Г. ГЛАУЭРТ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
КРЫЛЬЕВ И ВИНТА
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
В. С. ВЕДРОВА И М. А. ТАЙЦА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
В. Л. АЛЕКСАНДРОВА
19 3 1
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА	ЛЕНИНГРАД
The
elements of aerofoil
and airscrew theory
by
H. Glauert.
тор Ф. ШАХОВСКОЙ. Технический редактор А. ПОЧЕЧУЕВ.
ta. Уполномоченный Главлита Б10658 ОГИЗ № 1377 НМ-1 Зак. М 372. 5.000 эк».
16-я тип. УПП ОГИЗ. Трехпрудный кер., 9.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА.
В настоящее время в мировой литературе найдется очень небольшое
количество трудов, в которых дано стройное изложение теории крыльев.
Эта наука еще очень молода, и основные работы в ее области разбросаны по
различным журнальным статьям, так что изучение ее представляет некото-
рые затруднения. Книга Глауэрта дает не только изложение современных
воззрений по теории крыльев,—автор ее с большим мастерством излагает
в элементарной форме сложные понятия и этим значительно облегчает
усвоение основ этой теории. Эта книга вышла уже немецким изданием;
для русских читателей она безусловно будет полезна, в особенности студен-
там высших учебных заведений, так как вышедшие на русском языке спе-
циальные работы в этой области по большей части чрезвычайно тяжело-
весны и трудно усвояемы.
При переводе книги мы старались придерживаться той номенклатуры,
которая в наибольшей степени привилась у нас. Так например в главе об
источниках «doublet» было переведено «дублет», хотя также встречается тер-
мин и «диполь». В главе VIII «vortex streets» мы сочли более удобным пе-
ревести «вихри Кармана», придерживаясь манеры Н. Е. Жуковского, хотя
ь немецком языке это соответствует «Wirbelstrasse».
Во всей книжке пришлось изменить обозначения на более у нас упо-
требительные и кроме того ввести метрическую систему измерений. В силу
этого § 4 главы I «Об единицах измерения» пришлось выкинуть. В связи с
изменением обозначений пришлось переделать и некоторые надписи на фигу-
рах. Глава I была переведена мною, II—IV и XI—XVII—В. С. Ведровым и
V—X—М. А. Тайцем.
м	В. Л, Александров.
Москва, 27 Сентября, 1930 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ.
Теория крыльев ставит своей целью объяснить возникновение си-
лы сопротивления, испытываемой движущимся крылом аэроплана, а также
дать величину этого сопротивления. За последнее время была создана тео-
рия крыльев, вполне удовлетворительная для диапазона летных углов атаки
ниже критического угла и для той части силы сопротивления, которая не
зависит от вязкости воздуха. Значительные достижения были получены так-
же в изучении сопротивления, зависящего от вязкости воздуха, а также и в
изучении крыла при углах атаки выше критического; надо однако заме-
тить, что полного решения задачи о движении крыла в вязкой жидкости пока
еще не достигнуто. Вопрос о работе гребного винта тесно связан с теорией
крыла, так как лопасти винта представляют собой своего рода крылья, опи-
сывающие спиральные траектории. На основе выводов теории крыльев была
построена также вполне удовлетворительная теория гребного винта.
Целью настоящей книги является дать в доступной форме студентам,
не знакомым с гидродинамикой, основные понятия по теории крыльев и
гребного винта. Первые пять глав дают краткие сведения из области гидро-
динамики по тем вопросам, которые необходимы для дальнейшего понимания
теории крыльев. Следующие главы относятся к теории подъемной силы кры-
ла в плоско-параллельном потоке, с учетом вязкости, и к теории крыла ко-
нечного размаха; наконец три последние главы посвящены теории гребного
винта.
В связи с принятой установкой книги избегалось по мере возможности
применение сложного математического анализа; в немногих случаях резуль-
таты приводились без доказательств со ссылкой для интересующихся на
соответствующие учебники и пособия.
Фарнборо. Апрель, 1926.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие редактора...................................................... 3
Предисловие автора ........................................................ 4
I. Введение...........................................*................. 7
JJ. Уравнение Бернулли................................................. 13
Ш. Функция тока......................................................... 19
IV.	Циркуляция и вихрь................................................. 291
V.	Потенциал скоростей и характеристическая функция.................... 39
VI.	npei бразование круга в профиль крыла............................... 46
VII.	Крыло в плоско-параллельном потоке................................... 61
XIII. Вязкость н сопротивление......................................  .	-	72
IX.	Основания теории крыльев..........................................   88
X.	Крыло в трехразмерном потоке ...................................... 98
XI.	Моиопланное крыло.................................................. 101
XII.	Строение потока вблизи крыла........................................ 114
XIII.	Биплан.........................................................     124
XIV.	Влияние трубы на модель крыла...................................... 136
XV.	Гребиой винт: теория идеального пропеллера...................    .	143
XVI.	Теория элемента лопасти виита...................................... 149
XVII.	Влияние аэродинамической трубы иа винт...........................  158
Предметный указатель............................................... 162
ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ ПРИ ССЫЛКАХ НА ЛИТЕРАТУРУ.
R&M —Reports and Memoranda of the Aeronautical Research Committee.
NACA —Reports of the National Advisory Committee for Aeronautics (U. S. A.).
ZFM —Zeitschrift fur Flugtechnik und Motorluftschiffahrt.
ZAMM Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik.
ГЛАВА I.
ВВЕДЕНИЕ.
Всякое тело, движущееся в жидкости, испытывает со стороны послед-
ней некоторое сопротивление. Существуют однако такие формы тел,.у кото-
рых составляющая силы сопротивления, перпендикулярная направлению
движения, во много раз больше составляющей в направлении движения. В
конструкции крыла аэроплана применяются именно такие формы тел.
Крыло имеет плоскость симметрии, проходящую через середину ег»
размаха; векгор скорости движения и полная сила сопротивления обычи»
лежат в этой плоскости. Сечение крыла плоскостью, параллельной пло-
скости симметрии, имеет удлиненную форму с передней закругленной и
задней заостренной кромками. Обычно бывает возможно к нижней части аб-
риса сечения крыла провести только одну двойную касательную^ проекция
сечения или профиля крыла на эту касательную называется хордой профиля.
В случае если такой двойной касательной провести нельзя, то за хорду при-
ходится принимать какую-либо другую линию; часто за нее принимается
прямая, соединяющая центры кривизны передней и задней кромки профиля.
Углом атаки а называется угол между хордой и направлением движения
крыла. Центром давления С крыла называется точка пересечения направле-
ния полной силы сопротивления R с хордой профиля АВ (фиг. 1).
Полную силу сопротивления крыла можно разложить на две составляю-
щих: одну Р, называемую подъемной силой, направленную перпендикулярно
направлению движения, и другую—Q, называемую лобовым сопротивлением,
направленную в сторону, противоположную движению. Полная сила сопро-
тивления дает относительно точки А, лежащей у переднего края крыла,
некоторый момент, принимаемый положительным, когда он дает увеличение
углов атакн. Величина этого момента выражается следующим образом:
Л1 = —AC (Р cos а 4- Q sin а),
ВВЕДЕНИЕ.
где АС—есть расстояние центра давления от передней кромки, измеряемое
по хорде.
Полная сила сопротивления крыла данной формы при определенном
угле атаки зависит главным образом от плотности р, скорости движения
крыла относительно воздуха V и некоторой длины I, характеризующей раз-
меры крыла. Эти три величины могут быть скомбинированы только един-
ственным образом в в ид ep«Z^V2, чтобы дать размерность силы. Безразмерные
козфициенты подъемной силы и лобового сопротивления получатся при деле-
нии величины соответствующей составляющей силы на это произведение. Та-
ким образом подъемная сила и лобовое сопротивление крыла выразятся через
соответствующие козфициенты сопротивления следующим образом:
Р = QSV2,
Q = CjSV*,
где fS, называемое площадью крыла, есть максимальная проектированная
площадь крыла, в случае прямоугольного крыла равная произведению ши-
рины на размах. Соответствующее выражение для момента будет
М = Cm?SV4>,
где b—хорда крыла.
Приведенные выражения не являются единственными и часто сопро-
тивление относят не к величине pV2, а к гидродинамическому напору
*рУ2, и тогда козфициенты сопротивления будут иметь значения вдвое
большие.
Козфициенты подъемной силы и лобового сопротивления зависят от угла
атаки крыла; фиг. 2 дает кривые этой зависимости для типичного крыла.
Обычно масштаб для коэфициента лобового сопротивления принимают в 5 раз
большим, чем для коэфициента подъемной силы. Козфициент подъемной силы
в некотором диапазоне углов атаки изменяется по линейному закону, дости-
гая максимума при так называемом критическом угле атаки. На наиболее
важном диапазоне летных углов атаки козфициент подъемной силы пред-
ставляется прямолинейной частью кривой, и на этом участке сила лобового
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ КРЫЛЬЕВ
сопротивления мала сравнительно с подъемной силой, но при приближении
к критическому углу атаки сила лобового сопротивления начинает быстро
возрастать.
Фиг. 3 показывает изменение положения центра давления крыла в за-
висимости от угла атаки, причем расстояние центра давления от передней
кромки выражается в долях хорды. Аналитически коэфициент центра давле-
ния можно выразить следующим образом:
АС_________ Ст____________Cw
АВ ~ Су cos а -г Сж sin а = Су '
Теория и эксперимент дают линейный закон изменения коэфициента
момента с подъемной силой при углах атаки до критического. Центр дав-
ления обычно переходит
назад с уменьшением угла
атаки и стремится к беско-
нечности при отрицатель-
ных углах атаки, для ко-
торых величина (Cycosa4-
тС/та) равна нулю. В
этом случае полная сила
сопротивления крыла па-
раллельна хорде. Соответ-
ствующий угол атаки при-
близительно равен углу,
при котором подъемная си-
ла равна нулю.
Теория крыла своей
главной целью имеет дать
объяснение возникновения
подъемной силы и силы
сопротивления крыла при
его движении, а также най-
ти и величину этих сил:
за последнее время была
разработана удовлетвори-
тельная теория лишь для
обычного диапазона летных
углов ниже критического;
определение максимальной подъемной силы и соответствующего критического
угла современные теории пока еще не дают, хотя некоторые успехи в изу-
чении этого явления и достигнуты.
1. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ КРЫЛЬЕВ.
Возникновение подъемной силы крыла в значительной степени зависит
от природы жидкости, и трудность создания удовлетворительной теории свя-
зана с определением в простой и удобной для математического анализа форме
основных характеристик движения жидкости. Еще Ньютоном была сде-
лана попытка развить теорию сопротивления плоской пластинки, движущейся
под некоторым углом, принимая, что набегающий на пластинку поток жид-
кости состоит из большого числа твердых, неупругих частиц, которые,
ударяясь о пластинку, теряют свою скорость, нормальную к ней. Масса жид-
кости, набегающая в единицу времени, под углом атаки а на пластинку,
имеющую площадь S, равна pSV sin а, а скорость частиц жидкости, Нормальная
10
ВВЕДЕНИЕ
к пластинке, равна V sin а; таким образом, сила сопротивления, нор-
мальная к поверхности пластинки, будет иметь следующую величину:
R — p5V2sin2a.
Если принять, что частицы идеально упруги, то сила сопротивления
будет вдвое больше; однако и в этом случае величина сопротивления при
малых углах атаки получается меньше, чем дает опыт. Лучшие резуль
таты по этой теории получаются для сопротивления плоской пластинки
поставленной нормально к направлению движения.
Проще принимать жидкость за однородную среду, характерной особен-
ностью которой является то, что в состоянии равновесия в ней не могут
существовать тангенциальные усилия; в случае же движения друг относи-
тельно друга смежных слоев тангенциальные усилия имеют место. Эта особен-
ность является следствием внутреннего трения или так называемой вязкости
жидкости. Вязкость воздуха мала, и в большинстве случаев ею можно пре-
небрегать; однако иногда вязкость имеет чрезвычайно большое значение, и
во всяком случае она оказывает определенное влияние на характер движе-
ния жидкости даже и тогда, когда движение происходит точно так же, как
и в невязкой жидкости. Другой характерной особенностью жидкости яв-
ляется ее сжимаемость, которой можно пренебречь в случае капельной
жидкости, но которая чрезвычайно важна для газа. Плотность воздуха,
вообще говоря, следует рассматривать как функцию давления и температуры,
но изменения давления в потоке жидкости около тела очень малы, и ими
можно пренебречь, приняв плотность воздуха постоянной. Однако это до-
пущение может быть принято лишь для скоростей потока ниже скорости
звука. При скоростях порядка звуковой приходится принимать во внимание
сжимаемость воздуха. Эти соображения повели к представлению о воздухе, как
об идеальной жидкости, т. е. как о несжимаемой и невязкой среде. Теория движе-
ния жидкости—гидродинамика и аэродинамика—основывается главным обра-
зом именно на этом предположении, и получаемые отсюда выводы во многих
случаях являются очень ценными. Однако теория идеальной жидкости при-
водит к парадоксальному заключению, что тело, движущееся в идеальной
жидкости, не испытывает никакого сопротивления.
Гельмгольцем иКирхгоффом была сделана попытка исправить
это расхождение между теорией и практикой путем предположения, что поток
около тела обтекает его с разрывом, образуя позади область покоющейся жид-
кое ги. Это предположение о разрыве потока было приложено к решению
задачи об обтекании наклонной плоской пластинки в плоско-параллельном
потоке, которая эквивалентна крылу бесконечного размаха1; величина силы,
сопротивления, нормальной к плоскости пластинки, выражается в этом слу-
чае следующей формулой:
4 4- л Sina °
Эта величина хорошо сходится с экспериментальными данными лишь для
небольших углов атаки, а также для пластинки, поставленной нормально
к направлению движения.
Подъемная сила также может быть получена и в идеальной жидкости
при условии, если последняя будет циркулировать вокруг тела; современные
теорий крыльев и винта основаны как-раз на этом предположении. Теория
крыла бесконечного размаха, которая соответствует двухразмерному потоку,
была впервые дана Кутта2 и Жуковским3, а дальнейшее развитие ее
1	См. Lamb, Hydrodynamics, § 73 и след.
2	«Auftriebskrafte in stremenden Fliissigkeiten», Il lust aeronaut. Mltteilung^n, 1902.
«Ueber eine mit den Grundlagen des Flugproblems in Beziehung stchende zwei-dimensionale
Strbmung», Sitzb. d. k. Bayr. Akad. d. Wiss. 1910.
3	«Uebcr die Konturen der Tragfiachen der Drachenfljeger», ZFM, 1910
СТАНДАРТНАЯ АТМОСФЕРА	11
для общего случая движения крыла в трехразмерном потоке, которое в об-
щем сходится с предположениями .Манчестера1, было сделано 11 р а н д т-
лем2. Эта теория дает очень близкое совпадение с опытом; однако все же
остается затруднение в объяснении возникновения циркуляции. В идеальной
жидкости циркуляция возникнуть не может, и поэтому приходится предпо-
лагать, что она возникает в начале движения благодаря вязкости.
Общая теория крыльев указывает на существование силы лобового сопро-
тивления (индуктивное сопротивление), связанного с подъемной силой
крыла, Ио для двухразмерного потока индуктивное сопротивление равно
нулю, и для объяснения наличия и в этом случае малой силы сопротивле-
ния (профильное сопротивление), которое получается в действительности,
приходится опять обратиться к вязкости жидкости. В силу этого теория
крыла основана на предположении, что воздух является идеальной жидкостью;
вязкость же вводится лишь для объяснения возникновения [циркуляции и
существования профильного сопротивления.
2. СТАНДАРТНАЯ ^АТМОСФЕР А.
Несмотря на то, что при решении вопроса^ об 'обтекании тел в боль-
шинстве случаев сжимаемостью воздуха можно пренебрегать, плотность его,
вообще говоря, является величиной переменной, зависящей от давления и тем-
пературы и подчиняющейся закону физики, выражаемому в следующем виде;
р _ Q Т
Ро То
где р — давление, Q— плотность и Т — абсолютная температура |
В атмосфере давление и плотность воздуха связаны с высотой следую-
щим уравнением:
dp
чтобы определить все условия на любой высоте нужно знать также и соот-
ношение между температурой и высотой. Это соотношение, вообще говоря,
изменяется в разных местах земного шара и в разное время года. Как основа
для сравнения, многими странами была принята стандартная атмосфера, ко-
торая определяется давлением на уровне моря в 760 мм при 15е С и темпе-
ратурным градиентом в 6 г/г°, т. е.
/ = 15 — 0,00652,
где z—высота в метрах.
Этот закон падения температуры представляет собой средние темпера-
турные условия в Западной Европе и соблюдается вплоть до высоты, где
температура перестает падать, приближаясь к изотермической зоне. Изменение
давления, плотности и температуры с высотой для стандартной атмосферы
даио в таблице 1.
Когда изменение давления воздуха происходит так быстро, что процесс
обмена тепла между смежными частицами жидкости не успевает оказать за-
метного влияния, зависимость между давлением и плотностью определяется
адиабатическим законом
р- = ( ,
де к отношение удельных тепл от при постоянном давлении и объеме для
воздуха, имеющее значение 1,408. Адиабатический закон имел бы месте
л <‘Aerodynamics», 1907. Основы этой теории в сокращенной форме были доложены
естером Бирмингамскому обществу натуральной истории и философии в 1894.
^ragfiugeltheorie», Gottingen Nachrichten, 1918 и 1919 г. Теория несущего крыла.
12
ВВЕДЕНИЕ
в атмосфере, если бы температурный градиент равнялся 10° С; при больших
значениях градиента атмосфера будет находиться в неустойчивом состоянии,
что создаст конвекционные токи.
Таблица 1.
Стандартная атмосфера.
Высота м	।	Давление Р ! Р'	Плотность е	Температура °C
0	I	1	15
1 000	0,887	0,907	8,5
2000	0,784	0,822	2
3000	0,692	0,742	— 4,5
4000	0,608	0,669	-11
5000	0,533	0,601	— 17,5
6000	0,465	0,538	—24
7 000	0,405	0,481	—30,5
8000	0,351	0,428	—37
9 000	0,303	0,381	—43,5
10 000	0,261	0,337	—50
ГЛАВА П.
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ.
1. ЛИНИИ ТОКА И УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ.
Когда тело движется в жидкости с постоянной скоростью V в опреде-
ленном направлении, условия обтекания его такие же, как и в случае не-
подвижного тела, на которое набегает равномерный поток жидкости со ско-
ростью V. Во многих случаях удобнее изучать это движение во второй форме;
таким образом мы будем рассматривать тело как неподвижное и определять
движение жидкости относительно его. Представление о потоке вокруг тела
в некоторый момент можно получить проводя лин^и тока; эти линии опреде-
ляются из условия, что направление касательных к ним в любой точке совпа-
дает с направлением движения частицы жидкости в той же точке. Вообще
говоря, линии тока меняются со временем; таким образом линии тока не
совпадают с траекториями частиц жидкости. Часто поток с течением времени
не меняет своего вида, и скорость в некоторой точке пространства не ме-
няется по величине и направлению. В этом случае движение жидкости около
тела называется установившимся (стационарным), и линии тока совпадают
с траекториями частиц жидкости. Линии тока, проходящие через точки весьма
малой замкнутой кривой, образуют цилиндрическую поверхность, называемую
трубкой тока; так как направление движения жидкости совпадает с направ-
лением линий тока, то жидкость не протекает сквозь поверхность трубки
тока. Поток около крыла или винта рассматривается почти всегда как уста-
новившийся, а жидкость, за некоторыми’ исключениями,—как несжимаемая
и не имеющая вязкости (идеальная).
2. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ.
В случае установившегося движения легко вывести простое соотноше-
ние между давлением и скоростью в любой точке линии тока. Уравнение
движения весьма малого элемента жидкости, образующего часть трубки
тока, будет (фиг. 4)
psv^ =—s^,
г ds	ds
где S — площадь поперечного сечения трубки тока в рассматриваемой точке,
а —длина дуги, измеряемая вдоль трубки тока. Интегрируя вдоль трубки
тока, получим в общем случае
1V2+ Рр = const,
2 J &	’
а в случае несжимаемой жидкости
p + \pv* = h.
14
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
Последнее уравнение известно под именем уравнения Бернулли; вели-
чина Н постоянна вдоль линии тока. Вообще говоря, Н может иметь раз-
ные значения для разных линий тока; если же линия тока имеет начало в
области постоянного давления и скорости, очевидно, что Н имеет одно и
то же значение во всех точках жидкости. Изменение величины Н для раз-
личных линий ток», если оно имеет место, связано с завихренностью жид-
кости (см. уравнение Бернулли в гл. IV). Изменение величины Н в реальной
жидкости получается благодаря вязкости.
Уравнение Бернулли показывает, что давление жидкости тем больше,
чем меньше скорость, и что Н дает наибольшую величину давления, которое
может получиться в какой-нибудь точке. Это максимальное давление всегда
_____________________________ получается в той точке передней части
—-----------------------------г-" тела, где скорость жидкости равна нулю,
У у Ц—р+&Р	а поток разделяется, чтобы пройти по
j______поверхности тела. Измерение скорости
£---------------- самолета основывается на этом резуль-
*	тате, так как при помощи насадков из-
фиг. 4.	меряют разность между величиной Н и
давлением жидкости р. Насадок должен
быть установлен так, чтобы его ось была параллельна направлению линии
тока; таким образом определяется относительная скорость. Однако эта ско- :
рость отличается от' скорости самолета вследствие вызванного самолетом
нарушения потока.
Площадь S поперечного сечеиия трубки тока связана со скоростью V
условием, что величина pVS должна быть постоянна, так как жидкость ие
проходит сквозь поверхность трубки тока. Таким образом для несжимаемой
жидкости S обратно пропорционально V: трубки суживаются там, где ско-
рость увеличивается. Однако скорость не может увеличиваться до бесконеч-
ности, так как давление становится отрицательным, когда скорость превы-
/2Н
- -г а в жидкости не могут получиться растягивающие
усилия. Чтобы получить эту предельную величину для воздуха в нормаль-
ных условиях, примел!, что величина Н равна нормальному атмосферному
давлению (10 333 кг/.м2); получим для предельной скорости величину 470 м/сек.
Эта величина больше скорости звука; предположение, что воздух можно
рассматривать как несжимаемую жидкость, нарушается при значительно
иеиыпих скоростях.
3. СКОРОСТЬ ЗВУКА.
Если какое-нибудь возмущение, например внезапное возрастание дав-
ления, происходит в некоторой точке несжимаемой жидкости, то это возму-
щение мгновенно передается по всей массе жидкости; в сжимаемой жидкости
возмущение передается в форме волны давления с определенной скоростью,
называемой скоростью звука в жидкости.
Рассмотрим движение в одном измерении вдоль прямой трубы с постоян-
ной площадью поперечного сечеиия S. Если обозначает перемещение во
время t частицы имевшей в спокойном состоянии координату х, то частицы,
находившиеся в пределах от х до х + dx, будут лежать во время t в
пределах
х + £ и x-f-£+(jdx.
СКОРОСТЬ ЗВУКА
/5
Уравнение неразрывности, выражающее то условие, что масса элемента
жидкости не меняется, напишется^щ^тому так:
Ч1+йЭ=<?”
где ео — плотность жидкости в покое. Пустье = ео(] Ч-s); тогда при малых
иеремещениях уравнение неразрывности получит вид
s = „<*.
5 дх
Уравнение движения жидкости вдоль трубы будет
dx,
д^_ др
90 дР — дх ‘
или
Но давление является функцией плотности, и для малых перемещений
Р = Ро + (2)о (г — «•> = р° + Se° (de ).•
Таким образом
_ ~_ds fdp \ _ д*£	/dp\
дх 60 \de Jo дх2 )о
что можно написать так
дР дх* ’
если положить
ci=(dC}.
\<1еЛ
Общий интеграл диференциального уравнения для £ будет
^ = / (х— cf) + F(x-h ct),
что дает две волны, распространяющиеся в противоположных направлениях
со скоростью с. Эта скорость не зависит от типа или периодичности перво-
начального возмущения и является скоростью звука в жидкости.
Если температура газа остается постоянной, давление и плотность свя-
заны законом Бойля-Мариотта:
р = s .
Ро Ре
Следовательно скорость звука будет |/'для нормальных условий^получим
величину 288 м/сек. Эта величина значительно меньше полученной из
опыта; последнее объясняется тем обстоятельством, что температура не
остается постоянной во время перемещения. Изменение давления происходит
так быстро, что не происходит обмена теплоты между частицами; следо-
вательно давление и плотность связаны адиабатическим законом
р = f е V
Р»	\ (?0 /
где £=1,4 (ддЯ воздуха). Отсюда — скорость звука равна т/лр0, и соответ-
F ₽«
«твующее численное значение будет 342 м/сек, что хорошо сходится с опыт-
ными данными.
В общем случае величина ~ пропорциональна абсолютной температу-
16
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
ре Т; вычисленное значение с соответствует нормальной температуре 15® С.
При другой температуре	_
с = 20,1 у/Фм1сек,
где Т — абсолютная температура в градусах Цельсия.
4. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ.
Общий вид уравнения Бернулли будет
’ И2+	= const;
Z	J р
в случае сжимаемо^ жидкости давление и плотность связаны адиабатическим!
законом
-=f-Y-
Ро
После интегрирования уравнение Бернулли получит вид:
1 y2_L к...Р = 1 у2 _|_А.
Рассмотрим сначала величину давления, получающегося у критическое
точки на передней части тела, в которой скорость жидкости равна нулю,
Полагая Ио — 0, давление р0 в критической точке получим из уравнения
Ро е = 1 -4-1 к ~ 1	= 1 -4- к ~ 1 V2	'
р 1 “Г 2 к р	2 са ’
где с — скорость звука, соответствующая давлению р и плотности р невоз-
мущениого потока:
£2=^ = *Р.
Де е
Так как
fe-t
Ро е_ = MA *
Ре. \ Р J
иолучим окончательно
»-<( v;:/1
Это уравнение заменяет собой более простое уравнение
р0 = р4- 2 ? V2,
полученное для несжимаемой жидкости.
Если скорость V мала по сравнению со скоростью звука с, выражение
для величины давления р0 в критической точке можно разложить в рид
_____A . к vz kvi .	\	.1 ftI,2A . I Vs .	\
Ро — р +2-^“ + 8<й + -J -Р-Ь 2 &V V
последнее выражение показывает, что давление в критической точке больше,
чем в случае несжима<мой жидкости. Так как скорость самолета опреде-]
ляется при помощи насадков по формуле
то скорость имеет несколько преувеличенное значение, если пренебрегаТ]
сжимаемостью воздуха; величина ошибки дана в таблице 2.
Эга таблица показывает, что ошибка имеет величину порядка 1% дл|
обычных скоростей аэроплана и 2% для скорости 550 км[час.	(
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Таблица 2.
V с	0,1	0,2	0,5	1,0
Рч	1,007	1,028	1,187	1,893
Р V'	1,001	1,005	1,032	1,129
V					.	—
Изменение площади поперечного сечения трубки
уравнения неразрывности
у	р VS = const,
что дает
I ds l de 1 = п
Sdv ‘ edv ‘ v
тока определяется из
Диференцируя уравнение Бернулли, получим
у г L_А _рЛ de о
 к — 1 d? eV dv v
или
v + ?lv = 0’
где с—скорость звука. Отсюда
[dS = _ 5Л __ v*\
dv ~~ v’v У '
Это уравнение показывает, что при увеличении скорости трубки тока
суживаются, если скорость меньше скорости звука, и расширяются, если
скорость больше скорости звука. Следовательно поток, обтекающий тело,
должен весьма сильно измениться, если скорость приближается к скорости
звука или Превосходит ее.
Площадь поперечного сечения трубки тока имеет минимум, когда ско-
рость равна скорости звука. Характеристические величины, определяющие
движение в некоторой точке трубки тока, можно выразить в долях нх зна-
чений в минимальном сечении, которые будем обозначать знаком т. Давле-
ние, плотность и скорость звука связаны уравнениями:
.Рт/	\. Рт/ \Ст/
а соотношение между скоростью и скоростью звука, получаемое из урав-
нения Бериулли, будет
(/<*- l)Va + 2c« = (fc+l)£.
и^ура^нения’ ПЛощадь попеРвчного сечения трубки тока будет определяться
^Уи1= / pvy-l_ с* АКУ-1____________л + \(
‘S'	\ QmcmJ cm \Ст/	2
л™. Этих Уравнений можно вывести интересное
ствует верхний предел скорости
Глауэрт
V
v max _
£m
к +1
к — 1
= 2,45,
Л— 1 / V\fc + i
2 \.cj *
заключение, что суще-
18
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
при котором давление, плотность и скорость ззука обращаются в нуль.
В другом предельном случае, когда скорость равна нулю, уравнения дают
£о =
£>п
у-= 1,095, ,
У“"т= 1,893,
= 1,577.
В вопросах аэродинамики скорости, вообще говоря, достаточно малы,
чтобы можно было пользоваться предположением о несжимаемости воздуха;
в случае винта, вращающегося с большой угловой скоростью, а также в не-
которых особых случаях, приходится считаться с сжимаемостью воздуха.
Сжимаемость может весьма сильно изменить обтекание тела, движущегося
в жидкости с малой относительной скоростью, если местные скорости в ка-
кой-нибудь области достигают больших величин.
.ГЛАВА HI.
ФУНКЦИЯ ТОКА.
Определение потока, обтекающего тело, сводится в первую очередь к
определению величины и направления скорости во всех точках жидкости;
вектор скорости удобно выражать в виде трех составляющих (и, у и н>), па-
раллельных направлениям осей (х, у, z) ортогональной координатной системы.
Задача значительно упрощается, если тело представляется в виде бесконеч-
ного цилиндра, образующие которого нормальны к направлению невозму-
щенного потока, а поток не имеет
составляющей скорости, параллельной
образующим. Выберем ось z параллель-
но образующим цилиндра; тогда В’ = О
в любой точке, и поток одинаков во
всех плоскостях, параллельных плос-
кости z = 0. Следовательно достаточно
рассмотреть поток в одной какой-ни-
будь плоскости, нормальной к образую-
щим цилиндра; вопрос в этом случае
значительно упрощается вследствие при-
ведения его к рассмотрению потока
в двух измерениях (плоско-параллель-
иый поток). Чтобы придать задаче ре-
альный физический смысл, будем пред-
полагать, что поток имеет ширину, рав-
ную единице, в направлении оси z; кривые в плоскости будут изображать
цилиндрические поверхности с шириной равной единице.
Установившееся движение идеальной жидкости в плоско-параллельном
потоке можно хорошо иллюстрировать, если провести линии тока и ввести
так называемую функцию тока ф. Выберем какое-нибудь начало коорди-
нат О и обозначим через ф количество жидкости, протекающее в единицу
времени сквозь кривую ОАР (фиг. 5), соединяющую начало координат с ка-
кой-нибудь точкой Р плоскости. Будем считать поток жидкости положитель-
ным в направлении стрелки часов; иначе говоря, будем считать положитель-
ным направление слева направо для наблюдателя, стоящего в точке О и
сйотрящего вдоль кривой от О к Р. Значение Ф не зависит, вообще говоря,
»Т формы кривой, соединяющей точки О и Р; пусть ОВР какая-нибудь дру-
гая кривая; поток сквозь ОВР равен потоку сквозь ОЛР, так как в области
между обеими кривыми жидкость не может ни возникать, ыи исчезать. Та-
ким образом, ф является функцией координат точки и меняется с изменением
сложения точки. При выборе другого начала О' величина ф возрастает во
всех точках на одну и ту же величину, равную величине потока ксмвозь
20
ФУНКЦИЯ ТОКА
Возьмем другую точку Р', лежащую иа линии тока, которая проходит
через Р; пусть ОАРР’ будет кривая, соединяющая Р'с началом. Через кри-
вую РР' поток ие проходит, а следовательно поток сквозь кривую ОАРР
равен потоку сквозь ОАР\ следовательно 4* имеет в точке Р' ту же вели
чину, что и в точке Р. Таким образом величина ф постоянна вдоль лиии .
тока, почему она и называется функцией тока. Движение жидкости вполн 
определяется, если величина ф известна как функция координат точек плоскости
Уравнение линий тока будет ф = С; разные линии тока будем получать, давай
различныезначеиияпзстояннойС. При вычерчивании удобно задаваться вели
чинами ф или С, идущими в арифметической прогрессии; в этом случае между
двумя соседними линиями тока будет протекать одно и то же количество жид-
кости. Следовательно расстояние по Нормали между двумя соседними линиями
тока обратно пропорционально скорости; сгущение линий тока в некоторой
области указывает на увеличение скорости.
Скорость жидкости в некоторой точке весьма просто определяется при
помощи функции тока. Если Р и Р' обозначают две бесконечно близкие
точки, лежащие иа различных линиях тока (фиг. 6), поток сквозь элемент
РР' равен сумме потоков сквозь PN и NPr‘, его можно выразить так:
t/ф = udy — vdx,
в соответствии с определением функции тока. Но
* дх 1 ду }
а следовательно
В общем случае составляющую скорости по некоторому направлению
получим, диференцируя функцию ф по направлению, идущему влево от основ-
ного направления под прямым углом. Например в полярных координатах
радиальная и окружная составляющие скорости будут
U' =
“ г М
источники и стоки
21
В ряде случаев удобно применять как декартову, так и полярную систе-
мы координат; в дальнейшем результаты будем давать и в той и в другой
форме.
Простейшим примером применения функции тока служит равномерный
ноток параллельный одной из осей. Если обозначим через U величину ско-
рости,* параллельной оси х, и через V величину скорости, параллельной
•си у, функции тока получим в виде
ф = Uy = Ur sin G
ф = — Vx = — Vr cos G.
Фиг. 8 показывает линии тока для равномерных потоков в предполо-
жении U= 1,5V; числа на этих линиях дают величину ф. Г унктиром обозна-
чены линии, проходящие через точки, в которых сумма обеих функций имеет
постоянную величину; это будут линии тока для равномерного потока, иду-
щего под углом к координатным осям. Две функции тока всегда можно сло-
жить графически или аналитически, что эквивалентно геометрическому сло-
жению векторов скорости в любой точке жидкости. Путем подходящего ком-
бинирования простых потоков можно получить ряд интересных результатов;
в частности, легко получить поток, обтекающий окружность, из которого
можно далее получить путем других аналитических методов поток, обтека-
ющий аэропланное крыло.
1.	источники и стоки.
Исследование различных типов потоков облегчается введением понятия
об источниках и стоках. Источником мы называем точку, из которой жид-
кость вытекает с постоянной скоростью; стоком называется отрицательный
источник, или точка, которая поглощает жидкость. Если нет никакого нару-
шения потока, жидкость течет от источника наружу по радиусам; если m
ощность источника, или объем, вытекающий в единицу времени, радиальная
скорость на расстоянии г от источника будет
, m
и = о— •
2лг
Линии тока будут полупрямые, исходящие из источника, и вдоль этих
рямых функция ф будет иметь постоянное значение (фиг. 9.) Возьмем какую-
иоудь прямую О А и для нее положим ф = 0. Если Р какая-нибудь точка, лежа-
щая на полупрямой, которая составляет с прямой ОА угол g пп-гпигп-ппчк «v™
22
ФУНКЦИЯ ТОКА
АР будет^О; это и будет значение функции ф на полупрямой ОР. Следо-
вательно	л, = т G = Д arctg У .
т 2л Z7T	ь X
Случай источника является исключением из общего правила, что функ-
ция ф имеет только одно значение в любой точке Р; путем выбора кривой,
обходящей вокруг источника, всегда мо-
жно увеличить величину ф на число,
кратное т. Прибавление постоянной вели-
чины к функции тока не меняет картины
потока, и функцию ф можно сделать од-
нозначной, приняв, что О меняется в
границах-'-тс.
2.	ИСТОЧНИК В РАВНОМЕРНОМ
ПОТОКЕ.
Рассмотрим теперь поток, получаю-
щийся сложением потока источника с
мощностью тп, находящегося в начале
координат, и равномерного потока, теку-
щего параллельно оси х со скорость»
—U. Функция тока для этого потока будет
получающаяся суммированием функций тока для каждого отдельного потока.
Полагая m~2Uh, напишем функцию тока в виде
включающем два параметра U и й. U есть скорость равномерного потока, а
ft— линейная величина, смысл которой выяснится в дальнейшем.
Линии токов у отдельных потоков будут прямые, параллельные оси х,
и полупрямые, выходящие из начала координат; линии токов сложного по-
тока можно получить, проводя кривые, соединяющие точки, для которых
сумма обеих функций тока имеет постоянную величину. Этот геометрический
метод иллюстрирован на фиг. 10 для конкретного случая U = h = 1. Линия
тока ф = 0 состоит из положительной полуоси х и кривой ВДВ' параболи-
ческого типа. Поток источника течет целиком внутри кривой ВДВ*, а рав-
номерный поток разделяется в вершине А и течет сверху и снизу кривой.
Любую линию тока можно заменить твердой стенкой без изменения потока,
и весьма интересная интерпретация разбираемого потока получается, если
за такую стенку принять кривую хДВ. Равномерный поток идет над плоской
равниной или поверхностью воды и набегает на гору АВ, которая его откло-
няет по направлению, указанному линиями тока на фиг. 10. При такой ин-
терпретации источник находится вне жидкости, и его можно рассматривать
только как математическую фикцию, позволяющую учесть влияние горы.
Очертание горы получается из уравнения ф = 0, или, следовательно,
г sin G = у = й6 ,
✓ л
где 0 меняется от 0 до те. Параметр й дает максимальную высоту горы,
когда г стремится к бесконечности и 0 стремится к тс. Таким образом, пара-
метры U и й означают скорость потока и высоту горы, и форма горы имя
вполне определяется. Другую форму можно получить, взяв вместо одного
источника в начале координат соответствующую последовательность источни-
ков и стоков.
ИСТОЧНИК В РАВНОМЕРНО31 ПОТОКЕ
Можно также определить этот поток при помощи составляющих скоро-
и параллельных осям координат. Для источника эти составляющие будут
’	m „ л m х
и = ^с°зе = ^г.>
m . Л ту
V = ~-sin
2лГ k	ГЕ
а следовательно для потока, обтекающего гору
т r h у
Теперь легко определить положение подножия горы А, являющейся
критической точкой потока (u = v -= 0)—координаты точки А будут
х = * у = 0.
Фиг. 10.
Выражениями для составляющих скорости можно также воспользоваться
Для определения кривых, на которых вертикальная составляющая скорости
имеет постоянную величину, кривых постоянных направлений скорости и т. п.
озьмем в качестве примера кривые постоянной вертикальной скорости, они
дают области, в которых возможен парящий полет. Такими кривыми будут
окружности	, и ft
х +yj= v
проходящие через начало координат; центры их расположены по оси у.
^которые из этих окружностей, определяющих наилучшие области для парения,
24
ФУНКЦИЯ ТОКА
показаны пунктиром на фиг. 10. Максимальная вертикальная скорость по-
лучается на поверхности горы и определяется следующим способом. Вертим
кальная скорость в какой-нибудь точке имеет величину
__Uh sin 6
л г ’
а следовательно на поверхности горы
,,sin* О
последнее выражение имеет максимум v — 0,72517 в точке G = 66°,8,
у = 0,37ft.
Этот пример разобран подробно с целью выявления метода ксмбиниро
вания двух потоков и физической интерпретации полученного результата
в виде потока, обтекающего твердую стенку. Источники и стоки получакп
смысл простого аналитического способа для учета влияния твердых стенок;
твердые стенки всегда должны заключать в себе все источники и стоки.
3.	МЕТОД ЗЕРКАЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ.
В качестве примера применения другого, не менее важного метода вы-
берем поток, образуемый двумя источниками равной мощности. Линии тока,
образованные двумя равными источниками в точках и Д2, строятся весь-
Фиг. и.
ма просто графическим способом (фиг. 11). В этом случае линии тока пред-j
ставляют собой гиперболы, проходящие через точки и Д2; следует особо
отметить, что прямая PQ, перпендикулярная к отрезку AjA2 и преходящая
через его середину, является линией тока; следовательно ее можно заменить
твердой стенкой. Таким образом линии тока справа от прямой PQ представ^
ляют поток жидкости, вытекающей из источника и наталкивающейся на
твердую прямолинейную стенку; влияние этой стенки на поток можно исм
следовать аналитически при помощи зеркального изображения Д2 источника
Aj относительна прямой PQ.
Этот метод изображений можно употреблять и в более сложных слу-
чаях. Вместо одного можно взять некоторую систему источников и стоков
или некоторую замкнутую кривую, изображающую обтекаемое тело. Поток,
обтекающий такую систему в присутствии прямолинейной стенки PQ, можно
получить, введя зеркальное изображение системы относительно прямой PQ,
ИСТОЧНИК и СТОК В РАВНОМЕРНОМ ПОТОКЕ	25
так как получающийся поток будет очевидно симметричен относительно
прямой PQ и последняя будет линией тока. Метод зеркальных изображений
ложно применить для исследования потока, обтекающего тело около земли.
4.	ИСТОЧНИК И СТОК в РАВНОМЕРНОМ ПОТОКЕ.
Комбинация источника и равномерного потока дает твердую стенку,
уходящую по одному направлению в бесконечность; комбинируя источник и
сток равной мощности, можно получить эту стенку в виде замкнутой кри-
вой. Возьмем начало координат посредине между источником Aj и стоком А2;
за ось х примем прямую А^А^ Функция тока в точке Р для комбинации
источника и стока будет
Ф = £(е,-е,) = £?,
де Gj означает угол xAjP, О2 — угол *А2Р и о—угол AiPA2. Линии тока
Фиг. 12.
(ф —const) будут представлять систему окружностей, проходящих через
точки А2 и А2. Если 2$ расстояние между источником и стоком, то
tg Oi = у ,
&	1 X — 5
tg o = tg (е1-е2) = -ч^_-,
оси Д°бавим к нашему потоку равномерный поток, текущий параллельно
со скоростью—U; функция тока комбинированного потока будет
Ф = - Uy + £ аГС tg xi-+-2^ .
заиь! ИНИГ тока, легко получить обычным графическим способом; они пока-
на фиг. 12. Линия тока ф == О состоит из оси х, за исключением
26	ФУНКЦИЯ ТОКА
отрезка и овальной кривой, которую можно рассматривать как твердую
стенку. Уравнение этой овальной кривой будет
х2 4- у2 —s2 = 2ys ctg У^)-
Длина b малой полуоси овала получается из этого уравнения как ве-
личина ординаты у, когда х равно нулю; следовательно
что можно привести к более простому виду:
Ь . /лСДЛ , / nUs ь\
= ctg )= ctg —-•	•
s ° \ т J ° \ т s J
Длина а большой полуоси определяется по условию, что точка '(а, 0)
должна быть критической точкой потока. В этой точке скорость составляется
из скорости равномерного потока — U и составляющих скоростей потоков,
образованных источником и стоком; отсюда
rr , т ( 1	I \ г г , ms
и	2л\а — s а+s)	п л(а2 — $а)
В критической точке и = 0, следовательно
*5 * * 8=1 +
sa jiUs
Форма овальной кривой зависит только от отношения ~; таблица 3
дает зависимость между различными параметрами. Для вычисления ее зада-
.. иь
вались рядом различных значении^ ; очевидно, что отношение осей овала
стремится к единице, когда ^^стремнтся к нулю. Это предельное условие
соответствует случаю, когда источник и сток сходятся бесконечно близко.
Таблица 3.
иъ_ т	U8 т	а 8	8	а b
0,4	1,331	1,122	0,325	3,45
0,3	0,413	1,331	0,727	1,83
0,2	0, 45	1,786	1,376	1,30
0,1	'	0,032	3,285	3,078	1,07,
5. ОБТЕКАНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА.
Рассмотрим случай, когда источник и сток сходятся бесконечно близко,
причем произведение мощности на расстояние стока от- источника остается
конечным. Написав
р. = 2 ms,
получим функцию тока для источника и стока в виде
ф =	д ret g ——  •
когда s стремится к нулю, функция тока стремится к значению:
у = — sinG
X 2л хЧ/' 2лгМ1МТ-
Такая комбинация источника и стока, для которой s стремится к нулю,
а о. остается конечной величиной, называется дублетом с мощностью |i; пря-
ОБТЕКАНИЕ КРУГОВОГО ЦИНГИ ДР А	27
мая, соединяющая источник и сток, называется осью дублета. Линии тока
дублета будут окружностями, проходящими через дублет и касательными к
его оси.
На этот поток опять наложим равномерный поток, идущий паралле-
льно оси х со скоростью—U; функция тока комбинированного потока
будет
ф = —Uy 4- —	—
Линия тока ф = О состоит из оси х и окружности
х2 4- V2 — -4- 
Приняв	У 2nU
у == 2тга2С/,
получим функцию тока в виде
ф'- —(Jy(^1 —	= — U(г— 7^sin О;
она дает поток, обтекающий круговой цилиндр радиуса а с центром в на-
чале координат; в бесконечности поток приводится к равномерному потоку.
Идущему параллельно оси х со скоростью U в отрицательном направлении.
[Линии тока, полученные обычным графическим методом, показаны на фиг. 13.
Скорость в некоторой точке выражается проще всего в полярных коор-
динатах; радиальная и окружная составляющие скорости будут
= cos°-
v' = -^ = u(i + ^) sine.
На окружности кругового цилиндра радиальная составляющая а' об-
ащается в нуль, а окружная составляющая у' обращается в
v' — 2U cos 0;
*>на имеет максимальное значение 21/ при 0 = ”-
Верну^ЗВЛеНИе В како^"ни®Удь точке жидкости получается из уравнения
^pU’-*p(«'! + v'«);
на окружности цилиндра
Р = Ро+	4sin2O). .
Давление имеет одинаковые величины в точках, симметричных относп-
г ЛЬНо осей х и у, а следовательно результирующая давлений по всей
28
ФУНКЦИЯ ТОКА
поверхности цилиндра равна нулю. Это заключение находится в противоречии
с опытом; фиг. 14 дает сравнение теоретического распределения давления с
полученным опытным путем на модели достаточно большой величины1. Г. от-
считанное давление и давление, полученное экспериментальным путем, хорошо
сходятся на передней части цилиндра, но сильно отличаются назади. Рас-
Фиг. 14.
хождение получается благодаря потоку, срывающемуся с поверхности ци
линдра и образующему водоворот (гл. VIII). Тем не менее, теоретиче
ское решение имеет большую важность, так как из него при помощи под
ходящего аналитического преобразования получается поток, обтекающи!
крыло.
1 G. 1. Taylor, Pressure distribution round a cylinder, RdtM, 191, 1916. Результат!
......	« inniHHutiv ниаметоом 0,152 м при скорости 16,8
ГЛАВА IV.
ЦИРКУЛЯЦИЯ и ВИХРЬ.
I.	ЦИРКУЛЯЦИЯ.
В предыдущей главе был теоретически определен поток около цилиндра,
помещенного в равномерный поток; возможен еще другой тип потока, л ко-
тором жидкое ь циркулирует вокруг цилиндра. Наиболее простым типом
циркуляционного потока является поток, в котором скорость не имеет ра-
диальной составляющей (фиг. 15); в этом случае в какой-нибудь точке окружная
составляющая г' не зависит от угла
О и является функцией только ради-
уса г. Рассматривая равновесие бес-
конечно малого элемента жидкости,
получим уравнение
dp --^p r-dr,
вырам<ающее то условие, что дав-
ление на границы элемента уравно-
вешивается центробежной силой. Что-
бы величина Н в уравнении Бернулли
р + 2 р v'2 = Н
имела одну и ту же величину, необ-
ходимо, чтобы произведение г 'г имел о
постоянное значение; это условие
целиком определяет основной тип	фиг- 15-
циркуляционного потока.
Для определения функции тока такого циркуляционного потока вокруг
кругового цилиндра имеем уравнения
__= =
dr v 2яг
1де J некоторая постоянная величина. Отсюда функция тока будет
4, = —ilnr.
Линиями тока этого потока будут концентрические окружности; инте-
грал от скорости, взятый по окружности какой-нибудь из этих линий тока,
имеет постоянную величину J, называемую циркуляцией потока. Вообще
Циркуляция по некоторой замкнутой кривой определяется как интеграл
касательной составляющей скорости, взятый вдоль этой кривой. Г усть
°Удет V величина скорости в некоторой точке,/3 замкнутой кривой С и а—угол
30
ЦИРКУЛЯЦИЯ и вихрь
между направлениями скорости V и элемента ds кривой в точке Р (фиг. 16); то
гда величина циркуляции J вдоль кривой будет
J = j V cos a ds.
о
' Циркуляция считается положител|
ной по направлению, противоположном*
направлению вращения часовой стрелкй
В случае циркуляционного потока, опр^
деляемого функцией тока
циркуляция имеет значение J для всех кривых, охватывающих цилиндй
и равна нулю для всех остальных^кривых (см. ниже безвихревое движения
2.	КРУГОВОЙ ЦИЛИНДР С ЦИРКУЛЯЦИЕЙ.
Если сложим равномерный поток, обтекающий круговой цилинд|
(гл. III,"б), с циркуляционным потоком, получим функцию тока в виде
линии тока в случае сравнительно малой величины J показаны на фиг. 11
Вследствие циркуляции скорость над цилиндром увеличивается, а под цй
л ин др ом уменьшается, поэтому давление уменьшается над цилиндром и ув<
личивается под ним; таким образом на цилиндр действует снизу вверх под!
емная сила, параллельная оси у.
Радиальная и окружная составляющие скорости в какой-нибудь то*н|
будут
v' = -^ = y(1 + ^>inG + ^:
в точках иа поверхности цилиндра 0 и
V1 = 2 (7 sin G +
Вследствие наличия циркуляции критические точки емещаютсягвниз 1
направлению от А и А1 к В'; когда циркуляция J имеет величину
обе критические точки совпадают в точке В\ Если циркуляция жревоеход^
КРУГОВОЙ ЦИЛИНДР С ЦИРКУЛЯЦИЕЙ
31
эту величйну, поток имеет вид, показанный на фиг. 18, с критической точ-
кой в С. В этом случае некоторая часть жидкости циркулирует вокруг ци-
линдра и Не уходит в бесконеч-
ность вместе с остальной частью
жидкости.
Давление в какой-нибудь —
точке жидкости (фиг. 19) опре-
деляется по уравнению Бер-
нулли
Р = н—2-р (и'2+ V'2);
следовательно в точках на по-
верхности цилиндра
р=Н- ’-p(2U sine + ^) =
=tf-^-p^sin0-2pu2sin2o.
Фиг. 18.
Составляющие результирующей сил давления, действующих на поверх-
ности цилиндра, будут
2л
X = — J pa cos OdO,
о
2л
У — — pa sin OdO;
о
интегрируя получим	X — О,
У =
Таким образом, комбинируя циркуляцию J с равномерным потоком (J,
получаем подъемную силу этот результат является основным в теории
между поверхностью цилиндра и концентрической ему окруж-
теоппы^ указанное выражение для подъемной силы в обобщенном виде носит название
«ремы н. Е. Жуковского.	{Прим. ред.).
7
ЦИРКУЛЯЦИЯ И ВИХРЬ
остью весьма большого радиуса г (фиг. 20). Пусть V будет скорость в неко-
орой точке большого круга; давление получим по уравнению
p = H-ipvs.
'аким образом давление по внешней границе дает силу, действующую на
<идкость, с составляющими
Хо = — j pr cos 0d0=^pjv2r cos 0d0,
о	о
2л	2л
у0 = — jprsin 0d0 = 2pj^3f s^n G(f0.
о	0
4меем
V2 = u-2 + v-2 = y2cos2e(l — *)*+ |t/sin o(l +	-l“}2.
Чтобы получить составляющие Xo и Уо достаточно удержать только члены
ie зависящие от г, и члены, пропорциональные J, так как г можно взя^
жоль угодно большим.
„	П2 I sin0
Отсюда	V2 = U2 4- ———;
гледовательно
Х„ = 0, Vo = 2pUJ.
К этим составляющим необходимо прибавить составляющие полной с>
лы давлений поверхности цилиндра на жидкость; следовательно резулы
рующая сила всех давлений на жидкость между двумя окружностями бул
иметь составляющие
Х1=Хо-Х = 0,
Y^Y'-Y^-'^fUJ.
Результирующая перпендикулярна к направлению равномерного потока;
кроме того она должна равняться изменению количества движения жидко-
сти в единицу времени. Масса жидкости, проносимая в единицу времени че-
рез элемент окружности в точке Р, равна pu'rd0; составляющие количества
движения, переносимого в единицу времени сквозь рассматриваемую гра-
ницу, равны
2л
Мх j pa'u/tfG,
о
2л
Mv — J pu'vrdO.
о
Ограничиваясь членами порядка получим для составляющих скоростН
и' ~ — U cos 0, v' = U sin 0 + ./,
’	‘ 2яг *
п = n'cosO—v'sin 0~— (7 — ^sin 0,
2яг '
v ~ п' sin 0 + v' cos О = ,/- cos 0.
После интегрирования получим
М. = О; М, = _;ри/.
ВИХРЬ
33
Последние выражения тождественны с составляющими результирующей
сил давления на жидкость.
Этот анализ условий движения на боль-
шом расстоянии от цилиндра показывает, что
подъемная сила pL'J, действующая на цилиндр,
наполовину получается за счет изменения ко-
личества движения на большом расстоянии от
цилиндра, наполовину за счет распределения
давления по окружности большого радиуса.
du
dy>v
4^ to
дх
dx
Фиг. 21

Р
3. ВИХРЬ.
Циркуляция по некоторой замкнутой кривой определяется как инте-
грал по кривой от касательной составляющей скорости» Выберем в качестве
кривой бесконечно-малый прямоугольник со сторонами, параллельными осям
координат (фиг. 21); значение циркуляции будет
J г	f д V	dU \ J J
а I = ( . —ахау.
J \дх ду J 7
Полагая
* I / dv ди \
- СО = 7-, Л---Г
2 \ дх	ду J
и обозначая площадь элемента через dS, получим выражение циркуляции
в виде
dj = 2wdS.
В последнем виде уравнение можно применять к элементу любой фор-
мы; прилагая его в случае бесконечно-малого круга радиуса г, получим
уравнение
dj — 2w - № = 2лг • tor,
из которого можем заключить, что со является угловой скоростью вращения
элемента относительно его центра. Таким образом значение со в некоторой
точке Р жидкости дает угловую ско-
рость вращения весьма малого элемента
жидкости, окружающего точку Р. Эта
величина со называется вихрем; цир-
куляция по контуру, охватывающему
бесконечно-малый элемент, равна таким
образом величине удвоенного произве-
дения вихря на площадь элемента. Эле-
мент жидкости, в котором существует
вихрь, называется элементом вих-
Фиг 22	р я; н а п р я ж е н и е вихревого эле-
мента определяется как произведение
'шхря на площадь и равно половине циркуляции по его контуру.
Прн пользовании функцией тока имеем
« = **,
ду *	дх ’
Сдедовательно вихрь со имеет величину
., _ I [dv	ди\ _	1 /д2у , д^Л	I ..
2 \дх	ду) 2 \дх2 ду*) ~	2
В ПОЛЯРНЫХ координатах (фиг. 22) величина циркуляции вокруг беск«-
1еЧн° малого элемента имеет вид
Гг,ауэрТ
ЦИРКУЛЯЦИЯ И ВИХРЬ
у’ + — dr^ (г + dr) — v'r | (Ю — dQdr
/ dv' v' 1 'du'\
\ dr ' г	r dO J
rdOdr;
довательно
dp'	idu'_  Id2y , I dy> j _I d2?
~ 'dr **” г г дд	I dr2 "* r dr **” r2 d0a
уда
V T ~ dr2 r dr 'r2 dd2
Область, заключающуюся внутри какой-нибудь замкнутой кривой, можно
щелить Ha*большое число весьма малых элементарных площадок посред-
ством двух семейств пересекающихся кривых.
Сумма циркуляций вокруг каждого из этих
элементов, взятых в положительном направ-
лении, равна циркуляции по контуру области,
так как циркуляции, взятые по кривой, раз-
граничивающей два элемента, имеют противо-
положные знаки и взаимно уничтожаются (фиг.
23). Так как для бесконечно малого элемента
циркуляция равна удвоенному произведению
вихря на площадь, циркуляция по всему
контуру будет
Фиг. 23	где двойной интеграл берется по области,
заключающейся внутри контура. Полученный
1ультат показывает, что циркуляция по какой-нибудь замкнутой кривой
зна удвоенной сумме напряжений вихрей, находящихся внутри этой кривой
Неизменяемость циркуляции и вихрей.
Вихрь в какой-нибудь частице идеальной жидкости остается неизменным
и движении частицы. Вихрь в некоторой точке Р жидкости равен угловой
орости бесконечно малого элемента, окружающего
у точку. Выберем в качестве такого элемента
уг с центром Р. Очевидно, что давление на гра-
цах элемента не может дать момента относительно
чки Р, который мог бы изменить угловую ско-
сть элемента. Таким образом при движении эле-
нта вместе с жидкостью его вихрь не меняется,
{менение вихря могут создать только тангеяциаль-
ie силы на границе жидкой частицы, а таких
л нет в идеальной жидкости. В реальной вязкой
идкости такие силы существуют; в частнссти, они
появляются, когда жидкость течет вблизи твердого
ла; в этом случае могут возникнуть вихри.
Так как вихрь в частице идеальной жидкости остается постоянным, тЯ
циркуляция по некоторой замкнутой кривой, движущейся вместе с жид-;,
зстью, остается постоянной. Если кривая, движущаяся вместе d;
идкостью, остается непрерывной и охватывает одни и те же частицы жид-
)сти, ни одна жидкая частица Не может пройти сквозь кривую, не нару-
ая ее непрерывности; но циркуляция по замкнутой кривой в иекотэ-
ВИХРЬ
35
рый момент времени равна удвоенной сумме напряжений вихрей, заключен-
ных внутри ее, а вихри всех жидкгх частиц остаются постоянными во вес
время движения, следовательно циркуляция по некоторой замкнутой кривой,
движущейся вместе с жидкостью, остается все время постоянной.
Если замкнутая кривая движется относительно жидкости, циркуляция
ио ней не остается постоянной; она равна удвоенной сумме напряжений вих-
рей, которые она охватывает в этот момент; прирост циркуляции за некото-
рый промежуток времени равен удвоенной сумме напряжений вихрей, кото-
рые прошли через кривую за это время.
Уравнение Бернулли.
Изменение постоянной Бернулли Н при переходе от одной линии тока
к другой тесно связано с существованием вихрей. Рассмотрим элемент жид-
кости PQQ'P*, стороны которого PQ и P'Q' являются отрезками двух соседних
линий тока, а РР' и QQ' нормальны к ним (фиг. 24). ПустьPQ = ds, РР* — йл
и R—радиус кривизны линии тока.
Уравнение Бернулли получается при рассмотрении условий движения
жидкости вдоль линий тока; если V скорость жидкой частицы, то
о ds dn V д^~ — —d^dsdn,
г	ds ds ’
или
отсюда
p-r =
где Н постоянно вдоль линии тока.
Рассматривая условия равновесия по нормали к линии тока, напишем,
что разность давлений уравновешивается центробежной силой:
р ds dn = — др dn ds,
г Р дп ’
или
Циркуляция мо контуру элемента будет
2d) ds dn = Vds — ( V + dJ-dn} ds',
\ dn /	3
где
ds'   p — dn
d s ~~	P ’
Из этих уравнений следует, что
о V д
2u) —	— -
Исключая радиус кривизны, получим
или
^ + PV(2“-L
тиким образом
*,(p+}2?V‘)=~2a?V’
dH „	„
dn = —
5	ЦИРКУЛЯЦИЯ И ВИХРЬ
то уравнение определяет изменение величины Н, постоянство величины >
бусловливает отсутствие вихря, и обратно.
Безвихревое движение.
Если вихрь равен нулю во всех точках жидкости, движение называется
езвихревым. Этот тип движения играет весьма важную роль. Как уже
ыло доказано, вихри в идеальной жидкости появиться не могут; следова-
ельно, если движение в некоторый момент не имеет вихрей, оно и дальше
удет безвихревым.
В безвихревом движении величина Н имеет постоянное значение во
tcex точках жидкости, а фун <ция тока ф удовлетворяет во чвсех точках
'равнению ^2Ф = 0- Все типы движений, исследованные в главе III, Не имели
»ихрей, и функции тока удовлетворяли этому уравнению.
Если вихрь равен нулю во всех точках жидкости, циркуляция по зам-
кнутому контуру, охватывающему только жидкость, должна равняться нулю;
:лучай контура, охватывающего твердое тело, подлежит особому рассмотре-
нию. Когда мы развивали теорию циркуляционного потока, обтекающего
дилиндр, мы предполагали, что величина И имеет постоянную величину во
всей жидкости; следовательно движение было безвихревым. Циркуляция п 
контуру, охватывающему только жидкость, равнялась нулю, а циркуляц!
по контуру, включающему цилиндр, имела величину J. Предположим, ч
<руговой цилиндр заменен жидкостью, вращающейся <как твердое тело
угловой скоростью
где а — радиус цилиндра. Скорость жидкости непрерывна на окружное
цилиндра, а движение вне цилиндра от такой замены не меняется. Так
образом твердое тело можно заменить ’жидкостью, в каждой точке котор
вихрь равен ш; тогда циркуляция по .контуру,^охватывающему цилин.
будет
/==\2шъа2,
что равно удвоенной величине напряжения всех вихрей; циркуляция по кон-
туру, не включающему цилиндр, равна нулю.
Из этого рассуждения ясно, что вполне возможен безвихревой поток
обтекающий твердое тело и создающий вокруг него некоторую циркуляцию
этот поток будет иметь следующие свойства: Н имеет постоянную величину
циркуляция равна нулю по любому контуру, не охватывающему тело к
имеет постоянную величину по контуру, охватывающему,тело; 'линия т<
удовлетворяет уравнению v2^ = 0. |
О д и{н о]ч ниы^в и х р'и.
Циркуляция по контуру бесконечно] мал ого’элемента {жидкости выра-
жается в виде
Л
где S —площадь элемента ги ш — средняя угловая 1 скорость. Понятие оя
одиночном вихре получим, представив, что площадь S стремится к нулю
а угловая скорость бесконечно возрастает таким образом, что циркуляция
остается неизменной. Напряжение одиночного вихря определяется как по-
ловина величины циркуляции.
ВИХРЬ
37
Функция тока одиночного вихря совпадает с функцией тока циркуля-
ционного потока, обтекающего круговой цилиндр:
Ф = — L In г.
1	275
Это выражение не включает радиуса цилиндра; следовательно оно не
теряет значения, когда все вихри, заполняющие цилиндр, сосредоточиваются
в центре. Линиями тока служат концентрические круги с центром в вихре;
движение имеет характер безвихревого во всех точках жидкости, за исклю-
чением самого вихря.
Скорость в любой точке нормальна к прямой, соединяющей ее с вих-
рем, и имеет величину^. Скорость в каждой точке неразрывно связана с
существованием вихря, который можно считать причиной ее возникновения.
Совокупность векторов
скорости, связанных с
вихрем, называют ско-
ростным полем вих-
ря; скорость в некоторой
точке называют индуци-
рованной скоростью,
вызванной вихрем в этой
точке.
Одиночные вихри
можно использовать для
получения более сложных
потоков, как это было
сделано с источниками и
стоками; произвольную
шнию тока можно заме-
нить твердой стенкой. Эта
стенка должна охватывать
все одиночные вихри, а
внешний поток должен
быть безвихревым во всей
жидкости. В качестве при-
мера рассмотрим два рав-
ных вихря с противопо-
южными знаками (пара
вихрей), расположенных на оси у в точках y=+s (фиг. 25). Функция тока
будет иметь вид
*	2т. Д2Р’
а линиями тока служит система коаксиальных окружностей, имеющая и
% в качестве предельных точек. Заставим $ стремиться к нулю, оставляя
постоянной величину р. = 2Js; получим снова дублет. Предельное значение
Функции тока будет
Ф = -	,
’	2" № -' у2’	$
Что тождественно со значением, полученным из источника и стока ( гл. Ш,Х).
Комбинируя равномерный поток с парой^вихрей, получим ряд оваль-
чых тел, похожих на разобранные в гл. 1П,Х*причем их большие полуоси бу-
4ут перпендикулярны к направлению потока в бесконечности; при переходе
к случаю дублета получим поток, обтекающий окружность. Циркуляцию
38	ЦИРКУЛЯЦИЯ И ВИХРЬ
вокруг окружности (гл. IV, 2) получим, прибавив одиночный вихрь в центре
окружности.
Поверхности разрыва.
Понятие поверхности разрыва скорости было введено Гельмгольцем и
Кирхгоффом (гл. 1) для объяснения силы1 сопротивления, испытываемой
телом. Форма и положение поверхности разрыва остаются неизменными по
отношению к телу; скорость касательна к поверхности разрыва, но имеет
разную величину с обеих сторон поверхности. В плоско-параллельном по-
токе поверхность разрыва превращается в кривую разрыва непрерывно-
сти PQ.
Рассмотрим бесконечна малый прямоугольник, две стороны которого
АВ и А'В' длиной ds расположены по разные стороны кривой разрыва и
параллельны ей (фиг. 26). Пусть V и V' скорости по
у' в' Q обе стороны кривой разрыва; так как стороны А А'
А‘* и ВВ' перпендикулярны к направлению скорости,
то циркуляция по контуру прямоугольника будет
л	=	— V)ds.
Стороны АА' и ВВ1 можно сделать сколь угодно
фнг- 2б-	малыми; отсюда следует, что кривая разрыва PQ
на единицу длины непрерывно покрыта вихрями
V__V'
с напряжением—— * Этивнхри движутся вместе со всей жидкостью.и имеют
V + V'
скорость —2 - , направленную по линии тока PQ. Скорость, индуцирован-
ная этими вихрями в точке, лежащей около кривой, имеет равные величины
V—V'
пт —2— с противоположными знаками на разных сторонах кривой.
Из этого рассуждения следует, что поверхность разрыва скорости экви-
валентна вихревой пелене, а лежащие на этой пелене вихри как бы перека-
тываются между двумя потоками жидкости с разными скоростями. Тип по-
токов с разрывом скорости, разобранный Гельмгольцем и Кирхгоффом, осно-
ван на допущении, что с кромок тела сходят вихревые пелены, а между
ними заключена область покоящейся жидкости.
ГЛАВА V.
ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ
ФУНКЦИЯ.
1. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ.
Рассмотрим контур ОАР, соединяющий начало О с точкой жидкости Р,
Обозначим через <р интеграл по контуру ОР от проекции скорости на каса-
тельную к нему. Пусть V скорость в какой-либо точке контура, а а — угол
между направлением скорости V и элементом дуги ds (фиг. 27); тогда
о = I V cosa ds.
т J ОАР
В общем случае значение ср зависит от выбора контура ОР. Действительно,
проведя между точками О и Р контур ОВР, найдем,
что циркуляция по замкнутому контуру ОАРВО	Р
/	J = ^ОАР---^ОВР,	/
с другой стороны, она равна удвоенной сумме напря-	7
жений вихревых нитей, проходящих через контур.	s'
В случае безвихревого движения, когда угловая /
скорость вращения частиц жидкости равна нулю, <р
в точке Р однозначно и называется потенциалом
скоростей. При переносе начала О потенциал ско- фиг
ростей <р изменится во всех точках жидкости на одну	* , ’
И ту же величину.
Выражение интеграла для ср может быть написано в следующем виде:
р
ф = j (udx+ vdy),
где и и v — составляющие скорости V по осям координат; отсюда следует,
что
у = у =	.
1 дх * ду
Скорости и и v выражаются через функцию тока следующим образом:
^ = -4;
ду ’	дх
следовательно потенциал скоростей ср должен удовлетворять уравнению
ди 1 dv _ л
или
=	+ &<р
▼ Т	1 ду*
~ 0.
ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУ1-
Последнее уравнение выражает собой условие неразрывности жидкости
зывается уравнением неразрывности.
Случай безвихревого циркуляционного потока вокруг тела представ-
 исключение из правила, по которому потенциал скоростей однозначен
обой точке жидкости. Циркуляция по замкнутому контуру, охватываю-
у только жидкую массу, равна нулю, но для всякого контура, охват ы-
щего тело, она равна постоянной величине J. При одном обходе контура
ЗР (фиг. 28) значение возрастает на величину J, а следоватольно ф
является циклической функцией. Этот частный
j______________	’ случай представляет аналогию с поведением
функции тока ф в случае источника (гл. П1,|^(.
.s	X Различные типы течения жидкости, рассмотрен-
/	] ные в гл. III при помощи функции тока, могу г
Д j быть изучены при помощи функции потенциала
. у / скоростей; течение жидкости определяется пол-
ностью, если известна одна из этих функций.
<	Ниже мы приводим выражения потенциала ски-
------ростей и функции тока для основных тип г в
течения жидкости.
Фиг. 28.]	Для равномерного потока, параллельного
оси х:
<р — Пх, ф’ = Uy.
Для равномерного потока, параллельного оси у:
9 =: Vy, ф = — Ух.
Для стока в начале координат:
?= 2Sln '-Ф = &в-
Для дублета в начале координат с осью, совпадающей с осью х:
,	/< х । fi у
9.= -^’ =
Для одиночного вихря в начале координат:
/ О, ф ~ — J- In г.
Для потока, направленного в отрицательную сторону оси гх, соединен-
ию с циркуляцией и обтекающего цилиндр радиуса а с центром в начале
)ординат:
? = -Ух(Т+ £)+'©,
Вид функции тока для указанных течений жидкости был установлен
ыше. Легко доказать, что соответствующие выражения для потенциала
коростей приводят к тем же значениям составляющих скорости пик для
сех точек жидкости и что они удовлетворяют уравнению неразрывности.
Эквипотенциальные линии, представляющие собой геометрическое ме-
то точек, имеющих равный потенциал скоростей, пересекаются с линиями
ока под прямыми углами(фиг. 29). Если dn элемент нормали к линии тока в
.акой-либо точке Р, a dz> соответствующее приращение потенциала скоростей,
о составляющая скорости по нормали равна Но из определения линий
„тп гл^тянпяюш скорости по нормали к ней равна нулю.^
ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ
41
следовательно приращение потенциала скоростей по нормали также равно
нулю, а значит элемент dn является элементом эквипотенциальной линии.
Если ds элемент линии тока, a dn элемент эквипотенциальной линии
в какой-либо точке Р, то скорость жидкости в этой точке совпадает по на-
правлению с элементом ds линии тока и равна по величине
v	_ dip _
ds дп
Отсюда видно, что если при вычерчивании линий тока и эквипотен-
циальных линий мы будем давать одинаковые приращения функциям Фи»,
то отрезки ds и dn между двумя соседними
линиями будут равны. Следовательно линии
тока и эквипотенциальные линии для ка-
кого-либо потока, вычерченные для равных
бесконечно малых приращений функций ф
и ф, разобьют всю область потока на бес-
конечное множество элементарных квадра-
тов. Если эти приращения будут конечны,
то элементарные квадраты исказятся, сто-
роны их будут искривлены, но углы оста-
нутся прямыми. На фиг. 30 изображена
ортогональная сеть для источника и стока
в точках и Д2; пунктирные кривые пред-
ставляют собой эквипотенциальные линии. Эту фигуру можно также рас-
сматривать как поток в случае пары вихрей, находящихся в точках Аг и
А2, йо при этом линии тока и эквипотенциальные линии поменяются местами.
Этот пример является иллю-
страцией основного прин-
ципа, что любая сеть взаимно-
ортогональных кривых изо-
бражает собой два возмож-
ных течения, так как каж-
дое семейство кривых может
быть принято за линии то-
ка при этом необходимо
пограничные условия согла-
совать с видом потока. На
фиг. 31 изображена ортого-
нальная сеть для случая об-
текания цилиндра равномер-
ным потоком; если мы при-
мем пунктирные линии за
линии тока, то для удовле-
творения пограничных усло-
вий необходимо предполо-
жить, что вдоль верхней по-
ловины окружности цилин-
дра распределен ряд источ-
ников, а вдоль нижней— ряд стоков, так как жидкость имеет определенную
скорость, нормальную к окружности цилиндра.
Фиг. 31 приводит также к важному замечанью. Линии тока и эквипо-
тенциальные линии пересекаются, вообще говоря, под прямыми углами, но
1 Это неверно. Указанным свойством обладают только некоторые взаимно-орзосо-
иачьные сети, т. н. изотермические. (Прим. пер.).
42 ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУЧТ^^Я
это условие нарушается в точках А и В, являющихся критическими точками
потока. Доказательство, что линии тока и эквипотенциальные линии пере-
секаются под прямыми углами в данном случае теряет свою силу, так как
равно нулю по всем направлениям; линия тока в критической точке мо-
жет образовать острый угол. Ниже будет показано, что в этом частном
случае эквипотенциальная линия образует с обеими ветвями линии тока
равные углы.
2. КОМПЛЕКСНОЕ ПЕРЕМЕННОЕ.
Координаты какой-либо точки Р могут быть выражены либо в декар-
товых, либо в полярных координатах, но возможно объединить обе коорди-
наты каждой из этих систем в одну комплексную координату г, определя-
емую} равенством
_____________ г = х -Н‘у = г (co.s 0 + i sin О),
где i — j/ — 1 и подчиняется обычным алгебраическим правилам.
Заметив, что
(cos О + i sin0) = — sin 0 + i cos 0 = i (cos0 4- i sin 0),
или
~ (cos в + i sin 6)
cos 9 + i sin 9 ' l’
и^нреинтегрировав последнее равенство, получим:
In (cos 0 4~ i sin 0) = t‘0,
или
cos 0 + isinO = e"J.
Следовательно комплексная координата точки Р может быть выражена в виде
z =ге гв.
Координаты (х, у) или (г, О) определяют положение точки Р относи-
тельно начала О и оси О А (фиг. 32), но комплексную координату z удобнее
трактовать как выражение вектора ОР. Длина этого вектора г называется
модулем z и обозначается одним из следующих символов:
г = mod z = ,zl.
Угол G, определяющий Направление вектора, называется аргументом г.
Если z выражено в форме (х 4- iy), то х Называется действительной, у—
мнимой частью z, а модуль z равен }/х2-|-у2. Если модуль равен нулю, то
очевидно, что и х и у равны нулю. Любая функция /(z) комплексного пере-
менного z может быть разбита на действительную и мнимую части и выра-
жена в виде (X + iY)t где X и У действитель-
ны. Отсюда следует, что комплексное равенство
/(z) = 0 эквивалентно двум равенствам, которые
получим, приравнивая в отдельности нулю дей-
ствительную и мнимую части /(z).
Произведение двух комплексных чисел
ZiZ2 = r1r2^cei+02>
выражает вектор, модуль которого равен произ-
ведению модулей, а аргумент—сумме аргумен-
тов Oj и О2. Следовательно, чтобы умножить
’комплексное число или вектор на z, нужно
длину вектора увеличить в Izl или г раз, и повернуть его на угол G. Умно-
жение на ег6 поворачивает вектор На угол G, а положив G = ”, найдем,
что умножение На i поворачивает вектор на прямой угол.
Фиг. 32.
3. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ.
Рассмотрим некоторую функцию комплексного переменного z, имеющую
единственную производную в каждой точке. Пусть
/(г) = £ +
И
^ = Р + ‘ч-
Производную можно выразить в следующем виде:
p + iq‘l = of = i =,> а/ =	+ *
r ’ dz дх дх дх *1 ду ду 1 ду
следовательно
= =
дх ду
<>: ___„_______
ду дх "'
Из последнего равенства следует, что
V2< = V21*) = О-
Сопоставляя полученные выражения с уравнениями, связывающими
иотенциал скоростей tp, функцию тока ф и составляющие скорости и и v для
безвихревого движения (см. выше), видим, что <; и rt можно принять за
и ф, а р и q можно принять соответственно за и и—у.
4 ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Итак, если <р и 6 суть действительная и мнимая части некоторой ком-
лексной функции f(z), то их можно рассматривать как потенциал скоростей
функцию тока безвихревого движения.
В дальнейшем будем писать комплексную функцию в виде
в> = <р-Н'ф = /(г),
значит
Комплексная функция в> называется характеристической функ-
ией потока; безвихревое движение полностью определяется этой функцией.
Фиг, 33.
Основные типы потока, ранее рассмс
трениые, могут быть сразу выражены ш
мощью характеристической функции, npi
нимающей следующий простой вид:
Для равномерного потока, параллель
ного оси х:
iv = Uz.
Для равномерного потока, параллель
ного оси у:
к   - - iVz.
Для стока в начале координат:
т .
И' = 2л,П2'
Для дублета в начале координат <
осью, совпадающей с осью х:
Для одиночного вихря в начале координат:
w = — '
2.TZ
гг = — i~ In z.
Для потока, направленного в отрицательную сторону оси х, соединен-
ого с циркуляцией и обтекающего цилиндр радиуса а с центром в начале
оординат:
, ./ , а- X . J , z
W--UO+ г)~1Рпа-
Указанные типы течения выражаются путем простых функций г,
Inz комплексного переменного. Взяв соответствующие выражения дл?"
1ПЯИТРПИГТМ1ГАГкгЛЙ rtivniznuu 11J
UAMZUn 1ТЛП171Т11Т1
ni.1 ПЛТСНТЛР Р'1,>
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
4Я
смотрим например поток, выражаемый характеристической функцией следую-
щего вида:
и? — — Uz2 — — U {(х2 — у2) + 2ixy }.
Линии тока суть равнобокие гиперболы, ассимптотами которых являются
оси х и у (фиг. 33). Рассматривая эти ассимптоты как твердые границы, получим
течение жидкости внутри угла, образованного двумя взаимно-перпендикуляр-
ными стенками.
Придав характеристической функции более общий вид
w — — Uzn = — Urn (cos лО + i sin лО),
получим безвихревой поток между двумя прямолинейными стенками, обра-
зующими угол а = ” . На фиг. 34 изображены потоки для п — 4 и л = * ,
представляющие собой соответственно течение внутри острого угла и обте-
кание прямого угла.
Любую комплексную функцию можно рассматривать, как характеристи-
ческую функцию безвихревого движения, но практическое значение имеют
течения, которые на достаточно большом расстоянии от начала стремятся к
равномерному потоку. В этом случае характеристическая функция, для боль-
ших значений |z| должна разлагаться в ряд:
w = Az + В In nz + 2 4”,
i z
где коэфициенты А, В, Ап могут быть комплексными числами.
ГЛАВА VI.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КРУГА В ПРОФИЛЬ КРЫЛА.
1. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ.
Рассмотрим функцию /(2) комплексного переменного z, имеющую одне-
начную и конечную производную во всякой точке плоскости z. Пусть £ и
) действительная и мнимая части этой функции.
L + 17J	/(2).
Кривые £ = const и т) = const, изображенные на плоскости z, образуют
ьва семейства кривых, пересекающихся под прямыми углами, потому что,
.ак уже раньше было показано, В и т] могут быть приняты за потенциал
коростей и функцию тока безвихревого движения (фиг.35). С другой стороны Ди
О	а?	О'
Фиг. 35.	Фи . 36.
•j мы можем рассматривать, как абсциссу и ординату новой системы коо
щнат комплексного переменного £ (фиг. 36). Тогда всякая кривая С плоскости
>удет иметь свое изображение иа плоскости^. При таком преобразовании сет;
сривых плоскости z изобразится на плоскости £ сеткой ортогональных пр
»1ых, а кривая С плоскости z изобразится на плоскости С в виде кривой (
Возьмем элементарный треугольник PQR на плоскости 2, и найде
дутем указанного преобразования, соответствующий ему на плоскости £ тр
угольник P'Q'R’ (фиг. 37). Пусть
£ =/'(*) = «"•
Тогда элементарные векторы PQ(dz) и P'Q'(rf^) будут связаны следук-
цмм равенством:
Л = aevldz.
конформное преобразование
47
а значит
Л ---adz,
arg de = a 4* arg dz.
Отсюда видим, что при преобразовании длина вектора PQ возрастает' в
л ~ раз, и что вектор поворачивается на угол а ~ arg . Существенно
важно заметить, что трансформация, претерпеваемая вектором PQ, не за-
висит от его направления, а только от положения точки Р\ следовательно
У
Плоскость С,
R'
Фиг. 37.
элементарному треугольнику PQR на плоскости z соответствует повернутый
иа угол а подобный ему треугольник на плоскости £, сторсны которого от-
косятся к сторонам треугольника PQR, как л: 1. Преобразование подобного
типа, при котором не меняется форма элементарных фигур, называется
конформным преобразованием.
Наложим на функцию /(<) ограничение, что она должна быть однозначна
в каждой точке плоскости z; следовательно всякой точке плоскости х должна
д'
с'
ПлШост^
Фиг. 38.
соответствовать одна определенная точка на плоскости “С При этом однако
возможно, что двум или более точкам плоскости z может соответствовать
одна и та же точка на плоскости Например при преобразовании
£ = z2
каждой точке плоскости £ соответствуют две точки =/ z плоскости х. В этом
случае удобнее рассматривать только верхнюю полуплоскость z, которая
отображается на всю плоскость Это преобразование показано на фиг. 38,
где соответствующие точки обеих плоскостей обозначены одинаковыми бук-
вами. Действительная ось плоскости z АО А' отображается на плоскости £
в положительную ветвь действительной оси. Не трудно показать, что всякая
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЕРУ Г А В ПРОФИЛЬ КРЫЛА
ямая, параллельная оси ОА на плоскости г, переходит на плоскости t «
раболу, ось которой совпадает с действительной осью плоскости С.
Функцию преобразования /(z) можно обобщить, откидывая условие, что
а должна быть однозначна во всякой точке плоскости z, так как мы мо-
м рассматривать преобразование только ограниченной области плоскости z
ограниченную область плоскости тогда функция f(z) должна уДовлетво-
ть только тому условию, что в пределах этих областей между z и £ должна
ть однозначная зависимость.
Особые точки.
В простом примере конформного преобразования, изображенного на
[г. 38, обращает на себя внимание следующее. При конформном преобра-
вании угол между двумя пересекающимися линиями не меняется, между
м как в указанном преобразовании углу ” между прямыми ОА и ОВ пло-
ости z соответствует в плоскости £ угол Следовательно в точке О пре-
разование не является конформным.
Отношение элементарных отрезков в обеих плоскостях, равное во-
। uZ ।
чце говоря, есть величина конечная. Если = 0, то отрезок конечной
Фиг. 39.
тины на плоскости z сокращается до нуля на плоскости £, и наоборот—
величинается до бесконечности, если стремится к со. .Точка, в которой
£ I
- = 0 или со, называется особой точкой преобразования. В особой
тчке преобразование перестает быть конформным.
Пусть |^-|	0 в точке z0 (фиг. 39). Если соответствующая точка
еременного то преобразование можно написать в следующем виде:
е — ^0-(z —z0)V?(z),
де F(z) не стремится к нулю или бесконечности в точке z0, а п больше
циницы. Начнем теперь перемещать точку плоскости z по бесконечно мал oil;
кружности
,	10
z = ze + ге ,
огда соответствующие значения £ будут
? = Г0 +г'/"%„).
Итак, точка плоскости £ также опишет дугу окружности бссконечно-
(алого радиуса, но углу О плоскости z будет на плоскости % отвечать
юлыиий угол нО.
КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
49
Случай, когда |^| стремится к бесконечности, может быть исследован
таким же образом; в этом случае углу G плоскости z будет соответствовать
на плоскости £ меньший угол.
Если на границе рассматриваемой области встречается особая точка,
то ее можно исключить при помощи дуги небольшого круга, как показано
на фиг. 38, и тогда преобразование станет конформным во всех точках об-
ласти. Более того, круговую дугу можно взять бесконечно малой, и следо-
вательно наличие особой точки на границе области не нарушит правиль-
ности преобразования. Существенно важно однако, чтобы не было особых то-
чек внутри преобразуемой области; особая точка на границе области должна
удовлетворять некоторым условиям.
Рассмотрим частный случай преобразования круга в профиль крыла и
примем, что точка z0 окружности является особой точкой (фиг. 40). Если
преобразование в окрестности точки z0 имеет вид:
C = Co + (z-z0)"F(z),
то внешнему углу тс круга у точки z0 соответствует угол пп у точки ^про-
филя. Очевидно, что п не должно быть более 2; для профилей обычного
очертания п должно лишь Незначительно отличаться от указанного значения.
Если обозначим через т угол между верхней и нижней линиями про-
филя у задней кромки, то значение п определится из следующего равенства:
т — (2—л) тс.
В частном случае, когда п = 2, у задней кромки профиля будет точка
возврата.
Преобразование потока.
Поток, обтекающий тело или простой замкнутый контур С плоскости z,
определяется характеристической функцией потока w — 9 + /ф и изобража-
Фиг. 40.
ется при помощи эквипотенциальных линий и линий тока, образующих орто-
гональную сеть. Эти линии после конформного преобразования плоскости
z образуют и на плоскости £ ортогональную сеть, связанную с замкнутым
контуром С'. Следовательно конформное преобразование, отображающее кон-
тур С в контур С1, преобразует поток, обтекающий С, в поток, обтекающий С'.
Составляющие скорости и' и у' преобразованного потока в какой-либо
точке плоскости t определяются из равенства
, ,	. , dw div dz ,	. . dz
U lV fit
50
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КРУГА В ПРОФИЛЬ КРЫЛА
а скорости V' и V соответствующих точек обеих плоскостей связаны сле-
дующим соотношением:
V' = V I—к
И
Й. вообще говоря, является конечной величиной, отличной от нуля, но в
особых точках конечной скорости в одной плоскости может соответствовать
бесконечное значение скорости в другой плоскости. Так на фиг. 40 конеч-
ной скорости V точки Zq соответствует бесконечное значение скорости V'
точки £0 профиля.
Безвихревой поток, обтекающий круг, нам известен, и возможно пре-
образовать круг в профиль заданного очертания. Следовательно поток, об-
текающий профиль, может быть изучен помощью методов конформного пре-
образования, и задача определения такого потока может быть заменена за-
дачей отыскания конформного преобразования, отображающего профиль в
круг.
' 2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ И КРУГ.
Интересный и важный пример конформного преобразования потока пред-
ставляет применение преобразования
f , а*
к кругу |zj = a. Произвольная точка z==rei9 отображается в точку^коорд»*
наты которой
£ = (г + cos О,
(г —sin О,
откуда можно сразу заключить, что круг г = а плоскости z преобразуется
в отрезок действительной оси, заключенный между точками % — + 2а.
Это преобразование имеет простой геометрический смысл (фиг. 41). Ком-
плексная переменная z изображает вектор 0Р> длиною г, образующий с действи-
t	тельной осью угол О. Точно так же
*	Р	а2 а2
-или (cosG — i sin О) изображает
i	s' /Р'	?	r
/ I X s'	a2
/ J	s'	вектор ОРЬ длиной образующий
I I у'	с действительной осью угол—и.
в I-----------—------------------ Вектор ОРХ может быть получен из
\ I р / А вектора ОР путем применения прс-
\	( 1 J	образования взаимных	радиусе ли
I s/	векторов относительно круга г—J
—Н-и зеркального отображения относи-
j	тельно действительной оси. Наконец
।	вектор ОР', изображающий комплекс-
фиг 41	ную переменную С, может быть по-
лучен путем сложения векторов О Г
и OPlt т. е. построения параллелограма РОРУР'.
Путем этого геометрического метода или непосредственно пользу*
уравнениями преобразования, можно преобразовать поток, обтекающий кр
в поток, обтекающий прямую линию.
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ И ЯРУГ
51
Характеристическая функция для равномерного потока в плоскости
вараллельного£отрицательной ветви действительной оси, имеет вид:4
Она изображает поток вдоль прямой АВ. При преобразовании на плоскость z
прямая АВ перейдет в окружность, а характеристическая функция для рав-
номерного потока, обтекающего
эту окружность, будет
w=_ui:=-u(z+^)-
Таким образом при помощи ме-
тода конформного преобразова-
ния мы сразу достигли резуль-
тата, который был нами полу-
чен ранее значительно более
громоздким путем.
Вертикальный поток, об-
текающий окружность, может
быть получен из горизонталь-
ного потока (фиг. 42) при по-
мощи преобразования
z’ = iz,
что равносильно повороту осей
на прямой угол против часовой
этого случая будет:
а для равномерного потока V, параллельного отрицательной ветви мнимой
оси первоначальной системы,
стрелки. Характеристическая функция для
При обратном преобразовании окружности в отрезок прямой, характе-
ристическая функция для равномерного потока, перпендикулярного этому
отрезку, получится в виде
w = iV }/К2~-~4а^
Этот результат можно привести к более удобному виду путем замены:
£ = $sin(X +1»,
где 5 = 2а — половина длины отрезка прямой. При такой замене
Е = ssinXcosh р,
= s cos X sinh р
И для всех точек рассматриваемого отрезка [л — 0, а X меняется от 0 до 2к. Харак-
теристическая функция примет вид
w = — Vs cos (X -h ip),
a Функция тока
ф = Vs sin X sinh p.
Линии тока этого течения, показанные на фиг. 43, дают картину по-
тока около указанного отрезка. Чтобы получить абсолютное течение жид-
кости, следует во всех точках прибавить вертикальную скорость V. Это
йосолютное течение показано на фиг. 44. Здесь линии тока дают картину
течения жидкости, вызываемого ортогональным движением отрезка со ско-
ро стып и
52
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КРУГА В ПРОФИЛЬ КРЫЛА
3.	ПРОФИЛЬ КРЫЛА И КРУГ.
Для получения потока, обтекающего крыло, необходимо так определить
конформное преобразование, обращающее профиль крыла в круг, чтобы бес-
конечно удаленная область потока
осталась неизменной1. Для заданного
профиля в плоскости % существует
единственное конформное преобразо-
вание, отображающее внешнюю об-
ласть профиля во внешнюю область
круга в плоскости Z; круг этот опре-
Фиг. 43.	Фиг. 44.
деляется однозначно по величине и положению. Это преобразование имеет
вид:
г = С + £+ £ +....
где Alf Д2,... вообще говоря, комплексные числа.
Обратно, круг на плоскости z можно преобразовать в профиль па
плоскости £ помощью конформного преобразования вида
К= 2 + ~ + + ...
Соответственным выбором круга и коэфициентов alf можно получив
при преобразовании профиль заданного очертания. Выбор коэфициентов,
вообще говоря, совершенно произволен, но круг следует взять так, чтобы
все особые точки преобразования, для которых равно нулю или бесконеч-
ности, лежали внутри его. Из общего преобразования получаем:
dC__< Д1__________
dz z* z9 ’
df
следовательно равно бесконечности только в начале координат, нулю ье
оно может равняться в ряде точек vx, v2 и т. д.
Гипотеза Жуковского.
Вообще говоря, поток, обтекающий круг, содержит один независимый па-
раметр— циркуляцию J; величина циркуляции в преобразованном потоке,
обтекающем профиль, остается та же, что и в потоке, обтекающем круг.
1 Общая теории была разработана R. v. Mises, Zur Theerie des Tragfiachen-
ПРОФИЛЬ КРЫЛА И КРУГ
53
Обычно радиус кривизны у задней кромки профилей мал; в теории крыла
целесообразно сделать допущение, что верхняя и иижняя поверхности про-
филя образуют у задней кромки острый угол. В точке В окружности, кото-
рая при преобразовании переходит в заднюю кромку профиля, ~ = 0. Если
величина скорости V в точке В имеет конечное значение, то соответствующая
скорость V' у задней кромки профиля равна со, так как
V' = V I — |.
I dC |
Чтобы избежать бесконечного значения для скорости у задней кромки,
Жуковский предложил выбирать циркуляцию так, чтобы точка В была кри-
тической точкой потока, обтекающего круг, т. е. V = 0. В этом случае зад-
няя кромка профиля является точкой схода потока, и скорость имеет конеч-
ное значение во всех точках.
Циркуляция J, по гипотезе Жуковского, определяется однозначно, когда
профиль образует острый угол у задней кромки; в дальнейшем мы всегда
будем предполагать, что форма профиля удовлетворяет этому условию. Кри-
тический разбор гипотезы Жуковского будет дан в одной из следующих глав
(гл. IX, 3).
Если функция, дающая конформное преобразование, представляет собой
некоторый конечный ряд
^ = 2 + - + 4а + -. + £^>
то особые точки можно определить из уравнения
где
Svi = 0-
2 У!У2 = —Я1, и т. д.
Из уравнения 2^ = 0 видно, что начало координат О является цен-
тром тяжести особых точек; причем на-
нравление осей пока еще не определено.
Для того чтобы преобразование бы-
ло конформным, круг, преобразуемый в
профиль, должен заключать внутри себя
все особые точки. С другой стороны, что-
бы получить острый угол у задней кром-
ки профиля, необходимо, чтобы одна осо-
бая точка В лежала На окружности пре-
образуемого круга. За действительную
ось можно принять прямую ВО.
Ход решения задачи получения про-
филя крыла представится в следующем
виде. Возьмем п точек на плоскости z и
примем их за Нули преобразования; в цен-
тре тяжести этих точек поместим начало
координат О (фиг. 45). Проведем окруж-	Фиг 45.
ность, проходящую через одну из нуле-
вых точек В и заключающую внутри себя все остальные точки. Приняв ВО
за ось х-ов, найдем, что
54	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КРУГА В ПРОФИЛЬ 1К РЫЛ А
где Vj, vt,...—комплексные координаты взятых точек.
Беря различные круги и меняя положение нулей преобразования, мож-
но получить бесконечное количество профилей различных форм. Точка В
круга всегда при преобразовании переходит в заднюю кромку профиля; как
было сказано выше, верхняя и нижняя поверхности имеют общую касатель-
ную у задней кромки.
Более общий случай преобразования можно представить в виде беско-
нечного ряда
— z 4~ 4- р 4- ...
или
df , ai 2а, 
dz za	z*
Круг, преобразуемый в профиль, должен удовлетворять тому условию,
что не равно нулю или бесконечности ни в одной точке вне круга; если
профиль образует острый угол у задней кромки, то одно из нулевых зна-
чений должно лежать на окружности круга в точке В (z=* v). Вследствие
этого преобразование можно написать так:
fSC’-xT/w.
где /(z) имеет конечное значение, отличное от нуля, во всех точках, лежа-
щих на окружности и вне ее. В окрестности точки В преобразование при-
нимает вид
£ = £)4-(z — v)*F(z);
отсюда следует, что верхняя и нижняя поверхности профиля образуют у
задней кромки угол
т = (2 — л)и.
Чтобы получить профиль обычной формы, необходимо принимать п Не-
многим менее 2, потому что при предельном значении п — 2 нижняя и верх-
няя поверхности профиля имеют общую касательную у задней кромки.
4.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЖУКОВСКОГО.
Рассмотрим простейший вид преобразования, содержащего две нулевых
точки А и В. В соответствии с общей теорией, примем за действительную
ось прямую, соединяющую точки А и В, а начало координат О возьмем в
середине отрезка АВ (фиг. 4б).Так как координаты нулевых точек будут z = 4; с,
то преобразование примет вид
м-нХ'+э-1-;
ИЛИ
t=z+*.
' Z
Некоторые применения этого преобразования были рассмотрены раньше
в этой главе, где было показано, что круг, построенный на отрезке АВ как
на диаметре, переходит в отрезок действительной осн, заключенный между
точками ^ = ±2с. В общем случае это преобразование можно приложить к
любому кругу, заключающему внутри себя точки А и В, но чтобы получить
профиль с острым углом у задней кромки, нужно выбрать круг С так, чтобы
он проходил через точку В. Если круг несколько больше, точка В попадет
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЖУКОВСКОГО
55
внутрь его, профиль получится с закругленной задней кромкой, но в этом
случае циркуляцию нельзя будет определить однозначно при помощи гипо-
тезы Жуковского. Условимся
определять круг С при помощи
его радиуса а и угла р между
прямой, соединяющей точку В
с центром М круга, и действи-
тельной осью. Чтобы получить
профили обычной формы, угол р
нужно брать малым, а радиус а
лишь несколько больше с sec р.
Положение центра круга будем
определять длиной т отрезка ОМ
и углом 5 между этим отрезком
и действительной осью. Ком-
плексная координата центра М
может быть Написана в одной из
Следующих форм:
Фиг. 46.
z ~ теи = ае^ — с.
Дуга круга
Рассмотрим вначале случай, когда центр М лежит на оси у, т. е. круг С
проходит через обе нулевые точки А и В, а радиус круга а — с sec р (фиг. 47).
Комплексная координата произвольной точки Р круга z = rew; после преоб-
разования координаты этой точки будут:
5= (T+y)coS0,
П= (г— £)sin 0.
Исключим г из этих уравнений:
__ _______ £2 sin2 G — т)2 cos2 G = 4 с2 sin2 О cos2 О.
1 Обг клиие дуги круга было разобрано W. М. Kutta, AuftriebskrJifte !n str6-
'n=nden Fliissigkeiten. «Hlustr. aeronaut. Mitreilungen», 1902; Ueber eine mlt den Qrundlagen
es rlugprobiems in Beziehung stehende zweidimensionaie Str^mung. «Вег. d. Bayer Akad.
Wiss.» 1910.
56
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КРУГА В ПРОФИЛЬ КРЫЛА
Из треугольника ОРМ
с2 sec213 = а2 — г2 + с2 tg2 р — 2rc tg р sin О,
или
г2 — св = 2rc tg р sin О;
следовательно
т) = c*sin О = 2с tg р sin2 О.
Наконец, исключив угол G, получим следующее уравнение преобразо-
ванной криво С':
I2 + (у + 2 с сtg 2р)2 = (2с esc 2р)2.
Это—уравнение окружности. Так как т) пропорционально sin2G, то кривая
С‘ является дугой круга, лежащей над действительной осью. Верхняя и
нижняя части окружности С отображают соответственно верхнюю и нижнюю
поверхность этой круговой дуги. Абсциссы крайних точек дуги £ = гЬ2с, а
наибольшая ордината r( = 2ctgp, т. е. равна удвоенной длине отрезка ОМ,
Вогнутость дуги, определяемая как отношение наибольшей ординаты к хорде!
А'в', равна * tg р.
Симметричные профили.
Если центр М круга С возьмем на оси х, то при радиусе а, несколько
большем длины отрезка с, круг преобразуется в симметричный профиль (фиг. 48).
Пусть а = с(1 -j-e), г*е малая величина. Абсцисса передней кромки
профиля будет
5 = с (1 4-2е) 4-	= 2с(1 + 2е>+...).
Так как точка	—2с является задней кромкой профиля, то с боль-
шим приближением хорду профиля можно принять равной 4с(1 + е2); в
большинстве случаев с достаточной степенью точности можно пренебречь
величиной £2 и считать хорду равной 4с.
Для произвольной точки Р круга
д2 = г»+ (а — с)в — 2г (а— с) cos О;
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЖУКОВСКОГО
57
ограничиваясь только первой степенью е, получим:
г = с[1 + е (1 —f— cos О)];
следовательно
£ ~ (7 + J cos 0 — 2с cos 9,
rt — (г— ^sin 9 — 2c £ (1 + cos 9) sin 0.
Пользуясь этим уравнением, можно построить симметричный профиль.
Толщина последнего в центре равна удвоенному значению для О == * » т- е-
tc~ 4с £.
Наибольшая толщина получается при cosO —т. е. в точке, удален-
ной от передней кромки профиля на четверть хорды; ее величина равна:
Прямолинейный отрезок длиной 4с, рассмотренный выше, является
средней или нулевой линией симметричного профиля. Толщина профиля про-
порциональна е; для е = 0,1 наибольшая толщина составляет 13% хорды.
Большее значение редко встречается в практике, и пренебрежение е2 в вы-
ражении для хорды вносит погрешность, меньшую 1%.
Профили Жуковского1.
В общем случае следует располагать центр М круга С так, как на
фиг. 46 или фиг. 49. Если ВМ пересекает ось у в Мо, то круг Со с цен-
тром м0 и радиусом мов переходит
в дугу круга, тогда как круг С пе-
реходит в профиль. Круговая ду-
га является средней линией профи-
ля, и мы можем рассматривать про-
филь как некоторый симметричный
профиль, средняя линия которого
изогнута в дугу круга с вогнутостью
2"tgp. Толщина профиля пропорцио-
нальна длине МЛ40; очертание про-
филя Жуковского зависит от двух
параметров, р и - , которые опреде-
ляют соответственно вогнутость сред-
ней линии и толщину профиля.
Профиль Жуковского может
быть получен путем простого геоме-
трического построения3 (фиг.50). Спо-
соб нахождения точки P't соответ-
ствующей некоторой точке Р, был j
Фиг. 49.
выше. Сперва находим точку Pi
1 Этот тип профилей был введен Жуковским, Ueber die Konturen der Tragfiachen der
Drachenflieger, Zl'M. i9i0.	Примеч. автора.
Рассматриваемый в дальнейшем тип профиля  так наз. инверсия парЕ болы, была
предложена епервые С. А. Чаплыгиным. Н. Е. Жуковский дал только несколько другую
«герпретацию преобразования и первый на иностранном языке описал его, поэтому за
граиицей эти профили и носят название профилей Жуковского.	Примеч. ред.
* Е. Trefftz, Graphische Konstruktion Jukowskischer Tragflachen, ZFM, 1913.
58
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КРУГА В ПРОФИЛЬ КРЫЛА
путем инверсирования относительно круга, построенного на АВ, как на диа-
метре, и зеркального изображения отнотительно АВ; затем, построив параллело-
rpaMPOPjP',получаем точку Р'. При инверсировании круга С получим другой
круг с центром, лежащим на линии МО. При зеркальном изображении центр
вспомогательного круга будет лежать на линии, являющейся зеркальным изо-
бражением ОМ относительно АВ или оси у. Из рассмотрения соотношений
у точки В следует, что вспомогательный круг должен в точке В касаться
первоначального круга С; следовательно центром вспомогательного круга
является точка линии ВМ, для которой углы, образованные ОМ и ОМг с
осью у, равны.
Соответствующие точки Р н Рх кругов С и Сх можно теперь получить,
проводя из начала О лучи по обе стороны оси х под равными углами; по-
строив параллелограм РОР^', получим точку Р' профиля. Проделав это
построение для ряда точек окружности С, получим весь профиль.
5.	ОБОБЩЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЖУКОВСКОГО.
Преобразование Жуковского содержит две нулевых точки и приводит
к бесконечному ряду профилей с двумя параметрами. Более общее преобра-
зование, содержащее три или больше нулевых точек, приводит к большему
разнообразию п офилей; получаемые при этом типы профилей были разо-
ОБОБЩЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЖУКОВСКОГО	$9
браныИ. w. Misesx и W. Mfilier8. Однако это преобразование приво-
дит к профилям с общей касательной у задней кромки; более важное зна-
чение имеет такое обобщение преобразования Жуковского, которое ведет к
профилям, верхняя н нижняя линии которых пересекаются у задней
кромки под конечным углом.
Преобразование Жуковского
может быть написано в виде
5 + 2с / z + c у
< - 2с \ 2 — С )‘
Вблизи нулевой точки В приближенно можно принять
^ + 2С = --ЦА‘.
Просрали Жукобского
Профили Жукобского обобщенного типа
Фиг. 52.
Чтобы получить конечный угол т у задней кромки профиля, преобразоваияе
в этой области должно иметь вид (см. выше «Особые точки»)
а я должно иметь значение п = 2____________г
ТС *
Можно получить эту форму при следующем обобщении преобразования
Чуковского:
5 + пс / z + с \*
5 — пс \ z — с /•
Это преобразование содержит две нулевых точки z ~ ±с; скелет профиля
1 Zur Theorte des Tragfiachenauftriebes, ZFM, 1920
s Zur Konstruktion von Tragfiachenprofilen, ZAMM, {924.
преобразование круга в профиль крыла
и
представляет собой две круговые дуги \ пересекающиеся под углом т; хорда
профиля равна 2 пс (фиг. 51). Это преобразование можно представить в виде
бесконечного ряда, первые члены которого будут
s = 2+"!7i. .4+...
Для профилей этого типа нет простого геометрического построения; рас-
чет даже для симметричных профилей весьма сложен2. Профили обобщенного
типа Жуковского содержат три независимых параметра, определяющих со-
ответственно вогнутость, толщину и угол у задней кромки; применяя этот
метод, можно получить множество профилей, употребляемых для крыльев
самолета. На фиг. 52 показаны некоторые типичные профили Жуковского и
обобщенного типа.
1 Круговые дуги, составляющие скелет жрофиля, были предложены W. М. Kutta,
Weber ebene ZirkuiationstromungeR, Ber. d. Вау» г. Akad. d. Wiss. 19П. Это преобразова-
ние было исследовано Т. v. Karmen и Trefftz, Potentialstromung urn gegebeite
Tragfiachenquerschnitte, ZFM, 1918, ы W. Muller, Zur Konstruktion von Tragfiach»»-
pr of lien, ZAMM, 1924.
1 Подробно об этом методе см. Н. Oiauert. A generalised type of Joukowski aerofoil,
R & M. 9] 1, 1924.
ГЛАВА VH.
КРЫЛО В ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПОТОКЕ.
I. ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ И МОМЕНТА.
Если известна характеристическая функция потока, обтекающего про-
извольное тело, зависящая от комплексной переменной z, то можно полу-
чить простое аналитическое выражение для силы и момента, действующих
на тело. Рассмотрим движение жидкости, заключенной между поверхность»
тела и некоторой замкнутой кривой С, охватывающей тело (фиг. 53). Если X и
У—составляющие силы, действующей на тело, то жидкость испытывает равную
и противоположно направленную реакцию от поверхности тела; кроме того
на пограничную кривую С действуют давления, направленные по нормалям
к ней. Эти ссставляющие сил равны изменению количества движения жид-
кости, протекающей сквозь рассматриваемую область; поэтому
— X—J pdy^- j" pu(udy— vdx),
с	с
— У 4- f pdx — j* pv(udy — vdx);
о	о
интегрирование производится по контуру С.
В случае безвихревого движения величина Н уравнения Бернулли во
всех точках жидкости будет иметь постоянное значение, а давление в лю-
бой точке будет	i .
62	КРЫЛО в ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПОТОКЕ
Тогда получим
X — iY = — f p(dy 4- idx) — f p(u — iv) (tidy — vdx) =
° °
= *p J|(u2 + v2) (dy + idx) — 2(u — iv) (tidy —vdx)} =
о
2 p f (uz — v2 “ 2itiv)(idx — dy).
и окончательно получим
Момент, действующей на тело силы относительно начала О, может быть
©пределен подобным же образом, рассматривая изменение момента количества
движения жидкости, протекающей через рассматриваемую область в единицу
Бремени. Если Af0—момент сил, действующих на тело, то уравнение движения
жидкости будет
— Af0 4~ f Р(х dx+y dy) == J* p(vx—ay) (udy — vdx),
о	о
следовательно
Af0 = — p f(u2 + v2) (xdx — ydy) — pf(vx — tiy) (udy — vdx) =
с	о
= —^p f [ (ti2— v2)(xdx—ydy)-j-2tiv(ydx + xdy)].
Ho	°
f (10* zdz — v2—2iuv) (x + iy) (dx4- idy),
о	о
и действительная часть этого интеграла идентична с интегралом в выра-
жении для Af0; следовательно1
= д. ч.
О
Выражения этих интегралов для силы и момента относительно начала
действительны для любого числа тел, заключенных внутри кривой С, и
могут быть определены для любой кривой, охватывающей эти тела. Если мы
Квадрат производной характеристической функции для больших значений г
разложим в ряд
\dz) ~ z + 2« “Г--’
то сразу получим значение интегралов
X-— iY = 2 р1(2тА^) = — itp^!
и
М9 = — |р д. ч. (2itiA2) = — -тер д. ч. (г’Л2),
в чем легко убедиться, приняв кривую С за окружность большого радиуса
с центром в начале координат. В последних выражениях коэфициеиты и
1 Здесь д. я. означает действительную часть комплексного числа. Прим, перев,
ПОДЪЕМНАЯ СИЛА И МОМЕНТ ПРОФИЛЯ
63
А2 в общем случае комплексные величины, вследствие чего X, У и Л40 будут
иметь отличные от нуля значения.
2. ПОДЪЕМНАЯ СИЛА И МОМЕНТ ПРОФИЛЯ.
Чтобы применить этот метод расчета к профилю, полученному из круга
ири помощи конформного преобразования £ = f(z), Необходимо прежде всего
определить характеристическую функцию потока, обтекающего круг* В об*
щем случае начало координат О выбрано совпадающим с центром тяжести
нулевых точек ~, и все нулевые точки, за исключением одной, лежат внутри
окружности* Нулевая точка В, лежащая на границе круга, отображается
заднюю в кромку профиля* Действительную ось проведем через точку В,
комплексная координата которой будет z---=—с. Радиус круга примем рав-
ным а, центр его — в точке
z — — с + aeift— meiet
как показано на фиг. 54.
Пусть иевозмущенный поток течет со скоростью V, наклоненной под
углом а к отрицательному направлению действительной оси; циркуляцию J,
в соответствии с гипотезой Жуковского (гл* VI), выберем так, чтобы
задняя критическая точка потока лежала в точке В круга. В зависимости
от комплексной координаты z't при начале координат в центре круга и дей-
ствительной оси, противоположной направлению потока V, характеристическая
функция потока’, обтекающего круг (гл. V), имеет вид
17 ( , . йа\ IJ , z'
— v z'+	— 'in--;
_	,	г(а + B)
координата точки В равна z = — ае
Для этого потока
= — vfl— — 1_____У--
dz'	\ z'a/ 2?rz'
Циркуляция J должна быть определена так, чтобы это выражение исчезал®
в точке В. Следовательно
у(1—е-«<-+») =
$4	КРЫЛО В ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПОТОКЕ
откуда получим величину циркуляции
J = 4каУ sin (а 4- £).
Из круга профиль получается при помощи общего конформного преобра-
зования
£=2+^+5+...,
где коэфициенты, вообще говоря, комплексны. Для определения силы, дей-
ствующей на профиль, необходимо найти значение для потока. Перемен-
ные z и 2' связаны следующим соотношением:
z'=(z — те”)е‘°,
поэтому
(__у _1_ у °2 _ A
dw__dw dz'dz_z'a 2nz'/
d£“ “ dz' ~dz d£ “ Л	\
V z> z8 J
Подставив в последнее выражение вместо z' его значение через z и
расположив его по убывающим степеням 2, получим:
^’ = _yeta-y.l + (e»Ve-<“-ajVei“-^me,4)l+ ... ,
откуда следует, что

Л2 =	2a2V2 4-	JL.
Из общего выражения для силы, действующей на тело, получим д,м
мрофиля
— 2
откуда
X —(У =-—ГрУ/?“,
или
X = pyj sin a,
У = pVJ cos a,
а это — составляющие силы pyj, действующей под прямым углом к напра-
влению потока V. Итак профиль дает подъемную силу
Р = pVj = 4rtapV2 sin (a 4“ 3).
ПОДЪЕМНАЯ СИЛА И МОМЕНТ ПРОФИЛЯ	6 5
Момент подъемной силы относительно начала координат выражается
Л4„= — ‘ р д. ч. /(^У ЬК =
С
о
= —2Р Д.Ч. (2itiAa);
следовательно есть мнимая часть от прД2- Положив в выражении дчя Аг
ЬЧ2г\
получим следующее значение Л70:
Л10= 2rcd2pV2 sin 2(а 4- у) + pVJmcos(a 4- о).
Это выражение дает значение момента относительно начала координат; момент
относительно центра круга можно легко получить в виде
М = MQ — Pm cos (а 4- £) = 2л£грУ2sin 2 (а 4- у).
Величина этого момента зависит от величины комплексного коэфици-
ента аг в формуле преобразования, определяющей £ в функции от z. Подъем-
ная сила исчезает при угле атаки — 0; момент при этом имеет величину
М = 2^2pVasin 2(у —0).
Для того чтобы положение центра давления профиля было постоянно,
т. е. чтобы направление действия подъемной силы всегда проходило чер&
определенную точку, этот момент должен быть равен нулю. Следовательно
необходимое и достаточное условие для неизменности положения центра да-
вления профиля заключается в том, что 0 = у, нли что козфициент аг кон-
формного преобразования должен быть следующего вида: аг= Ь2е2г?.
Общие выражения подъемной силы и момента принимают простой вид
Для профилей Жуковского, получаемых при помощи конформного преобра-
зования
Для тонких профилей малой вогнутости хорда приблизительно равна 4а, и
козфициент подъемной силы может быть принят
С,=
Это выражение применимо также и для большинства профилей, не при-
надлежащих к профилям типа Жуковского (см. также далее «тонкие про-
фили»), что подтверждается и экспериментальными исследованиями. Теоре-
!• тическнй наклон кривой коэфициента подъемной силы в зависимости от угла
| атаки равен я; средний наклон, определенный из экспеонментов. нескпиии-п
66
КРЫЛО В ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПОТОКЕ
менее этого значения благодаря отступлению потока от идеального вида;
наклон, равный 3, можно принять как нормальное значение Для хороших
дужек.
В преобразовании Жуковского коэфициент имеет значение г, и мо-
мент относительно центра круга
2nc* 1 2 *pV2 sin 2а.
7Л оме нт относите л ьн о передней кромки профиля ^с большим приближением
равен ы	С*’’
= М — 2с Р;
чтобы получить соответствующий коэфициент, можно, с достаточной степе г ю
точности, пренебречь небольшой разностью между а и с. Следовательно
С-=
Эта формула также полностью подтверждается экспериментальными данныл'.;.'.
и можно, вообще говоря, коэфициент момента профиля выразить с достал .ч-
ной точностью так:
С — С — 1 С
'-т	4
где Ст—коэфициент момента при нулевой подъемной силе. Положе
центра давления, выр женное в долях хорды и отсчитываемое от перед
кромки профиля, получим делением коэфициента момента на коэфици
подъемной силы, откуда следует, что при большом значении Ct„o центр
вления быстро перемещается к задней кромке. Если Си,о~О, профиль и:,
постоянный центр давления, л еж ший на четверти хорды от'передней крод'
3. ТОНКИЕ ПРОФИЛИ.
Вышеизложенный анализ позволяет определить "подъемную силу?»
мент произвольного профиля, когда известно конформное преобразование,,
при помощи которого профиль получается из круга. Чаще однако задается
4>орма профиля, определение же соответствующего конформного преобразо-
вания представляет значительную трудность. Метод решения этой задачи
для тонких профилей был дан МункомПрофиль замещается кривой
линией, являющейся средней линией профиля. Принимают, что эта кривая
незначительно отклоняется от прямой. Более удобный метод был даН
Бирнбаумом 2; последующий анализ является результатом применения рядов
Фурье к решению Бирнбаума задачи о тонком крыле. .
Поместим начало координат в передней кромке профиля, ось Х-ов на-
правим вдоль хорды назад, а ось у-ов перпендикулярно к ней вверх, и рас-
смотрим поток, получаемый при обтекании профиля жидкостью со скоростью
в бесконечности V, направленной под небольшим углом а к хорде (фиг. 55). Во-
круг профиля будет существовать циркуляция J, соответствующая распределе-
нию вихрей вдоль поверхности профиля. Пусть kdx будет удвоенное напряже-
ние вихря у элемента dx профиля; тогда
ъ
J=f kdx.
___	о
1 General theory Of thin sections, N.1C.1, 14, 1922. См. также H. Glai; rt,
A theory of thin aerofoils, R&M, 910, 1924.
2 Die tragende WirbelflSche als Hilfsmittel zur Behandlung des ebenen Problem5
der Tragflvgeltheorie, ZJAfAf, 1923.
ТОНКИЕ ПРОФИЛИ
07
Чтобы получить поле скоростей этой системы вихрей, мы сделаем допуще-
ние, что вихри расположены на хорде профиля; тогда индуцированная ско-
рость в точке х' профиля определится следующим образом:
О
Эта индуцированная скорость вычислена для точки, лежащей на хорде,
но ее можно принять равной индуцированной скорости для соответствующей
точки самого профиля. Направление результирующей скорости у профиля
должно быть параллельно поверхности его, поэтому для каждой точки
профиля
Ао ctg " + 2
Эти уравнения дают возможность полностью решить задачу в зависимости
от формы средней линии, замещающей профиль. Анализ в общем случае осно-
вывается на введении новой координаты к0 для точек профиля, опреде-
ляемой из уравнения
[х = 2 b (1—cos О),
так что 0 изменяется от 0 до it вдоль хорды профиля. Далее можно при-
нять, что величина к может быть выражена в виде ряда
Artsin л0 j ,
или
kdx — bV/Ао(1 + cosG) + J A„sin Л0 sin 0 | dO,
’	i	J
в котором первый член дает вихрь для прямолинейного профиля, а коэфи-
циенты в членах с синусами зависят от формы профиля.
Подъемная сила и момент относительно передней кромки профиля мо-
гут быть просто выражены в зависимости от коэфициентов этого ряда. Подъ-
емная сила
Р = fpVkdx = Ао(1 + cosO) + 2 sin лОsin 0 | d0 =
«о	1
= 7ГЙрНл0+'л, I,
\ А /
68	КРЫЛО в ПЛОСКО-ПАР \ЛЛЕЛЬНОМ потоке
что дает козфициент подъемной силы
= тс ^4 о + 2	'
Точно так же, момент относительно передней кромки
ь	л
Л4 = —J'pVkxdx = — J’* 62рV2|Ло(1—cos2G) +
о	о
+ 2 Aw sin nG^sin 0—*sin 2О)р0 = —д £2pK2^A0 +	—2^2) ,
что дает козфициент момента
С« = -^(Д'> + Л>-2Л0 = Й(Л2-Л1)_4СГ
Эти выражения содержат только первые три коэфициента ряда для
вихря; остающиеся козфициенты соответствуют поэтому изменению формы
профиля, не оказывающему влияния на подъемную силу или момент.
При принятом значении вихря, индуцированная скорость в точке х’ или
О' профиля будет:
С А)(1 и- cos 0) + ’ 2 An !cos (п - 1)0 - cos (п ч- 1)01
у I	Л	|	)
) я J	COS 6' — COS 0
о
— (7 J А л. 1 V A sin (Л 4- 1)0'— sin (л —1)6'1
- V ( — Ло-ь 22j	- - -sin(j'	р
так как (см. конец главы)
г cos п0	sin тир.
I а -------~ (20 = ТС ;
J COS 0 — COS ф	Sin ф
о
окончательно индуцированная скорость в точке 0 профиля выразится так:
У=|—40+ 2 А* С03 л0-
Условие, что скорость касательна к поверхности профиля, приводит к
уравнению
а —Ло +-S А» cos л0.
Теперь можно определить козфициент Л„, исходя из формы профиля,
путем вычисления следующих интегралов:
о
Лп — 2 С dJ- cos л0 d().
n nJ dx
о
Определение значения каждого коэфициента, вообще говоря, Не явля-
ется необходимым, так как можно получить простые выражения для подъ-
емной силы и момента относительно передней кромки непосредственно в за-
висимости от формы профиля при помощи следующих двух интегралов:
«	______ _	л	___________
__ 2 гу__ d9	- 2 | У	1 — cos 01я_2 fl dy dx	1 — cos Q
0 л J b 1 + cos 0	л Lb r	14- cos 0 Jo	л J b dx dO V	I + cos 6	*	'
0	0
ТОНКИЕ ПРОФИЛИ
69
первый член' исчезает, если у стремится к нулю у задней кромки профиля
скорее, чем )/b — х. Тогда
Ч = - л j-dx 0 - C0S e>d0 = Л« + 2 Л> - “•
о
Р-0 = f Icos eae = [s sin е]’ - / Ь	sin G(/e -
О	о
= “/4dx<1-COS2eXC'G=“4(a--4«-2	(2>
Таким образом при помощи этих двух интегралов £0 и р.о получаем
Cm = (Vo 4 £о)	4 Су;
определение коэфициентов подъемной силы и момента для любого тонкого
профиля свелось к вычислению двух простых интегралов е0 и ui0; коэфи-
циенты эти имеют тот же вид, что и для профиля Жуковского (см. выше).
Если форма профиля дана при помощи простого аналитического выра-
жения, то значения е0 и р.о могут быть получены путем непосредственного
интегрирования. Примером, имеющим практическое значение, служит профиль,
форма которого определяется следующим уравнением;
Р	Ь / \ V J
при значении А, лежащем между 1 и 2, он представляет собой профиль
с отогнутой вверх задней кромкой.
Проинтегрировав, найдем е0 и р.о:
е„'=‘й(4 —ЗХ),
Ио = йлХ
и следовательно
C„0 = gX(7X-8).
При значении X, равном 8/7, получим профиль с постоянным центром
давления.
Вычисление интегралов в общем случае лучше всего выполнять гра-
фически. Для этой цели эти интегралы нужно выразить в декартовых коор-
динатах, принимая хорду профиля за единицу длины. Тогда
1 1
Ео = fyh(x)dx и |а0 - f yf2(x)dx,
о	о
где
л(1 — х)Ух(1 - х) ’
Числовые значения этих функций для соответствующих точек хорды
профиля даны в табл. 4.
70
КРЫЛО В ПЛОС КО-ПАР АЛЛ В ЛЬНОМ потокк
Таблица 4.
X	/i(x) ! 4(x> 1	
0,025	2,09	6,10
0,05	1,54	4,13
0,10	1,18	2,67
0,20	1,00	1,50
0,30	0,99	0,87
0,40	1,08	0,41
X		
0,50	1,27	0
0,60	1,62	—0,41
0,70	2,31	—0,87
0,80	3,98	—1,50
0,90	10,6	—2,67
0,95	29,2	-4.13
Определение |а0 этим способом не 'представляет никаких затруднений,
так как у/2(х) в общем случае стремится к нулю на концах профиля, в то
время как /2(х) стремится к бесконечности. Однако для е0 значение уД(х)
обычно стремится к бесконечности у задней кромки профиля; это затрудне-
ние можно обойти, выполняя графическое интегрирование от передней кромки
до точки х = 0,95 и находя оставшуюся часть аналитически при помощи до-
пущения, что эта остальная часть профиля очерчена по прямой. Легко по-
казать, что добавочная часть к значению е0 равна 2,9 у', Где у' является
ординатой в точке х — 0,95.
Этот теоретический метод определения угла атаки и коэфициента мо-
мента при нулевой подъемной силе приводит к результатам, хорошо согла-
сующимся с найденными экспериментальным путем величинами. При этом
сравнении необходимо делать незначительную поправку, принимая во вни-
мание, что в теории угол атаки измеряется от линии, соединяющей перед-
нюю и заднюю кромку профиля, в то время как при экспериментальных
данных он отсчитывается относительно^ касательной к нижнему абрису
профиля.
Вычисление и'нтеграХа Jn— Гд°- —d0.
,	’	‘	‘ • - J - •	г 1 * J J cos д — cos ?
Вычисление этого интеграла требует особого внимания к пределам ин-
тегрирования, так как знаменатель подинтегральной функции исчезает в точ-
ке 0 = 9. Для определения значения Jn необходимо поэтому вести интег-
рирование от 0 до (® —е) и от (<р + е) до it, и найти предел при е, стремя-
щемся к нулю.
Рассмотрим вначале значение JQ:
Г de
J COS в — COS <р
о
1 p
sln7> sin^y — 9)
1	(	I >	1 j
= л-— < In sin (9 i— d’e) — In sin Q e ,
о
r - Г  , sin2(e+y>T _ 1 I, . 1—, . r , ! V
Jocose — cosy	sin у Пв1п'р ) siny( nsln2E lnsin(® +2E)i’
L	2'
и следовательно
Л= lim
'  ,п8|я(у-г0
sin(y+'«S
= 0.
ТОНКИЕ ПРОФИЛИ
71
За'см
J1= f—б- - dO = /Y1 + Pn J°S L do = тс + 7o COS (f> = K,
J cos 0 — COS <p J v cos » — cos V J	J T
о	0
и вообще, если п 1,
я	Я
.	.	_ rcos (п -Г 1) б + cos (к — 1)6 , -   г2 cos 6 cos кб .   
Jn + l < Jn — 1 j COS 0 — COS a	J cos 0 — cos у
о	0
ГЛп n r 2cOS<p COShOX ,	- _ „ t
= / 2cosn О-f-	-- dO = 2cos9J_.
J \	‘ COS 0 — COS fp J	‘ J ”
0,
Решение этой рекуррентной формулы
Jn^-i— 2 cos <рЛ + Jn-i= 0,
при начальных условиях Jo= 0 и Jr— л, приводит к следующему оконча-
тельному результату:
я
. __________________________г cos пб ________ sin nip
J” J cost) — соЛл) ~~ 71 sinp
ГЛАВА VI11.
ВЯЗКОСТЬ И СОПРОТИВЛЕНИЕ.
1. ЛОБОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ШИРОКОГО ТЕЛА.
Теория плоско-параллельного потока идеальной жидкости привела к
определению подъемной силы крыла в предположении существования цирку-
ляции, но это решение является неполным во многих отношениях. Условия,
являющиеся причиной возникновения циркуляции в начале движения, оста-
лись неисследованными; не определена величина циркуляции, за исклю-
чением профилей с острой задней кромкой. Гипотеза Жуковского, согласно
которой циркуляция должна быть выбрана так, чтобы происходило плавное
обтекание задней кромки, также требует критического исследования. Нако-
нец теория не указала на существование лобового сопротивления профиля.
Для полного исследования этих проблем необходимо отказаться от про-
стого допущения идеальной жидко-
—д' сти и определить влияние вязкости
или внутреннего трения; однако мож-
А	но получить некоторое понятие о
v	лобовом сопротивлении, не усложняя
---->	Ъ	явления. При развитии теории подъ-
емной силы было целесообразно рас-
8	сматривать такие тела, которые да-
в' вали большую подъемную силу при
относительно малом лобовом сопро-
Фиг. 56.	тивлении, так что можно было пре-
небречь последним, не изменяя основ-
ных условий задачи. Подобно этому, при исследование лобового сопроти-
вления целесообразно в первую очередь рассмотреть тела больших попереч-
ных размеров, симметричные относительно направления движения, для кото-
рых подъемная сила равна нулю при большом лобовом сопротивлении. Как
и раньше, будем рассматривать плоско-параллельный поток жидкости.
Простейшей формой такого тела является плоская пластинка, нормаль-
ная к направлению потока. В плоско-параллельном потоке она изобразится
в виде отрезка прямой линии АВ длиной Ь. Обтекание такой пластинки без-
вихревым потоком идеальной жидкости показано на фиг. 43, но этот поток
не дает лобового сопротивления и является неудовлетворительным с точки
зрения приближения его к действительному потоку, вследствие того, что
скорость жидкости становится бесконечной у кромок пластинки. Чтобы пре-
одолеть эти затруднения, Кирхгофф и Гельмгольц предложили другую
картину обтекания, изображенную на фиг. 56. При этолг принимается, что
от точек A mJ3 отходят поверхности разрыва скоростей, заключающие внутри
себя область застойной жидкости. Вследствие этого на пластинку спереди дей-
ЛОБОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ШИРОКОГО ТЕЛА
ствует большее давление, чем сзади, и при этом получается лсбовое сопро-
тивление 1

соответствующий козфициент лобового сопротивления будет
Величина этого коэфициента лобового сопротивления приблизительно в два
раза меньше найденного экспериментальным путем сопротивления плоской
пластинки, но идея отрыва жидкости от кромок пластинки согласуется с дей-
ствительностью и может быть принята как отправной пункт развития теории
лобового сопротивления.
Система вихрей Кармана.
Поверхности разрыва скоростей АА' и ВВ', начинающиеся у кромок
пластинки, являются в сущности вихревой пеленой, и их можно предста-
вить себе в виде ряда вихрей, действующих подобно роликам, перекатыва-
ющимся между областью застойной жидкости и главным потоком. Можно дока-
зать, что одиночный прямолинейный ряд равномерно распределенных вихрей
равного напряжения является неустойчивым. В состоянии равновесия все
вихри будут находиться в покое, так как составляющие индуцированной ско-
рости какого-либо вихря, вызванной двумя равно удаленными, расположен-
ными по разные стороны, вихрями, равны и противоположны. Однако если
ДУ'—
е---£---
Фиг. 57.
какой-либо вихрь получит небольшое перемещение (х, у) (фиг. 57), то компоненты
индуцированной скорости его будут
2л (па — х)а + у» ’
J у? пах
2л (па — x)s 4- У2 *
где J — удвоенное напряжение каждого вихря, а-—расстояние между двумя
соседними вихрями; суммирование распространяется на все отличные от Нуля 
целые значения п. Для небольших возмущений эти выражения можно при-
ближенно заменить следующими:
2л п2аг 6 У а3 ’
Следовательно уравнения движения для рассматриваемого одиночного
вихря будут
 де
7 _ * J
Л б <зг
Lamb, Hydrodynamics, § 76.
ВЯЗКОСТЬ И СОПРОТИВЛЕНИЕ
или, исключив у,
~-а2х = О.
Интеграл этого диференциальнэго уравнения выразится так:
Ве~\
что соответствует неустойчивому движению, так как первый член его беско-
нечно возрастает со временем, и вихрь все больше и больше удаляется от
положения равновесия.
Явление позади широкого тела более сложно, так как в этом случае
мы имеем дело с двумя вихревыми рядами. Чтобы полностью исследовать их
устойчивость, необходимо дать .малое возмущение каждому вихрю. Далеко
за телом вихри должны лежать на двух параллельных направлению движе-
ния прямых, и легко показать, что возможны только два расположения вих-
рей. Для того чтобы вихри остава-
лись на двух параллельных прямых,
индуцированная скорость любого
вихря должна быть параллельна
этим прямым. Это условие удовле-
творяется, если какой-либо вихрь В
одного ряда лежит в точности против
вихря Дх другого ряда, или проти:;
средней точки между двумя вихрями
Аг и А2 другого ряда; у каждого вихря будет тогда одна и та же индуцп
рованная скорость и, направленная, как показано на фиг. 58. Скорость и
является скоростью вихрей относительно основной массы жидкости. При ином
расположении индуцированная скорость имеет составляющую, нормальную
к вихревым рядам, благодаря чему это расположение нарушится.
Устойчивость этих двух систем была исследована Карманом и Рубахом1.
ими было доказано, что первое, парное расположение вихрей всегда неустой-
чиво, второе же, шахматное—-устойчиво, если расстояние h между рядами
вихрей и интервал а между двумя соседними вихрями каждого ряда связаны
уравнением
A3
J
‘Л
5i
%-
B2
Фиг. 58.
и
a

a
a

h~- 0,281а.
Двойной вихревой ряд этого устойчивого типа будем называть вихрями
Кармана. Удвоенное напряжение J каждого одиночного вихря будем назы-
вать напряжением системы, а расстояние h между двумя вихревыми рядами —
шириной вихрей. Расстояние а между двумя соседними одиночными вихрями
каждого ряда кратно ширине Л, и индуцированная скорость и любого вихря
находится из уравнения
7=2]/ 2аи.
Сопротивление формы.
Полностью вихри Кармана развиваются далеко за широким телом; однако
должна существовать промежуточная стадия, показанная на фиг. 59 пунктир-
ными линиями; она связывает тело с вихрями. Вихри перемещаются по
направлению потока со скоростью относительно тела V — и, вследствие чего
у обеих сторон тела должны поочередно возникать новые вихри, что согла-
1 Karman, Ueber d n Mochanismus d^s Widerstandes, den ein bewegter Kbrper in Flus-
sigkeit erfahrt. «Gottingen Nachr». i9ll. Karman u. Rubach, Uebor den Mechanlsmus des Fliissig-
k'-its- u. Luftwiderstandes, «Phys. Zeltschriftt», I9i2. Анализ дан yLamb, Hydrodynamics;§156.
вязкость
75
суегся с наблюдениями над обтеканием широкого тела. Число возникающих
в единицу времени у одной кромки тела вихрей равно
/=^,
1 а
возникновение этих вихрей и общее распределение давления в поле потока
вызывает лобовое сопротивление 1
q = ?j(V-2B)* + ?^.
Заменяя значения а и J через Лин, получим:
Фиг. 59.
Лобовое сопротивление, вызванное вихрями Кармана, отходящими от
кромок тела, будем называть сопротивлением формы в отличие от
лобового сопротивления, вызываемого тангенциальными силами и трением на
поверхности тела. Теория Кармана соответствует действительным условиям
течения; если значения и и h определены экспериментально, то получаемые
из уравнения величины дают хорошее совпадение с наблюдаемыми величи-
нами лобового сопротивления х.
Эта теория однако является неполной, и необходимо дальнейшее иссле-
дование потока в области между телом и вихревой системой для теорети-
ческого определения значений и и h.
Сопротивление формы зависит от очертания тела. В качестве первого,
грубого приближения коэфициент лобового сопротивления можно принять
равным
С = 2,83^ = 0,281 Т.
При этом приближении сопротивление прямо пропорционально напря-
жению вихрей, отходящих от кромок тела. Тело широкой формы, в особен-
ности при наличии острых кромок, как у плоской пластинки, порождает
сильные вихри и имеет большое сопротивление формы; тело «хорошей» фор-
мы, как например симметричный профиль, имеет чрезвычайно малое сопро-
тивление формы, и лобовое сопротивление его вызывается главным образом
тангенциальными силами и поверхностным трением.
2. ВЯЗКОСТЬ.
Все действительные жидкости обладают свойством внутреннего трения
или вязкости, в силу чего на поверхности раздела двух соседних элементов
жидкости могут существовать касательные усилия. Если жидкость находится
1 Кягтчп Inr с it
'^76

ВЯЗКОСТЬ И СОПРОТИВЛЕНИЕ
в покое, касательные усилия равны Нулю, в общем случае они зависят от
относительной скорости соседних элементов жидкости. Вязкость жидкости
удобно определить путем рассмотрения установившегося движения жидкости
слоями нормально к оси у. Слой жидкости между плоскостями у и (у + dy)
имеет во всех точках скорость и, зависящую только от у. Такое движение
жидкости слоями называется ламинарным движением. Относительная
скорость двух соседних слоев равна ^д/у, а касательное усилие на единицу
площади На поверхности разделаравно где р. —коэфициент вяз-
кости жидкости (фиг. 60). Такое определение вызываемого вязкостью касатель-
ного усилия основано на том взгляде,
что сила трения зависит от относи-
тельной скорости соседних элементов
жидкости и оправдывается точностью
результатов, вытекающих из этою
предположения. Если два парал-
лельных слоя жидкости движутся с
различными скоростями в одном
направлении, то поверхность раздела
является вихревой пеленой. Эле-
ментарные вихри этой пелены пере-
катываются, как ролики, между эти-
ми двумя слоями жидкости. Каса-
тельные усилия На поверхности раз-
дела тесно связаны с этой вихревой
преодоление касательных усилий, идей-
> u+~d
х
Фиг. 60.
пеленой работа, затрачиваемая на
тична с энергией, рассеиваемой вихрями.
Чтобы дополнить определение вязкости жидкости, необходимо рассмо-
треть условия у твердой границы. Движение жидкости вдоль поверхности
тела вызывает конечную тангенциальную силу на этой поверхности, откуда
следует, что слой жидкости, непосредственно соприкасающийся с поверх-
ностью, должен быть в покое относительно ее, так как при несоблюдении
этого (условия^ и тангенциальйаяТсила на поверхности стремятся к бес-
конечности, если коэфициент трейия между твердым телом и жидкостью не
является бесконечно малым по сравнению с коэфициентом трения между

*у dx
С* и
?УГ'
oU .
Э«/
Фиг.
61
у твердой границы подтверждается
двумя слоями жидкости. Прилипание
экспериментом, а также точностью результатов, вытекающих из этого пред-
положения.
Сила трения На единицу площади на поверхности раздела двух слоев
жидкости при ламинарном движении была определена как |л Следова-
вязкость
77
тельно сила, действующая на элемент жидкости с толщиной dy и площадью S,
перпендикулярной к оси у, будет
/ди . д*и „ ди с д*и
+ ду* ^У) $ ~ Р ду S ~ Р ду* 5аУ>
или pt. ^на единицу объема^фиг. 61). Принято обычно относить силу к единице
массы; в этом случае для рассматриваемого ламинарного потока получим
ц d*uf д*и
Л£= -	VA“, 2,
 р ду*' ду*
где v — козфициент вязкости, деленный на плотность жидкости; v назы-
вается кинематическим коэфициентом вязкости.
Ламинарный поток между плоскими стенками.
Мы можем теперь изучить ламинарный поток между двумя параллель-
ными плоскими стенками, который аналогичен плоско-параллельному потоку
в канале между двумя параллельными прямыми АВ и А'В' (фиг. 62). Уравнение
движения жидкости имеет в этом случае следующий вид:
д*и__dp
И ду* dx'
что означает, что сила вязкости, действующая на частицу жидкости, должна
уравновешиваться разностью давлений. Скорость и является функцией от
координаты у, а давление р— функцией от х.
Интегрируя уравнение движения, получим
и = а • - by + }	у2;
7 ‘ 2ц dx z ’
взяв начало координат посредине между обеими пограничными стенками,
расстояние между которыми равно 2й, получим]
« = —Ля-(Л2 —V2).
2ц dx '	- 7
Давление падает равномерно вдоль потока, а скорость меняется по па-
раболе поперек канала. Среднюю скорость потока V определим из уравнения
*
,. I г	h* dp
V I tidy = —	,
2h J	z За rfxf
откуда
„= 3
2 у v ftV
Силу трения Q на длине I и ширине Ь обеих стенок канала можем
найти по градиенту давления:
78
ВЯЗКОСТЬ^И СОПРОТИВЛЕНИЕ
е = 2Л*(-/^=3[лУ^,
где S — смоченная поверхность, равная 2bh. С другой стороны, можно силу
трения найти непосредственно по тангенциальной силе на поверхности:

индекс (0) показывает,*что величину
нию внутрь жидкости.*Так как
ди
ду
нужно брать у стенки по направле-
на	3Vy
ду~	к- ’
то
/duA =3V
\дуА “ Л ’
Отсюда получим -то же значение для силы трения, что и по градиенту
давления.
Числовые значения вязкости.
Из рассмотрения уравнений для силы вязкости, действующей на ча-
стицу жидкости, найдем размерность обоих коэфицнентов вязкости:
[g] = ML:' Т~' ,
[v] = /? У1.
Кинематически коэфициент вязкости v имеет размерность длины, умно-
женной на скорость. В следующих таблицах даны величины о. и v в системе
C.G.S. и в технической системе.
Коэфициент вязкости о. какого-либо газа не зависит от давления и
растет с температурой несколько медленнее, чем абсолютная температура.
Таблица 5.
Величины ц для воздуха
Температура в ° С	г см”1 сек 1	кг .«-г сек
О	1,71 . Ю"4	1,74 . Ю-*
15	1,81 . 10~4	1,84.10
100	2.21 . 10"4	2,25 . КГ6
Если плотность р известна, то легко найти, пользуясь этой таблицей,
величину кинематического коэфициснта вязкости v, так как v = ~. Вели-
чины v для воздуха при давлении 760 мм ртутного столба даиы в табл. 6;
при данной температуре величина v обратно пропорциональна давлению.
Таблица 6.
Величины у для воздуха при нормальном давлении.
Температура в ° С	сек—1
0	0,133
15	0,148
100	0,234
1 Кяуе a. Laby, Physical and Chemical Consents.
вязкость
79
Наконец в табл. 7 даны величины кинематического коэфициеита
вязкости v воды для сравнения с соответствующими величинами для воздуха.
Таблица 7.
Величины -> для воды.
Температура | см2
еек~~1 j
О	0,0179
5	0,0152
Ю	0,0131
15	0.0II5
20	0,0l0l
25	0,0090
Число Рейнольдса.
В идеальной жидкости силу, действующую на тело, мы выражали в виде
Р Ср W,
где р—плотность жидкости, V — скорость тела относительно жидкости, I—
некоторая длина, характеризующая размеры тела. Коэфициент С безразме-
рен и зависит только от формы и положения тела. Это выражение является
единственным возможным сочетанием трех основных параметров р, V и Z,
которое дает размерность силы; поэтому им можно пользоваться безотноси-
тельно к картине потока около тела.
В случае вязкой жидкости появляется дополнительный параметр — ки-
нематический коэфициент вязкости у, который имеет размерность длины,
умн оже нн о й на с к о р с ст ь. Л:ы можем теперь составить безразмерную функцию
общее выражение для силы, действующей на тело, примет вид'
. p = C'?v*Pf(lY-\*
Это общее выражение для силы: сохраняет правильную размер-
ность при любом виде функции /. В идеальной жидкости вязкость равна
нулю, и эта функция принимает значение
/(")=>•
В частном случае ламинарного потока, рассмотренного выше, сила со-
противления пропорциональна u.Vl, а следовательно функция / имеет сле-
дующий вид:
Обычно сохраняют первоначальное выражение для силы
_	P=CpV2l2
и рассматривают безразмерный коэфициент С как функцию безразмерного
параметра 7 = /?, называемого рейнольдсовым чис л ом.[Если были опре-
делены силы для подобных тел разных размеров, например для самолета и
для его модели в аэродинамической трубе, то соответствующие значения
коэфициеита С не будут равны, если опыты были проведены при разных
рейнольдсовых числах. Последнего однако обычно не удается достичь, так
как величина v в обоих случаях одинакова, в то время как и I и V меньше
в аэродинамической трубе, чем при свободном полете самолета. Необходимо
80
ВЯЗКОСТЬ И СОПРОТИВЛЕНИЕ
поэтому исследовать зависимость коэфициента С от рейнольдсова числа и
установить, если это возможно, удобный метод перехода от модели к на-
туре. Изменение коэфициента С в зависимости от рейнольдсова числа часто
называют «масштабным эффектом» («scale effect»).
На фиг. 63 изображена зависимость коэфициента сопротивления длин-
ного кругового цилиндра от рейнольдсова числа. Козфициент сопротивления
определялся из уравнения
Q - cx?sv\
где S — площадь, перпендикулярная к потоку, т. е. произведение длины
цилиндра на его диаметр, а за рейнольдсово число было принято
где d— диаметр цилиндра. Из этого примера видно, что при возрастании
рейнольдсова числа встречаются внезапные и значительные изменения вели-
чины коэфициента сопротивления тела. С другой стороны, такие изменения
этой величины не являются общими; для многих типов тел, в частнсстид’я
профилей, величина коэфициента сопротивления очень быстро стремится к
некоторому предельному значению. Изменение коэфициента сопротивления
с возрастанием рейнольдсова числа связано с изменением строения потока;
внезапное изменение коэфициента сопротивления заставляет предполагать о
внезапном изменении строения потока около тела.
Движение жидкости в круглых трубах.
Другой пример значения рейнольдсова числа представляет поток вдоль
прямой круглой трубы с постоянным поперечным сечением. Пусть г — ради-
альное расстояние цилиндрического слоя жидкости от оси трубы, а х— коор-
дината, измеряемая вдоль оси; тогда уравнение движения для ламинарного
потока будет
£	= 2яг^,
dr \	“ dr J	dx’
ИЛИ
d / du' _ r dp
dr V dr J	и. dx'
вязкость
81
Проинтегрировав это уравнение и введя пограничные условия прили-
пания, найдем скорость
п-(я2 —г2),
dx '	'
где а — радиус трубы. Средняя скорость потока V будет:
«
следовательно
Наконец сопротивление На длине I трубы будет
гае S — смоченная поверхность, равная 2ъа.1.
Градиент давления вдоль трубы при ламинарном потоке равен
dp____________________—8fiV _____n / v \ pV2,
dx a3 “ VaV) ° ’
уравнением пользуются для определения коэфициента вязкости жидко-
Наблюдая понижение давления вдоль трубы. Из опыта Найдено, что
рейнольдсово число меньше критической величины 1160, в трубе всегда
ЭТИМ
сти,
пока
устанавливается ламинарный поток; однако можно получить ламинарный
ноток при значительно больших значениях рейнольдсова числа, если при-
нять соответствующие меры для избежания турбулентности жидкости при
входе в трубу.
При больших значениях рейнольдсовых чисел поток становится турбу-
лентным; градиент давления можно найти по следующей эмпирической фор-
муле, полученной из большого числа опытов1 2:
d.p = — 0,066f— •
dx ’ J a
*2 Сила трения у поверхности при турбулентном потоке пропорциональна
J V175, в противоположность ламинарному потоку, при котором она пропорцио-
* нальна V.
> Этот эмпирический закон для турбулентного потока в круглой трубе
^был использован Карманом2 для вывода закона изменения скорости в за-
^.висим^стц от расстояния от стенки трубы. Вообще говоря, формула для
'един{йГсилы трения т На поверхности, т. е. силы на единицу площади поверх-
ности, должна иметь следующий вид:
т = рГ2/(Я),
где R- рейнольдсово число потока формула для скорости на расстоянии
У = ат) от стенки трубы должна быть следующего вида:
а = VF(rh R).
Вблизи стенки скорость и может быть выражена в функции р, у, у и т
независимо от а и V. Приняв во внимание размерность этих параметров,
получим следующий вид формулы для скорости:

и =
1 Blasius, ZMtschrift fur Math. u. Phys., 1908,
2 Ueb-r laminare und turbulente R ibung. ZAMM, 1921. Болзе общий разбор см.
также: Prandtl, Bericht uber Untersuchungen zur ausgbildeten Turbulenz, ZAAfAf, 1925.
82
ВЯЗКОСТЬ И СОПРОТИВЛЕНИЕ
Наконец, приравняв оба выражения для скорости и друг другу и исключив
силу т, получим уравнение, связывающее параметры R и rt:
RY
Чтобы получить решение этого общего уравнения, Карман сделал до-
пущение, что ^распределение скорости по поперечному сечению трубы не за-
висит от ^еинольдсова. числа R в области, для которой имеет силу эмпири-
5 еский закон Блазиуса.
Тогда
Ф	ft)-
Вблизи стенки достаточно при разложении в ряд функций Ф и F сохранить
только низшую степень tj; тогда
+ = const ^Ryf
или	х }	2п
.	>	1 -г п
/ = const R
Но по эмпирическому закону
/ =-- const /?-*,
поэтому окончательно получим
к
п ~ 2 — к '
Скорость вблизи стенки меняется как у*, а величина п меняется в
зависимости от эмпирической величины- к следующим образом:
При ламинарном потоке к= 1, и скорость меняется линейно с измене-
нием расстояния от стенки. При турбулентном потоке Блазиус считает
к~-^, и скорость меняется как корень седьмой степени из расстояния от
стенки. Если величина к при больших рейнольдсовых числах |"еще больше
уменьшается, то скорость возрастает еще быстрее вблизи стенки, и в пре-
деле, когда усилие на поверхности т пропорционально просто рУ2 (& = 0),
скорость постоянна по всему сечению трубы.
Закон изменения скорости в зависимости от расстояния от стенки те-
ряет силу в непосредственной близости от стенки, так как он дает беско-
нечное значение д,и вместо истинного конечного значения -. Это несоот-
ду	pv
ветствие объясняется тем, что слой жидкости, непосредственно примыкающий
к стенке, находится всегда в ламинарном движении, и эмпирический закон
для турбулентного потока можно применять только до внешней границы
этого ламинарного слоя.Таким образом кривую и = const нужно проводить
только до точки, для которой , а от нее продолжением кривой до на-
чальной точки служит касательная к кривой.
3. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ.
До сих пор мы рассматривали простой ламинарный поток вязкой жид-
кости. Чтобы разобрать более общие типы движения, необходимо найти урав-
нения движения вязкой жидкости. В плоско-параллельном потоке скорость
жидкости в какой-либо точке определялась при помощи составляющих ско-
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
83
рости а и v, параллельных ортогональным осям; эти составляющие скорости
должны удовлетворять уравнению неразрывности (гл, V, 1):
+?i = o
дх 'ду
Доставляющие скорости и и р определяют скорость элемента жидкости
в точке (х/ у)* нофле Небольшог^промежутка времени dt элемент жидкости
будет находиться в точке (x^-udt, y-rvdt), а составляющие скорости этого
элемента жидкости будут соответственно
v 4~	4~ udt 4~ -s~ vdt.
oi ox oy
В идеальной жидкости единственной силой, действующей на элемент
жидкости, является давление на границах элемента, составляющие которого
на единицу объема равны др др
дх И ду ’
следовательно уравнения движения элемента жидкости будут:
ди .да да 1 др
dF + udx+vdy=-f<ix-’
dv +ud2 + ),^ = —l^P.
dt ' dx ' 'ey Q ду
В вязкой жидкости на границах элемента действуют также тангенциаль-
ные силы, зависящие от его движения относительно соседних элементов жид-
кости. Вследствие этого в правой части уравнений движения появляются
дополнительные члены vy2y и, соответственно, v\72v. Вывод этих выражений
из основных законов можно найти в учебниках гидродинамики *. В даль-
нейшем изложении мы имеем в виду указать только на физический смысл
этих выражений.
Пусть и—составляющая скорости, параллельная оси х, в точке (х, у);
тогда соответствующая составляющая скорости в соседней точке (x4-t,
У 4- б) бУДет
“ + (^“ +	+ 2 0
если пренебречь степенями £ и 7] выше второй. Среднее значение этой со-г
ставляющей скорости для четырех точек (х + £> будет
и — и 4-	4" То)'
' 2 \ ъ ду? ' 1 дуъ J
Для точек кругового кольца, охватывающего точку (х, у), средние зна-
чения и т)3 равны; отсюда следует, что
—,	, [д^и , д*и\ , „
и' — и — const тт 4- Г» “ Const V2 и-
\дх* 1 ду2)	v
В случае ламинарного потока, рассмотренного в гл. VIII, 2,при опреде-
лении силы вязкости между соседними элементами жидкости, составляющая
скорости и была функцией только у, а сила на единицу массы жидкости
была	v д*и
Х~ vdys '
Эта сила зависит от относительного движения соседних элементов жид-
кости; поэтому в общем случае можно предполагать, что сила вязкости на
единицу массы жидкости будет
Х= v v2п;
соответствующее выражение получим для составляк^ей, параллельной оси у,
1 Например Lamb, Hydrodynamics, гл. XI.
84	вязкость И СОПРОТИВЛЕНИИ
Полные уравнения движения вязкой жидкости в плоско-параллельиом
потоке будут:
да	. ди	. ди	1 др ,	„
,14 -и ,. 4-г--=— зг + vr2 и,
dt дх ду	Qdx '	v	— _
dv ,	dv ,	dv	1 dp ,	. i	I ~	, jO\j \
.. 4- ил^ 4- v it- = — Ja.4- v V v; (x - T 4^’ v f
dt '	dx 1	dy	Q rijre1	v 1	f Tl 4	/
du *dv	*
в случае установившегося движения ~ и равны нулю. Решение этих урав-
нений для потока около тела, у поверхности которого должны удовлетво-
ряться пограничные условия прилипания (tz = v = O). представляет непреодо-
лимые трудности, за исключением отдельных частных случаев. Необходимо
поэтому найти какой-либо приближенный метод. Понятие об идеальной жид-
кости основано на том, что вязкость жидкости мала и что членами, содер-
жащими v, можно пренебречь по сравнению с динамическими членами, со-
держащими квадрат скорссти. В другом предельном случае мсжно рассма-
тривать медленное установившееся движение вязкой жидкости, при котором
можно пренебречь динамическими членами по сравнению с членами вязкости,
содержащими v. В этом случае левая часть уравнений движения исчезает и,
исключив давление и выразив скорость через функцию тока ф, получим
единственное уравнение:
^М- + -У-4-^м.
v т	ду2J \дх2 ду'1}^
Этим путем были получены решения Некоторых задач, но они прило-
жимы только к очень малым скоростям движения. В сбщем случае необхо-
димо приближение, которое заключало бы как динамические члены, так и
члены, зависящие от вязкости, но приводило бы уравнения к более простой
форме.
4. ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ.
Приближенное решение общих уравнений движения вязкой жидкости,
данное Прандтлем \ основано на том, что вязкость жидкости мала и что
она оказывает заметное действие только там, где скорость быстро меняется
от точки к точке. Быстрые изменения скорости встречаются только в непо-
средственной близости к поверхности тела, где скорость возрастает от нуля
на поверхности тела до своего значения в главном потоке. В соответствии с
этим ПраНдтль считает, что действие вязкости существенно только в узком
пограничном слое, охватывающем поверхность тела, и что в свободной жид-
кости вне этого слоя вязкостью можно пренебречь. В пограничном слое ско-
рость жидкости быстро возрастает от нуля до своего значения в главном
потоке, и как бы Ни была мала вязкость, сила вязкости в этом слое имеет
существенное значение.
Применим теперь к пограничному слою общие уравнения движения.
Координату х будем измерять вдоль плоской поверхности; величины х, и и р
конечны, тогда как у и v малы, с порядком малости е. В первом уравнении
д3и	д2и
движения мало по сравнению с , и уравнение принимает вид:
ди . ди . ди I др , д*и
+	-----р-^ + Ч’’
причем последний член — порядка ~а. Если v мало сравнительно с е2, послед-
ний член пропадает, и уравнение переходит в уравнение движения идеаль-
ной жидкости. Если ^велико сравнительно с г2, динамическими членами,
1 Verhandl. d. Пт intern, math. Kongress (Heidelberg, 1904).
ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ	85
содержащими квадрат сксрости, можно пренебречь; уравнение будет соот-
ветствовать очень медленному движению. В общем случае у того же порядка,
что н е2; ординаты пограничного елся тогда пропорциональны |/v.
Второе уравнение движения приводит к следующему простому резуль-
тату:
0 = -'^-
е ду
так как остальные члены малы сравнительно с этим, членом. Это уравнение
показывает, что давление без изменения передается нормально к погранич-
ному слою, следовательно давление в пограничном слое является функцией
только координаты х.
Уравнения потока в пограничном слое суть:
д_а + ида +	= — 1 др- + у^~ ,
ot ' дх ' ду удх' д2у
дх ду
Эти уравнения нами получены для потока вдоль плоской поверхности,
но в той же форме их можно получить и для более общего случая искрив-
ленной поверхности, если измерять координату х вдоль поверхности, а коор-
динату у нормально к ней.
Сопротивление плоской пластинки.
Теория пограничного слоя была применена Блазиусом 1 для опре-
деления ламинарного потока вдоль плоской пластинки и сопротивления тре-
ния. Измеряя координату х вдоль пластинки от передней кромки (фиг. 64), полу-
чим, что толщина пограничного слоя пропорциональна ; сопротивление тре-
ния на единицу ширины на обеих сторонах пластинки длиною с равно
Q = l,327jf~c?V2.
Сопротивление пропорционально следовательно V1’*. Козфициент сопроти-
вления плоской пластинки, рассматриваем^ как профиль, будет
С = 1 3271^ v
Саб У eV	Л
Толщина пограничного слоя не может быть точно определена, так как
скорость и в пограничном слое ассимптотически приближается к скорости V
в главном потоке. Если однако наружную поверхность пограничного слоя
1 Grenzschichten in Fliissigkeiten’’ mit ' kieiner PRoibung, Zeitschriftt f. Mathemat. u.
Phys., 1908.
86	ВЯЗКОСТЬ И СОПРОТИВЛЕНИЕ
определять при помощи условия, что и возрастает до величины, отличаю-
щейся от V на какой-либо произвольный малый процент, то можно принять
толщину пограничного слоя равной
г=4,5/«.
Значение eV = 10е • v является границей между областью модели и областью
действительных величин для крыла; при этом значении наибольшая толщина
пограничного слоя равна 0,0045 с.
Решение Блазиуса соответствует ламинарному потоку вдоль пластинки
и представляет собой действительный поток лишь при малых рейнольдсовых
числах. Карман 1 получил решение для турбулентного потока вдоль плоской
пластинки, анализируя эмпирический закон Блазиуса для турбулентного по-
тока в трубе; он получил ко.фициеит сопротивления:
C. = 0,072(cV; •
Следовательио”сопротивление пропорционально V1,s, а толщина пограничного
слоя пропорциональна х°’8. Сравнивая формулу Кармана с экспериментальной
формулой 2
Сх = 0,0375 (с;) ,
видим, что для области' эксперимента (7? = 3 * 105 до 7 106) числовые ве-
личины, подсчитанные по формуле Кармана, дают хорошее совпадение с
экспериментальными данными.
Таблица 8.
Коэфициент сопротивления трсНия плоской пластинки.
R	3- 10*	10е	7 • 10е
Экспериментальные данные	 По К рм ну	 По Блазиусу		0,0057 0,0058 0,00 4	0,0047 0,0045 0,0013	0,0035 0,0031 0,0005
Для сравнения в таблице приведены числовые величины, полученные
по формуле Блазиуса; они показывают, что переход от ламинарного к тур-
булентному потоку вызывает возрастание сопротивления.
При помощи теории пограничного слоя можно также объяснить явление
срыва потока с поверхности тела и образование вихрей Кармана. В идеаль-
ной жидкости протекающие над и под телом потоки снова соединяются по-
зади тела, образуя иа его поверхности критическую точку S (фиг. 65). От А до S
скорость жидкости уменьшается, а давление возрастает; частицы жидкости,
двигаясь вдоль поверхности против возрастающего давления, теряют свою
кинетическую энергию. Если в пограничном слое, примыкающем к поверх-
ности, действуют также силы вязкости, то частицы жидкости быстрее теряют
свою зНергию и, Не дойдя до точки S, придут в состояние покоя; появляется
обратный поток от S к А, как показано иа фиг. 66. То же явление будет
и на иижней поверхности тела. Таким образом появляются две поверхности
1 Ueber laminare und turbul nte Reibung, ZAMM, 1921.
a Erp. bmsse der apmdvn^mischpn Vprcnrhanctalt 711 fl rttimroti I 1921.
ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
87
разрыва, как это было принято в теории Гельмгольца-Кирхгоффа. Эти по-
верхности разрыва неустойчивы и ведут к образованию вихрей Кармана по-
зади тела.
Условия срыва потока с поверхности зависят от повышения давления
вдоль нее. Для заданного распределения давления вдоль поверхности можно
при помощи уравнений пограничного слоя найти точку, в которой происходит
срыв потока. Однако принимать распределение давления, полученное для
идеальной жидкости, не является достаточно точным; но если даже опреде-
лены точки, от которых начинаются поверхности разрыва, необходимо даль-
нейшее развитие теории для определения напряжения и ширины образовав-
шихся вихревых систем. Проблема сопротивления формы ждет поэтому своего
решения, несмотря на то, что теория дает представление об образовании
поверхностей разрыва и природе вихрей Кармана.
ГЛАВА IX.
ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ КРЫЛЬЕВ.
Теория подъемной силы профиля в плоско-параллельйом потоке была
развита путем рассмотрения потока идеальной жидкости, удовлетворяющего
гипотезе Жуковского, согласно которой поток плавно сходит с задней кром-
ки профиля. Необходимо исследовать основные положения этой теории и
выяснить предел, до которого принятый поток может служить изображением
действительных соотношений, встречаемых в вязкой жидкости.
Все реальные жидкости обладают свойством вязкости; понятие об иде-
альной жидкости должно быть таково, что она представляет предельный
случай жидкости, вязкость которой стала бесконечно малой.
Как известно, предел функции /(х) при х, стремящемся к нулю, может
быть не равен значению функции при х, равном нулю; следовательно, чтобы
получить правильное понятие об идеальной жидкости, недостаточно просто
предположить, что коэфициент вязкости равен нулю. Необходимо сохранить
вязкость в уравнениях движения, а поток идеальной жидкости получить,
полагая вязкость бесконечно малой.
1.	СКОЛЬЖЕНИЕ НА ПОГРАНИЧНОЙ ПОВЕРХНОСТИ.
Прежде всего рассмотрим движение жидкости у поверхности тела. В
вязкой жидкости относительная скорость у поверхности тела равна нулю;
тело окружено узким пограничным слоем, в котором скорость быстро возра-
стает от нуля до некоторой конечной величины. Толщина этого пограничного
слоя, являющегося по существу завихренной областью, пропорциональна
у4v и стремится вместе с вязкостью к нулю. Таким образом в пределе погра-
ничный слой переходит в вихревую пелену,
охватывающую поверхность тела, а вихри
Р "	этой пелены перекатываются, как ролики
I	-----между поверхностью тела и всей жидко-
К -	стью. Предположение об идеальной жидко-
сти с вихревой пеленой, охватывающей по-
верхность тела, представляет предельный
фяг- б7-	случай вязкой жидкости, когда вязкость
Стремится к нулю; существование вихревой
пелены показывает, что при решении задачи для идеальной жидкости нет
необходимости удовлетворять условию прилипания у границы. Пусть V—ско-
рость у поверхности в идеальной жидкости, тогда напряжение вихревой пе-
лены на единицу длины будет . Если принять, что вихревая пелена охва-
тывает поверхность тела, то условие прилипания у границы удовлетворяется,
но скорость в бесконечно тонкой вихревой пелене возрастает от нуля до ве-
ГИПОТЕЗА ЖУКОВСКОГО
89
личины V; условия вне пограничного слоя в точности те же, какие были бы,
если бы не существовало вихревой пелены и мы отказались бы от условия
прилипания у границы. Удвоенная сумма напряжений вихрей, образующих
вихревую пелену, равна величине циркуляции вокруг тела, получаемой при
решении для идеальной жидкости.
Пограничный слой передает давление нормально к самому себе без из-
менения; следовательно действительное распределение давления на поверхно-
сти тела будет такое же, какое получается из решения для идеальной жид-
кости при помощи уравнения Бернулли.
При переходе к пределу, когда вязкость равна нулю, необходимо сохра-
нять действительную картину потока в вязкой жидкости. Так в случае кру-
гового цилиндра поток отрывается от поверхности в виде двух вихревых
пелен, переходящих в вихревые системы Кармана; эту картину потока сле-
дует сохранить и в предельном случае. Картина потока, рассмотренная в гл. Ill,
когда поток плавно течет до задней стороны цилиндра, очевидно неприме-
нима и не может служить даже приближенным изображением действитель-
ного потока, за исключением разве передней стороны цилиндра (фиг. 14).
Точка на цилиндре, в которой поток отрывается от поверхности, и характер
образующихся вихрей зависят от величины вязкости; однако легко видеть,
что эта характеристика потока не может исчезнуть, когда вязкость стремится
к нулю. Пусть поверхность тела (фиг. 67) окружена вихревой пеленой; эле-
у
мент вихря в Р имеет скорость вдоль поверхности (гл. IV, 3). Частицы
жидкости в вихревом движении беспрерывно передвигаются спереди назад
вдоль поверхности тела. Эти завихренные частицы должны окончательно
оставить тело и текут в потоке в виде спутной струи, которая является вих-
ревой системой Кармана. Ширина и напряжение этих вихрей зависят от
очертания тела, но во всех случаях необходимо предполагать существование
вихрей такого типа.
2.	ГИПОТЕЗА ЖУКОВСКОГО.
Потоку идеальной жидкости вокруг профиля можно приписать произ-
вольную циркуляцию вокруг него, но при развитии теории циркуляция во-
круг профиля с острой задней кромкой была определена при помощи гипо-
тезы Жуковского, согласно которой поток плавно сходит с задней кромки.
При всяком другом значении циркуляции скорость жидкости у задней кромки
становится бесконечно большой, и нельзя пренебрегать силой вязкости в этой
точке, даже когда вязкость становится бесконечно малой, так как какое бы
мы ни выбрали малое значение v, всегда можно найти область вблизи зад-
„	,	дУ
пей кромки профиля, в -«которой произведение v на градиент скорости —
будет велико. Отсюда следует, что единственным решением для идеальной
жидкости, которое можно рассматривать как предел истинного решения для
вязкой жидкости, является то, при котором избегается бесконечная скорость
у задней кромки; это решение определяется гипотезой Жуковского.
Условие, что скорость жидкости должна быть конечной во всех точках,
можно применять как критерий законности решения задачи для идеальной
жидкости. Так поток вокруг пластинки, показанный на фиг. 43, очевидно
невозможен как предел решения для действительной вязкой жидкости, когда
вязкость стремится к нулю; действительное движение должно быть такого
вида, при котором поток отрывается от поверхности у концов пластинки
(фиг. 56).
Величина циркуляции вокруг профиля, определяемая при помощи гипо-
тезы Жуковского, не является достаточно точной, так как гипотеза прене-
90	ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ КРЫЛЬЕВ
брегает влиянием кармановских вихрей, образующихся позади профиля.
Жидкость на нижней поверхности профиля, вдоль которой давление по на-
правлению к задней кромке падает, беспрерывно движется к задней кромке
и плавно сходит с нее; жидкость на верхней поверхности, вдоль которой
давление по направлению к задней кромке возрастает, отрывается от поверх-
ности, не доходя до задней кромки и образуя верхнюю границу вихревой об-
ласти. Вследствие этого истинная, циркуляция будет несколько меньше опре-
деляемой по гипотезе Жуковского Однако оказывается, что профили хоро-
шей формы имеют при малых углах атаки чрезвычайно малое сопротивление
формы (см. выше) и что вихревая область слишком слаба и узка, чтобы ока-
зывать заметное влияние на циркуляцию. При больших углах атаки влия-
ние вихревой области значительнее, так как поток ранее отрывается от верх-
ней поверхности профиля. В этом случае гипотеза Жуковского полностью
теряет свою силу. Подъемная сила перестает возрастать с увеличением угла
атаки, и профиль достигает критического угла. В этой области теория кры-
ла, изложенная в гл. VII, более не применима; профиль следует рассматри-
вать как широкое тело, и более характерной чертой потока становится вих-
ревая область, а не циркуляция.
В обычном рабочем участке профиля можно при помощи гипотезы Жу-
ковского с большой точностью определить величину циркуляции; опа не за-
висит от точного значения вязкости, которую только следует принимать
весьма малой. Поэтому в этой области не приходится ожидать заметного
влияния масштабного эффекта на подъемную силу профиля. Но при прибли-
жении к критическому углу поток обрывается от верхней поверхности про-
филя, образуя широкую вихревую область; в этом случае может быть замет-
ное влияние масштабного эффекта, так как характер вихревой области зави-
сит от рейнольдсова числа.
3.	ВОЗНИКНОВЕНИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ.
Процесс возникновения циркуляции вокруг профиля, когда профиль
начинает двигаться, представляет некоторые теоретические затруднения, так
(»)	(6)
Фиг. 68.
как этот процесс невозможен в идеальной жидкости; необходимо поэтому
снова рассмотреть предельный случай, когда вязкость стремится к нулю.
При очень малых скоростях, когда профиль выходит из покоя, поток
вблизи задней кромки будет иметь вид, показанный на фиг. 68,а, с крити-
ческой точкой на верхней поверхности на некотором небольшом расстоянии
от задней кромки. Когда скорость профиля возрастает, линии тока вдоль
нижней поверхности не в состоянии более обтекать заднюю кромку профиля
из-за больших сил вязкости, возникших благодаря высокому градиенту ско-
рости; поток отрывается от задней кромки и образует между задней кром-
кой и прежней критической точкой S вихрь, как показано на фиг. 68,Ь.
Достигнув определенной величины, этот вихрь отрывается от профиля и ухо-
дит с потоком. Циркуляция по некоторому большому контуру ABCD (фиг. 69),
охватывавшем первоначально профиль, была и должна оставаться равной
СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРОФИЛЯ	91
нулю, но так как этот контур включает в себя вихрь Е, то вокруг профиля
должна быть циркуляция J, в точности равная и противоположная по напра-
влению циркуляции вихря Е, С течением времени вихрь Е уходит далеко по
направлению потока, не оказывая больше влияния на поток вокруг про-
филя; профиль находится тогда в установившемся потоке с циркуляцией
вокруг него.
Существование вихря Е в первой стадии движения может быть подтвер-
ждено экспериментально очень простым способом: погрузить в воду плоскую
пластинку и двигать ее толчками в направлении, составляющем небольшой
в
D
Фиг. 69.
угол с ее поверхностью. Если движение будет происходить постепенно, а
не толчками, целый ряд вихрей будет сходить с задней кромки профиля, но
предыдущее положение остается правильным, и окончательная циркуляция
вокруг профиля будет равна по величине удвоенной сумме напряжений вих-
рей, сошедших с профиля.
Вообще говоря, величина циркуляции вокруг профиля определяется
напряжением вихрей, сошедших в начальной стадии движения или в течение
времени, когда изменялись скорость или положение, но кроме того вели-
чина циркуляции подвергается небольшим колебаниям. Вихри пограничного
слоя уходят назад в завихренную область и образуют вихри Кармана; чтобы
сохранить эту систему, с верхней и нижней поверхностей крыла сходят по-
очередно вихри противоположных знаков. Вследствие того, что сумма цир-
куляции вокруг профиля и удвоенных напряжений всех вихрей системы
Должна равняться нулю, циркуляция вокруг профиля будет колебаться между
пределами J + fc, где J — средняя циркуляция, а к — напряжение вихрей.
У хороших профилей вихревая область при малых углах атаки мала и слаба
и циркуляция вокруг профиля практически постоянна, но когда положение
профиля приближается к критическому углу или переходит его, колебания
в величине циркуляции могут составить значительную часть от Средней цир-
куляции.
4.	СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРОФИЛЯ.
При развитии теории подъемной силы профиля мы полностью прене-
брегли сопротивлением. Этот метод оправдывался исключительно тем, что
сопротивление составляет настолько малую долю подъемной силы, что изме-
нения в потоке, необходимые для объяснения сопротивления, не оказывают
заметного влияния на характеристики потока, определяющие подъемную силу.
Очевидно, что этот метод ие пригоден вблизи критического угла, когда со-
противление быстро возрастает благодаря сильному развитию вихревой об-
ласти, а также вблизи малых углов, когда подъемная сила и лобовое сопро-
тивление величины одного порядка. Так как сопротивление зависит от вяз-
кости жидкости и меняется с рейнольдсовым числом, то можно предполагать,
что влияние масштабного эффекта на подъемную силу сказывается как на
иалых углах, так и вблизи п-питииргы-ллп хггтто
92	ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ КРЫЛЬЕВ
Сопротивление профиля в плоско-параллельиом потоке называется про-
фильным сопротивлением, так как оно в значительней Степени за-
висит от очертания профиля. Профильное сопротивление состоит из двух
частей: сопротивления формы, связанного с вихрями Кармана позади про-
филя, и сопротивления треиия на поверхности крыла. Измеряя распреде-
ление давления иа поверхности крыла, можно определить подъемную силу и
сопротивление формы, ио этим способом нельзя определить сопротивления
трения.
Коэфициент профильного сопротивления хорошей дужки чрезвычайно
мал. В нижеследующей таблице приведены значения минимальных коэфи-
циентов профильного сопротивления некоторых дужек при рейиольдсовом
числе R = 2,5 •105, при котором коэфициент сопротивления трения плоской
пластинки равен 0,0058. В случае тонкой симметричной дужки геттинген-
ской лабораториии № 443, коэфициент профильного сопротивления равен
0,0028 при R — 4  105; Это значение равно только половине козфициента со-
противления трения плоской пластинки при том же значении рейнольдсова
числа.
Таблица 9.
Минимальные к оэф и ц ие и г ы
профильного сопротивления.
RAF 15
RAF 25
RAF 30
0,0058
0,0040
0,0056
Эти экспериментальные величины оправдывают предположение, сделан-
ное при развитии теории профиля, что в диапазоне летных углов атаки ло-
бовым сопротивлением, по сравнению с подъемной силой, можно пренебречь.
Оказывается также, что профильное сопротивление дужки может быть меньше
сопротивления трения плоской пластинки с равней хордой. Сопротивление
формы профиля должно быть следовательно чрезвычайно мало; существова-
нием вихревой области можно поэтому спокойно пренебречь и определять
величину циркуляции при помощи гипотезы Жуковского.
ГЛАВА X.
КРЫЛО В ТРЕХРАЗМЕРНОМ ПОТОКЕ.
1.	ЦИРКУЛЯЦИЯ И ВИХРИ.
Определение циркуляции вдоль замкнутой кривой в плоско-параллель-
ном потоке (гл. IV, 1) как интеграла тангенциальных составляющих ско-
рости вдоль кривой может быть сразу распространено и на более общий
случай трехразмерного потока, б з того ограничения, что кривая должна
лежать в одной плоскости. Разбив поверхность, ограниченную этой кривой,
иа сеть, при помощи серии пересекающихся линий, можно показать, что цир-
куляция вдоль кривой равна сумме циркуляций вокруг элементарных пло-
щадок, образующих эту сеть.
Вихрь элемента жидкости в плоско-параллельном потоке был определен
(гл. IV, 3) как угловая скорость элемента. Это определение сохраняется
и в более общем случае трехразмерного потока, но ось вращения элемента
жидкости может быть направлена как угодно. Продвигаясь по направлению
осей вращения следующих друг за другом элементов жидкости, получим кри-
вую линию, направление которой в каждой ее точке совпадает с осью вра-
щения соответствующего элемента жидкости. Эта линия называется вихре-
вой линией.
Вихревые линии, проходящие через точки весьма малой замкнутой кри-
вой С, образуют поверхность вихревой трубки, для которсй кривая С
является поперечным сечением (фиг. 70). Если со—вихрь в этом сечении вих-
ревой трубки и если это сечение нормально к оси трубки, то циркуляция
доль кривой С равна 2wS—удвоенному произведению вихря на площадь
поперечного сечения. Если нормаль к сечению образует угол 0 с осью труб-
ки, площадь сечения возрастет и будет равна Ssec0, составляющая угловой
скорости относительно нормали к сечению уменьшится и будет со cos 0, а
Циркуляция, равная удвоенному произведению этих количеств,- останется без
1 вменения. Циркуляция вдоль малой кривой, лежащей на поверхности труб-
ки, равна нулю, так Яак составляющие угловой скорости по нормали к по-
верхности трубки равны нулю.
SM	КРЫЛО В Т РЕХР АЗ МЕРНОМ ПОТОКЕ
Если на поверхности вихревой трубки проведем кривую так, как по-
казано па фиг. 71, циркуляция вдоль этой кривей равна нулю. Обозначим
через F(AB) интеграл вдоль кривой АВ; тогда этот результат можно выра-
зить в следующей форме:
P(PQR) + F(RR’)A-F(R'QfP') + F(P'P) = 0;
когда РР' совпадает с
F(PQR) = F(P’Q'R').
Это показывает, что циркуляция имеет одно и то же значение для всех кри-
вых, охватывающих вихревую трубку. Половина величины этой циркуляции J
называется напряжением вихревой трубки.
Понятие о вихревой линии получается из понятия о вихревой
трубке, площадь поперечного сечения которой стремится к нулю, в то время
как удвоенное напряжение ее J остается неизменным. Вихревая линия в
трехразмериом потоке соответствует изолированному вихрю в плоско-парал-
лельиом потоке, но тогда как последний представляет собой прямую линию
бесконечной длины, нормальную к направляющей плоскости плоско-парал-
лельного потока, вихревая линия, вообще говоря, может быть кривой лю-
бого очертания. Циркуляция вдоль неко-
торой замкнутой кривой С равна удвоев-
\ ной сумме напряжений вихревых линий,
&V перерезывающих поверхность, ограничен-
ную этой кривой, Откуда следует, что вих-
J	------. ревая линия не может оканчиваться вжид-
Фиг. 72.	кости; она представляет собой или зам-
кнутую кривую, или концы ее лежат на
твердой границе. Вихревая линия представляет полную аналогию с проводом,
по которому проходит электрический ток: напряжение вихревой линии соот-
ветствует напряжению электрического тока, а индуцированная в какой-либо
точке скорость жидкости соответствует магнитной силе, возбуждаемой элек-
трическим током.
Скорость, индуцированная в какой-Либо точке Р (фиг. 72) элементом
вихревей линии, определяется из уравнения
dV=- sin О,
где J—удвоенное напряжение, ds—элемент длины вихревой линии, г—рас-
стояние точки Р от элемента, О—угол между направлением элемента и ли-
нией, соединяющей элемент с точкой Р. Скорость dV перпендикулярна к
лоскости, проходящей через г и ds, и направлена в ту же сторону, что *
циркуляция J вихревой линии.
Элемент ds вихревой линии не может существовать самостоятельно, фор'
мулу следует применять только для интегрирования по всей вихревой лииии-
__________	W
1 Lamb, Hydrodynamics, § 149.
ВИХРЕВАЯ СИСТЕМА КРЫЛА
95
Однако часто вихревую линию можно разбить на некоторое число прямых
линий; необходимо поэтому определить скорость, индуцированную прямой
вихревой линией конечной длины АВ. Если длина PN—перпендикуляра из
какой-либо точки Р к линии АВ — равна й, a Q — какая-либо точка на вих-
ревой линии, то индуцированная элементом ds у точки Q скорость в точке
Р равна	^ = ^Sine=^,
и нормальна к плоскости РАВ (фиг. 73). Если угол NPQ обозначим через
то элемент длины ds можно выразить так:
ds=d(h tg<p) = h sec3 <pd<p ,
а следовательно
dV = cos <p d <p.
р
h
Фиг. 74.
Полную скорость, индуцированную вихревой линией АВ, получим, ин-
тегрируя от о = — — а) до ф = Q— fQ, где а и р соответственно уг-
лы РАВ и РВА. Итак окончательно получим
y=Jft(cosa + c°s0)-
Если линия АВ бесконечной длины, то
v 2л11 >
что совпадает с формулой индуцированной
скорости от вихря в плоско-параллельном по-
токе.
Следует заметить, что индуцированная
щейся в точке W (фиг. 74) и простирающейся в
направлении, равна
у = -1 .
4n/i
Этим результатом придется еще воспользоваться при изложении теории крыла.
скорость от линии, начинаю-
бесконечность только в одном
2.	ВИХРЕВАЯ СИСТЕМА КРЫЛА.
При рассмотрении крыла конечного размаха в трехразмерном потоке
будем предполагать, что хорда крыла мала по. Сравнению с его размахом,
что размах можно рассматривать как прямую линию, образующую прямой
угол с направлением движения, и что крыло в поперечном направлении сим-
метрично относительно Средней точки размаха. За исключением этих огра-
ничений, хорда, угол атаки и сечение крыла могут как угодно меняться
вдоль его размаха.
Если на крыло действует подъемная сила, то должна существовать цир-
куляция вокруг сечений крыла; следовательно вдоль размаха крыла прохо-
дит вихревая линия или совокупность вихревых линий. Эти вихревые линии,
движущиеся вместе с крылом, называются присоединенными вихря-
ми, крыла; они образуются пограничным слоем или вихревой пеленой, охва-
тывающей поверхность крыла. Согласно общей теории вихревого движения,
эти вихревые линии не могут заканчиваться на концах крыла, а должны в
виде Свободных вихрей продолжаться в жидкости. Каждый элемент жидко-
сти, пришедший в вихревое движение вследствие соприкосновения с присое-
диненной вихревой системой крыла, пойдет вдоль потока вместе со всей мас-
сой жидкости, вследствие чего свободные вихревые линии будут начинаться
96
КРЫЛО в ТРЕХРАЗМЕРНОМ ПОТОКЕ
у поверхности крыла и итти по потоку вдоль линий тока, как показано на
фиг. 75. Эти вихревые линии называются свободными вихрями крыла.
Вихревая система далеко за крылом заканчивается поперечным вихрем,
параллельным размаху крыла, который является вихрем, оторвавшимся от
задней кромки в начале движения (гл. IX, 4). Для всех практических
целей можно считать однако, что свободные вихри простираются до бес-
конечности.	<
Простейший тип вихревой системы получим, когда циркуляция вокруг
сечений крыла постоянна вдоль его размаха. В этом случае присоединенную
вихревую систему можно пред-
ставить в виде одиночной вихре-
вой линии с удвоенным напряже-
нием J, а свободными вихрями
Фиг. 76.
Фиг. 75.
будут две вихревых линии с тем же напряжением, начинающиеся у концов
крыла и идущие по потоку в направлении линий тока. Эти вихревые линии ис-
кривлены вследствие того, что вертикальные составляющие скорости позади
крыла различны на различных расстояниях от него; однако для большинства
целей можно с достаточным приближением принимать, что они прямолинейны и
параллельны направлению движения. Таким путем получим простейшую схему
«подковообразного вихря», изображенного на фиг. 76.
Действительная вихревая система крыла сложнее этой простой системы,
так как величина циркуляции не постоянна вдоль размаха, а достигает обыч-
но максимума в середине и падает до нуля на концах. Однако любое рас-
пределение циркуляции вдоль раз-
маха можно получить при помощи
системы примыкающих друг к
другу простых подковообразных
вихрей (фиг. 77); отсюда с л еду е.
Фиг. 77-
Фиг. 78.
что система свободных вихрей представляет собой вихревую пелену, сбега-
ющую с задней кромки крыла.
Происхождение системы свободных вихрей можно рассмотреть и с дру-
гой точки зрения. Если распределение подъемной силы вдоль размаха кры-
ла таково, что оиа достигает наибольшей величины в середине, ть с Нижи ей
стороны там будет сильное сверхдавлеиие, а с верхней — сильНте разрежение;
эта разность давлений уменьшается к краям крыла (фиг. 78). Вследствие
такого распределения давлений линии тока на верхней стороне отклоняются
к середине, а иа иижией стороне—к краям. Эти линии тока за задней кромкой
ИНДУЦИРОВАННАЯ СКОРОСТЬ
97
крыла образуют поверхность разрыва (фиг. 79), представляющую собой
вихревую область.
Поверхность разрыва, составляемая свободными вихрями, неустойчива
и свертывается в две вихревых трубки, текущих вдоль потока; расстояние
между ними несколько меньше размаха крыла (гл. XII, 4). Система сво-
бодных вихрей соответствует поэтому изображенной на фиг. 80, картине1.
Фиг. 79.
Влияние системы свободных вихрей вблизи крыла можно с достаточной точ-
ностью получить при помощи предположения, что одиночные вихревые ли-
нии, начинающиеся у задней кромки крыла, идут вдоль потока прямолиней-
но. Однако для точек вихревой области более точные результаты дает пред-
положение подковообразного вихря с размахом, несколько меньшим размаха
крыла; для точек более удаленных от крыла и вихревой области, оба пред-
положения дают одну и ту же точность.
3.	ИНДУЦИРОВАННАЯ СКОРОСТЬ.
Вследствие влияния системы отходящих вихрей поток в каком-либо
сечении крыла отличается от потока, устанавливающегося при плоско-па-
раллельном обтекании профиля. Скорость, индуцированная этой вихревой
системой, перпендикулярна размаху крыла и направлению движения; она,
вообще говоря, направлена вниз. Обозначим индуцированную скорость в ка-
кой-либо точке крыла через ж; пусть она будет мала в сравнении со ско-
ростью V потока. Действие индуцированной скорости равнозначно тогда умень-
шению угла атаки сечения крыла на малый угол (фиг. 81). Если через а
обозначив кажущийся (геометрической) угол атаки профиля, то истинный
угол атаки равен
IV
Индуцированная скорость вдоль хорды профиля переменна, и действие
ее эквивалентно изменению формы профиля. Однако теория крыла конечного
размаха может быть с достаточной точностью развита при помощи предполо-
жения, что хорда профиля мала и что индуцированная скорость вдоль хорды
не меняется. Еудем также пренебрегать составляющей скорости, параллельной
1 Э.а система вихрей была указана Лан честером: «Aerodynamics», 1908.
98	КРЫЛО В ТРЕХРАЗМЕРНОМ ПОТОКЕ
размаху крыла, так как эта составляющая мала и несущественна, ;
исключением, пожалуй, концов крыла.
Сечение крыла работает в точности так, как если бы оно принадлежа i
к крылу бесконечного размаха с углом атаки а,; оно дает козфициент подъ
емкой силы Сч и козфициент профильного сопротивления Ср, соответствующие
этому углу атаки в плоско-параллельном потоке. Но подъемная сила накло-
нена назад на небольшой угол (фиг. 81) и дает вследствие этого состав-
ляющую в направлении лобового сопротивления. Эта составляющая назы-
вается индуктивным сопротивлением, так как она вызывается ин-
дуцированной скоростью отходящих вихрей. Козфициент индуктивного сопро-
тивления профиля равен
Козфициент полного лобового сопротивления сечения крыла, как части м< -
нопланного крыла, равен
С = С 4- - С
Работа, отдаваемая жидкости индуктивным сопротивлением, вновь по
является в виде кинетической энергии системы отходящих вихрей, все удли-
няющихся с течением времени.	ж
Так как сечение крыла работает в точности так же, как вплоско-пара ь
лельном потоке, то никакого изменения коэфициента момента или положения
центра давления при каком-либо определенном значении коэфициента подъ-
емной силы нет.
Данные монопланного крыла можно получить, найдя индуцированную
корость w и истинный угол атаки в каждой точке размаха, определи’
/затем соответствующие элементарнь
подъемную силу и лобовое сопротивл
-------------------------------•— ние и проинтегрировав их наконец i
размаху крыла. Поэтому первым шагс^
Zj	при расчете монопланного крыла яв-
ляется Ьпределение индуцированной
скорости в какой-либо точке крыла в
—------G------ зависимости от напряжения отходящих
вихрей.
Простейшую систему отходящих
г	вихрей получим тогда, когда циркуля-
Фиг. 82.	ция вдоль размаха крыла будет иметь
постоянное значение J. Этот случаи
равномерной нагрузки, соответствующий простому подковообразному вихрю,
не дает истинного представления о явлениях, получающихся в каком-либо
действительном крыле; мы приводим его здесь только как простой пример
подсчета индуцированной скорости.
Подъемную силу крыла с площадью S и размахом I можно выразить
по формуле
отсюда получим:
J = SlC,V = C,bV.
где b—средняя хорда крыла. Система свободных вихрей состоит просто и .
двух отходящих с конца крыла вихрей с удвоенным напряжением J. Возьмем
ИНДУЦИРОВАННАЯ СКОРОСТЬ
99
нормальную систему координат (фиг. 82) с началом в середине крыла; тогда
индуцированная скорость в какой-либо точке крыла будет
w — J_______1_ _ J____ — J
.fl	Л - \ ** ft\* /
*я\.г-у)	^\2 + у) \l)~*
или
w — Су Р
V 4лЛ//\8	>
(г)-’’
где X—относительный размах крыла равный & . Индуцированная скорость ч> имеет
в этом случае минимум в середине крыла и стремится к бесконечности у кон-
цов его; вследствие этого простой «подковообразный» вихрь не может дать
правильной картины ни для какого крыла.
Вообще говоря, циркуляция J вокруг крыла меняется по размаху; она
симметрична относительно середины и падает до нуля иа концах. Между
точками у и y-j-dy циркуляция уменьшается иа величину—слеД°ва"
гельно с элемента dy сходит назад свободный вихрь такой же цирку-
1яции (фпг. 83). Таким образом получается поверхность отходящих
Фиг. 83.	Фиг. 84
шхрей, простирающаяся вдоль всего размаха. Индуцированную скорость
получим суммированием действий всех отходящих вихрей этой поверхности.
Индуцированная скорость в точке ух крыла равна
-J A +l А
\ 4 л (у-У1)	4л \ Ух— у*
~2	2
Другое уравнение для индуцированной скорости можно получить иным
способом. Элемент dy крыла у точки у мы можем рассматривать, как эле-
ментарное крыло с постоянной циркуляцией J и с соответствующей парой
свободных вихрей с удвоенным напряжением J. Индуцированная скорость
в точке Ух крыла будет
dw (v Т ---- - — J__I__—/ -	-	------^dy - •
4л (у — ух) ‘ 4л (уdy — Ух) 4л(у —ух)2’
проиитет рировав по размаху, получим:
w(v3 = —-	•
4л\(у—ух)2
2
100
КРЫЛО Н Т РЕХР АЗ МЕР НОМ ПОТОКЕ
Можно показать, что это уравнение совпадает с полученным выие,
проинтегрировав по частям, получим:
dj -
.	\ dy
JL_ _L \
У~ У1 ,jy— У1
г

t ,
2
первый член пропадает, так как J на концах крыла равно нулю.
Для большинства целей более удобным выражением для индуцированной
скорости крыла является
2
— 2
dj .
dy
dy '
У1~У •
Вычисление этого интеграла требует однако осторожности, так как
иодинтегральное выражение в точке у — становится бесконечно большим.
„	I
При определении значения этого интеграла следует интегрировать от до —$
I
и от уг + е до 2» а затем найти предел при е стремящемся к нулю.
ГЛАВА XI.
МОНОПЛАННОЕ КРЫЛО.
I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
, Если J величина циркуляции вокруг некоторого сечения крыла, нор-
мальная индуцированная скорость в точке ух размаха определяется из урав-
нения
4- I
(*2 dj .
\	— dy
= г-h'
- 2	’
и на сечение действует подъемная сила,- получающаяся bji лоск о-паралл ель-
ном потоке при истинном угле атаки \
Так как направление ^этой силы повернуто назад на малый угол у
(фиг. 81), сопротивление сечения крыла слагается из профильного^с°против"
ления и сопротивления индуктивного, равного произведению величины у на
величину подъемной силы профиля.
Если углы атаки af и а измеряются от прямой, обладающей тем свой-
ством, что при скорости, Направленной параллельно этой прямой, подъемная
сила равна нулю, то коэфициент подъемной силы будет
_	СУ =
где ай—наклон прямолинейного участка кривой коэфициента подъемной силы
для профиля в плоско-параллельном потоке в зависимости от угла атаки
Следовательно циркуляция J вокруг сечения крыла будет
j = CvbV = a,b(Va — w);
таково второе уравнение, связывающее циркуляцию J и нормальную индуци-
рованную скорость w. При помощи этих двух уравнений возможно для лю-
бого крыла определить циркуляцию и нормальную индуцированную скорость
в зависимости от величины хорд и углов атаки сечений, которые, вообще
говоря, меняются вдоль размаха крыла.
Строго говоря, величину а0 следует рассматривать как функцию
формы профиля; однако теория крыла в плоско-параллельном потоке пока-
зывает, что для всех практически применяемых профилей величина а0 при-
близительно равна -к, а следовательно можно без заметной ошибки пренебречь
ее изменяемостью. Несмотря на то, что для профиля можно принимать теоре-
тческое значение (70 = ~, мы будем в дальнейшем развивать теорию крыла
: конечным размахом, принимая общее обозначение а0 для наклона кривой
соэфициента подъемной Силы в плоско-параллельном потоке в зависимости от
1 02
МСЕСГДЛЕЕСЕ КРЫЛО
угла атаки; теоретическое значение а0 = к будем употреблять лишь при
числовых иллюстрациях общих формул.
После того как циркуляция J и нормальная индуцированная скорость
некоторого монопланного крыла определены, подъемная сила и индуктивное
сопротивление вычисляются по следующим формулам
P = f2teVJdy, Qt = f\?wjdy.
2	2
2. МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О МОНОПЛАННОМ КРЫЛЕ.
Для решения задачи о каком-либо монопланном крыле весьма подходит
метод, заключающийся в замене координаты у, измеряемой вдоль размаха
крыла от центра к правому концу крыла,на угол О, определяемый из урав-
нения
у = —2C0S^>
таким образом О меняется по размаху от О до л, считая от левого конца к
правому. Циркуляция J, зависящая от у, может быть выражена ввиде ряда
Фурье

An^in лО;
величины коэфициентов Ап должны быть определены в согласии с двумя
основными уравнениями, связывающими J и w. Ряды, выбранные для цир-
куляции J, удовлетворяют тому условию, что циркуляция обращается в нуль
на концах крыла; если крыло симметрично относительно средины, необхо-
димо брать только нечетные значения Ап.
Выражение нормальной индуцированной скорости в точке yj или О,
принимает вид
Ъ — V- С -пА*—- — dO — у V nA sinn9i
--я ) COS0-COS0, au~v Zi sin ’
0
так как
г cos nddfi ___ sin ny
J cos 0 — cos у sin у
о
Таким образом в любой точке крыла
w sin О — V J пАп sin лО.
Второе уравнение, связывающее циркуляцию и нормальную индуциро
ванную скорость, получает вид
или
где
21V 3 A,sinne= aBbV {а-	,
2 Artsin nO(npi-l-sinO) = piasinO,
МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О МОНОПЛАННОМ КРЫЛЕ ЮЗ
Таково основное уравнение, определяющее коэфициенты Ап для какого-
либо монопланного крыла. Уравнение должно удовлетворять во всех точках
крыла, но если крыло симметрично относительно средины, достаточно рассмат-
ривать значения 0 между 0 и ” • Параметр р, пропорциональный хорде б,
и угол атаки я должны в общем случае быть функциями 0.
Подъемная сила и индуктивное сопротивление.
Подъемная сила и индуктивное сопротивление монопланного крыла
весьма просто определяются в функции коэфициентов ряда для циркуля-
ции. Подъемная сила крыла равна
i
Р = f\ Jdy = //2pV2(3 Ап sin n0) sin 0d0 = pP  Alt
2	°
или, в функции от коэфициеита подъемной силы,
Д — — С
- пр Ч-
Таким образом подъемная сила крыла определяется значением коэфи-
циента Д^ все остальные коэфициенты ряда для циркуляции изменяют рас-
пределение нагрузки по размаху, не меняя общей величины подъемной силы,
2S
Выражение -[Z, встречающееся в уравнении, связывающем Аг и Су, мо-
жет быть написано в другой форме. Средняя хорда крыла определяется как
площадь, деленная на размах, а удлинение X — как размах, деленный на
среднюю хорду. Таким образом для монопланного крыла
2S 2
S И л/2	л/.
В теоретических формулах, где входит этот параметр, мы будем обычно
писать его в виде ; второй вид полезен в некоторых специальных слу-
чаях и при числовых выкладках.
Индуктивное сопротивление “Крыла будет
i
= Лр^(ЗлЛи sinn0)(24nsinne)d0= «AI-
Условимся писать
i + s=-"f,
где о положительная величина, обычно малая; тогда
0 = 2(1 -I-
ИЛИ
c,=^(i + S)c;.
Полное сопротивление крыла получается суммированием индуктивного и
профильного сопротивления. Если крыло имеет постоянные по размаху про-
филь и истинный угол атаки, коэфициент профильного сопротивления имеет
одно и то же значение.Ср в каждом сечении; полный коэфициент лобового
сопротивления будет
МОНОПЛАННОЕ КРЫЛО
104
В общем случае профиль и истинный угол атаки меняются ио сечению,
и коэфициент профильного сопротивления получается в виде интеграла:
2
Однако такая точность необходима ли1Аь в тех случаях, когда форма профиля
сильно меняется вдоль размаха.
Угол атаки.
Вследствие наличия нормальной индуцированной скорости истинный
угол атаки а, в каком-либо сечении меньше кажущегося угла атаки а, и се-
чение дает меньшую подъемную силу, чем то же сечение в плоско-парал-
лельном потоке при том же угле атаки а. Значения коэфициентов А„, в
частности и Аъ определяемые из основного уравнения
2 At sin nO(fifx Ц- sinG) = jxa sin О,
являются функциями угла атаки крыла; а так как пропорционально кс.
фициенту подъемной силы Су, то отсюда получается соотношение между ко -
фициентом подъемной силы и углом атаки крыла. Наклон а кривой ко -
фициента подъемной силы, определяемый из этого соотношения, меньше,
чем величина й0, получающаяся для профиля в тоско-параллельном
потоке.
Когда крыло имеет постоянный по размаху угол атаки, соотношение
между коэфициентом подъемной силы и углом атаки принимает простой вид.
В этом случае коэфициенты Ап пропорциональны углу атаки, и уравнение
А —	— -2 С
1	л/2*	л/. У
дает непосредственно
а __ пк Ах
«A 2<V
Угол атаки крыла а превосходит угол атаки аг, при котором в плоско-па-
раллельном потоке получается тот же коэфициент подъемной силы, на угол
а — а- = I? р — — Y
* v \а a0J
Удобно писать этот результат в форме, подобной форме уравнения для
коэфициента лобового сопротивления крыла, а именно:
а = at+ -a(l
где
. ।	___л/2 /1  I \   а	лЯ
' Т “ 2S \(2 aaJ ~~ A	20ft '
В общем случае закрученного крыла угол атаки а меняется по раз-
маху крыла и может быть выражен в виде
a=a+/(G),
где а угол атаки в средине крыла. Значения коэфициентов Ап получаются из
основного уравнения в виде суммы двух членов, первый из которых пропорцион:
ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗКИ	105
лен углу а, а второй от него не зависит. Следовательно козфициент подъемной
силы получает вид
С.-ааЦ-с.
3. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗКИ.
Подъемная сила и индуктивное сопротивление крыла были получены в виде
P = ^pVM1,
Если крыло определенного размаха дает подъемную силу Р при ско-
рости V, козфициент имеет определенное значение, не зависящее от формы
крыла; индуктивное сопротивленйе получает минимальное значение, когда
рее остальные козфициенты ряда для циркуляции обращаются в нуль Рас-
пределение циркуляции по размаху крыла получает простой вид
j = 21VAx cos О = 21 VAt 1/1 — у* .
W
Величина циркуляции в какой-либо точке размаха пропорциональна орди-
нате эллипса с осью, направленной по размаху; этот тип распределения
нагрузки называется поэтому эллиптическим распределением.
Эллиптическое распределение циркуляции или подъемной силы по раз-
маху играет большую роль по следующим причинам: во-первых, оно дает
минимальное возможное индуктивное сопротивление при заданной подъемной
силе, а во-вторых, кривые нагрузки большинства обычно употребляемых
крыльев незначительно отклоняются от эллиптической формы. Вследствие
этого результаты, полученные в предположении эллиптического распределе-
ния, являются наилучшими из возможных и дают хорошее первое прибли-
жение к действительности.
При эллиптическом распределении нормальная индуцированная ско-
рость имеет значение
постоянное по размаху крыла, а козфициент индуктивного сопротивления
крыла имеет значение
с__С2
1 лр у'
Если а кажущийся угол атаки в некоторой точке размаха, истинный
Угол атаки будет	постоянный кажущийся угол атаки обусловли-
вает постоянный истинный угол. В силу этого козфициент подъемной силы
будет иметь одно и то же значение для всех сечений крыла. Но так как
Циркуляция вокруг сечения равна CybV и изменяется по размаху-по эллип-
тическому закону,—тот же закон действителен и для хорды. Таким образом
эллиптическое распределение получается у монопланного крыла с эллипти-
ческой формой в плане и постоянным углом атаки. В этом случае кажу-
щийся и истинный углы атаки связаны уравнением
« =	с,.
Эллиптическое распределение по размаху можно получить у крыла
другой фрмы в плане, подбирая соответствующее распределение углов атаки
По размаху; но такое закрученное крыло дает эллиптическое распределение
106
МОНОПЛЛННОЕ КРЫЛО
только в одном положении, так как необходимые углы закручивания зависят
от угла атаки в середине крыла.
Влияние удлинения.
Формулы, выведенные для угла атаки и лобового сопротивления эллип-
тического крыла, можно применить для подсчета влияния изменения удлине-
ния. Если удлинение изменяется с X на X', изменение угла атаки и козфи-
циента лобового сопротивления будет
Для стандартного удлинения (X = 6) при испытаниях моделей множитель
2
имеет величину 0,106; если угол атаки измеряется в градусах, этот мно-
житель имеет величину б0,!1.
Формула пересчета для коэфициента сопротивления приложима только
к крыльям с эллиптическим распределением; но так как кривые распределе-
ния подъемной силы для прямоугольных и.других аэропланных крыльев мало
отличаются от эллиптической формы, формулы пересчета можно употреблять
в общем случае для подсчета вляния малого изменения удлинения. Точные
формулы для прямоугольного и трапецевидного крыла будут выведены далее.
Формула пересчета для угла атаки приложима только к крыльям с эл-
липтической формой в плане и постоянным углом атаки по размаху, а для1
крыльев с другой формой в плане может быть употребляема лишь как грубое
приближение. Формула для угла атаки позволяет также легко определить
наклон кривой подъемной силы. Если а0—наклон в плоско-параллельном по-
токе и а—для эллиптического крыла с удлинением X, формула
, 2 ~
Й ~ а' ‘
дает после диференцирования
а Я
1 = 1 4_ — , или л= о л . '
а а0'лА	2 + Я
“а
Теория крыла в плоско-параллельном потоке дает приблизительное зна-
чение а0 — тг; соответствующие значения а даны в таблице 10. Значения а,
когда а измеряется в градусах, приведены для сравнения с результатами
эксперимента, где обычно углы измеряются в градусах.
Таблица 70.
Наклонкривой подъемной силы для эллиптических крыльев.
X	со	10	8	6	4
а (в радианах) 		3,14	2,62	2,51	2,35	2,09
а (в градусах) 		0,055	0,046	0,044	0,041	0,037
					
1 У нас в СССР и в Германии стандартным удлинением принята величина Я = 5-
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КРЫЛЬЯ	107
4. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КРЫЛЬЯ.
Когда циркуляция вокруг крыла выражена в виде
J = 2/V £ Лп sin лО,
коэфициенты Ап должны быть выбраны так, чтобы удовлетворялось основ-
ное уравнение	Л„5П1 -р sin О) — got sin G,
где	aob
г 21
Коэфициенты Alf А3, А5, ... быстро убывают по величине, и достаточно
удержать всего три или четыре первых косфициента, чтобы получить хорошее
приближение значения подъемной силы и лобового сопротивления крыла. Me
тод решения, если удержано р коэфициентов, заключается в определении
коэфициентов, удовлетворяющих основному уравнению в р точках
G =	ш=1, 2, 3, ... , р.
2р	’ ’ ’	> г
Числовые значения, данные в последующих таблицах, получены при
удерживании первых четырех коэфициентов (Лх, Л3,Л5, Л7), удовлетворяющих
основному уравнению в четырех точках
О = 22,5	45	67,5	90 градусов,
0,924	0,707 0,383	0.
Подставив в основное уравнение по очереди эти четыре значения 0, по-
лучим четыре уравнения для определения четырех коэфициентов. В эти че-
тыре уравнения должны быть подставлены точные значения р, и а, зависящие
от величины О.
Наиболее простым случаем является случай прямоугольного крыла 1 с
постоянными по размаху хордой b и углом атаки а. Параметр р. имеет по-
стоянное значение	_
'	2/. ’
1 Решеиир для прямоугольного крыла было получено впервые A. Betz отлич-
ным от н..щ го м годом, требующим боп.ыпой за > paw труда: «Beitrage zur Tragfiugeftheo-
rie mit b; sonderer Berucksichtigung des einfachcn rechteckigen Flugels», Gottingen Disser-
iatinn. IQKi
103
МОНОПЛАННОМ КРЫЛО
и козфициенты Дп А3, ... могут быть определены как величины, кратные jia.
Наклоны кривой коэфициента подъемной силы получаются из уравнения
а __п дх
а0 4 /ш
а угол атаки и козфициент лобового сопротивления, соответствующие коз-
фи циенту подъемной силы Cv, будут
где
Числовые значения, полученные этим методом, даны в табл. 11, а зна-
чения кофициентов т и 8 для моноплана приведены также на фиг. 85. Зна-
чения S малы, и хорошее первое приближение для коэфициента индуктивного
сопротивления получается, если пренебречь величиной ди применять формулы
для эллиптического распределения нагрузки. Напротив, значения т доста-
точно велики, и необходимо принимать во внимание этот козфициент при Оп-
ределении угла атаки прямоугольного крыла.
Таблица 11.
Прямоугольное крыло.								
	А 1	ра		Ав	-А»		1 е О 1 Й X			6
				ра				
1,0	0,748	0,060	0,009	0,0014	0,587 |	1,70	0,’0	0,019
1,5	0,859	0,09)	0,016 I	0,00'7	0,675 |	2,22	0,14	0,034
2,0	0,928	0,115	0,023 .	0,0041	0,7 9 I	2,74	0,17	0,049
2,5	0,976	0,136	0,030 !	0,0055	0,767 1	3,26	0,20	0,063
3,0	1,011	0,154	0,036 [	0,0070	0,794 ।	3,78	0,22	0,076
3,5	1,038	0, 69	0,042 |	0,0084	0,815	4,29	0,24	0,088
	—							
Точность результатов.
Чтобы показать точность результатов, получаемых, если в выражении
для циркуляции удержать только четыре члена ряда с ко. фи [рентами А„
Д3,	А7, были сделаны вычисления для одного частного случая (X = 2а0),
причем удерживалось по очереди один, два, три и четыре члена ряда. Ре-
зультаты, данные в таблице 12, показывают, что величины £ и т почти до-
стигают своих предельных значений, когда удерживается четыре члена. При
быстрых подсчетах достаточно взять три члена, что дает уже хорошее при-
ближение.
Таблица 12.
Число членов ряда	-Ч да	! 	 1	Лз да	л, fin		s
1	0,800	—				,	0,86	0
2	0,°17	0,084	—	—	0,22	0,025
3	0,926	0,110	0,016	-—.	0,18	0,044 0,049
4	0,9-8	0, <15	0,0-3	0,004	0,17	
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КРЫЛЬЯ
Влияли! удлинения.
109
Формулы пересчета при изменении удлинения с X на X' для нрямо-
уюльного крыла имеют вид
а' — а = —
Фнг. 86.
Табл. 11 или фиг. 85 дают значения
между Q и * может быть получена из той
весьма точно можно выразить следующим
- = 0,66+ 1,04- 
же
3 в зависимости от л • Связч
таблицы или из фиг.
86; ее
Опытное [определение
нием X дает значение , а
а ’
линейным законом:
. Л
tfo
характеристик прямоугольного крыла с
л
соответствующие значения величин — , -
удлине-
и 5 по-
т и
лучаются из диаграммы. Таким образом по известному значению а0 значе-
ния т' и 3' для другого удлинения X' находятся сразу по фиг. 85.
Если ай = izt значения т и 5 для удлинения X = 6 будут
т = 0,163, 5=0,046,
110	МОНОПЛАННОЕ КРЫЛО
4
и следовательно, если угол атаки выражен в градусах:
. а = az 4-7°,1 Су,
Сх = Ср + 0,111 С>.
Численные значения коэфициентов при Ср и С£ близко подходят к соответ-
ствующим значениям 6°,1 и 0,106 для эллиптического крыла с тем же уд-
линением.
Наконец наклон кривой коэфициеита подъемной силы для прямоуголь-
ных крыльев с различными удлинениями дан в табл. 13 в предположении,
что - Эти значения несколько меньше, чем соответствующие значения
для эллиптических крыльев, данные в табл. 10.
Таблица 13.
Наклон кривой коэфициеита подъемной силы для прямоугол].
иых крыльев.
л	со	ю	8	6	4
а (в радианах)		3,14	2,52	2,42	2,27	2,06
а (в градусах) 		0,055	0,044	0,042	0,040	0,036
Момент.
Связь между коэфициентом момента и коэфнциентом подъемной силы пря-
моугольного крыла с постоянными по размаху сечениями та же, что и для
крыла в плоско-параллельном потоке, и имеет вид:
- /п0 4-	С?/,
где т0 и вообще говоря, отрицательны. Таким образом если это уравняй
Ьо
ние дает коэфициент момента в плоско-параллельном потоке, момент пряме-
угольного крыла относительно передней кромки будет
CmbS?V2 = \ , f Л70 4- ^1 bJv-j 62pV2 dy,
- 2
где написано вместо Cv для данного сечения. Положив
у ~ —~2 COS О,
S^lb,
J = 2lV^An sin «О,
ТРАПЕЦЕВИДНОЕ КРЫЛО
111
получим из предыдущего уравнения
|/п0 -Ь2^1- V Л sin n©|sin OdO = т0 4- тг	+
так как
д - — с = 2Ь С
1 л/гСУ Л1
5. ТРАПЕЦЕВИДНОЕ КРЫЛО.
Следующим важным типом крыла будет такое, в котором хорда равно-
мерно убывает от максимального значения Ьо в середине крыла до 60(1—£)
к концу крыла. Вообще говоря, такое изменение хорды связано с измене-
нием сечения крыла, но мы будем принимать, что крыло не закручено аэро-
динамически, т. е. что угол атаки, измеряемый от прямой, при которой подъ-
емная сила крыла равна нулю, не изменяется по размаху крыла.
Решение получается, как и раньше, из основного уравнения
у, Д, sin пО (пр, 4- sin О) = pa sin О,
и идет тем же порядком с той разницей, что теперь р имеет различные зш -
чения в четырех точках
0 = 22', 45, 67', 90°
На протяжении полуразмаха имеем
b = 60(1 —£cosO),
Р-— Р-о (1 — ^cos О),
где
.. _ °а^о
Ро — 2/
Площадь крыла будет
5 = (2—Н)'*0
и удлинение
> _	21	__ °о
<2— ОЬо
Числовые результаты, показывающие влияние степени трапецевидности,
даны в табл. 14 для удлинения X = 2tz0; соответствующие величины т и $
для монопланного крыла даны на фиг. 88. Как видим, наилучшие резуль-
таты получаются, когда концевая хорда равна примерно от однсй трети до
половины средней хорды, так как тио должны быть оба по возможности
меньше.
Таблица 14.
Трапецевидное крыло (х = 2oq).
е	Аг а	Л, а	А6 а	А? а	а а*	т	а
0	0.232	0.029	0,006	0,001	0,729	0,17	0,049
0,25	0,236	0.020	0.008	0	0,742	0,10	0.026
0,50	0,240	0,007	0.010	-0,091	0,754	0,03	0,0П
0,75	0.241	—0,012	0,010	—0,002	0.757	0,01	0,016
1,00	0,232	—0,050	0,002	—0,004	0,729	0,17	0,141
112	МОПОПЛА Е КРЫЛО
6.	ЗАКРУЧЕННОЕ КРЫЛО.
Когда форма сечения меняется по размаху крыла, причем хорды сечений
лежат в одной плоскости, крыло следует рассматривать как аэродинамически
закрученное. Вследствие изменения для разных профилей угла атаки, при
котором подъемная сила равна нулю, толстое сечение крыла в середине имеет в
действительности больший угол атаки, чем тонкое на конце. Такое крыло
аналогично крылу с постоянным сечением, у которого на концах сечения
установлены под большими углами.
В качестве примера подсчета характеристик закрученного крыла рас-
смотрим прямоугольное крыло постоянного сечения, у которого кажущийся
угол атаки равномерно убывает от центра к концам. Пусть будет а угол
атаки в середине крыла и е поворот сечения на конце. Тогда на левом полу-
размахе крыла угол атаки будет
а = а — £ cos О,
и основное уравнение для коэфициентов Alf А3, ... получает вид
У, AMsin пО (пр + sin О) = р sin О (а—£ cos О).
Решение для первых четырех коэфициентов идет как и раньше, но те-
перь каждый коэфициент разлагается на сумму двух членов', один из кото-
Фиг. 88.
рых пропорционален р.а, а второй — р.е. Числовые значения для случая
буДУ^	Аг = 0,928 ра — 0,408 р£,
А3 = 0,115 ра— 0,242 ре,
А5 = 0,023 ра-р0,010ре,
А7 =-0,004 ра — 0,023 ре.
Коэфициент подъемной силы закрученного крыла будет
Су = Ai = 2’28 а — 1 ’01 £>
причем наклон его такой же, как и соответствующего незакрученного прЯЯ
моугольного крыла.
Коэфициент индуктивного сопротивления крыла всегда можно написания
в виде
но коэфициент о теперь меняется вместе с углом атаки крыла. Если е рав-
но 0,1, характеристики крыла при различных углах атаки будут:
КРИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАГРУЗКИ
113
<5
0,205
0,027
0,009
0,003
ОДО
0,15
0,20
0,25
0,1^8
0,242
0,356
0,470
Сравнивая эти значения о со значением 0,049 для соответствующего незакру-
ченного прямоугольного крыла, легко видеть, что закрученное крыло с по-
вернутыми сечениями на концах дает меньшее индуктивное сопротивление,
исключая малые значения коэфициента подъемной силы.
Общий случай закрученного трапецевидного крыла может быть разре-
шен тем же способом с той разницей, что параметр pi должен теперь быть
фунцией О, как и в предыдущем параграфе.
7.	КРИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗКИ.
Метод решения задачи о моноплапном крыле, в виде разложения цирку-
ляции в ряд Фурье, позволяет также определить форму кривой нагрузки по
размаху крыла, так как подъемная сила какого-либо элемента размаха крыла
пропорциональна циркуляции вокруг этого элемента. В общем случае опре-
деляют только четыре первых члена ряда Фурье, и соответствующая кривая
нагрузки имеет синусоидальный характер. Однако решение имеет точное зна-
Фиг. 89.
чение только в четырех точках полуразмаха (G — 22', 45, 67J, 90 градусов),
которые употреблялись для определения коэфициентов ряда Фурье, а кривая
нагрузки должна быть плавно проведена через полученные точки.
Фиг. 89 показывает кривые распределения нагрузки, полученные таким
образом, причем все крылья несут одну и ту же полную нагрузку. Крыло эллип-
тической формы дает кривую нагрузки такой же эллиптической формы, а
крылья других форм имеют кривые, вид которых представляет среднее между
формой крыла и эллипсом. Аэродинамически качество крыла можно оценить сте-
пенью приближения кривой распределения нагрузки к эллиптической форме.
ГЛАВА XII.
СТРОЕНИЕ ПОТОКА ВБЛИЗИ КРЫЛА.
1. поток.
Отклонение скорости в какой-либо точке жидкости от скорости невоз-
мущенного потока V обязано своим происхождением системе вихрей, вызван-
ных крылом, и может быть подсчитано как скоростное поле системы вихрей.
Общий вид вихревой системы, включающий циркуляцию вокруг крыла, а
также вихри, сбегающие с задней кромки, был разобран в гл. X, 2; анализ
главы XI дал метод определения интенсивности вихревых систем, связанных
с каким-либо монопланным крылом. Этот анализ основывался на предтюло-
Фпг. 90.
жении, что крыло можно заменить несущей линией (lifting line) \ подсчеты,
основанные на этом предположении, очевидно недостаточны для определения
потока в непосредственной близости крыла, где жидкость вынуждена огибать
контур профиля. Точно также, в непосредственной близости вихревой пелены
необходимо считаться со стремлением этой пелены свертываться в пару вихревых
шнуров конечного напряжения. Если отвлечься от этих двух ограничений, воз-
можно получить поток вокруг крыла с достаточно хорошим приближением,
принимая схему несущей линии и системы прямолинейных вихрей, идущих
в бесконечность позади крыла. Наконец на больших расстояниях от крыла
1 Впервые такая замена была предложена Н. Е. Жуковским, который назвал это
вихри «присоединенными». См. его работу «О присоединенных вихрях». Труды отд.
наук Общества любителей естествознания, антрспологии н этнографии, том III.
Поимеч. аед
{РАВНОМЕРНАЯ {НАГРУЗКА	11
и пелены скоростное поле зависит только .от величины подъемной силы и н
зависит от размаха крыла и формы кривой распределения нагрузки.
При определении потока вокруг крыла мы будем употреблять стандарт
ную систему осей с началом в середине крыла. Ось х простирается впере
в направлении движения крыла относительно воздуха, ось у направлена п
размаху к правому концу крыла, а ось z—перпендикулярно к двум первы*
как показано на фиг. 90. Скоростное поле вихревой системы, дающее отклс
некие потока от равномерного потока со скоростью V, вызванное крыло*
мы будем определять тремя составляющими ^, v, И’) скорости, параллельным
этим осям.
Из простой схемы, принятой для системы вихрей, сейчас же видно, чт
продольная составляющая скорости и зависит только от циркуляции токру
крыла, а боковая составляющая v только от системы сбегающих вихрей, в т
время как нормальная составляющая и> зависит от всей вихревой системь
Будем сначала исследовать поток в предположении, что нагрузка распре
делена по размаху равномерно; наше внимание будет обращено главном ос
разом на величину нормальной составляющей скорости ш. Из других фор:
распределения нагрузки мы будем рассматривать только те, которые имею
специальный интерес.
2. РАВНОМЕРНАЯ НАГРУЗКА.
&
Система вихрей крыла с равномерной нагрузкой по размаху состоит и
вихря АА', заменяющего крыло, и д:.ух прямолинейных сбегающих вихре)
Фиг. 91.
АВ и А’В', причем циркуляция вокруг любого из этих вихрей имеет одн)
и ту же величину J. Для удобства рассуждения в качестве точки, для ко
торой будем определять индуцированные скорости, выберем точку Р с отри
Нательными значениями координат х и z, как показано на фиг. 91. Пусть PL
РМ и PN обозначают перпендикуляоы, опущенные из точки Р соответственна
на плоскость Оху и прямые Оу и АВ, тогда
ML = —х -- х’,
ОМ ~ у,
PL = —z = z',
ОА = ОА’ = 
116
СТРОЕНИЕ ПОТОКА ВБЛИЗИ КРЫЛА
Индуцированная скорость в точке Р, вызванная циркуляцией J вокруг
крыла, перпендикулярна к плоскости РМО и имеет величину
Q1 = л (cos РА.' А н- cos РАД') =
4тг РМ х	'
а составляющие этой скорости будут
* f
2-l___________
“	to & + 2- jy > + !'• + (y + ‘)’
vx = 0,
Индуцированная скорость в точке Р, вызванная циркуляцией J вокруг
сбегающего вихря АВ, перпендикулярна в плоскости РАВ и имеет величину
о. =	(1 + cos РАВ)= — - f 1 + ---------------	|
р V>+(’’-«n и^+^+О'-О’)
а ее составляющие п2 —О,
Подобным образом выражаются составляющие скорости в точке Р, вызванной
циркуляцией J вокруг сбегающего внхря А'В':
hs = 0,
v = J ________2'___h + _ _________________1
’ 4”x'*+(y + ‘)’l	+1Л
J У + 2	111	Х'
4ге ,s /	I \s О "Ь ?—-------
2 +(? + 2) [	)/xf2 + z'E4-(y+ з)“
Составляющие индуцированной скорости в точке Р, вызванной крылом
и системой сбегающих вихрей, получаются в виде сумм предыдущих выра-
жений:	ц = иъ
v = v2 4- vs,
, и» = Wj 4- u>a 4- iv3.
Подробное исследование этих выражений будет нами проведено для гои
чек, лежащих в поперечной плоскости (х=0) и точек оси х.
Индуцированная скорость пропорциональна циркуляции J, которая свяи
зайа с подъемной силой крыла уравнением
fVJl = C,?S\P или 21 = VC,.
РАВНОМЕРНАЯ НАГРУЗКА
117
Последнее выражение равно нормапьной индуцированной скорости w0 у
крыла с эллиптическим распределением нагрузки (гл. XI, 3); поэтому удобно
выражать составляющие индуцированной скорости в какой-нибудь точке Р в
частях этой скорости w0.
Скорости в поперечной плоскости крыла.
Продольная составляющая индуцированной скорости в какой-нибудь
точке поперечной плоскости (х —0) равна
и .1
2______
1 . 1\а
У~2
для точек оси z это выражение сводится к
i	I
271	**+(Я
Продольная составляющая скорости воздуха относительно крыла будет
(V—ц); следовательно она увеличивается над крылом, где z и и отрицательны,
и уменьшается под ним. Поправки для продольной скорости будут следующие:
z= 1	1	1	1
1	6	3	2’
-£-=1,42 0,62 0,35 0,11.
w0
Для крыла с удлинением 6 скорость н?0 имеет величину 0,106 УС„. Сле-
довательно поправка на продольную составляющую имеет малую величину
порядка 2% в точке, находящейся под крылом на глубине полуразмаха
даже тогда, когда коэфициент подъемной силы имеет большое значение.
Боковая и нормальная составляющие индуцированной скорости в ка-
кой-либо точке поперечной плоскости выразятся соответственно следующим
образом.
г = L _	,
W = —
2л
[у3 + Z2 + (g)2]2 — y~Z2
Знаменатель этих двух величин представляет существенно положитель-
ную величину; следовательно боковая составляющая скорости направлена
внутрь над крылом и наружу под ним, в то время как знак нормальной со-
[//VI
у2—z2 — К) •
На больших расстояниях от крыла эти выражения стремятся к зна-
чениям:
„ ; . Л lyz__= ~Уг _
F 2% (у2 + z2)2	(y2 + z2)2 4л ’
n, = _ J Ky*-z*) ~_____z*_ SVCy
2tc 2(y2 -j- z2)	(y2 -j- z2)2 4л
Следовательно на оси z нормальная составляющая индуцированной ско-
рости будет	i	//у
п. = /	2	W 2SVCy
2^‘ + (‘)^2^+(‘У	'
118
СТРОЕНИЕ ПОТОКА ВБЛИЗИ КРЫЛА
и имеет следующие числовые значения:
2 _ 1	1	!	.
I ” 6	3	2
w-= 0,45 0,35 0,25 0,10.
У крыла с удлинением 6 скорость и*0 имеет величину 0,106 VCy, и под
крылом на расстоянии полуразмаха нормальная составляющая будет
0,0265 VCy, что дает угол скоса 1°,5 Су.
Скорости на продольной оси крыла.
В точках на оси х (у = z — 0) продольная и боковая составляющие ин-
дуцированной скорости обращаются в нуль, а нормальная составляющая
имеет значение
Перед крылом Нормальная скорость отрицательна, и поток воздуха, на-
бегая на крыло, отклоняется кверху. Позади крыла нормальная скорость
положительна и на расстоянии L за крылом угол скоса потока будет
_ J /1 +	= г ! I г
V” Л	L )	2 \	L /
Написас
_______2S л
£° — V ~ ттр ч
для угла скоса, соответствующего индуцированной скорости iv0, можем выра-
жение для скоса потока позади крыла переписать так:
Е =
О'
что дает следующие числовые значения:
L __ I	I	I	.
1 ” 6	з	2	1
Е = 2,08 1,40 1,21 1,06.
«о	’
3. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗКИ.
До сих пор поток рассматривался в предположении, что циркуляция
постоянна по размаху крыла. Это условие не удовлетворяется ни у одного-
крыла, так как действительное распределение циркуляции по размаху всегда
получается как наложение бесчисленного количества простых «подковообраз-
ных» систем (гл. XI, 2 и фиг. 77). Чтобы получить соответствующие Зна-
чения индуцированных скоростей в какой-нибудь точке, необходимо заменить
в формулах предыдущего параграфа полуразмах на координату т], измеряе-
*	d f
мую вдоль размаха крыла, а циркуляцию J на— drh и проинтегрировать
art
полученные выражения в пределах от тд = 0 до V” -г Однако это интегри-
рование в общем случае чрезвычайно затруднительно.
ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАГ узки
л л >
В случае эллиптического распределения (гл. XI, 3),
какой-либо точке крыла равна
а нормальная индуцированная скорость у крыла
iv0= VAj_.
Следовательно
/ = 4н'0|/(2)‘ —
__dj _	4iy0>;
циркуляция t
Скорости на нормальной оси.
Нормальная индуцированная скорость в некоторой точке оси z при ус
ловии равномерной нагрузки была получена выше в форме
I
следовательно при эллиптическом распределении
р 1
J
IV =
- dr\;
Z2	Р
последнее выражение легко интегрируется подстановкой г] =
I
2
sin О и дае'1
Числовые
значения,
Z
I
(1	2 Ч
1—
Vz +G)7
получаемые по этой формуле, будут:
= 1	1	1 1
6	3	2’
- -0.68 0,45 0,29 0,11;
*0
сравнение со значениями, полученными для равномерной нагрузки, показы
вает, что под крылом, на расстоянии, равном полуразмаху, разность инду
цированных скоростей равна 0,04 iv0. Этой разностью можно пренебречь, таг
как у крыла с удлинением 6 она соответствует разности в углах скоса по
тока всего лишь в 0°,24 Сг
На больших расстояниях от крыла нормальная индуцированная скоросп
стремится к значению
1 >2	£
W ~ 8 z2 ~
одинаковому у равномерной и эллиптической нагрузок; последнее подтвер
ждает теорему, что на больших расстояниях от крыла и его пелены индуци
рованная скорость зависит только от всей подъемной силы и не зависит oi
величины размаха и формы распределения нагрузки.
Скорости в поперечной плоскости крыла.
В случае эллиптической нагрузки поток в поперечной плоскости (х = О
мо.жио получить из того условия, чгэ нормальная индуцированная скорость iv(
120
СТРОЕНИЕ ПОТОКА ВБЛИЗИ КРЫЛА
постоянна по размаху. Следовательно поток тождественен с плоско-параллельныИ
потоком, вызванным прямой линией длины Z, движущейся нормально
себе самой со скоростью iv0. Функция тока такого движения дана в гл. Vfl
а картина потока показана на фиг. 44. Если сделать подстановку
I .	.
у — sm A cosh р,
z = l- cos A sinh ml,
то нормальную скорость можно написать в виде
sinh/zcosh/z 1
1—--------------------------------------.VH'
cosh 2/z— sinUj
Числовые значения, полученные по этой формуле для точек вблизи
крыла, даны ниже в табл. 15 и показаны на фиг. 92.
Вдалеке от крыла получаются следующие предельные значения:
у — д Ze^sinA,
2 — д Ze^cosX,
;o=2E--(cosn-sinQ) = -'’^,
ИЛИ
_	у2—z2 SVCv
lV —	(y2+z2)2 4rt' ’
что совпадает с предельным значением, полученным в гл. XII, 2 дпя случая
равномерной нагрузки.
Таблица 75.
Значение — •
»’о
У 1	0	0,125	0,25	0,375	0,450	0,55	0,625	0,75
z 1 - 0	1,00	1,00	1,00	1,00	I ,00	—1,40	—0,67	-0,34
0,05	0,90	0,89	0,84	0,68	0,17	—0.89	—0,58	-0,32
0,10	0.80	0.79	0,72	0,46	0,09	—0.48	—0,44	—0,29
0,15	0,71	0,69	0,60	0.35	0,07	—0,26	—0,32	—0,26
0,20 •	0,63	0,60	0.51	0,29	0,09	-0,13	—0,22	—0,21
0,25	0,55	0,53	0,44	0,25	0,11	—0.06	—0,15	—0,16
УГОЛ СКОСА ПОТОКА
121
Скорости на продольной оси крыла.
Угол скоса в какой-нибудь точке оси х в случае равномерной нагрузки
был получен в форме
следовательно при эллиптическом распределении он будет
2
Подстановкой
интеграл приводится к
е = 2 ГИ1+
'«	* J I У 1 — к‘ I	Я1/1 _ к*
о
где Е— эллиптический интеграл:
2
Е = J 1/1  £3sin20dG.
U
Числовые значения, вычисленные по этой формуле, будут: 
L	]	1	]
/	6	3	2	L
* =3,23 2,43 2,22 2,06.
«о ’	’	’	*
Эти значения значительно больше, чем выведенные в предположении
равномерной нагрузки и вычисленные в параграфе «Скорости на продольной
оси крыла». Сверх того они стремятся к пределу 2е0 вместо е0 когда L стре-
мится к бесконечности. Ни то ни другое значение нельзя признать удо-
влетворительным. Они основаны на предположении, что сбегающие вихри идут
позади крыла в бесконечность по прямым линиям; чтобы получить удовлет-
ворительное значение угла скоса, необходимо принять во внимание, что вих-
ревая пелена неустойчива и свертывается позади в пару вихревых жгутов.
4. УГОЛ СКОСА ПОТОКА.
Формулы для нормальной индуцированной скорости iv на продольной
оси, выведенные в предыдущих параграфах, были основаны на предположе-
нии, что сбегающие вихри идут назад в бесконечность по прямым линиям,
b действительности сбегающая вихревая пелена неустойчива и свертывается
в пару вихревых жгутов, расстояние между которыми Г меньше, чем размах
крыла /(фиг. 93). Циркуляция вокруг каждого из этих вихрей равна очевидна
122
СТРОЕНИЕ ПОТОКА ВБЛИЗИ КРЫЛА
циркуляции J вокруг среднего сечеиия крыла. В точках, удаленных от крыла
и его пелены, эта модифицированная система оказывает такое же действие
как и крыло размаха Г с постоянной циркуляцией J; следовательно расстоя-
ние Г можно определить из уравнения

Но любая форма распределения нагрузки по размаху крыла может быть
представлена, как и в гл. XI, 2, рядом
Фиг. 93.
J = 2/2 А„ sin пО,
причем
J — 2lV(A1—~ А3А5~~
Следовательно
Г__ Р ____п
I ~ QlVJ ~ 4 (Аг A, -L As ~ .. ) '
Нормальная индуцированная скорость Л’ в точке продольной оси на том
же расстоянии позади крыла будет определена более точно при такой моди-
фицированной вихревой системе, чем при игнорировании свертывания сбе-
гающей вихревой пелены. Следовательно вихревая система принимается такой
же, как у крыла размаха Г с постоянной циркуляцией J; нормальная инду-
цированная скорость, рассмотренная в параграфе «Скорости на продольной
оси», будет
Таким образом угол скоса потока выразится так:
_ 2S г .
где
' предельное значение угла скоса, когда L стремится к бесконечности, будет
£=(/Т£°-
Значения величины - для прямоугольных крыльев могут быть подсчи*
таны по результатам, данным в табл. II главы XI; эти значения внесен^
в табл. 16 вместе с соответствующими значениями величины - в точке
L = £ и ее предельными значениями (когда L стремится к бесконечности).
Наконец производная угла скоса по углу атаки равна
de __ I / М3 ( , ,	+ (2") ) 2S dCy __ е 2а.
da 2\l'/	L -tp da ' е0 тЛ ’
значения этого выражения в точке ^=2 Даны также в таблице 16.
УГОЛ СКОСА ПОТОКА
123
Таблица 16.
Угол скоса
Крыло	Г 1		/ (предел)	~ г)		
Эллиптически		0,785	1 62	1 84		0,44 М = 2а0)
I
Прямоугольное '	1 ,о	0,844	f ,49	1 62	0.61
	1,5	0.862	1,35	1.57	0.45
	2,0	0.875	(	1.3’	1.52	0,35
	2,5	0,887	1 27	1.48	0.29
	3,0	0,896	1	1.25	1,46	0.25
	3 5	0.9 3	1,23	1.44	0.21
предположении, что крыло можно заменить
Определение^расстояния L страдает некоторой неопределенностью, по-
скольку расчеты основаны на
|.есущей линией, а положение
этой линии не было определено.
Ясно однако, что несущая линия
должна проходить через центр
давления крыла; таким образом
длина L равна расстоянию от
л очки до центра давления крыла.
Изменение угла скоса по-
тока позади крыла с расстоя-
нием показано на фиг. 94, где
вычерчены кривые для эллипти-
ческого н для прямоугольного
крыльев с удлинением л = 2а&.
i унктирные кривые показыва-
ют соответствующие значения
для случаев равномерной и эл-
липтической нагрузки, когда
пренебрегается свертыванием
сбегающей вихревой пелены.
Результаты, данные в этой
главе, всюду относятся к моно-
планному крылу; но поток для
бипланной системы можно полу-
чить, суммируя действие каж-
дого отдельного крыла. В частности, угол скоса за бипланной системой,
состоящей из двух прямоугольных крыльев с удлинением X, почти равен
двойному углу скоса за монопланным крылом с тем же удлинением и тем
Же коэфициентом подъемной силы. С другой Стороны, значения не удваи-
dc
ваются вследствие уменьшения величины для биплана. Взяв числовые
значения, данные в гл. XI и XIII для прямоугольных крыльев с
удлинением 6, получим грубые значения da : 0,35 для моноплана и 0.55 для
биплана.
ГЛАВА XI11.
БИПЛАН.
1. ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПОТОК.
Вопрос обтекания в плоско-параллельном потоке пары крыльев, обра-
зующих бипланную систему, весьма сложен; полное решение было получено
только в случае, когда в качестве профилей крыльев служат прямолиней-
ные отрезки. Здесь мы дадим лишь краткий очерк этой теории с целью по-
казать метод анализа и общие результаты.
Крылья тандем.
Рассмотрим сначала систему крыльев тандем, составленную из двух
равных отрезков АВ и А'В' (фиг. 95), лежащих на действительной оси и
имеющих концами точки с абсциссами
Общий тип незавихренного потока, обтекающего эту систему, можно
выразить формулой
dw гг , ...	—
и — iv —	— U + U — -	- - +
az	У(р2 — za) (z2 — q2)
_i_ J	z	। £	n
[/(p- -z1) (z2—q2) ' те У (p2— z2) (z2—q2)’
четыре члена которой дают по порядку: равномерный поток, идущий парал-
лельно оси х со скоростью U; поток, обтекающий систему и имеющий в бес-
I
I
в'	а'	’о	В	А	у
--1- —    — — — —J
~Р	-q	\	q	р
I
I
Фиг. 95.
конечности скорость U', параллельную оси у; циркуляционный поток, даю-
щий одинаковую циркуляцию J вокруг каждого крыла; циркуляционный
поток, дающий положительную циркуляцию J' вокруг первого крыла н от-
рицательную циркуляцию —у'вокруг второго. Величины тип представляют
некоторые постоянные, которые позже будут определены как функции от
Р и q.
Эта общая формула действительно дает вполне возможный незавихрен-
ный поток, так как w функция комплексного переменного г, стремящаяся к
ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПОТОК
125
определенному значению, когда z стремится к бесконечности; эта функция
дает скорость, направленную по касательной к поверхностям крыльев, и
конечную скорость во всех точках плоскости, за исключением концов крыль-
ев знак радикала	______
}/ (p2 — z2) (z2 —(?2)
необходимо выбрать в согласии с векторной интерпретацией формулы. Он
имеет знак плюс на нижней стороне поверхности АВ и верхней стороне по-
верхности А'В' и знак минус на противоположных сторонах.
Значение постоянной т получается из условия, что для потока, опре-
деляемою вторым членом, циркуляция вокруг каждого крыла равна нулю;
значение постоянной п определяется из условия, что циркуляция вокруг
крыла равна J' для потока четвертого типа. Эти значения будут:
т = ру к,
71 Р
где Е и К — эллиптические интегралы с модулем к, определяемые уравнениями;
«-У’З''-.
о
__ Г ...	_
J /(1 — х8) (I — к2х2)
о
Точки х----К_т являются критическими точками простого вертикально-
го потока, определяемого вторым членом, лежащими на поверхности крыльев.
Фиг. '.6.
Чтобы получить поток, обтекающий крылья с углом атаки а и плавне
стекающий с задних кромок В и В' (фиг. 96), необходимо принять
U = —У cos a, t7' = Vsina
и выбрать величины J и J' таким образом, чтобы числители членов с ради-
калом в общей формуле потока обращались в нуль в точках В и В'.
Поэтому
J = ~(р — q)V sin а,
J1 2(рЕ — qK)V sin а.
Результирующая сила давлений жидкости на всю систему будет выра-
жаться в виде подъемной силы
Р = 2р JV — 2л(р — ^)pPssin а,
соответствующей полной циркуляции 2J; система тандем дает таким образом
такую же подъемную силу, как простое крыло с такой же полной хордой
126
БИПЛАН
Силы, действующие на каждое крыло в отдельности, можно определить
вычислив интеграл по контуру, заключающему только это крыло.
х-‘у=‘в2№Уаг
Применив этот способ, найдем, что переднее крыло АВ дает подъемную
силу большую, чем заднее, и что заднее крыло имеет лобовое сопротивление
уравновешивающееся силой, действующей на переднее крыло вперед по на-
правлению потока.
Биплан без выноса.
Бипланная система без выноса, образуемая двумя равными параллель-
ными отрезками, выводится из системы тандем при помощи конформного
преобразования	•
dz ~ V'Cp2 —	’
положение соответствующих точек в обеих плоскостях показано на фиг, 97.
В частности, концы крыльев биплана соответствуют критическим точкам
Плоскость z	Плоскость £ 1
1 ।	М'		N'
z s ш 1 z S со	• А' м—к- н |А
Фиг. 97.
2 = dz т системы тандем, а средние точки крыльев биплана — концам z = 4zP»
крыльев таидем. Высота * бипланной системы й получается как интеграл
от (Tz ’ от д0 а хорда b как двойная величина интеграла от^|, от М
до А. Соответствующие значения выражаются в виде эллиптических интегра-
лов по формулам
й = 2р|Е' —
ь =
/Р2 — Л12	., о
р2 — д2 р ’
О
dx
— х2)(1 — /с'8*3) *
о
ГК, т)=\---------=
УГО — x’JO-tV)
ЛЛОСКО-П АР АЛЛЕЛЬНЫЙ ПОТОК
127
На‘больших расстояниях от крыла преобразование сводится к преобра-
зованию £ = —iz; чтобы поток обтекал крылья биплана с утлом атаки а
необходимо, чтобы в бесконечности характеристическая функция потока имела
вид
IV = — V (cos а+ i sina)£= — V (sin a— i cosa)z.
При этом условии общий тип потока в плоскости z, преобразующийся
в желаемый поток в плоскости будет
= - V sin « - V cos a	+ 1 __?_+
dz	j/(ps — z2) (z2 — q2) n Y(p2 - z2) (z2 • - q2) ’
где m и n имеют ранее вычисленные значения. Чтобы получить конечные
скорости на задних кромках Л1 и М’ крыльев биплана, необходимо положить
М'
Ф г. 98.
величину равной нулю в точках М и М' системы тандем (фиг. 98). Учитывая
изменение знака у радикала при переходе от точки М к точке М’} получим из
этого условия
_/' = 0, 7 = "-^—
таким образом циркуляция имеет одну и ту же величину вокруг каждого
1:рща.
"результирующая сила давления жидкости приводится к подъемной силе
гч о , n •	l/(p2 — m2)(m2—q2)
Р = 2р VJ — 2крУ2 sin a	,
а козфициент подъемной силы, получаемый из последнего уравнения, можно
написать в виде
С# = Bit sin a,
) де	_______
о __ V(p2 *ш‘) (т2 — 9г) .
mb
Козфициент В дает уменьшение коэфициента подъемной силы сравни-
тельно с монопланным крылом при том же угле атаки; значения В даны в
таблице 17. При малых углах атаки этот результат можно выразить р Дру-
гой форме, а именно, в увеличении угла атаки биплана, при котором у него
получается тот же козфициент подъемной силы, что и у моноплана. Если a
угол атаки биплана и а0 соответствующий угол атаки моноплана, лолучаем,
что
a — a0 + [iCv,
где
8 =
128
БИПЛАН
Силы, действующие на каждое крыло биплана в отдельности, можн^
определить тем же способом, как и в случае системы тандем; получается, что
верхнее крыло имеет бблыпую подъемную силу, нежели нижнве крыло.
Таблица 17.
Поправочные коэфициенты для биплана.
h ь	в	
0,50	0,739	0,1’8
0,75	0,8^0	0,079
1,00	0,855	0,054	।
1,25	0,895	0,038
1,50	0,920	0,028	। 1
Общий случай биплана.
Бипланная система с выносом, образованная двумя равными параллель-
	ными отрезками, может быть получена из си- стемы тандем при помощи конформного преоб- разования
|А	d£	. п 	/ч	z2 — т- ) = — sin 0 “г cos 0 —- _ _ _ ----- , dz	/(р2 —	(Z2 „ 92) где G — угол выноса биплана. Более общий
1 1 /Tyj	 v с	‘ Фиг. (00.	случай биплана с двумя неравными крыльями можно получить, исходя из системы тандем с крыльями разной длины и проделывая необхо- димое конформное преобразование. Анализ этих общих случаев весьма ело-
жен; результаты получены для всех случаев
только для систем, образованных прямолинейными отрезками, поэтому весьма
полезно развить приближенный метод решения задачи о биплане, который
дает более наглядное представление о механизме взаимного влияния двух
крыльев и который позволяет учесть влияние Формы про иля крыла.
БИ11.1АН
Силы, действующие на каждое крыло биплана в отдельности, можнф
редел ить тем же способом, как и в случае системы тандем; получается, что
Фиг. 99.
зерхнее крыло имеет большую подъемную силу, нежели нижнее крыло.
Таблица 17.
Поправочные коэфнциенты для биплана.
h b	! *	fl
0,50	1	0,739	1	0,1’8
0,75	0,8^0	1	0,079
1,00	1	0,855	1	0,С54
1,25	0,895	0,038
1,50	0,920	0,028
Общий случай биплана.
Фиг. 100.
Биплаиная система с выносом, образованная двумя равными параллель-
ными отрезками, может быть получена из си-
стемы тандем при помощи конформного преоб-
разования
— — SIU £> т COS 0	,
tfz	/(р2 — £2) (Za _
где О — угол выноса биплана. Более общий
случай биплана с двумя неравными крыльями
можно получить, исходя из системы тандем с
крыльями разной длины и проделывая необхо-
димое конформное преобразование.
Анализ этих общих случаев весьма сло-
жен; результаты получены для всех случае!
тэлвко для систем, образованных прямолинейными отрезками, поэтому весом
полезно развить приближенный метод решения задачи о биплане, которые
дает более наглядное представление о механизме взаимного влияния дву:
влияние (Ъоомы профиля крыла.
ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПОТОК	129
Влияние, оказываемое одним крылом иа другое, заключается в наруше-
нии потока, вызванного первым крылом; метод приближенного решения осно-
вывается на замене крыла вихревым шнуром соответствующего напряжения,
помещенного в центре давления крыла. Этот метод дает удовлетворительные
результаты при больших значениях отношения высоты к хорде; его точность
может быть определена путем сравнения результатов, полученных с его по-
мощью для прямолинейных профилей, с точными данными, приведенными в
табл. 17.
Приближенное решение.
Предполагается, что все вихри иижнего крыла, дающие в совокупности
циркуляцию Jt сконцентрированы в центре давления С (фиг. 100). Поток
вблизи верхнего крыла, составляющийся из циркуляционного потока с
циркуляцией J и равномерного потока со скоростью У, искривляется так,
что его линии тока обращены выпуклостью кверху. В точке Р верхнего
крыла, находящейся на расстоянии х от точки С', лежащей над точкой С
прямо по вертикали, нормальная скорость циркуляционного потока будет
J х
iv =	---•
и 2л Л3 + х3 ’
радиус кривизны линий тока в потоке, составляющемся из циркуляционного
потока с циркуляцией J и равномерного потока со скоростью V, найдется из
формулы
V _ d\v __ J й3 — х3
R dx	ха)а ’
Vs dw
получающейся, если приравнять два различных выражения ^- и V нормаль-
ного ускорения. Кроме того продольная составляющая скорости вблизи верх-
него крыла возрастает, но влияние этого возрастания на характеристики
биплана в точности компенсируется таким же уменьшением для нижнего
крыла; следовательно изменением продольной составляющей скорости можно
пренебречь.
Таким образом влияние нижнего крыла на верхнее сводится к созданию
нормальной скорости в центре крыла и искривлению потока вблизи верхнего
крыл); при выводе приближенных выражений для этого влияния мы будем
принимать, что отношение высоты коробки к хорде достаточно велико. Если 0
означает коэфициент центра давления нижнего крыла, нормальная индуци-
рованная скорость в центре верхнего крыла выражается формулой
и’°= гяй3 (з >
а радиус кривизны получится из уравнения
v = J-
R ‘
Нижнее крыло подвергается такому же влиянию со стороны верхнего
благодаря циркуляции вокруг верхнего крыла; таким образом полученные
выражения приложимы ко всему биплану в целом.
Циркуляция вокруг профиля равна CvbV, а коэфициент центра давле-
ния можно заменить через коэфициент момента по формуле Ст = — ОС\.
Следовательно нормальная индуцированная скорость имеет вид
i V /Л\а
^ = 4»G)(C. + 2C™)-
Чтобы получить такой же коэфициент подъемной силы как и у моноплана,
угол атаки биплана необходимо увеличить иа малый угол .
130
БИПЛАН
Далее необходимо сделать поправку иа кривизну линий тока. Дуга окруж-
ности радиуса R с хордой b и относительной стрелкой с = — ведет себя
в искривленном потоке так же, как прямолинейное крыло в равномерном
потоке; следсвательно искривление потока эквивалентно изменению действи-
тельной стрелки крыла иа величину с. Но для крыла, имеющего вид дуги
окружности, имеем
Cv = z(a + 2c),
С =____1 С __
4Vlf 2 *
следовательно, чтобы получить тот же козфициент подъемной силы, угол атаки
нужно увеличить на величину 2с, что будет соответствовать изменению коэфи-
циеита момента иа величину с. Следовательно значение с будет
c = A = _7L_ = .L^Yc
8/? 1бяЛаУ
Вводя обе поправки, получим, что угол атаки биплана должен быть
больше угла моноплана на величину
a acjj = _ (ЗСу + 4Cm) = (Су + 2Cnt0),
где Сто равно значению коэфициента момента, когда подъемная сила равна
нулю. Следовательно прсизводная коэфициента момента по коэфициен-
ту подъемней силы для каждого крыла биплана будет
=*_ 1 I 1 _ 1 РГ I
dCy 4 1	8\iij / '
Эти выражения представляют только некоторое приближение к истин-
ным значениям; сии получены в предположении, что отношение высоты к хорде
достаточно велико. Степень точности можно видеть, сравнивая точные значения
для крыльев с прсфилем в виде прямой линии, у которых Сто равно нулю,
- - ] /
заимствованные из табл. 17, с приближенными значениями J .
Таблица 18.
h ь	б	in\h)
0,5Э	0,118	0,318
0,75	0,679	0,142
1,00	0,(54	0,(8)
1,25	0,(38	0,(51
1,5 )	0,028	0,035
Приближенная формула дает слишком большие значения для биплана
обычного типа, но ее можно употреблять для учета влияния изменения про-
филя. На этом основании угол атаки биплана будет
a = a. + Р (С,+ 2C.J = а,	с, + 2С„0).
Эта поправка при переходе от моноплана к биплану велика. При от-
ипшриии высоты к ховде, равном единице, наклон кривой коэфициента подъ-
БИПЛАН КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
131
емкой силы изменяется с 3,14 на 2,68, а наклон кривой коэфициеита мо-
мента— с 0,250 на 0,219.
2.	БИПЛАН КОНЕЧНОГО РАЗМАХА.
В бипланной корсбке, состоящей нз двух крыльев с конечным разма-
хом, каждое крыло работает подг бко мон планному крылу и дает сбегаю-
щую с задней крсмки вихревую пелену. Следовательно в любой точке инду-
цированная скорость получается, с одной стороны, от циркуляции вокруг
каждого крыла, а, с другой стороны, — от двух сбегающих вихревых пелен;
индуцированная нормальная скорость у какого-нибудь крыла отличается от
нормальной скорости, вызываемой у соответствующего монспланного крыла,
на величину индуцированной скорости, вызываемой у этого крыла вихревой
систем: й второго крыла. При вычислении этой д'бавочнсн индуцированной
скорости мы будем предполагать, что вихри, сбегающие с задней кромки,
идут в бесконечность по прямым линиям, как мы это раньше принимали
для монопланного крыла (фиг. 101).
Определение индуктивного сопротивления биплаииой корсбки упро-
щается теоремей эквивалентности о выносе Мунка \ которая устанавли-
вает, что полное индуктивное сопротивление пелиплаиа не меняется, если
какой-либо несущий элемент перемещается по направлению движения при
Фиг. 101.
Фиг. 102.
условии, что в новом положении не меняется распределение подъемной силы
между элементами. Эта теорема вытекает из тсго положения, что работа ин-
дуктивного сопротивления равна скорости изменения кинетической энергии
в сбегающей вихревой системе (гл. X, 3), а эта кинетическая энергия не
меняется при геометрическом преобразовании такого типа, который предус-
мотрен теоремой. В силу этой теоремы любая система с выносом может быть
заменена соответствующей системой без выноса, имеющей то же распреде-
ление подъемной силы и то же полное сопротивление.Распределение сопро-
тивления между крыльями будет в обоих случаях различно. В бипланной
корсбке с передним выносом верхнее крыло будет иметь меньшее, а иижнее
крыло большее Сопротивление, чем в соответствующей коробке без выноса с
таким же распределением подъемной силы между крыльями.
В бипланной корсбке без выноса индуктивное сопротивление одного из
крыльев, вызванное влиянием вихревой системы второго крыла, равно ин-
дуктивному сопротивлению второго крыла, вызванному влиянием вихревой
системы первого крыла. Каждое крыло можно разбить на большое число
малых элементов, имеющих одну и ту же подъемную силу 8Р: пусть Pi и Рй
©бозначают два элемента разных крыльев (фиг. 102). Нормальная скорость в точке
Р1Э вызванная сбегающим вихрем в точке Р2, равна нормальной индуцированной
скорости в Р2, вызванной вихрем, сбегающим с элемента Рг. Так как подъ-
1	«Isoperim ?trlsche Aufgab n aus der Theorie des Fluges», Gottingen Dissertation. 1918;
перевод в N. A. C. A., 121, 1921.
132
БИПЛАН
емные силы обоих элементов равны, равны будут и индуктивные сопротив-
ления. Это утверждение справедливо для любой пары элементов; суммируя
влияние всех элементов первого крыла на элемент Р2, получим, что индук-
тивное сопротивление элемента Р2, вызванное вихревой системой первого
крыла, равно индуктивному сопротивлению первого крыла, вызванному вих-
рем, сбегающим с элемента Р2. Наконец суммируя влияние всех элементов
второго крыла, докажем справедливость теоремы.
Индуктивное сопротивление.
Теорема эквивалентности Мунка дает возможность ограничиться слу-
чаем биплана без выноса. Кроме того мы предположим, что у каждого крыла
нагрузка распределяется по размаху по закону эллипса, так как кривые
нагрузок большинства крыльев весьма приближаются к этой форме, и взаим-
ное влияние обоих крыльев при этом предположении учитывается достаточно
точно.
Пусть h высота коробки биплана, и /г размахи сбоих крыльев,и Р2
их подъемные силы. Тогда силы индуктивного сопротивления каждого крыла,
обусловленные только собственными системами вихрей, будут
о	о
411 ~ JtlfyV2 422 ~ л/^У2
а индуктивное сопротивление одного из крыльев, вызываемое вихревой сис-
темой другого крыла,
rj   tPг
412 л/^оУ2 *
где а означает некоторую функцию величин ht и Z2.
Значения коэфициеита ст можно определить при помощи простого гра-
фического метода. На фиг. 92 нанесены нормальные скорости в точках над
или под крылом с эллиптическим распределением нагрузки; тем самым опре-
деляются нормальные скорости, вызванные в некоторой точке одного крыла
вихревой системой другого. Индуктивное сопротивление можно определить
подсчитав интеграл
Qa = ^'dP1,
взятый по размаху первого крыла. Без ущерба для общности результата,
всегда можно предположить, что размах меньше или равен размаху Z2.
Значения коэфициеита а определяются в функции от двух параметров и
2	A	J
, т. е. отношения размаховдвух крыльев и отношения высоты коробки
к среднему размаху. Числовые значения 1 ст даны в табл. 19 и на фиг. 103.
Таблица 79.
Значения <?.
	0	0,05	0,10	0,15	0 20	0,30	0,40
£ = 1,00	1,000	0,780	0,655	О,5Э1	0,485	0,370	0,290
0,80	0,800	0,690	0,630	0,523	0,459	0,355	0,282
0,60	0,600	0,540 ч	0,485	0,437	0,394	0,315	0,255
БИПЛАН КОНЕЧНОГО РАЗМАХА	133
Индуктивное сопротивление каждого из крыльев биплана без выноса
будет соответственно
Qi = Qu + Q12 =	*
и полное индуктивное сопротивление биплана
При заданной величине подъемной силы (Рг+ Pz) индуктивное сопро-
тивление имеет минимальное значение при
Л _ /iGi-gf»)..
Г 2, ^2 (1% ' ^1) *
это уравнение определяет наилучшее распределение подъемной силы между
двумя крыльями. Соответствующее минимальное значение индуктивного сопро-
тивления будет
Q _ 2Р2	1 - <72
" ~~ aeva If- ZrtJi + Р •
Крылья с одинаковым размахом.
Для биплана с крыльями равного размаха минимальное индуктивное
сопротивление получается тогда, когда крылья имеют одинаковую подъемную
силу; оно получается по формуле
л= 2р2 1+0
У	2	’
или
r _ 2S 1 + g г ?
лр 2	’
134
НИПЛАН
У биплана, имеющего равные крылья, удлинение К определяют по ф оп-
ор	~ г
муле , аналогичной формуле для моноплана. Следовательно формула для
индуктивного сопротивления может быть написана в измененном виде:
с(=Д(1+*)сл
Коэфициент индуктивного сопротивления возрастает против соответствующего
значения для моноплана с тем же удлинением пропорционально коэфициенту
(1+п).
Последняя формула с большой степенью точности применима в широ-
ком диапазоне случаев, не соответствующих условиям, при которых она вы-
ведена. Влияние малых изменений в распределении подъемной силы между
двумя крыльями весьма мало; при Р1~ хР2 общая формула для индуктив-
ного сопротивления биплана с крыльями равного размаха напишется в сле-
дующем виде:
4 я/2еК3 | 2	2 V+V J
При крайних значениях х = 1,25 и ст —0,4 добавочный член дает уве-
личение индуктивного сопротивления всего на 0,5% против минимального
значения; следовательно с достаточной степенью точности можно применять
формулу для минимального значения во всех практических случаях.
Эти формулы выведены в предположении эллиптического распределения
нагрузки по размаху, что позволяет достаточно хорошо учесть взаимное вли-
яние крыльев; для индуктивного сопротивления каждого крыла, вызванного
собственными вихрями, желательно сохранить коэфициент (I + с), фигуриру-
ющий в теории моноплана (гл. XI). Таким образом коэфициент индуктив-
ного сопротивления бипланной коробки с крыльями равного размаха выра-
зится формулой
с<=Д<‘ + 5+°)сл
Полный коэфициент сопротивления биплана превосходит коэфициент ин-
дуктивного сопротивления на величину козфициента профильного сопротив-
ления профиля крыла; окончательно коэфициент сопротивления биплана с
крыльями равного размаха будет
су=с,+а<1+*+^с’г-
он больше соответствующего козфициента моноплаиного крыла с тем же уд-
линением на величину
Угол атаки.
Чтобы получить у бипланной системы тот же коэфициент подъемной
силы как и у моноплана с тем же удлинением, необходимо взять больший
угол атаки; частично это получается благодаря большей индуцированной
скорости, частично из-за прямой интерференции между крыльями в плоско-
параллельном потоке. Для биплана с крыльями равного размаха увеличение
козфициента сопротивления по сравнению с монопланным крылом того же
удлинения будет а соответствующее увеличение угла атаки будет
2
оСу. Поправка на взаимодействие между крыльями была получена раньше
БИПЛАН КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
135
гл. XI11) в форме pQCy4-2C„,^; следовательно полное увеличение угла
атаки будет
йоС,+ ?(1С,+ 2С-)-
Окончательно угол атаки биплана можно выразить в виде
а = а0 ф- ( 1 + т + а) Су 4* 0 Q Сч + 2CmJ ,
где а0 означает угол атаки профиля в плоско-параллельном потоке, при ко-
тором получается коэфициент подъемной силы Cv, а т — коэфициент, встре-
чающийся в общей теории монопланного крыла (гл. XI).
Резюме.
Характеристики биплана без выноса с крыльями равного размаха даются
уравнениями:
“ = «.+ До +т4-’)С„ + ₽ (*С,+ 2Ст) ,
c.= c,+^(i+a+»)c,*,
где а0 и Ср—характеристики профиля крыла в плоско-параллельном потоке,
соответствующие коэфициенту подъемной силы Cff; X — удлинение, В и а —
коэфициенты для биплана, данные в табл. 17 и 19, а т и 3—коэфициенты
для моноплана, выведенные в гл. XI; они зависят от формы крыла в плане.
При грубых подсчетах можно пренебречь величинами т и 5, а С„ поло-
жить равным — |Су, так что угол атаки и коэфициент сопротивления полу-
чатся из следующих приближенных формул:
а = “о + (1 + а) С, + 3 Су,
с.=с, + Д(«+«)сл
Эти формулы для характеристик биплана без выноса с крыльями рав-
ного размаха имеют значение только для углов атаки, соответствующих нор-
мальным режимам, так как максимальное значение коэфициеита подъемной
силы у биплана меньше, чем у моноплана. Уменьшение коэфициеита подъ-
емной силы при данном угле атаки выражается коэфициентом В табл. 17;
грубо можно считать, что этот коэфициент дает уменьшение максимального
коэфициеита подъемной силы.
В случае биплана, образованного двумя прямоугольными крыльями с
удлинением 6 и отношением высоты коробки к хорде, равным единице, зна-
чения коэфициентов будут
т = 0,163,	3 = 0,046,
0 = 0,054, ст = 0,535;
•сии принять, что Ст равно — *Су, формулы дадут:
СЖ = С? +0,168 Су2,
а = Од 4* 0,234Су,
или, если угол атаки выражать в градусах,
а = а0 4* 13°,4Су.
Наклон кривой коэфициеита подъемной силы равен 1,81 (в радианах^
вместо 3,14 для крыла в плоско-параллельном потоке и 2,27 для моноплаи1-
кого крыла с тем же удлинением.
ГЛАВА XIV.
ВЛИЯНИЕ ТРУБЫ НА МОДЕЛЬ КРЫЛА.
Конечные размеры воздушного потока в аэродинамической трубе (откры-
того или закрытого типа) накладывают некоторые дополнительные ограни-
чения на поток за крылом или каким-либо испытуемым телом; определение
величины этого действия весьма важно, так как найдено, что прежде чем
прилагать аэродинамические характеристики крыла, испытанного в аэроди-
намической трубе, к крылу в свободном пространстве необходимо ввести
некоторые поправки. Эти поправки не зависят от поправки на масштабный
эффект, которую необходимо сделать при переходе от модели крыла к дей-
ствительным крыльям аэроплана, и складываются с ней.
Теория влияния трубы разработана Прандтлем во второй части работы
о крыльях 1, где он рассматривает условия, которым должен удовлетворять
поток на его границах. Аэродинамические трубы на континенте обычно дела-
ются со свободной струей: на границах потока должно сохраняться посто-
янное давление. Английские трубы, наоборот, делаются закрытыми, с круг-
лым или прямоугольным поперечным сечением; на стенках составляющая
скорости, перпендикулярная к ним, должна обращаться в нуль. Эти условия
на границах можно выразить аналитически, введя ряд зеркальных изобра-
жений модели; влияние трубы на модель выражается в наличии индуциро-
ванной скорости, соответствующей вихревым системам этих изображений.
Вопрос исследования влияния трубы заключается таким образом в отыска-
нии подходящей системы изображений и вычислении соответствующей инду-
цированной скорости, получающейся у модели. Исследование весьма упро-
щается благодаря тому обстоятельству, что с достаточной степенью точности
можно принимать равномерное распределение подъемной силы по размаху,
если размах модели меньше трех четвертей ширины^ трубы; следовательно
можно принять, что все крыло имеет индуцированную скорость, получаю-
щуюся в центре трубы.
.	1. ТРУБА С КРУГЛЫМ СЕЧЕНИЕМ.
Рассмотрим крыло с размахом I и площадью S в аэродинамической трубе
с круглым сечением радиуса /?. Если принять равномерное распределение
нагрузки по размаху, система сбегающих вихрей сведется к двум вихревым
шнурам с напряжением J, равньм циркуляции вокруг крыла. В поперечном
сечении (фиг. 104) эти вихри расположены в точках А и В диаметра окруж-
ности, изображающей стенки трубы; эти точки находятся на расстоянии
от оси трубы. Изображения А' и В' лежат вне окружности на том же диа-
1 «Tragfiiigeltheorie», Oottingm Nachrichten. 1919.
ТРУБА С КРУГЛЫМ СЕЧЕНИЕМ	737
метре на расстоянии 2у от центра. Напряжения вихрей в точках А' и В'
те же, чю и у основных вихрей, но знак циркуляции обратный. Эта система
изображений основывается на том, что окружность является линией тока
для вихревых пар А, А' н В, В'.
Индуцированная скорость у крыла есть сумма скоростей, вызванных
вихрями А' и В'; она вычисляется по формуле
w = ~2---J
4я  ОА'	4 л/?2 '
Знак минус получается благодаря тому, что за положительное направ-
ление скорости выбрано направление вниз, а система изображений дает ско-
рость, направленную вверх. Принимая во внимание равенство
C,pSV2 - p/VJ,
получим окончательный результат в следующем виде:
Обозначим через С площадь поперечного сечения трубы, а через от-
клонение потока вверх, происходящее от влияния стенок нли системы зер-
кальных изображений вихрей; тогда
_ w _ 1 S г
£1 V — 4ССУ'
Влияние стенок сводится к отклонению потока кверху на угол ех; сле-
довательно подъемная сила отклоняется вперед на тот же угол, что имеет
следствием уменьшение сопротивления по сравнению с крылом в неограни-
ченном потоке. В то же время истинный угол атаки крыла будет больше,
чем наклон хорды крыла к оси трубы, на тот же угол ег. Следовательно
поправки, которые надо прибавить к полученным в трубе величинам вслед-
ствие ограничения струи стенками трубы, имеют вид
Аа = S-cC9,
AC, = 8£c,s.
где 3 имеет значение 0,25 для трубы с круглым сечением. Угол атаки в этой
формуле измеряется в радианах. Следует заметить, что поправка пропорци-
ональна подъемной силе крыла и не зависит от формы крыла в плане и удли-
нения. Таким образом поправка может прилагаться к любой системе крыль-
ев—моноплану или биплану.
Более подробный анализ этого вопроса дал Прандтль 1 в предположении
1 Loe. clt.
138	ВЛИЯНИЕ ТРУБЫ НА МОДЕЛЬ КРЫЛА
эллиптического распределения подъемной силы по размаху крыла; он
получил значение 8 в форме
I' + ,%!)'+
Даже в крайнем случае, koi да размах крыла достигает величины трех
четвертей трубы, второй член дает поправку всего в 6%, и на практике им
можно пренебрегать.
Прандтль рассмотрел также случай трубы с свободной струей и нашел
ту же величину поправки, но с противоположным знаком. Таким образом
угол атаки и коэфициент сопротивления при заданной подъемной силе имеют
преувеличенное значение при измерении в трубе с свободной струей и пре-
уменьшенное в закрытой трубе.
2. ВЕРТИКАЛЬНЫЕ И ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ^СТЕНКИ.
При рассмотрении случая трубы с прямоугольным сечением1 * мы будем
предполагать, что крыло помещено в середине трубы, а размах его направлен
по горизонтали. Начало координат выберем в середине крыла, ось у напра-
вим вправо по горизонтали, ось z — вертикально вниз. Прежде чем рассмо-
треть прямоугольную трубу, исследуем влияние горизонтальных и вертикаль-
ных стенок в отдельности.
Система зеркальных изображений для вертикальных стенок, находя-
щихся на расстоянии b друг от друга, показана На фиг. 105. Все изобра-
жения тождественны с основным крылом и образуют бесконечный ряд, рав-
номерно расположенный по оси у в точках y = ±-mb, где т охватывает все
целые положительные числа. Очевидно эта система дает скорость, касатель-
ную к стенке, и удовлетворяет таким образом поставленным условиям.
Из гл. XII видно, что индуцированную скорость далеко открыла можн«
принять равной
W = ~4^V’
чтобы получить полную величину скорости, необходимо заменить у на mb
и просуммировать получившееся значение для всех положительных и отри-
цательных значений т. Таким образом отклонение потока, причиной кото-
рого служит стеснение его стенками, будет
е	w __	\ i 1 л S р
1 V 2лЬй т2 ~ 12 № У
1
Случай горизонтальных стенок над и под крылом трактуется совер-
шенно аналогично. Изучается бесконечная последовательность отображений,
расположенных на оси z в точках г = но знаки циркуляций в этом
1 Н. Glauert, The interference of wind channel walls on the aerodynamic charac-
teristics of an aerofoil, R&M, 867, 1923
ТРУБА ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ	139
случае последовательно чередуются; изображения имеют знак циркуляции,
одинаковый с циркуляцией основного крыла при п четном и противополож-
ный при п нечетном. Индуцированная скорость на оси z далеко от крыла
равна, согласно изложенному в гл. ХП,
w = Л С V;
следовательно отклонение потока от всей системы изображений будет
г =	scy V	71 5 г
1 V 2tt/z-Z-< п3 24 Ла У
1
Сравнение этого результата с предыдущим показывает, что влияние
боковых вертикальных стенок больше, чем горизонтальных. В обоих случаях
влияние стенок приводится к изменению угла атаки и лобового сопротивле-
ния в трубе по сравнению с крылом в свободном потоке.
3.	ТРУБА ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ.
Для прямоугольной трубы с шириной b и высотой h необходимо взять
двойную бесконечную последовательность изображений, расположенных в
точках (у = тЬ_тЬ, z = ±nh), где тип пробегают все положительные я
отрицательные целые значения, за исключением пары (0, 0). Подъемная сила
(фиг. 106) изображений положительна при п четном и отрицательна при п не-
четном.
Индуцированная
(гл. XII)
следовательно влияние
потока вверх на угол
в точке (у, z)
скорость
JL у8 28 ср I/ 
4л (y2 + za)a » ’
всей системы изображений
далеко от крыла равна
приводится к откланеяя»
IV =
___w____SCy у у /	. тгЬ- —	_
£i V“ 4ге 2-t	-t- па/Р)е —
_ SCV у» у ,________<хп т® — Аап*
4«Z>2 2-t 2-Д Ч +	’
140
ВЛИЯНИЕ ТРУБЫ НА МОДЕЛЬ КРЫЛА
где й = двойное суммирование распространяется на все изображения,
т. е. на все целые значения т и п, за исключением пары (0, 0). Нельзя
найти простого выражения для этой суммы, но можно употребить следующий
метод для упрощения ее вычисления. В выражении
ctg z = 1 + 2z V
° z A^z2—n&i*
j
ПОЛОЖИМ
z — /Хкх;
получим
ctgh Хих =	+ — V  п -.
ь	Алх 1 yr т2 + Л2хг
1
Алгебраическим преобразованием и диференцированием по х получим
S тг + Аахг =	212х- 2Ях ctgh
1
S (т2 + л2х2р л*х2 “ 2лх Ctgh — ‘2 CSe Ch* ’
складывая, будем иметь
V2 m ' '' Я 1	71U2 т „
L(m2-rA'W — 2ЛЧ3 “2" csech kirx.
Отсюда получим для двойной суммы
1 у(-0”
2А2^ л2
Y У (— I)“ csech2 Хтгл =
1
£.-2^ ^(-1)»р£-а;ад
1	1
2^ л- 2кг V _______£____•
24л3	* * А^{ +е^Р ’
окончательно
— ж — а>
та — л2п2
(m222Pn2)“2
т2 — Л2л2
(/л2 +
4££(-1)'
1 1
I __2 у I— О”
т2 Я2 л2
1 1
__ ^2 1 Ятг2 ________Р __ .
“ "3 “И ° xLt 1 + е^лр >
1
из последней формулы легко получить числовые результаты, так как в пос-
леднем ряду достаточно удержать только первый член.
Выражая угол отклонения потока в виде
где С площадь поперечного сечения трубы, получим следующие числовые
величины:
Прямоугольная труба
*.......... 1/4	1/2	1/]/2	1	2	4
I.......... 0,524	0,274	0,238	0,274	0,524	1,048
СКОС ПОТОКА И ДЕГРАДАЦИЯ СТАБИЛИЗАТОРА
141
Эти числовые значения указывают на следующий любопытный факт: в
рассматриваемых пределах влияние одинаково как для трубы с шириной b
и высотой Л, так и для трубы с шириной У~2П и высотой Наилучшее зна-
чение отношения ширины к высоте, при заданной площади, равно}/2, и вли-
яние в этом случае несколько меньше, чем в трубе с круглым сечением, для
которой 3 имеет значение 0,25.
4.	СКОС ПОТОКА И ДЕГРАДАЦИЯ СТАБИЛИЗАТОРА.
Предыдущий анализ исследует влияние, оказываемое ограничением по-
тока на крыло или систему крыльев, и дает поправки, которые нужно внести
в значения угла атаки и козфициента сопротивления, полученные в трубе.
Влияние это сводится к отклонению потока на угол et; это отклонение уве-
личивается вблизи стабилизатора на добавочный угол е2. Следовательно угол
скоса е и угол деградации стабилизатора aclrt будут в трубе меньше, чем в
свободном потоку, и в них необходимо ввести следующие поправки:
Де — ех + е2,
= £2-
Чтобы определить угол е2’ необходимо подсчитать индуцированную ско-
рость, вызванную системой изображений, вблизи стабилизатора модели. Рас-
смотрим сначала действие одиночного крыла с равномерным распределением
нагрузки по размаху на точку (х, у, z), где х измеряется назад по потоку,
у вправо и z вверх. Полное выражение для нормальной индуцированной
скорости будет, согласно изложенному в гл. XII, 2,
это выражение можно упростить, предполагая, что х величина того же по-
рядка, что и J, а ]/у2 4-z2 велико сравнительно с В первом приближе-
нии величина ш будет иметь вид
w _ I у8 — z2 с __________ 1	— 2z3)
4тг (у2 + za)3 ° * 4я (у2 + z2)2>® °
,	s г
где J заменено на ^oyV,
Первый член не зависит от х и дает выражение, при помощи которого
мы ранее подсчитывали ех. Второй член представляет добавочное влияние
в точке около стабилизатора модели аэроплана; следовательно значение е2
для трубы с прямоугольным сечением можно подсчитать по формуле
2 4jr&s АДУ (m2 + Я2л2)3'6) ’
причем h == "kb, как и раньше. Эту формулу можно иаписать в виде
7К	ВЛИЯНИЕ ТРУБЫ НА МОДЕЛЬ КРЫЛА
числовые значения для величины 3' получаются следующими:
1 = i/2>	о' = 0,585,
Х=1,	5' = 0,480.
5.	СВОДКА ПОПРАВОК НА ВЛИЯНИЕ ТРУБЫ.
Аэродинамические характеристики модели аэроплана, полученные из
испытаний в закрытой аэродинамической трубе, должны быть исправлены на
влияние стенок трубы соответственно на следующие величины:
угол атаки	Aa^q,
деградация стабилизатора Дат = е2,
угол скоса	Де = q + £3,
коэфициент сопротивления ДСа = EjC^,
где Ej и е2 определяются по уравнениям
где S—полная площадь крыльев модели,
х — расстояние стабилизатора от центра тяжести,
С—площадь поперечного сечения трубы,
h—высота трубы, измеряемая перпендикулярно к размаху модели.
Все углы измеряются в радианах, коэфициенты 5 и 8' имеют в обыч-
ных случаях следующие значения:
Труба	й	й'
Круглая........................ 0,250	—
Квадратная..................... 0,274	0,480
Прямоугольная (Ь — 2й)	. . .	0,274	0,585
ГЛАВА XV.
ГРЕБНОЙ ВИНТ: ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ПРОПЕЛЛЕРА.
Нормальный винт состоит из некоторого числа одинаковых лопастей, се-
чение которых на расстоянии г от оси вращения винта имеет форму,
похожую на профиль крыла; хорды этих сечений наклонены к плоскости
вращения под углом О. Угол установки лопасти О и относительная толщина
профиля убывают к концу лопасти. Если винт движется в воздухе, как в
твердом теле, путь, пройденный им за один оборот, будет 2;:rtgO; эта вели-
чина определяет шаг винта. В действительности эта величина меняется в за-
висимости от радиуса; обычно за геометрический шаг винта принимают шаг
на радиусе, равном двум третям радиуса винта. Так как в действительности
винт работает в податливой среде, путь винта за один оборот, или так назы-
ваемая поступь отлична от геометрического ш га винта.Значение поступи
винта, при которой он не дает тяги, называется динамическим шагом; очень
часто за характеристику винта принимают отношение динамического шага
к диаметру.
Обычно'винт испытывает действие некоторого момента, оказывающего
сопротивление его вращению, и создает тягу, направленную поегози. Тяга
Р и момент М являются функциями осевой скорости V, числа оборотов п
(или угловой скорости £1) и диаметра D. Режим винта определяется поступью
удобнее выражать этот параметр в безразмерном виде
Стандартные абсолютные коэфициенты для тяги и момента винта будут
enzD* и 11 gnaD6 ’•
иногда удобнее употреблять коэфициенты
, _ Р , __ м
а — еу’а£>я и f* —	‘
Употребляются также и другие коэфициенты; такие коэфициенты можно
например получить, взяв угловую скорость £1 вместо п, ометаемую площадь
винта ^D2 вместо Z)2, и скоростной напор l2?V2 вместо рУ2. Эти коэфициенты
отличаются только числовыми коэфициентами от вышеприведенных; ими удобно
пользоваться в некоторых частных случаях.
Винт употребляется в самых разнообразных случаях, главные из ко-
торых:
1)	Гребной винт. Винт, упо-фебляемый для получения тяги на са-
молете; предназначен создавать большую полезную мощность PV при задан-
ной мощности £hVf.
2)	Ветряк. Винт, предназначенный для получения мощности при отно-
сительном движении в воздушном Потоке. Необходимо провести различие
144	ГРЕБНОЙ ВИНТ
между ветрянкой на самолете, работающей на большой скорости, сопротив-
ление которой имеет большое значение, и ветряком, установленным на земле,
работающим при малой скорости, сопротивление которого не имеет сущест-
венного значения.
3)	Вентилятор. Винт, употребляемый для создания воздушного потока.
4)	Анемометр. Винт, употребляемый для определения аксиальной
скорости в зависимости от скорости вращения.
Основы теории работы винта одинаковы во всех случаях и не зависят
от его назначения. При проектировании методы меняются; кроме аэродина-
мических соображений приходится считаться с услоЕичми прочности и пре-
дельных размеров. Для того же назначения, что и винт, употребляются мно-
гие приборы иного типа; в частности полусферические чаши, посаженные на
концах радиальных стержней, употребляются в качестве ветряков и анемо-
метров; однако все эти приборы образуют особый класс, отличный от винтов.
Если винт имеет большой диаметр или большую скорость вращения,
окружная скорость конца лопасти достигает величины порядка скорости звука’
и сжимаемость воздуха может весьма сильно изменить силы, действующие на
элемент лопасти. Это влияние не имеет значения, пока скорость конца лопа-
сти (тг£)п) не превосходит 250 м!сек} развивая теорию винта, мы будем пред-
полагать, что сжимаемостью воздуха можно пренебречь. До сих пор не су-
ществует теории, учитывающей влияние сжимаемости воздуха. Изменение ха-
рактеристик винта при высоких окружных скоростях должно учитываться
на основании экспериментальных исследований.
ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ПРОПЕЛЛЕРА.
Простой метод исследования работы винта, основывающийся на работах
Ранкина и Фруда, заключается в под:чете количества движения и кинетиче-
ской энергии жидкости. Предположим, что винт имеет бесконечно большое
число лопастей, так что фактически он обращается в сплошной диск; пред-
положим далее, что тяга распределена равномерно по площади этого диска.
ИдеалЬнЬю
Фиг. 107.
вращением потока под действием момента пренебрегаем х; предполагаем,
!то осевая скорость жидкости непрерывна при переходе через плоскость винта,
ак чго поток непрерывен. С другой стороны, давление жидкости получает
незапное приращение р', равное величине тяги на единицу площади диска;
(озади винта образуется струя жидкости с повышенной скоростью. Будем
бозначать эту упрощенную схему винта термином «идеальный пропеллер»;
есьма интересные результаты можно получить, рассматривая количество дви-
сения и баланс энергии потока. «
Рассмотрим пропеллер в потоке со скоростью V; общий вид потока по-
азан на фиг. 107.
1 Расширение теории идеального пропелле ра, учитывающее вращение, дано A. Betz,
ine Erweiterung der Schraubenstrahltheorie. 7.FM юол
ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ПРОПЕЛЛЕРА	145
При приближении жидкости к диску осевая скорость возрастает до ве-
личины (У-f-v), а давление падает от р0 до р. Осевая скорость не меняется
при переходе через диск, но возрастает до величины (У 4- рг) в струе далеко
за пропеллером; давление внезапно возрастает до величины (р 4- р') непосред-
ственно за ним, а далее постепенно падает до первоначального значения р0.
Поток всюду безвихревой, за исключением поверхности разрыва давления
при переходе через пропеллер, а следовательно имеем право применить урав-
нение Бернулли к движению отдельно перед и отдельно за пропеллером.
Полный напор в обеих областях имеет величину
й.= ро +2p^2 = P+2₽(V+ v>®>
wi = Po+ ^?<V + v1)2=p + p'+2p(V4-v)«;
следовательно
р' = ио = f>(V +1 vjvv
Рассматривая изменение количества движения в единицу времени, по-
лучим, что тяга равна
Р — Fp(V 4- v)vi,
где F—площадь пропеллера; отсюда, так как р' равно величине тяги на еди-
ницу площади, получим
р' = р(У 4- v)^.
Сравнивая оба выражения для р’, найдем, что
1
v = 2v3.
Следовательно половина добавочной скорости (скорости отбрасывания)
получается перед и половина за пропеллером; тяга получается в виде
Р = 2Fp(V 4- v)v.
Изменение кинетической энергии в единицу времени равно
Е = 2Fp{V 4- у){(У 4- v)2 — У2} - 2Fp(V 4-[v)2v = P(V 4- v);
последнее выражение представляет работу, совершенную Ллой тяги пропел-
лера при движении жидкости сквозь его диск. Пусть Q—угловая скорость
вращения и М—момент винта; полная мощность винта равна ОМ; следова-
тельно
ОМ = Р(У 4- v).
Рассмотрим теперь случай, когда вся жидкость неподвижна, а винт дви-
жется в ней со скоростью У. Соотношение между тягой и скоростью не ме-
няется; но теперь мощность, создаваемая тягой, разделяется на полезную
мощность движения винта РУ. и мощность, отдаваемую жидкости, Pv; вто-
рой член равен изменению кинетической энергии в единицу времени
Е ’ Рр(У 4- v)Vi = 2Рр(У 4- v)v2 = Pv.
Идеальный козфициент полезного действия.
Козфициент полезного действия винта, определяемый как отношение
полезной и затраченной работ, будет
PV V ,
"G = .... =	--'
,46
ГРЕБНОЙ ВИНТ
Можно обозначить у = aV так, что коэфициент полезного действия пр
нимает вид
Это выражение дает идеальный коэфициент полезного действия, никогда
не достигаемый на практике. Оно получено в предположении, что единствен-
ная потеря мощности состоит из кинетической энергии осевой скорости в
отходящей струе; в действительности существуют еще следующие источники
потери мощности:
1)	сопротивление трения лопастей винта,
2)	кинетическая энергия вращения потока,
3)	периодичность потока и потери тяги на концах лопастей, так как
тяга распределяется неравномерно по диску винта.
Наиболее важной из этих потерь обычно бывает потеря на сопротивле-
ние трения лопастей винта; при обычных условиях работы винта действи-
тельный коэфициент полезного действия составляет 85% от идеального. Ис-
следование идеального коэфициеита полезного действия является тем не менее
весьма важным способом определения действительного коэфициеита.
Так как
Р = 2ЛрУ2(1 + а)а,
а = oV^D2 = 2	а^а'
то	__ ____ ______________
1+2«=/1 + |«'=/1 + ^,;
в последнем выражении у корня взят положительный знак, так как а обра-
щается в нуль одновременно с тягой. Когда V обращается в нуль, а стре-
мится к бесконечности, но скорость потока в плоскости винта имеет конеч-
ное значение
v aV ,/*2
—=7 =	~	= V а.
nD nD V тг
Предположим, что на вращение винта затрачивается мощность Т. При-
равнивая tjT работе силы тяги, получим уравнение
= PV = I D2?V3(l 4- а)а
или
1 — Г) 2 _Т__
Г}3 tiqV3D3*
Это уравнение определяет идеальный коэфициент полезного действия в
функции от мощности, диаметра винта и скорости. Мощность должна выра-
жаться в тех же единицах, что и прочие величины; обычно она выражается
в кгм/сек. Зависимость между косфициентом полезного действия и :ко: фици-
ентом мощности приведена в табл. 20 и на фиг. 108. Коэфициент полезного
Таблица 20.
4	pV8D®	Ч	Т pV3D*	Ч	Т ?V3D*
100,0	0,000	90,0	0,216	89,0	0,614
97^5	0,042	87,5	0,294	77,5	0,759
95,0	0,092	85,0	0,384	75,0	0,932
92,5	0,149	82,5	0,490	72,5	1,133
ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ПРОПЕЛЛЕРА
147
действия весьма быстро падает при возрастании козфициента мощности; это
обстоятельство указывает на большие потери при нагрузке винтов малых
диаметров большими мощностями.
Мощность, развиваемая мотором при данных давлении и температуре,
зависит только от числа оборотов; поэтому удобнее писать выражение для
козфициента полезного действия в иной форме:
где п — число оборотов винта в секунду; если употребляется мотор с редукто-
ром. ОНО отличается ПТ числа ЛАОГЮТПВ МПТППЯ Пл QT-лй Лппмшк. norvn пииоппгп.
148
ГРЕБНОЙ ВИНТ
кривые идеального козфициента полезного действия в зависимости от поступи
при данном значении -	; этн кривые изображают изменение идеального
козфициента полезного действия винта, вращающегося с постоянной угловой
скоростью, при изменении шага лопасти или поступи; типичные кривые та-
кого рода показаны на фиг. 109. Идеальный коэфициент полезного действия
возрастает с увеличением X сначала быстро, а потом медленно; его предель-
ное значение равно единице.
Ветряки.
Теорию идеального пропеллера можно также приложить к задаче о вет-
ряке, предназначенном для получения мощности при движении относительно
жидкости. На ветряк действует отрицательная тяга, иначе говоря, сопротив-
ление, а жидкость в потоке замедляется; поэтому удобнее писать у' = — у.
Уравнение, связывающее скорость с сопротивлением Q, будет
Q ~ 2Fp(V — v')v'.
Рассмотрим сначала случай ветрянки на самолете. Количество энергии,
проносимое воздухом через ветрянку в единицу времени, будет
£ =	—р')р'2,
а работа в единицу времени силы сопротивления ветрянки QZ. Отсюда сле-
дует, что от ветрянки можно получить мощность
T=^£1M=QV — E = 2рЛ(Р — v')2v',
а коэфициент полезного действия ветрянки определится из уравнения
, _	_ V—V'
~ QV ~ V '
Это выражение равно обратной величине козфициента полезного дей-
ствия винта.
Связь между коэфициентом полезного действия и полезной мощностью
ветрянки будет выражаться уравнением:
2 Т
= лрУ3Ьг *
При заданных диаметре и скорости мощность получается максимальной,
когда тп ' = „ и v =Д; она имеет величину
•5	о
Т„„ = рга2 = 0,232plZ’D2.
Случай ветряка, стоящего на земле, отличается от предыдущего тем,
что теперь сопротивление не имеет значения. Мощность, развиваемая ветря-
ком, остается без изменения, но понятие коэфициента полезного действия
теряет свою роль. Если бы ветряка не было, поток энергии сквозь площадь
Р был бы равен
использование ветряка лучше всего оценивается отношением полезной мощ-
ности ветряка к потоку энергии; это отношение называется «коэфициентом
использования энергии ветра». Он равен
= 4(V-v',V
Ч	у»
и имеет максимальную величину
Vi* = 16 — 0 593
ГЛАВА XVI.
ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТА ЛОПАСТИ ВИНТА.
Если желательно получить более глубокое представление о работе винта,
чем предлагаемое теорией идеального пропеллера, необходимо обратиться к
исследованию сил, действующих на лопасти винта, и рассматривать каждый
элемент лопасти как элемент крыла, движущийся как нечто самостоятельное.
Достаточно ограничиться теорией обычного тянущего винта, работающего в
обычных условиях. Теории для других типов винтов и других условий ра-
боты можно рассматривать как некоторые модификации основной теории.
Предположим, что винт вращается вокруг своей оси с угловой ско-
ростью О и помещен в равномерном потоке, идущем параллельно его оси со
скоростью У. Сечение лопасти винта имеет форму профиля крыла; подъемная
сила, действующая на элемент лопасти при его движении относительно жид-
кости, должна быть связана с циркуляцией жидкости вокруг лопасти. Так
как циркуляция меняется вдоль лопасти от корня к концу, с лопасти должны
сбегать вихри, идущие в потоке позади винта вместе с жидкостью по траек-
ториям, приближающимся к винтовым линиям. Эти вихри сосредоточены
главным образом у корня и у концов лопастей; таким образом струя винта
состоит из некоторой завихренной массы жидкости, причем вихри сосредото-
чиваются у оси и у границы струи. По аналогии с общей теорией крыла
можем заключить, что каждый элемент крыла нужно рассматривать как
крыло в плоско-параллельном потоке; скорости этого потока образуются
благодаря сбегающим вихрям. Точное определение скоростного поля пред-
ставляет весьма сложную задачу благодаря периодичности потока; для боль-
шинства практических приложений вполне достаточно заменить периодически
меняющийся поток некоторым средним потоком. Эта замена равносильна
предположению, что при исследовании скоростного поля сбегающих вихрей
можно тягу и момент, действующие на конечное число лопастей на некото-
ром радиусе, заменить равномерным распределением тяги и момента по ок-
ружности того же радиуса.
При изложении теории мы будем также предполагать, что угловая ско-
рость винта не принимает таких значений, при которых окружная скорость
конца лопасти приближается к скорости звука. О влиянии сжимаемости воз-
духа на характеристики крыла, движущегося с весьма большой скоростью,
известно очень мало; при дальнейшем прогрессе знаний в этой области как
в теории, так и в эксперименте, теория винта должна быть изменена с целью
учета влияния сжимаемости.
Рассмотрим теперь вращательное движение жидкости; очевидно, что мо-
мент винта вызывает вращение жидкости в струе винта относительно оси;
перед винтом и вне границ струи такое вращение существовать ие может1.
---——— -
1 Эгот результат вытекает из общей теоремы в гл. IV. См. также G. J. Taylor,
The rotational inflow faktor in propeller theory, R&M, 765, 1921.
150	ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТА ЛОПАСТИ ВИНТА
Это вращательное движение вызывается частично сбегающими вихрями, час-
тично циркуляцией вокруг лопастей. Вызываемый сбегающими вихрями поток
в плоскости винта имеет угловую скорость того же направления, что и
угловая скорость вращения винта; циркуляция вокруг лопастей винта вы-
зывает равные и противоположно направленные угловые скорости в плоскости
непосредственно перед и за винтом. Сумма обоих компонентов перед винтом
должна равняться нулю, так как вращение не может появиться, пока поток
не достигнет вихревой системы винта. Отсюда следует, что угловая скорость
непосредственно позади винта равна 2со, а поток, вызываемый системой сбе-
гающих вихрей, имеет угловую скорость со.
Момент количества движения в струе винта тесно связан с моментом
винта. Рассмотрим элемент лопасти dr на расстоянии г от оси; пусть dM
момент, действующий на этот элемент, а Vx осевая скорость На кольцевом
элементе. Приравнивая момент величине изменения момента количества дви-
жения в единицу времени, получим,
dM = 2-Krdr • рУх • 2cora,
или
d-~ = 4тгг»рУО(1 + a)a',
где
co = Qa'.
Величины а и а' представляют влияние системы вихрей и называются
коэфициентами влияния для осевой и угловой скоростей. Осевая скорость
должна изменяться непрерывно при переходе через плоскость винта и имеет
одну и ту же величину ух Непосредственно перед и за винтом. Приращение
скорости по сравнению со скоростью далеко перед винтом целиком выз-
вано системой сбегающих вихрей; эта индуцированная скорость равна (Ух— V)
или аУ. При определении величины индуцированной скорости предположено,
что сбегающие вихри идут назад по винтовым линиям. Это допущение равно-
сильно предположению, что можно пренебрегать сужением струи, получающимся
в действительности; оно теряет силу, когда коэфициент влияния а имеет
значительную величину. Индуцированная скорость такого идеального вихре-
вого цилиндра в бесконечно-удаленной точке позади винта равна удвоенной
величине индуцированной скорости в плоскости винта, лежащей На конце
цилиндра; следовательно осевая скорость далеко позади винта имеет величину
У(1 + 2а). Этот результат находится в полном согласии с выводами теории
идеального пропеллера.
Уравнение количества движения для элементов лопасти можно теперь
написать прямо в виде
= 4тсгрУ2(1 + а)а.
Это уравнение не совсем точно. Оно основано на предположении, что
можно пренебрегать сужением струи при определении индуцированной скорости;
иначе говоря, пренебрегается уменьшением давления в струе, получающимся
благодаря скорости вращения. Ошибка получается малой для гребных винтов,
работающих в обычных условиях; это уравнение количеств движения необхо-
димо заменить более точным соотношением в некоторых специальных случаях,
например в случае винта, работающего на месте.
Рассматривая систему сбегающих вихрей, мы приходим к интересному
выводу, что индуцированный поток у элемента лопасти на расстоянии г от
оси зависит только от сил, действующих на этот элемент; на него не влияют
элементы, лежащие нд других радиусах. Рассмотрим действие одного элемента
ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТА ЛОПАСТИ ВИНТА
151
лопасти dr. Сбегающие с концов элемента вихри лежат на поверхности ци-
линдров с радиусами г и r + dr; вихрь может быть разложен на две состав-
ляющие, из которых одна параллельна оси винта, а другая перпендикулярна
к радиусу; совокупность последних образует вихревое кольцо. Первая состав-
ляющая вихря'работает подобно ролику, расположенному между вращающимся
слоем воздуха, заключенным в промежутке, образованном цилиндрами и
остальной массой воздуха. Но вся остальная масса воздуха не может полу-
чить циркуляции вокруг осп; следовательно вращение от действия момента
элемента лопасти сообщается только массе жидкости между цилиндрами. От-
сюда заключаем, что индуцированная скорость вращения вызывается только
элементом лопасти, с которого сбегают вихри.
Подобное же рассуждение приложимо и ко второй составляющей вихря;
таким образом независимость элементов лопасти на разных радиусах доказана.
Этот теоретический результат имеет весьма большое значение и подтверждается
для главных рабочих сечений лопасти винта специально поставленными
опытами1. Вблизи концов лопасти условия меняются благодаря радиальному
потоку воздуха, которым мы пренебрегали при изложении теории.
Рассмотрим силы, действующие на элемент лопасти на расстоянии г от
оси (фиг. ПО) Жидкость набегает на элемент лопасти, имея составляющие
скорости: осевую У(1 4-а) и окружную rfl(l —а'); результирующая IVнакло-
нена к плоскости вращения под углом определяемым из уравнения
_ Vl + a1
rQ i — а')‘
Пусть будет О угол наклона профиля к плоскости вращения; тогда про-
филь будет работать с углом атаки а= G—при этом на него будут дей-
ствовать такие же силы с коэфициентами Су и Сх> как если бы поток был
плоско-параллельным. Составляющие силы в направлении тяги и окружного
усилия будут иметь козфициенты:
= C^coso — С, sin ср,
'Ь =	cos <р;
элементарные величины тяги и момента от элемента площадью bdr будут
dp = ф1р Wzbdr,	’
dM = ^2$Wzbrdr.
Эти выражения необходимо помножить на число лопастей i, чтобы получить
элементарные значения тяги и момента всего винта; введем безразмерную
величину а, определяемую уравнением
1 Lock, Bateman и Townend. Experiments to verify the independence of the elements
of an airscrew blade, R & M, 953, 1924.
эта величина представляет отношение суммарной площади всех элементов ло-
пастей, заключенной между цилиндрами г и r-\-dr, к площади кругового
кольца шириной dr на радиус г; мы будем называть ее величиной пере-
крытия.
Элементарные тягу и момент винта можно теперь выразить в следую-
щем виде:
=2irarpV2(l -4- а)2Ф1 csec2? = 2irar3p£i2(l—а')2(К sec2 ?,
= 2irar2p V2(l 4" а)2(р2 csec2 ® == 2irar4p£i2(l ’— а')Ча sec2 ?
Ранее были получены значения тяги и момента по теореме о количестве
движения; приравнивая оба выражения, получим уравнения связи для коэ-
фициентов влияния:
a
1 Ч- а 1 — ccs2y *
Д' ___
I —ar	sin 2 о ’
Поступь винта получается из уравнения
•ч V г V г 1 — а'
Х=^ = 1'«Д? = ’' R.+I*!?'
а тягу и момент можно написать в следующем безразмерном виде:
R % = 1 ’’G)’ 5 (1 — a')4i sec2 ?>
R > = 4 "’(r)4 С<1 — “Tls sec2 ?•
При подсчете характеристик винта выбираем на лопасти несколько се-
чений, для которых известны величины ", и, 0 и характеристики профиля,
т. е. зависимость Су и Сх от а. Исходя из ряда значений а для каждого
сечения, можно последовательно подсчитать соответствующие значения а, а',
X, da и dpt,1. Детали подсчета для типичного элемента лопасти даны в табл. 21-
Таблица 21. Подсчеты для элемента лопасти.								
	г R		= 0,70, o’= 0,10,			О = 24°.		
I							_ da	dft
a	9	V1	Уа	a	a	Z	R -г dr	R -г- dr
4°	20°	—0,006	0.018	—о,огз	0,003	0,80	—0,004	0,0038
6	18	0.102	0,044	0Д56	0,007	0.67	ОД 59	0.0С89
8	16	0,205	0.(66	0,156	0,012	6,54	0,115	0,013)
10	14	0,3 5	ОД 82	0,353	0,017	0,40	0.166	0,0156
12	12	0,399	0,089	0.829	0,021	0,25	0,2 7	0,0166
14	10	0,482	0,093	4,000	0,026	0Д8	0,259	0,0'69
16	со	0,568	0,099	- 3J3)	0Д32	—0.14	0,288	0.0169
Для каждого элемента вычерчиваются кривые и р~в зависимо-
сти от X; наконец значения, полученные из этих кривых при заданном для
разных сечений X, наносятся в зависимости от радиуса; таким путем получа-
1 Не надо смешивать a — коэфициент тяги и a—угол атаки лопасти.
Примеч. ред.
ТЕОРИЯ ЭЛЕМ НТ А ЛОПАСТИ ПИНГА
J. W
ются кривые распределения тяги и момента по радиусу. Интегрированием
этих кривых получаем полную тягу и момент винта (фиг, Ш); необходимо
ввести в значение тяги небольшую экспериментальную поправку на сопро-
тивление втулки винта.
Вследствие изменения угла наклона лопасти, хорды и формы профиля
вдоль лопасти невозможно получить простое аналитическое выражение для
тяги и момента винта, однако общее представление о характеристиках винта
можно получить, рассматривая один типичный элемент лопасти.
При нулевой поступи (X = 0) коэфициент влияния а стремится к беско-
нечности, так как осевая скорость в плоскости винта остается конечной, в то
время как скорость V стремится к нулю. Это условие дает
= 2 sin3 ф,
а так как ® мало, это уравнение превращается в
сС9=2&,
где С9 взято при угле атаки (О — ф). Этот режим соответствует положительным
значениям ф у обычного гребного* винта.
Другая граница работы винта получается, когда тяга равна нулю; эта
точка получается из уравнения
C, = C„tgip,
так что на элемент действует малая положительная подъемная сила. В этой
точке момент имеет положительное значение; исчезает он при несколько
большей пос7упи, соответствующей
= —C^ctgtp.
между этими двумя точками винт работает как тормоз; после точки, в кото-
рой момент обращается в нуль, винт работает как ветряк.
Коэфициент полезного действия элемента лопасти равен
__ VdP__ V ____ I — a' tg ?
~ QdM ~ rQ ^2 “ I + a tg (? + у) ’
где положено

лет»
ТЮРИ ЭЛЕМЕ ТА Л ПАСТИ ВИНТА
Сравнивая это выражение с идеальным коэфициентом полезного действия
полученным в теории идеального пропеллера, найдем, что добавочные
источники потери мощности выражаются через
1) а'—влияние вращения струи,
2) у—влияние профильного сопротивления лопастей.
Первая из этих потерь весьма мала на основном диапазоне работы винта;
напротив, профильное сопротивление играет весьма важную роль, особенно,
когда элемент работает на режиме, при котором подъемная сила мала.
Фиг. 112 показывает изменение коэфициента полезного действия элемента,
характеристики которого даны в табл. 21; пунктирная кривая представляет
коэфициент полезного действия в предположении, что профильное сопротивле-
ние равно нулю.
Потери в козфициенте полезного действия можно также иллюстрировать,
разбирая баланс мощностей для элемента лопасти. Мощность, затрачиваемая
на вращение элемента лопасти, равна QdM; эта мощность распределяется
следующим образом:
VdP—полезная работа тяги,
aVdP—кинетическая энергия потока, движущегося в осевом направ-
лении.
a'LldM—кинетическая энергия вращения потока,
dE—-потери энергии от сопротивления лопастей.
Значение dE получается из уравнения
dE = (1 — a')QdM — (1 -\-a)VdP = pW4bdr {(1 — a')Qr[2—(1 4-a)V<h) =
=pW2iWr W 1ф2 cos <p — фх sin ® |» CxpW*ibdr  IF;
ТЕ OP НЯ ЭЛЕМЕНТА ЛОПАСТИ ВИНТА
155
из последнего выражения ясно видно, что эта величина является мощностью,
затрачиваемой на сопротивление сечения, движущегося относительно жидкости
со скоростью IV.
Интересно также выяснить связь между циркуляцией вокруг элемента
лопасти и циркуляцией в струе позади винта. Циркуляция вокруг элемента
лопасти равна CvbW; соответствующая циркуляция в потоке имеет величину
J = iCybW = 2ncrWCy;
полная циркуляция в струе будет
J' ~ 2~г - 2Оа' = 4w2U(l —а')сф2 csec 2 ср = 2т:бт(С(/ Сх tg <р).
Следовательно
J'__Cv sin <t> + сх cos ?
J ~~ Су sin ?
Циркуляция в потоке за винтом зависит отчасти от циркуляции вокруг
Элементов лопасти, связанной с поденной силой, отчасти от сопротивления
элементов лопастей, . Обе эти части пропорциональны частям элементар-
ного момента, производимым соответственно подъемной силой и сопротивле-
нием, т. е. пропорциональны величинам С;! sin и Сх cos ; благодаря
влиянию сопротивления элемента лопасти и получается разница между цир-
куляциями J и J'. Вихри в плоскости винта имеют сложную природу; час-
тично они получаются благодаря циркуляции вокруг лопастей, частичн»
благодаря сопротивлению лопастей; последние являются свободными вихрями.
При помощи расчета для типичного элемента лопасти можно иллюстри-
ровать влияние изменения шага на характеристики винта. Фиг. 113 дает
кривые коэфициеита полезного действия элемента лопасти при изменении угла
756
ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТА ЛОПАСТИ ВИНТА
наклона хорды на 4° в обе стороны; они показывают, что максимальный коэ-
фициент полезного действия возрастает при увеличении шага. Таким обра-
зом аэродинамические соображения показывают, что выгоднее применять
винты большого диаметра и с большим шагом; предел этому увеличению
кладут конструктивные соображения. Винт должен поглощать вполне опреде-
ленную мощность при определенной скорости вращения; поэтому возраста-
ние диаметра или угла наклона лопа-
сти повлечет соответствующее умень-
шение ширины лопасти. Этот процесс
очевидно ограничивается теми сообра-
жениями, что винт должен быть доста-
точно прочен, чтобы выдерживать цен-
тробежные и скручивающие усилия;
с другой стороны, при увеличении
диаметра винта необходимо учитывать
нежелательность приближения окруж-
ной скорости конца лопасти к скоро-
сти звука. Частично можно избежать
этих трудностей путем установки реду-
ктора между мотором и винтом, при ко-
тором винт имеет меньшее число обо-
ротов, чем мотор. Однако это влечет
за собой увеличение веса и падение ко-
эфициента полезного действия от пере-
дачи; детальное решение задачи о вы-
боре наивыгоднейшего винта для за-
данного случая лежит вне рамок этой
книги.
Аэродинамическая теория была из-
ложена для случая тянущего винта,
который дает тягу в направлении дви-
жении вдоль оси; необходимо исследо-
вать, насколько эта теория приложима
также к винтам, работающим в других
условиях. Фиг. 114 схематически по-
казывает различные типы потоков, по-
лучающихся у обычного гребного вин-
та при различных положительных и
отрицательных величинах поступи.
Тип 2 относится к нормальным усло-
виям работы; если осевая скорость V
возрастает, винт переходит на условия
типа 7, при которых он сначала ра-
ботает как тормоз, а потом как ве-
тряк. Особого типа потоки получаются при отрицательной поступи. Тип</
представляет поток для нулевой поступи, являющийся предельным для слу-
чая (2); как только осевая скорость становится отрицательной, вокруг винта
образуется вихревое кольцо; соответствующий поток обозначен на фигуре
как тип 4. При больших отрицательных скоростях получаем потоки типа 5
и б. Первый представляет случай, когда за винтом образуется водоворот,
подобный водовороту за утесом в море; в последнем случае мы возвращаемся
опять к начальному типу 7, но с противоположным направлением движения.
В теории предполагается существование ясно выраженной струи; сле-
довательно она приложима к типам 1 и 2. В случае вихревого кольца
ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТА ЛОПАСТИ ВИНТА	757
уравнения количества движения не имеют места ни для осевого, ни для вра-
щательного движения; тяга и момент зависят от быстроты рассеяния энер-
гии при движении в вихревом кольце. Теория не приложима также при дви-
жении типа 5; ее можно вероятно приложить лишь как грубое прибли-
жение к случаю 5, представляющему переход от режима вихревого кольца
к нормальным условиям работы. Последний режим 6 подобен типу 1, ив
этом случае теория как-будто приложима, но необходимо внести некоторые
изменения в уравнения количеств движения в силу того, что движение по-
тока сквозь диск винта меняет свое направление. При выводе этих уравне-
ний скорость или V (1 + а) представляет скорость потока в плоскости
винта и ее должно рассматривать как существенно положительную; поэтому
в случае отрицательной поступи знак количества движения в выражениях
тяги и момента должен быть изменен, что сводится к перемене знака у вы-
„ д	д'	_
ражений и , приведенных выше. При условии этого изменения
теория приложима к винту с отрицательной поступью в предположении, что
сзади винта образуется струя. Следовательно условие справедливости теории
требует, чтобы коэфициент влияния а удовлетворял неравенству а >—При
этих ограничениях теория приложима к любому типу винта, независимо от
его назначения (винт на самолете, ветряк, вентилятор и т. п).
ГЛАВА XVII.
ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЫ НА ВИНТ.
Модель винта, испытываемая в аэродинамической трубе, возмущает рав-
омерный поток, даваемый вентилятором трубы; поток от модели распростра-
няется на значительное от нее расстояние. Однако он стеснен стенками трубы;
авномерная осевая скорость, устанавливающаяся на достаточно большом рас-
стоянии перед винтом в трубе, отличается поэтому от той же скорости в сво-
бодном воздухе. Следовательно необходимо определить эквивалентную
скорость в свободном воздухе V' , соответствующую скорости в трубе, при
которой получаются те же тяга и момент *. Теоретическое решение этой за-
дачи можно получить, распространив теорию идеального пропеллера на слу-
чай винта, работающего в трубе. Эквивалентная скорость определяется из
условия, что осевая скорость в плоскости винта будет такая же, как н при
испытании в трубе, это ставит винт в те же условия работы, как и в дей-
ствительности, если пренебрегать изменением окружной скорости. Эквивалент-
ен скорость прн обычных условиях работы винта меньше, чем скорость в
срубе.
Что касается замены влияния стенок трубы понятием эквивалентной
гкорости, то оно справедливо при равномерном распределении осевой скорости
ю всему диску винта. Это условие приблизительно осуществляется на глав-
ных рабочих сечениях винта и нарушается у концов лопастей. Следовательно
сривые распределения тяги и момента по лопасти винта будут слегка отли-
ваться у винта в свободном воздухе и винта в трубе; несмотря на это рас-
матриваемый метод достаточно точен для полных тяги и момента. Он теряет
вое значение около нулевой поступи, так как при этом не получается пред-
ложенный в теории тип потока.
Тип принятого потока показан на фиг. 115. V равно скорости в трубе,
\ — скорости в плоскости винта, — скорости в струе далеко за винтом и
7 — скорости вне струи. Давление меняется от первоначального значения р
,о значения рг далеко за винтом.
Пусть F площадь диска винта, S площадь поперечного сечения струи и
- площадь сечения трубы. По условию неразрывности
SV3 = FVlf
(С — S)U=CV —FVi;
о уравнению Бернулли
 - (р,+-г? V?) - (р + j р V2) = (р, + '2Ж) - (р, + ' р U*)=2?( VI - if) .
г Wood a. Harris, Seme notes on the theory of an airscrew working in a wind chan-
,1 о
ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЫ НА ВИНТ	t 75*?
Наконец уравнение количеств движения дает
P = SpV,(V2—V) + (C — S)?U (U—V) + C(P1 — P) =
= Sp V, (V, — V) + (C — S) pt/ (U — V) + 2 Cp ( V2 — U2).
p
p
Фиг. 115.
Обозначая
D P 4 t
В — -„ту. = - a
pFV® я
и исключая V2 и U при помощи уравнений неразрывности, получим, срав-
нивая два выражения для тяги,
2BS2 (С — S)2 V2 = (С — S)2 F2 V? — S2 (CV — FVr}2 =
= 2С(С — S)FVi (FVx — SV) — С2 (FVi — SV)2
и
2BFS (C—S)2 V2=2(C—S)a FVi (FVX—S V)— 2S (C—S) (CV—FVJ (FV2—SV)-f-
-V CS {(C— S)2V2— (СV—FV02} =2C (C—S) FVt (FVy-SVj—CS (FVj—S V)2.
Из этих уравнений' получаем
2BS (F— S) (С—S) V2 = C (FVj — SV)2,
BS(CF— Ss) V2 = CFVi (FVi — SV).
При эквивалентной скорости V' получаются те же величины Vj и
но в свободном воздухе
Р= 2FpV1(V1 — V')
ИЛИ
(2Vt—V')2 + |^ + V'2 = 2BV2 + V'2.
Полагая
V--XV',
х2 = 1 4- 2ВХ2,
получим для условий в свободном воздухе
_(x+l)V
 2Z 
Полагая также
F=aC,
S=cF,
где а обычно мало, а о колеблется между 0,5 и 1, получим два уравнения в
виде
4 (х2— 1) о(1 — о) (1 — ому) = (х + 1 — 2оХ)2,
э /у_ ПоН — а<Я = (х-Ь 1 — 2аХ).
160
ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЫ НА ВИНТ
Из этих уравнений можно, исключая X, получить уравнение, дающее х
в функции а и а; второе уравнение дает значение X.
Задача определения эквивалентной скорости сводится таким образом к
определению значения X при данных значениях а и В при помощи вспомо-
гательных величин х и а.
Для этой цели перепишем три уравнения в следующем виде:
х — 2 __ (I — ч) (1 — ач)
X + I ~ ч( 1 — ача)а ’
X = 1 + (х—1)аа2 —(-2--~ ’
д (х + 1)(х—1).
для решения этих уравнений можно применить метод последовательных приб-
лижений, подставляя различные значения <7, пока не получится точное
чение В. В качестве указания на первое приближение заметим, что в
бодном воздухе а определяется из уравнений
х2 = 1 + 2В,
2х
В этих уравнениях а равно отношению площади диска винта F к
щади поперечного сечения трубы С, а В — полученное из опыта значение
р
Окончательно эквивалентная скорость получается делением скорости в
трубе V на величину X. Кривые у, в зависимости от
F
чениях а
зна-
сво-
пло-
тываемых
Р
ppyi при различных зна-
даны на фиг. 116. При обычных размерах моделей винтов, испы-
Р
в аэродинамических трубах, значение - бывает около 0,15.
Скорость 8 труде I/ и скорость 8 свободном воздухе
Теоретическая^поправка
в тоубе. Чоезвычайно тоудно
употребляется при испытании моделей винтов
оаспоостоанить теооию на случ й винтя постяв-
ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЫ НА ВИНТ
161
ния 1 * * * дают однако следующие указания: при исследовании осевой скорости
по радиусу непосредственно перед и за винтом оказалось, что скорость стремится
к некоторому предельному значению, которое равно эквивалентной скорости,
получаемой по теории в отсутствии тела. Этот экспериментальный метод был
принят для случая винта в комбинации с телом; эти специальные опыты 8
были сделаны в трубах диаметром 1 200 aim и 2 000 мм.
1 Fage, Lock, Bateman and Williams, Experiment with a famify of airscrew, part 2,
fffcAf, 830, 1922.
‘ Lock и Bateman, The effect of wind interference on a combination of airscrem
and tractor body, ft&M, 94!>, 1924.
II
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адиабатический закон II
Анемометр 144
Атаки угол 7,97, 104, 130, 135
Атмосфера стандартная И
Безвихревое движение 36
Бернулли постоянная 14,35
• уравнение 13, 16, 35
Биплана крылья 124
Вентилятор 144
Ветряк 143, 148
Винт, влияние аэродинамической трубы 158
—, теория идеального пропеллера 143
—, теория элементов лопасти 149
Вихревая линия 94
Вихревая пелена 38, 88
Вихревая трубка 93
Вихри Кармана 73, 86, 89
Внхрв 33, 93
—одиночный 36, 40 44
—присоединенный 95
—свободный 96
Вихря напряжение 33, 93
—неизменяемость 34
Вынос, теорема эквивалентности 131
Вязкости коэфициент 76, 78
Вязкость 10, 75
Давление динамическое 8
Давления центр 7
Движения общие уравнения 82
ДуСлет 26, 37, 40, 44
Дуга окружности, профиль 55, 59
Жидкость идеальная 10, 86
Жуковского гипотеза 52, 89
—преобразование 54, 58
—профили 57, 59, 65,
Звука скорость 14
Зеркальных изображений метод 24
Индуктивное сопротивление 7, 98, 103, 132
Индуцированная скорость 37, 101, 105, 114
Источник 21, 40, 44
Источник н сток 25, 41
Кармана вихрн 73, 86, 89
Комплексное переменное 42
Конформное преобразование 46
Коэфициент полезного действия ветряка 148
— — — винта 148, 155
— — — идеальный 145
Коэфициенты безразмерные 8, 79, 143
Коэфициенты влияния винта 150
Критический угол 8, 90, 91
Круглые трубы 80
Круговой цилиндр 26, 30, 40,44, 50, 80, 89
Крыла вихревая система 95
— поток 114
Крыло, влияние трубы 136
Крыло закрученное 112
—монопланное 101
—прямоугольное 107
—трапецевидное 111
Крылья биплана 124
Крылья тандем 124
Ламинарный поток 76, 82
Лопастн перекрытие 152
Лопасть, независимость действия элемен-
тов 151
Масштабный эффект 80, 90, 91
Момент крыла 7, 62, 68, 110, 130
—при нулевой подъемной силе 65, 69
Момента коэфициент 8
—, общие формулы 61
Монопланное крыло 101
Неразрывности уравнения 40
Окружность и профиль 52
Окружность и прямая 50
Особые точки 48
Перекрытие лопасти 152
Пластинка плоская, наклоненная к потоку 9
— — , нормальная к потоку
51, 72, 89
Пластинки плоской сопротивление трения
85
Плоско-пар аллельный поток 19
Поверхностное скольжение 76, 88
Пограничного слоя теория 84
Подъемная сила крыла 7, 62, 68
Подъемной силы коэфициент 8
—	— общие формулы 61
—	— связь с циркуляцией 31,62
Потенциал скоростей 39, 43
Поток в трубе 80
Преобразование Жуковского 54, 58
Преобразование конформное 46
—	потока 49
Присоединенный вихрь 95
Пропеллер 143
Профиль, дуга окружности 55, 59
Профиль Жуковского 57, 59, 65
Профиль н окружность 52
Профиль симметричный 56, 59
—тонкий 66
Профильное сопротивление 11, 92, 103
Прямая и окружность 50
Разрыва поверхность 38, 72
Разрывной поток 10, 72, 87
Распределение равномерное 98, 115
—эллиптическое 105, 118
Распределения кривые 113
Рейнольдса число 79
Свободный внхрь 96
Сжимаемость 10, 14
Скольжение поверхностное 76, 88
Скоростей поле 37
—потенциал 39, 43
Скорости измерение 14, 16
Скорость индуцированная 37, 101, 105, 114
—эквивалентная 158
Скоса угол 118, 121, 141
Сопротивление индуктивное 7, 98, 103, 132
—профильное И, 92, 103
—трения 85, 92
—формы 74, 92
Сопротивления коэфициент 8, 80
Стабнзлиатора деградация 141
Сток 21
Струя винта 144, 149
Тока линия 12, 40
Тока трубка 12, 17
—функция 19, 40, 44
Трубы влияние 136, 158
Турболентный поток 81, 86
Тяги коэфициент 143
Удлинение крыла 99
Удлинение крыла и его влияние» 106, 10
Установившееся движение 12
Формы сопротивления 74, 92
Характеристическая функция 43
Хорда крыла 7
—средняя 98
Центр давления 7
Циркуляции возникновение 90
—неизменяемость 34
Циркуляция 29, 93
Циркуляция н подъемная сила 31, 62
Число Рейнольдса 79
Шаг 143, 155
Эквипотенциальные линии 40
Эллиптическое распределение 105, 118
СПИСОК ВАЖНЕЙШИХ ОПЕЧАТОК К КН. ГЛАУЭРТА.
Стр.	Стр.	Напечатано	Следует
8	7 св.	в виде р /2У3	в виде p/2V2
16	3 св.	УТ м/сек.	J/Т м/сек.
		иь	иь
26	18 св.		
		S	т
		Us	Us
26	19 св.		
		b	т
зо	14 св.	(гл. III, 6)	(гл. Ц1, 5)
31	фиг. 19	слева сверху вы /ер!	снуть ла
37	5 сн.	(гл. III, 6)	(гл. III, 5)
37	3 сн.	гл. Ill, 5	гл. III, 4
40	11 св.	(гл. III, 2)	(гл. III, 1)
51	фиг. 42	сверху вычеркнуть	z' = iz
69	5 св.	(1 — cos20)0d0	(1 — cos 20) d0
		Г COS П0	Г cos/10
71	1 сн.	\~		 Й0	\	_ —-	— ЙН
		JCOS 6 — cos 0	J cos 0 — COS <p
		0	0
81	5 св.	_ a2 dp	oa dp
		80 dx	8,u dx
81	13 сн.	единой	единичной
84	4 св.	_ 1 дР	_ 1 dP
		Р дх	p
84	2 сн.	Р	V
95	7 св.	Jlids	Jhds
		4лга	4лг3
102	16 св.	L	I
104	14 сн.	di	A
		а	a
		Л	Л
108	19 св.		
		«9	at
122	1 св.	J	J
130	3 сн.	(д|с, + 2 С„)	0(^Cv + 2 Cmo^
156	10 сн.	Тип	Тип 3
160	фиг. 116	SFV2 __	pFV*
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ГОЛУБЕВ, В., проф.
Теория крыла конечного размаха. (Труды ЦАГИ). 18 л.
ЕГОРОВ, Б. Н. н КУЗНЕЦОВ, В. А.
I. Исследование работы винтов таидем в присутствии крыла. II. Приложение вих-
ревой теории к расчету заднего винта комбинации тандем. Егоров, Б. Н. Срав-
нительные испытания винтов и разных трубах. С 73 фиг. и табл. (Труды ЦАГИ.
Вып. 87). Стр. 76. Ц. 95 к.
ИЗАКСОН, А. М.
Работа воздушного винта на режиме авторотации. (Труды ЦАГИ. № 47).
Стр. 67. Ц. 1 р. 60 к.
КУЗЬМИН, г. и.
Исследование работы воздушных винтов. С 97 фиг. и 22табл. (Труды ЦАГИ. №45).
Стр. 178. Ц. 3 р. 75 к.
ПРАНДЛЬ, Л.
Теория несущего крыла. Часть I. Движение жидкости с очень малым трением.
Теория крыла. Перев. А. А. Лонтьевой, под ред. и с пояснительными приме-
чаниями Н. С. Аржаникова. С рис. (Труды ЦАГИ). Стр. 324-1 вкл. л. Ц. 50 к.
РЕЗУНОВ, М. А.
Влияние надстроек на верхней поверхности крыла иа его аэродинамические
характеристики. (Труды ЦАГИ. Вып. 86). Стр. 47. Ц. 75 к.
ЧАПЛЫГИН, С. и АРЖАНИКОВ, Н.
I. К теории открыпка и закрылка. II. Влияние длины предкрылка. 3 л. Печ.
ПРОДАЖА ВО ВСЕХ МАГАЗИНАХ И ОТДЕЛЕНИЯХ
КНИГОЦЕНТРА.