Φ. Α. БЕРЕЗИН, Μ. Α. ШУБИН
УРАВНЕНИЕ
ШРЕДИНГЕРА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1983

УДК 517.9
Березин Φ. Α., Шубин Μ. А. Уравнение Шредингера. —
Μ.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. — 392 с.
В книге систематически изложены математические
вопросы нерелятивистской квантовой механики, связанные с
изучением уравнения Шредингера: спектральная теория
одномерного и многомерного оператора Шредингера, теория
рассеяния, метод континуальных интегралов и т. п. Изложение
рассчитано на лиц, впервые знакомящихся с предметом. Книга
снабжена большим количеством задач, на которых читатели
могут проверить свое понимание излагаемых вопросов.
Значительная часть материала на математическом уровне
строгости излагается впервые, что делает книгу прекрасным
дополнением к имеющимся изданиям по квантовой механике.
Библиогр. 175 назв. Ил. 4.
Рецензенты:
проф. А. А. Кириллов,
проф. В. И. Огиевецкий
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского -уливерсгтге^а
Ф&тлжс Александрович Березин,
Михаил Александрович Шубин
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Зав. редакцией С. И. Зеленский. Редактор А. А. Локшин. Мл. редактор
В. И. Зуева. Переплет художника Η. Η. Сенько. Художественный редактор
Б. С. Вехтер. Технический редактор К. С. Чистякова. Корректоры Л. А. Айдар-
бекова, Г. В. Зотова
Тематический план 1983 г. № 80
ИБ № 1484
Сдано в набор 17.06.83 Подписано к печати 17.11.83 Л-96326 Формат 60Χ907ΐ6·
Бумага для глубокой печати Гарнитура литературная Высокая печать
Усл. печ. л 24,5 Уч.-изд. л. 25,43 Тираж 4300 экз. Заказ 140 Цена 4 р. 30 к.
Изд. № 2349
Ордена «Знак Почета» издательство Московского университета. 103009, Москва,,
ул. Герцена, 5/7. Типография ордена «Знак Почета» изд-ва МГУ. Москва*
Ленинские горы
Б 1704020000—186 Λ(λ_^
077(02)—83
© Издательство Московского университета, 1983 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Уравнение Шредингера — это основное уравнение квантовой
теории. Исследование этого уравнения играет чрезвычайно
важную роль в современной физике. С точки зрения математика
уравнение Шредингера так же неисчерпаемо, как и вся математика.
В этой книге сделана попытка дать изложение тех вопросов
математической физики, связанных с изучением уравнения
Шредингера, которые казались авторам наиболее существенными. При
этом, рассчитывая в основном на студентов-математиков, авторы
начали книгу с вводной главы, посвященной основным
положениям квантовой механики, в надежде, что это поможет
читателям-математикам понимать физический смысл математических
построений и теорем, излагаемых в последующих главах. Не
следует думать, что эта по необходимости краткая глава может
заменить систематическое изучение физических учебников квантовой
механики. Однако авторы надеялись, что знакомство с материалом
книги будет достаточно читателю-математику для сознательного
восприятия материала этих учебников.
Дело в том, что существующие в настоящее время учебники по
квантовой механике рассчитаны в основном на физиков 1 и
вызывают значительные трудности у изучающих их
студентов-математиков. Это связано с тем, что для систематического изложения
основных понятий квантовой механики необходимо довольно много
предварительных сведений из общего функционального анализа
(спектральная теория операторов, понятие об обобщенной
собственной функции и т. п.), уравнении в частных производных и
других достаточно продвинутых разделов математики. Попытка
избежать использования этих сведений, заменив их ссылкой на
аналогичные, взятые, например, из конечномерной линейной алгебры,
производит на читателя-математика (если- только он не склонен
читать между строк) впечатление систематического
надувательства. Этого впечатления авторы стремились избежать в данной
книге.
У читателей книги не предполагается никаких математически*
знаний, выходящих за пределы обычного курса анализа,
дополненного простейшими сведениями об обобщенных функциях.
Однако та часть излагаемых в книге сведений, которая носит
относительно стандартный характер, вынесена в добавления;
читатель, не знакомый с этим материалом, должен прочитать эти
добавления систематически, в то время как более продвинутый
1 Исключение составляет книга Фаддеева и Якубовского [Щ.
3

читатель может обращаться к ним по мере надобности. Благодаря
такому строению книги авторы получили возможность начать
изложение сразу с формулировки постулатов квантовой механики,
или, что то же самое, ее математической схемы.
Эта книга основана на лекциях, неоднократно читавшихся
авторами на механико-математическом факультете Московского
университета и частично изданных в 1972 г. (см. Березин,
Шубин [2]). Хотя эти лекции были рассчитаны на
студентов-математиков, опыт вышеуказанного предварительного издания показал,
что материал предлагаемого здесь типа может быть полезен и
физикам, желающим лучше познакомиться с математическим
аппаратом квантовой механики.
Следует подчеркнуть, что авторы отнюдь не стремились к
какой бы то ни было полноте, отчетливо понимая, что по
отношению к избранной теме невозможно достичь какой-либо полноты
в книге разумного объема *. Однако материал книги охватывает
многие важные идеи и ряд глубоких теорем. Поэтому можно
надеяться, что читатель, освоивший материал книги, будет готов или
почти готов к активной работе в обсуждаемой области
математики и математической физики.
Изложенные в книге математические теоремы не являются
новыми, хотя большая часть доказательств отличается от ранее
известных. Авторы старались с большей степенью подробности излаг
гать результаты, которые нельзя найти в монографической
литературе. В то же время результаты, многократно изложенные в
легко доступных книгах, зачастую описаны кратко и почти
конспективно (в этих случаях указаны соответствующие ссылки).
Библиография в книге сделана минимальной: даны ссылки лишь
на монографии и на статьи, наиболее тесно связанные с текстом
книги.
В некоторых местах авторы позволяли себе переходить с точ-
ного^математического языка на эвристический, считая,,что
зачастую знанце ключевых идей, приводящих к правильному ответу,
важнее утомительных и мало проясняющих суть дела
подробностей. Однако, в некоторых случаях (в особенности в теории
континуальных интегралов) такой переход был вынужденным, так
как аккуратное математическое обоснование неизвестно или
неадекватно задаче.
Опишем содержание книги чуть подробнее.
Гл. I содержит описание математической структуры квантовой
механики. Соответствующая схема, по существу, работает в
физике, хотя редко столь явно формулируется. В то же время эту
схему надо воспринимать не как догму, а как руководство к
действию, хотя уже в ее рамках содержится бесконечное богатство
содержания.
1 Как известно, «составлять много книг — конца не будет, и много
читать — утомительно для тела» — к этому выводу Экклезиаста пришли также
Рид и Саймон [1], т. 4, с. 5, написав четыре тома своего курса современной
математической физики.
4

Гл. II представляет собой введение в спектральную теорию
одномерного оператора Шредингера. Основные вопросы, которые
здесь рассматриваются, таковы: условия существенной
самосопряженности, характер и структура спектра, поведение собственных
функций, разложение по собственным функциям, обратная задача
теории рассеяния.
В гл. III начато обсуждение спектральной теории
многомерного оператора Шредингера. Вначале здесь, по существу, решаются
те же задачи, что и в гл. II, но в многомерном случае. Однако
многомерный случай намного сложнее, и здесь приходится
использовать технику, развитую в теории уравнений в частных
производных (пространства Соболева и регулярность решений
эллиптических уравнений), которую мы кратко излагаем в Добавлении 2.
Кроме того, возникают новые тонкие вопросы, которые были
тривиальны в одномерном, случае (например, вопрос о
собственных значениях, лежащих на непрерывном спектре, в случае
оператора с убывающим потенциалом).
В гл. IV излагается теория рассеяния для многомерного
нерелятивистского уравнения Шредингера. На ее основе, в частности,
мы строим полную систему обобщенных собственных функций для
оператора Шредингера с убывающим потенциалом.
Гл. V посвящена квантованию, или теории символов, а также
континуальным интегралам. Все это делается в простейшем случае
линейного фазового пространства. Здесь мы получаем различные
асимптотики (в том числе квазиклассические). Однако содержание
главы носит уже преимущественно эвристический характер, т. е.
имеющиеся формулы и утверждения главным образом не
доказываются в математическом смысле слова, а лишь выводятся на
физическом уровне строгости. О причинах, делающих неизбежным
такое отступление от математической строгости, уже говорилось
выше.
Добавление 1 содержит общие вопросы спектральной теории
операторов в гильбертовом пространстве.
В Добавлении*2*мы излагаем необходимые сведения о
пространствах Соболева и эллиптических уравнениях.
Требования, предъявляемые к читателю, растут с номером
главы (к Добавлениям, предназначенным для начинающих,
сказанное не относится). Однако не все главы опираются на весь
предыдущий материал. Схема зависимости глав и добавлений
указана ниже. С помощью этой схемы читатель сможет выбрать
интересующий его маршрут в том случае, если не весь материал книги
ему интересен. Отметим, например, что в принципе можно
прочитать лишь главы II—IV, рассматривая их (вместе с
Добавлениями) как введение в спектральную теорию оператора Шредингера.
Однако этот маршрут целесообразно начать с главы I, чтобы
богатая физическим содержанием спектральная теория не
превращалась в глазах читателя просто в интеллектуальный спорт.
Другой маршрут — главы I и V — может привлечь внимание физи-
5

ков, а также математиков, которые ищут в математической физике
область применения своих сил.
Чтобы не отвлекать читателя, мы не давали в основном тексте
книги почти никаких литературных указаний. Эти указания
приведены в конце книги.
К сожалению, эту книгу пришлось готовить к печати без
основного автора — Феликса Александровича Березина, трагическая
гибель которого помешала ему довести до конца замысел этой
книги (и много других замыслов). В составленном Ф. А. Берези-
ным плане книги есть ряд разделов, которые мог написать только
он и которые так и остались ненаписанными. Работы Ф. А.
Березина сыграли чрезвычайно важную роль в развитии современной
математической физики. Кроме того, Ф. А. Березин был
замечательным человеком. Автор этих строк многому научился у
Ф. А. Березина и многим ему обязан. Я отдаю себе отчет в том,
насколько лучше могла бы быть эта книга, если бы Ф. А. Березин
сам участвовал в ее завершении.
В работе над этой книгой мне помогали многие коллеги и
друзья. Так, Г. Л. Литвинов написал первую главу, а также
п. 4—6 из § 1 и § 5 Добавления 1, так что он, по существу,
является соавтором этой книги. Л. А. Багиров рассказал мне
доказательство теоремы Като, изложенное в § 4 гл. III. А. С. Шварц
помог мне в составлении окончательного плана книги и вдохновил
меня на работу по ее завершению. Ряд полезных обсуждений
авторы имели с В. П. Масловым и А. И. Наумовым. Л. М. Иоффе
и А. М. Степин осуществили запись первого курса лекций Ф. А.
Березина. Всем названным лицам я глубоко благодарен. Кроме того,
я благодарен моей маме за неоценимую и самоотверженную
помощь по оформлению рукописи, а также всем остальным членам
моей семьи за проявленное ими терпение.
М. А. Шубин. 15. 7. 1982 г., Москва.
Схема зависимости глав и добавлений
Добавление 1
Глава I
I
1
i
Глава II
I
Добавление 2
Глава III
ι
Глава IV

ГЛАВА I
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
ВВЕДЕНИЕ
Исходным пунктом развития квантовой теории послужила
выполненная в 1900 г. работа М. Планка по теории излучения.
Дело в том, что применение принципов классической физики к
анализу спектрального распределения энергии теплового
излучения приводит к «ультрафиолетовой катастрофе»: плотность
энергии равновесного излучения получается бесконечно большой. Это
означает, что при любой температуре тепловое равновесие между
веществом и излучением невозможно, так что вещество должно
излучать энергию до тех пор, пока не охладится до температуры
абсолютного нуля. Для того чтобы получить * согласующийся с
экспериментом закон распределения энергии излучения, Планку
пришлось предположить, что электромагнитное излучение
испускается и поглощается отдельными порциями — квантами,
причем энергия кванта Ε пропорциональна круговой частоте
излучения ω:
£=Αω,
где Λ=1,05·10~27 эрг-с. Константа h называется постоянной
Планка1,
А. Эйнштейн смог в 1905 г. объяснить закономерности
фотоэффекта, предположив, что свет не только испускается и
поглощается, но и распространяется дискретными квантами
(фотонами). Каждому кванту света Эйнштейн приписал не только
энергию в соответствии с формулой Планка, но и вектор импульса,
длина которого ρ связана с длиной световой волны λ
соотношением
1 В работах основоположников квантовой теории формула Планка
записывалась в виде E=hv, где v=<o/2rt — обычная частота колебаний в
электромагнитной волне. Соответственно в старой литературе принято было называть
постоянной Планка величину 2π·1,05· К)-27 эрг· с =6,61 · 10-27 эрг «с.
7

Гипотеза Эйнштейна была подтверждена в 1923 г. опытом
А. Комптона, -который показал, что при столкновении фотонов с
электронами выполняются законы сохранения энергии и импульса
в соответствии с формулами Планка и Эйнштейна. Л. де Бройль
в 1924 г. выдвинул гипотезу, что указанные соотношения
характеризуют универсальный дуализм между волнами и частицами.
В частности, с движением любой частицы де Бройль связал волну
длины л— —— 9 где ρ—длина вектора импульса частицы.
Волновые свойства микрочастиц были впоследствии обнаружены в
опытах К. Дэвиссона и А. Джермера по дифракции электронов
на кристаллических решетках (1927 г.) и в других
экспериментах.
Планетарная модель атома, предложенная и экспериментально
обоснованная Э. Резерфордом (1911 г.), также противоречит
основным положениям классической физики. Согласно классической
электродинамике электроны, двигаясь вокруг ядра по замкнутым
орбитам, должны, как и любые ускоренно движущиеся заряды,
излучать электромагнитные волны. В результате, теряя энергию,
электроны должны упасть на ядро за время порядка ГО-9 с (чего
на самом деле, конечно, не происходит). Кроме того, согласно
классической механике электрон может двигаться по любой
орбите и, следовательно, излучать свет с любой длиной волны. Однако
хорошо известно, что спектры излучения многих веществ
дискретны. Для объяснения структуры атомов Н. Бор в 1913 г.
предложил теорию, сочетающую положения классической физики с
противоречащими им дополнительными постулатами. В частности, Бор
постулировал существование стационарных орбит, двигаясь по
которым электрон не излучает; при этом энергия электрона может
принимать лишь дискретные значения. При переходе электрона с
одной стационарной орбиты на другую излучается или
поглощается фотон, энергия которого определяется разностью энергий
соответствующих орбит. Эту теорию, дополненную и
усовершенствованную А. Зоммерфельдом и другими авторами, часто называют
«старой квантовой теорией». Старая квантовая теория, которая
рассматривалась Бором лишь как этап в поисках более
правильной непротиворечивой теории, позволила в общих чертах
объяснить структуру атомных спектров и дать количественное описание
свойств атома водорода и ионов с одним электроном. Полностью
объяснить свойства более сложных атомов и молекул эта теория
не смогла.
Последовательной теорией явлений микромира является
квантовая механика, созданная В. Гейзенбергом, Э. Шредингером,
М. Борном, П. Йорданом, Н. Бором, В. Паули, П. А. М. Дираком
и другими учеными. В 1925 г. Гейзенберг наметил новый подход к
-теории атомных явлений. На этом пути Борн, Гейзенберг и Иордан
разработали матричную механику, в которой физические величины
представлены не числами или числовыми функциями, а
бесконечными матрицами. Шредингер, развивая идеи де Бройля, построил
8

в 1926 г. волновую механику, в рамках которой вычисление
значений физических величин сводилось к вычислению собственных
значений линейных дифференциальных операторов. После того
как Шредингер и другие авторы установили,' что матричная и
волновая механики представляют собой два способа изложения
одной теории, эту теорию стали называть квантовой механикой.
Построение формального аппарата квантовой механики к концу
двадцатых годов было в основном завершено, но вопросы
обоснования и интерпретации этого аппарата активно обсуждались и в
последующие годы. Строгое математическое обоснование аппарата
квантовой механики на рубеже двадцатых и тридцатых годов было
разработано И. фон Нейманом [1].
В этой главе описана логическая и математическая схема
квантовой механики в духе идей фон Неймана. Такие понятия, как
обобщенная функция и обобщенный собственный вектор (вошед;
шие в математический обиход в пятидесятых годах), позволяют
дать корректную математическую интерпретацию «сингулярных»
объектов типа дельта-функции Дирака, систематически исполь-
зуещях в физической литературе. Дедуктивный способ изложения,
которого мы придерживаемся, требует от читателя некоторого
терпения, поскольку абстрактные понятия и конструкции
предшествуют содержательным примерам. Некоторые вопросы, детально
рассматриваемые в большинстве стандартных учебников по
квантовой механике, сформулированы в виде задач или опущены; в
частности, опущено описание атома водорода·. Полностью
отсутствуют и описания экспериментов. Наконец, история развития
квантовой теории в дальнейшем затрагивается лишь эпизодически,
а имена авторов тех или иных концепций и результатов обычно
упоминаются лишь в тех случаях, когда этого требует традиция.
Существует обширная литература, в том числе популярная, с
помощью которой читатель может легко восполнить все эти пробелы.
Некоторые литературные указания приведены в комментарии к
гл. 1, помещенном в конце книги.
§ 1. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ПОСТУЛАТОВ
Квантовая механика применяется для изучения
микроскопических объектов, — таких, как атомы и молекулы, — и процессов,
физические характеристики которых (типа действия или момента
импульса) сравнимы по величине с постоянной Планка. Для
макроскопических объектов, т. е. для объектов обычных
масштабов, поведение которых хорошо описывает классическая механика,
величину постоянной Планка можно считать пренебрежимо малой.
Человеческие органы чувств, как правило, неспособны
воспринимать микроскопические явления непосредственно. Поэтому для
того чтобы изучать поведение микрообъектов, мы нуждаемся в
приборе-посреднике (не обязательно созданном рукою человека),
поведение которого должно описываться в рамках классической
механики.-
9

Для того чтобы измерить у микрообъекта какую-либо
физическую величину, нужно заставить микрообъект взаимодействовать с
прибором. В результате такого взаимодействия меняется
макроскопическое состояние прибора, т. е. происходит акт измерения.
Обычно микрообъект, взаимодействуя с прибором, вызывает
лавинообразный процесс (например, конденсацию пара в камере
Вильсона), который и приводит к изменению макросостояния
прибора*
Оказывается, что в общем случае нельзя точно предсказать
результат измерения (даже если известна вся возможная
информация об условиях, при которых происходит измерение). Результат
измерения является случайной величиной, и в квантовой механике
изучаются законы распределения таких величин. Физические
величины, значения которых можно (хотя бы в принципе)
определять экспериментально, называются наблюдаемыми. Считается,
что результаты измерений являются вещественными числами.
Описанная ниже система основных постулатов квантовой
механики предложена И. фон Нейманом [1]. По поводу
используемых математических понятий и результатов см. Добавление*1.
Постулат 1. Состояния квантовомеханической системы
описываются ненулевыми векторами комплексного сепара-
бельного гильбертова пространства 2\ причем два вектора
описывают одно и то же состояние тогда и только тогда,
когда они отличаются лишь ненулевым комплексным
множителем. Каждой наблюдаемой можно однозначно
сопоставить линейный самосопряженный оператор в 3?.
Пространство & называется пространством состояний, а
элементы этого пространства — векторами состояний. Мы всегда
будем считать (если не оговорено противное), что вектор ψ^^,
описывающий состояние физической системы, имеет единичную
длину. Иногда, подразумевая, что состояние системы описывается
вектором ifei?, будем говорить, что система находится в
состоянии ψ. Оператор, соответствующий наблюдаемой а, обозначим
символом а. Наблюдаемые αϊ, аг,..., ап называются измеримыми
одновременно (или совместно измеримыми), если их значения
можно измерять,, с произвольной точностью в одном эксперименте
(на одной экспериментальной установке), так что при
произвольном состоянии tpei? случайные величины аь ..., ап имеют
совместную функцию распределения К Обозначим эту функцию
через ^ψ(λι,..., λη). Другими словами, ^\>(λι,..., λη) при
фиксированных значениях аргументов есть вероятность того, что
измеренные в состоянии ψ значения наблюдаемых αϊ,..., ап не
превосходят чисел λι, ··., λη соответственно.
Постулат 2. Наблюдаемые одновременно измеримы
тогда и только тогда, когда соответствующие им
самосопряженные операторы перестановочны между собой. Если
1 Вопрос об одновременной измеримости наблюдаемых в связи с
соотношениями неопределенности подробно обсуждается в § 5.
(ю

наблюдаемые аь ..., ап одновременно измеримы, то в состоя-
кии ψ их совместная функция распределения имеет вид
^(λ1....,λ„) = |^)β^ ...£(2>Ψ|2, (Li)
где Е^, ... , Е^ — проекторы из разложений единицы,
соответствующих операторам аь ..., ап.
Ясно, что значение выражения (1.1) не изменится, если вектор ψ
заменить другим вектором, изображающим то же самое состояние
системы (напомним, что состояния описываются векторами
единичной длины). Поскольку проекторы Е^ , ... , £(£>
перестановочны между собой, значение выражения (1.1) не зависит и от
порядка, в котором рассматриваются наблюдаемые αϊ, ...,αη. Если
измеряется какая-либо одна наблюдаемая а, то функция |<р'аспре-
деления этой величины в состоянии ψ имеет вид
5Μλ) = ||£λψ|Ρ, (1.2)
где £λ — проектор из разложения единицы оператора й. Это
соотношение является частным случаем соотношения (1.1).
Важнейшей физической величиной в любой квантовомеханиче-
ской системе является энергия. Оператор, соответствующий этой
наблюдаемой, обозначим через Н. Следующий постулат
утверждает, что оператор энергии * Η определяет закон эюлюции
системы.
Постулат 3. Пусть в какой-либо момент времени ί=0
состояние системы изображается вектором ψβ. Тогда в
любой момент врекени t состояние системы изображается
вектором ψ (t) = ί/*ψο, где Ut — унитарный оператор,
называемый оператором эволюции. Вектор-функция ψ (t)
дифференцируема, если ψ(ί) содержится в области определения
DH оператора Η хотя бы при t=0t и в этом случае
справедливо следующее соотношение:
1ьШ- = нш (1.3)
at
где h — постоянная Планка.
Соотношение (1,3) является основным уравнением квантовой
механики и называется уравнением Шредингера.
В дальнейшем, если не будет оговорено противное, будем пред-'
полагать, что оператор энергии Η (так же как и другие ©перато-
ры, соответствующие наблюдаемым) не зависит от временя. В этом
частном случае основное утверждение постулата 3 можно
сформулировать следующим образом:
операторы эволюции Ut образуют непрерывную однопара-
1 Оператор энергии часто называют также оператором Гамильтона, или
гамильтонианом. В нерелятивистской квантовой механике он будет также
называться оператором Шредингера.
U

метрическую группу, порожденную оператором Н, т. е.
справедливо равенство
+ (*)=«/,*> = ' h l4V (1.4)
Действительно, из свойств таких групп (см. Добавление 1, § 1,
п. 6) и равенства (1.4) следует, что ^^DH тогда и только тогда,
когда вектор-функция \b(t) дифференцируема при / = 0 и
<W>(0 I * иг
—ΊΓ = 7"" Ψο· В этом случае при всех t существует
at |/=о h
производная вектор-функции ψ(ί) и ty(t)^DH-t в самом деле,
Ш1 = ит "**-"* =lim UsW)-W) =jL(UW))
dt s-*o s s+o is ds \ *T w/
s=0
так что мы пришли к уравнению Шредингера. Поскольку DH
плотно в 2\ группа Ut определяется уравнением Шредингера
однозначно.
Следует иметь в виду, что акт измерения значения какой-либо
наблюдаемой в общем случае приводит к нарушению
соотношений (1.3) и (1.4); процесс измерения сопровождается
возмущением системы, пренебречь которым невозможно.
Пост у л а т 4. Каждому ненулевому вектору
пространства & соответствует некоторое состояние системы, и любой
самосопряженный оператор соответствует некоторой
наблюдаемой.
Из постулата 4 следует так называемый принцип суперпозиции:
если система может находиться в состояниях, описываемых
векторами -ψι и я|>2, то она может находиться и в состоянии, описываемом
их суперпозицией, т. е. произвольной линейной комбинацией.
Вопрос о том, как для конкретной физической системы указать
пространство состояний & и установить соответствие между
наблюдаемыми и самосопряженными операторами в J27, выходит за
рамки чисто математической теории и относится к области
физической практики и интуиции *.' В каждом отдельном случае
решение этого вопроса — дело специалиста-физика.
Не следует думать, что аксиоматика фон Неймана является
единственно возможным или окончательным способом описания
основных положений квантовой механики. Дополнительные
аксиомы приходится принимать при анализе конкретных систем,
например систем тождественных частиц. Хотя для большинства фи-
1 Хотя всё гильбертовы пространства фиксированной размерности
изоморфны между собой, пространство состояний конкретной физической системы имеет
важные дополнительные структуры, связанные со свойствами оператора
энергии, наличием естественного оснащения и т. п.
12

зических* систем, рассматриваемых в настоящей книге, постулат 4
выполняется, в начале пятидесятых годов было обнаружено, что
принцип суперпозиции и, следовательно, постулат 4 справедливы
не всегда. Существуют так называемые правила суперотбора,
разбивающие пространство состояний в прямую сумму
ортогональных подпространств, причем сумма векторов из разных
подпространств не может соответствовать никакому физически
реализуемому состоянию. Например, невозможно реализовать
суперпозицию состояний, соответствующих разным значениям
электрического заряда или барионного числа. Операторы наблюдаемых
должны быть перестановочными с проекторами на
подпространства, выделяемые правилами суперотбора, т. е. оставлять эти.
подпространства инвариантными. В дальнейшем изложении мы
практически не ссылаемся на постулат 4 за исключением
полуэвристических рассуждений о наборах одновременно измеримых
наблюдаемых; эти рассуждения легко обобщить на случай правил
суперотбора. По поводу различных вариантов аксиоматического
описания принципов квантовой теории см. комментарий к гл. I.
§ 2. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ОСНОВНЫХ ПОСТУЛАТОВ
Пусть а — произвольная наблюдаемая, а — соответствующий
самосопряженный оператор с областью определения Ζ)ί; в
дальнейшем область определения любого оператора А обозначается
через Da. Среднее значение, — иначе говоря, математическое
ожидание — наблюдаемой а. в состоянии ψ обозначим через а*.
Предложение 2.1. Если ψ^Ζ)^, то в состоянии ψ наблюдаемая
а имеет среднее значение, определяемое формулой
α*=(άψ, <ψ). (2.1)
Доказательство. Из теоремы о спектральном разложении
самосопряженного оператора (см. Добавление 1, теорема 1.1') следует,
00
что (αψ, ψ) = f λά(Εχ·φ, ψ), где Ελ — разложение единицы, соот-
—ос
ветствующее оператору й. Поскольку Εκ2—Ελ (свойство проектора)
и операторы Ελ самосопряжены,
(£λψ, ψ) = (£Λ|>, ψ) = (£λψ, £λψ) = Ι|£λψΙΙ2>
поэтому из соотношения (1.2) следует, что
00 ОО
(αψ, ψ) = j λί*||£λψ|Ρ= f λΛ^(λ).,
— оо —оо
оо
Именно это и требовалось доказать, так как f λά^^(λ) ~%£ть
— оо
не что иное, как математическое ожидание случайной величины
с функцией распределения &+(λ). ■
13

Пусть f(h) — вещественнозначная функция, измеримая и почти
всюду конечная по мере ^(£λψ, ψ), например непрерывная. Тогда
определен самосопряженный оператор f(a) (см. Добавление 1,
§ 1, п. 5). Обозначим через f (а) наблюдаемую, принимающую
значение /(λ), когда наблюдаемая а принимает значение λ.
Предложение 2.2. Если ψ^Ζ)/(?>, то в состоянии ψ
наблюдаемая f(a) имеет среднее значение, определяемое формулой
ί/Η]ψ = (/(α)ψ,ψ). (2.2)
Доказательство. Как известно из теории вероятностей (и легко
выводится из определений), левая часть равенства (2.2) совпадает
с J /(λ)ίί^(λ), где ^ψ(λ) — функция распределения наблюдае-
—00
мой а в состоянии ψ. Остается заметить, что
j f (λ) d^ (λ) = J / (λ) d (£λψ, φ) = (f (α) ψ, ψ) -
—00 ΟΟ
в силу предложения 1.12 из Добавления 1. ■
Из предложения 2.2 следует, что самосопряженный оператор,
соответствующий в силу постулата 1 наблюдаемой /(а), совпадает
с /(й); см. ниже задачу 2.
Разброс значений случайной величины по сравнению со
средним значением характеризуется дисперсией. Обозначим через δ*α
дисперсию наблюдаемой а в состоянии ψ, τ. е. среднее значение
величины (а—а*)2.
Предложение 2.3. Дисперсия наблюдаемой а в состоянии ψ
существует тогда и только тогда, когда ψ&Ζ)£\ В этом случае
справедливо равенство
δ*α=|Ιώψ—α*ψ||2. (2.3)
Доказательство, Наблюдаемая а обладает в состоянии ψ
дисперсией в точности тогда, когда сходится интеграл
ОО 00
J (λ — άψ)2ί*<£%(λ)= J" (λ—αψ)2ίί(£λψ,ψ).
—οο —οο
Легко видеть, что сходимость этого интеграла эквивалентна сходи-
ОО
мости интеграла f λ2<ί(£λψ, ψ), что в силу теоремы 1.1' из До-
— 00
бавления 1 означает, что ψ^£)£\ Из предложения 2.2 и
самосопряженности оператора α—а*1, где / — единичный
(тождественный) оператор, следует что
δψα = {(а— а^()2 ψ, ψ) = ((а — αψ/) ψ, (α — αψ/) ψ) = |αψ — Μ>||2.
Это и требовалось. П
14

Предложение 2.4. Наблюдаемая а в состоянии ψ с
достоверностью принимает определенное значение λ тогда и только тогда,
когда ψ является собственным вектором оператора а с
собственным значением λ.
Доказательство. Если в состоянии ψ наблюдаемая а с
достоверностью принимает значение λ, то δψα = 0, ά*=λ.
Поэтому из формулы (2.3) следует, что ||αψ—λψ|| = 0, т. е.
ώψ = λψ. Если известно, что αψ = λψ, то из формулы (2.1) следует,
что a*=(atyf <ψ)=λ(ψ, ψ)=λ, так что Μ=||αψ—λψ||2=0. ■
Особенно важен случай, когда состояние физической системы
описывается собственным вектором оператора энергии. Пусть в
момент времени ^ = 0 состояние системы описывается собственным
вектором ψο оператора энергии Η с собственным значением λο.
Тогда вектор-функция ψ(t) = 6_ίν/Λψ0 удовлетворяет уравнению
Шредингера (напомним, что оператор Η считается независящим
от времени). Вектор ψ(ί) лишь числовым множителем отличается
от ψ0 и, следовательно, описывает то же самое состояние системы.
Предположим теперь, что ί/ίψ0 = £(θΨο, где LJt — оператор
эволюции, a c(t) — числовой множитель. Поскольку c(t) = (Ut, ψο, ψο),
эта функция непрерывна; из группового свойства UtUs=Ut+s
следует соотношение c(t+s) =c(t)c(s). Хорошо известно, что
непрерывная функция, удовлетворяющая этому функциональному
уравнению, является экспонентой. Следовательно, функция c(t)
дифференцируема. Поэтому
Яф0 = /А —^- ί/#ψ0 |/=ο = λ0ψο» гДе λο = ^-^7" ·
at at |fr=o
В результате доказано следующее
Предложение 2.5. Состояние системы не меняется с течением
времени тогда и только тогда, когда оно изображается
собственным вектором оператора энергии.
Состояние, которое не меняется с течением времени,
называется стационарным. Энергия в стационарном состоянии с
достоверностью принимает одно и то же значение — собственное значение
оператора энергии.
Уравнение #ψ = λψ, описывающее стационарные состояния
(собственные векторы оператора энергии #), насто называют
стационарным уравнением Шредингера.
Пусть а — произвольная наблюдаемая, а — соответствующий
ей самосопряженный оператор, Ελ — проекторы из разложения
единицы оператора а. Если Δ — множество действительных чисел,
измеримое относительно меры ^(£λψ, ψ) при всех ψ^2\ то через
fA (λ) обозначим характеристическую функцию множества Δ,
принимающую значение 1 при λ^Δ и значение 0 при λ^Δ. Положим
• £(Δ)=ΜΛ).
Оператор £(Δ) самосопряжен и (£(Δ))2 = £(Δ), так как (/δ)2=/δ·
Поэтому Ε (А) — ортогональный проектор; если множества Δι и
Δ2 не пересекаются, то £(Δι)£(Δ2) = /д1/д2(а) = °> т· е. соответ-
15

ствующие подпространства ортогональны. Если Δ — полуинтервал
(λι, λ2], состоящий из чисел λ, удовлетворяющих неравенству
λι<λ<λ2, то £(Δ) = Ελ? — £λι; при λι =—οο, λ2=λ оператор £(Δ)
превращается в проектор Ελ из разложения единицы. Наконец,
если Δ содержит только одну точку λ, то Ε(Α)=Ελ—£λ_-0, где
£λ-3 — предел операторов £V-e, когда величина ε стремится к
нулю, оставаясь положительной.
Предложение 2.6. Вероятность того, что измеренное в
состоянии φ значение наблюдаемой а содержится в множестве Δ, равна
ΙΙ£(Δ)ψ||2.
Доказательство. Указанная вероятность равна
ОО 00
j dp* (λ) = J /Δ (λ) <tf»<, (λ) = J /δ (λ) d (£λψ, ψ) = (/Δ (α) ψ, ψ) =
Δ * —οο —οο
-(£(Δ)ψ,ψ)=Μ(£(Δ))^^ ■
Из предложения 2.6 следует, что наблюдаемая а с
достоверностью принимает значения, принадлежащие только множеству Δ,
в точности тогда, когда состояние ψ содержится в образе 3?ь =
=£'(Δ)<27 проектора Я (Δ). Если Δ состоит из единственного
собственного значения λ оператора йу то в силу предложения 2.4.
подпространство J?A=(£V—Ελ-η)2? состоит из всех собственных
векторов оператора а с собственным значением λ. Если число λ не
является собственным значением оператора й, но Е(А)фО для
любого интервала Δ, содержащего точку λ, то хотя и не
существует состояния, в котором наблюдаемая а с достоверностью
принимает значение λ, но можно найти состояния, в которых эта
наблюдаемая принимает значения, отличающиеся от λ сколь угодно
мало.
Пусть ty=fty(m)S(m)do(mi) — разложение вектора ψ по
обобщенным собственным векторам S(m) оператора а (см.
Добавление 1, § 2). Если ip(m)=7^0 лишь в том случае, когда собственное
значение обобщенного вектора S(m) принадлежит множеству Δ,
то ψ£^Δ. Таким образом, если вектор ψ является «непрерывной
линейной комбинацией» обобщенных векторов оператора а,
собственные значений которых мало отличаются от λ, то значения,
принимаемые в состоянии ψ наблюдаемой а, также мало
отличаются от λ. Поэтому часто, допуская вольность речи, говорят, что
обобщенный собственный вектор оператора а с собственным
значение λ описывает такое состояние системы, в котором
наблюдаемая,^ с,,достоверностью принимает значение λ.
... Рассм^рдм несколько примеров.
. 1. 'Пу£тъ,:<эГ — оператор ортогонального проектирования на не-
ко^орре подпространство в g. Тогда .наблюдаемая а может
принимать лишь одно из двух собственных значений оператора й,
т. е. О или 1. Легко видеть, что в состоянии ψ величина а
принимает значение 1 с вероятностью [^|>И2> а значение 0 — с
вероятностью ||ψ—Аф|р.
16

2. Если а — оператор ортогонального проектирования на
одномерное подпространство, порожденное единичным вектором
ψο^^, то наблюдаемая а с достоверностью принимает значение 1
тогда и только тогда, когда рассматриваемая квантовомеханиче-
ская система находится" в состоянии ψ0 (см. предложение 2.4).
Если же система находится в произвольном состоянии «ψ, то на-,
блюдаемая а принимает значение 1 с вероятностью | (ψ, ψο) |2 и
значение 0 — с вероятностью 1—| (ψ, ψο) |2·
3. Пусть наблюдаемая а такова, что оператор а имеет простой
чисто точечный спектр, т. е. существует такой ортоно|шированный
базис ψι, ψ2, .·., ψ/, ... в пространстве состояний 9?, что αψ*· =
= λΐψί, где λ{ — такие числа, что λιφλ^ при чф]. Обозначим через*
Qj оператор ортогонального проектирования на одномерное
подпространство, порожденное вектором i|?j. Тогда проекторы из
разложения единицы, соответствующего оператору а, имеют вид.
Е% = Jj Qj- Если ψ = J] C/Ψ/—разложение единичного вектора
ij?ej? по указанному базису, то в состоянии ψ наблюдаемая а
принимает значение λ* с вероятностью Ρί=Ι|{2ίψΙΙ2 = | ("ψ, ψΐ)|2:=
= |ci|2. При этом равенство Парсеваля означает, что 2J0/ = 1·
i
Среднее значение и дисперсия наблюдаемой а в состоянии ψ
имеют вид
i i i
Если бц,а = 0, το α^=λκ для некоторого kt и, поскольку все
собственные значения оператора а различаются между собой, С{ = 0
при [фк. Следовательно, если наблюдаемая а с достоверностью
принимает значение λή, то физическая система обязательно
находится В СОСТОЯНИИ l|)fc.
Задачи.
/l)Пусть пространством состояний служит пространство L2(R)
функций ψ(χ) на прямой, суммируемых с квадратом по мере
Лебега, и пусть наблюдаемой а соответствует оператор α:ψ(Α:)«^
+-*xty(x). Описать функцию распределения этой наблюдаемой в
произвольном состоянии.
2. Если а — произвольная наблюдаемая, А —
самосопряженный оператор, соответствующий в силу постулата 1 наблюдаемой
/(а),тоЛ=/(а);
Указание. Если функция / ограничена, то из предложения 2.2
следует, что (Λψ, -ψ) = (/(α)ψ, ψ) при всех ψ^2\ Вывести отсюда,
что (Λψι, ψ*) = (/(α)ψι, Ψ2) при всех ψι, ψ2^2\ Для общего
случая установить, что операторы А и f(a) имеют одинаковые
разложения единицы.
3. Из утверждения задачи 2 и предложения 2.1 вывести
предложение 2.6 и равенство (1.2).
17

4. Из утверждения задачи 2, предложения 2.1 и постулата 4
вывести равенство (1.1). Обобщить этот результат на случай
правил суперотбора.
Указание. Существует самосопряженный оператор А и такие
-функции /ι (λ),..., /η (λ), что Й1=ЫЛ),...,Ля = /п04). Если правила
юуперотбора задаются набором проекторов Ра, то можно так
выбрать оператор Л, что проекторы Ра являются функциями от А
и, следовательно, перестановочны с А (см.Добавление 1, § 1, п. 5).
5. Доказать, что множество значений, принимаемых
наблюдаемой а, совпадает со спектром оператора а.
Указание. Доказать, что число λ не принадлежит спектру
оператора а тогда и только тогда, когда £(Δ)=0 для некоторого
открытого интервала Δ, содержащего точку λ; воспользоваться
предложением 2.6.
6. Пусть ψι, ψ2> ··· Ψ«> ··· — попарно ортогональные единичные
векторы в пространстве состояний, а о системе известно, что с
вероятностью рп она находится в состоянии ψ„, причем Σρη=1.
В этом случае говорят, что система находится в смешанном
состоянии. Смешанное состояние удобно характеризовать
оператором плотности, введенным фон Нейманом. Оператор плотности
имеет вид: Ρ.-ψ^Σρ^ίψ, ψ^ψη, так что ψη — собственный вектор
η
«оператора Ρ с собственным значением рп.. Доказать, что оператор
плотности Ρ является неотрицательным ядерным оператором1,
причем математическое ожидание (среднее значение) а
наблюдаемой а в соответствующем смешанном состоянии определяется
• формулой
a = tr(aP).
Эта формула переходит в соотношение (2.1), если Ρ совпадает с
ортогональным проектором на прямую, порожденную единичным
вектором «ψ; в этом случае говорят, что Ρ характеризует чистое
^состояние. Доказать, что оператор плотности Ρ характеризует
чистое состояние в том и только в том случае, когда Ρ нельзя
представить в виде суммы нетривиальных неотрицательных
ядерных операторов. Описать эволюцию смешанного состояния в
терминах оператора плотности. Доказать, что всякий
неотрицательный ядерный оператор в пространстве состояний & является
оператором плотности для некоторого смешанного состояния.
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НАБЛЮДАЕМЫХ ПО ВРЕМЕНИ
Рассмотрим произвольную наблюдаемую а. Даже если
оператор а не зависит от времени (только такой случай мы и будем
рассматривать), закон распределения соответствующей случайной
величины от времени зависит, так как зависит от времени вектор
«состояния.
1 О ядерных операторах и их следах см. Добавление 1, § 4.
18

Пусть в момент времени /=0 состояние физической системьв
описывается фиксированным вектором ψ0. Тогда в момент
времени / согласно постулату 3 состояние этой системы описывается:
вектором ψίΟ^υ^ψο, где Ut=e , а Н — оператор энергии..
Следовательно, наблюдаемая а имеет в момент времени t
среднее значение a(t)^(a^(t)y ty(t)) = (aUttyo, ί/ίψο). Так как
оператор Ut унитарен, сопряженный к Ut оператор совпадает с
обратным оператором (i/i)-1 = i/-t. Поэтому справедливо равенство:
α(0 = (ί/-*αί/<ψο, ifc). (3.1)
Аналогичным образом зависит от времени функция распределения
величины а. Излагая в § 1 основные положения квантовой
механики, мы придерживались так называемой картины Шредингера
(которой будем придерживаться и в дальнейшем): считали, что*
от времени зависят векторы состояния, но не операторы
наблюдаемых. Вместо этого можно было бы считать (картина Гейзен-
берга), что со временем изменяются операторы, а векторы
состояния остаются неизменными, причем если в момент времени £=0
какой-нибудь наблюдаемой а соответствует оператор ώ, то в
момент времени t этой наблюдаемой должен соответствовать
оператор U-taUt. Ясно, что оба подхода эквивалентны, поскольку они:
приводят к одной и той же зависимости закона распределения
произвольной физической величины от времени.
Предложение 3.1. Если ψο^^Η, a^(t)^DH при всех t и
оператор а ограничен (или хотя бы Hty{t)^D£ и вектор-функция
άψ(ί) непрерывно зависит от t), то функция a(t)
дифференцируема и справедливо равенство
-ίψ- = (JL (#£-£#) t(0, *(/)). (3.2>
Доказательство. Легко проверить, что
t t
= (α -^-ψ(5), UM*)) ~ Ρ^-αψ(δ), UM')) ·
где / — единичный оператор. Поскольку по условию aty(s)^DHp,
из свойств однопараметрической группы Ut (см. Добавление 1„
§ 1, п. 6 и анализ уравнения Шредингера в § 1) вытекает, что
lim* *~ aty(s) = ihHa^(s),
t-~o t
так что
lim (H£zL^(s)fUtf(s)) =ih(Ha$(s), я|ф)).
t->o \ t J
19?

Для неограниченного оператора ά не ясно, существует ли предел
выражения а—-—ψ (s) при ί-^0. Однако в силу
самосопряженности ά
(а 2£± ψ (S), Ufl (s)) = (-^=Ц> (s), St/,ψ (s)) ,
и вектор ώί/ίψ(δ) =at|)(f+s) по условию непрерывно зависит от
/. Поэтому
lim (a¥t=±ty{s),U$(s)) = *Л(#г|ф), a^(s)) = ih(aH^(s)t^(s)).
f->o V * /
Отсюда следует равенство (3.2) при f=s. ■
Если Л, В — произвольные линейные операторы, то оператор
АВ—ВА называется коммутатором операторов А и В и
обозначается символом [Л, В].
Из равенства (3.2) видно, что если найдется такая
наблюдаемая Ь, что bty(t) = -Μ#,α]ψ(*), то -ίΕίίλ =b(t)% где 5(ί) — сред-
h л . w
нее значение наблюдаемой Ь в состоянии ф(/). Поэтому если
оператор — (На— аН) имеет единственное самосопряженное рас-
h
ширение 6, то мы будем называть наблюдаемую а
дифференцируемой по времени, а наблюдаемую Ь будем называть
производной по времени от наблюдаемой а и обозначать через da/dt.
Обычно символом —[Н,а] мы будем обозначать не только
h
оператор — (На — аН),но и соответствующее самосопряженное
h
расширение. Таким образом, наблюдаемая da/dt определяется
равенством
Ji = -L[H9a\. (3.3)
dt h l J
В классической механике физическая величина выражается
функцией α(<7ι,..., <7п, Ри ..·, Рп, t) от обобщенных .. координат
Чи ···> Япу обобщенных импульсов р4,..., рп и времени t. Если функ-
ция α не зависит от времени явно, т. е. —~ = U, то, как известно,
at
полная производная по времени от а.дается формулой:
-5-ИГ.-1.
где Ж — функция Гамильтона, выражающая энергию через
координаты и импульсы, а
η
\с*р л _\У ( дЖ да дЖ да \
-20

так называемая скобка Пуассона функций Ж и а. В частности,
уравнения движения механической системы с функцией
Гамильтона Ж имеют вид
dQt —\<щ> пЛ — д^· . dpi тем η ι dJt
Таким образом, коммутатор операторов, умноженный на число ijh,
является квантовым аналогом скобки Пуассона.
Предложение 3.2. Наблюдаемая а не зависит от времени тогда и
только тогда, когда соответствующий оператор а перестановочен
с оператором энергии.
Доказательство. Если оператор а перестановочен с оператором
энергии Я, то он перестановочен и с операторами эволюции
Ut = e . Поэтому
\\ε^(ί)ψ=\\υβλ%ψ = \\Ελ%ψ,
и соответствующая функция распределения ^(λ) не зависит от
времени.
Наоборот, если при любом ψ функция распределения ^(λ)
не зависит от времени, то (Ur^JJ^y ψ) = (£λψ, ψ) для всякого
вектора ifeiP. Отсюда следует, что операторы Ελ и Ut
перестановочны при всех t и λ; значит, операторы α и Я также
перестановочны. В этом случае, разумеется, [Я, й]=0, da/dt = 0 и среднее
значение а не зависит от времени. ■
Наблюдаемые, не зависящие от времени, называются
интегралами движения (так же, как и в классической механике).
Поскольку оператор энергии Я перестановочен сам с собой, из
предложения 3.3 следует, что энергия является примером интеграла
движения (закон сохранения энергии). Разумеется, закон
сохранения энергии может не выполняться, если на систему действуют
внешние силы. В этом случае не будет выполняться и сделанное
выше предположение, что оператор энергии Я не зависит от
времени (в картине Шредингера).
§ 4. КВАНТОВАНИЕ
Рассмотрим классическую динамическую систему @кЛ с η
степенями свободы 4. Состояние такой системы однозначно
определяется набором значений обобщенных координат qu ..., qn и
обобщенных импульсов ри..., рп- Предположим для простоты
изложения, что энергия Ж нашей системы не зависит от времени явно и
выражается следующим образом через импульсы и координаты:
τ*~ + °(4ι, ·...?„). (4.1)
®=Σ
Здесь и в дальнейшем рассматривается нерелятивистская теория.
21

где mh — постоянные коэффициенты, и каждая координата ць.
может пробегать всю вещественную ось.
Типичным примером является система, состоящая из I частиц
(материальных точек) с потенциальным взаимодействием. Она
имеет п = 31 степеней свободы; при этом <7зг-2, qsr-u q$r суть
прямоугольные координаты r-й частицы, рзг-2, Рзг-и ры — компоненты
импульса, тзг-2=/^зг-1 = ^зг — масса r-й частицы, v(qu...tqn) —
потенциальная энергия.
Существует нестрогий, эвристический рецепт для построения
квантовомеханической системы 6Кв, которая является квантовым
аналогом системы ®Кл и имеет ее своим пределом4. Согласно
этому рецепту в качестве пространства состояний 9? системы 6Кв
следует взять пространство L2(Rn) крмплекснозначных функций
от η вещественных переменных qu..., qn с интегрируемым по мере
Лебега квадратом. Каждой координате qu следует сопоставить
оператор qu умножения на переменную qu : (<М?) (qu .-, Qn) =
= <Мэ(<7ь .··, Яп)\ как и всякий оператор умножения на измеримую
вещественнозначную функцию, оператор qu самосопряжен.
Каждому импульсу ph сопоставляется самосопряженный оператор pk ■=
= , где h — постоянная Планка, a i — мнимая единица. При
i dxk
преобразовании Фурье этот оператор переходит в рассмотренный
выше оператор координаты, умноженный на константу.
В качестве оператора энергии нужно взять самосопряженное
расширение Η дифференциального оператора2
который обычно называют оператором Шредингера.
Вопрос о том, имеет ли этот дифференциальный оператор
самосопряженное расширение, а если имеет, то единственно ли оно, в
каждом конкретном случае нуждается в специальном
исследовании. В дальнейшем, допуская некоторую вольность в обозначениях,
мы часто будем одним и тем же символом обозначать
дифференциальный оператор и его самосопряженное расширение.
Продифференцируем наблюдаемую координаты по времени.
По формуле (3.3) из § 3 —— =— [#, qk]\ используя формулу (4.2)
at h
и проделав формальное вычисление, мы легко получим, что
dgk = 1 / h д \
at mk \ i dqk I '
1 В главе V будет объяснено, в каком смысле квантовомеханическая
система может иметь своим пределом классическую.
2 Если область определения дифференциального оператора не указана,
подразумевается, что она совпадает с множеством всех финитных бесконечно
дифференцируемых функций.
22

Таким образом, Pk = Щ—г~, т. е. связь между координатами и
at
импульсами такая же, как и в классической механике. Разумеет
ся, приведенное рассуждение нельзя считать вполне строгим, по*
скольку оператор энергии Η не был определен достаточно
корректно.
С помощью прямого вычисления легко проверить, что
операторы импульсов и координат удовлетворяют следующим
соотношениям:
[?*.?*] =-f Л [а.?/] = о, кФи (4.3)
где / — единичный оператор. Эти соотношения (полученные в
1925 г. Борном и Иорданом) принято называть коммутационными
соотношениями Гейзенберга. В классической механике импульсы
и координаты связаны аналогичными соотношениями
относительно скобок Пуассона, так что вновь подтверждается отмеченная в
§ 3 аналогия между коммутатором и скобкой Пуассона.
Выражение (4.2) для оператора энергии Η можно получить,
если формально подставить в формулу (4.1) вместо переменных
Цк и ри операторы ήκ и р&. Это обстоятельство часто выражают
символической формулой H=3@(qu ...,qnj Pi, ...,pn). Точно так же
можно построить квантовые аналоги некоторых других важных
физических величин (например, моментов импульса). Тем не
менее таким способом нельзя установить в полном объеме
взаимно-однозначное соответствие между классическими физическими
величинами (которые могут выражаться совершенно
произвольными функциями от импульсов и координат) и самосопряженными
операторами в пространстве состояний 9?\ из-за того что
произведение операторов рк и qu зависит от порядка множителей, даже в
простейших случаях возникает неоднозначность. Напротив, от
перестановочных самосопряженных операторов можно брать более
или менее произвольные функции (см. Добавление 1, § 1, п. 5).
Поэтому легко, например, указать квантовые аналоги для таких
наблюдаемых, которые зависят только от импульсов или только
от координат.
Описанный переход от классической механической системы
©кл к квантовомеханической 6КВ называется квантованием. Мы
предполагали, что энергия системы ©кл выражается через
координаты и импульсы по формуле (4.1). От этого ограничения можно
было бы избавиться, но тогда пришлось бы сильно усложнить
правила квантования. В общем случае имеется много различных
способов квантования, но построить самосопряженные операторы,
удовлетворяющие соотношениям Гейзенберга и естественным
дополнительным ограничениям, можно, по существу, единственным
способом (см. ниже, § 8, задача 6).
Следует иметь в виду, что существуют важные квантовомеха-
нические системы, которые нельзя получить из классических
систем посредством квантования. Таковы прежде всего частицы со
2*

спином (электроны, протоны и др.) и системы, состоящие из
одинаковых частиц (например, многоэлектронные системы).
Состояние системы 6КВ в момент времени t изображается
функцией ψ(<7ι> ···> <7η, *)> которая при каждом фиксированном значении
t принадлежит пространству i? = L2(Rn). При этом
а уравнение Шредингера имеет вид:
Й-Э—τ|ΐ--3·+·<· «■>* <">
Функция i>(qu ...,Яп, 0» зависящая от л+1 вещественных пере-
менных, называется волновой функцией системы 6КВ. Часто
волновой функцией называют также функцию ψ(<7ι,..., <7п) от η
переменных, изображающую состояние системы 6КВ в фиксированный
момент времени.
Известно, что в классической механике и в теории
относительности можно провести далеко идущую аналогию между парами
импульс — координата, с одной стороны, и энергия — время — с
другой. Любопытно, что эта аналогия сохраняется и в квантовой
механике: действуя на волновую функцию оператором импульса,,
мы дифференцируем ее (с точностью до множителя h/i) по
координате, а действуя на волновую функцию оператором энергии, мы,
как видно из уравнения Шредингера, дифференцируем волновую
функцию по времени (с точностью до множителя ih=—h/i).
Оператор E^h) из разложения единицы, соответствующего
оператору координаты qu> есть оператор умножения на функцию,
которая принимает значение 1 при ςκ<λ и значение 0 при <7*>λ-
Поэтому (см. § 1) в состоянии ψ совместная функция
распределения величин qu ..., Яп имеет следующий вид:
λ, λη
сП(^,... А)= j ··· j l+toi,...·^)!1*/!...^.
— 00 —ОО
Следовательно, квадрат модуля волновой функции совпадает с
плотностью совместного распределения величин qu ..., qn и
вероятность того, что измерение обнаружит значения координат qu .··, Чъ
в промежутках (alf &ι),..., (αη, bn) соответственно, равна
j... JlYtoi,·...^)!1^!.·-^·
Указанная интерпретация волновой функции и соответственна
статистическая интерпретация квантовой механики предложены в
1926 г. Борном.
Изоморфизм пространства состояний & квантовомеханической
системы на какое-либо пространство функций называется пред-
24

ставлением этой системы *. Выше мы описали так называемое
координатное представление системы 6Кв; это представление не
является единственно возможным или единственно интересным.
Рассмотрим оператор
i
Р-Ш~Ъ(р)=^£^)*(Я)е h dq, (4.5)
где
η
q = (Чи · · · > <7„). Ρ = (Ръ · · · > Р„), Ρ4=Σ PjQi> dQ = dQidq*... dqn,
и интегрирование ведется по всему пространству Rn.
Этот оператор сводится к преобразованию Фурье.— Планше-
реля тривиальной заменой переменных: pk = pk\\/ht qk = qk/Vft,
k= Ι,.,.,η. Следовательно, оператор F изоморфно и
изометрически отображает пространство квадратично интегрируемых
функций от переменных qu ..., q-a на пространство квадратично
интегрируемых функций от переменных ри ., рп· Таким образом,
естественно возникает новое представление системы 6КВ, которое
называется импульсным.
Состояние системы, которое в координатном представлении
изображалось функцией ψ(<7ι>~··> <7п), в импульсном представлении
изображается функцией ψ(ρι,..., Рп), которую иногда называют
волновой функцией в импульсном представлении. Из известных
свойств преобразования Фурье — Планшереля следует, что
ψ<*>=ι^ίψ(^ *· (4·6)
где обозначения аналогичны тем, которые использованы в
формуле (4.5). При этом оператору координаты fa в импульсном пред-
ставлении соответствует оператор in——, а оператору импульса
pk соответствует оператор умножения на переменную ри.
Следовательно, |ψ(ρι,..., Рп) I2 есть не что иное, как плотность
совместного распределения величин ри ··., Рп, и вероятность того, что
измерение обнаружит значения импульсов в интервалах (αϊ, &ι),...
..., (an, bn) соответственно, равна J ... J | ψ (pl9 ... , ρη) |2 dpx ... dpn.
1 Обычно в учебниках квантовой механики рассматривают представления
специального вида, которые строятся с помощью системы перестановочных
самосопряженных операторов, имеющих простой совместный спектр. Такие
представления мы рассмотрим в § 5.
25

§ 5. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И ОДНОВРЕМЕННАЯ
ИЗМЕРИМОСТЬ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Рассмотрим произвольные наблюдаемые а и &, которым
соответствуют самосопряженные операторы а и 6. В пространстве со-
^тояний^фиксируем такой единичный вектор «ψ, чтобы выражение
(ab— &α)ψ имело смысл. Пусть а и Б — средние значения (т.е.
математические ожидания) наблюдаемых α и & в состоянии ψ.
Неопределенность в результатах измерения наблюдаемых α и &
характеризуется дисперсиями этих величин δα = ||αψ—αψ||2 и δ& =
= Щ—5ψ||2 (см. § 2). Положим
Δα = 1/"δα = ||αψ—αψ||, Ab = уЧЗГ^ ||ίψ — &ψ||.
Предложение 5.1. В состоянии «ψ среднеквадратичные
отклонения Δα и Ab наблюдаемых а и Ъ от их средних значений
удовлетворяют следующему неравенству:
Δα·Δ&>— |(α& —&α)ψ, ψ) |. (5.1)
Доказательство, Положим α1=7ι — α/, bx — b — bl> где / —
единичный оператор. Легко проверить, что ab — ba =^ a1b1— Ьгаг.
Поэтому
\((а Ъ - Ьа) ψ, ψ) | = | (К &i - &! £х) ψ, ψ) | = |(£ Μ>, ψ) - & α^, ψ) | =
= Ι "(Μ>> βιΨι) - (*ι*. Μ) Ι = 12 Im (αχψ, &^) |< 21 (£ψ, ζψ) Ι <
< 2|| α^Ι · ||Μ>|| = 2||αψ —άψ| · || 6ψ —ΐψ| = 2Δα · Δ&,
что и требовалось. П
Наблюдаемые α и & называются канонически сопряженными,
если справедливо соотношение ab — Ьа = —-/. В этом случае
правая часть неравенства (5.1) не зависит от ψ и совпадает с —.
Таким образом, доказало следующее
Предложение 5.2. Если наблюдаемые а и b канонически
сопряжены, то в любом состоянии среднеквадратичные отклонения Δα
и Δ& этих наблюдаемых от их средних значений удовлетворяют
следующему неравенству:
.Δα·Δ&>Α/2. (5.2)
Для систем, описанных в § 4, коммутационные соотношения
Гейзенберга (см. равенство (4.3)) показывают, что координата и
соответствующая ей компонента импульса канонически сопряжены.
Поэтому справедливо следующее утверждение.
Следствие 5.1. Неопределенность результатов измерения
координаты qk и соответствующей ей. компоненты импульса pk для лю-
26

бого фиксированного состояния выражается соотношением:
Aph'Aqh^h/2. (5.3)
Неравенства (5.2) и (5.3) являются точной формой знаменитых
соотношений неопределенности Гейзенберга. В том случае, когда
постоянную Планка h нельзя считать пренебрежимо малой,
соотношения (5.3) показывают, что если микрочастица строго
локализована в пространстве, то ей нельзя приписать определенного
импульса, а если частице можно (с высокой точностью) приписать
определенный импульс, то в этом состоянии она не локализована
в пространстве. Существование соотношений типа (5.3) было
открыто в 1927 г. Гейзенбергом при анализе способов измерения
координат и импульсов частиц. Например, положение частицы в
пространстве может быть определено путем ее освещения. При
этом фотоны, сталкиваясь с частицей, передают ей часть своего
импульса, в результате чего значение импульса приобретает
некоторую неопределенность. Из-за волновых свойств света
определение координат частицы будет тем более точным, чем меньше
длина световой волны. Однако при уменьшении длины волны
энергия и импульс фотона возрастают и неопределенность
импульса частицы увеличивается. Количественный анализ этого
результата приводит к соотношениям типа (5.3). Доказанные выше
утверждения показывают, что если квантовая механика верна, то и
другие методы измерений должны привести к аналогичному
результату.
Соотношения неопределенности тесно связаны с вопросом о том,
какие физические величины можно измерить одновременно.
Считается, что процесс измерения произвольной наблюдаемой а
можно организовать так, чтобы результат измерения был
воспроизводим. Это означает, что если за первым измерением
достаточно быстро (чтобы состояние системы не успело измениться в
соответствии с уравнением Шредингера) произвести второе
измерение, то результат этого второго измерения будет с
достоверностью заключен между некоторыми пределами λι и λ2, которые
можно определить на основании результата первого измерения 4.
При этом величина интервала (λι, λζ) может быть сделана (за
счет организации процесса измерения) сколь угодно малой. Таким
образом, с помощью надлежащим образом организованного
измерения величины а можно перевести систему в состояние, в
котором величина Δα является сколь угодно малой. Поэтому если
наблюдаемые а и Ь измеримы одновременно, то естественно считать,
что существует состояние, в котором величины Δα и Д& являются
сколь угодно малыми. Отсюда и из неравенства (5.2) следует, что
канонически сопряженные величины невозможно измерить одно-
1 Следует оговорить, что некоторые используемые в экспериментах способы
измерения не обеспечивают воспроизводимости результатов. К тому же
приходится иметь дело не с отдельными микрообъектами и измерениями, а со
«статистическими ансамблями» (см.: фон Нейман [1], Мандельштам [1], Фок [1],
Холево [1]).
27

временно; такие измерения требуют взаимно исключающих
экспериментальных установок.
В § 1 постулировано более общее утверждение: наблюдаемые
аи ..., ап измеримы одновременно только в том случае, когда
операторы аи..., ап перестановочны между собой. Предложение 5.1
можно рассматривать как аргумент в пользу такого постулата.
Подробное разъяснение, почему одновременно измеримым
величинам должны соответствовать перестановочные операторы, читатель
найдет в книге И. фон Неймана [1]. Если операторы аи ..., ап
перестановочны между собой, то (см. Добавление 1, § 1, п. 5)
существует такой самосопряженный оператор а и такие функции
/ι, ..., fny что ώι = /ι(α), ...,dn = fn(a). В силу постулата 4 (см. § 1)
оператор а соответствует некоторой наблюдаемой а. Поэтому
измерение величины а дает нам значения и всех величин αϊ, ...,αη,
так что эти наблюдаемые естественно считать одновременно
измеримыми. Указанное рассуждение легко обобщается и на тот
случай, когда существуют правила суперотбора (см, указание к
задаче 4 из § 2).
Если наблюдаемые аи..., ап одновременно измеримы и если
всякая наблюдаемая, измеримая одновременно с аи ...» яп,
представляет собой некоторую функцию от этих величин, то говорят,
что наблюдаемые аи ..., ап образуют полный набор *.
Предложение 5.3. Наблюдаемые аь ..., ап образуют полный
набор тогда и только тогда, когда операторы аи ..., ап
перестановочны между собой и имеют простой совместный спектр. В этом
случае существует такой изоморфизм пространства состояний & на
пространство L2(Rn, άμ) всех функций от η переменных λι,..., λη
с суммируемым по некоторой мере άμ квадратом, что при этом
изоморфизме оператору щ соответствует оператор умножения на
независимую переменную λ* (мера выбирается неоднозначно).
Это утверждение следует из результатов, сформулированных
в Добавлении 1 (предложение 1.10, теорема 1.4, задачи 3 и 4 из
§ 1, п. 8). Предложение 5.3 показывает, что с полным набором
наблюдаемых можно связать некоторое представление квантово-
механической системы. Примерами таких представлений
являются координатное и импульсное представления, рассмотренные в
§ 4. В первом случае полный набор образуют координаты, а во
втором — импульсы. В классической физике для того, чтобы
полностью определить состояние системы, требуется располагать
информацией о значениях всех координат и импульсов (в
фиксированный момент времени). Для квантовомеханической системы
полный набор наблюдаемых, очевидно, не может включать и
координаты и импульсы.
В принципе по результату измерения полного набора
наблюдаемых можно определить состояние системы после измерения.
Рассмотрим в качестве примера такую наблюдаег^ю а, что
оператор а имеет простой чисто точечный спектр, т. е. существует
1 Понятие полного набора наблюдаемых восходит к Дираку [1].
28

такой ортонормированный базис «ψι,..., «ψ*,... в пространстве
состояний, что α«ψί = λί<ψ2, причем λίΦλ} при Ίφ\. В данном случае
полный набор сводится к единственной наблюдаемой а.
Предположим, что результаты измерения наблюдаемой а
воспроизводимы, т. е. два измерения, быстро следующие одно за другим,
дают один и тот же результат. Тогда если измеренное значение
величины а равно λ, то непосредственно после измерения
наблюдаемая а с достоверностью принимает это значение. Отсюда
следует (см. § 2, пример 3), что λ=λί при некотором i и состояние
системы после измерения совпадает с «ψ*.
В силу предложения 5.3 рассматриваемая наблюдаемая
определяет изоморфизм пространства состояний на L2(R, άμ); в
данном случае носителем меры άμ является множество, состоящее из
собственных значений оператора й. Поэтому можно считать, что
наблюдаемая а определяет представление, при котором вектор
ψ = Σ£2·ψί переходит в последовательность {с*} своих координат
относительно базиса {ψ*}· С представлениями такого рода (в
особенности с энергетическим представлением, соответствующим
оператору энергии) имеет дело матричная механика, тогда как
волновая механика соответствует координатному представлению.
§ 6. СВОБОДНАЯ ЧАСТИЦА В 3-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Рассмотрим свободную «скалярную» квантовую частицу без
спина — квантовомеханический аналог классической свободной
частицы. Пространство состояний 9? такой частицы изоморфно
(в координатном представлении) пространству L2(R3) функций от
прямоугольных декартовых координат ху у, ζ с интегрируемым по
мере Лебега квадратом. Операторы координат и импульсов
определяются так же, как и в § 4; оператор энергии Η есть замыкание
. , К2 / д2 , д2 , д2 \
дифференциального оператора ί —— + -—- + -—- I, где
положительное число m — это масса частицы. Легко видеть, что·
в импульсном представлении оператор Я действует как оператор
j ·
умножения на функцию —— {р2х + р2у + p2z), так что Η —
корректно определенный самосопряженный оператор.
Важными наблюдаемыми являются моменты импульсов.
Проекции на ось ζ момента импульса частицы (относительно начала
координат) соответствует оператор MZy равный замыканию
дифференциального оператора — (х — у ]. В сферических
i \ ду дх J
координатах, которые вводятся соотношениями x=rsin,&cos9T.
i/^sinftsirKp, z=r cos О, этот дифференциальный оператор имеет
вид — .-—. Всякая функция \b^L2(R3), которая в сферических
ι σφ
координатах имеет вид ψι(Γ, -&)ег71(Р(& = 0, ±1, +2,...), есть
собственная функция оператора Μζ с собственным значением kh.
Отсюда легко вывести, что Мг — самосопряженный оператор с чисто
29

точечным спектром, каждое собственное значение которого кратно
постоянной Планка. Легко проверить, что оператор — М2 по-
h
— τΜζ
рождает однопараметрическую группу Ux = eh , которая
связана с вращениями вокруг оси г:
ϋτ\ ψ (λ:, ί/, ζ)-* ψ (λ; cos τ— у sin τ, χ sin τ + у cos τ, ζ) = φ (r, d, φ + τ),
где функция φ (г, θ, φ) получается из ψ (χ, у, г) переходом к
сферическим координатам. Операторы, соответствующие проекциям
момента импульса на произвольные оси, определяются аналогично.
Такие операторы не перестановочны друг с другом и,
следовательно, не измеримы одновременно.
Используя коммутационные соотношения Гейзенберга,
нетрудно убедиться, что операторы Мх, Му, Λίζ, соответствующие
проекциям момента импульса на оси ху у, г, удовлетворяют следующим
соотношениям:
[Λί„ Μ J = ihMz\ [Myt Μ,) = ihMx\ [МЖ9 Мх] = ihMy. (6.1)
Пусть ψ (λ:, у, г, /) — волновая функция частицы в момент
времени t в координатном представлении, a ^(pXi ру, рг, t) —
волновая функция в импульсном представлении (см. § 4). Тогда
it . 2 , 2 it 2v
Ψ (Ρ,. Ру> Рг, t) = *(Рх. Ру, Ρг^ 0)·Γ 2mA ΡΧ РУ ΡΖ ,
поскольку в импульсном представлении оператор энергии Η
действует как оператор умножения на функцию —- {р\ + р2у + р2г).
Следовательно, справедливо следующее соотношение:
00
ψ (χ, у, z, t) = (2^)3/2 j ЭД $ (р„ /V р„ 0) χ
—00
Χ β * у 2тА * ,у z dpxdpydp2. (6.2)
Таким образом, волновая функция ψ (л;, у, г, /) разлагается по
функциям вида
каждая из которых при фиксированных значениях переменных
Ρχ> Ру, Рг описывает плоскую волну длины λ = == рас-
У_Рх + Ру+Рг
лространяющуюся со скоростью —Vpl + Pi + Pi* направлении
вектора ρ с компонентами рХу ру, ρζ. Функцию вида (6.3) можно
рассматривать как обобщенный собственный вектор операторов
•30

Xv
импульса pXy py, pz и энергии Н с собственными значениями р.
руу рг и (р2х + р2у + р2г) соответственно; допуская вольность
речи, можно сказать (см. § 2), что эта функция описывает такое
«идеальное состояние» частицы, при котором импульс и энергия
однозначно определены. Разумеется, поскольку операторы
импульсов и энергии свободной квантовой частицы не обладают
настоящими собственными векторами, не существует «настоящего»
состояния, при котором было бы точно определено значение хотя
бы одной из этих^ наблюдаемых. Однако, если волновая функция
ψ (χ, у у г, г) является суперпозицией плоских волн с длиной, близ-
кои к λ = т. е. функция ψ отлична от нуля лишь
VpI+pI + ρϊ
в маленькой окрестности фиксированной точки с координатами
рх, ру, ρζ, то измеренные значения импульсов и энергии будут мало·
отличаться от величин рх, руу рг и (р2г + pi + pi) соответствен-
2т у z
но. Именно в этом смысле частице с импульсом ρ соответствует
волна длины λ = -^= («волна де Бройля»).
Ур1 + р2у+р1
Из соотношений неопределенности Гейзенберга, равно как иг
из свойств преобразования Фурье, видно, что если в состоянии ψ'
локализован импульс и частица проявляет волновые свойства, то·
в координатном представлении волновая функция ψ(χ, у, z, t)
«размазана» по пространству R3 и частице нельзя приписать
определенное положение в этом пространстве. Соответственно если
локализованы координаты, то квантовой частице нельзя
приписать определенный импульс. Таким образом, микрочастица не
является ни волной, ни частицей-корпускулой в классическом
смысле, но в одних состояниях ведет себя как волна, а в других — как
локализованная в пространстве частица. Соотношения неопреде-
ленности как раз и указывают на границы применимости
классического способа описания микрообъектов. Чисто квантовым
эффектом является дискретность значения моментов импульса.
Задачи.
1. Доказать соотношения (6.1).
2. Обозначим через Λί2 замыкание оператора М\ + М2у + М\-
а) Доказать, что оператор — М2 совпадает с замыканием
угловой части оператора Лапласа, т. е. с дифференциальным
оператором, который в сферических координатах имеет вид
1 д2
sinfl £θ \ д® )
sin2ft 0φ2
б) Функции Yi,k, которые в сферических координатах имеют
31

вид
"«-v^iip* *■<«·>'···
где
* = 0, ±1, ±2, ...,±/; Λ*1 (ξ) = 0-ξ») 2 -^-/\(g),
.a
Я/ (Ε) = —! — (ζ2 — 1Υ
полином Лежандра, называются шаровыми, или сферическими,
функциями.
Доказать, что шаровые функции — собственные функции
оператора Αί*; при этом №Yitk = h4(l+l)Ylth и MzYlyh = khYi>h.
в) Доказать, что М2 — самосопряженный оператор с чисто
точечным спектром, перестановочный с каждым из операторов
МХу МУу Afz. Соответствующая наблюдаемая называется квадратом
момента импульса.
3. Если λ — произвольное собственное значение оператора Af2,
то λ=/ι2/(/+1), где / — целое неотрицательное число.
Указание. Найдется вектор ψ*, такой, что Λί2ψ^ = λ/ψ/ι и М2я|)^ =
= hktyk\ при этом обязательно 62<λ. Пусть I — наибольшее из
таких целых чисел k. Положим M+=Mx + iMy и М-=МХ—Ш^.
Из (6.1) легко вывести, что Λί2Λί+Ψ&:==ά(&+1)ι|>Α. Поэтому Αί+ψί=О,
откуда Αί-Αί+ψί— (Af2—Af2z—/ιΛί2)ψί=0. Следовательно,
λ—/%*—/ft*=0, т. е. λ=/ι2Ζ(/+1).
Заметим, что если λ фиксировано, то собственное значение
оператора —Мг равно одному из чисел: 0, ±1, ±2,..., ±/.
§ 7. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ
Анализ структуры атомных спектров привел в 1925 г.
Дж. Уленбека и С. Гаудсмита к гипотезе о наличии у электрона
Бнутренней степени свободы, с которой связан собственный
механический момент частицы, не зависящий от орбитального
движения. Этот механический момент получил название спина — от
английского слова, обозначающего вращение, поскольку
первоначально спин интерпретировался как проявление вращения
частицы вокруг собственной оси. Указанная «классическая»
интерпретация оказалась несостоятельной. Спин является чисто квантовой
характеристикой микрочастицы и не имеет классических аналогов.
Квантовомеханическая теория спина была в 1927 г. построена
В. Паули. Наиболее последовательное теоретическое объяснение
природы спина было получено впоследствии в рамках
релятивистской квантовой механики.
.32

Пусть 5 — целое или полуцелое неотрицательное число, & =
= 25+1. Состояние частицы со спином 5 в «координатном»
представлении описывается волновой функцией Ψ(λ;, уу г, /), которая
зависит не только от координат л;, у, ζ частицы, но и от
переменной /, которая может принимать целые значения от 1 до k.
Скалярное произведение в пространстве состояний задается
формулой:
k оо .
(ф> Ψ) = £ JjJ Φ (*. У> *. /) y(x,y,z,j) dxdydz. (7.1)
/=1 —оо
Можно считать, что пространство состояний Я? частицы со спином
состоит из вектор-функций, определенных на обычном трехмерном-
пространстве R3 и принимающих значение -в ^-мерном
комплексном пространстве СЛ; числовая функция ψ (я, у, ζ, /) при
фиксированном значении / представляет собой /-ю компоненту
соответствующей вектор-функции. Наконец, можно считать, что j? = i?o®C*,
где 3?о — пространство состояний частицы без спина, т. е. 2?о=
= L2(R3) в координатном (или импульсном) представлении.
Каждой наблюдаемой, определенной для частицы без спина,
соответствует наблюдаемая в пространстве состояний частицы со
спином, причем соответствующий самосопряженный оператор
действует на каждую компоненту вектор-функции. Другими словами,
оператор -А в 3?0 переходит в оператор А®1 в 3?у где / —
единичный оператЪр в О. Для операторов этого типа мы сохраним
названия и обозначения, введенные выше для скалярных частиц,
т. е. для случая 5 = 0. Только моменты импульсов, рассмотренные
в § 6, будем теперь называть орбитальными.
Наряду с операторами орбитального момента в пространстве
состояний 2? частицы со спином действуют операторы Sx, Sy и Sz
проекций «спинового момента» на оси х, уу ζ. Эти операторы
удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и
операторы проекций орбитального момента, (см. равенство (6.1) в § 6):
[Sx, Sy] = ihSz; [Sy, S2] = ihSxy [S2t Sx] = ihSy. (7.1)
Операторы спинового момента действуют лишь на дискретную
переменную /, т. е. при фиксированных х, yt z преобразуют лишь
значения волновых вектор-функций. Поэтому в пространстве
значений этих вектор-функций, т. е. в Ск действуют конечномерные
операторы SXi Зу, Sz, удовлетворяющие тому же коммутационному
соотношению, что и операторы момента. Это означает, что Sx=
= /®5х, 5У=/®5У, 5Z=/®SZ, где / — единичный оператор в
J?o=L2(R3). Наконец, предполагается, что набор {5Xt 5yt Sz}
неприводим, т. е. в Ch нельзя найти нетривиальное линейное
подпространство, инвариантное относительно операторов SXt Sy, 3Z;
в силу известной теоремы Бернсайда отсюда следует, что эти
операторы порождают полную матричную алгебру в Ск.
Операторы
JX = MX + Sxy Jy = My + Sy, JZ = M2 + Sz
33

удовлетворяют тем же условиям коммутации, что и операторы
Мх, Муу Mz или Sx, Sy, S2. Соответствующие наблюдаемые
называются проекциями полного момента количества движения
частицы.
Частицы с полуцелым спином 5 называются фермионами.
Особенно важен случай 5=1/2, поскольку электрон, протон, нейтрон
и Ряд других элементарных частиц имеют спин 1/2. Частицы с
целым спином называются бозонами. Примерами являются пионы
(π-мезоны), имеющие спин 0, и фотоны, имеющие спин 1.
Терминология (фермионы, бозоны) объясняются тем, что частицы с
полуцелым спином подчиняются статистике Ферми — Дирака, а
частицы с целым спином — статистике Бозе — Эйнштейна, см. §9.
Замечание. Операторы i3x, iSy, iSz представляют собой
генераторы конечномерного представления (вообще говоря,
проективного) группы вращений трехмерного пространства R3. При замене
переменных в R3 значения волновых вектор-функций
преобразуются в соответствии с этим представлением. Если наряду со спином
частица имеет другие внутренние квантовые числа, например
изотопический спин, то в этом случае можно использовать ту же
самую конструкцию, заменив неприводимое представление группы
вращений приводимым представлением этой группы.
Задачи.
1. Положим S2 = S2x + S2y + S*, S2 = S2X + S2y + Si Доказать, что·
S2 — самосопряженный ограниченный оператор, перестановочный
со всеми операторами Sx, Sy, 5Z, МХ9 МУу Mz, причем S2=I®32,
где / — единичный оператор в 2?o=L2(R3). Наблюдаемая,
соответствующая 52, называется^ квадратом спинового момента.
2. Пусть S_j_ = Sx + iSy, S^ — Sx — iSy. Доказать, что если
f^Ch — собственный вектор оператора Sz с собственным
значением λ, то вектор /i=S+/ либо равен нулю, либо является
собственным вектором оператора Sz с собственным значением λ+l.
Аналогично вектор /г = 5_/ либо обращается в нуль, либр является
собственным вектором оператора §ζ с собственным значением λ—1.
3. Используя результат задачи 2 и условие неприводимости
набора операторов {SXt 3y> 3z}y доказать существование такого
базиса {/т} из собственных векторов оператора 5Z, что
SJm = mfm> S-fm = ат/™-Ь S+/m = OCm+l/m+b
где am = Y(s + m) (s — m + 1), m = 0, ± 1, ... , ± s.
Указание. Обобщить метод, описанный в указании к задаче 3
из § 6.
4. Доказать, что операторы S2 и 52 скалярны и имеют
единственное собственное значение h2s(s-\-l). Доказать, что операторы
— Su и —SH, где и — любая ось, имеют ровно k = 2s-\-l собст-
34

венных значений: 0, ±1, ±2,...,;±s. Доказать, что набор
операторов {Зх, 5У, Sz} определяется числом s однозначно с точностью
до подобия.
Указание. Использовать результат задачи 3.
5. Доказать, что, добавив к операторам координат оператор
проекции спинового момента на произвольную ось, мы получим
полный набор наблюдаемых. Описать соответствующее этому
набору представление.
6. Описать собственные значения оператора J2 = M2-\-S2.
Сформулировать закон сохранения момента% импульса в квантовой
механике.
7. Пусть 5=1/2. Доказать, что в этом случае можно положить
sx = -т-0^» sy= ~ταν s*= Ύα*' где σ*> °у> °ζ ~ так называе"
мые матрицы Паули:
σ = (0 1) а = (0-1) а = (Ί ■ 0\
°х \\ О)1 °у [i 0)' 2 [0 —I)'
§ 8. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Первой содержательной задачей, решенной Гейзенбергом в
рамках матричной механики и Шредингером — на языке
волновой механики, была задача о квантовом осцилляторе. К решению
этой задачи сводится описание колебательных движений атомов
в молекулах и кристаллах. Системе осцилляторов эквивалентно и
«проквантованное» электромагнитное поле (на каждую частоту
колебаний поля приходится по два осциллятора).
Начнем с одномерной задачи. В классической механике
одномерным гармоническим осциллятором называется частица с-одной
степенью свободы, которая движется под действием силы с потен-
со2
циалом v(x) = —χ2, где χ — координата частицы. В этом случае
частица совершает гармонические колебания относительно
положения равновесия лг=0 с круговой частотой ω, причем энергия
осциллятора имеет вид
т I dx \2 mo>2 9 ρ2 , mco2 9
— -\ X2 = — X2 у
2 \ at ) 2 2m 2
где т — масса частицы, p = mdx/dt— ее импульс.
Пространство состояний квантового аналога этой классической
системы в координатном представлении совпадает с L2(R),
операторы координаты и импульса определяются стандартным образом
(см. § 4), а оператором энергии служит замыкание формального
дифференциального оператора х2 . Таким образом,
уравнение Шредингера для осциллятора имеет вид
dt 2 Ύ 2т дх2
35

Для простоты изложения положим Л = т=со=1, так что
оператор энергии приобретает вид Я = —[х% ). Мы не теряем
2 \ dx2)
при ^этом в общности, так как заменой переменных ξ = χ Λ/ -~—
/ιω Л2 d* \
всегда можно привести оператор энергии к виду Ιξζ -L
Ясно, что Η является симметрическим оператором. Для того
чтобы доказать, что этот оператор самосопряжен и найти его спектр,
нам потребуются некоторые предварительные построения.
Пусть 2? — линейное (незамкнутое) подпространство в прост-
х2
ранстве £2(R), состоящее из всех функций вида<^(л;)£ 2, где
3>(х) — многочлен. Легко проверить, что S содержится в области
определения оператора Я, который оставляет это подпространство
инвариантным»
Лемма 8.1. Множество & плотно в L2(R).
Доказательство. Если S не плотно в L2(R), то найдется такая
ненулевая функция a(x)eL2(R), что при л = 0, 1, 2,...
ί α(χ)χη^
е 2 dx= 0.
X2
Заметим, что интеграл f a(x)e 2 e~ixzdx сходится при. любом
«О
значении комплексного параметра z\ дифференцируя интеграл по
этому, параметру, мы получим интеграл—i f xa{x)e 2 e~ixzdxy
который сходится рав'номерно, когда ζ пробегает комплексную
оо X*
плоскость. Следовательно, функция φ (ζ) = \ а(х)е 2 e~ixzdx
— 00
голоморфна, причем
00 X*
φ' (Ζ) = _L ft a (x) e 2 e-ixzxdx.
—oo
Аналогично
χ*
dzn
так что
oo х-
φ(«)(0) = (—Υ Γ x»a(x)e~~dx = 0
—oo
при всех п\ поэтому φ(ζ)==0. Поскольку φ,(г) совпадает с
аналитическим продолжением преобразования Фурье функции
36

χ*
а(х)е 2 /У"2я, отсюда следует, что а(*)=0 почти всюду.
Полученное противоречие доказывает лемму. ■
Рассмотрим так называемые операторы уничтожения и
рождения
Л = (х + ip) -J- А* = &-ip) -+=..
Так же, как и операторы ρ, х, Я, эти операторы определены на
i? и оставляют его инвариантным. Поэтому на j? определены
произведения и коммутаторы всех этих операторов. Легко
проверить, что указанные операторы удовлетворяют следующим
соотношениям:
[А,А*]=1; (8.1)
Н = А*А + —1 = АА9 -/; (8.2)
2 2 v 7
[Я, А] = -А, [Н,А*]=А*> (8.3)
где / — единичный оператор.
Лемма 8.2. Если ψ&£? — собственный вектор оператора Я с
собственным значением λ и Л*г|)#0, то Л*г|> — собственный вектор
оператора Я с собственным значением λ+1.
Доказательство. Пусть ψ&5? и Яф=Я\|э. Из соотношений (8.1)
и (8.2) вытекает следующая цепочка равенств:
Я (Л» = (АА*) А*$ Л> = Л* (АГ) ψ + [Л, Л*] Л> — — Л> =
= Л*Яя|) + -Ι- Λ*ψ + Л> - -у Л> = λΛ·ψ + Л> = (λ + 1) ЛЧ
что и требовалось. Η
л*
Положим ψ0 = е 2 , ψ* = (К2 Л*)* \f>0, так что ψ/^ι = )/1L4* Ψ*·
Легко проверить, что Я^0 = — ψ0, поэтому из леммы 8.2 вытекает
справедливость равенства
Я** = (* + γ) Ψ*· (8-4)
Χ*
Ясно, что ψ* (χ) = Я* (χ) е 2 , где Я^(лс) — некоторый
многочлен. Функции tyk(x) называются функциями Эрмита, а
многочлены Hk(x) — многочленами Эрмита. Будучи собственными
функциями симметрического оператора Я с различными собственными
значениями, функции Эрмита образуют ортогональную систему.
Действительно,
(♦ь *ι) (* + γ) = <Я**· *ι) = (*ь Я*,) = (**, */)('+ γ).
откуда (ψΛ, %)=0 при &=^/.
37

Нетрудно доказать по индукции (предоставим это читателю
в качестве упражнения), что систему функций Эрмита можно по-
xz
лучить, применив к функциям хпе 2 процесс ортогонализации,
и что справедливы следующие соотношения:
Hn(x) = (-iye**-fre-*\ (8.5)
аха
*^L=2«-n\f (8.6)
dx" / v '
а также рекуррентное соотношение Hn+i (х) = 2kHn (х) —2nHn-i (x);
в частности tfo(*) = l, Hi(x)=2xy Н2(х) =4х2—2, Н3(х) =8х*—\2х,
Нь(х) = 16хЬ—48х2—\2.
Поскольку 3? плотно в L2(R), функции Эрмита образуют
ортогональный базис в L2(R). Из соотношения (8.5) следует, что
оо оо
И>„Р = f Hle-X%dx= f {-\)nHn{x)*^dx.
— 00 ЭО
Интегрируя это равенство по частям η раз и используя
соотношение (8.6), получим
оо
\Ш2=. j (-\)*Hn(x)-~e-*dx =
— 00
00 ОО
= Г е~*г 1-^-Нп(х)) dx = 2"·»! Г er*dx = 2η·η\ γή.
— 00 ОО
Таким образом, функции
$я (х) = Т^== = TF== Η η (х) г" Т- (8.7)
образуют ортонормированный базис в L2(R)., Поскольку
ψ„ = (|^2 А*)п %у из равенства (8.7) вытекает, что
й, = -7=г'(ЛТ1Ь· (8-8)
Отметим, что эту формулу можно получить непосредственно из
коммутационных соотношений, что позволяет другим способом
получить равенство (8.7).
Поскольку в базисе {ψ*} оператор Η приводится к
диагональному виду, этот оператор можно считать самосопряженным,
причем DH состоит из всех векторов i|?^L2(R), для которых
21 <*'■*?> (я+т)
< со. Из сказанного следует, что векто-
38

ры ψ,ζ изображают стационарные состояния осциллятора, причем
в состоянии ψη энергия принимает значение η Η (см. § 2).
Выполнив соответствующую замену переменных, приходим к
следующему результату.
Теорема 8.1. Энергия произвольного линейного осциллятора с
массой т и круговой частотой ω может принимать значения
кп = кп(п + -Ц, где я = 0, 1,2,..., (8.9)
и только такие значения. Стационарное состояние с энергией hn
изображается в координатном представлении функцией
ьм-я.(в.-*|?=:/&*«-*/¥· ,810)
Формула (8.9) показывает, что осциллятор может приобретать
или терять энергию лишь порциями, кратными Αω, т. е. квантами
частоты ω. Отметим, что наименьшее возможное значение энергии
Λο = /κύ/2 отлично от нуля, т. е. квантовый осциллятор никогда не
находится в состоянии «абсолютного покоя». Операторы,
соответствующие операторам Л и Л* при указанной выше замене
переменных, действуя на волновые функции стационарных состояний,
уменьшают или увеличивают число квантов на единицу, так что
оператор Л* «порождает» новые кванты, а оператор Л
«уничтожает» их. Это очевидным образом следует из коммутационных
соотношений (8.3).
В классической теории расстояние между колеблющейся
частицей и положением равновесия всегда ограничено. Квантовую же
частицу можно с ненулевой вероятностью .обнаружить (в любом
состоянии) сколь угодно далеко от положения равновесия. Это
видно из поведения функций Эрмита на бесконечности;
разумеется, эти функции быстро убывают, когда аргумент стремится к
бесконечности, так что вероятность обнаружить частицу вдали от
положения равновесия очень мала.
С помощью полученных результатов легко описать поведение
квантового гармонического осциллятора с любым числом степеней
свободы. Пространство состояний я-мерного осциллятора в
координатном представлении состоит из всех суммируемых с
квадратом функций ψ(<7ι, —, Яп) от η вещественных переменных, а
оператор энергии совпадает с замыканием дифференциального
оператора ^
η η
ΣΙ ο ο VI h д2
. Из того, что функции вида (8.10) образуют ортонормирован-
ный базис в пространстве £2(R), следует, что функции
*М* К (Яг> .... О = Ч£} (Яг) *!? Ы · · · *ς} Ш>
39

где
2/ι
i=l,2,...',n, ft=Of 1,2, ...,
образуют ортонормированный базис в пространстве состояний
рассматриваемого осциллятора. Очевидно, что функции ψ^ k
суть собственные векторы оператора энергии.
В соответствующем стационарном состоянии энергия осцилля-
п
тора равна h V щ ί kt Η ).
Задачи.
1. Вывести из соотношения (8.1) равенство
[Ау (А*)п]=п{А*)п-*.
2. Используя результат задачи 1, доказать формулы (8.8) и
(8J).
3. Выписать оператор энергии осциллятора и его собственные
функции в импульсном представлении.
4. Пусть F — преобразование Фурье — Планшереля в L2(R),
т. е.
№)(х) = у=- j е-**УЪ(у)ау.
Доказать, что F — унитарной оператор с чисто точечным
спектром; найти собственные функции и собственные значения
этого оператора.
Указание. Пусть A*ty(x) = xty(x) х1*Ц проверить, что для
ах
любой гладкой быстро убывающей функции ψ(χ) справедливо
соотношение FA*ty(x) =— A*Fty(x). Вывести отсюда, что если
•ψο — собственная функция оператора F, то (Л*)п-ф0 также
является собственной функцией оператора F. В качестве ·ψ0 взять функ-
цию е 2 .
5. Пусть ψ (a:, t) — волновая функция в координатном
представлении одномерного осциллятора, масса т и кругова^я
частота ω которого связаны соотношением /жо=1. Пусть ψ(ρ, t) =
= \ ψ (л;, t)e~ixp/hdx—соответствующая функция в импульс-
—оо
40

ном представлении. Доказать, что при ρ = χ, V = t -\ справед-
~ ώ
ливо равенство ·ψ(ρ, t)=ty(x, t')>
6. Пусть Pi,..., Ρη, Qiy..., Qn — самосопряженные операторы в
гильбертовом пространстве SB. Предположим, что существует такое
плотное линейное подпространство D в 2% что D содержится в
области определения указанных операторов и инвариантно
относительно этих операторов. Доказать следующее утверждение
(вариант теоремы Стоуна — фон Неймана о единственности
квантования).
Теорема 8.2. Предположим, что для любого tfeD справедливы
соотношения:
PkPrt — PiPrf = 09 QkQtf-Q}Qky = 0y
(PkQk - QkPk) * = -f ♦. (PjQk - QkPj) Ψ = 0 при / φ k.
η
Предположим еще, что симметрический оператор V Pi + Qlt onpfr»
деленный на Ζ) в существенном самосопряжен (т. е. имеет
самосопряженное замыкание).
Тогда существует такое разложение J5? => +«#« простран-
α
ства 9? в прямую сумму подпространств j?a, что: 1) каждый из
операторов Pk, Q/ распадается в прямую сумму операторов
P/ea), Q/a), действующих в подпространствах 2?а\ 2) существует
изоморфизм пространства j?a на пространство L2(Rrt), при
котором операторы Qi,..., Qn переходят в операторы умножения на
независимые переменные Х\у ..., хп, а Р\9 ..., Рп — в операторы
h д Ji д__
ι σχχ ι дхп
Указание. Рассмотрим для простоты случай л=1. Обозначим
Н> А9 А* замыкания операторов —(Р2 + Q2), —==г (Q + iP) ,
2 γ 2
mTr=r(Q—*Р) соответственно. Рассмотрим функцию φη(λ)
вещественного переменного λ, принимающую значение 1
оо
при η—1<λ<η и 0 — в противном случае. Поскольку V Ф„ = 1>
существует такое целое число. «о, что ^щ{Н)фО. Оператор Я
положительно определен; поэтому, если /г<0, то <рп(Я)=0;
следовательно, можно считать, что φ„β (Я + 1) = φΠβ-ι (Я) = 0. Так как
Ч>п0Ш)фО, найдется такой вектор ψ&2\ что φΠβ(Я)ψ = Ψο =5^0·
Можно проверить, что ΛφΛο#)ψ «= <р«0(Я + 1) Λψ, откуда 4ψ0=0.
Следовательно,
(Я ^)ψ0 = ΛΜψ0 = 0.
41

Пусть ψα — ортобазис в подпространстве, состоящем из
собственных векторов оператора Я с собственным значением 1/2.
Пространство 2?* натянуто на векторы вида ψη(α)= (Λ*)η<ψα. Искомый
изоморфизм можно установить, сопоставив ψο(α) функцию е~*12
в L2(R), а остальным собственным функциям в i?a — функции
Эрмита в L2(R).
§ 9. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ
Рецепт квантовомеханического описания систем, состоящих из
нескольких частиц, был описан в § 4. Согласно этому рецепту
пространство состояний одной частицы изоморфно L2(R3), причем
этот изоморфизм можно установить, например, с помощью
координатного представления. Пространство состояний системы из
η частиц имеет вид
«#=^1®...®-^, (9.1)
г^е 3?ь — пространство состояний &-й'частицы, так что в
координатном представлении состояния изображаются функциями
Ψ (Si, ...,in)&^2(R3n), где i^eR3 — набор трех координат k-fi
частицы. Указанный рецепт годится только для скалярных частиц,
различающихся друг от друга своими физическими
характеристиками. В общем случае необходимо сделать по крайней мере два
уточнения.
Во-первых, отдельная частица может обладать спином и
другими внутренними степенями свободы. Поэтому «обобщенное»
координатное представление задает изоморфизм пространства
состояний частицы на L2(R3)®j? = L2(X), где SB — пространство,
соответствующее внутренним степеням свободы, а элементы
пространства X соответствуют значениям полного набора наблюдаемых.
Для частицы со спином s, рассмотренной в § 7, SB изоморфно
C2*+1, X=R3x/C, где К—конечное множество, имеющее 2s+l
элементов. Элемент 1^Х представляет собой набор значений
декартовых координат частицы и дискретной переменной /е/С. Мера
в X индуцирована мерой Лебега в R3 (интегрирование по коорди-
йатам и суммирование по /; см. § 7).
Во-вторых, квантовомеханическое описание систем,
включающих несколько одинаковых частиц, опирается на важные
дополнительные постулаты. Принцип неразличимости одинаковых частиц
утверждает, что если частицы имеют одинаковые массы, заряды
и другие физические характеристики (спин и т. п.), то эти
частицы физически неразличимы и состояние системы не изменится, если
одинаковые частицы «поменять местами». Например, пусть
волновая функция ψ (ξι, h) описывает состояние системы из двух
тождественных частиц, где ξι, ξ2 соответствуют значениям полного
набора наблюдаемых для первой и второй частицы. В силу
принципа неразличимости следует считать, что функция ψ(ξ2, ξι)
описывает то же самое состояние системы, т. е.
Ψ(ξι. Ы=С"ф(Ь Si).
42

где с — комплексное число, |с| = 1. Повторная перестановка дает
с2=1, откуда с=±1. Если с=1, то волновая функция симметрична
по ξι и ί-2, а если с =—Ι,,το волновая функция антисимметрична.
В общем случае ситуация аналогична. Пусть частица
некоторого типа имеет пространство состояний 3?=L2(X). Состояние
системы из η таких частиц описывается функцией
*ttb&....6»)eJ>(X«)t (9.2)
где ξι,..., ln^X> а через Хп обозначено декартово произведение η
экземпляров пространства X. Замечательный факт состоит в том,
что для всех известных типов частиц в зависимости от их спина
волновые функции (9.2) симметричны или антисимметричны по
переменным ξι,..., ξη. В первом случае при перестановке любых
двух частиц функция не меняется, а во втором — меняет знак.
Соответственно в первом случае говорят, что частицы
подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, а во втором — что частицы
подчиняются статистике Ферми — Дирака. Оказывается, что
статистике Бозе — Эйнштейна подчиняются частицы с целым спином,
т. е. бозоны, а статистике Ферми — Дирака — частицы с
полуцелым спином, т. е. фермионы.
Сложные частицы типа атомных ядер подчиняются статистике
Ферми — Дирака, если содержат в своем составе нечетное число
фермионов. Сложные частицы, включающие четное число фермио-
нов (например, системы из одних бозонов), подчиняются
статистике Бозе — Эйнштейна. Действительно, переставляя сложные ядра,
мы переставляем бозоны, что не должно влиять на волновую
функцию, и переставляем несколько пар фермионов, что приводит
к перемене знака волновой функции при нечетном количестве
переставляемых пар фермионов.
Пусть Sn — симметрическая группа, т. е. группа всех
перестановок множества {1, 2,..., я}. Для любой перестановки n^Sn
ПОЛОЖИМ Ρπψ(ξΐ, ξ2, ..., ξη)=ψ(ξπ(1), ...,ξπ(η)). ЯСНО, ЧТО ДЛЯ СИММеТ-
ричных функций Ρπψ = ψ, а для антисимметричных функций Ρπψ =
= (—1)Ιπ,ψ, где |αχ| = 0, если подстановка четная, и |π| = 1, если
подстановка нечетная. Операторы симметризации и
антисимметризации определяются в L2(Xn) следующими формулами:
я.*(Ь.---.6п) = -^5] ΛιΨίδι·...,^
nesn
ΡαΨ(ξΐ,...,ξ„)=-^Σ (-1)^^ψ(ξχ,...,ξ,).
Оператор Р8 ортогонально проектирует L2(Xn) на
подпространство, состоящее из симметричных по ξι,..., ξη функций, а
оператор Ра является ортогональным. проектором на подпространство
антисимметричных функций.
Рассмотренные конструкции не зависят от конкретного
представления пространства состояний· 3? одной частицы в виде L2(X).
43

Действительно, L2(Xn) совпадает с п-н тензорной степенью j?&*
пространства 5?у проектор Р8 выделяет подпространство &8п —
д-ю симметричную степень пространства 2\ а проектор Ра —
/г-ю антисимметричную степень 3?ап пространства & (см.
Добавление 1, § 5). Итак, пространство состояний системы из η бозонов
совпадает с J£sn, а системы из η фермионов — с J5?cn, где $—
пространство состояний одной яастицы.
При отсутствии магнитного поля (и в нерелятивистском
приближении) электрическое взаимодействие частиц не зависит от
их спинов, т. е. оператор энергии не действует на спиновые
переменные и уравнению Шредингера удовлетворяет каждая из
компонент волновой функции. В этом случае оператор энергии Я для
системы из η тождественных частиц записывается точно так же,
как и в § 4 (см. формулу 4.2); при этом потенциальная энергия ν
должна быть симметричной относительно перестановок частиц.
Поскольку все частицы имеют одинаковую массу, оператор
кинетической энергии также перестановочен с операторами Ря, Л., Ра-
Поэтому оператор Я перестановочен с этими проекторами.
Отсюда следует, что Я оставляет инвариантными подпространства
J£5n и Лсап. Оператор энергии Hs (соответственно На) системы
из η бозонов (фермионов) является сужением оператора Я на
подпространство *£sn{S£an). Отметим, что операторы Ря являются
интегралами движения (в силу их перестановочности с оператором
энергии, см. § 3). Этот факт отражает сохранение свойств
симметрии в процессе эволюции системы. Импульсы отдельных частиц
для системы бозонов или фермионов не имеют физического смысла,
и соответствующие операторы не определены в JS?sn или в <&ап.
Однако имеют смысл компоненты полного импульса, так что
операторы
Гх~ i l* dxk · y i L· dyk· r* i L· dzk ·
fe=l k=\ k=l
где Xky Уку Zk — переменные, соответствующие координатам
&-й частицы', определены в пространстве состояний системы и
соответствуют наблюдаемым.
Если ψ — собственный вектор оператора Я, то Psty является
собственным вектором оператора Hs или обращается в нуль.
Действительно, если Я\|5 = Х-ф, то Η8Ρ8φ=ΗΡ8ψ = Ρ8Ηψ = Ρ8λ\ϊ>=λΡ8<ϊ).
Точно так же /V|> либо обращается в нуль, либо является
собственным вектором оператора Яа.
Рассмотрим систему из η одинаковых и не взаимодействующих
частиц. В этом случае потенциальная энергия системы имеет вид
v(h,:-tn)=v(li)+...+O(ln). Пусть {ψ*(ξ)} — базис в
пространстве состояний 3? соответствующей одночастичной системы, и
предположим, что этот базис состоит из стационарных состояний,
т. е. из собственных векторов оператора энергии одночастичной
системы (см. § 3). В этом случае волновые функции вида
* (ξι,.... L·) = W(b) to. (δι) · · < Ч\ (U (9.3)
44

образуют базис в пространстве 2?®п, а функции
Р5[ЬЛ1г)ЬЛЬ).--ЬпШ (9.4)
/и^ЛЫ%,(Ы·.. bn(L·)] (9·5)
образуют полные системы функций в S£sn и £ап соответственно.
Если система состоит из фермионов, то, пронормировав функции
(9.5), мы получим функции вида
♦U6i)...**t<6J|
Перестановка двух столбцов определителя, стоящего в правой
части равенства (9. (^соответствует перестановке двух частиц и
приводит к перемене знака волновой функции. При сделанных
выше предположениях функции вида (9.3) являются
собственными функциями оператора Шредингера Н. Поэтому функции вида
(9.6), которые получаются из функций (9.3) применением
проектора Ра и умножением на нормирующий множитель, являются
собственными функциями оператора энергии Я0, т. е. изображают
стационарные состояния.
Если в выражении (9.6) среди индексов ki,..., kn есть два
одинаковых, то определитель в правой ч&сти этой формулы
обратится в нуль тождественно. Это утверждение интерпретируется
следующим образом: при измерении в системе, состоящей из
тождественных фермионов, нельзя одновременно обнаружить две
частицы (или-более) в одном и том же состоянии (принцип Паули).
Разумеется, стационарные состояния системы тождественных и
не взаимодействующих бозонов изображаются функциями вида
(9.5) с точностью до нормирующего множителя.
**. *Λ(ξι δ«)
/л!

ГЛАВА II
ОДНОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
В этой главе исследуются спектральные свойства одномерного
оператора Шредингера Hy=—y"+v(x)yt имеющего смысл
оператора энергии частицы с одной степенью свободы в силовом поле
с потенциальной энергией v(x). Получаемые математические
результаты, как правило, имеют физический смысл, который будет,
по возможности, разъясняться в тех случаях, когда это не будет
уводить нас слишком далеко в сторону. Потенциал v(x) всюду
предполагается вещественнозначной функцией.
§ 1. САМОСОПРЯЖЕННОСТЬ
Рассмотрим оператор Я0, определенный при y(x)^C0co(Ri)
формулой
H0y=-y//+v(x)yJ (1.1)
где v(x) — вещественнозначная, измеримая и локально
ограниченная функция точки jt^R1^—оо<а:<+оо}. Оператор Я0,
рассматриваемый в L2(R*), является симметрическим. Нас будет
интересовать вопрос о том, когда Я0 в существенном самосопряжен
(т. е. самосопряжено его замыкание #о**). Следующая теорема
Сирса дает для этого достаточное условие, близкое к
необходимому.
Теорема 1.1. Пусть потенциал υ(χ) удовлетворяет условию:
v(x)>-Q(x), (1.2)
где Q(x) — лоложительная, четная, неубывающая при лс>0
непрерывная функция на R1, удовлетворяющая условию
[-β=τ=οο. (1.3)
Тогда оператор Я0 в существенном самосопряжен.
Доказательство. Мы должны показать, что Я0* симметричен
(см. предл. 1.2 из Добавления 1), для чего необходимо выяснить
структуру области определения оператора #0*.
46

Прежде всего заметим, что если f(x)^DH*> то f(x) имеет
абсолютно непрерывную первую производную f'(x) и вторая
производная f"(x) локально суммируема с квадратом. В самом
деле, обозначим H0*f=g и используем, что для любой функции
«р^Со00^1) имеет место равенство
оо оо
j Ш) φ" (x)dx=l (ν {χ) ΤΤχ) - Жх)) φ (χ) *χ.
—οο —οο
Обозначив через F(x) неопределенный 2-й интеграл функции
v(x)-f(x)—ё{х), получим, интегрируя по частям:
оо оо
f J^dx= j Fy'dx,
JO 00
откуда F—f имеет равную нулю вторую производную в смысле
обобщенных функций, т. е. F—/ есть линейная функция. Это
доказывает высказанное утверждение о дифференцируемости f.
Основное в доказательстве теоремы 1л — выяснить поведение
функции f(x)^DH*o при лс~>оо.
Предложение 1.1. Пусть v(x) удовлетворяет (1.2) с некоторой
положительной четной и неубывающей на полуоси x>0
функцией Q(x).
Тогда, если f(x)^DH* , то
оо
ι· \rm2 dx<00t (1.4)
— оо
Доказательство предложения 1.1. Рассмотрим следующий
интеграл:
W
— w '
где w>0. Проводя в нем интегрирование по частям, получим
W W
—w —w
w
+ — \'(Γ F+/f) sign*dx,
w J
где sign* равно 1 при x>0 и —1 при x<0. Интегрируя по
частям еще раз и учитывая, что первое слагаемое равно 0, получаем
W W
J=-L j (|/|·)'signed*-2 [ (1-М)|П»Лс=.
— w —w
#7

= _2 f (ι_Η)|/ί»Λ +J_{|/(a,)|t + |/(_a,)p_2|/(0)|«},
J \ W f W
— w
откуда следует
|(,-М)|Л^--Л-|<ГГ+,Г)(.-*)л.+
— W —W
+ -^{|/И12 + 1/(-^)14-2|/(0)|»}.
Умножим это тождество на w и проинтегрируем от 0 до Г,
учитывая соотношение
Т w Τ
j ( J («f- ί* I) с (χ) <fc ) dw = -i- J (T - \x \)\c (x) dx,
0 — w — Γ
легко проверяемое дифференцированием по Τ или перестановкой
порядка интегрирования. Получим тогда:
г г
- j>-U|)2|/'N* = -^- j>-|*l)2(f/ + //V* +
—Г —Г
+ J(|/(a»)P + |/(-aF)|»)rfB»-2|/(0)|«7'.
О
Делим обе части на Г2:
|(1-тУ1ЛМ*=~Т j(1--f)V-7+/-F)<k +
г
( J|/WAf-2|/(0)|»r).
— г
Обозначая теперь g=—f"+v{x)f9 получим
{ (ι-*)* ΙΓΡΛ- i j (1-И.J'toZ + i/)*-
— г —г
- J(i-^)2<>tol/(*)l2^+ -£■( Jl/MI2^-2|/(0)|^r).
-г ' , · -г
Учитывая суммируемость ^ квадратом функций / и g и то, что
0<(1——]<1 1при х^(—Г, 7), имеем, оценивая — и (л;) через
τ
+ ±
— Τ
*48

Q(x)·
I О—у).' ΙΠΜ*< J (ι-^)2<2(*)Ι/Ν* + '.
— r —τ
где с не зависит от Т> откуда следует, что
Г/2 Г
j \f'(x)\>dx< §Q\f\*dx + c.
(1.5)
-Γ/2
-Γ
Обозначим
Г/2 7
ИЛ =-j ] 1/Т<**,Х(Т) = jV|/N* + c
-Г/2 · -V
-Г/2 ·
Г
——— w rfjc и применим к нему вто-
о
рую теорему о среднем: если f(*) непрерывна, а /С(д:) — невоз-
растающая неотрицательная непрерывная функция на [а, &], та
$f(x)K(x)dx = K(a)jjf(x)dx
а а
при некотором |^[а, Ь] (см. Фихтенгольц, [1], т. 2). Имеем,
используя'(1.5):
\jLzlLdx =_L_ f (a,'_X')^ = _L_x
Л Q Q(0) J ; Q(0)
о о
x[»(g)-x(g)-w(0) + x(0) <X(0)~0^(0) = const·
Поскольку
^>=i[k(fM''(-i)i]·
x'(*) = Q(*HI/Wl2 + |/(-*)l2b
то из полученной оценки сразу следует:
ι ? Kf )Г+И-т)Г- с
0|2 + |/(-х)|2)^ + С
откуда, заменяя х/2 на χ и учитывая, что /(je)eL2(R), получаем
сразу утверждение предложения 1.1. ■
49

Доказательство теоремы 1.1.
Пусть /J^fl,*, gi = -//' + ό(χ) /„ i = 1,2.
Нам нужно показать, что
оо оо
j hgidx = j gj2dx.
— ОО —00
Заметим сначала, что
t
-t
Положим
J(/ift-A/,)d*= |(/ι//-/17ι)^ =
. г .
= $-£-(ΑΑ'-Α'Α)<** = [ΑΑ'~ A'/JV (1.6)
λ:
/Q (20 J
умножим обе части (1.6) на р(£) и проинтегрируем от 0 до Т.
ТТреобразуем левую часть:
Jp(0( j' (figt-gMdx) dt= J [(Aft-ft/,) J р(/)Л]Лс =
0 — f —7 И
= ((A &-&?.) (Ρ (Л-^ (С* I))**·
-V
Теперь оценим правую часть. Ее типичный член оценивается так:
|| А (*) J7V) ρ (t) dt\ < (J | A (OP dt- [ | A' (Ol2 p2 Щ dtf2 (i .7)
0 0 0]
{мы воспользовались неравенством Коши — Буняковского).
Согласно предложению 1.1, интегралы в правой части (1.7)
ограничены не зависящей от Τ постоянной, из (1.6) мы получаем:
| ](P{T)-P(\x\))[hg2-glh]dx\<C.
-τ
Поделим обе части на Р(Т) и устремим Τ к +°°,
воспользовавшись тем, что Р(Т)-*-\-оо ЧРИ Т-^оо. Тогда предел справа
«будет 0, откуда следует, что >'
τ
Ui-^)urgi-8lh]dx
lim ...
г-.оо! Ρ (Τ)
-τ
= 0. (1.8)
$ο

Из (1.8) легко вывести нужное нам предельное равенство
Hml f [hg2-gJ2]dx\=0. (1.9}
т->*> ι jJT ι
В самом деле, выберем произвольное ε>0 и, используя
суммируемость квадрата функций fu gz, найдем такое" w, что
J (|/ιΙ·|Αΐ + ΐΛ|·|/«Ι)^<β·
\x\7tw
При таком выборе w мы будем иметь оценку
w
— w
Τ
—Г
из которой при 7~>оо, воспользовавшись (1.8), получим
I f (/ι#2— gi?2)dx\<B,
— w
откуда следует (1.9), а значит, и утверждение теоремы 1.1. ■
Пример. Пусть v(x)=a(l-\-\x\)a. Тогда условие теоремы
выполнено, если а>0 и а любое, а также, если а<0 и а<2. Если же
а<0 и а>2, то оператор Я0 не будет в существенном
самосопряженным (это будет показано ниже).
§ 2. ОЦЕНКА РОСТА ОБОБЩЕННЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В § 2 Добавления 1 показано, что обобщенные собственные
функции самосопряженного оператора достаточно искать в
пополнении Ж- исходного пространства Ж по скалярному
произведению (K*f> K*g)> где К — такой оператор Гильберта — Шмидта в
Ж, что Кет К—0 и Кег/С*=0. Мы будем брать в качестве К
оператор, обратный к оператору энергии осциллятора Я,
определяемому формулой Ну= —у"-\-х2у (см. гл. I, § 6). Тогда (см. § 2
Добавления 1) можно показать, что обобщенные собственные
функции дифференциального оператора с гладкими коэффициентами
тоже будут бесконечно гладкими. Рассуждение, приведенное в
§ 1 этой главы в начале доказательства теоремы 1.1, показывает,
что измеримости и локальной ограниченности потенциала v(x)
достаточно, чтобы обобщенные собственные функции оператора
(1.1) имели абсолютно непрерывную первую производную и
локально суммируемую с квадратом вторую производную.
Выясним теперь, как эти обобщенные собственные функции
ведут себя при *->оо.
51

Обозначим буквой / оператор интегрирования от 0 до х:
(*р)(*) =/ч>(0Я
о
J2, Ρ — соответствующие степени этого оператора.
Теорема 2.1. Пусть <р(х) локально суммируема и <р(л;)&3#_,
где Ж- построено, как указано выше, по оператору Н =
d2
■= + #2. Тогда имеет место оценка:
dx2
\Pq>\<C\x\V2. (2.1)
Доказательство. Мы имеем
<Р=-Г+*2/, (2.2)
где f имеет абсолютно непрерывную первую производную и
принадлежит L2(R*), поскольку
{см. Добавление 1, § 2, п. 7). Оценим, /3/". Из формул
Jr{x) = lr{t)dt = f{x)~f(%
δ
J1 Г (*) = J [/'.(') -/'(0)] dt = f(x)-f (0) - xV (0),
0
y»n*)=f/(Qtf-*/(0)-y/'(0),
0
пользуясь неравенством Коши — Буняковского, получаем оценку
|РГ (х)\ <СгV\x\ +C2\x\ + C3\'x|2. (2.3)
Далее имеем
\J(x2'f(x))\ = |J*/(0*|<*il*l6/2.'
о;
\P(x*f(x))\=\$J(t*f(t))dt\<a2\x\?*,
о
χ
I P(x*f(x))\ =| f У» (/·/(/))<«]< α, μΐ·/». (2.4)
ό
Из (2.2), (2.3) и (2.4) получаем сразу (2.1). ■
Замечание. Меняя оснащение, можно улучшить оценку (2.1),
однако, как правило, она достаточна для приложений, так как
62

позволяет отбросить экспоненциально растущие собственные
функции.
§ 3. ОПЕРАТОР С РАСТУЩИМ ПОТЕНЦИАЛОМ
1. Дискретность спектра.
Мы будем рассматривать в этом параграфе оператор Я0 =
=='— —- + v(x), потенциал которого v(x) локально ограничен и
удовлетворяет условию:
и(х)-++оо при |#|-*·+οο. (3.1)
Из теоремы 1.1 следует, что этот оператор, рассматриваемый на
области определения Со00^1), в существенном самосопряжен.
Замыкание Я0 мы будем обозначать через Я. Основной факт,
касающийся таких операторов, заключает следующая теорема.
Теорема 3.1. Если выполнено условие (3.1), то Я имеет
дискретный спектр, точнее, существует ортонормированная полная
система обычных собственных функций */*(#), £ = 0,1,2,3,...
оператора Я, принадлежащих L2(R!), собственные значения которых
Xk стремятся к +оо при й^оо.
Мы приведем два доказательства этой теоремы, первое из ко*
торых хорошо тем, что не требует никаких вспомогательных
построений и обобщается на многомерный случай, а второе содержит
:полезйую дополнительную информацию о собственных функциях.
1-е, доказательство теоремы 3.1. Без ограничения общности
можно считать, что v(x)^l. Тогда для оператора Я выполнена
оценка:
{Ну, у)>>(У, У) Для любого уе=/)н, (3.2)
из которой следует, что Я имеет ограниченный обратный.
Утверждение теоремы 3.1 эквивалентно тому, что Я^1 компактен (вполне
непрерывен). Нам удобнее рассмотреть оператор Я"1/2, заметив,
что он компактен тогда и только тогда, когда компактен Я"1, и
что компактность оператора Я-1'2 эквивалентна тому, что
множество
M={y:y<=DH, (Ну, у)<\)
предкомпактно в L2(R4) (т. е. замыкание его компактно).
Введем еще множество
MN={y :у^М; у(х) = 0 при \x\^N).
Заметим, что если у^Мк, то интегрирование по частям дает
(Ну,у)= ](\y'\2 + v\y\2)dx. (3.3)
00
Поскольку Я есть замыкание оператора Яо, заданного на финит-
:ных функциях, то можно ожидать, что соотношение (3.3) имеет
53

место при любом y^DH. Это не понадобится в .этом
доказательстве и будет установлено ниже (см. лемму 3.1).
Пусть теперь ф(л:)еС0оо(К1) такова, что 0<ф(л:)<:1, <р(л;) = 1
при |лг|<1/2, ср(л;)=0 при |лг|>1, |ф'(л;)|<5.
Если у(х)^М и JV>2S, то легко проверить, что
φ(-^)ί/Μ<
\2ΜΝ,
где 2MN={y: y(x)=2z(x), z^MN}. В самом деле, полагая
Ζν (χ) = φ (—) У (х) и пользуясь (3.3), мы получим
Ь
+
+
{HzN;zN)= J [|-L„' ^y(x) + ^j-yix)\
—00
+ ν (x)\<f (γ\ у (x)^)dx =
00
"Ff (τ) Φ'(τ) Re№)/(x)) + ο(*)φ» (-*-) |t/(*)|2]d*.
Отдельно члены под знаком интеграла надо оценить следующим
образом:
jjiv'2(f)\y(xf<j^\y(x)\2<Y\y(x)\2<-Yv(x)\y(x)\2·,
<?(tj)\y'(x)\z<\y'(x)\2;
~ψ(γ)ψ'{^Γ)^(^)υ'ίχ))<γ(\ν(χ)\2 + \ν'(χ)\2)<
<j-(v(x)\y(x)\* + \y'(x)\*);
v(x)^(-Y)\y(x)\2<v(x)\y(x)\\
Интегрируя эти оценки, мы получим
(ΗζΝ, Ζιτ) <2,
что и требовалось.
Заметим далее, что если у^М, то
г? (у)
\\y(x)-v[-j)y(x)\**x< J \у{х)\2ах^{т\^Щ4)-К
ι>ι>4 '"^
54

Из условия (3.1) следует теперь, что для любого ε>0 найдется
такое Ν, что множество Μ лежит в ε-окрестности множества 2ΜΝ.
Поэтому достаточно проверить компактность Μν.
Мы покажем, что Μν компактно даже в пространстве
C({—N, N]) непрерывных функций на [—N, N], т. е. в смысле
равномерной сходимости. Воспользуемся теоремой Арцела.
Проверим равностепенную непрерывность функций из ΜΝ. Она следует
из того, что для y^MN
\y(x2)-y(x1)\=\]yf(t)dt\K
Χι
< V\ Хг-ΧΛ (J I У' V) I» dt )1/2 < V\xz-Xl\ (3.4)
Xi
(мы воспользовались неравенством Коши — Буняковского). Далее,
из (3.4) и из очевидной ограниченности MN по норме L2(R*)
следует и равномерная ограниченность Μν в С([—Ν, Ν])
(интегрируем по t очевидную оценку
\y(x)\<\y(t)\ + VW
и применяем неравенство Коши — Буняковского). ■
2, Теоремы сравнения и поведение собственных функций при
jc->-oo.
В этом пункте будут рассмотрены некоторые вспомогательные
теоремы о поведении решений дифференциальных уравнений вида
-U"+v(x)y = 0 (3.5)
при лс->оо, причем (3.1), вообще говоря, не предполагается
выполненным.
Все рассматриваемые функции мы предполагаем здесь
вещественными. (Отметим, что если рассматривается комплексное
решение (3.5), то его вещественная и мнимая части тоже будут
решениями.)
Прежде всего, приведем необходимую нам для дальнейших
построений осцилляционную теорему Штурма.
Теорема 3.2. Пусть ί/ι(χ), уг(х) — ненулевые решения
дифференциальных уравнений
-yi"+Vi(x)yi(x)=Ot —y2"+O2(x)yi(x)=0.
Тогда, если Vi(x)^V2(x) на таком отрезке [а, &.], что */i(a) =
=#i(&)=0, то найдется точка х0^[а, Ь], для которой */2(*o)=0.
Иными словами, между любыми двумя нулями функции у^
найдется нуль функции у2. Если же дополнительно предположить, что
Vi(x)>O2(x) на некотором подмножестве Aid [а, Ь]
положительной меры Лебега, то точку лс0, в которой ί/2(*ο)=0, можно найти
даже в открытом интервале (а, Ь) между двумя нулями функции
Μ*)·
55

Доказательство. Будем считать, что на интервале (а, 6) нет
нулей у\{х) и что yi(x)>0 при *е(а, Ъ). Тогда ί/Ί(α)>0, y'i(b)<
<0 (если, например, |Л(а)=0, то уг(х)=0 по теореме
единственности). Предположим, от противного, что на [а, Ь] нет нулей
Уг(х)У и пусть У2(х)>0 при хе[а, 6]. Умножим первое уравнение
на #2, второе — на ух и проинтегрируем от α до ft разность
полученных уравнений. Получим
ь ь
О = J (У1У2 — У\Уъ)dx + J («Ί — ^) Л»^,
α α
откуда
О > j (ЗД — ί/Τί/a) dx = j ~£~ (У1У2 — ί/ίί/2) Лс =
β α
= (i/iy;—у;у2) fa = у; («) ί/2 и—ί/ί (6) ί/2 (6).
Но в силу сделанных предположений последнее выражение
положительно. Полученное противоречие доказывает первую часть
теоремы.
Пусть теперь известно, что у ι (α) =#ι(£0=0, ϊ/ι(λγ) >0, уг{х)>®
при х^(ау Ь) и ν\>ν2 на подмножестве положительной меры
отрезка [а, Ь]. Аналогично вышеизложенному, мы получим теперь
из уравнений, что
у*1(а)уъ(а)—у'1(Ь)у2(Ь)<0,
тогда как очевидно противоположное неравенство:
у'1(а)У2(а)-у'1(Ь)у2(Ь)>0,
так как *Л(я)>0, #г(я)>0, *Л(&)<0,, уг(Ь)^0. Полученное
противоречие доказывает вторую часть теоремы.
Следствие. Если в уравнении (3.5) ν(χ)>0 при лее [α, &], то
всякое его ненулевое решение у(х) имеет на [а, Ь] не более
одного нуля.
Это следствие получается, если уравнение (3.5) сравнить с
помощью теоремы 3.2 с уравнением —#" = 0, имеющим решение
#=1/вообще нигде не обращающееся в 0.
Теперь докажем важную альтернативу, которая имеет места
для решений таких уравнений.
Теорема 3.3. Пусть v(x)^>s>0 при χ>α. Тогда для всякого
решения у(х) уравнения (3.5) выполнено одно из двух предельных
соотношений:
а) У(х)-+°° при л:-Н-°°;
б) у(х)-+-0 при лг-^+°°·
При этом решение, удовлетворяющее условию б), существует и
однозначно определено (с точностью до постоянного множителя)^
Доказательство. В силу следствия теоремы 3.2 мы можем счи^
тать, что у(х)>0 при лоа.ТИз уравнения следует тогда, что
56

у"(х)>>0 при л;>а, и, следовательно, у'(х) при х>а монотонна
(не убывает). Имеется две возможности для у'(х)\
i) существует α>α, для которого у'(а)>0\
И) у'(х)<0 при всех х>а.
В случае i) мы имеем
X
У(х) = $ У' (х) dx >(х — а) у'(а),
а
откуда следует, что выполнено а).
В случае и) очевидно, что у(х) \γ, где γ>0.
Докажем, что ύ=0.
Из монотонности у' следует, что у'(х)-+0 при лг->+°°· Если
же ύ>0, то */">εγ и у/(А:)>у,(а) + (^—α)εγ, откуда #'(*)->+οο
при *->Ч-оо. Итак, ύ = Ο, и альтернатива, утверждающаяся в
теореме 3.3, доказана.
Далее, решения, удовлетворяющие условию а), очевидно,
существуют: достаточно рассмотреть решение с начальными
условиями у(а)>0, у'(а)>0. Поэтому решение, удовлетворяющее б),
определено однозначно с точностью до множителя (если бы
существовали два линейно независимых убывающих решения, то
все решения были бы убывающими).
Докажем, наконец, существование убывающего решения. Для
этого рассмотрим семейство решений с такими начальными
условиями: у(а) = \у y'(a)=t7 где t — любое вещественное число.
Соответствующее решение обозначим #*(*). Введем следующее
обозначение:
Af±={/eR1: yt(x)~* ±00 при х^оо}.
Заметим, что t^M+ тогда и только тогда, когда существует такое
хо>а, что yt(xo)>0, y't(xo)>0. По теореме о непрерывной
зависимости решения от начальных условий то же будет' выполнено и
при близких t. Поэтому М+ и аналогично М- открыты в R1. Если
предположить, что для любого решения справедливо а), то
М+[)М- = Ц}, М+(]М-=0 и тогда из связности R1 одно из
множеств М± должно быть пусто. Так как М+, очевидно, непусто, то
нам остается показать, теперь, что непусто AL.
Очевидно, что yt^M~ тогда и только тогда, когда при
некотором *ο><ι будет yt{xo)<.0. Напишем теперь очевидную оценку:
У<(*)<Ц(д) + (* — a)y't(a)+ '(*T*)a max %(£) =
2 Ща,х}
= l+t(x^a) + -i£=^max [v&)yt(t)]. (3.6)
Заметим теперь, что yt(x)<yo(x) при /<0 и при всех х>а, так
как разность yt(x)—уо(х) не может иметь более одного нуля.
Поэтому, выбрав, например, х=а-\-17 мы будем иметь
max [v&)yt(l)]<C
57

Из (3.6) следует поэтому:
yt(a+l)<d + t9 /<0,
где Ci не зависит от ty откуда ясно, что при /<—С4 будет
yt(a-\-l)<0 и, следовательно, t^M-. Щ
Замечание. Как видно из доказательства теоремы 3.3, если
У(х) — убывающее решение (3.5) при ϋ(χ)>ε>0, то у'(х)-+0 при
χ->·+00· Это замечание будет неоднократно использоваться в
дальнейшем.
Теперь докажем теорему о сравнении растущих и убывающих
решений двух уравнений.
Теорема 3.4. Пусть потенциалы Vi(x)9 v2(x) удовлетворяют
условию:
Όι(χ)>-ό2(χ)>0 при х>а. (3.7)
Рассмотрим два уравнения:
—ίΛ+Μ*)0ι = Ο, —y"z+O2(x)y2=0. (3.8)
Тогда если уи у2 положительные (при х*>а) растущие решения
этих уравнений (т. е. Уг(х)-^+оо при х-^ + оо, ί=1, 2), то
найдется такая постоянная О0, что выполнена оценка:
y2(x)<Cyi{x)i χ>α. (3.9)
Если же уи Уг — положительные убывающие решения уравнений
(3.8) (т. е. г/г—^0 при х-^+оо, /=1, 2), то найдется такая
постоянная С>0, что справедливо неравенство:
yi(x)<Cy2{x), *>α. (3.10)
Доказательство, Пусть сначала yif у2 — растущие решения
(3.8). Выберем такое α>α, что у'(а)>0 и пусть С таково, что
справедливы неравенства
Уг(а) <Суi{a)y /2(α)<^,(α). (3.11)
Рассмотрим функцию ζ(χ) =Су\(х)—у2(х). Вычитая одно из
уравнений (3.§) из другого, мы получим, оценивая ν^ снизу через ν2:
ζ"—ν2(χ)ζ>0. (3.12)
С другой стороны, (3.11) эквивалентно тому, что г(а)>0 и
ζ'(α)>0.
Нам достаточно показать, что отсюда следует
ζ(χ)>0 при z>a. (3.13)
#·
Но если (3.13) не выполнено, то, обозначая через Jto первый нуль
функции ζ(χ) при χ>α, мы получим
z(*o)=0, z'(*0)<0.
Применяя к ζ' (χ) теорему о среднем на отрезке ι[α, #о], мы
получим, что найдется точка ξ^(α, Хо), в которой ζ"(ξ)<0, что
невозможно ввиду (3.12). Первое утверждение теоремы 3.4 доказано.
58

Докажем второе утверждение. Введем z(x) = У\(х) — Су2(х), где
С таково, что г(а)<0. Заметим, что z(x)y как и раньше,
удовлетворяет (3.12). Если предположить, что при некотором а>а будет
,г(а)>0, то найдется такое β^(α, α), что ζ(β)>0, ζ/(β)>0,
а тогда будет г(.*;)>£(β) при χ>β (см. рассуждение в первой
части доказательства), что противоречит тому, что ζ(χ)->0 при х-*-
->·+оо. Следовательно, г(л:)<0 при всех х> что и требовалось
доказать ■
Следствие 1. Пусть υ(χ)->~\-οο при л;->~+оо. Тогда для всякого
решения у(х) уравнения —y" + v(x)y=0 справедливо одно и
только одно из двух утверждений:
1) для любого k>0 найдется такое Л, что \y(x)\>>ekx при
х>А\
2) для любого k>0 найдется такое Л, что \у(х) \ <e~kx при
х>А.
Это следствие сразу получается из теоремы 3.4 сравнением
исходного уравнения с уравнением —y" + k2y=Q.
Следствие 2. Если υ(χ)-+-\-οο при |#|->~оо, то всякая
обобщенная собственная функция (в смысле § 2) оператора #= —d2/dx2-\-
+ v(x) принадлежит пространству L2(R4).
3. Теоремы о нулях собственных функций.
Рассмотрим оператор Н==—d2/dx2-\-v(x), где υ(χ)
удовлетворяет условию (ЗЛ) (это предполагается всюду в этом пункте). Мы
хотим дать второе доказательство дискретности спектра
оператора Я, основанное на изучении нулей собственных функций.
Отметим, что собственные функции можно считать вещественными, что
мы и будем всегда предполагать в дальнейшем.
Предложение ЗЛ. Если у(х) — ненулевое решение
уравнения (3.5), где υ(χ) удовлетворяет (3.1), то у(х) имеет конечное
число нулей (возможно, ни одного).
Доказательство, Все нули изолированы в силу теоремы
единственности, и если N таково, что ν(χ)^>0 при |jc|>iV, то функция
у(х) не более одного раза обращается в 0 на каждом из
полуинтервалов [N, +оо) и (—сю, —N] в силу следствия теоремы 3.2.
Отсюда сразу следует искомое утверждение. ■
Следствие. Всякая собственная функция опер'атора Я имеет
конечное число нулей (или ни одного).
Предложение 3.2. Если у\, у% — собственные функции с
собственными значениями λι, λ2 и числом нулей пи пг и если λ2>λι, то
η2>ηι.
Доказательство. Предположим, что /ζι>0. Пусть ai<ct2< ... <
<ant —все нули функции yi(x). По теореме 3.2 в каждом из
открытых интервалов (аг-, (Хг-и), /=1,..., щ—1 найдется нуль функции
Уг{х). Мы покажем дополнительно, что хотя бы по одному нулю
найдется в интервалах (—оо, αϊ) и (ant > °°), что, конечно,
неудивительно, так как на бесконечности функция yt(x) тоже
обращается в 0 и надо лишь обобщить утверждение теоремы 3.2 на
полубесконечный интервал.
Мы рассмотрим интервал (β, +<χ>) и предположим, рассуждая
от противного, что у2(х)>0 при *^(β, +οο), ί/1(β)=0. Мы можем
59

без ограничения общности предположить также, что yi(x)>0
при лее (β, οο). Как и в доказательстве теоремы 3.2, мы получаем:1
Ν Ν
О = J (УгУ^ — У]У%)dx + \(К— К) У1УАХ =
β β
Ν
= (УгУ'2 — У\Уг) ζ + ί (λ2~ *i) УгУ&с.
Р β
Поскольку в силу сделанных предположений ί/ι (β)ί/χ2 СЭ) —
—#Ί(β)#2(β) <0, то отсюда следует
^(iV)/2(iV)-i//i(^)i/2(iV)<:-8<0 (3.14)
при любом Ν>β+1 (в качестве ε можно взять, например,
β+1
^ (λ2 — ^1)y1y2dx, Заметим, что поскольку уи у2 — убывающие
*β
положительные решения соответствующих уравнений, то y'i(N)<.Q
и t/2(N)^0 при Ν>Ν0 (см. доказательство теоремы 3.3). Поэтому
из (3.14) следует теперь:
yi(N)!/i(N)<—E<09 N>No,
что невозможно, так как yt(N)-+-0 и y'2(N)-+Q при iV->+°°.
Осталось рассмотреть случай, когда ni = 0, т. е. у\(х) вовсе не
имеет нулей, и показать, что уг(х) обязано иметь хотя бы один
нуль. Это можно вывести аналогично из рассмотрения
бесконечного в обе стороны интервала, но можно получить и проще,
заметив, что у ι и yz должны быть ортогональны и потому не могут обе
сразу сохранять знак. Ш
Предложение 3.3. Если λ — собственное значение Я, то ему
отвечает ровно одна собственная функция (разумеется, с
точностью до постоянного множителя).
Доказательство сразу получается из последнего утверждения
теоремы 3.3. В <
2-е доказательство теоремы 3.1 о дискретности спектра.
Поставим в соответствие каждой собственной функции число ее нулей.
Согласно предложениям 3.1—3.3 это взаимно-однозначное
соответствие множества собственных функций на некоторое
подмножество неотрицательных чисел. Упорядочим собственные функции
Уо(х), У\{*)> .", Ук(х)у ... (3.15)
в порядке возрастания числа нулей, т. е.
Яо<Я!<...<л*<... (3.16)
В силу предложения 3.2 для собственных чисел λο, λι, ... будут
выполнены неравенства:
λ0<λι<...<λ*<... (3.17)
Поскольку в систему (3.15) входят все обобщенные собственные
60

функции, то эта система полна в обычном смысле (см.
добавление 1) и, следовательно, после нормировки образует ортонорми-
рованный базис в L2(R*).
Теперь заметим, что с необходимостью λ*-*+οο при k-*+oor
так как если бы было Kk<C> то оператор Η был бы ограничен, что*
не так, хотя бы потому, что ОнФЬ2(Ях). ■
Для полноты картины нам осталось доказать еще следующую-
важную теорему о нулях.
Теорема 3.5. Упорядочим собственные функции "(3.15) так, что-
бы имели место неравенства (3.16) и (3.17). Тогда' Ук(х) имеет
в точности k нулей, т. е. в (3.16) имеем tik = k.
Доказательство, Из (3.16) следует, что tik>-k. Мы докажем,
что rik<k, откуда будет следовать искомое утверждение. Для
доказательства нам понадобятся некоторые вспомогательные
построения.
Введем полуторалинейную форму
H(f,g) = (Hf,g)= ](-f" + v(x)f)gdx,
00
определенйую при f^DH, g^L2(Rl). Если f, g^C0°°(Rl), то
интегрированием по частям получаем
H(f,g)= ]{f'~g' + v{x)fg)dx. (3.18>
Обозначим через Qh множество абсолютно непрерывных
функций f, для которых
' J (\f'l2 + v(x)\f\2)dx<oc.
—00
Если /, g^QH, то определим H(f,g) формулой (3.18). Будем
считать систему (3.15) ортонормированной, т. е. (yk, г/^) = 1 при k =
= 0, 1, 2, ...
Лемма 3.1. Если f^DH, то !^Qh и для любой функции g^Qir
имеет место равенство
H(lg) = {Hf,g), (3.19)
где левая часть определена по формуле (3.18), а правая —
естественным образом.
со
Пусть, далее, /=5] °k^k— ортогональное разложение функ-
ции f^L2(Rl) по системе (3.15). Имеем: I^Qh тогда и только-
тогда, когда
2 Ы2^<™. (3.20>
При этом сумма в левой части (3.20) равна H(f, f).
61

Доказательство леммы 3.1. Первая часть леммы 3.1 следует из
второй, поскольку f^DH тогда и только тогда, когда
оо
V \скК\2<°° и ПРИ этом форма H(f, g) однозначно ОПреДеЛЯ-
ется своей квадратичной формой H(f> f).
Покажем теперь, что t/k^QH при всех &=0, 1, 2, ... В самом
делеу мы имеем
f (К12 + ^МЫ2М*= 1ип Ϊ (y'l+O(x)yl)dx=
-Too ΛΓ,,ΛΓ,^οο _J^
= lim ( f (—yl + O(x)yk)ykdx + y'kyk\"*=kk ( l^l1^ = λΛ>
—TV! —oo
поскольку #*'(*) и yk(x) стремятся к 0 при л;->±оо (см. замеча-
ήηθ к теореме 3.3).
Будем считать для удобства, что ν(χ)>Ί при всех xgR1. (Это
ъе есть ограничение общности, так как утверждение леммы 3.1
для v\(x)=o(x)+N эквивалентно утверждению для v(x).) Если
же ϋ(*)>1, то легко проверить, что QH есть полное гильбертово
пространство со скалярным произведением #(/, g). Векторы ун
образуют в QH ортогональную систему, как показывает выкладка,
аналогичная только что проведенной, так что H(yki у ι) =λ*δ*;,
где dki равно 1 при k = l и 0 при кф1.
Заметим теперь, что коэффициенты разложения функции
J^Qh по системе */*/]/Χ в QH находятся по формулам:
Η (и ^)=-^(f,Hyk)=Vh(f,yk) = Vhck, (3.21)
т. е. ряд/= V* СьУь, являющийся рядом Фурье в L2(R*), является
fe=0
;рядом Фурье и в Q. В (3.21) не очевидно лишь первое равенство:
Н& yk) = (t Hyk), (3.22)
.означающее возможности интегрирования по частям для любой
jteQn, а не только при f=y/, что было уже проделано. Чтобы
обеспечить эту возможность, заметим, лишь, что если /(л;)^<2я,
то /(χ)-νθ при х->-±оо. Это вытекает из того, что
S\f(x) \2dx-*Q при iV-> +οο и, с другой стороны, f(x) рав-
оо
яомерно непрерывна на вс§й оси R1, так каГк f |£'|2d*<oo
— оо
(см. рассуждение в конце 1-го доказательства теоремы 3.1). Тем
самым (3.22) доказано, и теперь согласно неравенству Бесселя
«52

в Qh мы имеем
£ΐ<Μ·λ*<#(/,/).
Чтобы доказать равенство
Я(/,/) = £ \ckf%k, (3.23>
достаточно проверить, что система {t/k} полна в QH, т. е. не
существует ненулевого g^Qn, для которого H(g, yk)=0, & = 0, 1, 2, ....
Но в этом случае из (3.22) имеем, очевидно, Ck = 0 при всех k =
= 0, 1, 2, ... (поскольку Xk = H(yk, у*)>0), откуда g = 0, что
доказывает (3.23). Остается проверить лишь, что если выполнено
(3.20), то f^Qfi. Но в этом случае последовательность сумм ряда
N
Фурье fN = V ckyk фундаментальна в Qh и потому в силу пол-
ноты Qh сходится к J^Qh в смысле нормы в Qh, а значит, и в
смысле нормы в L2(R*). Отсюда /=f. Лемма 3.1 доказана. ■
Продолжим теперь доказательство теоремы 3.5. Рассмотрим
пространство EkdL2(Rl)t которое есть конечномерное
подпространство, натянутое на #о, Уи ··> Уъ.-\, и пусть Ek1·— его
ортогональное дополнение. Заметим, что в силу (3.19) множества
E£-f\QH есть ортогональное дополнение к Ek в Q#.
Рассмотрим минимум H(f> f) при условии, что f^f^HQif к
(f, f) = 1 (где скалярное произведение берется в L^R1)). Из (3.23)
следует, что если f^E^(]QHi то
причем знак равенства имеет место лишь, когда ср = 0 при p<>k+
+ 1. Поэтому искомый минимум равен λ^ и достигается лишь при
/<=#* (или/=Ху^, где |λ| = 1).
Предположим теперь, что yk(x) имеет не меньше чем £+1
нулей. Обозначим какие-нибудь &+1 нулей функции yk чере&
βι> β2, .., β^-ι-ι- Рассмотрим следующий набор из k + 2 функций:
φι(χ)= Ш*) при *e(-oo,fc),
I 0 при χ $ (—оо, βχ),
φ W = ( 0*М ПРИ *€Ξ[βί-ι.βί]»
Ψ/ Ι 0 при *£*№,-!,&],
/ = 2, 3 ... , k + 1;
ι/*(χ) при χ s [β*+ι, Η-οο),
63.
4+2 ' 0 при хе£[$ш,+оо)

Заметим, что мы имеем, очевидным образом,
(Ρ/<ξξ<2η, /=1, ..., £+2,
ή φ/ линейно независимы. Далее, простым интегрированием по
частям мы получаем, что
со
Н\%: %) = К (φρ, φ,) = λ,όρ? j I φρ |»<fr. (3.24)
00
Пусть Фь+2 — пространство всех линейных комбинаций функций
<Р/(я). /=1» 2> ···> &+2. Из (3.24) следует, что если φ^Φ^+2, то
7/(φ, φ) =λ^(φ, φ). Но, с другой стороны, имеем, очевидно,
• dim (Фл+гПЯ* )>2,
откуда следует, что рассматривавшийся минимум достигается по
крайней мере на двух не пропорциональных друг другу
функциях. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы
3.5. ■
^ 4. ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА ПРИ х-* +оо
Обозначая
Hy=-y"+v(x)y, (4.1)
где v(x), как и раньше, измерима, вещественнозначна и локально
ограничена, мы изучим вопрос о поведении решений уравнения
Ну = Щ (4.2)
при jt-^+oo. Здесь k — некоторое, вообще говоря комплексное,
число. Прежде всего мы изучим случай убывающего потенциала
v(x), а затем с помощью преобразования Лиувилля получим кое-
какие результаты и для случая растущего v(x).
Отметим, что под решением уравнения (4.2) здесь и ниже
всегда понимается у(х), всюду имеющая производную у' (#),
которая абсолютно непрерывна, причем уравнение (4.2) выполнено
почти всюду по х. При таком понимании стандартная теорема
существования и-единственности решения {с начальными
условиями у(хо)=уо> у'(хо)=Уо') сохраняет силу, как легко проверить,
воспроизводя ее доказательство методом Пеано, т. е. перейдя
к системе 1-го порядка и затем к интегральному уравнению и
пользуясь методом последовательных при0лижений.
1. Случай суммируемого потенциала.
Если υ(χ)=0 при *>#, то при 1гФО любое решение уравнения
(4.2) при χ>>Ν обращается в линейную комбинацию функций
^ikx и e-ikxt Естественно предположить, что при достаточно
быстром убывании v(x) уравнение (4.2) будет иметь при 1гфО
фундаментальную систему из двух решений, ведущих себя при х-+ +°°
•64

как eikx и в'1кх. Точный результат в этом направлении
устанавливается следующей теоремой.
Теорема 4.1. Пусть потенциал υ(χ) удовлетворяет условию:
00
\\v(x)\dx<oo (4.3)
Ь
и /гФО фиксировано. Тогда уравнение (4.2) имеет решения у\{х)
и У2(х)> Для которых при х-^-+сх> выполнены соотношения:
Уг(х)=е** (1 + о(1))9 (4.4)
У2(х)=ег"**(1+о(1)). (4.5)
Пусть теперь k = o+ix, где т>0. Тогда решение у\(х),
удовлетворяющее условию (4.4), однозначно определено и
удовлетворяет интегральному уравнению:
оо
у (Х) = gUu + j slnAg-x) v (|) у (|) ^ (4 б)
X
Замечание. Знак о(1) в (4.4) и (4.5) означает такую функцию
а(хУ k), что а(х, k)->0 при лс->-+оо и при фиксированном &#0.
Прежде чем доказывать теорему, покажем, откуда берется
интегральное уравнение (4.6), играющее важную роль в
доказательстве. Для простоты предположим, что ν(χ)=0 при x>>N. Теперь
запишем уравнение (4.2) в виде
y"(x)+k*y(x)=v(x)y(x)
и введем обозначение f (x) = v(x)y(x)> после чего будем считать
f(x) правой частью и сделаем вариацию постоянной для решения4
полученного уравнения
Это приводит нас к формуле
00
у(х)=С1е»*-{- С,е-** + f >fa*^"x) о(6)у(5)^,
4 X
и (4.6) получается выбором решения с нужной асимптотикой на
бесконечности (решение с асимптотикой (4.4) единственно).
Короче всего вариацию постоянной можно сделать, заметив, что если
решать уравнение
y"(x)+k*y(x)=6(x-l) ■
с условием у(х)=0 при больших ху то мы получим решение
yi(x)^±Q(l-x)s\nk(l-x),
κ
где Q — функция Хевисайда (Θ(г) = 1 при г>0, θ(ζ)=0 при
2<0). Поэтому интеграл в (4.6) задает в нашей ситуации решение,
65

обращающееся в 0 при больших х. Если же добавить решение
однородного уравнения eikx, то мы получим решение с нужной
асимптотикой при x-^-f-oo.
Теперь перейдем к аккуратному доказательству теоремы.
Доказательство теоремы 4.1. Мы будем всюду, не оговаривая
этого специально, считать, что 1гф0 и k = o+ix> где т>0. Пусть
вначале у(х) удовлетворяет уравнению (4.2) и соотношению
(4.4). Мы покажем, что у(х) удовлетворяет тогда и уравнению
(4.6). Полагая z(x) =y(x)e~ikxt мы видим, что уравнение (4.6)
превращается в следующее уравнение для г(х):
2 {Х) = l + J ш V (ξ) Ζ (ξ) dl> (4·7)
χ
где интеграл в правой части (4.7) абсолютно сходится в силу
(4.3) и (4.4) и легко проверяемого неравенства:
|-^-^ <С(*) при 1-х^0 (4.8)
(можно взять C(k) = l/\k\).
Поэтому уравнение (4.6) имеет смысл для рассматриваемой
функции у(х).
Обозначим правую часть уравнения (4.6) через у(х) (в
качестве у(х) подставлена изучаемая функция). Тогда прямым
дифференцированием проверяется, что у(х) удовлетворяет уравнению
-9"(x)=&y(x)-v(x)y(x). (4.9)
Поскольку у(х) есть решение уравнения (4.2), то из (4.9)
находим, что у(х)—у(х) удовлетворяет уравнению
-(9(x)-y(x))"=k4y(x)-y(x)),
откуда находим
У (χ) —У (х) = Cxeikx+C2e-ikx.
Из (4.4) теперь следует, что Ci = C2 = 0. В самом деле, из
определения у(х) мы получаем (см. соотношения (4.7) и (4.8)):
у(х) =eikx(l + o(l)) при лг-^+оо, и то же самое выполнено для
у(х), откуда следует, что
Сх + C2e-ikx-+Q при х-++ оо.
Отсюда, учитывая, что τ>0 и кФ§, мы получаем сразу, что
С1 = С2 = 0, т. е, у=у. Поэтому у(х) удовлетворяет уравнению
(4.6), что и требовалось.
Обратно, пусть у(х) удовлетворяет интегральному
уравнению (4.6), где интеграл абсолютно сходится. Тогда z(x) =
—y(x)e~ikx удовлетворяет (4.7), где интеграл также абсолютно
сходится. Но отсюда, очевидно, следует, что z(x) =l + o(l) (при
лг-^-f оо), откуда ясно, что у(х) имеет асимптотику (4.4). Но те-
66

лерь мы можем дифференцировать дважды по χ уравнение (4.6),
откуда вытекает, что у(х) удовлетворяет уравнению (4.2).
Заметим еще, что для абсолютной сходимости интеграла в (4.7)
достаточно в силу (4.8), чтобы функция ζ(χ) была ограничена.
Таким образом, мы получаем, что справедливо
Предложение 4.1. Если у(х) = eikxz(x)> где функция z(x)
ограничена, то уравнение (4.6) выполнено для у{х) тогда и только
тогда, когда у(х) удовлетворяет уравнению (4.2) и, кроме того,
у(х) имеет асимптотику (4.4), т. е. z(x)~+\ при я->+оо.
Уравнение (4.6) имеет не более одного решения указанного вида.
Продолжим доказательство теоремы 4.1. Поскольку (4.6)
приводится к (4.7), для отыскания решения, удовлетворяющего (4.4),
достаточно показать, что существует ограниченное (при всех х)
решение z(x) уравнения (4.7) (в силу предложения 4.1 такое
решение единственно).
Будем решать уравнение (4.7) методом последовательных
приближений, полагая
ш p(S)**(g)<*g. [(4.10)
X
Легко видеть, что приближения (4.10) сходятся равномерно
по χ при х>#. В самом деле, введем пространство C([Ny +oo])
функций z(x)t непрерывных на полуинтервале [N, +сю) и таких,
что существует lim ζ (χ) =ζ(+ οο), с нормой
||ζ(*)||= sup \z(x)\.
Очевидно, С ([Νу +оо]) есть банахово пространство и оператор
Ау определяемый формулой
7* p2i*(i-*) __ ι
Az==) ы p(E)*(g)rfS.
χ
есть линейный непрерывный оператор на этом пространстве,
причем выполнена оценка:
MKC(ft)f|o(g)|d6f
N
где C(k) взято из (4.8). Отсюда при достаточно большом N будет
||Л||<1, что влечет сходимость приближений (4.10) при x>N по
норме пространства C([Nt +oo]), что и требовалось.
После того как решение z(x) уравнения (4.7) найдено при
*>/V, легко определить его при всех ху при которых определен
потенциал υ(χ), продолжая функцию у(х) =z(x)eikx влево от
точки χ = Ν так, чтобы она оставалась всюду решением
уравнения (4.2).
67

Таким образом, мы умеем строить теперь решение у\(х)
уравнения (4.2), удовлетворяющее условию (4.4). Займемся теперь
построением решения у2(х)У удовлетворяющего (4.5) и,
следовательно, линейно независимо с у\(х). Заметим вначале, что при
вещественном 1гФ0 решение У2(х) строится так же, как и у\{х).
Если же k = G-\-ixy где т>0, что мы и будем далее предполагать,
то можно ожидать, что любое решение, линейно независимое
с у\(х)у растет как e~ikx при лс~> + оо и будет удовлетворять
условию (4.5) после нормировки его умножением на некоторую
постоянную.
Рассмотрим определитель Вронского двух решений у\{х) и
У*(х)·
Легко видеть, что №(*) =const, и нормировкой У2(х) можно
добиться, чтобы было W(x)=—2ik, что равно определителю Вронг
ского функций eikx и e~ikx. Рассмотрим соотношение
У2У\—У2У\=—ЪИ1
как линейное неоднородное дифференциальное уравнение
относительно у2(х)- Учитывая, что у\(х) есть решение однородного
уравнения, применим вариацию постоянной, полагая
У2(х)=С(х)У1(х)9 (4.11)
откуда следует, что ух2(х)С{х) = —2ik и, следовательно,
χ
I г/iM
АО
Поскольку τ>0, С(лс0) не играет роли, так что мы можем
считать С(лго)=0. Из (4.4) очевидно следующее:
_!_ = е-2/ь(1 +g(Xtk)),
где g(x, k)-*-0 при jc->-+oo (k фиксировано). Отсюда
С{х) = -2iftjV««(l + g{l, k))dl =
' χ
= CQ + e-?ikx — 2ik f e-*k* g (ξ, ft) dg,
Xo
так что в силу (4.4) и (4.11) достаточно дс^казать следующее
предельное соотношение:
X
jV<"*<*-ttg(g, £)dg-*0 при *->. + оо. (4.12)
Хо
68

В самом деле, из (4.12) и выражения для С(х) следует тогда,
что C{x)=e-*ikx(\+o(\))y откуда
уЛ*) = С(х)уг(х) = е~*Н1 + о(1))(1 + о(1)) =ег"*(\ + о(\))>
что и утверждалось. Докажем теперь (4.12). Разбивая
промежуток интегрирования точкой лс/2, оценим получающиеся интегралы.
Имеем, очевидно,
х/2 х/2
| j етх-ь g (|> k) dl J < Ci j e-2x(X-\) dl < c2e-",
Xq Xq
где Си С2 — некоторые не зависящие от χ постоянные; далее,
| Jem*-\)g{£,k\dl\<l<?-*<*-*>|g(ξ, k)Id| <
*/2 ' x/2
00
<max|g{g, £)|(V2^dr],
откуда и следует, что обе части интеграла стремятся к 0 при
я->+сю, а значит, выполнено соотношение (4.12). Теорема 4.1
полностью доказана. ■
Теперь мы приведем более точный метод решения уравнения
(4.6) (или (4.7)), который позволит дать оценку решения, а
также исследовать поведение решений при &->оо и при &->0. Этот
метод основан на сравн.ении двух интегральных уравнений
f(x)=fo(x)+$A(x,t)f(l)dt, (4.13)
g(*) = go(x) + JB(*. l)g(t)dt, (4.14)
где область интегрирования G (совпадающая с областью
определения функций f(x) и g(x)) какая угодно, но одна и та же в
обоих уравнениях. Мы будем^ для краткости записывать эти
уравнения еще в виде
f4o + Af9 (4.130
g=go + Bg, (4.140
где А, В — соответствующие интегральные операторы. Уравнения
(4.13) и (4.14) мы будем рассматривать в пространстве B(G)
всюду определенных ограниченных измеримых функций на G,
предполагая, 4fo таковыми являются функции f0(x) и go(x), ПРИ"
чем измеримость, конечно, понимается в смысле меры d|,
входящей в (4.13) и (4.14) и определенной на G. Отметим, что B(G)
имеет естественную структуру банахова пространства с нормой
11/1 =sup|/(*)|.
x£G
Будем предполагать также, что интегральные операторы А
и В определены и ограничены в B(G), Для этого достаточно,
G9;

например, чтобы A(xt ξ), В(ху ξ) были измеримы на GxG, а
также измеримы по ξ на G при каждом фиксированном л:еб и
имели конечные интегралы Г | Л (л:, g)|dg, f \B(x9 ξ)| dg, ограниченные
не зависящей от χ постоянной.
Решение уравнений (4.13) и (4.14) методом последовательных
приближений приводит, как известно, к итерационным рядам
f4o+Afo+... + A»f0+... (4.15)
g = go + Bgo+... + B»g0+..., (4.16)
которые в случае их равномерной сходимости (т. е. сходимости
по норме B(G)) определяют решения уравнений (4.13), (4.14).
Имеет место следующее важное предложение:
Предложение 4.2. Пусть ядра А(ху ξ), Β (χ, ξ) удовлетворяют
условию
\А(х, 1)\<В(х, ξ), х, ge=G, (4.17)
а функции fo(x)y go(x) таковы, что
\fo(x)\<go(x), x^G. (4.18)
Тогда, если итерационный ряд (4.16) равномерно сходится, то
равномерно сходится и ряд (4.15). Сумма этого ряда есть решение
уравнения (4.13), для которого выполнена оценка
\f(x)\<g(x), (4.19)
где g(x) — сумма ряда (4.16).
Доказательство получается очевидным образом применением
к ряду (4.15) критерия Коши. ■
Обсудим теперь вопрос о единственности решения.
Предложение 4.3. Пусть итерационный ряд (4.15) равномерно
сходится для любой f0(x)^B(G). Тогда решение уравнения
(4.13) единственно при любой f0(x)^B(G).
Доказательство. Достаточно показать, что из f^B(G) и f=Af
следует f(x) =0 при xeG. Но ряд
f+Af+A?f+...=f+f+f+...
должен быть, по предположению, всюду сходящимся, откуда и
следует искомое утверждение. Ш
Следствие. Если выполнено (4.17) и ряд (4.16) равномерно
сходится для go(x) = l, то решение уравнения (4.13) существует
и единственно при любой fQ(x)^B(G).
Замечание 1. Уравнение (4.14) при условии (4.17) мы будем
называть мажорирующим уравнением для уравнения (4.13).
Замечание 2. Все результаты предложений 4.2 и 4.3 и
следствия остаются верными, если B(G) заменить на любое его
замкнутое подпространство, например подпространство функций из
B(G), которые непрерывны на G (если на G есть некоторая топо-
70

логия) или непрерывно продолжаются на некоторую
фиксированную компактификацию G и т. п.
Мы применим теперь только что изложенные соображения
к уравнению (4.7), рассмотрев мажорирующие его уравнения,
которые можно строить различными способами. Первый способ,
который приходит в голову, — используя (4.8), рассмотреть
уравнение
оо
iW=l + -^-J|o(g)U(g)^, (4.20)
X
решение которого (легко получаемое переходом к
дифференциальному уравнению) имеет вид
оо
g(*) = exp(-pL-pt;(|)|d|)
и разлагается в равномерно сходящийся итерационный ряд
л=0 χ
Проверим, что это действительно итерационный ряд для
уравнения (4.20). Вводя оператор В формулой
ОО
мы получим, очевидно,
оо оо
(5"1)W = TlFi|u(|n)|di''i|t,(En-l)|din-1··
00
-$ИЬ)1«*Ь = ~Г J ' ИЬ)1ИЫ1
in>x
X
что и требовалось.
Из следствия предложения 4.3 мы получаем единственность
решения. Таким образом, мы закончили 2-е доказательство ут-
71

верждений теоремы 4.1, относящихся к решению У\(х) (если
k = o-\-ix, x>0).
Другую мажоранту уравнения (4.7) можно построить при
условии, что потенциал υ(χ) удовлетворяет условию:
оо
|ξ|ο(ξ)|</ξ<οο· (4.21)
О
А именно, используя соотношение
ι ezikx ι
2ikx
< 1 при χ > 0, (4.22)
мы получим для уравнения (4.7) следующее мажорирующее
уравнение:
8{х)<г=1 + ](Ъ-х№1)\В(1)а1
X
или, еще грубее, уравнение
. *(*) = !+ |бИ»1в(£К. <4·23)
X
итерационный ряд которого сходится подобно ряду аналогичного
уравнения (4.20). Мы получаем отсюда, что при условии (4.21)
уравнение (4.17) и при k = 0 имеет единственное ограниченное
решение.
Теперь оценим, насколько быстро z(x)-+\ при *->-+оо, если
z(x) — ограниченное решение уравнения (4.7). Используя (4.8) и
(4.22), мы получаем из уравнения (4.7), что выполнены оценки:
оо
|z(A:)-lI<-^J|t;(i)|^. (4.24)
X
\z(x)-l\\<]l\v®\dl. (4.25)
Χ
Резюмируя все эти результаты, мы получаем следующую
теорему:
Теорема 4.2. Если ν(χ) удовлетворяет условию (4.3) и lmfc>0,
то решение у\(х) уравнения (4.2) с асимптотикой (4.4) при 1гф0
удовлетворяет условию:
yi(x)=e**(l+-^Ly (4.26)
где о(1) равномерно по k.
Если же v(x) удовлетворяет более сильному условию (4.21),
то и при & = 0 существует единственное решение с асимптотикой
72

(4.4), и при этом можно написать:'
^):=*-(1+Т^). (4.27)
где о(1), так же как и выше, равномерно по k.
Теперь мы изучим зависимость убывающего решения (4.2)
(точнее, решения с асимптотикой (4.4)) от параметра k. Мы
обозначим это решение через у(х, к) и будем писать
у(х, k)=eikxz(x, k).
Как у (χ, k), так и z(x, k) определены при Im&:>0, }гФ0. Если же
потенциал υ(χ) удовлетворяет условию (4.21), то они определены
и при k = 0. При этом при любом допустимом k (если k
фиксировано) у(х, k) и z(xy k) принадлежат пространству Сь([О, оо))
непрерывных ограниченных на [0, оо) комплекснозначных функций
вещественной переменной х.
Теорема 4.3. Пусть потенциал υ{χ) суммируем (т. е.
выполнено (4.3)). Тогда у(Ху к) и z(x, k) — голоморфные функции
в полуплоскости Im&>0 со значениями в комплексном
банаховом пространстве С* ([0, оо)); при этом ζ (х, k) непрерывна при
lm&>0, &=^0.
Замечание. 6ikx не есть непрерывная функция со значениями
в Сг,([0, оо)) при вещественном k.
Доказательство теоремы 4.3. Очевидно, достаточно доказать
утверждения теоремы, относящиеся к z(x, k). Но ζ(ху k) есть
решение интегрального уравнения (4.7), которое выражается
формулой
*(*,*) = (/-ДО-М
(результат применения оператора (/—Ak)~l к функции,
тождественно равной 1), где Ak — интегральный оператор
AJ(x)=y ш Xv{l)f{l)di.
χ
Поскольку существование оператора (/—Ak)~l было доказано
ранее, проверка голоморфности при непрерывности z(x, k)
сводится к проверке голоморфности или непрерывности операторной
функции Ak в равномерной операторной топологии. Эта проверка
делается просто, если учесть равномерную сходимость всех
интегралов, которые приходится рассматривать. Детали
предоставляются читателю., ■
Следствие. При фиксированном х^[0, оо) функция z(x, k)
комплексного переменного k голоморфна по k при Im&>0 и
непрерывна при Imfe^O, 1гф0. Она непрерывна и при А = 0, если
выполнено (4.21).
Наконец, используя установленные результаты, мы получим
для y(xt k) некоторое важное интегральное представление.
73

Теорема 4.4. Если υ {χ) удовлетворяет условию (4.21), то
имеет место формула
у (х, k) = е** + ] А (х9 s) 4* ds, (4.28)
X
где функция А(х9 s), определенная при 5>л:>0, обладает
следующими свойствами:
1) А(х> s) измерима по совокупности переменных (по мере
Лебега) в области определения;
2) если доопределить А(ху s) нулем при Q<^s<x, то А(ху s)
становится лепрерывной функцией от" χ "со'значениями в
пространстве L2([0t оо)) по переменному s;
оо
3) Г\А(х9 s)\2ds-*0 прих-* + оо.
о
Интеграл в формуле (4.28) понимается как преобразование
Фурье—Планщереля функции с суммируемым квадратом.
Доказательство. Положим
y(x,k)=e4**(l+f(x9 k)) (4.29)
и заметим, что f(x, k) как функция от k в силу теоремы 4.2, 4.3 и
теоремы Винера—Пэли (см. Шилов [1]) записывается как
преобразование Фурье функции В(х, t) из Z2([0, оо)) по t, т. е.
оо
/(*, *) = $В(х9 t)e**dtt (4.30)
о
где интеграл в (4.30) понимается как предел интеграла от 0 до N
по норме L2(R) при JV->-+oo. Подставляя (4.30) в (4.29), делая
замену переменной x-\-t = s в интеграле и полагая А(х, s) =
= В(х, s—х), мы получим искомое представление (4.28). Остается
показать, что функция А(ху s) обладает свойствами 1) — 3).
Заметим сразу, что в силу равенства Парсеваля свойство 3)
сразу следует из оценки (4.27) теоремы 4.2. Отсюда же мы легко
выводим ограниченность нормы А(ху s) в L2([0, oo)) no s.
Свойство 2) следует теперь из аналогичного свойства функции z(x, k)>
которое легко следует из теоремы 4.3 и теоремы Лебега о
предельном переходе. Для доказательства 1) достаточно заметить,
что В{х, t) можно понимать как
N
lim—— Г f{x9k)er**dk
Ν-^οο 2π J
' — Ν
по норме L2([0, Λί]Χ[0, оо)) на любом «прямоугольнике» х^[0у М]>
ie[0, oo), поэтому можно считать, что B(x> t) имеет суммируемый
квадрат на любом таком прямоугольнике. ■
74

2. Преобразование Лиувилля и операторы с несуммируемым
потенциалом.
Наша цель в этом пункте — найти асимптотику при я-»-+оо
собственных функций оператора (4.1), у которого потенциал
ν (х) растет или недостаточно быстро убывает при л;->+оо. Мы
ограничимся рассмотрением уравнения (4.2) при вещественных
значениях k2 (само k может быть вещественным или чисто
мнимым). Отметим, что при спектральном разложении нас
действительно интересуют лишь вещественные значения k2. Впрочем,
можно показать, что как в случае суммируемого потенциала, так
и в тех случаях, которые сводятся к нему рассматриваемым ниже
приемом, обобщенных собственных функций (в смысле § 2)
с комплексными собственными значениями просто не существует.
Поскольку это не понадобится нам в дальнейшем, мы опускаем
соответствующие подробности.
Рассмотрим теперь общее уравнение
У"+р(х)у'+Ч(х)У=0· (4.31)
Имеются следующие преобразования, переводящие (4.31) в
уравнение того же вида:
А. Замена неизвестной функции у{х) на функцию вида
у(х)=а{х)г(х),
где а(х) — некоторая известная функция.
Б. Замена независимой переменной t=<p(x).
При этих преобразованиях в уравнении (4.31) может
появиться коэффициент при старшей производной, но мы предполагаем,
что на него можно без ущерба разделить. Комбинируя
преобразования А и Б, мы сможем привести широкий класс уравнений
(4.2) к уравнению с суммируемым потенциалом.
Заметим вначале, что замена А приводит уравнение (4.31)
к виду
*" + (т- + р}2' + (τ + ΊΓ +ήζ = 0' <4·32>
откуда видно, что мы можем добиться отсутствия ζ\ полагая
χ
а(х) = ехр( Г ρ (s) ds\. (4.33)
хо
Из (4.32) видно, что если функция р(х) убывала при л;->+оо, то
q(x) изменится на величину, убывающую как р2(х) (при условии,
что р'(х) убывает быстрее, чем р(х)).
Изучим теперь возможности замены Б. Рассмотрим уравнение
У"±Р(*)У=0, (4.34)
где /(лг)>0. Легко убедиться, что при замене независимой пере-
75

менной *=<р(*) уравнение (4.34) перейдет в уравнение
у + у-2^±-!Ж-у = 0, (4.35)
φ' (д·) φ' (·*·)
где у, у — производные по ί. В (4.35) естественно положить
<p(x) = p(s)ds, (4.36)
чтобы коэффициент при у стал тождественно'равен 1. Уравнение
(4.35) приведется тогда к виду:
У + у£±У = 09 (4.37)
г
и если f'lf2 убывает, то заменой А мы можем рассчитывать
привести (4.37) к уравнению вида (4.2) с суммируемым потенциалом.
Отметим, что замену (4.36) имеет смысл делать лишь, если
выполнено соотношение
00
j7(s)rfs=oo, (4.38)
х0
что мы будем предполагать в дальнейшем (это так во всех
практически встречающихся случаях).
Последовательное выполнение двух преобразований уравнения
(4.34), указанных выше .-(сначала преобразование Б, а затем А),
называется преобразованием Лиувилля. Формула (4.36) дает нам
Замену независимой переменной. Для того чтобы получить замену
неизвестной функции, заметим, что имеет место формула
*\ 2 J P(x(()) ) //(χ©)'
to
проверяемая заменой переменных в интеграле (С — некоторая
постоянная). Поэтому искомая замена приобретает вид
у (х (*)) = г * ζ (ft. ■ (4.39)
Теперь легко определить вид уравнения, получаемого с
помощью преобразования Лиувилля. Мы сформулируем результат
в виде предложения.
Предложение 4.4. Уравнение y"dzf2(x)y=0 заменой
независимой переменной и неизвестной функции, задаваемых формулами
i=J/(s)ds,
Хо
z(t) = Vf(x(t))y(x(t)),
76

приводится к виду
где /', f" — производные по л:, ζ — производная по ί, и в
уравнении (4.40) надо f, f, Г понимать как f{x(t))9 f'(x{t))9 f"(x(t))
в соответствии с формулами замены.
Обозначим теперь
q(X) 2/3 4 /*
Уравнение (4.40) имеет вид уравнения (4.2) е суммируемым
потенциалом тогда и только тогда, когда
§\q(x(t))\dt<oo,
to
или, что то же самое,
y\q(x)\f(x)dx<oo,
Хо
т. е.
П Г з /'*
J 1 2/а 4 f
χ„
dx< <
(4.41)
(мы предполагаем, что выполнено (4.38)). Теперь в
предположении, что выполнено (4.41), мы можем написать асимптотику
решений уравнения (4.34) при#->+оо.
Теорема 4.5. Если f(x) удовлетворяет условиям (4.38) и (4.41),
то уравнение (4.34) имеет пару решений с асимптотиками
X
^=exp(±ij/(s)ds);(l +o(l)), (4.42)
о
если в уравнении стоит знак «плюс», и пару решений с
асимптотиками
χ
y=exp(±J/(s)ds) (1+о(1)), (4.43)
если в уравнении стоит знак «минус».
Эта теорема после выполнения преобразования Лиувилля есть
очевидное следствие теоремы 4.1.
Вернемся теперь к уравнению (4.2) с несуммируемым потенс
циалом υ(χ). Уравнение (4.2) будет иметь, очевидно, вид (4.34),
если положить
f(x)=V±W-v(x)).
п

Мы будем рассматривать отдельно три различных случая
поведения υ(χ):
а) случай растущего положительного ν(χ)> τ. е.
ν(χ)-*~+οο прИ'Л:->+оо;
б) случай убывающего υ(χ)> τ. е.
v(x)-+Q при лг-^Н-оо;
в) случай растущего отрицательного υ(χ), τ. е.
u(jc)-^—оо при х->+оо.
Для того чтобы теорема 4.5 была применима» мы должны
наложить на v(x) соответствующие условия. Отметим, что условие
(4.38) автоматически всегда выполнено в случаях а) и в), а в
случае б) — при &2#0 (мы ограничимся этим случаем). Условие
же (4.41) будет выполнено, если наложить на v(x) следующие
ограничения.
Случаи а) ив):
оо оо
Xq Xq
случай б):
GO ОО
J|| vf |2 dx < оо, ΓΙ ν" \ dx < оо. (4.45)
Разумеется, х0 в интегралах (4.44) и (4.45) можно считать
сколь угодно большим.
Теперь переформулируем теорему 4.5 в наиболее удобной для
применений форме.
Теорема 4.6. Если в случаях а) — в) выполнены
соответствующие требования (4.44) или (4.45), то уравнение 4.2 имеет пару
решений со следующими асимптотиками при я->-+.оо.
В случае а):
X
И*))~1/4ехр (± (γΌ(χ) — k2dx\(l +o(l)); (4.46)
Хо
в случае б) (&=#=()):
ехр
в случае в):
(±tAJj/l--^-dx) (l + o(l)); (4.47)
л,
(—O(x))-v*exp (± i^Vkt — O(x)dx)j(l +o(l)). . (4.48)
Хо
7в

Нижний предел интегрирования можно опять-таки считать
сколь угодно большим.
Замечание. Замена χ на —χ не меняет вида уравнения (4.2),
а также вида асимптотических формул, так что если потенциал
ν(χ) определен при всех х> то при х->—оо формулы асимптотики
(4.46) —(4.48) сохраняются. При этом, разумеется, решения,
имеющие данную асимптотику при х-^-^<х> и при х-*—оо, могут быть
различны.
Примеры.
1) 0(я)в|я|а а>0.
Интереснее всего асимптотика убывающего решения у\ (ху k).
Имеем:
χ г
t/i (χ, k) ~х-** exp ( — С x*ft l/ 1 — -£- dx\~
x„
.r*«,[-J^(l-f-^ + ...)4,j!
Разложение корня надо брать до тех пор, пока под интегралом
не станет получаться суммируемое слагаемое, дающее
мультипликативную постоянную, как и замена нижнего предела
интегрирования. В частности, при а>2 имеем
/ „а/2+1
уг (х, k) ~ *-«/4 exp -
V Т + 1
так как играет роль лишь первое слагаемое.
Если же а>2/3 (так что играют роль два слагаемых), то мы
имеем
yL{x9 fe)~ jc-«/4exp Г—^— 1 -expf k* xx~«iAy аф2.
•[-f^y*^ *-""}·-
Отметим, что при α>2 здесь добавляется сомножитель,
который стремится к 1 и поэтому несуществен. При а<2 добавляется
некоторый растущий сомножитель.
Очень интересен критический случай а = 2 (оператор
гармонического осциллятора):
&— ι
y^Q-x-^exp^-^exp^lnx^x 2 ехр (--£).
Эта формула согласуется с полученной в гл. I формулой для
собственных функций оператора энергии осциллятора (функция
Эрмита степени η имеет, очевидно, асимптотику сЛ#пехр(—х2/2)).
Отметим, что в гл. I рассматривался оператор — ( \~ хЛ ,
79

что объясняет отличие соответствующих собственных значений.
2)υ(χ) = ±.
Соображения, аналогичные приведенным при разборе
предыдущего примера, показывают, что асимптотика имеет вид
χ
У1л(х. k) ~exp J± ik j (l ^ζ—) dx
Χα
^ехр[±/(**--^1п*)].
Мы видим здесь, что асимптотика отличается от асимптотики
в случае суммируемого потенциала, хотя сам потенциал очень
близок к суммируемому.
3) υ(χ)= — |χ|« а>2.
Аналогично 1-му примеру находим, что решения имеют
асимптотику
[Λ-α/2+l Ί
±1~Ч l·
Т + 1 J
Отметим, что второй сомножитель теперь осциллирует и
ограничен, поэтому, оба решения имеют суммируемый квадрат! Если
рассматривать оператор с таким потенциалом на всей оси, то по*
лучится, что любому k2 соответствуют две собственные функции,
d2
Но таких k2 — континуум, и поэтому оператор (л;|а
при а>2 не является в существенном самосопряженным в смысле
§ 1 этой главы: если бы он был в существенном самосопряжен на
Co°°(R), т0 все указанные функции были бы настоящими (и,
значит, ортогональными) собственными функциями его замыкания*
что противоречит сепарабельности пространства L2(R).
Этот пример показывает, насколько достаточное условие тес?-
ремы 1.1 (Сирса) близко к необходимому.
Замечание. Квадрат модуля собственной функции оператора
энергии имеет физический смысл плотности вероятности
пребывания частицы с данной энергией в данной точке вещественной
оси (см. гл. I). Формула (4.46) приобретает тогда тот смысл, что
в случае роста потенциала вероятность пребывания частицы в
точке χ убывает при |л;|->оо тем быстрее, чем быстрее растет
v(x), a (4.47) означает, что в случае убывания потенциала все
точки вещественной оси более или менее равновероятны.
§ 5. О ДИСКРЕТНЫХ УРОВНЯХ ЭНЕРГИИ ОПЕРАТОРА
С ПОЛУОГРАНИЧЕННЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ
В этом параграфе мы докажем, что если отрицательная час^ь
потенциала ν(χ) оператора Шредингера достаточно быстро
убывает при |jc|->+oo, то оператор имеет конечное число
отрицало

тельных собственных значений. При этом сначала мы рассмотрим
оператор на полуоси, а потом получим результат в случае
оператора на всей оси с помощью склейки из двух операторов на
полуосях.
1. Случай оператора на полуоси с граничным условием
Дирихле.
Мы будем рассматривать оператор
Hy=-y"+v{x)y9 (5.1>
определенный на функциях у{х), заданных на полуоси R+={x:0^r
<л;<оо} и удовлетворяющих простейшему граничному условию
У(0)=0 (5.2)*
(это граничное условие мы будем называть условием Дирихле).
Результаты предыдущих четырех параграфов этой главы
непосредственно переносятся на случай полуоси с очевидными
видоизменениями. В частности, если v(x) удовлетворяет условиям
теоремы 1.1, то оператор Я с областью определения, состоящей из.
таких функций у(х)^С°°(И+), что у(х)=0 при достаточно
больших χ и, кроме того, выполнено (5.2), будет существенно
самосопряжен.
Последнее верно, в частности, если потенциал υ(χ) ограничен:
снизу, т. е.
ν(χ)>—С0, 0<*<οο, (5.3)'
что и будет предполагаться в дальнейшем.
Наша цель ■— найти настоящие собственные значения
оператора Я, которым соответствуют собственные функции,
принадлежащие L2(R+).
Предположим, что
Ну = Ку, (5.4)
где у(х) удовлетворяет (5.2). Если потенциал v(x) суммируем на
R+, то при λ>0, λ = &2, где k вещественно, мы получим, что у(х)
имеет при #->+oo асимптотику C\eikx+C2e~ikx, причем Ci = C2=0
лишь в случае у(х)==0. Поэтому уравнение (5.4) при λ>0 не
имеет ненулевых решений из L2(R+). Наоборот, при λ<0 и
суммируемом ν(χ) всякая обобщенная собственная функция имеет
асимптотику e~kx, где &>0, и потому принадлежит L2(R+). Поэтому
интересен вопрос о числе отрицательных собственных значений
оператора Я.
Разложим потенциал υ(χ) в сумму
υ (χ) = о+ (χ) + ϋ- (χ), (5.5)
где υ+(χ) = тах(и(л:), 0), V-(x) =min (v(x), 0). Пусть для
простоты функция v-(x) непрерывна и удовлетворяет условию
V-(x)-*Q при *->+оо. (5.6)
Тогда из теоремы сравнения 3.4 следует, что всякая обобщенная
81

собственная функция с собственным значением λ<0 принадлежит
i2(R+) (и даже экспоненциально убывает при x-v+oo).
Отсюда легко получить, что весь спектр оператора Η на (—оо,
О) состоит из изолированных собственных значений конечной
кратности. В дальнейшем мы не будем явно предполагать
выполнения условия (5.6), хотя наложим условие, по существу, более
сильное.
Обозначим через Ν-(Η) число отрицательных собственных
значений оператора Η (с учетом кратности), полагая Ν-(Η) =
= + оо, если это число бесконечно или если на (—оо, 0) есть хотя
€ы одна неизолированная точка спектра (таким образом, jV_(#) =
—Ν(—0), где Ν(λ) — функция распределения спектра
самосопряженного оператора Я, введенная в § 3 Добавления 1). Теперь мы
можем сформулировать основную теорему.
Теорема 5.1. Пусть потенциал υ(χ) удовлетворяет условию
(5.3) и функция ν~(χ) непрерывна на {0, оо). Тогда имеет место
оценка:
оо
N-(H)< §x\v-(x)\dx. (5.7)
о
В частности, N-(H) конечно, если интеграл в правой части (5.7)
конечен, и N.(H) =0, если ν (χ) >0.
Доказательство. Мы будем использовать ряд фактов
элементарной теории возмущений, доказанных в Добавлении 1, § 3.
Заметим сразу, что предложение 3.1 из Добавления 1
позволяет без ущерба для общности заменить ν(χ) на v-(x), так что
мы будем считать в дальнейшем, что
υ(χ)<0 при 0<л;<оо.
Мы будем, кроме того, предполагать ν(χ)Φ0, так как случай
ν (х) ==0 тривиален.
Введем параметр т, 0<т<1 и рассмотрим семейство
операторов
Нху=— y"+xv(x)y.
Ясно, что в силу (5.6) отрицательная часть спектра Нх при любом
τ состоит из дискретных однократных собственных значений,
которые мы занумеруем в порядке возрастания:
λι (τ) <λ2(τ) <...<λ«(τ) < ..
Из теоремы 3.1 Добавления 1 следует, что λΛ(τ) есть
аналитическая функция т, причем
оо
λ;(τ)={σ(χ)|/Λ(τ,χ)|»<ί*<0,
о
где fn(τ, χ) — нормированная собственная функция оператора
Нх с собственным значением λ«(τ).
82

Разумеется, функция λη(τ) определена не на всем
полуинтервале (0, 1], а лишь на некотором полуинтервале (to (n), 1],
переходя при х=Хо(п) в положительную часть спектра. Мы рассмотрим
при фиксированном μο<0 число Νμ0 собственных значений
оператора Я, меньших μ0. Ясно, что Νμ0->-Ν-(Η) при μ0->0.
Уменьшая τ от 1 до 0, мы видим, что
для любого η найдется такое τη>
что λΛ(τη)=μο, если только
λη (1) < μ0 (и только в этом
случае), что проиллюстрировано на
рис. 2.1 (наклонные кривые —
графики функций λ*(τ)). Мы
видим, что собственные числа λη =
λ/ι(1), такие, что λ„<μο,
находятся во взаимно-однозначном
соответствии с такими числами
τ, что 0<τ<1 и существует
функция у(х) ^L2(R+), удовлетворяющая уравнению
Рис. 2.1
~υ"—μου = —χν(χ)υ
(5.8)
<ί*
и граничному условию (5.2).
Обозначим через L дифференциальный оператор — — μ^
в L2(R+) с граничными условиями (5.2) и с естественной областью·
определения, отвечающей этому условию. Тогда L обратим и /г1
записывается в виде
ι-7=ί*(*,ξ)/(ξ)<ίξ.
о
где К(х, I) можно найти, выражая y — Lrx\ из уравнения —у"—
—\ioy=f с помощью вариации постоянной с учетом условия (5.2)
и требования y(x)^L2(R+) или из того, что К(х, ξ) должно
удовлетворять уравнению
-дНК£1)) -μ,Λ(*.ξ) = 6(*-ξ) (5·9>-
и граничному условию /С(0, |)=0, а также определять оператор,
непрерывный в L2(R+) (это приводит к необходимости отбросить
экспоненциально растущие при л;->+оо решения уравнения.
(5.9)). Отсюда получается следующее выражение для К{х, I):
*(*.ξ) = β(ξ-*)·
/μο
. ^ sh/-μ0ξ e- Υ=ΪΓ0 χ
V-μο
где θ (ζ) =1 при ζ>0 и θ (ζ) =0 при г<0.
Теперь мы можем переписать (5.8) в виде
y=xL->[(-v(x))yl
8$

откуда видно, что искомые %k суть числа, обратные собственным
значениям интегрального оператора К\ с ядром
*ι(*,δ)=-Κ(*. 6) * (ξ).
Мы докажем в дальнейшем следующую лемму:
Лемма 5.1. Если потенциал υ(χ) суммируем на {0, оо), то
оператор К\ имеет не более чем счетное множество отличных от нуля
собственных значений λ*, &=1, 2, .... Все они положительны, од^
иократны, и для них выполнено соотношение:
У lk = f /Cx (jc, x) dx.
fc=l
Используя эту лемму, закончим доказательство теоремы 5.1.
Для числа Νμ0 выполнена оценка
= l «. __ \v(x)\dx<^ \x\v(x)\dx.
(Мы использовали очевидное неравенство 1—е~у<у при у>0)
Отсюда, сразу следует (5.7). ■
Доказательство леммы 5.1. Обозначая через К оператор в
L2(R+) с ядром К(х, I) (т. е. оператор /г1) и через V —
оператор умножения на |г>(х)|, мы получим, что Ki=KV. Введем
теперь оператор
K2 = Vl/2KV
ядро которого К2(х> ξ) имеет вид
1/2
K*(x.I)=V\v(x)\K(x,1)V\o(i)\9
«откуда очевидным образом следует, что
ОО 00
f /Ci(a:, x)dx = f K2{x, x)dx. (5.10)
о о
Пусть λ — некоторое отличное от нуля комплексное число,
ΉΚ(Κ\), #х(/С2) — собственные подпространства L2(R+)
операторов К\, /Сг, соответствующие собственному значению λ.
Непосредственно проверяется, что если /e#x(/G), то, К'^еЯ^Кг), так
что Vl/2 определяет отображение
Vw:Hb(Kt)-*Hb(K%). (6Л1)
Это отображение есть на самом деле изоморфизм. .В самом
деле, если ft=Hx(Kx) и l^^O, то Vf=0 и, значит, Kif=KVf=Q,
«84

что противоречит условию λ=^=0, так что отображение (5.11)
является мономорфизмом. Далее, если ge#x(/C2), то V1/2KVl/2g = kg>
и, полагая / = — KVl/ g, мы получим ч:разу, что Vl/2f=g и /^
Л
^#λ(/(ι), так что (5.11) есть эпиморфизм.
Теперь мы видим, что все собственные значения оператора Κι
неотрицательны, поскольку оператор К2 неотрицателен.
Однократность их получается из результатов § 3, если заметить, что
уравнение KVf=Xf эквивалентно уравнению XLf = Vf. Если учесть еще
(5.10), то видно, что остальные -утверждения леммы 5.1 будут
проверены, если мы докажем, что оператор /С2 является ядерным
и след его задается формулой
ОО
SpKt = $Ki(x,x)-dx. (5.12)
о
Это вытекает из очевидной сходимости интеграла в правой части
(5.12), поскольку оператор./С2 неотрицателен и имеет непрерывное
ядро К2(х, ξ) (см. § 4 Добавления 1). ■
Замечание 1. Оценка (5.7.) верна и в случае разрывного
ограниченного потенциала, где ее можно получить предельным
переходом от непрерывных потенциалов. Мы опускаем
соответствующие подробности ввиду их некоторой громоздкости.
Замечание 2. Если попытаться провести доказательство для
случая операторов на всей оси, то мы получим
так что
ОО 00
§K(x,x)\v{x)\dx = jjL=§\v(x)\dx-
•00
при μο->0, если ν(χ)ΦΟ. Легко видеть, что оценка типа (5.7) на
всей оси в принципе невозможна, поскольку оператор с
потенциалом, равным —ε<0 при |χ|<α и 0 при \х\>а, имеет
отрицательное собственное значение при любых а>0 и ε>0 (в том числе
при сколь угодно малом ε>0).
В самом деле, рассмотрим соответствующее уравнение на
собственные функции. Оно имеет вид
—у"(хУ—еу(х)=1у(х), х^{—а, а),
—у"{х)=Ьу{х)> \x\>a.
При этом в точках х=±а должны быть непрерывны у(х) и у'(х).
Ясно, что можно считать —ε<λ<0 (соответствующий оператор Я
удовлетворяет неравенству Н>—ε/, так что на полуоси (—оо,
—ε) нет точек спектра). Мы найдем сейчас такую точку
дискретного спектра λ, что —ε<λ<0 (на самом деле можно
непосредственно проверить, что λ=—ε не является точкой спектра, но нам
85

это не понадобится). Заметим, что ввиду четности потенциала
^(—х) является собственной функцией вместе с у(х)> но тогда
если у(х) вещественна (это можно предполагать без ущерба для
общности), то ввиду однократности собственного значения мы
должны иметь у(—я) =±#(л;), т. е. у(х) либо четная, либо
нечетная. Если у(х) нечетная, то */(0)=0 и у(х) на [0, +оо) является
собственной функцией задачи (5.1) — (5.2), что при малом ε>0
невозможно. Итак, достаточно рассмотреть случай, когда функция
у(х) четная. Тогда */'(0)=0 и у(х) имеет вид
у(х) =С1С08>/8 + Хх, х^(— а, а)9
y(x)=C2e-v^\«f \x\>a.
Условия согласования при х= ±а имеют вид
^οοβ^ε + λα — C2e-VT^a = 01
— сг VlTPk sinVTTl a + c2y^TPv::^a= о.
Тот факт, что λ — собственное значение, равносилен
существованию нетривиального решения (Сь С2) этой системы линейных
однородных уравнений. Но ее определитель равен
e-Y=ia [Υ^ΥοοΒ(\/Γ+Ια) — /eTIsin (VT+λα)].
Приравнивая его нулю, мы получим уравнение
всегда имеющее решение λ^(—ε, 0), как видно из элементарного
рассмотрения графиков левой и правой части.
Этот же пример показывает, что оценка типа (5.7) не может
быть справедлива на полуоси [0, оо), если граничное условие
Дирихле (5.2) заменить условием Неймана г/'(0)=0. В
следующих пунктах мы увидим, как нужно изменить оценку (5.7), чтобы
она была верна в случае граничного условия Неймана; а также
для операторов на всей оси.
2. Случай оператора на полуоси с граничным условием Ней-,
мана.
Рассмотрим оператор Η вида (5.1) на полуоси R+=[0, +oo)
с граничным условием Неймана
/(ОНО. (5.13)
На такой оператор также переносятся с естественными
видоизменениями результаты § 1—4 этой главы. В частности, если потент
циал υ(χ) удовлетворяет условиям теоремы 1.1 и мы рассмотрим
оператор Η на области определения, состоящей из функций #е
^C°°(R+), равных 0 при достаточно больших χ и удовлетворяю*
щих условию (5.13), то он будет в существенном самосопряжен»
86

В дальнейшем мы будем рассматривать замыкание такого
оператора, являющееся самосопряженным оператором в L2(R+), и
говорить о нем как об операторе Я с граничным условием Неймана
(5.13). Обозначим этот оператор через HN. Обозначение N~(HN)
имеет тот же смысл, что и Af_(#), введенное выше (разумеется,
с заменой Η на ΗΝ).
Теорема 5.2. Пусть потенциал υ(χ) ограничен снизу (т. е.
выполнено условие (5.3)) и функция ν~(χ) непрерывна на [0, +оо).
Тогда имеет место оценка
00
Ν- (ΗΝ) < 1 + J χ 1 ό- (χ) | dx. (5.14)
ο
Доказательство, В силу теоремы 5.1 достаточно показать, что
Ν-(ΗΝ)<\+Ν-(Η),
где Η — тот же оператор, но с граничными условиями Дирихле
(5.2). На самом деле верно более общее неравенство:
Ν(λ\ ΗΝ)^\ + Ν(λ\ Η) при всех Xe=R, (5.15)
где Ν(λ; ΗΝ) и Ν(%\ Η) — функции распределения спектра
операторов Ην и Η соответственно. Для доказательства
воспользуемся леммой Глазмана (см. Добавление 1, лемма 3.1).
Достаточно проверить (5.15) с заменой λ на λ—0 (при любом λ). Положим
D* = {w:w<=C°°(R+), и'(0) = 0 и ЗЯ>0, и(х)=0 при *>#},
D=={M:weC°°(R+), и(0)=0 и =|Я>0, и(х)=0 при *>#}.
Тогда по лемме Глазмана
Ν(λ — 0,ΗΝ)= sup dimL, (5.16)
LcDn,
(Hufu)<K(u,u),
иеь\{о)
Ν(λ — 0,Η)= sup dimL. (5.17)
LCD,
(Ha,u)<X(utu),
u£L\{o}
Поэтому достаточно доказать, что для любого Lc=D^, для
которого выполнено условие
(Ни, и)<Х(иу и), tt<=L|Sf{0},
можно найти такое LczD, для которого выполнено аналогичное
неравенство
(Ни, и)<Ци9 и)у ые=адО},
причем
dim L^l +dimL.
Но это можно сделать, положив
L={u\ u<=Lt ы(0)=0}.
87

Поскольку LczL и dimL/£<l, то выполнение всех условий,
требуемых от Г, очевидно. ■
Замечание 3. Аналогично неравенству (5.15) доказывается
неравенство
Ν(λ; Η)^1+Ν(λ; ΗΝ).
Однако на самом деле верно более точное неравенство:
Ν{λ\ Η)<Ν(λ; ΗΝ). (5.18)
Докажем его. Для этого надо воспользоваться леммой З.Г из
Добавления 1, являющейся модификацией леммы Глазмана. Будем
использовать обозначения, введенные в доказательстве теоремы
5.2. Пусть %βΝ — пополнение DN (или Dhn) по норме ||-|1я,
определяемой формулой
Ци||я2=(#и, и)+С(и, и), (5.19)
где С>0 достаточно велико. Тогда
Ν (λ — О, ΗΝ) = sup dim L, (5.20)
LCWN9
Н{и,и)<Цщи),
m€L\{0}
где Н(и, и)=\\и\\н2—С\\и\\2* представляет собой продолжение по
непрерывности на Жы формы Η (и, и) = (Ни, и). Мы должны
сравнить это выражение с выражением Ν(λ—0, Я) по формуле
(5.17). Неравенство (5.18) будет доказано, если проверить, что
Οαα@Ν> Легко проверить и более общий факт: если we
еС°°([0, +°°)) и и финитна, т. е. и = 0 при x>R для некоторого
R>0y то и^Жя\ (Это означает фактически, что при пополнении
Dn до 2/6ы граничное условие (5.13) исчезает.) Для
доказательства нужно переписать норму (5.19) при u^Dn в виде
№ = |[|"'(*)1' + (С + 0(*))|и(*)|»]Лс (5.21)
о
(это получается интегрированием по частям). Теперь для
финитной функции ыеС°°([0, +ор)) построим следующую ее
аппроксимацию: пусть ay8eCo°°(R+), we{x)=0 при *<ε и при x>R
(здесь R фиксировано и не зависит от ε>0) и \\ws—w'H-^O при
ε-> +0 (ясно, что этого можно добиться); положим тогда
иг (х) = — f we (t) dt = — [w& (t) dt
X X
(отсюда u/=w6). Пользуясь неравенством Коши—Буняковского,
легко проверить, что \\и9—и||-М) при ε->+0. Но отсюда и из
соотношения \\w€—и'||-М) с учетом явного вида (5.21) нормы ||-||я
следует, что \\ие—и\\н-+0 при ε->+0 (напомним, что потенциал
ν(χ) предполагается ограниченным на каждом конечном отрезке),
что и требовалось. Соотношение (5.18) доказано.
68

Замечание 4. Рассмотрим собственные значения оператора
Я (с условиями Дирихле)
λ,(#)<λ2(#)<λ3(#)<...,
понимаемые, вообще говоря, в обобщенном смысле (как
объяснено в § 3 Добавления 1), и собственные значения
λι (ΗΝ) <λ2 {ΗΝ) <:λ3 (ΗΝ) <...
того же оператора с условиями Неймана. Тогда выполнение
неравенств (5.15), (5.18) (при всех X) равносильно следующему
чередованию собственных значений:
λι (ΗΝ) <λ, (Я) <ik2(HN) <λ2(#) <Я3(Я„) <λ3(#) <... (5.22)
Отметим, что отсюда вытекает, что если спектр одного из
операторов Я или ΗΝ дискретен на каком-то полуинтервале (—оо, А)у
то он дискреуен и для другого оператора. В этом случае все
неравенства в (5.22) являются строгими.
3. Случай оператора на всей оси.
Теорема 5.3. Рассмотрим на (—оо, +оо) оператор Я вида
(5.1), потенциал которого ν(χ) локально ограничен, ограничен
снизу и имеет непрерывную отрицательную часть ν-(χ). Пусть
N-(H) — число его отрицательных собственных значений. Тогда
ЛМ#)<1+ j"|*HM*)|d*. (5.23)
— 00
Доказательство, Рассмотрим два оператора Я+ и Я_,
представляющие собой операторы, заданные выражением Я вида (5.1) на
полуосях [0,+оо) и (—οο,Ο] соответственно, с граничными
условиями Дирихле у(0) =0 в обоих случаях. Пусть Ν±(λ) — функции
распределения спектра операторов Н±у Ν(λ)—функция
распределения спектра оператора Я. Мы докажем, что при всех λ^Κ
Ν (λ) <: 1+Ν+ (λ) +Ν- (λ) (5.24)
•
(применяя это неравенство при λ=—0 и пользуясь (5.1), мы
получим, очевидно, требуемую оценку (5.23)).
Для доказательства (5.24) удобно перейти к представлению
Ν(λ) и Ν±(λ) в терминах квадратичных форм, порожденных
операторами Я и Н±у как это делалось выше в замечании 3, а также
в § 3 Добавления 1 (лемма З.Г) к в доказательстве теоремы о
нулях собственных функций (теорема 3.5 этой главы). А именно,
пусть Жн — гильбертово пространство, получаемое пополнением
DH по норме \\и\\н2=(Ниу и) + С(иу и)у где С>0 достаточно
велико. На зкн определена полуторалинейная форма Я(·, ·),
являющаяся продолжением по непрерывности формы Н(иу v) = {Huy v),
и, v^DH. Аналогично введем пространства Ж±У получаемые
пополнением DH± по норме ||и||2,+ = {Н±и, и) + С(иу и). Формы
Я±(·, ·) на Ж±_ получаются продолжением по непрерывности из
89

Лопм Н*-(и ν) = (&*"> νϊ> Jt\V^DH · Имеются вложения Жн<=^
ШчК» i?icL»(R). *±czL*(n±)9ne R+ = [О, +оо), R = (-00, 0].
Вместо Dh лля получения 2/6н можно пополнять D = C0°°(R) (по
той же норме ||-||л). Рассмотрим
B = {u:uz=D, u(0)=0},
и пусть Ж — пополнение D по норме ||-|1я. Тогда Ж — замкнутое
подпространство вЖн и dim55?/55? < 1 (на самом деле из того,
что функционал^*-», у (0) непрерывен по норме ||-|1я, легко
вывести, что dim Ж/Ж = 1, но нам это не понадобится). Имеется
изоморфизм Ж ^ Ж+ © 5S?-, который получается сопоставлением
каждой функции /еЗ» пары {/+, </_}> где /± = /lR±· В этом случае
мы будем писать для краткости /=f++'/-, имея в виду, что
функция f+ продолжена нулем на (—оо, 0] и ι/L продолжена нулем на
[0, +оо). Легко проверить, что отображение
Ж-+Ж+ФЖ-,
(5.25)
действительно является изоморфизмом. В самом деле, его инъек-
тивность очевидна, а для проверки сюръективности достаточно
заметить, во-первых, что оно изометрично, если норма в Ж+ ©
φ Ж- вводится обычным образом с помощью скалярного
произведения
(/+ + /-, g+ + έΓ-ΚΘ*_= (/+, g+)$?++ (/-, и-)Ж- =
=(/+ + /-.*+ + *-)#,
и, во-вторых, что в образе отображения (5.25) содержится
множество всех пар {и+, ti-}, u±^D±i где D±={ueCco(R±)9 ί/(0)=0,
и(х)=0 при больших \х\}- Фактически надо проверить, что если
u±^D±i то и = и+-\-и~^Ж. Это делается-в точности так же, как
проверка включения и^Жн в доказательстве неравенства (5.18)
(замечание 3), и мы опустим соответствующие подробности.
Если f9 g^Zi, /=/++/-, g=g++g-, где f+, g+s=3%+, /L, g.e
^<Ж_, то #(/, g") может быть записано в виде
Я(/,Я)=Я+(/+,*+)+Я-(£-,*-).
Теперь мы воспользуемся вариационным принципом
ΛΤ(λ — 0)= sup dimL (5.26)
LczD
H(u,u)<K(u,u)
uSL\{0}
(см. Добавление 1, лемма 3.1'). Мы проверим (5.24) с заменой λ
на λ—0. Для этого в силу (5.26) достаточно показать, что если
конечномерное подпространство LczD таково, что
(Ни, н)<Я(и, и), u<=L&{0},
90

то
dim L < 1 + N+ (λ—0) + AL (λ—0).
Положим L=L[\Dy т. е. L = {u:u^L, ы(0)=0}. Тогда dimL/£<:l,
откуда dim L< 1 +dim Г. Поэтому достаточно доказать, что
dim £<;V+ (λ—0) + Ν. (λ—0). (5.27)
Рассмотрим спектральные проекторы £*_0 операторов Н± и
подпространства ZiLo=£?-o3i?, где <2#=L2(R). Тогда L^0czDH± и
тем более LxL0 <=<5#±. Мы можем считать оба пространства
ULo · конечномерными (если это не так, то неравенство (5.27)
очевидно). Рассмотрим ортогональные дополнения Mt-o к L%~o
в L2(R±) и их пересечения Kt-o с Ж±: к£-о = М£-0 (] Ж±*
Легко проверить, что Кх-о — это ортогональные дополнения
к Z,?_o в Ж±- Более того,
Н± (и, и)^Х (ы, и), и <= Kt-ο-
Отсюда следует, что если Кк~о = Kt-o + KZ-o <=:&£> то
Η (и, и)>-Х(и> и) у и^Кх-о.
Поэтому £П/Сх-о={0}. Но отсюда сразу следует, что оператор
ортогонального проектирования L в Ljt-o Θ ^λ^-ο с: Ж инъективен
(не имеет ядра) и, следовательно, выполнено (5.27), что и
требовалось. ■
§ 6. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОПЕРАТОРА
С УБЫВАЮЩИМ ПОТЕНЦИАЛОМ
1. Предварительные замечания.
d2
Мы будем здесь рассматривать сначала оператор Η = Ь
dx2
+ v(x) на полуоси ·*>0 с граничным условием (5.2) и
потенциалом v(x)y непрерывным при x>0, удовлетворяющим условию
(5.3), а также условию:
оо
$x\O(x)\dx<oo. (6.1)
о
Наша задача состоит в том, чтобы построить полную ортонор-
мированную систему обобщенных собственных функций в смысле
§ 2 Добавления 1. Для этого мы должны взять некоторое
оснащение
Ж+аЖаЖ-, (6.2)
где Ж =Ζ.2[°>°°); Ж+ = КЖ, К — некоторый оператор
Гильберта—Шмидта в 36, 36- сопряжено к 36+ в смысле скалярного
произведения в 36, или, что то же самое, получается из 36 попол-
01

нением по скалярному произведению (Д £)-—(#*Λ К #)* гДе
справа стоит скалярное произведение в Ж (предполагается, что
Кег/С==Кег/С*==0). Введем множество
5) = {/:/е^П1)я,Я/Еад. (6.3)
Напомним, что и^Зв- называется обобщенной собственной
функцией самосопряженного оператора Я с вещественным
собственным значением λ, если
(Я/, κ)=λ(/, и), feS>. (6.4)
Основная теорема об обобщенных собственных функциях состоит
в том, что при любом выборе оснащения (6.2) существуют такие
пространство Μ с мерой da и система обобщенных собственных
функций Ф(т), т^Му с собственными значениями а(т),
определенная почти всюду на Λί, что соответствие
t/:/->(/, Ф(т)), /е=Ж+,
можно продолжить до унитарного оператора
U:2%^L*(M, do),
причем оператор U~lHU есть оператор умножения на функцию
а(т).
Мы хотим теперь специализированным выбором оснащения
(6.2) получить некоторую простую и естественную систему
обобщенных собственных функций оператора Я описанного выше
типа. Оснащение (6.2) мы выберем связанным с дифференциальным
d2
оператором Я0 = f- χ2 с граничным условием (5.2), собст-
dx2
венными функциями которого являются нечетные функций Эрми-
та. Обозначая Я0"1=/С, мы видим, что К есть оператор
Гильберта—Шмидта и в связанном с ним оснащении (6.2) мы будем
иметь Ж+ = £>я0, а обобщенные собственные функции из Ж~
будут степенного роста при л;->-+оо в смысле § 2, а также
гладкими в силу результатов § 2 добавления 1.
Тем самым каждому собственному значению λ уже сейчас
отвечает не более двух линейно независимых обобщенных
собственных функций. Следующее предложение до предела
ограничивает семейство обобщенных собственных функций.
Предложение 6.1. Обобщенные собственные функции операто-
d2
pa Я = Yv{x) на полуоси R+, отвечающие построенному
dx2
только что оснащению, удовлетворяют граничному условию (5.2).
Доказательство. Выберем такую функцию /(x)g2), что /(0) =
= ///(0)=0, но /'(0)=7^0 и, кроме того, /(л;)=0 при лг>1. Легко
видеть, что это возможно. Пусть теперь и(х) — обобщенная
собственная функция оператора Я с собственным значением . X^R*.
92

Мы имеем тогда:
ι
О = (Я/ —λ/, и) = { (— /"(*) + v(x)f(x) — Xf(x))u(x) dx =
= [f(x)u'(x)-f'(x)u(x)]\l +
1
+ f / W (— и" (*) + v (x) и (*) — hu (χ)) dx.
о
Последний интеграл равен 0, поскольку и(х) удовлетворяет
уравнению —u"+v(x)u=Xu> и мы получаем в силу условий
f(0)=f(l)*ni)=0f4TO
K(0).f'(0)=Of
откуда ^(О^О. ■
Обозначим через у(х> k) решение уравнения Hy=k2y (k пред·
полагается вещественным и отличным от 0) с асимптотикой eikx
при *->+oo. Пусть ψ (л:, k) — решение того же уравнения,
удовлетворяющее граничному условию ψ(0, к) =0 и имеющее вид
ψ(*, k)=y(x, k)+S(k)y(x, —k). (6.5>
Такое решение, конечно, существует, поскольку у(0, —к)Ф0
(решение, удовлетворяющее условию г/(0)=0, должно быть
пропорционально вещественному в силу вещественности уравнения, а
y(xf —k) имеет при л;->+оо асимптотику e~ikx).
Предложение 6.2. Множитель S(k) в формуле (6.5) по модулю
равен 1.
Доказательство, Из граничного условия а|)(0, k) =0 мы
находим сразу, что S(k) = у , но */(*, k)=y(x, —k) в силу
#(0,— fc)
единственности решений с асимптотиками e±ikx при л;->-+оо,
откуда |S(*)| = 1. ■
Мы отметим здесь еще, что при выполнении условия (6.1)
функции у(0у k) и y(0t —k) (и, следовательно, S(k))
дифференцируемы по k при k=£Q (это сразу получается из теоремы 4.1, если
продифференцировать интегральное уравнение (4.6)).
Замечание. Множитель S(k) играет важную роль в теории?
рассеяния. Его роль будет в дальнейшем выяснена в гл. IV. *
2. Формулировка основной теоремы.
Пусть лрп(х) — конечный набор всех нормированных
собственных функций оператора Я с отрицательными собственными зна- '
чениями En=kn2<0, где kn — чисто мнимое(kn = iY—Еп)у я=1.
2, ..., AL(#).
Обозначим
Ι-7=-Ψ (*,*),*> 0,
ф(х,к) =| Κ2π
93

Введем пространство Mk с мерой do(k), состоящее из полупря-
мой Rk+ = {k: k>0} и конечного набора точек kn = i^—En, причем
мера da(k) равна мере Лебега dk на R&+ и δ-функциям в точках
kn (т. е. каждая точка kn имеет единичную меру).
Теорема 6.1. Функции Φ (л:, k) образуют полную ортонормиро-
ванную систему обобщенных собственных функций оператора Я,
так что соответствие f(x) +-+g(k)y определяемое формулами
f(x) = $0(xyk)g(k)do(k)y (6.6)
g(k) = Sf(x)0&k)d* (6.7)
•есть унитарный изоморфизм L2[0, oo) на пространство
L2(Mhf do(k)). При этом соответствии оператор Я переходит
в оператор умножения на k2.
Замечание. Интегралы в (6.6) и (6.7) имеют непосредственный
<:мысл на некоторых плотных подмножествах соответствующих
пространств (например, на финитных функциях от k^Mk или ^g
♦^[0, оо) соответственно), а дальше продолжаются по
непрерывности (см. § 2 Добавления 1). .
3. Доказательство теоремы 6.1. Общие соображения.
Аккуратное доказательство теоремы 6.1 довольно длинно.
Поэтому мы опустим некоторые детали, заменяя их эвристическими
рассуждениями. Различные аккуратные доказательства теоремы
€Л и близких теорем можно найти, например, у Титчмарша [1],
Марченко [1, 2], Наймарка [2], Левитана и Саргсяна [1].
Из теории обобщенных собственных функций следует, что
существует пространство Μ с мерой άμ> каждой точке которого со-
лоставлена обобщенная собственная функция Фь=Ф(#, k)f где
k=k(m)f m^Mf причем выполнены следующие условия:
1) отображение /->(/, Фи) eL2(Af, άμ), определенное на
Ж+аЖ, продолжается до унитарного изоморфизма Ж и
L2(Mt άμ);
«2) оператору Я при этом изоморфизме соответствует
оператор умножения на k2(m) в пространстве L2(My άμ).
Утверждение теоремы состоит, во-первых, в том, что Λί=Λί&,
я, во-вторых, в описании меры Uo(k) на Mk. Первое утверждение
почти очевидно, поскольку согласно предыдущему каждому k^
eMk отвечает ровно одна (с точностью до множителя)
обобщенная функция Φ (л;, k) оператора Я. Тем не менее доказательство
первого утверждения, основанное на одной лишь теории
обобщенных функций, не очень просто.
В основе предлагаемого доказательства лежит установление
равенства Парсеваля
М__(Я) оо
(/,/)= \\g(k)\*do(k)= £ \g(kn)\2+^\e(kf\da(k), (6.8)
Mk n=i о
тде da(k)=dk. Предположим, вначале, однако, что a(k) — про-
S4

извольная монотонная абсолютно непрерывная функция, аг
do(k) — соответствующая мера на [0, +оо). Роль равенства (6.8)
ясна из следующего предложения.
Предложение 6.3. Пусть мера do на Мц, такова, что при f^
^L2[0, oo) выполнено соотношение (6.8) и, сверх того, функция:
o(k) абсолютно непрерывна. При этом условии равенства (6.6),,
(6.7) определяют изоморфизм пространств 36 и L2(Mky do) и мера
do однозначно определена соотношением (6.8).
Доказательство. Второе утверждение следует из первого.
В самом деле, согласно (6.7) g(k) не зависит от do. Поэтому если
две меры do и do\ удовлетворяют условию предложения 6.3, то*
для любой функции g(k)<=L2(Mky do) =L2(Mky do\)
ilff(*)P^i(*) = ilff(A)la^(*).
Полученное равенство означает совпадение мер do и do\.
Перейдем к первому утверждению.
Отображение U :36->~L2(Mhy do)y определяемое формулой
(6.7), обладает, очевидно, тем свойством, что
{UHf)(k)=k2{Uf){k)y (6.9>
если f^DH.
Обозначим через 'L2(Mhy do)czL2(Mky do) образ пространства
36 при отображении LJy через Н\ — оператор умножения на k1:
в L2(Mk> do) и через Н\ — сужение Нх на /L2(Mky do). В силу
(6.8) U есть изоморфизм- пространства 36 и /L2(Mky do).
Следовательно, U осуществляет унитарную эквивалентность исходного
оператора Η и оператора Н\.
Покажем, что 'L2(Mk, do) совпадает с Ζ,2(Λί&, do). С этой,
целью рассмотрим в 36 оператор Я0=—d2/dx2 с нулевым
граничным условием в нуле.
Ниже в гл. IV будет доказано, что в 36 есть инвариантное
относительно оператора Η подпространство, в котором Η унитарно
эквивалентен Я0. Следовательно, в L2(Mky do) существует
подпространство, инвариантное относительно #ь в котором этот
оператор унитарно эквивалентен Н0. Поскольку оператор Н\ имеет
однократный спектр, оператор проектирования на это
подпространство является оператором умножения на некоторую функцию
%{k). (См. Добавление 1, §1 теорема 1.4). Очевидно, что χ2(&) =
= χ(&). Таким образом, %(k) является характеристической
функцией подмножества Μ0αΜ&-
Покажем, что Λίο с точностью до множества лебеговой меры О
совпадает с полуостью (0, оо). Обобщенные собственные функции
оператора Н0 имеют вид Фо(#, k) =2is'mkx. С помощью обычного
преобразования Фурье убеждаемся, что оператор Н0 унитарно
эквивалентен оператору умножения на k2 в L2([0, oo), dk), где dk —
мера Лебега. Следовательно, тем же свойством обладает сужение
Н\ на L2(M0, da). Учитывая структуру множества Mky мы
получаем отсюда, что Λί0 совпадает с положительной полуосью с точ-
95.

«остью до лебеговой меры нуль и что сужение da на М0
абсолютно непрерывно по лебеговой мере. ^
Вспомним теперь, что согласно условию сужение da меры da
на полуось (0, оо) тоже абсолютно непрерывно по лебеговой
мере. Поэтому L2([0, oo), da)=L2(M0i da). Таким образом,
сужение оператора Hi на L2([0, oo), da) унитарно эквивалентно Я0.
Начиная с этого места считаем, что Λί0 совпадает с полуосью
[О, оо). Вернемся к оператору Я/, являющемуся сужением Hi на
'L2(Mk, da). Повторяя предыдущие соображения с заменой
оператора Н0 на Я/, получим, что 'L2{Mk, da) = L2(M\ da), где Λί' —
подмножество Мь.. Множества Λί' и Λί*. имеют общую часть,
состоящую из точек kn, отвечающих дискретному спектру Я, которую
мы обозначим через М\. Пространство L2(M\ da) распадается
в ортогональную сумму инвариантных подпространств:
L2 (М\ da) = U (Ми da) © D (Λί0', da), где Af0' = Λί' П Λί0.
Повторяя еще раз предыдущие рассуждения с заменой
оператора Hi на Я/, убеждаемся, что Щ совпадает с Λί0 с
точностью до лебеговой меры, равной нулю и , следовательно, что
£2(Λί0', da) =L2(M0i da). Таким образом, 'L2{Mki da) =L2(Mhi da).
Предложение 6.3 доказано. ■
Итак, мы свели доказательство теоремы 6.1 к- установлению
равенства Парсеваля (6.8), при условии, что функция a(k)
абсолютно непрерывна. Далее следует доказательство равенства (6.8).
Оно просто по идее и обладает большой эвристической силой.
Однака оно основано на равенстве M=Mh и содержит кроме него
также ряд других трудных мест. Их обоснование мы опускаем,
поэтому наше доказательство является эвристическим (наиболее
существенные пробелы в нем отмечены в примечаниях).
Доказательство равенства Парсеваля. Пусть M=Mk. В таком
случае равенство (6.8) с неизвестной мерой da{k) следует из
определения обобщенных собственных функций. Найдем меру da(k).
Положим для краткости gn=g(kn), я = 1, 2, ..., Ν-(Η). Из (6.6)
следует, что
00
j gf (*)|2 dx = J( J Φ (χ, k) g (k)d a (*)) (J OCT) 8~Щ d«(*)) dx =
= J(J>„(*)gn + $®(x,k)g(k)da(k)) (£%(χ)gn +
+ \Щх7щ1Щав<<к))ах==
= £ 18J2 + j 8(*)W) (J" Φ (*, *)Ф^Ж) dx) do(k) do{k') =
= £|gj2 + \g{k)sW)J<<k,k')d'p(.ky^{k'):) (6.Ю)
1 Предпоследнее равенство в (6.10) содержит перестановку интегралов,
обоснование которой мы опускаем.
96

где tyn(x) — собственные функции дискретного спектра, Φ (л:, k) —
обобщенные собственные функции и
J (К W) = J Ф(х, k)Q>(xy kf)dx. (6.11)
Напомним, что функции Φ (л:, k) имеют согласно (6.5) вид
Ф(*. к) = -4=г (eikx + S (k) e-'kx) + / (jcf k), (6.12)
причем f(jc, fe)eL2(0, +оо) по переменной k. Сравнение (6.10) и
(6.8) показывает, что интеграл (6.11) должен иметь вид
/(М') = *М'. (6.13)
где 6k,k'— δ-функция по мере da (k) в точке k' ((6.13) является
соотношением ортогональности для Ф(х, k)).
Для вычисления интеграла (6.11) нам понадобится так
называемая формула Сохоцкого:
lim f ^U dx = nia(K) + v.p.(2t&-dx, (6.14)
ε-Ч-ОJ x — λ—ίε J χ—Χ
означает гдавное значение интеграла, т. е.
v.p.fJlW_dje=iim Г ^S±dx.n
J л- — λ ε-Η-0 J χ —λ
\χ—λ\^ε
1 Доказательство. Достаточно доказать (6.14) для финитных
дифференцируемых функций и при λ=0. Пусть а(я)=0 при \x\>N. Тогда
оо" Ν Ν
г г \ С а(х) dx С а (х) л /пч р dx
J (ε) = \ —^ = Ι —bL. dx = α (0) \ μ
J χ — ίε J λ*—ι ε J λ*—/ε
—οο " — Ν —Ν
Ν
J X —IE
-Ν
Интеграл /ι (ε) вычисляется:
/2 (ε) = α (0) 1η ^ ->· πία (0) при ε ->· 0
(имеется в виду ветвь логарифма, получаемая с помощью разреза по
положительной части мнимой оси). Интеграл /2 в силу дифференцируемости а(х)
непрерывен при ε=0 и
7,(0)= f «M-aq» dx= Ibnl.ltS&dx+li&dx)-
J X 6-И), \ J ^ J ^ /
—Ν -Ν 6
N
JU 1Д I
'dx.
X
97

В терминах обобщенных функций это равенство записывается
в виде
! =ni6(x — λ) + ν.ρ. —!^-. (6.14')
x — X — iO л-— λ '
Подставляя (6.12) в (6.11), разбиваем интеграл на сумму трех,
/ = /1 + /2 + /з, где:
Л = — f [e«*-*')*+S (k)SW)e-«k-k">*] dx,
0
oo
f [<*<*+*'>* Щ^) + e-«k+k')*S(k)] dx,
2 2π
J3 = JL· f / (*> *) <r-»'* + f(x, kr) e"»] dx.
о f
Заметим теперь, что
[ei{k-k>)xdx = lim Γβί[(Λ-Λ')+ίβ];:^
= lim
о
i
B-i+ok — k' + ί'ε k — k' + iQ
Отсюда
2πΛ = I t .ft +S(ft)S(*')
ft —Л' + гО ' ft —ft' —tO
Λ ft'
В силу соотношения |S(&)| = 1 и дифференцируемости S(&)
функция 1 *S (fe) ^ (ft') не ИМеет особенности при k'=k и, следо-
ft —ft'
вательно, суммируема с квадратом по k\ Тем же свойством
обладают интегралы /2 и /з (/2 при k>0) К Поэтому /(£, k')=6(k—
—k')+r(ky k')y причем r(kt k')^L2(Qy 00) no kf при k>0.
Сравнивая найденный вид функции / с (6.13), находим, что r(k> k')=Q2.
100
I *****=TTFTF = Φпри *>0 ·*' > °·
О
2 Второе трудное место: если г (ft, ft')^0, г (ft, ft')eL2(0, 00) по ft', то не
существует такой меры, что для δ-функции dk,h' по этой мере выполнено
равенство
b(k-k')+r(ktk') = h.k' ·
98

Ho b{k—k') есть δ-функция, отвечающая мере Лебега. Поэтому
do(k) =dk и
η
Доказательство закончено. Щ.
4. Одномерный оператор, получающийся из сферически
симметричного трехмерного оператора.
Мы рассмотрим здесь оператор Hi в пространстве L2[0, oo)
вида
(Я/У)(г) iT(r)+ (^(r) + ^±il)i/(r), (6.15)
где на α (г) налагается условие (6.1). Здесь / — некоторое
неотрицательное целое число, являющееся параметром задачи.
Оператор Я/ получается как радиальная часть оператора Шрединге-
ра в R3 с потенциалом v(r)t где г=|я|, при разделении
переменных.
Член ' имеет особенность при г=0, но на асимптотику
г
2
собственных функций в бесконечности влияния не оказывает
(см. § 4).
Рассмотрим уравнение для собственных функций:
Н1У=к% (6.16)
В силу предыдущего замечания оно имеет два решения с
асимптотиками eikr и e~ikr> эти решения обозначаются через
yi+(r, k) nyr(r,k):
y&(ryk) = e*« (\ + О ^yy-(r,k) = e-<" (l +°(y))-
(6.17)
При этом
yrir>k) = yl+(r,k).
а). Явное решение в случае v(r)=Q.
Предположим вначале, что и(г)=0. В этом случае решения
^(r, k) обозначим через ηζ±(Λ k) К Уравнение (6.16) имеет вид
-y» + ll±A.y==k*y. (6.18)
1 Отметим, хотя это нам в дальнейшем не понадобится, что функции
^l(rtk) выражаются через функции Ганкеля #^.1/2(&г и H^_Xj2{kr)\
99

Сделаем замену неизвестной функции:
Тогда получим
_ χ» — 2(/+1)x'=fe»x. (6.19)
Теперь, чтобы различать решения уравнений (6.18) и (6.19),
отвечающие различным значениям /, будем обозначать их yt
и».
Имеем
— 4~Χ/ = Χ/+ι (6.20)
(т.е. %t есть решение уравнения —χ" *χ'=&2χ,
что проверяется непосредственной подстановкой с
использованием уравнения (6.19)).
Из (6.20) вытекает, что
Xi(^*) = (-7~)*Xo(^*).
откуда
у1{г;к) = ^{±±г)1ькЛ.. (6.21)
Беря теперь ί/0(^, k) =eihr> получим
и аналогично
η< "'ίγΙτίγ)—· (6·23>
Коэффициенты в (6.22) и (6.23) подобраны для обеспечения
нужной асимптотики при г->+оо, которая легко устанавливается
дифференцированием.
Функции ηη1 имеют при г-*0 особенности с асимптотиками:
η/±(Γ)^(±ί)/Ρίζ^!« при г-^0 (6.24)
(здесь (2/—1)!! = 1-3.5....(2/—1)).
Отсюда видно, что если мы хотим получить решение уравнения
(6.18) без особенности в нуле, то надо рассмотреть линейную
комбинацию
Ψ/(И-™ [(-04+- *4Ί =
r/+i /1 d \i smkr
(_l)/£^/J_^V2!«*L. (6.25)
kl \ r dr J r
100

Коэффициенты в (6.25) подобраны так, что главные члены
особенности, заданные формулой (6.24), сокращаются. Но легко
проверить, что на самом деле tyi(kr)y заданное формулой (6.25),
вообще не имеет особенности в 0, так как функция
разлагается в ряд по четным степеням г, так что ty(kr) даже имеет
в 0 «сильный нуль» (делится на r/+1).
Кроме того, обозначение tyi{kr) корректно в том смысле, что
заданная формулой (6.25) функция действительно зависит лишь
от kr (это видно, например, опять-таки из разложения sin kr
в ряд).
Далее, очевидным образом на бесконечности имеем
b(kr)~±[e\ ϊϊ-г \ 2 /] = eln(fcr-|/.
(6.26)
б). Интегральное уравнение для yi+(rtk) в общем случае.
Записывая (6.16) в виде
-У"+ *(/t1} y-k*y = -v(r)y (6.27)
и делая в нем вариацию постоянной, мы получим, что yi+(k,r)
естественно искать как решение интегрального уравнения
ynr)=4+(r)-h+{r)r]'i?)-^^rf{r)v(P)y+(P) dp, (6.28)
J 2ik
г
где для простоты обозначений мы положили η/^/ζ, г) =η±(Γ).
Простой проверкой можно убедиться, что решение у+
уравнения (6.28) удовлетворяет (6.27). Введем новую неизвестную
функцию R(r) формулой
!Γ»"(Γ)=η+(Γ)[1+/?ίΓ)]. (6.29)
Тогда для R(r) получается интегральное уравнение
-Л-(р)лМр)'-Г-^~-л+2(р)
Я (0 = #0 (г) - J 2/л? ч(р) R (р) «,
где
(6.30)
00
/?ο(0=-^|[η"(ρ)η+(ρ) ~^n+2(p)]v(v)dP. (β.3ΐ)
г
Заметим, что из (6.22) и (6.23) видно, что η* (г) имеют вид
Р± (—\e±ikrу где Р± — некоторые многочлены. Поэтому эти
функции определены и при комплексных 1гфО.
101

Мы покажем ниже, что для Ro имеет место оценка
00
|Ло1<т7тГ|»(р)1Ф.Ьп*>0>|А|>е| (6.32)
где С зависит только от ε и /.
Более того, будет показано, что
|η'(ρ)η+(ρ)-Γ-^η+2(ρ)Ι<^ΐπι^>ο, μ|>ε,Ρ>Γ>ο,
(6.33)
где С опять-таки зависит от ε и Ζ (из (6.31) видно, что оценка
(6.32) вытекает из (6.33)).
Из (6.33) мы получаем сразу оценку
-}-оо
|*(')1<|Я,(г)| + -^ J Ир)НЖр)1Ф. (6-34)
г
что дает возможность с помощью сравнения R(r) с решением
интегрального уравнения
оо
u(r)=\RQ(r)\ + ^\v(p)\u(p)dp
г
(см. предложения 4.2 и 4.3) получить оценку
|/?(r)|<|/?.(/-)|;exp(-j|j-J|o(p)|dp)t
Г
означающую (с учетом (6.32)) ограниченность R(r) при |&|>ε,
lmfc>0.
Теперь из (6.34) получается
00
Wr)\<^[\v(p)\<k>>\b\>s,lmk>0. (6.35)
. г
Итак, /?(г)->0 при г-^+оо равномерно по k с |&|>ε, Im&>0.
Это означает, что y&(ryk) имеет при г-> + оо ту же асимптотику,
что и η/+(/\ k) равномерно по этим значениям k (см. (6.29)).
Кроме того, оценка (6.35) означает (и это тоже существенно),
что R(r) не имеет особенности при г=0, т. е. особенность
yi+(r,k) при г = 0, по существу, та же, что и у т)/+(г, к).
в). Доказательство оценки (6.33).
Заметим, что при г>6>0 оценка (6.33) очевидна из уже
выписывавшегося представления
η±(Γ) = Ρ± (JL\e±/*',
102

где Р± — многочлены. Оценку же в окрестности г=0 мы
получим, разлагая η±(/') в ряд по степеням г.
Заметим, что поскольку функция tyi(kr)/rl+1 не имеет
особенности в нуле, функции (—01ц+(г) и ( + i)lt)~(r) должны иметь
одинаковые члены разложения по степеням г до г1 включительно,
так что
η+ (ή =r-ia(r) + r +* μ+ (г), (6.36)
η- (г) = г-1 а (г) + г'+>-(г), (6.36')
где о (г) и μ* (г) аналитичны в нуле, причем σ (0)^=0. Отсюда
η+(ρ)η"(ρ)=ρ-2ίσ2(ρ) + Ρ/(ρ),
η+2(ρ)=ρ-2'*2(ρ) + Ρ£(ρ)>
где /(ρ) и g(p) также аналитичны в нуле. Наконец,
. η-(г) = Γ-'(Τ(Γ) + /·'+ΐμ-(Γ) _χ г*» (μ" (г) - μ+ (ή) _
η+ (г) Γ1 0 (γ) + r'+i μ+ (г) σ (r) + r2/+1 μ+ (г)
= 1 + Γ*'+*γ(Γ), (6.37)
где γ (г) аналитична в нуле. Теперь получаем
[ η- (ρ) η+ (ρ) - ~^г η+2 (ρ) ] = р"2/ *2 (ρ) + ρ/ (ρ) -
- [Ρ"2/ σ2 (ρ) + pg (Ρ)] (1 + r«+i γ (Γ)) =
= а(г,р) + г^р-П(г,р),
где а (г, ρ) и fc(r, ρ) ограничены при г и ρ, близких к 0.
Учитывая теперь, что р>г, мы получаем сразу требуемую оценку (6.33),
если г и ρ близки к 0. Если г близко к 0, а р>б>0, то надо
сразу воспользоваться (6.37). Оценка (6.33) доказана.
г). Вычисление собственной функции.
Решение уравнения (6.16) без особенности в 0 (собственную
функцию) естественно искать как решение интегрального
уравнения:
г
ϊ (г) = Л» (') + У fo+ (0 τ (ρ) - η- (0η+ (ρ)] » (ρ) / (ρ) dr,
о
(6.38)
где f0(r)=\^i(kr) задано формулой (6.25) и соответствует случаю
t>(r)=0. Используя (6.36) и (6.36'), легко получить оценки для
ядра [η+(Γ)η-(ρ)_ц~(г)г\+(р)] и показать, что (6.38) имеет
единственное решение.
Если записать f(r) в виде г1+1у(г), то, изучая аналогичным
способом интегральное уравнение для φ (г), можно доказать
ограниченность φ (г), в окрестности нуля, так что f(r) ведет себя при
г-+0 так же, как io{r).
103

Мы запишем f(r) при вещественном k в виде линейной
комбинации найденных ранее решений у+(г) и у~(г):
f(r)^c(k)y+(r) + c(k) y(r).
Введем обозначение
S,(-k)
\c(k)
c(k)
Очевидно, что \Si(—k) \ = \, так что можно написать
где 6i(k) — вещественнозначная функция от kf называемая
фазой рассеяния. Если взять пропорциональную f(r) функцию
fi(r)=y+(r)-Sl(-k)y-(r),
то мы будем иметь следующую асимптотику:
fi(r)~2c(k)sm(kr+6i(k)), r->+oo, \c(k)\ = l.
д). О спектре оператора Hi.
Приведенные выше оценки и асимптотические свойства
собственных функций достаточны для того, чтобы полностью описать
спектр оператора Я/ в L2([0, +oo)).
А именно это лебеговский однократный спектр на [0, +оо), и,
быть может, несколько точек отрицательного дискретного спектра,
т. е. справедлива теорема, аналогичная теореме 6.1, если вместо
Ф(х, k) взять построенные здесь функции ft (г)' и добавить
собственные функции дискретного спектра. Доказательство может
быть проведено так же, как доказательство теоремы 6.1.
Отметим, что точек дискретного спектра имеется конечное
число, а при большом / они и вовсе отсутствуют. Это вытекает из
теоремы 5.1, хотя буквально она неприменима из-за особенности
при г=0. Однако если воспользоваться предложением 5.1, то
видно, что, будучи положительной, эта особенность не играет роли.
Мы опускаем соответствующие подробности, предоставляя
читателю восстановить их в качестве упражнения.
5. Случай оператора на всей оси.
d2
Теперь рассмотрим оператор # = )-0(*) на всей оси R.
Относительно потенциала υ(χ) мы будем предполагать, что он
непрерывен, полуограничен снизу (т. е. υ(χ)>·—С при
некотором С>0) и удовлетворяет условию
00
[\χ\·\Ό(χ)\άχ<οο. (6.39)
— оо
Из теоремы 5.3 вытекает тогда, что отрицательная часть спектра
оператора Η состоит из конечного набора однократных собствен-
104

ных значений АЛ k£, ..., kN2 (здесь k\ — чисто мнимые, kf = htf,
где κ/>0), причем соответствующие собственные функции
экспоненциально убывают при л;->4-оо и при л;->—оо.
Рассмотрим теперь уравнение
Ну = &у (6.40)
при k^R. В силу теоремы 4.2 мы можем найти решения у\(х, k)
и y2(Xyk) этого уравнения, имеющие следующие асимптотики:
У1 (*, k) = ё* (\ + -^!L) при х+ + сю, (6.410
y2(x,k) = er'"[l + -^\ при *-^-оо, (6.4Г)
где о(1) равномерно по k. Решения у\(х,к) и y2(x>k) иногда
называют функциями Поста, На самом деле y\(x,k) и y2(x,k)
определены и аналитичны при Im&>0 с сохранением
асимптотики (6.41). Решения yi(x,k) и уч(х,Щ по теореме 4.4 могут
быть записаны в виде
оо
уг (х, k) = eikx + f A (a:, s) e'** ds, (6.42')
У,
Χ
y2 (x,k) = e~ikx + f Л2 (χ, s) <?-<*' ds, (6.42")
— oo
где A\(xy ·) и A2(x, ·) — непрерывные функции от х со
значениями в L2(R) (мы считаем здесь, что А\(х, s)=0 при s<x и
A2(x,s)=Q при s>x), причем
оо χ
lim f ΙΛ (x/s)|2 ds = 0, lim f |M2 (χ, s)|2 ds = 0. (6.43)
* —oo
При вещественном кФ§ мы можем построить две
фундаментальные системы решений уравнения (6.40):
iy\(x,k), y\(Xy— k)} и {у2(х,к), У2(х,— k)}.
Отметим, что у\(ху —k)=yi(x, k), y2(x> —k)=y2(x, k). Решение
У2(х,к) должно быть линейной комбинацией решений y\(x,k) и
yi(x, —k)y т. е.
у2(х9 k) =a(k)yx (x, —k) +b{k)yx (xt ft), (6.44)
откуда применением комплексного сопряжения получаем
У2(х, —Щ =b(k)yx (χ, —ft) +оЩу! {χ, ft). (6.44')
Заметим, что если и(л:)=0, то y2{x,k)=yx{x,—ft), так что
a(ft)==i и fc(ft)=0. С физической точки зрения решение y2(x,k)
соответствует волновой функции частицы, которая при х->—оо
становится свободной частицей, имеющей импульс ft. При про-
105

хождении потенциального барьера (при взаимодействии с полем,
задаваемым потенциалом v(x)) мы получаем при л:-> +°°
суперпозицию двух волновых функций частиц с импульсами k
(функция у\(х,—k)) и —k (функция yi(x>k)). Поэтому a(k)
называется коэффициентом прохождения, a b(k) — коэффициентом
отражения.
Аналогичным образом можно выразить yi(x,k) через У2{х,к)
и у2(х, —k). Однако возникающие при этом коэффициенты
выражаются через a(k) и b(k). В самом деле, введем так называемую
матрицу перехода
/а(*) b{k)\
\b(k) a{k)j '
Если теперь ввести столбцы
V yi(x,k) J \yAx>—k)J
определяющие две фундаментальные системы решений, то мы
будем иметь
Y*{x,k)=C(k)Yi(x,k). (6.46)
Ясно, что матрица C(k) невырождена при &=£0 ввиду линейной
независимости tj2{x,k) и у2(х,—k). Но тогда из (6.46)
получается, что
Yi(x,k)=C(k)-lY2(x,k). (6.47)
Для явного нахождения матрицы C(k)~l полезно вычислить
det С (К). Дифференцируя (6.46) по х, получаем
Y2'(x,k)*-C(k)Yi'(x9k),
где
17(*,*)=*^,/=1.2.
ох
Вводя матрицы Y+(x, k) = \\Yi(x, k), Y\'(x9 k)\\, Y-(x, k) =
= \\Y2(x9k), Y2'(x,k)\\, мы получаем соотношение
Y-(x9k)=C(k)Y+(x,k). (6.48)
Ho detY+(x,k) — это определитель Вронского решений ух(х, —k)
и y\(xyk)y равный 2/Л, как видно из рассмотрения их асимптотик
при jc-v+oo. Аналогично, det Y-(x, k) =2ik. Поэтому из (6.48)
мы находим, что det C(k) = 1, т. е.
|а(*)|2-|6(*)|2=1, (6.49)
а тогда
'С (*)-* =
106

откуда мы получаем
y1(xy—k) = a(k)y2(x9k) — b(kyy2(x9 — k)9 (6.50)
Уг (х, k) = —b(k) у2 (х, k) + a (k) у2 (χ, - k). (6.50')
Коэффициент прохождения a(k) может быть выражен через
определитель Вронского решений y\{x,k) и у2(х>&)· А именно,
пользуясь (6.44), мы получаем
Уг (х, k) y2 (x, k) — уг (х, k) у2 {х9 k) =
= я (А) [Уг (*. Щ ух (х, — k) — уг (х, k) уг' (х9 —k)\ = — 2ika (ft),
откуда
а^==~~ш №(Ху^У*^Х'^ — Уг**'**у* ^'к^" ^6'51*
Из этой формулы видно, в частности, что a (ft) аналитически
продолжается в верхнюю полуплоскость {ft:lmft>0}. При этом нули
a(ft) при lmft>0 — это в точности те чисто мнимые точки
fti, ··., км, для которых &i2, ..., ft#2 — собственные значения
(дискретного спектра) оператора Я. В самом деле, точка ft2=(ix)2
(здесь Λ=ίκ, κ>0) является точкой дискретного спектра тогда и
только тогда, когда решения у\(х,ft) и У2(х>к), убывающие при
#-^+оо и при #->-—со соответственно пропорциональны, а это,
в свою очередь, равносильно обращению в 0 их определителя
Вронского, что эквивалентно равенству a(ft)=0 в силу (6.51).
В частности, a (k) имеет конечное число нулей в полуплоскости
lmft>0. Можно показать, что а (ft) непрерывна в замкнутой
полуплоскости {ft:lmft>0} и все ее нули fti, ...,ft# простые.
Обозначим через ψ/(я) (/=1, 2, ..., Ν-(Η)) собственные
функции дискретного спектра (их собственные значения равны А/2),
имеющие норму 1 в £2(R). Введем пространство Mk с мерой
da (Л), состоящее из двух экземпляров полупрямых ЦЛ+={£ :ft>0},
которые мы будем обозначать 'R*+ и "R*+f и конечного набора
точек ftn, м=1, ..., #-(#), причем мера da(k) равна мерам
Лебега dk на каждой из полупрямых Rk+ и δ-функциям в точках ft„.
Определим при k^Mk две системы функций:
(lVtoa(k)]-*yt(x9k)9k€='Rk+9
Ф+ (х9 k)=l[ |/2π a (ft)]-1 уг (х9 ft), ft <= "Rk+9 .
[%(x),k = kn;
ί [ /2πα (Α)]"1 У1 (χ, - ft), ft gee 'RA+,
Φ (x,k) = j [ γ2η a (ft)]"1 y2 (x9 - ft), ft e= "R*+,
U«M.* = Ля-
Теорема 6.2. Каждая из систем Ф+(л:, ft) и Ф~(*, ft)
представляет собой полную ортонормированную систему обобщенных
собственных функций оператора Я, так что соответствия f(x) +-*g±(k),
107

определяемые формулами
nx) = №±(x,k)g±(k)da(k),
g±(k)^^f(x)0±(xyk)dxy
(здесь знак надо всюду брать одновременно + или всюду
одновременно —) задают унитарные изоморфизмы L2(R) на
L2(Mk, do(k)). При этом соответствии оператор Η переходит
в оператор умножения на к2.
Доказательство теоремы 6.2, аналогичное доказательству
теоремы 6.1, предоставляется читателю.
Таким образом, оператор Η в L2(R) имеет конечное число
простых отрицательных собственных значений и двукратный
спектр [0,+оо). Отметим, что это можно было иначе увидеть,
расщепляя оператор Я в прямую сумму двух операторов на
[О, оо) и на (—оо,0] на подпространстве конечной коразмерности,
подобно тому как* это делалось в § 5 при доказательстве
теоремы 5.3.
§ 7. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ
Обратная задача теории рассеяния состоит в восстановлении
собственных функций и потенциала уравнения Шредингера по
так называемым «данным рассеяния», задание которых, по
существу, равносильно заданию асимптотики собственных функций на
бесконечности.
К сожалению, аккуратные доказательства теорем об обратной
задаче теории рассеяния требуют довольно громоздких оценок.
Мы не будем проводить все эти оценки, а ограничимся лишь
'описанием идейной стороны дела, отсылая читателя за деталями
к работам Аграновича и Марченко [1], Марченко [1,2], Фаддеева
[2, 3], Шадана и Сабатье {1].
1. Обратная задача на полуоси.
Мы будем изучать оператор Шредингера Я на полуоси
[О, +оо) и пользоваться обозначениями и определениями,
принятыми в § 4—6. В частности, через y(xyk) обозначается решение
уравнения ■
—U" + v(x)y = k*(y),
имеющее при jt->-+oo асимптотику eikx, т. е.
y(x,k)=eikx{\+o{\))y X-+ + 00.
Потенциал υ(χ) будем здесь считать непрерывным и
удовлетворяющим условию (6.1). Далее, по определению,
ψ (*, k) ~y (xyk) + S (k) у (л\ — k) -■= γ2π φ\{χ, k),
108

где S(ft) выбрано так, что ψ(0, k)=0y откуда ψ(0, k) —
обобщенная собственная функция оператора Н.
Мы воспользуемся теперь теоремой 4.4, согласно которой
00
у (jc, ft) = eikx + f A (jc, s) eiks ds (7.1)
X
(свойства A(xts) см. в формулировке упомянутой теоремы).
Имеем
Φ (*, k) = -^zr [e':kx + S (k) e~ikx] +
oo
+ -Λ=- f A (xf s) [eik* + S (k) e~iks] ds. (7.2)
>/"2π J
X
Введем функцию
η (s, ft) = -Λζτ Wks + S (*) e~'*s]. ft > 0,
η (s, ίκJ = ся e~*"s ,
где (ίκη)2 — точка дискретного спектра оператора Я, сп —
нормировочный коэффициент, выбранный из условия, чтобы
функция спу(х, Ып) имела норму 1 в 12([0, +°°)) (сп>0), и
рассмотрим оператор
η:Ζ,2(£)->ί,2([0,+оо))
(пространство L2(ft) было введено перед формулировкой
теоремы 6.1), ядро которого равно r\(s> k).
Введем еще оператор В с ядром Ь(х—s)+9(s—x)A(xys)
fi:L2([0,+oo)) + L2([0,+oo)).
Тогда (7.2) равносильно операторному равенству
Φ = βη, (7.3)
где Φ — унитарный оператор из L2(ft) в L2([0, +oo)),
введенный в теореме 6.1. . '
Оператор Ву как видно из (7.1), восстанавливает собственную
функцию по ее асимптотике. Напишем уравнение для В.
Унитарность Φ дает, в частности,
βηη*β* = /. (7.4)
Заметим, что Б* имеет ядро 6(s—χ) +Q(x—s)A(s,χ). Это,
в частности, означает, что 5*=/-f Л, где А — оператор типа
Вольтерра. Исходя из этого можно показать, что оператор В*
обратим. Существенно, что, поскольку ядро оператора Б; равно О
при s<x, ядра операторов В* и (В*)-"1 равны 0 при s>x.
109

Равенство (7.4) можно переписать в виде
β(ηη*) = (5*)-1. (7.5)
Отсюда мы попробуем получить уравнение для А (х> s) (и,
следовательно, для ядра В)> записав (7.5) в ядрах. Вычислим
ядро оператора ηη*.
Имеем
оо
(ηη*) {slt 8Ш) = — Г [eiks> + S (k) e~iks>] [e~iks*+ Sjkjeiks*] dk +
2л J
о
oo
+ Σ cn <Tx"(Sl+S2) = ^ [ [e^s*) + SЩ Ще-^-**)] dk +
η Ο
00
+ -L f [S(k)er-W*i+s*) + S(k)eik^+S*)]dk +
2π J
о
oo
= _L f <,<*<*-*,) dk + F {sx + s2) = δ (sx — s2) + F (Sl + s2),
где использованы, соотношения S(k)S(k) = l, S(—k)=S(k), тот
факт, что преобразование Фурье от 1 есть δ-функция, и введено
обозначение:
оо
F (х) = -J- f S(k) e-ikxdk+ £сл2 г-*"*
—оо П
OF(jt) является, конечно, обобщенной функцией).
Итак,
4\x\*=I+F,
где F — оператор с ядром F(si+s2). Полагая В=1+А> получим
из (7.5)
I+A+F+AF={I+A*)~\
или в ядрах:
Ь(х-у) + Ь(у-х)А{хУу) + F(x+y) +
оо
+ j A (х, s)'F (s + y)ds = T {x, у),
Χ
где Τ (χ, #)=0 при х<у. Отсюда получаем
оо
А(х, у) + F(х + у) + \ А{х, s)'F(s + y)ds = 0,y>x. \ (7.6)
X
110

Это уравнение называется уравнением Марченко. Оно
является линейным интегральным уравнением относительно А(х>у).
Мы преобразуем это уравнение так, чтобы в него не входили
обобщенные функции. Для этого заметим, что
F(x)=-b(x)+3T(x)y (7.7)
где
оо
£- (Х) = -L Г [5(k) +1]rikxdk +.£c„2 е~^ (7.8)
— оо η
является функцией, имеющей интегрируемый квадрат. В самом
деле, теорема 4.2 дает нам соотношение:
у (χ, k) = e!kx +у(хук),у(хук)=0{±\ при \k | -+ + оо
(при фиксированном х). Далее, по определению S(k) мы имеем
y(0,k)+S(k)y(Oy -k)=0,
при |&|->-+ос,
откуда следует искомое утверждение относительно ЗГ(х).
Теперь (7.6) приобретает вид
А (х, у) — δ (χ + у) + & (х + у) — А (х, — у) +
оо
+ §A(x,s)&(s + y)ds = 0,
X
но если у>х>0, то δ (*+#)= О и А(ху—у)=0, так что
окончательно получим
оо
A(x,y) + &(x+y)+^A(x,s)&{s+y)ds = 0,y>x, (7.9)
X
где #"(*) — заданная формулой (7.8) обычная функция.
Теперь мы можем дать формулировку и решение обратной
задачи теории рассеяния для оператора -Шредингера на полуоси.
Определение 7.1. Набор S(k), κη, сп2, где S(k) — введенная
в § 6 функция, (ίκη)2, л=1, ..., Ν(Η), — точки дискретного
спектра Я и сп2 — нормировочные коэффициенты, называется
данными рассеяния оператора Я.
Задача состоит в том, чтобы по данным рассеяния
восстановить собственные функции и потенциал ν(χ) оператора Я. Эта
задача решается следующим образом. Прежде всего надо по
данным рассеяния построить функцию &~(х), пользуясь формулой
Ш

(7.8), а затем, написать уравнение (7.9). Мы опускаем
исследование уравнения (7.9), показывающее, что оно однозначно
разрешимо и поэтому определяет ядро А(хуу) (при у>х).
Вычислив А(х,у), можно по формуле (7.1) найти y(x,k)
и восстановить v(x). Впрочем, лучше воспользоваться явной
формулой
ό(χ)=— 2-£-А{х,х)9 (7.10)
для доказательства которой надо проверить, что если ν(χ)
задается формулой (7.10), то найденная по формуле (7.1)
функция y(Xyk) удовлетворяет уравнению y"+k2y=v(x)y. Это легко
делается, если не заботиться о законности всех преобразований,
дифференцируемости функций и пр. и воспользоваться
продифференцированным два раза уравнением (7.6) для ядра А(х, у).
Мы отметим здесь еще тот факт, что данные рассеяния
связаны соотношением
[AMtf) = ;^AarsS(*)|±Sf (7.11)
где Ν-(Η) — число точек дискретного спектра оператора Я.
Докажем его. Заметим, что точки ΐκη — это нули
голоморфной в верхней полуплоскости функции y(0,k), стремящейся к 1
при |&|->+оо. Будем считать для простоты, что у(0,0)Ф0, так
что функция y(0tk) не обращается в 0 на вещественной оси»
По принципу аргумента
N-(H)=±bargy(09k)\±Z.
zn
Но мы имеем
arg S (k) = arg (- -f^U = π + arg ДО, k) - arg у (0, -к) =
\ 0(0,— k) J
= π + argy(0, ft)—arg}y(0,ft) = n + 2argy (0, k)y
откуда и следует (7.11).
Кроме (7.11), на данные рассеяния надо наложить лишь
условия гладкости при всех k и регулярности в бесконечности
функции S(k) (эта функция в бесконечности должна быть равна -Ч).
Тогда указанный выше алгоритм позволит по этим данным
восстановить потенциал v(x), для которого они действительно будут
данными рассеяния.
2. Обратная задача на всей оси.
Рассмотрим в L2(R) оператор н = — -^ + »(*). где
потенциал υ удовлетворяет тем же условиям, что и в § 6, п. 5. Мы
будем использовать обозначения, введенные в § 6, п. 5, для
решений yi(Xyk) и y2(x,k) с заданными асимптотиками eikx и e~ikx
.1.12

при я->+оо и х-+—оо (см. (6.41)), для ядер лреобразования
А\(ху s), A2(x,s) (см* (6.42)), для коэффициентов прохождения
и отражения a(k) и b(k) (см. (6.44)), а также для точек
дискретного спектра &η2='(ίκη)2, где κη>0, лг= 1, 2, ..., Ν~(Η)<
и для соответствующих нормированных собственных функций
ψη(#). Нам понадобятся также нормировочные коэффициенты,,
связывающие tyn(x) с y\(x>kn) и у2{хУкп). А именно, как и в п. 1,
мы можем выбрать функцию ψη(*) в одном из следующих
видов:
ψη Μ =^η+*/ι (*,&„), Ф»(л:)=Сп"У2(а:>Йп), (7.12)
где сп±>0. Рассуждая аналогично п. 1, мы получим, что ядра
A\(xfs) и А2(х,s) удовлетворяют следующим интегральным
уравнениям типа уравнения Марченко:
оо
Ах(х,s) + &г(х + s) + JАг(х,0&гЦ + s)dt = 0,x<s; (7.13')·
Χ
Χ
Α2(χ,s) + &2(χ'+s) + J A2(x,t)&2(t + s)dt = 0, x>s. .
—оо
(7.13">
Здесь функции &Ί и ЗГ2 находятся по формулам
оо
&х (х) - ± J *** γι (A) d£ + £ (с„+)2 е-*»*, (7.14'>
— оо п
оо
^,(*) = *Γ·ί e~ikx^(k)dk+ £(c„-)2A*, (7.14·)
—оо П
где
£α (Λ) α (Λ)
Каждое из уравнений (7.13) однозначно разрешимо, и тем
самым мы можем восстановить A\(x,s) по набору данных
рассеяния
гЛЩ,*пЛс+)\ (7.16·)
a ^42(a:,s) — по набору данных рассеяния
r2(k)t κ», {err)*. (7.16")
Зная же Л ι или Л2, мы можем найти y\(x,k) (соответственно
y2(x,k)) по' формулам (6.42), а тогда потенциал и(л:)
восстанавливается из уравнения Hy=k2y (для у\ или у2
соответственно). Впрочем, легко доказать, что справедливы явные формулы
ό(χ) = —2 — A1(xix)=2 — A2(x,x). (7.17)
113

Таким образом, для нахождения потенциала v(x) оператора Η
достаточно знать один из наборов данных рассеяния (7.16).
Отметим, что' из формулы (6.51) и асимптотик y\(xtk) и
У2(х,1г) при |&|->оо легко получается, что
a(ft) = l+0(-ji.)f|ftKoo. (7.18)
Принимая во внимание соотношение (6.49), мы видим, что
6(*)=0(i)}|*ho°· (7Л9)
Из (7.18), (7.19) очевидно, что
П(к) =0(^)f|*Kao>/ = lf2f (7.20)
откуда 3Tj{x) — обычная функция из L2(R).
Коэффициенты Г\(к) и r2(k) входят в качестве элементов
б важную 2х2-матрицу S(k)y называемую матрицей рассеяния.
Построим эту матрицу. Для этого надо рассмотреть два набора
решений уравнения Hy=k2y при &>0, определяемые следующими
.асимптотиками:
Уг+ (*. k) = I Sl1 {k)e~ikX + °[l)> ^~°°' (7.ВД
\er<** + $lt(k)e'k* + o(l)9x-++oo·
и+(х k) = l*21 {k) е~'кХ + еШХ + °(*)> *^-°°' π 21 +)
h22(£)^ + o(l),*-*+oo, 2 '
Л-(*.1к)«(^ + ^(*)^ + 0(1)'*^Ю· (7.21,-)
\sn(k)eri** + o(l), x++oo\
*-(*.*) J^(k)e^ + o(l),x^-oof (7e21r)
1«2ΐ (k)erikx + eikx + о (1), χ-*·+οο.
Смысл этих решений в следующем. Например, yi+(x,k)
описывает волновую функцию одномерной частицы, которая двигается
из +оо, где она имела импульс —k. После взаимодействия с
потенциальным полем ό(χ) возникают две «частицы», одна из
которых («отраженная») имеет на +оо импульс k и амплитуду
S\2(k)eikx, а другая («прошедшая потенциальный барьер») имеет
на —оо импульс k и амплитуду S\\(k)erikx. Из формул (6.44) и
(6.50), сравнивая их с формулами (7.21), легко получить
выражения функций Sif(k) и Sij(k) через коэффициенты прохождения
и отражения a(k) и b(k). А именно
a(k) ' lis ' a(k) ' "w a(k) ' "w a(k) '
(7.22')
Su (k) = s22 (k),s12 (k) = s21 (k), s21 (A;) = s12 (A), s22 (A) = sn (k).
(7.22")
114

Теперь продолжим функции Sij(k) на всю ось k, полагая
«£/(-*) =«/Л*)· (7·23>
Тогда получается, что
ri(k)=sl2(k)t r2(k)=s2i(k). (7.24)
Теперь введем матрицы
S(k) = (S»{k) S"{kA,S(k) = (*«{k) *»W\ p.25}
\sn(k) s22(k)J \s2i(k) s^(k)J
Используя формулы (7.22) и соотношение (6.49), легко
проверить, что матрицы S{k) и 3(k) взаимно обратны. При этом
ввиду соотношения Sn(k) = S22(&) они также эрмитово сопряжены
друг другу, откуда следует их унитарность.
Матрица S(k) естественным образом возникает при
рассмотрении нестационарной задачи рассеяния для оператора Я. Эта*
задача и связь с ней матрицы S(k) будут подробнее обсуждатьсл
в дальнейшем.

ГЛАВА III
МНОГОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Эта глава посвящена исследованию спектральных свойств
многомерного оператора Шредингера #=—Δ + υ(χ). Этот
оператор может иметь,смысл оператора энергии одной или нескольких
частиц в зависимости от вида потенциала vl Кроме того, он
может описывать поведение электрона в кристалле (в* случае
периодического потенциала υ). Как и в гл. II, потенциал υ всюду пред-
лолагается вещественнозначной измеримой функцией.
§ 1. САМОСОПРЯЖЕННОСТЬ
Рассмотрим в Rn оператор
Η=-Α + ό{χ)9 (1.1)
где Δ — лапласиан, v^L°°\oc(Rn)> т. е. ν — измеримая и
локально ограниченная функция на Rn. Мы всегда в этой главе будем
считать функцию ν вещественнозначной. Тогда оператор #о,
задаваемый выражением Η на Со°°(11п), симметричен как оператор
в L2(Rn). Мы изучим сейчас вопрос о том, когда этот
оператор Но в существенном самосопряжен, т. е. его замыкание Я0=
= #о** (это так называемый минимальный оператор,
определяемый выражением Н) является самосопряженным оператором.
Оказывается, для этого достаточно условия на потенциал,
аналогичного соответствующему условию в 1-мерном случае (см.
гл. II, §1).
' Теорема 1.1. Пусть потенциал υ (χ) удовлетворяет условию
»(*)>-Q(l*l), (1.2)
где Q(r) — такая неубывающая положительная непрерывная
функция на [0, 4-ро), что
00
{ /Q(2r)
Тогда оператор Я0 в существенном самосопряжен.
116

Мы должны доказать, что при выполнении условий теоремы
оператор Я0* симметричен. Для этого нужна некоторая
информация об области определения DH* оператора Я0*. Сначала опи-
о
шем локальную структуру функций из DH*. Она дается общими
о
теоремами о решениях эллиптических уравнений (см.
Добавление 2, теорема 2.1). А именно, если /eDH», то f^L2(Rn) и
о
(—A + u)/eL2(Rn), где лапласиан берется в смысле обобщенных
функций. Но тогда /e#2ioc(Rn), где #2i0C(Rn) — локальное
пространство Соболева, состоящее, из таких f^L2ioc(Rn), что df/dxit
d2f/dXidxj<=L2\oc(Rn) при любых i, / (производные берутся в
смысле обобщенных функций, т. е. в iZ>'(Rn)). При п=3 отсюда
следует, что f^C(R3) (см. Добавление 2, теорема 1.1).
Будем обозначать через Vf или gradf градиент функции /,
т. е. Vf=(dfi'dxu ..., df/dxn). Тогда если /e=D„*, то \Vf]<EE
о
eL2ioC(Rn). Теперь мы получим, информацию о поведении f при
|л;)->оо.
Предложение 1.1. Пусть потенциал υ(χ) удовлетворяет
условию (1.2) с некоторой неубывающей положительной функцией
Q(r). Тогда если f^DH*y то
о
fiwwiid^oo: (1.4)
J Q(2M) v '
R*
Доказательство. Локально интеграл (1.4) конечен и имеет
смысл благодаря замечанию, сделанному перед формулировкой
предложения. Заметим, что достаточно считать функцию f
вещественной, так как в силу вещественности оператора Я0 включение
f^DH* равносильно паре включений Ref^DH* и Im/^D
и аналогично оценка (1.4) для, f равносильна паре оценок того
же вида для Ref и Imf. Итак, пусть / вещественнозначна.
Рассмотрим интеграл
J= Г (l-^\Af.fdx,w>0. (1.5)
Мы будем сейчас преобразовывать этот интеграл, считая, что
/^Co°°(Rn), а в дальнейшем дадим обоснование окончательному
тождеству в общем случае.
Поскольку Af=divgradf = div(Vf), то мы можем
преобразовать подынтегральное выражение следующим образом:
(,_Μ)Λ/./ = 41ν,ν/)·(ΐ-'Μ)/ =
--l»[(i-£)M]-<w>-v [(!-£)/]-
117

_div[(1_K)w]_lvn.(1_M)
+
+τ'<μ·£· (1β>
где точка в последнем члене означает скалярное произведение
в Rn? Заметим, что (ν/) · — = —, так что последний член
Μ дг
в (1.6) име^т вид xtrlfdfjdr. Подставляя (1.6) в (1.5) и
пользуясь формулой Гаусса—Остроградского
JdivVrfr= JV-ndS (1.7)
(здесь Ω — ограниченная область с гладкой границей, V —
векторное поле класса С1 на Ω, π — внешняя нормаль к <3Ω), мы
получим
/— J IV/P (!-'£)*+■£■ J /·*Λ.' (1-8)
Оценим отдельно последний интеграл. В дальнейшем мы
устремим ai к +оо, так что можно считать сразу, что w>l. Имеем:
где Bi = {a:: |jc| <1} — единичный шар в Rn, так что
ar-i Г f^Ldx = xsr-10{\)y (1.9)
J dr
где величина 0(1) ограничена, когда f\st пробегает
ограниченное множество в пространстве Соболева Н}(В\). Далее, в осталь-
ной части интеграла перейдем к полярным координатам:
-ι Γ f?ldx = w-i[rn-xdr{ f{rv)dl^dSv =
w~
1ν|=ι Ί
w
■= — (n-l)(2w)-1 С (('r»-2/2(rv)drUsv +
lvi=i ι
+ (2w)~1 j p(x)dSx-(2w)-1 j P(v)dSv, (1.10)
|*Ηα> lv\=l
118

где dSVy dSx — стандартные элементы площади поверхности сфер,
по которым происходит интегрирование. В силу теоремы
Соболева о следах (теорема 1.2 из Добавления 2) имеем
(2w)-* j f*(v)dSv = w-W(l), (1.11)
lvl=l
где 0(1) ограничено, когда множество функций {/|^} ограничено
в Н1(ВХ).
Положим для любой локально интегрируемой функции h(x)
на Rn:
Mrh= j h(x)dSx, (1.12)
\x\=r
так что Mrh определено при почти всех re (0, -foo).
Предпоследний член в (1.10) равен тогда (2w)~lMwf2. Отметим, что
](Mrr)dr^yf, (1.13)
о
где ||·|| означает норму в L2(RW). Наконец, имеем
w-1 J (JVtt-2/2(rv)dr)dSv<o;-1 f (Jr"-1/2H)dr)dSv =
|v\=l 1 |vl=l 1
^w1 J* p(χ)άχ<ζ w^Wff = w-WV), (1.14)
где 0(1) ограничено, если f пробегает ограниченное множество
в L2(Rn). В итоге мы получаем, используя (1.8) —(1.12) и (1.14):
у = — С h—^\\vf\2dx + w-io(l) + (2w)-1Mwpi
\X\<W
(1.15)
где 0(1) ограничено, если f пробегает множество функций,
ограниченных в L2(Rn) к в Ηλ(Βι).
Заметим теперь, что в формуле (1.15) в обеих частях (т. е.
в правых частях (1.8) и (1.15)) можно перейти к пределу от
функций f&S(Rn) к любым функциям f^Hl(Rn) в силу теоремы
о следах Соболева (теорема 1.2 из Добавления 2). Более того,
поскольку обе части ее зависят лишь от значений / при |я|<а>,
эта формула верна при любых f^H\0c(Rn) (в частности, при
всех f^DH* ), причем 0(1) ограничено, когда ограничены нор-
о
мы Ц/11 и Н/Цяч^), в частности, при фиксированном f<=DEo.
Положим теперь
F(r)=Ai,|V/|2, E(r)=Mrf2.
119

Тогда формула (1.15) переписывается в виде
W
П\ L\F(r)dr=— Г U—-^\Af-fdx + (2w)-*E(w) +
О 1*|<α;
+ от10(1). (1.16)
Считая /&D„*, положим —&f + v(x)f=g; тогда geL2(Rn). За-
о
меним Δ/ в (1.17) на v(x)f—g и оценим — v(x) сверху через
<2(|л;|). Тогда мы получим
w
;(l_^)F(r)*< j (l-«i.)«f4« +
(1.17)
0
w
о
Положим еще
так что
Тогда из (1.17)
\x\<W
^)Q(r)E(r)dr+(2wf
w I
G(r) = Mr{\f\
00
f G(r)dr <+oo,
0
следует неравенство
w w
i('-i)f<'-)*<H1-i)e(r)'ir
+
+ С (l — — ) Q(r)B(r)dr + (2w)~1E(w) + иг10(1).
о
Умножим обе части на w и проинтегрируем по w от 0 до Т,..
пользуясь формулой
Т w Τ
[\Uw — r)H{r)dAdw=— UT — rfH{r)dr.
0 0 О
Получим тогда
τ
\{T-rfF(r)dr<^{T-rfG{r)dr +
о о
τ τ
+ [ (Τ - rf Q (r) Ε (r) dr + J £ (r) dr + О (Г).
120

Теперь делим обе части на Г2:
J(,-ir)Vw*<y(.-^0W* +
О О
Τ Τ
+ ^{l-^yQ{r)E{r)dr + T-^E{r)dr + 0(T^)<
о о
τ
<\(\--j)2Q{r)E{r)dr + C,
О
где С не зависит от Τ ввиду интегрируемости функций G(r) и
£(г) на [0, оо). Из последнего неравенства, в частности, следует
Т/2 Τ
-i- J F(r)dr<jQ(r)£(r)dr+C. (1.18)
q, о
Дальнейшее рассуждение аналогично одномерному случаю (см.
§ 1 гл. II). Положим
Т/2 Т
){Т) =J_ \ F(r)dr9%(T) = §Q(r)E(r)dr + C.
w
х ' 4
О
Рассмотрим интеграл
τ
г)
rw'(r)-X'(r)
J Q(r)
dr
и применим к нему вторую теорему о среднем. Тогда мы
получим, что при некотором ξ^[0, Τ]
lw_-X_dr = ±_}llrz=
J Q Q(0).r '
• о о
= ^ fr Ш - X (I) - "> (0) + X (0)] < X (0) ~ζ(0) - const
(последнее неравенство выполнено в силу (1.18)). Отсюда
τ τ
тГ^*<^* + с.
Заменяя в первом интеграле г/2 на г и учитывая интегрируемость
Ε (г), мы получаем отсюда при Г-> + оо
J Q(2r) ^
о
что равносильно (1.4). ■
121

Доказательство теоремы 1.1. Нам нужно доказать
симметричность оператора #0*. Пусть fuf2^DH*, gi = —Afi + v(x)fh так что
о
gi^L2(Rn). Необходимо проверить, что
jAftrfx= UJ2dx. (1.19)
R" R"
Временно считая, что /i,/2^5(R?l), напишем
J (figt — gj*)dx = — [ (/ιΔ/2 —Δ/1.72)^ =
\x\<t \x\<t
= J div.[/2V/i-/1V?2]^= f [^-f--^-^]^·
\x\<t ■ \x\=t
(1.20)
Эта формула верна и при любых /i,/2^ff2ioc(Rn) (в частности,
при любых fuf2^DH*). Полагая р(/) = l/VQ (2ί), умножим (1.20)
о
на p(t) и проинтегрируем от 0 до Т. Тогда в левой части
получим: ~
fΡ(0[ J (figt-gih)dx]dt= fpW(Jc9r(T)dT)dif (1.21)
0 |*[<f 0 6
где
так что, в частности,
<9Ч0= J (figt-gJt)dS9
\x\=t
Х>
J|dT(0H<oo. (1.22)
Положим
/>(g)=Jp(0*·
0
Тогда правая часть (1.21) записывается в виде
Jpr(i)(C <гг(т)л)л=[йг(т)(|р(<)л)л =
0 0 6 τ
= |(Ρ(Τ)-/>(τ))#'(τ)Λ.
о
Оценим члены, которые будут получаться из правой части (1.20)
после умножения на р(/) и интегрирования. Первый из них
оценивается так:
|Jp(*)(j f^dS)dt\-\ j p(I*I)M*)^**|<
ο u\=t \χ\<τ
122

( J l/3WP^)I/2-( J Ρ4\χ\)\δψ\2αχ)1β-
\x\<T \х\<Т
<Ι/ιΙ· jQ-1(|2^|)lv/il2^<C
в силу предложения 1.1. Аналогично оценивается второй такой
член. В итоге мы получаем
If {P{T)-P(t))&{t)dt\<C. (1.23)
'о '
Поделим обе части на Ρ (Τ) и устремим Г к +оо. При этом
Р(Т)-*+оо в силу условия (1.3). Поэтому из (1.23) получается
Ά. ίί1--^)*»*-0· (1'24)
О
Необходимое нам равенство (1.19) с'помощью функции 3f(t\
записывается в виде
|[#(*)Λ = 0. (1.25)
о
Это легко вывести из (1.24) с учетом (1.22). А именно выберем
произвольное ε>0 и найдем столь большое i?>0, что
]\&(t)\dt<e.
Тогда мы получаем при таком выборе R и при T>R
r τ
)&®*\<\1{ι-^)&<1)*\ + *·
P(T).
о о
Отсюда при Т-++оо находим, пользуясь (1.24)
R
что сразу приводит к требуемому равенству (1.25). ■
Пример 1.1. Пусть v(x) = а|лг|а, где а>0. Тогда условие
теоремы выполнено при а>0 и любом а, также при а<0 и а<2.
Покажем, что если а<0 и» а>2, то оператор #о не будет
в существенном самосопряженным. Для простоты будем считать,
что а — — 1 и п=3. Для этого рассмотрим сферически
симметричные решения уравнения Hu = k2u> т.е. решения вида и(х) =t|)(|x|).
Легко видеть, что функция ψ (г) должна тогда удовлетворять урав-
123

нению
Ψ" (г) + — ψ' (г) + (#> + г«) ψ (г) = 0 (1.26)
Г
на (О,+оо). Кроме того, мы должны иметь u(\x\)^H2ioc(Rz)r
что равносильно выполнению условий
1
Jr2|^>(r)|2<oo,fe = 0,1,2. (1.27)
о
В частности, u(\x\)&C(Rz), так что г|эеС([0,+оо)).
Исследование уравнения (1.26) легко провести средствами, описанными
в § 4 гл. II. Сначала займемся описанием особенностей решений
уравнения (1.26) при г->+0. Естественно ожидать, что член
(k2 + ra) не повлияет на главную особенность. Поэтому
естественно применить вариацию постоянных, начиная с уравнения
имеющего общее решение y\>(r)=a+br~\ где а, Ъ — постоянные.
Будем искать решение уравнения (1.26) в виде
q(r)=a(r)+b(r)r-K (1.28)
Тогда для выполнения (1.26) достаточно, чтобы функции, а (г)
и b(r) удовлетворяли системе уравнений
Га/.(г)+Ь'(г)г-1 = 0,
( V (г)г-2 = (k* + г") [я(г) + Ь(г) г-1],
или
а' (г) = - (k* + r«) [га(г) + Ь (г)], .
*'(γ) = (*1 + γ«)[Λι(γ) + γ*(γ)]>
откуда регулярные решения (класса С1 на [0, оо)) однозначно
находятся, если задать произвольно начальные данные α(0)=αο,
Ь(0) =Ьо. В частности, мы можем положить а(0) = 1, 6(0) =0. Тогда
по формуле (1.28) получится решение ψ (г), которое заведомо
принадлежит С2([0,+оо)), так что условия (1.27) выполнены и
соответствующая функция и (χ) = ψ (| χ \) будет удовлетворять
уравнению Hu=k2u всюду в R3.
Найдем теперь асимптотику решений уравнения (1.26) при
г->+оо. Здесь уже легко предвидеть, что не будут" играть роли
члены 2r~lty'(r) и k2ty(r). Делая замену независимой переменной
г
/=<р(г), где ф(г)= {Vk2 + ra dr, мы получим из уравнения
о
(1.26) уравнение
ψ + φ'"2 (φ" + ^А ψ + ♦ = 0, (1.30)
124

где штрих означает производную по г, а точка — производную*
по /. Теперь нужно сделать замену неизвестной функции,
ликвидирующую коэффициент при ψ, равный x(r(t))> где χ=
= φ'~2 («р'Ч^г-^ф')»3 г(0 — функция, обратнаяк функции t = q>(r)^
Мы должны положить (в соответствии с § 4 гл. II) ψ = λ(ί)η>
где.
t
λ(*)=βχρ( l-\%(r{t))dty
в результате чего уравнение (1.30) принимает вид
η+0+ξ(0)η = 0,
с интегрируемой функцией l(t)9 так что асимптотики двух
базисных решений η± при t-+ + oo имеют вид
η±(ί) = β±"(1 +о(1)),
или, что то же самое, базисные решения Ψ±(γ) при лс->,+ оо имеют
асимптотику
ψ*(Γ) = λ(φ(Γ))β±ίΦ(τ)(ΐ +ο(1)). (1.31)
Легко вычислить асимптотику функции λ (φ (г)) при г->+оо.
А именно, если α = 2β (так что β>1), то q/(r)~rP, откуда
χ(Γ)-(β+2)Γ-»-β и
M<p(r))~exp (_J-jx(r)9'(r)rfr) = Cexp(--B^-lnr) =&->-«*.
Таким образом, мы получаем для любого решения ψ (г) при
г ->- оо асимптотику
ψ (г) = Γ-ι-β/2 [QrbW + С2*>-W> +o(l)],
откуда видно, что
оо
J \y(\x\)\2dx = \r*\q(r)\*dr<+oo
1*12*1 1
ввиду условия β>1. В частности, регулярное при r=0v решение
тоже имеет интегрируемый квадрат. Но это было бы
невозможно, если бы оператор #0* был самосопряжен, так как все
построенные (при каждом k) решения/t/eL2(R3) уравнения
Hu = k2u очевидным образом принадлежат DH* , так что из само-
о
сопряженности Я0* вытекала бы их ортогональность, что
противоречит сепарабельности пространства L2(R3).
§ 2. ОЦЕНКА ОБОБЩЕННЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИИ
Мы докажем здесь утверждение, аналогичное оценке
обобщенных собственных функций из § 2 гл. II. Это наиболее
естественным образом делается с помощью пространств Соболева
125-

*с весом, которые мы сейчас введем. Мы будем использовать
некоторые факты теории обычных пространств Соболева, изложенные
в Добавлении 2.
Напомним, что при· любом s^R пространство Соболева
#s(Rn) состоит из таких обобщенных функций и умеренного ро-
«ста (т.е. i/&S'(Rn)), что (1+ |||2)s/2iT(|)e=L2(R"), где и (ξ) —
преобразование Фурье обобщенной функции и. При целом s>0
это пространство может быть описано также как пространство
таких u^L2(Rn), что dau^L2(Rn) при |a|<s. Здесь a — муль-
тииндекс, т. е. α = (αϊ,..., an), a/GZ+ (через Z+ обозначается
множество всех неотрицательных целых чисел),
|α|=αχ + α2+ ... + ап,9* = 9**д* ...д%п ,
тде dj = d/dxj. При отрицательном целом 5 пространство #s(Rn)
может быть описано как множество всех конечных линейных
комбинаций
и= Σ ^/«./«е!1»"1), (2.1)
ΙαΚ-s
(при 5 =—1 это доказано в Добавлении 2, лемма 2.3, а при
произвольном 5 легко получается ртсюда индукцией по |s|), причем
это представление может быть выбрано так, что
с-1 Σ шкм <с Σ ш, (2.2)
Ι α К—s I a К—s
где С не зависит от и, ||»|| — норма в L2(Rn), а ||-(|5 — норма
в #s(Rn), определяемая формулой
ll"lls=ll(i + |i|2)5/Mi)ll. (2.3)
Иной способ описания пространства #s(Rn) при целом
отрицательном s — это использование двойственности, задаваемой
скалярным произведением (·, ·) в L2(Rn). Пространства Hs(Rn)
и #~s(Rn) сопряжены друг другу относительно этой
двойственности. Это значит, что скалярное произведение (·, ·)
продолжается при любом sgR до такого полуторалинейного
непрерывного отображения Hs(Rn) X#~5(Rn)->C (которое мы снова
будем обозначать (·, ·))> что всякий линейный непрерывный
функционал /(/) на #s(Rn) имеет вид /(f) = (f,g), где g^H~s(Rn)
(и такой элемент g однозначно определен) и, наоборот, всякий
антилинейный непрерывный функционал 1(g) на H~s(Rn) l)
единственным образом записывается в виде /(g) = (f,g)> где fe
^Hs(Rn). Иными словами, H~s(Rn) можно представлять себе
как множество всех линейных непрерывных функционалов на
пространстве #s(Rn).
Введем теперь пространство Соболева Я5.с весом (1 + jjtl2)^2.
1 Антилинейность функционала 1(g) означает, что он аддитивен и /(λ#) =
■= Xl(g) при ЯеС, иначе можно сказать, что функционал 1(g) линеен.
126

Определение 2.1. Пусть s, iV^R. Пространство HNs(Rn)
(пространство Соболева Hs с весом (1+l^l2)^2) состоит из таких
обобщенных функций ueS'(Rn), что (1 + \x\2)N/2u^Hs(Rn).
Введем в HNs(Rn) норму
\M\s,N=\\(l+'\x\2)N/2u\\s, (2.4>
где ||-IU — норма (2.3) в #s(Rn). Нам будет также нужен
другой способ записи этой нормы, который мы сейчас опишем.
Рассмотрим для любого sgR оператор As=(l—A)s/2, где Δ —
лапласиан в Rn. Этот оператор действует в S'iR") по формуле
Asu(x)^F^x[V + \1\2У/2»Ш (2.5)
где ^ξΐίχ— обратное преобразование Фурье, превращающее
функцию от | в функцию от χ (обратный оператор к
отображению F=Fx^b переводящему и(х) в и(|)). Теперь, учитывая (2.3)„
можно записать норму (2.4) в виде
\\u\\s,N=\\As(l+\x\*)Wul (2.6)
где 11-И — норма в L2(Rn).
Лемма 2.1. Пространство HNs(Rn) с нормой \\-\\s,n полно иг
следовательно, является гильбертовым пространством.
Доказательство. Обозначим через MN оператор умножения на
(1+|#|2)^/2 в S'(Rn). Тогда операторы As и MN обратимы
в S'(Rn). Поэтому оператор ASMN тоже обратим. Отсюда
следует, что он отображает HNs(Rn) изоморфно на L2(Rn). Но из
формулы (2.G) сразу следует, что оператор ASMN: HNs(Rn)->-
-+\L2(Rn) является изометрией. Поэтому полнота пространства
HsN(Rn) сразу следует из полноты пространства L2(Rrt). Ш
Для нас важно уметь обнаруживать, что быстро растущие
функции не принадлежат пространству HNs(Rn)- Это можно,
например, увидеть из следующего замечания. Введем операцию·
усреднения обобщенных функций. Рассмотрим любую функцию
(p^Co°°(Rn) и положим для u^S'(Rn)
u<p(x) = (u*<p)(x) = $u{y)<p(x — y)dy= {ut<p(x— ·)). (2.7)
Если u^Hs(Rn) при каком-нибудь s^R, то u9^L2(Rn) при
любой усредняющей функции (p^Co°°(Rn). Поэтому справедливо
Предложение 2.1. Если u^HNs(Rn)y то [(\ + \x\2)N^2u]^
eL2(Rn) для любой функции (peCo°°(Rn).
Из формулы (2.7) видно теперь, что функция u^HNs(Rn) не
может быстро (например, экспоненциально) расти ни в каком
угле и даже ни в какой полосе конечной ширины (мы можем
взять неотрицательную усредняющую функцию φ с маленьким
носителем, и тогда усредненная функция будет расти столь же
быстро).
Теперь мы сформулируем основную теорему.
Теорема 2.1. У любого самосопряженного оператора в
пространстве L2(Rn) можно найти полную ортогональную систему обоб-
127

щенных собственных функций, лежащих в пространстве HNF(Rn),
где числа 5, N таковы, что s<—п/2 и N<—я/2.
Доказательство, Мы должны показать, что существует такое
оснащение Гильберта — Шмидта 55?-μaffl cz &C-. пространства
^ = L2(Rn), что Ж- = HsN(Rn) .(см. Добавление 1, § 2).
Достаточно представить Ж~ как пополнение Ж по норме вида ||f||-=
= I|/Cfll, где 11-11 — норма в <5#, К — такой оператор Гильберта —
Шмидта, что Кег/(={0} и КегЛ** = {0}. Но по лемме 2.1
пространство HNs(Rn) полно, а поскольку L2(Rn)czHNs(Rn) при s<0,
iV<0, то при таких 5, N пространство #ws(Rn) можно
рассматривать как пополнение L2(Rn) по норме Й-Нв.лг, имеющей вид
\\u\^N=\\AsMNu\\.
Положим K=ASMN. Операторы As и Λί^ при$<0 и JV<0
ограничены и самосопряжены. Поэтому /C* = MjvrAs. Поскольку KerAs =
= {0} и КегЛ^={0}, то Кег/(={0} и Кег/(* = {()}. Остается
проверить, что при 5<—/г/2 и N<—/г/2 один из операторов /С, К*
является оператором Гильберта — Шмидта (тогда второй
оператор автоматически является таковым — см. Добавление 1, § 2).
Вычислим ядро оператора /С*. Оно однозначно определяется
действием оператора на пространстве S(Rn). При u^S(Rn) мы
имеем
КГи (х) = (2n)-mN J e"* (1 + 1112)5'2 и (ξ) d\ =
= (2n)-nMN j е«*-уУЪ(1 + 11 \ψ* и (у) dyd\ =
= (2n)-n$e«*-y^(\ + |*IT/20 +\l\2)st2u(y)dyd% =
= SL(xfy)u(y)dyy
где
L(x9y) = (2n)-»le4*-**(l +|jc|2)^2(1 +|£|2)s/2dg. (2.8)
Здесь интеграл по ξ понимается как преобразование Фурье функ-
дии (1+|ξ|2)5/2 (в смысле S'(R'1)). Если s<—nJ2, то эта
функция принадлежит L2(R5n), так что то же верно и для
преобразования Фурье. Поэтому, обозначая g(z) = frjz0 + I ξ l2)s/2, мы
.можем переписать (2.8) в виде
L (х, у) = (2π)-/2 g(x-y)(l+\x \ψ/2,
причем g^L2(Rn) при s<—п/2. Ясно, что если положить f(x) =
= (2π)-η/2(1+|*|2)Α'/2, то мы получаем
tt\L(x,y)\*dxdy = $\g(z)\*dz.$\f(x)\*dxy
откуда L e L2 (R£ X Rp при s<—n/2 и N<—n/2, что и
требовалось. ■
Теорема 2.1 запрещает, как следует из предложения 2.1,
сильный рост обобщенных собственных функций. Она же
ограничивает их сингулярность. Однако в случае оператора Шредингера
локально обобщенные собственные функции должны быть
значила

тельно более гладкими: это вытекает из теорем о регулярности
решений эллиптических уравнений (см. Добавление 2, § 2).
А именно, если i^L°°ioc(Rn), 'то обобщенные собственные
функции обязаны принадлежать пространству #2i0c(Rn) (в частности,
при я<3 они должны быть непрерывны1), а если u^C°°(R'7), to
и обобщенные собственные функции должны быть бесконечно
дифференцируемы. Следующий пример показывает, какое
именно ограничение на рост собственных функций здесь получается.
Пример 2.1. Рассмотрим функцию ιΐι(χ)=*\χ\ι, где />0, и
выясним, каким пространствам HNs(Rn) она принадлежит. Мы
будем считать, что s<0, iV<0. Поэтому особенность при х=0 здесь
несущественна (добавляя финитную непрерывную функцию,
принадлежащую HNS(R") при всех s<0, iV<0, мы можем сделать
щ(х) бесконечно дифференцируемой). Положим uiiN(x) =
= (1+ \х\2)м/2щ(х). Тогда условие ui^Hns(Ru) равносильно
включению ui,K^Hs(Rn). Легко показать, что это, в свою
очередь, равносильно включению uiiN^L~(Rn). В самом деле,
последнее условие при 5<0, очевидно, достаточно для выполнения
первого; с другой стороны, если выполнено первое, то
усреднение [и/,лг]ф должно принадлежать L2(Rn) для любой усредняющей
функци.и (peCo°°(Rn). Но если φ>0, φ^Ο, то усреднение [ui,N\
имеет при |лг|->оо ту же асимптотику, что и функция u^N(x)y
что доказывает необходимость условия uitN^L2(Rn). Включение
же Ui)N^L2(Rn) имеет место, очевидно, тогда и только тогда,
когда / + N < . Но при рассмотрении обобщенных
собственных функций мы можем взять N = ε при любом ε>0.
Это означает, что при каждом фиксированном ε>0 функции,
растущие быстрее |л*|е, можно не учитывать при построении
полной ортогональной системы обобщенных функций.
§ 3. ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР И УБЫВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В этом параграфе мы докажем, что если потенциал υ(χ)
растет при |*|->+оо (т. е. ν(χ)-*+οο при |я|->оо), то
соответствующий оператор Шредингера #=—Δ+ν(χ) имеет дискретный
спектр, т. е. в L2(Rn) имеется ортогональный базис из
собственных функций {ψ/}?10, причем соответствующие
собственные значения λ/ стремятся к +со. Собственные функции ψ/(χ)
экспоненциально убывают при |х|->+оо. На самом деле,
результат будет более сильным: для дискретности спектра оператора Я
на (—оо, а) достаточно, чтобы было выполнено неравенство
lim inf υ (χ) ^α, (3.1)
|*|-»οο
1 На самом деле, в этом случае собственные функции непрерывны и даже
локально удовлетворяют условию Гельдера при любом п. Мы не будем
доказывать (и использовать) этот более сложный аналитический факт.
129

где левая часть определяется формулой
lim Ίηϊυ(χ)^ lim (inf v(χ)).
Иными словами, если v(x)>b при больших |лс|, то весь спектр
оператора Я на (—оо, Ь) дискретен. Экспоненциальное убывание
собственных функций также имеет место. При степенном росте
потенциала мы докажем более сильное убывание собственных
функций.
1. Дискретность спектра.
Мы предполагаем, как всегда, что i>eL°°ioc(Rn). Наша
основная цель сейчас состоит в доказательстве следующей теоремы.
Теорема 3.1. Если потенциал υ(χ) удовлетворяет условию
(3.1), то оператор Я=—А + и(х) полуограничен снизу и имеет
дискретный спектр на (—оо, а), т. е. при любом а'<а спектр
оператора Я на (—оо, а') состоит из конечного числа собственных
значений конечной кратности. Иными словами, спектральный
проектор £а' оператора Я конечномерен при любом а'<а.
Доказательство. В соответствии с вариационными
принципами (см. Добавление 1, § 3) достаточно доказать, что если а'<а
и L — такое подпространство в Ж (не обязательно замкнутое) у
что LczDh и
(#4>,ψ)<*'(Ψ.Ψ). *е=1, (3.2)
то L конечномерно. Здесь Он — область определения
оператора Я, который рассматривается как самосопряженный оператор
в пространстве i^=L2(Rn). Левая часть (3.2) имеет вид
(//ψ, ψ) = J [— Δψ + υ (χ) ψΐψώτ. (3.3)
Мы хотим теперь проинтегрировать по частям в правой части
этого равенства, написав
(/^*, +) = ίΐ Ι ν* Ρ + o(jc) I ψ|»] Лс. (3.4)
Эта выкладка законна при ifeCo^R"), однако сразу не видна
ее законность при произвольном я):е£я, устанавливаемая
следующей леммой.
Лемма 3.1. В ^предположениях теоремы 3.1 из условия г|^£>я
вытекает, что
ίί[Ινψ|2+|^(χ)|·|ψ|2]^<οο, (3.5)
причем верна формула (3.4).
Доказательство. Мы. уже знаем, что если ψ^£)#, то t|?e
^Я21ос(Кп) (см. Добавление 2), так что если взять интеграл
в (3.5) по любому шару BR = {x: jt^R", |x|<i?}, то он будет
конечен. Кроме того, tfeL2(Rn), поэтому вместо (3.5) можно
написать
Нь (Ψ. *) = Я Ι νψ |2 + (ό (х) - b) I ψ I2] dx < oo, (3.6)
где b^iniv(x)—1 и правая часть равенства является
определено

нием квадратичной формы #&(ψ, ψ). Отметим, что конечность
Hb(ty, ψ) означает одновременное выполнение условий
ί|νΨ|2^<οο, Hl+K*)|)|*pd*<oo. (3.7)
Наряду с квадратичной формой #&(ψ,ψ) рассмотрим
соответствующую эрмитову форму:
Нь (ψχ, г|>2) = J [νψχ-"νψ.2 + (ν (χ) - Ь)Ъ ψ2] dx, (3.8)
которую мы будем считать определенной, если #&(ψ/, ψ/)<οο,
У=1, 2, т. е. при ψ=ψι и ψ = ψ2 выполнены условия (3.7).
Заметим теперь, что если \|^Co°°(Rn), то
((Н-Ы)ЪЪ)=НЬ{ЪЪ). (3.9)
Левая часть здесь непрерывна на DH, если ввести в DH норму
графика по формуле
Поэтому правая часть также по непрерывности продолжается
на 1>я. Заметим теперь, что если ||·|1ι — норма в #*(Rn) (см.
Добавление 2), то ||ψ|Ιι2<#&(ψ, ψ) при i|^Co°°(Rn). Поэтому из
сходимости по норме ||-|1гя функций из Co°°(Rn) вытекает их
сходимость в Hl(Rn). Ввиду полноты пространства Я1(R1)
отсюда следует, что если ψ^£#, то феЯ^К"), т. е. t£eL2(Rn) и
выполнено первое из условий (3.7). Аналогично из полноты
пространства
L2(RM+hW|)-{^:^^L20C(Rtt),
S(l + \v(x)№(x)\%dx<+oo}'
вытекает, что если ф^£>я, то i|^L2(Rn, 1+|и(я)|). Таким
образом, мы получаем, что если ф&Оя, то выполнены условия (3.7).
Равенство (3.9) (или, что равносильно, (3.4)) при всех ф^А*
получается распространением по непрерывности этого равенства
cCo°°(Rn). ■
Продолжим доказательство теоремы 3.1. Благодаря лемме мы
можем переписать (3.2) в виде
ί[|νψΐ2 + (^(χ)-α')|ψ|2]^<0, φ€=ί,. (3.10)
Пусть δ>0 таково, что α'+δ<α и /?>0 выбрано так, что ι>(χ)>
>α' + δ при |jc|>R. Пусть также Μ = — inlv(x). Тогда из (3.10)
X
вытекает, что если С>0 и С>М,+а\ то
ί lv*l2<& + J [|νΦΐ2 + δ|φ|2μ*<
\x\<R \x\^R
<C . J |φ|2<ίχ, ψ£ί. (3.11)
x\<R
Л31

Рассмотрим теперь на L оператор ограничения на шар BR:
P:L-+L*(Br)>
На L мы будем рассматривать топологию, индуцированную
нормой ||·|| в пространстве L2(Rn). Тогда ясно, что оператор ρ
непрерывен. Из (3.11) видно, что он инъективен (т. е. функция
ψ^£ однозначно определяется своим ограничением на шар BR).
Пусть L=p(L). Теперь достаточно доказать конечномерность
пространства £. Ясно, что LiCzH](BR), причем из (3.11) следует,
что
«^Цяч^-ССЛг!)^, *еГ. (3.12)
Отсюда уже следует конечномерность L. В самом деле,
тождественный оператор 1С в L может быть представлен в виде
композиции оператора вложения LczHl(BR), непрерывного в силу
(3.12), и ограничения на образ L в Hl(BR) оператора вложения
Hl(BR) QLL2(BR), который компактен (вполне непрерывен) в
силу результатов § 1 Добавления 2. Поэтому оператор /г
компактен, что возможно лишь в случае конечномерного £. Теорема 3.1
доказана. Я
2. Убывание собственных функций.
Нам понадобятся теперь некоторые утверждения о решениях
уравнения (—Δ+&2)ψ = 0, где k>0. Сначала мы опишем
поведение фундаментального решения оператора —A+k2 в R", т. е.
решения <S^S'(Rn) уравнения
(— Δ+ #)£(*) = δ(*). (3.13)
Предложение 3.1. Фундаментальное решение <SeS'(Rn)
оператора —Δ + &2 существует и единственно. Оно сферически
симметрично (т. е. не меняется при поворотах R"), является
бесконечно дифференцируемой (и даже вещественно-аналитической)
функцией в Rn;>{0} и при |лс|->оо имеет асимптотику
i(^) = c|jc|-(«-D/2e-*W(i +о(1)), (3.14)
где с>0.
Доказательство. Применяя к уравнению (3.13)
преобразование Фурье, мы получим
(\l\2 + k*)g(l) = (2n)-^t
откуда
?(ξ) = (2π)-/2(|ξρ+ *»)-!, (3.15)
так что мы получаем единственность <§(дс), а его сферическая
симметрия следует из единственности (с учетом сферической
симметрии уравнения (3.13)) или из того, что б(|) сферически сим-
132

метрично. Далее, 6 (*)eC°°(Rn£s{0}), поскольку в Rn;>{0}
функция 6 (х) удовлетворяет эллиптическому уравнению
(—A + k2)6 (х)=0 (см. Добавление 2, § 2). Поэтому при хфО
функция ё (х) имеет вид f(\x\), где f^C°°(R+) (здесь R+=
= {г: г>0}). Уравнение (—А+^2)/(|лс|) =0 переписывается в виде
-Г(г)- J1y-f'(r) + k*f(r) = 0. (3.16)
Сделаем в нем замену неизвестной функции f=a(r)gi чтобы
коэффициент при g' в уравнении для g обратился в 0. Тогда получим
для а(г) уравнение 2а! + (η—1)/*_ια = 0, откуда можно считать,
что a(r) =r~(n-I>/2. Уравнение для g(r) принимает вид
~g"(r)-k* (l+o(-i-))g(r) = 0;
ясно, что существуют его решения g±(r), имеющие при г->+оо
асимптотики g±(r) =e±kr(l+o(l)), причем g-(r) единственно
с точностью до множителя (см. гл. II, § 4). Поэтому уравнение
(3.16) имеет фундаментальную систему решений f+(r), /-(г),
имеющих асимптотики f±(r) =r-^n~l^2e±kr(\+o(\)). Если <S (χ)! =
= f(\'x\), то из условия <S^S'(Rn) следует, что f = cf-, т. е. верна
асимптотика (3.14).
Замечание 3.1. При я = 3 фундаментальное решение 6 (х)
находится явно и имеет вид
*(*) = _!_«-* r = \x\. (3.17)
В общем случае оно выражается через функции Бесселя.
Теперь мы сформулируем основную теорему об убывании
собственных функций. Для простоты мы будем считать, что 1>еС°°
при больших |jc|.
Теорема 3.2. Пусть потенциал v(x) удовлетворяет условию
(3.1) и ψ — собственная функция оператора #=—Α + ν(χ) с
собственным значением λ<α. Тогда при любом ε>0 справедлива
оценка
| ψ (χ) |< Сее~ У(а-к~г)/2 \х\ ш (3.18)
Следствие 3.1. Если υ(χ)-*+οο при |л;|->оо, то для любой
собственной функции выполнены оценки
\у(х)\<Сае-*\*1 (3.19)
где а>0 произвольно, Са>0 зависит от а.
Замечание 3.2. Оценка (3.18) может быть улучшена. А именно
при тех же предположениях справедлива оценка
Ж*) К C^i^^ri^i , ε > 0, (3.18')
эскиз доказательства которой мы дадим после доказательства
теоремы 3.2.
133

Идея доказательства теоремы 3.1 состоит в сравнении
квадрата собственной функции ψ с фундаментальным решением ё (х)
при больших | jc | с помощью принципа максимума.
Заметим, что, поскольку оператор Н = —Α+ν(χ)
перестановочен с комплексным сопряжением, собственные функции можно
считать вещественными. Пусть ψ — вещественное решение
уравнения
#ψ = λψ. (3.20)
Для простоты мы будем считать в дальнейшем, что v^C°° при
больших |*|. Тогда \|^С°° при тех же х. Напишем «уравнение.»
для ψ2. Имеем, очевидно, при каждом х: ·
Δ(ψ2)=2Δψ·ψ + 2(νψ)2,
где (νψ)2 означает скалярный квадрат градиента νψ функции ψ.
Отсюда если выполнено (3.20), то
— Δ W) = 2 (λ — ν (χ)) ψ2 — 2 (νψ)2.
Добавляя к обеим частям 2(Ь—λ) ψ2, мы получаем
f[— Δ+ 2(6 — λ)]ψ2--= — 2(ν(χ) — &)г|Я — 2(νψ)2. (3.21)
Заметим, что если потенциал ν удовлетворяет условию (3.1) и
Ь<а, то правая часть (3.21) неположительна при больших |*|.
Для таких уравнений мы и докажем сейчас принцип
максимума.
Лемма 3.2. Пусть &>0, Ω — область в R71 и функция и<=
^С2(£2) такова, что
(—A+k2)u=f<0 в Ω. (3.22)
Тогда функция и не может иметь положительного максимума
в Ω.
Доказательство. Если х0 — точка максимума и и(х0)>0, то
д2и(х )
~Г—<®, /= 1, 2, ... ,/г, откуда Δί/<:0 в точке х0, что про-
дх.
тиворечит (3.22). В
Доказательство теоремы 3.1. Положим
и(*)=г|)2(х)— MS(x)t
где <§ (л;) — фундаментальное решение оператора (—Δ + &2)
с k^=yr2(b — λ) (мы считаем сейчас, что К<Ь<а). Выберем
/?>0 столь большим, что ё(х)>0 при |jc|>i? (это возможно
в силу предложения 3.1) и, кроме того, v(x)>b при \x\^>R (это
возможно в силу условия (3.1)).
Теперь выберем Λί>0 столь большим, что
и(х)<0 при \х\ =#.
Мы докажем, что тогда и(х)<0 всюду при |лс|>/?, откуда и
будет очевидным образом следовать утверждение теоремы.
134

Вычитая из (3.21) уравнение
[—Δ+2(ί>—λ)]Λί«(χ)=0,
получаем, что для и(х) выполнено соотношение (3.22), где f=
= — 2(ν(χ)— &)ψ2—2(νψ)2<0 при \x\>-R. Применим принцип
максимума в области
QRtP = {x:R<\x\<p}
к функции αβ> полученной усреднением функции и:
иг(х) = J U(X— у) <f)e(y)dyt
где φε(^) = ε-ηφ<Α:/ε), yeEC™(Rn), φ ^ 0, fy(x)dx=l. Ясно, что
мы будем иметь в силу (3.22) (при необходимости чуть
увеличивая R)
Далее, поскольку u<=Ll(Rn), то иг(х)-+-0 при |дг|-> + оо.
Положим
Λίρ(ε) = max|w8(jc)|.
|*|=р
Имеем, очевидно, иг(х)<0 при \x\=R, если ε>0 достаточно
мало. Тогда из леммы 3.2 следует, что
Ue(x)<Mp(s) при x&QRiP.
Устремляя ρ к +оо, мы получаем
ί/8(χ)<0 при \x\>>R.
Но теперь, переходя к пределу при ε^+0, мы получаем и(х)-<0
при |лс|>/?, что и требовалось. Ц
Эскиз доказательства оценки (3.18'). Для простоты будем
считать, что потенциал v(x) аналитичен при больших |*|. Тогда
•ψ (л:) также аналитична. Рассмотрим функцию |ψ|α и применим
к ней лапласиан (пока· в тех точках, где $(х)Ф0). Имеем
ν|ψ|α = ν[(Ψ2)τ] = γ (Ψ2)"' 2ψνΨ = α[ψ|α"2ΨνΨ,
откуда
ΔΙ ψ 1α = α(α — 2) | ψ |α~4 ψ2 (γψ)2 + α | ψ |α~2 (νψ)2 +
+ α|ψ|α-2ψΔψ===α(α—1)|ψ|α-2(νψ)2 + α|ψ|α-2ψΔψ.3
В частности, при α = 1 + ε,· где δ > 0, получим
ν|ψ|1+β = (1 +ε)|ψ|-1+εψνψ; (3.23)
Δ| ψ|ΐ+β = (1ч+ β) | ψΙ-ι+βψΔψ + ε (1 + β) 1 ψ \~ι+ε | νψ |2, (3.24)
Если теперь ψ удовлетворяет уравнению #ψ = λψ, то
— Δ|ψ|1+β = (λ —ο(*))(1 + в)|фр+в —β(1 +ε)|ψ|-1+ε| νψ|2
135

[-Δ + (1 + ε)(6-λ)]|ψ|1+β = -(ϋΜ-*)(1+β)ΙψΓ+β-
-ε(1 + ε)|ψ(-^|νψ|2. . (3.25)
Заметим, что из (3.23) видно, что |ψ|1+β^^. Проверим, что
правая часть (3.24) принадлежит Ll\oc(Rn)- Это очевидно в
окрестности точек #о, где ψ(χο)φ0. Если "ф(л:о)=0, но \7ф(л*о)=тМ), то по
теореме о неявной функции в окрестности точки х0 можно так
выбрать новые координаты уи ..., Уп> что точке лг0 соответствует
начало координат t/ = 0 и ψ = ί/ι. Тогда локальная интегрируемость
правой части (3.24) в окрестности точки *о становится
очевидной. Теперь рассмотрим точку лг0, в которой ψ .имеет нуль
порядка т. Но тогда νψ имеет в этой точке нуль порядка т—1,
и естественно ожидать, что правая часть (3.24) будет даже
непрерывной в этой точке (для аккуратного доказательства надо
использовать подготовительную теорему — см., например, Маль-
гранж [1]). Нуль бесконечного порядка невозможен ввиду
аналитичности -ψ.
Теперь можно доказать, что уравнение (3.25) действительно
выполняется в обобщенном смысле. Но если Х<Ь<а, то правая
часть в (3.25) неположительна при \x\>R. Поэтому для
функции ί/=|ψ|1+ε—Мб (χ) при \x\>R выполнено соотношение (3.22),
причем и(х)<0 при \x\=Ry если М достаточно велико. Отсюда
аналогично доказательству теоремы 3.2 выводится, что и(х)^0
при |*| >/?, что и дает требуемую оценку. ■
Рассмотрим теперь случай растущего потенциала ν(χ).
Естественно ожидать, что чем быстрее4 растет потенциал, тем быстрее
убывают собственные функции (появление квантовой частицы
в точке с большой потенциальной энергией тем менее вероятно,
чем больше уровень энергии). Это и в самом деле так, как
показывает следующая теорема. По-прежнему для простоты считаем,
что i>^C°° при больших |*|. Кроме того, предположим (опять
же лишь для простоты), что все производные dav(x) имеют
степенные оценки роста при |*|->оо, т. е.
\d"o(x)\<Ca\x\N*. (3.26)
Теорема 3.3. Пусть при больших |*|
O(x)>c\x\a, с>0, а>0.
Тогда любая собственная функция ψ оператора Η
удовлетворяет условию
—-ч
|Ч>(*)|<Сехр(— а\х\2 )
при некоторых 00 и а>0.
Доказательство, 1) Будем действовать в соответствии со
схемой доказательства теоремы 3.2. Аналогично выводу уравнения
(3.21) легко получается, что
(— Δ + &μ|α)ψ2 = — (2ν(χ) — 2λ — 6|*|α)ψ»_ 2(Δψ)2. (3.29)
(3.27)
'=— Α + ν(χ)
(3.28)
136

Правая часть неположительна при больших |*|, если Ъ
выбрано так, что 0<Ь<2с (с взято из оценки (3.27)). Теперь сравним
if2 с убывающим сферически симметричным решением уравнения
(—Δ + b\x\«)g (л:) = 0. (3.30)
При 6(x)=f(r), где г=\х\, уравнение (3.30) принимает вид
-Г (г) - -2у- Г (г) + br«f(r) - 0. (3.31)
Асимптотика решения уравнения (3.31) при г-> + оо описывается
с помощью преобразования Лиувилля, как в § 4 гл. II. Замена
_ -+1
переменных t = 2a,-1Vb r2 сводит (3.31) к уравнению
-ι—2..
-f+cj α/ + / = 0,
где точка означает дифференцирование по t> и теперь надо
сделать замену неизвестной функции /(О—яСОйЧО» гДе ^(0 =
2
=ехр( — qctf α \, сводящую дело к уравнению вида
' -g + (l+0(t a))g = 0.
Ввиду того что lim a(t) = 1, мы получаем, что главные члены
f-H-oo
асимптотики f и g совпадают, так что уравнение (3.31) имеет
решения f±(r) с асимптотиками
f±{r)^exp(±2a-1Vb г2 ), г-^ + оо. (3.32)
Положим теперь 6 (х) =/_(|х|) и и(х) =$2(х)— М& (х). Тогда,
вычитая (3.30) из (3.29), мы получим
(—A + b\x\a)u(x)=f(x)^Q при |*| >Я. (3.33)
Мы можем считать Μ таким, что и(х)<.0 при |л;|=/?. Ана- ·
логично доказательству леммы 3.2 отсюда получается, что и не
может иметь положительного максимума при \x\>R.
Утверждение теоремы было бы теперь доказано, если бы мы знали, что
и(х)->0 при \х\-*~+оо. Поскольку это заранее ниоткуда не
следует, мы должны использовать операцию усреднения и <->~ut, как
в доказательстве теоремы 3.2. Некоторая трудность состоит
в том, что операция усреднения не перестановочна с умножением
на |л:|а. Имеем
(— A + b\x\«)Ue = [(—A + b\x\«)uU +
+ Ь[]х\«ие — (\х\«и)е]=и + Ге, (3.34)
где /£(л;)<0 при |л;|>/?, а гг имеет вид
Гг(х)=ЬЛ\х\а—\х—у\а]и(х—у)ц)г(у)ау.
137

Поскольку Iν|λ*|α| =a|jc|ct~I, то
INa — I* —tfhKCeM-1!* — У\а при \x\^R, \у\<в,
откуда
\re(x)\<C1B\x\^[\x\^\u\U = ge(x)t (3.3 5
где постоянные С и С ι не зависят от ε. Заметим, что |л;|а|и|^
eL^RVsfl*) в силу леммы 3.1 и асимптотики (3.32). Поэтому
ge(x)->-0 при |лс|~>оо. Из оценок (3.26), априорных оценок
решений эллиптических уравнений и теоремы вложения Соболева (см.
Добавление 2) легко выводится, что существуют такие N к С, что
I *(*)!< С И", \x\>R.
Отсюда
и, следовательно,
[|*|а№<С3|л:Г+а, \x\>R.
откуда
\gs(x)\<CtS\x\™+«-\ (3.36)
где С* не зависит от ε и U|.
Положим
he(r)= SUp ge(x)t
\x\=r
\
так что /ie(r)->0 при г->+оо и, кроме того,
\к.(г)\<Свгм, г>#, (3.37)
при некоторых С и Μ в силу (3.36). Ясно, что \гг(х) \ <he(\x\).
Из (3.34) следует теперь, что
(— A+b\x\«)Ue = f&+[re — fk(\x\)] + fle(\'x\) =fi + 1Ь(\Х\)9
(3.38)
где /ε<:0. Найдем теперь сферически симметричное и убывающее
на бесконечности решение ше(|лс|) уравнения
(- А + b\x\«)we(\x\) = Ъ(\х\)у (3.39)
обладающее следующим дополнительным свойством:
w&(r)->-+0 при ε->+0 равномерно по r^[R, ρ].
Если такое решение найдено, то, вычитая (3.39) из (3.38), мы
получим
(—b + b\x\*)[ue(x) — WB(\x\)]=fc<0.
Поскольку иъ(х)—wz(\x\)-*0 при |лс|~> + оо, то мы получим
отсюда с помощью принципа максимума, что
М*) —о>з(|*|)< max {0, sup [us(x) — we(\x\)]}f \x\>R.
138

Правая часть равна 0 при достаточно малом ε>0. Отсюда
следует, что иг(х)— wt(\x\)<0 при \x\>.R. Переходя к пределу при
ε-> + 0, мы получим неравенство и(х)^0> что и требовалось.
Остается проверить существование решения we. Уравнение (3.39)
переписывается в виде
— wl (г) ?—}- w'e (г) + Ьга we (г) = Αε (г). (3.40)
Преобразуем его той же заменой, что и в описанном выше
преобразовании Лиувилля. Мы получим тогда, что уравнение (3.40)
сводится к уравнению
~Уг + (1 +Y(*))!fe=Xe(9. (3.41)
где t = Cr«W, y(t)=0 (t~2-V«) при t-+ + оо,
Xe(t)=C1r-«he(r)\r=r(t)
(r(t)— обратная функция к t = Cr"'2+l, т. е. r = C1t2№+^).
Из оценок (3.37) следует, что
|Χε(0Κ^ε^, t^T, (3.42)
с некоторыми М\, С\ и Г.
Уравнение (3.41) удобно решать с помощью функции Грина на
полуоси [Г0, +оо), где Г0 достато^о велико. А именно, пусть Го
таково, что \y(t)\<l/2 при />Г0. Тогда нетривиальное
убывающее на бесконечности решение y(t) уравнения
-9+(l+y(t))y = 0 (3.43)
не обращается в 0 на [Г0,+оо), так как если у(Т)=0, у(Т)Ф0
при некотором Г>Го, то \y(t) | монотонно возрастает на [Го, +оо)
и, следовательно, \y(t)\-++oo при t-++oo. Пусть y(t) —
решение (3.43) с асимптотикой у(t) = е-'(1+о(1)), ί-> + οο, а α(/) —
решение (3.43), удовлетворяющее начальным условиям а(Го)=0>
а(Г0) = 1. Тогда a(t) и y(i) линейно независимы и a(t) имеет
асимптотику a(t)~Ce* при некотором С>0 (см. гл. II, § 4).
d2
Функция Грина оператора \~ (1 + y(t)) на [Г0, + оо)
at2
имеет вид (см., напр., Наймарк [2]):
G (t, τ) = [у (Τ0)]-ι [Θ (t-T)y (ί) α (τ) + *(τ -t)y (τ) α (<)].
Отсюда, в частности, видно, что справедлива оценка
| G(f,τ) Ι <Сехр(—κ|ί—x|)t (3.44)
где С, κ — положительные постоянные.
Теперь можно взять решение yz(t) уравнения (3.41), имеющее
вид
оо
ί/ε (0 = j G(/f τ)Χβ(τ)£ίτ.
То
139

Из оценок (3.42) и (3.44) легко следует, что
\ye(t)\<C2etM\
Кроме того, из (3.44) и условия lim Χε(τ)=0 легко получается,
что limi/8(0=0 (здесь ε>0 фиксировано). Поскольку
w^(r{t))=a(t)xz{t)y где функция a(t) такова, что lim a(t) = l,
то требуемые свойства функции w& вытекают из соответствующих
свойств функции y*(t), Ш
§ 4. ОПЕРАТОР ШРЕДИНГЕРА С УБЫВАЮЩИМ ПОТЕНЦИАЛОМ:
СУЩЕСТВЕННЫЙ СПЕКТР И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
В этом параграфе мы начнем изучение оператора Шредингера
Н=—Δ + ν(χ) с убывающим потенциалом ν(χ), τ, е. с таким
потенциалом ν(χ), что lim ν (χ) =0. В этом случае легко найти
существенный спектр (точное определение см. ниже), который
совпадает с полуосью [0, +оо). Кроме того, возможны
изолированные собственные значения на (—оо, 0), и мы дадим оценку
их числа (важно знать, что если потенциал достаточно быстро
убывает, то это число конечно). Кроме того, мы покажем, что если
потенциал убывает быстрее \x\~\ то на (0, +оо) не может быть
настоящих собственных значений (с собственными функциями
из L2(Rn)). Важный вопрос о разложении по собственным
функциям естественным образом решается в теории рассеяния, и мы
оставим его открытым до главы IV.
1. Существенный спектр.
Определение 4.1. Существенным спектром aeSs(#)
самосопряженного оператора Η в гильбертовом пространстве Ж
называется множество, состоящее из всех неизолированных точек спектра
и собственных значений бесконечной кратности.
Таким образом, aeSs(#)<=<*(#), причем σ(#)[№ess(#) состоит
из всех изолированных собственных значений конечной
кратности. Пусть Ε (А) — спектральный проектор оператора Я,
соответствующий интервалу Δ. Тогда условие XeaeSs(#) равносильно
тому, что пространство £((λ—ε, Х+е))Э@ бесконечномерно при
любом ε>0.
Теорема 4.1. Пусть потенциал υ(χ) оператора Н=—Α-\-υ(χ)
убывает при |дг|->+*оо, т. е.
lim υ(χ)=0, (4.1)
Тогда 0ess(#)=[O, +оо).
Доказательство, Мы уже знаем из теоремы 3.1, что на (—оо,0)
у оператора Я могут быть лишь изолированные собственные зна-
140

чения конечной кратности. Поэтому остается проверить, что
[О,+оо)с=а(Я). Рассмотрим фиксированную точку λ>0.
Включение λ^α(Η) равносильно существованию такой
последовательности {φρ}£=ι, φρ€=£//, что
lim "(//-λ/>^=0. (4.2)
Р-Н-оо ||φρ||
Идея построения такой последовательности состоит в следующем.
Возьмем функцию eik'x, где |£| = "|/"λ. Она удовлетворяет
уравнению (—A)e'k'x = Xeik'x, так что ввиду (4.1)
lim [— Δ + ν (χ) — λ] eik'x - 0.
U|-*oo
Чтобы изготовить последовательность {φρ}, надо теперь выбрать
срезки функции etkxy уходящие в оо с ростом номера р. Пусть
X<eeC0~(R*), χ>0, χ(*) = 1 при \х\<1/2, χ(*)=0 при |*|>2.
Положим теперь χρ(*) =χ(ρ~1/2(λ'—р)). Тогда
suppxpc={A::|A: — p\<Vp}> (4.3)
так что
lim sup |u(*}| = 0. (4.4)
p-»-f*> ^Gsupp Хр
Положим Ц)р(х) =xP(x)eiktx и'проверим, что выполнено
соотношение (4.2) (с λ=&2). Заметим вначале, что
II % I2 = 11 *р (*) Ρ ^ = Рпп JI х WI2 ^ = Q>tt/2> (4.5)
где С>0. Далее, имеем, очевидно,
Я φρ = - (Δ Хр) β*·\— (V Χρ) (V е1'*'*) + k2 Xp e*'x + υ (χ) %pet*·*.
Отсюда
(Я - λ Ι) φρ = β»-* [Я χρ - i*. ν Xj'. (4.6)
Имеем, очевидно,
|VXp|<Cp-i/2, |AXp|<Cp-i.
Учитывая (4.4), мы получаем теперь из (4.6), что
lim sup I(Я — λ/)φρ(*)| = 0.
Но ввиду (4.3) отсюда следует, что
lim р-п/2||(Я-Я/)Фр|2 = 0.
р-Н-оо
Вместе с (4.5) это дает соотношение (4.2,), что и требовалось. ■
2. Разделение переменных в случае сферически
симметричного потенциала и оператор Лапласа — Бельтрами на сфере.
Применим оператор Лапласа Δ в R71 к функции ψ вида ψ(*) =
=/(>")£(<*), где r= |*|f ω=χ/\χ\, где /,geEC°°;
141

Тогда получим
A(f(r)g(<»)) = Af.g + f'Ag + 2vf.vg = Af.g + f.Agy
так как Vf-Vg = 0 (градиент V/ направлен по радиусу, а
градиент Vg" — по касательнрй). Вычисляя Δ/, получаем
A/ = f(r)+^^/>). (4.7)
г
Для описания Ag заметим, что оператор Δ уменьшает на 2
порядок однородности функций. Поэтому Ag имеет порядок
однородности (—2), откуда мы видим, что
Ag = r-*Asg, ч(4.8)
где Asg снова является функцией от ω = χί\χ\. Таким образом,
As является дифференциальным оператором (2-го порядка) на
сфере Sn-1 = {A:: |jc| = 1}. Он называется оператором Лапласа —
Бельтрами на Sn~K По сути дела, это оператор, составленный из
некоторых дифференцирований (порядка не выше 2) по угловым
переменным 1}. Например, если д=2, то As сводится к оператору
д2 с1
, где φ — угловая координата на S1, так что координаты
д φ2
(хь'ДЬ) связаны с г и φ по обычным формулам
JCi = г cos φ, Χ2 = г sin φ.
При я = 3 надо использовать сферические координаты (г, θ, φ),
связанные с декартовыми по формулам
Х\ = г sin θ cos φ, χ2 = r sin θ sin φ, x$=r cos θ
(θ — широта, φ — долгота), в которых
'sine θθ V 0Θ I sin* (θ) dq>2
Полный же лапласиан Δ в Rn записывается в виде
А д2 . п— 1 д . 1 А ел nv
Δ = —- + — + —- As. (4.9)
дг2 г дг г2
Мы доказали это на функциях i|?=!f(r)g(co), но теперь ясно, что
1 Можно показать, что оператор As — это обычный лапласиан стандартной
римановой метрики на 571"1. Если эта метрика в каких-то, локальных коорди-
п—ι
натах (уи ...Уп-ι) на Sn~i имеет вид ds2/— V gijdytdyi, T0
ί,/=1
где g=aet\\gij\\1 Wg^W — матрица, обратная к матрице \\gij\\.
142

это верно и в общем случае, так как локально в окрестности
любой точки jto^R'VMO} линейными комбинациями функций
вида f(r)g(<u) можно приблизить (вместе с конечным числом
производных) любую функцию.
Мы вычислим сейчас собственные значения оператора As. Для
этого возьмем $ = ^(ω). Тогда получим
A(r»g(<o)) = r-*+»[Asg + [μ(μ- 1) + (η- 1)μ] g] =
— r—2+μ
[^sg + μ(μ + n-2)g].
Отсюда видно, что равенство Δ(*^(ω))=0 (при гфО)
равносильно тому, что g(<u) — собственная функция оператора (—As)
с собственным значением λ=μ(μ + /ι—2). Квадратный трехчлен
μ(μ + η—2) имеет минимум при μ == 1 , так что все
возможные значения λ пробегаются уже при μ > 1 . Заметим
теперь, что если Δ(Γ^(ω))=0 при гфО, где μ>2—η при я>3 и
μ>0 при я = 2, то по теореме об устранимой особенности (см.,
например, Петровский [1]) функция r»g((u) гармонична всюду.
В частности, это верно при μ > 1 . Но тогда по теореме
Лиувилля (см. Петровский [1]) функция Γ^(ω) является
гармоническим многочленом. В частности, μ — целое неотрицательное
число. Очевидно, верно и обратное, т. е. ограничения однородных
гармонических многочленов на Sn~l являются собственными
функциями с собственными значениями λ=^/+Λ—2), где /=0, 1, 2, ....
Итак, доказана
Лемма 4.1. Собственные значения оператора (—As) на Sn~l
содержатся в множестве чисел вида λ=1(1+η—2), где /=0, 1,
2, ..., причем кратность собственного значения 1(1+п—2) равна
размерности пространства однородных гармонических
многочленов степени /.
Теперь подсчитаем эту кратность. Пусть Μι — пространство
однородных многочленов степени /. Вычислим Ni = dimMi. Базис
в Μι образуют одночлены х1\х£ ...хпп, где /ι + /2 + ... + /η = '·
Количество упорядоченных разбиений числа I в сумму η
неотрицательных целых чисел равно количеству упорядоченных разбиений
числа 1 + п в сумму η натуральных чисел, что, в свою очередь,
равно количеству способов расставить (п—1) перегородок на
п + 1—1 мест, т. е. равно '
1 \ П— 1 ) (п—1)!Л
= —L—(l+un-l)(l + n-2)...(t+l). (4.10)
[η ι).
Заметим, что оператор А задает отображение Δ: Μι-*Μι-2.
'Пусть Ht= {и: u^Mi, Ам = 0} — пространство однородных гармо-
143

нических многочленов степени /, размерность которого мы хотим
сосчитать. Ясно, что имеется точная последовательность'
O^Hi^Ab^Mt-2. (4.11)
Теперь необходима следующая
Лемма 4.2. 1) Оператор Δ:Μ/-^Λ1/_2 сюръективен.
2) Имеет место разложение в прямую сумму
Af| = #i-i-r2A«M. (4.12)
Доказательство, а) Оба утверждения доказываются
одновременно индукцией по /.
При /=0, 1 эти утверждения верны. Пусть они верны с
заменой I на любое меньшее число. Докажем, что тогда они верны и
для данного /. По предположению
Λίϋ-2 = Hl-2 + Г2 Λί/_4 = Η1-2 + Г2 Hl-ъ + ή Hl-Q + . . . =
= © г2*Я,_2*_2.
/— 2k^ 2
Отсюда
r2M/_2 = 0 t*kHi-2k. (4.13)
/—2fc5*0
k>0
б) Докажем, что H^r2Μι-2 = W- Если Az e Hlf]r2Mi-2y то,
пользуясь разложением (4.13), мы можем написать
h = Σ °k r2khl~2kf hl~2k e Hl~2k> c* *= C·
fc>0
/—2/e>0
Рассмотрим теперь гармонический многочлен
h = hi— £ ckhi-2k.
k>0
/—2ft^0
Тогда /i|ja:|=i = 0, откуда h=Q по принципу максимума для
гармонических функций. Но hi — однородная компонента
многочлена h степени /. Отсюда /i/=0, что и требовалось,
в)' Из условия MtZD Ht + r2 Λί/_2 получаем
dim #/<#, — Af/_2,
приче^ равенство равносильно разложению (4.12). Но из точной
последовательности (4.11) следует, что
dim Я/ = Νι — dim Δ (Μζ) > tfz — Ν/_2,
причем равенство равносильно тому, что Δ(Μ/)=Λί/_2. Сравнивая
два полученных неравенства, мы получаем соотношение
dim Hi = Ν ι—Ν ι-2,
а также справедливость обоих утверждений леммы.
144

Таким образом доказано
Предложение 4.1. Оператор (—As) имеет на Sn~! собственные
значения λι = 1(1 + η—2), /=0, 1, 2, .... Кратность собственного
значения λι равна Νι—Νι-2, где Νι задается формулой (4.10)
(при этом нужно считать Νι=0 при /<0).
В частности, при я=2 собственные значения равны /2, а их
кратности равны 2 при />0 и 1 при / = 0 (соответствующие
собственные функции равны cos /φ и sin /φ при />0 и 1 при / = 0)~
При л=3 собственные значения равны /(/+1), а их кратности
равны 2Ζ+1. Собственные функции в этом случае представляют
собой так называемые сферические функции (см., например,
Тихонов, Самарский [1]).
Отметим, что из собственных функций оператора As можно
составить полную ортонормированную систему на Sn-1. Мы не
будем этого доказывать в общем случае (при п = 2 это очевидно).
Это можно вывести, например, из того, что As — эллиптический
самосопряженный оператор на Sn~l (см., например, Шубин [1]).
Вместо записи (4.9) часто удобно пользоваться другой
эквивалентной записью лапласиана по формуле
ΔΨ = -ά--ΗΓ"_1 -τ4+-ΊΓΔ^· (4Л4>
гп г дг дг } г2
Эта формула хороша тем, что из нее сразу видна симметричность
радиальной части
относительно скалярного произведения
(/ь /2)/.-i = f r"-1 h (r) W)dr, (4.16>
о
заданного на полуоси [0, +оо). Впрочем, в этом нет ничего
удивительного, поскольку стандартное скалярное произведение
в L2(Rn), относительно которого симметричен исходный
лапласиан А, может быть записано в виде
(Ψι> Ψ2) = j j ψι(Γω)ψ1(Γω)Γ«-1£ίΓ£ί5ωι (4.17>
sn-i 0
где dSu — элемент площади сферы Sn_1. Отсюда следует, что
полные ортогональные системы функций в L2(Rn) можно
получать в виде произведений
{/(r)g(co), /G^gGG}, (4.18)
где G — полная ортогональная система в L2(Sn~~l), а $Г —
полная ортогональная система функций в пространстве
L2((0, +oo), rn-ldr)y т. е. в пространстве измеримых функций
на полуоси с конечной нормой, индуцированной скалярным
произведением (4.16).
145

Рассмотрим, в частности, оператор Шредингера
H=-A + v(r), г=\х\у (4.19)
т. е. оператор Шредингера со сферически симметричным
потенциалом. Если gi(<u) — собственная функция оператора —As с
собственным значением λι = 1{1+η—2), то произведение ty = f{r)gi(<u)
будет собственной функцией для Η тогда и только тогда, когда
■Δ,-
или
v(f) + /(/+;2~2) ] f(r) = μ/(Γ), (4.20)
Г-^Г + [v(r)+ /(/ + 72)]/-μΑ (4.20')
Уравнение (4.20') надо изучать в классе функций, не
имеющих особенности при г->+0. Однако.оно неудобно тем, что
содержит f. Избавимся от члена с /'. Это можно сделать
стандартной заменой неизвестной функции, которая в данном случае
имеет вид
h = r(n-\)/2f. (4.21)
После этой замены и умножения на r(n_1)/2 уравнение (4.20)
приобретает вид
_А» + [0(г) + <*-1М»-ЗУ + «1 + *-* y=»h. (4.22)
Б частности, при п=3 мы получаем уравнение
. -** + [о(г)+'/(/ + 1) ]& = μΛ,
подробно изучавшееся в § 6 гл. II. Отметим, что скалярное
произведение (4.16) для функций f\ и f2 равно обычному
скалярному произведению в L2([0, + oo)) для соответствующих функций
jij=rn-V2fjy /=1, 2. Поэтому нужно теперь изучить спектр
оператора
Я,= d— + \v(r)+ <»-»<"-*> + ^ + *~2> I (4.23)
1 dr* I ' 4л2 λ2 J
в L2([0, +oo)). Зная полную ортогональную систему собственных
функций {А/,т, т^М} такого оператора при каждом /, мы можем
получить полную ортогональную систему собственных функций
исходного оператора Шредингера вида (4.19), беря их
произведения с функциями £/(ω), образующими ортогональный базис
собственных функций оператора (—As) на Sn~K
Рассмотрим для простоты случай я>3 (ясно, что случай п=2
менее интересен с физической точки зрения). Тогда оператор
Я/ — это оператор Шредингера на полуоси [0, +°о) с потенциалом
/\ /\ ι (л —1)(д —3) , Ц1+П — 2) /лол^
νΛή =v(r) + -* -^ *- + т^ /_, (4 24)
146

причем ui(r)^>v(r). Можно показать (мы предоставляем это
читателю в качестве упражнения), что если потенциал υ (г)
удовлетворяет условиям теоремы 1.1 гл. II, то Hi в существенном
самосопряжен в L2([0,+оо)), если в качестве исходной области
определения взять Со00((0, +оо))/
3. Оценка числа отрицательных собственных значений.
Оценим сначала число отрицательных собственных значений
оператора #/. Мы будем считать, что потенциал ν (г) локально
ограничен и удовлетворяет условию
Jr^-(r)|dr<+oo, (4.25)
о
где i>-(r)=min(i>(r),0). Тогда то л£е условие выполнено с
заменой υ на vi и в силу теоремы 5Л гл. II, которая переносится на
этот случай, число отрицательных собственных значений Ν-(Ηι)
онератора Hi конечно и оценивается по формуле
NAHt)<Jr\(v^(r)\dr. (4.26)
о
Теперь оценим число N-(H) отрицательных собственных
значений оператора Н=—Δ+ν(χ). Собственные значения оператора Η
имеют вид λ=λ/ + μρ(/), где λι = 1(1+η—2), /=0, 1, 2, ..., а μρ<'> —
собственное значение оператора Hi (причем кратности
складываются). Теперь, учитывая предложение 4.1, описывающее
кратность собственного значения λ/, и овднку (4.26), а также
аналогичную оценку с заменой υι на vi + l(l+n—2), мы получаем
со оо
N. (Я) < £ (Nt - Nt-2) J r I [ϋ, + / (/ + я - 2)]. (г) | dr. (4.27>
*=о о
Предполагая, что и_(г)->0 при г->+оо, мы получим, что,
начиная с некоторого места, слагаемые в правой части (4.27)
обращаются в 0, так что JV_(#)< + oo. Итак, доказано
Предложение 4.2. Если потенциал ι; (г) оператора Н=
= —k+v(r) удовлетворяет условию (4.25) и, кроме того,
lim v(r)=Qt toAL(#)<+oo и имеет место оценка (4.27).
Г-*+оо
Рассмотрим теперь оператор Шредингера Н=—Δ+ν(χ) без
предположения о сферической симметрии потенциала ό. Оценим
число N-(H) его отрицательных собственных значений.
Теорема 4.2. Пусть л>3, v(x)>—Q(\x\), где Q(r)>0,
функция Q ограничена, lim Q(r) = 0 и
оо
J* rQ{r)dr <oo.
о
Ы7

Тогда Л/_(//)< + оо и выполнена оценка
JV- (Я) < £ (tf, - М_2) j г [Q/ (г) - / (/ + м - 2)] dr.
(4.28)
Доказательство. Благодаря вариационному принципу (см.
Добавление 1, § 3) число отрицательных собственных значений не
уменьшится, если мы заменим и(х) на —Q(\x\). Отсюда и*из
предложения 4.2 сразу следует утверждение теоремы 4.2. Ш
Замечание. Можно дать другие оценки N-(H) (в том числе
значительно более точные, чем (4.28)). Например, при я>3
справедлива оценка Г. В. Розенблюма
N-(H)<cn$\v-(x)\»*dx
{см., например, Рид и Саймон [1], т. IV).
4. Отсутствие положительных собственных значений.
Следующая теорема известна как теорема Като.
Теорема 4.3. Пусть потенциал v(x) оператора #=—Δ + ν(χ)
локально ограничен и
lira \χ\ό(χ)=0. (4.29)
Тогда Я не имеет положительных собственных значений, т. е.
♦если #ψ=λψ, где λ>0, ψ<=Ζ,2(Ηη), то ψ = 0.
Доказательство. На самом деле мы проведем доказательство
лри ♦ дополнительном условии аналитичности потенциала ν(χ)
да некотором открытом всюду плотном множестве в Rn, не
имеющем ограниченных связных компонент. Точнее, мы докажем
в общем случае, что если функция ψ такая, как в теореме, то
я|; = 0 при \x\>-Rt если R достаточно велико. Отсюда следует, что
ψ=0 ввиду аналитичности ψ на множестве, где аналитичен
потенциал v. Эта импликация имеет место и для общих локально
ограниченных потенциалов, но мы не будем на этом
останавливаться (подробности можно найти, например, у Рида и
Саймона [1], т., IV).
Перейдем к доказательству. Пусть ψ^Ζ,2(Κ"), ty^DH и #ψ =
=λψ, где λ>0, т. е.
Δψ+λψ = ι>(*)Ψ· (4.30)
Мы можем без ограничения общности считать, что функция ψ
вещественна.
Отметим, что из условия \|э^£>я вытекает, что |Vif|eL2(Rn)
(см. лемму ЗЛ). Положим г= \х\ и
Фг = —— = · ν φ (χ)
ΨΓ дг \χ\
для любой функции <ρ = φ(χ).
148

Введем функцию ц(х) — rmj^(x). Выпишем уравнение,
которому удовлетворяет и (при гфО). Имеем
Δψ ±= A(r-mu) =r-mAu + 2(vw-V~m) + "A(r~m) =
= r-mAu — 2tnr-m-1 V"· — + [m(m+ l)r-m~2 — m(n— 1)г-»-2]и=
— /—m [Δ w — 2m/—1 ur + m (m — η + 2) r~2 и].
Учитывая уравнение (4.30), мы получаем отсюда:
— Δ и + гтг-1 иг — [т(т — п + 2) г~2 — и (*)] и = λ и. (4.31)
Умножим обе части на г^^г и проинтегрируем по сферическому
слою
BPtR = {xix<=Rn, p<\x\<R}>
где i?>p>0. Получим тогда
— f Au-rpurdx + 2т f rp-lu2rdx —
bp.r Bo.R
— f m (m — η+ 2) rp~2 uur dx =
= λ f rpuufdx— [v(x)rpuufdx. (4.32)
В дальнейшем мы будем использовать известную формулу
интегрирования по частям
^Au-wdx+ ^yu-ywdx= $w—dSy (4.33)
Ω Ω dQ
где Ω — ограниченная область с гладкой границей 5Ώ в Rn,
dS — элемент площади 0Ω, обозначает производную по
дп
направлению внешней нормали к όΩ. Формула (4.33) пои
иу a>eC°°(Q) следует из того, что
div(wVu) ^wAu + Vw-Vu,
и из формулы Гаусса — Остроградского. Предельным переходом
она получается для любых ие#2(£2), w^Hl(Q) (тогда в правой
части надо -^-| и w\sq понимать как следы функций клас-
дп |да
сов Соболева на гиперповерхности — см. Добавление 2, § 1).
В частности, при Q = BPtR мы можем взять w = rpur и тогда
первый член в левой части (4.32) преобразуется следующим образом:
— f Au-rpurdx = f у u-y(rpur)dx —
bp,r b(Cr
— J rpu2rdS+ J rPuUS. (4.34)
\x\=R j*l=p
149

Имеем
S/u-y(rpur) =prP~l (у и · — \ ur + rpyur-yu =
= prp~x i4 + rpy lyu · — \ · ν ы =
η
= (p„1)rp-lw2+rP_1|Vw|2+^rP-i^^^_|Vu|2 =
= (ρ—1)г*^ и? + ζ*-11 ν м |2 + γ rp -j- J у и I2. (4.35)
Интегрируя это соотношение по BPtRt мы получим сумму трех
интегралов. Преобразуем третий из них. Полагая х=т9 где г=
= |*|, o)=jc/|jc|, и обозначая через dSto элемент площади
поверхности единичной сферы, мы получаем
|ω\=1 ρ
= —γ(ρ + Λ-1) Γ dS» ΓΓΡ+«-21νw|2rfr +
Ιω|=1 ρ
1*1=7? Ul-p
= -γ(ρ + η-1) J Γ^|ν«|2^+γ J r'lvaNS-
1*I=P
Аналогично преобразуются третий член в левой части и первый
член в правой части (4.32):
\ т (т — η + 2) г?-2 uurdx =
вр.я
= -L Г [rri(m — n + 2)rp-* — (u2)dx==
ВР,Я
150

= -(p + n — 3)m (m — η+ 2) f г?-*и?ах +
Bt>.R
\x\=R \x\=p
λ Г _» д
λ [ rpuurdx= — f rp—u?dx =
BPtR Bp,R
= -λ(ρ + η—1) f rP~lu2dx +
bp.R
*P.*
rpu2dS.
\x\=R \x\=p
Подставляя эти выражения и (4.34) в (4.32), получим:
f г**-* i(2m +P—1) u2r +
BP,R
+ ^(3-„_p)[|vu|a_^LziL±a„2j +
+ —λ(ρ + n—\)iAdx —
_ j" г»|и»__1_Г|:уц|,_>'я(т-я + 2) ц2_Яц21|^ +
ι*ι=λ
+ J гр |^-J-[iv«p-!w(m-n+2) #-x*\}dS =
\x\=r
= — f v(x)rpuurdx. (4.36)
BP.K
Тождество (4.36) мы сначала используем для доказательства
того, что
j /*(|V*|2 + W)d*< +°° (4.37)
для любого' k>0. Для этого вначале умножим (4.30) на
агЧ\\)(х) и проинтегрируем по BPiR. Получим
— f \Ayp-arVtydx+ Г α^υ{χ)·ψάχ = ^ Xarvipdx,
врЛ bp.R bp,r
151

или после интегрирования по частям (с помощью формулы
(4.33)):
а [ г*\уу\2с1х+а f уг*-хЩгах — а f r^^r^dS +
Bp,R ВрЯ \x\=R
+ a f ryy>r^dS = aX f r^^dx—a f r*v(x)ψ2d*. (4.38)
ui=p bPjR BPtjR
Теперь в (4.36) положим p=l, m=0 (так что £*=ψ), а в
(4.38) положим γ = 0, α=(η—1)/2 и сложим получившиеся
равенства. Тогда получим
j γ[|νψ|2 + λψν*-
ВР.Л
l*|=p
1x1=/? U1=P
= — С f rt; (χ) ψψΓ + "^ ο (χ) ψ21 Λ. (4.39)
BP,R
Заметим теперь, что если φ^Ζ,1 при |я|>/?0, то существует такая
последовательность чисел /?*>(), 6=1, 2, 3, ..., что Rk~*°° и
lim Rk ί <pdS=0, (4.40)
так как если это не выполнено, то при больших R
\x\=R
для некоторого б>0, что противоречит конечности интеграла
J | Φ) rfjc = J { J ]<p|dS|d#.
U\^i?o Ro \x\=R
Применяя это замечание к функции
Ψ = t -1V ψ |2/2 + λψ2/2 + (л — 1) г-» ψ,ψ/2,
и беря R = Rk в (4.39), мы видим, что сумма всех интегралов по
сферам \x\=Rk в (4.39) стремится к 0 при k-> +oo. Производя
152

в (4.39) с R=^Rk предельный переход при &-> + оо, мы получим
j γ[ΐνψ|2 + λψ*]^==
\x\>t>
— С Γ/Έ(*)*Νν + П~Х v(x)^]dx. (4.41)
Учитывая условие (4.29) на потенциал v(x)y мы видим, что
где ε(ρ)-^0 при ρ->+οο. Поэтому из (4.41) следует, что при
достаточно большом ρ выполнено неравенство
f 0νψ|2 + λψ2)ίίχ<
<С[р J (IV ψ |2 — λψ2) dS — (η — 1) j WIS]. (4.42)
i*|=p l*i=p
Интегрируя это неравенство по ρ от г\ до оо, мы получаем
00
J Ι (|νΨ12 + λψν*ίίρ<
Γι \x\>9
<C Τ . r(|νψ|2 — λψν* — С (я — 1) f ψ,ψ^. (4.43)
Из тождества (4.38) при α=7=1 получается
Г Γ(|νψ|2 — λψ2)άχ = f nf,t|>dS — f n|yi|?dS —
BPtR t \x\=R \x\=p
— f ^rdx — f m (x) ty2dx.
BP,R B9,R
Полагая здесь R=Rk и переходя к пределу при £-ν+<χ> как при
выводе (4.41), мы получаем отсюда равенство
) ^ (Ι νψ I2 — λψ2) rfjc = — f rv(x)ty2dx —
\χ\ >rt \x\^rt
— f Wrdx— Γ r^r^dS, (4.44)
\x\ >rt \x\ =rt
Заметим теперь, что левая часть (4.43) может быть преобразова-
153

на следующим образом:
00 ОО ©О
f f (\W\2 + W)dxdr= fdrjiip J (|νψ|2 + λψ2)dS =
r, \x\^r r, r Ul=P
■ϊ + ί* ί '
rt г, \х\=р
|νψ|2 + λψν
= J(/'-''i) J (|νψ|2 + λ^)<»= f (Γ-Γ,ΧΙνψΡ + λ^)^.
(4.45)
Отсюда, учитывая (4.43) и (4.44), мы получаем' неравенство
\ (г-Гг)( \vM2 + W)dx<C[ j (|νψ|2 + λψ2)^ +
+ С\ f nWvdS, (4.46)
где C'i, C7/i — постоянные. В частности, отсюда следует, что
(4.37) выполнено при &=1. Теперь легко доказать неравенство
(4.37) при всех целых k>0. В самом деле, интегрируя (4.46) по
Г\ от г2 до +оо, мы получим, делая в левой части перестановку
интегралов, аналогичную (4.45):
f (Γ~-Γ2)2(|νψ|2 + λψ2)ώ<^ J (Γ-Γ2)(|νΨ|2 + λψ2)^ +
+ Cl j* r^4x<G2 j (ог + 6)(| νψΡ + λψ2)^,
где α, & — постоянные. Повторным применением этой процедуры
мы получаем оценку
j (Γ-·/?)*+ΐ(|ν*ι» + λψ")£ίχ<σΛ.| Ρ,(0(|νψ|2 + λψ2)^,
где /МО ·— многочлен по г степени не выше k. Отсюда
индукцией по k неравенство (4.37) получается при всех целых
k>0.
Докажем теперь существование такого г*>0, что и(х)=0 при
|лс|>г*. Для этого в (4.36) положим р = 3—л, R=Rh и перейдем
к пределу при й-^оо, считая, что интеграл по сфере |я|=/?&
стремится к 0 (это возможно в силу (4.37)). Получим тогда:
\x\=f>
= — Γ r2~n {(2m + 2 — n) u2r + Xu2} dx — С ν (χ) ή~η uurdx. (4.47)
154

Используя (4.29), мы видим, что если т> (п—2)/2, то второй член
в правой части (4.47) по абсолютной величине меньше первого при
р>г*, где г* не зависит от т при т>(п—2)/2+1. Отсюда
следует, что при таких /пир выполнено неравенство
I [»,2-l-|V»|2+ »<»-" +9 u>]dS<0. (4.48)
Уточним зависимость левой части от т. Имеем
г
Ι уя ρ = r2m Ι νψ |2 + 2mr2m-1 ψψΓ + т2г2т~2 ψ2
и аналогично
u2 = λ2«ψ2 + 2mr2w~1 ψψΓ + m2r2m-2\J)2.
Отсюда
/■ 2 iv I 2/.a
-^[^-^-ΐν^ΐ2+^Γ-'^+2,"2-2^(η~2ν].
Неравенство (4.48) переписывается теперь так:
m2 f r-2t|>2dS + m Г Гг-Ч|п|>г (n — 2)r-*^][dS +
|χ|=ρ Μ=ρ
+ ί [^2-γΙνΨΐ2]^<ο.
1*1 =Ρ
Это верно при р>г* и при всех достаточно больших /п. Но
последнее, очевидно, возможно лишь, если
f ftfS = 0 при ρ > г\
И=р
откуда \|)(jt)=0 при |лс|>г*. Принимая во внимание замечание,
сделанное в начале доказательства, мы видим, что ψ===0, что и
требовалось. ■
Замечание. Точка λ=0 может быть собственным значением
оператора #=—Δ+ν(χ) даже для потенциала v(x)^Co°°(Rn).
В самом деле, построим такую функцию ψ (χ) ^С°° (Rn), что
ψ(*) = \х\2~п при |*|>ί ил|э(х)>0 при всех x^Rn. Тогда ψ^
^L2(Rn) при я>5, и мы можем положить ϋ^ψ-^Δψ. Тогда ясно,
что t;eCo°°(Rn) и ψ — собственная функция оператора #=—Д+
+ ν(χ) с собственным значением λ=0.

ГЛАВА IV
ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Теория* рассеяния описывает на математическом языке
результат столкновения и взаимодействия квантовых частиц после того,
как эти частицы уже разошлись далеко друг от друга и
взаимодействие закончилось. При этом часто в случае двух частиц одна
из них (обычно более массивная) заменяется потенциальным
полем, на котором рассеивается вторая частица. Задача о рассеянии
для трех и более частиц значительно сложнее, и мы не будем ее
рассматривать.
§ 1. ВОЛНОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ОПЕРАТОР РАССЕЯНИЯ
1. Основные определения и постановка задачи.
В теории рассеяния изучается связь между- асимптотиками
волновых функций (векторов состояния квантовомеханической
системы) при ί->—со и при t-^+oo. При этом за эталон принимается
поведение системы с простым хорошо изученным гамильтонианом
#о, так что рассматриваемый гамильтониан Я имеет вид Я=Яо-Ь
+ V, где V— оператор, который рассматривается как возмущение
(хотя это возмущение ни в каком смысле не обязано быть малым).
Основной пример, который будет рассматриваться ниже: #о=
= —Δ в L2(Rn), V — оператор умножения на функцию v(x)
(потенциал) .
Итак, пусть Я, Я0 — самосопряженные операторы в
гильбертовом пространстве. Введем два линейных подмногообразия 3)+ и
3)- пространства Жу определяемых следующим образом.
33+ (соответственно 3)-) состоит из тех и только тех векторов ψ+.
(соотв. ψ_) из Ж, для которых существует такой вектор ψ&5#, что
е-ин ψ = е~ано ψ± + g± (f), (1.1)
где вектор-функции l±(t) таковы, что lim ||ξ±(0ΙΙ ^Ο·
t~+±QQ
Определение 1.1. Волновыми операторами W+(H, Я0) и
W-(Ht Яо) (или, короче, W+ и W-) называются операторы,
имеющие области определения ά>+ и ώ- соответственно и
определяете

мые формулами
W±*± = ψ,
где ψ± и ψ связаны формулой (1.1). Иными словами,
4Γψ+ = lim eitHe-itH*^±y (1.2)
или, короче,
W, =s-lim ёШе-т.^ (1.2')
где s-lim означает предел в сильной операторной топологии.
Из (1.1) сразу следует, что пределы в (1.2) 'существуют в
точности на 3)±. Далее, операторы W±, будучи сильными пределами
унитарных операторов, являются изометрическими.
Введем еще оператор S=W+-{W^t переводящий вектор ψ_ в
вектор ψ+. Оператор S называется оператором рассеяния. Это
изометрический оператор, определенный на таких векторах
\|)_еЭ_, что WLy__(=W+3)+.
В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения:
R (И7+) =_- №+®+, R (WJ = WJ)_y
т. е. R(W±) — образы операторов W±.
Предложение 1.1. Оператор S унитарен тогда и только тогда,
когда 3)+ = 3)- = Ш и R (W+) = R (WJ,
Это предложение очевидно.
В случае выполнения * соотношения 3)+ = Э)~ = Ш обычно
говорят о существовании волновых операторов, а соотношение
R(W+) =R(W~) иногда называют их полнотой, хотя в дальнейшем
мы будем использовать этот термин в другом смысле.
В следующем параграфе мы докажем существование и полноту
волновых операторов в вышеупомянутом примере Я0=—Δ, V=
= v(x), если потенциал ν(χ) достаточно быстро убывает. При этом
подпространство R(W+) =R(WJ) окажется равным Жас —
подпространству абсолютно непрерывного спектра оператора Я,
совпадающему с ортогональным дополнением к линейной оболочке
всех собственных функций оператора Я, т. е. к 3βν 1
(сингулярный спектр в данном случае отсутствует). Поэтому полнотой
волновых операторов чаще называют соотношение
R(W+)=R(W-)=Mac. (1.3)
2. Физическая интерпретация.
Мы поясним теперь, какой физический смысл имеют введенные
йыше определения. Пусть Я0 — гамильтониан свободной частицы,
V оператор взаимодействия частицы с некоторым полем, так что
Мы используем здесь обозначения, введенные в Добавлении 1, § 1.
157

H=H0+V — гамильтониан частицы в силовом поле. Оператор
е ° определяет эволюцию во времени для свободной частицы
(для простоты мы считаем систему единиц выбранной так, что
Л=1), оператор e~itH задает эволюцию взаимрдействующей с
полем частицы.
Теперь видно, что итог эволюции свободной частицы с
начальным состоянием ψ+ при t-^+oo тот же, что итог эволюции
взаимодействующей с полем частицы с начальным состоянием ψ=№νψι-
Аналогично состояние ψ- есть итог эволюции свободной частицы
при te(—оо, 0] из того состояния, которое при эволюции
взаимодействующей с полем частицы за то же время переходит в
чр = U^_\|?— Поэтому сам оператор рассеяния, переводящий t|x_ в ф+,
определяет, как влияет взаимодействие V на эволюцию частицы.
Именно, если нас интересует только итог этой эволюции за
все время от —оо до +оо, то его можно найти следующим
образом: рассмотреть движение свободной частицы в промежутке
времени (—оо, 0), затем применить к получившемуся состоянию
оператор рассеяния и, наконец, опять считать частицу свободной в
течение времени *е(0, +оо). Таким образом, все взаимодействие
с полем можно заменить действием оператора рассеяния в момент
времени 0.
Момент f=0 ничем не выделен: его можно заменить любым
другим моментом t = t0. Формально математически это вытекает
из доказанного' ниже утверждения о перестановочности
операторов S и Но. Эта перестановочность, по сути дела, означает
сохранение энергии при потенциальном рассеянии.
3. Свойства волновых операторов.
Изучим простейшие свойства волновых операторов W± и
оператора рассеяния S.
Предложение 1.2. Области определения 3)+ и 3) _ волновых
операторов W+ и W- представляют собой замкнутые
подпространства в Ж.
Доказательство. Это утверждение вытекает из следующего
общего замечания: если семейство ограниченных в Ж операторов
{A(t)t г>0} таково, что ||Л(*)||<С, то множество
3) = {Η>:ψ<=3£, 3 Hm Λ(<)ψ}
f-H-oo
замкнуто в Ж. В самом деле, пусть f^S) (3)— замыкание Φ
в Ж). Выберем произвольное ε>0, и пусть ψ^ί£> таково, что
II/—*||<в/(ЗС), а Г>0 таково, что ΙΙΛ(*')*—Λ(<")*Н<в/3 при
ί\ Г>7\ Тогда
\A(f)f-A(r)fl<\A{t')(f-4)\ +
+ \А(П*-А(Г)М + \МП№-П\<*
при t'y t">T, откуда /ей), что' и требовалось. ■
158

Следствие 1.1. Область определения As оператора рассеяния
5 есть замкнутое подпространство в <Ж
Предложение 1.3. Имеют место операторные равенства
W+eM* = eitHW+J W_eiiH> = eitHW_y (1.4)
где t — любое вещественное число *.
Доказательство. В равенстве
W, = s-lim eixHe-ixH°
~*~ τ->+οβ
введем τι=τ—t. Тогда получим
ψ ецн0 = s-lim е*"в-Цх-«я, = s-lim e^+W е~^Ио =
τ-Η-*ο Ti-H-oo
= eiiH s-lim V*»" erix*H* = β**ΗΨ,,
τ,-Ч-ое +
что дает первое соотношение (1.4). Второе получается
аналогично. ■
Более подробное утверждение дает
Предложение 1.4. Если φ=<ρ(λ) — любая ограниченная боре-
левская функция на R, то
W+4> (Я0) =э φ (Я) W+, WLq> (Я0) => φ (Я) Г_, (1.5)
т. е. если /sa±, то <р(Я0)/€=»± и W±<f(H0)f = ip(H)W±f. В
частности, если операторы №± определены всюду, то
№+<Р (# о) = φ (Я) У+, Г-φ (Я0) = φ (Я) У_. (1.5')
Доказательство. Пусть вначале <peS(R). Тогда φ можно с
помощью преобразования Фурье записать в виде
φ(λ)= J%'xqp(f)df, ipeiS(R).
— оо
Отсюда
<р(Я) = Г φ(/)β«ΗΛ, φ(#0) = Г y(t)eitH>dt
(интегралы сходятся по операторной норме). Отсюда, если
f^2)+, то
ф(#о)/= ~4(W*f)dtez3>+
j
1 Равенства (1.4) подразумевают факт совпадения областей определения
левых и правых частей, т. е. соотношения
eitfio3)+ с= 3)+, eiiH* g)_ с= 2)..
159

в силу предложений 1.3 и 1.2. При этом, применяя (1.3), мы
получаем
W+V (Но) Ϊ = f Φ (t) (W+e^f) dt =
= j° ф (0 (e«»W+f) dt = φ (Я) Г+А
что и требовалось.
Рассмотрим теперь произвольную ограниченную борелевскую
функцию φ. Ее можно представить в виде предела φ = lim φ,„(λ),
где фтеСо°°(К), |<Ρ/η(λ) I <С, где С не зависит от т, и выписанное
предельное соотношение имеет место почти всюду по
спектральным мерам операторов Я и Яо. Тогда по спектральной теореме
легко получается:
φ (Я) =s-lim <pm(#), φ(#0) =s-lim <рт(Я0).
Применяя соотношения (1.4) с <p=<pm и переходя к пределу при
лг-voo, мы получим эти соотношения при любой φ. Ш
Предложение 1.5. Области значений R(W+) и R(W-)
инвариантны относительно любых операторов φ (Я), где φ —
ограниченная борелевская функции При этом операторы ф(#)|яог+) и
<р(Я0)|^)+ унитарно эквиваленты и аналогично унитарно
эквивалентны операторы (p{H)\R{wj и (р(Я0)|«^_.
Доказательство. Все утверждения вытекают из предложения 1.4
и из изометричности операторов W±. Ш
Предложение 1.6. Имеет место соотношение
Se«"i = eWbS, /geR. (1.6)
Далее,
5ф(Яо)=^ф(Яо)5 (1.7)
для любой ограниченной борелевской функции φ. В частности,
если оператор S всюду определен, то
5ф(Яо)=ф(Я0)5. (1.70
Доказательство. Из первого соотношения (1.4) вытекает, чго
еюьщ1 = W+leitH.
Умножая это соотношение справа на W- и пользуясь вторым
соотношением (1.4), мы сразу получаем (1.6). Соотношение (1.7)
выводится из (1.6) аналогично выводу (1.5) из (1.4) в
доказательстве предложения 1.4. Щ
Можно установить также перестановочные соотношения
операторов W± и S непосредственно с операторами Я и Я0, а не только
160

с ограниченными функциями от них. Чтобы их сформулировать,
введем ортогональные проекторы Р+ и Р- пространства Ж на
подпространства 2D+ и iZ>_ соответственно, а также ортогональный
проектор Ps пространства Ж на подпространство Ds. Имеет место
Предложение 1.7. Справедливы соотношения
W+H0P+ = HW+P+y W-H0P- = HW-P-, (1.8)
SH0PS = H0SPS. (1.9)
Далее,
w+h0=>hw+, w-H0z>hw-, (l.io)
SH0=>H0S. (l.ll)
Если операторы U7± всюду определены, то
W+H0 = HW+t W-HQ = HW-, (1.12)
или
#0 = №+^№+, Я0 = WZlHW-, (1.12')
а если оператор 5 всюду определен, то
SHo=H0S. (1.13)
Доказательство. Первое соотношение (1.8) означает, что если
/е^+, то включения /еОя0 и W+f^2)H равносильны, причем
W+Hof=HW+f. Это мгновенно получается, если
продифференцировать по t соотношение
W+<*tH*f = et*HW+f
и затем положить /=0, заметив, что условие /е£>я0 равносильно
существованию производной
ι at
и аналогично условие W+f^DH равносильно существованию
производной
J-JLjiHW ft HW fu
ι at
Аналогично получаются второе соотношение (1.8), а также (1.9).
Остальные утверждения предложения очевидным образом следуют
из (1.8) и (1.9). ■
Следствие 1.2. Если 3)+=Ж> то подпространство R(W+) есть
инвариантное подпространство оператора Я, на котором
оператор Я унитарно эквивалентен оператору Яо, рассматриваемому на
всем пространстве Ж.
В случае операторов Яо = —Δ и Я = —A.+ v(x)y где потенциал
v(x) убывает, мы будем часто иметь дело с ситуацией, когда вы-
161

полнены соотношения (1.3) (в частности, как мы увидим ниже,
они выполнены, когда потенциал v(x) убывает быстрее' Ι*)-1).
В этом случае в силу следствия 1.2 оператор Я0 унитарно
эквивалентен абсолютно непрерывной части оператора Я, т. е. его
ограничению на Жас* Остаются еще дискретный спектр и
сингулярная часть спектра оператора Я. Как мы увидим ниже,
сингулярная часть спектра отсутствует для потенциалов, убывающих
быстрее \χ\~λ. Это приведет нас к полному описанию спектра
оператора Я. Мы уже знаем, что собственные функции дискретного
отрицательного спектра экспоненциально убывают, а
положительно точечного спектра нет. Соотношения (1.12) вместе с некоторой
дополнительной информацией о структуре операторов W±
приводят также »к асимптотике собственных функций абсолютно
непрерывного спектра оператора Я.
§ 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ПОЛНОТА ВОЛНОВЫХ ОПЕРАТОРОВ
1. Абстрактная схема Энсса.
Наша цель в этом параграфе — доказать существование и
полноту волновых операторов в случае операторов Я0=—А, Я=—Δ+
+ν(χ) в пространстве L2(Rn), если потенциал v(x) удовлетворяет
условию
И*)|<С(1 +Η)-'-*, ε>0. (2.1)
При этом относительно образов R{W±) волновых операторов W±>
мы докажем, что
R (W+) = R (WJ) =ЖС = ЖаС © Ж so (2.2)
где ЖаС, Жьс~ подпространства абсолютно непрерывного и
сингулярного непрерывного спектров оператора Я (см. Добавление 1,
§ 1), так что Жс — ортогональное дополнение к 2f$v (т. е. к
замкнутой линейной оболочке всех собственных векторов оператора Я).
Как мы видели выше (см. следствие 1.2), отсюда следует, что
операторы Я0 кН\я>с унитарно эквивалентны. Но легко видеть, что
весь спектр оператора Я0 абсолютно непрерывен. Отсюда следует,
что «3#sc=-{0}, т. е. оператор Я также не имеет сингулярного
спектра.
Сейчас мы сформулируем абстрактное утверждение, из
которого будет вытекать существование волновых операторов. Оно
основано на следующей лемме.
Лемма 2.1. Пусть ξ(ί) — вектор-функция на [0, +оо) со
значениями в гильбертовом пространстве Э@. Предположим,, что по
норме пространства Ж существует непрерывная производная
l'(t), причем
]\l'(t)№<+oo, (2.3)
5
162

т. е. кривая ξ : [0, -\-<х>)~*-Ж имеет конечную длину. Тогда
существует сильный предел lim ξ(ί).
Доказательство, Имеем
|ξ(ω-ξ('.)Ι = ΐί^ΜΛ|<|ΐξ'(τ)1Λ^ο
при tuJr++оо в силу (2.3). Отсюда в силу критерия Коши
вытекает искомое утверждение: gg
Пусть теперь Я, Я0 — самосопряженные операторы в гильбзр-»
товом пространстве Ж, причем #=#0+V. Желая доказать
существование волновых операторов, рассмотрим кривую
l(t) = ^tHeritH.f9
где /&5#. Формально дифференцируя ее, мы получаем
1г^)^ет(Ш)е~1^1 — е1т{Ш0)ет^н^ = 1е^ИУе-^н^, (2.4)
Достаточно установить законность этой выкладки и
абсолютную интегрируемость правой части (2.4) для плотного
множества векторов f. Сформулируем соответствующее
утверждение, иногда называемое критерием Кука.
Предложение 2.1. Пусть H = H0-\-Vt где оператор V ограничен,
и пусть существует такое плотное в Ж подмножество DczDh^
что
+ 00
J \Ver4*t.f\dt < + оо, /е D. (2.5)
о
Тогда волновой оператор W+ всюду определен. Если условие (2.5)
выполнено ς заменой интегрирования от 0 до +оо на
интегрирование от —оо до 0, то оператор W- всюду определен.
Доказательство. Докажем для определенности первое
утверждение. Необходимо лишь обосновать формулу (2.4) при /^ Dh0 =
= Dh, так как из нее вытекает, что
U'(OI = |Ve-«"./|
в силу унитарности оператора eiiH, и мы сможем тогда
воспользоваться леммой 2.1 для установления существования предела
W+f = lim е**н Ь«"·/, / е= D. (2.6)
*-Н-оо
Поскольку область определения 2)+' оператора W+ является
замкнутым подпространством в Ж, то из плотности D в Ж
вытекает теперь, что 3!)^=Ж, что и требовалось. Итак, остается
проверить (2.4). Имеем для ΑίΦΟ:
Ш)~1 [&Ц+Ы)И e-i(t+At)H0 f — eitH e-itMof] =
+ (At)-l [e*u+wH — eitH] e~itH» /.
163

Предел 2-го слагаемого в правой части здесь существует и равен
ieMHerHKf,
поскольку e~itH* f e Dh0 = DH (оператор е~ин° переводит Dh0 в себя,
например в силу спектральной теоремы). Предел первого
слагаемого в правой части (2.6) равен
— ie1*" H^e-Mbf.
Это вытекает из следующего общего утверждения: если Α (τ) —
сильно непрерывное семейство унитарных операторов в Ж и
/(τ) — сильно непрерывная вектор-функция на интервале (а, Ь)
со значениями в Жу то вектор-функция Α (τ)/(τ) сильно
непрерывна на (а, &). В самом деле,
Α (τ) / (τ) - А (т0) / (τ0) = Α (τ) [/ (τ) - / (τ0)] + [Α (τ) - Α (τ0)] / (τ0),
и при τ->το первое слагаемое имеет норму, равную II/(τ)—/(το)II и
стремящуюся к 0 в силу сильной непрерывности /(τ), а второе
слагаемое стремится к 0 в силу сильной непрерывности
операторной функции Α (τ). Это утверждение нужно применить в случае
Α (τ) = β«Η-τ>", /(τ) = τ-1 [r^+^· — е-""·] /,
и тогда непрерывность Л(т)/(т) при τ=0 дает существование
требуемого предела первого слагаемого в правой части Х2.6). Щ
Выделение непрерывного спектра будет основано на следующей
теореме Н. Винера ».[1].
Предложение 2.2. Пусть dm (λ) — конечная борелевская мера
на R, M(t) — ее преобразование Фурье, точнее
M(f)= j e-^dmil). (2.7)
— оо
Тогда
т
Ά~& ϋ W)ia<#=£im(wm (2.8>
-т хек
т. е. среднее значение |Λί(ί)|2 равно сумме квадратов мер всех
атомов меры dm, В частности, если мера dm непрерывна, т. е. не
имеет атомов, то
lim Τ"1 Γ|Λί(0|2^=0. (2.9)
Доказательство. По теореме Фубини имеем
τ τ
2Τ
164

где
= Г dm (λ) f dm (μ) —— ί e-«»-w dt =
-г
= f'Γ^-ΓμΓ ^ (λ) ^ (Ц) = J^(T' Я>Йт^' (2Л0>
/?(Τ,λ) = JSi"r^~fdm(H)· (2·11)
Поскольку подинтегральная функция в (2.11) не превосходит 1,
то по теореме Лебега lim F(T, λ) =/η({λ}). Теперь по теореме
Т-*оо
Лебега мы можем перейти к пределу при 7V*oo и в правой части
(2.10), откуда сразу получается соотношение (2.8). ■
Реально мы будем использовать вытекающее из теоремы
Винера.
Предложение 2.3. Пусть ^<~ЖС и К — компактный оператор
в 3&. Тогда
τ
lim T~l f I Кег«п ψ ц2 di = 0. (2.12)
В частности, если дан конечный набор /Ci,*.., /Cjv компактных
операторов в 5^, то существует такая последовательность чисел
{^)Г=1, что tk -*- + оо и
II*/**''*" Ψ||->·0 при А-> + оо (2.13)
для каждого /= 1, 2,..., N.
Доказательство. Пусть сначала оператор К одномерен, т. е.
Ки= (и, f)g9 где f, g; ug^. Тогда
\Ke-MW=\(ertt"bf)\*\gf.
По спектральной теореме функция M(t) = (er*iHyf f) имеет» вид
(2.7) с мерой dm(X)=d(Exty, /), которая непрерывна ввиду
условия «ф&Ж> Используя предложение 2.2., мы получаем (2.12) для
одномерных операторов /С. Отсюда оно очевидным образом
получается для конечномерных операторов /С, т. е. операторов с
конечномерным образом. Общий же компактный оператор в Ж можно
аппроксимировать конечномерными по операторной норме, откуда
(2.8) легко получается в общем случае.
Пусть теперь дан набор /G,..., /Cjv компактных операторов в
9$. Предполагая, что не существует последовательности /*->+«>,
для которой выполнено (2.13), мы получим, очевидно, что
f [ || К,ег™ ψ ρ + || KjeitH ψ ρ > β > о
/=ι · .
при достаточно больших ί>0. Но это противоречит (2.12). Щ
165

Теперь мы сформулируем абстрактные требования на
операторы Я, Я0.
A. Оператор Я0 имеет лишь абсолютно непрерывный спектр.
B. #=#0+V, где оператор V ограничен и оператор V(H0—г)-1
компактен при ζ^σ(Η0).
C. Существуют такие два ограниченных оператора Р+ и А_ в
Ж и такое счетное замкнутое множество ZczR, что если
Ф^Со00(R\Z), то найдется такое семейство ограниченных
самосопряженных операторов {Qt, ί>0}, зависящее от φ, что выполнены
следующие условия:
1. s-Hrn Qt = /.
2. Ecjiu°Q't = I— Qt, то
]\\VQt\\dt < + oo. (2.14)
6
3. P++P_=/ и образы Р+Ж, PJ%6 операторов Р± плотны
в Ж.
4. Справедливы оценки
|| Q^tH. φ (Яо) р± || < Cf-\ t > 0, (2Л 5)
яри любом />0 {постоянная Ci может зависеть от φ). Здесь и
ниже надо брать оба верхних знака или оба нижних.
Замечание. В конкретной ситуации, описанной в начале этого
параграфа, мы возьмем Ζ =={0} и Qt — операторы умножения на
характеристическую функцию шара {χ : |*|<αί}, где а>0 зависит
от <peCo°°(Rn\{0}). Выбор операторов Р± более сложен и будет
описан в п. 2 этого параграфа.
Следующая теорема является основой метода Энсса J[l].
Теорема 2.1. Пусть выполнены условия А, В, С. Тогда
волновые операторы W± существуют, и для них выполнено условие
(2.2).- В частности, оператор Я не имеет сингулярного
непрерывного спектра. Предельными точками собственных значений (т. е.
точечного спектра) оператора Я могут быть лишь точки
множества Z.
Доказательство. 1) Докажем существование волновых
операторов. Для определенности будем рассматривать оператор W+.
Заметим, что линейная оболочка множества всех векторов вида
<р(Я0)Р+/, где f&9^, <p^Co°°(R\Z), плотна в Ж В самом деле,
если бы это было не так, то нашелся бы такой ненулевой вектор
g^Ж, что gJ-<p(H0)P+f Для любого \^Ж и для любой функции
(p^Co^RXZ). Но это значит, что
Я+Ф(Яо)£=0, <peCo"(R\Z).
Ввиду абсолютной непрерывности спектра оператора Я0 отсюда
следует, что P+*g=0, что невозможно, так как Ker P+* = {0}
166

ввиду плотности образа оператора Р+ (мы исцользовали
условия А и СЗ). Итак, D плотно в Я.
Теперь для проверки существования Ψ+ в силу критерия Кука
(предложение 2Л) достаточно доказать, что
J \\Уе-м°ч(Н0)Р+\\Ш< ·+ оо. (2.16)
о
Для этого заметим, что подынтегральная функция здесь
оценивается сверху суммой
| VQjritM«P (Но) Р+II + II VQ'te-«"· φ (Я0) Я+1|,
в которой первое слагаемое интегрируемо в силу условия С4, а
второе — в силу условия С2, что доказывает (2.16) и,
следовательно, существование W+.
2) Из рассуждений п. 1) легко вывести также, что операторы
K± = (W±-I)<?(HQ)P± (2.17)
компактны для любой функции (peCo°°(R\Z). Заметим, сначала,
что компактны любые операторы вида К<р(#о). В самом деле,
функция φ (λ) может быть равномерно на R аппроксимирована
линейными комбинациями функций φζ(λ) = (λ—г)-1, где ΙπιζφΟ
(см., например, доказательство предложения 1.5 из Добавления 1).
Поэтому оператор У<р(#о) является пределом (по норме)
линейных комбинаций компактных операторов и, следовательно, сам
компактен. Теперь заметим, что в соответствии с рассуждениями
из доказательства предложения 2.1 мы имеем, например для
оператора /С+:
00
tf+ = i f et*HVer*tH· φ (Я0) Ρ+Λ, (2.18)
ό
где интеграл, как мы видели, абсолютно сходится по операторной
норме. Теперь компактность оператора К+ вытекает из
компактности операторов
&нуе-нн,ч.(Но) Р+ = еии [Уц) (//o)j е-ин0 p+t
Компактность оператора /С- устанавливается аналогично.
Отметим, кстати, что оператор Κο=φ(Η)—φ(#ο) также
компактен. В самом деле, применяя те же аппроксимационные
соображения, что и выше, мы видим, что достаточно проверить
компактность оператора
(Н-г)-*-{Нй-г)-1=-(Н-г)-*У(Нь-2)-*, ze£ σ (Я) U *(#<>)>
которая вытекает из условия В.
3) Теперь докажем, что.
s-lim P±eitHo(p(H0) = О, φ <=СЪ* (R\Z). (2.19)
f-*±oo
167

Рассмотрим для определенности знак « + ». Имеем
P>Wo φ (Я0) = Р>'Яо φ (Я0) Qt + P>Wo φ (Я0) Qt.
Норма первого члена стремится к 0 в силу условия (2.15),
поскольку
Р>^оф(я0) = [ф(Я0)е-^оЯ+Г,
а второй член стремится к нулю ввиду условия О и очевидной
оценки | Р*+е*и* φ (Я0) || < С, где С не зависит от t. Отсюда сразу
следует (2.19).
4) Будем теперь доказывать соотношения (2.2). Предположим,
например, что Я(^+)ФЗвс. Заметим, что подпространства R(W+)
и Жс инвариантны относительно оператора Я и всех функций от
него (см. предложение 1.5). Поэтому инвариантно и
подпространство Жс&Я(W+) ^Жс[\{Я(W+))х· Поскольку оно содержится
в Ж, то спектр ограничения Я на это подпространство не может
содержаться только в Z. Поэтому существуют такой ненулевой
вектор ψ&2^θ R(W+) и такая функция <peCo°°(R\Z), что
φ(7/)ψ=<ψ.
В силу предложения 2.3 мы можем найти такую
последовательность чисел {4}£=р что tk-^+oo при &->-оо и
lim \\]К*+е-"ьиq\\ = lim||/Ce-lV4|| = ПтЦКф'^" Щ = 0. (2.20)
Положим ψ* = e~ltkH ψ. Тогда получим
Ι ψ |ρ = (e-W ψ, φ (Я) e~W ψ) = (е~^и ψ, (р(Я)ф*) =
= (e-W *, φ (Я0) ψ„) + (^'*w ψ, ДС0**) =
= (е-ц*н ψ, φ (Я0) ψ,) + (^-^ Ψ, ψ,). (2.21)
Поскольку ||ψλ||<:||ψ||ν то второе слагаемое в правой части (2.21)
в силу (2.20) стремится к 0 при &->-+оо. Если мы докажем теперь,
что
Нт (*-**" ψ, q>(tf0)iM=0f (2.22)
то из (2.21) будет следовать, что ψ = 0, что противоречит
исходному предположению. Проверим (2.22). Имеем
φ (Я0) = φ (Н0) Р+ + φ (Я0) Я_ = W+Φ (Я0) Р+ + №_φ (Я0) Р--К+-К-
(мы использовали условие СЗ и формулы (2.17)). Учитывая
соотношения (2.20), мы видим, что для доказательства (2.22)
достаточно установить, что
Пт(<Г^г|), W±<f(H0)P±$k)=0. (2.23)
168

Поскольку ψ_υ?(1ί?+) и, значит e~ltkH.ty ± R(W+), скалярное
произведение со знаком « + » в (2.23) равно 0 при всех k.
Остается рассмотреть случай, когда в (2.23) берутся нижние знаки.
Имеем
(е~^н ψ, W^ (Я0) Ρ_ψ,) = (ψ, eW №_φ (Я0) Р_г|>„) =
= (ψ, W-jbW* φ (Я0) Ρ_ψ*) = (/>!*-"*"· φ (Я0) Г1г|>, ifo).
Правая часть стремится к 0 при &->-+оо в силу (2.19), что и
требовалось. Итак, ψ = 0, и соотношения полноты (2.2) доказаны.
5) Докажем, что точечный спектр ар(Н) может иметь в
качестве предельных точек лишь точки множества Ζ. В самом деле,
предположив противное, мы могли бы найти такую ортонормиро-
ванную систему собственных функций {%}£=1 оператора Я, что
соответствующие собственные значения λκ сходятся к точке λο^
eR\Z. Если теперь (p^Co°°(R\Z), φ=1 в окрестности точки λο,
то ^{H)^k=^k при большом k. Напишем теперь тождество
ι = II **!■ = (**. ^+ф(я0)я+*л) +
+ (ψΛ, W-y(H0) P-%) - (ψ*, /C+ψ,) - (ψ*, К-, Φ*).
Два последних слагаемых стремятся к 0 при £--^+оо в силу
компактности операторов К+> а первые два просто равны 0 при всех
k, так как tyh-LR{W±). Но тогда тождество невозможно при
больших &, что дает искомое противоречие и завершает
доказательство теоремы 2.1. В
Отметим важную особенность условий А, В, С, при которых
справедлива теорема 2.1: в них в основном идет речь об операторе
Я0; лишь легко проверяемые условия В и С2 содержат
оператор V. Благодаря этому анализ в конкретной ситуации, по сути
дела, сводится к изучению унитарной .группы eitH\. что
оказывается несложным благодаря возможности ее явного описания.
2. Случай оператора Шредингера.
1) Мы проверим здесь, что для операторов Я0=— Δ и Я = —Д+
-\-ν(χ), где потенциал удовлетворяет условию (2.1), выполнены
условия А, В, С из предыдущего пункта, так что, в частности, к
ним применима теорема 2.1. Мы начнем с проверки условия Л:
Предложение 2.4. Оператор Я0 = —Δ в L2(Rn) имеет лишь
абсолютно непрерывный спектр.
Доказательство. Преобразование Фурье переводит оператор Я0
в оператор Я0 умножения на р2, спектральный проектор Ек
которого также есть оператор умножения на характеристическую
функцию шара {ρ:ρ2<λ} (и £λ = 0 при λ<0). Если /=f(p)eL2(Rn),
то мы имеем
&/./)= J■ 1/(Р)РФ=|[ j |/(p)|2dS]^.
ρ2<λ 0 |ρ|=μ
169

Функция в квадратных скобках абсолютно интегрируема по μ в
силу теоремы Фубини. Поэтому функция (EJ, f) абсолютно
непрерывна по λ, что и требовалось. ■
2) Теперь проверим, условие В. Его выполнение вытекает из
следующего предложения.
Предложение 2.5. Пусть V — оператор умножения на такую
ограниченную функцию ν(χ), что
lim v(x) = Oy (2.24)
Ι* Η οο
а оператор A = a(D) имеет вид
Au(x) = F-±xa(p)Fx^puy
т. е. А — оператор умножения преобразования Фурье на функцию
а(р) \ причем а(р) — ограниченная функция и
lim α(ρ)=0. (2.25)
lp|-*°o
Тогда оператор VA компактен в L2(Rn).
Доказательство. Пусть Хв=Хд(#) — характеристическая
функция шара {у: \y\-cR} в Rn. Пусть VR — оператор умножения на
функцию vR(x)=xR(x)v(x), a AR=aR(D), где aR(p) = χβ(ρ)α(ρ).
Тогда из условий (2.24) и (2.25) вытекает, что
lim \\AR~A\\ = lim\\VR-V\\ = 0.
i?-*oo R-юо
•Поэтому достаточно проверить компактность каждого из
операторов VrAr, т. е. дело сводится к доказательству искомого
утверждения в случае финитных функций ν(χ) и а(р)> т. е. функций,
равных 0 вне некоторого шара. В этом случае оператор VA имеет вид
VAu (χ) = (2π)-η j &*-ν)'ΡΐΌ (χ) α (ρ) и (у) dydp,
т. е. задается с помощью ядра
К (х, у) = (2π)-* J е**-»УР υ (χ) α (ρ) dp = (2n)-n'2a(y — χ) υ (χ),
где а — преобразование Фурье функции а. Но ввиду включений
й, v^L2(Rn), имеющих место в силу финитности а и υ, ясно, что
К(х, y)^L2(RnxRn), так что в этом случае VA — оператор
Гильберта — Шмидта и, следовательно, компактен. ■
3) Теперь будем проверять условие С. Как уже указывалось,
мы возьмем Z={0} и Qt — оператор %at умножения на характе-
1 Обозначение a(D) можно понимать буквально, если считать, что
J д /J__<L 1 д \
i дх \ i dxi ' i дхп J *
и понимать a(D) как функцию от набора коммутирующих самосопряженных
операторов.
170

ристическую функцию %at(x) шара {χ: \x\^at}9 где α>0 зависит
от функции <p^Co°°(R+\{0}). Выполнение условия C1 теперь
очевидно, а условие С2 выполняется благодаря требованию (2.1) на
потенциал v(x).
Перейдем к построению операторов Р±. Это можно сделать
различными способами. Мы приведем здесь построение,
принадлежащее Яфаеву ι[1].
Мы будем использовать здесь преобразование Фурье F=FX-+P,
задаваемое формулой
Z(p) = (Fu)(p)=Fx^pu(x) = (2n)-»/2Je-'>*u(*)^
где xt p^Rn, интегрирование ведется по всему пространству Rn.
Тогда F является унитарным оператором L2(Rxn)-^L2(R2)n), и
оператор F-i=F* = F-lv-+x задается формулой
F~lxZ{p) = (2n)-nf^e^Z(p)dp.
Оператор Я0 под действием F преобразуется в умножение на р\
т. е.
Ho^F-^F.
Введем пространство 3@==L2(Rvn) и напишем спектральное
разложение оператора р2 в Ж Его удобно переписать с помощью
разложения Ж в прямой интеграл^пространств функций на сферах
ρ2=λ. А именно пусть ρ = Υ% ω, где λ=ρ2, |ω| = 1. Тогда мы
можем для любой функции f^L2(Rvn) написать
J|/(p)Np = J( J \f(p)\*ds)d^ =
О |ρ|-μ
4-1
= Г μ«-Μμ Γ .|/(μω)|2ί/ω = — Γλ2 άλ Γ \f(\/λ ω)\2άω.
0 Ι ω 1=1 0 | ω |=1 ·
(2.26)
Введем теперь единичную сферу Si={G):'G)^Rn, |ω| = 1} и
положим <9^s=£2(Si), где на Si рассматривается обычная мера άω,
задающая площадь поверхности. Рассмотрим пространство
Ж = L2 (R+, U (SO) = L2 (R+) ® U (Sx) = U (R+ χ Sx),
представляющее собой прямой интеграл одинаковых пространств
L2(Si), занумерованных числами λ>0, по мере Лебега άλ.
Элементы пространства Ж — это функции на R+ со значениями в
L2(Si), измеримые и имеющие интегрируемый квадрат нормы.
Теперь мы можем по функции /=/(р)&?# построить функцию / =
= t//s9#, задаваемую формулой
?(λ, ω) = 2-1/2 λ<"-2>/4/()/Τω). (2.27)
171

Здесь f(Kt ω) понимается как функция от λ со значениями в
L2(S\). Из формулы (2.26) видно, что получаемый оператор
U \Зв-*Ж унитарен. Ясно также, что он переводит Н0 в
умножение на λ, τ. е.
Оператор t/-1 задается формулой
Т(Р) = Ψ-Ί) (Ρ) = V2"ΙΡ \-{η/2~1) ?(Ρ\ Pl\ Ρ Ι). (2.28)
Вместо операторов Р± мы определим операторы Р± =U~XP±Uy
ρ которые операторы Р± превращаются в пространстве 3/в.
Операторы Р± мы определим как действующие в L2(R+x5i) только по
первой переменной λ, т. е. Р±=<Р±$$1У где &± — операторы
в L2(R+). Для определения &>± введем следующие обозначения.
Пусть П+ — оператор умножения на θ(τ) в L2(R), где θ(τ) = 1
при τ>0, θ(τ)=0 при τ<0. Мы можем рассматривать Π+ также
как оператор проектирования L2(R) на подпространство L2(R+).
Пусть П_=/—П+, т. е. IL — оператор проектирования L2(R) на
L2(R~). Через /+ обозначим каноническое вложение L2(R+) в
L2(R). Наконец, пусть F0 — оператор преобразования Фурье по
одной переменной, т. е.
(F0f)(y) = (2л)-^$ е-»» f (r) dr.
Теперь положим
&± = nfF5"1nTV+- (2.29)
Эту формулу можно записать короче следующим образом:
^± = θ(λ)θ:ρ(Ζ)λ), (2.30)
где DK = i-id/dXt θ+(μ)=θ(μ), θ-(μ) = 1— θ+(μ) (мы опустили в
формуле (2.30) оператор /+). Формула (2.30) проясняет смысл
операторов £Р±. А именно если рассматривать условно квантовую
частицу с координатой λ, то оператор θ+(Ολ) оставляет у нее лишь
положительные импульсы. Вспоминая смысл координаты λ, мы
видим, что оператор Р_ выделяет расходящиеся от начала
«координат волны, бегущие «вправо по оси λ». Срезающая функция θ (λ)
должна оставлять все меньшую и меньшую часть такой волны
при /->·—оо. Аналогично оператор Р+ выделяет сходящиеся волны,
которые сильно срезаются функцией θ (λ) при больших t. Если
рассмотреть состояние вида ψ = φ(#ο)ί, где q>eCo°°(R\{0}), то
можно ожидать, что при ί->οο вероятность нахождения частицы
с волновой функцией, равной Ρ+ψ при / = 0, в любом
фиксированном шаре с центром в точке 0 будет убывать при t-^-\"°°- Можно
также ожидать и убывания вероятности пребывания такой
частицы в шаре радиуса at, если число а>0 достаточно мало, а это
похоже на требуемое условие С4.
172

Перейдем к аккуратной проверке условия С4. Для этого нам
понадобится следующая
Лемма 2.2. Пусть <p<^Co°°(R), supp.<pc=|71, В], где 0<Л<5<оо
и \у\ <А \и\12. Тогда для любого / справедлива оценка
00
| f^^+frt»9(r)£ir|<Cz|i*|-', (2.31)
ό
где постоянная С/ зависит от φ (и /), но не зависит от у и от и.
Доказательство. Это утверждение представляет собой
некоторое уточнение известного факта из теории метода стационарной
фазы. Стационарная или критическая точка фазы f(r)=2ry-\-r2u
находится из уравнения f'(r)=0 и равна г=—уиг1. Отсюда \г\ =
— \у\ |w|—1<Л/2, так что критическая точка лежит вне supp<p, чем
и объясняется убывание интеграла. Оценка же его производится
следующим образом. Имеет место тождество
eVry+ir*u = Щ' (г))-1 jL e2iry+ir*u = (if'{r))-1 —е2"У+"1г2и =
= [2i {у + ru)]-t -ζ- е2«у+*2».
Подставляя это выражение в интеграл (2.31) и интегрируя по
частям, получим
оо оо
Г coiry+wu φ (Г) rfr = Г (— 1 уему**'**" -^- [2i (у + ru)'l(f (r)] dr =
о о
= Σ ср f e2iryJrir2u цР (У + ги)-1-рф-я (г) dry
р=0 О
где сг — некоторые постоянные (зависящие только от ρ и /).
Поскольку
\у+ги\>\ги\ — \у\>А\и\ — \у\>А\и\/2 при reEsuppcp,
то отсюда легко следует искомая оценка (2.31). Ш
Перейдем к проверке неравенств (2.15). Имеем
[е+№ φ (Я0) g] (χ) = (2π)-"/2 JV'-PT'P1* φ (ρ*)g (ρ) dp =
00
= (2π)-"/2 f άω \dr-rn~leirx*+ir2t y{r2)g{m). (2.32)
St 0
Положим теперь g = P±h (знак верхний или нижний в зависимости
от того, верхний или нижний знак берется в (2.32)). Используя
обозначения, введенные перед леммой 2.2, мы имеем тогда
i = n+fir7,f=nTv+*.
173

где операторы П±, /V"1, Fq9 /+ применяются при каждом
фиксированном ω^?ι.
Имеем, очевидно,
g (г, ω) = (2π)~ ί/2 J <*«>} (ρ, ω) dp,
откуда в силу (2.28)
g (га) = π-:1/2г 2 J ^p/(ρ, ω)dp.
R*
Подставляя это выражение в (2.32), мы получаем
η
[e+'W. φ (Я0) g] (χ) = 2~Ύ π-^1*/2 f άω j dp ·/ (ρ, ω) Χ
ΟΟ П
X$dr-r2 φ (r2) sto-Mfrn^p =
о
• П οο οο η
= 2 ~ Τπ-ί"+ΐ)/2 f do j dp . / (=F ρ, ω) f dr. r~ φ (r2) ^*·ωτίτ·<ί+ρ>. (2. Щ
Si 0 6
Пусть теперь функция φ=φ(λ) такая, как в лемме 2.2. Тогда
мы можем воспользоваться этой леммой для оценки внутреннего
интеграла (по г) в (2.33), полагая и= =Р(*+р), */ = л;-<о/2. Условие
|#|<Л|и|/2 заведомо выполнено, если |л:|<Л/ (напомним, что
мы должны считать t>0). Поэтому внутренний интеграл
оценивается по модулю через С(ф, l)(t+p)~l при любом /. Отсюда,
пользуясь неравенством Коши — Буняковского, мы получаем при
\x\<At:
|И*"°Ф(#0)Р±А](*)|2<
<Cfdto(f|7(TP^)|2rfp)(J(p + i)-2/dp) =
st о о
оо I
-d/-^1 \dv\dp\/(Тр,ω) |2.
s, 6 '
Из определения / = n+F0J+h мы получаем неравенство
00 ОО
f|f(TP(o)pdp< f|A(p,co)Np
ό δ
при всех ω е Slf откуда при |jc| < Л^
| [βτ ί№ φ (#0) p±h] (χ) ρ < C^+i1 ft I2 = C^"2^11 ft ||2.
174

Поскольку I произвольно, то отсюда следует, что если а<А, то
при любом I
|| χα, е*™. φ (Η0)Ρ± |< С,<-', f >0,
где С/>0 может зависеть от φ. Но это и есть требуемая оценка
(2.15).
4) Остается проверить условия СЗ. Соотношение Р+-\-Р-=1
очевидно, и нужно лишь убедиться, что образы Р+Ш и Р-Ж
операторов Р± плотны. Но ясно, что операторы^ и Р-
самосопряжены, так что достаточно-показать, что Кег Р+=Кег Р-= {0}.
Докажем, например, что КегР+={0}. Пусть P+f=0. Это
означает, что &*+f(rf ω)=0 при почти всех co^Si. Поэтому достаточно
доказать, что Кег^+=0 в L2(R+). Предположим, что ^+£=0, где
g^L2(R+). Это означает, что U+F0-*U-FoJ+g = 0. Положим
вначале h = U-FoJ+g. Тогда П+Т^А — О. Это означает, в частности, что
обе функции h и F^h обращаются в 0 на R+. Но если A|r+ = 0,
то функция
о
(F~l А) (г) =(2π)-ι/2 J eizPfi(p)dp
—оо
голоморфна в полуплоскости 1гпг<0, причем ее значения на
прямых 1т ζ=—ε при ε-^+0 сходятся к значению FQ-lh (на R) по
норме пространства L2(R). Поскольку Fjj"1A|R+ = 0t то отсюда
следует, что /v^AssO. В самом деле, если положить (F0-lh) (ζ) = О
при lm£>0, то получится функция, голоморфная в C\R- (см.,
например, Владимиров [1]), следовательно, iV^AssO, откуда
AsO1. ,
Таким образом, доказана
Теорема 2.2. Пусть Я0=—Δ, #=·—Δ+ϋ(χ), где потенциал υ(χ)
удовлетворяет условию убывания (2.1). Тогда волновые операторы
существуют и полны, причем выполнено соотношение (2.2).
В частности, сингулярный непрерывный спектр у оператора Η
отсутствует.
Мы уже знаем (см. § 4, гл. III), что единственной точкой
накопления собственных значений может быть точка 0, а на (0, +°°)
вообще нет собственных значений. Таким образом, теорема 2.2, по
существу, завершает описание спектра оператора с убывающим
потенциалом.
1 Укажем идею другого возможного доказательства. Считая z=x+iy,
усредним функцию (Fo-ih)(z) по ху введя функцию
ε
ί8(ζ)=(2ε)"ΐ j* (F^1 h)(x+iy+t)dt.
—ε
Тогда g& снова голоморфна при Im z<0, но она уже непрерывна при Im z^0
и равна 0 на R+. Теперь ясно, что ge (ζ)ξ=0. Переходя к пределу при ε-*+0,
мы получим, что FQ~ih^0 и, следовательно, Ы0.
175

3. Матрица рассеяния.
Из теоремы 2.2 вытекает унитарность оператора рассеяния S
в рассматриваемой ситуации. Выясним, как влияет на S
перестановочность с #0. Мы будем использовать введенное в п. 2
разложение оператора Н0 в прямой интеграл.
Предложение 2.6. Существует такая унитарная измеримая
операторная функция S(X) на R+, называемая матрицей рассеяния,
что оператор S разлагается в прямой интеграл операторов S(X) в
L2(R+, L2(Si)), т. е. 5 (λ) — унитарный оператор в L2(Si),
измеримо зависящий от X^R+, и оператор 5 действует по формуле
Sf(X)=S(X)f(K), (2.34)
где /(λ) — вектор-функции на R+ со значениями в L2(Si).
Доказательство. Выберем в L2(Si) ортонормированный базис
{//(ω)}/1ι· Определим теперь оператор S(K) формулой
S(k)f,(<o) = *S(r+ff(*))t У = 1,2, ...
Правая часть имеет смысл, так как e-*fj(a))^L2(R+XSi). По
теореме Фубини функция eKS(e-Kfj((u)) принадлежит L2(Si) при
почти всех λeR+. В дальнейшем мы будем рассматривать только
такие XeR+, что это верно при всех /==1, 2,.... Такие значения λ
образуют множество Л полной меры на R+, и в дальнейшем мы
будем считать, что λ^Λ. Распространим S(K) по линейности на
множество £Г всех конечных линейных комбинаций функций
fj((o). Если /е^~, то ввиду линейности S ясно, что
S(k)f(<*) = ebS(e-bf(<o)).
Пусть теперь g=g(X)^L°°(R+), £(λ)=0 при больших λ.
Обозначим через G множество всех таких функций. Оператор 5
перестановочен с Н0 (и с любыми функциями от Но) у т. е.
перестановочен с умножением на любую функцию g (λ) &L°° (R+). В частности,
при g^G, f^@~ мы получаем
5(«[(λ)/(ω)) = 5(^λ)Λ-ν(ω)) =
= g (λ) *S {е-* f (ω)) = g (λ) S (λ) / (ω), (2.35)
поскольку функция g(K)eK ограничена.
Проверим теперь изометричность оператора S (λ) на iF при
печти всех λ. Выбирая произвольную функцию g^G, мы из
унитарности S и формулы (2.35) получаем при ]^3Г\
ttg(ty\2dl-nf(<»)\2d<o = S\g(X)\4S(K)fyS(X)f)dX.
Ввиду произвольности g (достаточно ограничиться счетным
множеством функций g) отсюда следует, что
(S(k)f.s(k)f) = (f,f), /(=^,3
при почти всех λ. Но теперь .при Этих λ мы можем по непрерыв-
176

ности распространить оператор S(X) на все пространство L2(Si)„
к он станет изометрическим оператором в L2(S\). Теперь легко
доказать формулу
5ψ (λ, ω) = [5 (λ) ψ (λ, ·)] (ω). (2.36>
В самом деле, если ψ(λ, ω) = £(λ)/(ω), где g^G, f^&~y то (2.36)
совпадает с (2.35). Но множество линейных комбинаций таких ψ
плотно в L2(R+x5i). Поэтому ввиду непрерывности S и
оператора в L2(R+x5i), задаваемого правой частью (2.36), формула (2.36)
верна всегда. Остается заметить, что из унитарности S легко
выводится унитарность S(X) при почти всех λ. Щ
В доказательстве предложения 2.6 использовались лишь
унитарность 5 и перестановочность S и Я0. В предположениях
теоремы 2.2 можно доказать следующее более точное утверждение.
Предложение 2.7. В условиях теоремы 2.2 оператор 5 (λ)—Г
компактен при почти всех λ^ΙΪ+.
Доказательство. Мы приведем лишь эскиз доказательства,
предоставляя детали читателю в качестве упражнения. Запишем
оператор S в виде S= W+~iW-=W+*W- (это возможно в силу изо-
метричности W+ и соотношения (2.2)). Тогда
S —/= w^W--I = (W\ — l){W_—I) + (W^ — I) + (W-—I).
В доказательстве теоремы 2.1 были введены операторы /С±=
= (W±—/)<р(#о)Ль которые в нашей ситуации компактны при
9^C0°°(R+\{0}). Поэтому оператор
L = P+<p(HQ)(S-I)<f(H0)P- =
= /с+/с. + /с;ф(я0)р. + р+ч>(я0)К-
(мы берем функцию φ вещественной) также компактен. Положим
теперь g± = gx (λ) = φ (λ) cFL/i (λ), g2 = φ (λ) <^+/2 (λ), где
операторы 3Ρ±««введены в п. 2. Из компактности L вытекает тогда
компактность оператора
00
(S - /)«,.* = j (S (λ) -i)gl (λ) ЩЩах.
О
Учитывая, что функции gu g2 описанного вида образуют плотные
подмножества в L2(R+), отсюда легко вывести компактность
5 (λ)—/ при почти всех λ. Щ
4. Одномерный случай.
1) Теперь мы кратко рассмотрим смысл введенных понятий
в одномерных ситуациях,, описанных в гл. II. Начнем с изучения
оператора Шредингера
I" = —£ + "(*) (2.37)
177

© пространстве L2(R+) с граничным условием
ψ(0)=0 (2.38)
и с потенциалом ν(χ), удовлетворяющим условию (2.1). Оператор
J70 = —d2/dx2 в L2(R+) с тем же граничным условием
представляется в виде оператора умножения на k2 в L2(R&+) с помощью
преобразования Фурье (функции sinkx; при &>0 образуют полную
ортонормированную систему обобщенных собственных функций).
Поэтому, хотя формально теорема 2.2 неприменима, все
рассуждения п. 2 этого параграфа проходят без изменений, и мы
получаем в этом случае, что волновые операторы существуют и полны,
причем выполнено соотношение (2.2).
Мы будем предполагать также, что
ϊχ\ϋχχ)\άχ<οο. (2.39)
6
При 1гф0 рассмотрим решение у(ху k) уравнения Hy=k2y,
имеющее при а:~>-+00 асимптотику eihx. Пусть
^(x,k) = y(xtk)+S{k)y(x,—k), (2.40)
где коэффициент S(k) подобран так, что ψ+(0, k)=0, т. е. S(k) =
= —у(0у k) [у(0,—k)]~l. Отметим, что в §6 гл. II мы писали S(k)
вместо 5(h), но здесь обозначение S резервируется для оператора
рассеяния и матрицы рассеяния, хотя, как мы увидим, S(k) с
ними тесно связано. Заметим, что |3(6)|=1. Положим также
ψ- (Ху k) = ψ+(*, — k) = *+(*,*) = y(x,—k) +
+ $(-k)y(x,k) = y(x,-k) + W(k)y(x,k). (2.41)
Ясно, что ψ+ и ψ_ пропорциональны, так как оба они
удовлетворяют уравнению Н$ = 1гЦ) и граничному условию (2.38). А именно
ψ- (χ, k) = S (k) ψ+(χ, k). (2.42)
Решения ψ* для оператора Я0 обозначим через ψο±(^, k). Ясно,
что
ψ± (χ, k) = e±ikx — e+ikx = ± 2i sin kx.
•Функции {(2π)~1/2Ψ+(^, k)y k>0} образуют полную
ортонормированную систему обобщенных собственных функций оператора Η
в пространстве 5^ас, взятом для оператора Η (см. гл. И, § 6).
•Функции же {(2π)_1/2ψο+(^> k), k>0) образуют полную
ортонормированную систему для оператора Н0 в L2(R+). Волновые
операторы W± осуществляют унитарную эквивалентность Н0 и Щяас,
так что они должны, грубо говоря, переводить ψο(#, k) в функции
вида C±(k)ty+(x> k), где \C±(k) | = 1. Таким образом, вопрос о
вычислении операторов W± (и оператора S) сводится к вычислению
этих коэффициентов C±(k). Ответ дается следующей теоремой.
178

Теорема 2.3. Пусть оператор Η вида (2.37) с граничным
условием (2.38) имеет потенциал v(x)y удовлетворяющий (2.1) и
(2.39). Тогда имеют место соотношения
W±^(xyk) = ^±(xyk), k>0. (2.43>
Точнее, если <p=<p(ft)eCo°°(R+\{0}), то справедливы формулы
оо оо
W± (j Φ (*) Ψ? (*. ft) dft) = j Ψ (ft) Ψ* (*. ft) dft» (2.44>
однозначно определяющие операторы W±, Оператор рассеяния 5
задается формулой S = «S (VH0 ), т. е.
5ψ0± (x,'k) = S (k) # (χ, ft), ft > 0, (2.45>
понимаемой в аналогичном смысле. Матрица рассеяния 5 (λ)
представляет собой числовую функцию на R+, задаваемую
формулой _
5(λ) = §(]/λ). (2.46)
Доказательство, Формула (2.44) однозначно определяет
операторы W±y поскольку C0°°(R+\{0}) плотно в L2(R+), а
отображение
оо
φ (k) ~ (2π)~ι/2 f ψ (k) ψο* (*, k) dk
о
продолжается до унитарного оператора в L2(R+) (см. § 6 гл. II).
Определим Ψ± по формулам (2.43) — (2.44) и убедимся, что эта
действительно волновые операторы. Для этого достаточно
проверить, что если
(T£q>)(x) = $<p(k)yUx,k)dkt
о
(T*v)(x)\=J4(k)V*(x,k)dk,
где <Р е С" (R+vjo}), то
lim || eriiH Γ±φ — ег"Η· Γ±φ j =0, (2.47>
f-f + OO
где норма берется b£2(R+). Из соотношений Яя|?± = /г2ф±, H0tyQ=k2%
легко получается, что
00
(ег1ШТ±ч) (х) = j е-** φ (k) ψ± (χ, k)dk,
о
оо
(Г" «"· Г?φ) (*) = j Г""** φ (ft) ψο* (x, ft) rfft,
о
17»

так что (2.47) сводится к соотношению
оо оо
lim f I f φ (k) [e~iikl (ψ± (χ, k) — ψ? (χ, k))] dk f dx = 0. (2.48)
~~ 0 0
Отметим, что функция ψ± {χ, k) — ψ? (я, ft) имеет при л:->+°°
асимптотику C±(fe)e+l7?JC (члены с eikx сокращаются при верхнем
знаке, а члены с e~ihx — при нижнем знаке). Подставляя в (2.48)
вместо функции (ψ*—ψο*) ее асимптотику, мы получаем
соотношение
со с»
lim Π Ι φ (k) e-itk2*!kx dk I2dx = 0, (2.49)
которое является следствием метода стационарной фазы. А
именно, единственная стационарная точка фазы /(£) = —ik2:fkx имеет
вид й = н . Эта точка не входит в область интегрирования
по х при соответствующем знаке ty откуда (2.49) становится
очевидным. Аккуратное доказательство легко дать, например, с
помощью леммы 2.2. Мы оставляем его читателю в качестве
упражнения.
Теперь для окончательной проверки формул (2.43) — (2.44)
нужно лишь установить (2.48) с заменой функции ψ*—ψο* на
«остаток в ее асимптотике, т. е. функцию
ψ± (х, ft) — ψ± (xt k) — C± (k) e+ ik\
уже убывающую при лг-Н-оо. Это может быть сделано с помощью
оценок остатка в таких асимптотиках из § 4 гл. II, и мы опустим
•соответствующие подробности.
Проверим формулу (2.45). Поскольку i|)o~=—ψο+, то
достаточно, очевидно, рассмотреть верхний знак. Имеем в силу (2.43) и (2.42)
s^t = щ.1 w-^t = w+y = s (ft) i^+V = S(ft) $0.
что и требовалось. Формула (2.46) является очевидной
перефразировкой (2.45). ■
2) Рассмотрим теперь оператор Я вида (2.37) на всей оси, т. е.
в L2(R), считая, что потенциал v(x) удовлетворяет оценке (2.1)
и условию
оо
Τ \x\-\v(x)\dx<. + сю.
•—оо
Как в § 6 гл. II, построим функции Иоста: решение i/i(*, ft) с
асимптотикой eihx при *->-+оо и решение yz(x> ft) с асимптотикой
e-ikx При χ_^ оо
Спектральное представление оператора #0 =—d2/dx2 в L2(R)
естественно строить в £2(К+)Э L2(R+), т. е. в множестве пар
180

(φι(&), ф2(&))> где <Pj^L2(R+). Соответствующие* обобщенные
собственные функции имеют вид {eikx, &>0} и {e~ihxf &>0}.
В § 7 гл. II были введены обобщенные собственные функции
Уз*^, &), /=lt 2, оператора Я. Определим также соответствующие
собственные функции ζ^(χ9 k) оператора Но. Они имеют вид
г± (х, k) = г- »*, zf (x, k) = е*** , ft > 0.
Теорема 2.4. При вышеуказанных условиях для операторов
d2 d
tf = r+v(x)y Hq= — в L2(R+) волновые операто-
dx2 dx2
ры W± определяются соотношениями
W±zf(x,k) = yf(x,k), k>0y / = 1,2. (2.50)
Матрица рассеяния при λ = № действует в 2-мерном векторном
пространстве векторов (φι(ft), <рг(&)) как применение к такому
вектору матрицы
S(ft) = (Sll(*! Sl2fM, ft>0, (2.51)
\%(ft) s22(ft) /
введенной в § 7 гл. II (формула (7.25)) ].
Доказательство получается аналогично доказательству
теоремы 2.3 и может быть предоставлено читателю в качестве
упражнения.
5. Сферически симметричный случай.
Рассмотрим в L2(R3) операторы Я0=—Δ, # = — A+o(r)f где
г=|л;|, а потенциал v(r) удовлетворяет условиям
Иг)|<С(1+г)-1-*, (2.52)
оо
Jr|o(r)|dr< +оо. (2.53)
о
Как мы видели в § 4 гл. III, пространство L2(R3) можно
разложить в ортогональную прямую сумму
L2(R3)-e^/,m, ' (2.54)
l,m
где все пространства Ж,т инвариантны относительно обоих
операторов #о, Н. Опишем подробнее это разложение.
Оператор Δ записывается в полярных координатах
следующим образом:
дг2 г дг г2
1 Отметим, что здесь обозначение S(k) используется в ином смысле, чем
выше в этом параграфе: чтобы получить матрицу 5 (λ) в смысле этого параграфа,
надо положить k=Y λ в матрице (2.51).
181

где As — оператор Лапласа — Бельтрами на единичной сфере*
имеющий в обычных координатах θ, φ вид
sine dQ \ θθ / sin2θ dq>2
Собственные функции оператора As естественно искать в виде
F = Fi(Q)eim^y meZ.
Как мы уже видели в § 4 гл. III, собственные значения опера·
тора (—As) равны /(/+1), 1=0, I, 2,..., так что для Λ(θ)
получается уравнение
Мо#шо показать (см., например, Тихонов и Самарский «[1]"), что
решения без особенностей существуют лишь при |т|</, причем
собственные функции имеют вид
У|.т(в, φ) = Pi.m (cos 8)e"«Pf
Pttm(u) = [(l-u*)W^P№)
где Pi — полином Лежандра
P<(") = 2-'(/!)-1-£Γ("2-l),.
Подпространство 3fSitm образовано функциями вида
{Yl,m(<»)f(r)},
где ω=(θ, φ) — точка единичной сферы, f(r) — произвольная
функция, для которой r/(r)eL2(R+). Оператор Η действует в
Ж1,т как оператор вида Hi вида
Замена ф(г) = rf(r), которую мы уже использовали в § 4 гл. III,.
переводит оператор Йг в оператор Hi вида
который надо рассматривать в L2(R+).
Разложение (2.54) позволяет разложить в прямую сумму
операторы W± и 5. Проведенное в § 6 гл. II исследование спектра
и собственных функций оператора Hi позволяет аналогично п. 4
этого параграфа вычислить действие волновых операторов и
оператора 5 в 2/ёит. А именно пусть yp(r, k) — решения уравнения
Hiy=k2y с асимптотиками e±ikr при г->+оо, а ^(г, k) —. такие.
182

же решения,*но для уравнения Hi°y=k2y9 где Hfi получается из
Ни если положить v(r)=0. Функции η^± явно выписаны в § 6
гл. II. Они имеют особенность при r-й), но из них можно
составить комбинацию, которая такой особенности не имеет:
Нам удобнее другие комбинации, пропорциональные ψ*:
ψί+=η*+— (— 1)'ηΓ, $Γ=*\Γ— (— 1)1Щ+-
Имеется также единственное (с точностью до множителя)
решение уравнения Hiy=k2y> не имеющее особенности при r-й). Два
таких (пропорциональных) решения имеют вид
*t (г, к) = уЦг9 к) - Si (- k) yT (r, *),
zT (r, к) = zt(rt к) = yT (r, к) - S/ (- k) yt (r, *).
Обозначим через Wl± и Sl ограничение операторов W± и 5 на
Теорема 2.5. Операторы W±l задаются соотношениями
W*±tf(r9k)=**(r9k).
Оператор S1 задается формулой S1 = — Sl(—γ #?), т. е.
54? (г, ft) = — S' (- ft) φ,* (г, k).
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.3.
Задача. С помощью предложения 2.1 доказать
непосредственно существование волновых операторов при л = 3 и при
выполнении условия (2.1) на потенциал v(x)9 используя в качестве D
множество конечных линейных комбинаций функций вида
fa Μ = fa (*i *i. *а) == (х1 — αύ (X* — Αι) (*а — аз) ег(*-*Г ,
где а= (а1э а2, 03)^R3, х= (хи хъ, xz)^R3.
§ 3. УРАВНЕНИЯ ЛИППМАНА—ШВИНГЕРА И АСИМПТОТИКА
СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
1. Вывод уравнений Липпмана — Швингера.
Здесь из существования волновых операторов мы эвристически
получим уравнения Липпмана — Швингера, связывающие
собственные функции оператора Я0 с некоторыми вполне
определенными собственными функциями оператора Я. Мы не будем в
этом выводе следить за тем, входят ли те или иные векторы в
область определения операторов, а также за законностью
всевозможных предельных переходов. Это, как правило, мож?;о сде-
183

лать в конкретной ситуации после изучения самих уравнений
Липпмана — Швингера.
Итак, пусть Я, Я0 — самосопряженные операторы в
гильбертовом пространстве Зв. Пусть задано банахово оснащение
пространства Эв, то есть тройка
. B+a3eczB-y (3.1)
где В+ — некоторое банахово пространство, плотное в <5#,
оператор вложения непрерывен, S_ сопряжено к В+у причем
двойственность между В-. и В+ продолжает скалярное произведение
в Ж
Предположим, что J5- содержит полную систему обобщенных
собственных функций ψ°(/7ζ) оператора Я0 (см. Добавление 1,
§ 2). Аргумент т пробегает некоторое пространство Μ с мерой
dm. Функции ψ°(/η) определяют отображение U : B+-+L2(M)
согласно формуле
U:F-+(F,y>{m))eL*(M),
причем это отображение продолжается по непрерывности до
изоморфизма Ж на L2(M). To обстоятельство, что ψ°(/η) являются
обобщенными собственными функциями оператора Я0, означаем
что
(#0F,Y (m)) = Ε (т) (F, Ϋ (т)),
если F е 5+ Л Dh0 и H0F^B+. Здесь Е(т) — измеримая и
почти везде конечная вещественнозначная функция на М.
Аналогичное равенство справедливо для любого оператора /(Яо):
(f(H0)Ft^(m))^f(E(m))(F9^(m))9 (з.2>
если F <=В+{)Онн0)^ и f(Ho)F^B+. В дальнейшем (3.2)
используется при f(x)=eitx.
Равенство (3.2) формально записывается в виде
f(Ho)r(m)=f(E(m))^(m), (3.3)
что мы и будем делать в дальнейшем.
Будем предполагать теперь, что операторы W± определены
всюду.
Из предложения 1.7 вытекает тогда, что
HW+^(m)=E(m)W^°(m). (3.4}
Введем обозначение
ц+(т) = №+Ц<>{т). (3.5)
Тогда (3.4) можно переписать в виде
Ну+{т)=Е(т)ф-(т). (3.4'),
Аналогично полагая
ф-(т) = ИМ?°(т), (3.6)
184

мы получим
#1|г-(т)=£(/п)г|г-(т). (3.7)
Имеем из (3.5)
ф+(т) = \im<*tHe-itH°y°(m). (3.8)
Мы используем теперь следующий элементарный
вспомогательный факт из анализа:
Лемма 3.1. Пусть f (t) — локально интегрируемая (по Лебегу)
числовая функция на ι[0, +οο) и пусть
lim f(t)=A.
Тогда
lim a \f{t)e~^dt = A.
α-*+0 0
Доказательство. Для f(t)=A утверждение очевидно. Поэтому
достаточно считать, что А = 0. Пусть задано ε>0. Выберем М>0
таким, что \f(t) |<ε/2 при t>M. Имеем
м
\a^f(t)e-«*dt\<;\a f f(t)e-«*dt\ + \a \ f(t)e~«t dt\<
О 0 Μ
Μ οο
<α ^\f(t)\dt + — \ate-«fdt\
2 2
0 Λί
Μ
при «<^-^|/(0|<#) '. ■
О
Легко видеть, что эта лемма верна и для вектор-функций со
значениями в банаховом пространстве. Применим ее к (3.8).
Преобразуем допредельное выражение:
a f \eitH e~itH> ψ° (m)] e~at dt = a$ eitH e~itE^ е~«* ψ° (m) at =
ό
Итак, имеем
ψ+(/η) = ί lim а(Я — £(/я) + iaj-^im). (3.9)
a-* 4-0
Аналогично получаем
ψ-(/η)=ί lim а(Я — £(m) + ία)-1^™). (ЗЛО)
185

Преобразуем теперь (3.9) и (3.10),'стремясь избавиться от
множителя а:
(Я — Ε (т) + ία)-1 = (Я0 — £ (т) + ία + V)'1 =
= [(Н0-Е(т) + ία) (1 + (Н0-Е(т) + ία)-ψ)]-* =
-[1 + (Н0-Е(т) + ia)~W]-HH0-E(m) + ία)-1.
Заметим теперь, что
(#о -Е(т) + ία)-ΐψ° (m) = (ία)-ιψ> (m),
поскольку \|5°(m) — обобщенная собственная функция оператора
Я0 с собственными значениями Е(т).
Таким образом, из (3.9) и (3.10) следует
ψ±(/η) = lim [1 +(Я0 —^(mj + ia)-1!/]-1^0^). (3.11)
a-*±0
Применяя к обеим частям (3.11) формальные предельные
операторы 1 + (Но—Е±Ю)~1У, мы получим
ψ+(/η) = <φ°(/η)—' (HQ — E(m) + ίΟ^Ι/ψ+ί/π), (3.12)
ψ- (m) = f> (m) — (Я0 — E(m) — ί0)-ψψ~ (m). (3.13)
Уравнения (3.12) и (3.13) называются уравнениями Липпмана —
Швингёра.
2. Исследование уравнения Липпмана — Швингёра.
Рассмотрим теперь конкретную ситуацию Я0=—Δ, Я=—Δ +
+v(x) в L2(R3), где потенциал v(x) ограничен и достаточно
быстро убывает. Теперь V — это оператор умножения на υ(χ)
в L2(R3). Мы будем здесь писать уравнение Липпмана —
Швингёра в виде
ψ+=φ— (Но—E+iO)-*V$+, (3.14)
где <р — известная функция (собственная функция оператора
Н0=-А).
Вычислим (Н0—г)-1. Для этого перейдем к преобразованию
Фурье. Положим
/(*) = Uipxg(p)dp, g(p) = (2π)-3J e-b-vf(y)dy.
R» R3
Тогда получим:
(H0f)(x) = -Af(x) = Se*p-*rfig(p)dp9
где p2=p.p=|p|2f и> далее,
((Я0 - г)-V) (χ) = J г»* Jg. dp = j G (x - y) fb(y) dy,
186

где '
G (χ) = (2π)-3 J (ρ* _ ζ)-ι e(P'xdp.
Последний интеграл расходится, но его надо понимать как
преобразование Фурье от (р2—г)-1 в смысле обобщенных
функций.
Для вычисления G(x) заметим прежде всего, что G(x) не
меняется при поворотах, т. е. G (gx) = G (χ), где g — вращение,
или, что то же самое, G зависит только от ,|д:|. Это легко
проверить заменой переменной в интеграле. Введем полярные
координаты: k=\p\y φ — широта, θ — долгота (угол ρ с осью *з).
Направим χ по оси л;з. Учитывая, что
dp = &2sin QdkdydQ,
получим
^(cose)i*i£2sin0^e
G(*) = (2jt)-2f Γ
fc2 — ζ
о о
eik\xluk*dkdu
<*>-] $
fc2-
ό -ι
где u=cos9. Вычисляя интеграл по и, получаем
G(χ) = [ — kdk— - kdk 1 .-.
о
ik\x\
:π)2ί|χ1 J *a-z
(2:
Этот интеграл легко вычисляется с помощью вычетов, если взять
контур в. верхней полуплоскости Im&>0. Окончательно получим
ι i\X\ VT
G(x) = —- —,
где 1тУг>0. Таким образом, ядро G(xy y\z) резольвенты
(#о—г)-1 оператора Н0 имеет вид
G{x,y\z)=-j-—^ —, \mVz >0. (3.15)
4π Ι χ—у I
Это ядро экспоненциально убывает по у при фиксированном χ и
наоборот.
187

Чтобы записать теперь уравнение Липпмана — Швингера
(3.14) с φ (л:) =е{Р'ху мы должны написать уравнение
ψ+ (χ) - ёр-* - -f- — — ό (у\ур+ (у) dy
4π J \x—y\
и перейти в нем к пределу при z-*-p*·—/0 (при этом нужно брать
1т]/г>0). Тогда легко видеть, что У г-*—|р|, и в пределе
уравнение приобретает вид
ρ -i\p\\x-y\
ψ+(χ) = etp * - J_ J- V(y) q>+(y)dy. (3.16)
4π J |x—i/1
Это и есть явный вид уравнения Липпмана — Швингера (3.14)
с у{х) =егР'х. Аналогичное уравнение для ψ~ (χ) имеет вид
r {x) = <*>*_ J_ _^ —v(y)r (y)dy. (3.17)
4jtJ |*—у\
Для определенности будем изучать уравнение (3.17). Это
неоднородное интегральное уравнение. Обозначим через G оператор с
1 ei\P\\*-y\
ядром G(x, у) = (зависимость от ρ опускается для
4π \χ—у\
простоты обозначений). Тогда (3.46) коротко перепишется в виде
ψ- = егр · χ— G ΙΛ|>- (3.170
Обозначим через Cb(R3) банахово пространство непрерывных
ограниченных функций на R3 с нормой
I/(*)!« = sup |/(jc)|.
x£R*
Предложение 3.1. Пусть потенциал ν (χ) удовлетвоояет
условию
И*)|<С(1 + М)-4-£, ε>0. (3.18)
Тогда оператор GV вполне непрерывен в C&(R3).
Доказательство. Достаточно проверить, что GV переводит
единичный шар пространства Сь(К3) в множество функций,
которые равностепенно непрерывны и равномерно стремятся к О
при |*|->-+оо. Для проверки этого изучим ядро оператора G.
Пусть у фиксировано, а |л:|->-оо. Тогда
\*-у\=У(х-у)2 -V\x\2 + \y\2-2x-y =
Υ
|jr|» |*|2 ' ' μΐ '
где R\(xf у) при фиксированном у убывает как 1/|*|. Поэтому
4nG(x9y) = -±-e [ ш J[l +R%(x9y)\ =
1-м
188

= ТГ\[е + *.(*.*)].
где /?2(^, у) и Rz(x, у) также убывают по χ как 1/|лг| (при
фиксированном у). Более точно
R (Х \х\еЦр"^ „""("'-17,·') (1+|у|)'*(*,У)
\*—у\ \х—у\
(3.19>
где 7? (л:, г/) — ограниченная функция.
Докажем последнее утверждение. Имеем
*1Р|(|*1~-И , , /1р|(1*|--7т,-у)
-« l |xl ч+(М-1*-0|)* l ,ж| '.
Очевидно, что | |л:| — |л:—у||<|у|, что достаточно для оценки!
второго слагаемого. Оценим первое
\х\\е
1Ш\х-у\ '""("'-Щ··'),
■\-i\p\\\x-u\+(\x\--£?,y)] ι г Ιοί /
= \2е2 I 1 '" ^|.M|sin[-^(|x-i/|-
Обозначим через θ угол между векторами χ и у, и пусть u = cos0-
Рассмотрим функцию
F (х, у, и)
\х — У\-\х\ +ТТ-У
I х\
^У\х\2 + \У\2-2\х\\у\и -\х\ + \у\и.
Будем считать и независимой переменной. Имеем
F(x,y, — l)=0;
dF
ди
\х\\У\
/|*|*+|»|«-2|х||у|и
+ \У\.
Эта производная обращается в 0, если х2=х2+у2—2\х\ \у\и, т. е.
и= \y\J2\x\. Отсюда легко найти максимальное значение
F(x, ί/, и) и проверить, что при |и|<1 выполнена оценка
ν υ ' 2\х\
189

откуда следует, что
Κγ\ν\2\ρ\,
'что и требовалось. Соотношение (3.19) доказано.
Теперь нам понадобится
Лемма 3.1. Пусть
\р(У)\<а(1+\у\)-а> (3.20)
тде α = 4+ε, ε>0. Рассмотрим функцию
(Gp)(*)=JG(x9y)p{y)dy.
Тогда
т^-^-'Ш+т- (3·21)
тде / — функция класса С1, а К(х) допускает оценки
\К(х)\<С(1+\х\)г1-',\^1\<С1(1+\х\)Г (3.22)
с постоянными С, Си зависящими от α и α в (3.20).
Доказательство. Имеем в силу проведенных выше оценок
Л\р\ \х\ * —i\p\ -г-г-У
(Gp)(x) = -L—-[e "' p(y)dy +
+ ττί (1,+ ly',)a *(*.у)р(у)«*у.
И J \x—y\
где функция R(xy у) ограничена. Из (3.20) легко следует, что
фундция
/(ω) =1(г-"р1*-Ур(у)с1у'
непрерывна и имеет непрерывные производные 1-го порядка.
Теперь нужно оценить интеграл
'(*)= Г (1+|^|)2 R(x,y)9{y)dyy
J \х—У\
точнее, доказать, что
|/(*)|<С(1+|*|)-в,
где С зависит лишь от α и α в (3.20). Очевидно, что
Ясно, что /о(а:) зависит только от \х\. Направим χ по оси *з, и
пусть через 0, как и выше, обозначен угол между χ и г/, w = cos9.
J90

Тогда, записывая интеграл в полярных координатах, мы получаем:
J (1+Γ)α-2.) /|д.|1+г1_'2|дг| rcos6
О v ' ' О
Имеем '
π ι
sinOde - ' Г du
V\x\2 + r* — 2\x\rcosQ ~ J /|A-|2 + r2_ 2\x\ru "~"
0 —1
1
kill/
ι
|дг|г
V\xf + n — 2\x\
ru
-1
(ΙΙ*Ι + Ί-||*Ι-Ί)
_o tHj\x\-r) ρ Я(г-|дг|)
где #(ί) — функция Хевисайда (H(t) = l при ί>0 и H(t)=0
при t*cQ). Отсюда
1*1 оо
/,(*)<-!_ f *Ё + С ΐ± .
И J (i+r)«-2 J d + r)«-2
Второй интеграл конечен при α—3>1, т. е. α=4+ε, где ε>0..
При этом имеем
1*1
при |л;|->+оо, откуда
J (l+r)a~2 U|8 * J (14-r)a-2
/oW<ClJc|-fi,
где С зависит лишь от постоянных α и α (α>4) в (3.20). Отсюда
следует первая из оценок (3.22).
Для доказательства второй оценки (3.22) напишем
Имеем
dG(xyy) 1 / ei\p\\x—y\ ei\p\\x-y\
( ei\p\\x—y\ ei\p\\x—y\ \ Xj — yj
dxy 4π
Теперь нужно доказать, что интегралы вида
iet\p\ \х~У\ С ei\p\ \х~У\
\x-yp Р(») d»> J |x-y| PW dy
оцениваются через С(1+|д:|)"8. Это делается аналогично
проведенной выше оценке для / (л;). Я
19L

Окончание доказательства предложения 3.1. Из леммы 3.1
вытекает, что если |\|э(л;)|<1 при всех х> то функция (GVty) (х)
стремится к 0 при |я|->оо равномерно по всем таким -ψ и
аналогично ее производные · ограничены также равномерно по ψ. Но
отсюда очевидным образом следует компактность образа
единичного шара пространства C&(R3) под действием оператора GV. ■
Теперь мы можем доказать разрешимость уравнения Липпма-
на — Швингера.
Теорема 3.1. Пусть потенциал v(x) удовлетворяет условию
\v{x)\^C(l+\x\)s-*y (3.23)
где δ>0. Тогда уравнения Липпмана — Швингера (3.16) — (3.17)
однозначно разрешимы в C&(R3) при рфО.
Доказательство. Рассмотрим для определенности уравнение
(3.17). В силу предложения 3.1 и известной теоремы Рисса
достаточно доказать отсутствие нетривиальных решений в C&(R3)
у однородного уравнения
* W = ΈΓ ) \х-у\ ν Μ Ψ (У) dy. (3.24)
По лемме 3.1 из (3.24) следует, что
J\p\U\ Ι χ \
ψ {х)="Vt~ ; (ιτγ) + к (х)> (3·25)
где f — функция класса С1, а К(х) удовлетворяет оценкам (3.22)
-с ε>1/2. Докажем, что для К(х) выполнена еще оценка
\Кг(х)\<.С\х\-*-*, (3.26)
где Kr = dK/dr=VK-xJ\x\> В самом деле, повторяя рассуждения
из доказательства предложения 3.1, мы получаем
РШ\х\ Ι χ \
*<*)=*(*)-п7г-/(-пт)
4π
Положим
|дг| ' \ \х\
с\р\ (\х\ — -у)
ι ρ Г pi\P\ \Х—У\ р \ \ X \ ) Ι
1 f Η ; η ]*Ш(У)*У·
J L \x — y\ 1*1 J
L(x,y) = -
i\p\ (1*1--^-
ei\p\\x-V\ e \ \x\
-)
\*-y\
χ
Тогда, полагая д/дг = _^ . Vjfj МЬ1 получаем
1 r dL
Kr(x) = —irl-^r {х>у) υ {у) ^{у) dy· (3·27)
192

Применяя оператор д/дг к каждому из двух слагаемых в
выражении для L(xfy)t мы получим прямым вычислением
д еЫ \х-у\
~дг \х — у\
= i\p\
J\p\ \х-У\
\х — У\ \Х — У\ \*\
i\P\(\x\--^—y)
+ '
Ri (χ, у)
\х-У\2
дг
= i\p\
i_ ;,р| t1*1~ "йН , K*ix.au + \y\)
\х\ \х\2 ■
где функции R\, /?2 ограничены. Если подставить члены,
содержащие R\ или R2 в (3.27) вместо дЦдг, то получившийся
интеграл будет равен 0(l/\x\l+G) в силу оценок, аналогичных
оценкам из доказательства леммы ЗЛ. Остальные члены дают вклад
в dL/drt равный
ί\ρ\
gi\p\\x-y\
\χ-ν\
= i|pl-
+ i\p\
\х — У\
et\p\ \x-y\
\*-v\
J\p\ \*-y\
i \p\ (\X\- _L_ .y\
о \ 1*1 /
И
( x — y
\ \x-y\
\x\
]=
-ί4γ-1) +
'«Κι·»)
1*1
Член в квадратных скобках при подстановке в (3.27) вместо
дЦдг дает интеграл, равный 0(1/|χ|Ι+ε), как мы видели в
доказательстве предложения 3.1. Первый член дает такой же вклад
ввиду легко проверяемой оценки
С(1+[у|)
х — У
\х-У\
\х\
— 1
\х-У\
Это завершает доказательство оценки (3.26).
Возвращаясь к (3.25), покажем, что на самом деле первый
член в (3.25) отсутствует. В самом деле, из (3.25) и (3.26)
вытекает, что
-JJL=i\p\^+0(l/r^), (3.28)
or
где ε>1/2. Кроме того, из уравнений
— Δψ+ι>ψ=|ρ|2ψ, ' — Δψ + ΐ'ψ^ΙΡί2^
вытекает, что при любом R>0
0= J (ψΔψ-ψΔψ)£ίχ= j* (ψ-^-_ψ-*£
UK Я \x\=R
dS
193

==2ί|ρ| j \q\*dS + 0(R~2e)
\x\=R
(мы использовали условие (3.28) и соотношение, полученное из
него комплексным сопряжением). В частности, отсюда следует,
что
lim f |\|)|2dS = 0.·
Этому условию удовлетворяет второе слагаемое в (3.25) и не
удовлетворяет первое. Поэтому первый член в (3.25) отсутствует.
Но тогда из оценок (3.22) для К(х) с учетом того, что е> 1/2,
вытекает, что \|^L2(R3). Однако это противоречит теореме Като
(см. гл. III, § 4) об отсутствии положительных собственных
значений у оператора Н. Щ
3. Асимптотика собственных функции.
Теорема 3.2. Пусть потенциал v(x) удовлетворяет условию
(3.23). Тогда собственная функция tyP~(x), которая находится из
уравнения Липпмана — Швингера (3.17), имеет асимптотику
Ъ (х) = &·* £j^l Т_ (р, q) + О (-j^+r). (3.29)
гдев==Л-+б(<7 = |р|-^р
Доказательство. Повторяя рассуждения из доказательства
предложения 3.1, мы получаем
ι J\p\\x\ г _/1р|^Т" у
% (х) = &·* - -£- ±^- j г * ν (у) ψ" (у) + О (| χ |-»-).
Полагая
Т. (р, q) = J er*-y υ (у) ψ- (у) dy, (3.30)
мы получим требуемую асимптотику (3.29). Щ
Замечание 3.1. Выясним смысл ядра T~(ptq) в асимптотике
(3.29). Можно показать, что оператор с ядром Τ-(ρ,ς) в р-пред-
ставлении совпадает с оператором T=VW-. При этом для ядра
оператора рассеяния имеет место формула
S (р, q) = δ (p-q) -2πίδ (ρ2-?2) Γ- (ρ, q).
Из (3.29) видно также, что T-(p,q) — коэффициент при
расходящейся сферической волне.
Замечание 3.2. Положим
J\p\ \χ\
R (χ) = ψ- (χ) - #ρ·* - е]х{ Τ- (ρ, q),
194

т. е. R{x) — остаточный член в асимптотике (3.29). Аналогично
доказательству теоремы 3.1 проверяется, что в условиях теоремы·
3.2 верна оценка dR/dr=0(r-l-e)y где >*=|*|. В частности, dRJdr=
= o(r-~l), откуда следует, что
-£- (% (*) - *lpx) = i\P\ (% (*) - &■*) + о (—^).
Это условие называется условием излучения Зоммерфельда и
позволяет выделить решение ψρ~(χ) среди всех решений
уравнения #ψ=|ρ|2ψ с асимптотикой eip'x при |лс|-^оо (точнее, таких,
что ty(x)—eip'x=0(lj\x\) при |jc|—*-оо). Соответствующее
рассуждение в случае финитного потенциала можно найти,
например, у Тихонова и Самарского [1]. Необходимое в нашем случае
уточнение читатель может проделать в качестве упражнения.

ГЛАВА V
СИМВОЛЫ ОПЕРАТОРОВ И КОНТИНУАЛЬНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
В этой главе будут изучаться более общие операторы, чем
оператор Шредингера. Однако они естественным образом
возникают даже при изучении простейшего оператора Шредингера:
таков, например, оператор эволюции e~itHy имеющий достаточно
сложную структуру даже для простейшего гамильтониана Я. Если
записывать операторы через их символы, являющиеся функциями
на фазовом пространстве, то символ оператора эволюции eritH
выражается через символ оператора Η с помощью
континуального интеграла.
Символы и континуальные интегралы являются мощным
средством вычисления, позволяющим получать точные ответы и
асимптотики решений в самых разнообразных задачах. Мы надеемся
продемонстрировать это в настоящей главе. Однако доведение
доказательств до математического уровня строгости обычно либо
громоздко, либо до сих пор не сделано. Поэтому содержание
этой главы будет в основном эвристическим.
§ 1. СИМВОЛЫ ОПЕРАТОРОВ И КВАНТОВАНИЕ:
qp- И pq-СИМВОЛЫ И СИМВОЛЫ ВЕЙЛЯ
1. Общее понятие символа и его связь с квантованием.
Понятие квантования уже обсуждалось в гл. I. Задать
квантование — значит установить единое правило, согласно которому
каждой классической наблюдаемой величине f(q,p), т. е.
функции на фазовом пространстве, ставится в соответствие квантовая
наблюдаемая f, т. е. оператор в некотором гильбертовом
пространстве Ж Сама функция f{q,p) называется в этом случае
символом оператора f. Например, в случае системы с η
степенями свободы фазовое пространство — это пространство R2n =
={(qtp) :q, peRn}; в этом случае можно взять <9&=L2(Rn) и
поставить в соответствие функции qb представляющей собой одну
из координат R71, оператор 0/ умножения на q,·, а функции р/ —
оператор р} = . Однако квантование не определяется
i dqj
196

этим однозначно: например, произведению р;<7/ можно поставить
в соответствие оператор р/<7/> можно ς,φ,·, а можно также
(Р/ Я! + Я\ Р/)/2. Этому соответствуют различные способы
квантования и различные виды символов.
Имеются естественные требования, которым должно
удовлетворять соответствие f *-+ f между символом и оператором.
Прежде всего это соответствие должно быть линейным. Другое
требование, которое обычно предъявляется к символу, — это
выполнение принципа соответствия. Он состоит из следующих двух
требований:
а) соответствие /*-*■/ зависит от параметра h (постоянной
Планка);
б) функция f=f{q,p) в некотором смысле является пределом
оператора f при /ι->0.
Для более точной формулировки условия б) заметим, что если
задано квантование, то в множестве символов имеется
билинейная операция fbb^/i* h> копирующая произведение
операторов: если /, fi, f2 — символы операторов /, Д, /2, причем
/ — /ι /г» то f=/i*b- Принцип соответствия состоит в
выполнении двух соотношений
Um(fi*ti(q.p)=fi(q>P)f*(q>PY. (1.1)
lim J- (f, */,-/,* /i) = {Д, /,}, (1.2)
где {f\f /2} — скобка Пуассона функций fu Ϊ2, т. е.
{/ι. /2>(ί.Ρ)=Σ(4^ ■f---rL· -§H (Ι·3)
Л*Л \ dpj dqj др} dqj J
/=1
В принципе ядро оператора А, т. е. функцию (или
обобщенную функцию) Ка(х, у) = (х\А \у)у с помощью которой
оператор А записывается в виде
(Аи) (х) =$Кл (х, У) и (у) dyy (1.4)
тоже можно считать частным случаем символа, хотя ядро и не
является функцией на фазовом пространстве.
Простейшими операторами в L2(Rn) являются
дифференциальные операторы с полиномиальными коэффициентами, т. е.
операторы, представимые в виде
/= £ wapp. (1.5)
\α1,Ιβ|<τΛ
где Са,?, — постоянные, α, β — мультииндексы (т. е., например,
197

α= (αϊ,..., αη), α;>0, «/^Ζ, |α| =αι + ... + αη) и
qa = q?...q°n9 ρ* = ρ?* ... pg».
Операторы f вида (1.5) в некотором смысле плотны в
множестве всех операторов в L2(Rn) (более точный смысл этого
утверждения будет указан ниже). Поэтому символы, в разумном смысле
непрерывно зависящие от операторов, должны однозначно
определяться заданием их на операторах вида (1.5). Но отсюда ясно,
что соответствие между операторами и символами полностью
определяется формулами, выражающими символы операторов p/f,
/ Ph 4j Л / Яj через символ f оператора f, а также символом
единичного оператора. Будем говорить, что задано линейное
квантование, если эти формулы имеют вид
Pi?*->LlPjft lPj~L2P/f,
?/f~lJ./, 7?/-4/, (1.6)
где Llp., L2pr Uq.y Lq.— линейные дифференциальные операторы
первого порядка, у которых коэффициенты при производных
постоянны, а свободные члены линейны (и не имеют свободного
.члена), например,
Разумеется, матрицы ot/У и т. д. не произвольны: они должны
удовлетворять соотношениям, вытекающим из соотношений
коммутации: [pi, ήί] = —ihbif.
Соответствие между операторами в L2(Rn) и их ядрами
А++Ка(х, у) может служить примером линейного квантования
в этом смысле. В самом деле, при этом соответствии
^ я h д *, /ι^4 Λ д γ*
PjA*->— ——Ал, Αρι*-> г -τ—ал,
ι dxj ι dyi
q]A<->xfKA, Aqj~yjKA. (1.8)
2. qp — символы и pq — символы,
а) Зададим qp — символ оператора f вида (1.5) формулой
f(q,p) = £ £αβ</αρβ. (1.9)
1α|, W<m
Легко проверить, что таким образом получается
взаимно-однозначное соответствие между полиномами f{q,p) (no q и р) и
дифференциальными операторами с полиномиальными
коэффициентами f вида (1.5). Продолжим это соответствие на функции (и
операторы) более общего вида. С этой целью заметим, что если
198

полиному }(q, p) соответствует оператор f, то мы имеем
соответствия
Pi f«-» (pi —iH -J-) /. 7 Pi ~ fPh
?/f~<7//. f4,^[qi-ih-^f, (1.10)
что дает вид всех операторов, действующих на символы в (1.6),
В самом деле, вторая и третья формулы (1.10) очевидны.
Докажем первую. Для этого заметим, что если а/>0, то
р/??' = (Р/?/ —?/ Р/)?/6'""1 + Я!ρ,- я?}'~1 =
= —ihqfrl + qj psqfrl = — а} ihqfr1 + qffpf.
Учитывая, что оператор ρ/ перестановочен с c\k при \фк9 мы
получаем, что первая формула (1.10) верна при f=qapV, а значит,
при всех f вида (1.9).
В соответствии с определением линейного квантования
потребуем, чтобы формулы (1.10) оставались справедливыми и в том
случае, если f(q,p) не полином. Пусть f — некоторый оператор
в L2(Rn), К(х,у) — его ядро. Искомое соответствие будем искать
в виде
f(q9 p) = §L(q, р\х, y)K(x, y)dxdyy (1.11)
К(х, у) = j L*(x9y\q9 p)f{q, p)dqdp. (1.1Г)
Из соотношений (1.8) и (1.10) для L и L* получаются
уравнения
(р — ih~-\ L = ih-^--> pjL = — ih -p-,
qjL^XjL, j~qi-ih-2—Y = yiL\ (1.12)
dxj \ dqj } dyj
XjL* = qjL*y y/r=(9; + iA-^-)L*. (1.12')
Проверим, например, первую формулу (1.12). Из (1.8) и (1.10)
следует, что оператору pjf отвечают символ (р,— ih ]/ и ядро
— ih . Пользуясь (1.11), мы получим отсюда тождества
дх;
(rt-»^)f-J(«-'*-4r)"*'*-
199

= f L (— ih -у-Л dxdy = ih f-|^- · Kdxdy
(последнее равенство получено интегрированием по частям).
Таким образом
Upj — ih-^—\LKdxdy =ih[^-Kdxdy.
Это соотношение должно выполняться при произвольном /С,
поэтому должно быть справедливо первое из равенств (1.12).
Остальные· равенства (1.12) — (1.12') проверяются аналогично.
Уравнения (1.12) —(1.12') имеют единственные (с точностью
до постоянного множителя) решения. В самом деле, второе из
уравнений (1.12) (точнее, вторая серия из η уравнений),
рассматриваемое как обыкновенное дифференциальное уравнение
по #/, дает
i
— ρ у
L=eh Lx(q,p\x).
Далее, первое из уравнений (1.12) дает теперь
t>(*+<7)
L1(qyp\x) = e 2A L2(x — q,p).
Теперь третье уравнение (1.12) дает
U (x—q9 ρ) = б (x—q) L3 (ρ).
Поэтому в выражении для L\ можно взять x=q. В итоге
получаем
— рЛу-я)
L = eh 6(x — q)L3(p).
Подставляя это в четвертое уравнение (1.12), мы получим, что
£з(р)= const. Эта постоянная однозначно определяется тем, что
единичному оператору соответствует, с одной стороны, символ
f=l, а с другой стороны — ядро К(х,у)=1Ь{х—у). В итоге
получаем
— рлу—я)
L = b{x—q)eh
Аналогично получается, что
L p.(y—q)
L* = (2nh)-n6(x — q)e h
Окончательно связь между ^-символами и ядрами имеет вид
f{q,p) = lK(q,y)e^P{y~q)dyy (1.13)
200

К (*, У) = (2л A)-» J f/ (χ, ρ) е * *'* * dp. (1.13')
Это означает, в частности, что оператор f выражается через
<7Р-символ f(q,p) по формуле
или
где
(fu)(x)= (2nh)-»$eh f{x,p)u{y)dydp (1.14)
i
(fu) (χ) = \εΗ"'Ί(*, Ρ)~u(p)dp, (1.14')
i
Г Р'У
м(р) = (2яА)-"|е * u{y)dy. (1.15)
Эти формулы позволяют определ'ить оператор f для широкого
класса символов f(q,p). Например, если символ f(q,p) таков,
4To/e=C°°(R2") и
|«Р/(<7.Р)1<СаР(1 + Ы + |р|)'п (1.16)
при некотором фиксированном пг и. при всех α, β, то формула
(1.14') позволяет определить оператор / на всех функциях <ре
^S(Rn), и получится оператор f : S(Rn)->S(Rn), так что, в
частности, он имеет плотную область определения в L2(Rn).
Формулы (1.14) — (1.14') принимаются за определение
оператора f с символом f(q,p) в теории псевдодифференциальных
операторов. Сделав так, легко непосредственно проверить, что
полиному f(q,p) вида (1.9) действительно соответствует оператор f
вида (1.5), что оправдывает проведенные выше формальные
вычисления.
Получим формулу композиции, выражающую <7Р~СИМВ0Л /
оператора /=/ι/2. через символы fi и f2 операторов Д и /2.
Обозначим через К, Ки К2 ядра операторов /, fl9 /2. Тогда
K(x,V) = lKi(x,z)K*(z9y)dz.
Используя формулы (1.13) и (1.13х), мы получаем
Λ —ίρ· (y—q)-Pt - (z—q) —p2 - (у-г)1
f(qyp) = {2nh)-^^eh χ
Χ /ι (q, Pi) /2 (ζ, Ρ2) dpx dp2 dydz.
Учитывая, что
(Ρ—Рг)'У
(2nh)-n$e" dy = b(p-p2) (1.17)
201

(это равносильно формуле обращения преобразования Фурье, а
также вытекает из формулы (1.13') при /==1), мы получаем
/ (<7, р) = (2я h)-n j е~ ^ iPi~pHQi~q) fi {cjy pi) f% {qii p) dqi dpi. (1 Л 8)
Эта формула (и другие формулы подобного типа) служит
основой для получения выражений различных величин в виде
континуальных интегралов. В случае, например, /i,/2eS(R2n) ее
можно доказать точнее, используя формулу обращения
преобразования Фурье (в этом случае мы будем также иметь ΛΊ,/C2^S(R2n)).
В интересных случаях (например, для полиномов fu /2) интеграл
в (1.18) не является абсолютно сходящимся, но ему можно
придать смысл с помощью различного рода регуляризации.
Из первой· формулы (1.10) легко получается также
следующая формула композиции
/fo.P) =/i (</> p-ih ^~) ft(ql9 p)\,t=,. (1.19)
Если принять во внимание (1.14), то в таком виде можно
переписать и формулу (1.18). Из формулы (1.19), разлагая
fAqy p — ih ——\ по формуле Тейлора в точке qy p, мы получаем
для f(q,p) важное формальное асимптотическое разложение по
степеням А:
/ (?, р) = (Л * /,) (я. ρ) = Σ "ϊγ [τ),αΙ d*h {q>руд* h {q>Pl
(1.20)
где суммирование ведется по всем мультииндексам а = (а1у ... , <хл),
др=(дР1, ... , дРп)у где dpk = ——, так что, например
О о =
др«> ...др<*п '
аналогично определяются дя и дда; наконец, α! = αι! α2! ... aj.
Формулу (1.20) можно короче записать в виде
02
-1А-
f{qip) = e ***. [/ι(<7,Ρι)/2(<7ι>Ρ)]
где
η
д2
Qt=Q »
Ρι=Ρ
(1.20')
dpdq dp dq 4 LJ dpfdqf
Связь (1.18) и (1.200 становится ясной, если показать (мы
предоставляем это читателю), что функция
(2яА)-«ехр[-^(Р1-р). (fc-flf)]
£θ2

является функцией Грина (фундаментальным решением — см.
Шилов [2]) задачи Коши для уравнения
ди ., д2
= — th и
dh dpdq -
(здесь h играет роль временной цеременной).
Отметим, что из (1.20) (или (1,20')) очевидно выполнение
для 9Р-квантования свойств (1.1) и (1.2), составляющих
принцип соответствия.
Получим теперь формулу для ^Р-символа /*(?, р) оператора /*,
сопряженного к оператору f с ^р-символом f(q>p). Пусть
K(x,y)ti— ядро рцератора /; тогда ядро оператора /* равно
К*(х,у)=К(У>х)· Поэтому из '(Ί.13), и (1.13х) мы получаем
f4q,p) = \K{y,q)eh dy =
,% — Ρ · (У —Я)+ — Pi · (Я-У)
= (2π/ι)-^]^^ * f(y>Pi)dydPl,
или
f (tf, ρ) = (2πA)-» J/te^^~^rt,<^4irfA· Π·21)
Отсюда для символа /*(#, р) можно получить
асимптотическое разложение по степеням h. Для этого заметим, что при ft->0
интеграл в (1.21) имеет стандартный вид интегралов,
исследуемых методом стационарной фазы (см. Федорюк [1]). Фазовая*
функция
ЧяАЧи Pi) = (Ρι—Ρ) ' (Яг—Я)
имеет ровно одну критическую точку: qt==q, Ρι=Ρ> Поэтому целе-·
сообразно рассмотреть подынтегральную функцию f,(qupi^
вблизи точки q, p. Это можно сделать, например, следующим
образом. Разложим f(qup\) по переменному %рх по формуле. Тейлора;
при Р\=Р- Тогда получим
fill, Pi) =24~iaf/(fe рЯ1ь-'рР·
а
Подставим это разложением (1.21) и рассмотрим один из
получившихся членов:
(2π h)~n J [flgf/^77)] (Pl - pfer T ip>-p)iqi-q) dqi dpi =
= (2π hy~n j [tf fJShTfiYi (ih дму* е ~ Т(Р1~РНд^щ) ^ dpi =
ι CI h \ loci — — (ρ4-ρ)·('<7ι-<7)
= (2πA)-*J (—) [«/(<ь p)] ^ * d9lapx =

(мы воспользовались формулой (1.17)). Отсюда ясно, что (1.21)
принимает вид
г (я, ρ) = Σ ^г (тГа"а"^^ ν ·22)
α
ИЛИ
-*-*- (1.220
r(q,p)=e ** /(9, ρ).
Отметим, что аналогичным образом можно было бы вывести
формулу (1.20) из формулы (1.18).
Получим теперь формулы для следа и нормы Гильберта —
Шмидта Из (1.13') следует, что след оператора f выражается
через ^р-символ f по формуле
SpT=$K(x,x)dx = (2nh)-* lf(q,p)dqdp. (1.23)
Если же имеются два оператора fu Ϊ2 с ^р-символами /ь f2, то
из (1.21) и (1.23) выкладкой, аналогичной выводу (1.18),
получается формула
'Sp(£ 71) =(2яА)-« jAiflf, р)Ш7р)аЯар. (1.24)
В частности, норма Гильберта — Шмидта Jlflb оператора /
выражается через его ^р-символ формулой
l7|i=(2aA)-j!/(<7,p)|»<iydp. (1.25)
Мы видим, что fa— оператор Гильберта — Шмидта тогда и
только тогда, когда /eL2(R2n).
• Укажем, наконец, еще один способ получения <7Р-символов.
Записывая функцию f(qyp) в виде преобразования Фурье
/ (qt ρ) = f eHr-q+>P) φ(Γ> S)drds (1.26)
(здесь r,sGRn), мы можем образовать оператор
/ = J еъ^е*р φ (Г§ 5)Йг ds, (1.27)
где ? = (?!, ... ,?η),ρ = (Ρι> ... , рп): Легко проверить, что
оператор /, полученный таким образом, действительно имеет qp-сиы-
вол f(qt р). В самом деле, разлагая каждую из экспонент
etrq и ets'p в обычные ряды
00 00
204

подставляя эти разложения в (1.27) и пользуясь линейностью
<7Р-символа, мы видим, что достаточно показать, что оператор
(r-q)k(s-p)m имеет ^р-символ (r>q)k(s-p)m, что очевидно.
б) Перейдем к рассмотрению р<7-символов. Оператор f с
р<7~символом f, имеющим вид полинома (1.9), дается формулой
7= Σ с«^ча- о·28)
|а|.1Э|<т
Все формулы теории р<7-символов совершенно аналогичны
формулам теории ^-символов и получаются, если поменять местами
ρ и ?, а также изменить некоторые знаки, что связано с
разницей в знаке у коммутаторов [р;-, ή}] и [<7/, /)/]. Можно даже
установить формальное соответствие между этими теориями, заметив,
что преобразование p--+q, q*-*·—β не меняет соотношений
коммутации: [/?/, <7/] = [ ?/, — Р/] = — ihl. Мы выпишем основные
формулы, оставляя детали читателю в качестве упражнения.
Аналог формул (1.10) для р^-символов имеет вид
PkJ^Pkf, fPk" (Pk + ih-j—\f,
qk f~(<7* + ih-^)f> l4k"hk- (1.29)
Ядра L и L*, задающие связь р^-символов и ядер по формулам
(1.11) — (1.1 Г)» удовлетворяют уравнениям:
pkL = ih-£—, (pk + ih-£—\L = — ίΛ-|^-,
dxk \ dqk J dyk
[qk + ih-^-}L = xkL, qkL = ykL\ (1.30)
— ih—— = pkLy ih——= lpk — ih——)L\
dxk fyk \ dqk }
4 V = (qk - ih -j— ) L\ yk V = qk V. (1.30')
Отсюда находим, что
L = b(q — y)e h , V = (2nh)~nb(q — y)e h
т. е. связь р^-символов и ядер имеет вид
/fa. p) = $K(xtq)e~~P{X~q)dx, (1.31)
К (х, у) = (2π A)-» J / (у, р) е~РЛХ"У) dp. (1.31')
205

Действие оператора / задается формулой
— РЛх-У)
(fu) (χ) = (2я ft)-» j e " f(y,p)u (у) dy. (1,32)
Формула композиции для р^-символов имеет вид
/faiP) = (/i*/s)fa,P) =
-т-(р—Ρι)·(<7—<7ι)
= (2яА)— j Д (?!, ρ) /2 for, λ) β * dqidPl. (1.33)
Аналог формулы (1.19) выглядит так:
/(?. Ρ) = /ι (? + Λ-^-. ρ) Μ. Pi) k=P- (1 -34)
Аналог формулы (1.20) имеет вид:
/07, Р) - 2-^ (tt)lal^i (9, Р)<h fo, Р), (1.35)
а!
а'
ИЛИ
θ*
ιΑ
f(q,p) = e *p"}q'V1(q1,p)h(q>Pi))\<„=4. 0-35')
Ρι=Ρ
Далее, р^-символ f*(q,p) оператора f* выражается через
р^-символ fOq, p) оператора f формулой
Г\д, Ρ) = (2π/ι)-« J Π^^^^^^^ιφχ (1.36)
и, далее,
Г(*р)=Σ ΐ(ι'Λ),α,^^/(<?,-ρ)' (L37)
θ2
дрдд
Г(Ч.р)=е ϋρό4(4> Ρ)· (1.37')
Формулы (1.23) — (1.25) сохраняют свой вид для р^-символов.
Наконец, если функция f(q,p) имеет вид (1.26), то она является
р^-симвалом оператора
f = Г eis'Peir'?<f> (г, s) drds. (1.38)
Наконец, установим связь между pq- и ^Р-символами fpq(q,p)
.^-fapiQfP) одного и того . же оператора, f. Для этого заметим, что
из (1.28) или из (1.32) следует, Что оператор /* имеет,
очевидно, <7Р-символ
ир{Я*Р)=Г„\Я>Р)· (1.39)
2№

Применяя формулу (1.21), мы получим отсюда, что
fpg (<7. Ρ) = (2яйГЛ J Up (Я* Pi) ^'^"^Ж, (1.40)
или
ih д*
fP<(q.p)=e дрдЧ«Р(Ч,Р) (1.40')
(см. замечание после формулы (1.200). Аналогично
М> Р) =(2лЛ)-я J/p,(flfi, Pi)e~~iPi~PHqi~q)dqidplt (1.40")
или
-Τι —
fqp{q,P)=e ' dpdg fPAV> Ρ)· (1.40'")
2. Симметричные символы, или символы Вейля.
Для описания симметричного, или вейлевского, квантования
сначала введем симметрическое произведение (A\l...Akj^) не-
коммутирующих операторов А\\ ... ,Л^ (здесь &/>0, ft,- —
целые) с помощью формулы
(«Л + . · · анА„? = J] fei,*' м а?'... а*/ (4?» ... А*»).
(1.41)
где α,-EC, суммирование ведется по всем наборам (kly k2i ... , Ιζν).
kx\ ... /U!
ОС ι ...ОС
iV
Таким образом, (А\х... Ак$) — это коэффициент при
в разложении левой части (1.41). Для нас наиболее важен
случай N=2, в котором формула (1.41) приобретает вид
(аЛ + ββ)*- J] -2тафт(А*Вт). (1.41')
Отсюда, например,
(АВ) = (ЛВ + ВЛ), (Л2Б) = — (А2В + ЛБЛ + БЛ2).
о
Запись симметрического произведения (Л?1 ... Л^) несколько
двусмысленна, так как нельзя, например, обозначить А\1 одной
буквой, (например, (А2В)Ф(СВ) при С=А2), однако при
аккуратном ее использовании можно избежать недоразумений1>.
1 Математически корректной была бы запись, описывающая (Αγ ... А^)
как функцию от набора {Ль ..., ANt kif ..., &jv}, но" она слишком-громоздка.
207

Рассмотрим теперь многочлен f{qyp) вида (1.9) и сопоставим
ему оператор
?= £ cat(tfff')(q?~pb...GannpH (1-42)
|α\, \&\<т
где (qtk^plk) — симметрические произведения, вводимые с
помощью формулы (1.41'). Тогда f(q,p) называется символом Вейля
(или вейлевским символом) оператора f.
Введем символы Вейля для более общих операторов-. Для
этого рассмотрим функцию f(q,p), заданную через преобразование
Фурье по формуле (1.26). Тогда оператор / с символом Вейля
f{q,p) дается формулой
f = Г ^e-iW) φ (г, s) drds. (1.43)
Убедимся, что это согласуется с формулой (1.42). Представляя
экспоненту в виде ряда
et{r-q+s.p) = ^ η^ί'-Ι + S'P)k>
А=0
мы видим, что достаточно проверить, что оператор (r-q + s-p)k
имеет вейлевский символ (r-q + s-p)k. Для этого напишем
формулу
(r-q + s-ργ = ^ ' ц ^' k , ^ + WJ* · · · ^n + *ηΡη)\
в которой можно также заменить qi на q\ и ρ/ на р/, так как
операторы r^h + Shph и rjQj + Sjpj перестановочны при кф\.
Теперь достаточно показать, что оператор (r^k + Skph)1 имеет
вейлевский символ (rkqh+Shpk)1, что очевидно из определения
симметрического произведения, данного выше.
Вычислим теперь ядро оператора f с символом Вейля f(q,p).
Для этого вычислим явно действие оператора е^-Н*·?) в ^-пред-
ставлении, т.е. для операторов #/м(л;) =xfu(x)t pju(x) =—ihd/dxj
в L2(Rn). Для этого рассмотрим операторную функцию
U(t) = e-^Se~^r^eit{r^+s.p) =Y]Uk (t),
/2=1
где
Uk (f) = e~itskPk e~iirk4 e£*irtfk+si?k}.
Дифференцируя Uk(t) по /, получаем
dUk (/) = — is^iiskPk [ptfriirk«k — e~itrk4 pk] eWtfk+Wh) =
dt
= ihtstTte-tekPk ег1Чич е<*«гР*^?*> = ihtskrkU (t).
208

Учитывая, что t/*(0)=/, где / — единичный оператор, мы
получаем отсюда, что
Uk(t) = eihs^t42L
Поэтому
U(t) = eiht*r's'2I
и
В частности, при t=\ мы получаем
ei(r -7+s-p) = eihr-s/2 Qir^^.s-'p ^ ( \ 44.)
Это означает, что
[^(г-Г+s-p) „] до = et(r-x+hr-s/2) U(x + hs)y (l .45)
откуда
(fu) (χ) = Г ^(r.x+Ar.s/2) φ (Γ> S)u(x + hs) drds.
Подставляя сюда выражение <р через f no формуле обращения
преобразования Фурье
φ (г, а) = (2πΓ2η J «-*·*-« / (9, ρ) d^p,
мы получим
(/&) (χ) = (2π)~2* J ^[γ·(*^η*·(/η-λγ/2)] / (?> p)u(x + hs) drdsdqdp =
= (2πΓ2" J ^tr-(,-^/2)-s.p3; (^ p)u{x + hs) drdsdqdp =
= (2π)"Λ Γ ^'S'P6 (? — (χ + h—^ / (q, ρ) и (χ + As) dqdsdp =
= (2π)~η f έ?-'"5"/ (χ + А—, р] и (χ + hs) dpds.
Вводя вместо 5 переменную интегрирования y = x+hs, получим:
(fu)(x) = (2nh)-n^H X У "f ( ^Ц^' р) и(У)MP- VA6>
Это и есть формула, задающая действие оператора f с символом
Вейля f(qyp). Из нее ясно, что ядро такого оператора задается
формулой
К(х, У) = (2nh)-n^e~(X'y)'Pf (JL±L·, ρ) dp. (1.47>
209·

По сути дела, здесь написано, что К(хУу) получается
преобразованием Фурье Fp^x-y от функции f((x+y)J2> p). Используя
формулу обращения, мы легко получаем
f(q,p) = $K(q—\, q + \)eih'lpldl. (1.48)
Формулы (1.47) и (1.48) можно было также получить
аналогично рассуждениям п. 1 для ^Р-символа, если использовать аналоги
формул (1.10), которые для символов Вейля имеют вид ·
М» (й - ■£ -£-) /. №. ~ (а + -£- -£-) ι.
Эти формулы достаточно проверить для одночленов f = qap$> что
нетрудно сделать индукцией по <х& и β&. Мы предоставляем
читателю восстановление соответствующих подробностей в качестве
упражнения.
Одно из преимуществ символов Вейля перед qpr и pq-симво-
лами состоит в том, что символ Вейля f*(<7>P) оператора /*
связан с символом Вейля f{q>p) оператора f очень простой
формулой
f*(q,p)=Hq7pT, (1.50)
очевидной из (1.47) или (1.48). В частности, самосопряженным
операторам / (и только им) соответствуют вещественнозначные
символы Вейля f.
Получим теперь формулу композиции для символов Вейля.
Для этого надо воспользоваться формулами (1.47) и (1.48). Ядро
К{х,у) оператора / = /ι°/2 выражается через ядра К\{х,у),
К2(х,у) операторов f\, ?2 и их символы Вейля /ь f2 по формуле
К(х, у)= \кг{х, z)K2(z, y)dz =
= (2яА)^р*"«^-л+^^/1 (^Г"> ft) h (-^, Pz)dPidp2dz.
Формулу (1.48) можно переписать в виде
f(q,p)=2n^K(q — η, q + vfrέ**'1'·*dr\. (1.48')
Поэтому символ Вейля f оператора / имеет вид
f(q, ρ) =2-"(jtA)-2n fe"'"1[(^-i)p.+u-i-ri)p2+2P4J χ
Χ h («=f±*. Pi) h (^^, a) άΡιάΡ%άζάΆ.
210

Вводя· вместо г и η новые переменные интегрирования
2 ' Ч2 2
и учитывая формулу для модуля якобиана
= 2-«,
мы получаем
/(ί.Ρ) = (/ι*/ϊ)(?»Ρ) =
(2πΑ)—2гг Γβ2ίΛ"1[(<7-<?2)·Ρι+(ΑΓι-^)·Ρ2+(ΑΓ2—<7ι)Ρ] χ
Χ /ι ton Pi) /з (if. ft) dqidpxdq2dp2.
(1.51)
Это и есть формула композиции. Отметим, что показатель
экспоненты здесь можно переписать в виде 2ihr1s(q9p\ q\,p\\ q^ Р2),
где 5=((7—^2)·ρι+(9ι—^)·Ρ2+(^2—9ι)·Ρ» или
s(q, Ρ\4ι,Ρΰ Ч2>Ръ) =
11 1 1
l<7 ft 92
Ι ρ д />,
1
γΣ
1 '"
1 1 1ι
я1 я{ яц
\ρ' p{pi\
(1.52)
здесь через ^', <7ι', — обозначены компоненты* векторов q9 qu
Приведем еще другую запись для фазы
s = — 2^p-dq,
(1.52'>
где p-dq=pldql + ...+pndqn, а Δ — прямолинейный треугольник
АА\А2 в фазовом пространстве R2n с вершинами A={q,p)y
M^iquPx) и Л2=(?2, Рг). В самом деле, имеем, например, для
интеграла вдоль стороны АА\ этого треугольника
А
§p-dq = $lP + (Pi-P)f\-(<li-q)dt =
А О
= Ρ·(4ι — 4) + -γ(Ρι — Ρ)·(4ι — 4)=-γ{Ρχ + Ρ)·(4ι — 4)·
Отсюда
§Ρ·^ = γΙ(Ρι + Ρ)-(4ι — 4) + (Ρ% + Ρι)'(4% — 4ι) + (Ρ + Ρ2)·(4 — 4ι)].
Δ
Раскрывая скобки, мы получим формулу (1.52/). Отметим, что
если /ι=1, то 5 — это удвоенная ориентированная площадь
треугольника ΑΑχΑζ. Если же гс>1, то 5 ,— это удвоенная сумма
211

ориентированных площадей проекций треугольника АА\А2 на две
двумерные плоскости (pl,ql), ..., (рп, <7П)·
Формулу (1.51) можно также переписать в виде
/fa. P) = tfi*/i)fo.P) =
» ι , ih д ih д \ £ , ч
ι*=«. (1-53)
|р2=р
В самом деле, с помощью преобразования Фурье правую часть
(1.53) можно записать в виде
(2я)-2"р[<™>-5+<^>·^! (q- -^-, ρ + -£-) М<7«. ρ,)άηΜΐάχ\.
Вводя здесь новые переменные интегрирования <7ι = <7— Λη/2,
P\ = p + h1iJ2 вместо ξ, η, мы получим правую часть (1.51), что и
требовалось.
Разлагая /ι в (1.53) в ряд Тейлора в точке (q, p), мы получим
формальное равенство
/(?./>) = (W.) to. р) =
= Σ -^ΓβΤ (τ-),α+β1 [а^м<7>ρ)] тш ρ)]' (1·54)
α.β
где суммирование ведется по всем парам мультииндексов α, β.
Отсюда, в частности, видно, что для вейлевского квантования
выполнен принцип соответствия.
Формулу (1.54) можно также переписать в виде
/ fa. Р) - (/ι * /.) (Ч> Ρ) = *hL [/ι fa ι. Pi) h fa2. Pi)] I™-*, (1.54')
Ρι=Ρ2—Ρ
где L = — J, а обозначения и имеют
2 \ dq1dp2 dq2dpt J dqxdp2 dq2dpi
тот же смысл, что и в формуле (1.20').
Для следа Spf оператора / с вейлевским символом f(q>p)
в силу (1.47) имеет место та же формула (1.23), что и в случае
^р-символа и р^-символа. Аналогично сохраняют свой вид для
вейлевских символов и формулы (1.24) и (1.25) для следа
Sp(fif2*b и Для нормы Гильберта — Шмидта.
Найдем, наконец, связь между вейлевским символом fw(q,p)
оператора / и его ^р-символом fqP(q,p) и р^-символом />?(<?> Р)·
А именно, из формул (1.13) и (1.47) мы легко находим, что
2i
fqp fa, Р) = (Щ~п I * fw fai, Pi) dqidPl (1.55)
ИЛИ
ih д*
ι ЯР
Ш
/,,fa.p)=* 2 ** fw(q,p) (1.55')

(см. замечание после формулы (1.20')). Отсюда получаем
формулу обращения
ш_ а*
fw(q,p)=e2 ^ f„(q,p), (1.56')
ИЛИ
L (<7> Р) = {Щ~п I e~{g~QlHP~Pl)UP fai. Pi) dqxdPl. (1.56)
Подставляя в (1.56') выражение fqP(q,p) из (1.40"'), мы видим,
что связь fw(q,p) и fpq(qyp) дается аналогичными формулами,
но с заменой h на —h:
ih а*
fw(g.P) = e 2 дрдЧРАя,Р), (1.5Г)
или
/« (?, ρ) = (πΑ)-* J β /„ (Λι й) d^dft, (1.57)
-а также
t/t a2
/*(*,р) = «2 ** Mff,Ρ), (1-58')
ИЛИ
л -T-to—fiKP—Pi)
/РД<7> Ρ) = (πΛ)— j e /w (ft, ft) dfcdpi. (1.58)
Из этих формул видно, что вейлевский символ является
промежуточным меж)*у qp- и /^-символами. Можно рассмотреть
непрерывную интерполяцию между qp- и /^-символами, заменяя,
например, ft/2 на th в (1.56') (здесь feR), однако нам это не
понадобится.
4. Вейлевские символы и линейные канонические
преобразования.
Назовем линейным каноническим преобразованием такой
унитарный оператор О в L2(Rn), что
UqLT1 = px = Ap + Bq + α,
щ0~х =q1==Cp+ Dq + by (1.59)
где Л, 5, С, D — /гХя-матрицы, a,6eR. Заметим, что новые
операторы ή\ и р\ удовлетворяют тем же коммутационным
соотношениям, что q и р, т. е. если
q = (?*, ...,?), р = (Я ... ,ptt), ft = (?i, ... ,?ι), p = (pl, ... ,р?)
(здесь сверху стоят индексы, а не показатели степеней!), то
[Я р1 = [?*. ?! = |Я р(] = βί. #1 = о.
l?,Qi] = (pku'qil=-ih6kiI, (1.60)
213

где / — единичный оператор. Из (1.59) и (1.60), а также из
принципа соответствия следует, что скобки Пуассона компонент
векторов Ap + Bq+a и Cp + Dq+b, рассматриваемых как функции
от ρ и q, должны совпадать со скобками Пуассона
соответствующих компонент векторов ρ и q. Это, как легко проверить,
равносильно симплектичности матрицы
% = (АВ)
т. е. условию сохранения ею симплектической формы в R2n:
l(q,p), (яир\)]=я-Р1—ряь
Обратно, если матрица Я симплектична, то операторы ри ήι*
определенные формулами
Ρχ^Λρ + Β^ + α, q^Cp + Dq + b, (1.6Ц
удовлетворяют коммутационным соотношениям (1.60). Тогда
можно построить унитарный оператор О, обладающий свойством
(1.59). Легко видеть, что он будет однозначно определен с
точностью до скалярного множителя, по модулю равного 1*>.
Поскольку из (1.59) вытекает, что
fjei{T^+s^) JJ-1 _ eiir-ql+spl) __ ei[r.(c£+D7-\-b)+s-(Ap+fy+a)l =
_. е£[(*йг+*В8)-1^(*Сг+*Аз)-р+8-а+г-Ь]
а символ Вейля оператора е^-И-р) равен &''*+*'&,. то мы получаем»
что вейлевские символы f(q, ρ) и fx(q, p) операторов fin f1'=uflT'
связаны заменой переменных
/ifo, P) =f(Cp+Dq+b, Ap+Bq+a) (1,62).
1 Вектор
Φ(χ) = (2ηΙιΓη/2β-χ2№
аннулируется всеми операторами уничтожения
α* =-7ψ & + &)
и определен этим свойством однозначно с точностью до числового множителя.
Поэтому он должен переходить под действием оператора V в вектор.£/Ф0,
аннулируемый аналогичными операторами уничтожения
«1=^ (?? + '·??)·
Таким образом, вектор £/Ф0 определен однозначно с точностью до скалярного
множителя. Выбрав этот множитель, мы однозначно определим U, так как,
L2(Rn) порождается вектором Фо и векторами, полученными из него применением'
операторов вида
[(я1)*]"1·.. ΐ(*)Ύη
— см. теорию гармонического осциллятора в гл. I, а также § 2 этой главы.
214

уже для произвольного оператора f. Можно показать, что это
свойство характеризует вейлевские символы однозначно.
Преобразование (1.59), задаваемое оператором О, естественно
считать квантовым аналогом канонического преобразования
фазового пространства R2n, задаваемого матрицей %.
5. Вейлевские символы и отражения.
Сопоставим каждому классическому линейному
каноническому преобразованию пространства R2n определенный с точностью
до множителя унитарный оператор 0> осуществляющий его
квантовый аналог по формуле (1.59). Таким образом, возникает
проективное представление группы симплектических матриц порядка
2п (т. е. при перемножении матриц соответствующие унитарные
операторы перемножаются с точностью до скалярного
множителя). В общем случае уменьшить неоднозначность сопоставления
оператора каноническому преобразованию нельзя1). Однако для
некоторых семейств канонических преобразований такая
возможность имеется. Так обстоит дело, например, для. отражений
qi = —q + 2qo, р\ = —р+2р0. (1.63)
Отражению (1.63) в точке (?о, Ро) естественно сопоставить
оператор Ug0fPo с вейлевским символом
U<,>.pAq,p) = (*!irb(q-q0)b(p-p0). (1.64)
Для того чтобы увидеть это, достаточно взглянуть на
соотношения
&я..р.Ρ = (— Ρ + 2Ро) U/o.po . UQo,Poq= (—q + 2q0) UQotPo,
0?.λ = Λ & = Ъ. (Ь65)
легко проверяемые из формул композиции и сопряженного
оператора для вейлевских символов.
1 Легко проверить, что с точностью до множителя оператор,
соответствующий параллельному переносу на вектор x=(rt s)eR2n, равен
Т* = ехр -^"(''•Р4— s*?) ]·
Если бы существовал множитель с(х)фО, делающий сопоставление однозначным,
то он должен был бы удовлетворять уравнению
с(х)с(у) = с(х + у)ехр | —-^-[*, у]\ ,
где [·, ·] — симплектическая форма на R2n (это вытекает из легко проверяемого
равенства
ТхТу = ехр (-^-[х>У])'Тх+у)·
Но это уравнение для с(х) противоречиво, так как его левая часть симметрична
относительно х> у, а правая — нет.
215

Рассмотрим теперь скалярное произведение Гильберта —
Шмидта (A,B)2 = Sp(AB*) в пространстве операторов
Гильберта—Шмидта в L2(Rn).JH3 формул (1.64) и (1.24) следует, что
операторы отражения {UqotPo, (q0i p0) e R2"} играют в этом
пространстве роль ортонормированной системы (см. Добавление 1,
§ 2), аналогичной системе {eipx, psR"} в L2(Rn). Легко
проверяется соотношение ортогональности:
ΦΜι, иЧ2,Рг)2 = (^-у Ъ(Я1-Я*)ЫР1-Р& (1.66)
При этом взятие вейлевского символа играет роль
преобразования Фурье:
f^(nh)-n^f{qyp)Uq^qdpy (1.67)
/fo, ρ) = 2» Sp (££/„). (1.68)
Эта интерпретация вейлевских символов может служить основой
далеких обобщений, часть которых будет изложена в следующем
параграфе.
§ 2. ВИКОВСКИЕ И АНТИВИКОВСКИЕ СИМВОЛЫ.
КОВАРИАНТНЫЕ И КОНТРАВАРИАНТНЫЕ СИМВОЛЫ
1. Операторы рождения и уничтожения. Фоковское
пространство
Виковские и антивиковские символы строятся с помощью
операторов рождения и уничтожения, использовавшихся в гл. I для
изучения гармонического осциллятора. Мы несколько изменим
обозначения гл. I и будем считать, что эти операторы имеют вид
ak = —— ( qk + ipk) (оператор уничтожения), (2.1)
/2
ak — —τζΓ ( Як — iPk) (оператор рождения), (2.1'>
V2
где k=l, 2, ..., η (η — число степеней свободы рассматриваемой
системы), a qk, pk — стандартные операторы импульса и
координаты. Можно, например, считать, что qk, pk — это операторы
qk=Xk и pk = в L2(Rn), хотя в дальнейшем мы будем
i dxk
использовать и другую реализацию этих операторов. Во всяком
случае важно, что выполнены коммутационные соотношения
ΪΛ. Pi] = lL· q}] =* 0, [pk, qf] = - Mkj /. (2.2>
где / — единичный оператор, а квадратными скобками, как
обычно, обозначается коммутатор операторов: [Л, В]=АВ—ВА. Из
(2.2) вытекают следующие коммутационные соотношения для.
216

операторов рождения и уничтожения:
[«*. Щ\ = fi*. */] = 0» fib ί/] = Λδ^·/. (2.3)
В дальнейшем для краткости положим также
а = (аи ...,α„),α* = (αΙ, ...,α'η)
и будем использовать обычные мультииндексные обозначения:
например, для любого мультииндекса
α = (alf ..., ап) положим аа = a f1 ... a*« и т. д.
Пространство L2(Rn) имеет ортонормированный базис
ί^^,α^Ζ;) (2.4)
где Z+ — множество неотрицательных целых чисел (так что
Z+n — множество всех мультииндексов), а Ф0 — нормированный
вектор, задающий основное состояние гармонического
осциллятора:
Ф0(х) = (лк)-п/*е-х2/2\ (2.5)
где х2 = х-х=х\2 + ... + хп2. Компоненты а/ мультииндекса α в (2.4)
называются числами заполнения. Вектор Ф0 переводится в 0 всег
ми операторами ak (и, значит, всеми операторами da). Ортонор-
мированность системы (2.4) легко проверяется из соотношений
коммутации (2.3) (см. гл. I), а ее полнота следует из ее явного
вида (в виде линейных комбинаций векторов (2.4) можно
представить любую функцию вида Р(х)Ф0'(х)9 где Ρ —
произвольный многочлен).
Рассмотрим теперь произвольное гильбертово пространство Зёу
в котором действуют операторы рождения и уничтожения d**f ak,
k=l, ..., η, удовлетворяющие соотношениям коммутации (2.3),
причем имеется нормированный вектор Ф0, аннулируемый всеми
операторами уничтожения ak и такой, что система (2.4) полна
в jfe. Такое пространство обычно называют фоковским
пространством (или пространством Фока) с η степенями свободы. При
этом вектор Ф0 называют вакуумным вектором. Между любыми
двумя такими пространствами имеется единственный унитарный
изоморфизм, отождествляющий вакуумные векторы и
переводящий друг в друга действие соответствующих операторов a*,, а^*
(он строится отождествлением соответствующих векторов базиса
(2.4)). Таким образом, можно отождествлять различные фсжов-
ские пространства (с одинаковым числом степеней свободы),
рассматривая их как реализации одного и того же пространства.
Однако часто удобно использовать различные реализации для тех
целей, для которых они лучше приспособлены. При этом все
результаты, доказанные для одной из реализаций и формулируем
217

мые лишь в терминах вакуумного вектора и операторов рождения
и уничтожения, будут верны и во всех остальных реализациях
фоковского пространства ввиду наличия изоморфизма между
ними.
Отметим, что роль понятия фоковского пространства^ по
существу, выясняется лишь в случае бесконечного числа степеней
свободы (т. е. в квантовой теории поля), но эти вопросы лежат за
пределами нашей книги.
Мы укажем теперь еще одну реализацию фоковского
пространства с η степенями свободы. Обозначим через F2
пространство целых антианалитических функций f(z), где z^Cn (т. е.
целых функций от переменного г), для которых конечна норма
Ur = ±]\№\%e " dzdz, (2.6)
где dzdz — мера Лебега на С", нормированная таким образом,
что если ф0(г)^1, то ||Ф0|| = 1. Это означает, что если z=x+iy9
то dzdz = n~ndxdyt где dxdy — обычная мера Лебега на R2/t^O.
В F2 имеется скалярное произведение
_* _ JLzl
(U)=^ J/(*)*(*!* " dzdz, (2.6')
превращающее F2 в гильбертово пространство. Теперь введем
операторы рождения и уничтожения а^*, ak по формулам:
(a//)(i);=zJ(i),(Sj)(i) = A^/(i),*==l,2,...,«, (2.7)
где z= (z\,..., ζη). Вектор Ф0 очевидным образом аннулируется
всеми операторами а*, а при применении к нему всех операторов
вида (α*)α (здесь a — мультииндекс), мы получаем полную
систему в F2i так как любая функция f^F2 может быть' разложена
в ряд Тейлора по функциям га. Операторы ак и dk* сопряжены
друг другу, как показывает простое интегрирование по частям:
ι
\h^№-g(z)e h dzdz = —[ hf(z)^r{g(z)e hZZ)dzdz =
J dzk J д Zk
= - jA/(z)g(z)4-e h>ZZdzdz = p(z)g&zke h**dzdz =
'.«·?
ff(z)zkg(z)e " dzdz.
Поэтому мы имеем дело с настоящим фоковским
пространством с η степенями свободы и с вакуумным вектором Φ0(ζ) = 1.
Как следует из вышеизложенного, векторы
(2.8)
218

образуют ортонормированный базис в F2. Отображение,
переводящее этот базис в такой же базис L2(Rn) (заданный формулой
(2.4), где ak, ak* строятся по формулам (2.1)), будет унитарным
изоморфизм F2 и L2(Ra). Обратное отображение L:L2(Rn)-+F2
может быть задано с помощью производящей функции для
функций Эрмита:
(£ψ) (ζ) = (nh)-"/* Гехр Г l— (s2 — 2 γ2 s · ζ + ζ2)] \j)(s)ds.
(2.9)
В самом деле, прямое вычисление показывает, что |ХФо(л:)](;г) = 1
(здесь Ф0(л;) — вакуумный вектор (2.5) в L2(Rn)). Теперь
нужно лишь проверить, что оператор L совместим с действием
операторов рождения и уничтожения в L2(R^) и в F2i что делается
простым интегрированием по частям. Например!, имеем
[L(akq)](z)==(nh)-"t*texp Г — JL (S2_2]/2 s . г + ζ2)] X
= (π/ι)-*/4 f ψ(s)(J/2 s* — z*)exp f — — (s2 — 2 j/2"s . ζ + z2)] ds =
= (π/ι)-*/4Α — fexpf — — (s2 —2 ^2s· z + z2)l ψ (s)ds =
dzk'J l 2h j
= A4-[(L*)(i)l·
что и требовалось. Аналогично проверяется соотношение
[Цак*Ъ)](г)=гк(ЬЪ)(г).
Отметим, что обратное отображение L-1 дается формулой
а-1/)(*)=а*/)(*) =
= (πΑ)-«/* Α-" Гехр Г λ- (J^- — V2 s ■ ζ + — + ζ -~z\\ f(z)dzdz.
(2.9')
2. Определение и простейшие свойства виковских и антивиков-
ских символов,
а) В фоковском пространстве с η степенями свободы
рассмотрим операторы, имеющие вид полиномов от ak и а^* (в L2(Rn)
или в F2 это просто дифференциальные операторы с
полиномиальными коэффициентами). Пользуясь соотношениями комму-
219

тации (2.3), такие операторы Л можно записать в одной из
следующих двух нормальных форм:
А= £ AafiGyaP (2.10)
\а\М<т
(виковская нормальная форма),
2= £ Аа^(аУ (2.11)
\а\М<т
(антивиковская нормальная форма).
Мы можем ввести теперь виковский и антивиковский
символы оператора А формулами
А (ζ, г) = V Л «β ζα ζΡ (виковский символ), (2.12)
1а\ЛШ<т
Α(ζ,ζ)= V Αχβ^ζΡ (антивиковский символ). (2.13)
|αΐ,|βΚ"ΐ
Каждый из этих двух символов дает взаимно однозначное
соответствие между дифференциальными операторами с
полиномиальными коэффициентами и полиномами от ζ и г. Удивительно, что
в отличие от qp- и р^-символов свойства виковского и антиви-
ковского символов отнюдь не аналогичны, как мы увидим ниже,
б) В теории виковских и антивиковских символов важную
роль играет семейство пуассоновских векторов, или когерентных
состояний: эти векторы в F2 задаются формулой
φΌ(Ι) = β h W,u£Crt. (2.14)
Ясно, что вектор Ф0 — собственный для оператора ak = hd/dzk
с собственным значением Ok, или, короче,
άΦν = ϋΦ*. (2.15)
Условие (2.15) однозначно определяет Φυ с точностью до
комплексного множителя. Легко проверить, что в L2(Rn) вектор ΦΌ
переходит в вектор
φυ (χ) = (яй)-п/4ехр Г — — (х2 — 2 Ϋ2 χ . υ + ν*)
(2.14')
(мы обозначаем здесь и ниже одинаковыми буквами
соответствующие векторы в F2 и в L2(Rn), если это не может привести
к недоразумению). Это можно показать следующим простым
рассуждением. Вектор-функция υ*-+ ΦΌ голоморфна по υ и
удовлетворяет условиям
h ψ- = ak- φν, <D0Uo = Φο. (2-16)
OVk
где Фо — вакуумный вектор. Ясно, что этими условиями она
однозначно определена. Но и вектор-функция (2.14) в F2 и вектор-
220

функция (2.14х) в L2(Rn) обладают этим свойством. Отметим,
впрочем, что факт соответствия векторов (2.14) и (2.14') можно
и непосредственно проверить с помощью формул (2.9) или (2.9х).
С помощью пуассоновских векторов ΦΌ формула (2.9) может
быть записана в виде
(Ιφ)(9) = (ψ,Φ,), (2.17)
где скалярное произведение берется в L2(Rn). Учитывая
унитарность L и формулу (2.60, мы видим, что
f(v) = (f,Ov), f^F2y (2.18)
или
— ι/· _ τ- (ν—ζ)·ζ
f(v)==h«) f{z)e dzdz,f^F2. (2.18'>
Отметим, что из формулы (2.18) следует, что
1ЛР = -^1(/,Ф,)1ге ""'"doS. (2.19>
Это означает, что в каком-то смысле пуассоновские векторы
напоминают ортогональную систему относительно меры
άμ (υ) = hrn exp ( — — ν · υ \dvdv (2.20>
на множестве этих векторов. Такие системы и ассоциированные
с ними символы мы изучим ниже.
в) Запишем теперь виковский символ4 с помощью
пуассоновских векторов. Для этого нужно использовать формулы (2.10),.
(2.12) и (2.15), из которых получаем
(Яф„ф0) = 2 i^ ((?)«» Φζ,Φβ) -
= ΣΑ*β(αβΦ.>Φ,) =
= ΣΛχβ tP*p(Φ*>Φ,) = Α (ο, ζ) (фг, Φν),
откуда ясно, что виковский символ А (г, г) выражается через
оператор А формулой
А(1г)={*ф»°* . (2.21 >
4 ' (Φζ, Φζ)
Наряду с этим из той же выкладки следует формула
(ЛФ2, Ф-)
Α (ν, ζ) = Е_ . (2.22V
(Фг, Ф-)
Формулы (2.21) ^и (2.22) позволяют определить виковские
символы для широкого класса операторов (например, для всех
ограниченных).
221

Полезно вычислить скалярное произведение (Φ2, Ф-). Это
легко сделать из формулы (2.18), которая дает
j_
(Ф„Фг)=Ф*(<0 = **"'*· (2.23)
В частности, из (2.22) следует, что
A(O9z)=e h Ό'Ζ (ЛФ2,Ф;), (2.24)
откуда fi(vy ζ)> — целая функция от (vyz)^C2n для любого
ограниченного оператора Л.
г) Отметим, что виковские символы Л и Л* оператора Л и
сопряженного # нему оператора связаны формулой
Ат(г,г) = А(г,г)щ (2.25)
или * _
Α*(ν,ζ)^Α(ζ,ϋ) (2.25')
(эти формулы сразу следуют из (2.21) и (2.22)).
д) Выразим теперь действие оператора Л через его виков-
ский символ A(vtz), Имеем
(Л/)(г) = (Я/,ф,) = (/,2-фг)==
1 " , Г-
= ^J/W(4 ΦΛ)(Ό)β ·
Заметим теперь, что
(Л* Фг) (ν) = (Л* Фг, фв) - Л* (*, г) (φζ, Φ,) =
= A*(vyz)eh V'Z =A(z,v)eh "'* (2.26)
(мы воспользовались формулами (2.22), (2.23) и (2.25')), откуда
(А /) (?) = ~ J Л (5, о) / (5) tT 0,(^0) dvdv. (2.27)
е) Теперь получим формулу композиции для виковских
символов. Для этого наряду с (2.26) нам понадобится очевидная
формула
(Лф2) (о)· = (ЛФ„ ф0) = Л (£ г) β τ U" \ (2.28)
Если Л=Л1 ©Л2 и Ль Л2, Л — виковские символы операторов
Аи Л2 и Л соответственно, то* мы получаем
_ _L ."
Л (i, ζ) - (Лх * Л2) (ϊ, г) = е ft Z Z (Лф„ ф2) =
.-222

= e hZZ (А±А2фг,фг) = е h * * (Л2Ф2,Жфг) =
1 - 1 - 1 - 1 -
—ττζ'ζ * —ϊγό'ό — irv'z - τ-νz —
= e h h-«[e h A2{v,z)eh A1(ztv)eh dvdv,
или
A(z9z) = (A1*A2)(ztz)--
— ητ (ζ—υ)·(ζ~ν)
= -^\A1(ziv)A2(vyz)e h dvdv. (2.29)
Построим теперь разложение композиции по степеням А. Для
этого рассмотрим оператор .
*» Zj dz*fefc ~ 4 L \д4 дУ1 У
где Zk = Xk + iyk, Zh=Xh—it/h- Решение задачи Коши для
уравнения теплопроводности
-^- = Аи, и|м = /(2,2) (2.30>
задается формулой Пуассона, которая в наших обозначениях
может быть записана в виде
и (t\ ζ~, ζ) = (etAf) (ζ, ζ) = J" Kt (г — ν, ζ — ν) f (5, υ) dvdvt (2.31 >
где
ι -
Kt(z,z)=rne *ΖΖ (2.32>
Формула (2.29) может быть теперь переписана в виде
Α (Ι ζ) = (А, * Л2) (Ι ζ) --= [Л Лх (F, о) Л2 (Ъ9 ζ)] μζ, (2.33>
или
А (ζ, г) = {Ах * Л2) (ζ, ζ) = Аг (ζ, ζ + h—r-) А2 (vy z) |- - =
\ dv β v=z
^A2{z + A-|-, z) Л (i, о) Цг =2^"[dUx & Z)] [d~*A*(if г)1'
(2.34>
где в последней сумме суммирование ведется по всем мультиин-
дексам а. Беря первые члены, мы видим, что виковское кван-
223-

тование действительно удовлетворяет принципу соответствия из
§ 1, если переменные q, ρ выбрать так, что
l=r(q + ip)9 z = -±=r(q-ip) (2.35)
/2 w "" /2
(ср. формулы (2.1) и (2.1')).
ж) Найдем связь виковского и вейлевского символов. Для
этого достаточно в силу формулы (1.67) найти виковский символ
оператора отражения UqotPo. Он оказывается равным
#<7o,Po(Z>Z)=eXP
— γ (*— ί>)·(ζ— ζ0)
(2.36)
где zQf ζ0 связаны с q0y p0 по формулам, аналогичным (2.35).
В самом деле, пусть V\0tPo— оператор с виковским символом
(2.36). Тогда из формулы композиции (2.34) легко находим, что
аУ*.л = Ум.(— я + 2zo)> ^*VqotPo = VgotPo(— a* + 2z0).
Поскольку для операторов Ь\0,Ро в силу (1.65) выполнены те же
соотношения., мы должны иметь
^о.Ро — С Wu> A)) V<?o>Po>
где c(qQi po)^C. Отсюда в силу (1.67) мы получаем, что
виковский символ Α (ζ, ζ) любого оператора А и его вейлевский
символ Aw(q, p) связаны соотношением
Α (Ι, ζ) = (πΑ)~η J с(q, ρ) Aw(q, ρ) Kg,P (г, ζ) dqdp.
Поскольку единичному оператору соответствуют символы Aw=\
и Л = 1, то мы должны иметь тождество
(лЛ)-я £c(q0, pQ) exp j — γ (ζ — ζ0) · (ζ—ζ0) 1 dq0dpQ == 1,
которое с учетом связи q0y p0 с z0, z0 может быть записано' в виде
(здесь qy ρ связаны с zy z формулами (2.35)). Вспоминая
(2.31) — (2.32), мы можем переписать последнее соотношение
в виде ехр ι — Δ) с = 1, откуда с= 1.
\ 2 /
Итак, мы получаем окончательно:
A(v,v)=(fj ^Aw(qiP)e h dzdz, (2.37)
где qf ρ связаны с г, ζ формулами (2.35). Это значит, что
А = ехр(— ΔΜ„„ т. е. A(zyz) получается из Aw(zyz) решением
224

задачи Коши для уравнения теплопроводности (2.30) с
начальным условием Aw (ζ, ζ) в момент времени t = hj2.
з) Установим теперь следующую связь виковского и антиви-
ковского символов А (£, ζ) и А (г, г) одного и того же
оператора Л:
ι с -^-G-vHz-v) о _
Α (ζ, ζ) = -^- Ιέ? А Л (у, и) rforio. (2.38)
Заметим прежде всего, что при Л=/ эта формула справедлива
(в этом случае Л = 1 и Л=1, в то же время ехр(/А)1 = 1 при
всех t).
Теперь нужно проверить формулу (2.38) для всех
полиномиальных операторов вида (2.10) (или 2.11)) индукцией по
степени полинома. Для этого заметим (это легко проверяется из
коммутационных соотношений), что если такой оператор А имеет
антивиковский символ А (мы будем записывать это в виде
соответствия Л++Л), то мы имеем соответствия
akA «-> ZkAy akA *-» ( zk — ft 1 A,
\ dzk J
Aak~Uk — h-i-\A9 aZI~ Azk. (2.39)
Аналогично для виковского символа: если Л«-*Л, то
α£~^ + Ηη=τ-\Α, a*kA<-*zkA,
22k~zkA, Aal ~ (lk + h—Λ Л. (2.40)
Благодаря этим соотношениям проверка формулы (2.38)
сводится к проверке того, что функция
L=/rttexpi L(z—ϋ).(ζ —t;)]
удовлетворяет уравнениям
vkL = (zk + h-^-\Ly (vk+ h-~) L==zkL,
(vk + h^-\ L = zkL> vkL = (zk + h-^-\ L,
которые проверяются непосредственно, что и доказывает
формулу (2.38).
и) Формула (2.38) может быть переписана в виде A = ehAA.
Сравнивая ее с (2.37), мы получаем, что антивиковский символ Л
225

и вейлевский символ Aw одного и того же оператора А связаны
— Δ j Л, или
i4w(flf.P) = (-f) J Λ(σ,»)β A dwto, 2.41)
где qy ρ связаны с ζ, ζ формулами (2.35).
Таким образом, символ Вейля лежит на полпути между анти-
виковским и виковским символами точно так же, как он лежит
на полпути между qp- и /^-символами (см· Рис· 5.1).
Формулы (2.41) и (2.38) позволяют распространить антиви-
ковский символ на более широкие классы операторов. Заметим,
однако, что далеко не все операторы (даже ограниченные) имеют
антивиковский символ (даже
обобщенный), так как для
нахождения антивиковского символа
надо решить обратное уравнение
теплопроводности, начиная с
символа Вейля, на время t = h/2.
Отсюда, в частности, следует, что
символ Вейля оператора,
имеющего антивиковский символ,
должен быть аналитичен.
к) Напишем теперь формулу,
задающую действие оператора .ΐ
через его антивиковский символ
А. Для этого нужно
воспользоваться формулой (2.27), исполь-
Рис 5.1 зующей ваковский символ А
оператора А и связью А и А
(формула (2.38)). Подставляя в (2.27) выражение А через А по
формуле (2.38), мы получим
^ _ 0 __ [(~Z—O)-(W—V)—W-(Z—W)] _ __ __
(Af) (z) = —— \ A(v, v)e h f (w) dwdwdvdv =
_ [(ζ—ό)·ό+{ό—w)w] __ __ __
= \ A (v, v) e h f (w) dwdwdvdv,
h2n J V ' > l V >
Пользуясь теперь формулой (2.18'), мы находим
(Af) (ζ) =-L[A(v,v)eh f (Ъ) dvdv. (2.42)
hn J
Это и есть искомая формула. Ее можно также переписать в очень
простом виде, используя пуассоновские векторы Ф2:
ι__ -
(Af) (1) = -1- j Α (ν, ν) f (о) е hV\v (z)dva>. (2.43)
226

Заметим еще, что
ι -
|Φ0 Ρ =**""' (2-44)
в силу (2.23). Поэтому вместо (2.43) можно написать
Af = -~- j || Φ, ||-2Л° (υ, υ) (/, Φ,) <bvdvdv. (2.45)
Поэтому, если ввести нормированные пуассоновские векторы
Ф* = Ф*/11Ф*11, т. е.
ф1Й_£т(""-Т-;) (2-46)
{они уже не голоморфно зависят от ν)> то формула (2.45)
приобретает еще более простой вид
Af = -1- j" Α (ό9 ό) (/, Ф0) (bjtoto* (2·47)
или
Л/ = — f Л (у, о) /Vwfo, (2.48)
где Я0 — ортогональный проектор на направление вектора ΦΌ.
л) Виковский символ А оператора Л имеет простую связь
с производящей функцией матричных элементов Ла^ этого
оператора в стандартном базисе (2.4) пространства F2y которая
определяется следующим образом
А (г, ζ) = V *а3 Ιαζβ, (2.49)
α,β
где суммирование ведется по всем парам мультииндексов α, β,
а именно:
ι -
А (г, г) =A(z,z)eh *'*. (2.50)
Эту формулу в силу линейной зависимости Л и А от оператора А
достаточно проверять для оператора
Л = («ГаР = ^2а(-|-)Р,
имеющего виковский символ A=zaz$. Это легко делается непо-
. средственно, и мы предоставляем детали читателю.
Дальнейшие свойства виковского и антивиковского символов
нам удобно будет обсудить в несколько более общем контексте.
3. Ковариантные иконтравариантные символы.
а) Пусть Μ — пространство с мерой dm (его точки будем
обозначать через т), Ж — сепарабельное гильбертово
пространство. Система векторов {ет, т^М} пространства Ж называется
227

переполненной системой векторов в Жу если для любого /&Ж
числовая функция (fyem) принадлежит пространству L2(Ai, dm),
причем справедливо равенство Парсеваля
1/1»= JK/.OI»^· (2-51)
Λί
Измеримая неотрицательная функция (emiem) = \em\2
определяет на Μ новую меру άμ(ητ) = \\em\\2dm, которая тоже играет
важную роль и в известном смысле является более естественной,
так как не зависит от нормировки векторов ет-
Основным для нас примером переполненной системы является
система пуассоновских векторов {Φ2, г^О} в фоковском
пространстве с η степенями свободы (например, в F2 или в L2(Rn)),
•Здесь Λί=0 и
dm = /Гяехр (— — ζ-Ί) dzdz , (2.52>
\ ft /
в силу (2.19). Мера d\i(m) в силу (2.23) в этом случае имеет
вид
d\i{m)=hrndzdz. (2.53)
Пусть теперь А — некоторый линейный оператор в 36. Его
ковариантным символом называется числовая функция
A(m)= <&""g*> , тем, (2.54)
Мы считаем, что этот символ определен, если etn^D% при почти
всех теМ. Частным случаем ковариантного символа является
виковский символ.
Введем еще ортогональный проектор Рт на направление
вектора ет\
PJ= {l;em)en: , /eSS?, meAf.
Тогда функцию А (т) можно также записать в виде
A(m)=Sp(APm). (2.55)
Будем говорить, что оператор А имеет контравариантный сим-
вол А(т)у если этот оператор можно записать в виде
а/= $A(m)(f, em)emdm= Ji(m)(Pm/)^(m), (2.56)
Μ' Μ
или, короче,
Л= Ji(m)Pmi^i(m). (2.56')
м
Здесь Л(т) предполагается измеримой комплекснозначной
функцией на Μ и интеграл в (2.56) понимается в слабом смысле.
228

Частным случаем контравариантного символа является анти-
виковский символ (см. формулу (2.48)).
Введем оператор / : j@-*L2{M, dm) по формуле
(//)(т) = (/,*«). (2.57)
Тогда в силу (2.51) оператор / представляет собой изометричное
вложение.
Обозначим через Ρ ортогональный проектор на Ϊ36 в
L2(M, dm). Тогда Ρ можно записать в виде
(Pg) (m) = J g (m') (em>, em) dm'. (2.58;
В самом деле, ядро /C(m, т')]= (ет>, ет) эрмитово (т. е. К(т'у т) =
= /((т, т')), так что оператор К в L2(M,dm) с ядром К{т, т'),
т. е. оператор, определяемый правой частью (2.58),
самосопряжен. Остается проверить, что его образ совпадает с 1Ж и что
на 1Ж он тождественный. Но из (2.58) ясно, что
Kg = l(lg(m')em>dm'y
так что образ оператора К лежит в 136. Остается проверить, что
Klf^If для любого ]^Ж. Это означает, что
j (Д ет>) (em*, em) dm' = (/, ет).
Для этого достаточно выполнения соотношения
f = lV,em)eJm,f*=9t, (2.59)
понимаемого в слабом смысле, т. е.
(Л ё) = J (Л *«)(*m, g)dm = J(/, *m)(JTtJdm, f,ge%. (2.59')
Но это следует из изометричности оператора / (в силу
соотношений поляризации / сохраняет не только норму, но и
скалярное произведение). Соотношение (2.58) доказано.
Поскольку / — изометрическое вложение, мы можем
отождествить Ж и 136 и опускать оператор / в тех случаях, когда это
не может привести к недоразумению. Используя это соглашение,
мы можем переписать формулу (2.56) в виде
2=РМА{т)Р, (2.60)
где ЛГ^(т) — оператор умножения на функцию А(т) в L2(Mydm).
б) Из формул (2.54)—(2.56') и (2.60) вытекает ряд важных
свойств ковариантного и контравариантного символов. Сейчас
мы перечислим и докажем их.
Имеют место неравенства
supH(m)|<||^||<sup|i(m)|, (2.61)
229>

очевидные из (2.54) и (2.60). В частности, из ограниченности
контравариантного символа А(т) вытекает ограниченность
оператора Л, а из ограниченности А вытекает ограниченность кова-
риантного символа А(т).
Симметричность оператора А равносильна вещественности
символа А(т) или символа А(т). При этом имеет место
неравенство
inf A (m) ^ inf (Af, f) > inf A (m), (2.62)
HflNl
также очевидное из (2.54) и (2.56'). Имеет место и следующий
более общий факт. Известно, что для любого линейного
оператора множество
«(Д) = {(ЛЛ/)./еЯГ,И=1}с:С
выпукло (см. Рисе и Надь [1]). Обозначим через 0(А) выпуклую
оболочку множества значений виковского символа Л, а через
3)(А) — замкнутую выпуклую оболочку множества значений
антивиковского символа. Тогда
3>(А)сЗ>(2)сЗ>(А). (2.63)
Здесь первое включение очевидно из (2.54), а второе вытекает
из (2.56) с учетом (2.51).
След оператора А можно выразить любой из формул
SpA= f A(m)d\x(m)y (2.64)
SpiT = Ι Α{τη)άμ (m). (2.64')
Вторая формула сразу следует из (2.56') с учетом того, что
SpAn=l. Для проверки первой надо проинтегрировать по мере
άμ(ηι) соотношение (2.55), учитывая равенство
/ = {Ятф(т),
равносильное (2.59).
Удивительно, что наряду с формулами (2.64), (2.64') имеют
место оценки ядерной нормы \\А\\г = SpV A*A:
J | А (т) | άμ (т) < || А \\г < J | А (т) \ άμ (m). (2.65)
Второе неравенство здесь следует из (2.560, если учесть, что
l|Pmlli = Sp Ят=1 и оценить норму интеграла через интеграл от
нормы. Для проверки первого неравенства рассмотрим полярное
разложение Л = #5 оператора А (см. добавление 1, § 4). Пусть
||Л||1<оо (иначе неравенство тривиально). Тогда операторы А и S
230

компактны, и мы можем выбрать ортонормированный базис
{//}/Li из собственных векторов оператора 5. Пусть sj —
собственные значения, т. е. S// = s///. Тогда
||^||1 = SpS = f s,.
Полагая #// = £/, мы получаем, что ||g/|| <:1 и
# = £*,(/,/,)*,, ыт.
Отсюда
(Ает, ет) = £ Sj (emy /,) (gh eM)
и
<£». о ι < 2»/1 (ет, //) 11 <*,. о к Σ«/ {l(f/'eOT)|atl(g/,em)|2} ·
Интегрируя это соотношение по мере dm и пользуясь
формулами (2.54) и (2.51), мы получим первое из неравенств (2.65).
В частности, из (2.64), (2.64х) и (2.65) для виковского и анти-
виковского символов получается, что
Sp А = hTn J Α (ζ, ζ) dzdz = fTn j A (z, z) dzdzy (2.66)
\Cn \ | Α {ζ, ζ) I dzdz<\\ А\\г < ЬГп j | А (г, ζ) | dzdz. (2.67)
Легко также показать, что если оператор А компактен, то его ко-
вариантный символ обладает следующим свойством:
dμ({m:me^f, \А(т) |>ε})<+οο (2.68)
для любого ε>0. Для этого достаточно разложить А в сумму
конечномерного оператора и оператора с малой нормой и
воспользоваться (2.61) и (2.65). С другой стороны, если контравариант-
ный символ А(т) таков, что для любого ε>0
d\i{{m\m<=My |Л(т)|>в})< + оо, (2.69)
то оператор А компактен (пользуясь (2.67) и (2.61), в этом
случае оператор легко разложить в сумму ядерного оператора и
оператора со сколь угодно малой нормой). В частном случае анти-
виковского символа мы получаем:
если Α (ζ, ζ)->0 при |ζ|->οο,
(2.70)
το оператор А компактен.
231

Для виковского символа справедливо несколько более сильное
утверждение, чем (2.68):
если оператор «Л компактен,
(2.71)
то A(zyz)-+0 при |г|-*оо,
вытекающее из того, что нормированные пуассоновские векторы
Фг/ΙΐΦζΙΙ слабо сходятся к 0 при \z\->оо.
Аналогичным образом можно написать условия дискретности
спектра самосопряженного оператора Л: например, для
полуограниченности и дискретности спектра необходимо условие Л(г, г)->-
~>+оо при |2|->оо и достаточно условие A(z,z)-++oo при
\ζ\-+θθ.
Наконец, заметим, что если даны два оператора Ль Л2, то для
следа Sp (Л1Л2*) верна формула
Sp (AjAl) = J Λ (m) Mm) άμ (m), (2.72)
где А\ к А2 — контравариантный символ оператора А\ и
ковариантный символ оператора Л2 соответственно. Для
доказательства нужно формулу (2.560 с А = А\ умножить справа на Л2* и
затем взять след от обеих частей, воспользовавшись формулой
(2.55). Частный случай (2.72):
Sp (Λ Al) = -1- Г Аг (ζ, г) Л2(г, z) dzdl, (2.73)
где Ль Л2 — операторы в фоковском пространстве, Ль А2 —
антивиковский символ для Л ι и виковский символ для Л 2
соответственно.
4. Неравенства выпуклости и неравенства типа Фейнмана.
а) Пусть φ = φ(λ) — неотрицательная выпуклая вниз
функция вещественного переменного λ, τ. е. такая непрерывная
функция, определенная на некотором интервале, что
φ^Α±^_|<_1_(φ(λι) + φ(λ2))
для точек λι, λ2 из этого инхервала.
Основные неравенства, которые мы сейчас докажем, состоят
в том, что если φ — неотрицательная выпуклая вниз функция,
Л — самосопряженный оператор и Л, Л — его ковариантный и
контравариантный символы, то
J φ (Л (го)) άμ (го) < Sp φ (Α) < j* φ (A (m)) άμ (го). (2.74)
Начнем с доказательства первого неравенства. Обозначим через
и(ш) ковариантный символ оператора φ (Л). В силу формулы
(2.64) достаточно доказать, что
q>(A{m))<cu(m)y m^M. (2.75)
232

Рассмотрим семейство спектральных проекторов {£λ, λ^Κ},
задающих спектральное разложение оператора Л, и пусть от(Х)—
ковариантный символ оператора Ек, т. е.
<*т (λ) = (ет, ет)"1 (ЁКет, ет).
Тогда
и (т) = (ет, ем)-х (ф (А) еп§ ет) = J φ (λ) dam (λ). (2.76)
Заметим теперь, что для любой неубывающей функции σ(λ),
для которой σ(—оо)=0 и σ( + οο) = 1, из выпуклости φ следует,
что
φ (Γ λάα (λ)) < f φ (λ) da (λ). (2.77)
Применяя это к а = ат и-учитывая (2.76), мы получим (2.75),
поскольку
J Ыат (λ) = (emt em)~l (Aemy eM) = А (го).
Первое неравенство (2.74) доказано.
Второе неравенство (2.74) ввиду формул (2.60) и (2.64/)
является следствием следующего более общего неравенства:
Sp φ (PAP) < Sp (Ρφ (Л) Ρ), (2.78)
где А — самосопряженный оператор в гильбертовом
пространстве Ж, Ρ — ортогональный проектор в Ж, φ —
неотрицательная выпуклая вниз функция. Это неравенство мы для простоты
будем доказывать в случае конечномерного пространства Ж
(в общем случае его можно получить предельным переходом от
конечномерного случая при соответствующих предположениях на
оператор Л). Пусть {е/} — ортонормированный собственный базис
оператора Л, а {|/} — ортонормированный собственный базис
оператора Ρ АР, так что
Aek=KkekJ Ρ3Ρ& = μ&.
Имеем тогда
μ, = (РЩь W = Йь hk) = (Alk, W = £ \\cpkW
ρ
где cpk = (ξΛ, ep) и V | cpk |2 = 1. Поэтому в силу выпуклости φ
ρ
Φ(μ*) = ψ (£M^<£M2q>^).
Далее:
Sp φ (PAP) = £ φ (μ,) < £ £ | Cp, |· φ (λρ). (2.79)
k ρ k
233

С другой стороны,
Sp (Ρφ (Я) Ρ) = £ (Ρφ (Л) ?>ξ*, ξ,) = £ (φ (Л) ξ*, Ы =
=ΣΣφ(λ*)Μ2·
k ρ
Сравнивая это с (2.79), мы получаем искомое неравенство (2.78).
б) Укажем некоторые частные случаи неравенств (2.74).
Беря φ(λ) = |λ| и учитывая, что Бр|Л|=||Л||ь мы получим
неравенства (2.65) (для самосопряженного Л).
При φ(λ)=£~'\ где f>0, мы получаем неравенства
J е-'А(т)άμ (т) < Sp е~а < j ег**Ыάμ (m), (2.80)
которые в случае виковского и антивиковского символа
переходят в неравенства типа Фейнмана
J__ ter^*)dzdz<Spertf<. -L (V'^dzdz. (2.81)
Неравенства (2.74) удобно также переписать в терминах
функции N{X)=SpEK и функций объема
К(Ч=ф{/п:Л(т)<^}= Г ф(т), (2.82)
А(т)<К
ν(λ)=<*μ{/η:Λ°(/η)<λ}== j ф(т). (2.82')
ii/ηχλ
А именно в этих обозначениях неравенства (2.74) принимают вид
J φ (λ) dV (λ)< j φ (λ) dN (λ)< j φ (λ) dK (λ). (2.83)
Положим, в частности, <p(|x)=max(X—μ, 0). Тогда (2.83) после
интегрирования по частям принимает вид
λ λ λ
j ν(μ)άμ< j ΛΓ(μ)φ< J Κ°(μ)</μ· (2.84)
— 00 —С» —00
Неравенства (2.80), (2.81), (2.83) и (2.84) удобно применять
при получении различных асимптотик (как высокочастотных, так
и квазиклассических) — см. § 5 этой главы.
Замечание. Утверждения этого и предыдущего параграфов
легко сделать математически строгими наложением
соответствующих ограничений на области определения и т. п. Мы отсылаем
читателя, которому понадобятся эти точные результаты, к
работам, цитируемым в разделе «Краткие литературные указания».
234

§ 3. ОБЩАЯ КОНЦЕПЦИЯ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА
ПО ТРАЕКТОРИЯМ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
СИМВОЛ ОПЕРАТОРА ЭВОЛЮЦИИ
1. Метод континуальных интегралов.
В настоящее время метод континуальных интегралов занимает
одно из центральных мест в математическом аппарате
теоретической физики. Это связано в осноезом с двумя обстоятельствами.
Во-первых, континуальный интеграл необычайно нагляден и
универсален: с его помощью любая квантовая величина
представляется в виде суммы вкладов виртуальных классических
траекторий, простая зависимость от планковской постоянной h позволяет
легко усмотреть, что при h-+0 доминирующий вклад в квантовую
величину дается реальной классической траекторией, т. е.
траекторией, удовлетворяющей принципу наименьшего действия. Во-
вторых, он технически очень удобен; с его помощью легко
строятся ряды теории возмущений, а также квазиклассические
асимптотики.
Мы дадим здесь последовательное изложение теории
континуальных интегралов, базирующееся на теории символов
операторов.
Интеграл Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве
имеет вид
и
J = \e h Tldq(t)dp(t)y (3.1)
где L — функция Лагранжа:
L = H{qyp)—Yupkqk
k
(с точностью до полной производной), Я — гамильтониан
системы. Интеграл (3.1) берется по тому или иному множеству
траекторий в зависимости от решаемой задачи. Например, для
нахождения матричного элемента {^2| ^/lA)//|flri)1) следует
вычислить интеграл (3.1) по траекториям, удовлетворяющим
граничным условиям q(0)~qu <7(0=<72·
Каков математический смысл этого интеграла? Другими
словами, как его вычислять?
Существует точка зрения, согласно которой интеграл (3.1)
является лишь удобным иероглифом, в сжатой форме
записывающим алгоритм теории возмущений. Такая точка зрения пред-
1 Следуя физической литературе, через <<72|Я|<71> мы будем обозначать в
этом и в следующем параграфах ядро К(qz> qi) оператора А в пространстве
L2(Rgn). В физической литературе принято также называть значения ядра
матричными элементами.
235

ставляется слишком ограничительной. С другой стороны, идущий
от Винера традиционный взгляд на континуальный интеграл как
на интеграл по мере в функциональном пространстве
наталкивается здесь на слишком большие сложности и поэтому
представляется неадекватным. Наша точка зрения состоит в том, что
интеграл (3.1) следует понимать как предел конечнократных
аппроксимаций. Однако каких? Оказывается, что интеграл (3.1)
очень чувствителен к выбору его аппроксимаций, причем
неоднозначность, возникающая в результате этой зависимости, носит
тот же характер, что и неоднозначность квантования.
Пусть выбрано некоторое квантование, т. е. линейное
соответствие f++f между функциями / на фазовом пространстве и
операторами f. В этой ситуации функция / называется символом
оператора f. Как только такое соответствие построено, в
пространстве функций возникает операция, копирующая произведение
операторов: если /, /ι, /2 — символы операторов f, fu h> причем
f=f 1/2, то /=fi*/2. Операция *, будучи билинейной по U и f2,
задается интегралом
/(?.P) = (/i*/*)fa.P) =
= ί^Α(^Ρ; ?ι.Pi". <l2> P2)h(qi, Pi) f2(42, P2)dq1dq2dp1dp2. (3.2)
Наиболее важным для практических применений являются
вейлевское и виковское квантования. Последнее является важнейшим
инструментом для изучения систем с бесконечным числом
степеней свободы.
Опишем общую конструкцию континуального интеграла с
помощью символов операторов. Пусть Я — некоторый гамильтониан
и #(<7, р) — его символ. При малых t
G(t) = ехр^Й\=1 + ^Н+ О (Ρ).
Поэтому символ оператора G(t) равен
G(t) = \ +-^# + 0(*) =/'/*> (1 +0(t*)). (3.3)
Обозначим через 0(t) оператор, символом которого является
U(t)=exp[(tJih)H]. Из (3.3) следует, что
6{t) = 0{t)(l + 0{P)). (3.4)
Рассмотрим операторное тождество G(t) = (G(t/N))N. Заменим
в нем оператор G(t/N) оператором 0(t/N). В результате
получится приближенное выражение для <?:
β»® = (ΰ(τ))Ν· (3·5)
Из (3.4) следует, что lim G#(/) = G(t). Поскольку символ опера-
2Э6

тора 0(t/N) известен, в (3.5) можно перейти от операторов к
символам:
вы®=и{т)*---*и[т)· (3·6)
Учитывая, что операция * задается интегралом (3.2), мы
получаем выражение для GN в виде многократного интеграла,
G=limGN- Аналогичная конструкция возможна также в слу-
чае, когда гамильтониан Я зависит от /.
Выражение (3.6) является исходной конечнократной
аппроксимацией континуального интеграла (3.1). При различных
символах, т. е. различных способах квантования, функции Kh в (3.2)
различны, тем самым различными оказываются интегралы (3.6).
Наивный предельный переход в (3.6) для основных видов
символов нивелирует разницу между ними, приводя всегда к одному
и тому же ответу (который, таким образом, может оказаться
верным лишь в силу каких-нибудь особых обстоятельств).
В этом же параграфе мы анализируем поведение
интеграла (3.6) при N-*oo. Оказывается, что предельное выражение
имеет первозданный вид (3.1) только в случае вейлевских
символов. В остальных случаях оно отягощается некоторыми
деталями, наиболее характерной из которых является возникновение
интегралов со сдвинутым аргументом в показателе (3.1):
например, появляется интеграл
$H(q(t)tp(t + 0))dt (3.7)
и
вместо интеграла
$H(q(t),p(t))dt. (3.8)
Возникают также внеинтегральные члены в показателе (3.1),
свои для каждого рода символов. После того как правильное
выражение для интеграла (3.1) написано, выясняется, что этот
интеграл является пределом конечномерных аппроксимаций общего
вида, одной из которых служит (3.6). Аппроксимация строится
следующим образом. Рассматривается гильбертово пространство
3@(tu h) траекторий со скалярным произведением
<*,*) =]>(*)*, x = (q1,...,qn,Pi,...,pJ, x* = ?(p]+q% (3.9)
В 2fe{tiy to) рассматривается последовательность вложенных друг
в друга конечномерных подпространств Ж ν с Жы+\ » состоящих
237

из дифференцируемых траекторий; интеграл
и
^(H(q,p) — p-q)dt при q(t),p(t)efflN
и
является функцией конечного числа переменных. Заменяя в (ЗЛ)
интеграл на интегрирование по 3%?n, мы получаем конечно-
кратную аппроксимацию интеграла (ЗЛ): J=\imJN. Предель-
N-+oo
ный переход при JV—>-оо в интеграле (3.6) в сильной степени
основан на интуиции, поэтому он нуждается в обосновании. Мы
даем это обоснование «на физическом уровне». Его нестрогость
состоит в вольной перестановке различных предельных
соотношений. Она может быть устранена обычными средствами при
естественных предположениях относительно функции
Гамильтона. Мы выясним также, на каких траекториях сосредоточен
интеграл (3.1). Показано, что эти траектории обязательно
разрывны. Это обстоятельство делает ясной разницу между
интегралами (3.7) и (3.8). Более того, выясняется, что множество
траекторий, на которых сосредоточен интеграл, не определено
однозначно: его можно варьировать, увеличивая гладкость координат за
счет импульсов или, наоборот, импульсов за счет координат,
однако нельзя добиться, чтобы и те и другие были непрерывны.
Это обстоятельство находится в согласии с принципом
неопределенности.
2. Вейлевский символ оператора эволюции.
1) Основная конструкция. Пусть Й — некоторый оператор в
I2(Rn), Η(qy ρ) — его символ Вейля. Символ H(qy p) также
может зависеть от h как от параметра. В случае необходимости
мы будем обозначать эту зависимость индексом и писать
Hh(qt ρ) вместо H(qy p). Положим для удобства
*-<♦■*-GL^")·
Если y=(q, p), то
(1п означает единичную матрицу п-го порядка), т. е. χω*/=
—ι[χ> у] — симплектическое скалярное произведение векторов χ
и у в R2n. Пусть fi(x), /=0,..., Ν, — вейлевские символы
некоторых операторов, GN(x) — вейлевский символ их произведения·
Используя формулу композиции вейлевских символов, получаем
непосредственно
— к
Gn (χ) = Т^лГ J /oW - · Mito+i ) e* Nd»+* yd»-* x9
238

Kn= J (Х1Щ£+* + У/+2<ол;/+1 + χί+1ωχ£) +
ι
+ ί/ΐωί/2 + У2®Х1 + *1<йУь
где Χν=χ. Эта формула приобретает более удобный вид, если
положить /о=1 и переобозначить переменные интегрирования:
yi-+Xi\ ytc+yh-i при k>\\ Xkr+Xh+t:
Gn{x)= Τ^ο^ί/ι(ί/ι)'''h{yN)elih NdNydNx>
Ν
1
По переменным х% можно выполнить интегрирование. Так как
они входят в показатель не более чем квадратично, для этого
можно воспользоваться методом стационарной фазы (стацфазы) '>.
Преобразуем Κν'-
Κν = ХгЩг + *2<* (у2 — Уг) + ·.. + Χν® (уν — ys-\ ) + Ум<йХм+1 +
+ χ2ω(χ1 — χ3) + Χι<ύ(χ3 — хь) + ...
ί λτ^+ι ω*ν при нечетном Ν, /ο 11\
... + Ι Ι^·11/
{ Χχω (χν-\ — χν+\ , при четном Ν.
Приравнивая нулю производные по Х{у получаем соотношения
уг — х2 = 0, yk — Уь-г + Хь-!— ^+1 = 0, А> = 2, ... ,ЛЛ (3.12)
Далее случаи четного и нечетного N несколько различаются.
Пусть вначале N четно. В этом случае уравнения (3.12)
однозначно разрешаются относительно х\\
k-l
X2k = Уг + Jj (Уи+1 — Ун), 1 < k < у,
(3.13)
ЛГ/2
*2*-1 = * + J] (02/-1 — 02/). 1 < * < у.
/г
Однозначная разрешимость уравнений (3.12) означает
невырожденность квадратичной формы во второй строке (3.11).
Следовательно, применим метод стацфазы в простейшем варианте.
Введем теперь непрерывный параметр τ, и<х-<и, и будем счи-
См., например, Федорюк [1].
239

тать, что х2к = χ(х2к), х2к+1 = *(τ,^), & = 0(τ4),
/*(*) =/(τ*;*) = ** l"
где τΑ = ί, — ~-(^2 — ίι); х {*), х (х), у (χ) —
непрерывно дифференцируемые функции τ; g(x; x) —
непрерывная функция переменных τ и χ.
При этих условиях в соотношениях (3.13) возможен
предельный переход при Ν~+οο:
У(Т)+У(<2)
2
* (τ) = #(*«) — \ \ y(s)ds
(3.14)
τ
h
Выражение (3.11) для /Gv, за исключением первого и последнего
слагаемых первой строки, является интегральной суммой.
Предел этих слагаемых при N-+oo равен соответственно x{h)<utj(fa)
и y(ti)(ux(ti). Имея это в виду и учитывая (3.14), для /C=liin/Cv
получаем следующее выражение:
К = х (t2) ωί/ (t2) -- Ι χ (τ) ωί/ (τ) άτ —
u
U U
\χ (τ)ω У (τ) dx + у (tx) ωχ + \ χωχάχ =
U
= — -i- U (τ) ωί/ (τ) dt + -1. (χωι/ (ί2) + у (ir) ωχ) + — у {t2) ωί/ ft).
(3.15)
Отнесем теперь множитель (l/nh)2nN перед интегралом (3.10) в
нормировку дифференциалов и обозначим G = \imGN. Для G
получаем окончательное выражение
G (i„ tj. Ι χ) = jexp {-L [ ^ g (T; у (τ)) άτ -
— Τ f ^dt + *ωί/ ^ + y ^ ωΛ: + ~2~у ^ щ ^Ί) Π dy ^'
τ
(3.16)
Интеграл берется по всем траекториям.
240

Перейдем к случаю нечетного N. Решение уравнений (3.12) в
этом случае имеет вид
N+\
Хи = У1+У£(Уи+1—Уи), 1<&< 2 ,
(3.17)
ЛГ-1
2
%2k-
■1=XN+ J] (02/-1 —02/). 1<^<
ЛЦ-1
Таким образом, уравнения разрешимы не всегда й не однозначно.
Условие разрешимости получается из первой группы равенств
(3.17) при k= (iV+l)/2 (напомним, что Χν+ι=χ):
Ν—\
2
х-Уг- J] (0«+ι-Λι) = Ο. (3.18)
В случае разрешимости решение зависит от χΝ, как от
параметра. Отсюда следует, что методом стацфазы может быть
вычислен интеграл по Хг,..., Xn-u причем оставшийся интеграл, как
функция xNi с необходимостью имеет вид
ί е'"*"*"dxN = (2π)"δ(cN<pN) = (2п)псЦ1 δ(φ*),
где <pj\r — левая часть равенства (3.18) и οΝΦ0 — некоторая
константа.
Перейдем теперь так же, как и раньше, к непрерывному
пределу. Введем, как прежде, функции х(%), x(t), У (τ). Из (3.17)
находим: ,
Х(Х) = Ы±ШЬ19 ?(*) = 5(Ц+-\-Ш-у&г)).
Для /C=lim /Civ получаем выражение^ аналогичное (3.15):
и и
K=lc(t2)y(t2) — Y [χ(τ)ωμ(τ)άτ ~- [1с (τ) ыу (τ) d% + у(Ъ)<ох +
и и
+ Г* (τ) ωχ (τ) dx + лчал; ft) = ί- f у (τ) ωί/ (τ) dx+
и и
+ [χ-γ(ν(ίύ + ί/ft))] ш&) + ί/ft) ω* + \у(Ц*У ft). (3.19)
241

Из (3.19) видно, что интегрирование по x(t\) приводит к
множителю
ьи_№№й_\
Это находится в полном согласии с тем обстоятельством, что
условие (3.18) в пределе при N-^oo превращается в
х= уЫ+уМш (3.20)
С учетом (3.20) окончательное выражение для G приобретает
вид
и
6&Л|*)= j ' «ρ{-^[|ί(τ;»(τ))Λ-
№)+yiU) л tx
2
U
• —γ^ У{ъ)Щ{ъ)а% + ±у{1г)щ{Щ \\dy(%). (3.21)
tx X
Сделаем несколько замечаний.
а) Для одной и той же величины получены два интегральных
представления (3.16) и (3.21). Одно из них переводится в другое
следующим образом. Обозначим подынтегральные выражения
континуальных интегралов (3.16) и (3.21) через Ft(x, у) и
Fi{x, у) соответственно. Тогда Fi(x, у) является функцией точки
фазового пространства χ и функционалом от траекторий у=у(т).
При этом F2 содержит в качестве множителя δ l£±z ^ χ\.
Легко видеть, что
\ С ~ —( х(оуШ+уШ&х + хм) ~
Это соотношение соответствует умножению допредельного
оператора на единичный:
ι л (*ω х-\- χωχ-\-χωχ) ~, ~
Gn(*2, Ъ\х)= ,h)n J Gn(t2, Ъ\х)е ih dxdx.
б) Формулы (3.16), (3.21) несколько упрощаются, если
положить в них
y(t)=x+u(t).
Формула (3.16) приобретает вид
и и
G (t2y h Ι χ) = Γ exp J — f g (τ; χ + и (τ)) dx ytuoudx —
tx 'tx
τ
242

Формула (3.21) приобретает вид
и
G(*i. *i|*) = JexP {~^~[J £(τ> * + "(*))<** —
η
и
-Ги>иЛ]1 Р] da (τ). (3.2Γ)
h τ
в) Преобразуем интеграл (3.16'), подставив в подынтеграль-
ное выражение 6 (a—L[«(у+ «(/,)]) и проинтегрировав за-
тем дополнительно по а. Это преобразование является
тождественным ввиду того, что
Je(a—^-[«(fi)+ «&)]) л»
= 1.
• Оказывается (мы это увидим ниже), что, если недоинтегриро-
вать в (3.16') по а, то ответ от этого не изменится:
и
G(*2,M*) = Jexp ("Μ]' U(x"> * + "Μ) 1-ιιωύ )<*τ]—
-Y«w«»«wJδ (α-τπω + «('t)]) Π d"W· (3·22>
τ
Другими словами, интеграл не меняется, если интегрировать не
по всем траекториям, а только по таким, которые удовлетворяют
условию
Y(u(t1) + u(tj) = a9 (3.23)
где а — произвольная точка фазового пространства: хотя
подынтегральное выражение в (3.22) зависит от а как от параметра,
интеграл от а не зависит.
Это свойство интеграла (3.16') аналогично свойствам
континуальных интегралов, возникающих в калибровочных теориях
поля. Его естественно назвать калибровочной особенностью.
С этой точки зрения преобразования u(t)-*u(t)+c, где с —
константа, можно рассматривать как калибровочные, соотношение
(3.23) — как условие, закрепляющее калибровку; интеграл
(3.2Г) получается из (3.22) при специальном выборе
калибровки а = 0.
На первый взгляд калибровочное свойство интеграла (3.16')
кажется противоречивым: из (3.16') и (3.22) формально следует,
что
G(tl9tl\x)=^G(tlft1\x)^da = G(t%ftl\x)-oo.
243

Противоречия не возникает благодаря определению
континуального интеграла: грубо говоря, он является дробью, как
числитель, так и знаменатель которой содержат fda в качестве
множителя. Более подробно это объясняется в следующем разделе.
2) Аппроксимации общего вида. Континуальные интегралы
(3.16), (3.16'), (3.21), (3.21'), (3.22) были введены в предыдущем
разделе на основе интуитивных соображений. Теперь мы
попробуем придать им более точный смысл.
Вначале рассмотрим интеграл (3.2Г). Обозначим через
3@{ti, h) гильбертово пространство, состоящее из функций x(t)>
/ι</<^2, принимающих значения в фазовом пространстве (т. е.
из классических траекторий) со скалярным произведением
и
(х,х) = J x2(t)dty (3.24)
η
где
*(ί) = (^ι(0..-..^»(0.Ρι(0.....Ρη(0).
^(0 = £(ρ?(')+ ??(')).
1
Пусть Ρν — семейство операторов ортогонального
проектирования со свойствами
dim PNX(tu h)=d(N) <оо,
Ρ ν Ρν+ι = Ρν+\ Ρν = Ρν, (3.25)
lim Ρν = /,
Ν-+0Ο
где / — единичный оператор вЖигМ* и предел понимается в
сильном смысле. Отметим, что второе условие (3.25) означает,
что подпространства Жы = Ρ ν Ж {им вложены друг в друга:
ЖысЖы+\.
Обозначим через Ж (tv t2) cz Ж (h, t2) множество непрерывно
дифференцируемых траекторий и через Ж0 {tl9t2) d Ж (tl9t2) —
подмножество Ж, состоящее из траекторий, удовлетворяющих
условию
χ(ίι)+χ(ί2)=0. (3.26)
Положим Ж% = PN&£°(tly t2). Рассмотрим в пространстве
«30 (*ь h) оператор В с областью определения, состоящей из
пространства 3B°(tu tz):
Ви = (* — . (3.27)
Рассмотрим, далее, в пространствах Жы операторы BNt
подчиненные условиям
detB^O, BN = B*Mi lim BNPNf = Bf. (3.28)
ΛΓ-*οο
244

Последнее соотношение должно быть выполнено для любого
f^3@0(tit fa) (при этом так же, как и в аналогичных предельных
соотношениях в дальнейшем, имеется в виду сходимость в смысле
метрики гильбертова пространства 36(t\y fa)). Наконец, обозначим
через d uy где L = dim Pn Ж0 fay t2), лебегову меру в
пространстве Ж%· Положим
и
— if ί(τ;χ+«(τ))ίίτ-— {v,BNu)\
Jib U 2 J jL
GN = -i ; (3.29)
J e 2lh dL и
Очевидно, что выражение (3.10), обозначенное той же буквой,
после интегрирования по χι и подстановки
Ш = ехр [^-^-g(тА; {,) }
при нечетном N превращается в частный случай (3.29),
отвечающий специальному выбору подпространств Жы = PNifcfay t2) s
операторов BN. Совершенно аналогично определяются интегралы
(3.21) и (3.22). Разница состоит лишь в том, что вместо функцио-
и
нала f g (х\х + и (τ)) dx в первом случае рассматривается функ-
и
ционал
и
ι
g(x\ y(x))dx + Yy(h)<oy(tJ9
и
во втором случае — функционал
'» ~ ~ ~
J g{t\ x + a + u(x))dx — αω(μ(ί2) — Ufa)).
и
Перейдем к интегралу (3.16'). Рассмотрим гильбертово
пространство Ж fay 4) = Ж fay t2) φ R2", где Ж fa, t2) — рассмотренное
ранее пространство траекторий и R2n — вещественное евклидово
пространство размерности 2/г с обычным скалярным произведе-
—.
нием, η — число степеней свободы. Элементами 2e(tiy fa)
являются пары {χ, α}, x^36{tu fa), a^R2", скалярное произведение
определяется формулой
({*, а}, {у, β}) = (*, ί/) + (α, β). (3.30)
Сопоставим каждой траектории u{t)^38(tu fa) элемент й прост-
245

ранства 36{tu t2):
u = {u,a}, α = γ(α(ί1) + ί/(/2)). (3.31)
Множество элементов й вида (3.31) обозначим ЖЦи ί2).
Рассмотрим в Ж оператор Л, областью определения которого служит Ж\
Ъ1= {ω1Γ' ω ("('«)-"'(«)}· <3·32>
Заметим, что
и (у ω и (ί.) = И(Ц+2И<Ц ω (И (t2) - и (У).
Отсюда следует, что квадратичная форма в показателе (3.16')
равна _(tt>jgw). Рассмотрим теперь в пространстве j£(>ii, t2)
проекторы Pn со свойствами (1.25) и операторы Βχ в
пространствах 9£n = PnS% (titt2) со свойствами, аналогичными (3.28),
detS^O, limBNPNf = Bf9 \imB*NPNf =B*f
для любого f^S%(tltt2) (в отличие от оператора S, оператор β
не только не самосопряжен, но даже не симметричен1).
Определим функции GN формулой, аналогичной (3.29):
и
1 ί Г „ , 1 /~^
Gjv = -^ ;—Γ^Γ~Ι . (3.33)
<*LiT
1
(и, В Nu)
2ίΗ dL U
где
и = {«(ί), ~(α(ίι) + u(t2))} eW(tl9 ί2), i*(f)e=# (Ί, «.
В следующем разделе мы покажем, что функции Gn, Gn,
определяемые формулами (3.29), (3.33), при А/-мх> сходятся к
функции G(ti, h\x), которая является вейлевским символом опера-
1 Рассмотрим в пространстве Ж(h, h) оператор J, определяемый
формулой
J {х, а} = {*, —а}.
Нетрудно показать, что оператор JB самосопряжен. В связи с этим естественно
выделяется класс аппроксимаций, для которых выполнено условие
(PnJ^Pn)* = PnJBnPn.
246

тора эволюции, причем инфинитезимальным оператором этой
эволюции служит оператор с вейлевским символом g(%; χ),
3) Обоснование. Следует проверить, что функции Gnj Gn,
определяемые равенствами (3.29) или (3.33), сходятся к функции
G(tit tz\x)y являющейся символом Вейля оператора G(tit f2),
который удовлетворяет условиям
Λ-^- = ί(<«)δ(ί.,ίι), 8 (<,*) = /,
где g(t) — оператор с символом Вейля g(t; x).
Прежде всего вычислим в аппроксимациях (3.29), (3.33)
континуальный интеграл в случае, когда g(t; x)=u(t)x, где u(t) —
произвольная вектор-функция. Интегралы (3.29), (3.33)
вычисляются методом стационарной фазы. Следует вычислить эти
интегралы при фиксированном N, затем найти предел при N->-oo.
При сделанных относительно операторов BN, EN предположениях
результат будет таким же, как при применении метода
стационарной фазы непосредственно к предельному показателю. Вычисления
очень просты и могут быть опущены. Они несколько различаются
в случаях аппроксимаций (3.29), (3.33), однако, как и следует
ожидать, приводят к общему результату *>:
G(t2y 1г\х) = екр {-±-[х tj u(t)dt-
и и
-f Ϊ sign(t — s)u(t)<uu(s)dtds]\. (3.34)
tt tx
Тот же ответ получается при вычислении интеграла (3.22).
Параметр а выпадает из ответа. Пусть теперь g{%\ χ) — произвольная
функция, представимая в виде преобразования Фурье:
g{%\ x)=^e-iXug{%\v)dv.
Заметим, что
и
, , f у(т)и(т)[ат
J g (*; У Η) d a = j ( J e ί g(<r,O) dv) d <r, (3.35)
tx tx
где u(x)=h8(x—a) v. Найдем континуальный интеграл
fi=j(J g(o\ y(a))dae^K)Udy. (3.36)
1 Роль знаменателей в формулах (3.29), (3.33) состоит в том, что с их
помощью сокращаются detBN, detBN. Обратим внимание на то, что предельный
оператор B=]imBN не вырожден: из условия £/=0, f^ffi°(tu t2) (т. е.
f(*i)+/(*2)=0) следует, что / = 0. В то же время оператор B=\imBN вырожден:
Вй0=0> где йо={ио, α}, ио{х) ^const—а.
247

Подставим в (3.36) значение внутреннего интеграла из (3.35),
переставим интегрирование по dv и da с континуальным
интегрированием и воспользуемся формулой (3.34). В результате получим
и Zn
Fx = Г /f e~ixvg (σ; υ)dv)da = J g(σ; χ)da. (3.37)
и и
(Второе слагаемое в показателе (3.34) при u(x)=hv8(x—σ) равно
— (/i/4/)uG)i>sign(0)=0 в силу того, что νωυ = 0. Неопределенность
sign 0 при этом не играет роли.)
Рассмотрим более общий интеграл
'· -i— к
Fn=$[\ \gi*i yiP)) dofe™ Udy, л > 1. (3.38)
и
Поступая аналогичным образом, находим, что
Fn= jΒ(°ύ ^г) ... g(ani vn)dnvd»a χ
X )e '» ndy = j5r(cr1;y1) ... g(aft;o„)x
—ix{vt+ ... +»„)■+· — Σο£ ω» .-sign (σ— σ·)
χ β « 4 * ' ι ' dnvdna. (3.39)
Из (3.39) очевидным образом следует, что
Fn=0({h—ti)n) при^-Wi.
Рассмотрим теперь интегралы (3.16), (3.21). Разлагая
ехр I —:— 1 g (у (τ), τ) άτJ в ряд и пользуясь полученными
результатами, получаем
О fi
где Fn при я>0 имеет вид (3.39), F0=l и второе равенство
справедливо при tz-+ti. Докажем теперь формулу композиций
2
« л " (χίωχ2-\-χ2ωχ-\-χωχί)
—4—- G(tt, f IXl) G(f, tt|x2)e <* rfXid*2=G(f2, tt\x).
(ЯЛ)5" J
(3.41)
С этой целью воспользуемся разложением (3.40). Переставим
суммирование с интегрированием по хи хъ В результате интеграл
248

(3.41) превращается в сумму слагаемых вида
Ί
{nh)n m\
ΥΪΓ§8(<ΙΪ> ^г) ... g(0m\ vm)g (τι; щ) ... g(xn\ un)
Χ
—ι'Χί 2vk+ix2 Σ«Α -\ [1л)^к sign (σ·—σ^+Σι^ωι^ sign (τ·—τ^)]
χ e 4 χ
2
(χίωχ2-{-Χ2ωχ-\- Λτω^ϊ)
Хбй Π du/ Π duk Π da,- Π d%k dxx dx2, (3.42)
причем интегрирование по о% ведется в пределах U<ai<.t\ по %% —
в пределах t'<cxi<t2.
В (3.42) выполним интегрирование по лг± и хг (для этого
удобно воспользоваться методом стацфазы). В результате получаем
для (3.42) новое выражение:
mini f^*1' ^ ··· g^; Vm)8(ri\ "ι)···ίΚ; "J Χ
xe 4 X
. Σα,- (ооь
χ e 2 ndutUdOknda, Πdxk. (3.43)
Переменим теперь обозначения, положив iih=vm+k, ть=0т+ь. В
результате выражение (3.43) перепишется в более компактной
форме
mini ί^*1'' ^ '"' ^Tm+n; **»+») θ С- σι) ···
... b(f-am)b(am+1—f) ... O(am+n-0x
χ β 4 Πώ^Πώτ*, (3.44)
причем интеграл по всем аг- ведется в пределах ίι·<α<ί2.
Очевидно, что сумма выражений (3.44) по всем /п, п, удовлетворяющим
условию m + n = N, может быть представлена в виде
1
N1
р (<V. vx)...g (αΝ; νΝ) (θ (f - σι) + θ (σ! - О) ...
—Ζ* Σ^-J- — Σ ο.ωι^ sign(a,—σι.)
... (Q(t' — aN) + Q(oN — f))e 4 ПЛ>ЛГГЛгЛ =
= -^Γ" ji fa". ϋι) · · · 8 (<*»'* νΝ) Χ
—ix2ofe+ -^— Σ ά. ωσ*, sign (σ,—ok)
xe 4 ' l ΠΛ>ΛΠΛτ*. (3.45)
В силу (3.40) сумма по всем N^0 правых частей (3.45) равна
G(t29 h\x)- Формула (3.41) доказана.
249

Продифференцируем теперь тождество (3.41) по tz и положим
затем f = tz. Пользуясь вторым равенством (3.40), получаем
дО(Ъ, h\x)
^ J-£-*<<,;*> С <',Л1*)Х
*« (
2
(*iG)X2-h*2(«>X-f*Cu*,)
Χβ/Λ d^d^. (3.46)
Обозначим через G(t2y /i), S(t) операторы, символами Вейля
которых являются соответственно G(t2y ti\x) и g(t; x). Уравнение
(3.46) эквивалентно операторному уравнению
4) На каких траекториях сосредоточен интеграл. Определенные
выше континуальные интегралы G=lim GN и G = limGN, где GN>
GN определяются из (3.29) или (3.33), внешне напоминают
интегралы по мере в функциональном пространстве с плотностью
6(tt-^^)exp{-^ja(x)<oU(x)^}
п
или
ехр —
г2
и (τ) ω и (τ) d τ + и (t^) ω и (t2) i
соответственно. Очевидно, однако, что ни одно из этих выражений
нельзя интерпретировать как плотность какой бы то ни было меры
в каком бы то ни было смысле. Поэтому постановка задачи о том,
на каких траекториях сосредоточены эти интегралы, требует
уточнения !). Сформулируем ее следующим образом. Пусть Ж —
некоторое гильбертово пространство, состоящее из классических
траекторий x(f), tt<t<t2. Обозначим через S(r) шар радиуса г в Ж
Рассмотрим, далее, последовательность ортогональных проекторов
со свойствами (3.25) и обозначим через Ж ν пространство РыЖ,
через SN(r) — пересечение S(r) с Ж ν- Рассмотрим интеграл
{у, ΒΝ у)
JN(r)= f е™ dLy, (3.47)
y€SN (r)
где dLy — лебегова мера в РыЖ, L = dim Ρ ν Ж', и ΒΝ —
операторы со свойствами (3.28). Обозначим через /л-(оо) интеграл,
аналогичный (3.47), но распространенный на все пространство
1 Если бы рассматриваемые интегралы были интегралами по мере, то
задача состояла бы в том, чтобы описать пространство, в котором эта мера
сосредоточена.
250

PN3@, и положим
•^ν(°°)
Очевидно, что lim #w(r) = 1.
Предположим теперь, что существует такая последовательность
проекторов ΡΝ со свойством (3.25), что:
1) при каждом г>0 существует предел
Ъ(г)= UmfN(r),
2) существует предел lim ^ы{г)у причем \imty(r)= 1.
Г-*оо Г->оо
В этом случае мы будем говорить, что континуальный
интеграл (3.21) сосредоточен в пространстве Ж Аналогично определим,
что значит, что интеграл (3.16) сосредоточен в Ж. Если бы
-г- (у>ву)
функционал e2th порождал меру в каком-нибудь
функциональном пространстве /С, то любое гильбертово пространство,
содержащее /С, обладало бы этими свойствами. Таким образом, наше
определение пространства, на котором сосредоточен интеграл,
является естественным обобщением определения, имеющегося в
ситуации, когда интеграл порожден мерой.
Это определение легко может быть распространено на
банаховы пространства или линейные топологические пространстваф с
подходящими свойствами.
Покажем, что интеграл (3.21) сосредоточен в пространстве ;
2@(tu t2) со скалярным произведением (3.24). Рассмотрим для
простоты случай одной степени свободы. Введем в a@(t\,t2) орто-
нормированный базис, состоящий из векторов, удовлетворяющих
условию x(ti)+x(t2)=0:
τ
О
JLL{2n+\)t
О / \e т
Разложение траектории по этому базису есть разложение в ряд
Фурье:
x = Vix(2n+l)e , *(т)=(Ру}). (3.49)
00
где т = 2я+1; α(/η), Р(т) — коэффициенты Фурье соответствен-
251

но импульса и координаты, х(т)=х(—т). Из (3.49) следует, что
f χ ω χάχ = π i Σ m (α (m) β (m) — β (m) α (m)).
Обозначим через Ж ν подпространство a^(tiy fe), состоящее из
траекторий, разложение которых в ряд Фурье содержит лишь те
слагаемые в (3.49), для которых |n|<M Вместо шара в Жя нам,
имея в виду дальнейшие цели, удобнее рассмотреть эллипсоид
Sn(o9 μ, г), определяемый неравенством
£ (σ (m) | α (m) |» + μ (m) | β (m) |2) < r\ (3.50)
Найдем интеграл Jn по эллипсоиду (3.50):
и
1 χω χάχ
- 2ih J _ _
JN(r)= \ e ί ndadadp^ =
г2
= f dsfi^s— £ (0(m)|a(m)|2 +
I 2 I
и
1 ί*
ι χωχάτ
ш ч 2ifc J _
+ μ (m) Ι β (m) |2)j * '» Πέίαέίαέίβέίβ =
1 Г
2π
j ^ Jexp {"^ Σ ro(a(m)p(m) -p(m)a(m)) +
|-2=L|<"
I 2 I
+ Φ is — VJ (a (m) a (m) <r(m) + β (m) β (m) μ (m))l | χ
|U2=L|<jV
I 2 I
- f βίΡ^2_β-^2 / Λ2 Ч2ЛГ+1
X ШаЛаф^.ф = J -i-j^ (-^) χ
x ! ί dp
1(2Ν+\)\ψ π / p«/»* σ (m) μ (m) \
(контур интегрирования обходит полюсы снизу).
Интеграл Jn(°°) равен
г ι ч / № \2ЛЧ-1 1
JN (оо) = \ .
V ; U2/ [(2ЛГ + 1)!!]4
252

Отсюда
J N (г) = С eipr2-e-^r2 1
JN(oo) J 2πίρ
Γ eipr2 - e~ipr2 1 -
J 2nip Γ1 / /72/ι2σ(/η)μ(/η) \ P*
1 * V π2/η* J
τν
Далее,
где
*<r>-Jim ttt = f'"":'""r'«*· <35i>
2W-«o JN(oo) J 2πφ
F(p)= Π (l- p8ft2(T^(mM. (3.52)
m=2n+l
— oo<n<oo
Бесконечное произведение (3.52) сходится, если выполнено
условие
V -σ(2>. + 1)μ(2»»+1) < 00- (3.53)
i-< (2/г +1)2 ^ v '
В интересующем нас случае о(т)=\к(т)—\ условие (3.53)
очевидным образом выполнено. Первый множитель в
подынтегральном выражении (3.51) имеет при г-^оо предел, равный δ(ρ).
Функция F(p) при условии (3.53) очевидным образом регулярна
при р = 0, причем F(0) =1. Таким образом, lim ty(r) = 1.
r-»oo
Сформ^ированное утверждение доказано. Приведенные
рассуждения позволяют, однако, получить любопытный дальнейший
результат. Оказывается, можно указать пространство траекторий,
на котором сосредоточен интересующий нас интеграл и у которого
гладкость импульсов увеличена за счет гладкости координат, или,
наоборот, другое пространство, у которого гладкость координат
увеличена за счет гладкости импульсов. Обозначим через Ж°^
гильбертово пространство траекторий со скалярным
произведением
00 ОО
(*·*)=£ |α(2"+1)Ι2(ϊ(2"+1)+ Σ Ιβ(2"+ΐ)ί2μ(2« + ΐ).
(3.54)
Через 55?Λτμ обозначим подпространство траекторий, у которых
а(2я+1) = β(2/ζ+1) =0 при η>Ν. Эллипсоид (3.50) в
пространстве 3№ν является шаром в Ж°^ Положим теперь
а(2п+1) = {2п+1)"*, μ(2η+1) = (2ΑΖ+1)-26, ε>0. (3.55)
Очевидно, что условие (3.53) выполняется. Покажем, что условие
(3.55) гарантирует непрерывность импульсов. В самом деле, из
253

(3.54) следует, что
α(2η+1)= У(п) , Σ|γ(«)|»<βο, (3.56)
у σ (2η + 1)
С другой стороны, согласно (3.55) Л < оо, поэтому
00
£ \a(2n+ 1)|<оо. (3.57)
ι
Условие (3.57) влечет за собой непрерывность импульсов. Что
касается координат, то из (3.55) следует, что их дифференциальные
свойства при любом ε>0 хуже, чем у функций с суммируемым
квадратом (они могут иметь не интегрируемые с квадратом
особенности). При ε>1/2 координаты могут быть даже обобщенными
функциями. Меняя ролями а(п) и μ(η), мы увеличиваем
гладкость координат за счет импульсов.
Полученный результат находится в хорошем согласии с
принципом неопределенности. В самом деле, измерить значение какой-
либо функции в точке можно только в случае, если она в этой
точке непрерывна. Поэтому координата и импульс не могут быть
одновременно непрерывны. Чем детальнее мы хотим знать
координату, т. е. чем большей гладкостью она обладает, тем хуже
обстоит дело с импульсами, и, наоборот, чем глаже импульс, тем
хуже дифференциальные свойства координаты.
Возникает вопрос; каким же пространством следует
пользоваться при вычислении интеграла? По-видимому, ответ состоит в
следующем. Во всех случаях годится пространство 3e(tif t2). В
некоторых случаях лучшие результаты (т. е. более быструю
сходимость конечномерных аппроксимаций) может дать то или иное
пространство Ж0^, Вопрос о том, в каких случаях какое
пространство следует использовать, зависит от конкретной ситуации.
Например, если g = ( — J p2 + v(q)f то естественно
рассматривать пространство, гарантирующее непрерывность qf но не диф-
ференцируемость; вероятно, основной вклад в интеграл в этом
случае должны давать траектории, подобные броуновским.
5) Теория возмущений. Формулу (3.40) (точнее, первое
равенство в этой формуле) можно рассматривать как ряд теории
возмущений для символа оператора эволюции. Невозмущенным инфи-
нитезимальным оператором при этом является £ = 0. Отдельные
слагаемые этого ряда даются формулой (3.39), они явно
выражаются через преобразование Фурье символа инфинитезимально-
го оператора эволюции. Последнее обстоятельство часто
оказывается неудобным. В связи с этим приведем ряд теории
возмущений к виду, в котором явно участвует сам символ инфинитези-
мального оператора.
254

Рассмотрим оператор в пространстве функционалов
72 72
L = —J- [ [ sign(i-s) —4— ω —2—dtds, (3.58)
Τι 7i
где (?i, ?г) — произвольный отрезок, содержащий внутри себя
отрезок (<i, fe) (на практике удобны случаи (iiy h) = (t\9 h) или ?ι =
=—oo, ?2=+°°)· Заметим, что функционал
К = J *(<V. «ι) · · · i(<V> u„)i>-<<*<°')0'+-"+*(W <*"σ (3.59)
является собственным для L с собственным числом
— Zsign(<r« —σ,)σ*ωσ{.
4
Следовательно, функция (3.39) представляется в виде
Fn = j е^?„Ц)=*^^ tf = <*bLpndn υά" α U,=* =
Пользуясь формулой (3.40), получаем окончательный результат:
-7- f g(v,x(%))dx
GVMx) = e**e '* Ί L(T)a^. (3.60)
3. Виковский символ оператора эволюции,
1) Основная конструкция. Пусть £*(/), а(/) (/=1,..., я) —
операторы рождения и уничтожения в фоковском пространстве с η
степенями свободы, так что
[α(/),α*(/0]=/ιδ,·Α,
Й — некоторый оператор в этом пространстве, Η (а*, а) — его
виковский символ, т. е.
Η (а*, α) = Σ#αβ(α*)ααβ>
если оператор Й записывается в виде
Η=ΣΗαζ(α*)«α*.
Здесь
α· = (σ·(1), ... ,ай(л)), a = (a(l), ... ,a(n)),
a*=(a*(l)f ... ,α·(/ι)), α = (α(1), ... ,α(/ι));
255

α, β — мультииндексы. Знак *в применении к комплексному числу
будет обозначать (если не оговорено противное) комплексное
сопряжение. В этих обозначениях а (/) = --^ (q(j) +
ip(j))—'голоморфные координаты фазового пространства, а* (/) = -гр=~ (q(/) — ip(/)) —
антиголоморфные координаты фазового пространства *.
Пусть fi(a*> а) — виковские символы операторов /,·, i = 1, ...
... , Ν, Gn = fi ... /w, Gn — виковский символ GN. Используя
формулу композиции виковсдих символов, находим
GN (а\ а) = (-^γΥ ~ > f /ι (я*, <*ι) /2(αϊ, α2) ... /W_i (ak-ь α) Χ
— κ# * *
XeA dai dax ... daN-\daN-\, (3.61)
w— 2
д^ =(a* —aljOi-f £ (a* — α*+1) afe+1 + [(a^_i — a*) a.
Введем, подобно предыдущему, непрерывный параметр t, ti<t<t>Zt
и положим
g(Tfe;a*,a)
/Λ(α·,α) = β**
где α(τ) = {α(τ; 1),... α(τ; /г)} — фазовая траектория в
комплексных координатах
α (τ; ft) = -pLr fa (τ; ft) + ίρ (τ; ft)),,
α*(τ) = {α*(τ; 1), ... ,а*(т;я)}, α (τ; ft), £(τ;α*, a) —
непрерывно дифференцируемые функции τ,
τ* = 4 £-(*■ —*ι). Δ = -~-(/2 —/χ).
Кроме того, вид подынтегрального выражения в (3.61) наводит
на мысль о естественности обозначений ао*=я*, а^=а, или, что
то же самое, граничных условий
a*(i2)=a*, a(U)=a (3.62)
1 Мы слегка изменили обозначения по сравнению с § 2 ввиду того, что
обозначения а*к, а* будут здесь иметь не тот смысл, что в § 2.
256

для фазовых траекторий α (τ). В этих предположениях Κν имеет
предел при JVt-^oo
и
/С = Пт/Слг = f da*{%) a{x — 0)dx + (a*(t1 + 0) — a*)a (3.63)
J dx
ίι+Ο
{последнее слагаемое в выражении (3.61) для Κν не входит в
интегральную сумму). Отнеся множитель (2π/ι)~(2ν~1)η в
нормировку дифференциалов, получаем для G=limGN окончательное
выражение
и
0(4ΛΚ,α) = f ехр |—J— j g(x; α*(τ), a(x-0))dx +
,1 С da* (τ) , Лч , .
+ — Ι K—L- α (τ — 0) d χ +
fi+0
+ γ № (к + 0) — a*) a] f~[ da* (τ) du (τ). (3.64)
τ
Обратим внимание на следующие обстоятельства.
1°. В формулах (3.63), (3.64) содержатся выражения τ—0,
ίι + 0. Они служат напоминанием об аналогичном сдвиге
аргументов в допредельных выражениях:
Ν-1 и,
£ Ag (ν, α* (τ*), α (тж)) -+· f g (τ; α* (τ), α (τ — 0)) dx,
о it+o
ЛГ—2
2(α·(τΛ)-α·(τΗ.1))α(τΗ.1) =
о
[if
= ΣΔ^|_ _ a^+i)^ f ^a(T-0)dT, (3.65)
τ"^ ί»+ο
(a*(T^-i)-a*)a-^(a*(ii+0)— α*)α,
{напомним, что τ& = 4—&Δ, Δ= (fe—*ι)/#; первое равенство во
второй строчке получено с помощью формулы Лагранжа, Xk+i<Xh<
<Xk). Разумеется, если траектория а(х) непрерывно
дифференцируема, то можно заменить τ—0 на τ, ίι+0 — на ίι. Однако
фактически, так же как в вейлевском случае, интеграл (3.64)
сосредоточен на разрывных траекториях. Сдвиг аргументов поэтому
оказывается существенным. Более того, существенным оказывается даже
такой нюанс: сдвиг аргумента α (τ) в выражении для К меньше,
чем в первом слагаемом в показателе (3.64). Это видно из фор-
257

мулы (3.65), в допредельном выражении для первого слагаемого
сдвиг paBejj Δ=τ&—τ*+ι, в допредельном выражении для К сдвиг
равен %h—τπ-ι·<Δ. Это можно было бы зашифровать в формуле
(3.64); однако, этого не делаем, имея в виду, что в дальнейшем
будет указано уточнение формулы (3.64), учитывающее явным
образом разницу в сдвиге аргументов.
2°. Отметим также, что при отсутствии сдвига аргументов
первое слагаемое в показателе (3.64) имело бы вид
и
f £(τ;.α·(τ),α(τ)Λ. (3.66>
it
Подынтегральное выражение в (3.66) имеет смысл, если функция:
g"(x; α*, а) является непрерывной функцией τ и фазовых
переменных риУ qh. В то же время допредельное выражение (3.61)
содержит в показателе сумму
ΔΣ£(τ*;α*, ak+1).
Ввиду того что аргументы а&, ακ+ι имеют различные номера, они
являются независимыми комплексными переменными. Таким
образом выражение (3.61) предполагает возможность
аналитического продолжения функции g(%\ α*, а) в комплексную область
по фазовым переменным риУ <7ь. Это обстоятельство является
принципиальным: по смыслу решаемой задачи функция #(τ;α*, а)
является виковским символом инфинитезимального оператора
эволюции, в то же время известно, что виковский символ А (а*, а)
любого оператора А является целой функцией фазовых
переменных.
3°. Выше уже отмечалось, что формула (3.61) наводит на
мысль о естественности обозначений αο* = α*, α^=α, которые
эквивалентны соотношениям (3.62). Примем эти обозначения и
заметим теперь, что в (3.61) отсутствуют а0 и а^*. Поэтому мы вправе
положить ао=ая=а, ая* = ао* = а*. Эти обозначения позволяют
записать формулу (3.61) в более компактной форме
Ν—1
— ( £ /Δί(τΛ; 4. akvι)+{αΙ-αΙ+ι)α^ή Ν_χ
FN(a\a) = $e ° Π d*tf*k. (3.67)
ι
Формальный предельный переход в (3.67) при N-^oo привел бы
нас к формуле (3.64) без .внеинтегрального члена. Тот же
результат получается, если в последнем слагаемом в показателе
подынтегрального выражения в (3.64) пренебречь сдвигом аргумента.
В самом деле, дополняя соотношения (3.62) комплексно
сопряженными, получаем
а{к)=ау α*(*ι)=α*. (3.68)
258

При отсутствии сдвига аргумента соотношения (3.68) обращают
внеинтегральное слагаемое в показателе (3.64) в нуль.
4°. Соотношения (3.62), (3.68) показывают, что интеграл (3.64)
берется по замкнутым фазовым траекториям. Эти соотношения,
однако, играют совершенно различную роль. Наиболее выпукло
различия между ними проявляются при рассмотрении
аппроксимаций общего вида для интеграла (3.64). Мы увидим, что
благодаря сдвигу аргументов голоморфные координаты фазовой
траектории α (τ), α* (τ) участвуют в конструкции аппроксимаций на
участке t]<r<ct2—σ, в то время как антиголоморфные — на
участке ^ι + σ<τ<^2, где σ>0 — некоторое число. Таким образом,
соотношения (3.68) выполняются на участках траекторий a(t), α*(ί),
не играющих роли в конструкциях конечномерных
аппроксимаций. В то же время соотношения (3.62) выполняются на
существенных участках траекторий.' Эти различия, хотя и не столь
отчетливо, видны в исходной аппроксимации (3.61), (3.67) интеграла
(3.64).
С этими различиями связано еще одно важное обстоятельство.
При применении метода перевала к интегралу (3.64) на
стационарной траектории всегда сохраняются соотношения (3.62). В то
же время, если эта траектория оказывается комплексной, она
может не удовлетворять соотношениям (3.68).
Учитывая все эти особенности, в описание области
интегрирования для интеграла (3.64) мы включаем соотношения (3.62) и
опускаем соотношения (3.68).
2) Аппроксимации общего вида. Положим
a(t)=a+b(t)t α*(/)=α*+6*(ί). (3.69)
Заметим, что с учетом условий (3.62) выражение (3.63) для К
лреобразуется к виду
и
к== с _^L6(T_0)dT (3.70)
J dx
Выражение (3.70) примем за основу дальнейших конструкций.
Обозначим M(tu fa) гильбертово пространство траекторий
a (t) = -777=u(q(f) + ip(t)) со скалярным произведением
и
(а\,а2) = f a\{t)a2{t)dt. (3.71)
it
Через 35? Си t2) czffl(tiyt2) обозначим подмножество 36>(tu h)y
состоящее, из непрерывно дифференцируемых траекторий, и через
3£° (tl9t2) a St (ti, t2) — подмножество 36(t\, t2), состоящее из
траекторий, удовлетворяющих услЬвию .
a{U)=a(t2)=Q. (3.72)
259

Рассмотрим оператор В„, определенный на $Γ(*ι>^):
(Baf) (τ) = θ (*, - σ - τ) θ (τ -1,) -±- f (τ + σ). (3.73)
αχ
Заметим, что оператор Βσ нильпотентен: из (3.73) следует, что
Воп = 0 при п> (t2—ti)/o. Отсюда следует, что для любого δ>0 и
ΪΦ0, /e»°(*i, h)
Re(6(f*.f) + (Bj*,f))>0. (3.74)
Перейдем к описанию аппроксимаций. Пусть Pn — ортогональные
проекторы в Z6(tu t2) со свойствами (3.25),
Ж ν = PnW (tl9 t%)9 Ж\ = PnM0 (tl912).
Обозначим через Βκ,σ операторы в Жк со свойствами:
1) limBNiaPNf=Baf для любой траектории f^3IS0(ti9 t2).
2) Для каждого δ>0 существует, такое число Nb9 что при N>Nq>
выполнено соотношение, аналогичное (3.74):
Re(6(/*, f) + (BNJ*9 f))>0 (3.75)
при ίΦ09 \^Жп*.
Обозначим через FNiBi0(8\t2i U\ α*, α) следующую функцию:
FN.e,a(u\t*t1\a*9a)= С exP ί γ ["7 \ £ (τ; я* (τ), я (τ— β))Λ +
Ν
+ (#*>*, 6) - δ (b\ b) I j ["] dfc»·, (3.76)
где b^g°(ti9 t2)9 a(x)=a + b(%)9 ε>σ>0 и δ>0 — число,
удовлетворяющее условию (3.75). Через Ρ(0)Ν.*,σ(δ\ί2, ίι|α*, а)
обозначим аналогичную функцию, получаемую и£. (3.76) при
g(x; α*, а)эО.
Положим далее
β^,Ε,αδ^Ια ,α ) = —-л . , (3.77)
^ΛΤ.ε,σ^Ι'ι»'*!**.*)
G8,a = lim limG^v,e,a(6). (3.78)
Формула (3.78) ^служит определением континуального интеграла
и
Gw(*Ma\a)= \ ехр [γ[\ ]' g(x\a*(х),а(х-г))а% +
a*(i2)=a U+e
a(U)=a
tt
+ f JiL. a{x — o)dx + (af(tl+^) — a*) a\\ [~] da*{x)da(x). (3.79)
*ι+σ τ
260

Символ G оператора эволюции связан с Ge,„ соотношением
G(i1,i,|a,,a)= Hm Ge.0(*i,*,|e*.e)· (3.80)
ε>σ
Отметим характерную особенность интеграла (3.79): в нем
участвуют голоморфные координаты траектории α (τ), α* (τ) на участке
ti+cK-Ktz и антиголоморфные координаты этой траектории — на
участке ίι<τ<ί2—сг (см. по этому поводу замечание 4° в конце
п. 1)).
Формулы (3.76) — (3.80) содержат описание схемы конечно-
кратных аппроксимаций континуального интеграла для символа
оператора эволюции. Эти аппроксимации являются достаточно
общими и, по-видимому, наиболее удобными для приложений.
Однако следует иметь в виду, что описанная схема все же не
является максимально общей: легко видеть, что она не включает
исходной аппроксимации (3.61). Этого включения можно добиться,
если обобщить описанную схему, «разрешив» числам σ, ε, δ
зависеть от N.
3) Обоснование, Траектории, на которых сосредоточен
интеграл. Так же, как в вейлевском случае, обоснование формул
(3.78)'—(3.80) основано на вычислении интеграла для функции
g(t\ α*, а) линейно зависящей от а, а*. Пусть g(t\ а*у а) =
=/(0fl*+f*(')a· Удобно считать, что f(t)=f*(t)=Q при t<t2 и
t>t2. Положим
/ (τ) при tx + ε < τ < t2
0 при τ > t2, τ < tx + ε;
/i(t) =
tM -ί Γ(τ + ε) при ^ < т< ί2 — ε,
Ι 0 при τ > г2 — ε, τ <
\ (3.81)
//= ί//(*)Λ.·
t'l
В этих обозначениях показатель в (3.76) приобретает вид
— (a'Ti+fo) + Л-((б*. Л) + </.. Ь)) + (BN,cb\ Ь) - Ь{Ь\ Ь). (3.82)
ι ι
Применяя метод перевала, вычислим интеграл (3.76) и найдем
для Gtf,e,a(6) следующее выражение:
= ,Т[Т W+M'^nJ1 V" V>>] .
Олг.е.а(в)=в*1' ^·σ " N J· (3.83)
Для нахождения оператора (δ—BNi0)-i следует решить уравнение
(б—Вк,о)Рк<р=РяУ.
Совершая в этом уравнении предельный переход при N^oo и
261

пользуясь формулой (3.73), получаем
δφ(τ) — θ(/, — σ — τ)θ(τ — tj — φ(τ+σ) = ψ(τ). (3.84)
άχ
В дальнейшем нам предстоит предельный переход при δ->-0.
Очевидно, что уравнение (3.84) с δ-O разрешимо только в случае,
если ·ψ(τ)=0 при t>ft—о. При этом условии оно имеет решение
с граничным условием, φ (ft) =φ (fe) =0, определяемое
единственным образом при ft+c<T<fe"·
12 W
φ (τ) = lim (δ — Яа)~Ч = f Ψ (s) ds.
При ft<t<ft + a функция φ не определяется, на этом участке она
произвольна за исключением единственного требования <p(ft)=0l.
Вспомним теперь, что ε>0, поэтому из (3.81)
следует, что функция f2 обладает нужным свойством (т. е. ^2=0
при t>fa—o). Окончательно получаем, что
lim lim (b-BNf0)-ipNf2= V*ft(s)ds= f /*(*)*.
δ->0 ,.-^_
τ—σ x-t-ε—σ
Отсюда
lim lim ((Ь^Вм^)'1 PNf2yPNfx) =
6-+0 N-+ao
tt+o<x<t2t
tt+e<s<tt
U
1
= fj* Q(s — x — e + a)r(s)f(x)dsd%.
Таким образом,
G(ft,f,|a\a)=exp|-M (α*/(τ) +/*(τ)α)ί/τ-
[ in J '
tt
-ΊΓ Я θ(5-τ-0)Γ(δ)/(τ)^τ]· (3.85)
Разумеется, слагаемое —0 в (3.85), доопределяющее θ (τ—s) при
t=s, не существенно, если функции f(s), f(%) являются обычными.
Однако оно становится существенным для обобщенных функций.
Пусть функция g(a\ α*, а) представима в виде преобразования
Фурье
g (τ; а\ а) = J£ (τ; ν\ υ) e-^+'^dv'dv. (3.86)
1 Напомним, что оператор В имеет в качестве области определения
пространство Ж(/ь fob состоящее из траекторий с нулевыми граничными
условиями.
262

Используя (3.85), вычислим интеграл
0<">(*2Λ|α·,α) =
"— (В ft·,6)
= lim f(f £(τ;α*(τ),α(τ — β)))β* σ ' Πdfr*d6. (3.87)
Так же как в вейлевском случае, подставим (3.86) в (3.87) и
переставим континуальное интегрирование с интегрированием по
τ, ν, ό*. Воспользуемся далее интегралом (3.85) при
/(f) = A j^vkb{t-xk\ Г(0 = A£^-t,).
1 % 1
В результате находим
GW (ί2> ^ I c*f α) = J g (τι; ϋΐ, ох) ... g (тя; t£, oj X
x e ί V V*- Ί ' V*- * / J " ^ " f " * dnvdnvdnT. (3.88)
,7 (β* (Σ°*) + (Σ"**)")4* Σ°ΛΘ(τ*-'
Интеграл (3.64) выражается через интегралы (3.88) в виде ряда
G(t2J1\a\a)=V^y±G(n)(t2ji{a%ay (з.89)
Из формул (3.88), (3.89) следует, что G(f2, t\\a*9 а) является
виковским символом оператора эволюции, причем инфинитези-
мальный оператор этой эволюции имеет символ g(t\ α*, а). Вывод
этого утверждения из (3.88), (3.89) полностью дублирует
соответствующую часть обоснования в случае вейлевских символов и
поэтому может быть опущен.
Так же как в случае вейлевских символов, определяется, что
значит, что интеграл (3.64) сосредоточен на множестве траекторий
3fS(U9 h) с суммируемым квадратом. Однако дальнейшее
уточнение множества траекторий, на которых сосредоточен интеграл
(3.64), подобное тому, которое делалось в случае вейлевских
символов, здесь вряд ли имеет смысл.
4) Теория возмущений. Приведем формулы теории возмущений
(3.88), (3.89) к более компактному и удобному для приложений
виду. Рассмотрим оператор L в пространстве функционалов
L = —i [ Q(S — t — 0)— — dsdt,
J v ' 6a(s) 6a*(t)
U<t%s<%
tt<C /2<ζ. (3.90)
и
Г g(v, α*(τ), α(τ))άτ
ih J
Заметим, что функционал и = е fi при g(t; α* (τ),
263

α(τ)) =α*(τ)/(τ) + Γ(τ)α(τ) является собственным для L:
Lu= -Ltb(s — t — 0)r(s)f(t)dtdsu. (3.91)
Следовательно, формула (3.85) для символа оператора эволюции
может быть переписана в виде
и
— Г δ(τ; α(τ), α*(τ))άτ
α(τ)=α
α*(τ)=α*
(3.92)
Заметим теперь, что ряд (3.89) есть не что иное, как разложение
по собственным функциям оператора L. Поэтому из (3.88), (3.89)
следует, что формула (3.92) сохраняет силу для функционалов
g(x\ α*, α), являющихся виковскими символами операторов общего
вида. Отметим, что все сдвиги аргументов, имевшиеся на
предыдущих этапах, сконцентрировались в слагаемое —0 в формуле (3.90).
Нетрудно проследить, что (во всяком случае с точки зрения
теории возмущений) наличие этого слагаемого эквивалентно
соотношению
Lg = 0. (3.93)
Таким образом, при применении теории возмущений мы вправе
забыть о слагаемом —0 в (3.90), заменив его соотношением (3.93).
5) Метод перевала. Уравнение для стационарной траектории
интеграла (3.76) при ЛГ-^оо, δ-*Ό превращается в уравнение для
стационарной траектории интеграла (3.79):
-Α-α*(τ + σ) + — -^£(τ;α·(τ +β),α(τ)) =0, /1<τ</2-σ,
ατ ι да
(3.94)
--i-a(r-a) + -L-^-g(x;a'(x),a(T-z))=0, ί1+«τ<τ</1.
αχ ι σα*
Граничными условиями к этим уравнениям служат соотношения
a(ti)=a(h)=a9 a*{U) =a*(tz)=a*.
Заметим, однако, что α (τ) входит в уравнения (3.94) только при
tt<x<t2—σ, α*(τ) входит только при t\—a<%<t2. Таким образом,
существенны только соотношения
a*(h)=a*, a(h)=a. (3.95)
Функции a(t)y α*(ί), служащие решением уравнений (3.94) с
условиями (3.95), не обязательно комплексно сопряжены.
Отсутствие комплексной сопряженности означает комплексность
траектории
a{t)^^{q{t) + ip(t)),a*{t)=^{q{t)-ip{t)):q{t) =
264

= (q(t\ 1),...,?(*; η)), p(t) = (p(t; l)9...9p(t; η)), где q{t, k)%
p(t\ k) — комплекснозначные функции. Функции a{t)y a*(t)t
являющиеся решением системы (3.94) с условием (3.95), могут
оказаться не ♦ комплексно сопряженными также и в пределе
ε = σ = 0. В этом случае соотношения α(^)=β*, α*(ίι)=α*,
разумеется, невозможны. Таким образом, при использовании
метода перевала следует рассматривать функции a(t)y a*(t) как
независимые, удовлетворяющие уравнениям (3.94) и условию
(3.95). Причиной, приводящей к отсутствию комплексной
сопряженности у функций α (ί), α* (t), является несамосопряженность
оператора 5σ, определяемого формулой (3.73), и его предела
В = lim Во.
σ-»0
Рассмотрим простейшие примеры.
1°. g(v, a*t а)=/*(т)я+а*/(т) (этот пример уже
рассматривался в предыдущем пункте.) Уравнения (3.94) при ε = σ=0 дают
rf£i2L + i/«=0, JEW + if = o.
dx dx
Отсюда, учитывая (3.95), находим
τ U
a{%) = a — i f f(s)ds, α*(τ)=α* — if }*(s)ds.
h τ
Комплексная сопряженность α (χ), α* (τ) при условии комплексной
сопряженности f, /* возможна лишь, если I fds = 0.
tx
2° g(x\ α*, α) =ιωα*α, где ω>0 (гармонический осциллятор).
Уравнения (3.94)' π^Ηε=σ=0 дают
da*(x) . . * / ч Λ da(x) , . , . η
— + ιωα (τ) = 0, —— + та (τ) = 0.
dx dx
Отсюда с учетом (3.95) находим
α* (τ) = αν<χ-\ω ,* α (τ) = α^-τ>ω.
Континуальный интеграл в этом случае является гауссовым.
Поэтому он с точностью до множителя равен значению
подынтегрального функционала на стационарной траектории:
G(i2,i1|a*,a)-c(i2,/1)^A
Для нахождения константы с проще всего воспользоваться
формулой (3.89).
В рассматриваемом случае £(τ; v*y ν) =—ωδ'(υ)δ'(Ό*), поэтому
<?я>(*2,*1|0,0) =
β(_ΐ)-ω» f__^£!L__^rft2 v^<-°>
dflid^ ... dvndvn
dnX.
265

Благодаря слагаемому —0 в аргументе θ
дМ -* Σ V7<><tA-tz-0)
dvi...d v'n
О
v=v*=0
при я>0. Таким образом, c(tu к) =G(tit t2\Q> 0) = 1, что совпадает
с известным результатом.
Отметим, что ряд
υ
Г у (-ω)" __J^__,eZK{xi^i)viv.
n=Q
ди± ... dvn
dnX
|σ=ϋ*=0
легко суммируется при любой функции /C(ti, тг). В самом деле,
J dv1...dvn
^ Σκ(τί.χί)ν%}.
dnx =
ϋ=ϋ*=0
-J-
§2гг
to(Xi)bti*(xi) ...δυ(χη)δϋ*(χη)
-(ufa{t,s)v*(tMs)dtds
dnx.
σ=ο*=0
Отсюда
U = exp Г dx
4J бУ(т)6У*(т)
—(u^K(ts)O*{t)v{s)dtds
J |o=o*=0
= jVW-*i ^'^M^^Y\dv(t)dv*(tj =det(l + ω/C)-1,
где К — оператор в L2(tu 4), определяемый функцией K'-(Kf)(x) ■■
= f /С (τ, s) f (s) ds. В нашем случае Κ (τ, s)=hQ(x—s—0), т. е. опе-
ратор К является треугольным с нулевой диагональю. Поэтому
det(l+<o#) = l.
4. pq и qp — символы оператора эволюции и континуальный
интеграл для матричных элементов.
1) Основная конструкция. Исходная конечномерная
аппроксимация pq — символа оператора эволюции имеет вид
N
GN (q, ρ I f„ tt) ^ (^)niN~l)j e x Π d(ldP> <3-96>
где
po=p, (]N = q, Δ= (h—tOIN,
KN=p(qt—q) +Pi(qz—qi) + ... +pN-i(q—qN-i).
(3.97)
266

Аналогично предыдущему, вводя непрерывный параметр τ, /ι<τ<
<t2> полагаем pk=p(xk)t qk = q(rk), τΛ = ί2 — — {t2 — tx) и
объединяем все слагаемые в (3.97), кроме первого, в интегральную
сумму. После этого осуществляем в (3.97) предельный период при
N-^oo:
и
К = lim Kn = Ρ (q (t2) — q) — \p (τ) q (τ) dx. (3.98)
N-юо 'J
Γι
Относя предынтегральный множитель в (3.96) в нормировку
дифференциала и совершая формальный переход при iV-^oo, получаем
окончательное выражение для G:
~£ [ j (g(x; ρ(τ), </(τ—0))-pq)dx+p(q(t2)-q)j
G(f„fil*P) = j* e u+0 χ
p(tz)=P>Q (fi)=<7
xUdq(y)dp(%), (3.99)
Исходная конечномерная аппроксимация ^р-символа оператора
эволюции имеет вид
N
-~(ΔΣδ(τ;^-ΐ'^)+^)^-ΐ
Ом ft, ίχ I q, Ρ) = (2п^-1) j е \ Π * (3· 10°)
ι
где q0 = qt рм = ρ, Δ = ft — ί^ΛΥ и
#tf = Pi (Яг — q) + p2 (Яг — Яг) + · ·: + Pn-i (qN-ι — Ям-ι) +
+ p(q — qN__x). ' (3.101)
Вводим, как и ранее, непрерывный параметр τ и относим все
слагаемые, кроме последнего, в интегральную сумму. После этого в
(3.101) совершаем предельный переход при iV-*-oo:
If.
К = lim Kn = - j pqdx + р(я-Я(*г)). (3.102)
tt
Окончательное выражение для G имеет вид
η^ [ \ (g(v,g(T).p(x-0))-pQ)dr+p(q-Q(ti))^
G(t2> ti\q, p) = J e U~ Udqdp.
Q{t2)=q, P(tt)=p
(3.103)
Так же как в вейлевском и виковском случаях, интегралы (3.99)
и (3.103) оказываются пределами конечномерных аппроксимаций
267

более общего вида, чем исходная. Эти аппроксимации строятся
аналогично тому, как это делалось для вейлевского и виковского
символов. Знак τ—0 в (3.99) и (3.103) имеет тот же смысл, что и
аналогичный знак в случае виковских символов. Точно так же как
в виковском случае, ни в одной из этих формул нельзя заменить
τ—0 на τ. Однако в отличие от виковского случая сдвиг
аргумента вводится в формулах (3.99), (3.103) лишь в одном месте.
Построение аппроксимаций общего вида и их обоснование
может быть сделано на основе тех же соображений, что в
вейлевском и виковском случаях. В частности, для обоснования
аппроксимаций общего вида интегралов (3.99), (3.103) естественно
воспользоваться соответственно pq~ и ^р-символами оператора
эволюции, порожденной инфинитезимальным оператором q{t)=u(t)p +
+v(t)q. Эти символы имеют такой вид:
р<7-символ:
G(t2J1\qiP) =
г
ехр {— [ Г(ы(т)р+ v(x)q)dx+ Г 6(s — t — 0)v(s)u(t)dsd\ 1,
(3.104)
ti<s,ti,U
qp-стлвол:
G{tiJ1\q,p)=expiJ£^(u(T)p + O(T)q)dx —
h
С Q{s — t — 0)u(s)u(t)dsdt]\. (3.105)
Формулы (3.104) и (3.105) подобно аналогичным формулам в
теории вейлевских и виковских .символов могут служить основой
теории возмущений для вычисления символа оператора эволюции в
случае произвольного инфинитезимального оператора. Ряд теории
возмущений дается формулой, аналогичной соответствующей
формуле в теории вейлевских и виковских символов:
и
— f δ(τ;<7(τ).ρ(τ)№τ
ih J
G(t2,t1\q,p) = e^e * |ρ(τ)=ρ, (3.106)
<7(τ)=<7.
где £(τ; ρ, q) — pq- или <7р-символ инфинитезимального оператора
эволюции, оператор L имеет вид
L== f 6(s-;-0) а' dsdt (З.Ю7)
J bq (s) δρ (ή
для случая р<7-символов и
L = — fe(s —f — 0)—-¥- dsidt (3.108)
для случая #р-символов.
268

Ряд теории возмущений получается при разложении второй
экспоненты в (3.106) по степеням показателя. Каждый член этого
ряда явно выражается через преобразование Фурье функции
ё(т> Я у Р) по qy р. Получающиеся формулы аналогичны (3.40) и
(3.89), останавливаться на них мы .не будем.
Исследование множества траекторий, на которых сосредоточены
интегралы (3.99), (3.103), проводится так же, как аналогичное
исследование в вейлевском случае, и приводит к тем же результатам.
2) Матричные элементы оператора эволюции. Воспользуемся
связью между ^Р-символами операторов и их матричными
элементами в ^-представлении. Пусть А — некоторый оператор в L2(Rn),
А(Р> Я) — его 9Р-символ, <х\А\у> — его матричный элемент,
т. е. ядро. Тогда (см. § 1):
{xlA]y)==^^ry{XtP)e dp- (ЗЛ09)
Рассмотрим в качестве оператора А оператор эволюции.
Подставим в (3.109) выражение для G из (3.103) и проинтегрируем
вначале по р, а затем по p(ti):
G(t29t1\x9y)^(x\G\y) =
и
~ {j (e{v,q(T)tp(x-0))-pi)dx+p(x-q(ti))}
ι - ih
je '·' b(q(i2)-x)X
• р(у—х)
(2пЪ)п
Xb(p(t1)-p)e* ~ {Udq{t)dp{t))dp =
и
ψ J
4- { I (S(r.<7(T).p(T-0))-WVx+p(ii)(i/-i7(^))l
~ulh
(2nhy
— I (β(τ;<7(τ).ρ(τ—0))-рЫт
Χ δ(<7(*2) — x)Udq(t)dp(t)= (V ** b(q(t2) — x)x
Xb{q{t1)-y)Y\dq(t)dp(t).
Окончательно получаем
G{tlJl\xyy)=(x\G\y) =
— Г Шт, q(x)tP(i—0))— pq]dx
f e Yldq(x)dp(T). (3.110)
q(t[)=y
q(t2)=x
269

По поводу этого вывода следует сделать несколько замечаний.
1°, Интеграл по ρ берется благодаря наличию δ-функции в
подынтегральном выражении.
2°. Интегрируя по p{t{)y мы учитываем зависимость от p{t\)
внеинтегрального члена и игнорируем зависимость от p(t\)
первого слагаемого в показателе. Обоснованием такого образа
действия служит следующее соображение. Рассмотрим конечнократную
аппроксимацию интеграла (3.103), даваемую формулами (3.100),
(3.101). Выполняя интегрирование вначале по р, а затем по pN =
=p(k), мы получим конечнократную аппроксимацию последнего
интеграла в (3.110), причем вместо S(q(tt)—у) будет, как легко
видеть, стоять интеграл
U rfPv (ЗЛ11)
(2πΛ)Λ J ^N V '
где Δ=(4—ti)IN. Полагая ^-1=^(^2), находим, что пределом
интегралов (3.111) при N-+-QO служит δ(q(tz)—у).
Для интеграла (3.110) могут быть построены конечнократные
аппроксимации общего вида исходя из аппроксимаций символов.
Аппроксимации имеют вид
В отличие от случая, когда рассматриваются символы,
знаменатель не получается из числителя при g(x; q, р)=0: он остается
таким же, каким был для символа оператора <?. Это различие
связано с тем, что при g(r; qy p)==0 оператор эволюции является
единичным, его символ тождественно равен 1, в*то время как
матричный элемент равен δ(χ—у).
Естественно задаться вопросом: что произойдет, если в
изложенной конструкции заменить ^р-символы символами типа pq или
вейлевскими? Ответ, который легко проследить, состоит в
следующем. Формула (3.110) видоизменяется следующим образом.
В случае р^-символов ρ (τ—0) заменяется на ρ (τ), q{%) —на
q (τ—0)! В случае вейлевских символов единственное изменение
состоит в замене ρ (τ—0) на ρ (τ):-сдвиг аргумента у ρ (τ) и q{%)
отсутствует. Эти различия существенны: выбрав символ инфините-
зимального оператора, для получения матричного элемента
оператора эволюции следует пользоваться формулой, соответствующей
этому символу. Разумеется, если инфинитезимальный оператор
имеет вид g(ty=A(t, p)+B(t, q), то pq-, qp- и вейлевские
символы этого оператора совпадают, поэтому безразлично, какой
разновидностью формулы (3.110) пользоваться. В общем случае это
не так; простейшим примером служит' оператор в ^(R1) вида
g = qp. Если qp-скмъол равен pq, а ^вейлевский равен pq—(h/2i).
Поэтому если для вычисления (x\etqp/ih\y) воспользоваться раз-
370

новидностью формулы (3.110), при которой игнорируется сдвиг
аргумента, и в то же время подставить в нее g = pqy то ответ
получится неверный *.
§ 4. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ ДЛЯ СИМВОЛА ОПЕРАТОРА
РАССЕЯНИЯ И ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ СУММЫ
1. Континуальный интеграл для символа оператора рассеяния.
1) Формальное определение оператора рассеяния. Пусть
некоторая система развивается со временем в соответствии с
уравнением Шредингера
(ίλ JL _//(*)) ψ = 0. (4.1)
Здесь мы считаем гамильтониан R(t) явно зависящим от /.
Решение уравнения (4.1) с начальным условием <ψ(ί/)=Φ запишем в
виде
ψ(*)=<?(Μ')<ρ·
Оператор G(t, f) удовлетворяет операторному уравнению и
начальному условию
(ih-^-H{t))jG{tJ')=OyG(t\t') = I. (4.2)
Мы будем называть его оператором эволюции. Предположим
теперь, что решения уравнения (4.1) с начальными данными
"ψ(0) =ίφ&0, где D — некоторое линейное подмногообразие в
пространстве состояний, имеют при £->±оо асимптотики вида
£№/<ίΑ)ψ+ ~ ψ(^) ~ ^β/(ίΛ)ψ_ι (4.3)
где #о — некоторый отличный от fi(t) оператор. Из (4.3) следует,
что ψ_, ψ+ линейно зависят от -φ;
ψ+ = Ρ+φ, ψ_ = Ρ_φ, (4.4)
где V±--= lim У(/),2
f-H=oo
Y(t) = er&.№)G(t, 0). (4.5)
1 Получится {x\etgl'1 \y), где gi — оператор с вейлевским символом,
равным pq. Очевидно, что g = gi+(h/2i). Поэтому
{х | e^ih | у) = е~*'2 (χ \ e^ih \ у).
2 Операторы V± обратны к волновым операторам W±, использовавшимся в
гл. IV, где мы рассматривали лишь случай, когда Η(t) =I?= const.
271

Согласно (4.4)
Оператор
ψ+=·Ρ+Ρρ-1ψ«.
S =V+VZ1
называется (формальным) оператором рассеяния. Ясно, что
S= lim S(t,f)9 (4.6)
где
s (t, г) = κ (ί) ί?-1 (Г) = г-№/<*> δ μ, ο) (δ (ν, ο))"1 **'£/<»> =
= e-tffo/w a (/, f) ertofw. (4.7)
Из (4.7) для S(t, f) следуют эволюционное уравнение,
аналогичное (4.1), и начальное условие:
ih ^ML = K(t)S (t, f), S (Г, t') = I, (4.8)
οι
где
• К (t) = е-Ялт ~Н1 (t) e^/m t /)г до = H(t) — H0. (4.9)
Соотношения (4.7) и (4.8) (представление взаимодействия)
служат основой для представления символа оператора рассеяния в
виде континуального интеграла.
В большинстве приложений
tfi(0 = £inte-al'\ a>0, (4.10)
#int не зависит от t. Оператор рассеяния в этом случае зависит от
α как от параметра (т. е. S=5a) и называется адиабатическим.
В особо простых случаях адиабатический оператор рассеяния
имеет предел при а->0. Сюда, в частности, относится случай
нерелятивистской квантовой механики, когда
где v(x) — быстро убывающий потенциал, Δ — лапласиан.
2) Вейлевский символ оператора рассеяния. Рассмотрим
гамильтониан
Н = Н0 + НЪ #. = -£-. //1 = о (*;?)· (4.11)
Потенциал v(t\ q) предположим достаточно быстро стремящимся
к 0 при j iJ—^oo и фиксированном q. Типичный пример:
v(t\q) = e-«Wu{q)> (4.12)
272:

Оператор efH^iih^ имеет вейлевский символ, равный βίρ2Ι{^ί1ι).
Используя формулу композиции вейлевских символов и
соотношение (4.7), после очевидных преобразований находим связь между
символами операторов G(t2> t\) и 5(ί2, t\):
S(t2J1\q,p) =
1 (Vr/ t\n nvrip^^^+"ST(Pl"rt(^Pl) v
χ δ (2p — Pi — p2) dpxdp^qlm (4.13)
Подставляя сюда ΰ(ί2, Ί|<7ιΡ) из (3.16), находим для S(fe, /ι)
выражение в виде континуального интеграла:
S(ia,<i|?,p) =
и
= ί 6ХР { ~ih \ \ (g ^ У ^ 2~ ^ ) ^Т + ^ ^ + У ^ ^ +
(4.14)
где Ap = p(h)—p{ti).
Интеграл (4.14) обладает той же калибровочной особенностью»
что и исходный интеграл (3.16). Доказательство этого свойства
получается дословным повторением соответствующих рассуждений
из § 3 и поэтому может быть опущено.
Оператор S(t2, tt) имеет предел при ίι->—оо, fe->+oo. Тем же
свойством должен обладать и его символ. Преобразуем выражение
(4.14), с тем чтобы сделать это обстоятельство непосредственно
очевидным. Фиксируем число Г>0 и положим
vT(t; q)=b(T-\t\)v{t;q).
Обозначим через ST(t2t ti) оператор, получаемый из S(t2i ίι)
заменой v(t\ q) на vT(t\ q)y и через ST(h, U\qy p) — символ
оператора ST(t2yti). Ясно, что S(t2i tj = limSt(t2, Ί) и аналогичное
соотношение связывает символы этих операторов. Заметим теперь,
что при tz>T, tt<—T
Sr(i„ii) = Sr(i„T)Sr(Tf-7,)Sr(-Tfi1). (4.15)
Далее, операторы ST(tz, Т) и ST(—T, U) получаются из S(t2, T)
и 5(—Ту t\) соответственно при v(t\ q)=0. Поэтому
континуальные интегралы для их символов вычисляются методом стацфазы,
т. е. сосредоточены на классических траекториях. Учитывая вид
оператора #0 находим, что эти траектории имеют вид
q(t) = a + — ty p(t) = b, ayb= const. (4.16)
m
27a

Перейдем теперь в (4.15) от операторов к символам,
воспользуемся формулой композиции вейлевских символов и запишем
ST(t2y ίι|ρ, q) в виде единого континуального интеграла, учитывая
при этом, что континуальные интегралы для символов операторов
ST(t2f Τ) и 5Т(—Т, t{) сосредоточены на функциях вида (4.16).
В результате получаем, что континуальный интеграл для символа
оператора 5Т(4, U) сосредоточен на функциях вида
(р(*), Ш<7\
|р+. *>Т,
|р_, t<-T9
где q(t), p(t) — произвольные функции; а±, р± — константы.
Устремим теперь Τ к оо и перейдем тем самым от оператора
St {tzy U) к оператору 5(^2, ίι).
Исходя из приведенных соображений естественно ожидать, что
континуальный интеграл для S(fe, t\\q, ρ) сосредоточен на
траекториях, имеющих функции вида (4.16) своими асимптотиками при
]*|-оо:
ρ (9 = Р(0 + Poutr+(0 + Pi„r-(0, <4Л7>
q (t) = q{t) + -L (poUt s+ (t) + pin i_ (t)),
m
тде p(t)-*~Q при |ί|->οο, q(t) имеет конечные пределы при
i->±oo, lim q{t) = qoVLb \\mq(f)=qm\ r±(t), s±(t) — фиксирован-
иые функции со свойствами
lim r±(t)= lim s±(f)=l, lim r± (t) = lim s±(t) = Q. (4.18)
f-*±oo ?-»>±oo f-^ψοο t-*.~£co
В остальном эти функции произвольны. В частности, можно
положить
r+(f) =*+(*) =θ(<), Γ-(ί)-5-(ί)=β(-ί). (4.19)
Все функции в (4.17), имеющие пределы при *->-±оо, будем
предполагать настолько быстро сходящимися к этим пределам, чтобы
обеспечить предельные соотношения типа lim tp(t)=0, а также
*-*±оо
оо
существование интегралов вида \ \tp(f)\dt и т. п.
— 00
Предполагая, что интеграл (4.14) сосредоточен на траекториях
вида (4.17), преобразуем внеинтегральные члены в показателе
(4.14):
274
№ =
я it), \t\<T,
a+ + -^-t, t>T,
m
a— +
m
P-
m
pit)
t,t<-T,

~l^h {p + "У")2 = т?(р(«-р(У) +
+ -5-(p(ii)f('i)-p(ii)?('i)) +
+ (ρ-γ(ρ(ί.) + P(*i))) Ϊ + -^ (p- \(p(tt) + pfc)))".
(4.20>
Все слагаемые в правой части (4.20), кроме последнего, заведомо
имеют предел при ^г-^+°°, ίι->—оо. Что касается интегрального^
слагаемого в показателе (4.14), то, как легко видеть, на функциях
вида (4.17) он также имеет предел при ίζ-Η-°°ι *!-►·—оо. Таким
образом, показатель имеет предел при fe-H-oo, tr->-—оо только в.
том случае, если
^Г (Pout + Pin) = Р· (4.21)
Учитывая, что интеграл (4.14) заведомо имеет предел при fz-H-00!
ii-^—оо, естественно предположить, что он сосредоточен на
функциях вида (4.17), удовлетворяющих калибровочному условию^
(4.21). Соотношение (4.21) лишь частично устраняет
калибровочную особенность интеграла (4.14). Чтобы ликвидировать ее
полностью, следует дополнить его аналогичным соотношением,
касающимся координат. В отличие от соотношения для импульсов это
соотношение не диктуется с необходимостью какими бы то ни
было условиями. Выберем его в виде
4-(й* + йп) = /\ (4.22>
где г — произвольная константа. С учетом условий (4.21), (4.22}
символ оператора рассеяния может быть представлен в виде
оо
S(q, ρ) = jexp {JL [ j (Ά- + O{t-q{t))-±-{pq-qp)^ at +
+ — (Pout<7out — PinUn) — Я (Pout —Pin) j ] X
x δ (p ~ "2"(Pout + Pin)) δ (r ~ Τ (^out + ^in)) x
xUdp(t)dg(t)dpouidpin (4.23>
(функции ρ (if), q(t) связаны с функциями p(t), q(t)
соотношениями (4.17)). Несмотря на то что правая часть (4.23) зависит or
параметра г, левая часть от г не зависит. Соображения,
приведшие к интегралу (4.23), носят в некоторой степени интуитивный
275

характер. Обоснование формулы (4.23) проводится так же, как
для формул (3.16), (3.21), и мы его опускаем.
В (4.23) можно выполнить интегрирование по р. Для этого
воспользуемся методом стацфазы. Варьируя показатель по р,
получаем соотношение
-^- = q{t). (4.24)
т
Прежде чем подставлять выражение для p(t) из (4.24) в
показатель (4.23), преобразуем его:
и и
и ι
± Г _:^ 1
2
J qpdt = -L qp ^ - -i- J qpdt = -±- (^ut - ttfn) +
и
+ -γ (floutPout — UnPin) \ \ ЯРМ + . . . -
ϊΊ
*2
= ^J>№ Pout + 0(~0 Pin)* * +
и
= -j (floutPout — £nPiJ l-^qpdt+ ..., (4.25)
где точками обозначены слагаемые, стремящиеся к 0 при fa-*- +oo,
tx-*-—оо.
Используя (4.24) и (4.25), получаем
ί[-£—γ<«-ά]*-
и
= —τ { № Τ (θ W Pout + θ (- 0 P.n)2 dt +
2 J m2
+ γ (^outPout - UnPin) + . . . (4.26)
Под знаком интеграла стоит суммируемая функция, поэтому
в (4.26) возможен предельный переход при ί2-^+°°, fi-*—оо.
Окончательно получаем
3». ,)-J«*{^[ J [-■=·# + ·£ <»ИА- +
+ β (-0 An)+ »(';? (О)]*-·
276

— Ц (Pout — An) + Poutiout — Pinftn Ι X
Χ δ [r - -L (£ut + £η)) δ (ρ - -ί- (pollt + pln)J Π#(ί) dpoutdpin. (4.27)
Замечание. При вычислении интеграла по ρ мы произвели
требуемые методом стацфазы преобразования в показателе, но
проигнорировали возникающий детерминант. Это связано с
определением континуального интеграла:
S(ptq) = hm—ur
~N-+oo S$(p, q) '
где SN(p7 q) — конечнократный интеграл, строящийся по
образцу § 3, Stf(0)(P> q) — интеграл, получающийся из SN(p, q) при
v(t\ q)=0. Детерминанты, возникающие от интегрирования по р,
в числителе и знаменателе одинаковы и поэтому сокращаются.
Применим формулу (4.27) к случаю, когда
v(t;\q)=f(t)q· (4.28)
Пользуясь методом стацфазы, находим
mq+f(t)=Q. (4.29)
Отсюда
00
q(t) = — Г \t—s\f(s)ds + a + —t. (4.30)
2m J m
—оо
Асимптотика q(t) при ί->±οο имеет вид
—» —о©
оо оо
— 00 —00
Таким образом,
ОО 00
Pout = Ь — -γ Г f(s)ds, ~qoat = a+ J- j sf(s)ds,
— 00 —00
оо оо
Рш = Ь + ± f f(s)ds, qin = a- -±- J sf(s)ds. (4.31)
— оо —оо
Возникновение соотношений на переменные интегрирования
означает появление соответствующих δ-функций. Учитывая их, а так-
277

же множительч δ ( ρ (poUt + рт)), имеющийся в (4.27) „
можно взять интеграл по p0ut, pm и &. В результате получаем в
дополнение к (4.31), что
Ь=р. (4.32)
Теперь следует подставить выражение (4.30) для q(t) в.
показатель экспоненты, стоящей под#знаком континуального интеграла
в (4.27), и полученный результат проинтегрировать по а. В
результате очевидных вычислений с использованием соотношений
(4.31), (4.32) находим 1
00
S(<7,p) = exp {-i-[| (q + -E-t^nt)dt-
—оо
ОО 00
~~Ы ί ί \ts\f(t)f(s)dsdt~\}. (4.33)
—оо —во
Как и следовало ожидать, ответ не зависит от параметра г,
входящего в правую часть (4.27).
♦ 3) Виковский символ оператора рассеяния. Пусть # = #0+
+Ui(t),
#0 = J ω (ρ) α* (ρ) α (ρ) dpy
^/(/) = £J^(^|Pi,B...,Pmkb...^)^(Pi) ...
...a*(pm)a(qn) ... a{q^)dmpdnq.
(4.34>
1 Для уменьшения громоздкости вычислений удобно предварительно
произвести интегрирование по частям:
и t2
п и
Легко видеть, что
Отсюда, учитывая (4.29), находим, что показатель равен
I Г 1
Ύ \ f(tiq(t)di + —(Poutq0ut — pinqiri) — q(Povit — Pird-
—·»
Подставляя сюда выражение для q(t) из (4.30) и пользуясь соотношениями
(4.31), (4.32), получаем (4.33).
278

Пользуясь представлением взаимодействия (4.8), заметим, что
континуальный интеграл для S(t2, t{) совпадает с континуальным
интегралом для оператора эволюции, порожденным инфинитези-
мальным оператором ή с символом g(t\ α*, α) = Hj(t\ eit(ua*y e~it(ua):
Применяя формулу (3.92), получаем отсюда
S(t2y tx\a\a) =
= eihL exp Г— I Hi (τ; el™ α* (τ), <Ητω α (τ)) dx\ | ... , (4.35)
L ih i <w-J
где оператор L задается формулой (3.90). Формула (4.35) служит
основой диаграммной техники в теории возмущений. В
релятивистски-инвариантном случае вместо переменных интегрирования
а(%), α*(τ) удобнее рассматривать полевые переменные. В
результате формула (4.35) превращается в формулу Хори,
служащую наиболее удобным исходным пунктом для развития фейнма-
новской диаграммной техники. Соответствующие формальные
преобразования можно найти в книге Славнова и Фаддеева [1J.
2. Континуальный интеграл для статистической суммы.
1) Выражение статистической суммы в виде континуального
интеграла. Пусть <?(β) — оператор эволюции с мнимым временем
ί=—ϋΛβ. .Полагая в формулах (3.16), (3.22), (3.64) g= —ihH,
t\ = 0y tz = β, получаем соответственно "вейлевский и виковскии
символы оператора (3(β). Применяя затем формулы следов, находим
статистическую сумму. Формулы (3.16), (3.22) дают
соответственно
β
3(β) = SpGtf) =^щп jexp {- J [Я(у(τ)) +
о
+ -^-|Κτ)ω»(τ)]<ίτ| Tidy (x) (4.36)
и
Ξ(β)=8ρδ(β) =
о
+ -1-0©(0(0)-у(β)) +-^ί/(0)ωί/(β)}π^(τ), (4.37)
причем в формуле (4.36) интеграл берется по замкнутым
траекториям, а в (4.37) — по всем. Как и следовало ожидать заранее,
(4.36) получается- из (4.37) в результате дополнительного
интегрирования по а. -.
Перейдем к виковским символам. Здесь нам будет , удобнее
рассмотреть допредельное выражение (3.61). Для получения
соответствующей аппроксимации стат9уммы следует проинтегриро-
279

вать его по da* da. Введем обозначения: α* = α0*> α = αΝ. Заметим,
что подынтегральное выражение в этих обозначениях не содержит
а0 и αΝ*. Поэтому мы вправе обозначить a0=aNi αΝ* = α$*. Имея
в виду эти обозначения, получаем окончательное выражение для
статсуммы:
S(P) = SPG(p) =
β
= Г ехр {j Г - Η (α*(τ), α (τ — 0)) + -L ^^L a (τ) ] Π da*da. (4.38)
о
Здесь интеграл берется по периодическим траекториям с
периодом β:
α(β)=α(0), α*(β)=α*(0). (4.39)
Предложенный вывод нуждается в некоторых комментариях.
1°. В соответствии с выводом, континуальные интегралы
(4.36) — (4.38), так же как аналогичные интегралы для
операторов эволюции, следует понимать как пределы отношений
Ξ(β)=1ΐιη^-, (4.40)
N-юо Г у
где Ξ#(β) — непосредственная конечнократная аппроксимация,
интегралов (4.36) — (4.38), которая получается из числителя в
соответствующей формуле для оператора эволюции (см. (3.29),
(3.33)) дополнительным интегрированием по dpdq. Знаменатель
Fn{0) — тот же, что в (3.29) или (3.33). Этот способ определения
континуального интеграла неудобен из-за различных свойств
дифференциального члена<в числителе и знаменателе формулы (4.40):
в обоих случаях он имеет вид (у, Ву)у где B='<u(dfdt)9 однако
в формуле (4.36) граничные условия являются периодическими,,
а в (3.33) нет никаких граничных условий. Аналогичное
различие — между формулами (4.37) и (3.29). Это неудобство обхо-.
дится следующим образом. Рассмотрим оператор
НЛЪ^^^&М + яЧк)-^), (4.41>
через Ξΐ0)(β) обозначим соответствующую статсумму Ξ ^(β) =
= Sp ег&*. Наконец, положим
Ξ (β) = lim llm'-^-. (4.42>
гдеВдг(£), Ξ^λφ)— конечномерные аппроксимации
соответствующих интегралов, построенные с помощью одной и той же
системы конечномерных проекторов Ры-
Роль оператора Ω0(λ) состоит в том, что он имеет однократное
собственное значение £Ό(λ)=0, в то время как все остальные его
280

собственные значения Εη(λ)-*~-\-οο при λ->+οο. Поэтому
1ίπιΞλ(β)=1. Вместо (4.41) может быть рассмотрен любой
λ-*οο
другой оператор с этим свойством.
В случае виковских символов аппорксимация общего вида
для интеграла (4.38) строится с помощью формулы, аналогичной
<4.42):
Ξ (β) = lim lim lim ^(β) ■
ψ' λ_^ ε_0 Ν^ Ξ(0)λ(β)
Параметр ε>0 входит в числитель и знаменатель правой части
благодаря сдвигу аргумента в формуле (4.38). В качестве #ο(λ)
в виковском случае естественно рассмотреть оператор
#0(λ) = λΣ3ω(£)? (k)a(k). (4.43)
2°. Обратим внимание на то, что континуальный интеграл для
статсуммы в виковском варианте, в отличие от континуального
интеграла для символа оператора эволюции, содержит сдвиг
аргумента лишь в первом слагаемом в показателе экспоненты.
Причина этого в различных свойствах дифференциального члена
в этих интегралах: в обоих случаях он имеет вид (βα*, α), где
B=d/dxy однако в случае статсуммы оператор В имеет
периодические и антипериодические граничные условия и поэтому
самосопряжен; в случае оператора эволюции — нулевые и поэтому
симметричен, но существенным образом не самосопряжен.
2) Пример, Рассмотрим систему с одной степенью свободы
Η = ωα*α (4.44)
(гармонический осциллятор).
Учитывая периодические граничные условия, разложим
траекторию в ряд Фурье:
оо
α (τ) = £ апе2*'™'1>, α* (τ) = Σ а'пе-2п1™1Ь (4.45)
— αο
В качестве Зек рассмотрим подпространство траекторий, у
которых коэффициенты Фурье отличны от нуля только при \n\*cN.
В таком случае
ν ' ν
Β*(β)= jexp[-£(pce-^+ -^) αχ] f] da'ndan
-Ν -Ν
= Π (βω*-**»/β + ИГ")"1·
—Ν
Μ
ΞΛΓ,λ(β) = J] (βλβ-2^/β + -^γ^"1.
Аналогично
281

Отсюда
ΞΛί(β) _ Л |Л|:
λ П(.+^г—)
К \п\=\
Ξλγ! (β) ω лг
11 \ 2πιη J
\n\=l
Найдем
φ(β, λ)= lim lim Π ί1 +-^e-2™^V
ε_».0 ΛΓ-^οο ж * \ 2nin J
M=l
Обозначим через Φε(β, λ) функцию, стоящую под знаком первого
предела. Имеем
00
1ηφε = V Г In (1 + -Щ- е-ы**№\ + In (1 Щ- (рч»Ч»\ 1 =
оо
S3L. (1 _ β-2πί«ε/β _ е2пШ/Р) + #£ (β) λ)> (4.46)
2шл
ι
где 7?ε(β, λ) — абсолютно сходящийся ряд, в котором предельный
переход при ε->0 можно совершить почленно. Очевидно, что
!5*·<*»'-Σ>[1 +(-£-)']·
1
Первое слагаемое в правой части (4.46) обозначим Γε(β, λ).
Воспользуемся тождеством, справедливым на отрезке —π<Λ;<π:
Ь(х) (π — χ) — θ(— χ) (π + *) = 2 У ^2-. (4.47)
ι
Из (4.47) следует, что
'••«'•ч-^-К-т-)(- + т-)-,(т!-)(—Г)]·
Таким образом, lim Τε(β, λ) = —,
ε->0 2
5*«,·λ>-^'Π[Ι +(■£■)']-
β-ήβλ/2 j _ g-Λβλ
1
ε-*0
, (^βλ/2 £-Λβλ/2\
Λβλ ' /ΐβλ
282

Окончательно получаем
~/Лч ι. ι ι. ενΦ) , λ Φ(β, λ)
Ξ (β) = lim lim lim N = lim ^—
λ-*οο ε-*0 Ν^οο ΞΝλφ) , λ-*» ω Φ (β, ω)
1 — e~
§ 5. СВЯЗЬ МЕЖДУ КВАНТОВОЙ И КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ.
КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ АСИМПТОТИКИ
1. Понятие о квазиклассических асимптотиках
Классическая механика получается из квантовой механики,
если выполнить предельный переход при /г-й) (h — постоянная
Планка). При этом квазиклассикой называются различные
асимптотики квантовых величин при h-+0.
Естественно ожидать, что наиболее простые квазиклассические
асимптотики имеют величины, у которых есть классические
аналоги. Такими величинами являются квантовые наблюдаемые,
т. е. операторы в гильбертовом пространстве состояйий S (см.
гл. I). Их классическими аналогами служат классические
наблюдаемые, т. е. функции f(q> p) от точки фазового пространства
классической системы.
Напротив, элементы самого пространства S — волновые
функции — не имеют классических аналогов. Поэтому их
квазиклассическая асимптотика значительно сложнее.
В этом параграфе мы изучаем квазиклассическую
асимптотику только наблюдаемых и их спектров, оставляя в стороне ква-
зиклассическую асимптотику волновых функций.
Изучение асимптотик мы основываем на вейлевском
квантовании. Оно позволяет придать точный смысл словам: «классическая
механика служит пределом квантовой при /ι->0» и эвристически
получить все известные асимптотики спектров, включая формулу
Бора, минуя исследование волновых функций.
Содержание этого параграфа является чисто эвристическим.
Существующие в настоящее время строгие методы получения
излагаемых в нем результатов являются технически сложными
и, возможно, не адекватны задаче.
2. Операторная задача Коши.
Напомним, что в соответствии с картиной Гейзенберга (см.
гл. I, § 3) изменение физической величины со временем дается
формулой
?(9=ДЙ?е~£Й, .(5.1)
где f (t) — оператор, соответствующий физической величине в
момент времени i, f=f(0), ft — оператор энергии (гамиль1*ониан).
Соответствующее (5.1) дифференциальное уравнение движения
имеет вид
Ц- = ["Jh (5.2)
dt
где [Я, f]=fif— fit есть коммутатор операторов ft и f.
283

Будем считать для простоты, что вейлевские символы операто^
ров Й и f=f(0) не зависят от h. Переходя в. (5.2) к символам
с помощью формулы композиции для символов Вейля, мы
получим дифференциальное уравнение для символа f(h, t\q, p)
оператора /(/):
-jrf(h,t\q,p)={H,f} +
σι
. V/ nk(hVk V (-ΐ)|α| да+Ун da+*f {К оч
+ 1(-1)(т] 1 —=Γβϊ—^β-^г· (5·3)
fe=l |α+βΙ=2/2+1
где α, β — мультииндексы, {#, /} — скобка Пуассона функций Η
и /. Полагая в (5.3) /ι = 0, получаем уравнение движения
классической наблюдаемой:
'-^--{Я,/о}. fo(t\q,p) = f(0,t\q,p). (5.4)
00
Далее, если / = V fn(t\qyp}hn, то из (5.3) получается система
п=0
уравнений для определения fn:
1 "2/ 4-3! Х< {dPi^PiJPi, dq^dq^dq^
3Pi, 5Р4 ty. 5Ρ«·, ty, *?ί2 ^i, 4-, «?ί. dPi2 дРн д<>н
_« *L_) (5.5)
и т. д.
Начальные данные для уравнения (5.5): fo(0|i<7, p)=<p(q, p)>
где φ(<7, ρ) — символ оператора f=f(0), fi(0\'q, ρ) =0 при />0.
Уравнения, аналогичные (5.3) и (5.5), легко пишутся также
в случае, если вейлевские символы операторов Я и /=f(0)
зависят от h (разлагаются в степенные ряды по h).
Обратим внимание на следующий частный случай полученных
формул. Полагая
7(0) =Я, l(t)=Q(t), f(h,t\q,p) = Q(h,t\q,p)
или
T(0) = p,T(t)=P(t), f(h,t\q,p)=P(h,t\q,p),
284

находим из (5.4):
*£ = (Н9Р*}, *ξ-={Η,0>}, (5.6>
где P* = P*{t\qy р)=Р(0, t\q9 ρ) и Q0 = Q°(t\q, p)=Q(0, t\q9 p).
Начальные данные для (5.6):
/V(0|</, Ρ) =Pk, Qk°(0\q, P) =qk. (5.7)
Уравнения (5.6) с начальными данными (5.7) определяют
фазовую траекторию Q°(t\q> ρ), P°(t\q, p) классической системы, в
которую превращается квантовая при /ι->0.
Упражнение 5.1. Рассмотрим уравнения (5.4) (частным
случаем которых служат уравнения (5.6)).:
dt dq dp dp dq
1) Показать, что эти уравнения имеют следующее решение:
fo(t\q, p)=(p(Q°(i|<7, ρ), P*(t\q9 ρ)),
φ fa. P)=fo(0\q9 ρ), (5.8)
где Q°, P° — решения уравнения (5.6) с начальными данными
(5.7).
2) Функции Q0, Р° могут быть найдены как решения
следующей гамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных
уравнений:
^ = {Ж(ДР°),ро}-- δΗ^·ρβ)
dt К Х - ' / dQQ
(5.9>
dt X V ; ' dPQ
с начальными данными (5.7).
Уравнения классической механики (5.9) называются
уравнениями характеристик для уравнения (5.4), их решения —
траектории классической динамической системы — характеристиками
этого уравнения, решение уравнения с помощью формулы (5.8) —
решение методом характеристик.
3) Доказать, что
H(QO(t\q,p),P°(t\q,p))=H(q,p).
3. Асимптотика функции Грина
Найдем уравнения, определяющие асимптотику при /ι->0
символа G(hy t\qy ρ) оператора G=exp [ ltH ). Ищем G в виде
G = exp(-^F.1 + ^0 + ftF1+ ... j.
285.

Перейдем в уравнении —.—-gr= HG к символам с помощью
формулы композиции для символов Вейля. Тогда получим:
[-Hf-+Tf»+№+ )hbrf-+f.+
i li_ · · · J Zj\2i) α! β! ЛЛЭрО dpadq*
α.β
exp
(ff-,4-f.+ ^,+ ...).
Собирая коэффициенты при нулевой и первой степени А, получаем
dt ~г~ 2j[ 2 ) αϊ β! fyadpP \ dp j ( d? j ~~
= H(q-
2 ' dp r 2 dq
Аналогично
d F _ dH 3F0 dH dF0
dt °~ dl dp дц dq
где
+ 1(^^x2-^^ + ^^ (5 11)
2 \ 0ξ2 fy2 ' d&n dpdq дц* dq* J * v ' '
d2# d2F_i *Ц d*H d*F_x
-Σ
3ξ« аР* ^ ag*ab <эр*дрг
и т. д.
Таким же образом могут быть получены уравнения для
остальных функций Fi. Все они имеют вид, аналогичный (5.11):
_£_ F JHdFL_diL^L + Rt9 (5.12)
dt l dl dp dx\ dq l
где Ri зависит только от F}- при j<i и от производных Η порядка
>2 по совокупности переменных ξ, η. Начальные условия для
уравнений (5.10) —(5.12) имеют вид
Ft(0\<i, Ρ)=0, ί=—1, 0, 1, 2, ... (5.13)
Уравнения (5.10) — (5.12) достаточно сложны. Существует
важное вспомогательное соображение, помогающее их
исследованию. В простых случаях (когда Я -— полином степени <2 по
совокупности qy p) это соображение позволяет вычислить G(t\qy p)
286

в явном виде. Соображение состоит в следующем. Положим
Pk{t) = eh Pke * =G(t)PkG(t)-i.
Qk V) = e^'" qke~T'" = G (t)^{t)~\
(5.14>
Из (5.14) следует, что
Pk(t)G(i)=G(t)pky Qk(t)G(t) = G(t)qk/ (5.15>
Если операторы Pk(t) и Qk(t) известны, то соотношения (5.15)
можно рассматривать, как уравнения относительно G(t).
Заметим, что эти уравнения имеют единственное с точностью до
множителя решение- В самом деле, если G'(t) — решение уравнений
(5.15), то оператор R =G(t)'1G' (/) коммутирует со всеми рк и q^
В самом деле:
Аналогично получаем, что Rqk-^qkR. Из перестановочности.
R с qk следует, что (Rf) (χ) =R(x)f(x), а из перестановочности.
R с pk следует перестановочность R с операторами сдвига
ехр (П^ркУк), откуда, в свою очередь, следует, что R(x) =R(x+y)r
т. е. что R(x) = const.
Таким образом, всякое решение системы (5.15) отличается от
G лишь множителем:
<?'(*)=<:<?(*).
Разумеется, этот множитель c = c(t) может зависеть от t.
Перейдем теперь в (5.15) от операторов к символам, используя формулу
композиции. Тогда получим
Σ/ h \Ι«+βΙ (-1),α| да+$ τ> iU 4\ \ ^+β riU *\n-„\
\Έ) αΐβΐ a^a,» ^*,'kP)-a^O(MU,p)-
, 2 dqk ) 9
(5.16)
V 2 dPk )
Раскладывая Pk, Qk, G по степеням h и собирая члены при /г°,
получаем
2 L· \ dPi dqf dq; dq, dqk J k
2
(5.17)
287

где Qk° = Qk°(t\q, p), P*° = /V(i|<7, p) — координаты точки
фазовой траектории классической системы с начальными данными
Q*°(0|<7, p\=qk, Pk°(0\q, p)=ph (см. (5.6), (5.7)). Заметим, что
уравнения (5.17) хорошо известны из теории дифференциальных
уравнений как уравнения характеристик для (5.10).
Из (5.16) можно получить уравнения, аналогичные (5.17), для
всех функций Fi, однако ввиду громоздкости мы этого делать
не будем.
Пример. Рассмотрим оператор энергии гармонического
осциллятора Я— —(р2 + ?2) и найдем вейлевский символ G(hy t\qyp)
ъ ( itH \
оператора G= ехр ( ).
Предварительно найдем операторы
ни _ ни {п „ ан ни /с 1Яч
P{t)=e—pe —, Q{t)~e—qe ~ (5Л8)
Из (5.18) следует, во-первых, что
а во-вторых, что
lift ' _ ПЪ НИ __ НИ itH _ _, itH
B^—(p2 + q2) = e h He h = — (e h pe h e h pe h +
itH _ itH itH _ itH
+ e h qe & e h qe t* J =— (Я2(0 +Q2(t)).
Используя эти соотношения, получаем для P(t) и Q(t) уравнения
h dP _ ft
/ dt ~~ l
Аналогично
А^=[#,р]=.1_ [Q2,P]=~- (Q[Q,P] + [Q,P]Q) = --~Q.
h аП ~[H,Q\-^r[P\Q\- — P^ (5.19)
i dt l 2
Сокращая на —ihy получаем из (5.19) уравнения, по форме
совпадающие с классическими уравнениями для гармонического
осциллятора. Решения уравнений (5.19) с начальными данными Р(0) =
=р и $(0) =ή имеют вид
Ρ (t) = ρ cos t — qsin t,
(5.20)
Q (t) =psint + qcos t.
388

Из (5.20) и (5.15), переходя к символам, получаем для
G(h, t\q, ρ) уравнения
[('-fi)-'-(<+Tv)sl,li]H>+f^)0'
(5.21)
[('-f-5-)-'+(«+Ti-)«']e-(»-fi)e·
С помощью простой проверки убеждаемся, что решение этих
уравнений имеет вид
G(hJ\qyp)=c(t)exp[-j-(p* + q*)tg-L]. (5.22)
Согласно общим соображениям, высказанным ранее, уравнения
(5.21) имеют единственное с точностью до множителя решение.
Таким образом, (5.22) является общим решением этих уравнений.
Далее, уравнение = HG при переходе к символам в
i dt
('-НН'+т*)']°-
нашем случае дает'
h dG _ 1
i dt ~ 2
Для определения c(t) достаточно подставить в это уравнение G
из (5.22) и затем положить q=p = 0. В результате получим
dt 2 ё 2 '
отсюда c=(cos г)"1. Окончательно
G(h,t\qtp) = Ц—ехР
cos —
2
i(P2+<msf
(5.23)
4. Асимптотика собственных значений.
Рассмотрим оператор Шредингера
# = у£ Ρ/+ *(?)> (5.24)
и пусть v(q)-++°o при q-^oo. Как мы знаем (см. гл. III), в этом
случае у оператора Й чисто дискретный спектр. Вейлевский
символ оператора (5.24) имеет вид
η
H(qtP)=Y^+v(q).
/-ι
Отсюда ясно, что H(q> p)->+oo при q2+p2-+oo. Для дальнейшего
существенны только это свойство и неотрицательность оператора
289

Й и его символа, а не явный вид оператора Й!). Обозначим через
Ν(λ, К) число собственных чисел оператора Я, не превосходящих
λ. Найдем асимптотику Ν(λ, h) при А->0.
Обозначим через G(h, β|<7, ρ) вейлевский символ оператора
е~№ и через Ek — собственные числа оператора Я. Заметим, что
Spe-pS = £*-*** = Je-&dbN(X,h). (5.25)
fe О
С другой стороны, согласно формуле следа для символов Вейля
имеем
Из формулы композиции (1.53) следует формально, что
при любом β>02>. Поэтому Spe-P" имеет при А->0 следующую
асимптотику:
Spe-№. ! f er№'P)dqdp =
г (2πΛ)« J
00
(5.26)
где V(X) — объем области в фазовом пространстве с энергией,
не превосходящей λ:
V(X)= J dqdp.
Отметим, что асимптотика (5.26) легко получается также из
неравенств (2.81) или (2.84) в случае, когда оператор Й имеет анти-
виковский символ.
1 Можно показать, что свойство H(q, p)~>+oo при некоторых условиях
типа гладкости гарантирует дискретность спектра IT.
2 Отметим, что .для гамильтониана *#== ~-~ (р2 + <г) (гармонический
осциллятор) функция G(hy β|?ι ρ) может быть найдена явн& А именно,, полагая 7=
«=ίβ/ι в (5.23), мы получим
(fr
G(h,$\q,p) = g- exR
phT3
th
(P2 + Q2)
4&K Что ^^р&г&я-ЩЙ}^?, ρ)ΊΒ^τοΗ здучае Даже аналнтична по Ьк
т

Сравнивая (5.25) и (5.26) находим, что
**<λ·Λ>~-^Λ· (5·27)
Заметим теперь, что Ν (О, A)=V(0)=0. Поэтому
#(λ,Α)~ Υ{λ) . (5.28)
* } (2яЛ)« V '
Из (5.28) вытекает, что число собственных значений,
расположенных в любом интервале (а, Ь), стремится if oo при Л->0.
Следовательно, собственные значения с уменьшением А
располагаются все более густо.
5. Формула Бора.
В случае, если число степеней свободы η равно 1, можно найти
асимптотику при А->0 индивидуального собственного числа.
Заметим, что если Л\ и А2 — операторы с простым дискретным
спектром, то из спектральной теоремы следует, что существуют
такие функция f(x), определенная на спектре оператора А2, и
унитарный оператор £?, что
При этом собственные числа Αχ выражаются через собственные
числа А2 согласно формуле
№=f(W). (5.29)
Применим это соображение,» когда А\ — гамильтониан Й вида
(5.24) с п=\ и ϋ(<7)>0 и Л2 — оператор гармонического
осциллятора #0 = — (р2 + q2). Поскольку все рассматриваемые
операторы зависят от параметра А, тем же свойством должна
обладать функция f, так что f=f{X, А). Собственные числа
оператора Л0 равны £°(А)=(/Н )А (см. гл. I). Собственные
числа оператора Й занумеруем в порядке возрастания и обозначим
через Ek{h). Соотношение (5.29) в нашем случае дает
**(A) = /((A+-f)A/A). (5.30)
Предположим, что функция /((*Н ) Λ, А) при каждом
фиксированном А проинтерполирована по первому переменному
(например, линейно). Интерполирующую функцию снова обозначим
/(λ, А). Естественно ожидать, что функция /(λ, А) имеет вид
/(λ,Α) = /0(λ) + Μλ,Α), lim /χ(λ,Α)=0. (5.31)
/t-*0
Имея в виду формулу (5.29), найдем /о(λ). Это даст нам
возможность получить асимптотику индивидуального собственного числа
291

при ft->~0:
я*(*)~/о((* + -5-)л). (5·32)
Рассмотрим функцию F(x,h)y обратную к /(λ,ft): F(f (λ,ft),ft) =
= λ. Подобно /(λ, ft) функция У7(л:, ft) имеет вид F(xy h) =F0(x) +
+F\ (xy ft), где F0(x) — функция, обратная к /0(х), и lim Fx (x, ft) =0.
Из определения функции F следует, что
SpеНИЯ.*> = Spе-Р£0 β (5.33)
Обозначим вейлевский символ операторае-$н» через G0(ft, β|<7, ρ),
символ е~$н — через G(ft, β|^, ρ).
Из формулы композиции (1.53) следует, что
Go (0 . β I Я> Ρ) = *~ Т U +Р) . G (0, β IЯ, Р) = ег-*?мч«<1))
(для Go это эвристическое соображение подтверждается явным
видом этой функции, указанным выше).
Воспользуемся теперь формулой для следа оператора через
символ Вейля (см. § 1). Умножая обе части (5.33) на 2πΑ и
переходя к пределу при ft-й), находим, что
j e-mft+vm dqdp = J e 2 dq dp. (5.34)
Это и есть искомое уравнение для функции jFo-
Преобразуем первый из этих интегралов согласно (5.26):
J e-PW+ow» dqdp = J *-β*<*> у (£) dEy (Б. 35)
где
V(E)= J d^/dp.
Р2+и(<7)<£
Вспомним теперь, что собственные числа Ek(h) оператора Й
занумерованы в порядке возрастания. Поэтому функция F(x> ft)
монотонна (не убывает) по х. Очевидно, что тем же свойством
обладаетF0(x) = UmF(x, ft). Поэтому в последнем интеграле
в (5.35) можно сделать замену переменных F0(E)=X. В
результате получаем окончательно:
00
Ce-pF0iP*+v(Q))dqdp= fg-βλ V',{E) dXy Ρ0(Ε) = λ.
J J ^ο (£)
292

Преобразуя аналогичным образом второй интеграл в (5.34),
находим, что
[е 2 dqdp = 2л \е-^с1К.
Отсюда
-Ι^- = 2π и F0(E)=-^V(E) + C.
F0(E) 2Л
Функция Fo(^) является обратной для Μλ). Поэтому FQ(0)=*
=/о(0)=0. Так как V(0)=0, то С = 0. Учитывая явный вид V(E)>
окончательно получаем
Fo(E) = -^ j dqdp.
Отсюда и из (5.32) находим уравнение для квазиклассической
асимптотики собственных значений оператора Й:
JL J Wp~(k + ±-)k.
p*+u(q)<Ek{h)
Эта формула, которую в физических учебниках пишут со знаком
= вместо~, известна как формула Бора.

ДОБАВЛЕНИЕ 1. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В этом добавлении помещена с подробными доказательствами
большая часть математических теорем, использованных в
основном тексте. Первый параграф посвящен доказательству
спектральной теоремы для самосопряженных операторов в
гильбертовом пространстве и ее важнейшим приложениям. Во втором
рассмотрены обобщенные собственные функции. В третьем приведены
необходимые сведения о вариационных принципах и теории
возмущений. В четвертом кратко изложена теория ядерных
операторов. В пятом рассмотрены тензорные произведения
гильбертовых пространств.
§ 1. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
1. Предварительные определения и предложения.
Мы будем изучать линейные операторы в гильбертовом
пространстве. Рассматриваемые гильбертовы пространства всегда
предполагаются комплексными.
Напомним, чтобы фиксировать обозначения, что гильбертово
пространство 2/6 — это линейное пространство (над полем
комплексных чисел С), в котором задано скалярное произведение
(f, g)^C для любых векторов f, g&3#, причем это скалярное
произведение должно быть эрмитово, линейно по первому
аргументу и антилинейно по второму, т. е.
(/> £) = (1Г?Ь
(λχ/χ + λ2/2, g) = λχίΑ, g) + λ2(/2, g),
(Λ λχ £χ + λ2 g2) = λχ (/, ft) + λ2 (/, ft),
где λι, λ2^0, а λι, Яг — комплексно-сопряженные числа к
λι и λ2· Кроме того, предполагается, что скалярное произведение
положительно определено, т. е.
(/,/)>0,/еЖ,
294

причем равенство возможно лишь при /=0. Наконец, Ж должно
быть полным относительно метрики, задаваемой формулой
P(f,g) = llf-*ll,
где норма ||/|| вводится по обычной формуле
11/11 = (М)1/2·
Определение 1.1. Линейным оператором, А\Ж\-+Ж^ где
Ж\ й^2—гильбертовы пространства, называется совокупность
следующих объектов:
а) алгебраического подпространства DA пространства Ж\,
называемого областью определения оператора А\
б) линейного отображения
А\ВА-+Жъ.
При этом мы будем пользоваться следующими обозначениями:
КегЛ-{/еОл:Л/ = 0},
Если Ж\ = Ж2 = Ж у то будем говорить просто об операторе
в пространстве Ж.
Если оператор А непрерывен, или, что то же самое, ограничен
на Da, to его можно единственным образом распространить по
непрерывности на замыкание Da, которое мы обозначаем через Da-
Как правило, мы будем иметь дело с операторами, у которых
Da=S%v Если такой оператор ограничен, то мы будем считать
его определенным на всем Ж\.
Определение 1.2. Если А\Ж\-*Жъ— линейный оператор,
то обратный оператор А *"*: Ж*-*- Ж\ по определению существует
тогда и только тогда, когда Кег Л=0. В этом случае Da'1 = Im Л,
и для g^lmA, g = Af, имеем по определению f=A~lg.
Определение 1.3. Если А : Ж\ -> Ж^ В' S%2 -*· Жъ — линейные
операторы, то их произведением, или композицией, называется
линейный оператор ВА:Жг-+Жз> область определения которого
есть DBA={f<=DA : Af(=DB}t и при этом {BA)f = B(Af).
Суммой двух операторов А19 А2:Ж1'-+-Ж2 называется такой
оператор Аг + А^'-Жг-*Ж2 с областью определения А^+д, ==
-Д^ПА^что (Al+A2)f=Alf+AJ.
Определение 1.4. Графиком линейного оператора называется
алгебраическое подпространство прямой суммы Жг®Ж2>
обозначаемое Ga и состоящее из всех пар вида {f, Af}y где f^DA.
Отметим важное свойство графика: он не содержит пар вида
{0> ё) с £=7^0- Обратно, легко видеть, что если есть .алгебраическое
подпространство в Жг®Ж<1> не содержащее пар такого вида, то
оно есть график некоторого линейного оператора (имеющего,
быть может, не плотную в Зв\ область определения).
295

Определение 1.5. Линейный оператор А\Ж\-*Жъ называется
замкнутым, если его график GA есть замкнутое подпространство
в Жг®Жъ и замыкаемым, если GA (замыкание графика Л)
есть график некоторого линейного оператора (последний
называется в этом случае замыканием оператора А и обозначается А).
Очевидно, эквивалентное определение замкнутого оператора
состоит в том, что оператор А\Ж\-*Жъ замкнут тогда и
только тогда, когда из fneDA, n=l, 2, ..., / п^!^Жг и А1п^ё^Жг
при я->-+оо следует, что f^DA и Af=g. Из замечания,
сделанного после определения 1.4, вытекает, что оператор А замыкаем
тогда и только тогда, когда из fn^DAy /г = 1, 2, ..., /ν->0 и Afn->g
при я->+оо следует, что g = 0. Всякий непрерывный оператор,
очевидно, замыкаем, а если определен на замкнутом
подпространстве, то замкнут. Заметим еще, что если А замкнут, то Кег Л —
замкнутое подпространство Ж\. Если же А замкнут и КегЛ=0,
то Л-1 тоже замкнут.
Определение 1.6. Если есть два оператора Аъ Л2: $?i-^ 5S?2>
то будем говорить, что Л2 есть расширение Ль и писать A2zdAx'
или AiczAb, если Da2^Dax> и для x^DAt мы имеем А2х = Ахх.
Очевидно, замыкание оператора, если оно существует,
является его расширением.
Определение 1.7. Сопряженный оператор А* \Жг-*-Жг к
оператору А\Ж\-+ Жъ такому, что Da—3/Su определяется как
оператор, область определения которого Da* состоит из тех и толь-
,ко тех векторов g&5^2> для которых существует g*^3@u такой,
что (Л/, g) = (f, g"*) для всех f^DA. При этом ввиду плотности
DA в Ж\ вектор g* однозначно определен, и мы полагаем по
определению A*g=g*.
Таким образом, в частности, .
(Af9g)=(f9A*g), f<=DA, g^DA*.
Легко видеть, что g e Da* тогда и только тогда, когда
линейный функционал l(f) = (Afy g) как функционал на DA непрерывен,
ибо в этом случае его можно по непрерывности продолжить на
все 3/6и а затем по теореме Рисса записать в виде (/, g1*) с
некоторым g*^2/e\. Отметим следующий очевидный, но важный факт:
если Аъ А2:Ж1~*Ж2 и ЛХ<=Л2, то A* zdAI.
Если оператор А ограничен и DA=2/eu то А* определен навеем
Зв2 и тоже ограничен. Отметим также, что оператор Л* всегда
замкнут, каков бы ни был оператор А.
Поскольку Кег Л* есть ортогональное дополнение к Im Л, то
операторы (Л*)"1 и (Л-1)* существуют тогда и только тогда,
когда Кег Л = 0, a Im Л плотно в <3ίί2. При этом легко проверить, что
(Л*)"1 = (Л-1)*.
Имеет место следующее важное
Предложение 1.1. Оператор Л* имеет плотную в Ж2 область
296

определения тогда и только тогда, когда оператор Л замыкаем.
При этом замыканием Л является оператор А** = (Л*)*.
Доказательство. Напомним, что в ЖгфЖ 2 скалярное
произведение двух пар {/, g} и {f\, g\} задается формулой
(U*g}Afi,gi}) = (f>fi) + (g,gi).
Учитывая это, легко получить, что {g, g*} ^ Ga* тогда и
только тогда, когда {g*, —g} ортогонально графику А, Иными
словами, векторы вида_{Л*£, —g} образуют ортогональное
дополнение к Ga. Поэтому GA (замыкание графика А) будет
ортогональным дополнением к подпространству* векторов вида
{A*g,-g}.
Теперь остается заметить, что DA* неплотно в Эвч тогда и
только тогда, когда существует такой вектор ftez5S?2, что НФО,
Ь-LDa* или, что эквивалентно, {0, /г}_1_{Л*#, —g} при всех
g^ Da*. Последнее эквивалентно тому, что {0, Ii}^Ga т. е.
оператор А не замыкаем.
Приведенные рассуждения^ очевидным образом приводят так-
&е к равенству Ga** = Gau случае замыкаемого Л, т. е. Л=_Л**.В
Определение 1.8. Оператор А :Ж-*Ж, такой, что Ва=26,
называется симметрическим, если АаА* (иначе говоря, если для
любых f, g^DA имеет место равенство (Л/, g) = (/, Ag)),
Легко видеть, что симметрический оператор всегда замыкаем,
поскольку Da* включает Da (и, следовательно, плотно в Ж)*
причем замыкание симметрического оператора тоже ябляется
симметрическим оператором.
Квадратичная форма (Af, f) симметрического оператора А
принимает только вещественные значения, поскольку (Л/, /) =
= (f,Af) = {AM).
Определение 1.9. Оператор А :Ж-+Ж такой, что DA = Ж
называется самосопряженным, если Л = Л*. Если
самосопряженным является замыкание Л, то будем говорить, что Л в
существенном самосопряжен.
Самосопряженный оператор автоматически замкнут.
Если Л самосопряжен и имеет обратный Л-1, то Л-1
самосопряжен, поскольку (Л_1)*= (Л*)-1 = Л~1.
Имеет место следующее простое
Предложение 1.2. Замкнутый симметрический оператор
Л самосопряжен тогда и только тогда, когда Л* симметричен.
Произвольный линейный оператор Л в существенном
самосопряжен тогда и только тогда, когда Л* симметричен.
Это предложение очевидным образом вытекает из того, что
для замкнутого оператора Л**=Л,а симметричность Л* означает:
Л*с=Л** = Л.
Имеет место также следующее очевидное
Следствие. Оператор Л в существенном самосопряжен тогда и
только тогда, когда определены Л* и Л** и имеет место равенство
297

Определение 1Л0. Пусть дан линейный оператор А\Ш-*3£.
Будем говорить, что комплексное число ζ принадлежит
резольвентному множеству оператора Л, если существует ограниченный
оператор RZ=(A—г/)-1, имеющий плотную в 2/6 область
определения. Операторная функция Rz называется резольвентой
оператора А. Дополнение резольвентного множества в плоскости
комплексного переменного С называется спектром оператора А к
обозначается о (А).
Если оператор А замкнут, a z принадлежит резольвентному
множеству, то оператор Rz всюду определен в силу своей
замкнутости. При этом нетрудно проверить, что резольвентное
множество открыто и R2 есть аналитическая операторная функция ζ на
этом множестве.
Если ζ и ζ' принадлежат резольвентному множеству
замкнутого оператора Л, то имеет место тождество Гильберта
Rz-Rz> = (z-z')RzRz>, (1.1)
которое получается следующими элементарными вычислениями:
Rz-R2> = RZ(A-ζΊ)Rz> -Rs = Rz [(A-zl) + (z-z') I] Rj—R* =
= [I + (z-z')Rz]Rx.—R2>=(z-Z')RzRt>.
Изучим резольвенту самосопряженного оператора. Будем
пользоваться следующими обозначениями: С+ — верхняя
полуплоскость плоскости С комплексного переменного, т. е.
С+={геС, z=x+iy, г/ = 1тг>0};
аналогично С~ = {г^С, 1т;г<0}. Вещественную ось в плоскости С
обозначаем через R. Таким образом, C = RUC+UC". Имеет место
следующее простое
Предложение 1.3. Спектр самосопряженного оператора А \Ж-**
—*-Ш лежит на вещественной оси R и, следовательно,
резольвентное множество оператора А содержит полуплоскости С+ и С"·
Если геС± то RZ*=RZ, где г — число, комплексно сопряженное
к ζ. Имеет место следующая оценка нормы резольвенты:
Ш\<\1тг\-К (1.2)
Замечание. Свойство, сформулированное в предложении 1.3,
характерно именно для самосопряженных операторов, так что
несамосопряженный оператор не может обладать резольвентой,
удовлетворяющей всем указанным условиям. Точнее, если i и —i
входят в резольвентное множество замкнутого оператора
А\Ж~+Ж и при этом Ri*=R-i, то оператор А самосопряжен.
В самом деле, мы имеем тогда
Л* + U = (А- И)* = (ЯГ1)* = (Я **)"' = (R-i)~l =A + iL
откуда сразу следует, что А = А*.
298

Доказательство предложения 1.3. Заметим, что (А—г/)* =
= Л*—-zI = A—zl. Поэтому формула R*z = R- вытекает из того,
что (θ""1)* = {Β*)~ι, и из остальных утверждений предложения 1.3.
Вычислим теперь || (A—zl)f\\2y где f^DA, z=x+iyt уфО. Имеем
\\(A-zI)ff=((A-zI)f, (Л-г/)/) =
= {(A-x/)f-lyf, (A~xI)f-iyf)=\\{A-xI)ff+y*\\ff.
Поэтому \\(А—2/)'/||2>#2НЛ12, т. е. оператор A—zI имеет
ограниченный обратный, причем II (А — г/)-Ч|< . Остается заме-
\у\
тить, что этот обратный оператор всюду определен, поскольку
ортогональное дополнение к Im (A—zl) есть Кег (Л—г/)=0 по
уже доказанному, а потому Im (Л—zl) плотен в Ж и потому
совпадает сЖ в силу ограниченности и замкнутости оператора
(А-г1)-К Щ
Следующее простое предложение будет существенно
использоваться в доказательстве спектральной теоремы.
Предложение 1.4. Если )^Ж, /=?М), то функция Ф^(г) =
= (Rzf, f), определенная и аналитическая в C\R, обладает
следующими свойствами:
(i) если 2^С+(С~), то Ф^(г)еС+ (соответственно С"), т. е.
функция Φ/ (ζ) отображает полуплоскости С+ и С" в себя;
(Й)Ф,(2)-Ф^Т;
(Ш)\Ф,{г)\<и,П\1тг\-К
Доказательство. Свойства (и) и (ш) вытекают из
предложения 1.3. Остается доказать (/). Положим /?*/=£, тогда f=(A—
—zl)g (откуда, кстати, следует, что gφO) и (Rzf, f) = {g> (A—
—zl)g) = (А§> ё) + (—ζ) (gy g)i и остается воспользоваться тем,
что (Agf g) вещественно при любом g^DA. Ш
2. Теорема о спектральном разложении самосопряженного
оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве.
Теорема 1.1. Если А — самосопряженный оператор в
сепарабельном 1 гильбертовом пространстве 36, то оператор А можно
реализовать как оператор умножения на вещественнозначную,
измеримую и почти везде конечную функцию а(т) в пространстве
L2(M, da) комплекснозначных суммируемых с квадратом
функций на некотором пространстве Μ с положительной мерой da.
Точнее, существуют пространство Μ с положительной мерой daf
вещественнозначная измеримая функция а(т) (т^М),
определенная и конечная на множестве полной меры в М, и изометрия2
U :2@-+L2(My da) пространства 36 на пространство L2(Mf da)
1 Сепарабельность предполагается лишь для упрощения некоторых
рассуждений. Читатель, знакомый с употреблением леммы Цорна, легко обобщит
излагаемое доказательство на несепарабельный случай.
2 Оператор U \36χ-+ Ж 2 называется изометрией гильбертова пространства
&£ ι на гильбертово пространство Ж г, если U отображает Ж1 на все Жъ и
(I//, Ug)«(/, g) для любых /, g^.5% ι. Часто в этом случае говорят просто, что
U — унитарный оператор.
299

такие, что f^DA тогда и только тогда, когда ^Ж и a(m)Uf^
e=L2(M, do), при этом (UAf) (го) =a(m) (Uf) (го).
Иными словами,
Af=U-*aUf, (1.3)
где а — Ъператор умножения на функцию а = а(т)> т. е.
оператор А изоморфен оператору умножения на функцию а = а(т)
в пространстве L2(Af, do).
Замечание 1.1. Оператор умножения а на любую вещественно-
значную измеримую и почти везде конечную функцию а(т)
в пространстве L2(M, do) определяется как оператор а с
областью определения
A^ffrfGl*, afeL*\9
где
(af)(m)=a(m)f(m).
Такой оператор а всегда самосопряжен.
Приведем подробное доказательство этого факта. Покажем
сначала, что Da плотно в L2. Пусть функция g^L2 такова, что
для всех feDe. Докажем, что g=Q. Рассмотрим
м
оо
MN = {m^M : \а(т) \<Щ. Поскольку do(M\ \J Мм) = 0, то до-
статочно доказать, что g \mn — 0 при любом N. Но для любой
функции f^L2, равной 0 вне Мы, будет af^L2, и поэтому должно
быть f fgdo = Q уже для любой /eL2. В частности,
Мм
\ ggdo= f \g\2da, т. е. g = 0 почти всюду на Мы.
Пусть теперь g^Da*> т. е. существует функция g*^L2 такая,
что [a>fgdo= \fg*do при любой f^Da. Выбирая аналогично
Λί Λί
вышеизложенному функции f, равные 0 вне MN, легко получить,
что должно быть почти всюду ag=g*y т. е. g^Da, и при этом
a*g = ag. Самосопряженность а доказана.
Замечание 1.2." Пространство Μ с мерой do отнюдь не является
инвариантом оператора А. Как правило, оно может быть выбрано
многими различными неизоморфными способами. Существует,
однако, другая, более распространенная формулировка
спектральной теоремы, которая, будучи более инвариантной, является,
впрочем, несколько менее прозрачной. Мы приведем и эту
формулировку, поскольку она используется в основном тексте.
Теорема 1.Г. Пусть дан самосопряженный оператор А в
гильбертовом пространстве Ж Тогда:
1) Существует разложение единицы £λ, —οο<λ< + οο, т. е.
семейство самосопряженных проекционных операторов Ек в
пространстве <5ί?, зависящих от вещественного параметра λ и
обладающих следующими свойствами
300

a) ΕλΕμ = ΕμΕλ = Ελ при λ < μ;
б) Ελ+0=Ελ в сильной операторной топологии, т. е. для любого
fe3ii выполнено предельное соотношениеlim £λ+ε/ ~E%f по норме
ε-* О
ε>0
συ у
в) в сильной операторной топологии lim Εχ = О, lim E% = I;
г) если Δ=(λι, λ2] — полуинтервал вещественной оси, —оо<
<λι<λ2< + οο и £(Δ)=£λ2 — £λι, то E(A)SVczDa и для fe
^£(Δ)<3^ имеют место неравенства
MfJ)<(i4f,/)<Mf.f).
а также оценка
|| (Л—λ/)^||<|λ2—λι| -llfil при λ^Δ, означающая, что векторы и$
Ε(Δ)3@ при малом Δ являются почти собственными векторами
оператора А с собственным значением λ^Δ;
д) оператор А восстанавливается по семейству {Ек} формулой
А = §KdEK, (1.4)
-00 ',
которая означает, что вектор f^3@ принадлежит DA тогда и
только тогда, когда сходится интеграл
-}-оо оо
—00 —ОО
причем левая часть этого неравенства равна \\Af\\2 и, кроме того*
Af = fxd(EKf)y
—оо
β
где интеграл надо понимать как lim I λ d (£*,/) по норме
β-^+οο α
в Ж, а интегралы по конечному промежутку есть просто пределы
своих интегральных сумм по норме вЖ и даже равномерные по
всем f с Ц/1К1.
2) Разложение единицы, обладающее свойствами а) — д)г
единственно.
Доказательство теоремы 1.1' (вывод ее из теоремы 1.1).
1) Существование разложения единицы. Пусть A = U~laU —
представление А по формуле (1.3), существование которого
утверждается в теореме 1.1. Обозначим через χλ=χχ(^) характера
стическую функцию множества MK={m: m^M, а(т)<Х}.
Положим
E,= U-^Uy
гДе Χλ понимается как оператор умножения на функцию χλ =
= Χλ(/η). Все требуемые свойства Ελ проверяются непосредствен-
301

ήο, так-как они унитарно инвариантны и потому их достаточно
проверить с заменой А на оператор умножения a, a Ελ —/на
операторы χλ.
2) Единственность разложения единицы. Пусть дано какое-то
разложение единицы {£λ}, обладающее свойствами а) — д).
Введем однопараме!рическое семейство операторов
U(t)= j^d£b
где интеграл понимается как в формулировке теоремы. Легко
проверить, что оператор U(t) всюду определен и унитарен
(очевидно, что он унитарно отображает на себя подпространство
£(А)3@у где Δ= (λι, λ2] — конечный полуинтервал оси R, Ε(Δ) =
оо
= Е^— Ε%ν остается воспользоваться тем, что И Ε ((—Ny Ы\)Ж
плотно в Ж в силу свойства в)). Далее, U(t) сильно непрерывно
Ш) t, т. е. U(t)f является непрерывной функцией от t со
значениями в Ж для любого /еЖ Этот факт также достаточно
проверять для векторов из Е(&)ЖУ где он очевиден, поскольку в этом
случае интеграл сводится к интегралу по конечному отрезку Δ,.
а если tn->ty то e'*nK-+elt равномерно по λ^Δ. Наконец,
отметим, что ί/(0) =/.
Основное свойство семейства U(t) состоит в том, что в
сильном смысле
-*^-=iAU(t)y (1.5)
т. е. если f^DAy то U(t)f^DA при любом / и
d(U(t)f) =iAU{t)fy (L5')
dt
где производная существует по норме пространства Ж. Для
доказательства нужно заметить, что
U(t+r)'— U(t) , f° eiit+x))"—eitX
/= j 7~^—d(EKf) =
— 00
= J e ~l e?*d(Exf)
—oo
и подынтегральная функция оценивается через |λ| ввиду того, что
χλ е
302

λ'8ίη ("?")
= \ * / ei λτ/2
λτ
2
a < 1. Вспоминая описание Αι в пункте д)
формулировки теоремы, мы видим, что
II J J^±.e^d(Exf)f< j |λ|»ίφ5χ/ρ-0
при iV->oo равномерно по т, если только /еДь Отсюда следует,
что интеграл сходится равномерно по τ и можно перейти к
пределу под знаком интеграла, что сразу дает (1.5'), поскольку
AU(t)f = $ke**d(Exf)
(это непосредственно получается из определения интеграла и
свойств а) — д)).
Полагая u(t) = U(t)f,-uu видим, что и — непрерывная
функция от t со значениями в Ж, причем если f^DA, то и имеет при
каждом t производную (по' норме 36), при этом
JaM-=:iAu(t),u(0)=f. (1.6)
at
Легко видеть, что операторная функция U(t—t0) обладает
свойствами, аналогичными свойствам U(t). А именно, если g&DA, то
вектор-функция ν (t) = U (t—to) g удовлетворяет условиям
J*S!L = iAv(f), v(t0) = g. (1.7)
at
Проверим теперь, что функция u(t)y удовлетворяющая условиям
(1.6), единственна (отсюда в силу плотности DA будет
следовать, что семейство U(t) не зависит от выбора разложения
единицы). Пусть U\(t) — другая вектор-функция от t со значениями
в Ж у тоже удовлетворяющая (1.6) (с тем же /). Полагая w(t) =
= u(t)—U\(t)y мы получим, очевидно
-^L=iAw(t), α>(0)=0. (1.8)
at
Рассмотрим теперь скалярное произведение (w(t), v(t))y где v(t)
удовлетворяет (1.7). Имеем
+ (»(*), ~^ψ~) = dAw(t), v(t)) + (w(t), iAv(t)) =
= i [(Aw (0, ν (0) - (w (f), Αυ Щ)\ = 0,
303

откуда {w(t)> v(t))=tonst Беря, в частности, .^ = 0, получаем
(w(t), v(t))==Q. Но при t = t0 отсюда получается (w(t0)tg)=0.
Поскольку g^UA произвольно, a DA плотно в Ж, то мы получаем
w(t0)=Q. Ввиду произвольности U это означает, что ay(i)=0,
т. е. мы доказали единственность вектор-функции u(t)y
удовлетворяющей (1.6), и тем самым единственность семейства U(t).
Из единственности U(t) мы получаем сразу, что для любых
f, £&Ж функция
(U(f)ftg) = $e№d(Ebf9g)
не зависит от выбора разложения единицы Ελ. Но в силу . этой
формулы (U(t)f, g) — преобразование Фурье меры, определяемой
функцией ограниченной вариации (Exf, g) (она является линейной
комбинацией 4 монотонных функций в-силу известного тождества
поляризации:
(Bf,g) = -j-[(B(f+g),f+g)-(B(f-g), f-g) +
4
+ i (В (/ + ig), f + ig) - i (В(/ - ig), / - ig)],.
верного для любого линейного оператора В при /, g^DB). Из
единственности преобразования Фурье обобщенных функций мы
видим, что мера d(EJt g) однозначно определена, поэтому
функция (£λ/, g) однозначно определена в ее точках непрерывности,
а в силу условия Ελ+ο=Ελ функция (£λ/> g) однозначно
определена уже всюду. Но поскольку f, g — произвольные векторы из 5ίί>
ясно, что отсюда вытекает единственность Ελ. В
Замечание 1.3. В дальнейшем операторы U(t), построенные
выше, будут обозначаться eitA и играют существенную роль. Строя
их с помощью «стандартного» разложения единицы, получаемого
в виде Ελ = υ~ιχλυ, где U — унитарный оператор из теоремы 1.1,
Χλ — функции, определенные в начале доказательства теоремы
1.Г, мы видим, что U (t) = U'1 eita £/, где eita — оператор
умножения на функцию (elta) (т) = eita(m).
Замечание 1.4. Из доказательства теоремы 1.1 будет видно, что
в качестве Μ можно выбрать объединение конечного или счетного
числа непересекающихся прямых /«, i=l, 2, ... , так что на каждой
прямой задана положительная конечная мера dau определяемая
с помощью монотонной функции d, имеющей конечные пределы
на бесконечности. При этом множество BczM измеримо тогда и
только тогда, когда измеримы все множества B[\U и da (В) =
= y*doi(B[\li). Поместим все прямые /, на плоскости перемен-
i
ных (х, у) у так что li = {y = i} (см. рис. Д. 1). Функция а(т)
получится у нас при этом равной х. Отметим, что мера do на Μ
указанного типа определяется однозначно, если задать интегралы
по мере do всех непрерывных на Μ функций φ(/η) с компактным
носителем. Если на всех U заданы меры dau то мера da на Μ од-
30,4

нозначно определяется формулой
f<p(m)da = £ f φΙ/.da,.
М i Ί.
Сумма в правой части этого равенства конечна, поскольку
носитель <р(т) пересекается лишь с конечным числом прямых U.
Доказательство теоремы 1.1. Выберем в Ж произвольный
ненулевой вектор / и рассмотрим замкнутое подпространство
Sfefdd/e, порожденное векторами / и Rzf,
где г^С*, a Rz — резольвента операто-
ра А. Подпространство 3fSf инвариантно "
относительно всех резольвентных опера- -
торов. В самом деле, если ζ'Φζ, то из
тождества (1.1) следует, что
и, кроме того,
(4ξ£4/.
Rlf = lim (-*=**-)f
[z'-+z \ Z — z' )
■ Ψ
/·
Мы изучим сначала действие операторов Рис. Д.1
Rz в пространстве Ж\, а именно будет
доказан следующий основной результат.
Лемма 1.1. Пространство Ж\ можно привести во
взаимно-однозначное изометричное соответствие с некоторым пространством
L2(—oo<*< + oo, do), где о (χ) — такая монотонная функция
jc, что lim а(х) — О, lim а(х) = (/, /), при котором вектору f
Х->— 00 Я-»·-!"00
соответствует функция, равная 1, а операторы Rz превращаются
в операторы умножения на 1/(х—г).
Предполагая, что лемма 1.1 доказана, закончим
доказательство теоремы 1.1.
Покажем сначала, что Ж можно разложить в прямую
ортогональную сумму подпространств вида &Cg..
Пусть i/i, /2, ..., fn, ... — счетное всюду плотное множество
векторов в пространстве Э@. Мы можем считать для простоты, что
все fi отличны от 0. Образуем Ши и его ортогональное
дополнение fflfc. Заметим, что поскольку Ши инвариантно
относительно всех операторов R2, то Ж и тоже инвариантно
относительно этих операторов, поскольку RZ = R-- Положим gi=fu и
пусть .Jfflg^ffl. Тогда через g2 мы обозначим проекцию на
fflgl ' первого из векторов fu fc, ..., для которого эта проекция
ненулевая. Построим Шг^^Ш^ и затем уже рассмотрим
подпространство (Mgx + fflg2)1~ = &Ct RfflL· тоже инвариантное
относительно резольвентных операторов Rz- В качестве gz выбираем
305

первую ненулевую проекцию среди проекций /ь h> h> ... на это
подпространство и т. д. В результате этого построения мы
получаем такое конечное или счетное множество попарно
ортогональных подпространств ШЯи что их прямая сумма в Ж
содержит все векторы Д·, а потому совпадает с Ж.
Итак, Ж = ®ЖёГ Каждое Жё. мы можем привести в
изоморфное соответствие с пространством L2 на прямой h={y=i}
в плоскости (л:, у) с мерой dai так, чтобы оператор Rz стал
оператором умножения на (л:—ζ)"1. Прямая сумма этих пространств
L2(liydGi) тоже есть пространство L2(M> da)y где Μ и σ описаны
в замечании 1.4. В L2(M, da) оператор Rz тоже есть не что иное,
как оператор умножения на (л:—г)"1. Но мы имеем А — R71 4; ζ/,
и поэтому область определения А * при изоморфизме Ж и
L2(My da) переходит в множество функций <peL2(M, da),
которые имеют вид ср=(л;—z)~l<pu где φι^Ζ,2(Λ1, da),
т. е. в множество <p^L2 таких, что (х—z)<p^L2, или, что то же
самое, таких φ^Ζ,2, что χφ^ΖΑ Из той же формулы вытекает, что
при этом применению А соответствует просто умножение пк х.
Доказательство теоремы 1.1 тем самым закончено. ■
Лемма 1.1 будет получена из следующего предложения,
относящегося к теории функций комплексного переменного.
Предложение 1.5. Пусть Φ (г) определена и голоморфна в.
C+IJC" и обладает свойствами:
(О Φ (ζ) отображает С+ в С+ и С" в С-;
(и) Φ(ζ)="Φ(?);
(m) |Ф(2г) | <: |Im«I"1;
тогда Φ (г) представляется в виде интеграла Стильтьеса
^ / \ Г da(x)
φ (Ζ) = \ i-i-f
J χ —ζ
— 00
где α (χ) — неубывающая функция на прямой —оо<л;< + оо>„
причем
lim a(x)=Ot ltm <7(л:)<я.
Выведем лемму 1.1 из предложения 1.5. Мы применим это
предложение к функции Q>f(z) = (Rzf, \f), которая согласно
предложению 1.4 обладает всеми требуемыми в предложении 1.5
свойствами. Мы можем, таким образом, написать
оо
da(x) „^г*
<*././) = J-^Г
Ζ
Мы устроцм теперь взаимно-однозначное соответствие
пространства Ж] с пространством Ll на прямой —оо<*< + оо
с мерой da так, чтобы операторам Rz соответствовали операторы
306

умножения на (л:—г}~1 в L02. Будем для простоты считать при
этом, что 11/11 = 1.
Оператор U\&tf^La мы определим так, чтобы было Uf=l>
U(RJf) = (x—z)~lt и вообще
£/[λ/+ £ λ,/?,./] ^λ+^λΠ*-*;)-1 (1.9>
(здесь λ, λί — произвольные комплексные числа).
Мы должны доказать, что определение U по формуле (1.9)
корректно, для чего достаточно проверить следующее равенство:
\4 + i KRHfl = |λ + £ λ,(*-*,·)-·|[2. (l.io).
ί=1 ί=1 σ
Затем мы сможем продолжить оператор [/, определенный
формулой (1.9), до изометрического оператора из &tf в La, после
чего останется проверить, что U отображает Ж^ на все La.
Докажем формулу (1.10). Ввиду тождества
II 8г + &II2 = \\βι ||2 + II§2f + 2 Re (gl9 g2)
достаточно проверить следующие равенства:
(a) l=(/,/)* = (l,l)L2= jjda(x);
— ос
+00
(б)(^/,/Ь = ((^-»-М)4= j -^-;
—оо
(в) (RZlf, RZlfU = ((χ-zx)-\ (χ-г2)-1),2 =
= f (jc — zx)-1 (x — z2) lda(x).
— oe
Равенство (б) очевидно из определения σ.
Равенство (в) достаточно проверить при ζ\Φζ^ (при Ζ\=ζ%
оно получится тогда по непрерывности). Имеем при этом условии:
(RzJ, RZJU = {КЛ^> Л* = (*;;**/. /) =
= &-z1)-l((R72-XZi)f> fU =
—OO —oo
= J' (x — 4)~l (x -г2)-1 da = ({x-zj-1 ,(x — z2)~ι)£.
30?

Равенство (а) получается из (б) и (в) следующим образом.
Имеем
f do= lim Г — . (1.11)
J t-*o J |1-йх|» l ;
—oo f>0 —oo
Функции (1—itx)~l равномерно на любом конечном отрезке оси
χ стремятся к 1 при t-^-Ο и, кроме того, | (1— itx)~l\ <1 при всех
i, отсюда ||(1 — itx)-1 — 1|| 2->0. Из уже доказанных равенств
<(б) и (в) мы получаем, что поскольку (1—itx)-1 при f->0
сходится в Ζ,σ2, то (/—itA)"lf должно иметь предел при /->0. Положим
lim (/ — itAylf = g и покажем, что g=f.
Обозначим (/—itA)'lf=gt. Имеем gt-+g, (/—itA)gt=fi отсюда
itAgt^g—/, τ. e. A(itgt)-*g—f, в то время как itgt-*0 при t-+0.
.Из замкнутости А следует теперь, что g—/=0.
Теперь остается заметить, что из (1.11) мы получаем
■ f" do = lim|(/-i^r/IP = |/|P = l,
— эо
"что доказывает равенство (а).
Докажем теперь, что построенный изометричный оператор U
отображает Ж^ на все /,Д В Im ί/, очевидно, содержатся все
к
-функции вида λ + Κ\ λ{ (χ — ζ£·)-1 и их равномерные на всей оси
пределы, в частности, (х—z)~k, где k — целое, &:>1, геС± (в
самом деле,
(х — z)~k = lim [(л: — ζ — ε) (χ — ζ — 2ε) ... {χ — ζ—^ε)]-1,
а последняя дробь разлагается в сумму простейших дробей вида
Х(х—Zi)~x). Отсюда следует, что там содержатся все
рациональные функции, регулярные на бесконечности, а потому и все
непрерывные функции с компактным носителем. Если бы теперь Im U
ле был плотен в L<,2, то существовала бы такая функция а(х)^
е£Д что f ψ (χ) α (χ)da = 0 для любой финитной непрерывной
— оо
функции φ (л:). Но последнее невозможно, поскольку из-за
конечности меры da мы имеем Ll<z.LxG, и потому a(x)da является
мерой и, значит, может давать .нулевые интегралы от всех
финитных непрерывных функций лишь в том случае, когда мера
a(x)da нулевая, что возможно лишь, когда а(х) почти всюду по
мере da есть 0, т. е. а(х)=0 как элемент La2y а это доказывает,
что Im U=La2.
Мы построили взаимно-однозначное изометрическое
отображение U: fflf ->*lI, и осталось лишь проверить, что -оператор
-308

UiRzU-{ в La2 есть просто умножение на (л:—г)"1. Это легко прове-
к
ряется на плотном в La2 множестве функций видаХ + V Кг {х—
— ζ£Υ"1 и по непрерывности распространяется на все L2. Лемма
1.1 доказана.
Доказательство предложения 1.5. Запишем функцию Φ (г)
с помощью интеграла Коши. Имеет место
Лемма 1.2. При 1тг>е>0 имеет место формула
Φ(ζ) = I ±-£——
2π i J * + ί ε — ζ
dxf
(1.12)
где интеграл в правой части равенства понимается в смысле
главного значения, т. е. как
N
ι· Γ Φ(* + /ε) ,
hm ι ^—-—-—dx.
N-++00 J Χ+ίε — Ζ
—Ν
При Imz<e интеграл в правой части
(1.12) равен 0.
Доказательство. Напишем
обычную формулу Коши для замкнутого
контура IV, который идет сначала по Рис д 2
прямой у=г (y = Im£) от —N до N, а
затем по полуокружности CN радиуса N с центром в точке 1г (см.
рис. Д.2):
i
-Ν
У
ίε
ι >■
Ν
—*-
χ
2π
г-ί
φ (ξ)
Φ (г), если ζ лежит внутри Γ ν]
άζ — < 0, если ζ лежит вне Γ ν
τ ν Ι (в частности, когда Imz<e).
Для доказательства леммы 1.2 достаточно, очевидно, показать,
что
Г °^ άζ-»0 при Ν^οο.
c'n
Положим ζ=ίε + Νβίθ, 0<θ<π. Тогда
Ρ Φ(0 ,ζ= Γ <P(,e + i^) iNeiQ^
4 ζ 4 ^β-(ζ-βο
Будем считать N столь большим, что —
| Ne
тогда нужный нам интеграл оценивается так:
ί"^7*^|<2 ||Φ(ζ)ΜΘ, где ζ = ίε + ^*θ.
•(z — ie)
<2;
cN
cN
309

Выберем теперь сколь угодно малое δ>0 и затем, положив Μ
столь большим, чтобы при |Ιιηζ|>Λί было |Φ(ζ)|<δ/2π,
разобьем интеграл Г | Φ (ξ) 1 <i θ в сумму
cN
J |Φ(ζ)Μθ+ J |Φ(ομβ.
|Im£p**i |Ιπιζ|<Λ<
Первый интеграл меньше δ/2 в силу оценки |Φ(ζ)|, а второй
может быть сделан сколь угодно малым за счет выбора
достаточно большого Ν, поскольку интегрирование по θ ведется в нем
в пределах
Л . (ЛГ —е) . (Μ — ε)
от 0 до arc sin и от π — arc sin - до π.
Ν Ν
Доказательство леммы 1.2 закончено.
Теперь представим Φ (ζ) для 2GC+ через интеграл от
ImO(*+ie).
Лемма 1.3. При 1тг>е>0 имеет место формула
φ(ζ) = _ί_ TbL*i*±i*Ldx. (1.13)
π J x + ie — ζ
Доказательство, По лемме 1.2 имеем
1 Г Φ (x + i ε) - _ t ч
2π i J лг + ie-z
— 00
ni J Jf + ί'ε-ζ
поскольку последний интеграл можно записать в виде
(-(2π0- Γ »<* + "> dx),
— 00
a Im (ζ + i ε) < ε.
Вычитая 2-е равенство из 1-го, сразу получаем (1.13). Лемма
1.3 доказана.
Заметим, что лемма 1.3 дает уже искомое представление
функции Φ (г) в виде интеграла Коши с положительной
плотностью, поскольку 1тФ(г)>0 при геС+. Остается только
перейти к пределу при ε->0. Чтобы при этом можно было
воспользоваться теоремами Хелли, остается доказать следующую лемму:
Лемма 1.4.
+ 00
I* Im Φ (χ + i ε) dx < π при любом ε > 0.
00
310

Доказательство. Пусть ζ=α+ί'β, β>ε. По лемме 1.3 имеем
π J (Λ--α)-ί(β-ε)
+«
ImO^ + te) [(λ: —g)+t(p —ε)]
π J (χ-α)* + (β-ε)2
откуда
Im<
+00
1 f β —ε
φ(α + ίβ) = — Ι Β—5_ ImO(x+i8)flte.
ν Κ/ π J (*-α)*+(β-ε)* '
—ее
В силу условия (Hi) предложения 1.5 при всех β>0 выполнена
оценка:
|βΙπιΦ(α + ίβ)|<:1.
Отсюда следует
Ч
-μ» _е
(^г-)'Ч-т)·
Im ф(л: + i ε) dx < 1.
Устремляя β к +оо, получим по теореме Фату:
-i- f ImO(jc + ie)ik< 1,
—оо
что и требовалось доказать.
Теперь закончим доказательство предложения 1.5. Рассмот-
X
рим монотонные функции <τε (χ) — (' Im φ (χ + ι ε) dx, которые
определены в силу леммы 1.4 и обладают свойствами:
lim αε(χ)=0, lim α6(χ)<ζπ.
Χ-*—оо *-*-}-00
В силу теоремы Хелли (см., например, Шилов [1], гл. VI, § 6)
из последовательности oi/n(x) этих функций можно выделить
подпоследовательность, всюду сходящуюся к монотонной функции
о(х)у 3l в силу другой теоремы Хелли о предельном переходе под
знаком интеграла Стильтьеса мы можем записать:
+ 00
^ч/ \ С do (х)
J x — г
—оо
что доказывает цредлржезде К5. Теперь теорема 1.1 полностью
доказана.
,здд

3. Примеры и упражнения.
1) Оператор умножения на вещественнозначную, измеримую и
почти везде конечную функцию в пространстве L2(M> da). Этот
оператор самосопряжен, как было показано выше (см. замечание
1.1).
2) Оператор дифференцирования id/dx на всей прямой. Пусть
Do — оператор id/dx в L2(R, dx), где R — числовая прямая
—оо<#< + оо с областью определения — множеством финитных
бесконечно дифференцируемых функций на R.
Показать, что оператор D0 симметричен. Найти Z)0*.
Показать, что Z)0* самосопряжен и является замыканием D0,
т. е. D0 в существенном самосопряжен. Найти спектральное
разложение оператора ДА
Указание: воспользоваться преобразованием Фурье.
3) Оператор id/dx на полупрямой. Пусть А0 — оператор
id/dx в L2(R+, dx), где R+ = {#>0}, с областью определения —
множеством всех бесконечно дифференцируемых функций с
компактным носителем, лежащим в R+ (такие функции обращаются
в 0 в окрестности 0 и при достаточно больших х).
Показать, что А0 симметричен. Найти его замыкание и
самосопряженный оператор.
Показать, что А0 не имеет ни одного самосопряженного
расширения.
Указание: для всякого такого расширения В должно быть
Ло**с=£с=Л*0.
4) Оператор d2 /dx2 на полупрямой. Оператор Л0 определяется
аналогично предыдущему примеру.
Найти Л0*. Определим оператор А\ как оператор d2/dx2 на
области определения — множестве дважды непрерывно
дифференцируемых при 0<Jt<oo функций φ(#), обращающихся в 0 при
достаточно больших χ и таких, что ср(0) =0.
Показать, что А\ в существенном самосопряжен.
Найти все самосопряженные расширения оператора Л0.
Ответ: общее самосопряженное расширение Л(ф) оператора Ао
определяется углом φ; при этом DA{4)) = {/: /^ L2(R+), /
абсолютно непрерывна, f абсолютно непрерывна и /"^L2(R+),
cos(p-/(0)+siri(p.nO)=0}.
5) -Рассмотрим оператор A:f(x)-+xf(x)> определенный в
L2([l, oo], dx) на функциях, удовлетворяющих условиям:
00 00
[jc2|/N*<oo, \fdx = 0.
Построить оператор, сопряженный к А. Построить все
самосопряженные расширения А.
Ответ: DA- = if+±-, */е= £а ], А* (/ + ±- ) = xf.
312

Самосопряженное расширение Л(ф) определяется заданием углэ φ,
яри этом
°Α(Ψ) = [f + ~ ' ^е L*' COS φ · λ .+ Sin φ · j/dx = О
ι
6) Оператор id/dx на отрезке [О, 1]. Оператор Ло определен на
таких абсолютно непрерывных функциях φ (а:) на [0, 1], что
<р'(л:)б=/,2{[0, 1], dx)9 φ(0)=φ(1)=0. При этом- Лоф = ц/.
Найти Ло*. Найти все самосопряженные расширения Ло.
Ответ: /).* = {/:/ абсолютно непрерывна на [0, 1], f'(x)^L2}.
' о
Самосопряженное расширение Л(ф) определяется углом φ:
\( = {/еО,;,/(1)=^./(0)).
7) Оператор Лапласа в R3. Дифференциальный оператор Δ =
д2 д2 д2
= —Ч 1 на области определения Co°°(R3), т. е. мно-
дх\ ' дх\ дх\
жество финитных бесконечно дифференцируемых функций от (лгь
х2, хз) в существенном самосопряжен.
Указание: сделать преобразование Фурье.
4. Перестановочные самосопряженные операторы в
гильбертовом пространстве, операторы с простым спектром.
Определение 1.11. "Пусть А — самосопряженный, а В —
ограниченный оператор в гильбертовом пространстве Ш и Ελ —
разложение единицы оператора Л. Будем говорить, что Л и β
перестановочны, если ВАаАВК
Предложение 1.6. Ограниченный оператор В перестановочен с
самосопряженным оператором Л и тогда и только тогда, когда В
перестановочен с каждым проектором из разложения единицы
оператора Л.
Доказательство. Если ВАаАВ, то B(A—zI)f=(A—zI)Bf для
любого /е/)л. Следовательно, если число ζ невещественное, а
Rz — резольвента оператора Л, то В (A—zI)Rzg= (Л— zI)BRzg
для любого g-еЖ Отсюда RzBg=BRzg и
+ао d(ExBgth) +," d(BEx$yh)
) λ-ζ "7 J
λ-ζ
для всех невещественных ζ и любых А, £&Ж Рассуждая так же,
как в доказательстве леммы 1.1 , мы получим отсюда, что
J* ψ (λ) d (EiBg, A) - J* ψ (λ) d (ΒΕλ g, A)
1 См. определение 1.6. Включение BAczAB в рассматриваемом здесь
случае ограниченного В означает, что если f^DA, tq B^Da к BAfszABf:
313

для каждой непрерывной функции ψ (λ) с компактным
носителем. Следовательно, (ExBg, h) = (BExg, h) и ΕλΒ = ΒΕλ. Чтобы
из перестановочности оператора В с проекторами Ек вывести
соотношение BAczAB, нужно проделать все эти рассуждения в
обратном порядке. ■
Следствие. Ограниченные самосопряженные операторы
перестановочны тогда и только тогда, когда перестановочны любые
два проектора из разложений единицы этих операторов.
Для произвольных неограниченных операторов
затруднительно ввести разумное понятие перестановочности. Тем не менее для
самосопряженных операторов мы вводим следующее
Определение 1.12. Самосопряженные (быть может,
неограниченные) операторы называются перестановочными, если
перестановочны проекторы из разложений единицы этих операторов.
Предложение 1.6 и следствие из него показывают, что это
определение согласуется с общепринятым (для ограниченных
операторов) определением перестановочности.
Предложение 1.7. Пусть Вп — последовательность
ограниченных 'операторов, слабо сходящаяся1 к ограниченному оператору
В, и ограниченный или самосопряженный оператор А
перестановочен с каждым оператором Вп- Тогда операторы А к В такж^е
перестановочны.
Доказательство. Если, оператор А ограничен, то утверждение
очевидно. Если же оператор А самосопряжен, то
перестановочность операторов А и В следует из предложения 1.6. ■
Пусть 3@ = L2(Rn, άμ) — пространство функций от η
вещественных переменных, суммируемых с квадратом по некоторой мере
Лебега—Стильтьеса μ. Очевидно, что всякий оператор умножения
на ограниченную измеримую функцию перестановочен с любым
другим оператором умножения на измеримую ограниченную
функцию. Оказывается, что справедливо и обратное утверждение.
Предложение 1.8. Всякий ограниченный оператор А в
пространстве 3@ = L2(Rn, άμ), перестановочный со всеми операторами
умножения на ограниченную измеримую функцию, есть также
оператор умножения на ограниченную измеримую функцию.
Доказательство. Пусть fo(x) — положительная функция из
L2(R*, άμ). Положим Af0(x)=go(x) и а(х) =go(x)Jfo(x). Пусть
Φ — множество таких функций q>(x)^L2(Rn, άμ), что отношение
4>(x)lfo{x) есть ограниченная функция. Легко проверить (в
точности так же, как проверяется в замечании 1.1 плотность области
определения оператора умножения на функцию), что множество
Φ плотно в Ж Если <р^Ф, то
(Αψ)(χ) = а(£&- · Ш) = -$£-*.<*) = «(*) Φ W·
VJo{x) ι /ο Xх)
1 Напомним, что последовательность ограниченных операторов называется
слабо сходящейся к ограниченному оператору В, если Цщ (Bnff g) = {Bf, g)
для любых векторов f, gre«S£*
314

Поскольку множество Φ плотно в 36 и оператор Л ограничен,
для каждой функции f(x)^L2(Rn9 άμ) справедливо равенство
(Л<р) (х)=а(х)у(х). То, что функцию а(х) можно выбрать
ограниченной, легко вывести из ограниченности оператора Л. Ш
, Следствие. Всякий самосопряженный оператор· А в
пространстве L2(Rnt άμ), перестановочный со всеми операторами умноже-
Ьия на ограниченную измеримую функцию, есть оператор
умножения на измеримую вещественную функцию.
Для доказательства, очевидно, достаточно применить
предложение 1.8 к резольвенте оператора А,
Пусть Ль А2,...,Ап — перестановочные самосопряженные
операторы в гильбертовом пространстве 36, a Ftl], R{£, ...,/?^ —
резольвенты этих операторов.
Определение 1.13. Вектор f^36 называется циклическим
вектором для системы операторов Ль Л2, ...,Л,г, если наименьшее
замкнутое подпространство в 26, которое содержит вектор / и
инвариантно относительно всех операторов MV» .. .эМл) совпадает
со всем пространством Ж
Определение 1.14. Будем говорить, что перестановочные
самосопряженные операторы Ль Α2,...Αη имеют простой совместный
спектр, если существует циклический вектор для этой системы
операторов. Если система, состоящая из одного единственного
оператора Л, имеет циклический вектор, то мы будем говорить,
что Л — оператор с простым спектром.
Рассмотрим произвольный самосопряженный оператор Л с
простым спектром в гильбертовом пространстве Ж Согласно
лемме 1.1 существует изоморфизм между пространством Ж и
пространством L2(—оо<л:< + оо, da(x)), где о(х) — монотонная
функция на прямой, lim а(х) = 0, lim α (χ) = (/, f), a / — цик-
лический вектор. При этом изоморфизме оператору Л
соответствует оператор умножения на независимую переменную л:.
Используя упомянутый изоморфизм, легко описать все
ограниченные и самосопряженные операторы, перестановочные с
оператором Л.
Предложение 1.9. Пусть самосопряженный оператор Л есть
оператор умножения на л: в пространстве L2(—οο<λ:<ι+οο, da).
Тогда всякий ограниченный оператор, перестановочный с
оператором Л, есть оператор умножения на измеримую ограниченную
функцию; всякий самосопряженный оператор, перестановочный с
оператором Л, есть оператор умножения на измеримую веществен-
нозначнукх функцию.
Доказательство. Если какой-нибудь оператор В
перестановочен с оператором Л, то этот оператор перестановочен также с
проекторами из разложения единицы оператора Л (предложение
1.6). Следовательно, оператор В перестановочен с оператором
умножения на характеристическую функцию полуинтервала (а, Ь].
315

Используя предложение 1.7, нетрудно вывести отсюда', что
оператор В перестановочен с оператором умножения на любую
измеримую ограниченную функцию. Остается применить предложение
1.8 и следствие из него. Ш
Замечание. Оператор умножения на· χ в пространстве
L2(—оо<дс< +00, do(x)) есть оператор с простым спектром,
какова бы ни была ограниченная монотонная функция <т(х).
Действительно, в качестве циклического вектора можно взять
функцию, тождественно равную единице.
Рассмотрим теперь систему перестановочных операторов Аи
А2у...,Ап с простым совместным спектром. Пусть f —
циклический вектор и £λ(/) — разложение единицы оператора Л/(*'—
= 1,2,..., п).
Построим на я-мерном вещественном пространстве Rn меру
Лебега—Стильтьеса άμ следующим образом. Если ΔιΧ ... ХАп —
параллелепипед в R", состоящий из точек, у которых k-я
координата принадлежит интервалу Δ/? на вещественной прямой, то мы
"положим
άμ (Α, χ ::. ·χ Δ„) = (£<'> (Δχ) £»> (Δ2)... £<"> (Δ„) /, /).
Применяя процесс лебеговского продолжения, мы получим меру
Лебега—Стильтьеса άμ, которая обычно обозначается через
(dE% dtfg ... dtfxn) Λ f) · Аналогично вводится комплекснознач-
ная мера Лебега-Стильтьеса (dE{£ άΕ™ ... dE™ Λ g)·
Предложение 1.10. Существует единственный изоморфизм
гильбертова пространства 36, в котором действуют
самосопряженные операторы с простым совместным спектром, на
пространство L2 (Rn, άμ = (dE{x] ... dE{Q /, /)), при котором:
1) циклический вектор f переходит в функцию, тождественно
равную единице;
2) оператору А\ (ί=1, 2,..., η) соответствует оператор
умножения на независимую переменную Χι (который переводит функцию
/(*ь ..., Xn)^L2(Rnt άμ) в функцию xj[(xu a:2,...,^)).
Доказательство предложения 1.10 несущественно отличается
от доказательства леммы 1.1.
Предложение 1.11. Пусть Ль Α^...,Αη — система
самосопряженных перестановочных операторов с простым совместным
спектром. Тогда при описанном выше изоморфизме любой
ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами Ль Аъ...уАп,
переходит в оператор умножения на ограниченную измеримую
функцию, а любой самосопряженный оператор, перестановочный
со всеми операторами Ль Аъ.~>Ап, переходит в оператор
умножения на измеримую вещественнозначную функцию.
Доказательство з предложений 1.11 несущественно отличается
от доказательства предложения 1.9:
Теорема 1.2. Пусть'Ль Α&..;9Α·η — перестановочные
самосопряженные* %тсератсхры в* ?ильберт6вш—пространстве «Ж Тогда су-
%Ϋ6

шествует изоморфизм пространства Ж на пространство L2(M, da)
комплекснозначных, суммируемых с квадратом функций на
некотором пространстве Μ с положительной мерой do, при котором
операторы,Ль А2, ...,Ап переходят в операторы умножения на
измеримые, вещественнозначные и почти везде конечные функции
на пространстве М.
Эта теорема точно так же выводится из предложения 1.10,
как выводится теорема 1.1 из леммы 1.1.
Мы предоставляем читателю сформулировать утверждение,
аналогичное замечанию 1.4.
5. Функции от самосопряженныхоператоров.
Пусть А — самосопряженный оператор в гильбертовом
пространстве Ж> Ελ — разложение единицы оператора А и φ (λ) —
функция одного вещественного переменного λ,' измеримая и почти
везде конечная по мере d{Exfy /) при каждом \&№. По
теореме 1.1 пространство Ж можно отождествить с пространством
функций L2(M, do) так, чтобы оператор А, превратился в
оператор умножения на вещественнозначную измеримую функцию
а=а(т). Если выбрать пространство Μ с мерой do так, как
указано в замечании 1.4, то сложная функция φ(α(/η)) будет
измеримой и почти везде конечной на М.
. Рассмотрим в пространстве L2(My do) оператор умножения на,
функцию φ(α(/η)); функция /(m)^L2(M, do) принадлежит
области определения этого оператора тогда и только тогда, когда
<v(a(m))f(m)e=L2(M, do).
Определение 1.15. Оператором (р(Л) в пространстве Ж
называется оператор,'который при описанной выше реализации
пространства Ж в виде, пространства функций L2(M, do) переходит в
оператор умножения на функцию <р(а(т)).
Покажем, что оператор φ (Л) не зависит от способа
реализации пространства Ж в виде пространства функций L2(M, do).
В самом деле, справедливо следующее
Предложение 1.12. Область определения оператора φ (Л) есть
множество
Ap(/,) = {fe=S$f: ||φ(λ)Ρώ(£λ/,/)<οο},
—οβ
и для каждого g^Ж и каждого f^D9(A) справедливо
соотношение
(<?(A)J,g) = ]vWd(Exf,gy. (1.14)
1 Функция σ(λ)=*(£λ/, g) имеет ограниченную вариацию, как было уста·»
новлено в доказательстве теоремы 1.1'.
317

Предложение 1.12 выводится из определения 1.15 в точности
так же, как выводится теорема 1.1' из теоремы 1.1, и мы опускаем
подробное доказательство. Формула (1.14) однозначно определяет
оператор <р(Л); поэтому определение 1.15 корректно, и оператор
φ (Л) не зависит от описанной выше конкретной реализации
пространства Ж. Равенство (1.14) часто записывают более кратко:
о©
<р(Л)= j ψ(λ)άΕκ. (1.14')
— ОО
Если φ(ιλ)Ξ=λ, то, очевидно, у(А)=А, и формула (1.14)
превращается в уже известную нам формулу (1.4). Отметим, что если
Χλ0 (λ) — характеристическая функция бесконечного
полуинтервала (—оо, λο], то
χκ(Α)=Εκ.
Предложение 1.13.
а) Если φ (λ) — ограниченная функция, то оператор φ (Л)
ограничен;
б) Если функция .φ(λ) вещественнозначна, то оператор φ(Α)
самосопряжен;
в) Если для каждого λ имеет место равенство |φ(λ)| = 1, то
оператор φ(λ) унитарен.
Доказательство. Утверждение а) очевидно. Утверждение б)
доказано в замечании 1.1, поскольку <р(Л) можно рассматривать
как оператор умножения на измеримую, почти везде конечную
вещественнозначную функцию в пространстве L2(M, da). Если же
|φ(λ)| = 1 при всех λ, то |<р(а(т))| = 1 и утверждение в)
очевидно, так как оператор умножения на q>{a(m)) в L2(M, da)
унитарен. И
Сформулируем без доказательства следующую теорему.
Теорема 1.3. Если {Ла} — произвольное семейство
перестановочных самосопряженных операторов, то существуют такие
самосопряженный оператор Л и вещественнозначные функции <ρα(λ),
что Ла = фа(Л).
Доказательство теоремы 1.3 можно найти, например, в книге
Ахиезера и Глазмана [1].
Рассмотрим в пространстве Ж конечную систему Ль Лг, ...,^η
перестановочных самосопряженных операторов; пусть Ь%\Ь%,
...,Ε^ — разложения единицы операторов Ль Л2, ...,ЛЛ, и
φ(λι,...νλη) — функция от η вещественных переменных,
измеримая и почти везде конечная по мере (dEfi] dE{%] ... dE^ f:, /) при
каждом /сеЖ
По теореме 1.2 пространство 36 можно изоморфно отобразить
на пространство функций L2(M, da), так что операторы Α\,...,Αη
переходят в операторы умножения на измеримые
вещественнозначные функции ai(m), a2(m),..., an(m). Пространство Μ с
мерой da можно выбрать так, чтобы сложная функция
Kp(ai(m),...tan(m)) была измеримой и почти всюду конечной.
318

Определение 1.16. Оператором <р(Ль Л2,...,Лп) в пространстве
Ж называется оператор, который при описанной выше реализации
пространства Ж в виде пространства L2(Mf do) переходит в
оператор умножения на функцию y(ai(m), ..., ап(т)).
Предложение 1.14. Область определения оператора у(Аи ...,
An) есть множество
Αρ(Λ ап) = {1^Ж : \ Ι φ(^, ..., λ„)|2 χ
и для каждого g^Ж и каждого /^Оф(л1р...,л > справедливо
соотношение
(φ(Α, ...,Л„)/,£) =
= J φ(λι,...,λΛ)Λ...rffig/.g), (1.15)
которое часто записывают более кратко:
q>(i4lf ...,ЛП) = [ φ(λχ, ...Д^£^..Ш#>.
Предложение 1.15. Оператор (р(Ль ..., Л„) ограничен, если
функция φ(λι, ..., λη) ограничена, самосопряжен, если функция
<ρ(λι,..., λη) вещественнозначна, и унитарен, если |φ(λι,..., λη) | = 1.
Доказательства этих предложений существенно не
отличаются от доказательств предложений 1.12 и 1.13.
Из предложения 1.11 следует
Теорема 1.4. Пусть Ль Л2, ...,ЛЛ — перестановочные
самосопряженные операторы с простым совместным спектром. Если В —
самосопряженный или ограниченный оператор, перестановочный с
каждым оператором Ль Л2, ...,Л„, то существует такая функция
<ρ(λι,...,λ«), что
5=<р(Ль А2,...,Ап).
6. Однопараметрические группы унитарных операторов.
Определение 1.17. Пусть дано семейство унитарных операторов
{Ut},t^R в гильбертовом пространстве Ж, удовлетворяющее
следующим условиям:
1) UsUt=Us+t при любых 5, feR;
2) вектор Utf непрерывно зависит от t по норме Ж для
любого /еЖ
Такое семейство называется сильно непрерывной однопараметри-
ческой группой унитарных операторов.
Теорема 1.5. Пусть Л — самосопряженный оператор в
гильбертовом пространстве Ж. Положим Ut = eitA9 т. е. Ut=4>t(A), где
ψί(λ) =eia. Тогда Ut — сильно непрерывная однопараметриче-
ская группа унитарных операторов. При этом производная
319

— (Utf)\t=o = lim — (Utf — /) (предел по норме Ш) существует
тогда и только тогда, когда j(=DAi и в этом случае эта
производная равна iAf.
Доказательство. Напомним, что фактически мы уже - ввели
группу Ut = eitA в доказательстве теоремы 1.1/ Там же были
доказаны сильная непрерывность LJty существование производной и
равенство1
±Wtf) = iAf,f<~DA.
Остается проверить, что из существования производной
— (Utf)\t=o вытекает, что f^DA- Ясно, что можно сразу считать
оператор А оператором умножения на функцию а(т) в
пространстве L2(M> do)у считая, что /&L2(M, do). Ясно, что
— [eita(m) f (m)]|^0 = ia (m) f (m) при почти всех т е Λί.
at
Если существует lim — (Utf — /), то существует и предел
*-»о t
- lim f 11-1 (e"aw — 1) / (m)|2 da.
Μ
Но тогда по лемме Фату
f |a(m)/(m)|2d<7<lirn [\(-1(e!taW — l)f{m)\*da< +00,
Λ ^° ά
откуда следует требуемое включение /eDa.
Замечание. Утверждение, обратное к утверждению теоремы
1.5, тоже верно и называется теоремой Стоуна: любая сильно
непрерывная однопараметрическая группа Ut унитарных операторов
имеет вид Ut = eitA для некоторого самосопряженного
оператора А.
Мы не будем пользоваться этим утверждением (и не будем
доказывать его)*. Отметим, однако, что метод,* которым мь!
доказали теорему 1.1, годится и для доказательства теоремы· Стоуна;
при этом надо рассмотреть функцию o(t) = (Utf> f) и применить
к ней теорему Бохнера—Хинчина о положительно определенных
функциях (см., например, Шилов [1], гл. VII, § 7).
7. Об операторах с простым спектром.
Мы дадим здесь для случая операторов с простым спектром
полный ответ на вопрос о том, в какой степени неоднозначной
lim
±ш-п
1 Все эти утверждения легко проверяются, если использовать спектральное
представление А в виде оператора умножения на функцию, однако в
доказательстве теоремы 1.Г мы не имели возможности этим воспользоваться.
320

является реализация оператора в виде оператора умножения
на х.
А именно, пусть oi(x),4=l, 2 — две ограниченные монотонные
функции на прямой R1, определяющие две меры Стильтьеса dot.
Напомним, что мера do2 называется абсолютно непрерывной πα
мере алзи если существует такая функция f(x)<=Ll(R\ do\) (т. е.
f(x), суммируемая по мере Λτι), что для любого промежутка Δ
нашей прямой выполнено соотношение:
§do2 = Jf(*)dalu (1Л6>
Δ Δ
(отсюда в силу положительности мер do\ и do2 вытекает, что
f(x) >0 почти всюду по"любой из этих мер). .
Рассмотрим теперь операторы А\ и А2 умножения на Г в'
пространствах L2(R\ άβ\) и L2(R\ da2). Назовем эти операторы
унитарно эквивалентными, если существует унитарный оператор-
U: LHR\do2)-+ L^R^doJ,
переводящий А{ в А2, т. е.
A2=U-lAxU. (1.17)
Теорема 1.6. Операторы А\ и А2 умножения на χ в простран-
ствах ^(R1, d<s\) и L2(R*, άσ2) унитарно эквивалентны тогда и
только тогда, когда меры do\ и do2 абсолютно непрерывны друг
по другу, т. е. da\ абсолютно непрерывна по da2t a da2 абсолютна
непрерывна по do\.
Доказательство. 1. Пусть вначале меры Λη и do2 абсолютна
непрерывны друг по другу. Выберем функцию f(x) так, чта
f(x)>Ot f(x)^L1(R\ do\) и для любого промежутка AczR1
выполнено (1.16). Зададим оператор U:L2(Kl, da2)^L2(R}9 da\)
формулой
t/q>(*) = V7(*) ф(4
Унитарность U и сортношение. (1.17) проверяются
непосредственно.
2. Пусть теперь заданы две меры do\ и da2 и операторы Л ι и.
А2 умножения на χ в L2(Rl, da\) и L2(R\ da2) унитарно
эквивалентны, причем эта эквивалентность задается оператором Uy
удовлетворяющим (1.17). Рассмотрим функцию leL^R1, da2) к
ее образ U\ обозначим через g(x). Тогда g(x)^L2(R\ da\) и„
обозначая /(л:) = |^г(л:) |2, мы получим функцию f(x)<=Ll(R\
da\).
Оказывается,, что построенная таким образом функция f(x)
такова, что для любого промежутка AcR1 выполнено (1.16). При:
проверке этого Достаточно в силу счетной аддитивности мер άοχ
и do2 ограничиться случаем полуинтервала Δ= (Яь λ2].
Рассмотрим спектральные проекторы £/, £λ" операторов А\ и А2 и
операторы
Ε' (Δ) = Е\ - Е\, Ε" (Δ) = Е\ - Е\.
321

Очевидно, Е'(\) и Я"(А) есть операторы умножения на
характеристическую функцию хд полуинтервала Δ в пространствах
L2(Rly do{) и L2(R!, da2) соответственно. С другой стороны,
поскольку спектральные проекторы однозначно определены
операторами, должно быть выполнено соотношение:
£,,(Δ)=ί/-1£,(Δ)ί/,
или, что то же самое,
£/£"(Δ)=£'(Δ)£/.
Применяя это соотношение к l^L2(R\ do2) и учитыйая
унитарность оператора С/, получим:
5\U(x)\tdat = i\x/i(x)g(x)^d0l9
что есть в точности (1.16). Таким образом, абсолютная
непрерывность меры do2 по мере do\ доказана. Абсолютная непрерывность
4а\ по do2 очевидна из симметрии предположений. |3|
8. Классификация спектра.
Если дана конечная мера Стильтьеса do на R, то она
единственным образом представляется в виде суммы
do=doac+doSc+dopt (Ы8)
где мера doac абсолютно непрерывна по мере Лебега, мера daSc
чисто сингулярна по мере Лебега (т. е. такова, что ее носитель
является множеством лебеговской меры 0, но в то же время она
не имеет атомов, т. е. точек положительной меры), и, наконец,
мера dap является чисто точечной, т. е. она такова, что для нее
имеется счетный набор атомов (точек положительной меры) и
мера любого множества равна сумме мер попавших в нее атомов
(см., например, Рисе и Надь [1]). Соответствующее разложение
монотонной функции распределения о(*), задающей меру do,
имеет вид
0=Oac + Osc + Op,
где вас — монотонная абсолютно непрерывная функция, oSc—
монотонная непрерывная функция, производная которой равна О,
почти всюду по мере Лебега и ор — монотонная функция скачков,
т. е. функция вида
Xj<x
оо
где {*/}/Lt — СЧ9ТНЫЙ набор точек, а/>0, £а^<+оо. Прост-
ранство L2(R, do) разлагается в ортогональную прямую сумму
U (R, do) = Lf(R, doaC) 0 L2 (R, dosc) © L2 (R, dap). (1.19)
Если при этом рассмотреть оператор умножения на любую
функцию а(х), измеримую относительно do, то подпространства
.322

L2(R, doac), L2(R, dosc) и L2(R, dap) будут инвариантны
относительно этого оператора и любых функций от него. Оказывается,
аналог такого разложения имеет место для любого
самосопряженного оператора.
Теорема 1.7. Пусть А — самосопряженный оператор в сепара-
бельном гильбертовом пространстве Ж. Тогда пространство Ж
можно единственным образом разложить в ортогональную
прямую сумму подпространств
ж=зеас®ж%с®шр, (1.20)
где подпространства 5S?aC,55?sc и fflp инвариантны относительно
оператора А и всех функций от него и обладают следующими
свойствами:
если f^Zeac, то мера d{E%fy f) на R абсолютно непрерывна по
мере Лебега;
если /&9#sc, то мера d(EKf, f) на R чисто сингулярна по мере
Лебега;
если /^<3ίίρ, то мера d(EKf, /) на R является чисто точечной.
Доказательство. Пользуясь спектральной теоремой, мы можем
представить Ж в виде конечной или счетной ортогональной
прямой суммы
5Sf = ©L2(R,d(T/).
/
Разлагая каждую меру Ат/ в сумму вида (1.18)
dOj = d(Jjtac + dOjtSC + dOjtPi
мы можем теперь написать
Жас = ΘL*(R>daf,ac), Sftsc= 0L2(R,daitU)99ep = ®L2(R.da!tP)9
/ / /
что дает разложение (1.20), обладающее требуемыми свойствами.
Докажем единственность этого разложения. Для этого
достаточно определить подпространства &£aC>&CSc>fflP способом, не
зависящим от выбора спектрального разложения. Это легко
сделать следующим образом. Отметим, что Жас состоит из всех таких
/&2^, что мера d(EJt f) абсолютно непрерывна по мере Лебега на
R. Поэтому Жас однозначно определено. По аналогичной причине
однозначно определены fflsc и Жр. Щ
Укажем принятую терминологию. Спектр оператора А в Жас
называется абсолютно непрерывным спектром оператора А и
обозначается аас(А). Спектр оператора А в Жвс называется
сингулярным спектром и,обозначается osc(A). Спектр оператора А в
ЖР называется точечным спектром и обозначается <тр(Л). Если,
например, подпространство Жзс отсутствует (т. е. состоит только
из нуля), то мы будем говорить, что оператор А не имеет
сингулярного спектра, и писать, что esc(A)=0. ЕслпЖScШЖР = {0}t
то говорят, что оператор А имеет абсолютно непрерывный спектр,
и т. п.
323

9. Задачи и упражнения.
1. Пусть А — самосопряженный оператор с чисто точечным
спектром (т. е. из собственных векторов оператора А можно
составить базис). Доказать, что оператор А имеет простой спектр
тогда и только тогда, когда любые два собственных вектора этого
оператора с одним и тем же собственным значением
пропорциональны. Когда система перестановочных операторов с чисто
точечным спектром имеет простой совместный спектр?
2. Пусть Ж — пространство функций на R", суммируемых с
квадратом по мере Лебега; А\>...,Ап — операторы умножения р.а
координату: (Aif) (xu...,xn)=Xif(xu.„,xn). Доказать, что
операторы Ль ...,Ап имеют простой совместный спектр/
3. Пусть А — самосопряженный оператор с простым спектром
А = j kdEj, и / — циклический вектор. Доказать, что вектор
—set
g — циклический тогда и тольк© тогда, когда мера d(Exf, f)
абсолютно непрерывна по отношению к мере d(Exg> g).
Сформулировать и доказать аналогичный результат для системы
перестановочных самосопряженных операторов.
4. Пусть известно, что всякий оператор, перестановочный с
самосопряженными операторами Ль> Лг^.., Ап (перестановочными
между собой), имеет вид <р(Ль ..., Л„). Доказать, что операторы
Ль ..., An имеют простой совместный спектр..
§ 2. ОБОБЩЕННЫЕ СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
1. Предварительные замечания.
Рассмотрим оператор id/dx на всей прямой, т. е. оператор
/—*if в L2(R, dx), где dx — мера Лебега на вещественной прямой
R, с областью определения — множеством таких абсолютно
непрерывных функций /eL2(R), что ifeL2(R). Легко проверить, что
этот оператор самосопряжен, и спектральное разложение его
дается преобразованием Фурье, однако в L2(R, dx) он не имеет ни
одной собственной функции, даже с собственными значениями,
принадлежащими спектру, поскольку если if/==^/, то f(x)=ce~i'Kx>.
a eiKx не принадлежит L2 ни при каком λ. Все же, как показывает
опыт применения преобразования Фурье в анализе, очень
полезно считать e~iKx при вещественном, λ ортогональными
собственными функциями оператора idjdx, поскольку по этим функциям по
теореме Планшереля' однозначно разлагается любая функция /:.
/(*)« j Γ(λ)*-^λ, (2.1)
JO
где /(λ) однозначно определено и вычисляется по формуле
Γ(λ)=™ j f{x)e*xdxy (2.2)
324

причем выполнено равенство Парсеваля
||/(λ)|^λ = 2π j \f{x)\4x. (2.3)
Другой пример — оператор умножения на χ в L2(R, dx).
Собственная функция φ с вещественным собственным значением λ,
если бы она существовала, должна была бы равняться 0 при
χΦλ и при этом быть ненулевым элементом L2. Это, конечно,
невозможно, однако если пространство L2 соответствующим
образом расширить, включив в него некоторые обобщенные функции, а
именно δ-функции Дирака, то оператор умножения на χ тоже
будет иметь полную систему собственных функций и будут
выполнены соотношения, аналогичные (2.1) — (2.3).
В этом параграфе будет указано, каким образом нужно
расширять исходное пространство, чтобы в расширении содержались
собственные функции любого самосопряженного оператора,
которые образуют полную ортогональную систему, так что выполнены
аналоги соотношений (2.1) — (2.3).
2. Операторы Гильберта—Шмидта.
Определение 2.1. Ограниченный линейный оператор К'.2в\^3бь
определенный на всем Жи. называется оператором Гильберта—
Шмидта (сокращенно Г.—Ш.), если для некоторого
ортонормированного базиса {еа} пространства Зв\ конечна следующая сумма:
W = £lW- (2·4)
α
Неотрицательное число ||/С||2 называется нормой Г.—Ш. операто*
ра/С.
.Очевидно, корректность определения WKL· нуждается в
доказательстве.
Имеет место
Предложение 2.1. Если К есть оператор Г.—Ш., т. е. сумма
(2.4) конечна для некоторого ортонормированного базиса {еа}> то
•она конечна и для любого другого ортонормированного базиса
{ва} и все такие суммы равны. Далее, сопряженный оператор тоже
•есть оператор Г.—Ш., и при этом
ИК*112 = Ш2. (2.5)
Обычная операторная норма К связана с нормой Г.—Ш.
неравенством
11КИ<Ш12. (2.6)
Доказательство. Неравенство (2.6) получается
непосредственно.- Именно, если а = \]ааеа^ &£ц то
α
|| Κα |р = Ι £ α» Ke*\ < (£ | ά« | · | Щ * <
α α
325

<Σΐααΐ2Σ»*^=ΐ№·ΐ№
α α ч
Остальные утверждения предложения 2.1 получаются следующим
образом. Выберем в Жъ ортонормированный базис {/р}. Имеем
IW = £!(*««./э)!1·
β
Отсюда
ΣΙ№«1' =£|(е«,Г/з)р = £|Г/эр. (17)
α α.β β
Из этого равенства следует, что сумма (2.4) не зависит от выбора
базиса {еа}> а также равенство (2.5). ■
Замечание. В несепарабельном случае сумму (2.4) нужно
Донимать как верхнюю грань по всем конечным суммам. Если с(на
конечна, то в ней лишь счетное множество ненулевых слагаемых,
поскольку для любого ε>0 лишь конечное число членов ее мол$ет
быть больше ε. Поэтому правила обращения с такими суммами
не отличаются от правил обращения с суммами счетными.
Предложение 2.2. Всякий оператор Г.—Ш. вполне непрерывен.
Доказательство. Оператор Г.—Ш. легко аппроксимировать
конечномерными операторами в равномерной .операторной
топологии. Аппроксимирующие операторы можно выбрать, например,
записав:
Κα = £ (α, *„)**„
и затем оборвав эту сумму, полагая
N
Кма = £ (а>еп)Кеп.
Остается заметить, что
η=Ν+\
Предложение 2.3. Самосопряженный вполне непрерывный
оператор Τ есть оператор Г.—Ш. тогда и только тогда, когда рхо-
00
дится ряд V Хп2у , где λη — все ненулевые собственные
Значена
ния (каждое встречается столько раз, какова его кратность).
Это предложение очевидно, поскольку Τ имеет
ортонормированный базис из собственных векторов и сумма (2.4) в этом бази-
00
се принимает как раз вид V λΛ2.
.326

Предложение 2.4. В сепарабельном гильбертовом пространстве
существует такой оператор Г.—Ш. К'.Ж~+Ж, что /С=/С* и.
Кег/С=0.
Доказательство. Пусть е\, ..., еп, ... — ортонормированный базис
Ж Пусть λι,...,λη,... — такая последовательность чисел λ*>0,.
00
что V Xk2 < оо. Определим оператор К формулой:
/2=1
Этот оператор, очевидно, удовлетворяет всем условиям
предложения 2.4. И
Теперь мы изучим, что представляют собой операторы Г.—IIL
в пространствах суммируемых с квадратом функций.
Предложение 2.5. Пусть Ж± = L2 (Μΐ9 α'σ/), Жг = L2 (Λί2, da2).
Оператор К'-Ж\-+Жч есть оператор Г.—Ш. тогда и
только тогда, когда существует такая функция
Ж (m2, m^ e L2 (Λί2 χ Aflf dtf2 X аог),
что оператор /С записывается с помощью Ж{т^ тх) в виде
(Ка) (т2) = § Ж (щ, щ) а (щ) dat. (2.8)
Αίι
При этом функция Ж(т2у т{) определена однозначно (с точно*
стью до ее значений на множестве (άβ2Χdo{)-меры 0) и
ΙΙ^ΙΙ^^ΠΙ^Κ^ι)!'2^^. (2.9>
Замечание. Функция Ж(т2у тх) называется ядром (в смысле
Л. Шварца) оператора /(. Теорема Л. Шварца о ядре (см. Морен
*[1]) утверждает возможность записи в виде (2.8), но с помощью
более общих («обобщенных») ядер, широкого класса операторов
К (например, любых ограниченных).
Доказательство предложения 2.5. Выберем в Ж\ и Жч
полные ортонормированные системы функций {еа(гп\)} и {/р(т2)}
соответственно.
Пусть К — оператор Г.—Ш. Запишем Ка, используя базисы
К) и {/,}:
Ка = К(% (α, *«) еа) = £ (α, еа) Кеа =
=Ϊ№«.β)(β,β«)/ρ. (2Л0)
α.β
Заметим, что в силу (2.7)
ΙΙ^«22=ΣΚ^α,/β)|2.
Функции {fp(rri2)ea(mi)} образуют ортонормированную полную
систему в пространстве L2(M2XMU do2Xdai) (ее ортонормиро-
327

ванность очевидна, а полнота следует из того, что если
Я F (ma> щ) f p (m2) еа(щ) da2 da1 = О
лри всех α, β, то из полноты системы {еа} следует, что при почти
всех πΐ\ функция f-F(m2y mx)f%{m2)da2 должна обращаться в 0 и
теперь в силу полноты {/J функция F(m2f m\) равна 0 почти
всюду). Поэтому мы можем образовать функцию Ж(1Щ, тх) по
формуле
X (т2. щ) = Σ (&*, /β) /β (т2) М^ (2.11)
так что окажется, что Ж{т2у mi)^L2(M2xMu da2Xdoi) и при
этом
IIЯ* Κ,/Π^Αΐ,χΑί^ίσ,χ^) = ΣΙ (**α./β)|2 =||*1з2.
-а сам оператор /С в силу (2.10) записывается формулой (2.8).
Осталось лишь доказать, что всякий оператор с квадратично
суммируемым ядром, т. е. оператор вида (2.8), есть оператор
Г.—III. Но это уже совсем легко получить, разложив Ж(т2у тх)
ло базису и^(пц)еа(т1)}:
Ж(Щ,Щ)=£^Ч$(щ)ё^& (2.12)
α.β
где VUaP|2<cx>, и заметив затем, что в силу (2.7) оператор,
α.β
задаваемый формулой (2.8), имеет норму Г. — Ш., равную
Σ | с<# 12, поскольку Кеа = Υ с<*$ /β. ■
«* ■ β
3. Оснащения гильбертова пространства.
1. Пусть 36 — гильбертово пространство, скалярное
произведение и норма в котором обозначаются (·,·) и ||·||.
Предположим, что задано некоторое вложенное в 36 банахово пространство
,3/6+ с нормой || · ||+.
Обозначим через / оператор вложения
]. л,+~*^ Jt>-
Оператор / мы будем в дальнейшем предполагать непрерывным
(т. е. таким, что существует такая постоянная С>0, что
||*||<СЫ+ для любого х^36+). Введем пространство 36~
непрерывных антилинейных функционалов на пространстве <Ж+, т. е.
функционалов 1(h), удовлетворяющих условиям:
/(λ*! + μ/ι2) = %l(hx) + μ/(/ι2)ΛΑ = 5Sf+
\lM<Ci\hh9he=9e+.
Эти функционалы будут записываться также как .(/*_, /г+), h+^36+.
Введем в 36- естественные операции сложения и умножения на
.328

число. По определению (λΛ_/+μ/ζ_", h+)-k(hJ9 Α+)+μ(Α-". Α+)»
Имеется естественное линейное отображение
которое каждому вектору Ае9# сопоставляет элемент /*ft&5#-f
определяемый формулой
(/*Л, ή+) = (/г, jh+) = {К А+), Л+^^+,
что в силу непрерывности / действительно задает непрерывный
антилинейный функционал на пространстве 36+. При этом если
36+=lmj плотно ъШ , то Кег/* = 0, т. е. /* есть вложение, что и
будет предполагаться в дальнейшем.
Далее, в 36- естественным образом вводится норма по
формуле
|A-I-= sup |(А-,А+)|.
IIA+ll+=l
Легко проверить, что /* превращается тогда в непрерывный
линейный оператор из 36 в 36-.
Итак, мы имеем тройку пространств
36+^.36^.36-, (2.13)
где 36 — гильбертово пространство, 36+ — плотно вложенное в
36 банахово пространство, 36- — пространство
непрерывных антилинейных функционалов на 36+. При этом
естественное спаривание пространств 36- и 36+,
сопоставляющее каждым h-^36- и h+^36+ значение (7i-, h+)
функционала А_ на векторе А+, есть продолжение скалярного
произведения в 36, т. е. если h-^36a36-, то скалярное произведение (ft-,
h+) в 36 в точности равно значению функционала А_ на векторе
h+ (и тем самым обозначение (А_, A-j.) непротиворечиво).
Положим по определению
(h+,h.) = {hij;)
{правая часть, являющаяся определением левой, есть комплексно-
сопряженное число к числу (А_, А+), равному значению^
функционала А_ на элементе h+). Это обозначение также не противоречит
обозначению скалярного произведения в 36.
Определение 2.2. Описанная выше тройка пространств (2.13)
называется оснащением пространства Ж
Заметим, что если 36+ — гильбертово пространство со
скалярным произведением (·,·)+, так что \\xf+ = (x,x)+,x<^S%+> то
36- также является гильбертовым. Для доказательства
достаточно заметить, что имеющееся в этом случае естественное
отображение 36+-^36-, сопоставляющее каждому h+^36+
антилинейный функционал на 36+ по формуле lh (χ) = (h+,x)+,x^ffl+,
является изометрическим изоморфизмом 36+ на 36-, что позволяет
перенести скалярное произведение из 36+ в 36- '
329

2. Мы приведем теперь одну важную конструкцию оснащения
с помощью некоторого оператора в пространстве Ж. Пусть задан:
такой непрерывный линейный оператор
К:Ж-+Ж,
что Кег 7(=Кег/С* = 0, т. е. К ничего не переводит в 0 и имеет
плотный образ.
Положим Ж+= КШ и определим в Ж+ скалярное
произведение формулой
(Щ лА)+=(А, А). (2.14)
или, что то же самое;
(A+f h+)+=(K~lh+y K-lh+).
Из непрерывности К вытекает непрерывность
соответствующего оператора вложения j.
Предложение 2.8. Пусть оснащение (2.13) построено по
оператору К в пространстве 36. Тогда пространство Ж- получается·
из 36 пополнением по норме, определяемой скалярным
произведением
(йь А2)_=(/С*Ль K*h2), К А2еД (2.15) *
где /С* — сопряженный к К оператор в пространстве 36.
Доказательство. Достаточно проверить, что при h^36
справедлива формула
Hfcll-'HItfW,
причем 36 плотно в 36- в топологии 36—
Имеем
(ft, ft+) = (ft, К(К-Щ)) = (K*h9 Krlh+),
откуда
ЦЛ|_= sup |(А,А+)| = SUP I(A.M =
ПЧ(1+=1 luC\il=i
= sup \{К* ft, К-1 Μ = SUP IW Л. Μ = I * * * I-
"к'Ч"-1 |^,{Li
Заметим теперь, что если бы <5# было неплотно в Ж-, то
нашелся бы такой вектор h+^36+t что h+ФО, но (А, А+)=0 для
любого АбЖ Последнее противоречит тому, что 35? + вложено а
_ Замечание. Оператор /С* продолжается до изометрии (тоже
обозначаемой К*)
К* : Ж--+36,
в то время как оператор К задает изометрию
330

Определение 2.3; Оснащение (2.13) называется оснащением
Гильберта—Шмидта, если оно построено так, как описано выше,
по оператору К> являющемуся оператором Гильберта—Шмидта в
пространстве 36 (оператор К рассматривается в э!юм определении
как оператор из ffl в Ж, а не из Ж в Ж+).
В дальнейшем будет показано, что в пространстве 36-
расширения Гильберта—Шмидта содержится «достаточно много»
обобщенных собственных функций любого самосопряженного
оператора в пространстве 36.
4. Обобщенные собственные функции.
Пусть Μ — пространство с мерой do. Пусть, кроме того,
заданы самосопряженный оператор А в гильбертовом пространстве^
и определенная почти всюду на Μ вектор-функция Ф(т), гп^Му
со значениями в пространстве 36- некоторого оснащения (2.13)
гильбертова пространства 36.
Определение 2.4. Вектор-функция Φ (m) называется полной
системой обобщенных собственных векторов или функций
оператора Л, если выполнены следующие условия:
а) для любого ft+&3#+ числовая функция. (А+, Ф(ш)) на Μ
принадлежит пространству L2(M," do);
б) отображение h+-+(h+y Ф(т)) продолжается до унитарного
«оператора U :36-+L2(M, do);
в) существует такая измеримая и почти везде конечная на Μ
вещественнозначная функция а=а(т), что
A = U-*aU,
где а — оператор умножения на функцию а = а(т) в L2(My do),
т. е. оператор U превращает самосопряженный оператор А в
оператор умножения на а(т).
Следует обсудить, почему векторы Ф(т) называются
обобщенными собственными функциями оператора А. Это, по
существу, содержится в пункте в) определения 2.4. Заметим, что в силу
самосопряженности оператора А вектор f^$6 является
собственным для А с собственным значением λ (т. е. f^DA и Af=Xf)
тогда и только тогда, когда
(f,Ag)=k{f9 g) (2.16)
для любого g^DA. Если /&Ж-, то обе части (2.16) имеют смысл
лри тех g^DA{]36+y для которых Ag^S%+> т. е. при ge А-155?+Π
Π Ж+- Оказывается, аналог (2.16) (и даже более общее
утверждение) верно для /=Ф(т) при почти всех т^М (с λ=
= a(tn)).
Пусть φ (λ) — такая комплекснозначная функция
вещественного переменного λ, что у(а(т)) измерима и почти везде конечна
на М\ так что можно образовать оператор φ (Л) =U~x^(a(m))U
(такие функции φ(λ)ι мы будем здесь для краткости называть до-
1 Напомним, что измеримость комплекснозначной функции равносильна
измеримости ее вещественной и мнимой частей.
331

пустимыми). Если /<ξξΑ4, Ж) и Af=Xf, то φ(Λ)/='φ(λ)/!, и мы
имеем
(L Φ(^)^)=φ(λ)(/, g), ^Οφ(Α), (2.17)
где φ — комплексно-сопряженная κ φ функция. При φ(λ)=λ из
(2.17) долучается (2.16).
Пусть теперь Ф(т) — полная ортогональная система обобщен-,
ных собственных функций оператора А в оснащении (2.13),
φ (λ) — допустимая функция, geSSf+П <р(А)-г$%+9 т. е.
g^3$+C[Dr${A) и q)(A)g^3%?+. Тогда по определению φ(/4) имеем;
(Ф(т), ф(А)Л-хр(а(т))(Ф(т), г) (2.18)
при почти всех теМ. Обозначим через MgczM подмножество Му
на котором ц>(а(т)) конечно и имеет место (2.18) (мера M\Mg
равна 0). Это множество может, к сожалению, зависеть от g> что
не .позволяет записать (2.18) для отдельно взятого вектора Ф(/п)
ни при каком т^М. Чтобы избавиться (хотя бы в. некоторых
случаях) от этой зависимости,'нам понадобится
Лемма 2.1. Пусть (р(А} + есть оператор в Ж+ с областью
определения Ж+[\ (у{А)~хЖ+)у совпадающий на ней с φ(Λ). Тогда
φ {А)+ замкнут.
Доказательство. Еслц xn^Ze+{\D ?(A), щ(А)хп^Ж+ и. при этом
\\Хп—*II+-M), \\(f(A)Xn—y\\+->Q при п-^+оо, то \\х*—х\\-+0.
\\у(А)Хп—г/||-^0 при я-^+оо, и поэтому в силу замкнутости φ (Л)
в пространстве Ж мы получаем х^О^щ и у(А)х=у, что и
требовалось. И
Из этой леммы сразу вытекает
Предложение 2.9. Пусть пространство Зё+ сепарабельно (т. е.
имеет счетное всюду плотное множество). Тогда существует такое
множество* Μ0αΜ полной меры (т. е. da(M^M0) =0), что при
теМ0 соотнбщение (2.18) имеет место при всех
веЗР+ПЙИГ1^).
Доказательство. Выбрав в графике оператора ф(Л)+, который
сепарабелен как подпространство в 5^+©55?+> счетное всюду
плотное множество {gi, <p(A)gi}, ί=1, 2,... можно положить
ί=1
Тогда (2.18) при гпееМ0 и g е ^+П (ψ И)~1 $?+) получается
предельным переходом из соответствующих равенств для gi с учетом
того, что Ф(т) есть линейные непрерывные функционалы на Ж+.
Предложение 2.9 доказано.
Замечание. В предложении 2.9 иногда можно добиться
равномерности по некоторому семейству допустимых функций φ. Для
1 Если λ — собственное значение оператора Л, то φ (λ) автоматически ко
нечно, так как в этом случае множество {т:а(т)—Х} должно иметь положи
тельную меру, а на нем (р(а(т)) =φ(λ).
332

этого достаточно, чтобы проекции gi счетного плотного в графике·
ф(Л)+ множества можно было выбрать не зависящими от
функции φ рассматриваемого семейства. Мы отметим еще, впрочем, что
требование, чтобы (2.18) имело место при всех gy для которых
оно имеет смысл, является слишком жестким и не необходимо для
изучения обобщенных · собственных функций. В дальнейшем мы
еще вернемся к этому вопросу.
Продолжая обсуждение определения 2.4, введем для /^<3#+
его «преобразование Фурье»:
f("0-(f, 0(m))eL»(Aff da). (2.19)
Имеющее место по определению равенство Парсеваля
«ΑΡ = ]Ί/ΗΝσ (2.20)
Μ
позволяет доопределить «преобразование Фурье» для f^3&. При
этом имеет место «формула обращения»:
/= ijf(m)<b(m)day (2.21)
Μ
которую нужно понимать «в слабом смысле», т. е. как тот факт,
что при .любом !г+^3ё+ справедлива формула
(/, h+) = J J(m) (Φ(m), Λ+) da. (2.21')
Λί
Это сразу следует опять-таки из изометричности «преобразования
Фурье»: равносильная запись (2.21) имеет вид
(/, А+) = \}{m)h+{m)da.
м
Формулы (2.19) — (2.21) обобщают формулы, связанные с
обычным преобразованием Фурье. Каким именно образом
вкладывается сюда обычное преобразование Фурье, будет объяснено
несколько позднее.
5. Теперь мы можем сформулировать и доказать основную
теорему.
Теорема 2.1. Пусть даны некоторое оснащение Гильберта —
Шмидта (2.13) пространства Ж и самосопряженный оператор А
в Ж Тогда в оснащении (2.13) существует полная ортогональная
система обобщенных собственных функций оператора Л.
Доказательство. Воспользуемся теоремой 1.1 и реализуем
оператор А как оператор умножения на а(пг) в пространстве Μ с
мерой da. Пусть U — соответствующая изометрия:
U:3e-+L*(M, da)
(она играет роль «преобразования Фурье»). Перенесем оснащение
(2.13) в пространство Ι2(Λί, da) с помощью изометрии £/, строя
оснащение пространства L2(M, da) с помощью оператора UKU~l,
333

где К — оператор Гильберта—Шмидта, с помощью которого было
построено оснащение (2.13).
В дальнейшем для упрощения обозначений будем сразу
считать, что Ж=Ь2(М, da) и Л — оператор умножения на а(т).
Оператор Гильберта—Шмидта K:L2(M, da)->L2(My da), с
помощью которого строится оснащение, записывается в виде
(Kf) {тг) = ^УС(тъ т2) f (т2) da (m2),
Λί
где Ж(ть m2)^L2(MxM, daXda), а запись da(m2) означает,
что интегрирование ведется по второму переменному.
Отметим, что <5ϋ+ состоит из всех векторов вида » л/, причем
ΙΙΚ/ΙΙ+-11/11.
В качестве функционала Φ (/π) на Ж+ мы возьмем «δ-функ-
цию» в точке т, т. е. по определению
(g> ®(tn))=g(m), geX+.
Полагая g=Kf, мы видим, что
(g> Φ (т)) = (/С/, Φ (m)) = J X (m, m2)f(m2) da (m2).
Λί
По теореме Фубини при почти всех т^М будет
j | X (т, т2) |2 da(m2) < + оо,
м
откуда следует, что при этих т^М
||Ф(т)|Ц= f \Х(тут2)\*аа(т2)<+оо,
Λί
так что Ф(т) действительно определено при почти всех т&М.
Остается заметить, что в данном случае «преобразование Фурье»
есть тождественное отображение L2(M, da) в L2(Mt da). H
6. Мы приведем еще некоторую конструкцию, которая может
служить дополнением к теореме 2.1.
Пусть наряду с оснащением (2.13) и самосопряженным
оператором А в Ж задано некоторое семейство допустимых функций
#~={φ} и топологическое векторное пространство £0, непрерывно
вложенное в Ж+ и плотное в нем, причем выполнены условия:
а) ц>{А)3>аЗ), φ*Ξ#";
б) φ (Л) — линейный непрерывный оператор в 3) при φ^#~.
Обозначая через 3)' пространство непрерывных антилинейных
функционалов на 20 (топология в ЗЬ' нам несущественна), мы
будем иметь вложения:
Как обычно, обозначая значение функционала /eiZ)' на
элементе g^3) через (f, g) и полагая (g, /) = (/, g"), мы можем оп
ределить операторы "φ (Α)(ψ^&~) на 2)', полагая
.334

(φ (Λ)/, £)==(/> φ (A)g), /<=®', g<=®.
Очевидно, ф(Л)^ есть продолжение оператора φ (Л), при
f^D^A) мы имеем <р(Л)/=(р(Л)/\
Пусть теперь существует такое множество М0аМ полной
меры, что соотношение (2.18) верно при всех т^М0, g^S) и
φ^^ (в частности, это верно, когда £? содержит лишь конечное
число функций φ, а пространство Ж+ сепарабельно — см.
предложение 2.9). Тогда при т<=М0 и φ^^* мы имеем, очевидно:
1р(Д)Ф(т)=ф(а(т))Ф(т) (2.22)
(Ф(т) здесь рассматривается как элемент £)').
Соотношение (2.22) часто оказывается удобным при изучении
дифференциальных операторов, когда 3) — некоторое
пространство гладких функций, 3)г — пространство обобщенных функций,
φ (Л) — применение оператора φ (Л) «в смысле обобщенных
функций». Это соображение подробно развито в следующем пункте. ,
7. Обобщенные собственные функции дифференциальных
операторов.
Мы будем рассматривать линейные дифференциальные
операторы на интервале (α, β) прямой R, где а может быть равно —оо,
а β может совпадать с +оо, с бесконечно дифференцируемыми
коэффициентами, т. е. операторы вида
Lu (χ) = а0 (χ) -gL + ai W £^ +...am(x) a, (2.23)
где ai(x)^C°°((a, β)), а0(х)фО при χ<=(α, β).
Про оператор вида (2.23) мы будем говорить, что он имеет
порядок т.
Для оператора (2.23) образуем формально сопряженный
оператор L+:
17и(х) = (-1Г dm^u(x)) +
; ' dxm
+ (_ 1у-г ^fag'W) + ... + ^ «(*). (2.24)
ах*'1 λ
Очевидно, L+ тоже есть линейный дифференциальный оператор
порядка т. Операторы (2.23) и (2.24) мы будем рассматривать
вначале на области определения С0°°((а, β)): пространстве всех
бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем,
принадлежащим интервалу (α, β). Легко видеть (это проверяется
интегрированием по частям), что если и, у^С0°°((а, β)), %ο имеет
место тождество:
(Lu9 v) = (u, L+ό), (2.25)
335

где
β
("ι, ti2) = \u1(x)u2(x)dx,
a
dx — мера Лебега на (α, β).
Будем в дальнейшем полагать 3> = С0°°((а9 β)) причем в 3)
вводится обычная топология, так что пространство непрерывных
антилинейных функционалов ЗУ есть пространство обобщенных
функций на интервале (α, β).
Заметим, что L :3)-+2) есть непрерывный линейный
оператор, так что в соответствии с п. 6 определен оператора: 25'-+·25',
т. е. оператор, который функционалу f^3)' ставит в
соответствие функционал £f^3)', для которого по определению имеет
место равенство
(φ, If) = (£+φ, /).
Отметим, что если считать 3) естественным образом вложенным'
вЗ)':
®cL2((a,p))c3)',
то оператор С есть расширение оператора L на 3)', что
очевидным образом следует из тождества (2.25).
Если оператор L имеет в L2((a, β)) самосопряженное
расширение А, то L = L+ (симметричность ,на 3)), и если 3) играет ту
же роль, что и в п. 6, то обобщенная собственная функция
оператора А с собственным значением λ является собствейным
вектором оператора L = L+ с собственным значением λ. Заменяя
L на L—λ, можно считать, что нас интересует лишь нулевое
собственное значение.
Имеет место
Предложение 2.10. В описанной ситуации обобщенные
собственные функции оператора А являются на самом деле
обычными бесконечно дифференцируемыми функциями на интервале
(α, β)1·
Это предложение очевидным образом вытекает из
следующего более общего предложения.
Предложение 2.11. Если £*/=/, где /<=С°°((а, β)), то
и€=С.((а, β)).
Это хорошо известное утверждение теории обобщенных
функций о том, что обобщенное решение обыкновенного
дифференциального уравнения с отличным от 0 старшим коэффициентом яв-
1 Отметим, что несмотря на это они могут не принадлежать L2((«, β)) из-
за их роста при приближении к концам интервала (α, β). Тем более они не
обязаны принадлежать DA, даже если они принадлежат Ι2((α, β)).
336

ляется гладкой функцией. Мы опускаем его доказательство (см.
Шилов [2]).
Теперь для того чтобы обеспечить возможность применения
теоремы 2.1 к операторам А указанного типа, нам остается
научиться строить оснащения L2((<x, β)), для которых 3) π 3)'
можно выбрать такими, как здесь обсуждалось. Очевидно,
достаточным для этого является следующее предложение:
Предложение 2.12. На любом интервале (α, β) существует
дифференциальный оператор L с бесконечно дифференцируемыми
коэффициентами, имеющий такое самосопряженное расширение Л,
что Л-1 существует и является оператором Гильберта—Шмидта.
Доказательство, Очевидным образом достаточно рассмотреть
3 случая:
случай конечного интервала (в качестве которого мы будем
брать для простоты интервал (0, π));
случай всей оси, т. е. интервала^—оо, +оо);
случай полуоси, т. е. интервала (0, оо),.
1. Случай конечного интервала (0, π). В качестве оператора
L можно взять оператор —d2/dx2.. Самосопряженное расширение
А строится так: надо взять
Д4 = {/е=12(0,п); /=£ ansinnx, £ |αΛη*ρ<οο} >\
При этом
00 00 «
А (£ ап sin лх) =■■ J] п*ап sin пх = - -~ (Jj an sin пх},
л=1 л=1 п=1
где справа стоит d2/dx2 в смысле обобщенных функций.
Последнее равенство вытекает, например, из того, что сходящуюся
последовательность обобщенных функций можно почленно
дифференцировать. Легко проверить, что оператор А есть расширение L.
Он самосопряжен, так как очевидным образом реализуется как
оператор умножения на функцию в пространстве L2 на счетном
множестве точек, мера каждой из которых равна 1. Поскольку
V 1/п4<оо, то Л"1 есть оператор Г.—Ш.
п=1
2. Случай всей оси (—оо, +оо). В качестве оператора L мож-.
d2
но взять оператор (- х2, который есть оператор энергии
dx2
линейного осциллятора. В § 8 гл. I доказывается, что этот
оператор в существенном самосопряжен и замыкание его имеет
дискретный спектр с собственными значениями λη=2η-\-1, откуда
Σ1/λ2η<οο, а Л"1 есть оператор Г.—Ш.
1 Система функций {sin пх} является ортогональной и полной в £2((0, π)),
так как любую функцию на (О, π) можно нечетным образом продолжить на
(—-π, π) и затем разложить в ряд Фурье по синусам.
337

3. Случай полуоси (0, оо). В качестве L можно взять оператор
-- + хлу рассматривая его вначале на множестве таких
dx2
<реС°°([0, + оо)), что φ (я) обращается в 0 при достаточно
больших χ и <р(0)=0. Тогда собственными функциями его замыкания
будут, в частности, нечетные функции Эрмита (как следует из
формул, полученных в § 8 гл. I, собственные функции оператора
d* 2
~"Их** на все** оси являются либо четными, либо
нечетными, причем четность меняется при увеличении собственного
значения на 1). Отсюда замыкание такого оператора L является
самосопряженным оператором с собственными значениями 2k + 3/2,
k=0, 1, 2,..., причем соответствующие собственные функции
образуют ортонормированный базис в L2((0, +oo)) (последнее ясно
из того, что если функцию /^L2((0, +«>)) продолжить нечетным
образом на (—оо, + оо) и разложить продолжение по функциям
Эрмита, то в разложение будут вводить лишь нечетные функции
Эрмита, так как коэффициенты Фурье, по четным функциям
Эрмита обратятся в 0). Поэтому оператор A = L обладает
требуемыми свойствами (Л-1 — оператор Г.—Ш.). Ц
Возвращаясь к рассмотрениям п. 6, мы видим, что если
выбрать оператор А как в предложении 2.12, затем, вз^ть оператор
К=А~Х и построить по нему оснащение Г.—Ш., то при
а> = С^°((а, β)) мы будем иметь цепочку включений
где <3^=L2((a, β)). Но в этом случае 3)' есть обычное
пространство обобщенных функций на (α, β).
Поскольку & инвариантно относительно любых
дифференциальных операторов с гладкими коэффициентами, то при изучении
их обобщенных собственных функций мы находимся в ситуации,
описанной в предложении 2:10. Суммируя все сказанное выше, мы
получаем, что справедливо
Предложение 2.13. Пусть самосопряженный оператор А в
L2((a, β)) является расширением (с С0°°((а, β)))
дифференциального оператора L вида (2.23). Тогда существует такое осйсифЫие
Г.—Ш. пространства L2((a, β)), что:
1) справедливы включения
С? ((α, β)) с= Жл- с L* ((«, β)) ^Ж-аЗ)' ((α, β));
2) обобщенные собственные функции оператора А из полной
ортогональной системы, о которой идет речь в теореме 2.1, можно
считать принадлежащими .С°°((а, β)) и собственными для L в
обычном смысле.
Аналогичное утверждение'в многомерном случае можно
доказать для эллиптических дифференциальных операторов L (см.
Березанский [1]).
338

§ 3. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА
В этом параграфе мы опишем в абстрактной форме, как
изолированные собственные значения зависят от оператора при
некоторых изменениях оператора. Если оператор меняется мало, то
соответствующие приемы носят название теории возмущений
оператора. При этом весьма полезны вариационные принципы,
важные также для приближенного вычисления собственных значений.
1. Пусть А — некоторый самосопряженный оператор в
гильбертовом пространстве «5^, {Ек} — семейство спектральных
проекторов, составляющих разложение единицы оператора А.
Напомним, что в смысле сильной операторной топологии
£"λ+4)=Ελ при любом λ^Κ, и положим £\-o = lim£μ. Введем
μ<λ
функцию распределения спектра Ν(λ) оператора А по формуле
ΛΤ(λ)=Αίϊη(£*»)
(в частности, это число может быть равно +оо).
Полагая Ν(λ — 0) = ΗιηΝ(μ), мы получим, как легко видеть,
μ-*λ
μ<λ
Ν (λ—0)=dim(£,-o5i?).
Отметим, что, вообще говоря, Ν (λ + 0) = lim Ν (μ) не обязано
μ-*λ+0
совпадать с Ν(λ) (например, если А — оператор умножения на χ
в jM[0, 1], то iV(+0) = +oo, в то время как #(0)=0). В то же
время если Ν(λ+0) конечно, τα Ν(λ+0) =Ν(λ).
Лемма 3.1 (лемма Глазмана). Пусть D — такое линейное
многообразие, лежащее в DA, что оператор А . в существенном
самосопряжен на *D. Тогда для любого λ^Κ
Ν (λ — 0) = sup dim L.
LCD
(Au,tu)<X(u,u)
u€L\{0}
(3.1)
Доказательство. Докажем сначала, что если LczD' (L—
линейное многообразие) и (Аи> и) < λ (и, и) .при и е L\{0}, то dimL<
< Ν(λ — 0). В самом деле, если dim/, > Ν (λ — 0), то L Π (£λ_ο$?)χ Φ
φ{0}> так как если L П (£λ-ο55?)χ = {0}, то оператор £λ_0
отображает L ъЕ\-$£ инъективно, откуда ясно, что dim L < dim \Е%~&£) =
= Ν(λ — 0). Но если ие(£я_о5$?)х, то (Аиуи)^Х(иуи)у так что
существование ненулевого вектора u^Lf\(Ek-o3e) -1 противоречит
требованиям на L. Итак, dim L<N (λ—0), откуда следует, что
правая часть (3.1) не больше левой.
Проверим, что левая часть в (3.1) не больше правой. Заметим,
что £λ-ο = lim Ε (Ν, λ), где Ε (Ν, λ) = Ek-0 — ENy так что
Ν-+—*>
Ν(λ — 0)= lim dim [Ε (Ν,' λ)Щ.
N-+—OQ
339

Поэтому достаточно доказать, что dimf^, λ) не превосходит
правой части в (3.1) при любом Ν<λ. Выберем в Ε(Ν, Х)Ж
конечный или бесконечный ортонормированный базис, и пусть
{ей ..., ev) — любое конечное число векторов из этого базиса.
Достаточно показать, что ρ не больше правой части (3.1).
Поскольку Ε(Μ,λ)9£ aDAy то ej^DA при всех /=1,..., р. Поэтому мы
можем для любого ε>0 найти такие векторы ei,..., ep&D, что
Ik/ — */Ке. ЦА?,—Ле/Ке, /=1, ... ,р,
поскольку на D оператор А в существенном самосопряжен. Если
L — линейная оболочка векторов eit..., ёр, то при достаточно
малом ε мы будем иметь dimL = p (это следует, например, из
невырожденности при малом ε>0 матрицы Грама . 1Ке£> e^)tij^i
этих векторов, которая близка к единичной матрице, являющейся
матрицей Грама системы {ей..., ер}). Кроме того, при малом ε>0
для L будет выполнено условие, выписанное в (3.1). Поэтому мы
получаем, что ρ не превосходит правой части (3.1), что и
требовалось. Ш
В случае положительного оператора А иногда полезно от
рассмотрения оператора А перейти к рассмотрению соответствующих
квадратичной или полуторалинейной форм, имея в виду, что их
можно рассматривать на более широкой области определения,
чем Da. А именно будем считать сначала, что Л>/, т. е.
(Аи, и)>(и, и) при всех u^Da. Тогда положим
А (и, υ) = (Аи, и), и, hgUa.
Форма Λ(·, ·) является скалярным произведением на Da, и для
соответствующей нормы ||·||α выполнено неравенство IML>llw||,
где || · II — норма в Ж. Обозначим через Ж а пополнение DA по
норме 1|·IU. Тогда имеется естественное вложение Жа^Ш-
А именно, пределу в Ж а последовательности {хп}™=\>
лежащей в Da и фундаментальной по норме ||· На,,нужно
сопоставить предел той же последовательности в Ж, Получим
непрерывное отображение /:55?а->-&£- Проверим', что оно является
вложением. Для этого заметим, что в силу тождества \Аи, и) =
= (А{/2и, А1/2и) и оценки (Аи, и)^>(и, и).норма (Ы1А
эквивалентна норме ΙΙ-ΙΙΆ, определяемой по формуле
Ил=1Мр+цл1/2«|р(
так что ||и||'а — это норма пары{и, А1/2и] на графике оператора
Л1/2. Поскольку оператор Л1/2 замкнут, то его график является
банаховым пространством. Поэтому если рассмотреть область
определения DA\/2 с нормой II · ΙΙΆ, то она будет банаховым (и даже
гильбертовым) пространством. Но DA (с той же нормой)
изометрически вложено в DAi/2 и притом Da плотно в Dai/2 по этой
норме (это видно, например, из того, что в DA содержатся образы
34t

всех спектральных проекторов Ελ оператора Л, а из спектральной
теоремы легко выводится, что эти образы порождают в DA\/2
плотное подпространсхво по норме ΗΙΆ). Поэтому мы имеем
естественную изометрию Ж а = DA\/21 причем отображение
}'-Жа~+Жу определенное выше, представляет собой просто
стандартное вложение £>Л1/2С=$?.
Итак, мы можем считать, что Жа<^Ж, причем Ж а плотно
в Ж. Форма А (и, и) по непрерывности продолжается на Ж а
и задает скалярное произведение в Ж а-
Полезно перенести эту конструкцию на случай произвольного
полуогранйченного (не обязательно положительного)
самосопряженного оператора Л. Пусть Л>—а/, где cc^R. Положим А=А-\-
+ (а+1)/. Тогда А самосопряжен и Л>/, так что мы можем
применить только что описанную конструкцию. Мы йолучим
гильбертово пространство Ж а, которое будем по-прежнему обозначать
Ж а. На нем определена полуторалинейная форма Л(·, ·):
А (и, ν)=Α(ιι, ο) —(α+1)(α, ό)κ
получаемая продолжением по непрерывности формы (Аи, ν)
(заданной на Da). Теперь мы можем сформулировать полезный
вариант леммы 3.1.
Лемма ЗЛ'. Пусть А — полуограниченный снизу
самосопряженный оператор, D — линейное многообразие, лежащее в Жа
и плотное в Ж а (по его норме). Тогда для любого X^R
N(X — Q)= sup dim L.
L<ZD (3 1'\
u£L\{0)
Доказательство аналогично, доказательству леммы ЗЛ.
Единственная разница состоит'в том, что во 2-й части доказательства
векторы ей ·.·> ер надо приближать векторами ёи .·., ev^O по
норме пространства Ж а. Детали предоставляются читателю в
качестве упражнения. ■
Иногда полезен еще один (более простой) вариант леммы 3.1,
в котором в чистом виде оценивается Ν(λ).
Лемма ЗЛ"; Для любого самосопряженного оператора Л и для
любого K^R верно соотношение
Ν (λ) = sup dim L.
l^da (ЗЛ")
(Au,u)^%(u,u) x '
Доказательство. Нужно повторить рассуждения из
доказательства леммы.3.1 с тем упрощением, что аппроксимация векторов е$
векторами ej теперь не нужна. ■
Предложение ЗЛ. Пусть для двух самосопряженных
операторов Αι и Л2 существует такое линейное многообразие Д что А^
и Л2 в существенном самосопряжены на D и выполнено
неравенство
(Aif>f)<(A2fif)f fZED.
341

Тогда если Νί(λ) и Ν2(λ) — функции распределения спектра А%
и Л2, то
^(λ + 0)>^2(λ+0), XgeR; (3.2)
#ι(λ — 0) >ЛГ2(λ — 0), λ£ R. (3.3)
Если дополнительно предположить, что Д^ = Л42>то
ΛΜλ)>ΛΜλ), Яе-Н. (3.3')
Доказательство. Поскольку множество точек скачка
монотонных функций Nj(X) не более чем счетно, то ясно, что (3.2)
вытекает из (3.3). Неравенство же (3.3) вытекает из леммы 3.1. Для
доказательства (3.3') надо воспользоваться леммой 3.1", заметив,
что неравенство (A if, f)<(A2f, f) по непрерывности . (в норме
графика) продолжается с D на Daxz= Da2. ■
Следствие 1. Если At, Аг удовлетворяют условиям
предложения 3.1, оператор Ах полуограничен снизу и при некотором Х^Я
его спектр, лежащий на (—оо, λ) дискретен, т. е. состоит лишь из.
изолированных собственных значений конечной кратности, то то же
самое верно и для А2. При этом для сумм кратностей Νι(λ—0) и
Ν2(λ—0) этих собственных значений имеет место неравенство (3.3)·
Доказательство, Если Ai>CI, то весь спектр оператора At
лежит на [С, +оо). Поэтому при любом λ'<λ спектр этого
оператора, лежащий на (—оо, λ') (или, что то же самое, на [С, λ'))>.
состоит лишь из конечного числа собственных значений конечной
кратности. Но это равносильно тому, что Νι(λ'—0)%<+оо, а тогда
то же самое верно для оператора Аг, что дает требуемое
утверждение, так как λ'<λ можно выбрать произвольно. ■
Следствие 2. Пусть операторы Аи Л2 удовлетворяют условиям
предыдущего следствия (при некотором λeR) и пусть λι< λ2<...
и λι< λ2< ... — последовательности их собственных
значений (с учетом кратности1), лежащих на (—оо, λ) и
упорядоченных по возрастанию (эти последовательности или одна из них
могут содержать и конечное число членов). Тогда если λ*
определено при некотором k= 1,^2,..., то Ik также определено и λ* > λ* -
Доказательство. Если λ* определено, то λ£<λ и ΛΓ2(λ*)^£-·
Но тогда в силу неравенства (3.2) мы получаем, что Nx(kk) ^-k>
откуда следует, что λ^<λ^, что и требовалось. j£
Следствие 3. Пусть оператор А полуограничен снизу, причем
епектр его на (—оо, λ) дискретен, а оператор В самосопряжен и
ограничен. Тогда при λ'<λ спектр оператора А+гВ на (—оо, λ')
при достаточно малом eeR тоже будет дискретен, причем
собственные значения λη(ε) оператора А+гВ (упорядоченные по
возрастанию, как в следствии 2) будут непрерывными функциями
от ε.
1 Это значит, что каждое собственное значение повторяется столько раз»
какова его кратность.
№

Доказательство. Если Λί=||β||, то мы имеем, очевидно,
Л—εΛί/< А +гВ ^А +еМ1,
но если -{λη} — собственные значения А (на (—оо, λ')), то
собственные значения операторов А±гМ1 равны λη±εΛί, откуда в силу
следствия 2
λη—εΛί/<λη (ε) <λ*η+εΜ/.
Отсюда следует непрерывность λη(ε) при ε = 0, но то же самое
рассуждение с заменой А на А+еоВ показывает непрерывность λ^[ε)
при ε=βο. ■
В дальнейшем мы докажем более точное утверждение о
непрерывности (и даже аналитичности) λη(ε), чем следствие 3, с
помощью более точной техники.
Лемма Глазмана представляет собой один из вариантов
вариационного принципа для самосопряженных операторов. Сейчас мы
сформулируем другой вариант. Для этого вначале для общности
укажем, что можно понимать под λn,для произвольного
полуограниченного снизу самосопряженного оператора А. В случае,
когда А имеет дискретный спектр на (—оо, Я), то λι<λ2< ...—
соответствующие собственные значения (с учетом кратности), так
что если их бесконечное число (при некотором λ<+οο), ТО λη
уже определено при всех п. В общем случае воспользуемся
введенной выше функцией Ν(λ) и положим
Xn = sup{X : Ν(λ)<η}.
Таким образом, если, например, нижняя грань μο спектра
оператора А не является изолированным собственным значением
конечной кратности, то · .
λη = μο при всех л=1, 2,...
Предложение 3.2 (минимаксный принцип Куранта). Пусть
А — полуограниченный снизу самосопряженный оператор в
гильбертовом пространстве <?#, D —, линейное многообразие, на
котором А в существенном самосопряжен. Тогда
λι= inf -^f, (3.4)
λ„+1= sup inf -^J_> (3.5)
dim L=n f^tO
где LL — ортогональное дополнение к!вЖ
Доказательство. Ясно, что 1-я формула является частным
случаем второй. Далее, соображения непрерывности показывают, что
достаточно рассмотреть случай D=Da. Проверим это. Для любого
LczD мы имеем D = L + (Dfl £X) и DA = L + (DA П LL). Поэтому
оператор А\оАпь±- является замыканием оператора ЛЬпхЛ. Οχ*
343

сюда
ω MdL = inf -Hi»-.
fGUOL-L #■« /GD^nLl if·/) (3.6)
Проверим теперь, что правая часть (3.5) не изменится, если
заменить D на DA. Для этого удобно воспользоваться нормой
графика || · \\А на DA, определяемой по формуле
\\ПА = иГ + \\АП*> f^DA
(т. е. ||Л1а — это просто норма вектора {/, Af) <=5£ (£ 55?). Тогда
по условию D плотно в Da по этой норме. Пусть теперь LczDA>
dim L=n. Выберем в L ортогональный базис{еь ..., еп} и приблизим
каждый его вектор вектором из D по норме || · \\А, а затем ортого-
налкзуем полученную систему. В результате мы получим такую
ортогональную (в Ж) систему векторов ёи —, en^D, что
\\Sj—ej\\A<6, /=1,..., η, где δ>0 достаточно мало. Обозначим
через L линейную оболочку векторов eit..., ёп. Ясно, что LaD.
Пусть PLy Ρΐ — ортогональные проекторы (в Зё) на L и на L·
Они записываются формулами
из которых следует, что \Pbf — Pxf\U< 81/1|л, где ε=ε(δ)-4)
при δ-*Ό. Отсюда непосредственно получается, что
\\рЛ-Рт±Па<*\\Па>
где Рь±"=1 — Рь, Pl± = i~pl- Поэтому если /^ДаЛ^-Ч то,
полагая f = Pj;xf, мы получим /^ДаП^-1- и ||/—/||л<е, так что
мы видим, что если в правой части (3.6) заменить L на Г, то она
изменится на величину, стремящуюся к 0 при б->0. Поэтому
правая часть (3.5) не изменится, если в ней заменить D на DA.
Теперь проверим (3.5) с D=Da. Прежде всего, выберем в
качестве L любое я-мерное подпространство в ЕХпЖ, содержащее
Е%п-оЖ (это возможно, так как aim(E%fl£) =Ν(λη) = Ν(λη + 0) >
> η и dim (Εχη-<$£)=Ν (λη—0)<я в силу определения λη). Топда ясно,
что (Л/, /)>λΛ+ι(/, /) при f^L±, так что правая часть.в (3.5) не
меньше, чем λη+ι. Докажем обратное неравенство. Нужно
доказать, 4tq если LczDa, dim L = n, то можно найти такой ненулевой
вектор /&DAf]L-i-, что (Л/, /)<λη+ι(Α /). В качестве / можно взять
любой ненулевой вектор из Ε^ββίΜ1- (такой ректор
существует, так как a\m(Eb^1ffl)=*N('kn+\)>n+ 1), что доказывает
требуемое утверждение. ■
2. Теперь мы опишем важное средство теории возмущений —
проектор Рисса. Пусть спектр в (А) замкнутого оператора А в
Ш

гильбертовом пространстве 36 разбит на два непересекающихся
замкнутых подмножества Оо(А) и σι(Α), причем во(А) компактно.
Тогда существует такой непрерывный кусочно-гладкий замкнутый
контур Гс:С (быть может, состоящий из нескольких связных
компонент), что Г не пересекается с о (А), и часть о (А), лежащая
внутри Г, совпадает с σο (Л). Контур Г будем считать
ориентированным против часовой стрелки.
Определение 3.1. Проектором Рисса, соответствующим части
спектра σο (Л), называется оператор
p=-t$R>dz· (3·7>
г
тле Rz= (A-zI)-K
Легко видеть, что Ρ Не зависит от выбора контура Г при
заданном а0(Л). Поскольку Rz — голоморфная операторная
функция г, то Ρ — ограниченный линейный оператор в 3HS.
Можно показать, что Ρ всегда является проектором (т. е.
Я2=Я), но мы сделаем это лишь для самосопряженного А (случай
несамосопряженного А нам не понадобится).
Предложение 3.3. Пусть оператор А самосопряжен, Ρ — его
проектор Рисса, соответствующий компактной части 0о(Л)
спектра а(Л). Тогда если χο=χο(λ) — характеристическая функция
множества во (А), то Ρ=χ0(Α). В частности, если а, &^К\р(Л)
и оо(А)=а(А)(](ау 6), то Р=Е((а, Ь))=ЕЬ—Еа.
Доказательство моментально получается переходом к
спектральному представлению и применением интегральной формулы
Коши. ■
Роль проектора Рисса состоит в том, что он позволяет
исследовать зависимость собственных значений и собственных функций
от параметра, если сам оператор зависит от параметра. Сейчас
с помощью проектора Рисса мы докажем основное утверждение
о возмущении изолированного собственного значения конечной
кратности самосопряженного оператора.
Теорема 3.1. Пусть дана операторная функция Л (ε), где
ε^(α, &), обладающая следующими свойствами:
а) значения Л (ε) при всех ε^(α, b) представляют собой
линейные операторы (вообще говоря, неограниченные) в
гильбертовом пространстве Ж\
б) для некоторой точки εο^(α, b) оператор Л(ео)
самосопряжен и
A(<e)=A(bo)+G(b), (3.8)
где G(e) — такой симметрический оператор в 3@, что при
некотором Ζοξ£β(Α(εο)) операторы G(e)(A(eo)—zol)-1 всюду определены,
на Жу ограничены и аналитически (по операторной норме в
Ж) зависят от ε;
в) дана точка λο^Κ, которая является изолированным
собственным значением конечной кратности оператора Л(ео),'т. е.
•345

<т(Л(βο))Π(λο—δ, λο+δ)={λο} при некотором δ>0 и собственное
подпространство
{ψΕΞ£Λ(εο):Λ(ε0)ψ = λ0ψ} (3.9)
конечномерно.
Тогда верно следующее:
1) операторы Л (ε) самосопряжены при ε близком к ε0;
2) существуют такие аналитические вектор-функции ^(ε),
/=1,..., т> и такие скалярные аналитические функции λ^-(ε), / =
= 1,..., т, определенные в окрестности UczR точки εο, что
Λ(ε)ψ;(εΗλ,(ε)ψ,(ε), /=l,...,m, εΕΞίΛ (3.10)
и {ψι(ε),..., ψηι(ε)} — ортонормированный базис в пространстве
Е(ХЯ-8;Х0+В)Ж при некотором фиксированном δ>0 для всех e^U;
0) если %(ε) — произвольная нормированная аналитическая
вектор-функция, для которой выполнено (3.10), то производная
χ.(ε) ~ —£i-J- удовлетворяет соотношению Рэлея
^,(в)-(Л'(е)*/(е),Ч>Не)),/=1 mf ε€=ϊ/, (3.11)
где Α'(ε) можно понимать, например, как оператор
А'{*) = {^[Ο(ε)(Λ(ε0)-^Г1]} (Λ(ε0)-ζ0/). (3.12)
Вначале мы докажем лемму Като, из которой, в частности,
•будет вытекать утверждение п. 1).
Лемма 3.2. Пусть даны самосопряженный оператор Л в
гильбертовом пространстве Ж с областью определения DA и точка
г0^С\а(Л). Тогда существует такое ε>0, что если В — такой
•симметрический оператор в Эёу что оператор R = B(A—201)^1
всюду определен, ограничен-и ||/?||<е, то.справедливы следующие
утверждения:
1) оператор А + В с областью определения DA самосопряжен;
2) часть спектра о(Л+Б)П[—Ν, Ν] оператора А+В
содержится в δ-окрестности части спектра о(Л)П[—N—1, N+1]
оператора Л, где δ = δ(ε, Ν)->0 при ε-Я);
3) резольвента RZ(A+B) = (Л + J3—ζ/)-1 близка к резольвенте
7?2(Л) = (Л—г/)-1 по операторной норме равномерно по z^Ky где
К — компакт в С, не пересекающийся с а (А). Точнее, если
компакт К фиксирован, а ε достаточно мало, то о(А + В)(]К=0 и
\\RZ(A + B)-RZ(A)\\<6U z^K,
где δι = δι(ε)->0 при ε->-0.
Доказательство. Заметим прежде всего, что из записи # =
= В(Л—го/)""1 следует, что Db^>Da и на DA мы можем написать
B = R(A—26/). Отсюда
Л + β — г/ = Л + # (Л — г0/) — ζ/ =
= [/ + /?(Л-г0/)(Л-г/)"1](Л -*/) =
346.

= [/ + R((A-zI) + (г-г0)/)(Л-г/)-Ч (А -г/) =
= [/ + Я + (z-z0)R(A-zI)-1] (А -г/). (3.13)
Отметим, что в силу спектральной теоремы
|| (А - г1)~ > || = [dist (г, σ (А))]- > = [ inf | ζ - г'| ]-1,
ζ'€σ(Λ)
так что || (Л—г1)-Ц\<С при ге/С, если К — такой компакт, чта
К[\а (Л) =0. Поэтому если ζ^Κ, то мы можем выбрать
&<[sup(l+\z-z0\\\(A-zI)-'\\)]-\
и тогда получится, что ||#+(£—z0)R(A—zl)^<l и оператор
I+\R+(z—z0)R(A—г/)-1 обратим, откуда следует утверждение 3).
Кроме того, отсюда ясно также, что множество o(A-\-B){)Kn>
где Κν={ζ: \ζ\^Ν) — круг радиуса N в С, содержится в δ-οκ-
рестности множества g(A)()Kn+u гДе δ=δ(ε, Ν)^0 при е-*0.
Поэтому утверждение 3) также будет доказано, если мы докажем,
что оператор А+В самосопряжен.
Теперь докажем утверждение п. 1). В силу уже доказанного
утверждения п. 2 резольвента RZ(A+B) определена при 2=±*.
если ε достаточно мало. Из симметричности Л+β следует, что
R-i(A+B) = (Ri(A + B))*. В самом деле, полагая С=А+В9 мы
получим для любых и, v^3@:
{R-t(C)u9 v) = (R-i(C)u, (C-iI)Ri{C)v) = ((C+iI)R-.i(C)ui
Rt(C)O) = {u,Ri(C)O).
Используя замечание, приведенное в § 1 после предложения 1.3,
мы получаем, что оператор А + В самосопряжен, что и
требовалось. ■
Доказательство теоремы 3.1.
1. Применяя лемму 3.2 к Л=Л(ео) и β = β(ε), мы получаем,
что операторы А (г) самосопряжены при ε, близком к εο.
Перейдем к доказательству п. 2). Пусть Г — замкнутый контур в С, не
пересекающийся с о (А (во)), обходящий (против часовой стрелки)
точку λο и не содержащий внутри себя других точек спектра
оператора А(ео). Рассмотрим проектор Рисса
Р(в) = -^-|я,И(е))<&,
г
где Rz(A (ε)) = (Α (ε)—г/)""1 — резольвента оператора Α (ε).
Из п. 3) леммы 3.2 ясно, что контур Г не пересекается со спектром
о (А (г)) при ε, близких к εο, так что проектор Ρ (ε) определен при
таких ε. Далее, из формулы (3.13), полученной в доказательстве
леммы 3.2, при A=A(eQ), B = G(e), R=R(b) = G(b) (Л(ε)—го/)"1,
мы находим, что резольвента
R2 (Л (ε)) = Rz (Л (ε0)) [/ + R (ε) + (г - ζ0) R (ε) R2 (Л (ε0))]-ι
347

при z^T аналитична по е в операторной норме равномерно по
геГ. Поэтому проектор Ρ (ε) аналитически зависит от ε при ε,
близких κ'ε0. Проектор Ρ (ε) самосопряжен, так как он совпадает
со спектральным проектором £(λο—δ, λο+δ) оператора Л (ε), где
δ>0 достаточно мало.
Рассмотрим подпространство £ε = Ρ(ε)<5#, являющееся· образом
проектора Ρ (ε), и докажем, что оно имеет постоянную (не
зависящую от ε) конечную размерность. Положим <2(ε)=/—Р(г) и
рассмотрим два оператора
C(e)=Q(e)Q(e0) + P(e)P(e0)/C1(e)=Q(eo)Q(e) + P(eo)P(e).
Оба они аналитически зависят от ε и С(ео) =Ci(eo) =/. Поэтому
операторы С (ε) и 6Ί(ε) обратимы при ε, близких к εο· Но С (ε)
отображает L8o в Lty а С\(г)у наоборот, отображает L8 в L8o.
Поскольку оба эти отображения инъективны в силу обратимости
С (ε) и (?ι(ε),το ясно, что dim Ζ,ε = dim Leo =/η при всех ε, близких
к εο. Более того, если {о|н,..., ψ™} — ортонормированный базис в
Ζ,ε0, то (C(e)^i,..., (?(ε)ψτη} — базис в Ζ,ε, все векторы которого
аналитически ш зависят от г. Применяя к нему процедуру ортого-
нализации Грама — Шмидта, мы получим такой
ортонормированный базис {φι(ε), ...,φτη(ε)} в Ιε, что φ^·(ε^ =%, /= 1;..., m, и
Φ;(ε) — аналитическая функция от ε при вещественных ε, близких
к εο· Ясно, что оператор А (г) переводит пространство Lz в себя и
в базисе · {φι(ε),..., фт(е)} записывается эрмитовой матрицей
ifl/*(e)ll/*fc=b элементы которой аналитически зависят от ε. При
этом ajk{eo)=%o6jk, где 8^ — символ Кронекера. Таким образом,
искомое утверждение 2) теперь достаточно доказать для таких
эрмитовых матричных функций D(e) (размера тХт),
аналитических при е, близких к εο, что Ι)(εο)=λο/. Отметим, что при /п==1
это утверждение очевидно.
2. Дальнейшее доказательство утверждения 2) будем проводить
индукцией по т. Итак, мы можем считать, что задана эрмитова
(тХт)-матричная аналитическая функция D(ε), определенная в
окрестности UczR точки εο=0 (ясно, что мы можем считать εο=0
без'ущерба для общности), причем D(0) — скалярная матрица,
т. е. £)(0)=λ0/, где / — единичная (mX/n)-матрица. Нам нужно
выбрать аналитический (по ε) ортонормированный базис из
собственных векторов матрицы D(e), определенный в окрестности
точки 0. Напишем разложение Ь(г) в ряд Тейлора в точке ε = 0:
оо
D(e) =fD0 + ε£χ + гЮ2 +...=£ ε^,
где Dh — эрмитовы* (тХт)-матрицы. В нашем случае Ζ)ο=λο/.
Может случиться, что все матрицы Dk скалярные, т. е. Dh =
= X(fe)/, где X<k>eR. Тогда ясно, что Ζ)(ε)=λ(ε)/, где
оо
Με)=£λ(ν,
k=0
Ш

λ (ε) — аналитическая функция от ε. В этом случае в качестве
искомого базиса собственных векторов можно взять любой
фиксированный базис {ψι,..., t|?m} (не зависящий от ε) и искомое
утверждение очевидно.
Теперь пусть не все матрицы Dk скалярные я Ds — первая
нескалярная матрица, т. е. Dk=X{h)I при k<s, 08φλΙ ни при .каком
ЯеС. Положим"
С(е) =£*+£δ+ιε+£>β+2ε2+... ·
Ясно, что
£>(ε) = £ tffc)e*/+e*C(e).
fc=0
Поэтому если ψ (ε) — собственный вектор оператора С (ε) с
собственным значением μ (ε), т. е. С (ε) ψ (ε) = μ (ε) ψ (ε), то он же
является собственным для Ζ) (ε) с собственным значением
s-l
λ(ε) = £λ(Α)ε* + ε*μ(ε).
Отсюда следует, что искомое утверждение 2) достаточно
доказывать для С (ε). Но, поскольку не все собственные значения
матрицы D8 совпадают, мы можем при малых ε повторить
рассуждения из первой части доказательства и с помощью проекторов
Рисса свести дело к матрицам, действующим в пространствах
размерности <т, где по предположению индукции утверждение
•справедливо. Таким образом, утверждение 2) теоремы 3.1
доказано.
3. Проверим, наконец, формулы Рэлея (3.11). Сначала будем
действовать формально. Дифференцируя (3.10) по ε, мы получаем:
Α9 (ε)ψ;(ε) + Л (ε) ψ; (ε) = λ) (β) ψ, (β) + λ, (ε)%(ε). (3.14)
Умножим это равенство скалярно справа на ψ.?(ε). Поскольку
(Α (ε) ψ) (ε), ψ,- (ε)) = (ψ) (ε), Α (ε) ψ, (ε)) = λ, (ε) (ψ; (ε), ψ, (ε)),
то из (3.14), таким образом, получается, что
(Α' (ε) % (ε), ψ7 (ε)) = λ, (ε) (ψ, (ε), % (ε)) - λ- (ε),
что и требуется. Остается проверить, что дифференцирование
формулы (3.10) законно и приводит к (3.14), где Л'(ε) понимается в
-смысле (3.12). Заметим, что дифференцируемость правой части
(3.10), т. е. вектор-функции λ;·(β)ψ;(β), и формула
(λ/ (ε) ψ, (ε))' = λ) (ε) ψ, (ε) + λ, (ε) % (ε)
•очевидны из доказанной аналитичности λ;·(ε) и ψ; (ε)'. Поэтому
левая часть Л (β) ψ; (β) тоже дифференцируема и нужно лишь прове-
', 349

рить, что выражения Λ'(ε)ψ,·(ε) и Λ{ε)ψ'/(ε) имеют смысл,
причем
• -£-(Λ(β)ψ,(β)) = Λ'(β)Ψ/(β) + Λ(β)ι|);(ε). (3.15)
Сначала мы докажем это для той системы {ψι(ε),..., ψ™(ε)}>
которая была построена выше. Для этого нужно проследить за
этим построением векторов ^(ε). Эти векторы получаются как
линейные комбинации (с коэффициентами, зависящими от ε) из
векторов {ψι(ε),..., φτη(ε)}, получаемых ортогонализацией векторов
{£(ε)ψι,..., C(e)tym}, где ψι,..., ψ™ — собственные векторы
оператора А(ео),'С(е) = (1—Р(г))(1—Р(го))+Р(е).Р(ео),Р(е)
—проектор Рисса оператора Л (ε). Рассуждая аналогично
доказательству леммы 3.2, легко убедиться, что резольвента Rz(A(e))
оператора Л (ε) при геГ (Г — контур, используемый для. построения
проектора Рисса) имеет вид
R*(A(e))=Rz(A(eo))Fz(e),
где Fz(&) — аналитическая (по операторной норме) функция от г
и ε (ее значения — ограниченные операторы в 36), если ζ
меняется в окрестности Г, а ε — в окрестности εο. Поскольку
Rz (Α (ε0)) = RZo (А (во)) + (ζ - z0) RZo(A (ε0)) R2 (Α (ε0)),
то мы можем также написать
R2(A(e)) = RZo(A(4))Hz(*)>
где Я*(ε) аналитична по ζ π4ε в том же смысле, что и Fz(e). Но
отсюда ясно, что проектор Рисса Ρ (ε) имеет вид
P(s) = RZo(A(e0))K(e),
где К(г) — аналитическая (по операторной норме) функция от
ε со значениями в пространстве линейных ограниченных
операторов в Ж. Отсюда следует, что векторы tyj(e) представляются в
виде
ty (ε) = RZo (Α (ε0)) Κι (ε) ψ°/, / = 1, ... , m,
где ψ/> — фиксированные векторы, /0 (ε) — аналитическая
ограниченная оператор-функция.
Теперь запишем Α (ε) в виде
Л (ε) = Α (ε0) + [G (ε) RZo (Α (ε0))] (Α (ε0) - V),
откуда
Α (ε) ψ/(ε) =(Κι (ε) + z0 /) ift + [G (ε) RZo(Α (ε0))] Κ;(ε) ψ0,.
Теперь дифференцируемость A(e)tyj(e) и формула (3.15) (с
производной в смысле (3.12)) вытекают из аналитичности (по
операторной норме) функции G(ε)RZo(Α (ε0)) (предположение б) теоремы).
Теперь предположим, что ψ;(ε) — произвольная
вектор-функция, аналитическая по ε, непрерывная и удовлетворяющая (3.10).
350

Тогда она принадлежит пространству Le, и поэтому ясно, что она
является линейной комбинацией (с аналитическими
коэффициентами) таких* вектор-функций, построенных в доказательстве п. 2).
Отсюда следует, что для такой функции ψ^ε) справедливо (3.15)
и мы можем провести выкладку (из начала п. 3 этого
доказательства), приводящую к формуле Рэлея (3.11).
Таким образом, теорема 3.1 полностью доказана. Ш
§ 4. ЯДЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И СЛЕД
1. 0пределение9и основные свойства.
Пусть Зв — гильбертово пространство, У, {Ж)— алгебра всех
линейных непрерывных операторов в Ж> S2(S%)— множество всех
операторов Гильберта — Шмидта в Ж (см. § 2). На S2(5#) выше
была введена норма ||·||2. Здесь нам удобно будет использовать
также скалярное произведение в S2(<9#), индуцирующее эту норму,
т. е.
(/(, L)2 = £ (Кеа, Lea), i(,LeS,(3ST)f (4.1)
α
где {еа} — ортонормированный базис в Ж Независимость этого
скалярного произведения от выбора базиса вытекает из того, что
от выбора базиса не зависит норма ||·||2 (это было установлено в
§ 2). Легко видеть, что S2(<5^) -г- двусторонний идеал в <£(Ж).
Определение 4.1. Ядерным оператором называется оператор
А^2?\3в), имеющий вид.конечной суммы
А = £ Д,С,, Bh C}· €= 5,(Ж), (4.2)
где N зависит от А. Множество всех ядерных операторов
обозначается через Si {36).
Легко видеть, что Si (Ж) — двусторонний идеал в S(M),
содержащийся в идеале S2(2e). Определение S\{2№) можно коротко
переписать>в виде 51(Ж) = (S2(5S?))2, τ· е· иДеал $ЛЖ) является
^квадратом идеала 52(S^). Отметим, что этот идеал (как и
82{Ж)) симметричен, т. е. если Ле^^), то A*e^S1ffl)·
Предложение 4.1. Пусть A^Si(3@) и
{еа}—ортонормированный базис в 3HS. Тогда
£|(Леа, еа)|< +оо (4.3)
а
:и выражение
SpA = £(Aea>ea) (4.4)
α
не зависит от выбора базиса {еа} (оно называется следом
оператора Л). След представляет собой линейный функционал на
351

Si(<5#), причем Sp Л>0 при Л>0 и
5рЛ* = 5р"Л". (4.5)
Скалярное произведение (К, L)2 может быть записано через след
по формуле
(К, L)2=Sp(L*/(), К, LeBS2(2e). (4.6>
Доказательство. Если оператор Л записан в виде (4.2), то
Ν Ν
(Аеа, еа) = £ (BjCjea, е*) =£ (С/**, Б*еа),
откуда следует (4.3) и соотношение
£(Леа, е«) = J(C/f Sj)2,
а /=1
так что, в частности, след не зависит от выбора базиса. Теперь
йеотрицательность следа при Л>0, а также соотношения (4.5) и
(4.6) становятся очевидными. Ш
Теперь опишем связь следа с собственными значениями в
случае самосопряженного ядерного оператора Л.
Предложение 4.2. Пусть А — компактный самосопряженный
оператор, λι,λ2,... — все его ненулевые собственные значения,
причем каждое повторено столько раз, какова его кратность. Тогда
включение A^Si(%6) равносильно тому, что
£|λ,|<+οο. (4.7)
/=ι
При этом
'8рЛ = £ λ/. (4.8)
Доказательство. Если A^Stffi), то условие (4.7) и
соотношение (4.8) выполнены, так как в качестве базиса {еа}, можно
выбрать собственный базис. Обратно, если выполнено (4.7) и
{еа} — собственный базис, так что Аеа =λα£α, то, определяя В
и С формулами
Веа = |λα|1/2еа, Сеа = λα\λα|-^еа,
мы видим, что B,C<=£S2(ffl) и А=ВС, так что Ле^^). ■
Замечание. Формула (4.8) верна и для несамосопряженных
ядерных- операторов, что доказывается намного сложнее (эта
утверждение называется теоремой Лидского — см. Гохберг и
Крейн [1]).
Следующее утверждение представляет собой ключевое свойство
следа.
352

Предложение 4.3. Если А<=8г{Ж) и Βεξ££{Μ)> Что
Sp{AB) = Sp{BA). (4.9)
Для доказательства нам понадобится
Лемма 4.L Любой оператор В^&{3в) является линейной
комбинацией четырех унитарных.
Доказательство. Поскольку можно написать
B = Bi+iB2, Bi* = Bi=(B + B*)l29 β2* = β2=(β—B*)/2i9
то достаточно проверить, что самосопряженный оператор В может
быть записан в виде линейной комбинации двух унитарных. Можно
считать, что ||£||<1. Но тогда искомая запись имеет вид
в = -L[b + iVT^W] + -L[B-i )/ι — β*\
(унитарность операторов B±iVl — В2 проверяется
непосредственно). ■
Доказательство- предложения 4.3. В силу леммы 4.1 достаточно
считать, что В — унитарный оператор. Но тогда операторы А В
и ВА унитарно эквивалентны, поскольку ΑΒ = Β~ί(ΒΑ)Β, и
равенство их следов вытекает из того, что след не зависит от
выбора базиса. Ш
2. Полярное разложение оператора.
Пусть Жг>Ж2— гильбертовы пространства. Напомним, что
ограниченный оператор U '.Жх^Ж* называется частично
изометрическим, если он изометрично отображает (Кег U) -1 на Im ίΛ
Отсюда следует, что
U*U=E, UU* = F,
где Ε — ортогональный проектор на (Кег £/)х в Жи F —
ортогональный проектор на Im U в Ж% (в этом случае Im U — замкнутое.
подпространство в Жг). Если Кег[/={0} и Imi/=<5#2, то U
является унитарным оператором.
Определение 4.2. Полярным разложением ограниченного опера-
тораА \Ж\-*Ж2называется его представление в виде
A = US, (4.10)
где Se S£ (5S?i), S*=S, 5>0, at/ — такой частично
изометрический оператор U \Ж\-+Жъ что
Kert/=KerS=(ImS)-L. (4.11)
Предложение 4.4. Полярное разложение ограниченного
оператора А : Ж\~+Жъ существует и единственно.
Доказательство. Из (4.10) находим: A*=SU*y откуда Л*Л =
= SU*US=SES. Но ES = S в силу (4.11), так что
A*A = S*t (4.12)
353

откуда
S = VA'A . (4.13)
Далее, оператор U однозначно определен формулой (4.10) в силу
(4.11), что доказывает единственность полярного разложения.
Для доказательства существования построим S по формуле
(4.13) и определим ί/, полагая
Ux=0 при ALLImS,
U(Sx)=Ax при χ&5#ι.
Для. проверки корректности этого определения достаточно
доказать, что если Sjc=0, то Ах=0. Но это сразу следует из (4.12).
Более того из (4.12) получается
||S*||W(S*f Sx) = (S*Xi χ) = (Α*Αχ, χ) = (Αχ, Αχ) = \\Αχ\\*9
что доказывает частичную изометричность ίΛ Ш~
Определение 4.3. Для ограниченного оператора А \Ш\-*Ж%
через \А\ обозначается оператор S = Y~A*A из его полярного
разложения.
Предложение 4.5. Пусть / — любой левый идеал в алгебре
3?(Ж). Тогда условие Ае/г равносильно условию (Л[^7.
Доказательство очевидно из формул Л = 1/|Л|, {У*Л=|Л|. , ■
Следствие 4.1.
Af=S%(9l)**\A\eiS%(9e),
A^s1(m)^\A\^s1(mY
Теперь, пользуясь полярным разложением, докажем еще одно
важное свойство следа.
Предложение 4.6. Если Л, B^S2(2/6), то
Sp(AB)=Sp(BA).
Доказательство. Пользуясь тождествами
4 АВ* = (А + В) (Л + В)* —(А —В) (А —В)* +i(A+ IB) (A + iBf —
— i(A — iB)(A — iB)\
4В*А = (Л + В)* (А + В)—(А — В)*(А — В) + i(A + iB)*(A + iB) —
— i(A — iB)m(A — tB),
мы видим, что достаточно проверить, что
Sp(AA*)=Sp(A*A),A*=Sz(3«).
Но, используя полярное разложение A = US, мы видим, что
S^Szffi) и, следовательно, S2^Si(<5^), и поскольку Л*Л = 52, то
в силу предложения 4.3
Sp (АА*) = Sp (US2 IT) = Sp (U* US2) = Sp S2 = Sp (A*A)t
что и требовалось. ■
354

3. Ядерная норма.
Определение 4.4 Ядерной нормой оператора A^Si(3^)
называется величина
|H|I1 = SpH|. (4.14)'
Докажем некоторые свойства ядерной нормы.
Предложение 4.7. Имеют место неравенства
MI.<Mk. AezS^my, (4.15)
LA4L<|£|-Mli. AeSAM), В<=Я{Ж); (4.16)
||ЛВ||1<||Л11-||5«, i4eS1(5iT), В si? (35?); (4.16')
|Bi4|1<H|,.M|>, 4,BeS2(5Sr); (4.17)
lSPi4|<li4|1, 4sS,(») (4-18)
и соотношения \
M'L-ML. i4eS1(S5f); (4.19)
|ЛЬ = sup | Sp (A4) |, A s 5X (55?). (4.20)
Последнее соотношение сохраняет силу, если вместо всех
Ziej?^) ограничиться конечномерными операторами В^2? (Ж)
(т. е. операторами с конечномерным образом), также
удовлетворяющими условию ||5||<:1л
Доказательство, а) Докажем (4.15). Пусть A = US — полярное
разложение А. Тогда имеем
IHHiHISIIi-SpS,
M|i = Sp(i4M)=SpS«f
откуда (4.14) сводится к неравенству
S'pS2<:(Sp5)2,
которое становится очевидным, если SpS2 и SpS записать*в
собственном базисе оператора S.
б) Для доказательства (4.19) заметим, что A*=SU*> ЛЛ* =
= USW* и \A*\=USU*9 откуда
Sp\A*\=Sp(USU*)=Sp(U*US)=SpS = Sp\A\.
в) Докажем теперь неравенство (4.18). Пусть {еа} — ортэнор-
мированный базис из собственных векторов оператора S,
sa — собственные значения, т. е.
Имеем
Sp А = £ (USea, еа) = Σ sa (Uea, еа),
а
355

но поскольку | (Uea, еа) | < 1, то ясно, что
|Sp4|<£s« = SpS = H||1.
α
г) Докажем (4.16). Пусть BA = VT — полярное разложение
оператора В А. Тогда
\\BA\\i = SpT=Sv(V*BA)=Sp{V*BUS).
Заметим теперь, что ||V*5t/||<||£||. Дальнейшие рассуждения
проходят'аналогично п. в).
д) Докажем (4.17). Используя те же соображения, что.и в
предыдущем пункте, мы получим
|| ВАI = Sp Τ = Sp (Г ΒΑ) = Sp [(В* V)* A] = (A, 5* V)% <
е) Оценка (4.16') сводится к (4.16) в силу (*4.19), поскольку
\\ΑΒ\\ι = \\(ΑΒ)*\\ι=\\Β*Α4ι.
ж) Соотношение (4.20) теперь очевидно ввиду оценки
.\Sp(BA)\<\\BA\\t<\\B\\-M\\u
в которой при B = U* имеет место равенство. Возьмем теперь
вместо В последовательность конечномерных операторов 5П =
= РПС/*, где Рп — спектральный проектор £П-,+оо))
оператора 5. Мы получим тогда
. lim 1^11,= lim Sp(PrtS) = SpS = H||1,
Л-»00 Л-ЮО
откуда следует последнее утверждение предложения 4.7. П
Предложение 4.8. Ядерная норма определяет на S\(36)
структуру банахова пространства. ·
Доказательство, а) Докажем, что норма || · ||± обладает
обычными свойствами нормы:
\\A'+A»h<\\A'UW\\u А\ A'eSiW);
Ιλ^ΗλΙ-Μΐ!, A^S^m, ^gC;
|)Л|11-0.«Л = 0.
He очевидно лишь первое соотношение (неравенство
треугольника). Для его доказательства воспользуемся соотношением (4.20).
Тогда получим:
№' + A'l = sup|Sp[B(i4'-M")]|= sup |Sp(£4')+Sp(£4")|<
|Д|<1 IIBIKl
<sup (|Sp(A4f)| + |Sp(A4*)|)< sup (1SP(£7T) | + |Sp(£M")|) =
||B|«1 · IIJB'KI
Ι1ΒΊΚ1
sup |Sp(£7l')| + sup {SpiB^All^WA'l + WA-l.
1ΙΒΊΚ1 ||B"||<1
356

б) Докажем полноту Si(<5#) по норме ||·||ι. Пусть я=1, 2,...,
An^Si(2^) и \\Ап—Λ™||ι-Μ) при я, т-^оо. Тогда в силу (4.15) мы
имеем: \\Ап—Лт||2->0 при пу т-+ооу откуда следует, что существует
такой оператор A^S2(3%), что
lim\\An — A\\2=0. (4.21)
Л-*оо
Проверим, что A^Si(2e). Пусть A = US — полярное
разложение оператора А. Положим Cn=i/*/ln. Ясно, что
lim ||С, —S||2 = 0, ' (4.22>
lim ЦС„ —Cm|k = 0. (4.23).
т,п-юо
Пусть {еа} — ортонормированный собственный базис
оператора 5, sa — собственные значения. Из (4.21) следует, что
Sa = (Sea, ea) = lim (Спеа, ea). (4.24)
Л-»00
Для доказательства того, что A^Si(3@), достаточно проверить,
что T]sa< + оо. Это благодаря (4.24) вытекает из оценки
a
supY\(Cnea, ea)\< + оо,
η *~*
а
верной в силу неравенства
a
легко выводимого из (4:20).
Остается доказать, что
НтМя-ЛЬ = 0.
П-+О0
Пусть ε>0. Выберем столь большое N, что
\\Ат Ап \\i<e, my n*>N. (4.25)
Проверим, что
\\Ап—A\\i<e при n>N. (4.26)
Из оценки (4.17) и из (4.21) вытекает, что для любого
конечномерного B<=zJ£(SV)
Ищ Sv(BAm) = Sp (ΒΑ).
т-+оо
Отсюда' в силу (4.25) имеем для такого В
. \S\>[B(An — A)\\=\\m\Sv[B(An-Am]\\<z прил^ЛГ,
т-*оо
если только ||5||<1. Но отсюда ввиду последнего утверждения
предложения 4.7 следует (4.26). ■
357

4. Выражение следа через ядро оператора.
Пусть дан ядерный оператор К в пространстве Ь2(Х)У где X —
пространство с мерой dx. Для простоты будем считать
пространство L2(X) сепарабельным. Поскольку оператор /С, в частности,
является оператором Гильберта — Шмидта, то он может быть
записан с помощью ядра К (х, y)^L2(XxX) по формуле
Ки (х) = С К (х, у) и (у) dy.
Возникает два естественных вопроса:
1) Как выразить след оператора К через ядро К(х, у)?
2) Как в терминах ядра К(х,у) дать условия ядерности
оператора /С?
Сначала мы дадим эвристический ответ на первый вопрос,
объяснив, почему нужно ожидать, что след задается формулой
Sp/C= f К (x,x)dx. (4.27)
Мы сделаем это даже тремя различными способами.
1-й способ. Выберем в L2(X) полную ортонормированную сис:
тему {е} (*)}/Li. Тогда
00 00
Sp К = £ (Ке„ е,) = £ J j К (*, у) е, (у) effidydx =
= lim Г Г/С (х, у) Pn(x, У)dydxf (4.28)
N->oo
где
Ν
Ρ ν (x, y)= 4£e!(x)ei(yl
/=ι
так что Ры{Ху у) — ядро оператора ΡΝ ортогонального
проектирования L2(X) на конечномерное подпространство, натянутое на
{eu...,eN}. Но lim Pn = I (в сильном смысле), так что в некото-
jV-юо
ром смысле Pn{x, у)-+Ъ{х—у), так как δ (л:—у) — ядро
единичного оператора /. Если допустить, что в (4.28) можно перейти к
пределу при iV-^oo под знаком интеграла, то мы приходим
к (4.27).
2-й способ. Представляя К в виде линейной комбинации двух
самосопряженных операторов по формуле К=К\ + 1Кг, где
7Ci=(K+tf*)/2, K={K-K*)/2iy
мы видим, что достаточно доказывать формулу (4.27) отдельно
для Κι и /С2, так что можно сразу считать, что К самосопряжен.
Выберем тогда ортонормированный базис из собственных функций
{e;(jt)}/Li оператора К и пусть λ,- — собственные значения.
Разлагая ядро К(х, у) по полной ортонормированной системе
358

{ej{x)el{y)}fj=\ в L2(XxX), мы получим
00
К(х, У) = £ Ъ.!е,(х)ъ(у). (4·29)
1=1
Если теперь положить г/=л: и проинтегрировать по X, то мы
придем к (4.27) 1К
3-й способ. Мы можем записать К в виде K = L\L2, где LXyL2—
операторы Гильберта — Шмидта (это можно, например, сделать
так: взять Lx = t/)/S , L2 = ]AS , где K=US — полярное
разложение оператора К). Обозначим через L\(xyy), L2(xyy) ядра
операторов Lu L2. Тогда формально имеем
K(x,y)=^Ll (χ, ζ) U (ζ, У) dz. (4.30>
Поскольку мы можем записать также /C=(Li*)*L2, а
оператор Li* имеет ядро Li*(a;, у) = L\{yy x)y то из формулы (4.6) мы
находим
Sp К = (L2, Ll)2 = J Lx (у, χ) L2 (χ, #) d* dy =
= {Lx(xy z)Lz(z> x) dzAx. (4.31)
Если в (4.30) положить у = х и' проинтегрировать по л:, то мы
получим формулу (4.27) в силу (4.31).
В последнем доказательстве неясность состоит в том, что
ядро К(х,у) не определено однозначно всюду на XXX (его
можно произвольно менять на множестве меры 0, а ведь именно
такова диагональ в ΧχΧΙ). Но в этом состоит неясность и самой
формулы (4.27), так как неясно, какой смысл имеет ее правая
часть. Этой неясности не возникает, если есть какая-то
непрерывность ядра. Но для этого нужна топология на X. В общем
случае правую часть (4.27) можно, например, понимать, как
правую часть (4.28) или (4.31).
С этого места мы будем считать, что X — область в R71 и
dx — мера Лебега на X. Тогда ядро К{х,у) можно продолжить
до функции R(x,у) на RnXRn, полагая
R(x, y)=0 при х^Х или у<$Х.
Пусть %х{х) — характеристическая функция области X, Рх —
оператор умножения на χχ в L2(Rn). Пространство L2(X) можно
рассматривать как подпространство в L2(Rn). Тогда Рх —
проектор на это подпространство и если R — оператор с ядром R(xyy)
в L2(Rn), то
Κ^ΡχΚΡχ и Κ^ΡχΚΡχ.
1 Эта операция нуждается в обосновании ввиду того, что ряд (4.29)
сходится априори лишь в L2(XXX).
359

Из этих формул следует, что ядерность оператора К
равносильна ядерности оператора КУ причем Sp/( = Sp/C Поэтому все
сводится к случаю X = Rn. Сейчас мы докажем утверждение,
придающее в этой ситуации смысл правой части (4.27).
Теорема 4.1. Пусть К — ядерный оператор в L2(Rn) с ядром
К(х,у). Тогда верно следующее:
1) К (*, x+t)(=Ll(Rxn) при почти всех teR";
2) если рассматривать К(х, x + t) как функцию от t со
значениями в L^R*71), то эта функция почти всюду совпадает с
некоторой непрерывной функцией от / со значениями в Ll(Rxn);
3) если обозначить через /С(лг, х) значение непрерывной
функции предыдущего пункта при / = 0, то Sp /С задается формулой
(4.27)'.
Доказательство, Пользуясь формулой (4.30), мы можем
написать (пока формально)
К (х, х + t) = j Ly (x, ζ) L2 (ζ, x + t) dz, (4.32)
где iLi, L2^L2(R2n). Во всяком случае, это верно и может
пониматься буквально при Lb L2eCo°°(R2n). При таких Lb L2 мы
можем написать оценку
\К(х, χ + OK JIM*. *)\-\L* (*> * + *)[dz,
из которой следует, что
J|JC(Jt,* + <)|dx< J|M*. z)\-\L2(zy x + t)\dzdx =
= (IM. \L2,t\)\
где L2,t (х> У) = ΜίΛ x + t), 2l скалярное произведение берется
в L2(R2n). Отсюда
sup|K(*,* + f)l . п KW^biUL· (4.33)
Пользуясь этой оценкой, легко перейти к пределу от функций
L/(jc, i/)eCo°°(R2n) к произвольным функциям L/(jc, i/)^L2(R2n).
Если этот предельный переход совершается по норме
пространства L2(R2n), то соответствующие ядра К(х> x+t) сходятся по
норме, задаваемой левой частью (4.33), а соответствующие
операторы К(х, x + t) сходятся по ядерной норме. Отсюда сразу
следуют все утверждения теоремы 4.1 (отметим, что формула
(4.27) в случае ядра К(х, у) вида (4.30) с Lu L2s=C<r (R2n)
проверяется с помощью очевидного уточнения 3-го эвристического
способа ее доказательства). ■
Недостаток теоремы 4:1 состоит в том, что для ее применения
надо переопределять (хотя и на множестве меры 0) ядро К(х,у)-
Этого можно избежать, используя усреднение. А именно, пусть
дано семейство функций <p8(i)^C(Rn), где ε>0, причем
<р8(0>0> Фв(0=0 пРи 1*1 >ε и Г Ф«(0di = 1, т. е. <р8 — это δ-об-
360

разное семейство непрерывных функций. Тогда из теоремы 4.1
получается
Следствие 4.1. Если К — ядерный оператор в L2(Rn) и
К(Х>У) — ег0 ЯДР°> то
Sp/C = lim \tK(x,x + t)<pe(t)dxdt. (4.34)
Теперь мы укажем критерий ядерности и формулу следа для
неотрицательных операторов с непрерывным ядром.
Теорема 4.2. Пусть К — оператор в L2(X)> где X — область
в Rn, и пусть Л~>0 и Л' имеет непрерывное ядро Л'(л:, у). Тогда
Sptf = \K(x,x)dx, (4.35)
χ
причем конечность правой части равносильна ядерности
оператора /С.
Доказательство, а) Отметим прежде всего, что из
неотрицательности оператора К вытекает, что К(х, х)>0 при всех х^Х.
В самом деле, пусть <р8(/) —такая же δ-образная
последовательность непрерывных функций, как в следствии 4.1. Выберем
произвольную точку Хо^Х и положим φ*ο,ε(*) = 4>ε(χ — *о)· Тогда при
достаточно малом ε>0
0<(/C<P*o,e, φ*0,ε) = Jj#(*> У)^Хо,г(х)^Хо,г(у)ахау.
Ввиду непрерывности ядра К(х,у) при ε->+0 правая часть
сходится к /С(*о, *о), так что К(хоу Хо)^>Оу что и требовалось.
б) Построим такую последовательность непрерывных
срезающих функций {Х/}/°1ь что x/eC(Rn), 0<χ/<1, V/ = suppx, —
компакт, содержащийся в Χ, χι+\ = 1 в окрестности supp χι и
\JV, = X.
t=\
Положим
Ki(x>y)=%i(x)K{x>y)%i(y)>
и пусть Κι — оператор (в L2(X)) с ядром Ki(x,y). Ясно, что
/С/>0 и оператор Κι компактен.
Докажем, что Κι — ядерный оператор. Для этого рассмотрим
ортонормированную систему его собственных функций ψι, ψ2,
ψ3, .·., отвечающих собственным значениям λι>λ2>λ3>... (λ/>0).
Из уравнения
Ψ/ (*) = λΤ1§ # / (х, У) ψ/ (у) dy
ясно, что функции ψ/ непрерывны, причем supp ψ/czV/ при всех
/=1, 2, .... Рассмотрим конечномерный ортогональный проектор
Ρ ν в L2(X) на подпространство, натянутое на функции
361

ψι, ..., -флг. Тогда оператор An = Ρ ν Κι имеет ядро
Ν
AN(xyy) = ]£ λ,.ψ;(*) %(y).
Оператор 7(ζ— ΑΝ = (Ι — Ρ ν) Κ ι неотрицателен и имеет
непрерывное ядро Κι (χ, у)— AN(xy у). Отсюда Κι(χ> χ)— AN(xf л)>0,
т. е.
N
£ λ, |ψ^*)12 <*/(*>*)·
Интегрируя по X, получаем
N
£ λί<ζ[Κι(χ,χ)άχ,
откуда
Σλ/<°°
ввиду произвольности N. Но это и означает ядерность
оператора /С/.
Отметим, что
Sp/C/ = |#/(л;, *)<£*; = J* χ2/(χ)/((χ, л;)dx
в силу, например, следствия 4.1.
в) Пусть правая часть (4.35) конечна. Докажем ядерность
оператора К и формулу (4.35). Для этого заметим, что по
теореме Беппо Леви
f/e(Jt,Jc)dx=lim {Kt(x,x)dx, (4.36)
χ l^J
откуда, в частности следует, что операторы Κι сходятся по
ядерной норме к ядерному оператору КУ след которого равен правой
части (4.35). Для проверки того, что К=КУ достаточно показать,
например, что
Πίϊΐ^φ, ψ) = (*φ, Ψ), φ,ψΕ^(Χ),
Но это очевидно из построения Κι-
г) Обратно, предположим, что оператор К ядерный, и
докажем, что правая часть (4.35) конечна. Обозначим через Qi
оператор умножения на χ/. Тогда получим ||Q/||<:1, и в силу
предложения 4.7 получаем:
«КЦ = II QtKQt Ik < | Q, 11| KQ& < \\ Q, f \\ К L < IIК t
362

Конечность правой части (4.35) вытекает теперь из соотношения
(4.36), верного w в том случае, когда его левая часть может
быть бесконечной. ■
§ 5. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Пусть задано билинейное отображение
ЖгХШ^Ж (5.1)
прямого произведения гильбертовых пространств Жг и Ж\
в гильбертово пространство Ж. Обозначим через х®уу где
х^Жг> У^Шъ, образ пары (х,у) при отображении (5.1) и
предположим, что выполняются следующие условия:
1) скалярные произведения Ж\, Жч и Ж связаны равенством
(*ι® У ν х2®У2)ж = (*ι. х*)*г · (Уг> Уг)*,;
2) линейные комбинации элементов вида х®у образуют
плотное подмножество в Ж.
Если указанные условия выполнены, то пространство Ж
называется тензорным произведением пространств Ж ι и Ж г и
обозначается через SS?iXS5?2·
Предложение 5.1. Если {χμ} и {yv} — ортонормированные
базисы в Жг и Ж2 соответственно, то элементы #μ®ί/ν
образуют ортонормированный базис в Жг®5%2-
Доказательство. Из сформулированного выше условия 1)
следует, что векторы x^0yv образуют ортонормированную
систему в Ж\§§Жъ, а из условия 2) вытекает полнота этой
системы. Ш
Предложение 5.2. Пусть Жг = L2 (Мъ dσλ), Ж2 = L2 (M2, da 2)
Тогда пространство <5#=Ζ,2(ΛίιΧΛί2, daiXdtf2) является
тензорным произведением пространств Жг и Ж^ причем билинейное
отображение (5.1) сопоставляет паре функций /х (щ)^ Ж ν /г(т2)^
<ξ Ж2 функцию f1 (т^ /2 (m2) <= Ж.
Доказательство состоит в непосредственной проверке того, что
условия 1) и 2) в данном случае действительно выполнены. Ш
Предложение 5.3. Для любых гильбертовых пространств
Жъ Жъ тензорное произведение Ж^Жг существует и
определяется единственным образом (с точностью до
изоморфизма).
Доказательство. Существование тензорного произведения
следует из предложения 5.2, поскольку любое гильбертово
пространство изоморфно пространству типа L2(M, da). Докажем
единственность тензорного произведения. Пусть наряду с
тензорным произведением Ж = Жг <8> Жг существуют пространство Ж
и билинейное отображение α прямого произведения Ж г хЖ2 в 3£>
причем α обладает теми же свойствами, что и отображение (5.1).
Фиксируем базисы {χμ} и {*/ν} в Жг и Ж 2> сопоставим элементу
J) CnvXv(&yv в Жг®Ш% элемент £ с^а(х^ yv). Легко видеть,
μ, ν μ, ν
зба

что указанное отображение устанавливает изоморфизм между
пространствами Ж и Ж- ■
Пусть ограниченные линейные операторы А\ и А2 действуют
в гильбертовых пространствах Ж\ и Ж\ соответственно.
Обозначим через Л1®Л2 линейный оператор" в Ж\(&Жъ который
элементы вида х®у переводит в элементы А\Х®А2у. Если
фиксировать базисы {χμ} и {yv} в Ж\ и Ж^ т0 оператор А\®А2
переводит элемент V cμtVXμ(^yv в элемент V c[Xv(A1x[X)<^ (Л2 yv).
μ.ν μ,ν
Легко видеть, что оператор А\®А2 корректно определен и
ограничен. Этот оператор называется тензорным произведением
операторов А\ и А2.
Рассматривая полилинейные отображения
ЖгхЖ2х...хЖп-+Ж
со свойствами, аналогичными свойствам отображения (5.1),
можно определить тензорное произведение ^Ж = Ж\(&Жъ® ... ®Жт
гильбертовых пространств Ж\, ... , Жп, где п= 1, 2, 3, ....
Нетрудно убедиться, что эквивалентное определение тензорного
произведения нескольких гильбертовых пространств дается равенством
Жг® Ж2® ... ®Жп = (... (ЖгЗЖ^&Жэ .. )®Жп ·
Аналогичное обобщение допускает понятие тензорного
произведения операторов.
Тензорное произведение η экземпляров произвольного
гильбертова пространства Ж называется п-й тензорной степенью (или
η-кратным тензорным произведением) пространства Ж и
обозначается через Ж®п. Пусть Sn — группа перестановок множества
{1, 2, ..., п}, состоящего из первых η натуральных чисел. Каждой
перестановке ле5« сопоставим изоморфизм Рп пространства Ж®п
на себя. Оператор Рп переводит элемент Х\®х2®...®хп в элемент
#π(ΐ)<8>*π(2)(8) ... <£>Χπ(η). Чтобы убедиться в корректности этого
определения, можно выбрать базис в Ж> построить в
соответствии с предложением 5.1 базис в Ж®п и, определив оператор Ря
на базисных элементах, продолжить его на все пространство Ж®11
по линейности и по непрерывности.
Определим оператор симметризации Ps и оператор
антисимметризации Ра в Ж®п с помощью равенств:
где Ι π I принимает значение 0, если перестановка π четна, и
значение 1, если π нечетна.
Предложение 5.4. Операторы Ps и Ра являются
ортогональными проекторами. Элемент χ содержится в образе проектора Ps
(проектора Ра) тогда и только тогда, когда при всех neS
справедливо равенство Рлх=х (соответственно Рпх= (—l)lJtlx).
364

Образ проектора Ps называется п-й симметричной степенью
(или η-кратным симметричным тензорным произведением)
пространства Ж и обозначается через Ж8п- Соответственно образ
проектора Ра называется п-й антисимметричной степенью (или
η-кратным антисимметричным тензорным произведением)
пространства Ж и обозначается через Жгп.
Задачи.
1. Доказать предложение 5.4.
Указание-, исходя из равенств (5.2) убедиться, что PS2=PS,
Ра2 = Ра и проекторы Р$ и Ра самосопряжены.
2. Доказать, что подпространства Жпъ и Жпа ортогональны
друг к другу.
Указание: проверить, что PsPa^PaPs^O.
3. Доказать, что пространство Ж®?распадается впрямую
сумму своих ортогональных подпространств Ж2 и Ж2а-
4. Используя предложение 5.2, переформулировать
определения пространств Ж®п> Ж" , Жа в терминах функций и операторов
Рп, Ps, Pa — в терм-инах операций над функциями и их
аргументами для случая 3/6=L2{My do).
5. Пусть Ж\ = L2(M,do)> Ж2—^произвольное гильбертово
пространство. Функция f(m) на Μ со значениями в 3@2
называется' слабо измеримой, если измеримы числовые функции
f(m)>y)w2 Для всех */&5#2. Обозначим через L2(M> da\ <3ίί2)
множество слабо измеримых функций f(m) на Μ со значениями в 5^2,
для которых выполнено условие j ||/(m)||^ da (m) < оо. Это мно-
м
жество является гильбертовым пространством относительно
скалярного произведения
(/,£)- \{f{m),g{m))ye2do{m).
м
Доказать, что пространства L2(M,da; Ж2) ъЖ\§§Жъ
изоморфны.
6. Пусть Р(Ж\,Жг) — пространство линейных непрерывных
операторов конечного ранга (т. е. с конечномерным образом),
отображающих гильбертово пространство Ж\ в гильбертово
пространство Ж%. Пространство Р{ЖъЖъ) является
предгильбертовым относительно скалярного произведения
(AtB)2 = Sp(AB*)> (5.3)
где 5* — оператор, сопряженный к S, Sp(/4S*) — след
оператора конечного ранга АВ* в «2#2. Скалярное произведение (5.3)
рассматривалось в § 4 для произвольных операторов
Гильберта — Шмидта.
365

Доказать, что пополнение указанного предгильбертова
пространства совпадает с множеством всех отображений
Гильберта — Шмидта из Жх в Ж2-
7. Сохраним обозначения задачи 5. Сопоставим каждой
конечной сумме вида J] xk ® Ук ^ Ж ι ® Ж 2 оператор конечного ранга
к
Г (J]**® \)k) - Ж\^*Жг, определенный равенством
Γ>(ΣΧ*® У*):*—£(*,**)&.
/г к
Доказать, что Г линейно и изометрично отображает линейное
подпространство в 5^ <&$?2> состоящее из конечных сумм вида
Σ**®#£> на предгильбертово пространство В{Ж\>Жъ). Вывести
к
отсюда, что Г продолжается до изоморфизма между Ж\&Жъ
и пополнением пространства Р{Ж\>Жъ), т. е. пространством всех
отображений Гильберта — Шмидта из 2в\ в Жъ-

ДОБАВЛЕНИЕ 2. ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА И
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Пространства Соболева представляют собой естественный
аппарат функционального анализа для исследования эллиптических
уравнений, т. е. уравнений типа Лапласа, Пуассона,
стационарного уравнения Шредингера и т. п. Мы изложим здесь
простейшие сведения о пространствах Соболева и эллиптических
уравнениях, необходимые для понимания основного текста книги.
§ 1. ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА И ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ
Пусть s^Z+, т. е. 5>0, 5 — целое; Ω — открытое
подмножество в Rn.
Определение 1.1. Пространство. Соболева #5(Ω) состоит из
таких u^L2(Q)t что dau^L2(Q) при |а|<5 (здесь а — мульти-
индекс), где производная понимается в смысле обобщенных
функций.
Напомним, что мультииндекс α — это вектор вида <х=
= (сеь .··, απ), где α/^Ζ+; при этом для мультииндекса мы всегда
считаем |α| =αι + α2 + ... + αη. Если еще дан вектор ξ—(ξι, ..., ξη)^
eRn, то мы полагаем ξα = ξ*»ξ£»... gjn. Наконец, да = &**df.. .d^
где dj=d/dXjy т. е.
β-- £
dx^dxf . . . дх%п *
Введем в #5(Ω) скалярное произведение
la|<s
где скобки (·,·) означают скалярное произведение в Ζ,2(Ω).
Соответствующая норма дается формулой
| и[ш = {и9и)1р=[ £ $\&*α(χ)ΐάχ]1β (1.1)
|a|<sQ
Ясно, что Яs(Ω)c=Яs' (Ω) при s>s'. Далее #°(Ω) =ί,2(Ω).
367

Предложение 1.1. Скалярное произведение (·, -)s определяет
в HS(Q) структуру сепарабельного гильбертова пространства.
Доказательство, Проверим полноту. Пусть последовательность
{uk)kL\ фундаментальна в HS(Q). Это означает, что все
последовательности \{даик}^х (при |a|<s) фундаментальны в L2(,Q). Но
тогда в силу полноты пространства L2(Q) они сходятся, т. е.
lim d*uk = va по норме пространства Ζ,2(«Ω). В частности, uk-+Vo
в L2(Q). Но тогда dauk^dav0 в <£'(Ω) (здесь ®'(Ω) —
пространство всех обобщенных функций в ,Ω), откуда υ(Χί = δαυο. Таким
образом, vQ^Hs(Q) и dauk-+dav0 в L2 (Ω) при |a|<s. Но это
означает, что iik>-+Vo в HS(Q).
Проверим сепарабельность. Отображение wf-*{daw}ja|<s задает
изометричное вложение tfs(;Q) в прямую сумму нескольких
экземпляров пространства L2(Q). Теперь сепарабельность #S(;Q)
вытекает из сепарабельности L2(Q). Ш
Рассмотрим подробнее случай ,Q = Rn. Пространство #s(Rn)
можно описать в терминах преобразования Фурье (понимаемого
в обобщенном смысле — в S'(Rn)). Напомним, что по теореме
Планшереля преобразование Фурье
F : и (*)— и (ξ) = (2π)-"/2 J e-ix>t и (χ) dx
(при отсутствии указания области интегрирования здесь и ниже
мы будем считать, что интеграл берется по Rn) задает изомет-
рию L2(Rjtn) на L2(R|n). Заметим теперь, что преобразование
Фурье (в S'(Rn)) переводит даи(х) в (ίξ)aw(ξ). Поэтому
условие u^Hs(Rn) равносильно тому, что |aw(|)eL2(Rn) при |a|<s.
Но вместо этого можно написать, что
Σ Ual2>(g)l2^L4Rn).
|ai<s
Поскольку имеют место очевидные оценки
c-4i+UI2)s< Σ |£a|2<C(i + U|2)s,
|al<s
где C>0 не зависит от ξ, то условие tte#s(Rn) равносильно
тому, что (l + |||2)s/2~(g)*EEL2(Rn), а норма (1.1) при Q = Rn
эквивалентна норме
lklis-[/(i + UI2)sU(?)l2^]1/2, 0.2)
которую мы будем обозначать так же, как и норму (1.1)
(опасность путаницы не возникает). Таким образом, доказано
Предложение 1.2. Пространство Hs(Rn) состоит из тех и
только тех w^S'(Rn), для которых
0+UI2)s/2u(£)<=L4Rnk
а норма в нем может быть задана формулой (1.2).
368

Это предложение может служить основой для определения
пространств #s(Rn) при любом действительном s.
Определение 1.2. Пространство Hs(Rn)jipn любом s^R
состоит из таких ae=S'(Rn), что (1+ \l\2)s/4i(l)<=L2(Rn).
Легко проверяется, что если (peCo°°(Rn) и u^Hs(Rn)y то
tpu^Hs(Rn). Поэтому мы можем ввести
Определение 1.3. Пусть Ω — область в Rn, s^R.
Пространство HS\0C(Q) состоит из таких обобщенных функций u^2)'(Q)y
что yu^Hs(Rn) для любой функции (p^Co°°(Q).
Пусть теперь Μ — n-мерное гладкое многообразие.
Пространство #si0C(M) состоит из таких обобщенных функций и на Λί,
что если Ω — координатная окрестность на Λί, то u^Hs\0C(Q)
относительно локальных координат на Ω. Если Λί компактно, то
вместо #sioc(Ai) пишут HS(M) (в этом случае в HS(M) можно
ввести структуру гильбертова пространства с помощью разбиения
единицы и скалярных произведений в HS(Q) для координатных
окрестностей Ω, образующих конечное покрытие Λί).
При целом s>0 пространство HS\0C{M) может быть также
определено следующим образом: u^Hs\oc(M) тогда и только
тогда, когда Pu^L\0C(M) для любого дифференциального
оператора Ρ на Λί порядка <s с гладкими коэффициентами.
Введем теперь на Rn банахово пространство Cbk(Rn) (здесь
1гщ2+)у состоящее из функций u^Ck(Rn)t производные которых
даи(х), \a\<k, ограничены при всех x^Rn. Норма в Cbk(Rn)
задается формулой
M(k)= Σ sup ι **(*) ι.
\a\<k *6Rrt
Теорема 1.1 (теорема (вложения С. Л. Соболева). При
s>nJ2 + k имеет место вложение
#4Rn)<=(V(Rn)> (1.3)
причем оператор вложения непрерывен.
Следствие 1.1. Если Ω — область в Rn и s>nj2+k, то
Hsloc(Q)czCk(Q).
Поясним формулировку теоремы. На первый взгляд кажется,
что она бессмысленна," поскольку функцию u^Hs(Rn) можно
как угодно изменять на любом множестве меры 0, не меняя
соответствующей обобщенной функции (и элемента пространства
Hs(Rn)). Изменяя же функцию и во всех точках с
рациональными координатами, мы можем добиться того, что она будет
всюду разрывной. Поэтому включение (1.3) следовало бы более
точно формулировать так: если «e№(Rn), то существует и
единственна функция u\^Cbk(Rn)j совпадающая с исходной
функцией и(х) почти всюду (для краткости вместо щ мы снова будем
писать и). Аналогичный смысл имеет утверждение следствия 1.1.
Заметим, что единственность непрерывного представителя оче-
369

видна, так как в любой окрестности точки JC0eRn найдутся точки
любого множества полной меры, так что изменение непрерывной
функции на множестве меры 0 приводит к функции, которая
разрывна во всяком случае во всех точках, где произошло
изменение.
Доказательство теоремы 1.1. Докажем вначале, что имеет
место оценка
IN<*)<c|Ns> u^:s(Rn), (1.4)
где постоянная С не зависит от и. Будем действовать с помощью
преобразования Фурье. Имеем
д«и (*)> (2π)-"/2 J (iire^lu(l) dg,
откуда
\db(x)\<(2*y*'*S\&i(l)\dl
и, следовательно
Деля и умножая подынтегральное выражение на (l+|||2)s/2 и
используя неравенство Коши — Буняковского, мы получаем
il^b<ci(i+UIT-s)/2(i + IS]2)s/2l"(g)l^<
< с (ί (1 +1 ξ W*-*d$w (J (i +1 ξ |γ/' Ι η ω |2 diyi*.
Интеграл в первом из двух сомножителей сходится, поскольку
2 (k—s)<—nt и, следовательно, подынтегральная функция при
|ξ|-*+°° убывает быстрее, чем |ς|"~"~"ε при достаточно малом
ε>0. Второй же сомножитель равен \\u\\s. В итоге при
5 > k Ч получаем неравенство (1.4).
Заметим теперь, что S(Rn) плотно в Hs(Rn) при любом s^R.
В самом деле, введем оператор Л5, умножающий преобразование
Фурье и(%) на (l+|i|2)s/2. Этот оператор изоморфно и изомет-
рично отображает Яs(Rn) на L2(Rn), переводя S(R4) изоморфно
на S(Rn). Поэтому плотность SCR") в Hs(Rn) вытекает из
плотности S(Rn) в L2(Rn).
Пусть теперь иеЯв(Кп), um(=S(Rn), um-+v в Яs(Rn). Но из
неравенства (1.4) следует, что um-+v\ в C^(Rn). Но тогда ti и ϋι
совпадают как обобщенные функции и, следовательно, совпадают
почти всюду. Неравенство (1.4) по непрерывности верно при всех
u^Hs(Rn), что доказывает непрерывность вложения (1.3). Я
В частности, теорема 1.1 показывает, что для функций и^
^Hs(Rn) при s>n/2 имеет смысл говорить об их значениях
в точке. Интересен также вопрос о том, когда имеет смысл
ограничение на подмногообразие произвольной размерности. Однако
нам он в общем виде не понадобится, и мы обсудим лишь
наиболее важный случай многообразия коразмерности 1. Для про-
370

стоты обсудим просто случай гиперплоскости лгп=0 в Rn. Точку
лтеК71 будем записывать в виде х= (х',хп), где x'gR11"1.
Теорема 1.2 (теорема С. Л. Соболева о следах). Оператор
ограничения и-+и\Хп=ь при 5>1/2 продолжается (с S(Rn)) до
линейного непрерывного отображения
H*(Rn)-*H 2 (R*-1).
Доказательство. Запишем оператор ограничения через
преобразование Фурье (для ueS(Rn)):
и(х\ 0) - (2π)-«/2{ е»'*и{1\ у <*&#'.
Отсюда видно, что если через F' обозначить преобразование
Фурье по х\ то мы получим
F'u{x',Q)=tf{l',ln)dln,
Положим для краткости υ(χ')=ιι(χ',0), v(l') =F'v(я')> так что
Требуемое утверждение записывается в виде оценки
S-T i (1.5)
где | · f , означает норму в пространстве Η 2 (Rn_1), ueS(Rn),
а С не зависит от и. Докажем эту оценку. Имеем
Μ ,Ρ-ί(ΐ + ΙΠ2) 2И1')1а<*Г· (ΐ·6)
Далее, в силу неравенства Коши — Буняковского
S S
Ι«(ξ')Ι2 = Ιί(ΐ + ΙΙΙ8Γ2(ΐ + ΙΙ|2)2"(Ι)^„Ι2<
<ί(ΐ + Ι|Ι2)-^„· ί (1 + ΐΕΐ2)5Ι«(ξ)Ν|„.
Оценим первый сомножитель. Имеем
Н1+Ш2)-5^Л = Д1+1П2 + 1Ы2)^1Л =
= (1 + Il'i2)-s Гfι +1-r=k=r\~sdsn=
-s + — °° —s+ —
= (i + li'l2)s 2 j (i + ui«)-»di = c(i + in2) s 2
00
(мы воспользовались здесь тем, что s>l/2, благодаря чему
последний интеграл сходится). Таким образом,
HI')l2<C(i + ll'i2) 4(i+UI2)sl«(g)Nl„·
371

Используя это неравенство для оценки |#(l')l2 B (1-6)» мы
получаем требуемую оценку (1.5). ■
Теорема 1.2 означает, что если u<~Hs(Rn), где s>—, то
корректно определен след и\х =0 функции и на гиперплоскости
хп = 0 и он является элементом пространства Hs"l/2(Rn~l).
Получать его нужно так: представить и в виде предела и =lim um
по норме H-IU функций um^S(Rn). Тогда следы ит \ х ^о при
т-+оо имеют предел по норме ||·||' х в пространстве Η 2(Rn~l)>
причем этот предел не зависит от выбора аппроксимирующей
последовательности.
При желании ограничиться целыми значениями 5 можно вос-
ι^
пользоваться вложением Я г (R""1) cz Я5-1(КП~1). Таким
образом, след и\х ==0 функции u^Hs(Rn) принадлежит
пространству #в-1(ия-1).
Используя пространства Я10С5(М), где Μ — многообразие,
с помощью очевидных соображений локализации можно доказать
следующий аналог теоремы 1.2: если Μ — компактная
гиперповерхность (подмногообразие коразмерности 1) в Rn, то при s>72
оператор ограничения и*-*и\м продолжается (с C0°°(R/i)) до непре-
ι_
рывного оператора ffs(Rn)->H 2 (Λί). Аналогично, если Ω —
ограниченная область в R" с гладкой границей, то при _seZ+>
5>1, оператор ограничения и*-^и\да продолжается (с C°°(Q)) до
непрерывного оператора HS(Q)-*H 2 (<5Ω) и, следовательно, до
непрерывного оператора Hs(Q)-^Hs~l(dQ).
Теорема 1.3. Пусть Ω — ограниченная область с гладкой
границей в R", s, s'^Z+, s>«s'. Тогда оператор вложения Яs(Ω)c:
cz Hs' (Ω) компактен (вполне непрерывен).
Доказательство. 1. Прежде всего сведем наше утверждение
к более простому: компактности отображения —
Я*ф)-^Я*'^'),
(1.7)
где Ω' — такая область в R", что Ω'αΩ. Построим линейный
непрерывный оператор
l:Hs(Q)-+H'(R»)9
372

являющийся оператором продолжения, то есть такой, что (lu)\Q = u
для любого u^Hs(Q). В случае, когда Ω= (R"+) = {х: х= (х\ хп),
*я>0}, такой оператор может быть задан следующей явной
формулой
(1и)(х).
и(х) при лгл>0,
s+l
Σα^(χ\ —kxn) при хп>0>
где числа с^ определяются из системы уравнении
s+l
Σ(—1)'*'α*=1, 0</<5.
Мы предоставляем читателю простую проверку того, что /
действительно является оператором продолжения. В случае
произвольной ограниченной области Ω (с гладкой границей) оператор
продолжения легко строится с помощью разбиения единицы и
использования таких локальных координат в окрестности каждой
точки границы, что в них область Ω превращается в R"+.
. Теперь оператор вложения Hs(Q)czHs'(Q) представляется в
виде композиции оператора продолжения /: Hs(Q)-+Hs(Rn) и
оператора сужения Hs(Rn)-+Hs'(Q)> что сводит дело к
установлению компактности оператора (1.7) (с заменой Ω на R" и Ω'
на Ω).
2. Пусть χ<=Οο°°(Ω), χ=1, в окрестности Ω'. Тогда и\а* =
= (%и) U'· Кроме того, оператор умножения на χ ограничен
в #5(Ω). Поэтому для установления компактности оператора
(1.7) достаточно проверить следующее утверждение: если К —
фиксированный компакт в Ω и {fpjp^i00 — такая
последовательность fp^Яs(Ω), что suppfpCz/C и ||fp||<l, то из нее можно
выделить подпоследовательность, сходящуюся в #δ'(Ω).
3. Заметим теперь, что достаточно рассмотреть случай s=l,
s' = 0. В самом деле, пусть компактность вложения Hl(Q)czL2(Q)
установлена. Из ограниченности HfplU вытекает, что ограничены
нормы ||dafP||i при |a|<s—1 (й, значит, при |a|<s')> так что мы
можем, переходя к подпоследовательности, считать, что
производные dafp сходятся в Ζ,2(Ω) при |a|<s', что и означает сходимость
/р в W (Ω), что и требовалось.
4. Теперь воспользуемся операцией усреднения. Построим
δ-образное семейство функций фе^Со°°(R"), ε>0; точнее, пусть
эти функции φε таковы, что φ8>0, i'<p8(x)d*= 1 и suppcpRc:
873

с={л:: |χ|<:ε}. По каждой функции f^L2(Rn) построим свертку
(усреднение) :
Ы*) = Ш* — y)*hiy)dy = U(y)*f*(x — У)аУ-
Легко проверить, что fe^C°°(Rn) и suppfe лежит в ε-окрестности
suppf. Далее, если в обобщенном смысле df/dXj^L2(Rn)f то
Ctt\d , ч - dfe(x)
= \f(y)-r-<fe(x—y)dy = ~f—,
J dxj dxj
т. е. взятие обобщенной производной перестановочно с операцией
усреднения.
5. Пусть теперь дано ограниченное множество £ГаНх(0)у
обладающее тем свойством, что supp/cz/( для всех /SF (здесь К —
фиксированный компакт в Ω, не зависящий от /). Нам нужно до*
казать, что ЗГ предкомпактно в L2(Q), т. е. из любой
последовательности его элементов можно выбрать подпоследовательность,
сходящуюся в L2(Q). Для этого рассмотрим при любом ε>0
множество усреднений
где fe построено по ff как в п. 4. Достаточно доказать, что
выполнены два условия:
а) &~г предкомпактно в £2(Ω);
б) V^ >0, ^ε>0:^ лежит в δ-окрестности множества #~ε.
В самом деле, если они выполнены, то по любому ε'>0 легко
строится ε'-сеть множества ЗГ (надо взять δ = ε'/2 в п. б),.легка
найти соответствующее #~8 и затем построить г'/2-сеть множества
&~ъ). Отсюда, как известно, вытекает предкомпактность
множества #~.
6. Для проверки условия а) мы установим даже более сильное
утверждение: &~г предкомпактно в С (Кг) у где Кг — замыкание
ε-окрестности компакта К (напомним, -что suppf8c:/C8 для любой
функции fS?~). Для этого заметим, что
\Mx)\<C*l\f{y)\dy<Czl\№\*dy, /ε?
(мы воспользовались выражением для f8 и неравенством Коши—
Буняковского), т. е. ЗГЪ ограничено в С(/(8). Далее, в силу
перестановочности усреднения с дифференцированием (п. 4), мы
получаем, что
так что производные dfz (χ)/dxj равномерно ограничены при \^Т
(и при фиксированном ε). Но отсюда следует равностепенная
непрерывность функций из Уг. Вместе с уже доказанной равномер-
374

ной ограниченностью этих функций это в силу теоремы Арцела
дает предкомпактность 5Гг в С (/С*).
7. Остается проверить условие б) из п. 5. Для этого оценим
норму разности /—f. в пространстве L2(Rn) (норму в L2(Rn) мы
будем сейчас обозначать просто ||-Ц)· Вначале будем считать, что
/^C0°°(Rrt). Имеем
/(*) — /еМ = Π/W— f(* — y)]Ve(y)dy =
1
=§dy^dt- -£-l/(*)-/(*-<ifl]q>«(y) =
0
1 η
] = l
Отсюда
1 ft
l/-M<^jW$J|y/|
(· — ^) hPe(i/)dy
4z{y)dy
0 /=1
<ΣΙ#-Ι· max iwi<e£IrLi<e^i^·
Итак, мы получили оценку
\f-h\\<*Vn\\fl,
(1.8)
где f^Co°°(Rn)' Но теперь эту оценку легко доказать и при любых
f^Hl(Rn) с помощью предельного перехода, так как Co°°(Rn)
плотно в Hl(Rn) (легко проверить, что Co°°(Rn) плотно в S(Rn) в
топологии S(R"), a S(Rn) плотно в Hs(Rn) при любом s^R).
Но из оценки (1.8) мгновенно следует утверждение б) из п. 5, что
завершает доказательство теоремы 1.3. ■
§ 2. РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
И АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ
Мы рассмотрим в области QczR" эллиптический оператор А
вида
η
A = — A + 1£bi(x)-£- + aQ(x), (2.1)
375

где Δ = > —5 лапласиан, b/eCWQ), a0eL°°(Q). В
основам ОХ;
ном тексте используется именно этот случай, хотя большая
часть результатов переносится на более общие эллиптические
операторы 2-го порядка и даже более высоких порядков. Будем
писать, что Q'ciciQ, если Ω' — такая ограниченная область, что
ii'czQ. Основным необходимым нам фактом является
Теорема, 2.1. Пусть функция u^L\0c(&) является
обобщенным решением уравнения Au=f, где* /е L?oc(&)· Тогда и&
^#1ОС(Й). Далее, если Ω"ααΩ'ααΩ, то имеет место
априорная оценка:
\\u\\2^<C(\\Au\\o^+\\u\\o^)t (2.2)
где ||-||5§2 означает норму в #S(Q), а постоянная С>0 не зависит
от и.
Если &/, ao^C°°(Q)t то при любом s^Z+ из условия Au=f^.
е H\oc(Q) вытекает, что и^ Η\^2{Ω)ί причем верна
априорная оценка
||Ф«||5+2<С(НЛ«||5 + |К^||0), (2.3)
где φ, t|)^C0°°(Q), ψ=1 в окрестности supp φ, ||·||5 означает норму
в Hs(Rn) и С не зависит от и. В частности, если Ω"ααΩ'ααΩ,
то
Ns+2.a» <С(\АиЬ* + ||^|!ο,ωΟ, (2.4)
где С не зависит от и.
Поясним смысл уравнения Au=f при weL2(Q). Мы имеем,
очевидно, Аые^'ф) (й даже Ды<= #ϊ^(Ω)), a0weL2(Q).
Остается придать смысл выражению
Более общим образом, для w^L2(Q) и ϋ<=Οι(Ω) мы определим
bdu/dxj^g)' (Ω). Но это делается с помощью естественной
.формулы
Пользуясь теоремой вложения Соболева (теорема 1.1) и ее
следствием 1.1, отсюда можно получать информацию о
принадлежности решения и к классам C*(Q). В частности, мы получаем,
что справедливы два следствия:
Следствие 2.1. Если &/, α0^Ο(Ω) и 4w=/<=C°°(Q), то we
€Ξθ(Ω).
376

Следствие 2.2. Если п = 3 и Au=f^L2(Q)> то w^C(Q).
Перейдем к доказательству теоремы 2.1. Мы разобьем его на
несколько лемм.
Лемма 2.1. Пусть MeS'(R") и (1— A)u=f^Hs(Rn). Тогда
ut=Hs+2(Rn), причем
1|м||5+г<С||(1-Д)и||,> (2.5)
где С не зависит от и (на самом деле, можно взять даже С=1>
если нормы ||-||s задаются формулой (1.2)).
Доказательство. Переходя в уравнении (1—is)u=j к
преобразованию Фурье, мы получаем: (1+ |||2)w(|) =f(ξ), откуда w(|) =
= (1+ III2)"1?(1) и утверждение становится очевидным. Ш
Отметим, что из оценки (2.5) вытекает оценка
\\u\\s+2<C(\\Au\\s+\\u\\s). (2.6)
Легко доказывается и более сильная оценка
||«/||5+2<С(||Аи||в+||и||-^) при произвольных s, N^R. (2.7).
Ее можно получить с помощью преобразования Фурье, переходя
к равносильной оценке
||«|+2<С(«Д«|+|«^).
которая эквивалентна очевидному неравенству
(i + UI2)s+2<c[U|4(i+|g(2)s + (i+U!2)^l·
Можно также вывести (2.7) из оценки (2.6), переходя от —ΛΓ
к —N+2, затем к —N+4 и т. д.
Лемма 2.2. Пусть u^L\0c{Q). Тогда —— е #ь£(й), причем если
OX i
φ, ψ^(?ο°°(Ω), ψΞ=1 в окрестности supp<p, то
ди
φ
dxj
<С||Ч>"«о· (2.8)
Доказательство. Имеем
' ди д (ери) д<р д (ери) .
dcp
дх}· dxj dxj dxj dxf
Теперь нужно воспользоваться тем, что tyu^L2(Rn)y а операторы
д/дх}· непрерывно отображают L2(Rn) в //"^(R"), что легко
получается переходом к преобразованию Фурье. ■
Лемма 2.3. Для w&S'(Rrt) включение u^H-l(Rn) равносильно*
тому, что и можно записать в виде
"=»·+Σ-|-· (2·9>
/.=1
где Vj^L2(Rn). При этом функции v\ могут быть выбраны так,
377

что справедливы оценки
C-1|«||-i<X;i|^||o<C||w||_1, (2.10)
/=0
где С>0 не зависит от и.
Доказательство. Пользуясь преобразованием Фурье, положим
^(|) = (1+|||2)1/20(|). Тогда включение u^H~l(Rn) равносильно
тому, что v^L2(Rn)y причем ||w||-i = ||0||o. Поэтому утверждение
.леммы будет доказано, если получить представление
(ΐ + ΐξΐ2)ι/2=χ0α) + Σΐ/χ,·(ΐ), (2Л1>
где x/(i)eL°°(Rn), / = 0, 1, ..., η (тогда в (2.9) нужно будет взять
fo=/?-1(Xo(i)y(|)), 0/=^-'(W(l) 5 (ξ)), / = 1, .... я). Положим
χο(Ι)=φο(|)(1+|||2)1/2, где «poeCo-iR"), φ0(0) =1. Тогда если
Λ(|) = (1+|||2)1/2(1-φο(|)), то λ(0)=0 и \дХ(1)/дЬ\<С Теперь
мы имеем
1 я 1
λ (ξ) = f [-J- λ(ίξ)] <« = Σ*'.( 1Г<ФЛ'
о /=ι ό ;
так что если положить
Χ/(ξ)=ί-^('ξ)Λ.
о
то мы имеем требуемое представление (2.11). Я
Лемма 2.4. Пусть 6^(?(Ω), u^H^[(Q). Тогда fweffil(Q),
лричем если <psCo°(Q), то
||фИ-1<С||<Н1-1, (2.12)
тде С не зависит от и.
Доказательство. Поскольку <pMe#_1(Rrt), то по лемме 2.3 мы
можем написать
ф^ + Ё-gf-.
дхг
/=1
где Vj^L2(Rn) и справедлива оценка (2.10) с заменой и на ери.
Отсюда следует, что если ψ^^°°(Ω), ψ=1 в окрестности
supp φ, то
η
φι = ψφΜ = ψϋ0 + ^ ·ψ_^-.
378

Поэтому
,„_^+2*λ.-(«*-ς4-^+2·-μ*
/=ι /«ι . /=ι
Поскольку t|?&eC1(R/I) и supp (ψδ) czsuppψ, το искомое
утверждение вытекает теперь из леммы 2.3. ■
Лемма 2.5. 1) Если b<=Co°°(Rn) и U(=Hs(Rn), где s<=Z+, то
bu^Hs(Rn), причем
ИМ.<С||и||„
где С не зависит от и.
2) чЕсли &<=С°°(Ω) и «6 #foc(Ω), где se=Z+, то bu<= #?<*(Ω),
причем если φ^Ο0°°(Ω), то
||фМ.<С||ч>и||,,
где С не зависит от и.
Доказательство, Второе утверждение очевидным образом
вытекает из первого, а первое проверяется непосредственно из
определения 1.1 с использованием нормы (1.1). ■
Доказательство теоремы 2.1. 1) Начнем с первой части
утверждения теоремы. Положим
η
/=ι
Если u^l Lu)c(Q), то Lu^ Hu>l(Q) в силу лемм 2.2. и 2.4. При
этом если φ^^°°(Ω), ψ=1 в окрестности supp φ, то
bLu\\-i<C\\*uL· (2.13)
где С не зависит от и. Далее,
д (φα) = фДы + 2 V-^- — + и Δ φ. (2.14)
яшш ΟΧ j ΟΧ i
Если и^ Ζ,?οο(Ω) и Лы = /е Η\0[(Ω), то, поскольку Л=—Δ+L
и Lί^eЯьi(Ω), получаем, очевидно, что ДмеЯ^(й), так что
из (2.14) видно тогда, что Д(ф«)^Я"1(К/г), причем
HA(Vi/)IUi<C(||*tt||o+ll*flU).
Отсюда (1— A)(yu)EEH-i(Rn) и
||(1-А)фи|Ц<С(||фм||о+||я|)/|Ц).
Но тогда по лемме 2.1 уи^Н1 (Rn) t причем
ΙΙφί/||ι<σ(||ψα||ο+ΙΙ*/ΙΙ-ι). (2.15>
Ввиду произвольности φ отсюда следует, что меЙ10с(й).
37$

Теперь мы имеем: и, ди/дх; е Lf0C(S), так что Lu <= Lu>c(Q).
Из (2.14) мы видим, что если теперь Аи = /^ L\0C(Q), то Awe
^Ζ,ι2οε(Ω). Из (2.14) получается тогда А((ри)^12(Кл), и, значит,
(1—Δ) (q>u)^L2(Rn)> откуда qu^H2(Rn). Ввиду произвольности
<р это означает, что иеЯ1ОС(й). Комбинируя оценки из лемм
2.2—2.4 и учитывая оценку (2.15), мы получаем, что верна оценка
Ш\2<С{Ц(Аи)и+Ци\\0)9 (2.16)
равносильная оценке (2.2), что завершает доказательство первого
утверждения теоремы.
2) Пусть теперь bjy a0 e C°°(Q), Аи = /<= #ΐ0<:(Ω), где spZ+.
Мы уже знаем, чтомеЯ|ОС(й)' причем верна оценка (2.16).
Докажем утверждение теоремы индукцией по 5 (при s = 0 оно
было доказано выше). Пусть уже доказано, что из включений
ие Lioc(Ω), Аи = f <= Н\ос(Ω) вытекает включение ие#Й?(Ω),
причем справедлива оценка (2.3). Докажем то же самое с
заменой 5 на s+1.
Ясно, что Lu <= H\tc (Ω) по лемме 2.5, причем
11^(ф«)1и+1<:С||ф1«|и+2<С1(||г|)(Л«)||5+НЧг||о), (2.17)
если функции φ, ψι, -ф^Со00^) таковы, что ψι=1 в окрестности
suppcp, ψΞ==1 в окрестности supp ψι. Отсюда благодаря формуле
(2.14) мы получаем
(1—Δ) (<ри) = (l + A—L) (<pu)eH'+l(R»),
откуда yu^Hs+z(Rn) по лемме 2.L При этом оценка (2.17) в
комбинации с оценками лемм 2.1 и 2.5 дает искомую оценку (2.3)
<(с заменой s на s+Ι), что и требовалось. Я

КРАТКИЕ ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
Литература, имеющая отношение к предмету этой книги,
необозрима. Поэтому мы цитируем здесь лишь работы, наиболее
тесно связанные с текстом книги, ни в коей мере не претендуя
на полноту. При этом, как правило, мы цитируем монографии и
обзоры, в которых можно найти дальнейшие ссылки.
К главе 1
Имеется много превосходных книг, в которых основные
положения квантовой механики излагаются на «физическом» уровне
строгости, например Дирак [1], Паули [1], Ландау и Лифшиц [1].
Блестящий анализ основных экспериментов содержится в курсе
Фейнмана, Лейтона и Сэндса [1]. Вопросы, связанные с
интерпретацией квантовой механики, принципами неопределенности и
дополнительности, теорией измерения, детально рассмотрены в
работах Бора [1], Мандельштама [1], фон Неймана [1], Вигнера [2],
Фока [1] и др. Повышенный уровень строгости и тщательный
анализ физических оснований теории характерен для учебников
Грина [1], Бродского и Наумова [1]; Фаддеева и Якубовского [1],
причем последняя книга ориентирована на студентов-математиков.
На математическом уровне строгости написаны
основополагающая монография фон Неймана [1], книги Хинчина [1], Макки [1],
Хол.ево [1], в которых заметное место занимают вопросы,
связанные с обоснованием и логической схемой построения квантовой
механики. Строгое изложение основ квантовой механики
содержится и в ряде монографий, посвященных квантовой теории поля;
см. Боголюбов, Логунов, Тодоров [1], Шварц [1, 2], Стритер и
Вайтман [1]. Математический аппарат квантовой теории с
энциклопедической полнотой описан в многотомной монографии Рида
и Саймона [1]. С историей возникновения квантовой механики
можно познакомиться, например, по работам де Бройля [1], Ель-
яшевича [1], Полака [1], Румера [1].
Формулировка основных постулатов, приведенная в § 2,
восходит к работам основоположников квантовой теории; см.,
например, Дирак [1], Паули [1], фон Нейман [1]. Различные способы
«наиболее естественного» построения квантовомеханической
аксиоматики обсуждаются в работах Сигала [1], Макки [1],
Боголюбова, Логунова, Тодорова {1], Фаддеева, Якубовского [1] и многих
других. «Алгебраический» подход, предложенный Сигалом [1] и
«основанный на теории банаховых алгебр с инволюцией, подробно
рассмотрен в обширной монографии Эмха [1]. При этом подходе
•основным объектом теории является банахова алгебра
ограниченных наблюдаемых, а состояния системы трактуются как
положительные функционалы на алгебре наблюдаемых. Нетрадиционный
лодход к квантовой механике, основанный на понятии интеграла
по траекториям, предложил в конце 40-х годов Р. Фейнман,
см. Фейнман, Хибс [1]. О предложениях использовать пространст-
381

во с индефинитной метрикой вместо гильбертова пространства
в качестве пространства состояний см. Надь [1]. По поводу правил
суперотбора см. Боголюбов' Логунов, Тодоров [1] и Стритер*
Вайтман [1].
Уже в конце 20-х годов стало ясно, что естественная трактовка
ряда вопросов квантовой теории достигается применением
методов теории представлений групп. Основополагающие идей и
работы по применению групповых методов в квантовой теории
принадлежат Г. Вейлю и Е. Вигнеру (см. Вейль [1], Вигнер [1, 2]).
Хотя в гл. I настоящей книги групповые методы не обсуждаются,
они постоянно присутствуют за кулисами. Например, момент ко*
личества движения и спин тесно связаны с представлениями
группы вращений трехмерного пространства. В частности,
решения задач из § 6 и задач 2, 3 из § 7 дают описание всех
неприводимых представлений этой группы с точностью до
эквивалентности; см. Гельфанд, Минлос, Шапиро [1], Наймарк [1]. Теорема
Стоуна — фон Неймана о единственности квантования (см. § 8,
задача 6, теорема 8.2) также тесно связана с теорией
представлений. В силу критерия Нельсона [1] самосопряженность (в
существенном) оператора энергии квантового осциллятора эквивалентна
тому, что операторы координат и импульсов, а также
тождественный оператор, умноженный на постоянную Планка, образуют
систему генераторов унитарного представления нильпотентной
группы Ли (группы Гейзенберга). Последнее означает, что
выполняются соотношения Вейля, усиливающие коммутационные
соотношения Гейзенберга; см. Рид и Саймон [1], т. 1, гл. 8, § 5. Вариант
теоремы о единственности квантования, близкий по формулировке
к теореме 8.2, содержится в статье Диксмье [1]. Современный
обзор теории представлений групп и ее физических приложений
содержится в двухтомной монографии Барута и Рончки [1].
К главе II
Спектральная теория одномерного оператора Шредингера
излагалась в ряде монографий, из которых мы укажем книги Рида
и Саймона [1], т. 2—4, Титчмарша (1], т. 1, Наймарка [2], Данфор-
да и Шварца [1], т. 2, Левитан'а и Саргсяна [1]. Ряд вопросов этой
теории обсуждается в книгах, посвященных более общим
вопросам спектральной теории, например, у Ахиезера и Глазмана [1]г
Глазмана [1], Бирмана и Соломяка [1], Като [1], Березанского [1]„
Маслова [1].
Теорема 1.1 принадлежит Сирсу [1], изложению которого мы
следуем в § 1. Оценка роста обобщенных собственных функций
из § 2 делается, как у Березанского [1].
Содержание § 3, 4 является классическим (см., например,
Наймарк [2], Глазман [1], Марченко [1, 2] и имеющиеся .там
ссылки). В частности, у Марченко [1, 2] можно найти более
точное исследование интегральных уравнений типа (4.6), (4.7).
В § 5 мы следуем работе Бирмана [1]. Различные изложения
382

теоремы о разложении по собственным функциям из § 6 и
связанных с ней фактов можно найти у Наймарка [1], Данфорда
и Шварца [1],-т. 2, Левитана и Саргсяна [1], Марченко [1, 2],
Фаддеева [2, 3]. Подробности об обратной задаче теории
рассеяния можно найти у Аграновича и Марченко [1], Марченко
П, 2], Фаддеева [2, 3], Альфаро и Редже [1], Шадана и Сабатье
[1]. Эта задача играет важную роль в теории интегрируемости
нелинейных уравнений в частных производных; см., например,
Захаров, Манаков, Новиков, Питаевский [1].
К главе III
Спектральной теории многомерного оператора Шредингера
посвящены т. 2—4 книги Рида и Саймона [1]. С содержанием
гл. III наиболее тесно связан т. 4 этой книги Рида и Саймона,
где читатель может найти также многочисленные литературные
указания. Много важного материала по этому поводу содержат
также монографии Титчмарша [1], т. 2, Глазмана [1] и Бере-
занского [1].
В § 1, где доказана теорема 1.1 о существенной
самосопряженности,* принадлежащая Сирсу, мы в основном следуем Титч-
маршу [1], т. 2. Отметим, что можно обобщить эту теорему на
случай, когда миноранта Q в (1.2) не является сферически
симметричной (см. Рофе-Бекетов [1]). Более простые доказательства
в случае полуограниченности снизу потенциала или самого
оператора Н0 см. у Глазмана [1]. Содержание § 2 основано на идеях
Березанского [1], где можно найти и другие оценки роста
обобщенных собственных функций (например, оценки, напоминающие
оценку из § 2 гл. II). Теорема 3.1 о дискретности спектра хорошо
известна (см., например, Титчмарш [1], т. 2, Глазман [1]) и
допускает существенные уточнения, формулируемые в терминах
емкости (см. А. М. Молчанов [1], Мазья [1]). По поводу
убывания собственных функций (теоремы 3.2 и 3.3) см. Маслов
[1], Рид и Саймон [1], т. 4, а также Саймон [1]. Наше
изложение ближе всего к работе Бардоса и Мериго [1], где
рассматривается более общий случай.
Отметим, что часто удается установить невырожденность
основного состояния, т. е. однократность наименьшего собственного
значения V Например, это так в случае, когда λ0< lim Ίηίυ(χ)
(см. Рид и Саймон [1], т. 4). При этом соответствующая
собственная функция оказывается всюду положительной.
Рассуждение, аналогичное доказательству теоремы 3.5 из гл. II,
показывает, что если собственные значения λο, λι, λ2,..., для которых λ;<
< lim info(*), упорядочены по возрастанию, Xk = λ*0< λ^ι и
% — соответствующая вещественная собственная функция, то
множество {х :ψ&(*)¥=0} имеет не более (k0 + l) связных
компонент.
383

Описание существенного спектра оператора Шредингера в
ситуации, более общей, чем в § 4, обсуждается у Рида и Саймона
[1], т. 4. Это же относится к другим результатам этого
параграфа. Отметим, впрочем, что наше изложение теоремы Като об
отсутствии положительных собственных значений отличается от
изложения Рида и Саймона и основано на работах Эйдуса [1]
и Розе [1].
К главе IV
Математические вопросы квантовой теории рассеяния для
многомерного оператора Шредингера наиболее полно изложены у
Рида и Саймона [1], т. 3, где можно найти и дальнейшие ссылки.
Читатель, желающий подробнее ознакомиться с различными
математическими и физическими аспектами этой теории, может
обратиться, например, к монографиям Като [1], Фридрихса [1],
Фаддеева [1], Куроды [1], Гольдбергера и Ватсона [1], Шварца
[1, 2], де Альфаро и Редже [1], Сунакавы [1], Тейлора [1],
Базя, Зельдовича и Переломова [1]. Акустическая теория
рассеяния, обладающая некоторыми специфическими особенностями,
но в то же время имеющая много общего с квантовой теорией,
изложена у Лакса и Филлипса [1]. Ряд математических
вопросов, связанных с теорией рассеяния, обсуждается у Вайнберга
[1] и Сайто [1].
Абстрактная теория рассеяния, начала которой изложены в
§ 1, наиболее полно обсуждается в книге Като [1], где можно
найти и литературные указания. В ней, в частности, доказано,
что если оператор Н0 имеет непрерывный спектр, а оператор
(H—zI)~1—(Hq—zI)-1 ядерный при каком-нибудь zgC, to
волновые операторы существуют и полны. Отсюда можно вывести
существование и полноту волновых операторов для оператора
Шредингера в R3 с достаточно быстро убывающим потенциалом.
Важную роль играет также принцип инвариантности,
позволяющий заменять пару Я, Я0 на пару φ(#), <р(#0), г^е Φ —
функция на R, обладающая некоторыми специальными свойствами.
Нестационарный метод доказательства полноты волновых
операторов, обсуждаемый в § 2, принадлежит Энссу [1] и изложен
также у Рида и Саймона [1], т. 3. Значительно более общая
ситуация рассмотрена у Саймона [2]. Наше изложение следует
работам Яфаева [1, 2], заметно упростившего метод Энсса.
Обсуждение одномерного случая (§ 2, п. 4) следует работе
Фаддеева [3].
Обсуждение вывода уравнений Липпмана — Швингера и их
использования можно найти в цитированных выше монографиях.
Отметим, что полнота системы собственных функций с
асимптотикой типа (3.29) впервые установлена Повзнером [1]. С
помощью уравнений Липпмана — Швингера можно доказать и
полноту волновых операторов (см., например, Фаддеев [1]).
384

К главе V
Концепция символа естественным образом возникает при
рассмотрении квантования (см. литературные указания к гл. I).
Связь символов и квантования и различные аспекты теории
символов обсуждаются, например, в монографии и работах Березина
[1—9], в работах Березина и Шубина [1], Гроссмана, Лупиаса
и Стейна [1], Антонца [3], Хёрмандера [2]. Понятие символа
лежит в основе теории псевдодифференциальных операторов (см.,
например, Шубин [2]). В частности, в вышеупомянутых работах
подробно обсуждаются и вейлевские символы. Виковские
символы играют фундаментальную роль в методе вторичного
квантования (см. Березин [1]). Антивиковские символы введены и
изучены Березиным [4]. Ковариантные и контравариантные символы
также впервые явно введены Березиным [5]. Неравенства,
указанные в § 2 п. 4, впервые получены Березиным [4—6] и
возникли в результате попыток понять неравенство Фейнмана (см.
Симанзик [1]). Наше изложение в § 1 и 2 основано на работах
Березина [2] и [4—6] и работе Шубина [1].
Изложение теории континуальных интегралов в § 3 и 4 этой
главы следует работе Березина [9] (см. также [3]), где можно
найти и литературные указания. На языке континуальных
интегралов может быть дана формулировка квантовой механики (см.
Фейнман, Хибс [1]). С ролью континуальных интегралов в
квантовой теории поля и статистической физике читатель может
познакомиться, например, по книгам Славнова и Фаддеева [1] и
Глимма и Джаффе [1]. Различные физические аспекты,
связанные с применением этих интегралов, обсуждаются в обзоре Ма-
ринова [1]. Обсуждение разнообразных математических подходов
к теории континуальных интегралов можно найти в работах Аль-
беверио и Хёг-Крона [1], Гельфанда и Яглома [1], Далецкого
[1], Маслова и Шишмарева [1], Маслова и Чеботарева [1].
Простейшим (с математической точки зрения) вариантом этой
теории является теория, основанная на интегрировании по мере
Винера (см. монографию Саймона [3] и имеющиеся там ссылки).
В сборнике «Фейнмановские интегралы по путям» [1] читатель
может найти самые разнообразные работы по поводу
континуальных интегралов и дальнейшие ссылки.
Содержание § 5, где описывается применение вейлевских
символов к нахождению квазиклассических асимптотик, основано на
работах Березина [2] и Березина и Шубина [1]. Различные
вопросы, связанные с квазиклассическими асимптотиками,
обсуждаются в монографиях Маслова [1, 2], Маслова и Федорюка [1],
Хельфера [1] и в работах Буслаева [1], Вороса [1].
Математическое обоснование квазиклассического предельного перехода в
уравнении Гейзенберга на языке общих символов Вейля сделано
в работах Антонца [1—3]. Квазиклассические асимптотики
собственных значений изучались в работах Березина [4, 5], Ройт-
бурда (см. Шубин [2], добавление 2), Фейгина [1], Левендор-
385

ского [1], Шэзарэна [1], Хельфера и Робера [1, 2] (см. также
Хельфер [1]).
К Добавлению 1
Материал § 1 является стандартным и изложен во многих
учебниках по функциональному анализу (см., например, Рид и
Саймон [1], т. 1, Рисе и Надь [1], Ахиезер и Глазман [1], Бирман
и Соломяк [1]). Изложение теории обобщенных собственных
функций в § 2 основано на идеях Березанского [1], где, впрочем,
применяется другой подход, основанный на дифференцировании
разложения единицы. По поводу вариационных принципов и
теории возмущений см.: Гохберг и Крейн [1], Като [1], Рисе и
Надь [1], Фридрихе [1], Бирман и Соломяк [1]. Подробности
о ядерных операторах и следе можно найти у Гохберга и Крейна
[1]. Формулировка теоремы 4.1 содержится в виде замечания в
работе Хёрмандер-а [2]; по поводу тензорных произведений
гильбертовых пространств см., например, Рид и Саймон [1], т. 1,
или Березанский [1].
К Добавлению 2
Материал этого добавления является стандартным и изложен
во многих учебниках и монографиях по уравнениям в частных
производных (см., например, Хёрмандер [1]).
ЛИТЕРАТУРА
Агранович 3. С, Марченко В. А.
1. Обратная задача теории рассеяния. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, I960.
Альбеверио С, Хег-Крон P. (Albeverio S., Hoegh-Krohn R.)
1. Mathematical Theory of Feynman Path Integrals. — Lecture Notes Math., 52$,
Berlin e. a., Springer, 1976.
де Альфаро В., Редже Т.
1. Потенциальное рассеяние. М.: Мир, 1966.
А н τ о н е ц М. А.
1. Классический предел решений задачи Коши для гипоэллиптических символов
Вейля. — УМН, 1977, 32, № 5, 171—172.
2. Классический предел решений задачи Коши для эволюционного уравнения
Гейзенберга—Вейля. — Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ,, 1977, № 6,
26—33.
3. Алгебра символов Вейля и задача Коши для регулярных символов. — Матем.
сб. 1978, 107, № 1, 20—36.
Ахиезер Н. И., Глазман И. М.
1. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966.
Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М.
1. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М.:
Наука, 1971.
Бардос К., Мериго М. (Bardos С, Merigot M.)
1. Asymptotic decay of the solutions of a second order elliptic equation in an
unbounded domain. Applications to the spectral properties of a Hamiltonian. —*
Proc. Royal Soc. Edinburgh, 1977, 76 A, 323—344.
Барут Α., Рончка Р.
386

Д. Теория представлений групп и ее приложения, т. 1, 2. М.: Мир, 1980.
Березанский Ю. М.
1. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев:
Наукова думка, 1965.
Березин Ф. А.
1. Метод вторичного квантования. М.: Наука, 1965.
2. Об одном представлении операторов с помощью функционалов. — Тр. моек,
матем. о-ва, 1967, 17, 117—196.
3. Невинеровские континуальные интегралы. — Теор. и матем. физика, 1971, 6,
№ 2, 194—212.
4. Виковские и антивиковские символы операторов — Матем. сб., 1971, 86, № 4,
578—610.
5. Ковариантные и контравариантные символы операторов.—-Изв. АН СССР, 1972,
36, № 5, 1134—1167.
6. Выпуклые функции от операторов. — Матем. сб., 1972, 88, № 2, 268—276.
7. Квантование. — Изв. АН СССР. Сер. матем., 1974, 38, № 5, 1116—1175.
$. General concept of quantization: — Commun. Math. Phys., 1975, 40, № 2, 153—
174.
9. Континуальный интеграл по траекториям в фазовом пространстве. — Успехи
физ. наук, 1980, 132, № 3, 497—548.
Березин Ф. А:, Шубин М. А.
1. Symbols of operators and quantization. Colloquia mathematica societatis Janos
Bolyai, 5, Hubert space operators, Tihany (Hungary), 1970, 21—52.
2. Лекции по квантовой механике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1972.
Бирман М. Ш.
1. О спектре операторов Шредингера и Дирака. — ДАН СССР, 1959, 129, № 2,
239—241.
Бирман М. Ш., Соломяк М. 3.
1. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом
пространстве. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980.
Боголюбов Н. Н., Логунов Α. Α., Тодоров И. Т.
1. Основы аксиоматического подхода к квантовой теории поля. М.: Наука, 1969.
Б о ρ Η.
1. Атомная физика и человеческое познание. М.: ИЛ, 1961.
Брсдский А. М., Наумов А. И.
1. Основные принципы нерелятивистской квантовой механики. М.: Изд-во Моск.
ун-та, 1977.
де Бройль Л.
1. Революция в физике. М.: Атомиздат, 1965.
Буслаев В. С.
1. Производящий интеграл и канонический оператор 'Маслова в методе ВКБ. —
Функц. анализ 1969, 3, № 3, 17—31.
Вайнберг Б. Р.
1. Асимптотические методы в уравкениях математической физики. М.: Изд-во
Моск. ун-та, 1982.
ВейльГ.
1. Теория групп и квантовая механика. Харьков: ОНТИ ДНТВУ, 1938.
В и г н е ρ Ε.
1. Теория групп. М.: ИЛ, 1961.
2. Эгюды с симметрии. М.: Мир, 1971.
Винер Н.
1. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М.: Физматгиз, 1963.
Владимиров В. С.
1. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964.
В о ρ о с А. (V о г о s А.)
1. An algebra of pseudodifferential operators and the asymptotics of quantum
mechanics. — J. Funct. Anal., 1978, v. 29, N° 1, 104—132.
ГельфандИ. М^МинлосР. Α., Шапиро 3. Я.
1. Представления группы вращений и группы Лоренца. М.: Физматгиз, 1958.
Г е л ь φ а н д И. М., Я г л о м А. М. *
387

1. Интегрирование в функциональных пространствах. — УМН, 1956, 11, № 1»
77—114.
Глазман И. М.
1. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных
дифференциальных операторов. М.: Наука, 1963.
Г л и м м Дж., Д ж а φ φ е А. (С 1 i m m J., J a f f e A.)
1. Quantum Physics. A Functional Integral Point of View. Berlin e. a., Springer,
1981.
Гольдбергер М., В а т с о н К.
1. Теория столкновений. М.: Мир, 1967.
Г о χ б е ρ г И. Ц., К ρ е й н М. Г.
1. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука,
1965.
Грин X.
1. Матричная квантовая механика. М.: Мир, 1968.
Гроссман Α., Лупиас Г., Стейн И. М. (Grossman A., Loupias G.,
Stein Ε. Μ.)
1. An algebra of pseudodifferential operators and quantum mechanics in phase
space. — Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 1968, 18, N 2, 343—368.
Далецкий Ю. Л.
1. Континуальные интегралы, связанные с операторными эволюционными
уравнениями. — УМН, 1962, 17, № 5, 3—115.
Данфорд Н., Шварц Дж. Т.
1. Линейные операторы, т. I. М.: ИЛ, 1962; т. II, М.: Мир, 1966.
Д и к с м ь е Ж. (D i x m i e r J.)
1. Sur la relation i(PQ—QP) = I. — Compos. Math., 1956, 13, 263—269.
Дирак П. Α. Μ.
1. Принципы квантовой механики. Μ.: Наука, 1979.
Ельяшевич М. А.
1. Пятьдесят лет открытия квантовой механики. — В кн.: 50 лет квантовой
механики. М.: Наука, 1979, 71—77.
Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П.
1. Теория солитонов. Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.
И о с и д а К.
1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.
Като Т.
1. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
Костюченко А. Г., Саргсян И. С.
1. Распределение собственных значений. Самосопряженные обыкновенные
дифференциальные операторы. М.: Наука, 1979.
{Ту ρ о д а С. Т. (К и г о d a S. Т.)
1. An Introduction to Scattering Theory. — Lecture Notes Series, № 51, Berlin
e. a., Springer, 1980.
Лаке П. Д., Ф и л л и п с Р. С.
1. Теория рассеяния. М.: Мир, 1971.
Ландау Л. Д., Л и φ ш и ц Ε. Μ.
1. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Физматгиз, 1963.
ЛевендорскийС. 3.
1. Квазиклассическая асимптотика собственных значений систем
псевдодифференциальных операторов — ДАН СССР, 1981, 256, № 1, 32—36.
Левитан Б. М., Саргсян И. С.
1. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970.
Мазья В. Г.
1. К теории многомерного оператора Шредингера. — Изв. АН СССР, сер. ма-
тем., 1964, 28, № 5, 1145—1172. —
Μ а к к и Дж.
1. Лекции по математическим основам квантовой механики. М.: Мир, 1965.
Мальгранж Б.
1. Идеалы дифференцируемых функций. М.: Мир, 1968.
3S8

Мандельштам Л. И.
1. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. М.: Наука,
1972.
Μ а р и н о в М. С. (М а г i η ο ν Μ. S.)
1. Path Integrals in Quantum Theory: an Outlook of Basic Concepts. Physics Re-
ports (Review Section of Physics Letters) 1980, № 1, 1—57.
Марченко В. А.
1. Спектральная теория операторов Штурма—Лиувилля. Киев: Наукова думка,
1972.
2. Операторы Штурма—Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка,
1977.
Μ а с л о в В. П.
1. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Изд-во Моск. ун-та,
1Р65.
2. Операторные методы. М.: Наука, 1973.
Μ а с л о в В. П., Φ с д о ρ ю к М. В.
1. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.:
Наука, 1976.
Μ а с л о в В. П., Чеботарев А. М.
1. Скачкообразные процессы и их применения в квантовой механике. — Теория
вероятностей. Мат. статистика. Теор. кибернетика, т. 15. М.: ВИНИТИ, 1978,
5—79.
Μ а с л о в В. П., Ш и ш м а р е в И. А.
1. О 7-произведении гипоэллиптических операторов. — Современные проблемы
математики, т. 8. М.: ВИНИТИ, 1976, 137—197.
Молчанов А. М.
1. Об условиях дискретности спектра самосопряженных дифференциальных
уравнений второго порядка. — Тр. Моск. матем. о-ва, 1953, 2, 169—200.
Морен К-
1. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.
Η а д ь К.
1. Пространства состояний с индефинитной метрикой в квантовой теории поля.
М.: Мир, 1969.
Наймарк М. А.
1. Линейные представления группы Лоренца. М.: Физматгиз, 1958.
2. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.
фон Нейман И.
1. Математические основы квантовой механики. М.: Наука, 1964.
Η е л ь с о н Э. (Ν е 1 s о η Ε.)
1. Analytic vectors. — Ann of Math., 1959, 70, № 3, 572—615.
Паули В.
1. Общие принципы волновой механики. М.—Л.: ОГИЗ, ГИТТЛ, 1947.
Повзнер А. Я.
1. О разложении произвольных функций по собственным функциям оператора
—Аи+си. — Матем. сб., 1953, 32, 109—156.
Π о л а к Л. С.
1. Возникновение волнового аспекта квантовой механики. — В кн.: 50 лет
квантовой механики. М.: Наука, 1979, с. 22—70.
Петровский И. Г.
1. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.
Рид М., Саймон Б.
1. Метсдь» современной математической физики. М.: Мир,
т. 1. Функциональный анализ, 1977;
т. 2. Гармонический анализ. Самосопряженность, 1978;
т. 3. Теория рассеяния, 1982;
т. 4. Анализ операторов, 1982.
Рисе Ф., Секефальви-Надь Б.
1. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.
Розе С. Н.
1. О спектре эллиптического оператора второго порядка. — Матем. сб., 1969г
80, № 2, 195—209.
389

Рофе-Бекетов Ф. С.
1. Условия самосопряженности оператора Шредингера. — Матем. заметки, 1970,
8, № 6, 741—751.
Τ умер Ю. Б.
1. Возникновение матричной механики. — В кн.: 50 лет квантовой механики.
М.: Наука, 1979, с. 3—21.
-С а й м о н Б. (Simon В.)
1. Pointwise bounds on eigenfunctions and wave packets in N-body quantum
systems, I, II, III. — Proc. Amer. Math. Soc. 1974,* 42, 395—401; 1974, 45, 454—
456; Trans. Amer. Math. Soc, 1975, 208, 317—329.
1>. Phase Space Analysis of Simple Scattering Systems: Extensions of Some Work
of Enss.. — Duke Math., J., 1979, 46, № 1, 119—168.
3. Functional integration and quantum physics. New York: Academic Press, 1979.
iZ а й τ о И. (S a i t δ Υ.)
1. Spectral Representations for Schrodinger Operators with Long-Range
Potentials. — Lect. Notes Math., 727. Berlin e. a., Springer, 1979.
Сигал И.
1. Математические проблемы релятивистской физики. М.: Мир, 1968.
'С и м а н з и к К. (S i m а η ζ i k К)
1. Proof and Refinements of an Inequality of Feynmann. — Journ. of Math. Phys.,
1965, 6, N 7.
Сире Д. Б. (Sears D. В.)
1. Note on the uniqueness of Green's functions associated with certain differential
equations. — Canadian J. Math., 2, 1950, 314—325.
Славнов Α. Α., Фаддеев Л. Д.
1. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М.: Наука, 1978.
С τ ρ и τ е ρ Р., В а й τ м а н А. С.
1. РСТ, спин и статистика и всё такое. М.: Наука, 1966.
Сунакава С.
1. Квантовая теория рассеяния. М.: Мир, 1979.
Тейлор Дж.
1. Теория рассеяния. Квантовая теория нерелятивистских столкновений. М/. Мир,
1975.
Титчмарш Э. Ч.
1. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными
уравнениями второго порядка, т. I. M.: ИЛ, 1960; т. II, М.: ИЛ, 1961.
Тихонов А. Н., Самарский А. А.
1. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.
Фаддеев Л. Д.
1. Математические вопросы квантовой теории рассеяния для системы трех
частиц. — Труды МИАН им. В. А. Стеклова, 1963, т. 69.
2. Обратная задача квантовой теории рассеяния. — УМН, 1959, 14, № 4, 1959,
57—119.
3. Обратная задача квантовой теории рассеяния. II. — Современные проблемы
математики, т. 3. М.: ВИНИТИ, 1974, 93—180.
Фаддеев Л. Д., Якубовский О. А.
1. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков. Л.: Изд-во Ле-
нингр. ун-та, 1980.
Федорюк М. В.
1. Метод перевала. М.: Наука, 1977.
Фейгин В. И.
1. Асимптотическое распределение собственных чисел и формула типа Бора—
Зоммерфельда. — Матем. сб., 1979, 110, № 1, 66—87.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М.
1. Фейнмановские лекции по физике, т. 3, 8, 9. М.: Мир, 1965—1967.
Фейнман Р., Хибс А.
1. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.: Мир, 1968.
Фейнмановские интегралы по путям. (Feynman Path
Integrals.) Proc. Int. Colloq., Marseille, May 1978, Lecture Notes Phys., 106,
Berlin e. a., Springer, 1979.
390

Фихтенгольц Г. Μ.
1. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1. М.: Физматгиз,.
1958; т. И, 1959; т. III, 1960.
Фок В. А.
1. Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976.
Фридрихе К.
1. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир,
1969
Хельфср Б. (Helffer В.)
1. Theorie spectrale pour des operateurs globalement elliptiques. — Universidade
Federal de Pernambuco, № 19. Recife, 1981.
ХельферБ, Робер Д. (Η e 1 f f e г В., R о b e г t D.)
1. Comportement semi-classique du spectre des hamiltoniens quantiques
elliptiques. — Seminaire d'Analyse Universite de Nantes, 1980—1981, 89—149.
2. Comportement semi-classique du spectre des Hamiltoniens quantiques hypoellip-
tiques. 1981, preprint.
ХермандерЛ. (HormanderL.)
1. Линейные дифференциальные операторы с частными лроизводными. М.: Мир,.
1965.
2. The Weyl calculus of pseudo-differential operators. — Comm. Pure Appl. Math.,.
1979, 32, 359—443.
Хин чин А. Я.
1. Математические основания квантовой статистики. М.—Л.: ГИТТЛ, 1951.
Холево А. С.
1. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. М.: Наука,.
1980.
Шадан К-, Сабатье П.
1. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. М.: Мир, 1980.
Ш в а р ц А. С.
1. Математические основы квантовой теории поля. М.: Атомиздат, 1975.
2. Элементы квантовой теории поля. Бозонные взаимодействия. М.: Атомиздат*
. 1975.
Шилов Г. Е.
1. Математический анализ. Специальный курс. М.: Физматгиз, 1961.
2. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука, 1965.
Ш у б и н М. А.
1. О спектральных свойствах операторов с ковариантным и контравариантным.
символом и об одном вариационном принципе. — Вестн. Моск. ун-та. Сер. ма-
тем. механ., 1973, № 3, 51—57.
2. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978.
Ш э з а р э н Ж. (Chazarain J.)
1. Spectre d'un hamiltonien quantique et mecanique classique. — Comm. Part.
Diff. Eq., 1980, 5, № 6, 595—644.
Э й д у с Д. М.
1. Принцип предельной амплитуды. — УМН, 1969, 24, № 3, 91—156.
Эмх Ж.
1. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля.
М.: Мир, 1976.
Энсс Ф. (Enss V.)
1. Asymptotic completeness for quantum mechanical potential scattering. — Com-
mun. Math. Phys., 1978, 61, 285—291.
Я ф а е в Д. Р.
1. On the proof of Enss of asymptotic completeness in potential scattering
theory. — Препринт ЛОМИ Е—2—79, Ленинград, 1979.
2. Нестационарная теория рассеяния для эллиптических дифференциальных
операторов. — В кн.: Краевые задачи математической физики и смежные
вопросы теории функций. 14 (Зап. научн. семин. ЛОМИ, т. 115). — Л.: Наука,.
1982, с. 285—300.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Схема зависимости глав и добавлений 6
Глава I. Общие положения квантовой механики 7
Введение 7
§ 1. Формулировка основных постулатов 9
§ 2. Некоторые следствия из основных постулатов . ... 13
§ 3. Дифференцирование наблюдаемых по времени .... 18
§ 4. Квантование 21
§ 5. Соотношения неопределенности и одновременная измеримость
физических величин 26
§ 6. Свободная частица в 3-мерном пространстве 29
§ 7. Частицы со спином 32
§ 8. Гармонический осциллятор* 35
§ 9. Тождественные частицы . 42
Глава II. Одномерное уравнение Шредингера 46
§ 1. Самосопряженность 46
§ 2. Оценка роста обобщенных собственных функций .... 51
§ 3. Оператор с растущим потенциалом 53
§ 4. Об асимптотике решений некоторых дифференциальных
уравнений 2-го порядка при *->--foo 64
§ 5. О дискретных уровнях энергии оператора с полуограниченным
потенциалом 80
§ 6. Разложение по собственным функциям оператора с убывающим
потенциалом 91
§ 7. Обратная задача теории рассеяния 108
Глава III. Многомерное уравнение Шредингера 116
§ 1. Самосопряженность 116
§ 2. Оценка обобщенных собственных функций 125
§ 3. Дискретный спектр и убывание собственных функций . . 129
§ 4. Оператор Шредингера с убывающим потенциалом: существенный
спектр и собственные значения 140
Глав.а IV. Теория рассеяния 156
§ 1. Волновые операторы и оператор рассеяния 156
§ 2. Существование и полнота волновых операторов . . . . 162
§ 3. Уравнения Липпмана—Швингера и асимптотика собственных
функций 183
Глава V. Символы операторов и континуальные интегралы 196|
§ 1. Символы операторов и квантование: qp- и р^-символы и
символы Вейля 196
§ 2. Виковские и антивиковские символы. Ковариантные и контра-
вариантные* символы 216
§ 3. Общ^я концепция континуального интеграла по траекториям.
в фазовом пространстве. Символ оператора эволюции ,. . . 235
§ 4. Континуальный интеграл для символа оператора рассеяния и
для статистической суммы 271,
§ 5. Связь между квантовой и классической механикой.
Квазиклассические асимптотики 283
Добавление 1. Спектральная теория операторов в гильбертовом
пространстве 294
§ 1. Операторы в гильбертовом пространстве. Спектральная теорема 294]
§ 2. Обобщенные собственные функции : 324,
§ 3. Вариационные принципы и теория возмущений дискретного
спектра 339
§ 4. Ядерные операторы и след 351У
§ 5. Тензорные произведения гильбертовых пространств . . . 363
Добавление 2. Пространства Соболева и эллиптические уравнения 367
§ 1. Цространства Соболева и теоремы вложения 367!
§ 2. Регулярность решений эллиптических уравнений и априорные
оценки 373
Краткие литературные указания 381
Литература 381

Замеченные опечатки
Стр.
143
198
209
213
247
298
332
378
Строка
22 сверху
14 снизу
3 сверху
9 снизу
1 снизу
12 снизу
20 сверху
5 сверху
Напечатано
λ = (/ + " — 2)
(pitlA^ — iMif
...»>*·* ν1*/
ffqU-1 = · · ·
#«o = 0 Ι
...=*Γ
**еЯГ+ПЯ5а>
«= ...
Должно быть
λ = /(/ + Λ — 2)
(Ρ/· 5}l = — 'Λ*ί/
...«е1**^72/
Ορϋ-*~...
В «о = 0
. . · = А—
2
*»влг+П1)5и)
и= ...
Зак. 140

u β
i О'.Ч
J Χ ί 11
\
yoi.m
■4
П
~>
' 1
>л
'