращения времени приработки зубьев муфты
можно добиться, если выполнить равенство R(b/2) = b/ity и Я(0) = <».

Для решения задачи о распределении нагрузки в пределах площадки
контакта с учетом износа контактирующих поверхностей зубьев рассмот-
рим частный случай контакта двух плоских поверхностей длины b и шири-
ны h в случае начального неприлегания, характеризуемого углом у*. По-
скольку в процессе износа поверхностей будет изменяться их профиль
и перераспределяться контактная нагрузка, то условие контакта поверх-

ностей зубьев запишется в виде [54]

w,(x, г) + w2(x, г) = а(т) - /(х) - и(х, г),	(7.2.9)

а уравнение равновесия будет

Т Ч(х. t)dx = P/h.	(72.10)

о

где ^(х. Г), и>2(х, г) - упругая деформация зубьев в момент времени
Г,'/(х) - зазор между зубьями в нсдеформированном состоянии; и(х, z) -
износ зубьев в момент времени t в точке с координатой х.

Для решения системы уравнений (7.2.9) —(7.2.10) примем ряд допу-
щений.

1.	Будем считать, что между деформацией зубьев w(x, t) = w, (х, Z) +
+ и'2(х, t) и контактным давлением q(x, t) существует линейная связь,
т.е. справедлива гипотеза Винклера

w(x,z) = cq(x. t),	(7.2.11)

где с - податливость зубьев, постоянная по их длине.

2.	Будем считать, что изнашивается одна из контактирующих поверх-
ностей зубьев, а неизнашиваемая поверхность наклонена к изнашиваемой
на угол у*, так что зазор между ними изменяется по длине зубьев в соот-
ветствии с зависимостью

s,(x) = 7*x.	(72.12)

3.	Будем считать, что к рассматриваемому моменту времени в связи с
износом одной из поверхностей зазор между зубьями изменился в соот-
ветствии с зависимостью (72.7а),т.е.

by /	ttl„	пх \

S2(x) = ----(sin---- — sin---- L	(72.13)

тг \ b	b /

так что s(x) = Si (х) + s2 (х).

4.	Будем считать, что износ зубьев и(х, t) линейно зависит от времени
t и контактных давлений q(x, t), так что

и (х, Z) = ku*tq(x, t),	(7.2.14)

где v • — скорость скольжения рассматриваемой пары зубьев, координи-
руемой углом 0* = пх*/Ь.

Тогда система уравнений (7.2.9)-(7.2.10) примет вид

by /	п/„	пх \

(с + kv*t)q(x,t) = a(t)- у*х -------(sin----- - sin-----I, (7.2.15)

it \	b	b /

i(t)

J q(x, t)dx = P*/h.
о

где l(t) — длина площадки контакта; a(t) - сближение сжимаемых зубьев;
Р* — сжимающая рассматриваемую пару зубьев сила.

Сближение сжимаемых зубьев a(Z) включает две составляющие, одна из
которых обусловлена устранением зазора между зубьями в точке их началь-
кого контакта s(x* г), а вторая - упругим деформированием зубьев
6(х*. Г) собственно и формирующим площадку контакта на зубьях. Если
точка начального контакта зубьев имеет координату х*, то согласно
рис. 7.4. минимальный зазор между зубьями будет равен

67 /	я/„	ях* \

s(x* Г) = —(sin---- — sin-----I + 7*х*

я \ b	b /

и

a(r) = з(х* г) + 6(х* г) =

by / я/„	ях* \	„

— (sin— — sin---------- ) + у*х* + 5(х*/)•

it \	b	b	/

(7.2.16)

Подставляя значение а(г) из (72.16) в (7.2.15), получим систему урав-
нений, включающую лишь деформативную составляющую сближения
л(г) — величину 5(х* t) :

by / пх* ях\

(с + kv*t)q(x, Т) = 6(х* Г) - 7*(х-х*) - —(sin—— - sin — I,(7.2.17)
я \ о о /

Кт)

J q(x, t)dx = Р*/Л.

о

Из системы уравнений (7.2.17) следует, что величина износа зубьев и
в торцовом сечении (х = 0) не влияет на характер распределения кон-
тактных давлений в пределах площадки контакта. Связано это с предпо-
ложением, что изношенный участок профиля зубьев в процессе работы
муфты описывается эквидистантными кривыми. Естественно, что характер
распределения нагрузки между зубьями муфты в изношенном состоянии
будет зависеть от величины износа и.

Система уравнений (72.17) решается в следующей последовательности:
подставляя значение 6(х*. г) из первого уравнения во второе, после интег-
рирования с учетом граничных условий находим параметры площадки кон-
такта - максимальные контактные давления q(x*, г), упругое сближение
5(х* г) и длину площадки контакта /(х* t),.

Зазор в окрестности точки начального касания зубьев х*, входящий в
(72.17), целесообразно представить в упрощенном виде, введя новую пе-
ременную 6х = х - х* * 0. Тогда

by	/	ях*	ях	\	их*

6($) =—(sin------- - sin-----) +т(х-x*)cos —— «=	(72.18)

я	\	b	b	/	о

«1	, 2	•	°*

=»---- ox sin----- .

2	b

Если точка начального касания зубьев находится на торце х* - 0, то
6х = х «= 0 и из (7.2.18) имеем

6(s) = ух — —— sin — * — (—Sx3*	(7.2.18а)

я b 6 \ b /

и первое уравнение (7.2.17) примет вид
(с + kv*t)q(x,t) = 6(х* t)-6(s),

(7.2.17а)

где6(т) определяется из (72.18) или (7.2.18а).

В крайних точках контактной линии q(x, t) = 0, поэтому при х* ± 0

2b

2

2	v«

ях

sin----

b

и прих* = 0

6(Х*. Г) =
о

(7.2.19)

(7.2.19а)

Выполняя интегрирование во втором уравнении (72.17) с учетом
(7.2.19) и (7.2.19а), получим прих**0

Kt) = 2

Г 3 b Р*

[2 it hy

(с + kv*t )
sin(nx*/b)

(72.20)

и при х* = 0

/(/) = 2

(с + kv*t)

(7.2.20а)

После того как найдена длина площадки контакта из (72.19) и
(7.2.19а), находится упругое смещение зубьев 6(х*, Г), а из (72.17а) -
максимальное контактное давление

q(x*. t) = 8 (х*. t)/(c + kv *t).

(7.2.21)

Следует отметить, что, кроме двух рассмотренных предельных случаев
х* > /(г)/2 и х* - 0, имеет место промежуточный случай 0 <х* < /(0/2,
когда площадка контакта выходит на торец зубьев, но контактные давле-
ния при х = 0 не равны нулю. Можно показать, что в этом промежуточном
случае

(с + kv*t)
sin(itx*/b)

(7.2.206)

однако он не представляет практического интереса, так как относится к
незначительному участку зоны нагружения зубьев.

Таким образом, полученные зависимости позволяют определять парамет-
ры контакта зубьев с учетом их износа. Однако, как указано выше, в связи
с предположением о том, что в процессе износа зубьев профиль их описы-
вается эквидистантными кривыми, параметры контакта зубьев оказались
независимыми от величины износа на торце зубьев и. Поэтому определим
величину и из условия (72.14).

Предварительно найдем условие, при котором заканчивается период при-
работки зубьев, чему соответствует /и = Ь/2 и

и = by/it.	(7.222)

Формула (7.2.22) позволяет определять число циклов нагружения зубьев
Л^пред. после которого период приработки зубьев заканчивается и все
они передают нагрузку. После этого, очевидно, износ зубьев не влияет
на характер распределения между ними нагрузки.

Согласно зависимости (7.2.14)

и = и(0, Г) = kv*tq(O. t) = kv*t6(0,t)/(c + kv*t),

что с учетом (7.2.20а) и (7.2.19а) даст

и =(1/6)у'1/4(я/6)1/2(8/>|с/Л)3/4(А:и*т/с)/(1 + kv*t/c)1'4.	(1.2.23)

Анализ показал, что износ зубьев значительно больше их деформации,
поэтому kv *t/c > 1 и

(kv*t/c)/(l +kv*t/c)'l4 *(kv*t/c)3'4,

тогда формула (7.2.23) примет вид

и я(4/3>у‘,4(>г/й),,аиЛ/2Л)*«*г]3/*,	(7.2.23а)

где Р\ - нагрузка на наиболее нагруженной паре зубьев согласно (см.
табл. 7) равна

Л • 0,005 [(bl2)2(hy/c)]4\MKp/r)2'3.

Поскольку и* = гусо. о> = тгп/30 и W = 60/л (N - число циклов нагружения
торцовых участков муфты за t часов работы, п — скорость муфты, об/мин),
то после подстановки в (1.2.23л) входящих в нее величин окончательно
получим

и = 0,85  10-V'4(AfKpM) 1,г(г/с) *'4(*Л) 3'4,	(7.2.236)

где и, см; Мкр, кгс • м; Л, см; г, см; с. см3/кг; к, см2/кг; у, рад; N-
циклы нагружения.

Формула (7.2.236) может использоваться для количественной оценки
износа зубьев муфт.

7.3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ИЗНОСА ЗУБЬЕВ МУФТ

Экспериментальные исследования износа зубьев муфт представляют зна-
чительные трудности, так как требуется высокая точность измерения ма-
лых величин износа контактирующих поверхностей зубьев. В практике
экспериментальных исследований в основном нашли применение следую-
щие три метода определения износа зубьев муфт: 1) изготовление слепков
с изношенных поверхностей зубьев с последующим увеличением на проек-
торе профилей изношенных зубьев; 2) измерение толщин зубьев муфт в
процессе испытаний; 3) метод искусственных баз, при котором на поверх-
ности зубьев наносятся лунки и по их измерениям определяется износ
зубьев.

В работе [131] первым из названных методов исследовался износ эволь-
вентных зубьев муфт при варьировании в широком диапазоне ряда пара-
метров — угла перекоса у от 0 до 2,325 • 10"3 рад; твердости зубьев от
269НВ до 56 HRC; числа циклов нагружения 7VU от 9 • 106 до 50 • 106;
крутящего момента МКр от 279 до 372 кгм; числа зубьев от 27 до 36.

Параметры износа зубьев

Таблица 8

у • 10Э	НВ=269-302	НВ=32 1-363			НВ“485-540	
	“°	а	“* 1	а	и.	а
0	— 16.5	2,45	1,84	0.63	0,78	0,079
0,775	6,75	250	- 3.0	1.61	-0,75	0,33
1,550	18,75	2,85	-7,5	2,71	-4,40	1.41
2,325	17,25	4.73	-10.8	3,98	-2,20	1,94

Перед началом испытаний намечались три зуба вала и втулки, с которых
снимались слепки. Для слепков был использован быстротвердеющий ма-
териал - стиракрил, слепки из которого после затвердения увеличивались
в 50 и 100 раз на проекторе, после чего вычерчивался контур зубьев. Эта
процедура повторялась через работы муфт, и сравнение исходного и ра-
ботавшего профилей зубьев позволяло определить их износ. За величину
износа зубьев вала и втулки принималась "наибольшая разность между
исходным профилем и его изменениями после испытаний”. Отсюда следует,
что износ зубьев определялся в торцовом сечении.

Статистическая обработка результатов измерения износа зубьев муфт
показала, что износ зубьев и зависит от числа циклов нагружения^, твер-
дости зубьев НВ и угла перекоса между осями полумуфт следующим об-
разом:

и = и0 + aNa  10'6,	(7.3.1)

где параметры и о и а определяются из табл. 8.

Из приведенных данных следует, что коэффициент а существенно зави-
сит от варьируемых факторов.

На рис. 7.5 приведены результаты экспериментов в зависимости от угла
перекоса у и твердости поверхностей зубьев НВ. Тот факт, что удельный
износ зубьев (u/Na )(НВ/300)2 практически нс зависит от твердости по-
верхностей зубьев НВ (за исключением износа зубьев вала при
7 - 2,325 • 10 3 рад), свидетельствует о допустимости предположения
и ~ (НВ) 2, т.е. об износе зубьев при пластическом контакте. Штриховыми
линиями на рис. 7.5 показаны средние значения удельного износа зубьев.
Обращает на себя внимание тот факт, что при всех углах перекоса износ
зубьев вала превосходил износ зубьев втулки, причем, как показал ана-
лиз, эта тенденция сохраняется при любом соотношении твердостей зубьев
вала и втулки. Так, при соотношении твердостей зубьев вала и втулки 295/
/302, 295/277, 321/321, 540/485 указанная тенденция сохранялась, причем
с увеличением угла перекоса разница между износом зубьев вала и втулки
возрастала.

Экспериментальные данные, приведенные на рис. 7.5, представлены
на рис. 7.6 в виде зависимости средней величины удельного износа зубьев
от угла перекоса между осями полумуфт, которая может быть представ-
Рис. 7.5. Зависимость удельного износа зубьев вала (7) и втулки (2) от угла переко-
са и твердости поверхности зубьев НВ

лена в следующем виде:
й//Уц(НВ/300)г = «о +*7а,

(7.3.2)

где Со = 0.8 мкм/цикл и к = 0.445 • 106 для зубьев вала и До = 0,4 мкм/цикл
и к = 0,222 • 106 для зубьев втулки.

Из (7.3.1) следует, что измеренный износ зубьев вала вдвое превосхо-
дит износ зубьев втулки.

(2) и втулки (2) от

Рис. 7.6. Зависимость удельного изно-
са зубьев вала
угла перекоса у



/НВ11	.

^/.нхм/цакл

ц

Рис. 7.7. Схема износа зубьев втул-
ки (D и обоймы (77)

Рис. 7.8. Зависимость удельного изно
са зубьев и от максимальной удель
нов нагрузки Р, // 1139)

Рис. 7.6

В работе [146] износ зубьев муфт уравнительных механизмов авиацион-
ных планетарных передач исследовался двумя методами — измерением
толщины слепков (зубья втулок) и измерением на инструментальном
микроскопе УИМ-23 (зубья валов).

Выполненные в работе [146] экспериментальные исследования пока-
зали, что существенное влияние на износостойкость зубьев оказывает
выбор материала контактирующих поверхностей зубьев. Так. если вал
и втулка выполнены из разных материалов, то износостойкость зубьев
соединения выше, чем в случае, когда вал и втулка выполнены из одного
материала. При этом оказалось, что в некоторых случаях зубья, имеющие
большую твердость, были в большей мере подвержены износу, чем зубья
сопряженной полумуфты.

Установлено, что химико-термическая обработка в значительной мере
влияет на изностостойкость зубьев. Так, если для зубьев, не подвергнутых
химико-термической обработке, скорость изнашивания составляет
0,017 мм/ч (что для принятой при испытаниях скорости вращения муфты
л = 2200 об/мин соответствует 1,29 • 10~7 мм/цикл), что для азотирован-
ных зубьев с упрочненным поверхностным слоем она составила 0,006 мм/ч
(0,455 • 10‘7 мм/цикл) и без упрочнения слоя - 0,015 мм/ч
(1,14 • 10'7 мм/цикл).
В работе [139] износ зубьев муфт с криволинейной образующей иссле-
довался с использованием метода искусственных баз. При этом для опре-
деления измененных в процессе износа углублений на боковой поверх-
ности зубьев использовались слепки из гуттаперчи. Лунки наносились
в 10 сечениях по длине зубьев и в трех сечениях по высоте. Измерения
показали, что по длине зубьев эпюра износа симметрична относительно
среднего сечения, а но высоте зубьев износ их практически одинаков.

Установлено, что по длине зубьев втулки и обоймы износ их резко
неравномерен, достигая максимума в сечении, где максимальна нагрузка
на зубе. На рис. 7.7 показана схема износа зубьев втулки 1 и обоймы //.
где заштрихованные участки соответствуют износу зубьев. Как следует
из приведенной схемы, продольная кривизна зуба втулки значительно
увеличилась; прямолинейная до работы муфты образующая зуба обоймы
приняла криволинейную форму.

Испытания, выполненные в работе [139], показали, что износ зубьев
втулки существенно зависит от нагрузочных и скоростных параметров
муфты и от угла перекоса между осями полумуфт. На рис. 7.8 приведены
результаты экспериментальных исследований износа зубьев втулки, при-
чем для исключения числа циклов нагружения по оси ординат отложен
удельный износ зубьев й = u/N^, мкм/цикл, а для совместного учета кру-
тящего момента, передаваемого муфтой, и угла перекоса между осями
полумуфт по оси абсцисс отложена расчетная величина максимальной
удельной нагрузки на зубьях РХЦ. _

Как следует из рис. 7.8, между й и Рх/1 существует линейная зависимость
(кривая 7)

й = кРх/1,	(7.3.3)

где к = 3,1 • IO’7 мкм/(кН цикл).

В работе [139] также показано, что независимо от эксплуатационных
параметров, при которых испытывалась муфта, коэффициент износа зубь-
ев втулки

к„ ~ u/q = u/(NuP/lcosa).	(7.3.4)

где q = P/Zcosa - удельная нагрузка на зубе; / - длина рабочего участка зу-
ба, изменялся в пределах

к„ = (2,26 *3,84)10'6 мкм • мм/(кН - цикл).	(7.3.4а)

Такая форма коэффициента износа зубьев к„ представляется недоста-
точно обоснованной, так как учитывается лишь средняя (расчетная) удель-
ная нагрузка на зубьях q = Р/1, в то время как максимальная величина из-
носа на зубьях, очевидно, определяется не средней, а максимальной удель-
ной нагрузкой на них, qx = Рх/1. Поэтому, видимо, целесообразно опреде-
лять удельный износ и в виде (7.3.3), а коэффициент км в виде

*и = u/qt = u/(/Vu Л//cosa) = klcosa,	(7.3.5)

что для приведенного эксперимента (т = 4 мм, / = 7,2 мм) даст км -
=2,92-10"* мкм-мм/(кН-цикл). В этом случае точнее учитывается физи
ческая картина износа зубьев и, как следует из рис. 7.8, имеет место лучшее
соответствие эмпирической «аммомитга (73.5) женерямептзльным дан-
ным.

ГЛАВА 8

ПРОЧНОСТЬ ЗУБЬЕВ МУФТ

8.1.	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗКИ НА ЗУБЬЯХ
С УЧЕТОМ ИЗНОСА

В гл. 6 нагруженность зубьев определялась лишь погрешностями монта-
жа и упругими деформациями элементов муфт. В процессе износа зубьев
увеличивается зона нагруженных зубьев 0Ои и уменьшается нагрузка на
наиболее нагруженной паре зубьев Рх. Оценка износа зубьев муфт, вы-
полненная в гл. 7, позволяет перейти к расчету нагрузки на зубьях в про-
цессе их износа.

Определим зону натруженных зубьев с учетом их износа. Как следует
из формулы (7.2.7), между износом зубьев и и зоной нагруженных зубьев
во и существует следующая связь:

ылбои х iru/b-y.	(8.1.1)

Пользуясь формулой (8.1.1), можно найти число циклов нагружения
муфты А/цпр(.д, после которого все зубья муфты будут передавать нагруз-
ку (окончание приработочного износа муфты) и нагрузка на них уже
не будет зависеть от износа зубьев. Этому условию, очевидно, соответству-
ет #о и - я/2,откуда

АГцпред = 1(2,7 • Ю3/*ХЛ/-Л/кр)1(с/г7)64]	(8.1.2)

Формула (8.1.2) может использоваться для расчетной оценки времени
приработки муфты

Т = (45/А:л)[(Л/Л/Кр)2 (с/гт)^ ] *'3,	(8.1.3)

где п - скорость, при которой выполняется приработка муфты.

Для определения нагрузки на зубьях с учетом их износа составим урав-
нение совместности деформаций и перемещений зубьев

w(0. Г) = Д(Г) - 5(0, г),	(8.1.4)

где w(0, t), S(O,r) - деформация и исходный зазор в ненагруженном состоя-
нии пары зубьев, координируемой углом 0 , в момент времени г; Д(г) -
относительное перемещение полумуфт в момент времени Г, обусловленное
деформацией и износом зубьев.

Из граничного условия w(0Oh, г) = 0 с учетом (7.2.19) и (7.2.20) полу-
чим для наиболее нагруженной пары зубьев (0 = 0)

pi = 1 >3657 /Ь\3 [ 0Ohcos0Oh - sin0O(t + (я/2Х1 - cqs0o>i)]4/3

h с \я /	(1 + *и(0)1/с]	,(815)

для парызубьев. координируемой углом 0 =# 0,

Р{в) _ 1,88? [Ь\2

~ ~ U)х	<81-6)

х ((б0и COS0QH - 0 COS0) - (sin0 - sinOp,,) -г (ff/2Xcos0 - cos0Ott)]3/2

[1 + fcu(O)lcos0/c] sin'/20
Естественно, для уточненного решения задачи о распределении нагрузки
между зубьями с учетом износа следовало бы воспользоваться уравнением
равновесия для нахождения зоны нагруженных зубьев 0Он. после чего ис-
пользовать соотношения (8.15) и (8.1.6) при определении нагрузки на
зубьях. Именно так решена задача о зоне нагруженных зубьев 0 о в гл. 7.

При практических расчетах интерес представляет знание максимальной
нагрузки на зубьях при их износе, поэтому зависимость (8.1.5) может ис-
пользоваться для определения коэффициента износа к„, характеризующего
изменение максимальной нагрузки в процессе износа:

*и=Л>/Л,	(8-1.7)

где 1\ Pi - максимальная нагрузка на зубьях в процессе их износа и в
его отсутствие.

Величину силы Pi можно было бы найти из формулы табл. 7, одна-
ко в этом случае было бы нарушено единство методов определения Pt и и
Pt. Поэтому для повышения точности определения коэффициента ки вос-
пользуемся зависимостью (8.1.5) для нахождения величин PlH HPt.

Из формулы (8.1.5) следует, что в начальный период работы муфты
0=0)

Pi 1,365т (Ь \»Г »	Ъ,,

~~ ~ ~-----Ч— — (1-cosOo) 4/3,	(8.1.8)

h с X Л /	2

а в конце периода приработочного износа (в Ои = я/2)

/	\	= 1,365т /Н3 Кя/2)- 1]4/3

\ Л /пред с \it / [1+йи(0)//с]

(8.1.9)

Таким образом, коэффициент износа зубьев согласно (8.15), (8.1.7) и
(8.1.8) равен

, fu [0Ohcos0oh-ыпвОн +(я/2Х1 - cos0o„)l*/3

км =----- =---------------------777---------------- (8.1.10)

Pi	[я/2(1 - со$0о)] 13 [1 + *v(O)r/cj

и его предельное (минимальное) значение в конце периода приработки

пред

/ 1 - (2/я) \4/3	1

\ 1 — cosOo /	[1 +йи(0)Г/с]

(8.1.11)

Выполненный расчет соответствует износу зубьев с прямолинейной об-
разующей. Однако если принять основное положение, использованное
при решении задачи об износе зубьев, что профиль зубьев в продольном
направлении в процессе износа очерчен эквидистантными кривыми, то
полученные соотношения останутся в силе и для зубьев с криволинейной
формой образующей. Разница будет иметь место лишь в периоде прирабо-
гочного износа, гак как величина изношенного слоя будет уменьшена на
величину продольной модификации зубьев по их длине.

На рис. 8.1 приведена схема износа зубьев с прямо- и криволинейной
образующей, из которой следует, что между ними существует очевидная

Рис. 8.1. Схема износа зубьев с прямо- и криволинейной образующей

Рис. 8.2. Зависимость удельного износа зубьев йот (Pt/T) (т*/2) [139]

СВЯЗЬ

“к = ип - b2/8R.

(8.1.12)

Поскольку кривая продольной модификации зубьев с криволинейной
образующей очерчена по параболе

(8.1.13)

а кривая износа зубьев с прямолинейной образующей описывается зави-
симостью

un(fl) = «п - (Й7/я)Ып0,

то зона нагруженных зубьев с криволинейной образующей найдется из
условия

5к(0ои) = нп(0ои).	(8.1.14)

Из формулы (8.1.12) видно, что для муфт с криволинейной образую-
щей зубьев период приработочного износа муфты будет значительно мень-
ше, чем для муфт с прямолинейной образующей зубьев. Для того чтобы
убедиться в применимости полученных зависимостей при оценке износа
зубьев с криволинейной образующей, на рис. 82 приведены результаты
экспериментального определения износа зубьев, выполненные в работе
[139]. В отличие от рис. 7.8, где приведены эти же экспериментальные
данные, на рис. 8.2 в соответствии (с (7.2.23а) выполнена корректиров-
ка нагрузки Pi/l с учетом угла перекоса 7 (все значения Pt/l сведены к од-
ному углу перекоса 7 =2° умножением на коэффициент (7 /2)*.

На рис. 8.2 кривой 1 проведена зависимость

м = ЗО(7°/2),/4(А//)3/4>	(8.1.15)

которая хорошо соответствует экспериментальным данным, что подтверж-
дает допустимость использования полученных зависимостей для оценки
износа зубьев муфт с криволинейной образующей. Из рис. 8.2 также сле-
дует, что линейная зависимость

й = 34(У°/2)'^(Р1/1),	(8.1.16)

показанная кривой 2, хорошо соответствует экспериментальным данным,
поэтому необходимо дальнейшее накопление экспериментальной информа-
ции для уточненного определения связи между й и /I.

8.2.	КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ НА ЗУБЬЯХ МУФТ

Приведенные в табл. 6 расчетные зависимости для определения парамет-
ров контакта зубьев (в том числе и максимальных контактных давлений)
справедливы при произвольном очертании профилей зубьев в продольном
направлении. Эго оказалось возможным сделать, учтя деформативную со-
ставляющую кривизны зубьев и угла перекоса между образующими зубь-
ев в продольном направлении, связанными с деформацией как собственно
зубьев муфты, так и обода обоймы. Кроме того, как показано в гл. 7,
износ зубьев, изменяя их геометрию в процессе работы муфты, также влия-
ет на уровень контактной напряженности их. Таким образом, для коррект-
ного определения уровня контактных напряжений на боковых поверх-
ностях зубьев муфт необходимо учесть следующие три фактора — деформа-
цию собственно зубьев, деформацию обода обоймы и износ зубьев.

Рассмотрим влияние изгибной деформации собственно зубьев муфт на
контактные напряжения. В качестве расчетной модели зуба, следуя за
[15], примем дискретно-континуальную модель, согласно которой зуб
в продольном направлении деформирует подобно балке конечной длины
на упругом основании. В работе [15] показано, что для зубьев не очень
коротких (параметр длины 01 > 2) при определении их изгибной дефор-
мации в продольном направлении можно пользоваться более простыми
расчетными зависимостями для полубесконечной балки на упругом осно-
вании (см. рис. 4.6).

Поскольку зубья муфт (в отличие от косых зубьев колес, рассмотрен-
ных в работе [15]) могут быть достаточно короткими (1 <01 <2),то для
оценки их изгибной деформации обратимся к работе [124], в которой при-
ведены результаты расчета коэффициентов влияния при нагружении балки
конечной длины на упругом основании в произвольной точке по се длине.
Расчеты выполнены при варьировании в широких пределах коэффициента
а, характеризующего соотношение жесткостей балки и упругого основания,
равного

а * itEohl3/EI,	(8.2.1)

где Е/ - жесткость балки на изгиб; h, I  ширина и длина балки; Ео - мо
дуль упругости основания.

В работе [15] из анализа результатов теоретических исследований де-
формированного состояния консольных пластин установлено, что параметр
длины зуба 0h в зависимости от координаты точки приложения силы по
высоте зуба YP= y/h может быть представлен в виде

(ДО)'1 * 1,1 YP.	(8.2.2)
Рис. 8.3. Изменение изгибной деформации зуба вдоль зоны нагружения
При® 1- IOO; 2- 200; 3- 300; 4 - 400; 5- S00

Учитывая, что

0 = (Л/4£/),/4.

и принимая к 3 Eq, из (8.2.1) и (8.2.2) найдем выражение для коэффици-
ента а в виде

а * 4я£3/(1,1ГР)4 * (8,583/УР)(//у)3,	(8.2.3)

где L-1/h — безразмерная длина зуба.

Для оценки влияния изгибной деформации зубьев муфт в продольном
направлении на уровень контактной напряженности зубьев с использова-
нием результатов расчетов коэффициентов влияния по перемещениям, при-
веденных в работе [ 124], было выполнено многократное решение прямой
задачи - определение перемещений зуба при распределении контактных
давлений в пределах длины эоны нагружения по закону треугольника - при
варьировании длины зоны нагружения 1^1 (площадки контакта) от 0,2 до
0,9.

На рис. 8.3 приведены результаты выполненного расчетного исследова-
ния изгибной деформации зуба (балки) в продольном направлении при
варьировании длины зоны нагружения /к и относительной жесткости балки
в случае изменения давлений в пределах зоны нагружения (площадки кон-
такта) по закону треугольника. По оси абсцисс на рис. 8.3 отложена отно-
сительная координата х//к точки зоны нагружения, в которой рассчитыва-
лась изгибная деформация зуба (балки), а по оси ординат - относительная
деформация в этой точке

w(x ) = Их) - Н/к)] /МО) - w(/K)],	(8.2.4)

где и'(О), w(lK) - деформация зуба (балки) в крайних точках зоны нагру-
жения; w(x ) — деформация зуба в текущей точке зоны нагружения.

Из рис. 8.3 следует, что функция w(x) = н'(х//к) близка к линейной во
всем диапазоне варьируемых параметров Ци а.

Для определения деформативной составляющей угла перекоса 7Д было
учтено два обстоятельства. Во-первых, то, что угол перекоса 7Д выражает-
ся через максимальную величину изгибной деформации (на торце зуба)
w(0) очевидным образом:

w	_	Aiv(O) w

= МО) - и</к)]//к = — |w(0) - w(/K)J //„ -—=----------- , (8.2.5)

•	*к *

где w — деформация зуба при равномерном распределении нагрузки по
всей длине зуба; w(0), iv(/K) безразмерная деформация зуба (в долях
w) в крайних точках зоны нагружения; lK - l^Jl — безразмерная длина зоны
нагружения (в долях длины зуба /).

Во-вторых, было учтено, что при распределении контактных давлений
в пределах зоны нагружения 1К по закону треугольника связь между <7 (0) и
q имеет вид

<7(O)/k/2 = ql-P, «(0) = 2^//к = kyq,

где </(0) - контактное давление на торце зуба (х = 0). Поэтому все расчеты
проводились для Р = const и формула (8.2.5) была использована при анали-
зе результатов выполненного расчетного исследования деформации зуба —
балки. Анализ показал, что связь между деформативной составляющей
угла перекоса между зубьями 7Д и коэффициентом концентрации контакт-
ных давлений ку имеет вид

7Д = (3«35/9)(/4 - 1)а*'4= 0.637(£3'4/У/>)(»(Ъ>)//)-	(8-2-6)

Из формулы (8.2.6) следует, что с приближением точки приложения
силы к основанию зуба (Ур -»0) угол 7Д неограниченно возрастает. Однако
необходимо иметь в виду, что изгибная деформация зуба w()p) также
уменьшается с уменьшением Yp и, как следует из работы [15],

w(i»/w(l,0)» V},	(8.2.7)

поэтому с уменьшением Yp угол 7Д будет уменьшаться.

Важно подчеркнуть, что соотношение (8.2.6) еще не может быть исполь-
зовано для определения угла 7Д, так как коэффициент ку сам зависит
от 7Д. Поскольку в соотношение (8.2.6) входит не сам коэффициент
ку, а разность ку — 1, то связь между ку и 7Д целесообразно записать в
виде

ку = 1 +0,65(/7т/Дн)2/3(1 - 7д/7т)2/Э.	(8-2.8)

что совместно с (8.2.6) даст

7Д //	7д \2/3	//7т \2/3 *(Yp) L3/*

— /(1-—)	=0,4141—— I —.	(82.9)

7т / \	7т /	\ Ан /	(/7т) Yp
Анализ левой части этого соотношения показал, что оно .может быть
представлено в виде степенной зависимости

7д/7т/[1 ~ (7д/7т)2/3 1 * 2.9(7д/7т)5/3 •	(8.2.10)

Поэтому, объединяя зависимости (8.2.9) и (8.2.10), получим эмпири-
ческую зависимость, устанавливающую связь между деформативной ?д
и технологической ?т составляющими угла перекоса:

7д/7т = 0,31 Г£’/2О(ДН//7Т),/5 [w(Yp)/YPAH]3's.	(8.2.11)

При практическом использовании формулы (8.2.11), по-видимому,
следует расчет проводить для точки профиля зуба, расположенной на
делительной окружности (YP - 1,25/2,25 = 0,56), для которой, согласно
[10], отношение w(YP)/AH изгибной к контактной составляющей дефор-
мации зубьев равно 0,76. Поэтому расчетная формула для 7д/7т примет
вид

7д/7т=О375/’/’о(Дн//7т)1/5.	(8.2.11а)

Поскольку относительная длина зубьев муфт изменяется в пределах
2,7 < L С 3,4, то, принимая в (8.2.11а) L =3,03 и допуская при этом
погрешность не более ±5%, получим

7д/7т = 0.62(Дн//7т),/$-	(8.2.116)

Формула (8.2.116) устанавливает простую связь между деформатив-
ной 7Д и технологической 7Т составляющими угла перекоса зубьев муфт.
Она также может быть использована при расчете деформативной состав-
ляющей угла перекоса между зубьями зубчатых колес, если ее откор-
ректировать при условии, что L 3,03 в соответствии с зависимостью

7я/7т = О,62(Дн//7т),/$(£/3,ОЗ)’/10	(8.2.11в)

или

7Я = 0,8(/»/(£'/1)),/s7T*/s(L/3j03)9/20.	(8.2.11г)

где принято, что коэффициент контактной податливости зубьев равен
кк = 3,70 [14].

Экспериментальная проверка наличия деформативной составляющей
угла перекоса 7а между зубьями с прямолинейной образующей может
быть выполнена косвенным методом из сопоставления рассчитанных
и измеренных параметров контакта зубьев при наличии монтажного
перекоса между осями муфт 7Т.

Наиболее наглядно связь между рассчитанными и измеренными вели-
чинами деформации зубьев муфт устанавливается рис. 8.4, откуда четко
просматривается влияние податливости обода обоймы на деформацию
зубьев муфт.

Рассмотрим влияние изгибной деформации зубьев муфт с криволиней-
ной образующей на контактные напряжения. Поскольку в этом случае
длина площади контакта зубьев значительно меньше их длины, то для
оценки влияния изгибной деформации зубьев на контактные напряжения
можно не учитывать распределенный характер действия на зуб контактных
давлений, как это делалось при рассмотрении зубьев муфт с прямолиней-
ной образующей. Тогда изгибная деформация зубьев приведет к измене-
Рис. 8.4. Сравнение рассчи-
танных и измеренных вели-
чин деформации зубьев муфт
с прямолинейной образую-
щей

При у9-. 1 - О; 2 - I;
3 - 1,5; 4 - 1,75; 5-0

Рис. 8.6. Зависимость изги-
бающего момента в балке
на упругом основании от ее
длины при нагружении сосре-
доточенной силы в среднем
сечении [7|

Рис. 8.5. Изменение прогиба
(а) и изгибающего момента
(б) по длине балки на упру-
гом основании при смеше-
нии точки приложения силы
по д лине (71

нию исходной (геометрической) кривизны зубьев в точке первоначаль-
ного касания зубьев, которое может быть оценено по результатам расчета
балки конечной длины на упругом основании под действием сосредото-
ченной нагрузки, приложенной в произвольной точке длины балки.

На рис. 8.5 [51] приведены результаты расчета прогиба (а) и изгибаю-
щего момента (6) при варьировании координаты точки приложения силы
в балке на упругом основании, имеющей относительную длину L=l/h- 3.
. Из рис. 8.5, а видно, что радиус кривизны балки в продольном направ-
лении уменьшается по мере смещения точки приложения силы от торца
к середине балки, причем кривизна балки при этом изменяет знак на
обратный. Особенно наглядно зто видно на рис. 8.5, б. где показано изме-
нение кривизны балки (пропорциональной изгибающему моменту).

По мере смещения точки приложения силы от середины к торцу зуба
деформативная составляющая продольной кривизны зуба уменьшается
по степенной зависимости

Рд (х) = Рд (0,5) [1 - (1 - 2х//)2],

(8.2.12)

также показанной на рис. 8.5, б в виде огибающей кривой.
146

Рис. 8.7. Зависимость коэф-
фициента изгибных напряже-
ний по длине зуба-балки от
коэффициента концентрации
контактных давлений ку

Кривизна зуба-балки при приложении силы в средней точке длины
рд (0,5) естественно зависит от длины зуба-балки. На рис. 8.6 приведены
результаты расчета EIp^ (0,5), заимствованные из работы [51], из кото-
рых следует, что с увеличением дшны балки L от 0 до 7 величина б’/р"1
(0,5) уменьшается от 0.125 до 0,025. Таким образом, за исходную можно
принять деформативную кривизну зуба-балки бесконечной длины и учесть,
что для зубьев конечной длины 2,7 <7. <3,4 даст (рис. 8.6) 3-4-крагнос
увеличение продольной кривизны зуба-балки.

Для того чтобы найти абсолютную деформативную кривизну зуба-
балки бесконечной длины, можно воспользоваться зависимостью (4.2.11),
приняв в ней к3 = 1, тогда

J2 W

рд‘ (°’5) “ “ГТ =	/ ffD> ?

dx

и, учтя, что (0Л)"1 = 1,1 Yp, т.е.

Pi* (0,5) = (*(у)/1.21 Ур) (Р/яО),

(8.2.13)

тогда с учетом результатов расчета, приведенных на рис. 8.6, можно принять
следующую эмпирическую зависимость для рд, учитывающую длину зуба:

,	к(у) Р  Рд* (0,5) = —		4  д	1,21 У; nD	(L - 2,4) 1  h 5,2	]’	(8-2Л4)

которая хорошо соответствует расчетным дан1 ым, приведенным на рис. 8.7
в диапазоне 2 <£ <4.

Прямой эксперимент по влиянию изгибной деформации зубьев пере-
дачи Новикова на параметры контакта, приведенный на рис. 6.11 по дан-
ным работы [104], позволяет дать количественную оценку этому влиянию.
Поскольку контакт зубьев в передаче Новикова идентичен контакту зубьев
муфт с криволинейной образующей, то эти экспериментальные данные
являются подтверждением значительного влияния изгибной деформации
зубьев муфт с криволинейной образующей на параметры контакта и уро-
вень контактных напряжений.

Расчет деформативной составляющей кривизны зубьев передачи Нови-
кова в продольном направлении был выполнен по измеренным величинам
длины и ширины площадки контакта. Как показали испытания, с увели-
чением нагрузки длина площадки контакта увеличивалась, а ширина
уменьшалась. Результат находится в соответствии с зависимостями, при-
веденными в табл. 5, откуда следует, что

вэ/ав=(1 -Ра/Рзд)-*4, 6,/Ьв=(1 -Рт/Ртд)1'6.	(8.2.15)

Эти формулы были использованы для определения деформативной
составляющей кривизны зуба по зависимостям

Рз/Ртд = 1 - (ав/а,)а = 1 - (6,/6б)6.	(8.2.16)

Установлено, что между нагрузкой и деформативной составляющей
кривизны зубьев существует линейная зависимость, которая находится
в соответствии с (8.2.14).

Таким образом, выполненный анализ показал, что в зубьях муфт с
криволинейной образующей прогиб зуба в продольном направлении
приводит к появлению деформативной составляющей кривизны зубьев,
для определения которой в зависимости от координаты точки начального
контакта зубьев получены зависимости (8.2.12) и (8.2.14). Поскольку
между координатой точки начального контакта зубьев х и углом перекоса
зубьев 7Т существует однозначное соответствие х - Raft, то это позволяет
при расчетной оценке уровня контактных давлений на зубьях муфт в
соответствии с зависимостями, приведенными в табл. 5, оперировать
откорректированными величинами коэффициентов кло, каА, каа и кдЬ.
83. ИЗГИБНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ НА ЗУБЬЯХ МУФТ

Разработанная в [15] дискретно-континуальная модель зуба позволила
получить в аналитической форме коэффициенты влияния по иэгибным
перемещениям и напряжениям с учетом ограниченных осевых размеров
зубьев, что особенно важно для зубьев муфт, имеющих незначительную
длину (2,7 <L < 3,4).

В работе [15], в частности, было показано, что из дискретно-конти-
нуальной модели зуба следует идентичность функций влияния по изгиб-
ным перемещениям и напряжениям - факт, находящийся в соответствии
с имеющимися экспериментальными данными. Это позволяет восполь-
зоваться результатами выполненного анализа решения И.А. Симвулиди
[124] о деформации балки конечной длины на упругом основании.

Для зубьев муфт с прямолинейной образующей изменение прогиба
зуба-балки по длине (а в соответствии с дискретно-континуальной мо-
делью зуба и изгибных напряжений в заделке) при варьировании длины
линии нагружения /к (а значит, и коэффициента концентрации контактных
давлений ку = 2//к) для а = 100 показано на рис. 8.7.

Обращает на себя внимание тот факт, что при х/1 = 0,6 независимо от
величины коэффициента ку коэффициент ко = а(х)/а практически остает-
ся неизменным и равным 0,8. Это позволяет искать функцию ка в виде

ка = о(х)/о « МО) - а(х/1) + Ь(х/Г)2,	(83.1)

удовлетворяющем условию х/1 = 0,6 о(0,6)/а = 0,8 и х/1 = 1,0 а(1,0)/а =
= к0(Г), что дает

8

«= - М0)-

5

ь = - М0)-

10

у -1,5 МО

10

у - 2,5 ко([)

(8.3.2)

Анализ результатов расчета позволил получить эмпирические зави-
симости для определения коэффициентов изгибных напряжений ко(0)
nka(f):

М0)=1 + 1313(*7-1)2/э	(83.3)

и

М0=1 - 1,220 (Л7-1)*'э.

Если принять коэффициент ку в виде первой формулы (8.2.8), то полу-
чим связь между коэффициентами изгибных напряжений и угол монтаж-
ного 7Т и деформативного ?д перекоса в следующем виде:

МО) = о(0)/о = 1 + О,987(/7Г/ДН)*/’ [1 - (7д/Тг)] */’,

ко(1) = о(/)/а = 1 - 1,057(/7тУДн)2/’ [1 - (7Д/7Т)12/’-

Для экспериментальной проверки полученных зависимостей обратим-
ся к приведенным в работе [16] результатам определения изгибных на-
пряжений в выкружке зубьев с прямолинейной образующей при варьиро-
вании угла перекоса 7Т при следующих параметрах: т = 6 мм, z = 20,
I = 20 мм, Р = 12 кгс, материал — оргстекло. Поскольку вопрос об абсо-
*(х)/6

Рис. 8.8. Сопоставление рассчитанных и измеренных эпюр изгибных напряжений по
длине зубьев с прямолинейной образующей

Рис. 8.9. Характер изменения изгибных напряжений по длине зубьев муфт с криво-
линейной образующей [139]

лютных величинах изгибных напряжений не рассматривается, то экспери-
ментальные данные были представлены в относительных величинах коэф-
фициента изгибных напряжений ко(х) = о(х)1а (рис. 8.8). Здесь же при-
ведены результаты расчета по зависимостям (8.3.1)-(8.3.3) и (8.2.8),
которые с высокой точностью соответствуют экспериментальным данным.
Вместе с тем со стороны противоположного торца и при ут = 15° наблю-
дается значительное отличие рассчитанных и измеренных величин ко(х),
однако концентрация изгибных напряжений оценивается по полученным
зависимостям достаточно точно.

Рассмотренные результаты экспериментального исследования относи-
лись к модельным испытаниям, когда в тензометрируемой паре зубьев
150
создавался угол перекоса 7Т. В реальных условиях в паре зубьев, коорди-
нируемой углом в, возникают одновременно две составляющие угла пере-
коса 7т' 7r = yTcos 0,и уп - 7Tsin а, первая из которых приводит к лока-
лизации контакта со стороны одного из торцов, а вторая - на вершине
одного из зубьев. Это обстоятельство обычно не учитывается при расчете
распределения нагрузки между воспринимающими крутящий момент
парами зубьев, так как максимально нагруженной паре зубьев (в = 0)
соответствует уп = 0. Однако при оценке напряженного состояния зубьев
и тем более при расчете их на выносливость по изгибным напряжениям
может оказаться необходимым учитывать обе составляющие угла пере-
коса 7Т.

Переходим к рассмотрению изгибных напряжений, возникающих в
зубьях муфты с криволинейной образующей при перекосе осей полу-
муфт.

Известно, что локализация контакта в зубьях муфт с криволинейной
образующей благоприятно сказывается на изгибной выносливости зубьев,
так как смешение площадки контакта зубьев с торца в сторону середины
зуба снижает уровень изгибных напряжений на торцовых участках зубьев,
ответственных за их изгибную выносливость. Это обстоятельство позво-
ляет не учитывать распределенный характер контактных давлений в пре-
делах площадки контакта зубьев при оценке уровня изгибных напряжений
на зубьях и оперировать сосредоточенной силой, приложенной в точке
начального касания зубьев.

Так, в работе [15] на базе введенной дискретно-континуальной моде-
ли зуба предложены расчетные зависимости для оценки характера зату-
хания изгибающего момента в продольном направлении при приложении
сосредоточенной силы в произвольной точке боковой поверхности зуба.
В ней отмечается, что такая модель зуба приводит к идентичной зависи-
мости (5.2.24) коэффициентов изгибных перемещений и напряжений
в продольном направлении, причем в отличие от элементарной теории
изгиба консольных балок изгибающий момент в заделке зуба не обра-
щается в нуль (5.2.23).

В работе [15] также отмечаются другие факты, не объясняемые дис-
кретно-континуальной моделью зуба, в связи с чем проводится ее кор-
ректировка. В результате предложены следующие расчетные зависимости
для оценки характера изменения изгибающего момента в продольном
направлении зуба:

М(х,_у) = (Р/я) (1 + 0,6 Ур) *'(х),	(83.5)

где Л'(х) — коэффициент, характеризующий затухание изгибающего мо-
мента по длине зуба (52.24); входящий в это выражение параметр длины
зуба 0h определяется из соотношения

(flhy* = (я/2) УР(1 + 0,6 Ур),	(83.6)

где Ур — координата точки приложения силы по длине зуба.

Экспериментальная проверка предложенных зависимостей, выполнен-
ная по опубликованным данным в работе [15] на моделях гонких и тол-
стых консольных пластин и рейки, показала их хорошее соответствие.
Модельные испытания зубьев с прямолинейной и криволинейной (арочные)
образующей, выполненные в работе [123], также подтвердили высокую
точность предложенных расчетных зависимостей для оценки характера
затухания изгибных напряжений по длине зуба. Это позволяет исполь-
зовать приведенные расчетные зависимости для оценки характера изме-
нения изгибных напряжений по длине зубьев муфт с криволинейной об-
разующей.

Приведенные в работах [16, 117] результаты экспериментальных ис-
следований напряженного состояния зубьев муфт с криволинейной обра-
зующей подтверждают справедливость приведенных зависимостей для
оценки характера затухания изгибных напряжений по длине зубьев муфт
с криволинейной образующей. В частности, подтверждено, что для зубьев
муфт, несмотря на их небольшую длину, напряжения неравномерно рас-
пределяются по длине зубьев, и поэтому при расчете их на изгибную
выносливость необходимо учитывать пространственный характер нагру-
жения и деформирования зубьев муфт.

Необходимо отметить, что при экспериментальных исследованиях
зубьев муфт с криволинейной образующей в связи с их ограниченной
длиной обычно используют три тензодатчика, устанавливаемых равно-
мерно по длине зубьев. Поэтому экспериментальная оценка характера
изменения изгибных напряжений по длине зубьев муфт не может быть
выполнена с высокой точностью и по ним можно лишь судить о тенден-
ции изменения изгибных напряжений.

В работе [139], например, исследовано влияние угла перекоса в зубьях
муфт с криволинейной образующей (эквивалентного смещению точки
приложения силы по длине зуба), результаты которого представлены
на рис. 8.9. По оси абсцисс отложены координаты сечений, в которых
были установлены тензодатчики, а по оси ординат — относительные на-
пряжения, выраженные в долях максимальных напряжений при прило-
жении сосредоточенной силы в среднем сечении длины зуба. Там же
приведены результаты расчетного определения коэффициента изгибных
напряжений по зависимости (5.2.24).

Как следует из сопоставления рассчитанных и измеренных величин
изгибных напряжений в основании зуба, пренебрежение распределенным
характером приложения контактных давлений сказывается лишь при
углах перекоса Ту > 2° (при смешении площадки контакта от среднего
сечения к торцу зуба на расстояние хР > 0,2/) и приводит к 25-30%-ному
увеличению уровня изгибных напряжений в основании зубьев. Учитывая
сказанное о повышенной изгибной выносливости зубьев муфт с криво-
линейной образующей в связи с локализацией контакта в средней точке
длины зуба отмеченное завышение расчетных величин изгибных напряже-
ний, как идущее в запас при расчете их на прочность, можно считать до-
пустимым.

Остановимся на одном обстоятельстве, связанном с учетом ограни-
ченных осевых размеров зубьев колес. В работе [15] при анализе харак-
тера изменения изгибных напряжений при смещении точки приложения
сосредоточенной силы по длине зуба вводился в рассмотрение коэффи-
циент

к„(хР)= Л/(хг)/Л/(0,5),
равный отношению изгибающего момента в точке приложения сосредото-
ченной силы в точке с координатой хР и 0,5 (середина зуба). Таким путем
учитывалась близость торца к точке приложения силы Хр.

Поскольку при расчете на изгибную выносливость зубьев муфт можно
использовать обширные расчетные и экспериментальные данные, накоплен-
ные для зубьев зубчатых колес, то представляется целесообразным оце-
нивать напряжения в зубьях муфт с криволинейной образующей в срав-
нении с зубьями зубчатых колес при равномерном распределении нагрузки
по длине зубьев. Такой подход был принят при анализе напряженного
состояния зубьев муфт с прямолинейной образующей; по указанным
причинам целесообразно его сохранить и при анализе напряженного со-
стояния зубьев муфт с криволинейной образующей.

В связи с этим результаты расчета деформированного состояния балки
на упругом основании, выполненного в работе [124], были представлены
в относительных величинах

км = *p(x)/w(х),

где н>(х) и w(x) — прогиб балки в сечении х при нагружении ее сосредо-
точенной силой Р и равномерно распределенной нагрузкой интенсивности
q - Р/l. Результаты такого расчета для L = 3,0 представлены на рис. 8.10,
при этом даны коэффициенты изгибающего момента в двух точках —
на торце зуба-балки (х = 0) ив точке приложения сосредоточенной силы
(x=xF).

Как следует из рис. 8.10, изгибные напряжения на торце зуба (при
малой длине зубьев, как это имеет место в зубьях муфт) превосходят
напряжения в точке приложения сосредоточенной силы при хР < 0,25.
По-видимому, эта закономерность сохраняется и для длинных зубьев,
когда по мере смещения точки приложения сосредоточенной силы к сере-
дине зуба напряжения на торце могут полностью затухнуть. Поэтому при-
веденные на рис. 8.10 данные относятся к зубьям муфт с криволиней-
ной образующей с учетом того, что именно изгибные напряжения на торце
зуба ответственны за его выносливость по изгибу.

На рис. 8.10 наряду с результатами расчета приведены эмпирические
зависимости

аЛ/а-5,17(1-2хР/0, х-0;

Ор/а = 1.80 + 3,37 (1 - 2хр/1), х = хР,

которые с высокой точностью соответствуют расчетным данным. Это
позволяет использовать зависимость (8.3.7) для оценки изгибной проч-
ности зубьев муфт с криволинейной образующей с учетом имеющихся
расчетных и экспериментальных данных по изгибной прочности прямо-
зубых зубчатых колес.

В заключение остановимся на влиянии износа зубьев муфт на уровень
изгибных напряжений в них. Износ зубьев влияет на уровень изгибных
напряжений в двух аспектах: с одной стороны, уменьшается толщина
зубьев, что должно привести к увеличению уровня изгибных напряже-
ний в основании зуба в отношении (1 — u/SY2 * (1 +u/S)2; с другой -
изнашивание зубьев (более интенсивное на торцовых участках зубьев)
приведет к более благоприятному перераспределению контактных давле-
Рис. 8.10. Зависимость коэф-
фициента изгибных напряже-
ний в зубьях муфт с криво-
линейной образующей от ко-
ординаты точки приложения
сосредоточенной силы

ний, сместив равнодействующую сил в контакте к середине зуба, что
должно привести к снижению уровня изгибных напряжений на зубьях.

Полученные зависимости будут справедливы лишь для начальной ста-
дии работы муфты, когда влияние износа зубьев на уровень изгибных
напряжений не существенно. Другими словами, этими зависимостями
оценивается верхняя граница изгибных напряжений, возникающих на
зубьях муфт. Уровень длительно действующих изгибных напряжений
найдется для естественной кривой продольной модификации зубьев,
обусловленной их износом.

ГЛАВА 9

ПРОЧНОСТЬ ПОДАТЛИВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МУФТ

9.1. ИЗГИБНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ОБОДЬЯХ МУФТ

Обычно ободья зубчатых муфт выполняются со значительными коэф-
фициентами запаса по изгибной выносливости, что ведет к неоправдан-
ному утяжелению узла, содержащего зубчатую муфту. Эго обстоятель-
ство нарушает принцип равнопрочное™ конструкции, при соблюдении
которого, как известно, конструкция имеет минимальный вес. Установ-
ленный в гл. 6 (см. табл. 7) факт значительного влияния податливости
обода обоймы на величину максимальной нагрузки на зубьях и зоны
натруженных зубьев позволяет по-новому подойти к проектированию
зубчатых муфт. С учетом того, что износ зубьев лимитирует долговеч-
ность муфты в целом, представляется целесообразным значительно по-
высить податливость обода обоймы муфт, уменьшив его толщину. Это
позволит снизить максимальную нагрузку на зубьях, увеличить зону
нагруженных зубьев, что, очевидно, приведет к снижению уровня кон-
тактных давлений на зубьях, снижению интенсивности их износа и соот-
ветствующему увеличению долговечности муфты.

Естественно, что уменьшение толщины обода обоймы муфты приведет
к увеличению в нем уровня изгибных напряжений. Потребуется прове-
дение специального расчета обода муфты на изгибную выносливость, чтобы
не допустить выход из строя муфты в связи с усталостной поломкой ее
обода. Таким образом, в этих условиях возрастают требования к точности
расчета обода обоймы на изгибную выносливость, поскольку при расчете
должно быть соблюдено условие равнопрочности обода обоймы (по изгиб-
ной выносливости) и боковых поверхностей зубьев (по изностойкости).

Оценка напряженного состояния, возникающего в ободе обоймы, может
быть существенно упрощена, если задаться характером распределения
нагрузки между зубьями, воспринимающими крутящий момент. Выпол-
ненные в гл. 6 расчетные исследования статической нагруженности зуб-
чатых муфт показали, что характер распределения нагрузки между зубьями
практически не зависит от податливости обода обоймы. Характер распре-
деления нагрузки на зубьях муфт независимо от податливости обода обой-
мы и очертания образующей зубьев описывается соотношением

я в:

Pi!Px = cos----(9.1.1)

2

где Р, — нагрузка на наиболее нагруженной паре зубьев, б0 — зона нагру-
женных зубьев, определяемые из табл. 7.

Соотношение (9.1.1) позволяет, пользуясь [ 11 ], определить силовые
факторы, возникающие в ободе обоймы, интегрированием коэффициен-
тов kNQ в пределах -в < в < в0, приняв z = 2к (поскольку имеется две
зоны нагруженных зубьев).

Компоненты внешних сил, действующих на обод обоймы от зубчатого
венца, соответственно равны (рис. 9.1):

R-Px sin a, Р = Р1 cosa, AfUj = /’1й3 cosa, Q= ±Ptf,MU} =0,

Aflc=Pl((//2-/K/3)sina±Xl.	I ’*

где R — радиальная сила; P — тангенциальная сила; Mu — изгибающий
момент 1; в — осевая сила; MUj — изгибающий момент 2; МК - крутящий
момент; Pt — максимальная сила на зубьях; h3 — плечо действия силы
по отношению к нейтральной окружности обода обоймы радиуса р;
а — угол зацепления в муфте; f — коэффициент трения между зубьями
муфты; 1К — длина площадки контакта на боковой поверхности контак-
тирующих зубьев.

Обращает на себя внимание тот факт, что осевая сила Q и крутящий
момент Мк, вызванные силой трения, изменяют свой знак при прохож-
дении сечения, где сила на зубьях достигает максимальной величины Pt
(6 =0), что связано со сменой знака скорости скольжения. Это обстоя-
тельство вызовет нарушение эпюр деформации обода обоймы и соответ-
ственно нагрузки на зубьях, что также скажется на изгибной прочности
обода обоймы. По-видимому, оно может не учитываться при расчете
нагрузки на зубьях и напряжений в ободе обоймы в связи с незначитель-
ной величиной fh3 по сравнению с плечом действия радиальной силы
(//2 —/к/3) sin а.

Входящая в (9.1.2) длина площадки контакта, очевидно, зависит от
положения рассматриваемой пары зубьев относительно плоскости пере-
коса (/к = Д//Л7/'7(0)). Однако учет этого обстоятельства приведет к
значительному усложнению расчета изгибных напряжений в ободе обоймы,
практически не повысив его точность. Поэтому, приняв для всех зубьев
/к = 1/2 и сохранив только знак ’’плюс” (что пойдет в запас при расчете
Рис. 9.1. Внешние силы, действующие на обод обоймы

изгибных напряжений в ободе обоймы), получим упрошенное выраже-
ние для крутящего момента в ободе обоймы



— sin а + fh3 ),

(9.1.3)

который и будем использовать для оценки уровня касательных напря-
жений, возникающих в ободе обоймы.

Учитывая, что толщина обода обоймы муфты значительно меньше его
радиуса р и меньше длины зуба, из всех силовых факторов учтем лишь
два — изгибающий момент Mt и крутящий момент М. Тогда для обода
обоймы, выполненного в виде кольца, получим

.И, = (2e0/>)(z/2»)tMiAp, M = (20o/>r)(z/2W)WiP.	(9.1.4)

где

2	/ й3 \ cos 90 cos(0 + а)

kM = — sin а - 1-------I cos а +--------------— .

1 я \ р /	[1-(20о/я)2]

I	cos 0О sin а cos в

kM~f+ 3^	(1 - (20о/тг)2] '

Из формул (9.1.4) видно, чхр коэффициент км принимает экстре-
мальные значения при в = - а (максимум) и в = тг/2 - а (минимум),
а коэффициент км — при 0=0 (максимум) и 0 = я/2 (минимум). По-
скольку эпюра деформации обода имеет две оси симметрии, то 0 <0 < я/2
и экстремум кМ1 при 0 = - а не реализуется, а км достигает максимума
на границе участка изменения 0(0 = 0). Поэтому изгибающий и крутя-
щий М момент достигают экстремальных значений в одном и том же сече-
нии обода обоймы (0 =0). Тогда получим максимальные, минимальные,
средние значения и амплитуду изменения коэффициента изгибающего
и крутящего моментов в следующем виде:

, max	2  — sin a - я  2 .	\	₽ >  Л	A, )	4	cos a cos 0O
			I COS Cf t	- • t  I	II-(20o/ir)2]
min —	— sin a — I n	'	1-  l P I	cos a,
2	/ Л, \	cos a cos 0о

ку - = — sin а - 11-------1 cos а +------------— ,

' я	р )	2(1 -(2в0/п)2]

cos a cos в0
кч'а' 2[1 -(гво/я)1] '

(9.15)

/ sin a cos в0

^•Л/min ft

I sin a cos в0
k',m ~f* бГ [1 — (2в0/я)2] ’

/ sin a cos в0

kMa ~ б7 [1 -(2в0/я)2] *

Формулы (9.1.4) и (9.1.5) могут использоваться для оценки напряжен-
ного состояния и расчета на выносливость обода обоймы, выполненного
в виде кольца.

Известно, что напряжения выражаются через силовые факторы в кольце
следующим образом:

0 = 5/1/^, r = M/Wk,	(9.1.6)

где Wx — момент сопротивления сечения при изгибе (для прямоугольно-
го сечения Wx = lh2 /6);	— момент сопротивления сечения кручению

(для прямоугольного сечения = ЗЛ3 и, как показано в гл. 10,3 * (//Л -
0,5)/3, так что Wk^(l - 0,5Л)Л2/3).

Для обода обоймы, выполненного в виде кольца, соединенного с обо-
лочкой, приведенные зависимости могут быть упрощены, если удержать
только один член ряда, соответствующий п = 2. Тогда выражения для
изгибающего.Wj и крутящего М моментов примут вид

(2в0 \ / 2 \ 2А j cos 2в0	А Р

---- ) (—) -—------------SkM ----------- ,
п / \2я / [1—(4в0/я)2]	1 я

/2в0\ /2 \ 2i4jcos2e0	PiP

ДЛ/ = ( ---1 I — I ---------—— SkM--------- ,

\ я / \2я / (1—(4в0/я)2) я

1	sin(2e — ф)

где Sky = - — (1 + Зйэ/р) cos а----------------

6	cos ф

tgV* = 2tga/(l + Зй3/р);

2

\	I

+ X)/+ (1 + X) — sin а

/	Зр

sin 2в.

Коэффициенты Л 2 (5.2.2а) и A i (5.3.21) равны

А2 =а2/(36(4 + в|) + а2],

А'2 =(4+ai/4)/[36(2 + eI)flJ + (4 + Х)(4 + jj/4)] .

(9.1.7)

(9.1.8)
Из формул (9.1.7) видно, что коэффициент кмг принимает экстремаль-
ные значения при 0 = (я/4) + (^/2) (минимум) и 0 = 0 (максимум), а
коэффициент км — при 9 = я/4 (максимум) и 0 = 0 и я/2 (минимум).
Таким образом, в ободе обоймы, выполненном в виде кольца, соединен-
ного с оболочкой, в дополнение к (9.1.4) появляются силовые факторы,
экстремальные значения которых находятся в разных сечениях по углу 9.
Поскольку зависимости (9.1.4) справедливы при О < 9 < я/2 (в связи с
симметрией эпюры деформаций обода обоймы относительно двух осей),
то обе группы силовых факторов имеют один период изменения я, поэто-
му фазовый угол между сечениями с экстремальными значениями силовых
факторов будет неизменным. Принимая, что этот фазовый угол равен нулю
(что пойдет в запас при расчете обода обоймы на выносливость), получим
следующие выражения для максимальных, минимальных, средних значе-
ний и амплитуды изменения коэффициентов изгибающего и крутящего
моментов:

Mw,m»x =(1/6) (1 + ЗЛ3/р) cosatgVs

△*м, min = —(1 /6) (1 + ЗЛ3/р) (cosa/cos^),

=(1/12)(1 +ЗЛ3)(сомт/со»^)(1 -ялф),

=(1/12)(1 + 3ft3/p)(cosa/cosip)(l +sin^),	(9.1.9)

A*Mmax =(2/3) [(3/4 + Х)/+ (1 + X) (//Зр) sina,

min — О,

ДХМт = ДХМа =(1/3)[(3/4 + Х)/+ (1 + X) (//3p)sinaJ.

Формулы (9.1.9) совместно с (9.1.7) могут использоваться для оценки
напряженного состояния и расчета на выносливость обода обоймы, выпол-
ненного в виде кольца, соединенного с оболочкой.

9.2. КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ШЛИЦЕВЫХ ВАЛАХ МУФТ

При оценке прочности податливых элементов муфт с целью выбора
рациональных величин их конструктивных размеров из условия более
равномерного распределения нагрузки по длине зубьев и снижения уров-
ня контактных давлений на боковых поверхностях зубьев необходимо
рассчитывать касательные напряжения в шлицевых валах муфт. В лите-
ратуре вопрос о концентрации контактных давлений по длине зубьев шли-
цевого соединения рассмотрен достаточно подробно [36, 132]. В более
обшей постановке задача решена Г.Б. Иосилевичем для различных рас-
четных схем элементов шлицевого соединения [47].

В указанных работах задача о распределении нагрузки по длине шли-
цевого вала решается с учетом податливости как собственно шлицов,
так и крутильной податливости элементов шлицевого соединения. При-
веденные в гл. 5 зависимости позволяют оценивать крутильную деформа-
цию шлицевого вала, если известен характер распределения нагрузки по
длине зубьев, и могут использоваться для оптимизации конструктивных
параметров элементов шлицевого соединения.

Известно, что касательные напряжения выражаются через относитель-
ный угол закручивания в(х) [134] следующим образом:

т = GO (х)р = Gp (d<p(x)/dx),	(9.2.1)

где dp(x)!dx = М(x)/(GIk (х) ).

В работе [132] получено следующее дифференциальное уравнение для
определения крутящего момента на валу в сечении х:

(d2M2(x)/dx2) - д’(х)Л/2(х) = -0(х)М.	(9.2.2)

где М = Mt(x) + М2(х); М2(х) — крутящий момент на втулке в сечении х;

а2(х) = 0(х)(1 + Х);	(9.2.2а)

0(x) = CV>/GZki(x);

X = GlkjG/ki-

с<р — крутильная жесткость шлицевого соединения; ср - сог2\ с0 — жест-
кость шлицов; г — радиус средней окружности шлицевого соединения;
GIki, GIkt — крутильная жесткость втулки и вала.

В предположении, что а2(х) = а2 = const, 0(х) = 0 = const, в работе [132]
получено следующее выражение для крутящего момента на валу в сече-
нии х:

М [	1	1

.W2(x) = ——- 1 + ——(X &ha* - slia(/ - х)) ,	(9.2.3)

(1 + X) I	sha/	J

откуда коэффициент неравномерности распределения нагрузки ио длине
шлицевого венца

m(x) 1 dM2(x) al

*(х)= —= - —------------- = -——— [Xchax + cha(Z - х)]	(9.2.4)

m m dx (1 + A)sha/

и

al

*©=*m.x »	, (1 +Xcha/).	(9.2.4a)

(1 +X)sha/

Концентрация нагрузки по длине шлицевого вала является основным
недостатком шлицевых соединений, приводящим к интенсивному износу
боковых поверхностей шлицов. В работе [132] отмечается, что для равно-
мерного распределения нагрузки по длине шлицевого вала необходимо,
чтобы отношение крутильных жесткостей втулки и вала было переменным
по длине следующим образом:

Х(х) = GlIk) /G2Ikt *(/- х)/х.	(9.2.5)

Поскольку это соотношение не может быть выдержано абсолютно точно
на концах шлицевого соединения (где передается крутящий момент), то
предлагается втулку по наружной поверхности выполнять конической
или ступенчатой формы; если же X = const (втулка и вал — цилиндричес-
кой формы), то необходимо стремиться к X = 1, обеспечив при этом проч-
ность соединения.

В работе [132] отмечается, что дифференциальное уравнение (9.2.2)
в общем случае не может быть решено аналитически, и приводился част-
ный пример его решения для выбранной ступенчатой формы изменения
наружного вала втулки. Приведенный пример расчета показал, что ступен-
чатая форма вала втулки позволяет на 40% снизить величину £тах.

Однако при практических расчетах с целью выбора рациональных пара-
метров вала и втулки необходимо располагать по возможности простыми
расчетными зависимостями для оценки нагруженности элементов шлице-
вого соединения. В связи с этим используем приближенный метод решения
уравнения (9.2.2) представлением в виде степенных рядов как неизвест-
ной функции Л/2(х), так и параметров системы аг(х) и 0(х):

=	+ Pi(-^/0 + Яа(-«/02---.	(9.2.6)

а2 (х) = а0 +а1(х/1) + а2 (х//)2 ....

0(х) = Ьо+Ь1(х/П + Л1(*//)2-.

Входя с этими соотношениями в (9.2.2), после выполнения операции
дифференцирования в правой и левой частях (9.2.2) получим многочле-
ны, приравнивая в которых коэффициенты при одинаковых степенях
х, построим систему линейных алгебраических уравнений относительно
искомых коэффициентов крутящего момента д0, и д2:

-а0 0 (2//2)
at а0 0
Д| До

Мо

U2

-Ьо

*1

62

(9.2.7)

Решение системы уравнений дало следующие результаты. Если потребо-
вать, чтобы по всей длине шлицевого соединения была постоянной вели-
чина касательных напряжений т(х) (крутящего момента М2(х)), то это
равносильно условию = д2 = 0.

Поскольку получение криволинейной формы образующей вала (внут-
ренней поверхности) и втулки (наружной поверхности) технологически
затруднительно, то, положив в (9.2.6) а2 = Ь2 - 0, получим, что условию
Дг = Мэ = 0 удовлетворяет следующее соотношение между коэффициен-
тами Л1 и Ь2:

<h/«o = *i/*o.	(9.2.8)

При этом

Ро = Ьо/ао,	(9.2.9)

что тождественно удовлетворяет исходному дифференциальному урав-
нению (9.2.2). Таким образом, при соблюдении условия (9.2.8) шлицевое
соединение будет нагружено равномерным крутящим моментом, т. е.
будет обеспечена равнопрочность шлицевого соединения по всей его длине.

Если потребовать, чтобы в шлицевом соединении был постоянный по
длине погонный крутящий момент, что обеспечит постоянство контактных
давлений на боковых поверхностях шлицов, то согласно (9.2.4) для этого
необходимо соблюдение условия д2 = 0, т. е. по-прежнему удовлетворение
соотношения (9.2.8). Таким образом, при соблюдении условия (9.2.8)
шлицевое соединение будет нагружено равномерно распределенной кон-
тактной нагрузкой на шлицах, т. е. будет обеспечен равномерный износ
шлицевого соединения по всей его длине.

Полученный результат объясняет причину сравнительно невысокого

эффекта, достигнутого применением ступенчатой формы наружного диа-
метра втулки: по-видимому, назначение конструктивных параметров
элементов шлицевого соединения без увязки их с жесткостью шлицов
может оказаться недостаточно эффективным. Поэтому возможность сбли-
жения податливости шлицов и вала со втулкой связана с управлением
геометрическими параметрами как втулки, так и вала шлицевого соеди-
нения.

Из формулы (9.23) с учетом (5.1.25) имеем следующие выражения
для геометрических параметров элементов шлицевого соединения:

0(х) --------* -----{ 1 - ----------- . 1,

G/*,(x) GIki\	[1 -(<G/doi)4J

w .	^14,(х) J /х\/ «I	«2	\)

G2Iki(x) I	W/\(l-(di/Wl	(l-(^02)4]/J

t. e.

b2	46j	а, /1— X\ 45,	/ X \

— * -------------- ; — —I-----------1-------------— I------1 X

bo [1-(</i/doi)4] a0 \1 +Х/ [1-(</,/</<>J*) \1+X/

462

X -----------— •	(9.2.10)

Тогда условие (9.2.8) с учетом (9.2.10) примет вид

X 62

------'------ =---------------------.	<9.2 11)
[!-(</i/</oi)4]	2 (1 - (rfa/rfo2)4J

т. е. направления конусности наружной поверхности втулки и внутренней
поверхности вала должны быть противоположными. Зависимость (9.2.11)
может использоваться для определения рациональных конструктивных
параметров элементов шлицевого соединения. Поскольку в него входят
значения геометрических характеристик крутильной жесткости втулки и
вала, то при их определении необходимо учитывать влияние шлицов на эти
параметры по зависимости, приведенным в гл. 5.

Точное решение задачи о влиянии шлицов на касательные напряжения,
возникающие в вале и втулке, представляет значительные математические
трудности [23]. В работе [23] приведен пример расчета для вала и втулки
с шестью прямобочными шлицами, относительные размеры которых даны
в гл. 5. В данном случае также целесообразно ввести эффективный радиус
г,ф =r2 ± khh (где h — высота шлица, г2 - радиус окружности впадин шли-
цевого вала или втулки), при которой касательные напряжения вала (втул-
ки) на радиусе г2 равны расчетной величине при наличии шлицов. При
этом, как показал анализ расчета, выполненного в [23], для вала и для
втулки соответственно:

'эф ='2 ~ 0,2114Л, гэф =г2 + 0.4274Я,	(9.2.12)

где Л, Я — высота шлица вала и втулки соответственно, т. с. на уровень ка-
сательных напряжений в ободе втулки наличие шлицов оказывает боль-

11. Зак. 821

161
шее влияние, чем в вале. Формулы (9.2.12) могут использоваться при
практических расчетах касательных напряжений в зубчатых (шлицевых)
валах и втулках.

В работе [19] приведены результаты определения касательных напря-
жений, возникающих в сплошном шлицевом вале, методом электромаг-
нитного моделирования, которые сопоставлены с опубликованными рас-
четными данными. Установлено, что при числе шлицов г = 4 коэффициент
касательных напряжений r/G0rj на окружности радиуса г2 изменяется
(при варьировании радиуса кривизны в выкружке шлицов р2 от 0 до
0,1 Da, (где Da — диаметр головок шлицов) в пределах от 1,105 до 1,050.
В работе [23] для г = 6 (в пересчете на сплошной вал) получено kr = 1,145.
Вместе с тем показано, что максимальные касательные напряжения воз-
никают примерно в средней точке переходной кривой шлица и существен-
но зависят от радиуса кривизны переходной кривой шлица р. Эта зависи-
мость приближенно может быть представлена в виде

kT = r/GOri =3—р/14,	(9.2.13а)

где р дается в мм.

Влияние числа зубьев шлицевого вала на коэффициент концентрации
касательных напряжений на окружности радиуса гг = гвп°было оценено в
работе [66] для двух значений угла профиля а = 20 и 30 при варьирова-
нии числа зубьев от 22 до 60. Установлено, что увеличение z приводит к
существенному снижению кт лишь при z < 60:

*Г=*Т6О (1+0,72(1 -Z/60)2],	(9.2.136)

где Лт6о = 2,25 для а = 20° и 1,74 для а = 30°.

Поскольку одним из конструктивных путей снижения концентрации
контактных давлений на боковых поверхностях шлицов является вырав-
нивание жесткости на кручение вала и втулки, то важно оценивать влия-
ние отверстия вала на концентрацию касательных напряжении в нем. В
работе [19] для шлицевого соединения с параметрами z = 22, а - 32 ,
d = 23 мм, </е = 21 мм, df = 40,55 мм, р = 0,525 мм и различным отноше-
нием kda • d0/da (d0 - диаметр отверстия, d, - наружный диаметр вала)
было экспериментально исследовано влияние kd<) на кт. Представляется
более естественным задавать диаметр d0 в долях df, а не </,, что исключит
рассмотрение неоправданно больших диаметров отверстия вала d0, и опре-
делять кт по эмпирической зависимости

кт = 2,24 + 5,58 (d0/df)3	(9.2.14)

с высокой точностью, соответствующей экспериментальным данным.

Объединяя зависимости (9.2.13) и (9.2.14), получим совместное влия-
ние z и d0 на коэффициент кт:

кт = кт60 [1 +0,72(1 -z/60)] [1 + 2,50 (d0/df)3].	(9.2.15)

Зависимость (9.2.15) может использоваться при практических расчетах
при оптимизации конструктивных параметров элементов шлицевого сое-
динения, из условия прочности вала следует стремиться к тому, чтобы
do/df<W.

9.3. ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАВНОПРОЧНОСТИ ЗУБЬЕВ
И ЭЛЕМЕНТОВ МУФТ ЗА СЧЕТ
РАЦИОНАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОДАТЛИВОСТИ

Прочность зубьев муфт лимитируется их изгибной и контактной вы-
носливостью, поэтому обеспечение их равнопрочности по каждому из ука-
занных критериев требует специального рассмотрения.

При анализе изгибной прочности зубьев муфт представляется возмож-
ным использовать результаты исследования напряженного состояния
зубьев прямозубых зубчатых колес, поскольку при номинальном контак-
те зубьев условия их нагружения идентичны. Известно, что номинальные
напряжения на контуре переходной кривой зуба выражаются через гео-
метрические и конструктивные параметры следующим образом:

о = (Р/йлг) У/г,	(9.3.1)

,де Р ~ сила, приложенная к зубу, имеющему модуль m и длину b; YF —
коэффициент формы зуба, который по результатам анализа расчетов,
выполненного методом конформных отображений [2], может быть опре-
делен по следующей эмпирической зависимости:
для растянутой стороны зуба

Уг*2,48(1 +4.96/Z)	(932)

и для сжатой стороны зуба

rF =-3,25(1 +4,62/2).	(933)

Формулы (9.3.2) и (9.3.3) относятся к зубьям внешнего зацепления
при приложении нагрузки в точке, смещенной на модуль с его вершины.
Для зубьев обоймы муфты коэффициент YF, по данным [137] (после
пересчета точки приложения силы с вершины в среднее сечение высоты
зуба), может быгь принят равным YF = 2,04 независимо от числа зубьев
муфты.

Из приведенных данных следует, что зубья втулки и обоймы имеют
неодинаковую прочность по изгибной выносливости, причем коэффициент,
характеризующий больший запас по изгибным напряжениям зубьев обой-
мы муфты, составляет

^об ~ Овт/°об = YЕвт/1гов “ 1,22 (1 + 4,96/z).	(9.3.4)

Эго обстоятельство может быть использовано при определении рацио-
нальных величин конструктивных параметров элементов муфты с выбо-
ром должным образом толщины втулки и обоймы. При этом, однако,
необходимо иметь в виду, что изменение толщицы втулки и обоймы при-
ведет к концентрации изгибных напряжений в ободе соответствующей
детали aOf|, который может быть определен по зависимости [2]

где знак ’плюс” относится к зубьям обоймы, а знак ’’минус” - к зубьям
вала.

Из андтиза зависимости (9.3.5) следует, что коэффициент концентра-
ции изгибных напряжений аО/) в ободе обоймы значительно больше, чем
в ободе вала, причем для вала он практически не зависит от числа зубьев
z; отношения коэффициентов а„п для обоймы и втулки практически не
зависят от толщины обода, но зависят от числа зубьев г. Последний вывод
имеет важное практическое значение, так как выбор толщины обоймы и
втулки не изменит соотношения между изгибными напряжениями в этих
элементах муфты.

Другой аспект изгибной прочности зуба обоймы муфты заключается
в обеспечении равнопрочное™ зуба и обода обоймы по изгибной выносли-
вости. Из исследований прочности планетарных передач известно, что в за-
висимости от толщины обода эпицикла напряжения в нагруженном зубе и
ободе изменяются, причем при ha/m„ < 2,8 максимальные напряжения
возникают в ободе эпицикла, а при hojmn > 2,8 — на переходной кривой
нагруженного зуба, т. е. при hb/mn = 2,8 соблюдается принцип статической
равнопрочности зуба и обода эпицикла по изгибным напряжениям.

Влияние толщины обода элемента на уровень изгибных напряжений,
возникающих в зубе, может быть учтено либо при уточненном определе-
нии действующих напряжений на переходной кривой зуба, либо при опре-
делении допускаемых напряжений [2)

°Fo6 = °гАоб'	(9.3.6)

где

*об = 1 + <0,06 YF ± 1/z) (ao6/oF)2;

Оро0 — напряжения в зубе с тонким ободом обоймы; oF — максималь-
ные местные напряжения на зубе с толстым ободом обоймы; оо - мест-
ные напряжения изгиба в сечении обода под переходной кривой нагружен-
ного зуба; знак ’’плюс” относится к обойме, а знак ’’минус” — к втулке.

При анализе контактной прочности зубьев муфт конструктивные пара-
метры элементов муфты должны выбираться из условия максимального
выравнивания контактных давлений на зубьях, что достигается выравнива-
нием нагрузки между зубьями муфты и контактных давлений в пределах
площадки контакта на каждом из зубьев, воспринимающих нагрузку.
Выше была рассмотрена возможность выравнивания контактных нагру-
зок в шлицевом соединении за счет выравнивания крутильных деформаций
вала и втулки выбором переменного сечения элементов по длине соеди-
нения. Однако эти данные относятся к абсолютно точному шлицевому
соединению, когда единственным фактором, приводящим к концентрации
контактных нагрузок, является скручивание вала и втулки соединения.

Обычно шлицевое соединение работает в условиях перекоса осей соеди-
няемых агрегатов, что должно учитываться при назначении конструктив-
ных параметров элементов шлицевого соединения. В этом случае система
уравнений для раскрытия статической неопределимости шлицевого соеди-
нения подобно (6.1.5) примет вид

н'3(х) = Д - [S(x) + woe(x)],	(9.3.7)

/ q(x)dx = P=M/rbt
о

где н’э(х) - деформация зубьев; и>ов(х) - крутильная деформация вала и
164

втулки; Д — сближение вала и втулки, являющееся мерой крутильной
деформации шлицевого соединения; М — крутящий момент, передаваемый
соединением; гь — радиус основной окружности шлицевого соединения.

Сложность решения задачи о нагруженности шлицевого соединения
(9.3.7) заключается в том, что как w3(x), так и н’об(х) зависят от неиз-
вестной контактной нагрузки на зубьях q(x), причем связь между этими
величинами неизвестна. Для решения задачи примем следующие допуще-
ния:

1)	связь между w3(x) и q(x) соответствует вииклеровскому основа-
нию с переменным коэффициентом постели

w3(x) = q(x)e0e(x),	(9.3.8)

где е(х) =1 + (1 - 2 х/1)2 - коэффициент, учитывающий двукратное уве-
личение податливости зубьев на торцах [14]; е0 — податливость зубьев в
среднем сечении их длины;

2)	искомая нагрузка на зубьях может быть представлена в виде конеч-
ного числа членов степенного ряда

<7(х)=Х Чп(х/ГГ,	(9.3.9)

л=о

где координата х отсчитывается от среднего сечения длины зуба;

3)	зазор между зубьями, связанный с погрешностями монтажа и про-
дольной модификацией зубьев, может быть представлен в виде конечного
числа членов степенного ряда

м

5(х)=2 Sn(x/rr.	(9.3.10)

т = 1

Каждый член ряда контактных нагрузок </(х) (9.3.9) вызывает соот-
ветствующее скручивание вала и втулки, определяемое соотношениями
(5.1.19) для п = 2к и для п = 2к + 1 (5.1,22). Это позволяет решать исход-
ную систему уравнений (9.3.7) методом степенных рядов, для чего в них
подставляются выражения (9.3.8)-(93.10) совместное (5.1.19) и (5.1.22)
и приравниваются между собой коэффициенты при одинаковых степенях
неизвестной х, после чего получается система алгебраических уравнений
для определения искомых коэффициентов нагрузок qn. Если ограничить
число членов ряда q„, подлежащих определению, числом W = 2, то задача
существенно упростится и неизвестные коэффициенты ряда qn найдутся
из уравнения

-2	а12

(1+«и)	—4

1	1/2

(93.11)

где введены обозначения al2 = 1 + а2(1/2)г;с0 - удельная жесткость зубь-
ев; с0 = (0,04 т 0,05)Е.

Решение системы уравнений методом Крамера даст следующий резуль-
тат:

q0=di!d0\ qi-d2/d0\ q2=d3/do.

(9.3.12)

где d0 — определитель системы уравнений (9.3.11).

Решение уравнения (93.11) позволяет оптимизировать шлицевое соеди-
нение из условия минимизации контактных нагрузок на зубьях. Очевидно,
что для того, чтобы нагрузка равномерно распределялась по длине зубьев,
необходимо соблюдение условия qt = q2 =0 или d2 = d2 = 0. Поскольку в
первую очередь следует стремиться к исключению линейной составляющей
контактной нагрузки на зубьях (q2 = 0), то, потребовав соблюдения ра-
венства d2 = 0, получим, что ему удовлетворяют следующие значения
и 52:

51с0/2 = (М/4)(//гь)а2, S2c0/2 = q.	(9.3.13)

Как легко убедиться, значения 5, и S2 не обеспечивают равенства d3 =0,
так как в этом случае

=|8—[1+я2(//2)а]2|.	(9.3.14)

Из (93.14) видно, что d3 = 0, если а2(//2)2	1, однако это соотно-

шение не удовлетворяет условию qo = q, поэтому полного исключения
неравномерности нагружения шлицевого соединения добиться не удается,
поэтому следует стремиться к удовлетворению условия (93.13), при ко-
тором q 1 = 0.

Из второго условия (9.3.13) следует, что необходимо предусматривать
продольную модификацию шлицов по закону

5(х) = (2?/с0)(х//)2.	<9-315>

амплитуда которой зависит от нагруженности соединения (q —
поэтому она будет эффективна только для того нагрузочного режима
ЛА для которого рассчитана величина S2 (93.14).

Задача рационального проектирования зубчатых муфт заключается в
выравнивании контактных нагрузок по длине зубьев, поэтому восполь-
зуемся зависимостью (9.3.13) для оптимизации конструктивных разме-
ров элементов шлицевого соединения, откуда следует, что для удовлет-
ворения условия qt = 0 необходимо, чтобы

7 = (Si/0=W//2eo)e2-	(93.16)

Угол перекоса в муфте у складывается из двух составляющих:

7=7м+7т»	(9.3.17)

монтажного угла ум, который не остается постоянным на всех шлицах
и зависит от ориентации рассматриваемой пары шлицов относительно
плоскости перекоса:

7м = 7оСО80,	(93.18)

и технологического угла уу’, который остается постоянным для всех шли-
цов и определяется погрешностью угла наклона образующей шлицов:

7г = Д(3.	(9.3.19)

Поскольку 7о является случайной величиной и управлять им не представ-
ляется возможным, то найдем преднамеренную погрешность Д/1, которую
нужно внести в направление образующей шлицов, чтобы обеспечить соблю-
дение равенства qt = 0:

Д0 = (<?Z/2c0)e2 ~Ум.	(9.3.20)

Из формулы (93.20) следует, что преднамеренно вносимая погреш-
ность Д0 должна быть переменной по углу 0 (требование не выполнимое
на практике), поэтому погрешность Д/? должна определяться из (9.3.20)
Для ум = 0. В этом случае на шлицах останется неравномерная составляю-
щая контактных нагрузок

_ со7о/ [1 -Д2(//2)2] cosfl

Ч' 2 (12-О*(//2)4]	'	(9.3.21)

Однако она будет минимально достижимой величиной, так как деформация
скручивания вала и втулки будет полностью скомпенсирована предна-
меренно внесенной погрешностью Д/3 (9.3.20).

Из формулы (93.21) возникает возможность доб.". .ься соблюдения ус-
ловия qt = 0, если конструктивные параметры элементов соединения будут
удовлетворять условию

1 - ла(//2)а = 0,	(9.3.22)

что с учетом (9.2.3) дает

(csp/G/*,)^)2 (1+Х)=1,
т. е.

G/2)2.	(9.3.23)

Если в (93.23) подставить значения входящих величин, го для сплошного
вала получим соотношение между длиной / и диаметром d = 2 г в виде

//</-[1*1,25) яг/( 1 + X)] * « (1,77 * 1,98)/х/Гй7	(93.24)

что при равенстве крутильных жесткостей вала и втулки даст

l/d =1,25-5-1,40.	(9.3.24а)

Соотношение (93.24) определяет допустимые значения отношения
l/d, при которых будет минимизирована величина q2 при любых значениях
угла перекоса у0.

В приведенном расчете исходная система алгебраических уравнений
(9.3.11) была преднамеренно укорочена, с тем чтобы получить простые
зависимости для двух коэффициентов ряда контактной нагрузки q2 и
q2. Естественно, что. используя для решения системы уравнений (9.3.11)
вычислительную технику, можно при желании найти большее число членов
ряда контактной нагрузки qn. Однако, как показывает анализ выполнен-
ных расчетов распределения контактных нагрузок по длине шлицевого
вала [35], в этом нет необходимости, так как при N = 2 достигается высо-
кая точность расчета.

На рис. 9.2 приведен расчет к(х) = q(x)/q, выполненный в работе [35]
для двух конструкций втулки - цилиндрической (кривая 1) и конической
(кривая 2). Там же штриховыми кривыми показаны результаты аппрокси-
мации этих расчетов по (9.3.9) при JV = 2. Отсюда можно сделать вывод,
что оптимизация конструктивных параметров элементов шлицевых соеди-
нений по полученным зависимостям при удержании в (93.9) лишь трех
членов ряда будет достаточно эффективна.

При практических расчетах концентрации контактных нагрузок по дли-
не шлицов можно пользоваться приближенными выражениями для коэф-

Рис. 9.2. Аппроксимация
коэффициента контактных
нагрузок к(х) по (9.3.9) при

У=2 |35|

При GIk : 1 — const;

2 —var; 3 - Gl'^

фициента k(x) - q(x)/q. полученными в работе [28] для зубчатых передач
при подводе и съеме крутящего момента с разных сторон:

к(х) * I +0,16 [1 -(l/2t/2)] (b/d i)2,	(9.3.25)

max

и при подводе и съеме крутящего момента с одной стороны:
к(х) * 1+0,16 [1 + (l/t/2)] (b/di)1,	(9.3.26)

max

где / — длина зуба; dt — диаметр делительной окружности шестерни;
U — передаточное число, U — d2/dx. В отличие от [28] в формулах (9.3.25)
и (9.3.26) вместо постоянной 0,17 включена постоянная 0,16 с целью
приблизить эти зависимости к результатам точного расчета.

Из сравнения формул (9.3.25) и (9.3.26) следует, что при подводе и
съеме крутящего момента с одной стороны коэффициент к(х) значительно
max

больше, чем при подводе и съеме крутящего момента с разных сторон.
Если в этих формулах передаточное число U интерпретировать как отно-
шение жесткости на кручение втулки и вала:

U=d2/dx = (G/KBT/G/KB)’4,

то формулы примут вид

к(х) = 1 +0,16 [1 — (1/2х/Х)] (b/d)2.	(9.3.25а)

max

к(х) = 1 +0,16 [1 + (1ЛД)] (b/d)2	(9.3.26а)

min

Раздел VI

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАСЧЕТА
И ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЗУБЧАТЫХ
СОЕДИНИТЕЛЬНЫХ МУФТ

Выполненные в разд. I и II исследования, направленные на изучение
геометрических, точностных и жесткостных характеристик зубчатых соеди-
нительных муфт, позволили комплексно решить вопрос о статической
нагруженности зубьев муфт, работающих в условиях ограниченной точ-
ности изготовления и монтажа и упругого деформирования элементов и
кинематических пар.

Долговечность соединительных муфт определяется износостойкостью
контактирующих поверхностей зубьев, усталостной прочностью зубьев
и ободьев муфт. Поэтому в разд. III работы изучены закономерности
изнашивания контактирующих поверхностей зубьев, влияние износа зубьев
на характер перераспределения нагрузки между ними, напряженное состоя-
ние зубьев и податливых элементов соединительных муфт.

Эти исследования позволяют перейти к формированию теоретических
основ расчета и проектирования зубчатых соединительных муфт, чему
и посвящен настоящий, заключительный раздел работы. Поскольку зубья
и податливые элементы соединительных муфт находятся в условиях цикли-
ческого нагружения, то необходимо от статических напряжений, рассмот-
ренных в разд. III, перейти к динамическим напряжениям, возникающим
в кинематических парах и упругих элементах муфт, разработке методов
расчета их на контактную и изгибную выносливость.

Установленные закономерности нагружения зубьев и податливых эле-
ментов позволяют поставить вопрос о рациональном проектировании
соединительных муфт, обеспечивающем снижение уровня контактных
давлений на зубьях, выравнивание нагрузки между зубьями и повышение
износостойкости зубьев муфт.

и могут использоваться для оценки коэффициента к(х) при практических

расчетах шлицевых соединений.

max
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РАСЧЕТУ МУФТ

10.1.	ПРОЧНОСТЬ ЗУБЬЕВ МУФТ

Разработанный в гл. 6 метод расчета характера распределения стати-
ческой нагрузки между зубьями муфт, передающих заданный крутящий
момент, в принципе позволяет ответить на вопрос о закономерностях
нагружения зубьев муфт, работающих при перекосе осей.

Рассмотрим в безразмерных координатах характер распределения стати-
ческой нагрузки в пределах зоны нагруженных зубьев (рис. 10.1).

На рис. 10.1 по оси абсцисс отложена безразмерная координата рассмат-
риваемой пары зубьев, координируемой углом 0//0о (где ~ 30113 на'
груженных зубьев), а по оси ординат - безрамерная сила Pt/P\. восприни-
маемая парой зубьев, координируемой углом &//0о (где Pt — нагрузка
на наиболее нагруженной паре зубьев, координируемой углом 0| = 0).

Из приведенных на рис. 10.1 данных видно, что для умеренных зон
нагруженных зубьев (40° < 0о < 60°) характер распределения нагрузки
между зубьями практически не зависит от в0 и от формы образующей
зуба. Эта тенденция нарушается для 0о - 20°, когда наблюдается более
резкое уменьшение Pt/Px с увеличением 0//0о. и Для = 80° (на зубьях
с прямолинейной образующей). Таким образом, обнаруживается воз-
можность подобрать упрощенную эмпирическую зависимость, описываю-
щую приведенные расчетные данные.

На рис. 10.1 наряду с расчетными данными приведены зависимости

Л/Л = cos“(ff/2)(0//M.	(10.1.1)

где а = 0,5; 1,0 (сплошные кривые) и 0,8 (штриховая кривая). Как следу-
ет из рис. 10-1, все расчетные данные с высокой точностью описываются
зависимостью (10.1.1) при а = 0.8-Н,0, за исключением случая - 80°
(зубья с прямолинейной образующей), когда расчетные данные при 0//во <
< 0,6 лучше соответствуют а = 0,5.

Полученный результат имеет большое значение при проведении практи-
ческих расчетов зубьев и ободьев муфт на прочность, так как позволяет
считать известным характер распределения нагрузки между зубьями.
С целью упрощения в дальнейшем методов расчета на прочность можно
принять коэффициент а, входящий в (10.1.1) постоянным, не зависящим
от в 0 и g, и положить его равным 1,0.

Следующий важный для оценки контактной прочности зубьев муфт
вопрос относится к определению деформативных составляющих кривизны
зубьев и угла перекоса между зубьями, влияющих на уровень их контакт-
ной напряженности (см. табл. 6).

Как отмечено в гл. 6. эта составляющая радиуса кривизны зубьев и
угла перекоса между зубьями зависит от деформации собственно зубьев
и ободьев податливых элементов муфт. Влияние деформации собственно
зубьев оценено в гл. 8.

Что касается деформативной составляющей угла перекоса и кривизны
зубьев, обусловленной податливостью обода обоймы, то, располагая за-
висимостью для характера распределения нагрузки между зубьями (10.1.1),

Рис. 10.1. Характер распределения нагрузки между зубьями муфт в зоне нагружения
Образующие зубьев: 1 — криволинейная; 2— прямолинейная

она может быть определена для различных конструктивных схем обода
обоймы. Можно определить элементы упругой линии обода обоймы, пред-
ставленного в виде свободного кольца, интегрированием коэффициентов
^uq в пределах —0О С в < 0О при п = 2к (поскольку имеется две зоны
нагруженных зубьев) в следующем виде:

20о\/ г \ 2cos0o Qp3
it /\2я/ [1 -(20on/*)4

(10.1.2)

где kyQ - коэффициент элемента упругой линии кольца определяется
по-прежнему в виде сумм, приведенных в (10], с той лишь разницей, что
суммирование ведется для четных и.

Если обод обоймы выполнен в виде кольца, соединенного с длинной
оболочкой, то, согласно [10], в коэффициенты k^Q должна быть внесена
поправка ДАгу^, учитывающая изменение расчетной модели обода обоймы.
Причем, учитывая, что кщ и AkUQ представлены в виде тригонометри-
ческих рядов, поправка к элементам упругой линии кольца может быть
определена по зависимости (10.1.2), где дополнительно и заменяется на
Ди. kUQ на SkuQ, определяемые в виде сумм, приведенных в [11] при-
чем суммирование ведется для четных п.

Для оценки контактных напряжений, возникающих на зубьях, необходи-
мо располагать зависимостями деформативной составляющей угла пере-
коса в плоскости, нормальной к профилям зубьев уа (5.3.22) и кривизны
зубьев Лд‘ (5.3.27), поэтому из числа элементов упругой линии обода
обоймы определим радиальный прогиб w и углы поворота сечения ф и д.

Внешние силы, действующие на зубья, определяются зависимостями
(9.1.2), поэтому, объединяя зависимости (10.1.2) и (9.1.2) и принимая
в них п = 2 (поскольку с ростом п все коэффициенты быстро убывают).

получим

уа = ф cosa + 0sina

2<’Os20o к Л

[1 - (4 Оо ЛО’] it El'

1/Яд = 2wsin a/l0=

/20о W	2cos20o k

\я /\2я/ [1 — (40O/*)2 ] RattEl'

(10.1.3)

где

sina +	2(1 + Mcosa sin20[l - /Г2(4 + X)j +

+ sinacos20[(l + 4X)-4^i(l + X)2] j;	(10.1.4)

= - 1!—di) $jn3a cos20 + -(1 - 3 — Jctga sin20 ,

я 9	/0	[	2\ p /	J

коэффициенты A2 и A!2 определяются из (9.1.8). Коэффициент кГа< входя-
щий в (10.1.4). учитывает действие лишь крутящего момента (9.1.3),
влияние осевой силы (силы трения) в (10.1.4) опущено, поскольку оно
значительно меньше.

Из формулы (10.1.4) видно, что максимум коэффициентов и
*7Д не приходится на сечение 0 = 0, где расположена наиболее нагруженная
пара зубьев:

к = 1/2 «па + /Л3^[(1 + 4Х)- 4Л*,(1 + X)2]sina sin(-2p * *.i ),

я 9\3	/	cosV/i

(10.1.4а)

где

tgi/zj = tga

1(1 + 4Х) — 4/12(1 + X)2].

2(1 +Х)[1 -Я2(4 + Х)] ’

к . 1 (£^^larin(20JX)

я 9 /о	cos ф

где

tg^ = 2tga//l - 3 —\
\ Р /

Сравнивая формулы (10.1.4а) и (9.1.7), видим, что экстремальные
значения коэффициенты й7д и ДйМ1 принимают в разных сечениях обода
обоймы.

Полученные зависимости позволяют оценивать характер распределения
контактных давлений на боковых поверхностях зубьев в процессе про-
хождения рассматриваемой пары зубьев в эоне нагружения. Для этого
необходимо воспользоваться зависимостями для параметров контакта

зубьев в произвольной фазе зацепления

(10.1.5)

коэффициенты кая и кал учитывают изменение Р, ут и р2 при враще-
нии муфты на рассматриваемой паре зубьев, где

к„а = cos0,2

Я в

2 в'

&эсо50 + sin(20 +

1 - ^3 sin(20 + ф.
Pi г

0.4

0.3

Лад= cose',s(- 2

\ 2 0О

1 - ^-я sin(20 + ф1
Pi г

2/15

7гт

Достоинством формул (10.1.5) является возможность оценивать пара-
метры контакта зубьев независимо от очертания их образующей, что поз-
воляет унифицировать методы расчета контактной прочности зубьев с
прямо- и криволинейной образующей зубьев. Необходимо подчеркнуть,
что в формулы (10.1.5) включена деформативная составляющая угла
перекоса между зубьями 7Д, обусловленная податливостью лишь обода
обоймы. Что касается составляющей ?д, обусловленной неравномерной
изгибной деформацией собственно зубьев муфт с прямолинейной обра-
зующей, то она может быть определена по зависимости (8.2.116). а в
формулах (10.1.5) следует принять

к3 = 1 -0.62(Дн//7гт),?5.	(10.1.6)

для зубьев с криволинейной образующей в (10.1.5) коэффициент к3 = 1,0.

Важным вопросом при оценке контактной прочности зубьев муфт
является определение допускаемых контактных напряжений.

В связи с важностью вопроса и ограниченностью экспериментальной
информации по контактной прочности зубьев муфт воспользуемся при-
веденными в гл. 7 данными по оценке толщины слоя смазки между контак-
тирующими поверхностями в условиях их относительного скольжения.
Формулу (7.1.25) для толщины слоя смазки в контактно-гидродинами-
ческой теории смазки можно представить в следующем виде:

Лпип = 0,4182 - Cd/it/f2/^) = C(pU/o3H),	(10.1.7)

где он — максимальные контактные давления по Герцу, кгс/см2; U —
скорость скольжения, см/с; р — вязкость масла, кгс  с/см2; Ct, С — по-
стоянные.

Представляет интерес сопоставить формулу (10.1.7) с имеющимися
экспериментальными данными по долговечности зубчатых муфт и из
этого сопоставления определить допускаемую величину [й]. В работе [16]
Расчетная оценка толщины пленки смазки
между зубьями муфт по данным [ 16]

Муфта	°Н 10». к । с/см	U, см/с	и.  10‘, кгс -с/см’	, мкм (10.1.8)	мкм  (10.1.9)	1— Состояние зубьев
1	2.363	7,98	0,067	0,0616	0,023/0,023	Сильный износ
2	1,080	12.44	0,067	0,13	0,38/0.358	Заедание
3	1,852	1,58	1,35	0,46	0,19/0,180	Удовлетвори- тельное
4	0.234	1.316	1,35	0,80	80,06/77,02	чч
5	0,705	15,2	0,29	1,36	7,27/5.418	чч
6	0,869	1,94	0.62	1,6	0,11/0,09	Слабый износ
7	0,756	12.87	0,29	1.19	4,99/3,874	Удовлетвори- тельное
8	0,758	6.6	0,29	1,52	2,54/1.358	чч
9	0,643	5.5	0,29	0,71	3,46/1,484	чч
10	0.565	12.9	0,29	1.8	11.98/4,222	чч
11	0,602	11.3	0,29	1.1	8,65/3.356	чч
12	1,868	2,06	0,185	0,092	0,034/0,009	Износ
13	0,476	16,7	0.29	1,54	25,93/1,258	Удовлетвори- тельное
14	1,003	7.63	0,42	0,78	1,83/1,797	Муфта вышла из строя
15	0,900	3.62	0,35	0,56	1,00/0.979	Удовлетвори- тельное
16	0.747	4,76	0,35	0.7	2,31/2.235	ЧЧ

предложены достаточно сложные расчетные зависимости для определения
толщины масляной пленки для зубьев муфт с прямо- и криволинейной
формой образующей:

Лоп« 22^Кй,{/)1/Эи§'5/о^3]Л° ”,	(10.1.8)

йоб = 86,27[(до^)О’75и?,6/ан°'3|Л0'25-

где дополнительно к (10.1.7) п0 — пьезокоэффициент вязкости, в м’/кге;
R — радиус кривизны зубьев в точке контакта, причем U. в м/с; Off —
в кге/м2.

Сопоставление зависимости (10.1.8) с экспериментальными данными
по долговечности муфт, основные параметры которых приведены в табл. 9,
показало, что за допустимую толщину масляной пленки при расчетах по
формуле (10.1.8) можно принять |Л01 = 1.0 мкм.

Из приведенных данных следует, что зависимости (10.1.8) не дают
достаточно надежной оценки контактной прочности зубьев муфт. В связи
с этим приведенные в табл. 9 данные были сопоставлены с расчетами,
выполненными по формуле (10.1.7). причем постоянная была выбрана
таким образом, чтобы допустимая величина слоя смазки осталась неиз-
мснной, [Ло 1 ~ ЬО мкм. В результате формула (10.1.7) приняла вид

Ло = 0,58  10tsn0U/o3H.	(10-1.9)

Результаты расчета по формуле (10.1.9), также приведенные в табл. 9,
показывают, что всего в двух случаях (муфты 3 и 14) наблюдается не-
соответствие рекомендованной величины [Ло J с данными эксплуатации,
причем в муфте рекомендованная величина [Ло| = 1,0 мкм идет в запас
по контактной прочности. Муфта 16, в которой й0 = 1,83 мкм > [Ло],
имела, как это следует из работы [16], недостаток масла, чем, по-види-
мому. и объясняется несоответствие расчета с экспериментом в данном
случае. Муфта 3, в которой наблюдается несоответствие расчетов по форму-
лам (10.1.8) и (10.1.9), смазывалась в отличие от остальных 14 муфт гипо-
идным маслом, что, возможно, положительно сказалось на повышении
контактной прочности зубьев муфт.

Таким образом, можно рекомендовать использовать следующую расчет-
ную зависимость для оценки допустимой величины максимальных контакт-
ных напряжений, возникающих на боковых поверхностях зубьев муфт:

[aw] < 0,835(MOt/),/3  Ю5.	(10.1.10)

Вопрос об определении максимальных нагрузок Pt и контактных напря-
жений, возникающих на боковых поверхностях зубьев, требует специаль-
ного рассмотрения, поскольку зависимости табл. 7 относятся к случаю,
когда в0 < я/2, т.е. когда лишь часть зубьев принимает участие в передаче
крутящего момента. Между тем из табл. 9 следует, что вполне вероятна
передача крутящего момента всеми зубьями муфты.

В зависимости от крутящего момента, передаваемого муфтой, зона на-
груженных зубьев в0 может быть меньше я/2 (рис. 10.2, а) или равна
я/2 (рис. 11.2, б, в). В первом и втором случаях максимальная нагрузка
на зубьях определяется по формулам табл. 7. В третьем случае макси-
мальная нагрузка на зубьях определится из соотношения

Pm.x=P,+P/z.	(10.1.11)

где Р/г - равномерная составляющая нагрузки на зубьях муфты

P/z = (Р£ - PJ)/z.	(10.1.12)

P^/z — средняя нагрузка на зубьях при вступлении их всех в передачу
крутящего момента, соответствует условию (0О = я/2)

РЦг = (я/2/2а)1,'“’/54.	(10.1.13)

Коэффициент неравномерности нагружения зубьев

= 1 + (Л - P/zW^/z).	(10.1.14)

Коэффициент ку, учитывающий влияние угла перекоса в муфте 7Т на
уровень контактных напряжений на боковых поверхностях зубьев, равен
ку = (кр)^. Расчетная величина толщины слоя смазки между зубьями,
полученная пересчетом зависимости (10.1.9):

Ло=Ао/*3-	(10.1.15)

В табл. 9 для сравнения, кроме расчетных величин Ло, приведены также
Рис. 10,2. Распределение на-
грузки между зубьями муфт
при увеличении крутящего
момента

а - в, < w/2; б -	=

= "/2. рср = О; в - во = ”/2.
Р* о

и откорректированные величины толщины слоя смазки h'o. Расчетные
зависимости для толщины слоя смазки h'o и допустимой величины контакт-
ных напряжений на боковых поверхностях зубьев ау с учетом угла пере-
коса между осями муфт примут вид

Ло = 0,58 • \OlsnoU/ay, [Ло] = 1 мкм;	(10.1.16)

[а7] < 0,835 (до Ю1'310s.

В приведенных в табл. 9 случаях расчетные контактные напряжения по
Герцу не превосходили 2400 кгс/см2 (муфта 1), а максимальные контакт-
ные напряжения с учетом угла перекоса между осями муфт оу не превос-
ходили 3000 кгс/см2 (муфта 12), поэтому можно считать, что этими значе-
ниями ограничивается диапазон изменения величин он и ау, для которых
справедливы зависимости (10.1.16). Естественно, что при накоплении
дополнительной экспериментальной информации входящий в зависимость
(101.16) коэффициент может уточняться, однако структура зависимости
(10.1.16), по-видимому, не претерпит изменений.

При расчете зубьев на выносливость по изгибу необходимо учитывать,
что зубья находятся в условиях сложного напряженного состояния и напря-
жения периодически изменяются во времени. Для учета первого из на-
званных факторов при расчете зубьев с прямолинейной образующей можно
воспользоваться установленным в гл. 8 фактом неизменяемости прямо-
линейной образующей зуба в процессе его деформирования при произ-
вольной величине коэффициента концентрации контактных давлений
в пределах площадки контакта.

Это позволяет сложное напряженное состояние, в котором находятся
зубья муфт с прямолинейной образующей, представить в виде совместного
изгиба и кручения зуба. Изгибные напряжения в зубе могут определяться
по зависимостям для зубьев зубчатых колес при равномерном распре-
делении контактных давлений по длине зуба; напряжения сдвига, возника-
ющие в зубе в связи с концентрацией контактных давлений в пределах
176

площадки контакта, могут быть определены исходя из следующих со-
ображений.

Как установлено в гл. 8, прогиб зуба на торцах зависит от коэффициента
концентрации контактных давлений и определяется по следующим за-
висимостям (8.3.4):

w(0)/w = 1 +0,987(/ух/Дн)4/’,	(10.1.17)

*(/)/* = 1-1,О57(7тх/ДкЛ’

где 7s = 7т — 7д — результирующий угол перекоса между зубьями с учетом
погрешностей монтажа полумуфт и упругой деформации зубьев. Поэтому
средняя деформация и>(0.5) и амплитуда деформации Дн», определяемые
как полусумма и полуразность w (0) и w (Z), равны

w(0,5)/w = 1 + 0,4935(/7е/Дя)4'9 [1 - 1,0709(Zyx:/Д/у)% J,

л,о	(10.1.18)

Aw/w = [*(0)-*(0,5)]/» = 0.4935(/ух/Дя)4/’х

Х[1 + 1,0709(/7eMh)W1-

Согласно дискретно-континуальной модели зуба, развитой в [15], эпюры
напряжений и изгибных перемещений вдоль зуба идентичны, поэтому
можно определить средние напряжения изгиба, возникающие в зубе при
концентрации контактных давлений в пределах площадки контакта, следу-
ющим образом:

w(0,5)/w = ат/а = 1 + 0,064(/7е/Дн)°’862,	(10.1.19)

Aw/iv =а„/а = (/7Х/ДН)0357.

Эмпирические зависимости (10.1.19) с высокой точностью соответствуют
результатам расчета по (10.1.18).

Располагая амплитудой деформации зуба Ди”, можно определить угол
закручивания зуба

Ф - 2 Ди-// = 2(/7х/Дя)°’35’йУЛ	(10.1.20)

Известно, что при кручении стержня прямоугольного сечения, каким
является зуб муфты, угол закручивания у и максимальные касательные
напряжения т,пЛХ выражаются через нагрузочно-геометрические параметры

= -WkJp/(G/k). ’’max = -Wk/^k-

где ZK, W к — геометрические характеристики поперечного сечения зуба
IK = as4; WK = 0sJ; s - толщина зуба в месте заделки его; коэффициенты
а и 0 зависят от отношения l/s и приближенно могут быть описаны эмпири-
ческой зависимостью (для l/s > 2,0)

а = 0 = 0,333 (Z/s - 0,5).

Таким образом, связь между ф и rmax имеет вид

’’max = G^/yp = (2Gs/yPl)(lyz/bH)0'3slw.	(10.1.21)

Для того чтобы выразить ттах через (это значительно упростит процедуру
расчета на прочность зубьев), выразим а через vv, воспользовавшись мо-

12. Зак. 821	177
делыо зуба в виде консоли. Тогда

ю = Ругр13Е1, о - M/W = Pyps/21,

откуда, принимая ур - 1,25m, получим связь между w и о в следующем
виде:

а = 2,2кЕ^/т,	(10.1.22)

где к = s/[(тг/2) + 2tga]m,H. объединяя (10.1.21) и (10.1.22). получим
искомую связь между ттах и о:

ттах =	= 0,640^W^p\.	(10.1.231

к \г)\лн)	\i !\л„/

Таким образом, напряжения ат и гтах в зубе при концентрации
контактных давлений выражены через изгибные напряжения, возникающие
в зубе при равномерном распределении контактных давлений по его длине,
т.е. учтено, что зубья муфты при перекосе осей находятся в условиях
сложного напряженного состояния, характеризуемого напряжениями
°т 11 Т шах 

Для того чтобы учесть периодический характер изменения напряжений
ит и ттах во времени, воспользуемся данными рис. 101 и зависимостью
(101.1). Очевидно, что зуб муфты с прямолинейной образующей при
изгибе находится в условиях асимметричного цикла напряжений, а при
кручении — в условиях симметричного цикла, причем коэффициент асим-
метрии при изгибе зуба равен

д _ Qmin , и>(/) _ 1 - 1,057(/7£/ДнЛ9	(10.1.24)

°тах ’ *40)	1 + 0,987(/7S/△„)*’'

Расчет по зависимости (10.1.24) показал, что в диапазоне изменения на-
грузочного параметра (1уъ1Лн) 01 5 Д° 20 коэффициент R составляет
0.2 ±0,02.

Приведенные зависимости соответствуют случаю, когда заданными вели-
чинами являются как сила, действующая на зуб, так и угол перекоса
между поверхностями зубьев. Поскольку, согласно (10.1.1). сила, при-
ходящаяся на рассматриваемую пару зубьев, так же как и угол перекоса
между поверхностями зубьев, изменяется при вращении муфты, то при-
веденные зависимости относятся только к определенному положению
рассматриваемой пары зубьев относительно плоскости перекоса. Поэтому
при определении составляющих напряжений, возникающих в эоне нагруже-
ния зубьев 0о, в приведенных зависимостях следует принять силу Р = Pi
и угол перекоса у - уТ. Входящий в них нагрузочный параметр (/у^/Дуу),
согласно (8.2.11 а), может быть определен из зависимости

/Ts/Дн = (/7н/Дн)(1 -О,375£9'1О(Д„//7Т)К5],

где Д/у - контактная деформация зубьев под действием силы Pt - Ли =
= 3,7Р1//£.

В работе [771 приведены результаты испытаний прямых и арочных
зубьев на прессе (при статическом нагружении зубьев) и на пульсаторе
(при циклическом нагружении зубьев) при варьировании угла перекоса
между зубьями 7Т и фазы в которой контактировали зубья (^ = 0 — на-
178
Рис. 10.3. Зависимость разрушающей нагрузки Ру/Ра от коэффициента концентрации
контактных давлений ку

грузка приложена на кромке зуба, ф = 6,5° — в полюсе зуба, = 3° — в
промежуточной точке). Испытания показали, что разрушающая нагрузка
на прямом зубе существенно зависит от угла перекоса ут.

На рис. 10.3 приведена зависимость разрушающей нагрузки Ру/Р0 от
коэффициента концентрации контактных давлений kyz и ку*. построенная
по данным работы [77J при статическом нагружении прямых зубьев. По
оси ординат на нем отложены отношения разрушающих статических сил
при наличии и отсутствии угла перекоса между контактирующими зубьями.
По оси абсцисс отложены величины коэффициента контактных давлений
ку с учетом (У) и без учета (2) деформативной составляющей угла пере-
коса между зубьями. Из приведенных данных усматривается приближенная
линейная зависимость между Ру/Р0 и ку :

Ру/Р0= 1 -а(ку - 1),	(10.1.25)

где а = 0,0444 для (1) и а = 0,0312 для (2), причем фаза зацепления зубьев
практически не влияет на связь между Ру/Р^ и ку.

Для того чтобы из приведенных экспериментальных данных найти
количественную оценку влияния сложного напряженного состояния на
разрушающую статическую нагрузку введем эквивалентное напряжение

Оэк. = («2 + Зг«)н,	(10.1.26)

тогда условие статической прочности примет вид

аи +	= oj,	(10.1.27)

где ов — предел прочности материала при одноосном растяжении.

Из (10.1.18) с учетом (10.1.23) можно получить связь между Ру/Ро и
ттах в виде

(Ру/Р0У + Л(ттах/а)2= 1,	(10.1.28)

где к = 3(о/ов)2, откуда следует, что для предельного напряженного состоя-
ния эта связь подчиняется уравнению эллипса.
На рис. 10.4 по результатам работы [77] с использованием формулы
(10.1.23) показана связь между ттах/а и Ру/Р0', кривая — эмпирическая
зависимость вида (10.1.28) для к = 3(а/ав)2 = 0,2. Тот факт, что экспери-
ментальные точки независимо от угла перекоса ут и фазы зацепления «р
располагаются в зоне эмпирической зависимости (10.1.28), свидетельствует
о том, что формула (10.1.23) соответствует имеющимся эксперименталь-
ным данным по закономерностям изменения разрушающей статической
нагрузки в зависимости от угла перекоса между зубьями ут. Некоторое
отклонение экспериментальных точек от эмпирической зависимости
(10.1.28) объясняется нарушением линейной связи между ттах и от,
в связи с чем нарушается подобие предельных напряженных состояний
зубьев при увеличении угла перекоса между ними. Действительно, объ-
единяя (10-1-19) и (10.1.23), можно установить связь между ат!о и
ттах/5, которая оказывается нелинейной при больших значениях угла
перекоса ?т.

Найденная из эксперимента относительная величина разрушающей
силы PQ/P^ позволяет оценивать влияние угла перекоса между зубьями
на статическую прочность зубьев при действии максимальной силы, однако
она относилась ко всем фазам зацепления. Для того чтобы оценить влияние
фазы нагружения зубьев (эквивалентной координате точки приложения
силы Yp), на рис. 10.5 приведена зависимость Р^/Р^, от YP, построенная
по данным работы [77], причем Ро с вероятностью неразрушения 97,5%
составляет Ро = 2267 Н/мм. Там же приведена расчетная зависимость для
коэффициента изгибающего момента в зубе (5.2.23)

км = 1 +0,6 УД

которая хорошо соответствует имеющимся экспериментальным данным.
Таким образом, на основании выполненного расчетного и эксперимен-
тального анализа изгибной прочности зубьев с прямолинейной образующей
задача сведена к оценке изгибной прочности зубьев прямозубых колес
при равномерном распределении нагрузки по их длине.

Большой найчный интерес представляют результаты испытаний на пульса-
торе при циклическом характере нагружения зубьев, выполненные в рабо-
те [77] при варьировании угла перекоса между зубьями. Обычно при
180
Ли1

Рис. 10.6. Результаты усталостных испытаний прямых и арочных зубьев на пульсаторе
по данным (77).

/ — аро*кые зубья; 2— прямые зубья

усталостных испытаниях зубчатых колес на пульсаторе стремятся исклю-
чить погрешности взаимного положения колес, что, по существу, приводит
к экспериментальной оценке влияния, оказываемого геометрическими
и нагрузочными параметрами на изгибную выносливость зубьев. Перекос
же между зубьями колес изменяет характер напряженного состояния, что
естественно приводит к изменению закономерности усталости материала
зубьев колес. Поэтому представляется целесообразным накопление экс-
периментальных данных по изгибной выносливости зубьев при наличии
погрешностей монтажа зубчатых колес.

В работе [77] приведены ограниченные данные по испытаниям зубчатых
колес на пульсаторе в фазе <0 = 0 (нагружение в вершине зуба) по отнулево-
му циклу нагружения (R = 0) с частотой 660 цикл / мин. Анализ результатов
испытаний выполнялся по зависимости (10.1.19), (10.1.23) в предпо-
ложении, что эквивалентные напряжения могут определяться по соотноше-
нию (10.1.26).

Все результаты испытаний были сведены к нагрузке q = 1440 Н/мм,
поэтому полученные данные носят сравнительный характер.

На рис. 10.6 приведены результаты выполненного анализа усталостных
испытаний зубьев. Из приведенных данных следует, что независимо от
нагрузки q и угла перекоса у все экспериментальные данные, за исключе-
нием случая q = 1600 Н/мм, у = 1/3° (при у & 0), группируются вблизи
одной прямой. При у = 0 экспериментальные данные группируются вблизи
другой кривой. Ограниченность экспериментальных данных не позволяет
делать окончательные выводы о закономерностях усталости материала
зубьев колес при их перекосе, однако из приведенного следует, что перекос
между зубьями, изменяя вид напряженного состояния, существенно влияет
на изгибную выносливость зубьев. Так, если принять уравнение кривой
усталости зубьев в виде

(аэк»/5144оУ"№ С,	(10.1.29)
то окажется, что С - 6,622  10s, m = 12 при у = 0 и т = 2,58 при у #=0.
Столь существенное изменение показателя степени т в кривой усталости
ставит под сомнение возможность учета погрешностей монтажа зубчатых
колес у лишь при определении расчетной нагрузки на зубьях и требует его
учета также и при определении параметров кривой усталости материала
зубьев. Тот факт, что независимо от q и у экспериментальные точки группи-
руются вблизи одной прямой, указывает на то, что выносливость матери-
ала определяется в основном видом напряженного состояния. Приведенные
данные в равной мере относятся и к зубьям муфт, поскольку при испыта-
ниях на пульсаторе моделируется лишь характер приложения нагрузки
к зубу, поэтому необходимо дальнейшее накопление экспериментальной
информации при испытании зубьев колев и муфт на пульсаторе.

Переходим к оценке изгибной прочности зубьев муфт с криволинейной
образующей. Для определения разрушающей нагрузки Ру/Р^ при стати-
ческом нагружении зубьев воспользуемся результатами испытаний на
прессе арочных зубьев, полученных в работе [77]. Важно подчеркнуть,
что эти испытания проводились при коэффициенте продольной модифика-
ции зубьев км = Дг/гг = Г1/рПр = 0> т е- бе3 локализации пятна контакта,
так как ’’предварительные испытания показали, что при статическом на-
гружении влияние степени локализации пятна контакта в зацеплении на
разрушающую нагрузку весьма мало и находится в пределах разброса
полученных экспериментальных значений” [77, с. 66-67]. Этот результат
указывает на возможность использовать приведенные данные для оценки
прочности также и зубьев муфт с криволинейной образующей.

На рис. 10.7 приведена зависимость разрушающей нагрузки Ру/Рп от
коэффициента концентрации контактных давлений ку, построенная по
данным работы [77] при статическом нагружении арочных зубьев, при-
чем кривая 1 соответствует I = 60 мм, а кривая 2 - / = 65 —80 мм. Из
приведенных данных можно получить следующую эмпирическую зависи-
мость:

Р7/Ро = l-e(*7 - I)23.	(10.1.30)

показанную на рис. 10.7 сплошными кривыми, где для / = 60 мм, а -
- 1,562 • 10*5 и для I > 65 мм а = 0,625 • 10“3. Столь значительная разница
в результате эксперимента при / = 60 мм и I > 65 мм не может быть объяс-
нена снижением удельной нагрузки в зацеплении, поэтому в дальнейшем
будем рассматривать лишь кривую 2, поскольку для нее получено боль-
шее число экспериментальных точек.

Сравнивая рис. 10.7 и 10.3, видим, что для арочных зубьев разрушающая
нагрузка лишь незначительно зависит от концентрации контактных дав-
лений на зубьях. Если па рис. 10.7 приближенно линеаризовать функцию
Ру/Ра - к(ку), то, не допуская погрешность более, чем зависимость
(10.1.25), можно получить (для/>65 мм) (кривая.?)

Ру/Р0 = 1-8 1О'Э(Л7 - 1).	(10.1.30а)

Сопоставляя зависимость (10.1.25) и (10.1.30а), можно получить связь
между разрушающей нагрузкой для прямых и арочных зубьев в следующем
виде:

(Ру/Р0)а = 2,9 - (Ру/Р0)п.	(10.1.31)
Рис. 10.7. Зависимость разрушающей нагруэк и Лу/Р, от коэффициента концентрации
контактных давлений ку для арочных зубьев [77)

Полученный результат не может быть использован для сопоставления
статической прочности зубьев муфт с прямо- и криволинейной образую-
щей. Он лишь указывает на соотношение изгибной прочности прямых
и арочных зубьев в эксперименте, выполненном в работе [77], однако
в дальнейшем он будет использован для интерпретации результатов уста-
лостных испытаний зубьев колес.

Таким образом, на основании выполненного анализа статической проч-
ности прямых и арочных зубьев можно сделать вывод о том, что для зубьев
с криволинейной образующей оценка их статической прочности может
выполняться по полученным зависимостям для зубьев муфт с прямоли-
нейной образующей.

Для упрощения процедуры расчета на выносливость по изгибу зубьев
муфт с криволинейной образующей можно принять в качестве эквива-
лентного напряжение, возникающее в сечении, где находится точка началь-
ного касания зубьев, или в торцовом сечении (8.3.11). Тогда, учитывая,
что 1 - 2x7// = z, где 2 — безразмерная координата точки приложения
силы, отсчитываемая от среднего сечения длины зуба, получим

ор/о = 5,17г, 2 = 1,0 (торец),	(10.1.32)

ар/а = 1,8 + 3,- / 2, 2 = 0 (середина зуба).

Условность такого представления экспериментального материала на-
ряду с заменой сложного напряженного состояния ’’чистым” изгибом
зуба заключается в пренебрежении действительным распределенным ха-
рактером нагружения зуба. Высказанные соображения должны учитывать-
ся при анализе экспериментальных данных по усталостным испытаниям
как зубьев с криволинейной образующей, так и арочных зубьев.

Так, в отсутствие продольной модификации зубьев (км - 0), когда
характер нагружения арочных зубьев при перекосе полностью соответ-
ствовал характеру нагружения прямых зубьев при перекосе, эквивалент-
ные напряжения определялись по зависимостям (11.1.26), подобно тому,
как это сделано при анализе результатов усталостных испытаний прямых
зубьев.

При наличии продольной модификации зубьев (км & 0) в зависимости
от того, смещалась ли точка начального контакта зубьев (z = 2р„ру/1)
на торце зуба или она находилась в пределах длины зуба (z < 1,0), расчет
эквивалентных напряжений выполнялся соответственно по зависимостям
(10.1.26) или (10.1.32) для z = 0. Все результаты испытаний были сведены
к нагрузке q = 1440 Н/мм, а при варьировании коэффициента модифика-
ции км - к углу перекоса 7 = 0, поэтому полученные результаты носят
сравнительный характер.

На рис. 10.6 нанесены результаты выполненного анализа усталостных
испытаний арочных зубьев. Из приведенных данных следует, что независи-
мо от нагрузки q и коэффициента модификации км при 7 = 0 эксперимен-
тальные точки группируются вокруг прямой (10.1.30), полученной для
прямых зубьев. Отсюда следует важный вывод о том, что продольная
модификация арочных зубьев (или зубьев муфт с криволинейной образую-
щей) в отсутствие перекоса осей, несмотря на концентрацию контактных
давлений, не снижает усталостной прочности зубьев.

Важный вывод следует из анализа экспериментальных данных при
варьировании q, 7, км — все экспериментальные точки (кроме точки
q = 1520 Н/мм, 7 = 23° и км = 0,09) независимо от варьируемых пара-
метров группируются вокруг прямой, параллельной прямой, полученной
для прямых и арочных зубьев при 7 = 0, т.е. локализация пятна контакта
существенно повышает сопротивление зубьев усталостному излому. Так,
если для прямых зубьев показатель кривой усталости в (10.1.29) т = 2,58
для 7 ¥= 0, то для арочных зубьев (и для зубьев муфт с криволинейной
образующей) он может быть принят таким же, как и для 7 = 0, т.е. т = 12,0
иС= 1,64 • 10'°.

Следует подчеркнуть, что поскольку все три линии, приведенные на
рис. 10.6, соответствуют обработке экспериментальных данных, выполнен-
ной по различным зависимостям, то они носят лишь сравнительный ха-
рактер, причем важно, что таким путем удалось установить связь между
предельными напряжениями для зубьев муфт при перекосе осей и зубьев
колес при равномерном распределении контактных давлений по их длине.

Полученные расчетные формулы для средних и амплитудных значений
нормальных и касательных напряжений позволяют перейти к оценке уста-
лостной прочности зубьев муфт. При этом по причинам, указанным
в разд. 10.3, расчет будем проводить по коэффициентам запаса прочности.
Общий коэффициент запаса п выражается через частные коэффициенты
запаса по зависимостям (10.3.13), (10.3.14), при этом согласно (10.1.19)
и (10.2.23)

Поскольку при 1-fx.l^H - 0 величина а,кв/а = 0,1 * 0, то заменим зави-
симость пЭКв/® степенной функцией вида

’«./’'«(hiMw)4,	(10.1.34)

где, как показали расчеты, значения коэффициентов (а =
с высокой точностью соответствуют расчетам по (10.1.33).

1,1, b = 034)

Объединяя зависимости тэкв/о (10.1.33) и оэкв/а (10.1.34), получим

Гэкв/Оэкв =О,582(/7е/Дн)О’О,7^/П-	(10.1.35)

Расчет коэффициента FT с учетом (10.3.14а) показал, что при варьиро-
вании нагрузочного параметра (/7£/Дя) от 0,5 до 5,0 коэффициент Fr
изменился от 0,407 до 0,415 (т/Г). Поэтому, не допуская погрешность
±1%, можно принять FT - 0,411 (т/l) и коэффициент F = 0,712 рп/0- Та-
ким образом, коэффициент запаса зубьев муфт с прямолинейной образую-
щей равен

и = 0,712(т//)(а_1*)д/о0,	(10.1.36)

т.е. он составляет 0,712 (тЩ коэффициента запаса прямых зубьев ци-
линдрической передачи, нагруженных равномерно распределенной по
длине зубьев нагрузкой. При этом коэффициент запаса для зубьев зубча-
той передачи может определяться по рекомендациям ГОСТ 21354—75
[38]

При расчете коэффициента запаса по изгибной выносливости зубьев
с криволинейной образующей воспользуемся зависимостями (8.3.7),
полученными для нормальных напряжений в двух точках длины зуба —
на торце (х = 0) и сечении, где приложена сила (х = хР). Поскольку за
изгибную прочность зубьев, как правило, ответственны торцовые участки,
то при определении нормальных напряжений воспользуемся первой из
зависимостей (83.7). В этом случае на зуб действует максимальная си-
ла и касательные напряжения приближенно могут быть определены
по зависимости

Ттах =?(?= | w (0) — w(xp)|/x/> = 3,6(7 н>//= l,385£w//,	(10.1.37)

где, как и прежде, iv - деформация зуба при равномерном распределении
нагрузки по всей длине (10.1.22).

Объединяя (10.1.37) и (10.1.22), получим связь между ттах ио:

Ттах = 1,385£ат/(/ - 2,2£) = 0,630(т//)о.	(10.1.38)

В отличие от зубьев с прямолинейной образующей, когда деформиро-
ванию подвергаются зубья по всей их длине, торцовые участки зубьев
с криволинейной образующей подвергаются деформированию локально,
лишь на участке 0 < х С хР, поэтому в данном случае можно принять, что
как нормальные, так и касательные напряжения изменяются по пульсирую-
щему (отнулевому) циклу, причем

от/о =оа!о = 0,5отах/а = 2,585(1 - 2хР//),	(10.1.39)

Ли/о 3 *а/5 = 0,5ттах/а = 0,630(т//).

Тогда эквивалентные амплитуды напряжений, приведенные к симметрично-
му циклу:

о«э = оа + Фоат -ов + 0,\ат = 2,844(1 - 2хР/1)а,

(10.1.40)

газ ага + фттт =та+ 0,05тт = 0,662(ш//)а,
и эквивалентные напряжения:

= 2,844(1

- 2хР/1) {1+3

(0.662(т//)р

[2,844(1-2x^/01’ I

Таким образом, можно записать общий коэффициент запаса зубьев
муфт с криволинейной образующей как произведение

п = n0F,

(10.1.41)

где

«о = (о-1*)д/авэ; ^ = \/3(а4э/твэ)/[1 + 3(овэ/твэ)2]н.

Расчет коэффициента АД/Тпоказал, что можно приближенно принять
?№= оаз/ твэ> ааз1та, < 0,2;

F/^O.Sia^/T^)0-4, о„/твэ>0.5.	001

Для реальных длин зубьев муфт справедливой является первая форму-
ла (10.1.42), поэтому с учетом (10.1.40) коэффициент запаса

„ . Дг-  <»-»>« ( А0'04"1 \	(Ю.1.43)

&аз ®аэ	О ' RfiTr '

Таким образом, формулой (10.1.43) определяется коэффициент за-
паса для зубьев муфт с криволинейной образующей, причем выражение,
стоящее в скобках, равно отношению коэффициентов запаса зубьев муфты
(л) и цилиндрических колес при равномерном распределении нагрузки
по их длине ((о_j*)д/о), при этом в обоих случаях принимается, что зуб
нагружен максимальной нагрузкой Pt, действующей на зубья муфты.

Приведенные зависимости позволяют определить коэффициент запаса
зубьев муфт с прямо- и криволинейной формой образующей, используя
результаты расчета коэффициентов запаса для зубьев зубчатых колес.
При этом показано, что коэффициент запаса для зубьев муфт при наличии
перекоса осей может оказаться значительно меньше коэффициента запаса
в отсутствие перекоса между осями.

10.2.	ОЦЕНКА ИЗНАШИВАНИЯ ЗУБЬЕВ МУФТ

Полученные зависимости для определения допустимых величин толщины
слоя смазки между зубьями h’o и максимальных контактных давлений
[о7] (10.1.16) соответствуют условиям гидродинамического режима
трения зубьев, при котором исключается металлический контакт их по-
верхностей. Вместе с тем практика эксплуатации зубчатых муфт показы-
вает, что не всегда удается организовать гидродинамический режим трения
контактирующих поверхностей зубьев муфт, в связи с чем происходит
интенсивный износ зубьев. Это определяет необходимость на стадии про-
ектирования муфты расчетной оценки изнашивания зубьев и срока службы
муфты по критерию изнашивания контактирующих поверхностей зубьев.
Выполненные в гл. 7 и 8 исследования позволяют подойти к оценке изна-
шивания зубьев муфт.

Зависимость (7.2.28) устанавливает связь между износом зубьев в тор-
цовом сечении, с одной стороны, и геометро-кинематическими, жесткост-
ными и нагрузочными параметрами муфты — с другой. Однако эта зави-
симость определяет верхнюю границу износа зубьев, так как при ее выводе
принято, что в процессе износа зубьев максимальная нагрузка на зубьях
Pt остается неизменной. В действительности по мере износа зубьев уве-
личивается зона нагружения их 0Ои и соответственно уменьшается макси-
мальная нагрузка на зубьях РХи.

Для уточненного определения износа зубьев муфты и (Г) и изменения
в процессе износа максимальной нагрузки на зубьях Р1И примем одно
важное допущение, которое существенно упростит решение поставленной
задачи. Как следует из рис. 10.1, характер распределения нагрузки между
зубьями в пределах зоны нагружения -60 <в <0о практически не зависит
ни от геометрии контактирующих зубьеврфямо- или криволинейная форма
образующей зубьев), ни от самой зоны нагруженных зубьев 0о. В связи
с этим допустим, что:

1)	характер распределения нагрузки между зубьями в процессе их из-
носа не зависит от величины износа и подчиняется зависимости (10.1.1),
от величины износа зависят лишь максимальная нагрузка на зубьях Р1н
и зона нагружения зубьев 0Он;

2)	характер изменения износа на нагруженных зубьях подобен прогибу
обода обоймы муфты и изменяется по углу в по зависимости

u(0) = u,(cos20 - cos20ои) >	(10.2.1)

где — износ наиболее нагруженной пары зубьев.

Это дополнительное условие позволяет решить поставленную задачу,
воспользовавшись решением вопроса о нагруженности зубьев муфт с уче-
том податливости обода обоймы в статической постановке (см. табл. 7),
если входящую в приведенные зависимости величину g интерпретировать
как износ зубьев ut, выраженный в долях максимального зазора между
зубьями муфты.

Тогда с учетом износа зубьев и( (г) максимальная нагрузка на зубьях
муфты Pt (/) найдется из решения нелинейного уравнения

Л(') =

/о1 - fl

^iPf(r) '
s(ir/2) .

(10.2.2)

где, дополнительно к обозначениям табл.7 f0l nflt — коэффициенты в вы-
ражении для /i(g) (см. табл. 7); и0 — сомножитель при Pf в (7.2.23);
0 = 0,75 (7.2.23).

Решение нелинейного уравнения (10.2.2) значительно усложнит про-
цедуру определения максимальной нагрузки на зубьях Р\ (г), не повысив
точность расчета, поскольку, как следует из рис. 8.2, не меньшую точность
дает линейная зависимость между износом зубьев и максимальной нагруз-
кой на зубьях Pi (8.1.16). Поэтому, принимая в (10.2.2) 0 = 1,0 и решая
полученное линейное уравнение относительно неизвестной Pt (t), найдем

к, -Л(О/А(О)-1 ^«ЧОМя/г))]-*,	(Ю.2.3)

где Pt (0) — максимальная нагрузка на зубьях в начальный момент работы
муфты t = 0; u> (Г) - износ максимально нагруженной пары зубьев под
действием нагрузки Л (0) (7.2.23).

Расчет по зависимости (10.2.3) с использованием коэффициентов/01,
fn, определенных из табл. 7, показал, что независимо от формы образую-
щей зубьев величина коэффициента к„ в процессе износа зубьев изменяет-
ся по приближенной зависимости

кя =Л(0/Л(0)= 1 -03[«,(Г)/*(я/2)]*.	(Ю.2.4)

При этом необходимо учитывать, что величина максимального зазора
между зубьями муфты $(я/2) зависит от формы образующей зубьев:
для зубьев с прямолинейной образующей

1„(я/2)-/т/2,	(10.2.5)

для зубьев с криволинейной образующей

гб(я/2) = Лв-у2/2.	(10.2.6)

Но так как радиус R^ выбирается из условия, что точка начального каса-
ния зубьев не должна выходить на торец зубьев, те. R&y < 1/2, то всегда
соблюдается условие

хб(я/2) < 0,5гп(я/2),	(10.2.7)

поэтому период приработки зубьев муфты, при котором Uj (Г)/т(я/2) <
< 1,0, при одинаковой интенсивности износа зубьев быстрее закончится
для зубьев с криволинейной формой образующей.

Найденная по формуле (10.2.3) величина коэффициента износа зубьев
к„ может быть использована для оценки износа зубьев и ,(г) с учетом
уменьшения максимальной нагрузки на зубьях Pt (t) в процессе их износа.
Действительно, принимая согласно (8.1.16) линейную связь между нагруз-
кой Р и износом и, получим

к„ =Pl(r)/P1(0) = u(r)/u1(t),	(10.2.8)

откуда

и(г)/а(я/2) = [и,(0/1(я/2)1 [1 Ч/и/ЛЛМОМя/г)]-*.	(10.2.9)

Расчет по зависимости (10.2.9) показал, что она может быть представле-
на в виде эмпирической зависимости

п(г)/т(я/2) = 0,7 (uj (0/*(я/2)1 *	(10.2.10)

Таким образом, замедление интенсивности износа зубьев в период
их приработки в связи с уменьшением максимальной нагрузки на зубьях
Pt (f) и соответственным увеличением зоны нагруженных зубьев 0Ои может
быть оценено по эмпирической зависимости (10.2.10), откуда следует,
что корректировка величины износа зубьев (7.2.236) может быть выпол-
йена по зависимости

«(О-олня/г)]* [и, (/)]*«

= 2,93 • 10-37,’/,6Ь«/>б(ЛГкр/Л)з/8(г/с)з/1б{ЛЛГц)»/1б	(Ю.2.11)

Другим параметром, кроме Л0)> характеризующим процесс износа
зубьев, является зона нагруженных зубьев бОи, которая в связи с изме-
нением максимальной нагрузки на зубьях Pt (Г) будет увеличиваться в со-
ответствии с зависимостью (см. табл. 7)

Г и(г) 1 / 54 _ \“>

«он = /« +Л> —(—М	(10.2.12)

L j(tt/2) J \ z /

или

»» г»	-----(1О.2.13)

во /от [1+«,0)/»(ж/2)] /оз *(я/2)

Расчет по зависимости (10.2.13) показал, что она может быть заменена
эмпирической зависимостью

Оои/во = 1 +*[U|(r)/3(n/2)]0-4	(10.2.14)

(здесь к = 0,107 - для прямых зубьев и к = 0,291 — для бочкообразных),
хорошо соответствующей точному расчету по зависимости (10.2.13) в наи-
более интересной для практических расчетов области изменения пара-
метра (Z)/x(r/2) > 0,5.

Окончанию периода приработки зубьев соответствует зона нагружен-
ных зубьев 0Ои = я/2, что, согласно (8.1.1), даст

u(r) = Z>7/ir

или

u(r)/j(ir/2) = 2/ir.	(10.2.15)

Подстановка предельного значения и (г) из (10-2.15) в (10.2.10) позво-
лит найти предельное значение «1 (г) в виде

и, (Г) = J (я/2) / (0,35 я)4/3,	(10.2.16)

откуда с учетом (7.2.236) найдется предельное число циклов нагружения
муфты, соответствующее вступлению в контакт всех зубьев муфты:

Л^цпрщ я(4,48 10’/*)1(А/М(£р)2(<?А7)Л41*/3-	(10.2.17)

Сравнивая (10.2.17) с (8.1.4), видим, что учет снижения Л (Г) в период
приработки муфты привел к увеличению Nn 1фад в 1,66 раза. Тогда по ана-
логии с (8.1.5) можно получить время приработки зубьев муфты в виде

Т= (75/*л)КА/Мкр)2(сА7)*4],/’	(10.2.18)

Формула (10.2.16) совместно с (10.2.4) позволяет найти предельное
значение км, соответствующее окончанию периода приработки зубьев
муфты. Так, из (102.16) имеем,что

Н|(Г)/*(я/2) = 0,881
Рис. 10,8. Изменение максимальной нагрузки на зубьях в период приработки муфты

Рис. 10.9. Схема развития износа зубьев муфты во времени

И

*ипред=1 -(0,3/0,35 я) = 0,727,

т£. в процессе износа зубьев муфты независимо от формы образующей
зубьев максимальная нагрузка на зубьях уменьшается на 27,3%.

Как следует из (10.2.4) и (7.2.236), в процессе приработки зубьев
муфты коэффициент к„ изменяется по следующей зависимости:

км = 1 - 2,5  Ю-’((МкР/А)2(''7/с)*4(*/Уц)э]Э,1‘.	(10.2.19)

Таким образом, в период приработки муфты максимальная нагрузка на
зубьях изменяется в соответствии со схемой, показанной на рис. 10.8,
где Na „pm определяется по зависимости (10.2.17), а коэффициент к„ -
по зависимости (10.2.19).

Полученные зависимости позволяют дать количественную оценку изно-
са зубьев муфты и срока ее службы по критерию износостойкости. Так,
на первой стадии при работочного износа, когда в передаче крутящего
момента принимает участие лишь часть зубьев муфты, износ зубьев может
оцениваться по зависимости (10.2.11). После того как все зубья вступят
в контакт, чему соответствует число циклов нагружения ЛцПред> опреде-
лясмое из (10.2.17), износ зубьев будет равен, согласно (10.2.11) и
(10.2.16),

и(г)« 0,7s(w/2)[u! (T)/s(*/2)*] = 2/ird7/2 = Z>7/ir.	(10.2.20)

Наконец, на второй стадии износа зубьев муфты, когда Na > JVunpea>
износ зубьев определится суммированием величин, определенных из фор-
мул (10.2.11) и (10.2.20), если в первой из них вместо Na принять Na —

п(Г) = (Л7/я)+ 2,93  \0~3 (yl9b*(MKplh)6(r/c')\k(Na -

-ЛГцпрея)]’) */“.	(10.2.21)

Формула (10.2.21) объединяет обе стадии износа зубьев, если при Ма <
< Л^цпред» соответствующей первой стадии износа зубьев, в ней полагать
равными нулю первое слагаемое by/ir и Л^цпред. Таким образом, процесс
износа зубьев муфты во времени может быть представлен в виде схемы,
показанной на рис. 10.9. При t = Т, когда в контакт вступают все зубья
муфты, имеет место скачок функции и (Г) и она вновь повторяет кривую
износа на первой стадии с заменой t на t - Т.

Для оценки срока службы муфты по критерию износостойкости зубьев
воспользуемся работой [118], в которой рассмотрены различные модели
отказа пар трения по критерию их износостойкости. С целью упрощения
процедуры оценки срока службы безотказной работы зубьев муфты,
пользуясь зависимостью (8.1.19), примем линейную связь между износом
муфты и (г) и временем ее работы t. Тогда согласно схеме износа зубьев
муфты, приведенной на рис. 10.9, можно принять зависимость и (г) в виде

и(г)/«(я/2) = (2/я) (Г/Т),	(10.2.22)

расчет по которой показан на рис. 10.9 штриховой лининей. Достоинством
линейной зависимости (10.2.22) наряду с упрощением последующих вы-
кладок является то, что ею описывается износ зубьев муфты за весь период
ее работы.

Срок службы муфты до отказа [Г] по критерию износостойкости зубьев
определяется из зависимости (7.2.1)

[Л-[и1/7и,	(10.2.23)

где [и] — допустимая величина износа зубьев муфты; 7и - скорость изна-
шивания зубьев. Средний срок службы муфты Т определяется средней
скоростью изнашивания зубьев 71|:

Т"-[«]/7и,	(1С.2.24)

скорость изнашивания зубьев в момент времени t = Т - 7ит, причем соглас-
но (10.2.18) и (10.2.22)

2 г(я/2)	кп (Мкр\2(г \ У*

7ит" я ~Т	75я[\Л / \ с / b

,/3.	(10.2.25)

Скорость изнашивания зубьев во времени 7и (г) не остается постоянной
в период износа зубьев, однако можно показать, что средняя ее величина
равна 7и (Г).
Как следует из формулы (10.2.25), величина средней скорости износа
зубьев зависит от нагрузочно-скоростных (Мкр, п) и конструктивных
(7> Л, г) параметров муфты, жесткости с и коэффициента износа зубьев к
(7.3.6). Рассматривая величину уи как произведение случайных величин
со своими законами распределения, можно найти среднюю величину ?и и
среднее квадратическое отклонение скорости изнашивания зубьев а7 .

Поскольку величина к (13.6) определена по результатам эксперимен-
тальных исследований при варьировании нагрузочно-скоростных пара-
метров муфты, то можно считать, что формулой (7.3.6) определяется средняя
величина коэффициента износа зубьев к = 2,92-10’6 мкм мм/(кН- 1»<кл).
Если согласно рис. 7.8 принять, что

к = 2,32 • 10"*(1 ±0,21), мкм • мм/(кН • цикл),

то для трехсигмовой зоны

°* =( 1/3)0,21 • к - 0,205 • 10"*, мкм • мм/(кН • цикл).	(10.2.26)

Таким образом, если в формулу (10.2.25) подставить средние значения
параметров муфты, то по ней определится средняя величина скорости
изнашивания зубьев ?и и для трехсигмовой зоны среднее квадратическое
отклонение скорости изнашивания зубьев будет равно а7и = 0,07 уи.

Другим параметром, определяющим безотказный срок службы муфты
(10.2.23), является допустимая величина износа зубьев муфты (и], кото-
рая обычно принимается равной некоторой доле толщины зуба г = пт/2
(139]:

[и] = (0,2+ 0,3)$.	(10.2.27)

Такой подход к определению [и] представляется недостаточно обосно-
ванным, так как при этом не учитывается, с каким запасом по изгибной
выносливости зубьев спроектирована муфта. Так, если принять, что номи-
нальные изгибные напряжения в основании зуба

ои ~($-и)2,

то отношение коэффициентов запаса с учетом (пи) и без учета (л0) износа
зубьев

"и/яо = (1-[«]/*)’. [«!/*• 1-(«„/яо)а.	(10.2.28)

Сравнивая (10.2.28) с (10-2.27), видим, что принимаемое обычно значение
[и] соответствует коэффициенту запаса по изгибным напряжениям

ли/и0 = 0,49 + 0,64.

В связи с этим при назначении допустимой величины износа зубьев
[и] предпочтение следует отдать зависимости (10.2.28), поскольку со-
отношение (10.2.27) соответствует вполне определенному диапазону
изменения коэффициента запаса п0. Несмотря на известную условность
зависимости (10.2.28), о которой говорилось в гл. 8, она имеет то преиму-
щество перед соотношением (10.2.27), что позволяет дифференцированно

Квантиль нормального распределения [118]

Таблица 10

ир	Р	Р	Р/Р	иР	Р	Р	Р/Р
0,8	0,7881	0,76946	0,97635	2,2	0,98610	0,98651	1,00042
1,0	0,8413	0,83616	0,99389	2,4	0,991802	0,99197	1,00017
1,2	0,8849	0,88558	1,00077	2,6	0,995339	0,99541	1,00007
1.4	0,91924	0,92164	1,00261	2,8	0,997445	0,99751	1,00007
1.6	0,94520	0,94748	1,00241	3,0	0,998650	0,99872	1,00007
1,8	0,96407	0,96564	1,00163	3,2	0,9993129 0,99932		1,00001
2,0	0,97725	0,97813	1,00090	3,4	0,9996631	0,99973	1,00007

назначать величину [м] с учетом достигнутого при проектировании муфты
коэффициента запаса по изгибным напряжениям зубьев п0.

Воспользуемся теперь схемой оценки надежности узла трения, изложен-
ной в работе [118] , позволяющей определить срок службы муфты до
отказа [Г| при заданном уровне вероятности безотказной работы /’[т]-
В работе [139] эта схема оценки надежности реализована с учетом слу-
чайного характера толщины зубьев муфты $. Однако, учитывая, что от-
клонение $ от номинального значения составляет микроны, а износ зубьев
и — миллиметры, представляется нецелесообразным усложнять процедуру
оценки надежности муфты введением в условие задачи второстепенного
фактора, каким является отклонение толщины зубьев $ от номинального
значения. Тогда из всех учитываемых случайных факторов, влияющих
на срок службы муфты [71, сохранится лишь скорость изнашивания зубьев
7И и уравнение для определения [Т] примет вид [118|

[71 = [«]/(?» + %, «р),	(10.2.29)

где иР — квантиль нормального распределения, соответствующий вероят-
ности безотказной работы муфты /’(7).

Поскольку согласно (10.2.26) a7j| = Л„ти (где для проведенного экс-
перимента ка = 0,07), то формулу (10.2.29) можно переписать в виде

[71 = («1/7м(1+*»« А	(10.2.29а)

или в частном случае

[Г] - [и]/7„(1 +0,00710»),	(10.2.296)

Для квантилей нормального распределения иР имеются специальные
таблицы, например [118], что затрудняет проведение практических расче-
тов, так как вызывает необходимость при оценке [7’| обращаться к таб-
личным данным. В связи с этим представляется целесообразным построить
эмпирическую зависимость для определения иР, которая в явном виде
устанавливала бы связь между вероятностью безотказной работы муфты Р
и квантилем нормального распределения иР. Обычно при практических
расчетах 0,8 < Р < 1,0 (табл. 10), что позволило подобрать следующую
эмпирическую зависимость для решения обратной задачи — по принятому
значению вероятности Р находить квантиль нормального распределения

uP= 1,0 {0,5- [0,01(1	(10.2.30)

Из (10.2.30) имеем решение прямой задачи - для принятого значения
квантиля нормального распределения Up найти соответствующую вероят-
ность Р в виде

/*= 1 - (5 - up)710'5.	(10.2.31)

Результаты расчета по формуле (10.2.31)^ приведены в табл. 10 (обозна-
чено Р), где наряду с точным значением Р, определенным из [118[, даны
также отношения приближенного значения Р к точному значению Р. Полу-
ченные зависимости освобождают от необходимости использовать метод
интерполяции табличных данных, например [118], при решении обратной
задачи, поэтому в случаях, когда вероятность безотказной работы узла
Р > 0,08, они могут быть рекомендованы при решении подобных задач
в вероятностной постановке.

Из формулы (10.2.29а) в связи с малостью величины ко следует, что,
не допуская погрешность в определении [7| более 5% (в запас, так как
срок службы [Г| при этом занижается), можно приближенно записать

[Л *([и]/=ун)(1 -каиР)	(10.2.32)

и для к„ = 0,07

[Г] ММ/7„)О,65[1 +0,558(1 -Р),/7].	(10.2.32а)

что для Р = 0,99 даст

[Г] =0,86 [и]/ун.	(10.2.326)

При вероятности неразрушения Р = 0,95 срок службы муфты до отказа
[Г] возрастает и составит

[Л =0,90[u|/7„.	(10.2.32b)

Таким образом, приведенные зависимости позволяют оценивать срок
службы муфты до отказа [Л по критерию износостойкости зубьев с опре-
деленной вероятностью безотказной работы муфты, при этом величина
[и] определяется из формулы (10.2.28), а величина ?и - из формулы
(10.2.25) для средних нагрузочно-скоростных параметров проектируемой
муфты.

10J. ПРОЧНОСТЬ ПОДАТЛИВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МУФТ

Обычно при проектировании зубчатых соединительных муфт обод
обоймы выполнялся толстостенным, что позволяло не оценивать его проч-
ность. Однако, как установлено, повышение податливости обода обоймы
благоприятно сказывается на выравнивании нагрузки между зубьями
муфт, снижении максимальной нагрузки на зубьях и, как следствие, на
повышении срока безотказной работы муфты по основному критерию,
лимитирующему ее долговечность, — по износу контактирующих поверх-
ностей зубьев. В связи с этим целесообразно проектировать обод обоймы
минимальной толщины, обеспечивающей его усталостную прочность.

Поскольку при перекосе осей валов, соединяемых муфтой, обод обой-
мы находится в условиях циклического нагружения, то расчет его на проч-
ность должен строиться с учетом возможных усталостных поломок обода
обоймы. Методы расчета деталей машин на выносливость разработаны с
необходимой полнотой [28], поэтому ниже излагаются соображения по
приложению этих методов к расчету на выносливость обода обоймы зубча-
той муфты.

Наиболее прогрессивным является вероятностный метод расчета, однако
применение его из-за недостатка информации о нагруженности и характе-
ристиках прочности детали не всегда возможно. В связи с этим на настоя-
щем этапе разработки метода расчета на усталостную прочность обода
обоймы может быть принят метод расчета по коэффициентам запаса проч-
ности.

Как известно, в связи с перекосом осей валов, соединяемых муфтой,
на зубьях возникает две диаметрально противоположные зоны нагруже-
ния, которые вызывают циклическую деформацию обода обоймы с двумя
волнами деформаций. Но именно такой вид деформаций претерпевает
гибкое колесо волновой передачи с двухволновым генератором волн,
по усталостной прочности которого накоплена некоторая эксперимен-
тальная информация.

Известно, что метод расчета по коэффициентам запаса прочности в
случае, когда деталь испытывает переменные напряжения, сводится к
соотношению

(Р-1к)д/(0д)эк» = 1[<»4</(О-1к)д]2+ [тад/(т-1к)д]3 I ~112 =

=	+	’	(10.3.1)

где п — общий коэффициент запаса; п0, пт — коэффициент запаса по
нормальным и касательным напряжениям;

«О = (®-1к)д/оа<;	= (т_1к)д/тв<;	(10.3.2)

°ag> Tag - амплитуда действующих нормальных и касательных напря-
жений; (аа)экв - амплитуда эквивалентных напряжений;

(°а)экв ® (°ag +	(10.3.3)

(ст-1к)д~ предел выносливости материала с учетом концентрации напря-
жений к„, состояния поверхности е„ и коэффициента влияния абсолют-
ных размеров детали {За;

(о-1к)д  (ea0olko)o.i;	(10.3.4)

0-1 ~ предел выносливости материала при симметричном цикле нагру-
жения;

а., * (0,55 - 0,001 ов ) ов * 0,55 (1 - 0,002 ав ) ов;	(10.3.5)

ав - предел прочности, причем (т_1к)д/(о_1к)д =3-,/2 * 0,58.

Входящие в эти формулы параметры определяются следующим образом.

1.	Амплитуды действующих напряжений определяются с учетом отрица-
тельного действия средних (постоянных) напряжений никла

°ag = °а + К°,п’ Tag=Ta+^rTm,	(10.3.6)

где оа, та - амплитуды симметричного цикла;

^в*0,1; Фт * 0,5 ^„*0,05.

2.	Коэффициент концентрации

ко = 1 + Qo(9a- О.	(10.3.7)

ао - теоретический коэффициент концентрации; qa - коэффициент чув-
ствительности материала к концентрации напряжений, qa^ 0,5 *0,9.

3.	Коэффициент, учитывающий масштабный фактор

ео=	(10.3.8)

где (<т_1)д, а-i - предел выносливости гладких образцов диаметром d
и лабораторных образцов диаметром 7—10 мм.

Учитывая, что номинальные нормальные ан и касательные тн напря-
жения представлены в гл. 9 в виде произведения

= Оок^, т„ = о0кТи,	(10.3.9)

формула для общего коэффициента запаса п (10.3.1) будет иметь вид
Л= Л0((«т/Ла)/х/1 + (ПгМа)1)-	(10.3.10)

Из формул (9.1.10), (9.1.11) и (9.1.14) получим следующие выраже-
ния для величин, входящих в (10.3.9):

cos a cos в о

2[1 - (2в0/я)2] ’

|1 + (ЗЛ,/р) ] (1 + sin ф)Л2 / cos 2в0\ [1 - (2в0/1т)М

*а«а 1	3cos^	\ cos в() / [1 - (4в0/я)2 ]

[1 + (3А3/р) ] (1 + sin ф)Л2 Zcos20o\ Ц - (2б0/я)21 *
к°нт 1	3 COS 4г	\ cos во / [1-(4во/я)21

/

+ (1 + X) ----sin а

зр

[1 - (2в0/я)2 ] sin 2в0 ]
[1 - (4в0/я)2 ] sina cos в0 I

/	//1 Я \( I

к ~ (1ва/(----------Н------+

нт \	/ \ 2 Ь / I 6р

242cos2e0 | —+ X) /+ (1 + X) ----sin а

L\ 4	/	Зр

Зя[1 - (4в0/я)21

|1 - (2в0/п)а]
sina cosd0

входящее в эти формулы отношение жесткостей кольца на изгиб и
кручение

X = £72/(67к) = (1 + м) (/>///) 2/(0,5 -Я/6).	(10.3.12)

, Таким образом, общий коэффициент запаса обода обоймы и может
быть выражен через частный коэффициент запаса л0:

n = n0F,	(10.3.13)

где п0 = (<т_|к)д/оо; F — коэффициент, учитывающий касательные напря-
жения и параметры обода обоймы:

VT[[(l + ^*rm/Af )/(1 + ^Ло /ко )]/
(	т тт Тна	о ант “на

/------/|+*Л А, \'\

(X +Мо )vl+3( -------------------- 1 | .	(10.3.14)

на °нт	\ 1 + ф к	к	/ I	7

° °ит °на '

Входящее сюда отношение

Fr = < nrg /поХ )/ V1 + з (»,,/«„) 2 1	(10.3.14а)

приближенно может быть представлено в виде следующих соотношений:

~ ^rglnog > ^rgl^ag <0,2,

И	(10.3.15)

Fт - 0,5 (nTg!nag) ’ , nrglnog > 0,4,

которые дают завышенные значение FT, а значит, и коэффициента запаса
прочности.

Теперь задача сводится к определению предела выносливости обода
обоймы (а_1к)д при симметричном нагружении с учетом концентрации
напряжений в связи с наличием зубчатого венца.

В работе (1] приведены обширные экспериментальные данные по опре-
делению предела выносливости гибкого колеса волновой передачи с двух-
волновым генератором. Эти эксперименты могут быть использованы для
расчета на выносливость обода обоймы муфты, поскольку в данном случае
также целесообразно стремиться к уменьшению толщины обода обоймы.

Необходимо определить предельную величину податливости обода
обоймы муфты, которую следует обеспечить выбором толщины обода и
которая даст максимальное снижение нагрузок на зубьях, и уже для этой
толщины обода обоймы определять величину коэффициента запаса.
Как следует из табл. 7, максимальная нагрузка на зубьях муфты выража-
ется через податливость обода обоймы следующим образом:

/54-\°*

Л - /i (S) (—	,	/»(«) =/ю-/11«,	(10.3.16)

\ z Ч

причем сила Pt „цп определяется из табл. 7 с учетом (10.3.20) и (10.3.21).
Теперь, подставляя (10.322) в (10.3.18), найдем оптимальные конструк-
тивные параметры обода обоймы. Поскольку высшие формы деформации
обода обоймы несущественны, то. полагая в (10.32) л = 2, получим

где g — отношение максимальной деформации обода обоймы (под дей-
ствием силы P|) W] (я/2) к максимальному зазору в муфте s (я/2) = s3
равно отношению податливостей обода и зуба:

боб = c2p3/E/ = 3ir(n/z)(sJ/Pl),

(10.3.23)

g = Wj (я/2)/т(я/2) = 5об/83,

(10.3.17)

где 5ов = 2р3/я£/, 8э=6(я/2).

Отсюда имеем количественное выражение сформулированного опти-
мального значения податливости обода обоймы муфты в виде

из которого найдутся оптимальные конструктивные параметры обода
обоймы при заданном крутящем моменте, передаваемом муфтой.

Предельное значение толщины обода найдется по формулам: для обода
в виде свободного кольца

g - ^1 (я/2)/s(я/2) = 6об/б3 = 1.0-

(10.3.18)

Но так как деформация обода обоймы зависит от максимальной нагрузки
на зубьях Pt. то необходимо сначала найти минимально достижимую
силу Pt min, после чего воспользоваться соотношением (10.3.18) для опре-
деления конструктивных параметров обода обоймы (в частности, его
толщины), удовлетворяющих этому условию.

Из формулы (10.3.16) имеем

кр~ Л min/Лnux’l -(/11/Zoi),	(10.3.19)

>по для муфты с прямолинейной образующей зубьев даст кРп = 1 — (0,020/
0,045) = 0,556, а для муфты с криволинейной образующей зубьев даст

крб= 1 - (0,048/0,116) = 0,586,

т.е. максимальный эффект от повышения податливости обода обоймы
составляет 70—80% в зависимости от формы образующей зубьев.

Для определения Рх min в формуле для Pt (см. табл. 7) нужно положить
для муфты с прямолинейной образующей зубьев

(g) = 0,045 - 0,020 = 0,025	(10.3.20)

и для муфт с криволинейной образующей зубьев

fi(g) = 0,116- 0.048 = 0,068,	(10.3.21)

(Н/т)„ =0,195 •z0-719(3fKp/627£m)0'240,
(///лт)б = 0,220 •гО 85’(Л/кр/6272£Лб)О17,;

для обода в виде кольца, соединенного с оболочкой,

8,57-z0,4	( Ь2уЕт\0^

{т/Н) п = ----------------- I -77—)	" 0176<

--- /1---\ ' КР 7
ь Л)-----4 10“’]

\ Z	/

ч	6,0	/ 8272/?Лб\0’5

(ш/Я)б=	----------- (— -------)	-0,1

6/о(—-—4,10-э) '	'

\ z	/

(10.3.24)

(10.3.25)

Переходим к определению параметров, входящих в выражение для
общего коэффициента запаса (10.3.13). Модельные и стендовые испыта-
ния материала ст. 40Х, из которого были выполнены образцы (пластин-
ки) и гибкие колеса волновой передачи, показали [1], что o_t = 600 МПа
и (®-1к)д= 291 МПа, при этом точка перелома кривой усталости и на
моделях, и на гибких колесах совпала: .Vo = 2,68 • 106. Сравнивая эти
значения предела выносливости и учитывая, что в экспериментах сохра-
нялись величины еа и 0а, найдем соответствующие коэффициенты кон-
центрации напряжений (<7СТ = 0,5 + 0,9) :

. (°-|к)д

q'1 + 1 = 2,18-е- 3,12

-----— = 2.06.

(®-1к)д

после чего воспользоваться формулами гл. 5 и 9 для определения дефор-
мации обода обоймы Wj (я/2) и, воспользовавшись соотношением
(10.3.18), найти необходимые конструктивные параметры обода обоймы
муфты.

Тогда, используя соотношения (5.2.1), (5.2.2) и (9.1.3), получим, что
вместо силы Pt будет откорректированная с учетом (9.1.1) сила Ру т,п
(здесь принято в0 = я/2) :

Р1 min Р / z \

ItEl \ Я / п = 2к (п2 — 1)

(10.3.22)

Значения коэффициентов ка и а„ соответствуют имеющимся в литера-
туре рекомендациям [ 1 ].

При этом уравнение кривой усталости с определенной вероятностью
неразрушения Р получено для гибких колес в виде

Igtf = 9,418 -0,010275а +0,249ир,	(10.326)

а для модельных образцов (пластинок) lg W = 9,43-0,005а + 0216и/»
(где иР — квантиль нормального распределения, соответствующий веро-
ятности неразрушения Р), которые могут использоваться для определе-
ния долговечности гибкого колеса с некоторой вероятностью неразруше-
ния Р. По-видимому, первое уравнение кривой усталости (10.3.26), по-
лученное для гибких колес, может быть использовано для оценки дол-
говечности обода обоймы, поскольку условия их нагружения близки.
Однако для надежной оценки долговечности обода обоймы муфты не-
обходимо проведение усталостных испытаний непосредственно на муфтах.

Ряд результатов, полученных в работе [11, может быть перенесен не-
посредственно на проектирование обода обоймы муфты.

I.	Установлено, что определяющим фактором, влияющим на долговеч-
ность гибкого колеса, является толщина его непосредственно над зубча-
тым венцом, т.е. Яэ = R„ — RB„ (где R„ — наружный радиус гибкого
колеса, Явп - радиус окружности впадин зубчатого венца), которая ва-
рьировалась при эксперименте в диапазоне 1 < H3jm < 3.66 (при этом
нагрузочная способность возросла в 2,1 раза). По-видимому, эта реко-
мендация будет справедлива и для обода обоймы зубчатой муфты, для
которого можно принимать 3,5 < Н3/т < 4,5.

2.	Установлено, что значительное влияние на долговечность гибкого
колеса оказывает наличие цилиндрического пояска между горцом и зуб-
чатым венцом, что исключает выход концентратора напряжений (зубча-
того венца) на торец детали. При этом важна не длина этого пояска,
которая в эксперименте уменьшалась в 3 раза, а его наличие и;ш отсут-
ствие, которое снижает предел выносливости гибкого колеса на 24%.
По-видимому, эта рекомендация будет справедлива и для обода обоймы
муфты, для которого можно принимать /„ =* 0,05 Я । (где R{ — радиус
внутренней окружности обоймы).

3.	Показано, что изменение длины оболочки в пределах 1,5 < lo/Ri <
<2,0 привело к повышению нагрузочной способности в 1.8 раза. Этот
результат также может использоваться при проектировании обода обоймы.

4.	Показано положительное влияние (в определенных пределах) твер-
дости материала на предел выносливости, которое по данным работы [1]
можно учесть эмпирическим коэффициентом

а_1 * 320 - 0,1 (50 - HRC)1	(10.3.27)

для HRC < 50.

В работе [1] выполнены модельные испытания на выносливость криво-
линейных пластин, моделирующих обод гибкого колеса волновой передачи,
в результате чего получены кривые усталости, позволяющие с заданной
вероятностью неразрушения определять долговечность гибкого колеса при
определенном уровне напряжений. Эти испытания могут быть использо-
ваны при вероятностных расчетах на выносливость обода обоймы муфты,
если будут заданы характеристики распределения внешних нагрузок, дей-
ствующих на муфту. Для коэффициента концентрации напряжений ка
экспериментально и с использованием МКЭ получена следующая эмпири-
ческая зависимость (Л = (8,5 ? 12,5) 10-3J) :

ка= 1,5285 (m/pmJn) 02 85 *,	(10.3.28)

где р„цП — минимальный радиус переходной кривой; h — толщина обода
зубчатого венца; d — внутренний диаметр гибкого колеса.

Данные по коэффициентам концентрации напряжений в гибких колесах
волновых передач особенно интересны, поскольку в связи с идентичностью
характера нагружения и деформирования они могут быть использованы
при расчете на выносливость обода обоймы зубчатой муфты. В работе
[152] предложено следующее соотношение для определения коэффи-
циента ко:

*	о=1+ 1)>

где

ао = 1 + 0,5 \ПЦр. = ( р + 0.1)/( р + 0.2),
так что

*	„= 1 +0,5 x/hip [(р+0,1)/(р + 0Д)].	(10.3.29)

Таким образом, задача по оценке выносливости обода обоймы муфты
сводится к определению частного коэффициента запаса по (10.3.13),а зна-
чит, расчетных напряжений ап (10.3.11). Из формулы (10.3.11) следует,
что напряжения оо нелинейным образом зависят от крутящегося момен-
та ИКр. так как от него зависят как максимальная нагрузка на зубьях
муфты Pi, так и зона нагруженных зубьев д0.

Определим силу Pt, входящую в выражение для а0 (10.3.11). Как
следует из табл. 7 и из формулы (10.3.16), сила Pt зависит от деформа-
ции обода под действием этой же силы g -	= и’, (я/2)/т (я/2) и,

по существу, формулы табл. 7 и (10.3.16) являются не выражениями,
а уравнениями для определения силы Pt. Действительно, из (10.3.16)
имеем уравнение

решая которое получим

где Рю — максимальная нагрузка на зубьях муфты без учета деформа-
ции обода обоймы, а выражение в квадратных скобках равно отношению
деформации обода обоймы под действием силы Рю к максимальному
зазору в муфте т (я/2) =

Таким образом, формулой (10.330) в явном виде решается задача
о влиянии деформации обода на максимальную нагрузку на зубьях муфты.
Эта формула должна использоваться при определении нагрузочных пара-
метров в муфте по зависимостям табл. 7, когда находится безразмерная
деформация обода обоймы g.

Теперь упростим выражение, входящее в (10.3.11) и зависящее от зоны
нагруженных зубьев:

<	Го = (PiP/W) (z/2it)P\e0) (cosa/2),	(10.3.31)

где F(6o) = (260lir) cos0o/[l - (20о/я)г], причем F(ir/2) = тг/4.

Расчет по формуле (10.3.31) показал, что выражения (10 3.11) можно
дополнительно упростить (что пойдет в запас прочности), если положить
в них Аг = А] = 1,0, что соответствует отсутствию деформации зубча-
того венца (5.2.2), в результате чего получим для а = 20°, f = 0

4	Л3	/	Л3\

ка = — + — = 1,333 I 1 + 0,75 —I,
°3	р	\	р)

4	8 Л,

°Нт 3	3 р

10 tg а
Зя

(10.3.32)

0,121 (J/p) Г	4

к = -----------1---------------(I + X)

тна [I - (2H/b) L	Зя

1

- + 0,
[I - (2Я/р))

к = 0,332
тНт

1	(Ь\ 1

-----------+ 0,905 —1

|1-(2Я/&)1	\н) \

Из анализа формул (10.332) следует, что:

1)	не допуская погрешности более ± 5% в диапазоне изменения h3fp^
<0,2, можно принять kOLJ /kOL. - 1,40, при этом А- = 1,333(1 +
+ 0,75й3/р);

2)	нс допуская погрешности ± 4% в диапазоне изменения Н/Ъ < 0,4,
можно принять XT//nj/AT/& = 2,24, при этом

0,134	/ Ь \г / /

к = -------------- I — I -

Тна [1 — (2Н/Ь)] \ Н1 \р

Полученные зависимости существенно упрощают процедуру практи-
ческих расчетов коэффициента запаса п. Так, если принять фт * 0,5 фа
и фа= 0,1 [28], то, пользуясь полученными соотношениями, можно полу-
чить отношение частных коэффициентов запаса

= (1 + 0,05 • 2.24)/(1 + 0,1 • 1,40) = 0,975,

что согласно (10.3.14а) даст Fr = 0,497 ** 0,5.

Таким образом, окончательная расчетная зависимость для коэффици-
ента запаса примет вид (10.3.13)

(0-1 к) Д 0,497 х/Т
п = --------- -------------------- =

со 4/3(1+0,75 Л3/р) 1,14	ПП1ТП

_ ’ 1,б07(о.1к)д]/ я ^3/4 ЬНг

“ L (1 + 0.75Л3/р)] \ 2?о / Лрг

Достоинством полученной зависимости является возможность оцени-
ватг влияние конструктивных параметров обода обоймы на коэффи-
циент запаса. Воспользуемся табл. 7 и формулой (10.3.30) для опре-
деления величини О0. Тогда формула (10.3.33) примет вид

(о-iк)д ЬН1 / 63\3’/ т з

и = — - —-------------*1— I I----------I А (10.3.34)

(1+0,75й3/р) р n\s3l VWKp J

где для зубьев с прямолинейной образующей кп =0,115;	02=0,791;

03=О.2О9;	04=0,581;	53/s3 = \00ni/(b2hyT Е); для зубьев с криво-

линейной образующей кп =0,492; 02 =0,833; 03 =0.167; 04 = 0,667;
63/s3 = 14,8/(ЛЯ б Ут^'); Л — рабочая высота зуба; Н — толщина обода
обоймы; Л3 - расстояние от средней точки высоты зуба до нейтральной
окружности обода обоймы.

При выводе зависимости (10.3.34) было отброшено отношение подат-
ливости (6Об/63)0,0В4. поскольку оно мало отличается от единицы в
реальном диапазоне изменения параметров муфты, что пойдет в запас
при определении коэффициента п. Для определения долговечности обода
обоймы необходимо из формулы (10.3.34) найти эквивалентное напряже-
ние (обратная величина которого является сомножителем при (а_]К)д
в (10.3.34), подставить его в уравнение кривой усталости (первое урав-
нение в (10.3.26)) и с определенной вероятностью неразрушения опре-
делить число циклов jV до разрушения.

Например, если все линейные размеры записать в относительных вели-
чинах в долях модуля и приближенно принять, иго

р + 0.75Л, * (mz/2) 1,2

(это пойдет в запас прочности), то из зависимости (10.3.34) можно полу-
чить формулы для проверочного и проектного расчета:

для зубьев с прямолинейной образующей

Мкр = 0,348 [(о_1к)д/[н]£] «•’*«( Ет3 ^0,264

щ = 1.422(Л/кр/Е^)*/3(£[«|/(а.1к)я]0'4’*г0’’\0088/я’>8«

(здесь фь = b/т, Н-Н/т)\

для зубьев с криволинейной образующей

.WKp= 1.175 l(o_IK)a/Ehll,>2(EWJ^-2/(£67T2)°-2)№-4/z0 4,

(10.3.36)

т = 0,948

М —

-^(£672 )0-2z0-4

L

£(«l

(°-1к)д

0,4

^03^0.8

1

(здесь Яб = R6)m).

Сравнивая формулы (10.3.35) и (10.3.36), видим, что независимо от
формы образующей зубьев влияние конструктивных параметров муфты
на ее прочность идентично. Поскольку эти зависимости получены из усло-
вия обеспечения выносливости обода обоймы на изгиб, то при проект-
ном расчете требуется определить его необходимую толщину. Поэтому
найдем из соотношения (10.3.35) и (10.3.36) толщину обоймы муфты
с прямо- и криволинейными зубьями:

Н„ = 1,519

£['>[	0,5

(°-1к)д

22.170Л04
ЛЛ1'186

яб=о,'

0,1 1 7

‘ £•[«]

• (®-|к)д

0,5

(10.3.37)

1

ф°^т1'25

О



Важным вопросом при расчете деталей машин на выносливость явля-
ется определение допустимого значения коэффициента запаса [л]. В рабо-
те [53] отмечается, что обычно в машиностроении принимают [л] =
= 1,5-5-2,5, причем меньшее значение принимается при высоком уровне
технологии и накоплении экспериментальной информации по эксплуата-
ционным нагрузкам и характеристикам сопротивления усталости мате-
риала.

На практике прежде применялся так называемый дифференциальный
способ определения минимально допустимого значения коэффициента
запаса [л], который равен произведению некоторого числа сомножителей.
Этот способ до сих пор сохранен при проверочном расчете зубчатых передач
[37], несмотря на его известные недостатки. Правильным считается способ
определения [л], основанный на сопоставлении результатов расчета с дан-
ными отказов в условиях эксплуатации.

Однако применительно к зубчатым муфтам такие данные в литературе
отсутствуют, поэтому, учитывая идентичность нагружения и деформиро-
вания обода обоймы муфты и гибкого колеса волновой передачи, восполь-
зуемся результатами, полученными при усталостных испытаниях волно-
вых передач. Естественно, что такой подход к определению [л] должен
корректироваться по мере накопления информации по поломкам ободьев
обойм муфт, поскольку, как справедливо указывается в работе [53],
величина [л] неразрывно связана с методом расчета, включающим расчет-
ные формулы, правила выбора расчетных величин нагрузок и характерис-
тик сопротивления усталости.

В работе [1] получены значения коэффициента запаса [л| = 1,3 -г 1,4,
хорошо соответствующие рекомендациям ГОСТ 23108-78. По-видимому.
учитывая средний уровень технологии изготовления зубчатых муфт, можно
принять допустимую величину коэффи;иента запаса [л] =2,0.
ГЛАВА 11

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОЕКТИРОВАНИЮ МУФТ

11.1.	СНИЖЕНИЕ КОНТАКТНЫХ ДАВЛЕНИЙ
НА ЗУБЬЯХ МУФТ

Как показано в предыдущих главах работы, основным видом отказов
зубчатых соединительных муфт являются контактные разрушения боко-
вых поверхностей зубьев — контактная коррозия и износ. Поэтому ради-
кальным методом повышения долговечности зубчатых соединительных
муфт по критериям контактной прочности является снижение уровня
контактных давлений на боковых поверхностях зубьев.

Поскольку концентрация контактных давлений на боковых поверх-
ностях зубьев обусловлена неизбежными погрешностями изготовления
и монтажа зубчатых венцов полумуфт и упругими деформациями элемен-
тов и зубьев муфт, то снижение контактных давлений на боковых поверх-
ностях зубьев возможно лишь за счет взаимной компенсации погреш-
ностей и упругих деформация элементов и зубьев муфт, с одной стороны,
и взаимной компенсации упругих деформаций одних элементов упругими
деформациями других элементов — с другой.

В связи с этим необходимо иметь в виду, что погрешности изготовле-
ния и монтажа элементов по своей природе являются величинами случай-
ными, поэтому на стадии проектирования муфты могут быть заданы лишь
с определенной вероятностью. Что же касается упругих деформаций эле-
ментов я зубьев муфт, то они являются величинами детерминированными
и могут быть с определенной точностью рассчитаны на стадии проектирова-
ния муфты. В таких условиях рациональной является взаимная компен-
сация упругих деформаций элементов муфты и компенсация их пред-
намеренно вносимыми погрешностями изготовления.

Например, в шлицевых соединениях с прямобочными шлицами, как
показано в гл. 2, регламентированный боковой зазор между шлицами
втулки и вала приводит (после доворота вала в пределах зазора между
шлицами) к концентрации контактных давлений на вершинах шлицов
вала, где минимален углевой зазор между шлицами (рис. 11.1, я) 7 =
= sn/Ra. Концентрация контактных давлений на вершинах шлицов вала
может быть частично или полностью устранена, если преднамеренно внести
погрешность в профиль шлица зала, выполнив его не прямсбочным, а
трапецеидальным с углом при основании п/2 — у (рис. 11.1,б). При этом
в работе [32] рекомендовано назначать угол у из условия

где Д — боковой зазор между зубьями; w - деформация зубьев; h —
высота зуба втулки; R.r ~ наружный и внутренний радиус шлицевого
венца вала.

Такая профильная модификация шлицов вала имеет тот недостаток,
что будет эффективна лишь при той величине бокового зазора между
шлицами sn, на который она рассчитана. При больших значениях по-
прежнему будет иметь место некоторая концентрация контактных давле-
a

Л

г

тд ж ж

Рис. 11.1. Профильная модификация прямобочных шлицов
а — прямобочный профиль; б — прямолинейная моди-
фикация; в — криволинейная модификация на вершине
шлица; г — эвольвентный профиль

ний на вершинах шлицов вала; при меньших значениях $„ концентрация
контактных давлений будет отмечаться на вершинах шлицов втулки.
Поскольку величина бокового зазора $„ — случайная величина, то при
нелинейной модификации профиля шлицов вала возможна реализация
каждого из трех указанных случаев.

Большую определенность в картину распределения контактных давле-
ний вносит криволинейная модификация профиля шлицов вала
(рис. 11.1,в), при которой на части головки шлица hM предусматривается
криволинейный участок, имеющий в точке касания общую касательную
с прямолинейным профилем шлица. Радиус кривизны /?wh высота моди-
фицированного участка профиля шлица hM должны выбираться из усло-
вия, что при деформации шлица площадка контакта не выходит на вер-
шину и распространяется по всей его рабочей высоте.

Для того чтобы найти необходимые величины 11м и Rm, запишем
уравнение зазоров между поверхностями шлицов на модифицированном
участке, совместив начало системы координат с вершиной шлицов:

т(х) = n(x) + s2(x) = ?х + |(ЛИ- x)2/2Rm\,

(11.1.1)

где Si (х) - зазор, связанный с перекосом шлицов; s2 (х) — зазор, свя-
занный с профильной модификацией шлицов.

Точка контакта шлицов с профильной модификацией сместится с
вершины шлицов на расстояние х», которое найдется из условия, что в
этой точке касательная к модифицированному профилю шлица будет
наклонена к сопряженному шлицу на угол, равный углу доворота шли-
цов в случае их профильной модификации, т.е.

ds(x) (Ллг-х») т(х.)

-----= у-------------= -------- =

</х	RM Ra - х»	/11 i

(Sf-x*)a

2ЛМ

Дополнительное условие, которому должны удовлетворять величины
1>м и Rm , заключается в том, чтобы при заданной нагрузке на пару шли-
цов Р площадка контакта распространилась на всю активную часть вы-

зов
соты шлица h. Поскольку решение задачи при такой постановке приве-
дет к значительному объему вычислений, то с целью упрощения расчета
примем некоторые допущения.

1.	Будем считать, что начальная точка касания шлицов совпадаете на-
чалом модифицированного участка профиля шлица, т.е. х» = hM.

2.	Будем считать, что контактная деформация пары шлицов такова,
что площадка контакта лишь выходит на вершину шлица, т.е.



(11.1.3)

где первое слагаемое равно глубине "фланка” /1М, а второе слагаемое -
скомпенсированной в связи с поворотом на угол у части глубины
"фланка”.

3.	Воспользуемся моделью упругого основания для решения задачи,
тогда сила, приходящаяся на модифицированный участок высоты шли-
ца Plt выразится через полную силу Р следующим образом:

Л - P(F1/(F, + FJ)),

(11.1.4)

где Fi — площадь деформированного участка высоты шлица ОСхС/:^;

Нм х1<^х 1

F\ = hu~—— f ---- =------;

м 2R.. о	6 R,

(11.1.5)

Fj — площадь деформированного участка высоты шлица hM< х < Л;

(Л - hM) h h2M 1 /	\ hM

-----------------= —I h - h., I-.

h 2 2RM 4 \	RM

(11.1.6)

так что

3 / h ’

(F, + F2)/F, = 1 + — I — -1

2 'hM ‘
и

(11.1.7)

4.	Будем считать, что сила Pt вызовет деформацию модифицирован-
ного участка высоты шлица, равную удвоенной деформации цилиндра
радиуса RM, т.е.

2 • 3,7Ру	3 Л

Д--------------2ЙГ/[1+ —( —-1)],	(11.1.8)

2 пм

где w_ — контактная деформация цилиндра при сжатии силой Р. w =
= 3,7 Р/1Е.

Тогда, объединяя соотношения (11.1.3) и (11.1.8), установим иско-
мую связь между Rm и hM в следующем виде:

й« /Г 4w 11	//	4 \

~— / 7 + ———- * —	+—*).	(11.1.9)

2/1 (Зй - йм) 2	/ \	3 /

Для того чтобы определить допустимую величину йЛ/, нужно задаться
дополнительным условием, например, потребовать, чтобы в отсутствие
погрешности у контактные давления возросли не более чем на 20%, что
равносильно условию

(й-й„/й) = 1/1,2,

откуда

йм/Л - 1 - (1/1,2) “ 1/6	(11.1.10)

Соотношения (11.1.10) и (11.1.11) могут использоваться для опре-
деления рациональных параметров профильной модификации шлицов.
Так, с их помощью необходимая глубина "фланка” составит

Гм = й2 /2ЯД, = —
О

(11.1.12)

Практическое получение криволинейной модификации прямобочных
шлицов может быть достигнуто несколькими путями: 1) дополнитель-
ной обработкой шлицевого вала на шлицезакругляюших станках с при-
менением специального инструмента: 2) дополнительной обработкой
шлицевого вала на зубофрезерных станках с настройкой их на заданный
профиль прямобочного шлица; 3) обработкой шлицевого вала на про-
тяжном или фрезерном станке с применением специального инструмента.

Дальнейшим развитием криволинейной модификации шлицов вала
является полный отказ от прямолинейного и переход к эвольвентному
профилю (рис. 11.1,г). В этом случае прямолинейный (или трапецеи-
дальный) профиль шлица втулки контактирует с эвольвентным профи-
лем шлица вала, и задача заключается лишь в том, чтобы при выборе пара-
метров эвольвентного профиля шлица вала добиться начального кон-
такта шлицов в средней точке их рабочей высоты. Важным обстоятель-
ством при использовании шлицов вала с эвольвентным профилем, кон-
тактирующих с прямобочными (или трапецеидальными) шлицами втул-
ки. является то, что по изгибной выносливости шлицевые соединения
обычно имеют значительные коэффициенты запаса — это позволяет,
увеличивая высоту эвольвентного шлица вала, обеспечивать контактиро-
вание шлицов - эвольвентного и прямобочного (или трапецеидально-
го) — в средней точке рабочей высоты шлицов. Достоинством комби-
нированного использования в одном шлицевом соединении прямобочных
(или трапецеидальных) (на втулке) и эвольвентных (на валу) шлицов
является возможность использования стандартного инструмента и ста-
«точно го парка.

В шлицевых соединениях с эвольве.!>’нымх и»,.щзми снижения концент-
рации контактных давлений на вершинах шлицов вала в связи с погреш-
ностями взаимного положения валов можно добиться криволийнейной
модификацией профиля шлицов вала, подобно тому как это показано
на рис. 11.1, в, параметры которой определяются по зависимостям
(11.1.10)-(11.1.12). Криволинейная модификация профилей шлицов
вала может быть практически реализована любым из трех указанных
способов. Кроме того, представляется целесообразным применять
нарезание зубьев со смешением инструмента (положительным для
зубьев втулки и отрицательным для зубьев вала), добиваясь при этом
касания зубьев в средней точке их высоты. Корре тиров анис зубьев в этом
случае, локализуя их контакт в средней точке, снижает чувствитель-
ность муфты к погрешностям монтажа.

Таким образом, в шлицевых соединениях с прямобочными (или тра-
пецеидальными) и эвольвентными шлицами снижения концентрации
контактных давлений по высоте шлицов можно добиться профильной
модификацией ил инов.

Концентрация давлений по длине шлицов возникает, как правило,
в связи с крутильной деформацией вала. В этом случае снижения кон-
центрации контактных давлений по длине шлицов можно добиться
двумя принципиально различными способами: преднамеренно вносимой
погрешностью угла наклона шлица (продольная линейная модифика-
ция) (9.3.19), либо преднамеренно вносимой крутильной деформацией
втулки, имеющей противоположный знак с компенсируемой крутиль-
ной деформацией вала.

Преднамеренно вносимая погрешность в угол шлица Д0 (9.3.20) долж-
на быть выбрана такой, чтобы на длине шлица I деформация его, обу-
словленная скручиванием вала, в точности равнялась этой погреш-
ности, т.е.

/Д0 = гм>,	(11.1.13)

где I, г — длина и средний радиус шлицевого соединения; у? — угол скру-
чивания вала. Отсюда следует, что этот способ имеет максимальный эф-
фект лишь на том нагрузочном режиме, для которого рассчитана величи-
на угла скручивания вала Поэтому, например, для реверсивных соеди-
нений этот способ снижения концентрации контактных давлений по дли-
не шлицов будет эффективен лишь при вращении вала в одну сторону
и будет вредным при противоположном его вращении. Такая закономер-
ность является общей для случаев, когда упругие деформации элемен-
тов узла компенсируются преднамеренно вносимыми погрешностя-
ми, — это мероприятие эффективно лишь на том нагрузочном режиме,
для которого рассчитана преднамеренно вносимая погрешность. Допол-
нительно нужно отметить, что линейная продольная модификация шли-
цов Д0, наиболее легко реализуемая при фрезеровании шлицевого вала,
не обеспечивает полного выравнивания контактных давлений по длине
шлицов, так как крутильная деформация вала шлица распределяется
по его длине не по линейному закону, а по степенной зависимости, по-
этому, внося погрешность угла наклона шлицов, нельзя надеяться на
полное выравнивание контактных давлений по длине шлицевого вала.
Таким образом, преднамеренно вносимая мозрешх.оегь в угол наклона
шлицов вала Д0 может рассматриваться как частичная мера, обеспе-
чивающая снижение концентрации контактных давлений по длине шли-
цевого вала.

Большую эффективность имеет второй способ снижения концентра-
ции контактных давлений по длине шлицевого вала за счет преднамерен-
но вносимой крутильной деформации втулки. Эффективность этого
способа определяется тремя обстоятельствами; 1) возможностью вы-
равнивания крутильной жесткости вала и втулки за счет выбора ее гео-
метрических параметров; 2) возможностью взаимной компенсации
крутильной деформации вала и втулки за счет конструктивного испол-
нения узла (подвод и съем крутящего момента на шлицевом соедине-
нии); 3) в связи с линейной зависимостью крутильной деформации вала
и втулки от крутящего момента возможностью добиваться их взаимной
компенсации на всех нагрузочных режимах работы шлицевого соеди-
нения.

Рассмотрим возможность выравнивания крутильной жесткости вала
и втулки. Вал и втулка могут быть представлены в виде полых валов
диаметров dt, Dt (для вала) и d2, D2 (для втулки), причем для вырав-
нивания крутильной жесткости вала и втулки необходимо соблюдение
условия

Di - di = D*2 - dt	(11.1.14)

Как показано в гл. 4, наружный диаметр вала Dt и внутренний диа-
метр втулки d2 с учетом влияния, оказываемого наличием шлицов
на их крутильную жесткость, могут быть определены следующим об-
разом:

Dt = d-2hx,

d2 = d + 2h2 = Dt

2(hj +h2)
Di

(11.1.15)

где d — средний диаметр шлицевого соединения; hi и h2 — эффектив-
ная высота ножек шлица вала и втулки.

Очевидно, что

Г	2	1

D2 = d2 + 2Н2 = Dx 1 + -- (Я1+Л1+Ла),	(11.1.16)

L	d2	J

где Hi, Н2 - толщина вала и втулки.

Объединяя (11.1,14), (11.1.15) и (11.1.16), получим выражения для
определения Н2, при котором достигается равенство крутильных жест-
костей вала и втулки

Н2 = | [ 1 + (1 +/7,)4 — (1-Я,)Т'4-(1+Яэ)1 .	(11.1.17)

где для сокращения записи обозначено Н2 - H2!R. Н3 = (Л1 +h2)IRt,
и которое может быть представлено в следующем виде:

Н2 = 0,07 [1 - (Яо,/Л1)4’а]/Яэ®’3*.	(11.1.18)

Таким образом^ формулой (11.1.18) устанавливается связь между
толщиной втулки Н2 и толщиной вала Нх в зависимости от величины Н3,
при которой обеспечивается равенстве крутильных жесткостей вала
и втулки. Однако чрезмерное уменьшение толщины втулки может при-
вести к нарушению принципа равно прочности, который, очевидно,
имеет вид

Di [1 -(J./D,)4] = D? [1-(rfa/Oj)].	(11.1.19)

Поэтому из (11.1.7) с учетом (11.1.3) и (11.1.4) получим выражение
для определения Н2, при котором соблюдается принцип равнопрочности
вала и втулки:

Я2 = |(1+Я) [1 - (1 -Я,)4] + (1+Я3)|,/4-(1 +/73),	(1 1.1.20)

и которое может быть представлено в следующем виде:

/?2 = [1 -(Яо./Я,)4’2] (0,185-0,193/?,).	(11.1.21)

Таким образом, формулой (11.1.21) определяется толщина втулки,
при которой соблюдается принцип равнопрочности вала и втулки по
касательным напряжениям. Как следует из формул (11.1.18) и (11.1.24),
не удастся одновременно обеспечить соблюдение принципа равнопроч-
ности вала и втулки и равенства их крутильной жесткости, если считать,
что величина Н3 в обеих формулах одинакова. Поэтому на практике вы-
бор толщины втулки следует делать из условия равенства крутильной
жесткости вала и втулки, допуская некоторое нарушение принципа их
равнопрочности по касательным напряжениям. Нужно, однако, иметь
в виду, что входящие в (11.1.18) и (11.1.21) значения /73 не одинако-
вы: в (11.1.18) они определяются из соотношений (5.1.27), а в (11.1.21) —
из соотношений (9.2.12), поэтому в некоторых случаях удается удов-
летворить требованиям равной прочности и равной жесткости вала
и втулки.

Рассмотрим возможность взаимной компенсации крутильной дефор-
мации вала и втулки за счет конструктивного исполнения узла (рис. 11.2).
На схеме а показан случай, когда крутящий момент подводится к валу
и снимается со втулки с одной стороны, а на схеме б — когда момент
подводится к валу с одной стороны, а снимается со втулки с другой
стороны. В первом случае отсутствует возможность как-либо влиять на
характер распределения контактных давлений по длине шлица, так
как крутящий момент передается незначительным участком длины шли-
ца, соответствующим ширине диска втулки Ь. Поэтому такая схема
конструктивного исполнения муфты нерациональна, и от нее следует
отказаться. Во втором случае вал и втулка скручиваются на всей длине
шлицевого венца /, причем крутильная деформация вала и втулки имеет
противоположный знак, что и предопределяет возможность взаимной
компенсации деформаций вала и втулки (9.3.25а) , (9.3.26а).

В работе [35] рассмотрена закономерность распределения контакт-
ных давлений по длине шлицевого венца. На рис. 9.2, заимствованном
из работы [35], приведены кривые, характеризующие распределение
контактных давлений по длине шлицевого венца: кривая 1 соответст-
вует толстой цилиндрической втулке, кривая 2 — конической втулке.
Из рис. 9.2 следует принципиальная возможность взаимной компенса-
цисй крутильной деформации вала и втулки добиваться снижения кон-
центрации контактных давлений в шлицевом соединении. Нужно под-
черкнуть, что в приведенном на рис. 9.2 примере при выбранной тол-
щине втулки не было обеспечено равенство крутильных жесткостей
вала и втулки. Если же толщину втулки выбрать такой, чтобы обеспе-
чить равенство крутильных жесткостей вала и втулки, то можно полу-
чить кривую 3, характеризующую распределение контактных давлений
по длине шлицевого венца. 3 данном случае коэффициент концентрации
к (х) от рационального выбора толщины втулки уменьшится в 2 раза
по сравнению с исходным состоянием (толстая цилиндрическая втулка)
и в 1,3 раза по сравнению с примером расчета, приведенным в [35].

Таким образом, выбором конструктивных параметров вала и втулки
за счет рационального распределения жесткостей элементов муфты мож-
но добиться существенного снижения концентрации контактных дав-
лений в шлицевых соединениях. Важно подчеркнуть, что, поскольку кру-
тильная дефср?.Еция вала и втулки линейно зависит от передаваемого
муфтой крутящего момента, то взаимная компенсация крутильной де-
формации вала и втулки будет одинаково эффективна на всех нагру-
зочных режимах. Эта закономерность является общей во всех тех
случаях, когда имеет место взаимная компенсация упругих деформа-
ций различных элементов узла машины.

Рассмотрим возможность снижения концентрации контактных дав-
лений в муфтах с прямолинейной образующей зубьев. Известно, что
концентрация контактных давлений по длине зубьев муфт с прямоли-
нейной образующей связана с перекосом зубьев на угол ут = 7Tcosfl,
приводящим к локализации контакта со стороны одного из торцов зуба.
При этом единственную возможность снижения концентрации контакт-
ных давлений по длине зубьев видели в продольной модификации зубьев,
т.е. в переходе с прямолинейной к криволинейной форме образующей
зубьев.

Однако выполненный в гл. 8 анализ изгибных перемещений и на-
пряжений в условиях концентрации контактных давлений в пределах

площадки контакту позволил выявить интересную закономерность —
в пределах площадки контакта зубьев независимо от степени концентра-
ции контактных давлений площадка контакта прямолинейная до нагру-
жения зубьев остается практически прямолинейной и после нагружения
зуба, лишь поворачиваясь относительно ненагруженного состояния
на деформативную составляющую угла перекоса ул. Поэтому в действи-
тельности между контактирующими парами зубьев возникает не мон-
тажный ут, а суммарный у = ут - 7д угол перекоса, меньший монтажного
угла перекоса ут. Это приводит к снижению уровня контактных давле-
ний на зубьях в отношении (1 - 7д/7т)0’4 •

Естественно, что деформативная составляющая угла перекоса 7Д со-
провождается повышением уровня изгибных напряжений на зубьях, по-
этому возможность компенсации 7Т за счет 7Я обусловлена тем, что обыч-
но по изгибной выносливости зубья муфт имеют значительный коэффи-
циент запаса, и определяющим видом отказов зубьев муфт является
их износ, схватывание и контактная коррозия. Таким образом, в данном
случае компенсация нежелательных погрешностей монтажа муфты
(7Т« достигается преднамеренно вносимыми упругими деформациями
зубьев (7Д) не опасными с точки зрения их изгибной выносливости,
но чрезвычайно полезными с точки зрения их контактной прочности
(износостойкость). Этот пример характерен тем, что в узел вносится
неопасная упругая деформация элемента, для того чтобы скомпенсиро-
ва.ь неизбежную погрешность монтажа узла.

Для направленного использования неплоской изгибной деформации
зубьев с целью снижения концентрации контактных давлений на них
необходимо учесть переменный характер нагрузок и перекосов и рас-
смотреть возможную степень компенсации 7Т и 7Д.

Как установлено в гл. 10, нагрузка на паре зубьев, координируемой
углем 9, может быть выражена через максимальную нагрузку =0)
(6.3.9) простей зависимостью (10.1.1).

Деформатизная составляющая угла перекоса зубьев 7Д зависит от от-
ношения I 7s/Ди (8.2.11в) и поэтому также изменяется по углу в. По-
этому степень взаимной компенсации углов перекоса ут и 7Д будет не-
одинакова в процессе перемещения рассматриваемой пары зубьев в пре-
делах зоны нагружения. Естественно, что наибольший практический
интерес представляет возможность взаимной компенсации углов переко-
са для наиболее нагруженной пары зубьев (9 =0°), для которой уг - ул.

Как следует из зависимости (8-2.11в), перекос между зубьями муф-
ты 7Т приводит к появлению деформативной составляющей угла пере-
коса 7Д, которая приводит к концентрации контактных (8.2.8) и из-
гибных (8.3.3) напряжений.

Анализ показал, что при кУк > 1,6 между коэффициентами кУк
и существует линейная зависимость

*Ти-1 = 1+О.95(Л>к - 1).	(11.1.22)

Зависимость (11.1.22) интересна тем, что, пользуясь ею, можно опре-
делить величину коэффициента контактных напряжений кУк, которой
можно достигуть, допустив определенное увеличение коэффициента из-
гибных напряжений ку*. Действительно, предположим, что в связи со
значительной величиной коэффициента запаса зубьев по изгибным на-
пряжениям по оказывается возможным увеличить уровень изгибных
напряжений в зубе по сравнению сов [*7 ] раз. Тогда из (11.1.22)
найдем, что при этом коэффициент контактных напряжений ку .пред
может быть уменьшен до предельной величины:	к

[*ти 1 ~

*ткпред =	^7	+ 1 = 1,053 [£7и ] - 1,105.	(11.1.22а)

Для этого необходимо, чтобы нагрузочный параметр (Z7 /Дя) удов-
летворял условию	т

Ртт/А«] = 1,03([Л7н ] - I)2’25.	(11.1.23)

Поскольку из конструктивных параметров, входящих в нагрузочный
параметр lyr/SH, управляемой является длина зуба /, то из (11.1.23)
найдем допустимую длину зуба

[Z] = 1,952 (Л/7ТE)V’([^н J -l)*.*2®.	(11.1.24)

Но максимальная нагрузка на зубьях Рг также зависит от длины зубь-
ев / (см. табл. 7), поэтому

[/] = 1,418 (ЛГкр/(mz2F7T))°-5([*:7H] - 1)‘.*07	(Ц.1.25)

Таким образом, формулой (11.1.25) определяется та требуемая дли-
на зуба, при которой для допустимого значения коэффициента изгибных
напряжений [Л7и] = а0/о будет достигнут максимальный эффект по сни-
жению уровня контактных давлений на зубьях муфт.

По зависимости (11.1.25) были выполнены расчеты муфт по ГОСТ
5006-55 для зубьев с прямолинейной образующей. Установлено, что для
двух номеров муфты 1 и 19 величина коэффициента [Л7и] оказалась
равной соответственно 7,427 и 8,727, т.е. в среднем для всех номеров
муфт [Л7и](.р = 8,05, причем отклонение от этой величины составля-
ет ±8%. Столь завышенная величина коэффициента [Л7и] может бьпь
связана с тем, что номинальные напряжения имеют незначительную ве-
личину, те. по изгибной выносливости зубья имеют значительный коэф-
фициент запаса. При выбранном диаметре зубчатого венца d - mz сни-
жения нагруженности зубьев можно добиться уменьшением модуля m
и соответственным увеличением та спа зубьев z.

Таким образом, в зубчатых муфтах с прямолинейной образующей
зубьев имеется возможность значительно снижать концентрацию контакт-
ных давлений на зубьях за счет компенсации монтажного угла перекоса
7Т, преднамеренно вносимой неплоской деформацией зубьев (уд), не-
опасной для их изгибной прочности.

Рассмотрим возможность снижения концентрации контактных дав-
лений в муфтах с криволинейной образующей зубьев. Известно, что
криволинейная форма образующей зубьев предусматривается на практи-
ке для того, чтобы локализовать нагрузку в средней части длины зубь-
ев, снизив тем самым уровень контактных давлений на боковых поверх-
214

костях их. Применяемая обычно продольная модификация зубьев по
дуге окружности позволяет выбором радиуса кривизны зубьев в про-
дольном направлении значительно снизить чувствительность муфты
к погрешности взаимного положения полуосей. Однако значительное
уменьшение радиуса продольной кривизны зубьев может привести к уве-
личению уровня контактных давлений на боковых поверхностях зубьев;
недостаточное же уменьшение этого радиуса может привести к снижению
эффективности продольной модификации зубьев.

В работе [9] вопрос о выборе продольной модификации зубьев под-
робно рассмотрен применительно к зубьям колес с криволинейной фор-
мой образующей, очерченной по дуге окружности. В результате получено,
по рациональной величиной радиуса кривизны зубьев в продольном
направлении является Яопт * Z/47T. которая с высокой точностью соот-
ветствует имеющимся экспериментальным данным по эффективности
продольной модификации зубьев колес.

Однако в зубчатых передачах в отличие от зубчатых муфт условия
нагружения зубьев остаются неизменными, поэтому продольная моди-
фикация зубьев по дуге окружности является удовлетворительной. В зуб-
чатых муфтах, как известно, нагрузка неравномерно распределяется меж-
ду зубьями, принимающими участие в передаче крутящего момента
(10.1.1), поэтому для повышения эффективности продольной модифи-
кации зубьев необходимо иметь переменный радиус кривизны зуба
в продольном направлении - максимальный на торце (где максималь-
на величина силы Р\) и минимальный в среднем сечении длины зуба.
В работе [139] предложено изменять радиус продольной кривизны
зубьев по их длине с минимальным значением R — rsina в среднем се-
чении зуба. Такая форма продольной модификации зубьев позволяет
значительно выровнять зазоры и нагрузки на зубьях, однако в про-
цессе износа зубьев исходная модификация зубьев в продольном на-
правлении будет изменяться на естественную модификацию, которую
примут зубья после износа.

Поэтому представляется целесообразным в процессе изготовления
муфты вносить продольную естественную модификацию зубьев, учи-
тывая закономерности износа зубьев муфты при наличии угла перекоса
между осями полумуфт. В гл. 7 показано, что кривая естественной
модификации зубьев имеет вид

/7	х

s (х) = ---- sin я — •

'	« I

при которой кривизна зубьев

d2s (х)
dx2

х
sin —

Z

1

не остается постоянной по длине зубьев, а имеет минимум (0) на тор-
цах зубьев, где максиьильна нагрузка, и достигает максимума (iry/Z)
в среднем сечении зуба, где нагрузка минимальна. Это позволит сни-
зить уровень контактных давлений на наиболее нагруженной парс зубь-
ев (О =0°), ответственной за долговечность муфты по критерию изно-
состойкости.
Н.2. ВЫРАВНИВАНИЕ НАГРУЗКИ НА ЗУБЬЯХ МУФТ

Неизбежные погрешности изготовления и монтажа соединительных муфт
приводят, как известно, к тому, что не все, а лишь незначительная часть
зубьев и шлицов принимает участие в передаче крутящегося момента, при-
чем нагрузка на них распределяется неравномерно. Это приводит к нерацио-
нальному использованию материала при эксплуатации соединительных
муфт, повышенному износу ( а в некоторых случаях и поломке) зубьев и,
как следствие, к снижению надежности и долговечности муфт. Этим объяс-
няется тот постоянный интерес, который проявляют специалисты к поиску
конструктивных и технологических мероприятий, обеспечивающих вырав-
нивание нагрузки между зубьями и шлицами соединительных муфт.

На каждой из трех стадий создания соединительных муфт (проектирова-
ние, изготовление и сборка) имеются способы выравнивания нагрузки меж-
ду зубьями и шлицами соединительных муфт.

Так, при проектировании соединительных муфт возможность выравнива-
ния нагрузки между зубьями (шлицами) заключается в рациональном расп-
ределении податливости элементов муфты. Как следует из табл. 7, эонанаг-
руженных зубьев в0 зависит от ряда нагрузочных и конструктивных пара-
метров элементов муфты, однако только на некоторые из них можно пов-
лиять на стадии проектирования — это податливость собственно зубьев
муфт и податливость обода обоймы.

Как установлено в работе по изгибной выносливости зубьев, муфты
имеют повышенные коэффициенты запаса, что позволяет без риска для
прочности зубьев муфты (в определенных пределах) увеличивать изгибную
податливость зубьев, увеличивая тем самым зону нагруженных зубьев в0.
Важно подчеркнуть, что такой путь выравнивания нагрузки мужду зубьями
муфт оказывается возможным лишь в связи с нарушением принципа рав-
нопрочности зубьев муфт по критериям изгибной выносливости и износо-
стойкости. Именно соблюдение принципа равнопрочности зубьев муфт с уче-
том вида определяющего отказа зубьев — износа их контактирующих по-
верхностей - позволяет выявить резервы повышения долговечности зубча-
тых муфт за счет рационального распределения податливости собственно
зубьев и других элементов муфт.

Известно предложение повышать изгибную податливость зубьев муфт
увеличением их высоты (рис. 11.3). Максимальная высота зуба с прорезью
должна выбираться из условия удовлетворения изгибной прочности зубьев.
Поскольку изгибная деформация зуба-балки зависит от его высоты в
третьей степени, то увеличение полной высоты зуба за счет прорезей зна-
чительно повлияет на увеличение эоны нагруженных зубьев в0.

Эффективным методом увеличения зоны нагруженных зубьев в0 и соот-
ветствующего уменьшения максимальной нагрузки на зубьях Р] является,
как это следует из табл. 7, увеличение изгибной податливости обода обой-
мы уменьшением ее толщины. При этом наличие такого резерва опять
же связано с нарушением принципа равнопрочности при проектировании
зубчатых муфт. Увеличенная толщина обода обоймы приводит не только к
увеличению веса муфты, расходу материала, но и к повышению жесткос-
ти муфты, что, в свою очередь, приводит к неравномерному нагружению
зубьев, уменьшению числа зубьев, воспринимающи.х заданный крутящий

Рис. 11.3. Зубья муфт повы-
шенной высоты

момент, и, как следствие, к быстрому их износу и снижению долговечности
муфты в целом.

Поскольку именно износ контактирующих поверхностей зубьев муфт
лимитирует срок безаварийной работы муфты, то, уменьшая толщину
обода обоймы и одновременно увеличивая его податливость, удастся уве-
личением эоны нагруженных зубьев и соответствующим уменьшением
величины максимальной силы, действующей на зубья, добиться значи-
тельного повышения износостойкости зубьев и увеличения долговечнос-
ти муфты в целом. В связи со сказанным толщина обода обоймы дол-
жна выбираться минимально допустимой из условия удовлетворения требо-
ваниям по изгибной выносливости обода обоймы.

Таким образом, направленным увеличением податливости обода обоймы
муфты удастся добиться значительного повышения долговечности зубча-
той муфты по критерию износостойкости боковых поверхностей зубьев.

При изготовлении соединительных муфт, как указано в гл. 3, возмож-
ность выравнивания нагрузки между зубьями (шлицами) заключается
в повышении точности изготовления зубчатых (шлицевых) венцов по ок-
ружным шагам. Для этого, как известно, при зубообрабо-се следует до-
биваться взаимной компенсации геометрического и кинематического экс-
центриситетов. Поскольку обычно точность зуборезного оборудования
(кинематический эксцентриситет) превосходит точность установки дета-
ли на станке (геометрический эксцентриситет), то основным резервом в
выравнивании нагрузки между зубьями муфты за счет уменьшения пог-
решностей окружных шагов является точность установки детали на стан-
ке.

Нужно отметить, что иногда о точности установки детали на станке су-
дят в отрыве от последующей операции доводки зубчатых венцов полу-
муфт (шабрение зубьев) и делают вывод об экономической нецелесооб-
разности тщательной установки детали на зубообрабатывающем станке.
Однако необходимо иметь в виду трудоемкость операции шабрения боко-
вых поверхностей зубьев муфт, вред, который наносится контактной проч-
ности муфт в связи с неизбежными дефектами, вносимыми в макро- и
микрогеометрию боковых поверхностей зубьев, чтобы убедиться в эко-
номической целесообразности повышения требований к точности уста-
новки детали на зубообрабатывающий станок.

Таким образом, повышением требований к точности установки заго-
товок полумуфт на станке удастся добиться значительного выравнивания
нагрузки между зубьями муфт.

При сборке соединительных муфт, как указано в гл. 2, возможность вы-
равнивания нагрузки между зубьями (шлицами) заключается в синфазной
сборке зубчатых венцов полумуфт в соединении, чем обеспечивается вы-
равнивание зазоров между зубьями муфт.
Естественно, что синфазная сборка зубчатых венцов будет эффективной
и простой операцией лишь в том случае, если при зубообработке зубча-
тых венцов полумуфт будет сохранена вся предварительная информация о
качестве станка (величина и ориентация кинематического эксцентриситета)
и точности установки заготовки на станке (величина и ориентация гео-
метрического эксцентриситета). Поэтому сборка полумуфт по "меткам”,
о которой говорилось в гл. 2, требует повышения культуры производства,
так как потребуется наносить на деталь соответствующие метки, а в пас-
порт на деталь заносить данные о величинах кинематическою и геометри-
ческого эксцентриситетов.

Эффект от такой технологии изготовления и сборки зубчатых муфт, свя-
занный с повышением износостойкости боковых поверхностей зубьев и
увеличением долговечности муфты в целом, окупит те затраты, которые
придется сделать для повышения культуры производства зубчатых соеди-
нительных муфт.

Следовательно, совершенствованием техники сборки зубчатых венцов
полумуфт с целью синфазной ориентации кривых накопленных погреш-
ностей окружных шагов полумуфт удастся добиться значительного вы-
равнивания нагрузки между зубьями муфт.

11	.3. ПОВЫШЕНИЕ ИЗНОСОСТОЙКОСТИ ЗУБЬЕВ МУФТ

Тяжелые условия работы зубьев муфт, действующих При перекосе осей
соединяемых агрегатов, - значительная концентрация контактных дав-
лений на боковых поверхностях зубьев, скольжение контактирующих
поверхностей зубьев, затруднения для создания и удержания масляного
клина между контактирующими поверхностями зубьев — приводят к
тому, что износ, схватывание и контактная коррозия являются типовы-
ми видами отказа зубьев соединительных муфт.

На каждой из трех стадий создания соединительных муфт (проекти-
рование. изготовление и эксплуатация) имеются способы повышения
износостойкости зубчатых муфт.

Так, при проектировании соединительных муфт повышение износостой-
кости зубьев достигается тремя путями:

1)	продольной модификацией зубьев, обеспечивающей существенное
уменьшение периода приработки зубьев и повторяющей естественную мо-
дификацию зубьев при их износе

. . hr	х

S(x) =  Sinn
it	I

2)	выбором конструктивных параметров муфты, обеспечивающих ре-
жим гидродинамического режима трения зубьев; в связи с этим все конс-
труктивные мероприятия, направленные на выравнивание нагрузки между
зубьями и снижение уровня контактных давлений на боковых поверхнос-
тях зубьев, рассмотренные выше, также будут способствовать созданию
гидродинамического режима трения зубьев;

3)	принятием специальных конструктивных мер, обеспечивающих
подачу смазки в эону контакта зубьев.

Практика эксплуатации зубчатых муфт показывает, что в ряде слу-
чаев контактные разрушения на боковых поверхностях зубьев наблю-
даются, когда не удается создать надежный масляный клин между зубья-
ми. Это может быть связано как с трудностью подачи смазки непосредс-
твенно в зону контакта зубьев, так и с действием центробежных сил, выб-
расывающих смазку из зоны контакта. В связи с этим применяют подачу
смазки непосредственно в эону контакта зубьев под давлением и созда-
ние специальных "козырьков”, обеспечивающих удержание слоя смазки
в зоне контакта зубьев. При этом нужно иметь в виду, что приведенные
выше методы продольной и профильной модификации зубьев также бу-
дут способствовать созданию надежного масляного клина в эоне контак-
та зубьев.

При изготовлении соединительных муфт повышение износостойкости
зубьев достигается применением твердых смазок, например, покрытие
зубьев двусернистым молибденом (13], и повышением твердости зубьев
муфт.

При эксплуатации соединительных муфт повышение износостойкости
зубьев достигает поддержанием необходимого количества смазки в эоне
контакта зубьев и своевременной сменой загрязненного масла.

ГЛАВА 12

МЕТОДИКА РАСЧЕТА НА ПРОЧНОСТЬ
ЗУБЧАТЫХ СОЕДИНИТЕЛЬНЫХ МУФТ

12.1.	ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА

Выполненные в работе исследования нагруженности соединительных
зубчатых муфт позволяют перейти к созданию научно обоснованной мето-
дики расчета на прочность.

Такая методика должна быть основана на комплексном подходе, учи-
тывающей взаимное влияние и взаимосвязь процессов, происходящих
в муфте и определяющих ее нагрузочную способность, доведена до прос-
тых расчетных зависимостей для проектировочного расчета муфта и долж-
на позволять определять основные конструктивные и технологические
параметры из условия исключения типовых отказов муфт.

Известные в литературе подходы к расчету на прочность соединительных
зубчатых муфт позволяют выполнять расчет параметров муфты, исходя
из недопущения того или иного отказа муфты, и сводятся, как правило,
к определению контактных и изгибных напряжений, возникающих в
зубьях муфт [16, 117, 139].

Между тем, как следует из выполненного в работе исследования, рас-
четы муфт на различные виды отказов оказываются между собой взаимо-
связанными. Поэтому при назначении конструктивных параметров муф-
ты возникает необходимость принятия компромиссного решения, что
требует нового подхода к расчету на прочность соединительных зубчатых
муфт.
Для этого рассмотрим в первую очередь виды расчета на прочность
соединительных зубчатых муфт, которые должны выполняться при проек-
тировании муфты.

1.	Расчет минимальной толщины слоя смазки между зубьями, при кото-
рой реализуется гидродинамический режим трения на боковых поверх-
ностях зубьев. Поскольку износ зубьев является основным типовым от-
казом муфты, то такой расчет должен предшествовать всем остальным
расчетам. Как показано в разд. 10.1, расчет минимальной толщины слоя
смазки сводится к расчету максимально допустимой величины контакт-
ных напряжений (10.1.10)

ow<[°w] = 0.835 10*(до(/)'/3.	(12.1.1)

где До - в кто-с/см2, U - в см/с, он - в кгс/см2

Формула (12.1.1) получена из анализа данных эксплуатации судовых
зубчатых муфт, где конструкция муфты позволяет организовать надежный
масляный клин между зубьями. В общем машиностроении при конструи-
ровании соединительных зубчатых муфт нс удается избежать износа зубьев,
поэтому для них необходимо выполнять расчет зубьев на износ.

2.	Расчет износа зубьев муфт. Этот вид расчета целесообразно выпол-
нять для определения срока службы муфты с требуемой вероятностью
неразрушения, если задан необходимый срок службы муфты (10.2.326).

Допустимая величина износа зубьев [1/] должна назначаться из усло-
вия, что за срок службы муфты [Г] износ зубьев не привел бы к их полом-
ке, т.е. коэффициент запаса по изгибным напряжениям должен быть равен
допустимой величине [ т^]. Согласно (10.2.28)

«и = ио[1 -(7И IT]/0.86т )]2.	(12.1.2)

Из формулы (12.1.2) следует, что исходный коэффициент запаса по
изгибным напряжениям Ло должен превосходить допустимую
величину ли, чтобы износ зубьев за время [Г] не привел к прежде-
временному выходу из строя муфты в связи с поломкой зубьев.

3.	Расчет на выносливость при изгибе обода обоймы. Важность этого
расчета связана с тем, что на его основе может быть выбрана минималь-
но допустимая толщина обода обоймы, которая является единственным
конструктивным параметром, позволяющим минимизировать макси-
мальную нагрузку на зубьях муфты (10.3.37).

4.	Расчет на выносливость при изгибе зуба. Необходимость выполне-
ния этого расчета связана с циклическим характером нагружения и де-
формирования зубьев муфты. Как следует из формул (10.1.34) и
(10.1.43), в зависимости от очертания образующей зубьев муфты ко-
эффициент запаса равен

«П =	1/1.1 (Дн//7г)°'э*,	(12.1.3)

лб = (о-1к)д/о (О,176А/Я6 7Т),

где о — расчетные напряжения в основании зуба при равномерном рас-
пределении нагрузки o-P{YFlm2^b.
После подстановки в (12.1.3) максимальной нагрузки на зубьях
Р1П = 2,238Лт2ф°,67”’3 (MKp/E>n3z2)0’7,	t

Р1б = 0,268£m2^’-*7r(MItp/FmJz2)°’s

получим уравнение прочности зубьев в виде

z°'*76/(rF^®’s247T0’442) = 0,927 (AfKp/£7n3)0'23* X

X [£[«]/(! -УС) oFP\,	(12.13)

(z/rF)(ft//e67T)2 = 1,523 GWKp/£m3)0’s[£(nl/(l — 7c)aFp],

где, согласно [102], величины ус и oFP зависят от материала и вида
химико-термической обработки.

4.	Расчет на прочность при изгибе максимальной нагрузкой выполня-
ется по аналогии с расчетом зубьев зубчатых колес и сводится к соотно-
шениям (12.1.5) с заменой (1 - yc)oFP на oFPM. При этом снижение
разрушающей нагрузки в связи с перекосом зубьев согласно (10.1.25)
составляет для зубьев с прямолинейной образующей

°fpm-,I°fpm = 1-0,0312(^-1)	(12.1.6)

и для зубьев с криволинейной образующей (10.1.30а)

°FPMy Io fpm = 1 - °.°080 (ki - 1) •	С121 -7)

Приведенными видами расчетов на прочность соединительных муфт
охватываются все виды возможных отказов зубьев и податливых эле-
ментов муфт. Поэтому приведенные зависимости могут использоваться
для проверочного расчета муфт, когда выбраны конструктивные разме-
ры муфт, материал и вид химико-термической обработки зубьев и тре-
буется лишь определить достигнутый коэффициент запаса по соответ-
ствующему виду отказа зубьев или обода обоймы муфты. Именно так
строятся расчеты на прочность зубьев колес и муфт.

Если же необходимо выполнить проектировочный расчет на стадии
проектирования муфты, то такой подход к определению конструктивных
параметров муфты оказывается недостаточным, так как эти параметры
должны одновременно удовлетворять ограничениям, накладываемым
приведенными соотношениями. Это наводит на мысль использовать идеи
линейного программирования при разрботке методики расчета на проч-
ность соединительных зубчатых муфт. Одновременно целевая функция,
которая должна быть минимизирована при назначении конструктивных
параметров муфты, может быть принята равной объему обода обоймы,
что обеспечит получение минимальных габаритов и веса обоймы.

Объем обода обоймы на участке расположения зубчатого венца, оче-
видно, равен

V = (п/4) (D2 - Dj) b = irhH (mz +2hHm+H),	(12.1.8)

где hH — коэффициент высоты ножки зубьев.

Из формулы (12.1.8) видно, что для уменьшения габаритов муфты
при выбранном диаметре d = mz необходимо уменьшать модуль т (и со-
ответственно увеличивать число зубьев z). Поскольку целевая функ-
ция V будет минимальна при минимизации всех конструктивных пара-
метров муфты, то их назначение должно выполняться по приведенным
расчетным зависимостям из условий, что коэффициенты запаса по соот-
ветствующим отказам д>[п].

12.2.	МАКСИМАЛЬНАЯ НАГРУЗКА НА ЗУБЬЯХ МУФТ

В приведенных зависимостях максимальная нагрузка на зубьях муфт
(12.1.4) определена в предположении абсолютно жесткого обода
обоймы, те. найдена верхняя граница максимальной нагрузки.

Известно, что максимальная нагрузка на зубьях муфт формируется
в связи с перекосом осей полумуфт и в связи с накопленной погреш-
ностью окружных шагов зубчатых венцов полумуфт. Влияние накоплен-
ной погрешности окружных шагов зубчатых венцов полумуфт может
быть учтено, если ввести коэффициент неравномерности нагружения
зубьев, равный отношению

кР = (А + ДА)/Р, = 1 + (8/s/A«i),	(12.2.1)

где btz — амплитуда накопленной погрешности окружных шагов зуб-
чатых веннов полумуфт; Рх — максимальная нагрузка на зубьях,
связанная с перекосом осей полумуфт; 6, — податливость зубьев
муфты.

Поскольку величина btz зависит от ориентации зубчатых венцов
полумуфт (фазового сдвига между кривыми накопленных погрешностей
окружных шагов зубчатых венцов полумуфт), которая на сталии проек-
тирования муфты неизвестна, то, принимая фазовый сдвиг = я/2, по-
лучим

8т£ = (в/? + 8/|),/*,	(12.2.2)

где б/i, 6/2 — амплитуда накопленной погрешности окружных шагов
зубчатых венцов полумуфт.

Таким образом, коэффициент перегрузки зубьев кР может быть
определен по (12.2.1) и (12.2.2), если известна величина максимальной
нагрузки Р\.

Как следует из (10.3.30), коэффициент, характеризующий влияние
податливости обода обоймы на максимальную нагрузку на зубьях,
равен

*об = (1 *(/.1;'Ло)(воб/вз)Р11"1.	(12.2.3)

где /ц, /ю — коэффициенты, определимые из табл. 7; 8об - податли-
вость обода обоймы; 8об = 2р3/я£7; Рt - максимальная нагрузка на
зубьях муфты определяется по зависимостям табл. 7.

Однако зависимости табл. 7 справедливы только в случае, когда нагруз-
ку передает лишь часть зубьев, поэтому необходимо, пользуясь зависи-
мостями, приведенными в разд. 10.1, определить действительную на-
грузку, действующую на зубья.

После того как найдена величина Рт„, определяется максимальная
нагрузка на зубьях муфты с учетом шаговых погрешностей зубчатых
венцов и перекоса осей полумуфт:

Р . jf,

1 [I+(Г.1/Ло)(6ов/8,)Л1

Sfx \
Л«з/‘

(12.2.4;

1 +

Расчет максимальной нагрузки на зубьях муфты с прямо- и криволи
нейной образующей в изложенной последовательности для зубчатых
муфт общего назначения по ГОСТ 5006-55 показал, что максимальная
нагрузка, связанная с перекосом осей полумуфт, на 10—30$^ больше
в муфтах с криволинейной образующей зубьев. Это связано как с мень-
шей податливостью зубьев, так и с разной степенью влияния нагрузоч-
ного параметра 33/s, на максимальную ангрузку на зубьях Рх. Расчеты
средней нагрузки PJ /г при вступлении в контакт всех зубьев муфты по-
казывают, что всегда Р* /z > 7\/z, независимо от очертания образующей
зубьев, т.с. при заданных параметрах муфт нагрузку воспринимает лишь
часть зубьев муфты.

Учет накопленной погрешности окружных шагов зубчатых венцов
полумуфт показывает, что при принятом в ГОСТ 5006-55 угле перекоса
у = 0,5° определяющее влияние на максимальную нагрузку на зубьях
оказывают шаговые погрешности зубчатых венцов, причем коэффициент
перегрузки кР (12.2.1), как правило, больше в муфтах с прямолиней-
ной образующей зубьев. Это указывает на необходимость принятия кон-
структивных (повышение податливости зубьев) и технологических (син-
фазная сборка зубчатых венцов полумуфт) мероприятий, направленных
на выравнивание нагрузки между зубьями.

12.3.	ИЗГИБНАЯ ПРОЧНОСТЬ ЗУБЬЕВ

Оценка изгибной прочности зубьев муфт в соответствии со сказанным
должна выполняться по двум критериям - усталости материала при цик-
лическом нагружении зубьев и хрупком разрушении зубьев при приложе-
нии максимальной статической нагрузки. При этом расчетные напряжения
на зубьях определялись по зависимости

ои.х* Рт^Ур/Ьт, Т^Р^/Ьт.	(12.3.1)

причем очевидно, что omtx/a = Ртах/Рх = кР.

Расчет муфт по ГОСТ 5006 55 показал, что по изгибным напряжениям о,
обусловленным влиянием перекоса осей полумуфт, муфты всех номеров
имеют примерно одинаковую напряженность; с учетом же шаговых
погрешностей зубчатых венцов полумуфт omjx более напряжены первые
номера муфты. Учет влияния перекоса осей полумуфт на уровень изгиб-
ных напряжений в зубьях показал, что в среднем независимо от номера
муфты коэффициент увеличения расчетных изгибных напряжений состав-
ляет для зубьев с прямолинейной образующей

1,1 (б7/Дм)0'34 = 5

и для зубьев с криволинейной образующей

Лб7т/0,176 6*2,5,
т.е. они в 2 раза менее чувствительны к перекосу осей полумуфт, чем
зубья с прямолинейной образующей.

Для определения коэффициента запаса зубьев по выносливости при
изгибе были приняты, согласно рекомендациям [102], следующие значе-
ния допускаемых напряжений: улучшенные стали - оо = 1,35НВ + 10, МПа.
азотированные стали - во =18HRC + 50, МПа; закаленные ТВЧ легирован-
ные стали - а0 = 600 МПа, что для 35HRC = 375НВ дало о0 = 516 МПа.

Расчет коэффициентов запаса п,, и по зависимостям (12.1.3) показал,
что для всех номеров муфты ип = 1,0 и пб * 1,5 + 1,7. Этот результат поз-
воляет сделать вывод о том, что для рассчитанных параметров муфт зубья
с криволинейной образующей имеют в 1,5 раза больший коэффициент
запаса, чем зубья с прямолинейной образующей.

Кроме того, учитывая, что муфты с криволинейной образующей зубьев
по ГОСТ 500-55 не выходят из строя в связи с усталостной поломкой
зубьев, можно принять для них верхнюю границу коэффициента запаса
при расчете зубьев по изложенной методике лтах = 1,5. Если учесть, что
в реальных условиях присутствуют шаговые погрешности зубчатых венцов
полумуфт. то можно сделать вывод о возможности снижения коэффи-
циента запаса при расчете зубьев на выносливость при изгибе.

При оценке прочности зубьев при изгибе максимальной силой коэффи-
циент снижения разрушающей нагрузки (напряжений) в связи с переко-
сом осей полумуфт был определен по зависимостям (12.1.6) и (12.1.7).
а предельное напряжение оЕцтМ, МПа, согласно рекомендации ГОСТ
21354—75, было принято равным для легированных и углеродистых сталей
4.8НВ, для нормализованных, термоулучшенных и закаленных сталей
6НВ. Для твердости зубьев 35HRC = 375 НВ принято * 2000 МПа.

Расчет коэффициентов запаса при изгибе максимальной силой выпол-
нялся при действии максимальных напряжений с учетом шаговых погреш-
ностей зубчатых венцов полумуфт. Как следует из проведенных расчетов,
коэффициент запаса в среднем составляет паМ = 4+6 для зубьев с прямо-
линейной образующей и поМ = 5+7 для зубьев с криволинейной образую-
щей. причем меньшие значения коэффициентом запаса относятся к муфтам
меныпих номеров.

12.4.	ИЗНОСОСТОЙКОСТЬ ЗУБЬЕВ МУФТ

Износостойкость зубьев муфт оценивается в два этапа: во-первых,
определяется допустимая величина контактных напряжений из условия
создания между зубьями надежного масляного клина и. во-вторых, срок
службы муфты до отказа с вероятностью неразрушения Р = 0,99.

При расчете максимальных контактных давлений с учетом перекоса
осей полумуфт оу использовалась зависимость

ау=куон,	(12.4.1)

где для зубьев с прямолинейной образующей

On = Px/bh	(12.4.2)

и согласно ([8])

ку = 1,52 (Лу/Дя)0'4 = 1	+ 065 (Ьу/Дн)2'3.	(12.4.3)
для зубьев с криволинейной образующей

о„= 0,418 (Р.Е/дЯв)015	(12.4.4)

и согласно [9]

= [1-0,5 (2 Яб7т/Ь)2 ]'*.	(12.4.5)

Расчет муфт по ГОСТ 5006-55 показал, что независимо от очертания
образующей зубьев а7 > [о/у ], т.е. в контакте между зубьями не создан
надежный масляный клин и зубья муфт будут изнашиваться.

Расчет безотказного срока службы муфт был выполнен при [uj =0,1 пт
и к = 2,92 • 10"’ см2/(кг • ч) и показал, что минимальную долговечность
имеют меньшие номера муфт, что связано, очевидно, с большей скоростью
вращения муфт по ГОСТ 5006-55. При этом было принято, что между Т
и ву для зубьев с прямо- и криволинейной образующей существует связь

Тпау„ = ТоОуб,	(12.4.6)

что позволило расчетным путем найти срок службы муфты с криволиней-
ной образующей зубьев.

12.5.	ИЗГИБНАЯ ПРОЧНОСТЬ ОБОДА ОБОЙМЫ

Изгибная прочность обода обоймы должна выполняться по критерию
усталости материала при циклическом нагружении обода. При этом рас-
четные напряжения, возникающие в ободе, определялись по зависимости
(10.3.34).

Соответственно коэффициент запаса обода обоймы по изгибной вынос-
ливости

«об =(O-1kV°o6.	(12.5.1)

где (a_iK)g- предел выносливости материала, определенный из уста-
лостных испытаний гибкого колеса волновой передачи и принятый равным
291 МПа.

Расчет аоб и поб для муфт по ГОСТ 5006 55 показал, что в муфтах,
зубья которых имеют криволинейную форму образующей, коэффициент
запаса лоб имеет значительную величину; для муфт же с прямолинейной
образующей зубьев коэффициент запаса лоб значительно меньше, причем
для последних номеров муфты по6 < 1,0.

12.6.	АНАЛИЗ ПРОЧНОСТИ ЗУБЧАТЫХ МУФТ
ПО ГОСТ 5006-83

Естественно, что разработанная методика расчета, основанная на при-
веденных теоретических и экспериментальных исследованиях, может в
дальнейшем совершенствоваться и уточняться, поэтому результативные
расчетные формулы должны быть представлены в таком виде, чтобы были
видны теоретические основы ее получения и пути их дальнейшего совер-
шенствования. В связи с этим в табл. 11 приведена последовательность
расчета зубчатых муфт, из которой четко усматриваются основные эле-
менты расчета муфты и возможности совершенствования методики
расчета.
Последовательность расчета на прочность зубчатых муфт

Параметр	Прямой зуб	|	Бочкообразный зуб
1.	Модуль, см  2.	Число зубьев  3.	Длина зуба, см	т г b
4.	Коэффициент вы- соты зуба  5.	Угол зацепления	a
6. Радиус смешения исходного контура, см	Л.
7. Радиус бочки, см	-	/?б=Я0/»па
8-Толшнна обода, см	И
9. Длина оболочки, см	1
Ю.Угол перекоса  11. Крутящий момент, кгс • см	Тг  М
12	. Твердость поверх - ностей зубьев  13	.Средняя нагрузка на зубе, кгс	HRC, НВ  Р = 2 M/mz'1 cos a
14. Модуль упругости.	Е

кгс/см1

15.Жесткостной параметр 6 = 100  msalEb1 к/,уг 6 “ 14,8 cosa • sin а/Екцу^ mR„
зубьев, кгс*'

16.	Максимальная нагруз- ка на зубе, кгс  17.	Податливость зуба, см/кгс	Р{ = 0,025(54 /’)0,7/«0’3	Р, = 0.068 (54 Р/6)0’5  &S  50 • cos a/bkhE	65 = 7,4  cos а/кцЕт
18. Биение зубчатого вен- ца втулки, см	et  0,003 т
19.Биение зубчатого вен- ца обоймы, см	е,  0,003 т
20. Вероятная величина биения, см	е-х/в* ♦

21.Коэффициент перегруз-	кр = 1 + е/Р, 6S

ки зубьев

22.Предельная нагрузка на зубе  23.Перегрузка зубьев, кгс	/>• 0,193/6	Р* = 0,347/6  _	Д Р - Р-Р*  Если Д Р С 0, то принимается Д Р = 0 и расчет проводится_ для Р, (16).если Д/’>0, то максимальная Р, -Pf + &P
Параметр	Прямой зуб	Бочкообразный зуб

24. Максимальная сила, кгс	/>• =0,025(54 />*)°'7/60-3	?» = 0,068 (54 Р*Ц)0-5
25.Коэффициент фор- мы зуба	rF = 2.48(le^)
26.Коэффициент увели- чения изгибных напряжений	кОу • 1 + 0,225 (Ь-/т/Лн)0’Л Если 2 R^ytb С 1,0, то *07 - 1 + (2Л67Т/*)’ Если 2 /?б7т/Ь > 1,0, то  *07 = 2,84
27.Контактная дефор- мация прямых зубьев, см	лн =3.7 PjbE
28.Средние иэгибныс	о-Р, YF/bm

напряжения, кгс/см 1

29. Максимальные изгиб мыс напряжения,	°max ' к<гу°

кгс/см1

30. Допускаемые изгиб- ные напряжения, кгс/см1	Улучшенные стали о„  13,5 НВ + 100  Азотированные стали о„ =180 HRC + 500  Закаленные ТВЧ, легированные стали о = 6000
31.	Коэффициент запаса по изгибным нап- ряжениям  32.	Коэффициент сниже- ния разрушающей нагрузки  33.	Коэффициент угла перекоса	"F  о4/атах  *Е7>ЛГ> = 1-0,0312(*7-1) крРму = 1-0,0080(*7-1)  *7=1+ 0,65 (Лтт/Д//)2/3 Если 2 R^r/b С 1,0, то *7-|1-0,5 (2^677/*)’] Если 2 R&t^b > 1,0, то *7 = 2
34.Предельное напря- жение. кгс/см1	Легированные углеродистые стали, нормализация, улучшение oFlimM = 48 НВ  Закалка °Я1тМа60НВ
35	. Коэффициент запаса по максимальной ста- тической нагрузке  36	.Номинальные кон- тактные напряже-	"a.V ’ lim М >‘FPMJ/amtx  oH=Pjbkhm	о//= 0,418 (P.E/bR^-5

ния. кгс/см1

37.Расчетные контакт- ные напряжения,	°7 = ку°Н

кгс/см1

38.Допускаемые кон- тактные напряже-	|оя| =0,835-10’ (м„С/)1/3

ния, кгс/см1
Параметр	Прямой зуб	Бочкообразный зуб

39.Вязкость масла, кге • с/см1	Ио
40. Скорость скольже- ния, см/с	U = тгп ут/30
41. Скорость вращения муфты, об/мин	п
4 2. Коэффициент запа- са по контактным	"Н~ 1°н}10у
напряжениям	
43.Допустимый износ зубьев, см	[<7) = 0,1 яги
44.Средняя скорость изнашивания зубьев, см/пикл	7И ° cos ajk^n
45.Коэффициент изно- состойкости, см1/кг	* = 2,92 • IO"1 ’ (47/HRC)1
46.Срок службы муф- ты. ч	[Г] -0,86 [t/]/F„ • 60 л
47.Напряжение в ободе, кгс/см1	.	"Ч1”!» .0.214	. п О1.75 т:> СР»о р.75  	Г771	6	аоб  0.077 Р, 	—	Г  on	on

4 8. Предел выносли-
вости материала,
кгс/см1

49. Коэффициент запаса
обода

(о_1к)я = 3200 - (50-HRC)1

»4>6 = <®-1k)j/«o6

Снижение максимальной нагрузки на зубьях характеризуется следую
щи ми соотношениями:

Pt =Ао 1

/11 wo6 _ р Г ।	/11 _^обЛ_

Ло S(*/2)J ,0[ Ло S(n/2).

(12.6.1)

и

где Р\ о — максимальная нагрузка на зубьях, определенная без учета подат-
ливости обода обоймы и износа зубьев.

Предельное уменьшение силы Р\ соответствует условиям wo6 =5 (я/2)

и U = S (тг/2), последнее из которых всегда имеет место, так как износ
зубьев превосходит исходный максимальный зазор между ними. Поэтому
максимальная сила на зубьях будет находиться в пределах

(•-/it/fio)2	-/uZfio),	(12.6.2)

что для зубьев с прямолинейной образующей составит

0,309 СА/Л о <0,556	(12.6.3)

и для зубьев с криволинейной образующей

0.343 /Л о <0,586.	(12.6.4)

Эти данные могут быть использованы для корректировки результатов
расчета по табл. 11. Повышенная податливость обода обоймы и износ
зубьев существенно снижают нагруженность муфты. В связи с этим в
табл. 11 введен корректирующий коэффициент (№ 16), учитывающий,
согласно (12.6.3) и (12.6.4), верхнюю границу изменения .

Изложенная в табл. 11 последовательность расчета на прочность зубча-
тых муфт соответствует проверочному расчету, когда необходимо оцени-
вать прочность уже созданной или эксплуатируемой муфты. Для проекти-
ровочного расчета муфты, когда необходимо обоснованно выбрать ее
прочные размеры, такая форма представления расчетных зависимостей
не рациональна, так как требуется в явном виде установить связь между
эксплуатационными нагрузочно-скоростными характеристиками муфты и ее
прочными размерами. Поэтому в табл. 12 по данным табл. 11 приведены
расчетные зависимости, пригодные для проверочного и проектировочного
расчета на прочность зубчатых муфт, причем в этих зависимостях учтено
влияние податливости обода обоймы и износа зубьев.

Полученные расчетные зависимости позволяют перейти к анализу проч-
ности зубчатых муфт по ГОСТ 5006-83. В соответствии с этим радиус
смешения исходного контура Ro должен выбираться равным 106. Исходя
из этой рекомендации, можно определить смешение от среднего сечения
зуба начальной точки касания зубьев при перекосе осей полумуфт (3.3.8) :

Яо 106

X ~ РбУт ~ Ут ~ , Ут •
sin a sin а

(12.6.5)

Однако известно, что для снижения концентрации контактных и изгиб-
ных напряжений на торцах зубьев нельзя допускать, чтобы контакт выхо-
дил на торец зубьев (х<0,56), причем как показано в работе [9], мини-
мум контактных давлений за зубьях имеет место при х = 0,25 6. С этих
позиций оценим рекомендуемую в ГОСТ 5006-83 величину радиуса сме-
щения исходного контура Ro.

Записывая условие минимизации контактных давлений на зубьях в виде

х<кьЬ.

(12.6.6)

где 0,25 < кь < 0,5, получим выражение для угла перекоса ут в виде

Ут < 0.1 кь sin а,	(12.6.7)

что для а = 20° даст * 0,5° -г 1,0°.
230

Таблица 12

Вил расчет»

Выносливость
зубьев при
изгибе

I

Проверочный (I) и проектировочный (II) расчет зубьев муфт

Прямой зуб

Бочкообразный зуб

ПСТА гг .0,538.0 076 „0,462

ОД36 (Еут) О М ' к о,198
COS0.667a	ш1,462 гО,924-'	~ *

2,588

°F* ------

cos а

(MEkh)°’S
b'mz

для 2 R^yT/b С 1,0

1,294	(ME*^6)°’S	/	4.96 \

op =--------------------Tr 11 ♦---I

cos a	bmz	X z /

для 2 R бУу/б > 1,0
"F • ofp/of

II

dam,- 0,653	/"F \ ,,0.316,0.368. 0.052 y

a B mz - ——— I ' — ] vj z d X
cos0.456a \oFpl

)0.368 * 0.135 /.+ 4-96V,6M
h \ z >

2.588
d * mz =-------

cos a

t 4,96 \

1 + ----I для 2 R giT/b < 1,0

( ^-\(MEkh)0’5R'’S
\oPp)

d - mz «

1,296	/nF )
	1 	
cos a	\орр)

X

/ 4-96 \

X 11 ♦----1 для 2 R ^y^b > 1.0

Наличие гидро-
динамического
режима смазки
0,307	(Е7т)0Л806°',60М0'420

°Н = ~t 0,820	_ 1,410,0,84

Л.	ггг Z

0.179	г МЕЧа7’ I0’25

[ 1 -0,5 (2 R grT /Ь)г | [ (bz cos a)’ Rg J

для 2 R (уТ/Ь < 1,0

г ME’*h7T’

он = 0,358 ------------—

L (bz cosa)’Re

для 2R^yT/b > 1,0

nH " °hpI°h

.1/3

mzn yr\ 1

------I

30 /

1,777 • 1Q~* ли0-627М0’264Е0-364^ь°.1 T0.1SSz0.264	2,373 • 10— Tr°'S

(я0л)о.2О’*Л°.5И	d f2[l-O,5(2R6TrA)T (Д.")

(bz cos a)’ R g.

для 2 Re yT/b < 1 ,o

2,373-IO'1’у®-5 Г ME’kh
d - mz = ---------------- I____________

(Mon)	I (bz cos a)1 R g

для 2 R^yT/b > 1,0
232	233

Вид расчета

Прямой зуб

Таблица 12 (окончание)

Бочкообразный зуб

Безносный срок
службы зубьев

I

Выносливость обо-
да обоймы при
изгибе

37,298 cos а т,172°14А°;77>0-4
кп М°>7£0,371,3

32,117 cos а bm
Г-------------------

*«

/ *„|Т]Л476/М А333 4Л,143 0.619

m = 0.178 I ---I — I ---------------------

\cosa / \k)J (2фй)0'190

0,0196

।	°об = —— W°-8S (£*Л7т™’) ’ ’

II

Н = 0,140

1(о-1к)х

„0,425

О

0,030	о,875 IP. „ ~ ,„„3 10,125

°об- —— м \Ькь*ъУг <mz> \
Н2 Ь

"об “ 1к^х^°об

lkkhyTmz2 Л075

Н » 0,173

„ А5
"об

„0,437

|fc*hR67T(mz)’|0,063

При изгибе зуба
максимальной
нагрузкой

1

II

ОДЗбЛр0,667 (£7т)0,538Ь0,778М0,462 0 198

°™Я С^^	«'-46220.924	V

nFM 3 ° FPM 11 _ 0,0312 (ку-1)Цори

Л 4- 0,456	f	и

0,653 kp	I	Пр

cos^'43^o I °FPM [1-0,0312 (k^-l)| I
/	4 96\0,684

X (£-7т)0.368д0.052м0.316г0.538Л 0,135 A + X°)

°FM =

2,588 kp
cos a

для IR^yJb < 1,0

1,294 kP (MEkhR6)°-s /	4,96

aFM 3-------------------- Ут I1 *

cos a bmz	' z

для 2 R$yT/b > 1,0
"FM ’ ° FPM [1-0,008 (ky-\)]/apM

2,588 kp I nFM

d = viz = —— < ————— ) X
cos a	I °FPM [1-0,008 (fc7—1)| J

n «	. <Пт\2/	4-96\

X (М£Ль)о<5  R6 ' I— 1 +-----J Для 2 RayT/b < 1,0

\b l\ z !

1.294 kp ( nhM	\

d = viz -------I ----------------------1 x

cos a 'OFPM [1-0,088 (£y-l)[ )

0«/7r\Z	4-96\

X (МА*йЛб)0,5 —1(1+ ------- для 2 R6yT/b > 1,0

\ b / ' z 1
Таким образом, из формулы (12.6.7) следует, что уже при угле пере-
коса ут= 1° при рекомендуемом радиусе Ro будет иметь место выход
контакта на торец зубьев и соответствующее повышение уровня контакт-
ных и изгибных напряжений на зубьях. В связи с этим представляется оши-
бочным назначать радиус смещения исходного контура Ro независимо от
ожидаемого угла перекоса между осями полумуфт ут.

Так, если потребовать, чтобы х = 0,25, то из (12.6.5) получим

Ло ~ 0,25 b sin а/ут	(12.6.8)

— оптимальную из условия минимизации контактных давлений на зубьях
величину Ло. Из (12.6.7) следует, что с увеличением угла перекоса уг
требуемый радиус Ло должен уменьшаться, а не оставаться постоянным,
как это следует из ГОСТ 5006-83.

Кроме того, как следует из приложения 1 ГОСТ 5006 83, пятикратное
увеличение угла перекоса ут приводит к увеличению потребного крутя-
щего момента лишь в 1,75 раза. Эта рекомендация противоречит опыту
эксплуатации зубчатых муфт, указывающему на существенное влияние
угла перекоса ут на прочность муфт, и приведенным в табл. 12 зависимос-
тям, из которых следует существенное влияние угла перекоса ут на до-
пустимую величину крутящего момента М.

Зубья с прямолинейной образующей 117]. При расчет-
ном исследовании прочности зубьев муфт с прямолинейной образующей
по ГОСТ 5006—83 значения m и г были подобраны таким образом, чтобы
сохранялось постоянство диаметра зубчатого венца d = mz. Расчеты выпол-
нены для двух значений угла перекоса - рекомендуемого ГОСТ 5006 83
(7Т = 15') и вдвое большего ут = 30'.

Из выполненных расчетов следует, что: 1) увеличение те (соответствен-
ное уменьшение z) увеличивает коэффициенты запаса nF, nMmax, пн,
по6 и срок службы муфты Т; 2) увеличение вдвое по сравнению с ре-
комендуемым ут = 15'приводит к некоторому уменьшению коэффи-
циента запаса и значительному уменьшению срока службы муфты; 3) уве-
личение длины зуба приводит к увеличению срока службы муфты Т и
коэффициента запаса поб; коэффициенты запаса nF, nMmax и пн дости-
гают максимума при b/b0 = 1,0 (Ьо — длина зуба, рекомендуемая ГОСТ
5006 -83); 4) имеет место неравнопрочность муфт различных номеров
с увеличением номера муфты коэффициенты запаса имеют тенденцию к
меньшению. особенно проявляющуюся для коэффициента иоб.

В связи с полученными результатами представилось целесообразным
ценить возможность унификации инструмента для изготовления зубча-
ых муфт выбором одинакового модуля для всех номеров муфт. Расчет-
ные исследования для т = 0,25 и 0,3 см при варьировании длины зуба
показали более ощутимо, чем в исходном варианте, тенденцию уменьше-
ния коэффициентов запаса с увеличением номера муфты.

Для оценки прочности муфты и возможности унификации инструмента
для их изготовления необходимо располагать допустимыми значениями
коэффициента запаса, которые могут быть найдены лишь из анализа дан-
ных эксплуатации муфт, рассчитанных по той же методике, что и вновь
проектируемая муфта. В связи с этим для зубчатых муфт по ГОСТ 5006-55
для > ла перекоса уТ =30' (предельным допустимым значением) был
выполнен расчет на прочность по методике, приведенной в табл. 11, из
которого были найдены минимальные коэффициенты запаса. Поскольку
муфты по ГОСТ 5006-55 многие годы находились в эксплуатации, то
можно предположить, что минимальные значения коэффициентов запаса
определяют верхнюю границу допустимых значений:

[л„] = 1,517; [лМт,х1 =2,993; [„„] = 1.071; (ио6] =0,507.

Используя допустимые значения коэффициентов запаса, можно уста-
новить, что: 1) муфты всех номеров по ГОСТ 5006-83 имеют значения
коэффициентов запаса, превосходящие минимально допустимые значения;
2) выбор модуля т = 0.25 см для всех номеров муф< по ГОСТ 5006-83
при b/b0 = 1,0 не снижает коэффициентов запаса ниже минимально допус-
тимых значений и обеспечивает прочность муфт по всем критериям отказа,
в том числе и при 7Т = 30'.

Необходимо при этом добавить, что: 1) срок службы муфты Т рассчи-
тывался для минимально допустимой величины износа зубьев [(/] =0,1 яги
и поэтому равен нижней границе Г; если же принять [(/] по (10.2.28),
то с учетом значительных величин nF/[nF], найденных при расчете, расчет-
ный срок службы возрастает и будет больше требуемого: Т - 15000 ч;
2) коэффициент запаса обода обоймы рассчитывался для толщины
обода, определенной для исходного варианта; с уменьшением модуля
(для больших номеров муфт) голщина обода обоймы возрастает в
1 + 1,25 (ш-0^5)/Яо, т.е. полученные значения поб определяют ниж-
нюю границу действительных значений лоб.

Зубья с криволинейной образующей [17]. Расчетное
исследование прочности зубьев с криволинейной образующей по ГОСТ
5006-83 показало, что: 1) рекомендуемое в ГОСТ 5006-83 значение
радиуса смещения исходного контура приводит к значительной концент-
рации контактных и изгибных напряжений; 2) увеличение m (соответст-
венное уменьшение z) уменьшает коэффициенты запаса nF, «л/тах, Пн
и «„б, но увеличивает срок службы муфты Т; 3) увеличение ут вдвое по
сравнению с рекомендуемым значением = 1°30’ приводит к значи-
тельному уменьшению коэффициентов запаса и срока службы муфты;
4) увеличение длины зуба приводит к увеличению коэффициентов запаса
и срока службы муфты и, что особенно важно, позволяет получить коэффи-
циент запаса по контактным напряжениям ля>1,5, обеспечивающий
гидродинамический режим трения зубьев и безызносную работу зубьев
муфты; 5) для всех номеров муфт коэффициенты запаса остаются при-
мерно на одном уровне.

В связи с полученными результатами, учитывая уменьшение коэффи-
циентов запаса с увеличением модуля nt, в данном случае также представ-
ляется целесообразным оценить возможность унификации инструмента
для изготовления зубчатых муфт выбором одинакового модуля для
всех номеров муфт. Были получены результаты такого расчетного иссле-
дования для m = 0,25 и 0,3 см при варьировании длины зуба. Для всех
коэффициентов запаса (кроме ио6) наблюдается их примерное постоянст-
во независимо от номера муфты и, что особенно важно, возможность соз-
дания гидродинамического трения зубьев (пн >1,5) и безызносной работы
зубьев муфты увеличением длины зубьев.
Для оценки прочности зубьев муфт и возможности унификации инстру-
мента для их изготовления по результатам расчета на прочность муфт по
ГОСТ 5006—55 были определены минимальные значения коэффициентов
запаса, которые дают верхнюю границу допустимых значений:

[лЯ =4,036; [л,Итаж1 =9,086; [п„] = 1,380; [иоб] =0,593.

Используя допустимые значения коэффициентов запаса, можно уста-
новить, что: 1) муфты всех номеров по ГОСТ 5006-83 имеют значения
коэффициентов запаса, превосходящие минимально допустимые значе-
ния; 2) выбор модуля т - 0,25 см для всех номеров муфт по ГОСТ
5006—83 при b/b0 = 2,0 увеличивает значения коэффициентов запаса и
поэтому обеспечит прочность муфт по всем критериям отказа, в гом числе
и при 7Т = 3°; при этом особенно важно, что практически для всех номе-
ров муфт Г1ц > 1,5, что обеспечивает гидродинамический режим трения
зубьев и их безызносную работу.

Необходимо при этом добавить, что расчет лоб проводился для значе-
ния толщины обода для исходного варианта Но, а уменьшение модуля
приведет к указанному увеличению коэффициента запаса лоб. Поэтому
полученные значения коэффи1шента запаса лоб дают минимальную вели-
чину.

Специального обсуждения заслуживает вопрос расчетной оценки безыз-
косного срока службы муфты Т. Зависимости, приведенные в табл. 11,
получены в гл. 8 для зубьев с прямолинейной образующей, поэтому при-
веденные соображения об условности определения Т также остаются в
силе в связи с высокими коэффициентами запаса пр, допускающими
больший износ зубьев, не опасный для их изгибной прочности. Кроме
того, очевидно, что износ зубьев с криволинейной образующей, происхо-
дящий на участке длины зуба, смещенном с его торца, менее опасен для
изгибной прочности зубьев, чем износ зубьев с прямолинейной образую-
щей, происходящий на торце зубьев. Поэтому допустимый износ зубьев
с криволинейной образующей должен быть больше, чем для зубьев с прямо-
линейной образующей.

Приведенные в гл. 8 расчетные зависимости для определения износа
зубьев включают коэффициент износостойкости к. который может быть
определен лишь экспериментальным путем. Поэтому оценку срока службы
муфты до накопления экспериментальных значений коэффициента к можно
выполнить по схеме А.С. Проникова, используя экспериментально опре-
деленную в работе fl39] величину коэффициента износостойкости к по
формуле

l^kPJl,	(12.6.9)

где 7И - скорость изнашивания зубьев (износ за один цикл нагру-
жения зуба), см/цикл; Pt — максимальная сила на зубе, кг; к -
= 2,92 • 10"13 см2/кг— коэффициент износостойкости зубьев; / = й/cos а-
длина площадки контакта, см.

Формула (12.6.9) получена в предположении, что путь трения равен
ширине площадки контакта на зубьях, а скорость скольжения зубьев равна
скорости движения площадки контакта по боковой поверхности зуба.
Тогда износ зубьев за Л'циклов нагружения будет равен

U=y„N,	(12.6.10)

но так как за Т часов работы муфты каждый зуб претерпевает N = 60 п
циклов нагружения (л число оборотов муфты в минуту), то срок служ-
бы муфты с вероятностью 0,99 найдется из соотношения

Г =0,86 [(/] /60 п ч,

что для а = 20° даст

Т= 1.645 • 10'0 (^тл’/ЛлХНКС/Д?)2.	(12.6.11)

Формула (12.6.11) может быть использована для оценки безысносного
срока службы муфты с прямо- и криволинейной формой образующей
зубьев. Что касается использования ее для расчета муфт с прямолиней-
ной образующей зубьев, то она даст лишь верхнюю границу оценки Т,
поскольку в начальный период работы муфты, когда не произошла прира-
ботка (естественная модификация) зубьев, износ их будет отличаться от
схемы зависимости (12.6.9). Это обстоятельство должно учитываться при
оценке срока службы муфт с прямолинейной образующей зубьев.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1.	В монографии дана разработка теоретических основ расчета и проек-
тирования соединительных муфт, работающих в условиях перекоса осей
соединяемых агрегатов. Она включает комплекс взаимосвязанных задач:
оценку геометро-кинематических характеристик муфт; определение жест-
костных характеристик зубьев и податливых элементов муфт: расчет ста-
тической нагруженности зубьев, валов и опорных узлов муфт: опенку
износа зубьев муфт; расчет на контактную и изгибную выносливость
зубьев и податливых элементов муфт; разработку конструктивных меро.
приятии, обеспечивающих равнодолговечность зубьев и элементов муфт
и повышение срока их безотказной работы.

2.	Реализован приближенный метод исследования геометро-кинемати-
ческих характеристик соединительных зубчатых муфт, основанный на
расчленении исходной задачи о влиянии погрешностей монтажа полумуфт
на зазоры между зубьями на более простые. Определены зазоры между
зубьями, обусловленные проявлением шести первичных погрешностей.
Установлены связи между первичными погрешностями зубьев и погреш-
ностями монтажа полу муфт, после чего решена исходная задача. Получен-
ные этим методом расчетные зависимости обобщают опубликованные в
литературе данные и. кроме того, позволяют оценивать поле зазора и ско-
ростей скольжения в пределах всей боковой поверхности зубьев (а не толь-
ко их средних величин) и оптимизировать геометрию поверхностей зубьев
из условия максимального выравнивания на них зазоров, скоростей сколь-
жения и нагрузок.

3.	Обобщены и проанализированы результаты теоретических и экспе-
риментальных исследований составляющих деформации зубьев муфт,
в результате чего предложены простые эмпирические зависимости для
определения деформации зубьев муфт.

Развита дискретно-континуальная модель обода обоймы муфты, выпол-
ненного в виде кольца, соединенного с короткой консольной цилиндричес-
кой оболочкой, в результате чего получены простые расчетные зависи-
мости для определения упругих деформаций обода обоймы при различном
его конструктивном исполнении.

4.	Реализован метод раскрытия статической неопределимости упругих
систем с односторонними связями, к которым относятся соединительные
зубчатые муфты при наличии погрешностей монтажа полумуфт. Отличи-
тельной особенностью метода является: решение задачи в безразмерном
виде, что позволяет использовать полученные результаты при различных
238
конструктивных параметрах муфт; решение вместо прямой обратной зада-
чи (определение крутящего момента, передаваемого заданным числом
зубьев); это позволило существенно упростить процедуру расчета на ЭВМ,
исключив необходимость использования метода итераций; представление
результатов расчета в виде простых эмпирических зависимостей дало
возможность существенно упростить оценку статической нагруженности
зубьев и других элементов муфт. Учтены основные конструктивные пара-
метры, влияющие па нагруженность муфт, включая геометрию контакти-
рующих поверхностей зубьев, жесткость зубьев и ободьев муфт, погреш-
ности изготовления и монтажа зубчатых венцов полумуфт и износ зубьев
муфт.

Разработанный метод позволил предложить простые эмпирические за-
висимости для определения основных параметров, характеризующих
нагруженность муфт (максимальная нагрузка на зубьях муфт и зона нагру-
женных зубьев, момент упругих сил и момент сил трения, действующие на
элементы муфты, изгибная жесткость муфты), которые сопоставлены с
имеющимися экспериментальными данными и находятся с ними в хорошем
соответствии.

5.	Выполнены исследования контактной нагруженности зубьев муфт
с различной геометрией контактирующих поверхностей. При этом с целью
унификации расчетной оценки контактных напряжений на боковых поверх-
ностях зубьев с прямо- и криволинейной формой образующей предложены
обобщенные расчетные зависимости, учитывающие наряду с геометричес-
кими параметрами зубьев также и деформативную составляющую угла
перекоса и кривизны, обусловленных деформацией собственно зубьев и
обода обоймы муфты.

Предложено допустимую величину контактных напряжений на боковых
поверхностях зубьев определять из условия создания в контакте надежного
масляного клина.

Установлено, что неравномерный по длине изгиб зуба, уменьшая суммар-
ный угол перекоса, приводит к снижению уровня контактных напряжений.
Это позволяет оптимизировать конструктивные параметры зубьев муфт
(в первую очередь их длину), добиваясь повышения срока их безотказ-
ной работы снижением уровня контактной напряженности.

6.	Разработан метод расчетного определения износа зубьев муфт, осно-
ванный на использовании модели упругого основания для установления
связи между контактным давлением и контактным перемещением зубьев.
Оценено развитие износа зубьев по времени. Определены распределение
нагрузки между зубьями и увеличение зоны нагруженных зубьев в процес-
се их износа. Определен период приработки зубьев муфты, когда нагрузка
распределяется на все зубья. Предложена рациональная форма продольной
модификации зубьев, обеспечивающая существенное уменьшение периода
приработочного износа зубьев. Оценена долговечность муфты с заданной
вероятностью ее безотказной работы по критерию износостойкости зубьев,
при этом предложено допустимую величину износа определять, исходя из
достигнутого коэффициента запаса по изгибной выносливости зубьев.

7.	Разработан метод расчетного определения изгибных напряжений в
зубьях муфт с прямо- и криволинейной формой образующей, учитываю-
щий ограниченные осевые размеры зубьев и концентрацию контактных
давлений в пределах площадки контакта зубьев. Отличительной особен-
ностью разработанного метода является предположение о сложном напря-
женном состоянии, в котором находятся зубья муфт. При этом составляю-
щие нормальных и касательных напряжений на зубьях муфт - макси-
мальные, минимальные, амплитудные и средние значения - выражены
через напряжения на зубьях цилиндрических зубчатых колес при равно-
мерном распределении контактной нагрузки по их длине. Такая унифи-
кация методов расчета зубьев колес и муфт на выносливость по изгибу
позволила использовать богатый фактический материал, накопленный по
изгибной прочности зубьев зубчатых колес, включая определение пре-
дельных статических нагрузок и циклических напряжений.

8.	Учитывая, что податливость обода обоймы муфты является основ-
ным конструктивным фактором, изменением которого можно добиться
равнодолговечности соединений (по износостойкости) и податливых
элементов (по выносливости) муфты, предложено максимально умень-
шать ее толщину. Разработан метод расчета на выносливость по изгибу
о.бода обоймы для двух расчетных схем обода — свободное кольцо и
кольцо, соединенное с консольной цилиндрической оболочкой — с уче-
том сложного напряженного состояния, в котором находится обод
обоймы, и неравномерного распределения нагрузки между зубьями
муфты. Использование этого метода расчета позволило предложить рас-
четные зависимости для проектного и проектировочного расчета обода
обоймы муфты.

9.	Разработан комплекс конструктивных и технологических меро-
приятий. направленных на повышение нагрузочной способности и увели-
чение срока безотказной работы, включая выравнивание нагрузки между
зубьями муфт, снижение уровня контактных давлений на боковых по-
верхностях зубьев, повышение износостойкости зубьев муфт за счет
взаимной компенсации погрешностей и упругих деформаций элементов и
оптимизации геометрии контактирующих поверхностей зубьев.

10.	Разработана методика комплексного расчета соединительных
зубчатых муфт, включая расчет геометро-кинематических характеристик
муфт; определение жесткостных характеристик зубьев и податливых эле-
ментов муфт; оценку статической нагруженности зубьев и элементов
муфт; расчет на выносливость по изгибу обода обоймы; определение
максимальных контактных напряжений на боковых поверхностях
зубьев; расчет износа зубьев муфт и определение их долговечности с
заданной вероятностью безотказной работы; расчет на выносливость по
изгибу зубьев муфт.
ЛИТЕРАТУРА

I.	Абакумов А.Н. Разработка методики определения геометрических и конструк-
тивных параметров волновых передач для повышения сопротивления усталости
гибких зубчатых колес: Автореф. дис.... канд. техн. наук. М„ 1984. 16 с.

2.	Авиационные зубчатые передачи и редукторы: Справочник I Под ред. Э.Б. Бул-
гакова. М.: Машиностроение. 1981. 374 с.

3.	Айрапетов ЭЛ. Проектирование и расчет скоростных зубчатых передач боль-
шой мощности. М.: Машиностроение, 1984. 56 с.

4.	Айрапетов ЭЛ Распределение нагрузки в составных зубчатых муфтах // Коле-
бания механизмов с зубчатыми передачами. М.: Наука, 1977. С. 117-129.

5.	Айрапетов ЭЛ. Распределение нагрузки в зацеплениях с упругим элементом //
Там же. С. 111-117.

Ь. Айрапетов ЭЛ. Распределение нагрузки между зубьями зубчатых муфт // Тех-
нология и качество зубчатых и червячных передач. Ереван. 1977. Ч. 2. С. 17-32.

7.	Айрапетов ЭЛ, Айрапетов С.Э., Генкин М.Д.. Лупандин В.В. Опоры качения
зубчатых передач. М.: Наука, 1984. 87 с.

8.	Айрапетов ЭЛ, Айрапетов С.Э., Мельникова Т.Н. Расчет контактной нагрузки в
зубчатых зацеплениях // Вести, машиностроения. 1982. № 10. С. 3-6.

9.	Айрапетов ЭЛ. Айрапетов С.Э., Мельникова Т.Н. О выборе продольной кривиз-
ны арочных зубьев // Тез. докл. зонального совсш."Цилиндрические передачи
с арочными зубьями". Курган, 1983. С. 36-39.

10-	Айрапетов Э.Л., Генкин М.Д. Деформативность планетарных механизмов. М.:
Наука, 1973. 212 с.

11.	Айрапетов ЭЛ., Генкин М.Д. Статика планетарных механизмов. М.: Наука, 1976.
263 с.

12.	Айрапетов ЭЛ, Генкин М.Д. Динамика планетарных механизмов. М.: Наука,
1980. 256 с.

13.	Айрапетов ЭЛ, Генкин М.Д. О повышении эффективности уравнительных меха-
низмов планетарных редукторов // Вести, машиностроения. 1967. № 10. С. 41-43.

14.	Айрапетов ЭЛ, Генкин М.Д.. Мельникова Т.Н. Статика глобоидных передач. М.:
Наука, 1981. 198 с.

15.	Айрапетов ЭЛ., Генкин М.Д., Ряснов Ю.А. Статика зубчатых передач. М.: Наука,
1983. 142 с,

16.	Айрапетов ЭЛ., Косарев О.И. Зубчатые муфты. М.: Наука, 1982. 128 с.

17.	Айрапетов ЭЛ, Мирэаджанов Д.Б., Уткин Б.С и др. Метод расчета на прочность
зубчатых муфт; Метод, рекомендации. М.: Госстандарт СССР: ВНИИНМАШ, 1987.
123 с.

18.	Алексеев Н.В., Дитман А.О., Куликов В.С. Применение электромагнитного моде-
лирования к исследованию напряженного состояния шлицевых валов // Проч-
ность элементов авиационных конструкций. Уфа, 1974. С. 81-93. (Сб. тр. / УАИ;
Вып. 78).

\9.	Алексеев Н.В.. Дитман А.О., Иосилевич Г.Б., Куликов В.С. Исследование кон-
центрации напряжений в шлицевых валах при кручении I/ Там же. С. 94-100.

20.	Алехин С.В., Арустамян С.А. Определение удельных давлений в зубьях шлице-
вых соединений карданной передачи тепловоза поляризационно-оптическим ме-
содом // Повышение долговечности деталей подвижного состава железнодорож-
ного транспорта. Л.. 1962. С. 25-37, (Об. тр. ЛИИЖГ; Вып. 197).

2). Алехин С.В., Арустамян С. А. Исследование условий службы шлицевого соеди-
нения осевой карданной передачи тепловоза и определение путей повышения
ее долговечности // Там же. С. 3-24.

22.	Алтухов А.Т. К расчету на прочность шлицевых муфт реактивных двигателей.
Рига, 1957. 95 с. (Тр. РКВИАВУ),

23.	Арутюнян Н.Х.. Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел. М Физматгиз, 1963. 686 с.

24.	Асланов Г.В. Исследование напряженного и деформированного состояния кру-
говых зубьев конических зубчатых колес: Автореф. дис. ... канд. техн, наук,
Одесса, 1973. 23 с.

25.	Балабух Л.И., Молчанов А.Г. Решение контактных задач при односторонних
связях методом функциональных рядов // Расчет пространственных конструк-
ций. М.: Стройиздат. 1979. Вып. 18. С. 3-20.

26.	Батиров А.М. Влияние геометрических параметров зубчатого венца и технологи-
ческих факторов на сопротивление усталости гибкого колеса волновой передачи:
Афтореф. дис.... канд. техн. наук. М„ 1984. 18 с.

27.	Биргер И.А. Вариационные методы в строительной механике турбомашин. М.:
Оборонгнз, 1957. 237 с.

28.	Биргер И.А., Шорр Б.Ф, Иосилевич Г.Б. Расчет на прочность деталей машин. М:
Машиностроение, 1979. 720 с.

29.	Бояршинов СВ. Основы строительной механики машин М.: Машиностроение,
1973.456 с.

30.	Бурнов И.Г. Строительная механика корабля. СПб. 4.1. 1912; Ч. 2. 1914.

31.	Бутенко Ю.П., Кан С.Н., Пустовойтов В.П. и др. Строительная механика стержне-
вых систем и оболочек. Киев; Виша шк., 1980. 486 с.

32.	Вердин В.А. Шлицевое соединение с равномерной эпюрой напряжений по высоте
контакта шлицов // Тез. докл. совеш.”Повышсние надежности и ресурса зубчатых
передач в тракторном и сельскохозяйственном машиностроении”. Харьков. 1979.
С. 188 189.

33.	Власов В.З. Избранные труды. М.; Изд-во АН СССР. Г. 1. 1962. 528с.; Т. 2. 1963
507 с.; Т. 3. 1964.472 с.

34	Гидродинамическая теория смазки / Подред. Л.С. Лейбензона. М.; Л.: Гостехтео-
региздат, 1934. 574 с.

35.	Глухарев Е.Г., Ганов 'J.B. Влияние конфигурации ступицы на концентрацию
нагрузки в шлицевых соединениях // Изв. вузов. Машиностроение. 1971. № 10.
С. 25-29.

36.	Глухарев Е.Г., Зубарев И.И. Зубчатые соединения: Справочник. Л.: Маши-
ностроение, 1983. 270 с.

37.	ГОСТ 5006-83. Муфты зубчатые: Технические условия М.: Изд-во стандартов.
1983. 17 с.

38.	ГОСТ 21354-87. Передачи зубчатые цилиндрические звольвентные внешнего за-
цепления: Расчет на прочность. М.: Изд-во стандартов, 1988. 125 с.

39.	Демкин Н.Б. Контактирование шероховатых поверхностей. М.: Наука, 1970.
227 с.

40.	Дитман А.О., Алексеев И.В., Куликов В.С. К вопросу исследования крутильной
жесткости шлицевых валов // Прочность элементов авиационных конструкций.
Уфа. 1974. С. 101-106. (Сб. тр./УАИ; Вып 78).

41.	Дунаев А.В. Исследование и обоснование допустимых при капитальном ремонте
размеров посадочных гнезд корпуса коробки передач трактора класса ЗТС: Авто-
реф. дис.... канд. техн. наук. М., 1974. 16 с.

42.	Динник А.Н. Избранные труды. Киев: Изд-во АИ УССР, 1952. Т. 1. 150 с.

43.	Заблонский КИ. Жесткость зубчатых передач. Киев: Техника, 1967. 259 с.

44,	Заблонский К.И. Зубчатые передачи. Киев; Техника, 1977. 205 с.

45.	Ибраев А.Г. Исследование статической нагруженности зацеплений и соединений
планетарных механизмов: Автореф дис.... канд. техн. наук. Алма-Ата, 1981. 22 с.

46.	Иосилевич Г.Б., Куликов В.С. Распределение нагрузки по длине шлицевых соеди-
нений оболочек // Прочность элементов авиационных конструкций. Уфа,
1974. С. 107-118. (Сб. тр. УАИ; Вып. 78).
47.	Иосилевич Г.Б. Концентрация напряжений и деформаций в деталях машин. М.;
Машиностроение. 1981. 223 с.

48.	Искрицкий ДЕ. Строительная механика элементов машин. Л.: Судостроение,
1970. 448 с.

49.	Кан С.Н. Строительная механика оболочек. М.: Машиностроение, 1966. 508 с.

50.	Камское С.Я. Исследование шлицевых соединений коробок передач тракторов и
их конструктивные изменения: Автореф. дис. ... канд. техн, наук Челябинск,
1947. 18 с.

51.	Клепиков С.П.. Расчет конструкции на упругом основании. Киев: Будивельник.
1967. 184 с.

52.	Косарев О.И. Исследование зубчатого уравнителя в системе ротор-планегарный
редуктор: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. М., 1973. 24 с.

53.	Когаев В.П. Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени. М.:
Машиностроение, 1977. 232 с.

54.	Коровчинский М.В Локальный контакт упругих тел при изнашивании их поверх-
ностей // Контактное взаимодействие твердых тел и расчет сил трения и износа.
М.: Наука. 1971. С. 130-140.

55.	Коровчинскии М.В. Теоретические основы работы подшипников скольжения. М.:
Машгиз. 1959. 403 с.

56.	Крагелъский И.В. Трение и износ. М.: Машиностроение. 1968. 47 с.

57.	Коськин В.П. К вопросу о выборе рациональной формы зубьев зубчатых муфт //
Изв. вузов. Машиностроение. 1973. № 4. С. 53-57,

58.	Кузьменко С.Ф.. Вишневецкий М.Г. Зубчатые муфты скоростных тяжслонагру-
женных агрегатов // Тяжелое машиностроение: Науч.-техн. сб. М.: Машино-
строение, 1962. N* 11. С. 27-31

59.	Кулешов В.В. Исследование статических и динамических характеристик зубча-
того соединения в условиях несоосности: Автореф. дис. ... канд, техн. наук. Че-
лябинск. 1974. 18 с.

60.	Кулешов В.В Исследование геометрических характеристик контактной поверх-
ности зубьев в несоосном зубчатом соединении // Колебания механизмов с
зубчатыми передачами. М.: Наука, 1977. С. 129-131.

61.	Куликов В.С. Экспериментальное исследование податливости зубьев шлицевых
соединений//Детали машин. Уфа, 1973. С. 83-89. (Сб. тр. УАИ; Вып. 63).

62.	Куликов В.С. О двух причинах износа зубьев шлицевых соединений Ц Там же.
С. 89-94.

63.	Куликов СИ. О распределении окружного усилия между шлицами в шлицевом
соединении Ц Тр. УПИ. 1956. Вып. 2. С. 21-28.

64.	Куликов В.С. Исследование характера работы эвольвентных зубчатых (шлице-
вых) муфг при угловом смешении соединяемых звеньев // Детали машин. Уфа.
1971. С. 27 34. (Сб. гр. УАИ; Вып. 32).

65.	Куликов В.С. Уточнение расчета шлицевых соединений Ц Детали машин. Уфа.
1972. С. 37 42. (Сб. тр. УАИ; Вып. 36).

66.	Куликов В.С. Исследование распределения нагрузки и концентрации напряже-
ний в зубчатых (шлицевых) соединениях авиационных двигателей и агрегатов:
Автореф.... дис. канд. техн. наук. Уфа. 1974. 16 с.

67	Куликов В.С. Распределение усилий между зубьями эвольвентнего шлицевого
соединения//Детали машин Уфа, 1973. С. 94 - 96. (Сб. тр. УАИ; Вып. 63).

68.	Куликов В.С, Мардимасова Т.Н., Рокитянская ИВ Исследование напряженного
состояния и концентрация напряжений в зубьях зубчатых соединений // Проч-
ность элементов авиационных конструкций. Уфа 1973. С. 89-95. (Сб. тр. УАИ;
Вып. 40).

69.	Куликов В.С., Мардимасова Т.Н.. Рокитянская И В. Исследование поверхности
зубьев зубчатых соединений // Там же . С. 95-101.

70.	Левина З.М., Решетов Д.Н. Основы расчета машин на контактную жесткоеть //
// Вссгн. машиностроения. 1965. N* 12. С. 3-8.

71.	Левина З.М., Решетов Д.Н. Контактная жесткость машин. М.: Машиностроение.
1971. 264 с.

72.	Литвин Ф.Л. Теория зубчатых зацеплений. М. Наука, 1968. 584 с.

73.	Лупандин В.В. Исследование нагруженности опорных узлов качения зубчатых
и планетарных механизмов: Автореф.... дис. канд. техн. наук.Одесса, 1983.
74.	Мартынов М.М., Каплун М.М., Сурков А.И. Контроль шлицевых соединений. М.:
Машгиз, 1948. 173 с.

75.	Макридин И. П., Хохлов О.Д. Исследование зубчатых муфт I/ Исследование де-
талей и узлов ПТМ. М.: ВНИИПТМАШ. 1961. Выл. 4 (15). С.33-57.

76.	Мартиросов К.А. Исследование статической нагруженности составных зубчатых
муфте упругим элементом: Автореф. дне.... канд. техн. наук. Одесса, 1980. 23 с.

11. Махалов А.Г. Исследование изгибной выносливости цилиндрических передач с
арочными зубьями: Автореф. дне.... канд. техн. наук. Курган, 1983. 18 с.

78.	Мокид И. Зубчатые муфты // Конструирование и технология машиностроения.
1968. №3. С 1-10.

19.	Морозов Б.А. Компенсирующие свойства соединительных муфт // Прокатные
станы. М.: Машгиз, 1956. Вып. 6. С. 124-173.

80.	Мзнли Р. Анализ и обработка записей колебаний. М.: Машиностроение. 1972.
368 с.

81.	Мирзаджанов Д.Б., Алиев Н.А. К вопросу применения волновой зубчатой пере-
дачи в приводах машин нефтяного оборудования // Тез. докл. науч.-техн, конф,
молодых геофизиков и геологов Азербайджана. Баку: АзПИ, 1979. С. 16-17.

82.	Мирзаджанов Д.Б., Алиев Н.А, К вопросу создания экспериментального стенда
для исследования пар трения нефтяного оборудования, работающих в условиях
избирательного переноса // Тез. докл. III Всесоюз. конф, по динамике, прочности
и надежности нефтепромысл. оборудования. Баку: АзПИ, 1983. С. 21.

83.	А. с. 115042 СССР, МКИ Ф16 Ф1/04. Пружина для прижима вкладышей твердой
смазки / ДБ. Мирзаджанов, Н.А. Алиев, Е.В. Хворостов, Ю.А. Керимов. Опубл.
01.07.83, Бюл, N* 14.

84.	Мирзаджанов Д.Б. Распределение нагрузки по боковой поверхности прямобоч-
ных шлицов Ц Тез. докл. науч.-техн. конф. "Снижение металлоемкости зубча-
тых передач и редукторов”. Свердловск, 1984. С. 27.

85.	Мирзаджанов Д.Б. Влияние погрешностей изготовления и монтажа полумуфт на
зазоры между зубьями муфт // Вести, машиностроения. 1985. № 10. С. 56-59.

86.	Мирзаджанов Д.Б. Расчетное исследование статической нагруженности зубьев
соединительных муфт // Тез. докл. науч.-техн. конф. "Автоматизированное проек-
тирование в машиностроении". Устинов, 1985. 86 с.

87.	Мирзаджанов Д.Б. Иэгибная деформация зубьев муфт // Изв. АН АзССР. Сер.
фнз.-техн. и мат. наук. 1985. №6. С. 113-120.

ЯК Мирзаджанов Д.Б. Зубчатые муфты: Учеб, пособие для машиностроит. специаль-
ностей вузов. Баку: АзПИ, 1986. 143 с.

89.	Мирзаджанов Д.Б. Конструктивные методы выравнивания зазоров и скоростей
скольжения на боковых поверхностях зубьев муфт // Вести, машиностроения.
1986. №8. С. 14-17.

90.	Мирзаджанов Д.Б. Влияние геометрических и кинематических погрешностей
на зазоры между зубьями муфт // Изв. вузов. Нефть и газ. 1986. N* 3. С. 18-23.

91.	Мирзаджанов Д.Б. Контактная деформация зубьев муфт // Изв. АН АзССР. Сер.
физ.-техн. и мат. наук. 1986. N» 6. С. 13-15.

92.	Мирзаджанов Д.Б. Влияние первичных погрешностей на зазоры между зубьями
муфт // Изв. вузов. Нефть и газ. 1987. № 3. С. 7-10.

93.	Мирзаджанов Д.Б., Агаева С.Е. Определение квантиля нормального распределе-
ния случайной величины для автоматизации вероятностных расчетов при проек-
тировании деталей машин Ц Тез. докл. Всесоюз. науч.-техн. конф. "Автоматизи-
рованное проектирование машин, оборудования, приборов и технологичес-
ких процессов в машиностроении”. Устинов, 1986. 75 с.

94.	Мирзаджанов Б.Д., Алиев Н.А., Гашимов Р.М. Методика расчета на контактную
прочность цилиндрических зубчатых передач. Баку: АзПИ, 1986. 6 с. (На азерб.
яз.).

95.	Мирзаджанов Д.Б., Хворостов Е.В. Расчетная оценка статической нагруженности
зубьев соединительных муфт // Тез. докл. Всесоюз. науч.-техн. конф. ’’Автома-
тизированное проектирование машин, оборудования, приборов и технологи-
ческих процессов в машиностроении". Устинов, 1986. С. 176-180.

96.	Мирзаджанов Д.Б., Хворостов Е.В., Айрапетов Э.Л. и др. Методическое обеспе-
чение автоматизированного расчета на прочность зубчатых муфт // Тез. докл.
науч.-техн. семинара "Автоматизированное проектирование элементов транс-
миссий". Ижевск, 1987. С. 39-43.

97.	Мель X. Критерии оценки высокоскоростных зубчатых муфт I/ Детали машин:
Экспресс-информ. / ВИНИТИ. 1965. № 20. С. 15-27.

98.	А. С. 1423834 СССР, МКИ Ф16ДЗ/18. Зубчатая муфта / Д.Б. Мирзаджанов.
Н.А. Алиев, Е.В. Хворостов. Э.Л. Айрапетов. Б.С. Уткин, А.П. Робер. Опубл.
09.07.86, Бюл. № 34.

99.	Мишарин Ю.А., Сухоруков Л.В. Международная конференция по зубчатым пере-
дачам. М.: Машгиз, 1962. 218 с.

100.	Мур Д. Основы и применение трибоники. М.: Мир, 1978. 487 с.

101.	Начинкин В.П. Определение расхода масла на зубчатую муфту // Судостроение.
1981. № 1.С. 22-23.

102.	Начинкин В.П. Изгибная и контактная прочность зубьев муфт с бочкообразными
зубьями Ц Вести, машиностроения. 1982. W7.C 22-25.

103.	Попкович П.Ф. Труды по строительной механике корабля. Л.: Судпромгиз, 1962.
Т. 1.576 с.; Т. 2.640с.; Т. 3.527 с.; 1963. Т. 4. 551 с.

104.	Печеный В.П. Исследование упругих деформаций зубьев и их влияние на нагрузоч-
ную способность зубчатых передач Новикова. Автореф. дне. ... канд. техн. наук.
Одесса, 1978. 17 с.

105.	Плотников В.С. Геометрический расчет эвольвентного шлицевого соединения, ис-
пользуемого в зубчатых муфтах // Новые исследования деталей и механизмов ма-
шин. Свердловск, 1964. С. 32-45. (Тр. УПИ; N* 136).

\0Ь.	Плотников В.С. Геометрический расчет эвольвентных шлицевых соединений,
используемых в зубчатых муфтах // Изв. вузов. Машиностроение. 1965. № 6.
С. 13-17.

\(У1	. Плотников В.С. Геометрия эвольвентного шлицевого соединения, используемая
в зубчатых муфтах // Новые исследования деталей и механизмов машин. Сверд-
ловск, 1964. С. 8-10. (Тр. УПИ; № 136).

\	03. Плотников В.С. Об относительных скоростях скольжения в зубчатых муфтах Ц
Там же. С. 11-14.

109.	Плотников В.С., Стожаров А.И. Потери мощности на трение и КПД зубчатых муфт
// Исследование кинематики и динамики машин. Свердловск, 1970. С. 110-115.
(Тр. УПИ; № 180).

110.	Поляков В.С. Косъкин В.Н. Нагрузочная способность зубчатых муфт с бочкооб-
разными зубьями // Тр. ЛПИ. 1966. № 269.

111.	Попов А.П. К вопросу определения толшины масляного слоя в зубчатых муфтах
с бочкообразными зубьями // Применение контактно-гидродинамической теории
смазки к исследованию деталей машин. Куйбышев, 1969. С. 246-256. (Сб. тр.
КуПИ №40).

112.	Попов А.П. Расчет на изломную прочность бочкообразных зубьев зубчатых муфт
// Тр. КуАН. 1973. Вып. 55. С. 128-136.

113.	Попов А.П., Руденко И.И. К определению температур в зоне контакта бочко-
образных зубьев муфт И Тр. НКИ. 1974. Вып. 89. С. 45-61.

114.	Попов А.П. К определению толшины масляного слоя в зубчатых муфтах с бочко-
образными зубьями // Судостроение и мор. сооружения. 1970. № 13. С. 54-60.

115.	Попов А.П. К расчету на прочность шлицевых отложений // Там же. 1971. № 16.
С. 61-68.

116.	Попов А.П. Исследование нагрузочной способности зубчатых и упругих муфт в
условиях перекоса осей агрегатов: Автореф. дне. ... канд. техн. наук. М., 1972.
28 с.

117.	Попов А.П Зубчатые муфты в судовых агрегатах. Л.: Судостроение, 1985. 237 с.

118.	Проников А.С. Надежность машин. М.: Машиностроение, 1978. 591 с.

119.	Прочность, устойчивость, колебания / Под ред. И.А. Биргера, Я.Г. Пановко. М.:
Машиностроение, 1968. Т. 1. 831 с.; Т. 2. 468 с.

120.	Рабинович И.М. Вопросы теории статического расчета сооружений с односто-
ронними связями. М.: Стройиздат, 1975. 145 с.

\2\.	Робер А.И. Исследование зубчатых шпинделей прокатных станов: Автореф.
дис.... канд.-техн. наук. Свердловск, 1972. 33 с.

122.	Рензо П.. Кауфман С. Муфты с эвольвентными зубьями // Конструирование и
технология машиностроения. 1968. № 3. С. 32—40.
123.	Розенберг К.Ю. Разработка методики расчета на прочность цилиндрических
передач с арочными зубьями: Автореф. дис. канд. техн. наук. Курган, 1984.
17 с.

124.	Симвулиди И.А. Расчет инженерных конструкций на упругом основании. И.:
Высш. шк„ 1987. 575 с.

125.	Скундин Г.И., Никитин В.Н. Шлицевые соединения. М.: Машиностроение. 1981.
126 с.

126.	Скундин Г.И., Никитин В.Н. Расчет прямообочных шлицевых соединений на из-
носостойкость// Вести, машиностроения. 1971. № 5. С. 8-11.

127.	Спицына Д.Н. Строительная механика стержневых машиностроительных конст-
рукций. М.: Высш. шк„ 1977. 248 с.

128.	Тайц Б. А Точность и контроль зубчатых колес. М.: Машиностроение, 1972. 367 с.

129.	Тапрников И.Я. Роль смазки в повышении износостойкости шлицевых соедине-
ний // Вести, машиностроения. 1968. № 6. С. 39-45.

130.	Тапрников И.Я. К расчету шлицевых соединений, нагруженных окружным уси-
лием. М.: Информтяжмаш, 1967. 6 с.

131.	Тапрников И.Я. Износостойкость шлицевых соединений: Автореф. дис. ... канд.
техн. наук. М., 1967.23 с.

132.	Татур Г.К., Выгонный А.Г. Определение неравномерности распределения наг-
рузки вдоль зубчатого (шлицевого) соединения // Вести, машиностроения 1969.
N»4.C. 21 -24.

133.	Тевс Н.Г., Ковердяев Н.С., Рехтер CJJ. Редукторостроенис на Новокраматорс-
ком заводе. М.: Машгиз, 1946. 339 с.

134.	Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1965. Т. 1. 363 с.; Т. 2.
480 с.

135.	Тимошенко С.П.. Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз,
1963.635 с.

136.	Уманский А.А. Строительная механика самолетов, М.: Оборонгиз, 1961. 529 с.

137.	Устиненко В.Л. Напряженное состояние зубьев цилиндрических прямозубых ко-
лес. М.: Машиностроение, 1972. 91 с.

138.	Уотерхауз Р.Б. Контактная коррозия // Усталость металлов. М.: Изд-во иностр,
лит., 1961. С. 109-141.

139.	Уткин Б.С. Исследование нагрузочной способности зубчатых соединений шпин-
делей прокатных станов: Автореф. дис.... канд. техн. наук. Курган, 1983. 18 с.

140.	Фазулин И.Ш., Куликов В.С. Исследование напряженного состояния зубьев шли-
цевых соединений поляризационно-оптическим методом // Прочность элементов
авиационных конструкций. Уфа, 1973. С. 128-133.

141.	Френкель И.Н. Экспериментальное определение суммарной деформации и жест-
кости прямых зубьев цилиндрических зубчатых колес // Зубчатые и червячные
передачи. М.; Л.: Машгиз, 1959. С 163-184.

142.	Хамзин К.М. Инженерные методы расчета перемещений зубьев зубчатых сое-
динений. Свердловск, 1966. 264 с. (Тр. У ПИ; N* 146).

143.	Хельд П.М. Автомобильные сцепления и коробка передач. М.: Машгиз, 1960.
440 с.

143.	Хрущов М.М. Лабораторные методы испытаний на изнашивание материалов
зачатых колес. М.: Машиностроение, 1966. 152 с.

145.	Цфас Б.С. Зависимость распределения нагрузки в шлицевом соединении зубча-
того колеса с валом от жесткости деталей такого соединения // Расчет, конструи-
рование и исследование передач. Одесса, 1958. С. 57-63.

146.	Цыпак В.И. Исследование эвольвентных зубчатых (шлицевых) соединений урав-
нительных механизмов: Автореф. дис.... канд. техн. наук. М., 1980. 16 с.

147.	Часовников Л.Д. Передачи зацеплением. М.: Машиностроение, 1969. 487 с.

148.	Чихос X. Системный анализ в трибонике. М.: Мир, 1982. 351 с.

149.	Шевелева Г.И. К определению контактной площадки в зубчатых передачах при
кромочном зацеплении II Машиноведение. 1984. № 4. С. 92-98.

150.	Шиманский Ю.А. Строительная механика подводных лодок. Л.: Судпромгнз,
1948. 230 с.

151.	Шперман И.Я. Контактная задача теории упругости. М.: Гостехгеоретиздат, 1949
270 с.

152.	Шувалов С.Л., Иванов И.И., Попов П.К. и др. Конструкция и расчет основных
246
элементов волновых передач Ц Изв. вузов. Машиностроение. 1969. N' 10. С. 52.

153.	Ямпольский И.Д., Пальченко В.И., Хомяков В.П. К вопросу возникновения воз-
мушаюшихся сил в зубчатых муфтах Ц Вести, машиностроения. 1975. N’ 10.
С. 12 17.

154.	Яковлев В.Ф. Измерение деформаций и напряжений деталей машин М.: Машгиз,
1963. 138с.

155.	Holl D.L Консольная пластинка под действием сосредоточенной нагрузки, при-
ложенной на ее свободном конце // Сборник переводов по зубчатым зацепле-
ниям. Ростов н/Д, 1962. С 140 152.

156.	Jaramillo Т.1. Деформации и моменты в консольной пластинке бесконечной дли-
ны от сосредоточенной нагрузки // Там же. С. 153-176.

157.	Ishikawa L, Umezawa К. Контактная деформация зубьев зубчатых колес огра-
ниченной ширины I/ Детали машин: Экспресс-информ / ВИНИТИ. 1973. N* 39.
С. 21-32.

158.	Mohle Н. Beurteilungsmastabe fur hochtounge Zahnkuplungcn /I Konstruktion. 1965.
Bd. 17. N 2. S. 17-21.

159.	Weliauer E.I., Seireg А. Исследование напряжений у корня зуба зубчатых колес с
использованием консольной пластины в качестве модели зуба // Редукторострое-
ние и детали машин: Экспресс-информ. / ВИНИТИ. 1960 № 2. С- 1 -14.

160.	Umezawa К., Ishikawa!.. Hayashi К. Деформация толстой консольной пласти-
ны ограниченной длины, нагруженной сосредоточенной силой, применительно
к расчету зубьев колес // Детали машин Экспресс-информ. / ВИНИТИ. 1970.
N* 12. С. 22-39.
ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ...................................................... 3

Раздел /. ГЕОМЕТРИЯ И ТОЧНОСТЬ ЗУБЧАТЫХ СОЕДИНИТЕЛЬНЫХ МУФТ 8

Глава 1. Геометрия контактирующих поверхностей зубьев...............9

1.1.	Прямобочные шлицы....................................9

1.2.	Звольвентные зубья с прямолинейной образующей........11

1.3.	Звольвентные зубья с продольной модификацией.........1 $

Глава 2. Зазоры между зубьями муфт..................................16

2.1.	Погрешности изготовления зубчатых венцов полумуфт...16

2.2.	Погрешности взаимного положения валов...............19

2.3.	Влияние погрешностей изготовления и монтажа муфт на зазо-
ры между зубьями.........................................20

Глава 3. Скольжение между зубьями муфт..............................25

3.1.	Влияние погрешностей взаимного положения валов на сколь-
жение между зубьями......................................25

3.2.	Распределение скоростей скольжения на боковых поверхнос-
тях зубьев...............................................28

3.3.	Конструктивные методы выравнивания зазоров и скоростей
скольжения на боковых поверхностях	зубьев..............30

Раздел II. ЖЕСТКОСТЬ И СТАТИКА ЗУБЧАТЫХ СОЕДИНИТЕЛЬНЫХ МУФТ 36

Глава 4.	Жесткость зубьев и шлицов..................................37

4.1.	Контактная жесткость................................3?

4.2.	Изгибная жесткость...................................45

4.3.	Экспериментальные исследования жесткости зубьев.....51

Глава 5.	Жесткость податливых элементов муфт........................62

5.1.	Жесткость валов......................................62

5.2.	Жесткость обоймы.................................  .	71

5.3.	Влияние контактных давлений на зубьях муфты на дефор-
мацию обода обоймы.......................................82

Глава 6. Нагрузка на зубьях муфт....................................87

6.1.	Методы раскрытия статической неопределимости соединитель-
ных муфт.................................................87

6.2.	Распределение нагрузки на боковой поверхности зуба (шлица) 91

6.3.	Распределение нагрузки между зубьями муфт...........104

Раздел III. НАПРЯЖЕНИЕ И ИЗНОС В ЗУБЧАТЫХ СОЕДИНИТЕЛЬНЫХ МУФ-

ТАХ ......................................................

Глава 7. Закономерности изнашивания зубьев муфт......................

7.1.	Смазка зубьев муфт...................................

7.2.	Износ зубьев муфт....................................

7.3.	Экспериментальные исследования износа зубьев муфт....

122

123

123

128

134

Глава 8. Прочность зубьев муфт...........................................139

8.1.	Распределение нагрузки на зубьях с учетом износа......  139
8.2.	Контактные напряжения на зубьях муфт................142

8.3.	Иэгибные напряжения на зубьях муфт..................149

Глава 9. Прочность податливых элементов муфт.......................154

9.1.	Изгибные напряжения в ободьях муфт..................154

9.2.	Касательные напряжения в шлицевых валах муфт........158

9.3.	Обеспечение равнопрочности зубьев и элементов муфт за счет
рационального распределения их податливости..............163

Раздел /И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАСЧЕТА И ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЗУБ-

ЧАТЫХ СОЕДИНИТЕЛЬНЫХ МУФТ ...............................169

Глава I0. Рекомендации по расчету муфт.............................170

10.1.	Прочность зубьев муфт..............................170

10.2.	Оценкаизнашивания зубьев муфт......................186

10.3.	Прочность податливых элементов муфт................194

Глава 11. Рекомендации по проектированию муфт......................205

11.1.	Снижение контактных давлений на зубьях муфт........205

11.2.	Выравнивание нагрузки на зубьях муфт...............216

11.3.	Повышение износостойкости зубьев муфт..............218

Глава 12. Методика расчета на прочность зубчатых соединительных муфт ....219

12.1.	Обшис положения методики расчета...................219

12.2.	Максимальная нагрузка на зубьях муфт...............222

12.3.	Изгибная прочность зубьев..........................223

12.4.	Износостойкость зубьев муфт........................224

12.5.	Изгибная прочность обода обоймы....................225

12.6.	Анализ прочности зубчатых муфт по ГОСТ 5006 - 83.... 225

Заключение...............................................238

Литература............................................  .241
CONTENTS

Preface............................................................. 3

Part Z GEOMETRY TEETH ACCURACY OF GEAR COUPLINGS.....................................8

Chapter 1, Geometry of surface of teeth..............................................9

1.1.	Straight splines..................................................9

1.2.	Spur involute teeth...............................................4

1.3.	Barrel-shaped teeth............................................  16

Chapter 2 Clearances between teeth of couplings otoothing...........................16

2.1.	Manufacture's errors of foothing couplings.......................16

2.2.	Shafts misalignments.............................................19

2.3.	Influence of manufacture’s errors and shafts misalignments on
clearance..............................................................20

Chapter 3.	Sliding between teeth of couplings.....................................25

3.1.	Influence of shafts misalignments on sliding over teeth .........25

3.2.	Sliding velocities distribution on teeth surface.................28

3.3.	Design methods for even distributions of clearances and sliding
velocities on teeths surfaces..........................................30

Pan ZZ. STIFFNESS AND STATICS OF GEAR COUPLINGS.....................................36

Chapter 4.	Stiffness of teeth and splines..........................................37

4.1.	Contact stiffness................................................37

4.2.	Bending stiffness................................................45

4.3.	Experimental investigation of teeth stiffness....................51

Chapter 5.	Pliability elements of gear couplings stiffness.........................62

5.1.	Shafts stiffness.................................................62

5.2.	Cages stiffness..................................................71

5.3.	Influenceof teeth contact surfaces load distribution on cage defor-
mation ................................................................82

Chapter 6.	Loads on teeth of gear couplings........................................87

6.1.	Analytical methods calculation for the determination static loads
on gear couplings......................................................8?

6.2.	Load distribution on contact surface of tooth....................91

6.3.	Load distribution over teeth of couplings.......................104

Part III. STRESSES AND WEAR OF GEAR COUPLINGS.......................................122

Chapter 7, Wears conformity to natural laws of teeth couplings......................123

7.1,	Feeth couplings lubrication....... .............................123

7.2.	Feeth couplings wear............................................128

7.3.	Experimental investigation of teeth couplings wear..............134

Chapter 8.	Strength of couplings teeth............................................139

8.1.	Wear and load distribution over couplings teeth.................139

8.2.	Contact stresses in couplings teeth.............................142

8.3.	Bending stresses in couplings teeth.............................149
Chapter 9.	Strength of couplings pliability elements................................154

9.1.	Bending stresses in couplings cage..............................  154

9.2.	Tangential stresses in splane saft................................158

9.3.	Equal strength designs for couplings teeth and elastic elements
of the expenscof pliability rational distribution ......................163

Part IV. BASIC THEORY FOR CALCULAT1ONAAND DESIGNS OF GEAR COUP-
LINGS...........................................................................169

Chapter 10.	Recomendations by calculations of gear couplings........................170

10.1.	Strength	of couplings teeth......................................170

10.2.	Wears calculation of couplings teeth..............................186

10.3.	Strength	of couplings pliability elements........................194

Chapter 11.	Guidelines for gear couplings design....................................205

11.1.	Contact pressures on couplings teeth reduction...................205

11.2.	Static load levelling over couplings teeth........................216

11.3.	Increase of couplings teeth wear resistance......................218

Chapter 12	Methods of gear couplings strength analysis...........................  219

12.1.	Basis of calculation method......................................219

12.2.	Maximum static load on couplings teeth...........................222

12.3.	Bending strength of teeth........................................223

12.4.	Wear resistance of couplings teeth...............................224

12.5.	Bending strength of pliability cage..............................225

12.6.	Analysis of strength gear couplings accordins	to 5006-83 ....... 225

Conclusion ..............................................................238

References ..............................................................241
Научное издание

АЙРАПЕТОВ Эдуард Леонович
МИРЗ АДЖАНОВ Джангир Балабекович

ЗУБЧАТЫЕ

СОЕДИНИТЕЛЬНЫЕ
МУФТЫ

Утверждено к печати
Институтом машиноведения
им. А А. Благонравова
Академии наук СССР

Заведующий редакцией НМ. Прокофьева
Редактор издательства НМ. Миронова
Художник В.Н. Романенко
Художественный редактор В.Ю. Яковлев
Технический редактор Г.И. Астахова
Корректор ЛА. Агеева
Набор выполнен в издательстве
иа наборно-печатающих автоматах

ИБ N* 47105

Подписано к печати 07.12.90. Формат 60 X 90 1/16
Бумага офсетная № 1. Гарнитура Пресс-Роман
Печать офсетная. Усллечл. 16,0. У сидер .-отт. 16,3

Уч.-иадл. 17,2. Тираж 1540 экз. Типлак. 821
Цена 3 р. 50 к.

Ордена Трудового Красного Знамени
издательство "Наука”

11 7864 ГСП-7, Москва В-485,
Профсоюзная ул., д. 90

Ордена Трудового Красного Знамени
1-я типография издательства "Наука”
199034, Ленинград В-34, 9-я линия, 12
ИЗДАТЕЛЬСТВО "НАУКА”

Готовятся к печати книги:

Журавлев В.Ф., Фуфаев Н.А. Механика систем с неулерживаю-
щими связями. — 20 л. — Зр. 80к.

Первая в мировой литературе монография посвящена систе-
матическому изложению аналитической механики систем с не-
удерживающими (односторонними) связями. Рассматриваются
системы с конечными неудерживающими связями, выражаемыми
соотношениями на обобщенные координаты и время типа не-
равенств. Выведены дифференциальные уравнения таких систем,
определенные на бесконечном интервале времени и избавляющие
от необходимости использовать прием припасовывания решений.
Такие уравнения эффективно применяются в теории виброудар-
ных систем. Рассматриваются системы с неудерживающими
неголономными связями, основные приемы качественного ана-
лиза уравнений движения таких систем в квазикоординатах.

Для специалистов в области теоретической механики, теории
виброударных систем и теории колебаний.

Ганеева М.С. Прочность и устойчивость оболочек вращения. —
Юл.-2р.

В монографии рассмотрены теория и методы решения за-
дач прочности и устойчивости тонких и нетонких оболочек вра-
щения. Предложен вариант уточненной теории для непологих
оболочек, учитывающий деформацию поперечного сдвига,
геометрическую и физическую нелинейности. Получены систе-
мы разрешающих уравнений. Разработаны эффективные алго-
ритмы численного решения задач изгиба, потери устойчивости
и равнопрочности оболочек вращения. Решены новые задачи
о деформировании и устойчивости эллипсоидальных оболочек
и днищ, тороидальных и составных оболочек для различных
видов нагружения, граничных условий и геометрии. Показано,
что упрощающие гипотезы могут вносить значительную по-
грешность в результаты решения задач.

Для специалистов в области теории оболочек.
Волновая динамика машин / К.В. Фролов, И.Ф. Образцов,
О.Д. Алимов и др. - 15 л. - Зр. 40к.

В монографии ведущих советских специалистов изложены
результаты исследований последних лет по вопросам теории
машин и приборов волнового принципа действия, виброакусти-
ки материалов и конструкций, динамики упругих волноводов,
волновых и вибрационных технологий, а также достижения
в разработке новых методов и средств виброизмерения и вибро-
диагностики.

Для научных работников, связанных с изучением и исполь-
зованием волновых процессов в машинах, приборах и техно-
логиях.

Глазунов В.А., Колискор А.Ш., Крайнев А.Ф. Пространствен-
ные механизмы параллельной структуры. — 7 л. — 1 р. 40к.

В монографии исследуются механизмы параллельной струк-
туры с большим числом степеней свободы, у которых выходное
звено соединено с основанием несколькими кинематическими
цепями. Рассматриваются структура, синтез, а также методы
кинематического, силового и динамического анализов, осно-
ванные на теории винтов, принципе ста тико-к и нематической
аналогии и правилах построения групп силовых и кинематиче-
ских винтов. В силу высокой жесткости, точности, грузоподъем-
ности такие механизмы находят все более широкое примене-
ние в робототехнике, при создании разного рода испытатель-
ных устройств, технологического оборудования и тд.

Для специалистов, занимающихся проектированием и изу-
чением механизмов.

АДРЕСА КНИГОТОРГОВЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ ’’АКАДЕМКНИГА"
С УКАЗАНИЕМ МАГАЗИНОВ И ОТДЕЛОВ "КНИГА-ПОЧТОЙ"

Магазины "Книга-почтой”:

252107 Киев, ул. Татарская, 6

197345 Ленинград, ул. Петрозаводская, 7

117393 Москва, ул. Академика Пилюгина, 14, корп. 2.

Магазины "Академкнига” с указанием отделов "Книга-почтой”:

480091 Алма-Ата, ул. Фурманова, 91/97 "Книга-почтой”

370001 Баку, ул. Коммунистическая, 51 "Книга—почтой"

232600 Вильнюс, ул. Университете, 4 "Книга почтой"

690088 Владивосток, Океанский пр-т, 140 "Книга-почтой"

320093 Днепропетровск, пр-т Гагарина, 24 "Книга-почтой"

734001 Душанбе, пр-т Ленина, 95 "Книга-почтой"

375002 Ереван, ул. Туманяна, 31

664033 Иркутск, ул. Лермонтова, 289 "Книга-почтой

420043 Казань, ул. Достоевского, 53 "Книга-почтой"
252030 Киев. ул. Ленина, 42

252142 Киев, пр-т Вернадского, 79

252025 Киев, ул. Осипенко, 17

277012 Кишинев, пр-т Ленина. 148 "Книга-почтой"

343900 Краматорск Донецкой обл., ул. Марата. 1 "Книга-почтой

660049 Красноярск, пр-т Мира, 84

443002 Куйбышев, пр-т Ленина. 2 "Книга-почтой"

191104 Ленинград, Литейный пр-т, 57

199164 Ленинград. Таможенный пер. 2

194064 Ленинград, Тихорецкий пр-т, 4

220012 Минск, Ленинский пр-т. 72 "Книга почтой"

103009 Москва, ул. Горького, 19-а

117312 Москва, ул. Вавилова, 55/7

630090 Новосибирск, Морской пр-т, 22 "Книга-почтой"

630076 Новосибирск, Красный пр-т, 51

142284 Протвино Московской обл., ул. Победы, 8

142292 Пущино Московской обл., ул. МР "В", 1 "Книга-почтой"

620151 Сверддловск, ул. Мамина-Сибиряка. 137 "Книга-почтой"

700000 Ташкент, ул. Ю. Фучика. I

700029 Ташкент, ул. Ленина, 73

700070 Ташкент, ул. Ш. Руставели, 43

700185 Ташкент, ул. Дружбы народов, 6 "Книга-почтой"

634050 Томск, наб. реки Ушайки, 18

450059 Уфа, ул. Р. Зорге, 10 "Книга-почтой”

450025 Уфа, ул. Коммунистическая. 49

720001 Фрунзе, бульвар Дзержинского, 42 "Книга-почтой"

310078 Харьков, ул. Чернышевского, 87 "Книга-почтой"