/
Текст
Е. А. ИВАНОВ
ДИФРАКЦИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ВОЛН
НА ДВУХ ТЕЛАХ
Тульская
• «бластная
I библиотека
; ям. В. И. Ленива
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА И ТЕХНИКА»
МИНСК 1968
517.2: 537.6
И 20
УДК 517.9:535.4
В книге кратко описываются основные
уравнения электромагнитного поля и рассматри-
ваются вопросы, связанные с разделением уравне-
ний Максвелла в различных ортогональных криво-
линейных координатных системах и сведением век-
торных электродинамических задач к скалярным
относительно вспомогательных потенциалов. Дает-
ся изложение основных свойств специальных вол-
новых функций, приводятся формулы разложения
первичных полей в ряды по волновым функциям
и теоремы сложения для волновых функций в»
цилиндрической, эллиптической, сферической и сфе-
роидальной системах координат. <
Содержится решение ряда задач дифракцйи
электромагнитных волн на круговых и эллиптиче-
ских цилиндрах, сферах, сфероидах (дисках), по-
лученное классическим методом разделения пере-
менных, обобщенным на случай двух тел. Исследу-
ются вопросы численного решения бесконечных
систем линейных уравнений для коэффициентов
разложения искомых функций по собственным вол-
новым функциям соответствующего тела.
Рассчитана на студентов, инженеров и других
лиц, занимающихся теорией дифракции электро-
магнитных волн и ее приложениями.
Рис. 66, библпогр. 192 назв.
Редактор С. И. Г а й д у к,
кандидат физико-математических наук
2-2-3
i 72-68
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ... ..........................
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Глава 1. Основные понятия электромагнитного поля. Системы ор-
тогональных криволинейных координат. Граничные за-
дачи математической теории дифракции..........................
§ 1. Уравнения электромагнитного поля. Граничные условия .
§ 2. Волновые уравнения для векторов Е, Н. Потенциалы электро-
магнитного поля . . .......................................
§ 3. Плоские волны в однородной неограниченной среде. Электриче-
ский и магнитный диполи.......................................
§ 4. Квадратичные величины поля. Поперечные сечения рассеяния.
Сопротивление излучения. Проводимость излучения...............
§ 5. Системы ортогональных криволинейных координат. Уравнения
поля в ортогональных криволинейных координатах................
§ 6. О разделении уравнений Максвелла в ортогональных криволи-
нейных координатах . ................ ...................
§ 7. Граничные условия для скалярных потенциальных функций .
§ 8. Граничные задачи теории дифракции. Единственность решения .
§ 8. Замечания к методу решения граничных задач. Бесконечные
системы линейных уравнений . . . .
Г л п в а 2. Цилиндрические волновые функции и некоторые их
свойства................................... ....
§ I. Уравнение Гельмгольца в цилиндрических координатах. Цилин-
дрические волновые функции ...................................
§ 2. Функции Бесселя и некоторые их свойства..................
§ 3. Рнзложеипе плоской волны по цилиндрическим волновым функ-
циям. Интегральные представления волновых функций .
§ 4. Теоремы сложения для цилиндрических волновых функций .
§ 5. Разложение сферической волны по цилиндрическим волновым
функциям ............. .....
Глава 3. Сферические волновые функции и некоторые их свойства
§ 1. Уравнение Гельмгольца в сферических координатах. Сферические
волновые функции ..................................... . .
§ 2. Уравнение Лежандра. Функции Лежандра.....................
§ 3. Уравнение присоединенных функций Лежандра. Присоединенные
функции Лежандра ...................................
§ 4. Сферические функции......................................
§ 5. Некоторые свойства сферических бесселевых функций .
9
12
19
24
30
45
53
63
66
79
79
81
92
95
98
101
101
103
110
121
129
1*
3
§ 6. Разложение плоской и сферической волн по сферическим вол-
новым функциям.................................* . . .131
§ 7. Теоремы сложения для сферических волновых функций 135
Г л а в а 4. Волновые функции эллиптического цилиндра и некоторые
их свойства . . 141
§ I. Уравнение Гельмгольца в эллиптических координатах. Волновые
функции эллиптического цилиндра................ . . 141
§ 2. Функции Матье и некоторые их свойства...................144
§ 3. Модифицированные функции Матье и некоторые их свойства . 151
§ 4. Разложение плоской и сферической воли по волновым' эллипти-
ческим функциям. Интегральные представления волновых функций . 160
§ 5. Теоремы сложения для эллиптических волновых функций . . 164
Глава 5. Сфероидальные волновые функции и некоторые их
свойства . . .171
§ 1. Уравнение Гельмгольца в сфероидальных координатах. Сферо-
идальные волновые функции . . ................. 171
§ 2. Угловые сфероидальные функции и некоторые их свойства . . 174
§ 3. Радиальные сфероидальные функции и некоторые их свойства . 182
§ 4. Разложение плоской и сферической волн по сфероидальным вол-
новым функциям. Интегральные представления сфероидальных вол-
новых функций ..............................................190
§ 5. Теоремы сложения для сфероидальных волновых функций . . 194
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Глава 6. Дифракция электромагнитных волн на круговых ци-
линдрах ч .... 200
§ 1. Дифракция плоской волны на одном цилиндре...............200
§ 2. Поле продольного дипольного излучателя в присутствии идеально
проводящего кругового цилиндра...... . 222
§ 3. Дифракция плоской волны на двух цилиндрах...............230
§ 4. Поле продольного излучателя в присутствии двух параллельных
круговых цилиндров ............ . 267
Глава 7. Дифракция электромагнитных волн на сферах 281
§ I. Дифракция плоской волны на одной сфере . . ... 281
§ 2. Поле электрического (магнитного) диполя в присутствии шара 302
Й 3. Дифракция плоской волны на двух шарах...................329
§ 4. Дифракция поля дипольного излучателя на двух шарах . . . 359
§ 5. Задача о поле двух сферических излучателей ..... .487
Г л л и и 8, Дифракция па эллиптических цилиндрах 397
§' t. Дифракции плоской электромагнитной волны на эллиптическом
цилиндре ....................................................397
§ 2. Поле продольного излучателя и присутствии эллиптического
цилиндра ....................................................406
§ 3. Дифракции плоской полны ил двух параллельных эллиптических
цилиндрах . ............................ . 416
4
§ 4. Поле продольного излучателя в присутствии двух параллельных
эллиптических цилиндров . . 440
Г л а в а 9. Дифракция электромагнитных волн на сфероидах и дисках 459
§1.0 решении задач на сфероидах . ......................459
§ 2. Поле вертикального электрического диполя в присутствии вытя-
нутого (сплюснутого) сфероида................................ 460
§ 3. Поле горизонтального магнитного диполя в присутствии вытя-
нутого (сплюснутого) сфероида.................................466
§ 4. Наклонное падение плоской волны на круглый диск .... 481
§ 5. Поле вертикального электрического диполя в присутствии двух
соосных сфероидов............................................ 491
§ 6. Задача о поле двух соосных сфероидальных излучателей . . 502
§ 7. Поле магнитного (электрического) диполя, расположенного со-
осно двум дискам........................................... 511
§ 8. Рассеяние наклонно падающей электромагнитной волны иа двух
соосных круговых дисках.......................................536
Литература.........................................548
Приложение........................................ 557
ПРЕДИСЛОВИЕ
Дифракция электромагнитных волн на препятстви-
ях произвольной формы относится к числу хорошо Изученных
явлений в том смысле, что известны дифференциальные урав-
• нения, описывающие этот физический процесс, и известны гра-
ничные условия, которым должны удовлетворять искомые
функции. В принципе для полного определения дифрагирован-
ного поля нужно лишь найти решение уравнения, удовлетво-
ряющее граничным условиям, которые соответствуют данному
конкретному источнику первичного поля и форме препятствия,
обусловливающего дифракцию.
В математической постановке электродинамическая задача
дифракции состоит в интегрировании системы уравнений
Максвелла относительно векторов электрической и магнитной
напряженностей Е и Н дифрагированного поля, удовлетворя-
ющих определенным граничным условиям на поверхности
препятствия, условию излучения и на ребре (если таковые
имеются).
Общего метода строгого решения дифракционных задач
для форм поверхностей, применяемых на практике, до сих
пор нет из-за больших математических трудностей. Их реше-
ние чрезвычайно сложно даже в случае одиночных препятст-
вий при простых и идеализированных условиях.
С математической точки зрения аналитическая простота
дифракционной задачи связана в первую очередь с теми свой-
ствами препятствия и падающего на него электромагнитного
поля, которые определяют возможность сведения векторной
электродинамической задачи к скалярному волновому урав-
нению для вспомогательных скалярных потенциальных функ-
ций (потенциалов Герца, Дебая и др.), удовлетворяющих
простым граничным условиям на поверхности препятствия.
В частности, проста форма поверхности, совпадающая с одной
из полных координатных поверхностей в выбранной системе
координат, допускающей разделение уравнений Максвелл».
Строгие решения задачи дифракции электромагнитных
волн существуют для случаев кругового бесконечного ци-
линдра, бесконечного эллиптического цилиндра, сферы, сфе-
роида, бесконечно тонкого кругового диска и для некоторых
других тел, поверхности которых совпадают с к,ю
постоянной координаты в соответствующей конрдпиптнон , пс-
6
теме. Они найдены классическим методом разделения пере-
менных. Очевидно, что число задач, которые могут быть реше-
ны этим методом, весьма ограничено, так как скалярное вол-
новое уравнение Гельмгольца Ди+/г2и=0 может быть
разделено всего лишь в одиннадцати координатных системах.
Но и в этих системах расчет на ЭВМ величин, характеризую-
щих дифракционное поле, задерживается из-за трудностей,
возникающих при табулировании специальных функций в ши-
роких диапазонах изменения аргументов. Однако, несмотря
на неполноту таких исследований, заложенные в них идеи и
оценки полученных решений чрезвычайно важны для разви-
тия теории дифракции и расширения наших познаний о диф-
ракции.
К еще более сложным задачам теории дифракции, пред-
ставляющим большую практическую и теоретическую значи-
мость, относятся задачи, связанные с проблемой взаимодей-
ствия двух (или большего числа) соседних отражателей волн.
Такого рода задачи, требующие тщательной 'разработки, изу-
чены в гораздо меньшей мере, чем задачи дифракции волн на
одиночных препятствиях.
В книге теоретически рассматриваются задачи дифракции
электромагнитных волн на сложных препятствиях, составлен-
ных из двух не связанных между собой тел различной геомет-
рической конфигурации: на двух бесконечно длинных парал-
лельных круговых цилиндрах, двух бесконечных эллиптиче-
ских цилиндрах (лентах) с параллельными продольными
осями, двух сферах, двух эллипсоидах вращения (вытянутые
и сплюснутые сфероиды) с общей осью вращения и, наконец,
двух соосных бесконечно тонких идеально проводящих круго-
вых дисках, расположенных в неограниченном однородном
изотропном пространстве с электрической и магнитной прони-
цаемостями е, р и с проводимостью о = 0. Тела возбуждаются
первично плоской электромагнитной волной либо полем элек-
трического (магнитного) диполя, расположенного в некоторой
точке вблизи дифрагирующей системы или же на поверхности
одного из тел. Путем выбора подходящих координатных сис-
тем векторные задачи сводятся к скалярным краевым задачам
для волнового уравнения Гельмгольца относительно скаляр-
ных потенциалов. Их строгие решения найдены методом раз-
деления переменных. Этот метод (в тех случаях, когда он при-
меним) является эффективным средством нахождения числен-
ных (приближенных) значений величин, определяющих
искомые поля, с помощью ЭВМ для достаточно широкого
диапазона изменения параметров задачи. Однако, как и в
случае одиночного препятствия, вычислительные возможности
здесь также ограничены трудностями, возникающими при
табулировании волновых функций. Практически численное
решение задач взаимодействия двух тел может быть осуще-
ствлено (с допустимой степенью точности вычисления) при
всех тех значениях параметров, для 'которых возможно реше-
ние соответствующей дифракционной задачи на одиночном
препятствии (в частности, в диапазоне длинных волн и волн,
сравнимых с размерами препятствия).
Первые пять глав книги, написанные на основе [1—44],
носят вспомогательный характер. В них кратко описываются
основные уравнения электромагнитного поля и рассматрива-
ются вопросы, связанные с разделением уравнений системы
Максвелла в различных ортогональных криволинейных коор-
динатных системах и сведением векторных электродинамиче-
ских краевых задач к скалярным относительно вспомогатель-
ных потенциалов. Изучается волновое уравнение Гельмгольца
в цилиндрических, сферических, эллиптических и сфероидаль-
ных координатах, описываются некоторые свойства специаль-
ных волновых функций, приводятся формулы разложения
первичных полей в ряды по волновым функциям и даются
теоремы сложения для них. Некоторые из результатов, в част-
ности относящиеся к теоремам сложения для волновых функ-
ций, принадлежат 'автору (о теоремах сложения см. также
[1, 24, 25, 27, 32, 35, 40, 115, 131, 138, 154, 156, 175]).
Дифракционные задачи формулируются и решаются в 6—
9-й главах, куда включены результаты автора [76—104], отно-
сящиеся к строгому решению дифракционных задач на двух
телах. В каждой главе задачам дифракции на двух телах пред-
шествуют задачи рассеяния на одиночном препятствии соот-
ветствующей формы. Они рассматриваются во многих источ-
никах (библиография большого числа работ, посвященных
дифракции волн на одиночных препятствиях простейшей фор-
мы, содержится, например, в [46—48, 50—56, =118, 124, 145,
152, 158, 159]), однако мы сочли полезным привести здесь
краткое изложение их решений.
Отметим, что некоторые вопросы теории дифракции волн
на двух телах изучались в работах [112, 117, 119, 129, 130,
149] (параллельные круговые цилиндры бесконечной дли-
ны), [106, 107, 132—136, 148, 186] (параллельные эллиптиче-
ские цилиндры бесконечной длины), [109, ПО, 115, 138] (сфе-
ры, обсуждение некоторых вопросов дифракции волн на двух
сферах можно найти и в [108, ГН, 137—139, 147, 164]),
[146, 160—162] (соосные диски, круговые отверстия в беско-
нечно тонком плоском экране). Дифракции волн на несколь-
ких препятствиях ’ произвольной формы посвящены работы
[119—123, 163, 191].
Автор благодарит профессора В. П. Шестопалова и В. А.
Боровикова за просмотр книги в рукописи и ряд полезных
замечаний.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ понятия
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ
КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ.
ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ
§ 1
Уравнения электромагнитного поля. Граничные условия
Под электромагнитным полем понимается совокупность
четырех векторов Е, Н, D, В, называемых соответственно векто-
рами напряженности электрического и магнитного полей (Е, Н)
и векторами электрической и магнитной индукций (D, В). Эти
векторы предполагаются конечными во всем поле и непрерывными
функциями в каждой пространственно-временной точке (х, у, z, t),
в окрестности которой электромагнитные свойства среды непре-
рывны. Разрывы Непрерывности векторов поля или их производ-
ных могут встречаться лишь в точках поверхности, разделяющей
среды с различными электромагнитными свойствами. Электромаг-
нитные свойства материальной среды характеризуются величинами1
е, р, о, где в — диэлектрическая, р. — магнитная проницаемости,
а о —- проводимость среды.
Источниками электромагнитного поля являются токи и заря-
ды, которые определяются как функции точки и времени посред-
ством плотности зарядов р и вектора J плотности токов.
В каждой точке среды, неподвижной относительно коорди-
натных осей, векторы поля удовлетворяют полной системе урав-
нений Максвелла, имеющей вид2
rotH=J- . А» +Д2_ j + J5_jW
с dt с с
rotE=-— (1.1.1)
с dt
div В = 0, div D = 4лр
1 Для рассматриваемых в книге случаев.
2 Нами используется гауссова система измерения.
9
(J—плотность токов проводимости; J(CT’—плотность токов, про-
исходящих от действия сторонних э. д. с.; с — скорость света
в пустоте). Уравнения (1-1-1) имеют физический смысл лишь при
условии, что они рассматриваются совместно с так называемыми
материальными уравнениями поля
D = eE,
В=рН, (1.1.2)
J = о Е.
В однородной изотропной среде (среда, электромагнитные
свойства которой остаются постоянными при переходе от точки
к точке и не зависят от направления перехода) величины е, р, а
являются скалярными константами (в пустоте в = р= 1, о = 0).
В такой среде система (1.1.1) на основании (1.1.2) принимает вид
„,1Н 1 .
с dt с с
rotE = — (1.1.3)
с dt
div Н = 0, div Е = .
в
Если электромагнитное поле создается токами и зарядами,
зависящими синусоидально от времени t и колеблющимися с кру-
говой частотой и, то тогда в предположении, что зависимость
от времени описывается комплексной функцией удобно
считать1, что векторы поля являются вещественными частями вы-
ражений вида Fe~“/t0/, где F — комплексный вектор (комплексная
амплитуда), не зависящий от времени I. Уравнения Максвелла
для комплексных амплитуд, если сохранить за ними обозначения
отвечающих им векторов поля, имеют вид
ГО1Н=1Я°^‘'-^Е + —J|IT|.
С с
rotE = -^-H, (1.1.4)
с
1 Зависимость от времени можно брать н в виде e’wt. Тогда, чтобы перейти
от формул, полученных с функцией , нужно в интересующих нас фор-
мулах заменить — I на i.
10
divH = 0, divE———
е
При наличии в пространстве границ раздела разных сред
к уравнениям Максвелла следует присоединить граничные усло-
вия. Для двух сред с конечной проводимостью (о оо) они со-
стоят в том, что тангенциальные составляющие напряженности
электрического и магнитного полей остаются непрерывными функ-
Eg. Лг- &2
п е2, н2
граничных
. 1 Е„ Н{
Рис. 1. К определению
условий
циями при переходе через границу раздела сред. В векторной
форме граничные условия записываются уравнениями
[п (Е2 - Е,)| 0, [n (Н2 - HJ] = 0, (1.1.5)
где Е1Т Н( — векторы в среде 1 с константами gj, р^, о^; Е2,
Н2 — векторы в среде // с константами е2, р2, о2, а п — единич-
ная нормаль к поверхности раздела сред, направленная от среды
1 к среде II (рис. 1). В радиотехнике обычно предполагается,
что металлические тела имеют бесконечно большую проводимость
(<т— оо). Такие проводники называются идеально проводящими.
Электромагнитное поле внутрь идеального проводника не прони-
кает. Поэтому в случае, если, например, о L = оо, векторы Ei,
Н( в среде I равны нулю тождественно. На поверхности идеаль-
ного проводника граничные условия записываются уравнениями
[пЕ2] = 0, (1.1.6)
. „ . 4л .
[пН2] =----- J,
с
(1.1.7)
где j — вектор плотности поверхностных токов, индуцированных
на поверхности идеального проводника полем Н2. Так как вектор
j не входит в уравнения Максвелла, то соотношение (1.1.7) не
накладывает каких-либо ограничений на их решение. Поэтому на
поверхности идеального проводника используется лишь условие
(1.1.6), требующее обращения в Нуль тангенциальных составляю-
щих вектора электрической напряженности Е2. Обычно из урав-
11
нения (1.1.7) определяется поверхностный ток после того, как ।
найдено решение системы уравнений Максвелла.
Уравнения Максвелла вместе с граничными условиями позво-
ляют однозначно найти электромагнитное поле в пространстве
при задании некоторых дополнительных условий на бесконечности.
Если среда обладает проводимостью, хотя бы и минимальной, эти
условия состоят в требовании обращения на бесконечности в нуль
поля от любой системы излучателей, целиком лежащих внутри
некоторой конечной области. Если же проводимость среды равна
нулю, то они заменяются так называемым условием излучения ,
(условием Зоммерфельда), требующим, чтобы на бесконечности
существовали лишь волны, уходящие на бесконечность, но не
идущие оттуда. Аналитическим признаком соблюдения условия
излучения является выполнимость предельных соотношений
lim г (—-----iku\=Q, lim и = 0, (1.1.8) ?
г ,а \ дг /
где под и понимается любая из составляющих векторов Е, Н. t
Для двумерного пространства условие излучения записывается я
в виде я
lim У г [ —----iku\=0, lim и = 0. (1.1.9) л
r~x \ dr I 'I
В (1.1.8) и (1.1.9) k — волновое число, определенное в еле- |
дующем параграфе. I
§ 2 J
Волновые уравнения I
для векторов Е, Н. I
Потенциалы электромагнитного поля I
Из (1-1-4) можно получить уравнения для каждого
из векторов Е, Н в отдельности. Так, применив к первому из f
уравнений системы операцию rot, получим '
х х.. [4ло — icoE . _ , 4л . ,(ст) |
rot rotH = --------- rotE Н----rot J' I
[c c J
Исключая отсюда rotE при помощи второго уравнения системы -
и учитывая, что в прямоугольных декартовых координатах для ]
любого вектора F имеет место соотношение (I
rot rot F = grad div F — Д F, (1.2.1) 1
12
где, по определению, A F есть вектор, прямоугольные составляю-
щие которого равны Д/\, &Fy, \FZ, и где А — трехмерный опе-
ратор Лапласа, найдем (div Н = 0)
АН + /г2Н = — — rotJ(CT). (1.2.2)
с
Здесь
2 = С02|Л8 + t 4Л0ЮЦ
в пустоте k = — =--------= k0, л0 — длина волны ] . Таким же
образом, исключая из системы (1.1.4) вектор Н, получим урав-
нение для вектора Е:
АЕ + 62Е = — J(CT) +— gradp. (1.2.4)
С 8
Оба уравнения (1.2.2), (1.2.4) записаны в прямоугольных коор-
динатах. В частности, если и — одна из прямоугольных состав-
ляющих вектора Е или вектора Н, то
Au + ^2u=f, (1.2.5)
где f — известная функция.
Уравнение вида
AF + &2F = P, (1.2.6)
где Р — известный, a F — неизвестный векторы, называется неод-
нородным (однородным, если Р = 0) векторным волновым урав-
нением Гельмгольца. Уравнение вида (1.2.5), где и и f — скаляр-
ные функции, называется неоднородным (однородным, если
f = 0) скалярным волновым уравнением Гельмгольца. Обычно
уравнения (1.2.5), (1.2.6) называются просто скалярным и вектор-
ным неоднородными (однородными) уравнениями Гельмгольца.
. Уравнения (1.2.2), (1.2.4) вообще-то не эквивалентны системе
(1.1.4), так как векторы Е, Н связаны между собой уравнениями
(1.1.4), в силу чего они не являются независимыми решениями
уравнений (1.2.2) н (1.2.4). Поэтому на практике используется
лишь одно из уравнений Гельмгольца, например для вектора Е,
после определения которого вектор Н находится из второго урав-
нения системы (1.1.4).
Из (1.2.2), (1.2.4) видно, что неоднородность уравнений Гельм-
гольца обусловливается наличием в области определения системы
(1.1.4) сторонних токов и зарядов. На практике обычно неодно-
родные уравнения для полей не употребляются, так как для
13
определения поля, созданного заданными токами и зарядами,
удобнее исходить непосредственно из системы (1.1.4) или целесо-
образнее вводить в рассмотрение некоторые вспомогательные
величины.
Из (1.1.4) следует, что для определения электромагнитного
поля нужно решить шесть скалярных уравнений для шести со-
ставляющих векторов Е и Н. Однако уравнения поля можно
привести к виду, при котором число уравнений для величин,
определяющих поле, будет меньше шести. Одним из способов
такого приведения является введение в рассмотрение вспомога-
тельных величин — потенциалов поля. Установим их, положив
сначала, что в (1.1.4) J<CT) =0 и р = 0.
Из соленоидальности вектора Н (div Н = 0) следует, что его
можно представить с помощью другого вектора А в виде
Н = — rot А (1.2.7)
И
(р = const; А — произвольный вектор). Тогда на основании (1.2.7)
из второго уравнения системы (1.1.4) получим
rot (Е — ik0 А) = 0,
т. е. вектор Е — ik^ А является потенциальным, и потому он
может быть представлен в виде градиента некоторой скалярной
функции <р:
Е = А — grad ср. (1.2.8)
Подставив (1.2.7) и (1.2.8) в еще не использованное первое урав-
нение системы (1-1.4), найдем после некоторых преобразований
и применения соотношения (1.2.1), что при выполнении условия1
£>2
divA+———ср=О (1.2.9)
i7z0
вектор А и скалярная функция ср будут решениями однородных урав-
нений (1. 2. 6) и (1.2.5) соответственно. Так как эти уравнения для
А и <р выведены из основных уравнений электромагнитнЬго поля,
то последним будут удовлетворять и векторы Е, Н, найденные
через А, <р по формулам (1.2.7), (1.2.8). Таким образом, при
помощи вектора А и скалярной функции ср, введенных указан-
ным образом, отыскание векторов Е, Н сводится к нахождению
четырех скалярных величин — функции ср и трех составляющих 1
1 Это условие, называемое иногда условием Лоренца, устраняет неоднознач-
ность в определении А н ср.
14
вектора А. Функции А и <р называются соответственно векторным
и скалярным электродинамическими потенциалами.
Наличие связи (1.2.9) между потенциалами А и ф позволяет
выразить их, а тем самым и векторы Е, Н через один вспомо-
гательный вектор и свести в результате задачу нахождения век-
торов Е, Н к отысканию лишь трех скалярных величин — состав-
ляющих этого вектора. Обозначим его через П и положим
ф.= — divH. (1.2.10)
Тогда условие (1.2.9) будет выполнено, если
А = —— П, (1.2.11)
iko
-—>•
где П удовлетворяет однородному уравнению
ЛП4-/г2П=0. (1.2.12)
Уравнение (1.2.12) также является следствием основных уравне-
ний электромагнитного поля, поэтому им будут удовлетворять и
векторы Е, Н, найденные через П по формулам
Е = grad div II + /г2 И — rot rot П,
(1.2.13)
k2 -*
Н =------- rot II,
ik0 p
полученным из (1.2.7), (1.2.8) подстановкой (1.2.10) и (1.2.11).
Иначе говоря, любое решение векторного уравнения (1.2.12) будет
определять некоторое электромагнитное поле посредством выра-
жений (1.2.13). Вектор II, через который находится частичное
электромагнитное поле по формулам (1.2.13), называется элект-
рическим вектором Герца, а определяемое им поле называется
.полем электрического типа.
Так как в пространстве, свободном от зарядов, вектор Е
также является соленоидальным (div Е = 0), то аналогичным же
образом может быть построено другое решение системы (1.1.4),
имеющее вид
Е = — rot А*,
в
(1.2.14)
Н =---------- А* — grad <р*,
ik0 рв
где при условии
div А* + ik0 рвф* = 0 (1.2.15)
15
электродинамические потенциалы А* и <р* являются решениями
однородных уравнений (1.2.6) и (1.2.5) соответственно. Положив
<р* = — divll*, A* =i/eopeff*, (1.2.16)
получим из (1.2.14) для решения системы (1.1.4) выражения
Е = ik0 pro! П*,
, (1.2.17)
Н = grad div П* + /г2 П* = rot rot П*,
где вектор П* — любое решение уравнения (1.2.12).
Вектор П*, через который частное электромагнитное поле
находится по формулам (1.2.17), называется магнитным вектором
Герца, а определяемое им поле — полем магнитного типа.
Следовательно, в области, в которой е, р и о постоянны, а
j(CT) =0, р = 0, электромагнитное поле может быть разложено
на два составляющих поля, одно из которых определяется через
электрический вектор Герца формулами (1.2.13), а второе — через
магнитный вектор Герца формулами (1.2.17). Комбинация выраже-
ний (1.2.13), (1.2.17) дает наиболее общее представление для
векторов Е и Н электромагнитного поля, а именно
Е = rot rot П + ika р rot П*,
(1.2.18)
-» ik2
Н = rot rot П*------- rot П,
^0 Р
—>
где П и П* — решения уравнения (1.2.12).
Если в системе (1.1.4) сделать замену
Е*--= ± |/ ±_ н, Н*= + |/ЛуЕ, (1.2.19)
то в результате получим соотношения
ik2 4л /"“77 <г. \
rot Е*= ------Н* + ~ 1/ J(CT),
k0 е ~ с у е
rot Н*=—ikoe,E*, (1.2.20)
div Н* = + — 1/”-^ р, div Е* = 0,
р е г
которые можно рассматривать как систему уравнений Максвелла
для поля Е*, Н*, порожденного фиктивным «магнитным» током
+ |//Л -t- J<CT) и фиктивными «магнитными» зарядами с плот-
16
ностью распределения + — р. Если ввести в систему урав-
нений Максвелла фиктивные магнитные токи и заряды, то полу-
чим обобщенную систему уравнений Максвелла (звездочка опус-
кается)
rotH = —
ik2 „ , 4л
-----Е _|--------
Rq pi с
rot Е = iko ц Н— Jm,
с
(1.2.21)
div Е =------ ре, div Н =-------- р,„,
е р
в которой Jc — электрические сторонние токи; рс — плотность
распределения электрических зарядов; Jm — фиктивные магнитные
сторонние токи, а рт — плотность распределения фиктивных
магнитных зарядов. Из (1.2.21) тем же путем, что и раньше,
можно установить, что в области, где J„T) =0, pm = 0, но
Jc ¥= 0, ре ¥= 0, векторы Е, Н поля электрического типа будут
определяться через потенциалы следующим образом:
Е — grad <р + ik0 А,
(1.2.22)
Н = — rot А,
И
где
ДА + /?А = — j<CT>,
с
Д<р + /г2ф = — — ре, (1.2.23
Е
div А
tfe2
Ло
ф — 0,
а через электрический вектор Герца — соотношениями
Е = grad div'll 4- /г2 П = rot rotn + ДП + k2 ff,
(1.2.24)
z7? ,
H------------rot П,
2. 17
«бластная *
библиотека
им. В. И.Леийй»
где
ДП+^п = -4^° J<CT>-
ik2c
(1.2.25)
В случае, когда в рассматриваемой области jJCT) =0, рр = 0, но
JmT) =# 0, рт 0, векторы Е, Н поля магнитного типа опреде-
лятся через потенциалы и магнитный вектор Герца формулами
Е =------— rot А*,
е
(1.2.26)
Н = — grad ф* 4- А*,
k0 ер
где
Д А* + /г2 А* = — J,(„CT),
с
(1.2.27)
Дф* 4-&2Ф* = — —рт,
div А* — iko ерф* = 0,
и
Н = grad div П* + /г2 П* = rot rot П* + ДП* + k2 П*,
(1.2.28>
Е =-- rot П,
где
ДП* + /г2П = —Efeo Jffl. (1.2.29)
ik2c
Если электромагнитное поле порождается как электрическими,
так и магнитными токами и зарядами, то оно будет представляться
через А, ф и А*, ф* в виде наложения частных полей электри-
ческого (1.2.22) и магнитного (1.2.26) типов, а через векторы
И и П* —в виде наложения полей (1.2.24), (1.2.28).
При решении конкретной задачи нахождения электромагнит-
ного поля, удовлетворяющего определенным граничным условиям,
в зависимости от вида граничных условий может оказаться целе-
сообразным использовать только одни электрические пли только
одни магнитные потенциалы (или отвечающие им векторы Герца),
либо те и другие вместе. При этом по соотношениям, связываю-
щим, например, векторы Герца П и П* с векторами поля Е, Н,
18
сначала определяют граничные условия для составляющих векто-
—>- —>
ровП и П*, обеспечивающие выполнение граничных условий для
искомого поля Е, Н, затем решают граничные задачи по отыска-
—> —>• —> —•
нию П и П*, после чего через П и II* находится поле Е, Н.
§ 3
Плоские волны в однородной
неограниченной среде.
Электрический и магнитный диполи
При решении задач дифракции электромагнитных волн
обычно считается, что источником первичного возбуждения тел,
обусловливающих дифракцию, является поле плоской линейно
поляризованной электромагнитной волны либо поле точечного
источника.
Рассмотрим систему (1-1.4) в неограниченной среде, в которой
отсутствуют сторонние токи и заряды (J<CT) =0, р -= 0). Простей-
шим решением ее будет решение вида
Н = Н(§) (Е = Е(О), (1-3-1)
зависящее лишь от одной пространственной координаты £, отсчи-
тываемой вдоль некоторой произвольной оси, направленной вдоль
единичного вектора п, образующего углы а, р, 6 с координатными
осями фиксированной системы отсчета Oxyz (nx = cos а, пу = cos р,
лг=со5 0; п2 п2 + п2 = 1). «Функции (1.3.1), являющиеся ком-
плексными амплитудами выражений Н(Е)е~Е(£)е~-'ю*> ПРИ"
нято называть плоской электромагнитной волной.
Так как
д д д д д д
дх ду У dz ЭЕ
то из (1.2.2) и (1.2.4) очевидным образом вытекает, что (1.3.1)
будет удовлетворять однородному векторному уравнению Гельм-
гольца
cP F
±_JL+/^F=o, (1.3.2)
где под F понимается вектор Н либо вектор Е. Интегрированием
(1.3.2) находится явный вид плоской электромагнитной волны
Н = Н°е±1М (Е = E°e±lft’)> (1.3.3)
распространяющейся соответственно в положительном и отрица-
тельном направлениях оси Здесь Н° и Е° — произвольные комп-
2* 19
лексные постоянные. Пользуясь уравнениями системы (1.1.4),
можно установить, что в любой прямоугольной декартовой
системе координат £, £, т], у которой начало координат совпа-
дает с началом координатной системы Oxyz, а ось £ остается
прежней, ориентированной вдоль п, оба вектора Е и Н оказываются
лежащими (в любой момент времени) в плоскости g=(nR), нормаль-
ной к оси £, (£g = Hg — 0), и что в каждой точке поля вида (1.3.3)
Рис. 2. к определению плоской волны, распространяю-
щейся в направлении единичного вектора п. Точка на-
блюдения имеет радиус-вектор R
векторы Е и Н (в любой момент времени) ортогональны друг
к другу.
В дальнейшем плоская волна, распространяющаяся в направ-
лении вектора п, записывается в виде
Н = H°e'ft<nR) (Е = E°elft(nR)) (1.3.4)
или после добавления временного множителя ё~в виде
Н = H°e''fc,nR)_'t0'’ (Е = Еое‘*(пК)-‘“'). (1 ,з,5)
Если волна распространяется в среде, для которой о -/ 0, то
k — р + iq, где р и q — вещественные числа ((/>0), и тогда
множитель f содержащийся в (1.3.4), указывает на то, что
в поглощающей среде по мере роста (nR) в направлении вектора
п затухание волны происходит по экспоненциальному закону.
Так как
(nR) = пхх + пуу + nzz, (1.3.6)
а направляющие косинусы оси £ выражаются через полярные
углы 6 и <р (рис. 2) формулами
20
пх = sin 6 cos <p, ny = sin 6 sin <p, пг = cos 6,
TO
(nR) = xsinficoscp + */sin6sin<p 4-zcosfi, (1.3.7)
a
H = Н°ф (Е = Е°ф), (1.3.8)
где
. _ gik(x sin 0cos ср-H/ sin 6 sin tp4-z cos 6)
Меняя здесь значения 6 и <p, можно придать оси распространения
плоской волны любое направление.
Векторы Е, Н в плоской электромагнитной волне в каждый
момент времени определенным образом ориентированы в прост-
Рис. 3. Поле электрического (а) и магнитного (б) диполей в сфе-
рической системе координат
ранстве и в каждой точке его их концы с течением времени
описывают некоторые кривые (годографы), в зависимости от вида
которых говорят о той или иной поляризации волны. В рассмат-
риваемых нами плоских волнах годографы векторов Е и Н имеют
одинаковую форму и лежат в одной и той же плоскости, пер-
пендикулярной вектору п. Поэтому для них понятия поляризации,
связанные с направлением колебаний вектора Е и направлением
колебаний вектора Н, равносильны. Для определенности обычно
поляризацию определяют по вектору Е. В общем случае в поля-
ризованной волне конец вектора Е описывает эллипс. Ее назы-
вают эллиптически поляризованной волной. Важным частным
случаем является тот, когда эллипс вырождается в прямую ли-
нию. Тогда векторы Е во всех точках пространства в любой
момент времени параллельны друг другу. О такой волне говорят,
что она линейно поляризована.
Примером точечных источников волн служат элементарные
электрический или магнитный колебательные диполи (рис. 3).
Электрическим (магнитным) диполем принято называть источник,
21
электромагнитное поле которого полностью определяется заданием
лишь одного вектора — электрического р (магнитного т) диполь-
ного момента. Моменты диполей связаны с электрическим и маг-
нитным векторами Герца простыми соотношениями:
eikR
П=р-^-> (1.3.9)
->
П* =111—3—, (1.3.10)
К
где R— расстояние от точки наблюдения до источника.
Моделью электрического диполя является система двух равных
по величине, противоположных по знаку и переменных во вре-
мени зарядов 4- <7 и — q, находящихся на расстоянии I друг от
друга (1 « 7.0). Если q(t) = qe~wt, так что сила тока в диполе
1 = — i со q, то р = k2 р I \Н го А2, где вектор 1 (| 1| = /) направлен
по оси диполя от отрицательного заряда к положительному. Если
рассматривать электрический диполь как линейный ток бесконечно
малой длины dl, то dp = /г~р 1 d l/i и /г2.
Всякая реальная антенна, в которой первичную роль играет
заряд и электрический ток заряда (антенна электрического типа),
может быть разложена на элементарные электрические диполи
с соответствующими дипольными моментами.
Моделью магнитного диполя является система из двух маг-
нитных «зарядов» -+ m и — т, находящихся на расстоянии I друг
от друга. Тогда m = ml, где вектор I направлен от южного по-
люса к северному. В радиотехнике понятие магнитного диполя
тесно связывают с рамочными антеннами, в которых первичную
роль играет электрический ток и порождаемый им магнитный
момент (антенны магнитного типа). Так, например, рамку с током
/, обтекающим по контуру элементарную площадку 5, ограни-
ченную рамкой, можно интерпретировать (при условии, что 5 л0)
как элементарный магнитный диполь с моментом m = — (/5) п,
с
где п — единичная нормаль к S (рис. 3, б).
Практически каждую реальную антенну для средних и длин-
ных волн можно рассматривать как точечный источник электро-
магнитных волн типа электрического или магнитного диполя.
—>
В случае точечного источника электромагнитного поля векторы II
—>
и П* из (1.3.9), (1.3.10) являются решениями неоднородного
уравнения Гельмгольца вида
A F 4- k2 F = а б (г — г0),
(1.3.11)
22
где F обозначает П или П*; 6 (г — г0) — трехмерная 6-функция
Дирака, аги г0 — радиус-векторы, соединяющие начало коор-
динатной системы с точкой наблюдения (х, у, z) и точкой (х0,
у0, z0), в которой расположен источник, соответственно. Здесь
а — векторная величина, определяемая через моменты диполей.
Если V — некоторый объем, содержащий внутри себя источник
поля, то основным свойством, определяющим 6-функцию, является
формальное операторное соотношение
fff6(r-ro)/(r)dr=K(ro)’ еСЛИ Г°|У’ (1.3.12)
v (0, если г„ CV,
где /(г) — произвольная непрерывная функция точки г. Иногда
6-функцию определяют формально и при помощи соотношений
6 (г — г0) = 0, если г =£ г0,|
6 (г — г0) = оо, если г = r0, J
e“" r»V';
v (0, если r0 GV.
Трехмерная 6-функция Дирака выражается через одномерные
6-функции равенством
6(г — го) = 6(Х — Х0)б(у — Уо)6(2 — 20).
Для электрического (магнитного) диполя с моментом, ось
которого параллельна одной из координатных осей системы Oxyz,
например оси Oz (dl — dz), в (1.3.11) будет ах — ау = О, а
аг = 4л Idzji we (с2 = 4 л /(rfeo/irop.),
где I — заданный электрический (Д — магнитный) линейный ток
в диполе.
Отметим важное в приложениях свойство, которым обладают
электромагнитные поля, созданные дипольными источниками.
Пусть в пространстве имеются два электрических диполя с мо-
ментами р(1) и р<2), помещенные соответственно в точки (\ и
02- Тогда независимо от ориентации дипольных моментов, а также
от свойств промежуточной среды (лишь бы в непосредственной
близости от обоих диполей среда обладала одинаковыми электри-
ческими свойствами) поля Е(1) и Е(2), созданные ими, связаны
с р(|) и р(2) соотношением
p’^E^OJ = р(2)Е(1> (02). (1.3.13)
23
Оно выражает собою основное содержание так называемой тео-
ремы взаимности двух электрических диполей. Если, например,
р(1) =р(2), то формула (1.3.13) означает, что диполь с моментом
р(1), находящийся в точке Ох, создает в точке 02, где располо-
жен другой диполь с моментом р(2), поле такой же напряжен-
ности Е(|), как и напряженность Е<2) поля, создаваемое в точке
0х диполем с моментом р(2), находящимся в точке О2 (рис. 4).
Рис. 4. К теореме взаим-
ности для двух диполей
Теорема взаимности справедлива и для магнитных диполей:
ш(,)Н(2> (0х) = т(2)Н(|) (О2). (1.3.14)
Формулы (1.3.13), (1.3.14) верны и для пространства, содер-
жащего в себе объемы с другой средой, в частности при нали-
чии в нем границ раздела сред.
Заметим, наконец, что поле плоской электромагнитной волны
можно вообще-то рассматривать как поле дипольного источника,
удаленного на бесконечность.
§ 4
Квадратичные величины поля.
Поперечные сечения рассеяния.
Сопротивление излучения. Проводимость излучения
Электромагнитное поле обладает энергией, локализо-
ванной в пространстве. Вместе с тем с любым электромагнитным
волновым процессом связан перенос энергии из одних областей
пространства в другие. Количество энергии, переносимой через
единицу поверхности, перпендикулярной к направлению распро-
24
странения энергии, за единицу времени, определяется выражением
S = — [ЕН],
4л
(1-4.1)
называемым вектором Пойнтинга. Вектор Пойнтинга дает мгновен-
ное значение плотности потока мощности через единичную пло-
щадку в направлении нормали к волновому фронту. Объемные
плотности электромагнитной энергии (плотность энергии поля
в единице объема) определяются формулой
W = We + Wm, (1.4.2)
где \We = -5— Е2, Wm = —— Н2 — плотности энергии электри-
8л 8л
ческого и магнитного полей соответственно. При рассмотрении
вектора Пойнтинга и объемной плотности энергии возникают,
как это видно из (1.4.1), (1.4.2), произведения и квадраты ком-
понент электромагнитного поля, в связи с чем их обычно назы-
вают квадратичными величинами поля. В формулах (1.4.1) и
(1.4.2) Е, Н — истинные значения векторов электрической и маг-
нитной напряженностей поля. Нелинейность S и № приводит
к тому, что при вычислении S и W с помощью формул. (1.4.1)
и (1.4.2) в них уже нельзя вместо истинных вещественных век-
торов Е, Н использовать соответствующие им комплексные век-
торы, как это делалось в уравнениях Максвелла. На практике
при изучении гармонического по времени электромагнитного поля
обычно вместо мгновенных значений вектора Пойнтинга и объ-
емной плотности энергии вычисляют средние за период колебаний
значения этих величин. Среднее значение вектора Пойнтинга
£
равно вещественной части комплексного вектора --------- [ЕН*1
8л
(звездочка обозначает здесь переход к комплексно сопряженной
величине). Если обозначить среднее значение вектора S че-
рез S, то
S = — Re [ЕН*] = —— {[ЕН*] + [Е*Н]}. (1.4.3)
8 л 16л
Среднее значение объемной плотности электрической энергии
W = •—-— IЕ |2, а магнитной — W = —-— IН |2, так что
1 бзт
W = —|Е12 + —У— IН |2,
16л 16л
(1-4.4)
25
а
где W — среднее значение плотности энергии в электромагнитном
поле. Средняя мощность Р, излучаемая через любую поверх-
ность S (мощность излучения), вычисляется через комплексные
амплитуды поля по формуле (п — единичный внешний к S вектор
в нормальном направлении)
Р = ~~ Re ([EH*]n) dS.
s
С вектором Пойнтинга связана интенсивность I электромаг-
нитной волны — величина, численно равная энергии, переносимой
волной за единицу времени через единицу площади поверхности,
нормальной к направлению распространения волны:
т
I = | S | = — С I SI dt,
Т J
о
где Т — период колебаний.
В задачах дифракции плоской электромагнитной волны на
препятствиях наряду со знанием рассеянного поля большой ин-
терес представляют так называемые поперечные сечения рассея-
ния — величины, характеризующие способности препятствия пере-
излучать, поглощать и пропускать энергию падающей на него
плоской волны. Поперечное сечение рассеяния обозначается через
о и вычисляется по формуле [46—48, 151]
о = Нт 4л г2 (1.4.5)
где г, 6, ф — сферические координаты системы, в начале которой
расположено дифрагирующее тело (рис. 5), S^(0, ф) — усреднен-
ное во времени значение радиальной составляющей вектора Пойн-
тинга, соответствующей рассеянию в направлении 6, ф в волновой
зоне1 на расстоянии г от препятствия; S'(0z, ф,)— усредненное во
времени значение вектора Пойнтинга плоской волны, падающей
на тело из направления 6Z, ф,-. Если величина о вычисляется
в направлении на источник плоской волны (6=6,, ф = ф;), то ее
называют поперечным сечением обратного рассеяния и обозначают
через ов:
3 Волновой (дальней ) зоной называется область пространства, отстоящая от
излучающей системы на расстояниях, которые значительно превосходят раз-
меры излучающей системы и длину излучаемых ею волн. В волновой зоне
рассеянная волна сферична и вектор Пойнтинга имеет только радиальную со-
ставляющую.
26
os = lim4itr2
Г-* сю
S?(6t-, <pf)[ .
|S*’(Of, q>f)|
(1.4.6)
Для любого другого направления о называется двухпозиционным
поперечным сечением рассеяния (иногда ее называют дифференци-
альным поперечным сечением рассеяния). Число
Р*
Isi’l ’
(1.4.7)
получаемое из (1.4.5) интегрированием по сфере S радиуса г
с центром в начале координат, называют полным поперечным се-
Рис. 5. к определению поперечного
сечения рассеяния:
1 — поле падающей волны с линейной поля-
риза пней. 2 — поле рассеянной волны с
эллиптической поляризацией, 3 — поле в
месте приема
чением рассеяния. Здесь Ps, как и раньше, есть средняя мощ-
ность (полная рассеянная или переизлученная мощность) через
поверхность S:
Ps=-^Re ([ESH*S] r)dS =
= Re
8л
[Е^ - FvHes]dS,
(1.4.8)
27
где г — единичный вектор к S в радиальном направлении. Чере
Es, Hs обозначены векторы рассеянного электромагнитного поля
Падающая на препятствия плоская волна с линейной поляри-
зацией обычно создает эллиптически поляризованную рассеянную
волну, содержащую как Ее, так и Е£. Векторы Е|ео и Е^.е,.
могут быть соответственно параллельными или перпендикулярными
полю вектора Е‘ падающей волны. Обычно радиолокаторы, излу-
чающие и принимающие радиоволны, чувствительны к той части
рассеянного на препятствии поля, которая поляризована так же,
как и поле плоской волны. В этом случае двухпозиционное по.
перечное сечение рассеяния вычисляется по формуле
I Es I2
о==Пт4зтг2 -—L (1.4.9)
|Е‘|2 1
где Es— составляющая поля рассеяния в месте приема в направ-
лении 0, <р, поляризованная так же, как и поле Е' плоской волны,
падающей на препятствие из направления 0f, ср,-; г—расстояние
от препятствия до приемника, находящегося в волновой зоне
поля. Когда в формуле (1.4.9) 6 = 0,-, <р=ф,- (случай обратного
рассеяния), значение о называется радиолокационным поперечным
сечением. Радиолокационное поперечное сечение является мерой
способности препятствия рассеивать энергию в данном направлении
(мерой видимости цели).
В двумерных задачах, например в случае цилиндрических
препятствий, аналогом о является погонное сечение рассеяния
ps
°s~ |S‘| ’
(1.4.10)
где Ps — полная погонная усредненная мощность, отнесенная
к единице длины, а интегрирование производится по окружности
радиуса г, включающей в себя сечение препятствия. Вместо (1.4.9)
будет
I Es I2
а = Пгп2лг-!—L (1.4.11)
| Е'|2
и т. д. Если дифрагирующее препятствие обладает конечной про-
водимостью, то тогда величина
о =
|sd ’
(1.4.12)
где Ра — полная поглощенная телом мощность, называется пол-
ным сечением поглощения. Если препятствие—-непрозрачный
28
плоский экран с отверстием, а Р*—полная мощность, прошед-
шая через него, то величина
Р1
° = ~т^т
|S-|
(1.4.13)
называется сечением пропускания.
В задачах о дифракции поля дипольного излучателя, располо-
женного вблизи отражающей поверхности или находящегося на
поверхности тела, обусловливающего дифракцию, важным пара-
метром, характеризующим свойства излучающей системы, является
сопротивление излучения— величина
2Р
R==TCF’ (1-4.14)
где 10 — комплексный ток на зажимах излучателя (ток в диполе), а
P=-^-Re yj (IEH*]n)dS (1.4.15)
> ‘ s
интегрирование производится по поверхности S, охватывающей
1 излучающую систему, п — единичная внешняя к S нормаль, а Е,
Н —векторы полного электромагнитного поля). Рассматривается
также и величина
Г = _ (1.4.16)
Ро
г
где ^ — сопротивление излучения поля диполя в свободном про-
странстве, а Р — при наличии в нем отражателей.
Если излучателем является щель, расположенная на поверх-
► ности тела, то ее излучающие свойства характеризуются величиной
‘2Р
• G-W С-417’
называемой проводимостью излучения. Здесь Vo — заданное комп-
лексное напряжение на щели.
Для количественной характеристики свойств направленного
действия излучающей системы вводится безразмерная величина,
равная отношению мощности, излучаемой на единицу телесного
угла в направлении 6, ср к средней мощности г,а единицу телес-
ного угла. Если обозначить ее через g-(6, ф), то
29
(1.4.18)
j [T (6, <p) sin 6 d 0 d ф
о d'
где в приближении волновой зоны
V (0, ф) == 1/A = ( | Е||2 + | |2) Г2. (1 4 19)
L Е С
Величину g(0, <р) называют обычно коэффициентом направ-
ленного действия излучающей системы (антенны), а ее максималь-
ное значение — абсолютным коэффициентом направленного дейст-
вия антенны.
§ 5
Системы ортогональных криволинейных координат.
Уравнения поля в ортогональных
криволинейных координатах
В случае тел простейшей геометрической формы (ци-
линдры круговые и эллиптические, сферы, сфероиды) дифракцион-
ные задачи удобно решать в ортогональных криволинейных коор-
динатах, в которых поверхность тела совпадает с одной из полных
координатных поверхностей системы, так как в этом случае пред-
ставляется возможность дать наиболее простую аналитическую
запись граничного условия для искомого решения задачи.
Криволинейными координатами точки Р, имеющей в качестве
прямоугольных координат числа х, у, г, называются три числа
91. 9а> 9з> определяемые как значения однозначных и непрерыв-
ных в рассматриваемой области функций системы
9i =<Pi(*. У, q2 = q2(x, у, z), у3=ф3(х, У- z), (1.5.1)
разрешимой относительно х, у, z:
А'-Ф1(91- 9г- 9з)> У = ^2 (91- 9а- 9з).
г = Фз(91, 9г- 9з) (1.5.2)
(функции i = 1, 2, 3, также однозначны и непрерывны в рас-
сматриваемой области). По заданной точке Р(х, у, г) из (1.5.1)
можно найти отвечающие ей единственные значения q2, q3 и,
наоборот, по заданным числам qly q2, qs можно найти отвечающую
им точку Р(х, у, z), определив ее координаты из (1.5.2). Поэтому
30
наравне с обозначением Р(х, у, г) точку Р можно обозначать
также и через P(qr, q2, q3).
Если в (1.5.1) положить <7Z=CZ, где Ct (i — 1, 2, 3) — по-
стоянные числа, то в результате получаются три семейства по-
верхностей, задаваемых уравнениями
<рх(х, у, Z)=Cj, ф2(х, у, z)=C2, ф3(х, у, z) = C3, (1.5.3)
Каждое из семейств (1.5.3) в силу однозначности функций (1.5.1)
характерно в том отношении, что любые две из его поверхностей,
отвечающие различным значениям параметра С, не пересекаются
между собой, в то время как любая из поверхностей С,-=ф;(х, у, z)
пересекается с любой из поверхностей С,- — ф;- (х, у, z) (i =Z= /;
i, j= 1, 2, 3).
Поверхности q( (i = 1, 2, 3) называются координатными
поверхностями в системе координат q^, q2, q3. Линия пересечения
двух координатных поверхностей д£ = С, и q, — Cj (i #= /; i,
j = 1, 2, 3) (в общем случае кривая, вдоль которой меняется
лишь величина q^, k = \, 2, 3, fe=/=i, k/j) называется коорди-
натной линией в системе координат q}, q2, q3. Система координат
9i> 7з называется системой криволинейных ортогональных ко-
ординат, если всякие две координатные поверхности (линии) си-
стемы в каждой точке области пересекаются под прямым углом
(рис. 6).
Условие взаимной ортогональности координатных линий выра-
жается равенством
31
(1.5.4)
yi d 4>fe
£
-T^- = 0 («¥=/; I, / = 1, 2, 3).
dQj
В системе ортогональных криволинейных координат q17 q2, q3
элемент длины dS произвольной кривой равен
(dSY = (dxf 4- (dy)2 + (dz)2
dih
dqt
\ 2
или, если учесть (1.5.4),
з
(dS)2 = У (hqidq^,
Z=1
(1.5.5)
(1.5.6)
где величины
называются метрическими коэффициентами системы qlf q2, q3 либо
коэффициентами Ламе системы qlt q2, q3. Этими величинами пол-
ностью характеризуются системы ортогональных криволинейных
координат. Так, элемент длины d/; координатной линии у(- равен
dli^hg&h (4=1, 2,3), (1.5.7)
элементы dS координатных поверхностен равны
dS^hg/i^dqjdqk (i^j, i^k, j =/= k\ i, j, fe=l, 2, 3), (1.5.8)
а элемент объема равен
do = d/td/2dZ3 = hq ^h^dq^dq.,. (1.5.9)
При помощи (1.5.6) орты ef/. (4 = 1,2,3) системы ортогональ-
ных кризолинейных координат выражаются через орты i, j, k
прямоугольной системы координат соотношениями
k! 1,2,3). (1.5.10)
hq. \dqi dq, dqt J
Поэтому если А —векторная функция точки, Ах, Ау, Л2—проек-
ции вектора А на оси прямоугольной системы координат, a Aqi,
АЧз — проекции его на касательные к криволинейным осям,
то
hqiAq^-Ax^- ¥.Ау^--'гАг^-,
dqt dq1 dqv
32
7
Г
hq,Aq = Ay
dq2
hqsAq = Ax A + Av
dq3
Дифференциальные операторы
ортогональных криволинейных
з
grad t|> = У
%-+А.
а?,
дУ Л
д ' 2
«7з
dz
dq2 ’
dz
dq3
(1.5.11)
grad, div, А и rot в системе
координат выражаются
формулами:
1
/i9l-
дф _
c<7.-’
d<7,.
(1.5.12)
□______
hq,hqJlq,
(hq,hq,Aq,) +
L^/l
д d
+ ~ {hq,hqaAq2) ф — (hq,hq2Aqs) ,
dq2
_____1
hq,hqs,hq,
div A =
Аф =
d
'з
г . 1
rot A =----------------
hq,hq,h-q,
.dqi \
hq,hg,
hq,
hgthq,
hq,
hq, e^f
d
dq3
hq,hg,
hq,
д ф
dq2 !
д ф
dq9
hqi е?з
d
д ф
Ф1
^<7з е<7з
д
(1.5.13)
(1.5.14)
dqi
hq,Aq,
dq2
hq2Aq,
dqs
hqsAq3
. (1.5.15)
Система цилиндрических координат (рис. 7).
Так называются переменные величины qt = р, q2 = <p, q3 — z,
связанные с декартовыми прямоугольными координатами х, у, z
формулами преобразования
х == pcoscp, у — psintp, z — z,
(1.5.16)
где O^pCos', 0<^q)-<2n, —qo<z<;oo. В этой системе ко-
ординатными поверхностями являются поверхности коаксиальных
круговых цилиндров х2 4- г/2 = pjj (р0 = const) с осью вращения
Oz, полуплоскости <ро = const, проходящие через ось Oz и обра-
3. Е. А, Иванов
33
зующие угол ф0 с плоскостью xOz и определяемые из равенств
л- = р0 cos<p0, у = р0 sin <р0, а также плоскости z = const, перпен-
дикулярные оси Oz.
Коэффициенты Ламе системы равны
ЛР= 1, \ = р, Аг = 1. (1.5.17)
Если ер, еф, е2 — орты цилиндрической системы координат, то
линдрических коор-
динат
формулы (1.5.10)—(1.5.15) на основании (1-5.17) в этой системе
имеют вид:
ер = cosep i 4~ sin <р j,
еф = — sin ф i + cos ф j,
ег = к,
Др = Дхсо5ф 4- Дрsin ф,
A<p =—Д^пфф-ДрСозф,
Д2 = Дг,
...11 д ф 1 д ф
grad ф = —-з- ер -|---. —2L- e<p -
op р д ф
а я . . д
(1.5.18)
(1.5.19)
д ф
дг
д
ег,
(1.5.20)
div А = — — (р Др) + — (Дф) + р_£_ (Дг) ,
Р
Дф = —
Р
_др
дф
дг
д 2 ф д2 ф
дфа дг2
(1.5.21)
(1.5.22)
еР Р
1 д д д
rot А == — (1.5.23)
Р др д<$ ~дг
АР Р
1
34
Система эллиптических цилиндрических коор-
динат (рис. 8). Так называются переменные величины qr =
q2 = т], q3 = z, связанные с декартовыми прямоугольными коор-
динатами х, у, z формулами преобразования
x=fchgcosT], y = fsh£sinT], z = z, (1.5.24)
где 0 < | < со, 0 < n < 2л,
— оо < z < оо. В этой системе ко-
Рис. 8. Система эллиптических
цилиндрических координат (а)
и система эллиптических коор-
динат (б) на плоскости г=const
ординатными поверхностями являются поверхности, определяемые
уравнениями
х2 и2
—1— + —У— = 1
/2сЬЦ /2sh2g
(£ — константа),
хг У2 = ।
f2 cos2 г] f2 sin2 т]
(т] — константа),
z = const.
Первое из этих уравнений есть уравнение семейства эллиптических
цилиндров с междуфокусным расстоянием, равным 2/. Второе урав-
з* 35
нение есть уравнение семейства софокусных двуполостных гипер-
болических цилиндров.
Коэффициенты Ламе системы равны
У = /гп = f |/ch2g — cos2r], ft2=l. (1.5.25)
Если eg, en, e2—орты эллиптической цилиндрической системы
координат, то, согласно формулам (1.5.10) — (1.5.15), получим:
еп =
sh J cos т]
У ch2g — cos2 т]
ch g sin t]
У ch2 g — cos2 rj
e2 = k,
У ch2g — cos2i|
л . ch £ Sinn +
}/ ch2 g — cos2 г]
ch g sin t]
|/ch2g— cos2r] J’
ch g cos t]
Vch2g—cos2r] J’
(1.5.26)
! ch g sin t]
v У ch2 g — cos2 t]
sh g cos t|
У ch2 g — cos2 t]
(1.5.27)
— Аг,
gradi]?=
f У ch2 g — cos2 t]
1 d ф
f У ch2 g —cos2 г] d t]
e ।
dl 6
d ib
-----— ег,
dz
(1.5.28)
div A =
1__________
f (ch2 g — cos2 rj)
(У ch2 g — cos2 t] A6) +
L dl
+ -^-(Vzch2g— cos2r)
d tj J dz
1 Г d2<p d2<p 1 d2<p
J2 (ch2 g — cos2 rj) dg2 + dr]2 ] dz2
rot A =
f2 (ch2 g — cos2 t])
f У ch2 g — cos2 т] eg f У ch2 g — cos2 t] en e2
d d d
d g dr] dz
f У ch2 g — cos2 г] Ag f У ch2 g — cos2 r] An A2
(1.5.29)
(1.5.30)
(1.5.31)
4 =
1
36
Так как большая и малая полуоси координатных эллиптиче-
ских цилиндров равны соответственно а = f ch £ и b = f sh to
эксцентриситет семейства эллиптических координатных цилиндров
будет определяться отношением e = l/ch|. Следовательно, если
при неизменной координатной сетке в плоскости z = const будет
1, то |0, а а->{ и эллиптический координатный цилиндр
вырождается в бесконечно длинную ленту ширины 2f (рис. 8, б).
Если же расстояние между фокусами цилиндров остается посто-
Рис. 9. Система сферических
координат
я иным, а а -> оо, то g -> оо, а е> 0. В результате семейство
конфокальных эллиптических цилиндров переходит в пределе в се-
мейство коаксиальных круговых цилиндров с осью Oz и радиусом
р = /е6/2.
В случае, когда большая полуось а координатных эллиптиче-
ских цилиндров остается постоянной, а е -> О (координатная сетка
в плоскости z = const меняется), тогда g -> оо и f —> 0 так, что
fchg = /shg-»p = a. В результате система эллиптических ци-
линдрических координат переходит в систему цилиндрических
координат с полярными координатами p = fe6/2 и г] = <р.
Система сферических координат (рис. 9). Так на-
зываются переменные величины qr = г, q2 = 6, q3 = <р, связанные
с декартовыми прямоугольными координатами х, у, z формулами
преобразования
х = rsinOcostp, у — rsinOsintp, z = rcos6, (1.5.32)
где 0<г< оо, 0 6 < зт, 0 < ф 2зт. Координатными поверх-
ностями здесь являются концентрические сферы г = const с цент-
рами в начале координат, семейство конусов 0 = const с вер-
шиной в центре сфер и семейство меридиональных плоскостей
<р = const.
37
(1.5.33)
Коэффициенты Ламе системы равны
hr = 1, he = г, = rsine,
поэтому если ег, ее, еф — орты системы сферических координат,
то, согласно формулам (1.5.10) —(1.5.15), получим:
ел = sin 0 cos ср - i + sin 6 sin <р • jcos 0 • к,
ее = cos 6 cos ср • i + cos 6 sin ф - j — sin 0 - k,
Cq, — —5Шф. i -+-СО8ф-]Л
Ar = Ax sin 0 cos ф 4- Ay sin 0 sin ф + Аг cos 0,'
Tie = cos Gcoscp + cos 0 sin <p>— A,sin0,
Av = — Ax sin ф 4- Ay cos ф,
, d ф 1
gradip=—-J- er + —
or r
д ф 1
•_ . Co 4---------------
6 0 r sin 0
еф,
(1.5.34)
(1.5.35)
(1.5.36)
div A = — • (АЛ,)
r2 dr
rsin0
’ (sineA)) +
d ф
d ф
X
+-----Ц- • (Av), (1.5.37)
r sin 0 6 ф
л . 1 d / d ф \ , 1
Дф = — • ----- r -—— 4-------------V
r2 dr \ dr ! r2sin0
(sin 6 — \ д ф \ 30 / + -1— ^Sin20 d2 ф 6ф2 ’ (1.5.38)
ел ге0 г sin 0 • e.f
rot А = - 1 д d 6 (1.5.39)
r2sin0 dr 60 6ф
Аг гАе г sin 0
Система вытянутых сфероидальных координат
(рис. 10). Так называются переменные величины q2 — т|,
38
qs = ср, связанные с прямоугольными декартовыми координатами
х, у, z формулами преобразования
х =/IQ2—1)(1 — я2)Г'2 cos <р,
У = f 1(£2 — 0(1 — T)2)]‘ '2sin(p, z = Htj, (1.5.40)
где 1--СЬ<оо, —1 1] <1, 0< ф<. 2л. Координатными по-
верхностями здесь является семейство вытянутых сфероидов (эл-
Рис. 10. Система вытянутых
сфероидальны?; координат
липсоидов вращения) £ = const с большой осью, равной 2/ |, п
малой осью, равной 2f(g2—1)’-'» (2/—междуфокусное расстоя-
ние). Вырожденная координатная поверхность g = 1 —это от-
резок оси z длины 2/ (протяженностью от z = — f до z = f).
Семейство координатных поверхностей т] — const представляет
собой семейство двуполостных гиперболоидов вращения с асимп-
тотическим конусом, образующие которого проходят через начало
координат и составляют угол а = arc cos т] с осью z. Вырожденная
координатная поверхность | tj | = 1 — это часть оси z, для которой
| z | /. Третьим семейством координатных поверхностей является
семейство плоскостей <р = const, проходящих через ось z под
углом q> к плоскости Охг.
Коэффициенты Ламе системы равны
39
(1.5.41)
hf = f | / h — fl/
6 ' V i2— i ’ V i— rf *
\ = f F(^-i)(i-n2).
поэтому если eg, e^, еф— орты системы вытянутых сфероидальных
координат, то, согласно формулам (1.5.10) —(1.5.15), получим:
1 — п2 • .
р—L cos<p-i ф
1
e£ =
;2—1
;2-т]2
(1.5.42)
еф = — sin ср - i -К cos ф - j,
(1.5.43)
С2_ 1 Г 1 _~2
~А^ |/ Лф + ЛЕ р .-Д
Лф = — Ах sin <р + Ау cos ф,
gradt-^-j/p-A
д ф>
д р
еп+
1 д ф
+/ тг ° 4)
div А =
1
/(Г—П8)
(г-1)) +
40.
+4-(Л1/(^-т]2) <1-Я2))+^-( 1)2 = И,(1.5.45)
5л' d г \ъ а<р\ ^у(1—t]2)^—1)/J
ДЧ, = —!----|-Ц(г - 1)-^L] +
/а(в2-л2) Ug L <эв J
— [(1-У)-^]1 +----------5------
5Л Г 5-л JJ /2(В2- 1) (1 - Л2) 5Ф2
(1.5.46)
— л2)
|/р=Т ч 1/ ч Г (!-»')«’-14
|/'Л4 Л|
В пределе, когда фокусное расстояние f -> 0, сфероидальная ко-
ординатная система переходит в сферическую систему координат.
Для f = const и g -* оо поверхность g = const в каждом случае
становится сферой. При этом Д-* г, а л -* cos 6, где г и 0 —
сферические координаты.
Система сплюснутых сфероидальных коорди-
нат (рис. 11). Так называются переменные величины qY = g,
g2 = Л> Яз ~ ф» связанные с прямоугольными декартовыми коор-
динатами х, у, z формулами преобразования
х = /[(В2 + 1)(1 — л2)]‘/!со5ф,
(1.5.48)
У = f [(|2 + 1)(1 — л2)]'/г s'n<t’ г = Дп>
где 0 <Д < °°> — 1 < л ' 1 > 0 -< ф '2л. В сплюснутой сферои-
дальной системе координат семейство координатных поверхностей
g = const представляет собой семейство сплюснутых сфероидов
с большой осью, равной 2/(У 4- 1)1/г, и малой осью, равной 2f g
(2/— между фокусное расстояние). Вырожденная поверхность
£ = 0 является круглым диском радиуса г = f, лежащим в пло-
скости Оху с центром в начале координат. Семейство координат-
ных поверхностей | л I = const < 1 является семейством однопо-
лостных гиперболоидов вращения с асимптотическим конусом,
образующие которого проходят через начало координат и образуют
угол а = a rc cos л с осью z. Вырожденная поверхность | л | = 1
41
есть ось z. Поверхность г] = 0 есть плоскость Оху, за исключе-
нием диска 5=0. Третьим семейством координатных поверхностей
являются плоскости ф = const, проходящие через ось z под углом
Ф к плоскости Oxz.
Рис. II. Система сплюснутых сфероидальных коор-
динат
Коэффициенты Ламе системы равны:
У(|2+ 1)(1-г)2)»
(1.5.49)
поэтому если е£, е,р еф —орты системы сплюснутых сфероидаль-
ных координат, то, согласно формулам (1.5.10)—(1.5.15),
/ 1 + I2 L , /1 — л2
4 = V F+Fr У Г+F С05ф',+
+ В I/'' Р 5'П <Н + П ' kJ -
Г 1 --Г)2 f / t2 _L 1
еп= \/ у
, /52 + 1 . . р , 1
— У 81Пф.] + В.к|,
е^, = —sinф-i -|- cos ф-j,
(1.5.50)
42
A
1—Я2 • ,
Гн?а"т +
A —
1 ---T)2
2 . A cos
2 cos <p — Ay t]
2 sincp+
(1.5.51)
1------If]2
:2 I. ^2 ’
Лф — — Ax sin <p 4- Ay cos tp,
grad яр =
д гр
Г2
1 — т]2 д яр
F+? "дч
,________1______ д яр
'дер е”’ (L5‘52)
div А = 7(РТ?) y/(g2 +1)2)0 + )+
+ -Д- (А > (В2 + л2)(1 — п2) ) +
2
А яр =
/2(Г + п2)
(1-П2)_|±11
or) L д т] I
У(1—п2)(1 + 12)
1 ( д Г,. . ...
(1.5.53)
rot А =
f2(¥+ О (I ~ П2)
1
—, (1.5.54)
<5<р2
I2
2
ег
I2
.2
е„
<р
д
1
х
д
~+?
-L t2
А
д д_
<Эт] дер
T=v АУ(1-п2)(1 +Г)
(1.5.55)
43
В пределе, когда фокусное расстояние f -> 0, сплюснутные
сфероидальные координаты также переходят в сферические коор-
динаты. При этом f £,--* г, a r| - >cos0. Если же f конечно, а
g -► оо, то также f % -> г, г] cos 6, где гиб — сферические ко-
ординаты.
Отметим, что замена
£-*—Л-Л, fif
(1.5.56)
формально переводит систему сплюснутых сфероидальных коорди-
нат (1.5.48) в вытянутую сфероидальную систему координат
(1.5.40) и, наоборот, замена
Т]-Т), f-^—if
(1.5.57)
переводит вытянутую сфероидальную систему координат (1.5.40)
в сплюснутую сфероидальную систему координат (1.5.48).
На основании формул (1.5.13), (1.5.15) уравнения Максвелла
(1.1.4) в системе ортогональных криволинейных координат qlt q2,
q3 записываются в виде
= ik0^h h Н . (1.5.58)
ча
Два других уравнения получаются отсюда круговой перестановкой
индексов а ф р, а =£ у, Р=#У, а, р, у — 1, 2, 3. Аналогично
имеем:
д д k2
(h Н )-------— (h Н )=—------------- h h Е +
dqa 1 9 р V dq^ 1 9а ’а i[lk0 "а 9р % V
+ — л h (1.5.59)
с ча 'Р у
И
“ (^9г^9з^91) Ч ~ 0О1^9з^9г) Ч"
dqi dq2
+ (h4lhM = 0, (1.5.60)
дЯз
(hqJ'iqsEqi) Н — (h4lhqiEЧ~
dft dq2
+ (h^h^E,,) = — hqthqthqs р. (1.5.61)
d<73
44
Формула (1.5.14) позволяет без труда записать скалярное уравнение
Гельмгольца
д / hqJiqs . дф \ + д / hqihqs _ дф \
dqi \ hqi dqt / dq2 \ hq„ dq2 )
+ Чг~ = °- о-5-62*
&7з \ hq3 dq3 j
В криволинейных координатах
б (г - г0) = Л-' й-> ft-* б (91 - <tf) б (q2 - б (q3 -<$. (1.5.63)
§ 6
О разделении уравнений Максвелла
в ортогональных криволинейных координатах
В принципе каждая задача дифракции электромагнит-
ных волн на препятствии любой геометрической формы связана
с решением векторных уравнений Максвелла и является векторной
задачей. Однако во многих случаях векторную задачу удается
свести к решению скалярных краевых задач по отысканию неза-
висимых скалярных вспомогательных функций, удовлетворяющих
скалярному уравнению Гельмгольца и раздельным граничным
условиям на поверхности дифрагирующего тела. Сведение вектор-
ной задачи к решению скалярных задач, не зависимых друг от
друга, обычно и называют разделением уравнений Максвелла.
Применение метода разделения уравнений Максвелла в задачах
дифракции электромагнитного поля позволяет существенным об-
разом упростить процесс нахождения векторов Е, Н тогда, когда
дифрагирующее тело обладает поверхностью, совпадающей с пол-
ной координатной поверхностью одной из ортогональных криво-
линейных систем координат qi, q2, q3, в которых в свою очередь
волновое уравнение Гельмгольца допускает разделение перемен-
ных относительно qt, qz, q3 (т. е. когда уравнение Гельмгольца,
записанное в координатах qlf q2, q3, после подстановки в него
функции ф(9ь q2, 93) = Qi(9i)Q2(%)Q3(%) —Решения уравнения
распадается на три обыкновенных дифференциальных уравнения
для Q;(q,), i = l, 2, 3).
Укажем условия, налагаемые на ортогональные криволинейные
системы координат, при выполнении которых становится возмож-
ным разделение уравнений Максвелла в этих координатах.
Пусть в рассматриваемой области J<ст) =0, р = 0. Тогда
в ортогональных криволинейных системах координат qlf qz, q3
уравнения (1.5.58) и (1.5.59) примут вид
-^—(haE )-----— (h Е ) = ah hH ,
dqa dQfl. ?a 9v
(1.6.1)
45
—(hH )-------------— (h H ) = bh h E , (1.6.2)
dqa % d<?p 1 ’a q« 4 % qv k '
где, как и раньше, индексы a, 0, у означают любую четную
перестановку чисел 1,2,3 и где положено а — ikb ц, b = k2/i p ke.
Предположим теперь, что в некоторой системе ортогональных
криволинейных координат qy, q2, qs векторная задача, поставлен-
ная для уравнений (1.6.1), (1.6.2), допускает решение вида
E4l^0, Hq[ = Q (1.6.3)
или вида
£9г = 0, (1.6.4)
где индекс <?z (/ — какое-либо из чисел 1, 2, 3) означает, что
берется составляющая вектора поля вдоль координатной линии
qt. Пусть, например, имеет место случай (1.6.3). Тогда, положив
в (1.6.1) у ~ I, будем иметь
~ (^д Ед) ~ (1-6.5)
dqs к чк dqK 1 '
где теперь индексы /, к вместе с I считаются фиксированными.
Очевидно, что соотношение (1.6.5) будет тождественно удовлет-
ворено, если представить Eq. и Е в виде
_ 1 du* Е _ 1 du*
7 h4i f\ dqK
(1.6.6)
где u*—некоторая функция. После подстановки (1.6.6) в (1.6.2)
при у — j, к с учетом того, что НЧ1 — 0, получим соотношения
dqt
°(W = -b-^1 d“*
К hq.
d (h H ) = b bof’-oi
qi qi h
<7k
dqt
du*
(1.6.7)
которые будут тождественно удовлетворяться, если положить
ди _ b ди
dqt ’ Чк hq. dq-,
(LM)
46
где и — некоторая функция, и если считать, что коэффициенты
Ламе ортогональной криволинейной системы координат <д, у2, q3
удовлетворяют условиям
(1.6.9)
Подставив выражения (1.6.8) для составляющих Н , Hq в то из уравнений (1.6.2), для которого у = /, получим
к г 1 Г д ( ди \
!: Е = - h<>ih<>K L dcli \ Ч л / ' dq, /
й д / Ч ди
1 dqK | й, dqK ) . (1.6.10)
а из (1.6.6) на основании (1.6.8) находим
„ 1 д2и „ 1 д2и /.кт
Eq. =-------, Eq =-— • -----------------------. (1.6.11)
dqfiq, K QqKdqt
В результате все составляющие электромагнитного поля Е, Н
оказались выраженными через одну скалярную функцию и. Под-
ставляя эти выражения составляющих в еще не использованные два
уравнения из (1.6.1), для которых у — j, к, найдем, что послед-
ние будут тождественно удовлетворяться, если и явится реше-
нием дифференциального уравнения
1 Г д / ^<7к ди \ д / hq. ди
ЧЧ L dqi k hq. dq, / + dqk k \ dqk )j +
+ -^-+^=°, (1-6.12)
где параметр k определяется, как и в (1.2.3).
Таким образом, путем надлежащего выбора вспомогательной
скалярной функции и можно построить через нее векторы Е, Н —
решение однородной системы уравнений Максвелла (1.1.4), со-
ставляющие которых с учетом (1.6.12) связаны с функцией и
соотношениями
_ 1 (Уи ,, й2 1 ди
Ео. == --- • -------- , /7д.= ----- • ,
' h4j dqjdqt 1 ik0 p \ dqK
47
г, 1 д2и
Eq = --------------------,
к h0K dqK dqt
= fe2 1 ди
Чк ik0 р. hq. dq,
E<u dq2 U’ Hqi — 0’
(1.6.13)
Б случае (1.6.4) аналогичным образом для составляющих векто-
ров Е, Н получаем соотношения
P dv 4,~ hqK dqK ’ H _! ’ hqj dqjdql
E = dv Чк h4j dqj = — '- - , (1-6.14) K \ dqKdqi
Eqi = 0, н _ d2v 2 Hqi ~ dq2 + k V'
где v—вспомогательная скалярная функция, удовлетворяющая
уравнению (1.6.12).
Следовательно, в тех случаях, когда векторная задача для
однородной системы уравнений Максвелла (1.1.4) допускает пред-
ставление решения в виде суперпозиции двух частных полей
вида (1.6.3) и (1.6.4), для отыскания каждого из них достаточно
найти одну скалярную вспомогательную функцию, удовлетворяю-
щую уравнению (1.6.12) и граничным условиям, обеспечивающим
выполнение граничных условий для векторов Е, Н. После этого
векторы Е, Н находятся из соотношений (1.6-13) и (1.6.14).
Составляющие полного поля находятся как суммы соответст-
вующих составляющих частных полей и определяются через и и
v формулами
Е — 1 d2u ik0 р dv
Ч' h4j dqjdq, dqK
р _ 1 d2u г7гор dv
к Ч dqKd(h hq. dqt-
_ д2и
Eqi dq2 +kU’
48
1 d2v 1
hq. dqjdql ik<>p \ dqk
>___________________(1.6J5)
4 dqKdql i^p, hq. dq,
Hqi = ~dcfi~ +
Обычно электромагнитное поле вида (1.6.3) называется полем
электрического типа, а поле вида (1.6.4) — полем магнитного
типа. (Необходимым условием их существования в ортогональных
криволинейных системах координат qY, q2, q3 является выполнимость
условия (1.6.9) [48, 187]. Условию (1.6.9) удовлетворяют цилинд-
рические (декартовые прямоугольные, полярные, эллиптические,
параболические и др. координаты на плоскости z = const в соче-
тании с декартовой координатой z, отсчитываемой в направлении,
нормальном к этой плоскости) и сферическая системы координат.]
Так как в координатах кругового цилиндра /гр = 1, = р,
/гг== 1, то условие (1.6.9) выполняется относительно координаты
z. Поэтому в случае поля электрического типа, когда Ez -Z- О,
а Нг = 0 (в цилиндрических координатах такое поле называют
поперечно-магнитным полем или полем типа ТМ), согласно фор-
мулам (1.6.13), имеем
dpdz
1 д2и
р dtp dz
д2и
dz2
4- k2u,
„ k2 \ ди
11 р — • у
ik0 р, . р д <р
Ь2 Ли
Н =--------— (1.6.16)
ik^p др
Hz =0,
где функция и — решение уравнения
Р
&и 1
дФ2 J
di du
ор \ Ор
<Э2и
+ = 0, (1.6.17)
являющегося уравнением Гельмгольца, записанным в цилиндри-
ческих координатах.
В случае поля магнитного типа, когда Ez = 0, Hz =f= 0 (в ци-
линдрических координатах такое поле называют поперечно-элект-
рическим полем или полем типа ТЕ), имеем на основании
(1.6.14)
4. Е. А. Иванов 49
E - . —
P ’
= — ikop
dp
Ez = 0,
h,— *-,
dpdz
Нф=— —, (1.6.18)
Ф dqdz 1
d2o , t,
—r- + Irv,
dz2
H
где v — решение уравнения (1.6.17).
В координатах эллиптического цилиндра =
=fV ch2 E — cos21] , a hz = 1 и условие (1.6.9) также выполняется
относительно координаты г. Поэтому в случае поля типа ТМ,
когда Ег4--<д, Hz=0, согласно формулам (1.6.13), получаем
/ У ch2 g — cos2 г;
д2и
д%дг
k2 1 ди
i/sop f )/ch2t—cos2t] dt]
__1 (Fu
f У ch2 g — cos2 Tj d p dz
k2 _________1_________du_
ik0 p f У ch2g — cos2 г; d g ’
E2=-^- + A4 Hz.= 0,
(1.6.19)
а в случае поля типа ТЕ, когда Ez = 0, a Hz =/= 0, из (1.6.14)
находим
Е = — —
5 f V ch2 В — cos2 т| dr]’
„ 1 d2o
til = ----r =.=:=- • ------- ,
f p ch2 E — cos2 T] d £ dz
P ______ ikf, p dv
n f j Ach2 E — cos2 r] d g
7/n= -----; r. =- ....- , (1.6.20)
/ V eh2 E — cos2 i] d t] dz
Ez-Q, Hz^-^-+k2v,
dz2
50
где и и v — решения уравнения
1 Г d2u
f2 (ch2 g — cos2 т]) [ d £2
d2u 1
dr]2 J
d2u
dz2
O2u = 0 (1.6.21)
+
— уравнения Гельмгольца, записанного в эллиптических коорди-
натах.
В сферических координатах hr— 1, he = г, hv = г sin 6 и усло-
вие (1.6.9) выполняется относительно координаты г. Поэтому для
поля электрического типа, когда Ег =^0, Нг = 0, согласно (1.6.13),
находим:
Ег = + Л2и, Нг = О,
dr2
JL
г ' d0dr ’
/Уе = ——-------- •(1.6.22)
ikb р г sin 0 d ср
„ 1 d2u
F =------. —-----,
г sin 0 d q> dr
k2 1 du
fj • • - J
ik0 p r d 0
а в случае поля магнитного типа, когда Ег =0, Нг^= 0, из
(1.6.14) получаем
Ег = 0, Hr = + k2v,
r dr2
£e = - dv = — , (1.6.23) r d0dr
rsin0 dtp
p dv н ~ 1 d2v
^4, ~ r d0 ’ ф rsinO dtp dr
где и и v — решения уравнения
4
г2 sin2 0
d2u | 1
dr2 г2 sin 0
du \
d(T )
d2u
dtp2
+ k2u = 0,
(1.6.24)
51
которое после замены
и = ru, v = rv
(1.6.25)
сводится для и и v к уравнению Гельмгольца
(Fu ,2 ди ( 1 д ( п ди
dr2 + Т ’ дг + г2 sin 6 ’ ЖГ1П 6 ~dlT) +
1 д2и —
+ а ао • -д-2- = 0, (1.6.26)
г2 sin2 6 dtp2 '
записанному в сферических координатах.
Заметим, что 'единственным случаем, когда в ортогональной
криволинейной системе координат qlt q2, q3, отличной от цилинд-
рических и сферической систем, векторы поля Е, Н могут быть
выражены через две скалярные функции, является тот, в котором
коэффициенты Ламе, а также векторы Е, Н не зависят от одной
из криволинейных координат, например от q,.'. Тогда
_ ди
4i ‘ dqK ’
И = 1 1 dv
q‘
_ ik0 ц ди
’к k2hqjh4l dq,
Hq =——---------------- .(1.6.27)
к ikD (г h4jhqi dq,
_ 1 w 1
Н„- и.
где и, о — функции, удовлетворяющие уравнению
д I ha ди \ д / hq. ди \
—— I --------- . . ---- л.-----I __2 .____________I _±_
dq, V h4jhqi dq, / dqK \ dqK /
hq ,hq
+ F —u = 0. (1.6.28)
n4i
Пользуясь формулами (1.2.13) и (1.2.17), можно показать,
что в цилиндрических координатах составляющие электромагнит-
52
ного поля Е, Н могут быть выражены соотношениями (1.6.13)
или (1.6.14) через единственную отличную от нуля z-ю компо-
ненту электрического П или магнитного П* вектора Герца соот-
ветственно, если считать вектор Герца направленным параллельно
оси г данной цилиндрической системы координат. При этом
в (1.6.13) будет и = П2, а в (1.6.14) —v — П?. В связи с этим
вспомогательные функции и и v часто называют скалярными
потенциальными функциями Герца.
Точно так же, вводя в рассмотрение в сферической системе
координат вектор Герца П или магнитный вектор Герца П с от-
личной от нуля лишь радиальной составляющей Пг (П*) и поль-
зуясь соотношениями (1.2.13) или (1.2.17), можно показать, что
составляющие векторов Е, Н будут выражаться формулами (1.6.22)
или (1.6.23) через Пг или Пг соответственно, т. е. что и = Пг,
п=Пг ичтоПг, Пг удовлетворяют уравнению (1.6.24). Функции и, v,
связанные сыну формулами (1.6.25), называются потенциалами
Дебая. Функции и, v из (1.6.27) называются потенциалами Абрагама.
§ 7
Граничные условия для скалярных
потенциальных функций
Установим вид граничных условий, которым должны
удовлетворять на поверхности дифрагирующего тела скалярные
потенциальные функции, введенные в § 6. Всем величинам, свя-
занным с первичным электромагнитным полем Е°, Н° и вторич-
ными полями Е', Н1 (вне дифрагирующего тела), Е2, Н2 (внутри
дифрагирующего тела), условимся приписывать индексы 0, 1, 2
соответственно (в области вне дифрагирующего тела физические
параметры е, ц, о являются одними и теми же как для поля
Е°, Н°, так и для поля Е1, Н1, в связи с чем в этой области
они будут записываться без индекса. Как и раньше, считается,
что k0 — со/с).
Круговой бесконечно длинный цилиндр радиу-
са р = а.
1. Случай о2 = оо. Первичное поле есть поле типа ТМ
(H°z — 0) и предполагается, что поле Ez, FT (i = 0,1,2) не за-
( д „
висит от координаты z -----= 0, ось Oz цилиндрической систе-
\ дг
мы координат р, ср, z совмещена с осью цилиндра j . Так как
тангенциальными составляющими векторов Е и Н являются их
ср-я и z-я компоненты, то из (1.6.16) устанавливаем, что усло-
53
вия (1.1.5) будут выполнены, если потребовать, чтобы на по-
верхности цилиндра функция и удовлетворяла условиям
k2u — ц<2>,
ди _ ди&
р др ~ р2 ' др ’
р = а, (1.7.1)
где и = ит + и(1) (функция и(0) определяется первичным по-
лем Е°, Н°).
2. Случай о2 ¥= 00 • Первичное поле является полем типа ТЕ
(Е° = 0) и предполагается, что поле Ez, Н‘ (i = 0, 1, 2) не зави-
I' д \
сит от координаты z -------= 0, координатная система прежняя .
\ dz /
На основании (1.6.18) устанавливаем, что условия (1.1.5) будут
выполнены, если потребовать от функции v\ чтобы на поверх-
ности цилиндра она удовлетворяла условиям сопряжения (1.7.1)1,
где v = о(0) + о(1) (функция V0 определяется первичным полем).
Условия (1.7.1) для функций v и v возникают, например,
в задаче о дифракции плоской электромагнитной волны (1.3.4)
на бесконечно длинном круговом цилиндре (о2¥ оо) при усло-
вии, что вектор п, определяющий направление распространения
фронта волны, нормален образующим цилиндра и что электро-
магнитные свойства цилиндра не меняются вдоль его оси.
3. Случай о2 ™ оо: первичное поле есть поле типа ТМ
= 0). Поле Е‘, Н‘ (i = 0, 1, 2) зависит от координаты z
I----че О I . Координатная система прежняя. Нетрудно заметить,
\ dz )
что в этом случае невозможно удовлетворить граничным усло-
виям (1.1.5) на поверхности цилиндра, если предположить, что
продольная составляющая Н1г вектора Нг (/ = 1, 2) вторичного
поля также тождественно равна нулю. Поэтому вторичные поля
(а следовательно, и полное поле вне цилиндра) нужно искать
в виде суперпозиции как поля типа ТМ, так и поля типа ТЕ,
несмотря на то что первичное поле является полем только од-
ного типа. На основании (1.6.15), записанных в цилиндрических
координатах, устанавливаем, что условия (1.1.5) на поверхности
цилиндра будут выполнены, если потребовать от функций и nv,
чтобы на поверхности цилиндра при р = а они удовлетворяли
соотношениям
1 d2u dv 1 д2^2» до’2»
Д Д ^0 Р Д ----- ’ “Д д г«о Р2 д ’
р dcpdz др р otpdz др
1 В этом случае во втором из соотношений (1.7.1) A?/p. и заменяются
р. и р2 соответственно.
54
&и , f2 d2u^
------h k и =-------—
dz2 dz2
4
_1
P
d2v k2 du _ 1
d ф dz ikD [x d p p
k2 du™
ik0 ji2 d p
d2tK2> _
dqdz
(1.7.2)
d2v
~d^
d2o<2>
dz2
+ k2v™,
где и = и™ + u(,) (функция ы(0) определяется первичным полем
Е°, Н°), а V— о(1) (для первичного поля г/”' = 0).
4. Случай о2 ¥= оо > когда первичным полем является поле
типа ТЕ и поле Ez, Hz (i = 1, 2) зависит от координаты z, ана-
логичен предыдущему. Для выполнения условий (1.1.5) следует
потребовать от и и v, чтобы на поверхности цилиндра они удов-
летворяли условиям (1.7.2), где теперь о = а(0) + и(1) (функция
t>,0< определяется первичным полем Е°, Н°), а и = uzl> (для пер-
вичного поля и<°> = 0).
В частности, примером задачи, приводящей к условиям (1.7.2)
для функций и, v, может служить задача о дифракции наклонно
падающей плоской волны (1.3.4) на бесконечно длинном круго-
вом диэлектрическом цилиндре.
• 5. Случай о2 = оо, когда первичным полем является поле
типа ТМ (координатная система прежняя). В этом случае гранич-
ные условия (1.1.6) на поверхности цилиндра будут удовлетво-
рены (при произвольной зависимости полей от координаты z),
если искать вторичное поле так же, как поле только одного
типа ТМ, и если положить (на основании (1.6.16)), что
м = 0 (р = а), (1.7.3)
где и — и(0) 4 п(1) (функция и(0’ определяется первичным полем
Е°, Н°).
6. Случай о2 — со, когда первичное поле есть поле типа ТЕ,
также позволяет удовлетворить граничным условиям (1.1.6) (при
произвольной зависимости полей от координаты z), если искать
вторичное поле в виде поля типа ТЕ и если положить (на осно-
вании (1.6.18)), что
dv
-^ = 0 (р=п), (1.7.4)
др
где v = о(0) 4- о(1), а функция &(0) определяется первичным полем,
Примером задач, приводящих к условиям (1.7.3), (1.7.4.),
могут служить задачи о дифракции электромагнитного поля на
идеально проводящем бесконечно длинном круговом цилиндре.
Эллиптический бесконечно длинный цилиндр.
Будем считать, что боковая поверхность цилиндра задается урав-
нением £ = |° и что физические свойства цилиндра не меняются
вдоль его оси. Эллиптическая цилиндрическая система координат
введена так, что ее ось Oz совпадает с осью цилиндра. Танген-
циальными составляющими векторов Е, Н являются их ц-я и
<р-я компоненты. Так как случаи 1 — 6, отнесенные к круговому
цилиндру, переносятся и на эллиптический цилиндр, приведем
лишь вид граничных условий для функций и, v, считая, что
номера случаев предполагают неизменность прежних ситуаций.
1. Условия (1.1.5) будут выполнены, если потребовать, чтобы
на поверхности цилиндра функция и удовлетворяла условиям
сопряжения
k2U = k2 и(2\
k2 ди k2 du^
|1 р2 д£ ’
(1.7.5)
где и = u(0) -j- «(1> («<0) определяется первичным полем).
2. Условия (1.1.5) выполняются, если на поверхности ци-
циндра функция v удовлетворяет соотношениям (1.7.5), где
у = у(о» y(i) (у(0) определяется первичным полем) и где во вто-
ром равенстве следует k2/^ и k2/^2 заменить р и р2 соответственно.
3. Условия (1.1.5) выполняются, если на поверхности цилиндра
функции и и v удовлетворяют соотношениям
дРи dv d2u(Z) do(2)
ikn ii = , ikn u2 ,
d dz------------------------------------------dl-dr\dz-d |
d2u
dz2
dz2
-f k2u™,
d2v k1 ди дМ2)
d dz i£0 p 5 g д t] dz
k2 du™
ikb |i2 d t
& = (1.7.6)
dz2 dz2
где и = u(0) 4- u(1) (функция u(0) определяется первичным полем
Е°, Н°), a v = о(1) (для первичного поля и(0) = 0).
56
4. Аналогичен случаю 3. В (1.7.6) теперь v = п(0) + о(1), где
функция ц(0) определяется первичным полем Е°, Н°, а и = и(1)
(функция и(0) для первичного поля тождественно равна нулю).
5. Условие (1.1.6) выполняется, если на поверхности цилиндра
положить
« = 0 (g = g0), (1.7.7)
где и = ц(0) + и(1) («(0) определяется первичным полем Е°, Н°).
6. Условие (1.1.6) выполняется, если на поверхности цилиндра
положить
|Е_ = 0 (§ = £°), (1.7.8)
где v — ц,0) + ц(1) (о(0) определяется первичным полем Е°, Н°).
Тело сферической формы. Будем считать, что поверх-
ность шара задается уравнением г = а (система сферических ко-
ординат г, 0, ф введена так, что ее начало совпадает с центром
шара). Тангенциальными составляющими векторов Е, Н являются
их 0-я и ф-я компоненты.
1. Случай o25tco. Находим, пользуясь формулами (1.6.15),
(1.6.22), (1.6.23), что условия (1.1.5) будут выполняться на по-
верхности шара, если потребовать от потенциальных функций и
и v, чтобы при г = а они удовлетворяли соотношениям
1 d2u ik0 р dv __
г dGdr rsin0 5ф
= _1 52u<2> ik0 р2
г dQdr rsin0 5ф ’
1 д2и ik0 р dv _
г sin 0 д ф dr г 5 0
_ 1 52u(2) ik0 р2 5и(2) (17 9)
rsin0 5ф5г г 50 ’
1 dPv A3 du _
г 505г ifeoprsin6 5ф
„l.JgL+. kl
г 5 0 dr iAop2rsin0 5ф ’
1 52u A2 du __
r sin 0 5 ф dr ik0 p r 50
___1__52n<2) k* du™
r sin 0 ’ 5 ф dr ik0 p2 r 56'
57
Для этого достаточно положить, чтобы потенциалы Дебая, свя-
занные сини формулами (1.6.25), при г —а удовлетворяли
условиям
р |х2
д(ги) __ д(ги<2г)
дг дг
ро = р2о<2),
5 (г о) d(rz<2))-
дг ~ дг
(1.7.10)
(1.7.11)
где, как и раньше, и = tz(0> -(-u*1’, v = о(0> о*1' (ц<°) , ц(0>
определяются первичным полем Е°, Н°).
К условиям (1.7.10) и (1.7.11) для функций и, и можно
прийти, например, в задачах дифракции электромагнитных волн
на шарах, обладающих конечной проводимостью.
2. Случай о2 = оо. Пользуясь формулами (1.6.15), (1.6.22) и
(1.6.23), устанавливаем, что условие (1.1.6) будет выполнено на
поверхности шара, если потребовать от и = ц(0> 4- и'1’ и v =
+ o’1’, чтобы при г — а они удовлетворяли равенствам
«“=0.1
дг
V— 0,
(1.7.12)
которые для потенциалов Дебая переписываются в виде
= о, и = u«” + и™
дг 1
(1.7.13)
v = 0, v — о<0) o(1J.
Граничные условия (1.7.12), (1.7.13) возникают, в частности,
в задачах дифракции электромагнитного поля на идеально про-
водящем шаре.
Тело сфероидальной формы. Пусть дифрагирующим
телом будет вытянутый сфероид, поверхность которого задается
уравнением g — g° (система вытянутых сфероидальных координат
т), ф введена так, что ее начало совпадает с центром сферои-
да, а поверхность сфероида —с одной из координатных поверх-
ностей системы). Тангенциальными составляющими векторов Е, Н
поля являются их туя и ф-я компоненты. Как уже отмечалось,
58
сфероидальные координаты не удовлетворяют условию (1.6.9)
разделения уравнений Максвелла, в силу чего в общем случае
в этих координатах нельзя ввести потенциальных функций, ко-
торые удовлетворяли бы уравнению Гельмгольца и вместе с тем
удовлетворяли бы простым граничным условиям. Однако в част-
ном случае симметричного возбуждения сфероида векторы Е, Н
первичного и вторичного полей не зависят от азимутальной ко-
ординаты ф и составляющие поля могут быть выражены через
потенциалы Абрагама и, v формулами (1.6.27). Так, если сфе-
роид возбуждается симметрично полем электрического элементар-
ного диполя (1.3.9), расположенного на оси вращения сфероида
и обладающего моментом р, ориентированным вдоль оси, тогда,
как это нетрудно заметить, используя формулы (1.2.13) и (1.3.9),
найдем, что v = 0, и из (1.6.27)
= t^p(aB—1) . н 0>
6 k2f2& — Л2)7 д Г) 6
-tfeoMl —Л2) 1/2.. . н о, (1.7.14)
” /г2/2 (g2 - Л2) ’i
Е = О, Н =----------- . — = и.
* * f г^-1)(1-л2)
Следовательно, при п2 у= со условия (1.1.5) будут выполнены
на поверхности сфероида, если потребовать, чтобы при g = g°
функция и удовлетворяла условиям сопряжения (и — 4 м(1))
и — и(2),
р du _ р2 du(2)
V ’ dl < ' dg
(1.7.15)
Заметим, что в данном случае выгоднее в качестве потенциаль-
ной функции брать не потенциал Абрагама и, а единственную
отличную от нуля ф-ю составляющую вектора Н, связанную с и
соотношением u=f i' (g2— 1)(1—т]2) Н^. Подставив это выра-
жение и в (1.7.15), при В = £° получим
^=Я'2’,
/г dg ’ k2 dg ф h
(1.7.16)
где, как это следует из (1.6.28), функция — решение урав-
нения
59
iFT-^ (/г->«.) +
/TFf +
ОТ]2
+ ^72(ё2-т]2)« = о,
(1.7.17)
представляющего собой уравнение Гельмгольца, с азимутальным
числом т = 1.
В случае о2 = со и при прежнем положении диполя соотно-
шения (1.7.14) сохраняются. Теперь условие (1.1.6) будет вы-
полнено, если потребовать от потенциала Абрагама и, чтобы на
поверхности сфероида он удовлетворял равенству
-|| = 0 (g = £°), (1.7.18)
которое для функции Нч переписывается к виду
~ ^) = о a = g«). (1.7.19)
В обоих случаях предполагалось, что и = u<°> где по-
тенциал ц(0) определяется первичным полем, и что h'v =
-4-Яф. Если сфероид симметрично возбуждается при помощи ма-
гнитного диполя, также расположенного на оси сфероида с мо-
ментом ш, ориентированным вдоль оси, то тогда, используя
(1.2.17) и (1.3.9), можно показать, что и = 0, и из (1.6.27) по-
лучим
1 /t2— n~1/2 dv
Е, =0, /А =------------ -------------------
р — Л [4 — 1 (1-Т]2Г1/2 dv /1 7 9ГА
^Tl V, 11 -п
Г(^-т]2)1/2
Е„ =-----> J v, ЕЕ = 0.
ф f Р (Г—1)(1—и2) ч
Следовательно, при о2 =Д со условия (1.1.5) будут выполнены,
если функция v будет удовлетворять на поверхности сфероида
условиям сопряжения
1 dv _ 1 OiX2)
В Р-i
V = О*2',
(1.7.21)
60
Как и в случае электрического диполя, в качестве потенциальной
функции здесь выгоднее брать <р-ю компоненту вектора Е, связан-
ную с потенциалом Абрагама соотношением v—f]/(g2— 1) (1
на основании которого имеем из (1.7.21) при g =
” • - 1£-Р=— • тг <^2 -1 £<^>
р, dg р2
Е =Е(2>
(1.7.22)
где на основании (1.6.28) функция Еф удовлетворяет уравнению
Гельмгольца (1.7.17).
В случае о2 = оо и при прежнем положении диполя находим,
что для выполнения условия (1.1.6) необходимо, чтобы функция
v удовлетворяла на поверхности сфероида равенству
f = 0 (g=g°). (1-7-23)
которое для функции Ef. переписывается к виду
Еф = 0 (£ = £>). (1-7-24)
Как и раньше, здесь предполагается, что v — tX0) 4-п(1), где по-
тенциал о(0) определяется первичным полем, и что Е = Е^
+Е"
Если дифрагирующим телом является сплюснутый сфероид
(с поверхностью g = в системе сплюснутых сфероидальных
координат g, т], ср, связанных со сфероидом), то в тех же ситуа-
циях, что и для вытянутого сфероида, граничные условия для
потенциалов Абрагама и, v или для составляющих Hv, Е^ век-
торов Е, Н могут быть получены из (1.7.14)—(1.7.24) заменой
там g на ig и f на —if.
Резюмируя все изложенное, заметим, что в случаях кругового
и эллиптического цилиндров полное разделение уравнений Мак-
свелла (с учетом и граничных условий) в цилиндрических коор-
динатах возможно лишь, если дифрагирующий цилиндр идеально
проводящий (о2 = оо) либо при а2 =f= оо, когда электромагнитное
поле не зависит от пространственной координаты z. В случае
шара такое разделение уравнений Максвелла в сферических коор-
динатах всегда возможно.
До сих пор, говоря о граничных условиях для векторов Е, Н
электромагнитного поля, всюду предполагалось, что поверхности
дифрагирующих тел гладкие, без ребер. Наличие ребер на поверх-
ности дифрагирующего тела может привести к дополнительным
затруднениям при решении Граничных задач. Например, в угло-
вой точке (такими точками являются точки ребра) нормаль к по-
верхности определяется неоднозначно, в силу чего в этой точке
61
будет неоднозначно определяться и нормальная производная.
Поэтому без задания дополнительного условия в угловой точке
обычное однородное краевое условие, содержащее нормальную
производную, не будет однозначно определять искомое решение
задачи—краевая задача для системы уравнений Максвелла
в этом случае может иметь не одно, а множество решений, от-
личающихся друг от друга характером особенности на ребре.
Для обеспечения единственности решения краевых задач в слу-
чае тел, ограниченных поверхностями с угловыми точками (реб-
рами), граничные условия для искомых решений должны форму-
лироваться для всех, в том числе и угловых, точек поверхности.
Дополнительные требования имеют различную математическую
запись в угловых точках, между которыми обычно не делается
различия. Любое условие, относящееся к угловым точкам (реб-
рам), обеспечивающее единственность решения дифракционной
задачи, называется условием на ребре. С физической точки зре-
ния условие на ребре состоит в том, что ребро не должно из-
лучать, т. е. поток энергии через поверхность тонкого окружаю-
щего ребро кольцеобразного валика толщиной р в пределе при
р- О должен стремиться к нулю, либо в том, что плотность
энергии W (1.4.4) пространственно интегрируема в окрест-
ности ребра (условие Мейкснера). Оба условия равносильны.
В случае края тонкого идеально проводящего экрана (диска) из
них вытекает, что составляющие векторов Е, Н, параллельные
ребру (касательные к линии ребра), всегда ограничены (или равны
нулю), а нормальные к ребру составляющие имеют на ребре
особенность порядка р~|/2. Распределение поверхностных токов
на экране (диске) характеризуется тем, что на ребре экрана (диска)
он не может иметь отличную от нуля нормальную составляющую,
в то время как параллельная к ребру составляющая плотности
поверхностных токов обращается на ребре в бесконечность.
В математической записи условие на ребре в случае идеально
проводящего бесконечно тонкого кругового диска можно предста-
вить в виде
= — о (5 = Т]=0), (1.7.25)
dg дт]
где g, т] — координаты сплюснутого сфероида с началом в центре
диска, чьим вырождением является диск, и где через Пц обозна-
чены составляющие вектора Герца II, параллельные плоскости
диска, либо в виде (условие Мейкснера)
/р=0, Р=«, z => 0, (1.7.26)
где а—радиус диска, лежащего в плоскости z=0; /'р—радиальная
составляющая вектора j (плотность полного поверхностного тока,
наведенного На диске).
62
Заметим, что в остальных точках диска граничные условия,
например, для составляющих вектора Герца выводятся из урав-
нения (1.1.6) и формулы (1.2.13) или (1.2.17).
§ 8
Граничные задачи теории дифракции.
Единственность решения
Пусть в бесконечном пространстве То с электромагнит-
ными постоянными е0, р.о, о0 распространяется электромагнитная
волна Е°, Н° (первичное поле заданных токов и зарядов или
падающее поле). Если в пространстве имеется инородное вклю-
чение в виде некоторого тела Т с электромагнитными постоян-
ными ei, Pi, Oj, ограниченного поверхностью Sx, то результирую-
щее электромагнитное поле Е, Н в части пространства То — Т,
внешней по отношению к Т, будет отличаться от поля, которое
существовало бы там при распространении волны в однородном
изотропном пространстве, т. е. в свободном пространстве. Это
объясняется тем, что при падении электромагнитного поля на
тело в последнем возникают вынужденные колебания свободных
или связанных зарядов, в результате чего внутри тела и в окру-
жающем его пространстве возникает вторичное электромагнитное
поле Е, Н, изменяющееся во времени с частотой поля падающей
волны (вторичное поле вне области Т называют обычно рассеян-
ным, отраженным или переизлученным). Векторная сумма падаю-
щего и вторичного полей и образует результирующее (полное)
поле в области — Т. Описанное явление носит название диф-
ракции электромагнитных волн. Обычно под дифракцией в широ-
ком смысле слова понимают совокупность всех явлений, проис-
ходящих при распространении волны в неоднородной среде:
отражение, рассеяние, преломление волн, огибание волнами пре-
пятствий и др. Поэтому многие волновые явления можно рас-
сматривать в качестве частных случаев дифракции. Задачи, свя-
занные с отысканием вторичного (результирующего) поля, назы-
ваются дифракционными. Это обычные краевые задачи математи-
ческой физики. В самой общей постановке дифракционная задача
состоит в отыскании комплексных векторов электрической и
магнитной напряженностей, удовлетворяющих системе уравнений
Максвелла (однородной, если в рассматриваемой области отсутст-
вуют источники поля, и неоднородной при наличии их), заданным
граничным условиям на поверхности Sf
Е? + £)=Е?, H°t + H\=H2t, (1.8.1)
когда Uj =7= оо, или
О, (1.8.2)
63
когда оу = оо, и условию излучения на бесконечности:
lim г
Г--СО
д\
дг
— ik А
= 0, limA = 0.
Г- СО
(1.8.3)
Здесь А обозначает векторы Е1 и Н1; Et, Ht—касательные
составляющие векторов Е, Н; индекс 1 приписан рассеянному полю,
а индекс 2—полю внутри области Т. В системе уравнений Максвел-
ла величины в, р,, о имеют значения е0, р0, о0 в области То—Т и
значения еь ot внутри Т. При наличии на поверхности
дифрагирующего тела Т острых краев (ребер) постановка задачи
должна быть дополнена еще условием на ребре.
Дифрагирующее тело Т может иметь любую форму и может
состоять из любого материала, характеризуемого электромагнит-
ными постоянными £ь р,ь О4.
Единственность решения дифракционной задачи устанавливает-
ся следующей теоремой: решение однородной системы уравнений
Максвелла
k2
rotH = —— Е,
«Л в
rotE = t7jopH, (1.8.4)
div Н = div Е — О,
удовлетворяющее однородным граничным условиям (1.8.1) или
(1.8.2) на поверхности Sj и условию излучения (1.8.3) на беско-
нечности, есть тождественный нуль (при наличии ребер на Sj
для обеспечения единственности решения задача дополняется
условием на ребре).
При наличии в пространстве То нескольких, например N,
раздельно расположенных дифрагирующих тел с электромаг-
нитными постоянными £/, р.;, в/, ограниченных замкнутыми по-
верхностями Sj, j = 1, 2, ..., N, дифракционная задача (задача
дифракции в многосвязной области) также состоит в отыскании
векторов Е1, Н1 вторичного поля, удовлетворяющих в каждой из
областей Т, (/ = 0, 1, ..., N) однородной системе уравнений
Максвелла, граничным условиям вида (1.8.1), (1.8.2) на поверх-
ностях Sj и условию излучения на бесконечности (в области То).
При наличии ребер на поверхностях задача дополняется условием
на ребре. Сформулированная теорема единственности решения
распространяется и на этот случай [57 — 59].
Дифракционные задачи являются векторными. Однако в слу-
чае, когда поверхность дифрагирующего тела совпадает с одной из
полных координатных поверхностей некоторой ортогональной кри-
волинейной системы координат, связанной с данным телом и до-
пускающей полное разделение уравнений Максвелла (в том числе
64
и в граничных условиях), векторная краевая задача относительно
Е, Н может быть сведена, как уже отмечалось, к скалярным краевым
задачам для уравнения Гельмгольца относительно вспомогатель-
ных потенциальных функций и, v или прямоугольных составляю-
—> —>
щих векторов Герца II, П*, через которые векторы Е, Н выра-
жаются формулами § 6 и (1.2.13), (1.2.17) соответственно.
В простейшем случае одного тела скалярная краевая задача
состоит в отыскании регулярного решения уравнения
Дф' 4- й?ф' =0, j = 1, 2 (1.8.5)
(неоднородного при наличии в рассматриваемой области источни-
ков поля), удовлетворяющего заданным граничным условиям на
поверхности и дополнительному условию на бесконечности, на-
ложенному на функцию ф1, определяющую вторичное поле
в обларти То —Т. Здесь индекс 1 приписан рассеянному полю,
а 2—полю внутри области Т. При наличии ребер на поверх-
ности Sj задача дополняется условием на ребре.
Вид граничных условий для тех тел, дифракция на которых
рассматривается в дальнейшем, приведен в § 7.
В теории дифракции наиболее важными частными граничными
задачами являются:
задача Дирихле, или первая граничная задача, когда
Дф+£2ф = 0, фЁЛ ф|51=/(Р), P€Si; (1.8.6)
задача Неймана, или вторая граничная задача, когда
Дф + &2ф =0, фёТ; =f(P), P€S1; (1.8.7)
дп s,
где и обозначает дифференцирование по направлению внешней
нормали к
третья граничная задача, когда
Дф ф k2 ф = 0, ф ё Т\
(1.8.8)
(-^-Д аф') =/(Р), Рё51(
\ on I S,
где а — непрерывная функция, определенная на поверхности
К таким видам граничных задач приводит изучение дифракции
на идеально проводящих телах. Если тело Т обладает конечной
проводимостью, то на его поверхности должны выполняться не-
которые условия сопряжения, например (1.7.1), (1.7.10) и др.
Однозначность решения скалярных граничных задач для урав-
нения Гельмгольца может быть установлена на основании сле-
дующих теорем:
5. Е. А. Иванов
65
5ф2
функция ф, удовлетворяющая в области То — Т уравнению
Гельмгольца (1.8.5), а на границе S, одному из однородных
граничных условий
ф — 0 или дф/дп = О
(п — вектор внешней нормали к и на бесконечности условию
излучения, тождественно равна нулю в То — Т;
функция ф, удовлетворяющая в области То — Т уравнению
Дф1 4- /г2 ф1 = О,
в области Т уравнению
Дф2 + /г2 ф2 = О,
на границе Si условиям сопряжения
ф1 -- ф2, j
дф1
дп
и на бесконечности условию излучения, тождественно равна нулю
во всем пространстве (здесь Ру — параметры, зависящие от физи-
ческих свойств среды, = const, / = 1, 2).
При этом предполагается, что граница Sj достаточно гладкая,
без угловых точек. При наличии ребер на ее поверхности для
обеспечения единственности решения соответствующей граничной
задачи ее формулировка должна быть дополнена условием на
ребре.
В случае многосвязной области основные граничные задачи
для уравнения Гельмгольца формулируются подобным же образом
и на них обобщаются приведенные выше теоремы единственности
решения [ 2,57 — 59].
§ 9
Замечания к методу решения
граничных задач.
Бесконечные системы линейных уравнений
В рамках строгой теории дифракции известны различ-
ные подходы к строгому решению граничных задач, сформули-
рованных для волнового уравнения Гельмгольца при наличии
одного или нескольких рассеивающих тел.
В случае тел произвольной геометрической формы с доста-
точно гладкой поверхностью (S) решения граничных задач можно
66
представить в замкнутой форме, например в виде интегралов от
замкнутых функций, при помощи функций Грина. Функция Грина
Gb(r|r(l) зависит от положения двух точек: точки наблюдения,
определяемой в фиксированной системе координат Oxyz радиус-
вектором г с координатами (х, у, z), и точки источника, в кото-
рой помещается единичный источник поля, определяемой в тех
же координатах радиус-вектором г0 с координатами (х0, у0, z0).
Функция Грина G* (г [ г0) скалярного волнового уравнения Гельм-
гольца
А и + k2u — 0, (1.9-1)
заданного в некоторой области (V), ограниченной замкнутой дос-
таточно гладкой поверхностью (S), является симметричным отно-
сительно г и г0 и сингулярным при г = г0 решением уравнения
Гельмгольца
Д Gfe (г | г0) +/г2С* (г | г0) = — 6 (г — г0) (1.9.2)
(однородного всюду, за исключением лишь точки г = г0), удов-
летворяющим на поверхности (S) некоторым заданным однород-
ным граничным условиям.
При помощи функции Грина G* (г | г0) можно построить реше-
ние неоднородного уравнения Гельмгольца
hu+k2u = —p (1.9.3)
с данными однородными граничными условиями на (S) (в этом
случае точка г = г0 находится в пространстве вне (S)) или же
решение однородного уравнения (1.9.1) с данными неоднородными
граничными условиями на (S) (в этом случае точка г г0 нахо-
дится на поверхности (<$)). В силу линейности уравнения Гельм-
гольца можно построить решение и неоднородного уравнения (1.9.3)
с данными неоднородными граничными условиями на (S) путем
наложения частных решений.
Для построения частных решений применяется формула
Г Г ди (го) № (г I го)
Ц^(г|<)^— и(г0)-4р-]
(S)
J j Р (r0) G* (г | г0) d г0 =
(V)
__ 1ы(г), если г внутри и на (S),
‘' (0, если г вне (S),
, которая получается из формул (1.9.2) и (1.9.3) при помощи тео-
ремы Грина и определения 6-функции Дирака (сначала (1.9.2)
умножается на и, а (1.9.3)—HaG4 и из первого результата вычи-
i 5* ' 67
тается второй, затем производится замена местами г и г0 и ин-
тегрирование по всем координатам источника г0, после чего при-
меняется теорема Грина). Здесь п — нормаль, внешняя к (S),
а Гр определяет точки, расположенные на поверхности (S).
Если и |s = 0, то функция Грина строится таким образом,
чтобы Gft|s =0. В результате в (1.9.4) обращается в нуль по-
верхностный интеграл и решение задачи Дирихле для неоднород-
ного уравнения (1.9.3) запишется в виде
«(г) = Ш P(ro)G*(rl ro)rfro- (1-9.5)
(И
Решение задачи Неймана
для уравнения (1.9.3)
запишется той же по виду формулой, что и (1.9.5), если строить
функцию Грина так, чтобы на поверхности (S) она удовлетворяла
dGfc
условию -----
дп
Задача Дирихле для однородного уравнения (1.9.1) при неод-
нородном
= 0.
s
условии и |s = f имеет решение
«(г)-—Jf(r;)-^- Gft(r|r;)dr;
(S)
(1.9.6)
(г внутри и на (S)). В этом случае функция Грина строится так,
чтобы на поверхности (S) было Gfc |s =0.
Задача Неймана для уравнения (1.9.1) при неоднородном
ди ,
граничном условии ---- = f имеет решение
дп s
Ч (г) = f J f «) Gk (г I г;) d г; (1.9.7)
(S)
(г внутри и на (S)), если строить функцию Грина так, чтобы на
поверхности (S) было Gft[s = 0.
дп
Решение третьей краевой задачи для уравнения (1.9.1) при
неоднородном граничном условии
ди
дп
(- аи
= f, а = а (г), г = г',
S
будет иметь вид
JJ «(ro)GJrlro)dro-
(S)
J J а (г) дп
(S) v о'
68
(1.9.8)
(оба выражения равносильны), если строить функцию Грина так,
чтобы на поверхности (S) она удовлетворяла условию
/ dGk , г \ п
----— + a G* — 0.
\ дп I s
Поверхность (S) в (1.9.4) может состоять из двух замкнутых
поверхностей: S' и S", одна из которых (внешняя) S' охватывает
другую (внутреннюю) S". Поверхность S' может быть и беско-
нечной (по протяженности). В этом случае область интегрирования
(V) в (1.9.4) имеет бесконечный объем; на S' нормаль п направ-
лена наружу, а на S" — внутрь области, заключенной внутри S".
В трехмерном случае, когда граница области расположена на
бесконечности и ищется решение, представляющее собой волны,
идущие от точки источника, применяется функция Грина
О.<г|г.) = ^. (1.9.9)
где_________________________________________________
R = | г — г0 I = V (* ~ л'о)2 + (У — Уо)2 + (z — г,,)2,
а в двумерном случае —
СИг|г0)=^-^1)(Ш (1-9.Ю)
4
где ___________________
|г— Го I = I (X — V + (у — у0)2,
если временная зависимость задается временным множителем
ехр (—гео/). Функции (1.9.9), (1.9.10) называются обычно функ-
циями Грина свободного пространства. Они соответствуют сфе-
рической и цилиндрической волнам, исходящим из точки г = г0.
При помощи функции Грина свободного пространства решение
однородного уравнения Гельмгольца в неограниченной области,
внешней к поверхности (S) рассеивающего препятствия, дается
формулой
tz(r)=u°(r) +
+ ^^(ro)GHrir')—<p(r0)-£-Gft(r|r0)| dr'Q, (1.9.11)
(S)
где дифференцирование производится по направлению внешней
нормали к поверхности (S). Здесь п°(г) — потенциал первичного
поля, а <р(го) = н(го) и ф(го) = ----значения и (г) и ее
нормальной производной на поверхности (S).
69
Формула (1.9.11) допускает наглядное истолкование. Она
представляет собой математическую формулировку гюйгенсовского
принципа элементарных волн: поле и (г) в каждой точке рассмат-
риваемой области представляется в виде суперпозиции сфериче-
ских волн (в трехмерном случае) ekH/R с плотностью распреде-
ления источников ф и дипольных волн d(elkR/R) /дп с плотностью
распределения <р, исходящих из точек поверхности (S) (с элемен-
тарной точки зрения, согласно принципу Гюйгенса, поле в данной
точке через некоторый момент времени равно сумме полей от
каждого из точечных источников, расположенных на (S), причем
огибающая этих полей для всех точек является фронтом волны
в данное время).
Если на поверхности (S) выполняется одно из условий
«Is = о
или --- = О,
дп s
то решение соответствующей внешней краевой задачи для урав-
нения (1.9.1) будет даваться формулой
u(r) = u°(r) + Ф ф(г;)С*(г|r')dr' (1.9.12)
в первом случае или
Г dGfe(r|E)
u(r) = i?(r)~ (J) ф(г') ----------dr' (1.9.13)
(S)
во втором случае.
В электродинамическом смысле величины ф и ср интерпретиру-
ются обычно как функции распределения плотности поверхностных
токов, наведенных на поверхности (S). Например, для бесконечно
длинного идеально проводящего цилиндра можно положить
и (г) — Ег(г), если вектор электрической напряженности падающего
поля параллелен оси цилиндра (Е = [ О, О, Ez |). В этом случае из
второго уравнения системы Максвелла (1.1.4) и из граничного
условия (1.1.7) на поверхности цилиндра вытекает, что
ди (г') дЕ2 _ _ i сор.
ф(г0) dp s 4 л
и соответствующее уравнение для функции Ez запишется в виде
Ег(г) = Е°(г)
—ь(го)°* (*!«;)
(5)
70
В случае же поля типа ТЕ (Н = {О, О, Нг\) можно положить
и (г) = Нг (г), где на поверхности цилиндра будет
ф (Го)= = — ~~ k (Го)-
В результате соответствующее уравнение для Нг запишется в виде
с Г dGk (г | г')
Яг(г) = ЯО(г) + /Ч) (г;) —dr0.
(S)
Из полученных выражений для Ez и Hz видно, что рассеянное
поле полностью определяется заданием закона распределения
плотности поверхностных токов на (S).
По аналогии с теорией потенциала можно сказать, что (1.9.12)—
представление решения с помощью «простых источников» с по-
верхностной плотностью Ар, а (1.9.13) — представление решения
с помощью «дипольных ИСТОЧНИКОВ» С ПЛОТНОСТЬЮ (р.
Если функции ф, <р в (1.9.12) и (1.9.13) неизвестны, то отыс-
кание решений соответствующих краевых задач может быть при-
ведено к решению интегральных уравнений относительно функций
гр и <р, которые получаются непосредственно из граничных усло-
вий на поверхности (S) для ди/дп и и. Обычно это уравнения
Фредгольма первого либо второго рода с несингулярными ядрами
(см., например, [10, 48, 116}).
До сих пор речь шла по существу только о простейшем слу-
чае одного тела. Однако приведенные выше формулы распрост-
раняются и на случай произвольного числа рассеивающих тел.
При наличии, например, N рассеивающих тел, ограниченных по-
верхностями (St), i = 1, 2, ..., N, дифракционное поле может
быть представлено через функцию Грина свободного пространства
интегральным соотношением
или
•f ’M<№(r|r;.)di< (Е9.14)
(S,)
Gft(r|r;.)dr; (1.9.15)
соответственно, где функции ф( и ср(. задают закон распределения
плотности поверхностных токов, наведенных на поверхностях
(S,-), i — 1, 2, ..., N. В этом случае решение дифракционной
задачи может быть приведено к решению системы N интегральных
уравнений типа Фредгольма первого либо второго рода относи-
тельно N неизвестных функций <р4. или фо которые получаются
71
непосредственно из граничных условий на поверхностях (SJ,
i=l, 2, N, для функции и или ее нормальной производной
ди/дп.
Получающиеся при решении дифракционных задач интеграль-
ные уравнения (системы) часто могут быть решены с помощью
ЭВМ для достаточно общих граничных условий с высокой сте-
пенью точности прямыми численными методами. Их можно ре-
шать и итерационным методом, например методом теории возму-
щений, когда процесс дифракции представляется как последова-
тельность воздействий, оказываемых попеременно телами друг на
друга. Однако этот метод удобен лишь в случае, когда размеры
тел малы, а расстояние между ними велико в сравнении с длиной
волны возбуждения.
Отметим, что решение дифракционной задачи, полученное
путем непосредственного применения принципа Гюйгенса, удов-
летворяющее условию излучения на бесконечности, всегда един-
ственное.
Другим методом решения задачи взаимодействия двух рассеи-
вающих тел, основанным на использовании функций Грина, является
метод Шварцшильда [48], который, по-видимому, впервые рас-
смотрел такую задачу в связи с дифракцией на щели, где учи-
тывалось взаимодействие обеих щек щели [142]. Метод Шварц-
шильда предполагает известной функцию Грина отдельного тела
( в то время как непосредственное применение принципа Гюйгенса
требует знания только функции Грина свободного пространства)
и приводит к системе двух интегральных уравнений Фредгольма
второго рода, разрешимой методом последовательных приближе-
ний. Однако, несмотря на доказанную сходимость последователь-
ности итераций, этот метод не нашел применения на практике
из-за медленной сходимости процесса. Он может быть удобен
только в случае, когда взаимодействующие тела удалены друг
от друга Настолько, что амплитуда волны, рассеянной одним
телом в месте расположения другого, мала по сравнению с ампли-
тудой падающей волны.
Задача взаимодействия нескольких рассеивающих тел может
быть решена и без обращения к функции Грина, если для отыс-
кания ее решения непосредственно применить Метод возмущений.
Пусть, например, решается внешняя задача Дирихле
А и 4- k2u — О,
(1.9.16)
(и 4- и°) |s. =0, i = 4 1,
для двух рассеивающих тел с поверхностями (S.J и (5+1). Обоз-
начим через ‘и1 потенциал вторичного поля, рассеянного t-м телом
(i = — 1 или i = 4- 1) действием на него падающего поля и0 без
учета вторичного поля, обусловленного наличием в пространстве
72
другого, —i-ro тела (i = — 1 или i — 4- 1). Назовем это частное
вторичное поле полем первого порядка рассеяния. Для опреде-
ления потенциала 'и1 потребуем, чтобы функция
щ = и0 + iu1
была решением уравнения (1.9.16), удовлетворяющим на по-
верхности t-го тела (i = — 1 или i — + 1) однородному условию
Дирихле. Потенциал
«(1) = и0 + У 'и1,
i=-L 1
определяющий сумму первичного поля и полей, отраженных от
каждого из тел в отдельности (при отсутствии другого), назовем
потенциалом поля в первом приближении. Под действием поля
первого порядка рассеяния, возбужденного — д-м телом (г = — 1
или i = 4-l, такому полю отвечает потенциал ~'ил), i-e тело
(i = — 1 или i = + l) возбудит вторичное поле второго порядка
рассеяния, которому будет отвечать потенциал Ч? (I ——1 или
i = 4- 1). Для его определения потребуем, чтобы функция
и2 = ~1их 4* 'w2
была решением уравнения (1.9.16), удовлетворяющим на поверх-
ности (SJ (i = — 1 или i — 4- 1) однородному условию Дирихле.
Потенциал
и -• и° 4- У 'и1 4- У 'и2,
определяющий сумму первичного поля и вторичных полей первого
и второго порядков рассеяния, назовем потенциалом поля во
втором приближении и т. д. Процесс построения приближений
для рассеянных вторичных полей распространяется на произволь-
ное (бесконечное) число подобных шагов. При этом потенциал
поля в т-м приближении будет задаваться формулой
и = ий 4- У* ‘и'< т = 1, 2, ...
(m) U Т
i= Г1 /=1
Сумма
со
Ut — V 1и<
/=1
явится потенциалом вторичного ’ поля, рассеянного i-м телом
в результате многократного воздействия на него вторичных волн
всех последовательных порядков рассеяния, возбужденных -t-м
73
телом в результате его взаимодействия с t-м телом. Полное диф-
ракционное поле определится потенциалом
Сс
и = и° 4- V ill = и° 4- У 2 iu'’
i=H i=±i /=1
который по своему построению будет удовлетворять условиям
задачи (1.9.16) (от 1и‘ требуется также, чтобы на бесконечности
они удовлетворяли условию излучения).
В случае, когда поверхности (S,) допускают разделение урав-
нения Гельмгольца в соответствующих криволинейных ортого-
нальных координатах, связанных с каждым телом, представление
потенциалов ‘и' в виде бесконечных рядов по собственным вол-
новым функциям каждого тела сведет решение проблемы к оты-
сканию коэффициентов рядов. Последние находятся из граничного
условия, заданного на поверхности каждого тела (например,
коэффициенты разложения потенциала ‘и' вторичного поля /-го
порядка рассеяния находятся из условия (W 4- ~1и'~') |s. = О,
i = + 1, / = 1, 2, ...). При этом приходится пользоваться1 спе-
циальными формулами — теоремами сложения для волновых
функций, при помощи которых собственные волновые функции
одного тела записываются через собственные волновые функции
другого тела. В результате коэффициенты разложения потенциала
1и! будут выражены некоторым бесконечным рядом, членами кото-
рого явятся произведения коэффициентов разложения потенциала
~W-1 на волновые функции от фиксированных значений аргу-
ментов. Причем коэффициент разложения потенциала поля про-
извольного порядка рассеяния выражается в итоге через коэффи-
циент разложения потенциала 'и1 поля первого порядка рассеяния.
В общем случае вычисление коэффициентов разложений представ-
ляет собой весьма трудоемкую работу, в связи с чем описанный
метод целесообразно применять лишь в случае, когда размеры
тел малы, а расстояние между ними достаточно велико в сравне-
нии с длиной волны (см., например, [119, 120, 135, 136]).
Методом строгого решения задач рассеяния волн на несколь-
ких телах, основанным на применении собственных волновых
функций и теорем сложения для них, является классический
метод разделения переменных. При решении этим методом
дифракционных задач поле вне дифрагирующего тела представ-
ляется обычно в виде суммы известного первичного поля и не-
известного вторичного поля, рассеянного на препятствии, состав-
ленного в виде бесконечного ряда по элементарным волновым
функциям, каждая из которых удовлетворяет условию излучения
на бесконечности. Поле внутри рассеивающего тела берется в виде
бесконечного ряда по элементарным волновым функциям, не имею-
щим особенностей в объеме тела. Коэффициенты рядов находятся
74
из граничных условий, которые должны выполняться на поверх-
ности тела. В случае одного дифрагирующего тела коэффициенты
получаются в замкнутом виде.
В применении к двум рассеивающим телам, например с иде-
ально проводящими поверхностями (SJ и (S2), суть метода
разделения состоит в следующем.
С каждым телом (Sj) и (S2) связываются локальные коорди-
натные системы, в которых поверхность (SJ или соответственно
(S2) совпадает с одной из полных координатных поверхностей.
Поле, рассеянное на (SJ и (S2), ищется в виде суммы двух
дифракционных рядов по элементарным волновым функциям,
в которой один из рядов составлен из волновых функций одного
тела, а второй ряд — из волновых функций второго тела. При
помощи теорем сложения из граничных условий на (SJ и на
(S2) получаются бесконечные системы линейных уравнений с бес-
конечным числом неизвестных — искомых коэффициентов разложе-
ний. Непосредственно к таким системам нельзя обоснованно приме-
нить какой-либо из известных методов решения бесконечных систем.
Однако после замены первоначальных неизвестных коэффициентов
новыми по некоторому правилу для новых неизвестных получаются
бесконечные системы линейных уравнений, которые оказываются
квазпрегулярными в общем случае, единственным образом раз-
решимыми методом усечения (редукции) при условии, что тела
не касаются друг друга.
• Метод разделения переменных в тех случаях, когда он при-
меним, является эффективным средством нахождения численных
(приближенных) значений дифракционных коэффициентов и всех
функций, характеризующих искомые поля, с помощью ЭВМ и
табулированных волновых функций для достаточно широкого
диапазона изменения параметров задачи. Однако, как и в случае
одиночного препятствия, вычислительные возможности здесь огра-
ничены прежде всего из-за трудностей, возникающих при табу-
лировании волновых функций. Практически численное решение
задачи всегда выполнимо с допустимой точностью вычисления при
всех тех значениях параметров, для которых возможно численное
решение соответствующей дифракционной задачи на одиночном
препятствии (диапазон длинных волн и волн, сравнимых с разме-
рами препятствий).
Возникающие в задачах взаимодействия двух или нескольких
рассеивающих тел бесконечные системы линейных уравнений от-
носятся к системам нормального вида
+ 2 сптХт = Ь„, П = 1, 2, .... (1.9.17)
т=1
с комплексными коэффициентами спт и с комплексными правыми
частями (свободными членами) Ьп.
75
Теории бесконечных систем линейных уравнений с бесконеч-
ным числом неизвестных посвящены многие работы, из которых
укажем на [20], где изложены основы этой теории, и на работы
[21, 60 — 66], где изучаются свойства систем, подобных получаю-
щимся в решаемых ниже задачах.
Система типа (1.9.17) называется регулярной, если сумма
модулей ее коэффициентов в каждой строке меньше единицы
ОО
Ш=1
и называется вполне регулярной, если ее коэффициенты спт удовле-
творяют условию
со
У 1Слт1 1 —1. « = 1. 2, ....
т=1
где а — некоторая постоянная(а>0). Регулярная система уравнений
(1.9.17), правые части которой удовлетворяют условию
1М<сРп,
где С = const >0, a р„ = 1 — У* | спт |, л = 1, 2, ..., всегда
т=1
имеет ограниченное решение | хп | < С, которое может быть най-
дено методом последовательных приближений. Решение вполне
регулярной системы существует при любых ограниченных правых
частях Ъп, причем оно всегда единственное. Регулярная система
уравнений может иметь и несколько ограниченных решений.
Решение системы (1.9.17), найденное методом последователь-
ных приближений при нулевом начальном значении, называется
главным решением системы. Главное решение регулярной системы
(1.9.17) со свободными членами, удовлетворяющими условию
| Ьп | <Ср„, может быть найдено и методом усечения (редукции),
т. е. если хх есть решение конечной системы
N
Хп 4- 2 С^Хт = Ьп> «==1,2, ..., Л\
т==1
то
хп= lim Хп,
Л7-* со
где хп — главное решение системы (1.9.17).
Система, для которой условие регулярности выполняется не
во всех строчках, а лишь начиная с некоторой, т. е.
76
i
2 n = ?V + l, 7V + 2,
m=l
и для которой, кроме того,
V |c„J<+ °0’ п = 1. 2, N,
т=1
|М<Срп = С(1- У n = N+l,...,
называется квазирегулярной. Для таких систем вопрос о сущест-
вовании решения сводится к вопросу о существовании решения
конечной системы N уравнений с М первыми неизвестными
•••»
Система уравнений
А„ + У; СптХт = Вп, н = 1,2, ...» (1.9.18)
т=1
называется мажорантной для системы (1.9.17), если выполняются
неравенства
п=1, 2, .... m = 1, 2.....
\bn\.<Bn, п=1, 2, ...
Если коэффициенты системы (1.9.17) таковы, что составленный
оО
из них ряд У | |2 сходится:
п.т—1
2 + (1.9.19)
п,т= 1
то говорят, что система (1.9.17) обладает вполне непрерывной
формой (вполне непрерывным линейным оператором в гильберто-
вом координатном пространстве /2). Для систем (1.9.17) с вполне
непрерывной формой справедливо следующее утверждение (альтер-
натива Гильберта): при сходимости ряда
21М2<оо (1.9.20)
Л=1
либо данная система (1.9.17) имеет единственное определенное
решение (хп}, удовлетворяющее условию
21^п12<^- . (1-9-21)
П—1
либо имеет решение, отличное от нуля, однородная система, со-
ответствующая неоднородной системе (1.9.17).
77
Отметим, что если
2|спт|2<1 (1.9.22)
n,m=l
и выполняется условие (1.9.20), то система (1.9.17) имеет един-
ственное решение (лп|, удовлетворяющее условию (1.9.21).
Одним из распространенных методов решения неоднородной
системы (1.9.17) с вполне непрерывной формой является метод
усечения [20, 21, 60 — 66], состоящий, как указывалось выше,
в замене бесконечной системы (1.9.17) конечной системой
N
х„ + 2 сптхт = bn, п = 1, 2, ..., N, (1.9.23)
т=1
из N уравнений с неизвестными, решение которой (обозначим
его через xnw) рассматривается как приближенное решение исход-
ной бесконечной системы (1.9.17). Если система (1.9.17) с вполне не-
прерывной формой однозначно разрешима, то при достаточно
большом М система (1.9.23) будет также разрешимой и будет
иметь место сходимость приближенных решений к точному:
lim х% = xn, N -> оо. Сопоставлением последовательных прибли-
жений решения системы для различных возрастающих значений
N — порядка усечения можно получить приближения с заданной
наперед степенью точности.
Заметим, что в ряде случаев система, не являющаяся регу-
лярной (квазирегулярной) или не обладающая вполне непрерывной
формой, может быть при помощи некоторых преобразований
(например, путем замены неизвестных хп другими неизвестными
zn по формуле х„ — а„ zn) приведена к регулярной (квазирегуляр-
ной) системе или к системе с вполне непрерывной формой отно-
сительно неизвестных гп.
Все сказанное переносится и на бесконечные системы, обра-
зующие совокупность двух систем
ОО
%п “Ь ^л»
ш=1
со
Уп + $птУт ~ /1 = 1, 2, ...,
т=1
с двумя рядами неизвестных лу, х2, х3,..., ylt у2, ..., которые
после введения новых обозначений могут быть приведены к од-
ной системе нормального вида, и на бесконечные системы урав-
нений вида
Оо
Хл + 2 Сптхт = Ь'1’ п = °’ ± L ± 2’ •••
1П—— со
ГЛАВА 2
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНОВЫЕ
ФУНКЦИИ
И НЕКОТОРЫЕ ИХ СВОЙСТВА
§ 1
Уравнение Гельмгольца
в цилиндрических координатах.
Цилиндрические волновые функции
Скалярное волновое уравнение Гельмгольца в системе
цилиндрических координат р, <р, z имеет вид (1.6.17). Если искать
частное решение уравнения (1.6.17) в виде произведения трех
функций
и(р, <р, z) = 7? (р) Ф (ср) Z (г) О, (2.1.1)
каждая из которых зависит только от одной координаты, то пос-
ле подстановки (2.1.1) в (1.6.17) и последующего разделения
переменных в получающемся при этом уравнении приходим к за-
ключению, что для составления частного решения уравнения
(1.6.17) в форме (2.1.1) следует в качестве функций R, Ф и Z
брать любые решения соответствующих уравнений
^2. + Х2ф=0, (2.1.2)
rfcp2
-^-+/i2Z=0, (2.1.3)
dz2
^ + ±.^ + L2_2ib=0, (2.1.4)
dp2 p dp \ p2 /
в которых 7 и h — постоянные разделения, а о2 = /г2 — h2.
Независимыми частными решениями уравнений (2.1.2) и (2.1.3)
являются соответственно функции Ф(<р) = 2 (z)= $?s(/iz)
или в комплексной форме функции ф (ср) = e±lK<f, Z(z)=e±lhz.
Уравнение (2.1.4)—-уравнение Бесселя. Частными решениями его
будут функции RK(vp), где через RK(x) обозначена любая бес-
79
селева функция 7.-го порядка. Следовательно, частными решения-
ми уравнения (1.6.17), представимыми в форме (2.1.1), будут
функции
(Р> Ф> z) = (v р) (X<p) eihz. (2.1.5)
Нас интересуют лишь однозначные решения уравнения (1.6.17),
в связи с чем следует считать постоянную разделения 7. целым
числом: X2 =и2, п — 0, + 1, ... (в этом случае решения (2.1.5)—
периодические функции с периодом 2л относительно переменной
ф). При целом 7. = п в качестве /?х(г»р) следует брать в зависи-
мости от рассматриваемой области и дополнительных условий ли-
бо функцию Бесселя первого рода J„(i»p) n-го порядка, либо
первую функцию Ханкеля Нп> (vр) n-го порядка. Тогда част-
ными решениями уравнения (1.6.17) явятся функции
Jn(vp)eln9eihz, (2.1.6)
H{n'y(vp)ein,peih2. (2.1.7)
Некоторые свойства бесселевых функций из числа тех, которые
нам потребуются в дальнейшем, будут даны ниже. Здесь же мы
отметим лишь, что функция Jn (х) — регулярная в точке х = 0,
в то время как функция Н{г'\х) имеет в этой точке логарифмиче-
скую особенность. Из асимптотического представления ханкелев-
ской функции
. (, ЯП я\ .
2
л ftp
при больших по модулю значениях аргумента kp следует, что
функция НпУ (kp)e~lb>t представляет собой на бесконечности рас-
пространяющуюся волну, удовлетворяющую там условию излуче-
ния. Поэтому функции (2.1.6) используются обычно для состав-
ления общего решения уравнения (1.6.17) внутри цилиндрической
области, содержащей в себе ось р = 0, а функции (2.1.7) —для
построения общего решения уравнения (1.6.17), удовлетворяюще-
го на бесконечности в неограниченной области, внешней к ци-
линдру, условию излучения. Так как постоянная разделения h
в (2.1.5)—-произвольная величина, а уравнение (1.6.17) линей-
ное и однородное относительно и, то общее решение его, регу-
лярное в точках оси р — 0, может быть представлено в виде ря-
да по интегралам Фурье типа
V е,п<р J ап (h) Jп (v р) е‘Лг dh,
П—-—ск> —оо
(2.1.8)
80
а решение, удовлетворяющее условию излучения на бесконечнос-
ти, в виде ряда типа
V е‘и<р Jbn(h)H{n\vp)eihzdh,
п——со —оо
(2.1.9)
в которых ап (h), bn (h) — произвольные величины, зависящие от
п и h, подлежащие определению из граничных условий.
Функции (2.1.6) и (2.1.7) называются обычно цилиндрически-
ми волновыми функциями. В двумерных задачах, когда уравне-
ние (1.6.17) не зависит от пространственной координаты z, вол-
новыми функциями будут
/„(/гр)е‘Пф, (2.1.10)
(kp)e,n‘f (2.1.11)
соответственно, а общее решение уравнения
его будет представляться рядами типа
V anJn(kp)einv
п=—ОО
V brlH{ni)(kp)elnv.
п~~—со
внутри круга и вне
(2.1.12)
(2.1.13)
и
§ 2
Функции Бесселя и некоторые их свойства
Если в уравнении (2.1.4) сделать замену переменных
по формуле х = ]/ /г2 — № р, то оно приведется к нормальной
форме уравнения Бесселя
d2y 1
(lx2 X
(2.2.1)
которое характеризуется двумя особыми точками: регулярной осо-
бой точкой х -—0 и иррегулярной особой точкой х = <=о. В слу-
чае нецелых X уравнение Бесселя имеет два решения, предста-
вимые обобщенными степенными рядами (/. > 0)
AW=y-----<=12-1
к! Г (к + Z4 1)\
к=о v ’
Х=2к
(2.2.2)
6. Е. А. Иванов
81
X
2
j _,.(*) = У---------<=!£------
k=0 V '
(2.2.3)
которые сходятся при любом конечном х. Решение (2.2.2), не
имеющее особенности в точке х = 0, называется функцией Бес-
селя первого рода Х-го порядка. Второе решение имеет в точке
х ~ 0 полюс Х-го порядка, в силу чего оно линейно независимо
от Л(х). Поэтому общее решение уравнения (2.2.1) в области,
не содержащей точку х — 0, может быть представлено линейной
комбинацией
У = ciJ (А) + (л),
где Сх, С2 — произвольные постоянные.
Функция J_? (х) определена формулой (2.2.3) лишь для не-
целых X. Однако, продолжая ее по непрерывности и на целые
значения /. = п, найдем
J_„(x) = (-l)“4(x). (2.2.4)
Это соотношение указывает на то, что при целых 7. = п функ-
ции J^(x) и J—z(x) линейно зависимы и из них нельзя постро-
ить общее решение уравнения (2.2.1). В этом случае в качестве
частного решения уравнения (2.2.1), линейно не зависимого от
(х), берется функция
Wn (х) = lira N}, W = —- Л W —
Х-n Л (ОЛ
-(-ir , (2.2.5)
db k=n
где
/V,.W = . (2 26)
sin Хл
Очевидно, что как (2.2.6), так и (2.2.5) — решения уравнения
Бесселя. На основании (2.2.5) и (2.2.2), (2.2.3) функция Nn(x)
может быть представлена разложением (у = 0,577215...)
82
Понимая в дальнейшем под N.r(x) функцию (2.2.6) при нецелом
X и функцию (2.2.5) при целом X = п, найдем, что общее реше-
ние уравнения (2.2.1) при целых и нецелых А, в области, не со-
держащей точку х = 0, может быть записано в виде линейной
комбинации
у = (х) 4- C2N}_ (х),
где С1; С2 — произвольные постоянные.
Функция (х), определенная формулами (2.2.5), (2.2.6), на-
зывается функцией Бесселя второго рода А,-го порядка или функ-
цией Неймана. Частные решения уравнения (2-2.1), построенные
из J7 (х) и Л\(А') в виде их линейных комбинаций
(х) = 4 (х) + tW?. (х), Н12) (х) = J?. (х) — iNK (х), (2.2.8)
называются функциями Бесселя третьего рода или первой и вто-
рой функциями Ханкеля соответственно. Из (2.2.5) и (2.2.4) сле-
дует, что при целых X = п
<2) (х) = (— 1)« (2) (х). (2.2.9)
Для нецелых X имеют место соотношения
(х) = Н^} (х), (х) = е"£7 лЯ12) (х).
Теория бесселевых функций достаточно полно изложена в [24,
28 — 30, 33 — 36, 178, 179, 181]. Укажем на некоторые из
свойств бесселевых функций.
1. Функции Бесселя удовлетворяют рекуррентным соотноше-
ниям
± = т? (Х) - Л (х), (2.2.10)
ах х
Як-n (х) = — (х) — (х), (2.2.11)
х
где 7?х(х) обозначает любую из функций Бесселя. Формулы
(2.2.10), (2.2.11) удобны для последовательного вычисления зна-
чений бесселевых функций и их производной через две функции
первых двух порядков: J0(x), Jr(x) и У0(х), N1(x), для кото-
рых имеются подробные таблицы [178, 179, 181].
2. Из (2.2.2) и (2.2.3) можно установить, что
(х) = |/r~-sinx, 7_ц(х)= ^-cosx. (2.2.12)
Эти соотношения и последовательное применение рекуррентной
6*
83
формулы (2.2.11) позволяют выразить функцию Бесселя J Лх)
"+Т
и из формул (2.2.6), (2.2.8) функции N j (х), //(1),<12) (х) через
«+у «ту
элементарные функции. Для бесселевых функций полуцелого по-
рядка имеют место соотношения
Nn+1AX^ = (—l)n+1 J п i (х),
Рис. 12. Контуры интегрирования
Cl, с-2 и с3
3. Функции Бесселя представимы интегралами Зоммерфельда
(2.2.13)
(х) = е-ая/2 ( ix COS ф+Дф , (2.2.14)
л J —Ал .2 / । Ci у
Я12) (х) = е | e''ACOS'p+a'pd<p, (2.2.15)
Л V п—ikn z2
А(х) = в 2л e(>coS¥+l-X<pd(p . (2.2.16)
Сз
(контуры интегрирования изображены на рис. 12), которые обоб-
щаются на случай комплексных значений х и X (Rex>0 в ин-
тегралах для функций Ханкеля). Функции Бесселя являются
аналитическими функциями аргумента х. Из интегральных
представлений (2.2.14) — (2.2.16) видно, что при постоянном
значении х (Rex>0 для функций Ханкеля) их подынтегральные
84
выражения—аналитические функции параметра А,, а сами инте-
гралы равномерно сходятся в любой конечной области измене-
ния параметра X. Следовательно, для каждого х (Rex>0) бес-
селевы функции являются также аналитическими функциями
и параметра X (целыми трансцендентными функциями от А,).
В случае целых /. — п
Л: 2—1 ОО
= [ eixcos(i+inwd(p, Rex>0, (2.2.17)
Л J
—л/24-ioo
зл/24-ioo
H<2>(X) = (ZL^ J Jxcos*+in*d<p, Rex>0, (2.2.18)
Л/2—i ck>
2 л
Jn (X) = J_ C e~ix sln чЖ"ф d <p. (2.2.19)
2л J
0
4. Применив метод перевала к интегралам Зоммерфельда
(2.2.14), (2.2.15), можно получить общее представление о пове-
дении функций Бесселя с большим (вещественным и положитель-
ным) аргументом х и произвольным (комплексным) индексом X.
Точки перевала интегралов находятся из уравнения (относитель-
но г) sin г = К/х, которое для любых х и X всегда имеет два
корня, расположенных симметрично относительно точки г — л/2
в полосе 0<Rez<n. При этом вид асимптотического выраже-
ния каждой бесселевой функции связан с выбором точки пере-
вала: вклад, даваемый одной из точек перевала, оказывается
экспоненциально малым по сравнению с вкладом, даваемым дру-
гой точкой перевала, и лишь в отдельных случаях обе точки
перевала дают вклады одного порядка и тогда обе становятся
определяющими при получении асимптотического выражения.
Впервые асимптотические выражения бесселевых функций были
получены на основе метода перевала Дебаем [114]. В последу-
ющем теория Дебая была дополнена и развита другими авторами.
Ее изложение можно найти, например, в [28 , 29, 38, 48]. В
частности, из теории Дебая следует, что для вещественных поло-
жительных значений индекса X асимптотические выражения бес-
селевых функций имеют вид:
при X < х
. X л ]
— л arc cos---------------],
х 4 I)
(2.2.20)
85
к (х) |/ ~ (х2 - а2)"'/4 cos (1/ х2 - л2 -
— Xarccos —-----— V, (2.2.21)
х 4 J
при л >х
ЯГ’ ’(2) (X) + i у (X2 - х3)-,/4 X
X exp { X In K + V ^-х2 _ . (2.2.22)
4(х)^-4-(Х2-х2)-‘ ‘ X
у 2л
X ехР|— (X In Z V^~XL - У tf-x2 )j • (2.2.23)
Из этих выражений видно, что при X < х бесселевы функ-
ции меняются по абсолютной величине очень медленно с
изменением X, в то время как при 7. > х с возрастанием 7. функ-
ция J-,.(x) убывает быстрее, чем экспонента, а функция Я1‘>,(2>(х)
возрастает быстрее, чем экспонента. Для значений 7^ < х из
(2.2.20), (2.2.21) находим, что
Я11>,<2) (х) - е±(<А—’гЛ/2тя/4),
•h.(х) — cos (х — лХ/2 — л/4), (2.2.24)
/ 2~
NK (х) ~ 1/ -----sin (х — лХ/2 — л/4),
l' ЗХ X
а в случае, если X X х,
W(l).<2), x___, ! / 2 ( 2^ V
Ях (х)-±г|/ ’
(2.2.25)
1 (2К\^
К 2л7. \ ех /
или при целых X = п ~У> х
//п0 (х) —~ — 1)! - V, (2.2.26)
л \ х )
86
(х) — — (П — 1)! ( — V , (2.2.27)
Л \ X )
• <2-2-28)
n! V 2 I
В окрестности точки /. = х асимптотические выражения Дебая
(2.2.20) — (2.2.23) дополняются представлениями
М'М2) (х) ~ — ет'л/3 ( AV''3 л (2.2.29)
Л \ X /
(так называемая аппроксимация Ханкеля), которые переходят
в дебаевские в случае, если X лежит не слишком близко к х.
Здесь через Д(<?) обозначен интеграл Эйри [176, 177]
ОО СО
А(<7) = А у e'<9T-T,) d т = cos (т3 — q т) d т, (2.2.31)
—оз о
где
(Д X1/., г „Ц./л/З
— е (2.2.32)
х / I — 1
соответственно для функций Д1‘),(2) (х) и J? (х).
Фок в [49] дал другие асимптотические представления для
функций Бесселя, применимые в области, для которой |х2 —
— X21 < А21 X |*/з, где |А,|> 1, а А не очень большое число, ког-
да нельзя пользоваться дебаевскими приближениями. Первые
члены фоковских приближений имеют вид
ДР’(2)(х) — -±±.7--^ 1/3и’1>2(0, (2.2.33)
V л \ 2 /
(4Г1/3^)’ <2-2-34>
К л \ 2 I
где через w^^t) обозначены удобные для применений функции
Фока — Эйри, определенные для вещественных значений аргу-
мента t интегралами
SO ^1,г(0 - Г etx ' dr у л J а>ехр(:р 2nZ/3) = u(t) + iv(f) (2.2.35)
87
(функции Фока — Эйри могут быть распространены и на случай
комплексных значений /). Функции и (f), v(t) для вещественных
t табулированы Фоком. Таблицы их значений приведены, напри-
мер, в [49]. Для больших положительных значений t функции
u(t), v (/) и их производные имеют асимптотические выражения
ы(/)е=7~,/4е3 , 3
(2.2.36)
и (t) е3 , t>' (/) =--— t'!* е 3
из которых видно, что с возрастанием t функция u(t) монотон-
но возрастает, a v(t) монотонно убывает. Для больших отрица-
тельных значений t асимптотическими выражениями функций
u(t), v(t) будут
— (—t) 1,4 cos
.•4 . ‘ 2 ,
sin -------------(— t\
3
(2.2.37)
u'(0~(~ 01/4sin 0
О
п(0~(— /)
n (0 ^ — (— O’ 4 cos [ -|- (—0*/! + ~
3 4
из которых в свою очередь видно, что при отрицательных t
функции u(t) и u(t) имеют колебательный характер.
5. При решении задач дифракции, связанных с применением
бесселевых функций, зачастую возникает необходимость в вы-
числении нулей бесселевых функций и в знании их распределе-
ния на соответствующих плоскостях. Так как каждая бесселева
функция является аналитической как от аргумента х на всей
плоскости комплексного переменного х, за исключением, возмож-
но, лишь точки х — 0, так и от индекса % на плоскости пере-
менного X, то очевидно, что каждый нуль ее будет являться
в известных пределах аналитической функцией как аргумента х,
так и индекса X (общие вопросы теории нулей бесселевых функ-
ций изложены в [28, 29J). В задачах дифракции обычно нужно
знать распределение и значения нулей только функций Ханкеля
и их производных в зависимости от изменения их комплексного
88
индекса при фиксированном большом и положительном значении
аргумента х (х вещественно и х>0).
Известно, что функция Ханкеля (х) при любом вещест-
венном индексе Л не имеет нулей с аргументами 0, л/2, л,
а функция (х)—нулей с аргументами 0, —л/2, —л. Поэто-
му в случае, когда х>0 (argx = 0), обе функции Ханкеля
/У£1>,<2) (х) и их производные /У).1),12) (х) для заданного х есть це-
лые функции вдоль всей вещественной оси на плоскости ком-
плексного переменного X, в силу чего все возможные нули Хп,
функций /У£|>,{2> (х) и Нх>л2> (х) для фиксированного поло-
жительного аргумента х расположены вне действительной оси
плоскости X и являются комплексными числами (функции Ханке-
ля /У>.1),<2) (х) чисто мнимого индекса /. не имеют нулей). При-
ближенные значения нулей и функции (х) и ее произ-
водной /У?,” (х), найденные на основе дебаевской асимптотики,
находятся по формулам
» / О «TV \2 /3
Кп х+ ~ (4и —1)2/з, п = 1, 2, .... (2.2.38)
V/.
7.п = х е'я'3(-4-| (4п + l)’/s, n=0, 1, ... (2.2.39У
Из соотношений
/У!0 (х) = (х), ЯГ' (х) = е~ЛпН^' (х) (2.2.40)
ясно, что нули как и Хп, расположены симметрично в пер-
вой и четвертой четвертях плоскости Л, так как если Л„, Хп яв-
ляются нулями функций /У?.0 (х), /У?.1’ (х), то их нулями будут
и — Х„, — Х„. Нули функций /Ур (х) и /У£2> (х) расположены
симметрично во второй и третьей четвертях и симметрично по
отношению к Х„, Лп. Более точные, чем в (2.2.38), (2.2.39), зна-
чения нулей получаются из ханкелевской аппроксимации бессе-
левых функций. Они находятся по формулам
(2.2.41)
(2.2.42)
где qn, q'n — нули функции Эйри (2.2.31) и ее производной
Л(?п)=0, Л'(^=0.
(2.2.43)
89
Приведем таблицы первых пяти нулей уравнений (2.2.43)
и нулей функций /7*0 (х), Н^у (х), позаимствованные из (48].
Таблица 1
Нули функций Эйри и ее производной
п Чп Л'<9П) ч'п Л(<)
1 3,372134 —1,05905 1,469354 1,16680
9 5,895843 1,21295 4,684712 —0,91272
3 7,962025 — 1,30673 6,951786 0,82862
4 9,788127 1,37568 8,889027 —0,77962
5 11,457423 — 1,43078 10,632519 0,74562
Таблица 2
Нули функций (х) и (х)
( Х„ = х + х*'3 е'л 3o„, = х + х’/з е'-"1'3а’п)
п ап ап
1 1,855757 0,808617
2 3,244608 2,578096
3 4,381671 3,825715
4 5,386614 4,891820
5 6,305263 5,851301
Способ вычисления нулей ханкелевских функций, основанный
на аппроксимации Ханкеля — Лангера 1150]
(х) ~ Ь е 4 [Mg а - а], (2.2.44)
\ tg а )
пригодной для больших значений аргумента х с комплексным
индексом X, указан в |52] (X = xcosa).
Из рекуррентных соотношений (2.2.10) получается формула
2 dR^x) = (х) _ (х)> (2 р,45)
дх
которая приводит к асимптотическому соотношению [125]
dR’r. (•*) _ (*) _ (2.2.46)
дх д X
90
6. С функциями Бесселя тесно связаны две часто встречаю-
щиеся в приложениях функции /? (х) и К?, (х), являющиеся част-
ными решениями уравнения
дх2 х дх \ х2 J
(2.2.47)
которое получается из уравнения Бесселя (2.2.1) заменой х на
ix. Функция \(х) связана с функцией Бесселя ./z (х) соотноше-
нием
/Jx) = e 2J.f\ix) (2.2.48)
и называется модифицированной или бесселевой функцией перво-
го рода порядка X. Функция Л'?(х)—второе частное решение
уравнения (2.2.47), линейно независимое от (2.2.48) при всех зна-
чениях X. Она связана с функцией Бесселя (х) соотношением
KJx)=~e^ 2 (ix)
(2.2.49)
и называется модифицированной или бесселевой функцией второ-
го рода порядка X. Ее называют также функцией Макдональда
порядка X.
Если X—вещественное число и х положительно, модифици-
рованные функции принимают вещественные значения.
В случае нецелых X
К-х(х) =Кх(х).
В случае целого X = п
t-n (х) = /„ (х),
.. . . .. „ , , (—1 )п Г d/_x(x) dft (х)
Кп (х) = 11Ш к?. (х) = - ----- ~ Р 7
2 [ оХ дХ ]х=п
7. Если X не равно целому числу, то поведение независимых
решений Jx(x) и J-X(x) уравнения Бесселя (2.2.1) при х->0
определяется формулами
X х X х ?-
' 2 ) 12/
Г(1+ X)’ ~ Г(1—X) ’ (2-2.50)
В случае целого Х = и при х-*0 справедливы соотношения
А(Х)^1, 4(х)^—[ —V,
91
№(x)^^-ln^-, AU*)~-(2L-", (2.2.51)
л 2 л \ 2 )
(x)=t 1 + — In —, Я<° (x)«----- (n - 1)! (—Г ,
л 2 л \ x /
n = 1, 2, ... ,
tfj2,(x)^l- —In—, tf<2)(x)« — (n-l)l(-У ,
л 2 л \ x I
K0(z)^-\n~,
1 / 2 \n
K„ (*) - — (» — 1)! —
2 \ x /
8. Определитель Вронского (вронскиан) системы линейно не-
зависимых решений уравнения Бесселя (2.2.1) вычисляется по
формулам
W{J}_(x), J_Jx)’
2 sin Хл
л х
W\JK(x), JV,.(x)} =----,
Л X
Я11),<2) (х)} = -^,
Л X
W{H^(x), Hl2)Wi =---------
(2.2.52)
Kx(x)} = ~ —,
x
где по определению
W{yi(x), z/2(x)}=
v J V ’ !/,(*) У2(х)
§ 3
Разложение плоской волны
по цилиндрическим волновым функциям.
Интегральные представления волновых функций
Все составляющие векторов Е, Н плоской электромаг-
нитной волны (1.3.4) имеют в качестве множителя функцию
ф = е,й(пЮ, (2.3.1)
где (nR) определяется, как в (1.3.6). Функция (2.3.1), очевидным
92
образом удовлетворяющая скалярному однородному уравнению
Гельмгольца (и2 + = 1), называется плоской скалярной
волной. В системе цилиндрических координат ее можно записать
на основании (1.3.7) в виде1
ф = e'kp sin 0‘cos <ф—ч’«) cos е» (2 3 2)
где функция
/ (р, <р) = eikp&in е«cos (2.3.3)
ограничена и однозначна вместе со своими производными относи-
тельно аргументов р, <р и периодична по ф с периодом 2л. По-
этому ее можно разложить в комплексный ряд Фурье
/(р, <р) = 2 а-(р)е‘"ф’ <2-3-4)
П——со
коэффициенты которого, зависящие от р, равны
2л
ап(р) = X С eikpsinfi<>cos dф. (2.3.5)
2л J
о
Из сравнения (2.3.5) с (2.2.19) находим, если учесть (2.2.4), что
йп(р) = е-'п(ф“-л'2) Jn(ftpsin е0).
В результате разложение (2.3.4) примет вид
/ (р, <р) = V inJrt(&psine0)e‘"('f~4’°),
П---со
(2.3.6)
на основании которого из (2.3.2) получаем искомое разложение
плоской скалярной волны (2.3.1) по цилиндрическим волновым
функциям
ф = e'ftnR = eikz cos 0,1 У inJп (k p sin 0O) . (2.3.7)
n-~— QO
Если положить здесь 60 = л/2, ф0 = ± л/2, тогда
e±lftpsinv== у, (±
П—— 00
(2.3.8)
’ В (2.3.1) считается, что направление вектора п относительно координатных
осей системы Охуг определяется углами ()0, <р0.
93
Пользуясь (2.2.28), нетрудно убедиться в абсолютной и равномер-
ной сходимости полученных разложений для всех конечных значений
аргумента kp из интервала [0, оо). Следовательно, они допускают
почленное интегрирование. Пусть в (2.3.7) 0о = л/2. Тогда, умно-
жая обе части (2.3.7) на и интегрируя их по <р0 от О
до 2л, получим
Jm (k р)e'"Vf = f d (2 3 9)
2л J
о
где (nR) = p cos (<p — Фо)- Найдем интегральные представления
ханкелевских волновых функций Нт),<2) (х)е‘тч>. Для этого будем
исходить из того известного факта, что функция
и(р, ф) = j e'ft<nR) у(ф0)£/ф0, (2.3.10)
С
где (nR) = р cos (ф—фо), а и (фо) — одно из решений уравнения
v" + m2v = 0, является решением двумерного уравнения Гельм-
гольца, если контур интегрирования с взят так, чтобы на концах
его обращалось в нуль выражение
I о фо о ф0 J с
В частности, если в качестве v (ф0) взята функция е‘тЧ1", то та-
кому условию будут удовлетворять контуры Ci, с2, с3, определен-
ные, как и у интегралов Зоммерфельда (2.2.14) — (2.2.16). Так
как уравнение Гельмгольца в полярных координатах допускает
разделение переменных, то очевидно, что функцию и(р, <р) (мож-
но представить в виде произведения и (р, ц>) ~ Н (р) е"”4’, и тогда
(2.3.10) запишется в виде
Д (р)?тф = [ eik<n*y+imv‘ d ф0. (2.3.11)
С1.2
Положим здесь ф = 0, так что (nR) = рсозф0, а
Д(р)= eiklJCOS^+imw°d(f0. (2.3.12)
С1.2
Сравнивая (2.3.12) с (2.2.17), (2.2.18), находим
Д(р)=л1тД*г“’(2) (£р),
в результате чего из (2.3.11) получаем искомые интегральные
представления остальных волновых функций, справедливые при
94
г
Refc>0 для р =£ 0 и |<р | < — случае — < <р < —- в пред-
ставлениях нужно exp \ik (nR)] заменить на ехр [— ik (nR)] j :
л/2—Zoo
(kp)e,w = -(~-t)CT f e,ft(nR)+'"‘^d(p0, (2.3.13)
Л J
—Л/24-too
3 л/24-1 co
H^(kp)e‘niv = J (2.3.14)
Л/2—Zoo
где (nR) = p cos (ф — ф0). Подобным же образом можно показать,
что
2л
J'n (/г р) S?n(m ф) = I e'*<nR) sh?фо) d ф0’
ып 2л J sin
о
л/2—<оо
= С ?‘™> =“(тф.)4<р.,
ОШ д 1 olll
-я/2+‘'°° (2.3.15)
Зл/2-f-’Z оо
/Ш&ф)=-^- (' eik™
Sin я ] sin
Л/2—it»
§ 4
Теоремы сложения
для цилиндрических волновых функций
Пусть на плоскости Оху имеется две системы декар-
товых прямоугольных координат О/ху/д и О2х>у2 с одинаково ори-
ентированными и параллельными соответствующими осями Ох, Оу
и связанные с ними формулами преобразования
ху — Р1С05ф1, г/1 = р15П1ф1, х2 = Рг cos ф2» ^2 = р2 81пф2
полярные системы координат р, ф. Пусть, кроме того, в каждой
из координатных систем определены волновые функции (2.1.10)
и (2.1.11) (для общности результатов будем рассматривать и функ-
цию Н,‘?(р) О
/т(/гр,)е‘‘тф\ s=l, 2; m = 0, ±1, .... (2.4.1)
Wm1),<2)(*ps)eim'i,s, s = l, 2; m = 0, +1, .... (2.4.2)
95
где ps, <ps — полярные координаты произвольной точки Р плоско-
сти Оху в системе с началом в и 02 соответственно (рис. 13).
Найдем формулы, позволяющие каждую волновую функцию
(2.4.1) и (2.4.2), записанную, например, в s-й системе координат
(s = 1 либо s = 2), выразить через те же волновые функции, но
записанные уже в другой, /-Й системе координат (/ -/s; j = 2
Рис. 13. К теореме сложения для цилиндри-
ческих волновых функций
либо / = 1). Для этого введем в рассмотрение плоскую скаляр-
ную волну (2.3.1) с 60 = л/2 и <р0 — а
ф = eik^ (2.4.3)
((nRs) = pscos(<ps— а)), записанную в s-й системе коорди-
нат. Так как RS=R/ + RS/ («г/; s, /= 1, 2), то e"i(nRs> =
_ eifc(nR;.) e>fe(nRs;-), и тогда на основании (2.3.7) (00 = л/2) полу-
чим
e^nRs)= у 1^„(йр/)е''1<ч,>“а) e'ft(nRs/). (2.4.4)
П =--ОО
Умножая теперь обе части (2.4.4) на множитель e“”ada и ин-
тегрируя их по а по контурам сг, с2, с3, найдем на основании
формул (2.2.17) — (2-2.19) искомые теоремы сложения:
H^^(kps)ein^ =
2 № (kl) Jn (k p,-)
l>Pi, (2.4.5)
96
Jm(kps)eim^ =
= V Jm_n(kl)Jn(kPj)e^-n^i+^i, l^Pj, (2.4.6)
n=----co
в предположении, что I = ps/, .s/ j, s, j = 1, 2. Когда I < ph
то подобным образом находим
tfp)-<2>(fcps)e‘m^ =
= V ^<2)(^p/)JJ^^<m-n,4’/+*7”>’s/j (2.4.7)
n——CO
если предварительно вместо (2.4.4) взять разложение
e£fe(nRs)= j? inJn(kpsJ)ein^ra) е1к^.
n=-—оо
В полученных формулах через psj, (psj обозначены полярные ко-
ординаты начала О, в системе с началом в 0s. При указанных
соотношениях между I и р{- все выведенные разложения абсолют-
но и равномерно сходятся.
Формулы (2.4.5) — (2.4.7) играют важную роль в задачах диф-
ракции волн на нескольких круговых цилиндрах, решаемых мето-
дом разделения переменных в цилиндрических координатах.
Произведенная при выводе формул (2.4.5)—(2.4.7) замена по-
рядка суммирования и интегрирования для интеграла с контуром
с3 оправдывается равномерной сходимостью ряда (2.4.4). Для ин-
тегралов с контурами Cj, с2, уходящими в бесконечность, закон-
ность замены может быть обоснована при помощи теорем об
интегрировании бесконечных рядов на бесконечном интервале
(см. [28], Добавление II, [29]).
Теоремы сложения (2.4.5) — (2.4.7) могут быть записаны
в виде
^m(^Ps)g?S("i«Ps) =
оо
= 2 cos |(m__n)<Ps/ + n<P;l, (2.4.8)
П——00
если l>Pj, или в виде
00
= 2 J^kl)^-n(kpj)^\(m — n)^sj + n4>i], (2.4.9)
П~—со
если l<pj, где Rm(x) — одна из бесселевых функций.
7. Е. А. Иванов 97
В качестве частного случая из (2.4.5), (2.4.7) получается тео-
рема сложения простейшего вида
яГ(2,(М =
,-„J Jn(/ep)tf‘1M2)(6po),
14(fepo)^”’(2> (kP),
Ро > Р,
р> ро,
(2.4.10)
для функции Ханкеля нулевого порядка, часто встречающаяся
Рис. 14. К теореме сложения
для функции <2\fep)
_2
в различного рода приложениях (р = р2 + р2 — 2pp0cos<p, см.
рис. 14).
§ 5
Разложение сферической волны
по цилиндрическим волновым функциям
Функция
ф = е,7Л/Я, (2.5.1)
входящая в выражения векторов Герца (1.3.9), (1.3.10) и удов-
летворяющая однородному уравнению Гельмгольца (R ..и 0), на-
зывается сферической волной. Найдем разложение ее по цилинд-
рическим волновым функциям. Для этого удобно воспользоваться
функцией Грина Gk (г|г0) уравнения
А Ск (г|г0) + k2Gk (г|г0) = — 6 (г — г0), (2.5.2)
заданного во всем пространстве. По своему определению функ-
ция Грина Gft(r|r0), являясь решением уравнения (2.5.2), симмет-
ричным относительно координат (х, у, г) и (х0, t/o, 20) векторов
г, г0 (г, г0 — векторы, соединяющие начало координат с точкой
наблюдения и с точечным источником соответственно; 6—трех-
98
мерная 6-функция Дирака) и удовлетворяющим на бесконечности
условию излучения, представима в виде
/fe|r—г„|
с>',ы='Щг=7.|' (2'53)
Так как при г =f= г0 функция Грина G*(r[r0) является решением
однородного уравнения Гельмгольца, то в цилиндрической систе-
ме координат ее можно, очевидно, представить разложением по
интегралам Фурье типа
оо
Gft(rir0)= £
П=—ОО
X С Jn(Upo)H">(Up)’ р>ро ! eih{z~z‘} dh. (2.5.4)
I Jn (vp) H(ny (Vp0), p < Po J
В цилиндрических координатах уравнение (2.5.2) может быть за-
писано в виде
— • . 34 +^. + «;,=
р д р \ др/ р2 д ф2 дг2
=----------6 (р — р0) 6 (<р — <р0) 6 (z — z0).
Р
(2.5.5)
Следовательно, после умножения обеих частей (2.5.5) на р и ин-
тегрирования их по р по малой окрестности ;> = р0 от ро—е до
Ро + е после перехода к пределу при е -> 0 получим
дйь р=|>"+8
Р~— = — 6(ф— фо) 6 (2 — z0), (2.5.6)
д р р=р0—е
так как функция Грина Gfe(r|r0) остается непрерывной при р=р0.
Умножив обе части (2.5.6), где в качестве Gk (г|г0) взято разло-
жение (2.5.4), на е '"'Х/ф и проинтегрировав их по ф от 0 до
2л, найдем
4i [ ап (Л) е1Щг~г‘} dh--- — б (z — z0). (2.5.7)
Так как
00
6(z—2в) = — f ech(z~Zo) dh, (2.5.8)
2л J
— X
из сравнения (2.5.7) с (2.5.8) находим, что an(h) = —. Под-
8л
7’ 99
ставляя это значение an(h) в (2.5.4) и полагая /? = |г — г0|, по-
лучим искомую формулу разложения
«ТгЯ i
е _ 1 ЧРо)\х
R 2
п——ОС
У С( ^n(DPo) ) (DP)> р>ро) eih{z~z°ydh (2.5.9)
J I Jn(vp)H{nl} (иро), р<ре >
---СО
или
eikR i гл
\ e„cosn(q>—фо) X
п-0
х Г j Л(аро) я^о(ир), Р > Ро 1 e^-^dh, (2.5.10)
J I Jn(vp)Hn} (иро), р<р0 >
---ОО
где 80 = 1, а е„ = 2, когда л > 1.
К подобным разложениям можно прийти и другим путем,
например при помощи представления
—=J_ tf*1’ (Vp)eill{z-z‘}dh (2.5.11)
R 2 J
--СО
и теоремы сложения (2.4.10), примененной к подынтегральной
_2
функции Ханкеля в (2.5.11): р = р2 + Ро — 2рр0 cos (ф — фо).
ГЛ ABA 3
СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНОВЫЕ
ФУНКЦИИ
И НЕКОТОРЫЕ ИХ СВОЙСТВА
§ 1
Уравнение Гельмгольца
в сферических координатах.
Сферические волновые функции
Скалярное волновое уравнение Гельмгольца в системе
сферических координат г, 0, <р имеет вид (1.6.26). Если искать
его частное решение в форме произведения трех функций
и (г, 0, q>) = R (г) © (0) ф (ф) ф О,
(3.1.1)
каждая из которых зависит только от одной координаты, то после
подстановки (3.1.1) в (1.6.26) и последующего разделения пере-
менных в уравнении найдем, что частное решение уравнения
(1-6-26) может быть представлено в виде (3.1.1), если в качестве
функций R, © и Ф брать любые решения соответствующих урав-
нений:
(3.1.2)
1 d / . „ d© \ /. р \ „ ... ,
•--- sin 0 ------------ + X----------S— 0 = 0, (3.1.3)
sin©---------------------------------------------de у de / у sin20 /
(3.1.4)
в которых параметры л, р являются постоянными разделения.
Значения постоянных разделения определяются из требования
однозначности и непрерывности решения (3.1.1) в любой данной
точке пространства. В частности, функция Ф(ф) должна быть
периодической с периодом 2л. Так как частными решениями урав-
нения (3.1.4) являются функции (Крф), то очевидно, что об-
ласть изменения параметра р должна ограничиваться квадратами
целых чисел: р = т2, где т—О, + I, + 2, ... Тогда периоди-
ческими решениями уравнения (3.1.4) будут функции
COS
Ф(<р) = sin (3.1.5)
или в комплексной форме
Ф(ф) = е1пи». (3.1.6)
Если подставить р = т2 в уравнение (3.1.3), то последнее будет
иметь ограниченные в особых точках 6=0, 6 = л решения лишь
при условии, что параметр л=«(л-|-1), где п—целые и п>0. Та-
кими решениями являются так называемые присоединенные функции
Лежандра
0(6) (cos 6). (3.1.7)
Свойства присоединенных функций Лежандра описаны в [24, 29,
31, 34—36, 41]. Некоторые из них будут указаны ниже.
При X=n(n-f-l) уравнение (3.1.2) подстановкой R= v(r)
V kr
приводится к нормальной форме уравнения Бесселя. Его частны-
ми решениями будут функции
7?(r) = Z„(fer), (3.1.8)
где через Z„(x) обозначена одна из так называемых сферических
функций Бесселя
In W = J/^Л+1/2 W, п,(х) =
= М.+1/2 W, № (2)« (х), (3.1.9)
причем здесь ^I),(2)W = /„(x) ±ш„(х), а Л+1/2(х), /V„+i/2(x),
Hji+mix)-—бесселевы функции полуцелого порядка (множи-
тель у/л/2 добавлен для удобства вычислений). Функция /„ (х)
не имеет особенности в точке х = 0, в то время как функция
hn} (х) имеет там полюс n-го порядка, на бесконечности она
удовлетворяет условиям излучения. Следовательно, частными ре-
шениями уравнения Гельмгольца (1.6-26), представимыми в форме
(3.1.1), явятся функции
in(kr)P'n (cos6) |^(mcp) или jn(kr)P% (cos Q)einUf, (3.1.10)
hn} (kr)Pn (cos6) C“(m<p) или h(nl} (kr) P"‘(cos6)(3.1.11)
102
первые из которых периодичны по ср с периодом 2л, ограничены
при 0 = 0 и 6 = л и регулярны в области, содержащей начало
координат (г = 0), а вторые периодичны по ф с тем же периодом,
ограничены при 6 =0 и 6 = л, регулярны в области, не содер-
жащей начало координат, и, кроме того, удовлетворяют условию
излучения на бесконечности. Функции (3.1.10), (3.1.11) называ-
ются сферическими волновыми функциями. В силу линейности и
однородности уравнения (1.6.26) его общее решение может быть
представлено в виде ряда
со и
2 2 /я ^тп Cos т ф + bmn sinт <cos (3-1 •12)
л—0 т=0
или в виде
2 2 (cos 0)е^ (3.1.13)
п—0 т——п
и соответственно
2 2 ’ (М (Cmn cos m ф ч-sin Щф)/^1 (cos 6) (3.1.14)
n—0 m——n
или в виде
ос П
2 2 B,nnh^{kr)P^ (cos 6) Л (3.1.15)
п—О т=—п
Коэффициенты разложений Атп, В,пп и другие зависят от т и п
и подлежат определению из граничных условий.
§ 2
Уравнение Лежандра. Функции Лежандра
Дифференциальное уравнение
d
dz
(1-z2)
dy '
dz
(3.2.1)'
+ Xy = O
называется уравнением Лежандра (уравнение (3.1.3) приводится
к уравнению Лежандра подстановкой z — cos 6 при р = 0). Оно
характеризуется двумя регулярными особыми точками z = + 1 и
z = — 1. В общем случае аргумент z и параметр л уравнения
Лежандра могут принимать любые как вещественные, так и комп-
лексные значения. Частные решения уравнения (3.2.1) при про-
103
извольном к называются функциями Лежандра. В частном случае
вещественных Х=п(п + 1) с неотрицательными целыми значе-
ниями п уравнение Лежандра допускает два линейно независимых
решения1 уг = Рп (г) и у2 = Qn (z), представимых в форме
2п!
2"(п!)2
znF
п 1 —п 1
—, ---;----
2 2 2
4 b (3.2.2)
z2 /
(2n + 1)!!
1
z'l+'
/ n + 1 п+2 ,3 1 \
----, —’— ; П н-; — ,
\ 2 2 2 z2 /
(3.2.3)
если искать их в виде обобщенного степенного ряда по возра-
стающим и по убывающим степеням аргумента z соответственно.
Здесь через F обозначен гипергеометрический ряд
F (а, р; у; z) = V (a)w (P)fn zm, (3.2.4)
44 (Y)m
где (a)m = a (a + 1) ... (a + m — 1), m > 1, a (a)0 = 1. Нетрудно
заметить, что ряд (3.2.2) содержит лишь конечное число членов,
отличных от нуля, независимо от выбора значений аргумента z,
который может быть и комплексным (если п — четное число, то
ряд (3.2.2) оборвется на члене n-й степени, если же п — нечетное
число, то ряд (3.2.2) оборвется на члене и — 1-й степени). Его
сумма при z = 1 равна единице. Следовательно, частное решение
уравнения Лежандра P„(z), определенное рядом (3.2.2), является
полиномом степени п относительно аргумента z. Это решение урав-
нения (3.2.1) называется полиномом Лежандра. Ряд (3.2.3) бес-
конечный, сходящийся для всех значений | z | >1 и расходящийся
внутри интервала (—1, +1) и на его концах z = ± 1 (в особых
точках уравнения). Определяемая им функция Qn(z), второе част-
ное решение уравнения Лежандра, называется функцией Лежандра
второго рода. Таким образом, общее решение уравнения Ле-
жандра в области, где | z | > 1, представимо линейной комбина-
цией
y(z) = CJ>n(z) + C2Qn(z), (3.2.5)
где С1г С2 — произвольные постоянные.
1 В книге не делается различия в обозначении функций Лежандра и при-
соединенных функций Лежандра, относящихся к промежутку —1<+г+1 и
ко всем другим случаям.
104
Зная первое решение уравнения Лежандра в интервале (—1,
4- 1) — полином Лежандра Pn(z), второе решение внутри этого
интервала, линейно независимое от P„(z), можно искать в виде
интеграла
Pn{Z} J (1-'Z2)^„(Z) ’
вычисляя который и обозначая результат вычисления через Qn(z),
получим
Q„ (z) = ~рп (2) in l±_z - Wn_r (z) (3.2.6)
2 1 — Z
(z вещественно и z£(—1, +1)), где
п
Wn^z) = V - P^Pn-s^,
S
S=1
(3.2.7)
a Pn(z) — полином Лежандра. Как видно из (3.2.6), определен-
ная в (—1, 1) этим выражением функция Лежандра второго
рода Qn(z) имеет на концах интервала логарифмическую особен-
ность. Общее решение уравнения Лежандра внутри интервала
(—1, 4-1) можно также представить в виде линейной комбинации
(3.2.5), где, как и раньше, P„(z) — полином Лежандра, a Q„(z)
задана выражением (3.2.6).
Заметим, что если искать функцию Лежандра второго рода
вне интервала (—1, 4-1) подобным образом, через первое решение
Рп (z), то окажется, что как для вещественных, так и для комп-
лексных значений аргумента z, удовлетворяющих условию | z | >» 1,
она представится выражением
1 2 -4- 1
Q„ (z) = 4- Рп (z) 1п -^4 - (z), (3.2.8)
2 z — 1
’ /О’ г> с\ ” 1 1 + z , z + 1
отличающимся от (3.2.6) лишь заменой 1п --------на 1п------.
I—z z—1
Легко убедиться в том, что функция Q„(z), заданная рядом
(3.2.3), и функция Q„(z), заданная выражением (3.2.8), в точности
совпадают при положительных целых п.
Из (3.2.6) и (3.2.8) видно, что на плоскости комплексного
переменного z функция Лежандра второго рода имеет две точки
ветвления: z = 4- 1 и z——1. Поэтому для выделения однознач-
ной ветви этой функции следует соединить точки z= 4-1, z——1
разрезом.
105
Полиномы Лежандра Рп (г) и функции Qn (z) целого положи-
тельного индекса п— частные виды уравнения Лежандра с про-
извольными вещественными или комплексными значениями пара-
метра X. В общем случае решения уравнения Лежандра обозна-
чаются через PK(z) и Q? (z) и называются функциями Лежандра
первого и второго рода соответственно. Их явный вид находится
из уравнения (3.2.1) обычным путем при помощи обобщенных
степенных рядов и записывается в форме
/ 1 — 2 \
Л. (z) = F I — к X + 1; 1; I , (3.2.9)
/лГ(Х+1) х
г +4)(2z)Z+1
х F (—+ 1, —+ —; х + —; —(3.2.Ю)
\ 2 2 2 2 2а/
в предположении, что в (3.2.9) значения z удовлетворяют нера-
венству |z—1|<2, а в (3.2.10) — условиям |z|>l, |argz|<n,
k +—1, —2, ... Этими формулами функции Р-, (z), Qx(z) опре-
делены лишь в ограниченной части комплексной плоскости z,
однако они допускают аналитическое продолжение и в более
широкую область изменения аргумента z. Для функции Р} (z)
такое продолжение дается формулой
л/2
9 Г /z _____ 1 \
Pt (г) =— 1 F} I------ sin2 ф j d(f, (3.2.11)
л J ' V 2 /
о
где | arg (z1)|<л, a
_ [(1 + z)1/2 + zlzT+‘ +[(14- z)1/2 + z1/2]~a-‘
Аналитическое продолжение функции Q? (z) дается формулой
(3.2.12)
где |arg(z —1)|<л, ReX> — 1, а
G>.(z) =
[(l + z)lz2 + zlz2J-2?-‘
(l + z)1/2
106
Определенная интегралом (3.2.11) функция P',..(z) удовлетворяет
уравнению Лежандра, при z = 1 она равна единице и является
регулярной функцией комплексного переменного z на всей пло-
скости z с разрезом вдоль участка действительной оси (— со,
— 1). В области \z— 1|<2 она тождественна функции Rz(z),
определенной формулой (3.2.9). Из (3.2.9) и (3.2.11) видно, что
(z) — целая функция индекса л.
Определенная интегралом (3.2.12) функция Q?,(z) удовлетворяет
уравнению Лежандра и является регулярной функцией комплекс-
Рис. 15. Контуры пнтеграфования Ть т2
ного переменного z на всей плоскости с разрезом вдоль вещест-
венной оси от —со до +1. При z —>-1 справа функция Qz(z)—>-4-оо.
Следовательно, она независима с (z). Значения Q(zz), даваемые
формулами (3.2.10) и (3.2.12), в общей области определения сов-
падают, и там они тождественны. Из этих же формул видно, что
в полуплоскости Re л > — 1 функция Q? (z) есть аналитическая
функция индекса к (на всей л-плоскости функция Qz (z) мероморф-
на с простыми полюсами в точках к== —1, —2, ...).
Так как уравнение (3.2.1) не меняет своего вида при замене
в нем параметра к параметром —к— 1 или при замене аргумента z
аргументом —z, то наряду с функциями PK(z) и Q},(z) его ре-
шениями будут и функции P-^z), Q-i-tiz), Р} (—z), Qj (—z),
причем
P-^z) = PK(z),
Qk (- z) = - QK (z), (3.2.13)
2
— sin (Хл) QK (z) = P7, (z) — PK (— z)
n
(в двух последних формулах предполагается, что к*/=— 1, —2,
... ; верхний знак берется для Imz>-0, а нижний—для Imz<0
при наличии разреза вдоль (—оо, 1)). В случае целых положи-
тельных значений л = п
Рп (- Z) = (-!)"₽„ (2), Q„ (- Z) = (-!)«+> Q„ (Z). (3.2.14)
107
В приложениях к задачам дифракции оказывается полезным пред-
ставление функции Pz(z) в виде суммы двух функций
Рх (cos 6) = Q11’ (6) + Ql2) (6), z = cos 6, (3.2.15)
где функции Qx ’ (6) для Re X > — 1 определяются интегралами
[125]
QV)(6) = —— С
2л i J
(Ту)
с контурами интегрирования, изображенными на рис. 15.
Функции Qx1 (6) и Qx2> (6) связаны между собою соотноше-
ниями
Q11’ (6) = e~inK Qk2) (л — 6), Ql2) (6) = ем- Qlu (л — 0). (3.2.16)
~ттт—7=====-, 1=1, 2,
?"+1 j-l}/2 —2/cos0
Из (3.2.15) и (3.2.16) вытекает, что
Рк (—cos 6) = е^Рк (cos 0) — 2i sin (Хл) Qx° (0), (3.2.17)
₽x (cos 0) = eilA PK (—cos 0) — 2t sin (Хл) (&2) (л — 0). (3.2.18)
Когда | Xsin01^> 1 и ReX>—1, для функций Рг (cos0), Qx1),(2)(0)
имеют место асимптотические представления:
—i ( <+ — ) 0|Zл/4 /
QP(0)~e v 27 / K2nXsin0, (3.2.19)
f [>. | —) 6—(Л/4 /
Ql2) (0)~e v 2! I У 2лл sin 0, (3.2.20)
Px(cos0) = 1/ — - -2. COS I X+ -4-)
’ |z nXsinO [Д ' 2 /
0-^ .(3.2.21)
Если же | X | > 1, 0^ 0, to
Px (cos 0) Jo
0
(3.2.22)
Если | X | ^> 1, а величина | X (л — 0)| не слишком велика по срав-
нению с единицей, то асимптотически
Рх (— cos 0) Jo
Х + —)(я —0)
2 /
(3.2.23)
108
В интервале (—1, +1) функции Лежандра удовлетворяют нера-
венствам
Р>. (cos 6) , IQx (cos 6)1 <. (3.2.24)
у лт sin 6 у X sin 6
Укажем теперь на некоторые свойства полиномов Лежандра.
Важными их свойствами, играющими большую роль в теории раз-
ложения произвольных функций в ряды по полиномам Лежанд-
ра, являются ортогональность и полнота системы полиномов Pn(z)
на промежутке |—1, 4-1], причем
Pn(z)Pn(z)dz =
0, п /-т,
2 (3.2.25)
п = т.
2п + 1
Можно показать, что всякая функция f(z), кусочно-непрерывная
вместе с производной первого порядка в каждой точке непре-
рывности f(z), разлагается в ряд Фурье по полиномам Лежандра,
сходящийся к функции f(z). При X=n(n-] 1) (п — целое,
и > 0) уравнение Лежандра (3.2.1) не имеет решений, ограни-
ченных в особых точках г — + 1, отличных от полиномов Ле-
жандра.
Полагая в (3.2.2) последовательно п =0, 1, 2, ..., получим
Ро (z) - 1, Рг (z) = z, Р2 (z) = -1- (3z2 -1) (3.2.26)
и т. д. Частные значения полиномов Лежандра:
?гк (0) = (- l)k (2fe^-P!L - (0) = 0. (3-2-27)
2k\\
= Р'Й+1(О)= Ь11№±11Н-. (3.2.28)
Для всех п и zGl—1, 4-1] имеет место неравенство
l^(z)|<l.
Если в (3.2.6) полагать последовательно n=0, 1, ..., полу-
чим
109
Q2(z) =
q1(z) = AinL+_2_i.
2 1 — z
3z2___£
4 4
(3.2.29)
1.+ z 3
1 — z 2 Z
1 I Z *
и т. д., где z£(—1, 4-1)- Заменив здесь In ---- выражением
1 — z
. z -f- 1 ,
In-----, получим формулу для вычисления частных значений
Z — 1
функции Q„ (z) в области | z | > 1.
При z = О имеем
Q2fe (0) = О, Q2fc+1 (0) = (- 1Г1 —, (3.2.30)
(2/г + 1)11
а при z = + 1
Qn(+1)= + Q2fr(-l)=-«, Q2fc+1(-1) = -L оо. (3.2.31)
Для функции Q„(z), определенной в области | z | > 1,
lim Qn (г) = 0.
|г|—”
§ 3
Уравнение присоединенных функций Лежандра.
Присоединенные функции Лежандра
Уравнение
d
dz
(1-z2)
dy '
dz
Ш + 1)
y=0 (3.3.1)
с произвольными значениями аргумента z и параметров X, р на-
зывается уравнением присоединенных функций Лежандра (урав-
нение (3.1.3) приводится к (3.3.1) заменой z = cosO). Оно харак-
теризуется двумя регулярными особыми точками: z = +1 и
z = — 1. Частные решения уравнения (3.3.1) называются присое-
диненными функциями Лежандра. Так как при р. = 0 уравнение
(3.3.1) переходит в уравнение Лежандра (3.2.1), то очевидно, что
их можно рассматривать в качестве обобщения функций Лежанд-
ра Pk(z)nQ?(z). Линейно независимые решения уравнения (3.3.1)
обозначаются через (z) и Q?1 (z) и называются присоединенны-
ми функциями Лежандра первого и второго рода соответственно
степени X порядка р.
ПО
В приложениях представляют интерес решения уравнения
(3.3.1), отвечающие, с одной стороны, действительным значениям
аргумента г, принадлежащего отрезку [—1, +1], и, с другой
стороны, решения, соответствующие любому комплексному зна-
чению z на z-плоскости.
Когда z вещественно и z£(—1, +1), присоединенные функ-
ции Лежандра первого рода определяются для всех X и р вы-
ражением
Я (г)
1
Г(1-р)
1 +
1 — Z /
X F I- X, X 4-1; 1—р; -----------
(3.3.2)
где F— гипергеометрический ряд (3.2.4). Уравнение (3.3.1) не
меняет своего вида при замене в нем X на —X—1. Поэтому
наряду с Р£ (z) его решением будут и функции Р-к-i (z). Из
симметричности ряда (3.2.4) относительно первых двух парамет-
ров вытекает, что
P^_1(z) = Phz)- (3.3.3)
Уравнение (3.3.1) не меняется и от замены z на —z, в силу
чего ему будет удовлетворять и функция Р}. (—z), линейно не-
зависимая от (3.3.2) при нецелых значениях X 4- р- В этом слу-
чае общее решение уравнения (3.3.1) на промежутке (—1, 4-1)
будет представляться линейной комбинацией
У = с1Р^(г) + с2РЦ-г), (3.3.4)
где сх, с2 — произвольные постоянные. При целых значениях
X 4- р функции Р% (z) и Р% (— z) связаны соотношением
Я (z) = (- 1/+м Я (- z), (3.3.5)
из которого следует их линейная зависимость. В этом случае
второе решение уравнения (3.3.1) Qk(z), независимое от Ру. (z)
на интервале (—1, 4-1). может быть определено соотношением
Qa(z)-^ lim -------------------
2 sin (X 4- p)л
X {Рк (z) cos (X + p) я — Py. (— z)), (3.3.6)
где n — целое.
Ill
Присоединенные функции Лежандра для вещественных значе-
ний z£(—1, +1) могут быть определены также и выражениями
р» (г) = V
P}-(Z) (1_Z^
Fl k-ГЦ Р+Х. J_. 2г\
2 ’ 2 ’2 )
r|_1Z±zUL'|r
\ 2 ) \ 2 /
(3.3.7)
л3/22ц
®(г)=7^
(3.3.8)
удобными для вычисления этих функций в окрестности г = 0.
Функции (г) и Qx (z) при любых X и р удовлетворяют на ин-
тервале (—1, [1) соотношениям:
2Qx (z) sin(pn) =
= л (z)cos(pn) - Г^-Н-М) р-В (z)
L Г(Х — р + 1)
р>. (— z) = Р>. (z) cos [л (X + р)] —
О
-----Qx (z) sin [л (X + р)], 0<z<l,
л
Qx (— z) == - Q£ (z) cos [л (X + p)] —
₽x (z)sin(n(X+ p)l, 0<z<l,
(3.3.9)
(3.3.10)
(3.3.11)
112
=Sjntn(?u-+^1 QJJ(z)-
sin [л (X— p)]
л cos (Хл) cos (рл)
sin [л (X + p)l
P^(z) = Г(Х~И±Я x
Г(Х + р+1)
2
X P< (z) cos (рл)-sin(pn)Q£(z) ,
Л
HV-H + I) x
4 " Г(Х + и+1)
x ^Qx (z) cos (рл) + sin (pt) Pfc (z) | .
(3.3.12)
(3.3.13)
(3-3.14)
Из (3.3.11) вытекает, что при целых X — п и р — т
Qn (- Z) = (- l)'"+n+1 Qn (г). (3.3.15)
При г — 0 из (3.3.7) и (3.3.8) следует:
г (-I.zLAjL-L')
о** Гл 1 \ 2 /
Р£ (0) = -> cos 4 (X + и) ----------------«-—4, (3-3.16)
V [2 J г 11 + Л.—Н. j
Qx (0) = — 2Ц—1 У л sin
(Z. + р)
(3.3.17)
оЦ+1
Pf (0) = 4т- sin
у л
(3.3.18)
[у W+H)
г ( ~ь — н
\ 2
r(i+ Л+.1Ц
Qf (0) = 2ц/л COS [4 (X + И)1 - ) -7- 2~ - (3.3.19)
L 2 J г । 1i——।
\ 2 )
8. Е. А. Иванов
из
Из этих выражений для присоединенных функций Лежандра
видно, что при произвольных значениях параметров /. и р. урав-
нение (3.3.1) не имеет решений, ограниченных на всем проме-
жутке [—1, 4-1]. Такими решениями уравнение (3.3.1) будет
обладать лишь при целых значениях параметров К = п и р = т,
когда п > 0.
В случае целых положительных X = п и р = т присоединен-
ные функции Лежандра первого и второго рода задаются выра-
жениями
Р'п (z) = (- 1У» (1 - z2)^ , (3.3.20)
zG(—1, +1)
Q;',(z)=(-l)-(l-z2)‘r-^^-, (3.3.21)
в которых Рп (z) и Qn (г) при целых п > 0 определены в преды-
дущем параграфе. Из свойств функций Pn(z) и Q„(z) вытекает,
что функции (3.3.20), (3.3.21) являются регулярными функциями
аргумента z внутри интервала (—1, 4-1), причем единственные
конечные решения уравнения (3.3.1) в промежутке [—1, 4-1]
дают лишь функции Лежандра первого рода Р'п (г). Из (3.3.20)
видно, что при т>п Pn(z) = Q. При всех других значениях
0<т.-Сп функция Р'п (г) есть полином относительно z степени
п— т.
При целых X = п, р = т
Рп'" (z) = (—1)"‘ (П~—)! И” (z), (3.3.22)
(п 4- ш)!
?€(-1, +1)
' Qnm (z) = (-1 )m Q™ (z). (3.3.23)
(n 4- m)\
В промежутке (—1, 4-1) функции P™ (z) удовлетворяют рекур-
рентным соотношениям
№h] _l 2z (m + i) у
“ , )T x
X P'nl+l (z) 4- (n — m) (n 4- m 4- 1) P% (z) =0,
Pn-H (z) - P^L! (z) - (2n 4- 1) V b=^ PT' (z) = 0, (3.3.24)
114
(2n + 1) ztf (z) — (n + m) Pn-i (2) — (n — tn +1) P'n±i (z) = 0
и др., которые остаются верными и для функции Qn (г). Частны-
ми значениями присоединенных функций Лежандра с целыми и
положительными индексами К = п, р = m являются:
•О,
Р?(0) = (-—1 )~2~(п 4-/п)!
2п (п~т\ I ,
\ 2 I' к 2 Г
(п — т) нечетное,
(3.3.25)
(п — т) четное,
ЛГ'(О) =
0, л—tn—1 (—1) 2 (п + m-f-l)!
2" ' п— т — 1 ' 2 п 4- m +1 \ < 2 )
(п — т) четное,
(3.3.26)
, (п — т) нечетное,
0^(0) =
о,
п—m-f-1
(—2"-1
(п— т) четное,
п —т — 1 \ / 1
—------— I -
2 /Д
(п — т)!
,(3.3.27)
2
(п — т) нечетное,
(п — т) нечетное,
<(0)=
0,
(3.3.28)
(п — т) четное.
При z = + 1 (т =£0)
Рп (±1)=о, Qn(±l) = ОО. (3.3.29)
Из (3.3.20) и (3.3.21) следует, что
Р} (z)=(l-z2)I/2,
8*
115
Рг(г) =3z(l-z2)1/2 ,
(3.3.30)
Pi(z)= 3(1—z2)
и т. д.»
Qi (z) = (1-z2)1'2 Г— In 1+-? + -L_
I 2 1 — z 1-z2
Ql (z) = (l-z2)1/2 3z , 1 + z 3z2 —2 1 In 1
2 1 — z 1 — z2 J
Qi(2)=(l-22) Г 3 , 14-2 3z3 —5z ’
L 2 1 — z 1 —z2
(3.3.31)
и т. д. Функции P% (z) и Q'n (z) связаны при целых ‘к—п
функциональными соотношениями
^(z) = PZi„_1(z),
Q-n । (2) — Qn (2) 4-
+ (— l)"‘cos(nn)(n — m)! (m — n — 1)! P„ (z).
Для них имеют место асимптотические представления
пт / 2"+2 (п 4 т)!
Рп (COS 6) = ----- -i-------- х
л (2п 4- 1)!!
I / , Ц л л , пт
cos и Н--------6-----------------
X *- 2 / 4 2
]z2sin6
и p=m
(3.3.32)
(3.3.33)
если т вещественно и п > 1, п > tn, z = cos 6,
Рп (cos 6) nm
л n sin 0
X cos
X cos
(3.3.34)
116
если п, т—вещественные и положительные числа, еС0<п—е
и е>0, п^> 1/е.
При целых значениях X = п, yi = m присоединенные функции
P„!(z) на промежутке (—1, +1) обладают свойством ортогональ-
ности, причем
f^'(z)Pl(z)dz =
О,
2 (п + т)!
2п +1 (п — nty
если n=f=k,
(3.3.35}
если п = k, т = L
Другим важным свойством присоединенных функций Лежандра
P™(z), регулярных на [—1, 4-1], является свойство полноты си-
стемы {Р'п (г) }п т, исчерпывающей все ограниченные решения
уравнения (3.3.1) на [—1, +1]. Из этих свойств вытекает воз-
можность разложения произвольной функции на (—1, +1) в ряд
по присоединенным функциям Лежандра Р,',” (z).
Вронскиан функций PR(z) и (z) при любых X и р равен
г>2ц
«чад, (Ж(г)!= х
г( i+ \
г Гц-
\ 2 /
, z£(—1, 4-1). (3.3.36)
В случае комплексных значений аргумента z и произвольных
X, р присоединенные функции Лежандра будут однозначными и
регулярными функциями на z-плоскости лишь при наличии раз-
реза вдоль вещественной оси от — оо до 1. Для комплексных z,
удовлетворяющих условию | z | < 1, линейно независимые решения
уравнения (3.3.1) задаются выражениями
Я(г) =
1
Г(1-р)
/ 1 Z \
Х/Ч— X, 14-М 1—р;Ill—а|<2|, (3.3.37)
117
или
К (г) = Г (—) 2ц(2г-1Гц72 X
F j 1 + — + И . 1 . 2\
\ 2 ’ 2’2’/
р I 1 А р \ р 11 р Л \
I 2 ; 2 ;
(3.3.38)
(в случае целого положительного л+р одно из равенств в (3.3.38)
обращается в нуль) и
Q£ (г) = е‘цл Ч 2 Ци'2 Г (1 + ^ + р) Г (— р)
Цг + 1/ 2Г(14-Х —р)
(1 _____________________т’Х
-1, 1+Х; 1 4-р; --------) +
2 /
+ -^~ (—у)*12 —! + 1 — и; Цр)} ’ (3-3.39)
| 1 — z|<2, или
р ( j I + t1 \
^/1Ч-А,+ р ц —X 1 2 /
хF —--------—, — ; —; г3] -1 г____________- L
' v 2 2 2 / 1 / 1+Х — р\
1 I 2 ’
X zF / 1 ±J£ ,
\ 2
1-ь + и. A- ZA
2 ’ 2 ’ /
(3.3.40)
ImzisO, |z|<l,
118
где через Р/(г) и Qx(z) обозначены, как и раньше, присоединен-
ные функции Лежандра первого и второго рода соответственно.
Если z — х + I е, где х вещественно и х £ (— 1, + 1), е > 0„
и если положить
Р (х ± i 0) = lim Р (х ± i е),
е-0
то справедливы соотношения:
Р% (Х) = е-‘^2р^ (х - i 0) = е*л/2Р£ (х + i 0),
(3.3.41)
(3.3.42)
е~фя(Ж(х±10)= е±фл/2
<Ж(х)+^у- К(х)
(3.3.43)
В случае целых X — п и р = т
P^(x±i0)=i^(x),
(3.3.44)
Qn(x + iO) = i т
Q”'W + -^P^(x) .
Для комплексных значений z, удовлетворяющих условию | z | >1,
линейно независимые решения уравнения (3.3.1) при любых Z и
р определяются выражениями
1 IZ -I- 1 \В/2
PJJ (г) =-11 у
Г(1—p)\z—I'
xf X, 1+Х; 1 —р; , (3.3.45)
2" | 1
где arg — -— = 0, если z действительное и больше 1, и
z — 1
н ГлГ(1+Х + р)е^ (z2- 1)»/2
’ к+и+1 х
2>'+1 Г ( X + — 2
\ 2 1
X Р I t-f-.L+lt; Х-р -1; -Ц. (3.3-46)
. ( 2 2 2 z2 /
Й Н9
В случае целых положительных значений Л = п, р = tn при-
соединенные функции Лежандра для | z\ >1 определяются равен-
ствами
(3.3.47)
Q^(z) = (z2-1F^^-,
где P„(z) и Q„(z)—функции Лежандра, определенные для |z|>l
в предыдущем параграфе. Функции Р„ (?) и Q^'(z) удовлетворяют
функциональным соотношениям (3.3.32), рекуррентным соотно-
шениям (3.3.24), в которых 1—z2 следует заменить на z2— 1
(I г | > 1). Для них справедливы равенства
Рп”\?)= Р'Цг),
(п + т)!
(3.3.48)
= q"„’(z)
(п -I- т)1
1 —Z
и (3.3.30), (3.3.31), если в последних заменить In —— на
1 — z
z -4- 1
1п-----и 1 — г2 на г2 — 1 (| z | > 1).
z — 1
При больших значениях z (|z|->- оо) и произвольных X, р
имеют место асимптотические представления
Г[Х +— j (2z)x
Р% (г) ------------2 - уу- , (3.3.49)
Г(1+Х-р)Г^—j
е‘лц Г f—1 Г(1+Х4-р)
Qt (г) ------? 2 \ , (3.3.50)
Г X + — | (2z)x+I
\ 2 /
которые для целых положительных X = п, р = т принимают вид:
(п-— т)!
(»+”*)!
( ’ (2п + 1)1! zn+1 ’
(3.3.51)
(3.3.52)
120
Вронскиан функций Р/ (z) и Q% (z) (z комплексное) равен
W{P%(z), Q£(z)} =
е«цл 22м Г f 14- + Г / 1 + ^ + И )
\ 2/1______2____J
(1—г2)г( 1+ НЛ Г( 1+Х~^ \
1 2 / \ 2 /
(3.3.53)
В заключение отметим, что для комплексного z справедливы со-
отношения
<Ж(г)
Г (1 + X — р)
—1ЦЛ
Я(г)= g х
л cos(Хл)
(z) sin [л (X 4- р)] — Q^-i (z) sin [л (X — p)J],
ц = JLU+Л,—и) х
Г(14-Х4-Р)
х Г К (г)-—
л
sin (рл) Qx (?) ,
(3.3.54)
Р% (-г) = еиКл П (г)- — е~*л sin [л (% + р)] Q£ (г),
л
<Ж(-г) = -е±Ля <$(*),
1ш Z 2=: 0.
Для z € [—1, +1]
п!
(3.3.55)
§ 4
Сферические функции
Если искать частное решение уравнения Гельмгольца
(1.6.26) методом разделения переменных в предположении, что
X = п, р = т, где пит— целые положительные числа (п > 0,
m > 0), и если оно ищется на сфере данного радиуса, то очевид-
121
но, что таким решением, записанным в самом'общем виде, будет
функция
V (6, <р) = [tj cos tn <р 4- с2 sin tn <р] X
X [с3Р'п (COS 6) 4- c4Qn (cos 6)].
Для того чтобы она была ограниченной на поверхности сферы,
в том числе и в ее полюсах 6=0, 6 = л, необходимо считать
здесь с4 = 0, в результате чего такое решение, отвечающее за-
данным п и т, запишется формулой
V'n (6, <р) = ап:пРГп (cos 6) cos tn <р 4-
4- bnm P'n (cos 6) sin tn <p,
(3.4.1)
где a, b — произвольные постоянные, зависящие от п и т. Функ-
ции (3.4.1), зависящие только от угловых переменных 6 и <р,
называются сферическими функциями (сферическими гармониками).
Как видно из (3.4.1), они представляют собой линейную комби-
нацию функций
/^(cos6)“s(m<p) (3.4.2)
(m<;n), называемых тессеральными сферическими функциями
n-й степени tn-го порядка. Функции
P^(cos6)c?s(n<p) (3.4.3)
называются векториальными сферическими функциями, а функции
Рп (cos 6) — зональными сферическими функциями.
Можно показать, что для каждого п имеется лишь 2п 4-1 не-
зависимых тессеральных сферических функций (3.4.2), суммируя
которые по т получим функцию
V„(6, <р) = V {anmcosmq> +- bnmsinm<p) P”(cos6), (3.4.4)
т~0
называемую поверхностной сферической функцией n-й степени.
В случае целого т, принимающего и отрицательные значения,
поверхностная сферическая функция (3.4.4) может быть записана
и в комплексной форме
п
v„(6, ф)= V АптР% (cos 0) eim*.
т—~п
(3.4.5)
122
Сферические функции (3.4.2), (3.4.3) образуют на поверхности
сферы полную ортогональную систему функций, причем для них
2 л л
[ J cos т q> cos k q> Р„ (cos 6) Р„ (cos 6) sin 0 d 6 d q> =
6 о
2л л
= j" J sin m q> sin & q> P™ (cos0)P^(cosO)sinededq)=
6 о
2л (n 4- m)\ , , n
-- ---------- dmk > k °,
2n +1---------------(n — m)'.
где 6,nfe—символ Кронекера. На основании этих свойств функций
(3.4.5) любая функция Д0, q>), непрерывная вместе с производ-
ными до второго порядка включительно, может быть разложена
в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по поверхностным
сферическим функциям (3.4.5)
де, <р) = v
л=0
п
У АтпР™ (cos 0) eimv,
т=—п
коэффициенты которого определяются формулой
А = (2» + 1)(п —т)!
4л (п -р- т)!
X [ [ДО, ч>)Рп (cos 0) e~'m4JsinOdO dtp.
о б
В случае, если разложение функции Д0, q>) будет записано
в форме
Д0, <р) = 2 [an<A(cose) +
л=0
п
+ ^(апт<жгпч + Ьпт
т=1
sinrn
q>) Рп (cos 0)|
коэффициенты ряда могут быть вычислены по формулам:
9/14-1 2"
ап0 = —------- I Д0, q)) Рп (cos 0) sin 0 d 0 d q>,
4л о б
2n +1 (п — т)\
^‘Пт
2л (п + т)}
123
X f J /(0, <p) P™ (cos 0) cos m <p sin0d0d <p,
о 6
^nm
2n 4-1 (n — m)!
2л [n 4- m}\
2л я
f J f (6, <p) Pn (cos 6) sin m <p sin 6 d 6 d <p.
о 0
Целый ряд полезных формул для сферических функций мо-
жет быть получен из результатов теории представлений группы
вращения трехмерного пространства (сферы), в которой возникают
так называемые обобщенные сферические функции n-го порядка
7*П1(ф, 6. Ч>) (в дальнейшем предполагается, что k, т = — п,
..., п; п>0 и целое), определенные формулой (см., например,
(24, 25, 27])
Пт(ф, е, <р) = е"*** Km(6)(3.4.6)
где
рп Un-^)!(n + m)!l 1/2
2" (n — /г)! {(n 4- /г)! (n — m}\ j
m—k m~H?
X(l-fi) П1+Н) ~X
X IU— p)n fc(!+ O"+ft]> H = cos6 (3.4.7)
{здесь ф, 6, <p—углы Эйлера, рис. 16; 6—угол между осями
Oz и 0^ неподвижной Oxyz и подвижной О£т]£ систем коорди-
нат; ф— угол между осью СЦ и прямой L, вдоль которой пере-
секаются плоскости Оху и О Нт]; <р — угол между осью Ох и пря-
J24
мой L, отсчитываемые в направлениях, указанных на рисунке
стрелками). Функции Рот(6) пропорциональны присоединенным
функциям Лежандра Р™ (cos 6), так как
Pgm (6) = (6) = Гт 1 /Р” (cos 0). (3.4.8)
Г V* I fl 1)1
В свою очередь обобщенные сферические функции (3.4.6) пропор-
циональны сферическим функциям (3.4.2), так как на основании
(3.4.6) и (3.4.8)
ТпОт (Ф, 6, <р) = =
= Гт i p-(CoS0)e-^.
V (n + m)l
Имеют место соотношения
P2fc._m(0) = PL(0), P?m(0) = P^(0),
(3.4.9)
где т, k=—п, ..., п. Частными значениями функции Р£ш(0)
являются
Р*т(6) =
Из соотношения
О, k^m, 0 = 0, 0 = л,
1, k = т, 0 =0,
(—1)", /г = — т, 0 = л.
(3.4.10)
(6)^(6) =
V |n, kY + k2) n,
n=/n,—nJ
гл! + m2) Pg (0) (3.4.11)
при помощи (3.4.8) получаются формулы разложения произведе-
ния двух присоединенных функций Лежандра по тем же функ-
циям прежнего аргумента:
ni-рЧ
Pnl; (cos 0) Р”!; (cos 0) = 2 (cos 0), (3.4.12)
—n2|
125
Pnl: (COS 9) (COS 6) = V (cos e)> (3 4 13)
rt=jnj—n2|
где положено1
й<п.т,П2тг) = f (Пд + mJ! (пг 4- т2)! (n~mi — т2)! |1/2 *
( (n± — mjl (n2 — m Jl (n 4- tn1 + m2)! J
X (/2jH200| nO) n, mr 4- m2), (3.4.14)
t(П^пм) _____
Un — — —
=(— l)ra* I (nl + m^! (n2 + (n~ml + m*)! j1/2 x
I (rij — mJ! (n2 — mJ! (n 4- mx — mJ! J
X (ид^ОО) пОДп^т,, —m2|n, — tn?). (3.4.15)
Символом (nJn2m1m2|n, m1 + mJ здесь обозначаются так называе-
мые коэффициенты Клебша— Гордана, часто встречающиеся в за-
дачах квантовой механики (см., например, [24 — 27]). Для них
известны различные формы их явного выражения. В частности,
они представимы в виде
(п^т^т^п, ml 4~ mJ =
= |-------^.+1------ (П2 4- п — nj! (п 4- и! — nJ! х
I (п + пц 4-п2 + 1)!
X (Hi 4- н2 — п)! (пх — mJ! (пх 4- mJ! X
11/2
X
X V (—l)z [z! (лх 4- «2 — П~ г)! (г 4- п — щ— т2)! X
Z
X (П2 4- т2 — г)! X
х(z 4- п — п2 4- mJ! (nx — т.! — z)!]-1,
(3.4.16)
где суммирование производится по z, пробегающим все неотри-
цательные целые числа, не меньшие чем т2 + п2 — п, п2 — п — тг,
и не большие, чем ^4-^ — п, 4- m2, nL — mv Поэтому число
слагаемых в (3.4.16) превышает на единицу наименьшую из де-
вяти сумм п2—т2, п2—г^+п, п 4- mj ) m2, n—ml—m2,
1 Для вычисления an и bn можно воспользоваться [1901; см. также Приложе-
ние.
126
Mj + n —n2, Kj + n2 — n, n2 + m2, «1 — mv Формула (3.4.16) при
m1=/n2=0 упрощается, принимая вид
(rtj^OO | nO) =
X Г<2n + W —(Z —2^)! (f ~2»)!]1/2
L (/4-1)! J
если l четное,
t 0, если l нечетное, I = n 4- «i +
Обобщенные сферические функции (3.4.6) связаны соотноше-
нием
Tkm (Ф1, Oj, <pj =
п
— Тks (Ф‘2, 02, <Р°) Tsm(lp3, 03’ <Рз)>
s=—п
(3.4.18)
представляющим собой формулу сложения для обобщенных сфе-
рических функций и содержащим в качестве частных случаев
формулы сложения для сферических функций (3.4.2) и для поли-
номов Лежандра Pn(cos6). Так, положив в (3.4.18) k =0 и вос-
пользовавшись формулой (3.4.8), получим
Р’п (cos e1)c-"w’ =
/ (п 4- т)\ х.
(п — т)!
п
X Т— s, т(фз> 03 - <Рз) i X
s——л
или
f^(cose.,) е“ф1
(3.4.19)
Р^(со8 01)ег'пф1
(п + гл)!
(и— т)\ Л
п
s,—т(фз, 03, <Рз) i X
s=—n
127
(3.4.20)
на основании которых имеем:
P^(cos6j)cosm<pj =
= V Lsnm(M>3. 6з. <Ps) (cos 62)
s=—п
Р'п (cos 0j) sin m (ft =
п
= V С(ф3, 03, q>3)^(cos02)e‘s,pI
s——n
Pn (cos 6j) = у Lsn (ф3, 0S, <p3) P'n (cos 02) e's<pl,
S=~n
где
= Kn +- m)!. Г v
2 |(n— m)! (n + s)! J
X (T—s. —m + У—s, m),
_ }(»+ . (»~s)H1/2 x
2 l(n — m)l (n + s)! |
(3.4.21)
(3.4.22)
(3.4.23)
(3.4.24)
x (Tls,_m—Tls.m),
is„ = (-Ds
(n —s)!
(n + s)!
^n(cose3)e“1'’
и
и где предполагается, что углы Эйлера связаны между собой
формулами
cos et = cos е2 cos ез — sin 02 sin ез cos (ф2 + ф3),
ei(<Pi-<f 8) = [sin 03 COS 02 + cos 03 sin 02 X
X cos (<p2 + ф3) + i sin 02 sin (<p2 +- ф3)]/sin 0P (3.4.25)
е<(Ф1—Ф«)/2 — [cos — cos — —
2 2
— sin — sin — er-'<<₽«+4'») 2 / cos —
2 2 J/ 2
128
(ф меняется от 0 до 2л, 6 — от 0 до л и <р — от —2л до 2л).
Формула (3.4.23) представляет собой обычную теорему сложения
для полинома Лежандра. Ей можно придать вид
рп (cos ех) = рп (cos е2) рп (cos es) +
п
г 2 V (—l)s
s=l
(л — s)!
(и 4- s)l
X
X / п (cos е2) к (COS 63) cos s (ф2 4- ф3). (3.4.26)
§5
Некоторые свойства
сферических бесселевых функций
Свойства сферических бесселевых функций /п(х), лп(х),
определенных в § 1 данной главы, устанавливаются
на основе свойств обычных бесселевых функций Nt(x) и
Н^(х), через которые они выражаются по формулам (3.1.9).
Так, например, разложения функций jn (х) и пп (х) в ряд в окрест-
ности особой точки х=0 получаются непосредственно из (2.2.2),
(2.2.3) при помощи (2.2.13) и соотношений Г (X 4-1) = ХГ (X),
Г = Ул, г ( X 4- j = У л Г (2Х)/Г (X) г2^1. Для функ-
ции jn(x) разложение имеет вид
ОО
jn(x)=2"xn V
(— l)m(n + m)!
m! (2л 4- 2m 4- 1)!
x2"1,
(3.5.1)
а для функции лп(х)—
(x) =
1 v
2"x"+1 m! (л — m)!
(3.5.2)
Из (3.5.1) видно, что /„(x) — целая функция аргумента х, в то
время как функция пп (х) в точке х = 0 имеет полюс п 4- 1-го
порядка. Из разложений (3.5.1), (3.5.2) получаются приближен-
ные формулы, выражающие значения функций /„(х), л„(х) при
малых значениях их аргумента:
л-0
2"и! х"
(2л 4-1)!
, \ — (2п)!
Л„ (х) -------,
х-о 2"л! х"+1
(3.5.3)
9. Е. А. Иванов
129
на основании которых имеем
h’1M2) (х)- + t (2n)!
х—о 2лп! xn+1
(3.5.4)
Из асимптотических формул для обычных функций Бесселя на-
ходим, что при и»1 и п>х
" (2n + l)!’ ” (3.5.5)
а при x-> oo h^^(x)^(+irleiix/x, (3.5.6)
in(x)^ — COS [x — liJ. Ji'j , x \ 2 } (3.5.7)
<\ 1 •( n+1 \ nn (x) -— sin X JI . x \ 2 / (3.5.8)
Сферические бесселевы функции удовлетворяют ряду рекуррент-
ных соотношений, например
z„+i (х) = 2П~*~ 1 zn (х) — zn-r (х), (3.5.9)
X
z„ (х) = — —- (И2„_1 (х) — (п + 1) zn+1 (х)}, (3.5.10)
2n + 1
где через zn (х) обозначена одна из функций /„ (х), пп (х) или
^1М2)(х).
Исходя из общей теории интегральных представлений реше-
ний обыкновенных дифференциальных уравнений (см., напри-
мер, |14|), можно установить, что сферические бесселевы функции
представимы интегралами:
i~n
(&) = — j ^ikrx pn (x) dx =
Л
L—n (*
=------I e^rcos6 (cos 0) sjn 0 J 0,
0
(3.5.11)
1
* hn} (kr) = j eikrxPn(x)dx =
ioo
.130
grtrcose (cos 0) Sjn 0 J 0;
(3.5.12)
Лп2) (kr) — i~n eikrxPn (x) dx =
—i
31
= i~n J gt'ArcosOp^ (cos 6) sin 6 (/6.
^--/00
(3.5.13)
§ 6
Разложение плоской и сферической волн
по сферическим волновым функциям
Формулы разложения плоской волны (2.3.1) и сфери-
ческой волны (2.5.1) по сферическим волновым функциям (3.1.10),
(3.1.11) легко получаются из разложения функции Грина Gk (г|г0)
(2.5.3) скалярного волнового уравнения Гельмгольца (2.5.2), рас-
сматриваемого во всем пространстве, по тем же функциям. Исходя
из свойств функции Грина Gfc(r[r0), ее разложение можно искать
в виде
Gk (r|r0) = V V АтпР% (cos 0) Рп (cos 60) cos т (<р — <р0) х
/7—0 т~0
jll(kr)h(ni) (kre), r<r0,
(3.6.1)
jn(kr0)hn) (kr), r>r0
(при r =£ r0 функция Gfc(rjr0) удовлетворяет однородному уравне-
нию Гельмгольца). В сферических координатах уравнение (2.5.2)
запишется в виде
1 д / dGk \ 1
.— . ---- । г2---— 4- ----------X
г2 дг \ дг ' г2 sin е
д / . Q dGk \ , 1 d2Gk ,
X —- Sin 0 ------S- 4--------------- --2- +
30 \ 30 ’ r2sin20 Зф2
+ k2Gk =-----—------- 6 (0 — 0O) 6 (r — r0) 6 (<p — фо)-
r2 sin 0
9*
131
Умножив обе части уравнения на г2 и проинтегрировав их по г
по малой окрестности точки г ~ г0 от г0 — е до г0 + е (функция
Грина остается непрерывной при г = г0), получим после перехода
к пределу при в->0, что
-2
dGk(r, 6, <р; г0, 60, фр) г=г°+°
г—г,—О
дг
-----;---- 6(6 — 6в) 6 (ф — Фо).
sm6
Подставляя сюда вместо Gfc(r|r0) ее разложение (3.6.1), найдем,
что
V АтпРп (cos 6) P,7 (cos 60) cos m (ф — ф0) =
n.m
ik
= 6(6 — 60) 6 (<р — фо), (3.6.2)
sin6
так как вронскиан функций /„ (kr), h„} (kr) равен
W\ln(kr), h£} (kr)\ = (3.6.3)
+ kr
Если теперь умножить обе части (3.6.2) на Р”- (со8б)со5т'ф х
X sin 6 и проинтегрировать их по 6 и <р в пределах от 0 до л и
от 0 до 2л соответственно, получим
Ат = ife (2— 60т)/2л Nmn ,
(3.6.4)
где через Nmn обозначено выражение
N =-----—
тп П , 1
2п 4- 1
(и + т)!
(п — т)!
(3.6.5)
В результате искомое разложение функции Грина
ставится рядом
Gk (т|г0) пред-
e‘fe|r~r°l __ tfe
4л |г—г0| ~ 2л
Go п
2-бот
^тп
Рп (cos 6) Рп (cos 60) cos m (ф — ф0) х
jn (kr) hn} (kr0), г С r0,
(3.6.6)
in(kr0)h{n} (kr), r>r0.
132
Полагая здесь [ г — r0 | = R = /г2 4- rg —- 2rr0 cos у, где cos у =
= cos 0 cos е0 + sin 0 sin 0O cos (<p — <p0), найдем формулу разложе’
ния сферической волны (2.5.1) по сферическим волновым функ'
циям:
—й— — 2ik х
п=0 т—0
N тп
Р'п (cos 0) Р% (cos 0О) cos т (<р — <р0) X
!п (kr) h{n1} (kr0), r0 > г,
jn(kr0)hn} (kr), r>r0.
(3.6.7)
В предположении, что r0->oo (источник удален в бесконечность),
имеем R-*~r0 — г cos у. Поэтому, применив к правой части (3.6.7)
асимптотическую формулу (3.5.6), после перехода к пределу при
гс-^- оо получим
= 2 у v (—/)« х
Д'
n=0 m=0 тп
X in (kr) P% (cos 0O) Pn (cos 0) cos tn (<p — (fo), (3.6.8)
где в сферических координатах (nR) = rcosy = rcos0cosOo-f-
+ г sin 0 sin 0O cos (<p — <p0). Формула (3.6.8) дает нам разложение
плоской волны (2.3.1), распространяющейся в отрицательном на-
правлении по отношению к направлению от источника до начала
координатной системы, по сферическим волновым функциям
(3.1.10). Положив в (3.6.8) а = л — 0О , р = <р0—л, получим
формулу разложения плоской волны (2.3.1)
СО П
=22 2in
п=Ъ т~0
X in (kr) Рп (cos 0) Р% (cos a) cos т (<р — Р), (3.6.9)
соответствующую положительному направлению распространения
волны. В другой форме
ei*(nR)=2y V inin№) Р'пп (cos е)Р^ (cos a) eim(v~P). (3.6.10)
п~0 т——п тп
При указанных соотношениях между г и га ряды (3.6.7) и
(3.6.9) абсолютно и равномерно сходятся.
133
Формула (3.6.9) удобна для получения интегрального пред-
ставления волновых функций (3.1.10). Так, умножив обе части
(3.6.9) на Р%> (cos a) c?s (m' 0) sin а d а d £ и проинтегрировав их
Sin
по а от 0 до л и по 0 от 0 до 2л, получим
jn (kr) Р™ (cos 6) c°s (m ф) = X
sin 4л
X j‘ f etft(nR) P™ (cos a) (m 0) sin a d a d 0, (3.6.11)
о о
или
!n(kr) P™ (cos6) eirmp = — X
4л
X J J e'fc(nR) P”'(cos a) e£mfi sin a dad ft, (3.6.12)
о о
если исходить из формулы разложения (3.6.10). Положив здесь
ф = 0 и осуществив интегрирование по 0, получим формулу
!n(kr) P„m(cose) = -^-х
X J e,ftrcosecosa (j?r Sin Q sjn a) p™ (cos a) sin a d a, (3.6.13)
о
из которой при tn = 0, e =0 приходим к представлению (3.5.11)
для функции jn(kr). Интегральные представления функций (3.1.11)
задаются формулами1:
;—п
(kr) Р% (cos 6) (fn ф) = -н— X
sin ZJl
e‘*(nR) р™ (cos a) (tn 0) sin a d a d 0,
о о
(3.6.14)
h™ (kr) Pn (cos 6) (m ф) = —— X
X j j e‘fc(nR) p'”(cosa) (m0) sin a dad 0,
6 ir/2— ia>
1 Формулы (3.6.14)— (3.6.16) справедливы при г ф 0, 0<6сг./2,
Re/e>0. Если Of (л/2,л], тов(3.6.14)—(3.6.16) нужно exp[i7e(nR)] заменить
на ехр [— ik (nR)].
134
или
Л*1’ (kr)P™ (cos е)е/т<р= —X
2л
xj* 'f e‘*(nR) P™ (cos a) e""13 sin a da dp,
b b
(3.6.15)
ft<2) (kr) P™ (cos 6) eim<f = x
2л
X j* e‘*(nR) P”(cosa) e‘m₽sinadadp.
0 31/2—ico
Если положить здесь <p = 0 и осуществить интегрирование по р,
получим на основании (2.3.9), что
hn} (kr) Рп (cos 6) = im-n X
X J e«fercosecosa (fa. sjn g sjn a) pm (cos sjn a J a>
° (3.6.16)
^2)(^r)Pn (COS 6) =im~" x
X eikrcosOcosa j™ (&. sjn g sjn a) p™ (cos a) Sin q d a,
л/2—i co
откуда при m =0 и 6 =0 получаются формулы (3.5.12), (3.5.13)
для функций hn},{2} (kr).
§ 7
Теоремы сложения для сферических
волновых функций
Формула разложения плоской волны (3.6.10) по сфе-
рическим волновым функциям вместе с формулами интегрального
представления волновых функций позволяет сравнительно просто
получить теоремы сложения для сферических волновых функций
(3.1.10), (3.1.11).
Пусть О1л'1у121 и O2x2z/2z2— Две декартовые прямоугольные
системы координат хи ylt zA и х2, у2, z2 с одинаково ориентиро-
ванными и параллельными соответствующими осями Oz, Оу и Ох
135
и пусть Гр 01, <pi и г2, 62, <р2 — связанные с ними формулами
xs — rs sin 8S cos<ps, ys = rs sin 0Ssin<ps, zs= rscos 0S (s = l, 2)
системы сферических координат (рис. 17). Зададим в каждой из
координатных систем сферические волновые функции (3.1.10) и
(3.1.11) формулами
jn(krs) Р™(cos0S)eim<₽s, п =0, 1, ... ;—(3.7.1)
hn ),<2) (&rs) P™ (cos 0S) em<ts, n =0, 1, ... ; — (3.7.2)
где rs, 0S, <ps—сферические координаты произвольной точки про-
Рис. 17. К теореме сложения для сферических волновых
функций
странства, s = 1 либо s = 2, и установим вид теорем сложения,
позволяющих записать функции (3.7.1), (3.7.2), отнесенные к s-й
системе координат, через те же функции, записанные в /-Й
системе координат (s, j = 1, 2; s j). Для этого введем в рас-
смотрение плоскую волну (2.3.1), которая в s-й системе коорди-
нат записывается в виде
ф = eik{nR'} , (3.7.3)
где (nRs) = rs [cos 0S cos 0O -ф- sin 0S sin 0O cos (<ps — <p0)]. Так как
Rs — Rz- -j- Rs/-, то очевидно, что
e«(nRs) _ ^(nRp e^(nRs/)
136
(через rsj, 6sj, q.sj обозначаются сферические координаты начала
Oj в системе с началом в Os; j, s — 1, 2; j s) или на основании
(3.6.10)
e«(nRs) = 2 v v /«x
—i N
n=o n mn
X (cos e;) P% (cos a) e‘*<"Rs/>.
(3.7.4)
Если умножить обе части (3.7.4) на Р^ (cos a) el/® sin ad a d £ и
проинтегрировать их затем по 0 от 0 до 2л и по а вдоль кон-
туров q, с„, с3 соответственно (концы контура сл лежат в точках
0 и л; контура с2-—в точках 0 и л/2—i оо; контура с3—в точ-
ках л/2—too и л), получим на основании формул (3.4.13),
(3.6.12), (3.6.15) искомые теоремы сложения для функций
(3.1.10), (3.1.11):
/ч(^) P,(cos6s)eWs =
= V V Q^(rs., es/, ^/„(^^’(cose,-)^/, (3.7.5)
n=0 m=—n
(krs) P^ (cos 6s)e‘^ =
= f 2 AJrs/, 0i7, <ps/)/„(^-) 7^ (cos 6;)^, (3.7.6)
n=0 m=—n
h™ (krs)P^(cos6s)etP4’s =
co П
= V V QZ. (rsj, esp <ps/) /„ (Ч) Pn (cosez) (3.7.7)
n=0 m~—n
где
|(0)
\mtipq
2in~i
n+7
x V j0(fersZ)^-m(coses/)e''(p-m)^, (3.7.8)
0=1 n—41
2in~4
n(l),(2) _ -
4.mnpq------------
Nmn.
n+9
V bTnm} /4° ’(2) (krsi) P^m (cos es/) ei{p~m) ^1. (3.7.9)
O=ln—ql
137
В случае, когда качала координатных систем (точки Os и Оу) ле-
жат на одной прямой и их соответствующие оси Ох и Оу оди-
наково ориентированы и лежат в одинаковых плоскостях, азиму-
тальные углы <ps и фу будут равны и тогда в (3.7.5)—(3.7.9)
будут равны и их азимутальные числа р и т, в силу чего тео-
ремы сложения запишутся в виде
Z,0 (krj Pq (cos 0S) =
= v (rsj, es/) jn (krf) Pp (cos 6Z), (3.7.10)
n=p
где
0.71—g n+<J
QrXg = V b^pnp} Z^ (krsi) Po (cos 6sZ) (3.7.11)
Л/
o=fn-<?|
r»
и где Zq}—одна из сферических бесселевых функций, I = 0,
1, 2. Кроме того, здесь теперь 6s/ = 0 или 6s/= л.
При р = 0 из (3.7.10), (3.7.11) получаются формулы
4° (krs) Pq (cos 6S) =
co
= 2 A Pn <cos 0/)’ (3-7-12)
n=0
где
Qin—q
Q& = —- У ic b«°n0} Z^ (krsj) Pc (cos es/). (3.7.13)
O=|n-g/
В разложениях (3.7.6), (3.7.7), (3.7.10) и (3.7.12) предполагается,
что rsj> rz. Если rs/<r;-, то все приведенные теоремы сложения
становятся непригодными в приложениях из-за расходимости раз-
ложений. Исключение составляют лишь формулы, установленные
для сферических волновых функций (3.1.10). Они остаются при-
годными и для rsj < г,.
При rsy<ry теоремы сложения для функций (3.1.11) также
получаются путем разложения exp (ik nRsy)) (вместо exp (ik (nRy)))
в ряд по сферическим волновым функциям. При этом получаются
формулы
z<Z)(^s)^(coses)e,P4,s =
~ 2 У Rmnpq(rsP ®sp ’Ps/) х
п~0 т——п
X № (kfj) Рп~'п(cos бу) ег(р-'п)ч>/ , (3.7.14)
138
где
"+Ч lAqpam)
V --------------x
o=|n—<?| “mo
X jo (kl) Pc (COS es/) eimVsi, / = 1,2. (3.7.15)
Если оси bz координатных систем совмещены и <ps = q>/, тогда
6s/ = 0 или 6s/=n и в (3.7.15) будет Pj(+l)=o, если т*0,
и в результате формула (3.7.14) запишется в виде
Z^’ (krs) р% (cos es) =
= у; Row (rsi, es/)h™ (krj) p? (cosед (3.7.16)
n=0
где
«+Ч t(</PaO)
=2Р-Ч У i°----------------- jo (kt) Pa (cos 0S/). (3.7.17)
Если, кроме прочего, еще и р =0, то тогда
4° (^5)P9(coses) =
= V R^ {rsj, es/) h<!> (kr,) Pn(cos 6Д (3.7.18)
n~0
где
«+9 I.(«0o0)
Ro*>4 =Zn~< V i° — jo(W)Pa(cos6s/). (3.7.19)
a=|«-9l
Теоремам сложения можно придать другой вид, если в качестве
исходного разложения брать не (3.6.10), а формулу (3.6.9).
В этом случае, например при rs; >r7-, получим
Z'z) (X)^(cos6s) “s(P(Ps) =
== V V { Лтяр,/„ (krj) Pt (cos e,-) x
M=o m=0 '
x I — « Ф/ + (^ + p) <ps/) + Bmnpqjn (kr,) Pn (cos e,) x
Xsiil (m"~ P)<Ps/l} >
(3.7.20)
139
где
in—Q П'Ч
1 i° ^zi" (kr,,)p»- (cos e„),
™mn c=ln—q\
(3.7.21)
:n—q n+4
в„.=~- -)₽г’(cose.,»
Птп o=/n—ql
и где, как и раньше, Z„ * — одна из сферических бесселевых
функций, а / = 0, 1, 2. При rs/<;r;- теоремы сложения анало-
гичного вида получаются из (3.7.20) заменой rsj, 6s/, <ps/ соответ-
ственно на Гр 6р tfj.
Заметим, что обоснование изменения порядка суммирования
и интегрирования при выводе формул (3.7.6), (3.7.7), (3.7.20)
предполагает, чтобы при любых 0, и rsj > г,- было еще и 0 < 0S,
Л Л „
или 6S/- < л, что всегда имеет место для со-
осного случая (Re/e> 0). Это же замечание относится и к (3.7.14)
при ^</7.
Теоремы сложения, рассмотренные в этом параграфе, вместе
с теоремами сложения для сферических функций, рассмотренны-
ми в § 4 данной главы, позволяют выражать сферические волно-
вые функции (3.1.10), (3.1.11), записанные в одной из локальных
систем координат, через те же функции, записанные в другой
локальной системе координат с произвольным по отношению
к первой направлением координатных осей.
В другой форме теоремы сложения приведены, например,
в [154, 157]. Они могут быть получены в качестве частных из
результатов работ [40, 155, 156]. Следует заметить, однако, что
в указанных работах они выведены лишь для случая одинаково
направленных и параллельных соответствующих осей двух локаль -
ных систем координат.
ГЛАВА 4
ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА
И НЕКОТОРЫЕ ИХ СВОЙСТВА
§ I
Уравнение Гельмгольца
в эллиптических координатах.
Волновые функции эллиптического цилиндра
Скалярное волновое уравнение Гельмгольца в системе
цилиндрических эллиптических координат g, i], z имеет вид
(1.6.21). Если искать частное решение уравнения (1.6.21) в виде
произведения трех функций
w(g, ч]. z) = fl (g) Ф (i]) Z (z) 0, (4.1.1)
каждая из которых есть функция только одной координаты, то
после подстановки (4.1.1) в (1.6.21) и последующего разделения
переменных в уравнении придем к заключению, что для состав-
ления'частного решения уравнения (1.6.21) в форме (4.1.1) сле-
дует в качестве функций Z, Ф и R брать любые решения соот-
ветствующих уравнений
d2Z
=0, (4.1.2)
dz2
------h (a — 2q cos 2rt) Ф = 0, (4.1.3)
di]2
— (a — 2? ch 2g) fl = 0, (4.1.4)
в которых а и h—постоянные разделения, a q = —- (k2 —h2).
4
Частными решениями уравнения (4.1.2) являются функции Z =
= (hz) или в комплексной форме Z — eihl, где h остается
произвольной постоянной. Уравнение (4.1.3) есть уравнение Матье,
записанное в общепринятой канонической форме. Для заданного
141
q его однозначными решениями (периодическими, с периодом л
или 2л относительно аргумента т]) являются периодические функ-
ции Матье (функции Матье первого рода), соответствующие счет-
ной последовательности {ап} надлежащим образом выбранных
чисел а (собственных значений параметра а). Существуют четыре
вида периодических решений уравнения Матье (4.1.3):
ce2n(i], q) — четная функция Матье с периодом л; она отвечает
собственному числу а = а2п, п = 0, 1, ... ;
ce2„+i(i], q) — четная функция Матье с периодом 2л; она отве-
чает собственному числу а = а2п+1, п = 0, 1, ... ;
se2n+i (ц, q) — нечетная функция Матье с периодом 2л; она от-
вечает собственному числу а = 62л+1, п = О, 1, ... ;
se2n+2(i], q} — нечетная функция Матье с периодом л; она от-
вечает собственному числу а = 62л+2, и = 0, 1, ...
При этом каждому собственному значению параметра а отве-
чает лишь одно периодическое решение уравнения Матье (4.1.3)
с фиксированным q. Любое второе его решение является неперио-
дическим.
Уравнение (4.1.4) совпадает по своей форме с уравнением
Матье и может быть получено из последнего заменой в нем т| на
+ tg. Уравнение (4.1.4) называется модифицированным уравне-
нием Матье, а его решения, соответствующие значениям парамет-
ра а, при которых уравнение Матье (4.1.3) допускает периоди-
ческие решения для заданного q, называются модифицированными
функциями Матье. Первые частные решения уравнения (4.1.4),
отвечающие собственным числам ап и Ьп, обозначаются через
Ce„(g, q) и Se„(H, q) соответственно. Эти функции во многом
сходны с функциями Бесселя Jn (х). Они регулярны всюду внутри
эллипса в плоскости z — const, в том числе и на линии фоку-
сов эллипса. В качестве вторых решений уравнения (4.1.4) берутся
функции, сходные по своим свойствам с функциями Неймана
М„(х). Они обозначаются через Feyn(g<?) и Gey„(g, q). При этом
Fey„(g, q) — второе решение уравнения (4.1.4), когда в качестве
первого его решения берется функция Ce„(g, q), a Gey„(£, q) —
второе решение уравнения (4.1.4), когда в качестве первого его
решения берется функция Se„(g, q). Функции Fey„(g, q), Gey„(g, q)
регулярны всюду вне эллипса на плоскости z = const и внутри
него. В приложениях обычно в качестве второго решения урав-
нения (4.1.4) берут не функции Feyn(g, q) и Geyn(g, q), а линей-
ные комбинации:
Me<n'(2>(L <7)=Ce„(g, Q)±iFey„(g, q), a = an, (4.1.5)
NeV*’ <2> (g, q) = Se„(g, q) ± iGey„& q), a = bn. (4.1.6)
Функции MeV*’(2)(g, q), NeV*’<2*(E, q), называемые комбини-
рованными функциями Матье, сходны с функциями Ханкеля
142
Я<°'<2> (х) соответственно. Они удовлетворяют условию излуче-
ния на бесконечности.
Таким образом, однозначными частными решениями уравнения
(1.6.21), представимыми в форме (4.1.1), будут
Ce„(g, 9)cen(i], q)eihz, а = ап, и = 0, 1,..., (4.1.7)
Sen(g, Q)sen(i], q)eihz, а = bn, n=l,2,..., (4.1.8)
MeV*’ <2) (£, <7)cen(i], q)eihz, a = an, n = 0, 1,..., (4.1.9)
<2> (£, Q)se„(T], q)eihz, a = bn, n = l,2,... (4.1.10)
Функции (4.1.7) — (4.1.10) называются волновыми функциями
эллиптического цилиндра или просто эллиптическими волновыми
функциями. Вейлу однородности и линейности уравнения (1.6.21)
его общее решение, регулярное внутри цилиндра, может быть
представлено в виде ряда по интегралам Фурье типа1
оо оо
S f lan(/i)Ce„(L <7)се„(ц, q) +
M=0 —CO
+ 6„(/i)Se„(g, 9)sen(i], q)]eihzdh, (4.1.11)
а общее решение, удовлетворяющее условию излучения на бес-
конечности, — в виде ряда
оэ ОО
j {cn^Mei0-<2> (5, 9)сеп0], <?) +
П=0 —СО
+ d„(/1)Ne<1>- <2>а, Q)se„Oi, ?)} e^dh. (4.1.12)
Коэффициенты разложений a, b, end зависят от п и h и подле-
жат определению из краевых условий.
В частном случае, когда уравнение (1.6.21) не зависит от
пространственной координаты z, эллиптическими волновыми функ-
циями явятся функции:
Се„(£, 9)сеп(11; q), а = ап, (4.1.13)
Sen(g, Q)se„O], q), a = bn, (4.1.14)
’ <2> Й, q) сеп 0], q), а = ап, (4.1.15)
Ne£n' (2> (g, q) se„ (ц, q), а = bn, (4.1.16)
1 Здесь и всюду в дальнейшем в суммах следует с Se0 (g, q) se0 (tj , q) или c Ne<Ib (2> (g, q) se0 fr, q). опускать члены
143
а общее решение уравнения может быть представлено разложе-
ниями:
00
X Сеп (£> <7) сеп (Ч> 9) + Se« (£. 9) sen 01» <7) Ь (4-1.17)
оо
У |с„ Ме^1’’ (2) (В, q) сеп (т), q) +
я—О
+ 4Nen(1>- (2)(g, <7)sen(if), <?)|, (4.1.18)
где теперь q = /2^/4.
§ 2
Функции Матье и некоторые их свойства
Уравнение Матье
—— + (а — 2qcos2z)y = 0 (4.2.1)
dz2
с параметрами а и q представляет собой частный случай бо-
лее общего линейного дифференциального уравнения второго
порядка с периодическими коэффициентами. Уравнение (4.2.1)
имеет решения при любых значениях параметров а и q. Так как
всякая точка z (исключая бесконечность) — регулярная точка
уравнения Матье, то и решения уравнения Матье — регулярные
функции аргумента z. В зависимости от значений параметров а
и q решения уравнения Матье могут быть выражены в различных
формах. Наиболее важны для приложений не все решения урав-
нения (4.2.1), а лишь периодические относительно аргумента z.
В частности, при q = 0, когда уравнение (4.2.1) переходит в урав-
нение у" -}-ау = О, такими решениями будут тригонометрические
функции со® (rcz), если а = и2, где и= 0, + 1, ... В общем же
случае уравнение Матье имеет периодические решения не для
каждой пары значений параметров а и q. Для заданного вещест-
венного значения параметра q существует счетное множество
таких значений параметра а (собственных значений параметра
а), при которых уравнение Матье имеет периодические решения
с периодом 2л относительно аргумента z. При изучении таких
решений уравнения Матье достаточно ограничиться рассмотре-
нием лишь четных и нечетных относительно z период,ических
решений, отличных от тождественного нуля, которые и называ-
ются функциями Матье (в более широком смысле под (функци-
ями Матье понимается любое решение уравнения Мат^е). На
144
практике функции Матье обычно задаются в виде тригонометри-
ческих рядов Фурье (<7>0):
се2п (г, (?) = ^ А^п) cos 2rz, а2п, (4.2.2)
ce2n+1(z, <7) = /Cftl>cos(2r + l)z, a2n+1, (4.2.3)
r=0
se2n+2 (z, q) = £ B^+t2> sin (2r -? 2) z, b2n+i, (4-2.4)
r=0
se2n+1(z, q) = У Вгн-!0 sin(2r + l)z, fe2n+1, (4.2.5)
r=0
коэффициенты которых удовлетворяют рекуррентным соотноше-
ниям:
aAp'-qA1^ =0
(а - 4) А?п> - q [А^ + 2^) = 0
(а — 4г2) А^ — q (Д^2+ Д^-г) = 0
для ce2n(z, q), (4.2.6)
г >2,
(а - 1 - q) ЛГ+1’ - ф4Г+О = 0 I для Се^’ <2’ 2
(а-(2г+1)2]Л^1>-9(Л^‘ЧДет>)=0) г>1,
(а _ 4) ВГ+2) - QBf"+2) = 0 I для se‘2-2 (2’ g’ 2 8)
(fl-4r2)6^+2>-9(^H-i2> + S^-'22>) = 0 | г>2,
(а — 1 + <7) Bj2n+I> — qB^+'} = 0 | для Sez'l+1(Z(’4‘7£9)
[а-(2г + 1)2]В№—= 0) г> 1.
При этом предполагается, что, например, в (4.2.2) коэффициенты
ряда удовлетворяют условию
1^1----------Л. ? 1Ч2~
4 (г 4- I)2
-* 0,
(4.2.10)
Г2Г“ дГ ’
обеспечивающему абсолютную и равномерную сходимость ряда
для всех действительных значений аргумента z (а и q считаются
10. Е. А. Иванов 14а
конечными). Аналогичное заключение имеет место и для осталь-
ных рядов (4.2.3)—(4.2.5). Можно показать, что ряды (4.2.2)—
(4.2.5) допускают почленное дифференцирование и интегрирова-
ние и что получающиеся при этом ряды абсолютно и равномер-
но сходятся.
В отличие от бесселевых функции Матье изучены еще не-
достаточно полно, хотя им и посвящено много работ (например,
[30, 32, 36, 37, 40, 43, 44, 183—185, 188]. Приведем некото-
рые их свойства.
1. Функции Матье, отвечающие одному и тому же значе-
нию параметра q и различным собственным числам, ортогональ-
ны на промежутке (0, 2л), причем
[ ce^(z, q)dz = 2[A^n)]2 + [А^ ]2,
о >-=1
~ Г cei,+i (z, q)dz = У] ML2+tJ)l2,
о >-=0
— fseL+2(z, q)dz = £ [B^2>]2,
~ f seL+i (z, q)dz = £ [B^t”]2-
0 r=0
(4.2.11)
(4.2.12) '
(4.2.13)
(4.2.14)
Основываясь на (4.2.11)—(4.2.14), функции Матье для всех дей-
ствительных значений параметра q обычно нормируют условиями
2Л 2к
1 С 2 1 Г 2
— I се2 (z, q) dz = ~ I se2 (z, q) dz = 1, (4.2.15)
о о
полагая
00
2 [Ao2"*]2 + £, l^l2 = 1, ‘’l2 = 1 ’
r=l r=0
(4.2.16)
OO OO
S [fiL+t2,i2 =i, S (ВД0]2 = i.
r=0 r=0
146
Из условия нормирования (4.2.15) вытекает, что любая функция
Матье имеет в интервале (0, 2л) среднее квадратичное значение
1/2, равное такому же значению для соответствующей тригоно-
метрической функции. Из этого условия вытекает также, что при
<7 = 0
АоО) — 2 1/г, так что limce0(z, q) = 2-1'2. (4.2.17)
<?-о
2. При замене q на —q уравнение Матье переписывается
в виде —-—|- (а ф 2г/cos 2г) у = 0. Такой же вид оно примет
dz2
и при замене в нем аргумента z аргументом + (л/2 + z). Сле-
довательно, в случае отрицательных значений параметра q перио-
дические решения уравнения Матье могут быть получены из
(4.2.2)—(4.2.5) заменой аргумента z аргументом + (л/2 + z).
В частности, если вместо z положить л/2 — z, то
се2я(г,—</) = (— 1)" се^
ce2n+i(z»~<7) = (— l)"se2n+1 — z, q],
(4.2.18)
se2n+2(zq) = (— l)nse2n+2 — z, q j ,
se2n+1(z, q) = (— l)nce2„+1 (y — z, <?j ,
где наличие множителя (— 1 )n обеспечивает переход функций
Матье в соответствующие тригонометрические функции при <7 = 0.
3. На основании свойства ортогональности функций Матье
и тригонометрических функций можно установить:
cos2rz = У Л^п)се2„(г, q), а2п,
п=0
со
cos(2г ф l)z = У Л^’се^ьЛг, <?), а2п+1,
п—0
(4.2.19)
00
sin (2г ф 1) z = У B^-Pse^j. (z, q), b2n+1,
n=0
10*
147
CD
sin (2r + 2) z = У B^l2)se2,+2(z, q),
n=0
причем
co co
V = £ [^t°l2 =
/1=0 /1=0
co co
= £ [B^+t0]2 = У] [B^t2)]2 = 1,
n=0 «=0
co co
X - X -
/1=0 n=0
(4-2.19)
(4.2.20)
co co
- X - X IBS?BS”t!’l~O.r^s.
n=0 n=0
4. Из рекуррентных соотношений (4.2.6)—(4.2.9) можно по-
лучить сходящиеся бесконечные цепные дроби:
— <?72
а =----------- («2„) (4.2.21)
1— — а — q2/64
4 ------------
1 — — — q2/576
16 —---------
1 — — _ QV2304
36 -----------
1-— -Ч
64
с общим членом
А(2п}
[?716г2 (г - 1 )2]/[ 1 - (а - ^)/4г2], г > 2, v2r = ;
а = 1 +q— q2/9 1—— - 9 (a=a2nvl) (4.2.22) - q2/225 I—— _ Q71225 25 a 1 — — . 49
148
с общим членом
[q2/ (2r + I)2 (2г — 1 )2]/[ 1 — a/(2r + I)2 +
д(2п+1)
+ <Аг+1/(2г + I)2, г > 1, o2r+1 = g~4Tj ;
^2г-Ч
6=1+9- 92/9 (а = Ь2п+1) (4.2.23)
1 — — — 92/225
9 ----------
1—— — Q71225
25 ------------------
1-------—.
49
с общим членом
[97 (2г + I)2 (2г — 1)2]/[ 1 - a/(2r + I)2 +
+ 9tt2r+l/(2'" + I)2], 1, О2г+1 — (2п+1) ’
D2r+l
b = 4 — q2!W> (а = 62п+2) (4.2.24)
1 — ------ 97576
16 -------
I — — — 972304
36 !—
64
с общим членом
[Q7(2r + 2)2 (2r)2]/[ 1 —а/4 (г 4- I)2 +
о(2п+2)
+ 9Г2г/4(г+1)2], г>2, ^ = -8^-
13 2 г Л-2
Каждая из дробей — трансцендентное уравнение относительно
собственных значений функций Матье. Используя (4.2.21) —
(4.2.24), можно по заданному q вычислить собственные значения
с любой степенью точности (см., например, [32], гл. III), а че-
рез них из рекуррентных соотношений (4.2.6)—(4.2.9) — и коэф-
фициенты функций Матье.
Известно, что бесконечной цепной дроби отвечает бесконеч-
ная последовательность подходящих дробей, каждая из которых
может быть представлена в виде отношения двух целых функ-
ций (полиномов) от своих элементов.
Поэтому, если рассмотреть последовательные подходящие дро-
би, отвечающие бесконечным цепным дробям (4.2.21)—(4.2.24),
149
можно установить, что каждая из бесконечных цепных дробей
допускает представление в виде некоторой рациональной функ-
ции от параметров a, q, имеющей форму отношения двух це-
лых функций, знаменатель которого не обращается в нуль, если
а — собственное число функции Матье. Следовательно, собствен-
ные числа функций Матье — непрерывные и однозначные функ-
ции параметра q. Точно так же и коэффициенты А, В функций
Матье являются непрерывными и однозначными функциями от q.
5. Пользуясь рекуррентными формулами (4.2.6)—(4.2.9), мож-
но показать, что при q -* 0 все коэффициенты А, В -> О, за исклю-
чением лишь коэффициентов Л„п>, В„п>, стремящихся к единице.
Более полные исследования поведения коэффициентов Вт'
при q -> 0 показывают, что при малом q они имеют порядок ма-
In—т]
лости О \q 2 ) и представимы формулами:
4“^ I и (n-г-1>1 Г2
В<"2» ( Н(п— |)Г ( 4 )
= J-IN (О (4.2.26)
г! (п + г)! к 4 )
из которых видно, что коэффициенты А, В порядка, большего
п, имеют чередующиеся знаки, а все коэффициенты порядка,
меньшего п, положительны.
При g -> 0 приближенно
сеп(т], q) cosni] =s cosntp, п>1,
се0(ц, q) - А^ = 2“1/2, (4.2.27)
se„(i], 9)-> sin пт] = sin и q>, п>1,
где ф — полярная координата. При этом а -> и2.
6. Из общей теории обыкновенных дифференциальных урав-
нений штурмалиувиллевского типа, к которому относится урав-
нение Матье, следует, что при п -* оо собственные значения
уравнения будут иметь асимптотическое выражение
а„=п2 + 0(1), (4.2.28)
а отвечающие им функции Матье запишутся в виде
cen (z, q) = cos nz + 0 I | ,
\ n /
(4.2.29)
sen (z, g) — sin nz + 0 ( -J— j .
\ n I
150
Пользуясь вновь рекуррентными соотношениями (4.2.6)—(4.2.9),
можно установить, что при и -> оо все А, В -* 0, за исключе-
нием А(пп>, В„п> -> 1. Более полный анализ приводит к асимпто-
тическим представлениям коэффициентов А, В:
А”~2г I (п —г—1)! (_9_V о < 2г<п, (4.2.30)
B^2r j r!(n—1)! { 4 /
Ап+2г | _(—Пи!_ / _q_ f r>Q (4.2.31)
B^2r j r! (n + r)! \ 4 )
(а и q фиксированы), из которых следует, что при п -* оо коэф-
фициенты будут 0 (и~г), так ЧТО для них
| Д£Ч, |B^|<const р-Л 2 . (4.2.32)
\ п ]
7. Функции Матье образуют полную систему функции на
промежутке (0, 2л). Это свойство их наряду со свойством орто-
гональности играет важную роль в теории разложения произволь-
ных функций в ряды Фурье по функциям Матье.
§ 3
Модифицированные функции Матье
и некоторые их свойства
Уравнение вида
—--------(а — 2<?ch 2z) у = 0
dz2
(4.3.1)
называется уравнением модифицированных функций Матье (как
уже отмечалось, оно может быть получено из (4.2.1) заменой
там z на iz). Решения уравнения (4.3.1), обладающие чисто мни-
мым периодом nt или 2л i относительно аргумента z, называются
модифицированными функциями Матье (в широком смысле любое
решение уравнения (4.3.1) называется модифицированной функ-
цией Матье). Для значений параметра а, которым отвечают обыч-
ные функции Матье, модифицированные функции получаются из
(4.2.2)—(4.2.5) подстановкой туда iz вместо z:
Ce2„(z, q) = се2п (iz, q) = Л^сЬ 2rz, a2n, (4.3.2)
r=0
151
Ce2n+i(z> q) = се2Ч+1(й, q) = ^+1” ch(2r + l)z, fl2n+1,
r=0
(4.3.2)
OO
Sean+1(z, g) = — i se2n+1 (tz, q) = sh(2r + l)z, b2n+a,
r=O
OO
Se2n+1(z, q) =—i se2n+2(tz, g) — У sh (2r -f- 2) z, b2n+2’
r=0
где g>0 и где коэффициенты рядов А, В удовлетворяют рекур-
рентным соотношениям (4.2.6)—(4.2.9). В случае отрицательного
q выражения модифицированных функций Матье получаются из
(4.2.18) заменой там z на iz. Ряды (4.3.2) абсолютно и равномер-
но сходятся в любой конечной области плоскости комплексного
переменного z пли в любом замкнутом интервале действительной
оси.
В приложениях более удобны другие формы представления
модифицированных функций Матье, имеющие вид рядов по бес-
селевым функциям либо по их произведениям. По некоторым
причинам предпочтение отдается последним. Через произведения
бесселевых функций модифицированные функции Матье первого
рода определяются следующим образом:
Ce2n+l(Z, <7) = — — (2п-|-1) х
С2П+1Л1
оа
х Е (-’К + Л+1(Г1)Л(^)Ь
г=0
1 °°
се2. (z, д) = У (_ Iу A^Jr (ty) Jr (о2),
с2п/1о
(4.3.3)
S^n+l (z>9) — R(2n+1) Х
a2n+i £>1
00
х V (-irB^t'MJ,^)^^)-^!^)^^)],
г=0
Se2rt4.2(z,g) = — „(2п+2) х
й2п+2 £>2
оо
( 1 Г В'2Г-У2 * (Л- г+2 (иг) — JГ+2(b'l) Jг (^’г)],
г=0
152
где
i>i = 91/2е—z, v2 = ql/2e* , a
c2n — cZn(?)
ce2„(0, Q)ce2Jy,gj
C2n + 1 — C2n+1 (<?) -
ce2n+1 (0, </)се2П+1
^2n+2 — ^2/г+2(9) ~
_________?В^+2>
862,14-2(0, <7)se2n+2
(4.3.4)
— 1(?1/2Д<2«+1)
^Zn+l ~ *4л+1 (9) —
______ Щ1/2 B(12n+1)
se2n+l (0» Q) Se2n+1 ( ~ > <7
Заменой в (4.3.3) функций J„(с2) на Nn(v2) получаются выраже-
ния вторых решений модифицированного уравнения Матье (функ-
ций Матье второго рода), отвечающих тем же значениям пара-
метра а:
Fey2„(z, q) = ------V (- \)rA^Jr (or) Nr (o2),
С2лЛ0
Fey2n+1(z, q)= --------'жГГ X
C2n + l^l
OO
X Z (- * [Л («iM + Jr+1 (Vi) Nr («2)1.
r=0
Gey^.Jz, q) = ---------X (4.3.5)
d2n + lOl
X S (- iy^+tn Ur (^) Nr+1 (V2) - Jr^ (oj Nr (O2)l,
r=O
Г / X -1
Gey2,I4.2(z» Q) n(2n+2) X
Й2П+2О2
ОД
x £ (- 1/В^ [ Jr (nJ Mf+2 (v2) - Jr+2(vx) Nr (n2)J,
r^O
153
где с„ и dn определены, как и раньше. Из (4.1.5), (4.1.6) на
основании (4.3.3) и (4.3.5) получаются выражения комбини-
рованных функций Матье. Ряды (4.3.3), (4.3.5) абсолютно и рав-
номерно сходятся в любой замкнутой области плоскости z, в си-
лу чего функции, представленные ими, являются регулярными
в любой конечной области плоскости, включая и начало коор- •
динат. Быстрота сходимости рядов возрастает с возрастанием z
(z вещественное).
Укажем на некоторые свойства модифицированных функций
Матье.
1. При замене q на —q модифицированное уравнение Матье
принимает вид —-------(а 2q ch 2z) у = 0, к которому можно
dz2
прийти и при замене в нем аргумента z на i + z. Поэтому
Ce2n (z, — q) = (— 1)" Ce2n + q^ ,
Ce2n+1 (z, — q) = ( — 1 У1*1 i Se2n+1 (y i + z, q j ,
Fey2n(z,— q) = (— l)nFey2n t + z, q'j ,
Fey2n+1 (z,— q) = (— l)n+1 i Gey2n+1 (i + z, ,
(4.3.6)
Se2n+1 (z, — q) = (— l)n+1i Ce2n+1 i + z, q) ,
Se2.,+2(z, — q) = (— l)n+1 Se2n+2 i + z, (?) ,
. Gey2n+1(z, — q) = (—l)n+1iFey2n+1 ^yt+z,
Gey2n+2 (z, — <?)=(— l)n+1 Gey2n+2 i + z, .
На основании соотношений (4.3.6) можно получить разложения
модифицированных функций Матье с отрицательным значением
параметра q по функциям Бесселя чисто мнимого аргумента либо
по их произведениям в виде, аналогичном разложениям (4.3.3),
(4.3.5).
154
2. Рассматривая ряды (4.3.3), (4.3.5) при больших значениях
параметра га можно на основании (4.2.30)—(4.2.32) и
формул (2.2.26)—(2.2.28) установить, что при фиксированных
. f2£2
q и z главными членами разложений будут i q = ---------- I
Се„ (z, ?) 1— Jn(kv), Se„ (z, q)~~ Jn(kv), dn
Fey„(z, q} — Nn (kv}, Gey „ (z, q) V„ (kv), Cn dn (4.3.7)
MeAI)(2)(z, Л<’>л2>(М, (z, H^^(kv), cn an f V = ~ez 2
3. Если q2>0, то при больших значениях аргумента z глав-
ными членами асимптотических разложений модифицированных
функций Матье будут
Ce2n(z, 9) — 1 ( 2 V/2 . / jt \
C2n \ ГГ kv ) 4 /
Gc2rl+J (z, 9) '— 1 i ' 2 'I 11/2 I cos | |/eW 2L\
< 3lkv J
C2ri+1 1 \ 4 /
/ 2 1/2 ( COS 1 kv+ — \.
JX kv )
^•2n4-l ' \ 4 )
1 ! c 2 V2 1 S’n 1 i , . 31 \ kv -) ,
H?~
^2n+2 ( 31 kv s \ 4 /
(4.3.8)
Реу2п(г, 9) — -1 1 2 \ 1/2 4 COS I kv + ~ ),
C2n I L TZ kv J 4 /
— i ( 2 " > 1/2 sin 1
1Cj2r!TlV> 4}
C2n +1 \ t kv j I 4 /
Gey2n+1(z, <7)-— — i ( / 2 > .i/2 . 1 s*n ( * kv 4—— ,
Tt kv J
^2Я-Ы к 4 /
Gey2rl+2(z, <7) — 1 ( 2 ' 0/2 cos kv 4 _
\ It kv
^2(14-2 X 4 )
155
где, как и раньше, v — fe2 /2. Асимптотические выражения для
комбинированных функций Матье получаются непосредственно
из (4.1.5), (4.1.6) на основании (4.3.8), при этом
c2nMe^)(2)(z, Q)— [—|-V е ' 4 4
y ~kv /
c2n+iMe^’+(i2) (z, <7) ~ ± ( —' е 4 \
\ Л RV I
(4-3.9)
J2n+1 Ne^f2> (z, q) ~ ± (-А- Г ,
d2n+2Ne^22) (z> ?)~(—.--У 2* " •
\ л кг j
Из представлений (4.3.8) видно, что с возрастанием z (z>0)
все модифицированные функции колеблются со все увеличива-
ющейся частотой и с уменьшающимися амплитудами. При z -> оо
все они стремятся к нулю по закону экспоненциальной функции.
В случае отрицательных значений параметра q главные члены
асимптотических разложений модифицированных функций Матье
равны
c2nCe2n (г, — <?) — (— 1 У1 (2 л /гг)_)/2е*°,
4n+iSe2„+1 (г,— q) — (— l)ni (2л kv)~^2ekv,
с2п Fey2„ (г,—q) — (— 1)" 1(2л kv)-'’2ekv,
d,n+i Gey2n+I (z,- q) ~ (- 1 )"/ (2л
(4.3.10)
c2n+i Ce2n+] (z,—q) — (— l)"i (2л
d2n+2 ^2(2,-q) - (- 1)"+1 (2л kv)-^,
c2rl+i Fey2n+I (z,—q) ~ (— 1)'Ч (2л M-1'2
d2n+2 Gey2n+2 (z - q) ~ i (- 1)"+1 (2« to)-1/2
Как видно из (4.3.10), все они отличаются друг от друга лишь
постоянными множителями, причем каждая из модифицирован-
ных функций первого рода монотонно стремится к -р со при
z —*• оо, а каждая из функций второго рода стремится к + i со
при z -> оо.
4. Если б/ -> 0, a z -*• со так, что —-----> kr остается по-
2
стоянным (конечным), то тогда имеют место формулы вырожде-
156
н ия модифицированных функций Матье в функции Бесселя:
сп Се„ (z. <?) in Jn (kr), d, Se„ (z, q) in Jn (kr),
£n FeYn (z> 9) "* in Nn (kr), dn Geyn (z, q)^ inNn (kr),
(4.3.11)
cnMe">-(2)(z, q) - inHn}'(2\kr),
dnNe^A2}(z, q)^inH{"A2} (kr)
и
~ Ce„ (z, q) ->------l— (kr) J' (kr), n>0,
dz Cn
sen (г, q) — — ' - (kr) J’ (kr), n > 1,
dz dn
(4.3.12)
~ Feyn (z, q) —--------(kr)N' (kr), n>Q,
dz cn
~ Geyn (z, q) *-----------(kr)N'n (kr), n > 1
az dn
в которых Q>0. Если же <?<0, то
c2„Ce2„ (z,— g) -v (— 1)"I2n (kr),
d2n+l ^®2n+l (Z> ?) -> ( 2n-n(kr),
Cin+i Se2nrl (z,— q) -* (— 1)" i/2„ (kr),
d2n+2 Se2n+2 (z, q) -» (— l)n+I/2n+i (kr),
(4.3.13)
Сгп Me('>(z -q) -> l) K.n (kr),
^2n+l Me2n+1 (z, q) -> -------- Azra+l (kr),
Л
... 21_1У1*1
c2n+i Nean+i (z’ ------------Kzn+l (kr),
Л
d2n+2 Ne^2 (z, ~ q) - Kin+1 (kr}
л
и
d r . . (— \)n kr
Ce2n (z,— q) -Y------------/2n (kr),
dz Cin
(4.3.14)
d „ (—Vfkri ,> ,, .
~7~ Ce2n+1 (z, — q) -> -------12n+1 (kr),
157
d С \ (— V)n kri . ,
— Se2„tl(z,—q) -> ----------------—hn+i (kr),
C2n+1
(4.3.14)
d (— 1)”+1/гг -
—- Se2n+2 (z,— q) ±—----------- I2n+2(kr),
dz “2n+2
где /„(x), Kn(x)— модифицированные функции Бесселя, связан-
ные с соответствующими функциями Бесселя чисто мнимого аргу-
мента соотношениями
/v(z) = e-£CT/2Jv(zei1-/2),
— n<argz<—, (4.3.15)
Kv (Z) = e^v/2 HW ^/2^
Iv (z) = eiT:v/2Jv (ze-^2),
— ~<argz<n. (4.3.16)
Kv (z) = — — е~М2 H *,2) (ze~‘n/2),
5. Если q -* 0, a z конечное, то в качестве предельных форм
модифицированных функций Матье имеем выражения
Fey0(z, q)~¥^-[ z + ~ InQ)*,
(4.3.17)
Fey4 (z, q) ~ — 22"-1 (n — 1)! n\ — , n -> 1,
GeyJ nqn
в предположении, что eJ z достаточно мало.
6. Вронскиан модифицированных функций Матье равен
• W [Ce„(z, Q), Meilh(2>(z, </)] = ± 0,
Л сп
(4.3.18)
w |Se„(z, q), Ne)/M2)(z, <?)] = ± , и>1.
Л dn
7. Если q положительное и большое, тогда для собственных
чисел а имеют место асимптотические формулы
1-----2<7 4-(8/г + 2) <71/2, (4.3.19)
^2л+1 (<7) I
158
1 W> | ---+ (8n + 6) ^,-2 (4.3. J 9)
^2n + 2 (9) I
Пользуясь рекуррентными соотношениями для коэффициентов
функций Матье, можно показать, что при q-*- оо все коэффи-
циенты А, В -> 0, причем тогда
А(2гп)/А(о2п) -^(—1/2,
Л^ПМ!2я+1 (— 1 )г (2г + 1),
(4.3.20)
1 }/в\2п+1 _ 1 у,
в^2)/в^"+2>->(— iy<r + 1).
Асимптотические представления обычных функций Матье имеют
вид1
в предположении, что z меняется в промежутке (—л/2, л/2).
Если z 0 (л/2, Зл/2), то тогда знаки + в правой части (4.3.21)
следует заменить на + соответственно. Постоянные Сп и Sn+1
определены здесь формулами
г _(—l)«2Sn, _(—
Сз,! — 1 'п--L ’ С2гдп-------Г----~ ,
р 2п n c2(I V nh с2„+1
(4.3.22)
(— 1)п22л/ (- 1)л+122«+1/2
г>2п+1-- ,/о I. л ’ *-*2л+2 — л------— ,——.
у 2л h а2п+1 р п /г d2rt+2
которые при больших q>0 переходят в выражения
ОЗп+1/2
С„''5,г+1~(2л/1)>/4 -± (4.3.23)
у п\
Асимптотические выражения для модифицированных функций
Матье Се„(г, q) и Se^. (z, q) имеют вид
1 В (4.3.21) при п = 0 в обоих случаях берется только Со. При верхнем
знаке промежуток — т./2 < г < т./2. соответствует функции сео, а промежуток
-/2 <с г < Зт./2 — функции sex; при нигквем знаке наоборот.
159
2"—1/2chI/2z
2n-t',2ch1'2z
cos
sin
Cen(z, q) |
Sen+i(z, q) I
(4.3.24)
2h sh z — (2/г 4- 1) arc tg
где предполагается, что arg z C (— л/2, л/2). В приложениях
обычно встречаются произведения c„Cen(z, q) и drtSe„(z, q), где
сп и dn определены формулами (4.3.4). Для них
c„Cen(z, q)} _
d„Se„(z, <7)|
— f —COS 1 2h sh z — (2/i 4- 1) arc tg (th — \
Ул/zchz sin J ( 2
(4.3.25)
На основании (4.3.24) из интегральных представлений комби-
нированных функций Матье получаются асимптотические выра-
жения функций Men1),<2)(z, q) и Ne„ ),<2) (z, q) [171—174]
С Me^1>,<2)(z, q)~ 1 shz T<2n+l)arctg(th z/2)J, (4.3.26)
n ’ \/nhchz
dnNeV),<2) (z, q)----------йу.Ме,’1*'*2’ (z, q).
(4.3.27)
В случае, когда <7 большое по абсолютной величине и отрица-
тельное, асимптотические выражения для функций Матье полу-
чаются на основании формул (4.3.21)—(4.3.27) из соотношений
(4.2.18), (4.3.6).
§ 4
Разложение плоской и сферической волн
по волновым эллиптическим функциям.
Интегральные представления волновых функций
Представим функцию (2.3.1) в виде
ф = фоейгс“ 61
положив
. (пг)
фо = е
(4.4.1)
(4.4.2)
160
где (n г) — пхх +- nytj или в эллиптических координатах (п г) =
= f(chg cost| cos<p0 -f- shgsinri sin<p0). Тогда разложение плоской
волны (4.4.2) (функция ф0 есть решение двумерного уравнения
Гельмгольца, не зависящего от координаты z) может быть най-
дено из разложения двумерной функции Грина Gj.(r|r0) уравнения
A Gfe(r|r0)4- kzGb (r|r0) = — б (г — г0), (4.4.3)
заданного на плоскости Оху, по волновым функциям (4.1.13)—
(4.1.16). Решением уравнения (4.4.3) является, как известно,
функция
Gfe(r|r(>)=± — Г/о1),(2) (k\г — го | ), (4.4.4)
4
симметричная относительно координат векторов г и г0 и удов-
летворяющая условию излучения на бесконечности. При г =Х го
функция (4.4.4) будет решением однородного уравнения Гельм-
гольца, поэтому ее можно искать в виде разложения
Г/1. Vzi z \ / JMe’1)-<2)(L0Cen(^,9)
Gfc(r|r0)= >^ncen(n, ^сеДло, z?)
IMe^ (go, 7)Cen (%, q)
п=0
co
+ 5rtse„(r], <7)se„(T]0, q) X
n = l
x | NeP’(2) (g, 9)Se„(g0, q), g0<g, }
I NeV*'<2) (go, <?) Se„ (g, q), g0>g,
коэффициенты которого определяются, как обычно, неоднород-
ным членом уравнения (4.4.3). В эллиптических координатах
имеем
1 [ d2Gk , daG„ \ ,
I -----—Г------- I -I- k Gb
f2 (ch2 g — cos2t] ) у d g2 d t]2 /
= - 2 . 6(E-go)6(n-no)- (4.4.6)
f-(ch2g— cos2t])
Умножая обе части (4.4.6) на f1 (ch2 g—cos2r]) и интегрируя их
относительно g по малой окрестности точки g = g0 от go — е до
go + е и переходя к пределу при е -» О, получим
dGft(n, "Йо, go) Е=Ьо+0 А .
------—------------— 6(т]— т]0)
д g 5=ь.>-о
11. Е. А. Иванов
161
(функция (4.4.5) остается непрерывной при g = g0), откуда пос-
ле подстановки сюда (4.4.5) и обращения к (4.3.18) найдем
со
> , Лсе„(п, <7)ce„(T]o, <7)+
Сп
п~0
GO
+ У Вп se„ (Т), Q)se(T]o, <?) —J" = + ~ 6 01 ~ По)- (4.4.7)
(*П
п^=\
Умножая последовательно обе части (4.4.7) на се„(т], q) и
sen(r], q) и интегрируя их по т] в пределах от 0 до 2л, получим
на основании свойства ортогональности угловых функций Матье
Ап — +
г(-!Г 2
В.
(4.4.8)
2
так что
ОС
^1)Л2)(й|г - г0|) = 2^(-1)"
п=0
сисе„(т], <?)се„(т]о> <?)
х [Ме<1м2) (g, <7)Се„(Ео,
1ме‘1)д2) (go, Q)Ce„(g,
q>
q)
+ d2sen(T], <7)se„(r]o, <?)><
x jNe£,M2>(g, Q)Sen(g0, 9)1, go<g, (4 4 g)
Ы1)Л2) (go, <7)Se„(g, q) J, ?o>g-
Если положить здесь g0 -> <x> (источник удаляется на бесконеч-
ность), то |г — г0| > г0 — rcos(q> —<ро)> и на основании асимпто-
тических формул для функции Бесселя * (х) и модифицирован-
ных функций Матье получим искомую формулу разложения пло-
ской волны (4.4.2) по эллиптическим волновым функциям:
ОО
eife(nr) = 2 V[c„Cen(g, <7)се„(т], <?)се„(<р0, ?) +
п~0
+ dn Sen (g, q) se„ (т], q) se„ (<jp0, 9)], (4.4.10)
где (n r) = f (ch geos tj cos <p0 + sh g sin rj sin <p0)- Подставив (4.4.10)
в (4.4.1), получим разложение пространственной волны ф по
тем же функциям (в отличие от (4.4.10), где при z = 0 q —
f2k2 Р
= —-----, в общем случае будет q = ~ (F — Л2)).
4 ' 4
Если ввести в рассмотрение функцию Грина (2.5 3), то обыч-
162
ным образом получим разложение сферической волны (2.5.1) по
цилиндрическим эллиптическим функциям (4.1.7)—(4.1.10), при-
чем тогда
оо °°
gtkR (• „
= 1 у , I (— 1)п1с„сеч(т], <?) се„ (т)0, <?) X
Z2=0 ---оэ
Ме*»-*2’^,
Men1),<2) Qo,
?)Ce„(g0, q) + d2sen(n) <7)se„(T]o, q) X
<7)Ce„(g, q)
у |Ne" ’(£> <7> Sen(?o, Ф, (4.4.11)
lNe<,M2>(£0, ?)Sen(g, q), g0>J
f2
где q = — (k2 —hzy.
4
Умножив обе части разложения (4.4.10) последовательно на
сем(г1о, q) и на sen(T]0, q) и воспользовавшись свойством ортого-
нальности функций Матье, после интегрирования обеих частей
относительно т]0 в пределах от 0 и до 2л получим формулы
интегрального представления функций (4.1.7), (4.1.8):
2л
Сеп(&, 7)се„(т], д') =- ------- I etft<nr> се„ (т]0, ф^т]о,
2л с„ J
О
(4.4.12)
2 л
Se„(£, Q)sert(T], q)=~-— е^пг) sen(т]0, q)d^0.
2л ап J
о
Для функций (4.1.9), (4.1.10) имеют место формулы1
i c
Ме^’(&, <7)се„(т], q) =
се„(т]о, <7)<1т]о,
Л
“2
(4.4.13)
NeV’Gi. q)sen(t], q) =
2
1 (
^dn J
_ ZL
2
e,fe<nr> se„ (т]0, <7)dno.
1 В (4.4.13), (4.4.14) | V, | < t/2 и ch 5cos ', > 1. Если r/2 <; <; < 3X2
и — ch g cos f, >1, в (4.4.13), (4.4.14) следует ехррТг(пг)] заменить на
ехр[ - ik (nr)].
11*
163
Me‘[2)(g, <7)ce„(r], q) = —-— i e,7-'<nr> се„(ц, qjdqo,
лсп J
Л/2—too
(4.4.14)
3~/24-too
Ne^2)(g, <7)se(r], q) = —- C eZft(nr> sen(T]0,
ndn J .
Л/2—fco
которые, равно как и (4.4.12), могут быть выведены на основе
рассуждений, аналогичных приведенным в § 3 гл. 2. В форму-
лах (4.4.12)—(4.4.14) (nr)=f (chE cos г] cos T]o+shgsinT] sinT]o)-
В частности, из (4.4.12)—(4.4.14) нетрудно получить инте-
гральные представления для модифицированных функций Матье.
§ 5
Теоремы сложения
для эллиптических волновых функций
Пусть на плоскости Оху заданы две системы декар-
товых прямоугольных систем координат уг и х2, у2 и свя-
занные с ними формулами преобразования х, = f/ch^,- cos r)j,
У/ = fjs*n т1/ соответствующие нм системы эллиптических
Рис. 18. К теореме сложения для эллиптических
волновых функций
координат т],-, / = 1, 2. Предположим, что координатные оси
OjXj систем направлены по отношению друг к другу под углом
р (см. рис. 18). Пусть, кроме того, заданы эллиптические вол-
164
новые функции (4.1.13)—(4.1.16), записанные в каждой из ло-
кальных систем координат выражениями
Сел (£s, q^, Se„(gz, q^ se„(r1/, qrf
/ = 1,2. (4.5.1)
Mek,),<2) (gz, t7/)ce„('r1/, q,), Ne^1),<2> (sz, <7/)se„(r1/, qf),
Найдем формулы, позволяющие записать функции (4.5.1), отне-
сенные к /-й системе координат, через волновые функции, за-
писанные в s-й системе координат, j =f= s; /, s = 1,2. Очевидно,
что
сеп(<7у, а 4 р) се,„(«?,, а) =
= — (£7;)Дрт) (<?s) cos г р [cos (г — р) а + cos (г 4- р) а] +
Г.Р
1
+ — (<7z)Apm> (<7S) sin гр [sin (г — р) а + sin (г -ф р)а],
Г
^A<lp а ± p)sem(9s, а) =
= ^рга) <<7S) cos г р [sin(p — г)аф sin(p-+r)a] +
Г.Р
1
х Л rn) (д,)В™ (<7S) sin г р [ cos (р — г) a— cos (р -4~г)а],
(4.5.2)
se„ (qh а p)cem(q6, а) =
1 30
= (д,) X^O/Jcosr p[sin(r — р)а sin (г 4- р)а] ±
г,р
1 °0—
± X' в("} Арт) sin r Р [cos а + cos (г 4- р) а1>
r .р
sen^qj: а ± p)sem(Qs, а) =
1
= V Вгп} (9S) cos г р [cos (г — р) а — cos (г 4- р) а] ±
Г.Р
1
± ”7 Jj (qs) sin г р [sin(p — Г)а + sin (р -[- г)а]
Г.Р
165
(суммирование здесь и далее производится только по четным
или нечетным номерам г и р в зависимости от четности или
нечетности пит соответственно). Введем в рассмотрение плос-
кую волну (2.3.1), которую, например, в /-й системе координат
можно записать в виде
eifefnRp = gikinRJgikinRjs), (4.5.3)
так как R, = Rg 4 R,g, где R/g—радиус-вектор, соединяющий
начало координат 0g с началом координат Oj системы OiXjyj,
a R/; Rg — радиус-векторы произвольной точки наблюдения в со-
ответствующей системе координат. Здесь направление распростра-
нения волны, определяемое единичным вектором п, образует
произвольные углы а,- и as с положительными направлениями
координатных осей О;Ху и 0sxK, причем предполагается, что а,- =
= as4-p. На основании (4.4.10) функцию (4.5.3) можно пред-
ставить в виде разложения
e^cnR.) = 2 V [c„Cen(gs, <7s)cen(r]s, <?,) се„(as, <7S)4\
-
+ d«Se«(L. 9s)sen(r]s. 9s)se„(ag, qs)]eik<nR^. (4.5Л)
Умножив обе части (4.5.4) последовательно на cem (ay, <?,) и на
sem(ay, qj) и проинтегрировав их относительно а, вдоль конту-
ров Cj.2,3 (сх— контур с концами в точках 0 и 2л; с2—контур
с концами в точках------— -j-ioo и —-------too), с3—контур с
2 2
л . Зл . .
концами в точках--------1 оо и-------1-1 со), получим на основа-
2 2
нии формул интегрального представления эллиптических волно-
вых функций (4.4.12)—(4.4.14), формул (4.5.2) и формул инте-
грального представления волновых функций кругового цилиндра
(2.3.15) искомые теоремы сложения для эллиптических волновых
функций:
9/)(г]у, <7у)
СО
= lQmn(/’ s’ Р) сп <>„ (£g> 9s) "Г
Г
т п=0
+ Rmn(j, s; P)d„Se„(gs, Qs)se„(rlg, </.,)], m = 0, 1, ..., (4.5.5)
Sem(gy, 9/)sem(r]y, 9/) =
166
оо
__ 2 х i ~
-~Г ZJimnU. S-, ₽)c„Cen(gs, 4s)cen(T]g, qs) +
!П n=0
-4-ЯП1П(Л s; ₽)4Se„(gs, qg)se„(ng, qs)|, m = l,2, .... (4.5.6)
Me^’-(2) (Zj, q^ce,,,^,; qf) =
= ~V !Q™<2)(/, s; p)c„Cen(gs, <7s)ce„ (r)s, qs) 4-
c™ ~
+ #™<2)(b s; p)d„Se„(gs, <7s)se„(rb, qj], m=V, 1,.... (4.5.7)
Ne^’’<2) (£,, q,)sem(tj,-, q;) =
Q^’<2)(7, s; P)Ce„(gs, <7s)ce„(T]s, <7S) +
m n—O
+ Rmk{-y(i, s; p)d„Se„(gg, <7g)se„(r]g, qs)}, m== 1, 2,..., (4.5.8)
где
Qmn (j, s; ₽) = — V A(rn} (qs) Ap^Xq^os г p x
r.p
X { ir~pJr-p (kl) cos (r — p) ajs + i r+p Jr+P (kl) cos (r 4- p) aj +
1 ”
± V A(rn) (qsy A(pm) (qy) sin r p ( r-p^_p (kl) sin (r — p) a/g 4-
r.p
4- ir+pZr+p (kl) sin (r + p) ais], (4.5.9)
1
R,nn (b s; P) == ~2 V В;п) (qs)A{pm>(q,)CoSr^ X
r.p
X ( ir-pJr-p (kl) sin (r — p) ajs 4- ir+pJr+p (kl) sin (r 4- p) a/g)
1 “
“2" —j (9S) ^Pm) (O'/) sin r p j tr-p/r_P (kl) cos (r — p) ajs 4-
r.p
4- ir+p Jr^_p (kl) cos (r 4- p) a/gJ, (4.5.10)
Q,nn (b s; P) = - ~ £ A(rn) (qg) B(pm) (qj) cos г p X
167
i'~pjr_p (kl) sin (r — p) a/8 — ir+p Jr+p (kl) sin (r - p) a, J
4-
± у ]£^‘n)(Qs) B{pm) (q,) sinr p {ir~p Jr-p (kl) cos (r — p) a/g —
r,P
— y+P Jr+p (kl) cos (r 4- p) ajs I,
(4.5.11)
Rmn(j, s; ₽) = vS B*'1) ^Bpm} ^)cos r₽ x
Г.Р
x { r p Jr_p (kl) cos (r — p)ajs — irP Jr+p (kl) cos (r 4- p) ajs} +
+ 4 У В™ (qs) B(pm> (<?,) sin г p X
Г.Р
X ( f~rJp-r(kl) sin(p—r) ajs + ip+rJp±r(kl) sin (p 4-r) a/s), (4.5. i\)
\
Q"n<2} (j, s; p) = у У, (qs) A™ (qj) cos г p X
x { ir~pH^ (kl) cos (r - p) ajs + ir+P H%Pi2\kl) cos (r + p) a J ±
± “ S Arn) (qs) A(pm) (<?,) Sin r p I ir~pH"lp^ (kl) sin ( r- p) a/s +
+ lr+pH^p{2} (kl)sin(r + p)ais\, (4.5.13)
R^A2} (}, * ₽) = 4 S Apm) ^-) cos Г p X
X ! ir“p^1)p<2) (kl) sin (r — p) a/g+ ir+pH(r^(2} (kl) sin (r-|-p) aj +
+ 4 S B’n) Apm> sin r P 5 i’r-₽^-p(2) (fe/)cos ~ P) ai* +
4- ir+PHr^p 2) (kl) cos r + p) ajs\, (4.5.14)
Q^’<2) (/. si P) = ± у У A™ (qs)B(pm> (<7,)sinrp X
r.P
X { ir~pH{r-p2'> (kl) cos (r — p) a/s — Г+рЯ^р(2) (kl) cos (r + p) ajs\ —
165
т
“у S <9>)cosr Р { P^r-p 2) (^)sin(r—p)a/g—
r,P
— ir+PHrtp 2)(A/)sin(r 4- p)ays}, (4.5.15)
^"<2> O’ s’ P) = У В’”’ (Qs) Bpm} (Qy)cosr P X
r,P
X { ir~pH^2p(2',(kl') cos (r — p) aJS — ir+p/i^p<2\kl) cos(r 4- p) aJs } T
+ у 2 to,) sin r p { ip~rH"l-™ (kl) sin (p - r)a[s +
r,P
4- ip+rHX<2) (^)sin(p + r)aJS\. (4.5.16)
В этих формулах I ~rfs и ais — полярные координаты точки
0s (начала s-й координатной системы) в координатах /-Й системы
(/ = rls — rs! есть расстояние между началами координатных си-
стем). Формулами (4.5.5), (4.5.6) можно пользоваться при условии,
что g/g х- (g/s — эллиптическая радиальная координата точки
0s в /-й системе координат, определяющая длину I — r^s), в то
время как формулы (4.5.7), (4.5.8) справедливы лишь при усло-
вии, что />/gchgs (обоснование замены порядка суммирования
и интегрирования при выводе (4.5.7), (4.5.8) требует, чтобы при
Re/s> 0 было I fj Lch g/g cos -гщ cos тр -4- sh g/g sin rjJs sin тр1>-
>/)4-Д, (формулы (4.5.7), (4.5.8) аналогичны приведенным
в [135], где справедливость их установлена для случая, ко-
гда < А = min [ ^s.f. , £s.—,'}• Здесь ^s.±/y- —радиальная эллип-
тическая координата фокусов координатных эллипсов /-Й систе-
мы, отсчитываемая в координатах s-й системы).
Выражения (4.5.9)—(4.5.16) упрощаются в случае, если £ = О
(координатные оси Ох локальных систем параллельны и одина-
ково направлены) из-за обращения в нуль множителя sinrp.
Они существенно упрощаются и в случае, когда координатные
оси Ох обеих систем оказываются лежащими на одной прямой,
так как тогда ajs = О или ajs = л, в силу чего sin(p + r)a/s — О
для всех индексов р, г и в (4.5.9)—(4.5.16) исчезнут слагаемые,
содержащие sin гр и sin (р + r)ajs.
При qj (j = 1 , 2), когда эллиптические координаты вырож-
даются в полярные, из формул (4.5-5)—(4.5.8) получаются те-
169
оремы сложения для волновых функций кругового цилиндра.
В частности, если вырождается только /-я система координат
е5/
(/ = 1 либо j = 2; I, -*• 0, q, -* оо так, что f, —- = р,- = const),
то из (4.5.5)—(4.5.8) получаются теоремы разложения волновых
функций кругового цилиндра по волновым функциям эллипти-
ческого цилиндра.
Л-
Если же qs -> 0 (s = 1 либо s = 2; fs~ — = Ps — const), то,
наоборот, из (4.5.5)—(4.5.8) получаются формулы разложения
волновых функций эллиптического цилиндра по волновым функ-
циям кругового цилиндра.
В формулах (4.5.9)—(4.5.16), где четность чисел р ±г всегда
совпадает с четностью т + п, верхний знак берется, если as =
= aj — р, а нижний, если as = а} + р.
Теоремы сложения, отвечающие случаю /c^chgg, приве-
дены в [40].
ГЛАВА 5
СФЕРОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНОВЫЕ
ФУНКЦИИ
И НЕКОТОРЫЕ ИХ СВОЙСТВА
§ 1
Уравнение Гельмгольца
в сфероидальных координатах.
Сфероидальные волновые функции
Скалярное волновое уравнение Гельмгольца в вытяну-
тых сфероидальных координатах »], <р имеет вид
. ' ,1' +
• д £ дт] дт]
-Л. + с2(^-^)и=0, (5.1.1)
1. s3 —п3
(¥- 1)(1—т]2)
V
где с ~~ &/.гЕсли искать частные решения уравнения (5.1.1) в виде
произведения трех функций
•*!. ф) = #(£)$(п)Ф(фН=°>
(5.1.2)
каждая из которых зависит только от одной координаты, то после
подстановки (5.1.2) в (5.1.1) и последующего разделения пере-
менных в уравнении придем к заключению, что для представле-
ния частного решения уравнения (5.1.1) в форме (5.1.2) следует
в качестве функций R, S и Ф брать любые решения соответст-
вующих уравнений
-^-+р?Ф = 0, (5.1.3)
d qr
-j— (1—г]2) ——---}- ( X— с2 л2---—---^5 = 0, (5.1.4)
а т] а т] у 1 — т]2 /
R = 0, (5.1.5)
— (g2 — 1)-^-
X — с2£2 + —
£2-1
171
в которых р и X— постоянные разделения. В приложениях основ-
ную роль играют не всякие решения уравнения (5.1.1), имеющие
вид (5.1.2), а лишь такие, которые в рассматриваемой области
удовлетворяют требованиям однозначности и конечности. Исходя
из этого, в уравнении (5.1.3) следует положить р = т, где т —
целое число. Тогда независимыми решениями уравнения (5.1.3)
будут функции (т ср) или в комплексной форме Ф = е"’'4'. При
надлежащем выборе значений параметра X (собственные значения
параметра X) уравнение (5.1.4) допускает ограниченные в интер-
вале (—1, -f-1) и на его концах решения, которые называются
вытянутыми сфероидальными угловыми функциями первого рода
порядка т степени п (п — целое и неотрицательное число) и обо-
значаются через Smn(c, ц). Решения уравнения (5.1.5) при тех
значениях параметра X, для которых уравнение (5.1.4) допускает
существование ограниченных в |—1, 1] решений, обозначаются
символом Rinn (с, £) и называются вытянутыми радиальными сферо-
идальными функциями. В физических задачах обычно употребля-
ются радиальные функции четырех видов, обозначаемых соответ-
ственно через Rml, R$n, Rmn, Rnmj) В дальнейшем они определены
так, что при f 0, когда Сфероидальные, координаты выро-
ждаются в сферические, все они сводятся к бесселевым сфериче-
ским функциям jn(kr), nn(kr), hn}(kr) и (kr) соответственно.
По аналогии со сферическими бесселевыми футщяями функции
Rmk *4) (С. £) определяются через R„n (с, £) и Rm\ (с, £) в виде
соотношений
VR^- (4) (С, &) = R("n (с, g) 4 iR™ (с, £). (5.1.6)
Через Rmn(c, z) обозначаются радиальные функции, регулярные
внутри сфероида, а через R^h (с, £) — функции, имеющие внутри
сфероида логарифмическую особенность в точках £ = + 1. Функ-
ции Rml' <4) (с, £) удовлетворяют условию излучения на бесконеч-
ности.
уГаким образом, однозначными и непрерывными при ц = ± 1
решениями уравнения (5.1.1), представимыми в форме (5.1.2),
явятся функции
R%(c, g)S'!’(c, Ц)“5(тф) (5.1.7)
и
Rmn' (4) (с, g) S<!> (с, я) “о Я* <5’1
Первые из них регулярны в каждой точке внутри сфероида, в том
числе и на линии фокусов сфероида, а вторые регулярны в каж-
172
дой точке вне сфероида и удовлетворяют условию излучения на
бесконечности (верхний индекс <3) отвечает временной зависимо-
сти ехр (—tco/)). По определению сфероидальных функций при
Rmn (с, Е) S,™ (с, Г]) c?S (т <р) Z„ (kr) (cos 6) (т <р), (5.1.9)
где Zn {kr) — одна из сферических бесселевых функций.
В силу линейности и однородности уравнения (5.1.1) общее
решение его в соответствующей области может быть построено
в виде суперпозиции всех частных решений (5.1.7) или (5.1.8)
с коэффициентами разложений, определяемых из граничных условий.
В сплюснутых сфероидальных координатах уравнение Гельм-
гольца записывается в виде
д
ди
ди
d-q
(1+Ш1-Т12)
(5.1.10) может
последнем с на
дт]
<^+с2а2 + П2)«=0. (5.1.10)
<Э<р2
быть получено из уравнения (5.1.1)
— ic и Е на 1Ё (пои такой замене.
2
д
+
Уравнение
\заменой в
как уже отмечалось раньше, системы вытянутых сфероидальных
координат переходят в системы сплюснутых сфероидальных коор-
динат). Следовательно, решения уравнения (5.1.10) могут быть
получены из решений уравнения (5.1.1), если в последних сделать
указанную замену. При этом частными решениями уравнения
(5.1.10), представимыми в форме произведения трех функций,
каждая из которых зависит только от одной координаты, явятся
функции
7^(— ic, il)S{„" {—ic, n) “n (m<p), (5.1.11)
отвечающие функциям (5.1.7), и
Rmn <4)(- ic, i g)S<”(-ic, n) J* (m q>), (5.1.12)
отвечающие функциям (5.1.8). Общее решение уравнения (5.1.10)
также может быть представлено в виде суперпозиции решений
(5.1.11) или (5.1.12) в зависимости от рассматриваемой области.
Функции Smn(—ic, т]) и Rmn{—ic, i £) называются соответ-
ственно сплюснутыми сфероидальными угловыми функциями
первого рода и спльоснутьпми сфероидальными радиальными
функциями первого, второго, третьего и четвертого рода, j —
= 1, 2, 3, 4.
173
Функции (5.1.7), (5.1.8) и (5.1.11), (5.1.12) называются вытя-
нутыми сфероидальными волновыми функциями и сплюснутыми
сфероидальными волновыми функциями соответственно.
Свойства угловых и радиальных сфероидальных функпий изу-
чаются в [37, 39—43].
§ 2
Угловые сфероидальные функции
и некоторые их свойства
Уравнение (5.1.4), записанное в виде
—— (1— z2) —+ к — c2z2----------------------------к = 0, (5.2.1)
dz2 dz V 1— z2 )
характеризуется тремя особыми точками: регулярными особыми
точками z = + 1 и существенно особой точкой z = оо . При
с=0 уравнение (5.2.1) переходит в уравнение присоединенных
функций Лежандра (3.3.1), если в (5.2.1) вместо X взять Х(Х 4- 1).
Следовательно, решения уравнения (5.2.1) можно рассматривать
как обобщения присоединенных функций Лежандра P'z (z) и
Q?‘(z). Уравнение (5.2.1) допускает решения при любых значе-
ниях параметров X, р и при произвольных, в том числе и комп-
лексных, значениях аргумента z. Каждое его решение может
быть названо сфероидальной функцией. Однако ограниченные на
промежутке [—1, 4-1] решения уравнения существуют не при
всех значениях параметров 1 и ц, а лишь при некоторых из них:
при р = т, где т целое, и при X = Хип(с), где Х„1Л!(с) образуют
счетную последовательность значений параметра X (собственные
значения параметра X), п целое и п > О (очевидно, что если
с — 0, то должно быть Xmn = п(п + 1), и ограниченным решением
уравнения (5.2.1) будет присоединенная функция Лежандра P^(z)).
Ограниченные на [—1, 4-1] решения уравнения (5.2.1) обознача-
ют через $тп(с, г) и называют вытянутыми сфероидальными угло-
выми функциями первого рода. Они определяются рядом по при-
соединенным функциям Лежандра
ОО
S*J’(c, z)= Vd™n(c)P^+r(z), (5.2.2)
r=0
для коэффициентов которого, если подставить (5.2.2) в (5.2.1)
при р = т и X = Х,ад (с), получаются рекуррентные соотношения
(2m 4- г 4- 2) (2m + г + 1) с2
(2m 4- 2г 4- 3) (2m 4- 2г 4- 5)
174
d™p2 (с) + (tn + г) (т 4- г 4- 1)—
(с) 1 2(^ + Н(^ + г 4- 1) —2m2 — 1
тпУ (2m +-2г—1)(2т-+-2г-Ь 3)
d™ (с) -1
________г (г — 1) с2________
(2m 4- 2г — 3) (2m 4- 2г — 1)
d™2 (с) = 0, г>0,
(5.2.3)
из которых они и вычисляются. Соотношения (5.2.3) связывают
коэффициенты dr с индексами г одной и той же четности. Поэ-
тому существуют две последовательности решений уравнения
(5.2.1), ограниченных при z = + lz одной последовательности
отвечают четные номера г, а другой нечетные. В связи с этим
разложение (5.2.2) обычно записывается в виде
V -S<i»(c, z) = <"(c)K:+z (Z), —(5.2.4)
\ г—0.1
где штрих над знаком суммы указывает на то, что суммирование
производится только по четным номерам г, если п — т четное,
и только по нечетным номерам г, если п-----т нечетное.
Соотцршение (5.2.3) можно рассматривать как однородное
разностное уравнение второго порядка. В качестве его решения
выбирается такое, для которого
I vr I 0, как 1-------
г- оо I 4г2
(5.2.5)
где vr = Такой выбор коэффициентов разложения (5.2.4)
обеспечивает абсолютную и равномерную сходимость ряда для
всех конечных значений аргумента z.
Второе, линейно независимое от S^(cz) на (—1, 4-1) реше-
ние уравнения (5.2.1) при р = т и X, = Ктп (с) строится анало-
гичным образом через присоединенные функции второго рода Q„(z).
Это решение, имеющее логарифмическую особенность в точках
z = + 1, в приложениях встречается крайне редко, в связи с чем
его свойства здесь не рассматриваются- Гораздо чаще встречаются
сфероидальные угловые функции второго рода, обозначаемые
через Smn(c, z), определенные для вещественных или комплекс-
ных значений аргумента z ( | z | 1) рядом
ОО
S^’(c, z) = 2 (5.2.6)
где Q„l (z) — присоединенные функции Лежандра второго рода,
|z|> 1. Коэффициенты d^^c) ряда (5.2.6) удовлетворяют рекур-
175
рентному соотношению (5.2.3), распространенному и на случай
отрицательных г. При г> О коэффициенты ряда (5.2.6) совпада-
ют с коэффициентами ряда (5.2.4). При г < 0 коэффициенты d™\c)
могут быть вычислены из непрерывной дроби
= ~А,г+2,т (5.2.7)
d™+2 Blr, т - С-г-2, тА-г. т
BLr_2,m- .
получающейся из (5.2.3). Здесь ,
л = (2m + г + 2) (2m + г + I)
л+“’ т (2m + 2г -г 3) (2m -р 2r -Р 5)
Brin = (т -р г) (т -р г -р 1) — Хт„ (с) -р
+ 2(т-Р г) (т-р г-Р 1) — 2т2 — 1 2
(2т-р2г —1)(2т-р2г + 3) ’ 1 ’
Q =________________г (г — 1)с2_________
г 2’ т (2т -Р 2г — 3) (2т ф- 2г — 1)
Очевидно, что Агт = 0 для г — — 2тл или для г = 1 — 2т. По-
этому непрерывная цепная дробь (5.2.7) для d™ / d'/'"2 содержит
лишь конечное число членов, для которых —2m г < 0. Следо-
вательно, все коэффициенты d'™ равны нулю при г < — 2m.
Однако можно показать, что при г< — 2m функции О,™].,-(?) из
(5.2.6) становятся неограниченно большими. Действительно, из
функционального соотношения (3.3.12)
Q-/.-1 (z) = Q£ (г) - тг ctg fa P£(z)
вытекает, что
С-л+е (z) = (z) + COSen (г), (5.2.9)
е
если положить А. = г— т— 1 —г, где г —т— 1 —целое число,
а е -> 0. Так как Qm_r (z) = limQm_r+e(z), то отсюда и следу-
ет неограниченность QZ+r (z) при г< — 2m. Вместе с тем предел
произведения величины d-r+e, стремящейся к нулю при е -» 0,
— г< — 2m, и функции Qm_r+E(z), неограниченно возрастающей
при е -* 0, остается конечным при r>2m и е -> 0, причем
(z) = lira d™+E Q^_r+e (z) = d^r (z), (5.2.10)
где = lim
E-0
176
Угловую функцию второго рода Smn (с, г), исходя из изло-
женного выше, вместо (5.2.6) можно определить разложением
3%> (с, М = X' (с) (z) +
\ г=—2т,—2лг—1
\ »
4- 2/ d'™r (с) P’f-.n-i (z), (5.2.11)
г =2т+2\ 2т+ 1
где Рп (z)— первое решениё\ уравнения присоединенных функций
Лежандра в области | z | 4>1 . Коэффициенты d'""r могут быть
с любой степенью точности вычислены из (5.2.7) (см., например,
[39], гл. 3). Для однозначного определения функции S^n (с, г)
в случае комплексных z необходимо в плоскости z сделать раз-
рез по действительной оси от — оо до 4-1.
Собственные значения k,nn (с) параметра Z являются решения-
ми трансцендентного уравнения относительно 7^тп(с), имеющего
вид непрерывной дро^и
где
--Рл- /гг |-2
*¥ п~т + 2 '’-та Рп—пг-4-4
Уп—лг+4
у"1= (т + г) (т 4- г 4-1)4-
4m2 — 1 1 а
--------------------------- , г > О,
(2m Ь 2г—1)(2т-]-2г 4-3)
г (г — 1) (2m 4 г) (2т -1- г—1)с4
(2т 4- 2г — 1)2(2т —[- 2г — 3) (2m 4~ 2г 4- 1)
Для однозначного определения коэффициентов Л™ в качестве
нормирующего условия берутся соотношения
п—т
3<” (с, 0> = Р^(0) =----- (-1) 2 (п+^)!....... ,
2« I п—т У I п+т b
\ 2 / \ 2 /'
(п — т) четное, (5.2.13)
12. Е. А. Иванов
177
s^'(с, о) = p? (0) =---------L.1!.. 2 ; 0?
2» I n~m — l \ ( / n-j-m1, 1
\ 2 2
(n — tri) нечетное,
на основании которых в первом случае имеем
V.... (—1Г/2(г-^2лп)!
2-/—L I r+2m]! г с
\ 2 / 1 2 /
п—т
_ (—1) 2 (п-j-m)!________
2„_т [ п — т j j / п + т \ }
' 2 )' [ 2 Г
(5.2.14)
а во втором, когда п—т нечетное,
V' (—0 2 (г 2m + 1)!
rUrl.’b
\ 2 /' \ 2 /
п—т—1
---------(-l)^(n + m + l)l________ 5)
2„_т /и —m—1 \ j / п 4- m + 1 \ |
\ 2 Г \ 2 I'
Условия (5.2.14), (5.2.15) вместе с рекуррентными соотно-
шениями (5.2.3) полностью определяют коэффициенты разложе-
ний d'rn (с).
Так как вид уравнения (5.2.1) не меняется от замены в нем р
на —р, то очевидно, что наряду с угловыми функциями Smn(c, z)
его решениями будут и функции S_m> n(c, z)(p=m, Х==Х,_т, „(с)) .
Если определить, например, функции S*„I)n(c, z) рядом
ОО
„(с, z)= V ' n(c) p~^(z), — 1 <z<l, (5.2.16)
r--=0, 1
то на основании (3.3.22) будем иметь разложение
S^n, „(с, z) = 2 ' (- О'” -,о г! d7m' п(с) Р'^+г (Z), (5.2.17)
(2m 4- г)!
178
коэффициенты которого (—l)^r ! dr п (с)! ( 2т -ф г) ! удовлетво-
ряют рекуррентным соотношениям (5.2.3). Следовательно,
(5.2.1§)
Если ПОЛОЖИТЬ \
dy"1’ " (с) = _(п —1 . <2/га+. О!. d>nn (с)> (5.2.19)
(л. ф m)l \ г\
то
5^, „(с, 2) = (—1г4"—s-(c> 2) (5-2.20)
, (п + т) !
Sj£\(O, г) = РГ"(г). (5.2.21)
</Отметим некоторые из свойств угловых функций.
И. Угловые сфероидальные функции S},^ (с, г) образуют пол-
ную и ортогональную на [—1, -ф-1] систему функций, причем
1 “
f S<£(c, z)S^(c, z) dz = f>nn’Nmn(c), (5.2.22)
где ----символ Кронекера, a
7V„,„(C) = 2
r O, 1
(r + 2m) 1 j c/r (c)]2
(2r 4- 2m -f- 1) r!
(5.2.23)
2. При c -► О собствеиные значения 7.тп (с) -> (0) = n (n -ф- 1),
a S<!> (c, z) -P";(cosO); все коэффициенты d"rm(c), за исключе-
нием d„!2m(c), стремятся к нулю, a d^!lm(c) 1. Более полные
исследования поведения коэффициентов cf™n(c) при малых зна-
чениях с приводят к приближенным формулам:
_ (П4-/7Г) 1(2п—4/Z4- 1)!! (2п-2/г- 1)!! k
n^m^2k(c). ргф zn—2Р)! (2n4-1)!! 2fe!!(2n —1)!!
0 .< k < --------- , (5.2.24)
2
(—1)* (и — m + 2^—1)! (2н — 1)!! (2п 4- 1)!1
(п —/тг) ! (2п 4- 4Л —1) !! 26 !!(2п4~ 2fc+1)!!
Л > 1. (5.2.25)
Отсюда видно, что все коэффициенты г/"”(с) для г < п—гл оста-
ются положительными, а для г>п — т их знаки чередуются,
!2* 179
причем все они, за исключением коэффициента d„”m(c), убыва-
ют к нулю при с -> 0, как с|п—т~г1. При с -> О
(с) -> Afm„ = — ^ + т}\ . (5.2.26)
2и + 1 (и — т)!
3. При п -* со имеют место асимптотические приближения
\тп (с) -> п (п ~ 1),
(5.2.27)
Smn{c, 11)=^(7i) + O(n-1'2), 1].
При этом все коэффициенты <Х™(с), за исключением d„^m(c),
стремятся к нулю, a d™,„(c)-> 1. Из рекуррентных соотношений
(5.2.3) можно установить, что асимптотически
.тп .. (п + т)\(2п —4k 4- l)!!(2n — 2k — l)!!c2fc
“п-m—2k (C) ------»
(n 4- m — 2k)! (2n + 1) 1! (2k)!! (2n — 1)! 1
$<k<-n~m , (5.2.28)
.mn .. (— lfe(n — m4-2& — l)!(2n — l)!!(2n 4-l)!!c2fe
m-\-2k ’ —----—------_
(n — tri)! (2n 4- 4k — 1)!! (2k)!! (2n 4- 2k + 1)!!
k~>\. (5.2.29)
4. Существуют различные способы представления угловых
сфероидальных функций, отличных от (5.2.4). В частности, они
могут быть определены разложениями по степеням 1—z2:
S™ (с, z) = (1 - z2)T 2 CZ (! - z2)ft>
fe=0
(n — m) четное, (5.2.30)
S^(c, z) = z(l —z2) 2 2 c^(l —z2)*,
Л=0
(n — m) нечетное, (5.2.31)
где коэффициенты рядов с*”" связаны с коэффициентами со-
отношениями
z. 1 X? (2т + 2г)! , . ( 1 \ ,тп
Л 2"*|(т + Л)! <-Г)‘ + r + •
(п—т) четное, (5.2.32)
180
X (— г)к
________1 у (2т + 2г + 1)! х
2т k! (m + k) ! X(2r ~h 1)!
(5.2.32)
3 \ mn 4
m + rd------^2r+i , (и — m) щечетное.
2 )k
Из (5.2.30), (5.2.31) отчетливо виден характер четности угловых
функций S,Vn(c,z): при (п—т) четном функции S,„„(c, z) четны
относительно аргумента z, а при нечетном (и — т) функции
Smn(c,z) нечетны относительно г.
5. Частными значениями вытянутых угловых функций явля-
ются
S№(c,V) = 2 '<Г(с),
r-0,1 w
(с, 1) = -L У г (г + 1) d? (с),
2 f-=o.i
lim (1 —z2)I/2 — Sfl (c, z) =
г- 1 dz
(5.2.33)
= — — (Г 4- 1) (г + 2) dj" (с), ’ (5.2.34)
r-0, 1
lim(l-z< r'nS^(c, z) = V dT(c) (5-2.35)
z*i 2 ml rI
r—0, 1
До сих пор речь шла о решениях уравнения (5.2.1), записанного
в вытянутых сфероидальных координатах. Нетрудно заметить, что
заменой в нем с на —ic мы получим уравнение для сплюснутых
угловых функций, которые в отличие от предыдущих обознача-
ются через Smn(— ic, z). Они отвечают сплюснутым сфероидаль-
ным собственным значениям X^,n(— ic), причем в случае вещест-
венных значений аргумента z функции S)„n (—ic, z) определяются
разложением
СО
(- ic, г) = 2 (—£С) ^n+Дг), - 1 1, (5.2.36)
r=0,l
181
и являются ограниченными на [—1, 4-1] решениями уравнения
dy
dz
+ Kmn(-ic)^cW
(5.2.37)
Коэффициенты d'""(—ic) удовлетворяют рекуррентным соотноше-
ниям (5.2.3), где с следует заменить на —ic.
Все соотношения и формулы, полученные выше для функции
S/,”(c, z), имеют место и для сплюснутых сфероидальных угло-
вых функций, если в них заменить с на —ic. При этом сохра-
няются и их свойства, в связи с чем нет надобности в отдельном
рассмотрении сплюснутых угловых функций.
§ 3
Радиальные сфероидальные функции
и некоторые их свойства
Радиальными сфероидальными функциями в вытянутых
или сплюснутых сфероидальных координатах называются решения
уравнения (5.1.5) при у — т и X =Хт„(с) или решения уравнения
de
7?=0,
(5.3.1)
получающегося из (5.1.5) при р = т, Z = /.m„(—ic) заменой
в нем g на t'E и с на —ic (при этом предполагается, что лшп(с)
11 ^mn(—tc)—собственные значения параметра ?., для которых
существуют ограниченные на [—1, +1] угловые функции Smn(c, vj
и Smn (— ic, т() соответственно). Как уже отмечалось, вытянутые
-радиальные функции обозначаются через Rml, / =1, 2, 3, 4, где
Rmn, Rmn радиальные функции соответственно первого и второго
рода, a RmnW —их линейные комбинации (5.1.6). Они опре-
деляются таким образом, чтобы при вырождении сфероидальных
координат в сферические функции Rm„(c, g), R^.h (с, Е). Rmn (с, Е)
и Rmn (с, Е) сводились к сферическим бесселевым функциям
182
jn(kr), пп(кг), hn\kr) и h„2\kr) соответственно. Вытянутые сферо-
идальные радиальные функции задаются рядами вида:
(2т 4- г)!
(О—---
г!
Vфт" (с) (2"Ц <21- nm+r (с g),
г!
r O.l
1
R^{4} (C, E)
(2/тг 4- г)!
x r+m-nd™(c) (2m-r[ °’ /t-+22) № (5-3-4>
r O,1
построенными таким образом, чтобы при сЕ-*оо из них полу-
чались асимптотические представления
(с, Е)-----> — cos (eg----— (п 4- 1) гс V
с£-*оо СЕ \ 2 /
R{nm(c, Е)-----> — sinfcE-----— (n4-l)rcV (5.3.5)
с Сс \ 2 }
Заменяя в (5.3. 2) —(5.3.4) Е на tE, и с на —ic, получим ряды,
определяющие сплюснутые сфероидальные радиальные функции
F&(—ic, 11), / = 1, 2, 3, 4 соответственно.
183
Ряд (5.3.2) абсолютно и равномерно сходится в любом конеч-
ном промежутке изменения с£, причем его сходимость улучша-
ется с уменьшением сЕ. Ряд (5.3.3) сходится очень медленно или
даже совсем не сходится при малых значениях сЕ- Ряды (5.3.4)
для радиальных функций третьего и четвертого рода также мало-
пригодны при малых значениях с£.
Из сравнения уравнений (5.1.4) и (5.1.5) видно, что они яв-
ляются уравнениями одного и того же вида, в силу чего между
угловыми и радиальными сфероидальными функциями существует
связь, выражающаяся в их пропорциональности друг другу (р = т,
= 7,„„). Так, угловые и радиальные функции первого рода
в вытянутых сфероидальных координатах связаны между собой
соотношением пропорциональности
Smn (с, z) = (с) R^n (с, z), (5.3.6)
где коэффициент пропорциональности определяется выражениями:
СО
(2m -JL 1) (п + т) 1 V' d'™ (С)-(2^
г!
С (С) =----------------------——---------------------,
2п*тd'on(с)стт ! () I ( п. +.т I
\ 2 / 1 2 }
(п — т) четное, (5.3.7)
(2m + 3) (n + m + 1)! V'd"’" (с)
г!
С (О = -----------------------;----—-----------------------
(с)с“*‘т I 1 ) . 1,
\ 2 I \ 2 Г
(и — т) нечетное (5.3.8)
(предполагается, что при переходе из области | z) > 1 в область
I z | < 1 в выражении присоединенных функций и в формуле
(5.3.2) множитель (z2—1)'" 2 заменяется множителем (1—2~)т''2
и наоборот). Для сплюснутых функций
S,nn(— ic, iz) =- km}n(—ic) Rml(—ic, iz), (5.3.9)
где
im (2m + 1) (n + m)! V d”,n (— ic)
‘-J r [
k'lnn (— ic) = -------------------
2n+m dp ”(— ic) cm m !
(n—tri) четное, (5.3.10)
-о______________
n — m \ / n-j-mV
~2 Г I 2~f
184
kmn ( -
,-m+t (2rn -|_ 3) fn _|_ m 4. 1) I V1 d'r'n (—t'c) '
f 1
____________________________r=l________________
„ ,rm . . (n — m— 1 •, . / л 4- /n + 1 \
2n+zn di (— ic) c™4"1 m 1 I------I! I--------------j !
(n— m) нечетное. (5.3.11)
Угловые и радиальные функции второго рода связаны между со-
бой соотношением пропорциональности
S™ (с, z) = /г™ (с) R^n (с, z), (5.3.12)
в котором
(2гл) ! / п~~-т-(JL±Tk \ I „(с)
^(с) = -------------А---?----I---\---I-----L------- х
(2m — 1) т ! (п 4- т) ! ст~‘
X X1 cf"1" (с) . r)_L t Qn — четное, (5.3.13) 'J
r !
z=O
&™(c) =
vn \ * / tT- ПТ 1
2n-m I I-----------------------
n + fn 4- 1
2
! cC."m4i (c)
(2/n — 3) (2tn — -f- m 4- 1)! cm~2
X 'V' d'rn{c) ^rri-'- — - , (n—m) нечетное. (5.3.14)
r!
r=l
В сплюснутых сфероидальных координатах
S^n(— ic, i z) = k^n(— ic) — ic, iz), (5.3.15)
где коэффициенты определяются, как и в формулах (5.3.13), (5.3.14),
после замены с на —ic.
На основании (5.2.1 1) из (5.3.12) находим, что
00
R^n{c, = —J------------( 2' ^Г(с)С+г(^) +
kmn(c) L=—2т, -2»i4-l
+ S' d^r(c)P^,n^)\,
r=2t»+2, 2m+l J
(5.3.16)
185
и аналогично в случае сплюснутых координат
Rmn(—ic, tg) =
1
k^n(—ic)
ГнШ(«’Э +
CO
+ X СГЛ-МРД,«-!<»£)
r=2m+2, 2ш+1
(5.3.17)
Ряд (5.3.16) хорошо сходится для не слишком больших значений
с и для значений g, близких к единице (g^l). Ряд (5.3.17)
хорошо сходится при небольших значениях с и для значений g,
близких к нулю (g^-G). Эти качества рядов (5.3.16), (5.3.17)
делают их удобными для вычисления радиальных функций второ-
го рода в случае небольших значений eg, когда ряды (5.3.3) —
(5.3.4) и получающиеся из них ряды для <4)(—ic, ig) стано-
вятся практически непригодными для такой цели.
Из (5.3.6) и (5.3.16) вытекает, что вытянутые радиальные
сфероидальные функции первого рода не имеют особенности в точ-
ках g = + 1, в то время как радиальные функции второго рода
в этих точках имеют логарифмическую особенность.
Определитель Вронского для вытянутых радиальных функций
равен:
W И; 7?^] =---------±------, (5.3.18)
с(£2~ 1)
W [Rmn', Rmn (4) ] = ~1 ч , (5.3.19)
c(g2 — 1)
а для сплюснутых радиальных функций
№ , (5.3.20)
c(s + И
IV [Я<!>, 7?^' (” ] =--. (5.3.21)
c(g2+l)
Частными значениями радиальных сфероидальных функций яв-
ляются:
186
Ron (с, 1) =
2" ( iYdg" (c)
---------------------, n четное,
n!
(5.3.22)
(!L±-1) I (c)
-----------------:, n нечетное,
3(«+ 1)!
Ron '(c, 1) =
2n-i ('2L Л dO"(c) 2' r(r-b 1) ^(c)
\ 2 /r=c
n'X <T(C)
r—0
п четное, (5.3.23)
2„-ic(!lZzJb (Ц-1 ) I dF(c) V' r(r+ l)^n(C)
\ Z / \ Z I r=O
3 (n + О! У d°rn (c)
r^=0
п нечетное,
lim (g2 — I)1-'2 A-/?<’> (C, g) =
2"с(^)!
----------;:----------------, (n—1) четное,
3(n-b 1)!
(5
2 c I I! I ] ! (b
-----—----------------------, (гв.— 1) нечетное,
5(пЧ-2)!
187
lim(E,a— 1Г"/2 R">n (с Л) -
si
2»^(-11
(2m + 1) (n + m)!
2«cm+i (n-m-1 Xj n + m+ 1 j ,
(2m + 3) (n 4- m + 1)!
, (n—m) четное,
(5.3.25)
, (n—m) нечетное,
Rmn (С, £)---> OO ,
£)-----
Л->1
Rmlk—ic, 10) =
t"~m 2m m! cm don (—ic)
v°V (2m-\-r)\
(2m + 1) d’r (- ic)--------------
r-0,1
o,
Rmn (— ic, iO) =
o,
2m m! cm+1 d"m(—ic)
“ . (2m + r)!
(2m + 3) dr (- ic)---------------
r=0,l
(5.3.26)
(n — m) четное,
(5.3.27)
(n — m) нечетное,
(n — m) четное,
(5.3.28)
(n — m) нечетное,
R%(~ic, t0) =
jn-m (2/rz — 1) m! cm 1 л
“ , (2m + r) !
22"-'«+1(2m)!d™2m(—ic) dT(- ic) --------------
r=0
2
, (n — m) четное,
(5.3.29)
188
iO)= —
1_________
cR{mn {— ic, Ю)
(2,„ + 3) £ <(-*>
__________*•=!_______________'
2mrn !cm4-* 2d?n(—ic)
OO
• = <Г"(—ic)Q”’+40) +
v r== — 2M14-1
+ ~S ^e?r (— ic) Pr~rn—i (0) ] , (n — tri) нечетное, (5.3.30)
r=2m+l
Rmn ( R, l0) — ([)
cRmn ( ic, tO)
“ , (2m 4- r)!
i«-m (2 m + 1) d™ (C> r!
_____________r=O_____________________
2"' m!c"’+1do" (— ic)
00
= [t-'"-1 k^(-ic)]-> | 5/ d™ (~ic)Q'hr (0)4-
r —2m
4- d'™r ( — ic) P'r~ m-i (0)J , (n — m) четное, (5.3.31)
r=2m+2
Rmr (—IC, tO) =
________t”-m~1 (2m ~‘ri)(2tn — \)m\ cm~2 л___x
22n-m+iJ d™m-+i (— ic) V' dT(—ic)
“J r!
(5.3.32)
______(n 4- m + 1) !_
n — m — 1 \ f /n4-m4-l
2 ) ’ \ 2
(n — m) нечетное.
189
§ 4
Разложение плоской и сферической волн
по сфероидальным волновым функциям.
Интегральные представления
сфероидальных волновых функций
Разлагая функцию Грина (2.5.3) уравнения Гельмгольца
(2.5.2) по вытянутым сфероидальным волновым функциям (5.1.7),
(5.1.8), таким же путем, как и в предыдущих случаях, получим,
что
ikR
9__Л
.. /7 Smn (с, т()Smn (с, То) cos т(<р — <р0) х
Nmn{c)
R^(c, ®R^(c, Ео),
Rmn(c> t0)R™(C, Е),
Во
в.
(5.4.1)
Во>
где 60,„ — символ Кронекера. Если принять во внимание сказан-
ное в § 2 данной главы относительно угловых функций с целыми
отрицательными значениями индекса т, то разложение (5.4.1)
может быть записано в форме
eikR
R
2ik
п—0 т——п
$тп(С’ 4о)
(с)
Sm„(C, ъ)е1т<^^
R^|n(C, 1)^<т|„(С, Ео),
^[т|л(б Во) щ | п (С, Е),
Во>В>
(5.4.2)
1о<Х
Формулы разложения сферической волны (2.5.1) по сплюснутым
сфероидальным волновым функциям получаются из (5.4.1), (5.4.2)
заменой в них £ на i £ и с на — ic.
Удаляя источник на бесконечность и применяя асимптотиче-
скую формулу для функций Rmn (с, Ео) (5.3.5), из (5.4.1) обыч-
ным образом находится разложение плоской волны (2.3.1) по
вытянутым сфероидальным волновым функциям:
9___х
_ 9 V V ------------2^- \-
' (5.4.3)
X Smn(c, T0)Sm„(c, Т])7?(„‘«(с, Е) cos m (<р — фо). По = cos60,
ISO
где в сфероидальных координатах
(nRWlwfc + (1 — т$1/2 (1
= г cos у,
cos у = cos 6 cos e0 + sin 6 sin 0o cos (<p — tp0).
Формула (5.4.3) может быть записана в виде
— #)l/2(^2— l)1/2cos(<p— ф0)] =
(5.4.4)
(5.4.5)
^ife(nR) _ g V1 (С~> Ло)
т*—Nnm
Х8пп(с, П)₽РД|П(С, Е)^”^
Заменой в (5.4.3), (5.4.5) £ на t'S, и с на —ic получаются раз-
ложения плоской волны по сплюснутым сфероидальным волновым
функциям.
Умножив обе части разложения (5.4.3) на
spq (с^ Чо) sin <Р®) d Че d Ч>0
и проинтегрировав их по т]0 от —1 до 1 и по ф0 от 0 до 2я,
найдем интегральное представление вытянутых сфероидальных
волновых функций (5.1.7)
^’(с, g)^,„„(c, ^^(mcp) =
4л J
о
или, заменив т]0
e‘*(nR) Sm„ (с, т4о) s°n (ап qpo) йПо^ фо,
(5.4.6)
2л
t-" e
на cos0o,
Ял«(с, fe)Sm,. (с, !)) “„(m<p) =
еЩп1° cos cos j
4л J J
о о
Если исходить из разложения (5.4.5), то
Д^|ге(с, g)S^(C, п)^ =
2 л
Г“«
(5.4.7)
4л
a
eik{nR)Smn(c,
(5.4.8)
191
или
2z n
= ^~~ ( I e!/£<nR)Sm,t(c, cose0)e'"4>"sinOede0d(p0. (5.4.9)
4л J ,)
о о
Для сфероидальных волновых функций (5.1.8) формулы инте-
грального представления имеют вид:
Rmn(C> £)Smn(C, 1]) sfn
2л 1
i п С f ifc(nR) о / \ COS . . j
= —— I I е Smn(^4o)sin (тфо)^т1о^Фо,
2л J J
О /со
(5.4.10)
^|Л(сЛ)«ия(^|)^ =
2Л 1
= 221 (’
2л J J
О /со
R™(c, g)Sm„(c, Т]) s°n(znq>) =
2 л /со
= ~~— Г ( е111^ Smn(c, По) s“ (mtp0)dr]0d(p0,
2л J J
о — 1
(5.4. U)
C,„(C, l)Smn(c, =
2л /со
= -^~ f ff^J^-d^d^.
О —1
Заменив в (5.4.6) — (5.4.11) g Haig и с на —ic, получаем фор-
мулы интегрального представления сплюснутых сфероидальных
волновых функций (в (5.4.10), (5.4.11) gn > 1, g === 1, 0<н < 1;
если —1 Л < 0 нужно i/e(nR) заменить на —i/e(nR)).
Пользуясь формулами интегрального представления волновых
функций, можно установить ряд полезных в приложениях соот-
ношений между сферическими и сфероидальными функциями.
В частности, имеют место соотношения:
ОО
smn (С, п) R^n (С, £) = 2' d'r (с) P™+r (cos 6) /„1+, (kr), (5.4.12)
г=ОД
192
p,7(cos e) (kr) = —-—. !
2лг+1 (n — m)\
S' il—n d™Lm (c)
]V ,(c) Sml(c’ 1]) Rml (&, £),
l=mr m+1 ml v
P™ (cos e) = +
2n 1 (n —tn) !
00 r J \
San~m (c)
ЛГт/(«) Sml(C’ 'fl>’ I
l=m, m+1 >
(5.4.13)
(5.4.14)
4(*P) = 2 £ r— A^£Lsmn(C, n> /?<!> (C, g). (5.4.15)
~ A/m„(c)
Кроме того, из них можно получить интегральные представления
для радиальных сфероидальных функций. В частности,
R^(C, £> =
1
{т—п р
(с> 0) J Jm [с (1 - № (^ - I)1'2] Smn(c, riidti,
п —1
_ (п — т) четное, (5.4.16)
1
—л+1 /-> Е Г*
Q(v — n. n2)M2Q2 — i)1Z2] s„2„(c, n)^n.
2Sm„(c, 0) J
—1
(n — m) нечетное,
im—ri
RS,(С, E) =--------------------------------(E3 -1)"'2 x
У’ <r + 2"->!
r^O.l Г1
Л
2 ~l°°
x у e^cose“ Smn(c, cos 6o) (sin e0)m+1de0, (5.4.17)
0
-m—n^rn
R!%+, q ------------——c-------------------iff - i)'"'2 x
У (r + 2m>!
S3. E. А. Иванов
193
л
X J eZc6cose" smn (c, cos 60) (sin e0)m+1de0. (5.4.18)
Аналогичного рода формулы для сплюснутых сфероидальных
функций получаются заменой в (5.4.12) — (5.4.18) g на ig и с
на — ic.
§ 5
Теоремы сложения
для сфероидальных волновых функций
Зададим две пространственные прямоугольные декар-
товы системы координат (л^, уъ Zj) и (х2, у2, z2) с параллельными
и одинаково направленными соответствующими осями Oyz,-, 0,-z//,
OjXj (j = 1, 2) и связанные с ними формулами преобразования
xi = fi [(Й — 1) (1 — п/) ]1/2 cos Ф/,
У1 = Л fe2- О (1 - Л?) ]1/2 sinqpy, (5.5.1)
z/ = Л Е/П/
системы локальных сфероидальных координат (£,, тр, Фу). В каж-
дой из локальных систем координат заданы системы сфероидаль-
ных волновых функций
Rmn (с}-, у Smn т]7) (tn <pz) (5.5.2)
И
cos
R% <4> (Сй U (С/, л,) sin (m Ф/) (5.5.3)
(n = 0, 1, 2,..., j = 1, 2). Найдем формулы, позво-
ляющие записать каждую из волновых функций (5.5.2) или (5.5.3),
отнесенную к /-й системе координат, через волновые функции,
записанные в s-й системе координат (/ = 1 или / = 2; s = 1, 2 и
j=£s). Для этого введем в рассмотрение плоскую волну (2.3.1),
записав ее в /-й локальной системе координат в виде
= effe(nr/s) gife(nrs) (5.5.4)
(г,- = r/s rs, рис. 19), где вектор п, определяющий направление
распространения фронта волны, образует с осью 0,-Z; угол а,
а его проекция на плоскость OjXjyj образует с положительным
направлением оси О,х, угол р. Поэтому в (5.5.4)
(nr,-) = г, cos а 4- Xj sin а cos р + у, sin а sin р, (5.5.5)
194
где декартовые координаты связаны со сфероидальными форму-
лами (5.5.1). В локальных сферических координатах г;-, 6Z, ф,-
(nrz) = rjcos 6,- cosa -ф sin 9, sin a cos (<py- — £)]. (5.5.6)
На основании (5.4.3) правую часть (5.5.4) можно записать в виде
разложения по сфероидальным волновым функциям
eik{nV = 2 У У i" —х
•<—J N (с)
И—О гтгО "тп Vvs/
X Smn(cs,cosa)Sm„(cs, T]s)/?^(c5, □cosm((Ps —P)elft(nr/S\ (5.5.7)
Рис. 19. К теореме сложения для сфероидальных
волновых функций
После умножения обеих частей (5.5.7) на
% (с/. cos a) Xi (Р £) sin a d a d р
и их интегрирования по р от О до 2л;, а по а вдоль одного из
контуров q, с3, (q — контур с концами в точках 0 и л; с3—
контур с. концами в точках U и —----------1 оо; с4 — контур с концами
в точках ~------i оо и л) получим при помощи формул (5.4.7),
(5.4.10), (5.4.11), (5.2.2), (3.6.11), (3.6.14), (3.4.12), (3.4.13) ис-
13* 195
комые формулы — теоремы сложения для вытянутых сфероидаль-
ных волновых функций. Они могут быть записаны в виде
<3’- <4)(С,, ^(С,; Т]у) Х8 (РФ/) =
СО п
— S {^mnpj *' ( Xch cs; I, 6/s) sjn [(p -j- m)q>/s — mtpj +
n=0 m=0
b Q^<3)'<4) (Cj, cs; 1,6/s) s°n f (P — m) ф/s T mtfsli X
X^(cs, £s)Smn(cs, t(s), (5.5.8)
где
co co
t(^I * (3)- (4) * * * В = 2 ~^0m S' S' dr (C/) dTn (cs) X
^mn (Cs) r--0,l /=0,1
x 2 ? a>+m’m’r+P'P} z^’ <3)’ <4) (&) ^+m(cos6/s), (5.5.9)
o= I/•+₽— t— ml
co co
«3)'(4) = ^^-^ S' S'^^dr^X
r+p+H-m
x 2
®= I r+p— t—m |
I b<t+m' m- r+p- P)Z^' (3)- W(kl) X
X P?~p(coseis). (5.5.10)
Здесь через I = r;-s, 6js, q>/s обозначены сферические координаты
точки Os — Начала s-й локальной системы координат—в j-й си-
стеме (/ — расстояние между О* и Os; I = rjs — rs/), через z, (kl)
обозначена одна из сферических бесселевых функций: z^ (kl) =
= fa (kl), z<3> (kl) — hji}(kl), z\4} (kl) = (kl). Величины
o(Z+m, m, r+p, pl и m- r+P. P) определяются так же, как и в
(3.4.14), (3.4.15).
В случае волновых сфероидальных функций, содержащих ра-
диальную функцию R{pg (Cj, gy) в левой части (5.5.8), формула
(5.5.8) остается справедливой при значениях Sys:+gs. В случае,
если волновая функция в левой части (5.5.8) содержит радиаль-
ную функцию (Cj, gy) или R{pQ} (с,, ЕД формулой (5.5.8) мож-
но пользоваться лишь при условии, что I > fs Es (обоснова-
ние замены порядка суммирования и интегрирования при выводе
этих формул требует, чтобы еще и Z > fi £,is | t]js | > fa + fa).
196
При Z<fs^s теоремы сложения для вытянутых сфероидаль-.
ных волновых функций принимают вид
< W(ct, ^)Sp9(Q,J/)s^(pq>/) =
n=0 m—0
pqmn Rm+p\ n (Cs> Bs^m+p. n
x sin + m)q>s — tn <p/s] + QP4mnR{pl-,^}n(cs, gs)Sp_m.„(cs, rjs) X
sin [(P —+ »
(5.5.11)
где
OO
T = in~ч У i
1pqmn 1 L
a—tn
2-6om
Nmo (cj)
X Apqmo (Cj, Cs) RmcfCj, (cj<
(5.5.12)
Ct
Qp^ = in-4 S »°
a=m
2 Sotn x
(cj)
X Bpqmc (Cj, Cs) Rmz (Cj, 5ys) Sm(T (Cj,
Формула (5.5.11) получается по прежней схеме после представ-
ления плоской волны в виде (5.5.4) и разложения по сфероидаль-
ным волновым функциям множителя elk{mis}. При этом в качестве
вспомогательных используются формулы
^ir.n (с1> n) Bpq (с25 Tj) — 2 -^P9mn (с2> cl) ^m+p,а (с1> т1)> (5.5.13)
а=т+р
СО
$тп (СП Гр (С2, Т]) = Врдтп(С%, С,) 5р__т> о (С1? Т]), (5.5.14)
о=р— т
получающиеся на основании (5.2.2), (3.4.12), (3.4.13), (5.4.14).
Здесь
со со
Асрдпт= X 2' ^(с2)^"(С1)Х
г=0,1 /=^0.1
X C-tp (с,)^^'^"1’"1’-- ^ (5.5.15)
/= 1 r+p^t—m | Np+m, о (Cj)
197
в^п= X 2^w^^x
г=ОД f=0,1
£ (q) b^p- p-t+m' m^NP~'-’±-
j= I r^p—i—tn I ^p—m. c (pl)
a
N = 2 (n + m)!
mn (2n + l)(n —tn) !
(5.5.16)
(5.5.17)
При вырождении сфероидальных вытянутых координат в сфе-
рические формулы (5.5.11), (5.5.8) переходят в формулы (3.7.20),
записанные соответственно для случая r/s > rs и rjs < rs.
При вырождении j-й системы сфероидальных координат в сфе-
рическую (/ = 1 или / = 2) из (5.5.8) и (5.5.11) получаются теоре-
мы сложения, дающие разложение сферических волновых функций
по сфероидальным волновым функциям, записанным в s-й системе
координат (s = 2 или s = 1). Наоборот, при вырождении s-й си-
стемы координат в сферическую из формул (5.5.8), (5.5.11) полу-
чаются разложения сфероидальных вытянутых волновых функций
по сферическим волновым функциям, записанных в s-й системе
координат.
Когда оси OjZj обеих локальных систем координат совпадают
(координатные сфероиды систем соосны), в формулах (5-5.8),
(5.5.11) 6/g = -|- 1 или 6/8 = — 1 и = ф8. В результате в (5.5.8)
будет Ттпрд^' <4) = 0, если р = т=^0, и формула (5.5.8) запи-
шется в виде
(4)(^. U-Sp9(Cy,v,) =
- 2 <2р‘от<3)’ <4,(су, С-1, e/s) R™ (cs, и Spn (cs, ns). (5.5.18)
n=P
Если, кроме того, и р = т = 0 (волновые функции не зависят
от азимутального угла ср), то
TOnOq
и теорема (5.5.8) запишется в виде
R&-(3)’ т(Рр П/) =
сю
= 2 2<2о«о/3)’ W(ch cs; I, 6is)R<0;>(cs, £8)Se„(c8, t]s). (5.5.19)
n=0
198
В аналогичных случаях из (5.5.11) получатся формулы
С’ (4)(С/, ^-)Spg(C/,n/) =
= 2 2 <4,(cs> UWs. ЛЛ (5-5.20)
С’ (4>(с/. g/)5op(cp n/) =
= 2 V Q040n R$- (4)(cs, U$o„(cg, V (5.5.21)
n=0
Если при выводе теорем сложения для вытянутых сферо-
идальных волновых функций (5.5.2), (5.5.3) взять вместо (5.4.3)
разложение плоской волны в форме (5.4.5) и соответствующие
формулы интегрального представления сфероидальных и сфериче-
ских волновых функций, то теоремы сложения можно записать
в виде
g/)-Spg(q, 4j)^ =
= 2 2 ^mnpq {Сj,Cs\l, Qjs) Smn (Cg, T]g) X
n=0 m= —n
xCmfe (5.5.22)
где
OO co
<&'”• **’ = тглл S' S' W ‘Г’Ы >
Mnn(Cs)r=0J .“j
r+P-H+m
X i" ba^P' p' x
o= I z+p—m I
x z^’ (3)’<4) (W) Ppc~m(ejs)eliP~m^ . (5.5.23)
В случае, когда координатные сфероиды соосные (р = т =/- 0,
Ф/ = Ф8), отсюда получается формула
ЯТр/Г’ (4)(с;, g;)Sp9(Q, ^-) =
СО
= 2 Q&(3)’ <4)(о- с4; I, е?-8) USpn(cs, m), (5.5.24)
rt=p
а при наличии осевой симметрии (р = т = 0)
R^'(3)- (4>(с/, ё,-)Ч(^ ^) =
ОО
= 2 <А(3)’ (4,(^ с,- I, е;.) R^ (cs, ls)Sen(cs,rls). (5.5.25)
п~0
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ГЛАВА 6
ДИФРАКЦИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
НА КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРАХ
§ 1
Дифракция плоской волны на одном цилиндре
л
Пусть в неограниченном однородном и изотропном
пространстве с электрической и магнитной проницаемостями е, р.
а / <_2 ®2 \ «г
и проводимостью о = 0 I /г — ---- не I содержится бесконечно
\ с2 /
длинный круговой цилиндр с проницаемостями е2, (т2 и проводи-
мостью о2 [kl = (ы2ц282 + 1'4лсоц2о2)/с2)',' занимающий в цилиндри-
ческой системе координат р, ф, z область пространства р-<а
(ось Oz системы направлена вдоль оси цилиндра), и пусть на ци-
линдр падает плоская электромагнитная волна (1.3.4), распрост-
раняющаяся в направлении единичного вектора и (п | пл. <р = О
и образует угол 6 с осью z) и поляризованная так, что вектор
электрической напряженности Е° волны направлен под углом а
к плоскости ф = О (рис. 20). Ставится задача по определению
вторичных полей вне и внутри цилиндра, возникающих при па-
дении плоской волны на цилиндр. Как обычно, строгое решение
ее сводится к решению однородной системы уравнений Максвелла
(1.1.4) (р = О, J<CT> = 0) при заданных граничных условиях вида
(1.1.5) или (1.1.6) (в зависимости от значения ст2) на поверхности
цилиндра (р = а) и условии излучения на бесконечности для со-
ставляющих векторов электромагнитных полей. Б цилиндрической
системе координат первичное поле Е°, Н° падающей волны допу-
скает представление в виде наложения полей электрического (ТМ)
и магнитного (ТЕ) типов. Поэтому при решении задачи можно
рассматривать порознь два случая поляризации поля падающей
волны относительно плоскости <р = 0, когда вектор Е° |,' пл. ф = О,
вектор Н° || пл. ф = 0.
Решение общей задачи, отвечающей случаю пр о изволыю поля-
ризованного поля Е°, Н° падающей волны, можно п олучить затем
2 00
в виде линейной комбинации решений, найденных для случаев ТМ
и ТЕ-поляризаций падающей волны.
Пусть, например, поле волны (1.3.4) является полем только
одного из типов. Тогда можно показать, что в случае нормаль-
ного падения плоской волны (1.3.4) на цилиндр с сг2=^сю(() =
— л/2), а также и в случае наклонного падения ее на идеально
проводящий цилиндр (и2=оо), вторичные поля как вне, так
и внутри цилиндра (если о2^= оо) будут полями того же типа, что
Рис. 20. Возбуждение кругового цилиндра
плоской волной
и поле падающей волны. Однако в общем случае наклонного
падения плоской волны на цилиндр с конечной проводимостью
(о2 #= со) невозможно удовлетворить граничным условиям (1.1.5)
на поверхности цилиндра, если искать вторичные поля как поля
того же типа, что и поле падающей волны. В этом случае вто-
ричные поля следует искать в виде суперпозиции полей обоих
типов, несмотря на то что поле падающей волны является полем
только одного типа. Поэтому если ввести вспомогательные ска-
лярные потенциальные функции и, V, связанные с векторами
поля равенствами (1.6.16), (1.6.18), то в зависимости от харак-
тера поляризации поля падающей волны (1.3.4), направления
распространения ее (угла 0) и электромагнитных свойств цилиндра
задача по определению векторов вторичных полей будет сводиться
201
в математической постановке к задаче по отысканию решений и,
v скалярного уравнения Гельмгольца, удовлетворяющих одному
из граничных условии (1.7.1)—(1.7.4) на поверхности цилиндра
и дополнительному условию излучения на бесконечности, нало-
женному на функции и\ v1, определяющие вторичное поле вне
цилиндра. Для решения задачи нужно знать явный вид потен-
циальных функций и°, v°, отвечающих полю падающей волны.
Если наклонно падающая на цилиндр плоская волна (1.3.4)
является волной типа ТМ, то составляющая H°z вектора Н° равна
нулю, а составляющая вдоль оси г вектора Е° равна в цилинд-
рических координатах выражению
= Е sin 6 > (6.1. 1)
и тогда из (1.6.16) найдем, что = 0, а
___ Е ^ikzcosQ—fXpcostp
~ kl
(6.1.2)
где I = &sin6.
Если наклонно падающая на цилиндр волна (1.3.4) является
волной типа ТЕ, то равна нулю составляющая вектора Е°,
а в цилиндрических координатах составляющая вдоль оси z век-
тора Н° равна выражению
Н°г = Е sin 6 > (6.! .3)
и из (1.6.18) находим, что и° = 0, а
^д Е gifecosS—fZpcoscp
~ kl
(6.1.4)
На основании (2.3.8) функции (6.1.2), (6.1.4) могут быть пред-
ставлены в виде разложений по цилиндрическим волновым функ-
циям:
kl jkzcose (—i)nJn(lp)ein^ (6.1.5)
для поля типа ТМ и
уО =_А_ kl CO . gZfccose iyi Jn (J^p) eln<f fl=—-co (6.1.6)
для поля типа ТЕ.
202
Так как цилиндр бесконечно длинный, то зависимость пол-
ного поля от пространственной координаты z должна быть пери-
одической и выражаться множителем ехр(—ikz cos 6). Поэтому
потенциальные функции и>, v1' (j == 1, 2) вторичных полей в об-
щем случае наклонного падения волны (1.3.4) и <т2^ 00 в обла-
сти вне цилиндра следует искать в виде разложения по волно-
вым функциям (2.1.7) с постоянной h = k cos 6:
со
i? = eifocose аРнР (Ар) е1"®,
П=—оо
(6.1.7)
оо
и1 = eifecose у Ь^Н(п} (Ар)е/П(о,
П—— со
а в области внутри цилиндра — в виде разложения по волновым
функциям (2.1.6) с тем же значением h = zcos6:
GO
ц2 = gffezcose у a™Jn (Asp) е1пч>,
п——со
(6.1.8)
р2 _ g/fezcose у b%}Jn (AsP)^,
где Аг = kl — /г2 cos2 6.
Коэффициенты разложений typ (j = 1,2) подлежат опре-
делению из граничных условий. Их определением, а через них
и потенциальных функций и>, v> и заканчивается в общем стро-
гое решение задачи. Выражения для составляющих векторов Е,
Н искомых полей могут быть найдены через и, v из (1.6.16),
(1.6.18).
Такова в принципе схема строгого решения задачи дифракции
наклонно падающей плоской волны типа ТМ или типа ТЕ на
бесконечно длинном круговом цилиндре. Эта задача относится
к числу простейших задач теории дифракции, решаемых класси-
ческим методом.
Идеально проводящий цилиндр. Поле внутри
идеально проводящего цилиндра равно нулю и задача сводится
к определению вторичного поля Е1, Н1, рассеянного на цилиндре.
Пусть, например, поле падающей волны—поле типа ТМ. Тогда
а0, V1-2 == О, и2 = 0. Функция w1 ищется е виде ряда (6.1.7). На
поверхности цилиндра при р = а она в сумме с функцией и°
203
должна удовлетворять граничному условию (1.7.3). На основа-
нии (6-1.5) и (6.1.7) из (1.7.3) находим
Е ,i}n
kl Hlnl}(la)’
(6.1.9)
так что
и1 = - ~ ^kzcasG У (- О" Hl1’ (Хр) е^. (6.1.10)
Выражения для составляющих вторичного поля Е1, Н1 находятся
из равенств (1.6.16). Для полного поля
С/ X'l
и = ----- gifecose \ (_ ,)П х
kl
П—--ОО
* дпгтА (6.1.11)
( Hit (la) J
Зная выражения составляющих вектора Н магнитной напряжен-
ности полного поля на поверхности цилиндра, можно установить
закон распределения плотности поверхностных токов j, возбуж-
денных на поверхности цилиндра полем падающей волны. Так,
из (1.1.7) находим, что в цилиндрических координатах j = {О,
О, /2}, где /г = — - Htj (р = а). Определив H<t через (6.1.11) из
4л
(1.6.16) и использовав значение определителя Вронского для бес-
селевых функций (2.2.52), получим
£ceife2coSe лу у, (—i)ne'"<p
> - к 7 1 (6ЛЛ2)
П =—СО
Заметим здесь, что если бы закон распределения тока на поверх-
ности цилиндра был известен заранее, то тогда решение соответ-
ствующей задачи дифракции можно было бы найти более про-
стым способом, например через электродинамический векторный
потенциал А (§ 2, гл. 1), связанный с поверхностными токами
соотношением
(8)
gikR
~R
ds.
(6.1.13)
204
Однако в большинстве случаев истинное распределение тока на
поверхности тела может быть найдено лишь в результате строгого
решения задачи (например, так, как это было сделано выше для
цилиндра). Знание закономерностей в распределении токов на
поверхности тела, установленных на основе строгого решения
задачи, позволяет использовать их затем для приближенного ре-
шения дифракционных задач.
В волновой зоне, для которой при 6=^=0 A’psinO-^-oo на
основании асимптотической формулы (2.2.24) для первой функции
Ханкеля функция и1 будет приближенно равна
и1 =------etkz^ / 2 £' (to- т) у
ЙХ |/ лХр А
Х S (~1)П е‘"Ф- (6.1.14)
Л-п (АЛ)
Л——со
В случае нормального падения волны (1.3.4), когда 6 = л/2,
поля не зависят от пространственной координаты г, в силу чего
в рассматриваемом приближении из (1.6.16) последует
Ер = Еф = Яр = = О, (6.1.15)
gffep
т Л(<р)’ (61Л6)
где через Д(<р) обозначена амплитудная функция рассеянного
поля в волновой зоне, определяемая формулой
А”»—Е \ х '
* S eW- (в117)
{MU')
п=—00
На основании определения поперечного сечения обратного рас-
сеяния (в данном случае радиолокационного поперечного сечения
рассеяния) (1.4.11) и формул (6.1.16), (6.1.17) найдем, что в слу-
чае поля типа ТМ и 0 = л/2
4
<rR = —
в k
£ (-1)"
П——со
AIM.
Я<° (to)
(6.1.18)
2
205
или
4
Or = ---
В k
I"
л=0
Jn(ka)
И{" (ka)
(6.1.19)
где е0 = 1, еп = 2, если n > 1.
Исходя из общего определения
(§ 4, гл. 1), отнесенного к единице
оказывается равной
полного сечения рассеяния
длины цилиндра, величина os
Jn(ka)
Н™ (ka)
(6.1.20)
os
2
или
Л,(М
n=0
Е" Н<" (ka) •
(6.1.21)
типа ТЕ, бу-
В случае, когда падающая волна является волной типа ТЕ, бу-
дет и°-,’2э0, 1^ = 0, а потенциал г1 ищется в виде ряда (6.1.7).
На поверхности цилиндра (р = а) функция и1 в сумме с
должна удовлетворять граничному условию (1.7.4). На основании
(6.1.6), (6.1.7) из (1.7.4) находим, что1
Ь' = - ~ (-iY ,
k/- н{" (Ха)
(6.1.22)
и тогда
г.'1 = —
Е
k-k
4^. HP Me».
tin (ЛО)
(6.1.23)
Потенциал полного поля будет равен
р
-- ----- g/.kzCOS0 X*/
А? X
Jn(ka) (1)
H^'(Ka) "
(Xp)|ein4>. (6.1.24)
1 Штрих у функций Бесселя всюду означает дифференцирование по аргументу.
206
Выражения для составляющих векторов Е, Н находятся из
(1.6.18). Мз (1-1.7) находим, что в цилиндрических координатах
j = {0, /<₽, /г}, где /<₽ = — Hz, Н® (Р = «; Нч»
4л 4л
Нг — компоненты вектора Н полного поля). Определив Н9, Нг
через (6.1.24), из (1.6.18) на основании (2.2.52) получим:
; _ ciEk gflfezcos0 * 2jr2fta оо v-ч etn^ IEj Я(1)'(Ха) ’ H n IA U) n~—oo (6.1.25)
= _ tcEcose gZfecose 2л2а2Х2 °° У (—i)"«—71V • H™ (la) n—— 00 (6.1.26)
Таким образом, в отличие от случая волны типа ТМ падающая
волна типа ТЕ возбуждает на поверхности цилиндра при 0¥л/2
ток, у которого вообще-то отличны от нуля как аксиальная /г,
так и азимутальная составляющие вектора плотности поверх-
ностного тока j. Однако рассеянное поле здесь создается только
азимутальной составляющей (и1 = 0).
В волновой зоне, для которой при 6 0 ftp sin 6-* оо, при-
ближенно
£e,tec°se /2 i (ьр- 4) у
.— ___________ 1 / —- е х 4 х
ft 7 у зтАр
X У (— 1)" — ein*. (6.1.27)
V 7 Яп° (la)
п——О©
В случае нормального падения плоской волны, когда 6 = л/2,
из (1.6.18) следует, что в рассматриваемом приближении в вол-
новой зоие
Е*=^==^ = ^ =0,
а __
Hlz = 1 /— 4 = Л* (ф)> (6.1-28)
у в Ур
где А* (<р) — амплитудная функция
рассеянного поля типа ТЕ,
определяемая выражением
Л»)-£|/,4 “ S'-D"
г П~— ОО
J"(kaL~ е^. (6.1.29)
Н™ (ka)
207
При этом для сечений рассеяния получаются формулы:
Ов=± у м-D' - 2 (6.1.30)
в k Hl" (ka)
4 D V j'n(ka)
(6.1.31)
n=0 V ’
£0 — 1, sn = 2, n 1.
Как видно, строгие выражения для составляющих векторов Е, Н
полей типов ТМ и ТЕ, получаемые из (1.6.16) и (1.6.18), а так-
же выражения составляющих плотностей поверхностных токов
и сечений рассеяния имеют форму бесконечных рядов. При по-
мощи асимптотических относительно индекса п формул (2.2.26)—
(2.2.28) для бесселевых функций нетрудно установить абсолют-
ную и равномерную сходимость всех встречающихся при этом
рядов в каждой точке пространства вне цилиндра и на его по-
верхности (/гиб фиксированы). Однако следует заметить, что
при численных расчетах быстрота сходимости рядов существен-
ным образом зависит (для каждого 0) от величины параметра Ха.
Ряды сходятся достаточно быстро, если Ха сравнительно неве-
лико (если радиус цилиндра а не превосходит существенно длины
волны Хо), а с возрастанием Ха сходимость рядов заметно ухуд-
шается, и при больших X а ряды становятся малопригодными для
численного счета, так как в этом случае число членов ряда,
которые нужно учитывать при численном счете, имеет тот же
порядок величины, что и Ха.
При больших значениях X а пользуются приближенными ме-
тодами счета рядов путем преобразования их к асимптотическим
выражениям.
Можно указать на два подхода к получению асимптотических
выражений. Первый из них основан на идеях Ватсона и назы-
вается обычно преобразованием (методом) Ватсона. Преобразо-
вание Ватсона состоит в том, что исследуемый дифракционный
ряд, дающий решение задачи, преобразуется в контурный инте-
грал по комплексному переменному (в комплексной плоскости
индекса), который после деформирования пути интегрирования
вычисляется с помощью теории вычетов, т. е. представляется
в виде суммы вычетов в полюсах подынтегрального выражения.
Например, применяя метод Ватсона к ряду
СО
s = V aneinv>,
П=— 00
208
получим после преобразования его в контурный интеграл
i р eiv(q>—л)
— I -------------------- av d -v,
[2 J sin лт
(c)
(6.1.32)
где контур интегрирования (с) на комплексной ^-плоскости охва-
тывает вещественную ось так, как это показано на рис. 21
Рис. 21. К преобразованию Ватсона:
с — контур интегрирования в формуле (6.1.32);
Ci и с2 — деформированные контуры
(в предположении, что av не имеет полюсов на вещественной
оси). В случае, когда av является четной функцией индекса v,
из (6.1.3 2) найдем
S = i
cos V (ф — л) ,
—-——-----—- avdv,
sin лт
(о)
где в качестве контура интегрирования взята прямая, параллель-
ная вещественной оси и расположенная в верхней полуплоскости.
Деформируя контур (сг) в петлю (с2) (рис. 21), охватывающую
полюсы функции ач и применяя к интегралу по контуру (с2)
теорему о вычетах, получим представление ряда S в виде суммы
по вычетам, удобной для счета при больших к а ^в задачах диф-
ракции на цилиндрах простыми полюсами функции av являются
14. Е. А. Иванов 209
О
корни уравнения fi//v} (Z,a) = О, лежащие в первом квадранте
v-плоскости; Q = 1 либо Q = —-—
д (к а)
Метод Ватсона, первоначально примененный им в задаче
о поле диполя, расположенного над поверхностью однородной
сферы [143], был затем применен к задаче о дифракции плоской
волны на круговом цилиндре [125, 144]. Здесь в качестве исход-
ных рядов, подлежащих суммированию при больших значениях
е = Z. а, берутся ряды
00
V = £ (- 0" { (Лр) - Я’1’ (*Р)} (6.1.33)
со V
(6.1.34)
£2=1 для поля типа ТМ и £2 = -------- для поля типа ТЕ j ,
V )
которые отличаются от рядов (6.1.11), (6.1.24), (6.1.12), (6.1.25)
лишь множителями.
Преобразование Ватсона, примененное к ряду (6.1.33), состав-
ленному по незатухающим волновым функциям (Ар)е‘"«), при-
водит его к эквивалентному ряду
v = „V| м?й| х
. I ~ OHl'VlL,
д v
, \ ~fctvs
X ---ср) я(1)(Хр)е 2 (6.1.35)
sin nA’s
по затухающим волновым функциям (Ар) e‘Vs4). Здесь vs —
корни уравнения £2 (е) = 0, приближенные значения которых
могут быть найдены по формулам (2.2.41), (2.2.42). На основа-
нии асимптотических формул §2, гл. 2 при Ap>vs(Ap—
^>(Аа)1/3) из (6.1.35), являющегося точным выражением функ-
ции V, получается ее асимптотическое выражение
iKVp*—а2+гл/12 р
V ~ ]Л2А(р2 —а2)1/4 ' 1 — e2:UVs Х
210
X
--"I
2 J
Г ЗЛ ail
I'Ve | —--w—arccos —• I
+ e 2 pJJ, (6.1.36)
где в случае ноля типа ТМ приближенно
3-6,/3(А' (gs)}
а для поля типа ТЕ приближенно
дЗ/2
61/3<иЛ(<78)}я
(6.1.37)
(6.1.38)
(в (6.1.37) gs— корни уравнения A(gs) = О, а в (6.1.38) qs—-
корни уравнения A' (gs) = 0; А (д) — функция Эйри).
Так как корни v6 имеют положительную мнимую часть, уве-
личивающуюся с ростом номера s, то каждая из волн вычетов
(ползущие волны [48, 126, 127[) в (6. 1.36) быстро затухает
с ростом s, в силу чего ряд (6.1.36) быстро сходится, если только
( а п \ I Зл а )
величины а ср — arc cos-----— , al----------ср — arc cos-- ,
Р 2 / V 2 р /
входящие в фазовые множители в (6.1.36), остаются положи-
тельными. Последнее всегда имеет место в области геометриче-
ской тени, когда л/2 < ср < Зл/2. Сходимость будет хорошей при
ks»l и значении ср, не слишком близком к л/2 и Зл/2. Не-
трудно заметить, что выражение (6.1.36) становится непригод-
ным для численных расчетов поля в волновой зоне области гео-
метрической тени, когда р > со.
Асимптотические выражения функции V, пригодные для чис-
ленного счета в освещенной области в случае большого е,
получаются на основе некоторой модификации метода Батсона
[ 125] и имеют в волновой зоне вид (р -> оо)
V=V1 + V2, (6.1.39)
где асимптотически
«(>₽+yd
v _ е1/з _£______V_________2?____х
/2^ 1—Х
(6.1.40)
14'
211
a
\/ —i7.pcos<p —
I 2 ' i
a <p ik
VC°S~2~ e
p—2acos— j
(6.1.41)
Ряд (6.1.40) быстро сходится с возрастанием номера s, так как
« / Зл а \
в освещенной области выражения а ----- -ф <р — arc cos -
„ V 2 Р '
! Зл а \
а--------Ф— arc cos— .входящие в фазовые множители в
\ 2 Р
(6-1.40), остаются положительными. Для функции J, определяе-
мой рядом (6.1.34), получаются на основе преобразования Ват-
сона асимптотические выражения: в области геометрической тер и
(|ф — л| < л/2)
2 tn
ле3 е 6
2
ле
И
(6.1.42)
а в освещенной области (|<р|<л/2)
{ле cos 0
—ле i
—Zecoscp
(6.1.43)
где верхняя строчка берется в случае поля типа ТМ, а нижняя—
в случае поля типа ТЕ. Здесь
л 61/3
3 A'(qs)’
Я(9,)= 0,
для поля типа ТМ и
Ds =------------,
М (</s)
(6.1.44)
(6.1.45)
для поля типа ТЕ.
212
^'(?s) = 0,
- В окрестности геометрической тени (ф Зл/2, ф л/2) пред-
ставления (6.1.42), (6.1.43) становятся непригодными для числен-
ного счета, так как в этой области (так называемая «зона полу-
тени») показатель одной из экспонент в каждой из слагаемых
сумм л>5(ф— л/2) или vs(3n/2 —ф), обеспечивающий сходи-
мость ряда, стремится к нулю. Обычно в зоне полутени для
получения асимптотических приближений пользуются другими
методами.
Для первых пяти членов рядов (6.1.36), (6.1.40), (6.1.42)
и (6.1.43) численные значения Cs и Ds даны в табл. 3(48].
Таблица 3
Численные значения Cs и Ds
S cs (ТМ) Cs (ТЕ) Ds (ТМ) Ds (ТЕ)
1 0,91072 1,53187 -1,79678 1,83243
2 0,69427 0,78520 1,56880 —0,73473
3 0,59820 0,64199 — 1,45621 0,54538
4 0,53974 0,56719 1,38324 —0,45333
5 0,49897 0,51840 —1,32996 0,39627
Для сечения обратного рассеяния в, случае нормального па-
дения плоской волны, когда 0 = л/2, имеем асимптотические
выражения
ав= ла
1—2(е)~1/6 х
Csexp ( 2е — ^л -{- —
! __
для поля типа ТМ и
о’в = ла I 1 + 2е—1/6 X
{/ л ]
i 2е — v л)--------I
\ 8 12 j 2
X 2-1 1 _ e2niVS
S *
(6.1.46)
(6.1.47)
для поля типа ТЕ.
Асимптотические выражения для рядов (6.1.11), (6.1.24),
(6.1.12) и (6.1.25) получаются из (6.1.36), (6.1.40), (6.1.42)
213
и (6.1.43) добавлением к ним соответствующих множителей. Ряды
(6.1.11), (6.1.24) относятся к полным дифракционным полям.
Чтобы получить асимптотические представления для поля, рас-
сеянного на цилиндре, следует из асимптотических выражений
функций и, v вычесть функции и0 и о0 соответственно.
В основу другого подхода к получению асимптотических вы-
ражений для полей и токов положены идеи Фока (49]. Преобра-
зование исследуемого ряда здесь состоит в том, что сначала ряд
также преобразуется в контурный интеграл по комплексному
переменному, из которого затем, после его анализа вдоль неде-
формированного пути интегрирования, выделяется главный член
и дается оценка остатка (при этом способ выделения главного
члена не предрешается). В применении к задаче дифракции пло-
ской электромагнитной волны на круговом цилиндре он изложен
в [75] (см. также [52]). Здесь в качестве исходных рядов, подле-
жащих исследованию, взяты ряды
V= У е„(-0" Я‘п(Хр)со8пФ, (6.1.48)
~ QH‘’(E)
COSH ф
QHi”(«) ’
(6.1.49)
где Q имеет прежний смысл. Ряды (6.1.48), (6.1.49) отличаются
от рядов
В случае
ражение
(6.1.10), (6.1.23) и (6.1.12), (6.1.25) лишь множителями,
поля типа ТМ для J получается асимптотическое вы-
i ле
2М
f (Ья-|1) +
f (^2пф2)
(6.1.50)
4п -]- 3
ЗТ
2
fe2ri-}-2
= М I----—--- л + ф j, 0<ф<л, а через f (Н) обозначена функ-
ция Фока
е‘У
------dt,
f(B) =
(6.1.51)
214
допускающая при £ > 0 разложение в ряд вычетов
Дё) = 2]ЛПУ —---------- (6-1-52)
Й wi (is)
(ts есть s-й корень уравнения 1щ(/) = 0; wy(t)—функция Фока-
Эйри, контур Г изображен на рис. 22). Функция /(£), входя-
Рис. 22. Контур интегрирования в
формуле (6.1.51)
представление (6.1.50), монотонно убывает по абсолют-
возрастании g. При больших g удобно поль-
щая в
ной величине при
зеваться функцией
которая при +
(6.1.53)
□о имеет асимптотические представления
F(g) = 2ig, g->-oo,
F (£) = 0, g — 4- оо .
главную роль играют члены с отрицательными
О <р л
члена.
Поэтому в (6.1.50)
и малыми положительными аргументами. В области
основной вклад в решение (6.1.50) вносят первые два
Для случая ТЕ-поляризации имеем
I
= --- ЛЕ
2
1е
л-0
00 . Мп—1 , \
- 1 2“ л+ф )
+ Ъе
п—0
где через g (|) обозначена функция Фока
4----- dt,
(Г)
(6.1.54)
(6.1.55)
(6.1.56)
g (I2M-1) +
Г
215
допускающая при £>0 разложение в ряд вычетов
g (£) = 2 V л i У - (6.1.57)
tswx(ts)
(ts — корни уравнения (t) = 0). При больших g удобно поль-
зоваться функцией G(£), введенной соотношениями
G(£) = ^s/3g(fc),
G(g) = 2, £-> — оо, (6.1-58)
G(g) = O, £-4-со.
Функции £'(£) монотонно убывают по абсолютной величине с воз-
растанием при £-> ± оо имеют место представления (6.1.58).
Поэтому в ряде (6.1.55) главную роль играют члены с отрица-
тельными и малыми положительными аргументами. В области
0<ф<л основной вклад в решение (6.1.55) вносят лишь пер-
вые два члена.
Функции f(g), g(g) изучены в (50, 169, 170].
Вблизи ф — л/2 и для ф л/2 приближенно:
г ле
™= liM
-гЕ(ф-4р)
е 2
, (6.1.59)
Г ie [ Зя _ | -1
Ле = у Tie / ' 2 §(Ы +е-адС(Й , (6.1.60)
где = — М cos ф < 0. Асимптотическое представление функции
V в случае поля типа ТМ имеет вид
z>aP
V = Л43 2 —е(ф, е), (6.1.61)
V Ар
где через а(ф, е) обозначена так называемая комплексная диа-
грамма направленности. Для всех ф, кроме небольшой области,
где М (л — ф) < 0,2,
е(ф, е)= |/ е1£(я / (Л1 (л ф)) 4-
-i2esin(-5--?-) А / I ~ гп V 1
'2 2 F -2/Msin (у----------------2~/J ’ (6Л’62)
216
В области, где Л4(л—<р)>0,2,
1'3 л
. . 2е 4 sine (л -— го)
е (<р, е) =--—
у ле л — <р
+ 1/2 рп~^(М(л-ср)) +
Здесь
+ е_1Е<я_ч”Н—7И(л—<р))] . (6.1.63)
f (ё) = -//- f eiV dt =
У л J Wr (/)
г
где
е-
1Л
“12
on
е 4
ТТТГе
+ Fa).
(6.1.64)
e-<(V3+i) V(f)
о
гэт
е4
ша(/)
л.
При больших отрицательных
вима в виде
о
аргументах функция
/а>
предсга-
/0) =
(6.1.65)
е*
В случае поля типа ТЕ имеем
V = М3'2 h((f, е),
у
(6.1.66)
где комплексная диаграмма направленности hyp, е) определяется
в области, в которой М(л — <р)>0,2, выражением
z 2
'(ф. »)= р дг
G I — 2Л1 sin
(5 -
(6.1.67)
217
. ( зг <р \
^-<2esin (— - —)
а в области, где М(л—ф)>0,2, в виде
, . 2е‘зя/4 sin e (n — <p)
Л(<р, e) =-—--------------
|/ ЛЕ Л-----ф
+
+е-'-ем^(Л1(ф_я))].
|е^>£(М(л-Ф))
(6.1.68)
Здесь
7Л/4
i(B) = -4т=
eilt v'r (О
dt =
(t)
e-an/i
2₽лТ
+ g®,
(6.1.69)
где
in
e~^
g(E) = -77-
—^3+0 V (0
e ---
dt +
w2(t)
о
eWi
У л
J е'1г
0
ay, (t)
(6.1.70)
В (6.1.62) и (6.1.67) положено
#(g)=^’/12f(g), G(g) = ^3/12g(fc).
(6.1.71)
Функции f(g) и g(£) исследованы в [168]. Графики функций
/(£), g(£), /(£) и g(£) в интервалах, требуемых для численных
расчетов, приведены на рис. 23, 24, взятых из [75].
При больших отрицательных аргументах функция g(£) пред-
ставима в виде
g (£) = - —2 --- e-lV/12 . (6.1.72)
Как отмечается в [75], сравнение результатов, полученных по
формулам строгой теории и по приближенным, показывает, что
уже при б > 5 получается удовлетворительное согласие, быстро
улучшающееся с возрастанием е.
Таким образом, имеем
in
2е (ф, е) ле е 4
X 6" »(П1)(/\ cos п (я — Ч>) - (6-1-73)
п=0 " Ё
218
in оо
2h (ср, e) ]/ле e 4 = e„ (— 1)"
n=0
ТДе)
Я<п'(е)
СОЗНф
(6.1.74)
(функции е(ф, e), Я(<р, e) симметричны относительно <p в силу
симметрии задачи). Соотношения (6.1.73), (6.1.74) позволяют без
труда записать соответствующие асимптотические выражения для
величин сечений рассеяния.
Рис. 23. Функции /~(6) (1 —
Refc),3-Imf©) и_е(§)
(2— Reg (5), 4—Img(g))
Рис. 24. Функции /(£) (1—1g 1/(6)14-10, 2— arc/(?)), g (g)
(5-lglg(g)l+10. 4 —arcg(E))n F(g) (;-Ref(;), 2-
Im F (£)) , 0(6) (3 - Re G (£), 4 - Em G (£))
Цилиндр с конечной проводимостью. В случае
цилиндра с конечной проводимостью (о2^ оо) дифракционная
задача состоит в определении вторичного поля Е1, Н1, рассеянного
на цилиндре, и вторичного поля Е2, Н2, возбужденного падаю-
щей волной внутри цилиндра.
Если, например, поле наклонно падающей волны является
полем типа ТМ, то тогда для него у° = 0, потенциал tz° пред-
219
ставляется в виде (6.1.5), а потенциалы п1-2, п1-2 вторичных по-
лей ищутся в виде рядов (6.1.7) и (6.1.8), коэффициенты которых
должны быть найдены из граничных условий (1.7.2) (при нор-
мальном падении плоской волны будут v1 -2 = О, а коэффициенты
разложений потенциалов и1-2 находятся из граничных условий
(1.7.1)). Их вычисление приводит к выражениям
/Еа^ Jn(v) + a^(v)\ (6.1.75)
\ ku ) irJn (и)
М2> = М') (6.1.76)
U jn («)
где
„<D Eaink [ Jn (d) ,
v | H«\v) +
' (v) _ KJn(u) ’
, vH{nl\v) uJn(u)
nv2HnY2(v)Dn
2t
+ —
(I, = Ean cos 6 in 1 1____1_1 2
ko[iv _ u2 J л ^Hn}2(y)Dn
~ Wfy)
vH{n} (v)
Dn = n2 cos2 6
1
V2
— k2
KJ'n(u) ~
uJn(u)
7V24(U)1
vH^{v) W„(u)j’
№ = (k^k)2, К = щ/р, v — ка, и — к2а,
k—ksir\G, к2 = ^2 — /г2 cos2 6.
Определением коэффициентов a„2, bln'2 полностью решается за-
дача. Составляющие электромагнитного поля вне и внутри ци-
линдра находятся из равенств (1.6.15), записанных в цилиндри-
ческой системе координат.
Выражения (6.1.77) для коэффициентов а„п, Ь„ \ имеющие до-
вольно громоздкий вид, могут быть в некоторых случаях в зна-
чительной мере упрощены. Например, при нормальном падении
плоской волны, когда 6 = л/2, имеем ЬУ} = = 0, а
Jn{kd) + ctfH'i" {ka}, (6.1.78)
/ («2П)
220
где теперь
/ j'njka} _Jn(kgojNy
\ Jn(ka) Jn(k&)K] Jn(ka)
X J'nMN\ ' H"\ka)
\ H^(ka) Jn(k2a)K /
(6.1.79)
(N — k2/k, К = Ц2/р). В волновой зоне (6 = л/2)
z/£p
Я* = -=- Д(<р),
I е |/ р
где амплитудная функция
(6.1.80)
(6.1.81)
Для сечений рассеяния получаются выражения:
4 <т„ = в ЕЧг <Х) У 1па0) И—— СС 2 , (6.1.82)
4 s Pk со (6.1.83)
п=—СО
Ряд других случаев (наряду с 0 = л/2), приводящих к упроще-
нию выражений коэффициентов рядов, рассмотрен в [52], где по-
добная задача решена для диэлектрического цилиндра.
В случае, когда наклонно падающая на цилиндр волна явля-
ется волной типа ТЕ, задача решается аналогичным образом. Раз-
ница будет состоять лишь в том, что теперь и = u(l), a v = t>°T
+ v(U; u° s 0, d° =j= 0.
Точно так же можно решить и задачу о дифракции плоской
электромагнитной волны типа ТМ или типа ТЕ на составном
цилиндре (цилиндре с инородным покрытием, рис. 25), если
искать потенциалы вторичных полей в области 11 в виде рядов
по линейным комбинациям волновых функций (2.1.6) и (2.1.7),
а в области 111—-в виде рядов по волновым функциям (2.1.6)
с соответствующим выбором параметра k. При наклонном паде-
нии плоской волны коэффициенты рядов должны находиться из
221
граничных условий вида (1.7.2), заданных на цилиндрических
поверхностях р = а и р — Ь. В случае нормального падения
плоской волны вторичные поля следует искать в виде полей,
поляризация которых совпадает с поляризацией поля падающей
волны. При этом коэффициенты рядов могут быть найдены из
граничных условий вида (1.7.1), заданных при р = а и р = Ь.
Решение этой задачи приводится в [153] (для падающей волны
Рис. 25. Составной цилиндр (плоскость
г = const)
типа ТМ). Задача о дифракции наклонно падающей плоской
волны типа ТМ на составном цилиндре рассмотрена в [128], где
найдены выражения для коэффициентов рядов.
§ 2
Поле продольного дипольного излучателя
в присутствии идеально проводящего
кругового цилиндра
Пусть в неограниченном однородном и изотропном
пространстве с электрической и магнитной проницаемостями е,
ц и проводимостью о = 0 (k = со/с У ре) содержится бесконечно
длинный идеально проводящий круговой цилиндр, поверхность
которого в цилиндрических координатах задается уравнением р=а
(ось Oz системы координат направлена вдоль оси цилиндра),
и пусть в точке р°, <р°, z° вне цилиндра находится элементар-
ный колебательный диполь, дипольный момент которого ориен-
тирован параллельно образующим цилиндра в положительном
направлении оси Oz (рис. 26, а). Ставится задача об определе-
нии дифрагированного поля, обусловленного наличием в прост-
ранстве цилиндра [52]. При этом можно различать два случая:
случай электрического диполя и случай магнитного диполя
222
с моментами р и m соответственно. Очевидно, что в каждом из
случаев составляющие векторов Е°, Н° поля диполя в свободном
пространстве могут быть выражены в зависимости от случая че-
рез составляющие векторов р, ш из формул (1.2.13), (1.2.17)
при помощи формул (1.3.9), (1.3.10), связывающих векторы Герца
П°> П°* с р, m соответственно. Из сравнения (1.2.13), (1.2.17)
26. Возбуждение кругового цилиндра продольным диполем (а) и обоб-
щение задачи на случай продольной щели (6)
с (1.6.16), (1.6.18) нетрудно заметить, что для поля электриче-
ского диполя в свободном пространстве на основании (2.5.9)
и° = 0, а
ад
и» = П° = р =
— /Р еМ(<р—q>")
п=--СО
Jn (ир)Н^ (up0),
h (up),
р<р°
р>р°
dh,
(6.2.1)
а в случае магнитного диполя и° = 0, а
и” = пГ = т
eikH
~R~
™ у С ( Jn (и р) Н„1 (и р°)>
2 1 ljn(vp»)H^(vp),
р<р0 1 g£h(z-z») dh,
Р > Р° J
(6.2.2)
223
так как р — { 0, 0, р}, m = { О, О, т }. Из (1.2.13), (1.2.17)
и (1.3.9), (1.3.10) следует также, что первичное поле диполя
является полем только одной из поляризаций — либо типа ТМ
в случае электрического диполя, либо типа ТЕ в случае маг-
нитного диполя. При этом оказывается, что граничные условия
на поверхности идеально проводящего цилиндра будут вы-
полняться должным образом, если и вторичное поле, рас-
сеянное на цилиндре, искать в виде поля только одного из
ТМ и ТЕ-типов в зависимости от типа поля диполя в свободном
пространстве. В результате задача по определению векторов Е
=Е° + Е1, Н = Н° + Н1 дифрагированного поля сводится к оты-
сканию вспомогательных скалярных потенциальных функций и1
или о1 — решений уравнения Гельмгольца, удовлетворяющих
в сумме с и° или соответственно с и0 граничному условию (1.7.3)
в случае электрического диполя или условию (1.7.4) в случае
магнитного диполя на поверхности цилиндра (р = а) и условию
излучения на бесконечности.
Электрический диполь. Если искать потенциал и1
рассеянного поля в виде ряда по интегралам Фурье типа (2.1.9)
А V f xn(h)H^(vp)eih{z-^dh,
2t
(6.2.3)
то из (1.7.3) и (6.2.1) найдем, что
= датт н"' <”р,)- ” = 12
Нп (ш)
и тогда для полного поля будет
со
и = V е‘Х¥-Ф»>
2
п~—оо
(ш)
Jn (уа)
(ш)
Н1" (ор)
р>р°
H^(vpo), р<р°
e*h(z~z,)d/i. (6.2.4)
^’(ирО)
Выполнить интегрирование в (6.2.4) в общем случае весьма за-
труднительно. Однако в частном случае волновой зоны, когда,
как обычно k р 1 (р -> эо), для интегралов Фурье, входящих
в (6.2.4)
СС
V f (6.2.5)
— 30
224
где fn(h) =Jn(vp°)-----—— Hn (t>p°), на основе метода пе-
Н'п (vd)
ревала получаются асимптотические выражения
ei№
in = (-tyfn(kcose) , (6.2.6)
если предварительно в (6.2.5) вместо функции Ханкеля Н„1) (пр)
взять первый член ее асимптотического разложения (2.2.24).
Здесь 0 — сферическая координата. В результате в волновой зоне
приближенно
eikr
и = р—-— ехр (— ikz° cos 6) М (0, ф) (6.2.7)
(г, 0 — сферические координаты с началом в точке z = 0), где
через М обозначено выражение
оо
44(0, ф) = (—i)" j Jn(/jp°sin0) —
00
Arsine) н<„ е) 1 е,2
Hn (ka sin 0) J
Функция М (0, ф), отвечающая приближению, при котором пре-
небрегается членами, пропорциональными степеням г-2, г-3 и т. д.,
обычно рассматривается как поправочный множитель к характе-
ристике направленности диполя в свободном пространстве.
Из (1.6.16) находим, что в рассматриваемом приближении
в волновой зоне
|/
— /г2 sin 0 и.
(6;2.9)
Так как для диполя с линейным током I (z°) в нем
cl (z°) dz®
р = —г-'— ’
— 4 л кое
то интегрированием (6.2.9) по z® от zx до z2 получим выражения,
обобщающие решение задачи на случай линейной антенны с
электрическим заданным током / (z°):
Ев
k sin0
4i л
15. E. А Иванов
j I (z°) e“'’fe’cosedzoj M (0, ф). (6.2.10)
2l
225
Распространением интегрирования по z° от — со до 4- оо в (6.2.4)
получим на основании (2.5.8) выражение потенциала полного
поля линейного бесконечно длинного источника в присутствии
цилиндра при р>р°
и = —
Hl"(kp<>)\ (kp)ein^ (6.2.11)
“л (A’G) J
(при р<р° нужно поменять местами р и р°). При этом един-
ственная отличная от нуля составляющая электрического поля
Ez = &и (6.2.12)
(формулы (6.2.11), (6.2.12) дают строгое решение задачи о диф-
ракции цилиндрической волны Л/ — Ho’(fep) на идеально
проводящем цилиндре бесконечной длины).
Магнитный диполь. Если искать потенциал v1 рас-
сеянного на цилиндре поля в виде ряда (6.2.3), то из (1.7.4)
и (6.2.2) для коэффициентов разложения получим выражение
хп (h) = H^(vp°),
Н,' (на)
(в (6.2.3) р заменяется т) и тогда для полного поля
//V’fnp) /Л'Чпр0),
/„(ар) —
/„(ар0) —
/„(па)
НпУ(уа)
j'n (па)
Н“у (па)
//„’(пр0) //„’(пр),
eih(z-z«) dh
(6.2.13)
(штрих означает дифференцирование функций по аргументу).
В волновой зоне приближенно
v = т —-— ехр (— ikz° cos 0) М* (0, <р), (6.2.14)
226
где поправочный множитель
М*(6, ср) = У, (—i)n J„(fep°sin6) —
00 L
------Л (to sin 6) s.n 1 (6 2 i5)
H™ (tosine) v J v
Из (1.6.18) находим, что в рассматриваемом приближении в вол-
новой зоне
Еф = — |/ Нв = fc2sin 6 |/ -£- V. (6.2.16)
Так как для диполя с линейным магнитным током /*(z°)
cl * (z°) dz°
m = ------------,
— 4ni cop
то интегрированием (6.2.14) no z° от zr до z2 получим из (6.2.16)
для составляющей поля продольного линейного магнитного тока
в присутствии цилиндра в волновой зоне выражение
~k 2г
Еф = 7* (zo)e-/fe°cosedzoj М*(6, ср). (6.2.17)
Z1
В пределе при р° -> а рассматриваемая задача в электродина-
мическом отношении будет эквивалентна задаче о поле элемен-
тарной продольной излучающей щели, расположенной на поверх-
ности идеально проводящего цилиндра. На основании (2.2.52)
в пределе
71 % Л
ти*(в, <р)= ..—- У (-0”Еп
л to sin 6
пО
cos п (ф —• <р°)
Нп}' (kasin6)
(6.2.18)
и тогда формула (6.2.17) даст обобщение решения задачи на слу-
чай бесконечно узкой продольной щели (см. рис. 26, б), распро-
страняющейся в длину от Zj до z2. Если заменить в (6.2.17)
распределение тока 7*(z°) в щели распределением напряжения
Еф(а, <р°, z°)tocp0, то после интегрирования по <р° от ф! до ф2
в правой части (6.2.17) получим дальнейшее обобщение решения
задачи на случай прямоугольной излучающей щели конечной
ширины а(ф2 — epi) с заданным распределением поля Еф(а, ф°, z°)
в раскрыве щели.
ise
227
Близкое к действительному распределение поля в щели имеет
вид
£ф(п, Фо, г®) = — [(Д/2)з2фо2р/2 (6-2.19)
(А = ф2— ф1). В этом случае (волновая зона)
eikr
= -у- ф-фо), (6.2.20)
где
5(0) — ——S—— Cv(z°)exp(—ifez® cos 0) dz®, (6.2.21)
4л
n=0
M*(a, ф) =
л ka sin 0
(— i)n En cos n ф
H„y (/easin 0)
G„, a = Zea sin 0,
(6.2.22)
G, - —!--7 -С°5П(-Ц,> d
"cos"f _Ly(A)2_^
После замены ф° = —(A/2)cos0 можно записать
Г' 1 ( „i(A/2)ncos6 < q j IГ А
и„ =-------- I е а 0 = Jo --------------------п
л J \ 2
о
(6.2.23)
где Jo (х) — функция Бесселя нулевого порядка, ф° = (ф! -J- ф2)/2,
а V (z°) = Et( (а, ф°, г°)а(ф2— ф!)—напряжение на щели. Оче-
видно, что при п 1 будет J 0~ 1 -
Функция 5(0), входящая в (6.2.20), представляет собой ха-
рактеристику направленности щели, расположенной на бесконеч-
ной проводящей плоскости. Поэтому функцию Л4* (а, ф) можно
рассматривать как поправочный множитель, учитывающий конеч-
ность радиуса кривизны цилиндра.
Графики ]/И*| в зависимости от угла ф для различных зна-
чений параметра а в пределах от 1,5 до 21 имеются в [52], где
решается эта задача.
228
Пусть Zj = — I, a z2 = l. Тогда в случае достаточно узкой
щели распределение напряжения в раскрыве щели почти синусои-
дальное, и его можно записать в виде
sin kl
(6.2.24)
где l/a— напряжение в середине щели. Из (6.2.21) получается
<? /п\ [cos (kl cos 0) — cos kl]
Л (0) =-------------------------------
2л; sin kl sin 0
(6.2.25)
а при 21 = X0/2 (длина щели
равна половине длины волны)
S(0) =
iV0
2л
и тогда вместо (6.2.20) получим
электрического поля Е,{:
(— t)" Е„ COS п (ср — Фо)
Я<П' (X)
cos
sin О
(6.2.26)
выражение для
л
cos — cos 0
____ 2________
sinO
составляющей
(6.2.27)
Коэффициент направленного действия излучающей щели, распо-
ложенной на поверхности цилиндра, может быть найден по фор-
муле (1.4.18), в которой следует положить
4^(6, ф)г2 |ЕФ|2, (6.2.28)
где Е<р определяется формулой (6.2.27). Величина g(0, ф) может
быть найдена численным интегрированием в (1.4.18). Численным
интегрированием могут быть найдены и величины сопротивления
излучения поля диполя в присутствии цилиндра и проводимость
излучения щели на цилиндре, если воспользоваться формулами
(1.4.14) и (1.4.17) соответственно, положив там
2л Л
2 Р = JL J J Ф (0, ф) sin 0 d 0 d ф
о о
(при условии, что в (1.4.14) интегрирование производится по
сфере бесконечно большого радиуса с центром в начале коорди-
нат). Тогда в (1.4.14) составляющая E,t определяется формулой
(6.2.16), а в (1.4.19)— формулой (6.2.27).
229
§ 3
Дифракция плоской волны
на двух цилиндрах
Пусть в неограниченном однородном и изотропном
пространстве с проницаемостями е, ц и проводимостью о = О
содержатся два параллельных бесконечно длинных идеально про-
водящих цилиндра, занимающих в локальных цилиндрических
системах координат ps, <ps, zs, s = ± 1 области пространства
Рис. 27. Дифракция плоской волны на двух круговых цилиндрах
р_г а_1} p+i а+] (оси 0szs систем направлены вдоль соответ-
ствующих осей цилиндров), и пусть на цилиндры падает плоская
волна (1.3.4), распространяющаяся в направлении единичного
вектора п, лежащего в плоскости нормального сечения цилинд-
ров и образующего некоторый угол <р0 с линией центров О_гО+1
сечений цилиндров. В цилиндрических координатах р, <р, z с на-
чалом в точке О, лежащей на линии центров О„уО+1 посередине
между ними (ось Oz || Oszs, ось Ох направлена вдоль линии цент-
ров, рис. 27), волна (1.3.4) может быть записана тогда в виде
Е° = Eelkpco!^~'M (6 _3 1)
(0 = л/2; случай наклонного падения волны может быть рассмот-
рен аналогичным образом). Ставится задача определить вторич-
ное поле Е1, Н1, рассеянное на цилиндрах. Строгое решение этой
задачи состоит, как и в случае одного цилиндра, в отыскании
решения однородной системы уравнений Максвелла (1.1.4) (р = О,
J<CT) = 0) при граничных условиях (1.1.6) на поверхности каж-
230
дого из цилиндров для составляющих полного поля Е, Н и усло-
вии излучения на бесконечности для составляющих рассеянного
поля Е1, Н1. Если вектор Е° поля падающей волны направлен
под некоторым углом к пл. zOy, то решение задачи после пред-
ставления первичного поля в виде наложения частных полей ТМ
и ТЕ-типов можно получить как линейную комбинацию
решений двух независимых задач, соответствующих случаям ТМ
и ТЕ-поляризаций поля падающей волны. При этом рассеянное
на цилиндрах поле Е1, Н1 может быть найдено в зависимости
от характера поляризации первичного поля через потенциальные
функции иУ или v1 из (1.6.16) или (1.6.18) соответственно.
Если падающая волка есть поле типа ТМ, то его потенциа-
лом и0, записанным в цилиндрических координатах р, <р, г, бу-
дет на основании (6.3.1) функция
«о = — (6.3.2)
/г2
(0 = л/2, (nR) = х cos фо 4- V sin ф0). Если же волна (6.3.1)
явится волной типа ТЕ, потенциалом ее поля будет функция
1>о = — (6.3.3)
Так как R = Rs + ROs (см. рис. 27) и (nR) = (nRs) + (nROs), то
очевидно, что функцию (6.3.2) и функцию (6.3.3) на основании
(2.3.8) можно записать в локальных цилиндрических координа-
тах s-ro цилиндра в виде разложений:
«°=------&----- inJn(kps)e‘n^~^ ; (6.3.4)
Г? ik(n Ros) “
--- V «„(fepje^1’. '(6.3.5)
Очевидно также, что в силу неизменности электромагнитных
свойств среды, окружающей цилиндры, и свойств самих цилинд-
ров вдоль оси Oz и независимости волны (6.3.1) от пространст-
венной координаты z полное поле Е, Н не будет зависеть от z.
Поэтому потенциалы и1 и v1 вторичных полей должны быть
решениями двумерного уравнения Гельмгольца, удовлетворяю-
щими в сумме с и6 или соответственно с и0 граничным условиям
(1.7.3) или (1.7.4) в зависимости от типа падающей волны и усло-
виям излучения на бесконечности.
231
Задача полностью решается отысканием функций и1 и ц1.
Если для отыскания и1 применить метод возмущений (§9,
гл. I), то получим
ОО
S &ит’ (6.3.6)
S=±l «1=1
где через sum обозначен потенциал вторичного поля m-го порядка
рассеяния, обусловленный наличием в пространстве s-ro цилиндра.
Потенциал результирующего поля представится выражением
и = и° + и1.
Если искать sum в виде ряда
со
sum = У sAnH{nl} (k ps) ein'h
П——co
(6.3.7)
(6.3.8)
по цилиндрическим волновым функциям, удовлетворяющим усло-
вию излучения на бесконечности, то
и'
H^(kVs)ein^. (6.3.9)
Коэффициенты М™ рядов (6.3.8) (назовем их коэффициентами
рессеяния /n-го порядка) находятся из условия
&ит + — sum~1 = 0, ps=as; s= + 1, (6.3.10)
выполняющегося одновременно на поверхности обоих цилиндров
(тогда и и = 0 при ps = as, s = + 1). Представив потенциал w0
поля падающей волны в виде ряда (6.3.4) и применив теорему
сложения (2.4.5) для цилиндрических волновых функций, из
(6.3.10) получим
Х"
Jn
Н™ (kas)
QO
X '^i~sA,pn-i^P1ln(kl)ei{p-n^, s = ± 1. (6.3.11)
p=—00
Подстановкой (6-3.11) в (6.3.9) находится формальное решение
задачи для потенциала и1.
232
Из (6.3.11) видно, что коэффициенты рассеяния *А™ произ-
вольного порядка выражаются через все предшествующие, и в
конечном итоге они могут быть выражены через коэффициент
рассеяния первого порядка
EJ„(feas)t"
(kas)
^ik(n R„s)—иир“
(6.3.12)
Подобным же образом может быть решена задача и для по-
тенциала v1 при граничных условиях Неймана на поверхности
цилиндров.
При наличии поля внутри s-ro цилиндра его потенциал пред-
ставится суммой
(S (6-313>
п—~ со ’ т—1
если искать потенциал s и£ поля «m-го порядка преломления»
в виде ряда
sn?= (6.3.14)
П——СО
В этом случае коэффициенты SA™ и SB„ находятся из условий
сопряжения на поверхности каждого цилиндра.
Потенциал v2 преломленного поля типа ТЕ внутри s-ro ци-
линдра может быть найден аналогичным образом.
Следует, однако, заметить, что решение задачи взаимодейст-
вия двух дифрагирующих цилиндров, полученное методом воз-
мущений, оказывается малопригодным на практике для числен-
ных расчетов в случае, когда расстояние между цилиндрами
невелико, а их поперечные размеры сравнимы или намного больше
длины волны возбуждения. Как уже’ отмечалось, этот метод
удобен лишь в случае сильно разнесенных тел с поперечными
размерами, намного меньшими длины волны. На него мы указали
здесь, чтобы в дальнейшем при анализе решения задачи, найден-
ного классическим методом разделения переменных, сделать не-
которые выводы, основанные на сравнении результатов.
В применении к задаче взаимодействия двух цилиндров клас-
сический метод разделения переменных позволяет эффективным
образом находить численные результаты для достаточно широкого
диапазона изменения параметров. Этим методом задача решается
по следующей схеме.
233
Поле типа ТМ. Потенциал и1 вторичного поля, рассеян-
ного на цилиндрах, ищется в виде суммы
и1 = У us (6.3.15)
S—г 1
двух слагаемых, каждое из которых представляет собой дифрак-
ционный ряд
us= У xsnH{n1}(kps)ein^, s=±l, (6.3.16)
с коэффициентами х® , подлежащими определению из граничных
условий (1.7.3), которые должны выполняться одновременно на
поверхности каждого из цилиндров. Пользуясь разложением
(6.3.4) и формулой (2.4.5), придем к заключению, что условия
(1.7.3) будут удовлетворены при ps = as, s = + 1, если х„ явятся
решением бесконечной системы линейных уравнений
со
Ъ + = П (6-3.17)
т=—со
(п = 0, +1, ...; s = + 1),
где
„(-s.s) — ")<₽-s,s
Н„} (kas) Ит-п^)е
ср—i. +i = 0, <р+1, -I = л;
(6.3.18)
fS inEJп (fens) ife(n Ros)—in<f„
ln &H<"(kas)
Исходя из поведения бесселевых функций при т-* оо, можно
установить, что коэффициенты a^~s-s) системы не удовлетворяют
условию регулярности бесконечной системы из-за расходимости
ряда у |a<“s-s)| для каждого п. Система (6.3.17) не будет
/П=—ОО
и квазирегулярной, так как она не удовлетворяет условиям ква-
зирегулярности бесконечных систем. Более того, коэффициенты
системы (6.3.17) не удовлетворяют и всем другим известным
признакам разрешимости бесконечных систем (например, не вы-
полняются условия У |a£7ts,s)| < 00 и™ У |a£~^.s)|2 < <х>, каж-
п, т п, т
из которых является признаком разрешимости бесконечной
системы вида (6.3.17) [20]). Поэтому без проведения дополни-
234
тельных исследований к системе (6.3.17) нельзя обоснованно
применить какой-либо из известных способов решения бесконеч-
ных систем.
Для проведения исследования системы (6.3.17) сделаем в ней
замену неизвестных новыми неизвестными , положив
£= Jn(kas)Xsn, s=±l. (6.3.19)
На основании (6.3.19) из (6.3.17) для Х„ получается бесконеч-
ная система линейных уравнений
00
ХА 4- У c^X^s=Fsn
гп——00
(п = 0, + 1, ...; s = ± 1)
с комплексными коэффициентами
(—s.s) __ Jm (ka—s) „(1) ... i(m-n)<p_s ,
HA (fezs)
и с комплексными правыми частями
E\?Is^occ>s(P<) , /
K’S __ L x~ln^ f 1
л n -— t- > *0 — •
k2H™ (kas) 2
(6.3.20)
(6.3.21)
(6.3.22)
Ее определитель Д бесконечного порядка имеет вид (anm=Cn„Il,+'),
а+ — с(+‘. —
Unm — L'nm )
1 «оо 0 «0,-1 0 «о.+ l
«Хею 1 «0,-1 0 «0?+1 0
0 а=1,о 1 а-1-i 0 «— i,+i
а-1,о 0 aii-i 1 aii.+i 0
0 «+1,0 0 «+1,-1 1 «+1.+1
«+1.0 0 a+i.—1 0 „+ a+i,+i 1
д = 0 а—2,о 0 а-2-i 0 «—2,+1
«is.o 0 а^2,-1 0 ais.+i 0
0 «+2,0 0 «+2.-1 0 «+2, 1
«+2,0 0 «+2,-1 0 а+2,+1 0
• • •
- - • •
235
4
0 Ио,—2 0 “0,4-2 • • •
„4- ИО,—2 0 а(\4-2 0
0 И—1,—2 0 “-1,4-2 • • •
ail,-г 0 aii,4-2 0 •••
0 а+1,—2 0 a+i,4-2 • •
“+1.-2 1 0 И—2,—2 4- “4-1.+2 0 0 ••• Я—2,4-2 ’ ' • (6.3.23)
a±2,-2 1 И—2.4-2 0
0 а 4-2,—2 1 а4-2,4-2 • • •
4~ 0-1-2,— 2 0 T а_|_2,-|-2 1 •••
При помощи асимптотических относительно индекса п формул
(2.2.26), (2.2.28) для бесселевых функций, асимптотической фор-
мулы Стирлинга
и! ~ ]/2 л п ппе~п (6.3.24)
и неравенства [28]
Ш'1
г',„ /п г""1 (6.3.25)
1 “г 1J
можно показать, что матричные элементы cimS,s) системы (6.3.20)
удовлетворяют для всех пит неравенствам
lcLs,s)| < constj
(|n| + |m|)l
|n]l [m|!
I a~s \|m| / as \
I I I \ I I
, (6.3.26)
|/^|<const2g|nl,
0< q<2 1
(6.3.27)
(см., например, [85]). Если построить теперь бесконечную си-
стему линейных уравнений, в которой в качестве матричных
элементов (коэффициентов) взяты выражения из правой части
(6.3.26), а в качестве правых частей—выражения из правой
части (6.3.27), то такая система, очевидно, будет являться ма-
жорантной по отношению к системе (6.3.20). Ее матричные
коэффициенты будут удовлетворять (1.9.19), так как
(|п| + |т|)! /а-±у'”1 / as \1"112
|и|! |m|! \ I } \ I /
(6.3.28)
236
если Z>a_i+a+1 (6.3.29)
(условие (6.3.29) означает, что цилиндры не касаются друг друга),
а правые части будут удовлетворять условию (1.9.20), так как
Следовательно, мажорантная к (6.3.20) система уравнений будет
обладать вполне непрерывной формой. На основании (6.3.26)
такой же формой будет обладать и мажорируемая система
(6.3.20). Поэтому к системе (6.3.20) применима альтернатива
Гильберта о разрешимости бесконечных систем: либо система
(6.3.20) имеет единственное определенное решение {Х„}, удов-
летворяющее условию
Со
£ [Хп|2<°о. (6.3.30)
п~—сс
либо имеет решение удовлетворяющее условию (6.3.30),
отличное от нуля, однородная система, отвечающая неоднород-
ной системе (6.3.20). Так как предположение о возможности
существования нетривиального решения у однородной системы
приводит к противоречию с теоремой единственности решения
краевой задачи для потенциала и1, то в рассматриваемом случае
будет иметь место только первая часть альтернативы. При по-
мощи (6.3.26), (6.3.27) можно установить, что система (6.3.20)
является в общем случае квазирегулярной, переходящей при
соответствующем выборе параметра kl (при заданных kass= ± 1)
в регулярную (при kl -> оо все c£~s-s) -* 0, в результате чего
определитель (6.3.23) системы стремится к единице). Единствен-
ное решение системы (6.3.20) может быть найдено методом усе-
чения (редукции). Ограниченность неизвестных по модулю
для всех п, вытекающая из (6.3.30) вместе с (6.3.19), позволяет
легко показать абсолютную и равномерную сходимость рядов
(6.3.16) для всех (pHpt>os, s— ± 1, а также возможность
почленного дифференцирования этих рядов по <р и р нужное
число раз в любой точке рассматриваемой области вне цилинд-
ров1. По своему построению ряды (6.3.15), (6.3.16) удовлетворяют
уравнению Гельмгольца и условию излучения на бесконечности.
Поэтому определением неизвестных Xsn, а через них и по-
тенциала и1 полностью решается математическая задача для и1.
1 На основании (6.3.26), условия | X® | < const для всех п после оценки
по модулю (6.3.22) можно установить из (6.3.20), что фактически |Х®|<
< [os/(Z — а_s)]'"'. Тогда | X® | < со.
П=------------------------СО
237
Введением новых обозначений система (6.3.20) может быть
записана в нормальном виде
СС
zi + aUzi = ьп i=l, 2, ..., (6.3.31)
i=i
если положить
Z|4i—И = x±l, = xtl, Z|4i—1|+1 = X_’, i = 0, 1, • (6.3.32)
Z41+1 Z4(-t-2 — Xi *, 1=1, 2, .. • >
Ьщ— и =/±*. b\4i—114-1 = f— i, i — 0, 1, >
(6.3.33)
^41+1 = ^41+2 = fl *, 1 = 1, 2, - •>
£ „ l.+l) «141—11, 141—11+1 = 1,—/ , «|41—ll+l,|4/—1| —
n A—l.+l) «|4i-l|, 4/+2 = C_i'j , «41+2, |4/—11 — Ct>_/ , (6.3.34)
л . — /-1.+П «41+1, (4/—11+1 — Ci,—j ,
«J4i—1|+1, 4/+1— c—i.j >
«41+1,4/'+2 = Ci,j , л — /+1 «41+2,41+1 — Ci,/ ,
al4i— 1I.4/+1 = 0, a4i+l.|4/—1| = 0, (6.3.35)
«|4i—l|+l,4/+2 = 0, «4i+2,|4/—П+1 = 0,
aii = 0. (6.3.36)
Найдем (формально) главное решение системы (6.3.17), при-
менив к ней метод последовательных приближений с исходными
значениями
xn.o=°> s=±l. (6.3.37)
Получим: x* . = ft = Ei^ka^ eik{n, (6.3.38) пл k2H{nl)(kas) V co vs _ cS (— s.s) —S *nt2 — fn Unm Лт,1 > m=—«a
238
„(—s.s> —s
Unm Am,p~i
%п,р
(6.3.39)
Учитывая (6.3.18) и сравнивая (6.3.38), (6.3.39) с выражениями
(6.3.11), (6.3.12), находим:
vs — s А1
А«,1 -- ,
S М1 I Ч2
Ап,2 = -пп т лп,
Vs — s А1 । SA2 I s Л3
Хп,3 — Т лп ~Г ,
Р
s — V sA'n
Лп,р -- J , пп ,
В предположении, что существует предел lira xsn р = xsn, полу-
р -* 00
чим
т=1
(6.3.40)
Следовательно, формальное применение метода последовательных
приближений к системе (6.3.17) позволяет получать выражения
коэффициентов рассеяния любых порядков (в частности, коэффи-
циентом рассеяния m-го порядка будет m-е слагаемое суммы
(6.3.40)) и тем самым выделять вторичные волны любого порядка
рассеяния. Само решение системы (6.3.17) (коэффициенты рядов
(6.3.16)) представляет собой не что иное, как суммы коэффи-
циентов рассеяния дифракционных рядов для потенциалов вто-
ричных полей всех последовательных порядков рассеяния, обус-
ловленных взаимодействием цилиндров.
Через решение { } системы (6.3.20) потенциал и1 вторич-
ного поля на основании (6.3.19) запишется в виде
со
“1= S 2 XsnJn(kas)H{nl) (kps)etmf*, (6.3.41)
s= ± 1 П=-— СО
а потенциал полного поля —
со
и=Ы0+£ £ XsnJn(kas)H^(kps)ein^, (6.3.42)
S—±1 —со
239
где в координатах с началом в точке О потенциал и° первичного
поля имеет вид (6.3.2), а в локальных координатах s-ro ци-
линдра — (6.3.4).
При помощи теоремы сложения (2.4.5) и формул (6.3.20),
(6.3.42) из (1-1.7) находим, что закон распределения плотности
j поверхностных токов, индуцированных на поверхности s-ro
цилиндра падающей волной и вторичными волнами всех поряд-
ков рассеяния, будет задаваться формулой
(6.3.43)
zntz, “
п—— =□
где /z — единственная отличная от нуля продольная составляю-
щая вектора j.
В волновой зоне, для которой в координатах с началом
в точке О приближенно
ps = р — sZ0 cos <р, срв = ф, ps = p
« p;
l0 = 1/2),
(6.3.44)
после применения асимптотической формулы (2.2.24) для первой
функции Ханкеля приближенно
Л 2 4 ) V4 е—tsW.COSQ) х
V л. kp
ОО
X £ (-0"хи„(Ч)^ф,
П——30
(6.3.45)
и из (1.6.16) найдем, что в рассматриваемом приближении
= Н* = H'z = О,
£! = -Vt = 7-
I е |/ р
(6.3.46)
где амплитудная функция Л (ср) определяется выражением
g * 4 !sft/ecos<p х
s=± 1
со
X у;
(6.3.47)
п——оо
а
Л 2
240
Из (1.4.11) и (6.3.46), (6.3.47), (6.3.1) найдем, что погонное
сечение обратного рассеяния (радиолокационное поперечное се-
чение рассеяния) для двух идеально проводящих параллельных
бесконечно длинных круговых цилиндров будет
4/?3
Е2
уЧ e»sAZ0costp0
s=±l
(6.3.48)
2
а из (6.3.46), (6.3.47), что полное поперечное сечение рассеяния
для двух параллельных круговых цилиндров
°, = Re IЕ S |Х" w+
Х S=± 1 «=='—00
П--—со k——-00
+ S S (6.3.49)
Чтобы получить численные результаты при помощи выведен-
ных выше формул, нужно прежде всего вычислить значения
коэффициентов разложения потенциала и1 в ряды (6.3.15).
Приближенные значения нескольких первых коэффициентов Xsn
могут быть найдены с наперед заданной точностью вычисления
путем сопоставления последовательных решений конечных си-
стем, получаемых из (6.3.20) усечением для разных возрастаю-
щих значений N — порядка усечения системы (6.3.20). Система
N-ю порядка усечения имеет вид
m=—N
N
у—! . Y4 (+1,—1)у+1 _ Г-1
Т / , лт —гп ,
m=—М
(6.3.50)
п =* 0, 4- 1, ..., + N,
16. Е. А. Иванов
241
или
на основании (6.3.31)
4.V-J-2
2< 4- a4Zi = Ь{’
/=1
где i = l, 2, ..., 47V 4- 2, a N принимает одно из значений
Q, 1, ... и где zz, alh bt задаются формулами (6.3.32)—(6.3.36).
В качестве исходного значения N при отыскании приближенных
значений коэффициентов Х„ с нужной степенью точности можно
брать N — [2ka], где, как обычно, скобки обозначают целую
часть числа ka(a = maxtzs), так как практически ряды, входящие
s=±l
в (6.3.45), сходятся с той же быстротой, что и ряд (6.1.10),
определяющий потенциал вторичного поля, рассеянного на одном
цилиндре.
Как уже отмечалось, в случае, когда kl достаточно велико,
значениями матричных элементов в (6.3.50) можно пре-
небречь, и тогда приближенно будет Х„ = Fsn (в этом случае
амплитуды вторичных волн всех порядков рассеяния, начиная со
второго, и амплитуды их суммы малы по сравнению с амплиту-
дой вторичных волн первого порядка рассеяния). Система (6.3.50)
является системой 47V ф 2 уравнений с 4N ф 2 неизвестными
Х„ 1 и Х^1. Исключением из (6.3.50) Х^1 или Х^1 можно вме-
сто системы (6.3.50) решать две независимые системы
Л'
Х*ф £ ~cnhXsk^rn, s= + 1, (6.3.51)
ft=-,V
каждая из которых содержит 2N ф- 1 уравнений с 2N ф 1 не-
известными Хф1 или только Х+'. Здесь
N
m=—N
Однако переход к системам (6.3.51) приводит к усложнению вы-
ражений для коэффициентов системы. В частном случае двух
цилиндров равных радиусов можно избежать усложнения коэф-
фициентов системы и вместо системы (6.3.50) решать две неза-
242
висимые системы вида (6.3.51) с теми же коэффициентами, что
и в (6.3.50), если учесть, что при а_г = а+1
спт = cC.-b+D = (_ (б.3.53)
(<р_i,+i ~ 0, ф4_],_1=л, ka_t = ka+1 = ka). На основании (6.3.53)
система (6.3.50) запишется в виде
,v 1
2 cnmX^=F+l,
tn=—N
N
(-^ХГЧ Cnm(-irx+1 = (-l)'’F71,
m=—N
(6.3.54)
n = 0, +1, ..., + N.
Сложив почленно оба равенства в (6.3.54), найдем
гп + S cnmzm = fn, (6.3.55)
m=—N
где обозначено
2п==х+]+(-!)" XT1, fn=F+l + (-VfF~'. (6.3.56)
После почленного вычитания из первого равенства второго най-
дем
с„т(-1Гит=<рп, (6.3.57)
m——N
где
ип = х+1 - (-1ГХ71, <Р„ = F+1 - (-1ГЛ71.
Тем самым для вычисления и ХГ* нужно сначала решить
системы (6.3.55), (6.3.57), каждая из которых является системой
(2N 4- 1)-го порядка, после чего применить формулы
Х+1 = Ь-+ Хп1 = Zn~—п (—1)п . (6.3.58)
2 2
Когда q)0 = л/2 (направление распространения волны нормально
к линии центров сечения цилиндров плоскостью Оху) и ka_Y =
16*
243
= ka+l = ka, можно заметить, например из (6.3.51) и соотно-
шений (6.3.53) и
^т = ^>, (6.3.59)
что
=(—1)"XZS„, n = 0, ± 1, ...; s=±l, (6.3.60)
XL„ = (—1)"X7S, n = 0, - 1, ...; s=xl. (6.3.61)
В силу равномерной сходимости рядов (6.3.41), определяющих
потенциал рассеянного на цилиндрах поля, и сходимости метода
редукции, применяемого к системе (6.3.20), приближенные зна-
чения коэффициентов этих рядов вычисляются с нужной степенью
точности после конечного числа операций. Поэтому в каждом
конкретном случае (для каждого kas и kl) в (6.3.41) и в (6.3.20)
предполагается фактически конечность значений индексов пит
(п, т — 0, +1, ..., ± N). На основе такого предположения
представляется возможность получить аналитические выражения
для приближенного решения системы (6.3.20), имеющие «замк-
нутый» вид, при условии, что цилиндры находятся на большом
расстоянии I друг от друга, когда kl >> 1 (длина волны намного
меньше /). Для этого применим к системе (6.3.20) (формально)
метод итераций, положив в качестве нулевого приближения
со
Х:.о = 0, s= ± 1. Тогда Х*г1 = П , Х*,2 = П- V х
п'=—со
X и т. д. Выражение для р + 1-го приближения полу-
чится в виде
р со оо
-fS + £ (-1)< £ 2 ...
V „<—S,s) U -s) (-l/s.t-1/-Is Щ-1/s
" 2-i nn' n'n" " ’
откуда в предположении, что существует предел НтХ„. р = X,s,,
получим р’в
« = n+j(-iy 2
n’.W..... п™
(6.3.62)
244
(Cnms,s) и E„ определены формулами (6.3.21), (6.3.22)). Будем
считать теперь, что в (6.3.21) 1 и —т\ (в силу
сказанного выше здесь предполагается конечность значений
п и т). Тогда (6.3.21) приближенно запишется выражением
c<-s’s) = LcfcP bP , (6.3.63)
где положено
ei^mt & = Jn ,
ein(n/2-<p_ss)
H(P (kas)
(6.3.64)
и из (6.3.62) получим
приближенное значение
оо
X V a(-I)fs
Zj anw rnw
—oc
(6.3.64')
которое после введения обозначений
S -ДОТ7Т *“’• f6-3'65»
nn IX)
гг~-—co
Qs — S (xs, л),
—E ’
Es = S (x6, - <f0+ <ps._s) eiskl^, xs= ka& (6.3.66)
и раздельного суммирования по четным и нечетным номерам
можно записать формулой
XS„ = E' +bsnL
если положить
LQ~SFS—F-*
1 -[L^Q-sQsj’
|A2Q-SQS|<1
(6.3.67)
(6.3.68)
245
(неравенство (6.3.68) всегда может быть выполнено в силу оче-
видной сходимости ряда (6.3.65) при соответствующем выборе kl,
так как L ->0, если kl оо).
На основании (6.3.67) потенциал и1 из (6.3.41) представится
суммой
^ = ^4-^2, (6.3.69)
где
ф. = —- V els^ct>s<₽»x
k2
s=± 1
оо
х X - (6.3.70)
1р2
= L у LQ~SFS~F~S
1-[L2Q-SQS)
со
X £ H^(kPs)ein^-f-^ • (6.3.71)
Нп (kas)
Выражения составляющих рассеянного электромагнитного поля
найдутся из (1.6.16). В волновой зоне они будут иметь вид
(6.3.46), где амплитудная функция теперь равна
____ £л
Л(ф) = — Е 1/А е 4 js(xs, ф —<p0)e‘se +
Г s=±l 1
(6.3.72)
, j FS(x_s, n)S(xs, <p04-<ps,_s)e S(x_s, фоЧ~Ф—s,s)e 11
1—[L2S(x_s, л)8(х8, л)] J
где & = kl0 (cos ф0 — cos ф), 6j = kl0 (cos ф0 + cos ф).
В случае цилиндров равных радиусов, когда S(x±i> ф) =
= 8(х, ф), х = ka, в волновой зоне
Ф1 =----л/е‘(/гр~П/4) S(х, ф — фо)cos 6,
К | JL Гьр
F |/ л kp \—\LS(x, л)12 Х
х Ss^х’ _“ч>о+fiis6 ~
s=±l
— S(x, — фоф-5,5)е-!5Й1] 8(х, ф— ф-5,5), (6.3.73)
246
а амплитудная функция
{ 2S (х, ф — <р0) cos 6 4-
L
1 — [LS(x, л)]2
V [£S (х, л) S (х, — <ро + <Ps,-s) е‘56 —
s=± 1
— S(x, — фо + <P-s,s)С Is61] S(X, ф—<p_s.s)^. (6.3.74)
/
Физический смысл функций (6.3.73) очевиден. Выражение функ-
ции фх совпадает с обычным выражением для функции, передаю-
щей распределение амплитуды рассеянного поля в зависимости
от . угла наблюдения в задаче дифракции Фраунгофера на решетке,
составленной из одинаковых элементов, —здесь cos 6 выражает
результат взаимодействия решетки (двух цилиндров), а множи-
тель при этой функции характеризует действие одного элемента
решетки (одиночного цилиндра). Функцией ф2 приближенно учи-
тывается эффект всех взаимных последовательных дифракций
вторичных волн на цилиндрах.
Таким образом, замена первой функции Ханкеля в (6.3.21)
главным членом (2.2.24) ее асимптотического разложения при
kl^>\ приводит к геометрической прогрессии (6.3.64'), которой
суммируются коэффициенты рассеяния вторичных волн всех по-
рядков рассеяния. В результате получается приближенное выра-
жение (6.3.67) коэффициента Xsn разложения суммарной (пол-
ной) вторичной волны, рассеянной только s-м цилиндром с уче-
том взаимодействия цилиндров, по волновым функциям s-ro
цилиндра. При этом, если исходить из смысла слагаемых
в (6.3.64') (относительно индекса суммирования t), первичная
дифракция имеет порядок (kl)~liZ, вторичная — порядок (/г/)1 ,
третичная — порядок (kl)~3,z и т. д. В то же время при исполь-
зовании формулы (2.2.24) для первой функции Ханкеля нами
были отброшены члены порядка (И)-3'2, (kl)~~5/2 и т. д., содер-
жащиеся в асимптотическом разложении функции Ханкеля. В свя-
зи с этим здесь естественным образом возникает вопрос о по-
грешности метода и критериях его применимости. Так как при
использовании (2.2.24) в (6.3.21) предполагается конечность зна-
чений индексов п и т (п, т — 0, + 1, ..., ± N,), то в качестве
одного из них можно взять условие
kl max (т + n) = 2N [4йп], ka •= max kas. (6.3.75)
s=±l
Характерной особенностью функций (6.3.72)—(6.3.74) явля-
ется то, что все они в итоге выражаются через ряд (6.3.65), для
247
которого известны асимптотические представления, отвечающие
большим значениям параметра x=ka (ka^-5; см. § 1, гл. 6).
Поэтому они могут быть использованы (при условии (6.3.75))
для приближенного решения задачи дифракции плоской электро-
магнитной волны на двух цилиндрах и в случае высоких частот,
когда ka'~i> 1 (очевидно, что тогда и kl><2,ka''^ 1) и когда при
использовании формул строгой теории нужно решать системы
высоких порядков усечения.
Поле типа ТЕ. В этом случае задача решается аналогич-
ным образом. Если искать потенциал v1 рассеянного поля в виде
суммы
£ vs, (6.3.76)
s=±l
где
00 •
Vs= £ х„ (k ps) e‘n4>s, (6.3.77)
то на основании (6.3.5), (2.4.5) из граничных'условий (1.7.4) на
поверхности каждого из цилиндров после замены неизвестных
Хп на новые по формуле
Xn=j’n(kas)Xsn, п = 0, + 1, ...; s= ± 1 (6.3.78)
получается бесконечная система линейных уравнений относи-
тельно Xsn того же вида, что и (6-3.20), где теперь
S = , (6.3.79)
Нп (Ч)
Fs
1 n
i" £'g‘sW°cos<₽»~ гП(₽"
(6.3.80)
&H"y(kas)
Эта система, как и в предыдущем случае, является разреши-
мой единственным образом — методом редукции, причем ее ре-
СО
шение будет, удовлетворять условию
У jXn|2C°o (фактически
П=~ СО
условию, указанному в сноске на стр. 237). Отысканием X*
полностью решается математическая задача для потенциала г»1.
На основании (6.3.78) потенциал v1 рассеянного поля запи- .
шется в виде
£ £ Xsnj'n(kas)H^(kps) ёп^, (6.3.81)
S—±1 —СО
248
а для полного поля
v = 0°+£ V (6.3.82)
s=+l n= — 00
где в координатах с началом в точке О потенциал первичного
поля падающей волны может быть записан в виде (6.3.3), а в
локальных координатах s-ro цилиндра — в виде ряда (6.3.5).
На поверхности s-ro цилиндра азимутальная составляющая
плотности поверхностного тока равна
/ф =------— Нг; р5 = as, s = -j- 1 либо s = —1,
4л
где Нг — составляющая вектора Н полного поля. На основании
теоремы сложения (2.4.5), системы (6.3.20) (с (6.3.79), (6.3.80)) и
(2.2.47) находим, что закон распределения плотности поверхност-
ного тока на s-м цилиндре будет определяться формулой
<6-3-83)
П—~~ СО
В волновой зоне в координатах с началом в точке О имеем при-
ближенно
X V (~i)nXsn Jn(kas) (6.3.84)
п—~— со
и тогда в рассматриваемом приближении из (1.6.18) будет
£*-£*= Н* = £*, = О,
а
Н\ = 1 / — £j> = Л* (Ф)> (6-3-85)
rH р р
где амплитудная функция Л*(<р) задается выражением
_______________________________ гл
2g Г е~ iskl,wsrp
nk
S— ±1
X £ (—i)n XsnJn(kas) einfp. (6.3.86)
П=—со
249
Для поперечного сечения обратного рассеяния из (1.4.11) по-
лучим
4/?
Е-
:2
У елм,созф1) V ДМ)е'"ф,>| (6.3.87)
(радиолокационное поперечное сечение рассеяния), а для полного
поперечного сечения рассеяния из (1.4.10)
= п|гRe {S S 1х«7«(Ч)г2+
S=±l П——Оо
ОО 00
S S X-lxti,Jn(ka_1)Jk(ka+1)Jn^k(kl) +
п=—Со k=—со
(6.3.88)
СО со
+ V £ X+lXTlt Jnika^J^ka^J^kl^ •
п=—оо k=—«5
К системе (6.3.20) с коэффициентами c„ms’s) и правыми ча-
стями /® , определяемыми формулами (6.3.79) и (6.3.80) соответ-
ственно, относится все сказанное раньше о ней при рассмотре-
нии случая ТМ-поляризации плоской волны. В частности, при
£/> 1, —т\ (п, m = О, — 1, .... ± N) получается при-
ближенная формула (6.3.67), в которой теперь Fsn будет зада-
ваться выражением (6.3.80), а
Qs = S* (xs, л), Р = —~S*(xs, — <po + (p-s,s)e‘sW”cos'pD ,
k
где
xs = kas,
co ' .
s*(x, ф)= У
Я(п (je)
n=~ 00
- / я \
in I 2 —s,sj
If — Л______________
n H^\kas)
(6.3.89)
(6.3.90)
(6.3.91)
(в предположении, что \L2<$Q S|<1). На основании (6.3.67) по-
тенциал v1 запишется в виде суммы v1 = ф1 Д ф2, в которой
250
функции ф1 и ф2 определяются выражениями (6.3.70), (6.3.71)
соответственно, с S*(x, <р) вместо S(x, ф) и с Jn(x)l H^ fx)
вместо Jn(x)/Hn} (х).
Функция А* (ф) может быть записана в этом случае в виде
(6.3.72), если в выражении амплитудной функции 71 (ф)
(6.3.72) заменить S(x, <р) на S* (х, ф). В случае цилиндров рав-
ных радиусов функции фх и ф2 будут задаваться формулами
(6.3.73), а амплитуда 71* (ф)— формулой (6.3.74), в которых
S (х, ф) заменено S* (х, ф).
Отметим теперь следующее. До сих пор потенциалы и, v
как первичного, так и вторичного полей представлялись рядами
(6.3.4), (6.3.5) и (6.3.15), (6.3.76) соответственно, в которых
суммирование производилось по положительным и отрицатель-
ным значениям индекса суммирования и. В результате при оты-
скании приближенных значений коэффициентов дифракционных
рядов (6.3.15) и (6.3.76) нужно решать конечные (усеченные)
системы уравнений вида (6.3.50) или (6.3.55), (6.3.57), содержа-
щие для заданного N (порядка усечения) 4N + 2 или 2N + 1
уравнений соответственно. Очевидно, что при большом значении
параметра ka(N ^2ka, a — maxftzj; tz+1 /- 0) решение та-
s—zrj
ких систем будет сопряжено с определенными затруднениями.
Однако можно добиться нового понижения порядка решаемых
усеченных систем уравнений без изменения N и с сохранением
точности вычисления и решать вместо (6.3.50) или (6.3.55),
(6.3.57) системы 2(N + 1) или N + 1 уравнений соответственно
с 2(7Уф 1) или N -j- 1 неизвестными, если вместо (6.3.4), (6.3.5)
потенциалы первичного поля представлять разложениями
00
Ыо I = -Д- e!MnR^ У Е„1"7„(^Р8)СО5П(Ф8—ф0), (6.3.92)
л=0
е0 = 1, — 2, n > 1,
с суммированием в них только по неотрицательным значениям
индекса п и если искать потенциалы вторичного поля в виде
рядов типа
251
Рис. 28. Функции G™ и G3 при ka=l
a: I — G2, 2 — Gj. 3 — о|, 4 — 0%, 5 — G3;
G
б
В этом случае (например, для поля типа ТМ) после замены не-
известных ап и bsn новыми неизвестными и В„ по форму-
лам
ап = Jn (kas) Asn, bsn=Jn (kas) Bstl (6.3.94)
при помощи теоремы сложения (2.4.8) (вместо (2.4.5)) из гра-
ничных условий для потенциала и = и0 + и1 на поверхностях
цилиндров получатся две не зависимые друг от друга бесконеч-
ные системы уравнений
оо
оо
Вп + ₽^s’s) B~s = Ф°
т—0
(и = О, 1, 2, ...; s — + 1)
(6.3.95)
(6.3.96)
с матричными элементами
lnmS,S> = -^7(1^-^- ! COS (m — n) <P-s.s +
. H{n ’ (kas)
(-- 1 (kl) cos (m -r n) (p .s.s }, (6.3.97)
₽^S,S’ = !HmLn(W)C0S(/n—n)<p_s.s —
lrn (kas)
— (— 1)" 6„ Hm+n (kl) cos (tn 4- n) <p_s,s 1
(6.3.98)
и co свободными членами
Фп
e„ t"Ee‘’s,if“COSa cos n a
k2H"} (kas)
(6.3.99)
eniraEe^'|Coscsinna
~~ k2H(^(kas)
(6.3.100)
соответственно. В обеих системах индексы п и т принимают
теперь только неотрицательные значения. Здесь 60 = 0 и 6„ — 1,
если n > 1.
254
Как и в предыдущих случаях, матричные элементы систем
(6.3.95), (6.3.96) удовлетворяют соотношениям (а_г — а+1)
а = (— 1 )л+т а<+1- о — а(—1.+D-
В =(____iyi+"' «(+1 .-1) = в<—1.4-1) (6.3.101)
Нит М Рпт Р„т ’
при помощи которых можно свести задачу по отысканию при-
ближенных значений коэффициентов дифракционных рядов
(6.3.93) к решению четырех однотипных систем N + 1 уравне-
ний с Л/ 1 неизвестными:
N
*„+ £ (- lYnan,nZm^fn,
т=6
(6.3.102)
/V
— У (— l)ma№! wm =• ?п,
т—О
где
г„= Д+1 4- (-1)лАГ’, Fn=.F+'+(-\yF~l,
(6.3.103)
ип = Л+* - <- 1)" А~\ Рп = F+1 - (- 1)” F~l,
И
N
(- Ф„,
т=0
м (6.3.104)
^п — 1УП₽пт^,п= Qn,
т=0
где
vn = В+' + (— 1)"В7’> Фп = Ф^’1)ПФ^‘,
(6.3.105)
и>п = в+1- (-1)лВ^, Фп = ф+1— (-1)лФ71.
Если радиусы цилиндров различные, отыскание приближенных
значений дифракционных коэффициентов сводится к решению
двух однотипных систем 2(7V4~ 1) уравнений с 2(N -\- 1) неизве-
стными, которые получаются из (6.3.95), (6.3.96) после их усе-
чения до N-to порядка (n, m = 0, 1, ..., 2V; s = + 1).
Из единственности решения рассматриваемой дифракционной
задачи найдем после сравнения рядов (6.3.15), (6.3.76) с соот-
ветствующими рядами типа (6.3.93), что
а£ + (- 1)"6„xL„ =^. = (6.3.106)
255
Рис. 29. Функции Glt G™ и G3 при ka — I,AZ = 20:
12 3 4
а, б'. / — (J2, 2 — <?2’ 3 ~ G2 и 4 ™ C3’ в' }~2 те же’ 4 ~ G2’ 5 — Gs, 6 — Gt
256
откуда
Х" = Т (a"-t6")’ n>0,
xs-n = -—~~ (asn 4- il>sn), n > 1.
(6.3.107)
Аналогичного вида соотношения получаются и для коэффициен-
тов рядов (6.3.76), (6.3.93), определяющих поля типа ТЕ.
В этом случае соответствующие дифракционные коэффициенты
будут решениями систем (6.3.95), (6.3.96) с матричными эле-
ментами и со свободными членами, отличающимися от (6.3.97)—
(6.3.100) только тем, что в их выражениях величины Jm(to_s),
Нп} (kas) заменяются величинами и (kas) (в фор-
мулах (6.3.94) вместо Jn(kas) берется Jn(kas)). С помощью фор-
мул (6.3.107) можно во всех полученных раньше рядах, дающих
решения задач, перейти к суммированию только по неотрицатель-
ным значениям индексов суммирования, определяя коэффициенты
преобразованных рядов из систем (6.3.95), (6.3.96).
При численном решении задач на взаимодействие двух ци-
линдров с помощью ЭВМ применение формул (6.3.92)—(6.3.107)
может дать значительное сокращение времени, необходимого для
вычисления коэффициентов дифракционных рядов, и вместе с тем
позволит при одном и том же объеме оперативной памяти ЭВМ
производить вычисления для более широкого диапазона значений
параметра ka.
В качестве примеров рассчитывались1 функции Gr (<р), G™ (<р),
G3(<p) (рис. 28—30), определенные выражениями:
1) Gi(<P) =
лами (6.3.46), (6.3.47);
2) GH<P)= Н/-
волновой зоны
тс k р -р\
~2~^z
Е , где Е\ задана форму-
Е\
Е , где в
приближении
PikP
Лт(<р),
(6.3.108)
а функция
Ат(<р) = /г2
е
(6.3.109)
1 Расчеты на ЭВМ «Минск-2» были сделаны Г. М. Кобловой.
17. Е. А. Иванов
257
Рис. 30. Функции Glt G™
1 2
а, б: 1 — Gg, 2 — Gg, 3 —
258
3 4
G?, 4 — 62» 5 — Ga и 6 — G,
259
о
х+>
±п
dOI-
Решения системы (6.3.50) при различных N
ka = 3, kl = 15, а = 0°
Таблица 4
п N = 5 р N = 6 р N = 7 р N = 8 р N = 9 р
+0,8877346 —4
9 — 2851397 —2
-0,1276242 -1 - 1276245 —1
8 + 1103120 —2 + 1103009 —2
+0,8015451 —2 + 8017136 —2 + 8017179 —2
7 + 4766178 —1 + 4766130 —1 + 4766147 — 1
+0,1417945 0 + 1418071 0 + 1418045 0 + 1418044 0
6 - 3457359 —1 — 3455310 -1 — 3455261 -1 — 3455285 —1
—0,9505103 —1 — 9601088 —1 — 9606621 — 1 — 9606306 -1 — 9606295 —1
5 — 3016830 0 - 3016594 0 — 3017006 0 — 3017015 0 — 3017013 0
— 4035011 0 - 4023567 0 — 4022835 0 — 4022885 0 — 4022888 0
4 + 1638093 0 + 1648406 0 + 1649780 0 + 1^19802 0 + 1649799 0
+ 1699122 0 + 1698872 0 + 1698837 0 + 1698895 0 + 1698899 0
3 + 3436247 0 + 3425272 0 + 3423528 0 + 3423529 0 + 3423533 0
+ 3260161 0 л- 3258199 0 + 3258263 0 + 3258259 0 + 3258256 0-
2 — 1675667 0 - 1679215 0 — 1678096 0 - 1678114 0 — 1678118 0
— 4407840 0 — 4413912 0 — 4414721 0 — 4414782 0 — 4414781 0
1 — 2200976 0 — 2185739 0 — 2186446 0 - 2186453 0 — 2186452 0
+ 4186355 0 + 4197081 0 + 4198284 0 + 4198371 0 + 4198369 0
0 4- 3722323 0 + 3703537 0 + 3704178 0 + 3704203 0 + 3704203 0
а о fee >< II 7 । х и 7 е X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
— 1433175 hl - 1433725 +1 - 1433605 + 1 - 1433612 +1 - 1433612
+ 1880906 н + 1882786 + 1 + 1882883 + 1 + 1882880 +1 + 1882880
+ 1016559 + 1 + 1016393 + 1 + 1016478 + 1 + 1016474 +1 + 1016473
— 1666915 + 1 — 1665364 + 1 - 1665271 + 1 - 1665272 +1 — 1665272
— 4313145 -1 - 4264459 — 1 — 4263149 — 1 — 4262924 —1 — 4262948
+ 2122902 +1 + 2123385 + 1 + 2123495 +1 + 2123498 + 1 + 2123497
— 1077853 - -1 — 1077599 +1 — 1077603 + 1 — 1077594 + 1 — 1077595
— 1001608 - 1 — 1002460 + 1 — 1002307 +1 — 1002306 + 1 — 1002307
+ 1074303 4 1 + 1073521 + 1 + 1073573 + 1 + 1073580 +1 + 1073580
— 4414894 0 — 4423948 0 — 4422702 0 -' 4422723 0 — 4422726
+ 1898396 0 + 1890882 0 + 1891310 0 + 1891350 0 + 1891350
+ 4659249 0 + 4658830 0 + 4659230 0 + 4659223 0 + 4659219
— 1796199 0 — 1796128 0 — 1796096 0 — 1796096
+ 3758306 -1 + 3760190 —1 + 3760185 —1 + 3760154
— 1789760 -1 — 1789550 —1 — 1789549
— 5038497 —1 — 5038515 -1 — 5038536
+ 1008399 —1 + 1008400
— 3067882 —2 — 3068021
+ 5110769
+ 2293796
—1
+1
+1
+1
+1
0
0
0
0
— 1
— 1
—1
—1
—2
—3
-2
* В каждой строке первое число — вещественная, а второе — мнимая части решения.
Продолжение табл. 4
ka--=5, /г/= 25, а = т./2, X~l = l-l)"Xt’= X^'-IO'’
ь с с п х5 Лп р х6 лп Р £ р Y8 лп р х9 лп р X10 лп Р
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 — 1 0 Г) 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 -0,6219575 - 1965355 - 1489468 - 1090276 - 1722046 И 1130130 j- 2960190 ]- 3034495 4 3184258 1565661 + 211484С — 2065691 — 1733151 — 9641281 + 478068 + 251830' + 2956191 — 151997 — 2016541 — 180040 + 409263, + 121252 0 ( 1 41 -н 1-1 0 -Н -н 1-1 +1 +1 + + + -1 -1- + —0,2207014 — 1666590 - 6239118 — 1945744 — 1534106 — 1101114 — 1765992 4- 1057060 + 2865289 2912273 + 3210499 + 1416070 + 215585' — 223011Е — 1708281 — 1135931 + 456347' + 235590' 287605' — 1636401 — 2121601 — 182945' + 354885' 4- 126024' — 7123441 — 1082101 0 +1 0 +1 4-1 +1 +1 +1 0 +1 +1 4-1 +1 4 1 +1 0 0 -1-1 +1 -1-1 4-1 4-1 0 +1 0 +1 -0,1661983 - 8987983 - 2433329 - 1653823 - 6554659 - 1963075 - 1544164 - 1139300 - 1753267 -4 1023299 -4 3064103 -4 2893822 4 3224255 4 1411145 4- 215770' — 2225661 — 1717791 — 112290' 4- 4418191 4 2379951 -4 286875' — 160097 — 210866' — 179309, -4 3854191 -4 127589' — 691144' — 1093431 -4 1033741 4- 109023, 0 0 0 + 1 0 + 1 + 1 + 1 + 1 4-1 0 4 1 +1 +1 41 -41 + 1 0 0 4-1 4-1 -41 4 1 +1 0 + 1 0 4-1 0 5 4-1 -0,7640710 - 3335482 - 1672401 - 8982269 - 2439663 - 1654948 - 6539569 - 1963353 - 1543131 - 1136683 - 1755055 4- 1027281 4 3020132 -4 2897226 -4 3218615 4 1413444 -4 2152131 — 2223901 — 172223С — 112096С -4 439426' -4 2382211 4- 2868771 — 159933' — 2107391 — 1793551 -4 385229 -4 1273611 — 693468' — 109435 4- 102117' -4 1091521 + 1413951 — 351130' —1 0 0 0 0 +1 0 +1 + 1 +1 +1 +1 0 + 1 +1 +1 -41 +1 + 1 0 0 Н 1 -41 + 1 -41 +1 0 +1 0 +1 0 + 1 0 0 -0,1027315 - 1023344 - 7640150 - 3335464 - 1672044 - 8982572 - 2438135 - 1654902 - 6538543 - 1963079 - 1543269 - 1136326 - 1755360 4 1027529 4 3017111 4 2897341 4 3218432 4 1413504 + 2152123 — 2223842 — 1722057 — 1120891 + 439751' -4 2382195 4- 2869141 — 1599551 — 2107231 — 179393' 4- 3850881 + 1273317 — 6936651 — 109436' + 102091 + 109159, 4- 1414081 — 351129, 4- 155975 + 770184' —1 0 —1 0 0 0 0 -11 0 +1 -41 +1 +1 4-1 0 +1 +1 + 1 >; +1 ! +1 + 1’ + 1 0 -41 +1 +1 +1 +1 0 4-1 0 + 1 0 +1 3 0 0 ) -1 —1 4-0,4412780 — 3191626 - 1027453 — 1023365 — 7639765 — 3335548 - 1671813 — 8982569 — 2437988 — 1654866 — 6538841 — 1963043 - 1543310 — 1136332 — 1755372 + 1027498 4- 3017345 + 2897316 + 3218476 + 1413499 4- 2152175 — 2223831 — 172201С — 1120881 + 4397957 + 208219' + 286914; — 1599551 — 210723' — 1793941 4 - 3850835 + 1273335 — 69365Г — 1094341 4- 1021081 + 109159 + 141411 — 3511375 |- 155963 4- 7701631 — 141780 - 495679 —2 -1 -1 0 -1 0 0 0 0 +1 0 +1 +1 +1 +1 +1 0 +1 +1 +1 +1 +1 +1 + 1 0 + 1 +1 +1 +1 +1 0 +1 0 +1 3 0 з +1 ) 0 0 -1 3 -1 -1 —1
является амплитудой рассеянного поля типа ТМ m-го порядка
рассеяния с коэффициентами рассеяния SA™ из (6.3.11), (6.3.12);
3) G3 (ф) = G™ (ф). По смыслу функции Gx (ф) и G3 (ф)
т
должны быть тождественны — обе они определяют одно и то же
вторичное поле в волновой зоне.
Функции Gn G™, Gs рассматривались как функции полярного
угла ф и рассчитывались на ЭВМ для различных значений пара-
метров ka, kl и а= фо (а-j = а+1 = а). В случае ka = 1 усечение
Рис. 31. Функции feag/4:
а — ka = 1: / — М = 6. 2 — 12, 3 — 18 и 4 — 24; б — ka = 2: I — kl = 12, 2 — 24,
3 — 36 и 4 — 48
системы (6.3.20) производилось до значения |п| = М = 3. Таким
же образом усекались и ряды, определяющие вторичные поля
последовательных порядков рассеяния. В случае ka = 3 было
взято N = 7 (п, т = 0, +1, ..., + N). При ka = 1 вычисления
делались для цилиндров, удаленных друг от друга на расстоя-
ние I, связанное с их радиусами соотношениями: На = 5, 10,
20, 50. При ka = 3 рассмотрены случаи На = 5. Направление
распространения волны (в координатной системе Оху) образовы-
вало угол а =0 или а = л/2 с осью Ох (на рис. 29, б пред-
ставлен и случай а = л/4).
264
Как видно из рисунков, при ka — 1, начиная уже с 1/а = 5,
основной вклад в дифракционный эффект вносится вторичными
волнами только первого и второго порядков рассеяния, причем
вклад последних уменьшается с возрастанием На (рис. 28, д, е\ 29).
Такая же картина наблюдается и в случае ka = 3.
С вычислительной точки зрения неоспоримым преимуществом
обладают формулы (6.3.46), (6.3.47), связанные с системой (6.3.20),
по сравнению с формулами (6.3.108), (6.3.109) и G3(<p): при
Рис. 33. Функция k-j,/ 4 при ka= 10 и kl = 56(4), kl =58(2),
kl = 60 (3)
одном и том же (V(n=0, + 1, ..., + N) применение первых
требует во много раз меньше времени для вычисления Gx (<р), чем
применение вторых для вычисления G3(q>). Кроме того, при
одном и том же N формулы (6.3.46), (6.3.47), (6.3.20) дают
и более точный результат.
Радиолокационные сечения рассеяния для двух идентичных
круговых цилиндров (графики функций koB /4) вычислены в за-
265
Таблица 5
Изменение значений функции G, (<f) с изменением N
Gi (ф) — -Ajv (?) • Юр; я=0°, ka = 3, kl = 15
N Д v (0) р An (Я/4) р An (л/2) р An (Зл/4) р an <я) р
3 0,4755724 1 0,9541952 0 0,1479034 1 0,1927497 1 0,1190423 1
4 4983550 1 1198494 1 1440365 1 1608175 1 1539182 1
5 5030671 1 1216967 1 1433385 1 1618337 1 1483014 1
6 5035749 1 1216122 1 1433272 1 1618081 1 1488775 1
7 5036171 1 1216072 1 1433478 1 1617952 1 1488313 1
8 5036188 1 1216069 1 1433478 1 1617957 1 1488332 1
9 5036189 1 1216069 1 1433476 1 1617957 1 1488331 1
а = т/2, fea=5, kl = 25
N Л (я,2) JV р An (Я/4) р an <°> р Лдг (-Л/4) р An (-л/2) р
5 0,1086338 2 0,1818911 1 0,2439528 1 0,2898114 1 0,3769828 1
6 1135712 2 1921418 1 2128466 1 3072116 1 3337710 1
7 1149160 2 1879077 1 2121535 1 3134955 1 3383929 1
8 1149309 2 1869377 1 2127585 1 3118716 1 3389068 1
9 1149387 2 1869080 1 2127489 1 3119852 1 3389433 1
10 1149402 2 1869078 1 2127387 1 3119930 1 3389407 1
11 1149402 2 1869075 1 2127386 1 3119926 1 3389396 1
висимости от угла падения волны а и различных значений ka
и kl по формуле (6.3.48), а_г = а+1 = а (рис. 31—33).
Табл. 4 характеризует скорость сходимости вычислительного
процесса, связанного с решением усеченных систем (6.3.50) для
различных возрастающих значений N—порядка усечения. Табл. 5
показывает соответствующую быстроту изменения значений функ-
ции G1(tp).
Отметим, что классическим методом разделения переменных
может быть решен и ряд других задач теории дифракции пло-
ской волны на двух круговых цилиндрах. Например, в [91] этим
кетодом решена задача о рассеянии нормально падающей волны
на двух составных круговых цилиндрах (цилиндрах с покрытием).
В [105] дано решение задачи о рассеянии наклонно падающей
волны на двух параллельных круговых цилиндрах произвольной
проводимости. В [192] решается задача о рассеянии плоской
электромагнитной волны на двух параллельных бесконечно длин-
ных ферромагнитных цилиндрах.
266
§ 4
Поле продольного излучателя
в присутствии двух параллельных
круговых цилиндров
Рассмотрим задачу о поле дипольного (электрического
и магнитного) излучателя в однородном и изотропном простран-
стве с проницаемостями е, р. и проводимостью о = О, содержа-
щем в себе два параллельных бесконечно длинных идеально
проводящих круговых цилиндра в предположении, что диполь-
ный момент (р или т) направлен параллельно образующим ци-
линдров. В локальных цилиндрических координатах поверхности
цилиндров задаются уравнениями ps = as (s = + 1)(ось Oz систем
направлена вдоль соответствующих осей цилиндров, рис. 34, а),
а положение диполя в пространстве определяется значениями
р°, ф°, z° = z°, s= + 1. В координатах р, ф, z системы с на-
чалом в точке О, лежащей посередине на линии центров сечения
цилиндров плоскостью Оху (оси Ох всех систем имеют одинако-
вое направление и лежат на линии центров, Oz || 0szs), положение
диполя определяется значениями р = р°, ф — ф°, z = z°. Задача
состоит в отыскании поля диполя в присутствии цилиндров. Как
и в случае одного цилиндра, она может быть сведена к матема-
тической задаче для потенциальных функций и или v в зависи-
мости от типа диполя.
Электрический диполь. В этом случае о°’‘ = 0как
для поля диполя в свободном пространстве, так и для рассеян-
ного на цилиндрах поля. Потенциал и0 поля диполя в свобод-
ном пространстве в локальных координатах s-ro цилиндра можно
записать в виде ряда по интегралам Фурье
А Ф
и°= ~
2
<₽°)
> д S
Jn(vp№l>(V(>s),
Jn(Vps)Hn} (Vps),
Ps < Pe 1
Ps > Ps J
elh(z~z^dh
(6.4.1)
(в координатах с началом в точке О разложение имеет вид
(6.2.1)). Поэтому если искать потенциал и1 поля, рассеянного на
цилиндрах в виде аналогичных рядов по интегралам Фурье
и1
xsn(h)H(" (nps)e71U“z“)dh,
(6.4.2)
•—• 00
267
Рис. 34. Возбуждение двух круговых цилиндров продольным
диполем (а) и обобщение задачи на случай продольной щели на
одном из цилиндров (б)
268
то из граничных условий (1.7.3) на поверхности каждого из ци-;
линдров на основании теоремы сложения (2.4.5) получим после
замены xsn(h) неизвестными Xsn(h) по формуле
xSn(h) = Jn(ws)Xsn(h), n = 0, +1, ...; s= + l, (6.4.3)
бесконечную систему линейных уравнений относительно Xsn(h):
00
X™(h) + £ c^s’s’(/i)X^(/i) = ^(/i), (6.4.4)
т——оо
п = 0, ±1, ...; s= ± 1,
где
Нп} (vas)
Нт-п (vl) +in^°s-lm^-s
Fn(h) = , V = Vtf-h*.
Hn (ws)
(6.4.5)
(6.4.6)
Определитель системы (6.4.4) имеет тот же вид, что и у системы
(6.3.20), и может быть записан в форме (6.3.23). Кроме того,
систему (6.4.4) можно записать в нормальном виде (6.3.31), если
ввести обозначения, аналогичные принятым в (6.3.32)—(6.3.36).
В случае фиксированного значения параметра v отличие системы
(6.4.4) от (6.3.20) будет сказываться лишь в выражениях их
правых частей (6.3.22) и (6.4.6) и в несущественной разнице
в выражениях матричных элементов (6.3.21) и (6.4.5) (если
. о
в (6.4.4) заменить Xsn на e‘n'ts, то (6.3.21) и (6.4.5) станут
идентичными по форме). Прир°>а8 правые части системы (6.4.4)
Оо
удовлетворяют условию |/',s!(/i)|2 <; оо. Поэтому, как и в
п=~оз
предыдущей задаче, можно показать, что при выполнении уело-
вия (6.3.29) и фиксированном v к системе (6.4.4) применима
альтернатива Гильберта о разрешимости бесконечных систем
с вполне непрерывной формой, если ро > as (диполь не лежит
на поверхности одного из цилиндров, s = -4- 1 либо s — — 1),
на основании которой и теоремы единственности решения крае-
вой задачи для уравнения Гельмгольца устанавливается одно-
значная разрешимость неоднородной системы (6.4.4). При этом
269
(фактически | Xsn | < const;
const2 -—-— I ). Если в (6.4.2) заменить неизвестные Xs
\ *-I П
новыми X® по форму'ле
xsn (h) = ап Jn (vas) Xsn (h), (6.4.7)
где a0= 1, a an = n, когда |n| > 1, то получающаяся для Xsn(h)
бесконечная система уравнений будет отличаться от (6.4.4) лишь
тем, что ее матричные элементы окажутся равными —— c(~s-s>
<—s s)
ГД6 Cnm '’s> (h) определяется формулой (6.4.5), а свободные члены
будут равны ---- (/г), где Fsn (ti) определяется формулой
(6.4.6). Такая система при фиксированном v будет, как и рань-
ше, иметь вполне непрерывную форму, а ее правые части будут
удовлетворять условию (1.9.20) ив том случае, когда диполь
окажется расположенным на поверхности одного из цилиндров,
т. е. когда ро = a8(s = + 1 либо s = — 1; из (6.4.6) видно,
что при р° =as Fsn = 1 и тогда условие (1.9.20) для правой
части (6.4.4) не выполняется).
Решение системы (6.4.4) для каждого v может быть найдено
методом усечения по схеме, указанной в предыдущей задаче.
Определением Xsn(h) заканчивается формальное решение за-
дачи по отысканию потенциала и1. Формулы (6.4.2), (6.4.4)—
(6.4.6), которыми определяется функция и1, являются точными
формулами. Однако пользоваться ими в общем случае для по-
лучения числовых результатов весьма затруднительно, так как
для выполнения интегрирования в (6.4.2) по h нужно иметь
явные выражения коэффициентов Xsn(h) как функций от h, в то
время как из системы (6.4.4) практически можно найти числен-
ные значения величин №„ (/г) лишь для конечного числа дискрет-
ных значений параметра и2 = !г — Л2, где h может меняться от
•— со до -р оо. Поэтому в общем случае формулы (6.4.2), (6.4.6)—
(6.4.4) могут быть использованы только для приближенного вы-
числения потенциала и1 численными методами интегрирования.
Если же рассматривать не общий случай, а исследовать поле
только в дальней зоне, то указанный выше недостаток устра-
няется тем, что для такого случая будет и =/г sin 6, в силу чего
из системы (6.4.4) подлежат определению лишь величины Xsn(h)
с h = k cos 6.
Как обычно, в дальней зоне полагается, что 1 (р^>/).
Интегралы Фурье, входящие в выражения (6.4.2) для потен-
270
циала и1, вычисляются методом перевала по той же схеме, что
и в случае одного цилиндра. А именно если
Гп = ~ J x^(h)Hp (vpb)eth<z~z'4h, s= + l, (6.4.8)
------------CO
то в локальных координатах s-ro цилиндра (s« + 1)b волновой
зоне приближенно
Isn = (— 0"хпW s— ’ h= kcosВ, (6.4.9)
где (см. рис. 34, a) ps ~ Rss'mB, 2— z° = 7?scos0, a Rs и 68л;
т 6 — сферические координаты с началом в точке Os. Кроме
того, там ф8»ф, р8;лр— s/0cos<p (р 10), а цилиндрические
координаты р, <р связаны со сферическими 6, ф, г соотноше-
ниями
rs = Ур2 + z2 = Ур2 + z2 — 2ps/0 cos ф -|- Р cos2 ф
2s/0 sin 0 cos ф
г — sl0 sin 0 cos ф
(p = zsin0, /?s~rs—z’cosO, I = 2/0; s = ±l).
В сферических координатах с началом в точке О из (6.4.2)
и (6.4.9) в рассматриваемом приближении получим
X J F i)n Xsn (h) Jn (xs) е‘’"«₽-^>-ЙЫ«51песо5<₽э (6 4 л 0)
S=± 1 П=—00
где xs = feag sin0, гл/? + р° sin 0 cos (ф—ф°) + z° cos 0 и где
коэффициенты (/г) должны находиться из (6.4.4) при значении
h = k cos 0.
Так как (см. (6.2.1))
гы?
то в том же приближении и в тех же координатах для состав-
ляющих полного поля получатся выражения
/V eikR ГТ
= -tfp—siney/Л-Д(е, ф), (6.4.11)
271
в которых
уцд ф) = 1 eikp°sin 6cos<<р_<р°)
СО
х £ (—i)”^n(/i)4(xs)et’n(<₽-(₽,>)-,w<>sinecos<p. (6.4.12)
s==±l П=—СО
Очевидно, что функцию А (6, ф) можно рассматривать как по-
правочный множитель (множитель ослабления), учитывающий
наличие в поле электрического продольного диполя двух идеально
проводящих параллельных круговых цилиндров бесконечной
длины (h = /г cos 6, xs = /eassinO). Запишем (6.4.11) в виде
V*" dkr—ikz°cosG
—------------------sin 6ф (6, ф), (6.4.13)
где
ф (6, ф) = А (е> ф) (6.4.14)
Интегрированием в (6.4.13) по z° от 2, до z2 получится обобще-
ние решения задачи на случай линейной антенны, простираю-
/ id (z®) dz° \
щейся ОТ 2 = до 2 = z2 с током 1=1 (z°) р = ----------— --- ,
\ 4лхое /
для поля которой в дальней зоне
„ , А и k sin 6 elkr
£’ = v
X {(/(?«)«"“'“* dz«j 4>(e. <0. (6.4.15)
Z1
Если проинтегрировать в (6.4.1) и (6.4.2) по z° от —со
до оо, то получатся выражения
/ -»/±_
и»=--------Vе- У 4(*p!)Hi,\fep!)ew,’‘-’;’ .
Ps>Ps°>
(6.4.16)
272
/ л/ ~
в> _ У 8 У У ,
4/г х-i
s=±l л=— оо
(6.4.17)
представляющие собой потенциалы первичного и вторичного
полей линейной бесконечно длинной нити с электрическим то-
ком I. В приближении волновой зоны
—£SfeZocos«>
£ , (6.4.18)
гг—— со
а единственная отличная от нуля составляющая Ez полного поля
будет равна
Ez--k2u, (6.4.19)
где и = и° -{- и1.
Можно заметить, что выражения (6.4.16), (6.4.17) определяют
строгое решение задачи о дифракции цилиндрической волны
---(ftp) на двух идеально проводящих параллель-
ных круговых цилиндрах бесконечной длины, если коэффициенты
Х„ являются решением системы (6.4.4)—(6.4.6) при h = 0,
6 = л/2. Здесь р = pf + ps — 2ps pg cos (q>g — <p°) (см. рис. 34, a).
Магнитный диполь. В случае продольного магнитного
диполя будет и = 0 для первичного и вторичного полей, а в
локальных координатах s-ro цилиндра потенциал с° первичного
поля запишется в виде
ip = im у е«(Ф5-Ф?) х
72=—оо
I Jn(vp°s)HW(vps),
I Jn(vps)H^(vp°s),
P°<Ps
о \
Ps pg
е1^-^ dh
(6.4.20)
(в координатах с началом в точке О разложение имеет вид
(6.2.2)). Поэтому если искать потенциал V1 вторичного поля
в виде аналогичных рядов по интегралам Фурье
18. Е. А. Иванов 273
™ X1 \1 , 0
у1=_—- e^s-^ х
S— ± ] П=~ эо
со
X J xns(h)H^(vps)eih(z-z‘}dh, (6.4.21)
— 00
то после замены неизвестных Хп (h) новыми Х*п (ft) по формуле
х„ (ft) = ап j'n (vas) Хп (h), (6.4.22)
где штрих означает дифференцирование по аргументу, а множи-
тель ап введен из тех же соображений, что и в (6.4.7), из гра-
ничных условий (1.7.4) на поверхности каждого цилиндра полу-
чим при помощи формулы (2.4.5) для определения X,*s (ft) бес-
конечную систему линейных уравнений того же вида, что и
(6.4.4), с матричными элементами
= Ц™_П [vl) ~ п) (б 4 23)
апНп’ (yas)
и со свободными членами
Fsn(h)
(rps°)
а„ Н{пУ (vas)
(6.4.24)
(у2 = /г2 — ft2), разрешимую для каждого фиксированного значе-
ния v методом усечения. Тем же путем, что и в предыдущем
случае, находим, что в сферических координатах с началом
в точке О в приближении волновой зоны будет
ikr—ikze cosO
v1 = — т------------------ X
г
(6.4.25)
СО о
X J V (-0na„x;s(ft)4(xs)ein<v“%,--'sw‘sinecos<₽,
S— ±1 П—~ 00
где X„s(ft) должны находиться из системы (6.4.4) с (6.4.23),
(6.4.24) при значении ft=ftcos6. На основании (6.4.25) для
составляющих полного поля получим
Г— Pikli
= ft2 "|/ т — sin 0 А* (6,ф),
(6.4.26)
274
где множитель ослабления А* (0, ф), учитывающий наличие
в поле магнитного продольного диполя двух параллельных
идеально проводящих круговых цилиндров бесконечной длины,
равен
Л*(0, ф) = 1 - х
X У, У (— 0" ап Хп (h) j'n (Xg)ete«r-fPs)-;sW»sinecos4>. (6.4.27)
s=±l П——*>
Перепишем (6.4.26) в виде
гйг—ifa’cose
--------------- sin0l|5*(0, ф),
(6.4.28)
где
чр* (0, ф) = e-^sinecosB^) (0; (6.4.29)
и проинтегрируем в (6.4.28) по z° от Zj до z2. В результате
получим обобщение решения задачи на случай линейной антенны,
простирающейся от Zj до z2, для поля которой в волновой зоне
ik sin 0 eikr
= 4л ’ г X
К(го)е-^”с“ебгго
ч|,*(0, ф).
(6.4.30)
Формула (6.4.30) учитывает наличие в поле линейной антенны
двух параллельных идеально проводящих круговых цилиндров
бесконечной длины, в ней К = К (z°) — заданный магнитный ток
/ _ icK (z°) dz° \
\ 4гаор. /
Если проинтегрировать в (6.2.2) и (6.4.21) по z° от — оо
до оо, то получим выражения для потенциалов п°, v1 первичного
и вторичного полей, отвечающих случаю бесконечно длинной
нити с магнитным током К:
со
X S Jn (k Р°) н<‘> (k ps) ein^-^ , ps> P° , (6.4.31)
П~—00
275
4/г
X
00 . о
X £ V . (6.4.32)
S=±l П—----co
Выражениями (6.4.31), (6.4.32) определяется строгое решение
задачи о дифракции поля цилиндрической волны------------— х
4ft
х/т^’М на двух идеально проводящих круговых ци-
линдрах, если коэффициенты X*„(h) находятся из (6.4.4), (6.4.23),
1 значении h — 0, 0 = л/2. Для рассеянного поля
зоне в цилиндрических координатах с
(6.4.24) при
в волновой
в точке 0
началом
Е\ = у у Я* = k* |/i v\ (6.4.33)
где
Kkeikp Г~~о~ — —
s=±l
X £ (— iranXnSj’n(kas)ein{v-^ . (6.4.34)
Если в (6.4.26) устремить р° к as(s =4-1 либо s= — 1), то
в пределе получится решение задачи о поле источника, эквива-
лентного расположенной на s-м цилиндре элементарной продоль-
ной излучающей щели (активная антенна) в присутствии другого
(—s-ro) цилиндра, играющего роль пассивного отражателя (реф-
лектор). Подобного же рода предельный переход в (6-4.28) при-
ведет к обобщению этой задачи на случай источника, эквива-
лентного расположенной на s-м цилиндре узкой продольной
щели ширины asd <р°, простирающейся в длину от z = до
z = Z2- Последующим интегрированием (6.4.28) по переменной
<р°в пределах от до <р, получится дальнейшее- обобщение
решения задачи на случай прямоугольной излучающей щели ко-
нечной ширины cs((p2 — tpj) с заданным распределением поля
в ней Eq(as, <р°, z°) в раскрыве щели. Заменив в (6.4.30) рас-
276
пределение магнитного тока К — К (?°) распределения напряже-
ния на гцели (as, ф® , z°) asd ф® и проинтегрировав затем по
ф® — фП (s _ _ц j либо s = — 1) от ф! до ф2, получим
eikr
S(e)M(6, ф), (6.4.35)
где
S(6) = ^sine f V(zo)e-^osed20) (6.4.36)
4л J
2j
q>2
Л4*(6, ф) = ---------- С [ф0(6, ф; ф°) +
ф2 —Ч>1 J
+ ФД6, ф; фО) + Ф_де, ф; ф!^)]<*ф®, (6.4.37)
ф0 — giftp’sinecosHp-q)») , (6.4.38)
°" о
Ф$= £ (-i)”X;s(/i)j;(xs)e’‘”(<f-^)-isW’sinecos<₽, (6.4.39)
п=—ОС
h = kcose, xs = /eassin6, a V(z°) = (as, ф®, ?°)а8(ф2—<Pi) —
напряжение на щели (s = + 1 либо s = — 1).
При совмещении координатной системы Oxyz с локальной
координатной системой s-ro цилиндра (s — + 1 либо s = — 1)
(X О
Ф8 = £ (-iYXWh)j’n(xs)ein^-^ , (6.4.40)
П=--ОО
Ф—g = У*, р( i)n Хп (h) Jn (А'—s) X
П=--ОО
X «₽E_S)—fsfefosineeosq: (6 4 41)
Из (6.4.4) и (6.4.23), (6.4.24) видно, что неизвестные X„(h)
зависят одновременно как от угла ф®, так и от угла ф®_5. Поэтому
для того, чтобы осуществить интегрирование в (6.4.37) по ф° (s =
= Ц- 1 либо s = — 1), нужно предварительно найти явное вы-
ражение зависимости величины Xns (й) от ф® и ф2_5. Это можно
сделать по следующей схеме. Заменим Xn(h) на Y„(h), поло-
жив 0
Xns(h)= Ysn(h)einv\ (6.4.42)
277
В результате для Ysn(h) из (6.4.4) получится бесконечная система
линейных уравнений с коэффициентами
Ы—s,s) — . т rj(l) / «,/ i(m—n)<p_s s /с л
vnm rHl) , \ “m—я (к/SID и) С * (6.4.4o)
an Пп (xs)
вместо (6.4.23) и с правыми частями
Fs ^'(^PsSinB) c-lW° 7ft 4 44\
Гп уп,) — апНп1} (&assin 6)
вместо (6.4.24), в которой зависимость от углов cps и <p2_s выне-
сена в правые части (6.4.44). Решив систему, найдем, что
Ysn(h) =
i____________i_________
Д
(6.4.45)
где Д — определитель системы, имеющий вид (6.3.23), а А1п
и Bin — алгебраические дополнения элементов t-ro столбца опре-
делителя после замены его столбцом свободных членов (6.4.44)
системы. На основании (6.4.44) формулу (6.4.45) можно пере-
писать к виду
Ysn (h) = V а.п е~^ + V р/пe-'/'P-s, (6.4.46)
/ /
гпр а- - ^(^Pssine) H<jl\kiLs sine)
1 (fengsine) /n’ a;-Я)4 (fea_gsin0) >n
После подстановки (6.4.42) и (6.4.46) в (6.4.40), (6.4.41) для Ф,.
получатся выражения с явной зависимостью их от углов ср° и
fp£_s. Угол <р^ может быть выражен через исходя из про-
стых геометрических соображений (равно как и p2_s через р“).
Функции /У*1’ (fep—Ssin0) e‘iv~s можно выразить через
^1)(fep°sine)et'4’s и при помощи теоремы сложения (2.4.5), что,
однако, приведет к более громоздким выражениям для Ф8.
Пользуясь формулами (6.4.35)—(6.4.46), можно исследовать
влияние пассивного отражателя (—s-ro цилиндра) на характе-
ристику излучения продольной щелью, расположенной на поверх-
ности s-ro цилиндра, в зависимости от радиусов цилиндров, рас-
стояния между ними, ориентации щели и др. (см. рис. 34, б).
278
Замети м, что если щель достаточно узкая, когда распределе-
ние напряжения в ней почти синусоидальное и задано формулой
V(r) Vosin(^—|z|)
sin klx
где Vo — напряжение в середине щели, a Zj = — Zb z2 = Zlf то
с Wо cos (^icos 6) — cos i
e> (u) = --- • -------------------- .
2л sin kl± sin 6
Если, кроме того, длина щели равна половине длины волны
(2ZX = Хо/2), то
/ л
, cos — cos 6
tV0 I 2 /
S = 2л ’ sine
Сопротивление излучения поля диполя в присутствии двух
цилиндров, а также проводимость излучения щели, расположен-
ной на поверхности s-ro цилиндра в присутствии другого (—s-ro)
цилиндра (s= + 1), можно вычислить численными методами интег-
рирования по формулам (1.4.14), (1.4.19), если производить интег-
рирование там по сфере бесконечно большого радиуса с центром
в начале одной из координатных систем.
Из сравнения (6.4.10) с (6.4.18) и (6.4.25) с (6.4.32) видно,
что при 0 = л/2 (плоскость Оху), когда г = р, формулы (6.4.10),
(6.4.25) идентичны формулам (6.4.18), (6.4.32) соответственно.
Следовательно, в дальней зоне плоскости Оху характеристика
излучения продольного диполя в присутствии двух параллельных
круговых цилиндров подобна характеристике излучения беско-
нечно длинной нити с током, параллельной осям цилиндров.
В случае, когда расстояние между цилиндрами Z достаточно
велико по сравнению с радиусами цилиндров (а_1; а+1 =/= 0), тем
же путем, что и в § 3 данной главы, для неизвестных величин
Xns (й) можно получить формулу
* IO~SFS____F~s
Xns (h) = F‘ + Щ . (6-4.47)
которой приближенно суммируются коэффициенты рассеяния вто-
ричных волн всех последовательных порядков рассеяния. Здесь
Fn определены формулой (6.4.24), L такое же, как и в (6.3.64), а
bsn
etn(n/2-(p_ss+<Ps)
^пНпУ (vag)
279
ОО
QS = V (-l)n
п~—СЮ
J'n(vas)
Hi!y(vas) ’
(6.4.48)
Fs= V Jn (ms) Я(1), о. -fo№°-q>s,-s+*/2)
„±M (vas)
z? = k2 — h2.
В волновой зоне в формулах (6.4.48) следует положить h =
= &sin6. Формулой (6.4.47) можно пользоваться для анализа
дифрагированного поля при значениях kl sin 6 > 1, если I намно-
го больше а = max {ag j (n_i, a+1 0). Этот случай более пол-
s=±l
но рассмотрен в [95, 102].
Заметим в заключение, что если ввести новую замену неиз-
вестных коэффициентов х„(/1) из (6.4.2) и x„s(/i) из (6.4.21), ана-
логичную (6.3.106), (6.3.107), то отыскание приближенных зна-
чений дифракционных коэффициентов может быть сведено к
решению систем вида (6.3.95), (6.3.96) с положительными индек-
сами пит.
ГЛАВА 7
ДИФРАКЦИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
НА СФЕРАХ
§ 1
Дифракция плоском волны на одной сфере
Пусть в неограниченном однородном и изотропном
пространстве с проницаемостями е, р, и проводимостью о = О
содержится шар с проницаемостями е2, р2 и проводимостью о2,
занимающий в сферической системе координат г, 6, q часть про-
странства г -< а, на который падает плоская электромагнит-
ная волна (1.3.4), имеющая в декартовых координатах х, у, z
(начало системы Oxyz совмещено с центром шара, рис. 35) от-
личные от нуля лишь компоненты
Е°х= ]/^H°u=Eeik\ (7.1.1)
В сферических координатах
E°=Eeifercose. (7.1.2)
Ставится задача по отысканию вторичных полей как вне, так
и внутри шара. В сферических координатах эта задача сводится
к решению двух скалярных независимых краевых задач для элек-
трического и магнитного потенциалов Дебая и и v, удовлетворяю-
щих уравнению Гельмгольца, заданным граничным условиям на
поверхности шара и дополнительному условию излучения на бес-
конечности, наложенному на потенциалы вторичного поля, рас-
сеянного на шаре. При этом различают два случая, когда
и когда о2 = оо. В первом из них полное электромагнитное поле
Е = Е° + Е1, Н = Н° 4- Н1 вне шара (Е1, Н1 — вторичное поле,
рассеянное на шаре) так же, как и поле внутри шара Е2, Н2,
может быть найдено через соответствующие потенциалы Дебая
и, v из формул (1.6.15), записанных в сферических координатах
(в каждой из областей электромагнитное поле рассматривается
как результат наложения полей электрического и магнитного
типов (1.6.22), (1.6.23), причем k = k0 V ре вне шара и /г2 = kl =
281
= (со2р,2е2 4- 4z лсор2о2)/с2 внутри него). На поверхности шара по-
тенциалы Дебая должны удовлетворять граничным условиям сопря-
жения (1.7.10), (1.7.11). Во втором случае электромагнитное поле
внутри шара равно нулю (fi2s0, ^ = 0), а вне шара поле находится
из формул (1.6.15), записанных в сферических координатах. При
этом на поверхности шара потенциалы должны удовлетворять гра-
ничным условиям (1.7.13). В обоих случаях решение скалярных
Рис. 35. Дифракция плоской волны на сфере
краевых задач предполагает знание явных выражений электриче-
ского и0 и магнитного zfi потенциалов Дебая1 первичного поля
падающей волны. Они находятся следующим образом.
Из (1.5.35) и (7.1.2) видно, что радиальная составляющая Е,
вектора электрической напряженности поля падающей волны свя-
зана с декартовой составляющей Е® соотношением
гЧ) • a COS <р дЕх /7,21
Ег = Ех sin 0 cos <j> =---— •------, (7.1.3)
ikr д 0
где функция представима на основании (3.6.9) разложением
СО
Е°х = Е V i" (2n + 1) /„ (kr) Рп (cos 0). (7.1.4)
п—0
Поэтому
со
£0 = Ecos<p_Y in (2n + 1) jn (kr) p'n (cos 0), (7.1.5)
tkr
n=l
r.1 , м (COS 0) „1 . „ „
так как Pn (cos 0) =--------—-------- , a Po (cos 0) = 0. Если искать
d 0
1 В дальнейшем потенциалы Дебая и и v (см. ч. I) обозначаются через uni со-
ответственно, что следует учитывать при обращении к (1.6.15), (1.6.22), (1.6.23).
282
электрический потенциал и° в виде ряда
ОО
«° = У ап jn (kr) Pln (cos 0) cos <j>,
(7.1.6)
то из сравнения (7.1.5) с выражением Е°г, получающимся через
(7.1.6) из (1.6.25) и (1.6.22), найдем
Ein 2п + 1
а„ =------------------,
ik п(п 4 1)
так как
j + k2 П Фп (kr) I = П(п+ 1) 1 ч|)„ (kr) 1
(dr2 J I £n(kr) ! r2 ( $n(kr) j’
где в обозначениях Дебая
(7.1.7)
(7.1.8)
(*) = xjn (х) = у Jn+l/2 (X),
tn(x)=xh™
(7.1.9)
Поэтому для электрического поля падающей волны
и<> =
Е cos ср
П?г
L Фп (kr) Pln (cos 0).
п(п + 1) t
(7.1.10)
Так как Ну
а из (1.5.35)
г го ггО .. - sin w дЕ%
Нг = И у sin 0 sm <р =-----------— ------~
ikr dQ
то после представления потенциала v° в виде ряда
й bnjn (kr) Р* (cos 0) sin <р
'У n=1
.fi из (1.6.25), (1.6.23) получим
ь — Ein 2n+1 i/~s~
j п ik n(n+l) F ц
) и тогда для магнитного поля
И
I'
283
= .„ 2»±L 4п (М pi (cos е) (7 л л 1}
ikr г р n(n.4~ 1)
Идеально проводящий шар. В случае идеально про-
водящего шара электромагнитное поле внутри шара тождественно
равно нулю, а потенциалы Дебая полного поля вне шара и —
= и° + и1 и v = v° 4- Ц1, на его поверхности будут удовлетво-
рять граничным условиям (1.7.13). Поэтому если искать потен-
циалы вторичного поля в виде рядов типа (3.1.15), полагая
и1 = У, V Втп 1 > (kr) Р™ (cos 6) elmf,
n—0 rn=—п
V1 = jb jh Bmn № (kr) Pnnl (cos 6) eim4),
n—0 m=—n
(7.1.12)
(7.1.13)
то придем к заключению, что условия (1.7.13) будут удовлетво-
рены, если в (7.1.12), (7.1.13) коэффициенты Втп == Втп = 0 для
всех т / + 1, а при т = + 1
B_i.„ = — п(п+ 1)В1П,
1пЕ(2п + 1) фи (ka)
2ikn(n~[-l) Zn(ka)
B—i n — n(n + 1) Вщ ,
(7.1.14)
Bln =
inE(2n+ 1) фп (ka)
2kn(n-\-l) t,n(ka)
где n— 1, 2, ..., поэтому
ц1 = __ Bcostp yi ,n 2n+ 1
i!^r n(n-\- 1)
Ф„(М pi(cos0) (7.1Д5)
Sn(^)
^=-(/
e £ sin
p. if^r
Фп(ka)
n~l
n(n+l) tn(ka)
B^(cose),
(7.1.16)
284
а потенциалы полного поля представятся выражениями
и = Е cos <р
sin ср
V(r, 6),
(7.1.17)
в которых
V(r,
8) = ^-У1.»- g"+1
ik2r n(n+ 1)
X I Ф„ (M------(М ] РУ (COS 0) (7.1.18)
I £%п(х) J
( Q имеет тот же смысл, что и раньше: в электрическом случае
Q= -----, а в магнитном-—Q= 1, x — ka
дх
Отысканием потенциалов поля фактически заканчивается ма-
тематическое решение задачи. Составляющие частных электриче-
ского и магнитного полей могут быть найдены через (7.1.17) из
формул (1.6.22) и (1.6.23), а составляющие полного поля — из
формул (1.6.15), записанных в сферических координатах. Для
полного поля
г- ₽ ( & , м) ( дР\
Er = Ecosср 1--(к г-----I,
Чдг2 I \ ае /
р Е- ( 1 д I
Ее = Е cos ср (----- ---- г
I г дг \
д2Р \
0О2” ) +
ik
sin 6
0Q )
00 J’
p E" • f 1 9 I дР\ , &Q
E„, = — E smro-----------r-----I + tk ——
1 rsin0 dr I 00 J 0 02
(7.1.19)
. / 8 p . 1 02
/ ----Esm<p — +fe-
1 p ( 0Г2
Де = 1/ ------fsincp
F p
ik dP , 1 0
sin 0 00
dr
02Q
002
rr f 8 „ I д2Р 1
//<₽--=!/ ----Дсоэф tk—~ +-------------—
V P I 0 02 Г Sin 0
(7.1.20)
0/ dQ \)
dr\ 00 )}’
285
где через Р и Q обозначены потенциалы Фока [49] полного поля,
связанные с потенциалами Дебая и и v формулами
и = Е cos m ~~ , V— л/' ..е Е sin <р ,
у ц ае
(7.1.21)
P=JPO_|_pl) Q=QO+Q1
Для первичного поля
со
р° = 2znt \ w р« <cos G)>
КТ tl(tl 1)
л=1
(7.1.22)
<2° = in- 2”Н Р" <COS 6)’
k2r ** п(п + 1)
а для рассеянного поля
Р1 =_____L_y in 2n +1
£2Г п(п + 1)
qi =_____
k2r п(п\ 1)
п=1
^^p„(cose)UM,
Cn(ka)
(7.1.23)
M±Pn(eosO)^n(fer).
Сп (/га)
Входящие в (7.1.19), (7.1.20) производные от полиномов Ле-
жандра Pn(cos0) по 6 вычисляются по формулам
dP„(cos()) ^_pin (cos е)
ае
= ctg 6 Р* (cos 6) — п (п + 1) Рп (cos 6),
a2P(cos0)
lim-----—------— =
е >о df}2
(7.1.24)
lim 1 dP„(cosO) = n(n+ 1)
e^o sin0 d0 2
.. d2P„(cos0)
hm _____LL2____——
lim 1 . dPn (cos 6) = n(n+ 1)
е^л sin0 d6 2
286
В приближении волновой зоны радиальные составляющие рас-
сеянного поля убывают как г-2, и в этом приближении они
равны нулю, а поперечные составляющие равны
Ее = 1/ JL = t£coS(P е*'5(6),
г е kr
____ (7.1.25)
— Ejp = 1 / -У- Hq = -£s-lnq? S* (6),
Ре kr '
где амплитудные функции 5(6) и 5*(0) определяются
НИЯМИ
выраже-
5(6) =
2п + 1
п(п + 1)
х (> (М (cos е) + Яп(с05 6) I (7Л ,26)
I ?„(fea) С„(М J
S«(6)=V- 2"+1 . х
п(п +
х lT^-^(cose) + ^Sr^(cose)b (7Л-27)
I Cn (М In (ka) J
Здесь
xn = ~Pn (cos 6) =-----Pn (cos 6),
at) a 0
(7.1.28)
Kn = —Дг- Pn (COS 0) =---------- Pn (cos 6).
sin 6 sin 6 d 6
Закон распределения плотности j поверхностных токов, индуци-
рованных на поверхности сферы, находится из (1.1.7), откуда
в сферических координатах при г = а
~ Ну, jy= — Hq (7.1.29)
4л 4л
(Н—вектор полного магнитного поля). Исходя из (7.1.20) и учи-
тывая, что определитель Вронского
^[фп(Д e„(x)]=t, (7.1.30)
287
получим:
Je ~~
Ес costp / _e_yi .п 2п-\- 1
4л ka г р n(n+l)
х | i tn (cos 6)
I tn(ka)
лп (cos 0) |
~ln(ka) ")
(7.1.31)
Ec sin <p
/ч> " . ,
4л ka
1/ e Vf" 2w+1
I1 я (« + 1)
i rcn (cos 6)
C (ka)
t„(cosG) ]
tn(ka) f
(7.1.32)
Поперечное сечение обратного рассеяния (радиолокационное по-
перечное сечение) для шара, согласно определению, будет равно
ов = lim 4л г2
Г-* сЮ
г?0
^0
(7.1.33)
где значение Ее берется в направлении на источник (0 — л,
<р = 0), или
ов=^-|5(л)|2. (7.1.34)
к2
Из (7.1.25) видно, что в волновой зоне векторы Е1, Н1 вза-
имно перпендикулярны. Из этих же формул видно, что рассеян-
ное поле линейно поляризовано лишь в направлениях, лежащих
в плоскостях, параллельных плоскости <р = 0, л либо плоскости
л Зл
<р = ———, ——. В направлениях, отличных от указанных, поле
эллиптически поляризовано и для них величина поперечного се-
чения рассеяния (двухпозиционного) равна
где
О' — Gq Оф, (7.1.35)
Ое= cos2 ср IS (6) I2, rv (7.1.36)
о =^sin2<p|s*(e)j2- л2 (7.1.37)
288
Полное сечение рассеяния вычисляется по формуле
os = —ReS(O).
(7.1.38)
Бесконечные ряды по сферическим волновым функциям, че-
рез которые выражаются все величины, указанные выше, удобны
для проведения численных расчетов в том случае, когда радиус
шара не превосходит существенно длины волны Хо (ka = 2л а/^
порядка <,Ю). Сходимость рядов улучшается с уменьшением
значений параметра ka, и при ka «С 1 основной вклад в значение
суммы ряда дает слагаемое с индексом суммирования п = 1. При
увеличении ka сходимость рядов ухудшается, и при больших ka
(ka > 1) для получения удовлетворительного числового резуль-
тата в рядах следует учитывать приблизительно ka первых сла-
гаемых, что приводит к большому объему вычислительной ра-
боты. Однако в этом случае можно получить приближенные
формулы, удобные для численных расчетов, если применить к ря-
дам асимптотические методы суммирования, например преобразо-
вание Ватсона [48, 143] или же метод Фока [68, 69, 71—74].
Представим функцию V(r, 0) из (7.1.17) в виде
У(г, 0) =
dW
де ’
где
w = p
в случае электрического поля и
W — Q
(7.1.39)
(7.1.40)
(7.1.41)
для магнитного поля, и запишем амплитудные функции 5(0),
5 (0) рассеянного поля в виде
5(0) д2Р2 1 dQ2
де2 sin0 d0
3*(6) 1 sin© дР2 d?Q2 дв де2 ’ (7.1.42)
где
Л=1 2п -4— 1 п(п-р 1) tn(ka)
= lim (— Г-гСО k2r) e~ikr Р1, (7.1.43)
19. Е. А. Иванов
289
4“ 1
n(n + 1)
ФП(М
ЦМ
Pn (cos 6) =
= lim (— k2r) e~№r Q1.
r-^oo
(7.1.43)
Тогда при помощи преобразования Ватсона для функции W по-
лучаются асимптотические выражения, имеющие в области гео-
метрической тени (0 <6<л/2) вид (x—ka)
W(r,
6) =
-g- i кУгг~аг+-^-
x e i 3
&2}/2rsin6(r2 — d‘
Cs
1 4-e2niVs
/ Л a \
£ v Го--arccos-
Xe s'2 -Jo(vs6) (7.1.45)
в зависимости от положения точки наблюдения относительно луча
0 = 0. Здесь через vs обозначены, как и в задаче дифракции пло-
ской волны на цилиндре, нули функций О.Н^(х), приближенные
значения которых могут быть найдены из (2.2.41) или (2.2.42),
a Cs имеют тот же вид, что и (6.1.37) или (6.1.38), в зависимо-
сти от характера потенциала Дебая в (7.1.17), для которого
строятся асимптотические выражения (7.1.44), (7.1.45). В случае
электрического потенциала значения vs и Cs определяются форму-
лами (2.2.42) и (6.1.38), а в случае магнитного потенциала озна-
чения vs и Cs находятся из формул (2.2.41), (6.1.37). В физиче-
ской интерпретации выражения (7.1.44), (7.1.45) представляют
собою суммы волн вычетов (ползущих волн), огибающих шар.
При 1 ряд (7.1.44) сходится очень быстро, если точка наблю-
дения, находясь в области геометрической тени за шаром, не при-
надлежит окрестности луча 0=0 (фокального луча), вдоль ко-
торого обращается в нуль функция sin0, находящаяся в знаме-
нателе (7.1.44) (волны вычетов фокусируются вдоль луча 6 = 0).
В окрестности фокального луча 0 = 0 асимптотическое представ-
ление (7.1.44) становится несправедливым и непригодным для
290
употребления, так как оно выводится в предположении, что
| vs sin 6 | 1. Распределение поля в области геометрической тени
вблизи фокальной линии 6 = 0 при больших значениях х нахо-
дится при помощи асимптотического выражения (7.1.45), где
Л(х) — функция Бесселя нулевого порядка.
В волновой зоне теневой области (г -> со) в направлении рас-
пространения падающей плоской волны (6 = 0) обращается
в нуль показатель экспоненты в (7.1.45), обеспечивающий до этого
е-о
Рис. 36. Отражение от сферы согласно геометрической оптике
сходимость ряда. Поэтому формула (7.1.45) непригодна для изу-
чения поведения поля в волновой зоне области геометрической
тени. Она непригодна по той же причине и для вычисления по-
перечного сечения рассеяния os. Сходимость ряда (7.1.44) нару-
шается вблизи границы, отделяющей область геометрической
тени от освещенной области, т. е. в окрестности 6 = л/2, где не-
пригодна и формула (7.1.45), выведенная в предположении, что
I vs 6 | не очень велико по сравнению с единицей.
В освещенной области асимптотически (л/2 < 6 < л)
W (г, 0) ~wg(r, 0)4- w(r, 0), (7.1.46)
где
<7*+-^- ik( p2-2a cos у) +~
wg(r, 0) = —----------------4 —-------------------------X
V k(kq)2 k(kp)2
X {a2 sin 2y [4r sin 0 ]frz — a2 sin2y — 2cz cos y]—1 }1/2 (7.1.47)
(здесь У а2 — p2 = a cos y, ]/r2 — q2 ~ rcos6, где p = tzsiny,
a 7 = rsin6; рис. 36), a
, m V c,
w(r, 6) =--------------------------- ▼ -------5-----X
1 ; k2 (r2-n2)1/4 1 4 ? *'
19*
291
[(. “ , я к Л 1 -Г ( 5л а \ я 1}
~ M0-arccosv+v)+-J +e44^-arccos--ej--rj|, (7.1.48)
если 0 не принадлежит окрестности фокального луча 0 = л,
вдоль которого обращается в нуль sin0 в знаменателе (7.1.48).
В окрестности фокального луча 0 = л распределение поля нахо-
дится при помощи выражения
Глх 1 с5
k2 Vr (г2 — a2)1'4 1 + е2Я 1 Vs
—arccos-
Л К (л —0)].
(7.1.49)
Формула (7.1.48) является справедливой в предположении, что
| vs sin 01 1, в то время как формулой (7.1.49) можно поль-
зоваться лишь в предположении, что величина |vs(0 — л)| не
слишком велика по сравнению с единицей (х^> 1). Величины vs
и Cs в (7.1.48), (7.1.49) имеют прежний смысл. Обе формулы
(7.1.48), (7.1.49) пригодны для расчета поля в волновой зоне.
При г оо они принимают «вид
и
w(r, 0)
S
(7.1.50)
w(r, 0) =
ЛА>кМл-е)].
(7.1.51)
соответственно. Функция (7.1.47) в волновой зоне задается выра-
жением
. е . /л
л —2tx sin———
лкг cos 0 ifer 2 2
I € ___ С XC /7 1
eT
xcos-----
2
k (kr sin 0)2 k2r g
292
где нижний знак берется в случае электрического поля, а верх-
ний — магнитного.
Пользуясь этими асимптотическими представлениями функции
1Р(0, г) и соотношениями (7.1.39), (7.1.19), (7.1.20), можно че-
рез нее найти асимптотические выражения для электрического
и магнитного потенциалов Дебая, а через них — и выражения
составляющих электромагнитного поля. В частности, для ампли-
тудных функций S (6), S* (6) рассеянного поля в волновой зоне
освещенной области из (7.1.43) и (7-1.46) получаются (при г->оо)
асимптотические выражения
„. . е nt
v —2ixsin—-----—
S(6)=-|_e 2 2
5 in
x(‘eW
1^2 sin 6
Cs Liv(4 +e) _ ietVs<2"-9>
l-J-e2"'** I
(7.1.53)
5 in
n- • & , ni “к- io
-2txsin—+— x e1
— e + —.
2 p 2sin0
(7.1.54)
где x = ka. В (7.1.53) Cs и vs отвечают случаю электрического
поля, а в (7.1.54) — магнитного. Выражения (7.1.53), (7.1.54) вы-
0
ведены в предположении, что х cos sin 0 1, поэтому они ста-
новятся несправедливыми в окрестности фокального луча 0 = л,
когда вместо (7.1.53), (7.1.54) следует пользоваться асимптотиче-
скими представлениями
CsenZv®
1 + e2ni’vs
Х[/оК(л — 0)] — J2[vs(n—0)]]| —
ie
(7.1.55)
С einVs
—"Ж [Л (л— 0)] + J2 [vs (л — 0)]]
+ e s J
x — (p2xsin-|-------5-)
S* (0) = ~ e V 2 2 ' —
2S3
Vл х4/3 е~'я/3 V f I CseniVs
2 "|| 1 + e2n‘vs Х
X [J0[vs(n — 6)] — J2[vs(n — 0)]]l —
)m
C eniVs
S ...2nivs (Я — 6)] + Л к (Л — 6)]]
(7.1.56)
Асимптотические выражения компонент рассеянного поля и ампли-
тудных функций в области геометрической тени можно получить
из (7.1.44), (7.1.45) и (7.1.39), (7.1.19), (7.1.20). Однако, как это
уже отмечалось, они будут непригодными для расчета поля в вол-
новой зоне и в окрестности 6 = 0.
Для плотности поверхностных токов /е, ]'ч, определяемой фор-
мулами (7.1.31), (7.1.32), при ka > 1 получаются асимптотические
выражения
cF f ¥
Io—~ — 1/ --------cos<r<p(6), (7.1.57)
4л г g
/ф= — ~ sin<pip(6), (7.1.58)
4л V р
где в теневой области (0 < 6 < л/2)
<р(6) =
i
/sin 6
ф(6) =
(7.1.59)
х-!/зе-^/з *s (1+е) + (4-е)
/sinT " S 1 + <?niVs
если точка поверхности шара не находится в окрестности полюса
0 = 0, и
<Р (6) = —I /2л х >, Ds ———J» К0)’
s 1 + е
(7.1.60)
ф(0) = - /2лх1/6е-2ш/3 SDs 6 УД Jo(vs0),
s 1 + S
если точка поверхности шара лежит в окрестности полюса 6 = 0.
В освещенной области вне окрестности полюса 6 = л (л/2< 6 < л)
294
q)(e) = 2eUcose + —
p smfi
—1/3 —ni/3
ф(6)=-2cos0ёхcos6 + -X *------- X
]/sin0
(7.1.61)
а в окрестности полюса 0 = л
Ф (0) = 2etecos 0 — i /2^х X
;(3vS___л_\
V4 е' 2 4 /
х 2j 2mys ' J°IVs (я ~ 6)1 ’
s 1 + e
ip (0) — 2 cos 0 eix cos 0 + }ё 2л e 3 x 6 X
(7.1.62)
., 3v,_2M
So \ 2 4 )
D* —j , 2nZvs J0 К - 6)]
<. 1 + e s
(в (7.1.59) — (7.1.62) в выражениях для <р (0) величины Ds и vs
отвечают случаю электрического поля, а в выражениях для ф(0)—
магнитного). Недостаток асимптотических формул, выведенных
при помощи преобразования Ватсона, устраняется асимптотиче-
ским суммированием рядов в дальней зоне методом Фока. Как по-
казано в [68,69], использование идей Фока не требует раздель-
ного рассмотрения задачи в области геометрической тени и в ос-
вещенной области. Особо исследуется лишь поведение поля
в окрестности фокальной линии 0 = л, 0 = 0. При этом для ам-
плитудных функций S(0), S* (0) из (1.7.24), (7.1.25) получаются
асимптотические выражения (волновая зона)
S(0)=Sg - -gL - ё* g (М 0) + ш“(2я-0^ (М (2л - 0)) -
I у sin0 L v J
295
1
A4,/2sin6 [/sin 0 X
X ieixej(MQ) — eix{2n~6}f(M(2n — 0)) |,
S* (0) = Sg —
2A45/2
j/sin0
X eixG f (MO) + ieix(2n~e}f (M(2л — 0))
____________1__________ v
A41/2sin6[/sin0
ieixQg(M 0) — е‘х(2я-е)£ ( M (2л — 0))
. л . e л \
£e-l(2xsm— - — j
(7.1.63)
(7.1.64)
где функции f(x) и g(x) определены, как и в (6.1.69), (6.1.64),
(ka у/3
1 . Как отмечается в [68], при расчете поля в слу-
чае больших значений параметра ka в первом приближении можно
ограничиться лишь двумя первыми слагаемыми в фигурных скоб-
ках формул (7.1.63), (7.1.64). Однако при этом следует иметь
в виду, что функция f(x) с ростом положительного аргумента
убывает быстрее, чем g(x), в связи с чем выражение в квадрат-
ных скобках в S* (0) становится по величине сравнимым с пер-
выми двумя слагаемыми. Поэтому при уточнении результата для
значения S* (0) следует сохранять и слагаемые, содержащие
функцию g(x).
Формулы (7.1.63), (7.1.64) справедливы в волновой зоне для
всех углов наблюдения 0, за исключением лишь окрестностей
0 = 0 и 0 = л.
В окрестности 0 = л вместо (7.1.63), (7.1.64) получаются
асимптотические выражения
S(0) = + 2iMt /л е'хяе-гзя/4 \/~ П~6 - X
f sin (л—0)
X (Л + iVi) g (М 0) + (Z - ) g (M (2л - 0)) +
296
+ —?—- [(A —»А) f(MQ) +
xsinO
+ (A + iA) f {M (2л - 0))] j, (7.1.65)
S* (0) = Sg 4- 2iA44 Vл eixn e~i3n/i I / —--— X
V sin(n-O)
X I (A + <7.) f(M 0) + (J1 — Ui) f (Af (2л — 0)) +
+7^4<Л--Л)г(Л<<|> +
+ (A + i A) g (M (2л — 0))] |, (7.1.66)
в которых функции Бесселя J„(X) и их производные берутся от
аргумента X = х(л — 0). Формулы (7.1.65), (7.1.66) при х(л—0)^> 1
переходят в формулы (7.1.63), (7.1.64).
В окрестности фокального луча 0 = 0 асимптотические выра-
жения для амплитудных функций S(0), S*(0) имеют вид
S (0) = — 2Л44 ]/л е^41 (Ji + ij"i) g( — MQ) +
+ (А - iJi)g(M6)- ---!— X
xsin 0
x ka - i A) f (~ м o) + (A + th} f (M o)i
(7.1.67)
S* (0) = 2Л44 Ул ein/4 (A + «А) f ( — Л4 0) +
+ (/J — iA) f (M 0)-------!---x
xsinO
X l(A ~ М2) g (- M 0) 4- (Jx + iJ2) g (M 0)]l, (7.1.68)
где функции Бесселя и их производные берутся от аргумента
х0. В первом приближении для расчета поля в окрестности 0—0
можно пользоваться формулами
297
S (6) = 2 Mi Vn е~13л/4 [(J2 + iVj) g (— м 6) +
-t-(J2-tyi)g(M6)L (7.1.69)
S* (6) = — 2/И4 /л e‘"/4 [(J2 + iJj) f ( — M 6) +
+ (J2-iJ1)f(Aie)]. (7.1.70)
Численный счет по формулам строгой теории и по асимпто-
тическим формулам, приведенным выше, дает при х > 5 удовле-
творительное согласие результатов, улучшающееся с возрастанием
x = (ka) [68].
Асимптотические выражения (7.1.57) — (7.1.62) для плотности
поверхностных токов, наведенных на шаре, непригодны для рас-
четов в непосредственной окрестности границы тени и освещенной
области (0^;л/2). В этой окрестности можно пользоваться асим-
птотическими выражениями
cos <р
6 [Ain 6
. • ivz(-^--e+2nz
+ ig е v 2
. _ сЕ । f в е1Я/6 sin
V ?/362/VsinO
хЁ(-1ф(ыЯв+^+!“‘) +
z=o '
(7.1.71)
' ivl
+ ig(gz)e
(nr -e+2nZ
Г I X \i/3 in/з/а , n . о A S (x \1/3Jn/3./
где ?, = I--I e 6 H---------[- 2л I , Ez = -- e X
^6/ ^ 2 ) \ 6 )
X I 6---— + 2л I j, ag(E)—функция Фока, определенная здесь
298
формулой
у< (как и раньше, в подынтегральном выражении Q = 1 в случае
'* поля типа ТМ и Q = д/дх в случае поля типа ТЕ). Практически
Л главный вклад в значения функций /е и /ф дают члены с ин-
q дексом суммирования I = 0, определяемые интегралами g (g), чис-
ленные значения которых находятся из таблиц (таблицы функций
Ч Фока имеются в работах [169, 170]).
М Шар с конечной проводимостью. В случае шара с
> конечной проводимостью наряду со вторичным полем вне шара
I будет существовать (отлично от нуля) и поле внутри шара, опре-
деляемое потенциалами и2 и о2. Их можно искать в виде рядов
j.-j двигание ио1смциалами w и с . tia мижни искать и виде рядов
| типа (3.1.13):
* -j СО п
J = S S Лтп/„(V)P" (cos 6) eim<₽, (7.1.72)
п—0 т=-—п
V2 = Y Am in (М (cos 6) e'm<₽,
(7.1.73)
п—0 т=—п
коэффициенты которых должны быть найдены из граничных усло-
вий (1.7.10), (1.7.11). Если искать потенциалы u1, v1 поля, рас-
сеянного на шаре, вновь в виде (7.1.12), (7.1.13), то граничные
условия (1.7.10), (1.7.11) будут удовлетворены лишь при условии,
что
Атп — Атп — Втп — Втп — 0, когда tn =J= + 1,
A—1,„ и (п 4-1) Л1п, TJ—i n— п(п + l)Bi„,
(7.1.74)
= п(п + l)Xn, fiLi.n = п(п -+- 1)в1„,
где
k ц2 фп (k2d) (kd) — k2 р ф„ (&2а) (ka)
in 2п+ 1
ik 2n(n + 1)
299
/г р2 ф„ (ka) ф„ (fegtz) — fe2 рф,'; (ka) ф„ (k2a) k Н2 Zn (kd} (k?d) — k2 H Zn (kd)tyn (kzd) Л* E* 1 f 2ft + 1 Am = E 1/ x k v p 2n(n + 1) (7.1.75) X/ H k2
k p2 tn (ka) ф„ (k2a) — p k2 t,n (ka) ф„ (/г2а) Вт = -E—1 /- 2n +--- X k V p 2n(n + 1) ( y- k Рг фп (ka) ф„ (k2a) — fe2 рф„ (ka) фп (/г2а) k p2 (ka) фп (k2a) — k2 p£n (ka) ф„ (k^a) Тогда для рассеянного на шаре поля . Е cos <р Vi 2п + 1 и1 = > 1" X ik2r — п(пф1) X ₽„P*(cose)^(^), (7.1.76) а gl _ Bsincp / s ik2r V p X S in ^cos 6) Ukr), (7.1 -77) где через a„, p„ обозначены коэффициенты Ми [45, 113] a = k p2 фп (ka) — fe2 p (fe2«) Фп (ka) k p2 tn (ka) — k2 p -/л (k2a) £n (ka) (1Л.18) p = k2 p фп (ka) — fe p2 xn (k^) фп (ka) k2^tn(ka) — k\i2/^(k^i)ln(ka) a Tn(k&) = - (7.1.79) ФпМ
Определением коэффициентов Атп, Атп, Втп и В™ полностью
решается задача о рассеянии плоской электромагнитной волны на
300
шаре с конечной проводимостью. Составляющие вторичных полей
вне и внутри шара могут быть найдены по формулам (7.1.19)—
(7.1.20), где для рассеянного поля
—* У in 2»+ 1
k2r п (п 4-1)
п=1
a„U(^)Pn(cose),
(7.1.80)
QT =
-ip* 2n -t- 1
-----A in------------
k2r n (n + 1)
n=l
p„C„(fer)P„(cos 6),
а для поля внутри шара
Р2 = _1 У /П 2П + 1
klr ~ п(п+ 1)
л=1
_______________А^НгФ» (V)__________________
k р2 (k2a)tn (ka) — k2 р ф„ (k2a) С (ka)
P„(cos0),
(7.1.81)
v = 2n+.L_
k2r “ n(n -j- 1)
р4/^фп (k2r)
-------,----------------------------------------'Pn (cos 6).
k [12 (ka) фп (k2a) — k2 p ф„ (k^i) (ka)
В волновой зоне приближенно выполняются соотношения
(7.1.25), где амплитудные функции S(6) и S*(6) задаются раз-
ложениями
S (6) = V — 2П-4~ 1 {а„т„ (cos 6) 4- Р„л„ (cos 6)}, (7.1.82)
~ п(п+\)
п=1 х
S* (6) =У —2.п4~1.. {р„^п(СО56) + P„T„(cos6)}. (7.1.83)
±i n<n+1)
Если учесть, что ((7.1.24), (7.1.28))
лп(1) = 'гп(1) = уп(« + 1),
л„( — 1) = т„( — 1) = п(« 4- 1).
301
то
со
S (0) = S* (0) = (2n + 1) {ап + ₽„},
Л=1
(7.1.84)
СО
8(л) = S* (л) = (- 1)" (2n + 1) {а„ + ₽«),
п=1
и для сечений рассеяния получатся выражения
= У(-1)"(2п+1)(а„+Р„) 2, (7.1.85)
kz
п=1
г 00
crs = 4rReS(0) = '^Re X (2n + + ₽„), (7.1.86)
kz kz
a = — {cos2cp | S(6) ja 4- sin2 cp | S* (6) I2}. (7.1.87)
§ 2
Поле электрического (магнитного) диполя
в присутствии шара
Рассмотрим теперь задачу о дифракции поля, излучае-
мого электрическим либо магнитным диполем, на шаре.
Пусть элементарный дипольный излучатель с дипольным мо-
ментом а (для электрического диполя а = р, а для магнитного—
а = ш) находится в некоторой точке Р однородного и изотропного
неограниченного пространства с электрической и магнитной про-
ницаемостями е, р и с проводимостью о = 0, расположенной на
расстоянии I от центра шара радиуса г — а, и пусть в коорди-
натной системе Oxyz с началом в центре шара дипольный момент
образует некоторый угол а с положительным направлением оси
Oz, проходящей через точку Р (вектор а лежит в плоскости Oxz,
см. рис. 37). Электромагнитные свойства шара характеризуются
постоянными е2, р,2 и °2> гДе в общем случае о2 =f= со.
Ставится задача отыскать вторичные поля вне и внутри шара.
Как обычно, решение этой векторной задачи состоит в интегриро-
вании однородной системы уравнений Максвелла (1.1.4) (для вто-
302
ричных полей) при граничных условиях (1.1.5) или (1.1.6) на по-
верхности шара и дополнительном условии на бесконечности, на-
ложенном на векторы Е1, Н1 рассеянного поля. В сферических
координатах она может быть сведена к двум независимым ска-
лярным задачам относительно потенциальных функций и и V,
удовлетворяющих однородному уравнению Гельмгольца, граничным
условиям (1.7.10), (1.7.11), если <т2 =^оо, или условиям (1.7.13),
acosa
asina
Рис. 37. Возбуждение шара
полем диполя
если о2 = оо, и условию излучения на бесконечности для потен-
циалов и1, vl рассеянного на шаре поля [50, 70].
Поле электрического диполя в свободном пространстве может
->о / \
быть найдено через электрический вектор Герца П (см. (1.3.9))
из соотношений (1.2.13), а поле магнитного диполя — через маг-
нитный вектор Герца П (см. (1.3.10)) из соотношений (1.2.17).
Очевидно, что если представить момент диполя а в виде суммы
а — ах -4- а2,
где аг = {0, 0, | а| cos а}, а а2 = { | а| sin а, 0, 0}, то и отвечаю-
щие им векторы Герца могут быть записаны в виде суммы 11х + П2,
в которой
П1= ( 0, 0, | а | cos a
П2 =
|a|sin.a------, О, О
303
Поэтому первичное поле диполя с дипольным моментом а, на-
правленным под углом а к оси Oz, можно рассматривать как ре-
зультат наложения двух частных электромагнитных полей: поля
Е°, Н?, обусловленного только вертикальной составляющей век-
тора а, и поля E°, Нг> обусловленного только горизонтальной
составляющей вектора а. Каждому из частных полей отвечают
свои потенциальные функции и и v (заметим, что вертикальный
электрический диполь возбуждает электромагнитное поле только
электрического типа, а вертикальный магнитный диполь — только
поле магнитного типа).
Найдем явные выражения потенциалов и°, первичного поля
электрического и магнитного диполей.
В случае вертикального электрического диполя
11° = Р]еад//?, (7.2.1)
где | Pi | = Pi = | р | cos а, причем рг = {0, 0, pj. Переходя к сфе-
рическим координатам г, 6, <р с началом в точке О (полярная ось
направлена вдоль оси Oz), получим
->о
п = {п°cose,—п°sine, о},
где П° = p^e^lR, а (I = Ь)
R = /г2 + 62 —2hrcos6 . (7.2.2)
Следовательно, в сферических координатах П° = П° (г, 0)
и -----= 0 (первичное поле диполя обладает аксиальной сим-
d ср
метрией). Поэтому, расписывая (1.2.13) в сферических координатах
и учитывая, что имеет место соотношение
ап» cose dip 1 dn° .79Ч,
дг г de b de
получим для составляющих первичного поля выражения
E°r =----------—
br sin e
d
de
• а дП°
sine -—
de
p0 1 d / dn°\
Ee ---------r------I,
rb dr \ de
(7.2.4)
=
tfepe dll0
b ’ d6
304
Составляющие электромагнитного поля в сферических координатах
могут быть записаны через потенциальную функцию Дебая и°
(в случае, если поле электрического типа) формулами (1.6.25),
(1.6.22). Из сравнения их с (7.2.4) (д/дср = 0) находим
1 о e‘kR
u° = — 1I° = P1—. (7.2.5)
b bR
Применив формулу (3.6.7), положив там cosy = cos0, получим
разложение потенциала Дебая первичного поля вертикального
электрического диполя в ряд по сферическим волновым функциям
0 ‘Pl V/O , пп i о J'Фп (^г) (^)> Ь>г,
= (2n+l)P„(cos6) (7.2.6)
kbrt0 \^n(kbKn(kr), b<r.
Так как поле вертикального электрического диполя является по-
лем только электрического типа, то для него гА~0.
В случае горизонтального электрического диполя
П = р2е,ад / R, (7.2.7)
где | р21 = р2 = | РI sin а, причем р2 = {р2, 0, 0}. В сферических
координатах
-»-о
П = (Ucostp, 0, — ГР sin ср},
где П° = p-->ekRlR, причем, как и в предыдущем случае, П° =
дП°
= 11°(6, г), 1
= 0. Из (1.2.13) в сферических координатах
dtp
радиальные составляющие поля диполя выражаются
находим, что
формулами:
Так как
СО5ф Г д ( а dll0 cos 6 де \ дг sin 6 д 11° \ 1 —
г де }
СОЭф / . n dll0 , cos6 sm е . дП° ) (7.2.8)
г \ дг Г де )
г,о ikoе п т = Sin ф г д!Г' де (7.2.9)
дП° _ дП° - — cos е sine дП°
дЬ дг г де
1 дП° • Q дП° , cos6 дП°
b 20. Е. А. Иванов де дг Г . г де
305
то вместо (7.2.8) можно записать
go _ cos ф д
г 30
ЗП° П°\
db b /
(7.2.10)
В сферических координатах составляющие Е®, Н°г поля диполя
могут быть записаны на основании (1.6.25) и (1.6.15) в виде
32(ш°) +fe2(mo)
dr2 К
Я° = -^2(Г1)О) +fe2(ro°),
dr2 V
(7.2.11)
где и° и ц° — потенциалы Дебая. Поэтому если представить функ-
цию II0 в виде ряда (3.6.7)
-ieuy'(2n + i)p„(cose)f b<r’
kbr ~ ь>г,
и подставить это выражение функции II0 в правые части (7.2.9)
и (7.2.10), то получим
£0_ i cos ф р2
r~ Ьг2 Х
(2«+ l)Pn(cosO)
Фп(^) t,n (kr),
% (kr) t>’n (kb),
b<r,
b>r,
(7.2.12)
7Y°= 1 f E P2sin(P x
r V p br2
v inoO ml ^(kb)ln(kr), b<r,
X у , (2n +1) P* (cos 6) 1
£ [^n(krKn(kb), b>r,
а из (7.2.11), если искать u° и и0 в виде рядов
и0 = ап Р'г (cos 0) I
П=1 I
^n(kb) t,n(kr),
yn(kr) (kb),
1 ” f
^ = y^/>„pi(cose)
n=l I
^n(kb) t,n(kr),
^n(kr)t,n(kb),
b<r,
b>r,
(7.2.13)
b<r,
b>r,
306
получим на основании (7.1.8)
СО
E’=iVa„n(n+ 1) Pi (cos 6)
г2*—<
л=1
tyn(kb)t>„ (kr),
^>n(kr)Zn(kb),
OO
H°r= ~Уьпп(п+ 1) Pi (cos 6)
/ *—
n=1
^n(kb) £n(kr),
^n(kr) (kb),
b<r,
b>r.
(7.2.14)
b<r,
b>r.
В результате путем сравнения (7.2.12) с (7.2.14) устанавливаем,
что потенциалы Дебая первичного поля горизонтального электри-
ческого диполя представляются разложениями в ряды по сфери-
ческим волновым функциям вида
U®
/p2COS(p
br
V 2п +1 nl/
у -------1----Pi (cos 6)1
П(п+!) \^n(kr)tn(kb),
b<r,
b>r.
(7.2.15)
,0 = 1 / _L_ Pz sin ф
г ц br
2n + 1
n(n+ 1)
Pi (cos 6)
^n(kb)^n(kr),
ф„ (kr) ln(kb),
Ь<О
(7.2.16)
b>r.
Тогда для потенциалов Дебая первичного поля электрического
диполя, направленного под углом а к оси Oz, получим выра-
жения:
°= ^7 S(2п + ° p"<cose)
^n(kb) t,n (kr)
yn(kr) t,n(kb)
iT|p|sina y 2n+l , x
br n(n+\)
n— 1
x ( ty'n(kb)t,n(kr), b<_r,
I ^n(kr)C(kb), b>r,
V = |p|sinctsinq>
Ир, br
20*
307
CO
Л=1
2м+1 D1, a.\K(kbKn(kr),
- ^(cos6)
n(n+D Ф„(^)?„(^),
b< r,
(7.2.18)
b>r.
Аналогичным путем находим, что в случае магнитного диполя,
направленного под углом а к оси Oz, потенциалы первичного поля
его будут задаваться выражениями:
kbzr
п=0
Фи (kr) (kb)
^n(kb) t,n(kr)
i tn sm a cos <р ул 2n + 1 ,
———-—З-Л ---------------— P„(cos6)x
br n(n 4- 1)
фп (kr) tn (kb), b>r,
^'n(kb)ln(kr), b<r,
(7.2.19)
| m | sin а
br
simp X
XS~ p"(cos6)
n(n + 1)
n—l
ь>г, (722o)
Ф„(^)?„(М. b<r.
Выраженйе (7.2.17) для потенциала u° поля электрического ди-
поля в свободном пространстве будем в дальнейшем записывать
в виде
",=vS S(2"+DA»x'
п=0 т——п
ХР"( |-Pn*(cos6)е1"1<₽, (7.2.21)
где
_ cos а | ln(kb), b>r,
°” kb | ^t!(kb), b<r,
A-lin = — n(n + 1) Aln, n>l, (7.2.22)
. _ sin а I tn (kb), b>r,
*^•1 fl ~ 1
2n (n 4- 1) j r,
Атп=®, если |m|> 1, n=0, 1,...,
308
а выражение (7.2.19) для потенциала поля магнитного диполя
в свободном пространстве — в виде
• 11“ "
Ё £(2»+1)В„х
п=0 т——п
Ф„(М
Pj?(cos6) eim\
(7.2.23)
где
п cos a
й°п-----тг~
kb
t,n(kb), b>r,
$n(kb), b<r,
B-i.n= — «(« + l)Bm
sin a
2n (n 4- 1)
tn(kb), b>r,
ф,, (kb),
b<r,
Bmn = 0, если | m | > 1, n = 0, 1,...
Электрический диполь над идеально проводя-
щим шаром. В этом случае потенциалы Дебая в области
внутри шара равны нулю и подлежат определению лишь потен-
циалы и1, и1 вторичного поля, рассеянного на шаре. Если их
искать в виде разложений типа (3.1.15)
СО п
ч1 = Д-V У апи. In (kr) Рп (cos G)eim*, (7.2.24)
kr
n=0 m—~n
CO n
V1 = У bmn (kr) P™ (cos 6) eim<f , (7.2.25)
n=0 m=—n
то из граничных условий (1.7.13) для потенциалов и = и° 4- и1,
v — v° + v1 результирующего поля найдем, что эти условия вы-
полнятся лишь в случае, когда в качестве коэффициентов рядов
(7.2.24), (7.2.25) будут взяты выражения (р = | р|):
----l^P_(2n+ 1)2M^L д Ь>а = г, (7.2.26)
Zn(ka)
bmn — 0, если т — 0 и | т | > I,
b-i.n = п(п+ 1)Ь1п, п>1, (7.2.27)
309
Е /epsinci
[i 2Ы
В результате получим, что
Ьщ =
2п + 1
п(п 4- 1)
г ....
t,n(ka)
п=0 т~—п
•ф» (ka)
£n(ka)
U
а
п
х (kr) Атп Р™ (cos 6) eimt, (7.2.28)
1 л f е
V1 = — 1/ --------sirup
к н
р sin а уч 2п + 1
£>r п(п + 1)
X -^—-^AkbKA^Pn^osQ). (7.2.29)
^n{ka)
Тем самым полностью решается математическая задача для по-
тенциалов Дебая поля электрического диполя в присутствии иде-
ально проводящего шара. Функции (7.2.28), (7.2.29) удовлетворяют
всем условиям задачи. Для результирующего поля в области
> a
т——п
х К I (cos е> е^’ <7-2-30)
( ln(ka) 1
р sin a sin ср уч 2п + 1
6г п(п+ 1)
X | фп (kr) — (kr)\ (kb) P^(cos 6),
I (ka) J
а в области r>b
n=o m—~n
(7.2.31)
X { Amn (b< r) - ^^~Amn (b > a)j x
I (ka) j
310
X (kr) Р™ (cos 6) eimt, (7.2.32)1
_ , Г е р sin a sin <р уч 2п 4- 1
v р br ~ п(п + 1) Х
X ( ф„ (kb) - (kb) ) (kr) P'n (cos 6). (7.2.33)
I tn(ka) J
Составляющие поля E, H могут быть теперь найдены через
(7.2.30)—(7.2.33) в любой точке пространства из формул (1.6.15),
записанных в сферических координатах.
Из (1.1.7) и (1.6.15) при помощи (7.1.30) находим, что закон
распределения плотности поверхностных токов, наведенных полем
диполя на поверхности шара, будет определяться формулами:
У(2„+1)л„(/»<»х
4л Ьа (
п~0 т——п
Zn(ka) sine
—i
4л ba ( sin 6
oo n
y^(2n-'r l)mx
rc=0 m=—n
X Amn(b>a) P,7(cos 6) eIm<₽-—, ---sin a sin q; X
ln(ka)
у 2n +1-------^n(kb) p (cose)
n(n+l) ln(ka) dtf
(7.2.35)
I je =-----— 7Y„, а /ф =He при r = а). В частном случае
\ 4л 4л ,/
вертикального электрического диполя, когда a = 0, / = 0, а
/е = (2п + ° (7 2-36)
4л b2ka Ln (ka)
n—Q
1 Атп(ЬзЁг)—это коэффициенты Атп, определенные при Ь а: г, как
в (7.2.22). В дальнейшем так же записываются и коэффициенты Втп из (7.2.23).
311
В волновой зоне (г Р -j- b cos 6) приближенно
£е = 1/—ф)’
г е Р
Ev = - 1/ Нв = tfp Г2(6, ср),
ге к
(7.2.37)
(7.2.38)
где через 1^(0, <р) и 1F2(6, ф) обозначены множители ослабле-
ния, равные
kb
ikb cos 6
^(6, ф) =
н=0 т=—п
X ( Атп (b<r)- Атп (b > а)) X
I tn (ka) J
x A p^eos e) c'w + 5‘п°го5Фу 2"+1
d 6 sin 6 n (n + 1)
п=1
X f ф„ (kb) — tn (kb) 1 (— i)n Pl (cos 6)! , (7.2.39)
I t,n(ka) J
ikb cos 0 f ” ”
' n=0 m——n
{ A,nn (k<r)
iMfaz)
l'n(ka)
Amn(b >a) (cosfi)e!W
. 2n+ 1 [ tyn(ka) r .1 _
+ sin a sin<p у ——; — (kb)-------------n; l>n(kb) x
n(n+l) I ln(ka) J
d? Pn (cos 6) I
~dQ2
(1.2A^)
В частном случае вертикального электрического диполя, распо-
ложенного на поверхности сферы (Ь = а),
312
Е^ = Нв = О,
Ее = -|/_^2p_L^ Г(6), (7.2.41)
г е К
где
ztocose “ Pl(cos0)
Г(е)=~^ГТ-У (-0"(2п+1)-^^-. (7.2.42)
k2a2 ^n(ka)
Этот случай представляет определенный интерес в том отноше-
нии, что с электродинамической точки зрения он эквивалентен
Рис. 38. Кольцевая щель
на сфере
случаю элементарной кольцевой щели, расположенной на сфере
(рис. 38). Диаграмма направленности вертикального вибратора,
расположенного на поверхности шара, может быть рассчитана по
формуле
|№(6)| =
П=1
(cos е)
C{ka)
(7.2.43)
Формулой (7.2.43) можно пользоваться и для расчета диаграмм
направленности кольцевой излучающей щели, расположенной на
поверхности идеально проводящей сферы, при условии, что радиус
кольца мал по сравнению с длиной волны и радиусом сферы.
Графики функции k2a2\ W (0) | для различных значений параметра
ka имеются, например, в [50]-
Если ka"^ 1, то асимптотически
№(6) = sin6G(g),
(7-2.44)
где функция G(t) определена, как в (6.1.58), где § = — TWcosG,
а М = (/га/2)1'3. В случае, когда ka -► оо,
W (6) = 2 sin 6 (7.2.45)
313
для 0 < 0 < л/2 (освещенная область) и
W (0) 0
(7.2.46)
для л/2 <6 < л (теневая область). Плоскость 6 = л/2
геометрической границей света и тени, выше которой
проводящая сфера удваивает моменты электрических
Как отмечается в [50], значение параметра ka = 10 еще недоста-
точно велико для того, чтобы характеристики излучения радиаль-
ного электрического диполя, вычисленные по точным форму-
лам, передавались даже качественно приближенными формулами
(7.2.44). Допустимыми значениями параметра ka являются зна-
чения to > 100.
Пользуясь формулой (1.4.14), можно вычислить сопротивле-
ние излучения радиального электрического диполя, расположен-
ного на поверхности шара, или же величину г, определяемую
формулой (1.4.16). В частности, для Г получим
п(п + l)(2n 1)
является
идеально
диполей.
Г = ------—
2 (to)4
1ММ|2
(7.2.47)
(графики функции Г имеются в [50]).
В частном случае горизонтального электрического диполя,
расположенного на поверхности идеально проводящего шара,
когда b = а, а = л/2, выражения (7.2.39), (7.2.40) обращаются
в нуль, а вместе с ними и составляющие результирующего поля
в волновой зоне.
При больших значениях параметра ka функция (7.2.42) мо-
жет быть рассчитана по приближенным (асимптотическим) фор-
мулам. В области геометрической тени они имеют вид
ika cos 0
F(6) = -
Ksin6 .
g(&) , (7.2.48)
ika |
£(?) + te
если значения 6 не принадлежат окрестности фокального луча
6 = л, или
Г (6) = — 2] л М3/2е
COS 6
J] jvj (л —
если 0^л и М (л—0)< 1. Здесь функция g(Q определяется,
как и в формуле (6.1.56), Jr(x) — функция Бесселя, v' = to +
+ Mflt где tiкорень уравнения Щ](/) = 0 (см. (6.1.57)),
314
—— | |5/2 < 1).
60Л12
В освещенной области
— О j (предполагается,
что
r(6) = sin6G(g) +
ikal cos 0+
ie V_________
]/sin0
g(U (7.2.50)
е —
где G(g), как и в (6.1.58), a g = — Л-1 cos6 <0. В (7.2.50) основ-
ной вклад в значение функции IV7 (0) дает лишь первое слагаемое,
в то время как второе слагаемое дает только небольшую поправку
в области границы тени.
Формулы (7.2.48) — (7.2.50) уточняют формулы (7.2.44) —
(7.2.46). Как отмечается в (50], сопоставление характеристик излу-
чения для ka = 10, вычисленных по точным формулам и по
асимптотическим формулам для функции W (6), показывает, что
последние достаточно полно передают характер поведения функ-
ции W (0) графически и дают вполне удовлетворительные коли-
чественные результаты, расхождение которых не превышает 15—
20%.
Магнитный диполь над идеально проводящим
шаром. Как и в предыдущем случае, дебаевские потенциалы
поля в области внутри шара равны нулю и подлежат определе-
нию только потенциалы и1 и v1 вторичного поля, рассеянного на
шаре. Если искать их в виде рядов (7.2.24), (7.2.25), то из гра-
ничных условий (1.7.13) на основании (7.2.20), (7.2.23) получим
^тп ~ (2и 4~ 1) —— Втп (Ь 5'- а) (7.2.51)
b t,n (ka)
для всех п и | т | < п, а
атп = 0, если j т | =j= 1,
(7.2.52)
а-ьп =п(п+ 1)а1п,
где
_ Л И ik\ m| (2n + l)sina
V £ 2bn (n 1)
x <7-2-53)
(ka)
Поэтому
n=o —n
315
x >°)p^cose)’ <7-2-54>
ln(ka)
ui _ i Л H !mlsinct У 2»+ 1 x
f e br “ п(пт1)
X ЫМ (kb) (kr) P'n(cos6)sin <p. (7.2.55)
Г„ (ka)
Этим и решается математическая задача по отысканию потенциа-
лов Дебая поля магнитного диполя в присутствии шара. Для
результирующего поля в области b > г а
/ р | m | sin a sin <p 2n + 1
F E br n(n -f- 1)
n=l
X I ф„ (kr) - (fcr)l (kb) Pln(cos 6), (7.2.56)
v ^n(ka) J
»- S 1)x
br ( in(ka) J
n=0 m=-n /
x Bmn (b>a)Pt" (cos6) eim*, (7.2.57)
а в области b < r
_ i f H | m | sin a sin <p уч 2n 4- 1
F E br n(tl-\- 1)
X I (kb) - (kb)] (kr) Pln (cos 6), (7.2.58)
I t,n(ka) J
i |ml уч
br
У (2n+ l)x
m=—n
X |fimn (b < r) - 4^^- Bmn(b > a)l (kr) ^(cos 6) eimf. (7.2.59)
I in(ka) J
Составляющие поля могут быть найдены из (1.6.15), записанных
в сферических координатах. В волновой зоне приближенно
316
#<₽ = ]/ Ee = ^|m|-^—FJ6, ср),
v P R
Л~ё~ eikR -
^e = -l/ —£v = £2|m|-—Г2(0, <p),
Г p R
(7.2.60)
(7.2.61)
где множители ослабления равны
cos 0 00 Oil
(6, <р) =------sin a sin ср V (— z)"------X
kb “ n(n -t- 1)
x 11„ (И.) - 4Ж C. И ‘PP--<^6> +
I (ka) J d 02
+ ^,im(2n+ l){Bm„(f><r)-
n=O m~—n 1
- >«))(-Pn (cos 6) e4, (7.2.62)
tn («О) J I
r2(6, <p) = ^--S6 Г .sin a cos <p у -)n.2n + l. *
kb [ sinO n(n+ 1)
X {(kb) - (kb)} P'n (cos 6) +
1 (ka) J
CO n
+ 'S X(2n+ l)(Bm,(ft<r)
n==0
(ka)
Ц (ka)
Bmn(b>a) x
x(-0n —^(cose)e,m(₽
d6
(7.2.63)
В частности, если диполь расположен на поверхности шара
(Ь = а) и а = л/2 (случай горизонтального магнитного диполя),
то (7.2.60), (7.2.61) можно записать в виде
Яе =
eikR -
----Ее = A>2|m] sintp W2 (0),
Н---R
(7.2,64)
V eikR -
— Еф = — k21 т | cos <p-----------Wr (0),
pi R
317
где
ЙМ0) =
2zi 1
и (и + 1)
(-0"
tn (ka)
т„ (cos 6) 4-
уч 2n + 1
п(п -+ 1)
п=1
(—t)n
^n(ka)
Л„(СО5 6)
(7.2.65)
Рис. 39. «Гантельная» щель
на сфере
2п + 1 1
n(n+l) Zn(ka)
„(cos 6) +
2n + 1
п (п + 1)
----—— т„ (cos 0) . (7.2.66)
In (ka) J
Идеально проводящий шар с горизонтальным магнитным диполем
на его поверхности в электродинамическом отношении эквивален-
тен элементарной излучающей «гантельной» щели, прорезанной
в сфере (рис. 39). Характеристика излучения такой щели может
быть определена по формулам (7.2.65), (7.2.66). Этот случай иссле-
дован в [50].
Рядами (7.2.65), (7.2.66) удобно пользоваться при значениях
параметра ka, не превосходящих 10. Если ka '^ 1, то прибли-
женно
lh(6)= -G(g),
(7.2.67)
318
где функции F (g), G(g) определены, как в (6.1.53) и (6.1.58)
соответственно, g =— /И cos О, /И = (to/2)l/3. Формулы (7.2.67)
дают непрерывный переход от освещенной области к области
тени, причем при to -> со, 0 < 6 < л/2
1^1(6) = — 2 cos 6,
№2(0)= —2,
а при to-» <ю в области л/2 < 6 < л
№1(6) = О,
№2(6) = 0.
(7.2.68)
(7.2.69)
Плоскость 6 = л/2 является границей раздела освещенной области
и области тени.
Как и в случае электрического диполя, формулы (7.2.67)
дают удовлетворительные результаты при значениях kaj> 100
(при ka — 10 они не передают даже качественно истинных харак-
теристик излучения [50]). При значениях to > 10 приближенные
значения характеристик №х(6) и №2(6) могут быть вычислены
при помощи асимптотических формул, имеющих вид:
в области тени
№x(6) = ит (6)-----------№(6),
to sin 6
(7.2.70)
№2(6) = u(2) (6) —J—-«(6),
to M sin 0
где вНе окрестности фокального луча 6 = л
ит (6)==
• ika cos 6
— te
М ]/ sin 6
и™ (6) ==
&ika cos 6
/ sin 6
ikafe-5-) ika
e ' 'g£)-ie
и (6) =
gika cos 0
]/sin6
f 3л
(7.2.71)
а в окрестности луча 6 = л, когда М (л — 6) С 1,
и(1> (6) = 2р л/И1/2Х^И+<*ас°80 х
319
X
1/ J'° [v°l (я -6)1 f (M ,
F sin 0 \ z /
/o\ , „ ,— , .q/o i\ka---1-7Г—H/mcosO
u<2) (0) = 2 j/ л M32 e ' 2) 2 x
x/ ^4[v;(n-e)j£
к sin 0
(7.2.72)
,— o/o lltef—j——\ ika cos 0
u(6) = 2y лЛ13/2 <Л 2>2 X
л —6
sin 6
угЬ,?(л-е)]Им-^1,
где f(£j) определяется, как и в (6.1.51), a g(g), как в (6.1.56);
v? = ka + Mt°lt где t° — корень
vi определяется, как и раньше
уравнения доД/) = О,
величина
При 6 = л
1
60/И2
1М5/2«1)
Гг(л) = - 1к2(л).
(7.2.73)
При больших положительных значениях t функция f(E) стре-
мится к нулю быстрее, чем g(g). По этой причине в первую из
формул (7.2.70) включено слагаемое —iIF (Q)/ka sin 6, которое
при значениях g —1 по порядку величины в М2 раз меньше
первого, однако по мере удаления в тень оно постепенно срав-
нивается с первым и вблизи полюса 0 = л становится главным.
В противоположность этому слагаемое —и (Q)/ka М sin 6 не имеет
существенного значения при вычислении функции IF2(0) [50].
В освещенной области
^1(е)=~'лГ£(|) + ^’(е)’ (7.2.74) IF2 (0) = — G (;) + ^(0),
где ika (cos O-l—— ©J w; = —e -- m М у sin 0 (7.2.75) tfcafcosGr el w2==^ g(51). у smO
320
Функции F(t) и G(|) определены здесь, как и в (6.1.53) и (6.1.58)
соответственно, £ =— Alcos0-<O. В (7.2.74) основными слагае-
мыми являются первые слагаемые. Функции Wj (6) и ^(6) дают
лишь небольшую поправку в области границы тени. Сопоставле-
ние характеристик излучения для ka = 10, полученных по точ-
ным формулам и по приведенным выше асимптотическим форму-
лам для функций №\(0), W2 (6), показывает, что уже при ka =10
они достаточно полно передают графически характер поведения
этих функций. С количественной точки зрения расхождение ре-
зультатов не превышает 15—20%.
В случае горизонтального магнитного диполя в присутствии
шара сопротивление излучения может быть вычислено по фор-
муле (1.4.14). В частности, для горизонтального магнитного ди-
поля, лежащего на поверхности идеально проводящего шара из
(1.4.16), для величины Г получаем
г = Г1 + Г2, (7.2.76)
где
Г = 3 у 2n+ 1
’ 2(И2 2|?„(М|2’
Гг=—3- У - 2п±у .
2 (to)2 2|£„(to)|2
Графики функций Гх, Г2 приведены в [50].
Нетрудно заметить, что для вертикального магнитного диполя,
расположенного на поверхности идеально проводящего шара,
когда а = 0, а b = а, функции 1^(0, <р) и 1^2(0, <р) из (7.2.60),
(7.2.61) обращаются в нуль.
В заключение отметим, что магнитный диполь, расположенный
в точке Р на расстоянии b от центра шара и ориентированный
под углом а к оси Oz, индуцирует на его поверхности токи, по-
верхностная плотность которых определяется выражениями:
ck I m I [ . . 2n 4- 1 to (kb)
Je = —--!L sin a sin w > -----!—— X
4ton [ "n(«4-l) ^n(to)
XT„(cose)----by yim 2"±[ X
sin0£ Л
X Bmn (b>a)P%(cos 6) eimfp , (7.2.77)
21. E. А. Иванов
321
ck Iml f . V 2n + 1 t,n (kb)
=------—! | sin a cos <p У----—’ X
4ba л [ n(n+l) tn(ka)
00 n
x n„(cos6) —У 2 (2n + 1) 7(,,><a)- X
x Ap-(cose)e4. (7.2.78)
zt 14 I v
Дипольный излучатель над шаром с конечной
проводимостью. В этом случае независимо от типа диполя
наряду с существованием вторичного поля, рассеянного на шаре,
будет существовать отличное от нуля поле и внутри шара. По-
этому скалярные задачи для потенциалов Дебая состоят теперь
в отыскании функций и, v как вне шара, так и внутри него при
условиях сопряжения (1.7.10), (1.7.11) на поверхности шара. Если
диполь электрический и его момент р образует произвольный
угол а с полярной осью Oz и потенциалы Дебая вторичного поля
в области вне шара ищутся в виде рядов (7.2.24), (7.2.25), а
внутри шара—в виде рядов типа (3.1.13):
«(2,= ~У У Лт„ф„(М^ (cos6) Л (7.2.79)
п~о т=~п
оо п
о(2) = _1_у у д*тп (fe2r) Рп (cos 6) eimfp, (7.2.80)
п~0 т=—п
то окажется, что граничные условия (1.7.10), (1.7.11) будут вы-
полняться лишь в случае, если
---^(2п4-1)р„Лт„(Ь>п),
b
(7.2.81)
ь
k р2 фп (/г2«) (ka) — k2 р, ф„ (k&) (ka)
bmn = Атп = 0, если т = 0 или | т | > 1,
bn— j = п(п -J- 1) bln, A—irn = п(п 1) А{П,
322
/ e fepsina 2n + 1 „
~V------------------/ . П aMkb),
r (i 2tb n(n -j- 1)
___ (7.2.82)
* , f e kp sin a 2n + 1
m= 1/---------~-----•-----—— X
V (i ib n(n + 1)
k р2фп (k2a) Zn (ka) — k2 рфп (k2a) Zn (ka)
Если в качестве источника первичного поля взят магнитный ди-
поль и потенциалы Дебая вторичного поля в соответствующих
областях ищутся в виде рядов (7.2.24), (7.2.25) и (7.2.79), (7.2.80),
то граничные условия на поверхности шара будут выполнены
лишь при условии, что
Ьтп =-----(2п + 1) а„ Втп (Ь > а),
b
(7.2.83)
д* - lmlfe у
Ь
—k2p
а
х-----------------.------------------------------в_„ (Ь > а),
k2 р£„ (ka) (fc2a) — k p2 Zn (ka) ф„ (k?a)
amn — Атп = 0» если fn = 0 или | т | > 1,
a-i.n = n(«+1)ащ, А-ъп =п(п+ 1)А„,
_ (7.2.84)
n_fe|n.|sin<. 2п±1
е 2Ы n(n-t-l)
/ р k | m | sin a 2n + 1
r e b n (n + 1)
fep2
а1п =
2 bi
zx . ------------------.------Zn(kb).
P fe2 (k2a) Zn (ka) — p2 k Zn. (ka) ф„ (/г2а)
В результате для поля электрического диполя в присутствии
шара с конечной проводимостью потенциалы Дебая определятся
разложениями:
в области b > г > a
. СС П
и = £(2«+
п=0 т——п
323
21*
-(
X лт„ (6 > a) (cos 0) eim\
(7.2.85)
v =
p sin a sin <p
br
X X \ ~Ц-<(kr)- a„ Ц(kr)} P\(cos0)(kb), (7.2.86)
“ n(«+D
где через a„, fJ„ обозначены коэффициенты Ми (7.1.78), (7.1.79);
в области r>b
« = ^(2п+1){лтп(г>&)-
n=0 m——n
-₽„ Amn(b> a)} (kr)P„m (cos0) elm*,
(7.2.87)
e p sin a sin <pyi 2n 4- 1
p br n (n ф- 1)
X {фп (kb) - an Zn (kb)} (kr) P\ (cos 0),
(7.2.88)
и, наконец, в области г < а
и_ pfe2p2
k2br
п=0
п
V т„лт„(6>п)х
гп——п
где
х 4])„(V)P« (cose)/"4’,
_ / е ik psina -р. sin ср
I р br
ОО
>< У Л —.Г <cos е) ^г)’
п(п + 1)
п— 1
____________________1 ___________________
р2 k фп (k2a) (ka) — k2 рфп (k&) tn (ka)
____________________I____________________
k р2ф„ (k3a) & (ka) — &2 p ф„ (k2a) Zn (ka)
(7.2.89)
(7.2.90)
(7.2.91)
324
Для поля магнитного диполя в присутствии шара с конечной про-
водимостью имеем:
в области 6 > г п
| m | sin a sin <р
b~r
S {(kr) ~ ₽"Sn (kr}5 (kb) р"(cos 0)1 (7-2-92)
П=1 п(п ‘ и
I 0° И
v= S <2n+ 1ИЫ£г) —<*„£„(&)} х '
л==0 т—— п
х BmJfe>n)P"(cos6)e‘‘w,
(7.2.93)
в области г > b
| m | sin a sin <р
br
ж-ж 2/7, I 1
Х Е / Т„ {- ₽Х № } С„ (kr) Р< (COS 6),
~ П(п+ 1)
оо п
У ьЕ V(2n+ 1){Ви„(г>Ь)-
br
п=0 т~п
- а„Втп(b> a)} Zn(kr)Pln(cos6) elmp,
а внутри шара г .< a
u=\[ 11 । m । V 2n + 1 >
V 8 kj}r П (fl + 1)
n=l
x Tn 'Фл (k2r) Zn (kb) Pn (cos 6) cos <p sin a,
iil ” "
br —
n=0 m=^—n
X Фп (k2a) Pn (cos 0) eim<t.
(7.2.94)
(7.2.95)
(7.2.96)
(7.2.97)
Тем самым полностью решается задача для потенциалов Дебая.
При помощи (7.2.85)—(7.2.97) и формул (1.6.15), записанных
в сферических координатах, составляющие электромагнитного
поля Е, Н могут быть найдены в .любой точке пространства.
325
В теории дифракции поля дипольного источника на шаре с ко-
нечной проводимостью особый интерес представляет задача о рас-
пространении радиоволн вокруг Земли. При этом обычно рас-
сматривается область Ь>г>а, а параметры ka, kr и kb счи-
таются весьма большими. В этом случае приведенные выше ряды
становятся непригодными для численных расчетов. Однако из них
можно получить приближенные расчетные формулы, удобные для
счета при больших значениях указанных параметров. Результаты
анализа поля дипольного излучателя в присутствии шара с конеч-
ной проводимостью приведены в работах Фока [70]. Результаты
численного счета задачи о распространении радиоволн вокруг
Земли имеются в [67], где использовались формулы (е = р, = 1):
для вертикального электрического диполя
«ое
Ег = — Н = k2p -' V (*- У1.
ay Osin0
• та и д
LP П
———V(*> У1’ У* (7-2.98)
May OsinO дуг
E4, — Hr=He = Q;
для вертикального магнитного диполя
«аб
Hr = Ev = /г21 ш | . = V( х, У1, у2, q'),
а ]/ 0 sin 0
ieikaQ Л
Яе = ^ | m | — V (х, У1, у„ q'), (7.2.99)
Ма у 0 sin 0 дУ1
Er=E(i=H(f:- 0;
для горизонтального электрического диполя
Нг = — k2p—-===V(X, У1, yz, g')sin<p,
а У 0 sin 0
ielka 0
Er = -Н„ = -k2p----------.........- X
4 Ма]/0 sin 0
х —-—V(x, У1, у„, <7)cos<p, (7.2.100)
ду2
ielka 6 д
= —k2p-—-_ ——V(x, У1, у2, /)sin<p,
Ма У 0 sm 0 дУ1
Eq — 0;
326
для горизонтального магнитного диполя
Нч. = — Е = — k2 | гл | —V (х, У1, у2, q) sin <р,
v а у О sm 0
ieika 6 д
НГ = Е = — &21m| — VУ1' У* cos*₽’
* Ма У 6 sin 0 ду2
EQ=k2\m\ ie У1, у2, g)sin<p, (7.2.101)
Ma y 0 sm0 ду±
#e = 0,
где, как и всюду раньше, предполагается, что момент диполя р
Рис. 40. К определению функции V
или m лежит в плоскости ср = 0. Входящая в выражения (7.2.98),
(7.2.99) функция V (множитель ослабления) зависит от трех безраз-
мерных координат х, ylt у2 и от комплексного параметра q или q'.
Здесь hx—высота точки излучения, h2 — высота точки наблюде-
ния, s— расстояние между ними, определяемое по дуге окруж-
ности шара (рис. 40), причем
Ms kh
х —----, у =-----,
а* М
(7.2.102)
327
' lka*\1/3
(e, о —проницаемость и проводимость почвы), где М = - =
/ па* \ыз
= ------ является большим параметром задачи. Через а* здесь
\ 4i /
обозначен так называемый эффективный радиус Земли, учитываю-
щий изменение показателя преломления земной атмосферы в том
случае, когда он зависит от высоты линейно. Для однородной
атмосферы а* = а. Множитель ослабления представим интегралом
V(X, Ух, Уг, q) = e 4 1/ ylt у2, q)dt,
I Л J
Г
(7.2.103)
где, как и раньше, Г — контур в плоскости комплексного пере-
12 л
менного / от е 3 с» до 0 и от 0 до оэ (рис. 22). Для у2>У1
У1, У2, q)= w(t — у2)Ф(/, Ух, q), (7.2.104)
где
Ф (Ч Ух, q) = v(t — ух)-----— =
w (/) —qw(t)
= — ( w2 (t - ух) - ---^Lw (t - й)} , (7.2.105)
2 I w(t)~qw(t) )
a w(t) — функция Фока—Эйри.
Формулы (7.2.98)—(7.2.101) пригодны для расчетов в области
тени (для всех 0) и в области полутени, а в освещенной области
дают правильный результат лишь для скользящего падения луча.
В заключение приведем приближенные формулы для расчета
поля, рассеянного на шаре с конечной проводимостью, в случае
падающей на шар плоской волны Е® — — — e~tkrcos е, когда зна-
чение параметра ka велико. Эти формулы для дифракционного
поля вблизи поверхности шара, на малых расстояниях от нее по
сравнению с радиусом шара, имеют вид [67|
;*(»-4)
£г = —Я<р= УД?, у, <?)cos<p,
у sin 6
, , eika(e~
Др = Н* =—===—УДг, у, <7’)sin<p,
у sm о
(7.2.106)
328
ika(e—
ie ' - ' d
M j^sin 6 dy
y, q) sin q>,
«-(о--?-)
яё= -—
М У sin 6
(7.2.106)
ду
у, <y')cos ср,
где через Vj обозначен множитель ослабления для поля падаю-
щей плоской волны, определенной в [70] в виде интеграла
Vj(z, у, q)
у, q)dt,
(7.2.107)
где Г — контур, как и
( ka Х-1-'3 .
У=|— k(r—a).
/ kd \ 1/3 / тг \
в (7.2.103), az= — 0— — ,
\ 2 ) \ 2 /
Формулы (7.2.106) применимы в области
тени, полутени и в той части освещенной области, где угол
скольжения падающей волны мал. Параметры q и q' определяются,
как и раньше.
§ 3
Дифракция плоской волны
на двух шарах
Пусть в неограниченном однородном и изотропном
пространстве с проницаемостями в, р, и проводимостью о = 0
находятся два шара, занимающие в сферических локальных сис-
темах координат rs, 6s, cps (s = + 1) области пространства
г+1 С а+1 и г_х < а_х (локальные системы координат введены так,
что их полярные оси совпадают и для любой точки пространства
<р+1 = (р_х — ф), и пусть на шары падает плоская электромагнит-
ная волна (1.3.4), распространяющаяся в направлении единичного
вектора п, образующего произвольный угол а с общей для ша-
ров осью вращения, и поляризованная таким образом, что ее
электрический вектор Е° направлен под углом р к плоскости
<р = 0. Считается, что электромагнитные свойства шаров идентич-
ные и определяются проницаемостями е2, (i2 и проводимостью о.2.
Ставится задача отыскать вторичное электромагнитное поле, рас-
сеянное на шарах, а также поле, возникающее внутри них в слу-
чае конечной проводимости о2. Строгое решение задачи состоит
в интегрировании однородной системы уравнений Максвелла
(1.1.4) (р = 0, J(CT) = 0) при граничных условиях (1.1.5) или
329
(1.1.6) на поверхности каждого из шаров и дополнительном усло-
вии излучения на бесконечности для составляющих векторов рас-
сеянного поля. В сферических координатах решение задачи можно
представить формулами (1.6.15) через потенциалы Дебая и, v,
каждый из которых находится как решение соответствующей ска-
лярной краевой задачи, сформулированной для уравнения Гельм-
гольца, при граничных условиях (1.7.10), (1.7.11), если о2=^оо
или условиях (1.7.13), если о2 = <о, на поверхности каждого
Рис. 41. Дифракция плоской волны
на двух шарах
шара. В качестве основной системы отсчета может быть взята
одна из локальных координатных систем либо сферическая система
координат г, 0, <р с началом в точке О, лежащей на линии цент-
ров шаров посередине между центрами (рис. 41; <ps = <р, s = + 1).
В дальнейшем считается, что фазовый множитель (п, г) пло-
ской волны (1.3.4) определен в системе координат с началом
в точке О.
Для решения скалярных граничных задач нужно иметь явные
выражения потенциалов и0 и v° первичного поля в локальных
координатах s-ro niapa(s= + 1). Формулы (7.1.10), (7.1.11), вы-
330
веденные раньше для поля плоской волны (1.3.4), распространяю-
щейся вдоль полярной оси сферической системы координат и по-
ляризованной так, что Е° || пл. <р = 0, не могут быть непосред-
ственно применены в рассматриваемом случае. Они должны быть
преобразованы к подходящему виду. Преобразование формул
(7.1.10) и (7.1.11) состоит в переразложении рядов к сфериче-
ским волновым функциям, записанным в локальных координатах
s-ro шара (s = + 1) с учетом заданного направления распростра-
нения фронта волны и ее поляризации. Для этого вводятся в рас-
смотрение новые локальные системы сферических координат rs,
О', ср' (г' — гs, s = + 1), у которых полярные оси направлены
вдоль вектора п (в сторону распространения волны), а в качестве
плоскостей ср' = 0 взяты плоскости, параллельные вектору Е°.
В этих координатах
(73|)
(как и раньше, здесь rOs — радиус-вектор, соединяющий точку Os
с началом координатной системы Oxyz\ (nros) = sZ0 cos а,1 /0 = //2,
s = + 1). Поэтому потенциалы u° и первичного поля в ло-
кальных координатах г', 6', <ps' запишутся на основании (7.1.10)
и (7.1.11) в следующем виде:
Еeiksl°cos a 2n -4- 1 - .
u° = ——— у in — (krs) Pn (cos 6S) cos <ps,
ikrs n(n-t-l)
cos a
t)° =------------
ik2rs
00
X V Z”-----2n + • Фп (fers) P" (C0S es) Sin Vs-
n(n+l)
Отсюда получаются искомые разложения потенциалов и0 и у0
первичного поля по сферическим волновым функциям s-ro шара
(в координатах rs, 6S, <ps; s= + 1), если применить теоремы
сложения (3.4.21), (3.4.22) к сферическим функциям P«(cos6s)X
£e.-Wocos6 » п 2п^1
ik2r п(п -р 1)
S П=1 т=-п ' '
X Lmi (фз, е3, <р3) ф„ (&rs) Рп (cos es) е‘тф,
(7.3.3)
331
v°
^^ifesZo cos a
ik2rs
2/1 Ч- 1
n (n + 1)
xC.№3, 63, <p3)^„(4)^(coses)e‘’m,₽. (7.3.4)
Величины Lmi(i|73, 03, <p3) и 03, <p3) определены здесь,
как и в (3.4.24) с углами Эйлера ф3 = л/2 — р, 03 = а, <р3 = Зл/2.
Дифракционные задачи решаются следующим образом.
Идеально проводящие шары. В случае идеально
проводящих шаров подлежат определению только потенциалы
и1 и о1 вторичного поля, рассеянного на шарах. Они ищутся
в виде суммы
ui = SUs’ vl = S (7-3-5)
s—+ 1 s=+l
где дифракционные ряды
оо Л
= У «^^(b-s)^(coses)eZm<₽, (7.3.6)
72=1 m=—п
bmnt,n(krs) Рп (<x>sQs)eim(<>
(7.3.7)
с пока что неопределенными коэффициентами asmn и bsmtl (s=±l)
представляют собой разложение потенциалов us и vs вторичного
поля, обусловленного наличием в пространстве s-ro шара, по
сферическим волновым функциям данного шара. Коэффициенты
атп и bsmn находятся из граничных условий (1.7.13) на поверхно*
сти каждого шара. Если ввести замену неизвестных asmtl и bsmn
новыми неизвестными Asmn и Bsmn по формулам1
s ( (п — т)! 11 '2 - . . . s .
О-тп — { - ? фл (7ct?s) ^Л1л ,
( (п + т)\ J
(7.3.8)
bsmn = j (п~тУ Г/2 (tos) Bsmn, s = ± 1,
( (n + m)! J
то при помощи теорем сложения (3.7.10) для сферических вол-
новых функций и формул (7.3.3), (7.3.4) для потенциалов и°, v°
из граничных условий получим бесконечные системы линейных
1 Штрих у функций и С„(х) означает дифференцирован..е ио аргументу.
332
уравнений
t
Д' I V re(-s,s) — fs
nmn "Г у t ^mnq f*mq — I tnm
q^lmf
—s s
mq — Ц>тп t
(7.3.9)
(7.3.10)
n = |m|, |m|+l, ..., \tn\> 1;
q, n = 1, 2, ..., если tn = 0; s = + 1,
для неизвестных и Bsmn с матричными элементами
( S,S)
^mnq
(<7 - /п)! (п + /п)! у/2 ^(to-s) 0(1)
(<7 + /п)!(п-/п)! ) ^(kas) mnmq
s)= | (? —m)!(n +m)! ]1/2 ipg(feg-s)
I (9 + m)!(n-m)I | ?„(tos) 4mnmq'
и с правыми частями (ф3 = л/2—fj, 03 = a, <p3 = 3n/2)
in(2n+ 1) I (п+m)! W2
n (n + 1) I (n — т)! I
X. Lm\ (4>3, 63, (fg)
eZ/?(nrlls)
Ci(kas)
(7.3.13)
Z"(2n-p 1) f (n + m)l )I/2
n (n + 1) ( (n — m)! )
Bml (Ч>3> ®3> Фз)
е1'*<пго5)
(kas)
Их бесконечномерные определители Am могут быть записаны (для
каждого т, |m|</n) в форме, подобной (6.3.23):
1 ^т.т 0 0
Ит.т 1 + 0 „4“ CLtn,m-{-2
0 ОтеЧ-1 ,т 1 ^mil ,/л-|-Л 0
*-*‘/714-1 ,т 0 1 Om+l,m4-2
= 0 И«+2,т 0 Ctm-4-2,^4-1 1
т „ + ^т-]-2,т 0 п4- Ct/n4-2,/n4-l 0 n4- uW4-2,/n-|-2
0 0 С^т-}-3,/п4-1 0
um+3,m 0 ^4- 0 o4- a /714-3, m-|--2
333
Ищ, m-\-2 0 Om,m4-3 0
0 n4~ arn,m-]-3 0 Ct/n,m4-4 0
Om+l,m+2 0 am+l.m-|-3 0 Ит-Н, m-f-4
0 „4- 0 Ctm4-l,m4-4 0
O.m+2,m+2 1 0 n4- Um4-2.m4-3 0 0 ttm-f-2, m-|-4 0 (7.3.14)
am-|-3,m+2 1 Om+3,m-b3 0 Ctm4*3.m-|-4
0 ~4- &т-\--3.тД-3 1 0
где a~ — un,q — Щппд » ^n>q — ^mnq (7.3.15)
для системы (7.3.9) и
a~ e(—l.+l) '*n, q — [>mnq > a+ = o(+l, -1) un,(/ Pmnq (7.3.16)
для системы (7.3.10) (n, q= 1, 2, ..., если т = 0 и п, q—\m\,
|m| + 1, -> если m^O). Величины Qmnmq в (7.3.11) и (7.3.12)
определены, каки в (3.7.10). Отсюда видно, что при kl со все
а~? и а+д стремятся к нулю, и тогда определитель (7.3.14) стре-
мится к единице.
Обе системы (7.3.9) и (7.3.10) могут быть записаны в нор-
мальной форме
xt. + 2Jc0^/ =
/=1
если положить
v _______ л+1
Л2£—1 — 1 ,
X^i — —1>
e — „(“1'+1.)
1-2.7—1,И — —1 ,
C2J—1.2!— 1 ~
для (7.3.9), и
Л-2/—i = 1 ,
%27 = Bm,m'+i— 1 >
ft, £=1,2,..., (7.3.17)
fit—1 = —1 >
(7.3.18)
fa = fm.m'+l—1 i
r — „(+1—D
e2;,2i—j — 1 >
(7.3.19)
0» C2J.2i ~ 0
t ______ rr+
/21—1 — Ч,т,т'-Н—1 ’
(7.3.20)
fzi = 4>m.m’+/-l r
334
„ _ o(-l.+D „ _ о(+1.-1)
tar—1.2i — 1, <-2/,2i—1 — pm,m'+j—1 ,
(7.3.21)
c2;—l,2j—1 = 0, C2/,2Z = 0
для системы (7.3.10); i, j= 1, 2, ...; m’ = |m|, если zn + 0
и tn = 1, если m — 0.
Матричные элементы систем (7.3.9), (7.3.10) обладают свой-
ством четности относительно параметра т:
s,s) s.s) о(—S.s)_ ft(—S.S)
— u‘—tn,n,q > Prran? — p— tn.n.q
(7.3.22)
и для каждого tn образуют вполне непрерывную форму, удовле-
творяя условию (1.9.19), а их правые части (7.3.13) связаны
между собой соотношениями
f—т.п (фз, О3, фз)— ( — l)”+1fmn( фз, 31 ®3> фз),
(7.3.23)
ф—т,л(фз> О3, фз) — ( 1)”+1ф/ии( фз> 31 ' ®3, фз)
и для каждого т удовлетворяют условию (1.9.20). Действительно,
на основании (3.3.22)
Р„т(cos6)P7m(cos6) = —m)! (cos6)p™(cos
(n + m)! (q + m)!
Поэтому, положив в (3.4.13) сначала ml — т2 = т, а затем тх=
= т2 = — т и сравнив получаемые выражения при пх — п,
п2 = <7, будем иметь равенство
т.п,—т)
(q ш)\ (П -|- ш)\ ^(qmnni)
(q + т)! (п — т)1
на основании которого из (3.7.11) получим
О __№ q /7 4 941
V—т.п,—т.д,— ----------------- ’•imnmq- yl.o.&t)
(q + т)! (n — m)I
При помощи (7.3.24) из (7.3.11), (7.3.12) и получаются форму-
лы (7.3.22).
Исходя из (3.4.24), выражение (7.3.13) для fsmn можно запи-
сать в виде
р 420+1) e‘*(nr°s)
hnn 2VM^+T)'Xn(kas)
X 1 (Фз> 03, фз) + т,1 (Фз, 9з> Фз)), (7.3.25)
335
откуда видно, что при замене в fsmn индекса т на —т выра- -
жение (7.3.25) будет меняться в первую очередь в зависимости
от изменения выражений (3.4.6), (3.4.7), определяющих обобщен-
ную сферическую функцию Тпт!.;. Из того, что
. P^—mk (6) = ( - 1Г+fe+m P^nk (Л - 6),
следует равенство
Т—тл(Фз> 68, <Рз) = ( ^}n+k+mT mk( Фз> л ©з> фз)>
означающее, что замена в функции Тт/Дфз, 63, ср3) индекса т
на — т эквивалентна умножению Tn.nk (Фз> 63> <Рз) на множитель
(—1)«+*+"г с одновременной заменой аргумента ф на —ф3, а 63
на л — 63. Это и доказывает справедливость первого из соотно-
шений (7.3.23). Точно так же устанавливается справедливость
и второго равенства в (7.3.23).
Из (3.4.9) следует, что обобщенные сферические функции T'!,lk
ограничены по модулю для всех п и т, k= —п, ..., п, причем
I Tmk | 1. Поэтому для любых m(|m|.<n) в (7.3.25) будет
иметь место неравенство
I rs I <______2и + 1_____
±га,вК>п(п+1)Ц&1!)
или
| /±т,п | < const g, (7.3.26)
где 0<£<1. Неравенство (7.3.26) означает, что правые части
системы (7.3.9) удовлетворяют условию (1.9.20) при любом т
(| т j п). Это утверждение распространяется и на правые части
системы (7.3.10).
Свойство четности матричных элементов систем (7.3.9), (7.3.10)
относительно индекса т и выполнимость условия (1.9.20) для
правых частей систем независимо от знака т позволяют при ис-
следовании систем на разрешимость ограничиться рассмотрением
лишь случая положительных значений т.
Пусть т;>0. Положим в (3.4.13) m1=m2 = w> = л,
пг = q и умножим обе части (3.4.13) на Ро (cos 0)sin0 dB. Тогда
после интегрирования их по 0 от 0 до л при помощи оценок
(3.3.34) найдем, что
I Ь“™"' | < const, (n+H)m+jn)L п 3 27)
г nq и! q\
Применяя (7.3.27) для оценки по модулю величины из
(7.3.11), (7.3.12) и учитывая, что
£ Va\h^(kl)\<const2VW+q\hm4(kl)\, (7-3.28)
a=|n—qi
336
получим неравенство
Qmnmq
const, W^Kn + g)!
n!(<7-l)l
\h^q(kl)\, (7.3.29)
на основании которого получается в свою очередь неравенство
для матричных элементов o.^,s) системы (7.3.9)
г. <~s’s>
U+mjiq
, , [ (q — т)\ (п 4- т)! W2
| < сопз^ --------———— I
( (д т)! (п — т)[ J
п!(? —1)! ЦЦ)
Л к
Аналогичного вида неравенство получится и для матричных эле-
ментов системы (7.3.10). При помощи формул (3.5.5), (6.3.24),
примененных к (7.3.30), на основе рассуждений, подобных приве-
денным, например, в [84], |97], приходим к заключению, что
। (-s.s)i^ < (n + q+ 2т)\ (а\ч+2т( а \п .
const \ “Г ’ (7-3-31)
п\ (q + 2т)! \ I / \ I /
s ± 1
для каждого m > 0 (m -< и, q). Так как
Г (п + у 4- 2т)! I as \nia-s \'7+2m"l
[ n! (q + 2т)! \ I / \ I ) J
при условии, что I > о+1 + o_! (шары не касаются), то отсюда
и следует справедливость сделанного выше утверждения о том,
что система (7.3.9) обладает вполне непрерывной формой. Только
что сказанное в равной мере относится и к системе (7.3.10). По-
этому к ним применима альтернатива Гильберта о разрешимости
бесконечных систем. Можно показать, что однородные системы,
отвечающие неоднородным системам (7.3.9), (7.3.10), не имеют
нетривиальных решений. Действительно, рассмотрим, например,
однородную систему
г ОО
+ VTTT X = °. р-3-33>
s = + 1, п = т, тД1, ...,
отвечающую неоднородной системе (7.3.9), где afnn связаны с Asmn
формулами (7.3.8). Система (7.3.33) соответствует внешней крае-
вой задаче по отысканию потенциала и1, удовлетворяющего одно-
22. Е. А. Иванов 337
родному уравнению Гельмгольца, нулевым граничным условиям
на поверхности каждого шара и условиям излучения на беско-
нечности. В силу единственности решения такой задачи функция и1
должна быть в каждой точке рассматриваемой области тождест-
венным нулем, и поэтому из (7.3.5) получим
ОО п
£ £ £ asmn (krs) Р™ (cos es) = 0.
s=±l n—1 m~—n
В координатах, например, s-ro шара это выражение может быть
записано при помощи теоремы сложения (3.7.10) в виде
оо п
У У { ««ш Ц (krs) + (£rg) X
п~\ т——п
ОО
х jQ„lnm?a^}pr(coses)e^S0
7=|m|
(в области, для которой />rs), откуда
ОО
"Ь Фп(^Гв) , Qmnm<?am^= 0 (7.3.34)
9=| т|
или, если учесть (7.3.33),
{(^s) Ф« <krs) — (krs) & (foj} asmn = О,
что возможно на основании (7.1.30) лишь при условии = 0.
Точно так же можно показать, что однородная система, отвечаю-
щая неоднородной (7.3.10), имеет только тривиальные решения.
Следовательно, для систем (7.3.9), (7.3.10) имеет место первая
часть альтернативы Гильберта, а именно при каждом m(|m|<n)
системы (7.3.9), (7.3.10) имеют единственные решения
{В,пп]п, удовлетворяющие условиям
СО
У|Л^|2<оо, (7.3.35)
л=|т|
ОО
У I Bsmn |2< оо. (7.3.36)
ге=|т|
При помощи неравенства (7.3.31) и аналогичного неравенства
для Prw's> можно установить, что системы (7.3.9), (7.3.10) яв-
338
ляются в общем случае квазирегулярными, переходящими по мере
возрастания kl (для заданных kas, s = ± 1) в регулярные.
Единственные решения систем (7.3.9), (7.3.10) могут быть
найдены для каждого т методом усечения.
Отысканием коэффициентов Asmn и В„т полностью решается
математическая задача для потенциалов Дебая и1 и п1 вторич-
ного поля, рассеянного на шарах, так как при помощи приве-
денных выше неравенств (7.3.35), (7.3.36) и асимптотических
формул для присоединенных функций Лежандра и сферических
функций Бесселя можно установить существование решения
в форме (7.3.5) в любой точке рассматриваемой области вне ша-
ров (rs>as, s = + 1). Составляющие рассеянного на шарах
электромагнитного поля Е1, Н1 находятся из формул (1.6.15), за-
писанных в одной из сферических систем координат, где на осно-
вании (7.3.8) потенциалы рассеянного поля будут иметь вид
Е ул уч уч Г (п — т)\
ik2 2j 2j I tn । m)\
n—1 m——n s—±l
V1
X (krs) C (cos es) eim*,
(7.3.37)
yi yi Г (n —m)l ~l1/2
" Ы-т)!
l=—n s~± 1
x 1«W Bsmn (krs) pZ (cos es) eimv .
r.
Потенциалы полного поля (u = u° Д и1,1 v = P° Д к1) в точках,
для которых l>rs, при помощи теоремы сложения (3.7.10) запи-
сываются в координатах s-ro шара в виде
Фп(Ьк) )
(7.3.38)
22*
• 339
^l^(^s)b„m(coSes)^
Ф»(К> J
(при этом учитывается связь между коэффициентами asmn и атп,
Ьтп и Ьтп, выраженная [равенствами (7.3.9), (7.3.10)). Поэтому
на основании (1.1.7) и формул (1.6.15), записанных в локальных
сферических координатах s-ro шара, а также (7.1.30) и (7.3.38)
закон распределения плотности поверхностных токов на поверх-
ности s-ro шара будет задаваться выражениями
А = i™ + it
je = !es + je,
(7.3.39)
где через /“, j™ обозначены составляющие векторов jcs и jms
(js = fs + jms) плотности поверхностных токов, наведенных соот-
ветственно электрическим (и) и магнитным (у) полями, причем
на s-м шаре
•ms E <08 \'I
4п/г2й.
b n= 1 tn——n
xB^^Pn (cos
a 0s
CO n
.es E <08 VT V
Iw =----------' 7 m
n=l. m=—n
s P^(cosOs)
X Ятп
sin o6
(п — т)!
(п-|-т)!
(п—т)!
./2
•ms
/е
4л k2as
(т —п)1
(п + т)1
е‘т<р
-es
1е =
IE <об
4л1г2ав
co П
S S-
i==l m=—n
,s Pn (COS 0s)
'mn
sin 6S
(n — т)!
(n + т)!
1/2
(7.3.40)
1/2
х ^-^/^(cos6s)efm4’
u 6S
340
В волновой зоне, для которой приближенно rs = г—s/ncosG,
6s = 6 (1 < г), составляющие рассеянного поля задаются прибли-
женными равенствами
= = Е-^Д(6, ф),
г е kr
___ (7.3.41)
=- 1/ = Е-^~ Л* (О, ф),
Fe kr
где
Л(Ф, 6)= — (— i)neimv X
п,т
X У, I [Pn (COS 6) -г iskl0 sin 6 Pn (cos 6)] asmn ф-
s=±l '
+ _2TL. p%(COs 6) bsmn 1 e~iskl‘cos °, (7.3.42)
sin 6 j
Л* (ф, 6) = У (- i)n eim9 У (C (cos 6) +
I sin 6
n,m s=±l
+ i [ Pn' (cos 6) + iskl0 sin 6 P% (cos 6) tfnn j e~isk‘° co£ e, (7.3.43)
/’’"'(cos 6) = —P„ (cos 6).
d 0
Как и в случае одного шара, рассеянное на двух шарах поле
в приближении волновой зоны не имеет компонент в направлении
распространения падающей плоской волны, а имеет лишь попереч-
ные компоненты.
Из формул (7.3.41) видно, что при a =f= 0 и вообще-то
не существует таких направлений, в которых рассеянное поле
было бы линейно поляризованным. При а = 0 или а = л, т. е. в
случае, когда плоская волна распространяется вдоль общей для
шаров оси симметрии, в положительном или отрицательном на-
правлении оси Oz, можно указать направления, зависящие от
параметра р, в которых рассеянное поле (7.3.41) оказывается ли-
нейно поляризованным. Пусть, например, а = 0. Тогда, как это
следует из (3.4.10) и формул (3.4.24), окажется, что
L«=e-‘T/2, Л
> 2 (п-1)! К
341
' ЪП-e-^i, e,.1 = -L el\ (7.3.44)
2i (n— 1)!
на основании чего из (7.3.13) получим соотношения
/—1,п — в tint ф—i.n — £ фщ (7.3.45)
Если учесть (7.3.15), то при помощи (7.3.45) находим, что при
а = 0 все коэффициенты Asmn и Bsm!i с индексом j т j > 1, т — О
оказываются равными нулю, а
Д® _____ 4S „2<Д RS ________ RS 21₽
А—l.n — , D—in —
Поэтому в рассматриваемом случае амплитудные функции (7.3.42),
(7.3.43) можно записать в виде
А (6, <p) = cos(<p —р)е'рЛ (0),
(7.3.46)
л* (6, <p) = sin((p — р)/₽Л*(е),
где-
со
Л (6) =i2^(-0" £{[x„(cose) +
n=l s=±l
+ iskl0 sin2 0л„ (cos 6)] ain+ i nn (cos 6) b\n} ,sW»cos e ,
(7.3.47)
A* (0) = -12 У ( - i)" У {л,.(cos 6) cAin +
n=l S=± 1
+ i [t„ (cos 6) + iskl0 sin2 0л„ (cos (>)] 6Ц e~iskt‘ cos e .
Отсюда видно, что в направлениях, лежащих в плоскостях, па-
раллельных плоскости ф — р = 0 (ср — р = л), либо плоскости
<р — р = л/2 (ср — р = Зл/2), рассеянное поле является линейно
поляризованным, в то время как во всех других направлениях
оно будет эллиптически поляризованным. Аналогичного характера
результаты имеют место и в случае, когда a = л.
Для рассматриваемого частного случая величина поперечного
сечения рассеяния в направлении 6, <р, определяемая по формуле
(1.4.5), на основании (7.3.41), (7.3.46), (7.3.47) будет
о = ~ {cos2 (Ф -Р) | А (6) |2 + sin2 (ф - Р) | Л* (6) |2}, • (7.3.48)
Л
а в- направлениях 0, ф = р и 0, ф = л/2 + Р j
342
0= V1*
• zv
о=^|Л*(0)|2
гс
соответственно. Поперечное сечение обратного рассеяния (в на-
правлении на источник) находится из (7.3.48) при 6 = л и <р = О
и оказывается равным
4-ТТ — ~
~ {cos2 ₽ И (и) !2 т sin2 Р I >1* (л) |2}
1г
или
ов = ^-|Л(л)|2, (7.3.49)
гС
так как на основании (7.1.24)
Л(л) = Л*(л) = £n(n + l){asin — «K}e/sW“ . (7.3.50)
n=l s= + l
Таким образом, оказывается, что сечение обратного рассеяния для
двух шаров в случае, когда плоская волна распространяется вдоль
общей для шаров оси симметрии, не зависит от угла р, который
образует вектор Е° с плоскостью <р = 0. Это естественно в силу
симметричности препятствия относительно направления распрост-
ранения волны. При р = 0 радиолокационное поперечное сечение
для указанного случая также находится по формуле (7.3.49).
Согласно определению, полное поперечное сечение рассеяния
находится по формуле (1.4.7), принимающей вид
2л л
= J[cos2(q> — Р)|Л(6)|2 +
0 о
+ sin2 (<р — Р) | Л* (0)|2| sin0d0 dtp, (7.3.51)
где амплитудные функции определены, как и в (7.3.47).
В общем случае, для которого а ф 0 или «Ал, для вычис-
ления поперечных сечений рассеяния получаются формулы более
сложного вида. Так, величина поперечного сечения рассеяния
в направлении 0, ср находится по формуле
а = {IА (0, <р)|2 + М* (0, ф) |2 }, (7.3.52)
/г2
в которой Д(0, ф) и Л*(0, ф) — амплитудные функции, задан-
ные выражениями (7.3.42) (7.3.43). В направлении на источник,
343
когда 6 = л —а, а = 0, из (7.3.52) получим значения попереч-
ного сечения обратного рассеяния. При этом будет
А (л — а, 0) = — х
п,т
X У ! [Рп (cos а) + iskl0 sin а (cos а)] dsmn +
s=± 1
+ -m-C(Cosa)p,Lje''5;''oCOSO'. (7.3.53)
sin а J
Л* (л —а, 0) х
п,т
X V | —-- Р'п (cos а) + i [ ' (cos а) +
I sin а
s=±l
+ iskl0 sin а Р'п (cos а)] etsW°cos а , (7.3.54)
где а,®гп и Рт„, связанные с коэффициентами asmn и bmn соотно-
шениями
„S ____ 1т(л/2—fJ) s Rs _ <т(л/2—₽) < s
^тп — t' ртп — итп ,
не зависят от угла р. В случае, если волна распространяется
в направлении, образующем прямой угол с осью симметрии ша-
ров (а = л/2), 0 = а = л/2 и ср = 0, и тогда для поперечного
сечения обратного рассеяния получим вместо (7.3.53), (7.3.54)
выражения
X У {[Р™'(0) + «ЖРп(0)]а^ + т/^(0)р^}, (7.3.55)
s=±l
У [тР^(0)а™ + i 1Р™' (0) + iskleP'n(0)] р,™}. (7.3.56)
s^±l
344
Пусть е — единичный вектор в направлении поляризации элект-
рического поля падающей волны (Е° = еЕ e'fc(,ir)). Тогда по опре-
делению в случае, если передающая и приемная антенны имеют
одинаковую линейную поляризацию, радиолокационное попереч-
ное сечение препятствия из двух шаров может быть найдено по
формуле
или
.. , , НЕМ2
а = игл 4л г2 —----—
|(Е°е)[2
.. . 2 КЕ^Е0)]2
о = lim 4л г2 —----<4— ,
|Е°|4
(7.3.57)
(7.3.58)
где в сферических координатах с началом в точке О
е : er *Г + eQ >0 + бф * <р>
er = cos р cos a cos ф sin 6 -f- sin р sin 6 sin ф 4-
4 cos p cos 6 sin a,
ee = cos p cos a cos <pcos 6 4- cos 6 sin p sin<p —
(7.3.59)
— cos p sin a sin 6,
ei; = — cos p cos a sin ф 4- sin p cos ф
и где 6, ф берутся в направлении на источник (6 = л — а, ф =0).
Так как при г-> оо скалярное произведение (Е’е) = Е^ еч, + £* ее t
то для общего случая
4л
о =-----
k2
В частности, если
созрЛ(0, ф) — sin р А* (6, ф)
е=л_о. (7.3.60)
где
Р = 0, то тогда
4-тг
о = —-|Д(л-а, 0)|2,
гс
П
Л(л—а, 0) = —V,
п=1 т=—п
X У j {Рп (cos а) 4- iskl0 Рп (cos a) sin а] атп 4-
s=zf 1
-^-P;n(cosa)p^L^«cos° .
sin а
345
Если р = л/2, то
где
х £ {тР'пп (0) asmn + i {Pn' (0) + iskl0 P™ (0)] p,™ ]
s=±l
При численных расчетах приближенные значения нескольких
первых коэффициентов А^ и Втп можно найти (для каждого т)
с заданной точностью вычисления сопоставлением последователь-
ных решений конечных систем, получающихся из (7.3.9) и (7.3.10)
их усечением с различными, возрастающими значениями N — по-
рядка усечения. В качестве исходного значения N целесообразно
брать число того же порядка, что и ka, где а = max {as}; а^,
s=±l
a+i#=0. В этом случае п и q принимают значения 1, 2, ..., N.
Усеченные системы имеют вид
N
__ f+l
— Imn ?
1
<7=1 ml
N
(7.3.61)
Атп Ч-
= fmn ,
9=|m|
W
V й<-1.+П 0-1 _ -Н
/ t \hnnq ^mq — ipnn ,
9=1
(7.3.62)
Bmn 4
R(+1’-B+1 — CD-1
> \hnnq umq — \mn >
в которых m фиксированной = 1, 2, ..., N. В нормаль-
ной форме (см. (7.3.17)) усеченная система запишется в виде
2.V
xz4-=А, i= 1, 2, .... 2У, 7V= 1, 2, .... (7.3.63)
/=1
ГДе И Хр связаны С (Хтп9* \ РтпУ s) и Аrant BSmn, fmni фпш
формулами (7.3.18)—(7.3.21). Отсюда видно, что в случае, когда
346
т = 0 или | т [ = 1, отыскание приближенных значений Asmn
и В*тп приводит к решению систем 2N линейных уравнений с 2N
неизвестными Д™ или В™ (Л^„=ВД„=0 при |m|>n; s=±l).
Если | m | = р > 2, то отыскание приближенных значений Д^й
и Втп приводит к решению систем 2(N — р + 1) линейных урав-
нений с 2(N— р + 1) неизвестными А^„ или В^п, у которых
п > р. Очевидно, что в каждой конкретной задаче для нахож-
дения первых приближенных значений неизвестных А,™ и В^п
{т = — п, п; с п = 1, 2, N) необходимо решить 2N + 1
систем вида (7.3.63), порядок которых понижается от 2N-ro при
значениях т = 0 или | т | = 1 до второго при | т | = N.
Порядок систем (7.3.61), (7.3.62) (следовательно, и (7.3.63))
может быть понижен вдвое, если исключить из (7.3.61) Ат' или
Атп, а из (7.3.62) В^п или В„,й. В результате вместо одной сис-
темы 2(N — р+1) уравнений с 2(N — р + 1) неизвестными
(когда | т | = р > 2) или системы 2N уравнений с 2N неизвест-
ными (когда |mj = 0; 1) вычисление неизвестных и Bsmn све-
дется к решению двух независимых друг от друга систем
(N— р+ 1) уравнений с (N—р+ 1) неизвестными (когда |т| —
= р > 2) или систем N уравнений с N неизвестными (когда
|m|=0; 1), имеющих вид
N
Цтп + СтпдУтд — F тп (7.3.64)
9=т
(s = + 1; n, q = \т\, \т | + 1, ..., N, если т =А 0 и п, q —
— 1, 2, ..., N, если т = 0), где
N
s _ 'V r(~s-s) z-(s'~s)
^mnq — 7 , I'mnr l'mrq ч
r=|mj
N
Fsmn = qsmn-'^i c^ql~*> ,
9=lm|
(-s.s) _ (-s.s) s _ rs s «s „(-s.s) _ o(-s.s)
t-'mnq — Atting > Чтп — / mn> ymn -— “mn ИЛИ ^mnq — pinny ,
Ятп = tymn, Утп — Втп соответственно. Однако переход к систе-
мам (7.3.64) связан со значительным усложнением структуры
матричных элементов и правых частей систем, что приведет к до-
полнительным затруднениям при численном решении задачи.
Число уравнений в усеченных системах может быть понижено
вдвое (с сохранением прежнего значения N — порядка усечения)
без усложнения выражений для матричных элементов систем
347
и их правых частей в случае, когда дифрагирующие шары имеют
равные радиусы. Тогда матричные элементы систем удовлетворяют
соотношениям
amnq = > = (-- 1)"+Ч oinnq’ > ,
(7.3.65)
ft _ о(—1.+1) / 1 \n+« ftt+h —1)
Ртпд — Pmnq — ( • ) Ртгц
Действительно, входящая в Qmnmq функция Ро (cos 6_ss) равна
единице при 6-1,41 = 0, а при 0+i,-i = л она равна ( — 1)°,
где о имеет ту же четность, что и сумма п q, так как коэффи-
циенты Клебша — Гордана, входящие в выражения коэффициен-
тов Ь^тпт} (см. (3.4.15)), отличны от нуля лишь при тех значе-
ниях п, q, о, сумма которых п + q 4- а четная. Поэтому
Qmnmq(6-s.s) = (- i)n+9Qmnm.(es.-s), 8 = ± 1. (7.3.66)
На основании (7.3.66) из (7.3.11), (7.3.12) и получаются при
as = a (s = + 1) соотношения (7.3.65). Применяя (7.3.65), напри-
мер, к системе (7.3.61), получим
N
+ У O.mnq Апи} ~ fmn ,
q=\m\
(7.3.67)
V
Атп 4~ ( 1 )"+Ч amnq Amq = fmn ,
9=|m|
откуда делением обеих частей второго равенства на (—1)" и по-
следующим почленным сложением и вычитанием равенств полу-
чим две системы
N
хтп + (— I)9 amnq Хт9 = fmn, (7.3.68)
N
Утп ~ У (— amnq Утч = fmn (7.3.69)
4=lml
с неизвестными
хтп =A^ + (-VF Л-', утп = А+1п - (- 1)" (7.3.70)
и с правыми частями
fmn = fmn + (’— l)"fmn. fmn = fmn' ( 0" fmn- (7.3.71)
Каждая из систем (7.3.68), (7.3.69) решается независимо от дру-
гой и является системой N-ro порядка при значениях I т | = 0; 1
и системой порядка (N—р 4- 1) при значениях |т| = р>2.
348
Проделанное выше преобразование системы (7.3.61) к систе-
мам (7-3.68), (7.3.69), понижая порядок системы, не приводит
к усложнению матричных элементов и правых частей.
Подобным же образом из (7.3.62) при as = a (s = + 1) по-
лучаются системы
N
итп 4~ = (7.3.72)
m|
N
2mn $mnqzmq = tymn (7.3.73)
9=|m|
для неизвестных B^h и B„„, в которых
итп = В^ + ( — 1)" B^k, zmn =В^-{-\ Г В7п\, (7.3.74)
4>тп ~ фт/1 + ( — 1)" фтп, ф„ш = Ц>тп----( — I )" фтп- (7.3.75)
Через решения систем (7.3.68) — (7.3.75) приближенные значения
неизвестных А&тп и Bsmn находятся по формулам
Атп (^mn ~Ь Утп)’ Атп — ~ (^тп Утп)’
(7.3.76)
Втп — (Цтп гтп) ’ Втп ~ (Emn %тп) •
£ £
Бесконечные системы (7.3.9), (7.3.10) и получаемые из них ко-
нечные (усеченные) системы (7.3.61), (7.3.62) упрощаются сущест-
венно в том частном случае, когда падающая на дифрагирующие
шары плоская волна распространяется вдоль оси Oz, т. е. когда
либо а = 0, либо а = п. В этом случае, как это уже отмечалось
раньше, все значения Л,„„ и Втп равны нулю при | т | --/= 1.
Кроме того, например при а = 0, между 41®,г„ и В±1П имеет
место связь 41, = —е2‘₽Л,„, Bl, „ =е2<₽В,„, благодаря кото-
рой усеченные системы (7.3.61), (7.3.62) (а при as = a, s= + 1
и системы (7.3.68)—(7.3.76)) следует решать только при поло-
жительных значениях индекса т = 1. При этом в системах
f s cos a 2n -pl n
r— Be L,, 1 (ф3, 0, ф3) - ,
n(n+l) £Д/гав)
(7.3.77)
s n ftrf, COS 1 4*1 , *.n , , n X in
Ф1П------Ее - —- - 11,1 (Фз, о, фз) ——— -
«(«+1) С„(Ч)
349
Отметим теперь следующее,
возмущений. Тогда
Будем решать задачу методом
03
S=±l р=1
(7.3.78)
где через sup и svp обозначены потенциалы Дебая вторичного
поля р-го порядка рассеяния, возбуждаемого s-м шаром действием
на него волны (р— 1)-го порядка рассеяния, идущей от —s-ro
шара. Если искать их в виде рядов по сферическим волновым
функциям, удовлетворяющим условию излучения на бесконеч-
ности
v.J-V у| С" У” х
kr ( (п + т)! I
® /2=1 П
х sApmn ф; (kas) Zn (krs) Р™ (cos 6g) ,
SyP
=____l_y у (n—m)! 11/2 x
/?r. <n _]_ m)i |
s n=l n v '
(7.3.79)
X sBpmtl ф„ (kas) (ferg) P% (cos 0g) eimff,
то тогда
s=±l
vi = JX
где
1 yi f (n — tn)\ y/2 x
krs I (n m)\ j
s n=l tn=—n '
ОС
x H<(tog)^(fer8)P^(cosee)e,w,
p=i
__ 1 у у ( (n—m)! ]1/2
krs I (n т tn)\ )
s n=l m=—n '
(7.3.80)
X ( £ sBpmn\ ф„ (kas) (krs) P,?(cos eg).e,m4’.
xp=i
350
Коэффициенты s Ар,п и sBmn Дифракционных рядов (7.3.80) (коэф-
фициенты рассеяния р-го порядка) находятся из граничных условий
(s«p + -sup_1)] =0, rs = о , s = ± 1,
drs
(7.3.81)
syp —syp i _ o, rs = as, s = + 1,
откуда при помощи теоремы сложения (3.7.10) для них полу-
чаются рекуррентные соотношения
s Л1 _ fS
— {mn t
(7.3.82)
’др_______V гг(—s,s) ~Мр-1 n > 9
nmn — t ^mtiq nmq » p Z,
q
sni ___ s
Dtnn — фшп ,
(7.3.83)
co
= - £ p(“s-s) p > 2
Q
(n, q =* | m | , |m | + 1, ..., если m=£0, и n, q = 1, 2, ..., если
m = 0; s= + 1), в которых a^'s), p^,s), fsmn и qw такие же,
как и в (7.3.9), (7.3.10). Соотношения (7.3.82), (7.3.83) позво-
ляют, как обычно, вычислять коэффициенты рассеяния р-го по-
рядка через предшествующие и в итоге через коэффициенты рас-
сеяния первого порядка (т. е. через свободные члены fsmn и ф„„
систем (7.3.9), (7.3.10) соответственно).
Если применить к системам (7.3.9), (7.3.10) метод последо-
вательных приближений (формально), взяв в качестве начальных
приближений значения Asnn.o= 0, = 0, то их главные ре-
шения запишутся формулами
ОО
Asmn = lim Asmn,t = У sApm/l ,
P=1
(7.3.84)
CO
Bsmn = lim Bsmn,t = У sBpm„ ,
/_»• OO
P=1
так как, например, из (7.3.9) получается
as , _ fs
^тп,1 — Imn 9
351
rtS ____ Д5 VI (—S»s) x— S
^mn,2 — ^mn,l ‘ f &mnq ^mq,\ r
/Is .
(7.3.85)
= A
<?
t>2
l
где Amgtt = sAtmq. Отсюда видно, что решения систем (7.3.9)
и (7.3.10) — величины Asmn и Втп, представляют собой суммы
всех соответствующих последовательных коэффициентов дифрак-
ционных рядов, определяющих потенциалы вторичных полей всех
последовательных порядков рассеяния, отраженных s-м шаром
при его взаимодействии с —s-м шаром.
Ряды, входящие в рекуррентные формулы (7.3.82), (7.3.83),
хорошо сходятся лишь при условии, что шары сильно разнесены,
когда расстояние I между ними намного больше длины волны
возбуждения (kt > 1), а радиусы шаров малы в сравнении с ней
(fais<^l). В этом случае потенциалы вторичных полей будут
удовлетворять соотношениям
| sul | > | su21 >> | su3 [ Э’ ••• ,
| sv* | | st>3| ..., ~
означающим, что при изучении поля можно ограничиться вто-
ричными волнами только первого порядка рассеяния.
Вычисление приближенных значений дифракционных коэффи-
циентов Asm„ и Bsnitl из систем (7.3.9) и (7.3.10) предполагает ко-
нечность числа математических операций, требуемых для этого,
т. е. конечность значений индексов п и q в системах (n, q =
= 1, 2, ..., если т = 0, и п, q = | т\, | т | + 1, ..., N,
если т А 0). Исходя из этого, можно получить аналитические
выражения для вычисления приближенных значений коэффи-
циентов АтП и В™ в случае сильно разнесенных шаров, имеющих
сравнительно простой вид. Пусть в (7.3.11) и (7.3.12) kl >1
и kl 3> а (| п — q | о < п + q). Тогда после применения асимп-
тотической формулы (3.5.6) для сферической бесселевой функции
h(a\kl) получится приближенное равенство
9,-п—о—i„iki "1?
V ЬГ<т)Ро =
k tnn a±tf-4\
352
0, m^O,
—-------------Рп (cos e-s,s) pq(cose-s,s), m =0, (7-3-86^
MNmn
если учесть, что при 6_ij = 0 или при 6+I,_i = л все функции
P^(cos6_s,s) = 0, когда т ф 0, и если, кроме того, принять во
внимание формулу (3.4.13). На основании (7.3.86) приближенно
Атп = fmn и Втп = фтл , (7.3.87)
если щ=#0. Если т—0, то f^—О для всех п, так как из (3.4.24) при
т = 0 вытекает, что Ьщ = }/и(п 4- 1) Род (а) (е1фэ + е—1фэ)= 0
Зл
при ф3 =----. Тогда и Лоп = 0 в силу отсутствия у однород-
2
ной системы, отвечающей неоднородной системе (7.3.9), нетри-
виальных решений для всех т.
Из (3.4.24) при т~ 0 следует также, что
L*o“ = -у- к'ф+Т) Р& (а) (е'Ча =
= — i Уп(п + 1) Ро! (а) = — P„(cos а).
Поэтому для нахождения коэффициентов BsOll нужно решать си-
стему (7.3.10) с матричными элементами, имеющими на основании
(7.3.86) вид
₽^-s)=Lc£₽;, (7.3.88)
где
L = 2еш /ikl,
asn = in Рп(cos 6_s,s)/(kas), (7.3.89)
₽« = — i" фп (ka_s) Pn (cos 6_s,s),
и с правыми частями вида
(2иЦ- l)Pn(cosa)
n(n+l)Zn(kas)
гл. 6, относящиеся
rns _ F,>iskl° cos" tn
фон — *
(7.3.90)
Повторив рассуждения § 3
ситуации, получим выражение
подобной
23. E. А. Иванов
Воп — (pew Ч- Е
LQ(s)f(-s)-E(s)
1 —L2Q(s)Q( —s)
(7.3.91)
к
353
при условии, что выполняется неравенство
I L2Q(s)Q(-s)|<l, (7.3.92)
которое всегда будет выполняться при соответствующем выборе
параметра kl. Очевидно, что если а=0 (или а = л), то и В£п=0.
Здесь
Q(S) = V аГ = V ( — 1Г , (7.3.93)
F(s) = y = Eeiskl^a x
п=1
хУ P„(cos3,..J. (7.3.94)
n=l
Поэтому в рассматриваемом случае потенциалы Дебая вторичного
поля запишутся в виде
“‘-tSS Sх
s=±l п=1 т=—п s
। (п-m)! |1/2 (7 3
( (и + т)! )
= _L У LQ(s)F(-s)-F(s) х
k Zj г [1 —L2Q(s)Q( — s)J
S=± I
x у z„ Pn (cos 0_s s) (ATs) pn (cos e8) +
s=±I n~l
(n — m)\
(n 4- m)\
1/2
^(/ers)P^(coses)e!^. (7.3.96)
^Ч’ЛЧ) x
Выражения для составляющих электромагнитного поля получатся
обычным образом из (1.6.15), записанных в одной из сферических
систем координат.
. Применение асимптотической формулы (3.5.6) предполагает,
что kl 1, kl > о, где \п — q | о< л + q, ап, 9=1, 2, ...,
354
max {feaj; а_ъ Следовательно, в качестве одного
S—±1
из критериев, при выполнении которого можно пользоваться фор-
мулами (7.3.95) и (7.3.96), явится соотношение
1^>2а, a — max (сД. (7.3.97)
s=±l
Из (7.3.95) и (7.3.96) видно, что при kl > 1 и I > 2а эффект
многократного рассеяния вторичных волн на взаимодействующих
шарах проявляется только для поля магнитного типа — он учи-
тывается первой из кратных сумм в (7.3.96), коэффициент кото-
рой представляет собой приближенное значение суммы дифрак-
ционных коэффициентов вторичных волн всех последовательных
порядков рассеяния, Начиная со второго. Вторая сумма в (7.3.96),
так же как и (7.3.95), дает вторичное поле первого порядка
рассеяния.
При небольших по сравнению с длиной волны размерах ра-
диусов дифрагирующих шаров (ka порядка нескольких единиц
и меньше) численное решение задачи может быть получено при
помощи имеющихся таблиц сферических бесселевых функций
[182], таблиц присоединенных функций Лежандра [180] и др.
и простейших счетных инструментов (без обращения к ЭВМ).
Коэффициенты Клебша — Горда на (§ 4, гл. 3), входящие в вы-
ражения матричных элементов систем через множители Qmnmq,
могут быть вычислены по формулам (3.4.16), (3.4.17) либо по лю-
бой другой, при помощи которой они выражаются (как отмечалось
раньше, имеются различные формы представления коэффициентов
Клебша—Гордана, [24—27]). Для вычисления обобщенных сфе-
рических функций fm.±i(6), входящих в правые части систем
через множители и L^i, можно вместо (3.4.7) использовать
более удобные формы их выражения: например, формулу [24]
m-\-k
К* (г) - Г"-‘ [ J"-")1 ("-*>! 1 + х
[ (п 4- т)! (и 4- k) J \1—z)
х у ____________(— 1)> (п + /)!___/ 1 — z\i
(n-j)l(}-k)l(i-m)l \ 2 )’
однозначно определяющую функцию Pmk(z) на комплексной
z-плоскости с разрезом вдоль вещественной оси по лучам
(—оо, —1) и (1, оо) (здесь выбирается та ветвь функции
m-i-k
/1 4-Z\ 2
------ , которая принимает положительные значения на
\ 1 —z
23 ’
355.
отрезке (— 1, 4-1) вещественной оси; z = cos6), либо формулу
[24]
P?nk (z) = 1т~к {(п — т)! (и + т)! (и — k)\ (п +k)\ }1/2 X
т—к
у____________( —1У__________/1 — zV
“,/!(«— tn — /)! (« + k— j)\(m — k-r /)!\ 1 + z) ’
в которой Л1 = П!ах(0, k — m), TV = min (n +/г, n— tn). Част-
ные значения обобщенных сферических функций можно вычис-
лять при помощи формул [24]
откуда
t"-fe ( (2п)!
2" 1(п — Тг)!(п4-/г)!
n-k n-\-k
-z)2 (1 4 z)2 ,
(1 _z\n
—J,
P2.o(z) =
t"/(2n)!
2"n!
(1-Z2) 2
(см. также формулу (3.4.10)).
Шары с конечной проводимостью. В случае,
когда шары обладают конечной проводимостью (о2 оо), задача
рассеяния плоской электромагнитной волны на двух шарах ре-
шается в принципе по прежней схеме. Так, если искать потен-
циалы и1 и и1 рассеянного на шарах поля в виде рядов (7.3.5),
(7.3.6) с коэффициентами asmn и bsmn, связанными с величинами
Атп И Втп формулами (7.3.8), а потенциалы полей внутри каж-
дого из шаров — в виде рядов
<4 = У У (Vs) Рп (cos е8)е1т\ (7.3.98)
k2f\. ‘‘Ч
V2S
^n(k2rs)P^(coses)eimv,
(7.3.99)
356
где
_s
Umn
(n + m)l
-7s [ (n — m)l
^mn — V------------
( (n + m)l
1/2 _s
Cn (^2®s) Втп ,
(7.3.100)
(в области вне шаров k = <о )ер/с, а внутри шаров kl = ((о^р-г-г
+ i4no2p2<o)/c), то из условий сопряжения решений (1.7.10),
(1.7.11) на поверхности каждого шара получим при помощи тео-
ремы сложения (3.7.10) бесконечные системы линейных уравнений
для неизвестных Asmn и Втп-
Л8 I „(-S.S) д-S _ rS
птп । > ^mnq ^-mq — / тп,
<?=Ы
(7.3.101)
So(—s,s) D—S _ ,.s
ymnq ^mq — ^>mn
q=\tn\
(7.3.102)
с матричными элементами
(—s.s) _ A„(s)
-----Л~~/ \
А (*)
МО
' \ ^tnnmqy
^n{kas)
о(—S.S) An(s)
Pmnq —
%(^Q-s) n
^mnmq
iAn(s) yn(kas)
(7.3.103)
и с правыми частями
ffnn = ~ eik(nr^ i- —2n-+1 - X
ik n (n + 1)
X Lml (lp3, 03, фз) —ТГ—- ,
ip„(feas)1Art (s)
(7.3.104)
Cpmn —
----e
ik
/ftlra-.s) ,-n 2п + 1
п(п+ 1)
X (lp3, 63, (p3)
£i(s)
357
через решения которых по формулам _s Атп — Втп ~ Здесь —S _s величины Атп и Втп находятся затем 1|Х2^ ФДМ) .s г ^rnnf 2A« (s) Ел (^А) (7.3.105) 1’рЛ ФДН) rs
2A«(s) Еи(^А) 'тп-
An(s) = НгМлОЧ) ФД^А) ц/г2ф(/г2ак) ФД^А)
ДД8) = р^фДй^) фДйа8) |хй2ф„(й2а8) фД/г2а8)
iAn(s) = Р-г k t,n (kas) t,'n (kas) lik2^n(k2a^) фДйга8) (7.3.106)
\ik2tn(kas) C(kas) !А^2фп(^) фд^а) 1
2An(s) = p^iMA-a.) Ф„(/а) ФДЙА>
2Дп (s) ~ |т2йФДАа) ФДЬв) р фп Фп (^А) •
Как и раньше, ф3 — л/2 — р, 03 = а, <р3 = Зл/2.
Бесконечные системы (7.3.101), (7.3.102) обладают теми же
свойствами, что и системы (7.3.9), (7.3.10). Для каждого т их
решения могут быть найдены методом усечения. Бесконечномер-
ные определители систем представимы в виде (7.3.14). Введением
обозначений (7.3.18) — (7.3.21) системы (7.3.101), (7.3.102) при-
водятся к нормальной форме (7.3.17). Приближенные значения
__ s _s
величин Asmn, Bsmn и , Втп можно найти путем решения
конечных (усеченных) систем вида (7.3.61), (7.3.62) или (7.3.63)
по той же схеме, Что и в предыдущей задаче.
358
В приближении волновой зоны для рассеянного на шарах
поля выполняются соотношения (7.3.41), в которых амплитудные
функции Л (6, ф) и Л* (6, ф), сохраняя прежний вид, будут от-
личаться от (7.3.42), (7.3.43) своим содержанием — коэффициенты
Asmn и В}пп, входящие в их выражения (через asmn и bsmn, см.
(7.3.8)), вычисляются теперь из (7.3.101), (7.3.102). Не меняется
и вид формул, при помощи которых вычисляются поперечные
сечения рассеяния.
По такой же схеме может быть решена задача о дифракции
плоской электромагнитной волны на любом конечном числе ша-
ров (с о2 7-® или с а2 = оо) в случае, когда они образуют ли-
нейную систему (решетку) с общей осью симметрии, и задача о ди-
фракции плоской электромагнитной волны на шаре произвольной
проводимости с неконцентрическими шаровыми включениями
в случае, когда они обладают общей осью симметрии.
§4
Дифракция поля
дипольного излучателя на двух шарах
Пусть в неограниченном однородном и изотропном
пространстве с электрической и магнитной проницаемостями е, ц
и проводимостью а = 0 находятся на расстоянии I друг от друга
шары и г+1~<а+1 с одинаковыми электромагнитными
постоянными е2, р2 и а2, а в точке Р пространства, удаленной
от центров шаров на расстояния и /+1 соответственно, распо-
ложен элементарный колебательный диполь с моментом а (а = р,
если диполь электрический, и а = т, если он магнитный), на-
правленным под углом а к плоскости Р, проходящей через точку
Р и линию центров шаров. Проекция вектора а на плоскость Р
образует угол 0 с положительным направлением оси Oz, совпа-
дающей с осью симметрии шаров, а направление от центра s-ro
шара к точке Р, определяемое вектором ls (s= ± 1), образует
угол as с положительным направлением оси Oz. Ставится задача
по отысканию вторичного электромагнитного поля, рассеянного на
шарах, и поля внутри шаров (если о2 = оо, то Е и Н внутри
каждого из шаров тождественно равны нулю).
Если разложить вектор а на два составляющих вектора ах
и а2, где a1 = acosa, a a2 = asina (вектор аг лежит в пло-
скости Р, а вектор а2 перпендикулярен ей в точке Р), то решение
векторной задачи при произвольной ориентации момента а диполя
относительно плоскости Р можно заменить решением двух част-
ных, не зависящих друг от друга электродинамических задач:
задачи по определению поля, обусловленного диполем, лежащим
в плоскости Р, и задачи по определению поля, обусловленного
359
диполем, нормальным к плоскости Р в точке Р. Решение общей
задачи может быть найдено затем в виде суперпозиции решений
этрх двух частных задач. В сферических координатах частные за-
дачи сводятся к скалярным краевым задачам по отысканию по-
тенциалов Дебая и и v. Их решение предполагает знание явных
выражений потенциалов Дебая первичного поля диполя. Найдем
их. Для этого введем в рассмотрение локальные сферические си-
стемы координат гs, 0S, cps (s = + 1) с началом в точке 0s, со-
вмещенной с центром s-ro шара и с полярной осью 0szs, совпа-
дающей с осью Oz, направленной вдоль линии центров шаров.
Рис. 42. Возбуждение двух шаров полем диполя
Кроме этих координат, в дальнейшем будет использоваться и сфе-
рическая система координат г, 0, ср с началом в точке О, распо-
ложенной на линии центров шаров в ее середине (рис. 42), по-
лярная ось которой также направлена вдоль линии центров шаров.
Считается, что cps = ср, s = + 1, а плоскость ср = 0 совпадает
с плоскостью Oxz, проходящей через точку Р с диполем в ней
и линию центров шаров. Очевидно, что если диполь находится
на полярной оси введенных локальных сферических систем коор-
динат rs, 0К, cps (s = ± 1), то тогда явный вид потенциальных
функций Дебая первичного поля диполя будет задаваться рядами
по сферическим волновым функциям, записанным в локальных
координатах s-ro шара соответствующими формулами § 2 данной
главы, где они были выведены для такого случая. Если же ди-
поль окажется расположенным в точке Р, не лежащей на поляр-
360
ной оси локальных систем сферических координат, то тогда иско-
мые представления потенциальных функций Дебая первичного
поля диполя можно получить из формул § 2 этой главы путем
некоторого преобразования каждого члена ряда, определяющего
соответствующий потенциал Дебая. При этом различают случаи,
когда момент диполя а лежит в плоскости Р и когда он перпен-
дикулярен плоскости Р в точке Р. Рассмотрим первый из них
(он отвечает первой из двух частных задач, о которых шла речь
выше): a G пл. Р. Введем в рассмотрение новые локальные системы
декартовых координат xs, ys, zs (s= ± 1) и связанные с ними
обычными формулами преобразования сферические системы ло-
кальных координат rs, 0S, <ps (rs = rs) таким образом, чтобы их
начала совпадали cOs(s= + l), оси 0szs проходили бы через
точку Р в направлении соответствующих векторов ls и чтобы
плоскости Osxs zs (<ps = 0) совпадали с плоскостью Р. Тогда
в каждой из таких локальных сферических координатных систем
потенциалы Дебая и°, v° электрического диполя запишутся на
основании формул (7.2.18) и (7.2.21) в виде разложений
оо п
u0==iP^Y £ (2п + 1)Лт„(у8, Q х
* J S
* п=0 т——п
X Рп (COS 0s)
P sin
lsrs
X Pn (COS 0s)
^n(^s)
2n + 1
n (n + 1)
(7.4.1)
^n(kls)^n(kr's),
Zn(kls),
(7.4.2)
где = (3 — as, s = + 1 (см. рис. 42).
Преобразуем теперь сферические функции, входящие в (7.4.1)
и (7.4.2), к координатам гя, 0S, <ps (<ps = <p, s = ± 1). Для этого
воспользуемся формулами сложения для сферических функций
(3.4.21) и (3-4.22), в которых следует положить 0! = 0s, <Pi = M’s»
02 = 0S, q>2 = Ts ~ Ф и в качестве углов Эйлера нужно взять
значения ф3 = л/2, 03 = as и <р3 = Зл/2. На основании (3.4.21),
(3-4.22) разложения (7.4.1), (7.4.2) в координатах rs, 0S, <ps за-
пишутся в виде
ц0= t-pcosys £ ^(2и+1)1тп(ф3, 03, <₽3)Х
, klsr.
й п=0 т=—п
I 361
| ^n(kls)^n(krs)
I 4B(W,)E„(fcrJ
OO n
Р„ (cos 0 )e'm^s ф- .*pSin-b
Vs
п~1 m=-~n
2n + 1 r«/| П \ xz
~ ' Lmi (Фз. 0з> фз) X
И (И + 1)
t>n(kls)tyn(krs) 1
£Akrs)tyn(kls) I
/^(cose,)^. s fs’ (7.4.3)
8 < Г3>
—— co rt
e psmvs y;
ц zZs
X Lml (ipg, 0g> <Рз)
2n + 1
n(n + 1)
=1 m——n v
ЦЮШ) I
S'
xP^(cos6s)ym^ S
fs<''s-
таким же путем получаются разложения по сферическим волно-
вым функциям координатной системы rs, 0S, q>s потенциальных
функций Дебая первичного поля магнитного диполя, находяще-
гося в точке Р и обладающего моментом ш, лежащим в плоскости
Р. Они имеют вид
U° =
и | sin ys у, vi 2n + 1
ljs ri(n+l)
8 s n=i m-^—n v
(^s)^n(^s)
(^s)
1 n
P”(cos6s)e^ ,
D°
У(2п+1)£„«3,е3.ф,)х
kls rs
n—0 m=^—n
[ ^n(krs)^,n(kls) j
x (b \ fP»(COS0s)e Vs+ <
I ^n(kls)Zn(krs) )
£ 1? ^1^3» 03. <Рз) X
(7.4.4)
t|m]sinYs
/srs
n~i m~—n
e
362
£n(kls)qn (krs)
P„ (cos 0S) е"трЕ,
где верхняя строка берется при /s> rs, а нижняя—когда ls<rs
и где в качестве углов Эйлера в выражениях для Lmil, Lmi, Lmi
взяты прежние значения ф3 = л/2, 03 = as и ф3 = Зл/2.
В случае, когда момент диполя, находящегося в точке Р,
перпендикулярен плоскости Р (этот случай отвечает второй част-
ной задаче), локальные координатные системы xs, ys, zs и соответ-
ствующие им локальные сферические системы координат rs, 0S, <ps
вводятся таким образом, чтобы полярные оси 0szs (s = ± 1) вновь
проходили через точку Р в направлении векторов ls и чтобы
плоскость 0s xs Zs (плоскость 0s xs zs совпадает с плоскостью
Osysz) была нормальна плоскости Р (при этом оси 0sxs новых
систем будут совпадать с осями 0sys прежних локальных систем
координат; положение координатных осей системы Ogxsyszs опре-
деляется в системе 0s xs ys z s углами Эйлера ф3 = 0, 03 = as,
Фз = Зл/2). Тогда, записывая сначала потенциалы Дебая первич-
ного поля диполя в виде разложений по формулам § 2 данной
главы в сферических координатах локальных систем rs, 0S, ф8
(rs = rs), после преобразования сферических функций к коорди-
натам системы rg, 0S, фч при помощи формул сложения (3.4.21),
(3.4.22), в которых ф3 = 0, а 03 = as, ф3 = Зл/2, получим искомые
представления потенциалов Дебая и0, п° первичного поля диполя,
выраженные через сферические волновые функции координатной
системы s-ro шара. При этом для электрического диполя они бу-
дут иметь вид
гр
т——п
2п + 1
и (и 1)
Lmi (Фз, ® 3> Фз) X
п° =
U^s) ф„ (fers)
tn(krs)tyn(kls)
Рп (cos в s)e‘m4ls ,
(7.4.5)
+ Lmi (Фз, 03, фз) X
t(n+ 1)
(^s) Ф„ (/гг8)
^(^)ФЯ(Ч)
jp™ (cos 0s)e‘m4>s
(Фз = 0, 03 = as, ф3 = Зл/2),
363
а для магнитного диполя
-- —- со Г1
1/ JL lml V V 2/1 + 1
г е // п(п+\)
s 5 т=~ п х 7
X Lmi (Фз» б3, (р3)
£„(&*) Ф» (&s)
Р„ (cos0s)eimfs
(7.4.6)
п=1 m——n
2n-f- 1
n(n + 1)
Lml (фз» 63, <p3) X
Zn(kls) ф„(*Г8)
^rs)^'n(kls)
(cos 0s) e‘mVs
(Фз = 0, 03 = as, cp3 = 3n/2).
Представления (7.4.3) — (7.4.6) потенциалов Дебая первичного
поля электрического и магнитного диполей в виде разложений
по сферическим волновым функциям, записанным в локальных
координатах s-ro шара, дают возможность решить скалярные
краевые задачи для потенциалов и1 и о1 вторичного поля по той
же схеме, что и в случае плоской волны.
Электрический диполь. Решим сначала частную задачу
для случая, когда диполь имеет момент р, лежащий в плоскости
Р и образующий угол р с положительным направлением оси Oz.
Потенциалы первичного поля диполя определяются формулами
(7.4.3). Поэтому если искать потенциалы и1 и у1 вторичного поля
в виде
где функции
Us = £ £ asmn :n (krs) Р% (cos 0S)e£m4 (7.4.8)
® n=0 m=—n
^C„(^)^(cos0s)^ (7-4.9)
s n=0 m=—n
представляют собой потенциалы вторичного поля, обусловленного
наличием в пространстве s-ro шара, то из граничных условий
(1.7.13) на поверхности каждого шара получатся после приме-
364
нения теоремы сложения (3.7.10) бесконечные системы линейных
уравнений относительно дифракционных коэффициентов и bsmn .
После их замены новыми неизвестными и Bsmn по формулам
(7.3.8) соответственно для Asmn и ВтП получаются системы (7.3.9),
(7.3.10) с матричными элементами (7.3.11) и (7.3.12) и с пра-
выми частями
(7.4.10)
в системе (7.3.9), где
(а, ; 1)| (" + ">' Г х
Is ( (и — m)l J
х£тп(Ф3, е3, Фз)^т’ (7.4.11)
Zn(kas)
XS2 _ fesinys (2n + 1) ( (n + т)! ]I/2
ls n(n +1) ( (n —m)\ J
Х^1(Фз, 03, (7-4.12)
t,n(kas)
( (fl -L- fn}! ) 1/2 *
X -I —......-H и"1(ф3, 03, Фз) (7-4.13)
( (n — m)\ )
в системе (7.3.10). Здесь ф3 = л/2, 03 =ag, <р3 = Зл/2; s = + 1.
Считается, что = 0, если п = 0. При помощи асимптотиче-
ской формулы (3.5.5) для сферических бесселевых функций
и свойств обобщенных сферических функций T”nfe, входящих в вы-
ражения величин Lmi, Lm\, Lmn, можно установить, что правые
части систем (т. е. (7.4.10) и (7.4.13)) удовлетворяют условиям
со сО
У, ! fnm I2 < и | фт„ |2 < со для каждого т, если диполь
п п
не лежит на поверхности одного из шаров (ls > as, где s = + 1
либо s = — 1). Поэтому системы (7.3.9), (7.3.10) с правыми ча-
стями (7.4.10), (7.4.13) единственным образом разрешимы (для
каждого т) и их решения будут удовлетворять условиям (7.3.35),
(7.3.36). Приближенные значения дифракционных коэффициентов
Атп и Bfnn находятся методом усечения.
365
Определением Asmn и Bsmn полностью решается задача для по-
тенциалов и1, v1, которые на основании (7.3.8) могут быть запи-
саны в виде
„ _ i у v у (- ("~т)!.),я х
k Ji) I
X (7.4.14)
rs
»= 1/X -P_ у У у I ("-x
\ u k —J (n + m)!
s=±l n=l m—— Л' 1
x B^-^M-P? cos 6в)ег^фи (Ч)- (7-4.15)
В случае, когда момент диполя р перпендикулярен плоскости
Р в точке Р, потенциалы первичного поля задаются формулами
(7.4.5). Поэтому если искать потенциалы рассеянного на шарах
поля в виде рядов (7.4.7) — (7.4.9), в которых коэффициенты
атп, bsmn связаны с величинами Asmn, Втп формулами (7.3.8), то
граничные условия (1.7.13) на поверхности каждого шара будут
выполняться лишь в случае, если Asmn и В;„л будут решениями
систем (7.3.9), (7.3.10) с матричными элементами (7.3.11), (7.3.12)
и с правыми частями вида
rS ___ k 2н -(-1 jn , . Q Г1 \ XX
fmn — - ~~~ (фд, 63, ф3) X
ls n(n+D
X I (n + m)H )1/2 £n(feO
I (n—m)! J tn(kag) ’
S _ k 2n + 1 J *n , . rr. \ X/
fmn--------~ ~ тг~~ BmI (ф8, u3, ф3) x
ls n(n+ 1)
x ( (п + m)! у/2 Zn(kls)
( (n —m)! ) t,n(kas) ’
ф3 =0, 63 = as, ф3 = Зл/2.
(7.4.16)
(7.4.17)
Как и в предыдущем случае, получающиеся здесь бесконечные
системы линейных уравнений отличаются от систем (7.3.9),
(7.3.10) только выражениями правых частей, что, однако, не при-
водит к изменению их свойства: при ls>as (s=+ 1 или s=—1,
366
диполь не лежит на поверхности одного из шаров) системы един-
ственным образом разрешимы методом усечения. Сохраняются
и все другие свойства систем, описанные в § 3 данной главы.
После вычисления Asmn и Втп потенциалы вторичного ПОЛЯ
находятся по формулам (7.4.14), (7.4.15).
В обеих рассмотренных выше частных задачах составляющие
электромагнитного поля находятся через потенциалы Дебая обыч-
ным образом из соотношений (1.6.15), записанных в одной из
сферических систем координат. В частности, в координатах г, 6,
Ф с началом в точке О составляющие результирующего электро-
магнитного поля в приближении волновой зоны будут задаваться
выражениями (в (7.4.19)—(7.4.22) 1 = 0Р, а не 0_г0+1)
Ев= 1/~H4,= k2p
I £
ei№
В '
№1(0, ф),
/~7Г eikR
Ev = ~\/ ±-H6 = k2p^~W2,
re к
(7.4.18)
где №j и W2 в случае, когда р Е пл. Р
ветственно:
и р±пл. Р, равны соот-
^1 =
cos(a—G)
IFF2
co 11
cosy У £(2n+l)x
n=0 m——n
™„(Фз. e3, <p3)(-On^n(feO]-d—^s6) ?imf
de
CO n
^OsinyV J —С1(ф3, ё3, ф3) X
m n(n+ i)
X ( - i)n Фп (kl) dP"1^cos.e) einUf +
d 6
OO
+ /2S
n=0
Pn (cos 0) J]
s=±l
s isfe/, cos 6
“mn &
(ft/) sin у у у 2n+ 1
sin0 n(n 4-1)
n=l m=—n v '
( —0"фп(^) x
X Ci (Фз, e3, Фз) Pn (cos 0) eimtf + X
sin0
367
n=0
m—~n
iskl^ cos 0 » s
Опт
eimv tn
(7.4.19)
ikl cos (a—0)
W2=----------------
&l2
i>(2n+l)X
sin 0
’ n=0 m~—n
x Lmn (ф3, 03, Фз) ( _ i)n фп (kl) F% (COS 6) eim* 4
feZsiny yi yt
sin0
n~l tn~~n
l« 2n + 1
n(n + 1)
X Lnml (ф3, 63, Фз) ф; (kl) Pn (cos 6) eim<t + - A-
sin 6
n
_.s isklocos&
amne
P?(cos6) e,m<₽
n~l m~-—n
+ (H)sinv^ £ (-y-^+l
X ^(фз, 03, Ф3)фп(^)-^Р" (СО56) eimtf
d 0
n
d
P^(cos6) £ fe^e‘'sWoCOs0
(1A.W)
и
"Фз — л/2, Og — as, фз —- Зл/2,
• ikl cos(a—0)
W, = —-----------------
/г212
00 n
Z S
,,=I " «(« + 0
X Lnmi (ф3, 63, ф3) ( - i)« ф; (kl) -^ (co-s 6) eimt
d 0
368
П=1
s <-,r^
т=—п
Р„ (cos 0) х
s iskl0 cos в
Umn &
eim<f
kl sin у
sin0
X У У m (~ 0” Vn (kl) (ф3, 03, q>3) x
" " n(n + 1)
X Pn (COS 0) eimv + У У ( - i)n m P'n (cos 0) X
sin0
n=I m=—n
^2 =
^ikl cos (a—0)
(7.4.21)
sin©
п=Л tn=—n
X 2n + It- Ob. 03. Фз) Ф« (kl) P% (cos 0) eim<p +
n(n + 1)
p
sin0
s X «(-<)•
n=l tn=—n
S Jsklo cos в
OO fl
x Pn (COS 0) eimv + (kl) sin Y £ £ ( - /)"
n=l tn~—n
2n-u 1
n(n + 1)
7*n., Q , . ,,A dP^ (cos 0) im<f ,
X Lmi (фз> ®3> Фз) Фп (kl) ,
a 0
+ /2S S (-^eim^x
n=l m=—n
24. E. А. Иванов
P-(COS0) £ &^e,w»cose
Фз =0, 03 = as, <p3 = Зл/2.
(7.4.22)
369
Закон распределения плотности поверхностных токов, наведенных
на поверхности s-ro шара, будет задаваться формулами (7.3.39),
в которых в данном случае
оо п
•ms _ Р<0€ у у (И — т)\
V 4л ka — (п _|_ ш)!
й n=I т^-~~ п ' '
1/2
X
X B,sM_^-p-(CoSes)e‘^s,
а 0
/ф =
ргое
4л kas
(п — т)\ "11/2
(п + т)\
As Pn (COS 0S) im<p4
Лтп' ------К
sin 0S
(7.4.23)
“ n
,ms ip coe v (n — tn)\
/e = -----------> , > m —--------------
4л kas “ jit^ (n + m)\
Ses tpue
/0------------
4л ka
>s Pn (COS0 ) <m</,
'mn---------------e
sin 0S
n
m=—n
1/2
X
(n — m)\ ' 1/2
(n + m)\
s
mn
des
P”J(COS0s)^s
d
»
и значения коэффициентов Asmn и Bsm должны находиться из
систем (7.3.9), (7.3.10) с правыми частями (7.4.10)—(7.4.13),
если момент электрического диполя лежит в плоскости Р, и с пра-
выми частями (7.4.16), (7.4.17) в случае, когда он перпендику-
лярен ей.
Наличие в задаче большого числа параметров и возможность
варьирования их в соответствующих областях позволяют рассмат-
ривать частные случаи, вытекающие из общих формул. В частности,
если диполь оказывается расположенным на полярной оси Oz
в точке Р «над» шарами (тогда as=0, s= ± 1), «под» шарами (тогда
а8 = л, s= + l) или же между ними (тогда a_j = 0, а а+1=л),
то для изучения поля диполя в присутствии шаров достаточно
рассмотреть лишь первую частную задачу, которая и будет об-
щей, так как тогда всегда можно построить плоскость, прохо-
дящую через ось Oz так, чтобы момент диполя оказался лежащим
в ней (плоскость Р, ф = 0). Эти случаи приводят к наиболее
простым выражениям, определяющим дифрагированное поле.
Пусть, например, диполь расположен «над» шарами, так что
as=0, s= +1. Тогда на основании (3.4.6), (3.4.10) и (3.4.24) правые
части (7.4.10)—(7.4.13) систем (7.3.9), (7.3.10) окажутся равными:
fmn = 0, т=р0, т=£±1; фтп = 0, m=£ + l;
r0n=&=_ (2n +1) =0,
1S Zn(kas)
rs rs2 —- Sill Р 1±1,П — /±1,П 1- _ 2п + 1 Zn (kls) (7 4 24) [n(H+ I)]1'2 ZntkaJ ’
ik sin p 2n + 1_____________Zn (feQ
21s ’ [n(n+l)],/2‘ Zn(kas) ’
где ys = P —as = p, в результате чего все Asmn и Bsmn, за исклю-
чением Ло„, A±itn и В±1.п, будут равны нулю. Последние же
находятся из систем (7.3.9), (7.3.10) с правыми частями (7.4.24).
Если к тому же диполь является вертикальным (р направлен
вдоль оси Oz), так что и р = 0, то тогда и f±i,n = 0, <p±i,n= 0,
fS 2п-Ц Zn(kls)
1 On — o’* »
is ?n(tas)
(7.4.25)
в результате чего лишь коэффициенты окажутся отличными
от нуля, а все остальные будут равны нулю. В этом последнем
случае магнитные потенциалы и как первичного, так и вторич-
ного полей тождественно равны нулю и будет существовать лишь
поле электрического типа, определяемое электрическим потенциа-
лом и1, равным
оо 71s
S S-^-^;(tas)^(fers)P„(cos6s)- (7-4.26)
kr*
s=±l n=0 s
Если P = л/2 (случай горизонтального диполя, когда момент
диполя нормален оси Oz), то fsOn = 0. В этом случае правые части
систем /±1,п и ф±1,п будут связаны между собой соотношениями
ftn Ф?.п = Ф-1.п, s= ± 1. (7.4.27)
24* 371
bi
Из (7.4.27) и свойства четности матричных элементов систем
(7.3.9), (7.3.10) относительно индекса т следует, что
В\п— В^.п, s— + 1. (7.4.28)
Поэтому потенциалы рассеянного поля можно записать в виде
и1 = 2ip У,
s~±
(п — 1)! у-'2
(П + 1)! J
X Л1П — Zn (fers) Рп (cos 0S) cos T>
krs
(7.4.29)
(П- 1)!
(n + 1)'
X Bsln Anikeis) pl„ (Cos 0 j sin jp •
Потенциалы первичного поля диполя, расположенного на поляр-
ной оси, задаются (в локальных координатах s-ro шара) выраже-
ниями (7.2.18), (7.2.21), в которых следует заменить 6 на 0S
и b на ls.
В случае вертикального диполя, расположенного на линии
центров шаров одинакового радиуса, посередине между ними,
имеет место равенство = fon, а в случае горизонтального ди-
поля, расположенного в той же точке, правые части систем свя-
заны соотношениями
ftL =-(-!)" == (- 1)" (7-4.30)
на основании которых для шаров равных радиусов из систем
(7.3.9), (7.3.10) благодаря (7.3.65) получаются равенства
Л±1,„=-(-IfTlT^, ВТ},„ = (—l^BTj.n. (7.4.31)
Поэтому для решения дифракционной задачи в этом случае до-
статочно вычислить из систем лишь неизвестные 71 ы‘, Btnl (или
АТп, В_'п). Случай сильно разнесенных шаров (fe/^>l) может
быть рассмотрен по той же схеме, что и в задаче о дифракции
плоской волны на двух шарах (§ 3 данной главы). Таким же пу-
тем, как и в § 3 данной главы, может быть рассмотрен и вопрос
о выделении вторичных волн любого порядка рассеяния, обус-
ловленных s-м шаром благодаря его взаимодействию с —s-м ша-
ром (в любой точке наблюдения вне шаров суммарный эффект
372
всех последовательных вторичных дифракций учитывается через
коэффициенты Asmn, Bsmn).
До сих пор предполагалось, что диполь не лежит на поверх-
ности одного из шаров (ls>as). Однако схема решения задачи
останется прежней и в том случае, когда диполь будет лежать
на поверхности одного из них (L_i = а_г либо 1+1 = а+1). Только
для обоснования разрешимости бесконечной системы, получаю-
щейся для коэффициентов АтП и Bfmi, нужно вместо замены (7.3.8)
взять для asmn и Ьтп из (7.4.7)—(7.4.9) замену
8 ( (п — т)! ]I/2 ' ,s
l (n + m)! J
<s ( (n—tn)} I1'2 , . nS
Ьтп — an ~ ? Фл (*«s) ^rm ’
( (n + m)! J
(7.4.32)
где a0=l, a an=n, когда п=И=0. Так как в электродинамическом
отношении идеально проводящий шар с радиальным электриче-
ским диполем на его поверхности эквивалентен элементарной
кольцевой щели, то очевидно, что при 1_г = (или /+1 = а+1)
получится решение задачи о характеристике излучения кольцевой
элементарной щели, расположенной на одном из шаров, в при-
сутствии другого шара, находящегося на расстоянии I от первого.
Магнитный диполь. Если в точке Р находится магнит-
ный диполь с той же ориентацией дипольного момента, что и у
р в предыдущей задаче, то отыскание дифракционного поля сво-
дится к решению двух частных задач, в одной из которых
mg пл. Р, а в другой т_|_пл. Р. Если искать потенциалы и1
и о1 вторичного поля в виде рядов (7.4.7)—(7.4.9), в которых
. [ U , , , / е ...
ip заменено на | m | и |/ р на — 11 m | соответ-
ственно, то на основании (7.4.4), (7.4.6) и формул (7.3.8) для
дифракционных коэффициентов Asmn и Втп получатся системы
уравнений (7.3.9), (7.3.10) с матричными элементами (7.3.11),
(7.3.12), правые части которых в первой из частных задач будут
определяться выражениями
2п+ 1 с1№з> 03; (р3) (7.4.33)
ls n(n+l) Zn(kas)
и соответственно
фтл = фтл + фтл , (7-4.34)
где
Ф^ = -^-(2п+ 1)Ьи„(ф3, 63, Ф3)-^, (7.4.35)
Is (М
373
Л - <7-4-35)
h n(n+l) £„(tas)
а во второй из частных задач — выражениями
rs k 2fl *|~ 1 гМ /, Л \ ?n(^s) Z7 л ос\
fmn— — - —— Lmi (Фз> ®3> Фз) ’ ~ (7.4.36)
I s и (и-i-l) £n(kas)
и соответственно
ф- = 6з’ фз) 4тгт • <7-4-37)
Is n(n+l) £„(Ч)
При этом в (7.4.33) — (7.4.35) углы Эйлера равны: ф3 = л/2,
63 = as, Фз = Зл/2, а в формулах (7.4.36), (7.4.37) ф3 = О,
63 — as’ Фз = Зл/2, s = + 1.
Свойства систем остаются прежними. Их единственные решения
можно найти методом усечения.
Составляющие электромагнитного поля находятся через по-
тенциалы Дебая обычным образом.
Если диполь находится на поверхности одного из шаров, то
для обоснования разрешимости бесконечных систем следует вместо
(7.3.8) произвести замену неизвестных по формулам (7.4.32).
Если магнитный диполь по отношению к одному из шаров
является горизонтальным и Lj = а_г (либо l+1 ~ а+1), то задача
в электродинамическом смысле эквивалентна задаче о поле излу-
чающей элементарной «гантельной» щели, прорезанной на поверх-
ности одного из шаров, в присутствии другого шара, находящегося
на расстоянии I от первого.
Шар произвольной п роводимости с неконцент-
рическим шаровым включением в поле диполь-
ного излучателя. Рассмотрим теперь задачу о поле элек-
трического или магнитного дипольного излучателя в присутствии
шара с неконцентрическим шаровым включением из инородного
материала в предположении, что радиус большего шара равен
G = а, меньшего —- r2 — b и что их электромагнитные свойства
характеризуются постоянными е2, ц2, с2 и е3, р,3, о3 соответ-
ственно. Диполь расположен в точке Р на расстоянии I от центра
шара — а. Его момент образует угол р с плоскостью Р, про-
ходящей через линию центров Ofi2 шаров и через точку Р. В общем
случае 1 образует угол а с линией центров шаров Ofi2 (рис. 43).
Задача состоит в отыскании вторичных электромагнитных полей,
возникающих в результате возбуждения шаров полем диполя
в области вне большего шара (среда /), в области между поверх-
ностями шаров (среда II) и внутри шара r2 — b (среда III).
В сферической системе координат составляющие полей в каждой
из сред, как и в предыдущих задачах, могут быть найдены через
374
потенциалы Дебая по формулам (1.6.15). Поэтому в математи-
ческой постановке задача сводится к решению краевых задач для
потенциальных функций и‘, vl (7 = 1,2, 3), удовлетворяющих
в каждой области уравнению Гельмгольца
&u' + fe?«' = 0, 1 = 1, 2,3,
k2i = (о2ец/с2 в среде I,
kl = (со2е2р2 4- i4 ло2р.2®)/с2 в среде II, (7.4.38)
kl — (со2£3ц3 + /4 ла3ц3со)/с2 в среде III,
а на границе раздела их— условиям сопряжения (1.7.10), (1.7.11),
которые запишутся в виде
д д 2
— (w) = —- (ryu2),
(/7*1 (-^*1
k~ kl 2
И Иг
(r2u2) = ~ (г2и3),
ОГ 2 2
2 з
-----U == -------и,
ц2 [13
ц2о2 = р3о3,
д(ру) d(j\v2)
di\ dt\
p.l> = р.#,
(7.4.39)
где и = и° + и1, v = у0 + и1- Как обычно, от и1 и и1 требуется,
чтобы они на бесконечности удовлетворяли условию излучения.
Для решения задачи введем в рассмотрение две системы локаль-
ных декартовых и сферических /у, 01, ф^ г2, 02, ф2 координат
с началами в точках 01 и О2 с общей полярной осью Oz, про-
ходящей через центры шаров, и с совпадающими плоскостями
OpqZj и О2х2г2 (тогда фт = ф2 = ф). Из рассуждений, приведен-
ных в начале данного параграфа, следует, что если проекция
момента диполя на плоскость Р образует угол у с прямой О^Р,
то потенциалы первичного поля диполя будут задаваться форму-
лами (7.4.3) или (7.4.4) в зависимости от типа диполя в случае,
когда момент диполя принадлежит плоскости Р, и формулами
(7.4.5) или (7.4.6) в случае, когда он перпендикулярен ей. При
этом, как и раньше, в (7.4.3), (7.4.4) в качестве углов Эйлера
должны быть взяты значения ф3 = л/2, 03 = а, ф3 = Зл/2, а в
формулах (7.4.5), (7-4.6) — значения ф3 = 0, 03 = а, ф3 = Зл/2.
375
Кроме того, в этих формулах нужно заменить у8 на у, a ls, 0S
соответственно на I и 0V
Так как потенциалы первичного поля электрического диполя
связаны с потенциалами первичного поля магнитного диполя ра-
венствами
о ___ |т|И о о _ |tn| о /74 401
Um Ve , urn — tie , (/
|p|e |p|
то в дальнейшем достаточно привести решение задачи, например,
только для случая электрического диполя. Решение соответствую-
щей задачи для магнитного диполя получится затем из решения
для электрического диполя на основе (7.4.40) (в (7.4.40) индекс
е приписан потенциалам поля электрического диполя, а индекс
т — потенциалам поля магнитного диполя). Пусть момент р
электрического диполя лежит в плоскости Р и для потенциалов
первичного поля имеют место формулы (7.4.3) (с учетом замеча-
ний, сделанных выше относительно обозначений). Тогда если искать
потенциалы вторичных полей в области I в виде
оо п
h1 = T~S S almnt,n(kr.)P^(cose.) eim\ (7.4.41)
kr. —
n~Q т——п
376
r~--CD П
vl=T~V~ S S b'mntn(kr1)P^(cose1)elmv,
kr'V И n=lm=_„
в области 2 —
CO n
u2 = ——У У a2mn фп (k2t\) P% (cos 0j) e‘rn'} +
Vi
n=0 m=— n
+ —У У С2тп £n (/г2г2) Р'п (cos e2) e'm<₽,
k2r2
n—§ m=—n
(7.4.42)
co n
S У ^4’n(^i)^(cos61)eZm<p +
n—0 m——n
+ 1/ — ——f S tn M P% (cos e2) eim\
1 H tn tt„
а в области 3 —
оо П
“а=——X S °"” ч1" e‘n •
CO n
X bln 4„ (fe3r2) P” (cos e2) eim^,
n=l m——n
(7.4.43)
a1 , a2 ,
mn ’ mn ’
то после замены искомых коэффициентов разложений
а3тп, Ьтп, Ьтп, ЬтП, Стп, dmn НОВЫМИ ПО формулам
-zn)!V/2
~ ? ^пиг t
a1
mn
dmn = фп (k2a)
(п + т)\]
(п— т)!)1'2
[(n+ m)!j
[(n —m)!)'/'2 D,
, ——— У Dtnr, -г
((и 4- т)! |
((и — т)!]*/2
/ПП’
(7.4.44)
(n + ог)!
377
cm„ = 4»(^)
nin »
2 5- x I'1------- л2
@nm — Cn (^2^0 । Г" 1 Amn t
!(«+ m)!J
(7.4.44)
3 5- It, м ЦП----- /71)! *' ,3
Опт — Kn (&3^) I 7? 7imn >
((«+ m)!j
bmn — Kin (^2^)
bmn = Кп (ЬзЬ)
(n — m)iy" o2
. — t Bmn
l(n + m)!j
j(n— m)!l
l(n + m)!j
из граничных условий (7.4.39) при помощи теоремы сложения
(3.7.10) и (3.7.16) получаются системы уравнений для неизвест-
ных Атп, Атп, А,,т, Втп, Втп, Втп, Стп, Dmn.
А2тп+ V
<7=/m|
= F
snq 1 тп*
(7.4.45)
Г 4- V п<12) А2 =0
'-‘тп 4mnq Вта — СЧ
Ч=|т(
1 3
^пКп^Ь-цР} л2 , Атп Л1
---п--------- Втп “I-----S — Втп •
A„x]3„(ta) A„i])„(te)
(7.4.46)
Ап'Фп (kjb)
An Кп (b3b)
С —А2
'-'тп — Втп ,
( О»
1о2 , \' о(21) Г) _ zjs
°тп । Ртп? LJmq — >
<?=]т|
1со
Dmn "Г Ртпч£?т<?=0,
I 9=|т|
(7.4.47)
Ап Кп (^2®) r2
Jo~ ~~~~“ Dtr.
&п tyn(ka)
Л*3
*-*тп
k*2tyn(ka)
Ап6^п (k2b)
^n(k3b)
в которых обозначено
(7.4.48)
(21) _ Ап'фч(/г2й)
Umna — и -------
aU„(M
(/?— /и)!
(V + т)!
(«+ /71)! 11/2 л(21)
--------7" ^ctnnmq >
(п — т)! J
— Втп ,
^тп — ^тп ,
378
„ (12)__ A„ (fe2a)
umnq — ' г ———
An Фп (fe26)
p(21) An Фе (fe2&)
Ртпя~ .4 ,, c
An ?n (fe2o)
о (12) _ Ад (^2^)
pmnq ---——
(q— m)\ (n + m)! 11/2
.(q + tn)\ (n— m)l.
(q — m)\ (n + m)\ 1/2
-(q + tn)l (n— m)!.
(g — m)! (n + m)\ 1/2
0(I2>
Чтптд t
0<21)
Чстл/п<? >
А„8фп (k2b) L (v + m)\ (n — trift.
p ______ bmn bmn
mn Л4 f it, ’ Wmn
bn £„ (fe2a)
0(12)
^Cmnmq >
&П = — i 6 (6 = /г2 ц/k p2), A2 =
Д3 — f
^mn — I mn
A„ =
An ?n (^2°)
(7.4.49)
WM tn(ka)
tyAka) ^(k^)
^'n(ka) ^(k2a)
8ipn(k2a) £n(ka)
Ф^(М ^(ka)
bmn ifmn ’ An — i 62 (62 — p.g Z?2/p.2 ^g)>
62ф„(/г2&) фп(/г36)
An = ,
'i’n (fe2&) (fe3&)
д8_ 62^„(fe2fe) -(fe2&)
ф„(/г3&) ф;(/г3&)
и где
V io&“,/e(Wo)Po(cos0o),
(7.4.50)
i, j — 1, 2, j =?£= i.
В (7.4.48) выражения Д„ отличаются от Ап лишь тем, что
в них 6 и 62 заменены на k р2/&2 р и ks p2/fe2 р3 соответственно,
fтп на Фтп. где
fmn ~ fmn "Ь fmnt
fmn= C0S Y(2n + 1) X
379
fz -
/ mn —
%, Фз)М*0 ГИ±™)!Т/2
X Lml (ф3, 63,
(n — tn)l J
ikp . 2n + 1
—- sin V -----------X
I n(n+ 1)
X S ,,n Г (n + tn)\ l*/2
cps) t„ (/cZ) 4------—-
(n — m)\ J
2n +1
n (n + 1) >
(n + m)! ’ 1/2
(n— m)!
(7.4.51)
sin
__ &P
%in '
X LmMs, 03, Cps)^(^)
Матричные элементы систем (7.4.45), (7.4.47) обладают свойством
четности относительно индекса т. Для них
ОтпЧ = а~тпЧ , $тпЧ = 0-'mnq, I, j =1, 2, 1 =£ /. (7.4.52)
Кроме того, они удовлетворяют условию (1.9.19), а их правые
части — условиям 2|Гтп|2<оо и 2|Фт„|2<°о, в силу чего
п п
к ним применима альтернатива Гильберта о разрешимости. Пред-
положение о том, что однородные системы, отвечающие неодно-
родным системам (7.4.45), (7.4.47), могут иметь нетривиальные
решения, означало бы, как это видно из (7.4.46) и (7.4.48), не-
однозначность определения коэффициентов разложения потенциа-
лов Дебая (7.4.41) вторичного поля вне шара = b и тем самым
неоднозначность определения самих потенциалов, а через них и
вторичных электромагнитных полей. Однако последнее будет про-
тиворечить теореме единственности решения системы уравнений
Максвелла при наличии условий излучения на бесконечности и
условий сопряжения тангенциальных составляющих на границе
раздела сред. Поэтому из альтернативы Гильберта вытекает един-
ственность решений систем (7.4.45) и (7.4.47) для каждого т,
00 со
удовлетворяющих условиям У |2 <С °°, У |В^|2<со ,
п п
2 I |2 < 00 - У |£mn i2<°° 1=1. 2, 3. Эти решения мож-
п п
но найти методом усечения.
В силу соотношений
г _____ / 1 \т (^ + ^)- г
т.п— \ , ч, Lmn >
(и — т)!
=-----(,n+fn)’ LnmX , (7.4.53)
(n— m)\
380
i*n (n -T tri)\ . *n
" i^ml ,
(n — m)\
которые выполняются при углах Эйлера ф8 = л/2, ср3 = Зл/2,
следует, что правые части систем будут удовлетворять равенст-
вам:
р __ __р
г—т>п * тп
(т нечетное; при четном т в выражении F-,n.n
f т.п fmn "4~ fmn). 54)
т.п ~ ®mn
(для всех т).
Поэтому на основании (7.4.52) всегда
В—т.п — Втп, D—mtrl = Dmn (t = 1, 2, 3),
Д—т.п = — Атп, С—т,п~ — Стп (7.4.55)
(г =1, 2, 3, т нечетное).
Из (7.4.51) видно, что если у — л/2 (диполь горизонтален по
отношению к шару радиуса г = а), тогда = О и при всех т
ALm.n = Атп, С-т.п = стп (1=1, 2, 3). (7.4.56)
Если у=0 (диполь вертикален по отношению к шару радиуса
г = о), тогда fmn = 0 и при всех т
ALm,n = (-1Г дк = (-1ГСт„
(7.4.57)
(/=1,2,3).
Рассмотрим несколько частных случаев, вытекающих из об-
щих формул.
1. Вертикальный электрический диполь, у =0. Тогда Фтп = 0 и
г _ Н _ JP(2n + l)
I тп — Imn ~ X
Z2
X £га„(ф3, 68, <p8)C„(fe/) l1/2.
I (n — m)\ )
Поэтому все =0 (i = 1, 2, 3) и Dmn — 0, так что и i/ = 0
(i = 1, 2, 3). Коэффициенты Атп, Cmn находятся из (7.4.45) и
(7.4.46), в которых
/Lm.„ = (-I)m/L
381
и имеет место (7.4.57). В этом случае is (7.4.41) получим для
потенциала и1 вторичного поля, рассеянного на шаре радиуса
г = а, выражение
± у у, ! ffl)! !1/2 х
К m I (« + m)! ।
Ann чрп (М Сп (^1) Рп (cos ej cos т ср.
Отсюда в приближении волновой зоны
,._g2.y у I 1|ДХ
йг> I C« + m>l J
X (— 0п Amn фп (ka) Рп (cos ej cos т ср
и в этом приближении составляющие вторичного электромагнит-
ного поля будут равны
£е =
Еу--~
J*
Б
, eikR
Ф),
. eikR
He — — k2p ф).
А
где
iklcos, (a—0i)
W . = —---------------
k2p
(и — т)! 11/2
(п + т)\
п=0
X (— 0” Ф„ (М — f Рп (cos е1) 1 cos т ф,
dQt
^ikl cos (а—0i)
k2p
ос n
(n — m)\ 11/2
(n +- m)\ j
^2
X (— i)" Фп (^G) (CCq fy) s*n m Ф-
v Tnv sine! T
Если здесь еще и а = 0 (диполь находится на полярной оси), то
тогда Л™ = С„,„ = 0, если т =£ 0, а 4, СОп находятся из
(7.4.45), (7.4.46) с т = 0. При этом
fo„= Лп = —у (2п + 1)С„(И)
382
и для рассеянного электромагнитного поля в волновой зоне
f//‘=^р-^- Г(61),
где
JHcosO,
W (60=--------—— У (- 0" ф„ (ka) Р'п (cos 6J.
k2p
п=0
Этот случай (у =0, а =0) рассматривался раньше в [83].
Составляющие первичного поля диполя в волновой зоне при
у =0 определяются в координатах системы /у, 0Х, ср, выражениями
/ ~и~ PikR
Е°в = V т =k2p Го1(61’tp)>
ikR
№е = -^Р A U7O2(61, ср),
о 1\
где
• ikl cos (a—0i)
г« =—w— 2j S E~<ai+’x-i>"x
n=-0 m—0
X ^n(kl) Lmn(ys, 68, Cp3) —— [/^‘(cos GJ] cosmcp,
^ikl cos (a—0i) °° "
= --------- Zj У en.(2n + l)m(—г)"Х
n=0 tn~ 0
Хфп(&) Ь„,„(ф8, e3> фз) cosmcp,
ЫП t/j
а в случае, когда и а=0, —выражениями
/ iT PikR
£°е = |/ -у (6с),
где W'o(ei) = sin 6с-
На рис. 44 приведены диаграммы направленности, построен-
ные для вторичного электромагнитного поля Н\ в волновой зо-
не в случае, когда у = а = 0, среда I — вакуум, среда II — ди-
электрик (о2 =0), среда III — идеальный проводник (о3=оо), а
k2b=l, k2a = b, k2l0 = 2, krl = 4, kra = 2. Графики функции
i (6i)l > через которую определяется в волновой зоне, по-
строены для различных возрастающих порядков усечения системы
383
(7.4.45) (m=0, W = 2, 3, 4 и 5;] соответственно в (7.4.45) и
в выражении функции W (6j полагалось п, q= 1, ..., N). Для
этих параметров вполне удовлетворительное совпадение результа-
тов наблюдается при N =4.
2. Горизонтальный электрический диполь, у = л/2. В этом
случае fmn = f2mn , причем Дт,„ = — fmn, так что и F_mn =
= —Fmn, а в системах (7.4.45) — (7.4.48)
А—т,п — Атп , В—т п ~ Fmn , т,п ^tnn »
D_m,„ = Dmtl (t = 1, 2, 3).
В частности, если еще и а = 0, то тогда Almn, Втп, Стп, Dmrl=Q
Рис. 44. Функция 1W (вх) | для
различных значений N:
1 _ Л' = 5, 2—4, 3 — 3, 4 — 2
(t = l, 2, 3), если т^= ±1, a А±щ, йц» и C±ln, D±ln (t = 1,
2, 3) находятся из уравнений (7.4.45) —(7.4.48) при т— + 1.
При этом для потенциалов рассеянного поля получаются выра-
жения
- А у------------> х
kt\ АЛ [n(n+l)J'
X А[п фп (ka) tn (krj Рп (cos 8Х) cos <₽,
У ________1___-Х
kt\ ^А {n(n +1)]1'2
П—1
X В1т Фп (ka) tn (krr) р'п (cos sin <p,
на основе которых в волновой зоне составляющие рассеянного
электромагнитного поля равны
Е‘ = 1/ Н' = k^p соЗфИМбх),
384
где
। Г j. ikH.
Е9 = — у — #ё = ~k*p Sinф^2(6,),
^(6) =
Cos 0J
k2p
X
(-0ML
Фп(И
[n(n+l)]I/2
T„ (cos Sj) +
л=1
Фп (fea)
[n(n + l)]1/2
B}n nn (cos
^2(6) =
cos 0t
k2p
(yi (________l)”
X [n(n | 1)]I/2 ^In П" (C°S * X
(~0n
[n (tt 4-1)]1/2
Фп(М Bln т„ (cos 6i)
Для первичного поля диполя в этом случае при а =/=0 будет
/ 77“ ikR
£о = 1/ = k2P ~JT W1^’
=-)/V н°0 = -k2p №2(61, ф),
где
: ikl cos (а -0,)
«7,= ^_____________
kl
ос п
2и+1
п (и 4- 1)
х
х{в", Ф4В/) +
1--^- В^! Ф„(В/) ^(cosejll eimv,
sin I
w2
kl
^iki cos (a—6i)
2/г 4-1
n(n 4-1)
^5. E. А. Иванов
385
( Sin t/j
I -Г» , ^(cosBi)
+ iLmi ф„ (kl)--------
а при a =0
ikl cos 0i
W ! = — ----------
kl
2n +1
n (n +1)
Л
[фп (kl) т„ (cos 61) + i ф„ (kl) лп (cos 6J]
costp,
• iklcosQi
U72 = - *--------------
2 kl
n—1
2n+l
n (n + 1)
(cosej]) sincp.
X [»!’« (kl) t„ (cos 6J + ф„ (kl) лп
3. При l0 = 0 (случай двух концентрических шаров) из при-
веденных выше общих формул получается решение задачи о ди-
фракции поля диполя с произвольной ориентацией момента р на
двух концентрических шарах, которое при b =0 переходит в реше-
ние задачи о дифракции на одной поглощающей сфере.
4. В случае, когда шар радиуса r2 = b идеально проводящий,
получим Атп = В3тп~ 0 (тогда и потенциал и? = и3 =0). В обла-
стях /, II потенциалы определятся выражениями (7.4.41), (7.4.42),
в которых неизвестные коэффициенты разложений находятся из
(7.4.44), где в свою очередь Агтп, В‘тп, Ст„, Dmn, i = 1, 2, оп-
ределятся из (7.4.45)—(7.4.48) без четвертого и последнего урав-
нений при условии, что там
£ = Ап = (КЬ), а Д8 = д;8 = (kJ)).
Заметим, что соотношения (7.4.45) — (7.4.48) и (7.4.49) могут
быть в значительной мере упрощены и в целом ряде других слу-
чаев в зависимости от выбора значений постоянных е(-, р,, о;
в смежных областях и значений параметров kfl, kfi и др.
Пусть теперь момент электрического диполя направлен пер-
пендикулярно плоскости Р. Тогда схема решения задачи остается
прежней: если искать потенциалы вторичного поля в виде рядов
(7.4.41)—(7.4.43) и произвести замену неизвестных коэффициен-
тов рядов по формулам (7.4.44), то из условий сопряжения на
поверхности шаров вновь получатся системы уравнений (7.4.45)—
386
(7.4.48) с теми же самыми матричными элементами, правые части
которых будут задаваться соответственно выражениями
. _ ikp 2иЧ~1
ттп — п(п+ р
х| in+m);,-|1/2L"1№3, е3, (p3)?;(fez)
( (и—ту. J
и
[ е ikp 2п + 1
<Рт... - — j/ у -J— ’ n(n _|_ J) Х
х [(n + m^}1/2£^ е3, <р8)С„(*О
( (п — ту )
(fmn = 0), в которых углы Эйлера равны ф3=0, 03=а, ср3=Зл/2.
Подобным же образом решается задача и в случае магнитного
диполя.
Заметим также, что схема решения задачи не изменится и
в том случае, когда диполь будет расположен на поверхности
шара радиуса г = а или же будет находиться внутри одного из
шаров.
§ 5
Задача о поле
двух сферических излучателей
Рассмотрим задачу об электромагнитном поле систе-
мы, составленной из двух соосных сферических излучателей (ан-
тенн) с поверхностями, разделенными малым зазором, к которому
извне подается, например, при помощи коаксиальной линии,
возбуждающее, симметричное относительно оси напряжение,
в предположении, что поверхности излучателей идеально прово-
дящие, а окружающая их среда — однородное и изотропное не-
ограниченное пространство с электрической и магнитной проницае-
мостями е, р и проводимостью о =0 и что влиянием подводящих
линий на поле системы можно пренебречь. Как обычно, задача
состоит в отыскании решения системы уравнений Максвелла
(1.1.4) вне излучателей (р(ст) = 0, J<CT) = 0), удовлетворяющего
на поверхности каждого излучателя некоторым граничным усло-
виям, условиям излучения на бесконечности и обладающего
в силу сделанных выше предположений относительно располо-
жения излучателей и способа их возбуждения аксиальной сим-
метрией (д/д ср s 0).
25* 387
В локальных сферических координатах rs, 6S, cps, связанных
с s-м излучателем (геометрия задачи изображена на рис. 45),
s = + 1, решение системы уравнений Максвелла для поля оди-
ночного s-ro излучателя при условии, что d/dcps=O, может быть
представлено на основании (1.6.27) в виде
ps _ i 1 ^uS
r$ k0 e r2 sin es d 6S ’
Esos =--------------(751)
s /гое rs sin 6S drs v ’
Рис. 45. Геометрия задачи о поле двух
сферических излучателей
где «s — скалярный потенциал Абрагама, удовлетворяющий урав-
нению (1.6.28)
+ . в ( > . » \ + =0. (7.5.2)
or* г2 des \ sm6s d0s / v '
Если подставить в уравнение (7.5.2) вместо us функцию rssin0g/^s
из (7.5.1), то для составляющей получится уравнение
388
д о (^S^<₽<;) Н-X
s s
x— Г— • — (r sine hl)]-ta2h; r = o, (7.5.3)
desLsines ae, s] s v
являющееся уравнением Гельмгольца Д H^s -}- k2Hfls=0, записан-
ным в сферических координатах и обладающим азимутальным
числом т = 1. Его частными решениями, удовлетворяющими
условию излучения на бесконечности и ограниченными в полюсах
6s = 0, 6S = л, будут волновые функции hn ’ (krs) Р'п (cos 6S), где
n=l, 2, ... Поэтому составляющая поля одиночного из-
лучателя может быть представлена в виде ряда
ОО
S aUn(^s)^(cos6s). (7.5.4)
П=1
Как видно из (7.5.1), составляющие Esr, Ее электрического поля
выражаются через Н^ формулами
Ег= ь ' • о • <sin0S^)’
eAorssin6s d0s
= А (г^ф) . (7.5.5)
А’оег, drs
(эти соотношения могут быть получены непосредственно из си-
стемы Максвелла).
Будем искать результирующее электромагнитное поле двух
излучателей в виде суммы Е — V Es, Н= "У Hs, где Е^ =
S— ±1 S==± 1
— Hsr = Hse — 0, a Esr, Ее и Н^, s = + 1, определяются форму-
лами (7.5.4), (7.5.5). Взаимодействие излучателей учитывается
через коэффициенты разложений asn, подлежащие определению.
Для этого используются граничные условия
S
1) 0 при rs = as вне зазора;
2) приложенному к зазору s-ro излучателя
полю при rs = as и 6° — as < 0s 6° -j- (7.5.6)
+ as, где as — угловая ширина зазора s-ro
излучателя, s= +1,
которые должны выполняться одновременно на поверхности каж-
дого излучателя системы для касательной составляющей вектора
389
электрической напряженности полного поля. Повторив рассужде-
ния, аналогичные приведенным, например в [8, 7], где дано из-
ложение метода решения подобной задачи для одиночного сфе-
рического излучателя, полученного Стрэттоном и Чу, найдем,
что условие (7.5.6) может быть переписано в виде
X У Р- (COS S = + 1.
2и(п + 1)
если предположить, что as являются достаточно малыми величи-
нами, s = + 1. Здесь через Vg обозначено приложенное к зазору
s-ro излучателя симметрично возбуждающее напряжение, которое
считается заданным. На основании (7.5.5) это граничное условие
примет вид
{rSH^\r=a =^oeVsX
ors s s
oo
X у 2n+l;- Pi(coses°)Pi(coses), s= ± 1. (7.5.7)
2n(n + l)
Подставляя сюда вместо H't( ряд
asn £» (krs) Р1„ (cos 6S)
(7.5.8)
получим после применения теоремы сложения (3.7.10) и замены
неизвестных asn новыми Asn по формуле
asn==ty'n(kas)Asn, s=±l, (7.5.9)
бесконечную систему линейных уравнений для определения Ап:
< + V a^s’5> = fn (7.5.10)
с матричными элементами
^n(kas)
и с правой частью
s = ^(2п H)VX(cose°)
' 2n(n +l)q'n(kas)tn(kas) ’ 1 '
390
где, как и в предыдущих задачах, 0_1Л=О, 6^-! = л, а г_8,8=
=/—расстояние между центрами сфер (предполагается, что сферы
не касаются друг друга). Система (7.5.10) отличается от бесконечной
системы (7.3.9), если последнюю рассматривать при значении
т =1 (с учетом (7.3.8)), только выражением правой части. Однако
нетрудно заметить, что (7.5.12) удовлетворяют условию (1.9.20).
Поэтому система (7.5.10) будет обладать всеми свойствами систе-
мы (7.3.9). Ее решение (единственное в силу единственности ре-
шения рассматриваемой задачи) может быть найдено методом усе-
чения. Определитель системы (7.5.10) может быть записан в виде
(7.3.14), а сама система после введения обозначений (7.3.18),
(7.3.19) может быть записана в нормальной форме (7.3.17). Ре-
со
шение системы удовлетворяет условию | Asn |2< оо.
П=1
Приближенные численные значения коэффициентов могут
быть найдены из конечных (усеченных) систем, имеющих вид
(7.3.61) или (7.3.63) с матричными элементами (7.5.11) и с пра-
выми частями (7.5.12), по той же схеме, что и во всех пред-
шествующих задачах.
Отысканием коэффициентов Asn полностью решается задача.
Составляющие электромагнитного поля, излучаемого системой из
двух соосных сферических излучателей, находятся по формулам
(7.5.8), (7.5.5) (Нф=2^, £е= Jfe, Er= V Е*г). В при-
S=±l s=±l s=±l
ближении волновой зоны в сферических координатах г, 6, <р
с началом в точке О (см. рис. 45), когда приближенно 6S = 6,
}rg = г — st0 cqs е и rs = г {г^> Г), 10 = 1/2, будет
5' i 1 ikr
V гр, (7.5.13)
-йгде
№(6)= V e-^cosej, (_i)«x^;(^s)p'(C0Se). (7.5.14)
s=±I n=l
..На основании (7.5.13), (7.5.14) для функции Т(0, ср), входящей
Ite выражение коэффициента направленного действия (1.4.18) излу-
чающей системы, получим
I Жч>)=4|Ж
t «
I тогда для рассматриваемой нами излучающей системы
Й g(e,,)..lZW,
Л 391
где на основании (7.5.14), (7.5.9)
W = [|№(6)|2 sinGde =
о
-V V lanMn + D , Va+’fl-’a -4-
- 2l 2j a> + i + 2j “"< +
s=±l n—1 n,p— 1
+ yt4+,,»„,
лшав
n,p—l
n^p n+p
a a„- V (-;)"6»"‘"’;ЛИ), b„ = V /„(И),
a=ln—pi o=|n—Pl
asn = (— 0” ’N (kas) Л„ .
Рассмотрим некоторые частные случаи, вытекающие из полу-
ченных формул.
1. Пусть, например, as — a, s = + 1 и 6° = л/2, s = + 1.
Тогда будет выполняться соотношение а^1, +1) = (—1)"+т х
Хат”'1 = апт и из (7.5.10) —(7.5.12) можно установить, что
при синфазном питании излучателей, когда V = V+1 = ,
4*1... =Л1..., Лм....-------(7.5.15)
а при противофазном питании их, когда V = У+1 — — V-15
Atk... = — АтХ..., AtX... =Л^„„ . (7.5.16)
В результате в приближении волновой зоны для функции IF(6)
получатся выражения
W (6) = 2cos (kl0 cos 6) X
X А*1 Ф« (M (— i)" Pn (cos 6)—2i sin (kl0 cos 6) x
n=I,3,...
X V Л+’гММ(- i)nP« (cosO) (7.5.17)
n=2,4....
И
W (0) = 2i sin (/?/0 cos 0) X
X An1 (— 0" (ka) Pn (cos 6) + 2cos (kl0 cos 0) x
n=l,3,...
X Pi (cose), (7.5.18)
«=2,4,...
392
из которых следует, что в случае, когда НС( достигает домини-
рующего значения только за счет волн первого порядка (n = 1),
поле Н,р будет иметь вид
И,.. = А---- cos (kl0 cos 6) sin 6 (7.5.19)
r
и
H = В -— sin (£/o cos 6) sin 6 (7.5.20)
r
соответственно, где А и В — некоторые постоянные. В частно-
сти, (7.5.19) и (7.5.20) будут иметь место при достаточно малых
значениях параметра ka (ka 1, как показывают расчеты, на-
пример, при ka = 1 и kl >3 приближенно Ап = fsn и в (7.5.8)
достаточно ограничиться лишь членами с и= 1). Выражения
(7.5.19), (7.5.20) показывают, что при малых ka поле системы
из двух сферических излучателей оказывается идентичным полю
системы из двух элементарных электрических диполей с соответ-
ствующими величинами их моментов, находящихся на расстоя-
нии I друг от друга.
В рассматриваемом случае приближенные значения величин А„,
s = ± 1, могут быть найдены путем решения двух независимых
друг от друга систем N-ro порядка
х„ + = F п, (7.5.21)
N
Уп-^- 1Г ьпт Ут = Фп (7.5.22)
т=1
с неизвестными
*п = Л+1 + (-1)" Ап1, Уп = At1 - (-1)" АГ1
и с правыми частями
F п = ft' + (- 1)" fn', Фп = ft1 - (- 1)" fnl ,
^которые получаются таким же путем, как и в предыдущих за-
? дачах, на основании установленной выше связи между матрич-
' ними элементами системы (7.5.10) при as = a, s= — 1.
j 2. Будем считать теперь, что расстояние между излучателями
j намного больше длины волны (kl )> 1) и велико по сравнению
с радиусами сфер. Тогда в предположении, что kl'^> п + т, где
П, т—1, 2, ..., N, на основании асимптотической относительно
аргумента формулы для сферической бесселевой функции йд1’ (kl),
393
Рис. 46. Функция |//ф|2 в зависимости от угла 6:
а — kl = 5, ka — 1; б — kl — 5, ka — тс/2; в — kl—Ъ, ka — 2 при V4-1 = V-i
(/), V+i = e<It/2V.« (2). V+, = е‘ЗЯ/4 V_! (3), V+i =«“* V.i (4); fa - M = 5,
V+1 = V.1 при ka = Л/4 (I). 1 (2), */2 (3) и 2 (4); d — ka = 2, V+1 = V.t при
Ы = 4,5 (/), 5 (2) и 6 (3)
Л
Рис. 47. Функция | /7„|2 в зависимости от угла 6 (/ = За, 1'+1 =
= V-i) при ka = 1,5 (7), 2 (2), т. (3) и 4 (4)
Рис. 48. Функция | 7/m V2 в зависимости от угла 6 при ka=.v., I —
= За и V+1 = V-! (/), V+1 = - V-! (2), V+1 = - iV-± (3)
394
примененной к (7.5.11), окажется, что в рассматриваемом при-
ближении a<~s>s) — 0 для всех пит, так что
Ап = fn • (7.5.23)
Этот результат означает, что в случае сильно разнесенных сфе-
рических симметрично возбуждаемых излучателей, когда расстоя-
ние между ними достаточно велико в сравнении с радиусами
сфер, вторичным полем, возникающим при последовательных
взаимных дифракциях на излучателях, можно пренебречь в срав-
Рис. 49. Функция | Ну |2 в зависимости от угла 0
для одиночного сферического излучателя при ka =
= тг/4 (/), 1(2), 1,5(3), 2 (4), л (5) и 4 (6)
нении с первичными полями излучателей. Для такого случая на-
правленные свойства излучателей при as = a, 0° = л/2, s = +1,
будут описываться при синфазном питании излучателей фор-
мулой
W (6) = — ik?V cos (kl0 cos 6) x
V in 2n+1
n(n + l)
— Pn (cose), (7.5.24)
Zn (ka)
а при противофазном питании — формулой
W (6) = k?V sin (kl0 cos 0) X
n=l,3,...
2n 4-1
n (n +1)
Pn(0)
^n(ka)
Pn (cos 0).
(7.5.25)
В случае произвольных значений kl (I > + o+1) величины
вторичных полей всех последовательных порядков рассеяния
можно найти по той же схеме, что, например, и в § 3 данной
главы, путем применения к системе (7.5.10) метода последова-
тельных приближений.
В общем случае направленные свойства системы из двух сим-
метричных сферических излучателей будут зависеть от значений
параметров kl, kas, (°, разности фаз токов питания, возбуждаю-
щих излучатели, и их амплитуд и др. В частности, в случае,
395
когда 1, 0s°= л/2, as = a, Vs= etsaV, s — + 1, направлен-
ные свойства системы в волновой зоне определятся формулой
/ IJ
Ee = j/ = 1У(6),
где
W (6) = k0 е cos (а — kl0 cos 0) х
2п + 1
п(п+ 1)
Рп (cos в). (7.5.26)
(ka)
В качестве примеров, иллюстрирующих метод, приведем диа-
граммы направленности, построенные для | |2 в зависимости
от угла 0 для различных значений параметров kl, ka+1 = ka_r =
= ka, Vs и О® = л/2, s = — 1 (рис. 46—48). Все диаграммы рас-
считывались по формулам (7.5.21), (7.5.22) и (7.5.13), (7.5.14).
Они показывают, что путем изменения указанных параметров
можно при одних и тех же размерах излучателей нужным обра-
зом менять направленность излучения системы.
Формулу (7.5.26) можно записать в виде
^ = А(6)/2(0), (7.5.27)
где
f ь v 2n +1 Pn (0) Di .
/1(6) = koeV------ \---------------• -----i--- Pn (cosO),
r лзяА 2п(п+ 1) '"n(ka)
f2(0) = 2cos (a — kl0 cos 0).
В таком виде функция П1{1 является обычной для линейных си-
стем двух одинаковых излучателей функцией направленности
системы. Здесь f± (0) — функция направленности одиночного из-
лучателя системы, а f2(0)— функция направленности двух нена-
правленных симметричных вибраторов, расположенных на расстоя-
нии I друг от друга с разностью фаз в вибраторах а. Направлен-
ные свойства одиночного излучателя существенным образом
зависят от величины ka (рис. 49): с увеличением ka диаграммы
становятся многолепестковыми, причем интенсивность излучения
в направлении 0 => л/2 вообще-то не для всех ka является ма-
ксимальной. Если, например, максимальная интенсивность излу-
чения одиночного излучателя достигается при 0 = 0°, то для
значения a = klcosti0 H(j!(e0) =2/\(60).
Приведенный здесь метод решения задачи о поле двух сим-
метрично возбуждаемых сферических излучателей может быть
распространен и на линейную систему из любого конечного числа
сферических излучателей с общей осью вращения [93].
ГЛАВА 8
ДИФРАКЦИЯ
НА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЦИЛИНДРАХ
Дифракция плоской
электромагнитной волны
на эллиптическом цилиндре
Пусть на бесконечно длинный идеально проводящий
эллиптический цилиндр, занимающий в неограниченном однород-
ном и изотропном пространстве с электрической и магнитной
проницаемостями е, р. и проводимостью о = 0 область g <
(в эллиптической системе координат т), z с осью Oz, направ-
ленной вдоль оси цилиндра), падает плоская электромагнитная
волна (1.3.4), распространяющаяся в направлении единичного
вектора п, образующего некоторый угол 0 с положительным на-
- правлением оси Oz, и угол а между проекцией его на плоскость
J Оху и положительным направлением оси Ох, совпадающей с боль-
I шим диаметром эллипса поперечного сечения цилиндра плоскостью
Оху (рис. 50). В общем случае волна поляризована так, что век-
тор электрической напряженности Е° образует угол Р с плос-
5 костью Р, проходящей через направление п и ось Oz. Ставится
I. задача отыскать вторичное поле, рассеянное на цилиндре. Так
J как в координатах эллиптического цилиндра электромагнитное
j поле допускает представление в виде наложения полей электри-
] ческого и магнитного типов, то решение этой задачи можно
получить из решения двух частных задач, отвечающих случаям:
I 1) вектор Е° || пл. Р (поле типа ТМ),
1 2) вектор Е°_|_пл. Р (поле типа ТЕ).
1 > Если ввести в рассмотрение скалярные потенциальные функции
1 и, V, связанные с составляющими электромагнитного поля форму-
Глами (1.6.20), (1.6.19), то тогда в математической постановке
1 решение частных задач состоит в нахождении функций и1, V1,
1 удовлетворяющих уравнению Гельмгольца, граничным условиям
3 (1.7.7), (1.7.8) (в (1.7.7) u = u° + u1, а в (1.7.8) v = п° + п1,
5 где и° и v° — потенциальные функции первичного поля типа ТМ
: и типа ТЕ соответственно) на поверхности цилиндра и дополни-
397
тельному условию излучения на бесконечности. Так как в случае
поля типа ТМ продольная составляющая вектора Е° равна
Ег =Esine/‘2+'ftsine<nr),
а в случае поля типа ТЕ продольная составляющая вектора Н°
равна =Е §.п е eihz+lk sin е(Пг),
где в эллиптических координатах (nr) — f (ch g cos tj cos a + sh g X
Рис. 50. Дифракция плоской волны на
эллиптическом цилиндре
X sin т) sin а), то тем же путем, что и в § 1 гл. 6, в аналогичной
задаче для кругового цилиндра, на основании (4.4.10) находим,
что функции и° и о0 представимы разложениями
t , ОО
«0 = V [cnCe„(g, ^)се„(т), g)cen(a, q) +
ZZ-—O
+ 4Se„(g, <7)se„(r|, g)se„(a, g)] (8.1.1)
и
1,0 = ----eihz У [cnCe„(£, 9)се„(т], g)ce„(a, q) +
62 —
+ d„Sen(£, <7)se„(T], g)sen(a, g)], (8.1.2)
S2 1.2 12 (f&SinO)2 . , _
где 62 = k2 — /г2, q = —-----------— и h = k cos 0.
4
398
Случай поля типа ТМ. Если искать потенциал и1 рас-
сеянного на цилиндре поля в виде ряда по волновым эллипти-
ческим функциям (4.1.9), (4.1.10)
«1 = eihz У {а^Ме»1)^, q)cen(t\, q) у
n=0
+ bndnNe{"& q)sen(-q, z?)|
(8.1.3)
с неопределенными коэффициентами разложения an и bn, то из
граничного условия (1.7.7) на поверхности цилиндра (£ = £°)
найдем, что последнее будет удовлетворено, если
=------Се (g ,q) , и = 0, 1, ...,
ь __ se ( ) «==1,2,... (8.1.4)
Neb1 (£°, <?)
Тогда
ui —___ 2Е sin 6 ..Iz у ( Сеп(^°, д) де(О/е 0\се /а мх
п=0
Хсеп(т), g) + 4Q\ Nen’^’ ?)sen(a- 9)sen(n> <7)1, (8.1.5)
Neb (g°, q) J
а потенциал полного поля {и = u° + и1)
2Е sin 0
[се,(|. ,)1х
п=0 1 L « IS > Ч/ J
X се„ (a, q) се„ (т], q) + d„ Sera (g, q) —
— q\ se«(a’ <7)sen(Tl> (8Л-6)
Neb g°, q) J J
В приближении волновой зоны для рассеянного поля
Е\ = — ]/"А //; = ^ Л(ф) sine, (8.1.7)
Гб Ур
где амплитудная функция
399
AM.-2E^
e 4 V I ' ~(1P cen (“’ ?) cen (ф> 4)+
1 Me*0 (g°, q) K 4 n ™ 4'
sM„, ,)5е,(Ф.9)).
[(8.1.8)
При вырождении эллиптического цилиндра в ленту шириной
2/ (£°=0)
___ ,, lit со
2 е Т у Се“<0’ g)
|/ 6л — Ме„ * (0, q)
Д(<р) = — 2Е
X cen(a, <7)cen(<p, q). (8.1.9)
Закон распределения плотности поверхностных токов, наведен-
ных на эллиптическом цилиндре, задается, как это следует из
(1.1.7) и (1.6.19), (8.1.6), формулами (6 — л/2)
, /_е_ • сЕ У { се"<й’ $ +
|/ р. л2^ СяМе^^о, q)
sen(g, q)sen(r\, q))
dnNe*0^, <?) Г M
/5 = /4 ~ O'
В случае ленты шириной 2f(g°=0)
Ес
n~kh*
ce„(g, д)се„(ц, q)
cnMe^ (0, q)
sen(g, g)sen(f\, g) ]
^„NeV^O,^ j
(-1)”
(8.1.11)
(равенство нулю составляющей нормальной к ребру ленты,
означает автоматическое выполнение условия Мейкснера на ребре
ленты при g = т] = 0).
При нормальном падении плоской волны на цилиндр (по от-
ношению к образующим цилиндра), когда 6 = л/2, величина по-
перечного сечения обратного рассеяния (радиолокационное попе-
речное сечение) для эллиптического цилиндра вычисляется по
формуле
= 11 V (- п" 1 Се“ (s°’
k (МеУЧМ
се^(а, Ч) +
400
2
+ .Se« (g°, q) se2( ) j
NeV’^Q) ” /
В случае, когда волна распространяется вдоль оси Ох (а=0),
(8.1.12)
16
op = —
B k
а при a = л/2
16
B k
V i— ir Ce"^°’
Me'V, 9)
2
се2(0, q) ,
(8.1.13)
п=0
n—0,2...
'Cenq°, q) 2
Me’0^»,?) "
_ у Se»(g°’ 2
NeP(S«,9)S”
При вырождении цилиндра в ленту шириной 2/ (g° — 0)
(8.1.14)
Г ce£(a, q)
Me’°(0, q) n
n=0
Полное поперечное сечение рассеяния равно
Os
«=o
где an и bn определены формулой (8.1.4). При a =0
°s =
Ce„(E°, q)
Me<° (£>, q)
2
cen(0, q) ,
(8.1.15)
(8.1.16)
(8.1.17)
Л
2 ’ q
л
2
2
при а = л/2
Os =
«=0.2,...
Се„(Г> <?) ce
Mei'>(^, q) Ce”
8
k
л
Ч4
2
T9
и, наконец, в
Sen(V>, q)
NeV)(£°, q)
se,
(8.1.18)
случае ленты шириной
2f(^=0)
Os
п=0
Ce„(0, q)
Mc„ 1 (0, q)
2
ce„(a, q) .
(8.1.19)
26. Е. А. Иванов
401
2
Случай поля типа ТЕ. Для рассеянного поля потенциал
о1 ищется в виде ряда, подобного (8.1.3),
vl = ~^s‘n6 еЛг У {а„с„ MeA°(g, <7)се„(т], q) +
О“
п=0
+ fe„dnNe.V)(g, <7)se„(r], <?)} , (8.1.20)
коэффициенты которого ап и Ьп находятся из (1.7.8) с учетом
(8.1.2) и равны1 (члены с d0 всюду должны опускаться)
а"~~ Л')'(бЛ“"<а' Ьп“ ~йНмж”<а'’)'<8'1'21)
Поэтому
, 2Е sin 0
о1 = --------х
62
X eihz У f сп Ме<° (g, <7)се„(а, q)cen(r\, q) +
I Me> (g°, q)
+ dn NejJ^g0,^) Ne")^> ^)se«(a’ Я) sen(r], q) } ’ (8.1.22)
a потенциал полного поля v = + v1
2Е sin 6
v = ----------
62
cn
Cen(g, q)~
n=0
“S%^) Ме"’(L q} Се"(“’ q}Се”(П’ Я}
n
(8.1.23)
E\
В приближении волновой зоны для рассеянного поля
гбр
-j= А* (<р) sin 6,
ур
(8.1.24)
1 Штрих у обычных и модифицированных функций Матье означает дифферен-
цирование по аргументу'. В частности, Се'п (g0,^) = — Се„ (g, q)\ ,„ит. д.
402
где амплитудная функция
Л'(’’>=-/¥2£ i;
хЁ{й^)се"<°-
п=0
, Se„ (t°, q) , . . .1
S^***'*’)r
Для ленты шириной 2/ (Е° 0)
VT Sen (0, q) . . .
X > —пг—— se (a, <7)se„(<p, q).
^NeV* (0, q)
(8.1.25)
(8.1.26)
Закон распределения плотности поверхностных токов задается
формулами
/| = О,
; = _ £csine pihz V / ce«(a’ ‘7)centrl’ 9) _i_
” in2 cn^'(l°,q)
sen(a, g)sen(i], q)\ „
dnNe(nl)'(^,q) )
£ccose eihz у, I ce„(a, <7)ce„(i], g)
/ign2fcsin6 " j CnMei,1’ (g°, q)
(8.1.27)
+
se„(a, ^)se„(r|, q) )
+ d„Ne<'>'(^Q) j1
Следует отметить, что составляющая jz плотности поверхностных
таков вдоль оси Oz не создает рассеянного поля, так как она
порождает потенциальную функцию и, тождественно равную
К нулю для поля ТЕ-типа. Для ленты шириной 2f(g°=0)
Г-
Ц ;________________Ес sine y1 I ce«(a’ q) j_
4 in2 спМе‘1Г(0, 9)
I A'
* 26* 403
। sen(a, g)sen(n, g) ] .
d„Ne‘1)'(O, q) Г ' ’
„ (8.1.28)
EccosO elhz у f cen(a, g)cen(t], q)
/?gn2/esin0 j. c„Melu'(O, q)
_j_ sen(g, g)sen(n, Я) । , n„
' d„NeVr(O, q) M '
Эти выражения удовлетворяют условиям Мейкснера на ребре
ленты. При нормальном падении волны на цилиндр (по отноше-
нию к образующим цилиндра), когда 0 = л/2, поперечное сече-
ние обратного рассеяния (радиолокационное поперечное сечение)
16
oR = —
в k
Се;^0, д)
Ме’0'^, q)
се2 (а, д)+
+ 5^Д°’ se2 (g, q) | \ (8.1.29)
NeV’^.g) " I
При a — 0
ов = V (- 1)" ce2(0, g) \ (8.1.30)
B k MeV’d0, g) "
n=0 '
а при g = л/2
16
од = —
B k
СеД|°,д)
Ме<1Г(^, g)
ее?
у Cen(S°, g) se2
(8.1.31)
и, наконец, в случае ленты шириной 2/(Е,°=0)
л-0
|П Se„ (0, д) ;
Ne‘,r(0,g)' п(а’9)
2
(8.1.32)
Полное поперечное (погонное) сечение рассеяния равно
= 4 S 1№+«м2ь (8л-33)
k
п=0
где ап и Ьп определены формулами (8.1.21). При д=0
404
при а = л/2
8 у Се'(^°, д)
k Ме‘г1Г(£°, д)
се„(О, q)
2
(8.1.34)
СеД!0,?)
Ме'1»'^,?) ‘
Sen(l°,q) se /А
NeVr(M V 2’
и, наконец, в случае ленты
°s
л=0
Se„ (0, д)
Ne^'CO, д)
se„(a, д)
(8.1.35)
При помощи асимптотических относительно индекса п пред-
ставлений функций Матье (4.2.29), (4.3.7) и (2.2.26)—(2.2.28)
нетрудно установить абсолютную и равномерную сходимость ря-
дов1, встречающихся в полученных выше решениях задач для
обоих случаев поляризации поля. Эти ряды пригодны для числен-
ного счета (без обращения к ЭВМ) при сравнительно небольших
значениях параметра д, величина которого зависит от размеров
поперечного сечения цилиндра—эллипса (от фокусного расстоя-
ния f) и от длины волны возбуждения. В общем случае числен-
ная оценка полученных выражений затруднительна, так как
теория эллиптических волновых функций более сложна и табу-
лирование их более трудно, чем, например, волновых функций
кругового цилиндра. В связи с этим таблицы функций Матье
имеются лишь для сравнительно небольших отношений между-
фокусного расстояния эллипса сечения цилиндра к длине волны
[43, 183—185,188]. Ограниченность объема имеющихся таблиц
функций Матье и недостаточность сведений об их асимптотике
при больших д приводит к тому, что решения (8.1.5) — (8.1.35)
практически малопригодны в оптическом диапазоне волн, когда
из-за малой длины волны величина д является весьма большой.
Однако уже в диапазоне сантиметровых волн при соответствую-
щем значении междуфокусного расстояния эллипса сечения ци-
линдра все решения становятся пригодными для численных рас-
четов задачи. Теория приближенных методов расчета бесконечных
рядов по волновым функциям Матье в случае большого д, на
основании которых они могли бы быть преобразованы в выраже-
ния, более удобные для счета и анализа поля, как это, например,
1 Относительно д эти ряды сходятся неравномерно [171—174].
405
делается в случае кругового цилиндра, разработана недостаточно.
Большие затруднения возникают и при решении задачи о диф-
ракции электромагнитных волн на эллиптическом цилиндре из
материала, обладающего конечной проводимостью (сг2 =Д 0), когда q
является (в общем случае) комплексной величиной внутри цилин-
дра и даже тогда, когда о2 = 0 внутри цилиндра, но магнитная
и электрическая проницаемости цилиндра отличны от проницае-
мостей окружающей среды. Особенностью решения дифракционной
задачи для такого эллиптического цилиндра является то, что
искомые потенциальные функции внутри и вне цилиндра прихо-
дится разлагать по волновым функциям Матье с различными
значениями параметра q, для которых угловые функции Матье
становятся неортогональными на поверхности цилиндра. В резуль-
тате переразложения функций для коэффициентов рядов получа-
ется бесконечная система линейных уравнений с бесконечным
числом неизвестных [129].
§ 2
Поле продольного излучателя
в присутствии эллиптического цилиндра
Рассмотрим задачу о поле элементарного электрического
или магнитного диполя в присутствии идеально проводящего бес-
конечно длинного эллиптического цилиндра, занимающего в не-
ограниченном однородном и изотропном пространстве с констан-
тами е, и и о = 0 область g (ось Oz эллиптической системы
Рис. 51. Возбуждение эллиптического цилиндра плоской волны (а)
и обобщение задачи на случай продольной щели на цилиндре (б)
координат g, т], z направлена вдоль оси цилиндра), в предполо-
жении, что момент диполя, находящегося в некоторой точке
/?(£о, 'По, ?о) пространства, ориентирован параллельно образующим
цилиндра (рис. 51, а). Задача решается по той же схеме, что и
406
в § 2 гл. 6 для случая кругового цилиндра. Так же, как и там,
решение, полученное для дипольного излучателя, обобщается
затем На случай линейного источника конечной или бесконечной
длины. В предельном случае, когда магнитный диполь расположен
на поверхности цилиндра, получается решение, эквивалентное в
электродинамическом смысле решению задачи о поле элементар-
ной излучающей щели, находящейся на поверхности цилиндра
эллиптического сечения (ленты), которое может быть затем обоб-
щено на случай продольной щели конечной ширины.
По той же схеме, что и в § 2 гл. 6, находим, что в случае
электрического диполя с моментом р = {0, 0, р] потенциальная
функция Герца и° первичного поля в свободном пространстве за-
дается рядом по интегралам Фурье типа
ОО ОО /
u°=ip^ | (—1)” се„(1],<7)се„(т)0,<7)
п=0 —со '
^Me<,°(g, g)Ce„(go, я)
<?)Ce„(g, q)
+ se„(T), ^)se„(r|0, q)
q)Sen(^, q)
d^Ne0)(ge, q)Sen& q)
dht
(8.2.1)
£<5o,
где q = f2 (k- — /i2)/4, p = I (z0)dzj— i4 .w, a I (z0) — заданный
электрический ток в диполе, а в случае магнитного диполя с мо-
ментом m = {О, 0, т\ потенциал Герца равен
00 со / I
J (—1)га!се„(т],^)се„(1]о,9)
п=0 —оо
^Me<°(g, <7)Cen(g0, q}
с,2, Me0’(go, <7)Ce„(g, q)
-rse„(i], <7)se„(r]o, q)
d^Ne<,°(g, ?)Se„(g0, q) 11
d*Ne<°(g0, ^)Sen(g, q) j j
e‘h(z~2“)d/i,
(8.2.2)
где m — К (zo) dz0! —t‘4 лшр, a К (z0) — заданный магнитный ток
в диполе.
В обоих случаях в эллиптической системе координат g, т), z
(положение диполя определяется значениями g — g0, т) = т)0, z —
= z0) составляющие искомого электромагнитного поля в любой
точке вне цилиндра находятся через и°, о0 и потенциалы и1, v1
рассеянного поля из (1.6.19), (1.6.20) (для поля продольного
электрического диполя магнитный потенциал Герца о=0, а для
407
поля магнитного продольного диполя электрический потенциал
Герца и = 0).
Электрический диполь. Если искать потенциал Герца
вторичного поля и1 в виде ряда по интегралам Фурье
= ip 2 J 1)n[anWcnMe‘I1)(g> ^)се„(т], q) +
-Г bn (h) dn Ne„J (g, q) se„ (t), q)] eih^{dh, (8.2.3)
то из граничного условия (1.7.7), где u = u°-^u1, найдем, что
последнее будет удовлетворено, если
ап(® = — Ч\ <7)се„(т]о, q),
MeV(g°, q)
ьпse«Cno, Ч)- (8-2.4)
Nei (g°, q)
В результате потенциал и результирующего поля в области g0<
<с определится выражением
и = ip ( (—1)«е1!,(г^2“) | <£се„(т), q)cen(n]0, q) Ce„(g0, q) —
2^|^Me<1>(g0,Q)]Me<1>(g,.) +
+ rf2se„(T), <?)se„(ii0, q) Se„(g0, q) —
ма)(/ео T ^’(So^)! Ne'^g, <7)1 dh.
We"’(%0, q) J j
(8.2.5)
На этом собственно и заканчивается формальное решение задачи,
так как искомое электромагнитное поле найдется теперь из (1.6.19)
подстановкой в него (8.2.5)
Очевидно, что выполнить интегрирование по переменной h в
(8.2.5) (или в соответствующих выражениях для составляющих
искомого поля) труднее, чем в аналогичной задаче для кругового
цилиндра. Однако в случае, когда изучается поле в волновой
зоне, для которой, как обычно, считается g->oo (kf ch g -> co),
ряд (8.2.5) может быть преобразован в более простой ряд, не
содержащий интегральных выражений.
Так, если в интегралах
Л= f c„MeV)(g, q)fn(lo, g°; Hje^-^dh,
408
л= J q)gn£0, g°; h)eih^dh
заменить радиальные функции Матье их асимптотическими прибли-
жениями (4.3.9) и затем применить к получившимся интегралам
метод перевала, то на основании рассуждений, аналогичных при-
веденным в [52] для кругового цилиндра, получим асимптотичес-
кие выражения
Л = - 2Z fn (£°, g0; k cos 6), (8-2.6)
i\
ikR
Л = ~ 2< gn (g«, k cos 6), (8-2.7)
i\
в которых
So; h) = С„се,(т), <7)ce„(T]0, q) X
x [Ce„(go, q) — <7)1 ’ (8-2.8)
L Mel„ (g°, q)
X Se„(g0, q)~
gn(l°, go; h) = d„se„(ri, <7)se„(T)0, <?) x
NeV’^o, q)
NeV (g°, </)
(в (8.2.6), (8.2.7) опущены члены, содержащие более высокие
степени величины Е-1, R = Vp + (z —?оУ2; 0=arctgp/z,
^fchg). Если перейти от эллиптических координат к сферичес-
ким R, 6, ф, в которых в рассматриваемом приближении
JEe = E6cos0—Ezsin0, Не = H^cosB — Hzsin0,
Er = E6sin0 -|- Ezcos0, HR — 7Esin0 /72cos 6, (8.2.9)
Eq, = ET|, Hq — Hn,
то окажется, что в волновой зоне приближенно
Ее = |/ -У- Hq = k2 р sin 0 е ifo“cos е W (0, ф), (8.2.10)
где множитель ослабления UX(0, ф) равен
Г(0, ф) - 2£ [/„(g«, g0; £cos0, ф) +
+ En(g°> g0; &COS0, ф)]. (8.2.11)
Обобщение на случай линейной антенны, простирающейся от г —
= Zj до z = z2 с заданным током /(z0), получается путем интег-
рирования по z0 от z0 = zr до 20 = z2. Для ее поля
409
Ев = -i/i sin6 ( С /(г0)е“е ^(6, Ф). (8.2.12)
I е 4л cR (J J
Z1
Определенный интерес представляет частный случай, когда источ-
ником первичного поля является бесконечно длинная нить с элек-
трическим током. В этом случае после осуществления интегриро-
вания по z0 от z = — оо до z = + оо найдем (в эллиптических
координатах) Eg = Еп = 0, а (в волновой зоне)
Е2 = - 1/ А = * w(ф), (8.2.13)
Г е у р
где
у-——- z —— i3t со
n=0
— un ’ 4\ Me^^go, <7)1 с„се„(ф, <7)с^(т)0, q) +
Ne„ (g°, q) J
Cen(£o, <?) —
— ce
2л
e
+ [se„(g0, <?)- ^n(£’ Nen(g0, <7)
L Ne„(g«,<7)
<*п8е„(ф, ^)se„(i]0, q)
В рассматриваемом случае бесконечно длинной нити с током для
потенциала полного поля получается выражение I при g > g0; q=
У (-l)n![ce„(go, q)-
2We (I
n=0 u
Cen(g°, <7)
Ме^’^.ф)
Me'^go.g)
c„ce„(i], g)ce„(i]0> g)Me^’(g, q) +
+рмь. №"1,(U ’’1x
L Is , Ч) J
X dnse„(i], <7)se„(T)0, q) Ne^^g, q) j , g (8.2.14)
дающее строгое решение задачи о дифракции цилиндрической
волны ___-—л/ — ^о°(^Р) на идеально проводящем цилиндре
4fe у е
эллиптического сечения.
410
Магнитный диполь. Если искать потенциал рассеянного
поля в виде ряда (8.2.3) с заменой в нем р на т, то из гранич-
ного условия (1.7.8), где v = + и1, находим, что
ajft) = CnMeU)(^o> 9)се„(Ло, q),
Me), (g°, q)
bn(h) = -^^\dn^^e, ?)se„(T)0, q).
Ne„ (g°, q)
(8.2.15)
Поэтому потенциал результирующего поля будет равен
со со
V = tm^ j1 (— l)n et'1<z_Zo) {c*ce„(T), <7)се„(т)0, q)
п~0 —со
Се„ (g0, q) —
Ce'n^q)
Ме'1*'^0, q)
Me'1* (go,?)
Me}I1)(g, q) + dnse„(r], ?)se„(ilo, q) X
xl[se„(go, <?) —-jS- zFo’l <**(£о, ?)] Ne'1*(g, q)] dh,
1'en VS > 41 J I
если g>g0, и
OO 00
V =
eih(z—z„)
^се„(т], ?)сеп(т]о, q) X
X Men1* (go, ?);dnSCn(-i|, ?)se„(qo, q) X
X [se„(g, g)- Ne'11*(g, q)] Ne'1*(g0, ?)} dh,
L Ne„ ’ (g°, q) J J
если g0>g, q = h2)/4.
В приближении волновой зоны (r]?t:<p), заменив интегральные
выражения их асимптотическими приближениями (8.2.6)—(8.2.7)
и обозначив
fn = сп се„ (т), ?) се„ (тг)0, <?) X
X Cen(g0, ?)--^^- Me‘l1*(go,9)l
L AteV* (g°, q) J
(8.2.16)
gn= rfnse„(r), ?)se„(i]o, q) x
411
Se“(S-ч) - ” •
, q) j
найдем из (1.6.20) и (8.2.9) (в сферических координатах Д', 0, ф),
что
Е(, = — |/ i Не = |/ sin01F*(0, ф), (8.2.17)
где множитель ослабления
ОО
№*(0, ф)=2 V [fn(g>, g0; fccosO<p) +
72=0
+ ^(5°. So; ^cosO, <р)] . (8.2.18)
Интегрированием no z0 от z0 = zt до z0 = z2 получается обобще-
ние решения задачи на случай линейной антенны с заданным
магнитным током К = К (z0). При этом будет
_____________
£ i | С К(2о)е^С№е^оЫе,ф).(8.2.19)
ф |/ е 4лхоц,Я‘ (J J
21
Интегрированием в (8.2.15) по z0 от z0 = — оо до z0 = оо полу-
чается обобщение решения на случай бесконечно длинной нити
с магнитным током, параллельной оси цилиндра. Для его поля
потенциал Герца будет равен (g>g0)
ОО
v = — ~ У(—1)" |с2се„(т), ф)сеп(т]0, q)x
2соц ~ (
X Гсе„(£о, q}~ 9) +
L Mel„*’(fe°, </)
+ d2se„(n, 9)se„(r]o, <?) Se„(E0, </)~
(8.2.20)
Такой же результат получится и при строгом решении задачи о
дифракции цилиндрической волны — — До** (^Р) на иде-
V е
ально проводящем эллиптическом цилиндре. Пользуясь (1.1.7),
(8.2.20) и (1.6.20), находим закон распределения плотности по-
412
верхностного тока, наведенного на поверхности эллиптического
цилиндра полем нити с током. Имеем /V = /2 = 0, а
t'Kfe Г е у (Men } (g0, д)
4л2 |/ У ^(Мек1*^0, д)
ce„(i], <7)се„(т)0, д) +
+ se„(i], 9)se„(i]0, </)|.
Nek (g°, q) "K1 f
(8.2.21)
В частности, если 1]о = 0 (диполь расположен в плоскости Oxz),
тогда
q\ се«(°> ^>се«(Л, Ч)- (8-2-22)
Mek (g°, д)
Заметим, что и в случае дипольного излучателя или линейной
антенны, простирающейся от z0 = zr до z0 = z2, полученные ранее
выражения для функции существенно упрощаются, если диполь
окажется расположенным в плоскости Oxz, когда <|0 = 0. Тогда
вместо (8.2.18) получится
№*(6, ф) = 2£ Ce„(g0, д)-
«=0
Cek(g°, <?)
Mek1’'(g0, д)
Мек1’(g0, q}
с„се„(т), <7)се„(0, д), т) <р.
(8.2.23)
Если при этом эллиптический цилиндр будет вырождаться в ленту
шириной 2/, когда g° = 0, то
1^* (6, <р) = 2 £ Cen (g0, д)сп се„ (т), д) сеп (0, д),
п=0
(8.2.24)
так как Се„(0, д) = 0. Отсюда следует, что характеристика излу-
чения продольного магнитного излучателя не зависит от присут-
ствия в его поле бесконечно длинной идеально проводящей ленты,
в плоскости которой расположен излучатель.
В предельном случае, когда ge->g° (магнитный диполь приб-
лижается к поверхности цилиндра),
Г=Ч0 ф) = ± у / 1)п (сеп(Л, ^сеп(Ло, Я)
1 c„Mekir (g°, д)
se„(r], g)sen(r|0, д) |
dnN^iy^,g) /’
413
Если рассматривать вместо диполя линейную антенну конечной
длины, простирающуюся от z0 = а, до z0 = z2, то в пределе при
получим (8.2.19) с множителем ослабления, определенным
формулой (8.2.25). В электродинамическом смысле этот случай
эквивалентен случаю расположенной на поверхности цилиндра
узкой продольной излучающей щели (рис. 51, б) шириной
h^d f]0 (/in=/]/ch2g0 — cos2 7]), простирающейся в длину от
Z0 = Zj до zQ = z2.
Если заменить в (8.2.19) распределение тока К (а0) распреде-
лением напряжения на щели Еп(^°, т]0, z°) d i]0 и проинтегри-
ровать затем в (8.2.19) по т]0 от Ло — т], до Ло = Ла> то полу-
чится обобщение решения задачи на случай прямоугольной щели
конечной ширины, простирающейся в длину от z0 = Zj до z0 = z2
и расположенной между i]0 = Л1 и Ло = Лг с заданным распре-
делением поля Еп(£°, л°> z°) в раскрыве щели. Считая, что нап-
ряжение на щели V (а0) = (g°, т|°, z°) h4 (i|2 — ц,), получим для
излучаемого щелью поля в приближении волновой зоны в сфери-
ческих координатах R, 6, <р представление
AkR
E = A___
R
в котором
„ cik sin 0
d (°* = —о------
2л
S(0) M(g°, п),
(8.2.26)
_—ikz0cos6 i
e dz0,
(8.2.27)
гг
где
М (ё°. Л) =
n=0
Fn^n^ q)
6„се„(л, q)
^Мек”^0, q)
dn Nek1 q)j
(8.2.28)
(n) cosr6sinr6:
r61
B{rn)
sin r 6 sin r 6:
= 1,2
g = Л2 + Л1
2
f. _ Л2 —Л1
67--^—
Если распределение напряжения в щели почти
синусоидальное и
V(z0) = V0^A^---------NL, z1 = — I, г.2=/, (8.2.29)
sinkl
414
где Vo — напряжение в середине щели, то после вычисления ин-
теграла в (8.2.27) получим
S (6) = icV0
cos (kl cos 0) — cos kl
л sin kl sin 0
откуда при I = Ащ/4 (длина щели равна половине длины волны)
cos
S (0) = icV0_____
л \ _
— cos 0
2 /
sin0
Для щели, симметрично расположенной относительно плоскости
Охг, когда т]! = — т)0, a ц2 = Ло, будет Fn = 0, а
м(в«, л)== А V -А.с^ А,
1 л c„MeVU°, q)
Gn = y' д<"> sinrT1°.
"1
(8.2.30)
Так как функция S(0), определенная формулой (8.2.27), есть
характеристика направленности щели, расположенной на беско-
нечной идеально проводящей плоскости и простирающейся в осе-
вом направлении от Zj = — I до z2 = I, то функция М (g°, ц)
явится множителем ослабления, учитывающим конечность радиуса
кривизны эллиптического цилиндра (или множителем направлен-
ности узкой продольной щели, расположенной на поверхности
эллиптического идеально проводящего цилиндра). При фиксиро-
ванном значении h = fecos0 величина А4(£°, ц) —функция угла ф
(в волновой зоне ц <р), характеризующая азимутальную направ-
ленность щели.
Множитель направленности для тонкого эллиптического цилин-
дра (ленты) равен
М(О, ч) = А у (АуАч- ?)- +
1 я „г; I №.«)
, ^nsen(r), д) )
^Ne^'tO, <?)}
(8.2.31)
Пользуясь формулой (1.4.17), можно вычислить проводимость
излучения продольной щели, расположенной на поверхности эл-
липтического цилиндра, которая определяется из подсчета излу-
чаемой щелью мощности, переносимой через бесконечную сферу
415
с центром в начале координат. В случае полуволновой щели (Z =
= Л.д/4) с синусоидальным распределением напряжения в щели
находим
2л Л
2Р = ~ J j If/^sinedQdq), (8.2.32)
о о
где
= е«* . 4сУ0
R л
х у I 9) , Fn^n(f]> q) |
ЬпМе^'^0, 9) dnNe‘l1,'(g°, 9)1
q = (/Zs sin 6)2/4.
В силу соотношений ортогональности угловых функций
(1.4.17) получим
Матье из
„ 16c2
U = ------
Л
” cos2
' я
— cos 6
< 2________
sin 6
« J Gn I
S i CrMeV’'^0, 9)1
Fn
п—О
2л
d„Ne<ir(£°, q)
(8.2.34)
0
Проводимость излучения G может быть найдена численным ин-
тегрированием [52].
§ 3
Дифракция плоской волны
на двух параллельных эллиптических цилиндрах
Пусть в неограниченном однородном и изотропном
пространстве с электромагнитными постоянными в, ц, о (о = 0)
находятся два не связанных между собой и не касающихся друг
друга бесконечно длинных цилиндра эллиптического сечения с
параллельными продольными осями, поверхности которых в ло-
кальных эллиптических системах координат £s, щ, zs(s = ± 1)
задаются уравнениями g+1 = _р (оси Oz систем сов-
падают с продольными осями цилиндров). Цилиндры идеально
проводящие, их фокусные расстояния и /+1 в общем случае
различные. Большие диаметры эллипсов сечения, вдоль которых
направлены оси и О+1х+1 локальных систем координат,
416
образуют между собой угол 0. Расстояние между осями цилинд-
ров равно I. На цилиндры падает плоская электромагнитная
волна (1.3.4), распространяющаяся в направлении единичного
вектора п, образующего угол л/2 с осями цилиндров и угол а
с положительным направлением оси Ох (О —начало координат-
ной системы х, у, г, совмещенное с серединой линии центров
эллипсов сечения цилиндров, вдоль которой направлена ось Ох).
С осями 0sxs, s — + 1, вектор и образует углы a_ j = а + у и
a+i = а 4- у ц- р соответственно. Под R в (1.3.4) следует понимать
радиус-вектор, соединяющий точку наблюдения с точкой О
(рис. 52, а). Падающая волна является волной только одного
типа: типа ТМ, когда вектор Е° параллелен образующим цилинд-
ров, и типа ТЕ, когда вектор Н° параллелен им.
Ставится задача по отысканию вторичного электромагнит-
ного поля, рассеянного на цилиндрах. В эллиптических коорди-
натах эта задача в математической постановке сводится к решению
краевых задач для уравнения Гельмгольца относительно потен-
циала и1 или v1 вторичного поля, удовлетворяющего на поверх-
ности цилиндров граничному условию (1.7.7) или (1.7.8) соответ-
ственно и дополнительному условию излучения на бесконечности.
В силу однородности электромагнитных и геометрических свойств
цилиндров и окружающей их среды в направлении продольных
осей цилиндров дифракционные задачи будут двумерными, не за-
висящими от пространственной координаты z.
Плоская волна (1.3.4), имеющая в координатах х, у, z с на-
чалом в точке О вид
Eu — Ео e'*(nR>, (8.3.1)
где |Ео| =Е=const, в локальных координатах s-ro цилиндра запи-
шется в виде
Е° = Ео e«ft<nR»s)+‘ft<nRs)> (8.3.2)
так как R —Rs Ц-R(ls, где ROs—радиус-вектор, соединяющий
точку О с началом 0s системы Osxsyszs, s = + 1. Здесь (nROs) =
= sZ0cosa, Zo = Z/2. Поэтому в локальных координатах s-ro ци-
линдра электрический потенциал Герца первичного поля п°(ТМ-
случай) запишется на основании (8.1.1) в виде
со
0 cos а •
и°= ~—£5--------- > [cnCen(£s> 9s)cen(as><7s) +
n=0
+ 4Se„(gs, <7s)sen(r]s, <?s)se„(qb, gs)j, (8.3.3)
А. Иванов
417
a
а потенциал Герца первичного поля магнитного типа (случай ТЕ
на основании (8.1.2) запишется в виде
о /Тд (X »
и° = -----------2j lc«Ce"^s’ ^)cen01s’ %)се„(а5, <7S)+
л=0
+dnSen(L> 9s)sen(ns> <7s)se„(as. <7S)]> (8.3.4)
где c„ = c„ (qs), dn = dn (gs), qs = (fsk/2f.
Поле типа T M. Рассмотрим сначала случай ТМ-поляризо-
ванной плоской волны, потенциал Герца которой задается форму-
418
в
Рис. 52. Дифракция плоской волны на двух эллиптических цилиндрах
(лентах):
произвольная ориентация осей эллипсов (а); большие оси эллипсов параллельны
(б); большие оси эллипсов лежат на оси Ох (в)
лой (8.3.3). Будем искать потенциал полного поля в виде суммы
u = u° + u1, (8.3.5)
где и1 = VJ us (тогда Ег = k2u), a us — потенциал вторичного
s=±l
поля, обусловленного наличием в пространстве s-ro цилиндра,
s = +1.
Если для определения us применить метод возмущений, то
тогда получим оо
us = V sum, (8.3.6)
m=l
где sum есть потенциал вторичного поля т-го порядка рассеяния,
удовлетворяющий на поверхности цилиндров граничному условию
su'n + = 0, gs = go, (8.3.7)
s = +1, m — 1, 2, ...
Представим stim в виде ряда по эллиптическим волновым функ-
циям типа (4.1.15), (4.1.16)
со
5“т== Ц У M^Ce^gs, QsJMeV’^s, <7s)ce„(T]s, qj -f-
/г
.1 . n=o
У + d2 Se„ (g°, qs) Ne<1 ’ (gs, qs) sen (ils, 9s)j (8.3.8)
'(<?в = О2Л- Тогда
" U1 = X X |s<c"Ce«^’ >(gs, 9s)ce„(T)s, qs) 4-
. J s=+1 n=0
< 27* 4]9
+ d2 Se„ (£ qs) Ne„ > (|s, 9s) se„ (t]s, 9s)] , (8.3.9)
где коэффициенты рассеяния SA„ и sBn вычисляются из рекур-
рентных формул
оо
*< = -2£
fe=0
Cfe(9-s)Ceft(Bls, <?_s)
сД^Ме'1’^, qs)
Qta(—s, s; р)-МГ'-+
qs)
Qkn(—s, s; 0)
(8.3.10)
sgm _ л V )Ck (*?—s) (^—s> 9-s)
П- L \dn{q^^, qs)
R^{-s, s; ₽)-*<“’ +
+
в которых
dft(?-,)Seft(^s, <7-s)
d„(<7s)Ne*n(^ <7j
s, ₽)-sSr*}
s Д1 _______ is*/ocosa cen (as> ?s)
(8.3.11)
(8.3.12)
spl ______ is/z/0 cos a
£5n — в
se„(as, <7s)
NeV’d" qs) '
(8.3.13)
Формулы (8.3.1.0) — (8.3.13) получаются из (8.3.7) при помощи
теорем сложения для волновых функций эллиптического цилиндра
(4.5.7), (4.5.8). Коэффициенты рассеяния (8.3.12), (8.3.13) опре-
деляют дифракционные волны первого порядка рассеяния, не учи-
тывающие взаимодействие цилиндров друг с другом.
, Входящие в выражения (8.3.12), (8.3.13) величины Q^n, Qk„ ,
Rkn и Rkn такие же, как и в (4.5.12) — (4.5.15), если положить
там у = а_ь+1, а а^,-! =у + 0 + л.
Ряды (8.3.10), (8.3-.11) хорошо сходятСя только в случае,
когда расстояние I между цилиндрами намного больше длины
волны возбуждения, а геометрические размеры эллипсов сечения
цилиндров малы в сравнении с ней (/г/^5> 1, а 1). Тогда
М » М » М » (8.3.14)
и в этом случае можно ограничиться вторичными полями пер-
вого порядка рассеяния, пренебрегая вторичными волнами высших
порядков рассеяния. Однако с уменьшением расстояния между
цилиндрами при оценке дифракционного эффекта в точке наблю-
дения .необходимо, помимо волн первого порядка рассеяния, учи-
тывать вторичные волны последующих возрастающих порядков
420
рассеяния, что приводит к большим трудностям при численном
решении задачи.
Если искать потенциалы us частных полей в виде рядов
со
2Е \^i
Us = <7s)ce„(r]s, <7S) +
л=0
+ ^d„Ne},I)(gs, Qs)sen (T]s, <?s)]
(8.3.15)
(s = + 1) с неопределенными пока что коэффициентами а’ и bsn ,
то после замены их новыми неизвестными А„ и Bsn по формулам
°п = с„Се„(& qs)Al, bsn = d„Se„Q°, qs)В* (8.3.16)
и применения теорем сложения (4.5.7), (4.5.8) из граничного
условия (1.7.7) на поверхности каждого цилиндра получим для
Asn и Вп бесконечную систему линейных уравнений
А» + V { a<^s’ + fcs’s) B'msl = Fsn,
т=0
(8.3.17)
Bsn 4- ’ Y^s’s) A^s 4- B~sj = Ф’ ,
m=0
s= ± 1; n =0, I, 2, ...,
где
n(—S-S) 9 C’n (£— S, <7—s) z ox
“2 C.Me“'(g, ,,) S’ W'
“2 S ₽). (8.3.18)
c„Me„ (cs, qs)
s.s)_9 Cem(£-_s, Q—s) p(i), г,,
— (T) ..--— Knm(— S, S, pj,
dn^n (Es, qj
i j s(—s.s)_9 dm Se,n(^_s, q^s) n(i) / „ ox
I -2 d^^qj P)’
r = _ effo<°cosncenK, ?s)
J П cnM^(g,qs) ’
(и-1,+1 = У, = у 4 л 4- p, a_! = у + a, a+1 = a4 у 4 P)-
После введения новых обозначений для неизвестных Asn и Bsn
421
Z|4i— I] At*’ Z|4i—1|+1 ~A *’
z = B+1 Z =В~‘ t = l 2 (8.3.20)
система (8.3.17) может быть записана в нормальной форме
со
zz+ V C//Z/ = fp 1=1>2, ..., (8.3.21)
i=i
в которой
f\4i—f\4i—1|+1 \ i ж0, 1, ...,
f4i+i = ФЛ f«+2 = фг'> 1 = °> Ь (8.3.22)
а
г — сД—1.4-1) г = п(4-1. _1) [ / =0 1
С|4/-1|,|4/-Н4-1 О ’ Ч«-114-1,14/-Ц Uij » *•> J *’ •••’
г = R(- 1.4-D с = В<4-1,—1)
l'|4i—l|,4/4-2 НТ/ ’ *-/41—1|4-1,4/-4-1 ГЦ ’
1=0, 1, ...; /=1, 2, ....
z. — v(—1,4-1) г =. v(4-l, 1)
‘-'414-1,14/—114-1 11/ ’ 4i+2.l4/—1| ’1/
1 = 1, 2, ...; j = 0, 1
(8.3.23)
С „£(-!,4-1) с =6(4-1.-!), ; ; = 1 2, ...,
С41+1,4/4-2 °1/ ’ 41+2,4/4-1 1/ ’ ’ 1 ’
cif =0, если |1 — /| = 2m, т — целое.
Определитель системы (8.3.21) имеет вид
1 а00 0 а010 Р01 0 а02 0 0О2 0 а03 0 0ОЗ 0 а04
“й1аЙ0 Р£0 “о20 ₽£0 “ОЗ0 %0 “М0 •••
0 ctJ01 а„ 0 Рп 0 «120 Р120 а1з Р13® °н"
“10° “it1 Pit0 “12° Pit0 “13° РЙ° “М° ••
° V1O0 'Yn 1 6П° 6^0 613 ° Ym-
Yjo0 Yn° 6+1 y+0 6+0 y+0 6+0 y+0 •
° “20° “21 ° P21 1 “22° P220 “23° Ргз° “24 ‘
“20° “tl° РЙ0 “22 1 P^2° “£° P230 “£° •
° Yzo0 V2I 0 ^210 Y22 1 ^22 ° Y230 «23 0 Y24
Yf0° Y210 6+0 y+0 6+1 Y23° 6+0 y+ ° •
° “зо° а31 0 Рз1 ° а32° Рзг 1 “зз° Рзз° “з4
“зо0 а31 ° Рз1 ° “32 ° Рз20 “зз 1 Рзз ° “з40
422
«7, = “!г'-+1’’ “i = «г-"- = ₽.!г''+" Чй -
= у+ = у^* 1--О, 6~ = 6(~1-+1) 6± — При воз-
>4 ’ <1/ >1/ ’ ч ч ’ ч ч г
растании kl все с,, стремятся к нулю, а Л-> 1.
С помощью формул (4.3.7), (4.2.30), (4.2.31) и (2.2.26) можно
установить, что матричные элементы системы (8.3.21) (или все
равно, что системы (8.3.17)) удовлетворяют условию (1.9.19), а
ее правые части — условию (1.9.20) (если цилиндры не касаются
друг друга). Поэтому на основании альтернативы Гильберта сис-
тема (8.3.21) единственным образом разрешима в силу единствен-
ности решения рассматриваемой задачи и1
2|Z(|2 *<°°- (8-3.24)
i=l
Использовав (8.3.24) и (8.3.16), (8.3.20), (4.3.7), (4.2.29), можно
убедиться в абсолютной и равномерной сходимости рядов (8.3.14)
(для каждого qs), дающих решение математической задачи для
потенциала и1. Функция и1 на основании (8.3.16) записывается
в виде
со
ul= |z У У {Д^Се„(Й, <7s)Me^’(gs, <7s)ce„(r]s, <7S) +
s=+l n=0
+ ^^Se„(^, 9s)se„(T]s, 9s)J. (8.3.25)
В приближении волновой зоны в полярных координатах р, <р с
началом в точке О составляющие поля, рассеянного на дифраги-
рующей системе, определяются выражениями
Ег = - 1/ 4 А (8-3-26)
F 8 у р
где амплитудная функция
,---- i~ оо
Л(ф) =2Е |/ А х
s—±1 я—0
хСе„(£°, <7s)ce„(r]s, -<7S) + Se„ (Й, <7s)se„(r]s, Qs)} (8.3.27)
(здес ь г]-/ = <р +- у, а т|+1 = ф + у + 0 и р — fe% /2). Величина
погонного поперечного сечения обратного рассеяния (радиолока-
ционного поперечного сечения) для двух идеально проводящих
параллельных эллиптических цилиндров вычисляется по формуле
: со
I Фактически У, < оо, так как можно показать, что |z/| cconst I-- | ,
/Т, V— °s/
Где as—большие полуоси эллипсов сечения цилиндров, s= +1.
423
ав
16
k
£ V (_ 1)П |л;Сдсе,(Й, 9<)селй„9.) +
s=+l п=0
+ вп dn Se„ (Й, <7S) se„ (r]g, <?s)} |2,
при вырождении цилиндров в ленты шириной 2Д_1
Ветственно (Л-i = и + У, Л+i = и + Y + ₽)
(8.3.28)
и 2f+1 соот-
°в =
16
k
^isklg cos а
n=0
I2
XCen(O,<7s)cen(^s,<7s)j .
(8.3.29)
Более простые выражения для ов получатся, например, при
значениях угла а, равных 0, л/2; при q_r = q+l и др. Полное
погонное поперечное сечение рассеяния для двух параллельных
идеально проводящих эллиптических цилиндров может быть вы-
числено по формуле
2?
°s = ( H(<₽)|2d(p,
О
(8.3.30)
где амплитудная функция А (<р) определяется выражением (8.3.27).
В частном случае двух идентичных эллиптических цилиндров
с параллельными соответственными осями их эллипсов сечения
(₽=0)
о 00
°*=тRe IS L|Cn+1'2++ic"“'!2++
со СО
+ X ^а+^РптА- V b~^b+^rnm +
п,т=0 п,т=\
ОО сс
п,т=о п.т~1
где
Рпт^ 2 Arn}A(tm} {ir t cos (r — t) у +
r=0
+ tr+/ jr+t (kl) cos (r 4-1) y],
Гпт =22 \ir~lJ r-t (kl) COS, (Г-t) у—
r=o /=0
'424
— ir+tJr+t (kl) cos (г + t) y),
oo co
qnm = V V \it~rJr_t(kl)cos(r—f) у +
r=0 t=0
+ i-r~‘Jr+t (&) cos (r + t) y ), (8.3.32)
co co
Snm= 2 2 \^rJr-t(kl)^(r-t)y-
r=0 /=0
— rr4Jr+t(kl) cos (r + t) y)-
Здесь АгП) и В*'1* — коэффициенты функций Матье, <7-_г = q+l.
При вырождении цилиндров в ленты шириной 2f каждая форму-
лой
os = — Re
k
ОО
{£ [Ю2 + М2] +
' я=0
будет определяться величина полного поперечного сечения (погон-
ного) для двух идеально проводящих параллельных лент (0 =0).
Пользуясь теоремами сложения (4.5.7), (4.5.8), можно полу-
чить для составляющих полного поля выражения, удобные для
анализа поля вблизи цилиндров (в области, для которой I > fs ch Ejg,
где I — расстояние между центрами цилиндров). Так, применяя
(4.5.7) и (4.5.8) к (8.3.25) и учитывая (8.3.3), (8.3.17), получим
после некоторых преобразований следующее представление для
потенциала полного поля в локальных координатах s-ro цилиндра:
U = ~ V { c„Asn [Се„(£ ^Ме*1* (|s, qs) -
k2
X — Se„ (gs, <?s) Me*,1* (& qs)] ce„ (r]s, qs) + d2Bsn X
p- X [Ce„(& ^Ne*1*^, qs)- Se„(£s, <?s)Ne*1’(^, <?s)] se„(rls, <7S)} .
^Подставляя это выражение в
тг 1 ди
I f /ch2Es — cos2t]s dr]s
426
1
г, * ди
“n — ^0 & ------>--- "" -— • ---
f V ch2£s— cos2T]s <3ts
Ez = k2u,
получим формулы для расчета поля в ближней зоне. Отсюда
находятся и формулы, определяющие закон распределения плот-
ности поверхностных токов, наведенных на поверхности s-ro ци-
линдра, учитывающий взаимодействие цилиндров. Так как на
поверхности s-ro цилиндра имеет место (1.1.7), то получаем
Д — /ч
а
/Т сЕ ____________1 “ s
7г==—У У 2 л2' tf/ch2^ —cosSs X <-1ИЛ"се»(1Ъ- Ъ) +
/г<0
+ B*se„(r]s, qs)\.
Нахождение численных значений величин, определяющих диф-
рагированное поле, связано в первую очередь с вычислением
неизвестных Bsn из системы (8.3.21). Их приближенные зна-
чения с нужной степенью точности могут быть вычислены из
усеченных систем
4W+2
гг-(- У cI;-z, =i = l, 2, 4N +2; N =0, 1, ..., (8.3.33)
/=i
получающихся из (8.3.21) для различных возрастающих значе-
ний N — порядка усечения. В качестве исходного значения N
можно брать число N ^2ka, где а = maxas (as —длина большей
s—±1
полуоси s-ro эллипса). Матрица коэффициентов усеченной системы
(8.3.33) имеет вид
1 С12 0 С14
С21 1 С13 0
0 С32 1 £34
С41 0 С43 1
0 C4JV-1,2 0 C4N—1.4
С4Л',1 0 C4N,3 0
0 С4Л'|-1,2 0 С4Л’+1,4
с 0 С4Л'+2,3 0
426
•• 0 C1,4W 0 C1.4W+2
С2.4.\'---1 0 С2,4ДН-1 0
•• 0 С3,4Л' 0 C3,4W+2
• • C4,iN—1 0 C4,4A'+1 0 (8.3.34)
1 C4.v— 1.4Л' 0 C4W—1,4W+2
CW,iN-\ 1 С4Л',4Л'Н 0
0 C4AZ4-1,4AZ 1 C4W-H,4M|-2
CW-t-2,4A'~ -.0 C4A,+2,4W-t-l 1
где Сц выражаются через (8.3.18) формулами (8.3.23). Так как
при аН-+§ (И > 1, I -> оо) все atj -> 0, то при kl 1 определи-
тель системы (8.3.33) мало отличается от единицы по модулю.
Отыскание приближенных значений дифракционных коэффи-
циентов и Bsn связано с решением 4N-- 2 уравнений с 4N неиз-
вестными, матричные элементы и правые части которой комплек-
снозначные. При сравнительно небольших отношениях диаметров
эллипсов поперечного сечения цилиндров к длине волны возбуж-
дения (<? порядка нескольких единиц и меньше), численное реше-
ние задачи можно получить при помощи простейших счетных ин-
струментов и имеющихся таблиц функций Матье[43, 183—185, 188],
бесселевых функций [179] и др. Как видно из (8.3.13)—(8.3.18),
основные трудности (технического порядка) могут возникнуть
при вычислении матричных элементов системы, содержащих мно-
жители Qm’, Qmn, Rmn и имеющих сравнительно сложную
структуру (см. формулы (4.5.13)—(4.5.16)). Как отмечалось в
§ 2 гл. 4, при <?->0 все коэффициенты Матье и В(гп} стре-
мятся к нулю, за исключением лишь коэффициентов А„п) и
стремящихся к единице. Отсюда следует, что при небольших зна-
чениях q (<?>0) коэффициенты и В^} будут доминирующи-
ми. Поэтому при вычислении множителей (4.5.13) — (4.5.16) в
рядах суммирование по г и р целесообразно начинать со значе-
ний г = п и р = т. Следует помнить также, что суммирование
в (4.5.13)—(4.5.16) производится по индексам г и р, имеющим
ту же четность, что и п и т соответственно.
В ряде случаев за счет выбора специальных значений пара-
метров, входящих в задачу, можно значительно упростить мат-
ричные элементы (8.3.21) системы (8.3.33) и заменить решение
системы (8.3.33) решением эквивалентных систем с меньшим чис-
лом уравнений при том же N.
427
1. Пусть Р = 0 (соответствующие полуоси эллипсов сечения
цилиндров плоскостью Оху параллельны, рис. 52, б). Тогда, как
это видно из (4.5.13)—(4.5.16), входящие в (8.3.18) выражения
Qmn, Qml, Rml И Rmn упроЩЭЮТСЯ, прИНИМЭЯ ВИД
СО ОО
s; Й-j £ £ Л<“>(9,)Л«х
r—() р—0
х (kl) cos (r — p) a_s,s + ir+p H^p (kl) cos (r Ц- p) a_s,s},
co co
QSi(-s, s; 0) = - ± £ £ л!’й,)ГМх
r=0 P=1
x (kl) sin (r — p) a_s>s —
— ir+P H{r±p(kl) sin (r + p)a.s,s}, (8.3.35)
Rmn(—S, s; 0) = У B™(qs)A™(q_s)X
r.P
X \ir-p H^p (Id) sin (r — p) a_s>g + tr+P H^p (kl) sin (r 4- p) a_sJ,
R^n(-s, s; 0) = -1 У B^(qs)B^(q_s)X
r,P
x {ir-p H^lp (Id) cos (r— p) a_s,E — ir+p Hlr!lp (kl) cos (r + p) a_s J,
где a_i,i= у, a a+1, _r= у + л. Так как cosn(a + л) = (—1)" X
Xcosna, а четность индексов суммирования г и р в (8.3.35)
совпадает с четностью индексов п и т соответственно, то оче-
видно, что в случае <y_i = <?+1 (междуфокусные расстояния эллип-
сов сечения цилиндров равны) будут выполняться соотношения
(Ж(-5, s; 0) = (—l)"+mQmn(s, — s; 0),
Q^n(-s, s; O) = (-l)m+"Q^(s, -s; 0), (8.3.36)
R{m}n(-s, s- 0)=(-l)n+mR^n(s, -s; 0),
R{ml(—s, s; 0) = (— l)n+mR{ml(s, — s; 0),
на основании которых при (эллипсы поперечного сече-
ния цилиндров равны между собой) для матричных элементов
системы (8.3.17) получатся равенства
я = к(—1.+D =(—l)«+"‘a(+i--i),
пт ^пт 1 ' пт ’
428
₽L1’+,, = ₽^I’+I,(-1)n+m = ₽n-
v = vf-b t-l) = (-1У+1" v(+1
inm Xnm к Inm ’
6(-l.+D = (_ l)n+m6(+l.-D = 6 .
п»; V */ nm nuv
(8.3.37)
При помощи (8.3.37) система (8.3.17) сводится к эквивалентной
системе уравнений:
00
ап + 1Га"т°- + ^'nb^ = fn’
т=0
ОО
ьп + 2 {(— 1)т Упт ат + (—1)т 6пт Ьт] = <Р„
т=0
СС )
сп—2 [а«'»Ст+(—^=
т=0
“ I
2} [Ynjn Ст + 6Пт d,n] ( 1) sn, I
т= О I
(8.3.38)
(8.3. 39)
в которых
а^Л+’ + НПМГ1, с„ = Л+1-(-1)"АГ,,п=0, 1, ....
n = l, 2..
(8.3.40)
/И = В+' +(-!)"Fn1, gn-F^-(-i)nFnl, n=0, 1, ...,
Ф„ = ф^ + (-!)"Ф71, е„ = Фл+1-(-1ГФ/, n=l,2, ...
Системы (8.3.38) и (8.3.39) решаются независимо друг от друга.
Если обозначить
а£=г2г., cf = u2i, i =1, 2, ..., (8.3.41)
Ь/=г21.+1( ^ = ищ+1, f=l,2, .... (8.3.42)
Со = Ui, а0 — Zi,
то они запишутся в виде
ОО
zi + 2 a»Z/ = ~fi’
/=1
ОО
и£ — 2 bHui = фр
/=1
(8.3.43)
(8.3.44)
i = 1, 2,
429
где
fi ~ fit’ Si — фг,,
ф/ = е£ = фщ+1, i=l, 2, ..., (8.3.45)
/о = fi> So ~ Ф1,
a
°2i,2; — ( 1У aii< a2i+l,2j = ( I? Yj/, On = UOO, 01.2/+1 ~ (-1У Р1/,
й2,,2/+1 = ( 1У Pi/, °2i+l,2/4-1 ~ (-1У 5£/,
°2i+i.i ~ Yin °2i,i = dtl,
01,2/= (—lyeti/, i, j=l, 2, ...
Матричные элементы b{j определяются таким же образом. Им
будут отвечать усеченные системы
2Л'-|-|
/=1
2Л’+1
Ui — V bijtij = ц>1, (8.3.46)
i=i
i = 1, 2, 2М+1; N= 1, 2, ...,
каждая из которых является системой порядка 2Л/+1, —вдвое
меньшего, чем порядок системы (8.3.33) при том же значении
параметра ka.
2. Еще большего упрощения можно достичь в случае, когда
цилиндры расположены так, что большие полуоси эллипсов их
поперечного сечения оказываются лежащими на одной прямой—
оси Ох (рис. 52, в). Тогда у = ₽ = 0, а а_1>+1 = 0, a+li_j = л
и в (8.3.18) будет
Q^(—s, s; 0) = /?<U(—s, s, 0) = 0,
в силу чего и
P^S,S)==Y^S==O- (8.3.47)
В результате система (8.3.17) распадается на две независимые
системы уравнений
+ V a<-s-s> A^s = F* (8.3.48)
m=0
И
Bsn + v 6<-s’s)B-s = Ф„, (8.3.49)
m=l
430
первая из которых при усечении до п, т = 0, 1, ..., Л/ явля-
ется системой 2N + 2-го, а вторая при усечении до п, т= 1, 2,...
..., N — системой 2Л'-го порядка относительно неизвестных
А ±1 и 1 . В случае, если 9_j=q+1 и = В^р системы
(8.3.48), (8.3.49) приводятся соответственно к виду
СО
?п+ 5} 1 Z’n =
т—О
(8-3.50)
Чп ( 0 ^пт^т fn’
т=0
где
г^ДГЧН!)"^, ип=А+1-(- 1УДГ1,
(8.3.01)
fn = + (-l)n^'> fn = -(- 1)"
и к виду
Сп + 2 (~!)m 6nmст = ф„,
ГН=1
« (8.3.52)
4-2(~1)m6n-d-= (Р'”
т— 1
где
Сп = в+! + (-1Г в-1, dn = Bil-(-iyB~l,
, - +. 1 (8-3.53)
I; ф„ =ф^ +(-!)”, Ф„ = Ф^'-(-!)"Ф« -
}, При усечении систем (8.3.50), (8.3.52) до п, tn = Q, 1, ..., N—1 для
J отыскания приближенных значений z„, ип и сч, dn получим системы
' N и N—1 уравнений с N и N—1 неизвестными соответственно.
3. Важным частным случаем является случай, когда дифрак-
ционная система состоит из двух лент (эллиптические цилиндры
вырождены в ленты шириной 2/L, и 2f+1 соответственно), поверх-
ности которых определяются уравнениями £° = 0, s = ± 1. Тако-
:Г!му случаю в системе (8.3.17) будут отвечать значения
: R(—s.s) _ g(-s.s) _ Q
< Hnm ипт ’
рв результате чего она запишется в виде
jJ Al + 2 = ^п’ (8.3.54)
J« т=0
В^ = Ф:- у у^А~\ (8.3.55)
т~ О
431
Таким образом, в рассматриваемом случае для нахождения приб-
лиженных значений коэффициентов разложений Л„ и Bsn нужно
решить лишь одну систему 2N + 2-го порядка
N
Ап 4- U™-S)A~S = Fsn, s = ± 1, п =0, 1, #,(8.3.56)
т=0
относительно неизвестных Л„. Хотя для приближенных значений
неизвестных Bsn и получается соотношение
Вп = Ф* — ynmS,s)A~s, s = ± 1,
т=0
однако в этом случае в силу (8.3.16)
Ь*п = 0 (8.3.57)
и вычислять Bsn нет смысла. Для отыскания приближенных
значений неизвестных Asn следует решить систему (8.3.56) при
£° =0. Для лент равной ширины, когда = <?+1, решение сис-
темы (8.3.56) при у = р = 0 может быть сведено к решению
двух систем #-го порядка
m=0
(8.3.58)
«П-У (-^man^um = fn, n =0, 1, ..., # —1,
tn=0
относительно неизвестных z„, и„, связанных с Л 7* и Л„н фор-
мулами (8.3.51).
4. Как уже отмечалось, сходимость рядов (4.5.13) — (4.5.16)
улучшается с возрастанием значений параметра /г/ (для заданных qs
и |°). Поэтому, учитывая фактическую конечность значений ин-
дексов п и т при численном решении задачи и то, что домини-
рующим слагаемым в суммах (4.5.13) — (4.5.17) будут члены с
г — п, р = т, найдем, что при kl > 1 (kl п + т), когда выпол-
няются асимптотические формулы (2.2.24), множители (4.5.13)—
(4.5.17) будут приближенно равны
Qm«(—s, s; ₽) = Lcem(a_s.s, q_s) се„ (a_s,s—р, qs),
Rmn(—s, s; p)= Lsen(a_s s-j-p, qs)cem(a-s.s, q_s),
432
Qmn(—s, s; ₽) = Lse,n(a_g>g, Q_s)ce„ (a_g>s — p, qs), (8.3.59)
Rm^—s, s; p) = Lsem(a_s.s, g_s)se„(a_s.s — p, qs),
е
, и тогда для матричных элементов
где
вместо (8.3.18) получатся выражения
a(-s,s) _ 2l q-J .
Xce„(a_s,g—p, <7s)cem(a_s.g, 9_g),
o(-s s) — or (9_s) $e,n (B!LS, 9-«)
p' ~ ZL ----------7TT----------
cnMe("(g, qs)
X ce„(a_s,g — P> ?s)se,„(a_s.s, Q-s),
Y(-s.s) =2l q-J x
(8.3.60)
Xse„(a_glS+ p, '7s)ce,„(a_g.g, 9_s),
6(-s.s) =2l q-J
nm dn(Qg)Ne<'>(^ <7S)
X se„ (ct—s>s p, <7S)se,„(a—giS, q_g).
Как и в случае круговых цилиндров, одним из критериев, при
выполнении которого можно пользоваться формулами (8.3.60),
является условие I 4а.
5. Формулы упрощаются и в случае, когда <7_т—илид+1->-
—>-0, либо когда одновременно <?я->0, з = + 1. Тогда один из
эллиптических цилиндров либо оба вырождаются в круговые ци-
линдры соответствующих радиусов. В результате из формул
(8.3.13)—(8.3.19) получится решение задачи о дифракции плос-
кой электромагнитной волны на дифрагирующей системе, состав-
ленной из одного эллиптического и одного кругового цилиндров
с параллельными продольными осями, либо решение задачи о
дифракции волны на двух круговых параллельных цилиндрах.
6. Найдем главное решение системы (8.3.17) формальным при-
менением к ней метода последовательных приближений, взяв в
качестве начальных значений неизвестных значения А’1|0 =0 и
о = 0. Тогда
=fi«. fis„,i =Фп,
28. Е. А. Иванов
433
ASn,2 = - У | 0. -S.S) Л-s + p(-s.s) B-s }>
k=0
Bsn,2 = Bsnrl — У { y^’Am + 6^T-S) , (8.3.61)
k=0
AS . — AS , ( (—S.S) Д—S I o(-S.s) n—S |
sifi.t ^n,l I Unk Ak.t—1 + Pnfe 1|’
*=0
Bsn,t = Bsn,t - V { Yir”^_, + 6<rs)B^_i|-
fe=O
Сравнение (8.3.61) с рекуррентными формулами (8.3.10)—(8.3.13)
показывает, что
^ = lim<< = У s^,
t -» «5
™=1 (8.3.62)
B:=limB^= У
t~* со
т—1
так как
An.t = sA'n + sAn + - +SX, (8.3.63)
Bn,t = sB\ + sB2n+ ... H-sBL (8.3.64)
Поэтому, как и во всех рассмотренных раньше задачах на взаимо-
действие двух тел, эффект взаимодействия двух эллиптических
цилиндров в любой точке пространства вне цилиндров полностью
определяется дифракционными коэффициентами и В„ — реше-
нием системы (8.3.17).
Как уже отмечалось раньше, приближенные значения коэф-
фициентов Л' и В„ находятся в общем случае путем решения
усеченной системы, получаемой из бесконечной системы (8.3.17).
В случае, когда kl 1 и поперечные размеры сечений цилиндров
невелики по сравнению с длиной волны возбуждения, прибли-
женные значения коэффициентов Л„ и Bsn могут быть найдены
также путем суммирования в (8.3.62) приближенных значений
коэффициентов рассеяния sA'n и SB„ всех последовательных вто-
ричных дифракций, получаемых из (8.3.61) при помощи асимпто-
тической относительно аргумента формулы (2.2.24). Пусть, на-
пример, большие оси эллипсов сечения цилиндров лежат на одной
прямой (на оси Ох). Тогда Л„ и Bsn должны быть решением
434
системы (8.3.48) и (8.3.49) соответственно, представимыми через
коэффициенты рассеяния вторичных волн формулами (8.3.63),
(8.3.64), в которых теперь
оо
s лт___ V'l (—s.s) — s дт— 1
/\п — /. алк »
к=0
= - у 6^s-s>-sBKm-’, /п>2, (8.3.65)
к—О
sAln = sB'n = Ф* .
На основании (8.3.59) и (8.3.60) при kl )§> 1 (И»п + т) приб-
лиженно 6<“s>s) =0, так как сц ( = 0, а а+1 л = л и Р = 0,
a(-s.s) = La„(s)PK(s), (8.3.66)
где обозначено
п «л = 2cen(«-s.s^ ?s)
cn(Qs)^^,q,) ’
P„ (s) = cn (qj Ce„ (£s, Q_s,) ce„ (a_s,s> q_s). (8.3.67)
Тогда SB„ = 0 при всех значениях n и при т > 2, а прибли-
женные значения коэффициентов SA™ запишутся в виде
s< н = - Т2к+1 F (- s) а„ (s) [Q (s)Q(- s)]K,
^2K = L2KF(s)an(s) [Q(S)Q(-S)]K“', (8.3.68)
к = 1, 2, ....
где
оо
Q(s) = “rt(s)₽n(— s) =
л=0
Се„(£ Qs)
Ме*°(^, qs)
ce„(a_s,s> Qs)cen(as,_s> qs),
(8.3.69)
F (s) = У ₽„(- s)K = -eisk‘°c°s“X
28s
Ce„(&qs)
Me<!) (Й, qs)
cen(as. <7s)ce„(as, _s, qs).
435
Очевидно, что значение параметра kl, содержащегося в знамена-
теле выражения L, всегда можно взять таким, что будет выпол-
няться неравенство
|i2Q(s)Q(-s)|<l (8.3.70)
(для заданных поперечных размеров сечения цилиндров) в силу
сходимости первого из рядов (8.3.69). При условии (8.3.70) отыс-
кание приближенных значений Asn, s = 1, сводится к сумми-
рованию бесконечно убывающей геометрической прогрессии
An = Fsn — LF (- s) т.„ (s) V |/?Q (s) Q (- s)f-1 +
m=l
+ W(S)Q(~s)O„(S) V [L2Q(s)Q(-(8.3.71)
tn—1
в результате которого получаем
Asn = Fsn + a (s) L £Q(—S)F(S)~F(—s) (8.3.72)
1—|L2Q(s)Q(—s)]
Приближенно
= Ф'. (8.3.73)
Подставляя (8.3.72), (8.3.73) в (8.3.14), получим
и1 = щ -4- u2, (8.3.74)
где
со
«1= У У [с^СеДЙ, <7s)^Me^’ (gs, <?s) се„ (t]s> Qs) +
s=±l n=0
+ d* Se„ (£ qs) Ф* Ne*,” (& qs) sen (ns, qs)] , (8.3.75)
a
,. = 2£L J v FQ(—S)F(5) —F(—s) V r2 >
2 fe2 1 — [L2Q (s) Q (—s)J "
X Ce„(^, qs) an (s) Me*1» (|„ qs) cen (t]s, 9s)J . (8.3.76)
Нетрудно видеть, что функцией определяется точное значение
потенциала Герца вторичного поля первого порядка рассеяния,
не учитывающего влияние цилиндров друг на друга. Функцией ц2
приближенно определяется в той же точке наблюдения потен-
циал Герца вторичного поля, суммирующего все дифракционные
вторичные волны последующих порядков рассеяния.
Приближенные значения составляющих электромагнитного поля
находятся обычным образом из (1.6.19) подстановкой туда(8.3.74).
436
Как видно из (8.3.76), значение модуля функции и2 убывает
с возрастанием kl, и в пределе при kl <х> оно будет равно
нулю. Поэтому при достаточно больших kl в любой точке наб-
людения дифракционное поле заданной системы цилиндров склады-
вается лишь из волн первого порядка рассеяния, в то время как
влияние вторичных волн последующих порядков рассеяния на
вел1гчину поля становится исчезающе малым. Как показано в [82],
эффект взаимодействия цилиндров (при заданном kl) в точке наб-
людения усиливается по мере вырождения эллиптических цилинд-
ров в круговые с сохранением поперечного размера вдоль осей
0sxs, s— + 1, и становится наименьшим при их вырождении в
ленты. Однако с уменьшением величины отношения междуфо-
кусного расстояния эллипсов сечения цилиндров к длине волны
возбуждения форма сечения цилиндров все в меньшей мере ска-
зывается на величине этого эффекта.
Подобным же образом при kl 1 вычисление и Bsn в
(8.3.61) может быть сведено к суммированию убывающей геомет-
рической прогрессии с членами, дающими приближенные значения
коэффициентов рассеяния Л„,„ и В»,,. и при произвольной ориен-
тации соответствующих полуосей эллипсов сечения цилиндров.
Поле типа ТЕ. Если искать потенциал Герца рассеянного
поля в виде
2Е vi
ц!= — У Щ, (8.3.77)
kz V
s=±l
где
ОО
»s= v [^c„Mein(|s, Qs)ce„(T]s, qs) 4-
n=0
+ bsn dn Ne« * (|s, qs) se„ (r]s, qs)], (8.3.78}
то после замены коэффициентов рядов asn и bsn на новые по фор-
мулам
asn = сп Се; (£ qs) Л^, b*„ = dn Sen (£ qs) Bsn (8.3.79)
из граничных условий (1.7.8) при помощи формул (4.5.8) полу-
чим для определения неизвестных Asn и Bsn бесконечную систему
уравнений того же вида, что и (8.3.17), с той разницей, что те-
перь матричные элементы и свободные члены имеют выражения
п(—s.s) ocmCem(^_s, 9—s) , оч
ипт =2------- ----------Г s, P),
c„Me„ (£s, <?s)
R(—s.s) _O S. s) Z)(D /___„ _. o\
-2 Qm4 S’S>₽)>
437
v(—S.S) — 9 CmCem(|—S, (/—s) o(l) ,_ p\
dX'dU) mn( ’ ’ P)’
“ =2 a.Ne),"-(EU.) R"=( S' M’>-
e,W“CQsaCefi(as, qs) ,
cnMe<”' (& qs)
e‘sW°cos a sen (as, qs)
d„Ne^'(^, qs)
(8.3.80)
Fs —
1 п —
(8.3.81)
с прежними значениями параметров a_SiS, as, qs и [3 (s = ± 1).
Это, однако, не меняет свойств системы, связанных с ее разре-
шимостью, — коэффициенты рядов Asn и Bsn единственным образом
определяются из (8.3.17) с (8.3.80), (8.3.81), причем |Д® |2< оо
л=0
ОО
и у1 | Bsn |2 < оо. Их приближенные значения могут быть с любой
п—О
степенью точности найдены из конечной системы уравнений, по-
лучающейся усечением бесконечной системы. Как и в предыду-
щем случае, можно указать различные варианты выбора частных
значений параметров задачи, допускающих упрощение выражений,
входящих в систему, когда при заданных поперечных размерах
эллипсов сечения цилиндров происходит понижение порядка
усеченных систем. Эти случаи рассматриваются как и в задаче
для поля ТМ-типа. При вырождении цилиндров в ленты (|° =0,
s= + 1) будут обращаться в нуль вместо матричных элементов
PmiS’s) 11 ®nmS,s) матричные элементыa^s,s) ,4^'^,так как Se'(O, q)=£
=F 0, а Се„(О, </) = 0.
Отысканием величин А„ и Bsn полностью решается задача по
определению потенциала V. Через v составляющие рассеянного
поля находятся из формул (1.6.20).
На основании (8.3.79) имеем
1,1 = ~ У, !с«^Се'(|“, qs)ce„(j]s, <?s) +
/Г 2—
s=±l л=0
+ d2nBsn Se;(|°, qs) Ne'1’ (gs, q„) sen (т)8, Qs)J . (8.3.82)
Поэтому в приближении волновой зоны в полярных координатах
р, Ф с началом в точке О
Е\ = 1/Н* = -X Л* (Ф), (8.3.83)
V Е у р
438
где амплитудная функция
A*(q>) = 1/-J-2E1/ e-^ocos<p х
» е и л s=±i
х I с„ЛХе4Й, qs) се„ (r|s, qs) +
+ 4B^Se4^, <7.,)se„hs, qs)\. (8.3.84>
Здесь Tj-j = <p + Y> *]+i = ф + Y + ₽ 11 P = fe^- Погонное по-
перечное сечение обратного рассеяния (радиолокационное попереч-
ное сечение) вычисляется по формуле (,r]-i==a+Y> Tl+i=ct+Y+₽)
£ eiMDC0Sa V (-1)" №„СеЖ qs)c^s,qs) +
+ Bn dn Se' (& qs) se„ (7]s, 9S)J |2’ (8.3.85)
16
Or = ---
B k
16
В k
Полное
а в случае двух лент
" 2
У e,w0coSa у (_1)пВ^п5еД0, 9s)se„(T]s> qs) .
s=±l n=0
погонное сечение рассеяния может быть вычислено
по формуле (8.3.30), в которой вместо А (ф) следует взять А* (ф)
из (8-3.84). В частном случае двух идентичных эллиптических
цилиндров, когда р = 0 и q~i = </+1, os будет определяться
формулой (8.3.31), в которой о® и ft® выражаются через A„hB„
соотношениями (8.3.79), а А„, Bsn находятся из системы (8.3.17)
с (8.3.80), (8.3.81).
В ближней зоне, потенциал полного поля в локальных коор-
динатах s-ro цилиндра представляется в виде
v= — V (c^lCe^, Qs)Me<n(Bs, qs) -
ku
п^О
- Сеп (& qs) Ме'п (Й, qs)] се„ (t]s, qs) + d2n Bsn [Sen(^, qs) Ne'1 >(ge, 9s)-
-Se„(£°, ?8)]se„(T]s, 9s)}. (8.3.86)
Анализ поля вблизи цилиндров можно произвести по формулам
Hz = kh),
(8.3.87)
Е = ikon________________ dv_
Е /j/ch2^—cos2r]s drls
43&
после подстановки в их правые части выражения (8.3.86). На
основании (1.1.7), (8.3.87) и (8.3.86) для составляющих плотности
поверхностных токов, наведенных на поверхности s-ro цилиндра,
имеем
k ==iz=o>
h = У (-1)”{<се„(т)8, qs) +B^se„(r)s, qs)} . (8.3.88)
n=0
§ 4
Поле продольного излучателя
в присутствии двух параллельных
эллиптических цилиндров
Рассмотрим теперь задачу о поле дипольного излу-
чателя электромагнитных волн (электрического и магнитного) в
присутствии двух бесконечно длинных параллельных эллипти-
ческих цилиндров, занимающих в однородном изотропном неог-
раниченном пространстве с электромагнитными константами е, р,
и(<т=0) в локальных эллиптических координатах |8, t]s, zs (s =
= +1) области < s = ± 1, в предположении, что цилиндры
идеально проводящие, междуфокусные расстояния их эллипсов
поперечного сечения в общем случае различные (2/_1 для одного
и 2f+1 для другого цилиндра) и что локальные координатные
оси 0sxs, направленные вдоль больших полуосей эллипсов сече-
ния, пересекаются под углом [3 (рис. 53, а). Диполь находится
в точке Р, положение которой в локальных эллиптических сис-
темах координат g8, T)s, zs задается значениями £8 = ч]8 ==Tlso,
zs = z0 (z_, = z+1, s = + 1). Его момент направлен параллельно
образующим цилиндров и ориентирован в сторону возрастания
координаты и. Как обычно, задача состоит в отыскании вторичного
электромагнитного поля по заданному полю диполя в свободном
пространстве. В случае электрического диполя этому полю отве-
чает потенциальная функция и0 = peikR/R (р — продольная состав-
ляющая дипольного момента р = {0, 0, р}), которая на основании
(8.2.1) может быть записана в локальных координатах s-ro цилинд-
ра (s = ± 1) в виде ряда по интегралам Фурье
СО со
u°=ipV (—1)” | jce„(T)s, Qs)cen(T]s0, q8)x
H=0 —ас
Me^(g8, <?s)Ceft(gs0, qs)
MeV’tU ?s)Ce„(b gs) .
cn + dn se« 9s) Se- (nso, <7s) X
440
Ne<n(gs, ?s)Se„(t0, qs)
Ne(nl)(gs0, qs)Scn(ls, qs)
dh,
8= 80»
s ^s0>
(8.4.1)
в котором qs = f2 (k2— h2)/4, p~I(z0)dz0/—г4л<ое, a I (z0) —
заданный электрический ток в диполе. В случае магнитного ди-
поля с моментом ш = [ 0, 0, т}, т — K(z0)dz0/—1‘4жор, где
/((z0) — заданный магнитный ток в диполе, потенциальная функ-
Рис. 53. Возбуждение двух эллиптических цилиндров продольным диполем
(о), случай двух лент (плоскость г = const) при произвольных значениях
параметров (б) и случай, когда j = /+1 = f, у — 3 = 0 (в)
441
ция у0 первичного поля в локальных координатах s-ro цилиндра
может быть записана на основании (8.2.2) в виде ряда
со оо
= im У (—1)" | |ce„(T)s, Qs)ce„(r]s0, qs)c2 X
n=0 ---co
Me'1^, <7s)Ce„(U Qs) '
_Me<I)(gs0> 9s)Ce„(t, qs) .
9s)sen(r]so,<7s)d* x
Ж!)(и gs)Sen(gs0,
Ne‘]*(U <7s)Sert(£s,
qj
qj
eih[z-^ dh,
(8.4.2)
где qs — f2(k2 — h?)/4, s = + 1. Как и в случае одного эллипти-
ческого цилиндра, вторичное электромагнитное поле находится через
соответствующий потенциал и1 или V1 (в зависимости от типа
поля) из соотношений (1.6.19) или (1.6.20) (106, 107].
Электрический диполь. Если искать потенциал и1
вторичного поля в виде рядов по интегралам Фурье
u1 = ip V us, (8.4.3)
s=±l
где “ <5
2 J <7.,)cen0is, qs) 4-
n=0 —co
+ (ft) dn Ne< ” (L> qs) sen (T)8, QS)J elh^ dh, (8.4.4)
—h?) (s=±l), a tz^(ft) и 6® (ft)—подлежащие определе-
нию неизвестные, зависящие от ft, то из граничного условия
(1.7.7) на поверхности каждого цилиндра при помощи теорем
сложения (4.5.8) найдем, что (1.7.7) будет удовлетворено, если
величины Л„(Л) и B„(h), связанные с a„(h) и ft„ (ft) формулами
(ft) = сп Cen (& qs) Asn, bsn (ft) = dn Se„ (& qs) B* (8.4.5)
(s= ± 1), будут решением бесконечной системы линейных урав-
нений
л: + V ! a^s’sM-s + = К,
т=0
(8-4.6)
в: + у I у^л)л“5+fi^s-s)B^} = ф:,
т=0
в которой матричные элементы определяются формулами (8.3.18),
а свободные члены заданы выражениями
442
ceji^ <U
Me„ ’ (g„, qs)
фБ____/__n« Nen (^so> ?s) / \
( П Ne^g^) Se"<^)-
(8.4.7)
Здесь в отличие от (8.3.18) матричные элементы a(„~s,s), p^s,s),
'YnmS’s), 6nmS,s) являются функциями параметра h, меняющегося
в пределах от — оо до + оо, так как qs = f2s (№ — h2)/^. Однако,
как и раньше, можно показать, что для любого фиксированного
значения h коэффициенты системы будут удовлетворять условию
(1.9.19), а ее правые части — условию (1.9.20), если цилиндры не
касаются друг друга, а диполь не лежит на поверхности одного
из цилиндров (в противном случае |F^|2, |Ф„|2 -> const, если Es0 =
= где s = — 1 либо8 = +0- Выполнимость указанных ус-
ловий позволяет установить однозначную разрешимость системы
со
(8.4.6) методом усечения, причем для каждого h будет "V |Л„12 <
2, с,™ п.—О
|В«| < оо.
п=0
Определением величин А„ и В„ заканчивается формальное
решение задачи.
Формулы (8.4.3), (8.4.6), дающие решение задачи, являются
точными. Однако практически в общем случае они пригодны
лишь для приближенного вычисления потенциала и1 численными
методами. Если рассматривать не общий случай, а лишь поле
в волновой зоне, для которой полагается gs->oo, kf chgs-> со,
то тогда можно упростить члены рядов в (8.4.3) и освободиться
от функциональной зависимости в матричных элементах и свобод-
ных членах системы (8.4.6) от параметра h. Так, в волновой зоне
интегралы Фурье
Л = J [a„(/i)c„Me”’(gg, <7s)ce„(T]s, qs)] e‘h(z~z‘} dh,
Z (8.4.8)
J2 = J [ bsn (h)dn Ne<l) (gs, 9s) se;1 (т)в, g,)] elh^dh,
содержащиеся в (8.4.4) после замены в них радиальных функций
Матье Me^^gg, gs) и Nen0 (gs, qs) асимптотическими относительно
аргумента выражениями и последующего применения метода пе-
ревала к получающимся при этом интегралам (так же, как это
делалось и в случае одного цилиндра), будут приближенно равны
443
_ 2(—l)n
i
2(-1)"
i
2
@ikRs
a’0)ce„(ns-Qs)>
,««s
-p~ bsn(h)sen(7]s, qs),
(8.4.9)
где Rs = r, — zocos0, rs = r—s/0 sin 6 cos ф, s= + 1, и где опу-
щены члены, содержащие более высокие степени величины R7* •
В правых частях (8.4.9) теперь й = £cos0, a qs = k1 sin2 0/4,
s= 1. Поэтому система (8.4.6) при фиксированном значении
параметра 0 должна решаться лишь при h = k cos 0.
После подстановки (8.4.9) в (8.4.4) и последующего перехода
к сферическим координатам г, 0, ф с началом в точке О для
функции и1 получается приближенное выражение
/Ат
i? = 2p^- e~ffe°cose
£(-1гх
х {ЛД сп Се„ (£°, qs) сеп (<ps, qs) +
+ Bnd„Se„(^, qs)se„(<ps, qg)}, r]s~<Ps- (8.4.10)
В этих же координатах поле диполя в свободном пространстве
определяется формулой (в волновой зоне)
Я°Ф =
е
= — р/г2 ____ el/i2“ с“р°sin 6 sin 0, (8.4.11)
г
где р°, ф°, z0 — полярные координаты точки Р с диполем в сис-
теме с началом в О. Поэтому из (1.6.19) в рассматриваемом приб-
лижении для составляющих полного поля
Ее = = — k2p sin 0 X
>—ikz9 cos 6—ik p° sin 0 cos(tp—ф’
^(е.ф),
(8.4.12)
где через 1^(0, ф) обозначен поправочный множитель (множитель
ослабления) к характеристике направленности электрического ди-
поля, учитывающий наличие в поле диполя двух параллельных
идеально проводящих цилиндров эллиптического сечения. Функ-
ция W (0, ф) определена выражением
№(0>
Ф) =
14-е
ikp° sin О cos (ф—
с©
2 (-1)'
444
X М£с„Сеп(Й, Qs)ce„((ps,
+ B’dnSe„(^9s)sen(<ps,96)i (8.4.13)
и является при фиксированном значении qs ~ f2 k2 sin2 6/4, s =
= + 1, функцией угла ф, характеризующей азимутальную нап-
равленность излучения системы, состоящей из электрического
диполя и двух эллиптических цилиндров, играющих роль пассив-
ных отражателей. Сопротивление излучения этой системы, а также
коэффициент направленности излучения могут быть вычислены
из подсчета излучаемой мощности, переносимой через бесконеч-
ную сферу с центром в начале координат О по формулам (1.4.14)
и (1.4.17) соответственно, если применить к встречающимся в
этих формулах интегралам численные методы интегрирования.
При фиксированном значении угла 6 матричные элементы
системы (8.4.6) обладают всеми свойствами системы (8.3.17).
Поэтому путем выбора частных значений параметров, определяю-
щих решение задачи, можно в значительной мере упростить фор-
мулы для и Вп и вид функции W(6, <р) (см., например, §3
гл. 8). Функция W (6, ф) приобретает сравнительно простой вид
в случае, когда эллиптические цилиндры вырождаются в ленты
(ё° =0, s= + 1, рис. 53, б). Тогда
1Г(0 ф) = 1 -j- eikf° sin0cos sinOcos^p х
S—±1
x У (-lMc„ce„(°, qs) ce„ (ф6, qs) (8.4.14)
n=0
независимо от значения угла р, под которым пересекаются плос-
кости и O+1x+1z+1 с расположенными в них лентами
шириной 2/-J и 2f+1 соответственно. Коэффициенты рядов в (8.4.14)
находятся из системы
+ 2 a™}A~s = Fsn, (8.4.15)
в которой
"2 s; я (М16)
Fsn = - (-if ce„ (Пб0, qs). (8.4.17)
Me) (0, qs)
При p = 0 (плоскости O_ix_-lz_1 и O+1x+1z+1 параллельны) и q_i=
— 9+i
<ms s) = (-1)"+ma^-s), s= ±1. (8.4.18)
445
Если, кроме того, ленты расположены так, как показано на
рис. 53, в, когда а_11+1 — л/2, a^-i = Зл/2, т]_10 = л/2, т]+10 =
= Зл/2, то суммирование в выражении для (^п(—s, s; 0) фак-
тически будет производиться лишь по г и р одинаковой четности
(если г + р нечетно, то Q™,*(—s, s; 0) = 0), в силу чего р + г,
а следовательно, и п -р т будут четными числами. В этом слу-
чае вместо (8.4.18)
a^s’s)=afe-s). (8.4.19)
По той же причине (cen(r]g0, qg) = 0, если т]_1>0 = л/2, т)+110 =
= Зл/2 при нечетных п) окажется, что и
К = (8.4.20)
если диполь будет расположен посередине между лентами на
линии центров их сечения, когда 10 = Е+)0. В результате из
(8.4.15), где при указанных значениях параметров суммирование
производится по т той же четности, что и п, получим равенство
А~1 = А~/' --Ап, (8.4.21)
на основании которого поправочный множитель (8.4.14) запишется
в виде
W. ф) = 1 + 2cos[fe/0 sine cos <р] V х
X (-1)" А,.сп Се„ (0, q) се„ (<р, q), (8.4.22)
где Ап находится из системы (8.4.16) с s = 1 либо s = — 1.
Отсюда видно, что в точках волновой зоны, для которых
£/osin6cosq>= (2т-)-1), т — 0, +1, .... (8.4.23)
наличие лент в поле электрического диполя, расположенного
указанным выше образом по отношению к ним, не сказывается
на характеристике излучения диполя.
Если = ^=0 и a_1-+1=0, а+1 _1=л, а положение диполя
определяется координатами £~i,o = B+i.o, Л-ьо — a, Л+i.o = л — a>
тогда при g-j = q+1—q имеет место (8.4.18), и
= (—1)"Е<Л s=+l. (8.4.24)
В результате из (8.4.15) можно установить, что тогда
АГ1 = (—1)" А-1 = Ап (8.4.25)
и множитель ослабления (8.4.14) запишется в виде
446
W (6, (p) = 1 T e‘kf s,n e cos <4>~4’* 2 {cos (kl0 sin 6 cos <p у
X У (-1Г X„cnCert(0, <7)сеп(ф, q) — i sin (fe/0 sin 0 cos <p) X
л=^2,...
X 2 (-lW„Ce„(0, 9)се„(Ф, q)] . (8.4.26)
n=l,3,...
Возвращаясь к общему случаю, отметим, что закон распреде-
ления плотности поверхностных токов, наведенных на поверхности
s-ro цилиндра полем электрического диполя, с учетом взаимо-
действия цилиндров определится на основании (1.1.7), (1.6.19),
(8.4.1), (8.4.3), (4.5.8), (8.4,6), (8.4.5) формулой
.s _ , Г е ck___________1_________
4 “ г ? 2? ' fj/ch^-cos2^ Х (8 4 27)
СО со
х£(-1)" jM*(ft)ce„(T)s, qs) + B:(/l)se„(T]s, Qs)| eih^ dh
n~0 — co
(js = js =0), где qs = f2(fe2— /i2)/4, s= + l. При вырождении
цилиндров в ленты (g° = 0, s= + 1) здесь будет В® = О, а
j/ch2^ — cos2T]s = sinr]s. Приближенные значения /® могут быть
найдены методами численного интегрирования.
Из решения задачи для дипольного источника можно полу-
чить обобщения на случай линейной антенны и на случай бес-
конечно длинной нити с электрическим током в ней. Так, интег-
рируя (8.4.12) по 20 от zx до z2, получим для поля линейной
антенны
Ее — — — • —- sin 0 ! f 7 (z0) е l,!7'cr> 0 dz0| X
4зтсое r (J J
X №(0, ф)₽-^^ес°®(^ф0), (8.4.28)
Если положить здесь Zj = — I, a z2 = I и считать, что распре-
деление тока в антенне задано в виде
7 (?о)
—sin k {I — z0), 0 z0 < Л
sin/г/
— sin k (I Zq), — I < z0
sin kl
(8.4.29)
то для такого распределения
электрическая составляющая
2л<ое г
[cos (kl cos 0) — cos kl ]
sin kl sin 0
447
X W (6, q) e
—ikp° sin 6 cos (ф—ф°)
В частности, для полуволновой антенны (2/ = Х0/2) будет
т г _ ikr
lok е
2лС08 г
cos 6
sin0
X W (6, q) e
—ikp° sin 0 cos (ф—ф°)
Определенный интерес представляет случай, когда источником
первичного поля является бесконечно длинная нить с электри-
ческим током, параллельная образующим цилиндров. Для такого
случая решение задачи получается интегрированием в (8.4.1) и
(8.4.3) по z0 от — оо до -|- оо. В результате получатся выра-
жения
2kc
Me<*>(gs, <78)Се„(^,
Ме*0^^, д8)Се„(&8,
9s)
9S)
+ dnSe„(T]8, 9S) se„(T)s0,
9s) x
x FNe^, 9s)Sen(U 9S)
Ne^Uso, 9s)Se„(U qs)
(8.4.30)
9s) X
s=±I n~0
X <7S) ce„ (i] s, qs) +
+ d„2B’Se„(& 9s) Ne<’>(g8, Qs)se„(r]s, g8)},
в которых qs = (/s/e/2)2 (h =0), а величины B„ являются ре-
шением системы (8.4.6) при h =0. Разложение для потенциала
и° представляет собой, как нетрудно заметить, разложение цилинд-
рической волны (4.4.9) по волновым функциям Матье. Поэтому
выражение для потенциала и1 будет подобно выражению,
которое получится для и1 при строгом решении задачи о диф-
ракции цилиндрической волны на двух идеально проводящих
параллельных цилиндрах эллиптического сечения.
В приближении волновой зоны единственная отличная от пуля
составляющая электрического поля равна
448
Ieik?k i/A v
V e 2c/p V nk
x S S ^)сеДф' ?*)+
s=± ln=O
+ dnBsn Se„ (& qs) se„ (q>, qs)} e~iskl°cos (8.4.31)
При помощи теоремы сложения (4.5.8), системы (8.4.6) и формул
(8.4.30) для потенциала полного поля и = и° + и1 получим вы-
ражение (в координатах s-ro цилиндра)
« = - 6 У I cznAsn [Ce„(g°, ^Ме*1» (Bs, qj -
2kc
n=Q
— Ce„(Es, qs)\ce„(x]s, qs)+
+ «[Se„(U gJNe'1^, ge)--Se„(^ ^Ne'1^, ?,)] X
X sen(t]s> qs)\ ,
позволяющее вместе с (1.6.19) изучить электромагнитное поле
в ближней зоне. На основании (1.1.7) закон распределения плот-
ности поверхностных токов, наведенных на поверхности s-ro ци-
линдра полем нити с током, будет задаваться формулами
4зт2 fs\/~ ch2gs—cos2 r]s
ОС
x (—O'* {A?ce„(r]s. Qs) + Bsn se„ (r]s, qs)\ . (8.4.32)
n=0
Магнитный диполь. Пусть в точке Р находится магнит-
ный диполь с моментом гл, направленным в сторону положитель-
ных значений z параллельно образующим цилиндров, конфигу-
рация которых остается прежней. Тогда если искать потенциал
vl вторичного поля в виде рядов по интегралам Фурье
v1 = im vs, (8.4.33)
t=±i
= S J Qs)ce,=(lls’Qs) +
n=0 —oo
+ bsn (h) dn Ne'‘> (£s, qs) sen (t)s, qs)] eih dh, (8.4.34)
29. E. А. Иванов 449
где qs = fl(k2 — h2)/4, s= + 1, то для определения-неизвестных
Ап, В„, связанных с а'г. и Ь„ формулами
а*п = с„ Се; (|°, gg) A4 sn, bsn = dnSe’n (& q6) Bsn, (8.4.35)
получим из граничных условий (1.7.8) на основании (8.4.2) бес-
конечную систему линейных уравнений (8.4.6) с матричными эле-
ментами (8.3.80) и со свободными членами
К = -(-1)п
Ме*1»^, qs)
Ме<‘>'(& qs)
сеп(т]ео, qs),
ф; qsl sejT]so; Qs)j (8 4 36)
iNCn (gs, qs)
S = + 1.
В (8.3.80), равно как и в (8.4.36), qs — f2s(l^ — h2)/i,s= + 1, в
силу чего матричные элементы системы и ее свободные члены
являются функциями параметра h, меняющегося в пределах от
—• оо до оо. Свойства системы, относящиеся к ее разрешимости,
остаются прежними—для каждого h система единственным обра-
05 с»
зом разрешима методом усечения, причем ^|Л;|2<со
п=0 л=0
< оо для каждого h.
На основании (8.4.9) в приближении волновой зоны в сфери-
ческих координатах г, 6, <р с началом в точке О потенциал
первичного поля диполя
ikr—ikz0 cos 6
= ikm ------------- sin 6 e~ikp‘sin 6 cos (8.4.37)
а потенциал v1 вторичного поля приближенно равен
ikr^ikZf, cos 6
yl = 2/71 ~~___________ g~~iskl*> cos ф sin 0
Г
s—±1
x V (- 1)« [д;СпСеДЙ, g,)ce„(iig, <76) + (8.4.38)
4 BndnS^°s, <7s)sen(r]g, qs)\
(p°, ср0, г0—полярные координаты точки Р с началом в О). Из
(1.6.20) находим, что в рассматриваемом приближении в волновой
зоне для полного поля
Г~— ikr-ikz, cos е
= — I/ А Не = 1/ k2m ----------------------------- х
V е у е г
450
x Sin 6 W* (6, <p) e~ik p°sin 0 cos (ф-ф0)
(8.4.39)
где множитель ослабления W (6, ф) к характеристике направлен-
ности магнитного диполя в свободном пространстве равен
(6 <р) = 1 | eikp°sin 6 cos <ф—ч><’) е~iskl‘ms ф sin 0 х
s=±l
00
х S (—1)" [Л"с«Се"^> 9s)cen(ns> Qs) +
n—О
4 BSndnSen(fs, ^8)se„(T]s) qs)\. (8.4.40)
Как и раньше, функция IF* (6, ф) при фиксированном значении
6 характеризует азимутальную направленность излучения системы,
состоящей из магнитного диполя и двух эллиптических цилиндров,
играющих роль пассивных отражателей. Сопротивление излучения
и коэффициент направленного действия этой системы можно вы-
числить на основании методов численного интегрирования по
формулам (1.4.14) и (1.4.17) соответственно.
При численном решении задачи приближенные значения ве-
личин Asn и Bsn находятся из конечной системы
N
А‘п + 2 {4«S,S) + tfrms s)B^s} = Fsn,
m—О
N (8.4.41)
в' + V {y^S'S)^s 4-6^S,S)BmS} = 04
m—0
в которой qs <= (fgfesin0)2/4, a N ^x\2ka\, где ka = max (kf s ch gp)
(в волновой зоне h = 6cos0). s=±l
Как и в предыдущих задачах, можно значительно упростить
выражения, определяющие An, Bsn и IF* (6, ф), за счет выбора
специальных значений параметров задачи. В частности, в случае
двух параллельных лент, расположенных так, как это показано
на рис. 53, в, существенно упрощается выражение (8.4.40). Так,
если О—-j == л/2, == Зл/2 и с—j o — ^4.1,0, f—1== то
вп = в+1 ^-Вп1, (8.4.42)
и тогда
IF* (В, <р) = 1 —21е1кр Е1П 6 cos sin (kl0 sin 6 cos ф) X
oo
X V (—l)'lB„d„Se^(O, q)sen(<f, q).
M=1
(8.4.43)
29*
451
Отсюда следует, что характеристика излучения магнитного дипо-
ля, расположенного посередине между двумя параллельными
идеально проводящими полосами (лентами) и обладающего мо-
ментом, параллельным им, не зависит от присутствия лент в на-
правлениях, для которых
kl0 sins 0 cos <p = 2л т, т = 0, +1, ... (8.4.44)
Если же ленты расположены так, как это показано на рис.
53, в, то тогда
= (8.4.45)
= -(-1ГЛД
Вп = (—1)" Вп1. (8.4.46)
Поэтому для такого случая
Г* (0, ф) = 1 — 2ieikp°Ein е cos (,н*’к х
X | sin (й0 sin 6 cos ф) V B„d„Sen(0, q)sen(<f, q) —
rt=0,2,...
— t cos (Йо sin 6 cos ф) v Bndn Se„(0, q) зе„(ф, q)|. (8.4.47)
/1=1,3,...
Закон распределения плотности поверхностных токов, наве-
денных на поверхности s-ro цилиндра полем магнитного диполя,
определяется обычным образом из (1.1.7), (1.6.20) на основании
(8.4.2), (8.4.33), бесконечной системы (8.4.6) с (8.3.80) (h =
= kcos6), (8.4.36) и имеет в общем случае вид
СО оо
% = У 1)п | М«(Л)сеп (ns, <ц) т
' 2л2 J
п=0 ~а>
+ Вп (/I) se„ (ns, qs)\ (й - Й) eih^ dh, (8.4.48)
,s _ —itnc _______ч
I : " Z 2л2/6)/Г|ch2gs COS2T]s
‘ OO 1 - CO
x 5j(—!)"( И’(Л)се^(т]8. <?s) + B8(/i) se„(T)s, qs}]helh{z~Zt} dh
№=6 • —co
Ш = 0), где qs = f2 (£2 — й)/4, s = + 1. При вырождении цилинд-
ров в ленты (go =о, s = “ 1) Л8 (Л) = 0 и тогда
ОО со
•’ = St-1)" f qs)(k^-h^eih^dh,
1 2л2 “ J
п~0 —со
452
CO CO
/>0^ У?-1)" t адзеД^, qs)heih^dh. (8.4.49)
2n-fssm^^ _J
j Выражения (8.4.49) свидетельствуют об автоматическом выполне-
Л нии условия Мейкснера на ребре при переходе от цилиндров к
лентам.
к! Приближенные значения /*, fsz можно найти методами числен-
i. ного интегрирования в (8.4.48), (8.4.49).
; Интегрированием в (8.4.39) по z0 от z0 — Zj до z0 = z2 полу-
5 чается обобщение решения задачи на случаи линейной антенны
j конечной длины, простирающейся от z0 = Zj до z0 = z2 парал-
лельно образующим цилиндров с заданным током К = К (z0).
Составляющая электрического поля для такого случая равна
= ick sin 6 I ? к (го) cos edz 1 х
4л г I _> )
W* (6 <р) e~ikp°sin 6 CDS <ф~ф°)
(8.4.50)
Если Zj = — /, z2 = l и антенна возбуждается в середине так,
что ток в ней распределяется симметрично по закону
K(z<,) =
- sin k(l — z0), 0 < z0 <
sinkl
_ sink (I + z0), —/~<zo<0,
vsin&/
где Ko — ток B пучности (максимальное значение К (z0)), то для
такого случая
iKpC elkr | cos (kl cos 0) — cos /eZ)|
ф 2л r sin 6 sin kl
x IF* (0, <p)e~ik(>°sin 6 cos <ф-ф0) (8.4.51)
или, если длина антенны равна половине волны (I — Хо/4),
Г/ л \
. -а cosl I — I cos и
= iKoC еч- cos^ 2 )
ф 2л г sin 0
х IF* (0, <р) e~ikpC sin е cos (ф“ф0) (8.4.52)
При интегрировании в (8.4.2), (8.4.33) по z0 от —оо до+оо,
получается обобщение решения задачи на случай, когда возбу-
дителем цилиндров является бесконечный линейный источник с
453
заданным магнитным током /С, параллельный образующим цилинд-
ров. В этом случае для потенциалов первичного и вторичного
полей получаются выражения
л/ — К “
у°= — - ---- 2j(—Л" { ^cen(ns. <7s)ce„(nso, qs) X
n=0
< Me<*>(gs, g8)Ce„(gg0, qs)
4 Me^&o, ?s)Ceft(£s> qs)
+ ^se„(r]g, Qs)se„(T]s0, qs)x
9s)Se„(gs0, qs) 11 gs>feso,
N4*>(U <7s)Se„(gs, qs) Jf l8<U
(8.4.53)
vl =
2kc
X Me^(ge, 9s)ce„(T]s, qs) +
+ B*4 Se; (& qs) Ne'1’ (g8, qs) se„ (r]s, qs)},
(8.4.54)
где qs = (fs/e)2/4, a и Bsn находятся из системы (8.4.6) с мат-
ричными элементами (8.3.30) и с правыми частями (8.4.36) при
значении h — 0. Решение (8.4.54) подобно решению задачи о
дифракции цилиндрической волны (4.4.9) на двух параллельных
идеально проводящих цилиндрах эллиптического сечения. В приб-
лижении волновой зоны единственная отличная от нуля продоль-
ная составляющая вторичного магнитного поля в полярных коор-
динатах р, <р с началом в точке О равна
X У (Л£с„СМ& <7S) се„ (т] s, qs) +
п—0
4-B^d„Se'(gs, Qs)se„(T]s, qs)\. (8.4.55)
Полное поле вблизи s-ro цилиндра может быть изучено при по-
мощи формул (1.6.20), в которых потенциал v = и0 -р и1 на
основании теорем сложения (4.5.7), (4.5.8) и (8.4.6), (8.4.53),
(8.4.54) представляется в виде
454
У (Л[Ме<”'(Й, <7s)Ce„(gs, qs) -
2kc
n=Q
— CMSs, qs)Me£>(%s, qs)] ce„(ris, qs) +
+ d^[Neiir(g°s, <7s)Se„(gs, gg)-
- Se; (& qs) Ne<'> (|g, qs)] se„ (r]g, qs)}. (8.4.56)
На основании (8.4.56) и (1.1.7), (1.6.20) для распределения плот-
Рис. 54. Обобщение задачи на случай продольной щели,
расположенной на одном из эллиптических цилиндров
ности поверхностных токов, наведенных на [поверхности s-ro ци-
линдра, получим формулу
со
F f' *—v
=—'-------- У ( — l)n{^ce„(T]g, qs)+Bsnsen(Tqs, qs)\,
' ЗТ
n=0
<7s = (f8W, (8.4.57)
записанную в координатах s-ro цилиндра.
Рассматриваемая задача допускает интересное обобщение на
случай продольной щелн (рис. 54), расположенной на поверх-
ности одного из эллиптических цилиндров при наличии в поле
излучения щели другого эллиптического цилиндра, играющего по
отношению к первому цилиндру роль пассивного отражателя.
455
Такое обобщение получается предельным переходом в (8.4.50) по
|s(, при стремлении gs0 к g°(s = —1 либо s = -fl). После совер-
шения предельного ^перехода получается задача об источнике,
эквивалентном в электродинамическом отношении узкой продоль-
ной излучающей щели шириной расположенной на по-
верхности s-ro цилиндра и простирающейся в длину от z0 = гг
до z0 = z2. Если совместить координатную систему Oxyz, в кото-
рой записано выражение (8.4.50), с локальной координатной
системой Osxsyszs s-ro цилиндра, то тогда в сферических коорди-
натах г, 6, с началом в точке О при g,.o == g® (s = — 1 либо
s = +1) будет
• i ikr
Е* = ~ sin б { J К (zo) cos е dz»} х
Z1
х W* (6, ф) e~ikp°sin 0 cos <ф-₽0), (8.4.58)
где
CO
X {2 (—!)" IXcnCen(£°, Qs)ce„tos, qs)+
n=0
+ Bsn dn Se^(g0, Qs)se„(cps, <?s)| +
+ ^(-1)" KscnCe;(g°_s, q_s) X
n=o
xce„(9_s, <7_s)+B7sd„Se'(gls, <?_s) se„ (<p_3, q_g)]} . (8.4.59)
Если заменить распределение тока К (z0) в (8.4.58) распределе-
нием напряжения на щели En(£°s, r]so, ?о) d,is0, то после ин-
тегрирования (8.4.58) по -г)® = t]s0 в пределах от до полу-
чится обобщение решения на случай прямоугольной щели конеч-
ной ширины с заданным распределением поля En(£3, z0) в
раскрыве щели. Полагая затем, что напряжение на щели
V(Z0) = (g°, Г]0, Zo) hr. (h2s - £),
получим
ifcr
ЕФ= — S(6)M(0, ф), (8-4.60)
где
S (6) - — sin 0 f V (z0) e~ikz°“s 6 dz0, (8.4.61)
4л J
Z1
456
Т)2
Л — ikpc sin в cos (ф—<Ре)
М(е, ф)= J ---------------(п2-^)— ^(е’ ф)£/,1°' (8’4,62)
Y's
Если в антенне распределение магнитного тока вдоль щели яв-
ляется синусоидальным, то этому случаю будет соответствовать
распределение напряжения вдоль щели
V(z0) = Vo Sin k(l — |z0|), Z! = — I < z0 <I = zz,
которое можно записать в виде
V(z0) = V0
sinfe(Z — |z0|)
sinkl
,-------1 Z() 4 /,
если вместо напряжения в пучности Vo брать напряжение в точках
питания Vo, приложенное в середине щели. Тогда
S(6) =
л
cos (kl cos 6) — cos kl
sin 6 sin kl
или при I = Хо/4
5(6) =
л
cos
л
*2
cos 6
sin 6
В выражении (8.4.62) от переменной интегрирования т|® зависят
как Asn, Вп, так и Aff3, Bns, через которые определяется функ-
ция IV* (6, <р). Кроме того, и В,[3 являются также и функ-
циями переменной r)2_s, зависящей от т]°. Поэтому для того,
чтобы осуществить интегрирование в (8.4.62) по tj®, нужно пред-
варительно явным образом выразить функциональную зависимость
величин Апs и от г]®. Это можно сделать следующим образом.
Запишем правые части усеченной системы (8.4.41), из которой
находятся приближенные значения величин А^3, Br3 , в виде
F3n = fsn сп Ме^ (gs0, qs) ce„ (rjs, qe),
Фп = dn N<(I) (^, qs) sen (г]®, qs), (8.4.63)
где, как это видно из (8.4.36),
(-1)" (-О"
cnMe',)'(^, qs) ’ % d„Ne»>'(^, 9s)
457
Систему (8.4.41) можно записать в нормальной форме
4N +2
Z<+ £ i = 1, 2, .... 41V+2, (8.4.64)
i=i
если ввести обозначения (8.3.20), (8.3.22), (8.3.23). Пусть Д —
определитель системы (8.4.64). Тогда
z( = — , i = 1, 2, ..., 4W+2, (8.4.65)
Д
где Д(. — определитель, полученный из Д заменой в нем элемен-
тов i-го столбца столбцом свободных членов. Разлагая Д(- по
элементам /-го столбца и записывая результат в виде
Д/ — S Л/+1 Ду^Ч- S -\-
j i
+ Z; Лу+зД/Г +S
где Д;р~<4) —алгебраические дополнения, соответствующие эле-
ментам Д-, будем иметь на основании принятого выше обозначе-
ния для Fn и Ф„
(/47+1 Д«7 ) £47+1 Me4/+i (^+1 ,о, 9+i) 0647+101-ri’ 9+i) 4~
7
+ (М+гЛг/*) c4j+2 Mel/^o (£-1,0,9—0се4/+2(Л—1» 9—0 +
(8.4.66)
+ X (/47+З ДгР) ^4/+зNelyas (~-н,о, 9+0 se4y+3 (т)°н, 9+0 +
7
+ (Л/+4 Д»/>) ^4/+4 №474.4 (?—|,о, 9— i)se47+i (Л—ь 9—0-
7
Здесь функциями углов tj+i, tjLi являются лишь выписанные
явно угловые функции Матье (s = — 1 либо s = + 1). Так как
щель расположена на поверхности s-ro цилиндра (s = — 1 либо
s= 1) и интегрирование в (8.4.62) производится по Л—i или
только по т]+1, то для перехода от переменных gs.o, i]s к пере-
менным S-s,o, Л—s в (8.4.66) достаточно применить теоремы сло-
жения (4.5.7), (4.5.8) к выписанным явно волновым эллиптиче-
ским функциям.
Полученные формулы можно упростить путем выбора специаль-
ных частных значений параметров, определяющих решение задачи.
ГЛАВА 9
ДИФРАКЦИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
НА СФЕРОИДАХ И ДИСКАХ
§ 1
О решении задач на сфероидах
В отличие от задач, рассмотренных в предыдущих
главах, применение метода разделения переменных для решения
дифракционных задач с граничными условиями, заданными на по-
верхности сфероида (вытянутого или сплюснутого), сопряжено
с рядом специфических трудностей. Трудности состоят в том, что
в общем случае в сфероидальных координатах не удается ввести
вспомогательные потенциальные функции, которые, удовлетворяя
уравнению Гельмгольца, удовлетворяли бы вместе с тем простым
(раздельным) граничным условиям. По этой причине до сих пор
еще нет достаточно полных сведений о дифракции электромаг-
нитных волн на сфероидах У К числу решенных задач относится
задача о дифракции плоской электромагнитной волны на идеально
проводящем сфероиде при условии, что волна распространяется
вдоль полярной оси сфероида [165, 166]1. Решена задача об
осесимметричном возбуждении вытянутого (сплюснутого) идеально
проводящего сфероида электрическим диполем, параллельным по-
лярной оси сфероида и находящимся на ней [40, 50]. Более
подробно рассмотрена задача о дифракции электромагнитных волн
на идеально проводящем круговом диске — вырожденном случае
сплюснутого сфероида. Этот случай исключителен в том смысле,
что допускает полное разделение уравнений Максвелла в коор-
динатах сплюснутого сфероида (см., например, [48, 50, 167]).
Дифракционные задачи для диска могут быть решены в общем
случае при помощи двух скалярных потенциальных функций,
удовлетворяющих уравнению Гельмгольца и раздельным гранич-
ным условиям на поверхности диска. Задача о дифракции поля
дипольного источника, например горизонтального магнитного ди-
1 В [189] рассматривается задача о дифракции плоской электромагнитной
волны, падающей под произвольным углом к оси Oz.
459
поля, расположенного на оси вращения вытянутого или сплюсну-
того сфероида, также допускает введение двух вспомогательных
скалярных потенциалов, через которые выражаются искомые век-
торы поля. Они аналогичны тем, которые вводятся при решении
задачи о дифракции поля горизонтального магнитного диполя на
диске (диполь находится на оси диска [50]). Однако для этих
потенциалов не удается получить раздельные граничные условия
на поверхности сфероида, в результате чего для определения
коэффициентов разложения потенциалов в бесконечные ряды по
сфероидальным волновым функциям нужно решать бесконечную
систему линейных уравнений.
Задачи дифракции электромагнитных волн на двух сфероидах
и дисках с общей осью симметрии решаются при помощи вспо-
могательных потенциалов, введенных на основе формул (1.2.13),
(1.2.17), (1.3.9), (1.3.10), связывающих электрический либо маг-
нитный векторы Герца с векторами поля. По этой причине метод
решения задач, основанный на применении векторов Герца, иногда
называют в литературе методом вектора Герца. Хотя задача в воз-
буждении сфероида вертикальным диполем, расположенным на оси
сфероида и направленным вдоль нее, допускает введение потен-
циалов Абрагама, здесь она решается методом вектора Герца.
§ 2
Поле вертикального электрического диполя
в присутствии вытянутого (сплюснутого) сфероида
Пусть в неограниченном однородном и изотропном
пространстве с электрической и магнитной проницаемостями е, р,
и проводимостью о=0 имеется вытянутый (сплюснутый) идеально
проводящий сфероид, занимающий в координатах вытянутого
(сплюснутого) сфероида ц, <р область пространства (на-
чало координатной системы Oxyz совмещено с центром сфероида,
а ось Oz направлена вдоль оси вращения), на оси которого,
в точке Р, расположен элементарный электрический колебатель-
ный диполь с моментом р, направленным вдоль оси вращения
в сторону положительных значений координаты z (рис. ’ 55).
В этом случае первичное поле диполя определяется через элек-
трический вектор Герца
~>0 pik!i
П =Р—р-, (9-2.1)
к
имеющий отличной от нуля лишь продольную составляющую
ifeR
Пг = П°=р—р—, р = р,=|р|, (9.2.2)
к
460
где R— расстояние от точки Р до точки наблюдения, не зави-
сящее в сфероидальных координатах от азимутального угла <р
I-— = 0 Рассмотрим сначала случай вытянутого сфероида.
\д<р '
->(D t
Пусть П = {О, О, П2| является электрическим вектором Герца
вторичного электромагнитного поля, рассеянного на сфероиде,
также не зависящим от угла <р (задача осесимметричная). Тогда
при помощи (1.2.13) можно установить, что в координатах вытя-
Рис. 55. Возбуждение вытянутого (а) и сплюснутого (б) сфероидов верти-
кальным диполем
нутого сфероида (1.5.40) составляющие результирующего электро-
магнитного поля выражаются через единственную отличную от
нуля азимутальную компоненту вектора магнитной напряжен-
ности формулами
£i= ‘
ko е
— t
ko Б
7йё^-к'(1-”2),'2ад
1 (9.2.3)
—
в которых /7Ф есть сумма составляющих щ> и соответственно
первичного поля диполя и вторичного поля, рассеянного на сфе-
роиде. Как показано в [40, 50], составляющая может быть
разложена в ряд по сфероидальным волновым функциям
4Л2р у» <т1п (с)
/(Й-1)'/2 £ ^(с)
Si„(c, ц) х
461
Е)^’(С, g0),
X j (с = kf) (9.2.4)
I Rin (с, g0) R$ (с, g), g0<g,
в котором Ео и т)о = 1 — координаты, определяющие положение
точки Р с диполем на оси Oz, с1п (с) = У (LtELL rf1/1 (с).
2 г—о,1 г'
Отыскание результирующего электромагнитного поля в рас-
сматриваемой задаче сводится к определению составляющей
вторичного поля. Составляющие Е%, вектора электрической
напряженности Е1 вторичного поля будут выражаться через
теми же соотношениями, что и (9.2.3). Поэтому если расписать
уравнение Максвелла rot Е1 = (7г0 рН(1) в сфероидальных коорди-
натах и затем исключить из полученного выражения для Hltf ком-
поненты Е[, Е1п, то в итоге получим дифференциальное уравнение
//'} + х
ds ___________
(9-2-5)
для функции Нф, являющееся, как это нетрудно заметить, урав-
нением Гельмгольца с азимутальным числом m=l. Следовательно,
в математической постановке задача состоит в отыскании одно-
значного решения уравнения Гельмгольца (9.2.5), удовлетворяю-
щего на поверхности сфероида при g = g° граничному условию
-Д- [(V- 1)1/2 I +0=0, (9.2.6)
которое получается из условия обращения в нуль тангенциаль-
ной составляющей £т; на сфероиде, и дополнительному условию
излучения на бесконечности. Решение задачи можно искать в виде
= g)Sln(c, n). (9.2.7)
/(So — •) “
п= 1
Тогда условие (9.2.6) будет удовлетворено, если в качестве коэф-
фициентов разложения взять выражения
а
п
О1П(с)
^1П(С)
Рлп (С, go)
[Vg02-! ^(c.g0)]'
(9.2.8)
462
Таким образом, для результирующего поля при
У Ап (с; So, g°) № (с, £)Sln(с, Tj), (9.2.9)
/(go-D'
где
Л (я Ео. W = -XT7Tx
Rln(.c)
X 7?(I)(c Е ) ^°2 1 ^1п ^с' 7?(,3)(с Еп)| (9 2 10)
х (с, go) - 1у^Тя(3)(С; £0)Г go)j- (9.2.10)
Если положить здесь Ео = Е°, то тогда
Л (с- =__________________i °1П (С)________________(9 2 11)
л ё 1} с/1^=л ад Г)Г (У-2-1и
В приближении волновой зоны
где
ЯФ = k2p W (0),
— ^,-tocose
Г с(Г2-1)’'2
х V(-f)M„(c, £°, g°)Sln(ccos0)
П=1
(9.2.12)
(9.2.13)
(а = г0 = R0). В электродинамическом смысле случай Ео = g°
эквивалентен случаю кольцеобразной симметричной излучающей
щели («магнитному кольцу»), прорезанной у полюса сфероида,
если радиус кольца мал в сравнении с длиной волны и размерами
сфероида. Функция №(0) является комплексной характеристикой
излучения такой щели (множителем ослабления электрического
вертикального диполя в присутствии вытянутого сфероида).
Воспользовавшись значением определителя Вронского для ра-
диальных сфероидальных функций, найдем, что при £0 > £° закон
распределения плотности поверхностных токов на поверхности
сфероида, наведенных полем приподнятого вертикального электри-
ческого диполя, будет задаваться формулой
- =_____________а>]/ецр1________ VI °ы(с) х
лГ(^о-1)1/2(^-1),/2 Nln(c)
У _________go)____________<? (с „) (9 2 14)
Х Г)]' "( П)‘ ( ’
463
Сопротивление излучения поля диполя при наличии сфероида
может быть вычислено по формуле (1.4.14), а величина Г — по
формуле (1.4.16), где в случае, когда электрический диполь на-
ходится на поверхности сфероида, полная мощность, излучаемая
сфероидальной антенной, равна (с0—скорость света)
С° |/ "е” V
Р ^P^-l)^ 1 A"(c’ (9-2.15)
Рассмотрим теперь случай сплюснутого сфероида. Замена
(9.2.16)
формально переводит вытянутую сфероидальную систему коорди-
нат (1.5.40) в сплюснутую сфероидальную систему координат
(1.5.48). При этом волновое уравнение Гельмгольца в системе
(1.5.40) переводится в волновое уравнение Гельмгольца в системе
(1.5.48) (параметр с волнового уравнения переходит в параметр
— ic). Поэтому любое решение волнового уравнения в вытянутой
сфероидальной системе координат и любая формула, справедливая
в этой системе, переходят в соответствующее решение волнового
уравнения или формулу в координатах сплюснутого сфероида при
замене (9.2.16) (замена, обратная (9.2.16), приводит к обратному).
Поэтому после замены (9.2.16) во всех полученных выше форму-
лах получится решение задачи о дифракции поля вертикального
электрического диполя на сплюснутом идеально проводящем сфе-
роиде. В частности, характеристика излучения сплюснутого сфе-
роида £ = |°, возбуждаемого находящимся в его полюсе верти-
кальным электрическим диполем, равна
. , /'ПГ 4e,/MCOs0
V Т с(Г + ir х
X £ (- 0" Ап (- ic, il°, i £°) Sln (- ic, cos 6). (9.2.17)
n=l
Переходя к пределу при £° -> 0 (сплюснутый сфероид переходит
в диск радиуса f), получим характеристику излучения бесконечно
тонкого идеально проводящего кругового диска, возбуждаемого
находящимся в его центре вертикальным электрическим диполем
464
<?!„ (~ *С)
E
e
' Nln(-ic)R^' (~ic, /0)
x Sln(—ic, cos 6).
(9.2.18)
Результаты вычисления функции W (6) для ряда значений пара-
метра с — kf приведены в [501-
Закон распределения плотности поверхностных токов, наве-
денных на поверхности идеально проводящего сплюснутого сфе-
роида полем вертикального электрического диполя, определяется
формулой
- =_______to|/вр, pi
" л/2(Й+l)l/2(g02 +1)1/2
y V Oi.,(—ic) fliiP (—ic, ig0)Sln(—ic, q)
^Nln(-ic) ^(-ic, i £<•)]'
(9.2.19)
которая в случае вырождения сфероида в круговой бесконечно
тонкий диск радиуса f переходит в
- и И гр, pi у Pin (—ic)
” л№2+1)1/2£? Mn(-ic)
(9-2-20)
Сопротивление излучения диполя при наличии сплюснутого сфе-
роида, в полюсе которого расположен диполь, находится по фор-
муле (1.4.14), где
- С° И в
Р = 4Л2р2 j) х
оО
x£M„(-ic, i£>, i^Nln(-ic),
(9.2.21)
п=1
а в случае диска
с0
Р = 4р2—
n=I
Г
(—ic)
^'(-ic, iO)
м„(—ic)
(9.2.22)
2 1
30. E. А. Иванов
465
§ 3
Поле горизонтального магнитного диполя
в присутствии вытянутого
(сплюснутого) сфероида
Рассмотрим теперь задачу о дифракции поля горизон-
тального магнитного диполя, находящегося в точке Р на оси вра-
щения сфероида и обладающего моментом ш, направленным
перпендикулярно ей (рис. 56). Предполагается, что сфероид
Рис. 56. Возбуждение вытянутого (а) и сплюснутого (б) сферои-
дов горизонтальным диполем
идеально проводящий и что момент m лежит в плоскости Oxz.
Поэтому для магнитного вектора Герца поля диполя
> *0
п
pikR
~R
= m
(9.3.1)
*0 *0
будет Пу = Пг = 0, а
«О
IIA. ----- m
eikR
m = mx.
(9.3.2)
Координаты точки P остаются прежними: £ = £0, т) = т)о = 1 (или
х = у = 0, z = Zi). Составляющая Пх , очевидно, не зависит от <р,
так как R = + 1 ± ц2)1/2. Первичное поле магнитного диполя
у *0
находится через П по формулам (1.2.17)
у *0
Е°= /7гс protll ,
у *0 *0 > *0
Н° = rot rot П = grad div IT + II •
(9.3.3)
466
у *
Если ввести в рассмотрение магнитный вектор Герца П резуль-
> » > #0 > *1 > *1
тирующего поля Е, Н и положить П = П + П , где П •— век-
тор Герца вторичного поля, то векторы Е, Н будут связаны
у *
с П соотношениями
у
Е= ik0 p,rot П ,
-+* (9-3.4)
H=rotrot П =graddiv П + &2П.
Искомой величиной здесь является вектор Герца П вторичного
поля. Его определением полностью решается задача. Ее решение
допускает ряд частных случаев, интересных с точки зрения их
приложений. Так, например, при удалении дипольного источника
на бесконечность получается решение задачи о дифракции плос-
кой электромагнитной волны на сфероиде, распространяющейся
вдоль оси вращения сфероида. В случае сплюснутого сфероида,
когда g0 = g° = О, из нее получается решение задачи об излу-
чающей элементарной щели, расположенной на диске в ее
центре и др.
Рассмотрим сначала случай вытянутого сфероида. В сферои-
*о
дальних координатах IL = т —g— = Ф° (g, т]). Вектор Герца
К
П первичного поля ищется в виде П = {Пх , О, П2 j, где в си-
лу симметрии должно быть Пх1=Ф1(£, т]) (ПГ не зависит от ф).
Составляющая П*1 представляется в виде П*1 =¥(g,i])cosip. Тогда
у *
составляющие вектора П полного поля окажутся равными
П* = Ф° (g, Tj) + Ф1 & ’i) = Ф (В’ п)>
= О,
(9.3.5)
П2 = Пг1= V (5, ’ n)c°S(p.
Так как декартовые прямоугольные составляющие Пл, IIZ век-
тора II* удовлетворяют однородному уравнению Гельмгольца, то
после перехода в нем к сфероидальным координатам ему будут
удовлетворять и функции Ф (Е, \) (с азимутальным числом т =
= 0), V (g, т)) (с азимутальным числом т = 1). Из (9.3.4) най-
дем, что в координатах вытянутого сфероида
[dip dg
зо*
467
(9.3.6)
ik о p
Г—(^п;)-^-^пв)
dft
(9.3.6)
где /г-, /zn, hq— метрические коэффициенты Ламе (1.5.41). Отсюда
следует, что на поверхности сфероида (при | = g°) должны вы-
полняться для любого I] и ср соотношения
пп = А(/1?п;),
<э<р д1
А-(Л11п;) = А(/г ПГ).
д-ц
(9.3.7)
На основании (1.5.43)
* / 1 _ ^2 \ 1/2 / Е2 1 \ 1/2
Щ ~ £ ------—— I СОЯфФ + 7] I -5-----j СОЗф¥,
А £2-т)2/ Ч S2 —'tfA
* I Е2—1 X1'2 I 1— т,2 W2
Щ = — Т] —-------) сойфФ + Н—--------Ь cos<p¥, (9.3.8)
\ & — т / \ г—п /
Пф = — sin фф.
Поэтому после подстановки (9.3.8) в (9.3.7) в качестве гранич-
ных условий для потенциальных функций Ф, ¥ получатся ра-
венства (при £ = £°)
П
¥ = 1А2 — 1 —
ds
д¥’
др
d¥ /1 —т]2 у/2
~ gU2-d
(9.3.9)
дФ / Е2 — 1 \!/2 дФ
---------Т1 I —---------- -------.
дт] \ 1 —if I
Таким образом в математической постановке задача для магнит-
ного горизонтального диполя сводится к отысканию потенциалов
Герца Ф(^, т]), ¥ (Ё., т]), удовлетворяющих уравнению Гельмгольца
с азимутальным числом т = 0 и т = 1 соответственно, гранич-
ному условию (9.3.9) и условию излучения на бесконечности.
Будем искать функции Фь ¥ в виде рядов
Фх (£, П) = 2ikm V ап (с, £) So„(с, q), (9.3.10)
л=0
468
*I'(g, xi) = 2ikm^nR™(c, ®Sln(c, n) (9.3.11)
n=l
по сфероидальным волновым функциям с азимутальными числами
т = 0ит-1 соответственно. На основании (5.4.1) потенциал
первичного поля Ф° может быть представлен рядом
Ф°(|, Т])= 2ikm У‘У ’х
X Я^’ (С, go) Я^> (с, В)SOn (с, ц). (9.3.12)
Хотя в граничных условиях (9.3.9) функции ф и ¥ и не разде-
ляются, эти условия можно использовать для нахождения коэф-
фициентов ап, рп. Подставляя в (9.3.9) разложения (9.3.10)—
(9.3.12) и умножая затем полученные равенства на SOm(c, rj)
(где/п-—любое целое неотрицательное число), найдем после интегри-
рования по от —1 до +1, что (члены с р0 следует всюду
опускать)
2 (“и + Р" ^тп) = 2 ^тп’
п=0 «=0
(9.3.13)
l(a„V„I„4-pfl^m„)=
n=0 п—0
где
Втп = - А„ (Г - I)1'2 Я^' (с, £°) 1'Г ,
ст„ = (?02-1)1/2я^'(с, ^)/г.
=—Я{^(С, |°)/Г, (9.3.14)
итп = —Ап {(Г - 1) R&y (с, |°) /г + ЯЙ’ (С, 1°) /Г!,
Vmn = (g02 - I) R(0»y (c, g°) IT + R® (c, g°) IT,
Wmn = - g° (g02 - 1)1/2 Я£г (c, 5°) IT +
^-(g02-l)1/2Я(l^)(c, g°)/r,
7^"= J SOn (c, T]) SOm (c, tj) d t] = NOn (c)
—i
(6nm — символ Кронекера),
i
IT = C Sln(c, T])SOni(C, n)dT), •
J V i — n
469
nS0„(c, t])SOm(c, т))сЦ,
—i
7Г= [(1 — v]2)So„(c, т])ХОт(с, т])сЦ,
—1
/5" = j VI — T)2Sln(c, p)S0,n(c, T))di],
—1
I™ = f T] V 1 — n2 si'n(c> n)som(c. n)d*)-
—1
Интегралы /1 — /6' и коэффициенты Cmn, Dmn, V Wmn си-
стемы (9.3.13) бесконечного числа линейных уравнений (относи-
тельно неизвестных а„, р„) совпадают по виду с приведенными
в [165]. Сама система (9.3.13) отличается от бесконечной системы
линейных уравнений, полученной в [165], лишь выражениями
Ап — коэффициента разложения потенциала первичного поля в ряд
по сфероидальным волновым функциям. Здесь
Ап = г Яоп (с Io). (9.3.15)
NOn (с)
При удалении диполя вдоль оси Oz на бесконечность (£о оо)
Ап = (- t)n+1 S°n(c’ ° eic^, (9.3.16)
с£оМ»„(с)
и в этом случае система (9.3.13) не отличается по существу от
системы (71), приведенной в [165].
Система (9.3.13) является системой 2m уравнений с 2п неиз-
вестными (т, п = 0, 1, ...). При ограничении области измене-
ния п, т некоторым числом N из нее получается конечная система
линейных уравнений для приближенных значений а„, рп, аппро-
ксимирующих точные значения аа, р„. Степень точности аппро-
ксимации, очевидно, будет возрастать с увеличением числа N
(в [166] при вычислении поперечного сечения рассеяния вытяну-
того сфероида автор ограничивался значениями п, т = 0, 1, 2, 3).
Первое из равенств в (9.3.13) можно записать в виде
00
«т -t- — S D-nn$n = (9.3.17)
^тт п=1 тт
470
Поэтому после исключения из второго равенства в (9.3.13) неиз-
вестного а„ при помощи (9.3.17), получится система уравнений,
содержащая только неизвестные р„.
Отысканием ап и рп заканчивается формальное решение задачи.
Составляющие электромагнитного поля находятся из (9.3.4) и
(9.3.8) и имеют вид
tA>psin<j> 1./Z2—т <ЭФ П 1
_ tfe0pcos<p_ | а _ + (9.3.18)
9 f(B2-n2)l ав
+ В(1 -УО-пЖ-1) И^7 -ч ’
дт] L d£ onJJ
COS®
(А [ /а-л2)(£2-1)
[дт]
1
£2-п2
V~n2
-1)^
dl
=^X
— T]2
дФ дФ
A 11 dn
дЧг
U-n2)^—
on /J
(9.3.19)
„ sin <p ( d d
л1 m ~~— у CZ
t dW
- -ф i,
V i —n2 'I
дФ , 1
— Yj-- ------x
dn /(l-n2)(?-D
dn / I
В приближении волновой зоны в сферических координатах г, 6, <р
о д г д d 1 d \
n~cose, — ——- • — бУдет
\ og dr дг\ sin0 об )
Eo = ik0 p. cos <p
dT
sin 0---------cos 6
dr
— k2 sin <рф.
Кроме того,
i / — г~— pikR
£»--У-гя’—*2]/-rraVx
(9.3.20)
X cos 6 cos <p ^i(O),
(9.3.21)
471
Г--- f--- ikR
= у -H-Hw = -fc2 у 4г m sin<p uza(6), (9.3.21)
где функции 1^(0), 1E2 (0) являются множителями ослабления,
учитывающими наличие в поле диполя сфероида. Они равны
со
(0) = 1 + 2е" (- i)" а„ so„ (с, cos 0) -
rz-0
со
-tg0^(-On₽„Sln(G cos0)|, (9.3.22)
п—1
00
UZ2(0) = 1 + 2ег“^(-Опа„50„(с, cos0)
п—О
(R=r — a cos 0, где а — расстояние от центра сфероида до диполя).
Распределение плотности поверхностных токов, наведенных на
вытянутом идеально проводящем сфероиде полем горизонтального
магнитного диполя, расположенного в точке z = а на оси Oz,
может быть найдено по формулам
- __ _£о г/
Л, ~Т~ >
1 4л
; _ С0 LJ
~ "ч 1
v 4л
(9.3.23)
h = 0.
где и определяются формулами (9.3.19) при значении
S = S°-
Если приблизить диполь к поверхности сфероида, устремляя
go к g°, то в пределе получится из формул (9.3.10) — (9.3.22)
решение задачи о поле излучающей элементарной щели, распо-
ложенной в полюсе т]о = 1, g = g° вытянутого идеально прово-
дящего сфероида g =g0.
Если удалять горизонтальный диполь от сфероида вдоль оси
Oz без изменения его ориентации в сторону положительных значе-
ний z, то при go оо, cg0оо из (9.3.10)—(9.3.22) получится
решение задачи о дифракции плоской электромагнитной волны
eikZl
----— >
Z1
с амплитудой
£ =/г2
Z1 — f So»
(9.3.24)
(9.3.25)
472
распространяющейся в направлении отрицательных значений z
вдоль оси Oz, на идеально проводящем вытянутом сфероиде £ —
= £°. В этом случае в (9.3.14) следует в качестве Ап брать вы-
ражение (9.3.16). Электрический вектор волны (9.3.24) поляризо-
ван в направлении положительных значений оси Оу. Поэтому при
вычислении радиолокационного поперечного сечения для вытяну-
того сфероида получится
ав =4riu7(°)i2 <9-3-26)
а2
I <р = — , 0 = О V где
\ 2 J
се
U7(0) = 2fe12(-i)"a.SOn(C, 1).
п=0
<Р
При вырождении вытянутых
в сферические координаты г,
сфероидальных координат Н, ц,
0, <р, когда f -> 0, g -» оо так,
Рис. 57. Возбуждение кру-
гового диска диполем
что T)->cos0, в пределе из (9.3.10) — (9.3.22) получится
решение задачи о поле горизонтального магнитного диполя, рас-
положенного над идеально проводящей сферой радиуса г = гв и
удаленного от центра сферы на расстояние а.
Если в формулах (9.3.10)— (9.3.22) сделать замену координат
вытянутого сфероида координатами сплюснутого сфероида по фор-
мулам (9.2.16), то в результате получится решение задачи о дифрак-
ции поля горизонтального магнитного диполя на идеально проводя-
щем сплюснутом сфероиде g=g°. Так как вырожденным случаем
сплюснутого сфероида является бесконечно тонкий круговой диск,
то в пределе при 0 из (9.3.10)—(9.3.22) после перехода
в этих формулах к координатам сплюснутого сфероида получится
решение задачи о дифракции электромагнитного поля на круговом
идеально проводящем диске радиуса f (рис. 57).
473
В координатах сплюснутого сфероида
Ф1 (£> n) = 2ikm У ап (Io) Ron (—ic, i £) 50я (— ic, tj),
п=О
T(g, т)) = 21km 2 ₽„(lo)$n (—IC« il)Sln(-ic, n),( 9.3.27)
n=l
Фоа, n) = 2ikm v -%(7гс: ° x
" NOn(-tc)
X Ron (—ic, i^o)Ron(—ic, iV)SOn( ic, П)
(для удобства в дальнейшем коэффициенты рядов ап и 0„, зави-
сящие от g0, обозначены как функции параметра ge).
Рассмотрим подробнее случай g° = 0. При g° = 0 граничные
условия (9.3.9) запишутся в виде
п д Ф
— — цг ==-----
V 1 —Т]2 ’
dT _ 1 дФ
дт] ]/ 1 — v2 3g ’
откуда после исключения из
g° =0, — 1<т)< 1, (9.3.28)
„ дФ
второго равенства производной
получим
ЙТ
дт]
71 Y, g° = 0.
1 —7]2
Интегрируя это равенство по т], находим, что
Т = (1 — ti2)1/2C, (9.3.29)
где С — произвольная постоянная интегрирования. На основании
(9.3.29) из первого равенства в (9.3.28) для функции Ф получается
=7) С.. (9.3.30)
Таким образом, в координатах сплюснутого сфероида при g° = 0
граничные условия для потенциальных функций ф и Т разде-
ляются и принимают вид
ЙФ „
----= Tj С,
Y =(1—п2)1/2С,
ё° = о.
(9.3.31)
474
Постоянная интегрирования С определяется из дополнительных
условий, в качестве которых при £0 =£ 0 можно взять условия
Мейкснера на ребре диска (| = 0, ц = 0). Для этого достаточно
потребовать, чтобы радиальная составляющая вектора плотности
полного поверхностного тока, наведенного на диске, обращалась
в нуль на ребре диска. В математической формулировке условия
Мейкснера можно записать в виде
К
6=о
—0
-ЛИ
I г]=+о)
(9.3.32)
Условия (9.3.31), (9.3.32) дают возможность найти точные выра-
жения коэффициентов а„(Ы> Рл(£о), имеющие замкнутую форму.
Так, после подстановки (9.3.27) в (9.3.31) при помощи свойства
ортогональности угловых сфероидальных функций получим
ап(£о) =
SOn(—tc, 1)/?оп* (—ic, t'O)
NOn(— г’с)Ron (—ic, i0)
Ron (—ic, i £0) +
________(fin(-ic)C__________
3ikmNOn (— ic) R$y (— ic, iO)
________2dpn(—tc)C__________
3ikmNln(—ic)Rin} (—ic, i’O)
(9.3.33)
Из свойств функций Smn, Rmn и их производных, а также из
свойств коэффициентов вытекает, что
ап = 0, = 0 при п = 0, 2, ... (9.3.34)
Следовательно, в (9.3.27) ряды для функций фг и V суммируются
только по нечетным номерам п.
После повторения рассуждений, подобных приведенным в [50]
(стр. 157—158), из (9.3.32) получается соотношение
2 ап (Ы Ron (- ic, i0) S'n (- ic, 0) =
л={, 3...
= 2 0), (9.3.35)
п=1, 3...
из которого и определяется при £,в =/= 0 постоянная С. Подставив
в (9.3.35) выражения (9.3.33), находим, что
с ^MULc^lo), (9.3.36)
с
где
С1 (£о) — S1 (^е)/[53 S3],
475
a
S1(g0) = 2 ( iC’ -L) ?£} ( iC’ 1 s'on (- ic, 0),
п^з,... NOn(—ic)R^ (—ic, lO)
У dT(-ic)R^(-ic, iQ),
Ss “.0) Sm{-‘c’0)’ (9'3'37)
S, —2 S l0> (- ic, 0).
„=13,... Nla(-ic)R^(-ic, lO)
Тем самым полностью решена задача о поле горизонтального
магнитного диполя, расположенного в точке g = |0 оси Oz над
диском (go ф 0). В волновой зоне в сферических координатах г,
0, <р приближенно
/----р'7г^
= —A2m 1 / —-------=— cos0cos<p W\(0),
* 6 _ (9.3.38)
= — k2 m 1 f ~sin <p W2 (0),
J/ e R
где R = r — a cos 0 (a — расстояние от центра диска до диполя),
W’j (6) = 1 — 2e№ocos0 / Ц о„ (g0) So„ (—tc, cos 0) —
{«=1,3,...
iC, (g0) Vac/- cn
-----7 b„SOn(—ic, cos0) —
r
b «=1,3....
£ cSU-.ic.cose)),
^2(0) = 1 + 2elkacose| — J] an(g0) So„(— ic, cos 0) +- (9.3.39)
' «=1,3....
+ V bnSOr(— ic, cos 0)1.
3 C „=1.3.... ' J
S0„(-ic, 1) R&y(-ic, i0)R$(-ic, igo)
= ---1 ------------ ----------7БТ?--------; 9
NOn(-ic) .R$(-ic,i0)
476
Г Ьп = in dl ( , (9.3.40)
>3 ft •Г NOn(—ic) R^ {—ic, iO) c _ р 2dp ( ic) n Nln{-ic)Ri^{-ic, tO) ’ a C\(Sp) находится из (9.3.36). Распределение плотности поверхностных токов, наведенных на
и V диске, можно найти по формулам (9.3.23), в которых при g° = 0 _ cos <р [ 1 д Ф 1 — tf д2 Ф 4 1 Л2 д'г1 Л 6 л2
J _ V 1—rf dW V 1 — т]2 7j2 д g т) Х д2Т 1 х—— й2т]Ф , (9.3.41)
•’3 д£дт] ) £=£о=о г, . ( — 1 дФ ,
м . 7 Н„ = —sin <р { Н 1 f2 т] дт] 1 дТ 1 Ч й2ф} . (9.3.42) ГлИ~Л2 j^o При удалении диполя от поверхности диска вдоль оси Oz в ее положительном направлении (go-*00, cg0-*oo) из (9.3.27) — (9.3.42) получается решение задачи о дифракции плоской электро- магнитной волны (9.3.24), (9.3.25), распространяющейся в отри- цательном направлении оси Oz, на бесконечно тонком идеально проводящем круговом диске радиуса р = f. Для такого случая в приближении волновой зоны составляющие вторичного поля, рассеянного на диске, будут определяться выражениями Е’ф = — cos 0 cos Ф (0)> / ~ii~ pikr E\ = = E-^— sintp №a(0), (9.3.43) в которых ф ~ , 1 2 lC’ COS 0) + + ~ 2 6„S0„(—ic, COS0) + C n=l,3,...
477
+ —tg6- cnSiA— ic> cos 0)1,
C n—1,3,... *
^2(e)=4~ I X G„SOn(— ic, COS 0) +
k L=i,3,...
+ — У b„S0„(— ic, cos0)|,
c J
где
(9.3.44)
- = . SOn(—ic, V)R№'(-ic, t'O)
" NOn(-ic)R^r (-ic, iO)
(9.3.45)
a bn и c„, как и в (9.3.40). Здесь С1 = С1(со) и находится из
(9.3.36), (9.3.37), в которых
Si= X in
п=1,3,...
SOn(—ic, l)Son(—ic, 0)
NOn (— ic) Run’ (— ic, t’O)
В силу указанного раньше характера поляризации вектора элект-
рической напряженности плоской волны радиолокационное попе-
речное сечение для бесконечно тонкого идеально проводящего
кругового диска радиуса f, вычисленное по формуле (1.4.6), бу-
дет равно [0=0, (р =
где
«fi = yR0)l2-
(9.3.46)
Г(0) = 2 2 [~Ьп+ап
„=1,3,..Д с
son(—ic,
О-
Двухпозиционное поперечное сечение рассеяния для диска может
быть вычислено по формуле
о = {cos2 0cos2q> I (0) j2 + sin2 <p | IT2(0)|2}, (9.3.47)
k2
где 0 и <p берутся в направлении на приемник рассеянного поля,
Г1, 2 = Ж, 2.
В плоскости 0 =----- будет о = 0, так как в волновой зоне
2
JT
плоскости 0 = , в которой расположен диск, вторичное поле
равно нулю (в рассматриваемом приближении).
478
Полученное ранее решение задачи о дифракции плоской элек-
тромагнитной волны можно использовать для определения посто-
янной С в случае, когда горизонтальный диполь будет рас.
положен на поверхности диска в его центре (£° = g0 = 0, т)0 = 1).
Положим в (9.3.27) —(9.3.31), (9.3.33) и (9.3.38)— (9.3.42)
go = g° = 0. Для такого случая в (9.3.27)
(0) = i)-d?"(-fc)Ci(Q)i
cNOll (—ic)R^n' (— ic, i0)
n=l, 3, ... (9.3.48)
В = -^"(-/рсдо)
Ра cNln(-ic)R^(-ic, Ю)’
Однако постоянную интегрирования СДО), входящую в (9.3.48),
Рис. 58. К теореме
взаимности в задаче
о дифракции поля
диполя на диске
уже нельзя определить из (9.3.35), так как при подстановке
в (9.3.35) выражений (9.3.48) будет расходиться ряд S1(g0) при
go = 0. Для отыскания постоянной С в данном случае целесооб-
разно воспользоваться теоремой взаимности (1.3.14) для магнит-
ных диполей. Предположим, что в точках с координатами g=0,
т) = 1 и 02 с координатами g = + оо, tj = 1 находятся магнит-
ные диполи с равными моментами «щ = т2 = т, направленными
в сторону положительных значений х параллельно оси Ох (рис. 58).
Тогда из теоремы (1.3.14) последует, что
«5.ИОДЦ (9.3.49)
479
где Н\_ ф—вторичное магнитное поле диполя, расположенного
в центре диска, в волновой зоне в направлении оси Oz, а Н^ ф—
вторичное поле плоской волны, приходящей в центр диска (в точку
6 = 0, |=0) из бесконечности в направлении отрицательных
значений z.
Составляющая вторичного поля диполя, расположенного
в центре диска и ориентированного вдоль оси Ох, в волновой
зоне в сферических координатах определяется формулой
. //' =_ A,2m_£_Lu7(e)sin<p, (9.3.50)
где при 6 = 0
№(0) = -2 V inan(0)So„(-fc, 1).
п=1, 3,...
Составляющая вторичного поля плоской волны в любой
точке задается выражением
( I Г. ЗФ1
На, = — sin О> {------ 5--------
дФ1 1 ______________1____________
дт] J + О
^•1(1 +52)
0У
dt,
+ U1-92)
ЗУ '
дт]
У^Ф1
Поэтому в центре диска при значениях ц = 1, <р = •----, £ =
= = 0, будет
с
Dsinq>,
(9.3.51)
где
Н? = — 2i
(— 1’0) sin (— ic, 1) +
— S inc„R$y (—ic, z'O)oln(— ic) —
C n=l,3,...
n=l, 3,...
an+ — 6„1 (- ic, i0)SOn (- ic, 1)1. (9.3.52)
c I J
480
Здесь ап, bn, сп определяются формулами (9.3.40), (9.3.45), Сг =
— (оо), а
а1п (— ic) = lim гс’ =
= — lim (1 — т]2)1/2 ~ Sln (— ic, г)) =
'.-1 UT]
ОО
= 4" S (r +- l)(r + 2)d/"(-ic). (9.3.53)
r=0, 1
Если записать функцию W (0) из (9.3.50) в виде
2i
U7(0)=--------(Л —^(0)5), (9.3.54)
с
где
Д — У jn ^0п( гС> 1)
л=1,з,... ЛоД—ic)Ron (—ic, iO)
(9.3.5b)
в= У „ d?n(-ic)SOn(-ic,l)
п=1,з,... NOn(—ic)R$ (—ic, iO)’
то после подстановки (9.3.50) и (9.3.51) в (9.3.49) получим для
вычисления С((0) выражение
С1(0)=(£> + А)/В. (9.3.56)
Тем самым полностью определяются коэффициенты (9.3.48) рядов
(9.3.27), представляющих при значениях |° = |0= 0 дифракцион-
ное поле магнитного диполя, лежащего на диске в его центре и
направленного вдоль оси Ох. В электродинамическом смысле этот
случай, как уже отмечалось, отвечает задаче о поле излучения
односторонней элементарной щели, расположенной на поверхности
идеально проводящего кругового диска радиуса f в его центре.
Комплексные характеристики излучения такой щели, т. е. функ-
ции U^i (6), Uz2(0), можно рассчитать по формулам (9.3.38) —
(9.3.40), если положить там = 0 и взять C'i(O) из (9.3.56).
Кроме того, в формулах (9.3.39) следует положить а = 0.
С некоторыми результатами численного счета комплексных
характеристик излучения односторонней щели на диске можно
познакомиться, например, в [50].
§ 4
Наклонное падение плоской волны
на круглый диск
Как только что было показано, решение задачи о рас-
сеянии плоской электромагнитной волны на бесконечно тонком
31 Е. А. Иванов
481
идеально проводящем круговом диске при нормальном падении
ее на диск (волна распространяется вдоль оси Диска) может быть
получено в качестве частного из решения задачи о дифракции
поля горизонтального магнитного диполя на таком диске. В коор-
динатах сплюснутого сфероида р, с фокусным расстоянием
f — а (а — радиус диска) можно решить методом разделения
Рис. 59. Дифракция плоской волны при наклонном падении на диск.
переменных и задачу о рассеянии плоской электромагнитной волны
при наклонном падении ее на диск [48, 167J.
Пусть падающая волна
Ео = Ге«(пг)> (941)
Со
с амплитудой Е = | Е' |, Е = const, распространяется в направле-
нии единичного вектора п, образующего угол а с положительным
направлением оси Oz (ось Oz является осью диска, центр которого
совпадает с началом координат (рис. 59). Пусть, кроме того,
координатная плоскость Oxz параллельна вектору п и волна
(9.4.1) поляризована так, что вектор Е°
1) параллелен плоскости Oxz,
2) перпендикулярен плоскости Oxz (очевидно, что решение
задачи при произвольной ориентации вектора Е° относительно пло-
скости Oxz может быть получено из решений задач для случаев
1, 2). В обоих случаях
(пг) = — xsinct + zcosa.
Если Е° | пл. Oxz, тогда
Е° =Е[0, ¥, 0},
(9.4.2)
482
H°= — £{ —Ycosa, 0, — Ysina},
(9.4.2)
а если Е° || пл. Oxz, тогда
E° = £{4rcosa, 0, ’Psina},
Н°= I/ — £ {О, V, 0),
|/ р.
где
е«7г(пг)
(9.4.3)
(9.4.4)
Указанным случаям поляризации волны (9.4.1) соответствуют
электрические векторы Герца
_>о р
п=—(О, 0) (9.4.5)
И
_>0 £
п =------------(V, 0, 0). (9.4.6)
kr cos a
Ставится задача отыскать вторичное электромагнитное поле
Е1, Н1, рассеянное на диске. Для ее решения вводится в рассмо-
—>1 1 1
трение вектор Герца П = {11*, П , 0), параллельный плоскости
Оху. Тогда полное электромагнитное поле найдется через вектор
Герца П = П + П полного поля из соотношений
Е = grad div П + k1 П,
(9.4.7)
Н = —ikot:rot П,
где Щ = 0 в первом из случаев поляризации волны и 11^ = 0
во втором случае.
В математической постановке эта задача состоит в нахожде-
нии решений уравнения Гельмгольца
АП1.„ + ^П1.„ = О,
удовлетворяющих на поверхности и ребре диска заданным гра-
ничным условиям и дополнительному условию излучения на бес-
конечности. Граничные условия для искомых функций III и
получаются, как обычно, из требования обращения в нуль танген-
циальных составляющих вектора Е полного поля на поверхности
диска. В общем случае в декартовых прямоугольных координатах
3|* 483
(9.4.8)
где
(9.4.9)
Поэтому граничные условия запишутся в виде
1 дФ = 1 дФ
k2 ' дх ’ У k2 ’ ду
АФ +&2Ф = 0,
g=0. (9.4.10)
д
д£
д -
д-ц
В координатах сплюснутого сфероида условия Мейкснера запи-
шутся в виде
(П} cos ср IlJ, sin q>) = 0, 5 = т] = 0 (9.4.11)
(условию (9.4.11) автоматически удовлетворяет первичное поле).
•—
Для решения задачи представим вектор Герца П вторич-
ного поля в виде суммы двух векторов
П^Щ+Пг (9.4.12)
(рассеянное поле ищется в виде наложения двух частных полей,
.—
одно из которых определяется через вектор II х, а второе — че-
.—
рез вектор П2) и потребуем, чтобы на поверхности диска вектор
И, удовлетворял условию
->о ->
п + П! = 0, 5 = 0 (9.4.13)
(в результате условию (9.4.10) будет удовлетворять только век-
тор П2).
На основании (5.5.5) и (9.2.17) функции П° и IlJJ в коор-
динатах сплюснутого сфероида можно записать в виде рядов
П$ = 0, .
484
п£ =
со п
2Е ул yi i"
S,nn (— cos а) X
*Smn(-ic, n)R$U-ic,
(вектор Е°_1_пл.Охг) и
п£ = о,
A2 cos a ~m^nNmn(-ic)
(9.4.14)
'Xsmn(— ic, cos a)Smn(—ic, tj)(— ic, ig)e‘mQ> (9.4.15)
(вектор E° || пл. Oxz) соответственно. Поэтому если искать век-
.—
тор П1 в виде
П1.х = О, (9.4.16)
со п
Щ. у = Е , omnl?|m|n( ic, iQSmn(—ic,‘fi)emcp
n—0 m——n
или в виде
Пх, у = О,
„ п (9-4.17)
П1, х = Е bmn ( ic, i Q Smn (— ic, r]) e 41
в зависимости от рассматриваемого случая поляризации волны
(9.4.1), то из (9.4.13) получим
1 _ 2in Sm„(—ic, cosa)R^t„(—ic, iO)
umn— —"—— ‘ v......... /V\ ——— l У.et. lol
k Nmn(—ic)R\^n(—ic, iO)
либо
b1^ - 2/П • S^—ic' со5а)7?Щ„(—ic, iO)
k2 cos a Nmn (— ic) R$]n (—ic, iO)
соответственно. Тем самым вектор IIj определен.
Будем искать вектор П2 в виде ряда
П2. х = о,
со „ . (9-4.20)
П2,!/ = £'У 2 °^«Я|т|П(— ic, i£)Smn(— ic, T])e"nQ>
п—0 m——n
485
или
П21 у — О,
СО п
П2,х = Е^ 2 b2mnR^n(-ic,il)Smn(-ic,^eimv.
n=0 т=—п
(9.4.21)
Для определения коэффициентов разложений представим функ-
цию Ф в виде ряда по бесселевым функциям
Ф (р, <р) = Е V cmJm(k р) eimf
т=—со
(9.4.22)
(на поверхности диска функция Ф является решением уравнения
Гельмгольца (9.4.10)), где р и ср — полярные координаты с нача-
лом в центре диска. Так как
д д sin m д
= COS <р - • - ,
дх---------------------------др р-дер
д . д cos го д
----- sin ср 1-— •--,
ду---------------------------др р 5<р
то после подстановки (9.4.22) в первые два равенства в (9.4.10)
на основании рекуррентного соотношения
Jm(x) + ~^—Jm(x) = ± Jm,i(x)
X
для бесселевых функций будем иметь
СО
S (cm+1 + Cm^Jm(kp)eimv (9.4.23)
ГП——tt>
ИЛИ
00
П2,х = ^- S (9.4.24)
т~—оо
соответственно рассматриваемому случаю поляризации поля (9.4.1).
Так как
Jm(kp) = 2 У r-m S-L 'c’ °)
П=11П]
Nmn(— '£)
X Smn (— <C> П) (— IC, I g),
(9.4.25)
486
то после подстановки (9.4.25) в (9.4.23) или (9.4.24) и сравне-
ния получаемого при этом результата с (9.4.20) или (9.4.21)
получим, что
Пдал — in m+1 к (cm+1 -|- Cm—1) X
или
R\m\n{—tC, t'O)
N,nn(-ic)R\^n(-ic, iO)
smn(— ic, 0)
(9.4.26)
Ьтп — in m k(Cm+1 Cm—j) X
R\mln(—ic, t'O)
Nmn(— ic)R\m\n(-~ IC, Ю)
Smn(—ic, 0).
(9.4.27)
Таким образом, отыскание вектора П2 сводится к определению
коэффициентов ст разложения функции Ф в ряд (9.4.22). Из
(9.4.18), (9.4.19), (9.4.26), (9.4.27) сразу же вытекает, что
= —0, если (и — т) нечетное. (9.4.28)
Из условия Мейкснера, примененного к составляющим 11} или Пу
вектора (9.4.12) полного рассеянного поля, находим, что
где
cm+i + cm_i =-----п—
Вт
(9.4.29)
ОО
Ат ~ атп R\rn\n (. — ic, itySmn(—ic, 0),
n=)m|
Bm = ik £ in~m , lC\0) Rimi'n(—ic, iO) (9-4.30)
или
cm+l cm—1 —
iAm
cos a Bm
(9.4.31)
где Am и Bm определены, как и в (9.4.29). В результате
а2тп = —in-^+1 k —lc’ tQ)Smn( lc> Q) (9 4 32)
Bm Rmn ( ic) R lm\n ( ic, t'O)
ИЛИ
h2 ____ ;n—m+i A Am R(mln ( ic, t'O) Smn ( ic, 0)
^mn — — ;------------------------------Tor ; —
cos cc Bm Nrnn ( tc) Rjmin ( ic, iO)
(9.4.33)
487
соответственно тому или другому случаю поляризации волны
—> 1
(9.4.1). Тем самым полностью определяется вектор Герца П вто-
ричного поля, рассеянного на диске при наклонном падении на
него волны (9.4.1). В координатах сплюснутого сфероида состав-
ляющие рассеянного электромагнитного поля выражаются через
П1 и Пу формулами’
£. Td-figi 1) а
0'(?+ча),я
, ап! ,2 ,/
аЧ^ + т]2)!? д£ 11 dr] ) k 5Ш(рПх
Г1-П2
В2 + я2
2 cos (рПх
pi _ — sin ср
-—
, ffepESintp ( | гг1
1 СНТЧРТ+Т *
(9.4.34)
1 я2п>
_ ^ое V(l-il2)a2 + 1)
a(£2 + il2)
cos ср
П
У1-Т*
x (К i +12 п^) -
(V i-п2О
В
V i + %
в случае, если Е° || пл. Oxz, и
pl + У
71 a2(g2+ii2),/2
sin ф
д ।
dr] I £2 + т)2
[Еапр_
1
0П‘
dr]
2 sin <р Пу ,
4
— cos <р
а2(£2 + п2)
( ап* М \
V 1 di] )
+ k2 cos ср Пу,
! — ik0 Е COS ср
11 = a(fe2 + ^2)1/2
X j г __ П’---— (V TTFП*) I,
I Гв2+ 1 I
(9.4.35)
488
НЪ =
tfeoeK(l — if) (%2 + 1)
а (g2 + if)
X ~(К1 +Е’ nJ)
•/-(/ 1-ч'п;)}
Oil J
в случае, если Е° I пл. Oxz.
Для полного рассеянного поля
п} = Е у у ₽mn С>|„ (- ic, i g) Smn (- ic, 11) eimf (9.4.36)
n—0 m=—n
И
= E у у a,„„ /?$„ (- ic, i g) Smn (- ic, 7j) eimtp (9.4.37)
jm
n=0 m=—n
соответственно, где
Pm.n = Ьтп Ьтп “
I 2 i1—m kA
= — S,m(~ ic’ cos «) H-----%—— Smn (— ic, 0) x
x------'"^4 tc’ t0)-------> (9-4
Nmn(— zc)/?$„(— ic, tO)cosa
__ 1 , 2 _
— ®-mn i
= — (smn (— ic, cos a) + 1 Bk^m Smn (— ic, 0) j X
X tn ic, Ю) .
Nmn ( ic) ( ici i0)
В частности, при a = 0, когда волна распространяется вдоль оси
диска в направлении положительных значений г,
1,2 _ <1,2 _ п
^тп — Ощп —
если т 0 и тогда amn — |3mn = 0, если т 0, а
«On
/ 2
I “77 Son ( ic, 1)+
I
ikA0
SOn(—ic, 0)
inRon(—ic, t'0)
N0n(—ic)Eon\~ic, iO) ’
(9.4.40)
Pon O(>n-
489
В этом случае II* = Пу.
В общем случае в приближении волновой зоны
= — Ek cos 0 cos ф — Sj (0, ф),
(9.4.41)
/ п pikr
^ = - У = - Ek sinip -^-Si (0, у),
если Е° || пл. Oxz, где
«1(6, ф) = 2 £ (-0"Рт„5,;1п(-щ, cos 0) е""4’, (9.4.42)
и=0 т——п
И ____
Е\ = |/ = — Ek cos 0 sin <р е.^ Х2 (0, ф),
(9.4.43)
/г р^г
£ф = — 1/ ~ = Ей cosф S2(0, ф),
f Е It*
если EUJ_ пл. Oxz, где
$2(0, ф) = У У (- /у атпsmn(-ic, cos 0) е‘т*. (9.4.44)
п=0 т=—п
Величина поперечного сечения обратного рассеяния для диска при
наклонном падении плоской волны вычисляется по формуле
ов = 4лй2|51(л—a, 0)|2cos2a (9.4.45)
или соответственно рассматриваемым случаям поляризации падаю-
щей волны по формуле
вв = 4л й2 |32 (л — а, 0) |2. (9-4.46)
Распределение плотности поверхностных токов, наведенных на
диске, может быть найдено из выражений
Ес01 / cos ф
i =_______________________ф-
п 2л с2 ф cos a
Р п . (9-4-47)
Ес0 V -----51ПФ
; =_________*___Е-------фг
2л с2 ф cos a
490
или
А)
|/ --sinq>
ГР пг
2л с2 ц
Ар
/ — COS<P
r Н__________пг
2я с2 т] ’
(9.4.48)
где
W =Ф:
гй4о _
-----ф.
2 ‘
'2,
а
ф, = V У .<"S„,(-ic,cos<,)S„„(-,-c. т,) £,„
Л',„.(-<С)«|„(-<С, ГО)
ф = VV r~m+' S^n (~^ 0) (—ic, t'0) Smn (-ic, T])
2 ^^±-n Nmn(-ic)BmR^n(-ic, iO)
Заметим, что метод, примененный к решению задачи о наклон-
ном падении плоской электромагнитной волны на диск, может
быть распространен и на случай дипольного источника первичного
поля, расположенного в любой точке пространства, если таким
источником будет электрический диполь с моментом р, парал-
лельным плоскости Oxz, в которой расположен диск.
§ 5
Поле вертикального электрического диполя
в присутствии двух соосных сфероидов
Пусть два вытянутых идеально проводящих сфероида
с различными фокусными расстояниями и f+1 и с общей
осью вращения расположены в однородном изотропном неограни-
ченном пространстве с константами е, р и о=0 так, как это по-
казано на рис. 60. Центры сфероидов приняты за начала локаль-
ных декартовых координат xs, ys, zs, s = + 1, и связанных
с ними соотношениями (1.5.40) локальных координат вытяну-
того сфероида Ц, rjg, <pg = <р, s= + 1. Расстояние между цент-
рами сфероидов равно I (предполагается, что сфероиды не касаются
ДРУГ друга). В локальных сфероидальных координатах поверхно-
сти сфероидов задаются уравнениями и=В-ь В+1 = 1+1- Пусть,
кроме того, в некоторой точке Р оси z находится элементарный
491
электрический диполь с моментом р, направленным вдоль оси Oz
в положительном направлении ее. Тогда для первичного поля
—о eikR
П=р-~ь—, где р = {0, 0, р\, (9.5.1)
gift/?
~1Г
а П° = р
не зависит от угла ср (первичное поле Е°, Н° ди-
поля симметрично относительно оси Oz). Очевидно, что тогда и
(1,4,ч>)
Рис. 60. Возбуждение двух соосных
сфероидов вертикальным диполем
(9.5.2)
вторичное поле Е1, Н1, обусловленное наличием в пространстве
сфероидов, также не будет зависеть от <р. Поэтому полное поле
определится векторами
Е = (Eg, Еп, 0},
Н = {0, 0,
где Е^ = £“ + Е% = Eg + Eg , Н,. = Н'^ + Н19 (предполага-
ется, что (9.5.2) записаны в одной из координатных систем).
Из первого уравнения системы Максвелла, как и в случае
одного сфероида, следует, что обе отличные от нуля составляющие
Eg, Еп вектора Е определяются через формулами (9.2.3)
492
(9'5'3)
— >'л/— ,
(9-5-4)
Пользуясь вторым уравнением системы Максвелла, устанавливаем,
что функция f/ф должна быть решением уравнения Гельмгольца
(9.2.5) с азимутальным числом т = 1. В результате задача по
отысканию дифракционного поля в математической постановке
сводится к нахождению однозначного решения Н^, уравнения
(9.2.5), удовлетворяющего в сумме с на поверхности каж-
дого сфероида граничному условию
/-[(Й-1)1/2/Ш 0 = 0, s=±l, (9.5.5)
Ogs Ss 6s
и дополнительному условию излучения на бесконечности. В коор-
динатах s-ro сфероида функция представляется (см. (9.2.4))
разложением
= 4 k*P У Qi»(cs) v
* MBos-l),/2 " NM
x sin (cs, T]g) ( R^(Cs’ U R^(Cs’ (9.5.6)
l^(cs, ;Os)^(cs, U, £os<U
{c n
где olr. (cs) = lim —1'-’2 1’2 > a чеРез |os, 7jos обозначены
4-ftos=±i (1 —iqs) '
сфероидальные координаты точки P с диполем в локальных коор-
динатах s-ro сфероида.
Функцию Ну ищем в виде суммы
(9-5.7)
s=±l
где
Ws = V < (cs, U Sln(с8, ns) (9.5.8)
n=l
приписывается вторичному полю, обусловлен нону s-м сфероидом.
Коэффициенты разложений определяются из граничных усло-
вий (9.5.5) при помощи теоремы сложения (5.5.18), которая за-
пишется в виде
493
Rin(c_s,t_s)Sln(c_s, tj_s) =
= 2 c-- Z> 0-»X(‘8- Bs)Slffl(Cs, tJ, (9.5.9)
m—1
где Qlmi„ определяется формулой (5.5.10). Здесь 0_lp i = 0,
6+i.-i =л. Произведя замену неизвестных а„ неизвестными Л„
по формуле
an=n[z\(cs, £)]'£,
1*«Г = -7Г К£2 ~ lw.- i = h 3. (9-5.10)
a g 45
и применяя (9.5.9), получим из (9.5.5) бесконечную систему ли-
нейных уравнений
<+£aUs’sM-==£, (9.5.11)
т— 1
и = 1, 2, s = + 1,
в которой
(-S. s) = m . [z^(c_g, fels)]' л , . Q ц , 9.
mn гДЗ)/ -O\v Qlnlm (CS> С—s’ 9-g, s), (9.5.12)
п \Ап \CS, ^sll
fs __________4О1„ (cs)____ j?in (c8, gos) _ ....
A(^-i),/2nA/ln(Cs) ’ [z<3,K.
Бесконечномерный определитель системы (9.5.11) можно записать
в форме, подобной (6-3.23), а именно
1 ан 0 012 0 013 0 ай 0 015 •• •
aft 1 аЙ 0 аЙ 0 аЙ 0 015 0
0 а2| 1 а22 0 023 0 ай 0 ай • • •
«21 0 022 1 023 0 аЙ 0 аЙ 0
0 ом 0 аз2 1 Озз 0 ай 0 азз •••
aft 0 аЙ 0 аЙ 1 ай 0 аЙ 0 •••
0 ай 0 ай 0 ай 1 ай 0 ай • • •
aft 0 аЙ 0 „+ 043 0 ай 1 ай 0 •••
0 аЙ 0 ай 0 053 0 054 1 055 ’ ’ '
aft 0 ай 0 аЙ 0 Os5 0 аЙ 1
я „+ _„(+!.-о
Umn — » <1 ^тп — и-тп
494
где
Если ввести обозначения
г — А •+* f • — F1-1
Л2,—1 — , /21—1 — II >
= AT1, f2i = fTl, i, j = 1, 2, ...,
C2/-1,2/ = «‘Г1’ +1>. c2i. 2/_1 = a'/1’ -° (9.5.14)
и положить c2i_b oj-t = 0, c2i, 2/ = 0, то система (9.5.11) запи-
шется в нормальной форме:
xi+ ^CijXj =fit i = l, 2, ... (9.5.15)
/=1
Система (9.5.11) обладает теми же свойствами, что и, например,
системы (7.3.9), (7.3.10) при т — 1 в задаче для двух сфер. Ее
матричные элементы Сц удовлетворяют условию (1.9.19), а пра-
вые части—условию (1.9.20). Система (9.5.11) единственным
образом разрешима при условии, что сфероиды не касаются друг
друга, причем ее решение может быть найдено методом усечения
ОО
и оно будет удовлетворять условию | х; |2 < оо. Определением
1=1
коэффициентов рядов (9.5.7), (9.5.8), удовлетворяющих только
что указанному условию, решается математическая задача, сфор-
мулированная ранее для функции . Составляющие Е[, Е^ элек-
трического поля могут быть найдены через Hlv из (9.5.3), (9.5.4)-
В приближении волновой зоны
= V — Р sin 0 W (0)> (В 9 * * * *-5-16)
у £ -*\
где функция W (0) — множитель ослабления поля диполя, учи-
тывающий наличие в нем двух соосных идеально проводящих
вытянутых сфероидов, задается выражением
VP' (0) — 1 1 еШ°р СЮ 6 е~~iskl«cos ° ч
k
S=:
,s Si„(Ce, COS0)
sinO
П=1
Zo = Z/2.
(9.5.17)
В (9.5.16) R = r — ZOpcos0, где lOp—расстояние от точки О
(начала координатной системы Oxyz) до диполя. Формулы
(9.5.16), (9.5.17) записаны в сферических координатах г, 0, <р
с началом в точке О, лежащей на оси симметрии сфероидов по-
середине между ними (координатные оси систем Oxyz и Osxsyszs,
, 495
s — ± 1, одинаково направлены, причем ось Oz совпадает с осями
0szs, s = + 1). В ближней зоне дифракционное поле может быть
изучено при помощи формулы
=kip i;пА-1(cs’ £°>1' (cs* и -
П=1
-^(cs, Es)[z„(cs, ^)]'}Sln(cs, ns) (9.5.18)
записанной в локальных координатах s-ro сфероида.
Формула (9.5.18) получается на основании (9.5.6), (9.5.7), (9.5.10),
(9.5.11) — (9.5.13) при помощи теоремы сложения (9.5.9)
Обращаясь к (1.1.7) и (9.5.18), находим, что распределение
плотности поверхностных токов, наведенных полем диполя на
поверхности s-ro сфероида, будет задаваться формулой
А = 1)ц S"XS1«(Cs’ (9-519)
,<A5s 9 п=1
с0 — скорость света.
Если положить в (9.5.13) = либо ёо,+i = B+i, то тог-
да из (9.5.7) —(9.5.17) получится решение задачи о дифракции
поля излучающей поверхностной сфероидальной антенны, возбуж-
дающейся находящимся в ее полюсе вертикальным электрическим
диполем с моментом р, на другом сфероиде, соосном с антенной
и играющем роль пассивного отражателя.
Переходя в формулах (9.5.6) — (9.5.19) от координат вытяну-
того сфероида к сферическим координатам rs, 0S, q>s (^->0,
gs-* ос так, что fs|s->rs, T]s->cos0s, s = ± 1), получим реше-
ние задачи о дифракции поля вертикального электрического диполя на
двух идеально проводящих соосных сферах радиусов и г°_|.
Если в формулах (9.5.6) — (9.5.19) перейти от координат вы-
тянутого сфероида к координатам сплюснутого сфероида на осно-
вании формул (9.2.16), то из них получится решение задачи о
дифракции поля вертикального электрического диполя на двух
соосных сплюснутых сфероидах |s = , s = + 1. Частным слу-
чаем ее явится задача о дифракции на двух параллельных соос-
ных бесконечно тонких идеально проводящих круговых дисках
различных радиусов. Если в такой частной задаче приблизить ди-
поль к поверхности одного из дисков и положить £е = 0 или
g-s = 0, то в результате получится решение задачи, эквивалент-
ной в электродинамическом смысле задаче о поле излучающей
односторонней кольцевой элементарной щели, расположенной на
поверхности s-ro диска (активная антенна) в присутствии в нем
496
другого —s-ro бесконечно тонкого идеально проводящего круго-
вого диска, соосного с первым и играющего роль пассивного от-
ражателя, S = + 1 либо S = — 1.
Независимые переходы от одной координатной системы к дру-
гой, производимые в локальных системах, дадут возможность
получить из (9.5.6) — (9.5.19) решения задач для случая, когда
при неизменной форме одного тела (сфероида) форма другого сфе-
роида меняется в пределах от шара до диска и когда промежу-
точными телами являются вытянутые либо сплюснутые сфероиды.
\/При численном решении задач приближенные значения вели-
чин могу^ВБПБ_т^де1®П1з^отеттс^систек1Ьг —
2Л'
х(. 4 У c.jXj = f(, i = 1, 2, ... , 2N, (9.5.20)
/=1
получающейся из (9.5.15) усечением. Система (9.5.20) содержит
2N уравнений с 2N неизвестными A], s — + 1, аппроксимирую-
щими точные значения коэффициентов рядов (9.5.8). Очевидно,
что точность вычисления Л; будет повышаться с увеличении N—
порядка усечения системы (9.5.15). Как и в предыдущих зада-
чах, в качестве исходного значения N можно взять значение N —
= [с], где с = max cs.
s—±1
Порядок конечных систем, служащих для приближенного вы-
числения величин Л„, s = + 1, может быть в ряде случаев
понижен вдвое по сравнению с порядком системы (9.5.20) с со-
хранением точности вычисления. Так, если Q = с+1 = с и =
= В+1 = В0 (сфероиды идентичные), то тогда матричные элементы
системы (9.5.11) окажутся связанными между собой соотношением
= (- 1)"+т«Й1’-1> (9-5.21)
(это следует из (9.5.12) и (5.5.10)). Поэтому, если записать сис-
тему (9.5.20) в виде
А. 1 + У апт Ап1 = fn' |
m=I |, (9.5.22)
А?1 + У (-1Г+та„„М^=^‘ j
т=1 }
после почленного сложения и вычитания равенств (9.5.22) полу-
чатся две независимые системы N уравнений с N неизвестными
УпА У (~ l)manmtym = Fn,
(9.5.23)
32. Е. А. Иванов 497
z„-V (—l)manmzm = Фп, n = l, 2, N,
m—l
где
Уп = A+l + (- 1Г A~l, Fn = + (-
(9.5.24)
z„ = AJ"’ —(— l)nAn ', Ф„ = /*’ — (- •
Порядок системы (9.5.20) может быть понижен вдвое (с со-
хранением точности вычисления) без перехода к новым системам
вида (9.5.23) в случае, когда с_г = с+1 = с, gLj = = |°
и Ео, -1 = Во, +1 = £о (диполь расположен в точке О, лежащей
посередине между центрами сфероидов). Тогда
fn = — (— s)n+1f„s, S=±l, (9.5.25)
и на основании (9.5.21) из (9.5.11) последует, что неизвестные
величины АГ1 и А^1 оказываются связанными друг с другом
соотношением
Ап = At1 = — (— 1У АГ1 - (9.5.26)
Поэтому вместо системы (9.5.20) можно решать систему W урав
нений с N неизвестными
Л„-4(-1Га„отЛт = ^ = (9.5.27)
m=l
которая получается из последней исключением неизвестных АГ*
по формуле (9.5.26). В рассматриваемом случае в (9.5.17) 10р =
= 0, а сам множитель ослабления можно записать на основании
(9.5.26), (9.5.10) в виде
W7 (6) = 1---— cos (kl0 cos0) У г"пЛп[(£°2 —I)4 X
Л=1,3,...
х (с, go)]' cos6> + A Sjn (ы0 cos о) х
Sin6 k (9.5.28)
х У -iWJ? (с, в0))' S1,‘(c’cosB) •
sin 0.
n=2,4, - - •
В случае сплюснутых сфероидов
U7(0) = 1 — — cos (Ио cos0) У i"nAn [(go2 + 1)И x
n=l,3,...
498
xRS(-ic, iW +
sin0
4- — sin (kl0 cos 0) V innAn [(£°2 4-1) 'л x
k
n=2.4,...
X(- ic, i£»)]' S^~lC’ COs6l , (9.5.29)
sin 0
а при вырождении последних в диски радиуса f множитель ослаб-
ления запишется в виде (Rin (—ic, i0)=0, (n—i) четное)
k
iiocos0) V innAnR(in (—ic, iO)X
n—2,4,...
Sln(—ic, cos0)
sin0
(9.5.30)
Так как Sln(—ic, 0) = 0, если (n—1) нечетное, то в плоскости
0=л/2 выражения (9.5.28), (9.5.29) упростятся. Вместо них получим
Г(0)=1-^- V iWj(£«2-l)4X
п=1,3,-..
х/?{‘’(с, £°)]'Sln(c, о), (9.5.31)
W (0) = 1 — — у innAn [(^2 1)И х
k
и—1,3,...
*RW(-ic, i£o)]'Sln(-ic, 0) (9.5.32)
№(0)=1 (9.5.33)
соответственно. Последний результат означает, что система, со-
стоящая из вертикального электрического диполя и двух соосных
идеально проводящих круговых дисков равных радиусов, обла-
дает в плоскости 0 = л/2 характеристикой излучения W (л/2),
тождественной характеристике излучения для диполя в свободном
пространстве в случае, если диполь расположен на оси симмет-
рии дисков посередине между ними.
Учитывая, что вычисление приближенных значений величин
Ап предполагает конечность индексов п и т в (9.5.11)—(9.5.13),
можно в случае, когда расстояние между сфероидами намного
больше длины волны (Л/>> 1) и I значительно больше попереч-
ных размеров сфероидов, получить для приближенные выра-
жения, имеющие замкнутый вид. Так, полагая в (9.5.12) kl^>\
32* 499
(kl^ п + т) и применяя асимптотическую относительно аргумен-
та формулу к сферической бесселевой функции /г„} (kl), содержа-
щейся в выражении Qlnlm, получим на основании формул (3.4.13),
(5.2.2), (5.5.10), что
c-s; 4ь 0_s,s)^
9/n—пг—1 pikl
—----------—Sln(c_s, 0 (cs, 0s _s),
(kl)Nln(c~s) s s 1,,Vs s s
где 0_ss=O либо 0_s.s = л. Так как Smn(c, ± 1) = 0, если
m =/= 0, то окажется, что в случае сильно разнесенных сферои-
дов приближенно все матричные элементы a^s,s) системы будут
равны нулю и тогда в рассматриваемом приближении будет
Ап = fn . (9.5.34)
С физической точки зрения этот результат означает, что в слу-
чае достаточно больших kl (I велико по сравнению, например,
с большими полуосями сфероидов) в каждой точке наблюдения
дифракционный эффект обусловливается лишь вторичными волна-
ми первого порядка рассеяния, по сравнению с которыми вторич-
ными волнами всех последующих порядков рассеяния и их сум-
мой можно пренебречь.
В общем случае при численном решении задачи значения пра-
вых частей системы (9.5.20) находятся без особых затруднений
при помощи таблиц сфероидальных волновых функций (в преде-
лах, допускаемых объемом таблиц). Трудности могут возникнуть
при вычислении матричных элементов системы, которые выража-
ются через сфероидальные радиальные функции и через коэффи-
циенты Клебша — Гордана (§ 4, гл. 3), причем последние вхо-
дят в
со ОО
с-.;е-У’ y'd|"(c_,)d;“(c,)x
/Ч-Н-2
X V Iеb^+l’'-r+l'i}h^(kl)Pcs(coses._s) (9.5.35)
a=/r—/|
под знак кратного суммирования. Быстрота сходимости ряда
(9.5.35) зависит от значения параметров kl, cs, s = + 1. Можно
показать, что двойной ряд (9.5.35) абсолютно сходится, если
kl > с_, + с+1 (Z > + f+1). (9.5.36)
Из характера поведения сферических бесселевых функций ha> (kl)'
следует, что при заданных cs, s= + 1, сходимость ряда (9.5.35)
500
будет улучшаться с возрастанием kl. Как уже отмечалось выше,
при /г/—>°о a<~s’s)->0, и тогда имеет место (9.5.34). При вы-
числении (9.5.35) суммирование по г и t целесообразно начинать
с номеров г = п — 1 и t = т — 1, так как этими значениями г
и t определяются доминирующие значения коэффициентов е^"(с)
и d\m (с) (для значений параметра с в несколько единиц и мень-
Рис. 61. функции! /7W|2, + W_[l2 и /ф2:
а — сфера (kr°_\ = 1) и диск (с+1 = 1): б, в, д, г —
две сферы (соответственно Лг£_]= 1. = 2;
krL-1 = =1; = Л^4-1 =2: ЛТ—I = 2,
/гг°р1 = 1); е — диск (с+1 = 2) и сфера (fer2_j = 2)
ших (с 5)). При сравнительно небольших значениях с коэффи-
циенты d"!"(c) быстро убывают по модулю с возрастанием г>
>п — т и при убывании г в интервале 0 *=. г <_п — т.
501
На рис. 61 в качестве примеров приведены нормированные
диаграммы направленности, построенные для функции | |2, где
Ну— составляющая полного поля (формула (9.5.16); е = р. = 1;
сплошная линия), для функции | Ну + Н_г |2 (пунктирная ли-
ния), где f/_j— составляющая вторичного поля, обусловленная
— 1-м телом, взаимодействующим с + 1-м телом, и для функции
Ну (ее график представлен точечной линией). Считается всюду,
что диполь находится на поверхности •—1-й сферы в ее полюсе
6-! = 0. Расчет производился в координатах этой сферы (норми-
рующая величина есть | Н}'} (90°) |2). На рис. 61, а параметр
kl == л/2, а На всех остальных kl = 2л.
§6
Задача о поле двух соосных
сфероидальных излучателей
Близкой к только что рассмотренной в § 5 задаче
является задача о поле двух соосных (вытянутых и сплюснутых)
сфероидальных излучателей (антенн), каждый из которых пред-
ставляет собой полную идеально проводящую сфероидальную
поверхность, разделенную малым азимутальным зазором, к кото-
рому извне подается возбуждающее, симметричное относительно
оси напряжение. Расстояние между центрами излучателей равно
I. Окружающая их среда — однородное изотропное неограничен-
ное пространство с электромагнитными константами е, р и о =
= 0. В локальных сфероидальных координатах gs, -щ, <ps (излу-
чателям приписаны номера s = — 1 и s = +1, начала локальных
систем координат Osxsyszs совпадают с центрами сфероидов, осп
Oszs направлены вдоль общей для сфероидов оси вращения, так
что <j>s = q>, s = + 1, рис. 62) поверхности излучателей заданы
уравнениями = gLt, |+1 = ^+i, а положение зазора на s-m
сфероиде определяется угловой координатой , s = + 1. Меж-
дуфокусные расстояния сфероидов в общем случае считаются
различными (/"—j =#= fti)-
Как обычно, задача состоит в интегрировании системы урав-
нений Максвелла (1.1.4) в области вне сфероидов (]<ст) = 0, р ==
s 0) при заданных условиях на поверхности каждого излучате-
ля, условии излучения на бесконечности и в предположении, что
искомое решение системы обладает аксиальной симметрией
(d/с) ф s 0). Влияние подводящих линий не учитывается.
Пусть сначала сфероиды вытянутые.
В координатах вытянутого сфероида при наличии аксиальной
симметрии
Е = '£5’£ч-0|> (9.6.1)
Н={0, о, Ну},
502
где составляющие электрического поля и E.i} выражаются че-
рез Hq формулами (9.5.3), (9.5.4). Функция Hq является иско-
мой. Она, как это следует из (9.5.3), (9.5.4), (1.1.4), должна быть
решением уравнения Гельмгольца (9.2.5) с азимутальным числом
Рис. 62. К задаче о поле двух соосных
сфероидальных излучателей
tn = 1. Так как на поверхности каждого излучателя составляю-
щая Е1} электрического поля удовлетворяет условию
£
О, если = Is. вне зазора;
полю Ео (t]s), приложенному при 5S = 5° к заз°'
РУ Л®— as Т -С Л? + as> гДе 2as определяет
ширину зазора на поверхности s-ro излучателя,
S = + 1,
(9.6.2)
то на основании (9.5.4) искомая функция Hq должна удовле-
творять граничному условию
503
~ (И g -1 «,)
U fes
£s=tVs
О вне зазора при t = ;
ics ]//''~ ( ~ Л2 )И Ео (^s) в зазоре при
.Bs = L°’ Л° — “s i]s<X +as> s=±l.
(9.6.3)
Кроме того, должна удовлетворять на бесконечности усло-
вию излучения.
Ищем решение задачи в виде суммы
#<₽= 2 Hs, (9.6.4)
s^±l
где
СО
Hs — '^cinRin (cs, £s)Sln(cs, T)s).
n=l
Коэффициенты рядов asn, s = + 1, подлежат определению в
дальнейшем. Для отыскания а® сначала разложим правую часть
(9.6.3) в ряд по угловым сфероидальным функциям Sln(cs, rjs),
s = + 1. Получим
= 2an(s)sin(cs> ns), S=+1, (9.6.5)
п~\
где
__ + as
|/ ~7Г~7ГТТ f ^-^E^Sln(cs, T]s)dns,
4°- as
или после замены распределения электрического поля Ео (i]s)
в зазоре s-ro излучателя распределением напряжения Vs =
= KoOls)^ Д1Ь> где М = 2as, /гЭ1 = f ---метриче-
ский коэффициент Ламе, с учетом малости ширины зазора
(l-^2)^Sln(Cs> п°)
NM ’ ( 6)
-vs
an
504
Затем подставим в левую часть (9.6.5) ряд (9.6.4). В результате
при помощи теоремы сложения (9.5.8), после замены неизвестных
asn новыми по формуле
asn = [zln(cs, £°)Г< s= + l, (9.6.7)
где [Zn(cs, gf)]' имеет тот же смысл, что и в (9.5.10), получим
для определения неизвестных Д„ бесконечную систему линейных
уравнений
+ 2 a™S’S) ’ s=±1’ «=1. 2, .... (9.6.8)
m=l
имеющую тот же вид, что и система (9.5.11), с матричными эле-
ментами
с--; '• (9-6-9>
IMCs, Ь)1
и со свободными членами
(1~’f)>(c-0-’lS)__________(S.aio)
Г г ‘|4'’(с,. Sll'uta. ЙН'МЖ)
Бесконечномерный определитель системы (9.6.8) можно записать
в той же форме, что и у системы (9.5.11). После введения обо-
значений (9.5.14) система (9.6.8) примет нормальный вид (9.5.15).
Матричные элементы системы и ее правые части удовлетворяют
условиям (1.9.19) и (1.9.20) соответственно. Как и в предыдущих
задачах для двух тел, система (9.6.8) единственным образом раз-
решима. Ее решение, которое может быть найдено методом усе-
ОО
чения, удовлетворяет условию V | |2 < оо, s= + 1.
ДО
П=1
Определением коэффициентов Asn полностью решается задача
для искомой функции Н^. Составляющие электрического поля
находятся через Н9 из (9.5.3), (9.5.4).
В приближении волновой зоны в сферических координатах г,
6, <р с началом в точке О, лежащей посередине между излучате-
лями на оси симметрии,
/ / ikr
где
00
W) = 2 - 1)‘/2 М^(с5, Й)]'Х
s=±l п—1
X Asn Sln (cs, cos 6), /0 = 1/2. (9.6.12)
505
Коэффициент направленного действия линейной системы из двух
соосных сфероидальных излучателей, не зависящий в данном
случае от азимутального угла <р, может быть вычислен по фор-
муле (1.4.18). В частном случае двух идентичных сфероидаль-
ных излучателей (g(0, ср) = g (6)) из (1.4.18)
g(6) = iy|2’ (9.6.13)
0
где (6) определяется формулой (9.6.12), а
v.- 4£1|(Е"’-1),я <’ (с, е»)]Т!|л+Т + |л-Т|м„(с) +
п=1
+ А^+^^АГ* А^апт, (9.6.14)
/г—1 m=l I m— 1
где в свою очередь с = cs, g° = gs, s = +1 и
T„m = [(^ - I)’'2 Rin (C, £>)] ' [(g®2 _ 1)V2 (c> £0)] 'X
co co r~H4-2
x S S' d'n (c) d'm (c) S i-a^-r+,>u+i) j0 (ki),
r=0,l /=0,1 O=|r—/|
Onm = [(H°2 -1)I/2 MJ? (C, go)]' [(I02-- 1)1/2 R^ (c, g°)]' X
X X S ^"(c)d‘'"(c) S /„(&). (9.6.15)
r=0,l/=0.1 cr=|r— /|
На основании теоремы сложения (9.5.9) и (9.6.8) — (9.6.10) для
функции Н<( из (9.6.4) получается при l> fscs выражение
Яф= V Asn j f(g°2 - 1)I/2 Rin (cs, g°)]' Rin (cs, ls) -
n-=\
-Rin} (CS, gs) [(Й2- l)1'2 Rtf (Cs, $] ] x
x s„(C>, „,)+’iJi (9-W6)
^[(gs —1) Rin (cs, gsl]
где a„(s) определяется формулой (9.6.6). При помощи (9.6.6)
можно изучить дифракционное поле вблизи излучателей (в ближ-
ней зоне). Формула (9.6.16) записана в локальных координатах
s-ro излучателя, s = + 1.
506
Из (1.1.7) и (9.6.16) находится закон распределения плотнос-
ти поверхностных токов, возбуждаемых на поверхности s-ro из-
лучателя:
/п =---7~I5jc1?02 П1/2(Cs’
4л (-‘-J c(ss —1)
n=l
Va„(s)/?^(cs, t?)Sln(cs, t]s) ) /nc171
+ £ )• <9-617)
При численном решении задачи приближенные значения вели-
чин Asn находятся из усеченной системы вида (9.5.20), если при-
менить к (9.6.8) обозначения (9.5.14). В общем случае при оты-
скании приближенных значений An, s= ± 1, приходится ре-
шать конечные системы из 2N уравнений с 2N неизвестными
An, s= + 1, п = 1, 2, ..., N. В частном случае двух идентич-
ных излучателей и симметричном относительно точки О положе-
нии зазоров можно понизить порядок решаемых конечных систем
вдвое с сохранением степени точности вычисления. Пусть с_, =
= с+1 = с, gLi = Е+1 = £°. Тогда, как и в предыдущей задаче,
=4m1-+I)=(-Dn+ma<+1-». (9.6.18)
Пусть, кроме того, значения r]2_i и гур, которыми определяет-
ся положение зазоров на поверхностях излучателей, таковы, что
= — T]^_s> s = + 1. (9.6.19)
Тогда в (9.6.10) Sln(c, л°_а) =(—l)n+1Sin(c, г1°)> и если отноше-
ние напряжений в зазорах излучателей равно
Vs = e,aV_s, s= + 1, a=0; л, (9.6.20)
где a — разность фаз токов питания излучателей, правые части
системы (9.6.8) будут связаны между собой соотношением
/7’ = (—1Г+1в-'“А, s= ± 1. (9.6.21)
В этом случае неизвестные An, A„~s системы (9.6.8) окажут-
ся пропорциональными величинами, причем
Ап = А)Н = (~1)«+1е-« Ап1. (9.6,22)
При помощи (9.6.22) из системы (9.6.8) можно исключить ojjHy
серию неизвестных, например А^~‘, и = 1, 2, ..., сведя ее к сис-
теме относительно неизвестных Ап- В результате отыскание при-
ближенных значений Ап приведет к усеченной системе
A-2(-l)'na«mefaXm = /„, fn = f+', (9.6.23)
m=I
507
состоящей из N уравнений с N неизвестными Д}1, п =1, 2, N.
В рассматриваемом случае функция W (0) будет задаваться вы-
ражением
W (6) = 2 (“О" [(£°2 - 1)1/2 (С, go)]' X
/2=1
X Ап рп (а, 0) Sln (с, cos 0), (9.6.24)
где
рп (а> 0) = e~ikl° cos е_ —^ne-ia+ikia cos е. (9.6.25)
Если излучатели питаются синфазными токами, когда а = 0, то
₽л(О,0)=!2С“(Ы"СО5б)’ " НеЧЯИ°е> (9.6.26)
I—2i sin (kl. cos 0), n четное,
и тогда
W(0) = - 2 { cos (kl.cos 0) £ ln [(go2- 1 )I/2 R['n> (c, go)]' X
/1=1,3»...
X Дп51п (c, cos 0) + i sin (kl. cos 0) X
X V [(g02 —1)1/2 (с, £°)]'АДП (c, cos 0)), (9.6.27)
n=2,4,...
а в экваториальной плоскости 0 = л/2
2 У, 01/2 X
/2=1,3, ...
X ^’’(с, g)]'4„$ln(c. 0). (9.6.28)
В случае противофазного питания излучателей, когда а = л,
₽п(п,е)=!2с“<и"с05в)- пчтюе’ (9.6.29)
(—21 sin (kl. cos 0), п нечетное,
и тогда
W (0) = 2 { cos (kl. cos 0) £ in [(g«2 - 1 )I/2 R[" (c, go)]' X
/2=2,4,...
X AnSln (c, cos 0) + i sin (kl. cos 0) i"[(g°2 — 1)I/2 X
n=l,3,...
X (c, go)]' 4„S1B (c, cos 0)}, (9.6.30)
а при 0 = л/2
\ 2 )
508
(в каждой точке экваториальной плоскости в ее волновой зоне
происходит гашение дифракционных волн всех порядков рассея-
ния, приходящих от точек поверхностей —1-го и 4- 1-го излу-
чателей, симметрично расположенных относительно плоскости
6 = л/2).
В случае, когда = 0, s = + 1 (зазоры расположены в ло-
кальных экваториальных плоскостях),
1 0, п четное,
Sln(c, П?) = sin(c> °) = 1—7—Ч I р , ’ п нечетное,
on /п~1 (п+1 V
\ 2 /Д 2 /
и тогда fn = 0 при четных п при любом a, s = + 1. Если
cs = с, = £°, = 0, s = + 1 и, кроме того, еще и с< 1, то
доминирующего значения функция Н(1 достигает за счет двух
первых слагаемых в (9.6.4) с индексами суммирования п — 1.
В этом случае при синфазном питании излучателей в волновой
зоне в сферических координатах г, 6, <р с началом в точке О
Н — А е~— sin 6 cos (/?/0 cos 0), (9.6.31)
г
а при противофазном питании
Н — В —— sin 0 sin (kl0 cos 0), (9.6.32)
г
где А и В — некоторые постоянные. Эти выражения (как и в
случае двух сферических излучателей в подобной ситуации)
идентичны выражению поля линейной системы из двух элемен-
тарных диполей (симметричных вибраторов) с соответствующими
величинами их моментов и расположенных на расстоянии I друг
от друга.
В общем случае, когда расстояние между излучателями I
намного больше длины волны и поперечных размеров излучате-
лей, приближенно будет Л„ = fn, s = +1.
Если сь = с, Й = ^°, s = ± 1, но 14% то при помо-
щи (9.6.18) решение конечной системы уравнений вида (9.5.20) из
2N уравнений с 2Л7 неизвестными Л„н, ЛД, п= 1, 2, .... N,
можно заменить (с сохранением степени точности вычисления)
решением двух независимых систем уравнений вида (9.5.23) —
(9.5.24), каждая из которых явится системой N уравнений с N
неизвестными.
509
При переходе в формулах (9.6.3)—(9.6.32) от координат вы-
тянутого сфероида g„, r|s, ср к сферическим координатам rs, 6S,
<р, s = + 1, из них получится решение задачи, рассмотренной в
§ 5 гл. 7.
После замены координат вытянутого сфероида в формулах
(9.6.3)—(9.6.32) координатами и сплюснутого сфероида на осно-
ве (9.2.16) получим решение задачи о поле двух сплюснутых
соосных сфероидальных излучателей, расположенных на расстоянии
I друг от друга с заданным распределением напряжения в зазо-
рах. В силу независимости локальных координатных систем друг
от друга можно, сохранив форму одного из излучателей неиз-
менной и изменив форму другого излучателя, получить из
(9.6.3)—(9.6.32) при соответствующих выборах координатных сис-
тем решение задачи о поле линейной системы двух соосных из-
лучателей с поверхностями различных форм. Если питание под-
водится только к одному из излучателей, например к s-му
(s=~-1 либо s=4~ 1), а к —s-му нет (в этом случае —s-й сфе-
роид играет роль пассивной антенны), и если —s-м телом явля-
ется бесконечно тонкий идеально проводящий круговой диск
радиуса /_s, то после перехода в —s-x локальных координатах
от координат вытянутого сфероида (с фокусным расстоянием /_s)
к координатам сплюснутого сфероида, в которых поверхность
диска определяется значением £_s = g_s = 0, получим из (9.6.3)—
(9.6.17) решение задачи о поле сфероидальной антенны при на-
личии в нем соосного с антенной пассивного отражателя (реф-
лектора)— идеально проводящего кругового диска радиуса f_s.
Для такого случая в системе (9.6.8) будет f~s = Q (s = — 1
либо s = 4- 1), а
со
W (6) = 6 £ (-/)« [(Й2 - 1)1/2 (cs, Ь° )1' X
п=1
XAnSln(cs, cos 6) 4- eiskl° cos 6 in Яы (—ic_s,iO)X
n—2,4, • -
X /V sin (—ic_s, cos 6). (9.6.33)
В экваториальной плоскости при 6 = л/2
w (т)= _ S г” ^°2 ~1)1/2 **" (Cs’ х
X Z&Sln(ss, 0) (9.6.34)
(s == -J- 1 либо S = — 1).
При значениях , близких к 1, s-й сфероидальный излуча-
тель можно рассматривать как тонкую проволочную антенну
длины 2fs, возбуждаемую в точке zs <= fs л” •
510
§7
Поле магнитного (электрического) диполя,
расположенного соосно двум дискам
В неограниченном однородном и изотропном простран-
стве с электромагнитными постоянными е, р, о (о = 0) на рас-
стоянии I друг от друга расположены два идеально проводящих
бесконечно тонких круговых диска радиусов p_ j и р+1 =
= о+1 (в локальных цилиндрических координатах ps, cps, zs с на-
чалами в центре каждого диска и с осями Oszs, направленными
вдоль общей для дисков оси вращения (оси симметрии); дискам
приписаны номера s = — 1 и s = + 1. В общем случае а^1=^а+1.
Диски возбуждаются элементарным электрическим либо магнит-
ным диполем, находящимся в точке Р на оси вращения дисков
и направленным так, что его дипольный момент (р или т) обра-
зует угол а с осью Oz (рис. 63). Точка Р с диполем может
быть расположена вне зазора между дисками, в зазоре между
дисками, а также на поверхности одного из дисков в его центре.
Ставится задача по отысканию дифракционного поля, обуслов-
ленного наличием в поле диполя дисков. В случае, когда диполь
оказывается расположенным на поверхности одного из дисков,
это будет задача, эквивалентная в электродинамическом смысле
задаче о поле излучения элементарной односторонней щели, на-
ходящейся на поверхности одного из дисков (активная антенна)
в присутствии другого диска, соосного с первым и играющего
роль рефлектора (пассивная антенна). Локальные координатные
системы введены так, что дипольный момент (р или т) лежит
в плоскостях Osxszs, s = + 1, и направлен в сторону положи-
тельных значений xs, <ps = cp, s = + 1.
Задачи решаются в локальных координатах сплюснутого сфе-
роида gs, vJs, <ps (<ps — <p) с фокусным расстоянием fs = as, в ко-
торых поверхности дисков задаются уравнением £s= 0, s = + 1,
а положение точки Р с диполем — значениями cs = gs0, i]s = t]so>
s = + 1.
Магнитный диполь. Поле магнитного диполя в свобод-
ном пространстве определяется магнитным вектором Герца (9.3.1),
где m = {|m| sin а, 0, |m| cos а}. Очевидно, что если вектор Гер-
ца П*° первичного поля диполя представить в виде суммы двух
векторов
п*о = п;°+п2°>
где
П1° = {0, 0, т0 cos aeihli/R},
П2°={то sin aei№/R, 0, 0}, т0 = |m|.
(9.7.1)
511
то тогда вторичное электромагнитное поле Е1, Н1 можно рассмат-
ривать как результат наложения двух частных полей, одно из
которых отвечает случаю возбуждения дисков вертикальной со-
ставляющей магнитного диполя, а второе — случаю возбуждения
дисков горизонтальной составляющей диполя. В обоих случаях
поля находятся через соответствующий магнитный вектор Герца
из соотношений (9.3.4). Решение задачи для общего случая про-
извольно ориентированного диполя может быть найдено из ре-
Рис. 63. Возбуждение двух соосных
круговых дисков диполем
шений двух частных задач: 1) задачи о дифракции поля верти-
кального магнитного диполя на двух дисках и 2) задачи о
дифракции поля горизонтального магнитного диполя на двух
дисках.
Задача для вертикального магнитного диполя решается по
схеме § 5 данной главы. Искомой функцией является единствен-
ная отличная от нуля азимутальная составляющая Е^ вектора
Е1 вторичного поля. Составляющие полного магнитного поля Н
находятся через Е,. — Е®,-\- Е^> по формулам
—i
k^f& + n2)1''2
(9.7.2)
i
512
Г' О
где составляющая Е^ первичного поля диполя в локальных ко-
ординатах s-ro диска может быть записана в виде ряда
Fo_ 4^ cos a yi _ oln(—ics)
” (—ics, i gs0) R$ (-ics, i U, > U (9.7.3)
(-ics, i UR™ (—ic„ i ti)> Is < U s= ± 1.
Здесь ens = (—s)”+1, если диполь находится в зазоре между
дисками; e„s = 1, если диполь расположен «над» дисками, и
e„s = (—I)”41, если диполь расположен вне зазора «под» диска-
ми, s = + 1. Искомая функция Е1^ должна быть решением
уравнения Гельмгольца (9.2.5) с азимутальным числом т = 1,
удовлетворяющим на поверхности каждого диска граничному
условию
E^+£j, = O, gs = ^ = 0, s=±l. (9.7.4)
На бесконечности Е^ должна удовлетворять условию излучения.
Аналогичным условиям будет удовлетворять функция Elv и в
том случае, когда вместо дисков рассматриваются сплюснутые
сфероиды g, = Й ¥= 0, s = + 1. Поэтому можно сначала решить
задачу для сфероидов, а затем из решения этой задачи предель-
ным переходом по при >-0 получить решение задачи
для дисков.
Если искать функцию Е^в виде
Еф = V Es, т1 = т0 cos a, (9.7.5)
s=+l
где
<о
(-‘V 5s)Sln(-ics, T]s), S = ± 1, (9.7.6)
n««l
то при помощи теоремы сложения (9.5.9), записанной в коорди-
натах сплюснутого сфероида, после замены неизвестных asn новы-
ми Ап по формуле
asn = Rtt(-ics,i£)Asn, s=±l, (9.7.7)
из граничных условий из Еф получится бесконечная система ли-
нейных уравнений
ОО
А\+ £ А«’ = s = ± 1, n= 1, 2, .... (9.7.8
m=l
33. E. А. Иванов
513
с матричными элементами
а{— S.S) — ^1т ( s> В—s) Q / . ’ д х /О 7 Q1
апт D(3) , t0\ У1п1т(се> с—s’ *» ®—s.s) (9.7.9)
7\ln ( ICS. I Ss)
и со свободными членами
fs = 4о1п (—tcs) R$ (—ics, i ls0) Sns
Свойства системы (9.7.8) не отличаются от свойств системы
(9.6.8) или системы (9.5.11). Ее определитель может быть запи-
сан в той же форме, что и у системы (9.5.11), а сама система
после введения обозначений (9.5.14) может быть приведена к
нормальному виду (9.5.15). Единственное решение системы (9.7.8),
со
удовлетворяющее условию |Лп|2 < s= + 1, может быть
П=1
найдено методом усечения.
Если перейти в формулах (9.7.7) — (9-7.10) к пределу по
*.0 $.0
gs, устремляя gs к нулю, то из них получается решение задачи
для дисков. Так как функция Ry? {—ics, Ю) отлична от нуля
лишь при четных значениях (п— 1) и равна нулю при нечетных
(и—1), то при = 0, s = + 1, Ап = 0, п. = 2, 4, ... В этом
случае суммирование в (9.7.6) производится фактически только
по нечетным номерам п.
При помощи теоремы сложения (9.5.9), примененной к (9.7.6),
и формул (9.7.7)—(9.7.10) для электрического поля вблизи дис-
ков (ближняя зона) получается выражение (в координатах s-ro
диска)
Е,е = k2mr £ (—ics, i gs) R$ iO) —
w—1,3,...
— Rin (—ics, i^)/?}*’ (—ics, iO)|Sln(-xcs,Tis),s= +1. (9.7.11)
Распределение плотности поверхностных токов, наведенных на
дисках полем вертикального магнитного диполя, может быть
изучено при помощи формулы
— со V —- k2mi
/ф L AsnSln(-ics, ъ), S = ± 1, (9.7.12)
п=1,3,...
it = А = о.
Из (9.7.12) видно, что полученное решение задачи автомати-
чески удовлетворяет условию Мейкснера на ребрах дисков (5S =
= T]s = 0).
514
В приближении волновой зоны в сферических координатах г,
6, Ф с началом в точке О, лежащей посередине на линии цент-
ров дисков,
/ ”
Е =—1/ — = k2mt cos a sin 6 —=- W (0), (9.7.13)
где множитель ослабления
psikzt
№(0)= 1--L-
ik sin 0
W (0) определяется выражением
cos в ХЛ ХЛ
isklt
ЛДх
iO)Sin(—ics, cos0)
(9.7.14)
(R — г — zs0 cos 0).
В случае двух равных дисков и = £+1_,
дится в зазоре между дисками посередине) будет
a(-i.+D = а(+1,-1)
пт пт ’
ft' - 7Г1.
Поэтому в системе (9.7.11)
л-1 = л+‘ = л„.
Для такого случая множитель ослабления
у м,
k sin 0
(диполь нахо-
zst = 0 и
(9.7.15)
(9.7.16)
(9.7.17)
'я
xR\n(—ic, iO)Sln(—ic, cos 0),
а в экваториальной плоскости, когда 0 = л/2,
= 1 - ~ У iO)S1B(-ic,
\ Zv / «V
/1=1,3,...
(9.7.18)
0). (9.7.19)
При численном решении задачи приближенные значения ве-
личин находятся по той же схеме, что и в предыдущих задачах.
В случае горизонтального магнитного диполя вектор Герца
полного поля ищется в виде (9.3.5), где, как и раньше, Ф°(Г„т])—
потенциал первичного поля, а Ф1(£, т]) и Т(|, >]) — потенциалы
вторичного поля. В локальных координатах s-ro диска
л
ф0(^, T]s) = 2ifon8YМ х
зз*
515
е
X
х j<} (-ics, i |s0) Л&* (—icb, i U I x
{R^(-ics, il,)R^(-ics, igs0) i
XSOn(-ics, t]s), JSO>^’ (9-7.20)
SsO fes*
m2 = m0 sin a.
Положим
ф1(£, n) = 2ifcn2 OS(ES, T]s), Y(|. T])=
s=±l
= a^m2 2 Ys(^s, 11s), (9.7.21)
s=±l
где
Ф5(^. t]s)= У R^(-ics,ils)SOn(-ic„ t]s), (9.7.22)
n=0
OO
¥(£„ rjs) = J] bsnR^(-ics, igs)Sln(-fcs. ns). (9-7.23)
n=l
Функции Ф(Е, ц) и W(E, -г;) на поверхности каждого диска долж-
ны удовлетворять граничным условиям (9.3.31)
дФ = с
1Ъ |s=0, s= + l, (9.7.24)
T = (1-^)1'2CS,
с постоянными интегрирования C+i- Эти постоянные определяют-
ся в дальнейшем либо из условий Мейкснера на ребрах дисков
(если диполь не лежит на поверхности одного из дисков)
_Я . |=0, s=±l, (9.7.25)
4л 'nis=—о H-s=+o
где у® — радиальная составляющая вектора плотности полного
поверхностного тока, наведенного на s-ом диске, s = + 1, либо
из (9.7.25) и теоремы взаимности для двух магнитных диполей
(1.3.14) в случае, когда диполь оказывается расположенным на
поверхности одного из дисков.
Через потенциалы Ф(£, т]) и Т (Е, »]) электромагнитное поле
находится по формулам (9.3.18), (9.3.19), записанным в одной из
координатных систем.
Если ввести замену неизвестных ап, bsn из (9.7.22), (9.7.23)
новыми неизвестными Asn и Bsn, положив
an = nRon (—icit iO) Asn, n=l, 3, ...,
(9.7.26)
bsn = R[h} (—ics, t’O) Bsn, n= 1, 3.
5l 6
то из (9.7.24) после применения к (9.7.22), (9.7.23) теоремы сло-
жения (5.5.18) для определения неизвестных А„, Вп получатся
бесконечные системы линейных уравнений
Х + V a^s’s) H-S=fn> (9.7.27)
m=l,3,...
в«+ X ₽Ls's)Bm =<Pn (9.7.28)
m—1,3,...
с матричными элементами
a<_s.s) = c > c_s. /( (9.7.29)
nRbn (— tcs, tO)
p(-s.S) = to) Qi/am(Cs c_s. z> } (97 30)
Rin (—tcs, iO)
и co свободными членами
rs __ _ ^0n( tCs> ’4so)^M ( 1Cs» t ^so) |
nNOn(~ics)R(on (—ics, Ю)
+ —----------------------------------ny------------,(9.7.31)
‘AikmtfiNon (—ics}Rkn (~ics, ity Ron (~ics, Ю)
2dlon(-ics)Cs
q£ = —--------------""°* tLs/---------------------• (9.7.32)
3ikm2Nln (—ics) R[n (—ics, iO) 7?in (—ics iO)
Замена неизвестных по формулам (9.7.26), где п принимает толь-
ко нечетные значения, возможна в силу того, что при четных
номерах п asn = bsn = 0, s = + 1 (для установления этого факта
достаточно рассмотреть систему, получающуюся из (9.7.24) для
ап и Ьп без замены (9.7.26)). Как и во всех предыдущих слу-
чаях, здесь через Rmn(—ic, Ю) обозначается значение производной
[^mn(— ic, i £)] при g=0. Такой же смысл имеет и выра-
жение Smn(— ic, i]).
Определители систем (9.7.27) и (9.7.28) можно записать в том
же виде, что и у системы (9.5.11). Сами системы (9.7.27), (9.7.28)
после введения обозначений (9.5.14) для их матричных элементов
и правых частей примут нормальную форму (9.5.15). Как и в
предыдущих задачах, системы (9.7.27), (9.7.28) единственным
образом разрешимы [86]. Их решения, удовлетворяющие условию
У | Л® |2, |В®|2<оо, можно найти методом усечения [86—881.
л=1,3 ....
517
Для полного определения неизвестных величин и Bsn
нужно найти постоянные С+ь Будем считать сначала, что £s0=4-0
при s = — 1 либо s = 4- 1 (диполь не лежит на поверхности
одного из дисков). Тогда при помощи теоремы сложения (5.5.18)
и формул (9.3.19), (9.7.21) — (9.7.23) после рассуждений, ана-
логичных проведенным при выводе (9.3.35), из (9.7.25) получат-
ся соотношения
nAsn R^' (—ics, AS) Ron (—ics, iQ)SOn(—ics, 0) =
/1=1,3,...
= S BsnR\" {—ics, i 0) R$’ {—ics, iO) Sln(—ics, 0)
/1=1.3....
или
£ nAsnS'on(-ics, 0) =- £ ^nSln(-ic„ 0), (9.7.33)
/1—1,3,... /1=1,3,...
если воспользоваться значением определителя Вронского для ра-
диальных сфероидальных функций. После подстановки в (9.7.33)
коэффициентов и Bsn, выраженных через C±i из систем
(9.7.27), (9.7.28), получится линейная система двух уравнений
с двумя неизвестными C±j. Очевидно, что решения систем (9.7.27),
(9.7.28) будут иметь вид
Ап — о-п 4* Pn Ct Ц- y„C_s,
(9.7.34)
Вп= ^nCs + rnC_s,
где ап, р„, Уп, С т„—величины, зависящие только от cs и /,
и, s, но не зависящие от С±ь Поэтому, подставив (9.7.34) в
(9.7.33), получим
asCs + psC_s=ys, s=±l, (9.7.35)
где
as= S и PnSpn (-ics, 0)4- £ 6„Sln(—ics, 0),
n=l,3,... n=l,3....
Ps = S пТп5о„(— ics, 0)4- V TnSln(—ics, 0), (9.7.36)
n=l,3,... /1=1,3,...
Ys= — S nasnSon(—ics, 0).
л—1,3,...
Решая систему (9.7.35) относительно Cs, будем иметь
c_s = asY-s —P-s'Vs t S=±1. (9.7.37)
asa-s — ₽sP-s
518
Ряды, входящие в (9.7.37), сходятся при всех значениях Es0 ¥=0,
s= + 1. Определением постоянных интегрирования С+i, а через
них и величин \ 1 из формул (9.7.34) полностью решает-
ся задача для потенциалов Фт(£, ц), Чг(^, т]) вторичного поля.
В случае, когда диполь находится на поверхности одного из
дисков, например на поверхности s-ro диска, где s = -j- 1 либо
только s = — 1, будет обращаться в нуль координата £s0 с тем
же значением s. При этом в (9.7.36) ряды, отвечающие номеру
s, приписанному диску с диполем на нем, окажутся расходящи-
мися. По этой причине в системе (9.7.35) пригодным для оты-
скания постоянных C±i будет только одно уравнение
a_s C_s + ₽-sC+s = Y_s, (9.7.38)
отвечающее номеру —s, приписанному диску, свободному от
диполя. Второе уравнение относительно С_г и C+J получается
из теоремы взаимности (1.3.14) для магнитных диполей. Для
того чтобы применить ее, введем в рассмотрение второй магнит-
ный диполь с моментом т', считая, что он расположен в точке
О' на оси Oz так, что ш' = т. Тогда
т'Н(О') = mH(Os), (9.7.39)
где т, как и раньше, момент заданного диполя, расположенного
в центре s-ro диска 0s(s = + 1 либо s — — 1). Устремляя точ-
ку О' вдоль оси Oz на бесконечность (а вместе с ней и диполь
с моментом ш'), получим на основании (9.3.20), что
Ф|ч5=1. 5S=°о, s=±i 5s=o,s=—1 либо s=+i, (9.7.40)
где через Фпл обозначен потенциал поля, возникающего в задаче
о дифракции плоской электромагнитной волны
= V =]/(9-7Л1)
с амплитудой
Es = /г2т0 sin a z_b0—z+1,0 =/, zs0=A, gso. (9.7.42)
^sO
на двух дисках при тех же данных, что и в задаче о поле ди-
польного источника. Решение задачи о дифракции плоской вол-
ны может быть получено из (9.7.20) — (9.7.37) после замены в
формулах (9.7.20), (9.7.31) функции (—ics, igs0) ее асимпто-
тическим относительно аргумента выражением
Чо
519
Тогда с учетом (9.7.42) вместо, например, (9.7.31) в системе
(9.7.27) свободные члены запишутся в виде
f„ = -(-i)"+1Es
Son(~ics, 1)
k3m0 sin a nNOn (—ics)
_________________^n(-ics)Cr_________________
3ikm0 sin a nNOrl (— ics) Ro? (—ics, t’O) Ron (—ics, lO)
, (9.7.43)
где постоянные интегрирования С?л из (9.7.24), отвечающие слу-
чаю возбуждения дисков полем плоской волны (9.7.41), нахо-
дятся из системы уравнений (9.7.35)
аГл С"л + ₽5ПЛ С"л = у™ s==+l, (9.7.44)
с теми же по форме выражениями а, 0, у, что и в (9.7.36),
если представить решение задачи о дифракции плоской волны
в виде (9.7.34):
д S.TIJI в.ПЛ . nS,nfl хчПЛ । _,в»пл /‘'ПЛ
Ап = ап + р„ Cs 4- уп C_s,
В8.ПЛ о5,ПЛ /М1Л , S.Wt ^ПЛ
п — On Cs I Tn С—s.
(9.7.45)
Определяя через (9.7.34) и (9.7.45) потенциалы Ф1 и Фпл соот-
ветственно (так как (1.3.14) имеет место и для первичных по-
лей, то под Н и Н' в (9.7.39) можно понимать только вторич-
ные поля) и подставляя их выражения в (9.7.40), получим вто-
рое уравнение для постоянных С±1:
NSCS + MSC~S = N™ СГ + <л С™ + K™-Ks, (9.7.46)
где s = — 1 либо только s = + 1. Здесь
Ks = Л + F-s, КГ = > Ms = G-s + E°s,
А1ПЛ = GnJI 4- Е™, = А1_., Апл = А1,|Л ,
S —S 1 S 5 э s —$
где в свою очередь
F = V in asn nR(‘n>' (— ics, i 0) So„ (— ics, 1),
«fiS,...
Fr = S aSn™ ’ {- ics, i 0) R$ (-ics, i Is) So„(- 1).
»=1.3,...
gs = o, U=///-s.
520
Gs=-^- 2 ^«^'(-^,fO)So„(-ics.l),
Й m2 n=l,3,...
(9.7.47)
ОПЛ = V ps-вл (_ fCs> i 0) fl(3) (_ iCs> i U Son (_ICs> 1),
n=l,3,...
Es = 0, £_s = Z/f_s,
Es = У l" Уп nEon ' (- ICs> »0) So„ (- ics. 1).
^™2
= V vs.nn (_ ICs( i 0) fl(3) (_ iCs) i У SOn (_ ics, 1) ,
/2=1,3,...
Es = 0, l_s = Z/f_s.
Уравнение (9.7.46) вместе с (9.7.38) образует систему двух урав-
нений для С±1, решая которую, получим для вычисления С±1 фор-
мулы (в (9.7.46) номер s отвечает диску с диполем, в то время
как в (9.7.38) взят номер —s, отвечающий диску без диполя)
с = — , с = Y-SZVS —р-А .7.48)
(Х-А-Р-Л, a_A-P-sMs
где
£) = Л,пл Спл 4- Л4ПЛ С"л 4- Кпл — К .
s s ь S 1 S —S 1 4s xs
Определением постоянных С±1 полностью решается задача и
в случае, когда горизонтальный магнитный диполь находится на
поверхности одного из дисков.
В приближении волновой зоны в сферических координатах г,
6, <р с началом в центре s-ro диска (s = — 1 либо s = 1) со-
ставляющие полного поля задаются выражениями
~|/ т2 ~ cos cosФ Wi (®).
(9.7.49)
А= A=-^|/<7-/n2^sin(f)ll7a(6)’
в которых
U7S (6) = 1 — 2e±‘*»“se v ninAsn ' (— ics, i 0) X
I n=l,3,...
521
XSOn (— ics, cos 6) + e~isk'^ 2 niM„ SR$' (— ic_s, i 0) X
n=l,3....
X So„ (—ic_s, cos 6) j ,
(9.7.50)
ITj (0) = 1 — 2e±Ztacose
2 nin^nR^’(-ics,iO) X
n=l,3,...
X So„(—ics, cos 6) 4-e-'sfe/crs0 2 ninAn s R$' (— ic_s, i 0) x
/2—1,3, ...
x So„ (— ic_s, cos 6) —tg 6 inBsn Rin (— ics, i 0) X
n=l,3....
x sin(—tcs,cos0) — e-ifWcos0tg0 2 inBnsRdn (—ic_s,i0) X
/7=1.3,-..
X Sln (—ic_s, cos 0)
Здесь через а обозначено расстояние от Os до диполя. Знак «плюс»
берется в случае, если диполь расположен «над» точкой, а знак
«минус» — в случае, если он находится «под» Os. Если диполь
окажется расположенным в центре s-ro диска, то тогда будет а = 0
и R = rs = г. Для дисков равных радиусов, когда сг = с+1 = с,
в (9.7.49)
№а(6) = 1 — 2e±rtacose
2 ninR()n (— ic, i 0) x
n=l,3,...
x [< + e 'Wcts0 An S]SO„ (— ic, cos 6)[ ,
(9.7.51)
(6) = 1 — 2 iteose 2 ninR№ic’ ‘ °) +
I w=1.3,...
+ e-,sft<cose An s] SOn (— ic, cos 9)—tg 6 2 inRin(— ic, i 0) x
n=l,3,..-
x [Bn + e-'sWcos0 Bns] Sln (— ic, cos 6)
Если при c-i = c+1 = c диполь расположен в зазоре посередине
между дисками (£-i,o == ь+i.o), то тогда = — Ans, Bsn = —
522
— B^s (Cs=—C_s), в результате чего функции и W2 запи-
шутся выражениями (в сферических координатах с началом в точке
расположения диполя)
IR2 (6) = 1 4- 4 i sin (kl0 cos 0) X
X V ninAn$)n (— ic, i 0) So„ (— ic, cos 0),
n=1,3,...
(9.7.52)
(6) = 1 + 4 i sin (kl0 cos 0) X
X У tunAnR(on (—ic,i’0)So„(—ic,cos0) —
n=1,3,...
— tg 0 У i"B„7?(in (— ic, i 0) Sln (— ic, cos 0)
n=l,3,...
где An = At1 , B„= В*1 и Zo = 1/2.
На основании (9.7.49) полная мощность, излучаемая системой,
состоящей из горизонтального магнитного диполя и двух идеально
проводящих круговых дисков с общей осью вращения (диполь рас-
положен в некоторой точке на оси вращения дисков) и опреде-
ляемая формулой
2л л
Р = — ~ Re J у ([EH*]r)r2sinOd0d<p,
о о
если интегрирование производить по поверхности сферы бесконечно
большого радиуса с центром в начале сферической системы коор-
динат г, 0, <р, может быть вычислена из выражения
P=^|/'_Hl^JiI^2(0)|2 +
+ cos2e| 1^(0) I2} sin0d0, (9.7.53)
где c0 — скорость света в пустоте, а функции W1 (0) и W2 (0) имеют
вид (9.7.50) либо (9.7.51), (9.7.52).
Если излучающую систему из диполя и двух дисков рассмат-
ривать как антенную систему, то для вычисления коэффициента
направленного действия такой антенны получится на основании
(1.4.18) и (9.7.53) формула
g (0, <р) = 4 c°s2 6 cos2 Ф I (в) I3 + sin2 <р | W2 (0) |2 , (9 7 М)
j‘ {cos2 01 (0) |2 + | W2 (0) |2} sin 0 d 0
о
где U7! и IR2 определяются, как и раньше.
523
Электромагнитное поле в ближней зоне может быть изучено
на основании выражений
Ф ns) = 2 ikm2 2 пА„ ic^1 °) R°” ics>1U —
n=l,3,..
— Ren (— ics, i gs) R^' (— ics, i 0)] SOn (— ics, tjs) +
2CS x
3 NOn (- ics) R$’ (- ics, i 0)
X R$ (— ics, i gs)So„ (— ics, r]s), (9.7.55)
V (L> T)s) = 2 ikm2 £ [J?£ (-ics, iO) R$ (- ics, i gs) -
- Rm ics, i u R$ (- ics, i 0)] Sln (- ics, T]s) 4-
2CS _________________4n(~tcs)__________
+ 3 Nln(-ics)R[ln4-ics,i0) X
X R[l^-ics,i^)Sln(-ics,ris), (9.7.56)
которыми представляются в локальных координатах s-ro диска по-
тенциалы полного поля Ф(Е, т|) и Чг(|, т|) после применения к
(9.7.21)—(9.7.23) теоремы сложения (5.5.18) с учетом (9.7.27) —
(9.7.32) в области, для точек которой Z>fsts. Закон распре-
деления плотности поверхностных токов, наведенных на поверх-
ности s-ro диска, может быть изучен при помощи формул
/п =
(9.7.57)
в которых в координатах s-ro диска при ts 0 (s = — 1 либо
s = + 1)
sinip [ дф Us
<Р~ г2 2 ) —j р
fsHs I dtls V 1— ns
d4J
— k2<&
cos<p I 1—T]f . —1 — t)s2 ЭФ
fPns *ls d ns
(9.7.58)
b
dzs /
Y 1 — n. I
524
Входящие в (9.7.58) функции Ф, Чг определены выражениями
(9.7.55), (9.7.56). В частности, при = О
Ф lgs=o
«s
п=1,3,..
5Ф
2пг2
У] nAsnS'On(— ics,T]s),
(9.7.59)
^t)s Es=o
«s
n=l ,3,...
Bs=o
cl
s
При численном решении задачи приближенные значения вели-
чин Ап и Bsn(s = + 1) находятся из усеченных систем нормального
вида, получаемых из (9.7.27) — (9.7.32) после введения для мат-
ричных элементов систем и их правых частей соответствующих
обозначений. Так как определители систем (9.7.27), (9.7.28) равны
1 Оц 0 «13 0 015 0 017 0
oil 1 013 0 015 0 an 0 019
0 031 1 O33 0 O35 0 037 0
O31 0 Оз+з 1 035 0 037 0 039
0 ай 0 053 1 O55 0 O57 0
Им О «и 0 055 1 «57 о 059 • . .
О O71 О Q73 О Q75 1 O77 0 . . .
071 о Отз 0 075 О O77 I Ото • •
О 091 о О 93 о 095 о 097 1 . . .
(9.7.60)
ГДС CLntn —
— Pnm
Onm1,+1) н otm — oL'' ° либо соответственно onm=
и aXi = Pnm1’-'’, то после введения обозначений
X2;—i — A^Li, X2j- — A2il-1,
fsi—i = fzi—i, — fzii >
(9.7.61)
с2[—1,2/ —021—1,2/—1, c2/,2/—1 — O2i—1,2/— 1 >
C2i—1,2/—1 — C2i.2j — 0, I, / — 1, 2,...,
525
и аналогичных обозначений для системы (9.7.28)
x2i—1 = х2{ = B21L1 ,
fii—l = фИ--1, fit = фи-1 I
(9.7.62)
с — R(-1-±!) г — „(+1 -*>
с2,—1,2/ — P2i 1,2j— 1, C-2i,2/—1 — ЧИ—1.2/—1 ,
C2f—1,2/—1 = C2l,2/ = 0, i, j = 1, 2,...,
нормальной формой для систем (9.7.27) и (9.7.28) будет
xi + V cCjXj — fit i = 1,2,... (9.7.63)
j=i
Усечением (9.7.63) получается конечная система
2N
Xi + у c{jXj = f{, i = 1,2,...,2ЛГ, (9.7.64)
j=i
состоящая из 2N уравнений с 2ЛГ неизвестными Д/р, п =
= 1,3,..., 2N—1, или Bjp, л =1,3,..., 2N—1. В качестве исход-
ного значения N для вычисления Д,р (или В„и) с заданной
степенью точности можно брать /V = [с] 1; с = maxcs, где, как
s=±l
и раньше, квадратные скобки означают целую часть с. Исключе-
нием из (9.7.64) одной серии неизвестных Др1 (Д,р) или соот-
ветственно Bp1 (В,р) можно получить систему, состоящую из
N уравнений с N неизвестными А„1 (Др1) или соответственно
Bn' (Bp1), л = 1, 3,..., 2N — 1. Однако в результате операции
исключения указанных серий неизвестных значительно усложнится
структура матричных элементов и правых частей получаемых при
этом систем.
В случае дисков равных радиусов, когда с+1 = с_г = с, в си-
стемах (9.7.27), (9.7.28)
ипт — ^пт —и-пт >
(9.7.65)
ипт — Рпт Упт »
на основании чего отыскание приближенных значений Д„’ и
Вп' можно свести к решению независимых систем N уравнений с N
неизвестными
Уп 4“ &птУт ^п’
и = 1, 3,..., 2N— 1, (9.7.66)
526
если положить
&пт?т ^п.1
m=l,3,...,2N— 1
yn = A+l+A„l, dn^f+l+f-1 ,
zn = A+l~Anl, en=f+'~fnl
или
Уп = в+* +Вп *, dn = (pt* +<р7*
Zn = Bn1—Bn1, e„ = (pt1— фп1
(9.7.67)
(9.7.68)
соответственно.
Если при c+i = c_j = с диполь находится в точке О на оси
вращения дисков в зазоре посередине между ними, то тогда g_li0 =
— g+i,o и в силу нечетности индекса п SOn (— ic, Л-i.o) =
— — SOn (— ic, T]+i,o)- В этом случае можно установить, что постоян-
ные интегрирования С+1 и С_х будут отличаться друг от друга
лишь знаком, а именно С+1 = —С_г. Из (9.7.27) — (9.7.32) после-
дует, что тогда
А„ = Л+1 = — А~1, Вп = В+1 = — В71, n = 1, 3,... (9.7.69)
В результате отыскание приближенных значений Ап и Вп приво-
дит к решению систем
Ап- £ = fn= fn1=—fnl,
m=l,3, ...,2N—1
(9.7.70)
Bn | ^ПщВт — <Pn’ Фп ф« фп >
m=l,3..2.V—1
получаемых из (9.7.64) исключением серии неизвестных Д,1 или
Вп1 соответственно, п = 1,3,..., 2W— 1.
Высказанные в § 5 данной главы замечания о вычислении пра-
вых частей и матричных элементов системы (9.5.11) полностью
переносятся и на (9.7.29) — (9.7.32).
Применим теперь к системам (9.7.27), (9.7.28) метод последо-
вательных приближений, взяв в качестве нулевых приближений
значения^® = 0, =0, s = + 1. Тогда, например, из (9.7.27)
получим
М1 — fs
(9.7.71)
sAm
£ т = 2, 3,...,
Р=1,3,...
527
и в предположении, что итерационный процесс является сходя-
щимся,
X = V s<- (9.7.72)
т=1
В результате потенциал Ф1 (g, т|) вторичного поля запишется в виде
Ф(5,ч) = 2ikm2 22 X ^0) X
s=+l n=l,3,... 'm=l /
X (- ics, i gs) So„ (-ics, 7js). (9.7.73)
Подобным же образом из системы (9.7.28) находим
S тэ 1 S
Вп = ,
(9.7.74)
2 , /и = 2, 3,...,
и
В* =
m=l
(9.7.75)
а потенциал (£, ?]) запишется в виде
T(g,r])=2ifon2V 2 (Х sb« ') ^)(-4,i°) X
s=±l n=l,3,... \т—1 '
X (- ics, igs)Sln(- Zcs, T)s). (9.7.76)
Установим физический смысл величин (9.7.71), (9.7.74). Обо-
значим через Ф* и Чг' потенциальные функции, которыми опре-
деляется поле Es* , Hs* , возбужденное s-м диском (s = + 1) дей-
ствием на него только поля Е° , Н° диполя без учета влияния
поля eLs, HLs, рассеянного -s-м диском (s = +1), и назовем их
(§ 9 гл. 1) функциями первого порядка рассеяния (им отвечает
дифрагированное поле Es* , Hs* первого порядка рассеяния). Под
действием поля ELs, HLS, возбужденного—s-м диском и опреде-
ляемого функциями ф1_5, ЧгLs, s-й диск возбудит поле Es2 , Н2 вто-
рого порядка рассеяния, величина которого будет определяться
функциями ф2, второго порядка рассеяния, и т. д. В резуль-
тате окажется, что под действием поля Е2.71, Н”7* (п— 1)-го
порядка рассеяния, обусловленного —s-м диском, s-й диск возбу-
дит рассеянное поле Е" , Н" n-го порядка рассеяния, определяе-
мое функциями ф", Ч*-" и-го порядка рассеяния, и т. д. Полное
528
поле Es, Hs, рассеянное s-м диском, которому отвечают функции
Os, Ts, может быть найдено как сумма полей всех последователь-
ных порядков рассеяния. Для него
ES = VE", Hs=Vh",
n=l ri=l
(Ds= 2 4^ = 2
ft—1 n=l
Полное поле E1, H1, рассеянное обоими дисками с учетом их вза-
имодействия, будет равно
е1 = 2 Е- н1= 2 Hs
S— ±1 s=±l
и определится через потенциальные функции
s=±l s=±l
Если потребовать теперь, чтобы на поверхности s-ro диска (s= + 1)
одновременно обращались в нуль тангенциальные составляющие
векторов Е° +Е1, Es + ELs, ..., Е" + El;1, ... (при этом танген-
циальные составляющие вектора Е электрической напряженности
полного поля также обратятся в нуль на поверхности s-ro диска,
s = + 1), то окажется, что все функции Ф° + Ф1 , 4J* ,...,
Ф:+ Ф-s', + 4rls' , ... , отвечающие им, будут на поверх-
ности дисков удовлетворять граничным условиям (9.3.31). По-
этому если представить потенциальные функции ФГ и m-го по-
рядка рассеяния в виде рядов
ФГ (g, я) = 2ikm2 V n*A™R$' (— ics, i 0) X
n=I,3,.. .
X Ron ( ^s> 1 ^s) ^°ft ( iCS’ ^s)’
(9.7.77)
^(5,11)=
V sBnR^(-icstiO) X
rt=l ,3,...
XR™ (—ics> iUSift(—'A> 9s)>
то из (9.3.31) для коэффициентов рядов SA„ и SB„ получатся выра-
жения, тождественно равные (9.7.71) и (9.7.74) соответственно.
Отсюда следует, что величины SA™ и SB™ из (9.7.71) и (9.7.74),
34. Е. А. Иванов 529
полученные на основе формального применения метода последо-
вательных приближений к бесконечным системам (9.7.27) и (9.7.28),
являются не чем иным, как коэффициентами рассеяния т-го по-
рядка, при помощи которых определяются потенциалы Ф/”, ЧгГ
вторичного электромагнитного поля Е™, Н'1 m-го порядка рассея-
ния (s = + 1, т= 1, 2, ...), возникающего в результате много-
кратных последовательных вторичных дифракций волн на дисках.
Формулы (9.7.71), (9.7.74) можно рассматривать как рекуррент-
ные соотношения, из которых коэффициенты рассеяния произволь-
ного порядка находятся через все предшествующие и в конечном
итоге черезsj4„ = fn, sB'ri = .
В случае, когда расстояние между центрами дисков намного
больше длины ванны (kl^> 1) и велико по сравнению с радиусами
дисков, нахождение приближенных значений Asn и В„ — коэффи-
циентов суммарного вторичного поля, обусловленного s-м диском
(s = + 1), может быть сведено к суммированию геометрической
убывающей прогрессии, получающейся из (9.7.72) или из (9.7.75)
после применения замены в матричных элементах <inmS,s) и
PnmS‘s) сферической бесселевой функции ftp’ (&/) ее асимптотиче-
ским относительно аргумента выражением. По той же схеме, что
и в § 3 гл. 6 в аналогичной ситуации получится, что приближенно
[87]
As — A
Л« ~ ЛП5
P~s —LQ(—s)Ps
Q —s |
1 — [L2Q (—s) Q (s)] '
/-ПП Ч —*
1 — [L2Q(—s)Q(s)]
В 4- (—s)
_ т ' 1 — [E2Q (—s) Q (s)]
Cs,
(9.7.78)
ГДе Q (s) — tZnsfens> pS — Ansbnst QS = 7?ns^ns,
n=l,3.... «=1,3.... «=1.3,...
L= — 2 ieikl/kl, ans=
»nSo«(—gcs, 1)
’ (— ics, i 0) Non (—ics)
X Non (—ics, iO)So„(—ics, 1),
, t>ns = — i"n X
________‘Son ( t]so) Ron ( ics, i ^sp)
(— ics) ^o« (~ lcs> i 0)
____________________d°in(~ics) _______
3 ikmtfiNOn (—ics) (—- ics, i 0) Ron (— ics, i 0)
в предположении, что | L2Q (— s) Q (s) | < 1;
Bn — cp« > s == + 1-
(9.7.79)
530
Постоянные интегрирования Cs, входящие в (9.7.78), (9.7.79), нахо-
дятся по прежней схеме. В соответствующей задаче о дифракции
плоской электромагнитной волны (9.7.41) будет (kl > 1)
as,ПЛ апл Рлл k,Q( S) f ’
п ns 1 — [L2Q( — s)Q(s)l ns~
_________4~S^-anfi—s_____
1 - (L2Q (-s) Q (s)l '
(9.7.80)
। n , qSansL2Q (~~s) 1 ^пл
' p ' 1 - [L2Q(- s)Q(s)lJ bs ’
= фппл, s= ± 1, (9.7.81)
где L, Q(s), Bns, ani, bns, qs определяются, как и выше, а
^4™ _____£ ___________гп+1ВОп( ics, 1)________
kim2nNGn (— ics) ' (— ics, iO)
Es = E_se~“k‘, s = ± 1, Я.л= b-’
л=1,3..--
S.IIJI Г^ПЛ
Ф« = Dn£s ,
D = 2dlon(~ics)__________________
3 ikm2Nln (— ics) R\n(—ics, i 0) (— ics, i 0)
Формулы (9.7.78) — (9.7.81) удобны для численного счета и
анализа дифракционного поля при kl 1 (I велико и по сравне-
нию с радиусами дисков), так как их использование не связано с
предварительным расчетом матричных элементов систем. Этот слу-
чай более полно изучен в [87J.
В качестве примеров на рис. 64 приведены диаграммы направ-
ленности, построенные для составляющих и Е^ полного поля,
когда горизонтальный магнитный диполь находится на поверхности
— 1-го диска в его центре (формулы (9.7.27) —(9.7.32) и
(9.7.49), е = р = I; плоскости Oxz, Оху, угловая координата ди-
поля т|_j = 1). Штриховой линией обозначена диаграмма направ-
ленности поля излучающей односторонней элементарной щели
(—1-й диск с диполем в его центре, Tj-j = 1) в отсутствие в про-
странстве + 1-го диска; линиями с точкой — диаграмма функций
и Еу вторичного поля, рассеянного на обоих дисках (диполь
в центре—1-го диска,i]_I=l). Изменение диаграмм направленности
для полного поля с изменением расстояния между дисками пока-
зано на рис. 65, где штриховая линия обозначает то же, что и
на рис. 64.
34* 531
Электрический диполь. В этом случае задача о дифракции
на двух соосных бесконечно тонких круговых дисках может быть
решена по той же схеме, что и для магнитного диполя. Электро-
*—►
магнитное поле находится через электрический вектор Герца П
Рис. 64. Функции |#ф|2 и в плоскости Оуг (/) при зна-
чениях с+1 = с_! = 1, kl = 3 и функции | Еф | 2, |Еф|3 в пло-
скости Охг (2) при тех же значениях параметров (а) и соответ-
ственно при значениях с+1 = 1, с—1 = 2 и Ы = 3 (б)
из соотношений
Е = grad div П + F П ,
(9.7.82)
Н = —ifeoerotn, &о = — .
Если вектор Герца первичного поля представить в виде суммы
двух векторов
gikR
= P^R~’ р=
Пт = { | р | sinaelW? /R, 0, 0},
(9.7.83)
П2 = {0, 0, | р | cos a eikR /R},
{ | p | sin a, 0, | p | cos a)
то тогда вторичное поле можно рассматривать как результат нало-
жения двух частных электромагнитных полей, одно из которых
отвечает случаю возбуждения дисков вертикальным электрическим
диполем с моментом {0, 0, | р | cos а}, а второе — случаю возбуж-
дения дисков горизонтальным электрическим диполем с моментом
[ | p|sina, 0, 0} при условии, что оба диполя находятся в одной
и той же точке Р на оси вращения дисков. Поэтому решение за-
дачи для произвольно ориентированного электрического диполя
532
можно получить из решений задач о дифракции поля вертикаль-
ного и горизонтального диполей на двух дисках. Первая из этих
задач решена в § 5 данной главы.
В случае горизонтального электрического диполя вектор Герца
а
е*о
б
в*о
Рис. 65. Функции I Hq. |2 в пло-
скости Оуг (с) и | Е(р|2 в плоско-
сти Охг (б) в зависимости от Ы
при с+1 = С-р
Ы = 3(О. 3,5 я (2), 5я(3), 50 я (4)
П полного поля ищется в виде
где
П= (ПА, 0, IIJ,
Щ = П° + 112 = ф°,(£, n) + W-Ч) = O(L ч)> (9.7.84)
Пг = III = Чг (£, 1]) cos <р.
На основании соотношений (9.3.8) составляющие электромагнит-
ного поля будут выражаться через Ф и Ч' в одной из координат-
ных систем сплюснутого сфероида формулами (9.3.18), если пред-
варительно в (9.3.18) заменить ЕГ: и Eq на НГ} и Н1{ соответ-
ственно и заменить р на —е.
Функции Ф, Ч' не зависят от азимутального угла <р. Как и в
случае магнитного диполя, они должны быть решениями уравне-
ния Гельмгольца с азимутальным числом т = 0 или т = 1 соот-
ветственно, удовлетворяющими условию излучения на бесконеч-
ности и заданным граничным условиям на поверхности каждого
диска. В локальных координатах s-ro диска эти условия имеют вид
533
Ф(Ьч) = -с,
ач'й.ч) _с?п /“TZ?
cscs ’Is * 1 гЬ
, gs = 0, s = ± 1, (9.7.85)
где Cs — некоторые постоянные, требующие своего определения в
дальнейшем. На ребрах дисков искомое поле должно удовлетво-
рять условию Мейкснера, которое и в данной задаче может быть
записано формулой (9.7.25).
В локальных координатах s-ro диска потенциал Ф°(Е, rj) пер-
вичного поля диполя представим рядом
фо = 2 ikp V Mrfr Y- S«" (- ns) X
R® i gs) R®(-ics, i gs0), gs0 > gs, 7
Rbn(—ics, i ics, i ls), ls0 < gs ,
а потенциалы Ф’ и 4f вторичного поля ищутся в виде
®iQ,T])=2ipfc У ФЛ^,т1Л
(9.7.87)
Т(^,1])=2ф/г У
s=±l
где
®s = 2 (“ tCs’ 1 S°" ICS’ Ч»)»
п—0
(9.7.88)
п=0
При помощи теоремы сложения (5.5.18) из (9.7.85) для коэффи-
циентов рядов asn и Ьп получаются бесконечные системы линей-
ных уравнений, из которых сразу же находится, что
а„ = Ьп = 0 при нечетных п. (9-7.89)
После замены неизвестных asn и bsn новыми неизвестными Asn и
Bsn по формулам
4 = Ron (— ics, i 0) An , n = 0, 2,
(9.7.90)
bsn =R(ltn)'(— ics,iQ)Bn, n = 2, 4,...,
534
для неизвестных Asn , В„ получатся системы
Ап+ a^s>s)/l-s = /', п = 0, 2, ; s= ± 1, (9.7.91)
т=0,2....
Bsn + 2 ₽^s,s)Bm П = 2, 4, ... ; s= ± 1, (9.7.92)
т=2, 4,...
с матричными элементами
а-,s) = Q^(cs’ с-- z> e-.s)’ <9-7-93)
/%/(—tcs, iO)
p;_s,s) = c_s. z> e_ss) (9.7.94)
Rin ( — ics, iO)
и с правыми частями
CS ( ics> f]so) Ron ( i-Cs, Iso) [
Non(— ics)R$ (— ics, iO)
+ -----------------dg"(-tcs)Cs---- ----------- (9 7 95)
ikpNOn (— ics) Ron (— ics, iO) R$ (— ics, iO)
(pn =----------------2cs2 d}" (-tcjC, ------------_ (9.7.96)
5ikpNin(— ics)R\„ (—ics, iO)R\n (—ics, iO)
Определители систем (9.7.91), (9.7.92) можно записать в виде
1 а00 0 ао2 0 а04 0 О а08 . . -
1 ° а« ° ° ай ° • • •
О а20 1 а22 О а24
а+ О а+ 1 а+ О
О а~ О а~ 1 а-
а+ О а+ О а+ 1
О а60 О а62 О а64
О а+ О а+ О
О а80 О а82 О а84
а+ О а+ О а+ О
и аГб и а- ...
а+ О о +8 о
О а46 0 а- ...
а+ О а+ 0 ...
40 (9.7.97)
1 а66 0 а68 . . .
а66 1 а+ 0 ...
° аГб 1а- ...
а+ 0 а+ 1 ...
535
где а- = а<~1-+1) а+ = а<+1,—*) или а- - R<—*--Н) а+ =
пт пт ' ипт пт пт Рп-|-2 ,т-{-2 ’ 'пт
= Pn+2m^2> п' т = 2, ... После введения обозначений
A2i+1 = -^21 , fsi+l == fi*>
x2i+2 = -^21 t $21+2 ~ fzi ,
C2i+i.2i+2 = a^;+1) , C2/+2.2/+i = а^Г1’ ’ (9-7.98)
C2»+1.2j+l = C2<+2.2/+2 = O’, I, j = 0, 1, ... ,
в системе (9.7.91) и обозначений
A2i+1 = /21+I ~ фй-р2>
а2<+2 — Bzt+2i fzi+2 ~ ф2;4-2>
C2f+l,2/+2 = ₽2(+2^/+2> С2;+2,2/+1 = РаН-2,2/+2> (9.7.99)
c2i+i.2/+i = с21-+2,2/+1 = 0; i,j — 0, 1, 2, ... ,
в системе (9.7.92) обе системы запишутся в нормальной форме
х‘+ 2 с‘’х> = fi' i = 0’l>- (9.7.100)
J=0
Системы (9.7.91), (9.7.92), подобно системам (9.7.27), (9.7.28),
имеют единственное решение, удовлетворяющее условию
СО
"V 1хп|2<со. Оно может быть найдено методом усечения.
При численном решении задачи приближенные значения
А?1 и Вп 1 находятся из усеченных систем
2N
х{ + V CijXj 1 = 0, I,..., 2N, (9.7.101)
1=0
получаемых из (9.7.100), где в качестве исходного значения N
можно брать N = [с] - 1, с = max cs.
s=±l
Случаи, приводящие к понижению порядка системы (9.7.101)
и к упрощению расчетных формул, могут быть рассмотрены,
как и ранее.
§ 8
Рассеяние наклонно падающей
электромагнитной волны
на двух соосных круговых дисках
Задачу о рассеянии плоской электромагнитной волны,
наклонно падающей на два соосных идеально проводящих бес-
конечно тонких круговых диска радиусов р_г = и р+1 = а+1,
536
удобно решать в локальных координатах сплюснутого сфероида
gs, Vs с началами в центрах дисков и с фокусными расстоя-
ниями fs = as, s = + 1.
Если фаза волны (9.4.1) определяется в любой точке относи-
тельно ее значения в точке О, лежащей на оси дисков посере-
дине между дисками (точка О — начало координатной системы
Oxyz, рис. 66), то тогда в локальных координатах s-ro диска
уравнение падающей волны (9.4.1) запишется в виде
Е°=Е'ЧГ, Ч*-= e‘ft(nr“s)+‘*<nrs) , s=±l, (9.8.1)
где, как и раньше, Е' = |Е'| = const, a rOs — радиус-вектор, сое-
диняющий центр s-ro диска 0s с точкой О; rs — радиус-вектор
Рис. 66. Дифракция плоской волны при на-
клонном падении на два соосных круговых
диска
точки наблюдения. Диски расположены на расстоянии I друг
от друга в однородном изотропном неограниченном пространстве
с электрической и магнитной проницаемостями е, ц и проводи-
мостью о = 0 (/г = /г0|./ф, /г0 = (о/со). Вектор и образует угол а
с положительным направлением оси Oz (оси Oz координатных
систем совпадают с осью симметрии дисков и <ps = <р, s = + 1)
и параллелен плоскости Oxz. Поэтому в (9.8.1) (nrOs) = s/0cosa,
s = + 1, Zo — Z/2, a (nrs) = —xssina -j-zscosa. Как и в § 4 дан-
ной главы, рассматриваются два случая поляризации волны (9.8.1):
случай, когда Е°[| пл. Oxz, и случай, когда E°_L пл. Oxz.
Им отвечают электрические векторы Герца (9.4.5) и (9.4.6) соот-
ветственно с функцией Т, взятой из (9.8.1).
537
Полное поле определяется формулами (9.4.7), записанными
- >• - >• - >
в одной из координатных систем (И = П° + П1).
Предполагается, что рассеянное на дисках поле определяется
через вектор П1 = {ill, Пу, 0} (он параллелен поверхностям дис-
ков, причем 11'—0 (ПууЧ)) в случае поляризации типа (9.4.5)
или Пу = О (П1 = 0) в случае поляризации поля типа (9.4.6).
В математической постановке дифракционная задача состоит
в отыскании потенциалов I1L Пу рассеянного поля, удовлетво-
ряющих в области вне дисков однородному скалярному волно-
вому уравнению Гельмгольца, на поверхности каждого из дисков
(gs = 0, s = ± 1) граничным условиям (9.4.10), на их ребрах
(ts = 0, T]s =0, s = ± 1) условиям Мейкснера (9.4.11) и допол-
нительному условию излучения на бесконечности.
Как и в случае одного диска, рассеянное поле разбивается
на две части, одна из которых определяется вектором Пх = {ПЬл.,
П1.у, 0}, а вторая часть — вектором П2 = {П2х, П2у, 0}, так что
П1 = ПХ + П2.
От вектора Пх требуется, чтобы на поверхности дисков в сум-
ме с вектором П° первичного поля он удовлетворял условию
(9.4.13)
(П° + Пх ) |6 =о -0, s = ± 1. (9.8.2)
Тогда условию (9.4.10) при Es = 0, s = + 1, будет удовлетво-
•—>
рять только вторая часть рассеянного поля П2.
Когда Е°_[_ пл. Oxz, тогда в локальных координатах s-ro
диска для первичного поля имеет место разложение (9.4.14)
2Eefcfe^cosa ” " t'nSm„(— tcs, cos a)
X C|« (- ics, i £s) Smn (- ics, qs) (9.8.3)
(П* = 0). Если же E°[| пл. Oxz, тогда в координатах s-ro диска
j jO _ 2EeisW"cosa ут ’Y'l inSmn(—ics, cos a)
A2 cos a jv (_ic ) X
n=0 m=—n mn v s
X/?$„(-ics i^s)Smn(-ics, т)8)е/тф (9.8.4)
(П£ = 0).
538
Найдем сначала первую часть рассеянного поля Пг
В зависимости от типа поляризации падающей волны вектор
Пх ищется в виде
s=±l л.=0 т=—п
х ics. ics,r]s)etmfe
(П11Л. = 0) или в виде
(9.8.5)
2Е
k2cos а
т=—п
X^|n(-ics, ils)Smn(-ics, r]s)e^
(9.8.6)
(IIjti, — 0). При помощи теоремы сложения (5.5.18) из гранично-
го условия (9.8.2) для коэффициентов asmn и рядов (9.8.5),
(9.8.6) получаются бесконечные системы линейных уравнений
нормального вида, правые части и матричные элементы которых
(кроме диагональных, равных единице) будут содержать в каче-
стве множителя функцию Rjm|n(—ics,i0), равную нулю при нечет-
ных значениях (п + т). Поэтому из систем сразу же находится,
что при нечетных (п + т)
afnn = bsmn = 0. (9.8.7)
Если в системах для asmn и bsmn сделать замену неизвестных по
формулам
О-тп = Elmjn ( ^0)
(п + т) — четное, s = ± 1, (9.8.8)
Ьтп = R[m|n( Втп,
то из них для новых неизвестных величин и Bsmn получатся
бесконечные системы
Атп + 2 S’ (9-8-9)
<7=|т|
s = ± 1, |ш| < п, п = 0, 1, ...,
Втп+ 2 (9.8.10)
?=/m|
539
с матричными элементами
„(—s.s) _ о (—s.s) _ R<m!n(—ics, Ю)
umnq '— Pmnq----------------------
Rfmjn(-tO)
XЧтптЧ G"s> C—s’ ®—s.s)
и со свободными членами
_ tnelsW»cosaSmn(—tcs, cos а)
I mn---------- ----
Nmn ( Ics) ^?|m|n ( ics> tO)
S ______ fS
Ц'тп — /гол*
(9.8.11)
(9.8.12)
После введения обозначений, подобных принятым в § 3 гл. 7
для систем (7.3.9), (7.3.10), система (9.8.9), тождественная сис-
теме (9.8.10), может быть приведена к нормальной форме (7.3.17)
с определителем вида (7.3.14). Значения неизвестных Asmn = Bmn
для каждого т находятся методом усечения.
В случае нормального падения плоской волны (9.8.1) на ди-
ски, когда а = 0 (или а = П), fsmn — ^smn = 0, если my=0. Тогда
АтП = Bsmn = 0, если т 0,
(9.8.13)
4п = в’оп = л’.
В этом случае
Х«си (— ics, i0) R$ (—ics, iy So„(—ics, y. (9.18.14)
Для первичного поля
П° = Ц° - 2Ee‘skl° у 1)
X Ron (—ics, iyS0„(— ics, T]s).
(9.8.15)
Получающаяся при этом из (9.8.9) (или (9.8.10)) бесконечная
система для неизвестных Asn идентична рассмотренной в [86, 87].
Определением Asmn и Bsmn решается задача по отысканию пер-
вой части рассеянного поля.
540
Вторая часть рассеянного поля П2 ищется в зависимости от
типа поляризации падающей волны в виде
2£
k2
ОО П
У , У , У dmn X
s=±l и—0 т=—п
XR\m\n (~ics, i ls)Smn (—ics, r]s) (9.8.16)
(ll2,x = 0) или в виде
П2.Л
X R$\a(— ics, i £s) Smn (— ics, i]s) eim*
(9.8.17)
(Пм = 0).
Коэффициенты asnm и bsmn рядов находятся следующим обра-
зом. Как и в случае одного диска, сначала функция Ф из (9.4.10)
(5S = 0, s — ± 1) разлагается на поверхности s-ro диска в ряд
по цилиндрическим волновым функциям
со
ф(р„ <р) = V csmJm(kps)e^ (9.8.18)
ГП——оо
(в локальных полярных координатах ps, <ps = ф с центром в Os,
s= + l). Затем (9.8.18) подставляется в граничные условия
(9.4.10) (при gs — 0, s= ±1). В результате получаются соотно-
шения
П2„ = -^- V xsmJm(kps)e^ (9.8.19)
—сю
(П2,х = 0), или
СО
= S (9-8-20*
т=—со
(П2,у = 0) соответственно, где
S __ S t S
Лпг — “Г L'm—1>
(9.8.21)
S _ S S
Ут — L'W'f-l ^т~-1-
После замены в левых частях (9.8.19), (9.8.20) потенциалов
и П21Х их разложениями (9.8.16), (9.8.17) и применения теоремы
сложения (5.5.18) для коэффициентов afnn и bsmn получатся беско-
541
нечные системы линейных уравнений, из которых, как и при
отыскании Пь сразу же находится, что
asmll — bs„m = 0, если (п ± т) нечетное. (9.8.22)
Если в этих системах сделать замену неизвестных по формулам
@тп = 1'0) Amni
(п ± tri) четное, (9.8.23)
Ьпт = R|m|n (— ICS, l'O) Bfnn,
то для новых неизвестных Asmn и Bsmn получатся бесконечные си-
стемы
Атп + O-mnq^Amq — FSmrl. (9.8.24)
<7=|m|
s = ± 1, |m| -C n; n = 0, 1, ...,
Bsmn + У a^s}B~sn = (9.8.25)
g=|m|
с теми же значениями матричных элементов a^,s), что и в
(9.8.9), (9.8.10), и с правыми частями
F тп = iXmPmm
(9.8.26)
Фщп = COS Ct утРтп->
где
Ртп = 1п~т----------------------------------— • (9.8.27)
2Е Nm ( ics) 7?|m[n ( ics, t’0)
Правые части (9.8.26) содержат еще неопределенные величины
хт и f/т» s = ± 1- Последние могут быть определены из усло-
вий Мейкснера (9.4.11), gs = T]s= 0, s = ± 1, записанных для
—>
полного рассеянного поля П1. В первом из рассматриваемых в
задаче случаев поляризации падающей волны после подстановки
в (9.4.11) (gs = t]s — 0, s= ± 1) выражений (9.8.5), (9.8.16) на
основании теоремы сложения (5.5.18) получается соотношение
СО
У (ЛД„ + Asmn)Smn(—ics, 0) = 0, s = ± 1, (9.8.28)
n=Jm|
542
(К
Я
Д а во втором случае после подстановки в (9.4.11) выражений
'Н (9.8.6), (9.8.17) — соотношение
оо
?? V (Bsmn+ Bsmn)Smn(-ics, 0) = 0. (9.8.29)
Й n=|m|
n Очевидно, что решения систем (9.8.24), (9.8.25), имеющих ту же
структуру, что и системы (9.8.9), (9.8.10), можно записать в виде
Tlmn = &-тп Хт -р Pmn Хт .
s=±l, (9.8.30)
S ___ S S | CS —S
тп — \тп ут ~Г Omn Ут ,
где атп’ Утп и 6^„ —выражения, не зависящие от х^ и ysm
(практически значения этих выражений для кождого т могут
быть найдены с любой степенью точности из (9.8.24), (9.8.25)
путем решения получающихся из них усеченных систем). После
подстановки (9.8.30) в (9.8.28) или соответственно в (9.8.29)
для определения xsm и ysm получатся системы уравнений
S S I о s — S S । 1
Gm %т “г* Р//7 > S = X ‘ ?
ИЛИ
Ym Ут + 6m l/mS = От, S = + 1,
где
00
"Гт = AmnSmn( ics,0),
n=j т I
со
amnSmn( —ICS, 0).
с»
Р'п = PmnSmn ( ICS,O),
n=|m|
s
От —
\tn i COS Ct- G-m ,
6m I COS Ct ,
Ymn = — I cos a afnn, 8smn = — i cos a
решая которые, находим
xs -
лт —
S —S —S OS
Хщ Ctm Тт Рт
-----ZZ--------------> ‘
От О-т Рт Рт i * *
i s
: ~ Хт, S — + 1.
cos a
Ут =
(9.8.31)
(9.8.32)
(9.8.33)
(9.8.34)
(9.8.35)
543
Тем самым полностью определяются значения неизвестных
Атп и Втп, а через них и вторая часть рассеянного поля П2 Для
обоих случаев поляризации волны (9.8.1).
При нормальном падении волны (9.8.1) на диски, когда а = 0
(а = л), xsm=ysm=Q, если т =/= 0, xs0 = — iys0, s=±l.
Поэтому
An = = A , s — — 1,
II
n.„= ik,= S S A X
’ s=±l n=0,2,...
XRf>n(— ics, iO)R$}(—ics, igs)S0,(—ics, t)s). (9.8.36)
Если a 0 (а X л), то для полного рассеянного поля
П1 = Пьх + п2,х
2Е
б2 cos a
х S S Е (S"in+х
X (—ics, iO) R$n (- ics, i |s) Smn (- ics. (9-8-37)
когда E° || пл. Oxz (Пу = nri, + Пг,у = 0), и
П^ = П11£, + П^=-^-х
х , (Ann + Ann) X
х 2?{”|n(- ics, iO) R$ln (- ics, i Bs) Smn (- ics, T]s) e^, (9.8.38)
когда E° I пл. Oxz (П1 = n1>x + n21X = 0).
Если a = 0 (a = л), то П1 = П^,.
Составляющие векторов Е1, Н1 электрического поля, рассеян-
ного на дисках, в любой точке вне дисков находятся из соотно-
шений (9.4.7), записанных в одной из координатных систем.
В случае, когда Е°|]пл. Oxz, в приближении волновой зоны
в сферических координатах г, 0, <р с началом в точке О
Е\ = -1/н /4 = -Е S1(e, <р; а),
V Е ikr
(9.8.39)
Е^ = _1 /Р Н^-Е -^-Х2(6, Ф; а),
♦ Б ikr
544
где амплитудные функции равны
_ _ cos 6 cos ... г,
Хг (6, <р; а) = 2 ------------t- > e-lsft/,,cose х
cos а
(9.8.40)
х Х(—i)"(BAn+ Bmn)/?|m|n(—ics, t’O) Smn{— ics, cos6)e’m^,
n,m
S2(6, T; a) = —--------------Хг(6, <p; a). (9.8.41)
cos 6 cos<p
Величина обратного поперечного сечения рассеяния (в нап-
равлении на источник: 6= л — а, <р = 0) для двух дисков может
быть вычислена по формуле
4тг
ов = —т— |SX (л — а, 0; а)\2,
(9.8.42)
где
Хх (л — а,
0; а) = — 2
s=±l п,гп
X {Втп + Втп) R\m\n{—ics, iO)Smn (— ics, cos a). (9.8.43)
При a = 0
Хг(л, 0; 0) = —2 У eisfcZ« X^ in x
s=±l n=0,2,...
x (Asn -b Asn) R$ (- ics, iO) SOn (—ics, 1).
(9.8.44)
При помощи теоремы сложения и соотношений (9.8.10) —
(9.8.12), (9.8.25) — (9.8.27) можно найти выражение потенциала
Пх полного электромагнитного поля вблизи s-ro диска
2Е
б2 cos a
{Втп + Втп) X
п=0 т——п
X (R J4n( ics, iO) R (— ics, i ^s) —
~Rwn{—ics, Hs)R\3^n{-ics, iQ)\Smn{-ics, r)s)^-
s
n—0 m=—n
,s Smn {— ics> 0)
X Rlm\n{—ics, ils)Smn{—ics, tys)ein^ (9.8.45)
35. E. А. Иванов
545
(/>fs£s). При помощи (9.8.45) из (9.4.34) и (1.1.7) находится
закон распределения плотности поверхностных токов, наведенных
на s-м диске:
— coscp
„ 2^--------- <₽).
2nr]s cs cos a
iEc0
A---
1Ес0
(9.8.46)
sin <p
_ 2 --------- (^S’ Ф)’
znT]s cs cos a
A =
где
п
zcs, t]s) (9.8.47)
п~0 т=—п
В случае, когда E° _l_ пл. Oxz, в приближении волновой зоны в
сферических координатах г, 0, <р с началом в точке О
Е^ = i/Р ^ = -E-^S3(0, Ф; а),
И е ikr.
г- ikr (9.8.48)
Еф = - 1/ t = Е S4(0, ф; а),
у Е ЬкГ
где
Х3 (0, ф; а) = 2 cos 0 sin ф У e-isfeZocose У (—Q" х
s=±l п,т
X (АА + А™) XX (- ics, 10) Smn (- ics, T]s) (9.8.49)
S4(0, ф; а) =------C°^-----S3(0, ф; а). (9.8.50)
cos 0 sin ф
Величина обратного поперечного сечения рассеяния (0 = л — а,
Ф = 0) находится по формуле
св = _±L |Х4(л - а, 0; а)|2, (9.8.51)
й2
где
Х4(л — а, 0; а) = 2 У eicosa у х
s=^ 1 п,т
X (Х„ 4- Хп) Я|т|п (—ics> ‘О) Smn (~ ics’ COS «) (9-8-52)
546
При а = 0 (а = л)
\(л, 0; 0) = 2 eiskl» in х
s=±l п=О,2,...
х (X + Asn)R$(— ics, iO)S0„(— ics, 1).
(9.8.53)
Как и в предыдущем случае, находится выражение потенциала
полного поля вблизи s-ro диска
СО п
, У (Ann 4* Ann) i^fm|n(—ICS, z'O) X
п=0 т=—1
X R^n(-ics, i^s)~R^n(—ics, i^)R\m\n(~ics, iO)} X
x Smn (— ics, ns) e™» - fa’ J] £ in~mx£
n=:0 m——n
Smn(—ics, 0)
ics)
X/?|^|„(-«cs, igs)5mn(-ics, ns)^™₽,
(9.8.54)
при помощи которого находится в свою очередь из (9.4.35)
и (1.1.7) закон распределения плотности поверхностных токов
на s-м диске:
•г? . / Е •
ibc0 1 / — sm<p
/л = ---------------------^2(nS’ ф)>
2зтт]5 cs
(9.8.55)
iEc0 \/ — coscp
ь =------------------------ф).
2ar]scs
е
со п
4>)=5j У И™ + ^n)Smn(—ics, -qs)^- (9.8.56)
n=0 zn——n
35*
ЛИТЕРАТУРА
1. Дж. Стрэттон. Теория электромагнетизма. М., Гостех-
издат, 1948.
2. А. Н. Т и х о н о в, А. А. С а м а р с к и й. Уравнения математической
физики. М., изд-во «Наука», 1966.
3. Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. Основные
дифференциальные уравнения математической физики. М., Физматгиз, 1962.
4. Л. А. Вайнштейн. Электромагнитные волны. М., изд-во «Сов.
радио», 1957.
5. А. Л. Альперт, В. Л. Гинзбург, Е. А. Файнберг. Распро-
странение радиоволн. М., Гостехиздат, 1953.
6. Г. А. Гринберг. Избранные вопросы математической теории
электрических и магнитных явлений. М., Изд-во АН СССР, 1948.
7. Л. Д. Гольдштейн, Н. В. Зверев. Электромагнитные поля и
волны. М., изд-во «Сов. радио», 1956.
8. С. Рамо и Дж. Уинн ери. Поля и волны в современной радио-
технике. М.—Л., ГИТТЛ, 1950.
9. Б. Я. Б р у н о в, Л. М. Гольденберг, Л. А. Цейтлин,
И. Г. К л я ц к и н. Теория электромагнитного поля. М.—Л., Госэнергоиздат,
1962.
10. В. Д. Купрадзе. Граничные задачи теории колебаний и инте-
гральные уравнения. М.—Л., Гостехиздат, 1962.
11. А. А. Семенов. Введение в электродинамику излучающих систем.
М., изд-во МГУ им. М. В. Ломоносова, 1963.
12. Г. Бейтмен. Математическая теория распространения электро-
магнитных волн. М., Физматгиз, 1958.
13. Ф. Франк, Р. Мизес. Дифференциальные и интегральные урав-
нения математической физики. М., ОНТИ, 1937.
14. Р. Курант, Д. Гильберт. Методы математической физики,
т. 1, 2. М., Гостехиздат, 1951.
15. А. Зоммерфельд. Дифференциальные уравнения в частных про-
изводных физики. М., ИЛ, 1950.
16. И. Г. Петровский. Лекции об уравнениях с частными производ-
ными. М., Физматгиз, 1963.
17. Ф. М. Морс, Г. Ф е ш б а х. Методы теоретической физики, т. 1, 2.
М., ИЛ, 1960.
18. Н. Е. К о ч и н. Векторное исчисление и начала тензорного анализа.
М., изд-во «Наука», 1965.
19. А. А н г о. .Математика для электро- и радиоинженеров. М., изд-во
«Наука», 1965.
548
20. Л. В. Канторович, В. И. Крылов. Приближенные методы
высшего анализа. М., Фнзматгнз, 1962.
21. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ
в нормированных пространствах. М., Физматгиз, 1958.
22. Г. С. Горелик. Колебания и волны. М., Физматгиз, 1959.
23. Б. А. Введенский. Основы теории распространения радиоволн.
М., Гостехиздат, 1934.
24. Н. Я. Виленкин. Специальные функции и теория представления
групп. М., изд-во «Наука», 1965.
25. Г. Я. Любарский. Теория групп и ее применение в физике. М.,
Гостехиздат, 1957.
26. А. П. Ю ц и с. И. Б. Левинсон, В. В. В а н а г а с. Математический
аппарат теории момента количества движения. Вильнюс, Изд-во полит, и
научной ли Герат. ЛитССР, 1960.
27. И. М. Г е л ь ф о н д, Р. А. М и н л о с, 3. Я. Шапиро. Представ-
ления группы вращений и группы Лоренца. М., Физматгиз, 1958.
28. Г. Н. Ватсон. Теория бесселевых функций, ч. 1. М„ ИЛ, 1947.
29. А. Кратцер, В. Франц. Трансцендентные функции. М., ИЛ,
1963.
30. Е. Т.Уиттекер, Г. Н. Ватсон. Курс современного анализа, ч. 2.
М., Физматгиз, 1963.
31. Е. В. Гобсон. Теория сферических и эллипсоидальных функций.
М., ИЛ, 1952.
32. Н. В. М а к-Л а х л а п. Теория и приложения функций Матье. М.,
ИЛ, 1953.
33. В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. 3, ч. 2; т. 4. М„
Гостехиздат, 1953.
34. Д. С. Кузнецов. Специальные функции. М., изд-во «Высшая шко-
ла», 1965.
35. Н. Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения. М., Физ-
матгиз, 1963.
36. Ж. Кампе де Ф е р ь е, Р. К а м п б е л л, Г. П е т ь о. Т. Фо-
гель. Функции математической физики (справочное руководство). М.,
Физматгиз, 1963.
37. М. Стретт. Функции Ламе, Матье и родственные им в физике и
технике. Харьков—Киев. ОНТИ Украины, 1935.
38. Г. И. П ет р а ш е н ь, Н. С. С м и р н о в, Г. И. М а к а р о в. Об
асимптотическом представлении бесселевых функций. Ученые записки ЛГУ,
№ 170, вып. 27, серия мат., 1953.
39. К. Ф л а м м е р. Таблицы сфероидальных волновых функций (б-ка
математ. таблиц, вып. 17). М., ВЦ АН СССР, 1962.
40. J. Meixner, F. W. Schafke. Mathieusche Funktionen und Spha-
roidfunktionen. Berlin, Springer—Verlag, 1954.
41. L. R о b i n. Fonctions spheriques et fonctions spheroidales. Gautier
Villars, 1958.
42. J. A. Stratton, P. M. Morse, L. J. C h u, J. D. C. Little, F. J.
Corbato. Spheroidal Wave Functions. New York, 1956.
43. J. A. S t r a 11 о n, P. M. Morse, L. J. Chu, R. A. Hutner.
Elliptic Cylinder and Spheroidal Wave Functions. New York, 1941.
44. R. Campbell. Theorie de I’equation de Mathieu fonctions. Paris,
1955.
45. M. Б о p h. Оптика. Харьков—Киев. ОНТИ Украины, 1937.
46. Р. К и н г, У Та й-Ц з у н ь. Рассеяние и дифракция электромагнит-
ных волн. М., ИЛ, 1962.
47. Д ж. Р. М е н ц е р. Дифракция и рассеяние радиоволн. М., изд-во
«Сов. радио», 1958.
48. X. X ё н л, А. М а у э, К. В е с т п ф а л ь. Теория дифракции. М.,
изд-во «Мир», 1964.
549
49. В. А. Ф о к. Дифракция радиоволн вокруг земной поверхности. М.,
Изд-во АН СССР, 1946.
50. Дифракция электромагнитных волн на некоторых телах вращения.
Сб. статей. М., изд-во .«Сов. радио», 1957.
51. А. И. Потехин. Некоторые задачи дифракции электромагнитных
волн. М., изд-во «Сов. радио», 1948.
52. Д. Уэйт. Электромагнитное излучение из цилиндрических систем.
М., изд-во «Сов. радио», 1963.
53. Г. Т. Марков, А. Ф. Ч а п л и н. Возбуждение электромагнитных
волн. М.—Л., изд-во «Энергия», 1967.
54. Т. в а и де X ю л с т. Рассеяние света малыми частицами. М., ИЛ,
1961.
55. П. Я. Уфимцев. Методы краевых воли в физической теории
дифракции. М., изд-во «Сов. радио», 1962.
56. Г. Б. Резников. Самолетные антенны. М., изд-во «Сов. радио»,
1962.
57. Д. 3. А в а з а ш в и л и. Первая основная граничная задача теории
электромагнитных колебаний для многосвязных областей. Труды Груз, по-
литехи. пита нм. В. И. Ленина, № 1(81), 55, 1962.
58. Д. 3. А в а з а ш в и л и. Вторая основная граничная задача теории
электромагнитных колебаний для многосвязных областей. Труды Груз,
политехи, ин-та нм. В. И. Ленина, № 8 (93), 73, 1963.
59. Д. 3. А в а з а ш в и л и. Задача дифракции в миогосвязной области.
ДАН СССР, НО, № 6. 889, 1956.
60. Ю. И. Грибанов. О методе редукции для бесконечных систем
линейных уравнений. Изв. вузов. Математика, № 1(26), 62, 1962.
61. Ю. Й. Грибанов. Координатные пространства и бесконечные
системы линейных уравнений. Изв. вузов. Математика, № 4(29), 3, 1962.
62. Ю. И. Грибанов. Координатные 'Пространства и бесконечные
системы линейных уравнений. Изв. вузов. Математика, № 1(32), 66, 1963.
63. Ю. И. Грибанов. Координатные пространства и бесконечные
системы линейных уравнений. Изв. вузов. Математика, № 3(34), 27, 1963.
64. Ю. И. Грибанов. Координатные пространства и бесконечные си-
стемы линейных уравнений. Изв. вузов. Математика, № 2(39), 53, 1963.
65. Ю. И. Грибанов. К теории .метода редукции для бесконечных
систем линейных уравнений. Изв. вузов. Математика, № 5(42), 12, 1964.
66. Ю. И. Грибанов. Координатные пространства н бесконечные
системы линейных уравнений. V. Изв. вузов. Математика, № 6(43), 32, 1964.
67. П. А. А з р и л я и т, Л4. Г. Б е л к и н а. Численные результаты теории
дифракции радиоволн вокруг земной поверхности. М., изд-во «Сов. ра-
дио», 1957.
68. А. А. Федоров. Асимптотическое решение задачи о дифракции
плоской электромагнитной волны на идеально проводящей сфере. Радио-
техника и электроника, 3, № 12, 1451, 1958.
69. А. А. Ф е д о р о в. Об асимптотических дифракционных формулах
для сферы при произвольном расположении источника и точки наблюдения.
Радиотехника и электроника, 9, № 9, 1964.
70. В. А. Фок. Поле от вертикального н горизонтального диполя, при
поднятого над поверхностью Земли. ЖЭТФ, 19, вып. 10, 916, 1949.
71. О. И. Фальков ск ий. Асимптотическое распределение полей и
задаче дифракции плоской электромагнитной волны на идеально проводя
щей сфере. Труды учебных ин-тов связи, вып. 16, 3, 1963.
72. О. И. Ф а л ь к о в с к и й. Асимптотическое определение полей в об
ластях «оси тени» и полярной оси при дифракции электромагнитной волны
на проводящей сфере. Труды учебных ин-тов связи, вып. 18, 29, 1963.
73. О. И. Ф алькове кий. Исследование выражений для поля и об-
ласти полутени при дифракции плоской электромагнитной волны на иде-
ально проводящей сфере. Труды учебных ин-тов связи, вып. 16, 17, 1963.
550
74 .0. И. Ф а л ь к о в с к и й. Асимптотическое представление электро-
магнитного поля при произвольной высоте источника и точки наблюдения
над импедансной сферой. Труды научно-техн. конф. ЛЭИС, вып. 2, 167. 1965.
75. А. С. Г о р я н н о в. Асимптотическое решение задачи о дифракции
плоской электромагнитной волны на проводящем цилиндре. Радиотехника
и электроника, 3, № 5, 603, 1958.
76. Е. А. Иванов. Теорема сложения для элементарных функций
эллиптических волн. ДАН БССР, 3, № 10, 399, 1959.
77. Е. А. Иванов. Теорема сложения для элементарных функций
сфероидальных волн. ДАН БССР, 4, № 1, 3, 1960. *
78. Е. Л. Иванов, А. М. Родов. Дифракция плоской волны на эл-
липтических цилиндрах. Изв. АН БССР, серия физ.-техн. наук, № 2. 27,
1960.
79. Е. А. Иванов. Возбуждение двух вытянутых сфероидов элемен-
тарным электрическим диполем. Изв. АН БССР, серия физ.-техн. наук,
№ 3, 5, 1960.
80. Е. А. Иване в. Дифракция плоской волны на двух параллельных
эллиптических цилиндрах. Изв. АН БССР, серия физ.-техн. наук, № 1, 34,
1962.
81. Е. А. Иванов. Горизонтальный магнитный диполь между двумя
дисками. Журнал выч. математики и мат. физики, 3, Ns 2, 388, 1963.
82. Е. А. И в а н о в. К задаче дифракции плоской волны на двух па-
раллельных эллиптических цилиндрах. Изв. АН БССР, серия физ.-техн.
наук, № 4, 5, 1963.
83. Е. А. Иване в. Шар произвольной проводимости с неконцентри-
ческим шаровым включением в поле вертикального электрического диполя.
Изв. вузов. Радиофизика, 6, № 5. 992, 1963.
•:84)Е. А. Иванов. Дифракция поля излучающей поверхностной антен-
ны,‘возбуждаемой электрическим диполем, на некоторых телах вращения.
Изв. вузов. Радиофизика, 6, № 6, 1155, 1963.
f 85. Е. А. И в а н о в, А. М. Р о д о в. К решению некоторых краевых за-
дач для уравнения Гельмгольца методом разделения переменных. Изв. АН
БССР, серия физ.-техн. наук, № 4, 5, 1964.
86. Е. А. Иванов. К дифракции поля горизонтального магнитного ди-
поля на двух дисках. В сб.: «Численные ,методы решений дифференциаль-
ных и интегральных уравнений и квадратурные формулы». М., изд-во
«Наука», 1964.
87. Е. А. И в а н о в. О дифракции электромагнитных волн на двух па-
раллельных дисках. В сб.: «Численные методы решений дифференциальных
и интегральных уравнений и квадратурные формулы». М., изд-во «Наука»,
1964.
88. Е. А. И в а н о в. Задача о поле магнитного диполя, расположенного
соосно двум дискам. Изв. вузов. Радиофизика, 7, ,№ 6, 1133, 1964.
89. Е. А. Иванов, С. Ф. И л ь ю к е в и ч. К дифракции плоской элек-
тромагнитной волны на решетке из параллельных коаксиальных цилиндров.
Труды 3-го Всесоюзного симпозиума по дифракции волн (рефераты докла-
дов). М., изд-во «Наука», 1964.
90. Е. А. Иванов. Дифракция электромагнитных волн на двух дис-
ках. Труды 3-го Всесоюзного симпозиума по дифракции волн (рефераты
докладов). М., изд-во «Наука», 1964.
91. Е. А. Иванов, С. Ф. Ильюкевич. Дифракция плоской электро-
магнитной волны на двух парах коаксиальных цилиндров. Диф. уравне-
ния, 1, № 1, 117, 1965.
92. Е. А. Иванов, С. Ф. Ильюкевич. К дифракции плоской элек-
тромагнитной волны на решетке из коаксиальных цилиндров. Диф. урав-
нения, I, Ns 3, 400, 1965.
93. Е. А. Иванов. О линейной системе сферических излучателей. Ра-
диотехника и электроника, 10, Ns 6, 1005, 1965.
551
94. Е. А. Иванов. Дифракция электромагнитных волн, излучаемых
электрическим диполем, на двух дисках с общей осью вращения. Диф.
уравнения, 1, № 4, 529, 1965.
95. Е. А. И в а и о в. О дифракции поля продольного излучателя на двух
параллельных круговых цилиндрах. Изв. вузов. Радиофизика, 9, № 3, 561,
1966.
96. Е. А. Иванов. К решению задачи о дифракции плоской волны на
двух круговых цилиндрах в случае коротких волн. Радиотехника и электро-
ника, II, № 5, 931, 1966.
• 97. Е. А. Иванов. Рассеяние плоской электромагнитной волны на не-
скольких сферах. Диф. уравнения, 2Л № 6, 828, 1966.
• 98. Е. А. Иванов. Дифракция электромагнитных волн на нескольких
сферах. Тезисы кратких научных сообщений. Международный математиче-
ский конгресс, секция 12. М., 1966.
99. Е. А. И в а и о в. Дифракция поля дипольного излучателя на двух
сферах. Журнал выч. математики и мат. физики, 7, № 6, 1967.
100. Е. А. Иванов. Рассеяние плоской электромагнитной волны, на-
клонно падающей на два соосных круговых диска. Сб. аннотаций докладов
4-го Всесоюзного симпозиума по дифракции и распространению волн, 1967.
101. Е. А. Иванов. Рассеяние наклонно падающей плоской электромаг-
нитной волны иа двух соосных круговых дисках. Диф. уравнения, 3, № 7,
1180, 1967.
102. Е. А. Иванов, Б. С. Гельфонд. О дифракции поля продольно-
го электрического излучателя на двух параллельных круговых цилиндрах.
Изв. вузов. Радиофизика, 10, № 5. 693, 1967.
103 Е. А. Иванов, Г. М. К о б л о в а. К численному решению задачи
о дифракции электромагнитных воли на двух цилиндрах. Изв. АН БССР,
серия физ.-мат. наук, № 4, 47, 1968.
104. Е. А. Иванов. Поле горизонтального магнитного диполя в при-
сутствии сфероида. Диф. уравнения, 3, Ке 9, 1543, 1967.
105. С. Ф. Ильюкевич. Дифракция наклонно падающей плоской
электромагнитной волны иа двух непроводящих круговых цилиндрах. Изв.
АН БССР, серия физ.-мат. наук, № 1, 47, 1967.
106. А. В. М о ш и н с к и й. Дифракция поля продольного дипольного
излучателя на двух параллельных эллиптических цилиндрах. 1. Электриче-
ский дипольный излучатель. Изв. АН БССР, серия физ.-мат. наук, № 4,
37, 1966.
107. А. В. М о ш и н с к и й. Дифракция поля продольного дипольного
излучателя на двух параллельных эллиптических цилиндрах. 2. Магнитный
дипольный излучатель. Изв. АН БССР, серия физ.-мат. наук, № 2, 65, 1967.
108. Г. А. Шебек о. Дифракция электромагнитного поля элементарного
электрического диполя на двух сферах. Изв. АН БССР, серия физ.-мат.
наук, № 2, 72, 1967.
109. Л. А. Мариевская. К дифракции плоской скалярной волны иа
двух сферах. Акустический журнал, 14, № 2, 1968.
ПО. О. А. Гермоген о в а. Рассеяние плоской волны на двух сферах.
Изв. АН СССР, серия геофизическая, № 4, 648, 1963.
111. Б. П. Дьяконов. Дифракция электромагнитных волн на шаре,
расположенном в полупространстве. Изв. АН СССР, серия геофизическая,
№ 11, 1579, 1959.
112. М. В. Бутров. Дифракция электромагнитных воли на двух пере-
секающихся цилиндрах. Радиотехника и электроника, 7, № 1, 167, 1962.
113. Р. D е b а у. Der Lichtdruck auf Kugeln von beliebigen Material. Ann.
der Physik, 30, 57, 1909.
Г14. P. Debay. Naherungsformeln fiir die Zylinderfunktion fur grosse
Werte des Arguments и nd unbesehrankt veranderliche Werte des Index. Math.
Ann., 67, 535, 1909.
552
115. W. T r i n к s. Zur Vielfasch streuung an kleinen Kugeln. Ann. Phys.,
22, 561, 1935.
116. B. Noble. Integral Equation Perturbation Methods in Rowfrequence
Diffraction. «Electromagnetic Waves», ed. by R. E. Langer, Madison Press,
323, 1962.
117. V. Tv er sky. Scattering of Waves by Two Objects. «Electromagnetic
Waves», ed. !by R. E. Langer. Madison Press, 1962.
118. J. E. Burke, V. T v e r s к y. On Scattering of Waves by Many Bo-
dies. J. Res. Nat. Bur. Standards, D68, № 4, 500, 1964.
119. V. Tversky. Multiple Scattering of Radiation by an Arbitrary Con-
figuration of Parallel Cylinders. J. Acoust. Soc. Am., 24, 42, 1952.
120. V. Tversky. Multiple Scattering of Radiation by an Arbitrary Pla-
nar Configuration of Parallel Cylinders. J. Appl. Phys., 23, 407, 1952.
121. V. Tversky. Multiple Scattering by Arbitrary Configurations in
Three Dimensions. J. Math. Phys., 3, 83, 1962.
122. V. Tversky. On Scattering of Waves by random distributions. I.
J. Math. Phys., 3, 700, 1962.
123. V. Tversky. On Scattering of Waves by random distributions. II.
J. Math. Phys., 3, 724, 1962.
124. W. Franz. Theorie der Beugung elektromagnetischer Willen. Berlin,
Springer—Verlag, 1957.
125. W. Franz. Ober die Greenische Funktionen des Zylinders und der
Kugel. Z. Naturforschung, 9-a, 705, 1954.
126. W. Franz, R. G a 11 e. Semiasymptotic Series for the Diffraction of
a Plane Wave by a Cylinder. Z. Naturforschung, 10-a, 374, 1955.
127. W. F r a n z, P. В e с к m a n. Creeping Waves for Objects of Finite
Conductivity. Trans. Inst. Radio Eng., AP-4, 203, 1956.
128. Mohomed Azizul Islam. Scattering of Elekctromagnetic Wa-
ves by a Composite Cylinder. J. Math. Phys., 5, 550, 1964.
129. Cavour Yen. The Diffraction of Waves a Penetrable Ribbon. J.
Math. Phys., 4, 65, 1963.
'130 . R. V. Row. Theoretical and experimental study of electromagnetic
scattering by two identical conduction cylinders. J. Appl. Phys., 26, 666, 1955.
131. K. S aerm ark. A Note on Addition Theorems for Mathieu Functions.
Z. angew. Math, und Phys., 10, № 4, 426, 1959.
132. K. Sa er mark. Scattering of a Plane monochromatic Wave by a
system of Strips. Appl. Sci. Res., Section B, 7, 417, 1959.
133. K- Saermark. Transmission coefficient for a system of parallel
Slits in a Thin, plane Screen. Appl. Sci. Res., Section B, 8, 29, 1959.
134. K- Saermark. On some Two-Dimensional Diffraction Problems.
Dansk. Viclenskabs Forlag, Kobenhaun, 1960.
135. K. Germey. The Diffraction of Plane Electromagnetic Wave by Two
Parallel, Infinitelly Long, Ideal Cylinders of Elliptical Cross Section. Ann.
Phys., 13, № 5—6, 237, 1964.
136. K. Germey. Beugung ebener elektromagnetischer Willen an einem
unendlich langer idealleitenden elliptischen Zylinder und einem zu diesem
parallelen dielektrischen Kreiszylinder. Ann. Phys., 7, B. 17, № 7—8, 397, 1966.
137. D. J. Angelakos, N. Kumagai. High-Frequency Scattering by
Multiple Spheres. IEEE Trans, on Anten. and Propogat., 12, № 1, 105, 1964.
138. J. Mevel. Contribution to the study of Diffraction of Electromagne-
tic Waves by Spheres. Ann. Phys. (France), Ser. 13, 5, № 3—4, 265, 1960.
139. P. C. Waterman. Multiple Scattering of Waves. J. Math. Phys., 2,
512, 1961.
140. F. Zaviska. Uber die Beugung Elektromagnetischer Willen an Pa-
rallelen Unendliche Langen Kreiszylindern. Ann. Phys., 40, 1023, 1913.
141. W. Ignatowsky. Zur Theorie der Gitter. Ann. Phys., 44, № 23,
369, 1914.
142. K. Schwarzschild. Math. Ann., 55, № 2, 252, 1901.
143. G. N. Watson. The Diffraction of electromagnetic Waves by the
Earth., Proc. Roy. Soc. London, A95, 83, 1918.
144. I. 1 m a i. The Diffraction of Electromagnetic Waves by a Circular
Cylinders. Zs. f. Phys., 137, 31, 1954.
145. C. J. Bouwkamp. Article on Diffraction Theory. Reports on Prog-
ress in Physics. London, 17, 35, 1954.
146. D. P. Thomas. Electromagnetic Diffraction by two coaxial discs.
Proc. Cambridge Phylos. Soc., 60, № 3, 621, 1964.
147. J. Mevel. Study of the Interaction of Two Adjacent Spheras Placed
in a Electromagnetic Field. Ann. Telecomm. (France), 12, 186, 1957.
148. R. F. Millar. The Scattering of a Plane Wave by a Row of Small
Cylinders. Can. J. Phys., 38, № 2, 272, 1960.
149. S. N. Karp, N. R. Zitron. Higher-order approximations in multiple
scattering. J. Math. Phys., 2, 394, 1961.
150. R. E. Langer. Asymptotic solutions of ordinary differential
equations with application to high order Bessel functions. Trans. Am. Math.
Soc., 33, 23, 1931.
151. P. Backsmith, R. E. Hiatt, R. B. Mack. Introduction to Radar
Cross-Section Measurements. Proc. IEEE, 53, № 8, 1035, 1965.
152. H. A. Corriher, В. О. P у г о n. A. Bibliography of Articles on Ra-
dar Reflectivity and Related Subjects. Proc. IEEE, 53, № 8, 1172, 1965.
153. A. W. Ade y. Scattering of Electromagnetic Waves by coaxial Cylin-
ders. Can. J. Phys., 34, № 5, 510, 1956.
154. B. F r i e d m a n, J. R u s s k. Addittion Theorems ior spherical Waves.
Quart. Appl. Math., 12, № 1, 13, 1954.
155. R. A. Sack. Three-dimensonal addition theorem for arbitrary functi-
ons involving expansions in spherical harmonics. J. Math. Phys., 5, 252, 1964.
156. M. .1. Seaton. Proc. Phys. Soc., 77, 184, 1961.
157. Stein Seymour. Addition Theorems for spherical wave functions.
Quart. Appl. Math., 19, № 1, -15, 1961.
158. W. E. Williams. Diffraction by a disk. Proc. Roy. Soc., A267, 77,
1962.
159. W. E. Williams. Electromagnetic Diffraction by a Circular Disk.
Proc. Cambridge Philos. Soc., 58, № 4, 625, 1962.
160. W. D. Collins. On the solution of some aximmetric boundary prob-
lems by means of integral equation. 5. Some scalar diffraction problems for
circular disks. J. Meeh. Appl. Math., 14, 101, 1961.
161. Y. N о m u r a, T. О s a n i. Diffraction of plane sound wave by two
equal circular holes made in infinitely large plane plate. Sci. Repts. Res. Inst.
Tohoku Univ., 12, № 2, 97, 1960.
162. Y. Nomura, T. О s a n i. Diffraction of plane sound wave by many
equel circular holes arbitrary distributed in an infinitiely large rigid plane
plate. J. Phys. Soc. Japan, 16, № 4, 819, 1961.
163. V. Tver sky. Multiple Scattering of Waves. J. Res. Nat. Bur. Stand.,
64D, 715, 1960.
164. M. К u m a g a i. Back-Scattering Cross-Sections of Multiple Metallic
Sphere Arrays. J. Inst. Elect. Com. Engr. Japan, 44, № 8, 1166, 1961.
165. К- M. Sigel, F. V. Schultz, В. H. Gere, E. B. Sleator. The
Theoretical and Numerical Determination oS the Radar Cross-Section of a
Prolate Spheroid. Transaction IRE, Anten. and Propag., AP-3, № 4, 266, 1956.
166. E. K. Ritter. Solution of Problems in Electromagnetic Wave Theory
on a High Digital Calculating Machine. Transaction IRE, Anten. and Pro-
pag., AP-3, № 4, 276, 1956.
167. J. Meixner, W. Andrejewsky. Strenge Theorie der Beugung
ebener elektromagnetischer Willen an der vollkommen leitenden Kressclufbe
und an der Kreisformigen Offnung im vollkommen leitenden ebenen Schirm.
Ann. Phys., 6, B. 7, № 3—4, 157, 1950.
554
168. В. А. Фок. Дифракция Френеля от цыпук iwx тел. УФН, 43, 587,
1951.
169. В. А. Фо к. Распределение токов, возбужденных плоской волной
на поверхности проводника. Физ. журнал, 10, 130, 1946.
170. L. Wetzel. High-Frequency Current Distributions on Conducting
Obstacles. Sci. Report, № 10, Cruft Laboratory, Horvard Univ., 1957.
171. L. Robin. Diffraction d’une onde electroinagnetique plane par un
cylindre elliptigue partaitement conducteur. Etude de convergence des series
obtenues. C. R. Acad. Sc. Paris, 259, 4517, 1964.
172. L. Robin. Diffraction d’une onde electromagnetique plane par un
cylindre elliptique parfaitement conducteur. Cas ой la longueur d’onde est
petite par rapport a la distance focale de 1’ellipse de section droite. C. R.
Acad. Sc. Paris, 260, 435, 1965.
173. L. Robin. Diffraction d’une onde electromagnetique plane par un
cylindre elliptique parfaitement conducteur. Cas ой la longueur d’onde est
petite par rapport a la largeur de la bande ou de la fente. C. R. Acad. Sc.
Paris, 260, 811, 1965.
174. L. Robin. Diffraction d’une onde electromagnetique plane par un
cylindre elliptique d’axe parallele a 1’onde Extension a une bande plane et a
une fente a bord paralleles dans un plan. Ann. Inst. Henri Poincare, 3, № 2.
sec. A, 183, 1965.
175. F. W. Schafke. Das Additionstheorem der Mathieusche Funktionen.
Math. Z„ 58, 436, 1953.
176. В. А. Ф о к. Таблицы функций Эйри. М„ Изд-во информ, отдела
НИИ-108, 1946.
177. А. Д. Смирнов. Таблицы функций Эйри и специальных вырож-
денных гипергеометрических функций для асимптотических решений диф-
ференциальных уравнений 2-го порядка. М., Изд-во АН СССР, 1955.
178. Таблицы функций Бесселя дробного индекса, т. 1—2 (б-ка матема-
тических таблиц, вып. 4, 5). М., ВЦ АН СССР, 1959.
179. Таблицы функций Бесселя целого положительного индекса (б-ка ма-
тематических таблиц, вып. 42). М., ВЦ АН СССР, 1960.
180. Таблицы присоединенных функций Лежандра (б-ка математических
таблиц, вып. 14). М., ВЦ АН СССР, 1962.
181. Таблицы функций Бесселя в комплексной области (б-ка математи-
ческих таблиц, вып. 22, 23). М., ВЦ АН СССР, 1963.
182. Таблицы сферических функций Бесселя (б-ка математических таб-
лиц, вып. 20, 21), М„ ВЦ АН СССР, 1963.
183. Tables relating to Mathieu functions, Characteristic values coefficients
and Joining factors. Cambridge Univ. Press. New. York, 1951.
184. E. T. Kirkpatrik. Tables of Values of the Modified Mathieu Func-
tions. Math. Comput., 14, № 70, 118, 1960.
185. E. L. Ince. Tables of the elliptical cylinder functions. Proc. Roy. Soc.
Edinburg, 52, 355, 1932.
186. Mogens G. Andreason. Scattering from Parallel Metallic Cy-
linders With Arbitrary Cross-Sections. IEEE Trans. Anten. and Propagat.,
AP 12, № 6, 1964.
187. T. Bromwich. Electromagnetic Waves. Philosophical Magazine, 38.
143, 1919.
188. Таблицы для вычисления функций Матье (б-ка математических таб-
лиц, вып. 42). М., ВЦ АН СССР, 1967.
189. Т. В. A. Senior. The scattering of an electromagnetic wave by a
spheroid. Can. J. Phys., 44, № 7, 1353, 1966.
555
190. Katsura Shigetoshi, Inore Yuji, Y a m a s h i t a Seiji,
J. E. К i 1 p a t r i k. Tables of integrals of threefold and fourfold products
associated Legendre functions. Technol. Rep. Tohoku Univ., 30, № 2, 93, 1965.
191. V. T v e r s к y. Multiple Scattering of Electromagnetic Waves by Arbit-
rary Configurations. J. Math. Phys., 8, 589, 1967.
192. Окамато Нобуо, Иосимура йосикадзу, Наканиси
Йо сир о, Ку мага и Сабур о. Рассеяние плоской электромагнитной
волны на двух параллельных бесконечно длинных ферромагнитных цилинд-
рах (Япон.). J. Inst. Electr. Commun. Engrs. Japan, 49, № 12, 2431, 1966.
Приложение
Таблица значений коэффициентов б*"10"20' и ь{"1'Пг'} из (3.4.13)
558 I 559
«1 n2 n 6(П10лг0) А(Л!1Ла1) n «1 «2 n
2 4 4 0,2597402597 0,7792207792 2 14 16 0,400444938$ -11,2124582870
4 6 4545454545 — 3,6363636364 15 13 3503893215 11,2124582870
5 3 3030303030 3,6363636364 15 15 2507836991 0,7523510972
5 5 2564102564 0,7692307692 15 17 3988269794 —11,9648093842
5 7 4405594406 — 4,4055944056 16 14 3519061584 11,9648093842
6 4 3146853147 4,4055944056 16 16 2506912442 0,7520737327
6 6 2545454545 0,7636363636 16 18 3974025974 — 12,7168831169
6 8 4307692308 — 5,1692307692 17 15 3532467532 12,7168831169
7 5 3230769231 5,1692307692 17 17 2506142506 0,7518427518
7 7 2533936652 0,7601809955 17 19 3961389961 —13,4687258687
7 9 4235294118 — 5,9294117647 18 16 3544401544 13,4687258687
8 6 3294117647 5,9294117645 18 18 2505494506 0,7516483516
8 8 2526315789 0,7578947368 18 20 3950103950 —14,2203742203
8 10 4179566563 — 6,6873065016 19 17 3555093555 14,2203742204
9 7 3343653251 6,6873065015 19 19 2504943968 0,7514831905
9 9 2521008403 0,7563025210 19 21 3939962477 —14,9718574109
9 11 4135338346 — 7,4436090226 20 18 3564727955 14,9718574109
10 8 3383458647 7,4436090226 20 20 2504472272 0,7513416816
10 10 2517162471 0,7551487414 20 22 3930799773 —15,7231990924
10 12 4099378882 — 8,1987577640
11 9 3416149068 8,1987577640 3 3 0 °>1428571429 1,7142857143
11 11 2514285714 0,7542857143 3 2 1904761905 1,7142857143
11 13 4069565217 — 8,9530434783 3 4 2337662338 0,4675324675
12 10 3443478261 8,9530434783 3 6 4329004329 — 3,8961038961
12 12 2512077295 0,7536231884 4 1 1904761905 2,8571428571
12 14 4044444444 — 9,7066666667 4 3 1818181818 1,8181818182
13 11 3466666667 9,7066666667 4 5 2197802198 0,2197802198
13 13 2510344828 0,7531034483 4 7 4079254079 — 4,8951048951
13 15 4022988506 —10,4597701149 5 2 2164502165 3,8961038961
14 12 3486590038 10,4597701149 5 4 1798201798 1,9780219780
14 14 2508960573 0,7526881720 5 6 2121212121 — 0,0000000000
5
6
6
6
6
7
7
7
7
8
8
8
8
9
9
9
9
10
10
10
10
11
11
11
11
12
12
12
12
13
13
13
13
14
14
8 0,3916083916 - 5,8741258741
3 2331002331 4,8951048951
5 1794871795 2 1538461538
7 2073220897 — 0,2073220897
9 3800904977 — 6 8416289593
4 2447552448 5,8741258741
6 1796791444 2,3358288770
8 2040485830 — 0 4080971660
10 3715170279 — 7,8018575851
5 2533936652 6 8416289593
7 1800428673 2 5206001429
9 2016806723 — 0,6050420168
11 3648827952 - 8,7571870854
6 2600619195 7,8018575851
8 1804511278 2,7067669173
10 1998923139 _ 0,7995692556
12 3595946388 _ 9,7090552468
7 2653693056 8,7571870854
9 1808549507 2,8936792108
11 1984962406 — 0,9924812030
13 3552795031 — 10,6583850932
8 2696959791 9,7090552468
10 1812356979 3,0810068650
12 1973775017 — 1,1842650104
14 3516908213 —11,6057971014
9 2732919255 10,6583850932
11 1815873016 3,2685714286
13 1964617691 _ 1 3752323838 4
15 3486590038 —12,5517241379
10 2763285024 11,6057971014
12 1819090455 3,4562718641
14 1956989247 — 1,5655913978
16 3460635274 —13,4964775677
11 2789272031 12,5517241379
13 1822024472 3,6440489433
14 15 0,1950539882 — 1,7554858934
14 17 3438163616 —14,4402871878
15 12 2811766160 13,4964775677
15 14 1824698599 3,8318670577
15 16 1945018274 — 1,9450182743
15 18 3418516967 —15,3833263511
16 13 2831428860 14,4402871878
16 15 1827138379 4,0197044335
16 17 1940239360 — 2,1342632956
16 19 3401193401 —16,3257283257
17 14 2848764139 15,3833263511
17 16 1829368539 4,2075476398
17 18 1936063936 — 2,3232767233
17 20 3385803386 —17,2675972676
18 15 2864162864 16,3257283257
18 17 1831411831 4,3953883954
18 19 1932385347 — 2,5121009511
18 21 3372039957 —18,2090157700
19 16 2877932878 17,2675972676
19 I8 1833288663 4,5832216564
19 2° 1929120534 — 2 7007687473
19 22 3359657926 —19,1500501767
20 17 2890319963 18,2090157700
20 19 1835017093 4,7710444421
20 21 1926203877 — 2,8893058161
20 23 3348459066 —20,0907543959
4 0 0,1111111111 2,2222222222
4 2 1443001443 2,4531024531
4 4 1618381618 1,6183816184
4 6 2020202020 — 0,2020202020
4 8 3807303807 — 6,0916860917
5 1 1515151515 3,6363636364
5 3 1398601399 2,6573426573
5 5 1538461538 1,5384615385
560 Я 36. Е. А. Иванов
«1 Лд п ^(П10п20) п «1 «2 п Ь(П10п20) п ^П^Пг!)
4 5 7 0,1919648978 — 0,5758946935 4 12 8 0,2265446224 11,7803203661
5 9 3628136569 — 7,2562731386 12 10 1454360539 4,7993897788
6 2 1748251748 4,8951048951 12 12 1429285357 1,4292853573
6 4 1398601399 2,9370629371 12 14 1701729780 — 2,8929406265
6 6 1497326203 1,4973262032 12 16 3149178099 —15,1160548758
6 8 1854987118 — 0,9274935591 13 9 2302737520 12,8953301127
6 10 3500833532 — 8,4020004763 13 11 1461047254 5,1136653895
7 3 1903651904 6,0916860917 13 13 1425932195 1,4259321952
7 5 1407742584 3,2378079437 13 15 1690467897 — 3,2118890050
7 7 1473078006 1,4730780056 13 17 3119815133 —16,2230386924
7 9 1809954751 — 1,2669683258 14 10 2334499417 14,0069965017
7 И 3405572755 - 9,5356037152 14 12 1467008431 5,4279311957
8 4 2015631427 7,2562731386 14 14 1423264907 1,4232649071
8 6 1418519561 3,5462989023 14 16 1680879990 — 3,5298479792
8 8 1457489879 1,4574898785 14 18 3094347255 —17,3283446253
8 10 1776820568 — 1,5991385112 15 11 2361883574 15,1160548758
8 12 3331538565 —10,6609234083 15 13 1472343007 5,7421377288
9 5 2100500119 8,4020004763 15 15 1421107628 1,4211076280
9 7 1428911646 3,8580614432 15 17 1672620138 — 3,8470263164
9 9 1446839605 1,4468396054 15 19 3072045653 —18,4322739161
9 11 1751437417 — 1,9265811588 16 12 2385740984 16,2230386924
9 13 3272311213 —11,7803203661 16 14 1477136961 6,0562615401
10 6 2167182663 9,5356037152 16 16 1419337660 1,4193376596
10 8 1438378555 4,1712978097 16 18 1665431343 — 4,1635783571
10 10 1439224660 1,4392246601 16 20 3052353052 — 19,5350595351
10 12 1731381594 — 2,2507960723 17 13 2406714531 17,3283446253
10 14 3223832528 —12,8953301127 17 15 1481463550 6,3702932668
11 7 2221025710 10,6609234083 17 17 1417867224 1,4178672243
11 9 1446839605 4,4852027768 17 19 1659118732 — 4,4796205772
11 11 1433583960 1,4335839599 17 21 3034835962 —20,6368845393
11 13 1715142429 — 2,5727136432 18 14 2425299199 18,4322739161
11 15 3183408296 —14,0069965017 18 16 1485384711 6,6842312004
18 18 0,1416632148
18 20 1653531886
18 22 3019152055
19 15 2441882442
19 17 1488952708
19 19 1415584615
19 21 1648552868
19 23 3005027367
20 16 2456771969
20 18 1492211702
20 20 1414688391
20 22 1644087921
20 24 2992240016
5 0 0,0909090909
5 2 1165501166
5 4 1258741259
5 6 1426024955
5 8 1803459698
5 10 3437182013
6 1 1258741259
6 3 1142191142
6 5 1206636501
6 7 1363961116
6 9 1727684081
6 11 3300785901
7 2 1468531469
7 4 1151789387
7 6 1182099634
7 8 1324990799
7 10 1674311689
7 12 3198277022
8 3 1612505142
8 5 1166944511
8 7 1169109528
1,4166321483
— 4,7952424697
—21,7378947952
19,5350595351
6,9980777298
1,4155846147
— 5,1105138910
— 22,8382079885
20,6368845393
7,3118373402
1,4146883914
- 5,4254901396
—23,9379201313
2,7272727273
3,1468531469
2,5174825175
1,2834224599
— 1,0820758189
— 8,5929550326
4,4055944056
3,4265734266
2,5339366516
1,0911688930
— 1,5549156726
— 9,9023577042
5,8741258741
3,8009049774
2,6006191950
0,9274935591
- 2,0091740269
—11,1939695787
7,2562731386
4,2010002382
2,6889519150
5 8 9
8 11
8 13
9 4
9 6
9 8
9 10
9 12
9 14
10 5
10 7
10 9
10 11
10 13
10 15
И 6
11 8
11 10
11 12
11 14
11 16
12 7
12 9
12 11
12 13
12 15
12 17
13 8
13 10
13 12
13 14
13 16
13 18
14 9
14 11
0,1298445800
1634674923
3118320097
1718591007
1182099634
1161767294
1279310809
1604074124
3054157132
1800428673
1195936921
1157471684
1264927023
1579736448
3001499250
1865661596
1208237986
1154933369
1253759085
1559918965
2957488997
1918966213
1219096334
1153458359
1244861440
1543470689
2920146965
1963386728
1228683904
1152649482
1237621658
1529600791
2888057438
2000999500
1237177110
0,7790674798
— 2,4520123839
—12,4732803877
8,5929550326
4,6101885730
2,7882415068
0,6396554045
— 2,8873334231
—13,7437070938
9,9023577042
5,0229350674
2,8936792108
0,5059708094
— 3,3174465399
—15,0074962519
11,1939695787
5,4370709382
3,0028267600
0,3761277256
— 3,7438055166
—16,2661894859
12,4732803877
5,8516624041
3,1143375681
0,2489722880
— 4,1673708600
— 17,5208817878
13,7437070938
6,2662879087
3,2274185488
0,1237621658
— 4,5888023730
— 18,7723733441
15,0074962519
6,6807563960
i
«1 «2 n /,(«11^21) «1 «2 n 1n a
5 14 13 0,1152268441 3,3415784776 5 19 22 0,1477457389 — 7,0917954651
14 15 '1231626611 0,0000000000 19 24 2762067707 —26,2396432209
14 17 1517747903 — 5,0085680786 20 15 2144091900 22,5129649520
14 19 2860180435 —20,0212630468 20 17 1272535164 9,1622531781
15 10 2033273686 16,2661894859 20 19 1153439316 4,0370376048
15 12 1244734427 7,0949862312 20 21 1210107956 — 0,7260647738
15 14 1152166830 3,4565004888 20 23 1471850139 — 7,5064357084
15 16 1226588101 — 0,1226588101 20 25 2747975525 —27,4797552528
15 18 1507502509 — 5,4270090310
15 20 2835734449 —21,2680083648 6 6 0 0,0769230769 3,2307692308
16 11 2061280210 17,5208817878 6 2 0979020979 3,8181818182
16 13 1251491556 7,5089493376 6 4 1036610448 3,3171534348
16 15 1152249428 3,5719732271 6 6 1125809175 2,3641992682
16 17 1222299331 — 0,2444598663 6 8 1288185499 0,7729112992
16 19 1498558855 — 5,8443795344 6 10 1643869658 — 2,1370305559
16 21 2814120619 —22,5129649520 6 12 3157273471 —11,3661844953
17 12 2085819260 18,7723733441 7 1 1076923077 5,1692307692
17 14 1257562548 7,9226440517 7 3 0967503085 4,1602632661
17 16 1152453655 3,6878516968 7 5 1000238152 3,4008097166
17 18 1218608300 — 0,3655824899 7 7 1082508822 2,2732685271
17 20 1490684049 — 6,2608730051 7 9 1239425536 0,4957702144
17 22 2794872188 —23,7564135976 7 11 1584377233 — 2,6934412955
18 13 2107501373 20,0212630468 7 13 3049024095 —12,8059011980
18 15 1263042642 8,3360814395 8 2 1266968326 6,8416289593
18 17 1152737581 3,8040340165 8 4 0982052004 4 ,6156444175
18 19 1215400932 — 0,4861603727 8 6 0985083028 3,5462989023
18 21 1483697581 — 6,6766391157 8 8 1056152086 2,2179193804
18 23 2777619890 —24,9985790145 8 10 1205504416 0,2411008832
19 14 2126800836 21,2680083648 8 12 1539911159 — 3,2338134338
T9 16 1268011339 8,7492782379 8 14 2964328981 —14,2287791089
19 18 1153072679 3,9204471082 9 3 1400333413 8,4020004763
19 20 1212590050 — 0,6062950249 9 5 1000238152 5,1012145749
£93 ,.9£
9 7 0,0978493844 3,7182766083 6 14 12 0,0978005621 4,6944269801
9 9 1038756640 2,1813889435 14 14 1001884200 2,1039568192
9 11 1180598555 0,0000000000 14 16 1116195172 — 1,1161951718
9 13 1505395909 — 3,7634897721 14 18 1407002341 — 6,3315105362
g 15 2896183487 —15,6393908309 14 20 2689058529 —22,5880916426
10 4 1500357228 9,9023577042 15 9 1775080202 17,0407699376
10 6 1017633598 5,5969847893 15 11 1079718205 8,0978865406
10 8 0975884527 3,9035381095 15 13 0979428174 4,8971408724
10 10 1026607439 2,1558756226 15 15 0998616171 2,0970939592
10 12 1161570917 — 0,2323141835 15 17 1109123467 — 1,3309481608
10 14 1477817967 — 4,2856721045 15 19 1395209968 — 6,8365288453
10 16 2840128323 — 17,0407699376 15 21 2662823812 —23,9654143037
11 5 1578636735 11,3661844953 16 10 1807354387 18,4350147507
11 7 1033289500 6,0964080475 16 12 1088253527 8,5972028648
11 9 0975277067 4,0961636829 16 14 0980898787 5,1006736942
11 Ц 1017757375 2,1372904879 16 16 0995947603 2,0914899669
11 13 1146582905 — 0,4586331622 16 18 1103050616 — 1,5442708625
11 15 1455272364 — 4,8023988006 16 20 1384893568 — 7,3399359101
11 17 2793184053 —18,4350147507 16 22 2639601511 —25,3401745041
12 6 1641782205 12,8059011980 17 11 1835520949 19,8236262514
12 8 1047139588 6,5969794050 17 13 1095900714 9,0959759274
12 10 0975719571 4,2931661104 17 15 0982366500 5,3047790979
12 12 1011096037 2,1233016768 17 17 0993739294 2,0868525169
12 14 1134486520 - 0,6806919121 17 19 1097781487 — 1,7564503788
12 16 1436494656 — 5,3150302268 17 21 1375792303 — 7,8420161249
12 18 2753281424 —19,8236262514 17 23 2618898754 —26,7127672897
13 7 1693902275 14,2287791089 18 12 1860325286 21.2077082644
13 9 1059352677 7,0976629332 18 14 1102785619 9,5942348846
13 11 0976718771 4,4929063482 18 16 0983801901 5,5092906445
13 13 1005948639 2,1124921410 18 18 0991890476 2,0829700006
13 15 1124528645 — 0,8996229158 18 20 1093168302 — 1.9677029444
13 17 1420612037 — 5,8245093511 18 22 1367703411 — 8,3429908079
13 19 2718935957 -21,2077082644 18 24 2600325004 —28,0835100418
14 8 1737710092 15,6393908309 19 13 1882340970 22,5880916426
14 10 1070144045 7,5980227204 19 15 1109013052 10,0920187716
'h п L(ni0n20) un п »1 «2 п &(л,0лг0) 1 п
6 19 17 0,0985188514 5,7140933800 7 9 8 0,0887167752 3,2825206830
19 19 0990326685 2,0796860388 9 10 0967380087 1,7412841567
19 21 1089097161 - 2,1781943214 9 12 1115108081 — 0,5575540403
19 23 1360466885 - 8,8430347534 9 14 1434352733 — 4,5899287448
19 25 2583566733 —29,4526607581 9 16 2776065278 —17,4892112518
20 14 1902017008 23,9654143037 10 3 1238390093 9,5356037152
20 16 1114670433 10,5893691110 10 5 0877020409 5,9637387784
20 18 0986517736 5,9191064183 10 7 0845418681 4,6498027481
20 20 0988991885 2,0768829576 10 9 0875248650 3,3259448707
20 22 1085478898 — 2,3880535750 10 11 0949906884 1,6148417020
20 24 1353954759 — 9,3422878340 10 13 1092626063 — 0,8741008503
20 26 2568369282 —30,8204313815 10 15 1404210176 — 5,1955776498
10 17 2717179045 —19,0202533142
7 7 0 0,0666666667 3,7333333333 11 4 1332615426 11,1939695787
7 2 0844645551 4,4766214178 11 6 0895517566 6,5372782339
7 4 0883846803 4,0656952954 11 8 0845766590 4,9054462243
7 6 0938174313 3,2836100948 11 10 0867306285 3,3824945113
7 8 1026814528 2,0536290559 11 12 0936750740 1,4988011836
7 10 1183586154 0,1183586)54 11 14 1074776703 — 1,1822543737
7 12 1520168708 — 3,3443711581 И 16 1379490900 — 5,7938617788
7 14 2936097276 - 14,3868766546 11 18 2667775790 —20,5418735793
8 1 0941176471 5,9294117647 12 5 1407241890 12,8059011980
8 3 0840200048 4,8731602763 12 7 0912101225 7,1143895544
8 5 0857346987 4,2010002382 12 9 0847482141 5,1696410618
8 7 0906012819 3,2616461476 12 11 0861810681 3,4472427224
8 9 0991540429 1,8839268149 12 13 0926531641 1,3897974612
8 11 1144272446 — 0,2288544892 12 15 1060269865 — 1,4843778111
8 13 1471942666 — 3,9742451994 12 17 1358846296 — 6,3865775918
8 15 2847508134 — 15,9460455531 12 19 2625716261 -22,0560165950
9 2 1114551084 7,8018575851 13 6 1468048638 14,3868766546
9 4 0857346987 5,4012860205 13 8 0926778716 7,6922633420
9 6 0848027998 4,4097455916 13 10 0849820271 5,4388497352
13 13 12 14 0,0857899667 0918393850 3,5173886364 1,2857513895 7 17 17 22 24 0,1291719888 2483575718 — 9,3003831957 —29,5545510440
1 ч 16 1048252857 — 1,7820298569 18 11 1658347112 22,0560165950
1 о 13 18 1341342232 — 6,9749796070 18 13 0978817305 10,5712268887
13 20 2589463769 —23,5641202938 18 15 0862565707 6,8142690851
14 7 1518671005 15,9460455531 18 17 0849300443 3,9067820374
14 9 0939748342 8,2697854109 18 19 0894488619 0,8050397570
1 т 1 4 11 0852409110 5,7111410339 18 21 1009890094 — 3,2316483023
1 -Г 1 4 13 0855056343 3,5912366397 18 23 1282725920 — 9,8769895861
1 т: 14 15 0911779982 1,1853139769 18 25 2463864800 —31,0446964748
14 17 1038139565 — 2,0762791308 19 12 1683151450 23,5641202938
14 19 1326310711 — 7,5599710511 19 14 0986231041 11,1444107668
14 21 2557884942 —25,0672724326 19 16 0864830508 7,0916101669
15 8 1561536719 17,4892112518 19 18 0848617408 3,9885018159
15 10 0951239151 8,8465241064 19 20 0891591169 0,7132729349
15 12 0855056343 5,9853943996 19 22 1004843322 — 3,5169516286
15 14 0852955467 3,6677085092 19 24 1274669120 — 10,4522867803
15 16 0906312319 1,0875747828 19 26 2446065983 —32,5326775694
15 18 1029513908 — 2,3678819891 20 13 1705256628 25,0672724326
15 15 20 22 1313261142 2530124950 — 8,1422190805 —26,5663119801 20 20 15 17 0992953546 0866965892 11,7168518475 7,3692100831
16 9 1598340615 19,0202533142 20 19 0848098917 4,0708747994
16 11 0961463354 9,4223408726 20 21 0889058907 0,6223412347
16 13 0857661428 6,2609284278 20 23 1000343298 — 3,8013045320
16 15 0851384300 3,7460909185 20 25 1267410096 — 11,0264678310
16 17 0901726396 0 9918990358 20 27 2429912717 —34,0187780343
16 19 1022072419 — 2,6573882887 0,0588235294 4,2352941176
16 21 1301824975 — 8,7222273293 8 8 0
16 23 2505526513 —28,0618969508 8 2 0743034056 5,1269349845
17 10 1630307427 20,5418735793 8 4 0771612289 4,7839961896
17 12 0970604497 9,9972263215 8 6 0807645713 4,1189931350
17 14 0860172783 6,5373131489 8 8 0862524203 3,1050871325
17 16 0850199174 3,8258962809 8 10 0949791358 1,6146453089
17 18 0897831897 0,8978318968 8 12 1100811823 — 0,6604870939
17 20 1015588616 — 2,9452069878 8 14 1420692231 — 4,6882843608
566
«1 n2 n ь(П10пг0) /.(nilnj) n «1 n2 n ^(nt0rt20) ^(ni0n2l)
8 8 16 0,2755653033 — 17,6361794135 8 12 12 0,0794818810 2,8613477142
9 1 0835913313 6,6873065015 12 14 0870057331 0,7830515981
9 3 0743034056 5,5727554180 12 16 1006655521 — 2,2146421471
9 5 0751731779 4,9614297400 12 18 1299685641 — 7,4082081540
9 7 0782795075 4,1488138998 12 20 2524727174 —24,2373808736
9 9 0835464621 3,0076726343 13 5 1270426706 — 14,2287791089
9 11 0920678979 1,3810184691 13 7 0817745926 8,0956846654
9 13 1068345484 — 1,0683454837 13 9 0751798674 6,1647491245
9 15 1380610005 — 5,3843790179 13 11 0752125685 4,5879666778
9 17 2681426689 — 19,3062721610 13 13 0787551895 2,8351868209
10 2 0995134896 8,7571870854 13 15 0859678269 0,6017747883
10 4 0761494529 6,1681056862 13 17 0993003063 — 2,5818079626
10 6 0746264639 5,2238524700 13 19 1280837201 — 8,0692743640
10 8 0768878719 4,2288329519 13 21 2486832583 —25,8630588591
10 10 0817269384 2,9421697820 14 6 1328837129 15,9460455531
10 12 0899280710 1,1690649232 14 8 0832819583 8,7446056259
10 14 1043165624 — 1,4604318733 14 10 0755395797 6,4964038504
10 16 1348374564 — 6,0676855363 14 12 0750049424 4,7253113681
10 18 2620136936 —20,9610954891 14 14 0781875845 2,8147530420
11 3 1110512855 10,6609234083 14 16 0851145482 0,4255727411
11 5 0781801050 6,8016691345 14 18 0981469926 — 2,9444097778
11 7 0746264639 5,5223583255 14 20 1264621840 — 8,7258906991
11 9 0760560896 4,3351971073 14 22 2453784974 —27,4823917036
11 11 0804356635 2,8956838868 15 7 1377826517 17,6361794135
11 13 0882930152 0,9712231670 15 9 0846180325 9,3926016119
11 15 1023067414 — 1,8415213446 15 11 0759050017 6,8314501493
11 17 1321870887 — 6,7415415222 15 13 0748752041 4,8668882647
11 19 2568635473 —22,6039921626 15 15 0777350882 2,7984631763
12 4 1199353883 12,4732803877 15 17 0844015907 0,2532047720
12 6 0800753803 7,4470103648 15 19 0971599707 — 3,3034390028
12 8 0748552040 5,8387059102 15 21 1250521527 — 9,3789114544
12 10 0755395797 4,4568351997 15 23 2424703078 —29,0964369306
16 8 0,1419578835
16 10 0858056540
16 12 0762617819
16 14 0747976333
16 16 0773681248
16 18 0837976437
16 20 0963058171
16 22 1238146252
16 24 2398908364
17 9 1455631631
17 11 0868658011
17 13 0766030934
17 15 0747556946
17 17 0770661513
17 19 0832799749
17 21 0955594928
17 23 1227196660
17 25 2375869628
18 10 1487104748
18 12 0878165974
18 14 0769260212
18 16 0747384390
18 18 0768145067
18 20 0828316957
18 22 0949018693
18 24 1217439077
18 26 2355164882
19 11 ' 1514836305
19 13 0886733447
19 15 0772297203
19 17 0747384390
19 19 0766024828
19 21 0824400077
19 23 0943180824
19 25 1208688392
19,3062721610
10,0392615237
7,1686075010
5,0114414300
2,7852524925
8,3797643701
— 3,6596210491
-10,0289846442
-30,7060270587
20,9610954891
10,6844935385
7,5071031529
5,1581429277
2,7743814468
— 8,3279974859
— 4,0134986981
—10,6766109390
—32,3118269431
22,6039921626
11,3283410605
7,8464541646
5,3064291673
2,7653222421
— 0,2484950870
— 4,3654859898
- 11,3221834202
—33,9143743002
24,2373808736
11,9709015291
8,1863503492
5,4559060453
2,7576893803
— 0,4122000386
— 4,7159041187
— 11,9660150833
19 27 0,2336454535
20 12 1539467789
20 14 0894488619
20 16 0775144381
20 18 0747505546
20 20 0764221002
20 22 0820950427
20 24 0937964069
20 26 1200796028
20 28 2319462139
9 0 0,0526315789
9 2 0663423264
9 4 0685345076
9 6 0710728227
9 8 0747520976
9 10 0802409941
9 12 0887751470
9 14 1033230713
9 16 1338460045
9 18 2604814498
10 1 0751879699
10 3 0666307713
10 5 0670115186
10 7 0690985776
10 9 0725989946
10 11 7796072003
10 13 0863309482
10 15 1005873003
10 17 1304477849
10 19 2541454145
11 2 0898986597
11 4 0685345076
11 6 0667294836
11 8 0680501854
11 10 0711815270
—35,5141089370
25,8630588591
12,6122895259
8,5265881952
5,6062915972
2,7511956062
— 0,5746652988
— 5,0650059731
—12,6083582924
—37,1113942193
4,7368421053
5,7717823972
5,4827606100
4,9040247678
4,0366132723
2,8084347919
1,0653017644
— 1,5498460697
— 6,1569162060
—21,0989974331
7,4436090226
6,2632925024
5,6959790781
4,9750975905
3,9929447041
2,6506644810
0,7769785336
— 2,0117460067
— 6,9137325982
—22,8730873074
9,7090552468
6,9219852701
6,0056535200
5,1037639075
3,9861655111
8
9
«1 /2 2 п ь(П10п20) ип А (fiilnj) ип «1 П 2 п ^(П10п20)
9 11 12 0,0763026057 2,5179859885 9 14 19 0,0938287717 — 3,7531508670
1 1 14 0844467410 0,5066804459 14 21 1215784818 — 9,8478570271
11 16 0983949006 2,45987251,47 14 23 2368962777 —29,8489309891
1 1 18 1276476969 - 7,6588618133 15 6 1214528559 17,4892112518
и 20 • 2488136925 -24,6325555618 15 8 0757108712 97667023873
12 3 1006864989 11,7803203661 15 10 0681397841 7 Л953762508
12 5 0705792615 7,6225602369 15 12 0668962999 5,8199780943
12 7 0669064848 6,3561160596 15 14 0685644972 4,1138698306
12 9 0674691117 5,2625907160 15 16 0726587607 2,1071040596
12 11 0701983973 4,0013086436 15 18 0798870870 — 0,4793225220
12 13 0750490629 2,4015700130 15 20 0927389350 — 4,1732520735
12 Г5 0829514119 0,2488542358 15 22 1200788391 — 10,5669378435
12 17 0965982571 — 2,8979477132 15 24 2338720699 —31,5727294353
12 19 1252992914 — 8,3950525216 16 7 1261847854 19,3062721610
12 21 2442622226 —26,3803200363 16 9 0770628511 10,4805477446
13 4 1090770404 13,7437070938 16 11 0685782640 7,8865003654
13 6 0724820252 8,3354329027 16 13 0668757165 6,0188144812
13 8 0672661971 6,7266197122 16 15 0682551994 4,1635671647
13 10 0671462930 5,4388497352 16 17 0721339176 2,0197496933
13 12 0694898731 4,0304126375 16 19 0791673835 — 0,7125064516
13 14 0740724485 2,2962459027 16 21 0917936015 — 4,5896800734
13 16 0817369868 — 0,0000000000 16 23 1187609671 —11,2822918710
13 18 0950989493 — 3,3284632271 16 25 2311873140 —33,2909732141
13 20 1233006294 - 9,1242465789 17 8 1302407249 21,0989974331
13 22 2403295571 —28,1185581782 17 10 0782686709 11,1924199420
14 5 1158473395 15,6393908309 17 12 0689987551 8,2798506090
14 7 0741906586 9,0512603481 17 14 0668921924 6,2209738901
14 9 0676944260 7,1079147333 17 16 0680119795 4,2167427270
14 11 0669750015 5,6259001229 17 18 0716935396 1,9357255695
14 13 0689640038 4,0688762213 17 20 0785472976 — 0,9425675714
14 15 0732930832 2,1987924956 17 22 0909658471 — 5,0031215912
14 17 0807319563 — 0,2421958689 17 24 1175935473 —11'9945418198
9
10
17 26 0,2287874457 —35,0044791884
18 9 1337607445 22,8730873074
18 11 0793485683 11,9022852504
18 13 0693965306 8,6745663254
18 15 0669324242 6,4255127269
18 17 0678182131 4,2725474281
18 19 0713195529 1,8543083764
18 21 0780077492 — 1,1701162385
18 23 0902350485 — 5,4141029103
18 25 1165520950 — 12,7041783514
18 27 2266290735 —36,7139099146
19 10 1368475309 24,6325555618
19 12 0803200586 12,6102491953
19 14 0697701123 9,0701145952
19 16 0669877860 6,6317908185
19 18 0676621400 4,3303769579
19 20 0709985963 1,7749649072
19 22 0775342070 — 1,3956157256
19 24 0895851397 — 5,8230340780
19 26 1156171851 —13,4115934732
19 28 2246772442 —38,4198087591
20 И 1395784129 26,3803200363
20 13 0811979755 13,3164679800
20 15 0701196825 9,4661571423
20 17 0670525711 6,8393622561
20 19 0675352501 4,3897912584
20 21 0707205949 1,6972942764
20 23 0771154133 — 1,6194236785
20 25 0890034180 — 6,2302392582
20 27 1147732052 —14,1171042450
20 29 2229034765 —40,1226257678
10 0 0,0476190476 5,2380952381
10 2 0599324398 6,4127710581
10 4 0616810569 6,1681056862
10 6 0,0635518891 5,6561181299
10 8 0661599025 4,8958327854
10 10 0698873174 3,8438024571
10 12 0753243672 2,4103797497
10 14 0836424863 0,4182124315
10 16 0976714087 - 2,5394566255
10 18 1269012191 — 7,7409743669
10 20 2476288654 —24,7628865436
11 1 0683229814 8,1987577640
11 3 0604118993 6,9473684211
и 0604965098 6,4126300406
11 7 0619504489 5,7613917499
11 9 0644023339 4 ,8945773792
и 11 0680384466 3,7421145614
и 13 0733813060 2,2014391785
11 15 0815572705 0,0815572705
11 17 0953272274 — 3,0504712770
и 19 • 1239733729 — 8,5541627328
11 21 2421382032 —26,6352023554
12 2 0819875776 10,6583850932
12 4 0623297374 7,6665576986
12 6 0604016877 6,7649890225
12 8 0611510883 5,9316555644
12 10 0632724684 4,9352525375
12 12 0667102781 3,6690652976
12 14 0718938470 2,0130277173
12 16 0798932954 — 0,2396798861
12 18 0934007538 — 3,5492286452
12 20 1215136638 — 9,3565521126
12 22 2374456024 —28.4934722872
13 3 0921095008 12,8953301127
13 5 0643596330 8,4311119294
13 7 0607014479 7,1627708567
13 9 0607514080 6,1358922057
13 11 0625100014 5,0008001093
569
570
«1 «2 п /.(Л1ОП2О) °n Л(Л11П21) ип «1 «2 п л(П10л20) °п l»s1)
10 13 13 0.0657186389 3,6145251377 10 16 14 0,0613178430 5,2733344983
13 15 0707213961 1,8387562975 16 16 0638721198 3,5129665917
13 17 0785351684 - 0,5497461786 16 18 0683478411 1,3669568219
13 19 0917890158 — 4,0387166938 16 20 0756381384 - 1,4371246305
13 21 1194170866 -10,1504523596 16 22 0882211879 - 5,4697136518
13 23 2333867032 —30,3402714169 16 24 1146431715 — 12,4961056952
14 4 1000499750 15,0074962519 16 26 2239343786 -35,8295005834
14 6 0662470123 9,2083347121 17 7 1164505305 20,9610954891
14 8 0611510883 7,5827349483 17 9 0708145118 11,5427654214
14 10 0605686970 6,3597131825 17 11 0626436066 8,8953921345
14 12 0619774544 5,0821512568 17 13 0605842727 7,0883599116
14 14 0649558394 3,5725711686 17 15 0611122134 5,3778747823
14 16 0697754765 1,6746114365 17 17 0634778475 3,4912816127
14 18 0774061216 - 0,8514673372 17 19 0677975997 1,2203567947
14 20 0904204616 — 4,5210230796 17 21 0749335522 — 1,7234717010
14 22 1176080811 -10,9375515445 17 23 0873242405 — 5,9380483532
14 24 2298397928 —32,1775709954 17 25 1134126446 — 13,2692794179
15 5 1065048121 17,0407699376 17 27 2214489804 —37,6463266743
15 7 0679456537 9,9880110878 18 8 1203846700 22,8730873074
15 9 0616502809 8,0145365105 18 10 0720250163 12,3162777809
15 11 0605102330 6,5956153951 18 12 0631086174 9,3400753821
15 13 0615960546 5,1740685891 19 14 0606696628 7,3410292042
15 15 0643549023 3,5395196271 18 16 0609588853 5,4862996771
15 17 0689976603 1,5179485273 18 18 0631513306 3,4733231850
15 19 0764530732 — 1,1467960982 18 20 0673262551 1,0772200816
15 21 0892437792 — 4,9976516355 18 22 0743185025 — 2,0065995687
15 23 1160308299 -11,7191138189 18 24 0865311008 — 6,4033014598
15 25 2267127208 —34,0069081219 18 26 1123138370 -14,0392296210
16 6 1118838430 19,0202533142 18 28 2192121220 —39,4581819688
16 8 0694617199 10,7665665914 19 9 1238144327 24,7628865436
16 10 0621545328 8,4530164597 19 11 0731125020 13,0871378562
16 12 0605252238 6,8393502838 | 19 13 0635462417 9,7861212197
10 19 15 0,0607703915 7,5962989414 11
19 17 0608439997 5,59/64/9/58
19 19 0628776467 3,4582705670
19 21 0669184123 0,9368577727
19 23 0737770837 — 2,2870895942
19 25 0858247245 — 6,8659779580
19 27 1113265624 — 14,8064328050
19 29 2171880027 —41,2657205190
20 10 1268342969 26,6352023554
20 12 0740936974 13,8555214211
90 14 0639559362 10,2329497997
20 16 0608794773 7,8534525701
20 18 0607578400 5,7112369572
20 20 0626458203 3,4455201140
20 22 0665623852 0,7987486228
20 24 0732969324 — 2,5653926357
20 26 0851916101 — 7,3264784672
20 28 1104345777 —15,5712754501
20 30 2153474264 —43,0694852874
11 11 0 0,0434782609 5,7391304348
1 1 2 0546583851 7,0509316770
11 4 0560967636 6,8438051651
11 6 0575254169 6,3853212713
11 8 0594524470 5,7074349073
11 10 0621220599 4,7833986133
11 12 0658550182 3,5561709807
11 14 0712091437 1,9226468810
11 16 0793058446 — 0,3172233786
11 18 0928545506 — 3,6213274727
11 20 1209350273 — 9,4329321299
11 22 2365070822 —28,6173569493
12 1 0626086957 8,9530434783
12 3 0552657005 7,6266666667
1 СЛ 12 5 0551653998 7,1163365686
12 7 0 0562050444
12 9 ’0579899803
12 11 0605866167
12 13 0642582247
12 15 0695328012
12 17 0775018109
12 19 0908177034
12 21 1183786771
12 23 2316893454
13 2 0753623188
13 4 0571714143
13 6 0552058436
13 8 0555918984
13 10 0570743491
13 12 0594983562
13 14 0630453736
13 16 0682015936
13 18 0760238694
13 20 0891100201
13 22 1161967842
13 24 2275181788
14 3 0848908879
14 5 0591693401
14 7 0555918984
14 9 0553271751
14 11 0564762175
14 13 0586974168
14 15 0620968356
14 17 0671201730
14 19 0747910499
14 21 0876572231
14 23 1143118546
14 25 2238699281
15 4 0924215312
15 6 0610275507
6,5197851489
5,7410080538
4,7257561033
3,4056859076
1 ,6687872280
- 0,6975162981
— 4,1776143579
— 10,2989449108
—30,5829935883
11,6057971014
8,4041979010
7,5079947293
6,7266197122
5,8215836055
4,7003701380
3,2783594253
1,4322334654
— 1,0643341715
— 4,7228310664
-11,1548912784
—32,5350995620
14,0069965017
9,2304170495
7,9496414781
6,9712240654
5,9300028323
4,6957933413
3.1669386138
1,2081631135
— 1,4210299478
— 5,2594333878
—12,0027447364
—34,4759689236
16,2661894859
10,0695458722
«1 «2 n л(пх0п20) ип ип «1 «2 п (М10п20) 1п21) °п
11 15 8 0,0561036969 8,4155545317 И 17 26 0,1099314222 —14,5109477363
15 10 0552484736 7,2375500407 17 28 2152264471 —40,2473456081
15 12 0560748397 6,0560826823 18 7 1081530725 22,6039921626
15 14 0580905881 4,7053376368 18 9 0655488173 12,5853729257
15 16 0613375119 3,0668755959 18 И 0577203963 9,8701877687
15 18 0662252373 0,9933785600 18 13 0554768777 8,0996241387
15 20 0737471850 — 1,7699324397 18 15 0554860097 6,4918631301
15 22 0864059372 — 5,7891977892 18 17 0569499838 4,7837986353
15 24 1126665651 — 12,8439884225 18 19 0597725777 2.8093111519
15 26 2206508834 —36,4073957541 18 21 0642812335 0,3856874011
16 5 0985829665 18,4350147507 18 23 0713971778 — 2,7844899325
16 7 0627041318 10,9105189341 18 25 0835129474 — 7,3491393699
16 9 0566516094 8,8943026805 18 27 1087819553 — 15,3382556976
16 11 0552737705 7,5172327898 18 29 2129189511 -42,1579523140
16 13 0558013038 6,1939447271 19 8 1119661616 24,6325555618
16 15 0576200870 4,7248471302 19 10 0667548931 13,4177335174
16 17 0607179411 2,9751791134 19 12 0582164766 10,3625328276
16 19 0654731106 0,7856773269 19 14 0556138576 8,3976924987
16 21 0728520647 — 2,1127098751 19 16 0554003243 6.6480389198
16 23 0853167867 - 6,3134422146 19 18 0567073173 4,8201219710
16 25 1112175612 — 13,6797600219 19 20 0594055192 2,7326538836
16 27 2177886667 —38,3308053411 19 22 0638017333 0,1914051999
17 6 1037468363 20,5418735793 19 24 0707981734 — 3,1151196291
17 8 0642051574 11,7495437958 19 26 0827575641 — 7,8619685878
17 10 0571963364 9,3801991768 19 28 1077483312 — 16,1622496765
17 12 0553584364 7,8055395263 19 30 2108296483 —44,0633964864
17 14 0556138576 6,3399797672 20 9 1153039063 26,6352023554
17 16 0572483445 4,7516125899 20 11 0678416007 14,2467361436
17 18 0602042685 2,8898048899 I 20 13 0586822084 10.8562085488
17 20 0648326901 0,5834942109 20 15 0557600667 8,6985704048
17 22 0720761339 — 2,4505885537 20 17 0553449794 6,8074324603
17 24 0843600696 — 6,8331656381 20 19 0565076890 4,8596612542
11
12
20 20 21 23 0,0590902207 0633812219 2,6590599316 0,0000000000 12
20 25 0702658563 — 3,4430269585
20 27 0820797537 — 8,3721348740
20 29 1068137718 — 16,9833897218
20 31 2089287252 -45,9643195445
12 0 0,0400000000 6,2400000000
12 2 0502415459 7,6869565217
12 4 0514542729 7,5123238381
12 6 0525769939 7,0978941769
12 8 0540476790 6,4857214856
12 10 0560366336 5,6596999972
12 12 0587355567 4,5813734256
12 14 0624449414 3,1846920132
12 16 0677001113 1,3540022257
12 18 0755792854 — 1 ,1336892804
12 20 0886856867 — 4,7890270813
12 22 1157375083 —11,2265383074
12 24 2267597848 -32,6534090150
13 1 0577777778 9,7066666667
13 3 0509345327 8,3023288356
13 5 0507165772 7,8103528881
13 7 0514739800 7,2578311863
13 9 0528123035 6,5487256372
13 И 0547384877 5,6380642313
13 13 0573930297 4,4766563187
13 15 0610531913 2,9916063722
13 17 0662370128 1,0597922049
13 19 0739996102 — 1,5539918143
13 21 0868949864 — 5,3874891573
13 23 1134804957 —12,1424130388
13 25 2224880149 —34,7081303305
14 2 0697318008 12,5517241379
14 4 0528123035 9,1365285099
14 6 0,0508562923 8,2387193500
14 8 0510033608 7,4974940374
14 10 0520610617 6,6638158918
14 12 0538318461 5.6523438368
14 14 0563820414 4,3977992291
14 16 0599539590 2,8178360738
14 18 0650426438 0.7805117257
14 20 0726783852 — 1,9623164005
14 22 0853690659 — 5,9758346134
14 24 1115285190 —13,0488367227
14 26 2187487206 —36,7497850558
15 3 0787294525 15,1160548758
15 5 0547683148 10,0226016024
15 7 0513033806 8,7215746965
15 9 0508411880 7,7787017564
15 11 0515888525 6,8097285272
15 13 0531753601 5,6897635347
15 15 0555983295 4,3366697023
15 17 0590657522 2,6579588498
15 19 0640497821 0,5123982567
15 21 0715569168 — 2,3613782558
15 23 0840528343 — 6,5561210745
15 25 1098229836 —13,9475189152
15 27 2154468531 —38,7804335562
16 4 0858866754 17,5208817878
16 6 0565891834 10,9217123989
16 8 0518580117 9,2307260842
16 10 0508411880 8,0837488841
16 12 0512879631 6,9751629810
16 14 0526868125 5.7428625592
16 16 0549765848 4,2881736110
16 18 0583345708 2,5083865426
16 20 0632118728 0,2528474914
16 22 0705930859 — 2,7531303504
16 24 0829055856 — 7,1298803656
573
«1 «2 п ь(Л10н20) 'п ип «1 «2 п ип h(niln2l) ип
12 16 26 0 1083195246 - 14,8397748644 12 19 15 0,0509113652 7,5348820563
16 28 ’2125089415 —40,8017167598 19 17 0518029007 5,9573335775
17 5 0917760475 19,8236262514 19 19 0537171858 4,1899404957
17 7 0582362698 11,8219627762 19 21 0567615421 2,1001770560
17 9 0524390539 9,7536640174 19 23 0613366663 - 0,4906933308
17 11 0509297614 8,4034106390 19 25 0683731733 — 3,8972708780
17 13 0510971242 7,1535973828 19 27 0802036450 — 8,8224009512
17 15 0523153805 5,8070072394 19 29 1047142382 — 17,4872777855
17 17 0544738975 4,2489640053 19 31 2053572940 —46,8214630325
17 19 0577232322 2,3666525193 20 8 1046838097 26,3803200363
17 21 0624956437 0,0000000000 20 10 0622387058 14,5016184628
17 23 0697558633 - 3,1390138497 20 12 0540766382 11,3560940275
17 25 0818965678 — 7,6982773693 20 14 0514066627 9,4074192751
17 27 1069839065 - 15,7266342488 20 16 0508778489 7,7334330291
17 29 2098772518 —42,8149593631 20 18 0516243085 6,0400440912
18 6 0967369149 22,0560165950 20 20 0534276053 4,1673532154
18 8 0597152862 12,7193559628 20 22 0563775316 1,9732136067
18 10 0530112387 10,2841802991 20 24 0608615877 — 0,7303390518
18 12 0510670847 8,7324714839 20 26 0677957446 — 4,2711319090
18 14 0509793695 7,3410292042 20 28 0794864738 - 9,3794039106
18 16 0520281307 5,8791787665 20 30 1037415730 -18,3622584128
18 18 0540609758 4,2167561148 20 32 2034015102 —48,8163624599
18 20 0572053148 2,2310072769
18 22 0618766810 — 0,2475067241 13 13 0 0,0370370370 6,7407407407
18 24 0690218751 — 3,5201156317 13 2 0464878672 8,3213282248
18 26 0810021006 — 8,2622142613 13 4 0475310732 8,1753445858
18 28 1057892706 — 16,6089154857 13 6 0484345641 7,7979648169
18 30 2075057574 —44,8212436004 13 8 0495866008 7,2396437133
19 7 1009890870 24,2373808736 13 10 0511144969 6,4915411060
19 9 0610432445 13,6126435262 13 12 0531416942 5,5267361960
19 11 0535591584 10,8189500038 13 14 0558450696 4,3000703574
19 13 0512304994 9,0677983889 13 16 0595131211 2,7376035699
13
13 18 0 0646622775
13 20 0723322977
13 22 0850316388
13 24 1111567573
13 26 2181255048
14 1 0536398467
14 3 0472376715
14 5 0469442698
14 7 0475031302
14 9 0485302249
14 11 0500015032
14 13 0519936855
14 15 0546639038
14 17 0582885712
14 19 0633720066
14 21 0709346828
14 23 0834415409
И 25 1091450639
14 27 2143038990
15 2 0648869114
15 4 0490781002
15 6 0471576528
15 8 0471436470
15 10 0479080425
15 12 0492364446
15 14 0511372003
15 16 0537365114
15 18 0572928820
15 20 0622957587
15 22 0697459689
15 24 0820681555
15 26 1073857356
15 28 2109269890
16 3 0734074149
16 5 0509866930
0,7112850522
— 2,0253043344
— 6,0372463525
-13,1164973576
-36,8632103184
10,4597701149
8,9751575825
8,4969128339
7,9805258661
7,3280639541
6,5001954123
5,4593369741
4,1544566896
2,5064085645
0,3802320397
— 2,4827138974
— 6,6753232758
— 14,0797132473
—39,0033096112
13,4964775677
9,8646981495
8,9599540406
8,2501382264
7,4736546287
6,5484471280
5,4205432359
4,0302383562
2,2917152798
— 6,2295758747
— 2,9293306929
— 7,3040658385
— 15,0340029774
—41,1307628627
16,2230386924
10,8091789231
0,0476478571
0470606894
0475344440
0486925536
0504797531
0529916146
0564683793
0613846100
0687224431
0808696515
1058335419
2079203543
0802238177
0527655899
0482315773
0471211010
0473121520
0482962448
0499635223
0523820635
0557751819
0606034983
0678318428
0798143865
1044535475
2052254744
0858611671
0543787391
0488345956
0472580810
0471859863
0480021444
0495506006
0518754538
0551848326
13 16 7
16 9
16 11
16 13
16 15
16 17
16 19
16 21
16 23
16 25
16 27
16 29
17 4
17 6
17 8
17 10
17 12
17 14
17 16
17 18
17 20
17 22
17 24
17 26
17 28
17 30
18 5
18 7
18 9
18 11
18 13
18 15
18 17
18 19
18 21
9,4819235702
8,5650454633
7,6530454870
6,6221872915
5,4013335869
3,9213794788
2,0893300343
— 0,2455384401
— 3,3673997133
— 7,9252258517
— 15,9808648222
—43,2474337001
18,7723733441
11,7667265567
10,0321680834
8,9058880941
7,8538172324
6,7131780222
5,3960604102
3,8238906383
1,8963561854
— 0,5454314845
— 3,7985831969
— 8,5401393572
-16,9214746943
-45,3548298337
21,2077082644
12,7246249587
10,5971072473
9,2625838705
8,0688036511
6,8163045011
5,4010154702
3,7350326704
1,7107298091
gyg 37. E. А. Иванов
«1 «2 n A(ni0n20) un Л(П11П21) un «1 n2 rt , (rtlln2l) °tl
13 18 18 23 25 0 0599266280 ’0670498216 — 0,8389727926 — 4,2241387581 13 20 20 31 33 0,1010989755 1985872733 —19,7143002242 —51,6326910634
18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 27 29 31 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 0788779649 1032183205 2027956646 0906312319 0558313652 0494248546 0474356476 0471227741 0477809363 0492151741 0514488051 0546764854 0593345944 0663576530 0780412652 1021060076 2005932054 0947364793 0571393161 0499885479 0476334643 0471016712 0476129602 0489391073 0510853878 0542345260 0588125177 0657406926 0772890806 — 9,1498439317 — 17,8567694547 —47,4541855059 23,5641202938 13,6786844632 11,1700171497 9,6294364561 8,2936082498 6,9282357687 5,4136691484 3,6528651641 1,5309415914 — 1,1273572938 — 4,6450357124 - 9,7551581505 —18,7875054010 -49,5465217275 25,8630588591 14,6276649175 11,7473087500 10,0030275051 8,5254024958 7,0467181063 5,4322409122 3,5759771493 1,3558631508 — 1,4115004250 — 5,0620333327 —10,3567368008 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 0,0344827586 0432579409 0441702902 0449120503 0458341013 0470369872 0486052081 0506501794 0533413900 0569578359 0619991123 0694702931 0817945950 1070797933 2104074644 0500556174 0440444489 0437028797 0441183862 0449215671 0460718457 0476104969 0496313539 0522943565 0558708303 0608508308 0682226435 0803704562 7,2413793103 8,9543937709 8,8340580443 8,4883775121 7,9751336189 7,2907330119 6,4158874695 5,3182688352 3,9472628606 2,2213556002 — 0,0000000000 — 2,9872226038 — 7,3615135474 —15,0982508534 —41,2398630294 11,2124582870 9,6457343176 9,1776047460 8,6913220888 8,0858820808 7,3254234728 6,3798065802 5,2112921632 3,7651936674 1,9554790611 — 0,3651049849 — 3,4793548207 — 8,0370456168
14
1R 27 0,1052720907 — 16,1066298800 14 18 10
15 29 2069621960 —43,4620611626 18 12
1 A 2 0606734756 14,4402871878 18 14
1 о 15 4 0458421815 10,5895439377 18 16
1 и 1 5 6 0439713250 9,6736914890 18 18
1 и 1 5 8 0438468885 8,9886121376 18 20
1 и 15 10 0444025760 8,2588791300 18 22
1 и 15 12 0454196659 7,4034055454 18 24 or
15 14 0468757670 6,3751043089 18 2b
1 и 15 16 0488365256 5,1278351851 18 28
1 и 15 18 0514466695 3,6012668683 18 30 о о
1 и 16 20 0549668460 1,7039722245 18 <32
16 22 0598762563 — 0,7185150756 19 5
16 24 0671466727 — 3,9616536877 19 /
15 26 0791263315 — 8,7038964606 19 9
1 V 15 28 1036759777 — 17,1065363145 19 11
16 30 2038928414 —45,6719964759 19 13
17 3 0687632723 17,3283446253 19 15
17 5 0477006484 11,5912575534 19 17
17 7 0444916957 10,2330900017 19 19 Г» 1
17 9 0438259191 9,3349207762 19 21 oo
17 11 0441075422 8,4686481101 19 23 Qi?
i ‘ 17 13 0449654693 7,5092333670 19 25
17 15 0463178586 6,3918644877 19 2/ on
17 17 0482022850 5,0612399230 19 29 O 1
17 19 0507477265 3,4508454020 19 31 А Г)
17 21 0542037689 1 ,4635017593 19 33
17 23 0590388261 — 1,0626988706 20 6
17 25 0662090714 — 4,4360077867 20 8
17 27 0780298148 — 9,3635777721 20 10
11 17 29 1022559120 — 18,0992964177 20 12
17 31 2011401897 —47,8713651587 20 14
18 4 0752679062 20,0212630468 20 16
1R 6 0494352174 12,6059804369 20 18
1 о 18 8 0450945642 10,8226953995 20 20
0,0439332041
0439477323
0446426281
0458848674
0476867525
0501625850
0535514548
0583115842
0653846669
0770558957
1009839636
1986569775
0806717559
0510119504
0457114529
0441075422
0438729277
0444101472
0455428315
0472611951
0496663493
0529877553
0576742109
0646540696
0761849509
0998378656
1964049956
0852628314
0524355397
0463129194
0443160885
0438530306
0442416077
0452686743
0469052743
9,7092381124
8,7016509963
7,6338894118
6,4238814407
5,0071090147
3,3107306100
1,2316834614
— 1,3994780199
— 4,9038500190
— 10,0172664402
— 19,0859691156
-50,0615583359
22,5880916426
13,6201907601
11,4278632168
10,1006271730
8,9500772414
7,7717757558
6,4670820694
4,9624254819
3,1786463550
1,0067673511
— 1,7302263275
— 5,3662877779
—10,66589312»
—20,06741<BMl
—52,2*372»»
25,067232*3®
14,629&15SK№
12.0ШИЮ16
10.5029429838
9,209136*333
7.9192477816
6.5186890946
4.9250538000
«1 п h(ni0n20) ип ип «1 «2 п А(Н10п20) ип
14 20 22 0,0492408114 3,0529303080 15 16 17 0,0475680444 4,8995085720
90 24 0524960310 0,7874404648 16 19 0502107135 3,3139070924
90 26 0571110948 — 2,0559994137 16 21 0537324317 1,3433107935
20 20 20 20 28 30 32 34 0640020958 0754013595 0987996385 1943530031 — 5,8241907180 — 11,3102039203 —21,0443229937 —54,4188408682 16 16 16 16 16 23 25 27 29 31 0586094529 0658003735 0776158635 1017846866 2003275021 — 1,1721890572 — 4,5402257695 — 9,4691353465 —18,2194588949 —48,0786005057
15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 1 3 5 7 9 11 13 15 0,0322580645 0404489837 0412579634 0418774523 0426289194 0435952564 0448373625 0464293311 0484774335 0511458118 0547050991 0596395913 0669228504 0789009003 1034206181 2034543622 0469208211 0412579634 0408862700 0411960145 0418338319 0427503871 0439662366 0455394072 7,7419354839 9,5864091415 9,4893315805 9,1711620610 8,6962995478 8,0651224348 7,2636527271 6,2679596986 5,0416530812 3,5290610163 1,6411529720 — 0,7753146863 — 4,0153710258 — 8,7579999351 —17,1678226067 —45,7772314909 11,9648093842 10,3144908484 9,8535910772 9,3926913059 8,8269385316 8,1225735479 7,2544290411 6,1933593794 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 18 18 18 18 18 18 18 18 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 3 5 7 9 И 13 15 17 0569752828 0430102321 0411960145 0409950583 0413985962 0421898230 0433296097 0448498704 0468352034 0494355910 0529088374 0577225783 0648210060 0764822786 1003282236 1975217948 0646746453 0448176421 0417370503 0410230987 0411670394 0418083193 0428518964 0443035708 15,3833263511 11,3116910447 10,3813956539 9,7158288245 9,0248939712 8,2270154874 7,2793744236 6,1444322480 4,7771907436 3,1144422339 1,0581767477 — 1,5585096131 — 5,0560384679 —10,1721430544 —19,2630189218 —50,3680576726 18,4322739161 12,3696692329 10,9768442387 10,0916822868 9,2625838705 8,3616638587 7,3276742841 6,1138927641
37*
18 19 0,0462337778 4,6696115560
18 21 0487833920 2,9270035185
18 23 0522027515 0,7830412730
18 25 0569510233 — 1,9363347928
18 27 0639588646 - 5,5644212170
18 29 0754746017 —10,8683426431
18 31 0990228626 —20,2996868417
18 33 1949894641 -52,6471553049
19 4 0708933612 21,2680083648
19 6 0465069989 13,4405226958
19 8 0423517821 11,6043882917
19 10 0411670394 10,4975950532
19 12 0410575526 9,5253522072
19 14 0415449764 8,5167201601
19 16 0424859884 7,3925619754
19 18 0438628148 6,0969312598
19 20 0457326424 4,5732642428
19 22 0482276260 2,7489746820
19 24 0515909270 0,5159092701
19 26 0562736887 — 2,3072212384
19 28 0631939885 — 6,0666228991
19 30 0745727731 —11,5587798307
19 32 0978459740 —21,3304223329
19 34 1926918663 —54,9171819018
20 5 0760806803 23,9654143037
20 7 0480461393 14,5099340812
20 9 0429765796 12,2483251913
20 11 0413703721 10,9217782254
20 13 0410240362 9,8047446632
20 15 0413623920 8,6861023153
20 17 0422011143 7,4695972276
20 19 0435017818 6,0902494551
20 21 0453096520 4,4856555470
20 23 0477488530 2,5784380597
20 25 0510558588 0,2552792942
20 27
20 29
20 31
20 33
20 35
16 0
16 2
16 4
16 6
16 8
16 10
16 12
16 14
16 16
16 18
16 20
16 22
16 24
16 26
16 28
16 30
16 32
17 1
17 3
17 5
17 7
17 9
17 11
17 13
17 15
17 17
17 19
17 21
17 23
0,0556743377
0625107289
0737608112
0967792732
1905973895
0.0303030303
0379835219
0387092089
0392342995
0398563067
0406458944
0416489278
0429169467
0445200920
0465613133
0492001834
0526997115
0575301697
0646363308
0762938986
1001124639
1971477005
0441558442
0388047872
0384151218
0386454170
0391584124
0399003613
0408792455
0421316965
0437206290
0457445315
0483591886
0518230952
— 2,6723682107
— 6,5636265374
—12,2442946546
—22,3560121069
—57,1792168542
8,2424242424
10,2175673789
10,1418127314
9,8478091804
9,4060883838
8,8201590955
8,0798920020
7,1671301014
6,0547325072
4,7026926423
3,0504113732
1,0012945194
— 1,6108447507
— 5,1062701306
—10,2233824134
—19,3217055386
—50,4698113245
12,7168831169
10,9817547753
10,5257433845
10,0864538315
9,5546526308
8,8977805673
8,0940906153
7,1202567015
5,9460055486
4,5287086142
2,8048329369
0,6737002371
СП 00 О И П1 П3 п < (rtiO/laO) ип ип «1 «2 п l (n^Qn-iQ) °п, hinting) ип
16 17 17 17 17 17 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 19 19 25 27 29 31 33 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 3 5 0,0565994738 0636195602 0751267925 0986227703 1942930731 0537030537 0405104921 0387558325 0385016201 0387920179 0394152505 0403230653 0415276578 0430795503 0450698505 0476488945 0510698065 0557885707 0627235618 0740885343 0972868542 1917153873 0610470610 0422670446 — 2,0375810565 — 5,6621408616 — 10,9685116997 —20,4149134455 —52,8477158965 16,3257283257 12,0316161606 11,0841680825 10,4339390413 9,7755885156 9,0260923674 8,1452591947 7,1012294837 5,8588188365 4,3717754994 2,5730403023 0,3574886457 — 2,4546971124 — 6,2096326200 —11,7059884217 —21,5003947677 -55,2140315337 19,5350595351 13,1450508791 16 19 19 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 23 25 27 29 31 33 35 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 0,0470414625 0504156600 0550756889 0619278783 0731586821 0960817649 1893756114 0670028719 0439112595 0399316803 0387414855 0385438249 0388789886 0396001476 0406727919 0421221707 0440237651 0465164096 0498424100 0544440517 0612164555 0723209373 0949889482 1872418017 2,3520731271 0,0504156600 — 2,8639358244 — 6,7501387356 -12,4369759573 —22,5792147550 -57,5701858584 22,5129649520 14,2711593282 12,3788208784 11,2737722940 10,3297450748 9,3698362528 8,3160310055 7,1177385865 5,7286152094 4,0942101578 2,1397548414 — 0,2492120501 — 3,2666430995 — 7,2847582082 — 13,1624105900 —23,6522480985 —59,9173765346
19 19 19 19 19 19 19 19 7 9 11 13 15 17 19 21 0393104776 0385687253 0386123473 0390934934 0399110800 0410527846 0425560909 0445041471 11,7145223377 10,8378118090 10,0392102880 9,1869709409 8,2216824756 7,1021317428 5,7876283642 4,2278939712 17 17 17 17 17 17 17 17 0 2 4 6 8 10 12 0,0285714286 0358020358 0364594429 0369103166 0374321306 0380867085 0389099268 8,7428571429 10,8480168480 10,7919951017 10,5194402381 10,1066752707 9,5597638341 8,8714633077
17 17 14 0,0399390361 8,0277462615 17 19 14 1 0,0377354889 8,9810463668
17 16 0412223074 7,0077922537 19 16 0387069112 8,0123306251
17 18 0428276231 5,7817291150 19 18 0399464921 6,8707966355
17 20 0448552322 4,3061022886 19 20 0415117044 5,5210566874
17 22 0474605589 2,5154096236 19 22 0434954800 3,9145931960
17 24 0508995738 0,3053974431 19 24 0460465469 1,9800015155
17 26 0556296289 — 2,5033333023 19 26 0494127341 — 0,3953018726
17 28 0625690703 — 6,2569070287 19 28 0540387610 — 3,4044419399
17 30 0739292041 — 11,7547434572 19 30 0608189461 — 7,4199114217
17 32 0971025987 —21,5567769218 19 32 0719076748 — 13,3029198396
17 34 1913931765 —55,3126280186 19 34 0945075853 -23,8159114890
18 1 0416988417 13,4687258687 19 36 1863945537 —60,2054408449
18 3 0366282366 11,6477792478 20 3 0578063993 20,6368845393
18 5 0362288954 11,1947286770 20 5 03999.39623 13,9178988754
18 7 0363985904 10,7739827615 20 7 0371556811 12,4471531655
18 9 0368156014 10,2715527966 20 9 ! 0363999672 11,5751895662
18 11 0374242750 9,6554629598 20 11 0363695579 10,8017586844
18 13 0382247491 8,9063665330 20 13 0367299979 9,9905594156
18 15 0392403055 8,0050223271 20 15 0373781298 9,0828855393
18 17 0405126164 6,9276574080 20 17 0382910519 8,0411208896
18 19 0421057619 5,6421720957 20 19 0394867432 6,8312065780
18 21 0441171545 4.1028953668 20 21 0410154745 5,4140426366
18 23 0466993428 2,2415684551 20 23 0429652702 3,7379785107
18 25 0501044522 — 0,0501044522 20 25 0454807938 1.7282701643
18 27 0547835102 — 2,9583095513 20 27 0488055336 — 0,7320830036
18 29 0616424964 — 6,8423170982 20 29 0533781339 — 3,8432256419
18 31 0728630915 —12,5324517323 20 31 0600820095 — 7,9909072576
18 33 0957386158 —22.6900519338 20 33 0710463755 — 14,0671823421
18 35 1887734632 —57,7646797295 20 35 0933907125 —24,9353202267
19 2 0507870508 17,2675972676 20 37 1842242062 —62,6362300931
19 4 0382873554 12,7496893351
19 6 0365927162 11,7828546248 18 18 0 0,0270270270 9.2432432432
19 8 0363015275 11,1445689433 18 2 0338580339 11,4778734779
19 10 0365063998 10,5138431545 18 4 0344586198 11,4402617817
сл 00 1—< 19 12 0370020719 9,8055490561 18 6 0348502059 11,1869161034
сл со «2 п с(П10п20) °п °п
1R 8 0,0352931517 10,7997044321
18 ю 0358426471 10,2868397227
18 18 12 14 0365276864 0373761033 9,6433092023 8,8581364885
18 16 0384223016 7,9149941277
1Q 18 0397128869 6,7909036514
18 18 1R 20 22 24 0413140296 0433235611 0458930584 5,4534519116 3,8557969346 1,9275084521
18 26 0492719571 — 0,4434476135
8 28 0539056606 — 3,4499622755
18 30 0606881526 — 7,4646427756
1 8 32 0717714860 —13,3494964017
18 34 0943487490 —23,8702334960
18 19 19 36 1 3 1861146820 0395010395 0346838396 —60,3011569670 14,2203742204 12,3127630445
• 19 5 0342805391 11,8610665292
1Q 7 0344034084 11,4563350031
19 9 0347454232 10,9795537395
1 9 11 0352504945 10,3988968897
19 13 0359137757 9,6967194328
19 15 0367499259 8,8567321489
19 17 0377872222 7,8597422229
19 19 0390688941 6,6807808895
19 21 0406588182 5,2856463686
19 23 0426527955 3,6254876214
19 25 0452000482 1,6272017336
19 27 0485466183 — 0,8252925107
19 29 0531321517 — 3,9317792281
19 31 0598392539 — 8,0782992713
19 33 0707926384 — 14,1585276820
—
П1 п. Urti0n20) ип Ijphlrtal) ип
1Я 19 35 0,0930937627 —25,0422221551
19 37 1836993509 —62,8251779968
20 2 0481719994 18,2090157700
20 4 0362970414 13,4662023601
20 6 0346614340 12,4781162331
20 8 0343448494 11,8489730515
20 10 0344841794 11,2418424983
20 12 0348812895 10,5690307208
20 14 0354808528 9,7927153741
20 16 0362757333 8,88755466/Ь
20 18 0372833926 7,8295124451
20 20 0385409986 6,5905107672
20 22 0401085368 5,1338927161
20 24 0420788172 3,4083841940
20 26 0445981600 1,3379447997
20 28 0479089911 — 1,1977247763
20 30 0524453231 — 4,4054071377
20 32 0590790755 — 8,6846241054
20 34 0699097206 — 14,9606802113
20 36 0919546465 —26,2070742501
20 38 1814949587 —65,3381851167
19 19 0 0,0256410256 9,7435897436
19 2 0321146663 12,1072291804
19 4 0326673373 12,0869147869
19 6 0330108895 11,8509093325
19 8 0333908258 11,4864440853
19 10 0338571944 11,0035881676
19 12 0344340935 10,3990962335
19 14 0351429399 9 ,6643084782
19 16 0360090000 8,7861960008
19 18 0370653611 7,7466604616
19
19 20 0,0383574701
19 22 0399500051
19 24 0419385545
19 26 0444710997
19 28 0477909886
19 30 0523325374
19 32 0589671834
19 34 0697922253
19 36 0918165765
19 38 1812500262
20 1 0375234522
20 3 0329362042
20 5 0325329038
20 7 0326191891
20 9 0329017885
20 и 0333250474
20 13 0338809205
20 15 0345783394
20 17 0354368208
20 19 0364863740
20 21 0377704869
20 23 0393522816
20 25 0413257583
20 27 0438368717
20 29 0471259085
20 31 0516218915
6,5207699126
5,0736506450
3,3550843588
1,2896618915
— 1,2425657039
— 4,4482656813
— 8,7271431370
—15,0053284362
—26,2595408652
—65,4312594545
14,9718574109
12,9768644686
12,5251679534
12,1343383445
11,6801349262
11,1305658184
10,4692044191
9,6819350312
8,7528947483
7,6621385343
6,3832122812
4,8796829190
3,0994318736
0,9644111780
— 1,6494067972
— 4,9557015874
0,0581857302
0688893844
0906568225
1790138246
0,0243902439
0305423448
0310541354
0313582793
0316872123
0320868835
0325778081
0331769013
0339032105
0347809012
0358422261
0371316626
0387125118
0406782554
0431735018
0464359135
0508894870
0573847186
0679681150
0894778610
1767478268
19 20 20 20 20 33 35 37 39
20 20 0
’ 20 2
20 4
20 6
20 8
20 10
20 12
20 14
20 16
20 18
20 20
20 22
20 24
20 26
20 28
20 30
20 32
20 34
20 36
20 38
20 40
- 9,3679025622
- 15.84455ЫМ5
—27,46901721W
-68,0252533358
10,2439024390
12,7361577730
12,7321955229
12,5119534277
12,1678895104
11 ,7117124941
11,1416103788
10,4507239170
9,6285117903
8,6604444015
7,5268674883
6,2009876489
4,6455014199
2,8067996213
0,6044290250
— 2,0896161071
— 5,4960645968
—10,0423257493
..-16,7201562988
—28 ,7223933908
—70,6991307154
Иванов Е. А.
И20 Дифракция электромагнитных волн на двух те-
лах. Минск, «Наука и техника», 1968.
584 с. с нлл. 2100 экз. 3 р. 59 к. В перепл.
В книге кратко описываются основные уравнения электромагнит-
ного поля и рассматриваются вопросы, связанные с разделением урав-
нений Максвелла в различных ортогональных криволинейных коорди-
натных системах и сведением векторных электродинамических задач
к скалярным относительно вспомогательных потенциалов.
Содержится решение ряда задач дифракции электромагнитных
волн на круговых и эллиптических цилиндрах, сферах, сфероидах
(дисках), полученное классическим методом разделения переменных,
обобщенным на случай двух тел. Исследуются вопросы численного
решения бесконечных систем линейных уравнений для коэффициентов
разложения искомых функций по собственным волновым функциям
соответствующего тела.
Рассчитана на студентов, инженеров и других лиц, занимающихся
теорией дифракции электромагнитных волн и ее приложениями. — Биб-
лиогр.: с. 548—556 (192 назв,).
2-2-3
72-68
517.2:537.6
Иванов Евгений Алексеевич
ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ДВУХ ТЕЛАХ
Издательство «Наука и техника». Минск, Ленинский проспект, 68
Редактор Е. В о л к и н д. Художник Б. С у с л е н к о в. Художествен-
ный редактор Н. Евменова. Технический редактор Г. Макси м о-
в а. Корректоры Г. Большакова, И. Альперович.
Печатается по постановлению РИСО АН БССР
АТ 15131. Сдано в набор I2/XII-67 г. Подп. в печать 30/IV-68 г. Формат
GOXSOVie- Печ. л. 36,5. Уч.-изд. л. 34,0. Бумага тип. № 1. Изд зак. 445.
Тнп. зак. 1021. Тираж 2100 экз. Цена 3 р. 59 к.
Типография им. Франциска (Георгия) Скорииы издательства «Наука
и техника» АН БССР и Госкомитета СМ БССР по печати. Минск, Ле-
нинский проспект, 68