Автор: Мельников А.П. Свечников В.В.
Теги: издание лкввиа винты пропеллеры лопасти винта аэродинамика винта теория и расчет
Год: 1947
Текст
С 5 -
иНГрАДСКАЯ КРАСНОЗНАМЕННАЯ
ВОЕННО - ВОЗДУШНАЯ ИНЖЕНЕРНАЯ АКАДЕМИЯ
л. п. МЕЛЬНИКОВ И В. В. СВЕЧНИКОВ
мл , |
ТЕОРИЯ И РАСЧЕТ
ЛОПАСТЕЙ >ИНТА
|ЧАСТЬ I-АЭРОДИНАМИКА ВИНТА
ИЗДАНИЕ ЛКВВИА
Ленинград — 1947
£9S5-CJ//
Технический редакто𠹕 И. Юрченко
Подписано к печати 18.10.47 г. Печ. листов 9,5-}-1 вкл. Авт. листов 11. В 1 печ.
листе 46.400 зн. Бумага 62X94. Зак. № 87/963. Г29027.
Типо-литографня ЛКВВИА
ПРЕДИСЛОВИЕ
Несмотря на то, что курс воздушных винтов (пропеллеров)
уже в течение многих лет входит в учебные планы ряда авиа-
ционных ВТУЗ“ов, учебная литература по этой отрасли авиацион-
ного знания не является сколько-нибудь достаточной. Обычно
программы курса винтов включают в себя, помимо основных
понятий, связанных с геометрическими и конструктивными эле-
ментами винта, а также с аэродинамикой его работы в воздухе,
изложение главнейших теорий винта и методики расчета
и проэктирования винтов по этим теориям. Между тем, сущест-
вующие учебники по воздушным винтам [например, известная
книга Б. Н. Юрьева; „Курс воздушных винтов" Теуша и Сидо-
рова и некоторые другие] не включают таких теорий винта, как
струйная и вихревая, а также их применение при проектировании
лопасти винта. Не рассматриваются в этих пособиях или рассмат-
риваются кратко и неполно также вопросы прочности, техноло-
гии и эксплоатации винтов.
Другие, более полные руководства [как, например, книга
В. П. Ветчинкина и Н. Н. Поляхова „Теория' и расчет воздуш-
ного гребного винта" изд. 1940 г.], не вполне могут служить
учебным целям вследствие своего большого объема и сложно-
сти изложения.
Настоящая книга была задумана, как конспект лекций по
курсу винтов в части изложения основных аэродинамических
теорий винта и их применения в расчетной практике, и должна
рассматриваться как дополнение к упомянутым выше учебникам.
Предполагается, что учащиеся будут пользоваться этим пособием
наряду с общими курсами винтов [например, Теуша и Сидорова]
и поэтому элементарные понятия, определения и терминология,
относящиеся к винтам, в настоящей книге специально не рас-
сматриваются.
Небольшой объем книги, соответствующий небольшому коли-
честву часов, отводимых для изложения теории винтов в соот-
ветствующих учебных курсах, заставил нас ограничиться только
выводами наиболее употребительных формул и положений, а так-
же сократить до минимума выкладки при выводах, что иногда
могло быть сделано только за счет несколько меньшей стро-
гости их.
3
В целом авторы старались придерживаться обозначений к
манеры изложения теории винта, принятой у нас в Советском
Союзе, которая, как известно, значительно отличается от изло-
жения иностранных авторов [см., например, „Аэродинамика”
Дюранда т. IV] и ведет свое начало от русского основополож-
ника современной теории винта Н. Е. Жуковского.
В ряде выводов авторы близко придерживались обстоятель-
ного изложения, данного в книге Ветчинкина и Поляхова, а в
части приложения теории винта—руководств, написанных в свое
время Г. И. Кузьминым (Труды ЦАГИ, вып. 45 и 132) и Б. Н.
Минухиным—(Труды ЦАГИ вып. 401), изданных небольшим тира-
жом и давно уже вышедших из продажи.
Вопросы прочности, технологии и эксплоатации винтов в дан-
ной книге, не затрагивались, так как им должно быть посвящено
отдельное пособие, также являющееся дополнением к сущест-
вующим учебникам по винтам.
С целью собрать в одном месте все главные теории винта,
а также обеспечить достаточную стройность и цельность изло-
жения трактуемых вопросов, в настоящее пособие включены н
такие теории винтов, как теория подобия и теория идеального
пропеллера, которые достаточно отражены уже в существующих
учебниках. Изложение их не заняло слишком много места и дало
возможность ссылаться на них в последующем тексте в тех слу-
чаях, когда это оказывалось необходимым при изложении дру-
гих теорий.
Первая часть данной книги „Теория лопастей винта" написана
профессором кафедры Аэродинамики ЛКВВИА А. П. Мельнико-
вым, вторая часть—„Расчет и проектирование лопастей винта”
доцентом В. В. Свечниковым.
Раздел I
ТЕОРИЯ ЛОПАСТЕЙ ВИНТА
ГЛАВА I
Введение
§ 1. Предмет и задачи теории винта
Основная задача всякой теории винта состоит в том, чтобы
выявить, от каких факторов зависит главный показатель эффек-
тивности его работы—коэфициент полезного действия, а также
в том, чтобы указать метод подбора или проектирования на
заданные условия, который обеспечил бы, наряду с соблюдением
требований прочности, легкости, надежности в работе, высокие
значения к. п. д. винта, поставленного на проектируемый самолет.
Наиболее старые и, в то же время, наиболее примитивные
теории винта, какими являются теория идеального пропеллера
и теория подобия, рассматривают работу винта в целом, не вда-
ваясь в исследование работы отдельных элементов его лопастей,
т. е. обтекания лопастей в отдельных сечениях.
Первая из этих теорий исходит непосредственно из основных
положений механики и может дать только самые общие указа-
ния о силе тяги, коэфициенте полезного действия и их зависи-
мости от диаметра винта при тех или иных скоростях набегаю-
щего потока. Так как эта теория не учитывает потерь от закру-
чивания струи, а также потерь, обусловленных вязкостью среды
и несовершенством лопастей винта (механические потери), то
вопрос о выборе шага винта, ширины и толщины лопасти в тех
или иных сечениях остается открытым.
Теория подобия, базирующая свои выводы на экспериментах
с моделями винтов и дающая метод перехода от моделей к „на-
туре“, несколько более полно решает вопрос, о выборе винт.а,
позволяя рационально подобрать на заданные условия не только
диаметр, но и шаг винта. Однако и эта теория также не рас-
сматривает обтекания лопастей винта в отдельных сечениях.
Между тем, развитие авиации привело к большому разно-
образию в типах самолетов и моторов, к росту диапазона ско-
ростей полета и мощности винто-моторной группы.
В этих условиях необходимость ограничиваться при подборе
винта существующими сериями винтов может привести к нера-
циональному выбору винта и к значительным потерям мощности
5
на нем. Все это приводит к необходимости проектировать и
строить все новые и новые винты разного типа, диаметра, пере-
крытия и толщины лопасти.
Старые методы проектирования винтов, основанные на эмпи-
рических данных, уже не могут удовлетворить требованиям раци-
онального конструирования винта и обуславливают необходи-
мость разработки такой теории, которая позволила бы строить
винт с учетом всего разнообразия условий, в которых будут
работать отдельные сечения его лопастей, включая сюда взаим-
ное влияние самолета и винта. Ясно, что такой теорией может
быть только теория, которая исходит из рассмотрения отдель-
ных элементов винта.
ГЛАВА II
Теория идеального пропеллера
§ 2. Струя винта
Теория идеального винта, основанная на применении общих
законов механики и развитая во второй половине XIX века
английскими учеными Рэнкином и Р. Фрудом в применении
к судовым винтам, дает возможность установить верхний предел
коэфициента полезного действия винта при тех или иных усло-
виях его работы, а также определить продольные (осевые) ско-
рости в его струе в зависимости от нагружения винта.
Эта теория исходит из общих, известных из опыта предста-
влений о работе винта в жидкости, согласно которым форма
струи обыкновенного тянущего или толкающего винта-пропел-
лера (в отличие от ветряков, геликоптеров и других' разновид-
ностей винтов), имеет вид, показанный на фиг. 1.
При своем вращении лопасти захватывают воздух спереди
и отбрасывают его назад, в силу чего перед винтом создается
пониженное, а за ним — повышенное давление.
Благодаря этому винт работает, как насос, создавая подса-
сывающее действие впереди и нагнетающее — позади себя. Если
набегающий со скоростью Vo поток направлен на винт, как
обычно, спереди, точно в направлении оси винта или под очень
малым углом к ней, которым можно пренебречь, то эта скорость
будет непрерывно нарастать по мере приближения к плоскости
вращения винта, где она примет некоторое значение I/1=V0+t'1
и далее до тех пор, пока она не примет максимального значе-
ния К2 = 1/0 + на некотором небольшом расстоянии за вин-
том.
Струя, имеющая перед винтом форму цилиндра, постепенно
сужается по мере увеличения скорости и за винтом снова ста-
новится цилиндрической, но уже меньшего диаметра.
Дополнительные осевые скорости, сообщаемые винтом про-
ходящей через него жидкости, будем называть: — скоростью
подсасывания, V., — скоростью отбрасывания.
6
Тяга винта, в конечном счете, создается благодаря сообще-
нию этих дополнительных скоростей массам жидкости, проте-
кающим через винт (по принципу реакции).
Таким образом, величину тяги можно вычислить путем приме-
нения известного из механики закона количества движения.
Как будет показано в следующем параграфе, полезная работа
силы тяги меньше работы, затраченной на ускорение масс воз-
духа.
Таким образом, при работе винта мы всегда имеем дело
с потерями энергии, которые называются „осевыми" потерями,
так как они связаны с возникновением дополнительных осевых
скоростей.
Кроме этих потерь на винте, мы имеем еще потери за счет
закручивания струи вращающимися лопастями („окружные" по-
тери), а также потери вследствие трения лопастей о жидкость
(„механические" потери). Можно представить себе винт, В'работе
которого отсутствуют последние два вида потерь и имеют место
только абсолютно неизбежные потери на отбрасывание жид-
кости. Такой винт принято называть „идеальным".
§ 3. Тяга, мощность и к. п.д. идеального пропеллера
Дополнительные осевые скорости в струе винта меняется
вдоль диаметра струи, однако, это изменение, вообще говоря,
не велико, и в первом приближении принято считать эти ско-
рости одинаковыми во всех точках данного сечения струи и рав-
ными их средним значениям по сечению.
В этих условиях, прилагая закон количества движения
к массе жидкости рДЦ, протекающей за одну секунду через
площадь F, ометаемую винтом, мы можем импульс силы тяги,
взятый за одну секунду и равный поэтому самой силе тяги Рр
приравнять полному изменению количества движения указанной
секундной массы, т. е. написать:
рг = Рм/(1/2- К) (1)
7
или, иначе:
Pi = ?F(Vo + (1')
С другой стороны, мощность, затраченная винтом на сообще-
ние дополнительной кинетической энергии секундной массе
жидкости, протекающей через винт, по закону живых сил равна:
^ = Р-ф (П2- V02) (2)
или:
Т-,= Рф(21/Л + ^). (2')
Полезная мощность, отдаваемая винтом в виде секундной ра-
боты силы тяги, равна произведению тяги Р, на скорость отно-
сительного перемещения винта в жидкости По или, в соответ-
ствии с принципом обратимости (принцип относительности дви-
жения), на скорость набегания невозмущенпого потока Vo на
винт, работающий на месте.
Коэфициент полезного действия идеального винта должен
рассматриваться, как отношение полезной мощности Р{ Ио к мощ-
ности, затрачиваемой на винте, т. е.
_ЪЦ>_ 2И0 _ 1
7)'-~ 1\ -2V0+t/-. _гч_ (3)
+ 2V0
Таким образом, коэфициент полезного действия идеального
и, «
пропеллера зависит только от отношения скорости отбрасы-
1'0
вания к скорости набегающего потока.
§ 4. Соотношение между добавочными скоростями
в плоскости винта и за ним
Так как при работе идеального винта в идеальной жидкости
на последнюю действует только осевая реакция винта, равная
и противоположная его силе тяги, то мощность, затрачиваемая
винтом, т. е. передаваемая винтом жидкости, проходящей через
ометаемую им площадь, будет равна произведению силы Р, на
скорость прохождения жидкости через винт Ц.
Таким образом
Т^Р^,. (4)
С другой стороны, для мощности Tt мы имеем выражение (2).
Приравнивая эти два выражения и заменяя тягу Р, по формуле
(1), мы будем иметь:
8
[jFVi4 к - Vo) = Рф (w- Уог)
или после сокращения:
И = (V2+ Ц,).
Имея в виду, что Ц = Vo 4- и V2 = У() + v.,, мы из послед-
него уравнения получим:
2 т/] = V.,
или
Эта зависимость формулируется так: скорость подсасывания
равна половине скорости отбрасывания. Она носит название
теоремы Фруда-Финстервальдера.
Пользуясь этой зависимостью, мы можем переписать фор-
мулы (1')> (2') и (3) в виде:
Pi = 2p^1(K + ^)- (6)
Tl = 2VFvl(Vo+vtY. (7)
1
Формулы (6), (7) и (8) позволяют найти тягу, мощность и
к п. д. идеального пропеллера, если скорость подсасывания
известна. Измерив тем или иным способом эту скорость для не-
которого винта при тех или иных условиях его работы, а также,
независимо от этого, определив его тягу и мощность, можно
установить пригодность этих формул для действительных вин-
тов. Подобные измерения показывают, что тяга реального винта
оказывается очень близкой к той, которая может быть вычис-
лена для идеального винта по формуле (6) при соответствующей
величине скорости 170 в то время, как мощность реального винта
всегда несколько (в среднем на 10—15°/0) больше мощности 7,,
подсчитанной по формуле (7).
Соответственно к. п. д. реального винта оказывается меньше,
чем т],., как и следовало ожидать, имея в виду, что теория
идеального пропеллера учитывает неполностью все потери энер-
гии на винте.
В дальнейших выводах будем приближенно считать P = Pt.
9
§ 5. Коэфициент нагрузки на ометаемую винтом площадь
Выведенные выше формулы для идеального винта принимают
очень удобный вид, если ввести безразмерный коэфициент для
тяги винта:
„ Р
Р К8 F
2
(9)
представляющий собой отношение тяги к произведению пло-
Р Vs
щади диадинамический напор - ° F. Этот коэфициент принято
называть „коэфициентом нагрузки на ометаемую винтом
площадь".
Разделив обе части формулы (8) на мы получим:
Vo
Перенеся все члены в правую часть, будем иметь:
(—iY+ £1-Я-о
Это равенство можно рассматривать, как квадратное урав-
V.
нение относительно jF.
''о
Решая это уравнение, найдем:
' (10>
V о
Перед корнем выбирается знак плюс, так как, если принять
знак минус, то скорость, получится отрицательной, что не
соответствует действительности. Формула (10) позволяет при
заданном В определить скорость подсасывания, а вместе с ней
и все остальные скорости в струе, а также к. п. д. винта. Имея
в виду приведенные выше соотношения между скоростями, по-
лучим следующие формулы:
1/,= ц+^,= г„ Vl+tL+1 . (11)
i', —2-if, = Vc (j/l+B— 1 ) (12)
V2— Vq+v2= Vq 1 + В (13)
lo
2
'li 1 + V1 +В
(14)
Последняя формула показывает, что к. п. д. идеального-
винта принимает максимальное значение, равное единице, при
Ц = 0 и с увеличением В падает, обращаясь в нуль при В — со.
Графически зависимость между В и у, показана на фиг. 2.
Здесь же нанесена кривая изменений к. п. д. действительного-
винта. Как видим, эта
кривая, за исключе-
нием самых малых зна-
чений, идет эквиди-
стантно кривой
Из рассмотрения этой
диаграммы видно, что
выгодно уменьшать
коэфициент нагрузки
винта В, так как при
этом уменьшаются осе-
вые потери и растет
„осевой" или „идеаль-
ный" к. п.д. винта. Од-
нако, при очень малых
В, приближающихся к
смотря на уменьшение
образом, за счет возрастания механических потерь на винте. Для
неслишком малых значений В (для Д>0,2 при относительном
шаге Aj>0,7) можно приближенно считать, что
нулю, полный к. п. д. винта падает, не-
осевых потерь. Это происходит, главным
т] - Tjj — 0,15.
(15)
Чем меньше шаг винта, тем отклонение реального к. п. д.
от т;г больше и тем на большие' значения В оно распростра-
няется.
Уменьшения коэфициента В для соответствующего сниже-
ния осевых потерь на винте добиваются путем увеличения
диаметра винта D, что приводит к увеличению площади F, сме-
таемой винтом и к соответствующему снижению удельной наг-
рузки на эту площадь. Однако, чрезмерное увеличение диаметра,
помимо того, что оно может оказаться конструктивно невыпол-
нимым, приводит к росту механических и, в первую очередь,
„концевых" потерь.
§ 6. Скачок давления в струе винта
Рассмотрим изменение давления вдоль струи пропеллера.
Опытным путем установлено, что давления, так же, как и ско-
рости, в любом поперечном сечении струи винта являются пере-
менными величинами. Однако, их изменения не являются слиш-
11
ком большими, поэтому в теориях винта, которые рассматри-
вают его полное действие, не вдаваясь в работу отдельных эле-
ментов лопастей, принято этими изменениями пренебрегать, рас-
сматривая средние по сечению величины давлений (так же, как
ранее в §§ 1—5 рассматривались средние по сечению скорости).
Впереди винта, где скорость равна скорости набегающего
потока Уо, а давление—давлению в невозмущенном потоке Ро,
струя имеет форму цилиндра, который, по мере приближения
к винту, переходит в конус. Скорость при этом, как мы видели,
растет, а давление соответственно падает до величины р\ непо-
средственно впереди винта. Далее за винтом скорость продол-
жает увеличиваться, а давление соответственно падать; однако,
уже на небольшом расстоянии за винтом скорость достигает
максимального значения Ц — ]/0 + v2, а давление уравнивается
с давлением окружающего воздуха и вновь становится равным pQ.
Отсюда следует, что в плоскости винта давление должно
претерпевать скачкообразное увеличение от значения р\ до зна-
чения р'\ сразу же за винтом, так как иначе, непрерывно умень-
шаясь вдоль струи винта, оно никак не могло бы вновь достиг-
нуть в конце струи своего исходного значения, т. е. р0. Скачок
давления в плоскости винта действительно имеет место, и мы
попытаемся определить его величину с помощью уравнения Бер-
нулли.
Применяя это уравнение дважды—сначала к отрезку струи,
заключенному между сечениями О и /', затем к отрезку Г и II
(фиг. 3), мы получим:
12
в первом случае
|^il=Po-P'i = -Ц-2-. (15>
во втором случае
|^Рв1=Р"1— Ро = -^- — -Ц--- (16>
Полный скачок давления найдем суммированием уравнений
(15) и (16):
V = I 1 + ISP21 - P"i — Р'1 = ~ 1/2о)
или, так как
= (V2 - Vo) ( V2 + Vo) =
= и0 (/TTS -1) (j/T+5 + i)i=в v\,
TO
Др = В.Ц^. (17)
Умножив обе части этого равенства на площадь, ометаемую
„ 7ГГ>2
винтом, г ~, получим:
Ьр Г=ВР?У20 =Р. (18)
Формула (18) показывает, что тягу винта можно рассматри-
вать, как результирующую от сил давления, равномерно распре-
деленного по диску, сметаемому винтом.
Величины „подсасывания" (понижения давления) перед вин-
том А/?! и „подпора" (повышения давления) за ним Др2 также
могут быть приближенно выражены через коэфициент нагрузки В
pV*
и динамический напор потока .
Из уравнения (15) находим:
дА=А-/?о=^ (^-^) = ^[1-^ .
Для небольших значений В (В <СЗ) можно приближенно по-
ложить:
)/1 + В ~ 1 + —.
13
Тогда:
(\/1 +В+i)2_ _ А
-----4----= 2
и, следовательно,
(19)
Аналогично из уравнения (16) получим:
|l+fi-l-|-l=| • PpL. (20)
По абсолютной величине Др2 по формуле (19) получается
несколько завышенным, в то время как Д/>3 по формуле (20)
настолько же занижено против точного значения. На сумме их,
т. е. на полной величине скачка давления, неточности формул
(19) и (20), как легко видеть, не отражаются.
§ 7. Применение теории идеального пропеллера
Формулы теории идеального пропеллера применяются, как
для приближенного определения скоростей в струе винта, так и
для основных характеристик самого винта, т. е. его к. п. д., тяги
и мощности. Рассмотрим решение последней задачи в общем
виде.
Пусть требуется приближенно определить к. п. д. и тягу винта
с диаметром D, поставленного на мотор, работающий в полете
на высоте Н (плотность воздуха рЛ) при скорости Уо с эффек-
тивной мощностью Ne л. с.
Имея в виду, что эффективная мощность двигателя полностью
расходуется на преодоление сопротивления воздуха вращению
винта и, следовательно, равна мощности последнего, мы можем
написать:
752V,= Т,
где Т— потребляемая винтом мощность й
в секунду. С другой стороны, мы имеем:
и, следовательно:
n_ 75-W
Vo
Разделив обе части этого равенства на
—площадь, ометаемая винтом, мы получим:
килограммометрах
(3')
(21)
рУ% с
гдеГ= —
14
В— 150 pFIZ’o 71 •
(22)
В последней формуле N, р, F и 1/0 являются величинами
заданными, поэтому мы можем переписать формулу (22) в виде:
т; = k • В,
?FV\
где k — 150 . •
Уравнение (23) есть уравнение прямой, проходящей через
начало координат в системе координат В и у.
Проводя на графике, изображающем зависимость т) от В
(фиг. 4), прямую, наклон
которой равен вычислен-
ному для данного винта
значению k, мы в точке
пересечения ее а с кри-
вой т] = f(B) получим
интересующие нас зна-
чения т) и В данного
винта, которые позволят
затем легко определить
его тягу по формуле (21).
Если ход кривой т}=/(В)
для заданного винта нам
неизвестен, то его к. п. д.
т; и тягу Р можно найти
приближенно по точке
пересечения b
с учетом того,
2
прямой -q — kB С кривой 7). :=/г(В)=-- 1:
что
7] = 7].-0,15.
(15)
Как видно на фиг. (4), точка b получается при другом значе-
нии коэфициента нагрузки Въ отличном от В, определенном
по тяге действительного винта, вследствие чего идеальный к. п. д.
получится несколько меньше, чем тот, который соответствует В
(точка аг на фиг. 4). Этот последний к. п.д. принято называть
идеальным к. п. д., определенным по тяге, в отличие от первого,
который называется к. п. д., определенным по мощности.
Учитывая, однако, приближенный характер решения рассмот-
ренной задачи, можно пренебречь разницей между этими двумя
значениями к. п. д., так как она практически бывает очень не-
велика.
15
§ 8. Взаимное влияние винта и находящихся за ним
частей самолета
Формулы теории идеального пропеллера, связывающие осевые
скорости в струе винта с его нагружением (силой тяги или
коэфициентом В), позволяют разработать приближенную теорию
интерференции (взаимного влияния) винта и находящихся в струе
за ним крупных деталей самолета.
На фиг. 5 показан приблизительный вид струи винта при
наличии фюзеляжа или мотогондолы, стоящей за ним. Как видим,
форма струи отлична от
изображенной на фиг. 1,
соответствующей изоли-
рованному винту, г. е.
винту, за которым прак-
тически ничего, кроме
вала с небольшим про-
дольным обтекателем, не
имеется.
В том случае, когда
за винтом стоит тело круп-
ных размеров, отклоняю-
щее линии тока в сто-
роны от оси винта, вместо
нормального сужения струи за винтом, возможно даже некото-
рое расширение ее.
Точная теория взаимодействия винта и самолета с учетом всех
изменений формы линий тока и потока в целом, которые вносит
присутствие тела, вряд-ли может быть построена в настоящее
время, ввиду сложности этих изменений. Однако многочисленные
экспериментальные исследования показали, что, в основном,
влияние тела на винт сводится к торможению, т. е. к умень-
шению осевой скорости потока в плоскости вращения винта,
которое, как будет видно в нижеследующих главах, неизбежно
должно сказаться на работе отдельных элементов лопастей в силу
изменения истинных углов атаки этих элементов.
С другой стороны, винт, отбрасывая жидкость, создает доба-
вочные осевые скорости, а, кроме того, и повышенные давления
позади себя, вследствие чего лобовые сопротивления частей са-
молета, находящихся за винтом, существенно возрастают.
Основная задача теории взаимодействия винта и самолета за-
ключается, поэтому, в приближенном подсчете, во-первых, сред-
него торможения осевой скорости от крупных частей самолета
(крыло, фюзеляж, мотогондола) и, во-вторых, прироста лобо-
вого сопротивления самолета за счет „обдувки" его струей винта
и возрастания давления за ним.
В технических расчетах часто приходится пользоваться дан-
ными, полученными путем обработки экспериментальных мате-
16
оиаЛов при испытании в аэродина,мических трубах изолирован-
ных винтов. При той же начальной скорости набегающего на
винт потока Vo скорость в плоскости вращения у винта,
стоящего на самолете, не будет равна скорости у изолирован-
ного винта, благодаря торможению потока самолетом.
Однако ввиду того, что при испытании винтов скорость на-
бегающего потока практически всегда изменяется (так же, как
и в полете самолета) в определенных пределах, то нет необхо-
димости сравнивать данные („характеристики11) по тяге, мощности
и к. п. д. обоих винтов при одной и той же скорости Ц. Гораздо
проще исходить из условия, что скорость в плоскости винта Ц,
а вместе с ней и характеристики у обоих винтов одинаковы
и пытаться найти ту начальную скорость, которая у второго
винта даст при наличии торможения одинаковую с изолирован-
ным винтом скорость Ц.
§ 9. Среднее торможение потока в плоскости винта
Итак, будем считать, что у обоих сравниваемых нами винтов,
т. е изолированного и стоящего на самолете, в плоскостях вра-
щения осевые скорости одинаковы и равны Ц. Скорость набе-
гающего потока у первого винта обозначим через Vo, у вто-
рого— через V. Ясно, что 1/> 1/0 так как иначе, при наличии
торможения потока самолетом, условие одинаковости Ц не мо-
жет осуществиться.
Пусть
V=V0(l+e), (24)
где г —небольшой добавок, обычно значительно меньший еди-
ницы, который и учитывает торможение скорости.
Назовем е коэфициентом торможения и попытаемся связать
его с основными характеристиками винта.
При работе винта на самолете, благодаря скачку давления,
возникающему в плоскости вращения, на носовую часть тела,
стоящего за винтом, будет действовать повышенное давление,
которое, однако, быстро падает вдоль струи винта (см. фиг. 3)
и вскоре вновь приближается по своей величине к начальному
давлению в невозмущенном потоке pv Таким образом, при до-
статочно вытянутой по потоку форме тела, стоящего за винтом,
давление на его носовую часть будет значительно превышать
давление на кормовую поверхность. В результате (фиг. 5) кроме
силы тяги Р, приложенной к винту, подпор, вызванный им, будет
создавать дополнительную силу /?, действующую на стоящее за
винтом тело. Можно предположить, что эта сила, пропорцио-
нальная скачку давления, тем самым должна быть пропорцио-
нальна тяге винта. Опыты хорошо подтверждают это предполо-
жение. Следовательно можно написать:
R — h-P. f,, .г г ,”.(25)
Мельников и Свечников. £) V JJ J ,17
Коэфициент пропорциональности h должен зависеть от формы
носовой части тела.
На систему винг-самолет будет со стороны потока действо-
вать разность сил Р— R и обратно, в силу закона равенства
действия и противодействия, с такой же силой, но направлен-
ной в противоположную сторону, система винт-самолет будет
действовать на протекающую мимо нее жидкость. Поэтому за-
кон количеств движения, в применении к секундной массе жид-
кости, проходящей через винт, в отличие от уравнения (1), дол-
жен для неизолированного винта писаться так:
P-R = P(1 — /г) = pFVdVt- И- (26)
Согласно сказанному выше, будем считать тягу неизолирован-
ного винта равной тяге идеального изолированного винта, кото-
рая, как мы знаем, равна произведению скачка давления на
площадь, ометаемую винтом:
5= Ар • F = ^(Ц3- V2) • F. (27)
р [Z2
Разделив обе части уравнений (26) и (27) на ——, получим:
5(1 = (26')
И
/1/ \а
5=/^\-1. (27')
Исходя из (27'):
^=1/ГГв
и подставляя в (26'), получим:
5(1 -И.) = 2 ^(/Г+5 — 1).
Умножив обе части этого уравнения (на 1—J—5 — 1) и сокра-
щая на 5, будем иметь:
Г,=ИТВ+1(1_4)_ (28)
В частном случае, при отсутствии тела за винтом, т. е. для
изолированного винта, IZ = 170, /г = О и формула (28) превра-
щается в формулу (11).
18
При отсутствии обдувки винтом носовой части тела (или
ЯрИ В = 0) мы находим:
(29)
В этом случае скорость является осредненной по диску
винта скоростью перед носовой частью тела.
Определяя эту скорость теоретически (например, методом
источников и стоков) или экспериментально, мы можем опреде-
лить величину коэфициента h — 1— который, как показы-
вают опыты, зависит только от формы носовой части тела и не
зависит от коэфициента нагрузки В.
Величину h — называют средним (по диску винта) торможе-
нием потока.
§ 10. Определение величины коэфициента торможения
По формуле (6) теории идеального винта имеем:
Р = — 2pFV'13c, (6')
где
Заменяя тягу Р в уравнениях (26) и (27) по формуле (6')
и производя сокращение на р/7Ц2, получим:
2а(1 —//) = -^—X. (30)
~v* ц nJ-
(31)
Имея в виду формулу (30), уравнение (31) может быть напи-
сано в форме:
4a = 2a(l-h)[~?+-^ (31')
или
2 , V
1 - h ~ Ц + Ц
(31")
нения
чим:
Исключив из
второго и произведя небольшие преобразования, полу-
из
(30) и (31") путем вычитания первого урав-
IZ_ 1
Ц~1 -h
а’(1 — /г) 1 + h — а + ah,
2»
19
или
Но l/j = [Zo + vlt
у- = 1 —fl + A (1 + a).
К
откуда, деля на Ц, находим 1—77
(32)
+ а.
или
и, следовательно:
(33)
Делая подстановку в формулу (32), получим:
(1 — (?) = 1 —- и + h (1 + fl)
4 о
Фиг. 6
(34)
— 1 —а
Ц =
К
1 —a
и
Пользуясь формулами (10) и (11), найдем:
_ УЙА-1
Ц /1+в0+ 1
откуда
= (36)
и, следовательно,
^=1 +kl/l+B0. (37)
‘'о
Сопоставляя с формулой (24), мы получим для коэфициента
торможения следующее выражение:
20
г = h\/\ + Во. (38)
На фиг. 6 даются значения h для тела вращения (так назы-
ваемого „полутела*), определенные теоретически методом источ-
ников и стоков, в зависимости от отношения миделя тела f
к площади, ометаемой винтом, и относительного диаметра не-
рабочей части лопастей винта $ = -jy. В большинстве случаев,
однако, h лучше брать из графиков, построенных на основании
поодувок моделей фюзеляжей и мотогондол. Такие графики
имеются в специальной справочной литературе 1).
§ II. Учет влияния винта на самолет
Лобовое сопротивление частей самолета, находящихся в струе
винта, возрастает, во-первых, за счет появления силы R, обус-
ловленной повышением давления непосредственно за винтом,
и, во-вторых, за счет обдувки самолета струями воздуха со ско-
ростями, увеличенными благодаря отбрасыванию воздуха винтом.
Прирост сопротивления за счет обдувки может быть вычис-
лен по формуле:
AAZ = X - Ло = Z'CXS + X'CxS
-&'CXS + £"адр-^=-^- ^СЛ5(Ц2 - V2) + ^S"CvS(Va2 - И,
где через 2' обозначена сумма сопротивлений частей самолета,
расположенных вблизи винта (крыло, мотогондолы, радиаторы
и т. п.) и обдуваемых потоком со скоростью Ц, через £" —
сумма сопротивлений частей, более далеко отстоящих от винта
или имеющих большое протяжение (фюзеляж, оперение и т. д.),
через Сх — коэфициенты сопротивлений и через S —мидели ча-
стей самолета, находящихся в струе винта.
Так как (см. формулы 17 и 19)
В Р
V\2— V2~ X.v2=-^.
1 2 рг
и
то
ДХ= (у ^CXS + £"CXS). (39)
Эффективная тяга, т. е. тяга винта за вычетом добавочных
-оцротивлений от винта, будет:
> См., напр., Справочник авиаконстрз'ктора, т. 1, 1937 г.
21
, 1 Ъ'С *? Е"Г \
Р,= Р - R—bX= Pll-h-^ ------------^5—) = Р(1 -С), (40)
\ z г г /
i2'C S Е"С S
где C = h-i-* + ~~р~— называется „коэфициентом об-
дувки*.
Коэфициент полезного действия винта с учетом интерфе-
ренции винта и самолета—г1в может быть выражен через к.и д.
изолированного винта следующим образом:
^=^=P<rz^(i±!)=4(1_Q(1+s). (41)
Как видно, к.п.д. винта, поставленного на самолет, увели-
чивается за счет торможения и уменьшается за счет обдувки.
В конечном счете произведение (1—С)(1 4-г) обычно бывает меньше
единицы, что приводит к уменьшению к.п.д. винта благодаря
взаимному влиянию винта и самолета.
ГЛАВА III
Теория подобия винтов
§ 12. Условие кинематического подобия режимов
работы винта
Поскольку задача определения тяги и мощности для гео-
метрически заданного винта долгое время не могла быть ре-
шена аналитическим путем, то для ее решения, так же как в слу-
чае крыльев, приходится обращаться к эксперименту. Однако,
испытание винтов в полете оказывается возможным лишь в очень
редких случаях и сопряжено со значительными затратами средств
и времени.
Если же испытывать модели винтов в значительно уменьшен- ,
ных масштабах, то возникает вопрос о переходе от моделей
к „натуре". Этот вопрос был впервые поставлен и решен из-
вестным французским инженером и исследователем Эйфелем.
Эйфелем был прежде всего решен вопрос о том, при каких
условиях два геометрически ^подобных винта будут работать
в кинематически подобных режимах, после чего им же были
выведены формулы для перехода от модели к натуре. Решение
этих двух задач и составило основное содержание разработанной
Эйфелем теории подобия винтов. К изложению этой теории мы
и переходим.
Пусть мы имеем два геометрически подобных винта разных
диаметров Dy и D2 (фиг. 7). Пусть окружные и осевые скорости,
а также плотности воздуха, при которых работают оба впита,
различны и равны V, и Uj в случае первого винта, и И, и 6’.2—-
в случае второго винта.
22
рассмотрим два сходственных сечения у этих винтов. Под сход-
ственными сечениями в дальнейшем будем понимать такие сече'
ниЯ у геометрически подобных вин-
тов, радиусы которых относятся, как
диаметры соответствующих винтов,
т. е. такие, для которых
D.
D.'
Г2
(42)
В сходственных сечениях двух гео-
метрически подобных винтов формы
профилей должны быть геометрически
подобны, а углы установки равны1).
Таким образом (фиг. 8):
<Pi = Ъ?
Выясним, при каких условиях
рассматриваемых сходственных
филя будут обтекаться потоком кинематически
зом. Если пренебречь влиянием масштабного
разницей в числах Рейнольдса обоих потоков),
(43)
два
про-
Фиг. 7
подобным обра-
эффекта (т. е.
который в
чае тел хорошо обтекаемой формы и не слишком большой
слу-
раз-
Фиг. 8
ницы в линейных и скоростных масштабах не может сильно ска-
зываться, то на основании фактов, известных из аэродинамики
крыльев, можно заключить, что кинематически подобные по-
токи у двух геометрически подобных профилей могут иметь место
только при одинаковых углах атаки. Таким образом, условие по-
добия режимов обтекания обоих сечений может быть записано
так:
_________________ «г = «2. (44)
Ч Эт° вытекает из геометрического условия подобия, согласно которому
Фигуры (два тела) считаются подобными, если у них сходственные стороны
1 олорциональны, а углы равны.
23
Сопоставляя равенства (43) и (44), мы приходим к выводу,
что в этом случае будут равны и углы притекания струй, т. е.
(45)
откуда
tg₽1=tg₽a. (46)
Но тангенсы углов притекания струй могут быть заменены
отношениями скоростей, т. е.
JA_J4
^2
или, так как U— 2vrns
К = к
2nt\n.sl 2лг2п43
Сокращая на 2тс и заменяя rt и га на основании (42) диамет-
рами соответствующих винтов, мы не нарушим равенства,
поэтому
= (47)
Равенство (47) имеет чрезвычайно большое значение в теории
винтов. На основании этого равенства мы можем установить
критерий кинематического подобия работы двух подобных вин-
тов. Оказывается, что для того, чтобы два подобных винта ра-
ботали в одинаковых условиях обтекания, необходимо, чтобы
отношения осевых скоростей к произведениям чисел оборотов
на соответствующие диаметры у обоих винтов были равны.
Отношение -- обозначается буквой и называется харак-
теристикой режима работы винта. Таким образом, условие
(47) может быть записано так:
= (47)
Величина имеет определенный физическии смысл:
Л V и
обозначая поступь винта ---- через На и вводя это обозначение
M's
в формулу для К, получим:
Х = ^. = Лв. (48)
Оказывается, что к это то же самое, что и относительная
поступь винта.
24
s 13. Теория подобия винтов. Формулы тяги, мощности
и коэфициента полезного действия винта
Перейдем к выводу формул, которые позволят нам делать
переход от тяг и мощностей, найденных из испытаний моделей,
к тягам и мощностям винтов „в натуру".
Выделим мысленно в сходственных сечениях двух геометри-
чески подобных винтов, изображенных на фиг. 7, два подобных
элемента лопасти и рассмотрим силы, действующие на эти эле-
менты. u
Рассмотрим случаи, когда оба винта работают в одинаковых
режимах и, следовательно, X, — Х2.
Согласно вышеизложенному, углы атаки и углы притекания
струй в обоих сечениях при этом также будут одинаковы. По-
добие профилей и равенство углов атаки обусловливает подобие
силовых многоугольников на фиг. 9. Это следует из того факта
(известного из аэродинамики крыльев), что наклон полной аэро-
динамической силы dR к направлению потока зависит только от
угла атаки и формы профиля крыла и для одинаковых профилей
и углов атаки один и тот же.
Подобие силовых треугольников дает:
dRi _dP! riQi
dR.~dP.~dQ.,' ( J
Полную аэродинамическую силу, действующую на элемент ло-
пасти, можно выразить слеующим образом:
dR = CapdSW2,
де dS—площадь элемента и W—относительная скорость.
Поэтому:
dR._
dR, Ca.-p.dS.-W 2
25
Из равенства углов атаки следует, что Са1= С«2. Заменяя, кроме
того
и
W* и2ъ dS.> D2s
(площади подобных фигур относятся, как квадраты сходственных
линейных размеров), получим:
dRx dR2 _dPx_ dP2 p,dw pxDx222^rx2ns2 __ pxtisxsDx4 (50)
p£>2U2 ptDJ2Wrs2ns2a p2ns2Dj
откуда:
dP, Pins^D^ dP2 ~ p.ns/D/ ‘ (51)
Разделив каждую из лопастей обоих винтов на бесконечное
число элементов, мы для каждого из них можем написать урав-
нение (51). Интегрируя элементарные силы тяги по всему винту,
получим:
____Л_____=_____Р.
p2ns2D2
Обозначая
Р
мы можем переписать уравнение (52) так:
«! = а,.
Величина а называется коэфациентом тяги (по Эйфелю).
Из формулы (53) находим:
P=apn/D4. (54)
Формула (54), наряду с равенством (52), служит для перехода от
моделей винтое! к натуре.
Для вывода формулы мощности напишем на основании (49)
и (50)
rfQ 1 __ pxns2Dx (5
dQ.> '
Умножив обе части уравнения (55) на отношение окружных
/7, га^.г, ns.Di
скоростей, т. е. на —=—— — —- г? > получим:
с/, ns2r2 ns2U2
_ _Pi'2£i3Z)i5-
rfQ2 • U2 p2ns?D2 •'
Ho dQ -U = dT, где dT—мощность элемента лопасти (в кп-
лограммо-метрах в секунду). Таким образом, мы имеем:
(52)
(53)
(52)
2Ь
dT, _ нли ________ dI\ _
dT., p2ns2sD2:’ p1n^13Z?1r> p2ns2sD/
откуда, суммируя по всей длине лопасти, получим:
л =ъ _
PiKs^D^ p2tis2sD2b
Обозначая
Г _
'^з^Г-=:₽>
(36)
(57)
(58)
где р_безразмерный коэфициент мощности пинта (по Эйфелю),
мы можем переписать уравнение (57) так:
₽х = ₽2 (59)
Из формулы (58) получаем:
T=fa>ns3D\ (60)
Отметим, что равенство коэфициентов а и р у двух геомет-
рически подобных винтов (формулы 52 и 59) получено нами,
как следствие одинаковости режимов этих винтов, т. е. равен-
ства X.
Отсюда вытекает, что, если X у обоих винтов не одно и то
,же, то нельзя ожидать и равенства коэфициентов тяги и мощ-
ности.
Таким образом, следует притти к заключению, что а и р
являются функциями относительной поступи винта X.
Существование зависимостей:
B=/iW и ₽=/2(х)
было проверено Эйфелем путем испытания винтов на разных
режимах, характеризуемых параметром X. Эти опыты, а также
последующие испытания серии подобных винтов в других ла-
оораториях показали хорошее совпадение с теоретическими
выводами Эйфеля.
Формулы (54) и (60) являются основными формулами теории
подобия винтов. Пользуясь этими формулами, можно очень
просто делать переход от моделей винтов к винтам „в натуру".
Для этого достаточно знать коэфициенты а и [", полученные из
испытаний винтов при разных значениях относительной поступи
и взяв те из них, которые соответствуют значению X, соот-
ветствующему условиям работы „натурального" винта, подста-
ить их в формулы (54) и (60), в результате чего оказывается
озможным определить тягу и мощность винта „в натуру", гео-
«етрически подобного испытанной модели винта.
Помимо тяги и мощности важно бывает знать также и коэ-
Р Щиент полезного действия (к. п. д.) винта.
27
Коэфициентом полезного действия винта, как указывалось выше,
называется отношение полезной мощности, отдаваемой винтом
самолету, к мощности, затрагиваемой на вращение винта.
Если пренебречь углом между направлением силы тяги и
направлением скорости полета, то полезная мощность может
быть выражена в виде произведения тяги винта на скорость
самолета относительно воздуха V.
Мощность, затрачиваемая на вращение винта, т. е. та мощ-
ность, которая расходуется на преодоление сил сопротивления
вращению винта, определяется формулой (60).
Таким образом для коэфициента полезного действия винта
можно написать следующее выражение:
PV а
Т ~ В
(61)
Формула (61) показывает, что <1 является функцией характе-
ристики режима работы винта X, так как коэфициенты а и р,
входящие в эту формулу, также зависят от X.
Коэфициенты а и р, а, следовательно, и к. п. д. винта нахо-
дятся из испытаний моделей винтов на специальных установках
в аэродинамических трубах или на ротативных машинах.
§ 14. Характеристики винта
Испытание моделей винтов проводится при различных зна-
V
чениях относительной поступи К = .
Изменение X делается
как за счет изменения оборотов мотора, вращающего винт, так
и за счет изменения скорости потока в аэродинамической трубе.
При каждом определенном значении X с помощью соответствую-
щих приборов измеряются тяга Р и мощность Т винта, а также
скорость потока в трубе и число оборотов винта. Скорость по-
тока измеряется, как обычно, с помощью микроманометра и
насадка, числа оборотов определяются по тахометру или с по-
мощью стробоскопа.
Измеренные при различных значениях X тяга и мощность
винта позволяют построить его аэродинамические характери-
стики, т. е. диаграммы, изображающие зависимость коэфициен-
тов а, р и т] от X. Определение этих коэфициентов делается по
формулам:
_ Р
pn'D*
г ______________Т_______
(62)
а
28
кривые аир начинаются не в начале
выше его. Это значит, что при Х=0,
Фиг.
10
Пиаграммы, представляющие собой нормальные характеристики
винта, имеют вид, показанный на фиг. 10.
Б На'такой диаграмме по оси абсцисс откладывается он сси-
тельная поступь винта А. По оси ординат откладываются коэ-
фициенты а, Р и vj, при этом, в большинстве случаев, в разном
масштабе. Наиболее мелкий масштаб берется обычно для кри-
вой т], наиболее крупный для кривой р.
Как видно из фиг. 10, ° """""
координат, а значительно
т. е. при работе винта „на
месте", последний погло-
щает значительную мощ-
ность и развивает боль-
шую тягу.
При появлении ско-
рости V обороты винта
несколько увеличивают-
ся, но в меньшей сте-
пени, чем увеличивается
скорость. В результате X
возрастает. При возраста-
нии К вначале несколько
увеличиваются а и р, но
затем они начинают па-
дать. При некотором зна-
чении X коэфициент а
обращается в нуль. Это
означает, что винт пере-
стал давать тягу. Далее
а, а вместе с ним и тяга
Р, становятся отрицатель-
ными, т. е. превращаются
в лобовое сопротивление. При дальнейшем возрастании ско-
рости, а вместе с ней и X, вскоре же после обращения в нуль
коэфициента тяги, обращается в нуль и коэфициент мощности р.
Проследим теперь изменение коэфициента
ствия. При "[ = 0, т. е. при работе винта „на
следует из формулы
возрастании ско-
полезного дей-
месте", как это
се
(62)
ЧТО ХОТЯ ВИНГ
п нулю‘ Ф113ически это объясняется тем, __________ _____ ____
по —0 и создает СИЛУ тяги, тем не менее, ввиду отсутствия
,тУПательной скорости, эта сила тяги не совершает полезной
ва₽°ТЫ’ В То же вРемя на вращение винта при этом затрачи-
тся значительная мощность.
воз В03Растании коэфициенты аир, как мы видели, слегка
растают, а затем довольно быстро падают. К. п. д. винта при
29
этом вначале быстро растет, достигает максимума, а затем еще
быстрее падает и при а = 0 вторично обращается в нуль.
Рассмотренное только что изменение коэфициентов а и р в
зависимости от X и связанное с ним изменение г; может быть
вполне объяснено с помощью скоростного треугольника, взятого
в любом сечении лопасти.
Рассмотрим работу элемента лопасти, взятого в произвольном
сечении этой лопасти при разных значениях относительной по-
ступи X.
Прежде всего заметим, что, хотя Х = ——- может изменять-
tisu
ся, как в зависимости от скорости lz, так и в зависимости от
оборотов и диаметра винта D, но если для большей конкрет-
ности рассматривать работу винта (пропеллера) какого-либо оп-
ределенного самолета, то в этом случае- мы будем иметь D по-
стоянной величиной, а число оборотов ns, хотя и меняется при
изменении режима полета самолета, но сравнительно в очень
узком диапазоне, так что в данном случае для простоты рассуж-
дений можно считать ns приближенно постоянным. Тогда X бу-
дет изменяться пропорционально скорости полета IZ.
При работе винта „на месте", т. е. при стоянке самолета на
земле, скорость V=0 (что соответствует Х = 0), и, как видно
на фиг. 11 а, угол атаки лопасти в рассматриваемом сечении
будет иметь максимальную величину, а именно, будет равен
углу установки <р. Естественно, что при этом тяга dP и сила со-
противления вращению dQ элемента лопасти будут близки к
максимальным.
Возрастание скорости самолета I/ приведет к возрастанию X
и, как показано на фиг. 11 Ь, к уменьшению угла атаки, а, сле-
довательно, и к уменьшению сил dP и dQ.
При скоростях, превышающих максимальную скорость гори-
зонтального полета самолета (что может иметь место, например,
при крутом планировании самолета), возрастание скорости V
приводит сначала к обращению в нуль угла атаки, а затем к
переходу „дужек" винта на отрицательные углы. Результирую-
щая сила dR, уменьшаясь, будет при этом менять свое направ-
ление.
В момент, когда dR будет направлена параллельно плоскости
вращения винта (т. е. параллельно окружной скорости U), тяга
обратится в нуль, а затем станет отрицательной, т. е. превра-
тится в лобовое сопротивление (фиг. 11 с).
Поступь винта На~ , при- которой тяга обращается в
ns
нуль, называется динамическим шагом и обозначается через Hd.
Наконец, при еще больших скоростях полета („пикирование*
самолета) угол атаки принимает настолько большие отрицатель-
ные значения, что не только dP, но и dQ становятся отрицатель-
ными (фиг. 11 d). Отрицательный знак силы dQ показывает, что
30
она направлена в сторону вращения винта и, следовательно, не
только не препятствует вращению, но, наоборот способствует
ему. В этом случае на вале мотора не приходится прилагать ни-
какого момента, так как винт будет вращаться, подобно вет-
рянке, под действием набегающего потока воздуха. Этот режим
работы винта называется режимом авторотации или самовра-
щения-
То, что было сказано выше относительно зависимости сил
dP и dQ от угла атаки лопасти в каком-либо одном сечении,
может быть повторено для любого сечения и, следовательно,
для всего винта в целом.
Пользуясь формулами (54) и (60), мы можем приложить все
эти рассуждения и к коэфициентам а и ₽, так как последние при
изменении к изменяются пропорционально силам Р и Q, если р,
ns и D считать постоянными величинами.
Таким образом, мы получаем объяснение характера кривых
и р=/2(Х). Характер же кривой t]=/s(X) целиком за-
висит от характера первых двух.
Кроме „нормальной” характеристики винта, показанной на
фиг. 10, встречаются характеристики и других типов.
В большинстве случаев винты испытываются в аэродинами- •
ческих лабораториях не в одиночку, а целыми сериями по 10—20
и более штук. Эти серии обычно состоят из винтов одинаковой
формы лопасти и с одинаковыми „дужками" в сходственных се-
чениях, но различающихся друг от друга геометрическим шагом,
Углом поворота лопасти к плоскости вращения (что по существу
то же самое, что и шаг), а иногда и другими параметрами (ши-
рина лопасти в- заданном сечении и т. д.).
Винты одной и той же серии, обладая одним и тем же харак-
' еР°м кривых а, р и т], в то же время имеют различный порядок
тих коэфициентов и дают наивыгоднейшее значение к. п. д. при
Р зличных X, что позволяет, на основе пользования серийными
31
диаграммами, подбирать винт на ту или иную скорость полета из
данной серии, ставя условием получение возможно более высо-
кого к. п. д.
Ввиду того, что серии охватывают довольно большое коли-
чество винтов, нормальные характеристики которых состоят из
трех кривых (а, р и Tj), то при нанесении этих кривых на одну
диаграмму, вследствие большого количества кривых, пересекаю-
щихся и накладывающихся друг на друга, пользование такой
серийной диаграммой может оказаться затруднительным.
Поэтому еще Эйфелем (в 1910 г.) было предложено, вместо
трех кривых для каждого винта, наносить на серийную диаграм-
му только по одной кривой, а именно, кривую ₽ =/2 (X). Для
того, чтобы можно было при заданном К находить также и коэ-
фициенты а и т;, значения к.п.д., взятые через определенные
промежутки (например, через 0,01 или 0,05), помечались черточ-
ками на кривых р при соответствующих значениях X.
Полученные таким путем точки на кривых 0 различных вин-
тов одной и той же серии дают возможность, путем интерполя-
ции, легко находить к.п.д. и для промежуточных значений X.
Для облегчения этой интерполяции точки разных кривых, соот-
ветствующие одинаковым значениям tj, соединяются плавными
кривыми (кривые—„изо"—?]).
Серийная диаграмма, построенная таким образом, показана
на фиг. 12. Пунктирная линия на этой диаграмме соединяет точ-
ки, соответствующие максимальным значениям т; при разных
углах поворота лопасти <р.
В случае необходимости определить также и коэфициент
тяги а, последний может быть всегда найден по имеющимся
значениям р и ц (взятым из диаграммы) и по заданному значе-
нию X.
Серийные диаграммы позволяют решать самые разнообразные
задачи, связанные с подбором и расчетом винта. Такие расчеты
винтов требуют внесения поправок в значения, взятые из харак-
теристик винта, так как винты в аэродинамических лабораториях
часто испытываются „изолированно", т. е. при отсутствии дру-
гих частей самолета (фюзеляж и т. д.), могущих значительно!
изменить характер обтекания лопастей и режим работы винта.
Введение этих поправок делается на основе теории взаимного
влияния винта и самолета.
Кроме диаграмм, предложенных Эйфелем и описанных выше,
существуют и другие разновидности серийных диаграмм. Так
по предложению американского ученого Вейка (Weick) серийные
диаграммы в США строят в виде зависимости •»] и X от так на-
зываемого „коэфициента быстроходности" Cs, который связан
с р и X формулой:
Такая диаграмма показана на фиг. 13. Так же, как и на се-
рийной диаграмме Эйфеля, здесь в качестве параметра семей-
ства кривых служит шаг винта или (что одно и то же) угол на-
клона лопасти <р на радиусе г = 0,75. Пунктирная линия соеди-
няет точки, соответствующие г1тах.
Основное преимущество коэфициента Cs состоит в том, что
он не связан с диаметром винта, как это видно при подстановке
в выражение для Cs величин
V Т
~ nsD и ?ns3D5~
Это очень удобно при подборе винта, когда по заданной
1оШности, скорости, оборотам мотора и высоте полета требуется
аити наивыгоднейший диаметр винта.
Одно из неудобств всех упомянутых серийных диаграмм со-
°ит в том, что по ним бывает трудно (а иногда и просто не-
3 м
ельников и Свечников. 33
возможно) определить коэфициент „тяги на месте", т. е. тяги
винта при скорости, равной нулю, так как
« = (65)
Л.
Фиг 13
и при к —0, т; также обращается в нуль, В случае необходи-
мости рассчитать тягу при нулевой скорости при пользовании
серийными диаграммами пришлось бы пользоватся правилом ра-
скрытия неопределенности, беря
34
«о = ₽о lim
Д7-И)
и определяя графически Л^
;)Т нуля. Этот прием может
внести большую погреш-
ность. Поэтому в послед-
нее время, в результате
испытаний, лаборатории
чают специальные диаг-
раммы изменения коэфи-
циентов тяги и мощности
винта (а, Р) при малых зна-
чениях относительной по-
ступи К, начиная от К —0.
Такая диаграмма приведена
на фиг. 14, где дается сетка
кривых а — /(Р) для несколь
ких (малых) значений X. Дру-
гие кривые соединяют точки,
соответствующие одним и тем же углам установки лопасти <р.
при некотором Лк, отсчитываемом
§ 15. Подбор винта к самолету
Одной из важнейших задач, которую приходится решать
с помощью серийных характеристик винтов, является задача
подбора наивыгоднейшего винта к самолету с заданным мотором.
Эту задачу необходимо решать с учетом: 1) влияния сжимае-
мости воздуха, 2) интерференции винта и самолета и 3) необхо-
димости для винта работать вне расчетных условий.
Расчетными условиями при подборе винта обычно являются
заданные: 1) скорость полета Vo, 2) мощность мотора Ne, 3) обо-
роты вала редуктора, 4) высота полета (плотность воздуха).
1Эсто указываются также пределы, в которых должна находится
величина диаметра выбранного винта и диапазон изменения угла
установки лопастей (для винтов изменяемого шага).
Прежде чем подбирать винт, следует выбрать подходящую
серию винтов, исходя из средних размеров диаметра
который можно поставить на данном самолете.
можно подсчитать средние значения
х _ Ц, _ _757Ve__
винта Dcp,
Для этого
(66)
• взяв серийные диаграммы нескольких серий винтов, опреде-
Ить по ним ^расчСр в точках, соответствующих ^расчср и $расчер.
Очевидно, остановиться следует на тех сериях, которые да-
ут наиболее высокие коэфициенты полезного действия. С целью
з*
35
более удачного выбора серии следует при этом учесть сниже-
ние к. п д. за счет потерь, обусловленных сжимаемостью воз-
духа. Это может быть сделано с помощью показанного на фиг.
15а графика Вейка (США). На этом графике дается поправочный
коэфициент Кг., на который надо умножить найденные на серий-
ной диаграмме к. п. д. винта (?]) с тем, чтобы ввести поправку на
Фиг. 156
»
потери, связанные с появлением волн Маха на концах лопаете
винта. Коэфициент на графике дается в функции эффекти!-
ной скорости конца лопасти:
W3 = + (kD«s)2 • Kw, (671
36
Г Л е f с * f h " }а 11
jc^i — отношение скорости звука на земле к скорости звука
на заданной высоте, fh и /а — коэфициенты, учитывающие влия-
дие толщины лопасти и угла атаки. Коэфициенты fc и fa приве-
дены на фиг 156, 15в; fh = 1,01 — 1,04 для толщин лопасти на
0,75/? от 0,07 — 0,10. График Вейка представляет собой семей-
ство кривых, каждая из которых соответствует определенному
значению Ураеч = —ту. Для ).раС11 >2—определение /С ведется
по верхней кривой.
Для учета взаимного влияния винтов и самолета лучше всего
брать серии винтов, испытанных в присутствии мотоустановки
такого же типа, который соответствует заданному самолету. Если
таких серий нет под руками, тогда следует вводить поправки
в к. п. д. на взаимное влияние так, как’ указывалось в § 11.
Остановившись на определенной серии винтов, можно перейти
к подбору самого винта, т. е. к окончательному выбору вели-
чины диаметра винта (а для винтов фиксированного шага—также
и шага). Для этой цели следует задаться несколькими подходя-
щими значениями диаметра: Dt, D2, Ds, не выходя из пре-
делов, которые ставятся, с одной стороны, максимально цопусти-
мыми скоростями на концах лопастей, которые не должны пре-
вышать 0,95 — 0,97 а (а — скорость звука)1), а также минимально
допустимым расстоянием концов лопастей до земли. При положе-
нии самолета „в линии полета" и полностью сжатых стойках
и пневматиках шасси это расстояние не должно быть меньше
150 — 200 мм. Другой, нижний предел допустимых значений
диаметров винта ставится условиями его работы на взлете само-
лета. когда винты малого диаметра имеют очень низкий к. п.’д.
вследствие малой поступательной (осевой) скорости винта.
Для каждого из взятых значений диаметра винта вычисляют
11 f по формулам (66), после чего на серийной диаграмме на-
ходят точки, соответствующие каждой паре значений (X, |3),
и определяют значения к. п. д. tj в этих точках. Наивыгодней-
шим диаметром винта DpaC4 является тот, который соответ-
ствует максимальному значению к. п. д. (фиг. 16). Однако, при
окончательном выборе диаметра, как и при выборе серии винта,
Следует учесть сжимаемость воздуха, что может быть также
сделано с помощью графика Вейка. Как видно на фиг. 16, наи-
иигоднейший диаметр с учетом сжимаемости оказывается меньше,
л^м Диаметр, определенный без такого учета. По Dpac4 опреде-
Ют окончательно \р и после чего на серийной диаграмме
_^Додят угол ® или относительный шаг h (для ВФШ).
~-----
винтоНастОяи1еевРемя (19т/г.) для специальное проектированных „скоростных"
Прев£.в С тонкими профилями и стреловидными лопастями достижение и даже
Шение скорости звука на концах лопастей не считается недопустимым.
37
Еще проще делается подбор винта по американским серий-
ным характеристикам. Как видно из формулы 64, коэфициент
быстроходности Cs не зависит от диаметра винта и в то же
время включает в себя все величины, заданные для подбора
винта. Это позволяет де-
лать подбор, не задаваясь
несколькими диаметрами и
не производя громоздких
выкладок. По формуле (64),
по заданным Vpae4, ppaev,
Tp~75Npp и nsp находят
Cspaf,„ после чего, обращаясь
к диаграмме (фиг. 13) и от
ложив на оси абсцисс эту
величину, проводят верти
каль (ординату) и с помо
щыо кривых т] = /(Cs) уста
навливают, при каком угле
установки раеч получается
для заданных расчетных усло-
7!
сгюпраЬкой
на сжимаемость
йрасч
Фиг. 16
,-[)Р.з поправки на
сжимаемость.
наиболее высокий к. ti. д. винта
ниже по вертикали, при том же Cs и на!
ХрйСЧ, после чего определение диаметра де
вий. Затем, спускаясь
денном <р°ра1ч находят
лается по формуле
г-ч ______ Урасч
рас: — ;
,ls р р
(67 >
D
Следует отметить, что имеющиеся в нашей литературе амер!
канские серийные диаграммы построены без учета сжимаемости
(но с учетом взаимного влияния винта и самолета). Поэтому
выбранный диаметр винта следует проверить на концевые ск< •
рости и в случае, если на конце лопасти скорости оказываются
больше, чем 0,95 — 0,97С, необходимо задаться винтом меньшего
диаметра, найти для него новое ‘рисч по формуле и новые ървп
и г1ршЧ по графику 13.
§ 16. Пересчет характеристик винта на другое „покрытие
В расчетной практике при выборе винта могут быть случа I, |
когда имеющиеся серийные диаграммы нё удовлетворяют ко i*|
структора с точки зрения мощности или прочности данных < -
мейств (серий) винтов. С ростом мощности моторов такие с?
чаи часто могут иметь место. Выходом из положения может I
явиться или проектирование винта заново, или, что гораздо проще»!
увеличение „покрытия" винтов данных серий с соответствую*]
щим пересчетом их характеристик.
„Покрытием" винта называется отношение суммы проекц |
площадей его лопастей на плоскость вращения к площади, омет; Ч
мой винтом. Величина покрытия характеризует .„заполнени *' ,
38
площади диска винта его лопастями. Очевидно, что если бы
существовал винт с бесконечно большим числом лопастей, то
его покрытие равнялось бы единице. Так как вычисление пло-
щади проекции лопасти на плоскость вращения винта обычно
является довольно сложным делом, то на практике величина
покрытия а определяется обычно, как отношение произведения
числа лопастей i и максимальной ширины лопасти Ьпах к диа-
метру винта D.
(68)
При переходе к более мощному мотору часто бывает целесо-
образно, не увеличивая диаметра D и не меняя формы сечения
лопастей, увеличить покрытие винта, характеристики которого,
конечно, при этом изменятся. Толщина лопастей при этом дол-
жна быть увеличена пропорционально увеличению их ширины Ь,
что дает увеличение прочности лопасти, соответствующее росту
потребляемой ею мощности.
Пусть мы имеем характеристики винта с шириной лопасти b
и числом лопастей i (фиг. 17) и требуется пересчитать эти
характеристики на винт с шириной Ь' и числом лопастей i'. Про-
ведя две окружности радиусами г и г + dr, мы вырежем два так
называемых кольцевых элемента винта, а из каждой лопасти—-
элемент лопасти, представляющий собой элементарное кры-
лышко с хордой b и размахом (шириной) dr.
Рассматривая работу лопастей у обоих винтов при одной
и той же относительной скорости набегания воздуха Wи одном
и том же угле атаки, мы приходим к выводу, что элементарные
силы, действующие на элементы винтов, будут относиться как
суммарные площади элементов лопастей, т. е.
dP' dQ' i'b’ _ o' ,fiQ.
dP~ dQ~ ib " a ' ( ’
39
Равенство относительных скоростей в рассматриваемых
сечениях обоих винтов требует, чтобы выполнялось условие
/ VT + Ц2 = (70)
Равенство же углов атаки приводит к условию:
Скорости и Ux зависят соответственно не только от на-
чальной скорости набегающего потока и числа оборотов винта,
но и от добавочных скоростей, вызванных самим винтом. Если
пренебречь закручиванием струи винта, которое, как показы-
вают более точные расчеты, оказывает небольшое влияние,
и принять, что числа оборотов, а следовательно, и окружные
скорости обоих рассматриваемых винтов одинаковы, то оба усло-
вия (70) и (71) приводятся к одному, а именно:
Ц = V/. (72)
Скорости подсасывания у обоих винтов будут, однако, раз-
личны вследствие разной величины тяг и коэфициентов на-
грузки В, а поэтому скорости набегания и относительные поступи
будут различны:
Разбивая оба винта мысленно на одно и то же количество
кольцевых элементов и суммируя элементарные силы и элемен-
тарные мощности
dT=dQ- 2rj-ns,
мы приходим к выводу, что
^ = Т=7=/г- (69')
или, сокращая тяги на р/г/О4, а мощности на p«s3D5, находим
отношение коэфициентов тяги и мощности:
т=^=*- <73>
Отсюда
а' = ka и 0' = /?₽ . (73')
Теперь следует найти соотношение между относительными
поступями. Так как V\ = ns = n's и D = D', то можно на-
писать: 74
(74)
40
По теории идеального пропеллера (формула 11):
У1_1 + ]/1+В V' _ 1 + 1/1 + В'
2 ! И Vo' “ 2
Таким образом:
X (1 + уг+в~ ) = Х'(1 + l/ГТВ7). (74)'
Коэфициент нагрузки В может быть найден из соотношения:
Р= арп2О4 = Bp ~~VQ2,
о
откуда to II + °° n2D2 _ 8 к а (75)
°' v0*
я аналогично Св II И | 00 а! 'х7» — 8 ka. (75')
Подставляя эти выражения в уравнение (74'), мы получим:
\/1 + | •;#) = ''(1+\/l + 4p’)=flW' (76)
Отсюда:
I' 1 - \/1 >/>
Возводя в квадрат обе части уравнения и решая относительно
X', найдем
V=Z._±*fL, (77)
2 - k '
где __________. с 1
F = x(l ,-^'1+±+). (77')
Коэфициент полезного действия винта с покрытием а' опреде-
ляется по формуле:
Та* как
Р X ’
41
Пересчет характеристик винта с одного покрытия на др) гое
ведется в порядке, указанном в нижеследующей таблице:
X a 1 F а'
0,1 0,2 0,3 (за- даются) Берутся из характеристик заданного винта Вычисляются по формулам (77), (77') (73') и (78)
ГЛАВА IV
Струйная теория винта
§ 17. Теория элемента винта
Одной из наиболее старых теорий, исходящих из рассмотре-
ния элемента винта, является теория Джевецкого, который рас-
сматривал лопать винта, как несущую поверхность (крыло),
совершающую сложное движение в воздухе, и определял аэроди-
Фиг. 18
вецкий определял путем сложения
намические силы, действую-
щие на лопасть, путем инте-
грирования элементарных
сил, действующих на ее
элементы, вырезанные ок-
ружностями с двумя беско
нечно близкими радиусами г
у и r-}-dr (заштрихованы на
фиг. 17). Каждый такой эле
мент лопасти можно рас
сматривать, как элементар
ное плоское крылышко, ра
ботающее под некоторьв
углом атаки, который Дж(
„местной11 окружной скорости
U—« г — 2 ft rns
и осевой скорости V (скорость потока, набегающего на винт)
одинаковой для всех сечений лопасти (фиг. 18).
Проектируя подъемную силу элемента лопасти dY, перпег
дикулярную „относительной” скорости W, и лобовое сопротш
ление элемента dX, параллельное скорости W, на направлени
осевой скорости V и окружной скорости U и суммируя соответ-
ствующие проекции, мы получим силу тяги элемента лопасти:
dP—dYcosp— dXsinp = rfKsin p(ctpp — [*) (79
42
и сил} сопротивления вращению элемента лопасти:
dQ = p + rfXcos 0 = dYsin ₽(1 pctg p), (80)
dX Cxq-dS Cx
где; ii=-----------—r-=„обратное качество элемента
dY Cyq-db Cv
лопасти.
Для того, чтобы получить полную силу тяги и полную силу
сопротивления, действующие на лопасть, выражения (79) и (80)
необходимо проинтегрировать по всей длине лопасти. При этом
следует помнить что dY=Cy —— наг зависит от переменных
по длине лопасти величин Су W, Ь. Меняются вдоль лопасти
также угол 0 и коэфициент р (в общем случае). В дальнейших, выво-
дах Джевецкий считал, что угол атаки а и коэфициенты Су и а
остаются вдоль лопасти постоянными, что, конечно, не всегта
близко к действительности. Основным же недостатком теории
Джевецкого следует считать отсутствие учета индуцированных,
т. е. вызванных винтом, дополнительных скоростей в поле по-
тока, обтекающего винт. Как уже указывалось в теории идеаль-
ного пропеллера, винт сообщает проходящим через него части-
цам жидкости дополнительные осевые скорости, осредненные
значения которых по диску винта на достаточном удалении за
винтом (так называемая „скорость отбрасывания“) вдвое боль-
ше осредненной добавочной скорости в плоскости винта (так
называемая „скорость подсасывания“) Vp Так как струя винта
сужается в направлении движения жидкости (фиг. 1), то это
свидетельствует о наличии еще одной дополнительной скорости,
индуцируемой винтом — радиальной скорости vr, направленной
от периферии к оси струи вдоль лопасти винта.
Кроме радиальной и осевой индуцированных скоростей,
опыт указывает на существование еще и дополнительной окруж-
ной скорости и, обуславливаемой закручиванием струи за вин-
том. Эта скорость направлена в сторону вращения винта и, сле-
довательно, уменьшает основную окружную скорость U. Теория
идеального пропеллера, не принимающая во внимание закручи-
вания струи винта, естественно, не учитывает и существования
этой дополнительной окружной скорости; однако, учет этой
скорости необходим не только для определения потери энергии
на закручивание струи, но и потому, что существование этой
скорости меняет кинематическую картину обтекания каждого
сечения лопасти, изменяя угол атаки сечения (фиг. 19). Таким
образом, при обтекании лопасти мы имеем полную аналогию
обтекания крыла. Уменьшение угла атаки у лопасти можно
уподобить скосу потока у крыла и написать соотношение между
истинным и кажущимся углом атаки лопасти в виде:
а — а
ист н
А Ct.
43
Скос потока у лопасти Да, так же, как ц у крыла, вызван
появлением дополнительной скорости ни, индуцированной винтом.
Скорость tv является результирующей осевой и окружной инду-
цированных скоростей Vj и ut. Что касается третьей радиальной
индуцированной скорости vr (перпендикулярной к плоскости
чертежа), то она не оказывает влияния на изменение угла атаки
лопасти, поэтому в дальнейшем мы можем ее не рассматривать.
Теории элемента лопасти, построенные с учетом влияния
индуцированных скоростей на работу этого элемента, являются
серьезным шагом вперед по
сравнению с теорией Дже-
вецкого, так как они позво-
ляют ввести важное уточне-
ние в определение сил и
моментов, действующих на
винт. Такими теориями яв-
ляются струйная и вихре-
вая теории винта. В струй-
ной теории винта иссле-
дуется обтекание элемента
лопасти и выводятся соотно-
Фиг. 19
шения между дополнитель-
ными скоростями, вызванными (индуцированными) в потоке са-
мим винтом. Эти соотношения имеют почти тот же вид, что и
выведенные ниже зависимости вихревой теории винта с бесконеч-
ным числом лопастей („дисковая теория*1); однако, их вывод,
основанный на применении основных законов механики, оказы-
вается в струйной теории несколько более простым, чем в вих-
ревой теории.
Струйная теория разработана у нас в СССР трудами Жуков-
ского, Сабинина, Юрьева, Ветчинкина и, параллельно, — загра-
ницей трудами Кармана, Глауэрта и дрхгих ученых.
§ 18. Соотношения между скоростями в плоскости винта
и далеко позади него
На основании того, что уже указывалось в §§ 2 и 17, можно
утверждать, что осредненная по окружности скорость потока,
набегающего на винт, меняется вдоль струи винта от величины
U70 далеко впереди винта до Uy2 — далеко позади него. Это изме-
нение, в основном, сводится к тому, что возникает добавочная
скорость w, вызванная винтом (меняющаяся в струе винта как по
величине, так и по направлению), которая, в общем случае, может
быть разложена на три составляющих: осевую скорость V, окруж-
ную и и радиальную vr. Физические причины образования этих
скоростей уже были нами вкратце разобраны (§17).
В струйной теории выводятся приближенные зависимости,
44
включающие только две первые скорости, т. е. осевую и окруж-
ную, так как радиальная скорость у винтов, работающих при
больших скоростях, не велика и имеет значение только на концах
лопастей, где она еще может оказать существенное влияние на
характер обтекания. В средней и корневой части лопасти радиаль-
ная скорость не влияет на угол атаки лопасти и в струйной
теории обычно не рассматривается.
Выделим двумя окружностями с радиусами г{ и rl + dri
(фиг. 20) элементарную кольцевую струйку в струе винта. В пло-
скости, ометаемой винтом, эти окружности выделяют коль-
цевой элемент с площадью 2яг1«/г1. Будем условно называть
этот элемент — элементом винта. Те же окружности выделят
из каждой лопасти элементарную полоску (заштрихованы на
Фиг. 20
чертеже), которую мы будем называть элементом лопасти. При-
меним основные законы механики к массе жидкости, протека-
ющей через кольцевой элемент винта за единицу времени (одну
секунду). Эта масса равна:
dm — р 2 i\ Vidrx.
(81)
Рассматривая вначале воздух, как идеальную жидкость, и
полагая, что на выделенную массу dm будет действовать только
Реакция винта, которую можно разложить на силы —dPx и
равные по величине элементарным силам dP{ и rfQi, при-
ложенным к кольцевому? элементу винта, но направленные в про-
тивоположные стороны, мы получим:
а) по закону количеств движения
dm(V0- V2) — — dPl
(82)
45
б) по закону моментов количества движения
dm-г, (U'\ - U\) = - dQi-r,’), (83)
где и U'\—окружные скорости непосредственно перед и за
винтом (т. е. в плоскостях Г и Г—фиг. 20).
Отсюда
dQ = dm(U\ — U\) (83')
в) по закону живых сил
^(V%-^2)=-rfP1-l/1 (84)
и
(85)
где 1л\— окружная скорость в плоскости винта.
Подставляя в уравнение (84) вместо dP{ его выражение по
формуле (82), получим:
V%) = dm (V - Ии) • Ц .
Откуда, сокращая, получим:
У2+ У», v
2 ~ 1
или
Vo + ^=VO+^
и окончательно
vi = 2v1, (86)
т. е. осевая индуцированная винтом скорость далеко за вин-
том v2 вдвое больше осевой индуцированной скорости в пло-
скости винта vx. Этот вывод известен в теории идеального
пропеллера под названием теоремы Фруда-Фчнстервальдера.
Аналогично, подставляя в уравнение (85) вместо rfQi его выра-
жение из уравнения (83'), будем иметь:
((Л2Т- U’\) = dm - U,
!) Следует иметь в виду, что направление скоростей Уо и И2 противо-
положно направлению силы Р; направление же скоростей t/0 и t/2 совпадает
с направлением силы Q. Это следует учитывать при подсчете изменения коли-
чества движения. Собственно говоря, следует писать:
dm[(- Г2)-(- Ц>Я = -^1.
что и дает в конечном счете формулу (82).
Для dQ сразу можно написать формулу (83). •
46
или
= ^1,
+ и\
2
но
= ^йгх — и'\; и\~шогх-, [J2z=<Dorl~u1
где «1 и ч"1—окружные индуцированные скорости в плоскости
винта и сразу же за ним, ш0—угловая скорость винта.
Следовательно
«"1
Vi------2" = “(А — А
или
^ = М] (87)
Таким образом, индуцированная винтом окружная скорость
в плоскости винта их вдвое меньше индуцированной окружной
скорости непосредственно за винтом и'\.
В продолжающейся сужаться за винтом струе на жидкость
не действуют никакие силы (в идеальной среде), поэтому момент
количества движения I секундной массы жидкости, возникший
за счет момента сил <7Q в кольцевой струйке, будет оставаться
неизменным, т. е.
1 - ^3
или
dm и'\ — dm г2 • «3,
где и 12— окружная индуцированная скорость и момент коли-
честв движения далеко за винтом.
Отсюда
= = (88)
'2 Г2
Из формулы (88) видно, что если бы струя винта была строго
цилиндрической, то соотношение между индуцированными окруж-
ными скоростями за и перед винтом было бы таким же, как и
соотношение между осевыми скоростями, вызванными винтом.
Из деле, однако, окружная скорость за винтом растет быстрее,
чем осевая, вследствие постепенного сужения струи.
§ 19. Формулы осевой и окружной индуцированных
скоростей
Выше, в § 17 были выведены формулы (79, 80), связывающие
^лементарные силы тяги dP и сопротивления вращению dQ
Демента лопасти с подъемной силой этого элемента dY. Силы
Сц 1 и dQi, действующие на весь кольцевой элемент винта, могут
итаться равными суммарным усилиям, действующим на эле-
47
менты всех i лопастей, лежащие на одном и том же радиусе /у
т. е.
dP1 = idP = i d У • sin рл (ctg pt— p.). (89'
dQj = idQ = idY• sin (1 + p ctgpj . (90)
В этих формулах кажущийся угол притекания струй р мы
заменяем истинным углом притекания рп что соответствует подъ-
емной силе dY, измеренной в условиях плоскопараллельного
обтекания (без скоса потока), т. е. как бы пересчитанной на
бесконечное удлинение лопасти. В этих условиях элементарная
сила dY может быть выражена формулой Жуковского, извест
ной из теории крыла:
dY^pW}Ydfx, (91)
где Г—циркуляция вокруг лопасти на данном радиусе г}. Под-
ставляя (91) в (89) и (90) и заменяя IV1-sinp1 = V^ + v1=V'1, мы
получаем:
rfP^ipriz^ctg^-p).^ (92)
dQx = фГ Ц (1 + [J. ctg pj drt. (93)
Сопоставляя формулу (92) с формулой (82) и имея в вид\,
что элементарная масса dm жидкости, протекающей через коль-
цевой элемент шириной drv равна:
dm — 2nr1rfr1 И]р (94)
получим после сокращения па pV1dr1:
2^ (Ув- Vo) = ЙГ (ctg р,- И). (95)
Так как V2— V0 = ,y2 = 2©i, то из уравнения (95) мы легко
находим выражение для индуцированной осевой скорости v1
через циркуляцию вокруг лопасти Г/.
/г
^1= дз—(ctg Pi-н). (96)
Сопоставляя формулы (93) и (83'), мы аналогично предыду-.
щему, найдем:
2т.Г1(и\ -Z7\) = /r(l + -xctgpO (97)
и так как U\ — U'\ = и'^ = 2иг, то
/г
(98)
Если, как это часто делается в расчетах винтов, положить:
р = 0,
48
что равносильно пренебрежению профильным сопротивлением
или принятию жидкости, в которой работает винт, за идеальную,
ТО формулы ДЛЯ И примут вид:
гГ
^ = ~7-og₽1, (96')
Из этих формул следует, что полная индуцированная ско-
рость1) — уА'3! + и21 направлена под прямым углом к отно-
сительной скорости = д/ W20r2! + И3).
Действительно (фиг. 19) из формул (95') и (98') мы легко
найдем:
^ = ctg₽1=^ (98")
“1 к 1
откуда следует, что угол, образованный векторами^! _и ра-
вен ₽!, т, е. равен углу, образованному векторами IFj и и, сле-
довательно, ± UZj. Отметим, что это заключение справедливо
только при условии, что р = 0, т. е. для идеальной жидкости,
и вполне аналогично свойству перпендикулярности скорости
скоса и основной скорости потока, набегающего на крыло, обте-
каемое идеальной жидкостью, известному из теории индуктив-
ного сопротивления крыла.
Соотношение между осевой и окружной индуцированными
скоростями может быть написано еще в другой форме:
__ U1 С,10Г1 Ц1
V, ~ К, + г»! ’
откуда
(Vo + vr) = tii (<Vi — ZTj)- (99)
Это уравнение является одним из основных уравнений для
расчета винта.
§20. Коэфициент полезного действия элемента винта.
Формулы тяги и мощности всего винта
Введем понятие о коэфициенте полезного действия элемента
винта т(в, как отношения мощности, создаваемой этим элементом
в виде секундной работы силы тяги dP± • Vo, к мощности, затра-
чиваемой на преодоление элементарного сопротивления враще-
——_____________
’) Без учета радиальной скорости vr.
Ельников и Свечников.
49
нию fifQj- Uo. Таким образом, используя формулы (92) и (93), мы
найдем:
_dPf Ио _ tprVi(cigpi —• Vo _
718 ~ d(^ Uo фГЦ (1 + p-ctgPj) • drtU0
= ^0 1 ~ y-tgPi (100)
Ц ' Uo ’ 1 + pctgp, '
Как видим, к.п.д. элемента винта есть произведение трех
отношений: первое из них, являющееся отношением осевых
скоростей до винта и в плоскости его вращения, известно еще
из теории идеального пропеллера, как к.п.д. „идеального винта",
учитывающий только „осевые" потери, т. е. потери на сообще-
ние дополнительной скорости вдоль оси винта массе жидкости,
протекающей через его кольцевой элемент.
Второй множитель в формуле (100) называется „окружным"
к.п.д. Он учитывает потери на „закручивание струи", т. е. на
сообщение дополнительной вращательной скорости в струе
винта.
Наконец, последний множитель, как нетрудно убедиться, учи-
тывает так называемые „профильные потери", т. е. потери, про-
исходящие от несовершенства среды, в которой работает винт,
т. е. за счет трения жидкости о лопасти и т. п. В идеальной
жидкости, т. е. при и- = 0, этот множитель обращается в еди-
ницу. Таким образом:
^9 = ^- ' -Чт> (101)
где t]a — „осевой" („идеальный") к.п.д. элемента винта,
— „окружной" к.п.д. элемента винта (на данном радиусе) и
„профильный", или „механический" к.п.д.
Произведение первых двух множителей, т. е. т1а и т]й, назы-
вают часто „индуктивным" к.п.д. и обозначают через rti, т. е.
Ч=''1а-Чи- (102)
Потери, которые учитываются этим к. п. д., аналогичны по-
терям на преодоление индуктивного сопротивления крыла при
полете самолета, так как они возникают благодаря появлению
индуцированных скоростей и их.
Пользуясь формулами элементарных сил dPx и dQY (формулы
92 и 93), мы можем получить формулы полной тяги и полной
мощности винта. Перепишем формулу (92) в виде
dPx = фГ (U, — р Ц) drv (92)
Полная тяга будет равна интегралу от этого выражения, взя-
тому по всей „рабочей" длине лопасти, т. е.
R
P=ipf — (103)
f-R
50
Элементарная мощность винта dl\ может быть выражена
так:
dl\ = dQ1 Uo = грГ(Ц + рЦ) (Jodi\. (104)
Откуда полная мощность, затрачиваемая на вращение винта:
R
T = i?"> fr(V; + vU^r^dr.. (105)
tR
ГЛАВА V
Основы вихревой теории винта
§ 21. Вихревая схема винта
Аналогия между лопастью и крылом дает основание приме-
нять тот же метод замены лопасти системой вихрей, который
< успехом используется в вихревой теории крыла (теория индук-
тивного сопротивления). Следует отметить, что этот метод
в применении к винту был использован Н. Е. Жуковским, а впо-
следствии В. П. Ветчинкиным даже раньше, чем создатель тео-
рии индуктивного сопротивления Л. Прандтль применил его
к крыльям х). В основе обеих теорий, как теории винта, так
и теории крыла лежит идея о „присоединенном" вихре, предло-
женная Жуковским, как известно, еще в 1906 г.
В дальнейших выводах движение жидкости будет рассматри-
ваться в осях координат, связанных с винтом и вращающихся
вместе с ним. Это равносильно наложению на поток, набегаю-
щий на винт, вращательного, движения в сторону, обратную вра-
щению винта. Такое относительное движение удобно рассматри-
вать потому, что оно является установившимся.
Заменяя каждую лопасть винта присоединенным вихрем, мы
должны помнить, что согласно теореме Гельмгольца вихри не
могут обрываться на конце лопасти и должны поэтому продол-
жаться в виде свободных вихрей совершенно так же, как это
имеет место у крыла. Так как лопасть винта одновременно
совершает поступательное и вращательное движение, то продол-
жающиеся за лопастью „свободные" вихри должны иметь вид
соленоидов, т. е. винтовых спиралей (фиг. 21). Опыты, произве-
денные с винтами в воде, в частности снимки, опубликованные
€1Че в 1910 г. Фламмом, показывают, что такие спиральные вихри
Действительно образуются за винтом (фиг. 22).
Для того,-чтобы исследовать взаимодействие винта и воздуш-
ной среды, необходимо, в первую очередь, рассмотреть, какие
щ ’) Вихревая теория вигГта Жуковского опубликована им в 1912 г. Обоб-
«11е этой теории сделано Ветчинкиным в 1913 — 1S14 г. г. Вихревая теория
1918 а ПРанДтля (теория индуктивного сопротивления) разработана в 1915—
г. г. и стала известна у нас в Советском Союзе только в 1921 — 22 г. г.
дополнительные скорости вызывают („индуцируют") как присое-
диненные, так и свободные вихри в потоке, обтекающем винт..
Ввиду очевидной сложности этой задачи Жуковский попытался
всемерно ее упростить и поэтому рассматривал, во-первых, винт
Фиг. 21
с постоянной циркуляцией
вдоль лопасти и, во-вторых,
вычислял не истинные ско-
рости,индуцированные в лю-
бой точке струи винта, а ос-
редненные по окружности
скорости. Нетрудно попять,
что эти скорости, осреднен-
ные по окружности, опи-
сываемой какой-либо точ-
кой винта при его враще-
нии, могли бы считаться действительными только в том случае,
если бы винт имел бесчисленное количество лопастей, сплошь
заполняющих диск винта. Свободные вихри, сбегающие с конца
каждой лопасти, образовали бы в этом случае сплошную вих-
Фиг. 22
ревую цилиндрическую поверхность за винтом, и нам не было
бы никакой необходимости рассматривать действие каждого спи
рального вихря в отдельности, так как мы могли бы рассматри
вать индукцию всего вихревого цилиндра в целом. Вдоль оси
винта вихри, сходящие со всех лопастей, должны, по Жуков
скому, образовывать прямолинейный вихревой жгут, являющийш
как бы осью цилиндра.
Теория Жуковского впоследствии была обобщена проф. Ветчйн
киным, который также рассматривал осредненную по окружности
индукцию винта, т. е., иными словами, также рассматривал винт
с бесконечно большим числом лопастей, но, в отличие от Жу-
ковского, полагал, что циркуляция вдоль лопасти не остается
постоянной, а меняется, что, очевидно, возможно лишь в том
52
случае, если принять, что свободные вихри сбегают не только
с концов лопастей, но и по всей их длине, образуя вихревую
пелену в виде винтовой поверхности (фиг 23а). Так как, по Вет-
чинкину, винт также следует рассматривать как винт с беско-
нечно большим числом лопастей, то за винтом должен образо-
вываться сплошной вихревой цилиндр (фиг. 230, т. е/ как бы
один сплошной вихрь с диаметром поперечного сечения, равным
диаметру струи винта. Однако, интенсивность („плотность11) за-
вихрения внутри этого вихря должна считаться переменной
вдоль диаметра его поперечного сечения.
Пользуясь вихревой схемой винта по Жуковскому или по
Ветчинкину, оказалось возможным получить довольно простые
Фиг. 23
формулы для скоростей, индуцированных винтом, на основе ко-
торых строился в дальнейшем весь расчет винта.
Однако, сопоставление проделанных таким путем расчетов
с экспериментами показало, как и следовало ожидать, что тео-
рия винта с бесконечно большим числом лопастей („дисковая"
теория) дает завышенные значения коэфициентов тяги и мощ-
ности, а также и к. п. д. винта. Это, в основном, объясняется
тем, что суммарная индуцированная скорость w по этой теории
оказывается меньше истинной на концевой части лопасти, т. е.
именно там, где, главным образом, возникают основные силы,
Действующие на лопасть. За счет преуменьшения индуцирован-
ной скорости преувеличивается угол атаки и преуменьшаются
потери на винте, что и вызывает вышеуказанный эффект роста
гяги, мощности и к.п. д. винта.
С ростом шага и поступи у современных винтов эта погреш-
ность, вносимая теорией, относительно становится еще больше,
ном и вызывается необходимость дальнейшего уточнения теории.
о. перехода к теории винта с конечным числом лопастей
(«лопастная11 теория).
Попытки создания такой теории, равно как и попытки хотя бы
косвенно ввести поправки на конечное число лопастей, были сде-
53
ланы уже довольно давно 1), однако они не получили практичес-
кого развития в силу значительной расчетной сложности новой
теории и относительно небольшой погрешности, которую давали
старые теории Жуковского, Ветчинкина и Глауэрта для винтов
того времени.
В настоящее время удалось преодолеть целый ряд как прин-
ципиальных математических, так и чисто расчетных трудностей
на пути к применению новой „лопастной" теории винта, которая
поэтому начинает все более и более вытеснять старую вихревую
теорию.
§ 22. Общие выражения скоростей, индуцируемых вихрями
винта
Как известно из теоретической аэрогидродинамики, скорость
в некоторой точке А, индуцируемая элементом dl, выделенным
из произвольного криволинейного вихря (фиг. 24), вычисляется
по формуле Био-Савара:
Г
dw — ——g-sine? dl (106)
где Г— циркуляция вихря,
р — расстояние от элемента до точки А,
V — угол между осью вихревого элемента и радиусом-векто-
ром р.
При этом скорость dw лежит в пло-
скости, перпендикулярной оси вихре-
вого элемента, перпендикулярна ра
диусу-вектору и направлена в сторону
вращения вихря.
В дальнейшем нас могут интере-
совать проекции скорости dw на три
взаимно-перпендикулярные направле-
ния, взятые в какой-нибудь точке
струи винта: осевое, тангенциальное
(касательное к окружности, описывае-
мой каким-либо сечением лопасти) и
радиальное. Взяв прямоугольную си-
стему координат (фиг. 25) с осями,
параллельными интересующим нас на-
правлениям, например, с осью х, па-
раллельной радиальному, осью у—тангенциальному (окружному)
и осью z—ыхымяу направлению, мы получим следующие фор
мулы для проекций скорости dw:
!) Попытки введения поправки на конечное число лопастей делались
Л. Прандтлем и английским ученым С. Гольдштейном еще в 1919 и 1929 г. г.
Основы теории были впервые даны в работах Б. Н. Юрьева в 1928 г. Ес
практическое развитие сделано в работах японского ученого Морийя в 1933—
1936 г. г.
54
dwx = dvr =
Г
г
dwy — du — -4—3- (dz px — dx Рг)
Г
riw4= dv = — 3 (dx-Py-dy-Px)
(Ю7)
где dx, dy, dz — представляют собой проекции вихревого эле-
мента dl, а рг, Р>„ Рг—проекции радиуса-вектора.
Эти формулы легко могут
быть получены с помощью
известных формул векторного
анализа. Действительно, ско-
рость dw, будучи перпендику-
лярной радиусу-вектору Р и
вектору dl на основании форм.
(106) может рассматриваться,
как величина, пропорциональ-
ная векторному произведению
двух этих векторов с коэфи-
циентом пропорциональности,
Г п
равным —3 *).
Выражения, заключенные
в скобки правых частей формулы (107), как раз и представляют
собой проекции векторного произведения (rf/xp).
§ 23. Вихревая схема по „дисковой" теории винта.
(Теория Жуковского-Ветчинкина)
Как указывалось выше (§ 21), Н. Е. Жуковский в своей вих-
ревой теории винта допустил, что винтовые вихри, сходящие с
лопастей, образуют сплошной вихревой цилиндр за винтом. Это
допущение справедливо только при бесконечно большом числе
лопастей, когда последние образуют сплошной диск. Однако,
если заниматься определением осредненных по окружности ин-
дуцированных скоростей, то вихревую систему винта с беско-
нечно большим числом лопастей можно применить и к винту с
любым (конечным) числом лопастей.
Итак, примем, что на некотором произвольном радиусе г по
всей окружности этого радиуса сбегают вихри, которые все
*) Напоминаем, что векторное произведение двух векторов а г о, пред-
_Л_
ставляет собой вектор, равный по величине a-&-sin (а, Ь) и над авленный по
пеРПендикуляру к плоскости, проходящей через векторы а и о.
55
Фиг.
вместе образуют вихревую цилиндрическую пелену. Определим
осевую и окружную скорости dv и du, индуцируемые этой пе-
леной в некоторой точке А диска винта, находящейся на рас-
стоянии г' от оси (фиг. 26).
Рассмотрим элемент одного из вихревых винтовых шнуров dl
Его действие на окружающий поток жидкости эквивалентно
действию других двух взаимно перпендикулярных элементарных
вихрей, которые можно рассматривать, как составляющие эле-
мента dl. Один из них является элементом окружности ds, дру-
гой dz—направлен вдоль образующей. Поступая аналогичным
образом со всеми другими вихрями
Ъ' А X цилиндрической пелены, мы можем
* представить ее состоящей из двух
наложенных друг на друга систем
вихрей: 1) кольцевых вихрей ра-
диуса г и 2) прямолинейных вих-
рей, направленных вдоль образую-
щих цилиндра. Каждая из этих си-
стем образует сплошную вихревую
пелену, покрывающую весь ци-
линдр. Следует иметь в виду, что
верхнее основание цилиндра, соста-
вляющее часть диска винта, также
должно рассматриваться покрытым
системой радиальных „присоеди-
ненных" вихрей, соответствующих
бесконечному количеству лопастей винта. Наконец, у винта с по
стоянной циркуляцией вдоль лопасти, собираясь в точке 0, эти
вихри образуют один вихревой жгут, идущий вдоль оси цилиндра
00,. Необходимость введения этого вихревого жгута обусловлена
тем, что, как известно из опыта, циркуляция Г на каждой из
лопастей вблизи оси винта круто падает до нуля, а это значит,
что здесь с лопасти должен сходить мощный вихрь, уносящий
потерянную ею циркуляцию. У винта с переменной циркуляцией
вдоль лопасти, обособленный вихревой жгут на оси винта—от-
сутствует.
§ 24. Осевая индуцированная скорость в плоскости винта
В дальнейшем мы будем рассматривать, как более общий,
случай винта с переменной циркуляцией.
Вычислим сначала осевую индуцированную скорость dv. Сум-
марная циркуляция, которая сходит со всех i лопастей винта по
дГ
окружности радиуса г, равна i-dV dr. На долю элемен-
тарного отрезка вихря dl из этой величины придется idV ,
2к
56
- е- часть, пропорциональная углу rf6, который соответствует
элементу dl.
Система вихрей, расположенных вдоль образующих цилиндра,
ие дает скорости в осевом направлении, так как прямолинейные
вихри индуцируют скорости только в плоскостях, перпендику-
лярных осям вихрей. Радиальные „присоединенные" вихри, рас-
положенные в основании цилиндра, как увидим ниже, также не
дают осевой скорости. Поэтому необходимо определить осевую
скорость, вызванную только кольцевыми вихрями. Пользуясь
третьей из формул (107), мы получим осевую скорость, индуци-
руемую элементом кольца ds цилиндрического вихревого слоя
радиуса г:
Как видно из чертежей (фиг. 26 и 27)
dx — — ds-sin 6
dy — ds cos О
РХ = П —Г COS 6
р — — г sin О
р = VZCi2+cCj2 — \/^+~2
ds = dz-cig р.
Подставляя в (108), получим:
dw,= l~ - r~ri'^—-dz-db- ctgp. (109)
(t2 + z2) '»
57
Осевая скорость, индуцируемая всей системой элементарных
свободных вихрей, сбегающих на радиусе г, получится путем
двойного интегрирования, сначала по z в пределах от 0 до ос
затем по 6 в пределах от 0 до 2л:
(вычисляется с помощью подстановки: y = tgf).
Таким образом:
_ i-dT , D Г г — ту cos О
/-----12 М-
о
(П0>
Подинтегральное выражение может быть преобразовано сле-
дующим образом:
г, cos 6 — r = C-lAl = £-sina,
откуда
г — г, cos О .с sin а „
-----±
С другой стороны (фиг. 27)
= = r-t/6-sin а.
Следовательно
sin а dty
------— аМ — — —
t г
и
dvx = —
ic/Г , „ Г ,,
8Л С,К? I *
Фн
Если /у > г, т. е. точка А лежит вне вихревого цилиндра, то
фя = фк и ^ = 0. Если же г± < г и, следовательно, точка А. ле-
жит внутри цилиндра, то при изменении 6 от 0 до 2л угол ф,
под которым проекция вихревого элемента ds видна из точки А>
меняется также от 0 до 2л; кроме того г — /у cos 0 >0
и
2л
, idr . а Г idV . о ictgp дГ ,
dvt = -g-.— ctgp / db = -------ctg₽ = —-----------^~dr (llUf
8л2г J ^лг & 4лг dr
о
58
Для того, чтобы найти полную осевую скорость, индуцируе-
мую всеми свободными вихрями, заполняющими цилиндрическую
струю винта, необходимо, очевидно, проинтегрировать это выра-
жение по г от 0 до rv Тогда
_L CsM.JLdr
4тг J r dr
О
(111.)
Следует, однако, иметь в виду, что угол притекания струй
3, определяющий наклон свободных вихрей к образующим ци-
линдра, зависит от соотношения окружной и осевой скоростей.
В частности
Ctgp =
_ ^г — и?
К V'o + 'Z’i
Таким образом, формула (111) содержит в правой части ис-
комые скорости и иг под знаком интеграла и является поэтому
интегральным уравнением, которое не может быть разрешено
обычными методами. Эту трудность можно обойти путем рас-
смотрения элементарного выражения осевой скорости dv2 далеко
за винтом. Пренебрегая влиянием сужения вихревого цилиндра
на индуктивные осевые скорости, мы должны для вывода фор-
мулы интегрировать формулу (109) по z в пределах не от О
до оо, как это делалось выше, а от—со до + оо, отчего правая
часть формул (ПО) и (ПО'), очевидно, удвоится. В остальном:
выражение осевой скорости остается без изменения. Таким обра-
зом
, ictgp dr
dv1 = 2dv1 = -^~--^r dr. (112)
Для того, чтобы выполнить дальнейшие преобразования этой
формулы, надо предварительно вывести формулу окружной ин-
дуктивной скорости.
§ 25. Окружная индуктивная скорость по „дисковой"
вихревой теории
Для определения окружной скорости, вызванной в точке А
ЩМ. фиг. 27) одним из элементарных кольцевых вихрей, направим
?Сь У перпендикулярно радиусу ОА и воспользуемся второй из
формул (107), которая даст нам сначала окружную скорость, ин-
УЧированную только элементом ds кольцевого вихря:
dwy =
i-dV-dO
2-
(rfe-Pjt —</х-рД
1
4кр*
59,
(Здесь под dV подразумевается элементарная циркуляция, сбе-
, dr , .
тающая с лопасти на участке аг, т. е. dl = dr).
Так как элемент кольцевого вихря ds не дает проекции на
вертикальную ось z, то йг = 0; dx —— ds-sin 6; $z~CCx — z и
окружная скорость, индуцируемая этим элементом, будет:
idr , . ,
J,rf6 <113)
При интегрировании по 6, т. е. по всей длине кольцевого
вихря, мы увидим, что скорости, соответствующие каждой паре
симметрично расположенных относительно радиуса ОА элемен-
тов ds (т. е. при 6 и — 9) будут попарно уничтожаться, так как
при одних и тех же значениях z и р, sin(—б) = — sin б. Таким
образом, оказывается, что кольцевые вихри не индуцируют ок-
ружных скоростей.
Посмотрим, что нам дадут прямолинейные вихри, направлен-
ные вдоль образующих вихревого цилиндра.
Вихревой шнур, проходящий вдоль образующей цилиндра ССХ
(фиг. 26), индуцирует в точке А скорость, перпендикулярную
отрезку АС и равную i-dV-~~- Проекция этой ско-
рости на перпендикуляр к ОА (т. е. на направление касательной
ж окружности) будет
i-dl' cos ф „
Индуктивная окружная скорость в плоскости винта, вызван-
ная всеми элементарными прямолинейными вихрями цилиндра,
будет равна интегралу от этого выражения, взятому в пределах
от 0 до 2«:
dtii =
2-
idr pcos ф
J —IT
о
de.
(114)
]) Из теоретической аэрогидродинамики известно, что скорость, индуци-
руемая прямолинейным вихревым „полушнуром'1 с циркуляцией Г, в точке,
Г
находящейся на расстоянии а от него, равна . В данном случае цир'
куляция „полушнура” равна idl'- — иа = (.
<60
Умножим числитель и знаменатель подинтегрального выра-
жения на гг — АО. Так как cos ф = AD = t + r cos (ф + 0) и
rc№ = ds, мы получим
2-‘
, idr ГГ,С cos(ф+ 6) , 1
dut = rfG + ----Ц----ds
J t
о
В прямоугольном треугольнике СВЕ, построенном на элемен-
тарной дуге ds, как на гипотенузе, угол при вершине С равен
ф + Ь. Поэтому
ds-cos ($ + $) = СВ = t-dty.
Следовательно
Л,‘=^[/Л+J
О фн
(115)
При изменении угла 6 в пределах от 0 до 2т:, угол ф меняется
в разных пределах, в зависимости от положения точки А. Если
Г1>г, т. е. точка А лежит вне рассматриваемого вихревого ци-
линдра, то ф вначале растет от фи = 0 до некоторого ф = ф„,ал.,
затем убывает до нуля, и далее до ф =— фтсд. и, наконец, вновь
увеличивается до фк = 0. Таким образом второй интеграл фор-
мулы (115) обращается в нуль и, следовательно:
йил~
idV
4лг1
(И6)
Если же г, О, т. е. точка А лежит внутри вихревого ци-
линдра, то при изменении 6 от 0 до 2т угол ф будет меняться
от к до —к (с увеличением 6, ф уменьшается); следовательно:
а=-2‘
ф«
и
dU]=O.
Таким образом, цилиндрические вихревые поверхности, име-
ющие точку А внутри себя, не создают в ней окружных ско-
ростей. Поэтому, если мы хотим определить окружную скорость
в плоскости винта, вызванную всеми вихрями, сбегающими
У задних кромок лопастей, мы должны интегрировать формулу
'*16) в пределах от нуля до г,.
61
Итак
i fdT *Г(Г1)
и.= ------ / s- dr — -г- -.
1 4r.r} J dr 4кгj
О
(117)
Как мы видели, кроме вихревого цилиндра, в вихревую си-
стему винта входят еще радиальные („присоединенные") вихри,
расположенные вдоль
лопастей винта и образующие сплошной
вихревой диск („донышко" вихре-
вого цилиндра), поскольку рассмат-
ривается условная схема винта
с бесконечным числом лопастей.
Рассмотрим сначала индуктив-
ные скорости, вызванные в точке
Aj (фиг. 28), лежащей вне вихре-
вого диска (т. е. вне плоскости вра-
щения винта), элементом радиаль-
ного вихря длиной dr, расположен-
ным на расстоянии р от точки Av
Циркуляция этого вихря на рас-
стоянии г от точки 0 равна:
г Г (г) и элементарные скорости,
. iV
ddU* 8кг
dwz~ • pS (dx-py
вызванные им в соответствии с формулами (107), будут:
т? №'-рг -dzyy) _zT ~ 8т:2 dO . • h • sin 0 • dr P3
dO /Г dO r
;т(^'Рл — dx-pA- 8тг2 -rh - cos 0 - dr P
db,, гГ dh ,
8к2
р1 (p^-cos 6—p^-sin 0)dr,
так как dx — dr-cosf); dy — — dr-sin6; dz = 0; p2=/z.
При интегрировании по углу О в пределах от 0 до 2к проек-
ции индуктивной скорости на оси лиг обратятся в нуль, так
как каждому элементу, расположенному под углом — 0 к оси Л',
будет соответствовать симметрично расположенный элемент dr
дающий такие же по величине, но обратные по направлению
скорости dzvx и dwz. Это видно из того, что в формулах этих
скоростей при переходе к вихрю dr', sin 0 изменится на sin (—0) =
= — sin 0 и ру изменится на — ру, a cos 6 и рх останутся без изме-
нения'. Таким образом, останется только проекция скорости на
ось у, перпендикулярная радиусу ОА и, следовательно, явля-
ющаяся окружной скоростью, величина которой равна
ЯгГ-cosfj-dO , , „ Г f гГ cos0-cosco ,
- j J -8>,7 ---
62
где r = OD—расстояние элементарного вихря от оси винта; угол
h
«р—угол между направлениями р и h, cos <р = — и da=r• d§ • dr—
элемент площади вихревого диска. Знак плюс соответствует
нижнему, знак минус—верхнему положению точки А. Будем те-
перь приближать точку At к диску винта. При этом элементы
вихрей dr, расположенные в стороне от точки А, будут оказывать
ничтожное влияние на величину скорости wy вследствие быст-
cos 6 „
рого уменьшения величины —5— по мере удаления точки D
от точки Таким образом, только вихревые элементы, распо-
ложенные поблизости от точки А, будут индуцировать скорость
в этой точке.
Следовательно, при интегрировании можно считать rx= ОА и
Г(Г]) постоянными, a cos 0 = 1. Тогда индуктивная окружная
скорость в плоскости диска винта, вызванная вихрями самого
диска, будет:
w
IV Г Ceos?
?2
da.
(118)
s
Интегрирование распространяется на „площадь влияния" з
р
вокруг точки Alt на которой можно приближенно считать —
постоянной величиной. Подинтегральное выражение в этой фор-
муле можно преобразовать следующим образом. Если провести
из точки Aj, как из центра, сферические поверхности радиусами
р и 1 и, соединив все граничные точки элементарной вихревой
площадки da с точкой Ах, построить коническую поверхность
(фиг. 29), которая вырежет из этих сфер площадки da' и dau то
нетрудно видеть, что
da'= da COS ср и
da' _dax
р2 1
Таким образом формула (118) даст
WJ'—f^а, = —Z2— с (119)
у 8г2/у J J 8к2г1 1 v 7
а1
гДе Oj— часть сферической поверхности, описанной радиусом,
Равным единице, опирающейся на всю вихревую „поверхность
влияния" а. По мере приближения точки А к вихревой по-
верхности, опирающаяся на нее сферическая поверхность еди-
ичного радиуса будет стремится к поверхности полусферы, пло-
^адь которой равна 2к-12=2тг.
63
I
Таким образом
wy=±
1Г(гО
4Wj
(120)
Суммируя окружные скорости, индуцируемые свободными
вихрями (формула 117) и присоединенными вихрями (формула 120),
получим:
Фиг. 29
для точек, расположенных перед
винтом:
U/—U-JL- =0 (121)
1 4~гх
для точек, расположенных за вин-
том:
+ -г— = Л • О22)
1 1 4ТТ*! 4ТГГ! 4 '
Таким образом, в плоскости винта
происходит скачкообразное изменение
окружных скоростей. В самой этой пло-
скости скорость будет определяться по
формуле (117), так как радиальные вихри
винтового диска не создают скоростей в своей плоскости, и
окружная скорость здесь создается только за счет свободных
вихрей, заполняющих вихревой цилиндр.
§ 26. Другой вывод формулы окружной
индуктивной скорости
В предыдущем параграфе индуктивная окружная скорость
была определена методом, который можно назвать „геометри-
ческим*. Ниже дается другой, в некотором отношении более
простой вывод формул (117) и (122), основанный на чисто гидро-
динамических соображениях.
Пусть поток набегает на винт так, как показано на фиг. 30 —
сверху вниз. Выделим двумя сечениями часть струи винта, ра-
диус которой в плоскости винта равен На боковой поверхности
выделенной части струи возьмем две окружности Ку и К2, первую
непосредственно перед винтом, вторую сразу же за ним. Раз-
делим каждую из этих окружностей на дуги: а'Ь', Ь'с',... а"Ь",
Ь"с",... по числу лопастей винта и соединим противоположные
точки а' и а" , Ь' и Ь" так, чтобы каждый из полученных таким
образом четырехугольников охватывал одну из лопастей винта.
Циркуляция по каждому из четырехугольных контуров а'Ь'К'а"
и т. д. будет равна циркуляции лопасти Г, взятой на данном
радиусе гх. Суммируя циркуляции по всем контурам, охваты-
вающим лопасти, почленно, т. е. сначала по дугам а’Ь',
64
затем по дугам а"Ь", Ь"с"... и, наконец, по отрезкам da!’, b"b’ и
т. Д-, мы получим в первом случае циркуляцию по окружности
Кг, во втором по окружности К2 и в третьем — нуль, так как
каждый из отрезков а'а",... будет пройден дважды и в проти-
воположных направлениях. С другой стороны, сумма циркуляций
по четырехугольным контурам db’b"a" равна /Г, т. е. сумме
циркуляций вокруг всех г лопастей винта. Таким образом
Г/с, +Гк2= гГ
так как контур не охватывает никаких вихрей (отсутствую-
щих в струе впереди винта), то циркуляция Г\, вычисленная по
окружности Kv согласно теореме Стокса,
равна нулю. В результате мы имеем:
Г/с = гГ. (123)
Заметим, что если обход каждого из
контуров делать так, чтобы его напра-
вление совпадало с положительным на-
правлением циркуляции, в данном слу-
чае так, чтобы площадь, ограниченная
контурами, оставалась при обходе слева,
т. е. в направлении d'b"b’a' и т. д.,
то обход -контура получится таким,
что ограниченная им’ площадь оста-
нется слева и, следовательно, циркуля-
ция будет иметь знак /Г, т. е. будет
положительной. Если не рассматривать
вращение всей струи
винта, как целого в относительном ее движении, т. е. рассматри-
вать контуры Кх и К2 как „жидкие", т. е. движущиеся вместе
с жидкостью, то циркуляция может возникнуть только за
счет индуцированной окружной скорости за винтом и/', напра-
вленной по касательной к окружности Kv и должна равняться
Таким образом
откуда мы вновь получаем:
ir
111 2™у
\
(122')
(предполагается, что окружности Кх и К2 взяты достаточно близко
к плоскости винта и поэтому г/'кг^.
Такая скорость индуцируется непосредственно за винтом на
контуре К2. В то же время окружная скорость н/ в точках
контура непосредственно перед винтом, очевидно, равна нулю,
так как Гл-, = 0. Следовательно, в плоскости диска винта, т. е.
в плоскости радиальных присоединенных вихрей эта скорость
5
Мельников и Свечников.
65
претерпевает скачок от и/—О до «/'== о-— и может быть, как
обычно, принята равной полусумме этих скоростей, т. е.
_ «/+ «,"__ 1Г
1 2 4кг,
(117')
§ 27. Индуцированные скорости в струе за винтом
При выводе формулы осевой скорости (в § 24) мы принимали,
что вихревая пелена за винтом располагается по поверхности
тока (т. е. что свободные вихри располагаются по линиям тока)
и что сама, эта струя, а. следовательно, и вихревая пелена,
имеет форму круглого цилиндра постоянного диаметра. В дей-
ствительности, как из-
_________________в вестно, струя винтг
1 -- --------- I ‘ ---------* является цилиндриче
/ । ской только далеко
Г I впереди и позади винта.
•---------_______ \ ---------fy Непосредственно же
"o' перед и за винтом,
t а также и в самой пло-
фИГ 31 скости винта она имеет
коническую форму. Ра-
диус цилиндрической части струи за винтом г2 меньше радиуса
струи перед винтом г0 и радиуса в плоскости винта г,. Спосо-
бом, аналогичным изложенному в предыдущем параграфе, можно
вывести формулу для окружной скорости далеко за винтом (ана-
логичную формуле 122'):
Wg —
1Г
2кг2 ’
(123)
а также доказать, что окружная скорость далеко впереди винт 1
равна нулю.
Что касается осевой скорости далеко впереди винта и далек 1
за ним, то ее нетрудно найти с помощью следующих простых
рассуждений. Пренебрегая, как и раньше, сужением струи винта,
будем считать ее цилиндрической, равно как и вихревую пелену
за винтом. Добавив впереди винта фиктивную вихревую цилин-
дрическую пелену, симметричную с той, которая образуется за
винтом (на фиг. 31 показана пунктиром), мы получим сплошной
вихревой цилиндр, тянущийся из бесконечности в бесконечность.
Осевая скорость, индуцируемая этим цилиндром во всех его
сечениях, будет, очевидно, одна и та же, т. е., в частности,
скорость в плоскости винта аах будет такой же, как и далеке
за винтом в сечении bbx. Если теперь отбросить левую фиктив-
ную половину вихревого цилиндра, то на скорости в плоскости
66
bby это неотразится, так как влияние вихревых элементов на
скорость, индуцируемую в любой точке, быстро убывает с уда-
лением их от этой точки. В плоскости же аах скорость умень-
шится ровно вдвое, так как будет индуцироваться только поло-
виной вихревого цилиндра. Таким образом, оказывается, что
^=7-- (5')
Более детальное исследование всецело подтверждает это
важное соотношение. Помимо того, оно известно еще и из эле-
ментарной теории идеального пропеллера, где оно носит назва-
ние теоремы Фруда-Финстервальдера и гласит, что скорость
подсасывания vx равна половине скорости отбрасывания v3.
§ 28. Основное уравнение вихревой теории винта
Выше (в § 24) была выведена формула (112) для осевой
индуктивной скорости далеко за винтом, причем указывалось,
что ctg ₽, входящий в эту формулу, должен определяться с уче-
том влияния скоростей и и v па величину угла притекания
струй р.
Далеко за винтом котангенс этого угла может быть пред-
ставлен следующим образом:
Поэтому с учетом формулы (123), заменяя в ней г2 на г, мы мо-
жем переписать формулу (112) так:
,____/Г
, i д Г Шо/ 2 тс г dr
dv., =-^~- •-------------------
2к дг VB + v2 г
Откуда
J Uo дГ J i2 Г дГ ,
(Vo + T'g) dv2— — • -х- dr-т-5-’—--д- dr. (124)
2 тс о г 4 тс2 г2 дг '
Переменная часть второго члена правой части этого равен-
ства может быть представлена следующим образом:
Г
г2
дГ . Id
дг Г ~ 2 dr
Г2 \ pa
—= I dr 4- —r- dr,
r2) ГЛ
в чем нетрудно убедиться, произведя диференцирование.
Подставляя в уравнение (124), получим:
(Ц)+г/2) d.'t —
5*
1 д
2~'дГ 2 dr
/ гГ V . /7Г\а
„----1 dr — (х—
^2 тс г } у2тс )
• (125)
67
I
Желая определить скорость в точке, находящейся на рассто-
янии г2 от оси струи винта, мы должны проинтегрировать урав-
нение (125) в пределах от г = /?2,т. е. от границы струи винта, где
скорость ^ = 0, до г = г2, где v2 — v2 (г2). Интегрирование при
г г2 не имеет смысла, так как внутренняя по отношению к точке
/• = г„ цилиндрическая вихревая пелена, как мы видели, не соз-
дает осевой скорости.
Таким образом
Разделив все члены уравнения (126) на 2 и полагая щ
мы получим основное уравнение, связывающее осевую скорость
в плоскости винта с циркуляцией вокруг лопасти на данном ра-
диусе
л.
г Г
4z ш°
(1269
Для винта с постоянной циркуляцией вдоль лопасти Г(г) —
=Tyv = const, рассмотренного Н. Е. Жуковским в его теории
и потому условно называемого винтом типа НЕЖ, интеграл
в правой части уравнения (126') может быть легко вычислен.
Он равен
2
к,
г Г у Г dr / i ГдЛ 2 / i \2
4у J "Т5”-‘
Подставляя в формулу (126'), после приведения получим
^(V0 + ^) = ^co0
(127,
Как видно из этой формулы, осевая скорость и, у винта НЕЖ
постоянна вдоль лопасти.
При расчетах винтов, с целью упрощения уравнения (126'),
в его правой части обычно отбрасывают два последние члена,
зависящие от Г2, которые, вследствие малости величины и1э про-
порциональной Г, могут рассматриваться, как малые второго
порядка (имеющие, к тому же, разные знаки и, следовательно,
частично погашающие друг друга). При этом основное уравне
нение примет вид:
+ = <127
68
В таком виде это уравнение ничем не отличается от выведен"
ного в § 19 уравнения (99) струйной теории, если в послед-
нем также пренебречь величиной «j2, как малой второго порядка.
„Заметим, что уравнение (99) было выведено без учета падения
давления в струе за винтом благодаря вращению струи, вызванному
влиянием винта, и поэтому также является приближенным. Точ-
ный учет вращения изложен в более полных курсах теории винтаг)
н здесь за недостатком места не приводится.
§ 29. Основные формулы теории винта в отвлеченных
обозначениях
В предыдущих параграфах (24—28) были выведены формулы
окружной и осевой индуктивных скоростей, которые, при изве-
стных допущениях, практически не отличаются от соответству-
ющих формул струйной теории винта, хотя они и выведены из
других соображений. Что касается формул силы тяги, сопротив-
ления вращению, мощности и к. п. д. винта, основанных на
струйной теории (формулы 92, 93, 100, 103, 104 и 105), то они,
даже вместе с их выводами, целиком могут быть перенесены
в вихревую теорию винта, тем более, что при выводе указанных
формул была принята основная идея вихревой теории о„присое-
диненном вихре с циркуляцией, равной циркуляции вокруг ло-
пасти Г. Все упомянутые формулы кладутся в основу принятых
в настоящее время методов расчета и проектирования лопастей
винтов.
Для более удобного использования этих формул в расчетных
целях принято (по предложению Ветчинкина, Глауэрта и др.
ученых) преобразовывать их в отвлеченную (безразмерную) форму
путем отнесения всех встречающихся в формулах размер-
ных величин к определенным комбинациям (произведениям)
постоянных и обычно задающихся в расчетах величин, имею-
щим ту же размерность.
Выше мы уже имели дело с такими безразмерными величи-
нами, как а, р, К, В, т(, которые можно рассматривать соответст-
венно, как тягу, мощность, поступательную скорость и т. д. в их
отвлеченных выражениях.
Однако, помимо этих общепринятых отвлеченных величин,
в вихревой и струйной теориях винта пользуются также другими
величинами, специально принятыми для упрощения формул.
В литературе, посвященной вихревой теории винта, принят
следующий порядок отнесения размерных величин:
В Все радиусы сечений винта относятся к радиусу самого
Винта,
') См., напр., В. П. Ветчинкин и Н. Н. Поляхов „Теория и расчет воздуш-
ного гребного винта" изд. ГИОП, 1940 г. стр. 52-56.
69
2. Все скорости относятся к заданной величине <о0 R.
имеющей также размерность скорости.
Так, например, безразмерная осевая скорость винта
] = V ‘128>
(черта сверху обозначает безразмерность величины).
Соответственно окружная скорость перед винтом
р___ Ц)______%г ____ г
°- со,,/? ~ R
3. Силы (dP, Р, dQ, Q и т. д.) относятся к произведению
2 л р <о02 R1, имеющему размерность силы.
Например:
(129)
р _ Р _ 2
2-7rp<JJo2Z?* — п3 •
4. Мощности (dT, Т.,) относятся к произведению 2лр<о03/?-'
имеющему размерность мощности.
Таким образом
(130)
Т =
(131)
4^7?
5. Хорды сечений лопасти b относятся к —т—. Следовательно
. * = ' (l32)
СТ, 4 я <0 R*
6. Циркуляция относится к величине -:, имеющей раз-
I
I
I
мерность циркуляции:
Г =
г Г
4 л ш0 R2
(133)
Приведем теперь к безразмерному виду основные формулы тео-
рии винта, применяющиеся при проектировании и расчете его
лопастей.
Начнем с окружных скоростей.
По формуле (98') или (П7).
Деля обе части на ш0А? и, кроме того, умножая и деля знаме-
натель правой части на/?, получим
70
«1 — я
Шо/? 4™0Я* А
fx
или _
?1 = Е. (134)
Аналогично
<=2^. (135)
Г2
Окружная скорость в плоскости винта
— *Г
U-, = О^Г,-------
1 0 1 4^
Относя обе части уравнения к мы получим:
(136)
Перейдем далее к формулам сил и мощностей. Прежде всего,
пользуясь формулой (91), получим выражение для циркуляции
вокруг лопасти, аналогичное известной формуле теории ?крыла.
Для этого заменим подъемную силу dY ее известным выраже-
нием
dY =
Подставляя в (91), получим после сокращения:
CybW,
~ 2
(137)
Относя обе части этого уравнения к
4тоо/?2
I
получим:
или
/Г _ Су ib Wi
4то0/?2 2 4kR o)nR
Y^CybW.
~ 2 ’
(137')
Как видим, форма уравнения (137) не меняется от перехода
к безразмерным величинам.
Переходя к выражению элементарной тяги (92')> разделим обе
части его на 2кр«02/?*, в результате чего получим:
dP = 2r(U1-v.V1)drt. (138)
71
и
Отсюда формула полной тяги винта будет:
_ 1____________________________
/3=2jr(t71 —
(139)
коэфициент тяги из (130)
_з
(140)
Распределение безразмерной тяги вдоль лопасти,
мое для расчета винта на прочность, характеризуется
ной:
необходи-
производ-
б/сс трз z/ZJ — — —
Переходя к мощностям, воспользуемся формулой
части которой отнесем к 2~рш03/?"’. После небольших преобразова-
ний получим:
(141)
(104), обе
Интегрируя это
винта, получим:
4/Г=2Гг1(1/1 + v&Jdr, .
выражение по всей рабочей части лопасти
(142)
1
(143)
НЕЖ с постоянной циркуляцией вдоль ло-
Для винта типа
пасти это выражение можно проинтегрировать до конца. Для
этого заменим Ux по формуле (136), будем считать р прибли-
женно постоянным вдоль всей рабочей части лопасти, что обычно
бывает близко к действительности, и имея в виду, что на осно-
вании формулы (127) Ц для винта НЕЖ не меняется
диусу винта, получим:
1_ __ 1
| 4" р j f'i"dr1
с £
по ра-
TN
г»7
С
= 1\
1г(1-еЗ)_2ИГлг (1 -
о
Коэфициент мощности винта по формуле (131)
тс4,_
^(1-
(144)
(146;
72
На основании формулы (128)
Х = кП0. (146)
Отношение осевых скоростей Vo и Ц мы ранее называли (см.
20) аксиальным к. п. д.
т. = ^_Ц>
к - v;
(147)
Отсюда:
ц = Y* = _1_.
Ча ' Ча
Подставляя это выражение в формулу (144) и заменяя этой
последней мощность Т в формуле (145), получим для
НЕЖ
(148)
винта
— Г X 2
-а-*2)* Н(1 -е3)- 2|хГ„(1-£)
1 TV
(149)
<а
или, пренебрегая последним членом
сти:
в скобках ввиду
его
мало-
яг-
21/v
о
(1
о
(149')
Распределение мощности вдоль
зуется производной
р' = -4
dr,
лопасти винта
характерн-
нт — _
rrJV^pt/,)-
2 dr.
ее)
Представим еще в безразмерной форме основное
вихревой теории для осевых скоростей (99). Разделив
его на (w0/?)2 и имея в виду формулу (134), мы получим:
'----------- г
^(Ц, + ^) = -
уравнение
обе части
(151)
или, пренебрегая вторым членом правой части, а также заменяя
К - Ко>
Получим:
(Ц-!/„) ЦяГ
(152)
Или
ц>/ Vo V2
По
2
X
Г
73
к
Решая это сравнение относительно -==, найдем.
Ро
или
Заменяя под корнем Vo3 , получим окончательно:
(153)
Из этой формулы легко найдем выражение для аксиального
к.п.д. по вихревой теории:
7i«=
Vo^.. 2
Vt iit/, 4тс2_
1 + V 1+-тгГ
(154)
Формулы (153) и (154) интересно сопоставить с формулами (11)
и (14) теории идеального пропеллера. Ц и^ в обеих теориях
выражаются сходными формулами, причем вместо коэфициента
нагрузки В под корнем в формулах (11) и (14), формулы (153
и (154) содержат член:
4л2-
Сопоставление этого выражения с формулой
В = --^ (75)
л л2
дает для коэфициента тяги выражение
„3_
-21'
которое совпадает с точной формулой (140) при условии, чт
тяга Р вычисляется по приближенной формуле
а —
74
1 __
Р = 2 Г f rxdr\ — г,
о
которая получается из формулы (139), если принять р = 0 (идеаль-
ная жидкость), Г = const (винт типа НЕЖ) и пренебречь членом
Г . 77
— в формуле для и1.
Г1
§ 30. Основания вихревой теории винта с конечным числом
лопастей („относительная" или „лопастная" теория)
Выше, в § 21 уже указывались недостатки „дисковой" тео-
рии винта, рассматривающей осредненные по окружности индук-
тивные скорости и представляющей диск винта сплошь запол-
ненным бесконечным количеством бесконечно-тонких лопастей.
Стремление приблизить вихревую схему винта к действитель-
ности и уточнить теорию привело за последние годы к появле-
нию работ, которые дают возможность говорить о существова-
нии в настоящее время новой вихревой теории. Эта теория, ис-
пользуя гораздо более близкую к реальным условиям систему
вихрей, позволяет рассчитывать скорости, вызываемые каждой
лопастью отдельно и всеми лопастями вместе, не как средние^
а как фактические скорости в любой заданной точке, фиксиро-
ванной по отношению к осям, которые связаны с винтом и дви-
жутся вместе с ним.
Попытки применения специальных приемов решения ос-
новных уравнений теории винта с помощью тригонометрических
функций, функций Бесселя, метода разрывного потенциала и
т. д. пока не привели к созданию достаточно простого и точного
метода расчета. Поэтому основным практическим методом рас-
чета винтов по „лопастной” теории следует пока считать метод,
основанный на применении графиков Т. Морийя J), построенных
им в результате кропотливых и трудоемких расчетов для опре-
деленной группы винтов с заданными параметрами. Диапазон
применения этих параметров был расширен Минухиным г), который
продолжил работу Морийя.
В данном параграфе, не останавливаясь за недостатком места
на анализе основного уравнения теории винта с конечным числом
лопастей, а также на преодолении тех трудностей, которые вы-
текают, главным образом, из особенностей, присущих интегралам,
-- __________________
. 1) Т. Moriya: „On the Induced Velocity and characteristics of a Propeller”
* of the Eac. of Eng. Tokyo Imp, University, vol. XX, № 7, 1932.
, T. Moriya: „Calculation charts of induced velocity and calculation method
°' aerodynamic characteristics of propellers*. J .of Soc. of Aer. Sc. of Nippon, vol..
U|. № 9, 1936 r.
2) Труды ЦАГИ, вып. 401, 19з9 г.
75
через которые выражаются индуктивные скорости, мы даем
лишь краткое изложение хода вывода основной формулы ско-
рости необходимой для целей расчета.
Не рассматривая попрежнему радиальную скорость vr, ис-
пользуем последние две формулы (107) для определения ско-
ростей, индуцируемых элементарным свободным винтовым вихрем,
сходящим с лопастей в точке В (фиг. 32). Для удобства выкладок
Фиг. 32
начало координат опять
возьмем на оси винта,
ось z направим вдоль
нее, ось х — вдоль той
из лопастей, в точке А
которой вычисляются ин-
дуцированные скорости.
Угол между этой ло-
пастью и той, с которой
сбегает рассматриваемый
элементарный вихрь, обо-
значим через т. Положе-
ние выделенного на эле-
ментарном вихре элемента
dl определяется углом 6,
отсчитываемым от ра-
диуса лопасти ОВ. Наклон вихревой нити к плоскости вра-
щения винта может быть принят равным ]3, т. е. углу притекания
струй. В действительности вихревые нити располагаются вдоль
линий тока, и следовало бы поэтому считать, что угол наклона
винтовой линии равен р + Др, где Др =— Да угол скоса потока,
которым, однако, принято в данном случае пренебрегать ввиду
незначительности влияния этого фактора на индуцируемые вих-
рем скорости 1). Обозначив расстояние точки А от оси винта
через г', а точки В серез г и имея в виду, что проекции радиуса-
вектора р — АС равны разностям координат точек А и С, получим:
р г = г3 — г cos (б + т)
Ру = — г sin (6 -I- т)
p2 = -retgp=—^6
(155)
Для проекций элемента длины вихревой нити dl нетрудно
получить следующие выражения:
dx = — dices р • sin (е + т)
dy = dices p-cos (6 + т)
dz — dl sin p
*) Влияние этого фактора, очевидно, можно рассматривать, как влияние
'Свободных вихрей самих на себя, т. е. как своеобразная самоиндукция, через
посредство индуктивных скоростей.
76
или, так как dl cos 3 — г-d 0 и dl• sin S — dZ-cos B-te 3 — rd 6---=.
1 m г
V ..
—— dv, то мы будем иметь:
ID
dx = — r • sin (9 4- t) • dO '
dy- r-cos(0 + ?)-d0
I/ J- (156,
dz = — dO
Ш
Циркуляция присоединенного вихря лопасти ОВ уменьшится
в точке В, в результате сбегания элементарного свободного
вихря ВС, на некоторую величину, которую математически можно
dr
выразить в виде---^чевидно циркуляцией точно такой же
величины должна обладать и сама вихревая нить ВС. Поэтому
в формулах (107) циркуляцию Г мы должны заменить элемен-
тарной циркуляцией---dr. Кроме того, обозначив теперь и в
дальнейшем через du и dv скорости, индуцированные не элемен-
том вихря, а всем элементарным винтовым вихрем, начинаю-
щимся в точке В, мы должны проинтегрировать выражения,
стоящие в правых частях формул (107) по всей бесконечной длине
вихря, или, используя переменную 0 в качестве аргумента, — по
этой переменной в пределах от 0 до оо. Заменив еще в форму-
лах (107) радиус-вектор р по формуле
р3 = d2 + г- — 2г г’ cos (О +т)4- 92,
47 со-
мы на основании формул (107), получим:
du-______L.^idr Р rr —г cos (04-т)-г в-sin(04-т) V
4~ dr / Т " V2' I3// <о
/ г'2 + г2 — 2/',r-cos(9-f-'t)+ — 62 I
о
, 1 dr °0 г — d-cos(9 + T)
dv z= — у—dr р---------------------------——irr-~yerr'd^-
I r’2 + r2 — 2r'rcos(9+T) - -^-02
о
(157)
В таком виде формулы окружной и осевой индуцированных
скоростей были выведены впервые Н. Е. Жуковским, который
Отметил трудности, связанные с их практическим использованием
и в Дальнейшем перешел к рассмотрению более простой схемы
винта с бесконечно-большим числом лопастей.
77
Только в 1933 г. была опубликована работа японского уче-
ного Т. Морийя, в которой содержались графики, упрощающие
определение индуцированных скоростей. С целью вычисления
скоса потока в данном сечении лопасти, Морийя рассматривал
нормальную к относительной скорости W проекцию полной
индуцированной скорости wn (фиг. 33):
®/„ = i/-cosp — ztsin.fi, (158)
где р — кажущийся угол притекания струй в сечении лопасти,
расположенной на радиусе г':
Для этого угла:
U __ 2r:r'ns
cos ₽ = Тг - . (1И)
sin₽ = -дет- yv’+(2T7^
Скорости и и V, индуцированные в некотором сечении одной
из лопастей винта всей системой свободных вихрей, получатся
из формул (107) двумя по-
следовательными опера-
циями: во-первых, сумми-
рованием скоростей du и
dv, индуцированных эле-
ментарными свободными
винтовыми вихрями, сбе-
гающими со всех i лопа-
стей винта из точек, рас-
положенных на одном и
том же радиусе, и, во-вто-
рых, интегрированием по-
ФИГ. зз лученных выражений по
всему радиусу винта R
•С гем, чтобы подытожить влияние всей вихревой пелены,
сбегающей с каждой из лопастей. Подставив полученные таким
образом выражения, а также выражения (159) в формулу (158) и
переходя попутно к относительным (безразмерным) величинам
мы получим:
г Г/ 17
Г~ R ’ 1 * “ u> R ’
1 f dr _
drdr
О
и т. д..
47 =
Г [г—r'cos (0 -ь ту)] г • г' + [/-О sin(6+ту) + г cos(R -t ту) -г'] • I/3
J +7з_2?7 cos (0 + с) + 63-рзр, (уъ+гЪ^
(160)
78
Г При суммировании под знаком первого интеграла в формуле
(160) угол меняется при переходе от одной лопасти к другой
по формуле:
(161)
(i — число лопастей; у — номер лопасти, который меняется при
суммировании от 1 до I). Подинтегральное выражение в формуле
(160) имеет особенность, соответствующую случаю, когда г = г',
1 = 0, т = 0, т. е. моменту совпадения точек А и С с точкой А'
(фиг. 30). Тем не менее этот интеграл поддается приближенному
вычислению, которое является довольно громоздким. Морийя
занимался вычислением подинтегральной суммы, умноженной на
разность радиусов (г — г'), т. е.
X
о
г - г' -COS (6-ру)]г И + И sin (0 -Ну)+ rcos(6+ Ту)] • уз
[ra + r's — 2rr'-cos(6 + Ty)+ 63r3]a/>-(V2+r'7b (
Это выражение, названное им „фактором индукции" при г,
стремящемся к г', стремится к предельному значению, равному 1-
Индуцированная скорость определяется, таким образом,
формулой:
4 с/Г
~7=’~—-dr
dr г — г
1
й7„= -г-
1 J
о
— W
Здесь, в отличие от формулы (160), скорость —и цир-
- /Г
куляция Г = входят в безразмерном виде. Конечно,
интегральное выражение попрежнему имеет особенность (при
г = /'), но она отсутствует в факторе индукции А Эту последнюю
величину, являющуюся функцией переменных г,г', V и пара-
метра I Морийя, путем очень трудоемкого графического интег-
рирования, вычислил отдельно для 2-х, 3-х и 4-х лопастных
винтов, задаваясь для каждого из них значениями:
(163)
г=0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0
р =0,3; 0,45; 0,6; 0,75; 0,9
и меняя относительную скорость V в пределах от 0,1 до 0,5.
Так как эти значения Ууже могут не удовлетворять требованиям
79
современных скоростных самолетов (для которых V может до-
ходить до 1), то эта работа была продолжена в СССР Б. А. Ми
нухиным, рассчитавшим фактор индукции для значений V, рав-
ных 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. В результате таких рас-
четов Морийя, а затем Минухиным были построены графики
для 1 в виде сеток для постоянных значений i (числа лопастей)
и г' (относительного расстояния сечения, в котором вычисляется
индуцированная скорость от оси винта) при переменных г и Г
Как было установлено проверкой, сделанной в ЦАГИ, точ
ность расчетов Минухина, и особенно, Морийя оказалась недоста
точной, и графики Морийя-Минухина дают значительную погреш-
ность при пользовании ими. Таким образом, работа по созданию
новых и уточнению существующих графиков фактора индукции
должна быть продолжена. Определение / позволяет в дальнейшем
найти скорость wn и затем уже производить расчет лопасти пс
тем формулам сил и мощностей, которые были выведены нами
при изложении „дисковой" теории Жуковского. Для практи-
ческих целей мы приведем краткий вывод тех из упомянутых
только что формул, которые в принятой нами методике расчета
по Минухину претерпели некоторое видоизменение.
В этой методике было признано удобным перейти от безраз
мерной циркуляции
Г=
4 ^/?2о>0
к также безразмерной циркуляции
Г___
1 ma x
где — максимальная величина циркуляции в некотором се
чении лопасти, которое определяется принятым законом распрг
деления Г(г).
В этом случае основная расчетная формула угла скоса потока
будет иметь вид (фиг. 33):
1
tgAa ~ Да
Wo twJ г-г' дг
(164)
Внесем еще соответствующие изменения в формулы (141) и
(150), которые теперь перепишутся в следующем виде:
• ГтоаАт (Z70 — «1 — р Ц,— h^i)
drl
₽'= Гтах-'(-г (Ц, + + р/70+ uiZj).
drx
fcO
Отбросив произведения p-v, и pzz, ввиду их малости и выде-
лив члены с
zz, = ™ sin &,=w„ =- — Да • 1Л,
и/о
И С
^1= W„ COS ₽J = W„ =: Да • Z70 = Да - 71(
мы окончательно получим:
«-^таЛ_. Т (7 - аЦ,) - • Ц (165)
* max
т* Гтал. - у г, (1/0+ рг,) 4- я* • Т3жая Г2-^— . (166)
1 max
§ 31. Задача о наивыгоднейшем распределении
циркуляции вдоль лопасти винта
Расчет лопасти винта по вихревой теории требует задания
распределения циркуляции по длине лопасти. При этом возни-
кает вопрос, какое распределение Г (и) следует признать наилуч-
шим. Как известно, для крыла этот вопрос решается в общем
случае и наивыгоднейшим распределением циркуляции оказыва-
ется эллиптическое.
Для винта, имеющего i лопастей с взаимным влиянием вих-
ревой пелены одной лопасти на другую, решение данного воп-
роса сильно усложняется.
Поэтому, хотя задача о наивыгоднейшем распределении Г по
длине лопасти винта была поставлена уже сравнительно давно г),
она и до сих пор еще не получила исчерпывающего решения,
так как существующие решения носят приближенный характер
или слишком сложны для практических применений.
В данном параграфе, за недостатком места, мы рассмотрим
только вкратце приближенные решения этой задачи.
Наивыгоднейшим распределением циркуляции следует считать
такое, которое при заданной мощности, потребляемой винтом,
Дает наибольшую тягу или, наоборот, при заданной тяге обусло-
вливает наименьшую затрату мощности на вращение винта, так
как в обоих случаях это обеспечивает наивысшее значение к.п.д.
винта при заданных условиях его работы.
Предположим, мы имеем некоторое распределение циркуля-
ции вдоль лопасти винта. Всякая попытка перераспределить
Циркуляцию, например, прибавить в некотором сечении лопасти
небольшую величину АГ и отнять в другом сечении такую же
') Немецким ученым А. Бетцом в 1919 г.
6
Мельников и Свечников.
81
величину ДГ, приведет к появлению в первом сечёниии некото-
рого прироста тяги APj и мощности A7\, а во втором—к неко-
торой убыли тяги—ДР2 и мощности—дД.
Если отношение
Ь=^-
в разных сечениях лопасти будет различным (несмотря на то,
что ДГ берется одним и тем же), то, очевидно, первое сечение
надо выбирать там, где 3—больше, а второе—там, где 8—-мень-
ше. Тогда, не меняя суммарной циркуляции, мы изменим е
распределение в выгодную для нас сторону.
Наконец, наилучшее распределение циркуляции мы, очевидно,
получим тогда, когда малое приращение ДГ во всех сечениях
будет приводить к пропорциональному приращению ДР и ДР,
т. е. к постоянству 8 по всей длине лопасти, ибо в этом случае
мы уже никаким перераспределением Г не можем увеличить
к. п. д. винта.
Можно показать, как это впервые сделал Бетц, что условие
постоянства отношения 8 вдоль лопасти винта приводит к выводу
о том, что вихревая пелена, состоящая из свободных вихрей,
сбегающих с каждой лопасти, должна образовывать правильную
недеформирующуюся винтовую поверхность постоянного шага,
отходящую от винта с некоторой постоянной скоростью в осевом
направлении.
Найдем сначала закон наивыгоднейшего распределения цирку-
ляции вдоль лопасти для винта „слабого нагружения0, т. е.
с малой тягой, бесконечно большим числом лопастей и без учет,
влияния профильного сопротивления, т. е. для винта, работаю-
щего как-бы в идеальной жидкости. У слабонагруженного винта
можно пренебречь сжатием струи за ним и, так как мы рассмат-
ривали винт с бесконечно-большим числом лопастей, то можно
считать, что свободные вихри такого винта образуют вихревой
цилиндр, показанный выше на фиг. 26.
Согласно формулам (92') и (104) элементарные тяга и мощ-
ность, соответствующие кольцевому элементу винта, при пренебре-
жении профильным сопротивлением, могут быть представлены
в виде:
dP = i^Uxdrx (167)
dT^ifVVxUodrx (168)
Энергия, теряемая на кольцевом элементе, может быть, оче-
видно, представлена в виде:
dE-dT—dP- Уй = 1рГ(ийУх- UxV0)drx. (169)
Преобразуем выражение, стоящее в скобках:
Vl—U1 Vo = о>йг\ (Уо + vx) — («>(/!— • Vo = о1ю0П + «1^0 (17°)
82
Но, согласно формуле (117')
/Г
а по формуле (127)
и1= ~л---- •
4-/'!
, , 9
У малонагруженного
можно отбросить vs1}
винта —мало, и поэтому в левой части
тогда:
tr
Подставляя вместо их и т»,—их выражения в формулу (170), мы
получим:
шог1 + Уо
Ц) wori
и, следовательно:
off—^рГ2ц)°
4г
,7 '
Vo <uort J
Для винта малого нагружения в формуле элементарной тяги dP
также можно пренебречь индуктивной скоростью и заменить LA
на Z/o, т. е. принять:
dP — iprU0drl — ipT(obridr1. (182)
При бесконечно-малом изменении циркуляции Г на некотором
радиусе гь изменятся как полезная мощность dP- Vo, так и по-
теря энергии dE на величины:
d(dE) лГ _ i2P“o
<?Г 2г
+ Vo
Ц) 1
dr.-dY
и
d(dP-V0) ,г . , т. ,р
— jp~ d\ = vp>brxdrx V0«T.
Но отношение этих приращений для винта с наивыгоднейшим
распределением циркуляции, согласно сказанному выше, должно
остаться одним и тем же по всей длине лопасти, равным 8 = const,
т. е.:
__(Г / «у-, Уо \ д
2г/' Д/д \ 1'о О,0^1 /
где а—постоянное.
Если обозначить безразмерную величину -у—-, характеризую-
С*
83
щую расстояние от оси винта, измеренное вдоль лопасти, через х
а
*14
через 7, предыдущее равенство можно переписать так:
или:
Формула (173) дает оптимальное распределение величины -у,,
пропорциональной циркуляции вдоль лопасти винта, при отсутст-
вии профильного сопротивления. Это распределение показано'
на фиг. 34 (кривой 7). Как видим, начиная от л = 0, где 7 = 0,
т. е. на оси винта, циркуляция растет сначала быстро, затем
~ (00Г1
медленнее. Относительная величина х = —на конце лопасти
Ко
современных винтов в полете
обычно колеблется в пределах
1 — 5. Из графика видно, что при
этих значениях х, 7—не толь-
ко не обращается в нуль, но
имеет тенденцию к дальнейшему
росту. На деле, циркуляция на
конце лопасти не может не об-
ращаться в нуль вследствие
схода свободных вихрей. Таким
образом, оптимальное распреде-
ление Г в идеальной жидкости
не соответствует реальному рас-
пределению. Посмотрим, что мо-
жет дать учет профильного со-
противления лопасти, т. е. пере-
ход к действительной среде.
Если воспользоваться форму-
лой (104), то можно написать.
что добавочная потеря энергии за счет профильных
элементе винта будет:
dE^ — к pipTw^r^dr^.
потерь на
(174)
Полная потеря энергии будет
/ VI 1\
WplVGMrp (175)
Или после небольших преобразований:
dE=^
<°о
1+Х2
2х
+ Р7Л'3 j dr.
(176)
84
Что касается тяги, то последняя может быть без больших
погрешностей принята равной тяге элемента винта в идеальной
жидкости, выражаемой формулой (172), которую можно пере-
писать в виде:
2лрУ04
dP——(177)
Согласно вышесказанному, отношение приращений величин
{dP- Ио) и dE, вызванное малым приращением у для винта с
наивыгоднейшим распределением циркуляции, должно остаться
постоянным по всей длине лопасти. Беря производные от (dP- Уо)
и dE по у и находя их отношение, получим !):
I
1+х3
Л'2
+ рх = а,
где а — постоянное. Отсюда
_ (« — рх) X2
1+х2
(178)
Формула (178) отличается от формулы (173) только тем, что
вместо коэфициента а в числителе в ней стоит а — р.х. У оси
винта оптимальное распределение циркуляции получается почти
тем же, что и в случае идеальной жидкости, но по мере роста
х, т. е. по мере удаления от оси, различие в ходе кривых рас-
пределения становится все больше и больше, как это видно на
фиг. 34 где кривая 2 иллюстрирует формулу (178).
С помощью формул (176) и (177) можно найти изменение
к. п. д. вдоль лопасти, соответствующее оптимальному распре-
делению циркуляции.
Найдем отношение:
dE 1+х3 dT—dP-V0 1 — fi
dP- Vo — T dPPV0 —
Отсюда, заменив у по формуле (178), получим:
1 4= j 1 + g-(rt + pA-) (179)
Если пренебречь профильным сопротивлением, т- е. положить
и =0, то:
= const.
(180)
т) Обратное качество р. считаем постоянным вдоль всей рабочей части
лопасти и равным его среднему значению на лопасти.
85
Таким образом, в идеальной жидкости наивыгоднейшим рас-
пределением циркуляции является такое, которое приводит к
постоянству к. п. д. вдоль лопасти винта.
Можно показать, что постоянная а во всех вышеприведенных
формулах имеет значение относительной индуктивной скорости
-ту- , с которой недеформируемая вихревая пелена отходит от
17 о
винта в осевом направлении. Если вихри за винтом образуют
не сплошную цилиндрическую пелену (что может иметь ме'сто
только у винтов с беско-
нечно-большим числом ло-
пастей), а отдельные винто-
вые поверхности, как у винта
с конечным числом лопа-
стей, то эти винтовые по-
верхности будут обтекаться
потоком, как показано на
фигуре 35.
Это обтекание очень за-
метно у края поверхности
и почти не ощущается на
оси винта. Если бы мы
Фиг. 35 имели сплошной вихревой
цилиндр, то вся масса воз-
духа, заключенная в нем, двигалась бы со скоростью а. Теперь же,
благодаря обтеканию краев винтовой пелены у винта с конечным
числом лопастей, меньшая масса воздуха будет отбрасываться
назад. С точки зрения индукции это равносильно тому, как
если бы уменьшилась средняя относительная скорость отбрасы-
вания пелены а. Приближенное вычисление величины умень-
шения этой средней скорости было произведено Прандтлем, кото-
рый нашел, что у винта с конечным числом лопастей она будет
равна ах, где
2 —f
х = — arccos е (180)
ТС
И
/ = „L • —• А1+> 3_ , (181)
где
Таким образом, наивыгоднейший закон распределения цирку-
ляции будет по Прандтлю выражаться:
Кб
без учета профильного сопротивления
д<ооГ х2
~a'xf+x3'
и с учетом профильного сопротивления
(п-х — и,л)х2
7 = —Г+7»— ’
1 Л.
(182)
„Поправка Прандтля" х, как видно из формулы (181), являет-
ся переменной по длине лопасти. С увеличением радиуса rv х
уменьшается и на конце лопасти обращается в нуль.
Английский ученый С. Гольдштейн в 1929 г. нашел более
точное решение задачи о поправке х на конечное число лопастей-
Однако, это решение яв-
ляется более сложным и не
может быть выражено в та-
кой удобной аналитической
форме, подобной формуле
(181), как это сделано
Прандтлем. На фиг. 36 по-
казано сравнение наивыгод-
нейшего распределения цир-
куляции вдоль лопасти, вы-
численного для одного и
того же значения относи-
тельной поступи к по фор-
муле (182) для винта с/=оо
и с учетом поправки Пранд-
тля (пунктирные линии) и
Гольдштейна (сплошные).
Распределение циркуляции
с введением поправок Пранд-
тля и Гольдштейна оказы-
Фиг. 36
вается гораздо более близким к тому распределению, которое
встречается в действительности.
В частности, на конце лопасти Г, как это и должно быть,
равно нулю.
Поправку Прандтля-Гольдштейна можно применять не только
к вычислению оптимального распределения циркуляции Г (г), но
и вообще при переходе от формул теории винта с бесконечным
числом лопастей к формулам, соответствующим винту с конеч-
ным числом лопастей.
Раздел II
РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЛОПАСТЕЙ ВИНТА
ГЛАВА VI
Расчет винта по вихревой теории
§ 32. Постановка задачи
Обычно при подборе винта к самолету конструктор пользуется
уже имеющимися сериями винтов, характеристики которых полу-
чены продувкой их моделей в аэродинамических трубах. В боль-
шинстве случаев удается таким путем подобрать хороший для
заданных условий винт, но все же возможны случаи, когда ни
один из имеющихся винтов не дает достаточно хороших пока-
зателей для заданных условий. Тогда появляется необходимость
в создании нового, специально предназначенного для этих усло-
вий, винта.
При проектировании основная трудность заключается в том,
что все существующие в настоящее время методы решают эту
задачу более или менее приближенно. Приходится не учитывать
целый ряд факторов, в той или иной мере влияющих на работу
винта. Так, например, при проектировании приходится пользо-
ваться характеристиками винтовых профилей, которые были по-
лучены при относительно малых скоростях потока. 3 то же
время известно, что при больших скоростях, на которых обычно
работают лопасти винта (особенно концевая часть) сжимаемость
воздуха сильнейшим образом влияет на их аэродинамические
характеристики. Поэтому характеристики спроектированного винта
будут действительны только при условии работы его в несжима
емой среде. Поправку на сжимаемость воздуха приходится вво-
дить уже после подбора, уменьшая коэфициент полезного дей-
ствия винта.
При работе винта на самолете действующие на лопасть силы
вызывают деформацию кручения, изменяя углы установки ло-
пасти. Это приводит к тому, что винт, в зависимости от условий
работы и формы лопасти, становится более тяжелым или более
легким, и число оборотов его соответственно уменьшается или
увеличивается. Таким образом, деформация кручения изменяет
расчетные условия. К сожалению еще нет достаточно хорошего
метода для подсчета углов закручивания лопасти. Поэтому при-
ходится при проектировании не учитывать этот фактор, кото-
88
рый в действительности несколько изменит полученные характе-
ристики винта.
Мы перечислили главные факторы, ведущие к расхождению
теоретического расчета с практикой. Можно указать еще на не-
которые другие факторы, как, например, взаимное влияние винта
и самолета, неравномерная работа мотора и т. п.
Однако, из-за большой сложности, а иногда и просто невоз-
можности учета всех этих факторов, приходится проектировать
винт, исходя из некоторых „идеальных" условий, т. е. не учи-
тывая всего перечисленного выше. Чтобы все-таки как-то учесть
эти источники расхождения условий работы „идеального" и „ре-
ального" винтов, в полученные характеристики вводят специаль-
ные поправки, полученные на основании анализа систематичес-
ких испытаний винтов в натурных, „реальных" условиях.
Ниже излагаются методы проектирования винта по формулам
вихревой и струйной теорий. Метод иллюстрируется числовыми
примерами; данные для числовых примеров взяты из условий
работы винтов на современных самолетах.
При изложении метода проектирования винта по вихревой
теории, мы, в основном, придерживаемся методики, в свое время
предложенной Г. И. Кузьминым1), оставляя те же обозначения
и предложенную им расчетную таблицу. В качестве цифрового
примера взяты другие расчетные условия и другой винтовой
профиль.
При изложении метода расчета по относительной теории мы
придерживались работы Минухина и рекомендаций, поме-
шенных в Справочнике авиаконструктора т. 1, 1937 г.
В §§ 33 — 46 рассматривается следующий конкретный пример
на проектирование лопастей винта.
Требуется спроектировать винт по следующим расчетным
условиям:
Поступательная скорость винта
1/0 = 400 KMjiac =111 м1 сек.
Число оборотов винта п = 1800 об/мин =30 об)сек. Мощ-
ность двигателя N = 1000 л. с. Высота Н = 0. Диаметр винта
Т) = 3,2 м. Диаметр закрытой обтекателем рабочей части винта
d — 0,20£) = 0,64 м. Винт трехлопастный. Материал лопасти
винта—листовая сталь. Профиль лопасти винта Clark-У.
По этим данным определим некоторые отвлеченные коэфи-
циенты, которые понадобятся нам при расчете:
„ - 111 1 147
относительная поступь: х=——То =
1) См. Г. И. Кузьмин „Расчет винта пр вихревой теории". 1 руды НАГИ,
выпуск 132.
89
отвлеченная скорость: Vo = ^-==== 0,369;
коэфициент тормозной мощности:
75-7V_ 75-1000 _
рл,3О5 — 0,125 • 308 • 3,23 ~ ’
нерабочая часть лопасти: ? = ^- = 0,20.
§ 33. Аэродинамические условия
Наша задача заключается в том, чтобы спроектировать винт
требующий для своего вращения вполне определенную мощ-
ность и обладающий достаточно высоким коэфициентом полез
него действия. Для этого мы должны найти величину циркуля-
ции, определяющую мощность винта, закон ее распределения по
лопасти, влияющий на к. п. д. винта, и так подобрать сечения
лопасти, чтобы параметры и угол атаки профиля обеспечили бы
нам нужную циркуляцую на заданном радиусе. Прежде всего
выберем закон распределения циркуляции по лопасти винта. Сле-
дует отметить, что неудачно выбранный тип распределения
циркуляции может привести к низкому значению коэфициента
полезного действия винта. Задача о нахождении наивыгодней-
шего закона распределения циркуляции (задача о наивыгодней-
шем винте*1) уже решена (напр., Ветчинкин и Поляхов „Теория
и расчет воздушного и гребного винта**, Оборонгиз, 1940 г.)
и мы на ней останавливаться не будем. В своем примере возь-
мем распределение циркуляции вдоль рабочей части лопасти по за
кону полуэллипса; на практике такие винты проектируются до-
вольно часто, так как по форме они получаются плавными
и коэфициент полезного действия таких винтов близок к наивы-
годнейшему. Отметим, что при выборе любого другого законе
распределения циркуляции, методика расчета остается той же
самой, что и при выбранном нами законе.
Перейдем к определению величины циркуляции. Величина
циркуляции может быть найдена путем проб. Задавшись какой-
либо величиной циркуляции, распределенной вдоль лопасти пс
выбранному ранее закону, определяем мощность такого винта
и сравниваем ее с мощностью мотора. Естественно, что мощ
ность винта должна быть равна мощности мотора, так как в про
тивном случае мы будем иметь или раскрутку винта (еелг
N, < ?/„), или же винт не будет додавать оборотов (если
А/, > NM). Если при сравнении мощности окажутся неравными, то
приходится соответственно увеличивать или уменьшать величину
циркуляции. Так следует поступать до тех пор, пока не будег
достигнуто равенство мощностей.
so
Объем работы можно значительно уменьшить, если восполь-
зоваться величиной средней циркуляции по лопасти винта типа
ЕЖ, т. е. винта с постоянной циркуляцией вдоль лопасти. Как
^оказывает практика, мощность такого винта близка к мощности
вцнта с переменной циркуляцией вдоль лопасти, если у них пло-
щади кривых циркуляции, начерченные в одинаковом масштабе,
чавны.
§ 34. Определение циркуляции по сечениям лопасти
Средняя циркуляция определяется из уравнений:
о Г Ь /, 2
£3) — 2>>. Гл (1 -
(149)
2
Y<« =
4-21’jv
X2
(154).
Обычно встречающиеся на практике значения средней цирку-
ляции достаточно малы, так что входящей в уравнение (149) вели-
чиной
2аГл,(1 — £)
можно пренебречь. Тогда уравнение (149) с вполне достаточной
для практики точностью может быть написано так:
2 „
(183)
г»=т---------~~2~
— (!-?*)+-J-P
Здесь коэфициент тормозной мощности винта [3 должен быть
равен коэфициенту мощности мотора $мот, подсчитанному нами
ранее. Этим самым мы заранее гарантируем себя в том, что
Мощность винта типа НЕЖ будет в точности равна мощности
мотора.
Входящая в уравнение (183) величина обратного качества
Профиля р может быть принята в среднем для всей лопасти,
Равной 0,035.
Таким образом, мы имеем два уравнения с двумя неизвестными:
средней циркуляцией и осевым коэфициентом полезного
Действия
Эти уравнения решаем методом последовательных прибли-
жений. Задаемся в первом приближении каким-либо значением
V или же определяем его приближенно по теории идеального про-
пеллера. Большой роли это не играет, так как путем последо-
91
вательных приближений мы будем находить все более и боле§
точные значения \а. Если взять с самого начала очень дале^
ким от его истинного значения, то прибавится только лишнее
приближение. Примем для нашего случая т1я = 0,9. Тогда riQ
уравнению (183) имеем первое приближение средней циркуля
Ции г^:
2
9ГТ' °’0664
]%= — - ------------------------------------= 0,00328.
31’4а09 (1 —0,202) + 0,035 (1 —0,203)
Для этого значения =0,00328 по уравнению (154) опреде-
лим в первом приближении /]я:
/ 4-9,86-0,00328
1+|Z 1+ 1,157®
Найденное значение т/я сравниваем с предыдущим, принятым
нами значением т)а. Расхождение между ними является крите-
рием точности полученного значения циркуляции Гл,. Значение
циркуляции fyv считается достаточно точным, если расхожде-
ние между /]„ в предыдущем и последующем приближениях не
•будет превышать 0,5° 0.
В нашем случае это расхождение равно:
<я — т0 = 0,976 - 0,9 = 0,076,
т. е. оно больше, чем 0,5%. Следовательно, нужно получить
следующее приближение. Для этого найденное значение =
= 0,976 подставляем в уравнение (183) вместо принятого в пре-
дыдущем 0,9 и находим второе приближение 1%":
2
0,0664
г/ = —Н57------------------—------------------= 0,0035.
3,14.0,976- <1-°’2°3> + 3-°-035<1-°’203>
По этому значению Г/у" = 0,0035 находим второе приблиЖе'
яие ria"-.
„ = ___________2______________
/ 4-9,86-0,0035 — 0>97°-
1+\71+ 1,157®
Сравнивая значения ria' и т(а".
92
Па' — ^а" = 0,976 - 0,975 = 0,001.
Это расхождение меньше, чем 0,5%, и, следовательно, полу-
ченную во втором приближении величину средней циркуляции
жИ можно принять за ее точное значение. Если бы между -qa" и т,а’
ролучилась разница более, чем 0,5%, то пришлось бы снова по
уравнению (183), подставив в него г(а", найти 1%"', по этому
f найти т)а"' и т. д.
Таким образом, для нашего примера искомая средняя цирку-
ляция будет равна:
1 % = 0,0035.
Распределяем полученную нами среднюю циркуляцию вдоль
лопасти по выбранному закону. Для этого поступаем следующим
образом: вычерчиваем
в произвольном, но раз-
личном для осей х и у
масштабе кривую закона
изменения циркуляции по
радиусу (фиг. 37). В на-
шем примере мы приняли
закон изменения циркуля-
ции — полуэллипс на ра-
бочей части лопасти. При-
мем для у добства следую-
щий масштаб для г в направлении оси абсцисс: 1 mj\i соответст-
вует 0,01 относительного радиуса. Тогда рабочая часть лопасти
на диаграмме будет выражаться отрезком, длиной 80 мм, и полу-
ось эллипса, следовательно, будет равна 40 мм.
Пока не будем задаваться масштабом циркуляции Г, откла-
дываемой в направлении оси у. Тем самым мы будем ’ иметь
возможность задаться любой величиной второй полуоси эллипса.
Масштаб же циркуляции Г определится в дальнейшем и будет
зависеть от величины выбранного нами отрезка второй полуоси.
Для удобства расчета примем этот отрезок равным 40 мм.
В этом случае полуэллипс обращается в полуокружность,
которую легко вычертить. Вообще говоря, вторую полуось мы
Можем взять любой другой величины — это нисколько не повли-
яет на правильность решения, но значительно затруднит рас-
четы.
Разделив площадь, ограниченную кривой^закона распределе-
ния циркуляции и осью г, на отрезок оси г, замыкающий кри-
ВУЮ, получим среднюю ординату кривой закона распределения
Циркуляции. Нетрудно убедиться в том, что эта ордината в выб-
ранном масштабе отвечает значению средней циркуляции ГN.
93
В нашем примере площадь, ограниченная кривой и осью ?
представляет собой площадь полуокружности и равна:
F = ~ • 403 = 2512 мм2.
Отрезок по оси г, замыкающий полуокружность, равен 80 мм
и, следовательно, средняя ордината равна
2512 Q1 I
Л =-80- = 31,4лм«.
Таким образом^ ордината = 31,4 мм соответствует значе-
нию циркуляции Г N — 0,0035. Это дает нам возможность уста,
повить масштаб циркуляции вдоль оси у, и, следовательно, по-
лучить величину ее на любом интересующем нас относительном
радиусе. Однако, как нетрудно заметить, масштаб в этом случае
получается неудобным (дробным), что делает практически невоз-
можным определение циркуляции на данном радиусе. Для облег-
чения работы поступим следующим образом. Из фиг. 37 видно,
чтоёсправедливо^равенство
Ус I\v
Отсюда
Определив для нескольких относительных радиусов (в соот*
ветствии со стандартом: для винтов с D > 3,5 м — через 0,1, для
винтов с 3,5 м — через 0,15) отношения ординат полуокру#'
94
=ности к средней ординате и умножив эти отношения на найден-
ное значение средней циркуляции ГN =0,0035, получаем значе-
ние циркуляции Г на принятых нами относительных радиусах
г"=0,30; 0,45; 0,60; 0,75; 0,90. По этим значениям Г построена
диаграмма распределения циркуляции по радиусу (фиг. 38).
Для удобства работы весь расчет сводим в таблицу (таблица!).
Здесь в строке 1 записаны расчетные _значения радиуса,
в строке 2 вписаны для расчетных значений г взятые из диа-
граммы фиг. 37 ординаты кривой закона изменения циркуляции
(ординаты полуокружности). В строке 3 записаны отношения
этих ординат к средней ординате уе = 31,4 мм и в строке 4 даны
значения циркуляции для рассматриваемых радиусов, полученные
умножением Г Л, = 0,0035 на значения yiyc строки 3.
§ 35. Определение скоростей в плоскости винта
Далее переходим к определению осевой, окружной и отно-
сительной скорости в плоскости вращения винта (фиг. 39).
Осевая скорость в плоскости винта Ц определится из уравне-
ния:
.№+«3 = 1(п- X). (151)
• Г1 t\
Замечая, что 14 + = V\ и vx = Ц — !/0,
после подстановки имеем:
(Ц-170Ж= Г-^ •
'1
р -
Слагаемым =-, вследствие малости Г, можно пренебречь.
Тогда уравнение (151) принимает вид
V? - Ро Ц-Т=0, (184)
т. е. мы имеем дело с простым квадратным уравнением, реше-
ние которого имеет следующий вид:
v_£o+ , г
V1~ 2 +V 4 ‘
Значения осевой скорости 14 приведены в таблице I в строке 5
и представлены на графике фиг. 40.
Окружная скорость в плоскости винта определится из ура-
внения:
Г1 — Чх ,
(136)
95
- I'
где iii — ~ — окружная индуцированная скорость в плоскоси
ri
Результаты вычислений их
даны в таблице I строка 6
значения L\ приведены в стро
ке 7 и представлены на графике
фиг. 40.
Относительная скорость IP,
как это видно из фиг. 39, мо-
жет быть определена через
известную величину
протекания струй
4
sin Pi
Ц и угол
(185)
Угол притекания струй Pi находим по его тангенсу:
Pi = arc tg 7.-.
(186)
Результаты этих вычислений приведены в строках 8, 9, 10
11 таблицы 1. Зависи-
мость Wi = /(г) пред-
ставлена на диаграмме
фиг. 40.
Таким образом, все
необходимые данные
для подбора сечений
лопасти с точки зре-
ния аэродинамики най-
дены. Действительно,
зная величину цирку-
ляции Г, относитель-
ную скорость Wj и угол
притекания струй р,
в каждом сечении, мы
можем найти потреб-
ное значение Су и, за-
давшись каким - либо
винтовым профилем,
определить необходи-
мый угол атаки а. Зная
угол атаки и угол при-
текания струй, можно
определить и угол установки лопасти в данном сечении. Но*
прежде необходимо проверить, действительно ли мощность проеК'
96
тируемого нами винта будет равна мощности мотора, т. е.
ди соблюдено равенство
Рвинт.1 ['мот-
Как уже было указано, нужно ожидать, что такое равенство
будет иметь место, однако, чтобы гарантировать себя от воа-
можной ошибки, эту проверку следует произвести.
§ 36. Определение а, В и ?] винта
Вычислим производную от коэфициента мощности по относи-
о,
тельному радиусу —= = р' и проинтегрируем ее по всей лопасти,
cfrj
Полученная величина должна быть равна рЛО„. Производная р*
определится по формуле:
р,= ^71Г(У1 + .гЦ). (150)
В строке 12 табл. I приведены величины p'Jlt где ;j. = 0,035,
а значения взяты из строки 7. В строке 13 даны величины,
суммы Ц + p-Ut и в строке 14 — значения производной р' для
каждого значения относительного радиуса /у.
Интегрирование по радиусу проводим графическим путем
Для этого строим график зависимости подинтегральной функции
Р' от г (фиг. 41«). Затем планиметрируем площадь, ограниченную'
кривой и осью г. Эта площадь даст искомое значение коэфици-
циента мощности винта $,инта- При этом нужно учесть мас-
штабы, т. е. умножить найденное значение площади на произве-
дение масштабов по оси абсцисс и по оси ординат.
В нашем примере площадь кривой р' по г равна 3300 мм2.
Масштаб по оси абсцисс равен 0,01, по оси ординат — 0,002.
Тогда коэфициент мощности винта будет:
р„„„„,а = 0,01 • 0,002 • 3300 = 0,066.
Полученное значение $винта сравниваем со значением Влои.
Разница между ними не должна превышать 3°/0. В нашем слу-
чае расхождение значительно меньше (РЛ1от = 0,0664), следова-
тельно, винт будет снимать всю мощность мотора при заданных,
оборотах. Практика расчетов показала, что совпадение коэфи-
Циентов Peawna и рлои обычно получается достаточно хорошим. Но
если в каком-либо исключительном случае разница между кванта
И ?лои получается больше, чем 3°/0, то необходимо изменить,
примерно, на такое же число процентов среднюю циркуляцию
Pjv в сторону ее уменьшения, если РвВЙЖО > Рмот, и наоборот,
После чего нужно произвести весь дальнейший расчет заново.
Однако, повторяем, такой необходимости, как правило, не встре-
чается. Скорее всего в этом случае надо искать арифметическую
Мельников и Свечников.
ошибку в самих расчетах, а иногда, если при построении под-
интегральной кривой течение ее недостаточно ясно, следует
взять несколько дополнительных точек.
60 180 270 360 430 466 440 291
2497 2437 2257 7987 7627 >197 737
Фиг. 41
Перейдем теперь
к определению коэфи-
циента полезного дей-
ствия нашего винта.
Для этого сначала най-
дем коэфициент тяги
винта а. Его можно
определить, подсчитав
производную от а по
г для всех радиусов и
затем проинтегрировав
эту производную вдоль
лопасти. Производная
da ,
— — о. определится по
dr\
формуле:
(141)
Вычисленные по этой
формуле величины а'
даны в строках 15, 16
и 17 таблицы I. Инте-
грирование пооводим
графическим путем, со-
вершенно аналогично
тому, как проведено
интегрирование вели-
чины р'.
На фиг. 41в дана интегральная кривая 'j'-f(r).
Площадь, ограниченная этой кривой, в нашем случае равна
2497 мм2. Масштаб по оси абсцисс равен 0,01, по оси ординат —
0,002. Тогда коэфициент тяги винта будет равен:
а = 0,01 • 0,002 - 2497 = 0,04994.
Коэфициент полезного действия винта определится из выра-
жения (61):
_ а 0,04994 _ - п
7| — р ' “ о.обб •1>157-°>875 )•
После того, как мы убедились, что проектируемый винт сни-
мает полную мощность мотора на заданных оборотах и имеет
9 В данном случае к. п. д. определен без поправки на сжимаемость воз
духа.
88
при этом приемлемый коэфициент полезного действия, необхо-
димо так подобрать сечения лопасти, чтобы наш винт имел на
каждом радиусе найденную выше циркуляцию, а с ней и уста-
новленную выше силу тяги и мощность. Для этого, как известно,
необходимо удовлетворить уравнению связи потока с лопастью:
2Г = CybWv (137'>
Из этого уравнения имеем:
Значения Г и Wy для заданных относительных радиусов были
подсчитаны нами ранее и приведены в строках 4 и 11 таблицы I.
В той же таблице, в строке 18, даны произведения коэфици-
ента подъемной силы на отвлеченную ширину лопасти СуЬ.
Напомним, что под отвлеченной шириной лопасти b мы понимаем
, 2 т ib
отношение ширины лопасти b к величине — т. е. b — „ ,
1 i 2t:D
где i — число лопастей. Следовательно, для того чтобы перейти
от отвлеченной ширины лопасти к истинной, необходимо вели-
чину b умножить на:
2 2
—ir£>= — п 320 = 670 см.
• 1 6
Тогда произведение коэфициента подъемной силы на истин-
ную ширину лопасти будет:
о _
СуЬ = - т.£)СуЬ.
Значения этой величины в сантиметрах (для удобства) даны
в строке 19 табл. I.
Пользуясь характеристиками какой-либо серии винтовых про-
филей, т. е. кривыми Су по а при бесконечном удлинении, можно
подобрать профиль, ширину, толщину и угол установки сечения
таким образом, чтобы удовлетворялось уравнение связи потока
с лопастью. Для этого необходимо, чтобы у подобранных сече-
ний произведения СуЬ были равными полученным нами в строке
19 табл. I. Таким путем мы получаем винт, имеющий такую же
циркуляцию, что и заданная нами. Следовательно, этот винт
развивает подсчитанную нами тягу и требует на свое вращение
заданную мощность. Но в этом случае мы удовлетворяем только
аэродинамические условия и не знаем, обеспечивает ли винт усло-
вия прочности. Возможно, что выбранные нами сечения излишне
7» 89
толсты, и мы могли бы без ущерба для прочности взять их
тоньше, что улучшило бы их аэродинамическое качество К. Или
же, наоборот", взятые нами сечения слишком тонки, и тогда та-
кой винт при работе сломается. Поэтому при подборе сечений
необходимо исходить одновременно из условий аэродинамики
и условий прочности. Учетом прочности мы сейчас и займемся.
ГЛАВА VII
Учет прочности винта
§ 37. Силы, действующие на винт
При вращении винта в воздушной среде на лопасти его дей-
ствуют аэродинамические силы и силы инерции. Аэродинамичес-
кими силами являются сила тяги, которая стремится изогнуть
лопасть в направлении полета, и сила сопротивления вращению,
изгибающая винт в плоскости вращения. Эти силы, точки прило-
жения которых не совпадают с центром тяжести сечения лопасти,
кроме изгиба, вызывают также кручение винта. Силы инерции,
действующие в радиальном направлении, растягивают лопасть,
изгибают и скручивают ее, так как центры тяжести сечений ло-
пасти обычно не лежат на одной прямой, перпендикулярной оси
вращения винта. Под действием инерционных и аэродинамичес-
ких сил лопасть деформируется и тем самым вызывает измене-
ние нагрузок. Так, например, при деформации кручения изме-
няются углы атаки сечений лопасти, что вызывает изменение
как величины аэродинамических сил, так и точек их приложе-
ния.
Кроме указанных, постоянно действующих сил, можно наз-
вать целый ряд причин, вызывающих дополнительные нагрузки
на винт. К их числу относятся: неравномерная работа мотора,
воздушные удары при прохождении лопасти вблизи земли или
фюзеляжа, периодические инерционные силы (довольно значитель-
ные) от гироскопического эффекта во время криволинейного по-
лета и т. п.
Из всего сказанного следует, что действующие на винт на-
грузки являются весьма сложными, причем некоторые из них
даже не могут быть в точности заданными. Поэтому при расчете
приходится задавать некоторые вполне определенные условия
нагружения и непринятые во внимание нагрузки учитывать по
правочными коэфициентами, взятыми на основании статистических
данных. Но даже и в этом случае решение задачи будет очень
сложным. Не нужно забывать, что лопасть представляет собой
балку двоякой кривизны переменного сечения, слегка изогнутую
в двух направлениях и заметно скрученную, с несимметричным
100
профилем. Расчет прочности таких балок довольно сложен, и мы
«еще не имеем его окончательного решения.
При проектировании винта учет прочности принято прово-
дить приближенно на суммарное действие изгиба аэродинамичес-
кими силами, т. е. силами тяги и силами сопротивления враще-
нию, и растяжения центробежными силами. Для учета неизвест-
ных нам факторов принимается пониженное допускаемое напря-
жение, взятое из статистических данных.
Перейдем теперь к определению действующих на винт мо-
ментов от аэродинамических сил.
§ 38. Определение момента от сил тяги
Пусть мы имеем эпюру распределения сил тяги вдоль ло-
пасти винта, как это показано на фиг. 42.
Элементарная перерезывающая сила dSp, действующая на
элемент лопасти, длиной dr, будет:
dS„ = J- dP.
р i -
Здесь стоит множитель у, потому что под силой Р мы по-
нимаем силу тяги всего винта, т. е. всех лопастей.
Перерезывающая сила на участке лопасти R — г будет:
* 1 dP.
— з— dr.
i dr
Изгибающий момент от силы
Фиг. 42
тяги относительно сечения на
радиусе г получается, как инте-
грал распределения перерезываю-
щих сил на выбранном участке
лопасти:
\_dJldrdr.
i dr
(187)
Перейдем к'отвлеченным величинам.
Отвлеченная сила тяги:
- _ Р dP _ 1 dP
2^рш03/?4 ’ 2ярш02/?® dr
101
Тогда, заменяя окружную скорость конца лопасти ш0/? через
r.nsD, получим:
dP 8 2ЛЗ dP
= K3pns2JJi .
dr dr
Но из формулы (141) имеем:
dP 2 ,
dr ~ И
и, следовательно:
dP
~ = 2a'pns2D3.
dr r *
Тогда, подставляя последнее выражение в уравнение (187)
и замечая, что dr—dr-R, получим:
1 1
Mp=Yi f [°-'dr dr — pn^ £)5'l“'
(188)
Здесь va
коэфициент изгибающего момента от
сил тяги;
va'= l'a1 dr—коэфициент перерезывающих сил от
~ сил тяги.
С помощью этих коэфициентов, перерезывающая сила и изги-
бающий момент для любого выбранного сечения определятся по
формулам:
SP — V i- pn^D*
Мр = va
(189)
Решение интеграла (188) удобнее всего провести методом
двойного графического интегрирования. Для этого поступаем
следующим образом.
Интегрируемая кривая a'=/(r) представлена на фиг. 41 в. Раз-
биваем площадь, ограниченную этой кривой и осью абсцисс,
вертикалями на несколько участков. Чем больше будет таких
участков, тем точнее, вообще говоря, будет результат. Возьмем
в нашем случае расстояние между вертикалями в 10 мм. ПоД-
102
считываем площади каждой из полученных полос. В нашем при-
мере площади этих полос в квадратных миллиметрах j записаны
на фиг. 41в цифрами
(верхний ряд) под со-
ответствующей поло-
сой. Цифры нижнего
ряда фиг. 41д дают по-
следовательно суммы
всех площадей от конца
лопасти, включая пло-
щадь той полосы, под
которой записана циф-
ра. Далее, в каком-либо
удобном масштабе на-
носим на диаграмму
суммы площадей от
конца лопасти до дан-
2550 1353 1393 970 5Ю 325 130
него радиуса. Ф11Г 43
Пусть в нашем слу-
чае 50 мм2 площади соответствует 1 мм на диаграмме. Напри-
мер: на относительном радиусе г = 0,9 площадь равна 291 мм2,
291
что в нашем масштабе составляет - =5,82 мм\ на радиусе
и и
7*31
г = 0,8 площадь = 731 мм2, что составляет = 14,6 мм\ на
5U
— 1197
г = 0,7 ~ = 23,9 и т, д.
50
Соединяя найденные точки плавной кривой, получим инте-
гральную кривую. Эта кривая \/=/(г) представлена на фиг. 43.
Масштаб ординат этой интегральной кривой получим, умножив
масштаб, в котором мы наносили на диаграмму по вертикалям
площади интегрируемой кривой, на масштаб самой плошлди.
В нашем примере площади интегрируемой кривой а' = /(г) по
вертикали мы наносили в масштабе 50 мм2 в 1 мм; масштаб кри-
вой а' по г был: по оси /"~0,01 в 1 мм; по оси а—0,002 в 1 мм.
Следовательно, масштаб интегральной кривой .?/=/(/') будет:
50 • 0,01 0,002= 0,001.
Этот масштаб и записан на фиг. 43. Точно таким же мето-
дом проводим интегрирование кривой коэфициентов перерезы-
ваюших сил по г и получаем кривую коэфициентов изгибаю-
щих моментов от сил тяги. На фиг. 43 цифрами в той же после-
довательности, что и на фиг. 41 в, обозначены площади участков
ограниченных кривой v0'. Принимая масштаб площадей 50 мм2,
в 1 мм, строим кривую ч.’ (фиг. 43). Масштаб этой кривой будет:
50 • 0,01 0,001 =0,0005.
103
Снятые с этой кривой значения коэфициентов моментов va за-
писаны для соответствующих радиусов в строке 20 таблицы I.
Момент от тяги винта определяем по ф-ле (189). Постоянная
величина
рп/ГБ 0,125 • 302 320Б „„„
"2~= ’ 10». 2-3
- кг сек-
Здесь р — плотность воздуха в —,
ns—число оборотов в секунду,
D — диаметр винта в см,
i — число лопастей.
Значения момента в килограммосантиметрах даны в строке
21 таблицы 1.
§ 39. Определение момента от сил сопротивления
вращению
Рассуждая совершенно аналогично тому, как и при опреде-
лении изгибающего момента от сил тяги, мы придем к выводу,
что величина изгибающего момента от сил сопротивления вра-
щению Mq может быть найдена решением двойного интеграла
вида:
R R R
= SQdr = J d®-dr dr. (190)
г г г
Сделаем некоторые преобразования.
Если умножить элементарную силу сопротивления врещению
dQ на плечо действия этой силы, т. е. на г, то получим эле-
ментарный момент сопротивления врещению элемента лопасти
длиной dr, находящегося на расстоянии г от оси винта
dMq = dQr.
Если этот элементарный момент умножить на угловую ско-
рость вращения винта шо, то мы получим элементарную мощность
dT, необходимую для вращения этого элемента винта:
dT = dM q-^o — dQ- г-ыо.
dT
Отсюда dQ —-------, и тогда интеграл (190) примет вид
Гшо
R R
MQ = [ \~~-dJ-drdr (191)
J J i rwo dr 4
r r
Перейдем к отвлеченным величинам.
104
Отвлеченная мощность
Т
Т= —-—— •
dT _ _________
dr ~ 2тгршо3/?4 dr •
Заменяя окружную скорость конца лопасти винта <«„/? через
tiznsD, получим:
1 dT
dT 4 э n4 dT
dr V s dr
Но из формулы (150) следует:
dr "
Тогда величина, стоящая под интегралом (191), примет вид:
1 1 dT_ 1 1 dT_ <2V?ns2D3
i <o0/' dr i <i>oR r dr iiz r
Подставляя полученное выражение в уравнение (191), и за-
мечая, что dr — dr-R, находим:
1 1
MQ = ±r?n\D* jJ %- dr dr = ±-рП^П°у (192)
Здесь:
г
v — I v ' dr коэфициент изгибающего момента от сил со-
0 J Р противления вращению,
Г
1
v ' — / dr коэфициент перерезывающих сил от сил со-
Р J -кг противления вращению.
С помощью этих коэфициентов перерезывающая сила и из-
гибающий момент для любого выбранного сечения определяются
я о формулам:
Sq = v'6- 4- pns2D4
j 1 (193)
Mq = vp — рпД)Б.
Решение интеграла (192) проведем также методом двойного
графического интегрирования, подобно тому, как мы поступали
пРи решении интеграла (188). Для этого построим (фиг, 44)
Интегральную кривую-ВтПодсчет этой функции дан в
105
строке 22 табл. 1. Цифры в нижней части графика фиг. 44, в
той же последовательности, что и на фиг. 41в и 43, дают зна
чения участков площади, ограниченной интегральной кривой
3'
- —(г) и осью аосцисс.
По данным значениям этих площадей, на фиг. 44 построена,
интегральная кривая 7.3 =/(7). Масштаб этой кривой будет:
50. 0,01. 0,001=0,0005.
Проводим графическое интегрирование. В верхней части
3254 3129 2779 2284 /734 1184 659
Фиг. 44
графика даны значения участков площадей, ограниченных интег-
ральной кривой и осью абсцисс. По этим значениям на том же
графике (фиг. 44) построена кривая = Д7). Масштаб кривой
коэфициента будет:
100. 0,01. 0,0005 = 0,0005.
Значения коэфициента изгибающего момента от сил сопро-
тивления вращению снятые с диаграммы фиг. 44 для соответ-
ствующих радиусов, даны в строке 23 табл. I.
Моменты от сил сопротивления вращению Mq в килограМ'
мосантиметрах, подсчитанные по формуле (193), записаны в
строке 24 таблицы 1.
106
§ 40. Определение расчетного изгибающего момента
Найдем равнодействующий изгибающий момент 714 от аэро-
динамических сил, действующий на сечения. Из фиг. 45 видно,
что он будет равен:
м —
cos у
где — угол между вектором равнодействующего изгибающего'
момента и плоскостью вращения, который можно определить
из выражения:
*=arctg^=arctgv’
Эти величины даны в строках 25, 26, 27, 28 таблицы 1.
Чтобы узнать напряжения, которые разовьются в лопасти
под влиянием изгибающего момента М, нужно разложить его
на направления главных осей инерции о: и о») (фиг. 45).
Тогда будем иметь:
Проекция на ось с: 714s =714 cos 0.
Проекция на ось тр 7И^ =714 sin 6.
Как видно на фиг. 45, момент 714g во много раз больше
момента 714^. Кроме того, момент 714s действует в плоскости
оси О;, которая является осью наименьшей жесткости. Отсюда
можно притти к заключению, что момент 714s является расчетным
моментом при проверке прочности лопасти винта1).
При проектировании винта, когда направления главных осей
инерции неизвестны, так как неизвестен еще профиль на данном
радиусе и угол его установки <р, приближенно принимают за
!) Более подробно см. Ветчинкнн и Поляков „Теория и расчет воздушного-
гребного винта". Оборонгиз. 1940 г.
10?
расчетный момент проекцию равнодействующего момента М на
направление относительной скорости Л/а„ т. е.
Afs = М cos (<р — -- М cos (р! — у). ' (194)
Здесь pj — угол притекания струй, подсчитанный нами ранее.
В этом случае ошибку в величине расчетного момента мы
делаем небольшую, так как косинус угла между вектором М и
вектором относительной скорости близок по величине к
косинусу угла между осью о? сечения и вектором /И, благо-
даря малой разности между этими углами. Во всяком случае,
мы заведомо увеличиваем (как правило) расчетный момент, что
приводит к увеличению запаса прочности.
Результаты подсчета расчетного момента Mw даны в строках
29, 30 и 31 таблицы I.
Следует отметить, что раньше, когда проектировали винты
для малых мощностей и скоростей, очень часто за расчетный
момент принимался момент от сил тяги, так как в этом случае
расчетный изгибающий момент Mw был очень близок по своей
величине к моменту от сил тяги Мр. Это позволяло значительно
сокращать расчетную работу. В нашем случае этого сделать
нельзя; как видно из таблицы I, величины моментов Mw и Мр
довольно значительно отличаются друг от друга, и пренебреже-
ние моментом от сил сопротивления вращению Mq привело бы
в нашем случае к значительным ошибкам.
§ 41. Определение сил инерции и допускаемого
напряжения
Перейдем к учету инерционных сил, растягивающих лопасть.
Эти силы, а равно и напряжение растяжения от них, могут быть
подсчитаны только тогда, когда нам будут в точности известны
форма и размеры винта. Но так как таких данных у нас пока
еще нет, обычно при подборе сечений центробежные силы оце-
нивают только предварительно, допуская пониженные напряже-
ния от изгиба в растянутых волокнах винта.
Величину центробежных сил можно определить следующим
образом. Пусть площадь поперечного сечения элемента лопасти
будет F. Тогда масса элемента лопасти длиной dr будет:
dm = pmFdr,
где pm— массовая плотность материала лопасти.
Разрывающее усилие на радиусе г определится по формуле:
R R 1
C=J'J JFrdr,
.108
а напряжение от сил инерции будет равно:
1
§ Fr dr
°' = р =Pm<°2C,R2~.
где Fr—площадь сечения лопасти на радиусе г. Наибольшая
1
J*Frdr
величина дроби -г—р--- зависит от формы лопасти и получа-
ется вблизи комлевой части ее (от г = 0,2 до г = 0,45), где напря-
жения бывают наибольшими. Для обычной формы воздушных
винтов эта величина изменяется в довольно узких пределах.
В нашем случае (3-х лопастный металлический винт, профиль
Clark—Y) наибольшее значение этой дроби можно принять прибли-
женно равным:
1
$F7dr
=0,180х).
Тогда наибольшее напряжение от центробежных сил можно
приближенно определить по формуле:
а, = 0,180ртШ % R2 = о, 180Pm U\, (195)
где L/o = %/? — окружная скорость конца лопасти.
В нашем случае окружная скорость С’() будет:
67О = MSD = 3,14 • 30 • 3,2 = 301 м сек,
и, следовательно, наибольшее напряжение от центробежных сил
можно считать близким к величине:
сг = 0,180-785-3012 = 12750000 кг/м2— 1275°кг1см2.
Здесь значение плотности для стального винта принято равным
Рте = 785
кг j сек1
м*
Таким образом, допускаемое напряжение на изгиб с мы должны
Уменьшить на величину максимально возможных напряжений от
сил инерции ас, растягивающих растянутое при изгибе волокно.
Тогда расчетное допускаемое напряжение на изгиб в растянутых
волокнах будет равно:
0 Минухин .Расчет винта по относительной теории" Труды НАГИ,
Вь>пуск № 401.
109
°1 = = — at-
Для стальных винтов допускаемое напряжение на изгиб 3
(пониженное, как было сказано на стр. 101) принимают равным
2000 кг)см2. Тогда в нашем случае расчетное допускаемое напря-
жение будет:
о, = 2000 —1275 = 725 кг/слЛ
Теперь мы можем определить наименьшие допустимые мо-
менты сопротивления изгибу для растянутых волокон
м 4
w — ‘Iha.
а1
Обычно при расчете пользуются не самим моментом сопро-
тивления изгибу, а его коэфициентом :
(196)
Если умножить последнее уравнение на величину СУЬ, под-
считанную нами в строке 19 таблицы 1, то получим уравнение,
связывающее условия аэродинамического подбора сечений с проч-
ностью:
Действительно, подбирая сечение только из аэродинамических
условий, т. е. по СуЬ, мы тем самым обеспечиваем то значение
циркуляции, которое было нами задано, и, следовательно, полу-
чаем подсчитанную нами силу тяги. Если при этом произведе-
ния А,СУ для этих подобранных сечений получаются равными
или меньшими подсчитанных по уравнению (197), то и напряже-
ния в сечениях получаются равными или меньшими допускаемых.
Значения АгСу для нашего примера даны в строке 34 табл. I.
Следует заметить, что совсем не обязательно подбирать сече-
ния такими, чтобы произведение AtCy для каждого из них
в точности совпадало со значениями этой величины, приведен-
ными в строке 34 табл. I. Это означало бы, что напряжения
в сечениях в точности совпадают с допускаемыми. Нужно только
следить, чтобы величина AtCy для каждого сечения не превы-
шала значений, приведенных в строке 34 табл. I. Тогда мы будем
иметь гарантию в том, что напряжения в сечениях не превосхо-
дят допускаемых, и, следовательно, лопасть в работе будет до-
статочно прочна.
Значения А^, по сравнению с расчетными, часто приходится
уменьшать в целях получения более плавных очертаний лопасти
Однако нужно помнить, что особенно увлекаться этим нельзя,
так как при уменьшении величины AtCy уменьшается также и
110
аэродинамическое качество сечения К. Уменьшение же качества
приведет к увеличению сопротивления трения, вследствие чего
мы получим снижение коэфициента полезного действия винта.
§ 42. Подбор сечений
Построение графика Cy=f(AxCy). Для того, чтобы перейти
к непосредственному подбору сечений нашего винта, мы должны
С
иметь диаграмму зависимости Cy—fx (АгСу) и = f2(AlCy)
для семейства „дужек*' (профилей), из которых предполагается
составить лопасть винта. Эти зависимости связывают аэродина-
мические характеристики профиля с данными, обуславливающими
его прочность. Они получаются путем перестроения опытных
(полученных путем продувки) характеристик профилей следую-
щим образом.
Пусть мы имеем для данной серии профилей семейство кри-
вых Су = <?(р.) с параметром относительной толщины профиля с
и семейство кривых той же серии при том же параметре
(фиг. 60а и 60# приложения).
Коэфициент момента сопротивления изгибу At зависит от
ширины лопасти винта и самого момента сопротивления изгибу W:
А, = -^~. (196')
Vw
Момент сопротивления изгибу зависит только от типа и раз-
меров профиля и может быть выражен в виде функции от ширины
и толщины лопастих).
Исключая из уравнения (196') ширину лопасти Ь, мы можем
подсчитать величину At для любой относительной толщины дан-
ного семейства винтовых профилей. Так, например, для нашего
случая (профиль Clark-V),
№ = 0,0855 с2#1).
П1 — 3 — з ________ •
/0,0855с2# V0,0855?
Выбрав какую-либо определенную величину относительной
толщины с и задаваясь различными значениями су, мы можем
построить кривую зависимости Cy = f1(A1Cy). На этой кривой
разметим углы атаки, снятые с кривой Су = у(а) (фиг. 60а) для
того же значения с. Проделав такое построение для ряда отно-
сительных толщин с и соединив точки для одинаковых углов
атаки плавными линиями, получим семейство кривых, которое
1) см. Кравец „Характеристики воздушных винтов”. Оборонгиз, 1941 г.
111
представлено для нашего случая в верхней половине диаграммы
фиг. 61 (приложение).
Исходными данными при построении являлись характеристики
винтовых профилей Clark-Y (фиг. 60а и 60b) ’).
Имея кривые зависимости K — ty (а) для различных относитель-
ных толщин данного профиля (фиг. 60 b), мы можем также по-
строить кривые Су). Такое семейство для нашего слу-
чая представлено на нижней половине диаграммы фиг. 61.
Подбор сечений, первого приближения. Теперь все необходи-
мые данные для подбора сечений у нас имеются. Задаемся ве-
личиной относительной толщины винтового профиля с на взя-
тых относительных радиусах г и записываем эти данные в строку
35 табл. 1. Обычно нужно задаваться так, чтобы относительная
толщина профиля уменьшалась по мере удаления от оси винта.
Можно рекомендовать в этом случае ориентироваться на рас-
пределение относительной толщины лодасти существующих вин-
тов, зарекомендовавших себя в работе.
Далее, для принятых относительных толщин с и значений
величины АхСу, подсчитанных в строке 34 табл. I, определяем
по графику фиг. 61 коэфициенты подъемной силы Су и соответ-
ствующие им углы атаки а. Эти данные записаны в строках
36—37 табл. I. В строке 19 табл. I мы уже имеем подсчитанные
ранее произведения коэфициента подъемной силы Су на ширину
лопасти Ь. Разделив данные строки 19 на данные строки 36 табл. I,
мы получим ширину лопасти b для каждого относительного радиуса.
Эта величина записана в строке 38 табл. I. Умножив относительную
толщину лопасти с (строка 35) на ширину лопасти (строка 38), мы
получим толщину лопасти с. Значения с записаны в строке 39.
Ранее нами был подсчитан угол притекания струй (строка 9).
Прибавив к этому углу угол атаки а (строка 37), мы получим
угол установки элемента лопасти винта ф. Его величина записана
в строке 40 табл. I.
Таким образом, все интересующие нас данные в различных
сечениях винта — ширина, толщина и угол установки лопасти
нами найдены. Теперь остается только „сгладить11 винт. Дело
в том, что лопасть винта, построенная по найденным значениям
Ь, с и <f>, может оказаться угловатой, неравномерно закрученной
Наша же задача заключается в том, чтобы получить винт с плав
но меняющимися шириной, толщиной и углом установки лопасти
вдоль радиуса. Этого можно добиться следующим способом.
Расчет второго приближения при подборе сечений. Значе-
ния толщины, ширины и угла установки лопасти мы получили,
задавшись произвольно относительной толщиной профиля с на
данном сечении. Следовательно, задавшись другим законом
распределения относительной толщины лопасти по радиусу, мы
') Справочник авиаконструктора т. I ЦАГИ, 1937 г.
112
получим другие значения Ь, с и <р. Задаваясь различными зако-
нами распределения с по радиусу, мы можем, вообще говоря,
добиться плавности очертаний нашей лопасти. Но такой путь
решения задачи весьма длинен. Поступим несколько иначе. У нас
уже есть первая прикидка размеров лопасти, поэтому будем
решать задачу обратно, т. е. будем задаваться величинами и b
и находить с. Кроме того, у нас есть еще одна степень свободы.
Несколько раньше мы упоминали, что подсчитанная нами вели-
чина Ах Су (строка 34 табл. I) является предельной; при подборе
сечений мы не можем принимать значений Ах Су больше тех,
которые записаны в строке 34 табл. I, но мы можем итти в сто-
рону их уменьшения, в результате чего у взятых сечений на-
пряжения будут несколько ниже допускаемых. Но при этом
не нужно забывать о том, что было сказано на стр. ПО.
Проведем плавные кривые = ( г) и b = b ( г) (фиг. 46). При
этом нужно следить, чтобы кривые проходили по возможности
Фиг. 46
через полученные расчетом точки. Если же это невозможно, то
необходимо, чтобы расчетные точки_угла установки лопасти
ложились выше кривой <s = cp(r), а расчетные точки ши-
рины лопасти располагались ниже кривой b — b ( г). В против-
ном случае напряжения в лопасти будут больше допустимых,
так как расчетные точки были найдены из условия предельного
значения величины Аг Су.
Снимаем с полученных кривых значения b и <₽ для расчетных
относительных радиусов и записываем эти данные соответственно
в строки 38 и 40 табл. I (нижний ряд цифр). По найденной вели-
чине b и значениям Су Ь, взятым из строки 19, находим величину
Су и записываем ее в строку 36 (нижний ряд цифр). Зная вели-
чину угла установки лопасти о, которую мы сняли с кривой
я 113
° Мельников и Свечников.
Таблица [
1 Г 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90
2 Умм 26,5 37,5 40,0 37,5 26,5
3 У/Ус 0,845 1.19 1,27 1,19 0.845
4 г — г У N Ус 0,00296 0,00416 0,00445 0,00416 0,00296
5 _ 0,377 0,379 0,380 0,379 0,377
6 11 I а 0,00986 0,00925 0,00742 0,00556 0,00329
7 7/1 = г - zzi 0,290 0,440 0,593 0,744 0,8967
8 1,300 0,860 0,642 0,510 0,421
9 Р1° 52 20' 40°40’ 32 40' 27 10 22 50
10 sin 3j 0,791 0,652 0,540 0,456 0,388
11 ^1= -А- sin pj 0,477 0,582 0,700 0,832 0,974
12 P-Ui 0,01015 0,01540 0,0207 0.0260 0,0314
13 Vi+p£'i 0,387 0,3944 0,400 0.405 0,408
14 P'=K*rf (Hj+flf/i) 0,0234 0,071.7 0,104 0,123 0,106
15 и Pi 0,0132 0,01325 0,0133 0,01325 0,0132
16 1 a. 1 to 0,277 0,427 0,579 0,73075 0,8835
17 a =jt3r (Uj — |J-V|) о £ 2Г 0,0254 0,0550 0,0797 0,0942 0,0810
18 y ws 0,0124 0,0143 0,0127 0,0100 0,00608
19 2 Cyb = — r.E)Cyb cm 8,30 9,58 8,50 6,70 4,06
20 V a 0,019 0,012 0,0064 0,0022 0,00025
21 Mr, кг cm °,' 11900 7540 4015 1380 157
22 nr 0,0248 0,0508 0,0554 0,0522 0,0375
23 0,010 0,0.6 0,0025 0,0010 0,0001.3
24 KZCM 6280 3770 1570 628 78,5
25 0,528 0,500 0,390 0,455 0,500
26 a 71 27°50' 26 30' 2Г20' 24'30' 26 30
27 cos Yj 0,884 0,895 0,931 0,910 0,895
28 Л T /И = - - кгсм COS Yi 13500 8520 43)0 1520 176
29 01°-71° 24'30' 14 10' 1Г20' 2°40' —3'40'
30 cos (Pi - 71) 0,910 0,970 0,980 0,999 0,998
31 кгсм 12300 8270 4230 1520 176
114
Продолжение табл. 7
.32 3 _ |/ 23,1 20,2 16,2 11,5 56
33 Cybfb 74,5 86 76,4 60,2 36,4
34 4iCv 3.22 3,20 4,25 3,75 4,7и 4,40 5,23 4,70 6,5 6,5
35 - 0,280 0,140 0,1(0 0,080 0,069
0,250 0,170 0,110 0,090 0,069
с 0,610 0,501 0,450 0,435 0,485
-OU cv 0 554 0,504 0,446 0,426 0,485
37 о 0°40' 2°20' 235' 2°55’ 3°50'
0=40' 1°40 2 20' 2 30 3°5СГ
13,6 19,1 18,9 15,4 8,4
15,0 19,0 19,Q 15,7 8,4
39 С см 3,81 3,75 2,67 3,23 1,89 2,09 1,23 1,41 0,58 0,58
40 V. 53’00' 43'00' 35'15’ 30°05’ 26'40'
53°00’ 4220' . 5W 29 40' 26 40'
Иэиг. 46, и величину угла притекания струй (из строки 9). опре-
деляем угол атаки сечения а:
« = ? — ?!•
По значениям Су и а на фиг. 61 находим величины с и AtCy
и записываем их соответственно в строки 35 и 34 табл. I (нижний
ряд цифр). По значениям с и b второго приближения определяем
толщину лопасти с, а по найденным во втором приближении вели-
чинам Аг Су ис судим о приемлемости аэродинамического каче-
ства сечения К- Здесь необходимо следить, чтобы не было рез-
кого его падения по сравнению с расчетом первого приближения.
Затем строим кривую распределения толщины лопасти с по
радиусу (фиг. 46). Если кривая получается недостаточно плав-
ной, то приближение следует продолжать. Для этого
проведем плавную кривую с = с(г), выполняя те же условия,
что и при проведении кривой b = b(r), и затем, снимая с кри-
вых значения с и Ь, находим значения с и <?. Такие приближе-
ния следует делать до тех пор, пока обвод лопасти не полу-
чится достаточно плавным. Практика расчетов показала, что
обычно второго приближения бывает вполне достаточно, осо-
бенно тогда, когда в самом начале мы задаемся относительными
толщинами, ориентируясь на существующие винты.
В заключение следует заметить, что при подборе сечений
у конца лопасти не следует брать профили со слишком боль-
• 115
той относительной толщиной, так как в этом случае винт будет
иметь слишком большие потери вследствие явления сжимаемо-
сти воздуха, и коэфициент полезного действия винта значитель-
но снизится. Для металлических винтов обычно берут сечение
на относительном радиусе г = 0,9 с относительной толщиной
с, не привышающей 0,08. Однако нельзя увлекаться и слишком
тонкими профилями, так как концы лопасти винта во время
работы обычно вибрируют, что, при слишком тонких профилях,
может привести к падению к. п. д. и даже к поломке винта.
§ 43. Поверочный аэродинамический расчет винта
В предыдущих параграфах мы показали, как можно, поль-
зуясь формулами вихревой теории, спроектировать винт по задан-
ным условиям. Там же мы привели числовой пример такок
расчета и получили винт с вполне определенными геометриче-
скими характеристиками. Но аэродинамические характеристики
винта, т. е. значения коэфициента тяги а, коэфициента мощности
,8 и коэфициента полезного действия rt, были найдены. только
для одного, расчетного режима работы винта. Кроме того, эти
характеристики были получены при принятии некоторого сред-
него по всей лопасти винта значения качества винтового профиля
К. Следовательно, полученные величины а, р и q могут ока-
заться недостаточно точными. Теперь наша задача заключается
в том, чтобы получить аэродинамические характеристики спро-
ектированного винта для различных режимов, т. е. для различ-
ных значений относительной поступи к. Кроме того, так как
нам известны характеристики винтовых профилей на каждом
сечении лопасти, мы можем найти точное значение качества К
для любого относительного радиуса и, следовательно, получить
более точные значения аэродинамических характеристик винта.
Излагаемый ниже метод расчета позволяет также найти аэро-
динамические характеристики любого винта, если известны его
геометрические характеристики и даны аэродинамические харак-
теристики винтовых профилей, из которых набрана лопасть.
При изложении этого метода мы продолжим рассмотрение
нашего числового примера и поступим следующим образом.
Для принятых нами ранее 'относительных радиусов впишем
в таблицу II найденные значения относительной толщины лопа-
сти с , ширины лопасти b и угла установки лопасти <р (графы
1, 2. 3 и 4). Задаваясь некоторыми значениями углов атаки я
для каждого относительного радиуса, снимаем с фиг. 60 а и 606
(приложение) значения Су и К по найденной относительной тол-
щине с. Записываем эти величины в графы 5, 6 и 7 табл. II
В графе 8 приведены значения обратного качества у. = -^.
116
'Зная угол атаки а и угол установки лопасти ф, можем найти
угол притекания струй р,°
Эта величина дана в графе 9 табл, II.
Значение циркуляции Г для каждого сечения можно найти
из уравнения связи потока с лопастью:
т _ C.bW.
2
Замечая, что (из фиг. 39), имеем:
к _ (J— ("г____\
2 cos Pj 1 2 cos pi \ r J '
После несложных преобразований получим удобную для рас-
чета формулу:
2 cos Pj 1
г
*.
Результаты определения величины циркуляции даны в гра-
фах 10, 11, 12 и 13 табл. II. __
Найдем скорости в плоскости винта. Окружная скорость Ut
определится по знакомой нам формуле:
Осевая скорость может быть найдена из выражения:
tgpP
Значения этих скоростей даны с строках 14, 15 и 16 табл. II.
Переходим теперь к определению коэфициентов тяги и мощ-
ности винта. Для этого сначала определим производные этих
коэфициентов по_ относительному радиусу, пользуясь форму-
лами:
^ = а' = ^Г(йг-ЙЛ). (141)
dr!
4 = pz = кфГ (V,+.Л,). (150)
• di\
117
Определение этих производных дано в графах 17, 18, 19, 20,,
21 и 22 табл. II.
Значения тяги и мощности элементов винта получаются при
некоторых осевых скоростях Йо, которые пока нам еще неиз-
вестны. Займемся их определением. Скорость Vo может быть,
представлена, как разность между осевой скоростью в плоско-
сти винта 1Д и скоростью подсасывания
Ро = Х-^.
Скорость подсасывания определится из формулы (152):
14—70=J- (152Y
Или более точно, если учесть влияние центробежных сил, выз-
ванных вращением струи за винтом (см- § 28 стр. 69):
Как показали наши расчеты, множитель (1 — Г2), ввиду ма-
лости величины Г, весьма мало отличается от единицы. Так, в
нашем случае, наименьшее его значение равно 0.99987 (при г = 0,6.
а= 12°). Тогда формула (198) принимает вид формулы (152). Мы
видим, что при определении с достаточной точностью можно
пренебречь влиянием вращения струи и вести расчет по прибли-
женной формуле (152).
Значения величин т^и 170 даны в графах 23 и 24 таблицы И.
В графе 25 даны значения относительной поступи вычислен-
ные по формуле:
Х = 7Гр0.
Перейдем теперь к определению коэфициентов а и Для
этого нам необходимо проинтегрировать уравнения (141) и (150)
вдоль лопасти винта. Интегрирование, как и раньше, мы прове-
дем графически. Предварительно необходимо построить интеграль-
ные кривые а'=/1(г) и В =А(Г)- Поступим следующим обра-
зом: по данным таблицы II строим семейства кривых а' — а'0~)
и 3/ = В'(),) при параметре г (фиг. 47« и 47в). Далее, задаваясь
различными значениями л, с этих кривых снимаем величины s' и
для различных относительных радиусов г. Эти величины при-
ведены в таблице III.
118
Фиг. 47а фиг 47в
Таблица I||
к 7=0,90 г=0,75 г = 0,60 г = 0,45 г = 0,Зп
а’ ₽' а' ₽' а' ₽' а ₽' а'
0,7 0,132 0,136 0,230 0,209 0,191 0,174 0,123 0,110 0,049 0,046
0,9 0,128 0,140 0,179 0,187 0,152 0,159 0,096 0,101 0,0435 0,046
;1,1 0,098 0.117 0,120 0,145 0,098 0,122 0,062 0,078 0,030 0,010
1,2 0,078 0,101 0,087 0,115 0,072 0,095 0,045 0,060 0,024 0,034
1.3 0,054 0,082 0,054 0,078 0,045 0,064 0,028 0,041 0,018 0,026
1,4 0,025 0,059 0,020 0,034 0,018 0,023 0,010 0,019 0,010 0,018
По данным этой таблицы строим семейства а' —а'(г) и
₽' = р'(г) при параметре относительной поступи X (фиг. 48а и 48s).
Таким ^бразом мы получили интегральные кривые (г)
и Р/==/з(г) Для различных значений относительной поступи X.
120
Проведя графическое интегрирование, т. е. планиметрируя пло-
щади, ограниченные этими кривыми и осью г, и умножая их на
соответствующие масштабы, получим значения коэфициентов
тяги 'J. и мощности р для различных д, т. е. для различных ре-
жимов работы винта.
В нашем случае масштабы площадей будут:
ка = Кр = 0,01 • 0,005 = 0,00005.
Результат интегрирования приведен в таблице IV. Здесь же
дано значение коэфициента полезного действия винта т], вычис-
ленного по формуле:
= (61)
Таблица IV
X S ммг а а ''1
0,7 2090 0,1045 1965 0.0982 0,745
0,9 1682 0,0840 1775 0,0887 0,854
1,1 1157 0,0577 1460 0,0730 0,871
1,2 846 0,0423 1158 0,0578 0,878
1,3 546 0,0273 835 0,0417 0,850
1,4 228 0,0109 426 0,0213 0,750
На фиг. 49, по данным таблицы IV построена полная аэроди-
намическая характеристика винта, т. е. построены кривые коэ-
фициентов тяги а, мощности р и полезного действия винта т( по
относительной поступи д.
121
Следует отметить, что эти характеристики получены нами
только для рабочего участка лопасти, т. е. на участке от г = 0,2
до г = 1. Вообще говоря, следовало бы учесть сопротивление
нерабочей части винта. Это приведет к некоторому уменьшению
коэфициентов а и /]. Подсчитать с достаточной точностью эти
изменения довольно трудно, так как поток в этом месте (на не-
рабочей части лопасти) очень сложен. Англичане дают эмпири-
ческую формулу, определяющую уменьшение тяги винта за счет
сопротивления нерабочей части лопасти 1). Однако эта формула
получена для старых конструкций винтовых втулок и вряд ли
может быть применима в нашем случае. По своей величине эта
поправка достаточно мала, и поэтому в нашем расчете мы этой
величиной пренебрегаем.
ГЛАВА VIII
Расчет винта по относительной теории
В предыдущих параграфах мы разобрали случай расчета
винта по вихревой теории, где предполагается, что, винт имеет
бесконечное число лопастей („дисковая" теория). Такое допуще-
ние, как показывают многочисленные исследования, дает непло-
хое совпадение результатов расчета с экспериментальными дан-
ными только для винтов сравнительно небольшого шага, т. е.
для винтов, предназначенных для небольшой скорости полета.
Когда же мы переходим к большим скоростям, расхождение
данных расчета с опытом достигает значительной величины,
и поэтому в этом случае расчет по вихревой теории не приме-
ним. Ниже мы излагаем метод расчета по „относительной" тео-
рии, которая рассматривает винт, имеющий конечное число ло-
пастей. Этот метод основан на использовании графиков фактора
индукции /, построенных Т. Морийя и в дальнейшем уточненных
и дополненных Минухиным. Наличие таких графиков значительно
упрощает расчет.
В качестве расчетных условий примем те же условия, что и
при расчете винта по вихревой теории. Распределение циркуля-
ции на рабочем участке лопасти примем также эллиптическим.
_ г!
Расчет будем вести для относительных радиусов = и резуль-
тат сведем в таблицу V.
§ 44. Определение угла скоса потока. Метод графического
интегрирования
Основная трудность заключается в определении полной инДУ'
цированной скорости wn или, точнее, угла скоса потока в сече-
!) Кузьмин «Исследование работы воздушных винтов". Труды ЦАГИ № 45.
122
нии лопасти Да. Величина последнего может быть определена
по формуле:
1
с
(164)
Для определения величины максимальной циркуляции Г,л,Л.
(а, следовательно, и циркуляции на любом сечении, так как
Г — -[I тах), нам необходимо определить величину , пропор-
1 тая
циональную углу скоса потока на данном сечении лопасти. Эта
величина, согласно уравнению (164), будет равна:
1
Да _ 1 / ду
I - -—=—-dr .
v 'г - - / дг
Решение интеграла (199) проведем графическим методом, для
чего построим интегральные кривые _ = f(r) для каждого
г — г'
из принятых нами относительных радиусов г' и подсчитаем пло-
щади, ограниченные этими интегральными кривыми. Все расчеты
сведем в таблицу VI.
Определение производной -!_ = -/ будем производить графи-
дг
чески по тангенсу угла наклона касательной к кривой у =/(г),.
проведенной в интересующей нас точке. В строке 2 таблицы
V приведены значения безразмерного коэфициента ( для случая
эллиптического закона распределения циркуляции на рабочем
участке лопасти. На фиг. 50 построена кривая i=f(r), и прове-
дены касательные к этой кривой. В таблице VI, строка 2, запи-
саны значения производной / = При определении этой произ-
дг
водной поступаем следующим образом: отметив на касательной
две точки на возможно большом расстоянии друг от друга, на-
ходим величину проекции полученного отрезка на ось у и делим
ее на величину проекции того же отрезка на ось г. Проекции
на оси у и г нужно брать в соответствующих масштабах и при
решении соблюдать знак производной. Например, определим
значение на относительном радиусе г = 0,25.
Возьмем отрезок касательной Л5 = 79 мм. Проекция этого
отрезка на ось у будет равна 71 мм, проекция на ось г = 34,7лл.и.
123
Масштаб т = 0,02, масштаб г = 0,01; тогда производная у' будет
равна:
, 71 • 0,02
7 34,7 • 0,01 ~ 4,1'
Знак производной будет положительный, так как с ростом г
растет и у.
Таким способом находим значения производных для всех
принятых нами относительных радиусов, записанных в строке
1 таблицы VI.
Далее, для каждого расчетного относительного радиуса / по
заданной отвлеченной скорости Уо=0,369 определим из диаг-
рамм фиг. 67, 68, 69, 70 и 71 (приложение) значения фактора
индукции / по переменной интеграции г. Полученные величины /
заносим соответственно для каждого расчетного р в строки 3,
7, 11, 15 и 19 таблицы VI. В строках 4, 8, 12, 16 и 20 этой таб-
лицы подсчитана разность г — г’> в строках 5, 9, 13, 17 и 21 даны
значения подинтегральной функции:
- 1'-
г — г'
При вычислении этой функции и построении соответствующих
кривых возникают неудобства, связанные с наличием у нее осо-
124
бых точек: во-первых, при г— г' подитегральная функция обра-
щается в двухзначную бесконечность; во-вторых, в нашем слу-
чае (при эллиптическом законе распределения циркуляции) появ-
ляются особые точки на концах рабочей части лопасти, где произ-
водная 7' равна бесконечности.
Рассмотрим пока способ графического интегрирования в про-
Фиг. 51
межутках особых точек.
Выделим по обе стороны
особой точки (на концах
рабочей части лопасти —
по одну сторону) окрест-
ность радиуса е = 0,05 и
построим интегральную
кривую в остальной части
промежутка интегрирова-
ния. Такие кривые,атакже
кривые I=f(r) для каж-
дого из принятых относи-
тельных радисуов г’ по-
строены по данным таб-
лицы VI на фиг. 51, 52,
53, 54 и 55. Умножая пло-
щади, ограниченные кри-
1
ВЫМИ -----=- у' и осью г
г —г'
на произведение мас-
штабов подинтегральной
функции и относитель-
ного радиуса, мы полу-
чим ту часть интеграла
S,, которая вычисляется
непосредственно графически. В нашем случае масштаб
равен 1, масштаб г = 0,01. Тогда величина Sj будет
равна произведению:
51 = 0.01 • F,
где F — алгебраическая сумма площадей полос, на которые мы
Для удобства подсчета разбиваем всю площадь, ограниченную
интегральной кривой. Результаты подсчета площадей даны не-
посредственно на фиг. 51, 52, 53, 54 и 55. Значения приведены
в строке 3 таблицы V.
Перейдем теперь к вычислению интеграла в окрестностях
особых точек.
125>
Фиг. 54
Фиг. 55
а) Окрестность особой точки при г = г'.
Пусть мы имеем интеграл вида:
г' + е
Здесь функция /(г) непрерывна в области интегрирования со
всеми своими производными и е — малая положительная величина.
Разложим функцию Дг) около точки г' в ряд Тейлора, выпол-
няя деление на г—г' и почленное интегрирование. Тогда бу-
дем иметь:
г' +е
J ^27=2./'(Й + + Д-|/т(И + •••.
г'-£
так как главное значение интеграла
dr •
равно нулю.
При достаточно малом значении s ряд быстро сходится. Этс
позволяет нам, пренебрегая членами высшего порядка относи-
тельно е, с достаточной точностью считать
г'—Е
dr^4ef(r').
В нашем случае функция f(r)= I'?, и приведенные рассужде-
ния применимы к ней в полной мере, тем более, что в узкой
области интегрирования ее можно с достаточной точностью апрок-
симировать параболой, имеющей производные высших поряд-
ков (начиная с 3-го), равные нулю.
Таким образом решение интеграла в окрестности особых то-
чек при г = г' будет иметь вид:
y'dr — 2s
27
— £
128
т. е. нам необходимо найти величину производной от функции
7 у' по г в точке г = г'. Поступаем следующим образом:
вычисляем величину У/ (строки 6, 10, 14, 18 и 22 таблицы VI)>
для значений г' , г1 — ей г' + е и строим отрезок • кривой
(нижняя часть фшур 51, 52, 53, 54 и 55). Проводим к этой кри-
вой в точке г = г' касательную и по тангенсу угла наклона,
этой касательной, способом, указанным выше, находим величину
производной
Умножив полученное значение производной на 2е, получаем!
искомую часть интеграла S2.
В нашем примере мы приняли е = 0,05. Величина интеграла
окрестности особых точек при г = г', которую мы обозначили
через S2, приведена в строке 4 таблицы V.
б) Вычисление интеграла вблизи особых точек у концов ра-
бочей части лопасти (г = 0,20 и r = 1).
В пределах малых изменений г можно, как показывают гра-
фики (фиг. 50, 51, 52, 53, 54 и 55), с достаточной для практичес-
ких целей точностью апроксимировать функцию I—прямой, а кри-
вую 7 — параболой. Обозначая всегда положительное расстояние
между г и г', с одной стороны, и любым из двух концов рабо-
чей части лопасти, с другой, соответственно через р и р' и объ-
единяя для краткости оба эти случая, производим вычисления
по одной общей формуле:
е
I J_ , I'd? = Т(Г= Е(^оф=о + Г=0- (200))
о
Здесь коэфициенты Рй и Рх зависят только от р' и для всех
относительных радиусов г' могут быть вычислены заранее. Зна-
чения этих коэфициентов приведены в таблице VII г).
Рассмотрим пример. Пусть требуется вычислить значение
интеграла вблизи конца лопасти для расчетного радиуса г'=0,30-
Этому значению расчетного радиуса, при интегрировании у конца
лопасти (строка 2 таблицы VII), соответствуют значения Ро = —0,963
иР,=- 0,502 (строки 4 и 5).
I) Более подробно см. Минухин „Расчет винта по относительной теории".
Труды ЦАГИ № 401. Таблица VII взята из того же источника.
5 Мельников и Свечников
129
•X Таблица Vi
] г 10,20 0,25 1 0,30 | 0,35 I 0,40 0,45 0,5'J 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 080 0,85 0,9J 0,95 1,0
2 1 V | oo 1 4,1 1 2,55 1 1,97 1 1,50 l,05| 0,625 0,286 0 —0,286 -0,625 — 1,05 —1,50 -1,97 1 -2,55 -4,1 oo
r’=0,30
3 i 1,15 1,05 1,00 1,07 1,12 —1 1,41 — 1,79 — 2,17 — 2,64 — 3.12 3,37 3,62
4 г-0,3 — -0,05 0 0,05 0,10 — 0,20 — 0,30 — 0,40 — 0,50 — 0,60 0,65 —
5 i 7- о,з — — — 42,2 16,8 — 4,4 — 0 — —3,39 — -7,94 — -13,25 -21,2 —
6 n' — 4,3 2,55 2,11
r'= 0,45
7 I 1,20 1,08 1,001 — 0,90 1,00 1,15 — 1,50 — 1,92 — 2,47 — 3,00 3,30 3,65
8 7-0,45 — -0,20 —0,15 — -0,05 — 0,05 — 0,15 — 0,25 — 0,35 — 0,45 0,50 —
9 7-0,45 1 — —22,2 -17,0 —27,0 — 14,4 — 0 — —4,8 — -10,6 — -17,0 -27,0 —
10 n' — — - - 1,35 1,05 0,72
11 i “1,02 — 0,93“ 0,840 0,720 0,89 ?=0, 0,95 60 1,00 1,18 0,05 1,35. 1,87 2,35 —2^6(7 “2,95
12 r - 0,6 — -0,35 - 0,30 — —0,20 — -0,10 -0,05 — 0,10 — 0,20 — 0,30 0,35 —
13 7—0,6 — —10,9 -7,15 — -5,4 — -5,56 —5,44 — -6,75 -8,45 — — 14,0 — -20,0 -30,4 —
14 /-t' — — — — — — 0,555 0,272 0 —0,338 —0,845 — — — — — —
r' = 0,75
15 i 0,92 0,86 , 0,77 — 0,65 — 0,62 —— 0,61 — 0,88 1,00 1,21 — 1,60 1,88 2,18
16 r — 0,75 — -0,50 —0,45 — -0,35 — -0,25 — -0,15 — - 0,05 । - 0,05 — 0,15 0,20 —
17 —7 1' r — 0,75 — -7,05 —4,36 — -2,78 — -1,55 — 0 — 11,0 -36,3 — -27,2 -38,6 —
18 n' — — — — — — — — — — -0,55 -1,05 -1,82 — — — —
г = 0,90
19 i 0,89 0,795 0,730 — 0,617 — « 0,550 0,500 — 0,510 — 0,515 0,840 -1,00 1,21 1,44
20 r —0,9 — -0,65 —0,60 — —0,50 — —0,40 — -0,30 —0,20 — -0,10 -0.05 — —" —
21 — f r - 0,9 — -5,0 —3,10 — -1,85 — -0,860 — 0 — 1,59 — 7,72 33,0 — — —
22 h' — — — X — — — — — — — — -1,65 -2,55 -4,95 —
Таблица VII
1 г' 0,30 , 0,45 0,60 [0,75 0,90 Интегрирование у втулки (вблизи г = 0,2)
2 г 0,90 0,75 0,60 0,45 0,30 Интегрирование у конца лопасти (вблизи г=1)
3 г Р 0,1 0,25 0,40 .0,55 0,70
4 PD — 7,53 — 2,78 - 1,71 — 1,23 - 0,963 Функция 7 апрокси- мируется параболой
5 Л -4,93 — 1,52 — 0,906 — 0,645 — 0,502
6 rd — 6,14 — 2,15 - 1,31 -0,94 — 0,733 Функция 7 апрокси- мируется прямой
7 Ri -7,72 — 2,31 — 1,36 — 0.966 — 0,749
Замечая, что в нашем случае е=0,05 и что значения р = О
и р — 0,05 соответствуют значениям переменной интеграции
г — 1,0 и г = 0,95 J), по верхнему графику фиг. 51 находим: 1
^7= 0 = 7 = 1 ~ 3.62 и I— = 0,05 — 0 95— 3,37
и по фиг. 48:
V= е ~ V= 0,05 ~ ^7= 0,95 = °’49’
Обозначая рассматриваемый интеграл через Л'3 и замечая, что
промежуток интегрирования будет от г = 0,95 до /*=1,0(6 = 0,05),
имеем:
1
= f г —0,3 ^'dr о,95 7= 1,о + Р1/7= 0,95)=
0,95
= 0,49(—0,963-3,62 —0,502-3,37) = — 2,53.
Подобные вычисления делаем для всех расчетных относитель-
ных радиусов и результаты записываем в строках 5, 6, 7 и 8 таб-
лицы V.
Вычисление интеграла вблизи особых точек у втулки произ-
водится совершенно аналогично, только вместо пользования
строкой 2 таблицы VII следует пользоваться строкой 1 той же
таблицы. Решение этого интеграла, который мы обозначим че-
рез S4, дано в строках 9, 10, 11 и 12 таблицы V.
1) р = 1 — Г при интегрировании у конца лопасти и р = Г—е при интег-
рировании у втулки и аналогично для р' и г'.
132
Следует отметить, что иногда (например, при наивыгодней-
шем законе распределения циркуляции вдоль лопасти) функция
7 вблизи втулки (г = ?) в пределах малых изменений г апрокси-
мируется не параболой, как в нашем случае, а прямой. Решение
интеграла тогда будет совершенно аналогично тому, что было
рассмотрено выше, только коэфициенты, зависящие от р', будут
«меть другое значение. Общий вид решения будет:
f = 1 Г=0 + )• (201)
0
Значения коэфициентов Ro и Rt даны в строках 6 и 7 таб-
лицы VII.
В этом случае интегрирование у втулки почти для всех стан-
дартных радиусов выполняется графически (точка г = ; уже не
будет особой точкой, так как у' ф оо), и только при г' = 0,3
графическое интегрирование встречает неудобства ввиду малого
промежутка интеграции и больших значений подинтегральной
функции. Обычно тогда пользуются решением, представленным
•формулой (201).
Имея все составные части интегралов Slt S.j, S3 и Sit искомое
значение интеграла для всех расчетных г' получим их суммиро-
ванием, т. е.
1
[— - 7'(7r = S = Si + S2 + S3 + S4.
J г — г1
а *
Его значения приведены в строке 13 таблицы V.
гт- A0'
Теперь для определения величины =--------нам остается опре-
^'таг
.делить только относительную скорость Wo, и тогда, согласно
формулы (199), получим:
Да S
Скорость И70 определится как гипотенуза треугольника ско-
ростей:
или, согласи© формулы (129)
ir0=/v04+72'
133
Результаты расчета относительной скорости U70 даны в стро-
ках 14 и 15 таблицы V. В строке 16 той же таблицы записаны
Да
значения величины —------.
Г
2 max
§ 45. Определение Гтах, а и т, винта
Перейдем теперь к определению Гтах. Для этого восполь-
зуемся уравнением (166), переписав его в более удобном для
нас виде:
1 1
У* Г (V'o + К) dr + Г2таХ I yr2
Да -
_---- dr.
Г
* max
(202)
Вводя обозначения
i 1
Да .г о
;—‘dr и В
г
1 max
получим:
^й<явх+в2гта„ж-1-=о.
Мы имеем обычное квадратное уравнение, решение которого
будет
_ _ ~ ] B22 + 4~^i Bi (203)
Гтах ~ 2В, •
. Значения коэфициентов В, и В2 определяются путем графи-
ческого интегрирования. Для этого вычисляем подинтегральные
функции
о' —2 Да
В, —-[г2 ----
Г
1 max
B2'=v(V0 + pr).
Вычисление этих функций дано в строках 17, 18, 19 и 20
таблицы V.
134
Величина обратного
славскому и Халезову1)
определена из уравне-
ния:
const
.
г
Величина константы
для всех расчетных
радиусов, кроме г' =
= 0,30, принята равной
0,015. Для г'= 0,30,
const = 1,5 • 0,015 =
= 0,0225.
На фиг. 56с и 56в
построены по этим
данным интегральные
кривые, дан подсчет
площадей и опреде-
лены коэфициенты Д,
и Вг.
Мы получили: Bt=.
= 1,18 и В2 = 0,1425.
Подставляя эти величины в уравнение (203), имеем:
— 0,1425+ ]/"0,14252 + 4 -1,18
Гаал= -------------------------------------------= 0,0045.
Z* 1,10
Таким образом, максимальное значение циркуляции на неко-
тором сечении лопасти
Гтах = 0,0045.
Определим коэфициент полезного действия проектируемого
нами винта. Для этого, воспользовавшись формулой (165), опре-
делим производную от коэфициента силы тяги а по относитель-
ному радиусу г
а = х у (г — р. Vo) — к3 Г2„;о,. у 170 . (165)
1 max
Определение этой величины дано в строках 21, 22, 23 и 24
таблицы V. На фиг. 57 представлена интегральная кривая. Мето-
!) Остославский и Халезов—„Взаимное влияние винта и самолета". Тру-
ды ЦАГИ № 213.
135
дом графического интегрирования находим величину коэфици-
ента тяги а, в нашем случае равного:
а = 0,0498.
Коэфициент полезного действия винта определится
муле>
по фор-
а _ 0,0498
₽ ~ 0,0664
1,157 = 0,869.
На этом заканчивается аэродинамическая часть расчета. Нами
найдено значение циркуляции Г на расчетных радиусах (известны
Т и ‘ тах)> определен угол скоса потока I =-- и ГтаХ , опре-
\ Гтах /
делены аэродинамиче-
ские характеристики
винта на заданном ре-
жиме работы. Теперь,
чтобы скомпоновать
лопасть, т. е. подоб-
рать винтовые профили
и углы их установки
на расчетных сечениях,
мы должны, как изве-
стно, произвести учет
прочности.
§ 46. Учет прочности и подбор сечений
Прежде всего нам необходимо определить величину изгиба-
ющих моментов от аэродинамических сил, действующих на сече-
ниях. Определение этих моментов, а также и расчетного мо-
мента, совершенно аналогично тому, как мы поступали при рас-
чете винта по вихревой теории. Поэтому излагать метод опре-
деления, а также и помещать в таблицу самый расчет этих мо-
ментов мы не будем. В строке 25 таблицы V дан расчетный мо-
мент Mw, который мы получили, проделав вычисления, анало-
гичные вычислениям при решении задачи по вихревой теории.
Момент сопротивления изгибу для растянутых волокон будет
равен:
Г==^. (204)
Здесь аг—расчетное допускаемое напряжение на изгиб в рас-
тянутых волокнах, подсчитанное нами ранее (см. стр. ПО) и
равное =! = 725 кг/см2. С другой стороны, момент сопротивления
изгибу сечения, как мы выяснили раньше, является функцией
ширины и толщины винтового профиля. Так, например, для се-
136
мейства винтовых профилей Clark-У, из которых мы будем на-
бирать нашу лопасть
1Г=0, 0855 с*Ь (см. стр. 111).
Приравнивая последнее выражение и уравнение (204), имеем-
= 0,0855 с2Ь = 0,0855 с2Ь\ (205)
Мы получили уравнение с двумя неизвестными с и Ь. Произ-
вольно выбирая относительную толщину профиля с или его
ширину Ь, мы можем соответственно определить b или с.
Удобнее, как это обычно и делают при расчете винтов, зада-
ваться относительной толщиной с, ориентируясь на существующие,
хорошо работающие винты. Тогда решая уравнение (205) отно-
сительно Ь, имеем:
ь - fZZLZZ. ]№7.
У 0,0855 У 0,0855-725
Определение этой величины дано в строках 26, 27 и 28 та-
блицы V. Эти предварительные размеры ширины лопасти при за-
данной относительной толщине являются предельными с точки
зрения прочности винта. Известный произвол, которым распо-
лагает конструктор, позволяет теперь внести некоторые изме-
нения в предварительные результаты и получить более совер-
шенную форму винта в плане. При этом нужно помнить, что <
уменьшать полученные предельные размеры в ущерб прочности
нельзя.
Перейдем теперь к определению угла установки сечения ло-
пасти <р. По уравнению (137') имеем:
r = • (137')
Здесь IFj—равнодействующая скорость в плоскости вращения
винта, которую, согласно фиг. 33, можно представить выражением:
I
W,= - -У» -^U70,
cos Да
так как угол скоса потока Да достаточно
_____
что b = orv- и решая уравнение (137')
z.D~
мал. Тогда, замечая,
относительно Су, по-
лучим:
г _ 4nD Г
у~ ~i~ bW0 ‘
137
Определение этой величины дано в строках 29 и 30 таблицы V.
По диаграмме аэродинамических характеристик винтовых про-
филей при бесконечном удлинении (фиг. 60а), для найденных
значений Су при заданных относительных толщинах с, находим
величину действительного угла атаки а° профиля в любом се-
чении (строка 31 таблицы V). Угол установки в любом сечении
определится, как сумма
О_ п о , о
¥i — Ф + ai >
здесь pi°—угол притекания струй в плоскости вращения винта.
Он определяется суммой:
р1°=ро + Да°,
где 0°—кажущийся угол притекания струй, величина которого
может быть определена по его тангенсу:
-El-El
i/o г ’
Угол скоса потока Да° определится из выражения:
Aa°=57,3^rwov.
1 max
Определение угла установки сечения лопасти на расчетных
относительных радиусах г’ дано в строках 32, 33, 34, 35 и 36
таблицы V. При определении углов установки сечений лопасти
нужно стремиться к тому, чтобы на расчетном режиме основные
профили винта работали на таких углах атаки, при которых ка-
С
чество профиля К— гу было бы близко к наибольшему его зна-
чению. Это можно проверить по графику фиг. 606, где дана за-
висимость К от угла атаки. Если при расчете получаются углы,
которым отвечает малое качество, то следует изменить ширину
лопасти и, поскольку позволяют условия прочности, приблизиться
к наивыгоднейшему углу атаки.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение Г
Характеристика винтовых профилей 1)
фиг. 58—'профиль RAF 6
1) Справочник Авиаконструктора т. I, ЦАГИ, 1937 г.
13»
Фиг 59 — профиль ВС-2
>
Фир. 60— профиль С1агк-У
Приложение //
«Связь аэродинамических и прочностных характеристик профиля Clark-у
142
Приложение III
Графики фактора индукции 1)
7'°\
6.0
Фиг. 62
^ТМпнухин „Расчет винта по относительной теории1', труды ЦАГИ,
401, 1939 г.
вып.
143
Фиг. 64
Фиг. 65
144
г
30
Фиг. 66
Фиг. 67
145
Фиг. 68
Фиг. 69
146
to
г
Фиг. 7J
147
Фиг. 73
148
Фиг. 74
Фиг. 75
149
150
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие . . ............................................. 3
РАЗДЕЛ I. ТЕОРИЯ ЛОПАСТЕЙ ВИНТА
Глава I. Введение
§ I. Предмет и задачи теории винта............................. 5
Глава II. Теория идеального пропеллера
§ 2. Струя винта........................•...................... 6
§ 3. Тяга, мощность и к. п. д. идеального пропеллера........... 7
•§ 4. Соотношение между добавочными скоростями в плоскости
винта и за ним.............................................. 8
§ 5. Коэфициент нагрузки на ометаемую винтом площадь.......... 10
§ 6. Скачок давления в струе винта............................ 11
§ 7. Применение теории идеального пропеллера.................. 14
§ 8. Взаимное влияние виита и находящихся за ним частей самолета 16
§ 9. Среднее торможение потока в плоскости винта.............. 17
§ 10. Определения величины коэфициента торможения.............. 19
§ И. Учет влияния винта иа самолет........................... 21
Глава III. Теория подобия винтов
§ 12. Условие кинематического подобия режимов работы винта .... 22
§ 13. Теория подобия винтов. Формулы тяги, мощности и коэфициента
полезного действия винта........................................ 25
§ 14. Характеристики виита..................................... 28
§ 15. Подбор винта к самолету....... ................ 35
§ 16. Пересчет характеристик винта иа другое „покрытие*........ 38
Глава IV. Струйная теория винта
§ 17. Теория элемента винта.................................... 42
§ 18. Соотношения между скоростями в плоскости винта и далеко по-
зади него...................................................... 44
§ 19. Формулы осевой и окружной индуцированных скоростей .... 47
§ 20. Коэфициент полезного действия элемента винта. Формулы тяги
и мощности всего винта ....................................... 49
Глава V. Основы вихревой теории винта
§ 21. Вихревая схема винта.................................. * ;?!
§ 22. Общие выражения скоростей, индуцируемых вихрями винта . . о4
§ 23. Вихревая схема по „дисковой” теории винта. (Теория Жуковского-
Ветчинкина).................................................... й£)
151
§ 24. Осевая индуцированная скорость в плоскости виита ........ 56
§ 25. Окружная индуцированная скорость по „дисковой" вихревой теории 59
§ 26. Другой вывод формулы окружной индуктивной скорости....... 64
§ 27. Индуцированные скорости в струе за винтом................ 66
§ 28. Основное уравнение вихревой теории винта................. 67
§ 29. Основные формулы теории винта в отвлеченных обозначениях - 69
§ 30. Основания вихревой теории винта с конечным числом лопастей
(„относительная" или „лопастная" теория) -..................... 75
§ 31. Задача о наивыгоднейшем распределении циркуляции вдоль
лопасти винта.................................................. 81
РАЗДЕЛ II. РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЛОПАСТЕЙ ВИНТА
Глава VI. Расчет винта по вихревой теории
§ 32. Постановка задачи........................................ 88
§ 33. Аэродинамические условия............................... 90
§ 34. Определение циркуляции по сечениям лопасти............... 91
§ 35. Определение скоростей в плоскости винта.................. 95
§ 36. Определение а, р и ц винта............................... 97
„ Глава VII. Учет прочности винта
§ 37. Силы, действующие на винт............................... 100
§ 38. Определение момента от сил тяги......................... 101
§ 39. Определение момента от сил сопротивления вращению....... 104
§ 40. Определение расчетного изгибающего момента............. 107
§ 41. Определение сил инерции и допускаемого напряжения....... 108
§ 42. Подбор сечений.......................................... 111
§ 43. Поверочный аэродинамический расчет,винта................ 114
Глава VIII. Расчет винта по относительной теории
§ 44. Определение угла скоса потока. Метод графического интегри-
рования ...................................................... 122
§ 45. Определение Гтох., а и т; винта......................... 134
§ 46. Учет прочности и подбор сечений...................• . . 136
Приложение I ............................................... 139
Приложение II ....................................... 142
Приложение III . ....................................... . 143
I Г.ЙЬЛ1. 1 ,, , I
№ 88ZZ.
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стра-1
вина
Строка Напечатано Должно быть
64
73
73
75
76
78
79
79
97
104
Hi
111
Формула-
(Гй)
Формула
(М7)
1 снизу
5 снизу
13 снизу
Д’
И) Ve,
I// VY
г о
V 2
> о
1. of the
серея
d
2^1
Ц.
Я;
v_
J. of the
через
Формула (160) должна иметь вид:
[/24- г? - 27’ Г-cos (0 + ту) ф- 02 V'aj’ls- (V'2 + г'*)1
к-Г1 соз (9 -l-^Jir г'-г (rBsin (0 4- су) 7 г cos (0 +-Гу)—г'] У2 rf0
о
Формула (162) должна иметь вид:
со _ _ _ __
Г [г—г'- cos (0 4- ту)]г-/-'4- IГ0 sin (Oj-yy) 4~ rcos (6 -4- ту))- Р
J fr~’4~r"8 -2r r'-cos (fl4-ту) 4-62у2]'«'(У34-1"*2)*!»
('
9 сверх)
1 сверху
5 сверху
11 снизу
6 снизу
(фиг. 30)
мотора, т. е.
~2z
(профиль Ciark-V)
значениями Су
(фиг. 32)
мотора, т. е. будет
а
(профиль Claik-Y)
значениями Су