/
Автор: Бычков Ю.А.
Теги: физика математическая физика топология учебное пособие
ISBN: 5-230-10875-4
Год: 1993
Текст
Государственный комитет Российской Федерации
по высшему образованию
Московский физико-технический институт ,
Ю.Л.БЫЧКОВ
ТОПОЛОГИЯ ДЛЯ ФИ 3 И КО*
Учебное пособие
Москва 1993
УДК 530.145
Топология для физиков: Учеб. пособие/ Ю.А.Бычков; МФТИ. М.,
1993. 108 с: ил.
Пособие представляет собой расширенный вариант лекций, читаемых
в рамках курса теоретической физики в Московском физико-техничес-
хом институте для студентов старших курсов.
В пособии рассмотрены основные понятия и методы топологии, ис-
используемые в современной физике твердого тела и квантовой теории
поля. Изложены основы теории гомотопических, гомологических и ко-
когомологических групп, а также простейшие методы их вычисления.
Кратко рассмотрена дифференциальная геометрия расслоений (косых
произведений топологических пространств) и связанное с ними поня-
понятие характеристических классов.
Пособие посвящено тем проблемам топологии, которые позволяют
исследовать тонкие вопросы теории дефектов в упорядоченных систе-
системах, проблему фазы Берри, а также различного рода монополии и
инстантоны в теории калибровочных полей.
Библиогр.: II назв. Ил. 13.'
Печатается по решению редакционно-издательского совета Московского
физико-технического института
Рецензенты: кафедра теоретической ядерной физики
Московского инженерно-физического института
д.ф,- м.н. В.П.1урарий
. (с) Ю.А.Бычков,1993
I*BN WJOЮвМ-* ^
Оглавление
Введение . 4
1.Основные понятия. Топологическое пространство 5
2. Непрерывные отображения пространств. Гомеоморфизм 10
3. Многообразия . 13
4.Дифференциальные формы. Внешнее дифференцирование 15
З.Гомотопии. Степень отображения 18
б.Фундаментальная группа. Симплексы 25
7.Гомотопические группы 35
8.Накрытие • 40
9.Топологически стабильные дефекты 43
ю.Гомологические группы 46
11.Когомологии. Обобщенная теорема Стокса 59
12.Монополь Дирака 68
13.Гадкие расслоения (косые произведения пространств).. 71
14.Группа Ли и алгебра Лг 80
15.Калибровочные поля 84
16.Характеристические классы 88
17 .Инстантон ., 94
18.Фаза Берри юо
19.Список литературы ios
ВвеОекие
Отличительной чертой современной физики является все более
широкое проникновение в нее методов агиологии - раздело математики,
еще недавно казавшегося столь же далеким от физики, как в свое
время теория групп. В настоящее время топология используется при
исследовании очень широкого круга проблем, пслючаицего в себя кван-
квантовую теорию поля и физику конденсированного состояния. В честнос-
честности, "опологические соображения привели к открытию исключительно
ажных физических объектов - различного рода монополей и инстанто-
нов. С другой стороны, топология позволила произвести классификацию
дэфзктов в упорядоченных системах. достижение самых последних лет -
это весьм" тонкий анализ явлений, связанных с дробным квантовым
эффектом Холла. Перечисление разделов физики, в которых находят
применение топологические методы,можно было бы продолжить и дальше.
Но уже приведенные примеры говорит о большой универсальности топо-
топологических соображений, позволяющих, в конечном счете, исследовать
свойства решений физических уравнений, ке решая их самих.
Это обстоятельство объединяет топологию с теорией групп. Более
то^о, пути этих двух разделов математики то и дело пересекаются.
Изложенный шг-9 материал есть ни что иное, как продолжение клас-
классической теории групп. Однако, если хорошо известные группы свя-
связаны с понятием симметрии, то топологические группы основаны на i
исследовании условий непрерывности отображений пространств.
Основная цель данного пособия - познакомить с теми топологи-
топологическими методами, которые имеют наибольшее применение в теорети-
теоретической физике. В связи с этим его ни в коей мере нельзя рассмат-
рассматривать как курс по общим проблемам топологии. О другой стороны, то
обстоятельство, что большинство учебников по топологии написано
языком, практически недоступным для пгдав..яющего больший тво физи-
физиков, и привело к мысли лрочитать курс лекций по топологии именно
для физиков и написать это пособие. Основная его задача состоит
скорее в разъяснении основных понятий и идей топологии'. При этом
в 'подавляющем больиинс.тве случаев строгое доказательство сформу-
сформулированных утверждений либо : габще отсутствует, т.к. является
достаточно сложным, либо заменяется "правдоподобными"
ряссуждешями.
В основе лрс .лагаемого пособия лежит превосходная, но до сих пор не
переваленная книге [1], автолы которой избрали наиболее доступный
для физика характер изложения основных понятий топологии, использу-
используемых в теоретической физике.
С целью сделать пособие доступным читателю, знакомому только о
основгми анализа и квантовой механики, в него включены разделы, в
частности, излагающие основы теории групп и алгебр Ли, помогающие
в основном не прибегать к специальной литературе. Необходимо также
липший раз подчеркнуть, что пособие предназначено только тем, кого
интересует применение методов топологии в различных областях физики.
Структура пособия видна из оглавления. Список литературы содержит
только те книги, которые в той или иной мере были использованы при
изложении материала. В то же время в них читатель может найти до- -
полнительную литературу, необходимую для более детального изучения
топологии.
■\.Основные понятия. Топологическое пространство
Базисом топологического подхода является аксиоматически опре-
определенное понятие непрерывности. Однако, прежде чем перейти к нему,
необходимо ввести ряд дополнительных понятий и обозначений. Уже при
рассмотрении свойств действительной функции /(£,,....д^) следует
указать то множество значений, которое могут принимать переменные
ху хп. Обычно этим множеством является некоторая часть евкли-
евклидова пространства. Более абстрактно под множеством М мы будем
подразумевать просто набор некоторого (конечного или бесконечного)
числа определенных элементов. С понятием множества связана следую-
следующая система обозначений,
а) Запись а*М означает, что элемент а принадлежит множеству М. Само
множество if можно задать простым перечислением составляющих его
элементов, т.е.:
б) Запись М=Н означает совпадение входящих в эти множества
элементов.
в) Обозначение M<=N соответствует тому, что все элементы множества М
являются также l элементами множества Я, т.е. составляют его
часть.
-5-
г) В пересечение множеств UnN входят только такие их элементы,
которые принадлежат как множеству Ы, так и множеству N, т.е.
если asltnN, то отсюда следует, что аеМ и amN.
д) В объединение JMIT входят такие элементы, которые принадлежат
хотя бы одному из этих множеств.
е) Множество M\N (или M-N) является разностью И к N. в которую
входят элементы множества И, не принадлежащие множеству N.
ж) Пустое множество обозначается в. Очевидно, что если у множеств
Ы и N нет общих, элементов, то MnN=a.
Введем тепирь очень важное понятие топологического пространства.
Суть его сводится к следующему. Представим множество и в. виде
объединения конечного или бесконечного набора подмножеств Иа,
Определение
Множество Г некоторых элементов называется топологическом простран-
пространством, если оно может быть представлено в виде конечного или бес-
бесконечного набора подмножеств На, а=1,2,... и пустого множества о.
Подмножества ыа не являются произвольными, ,а обладают следующими
свойствами.
1) Объединение любого конечного зй* бесконечного числа подмножеств
Иа также принадлежи* топологическому пространству Т.
2) Только пересечение Ийнечного числа подмножеств Ыа принадлежит
набору- \иа\ или пустому множеству в.
В этом случае Ма носят название открытых подмножеств (или
областей).
Пустое множество о также является областью. Таким образом, указание
на то, какие подмножества данного множества являются открытыми
(областями) и являются способом введения топологии для данного
множества I. Простые рассуждения показывают, что на множестве М
топологию можно ввести разными способами. Первый из них состоит
в том, что топологическое пространство Т= \Ы, а\. В этом случае
в качестве открытых подмножеств выбрано само множество Ы и в.
Построенная таким образом топология на и называется тривиальной.
Другой предельный способ введения топологии в множестве и соот-
соответствует выбору в качестве областей каждого элемента множества и.
Такая топология называется Оискретной. Введенные топологии на
множестве М являются, конечно, достаточно эк~- ттческими. Практи-
Практически мы будем ограничиваться обычной тополе гq aL в евклидовом
-6-
пространстве, когда в качестве областей берется открытый интервал
(а.Ъ), причем
), ест а<х<Ъ. A.1)
На примере обычной топологии легко понять значение условия д)
в определении открытого подмножества. С этой целью рассмотрим бес-
бесконечную последовательность пересечений открытых подмножеств
В результате получаем, что
М^п Л?п ... .. х,
и мы приходим к выводу, что каждая точка х является открытым под-
подмножеством.
Таким образом, допустив возможность того, что пересечение бесконеч-
бесконечного числа областей является также областью, мы перешли от обычной
топологии на действительной прямой к дискретной. Отсюда следует,
что условие, п) запрещает переход от одной топологии к другой на
данном множестве.
В обычной топологии наряду с открытым подмножеством (а.Ъ). в
которое не входят краевые точки а.Ъ, можно рассматривать замкнутое
подмножество [а.Ъ]
хе[а,Ъ]. есуч а*х*.Ъ . A.2)
Замкну одмножества можно ввести и аксиоматически.
Зала je подмножество
Подмножество N при заданноГ топологии Г на множестве М является
замкнутым, если оно удовлетворяет следующим условиям:
2) Дополнение подможества N по множеству М. т.е. JTvtf (M-N)
является открытым.
Проверим, что подмножество [а.Ь] является замкнутым. Действительно,
в обычной топологии подмножества (-»,а),• (Ь,«) являются
открытыми. Полное множество (-» ,« ) также является открытым, т.к.
может быть представлено в виде объединения открытых подмножеств,
образующих множество (-»,»). Если
tf=[a,b' то для #=(-»,»)
-7-
Подмножество j'c й является открытым, т.к. оно есть объединение
двдл областей, а поэтому La.b]- замкнутое подмножество.
Поскольку дополнениями самого множеств^ Ы а пустого множества в
в произвольной 'хслологии являются, соответственно, в и If (т.е. по
определению открытые), то приходим к выводу, что if и в одновременно
открытые и замкнутые подмножества.
Окрестность
Г^и задЕкнсй топологии Г на множестве М подмножество N называется
окрестностью точки let, если выполняются следующие требования:
1) У с U
?) Существует открытое подмножество MQc Ы такое, что хеМа и NcUQ.
Из приведенного окределения еле дуэт, что любое открытое подмно-
иество HQ, содержащее точку x(x*UQ), является окрестностью точки х.
С другой стороны, подмножество [а,Ъ] является окрестностью всех
точек з>ш(а,Ь).
Золшая подмножества
Рассмотрим подалножество 1кы. Существует система замкнутых подмно-
подмножеств -{1а} таких, что Jfcl^,. В этем случае пересечение всех LQ, т.е.
К = Г» 1^=1^1-1 J^n. . .
яш^ется замыканием подмножества 17.
Простые соображения показывают, что дважд.. проведенное замыкание
является rtpocTo замыканием: Л=И. Аксиоматически введенное понятие
замыкания может являться оенпой для определения топологии на дан-
данном множестве.
Слр&ведллЕа следующая ьесыла важная теоъеяп:
При „адгншой топологии Г на множестве М подмножество ЯсЫ является
открытым тогда и только тогда, когда для каждой точки х*Я найдется
окресхвость L точки х и I&N.
Из этой теоремы' следует, что подмножества (а.ЪЗ и [а,Ъ) не являются
открытыми..
Hsoop подмкозгтгв Ь=\1а\=(Ц,Ъ^,..,) является покрытие* множества
#. если оОъединеалв всех IQ содержит множество М. Множество М
Есмгшт&щ, ecjn* для каждого ого покрытия с помощью
открытых подмножеств LQ всегда можно выбрать покрытие, содержащее
только конечное число подмножеств 1а(т.е. индекс а теперь пробе-
пробегает конечное число значений).'
можно показать, что для двумерного евклидова пространства его
подмножество компактно тогда, когда имеет конечную площадь. Под-
Подпространство М пространства /^(п-морное евклидово пространство)
компактно тогда и только тогда, если оно замкнуто и ограничено.
Связность
Топологическое пространство Т называется связным, если его нельзя
разбить на сумму двух непустых непересекающихся множеств if.,и 12.
Прямое произведение пространств
Пусть JT, и 12 - два топологических пространства. Обозначим через М
множество всех пар (x1tx2), причем лг1 2«11 2.
В этом случае новое топологическое пространство I является промыл
произведением топологических пространств 11 и JT2:
В пространстве М топология вводится естественным образом. Множес-
Множество FcM^xM следует считать открытым, если оно может быть представ-
представлено в виде Л,х^, где Л, и К^-открытые подмножества пространств
*1 и Ч-
В определении прямого произведения существенным является то, что
каждой точке пространства 1=1., х*2 соответствует пара точек (х1 ,х2),
где х, 2«Jf1 2, а различные пары {хЛ,хг) отвечают различным топкам
пространства М. В качестве достаточно простого примера можно ука-
указать на цилиндр, который является прямым произведением окружности
в основании цилиндра и образующей цилиндра.
С другой стороны, сфера не является прямым произведением линии эк-
экваторе и заданного меридиана, т.к. полюса соответствуют одной точке
на•меридиане и произвольной на экваторе.
Введенные выше понятия с избытком перекрывают объем сведений, необ-
необходимый для понимания следующих разделов. Однако желающие изучить
рассмотренные вопросы более даячмниг иогут обратиться к моногра-
монографии [2] (глава II).
-9-
г.Непрерывные отображения пространств.
Гомеоморфизм
Рассмотрим два множества I и N. Пусть каждому элементу х множества
I поставлен в соответствие один определенный элемент y=f(x) множе-
множества N. Указанное соответствие элементов Ш и N осуществляет отобра-
отображение / множества I в множества 17, которое символически записыва-
записывается следующем образом:
/: I - N
Элемент f(x)=y*N называется образом элемента хеЖ при отображении /,
а элемент хеМ-прообраэом (или одним из прообразов) элемента у*Я.
При этом / является отображением М на N, если каждый элемент мно-
множества N имеет хотя бы один прообраз в I.
Только введение топологии в множества I и У позволяет непротиворе-
непротиворечиво сформулировать в самом общем виде условие непрерывности ото-
отображения /.
Определение I
Отображение / топологического пространства Г, в топологическое
пространство 2
/: Г, - Г2 B.1)
называется непрерывным, если для произвольного открытого подмно-
подмножества ?2 его полный прообраз в Г., является также открытым подмно-
подмножеством.
Приведенное определение непрерывности отображения является нас-
настолько важным, что необходимо его пояснить. Из него, в частности,
следует, что для дискретной топологии (когда каждая точка множес-
множества является открытым подмножеством) любое отображение непрерывно.
Рассмотрим явно разрывную функцию:
х+1, х>0,
изображенную на рис.2.1.
-10-
Рис.2.I
Открытому интервалу значений функции f(x) f-e-1 ,-1+ej в простран-
пространстве х- в отвечает "нтервал С-е.О], который не является открытым
подмножеством, т.к. точка 0 не имеет окрестности (см.пред.раздел).
Этот пример подтверждает справедливость введенного определения
негтеррывности отображения.
При;-^~ ^Шерь другое, интуитивно болое ясное определение непре-
непрерывности в терминах окрестностей.
Определение II
Отображение
топологического пространства 21., в Г2 непрерывно тогда и только
тогда, когда для каждой точки ш71 и для каждой открытой окрест-
окрестности Jfgcfg точки y=f(x) существует такая окрестность Я^еТ^ точки х,
что /Г^ ;<=if2.
доказательство эквивалентности определений I и II оставляем в ка-
качестве упражнения (см.[2]). Обращаем внимание на исключительно
^важный факт, согласно которому в определении I условием непрерыв-
непрерывности отображений / служит то, что открытому подмножеству в 2V,
-11-
соответствует открытый интервал в 21.,, а не наоборот, как казалось
Оь более естественным.
Основной задачей топологии является г гассвфпсация различных тополо-
топологических пространств. В связи с этим принципиальное значение имеет
понятие гомеоморфизма.
Определение III
Отображение
/ : *, - Т2
топологического пространства £, на топологическое пространство 2*2
называется гомоморфным или топологическим, если оно взаимно одно-
однозначно, и непрерывны как само отображение /, так и обратное отобра-
отображение
Два топологических пространства Тл и 2*2 называются гомеоморфкыми
или топологически эквивалентными, если одно из них можно гомео-
Mopjeo отобразить на другое. Созершенно очевидно, что если прос-
пространство ?., гомеоморфю Ig, а 2*2 гомеоморбно 2*3, то пространство 2^
гомеоморфно пространству 2*3.
Задачей топологии является нахождение топологических инвариантов,
т.е. таких характеристик, которые одинаковы дл*. всех гоьеоморфвых
друг другу пространств.
В заключении этого раздела докаяем. что одним из таких инвариантов
-является компактность.
Пусть отображение
является гомеоморфизме, а набор ^а^ есп открытое покрытие прос-
траь.тва Г2 •
Из условия гомеоморфориэма отображе'шя объединение
является открытым покрытием пространства Г.,. Так как пространство
?, является компактным, набор \f (*а)\ позволяет выделить конечную
систему /~1(Ма) :
-11-
осуществляющую покрытие 2^. Но тем самым набор М„ Ш„ соотввт
ствует конечному покрытию пространства 2*2, т-е- ово также является
компактным.
В качестве упражнения доказать, что связность топологического прос-
пространства является инвариантом.
3. Многообразия '
Рассмотрим в качестве топологических пространств куб и шар. Юс
гомеоморфность очевидна. Однако ясно, что шар обладает более
гладкой поверхностью, чем куб. Подобного рода наглядные соображе-
соображения можно сформулировать математически аккуратно, введя понятие
дифференцируемого (гладкого) многообразия.
Определение I
Множество М есть Оифференцируелое(глабкое; п-люрное многообразие,
если оно удовлетворяет следующим условиям :
1) М является топологическим пространством,
г) Пространство М может быть описано семейством пар i(Ma.fa)L
таким, что
а) Ма есть открытое подмножество JfQcJf и при этом объединение
utfa=Jf, т.е. наборЧ*а^ образует открытое покрытие М.
б) Каждое Ма гомеоморфно области /^ евклидова пространства й"
й этот гомеомоморфизм осуществляется с помощью отображения
в) В области пересечения областей М^ Ша*а отображения /а и fa
таковы, что отображение fa.f£ дифференцируемо достаточное
количество раз.
-13-
По очевидной аналогии пара (ifa.fa) называется картой, а набор
\(Ча,?аЦ- атласом. :
Существует доказательство того, что дифференцируемое п-мерное
многообразие может быть реализовано в виде гладкой неособой повер-
поверхности в евклидовом пространстве i n измерений.
Определение II
Два многообразия if и N называются гладко эквивалентными (диффео-
Лйрфншш,), если существует взаимно однозначное и гладкое в обе
стороны отображение
/ : Ы - Л'. / : У - Ы.
В качестве примера более или менее нетривиального многообразия
полезно рассмотреть действительное проективное пространство ЯР71.
Точкой в ьчка пространстве является вектор х в (п+1J-мерном прос-
пространстве, прич&м х и ^(^.-действительное число, \*0) считаются
эквивалентными. Если fltfl+1cfin+1 (xl*0), то локальными координатами
ftp71 в этой области являются
у'(I) ~ Т'/х' • № • ^эи )
Легко проверить, что переход от одной системы локальных координат
к датой (в области их пересечения) осуществляется гладкьми функци-
функциями. Многочисленные примеры нетривиальных многообразий можно найти
в соответствующих разделах монографий [3,10].
Атлас многообразия позволяет ввести условие ориентируемости, много-
многообразия.
В области йрП Ни *в> существует две системы локальных координат.
Многообразие if является оршнтируэмым, если якобиан перехода от
одних локальных координат к другим, ч.е. dettox'/ftr') всегда положите-
положителен. Классическим примером неориентируемого гладкого многообразия
является хорошо известный лист Мэбщ'са.
В качестве упражнения предлагается док&зать ориентируемость RP1 при
начетном п (при четном оно неориентируемо).
-1 4-
А.Дьфференгщиьнае формы. Внешнее
В предыдущих разделах вводились терминология и основные понятия
топологии. Естественно, что решение конкретных задач требует опре-
определенного математического аппарата. Еще до создания топологии, з
целом ряде проблем геометрии начали широко использоваться дифферен-
дифференциальные формы, исследованию которых и посвящен данный раздел.
Мы уже знаем, что атлас многообразия Ч позволяет отобразить каждую
область К в часть евклидова пространства. В связи с этим на даяком
этапе все рассмотрение ограничим пространством я".
Ограничимся только такими дифференциалами, которые соответствуют
бесконечно малым геометрическим объектам. В частости, <2г имеют
смысл бесконечно малой длины вдоль оси х- в. Элемент Ох <3у есть
бесконечно малая площадь в плоскости (х,у), в то время как величина
<3х dr не соответствует никакой геометрической величине. С целью раз
и навсегда исключить возможность возникновения не имеющих геометри-
геометрического смысла дифференциалов введем такое их произведение, что:
0зхЗх=0 . D.1)
Символ внешнего произведения ~ в некотором роде аналогичен векторному
произведению, для которого умножение коллинеарних векторов дает
нуль. В тс же время сама запись векторного произведения в виде а*Ь
носит символический характер.
Дифференциал
является элементом длины вдоль некоторой кривой. Поскольку только
из неге нельзя построить элемент площади, то естественным обобще-
обобщением D.1) является условие:
D.2)
Ввиду произвольности.величин ах.% получав» соотношение для диффе-
дифференциалов различных координат:
D.3)
Условия D.1),D.3) можно представить в общем виде:
сйЛ-dr' = -dr^cte* . . D.4)
В пространстве й" с координатами х1,!2 J1 можно ввести алгебру
с 2п оОразупцими:
1. dx'.dzi^,..., бх**&£*...<<}2Р- . D.5)
Элементы этой алгебры можно умножать на произвольные функции от
этих переменных, умножать друг на друга/пользуясь символом ^ и
складывать дифференциалы одного порядка. Соответствующая алгебра
(с условием D.4)) называется грасслановой.
С помощью образующих D.5) вводится внешняя дифференциальная
форма степени г(г-форма):
г t1t2tr D.6)
причем согласно стандартному правилу по повторяющимся индексам
производится суммирование (tv=i,2,...,n). Предполагается, что
коэффициенты at1 ,2 ...in ЯВЛЯ10ТСЯ гладкими (дифференцируемыми
достаточное количество раз) функциями от всех переменных прос-
пространства я".
Б целом ряде случаев дифференциальную г-форму удобно записать в
следующем виде:
г Ui2ir D.7)
В пространстве д" на п-форму накладывается ограничение, согласно
КОТОРСМ1'
-- 07 = <ЗхгО1?...&?1 . D.8)
Хоролю известно, что при переходе от одной системы координат к
другой зломент объеме умкокается на якобиан иерехода.
-16-
Пусть yt=fi(x\....a?l).Torxa из D.8) следует, что
^ D.9)
Алгебра дифференциальных форм позволяет определять произведение
внешних форм (/* и о#, обладапцее очевидна* свойством
«Г* ufl = (-1 )Г9
ВнешнийДифференциал г-формы D.7) определяется следущим образом:
&Г =(да1иАг/дх*) <Зх*Лх11*....~с1х1г D.Ю)
а выполняются соотношения
1) dfui^V u^J * Л^* *£
2) dfuT-^j = лГ^Я*(-\ fvT«afl D.11)
3) <fV=o
Последнее условие выполняется тоадестввнно, т.к.
ж вторая производная симметрична по индексам l,J, a dx
=-6xj~dxt. В результате оуммированио по индексам I.J дает нуль.
Отображение
/ : X -» Г D.12)
пространства X в пространство У позволяет установить сеязь форм в
X и Y. В пространстве У задана форма
. , w'=a't,_(rfyjdyt1~..^{r. D.13)
причем yt=fl(xA...x(.), уеУ,^геХ. Выражая координаты у1 через аг,
мы получим выражение для формы D-13) в пространстве X:
D.14.)
-17-
Упражнение. Доказать спрсвелживость следующих соотношений:
"W-df/Vj D.15)
Замечание. В .'4.15) дифференцирование п лобой части идет по перв-
менншл у1, а в правой части - по переменным а*.
Определение
1) Форма d" нагнЕается эсиккнутой, если dJ"=O. р,
2) Форма (хГ является (почкой при выполнении условия: иГ=ф) .
б.Гожтопшл. Степень отображения
В математическом анализе под отображением
/ : X - Y
з конечном счете дадразумеваэтея определенная функция / от пере-
переменных х, принадлежащих пространству 1,и принимающая значения
в пространстве Y. Протципиальисз стличие топологического подхода
к понятии отображения f:X-Y состоит в пренебрежении к конкретному
вкду функции /. Б топологии интерес представляют не сами отображе-
отображения, а их классификация. В связи с этим возникает проблема нахож-
нахождения таких критериев, которые позволяют характеризовать не сами
отображения, а те пространства, которые они отображают (или в кото-
которые отображают).
Рассмотрим два фиксированных топологических пространства X и У и
будем менять отображение.
Опребеление I - '
Непрерывные отображения / и g
/ : I - Y
g : X -Y
называются гажжопнитл (/~&), если существует семейство непрерывных
отображений ?t.Z-Y. которое непрерывно зависп? от параметра t«[o,i],
такое, что
СэмейстБО .этюорижегай i"t называетоя гожтопией. евлз-ваючей стибра-
Фактически в большинстве случаев гомотопия предполагается доста-
достаточно гладкой, т.е. существует определенная мера,согласно которое
разность Pt ж Pt+Q Fvi) равномерно мала независимо от зоеХ.
Представим данное отображение. f:X-Y как то°ку в пространстве всех
непрерывных отображений C(X.Y). В связи с этим возникает очень
интересная проблема - являются ли все входящие в это пространство
отображения гомотопными друг другу.
Ясно, что гомотопия в пространстве С(Х,7) есть непрерывный путь
из одной точки в другую. Ответ на поставленный вопрос состоит,
очевидно, в определении множества компонент линейной сводюс?я
пространства C(X.Y). которое обозначается кек %(X.Y). Простран-
Пространство называется линейно свяэныж, если путь из любоГ точки прос-
пространства в любую другую является конечным. Очевидно, что гомапо-
пинеские классы x(X.Y) не меняются при гомеоморфшх отображениях
пространств X a Y. т.е. являются топологическим инвариантом пары
(X.Y). Однако в такой общей постановке задача нахождения классов
%(X.Y) в настоящее время является неразрешимой. Принципиальная
сторона проблемы заключается в возможности классифицировать раз-
различные пространства с помощью изучения гомотопических классов
отображение %(X.Y). В дальнейшем мы увидим, что и негемеомерфные
пары пространств (X.Y) и(Х.У; могут тем не менее обладать оди-
одинаковыми гомотопическими классами. Таким образом, некоторые того-
логические характеристики инвариантны зе только по отноаешло к гэ-
меоморвизмус во ь менее жесткому условию.
ОпреОемние II
Две топологических пространства X к V называются еомотопииеаси.
ыЛиваленткым A~Y), если существую? непрерывные отображения / и g:
/ : X *Y
g ; Y *X
такие, что отображения
g.f -.1*1
f.g % У - Г
гомотопны тождественным отображениям, т-е„
Зсли стображвняя g.f и f.g но чюяьао' гомотопны тождественным ото-
отображениям, & явлштся ими, то отсбрааения /eg являются взаимно
-13-
обратными гомеоморфизмами и пространства К и У топологически экви-
эквивалентны.'
Пример. Евклидово пространство й" гомотошчески-эквивалентно одной
точке хо«йп.
Пусть Х=хо, y^
о Отображение f:l*Y сопоставляет точке хо=К соот-
соответствующую точку в ff1. Отображение g:Fp+xo есть постоянная функция
В результате получаем, что
«./=1
Хо1
т.е. является тождественным. С другой стороны, отображение f.g го-
гомотопно тождественному 1дЛ. а томотопия Ft определяется соотноше-
соотношением
tt = xo+t(x-xo), Мо.1]
Упражнение. Аналогичным образом доказать» что пространство Лп\{о)
({оЬначало координат) гсялотопически эквивалентно сфере s".
Счень важной характеристикой отображения, находящей применение при
исследовании физических проблем, не измэнявдейзя при гомотошш, яв-
является степень отображения.
На рис: 5.1 и 5.г изображен» две различные функция.
. Рас,& „г
Очевидно, что кавдзя из ижк может Оыть неврерквно деформирована в
другую. Поэтому возникает задача о яахождешш такой жарактеристшш.
которая б!'.ла бы олянаковз для обеих хрутых,
Рассмотрим (ftinatrao у-fix)г Зафиксируем точку уо а найдем вое реае-
Ш1.я уравнены! yQ=f(x). Ifo рксукков видноs что &ш кривой 'З.*1 щжло
решений не зависит от значения величины у^. & для кривой 5.2 это
число меняется с у .
Определение III
Алгебраическим числом решений уравнения у =f(x) является разность
числа решений этого уравнения с положительными и отрицательными
значениями производной d£ . Это число называется степенью
отображения /:
/(x)=l/0
Для кривых 5.1 и 5.2 это число одно и то же и равно единице.
Пусть заданы два эамкнутых (т.е. компактных и не имещих края) и
ориентированных многообразия X и Y одной размерности. Рассмотрим
гладкое отображение f:X*Y. Точка уо«Г называется правильной, если
выполняются следующие условия:
1) полный прообраз точки уо«У состоит из конечного числа точек
ха «I с локальными координатами х^A=1,г,...п)
г) якобиан отображения
при всех значениях а.
Определение IV
Степенью главного отображения f:K+Y двух эамкнутых ориентированных
многообразий X и Y в правильной точке уо«У называется число
E.2)
Справедливы следупцие важные утверждения (см. [3)).'
-21-
А. Степень отображения не зависит от выбора правильной точки у *Т.
Б. Объем множества неправильных точек пространства У равен нулю
(теорема СарОа)
При конкретных вычислениях выражение E.2) оказывается неудобным.
В локальных координатах символическая запись y=f(x) соответствует
системе уравнений
$/1 = fUx\....a*) E.3)
Решениями являются точки ха(а=1,..т).
Хорошо известная О-функция обладает следующим свойством:
b(y-f(x)) = E 6(x-xa(y))/\det(dft/dxJ)\ E.4)
a
Легко проверить, что из E.2) и E.4) получаем соотношение
V E.5)
где fflx = <ir1 .etc2...(to71
Вседем функцию \i(y), удовлетворяющую единственному усювию
j|i(y;cl?y-i E.6)
Из E.5) получаем, что
fdegf.\L(y)dVy = degf = Mf(z))det{%^-Wx E.7)
Воспольсовавшсь преобразованием D.9),приходам к следующему выра-
выражению для отепенк отображения:
<3ogf - Mf^W^^V2 -df1. E.8)
Теореля
Степень отооражения не меняется при гомотопии отображения f'.X-Y.
В справедливости этой теоремы мы убедились, находя степень отобра-
-22 -
.2. Выражение E.8) позволяет доказать
теорему в достаточно обцем виде.
Варьируя левую и правую часть {5.в) по /, панучаем
+ Е JWW1 -4rc"-de/k<yA+1 ~ftf" E.9)
k=1
=Е Xd/1^..wVk-d(Me/t;-c(/k+1 if-
k=1
= /d (E f-i
k=1
В последнем выражении угол над дифференциалом означает, что он
должен быть опущен.
В дальнейшем Оуцет доказана обобщенная теорема Стокса, согласно
которой
С дО
где ая-граница области интегрирования п. Поскольку функция \x(f)
удовлетворяет только условию к5.в), а в остальном произвольна,
то ее можно выбрать такой, что на границе области интерпретация
в E.9) она равна нулю. Таким образом доказано, тге при вариация
отображения степень отображения не меняется.
Весьма интересным приложением полученных результатов может слу-
служить специальная модель, описывающая неоднородные состояния в
ферромагнетике.. Температура Т определяет абсолютное значение
трехмерного вектора намагниченности. Зафиксировав температуру,
рассмотрим неоднородное состояние, когда в различных точках
плоскости координат вектор намагниченности имеет одно и го же
значение модуля (которое выберем за единицу), но меняется по
направлению. Знергия такого неодасродного состояния есть
CU--1.2 ' E.10)
и вектор немвгниченкости и удовлетворяет условию пг=1.
-23т-
Минимизация эяерпш E..Ю) с учетом условия п2=1 приводит к следу-
следующему уравнению для вектора намагниченности:
An- n(ntn)=O, E.11)
где оператор Д-2-мернын лапласиан.
Условие конечности анергии В состоит в том, что
г |п| * О, при р = {(тУ)г+(£Р)л/г * «> .
т.е.
lim тих* ,£)=nQ E.12)
У* -• us
Единичный вектор a(f) принимает звачэния на сфере S2, осуществляя
отображение й2-^2 Можно показать, что степень этсго отображения
есть
q = degf = g^Xeggnt911/53^**1/61^^ • E.13)
гдэ по повторяющимся индексам идет суммирование, a=i,2, а
е11 " е22=°' е12 = ^г^1 •
Рассмотрим тождество
Достачно тгростыв преобразования приводят к тому, что нерав< ictbo
E.14) пршшмает следующий вид:
E.15)
Сравнивая неравенства E.15) с выражениями EИ0) и E.13), полу-
чэем, чтс
E.16)
В результате мы получили, что все решения уравнения E.11) разби-
Еаются на секторы, каждый из которых хврактеризуется топологическим
числом - огепенгю отобреження E.13), причем внутри каждого сектора
выполняется неравенство E.16). Решения, принадлежащие различным ,
секторгм, не кюгут быть непрерывно деформированы друг в друга, т.е.
рэаделены потелцчальным оарьером. Более атокныо случаи рйссмотрены
в i.3] (смдаздлл Ч1тгзш1Ы5ыь лолд).
6.Фундаментальная еруппа. Симплексы
Решить в оОцем вида задачу о нахождений гомотопических классов ото
Сражений ntfX.D,по-видимому, яэвозможео. Гораздо более реалисти-
реалистической задачей оказывается такая, когда в качестве црсстрсдетва X
выбрано некоторое достаточно простое конкретное пространство
и сравниваются гомотопические класогразличных пространств У.
Простейшее пространство Х-ыо интервал Г=[о,1], которому соответ-
соответствуют гомотопические классы %(I,Y). ]
С другой стороны, в ощюдолание %(X,Y) входят все непрерывнее ото:
бражения fiX+Y. Суем теиэрь и класс рассматриваемых отображений,
учитывая только петли, т.е. такие непрерывные отображения
/ : I * X,
для которых все fit), t«r=[o,i],удовлетворяют олвдущвму усмвк»'-
f@) * f(-\) *хй<Л
В втом случае оемвйство петель f%(t), непрерывно зависящее от па-
параметра х, пряниматавго значения тоне на интврвало [o,ij, оотои-
вает гомотопные петли, которые при нзмвношш ч непрерывно деформи-
деформируются друг в друга, причем выполняется условие
Выберем в качестве пространства А' кольцо. Из рис.6.1 видно, что
внутри каждой пары (fa, fb) и (f^f^) петли является гомотопными .
Рис.6.1
С дратой стороны, препятствие в вадв заштрихованной на .рве.6.1
дыры в кольце делает невозможной непрарывнузо дофррматге готля
fa(fb) в петлю ^
При этом ясно, что путем непрерывной деформации петля fa(fb) может
быть стянута в точку хо, а для петель f'a(ft,) это сделать невоз-
невозможно. Из этих вполне наглядных соображений очевидно, что для
пространства X в виде кольца существует до меньшей мере два класса
не гомотопных друг другу петель.
Перейдем теперь к общему исследованию классов гомотопных петель
в произвольном пространстве X, полагая его, однако, линейно связным.
Напомним, что топологическое пространство X является лине/Оно связ-
связны*, если для любой пары точек х1,хг«Х существует конечный путь,
лежащий з X и связывающий эти точки. Следует подчеркнуть, что это
понятие является более узким, чем свявность. Линейно связное прос-
пространство всегда является связным (т.е. состоящим 28 одного "куска"),
однако обратное утверждение не обязательно справедливо.
Из рис.6.1 видно, что пройдя петлю /о, т.е. выйдя из точки xQ и
вернувшись в нее, мы можем продолжать двигаться дальше и на сле-
следующем этапе пройти, например, петлю /Q. Операции последователь-
последовательного прохождения двух петель можно прядать стропи математический
смысл.
Под произведением двух петель Д, я /2 с «меченной точной хо*Х
подразумевается следующая операция:
Следует обратить вшнанве не порядок прохождения петель в произ-
произведения э зшясжмоотн от t я на то, что аргумент функций /( всегда
меняется в штермю [0,11. '
Пэгля, обретая fit), проходятся в противоположном направлении,т.е.
/(t) = /d-t), t«to,i]
F.2)
/(О) = /A) = ХтХ .
Напомним, это наша задача состоит г> нахождении классов гомотопных
еэтвль. В связи с этим символом [/] обозначим вез петли, гомотошшэ
некоторой заданной петлэ /. Пристренстьо X называется однос&чзныл,
если все возможные в нем петли гомотопны. Легко сообразить, что в
-26
этом случае любая петля может быть непрерывно стянута в точку.
На примере кольца было видно, что в кем существует классы 1/й) и
[/а* ]. Набор кл&соов негомотопннх петель в топологическом прос-
пространстве X с отмеченной точкой хо*Х обозначается кик
k,U.xo)
Произведение классов петель определи с помощью следующего соотно-
соотношения:
I/^.E/g] = t/r/2] F.3)
Воспользовавшись определениями (б.О-(б.Э), покажем, что введеная
с помощью F.3) бинарная операция над элементами множества классов
гомотопных путей 1С, A,хо) превращает это множество в группу.
Определение I
Множество элементов О называется группой, если в G определена би-
бинарная операция, ставящая в соответствие каждой паре елементов
а, о «О некоторый элемент с*0 и удовлетворяющая следующим требо-
требованиях:
1) Ассоциативность:
а.Ь.с = (а.Ь).с « а.Со.с;
2) В С имеется еОинина е, т.е. такой элемент,- что
а.в «
3) Для любого элементе емв юдаерся овражный элемент а, прсчем
о.о « а.а»в
При выполнении условия а.о^Ь.а группа навивается коммутативной или
Бинарная операция в множестве к., A,хо) определена ооотноявнием
F.3). Необходимо проверять выполнение условий i)-3). преврыцыицше
это множество в группу.
Из определения F.1) слэдует, что
A'/oJ./i* { F-4)
32 1 (//Нг*1> i/2ti
Повторив эту процедуру для произведения fyf^. окончательно полу-
получаем следующее соотношение:
-27-
(/■,B0
(/3./2)'/1=]/2Dt-2) , 1
(/3Dt-3)
Аналогичные преобразования приводят к выражению
F,5)
2
/3Bt-1), 1/2*1*1
F.6)
проиеввденяй (ь.ь),(б.б)ггоквзнвает. что они различны.
Однакс Синарная операция над влемвнтами множества ^A,фо) опре-
определена с помощы/ условия (б.з).
Дяя влвментов it. (Xtxo) имеем
F.7)
s авалмично
t/3.(/g./,I
F.8)
уоюгчя требуют р&вонс^ва последвях вирагвшй в F.7)
я (S.8), т.е. должно выполняться ссотношвннэ
i «о означает, что произведения F.4) и F.5) принадлежат одному
»у классу. Зю действительно так, причем гомотопна
слевущсм отоСражением о параметром г«1о,1U
/2Dt-r-1),
F.10)
-28-
Гомотопия Er<t) удовлетворяет очевидным условиям. Аргументы /(
меняются в интервале [0,1], причем Ho(t) соответствует отображению
F.6), H^(t) отображению F.). Тагам образом, условие F.9) выпол-
выполняется, т.е. групповая операция ассоциативна.
Очевидно, что единицей в множестве х^(Х,хо) является класс петель*
гомотопных постоянному отображению f(t)*3:Q, Mo,i], т.е.
ли, непрерывно стягиваемые в точку xq.
Рассмотрим теперь отображение
,л fiZt) , • 0»t*1/2
Непрерывная деформация втого отображения в постоянео* /т.е. единицу
группы) осуществляется гомотопной fre COji])
/BtC-I-r)} 0*t*1/2
Fr(t)- < F.12)
ЯB-2ПA-Г),\
Таким обрезом проверено выполнение всех требование; к бинарной one
рации над элементами if] множества x:(X,xQ), превращающее его в
группу, которая нвзывается фуибаманжиьной группой топологического
пространства X с отмеченной точкой to*X. В обием случае она не являем
ся абелевой. Щюстранство X называете* оОносвяаны*. если тл (л,хо)
содержит только единичный элемент, т.е. группа является трапнал>-
мы ограничиваемся линейно связными пространствами X (ск.вшр), дл«
которых группы ^A,.^) и %2кХ.Х2)(хл.хг<*Х) шюморфны, т.е. сущест-
существует взаимно однозначное отображение алемелтсв оддоЯ трзтш в дру-
другую, сохраняющее операцию умножения. Лая таких проотр&ясяз молес
опустить обозначение вьдеяснлой точки хотХ. т.е. «? (I.re)=ic, A).
Очевидно, что фундаментальная i-pynna ^ (I) является кяюлотечвпкшл
инвариантом, т.е. не меняется, при гомеоморфизме. Вез доказатьльсгаз
сформулируем следуоцее утвврждезве.
Теорем
Если два линейно связных пространства X л Y являются гомотопичевщ
эквивалентными, то группы 1С, (Л и %Л (Y) изоморфны.
Возникает остэственный вопрос о методах вычисления фундаментаццр)!
группы .пая данного топологичосаого пространства X.
Оеот ^з них. ооковалшй на триангуляции пространства X, будет рас-
рассмотрен в этом разделе. Исследование "метода накрмтий" отлож«| ю
следу «щи разделов. Изложенная ниже пдея триангуляции яространзтаа
понадобится и для введения других топологических групп.
Сьитг.лэкси
Пусть заданы <m+i) точек в евклидовом пространстве if1.:
х\»хг ^Я1т1'
тчкйх, что m векторов
X2~xi • Х?ГХ\ •"'• ^■i"Х1
являются лине.Чно независимыми (это поаятие предполагается извест-
известным).
Введем "массы" Xf, удовлетворягазиэ условиям
Х(а0. £ Я(=1. F.13)
В этом cjiyiae "центр масс"
Л+1
при измевонни значений "масс" A,it подчиненных условиям F.13).
принимает знэчекие в области евклидова пространства, называемой
"иаяплексол". Геометрически его можно себе представить еледующем
образом. Симплекс, построенный на одной точке есть просто эта же
точка; построенный на двух - отрезок прямой между ними, включающий
краевые точки; построенный на трох точках - треугольник, содержащий
эти точки, реора и внутренность; четыре точки - пирамида и т.д.
Симплекс, обусловленный точками хл,.. ••^ш.1. обозначьеася как
о"^ [хл.хг....,хшл\, F.14)
а "масец" Х{ называются бориценяринескиж координатами точек т-сим-
плекса 0я.
-30-
t являются вершинами симплекса.
Йвложив Х{о=0,получаем грань симплекса, противоположную вершине К,о.
Весь симплекс содержит все верпсны, все грачи, а также все яростра--
аство, содержащееся внутри области, ограниченной его гранями.
Сшюиицисиъкым комглексож К является конечный набор симплексов,
удовлетворяющий следующим условиям:
1) Если сР«К, то и всё грани сР принадлежат К.
£) Если <Р, с^еК, то либо оРлаЗ=0, либо (Prcfl является только
общей гранью этих симплексов.
Ёслк топологическое пространство К .•омеомордно симплициалыюму
комплексу К. то этот гомеоморфизм явля&тся щпюнгуляи?^ей прос-
пространства X. ' ' ■
Триангуляция может быть неоднозначной (в частности, состоять из
разного тшсла симплексов). Очевидно, что максимальняя размерность
симплексов определяется размэрностыо пространства X (мы будем иметь
дело только с многообразиями).
Рассмотрим простейшие продери. •
Пример I. Пространство X=S1 - окружность.
На рис. 6.2 представлены различные способы описания S1.
Рис.5.2
Триангуляция окружности S1 может соответствовать только оимплици-
альному иомачексу в).Действительно, фигура a)w> япляется 1 -симплек-
-симплексом, т.к. содержит только одну точку. Фигура о) не является ком-
комплексом (оба симплекса совпадают ), что следует из определения
комплекса.
В данном случае симшгацивльный комплекс К есть
-31-
Прилър II. Триангуляция листе Мебиуса приставлено на рис.б.Э
3 f a
'- i\
Прилер HI. Триангуляция проективной шюскости ЯР" предсгавлзна
на рис.6.4. Напомним, что пространство ЛР? мсжет оить представлено
э зад офь^н S", у которой отоадествлены противоположные точка
РИС.6.4
Пэрейдам теперь к.науоядемию способа, с помощью которого триан-
триангуляция пространства X позволяет вычислить фундаментальную группу
Определение IX
ПодмнсшеотЕС ,'ic.G-'эдегаотоз i-рушш G генерирует группу G, если любой
зломэйт ^ef может Сыть представлен в виде произведения ъльмакаов В
о полоиит9лштг~.ш или отрицательными степенями. Элементы подааюже-
егьа К яаг?ЯЕ8В1'Си генярторомх грухяш G.
Поскольку пространство 1 считается линейно связным, то в силу гоме-
оморфетеа ^аким является и иимшшциальный комплекс К. осуществляю-
вдай гриангулйцил этого пространства. 3 результате для каадой п»щ
существует последовзгельность вершин р А-уо.^ ,.. .уя ,
••32-
а двигаясь последовательно вдоль 1 -симплексов (yo,j/1l, [у.,.у2],...
[Уд.., .yml, мокно перейти от вершшш х(к вершине Ху Это означает,
что в комплексе можно выбрать связный одномерный подкомплекс L
(состоящий из 1-симплексов), содержащий все вершины К и каждую
только один раз.
Перенумеруем послэдовательно вершины в подкомплексе L-a, а„.
Для листа Мебиуса I есть (см.рис.б.ЗУ
■Ь=[12М2ЭМ34М45М5!б].
Подкомплекс Ь для проективной плоскости ЯР2 указан последователь-
последовательностью стрелок на рис.6.4.
Алгоритм вычисления фундаментальной группы пространства X. триан-
триангулированного с помощью симшшциального комплекса Я,состоит в сле-
следующем. Выберем все различные 1-симплексы в К. при этом часть иэ
них не принадлежит подкомплексу L (см.рис.6.э и 6.4). Каждому упо-
упорядоченному 1-симплексу [ot.o,](/>t) сопоставим элемент gt,-reHe-_
ратор группы ic, Ш. Эти генераторы обладают следущими свойствами:
1) Если 1-симплекс [ot,Oi]«I, то соответствующий генератор
gtJ =1. F.15)
2) Для любого упорядоченного 2-симплекса faj.a^.u^]
справедливо соотношение
Последующие соображения не являются строгим доказательством указан-
указанного алгоритма нахождения генэраторов группы 1С, («)=*;., (X) (в силу
гомеоморфизма), а лишь поясняют схему его построения.
Подкомплекс L образует последовательно перенумерованные вершины а(.
Через It обозначим путь от вершины о, A.,=1) к вершине с( вдоль
Ко, -»aj, ■»...-» ot). В этом случае путь
имитирует петлю, проходимую через 1-симплекс [х^хЛ.
Петле F.17) естественно сопоставить элемент группы ic,(K) -вц
-33-
Бели 1-симплекс [x^Xj]«L, то такая петля стягиваема, поэтому
соответствующий элемент gi, =1. .
С другой стороны, упорядоченный 2-срмшюкс (at,Oj,Oj,], проходимый
в последовотельносги
может быть деформирован в путь
что и выражается соотношением F.16). Нетрудно убедиться в том, что
любая ле-мя п К обязательно проходит через какой либо 1-симплекс
ix^xAt т\е. елеыеятк g^ действительно являются гензраторами
rjiynnu я, <K)-Xr iX).
Проклдаотрируем солученньй алгоритм ка простейази примерах.
1. Окружность S1. /г рис.б.2 в) видно, что единственным генератором
я&чяетей 6=6,3' с00™10™^100^ «даократяому ооороту вокруг
окрукнопти. Таким образом, любой злемент грлшы х^ (S1) соответ-
соответствует g', т.д. обороту вокруг окружности к раз, проходимому как
по часовой, так я против часовой стрелки. Формальная запись это-
этого факта еегь
«^(С1)*^ F.18)
где. Z - любое положительное или отрицательное целое число.
2. Для листа Мебиуса (см.рис.6.3) комплекс К содержит 12 1-сим-
1-симплексов, иг них ь принадлежат L.
Для 1-симплексов в I . .
«12 =«?3 = «34 = «45 =«5б=1'
С'помшцью состпошений F.16) получаем, что для первых 2-симплексов
■ «13 = «24 = «35 ш *46=1 •
Остаются элементы
«16* ^25* «26*
улоглетворящие соотношениям .
«25-^56 * «26' «12*«2б = «16-
-34-
откуда получаем, что
Таким образом для листа Мебиуса имеется только один генератор, т.е.
■ic, (лист Мебиуса)=Z . F.19)
Упражнение. С помощью рис.6.4 вычислить it, ОН?).
В заключении этого раздела укажем на важную теорему, позволяющую
вычислять фундаментальную грушу раде пространств.
Теорела, .
фундаментальная группа прямого произведения двух топологических
пространств X к Y изоморфна прямому произведению их фундаментальных
групп.
• it, (X*Y;xo, уо)= *i (Х,хо)» ^ (У,уо> « F.20)
Птш&р. Тор Г2 есть прямое произведение двух окружностей (доказать)
!гз£1*51. С помощью F.20) получаем, что
т.е. фундаментальная груша тора Г2 характеризуется двумя везави-
симыми генераторами, а тем самым двумя независимыми числами.
7. Гомотопические группы
Элементами введенной в предыдущем разделе фундаментальной группы
являются классы гомотопных отображения /:1=[0.1']-» X.' причем гра-
граничные течки отрезка [0,1] отображаются в одну и ту яе точку !
хо<вХ. Естественным обобщением является исследование классов гомо-
гомотопных отображений п-мерного куба f'inw)
таких, что всй граница куба l" отображаемся в отмеченную-точку
Это означает, что
fit t t \-т
-Э5-;
если хотя бы одна переменная равна о или 1, причем все t(« [0,1].
Произведение двух отображений в данном случае определяется усло-
условием
/,Bt,,t9,...,tn), " o«t,si/2
/2*Л - { G-2)
По аналогии с F.2), обратное отображение введем с помощью соот-
G.3)
Произведение классов гомотопных отображений должно удовлетворять
условию (б.З). За единичный элемент выбирается класс отображений,
гомотопных постоянному, когда
при всех значениях t(
/(t1§...tn
-ro,i].
)-aro
Анализ, полностью аналогичный проведенному в предыдущем разделе,
показывает, что классы гомотопных отображений G.1) образуют группу
по отношению к бинарной операции G.2) с учетом условия G.3) и
(б.з). Соответствующая п-мерная гоятогшнеская группа обозначается
кп(Х.хо>. Простые соображения показывают, что в случае »>1 эта
группа является абелевой. Графическое доказательство этого факта
для №2 изображено на рис.7.1, где любая линия к заштрихованная
область при отображении / переходит в точку хс*Х. На рис.7.1 изоб-
изображены только отдельные "кадры" непрерывной деформации отображений,
т.е. переход от одасго рисунка к другому надо представлять как
непрерывную оперэщпо.
I г !
и
•I
/
/
/
Pile.7-1
-Зо-
В аОелевой группе icnd1xo)(n>i) бинарную операцию в дальнейшем
обозначим знаком сложения .
Теорема
Если пространство X является линейно связным, то группы 1^A.х1) и
кч(.Х,х2) (х^,хг*Х) изоморфны при любом п.
Теорема
Для прямого произведения пространств I и У группа %n(X*Y,xo,yo)
(п>1) изоморфна прямой сумме:
Ло) G.4)
Гомотопические группы гомотопически эквивалентных пространств оди-
одинаковы. Отличием случая п>1 является то, что отсутствует алгоритм
вычисления групп *П(Л при триангуляции пространства А. Нахождению
гомотопических групп в целом ряде случаев помогает точная гомото-
гомотопическая последовательность, построение которой требует определения
относительных гомотопических груш.
Относительные гомотопические группы.
Определенные выше п-мерные гомотопические группы были определены
на основе отображений n-мерного куба 1п.
С другой стороны, куб Iя гомеоморфен п-мерному шару iP. Таким обра-
образом группа, %п(Х,х ) может рассматриваться как состоящая из классов
гомотопных отображений.
/ : Z/1 - I.
причем'поверхность шара D1*1 (сфера s") отображается в отмеченную
точку xQeX.
Определение I
Пусть Г-пЬдмйожеотвО npoorpakoTBaXdfcl). Множество n^(X,r;j/o)
образует классы гомотопных отображений шара if1 в пространство X,
когда поверхность Шара (S") отображается в £, а (фиксированная
точка сферы ao«s"~1 отображается в точку j/o«F. Это множество явля-
является группой при гиг (и абелевой при п>г) и называется шностелъ-
ной гомотопической группой.
Эти группы используются при исследовании ряда физических задач
-37-
(в частности,я теории дефектов) к вычислении гомотопических групп,
которое оононаио не свойствах точной последовательности гомоморфиз-
гомоморфизмов групп.
Галслорфизмом группы и в группу Я называется отображение /
■/■! G - Я,
которой каждому олэменту g*G стазкт в. соответствие элемент
/E)=Ь*Я и выполняется групповое соотношоние
Ties') -j"(g)•/(«')•
Образом груши Gb U является множество элементов груши Я, в ко-
которые порехоцят элементы G при отображении /, и обозначается Tmf.
В общем случае Imfcll. Если Imf=H, то такой гомоморфизм называется .
эгшлоргД-злоя, Элементы группы G, которые ьри гомоморфизме / ре?е-
ХО.ДЯГ в единицу группы Н, образуют подгруппу в G и являются ядром
(Zer/) гомоморфизма /. Если из условия flg)-f(g') следует, что
я «*--£• для всех g,g'«G,TO соответствующий гомоморфизм является
лоналюрризмол.
Гомоморфизм
**• / : С * Я
назнваэтоя иэоли^иалож, если он является одновременно эпиморфиз-
эпиморфизмом г мономорфизмом. В <*том случае меклу элементами групп G и Я
существует взаимно однозначнее соответствие, т.е. фактически эти
группы шчем не отличаются друг от друга.
Определение II
Последовйтельнолть гомоморфизмов
G.ia *g" ' G.5)
называется точной в группе С тогда и только тогда, когда Imf-Kerf
Упражнения. Доказать следующие утверждения:
1) последовательность гомоморфизмов
1 - С ♦ С-' G.6)
?о?ка в G тогда и только тогда, если гомоморфизм f:G * G' является
мономорфизмом ;
2) ьоследовэтелыюс'гь -
G ■• G' - 1
-38-
точна тогда и только тогда, если / является гпиморСизмом; .
3) Показать, что из 1) и г) следует, что последовательность
1 - С -. G* -. 1 G.7)
точна тогда и только тогда, когда группы С и G' изоморфны.
Рассмотрим пространство X п его подпространство УсХ. Поскольку
то существует очевидный гомоморфизм
Абсолютная гомотопическая группа ^(I,i'o) является частным
случаем относительной я^а.У;у0)..по»тому
В результате возникает гомоморфизм
Следующий (очень ванный) гомоморфизм требует пояснения. & очень
сложные рассуждения показывают, что отображение шара if1 * К, при
котором вся его граница переходит в точку уо, полностью*вквивйлеа-'
тно отображению s" -► X, притом фиксированная точка ajsS11 отобража-
отображается в уо*У.
Поскольку в определение относительной гомотопической группы
*пA.У:уо) входит отображение грани» i/*(Sn~1) в Y, а выделенная1
точка а0 «S0 отображается в уо«У. то,ограничиваясь только этой
частью отображения,получаем "граничный" гомоморфизм
у). . «ИОД
Объединяя гомоморфизмы G.8) и G.9) и G.1 о),юлучввм следующую
ях последозательность: ■ , с
t* V* в «*
Теорема
Последовательность гомоморфизмов G-11) является точной,т-е-
1) Imt» = RerJm
г) ImJ» - Еегб
3) 1«в • Яег(„
Объем ленного пособия не позволяет привести не очень сложное, но
достаточно громоздкое доказательство этой теоремы.Его можно найти
в монографии [ю].
В заключении этого разделе укажем на тюрему ФрэйОенталя, согласно
которой
f "*1 G.12)
при qnzri-г.
Отсюда следует зажное следствие. При к>1 х1 (S")^, т.к. петля
стягиваема в точку на поверхности тгроизголььой сферы ^ В резуль-
результате получаем, что
Xjjts")^ при *<п G.13)
I'pynna 'Kn(Sn) соответствует классам гомотопных отображений S*1 ■• S*
характеризуемых степенью отображения (см.вше). Это означает, что
8. Накрытие
Отображение f:X •» Y является накршиел (отображением нащхения),
есч>ш оно удовлетюряет следувдвм условиям:
1) Квадая точка ydf обладает окрестностью 0, полный прообраз кото-
которой представляет собой объединение непересекающихся областей
/-1 = 7,о v2o...
2) Отображение /:Vj ■• U является диффеоморфизмом .
Пространство Я называется накрывающим пространством.
Число прообразов точки ушУ - число листов шиернпем
(оно меже! быть и бесконечним). Это число*не зависит от
выбора точки
Примеры
I. Х=Я1 (действительная прямая),y=S1 (окружность).Функция /:й -» З1:
fr#z%ix осушес?рвлявт бесконечнолистное накрытие.
II. X*sn42)*<S-\ У=50(Э). Из квантовой механики известно, что
группа ЭТB) осуществляет двухзначное представление группы
вращений, т.е. /:SUB) -. 50C) является двухлиотным накрытием.
III.Отображение /: s" ■• ftF71 является двухлистным накрытием, т.к.
переход от Sn к И*1 происходит путем отождествления точек,
противоположншс относительно центра шара.
. Упражнения. Определить характер следующих накрытий:
а) tf1 -» Iя (Iя - n-мершй тор)
б) построить накрытие для бутылки Клейна (см.131).
В пространстве X сьобовно действует группа С, т.е. g.x at для
любого элемента g*G (g*i) и произвольной точки яеХ. Выбрав неко-
некоторую точку х*К и подействовав на нее всеми элементами g*G, мы
получим орбиту точки х. Поскольку группа G действует свободно, то
все орбиты состоят из одного и того же числа точек, раваого числу
элементов группы G. Сопоставив каждой орбите одну единственную
точку (т.е.отождествив вое точки орбиты), получим новое простран-
пространство Y=JL/G - пространство орбит. Полученное таким образом накрытие
/ : X -» X/G
называется главным юкрытзм.
Упражнение. Определить группы накрытия в приведенных выше примерах.
Главное накрытие называется универсальны*, если фундаментальная
группа накрывающего пространства г1(Х)=1 (пространство Х-о9но-
связно)
Теорема, Для универсального накрытия /:Х -» 7=1/G фундаментальная
группа it, (У) изоморфна группе пакрытия в.
Рассмотрим единичный элемент группы ^ СУ,уо). Ему соответствуют
петли, стягиваемые в точку уо«У. С помощью обратного отображения /~1
можно "поднять" эту петлю в пространство X. Единичной петле в У
соответствует замкнутый путь в X, начинающийся и заканчивающийся в
одной и той же точке лзеХ, причем /(я)=уо«У. Поскольку пространство
X односвязно (чс1Х)=1), любой петле в X соответствует единичный эле-
-41-
мбнт группы it, (У,уо). В то ire время точку yo*Y накрывает дйскг тный
набор точек X. оораг.уякиЯ орбиту группа G в пространстве X.
Таким образом единичная петля в Y соответствует петле в X, связан-
связанной с одной точкой орбиты, которой можно сопоставить единичный
элемент группы в. Выберем далее нетривиальный элемент в %^(Y.yo).
Ясно, что ему оог.теетотг.уе. такой путь в X, который начинается в
точке z(f(x)=yo). 9 заканчивается в точке g.,.z(g/i). т.е. нетри- •
виельному элементу ic, (У,2/о) можно сопоставить элемент группы С.
Пусть 8л*ё^ и б пространстве X им соответствуют пути, начинающиеся
в точке "х, а заканчивающиеся з течках x^=g^.x и xn=g^.x. Напомним,
что
Путгм в / "
$. : х + gл. х . \ : х - g^.x
отвечйют нотривийльныз петли в У - <р1 и ф2. Рассмотрим путь
Ф^&гФ-г В пространстве К он начинается в точке g^.x и накрывает,
очеьиюо, пето;ю ф2 в пространстве У. В результате получаем, что
петле (f>?.if\, в пространстве Y соответствует ауть ф^.ф., в простран-
пространстве 1. Этот путь начинается ь точке х. доходит до точки хл , пэре-
ходит и путь ф^ (он начинается ь точке х^ ) и заканчивается в точке
g^ .g.^.x. Таким образом, произведению петель в пространс1: ;е У отве-
отвечает произведение элементов группы G. Теорема доказана.
Возррещаясь к приведенным выше примерам накрытий, получаем, что
Г. x^sVz
ГГ. x^iSOO))^ (8.1)
ГТГ* г, (ДР")=22
3 последних двух примерах Z2 - целые ч^сла по модулю 2. Это сзаа-
чазт. что эти группы характеризуются одни»» ;„1с;«ситом g, причем
. Найтк фундаментальную группу для тора l" а буталкя
Клейна.
В заключение без доказательства ?ка№>м на следущДО очень важный
результат для яакрктаб 1см.13}):
, п*2. <8.2)
9.Топологически акюшъные Оефент
Чрезвычайно плодотворным оказалось применение гомотопических групп
к классифи"ации дефектов в упорядоченных системах. В целом ряде
случаев в конденсированной среде при температурах ниже критической
ГрВозникает отлет ий от нуля параметр порядка. Природа этого явле-
явления может быть совершенно разной. В ферромагнетике ниже точга Кюри
существует спонтанная намагниченность, и параметром порядка является
вектор намагниченности М. величина которого определяется темпе-
температурой, а энергия системы в случае изотропного ферромагнетика не
зависит ~т направления этого вектора. В сверхпроводнике параметром
порядка служит число сверхпроводяаих электронов (или щель б спек-
тпе) и т.д. В случае изотропного ферромагнетика каждое упорядочен-
упорядоченное состояние при заданной температуре (T.e.Jf =oonst.) мсжет
быть определено, если указать направление ве :тора намагниченности.
Такт, образом, все направления И находятся во взаимно однозначном
соответствии с точками с "яры S2. В общем случае множество всех
равновесных значений параметров порядка при фиксированной темпера-
температуре отказывается пространством вырождения и обозначается как Я.
Реальная физическая система может находиться в неодаородном состоя-
состоянии, т.е. параметр порядка зависит от координат реального простран-
пространства X. На топологическом языке мы получаем непрерывное отображение
/ : X * Я. (9.1)
Для ферромагнетика эта символическая запись означает, что намагни-
намагниченность U=l(х), где х - точки реального трехмерного пространства-
координаты точек данного образца. Вс :фос о существовании дефекта
в изотропном ферромагнетике можно сформулировать в терминах теории
омотопии. т.е. можно ли путем непрерывной дэфэрмэцик отображения
(9.1) сделать систему однородно намагниченной. С этой целью вы целим
сферу в координатном пространстве. Каждой точке эт а сферы отвечает
определенное направление векторз К. Ранее мы установили, что все
отображения / : S2 ♦ S2 характеризуются гомотопической группой
«j(S^)=Z (см.G.14)). т.е. заведомо существуют такие распределения
момента И на сфере, которые не могут быть деформированы е однород-
однородное состояние. т.е. такое, когда на сфере все момъеты И направлены
одинаково. С другой стороны, интуитивно ясно, что если на S2 все
моменты направлены по нормали в чаадой точке, то непрерывное продол
-43-
жение отображения на внутренность сферы приведет к особенности.,
т.е. имеемся точка, в которой у момента нет определенного направле-
направления (существует дефект). Ответ на вопрос о возможных типах дефектов
может быть получен нэ основе следупсшх соображений.
ОпреОеленхю
Отображение / : X -» Y иезивается гомотопным нулю, если оно гомотопно
отображению, переводящему всэ пространство Z в одну точку
Теорема
Отображение сферы s"~1 в Y гомотопно нулю тогда и только тогда,
если его можно непрерывно продолжить на шар lf\ ограниченный
сфэрой ЬЛ~1.
Пусть существует непрерывное отображений
т.е. имеются непрерывные функции /(а?1 .d1) и (х1 J+..
Рассмотрим отображение сферы S5, при котором
AJ(^)г
В вгом случае существует гомотопия
ft = ^^
хоторея, зо-першх, при t=o совпадает с отображением S^ -» У,
во-вторых, может быть непрерывно продолжена на весь интервал
ta(o,i], т.к. это продолжение отвечает отображению filf1 •» У.
В результате при t=i вся поверхность сферы отображается в одну
точку у«У. Таким образом,доказана достаточность продолжения
отображения S^" ♦ У на внутренность сфзры для гомотопности
нулю отображения /: s71?1.. у. Доказательство необходимости
продолжения отображения на шар оставляем в качестве упражнения.
Для фэрромегнетака зозникает отображение /:5s • S2. То обстоятель-
обстоятельство, что it2(S2)=2 ознечает, что в данном случаэ существуют классы
отображений- не гомотопные аул», т.е. такиэ, которые не могут бнть
нопрернЕно продо.шкены внутрь сферы S'2 на шар Т?'. Это означает, что
в ферромагнетике юзмо!зщ точечные дефекты.
Обобщая полученный результат, приходим к выводу, что дефекты могут
Сыть классифицированы следующим образом.
-44-
I. 1^A0*1. Это означает, что в упорядоченной системе с простран-
пространством вырождения Я возможны линейные топологически устойчивые
дефекты. "
II. к^(Д)*о. "Возможны устойчивые точечные дефекты.
III. %j(R)*o. Соотввтствуйций дефект носит название частицеподоб-
ного солитона.
Топологическая устойчивость дефекта означает, что он не может быть
устранен с помощью непрерывной деформации данного неоднородного
состояния. Физически ото соответствует необходимости продолжения
энергетического барьера при создании или уничтожении дефекта.
В соответствии с результатом G.13) получаем, что в изотропном
ферромагнетике отсутствуют линейные дефекты (они могут быть "сло-
"сложены" как зонтик), но существуют точечные. Ниже будет показано, что
%j(Sp)=Z (очень нетривиальный результат), т.е. возможны и
солитоны. В нематическом жидком кристалле пространство вырождения
R=Kl^ (в нем надо отождествить противоположно направленные векто-
векторы), поэтому
(см. (8.1))
(CM.(8.2))
3 j (CM.(8.2))
В данном случае возможны нитевидные де^зкты. которые называются
ДИС1Ш&Н8ЦИЯМИ.
В заключьлив необходимо нее эдозать вопрос о нахождении простран-
пространства вырождения Я для данной физической системы с заданным функци-
функционалом энергии, зависящим от параметра порядка.
Этот функционал обладает группой симметрии G относительно преобра-
преобразований параметра порядка. С другой стороны, существует подгруппа
/fcG, ос авляпцаг неизменным данный параметр порядка (В-еруппа кена-
pywswtttr симметрии). Щюстранство вырождения Я есть пространство
смежных классов G/H.
В изотропном ферромагнетике группа fcSOO). а подгруппа В, остав-
дящая на месте данный вектор, описывает все вращения вокруг него,
т.е. fi=S0B)=S1. в результате шыгчаем, что fi=S0C)/S0B)=S2.
-45-
Лрупши примерами пространств вырождения являются:
а) Я = S0O)/S0B)xZ2 =•• ЯР2
- жидкий нематический кристалл.
б) H=S1xS0C) -фаза В в сверхтекучем эЯе.
Упражнение. Сиродолить типы устойчивых дефектов в фазе В сверх-
сверхтекучего гелия.
• 10. Топологические группы
Гомология связана о тоншаш вопросами теории многократных интегра-
интегралов. Хорошо известная теорема Гаусса связызает интеграл по некото-
некоторому объему в трехмерном евклидовом .пространстве с интегралом по
границе этого объема. В тривиальном случае шара очевидной границей
является поверхность сферы. Пример проективной плоскости Шг ставит
достаточно нетривиальный вопрос о нахождении ее границы.
Простейший алгоритм для определения границы многообразия основан
аа его триангуляции (см.раздел 6). В связи с этим рассмотрим ин-
интеграл
X2 % <±г = /(х2) - /(х,). (Ю.1)
*1
т.е. интеграл от производной по отрезку [Zj.Xg] равен значению
фуккцш на границе этого отрезка, которая состоит из двух точек
[г2] и - [я.,] (следует обра-ють внимании на энак у т°чки 1х^]).
Формалг ао полученный разу.пьтат можно представить в следущем виде:
Ц1, " (Ю.2)
где символ в означает нахождение границы. Соотношение (Ю.г) не
противоречит очевидным янтуих11ЕНвЫ свойствам понятия ^аницы.
Действительно, 1 - саошяекс [х^.х^] может быть лредставлен в виде
суммы двух 1-симплексов (см.рис.)
РИС.10.1
-46-
Достаточно очевидным свойством границы является условие, согласно
которому граница пространства, состоящего из ньяюресекающихся
подпространств (или пересекающихся по пространству меньшей размер-
размерности) ест сумма границ этих пространств, т.е.
В данном случае существенным оказачось определение (ю.2). учитчвя-
i ее знаки граничных точек. Соотношение (Ю.2) мело формально
представить несколько в ином виде:
хг\ = ^.Tgl-tx^x,]. (юл)
где символ я, означает опускание соответствущей точки (Ix^.x^l-
[х£]). Обобщим полученный тривиальный результат.
ОпреОеление I
«-симплекс 0я fxo§x1 х^] будем считать ориентированны1*, чче.
соотввтетвущим упорядоченному наберу входящих в него вершн, при
«том все четные перестановки вершин не меняют его знака, а нечет-
нечетные - меняют. г
Рис.ю.2
Изображенный на рис.ю.2 2-симплекс 02=fio.a.'.,х,г) отвечает его
обходу против часовой стрелки, поэтому имеет знак плюс. Очевидно.,
что
х 1- (Ю.5).
-47-
Определение II
Границей я-сямплекса является следущее выражение:
к
да
С (-1)* lxo....xi ^I'Wti (ю.б)
auo]=o
Очевидно, что границей 2-симшюкса на рис.ю.2 является набор
сохраняющий правило обхода ориентированного "имшюкса. С другой
стороны, из определения (ю.б) следует, что
o^ox1l« (to.7)
={хо.х1
т.к. Ixo.X2) ■ -tx2.a:o].
Упражнение. Проверить правильность определения границы соотнопением
(Ю.б) на примере тетраэдра.
Теорема.
Граница границы я-сямалекса есть нуль:
д.0*0 (Ю.в)
Действительно. п
=(|) <-11
= Е (-1) II. | • . • ilvi . . ■ ill 3
t=0 ° * I
|_^ o 2t...xk....x]
Рассмотрим снмплициалышй комплекс JTfrsM.pa дел 6), содержащий число
0^ я-симплексов. Цепью называется линейная комбинация
' ^"^ A0#9)
т.е. /{ - произвольные целые числа обоих знаков, причем выполня-
выполняется условие
Е e(o"/ = Е (/(+ в()<^ (/(. g(-Z). A0.10)
t«1 i=1 t=1
Определение (Ю.9) и условие (Ю.ю) означает, что цепи от образуют
авемву группу цепей СШ(К). Очевидно, что если п-максимальная раз-
размерность симплексов в комплексе К, то Ст(К)=О при т>п. Граница цепи
определяется еле дующим соотношенлам:
0ся » a (t /to? ) х е /,во? . (Ю.11)
и (=1 l l (=i l l
Операция взятия границы (Ю.п) осуществляет, очевидно, гомоморфизм
группы СК(К) в группу Ст_1(К).
Определение III. У группы цепей Ст(К) сувествует поОеруппа циклов
). т.е. таких г пей zn«Z^(X,. что
•• 0. A0.12)
Подгруппа циклов ^,A) является ядрсм гомоморфизма
О : СЩ(ЯУ ♦ ^(Ж). A0.13)
цикл Ъп<Ош(К) называется п-еранщей. если существует такая цепь
- что _.
^ A0.14)
Из (Ю.з) следует, что Ъщ - цикл. Семейство границ flm(K) образует
подгруппу группы Ст(К) и называет'-ч группой границ. Группа границ
является образом гомоморфизма
а : Cm,iK) *СЯ(К). A0.15)
Оовершенпо очевидно, что
Определение V
Факторгруппа
Bm(l) = ^(ij/jyi) A0.16)
называется т-мерноп гомологической группой симплициального комп-
комплекса К.
Легко сообразить, что элементами этой абелевой группы являются
циклы г)Я, не яеляпзюся границами в комплексj I. Элементы группы
Ит(Е) могут быть также определены как классы эквивалентности
[zm] циклов, причем два цикла г^нг^ являются эквивалентными,
если выполняется условие:
гл ~ ^т *"т*"' A0.17)
а циклы zm'd называются гояслогихныжа друг другу.
Отметим одве чрезвычайно важное обстоятьльство. Поскольку в опреде-
определений цэпей (Ю.9) входят целые числа f^Z, то ьведенн£я гомологи-
гомологическая группа, строго говоря, должна обозначаться как Яи;ж,2).
С другой стороЕы, в качестве коэффициентов /{ можно было бы выбрать
элем^н-ш произвольной группы С, что соответствует гомологической
группе nm(K.G).
Выше указывалось, что данное многообразие I допускает различную
триангуляциг При этом группы 0т{К). ^,(Х) и ВЯ(Х) зависят от
конкретной триангуляции.
Теорема
Гомологическая группа ИЯ<Я) данного многообразия I не зависит от
триангуляции
Доказательство этой теоремы весьма сложно и здал не рассматрива-
рассматривается. Справедливо также следующее очень важное утверждение.
feope.ua
Гомологические гр.шш гомотопичесде эквивалентных цросаранств X и Г
изоморфны при всех т:
Нт(Х) = Я„(У). A0.18)
т.е. группы Нт{Х) являются топологическими инвариантами.
Рассмотри нэско.пько простых примеров.
I. Цространство X=xQ является точкой.
Очевидно, что ЯиA)=0 при пил , т.к. отсутствуют цэпа с размерностью
»ui. Произвольный элемент груши цепей CQ([xQ]) есть
Из определения A0.6) следует, что zQ=cQ и не может быть границей
(цепи больших размерностей отсутствуют). Таким образом,получаем,
что
ffo(Uo])=Z. Яя([хо))=й. т*1, A0.19)
т.е. любой элемент hQ-aHQ([xo1) имеет вид
Результат (ю.19) имеет большое значение. Пространство X называется
отягибаемыл, если оно гомотопически эквивалентно точке. Такими про-
пространствами являгтся, очевидно, Я*1 при произвольном п.
Из тесремы A0.18) и результата (ю.19) следует, что для стяги-
стягиваемых пространств единственной нетривиальной группой является
Я,(!)=£. A0.?0)
II. Пространство 1=51 - окружкооть.
Понятно, что окружность является границей диска, поэтому в соот-
соответствии с условием (Ю.8) она являэтся шелом. О другой стороны.
диск не входит в рассматриваемое пространство, и в »том смысле ок-
окружность .s может рассматриваться как граница, т.е.
Я1(S1)#0. В данном случае комплекс
поэтом1' произвольные цепи есть
°о =
С1
причем 6cQ=Q. В то же время
ас, *-1т0] (во+в2)+ U ,
A0.21)
A0.22)
т.е. циклами яаляются цепи с-условиями:
«О + &г "°' «О = «1• Si + «г =°-
или
*1 ™ *0' *2 " ~^0 *
Произвольные цикл есъ
что согласуется с результатом (ю.7),но в данном случае 2-симплекс
не принадлежит комплексу I. Поскольку цикл гл (Ю.2Э) характери-
характеризуется 0ДШ1М ЧИСЛОМ, ТО
ff.,(S1)=Z. (ю.24)
Из соотношения (ю.2£) видно, что то»аси [arn j. Сх23 гомологичны
зочке [хс). not_CMy о-цикл описываотсл только одним ч злом
1/O(S1)=Z A0.25)
-52-
Упражнение. Показать, что для пространства Х=3*
. vio.26)
Результаты для нульмерных групп ffo A0.25) и (ю.26) не являются
случайными. В качэстве упражнения предлагается доказать следующее
утверждение.
Теорема. Для любого линейно связного пространства I группа
HAI)=Z ; A0.27)
о
Выражения
выражают весьма простой геометрический факт - окружность является
границей диска, а сфера - границ-й шара, т.е. внутри окружности S1
и сферы s£ имеются дыры. Это обстоятельство позволяет утверждать,
что и в общем случае ранг и- й Гомологической группы Нт{Х) Ът
(т.е.количество независимых циклов, не являющихся границами в дан-
данном пространстве I) соответствует числу дыр размерности (ян-1) и
называется числом Бетти, пространства I.
Триангуляция пространств I не является однозначной, однако сумма
",(!) = Е (-1.'" 4.. A0.28)
где с^, - число m-сшс лексов при данной триангуляции, является топи
инвариантом и не^ывается хараитеристшзй Эйлера.
Теорежх Эйлера-Пуанкаре.
Если bm - числа Бетти пространства I (т.е.топологические инвариан-
инварианты), то справедливо соотношение:
%Ш = Е (-1)" Ъ_ ' (Ю.29)
л&О *
Действительно, справедливы очевидные соотношения:
A0.30)
-53-
где n=dlmX. В результате получается, что
= Е (-1)% = X ,
и теорема доказана.
Георела Кюннета
Для прямого произведения пространств I и У справедлива следующая
формула:
Г,Д). A0.31)
где гомологическая группа Ят(А':Л) определена <; помози>ю коэффи-
коэффициентов /(еА (см. (Ю.9)). где R - произвольные действительные числа
Для рассмотренных вышэ групп En(X;Z) правая часть имеет более слож-
сложный ВИД. ' »
xteep. ^J^^xS1. С помощью A0.31) получаем, что
Q ffo(S1) х RQ{sh = R.
, .f2) = flo(S1 у x ^ (S1) + Я., (S1) x ЯоE1) = Д+Д.
= Ho(S1) x J?2(S1) + ^(S1) x ^(S1, + ff2(S1) x ffo(S1)=fl.
Таким обрезом,числа Бетти тора У2 равны:
Ь1(г^)=2, Ogtr2)^.
т.е. у торе i2 имеются две 2-х мерные дыры и одна э-х мерная.
У топологичэских пространств I к У могут быть одинаковые гомотопи-
гомотопические группы, нс\ разные гомологические группы и наоборот.
О.циако определенная связь между этими группами существует.
Теорема туревича
..оли (грострпнство X связно и односвязно (т.е. it, ,{Х)=%. (Л)=0), то
нетривиальные юмотсэтг'жив и гпмолот-ические группи начинаются с
-54-
одвой размерности и первые нетривиальные группы ^Ш я Нп(Х).
п>2 одинаковы.
При исследовании целого ряда проблем большую роль играют относитель-
относительные гомологически группа.
Ояностельныл хщкмм z^Z^XJ). где У - подпространство в HYcX)
является такая цепь ст«СщA). что 6^m<eCm{Y). т.е. граница относи-
относительного цикла лежит в Y.
Опносиве/ъкой границ/ей Ьт«Вв(*.У) является такая цепь от«СщиГ). что
с, + сщ(У) ■= ЬЩ(ДГ),
т.е. добавление к относительной границе цикл' из пространства У
делав, ее истинной границей в X.
Факторгруппа
Zn(X.Y)/Bna.Y) - Bn(X.Y)
является относительной гомологической группой пары пространств
(Х.Г). YciX.
Введениэ относительных групп позволяет (как и е случае гс**)тогши)
построить следующие гомоморфизмы.
у) Hm(Y) -. Нп(Х) - гололорфигм вложения. Этот гомоморфизм очезидбн.
т.к.
г) Гомологическая группа Нт(Х) имеет чствствешл>е ограничение на
3M'X.Y), т.к. каждый цикл в #тШ можно расстиа-ривать к-ж отно-
относительный, т.е. существует гомоморфизм
3) ) р
Hm(X,Y) ■, H,iM(Y). A0.34)
Пусть гя - относительный цикл. Его грышшз есть if»--! )-мерньй цикл
в У.
Таким образом нахождение границы о-чосительного цикла превращает
его ъ никл, ъ пространстве У, т.е. алемент группы Ят_.,(У).
Комбинируя гомоморфизмы (Ю.Э2-Э4), приходим к следующей госледо-
вяаельности:
... * \(У) -\(I) *\<*.П - V,(r) ' ••• (Ю.Э5)
Тэоргла
Последовательность гомоморфизмов A0.35) ягляется точкой, т.е.
2) ImJm = Kerd A0.36)
3) 1тв =
Дсксзап&льств о
1) Пусть zmtZm[X) и zm<tierjw, т.е. J,(zm)=Q.
Это означает, что zm{X) является относительной границей, т.е.
Отсюда следует, что ст(Пе;гт(У) и i,r(JC)«Imt,. т.к. zm(I) и
гт(У) гомологичны. Таким образом,доказано первое соотношение
1-10.36). . _
zm относительный цикл в Hm(X.Y) и zm<e
Б результате разность ^-0^G) является асЗсолютным циклом
в X, являвшимся осразом гомоморфизма Jm.
3) Предлагается доказать в качестве упражнения.
с помощью точной последозательност:! 00.35) можно доказать, р
частности, ч~о
ио-з7)
гомодогичэсквж груш с пожздью триангуляцш простран-
пространства на дрэктяю приводят к весьма громоздким выкладкам. Чтобы
убедиться в 5'шм, предлагается аайта ^(.-tf2) (рас.б.4). Гораздо
удобнам оказкввагсв клетсчясе раэбветае пространства.
Под клеткой размерности п подразумевается топотогическое прос-
пространство, гомеоморфное внутренности n-мерного шара i/1 (или куба Iя),
причем точке соответствует нульмерная клетка.
Многообразие X называется клеточным комплексом, если оно разбито
на конечное число клеток разной ре мерности и выполнены еледующие
условия:
1) Каждья точка пространства X является внутренней точкой одной
(и только одной) клетки какой-то размерности.
2) Для любой клетки 0я непрерывное отображение /:2/" ■• о"^*
удовлетворяет требованию, что / @1? = s )c^™, где
X* - k-мерный остов, т.о. объединение всех клеток размерности
s 1г.
Проекция отображения /(dlf1) только на клетки размерности (т-1)
является нахождением границы:
во* = Е \,<% . (Ю.Зв)
t
Любук клетку можно считать ориентировашой. т.к. она гомеоморф»
области евклидога пространстгэ.
Теорема
Введенный с помощью соотношения A0.38) оператор нахождения гра-
границы в удовлетворяет условию
д . в =0. A0.39)
Доказательство. №> определения клетки следует, что она соответст-
соответствует элементу относительной гомотопической группы *m(I*,I(R), для
которой существуют гомоморфизмы G.9-1 о)
вт : ту*.**-1) .^(Х*'-1),
), : и^ (X"-1) - %л,л (&~л. I*"8-).
Граничный оператор (Ю.эв) по oupeделению осуществляет гомоморфизм
поэтому
0.0 -» Jm.O0.J..6M - Jm.i0M.],H,
-57-
Ввиду условия ImJm=Kerd получаем, что (в./,=0). т.е.
в.в=О.
В предыдущих преобразованиях в - оператор граншш. ад,- су-
ществляет граничный гомоморфизм гомотопических груш (выше он
то» д^
Примеры клеточных пространств
D Офэра s" (п>1). Клеточное разбиение осуществляется двумя клетка'
- о" н о°. во°=0, дсРо (Hti1 клеток par •ерности п-1). Таким
образом.
A0.40)
что совпадает с результатом, полученным на основе точной после-
последовательности.
Х=У2 - тор. Клеточный комплекс изображен на рис.ю.з
6-
Рис.Ю.з
flo2-^, т.е. Hzaz)=z. Прризвольная i-цепь есть c^^oj
а Зс^О. 1-границ нет, цоэтому H^A^ZZ
3) Проективная плоскость ЯР2.
РИС.10.4
Очевидно, что Яо(ЯР2)=г. во^и^-к^). nor ому ^(ЯР2)^. произ-
произвольная цепь c,=f,o] + /2Og и ас^/^о^-о^Н^о^-о!). Таким образом,
ЦИКЛ *.,«/., (O^-KJg). * "
Сравнение последнего выражения с во2 показывает, что в случае,
когда /1 является четным числом, г1 является границей.
Отсюда получаем, что -
Ив этом примере можно убедиться в значении группы G. элементы
которой образуют коэффициента в произвольной цепи. Для проективной
фюскости '
^ A0.42)
!,к. 0сг=гаF\+а*г). а г^=р(а\*а'г/.ж ввиду произвольности а,р«Л
рбой цикл является границей.
11. Коголологии. Обобщенная теорема Сшоыоа
jj физике аирокое применение имеют не сам гомологические, а ду-
дуальные им когомологические группа (отсвда приставка КО-в названии).
Щ данном случае когомол^тгееские группе будут введенн на основе
фОобщенной теоремы Стокса В разделе 4 Знлн рассмотрены диффетэен-
«аальнне формы и операция внешнего дяфференциропания. В 3-х мерном
евклидовом пространстве 1-форма есть
и1 = Ajtfr + iy4/ + 4gCfe, A1.1)
а ее внешний дифференциал
0" Oz Ox dz ctx Oy
OJL. dJL. д/L, d/L, dJL
( _ _3 )ax^y + (-3 - —2)dz*dir + (-3 _ J3,
Ox dy dz Ox Oy Oz
Таким образом, дифференциала взхЗц. вг~0х и c^~dz являются еле-
бесконечно н&*ж площадей с нормалью к нем, орненп
-59- .
вдоль опей z. у и * соответственно Последнее выражение в A1.2)
можно представить в ином виде:
(u2 = Bzdx*du + Ъ Ог^Зх + a^y^Oz. A1.3)
причем
&£«(ОВ^ /дх +2В„ /ду +вВ_ /Oz)
A1.4)
«-■ dlvMXT.
3 данном случае вектор В - произвольный и не является ротором.
Еиш вычислить внешний дифференциал A1.2). то, с одной стороны,
он равен нулю из-за свойства Л.О=0. с другой стороны, d(urotA=0.
Нааомыим теперь хорошо известные интегральные соотношения.
1-форма A1.1) может являться внешним дифференциалом формы и°,
т.е.
0I=А)°. A1.5)
т.е. A=gra&>°.
Для градиенте функции выполняется условие, согласно которому
интеграл
; grad(f) Л .
взятый по некоторой кривое, которая в терминах гомологии является
т-цепъ». равен значению функция / на границах этой кривой. В ре-
результате получаем, что
ja-P-JV A1.6)
ci ас1
Обычная теорема Отокса устаяавлввает связь между интегралом
по поверхности (г-цепь) от ротора вектора (АI) и интегралом
яо контуру, ограничивающем эту поверхность, т.е.
/ЛI =- ЛI
A1.7)
Согласно творемо Гаусса интеграл по оегему от A1.4) равен
потоку по ограничиващей данный объем поверхности, т.е.
-60-
Обобщая результаты, выраженные формвжиг 01.6-8), можно утвер-
утверждать, что справедлива оообщтхючтефею Ояонса. согласно которой
интеграл от внешн го дифференциаль. *Р. взятый по цепи сп+1 (п+1)- й
рвамерв^сти, равен интегралу от тфрн «^. взятый по границе этой
цепи. т.е. •
cn+v
A1.9)
Поскольку размерность подынтегралвдас© вкре ения должна совпадать
с размерностью цепи, по которой прюювдат интегргтование, то в
дальнейшем индекс размерности будит отрекаться. Доказательство
обобщенной теоремы Стокса (п.9) дапвегая ст ядартным (оно обычно
проводится для цепи в виде куба) шишно отличается от доказатель-
доказательства теорем Стокса и Гау са. Егомошо нейти в [3.51.
Рассмотрим интеграл от дифференциальной формы <о по цепи с соответ-
ствукцев размерностью
Jli) = <ЯКС> . A1.10)
с
интеграл (и.ю) сопоставляв? цепи с и форме ш некоторое число,
поэтому его можно рассметривать как определенное скалярное произве-
произведение < и.о. Согласно принятой ?вц—пинии. КО-величиной по отно-
шеышв к данной является такая, чгочвшмерле образом определенное
их произведение НЕЛяется числом. В* ~жи смысл» форма w по отаояе-
нию к цепи с является коцепью. С потоми скалярного проиБведения
>11.10). обобщенная теорема Стокса приобретает следущий вид:
<&). 0> = «НМ&> . A1.11)
Возвращаясь к определених цепи (ю,9>. интегралу (ю.Ю) прададим
следующий конкретный смысл:
/ ы = c/f Jte . A1.12)
Поскольку сак интеграл может бы^ъ-прявшольнчм деиствятельаым чис-
числом, то естественно отбросить огравиякние. согласно которому
-бт-
и будем считать, что /{«Л - действительным числам.
В связи с этим обстоятельством мокно ввести пространство
множество всех m-форм в пространстве К. Допускается умножении форм
на действительные числа и сложение форм одинаковрй размерности.
В результате мяс^аство оР(Х) превращается в абелеву группу.
В конце раздела 4 было дано определение замкнутых и. точных форм.
Подгруппа 2f(I)cfi (К), состоящая из замкнутых форм о/"(d/O),назы-
о/"(d/O),называется щ/ппой коишлоб, а подгруппа ^n(X)cd!l(X), содержащая только
точные формы (аУ1^), называется группой кограниц.
Аналогично рассмотренному ранее понятию гомологичности циклов, две
замкнутые формы ш1 и Ug будем считать коеолологичныли, если выпол-
выполняется условие:
ш1 - о^ = *) A1.13)
щссы когомологичгшх форм образует ноголс югинесиую группу
A1.14)
элементами которой являются замкнутые, но не точные формы. Если
л^е замкнутые формы и.,, Ug удовлетворяют условию (n.f3), то они
принадлежит одному классу [и].
Теорема Стокса A1.9) позволяет доказать весьма важное утЕоржде-
ние. Напомним, что гомологическая группа ^(Х) определена на клас-
классах гомологи .dux циклов, г.е. два цикла z1 и 22 принадлежат одному
классу, если:
Z1 - г 2 = вО1. A1.15)
т.е. они образуют один класс [2].
Теорема
Скалярное произведение
/ <с = ([и], {«]} A1.16)
z
определяется только классом когомологичности замкнутой формы tu]
и классом гомолог тчности цикла [«].
Дсчоэаюельтбо. Если [ш}=[ш'], то это означает, что
-62-
В этом случав
<[«]. [«]> = / 0) = / ((■)'+#))=
- z z
=/«' + jdrj - /ш' + П? = /ш'= <[ш'], [z]>,
Z Z Z OZ Z
т.к. z является циклом (dz=O).
С другой стороны, пусть [z]=[z'], т.е.
Получаем, что
4f
Ос
z* с
т.к. и является замкнутой формой.
Рледует подчеркнуть еще раз, что если форма ш является точной
(или цикл z-границей), то скалярное произведение A1.16) равно
нулю (это тоже следует из теоремы Стокса A1.11)).
Для групп Bm(X,R) и еР(Х,11), в которых коэффициентами являются
произвольные действительные числа /(«Д справедливо следующее
утверждение.
Теорема Ое Рама
ркалярное Ероизведение A1.16) является невырожденным, т.е. для
любого ненулевого класса [ш]«ЛГA;Я) найдется такой цикл
;, что <[ш], [z]>*0 и для любого ненулевого цикла
) найдется такая форма [шеЯ*(Х;Д), что <[ш],[г]>зЮ.
Таким образом, теорема де Рама утверждает, что размерность групп
^(Х;Н) и Hk(X;R) совпадают, т.е. число независик х циклов и неза-
независимых замкнутых форм (число классов [z] и [и]) одинаково и опреде-
определяется только числами Бетти. ■
В качестве примера рассмотрим 1-фэрму в пространстве Л2- {О}, т.е.
в плоскости A,7) с выколотым началом координат:
-63-
^). A1.17)
Напомним, что основное требашгаш, предъявляемое к формам, состоит
в том, что коэффициенты долям явить гладкими функциями координат.
Элементарная проверка покааивиад, что 1-форма A1.17) является
замкнутой, f.e. Зь*--0. Формат («-17) можно представить в вида:
ш = a(arctg4%x)= d(arctge) = 6f. A1.18)
Отсюда видно, что однозначность jf требует введения разреза, в то
время как сама форма а авявитгчна в f£-]0}. Таким образом,
отсутствует аналитичная в Я?-рц- функция /, такая, что цму.
В связи z этим примером возшншт вопрос - в каком пространстве X
зек.лутая форма является и точной.
Рассмотрим отображение
/ : X - У
Соотношения D.13-14) устававшшают связь между формами в простран-
пространстве Y я X:
А» = at1 ...te</W)Wt1^ <V<2~ .••^Vtn. A1.19)
Если ft - гомотопия отобрашеиЛ Я«У и /t=0 = f0, /t=1 = /,,, то
для ззмкщ'той формы и спразеджшю следующее соотношение:
оВ [Xdt(nO/(/dt"<o,I, A1.20)
1 "г—%
Оставляя в качестве упрагнеяш доказательство для произвольного п.
рассмотрим случьи п=2. '
Пусть задано рчражение:
Ac^ A1.21)
Вврьярованиа do отобрвжвнюо / дает
Поскольку форма и является замкнутой,.то
о = Л) . — У
и - - - A1-2Э)
Здесь дифференциал сУ* переносится направо, а повторяющиеся индгксн
переобоэначаются.
Складывая вез три соотношения A1.23),получаем, что
ва1
- —у' + —н --0.
о/к е/1 dfJ
С учетом этого соотнопения вырахвение A1 г22/приобретает вид:
»А - (~!у - ^*
J Д^ . A1.24)
= d
Если /t - гладкая гомотопия, то 0/"= g£- dt и интегрирование по
[l '
AV.25)
о ' .
т.е. совпадает с выражением A1.20) при г*=2.
Из теоремы A1.20) следует, что дли-замкнутое формы ш в простран-
пространстве У при гладкой гомотопаи /f: Jf к [o.U -' Y '
т.е. эти формы когсчологичны и являются замкнутшш в слду условия
D.15).
Пуанкаре '
Рассмотрим частный случай Г=Х, т.е. отсбрааение /:Jf •♦ X.
Будем считать, что пространство I стявивоело, т.е. гомотопичрски ';;
эквивалентно точке. В гладкой тамошня ft отображение /_, является
тсадественным, а /^ стягивает пространство Z в течку.
-65-
Очевидно, что для точки любая форма (кроме нулевой) равна нулю. В
результЕ е случаем" из (ю.го), что
о) = -d JdHn/'/et-Uj)]. A1.26)
В результате получаем, что для стягиваемого пространства любая
замкнутая форма ..вляется точной (лемма Пуанкаре).
Лемма Пункаре находится в полном соответствии с теоремой де Рэма,
согласно которой размерности груш lF(X) и Вт(Х) совпадают.
Согласно результату, выраженному соотношением A0.20), для стя-
стягиваемого пространства единственной нетривиальной гомологической
группой является HQ(X). Это озк^-чает, что -се 8*41), т>0 для
такого пространства тривиальны, т.е. любая замкнутая m-форма явля-
является точно**.
В заключении етого раздела очень кратко рассмотрим одно весьма
важное применение чисел Бетти оп, т.е. размерности групп
/"(Х;й) и йш(Х;й). Задана действительная функция / на гладком
компактном многообразии У размерности п, осуществляющая отображе-
отображение
/ : * - Я.
Точка xQ--M называется критической, если в локальной системч коор-
координат выполняются условия:
вхх ^^о A1.27)
Критическая точка xQcM гладкой функции / называется невырожОеиноп
тогда и только тогда, когда определитель
(итот uirpe делите ль называется гесегюнол).
Функция / кг глгтксм многооорпйки Ы нйгывветгл Функцией Мерса, если
все f?d крт'ичееккб точки являются кечир:>зденннми. Можно показать,
что условие пьвмривдешюг'ги не зависит от внбор-i локальных коорди-
координат, и свш точка являются ияолу^юьанинми, т.е. существует окрест-
-6С--
аость точки, в которой нет других невырожг пшх критических течек.
В окрестности невырожденной критической точки функция / имеет сле-
следующий вид:
A1.28)
Число к отрицательных членов в этом разложении - индекс критической
точки *о» '
Неравенство Морса
Обозначим через Ск число невырожденных критических точек с индек-
индексом к.
Справедливы следуй»» соотношение:
С^ +...лСо , A1.29)
где bjj - к- в число Бетти многообразия jr. фи Ыг выполняется ра-
равенство.
Мэ A1.29) следует, что
A1.30)
т.е. если кожактное гладкое многообразие * имеет число Бетти
ЬМ^С, то любая гладкая скалярная функция / на М должна иметь по
меньшей ik.pe ощ невыроаденн х кржтжчесищх точек,
росколыдг при fe=n A1.29) являются равенством, то
где x(Jf) - характеристика Эйлера (Ю.28-29).
Полученный результат может быть использован при исследовании осо-
особенностей энергетического спектра колебаний кристаллическое ре-
ветки.
-67-
12,Конополъ Rvpam
Хорошим пркдерок приложения полученных выше результатов может слу-
служить знаменитый мокогюль дирака. исследование которого послужит
также, основой для введения общих, калибровочных полей к теории рас-
расслоений (кооых произведений топологических пространств). В данном
случае речь идет о бочмонноотл существования мапглтного заряда.
Исследуем свойства
+ B.flz^dx +BydT~dy. A2.1)
w jJ л/
причем
£ , A2.2)
6 вектор Ъ=<Вх,Вц,Бг) описывает магнитное поле.
Урэвнегак Мжгзеляь
divh^O A2.3)
и соотношение A2.г) означает замкнутость 2~формы A2.1). Вкачале
рассмотри всэ з-х керноэ евкладово пространство йэ. В разделе 5
Оило доказано, что это пространство стягиваемо, т.е. гомотопкчески
эквивалентно точке. Б этом случае- из леммы Пуанкаре A0.26) сле-
дузт. что форма (/ A2.1) являзтея такяе и точной. Вычислим поток
магнитного иода через поверхность сферы S2 и получим, что
2 3 3
гдо iP • шар, ограниченный сферой S^, т.з. гладкое во всем прос-
пространстве Р? магнитное поле не.обладает магнитным зарядом. Предпо-
Предположим теперь, что у поля В возможна особенность в начале координат
{0}, кс оно является гладким в пространстве fi3~{Cty, которое гомсто-
пически эквивалентно сфоре S2 (см.улракнзаие в разделе 5).
ife (Ю.4О) следует, что Я2(Зг)=2, т.е. эта группа является нетри-
нетривиальной (число Бетти Ъ,г{£)-л ),и вследствие теорема де Рама
(см.предыдущий раздел) существует нетривиальная группа Нг(Бг),
т.о, в пространстве Йэ-{0^ заведомо имеется зайздтгя, но не точная
«•.-форма и£.
На языке дифференциальных форм эхо означает, что только в опреде-
определенной части пространству 7^-{0}> которая является стягивазмой,
можно ввести 1-форму A1*1), причем
■ ьг = do1. (I2.5)
Сравнение СИ.?.) и A1.3) означает, что в данном случае сущест-
существует магнитное шла В, гладкое всюду в R^-iO}, но для которого
невозможно .ввести векторный потенциал А, гладкий во всем простран-
пространстве Яэ~{0^. Если ввести пространство ^-отрицательная ось г, то
гладкой 1-формой является .
+ j+dl, A2.6)
а в пространстве Й3-полокктельная ось 'z
y-ydx м„ ,п
1-формы u£ обладают тем свойством, что
(Ли = d«) — Ur, A2.В 5
причем магнитное иоле fc=grr~? g-мзгнитнки заряд.Пространство F?-{z}
является стягиваемым, что к позволяет сделать замкнутую г-форму or
точной.
С помощью соотношения A2.в) получаем выражение для потока катит-
ноге поля . ■
/Ш2 s JU2 + j'U2 , A2.9)
s2 sf ^
где S2 - часть сферы., опискваящая северное полушарие, a si - южное.
и эти области пересекаются по здхатору. Из A2.9) и соотношения
A2.8) видео, что -
3КБ.
-69-
где А± - векторные потенциалы 112.6-7). гладкие в северном и южном
полушариях.
Поскольку эти потенциалы описывают одно и то же магнитное поле,
тс они должны соответствовать градиентному преобразованию
I А+-А^= v<p A2.11)
в окрестности экватора. На этом этапе исследования монополя Дирака
мы сталкиваемся с чрезвычайно ванным и интересным обстоятельством.
Потенциалы А± описывают одно и то же магнитное поле/цжчеч ь об-
области гладкости обеих потенциалов мы должны "склеивать" их с
помощью соотношения A2. и) , а на функцию <р наложено сильное огра-
ограничение. Действительно, магнитное поле может быть обнаружено только
путем его воздействия на электрон, причем поведение электроне в
поле В описываэтея уравнением Шредингера
g(P - | АJф = Щ . A2.12)
В северном и юкном полушарш существую? различные векторные потен-
потенциалы, а им соответственно отвечают разные волновые функции.
Общие принципы квантовой механики требуют, чтобы на екваторе ф*
отличались только на однозначный фазовый множитель £(|S|=-), т.е.
Ф+= £ф_ A2.13)
Из уравнения A2.12) получаем, что
г A2.14)
Необходимо выполнение условия:
А+ - А_ = -С& S'^S = -t^f vlnS. A8.15)
Подставляя соотношение A2.15) в последний интеграл в A2.10),
получаем, что
-70-
J(/ =- У£ Ф v(lnS)ctt . = Ц 2wi=4iqg A2.16)
^2 экв. e
в силу однозначности S=etot. где n«Z - целое число. Таким образом,
магнитный заряд монополя Дирака квантуется и равен
f§ A2.17)
Заметим, что для пространства Я3 с исключенной положительной или
отрицательной частью оси z возможно введение единого векторного
потенциала и магнитный заряд может принимать любые значения.
13. Гладкие расслоения (косые произведения пространств)
В разделе, посвященном накрытию,мы сталкивались с ситуацией, когда
при отображении
f : К * Y
число прообразов (листов накрыт..я) точки y*Y больше единицы, оста-
оставаясь при этом дискретным. Более сложным и интересным оказывается
случай, если прообразом точки уеГ является гладкое многообразие.
Возникает понятие, обобщающее накрытие и носящее название рассло-
расслоения.
Рассмотрим отображение р пространства Е в пространство В:
р : Б * В . A3.1)
Полным, прообразом точки ЫВ является совокупность всех точек прос-
пространства Е. которые переходят в Ъ*В при отображении р. Этот прооб-
прообраз обозначается р~1(Ь) или Fb. Введем следующие понятия.
1) Пространство Е - гладкоэ многообразие и называется помам
пространством расслоения,
г) Гладкое многообразие В - база расслоения.
У) Отображение р:Е -» В является достаточно гладким и называется
проекцией расслоения на базу в.
4) Множество точек ^0=Р~1 (о) является слое* над точкой ЫВ и зсть
гладкое многообразие. Существенной отличительной чертой рас-
-71-
слоения слухит то, что для любых точек b, b'«B слои Fu и ?й1
гомеоморфа» и F (боа индекса) - типичный слой.
?) Отооражэния одного слоя в другой образуют группу гомеоморфиэ-
моз G - структурная группа*
$} Рзссдсеше называется тривиальным, если полное прсзтранство В
являете» прямык произведением пространств В и Р. т.е.
В оСаем случае расслоение - косое прошзвеОт&е.
У) Структура раселчешч
Лока.1ьно расслоение является тривиальным. Это означаэт, что
покрыть базу В областям» О^В, то мокко ввести координаты пря-
прямого произведения ZaxF. причем существует даВ^еоьорфазм-
Фа : t/ax?- p'Uua). * A3.2)
такой, что РФа(/.о)=0 и f*F, b*Ua-
В области даресечения двух областей накрытия Сд.Уд: VffVa*0 имеем
доа отображения
%SU<£°^ '• Уа>^*р-1(Уа),
A3.3)
Пусть точка Ы!^*. Ъ; результате в пространстве S мы имеем одну
точку (ра(/,о) и фд(/,Ь). Структура расслоения опредьляется тем.
каким точкам / и./' соответствует одна течка фо(/>1»)=Фд{/|>Ь}.
Ясно, что (/|,1»"фд1.ч^1ХЙ). причем гезнксаот отображение
По езеой структуре A3-4) исущоствлкетотоОраженЕь слоя в слой
-тг~
Преобразования ^называют функциями аиейки и яеляются гладкими
функциями точек базы. Требуется, чтобы отображения 3*^@) при .любых
й G
принадлежала элементам схтэуктурной групш G.
Таким" образом, функции склейки ^определяют гладксе отображение
области Uap в грушу в
Из определепил отображений
следует, что
Расслоение с полным пространством Е, базой В, типичным слоем F и
проекцией р обозначается^
или (E,B.F).
A3.7)
Если для каждой точки Ье£ в слое ^выбрана точка, непрерывно зави-
зависящая от о, то эта зависимость нвзывается сечением расслоения
(E,B,F,p). Таким образом, под сечением понимается непрерывное
отображение базы В в пространство £, вересекаицее каждый слой
только з одной точке.
Классическим примером нетривиального расслоения является лист
Мебиуса.
t
Т
Рис.13.1
На pnci-HKe изображены две полоски бумаги, каждая иг которых
яапяется прямым произведением нижней лаши (Г/., и Uo) и отрозка,
перпбндикулярното оонованмп - слой F. Области 0л,пИо образуют
покрытие базы B^U/g, Нэлозтм пересекапциеся участки.U. и и2
-73-
(область А,) таким образом, чтобы направления стрелок совпадали
и склеим полоски в этой области. В другой общей для Я, и и% области
^ склейку проведем так, чтобы совпадало противоположное направление
стрелок. Структурная группа G в данном случае тлеет только один
нетривиальный элемент в и ^=1 (элемент g обращает направление
стрелки). В области ;!, функция склойки Г12(Л,)я1, в то время как
в область it, J^U,)^- Базой расслоения является окружность.
В случае, когда Г1'(^)*1, мч получим цилиндр.
На примере листа Мебиуса ввдис, чтэ именно функции склейки опреде-
определяют характер расслоения. Пусть заданы база В, функции склейки К^,
слой Р и груша (?. Для нахождения расслоения необходимо найти ото-
отображения (раAЭ.£), проекцию расслоения р и прямое пространство S.
Рассмотрим пространство 2
£ -= uUa>^ , В = uffa . A3.8)
Каждая точка пространства Е может быть представлена в виде (/,о),
где /•?, bc-B. в области O^^jf^p * •» ааданы функции склейки к^.
ЗРвдем принцип эквивалентности точвк (/',Ь') и (f,b) в облаоти
Уд01 согласно которому отождествляются такие точки, когда
) , b'=b, A3.9)
т.е. (/f,bf) ~ (/,Ь). В этом случае прямее пространство расслоения
Е является факторпространством Е по введенному с помощью условия
A3.9) принципу эквивалентности
.В = В/~ = t(/,b)] .
Проекция
р : Е -> В
осуществляется соотношением [(/,Ь)] -» Ь. а отображение
Фа11(дх?*р~1A(п) есть Просто отображение
О\о} •* [(/.Ь)].
Характер функций склеек К^ определяет, является ли данное рассло-
расслоение тривиальным. Пусть данное расслоение (E.B.F.p) глобально три-
тривиальным, т.е. существует диффеоморфизм
Ф : B*F ■* S.
В этом случае отображение
осуществляется функцией '
и функции схлвйки
имеют следующий вид:
Из построения отобраяеяии XQ, Х^ следует, что от оакивтжя
элементами структурной группы G, т.е. отображения
имеют структуру
^-(fP).!* • , Л^-б. A3.11)
Предположим, что функции склейки имеют вид A3.1 о), и соответствэн-
но с!фаведливо условие A3.11), причем \а является диффеоморфизмом
ka : Ua н F * аа к F.
т.е. ^а = *а1-<»)а
- ха : иа к F - р'^йГд) * иа х р. A3.12)
С ПОМОЩЬЮ A3.10) ПОЛУЧИМ, ЧТО . ,
-75-
Таким образом, можно перейти к новым функциям склейки
которые являются тривиальными^
Мы голучили, что расслоение является тривиальным тогда и только
тогда, когда даютши склейки имеют вид ИЭ.чО.^ЪиО.
В разделе 8 било вьедено главное накрытио. Это понятие переносится
и на расслоения. D этом случае слой F совпадзэт со структурной
группок G. Главное расслоение реализуется как свободное гладкое
правое действие группы G (е*Е переходит: в e.g, &*G) на многообра-
многообразии Б, причем орбиты группы G находятся во взаимно однозначном
соответствии с точками базы В.
СвоСодшм гладким правым действием группы G ни Б называется дей-
действие e.g (geG. e«3). которое гладко зависит от g и е. При этом
необходимо, чтобы орбита были равномерно близки друг к другу, а
достаточно мал»Я дгск ь точке ес«£, не касающейся орбиты этой
готхи, пересекает все ближайшие орбиты и только в одной точке
каедгю.
Главков рчссло«ние, у которого есть сечение, тривиально. Можно
привести два 1фитерля существования сечения у расслоены:
1) Бэза расслоения стягиваема
2) Слой P=G стйгизвак A3.13)
Большей интерес представляет класс расслоений, база которых
й^-п-меркая сфера, котораяне яряяется стягиваемой. Тем не иенее
и в атом случае можно сформулировать критерий тривиальности рас-
слоэнея. С этой целью представим сферу Sn в виде натянутых на се-
вэряый и южный полюса дисков 1^, пересекающихся по экватору, т.е.
Поскольку диски стягиваемы, на каждом из них главноэ расслоение
с группой Q эквивалентно тривиальному, функции склейки существуют
-76-
только на экваторе и в соответствии с AЭ.5)ооуществллют отобра-
отображение
2^0 : s'1 ■» G, AЭИ4)
которой характеризуется группой «^(G). Если эта группа трг<ви?ль-
на, то функция склейки эквивалентна единичному элементу структурной
группы <?,и расслоеше является тривиальным.
Примеры. Простейшими главными расслоениями являются следующие:
1) SOC)=RP3 -» S2, слой S0Br-=S1. Это расслоение реализу-
реализуется как главное <Et8,F=G), где полноэ пространство E=S0C),
а слоем является группа SC.Z).
2). Глазноо расслоение с E=SJB)=SJ, ь слоем является группа
!7A )=S1, которая может рассматриваться как подгруппа диаго-
диагональных матриц в S0B).
Раослоение есть d •
S3 = SU(Z) t ^^Wd) =S2. A3.15)
т.е. (S^S^.S1) и называется росодоекие.»
Ввиду евшости этого расслоения исследуем егс более подробно.
Элемент» группы &/B) имеют вид матриц::
( ^
-z? z, ' A3.16)
где z1 2 - комплексные числа. Символ S в обозначении группа
означает равенство детерминанта единице, т.е.
|z,|2+|з2|2= 1 • A3.17)
Т.к. •zii2=T',,2+fl'i 2' то условие A?.г.)
опкснвает поЕзрхнэс-Vb S3. Таким образом,грушта 2УB/) гомео-
гомеоморфа сфере S".
-77-
Рассмотрим комплексную проективную прямую СР* - множество классов
эквивалентности [г^,гг\ по соотношению B1Рг2) - (\z^,\zz), V0.
Легко показать, что комплексная проективная' прямая Сг диффеоморфна
двумерной сфере S2. Операцию проектирования
р : S3 - S2
в данном случае определим слэ дующим образом:
р:(гл,гг) - [гл,гг\, AЭИ8)
а классы эквивалентности (г^,гг) ■* (\z1tkzz) при |\|=1. Действи-
Действительно, в этом случае одно из комплексных чисел г1 2 можно счи-
считать действительным, и условие A3.7) описывает сферу S2, а пара-
параметр М|\|=1) соответствует окружности S1.
Локальной координаюй СР1 является
z=jz2/jzr z^*o. A3.19)
С помощью условия A3.17) получаем, что в области A3.19)
к(\\г)иг 21/2. |Х|=1 . A3.20)
В области U базы S2 (z^O) переменные z A3.19) и ?*. (|М=1) явля-
являются координатами прямого произведения t/xf и получаем отображение
Фр : Рх? * р Щ)
в следущ1?»* язнем виде (выражения для z, о см. в A3.?.0) )
%([^.z2JA) = (z1#z2). A3.21)
Аналогичное зыражение можно получить и длк области z?*0.
3) Гл.чвное расслоение, обобщающее пример i)
есть (S0{n), Sn~1 ,SO(n--,)), т.е.
-7a-
Теория расслоений является очень мощным методом вычисления гомо-
гомотопических групп. Поскольку слой JtB, то для расслоения можно
записать точную гомотопическую последовательность G.1D
... .- и^Л » V2) * VB'?) *' Vi(J) * •"* A3-23)
Теорема
Гомоморфизм к^(£,Л ■* ^(В) при всех п является изоморфизмом, т.е.
' A3.24)
Доказательство можно найти в [3.5,10].
При исследовании дефектов было указано, что группа ic_(S2)=Z.
Докажем теперь это утверждение с помощью соотношений A3.23-24).
Для расслоения Хопфе A3.15) получаем точную последовательность
ic3(S1) - *3<S3) * ^(S2^ - *2<S1)
1 I I I A3.25)
0 I = ^(S2) 0 .
т.е.
• ^(S*)^. A3.26)
Полученный результат следует из условия G.7) в соотношения (8.2).
согласно которому ^(S1)^. п>1 (доказать!)
-79-
14. Группа Ли и алеебра Ли
Теория расслоений и связанные с ними характеристические классы
находят' широкое применение при исследования целого ряда физических
объектов (монополи и инстанции).
Выше был рассмотрен монополь Дирака, квантование которого обуслов-
обусловлено калибровочными преобразованиями в ьлектродинамике заряженных
частиц. Мы будем исследовать свойства калибровочных полэй достаточ-
достаточно общего типа, однако их введение требует краткого экскурса в
теорию груш и алгебр Ли. '
Определение I
Линейное векторное пространство асть множество некоторых элементов,
в котором определены две операции - умножение на скаляр и сложение
элементов.
Линейная группа Ли
Группа G является п-яерной линейной группой Ли, если выполнены
следующие условия:
1) Группа G является подгруппой группы GL(n,B) - совокупностью
всех вещественных (детерминант отличен от нуля) квадратных мат-
матриц п-го порядка.
2) Существует окрестеость U здда*якФ ммрицы Е такая, что все
матричные элементы g(. матрицы g*G являются непрерывно дифферент! -
руемыми функциями k вещественных параметров tg\i ]tg\<to(,s=i *)
3) Ранг матрицы fftj рэвон f при всех
Ct
Не вдаваясь в подро«ности обсуждения общих свойств групп ле, дос-
достаточно пвречистить некоторые матричные группы, являщюся груп-
группами Л2.
I. SUn,R)=G, gdG, ec-чи <1etg=-\.
II. U{n)- унитарная матрица:
in. SU(n, - унитарная натргда с рзшмм едянкие детеркинантол
iv. О(п)-груша вращений n-мерного пространства СОТ=ОТО=1
• (°Т)(/ " @)jt •
v. SO(n) - груша кртряц 0(п) о детерминантом, равном
единице.
Естественно, существуют и более экзотические матричные группы Ля.
Самое главное в определении групп Ли это то. что все матричные
элементы являются достаточно гладкими функциями определенного числа
независимых параметров.
Алгебра Ли
Пусть V - мтеОиое конечномерное ветврное пространство:
Пространство У называется алгеброй Ли, если в нем введена дополни-
дополнительная билинейна»: операция (кою*утирование), сопостчвляицая каждой
парс векторов х,у»1 третий, обозначеемый [х.у] и тоне принадле-
принадлежащий пространству 7.
Эта операция удовлетворяет следупцим условиям:
D [х.у] ш - [у.х] A4.1)
2) Ix.ky + цг] = Klx.y] + \ilx.z) для любых
дейотЕЕтельных (комплексных; чиевя Г..ц A4.2)
3) ix.ly.zl] + ly.lz.x)} + [z.(T,fI2=.O - A4.3)
тождество Якоби
В любом векторном пространстве можно ввести базис, т.е. набор не-
независимых элементов ха«Па=1....я). прташ любой элемент я%7 может
быть представлен в виде х * ТР^а- Зламеаты базиса алгебры Ли
удовлетЕср.пот соотношенню
1ха.Тр] 'СТрЖ^ A4.4)
(по повторящемус/i индексу 7 происходит еуикирование), а ко&ффици-
энтн ch называются сяррнщ/риила кенаювтми алгебры .1и V.
-81-
Из условий т1) и з) слздует, что
Пусть Q - линейная груша Ли a g(t)«G. Запись g{t) означает, чтэ
всо матричные элементы Sts(t) являются гладкими функциями парамет-
параметра, причем 8лз(°)*в{& (fi(o)=e, е - единица грушш 0). Матрица
1=0 A4.7)
состоящая из элементов xiy=agtj/dHt=C)l называется касательной
мацящвй в е&1НЩ9 epynnu Ли Ц.
Пооксилжу елемевты матриц грушш Ли зависят от кбсколышл пара-
мег'ров, тс неходя ттроизьоднзо в вдьшице группы по каждому из них,
получаем совокупность всех касательных мптриц в точке e*G. Эта
совокупность касательных к единице матриц образуем р.лгеОру Ли
по операции коммутирования метриц.
I. Касательные я оданиде матрицы образуют липсаное векторное
пространство. ДвЯствительно, пуоть g1tgo«0 и g1(atj|teO«
Получаем, что ^
eg
п. g(t)=g,(yt)
-82-
Для касательной матрицы получаем (проверить!)
л> XpSg'- хг.х^{хл.т,г], A4.9)
т.е. коммутатор касательных матриц является касательно* к
единице матрицей.
Получаем, что как матрица •
бе , .
ф= gj- |t=0 , так и матрица
является касательной к единице, т.е. принадлежит алгебре Ли'.
группы G. •
Произвольная квадратная матрица п*п имеет п2 независимых матричных
элементов. Рассмотрим группу 0(п). Она определена условием:
т.е. матричные здэдсеЕты должны удовлетворять ~? соотногаенимм.
Таким образом, число веаависшых матричных элементов в произвольное
матрице йЧНл) ость
j, П2+П П2-П
пг —^— = ~5— ~ размерность группы 0(п).
В ревулыате аналогичных вычислений окончательно голучг.ек, что .
Mm 0(n) = V5
(«Я Г/(») = П2 A4И1У
Sff(n) = п2-1
Число базисных векторов в алгебре Ли группы С, совпадает, очевидно,
с рапгдарностью группы G.
-ез-
I.
11.
III.
IV-V.
SUn,
uw
SUW
0(n).
R) .
,
SO(n)
Spx* о
лм-ж+=О
ет-хт=О
Упражнение. Показать, что для матричных групп 1-7 матрицы алгебры
Ли удовлетворяют следующим условиям:
' A4.12)
8pa>0
Приведенных сведений из теории групп и алгебр Ли вполне достаточно
для исследования свойств общих калибровочных полей, рассмотренных
в следующем разделе. ■ .
15. ЯЬиибровочные поля
В гамильтониан заряженной частицы, помещенной в электромагнитное
поле, оператор импулься входит в комбинаты
р - § А * v -^| A . A5.D
Волновая функция частицы в общем случае является спинором, однако
векторный потенциал А в данном случае является единичной матрицей
по отношения к действию на спинор, т.е. на каждую его компоненту
действует одта и тот же векторный потенциал.
В случае произвольного поля (не электромагнитного) Нет оснований
для выполнения этого условия и оообщеинык векторный потенциал
является матрицей при действия из аглпор. Обобщением выражения
A5.D является оператор
A5.2)
где калибровочное поле А^ является комплексной матрицей п*п (п-чио-
ло компонент спинора), а "заряд" включен в определение величин А^,
Предположим, что вое преобразования волновой функции ф описываются
влемеатами группы Ли г?, и потребуем выполнения обобщенной памйро-
вочной инверштнест, в соответствии о которой при преобразовании
A5.3)
-04-
калибровочное поле А, трансформируется б А^ текиг образом, что
выпоимется следующее условие:
g {д/д&+ ^ )ф .
Из этого условия непосредственно следует правило трансформации для
поля А :
если
A5.6)
Матрица g~1(^)-g(a^+t) при t=0 является единичной, поэтому вели-
величина.
■ g. dg/da?
причадлеки1!1 алгебре Ли група G. Этот результат означает, что кали-
калибровочное поле А, должно иметь олед/юхий вид:
где Д^ (л:) - обычные скалярные функции коорас1эт, а матрицы с^
образуют базис алгебры Ли группы G преобразований волновой фун-
функции (здесь удобно этот базис обозначать е{, чтобы не спутать с
координатами). 3 электродинамике G=£7(i) и элементом алгебры Ли
язляэтся мнимая единице, поэтому не случайно в правой части
A5Л) стоит произведение 1к.
Оператор D A5.2) назнва-зхся ковартантнай производной. Его дей-
действие на спинор ф(х). с компонентами Фа(х) шлеот следующий лвяый вид:
^ ^ A5.8)
я по иовторшсяцимая индексам происходит суммирование. Этому опера-
оператору ыокно придать геометричйский смысл.
В отсутствие калибровочного поля разность значений ф(х) и ф(а.чс1г)
определяется |^,и в случае П8рглля.яьног? переносе спииоро фи") в
точку .гч-йг эти производные раькы ку.гоо. Сообщением операции парвл-
-65-
лельного переноса ери наличии калибровочного поля является теперь
условие
О ф =0. , (if..9)
Определенная с помощью соотношения A5.9) операция параллельного
переноса полностью аналогична соотаетствуицей процедуре в оОидей
теории отпосительнооти, где роль Евличин А^ играют символы Кристоф-
фели. При бесконечно малом переносе компоненты волновой функции
меняются на величину
A5.Ю)
Произведем параллельный перекос спинора вдоль некоторой замкнутой
кривой Ос. являвдейся гревицзй цепи с. В соответствии с обобщенной
теоремой Стокса получаем
Ос
A5.11)
с "х
При преоОрезовании выражений в A5.10) мы воспользовались условием
A5,9) и произвели необходимую антисимметризацию.
В шмскоы пространстве параллельный перенос вектора вдоль замкнутой
кривой но изменяет комдован-гы, поэтому величину
Ail.Jvl A5.12)
-86-
естестаенно назвать тензорол кривизны, при этом в полном соответ-
соответствии с общепринятой терминологией величины JL называются сбяз-
ностью. Поскольку ь выражение A5.12) входат коммутатор, тензор
кривизны (как и связность) определен на алгебре Ли группы кчлибро
вочных преобразований G.
Упражнение. 1) Показать, что при преобразовании A5.5)
2) F^v = [B^DJ . . A5.141
Определение
1-ферма
Р A5.15)
называется формой связности, а 2-форыа
Г = 1
Фор«а кривизны
Воспользовавшись выраженияья A5.15-16), легко показать, что
? = ctt + A~A, A5.17)
и справедливо соотношение
dp + a-jp - р->д =0, A5.1-е;
которое называется тожСеспвом Бъянт.
В электродинамике A5.17) соответствует определэЕИЮ тензора поля,
а тождество Бьянки - первой паре уравнений Максвелла.
Упражнение. Показать, что альтернативной фо!*юй тождества Зьянки
является условие
-87-
которое для электромагнитного поля есть
3j? дх} дзГ-
16.Харакпгршжичеокие классы
Рассмотренные ь предыдущем разделе свойства калибровочных полей
позволяют построить инвариантные по отношению к калибровочным
преобразованиям замкнутые фермы, которые называются харсизявршжх-
чзстлы. хлаг.сахи. Интегрирование характеристических классов позво-
позволяет определить топологичзские числа калибровочного поля. Простей-
Простейшим примером существования таких топологических чисел является
мояополь Дирака. Характеристические классы связаны г, зеллинами
сп = Sp (P>vF^...aJ?), A6.1)
где F-форма кривизны A5.16).
Кривизна Г=/''е{, е, -Оазис алгеОры Ли калибровочной группы G.
Выражение A6.1) имеет следукцЕш явный вид:
Sp(F*I F) = / 1/2-/ nSp(e. e. ...e. ),A6.2)
J1 Jc Jn
где /''(х)- некоторые сксллрные функции координат. Таким образом
величины сп являются околярными даф^еренциальЕчми формами..
Справедливы следующие утверадения.
I. При .любом знэчэник номера п сп является замкнутой
кой формой.
II. Формы с^ нсииоробочно инвариантны.
III. Формы сп для различных связностей коголюлогиннь, т.е. отли-
отличается на точную форму.
Для внешнего дифференциала <3спслраведливо соотнопйние
tfcn= nSpiflf'f. Г), A6.3)
которое слвдуе1!1 из возможности циклически переставлять матрицы
под зкаксм шщра к чэтности формн кривизны. Иь тождества Бьжши
-.48-
A5.18) следует, что
Sp(dB^^...^J) = Sp(F~A~F~...~F)-
A6.4)
т.к. в первом члене разности возможна циклическая перестановка.
Таким образом,доказано утвервдение I. Справедливость утверждения
II следует непосредственно из характера калибровочного преобразо-
преобразования тензора кривизны A5.13)
III. Вариация формы сп при изменении связности А аналогично
A6.3) есть
..>vF), A6.5)
причем
OF = dSA +■ СА~А + А~СА A6.6)
(СМ.A5.17).
Часть 0сп, обусловленная последними двумя членами в A6.6), равна
Sp [(OA-sA + А^бАЬУл У] . A6.7)
rt-1
ПреоОразованкя, приводящие к равенству A6.7), предлагается проде-
проделать в качестве упражнения. Окончательно получаем, что
0сд= nd(Sp(eA-vFn)). A6.8)
.У" =У У
п-1
Рассмотрим гомотопию
А£ = А + tU!-A) , f«[d.i], A6.9)
причем связности А ж к' не обязательно связаны друг с другом
калибровочным преобразование1*.
Интегрируя вариацию A6.8) по параметру t, получаем
1 «А
А
сп{?'> - сп<» > = a uatnspi 0^ -f?)]. A6.10)
о
т.е. утверждение ш доказано.
Полученный результат предлагается сравнить с выражением A1.20).
ОпреОеление 1.
Замкнутая, калибровочио инвсриантная форма сп, такая, что интеграл
по любому циклу не зависит от формы связности,называется
тратеристинескил классом.
Из доказанных свойств формы сп следует, что сп«Я2п(Х), где Jf-npoc-
транство. на котором определена связность.
Утверждение ill требует дополнительного разъяснения относительно
гомотопии A6.9). Топология пространства М может не позволить
ввести единую.гладкую на всем многообразии связность А,для которой
выполняется соотношение A5.17). С подобной ситуацией мы уже
встречались при исследовании монополя Дирака в пространстве йэ-{0).
Покрытие пространств М областями Ua(uUa=M) допускает введение в
каждой области Ua своей гладкой связности Аа, удовлетворяющей
соотношению A5.17). В области перекрытия/U^a*0 существуют две
связнооти Ад и Ag , причем соотношение между ними должно осущест-
осуществляться с помощью калибровочного преобразования, т.е.
А(а> = e"V(
(в данном случае сумкировавие по индексам не производится). Ьдоб-
ходимооть "склеивать" в области JJ^^o различные связности
означает, что ми имеем дело с расслоением, обладающим Ч5а®ой М н
структурной группой G (функции склейкя g,_g«G). Входящая в гомптогаю
A6.9) связность А в области U^'a должна оклеиваться так же, как
и А , т.е. ,
Оопостаигачие M6.11), A6,135 и A6.9) требует от гомогогаш A6.9)
выполнения условия
л *Ba •tet0'11 • A6'13)
-9С-
Расслоение определяется функциями склейки g^. Приведенные рассуж-
дезия позволяют дать утверждению III более точную формулировку.
ш. Фермы сп для разных связностей А, согласованных а Оанныл
расслоением, когомологичны, т.е. отличаются на точную форму. Ус-
Условие согласования выражается соотношением A6.13).
В зависимости от типа группы G калибровочных преобразований харак-
характеристические классы имеют различные названия. Для группы U{n) они
называются классами Черна, а для груш SOW - классами Потряеина.
Для групп S0Bn) существует специальный характеристический класс -
■класс Эйлера.
Прежде чем переходить к конкретным применениям полученных ре-
результатов, полезно подвести определенный итог. В разделах 13,15 ис-
исследовались расслоения и калибровочные поля. В разделе 13 было
введено важное понятие главного расслоения, определенное как гладкое
свободное правое действкз группы G на многообразии В, причем ор-
орбиты группы G находятся во взаимно однозначном соотзетствии с точ-
точками базы В. Для калибровочных полей этим довольно туманным рассуж-
рассуждениям можно придать вполне конкретный смысл.
Построим такое покрытие базы В областями Ua, что в каадой области
существует гладкая связность А^аК которая определяет параллельный
перенос величин, преобразующихся с помощью элементов группы G
(например, волновой функции). Пусть параллельный перовое проис-
происходит вдоль некоторой кривой Г в области. Ua, начинающейся в точке
хо*^а и K0H4aBitteftca в точке х^л. Вдоль этой кривой волновая функ-
функция имеет вид
. Sp(x0)=i, A6.u)
а сама кривая описывается параметром t
При параллельном переаосе
O. A6#15)
В результате получаем, что перенос A6.и) осуществляется операто-
оператором SrU). который удовлетворяет уравнению
-■*■»-
~Ш~~ "-'■\rm~)-srit)' sr@)=1- A6.16)
В области Ua мояно определить пространство £a=#uxG, точками кото-
которого являются пары (x.g), где х*иа, g*G. Действие группы в на это
пространство опредэлик следующим обрезом:
A(£i)(Zt£)-G.g.&|). A6.17)
3 резу.чьтате получаем глазное расслоение
(t/rtxG, U^.G.p), p(x,g)^Dd]n . A6.18)
Вдоль кривой Г в области Ua слой над точкой л?о следующим образом
отстряпается в слой над точкой &,«&:
(xo.g) - (x1.Srg). A6.19)
3vc отображение слоя в слой очевидным образом коммутирует с правыми
сдвигами на элементы группы G. Действительно, при отображения
A6.19) и сдвиге на g1 получаем
( xo,g) * (xv5pg) * (ж..
Действиэ в обратном порядке
приводит к тому же результату. <
Истинное пространство расслоения определяется склейкой прямых
произведений Ua -G и V^G в области и^а^я.
Функции склейки g^ опредэлеш с помощоз A6.11) и точкь (T.g)
склеивается с точкой (x.g^.g), a^nff,. Согласно A3.6)
(суммироьапия нет).
-эг-
Правило склейки согласовано с действием группы G, т.е. при склейке
(z,g) с Cz.g^gg) течка Cr.g.g.,) склеене с точкой (
Упражнение. Проверить согласованность параллельного переноса и
склеивания, а также условия A6.20) и последовательности преобра-
преобразований А(а)-» №- А(т) в области
На этом завершается построение главного расслоения с базой В,
структурной группой G и функциями склейки ^p«G.
Таким образом, введенные в данном разделе характеристические классы
описывают свойства главного расслоения, соответствующего группе
калибровочных преобразований G. Зна i-зние характеристических классов
основано на следующих обстоятельствах. Во-первых, для глобально
тривиального расслоения все характеристические классы равны нулю.
Действительно, в этом случае на всей базе В можно ввести единое
гладкое калибровочное поле и в гомотопии A6.9) связность А' положить
равной нулю. В результате на основании соотношения 06.Ю) все
сп(В) являются точными формами, т.е. их классы когомологичности
тоже равны нулю, характеристические классы, которые принадлежат
группам Н2п(В), тризиальйы. Справедливо и обратное утверждение,
согласно которому отсутствие характеристических классов означает
возможность введения единого гладкого калибровочного поля на всем
многообразии, т.е. тривиальность главного расслоения с группой G
на базе В. Во-вторых, наличие характеристических классов для кали-
калибровочного поля с группой С приводит к существованию топологических
чисел, характеризующих данное калибровочное поле.
Теорема
Мокко выбрать такой базис среда характеристических классов, что
интегралы о; этих базисных характеристических классов (нормирован-
(нормированные должным образом), по циклам, т.е. замкнутым ориентированным
подмногообразиям Овзы главного расслоепия, являются целыми числами.
В наличии топологических чисел (квантовании магнитного заряда) мы
убедились ка примере монополя Дирака. Соответствующее ему главное
расслоение в качестве вазы имеет сферу S2, а слоя -группу tfd).
Характеристическим клвесш является 2-форма (/A2.1) и
о,
-93-
где Fuv- тензор электромагнитного поля, причем электрическое поле S
в данном случае равно нулю.
17.Инстзнтон
Очень интересным примером применения теории характеристических
классов является инстантон. Прежде чем вводить это понятие, рас-
рассмотрим чисто топологическую задачу. Задано главное расслоение
с базой й4и \а>\ и структурной группой G=SUB).
Пространство я\^«> гсмеоморфно сфере Sn. Соответствие этих прсс-
трвнств осуществляется стереографической проекцией. В соответствии
с (Ю.40) #4(S4)=Z, т.е. число Бетти b4(S4)=i, следовательно, по
теореме де Рама (раздел II) группа ff4(S4) является нетривиальной.
По спределешпо характеристический класс c2«tf4(S4) отличен от
нуля только в случае нетривиальное^ расслоения. Поскольку базой
расслоения является S4, а структурная группа G=SCTB)aS3, то кри-
критерий нетривиальности расслоения d э-14) определяется группой
%j(S^)=Z, т.е. в принципе на базе B=S4 с группой G=SU(Z) воз-
возможно нетривиальное расслоение, которое для калибро-
калибровочного поля определяется характеристическим классом
с2 = Sp(F*J). G.1)
Инте^ал по всему пространству я\> ■{»}
С2 = ! с2 = \ X Sp(F .Fk NjP^v~d3*~ctf<=
* A7.2)
= И Sp(F .l»v)d*x
При выводе поелиднего выражения в A7.2) учитывалось, что
а тензор Р4 . оусиътй F , втъ
= 2 "
-94-
Сходимость интеграла A7.2) должна обеспечиваться обращением F в
нуль на бесконечности. Теореме, сформулированная в конце предыду-
предыдущего раздела,утверждает, чт# с точностью до некоторой константы
интеграл A7.2) принимает только целые значения, т.е. характери-
характеризуется топологическим числом. Ниже это будет доказано непосред-
непосредственно. Возникает, однако, вопрос - соответствует ли интеграл
A7.2) определенней физической величине. Калибровочное поле
списывается действием
S =- j'X Sp{F TJE^Wdt. A7.4)
Это выражение внешне напоминает интеграл A7.2), однако не совпа-
совпадает с ним. Вэрхние индексы соответствуют контравариантным компо-
компонентам тензора»: определенного в пространстве Минковского, а не в
евклидовом, для которого величины с верхними и нижними индексами
совпадают. Аналогично теории электромагнитного поля вариация
действия A7.4) приводит к уравнениям движения для калибровочного
поля
=0. A7.5)
которые обобщают вторую пару уравнение Максвелла в отсутствии то-
токов.
Уравнение A7.5) имеет альтернативную форму (предлагается
проверить)
[Dv. 1*™]=0. A7.6)
Тождество Бьянки A5.19) в виде
С V *W 3+CV "\'V ]+С^' [VV
путем умножения на тензор в0*11* приобретает следующий вид:
A7.7)
-95-
Уравнения движения в форме A7.6) имеют вид, аналогичный тождеству
Бьянки, в которое, однако, входит дуальный тензор.
В евклидовом пространстве тензора с верхними и нижними индексами
равны друг другу. В пространстве Минкорского еО1гэ=1, а еО123=-1.
Этс различие приводит к тому, что в евклидовом пространстве пов-
повторение дуальности означает, что
"V V • A7.6)
а в пространстве Минковскогс
"V - V • A7-9)
Таким образом,в эвклидовом пространстве допустимо существование по-
полей, удовлетворяющих условию
\v * * F\iv • A7ИО)
для пространства Минковского
Следует вспомнить, что теязоры Fuv принимают значения в алгебре Ли.
Если ограничиться группами U{n) и 0(п), то услозие A7.11) в прин-
принципе невозможно удовлетворить.
Для полей в евклидозом пространстве, удовлетворяхщих условию дуаль-
дуальности A7.Ю), уравнения движения A7.6) совпадают с тождеством
Бьянки A7.7), которое в атом случае является единственным огра-
ограничением на тэнзор полл F' у. Более того, для самодуалышх тензоров
поля F^y A7.Ю) действие A7-4) выражается тем же интегралом, что
и М7.2) для характеристического класса, т.е. действие в эвклидовом
пространстве является топологическим числом.
Возникает вопрос о физическом смысле евклидова действия. Чтобы
ответить на него, достаточно вспомнить, что вероятность квазиклас-
екческого туинелированая через потенциальный барьер определяется
-96-
именно'классическим евклидовым действием. В квантовой теории поля
состояние, отвечающее конечному едкшОову действию называется
инаюняюном, для которого соотношение самодуальности A7.Ю)
принципиальное значение.
Евклидово действие равно
Введем величины
Z
= 2 (?Щ>+ ^утЛ *\lo~ f
для которых из условия A7.8) следует, что
Простые преобразования показывают, что выражение
A7.15)
I.k. (?^/2 = (*?^vJ (проверить!).
b результате получаем, что
SeHU." - 2 J" SPC^vJ + (^J]Л** • A7.16)
-57-
Аналогичное выражение для интеграла A7.2) имеет следующий вид:
°г - г * sp C(*JvJ - ^l8*4*- A7И7)
Из свойств матриц алгебры Ли груш ff(n) следует, что 5ввкл#>0.
Сопоставление выражении A7.16) и A7.17) показывает, что справед-
справедливо неравонстзо
1С2!' A7И8)
р рд р д ду (
Исследуем свойства характеристического класса с2 на сф
гомеомерфюи пространству Д4и W- Разобьем оферу S*
которое переходит в равенство для самодуальных полей A7.1 о).
сфера S*,
* на северное
я акзов полушария, пересекакщиеся по экватору.
Каждая из этих областей стягиваема и на ней мокло ввести гладкую
связность А. Путем непосредствешюго дифференцирования легко убе-
убедиться в том, что
С2 = SpOt--*) = сСр(АаГ - ^ A-JUA). A7.19)
На каждом из полушарий ^нзобходимо ввести свою связность, причем
(см. Об.11))
^ g~1<*g. g«SU2) . A7.20)
у,
■4
Характеристический интеграл по всей базе B=S* данного расслоения
равен
Со = /с2 =
+ A7.21)
С помощью обобщенной теоремы Стокса получаем, что SJ=dS* =
сг = ; а>< vi+ - \
S3
; < v+ \ К++
S3 A7.22)
5 А_лА_'Л J .
-93-
С учетом A7.20) и правилом преобразования тензора кривизны з ре-
результате простых, но довольно громоздких преобразований получаем
следущее выражение: *
'2 = Г
A7.23)
;
S3
Последний интеграл равен нулю, т.к. as3=0. Окончательное выражение
для интеграла от характеристического класса
о2 по циклу - всей базе расслоения S=S4 есть
= / peWl»*4g
S3 A7.24)
S3
В соответствии с общими свойствами характеристических классов
интеграл A7.24) не зависит от связности в данном расслоении и
определяется только функциями склейки g (см.A7.20)). Форма оР
является замкнутой: Действительно, группа SPB) описывается тремя
независимыми параметрами, т.е. все n-формы на ней равны нулю при
п>3. Это означает, что класс когомологичности
[ы] «ff3(S3). A7.25)
По теореме де Рама (см.раздел II) группе H3(S3) соответствует
нетривиальная группа Ej(S3). Из правила GИЭ) и G.14) получаем,
что
3 3 3Z. A7.26)
В соответствии с теоремой Гуревича (раздел 10)
H3(S3)=Z. A7.27)
, форме (ip«ff3(,^) можно сопоставить элемент группы ^
который характеризуется степенью отображения S3 -» S3. Это означает,
-99-
что интеграл A7.24) с точностью до коэффициента есть выражение
для степени отображения физического пространства S3 в грушу SUB),
которая гомеоморфна S3. Прямые вычисления показывают, что
степень отображения (целое число)
<? = 541с2 / и»3. A7.28)
s
Сопоставление выражений A7.28),A7.24) и A7.18) показывает, что
а для самодуального поля A7.Ю) неравенство переходит в равен-
равенство. Конкретные выражения дкя калибровочных полей в случае одно-
инстантанного решения (д=1) можно найти в [1,7]. Топологический
подход позволяет получить условие A7.29), не используя этих выра-
выражений.
Упражнение. Показать, что для электромагнитного поля инстантоны
отсутствуют.
18.Фаза Берри
В физике конденсированного состояния заметное значение имеют
исследование свойств фазы Берри. Одним из явлений, связанных,
по-видимому, с этой фазой, является дробный квантовый эффект Холла.
Рассмотрим уравнение Шредингера с гамильтонианом, явно зависящим
от времени через входящие в него параметры:
= B(x.tWxt). A8.D
Набор волновых функций, удовлетворяющих уравнению
' if t)) A8.2)
предполагается известным. Волновую функцию <J>(x,t) будем искать
в виде:
«IX*. i) = Hun(x,t)an(t)exp(-iSEn(.t')dt' A8.3)
-100-
Подставляя это выражение в уравнение A8.1) и полагая набор
■jt^U.tH ортонормированным, получаем следующее уравнение для
коэффициентов
во,, *Х(П Sffl) r » U.)
ar + = Vt)e .^WHjp <N A8.4)
Воспользовавшись хорошо известным адиабатическим приближением,
оставим в сумме по т в A8.4) только член с т=п. В этом прибли-
приближении получаем уравнение:
dan/at+ an^(x.t)eun(x.t)/et' C7=0.
Входящий в это уравнение интеграл является чисто мнимой величиной.
Действительно,
"Яствительная функ-'ия cp(t) назьшается фазой Берри, т.к. решением
равнения A8.5) является
t
Зависимость волновой функции ^(x.t) от времени обусловлена нали-
наличием у гамильтониана набора параметров (a1,a2,...,an), являющихся
явными 'функциями времени. Коэффициенты с^ зависят от времени
через эти параметры.. Учет этого обстоятельства позволяет переписать
уравнение A8.5) в виде:
at W ^ ^ ва1 A8.7)
По аналогии с калибровочн^л) полем можно ввести ковариантну» про-
производную
-101-
в которой величины
Af = X 1£<?-'п/аа(аУ A8.9)
играм1 роль калибровочных полей, определенных в данном случае на
алгебре Ли группы иA) (функции t^ для простоты изложения счита-
считаются скалярами, а не спинорами). Тензор кривизны в данном случае
есть
ftj = OAj/dat-dA^daJ. A8.10)
Наличие тензора кривизны позволяет ввести характеристические
классы сп A6.1), интегралы о? котирых по циклам в пространстве
параметров гамильтониена системы М при соответствующей нормировке
дают целыэ числе (топологические числа).
Большой интерес прэдставляет системе двумерных электронов, поме-
помещенных в магнитное поле В, перпендикулярное плоскости их движения.
Эта задача игэет отношение к проблеме дробного квантового эффекта
Холла. Соответствующее уравнение Шредингера
1/2т[р 2+(р -eJ2ar/cJ]t|> =BJ> A8.11)
у х
имеет своими решениями функции:
{%| A8.12)
где <рп№) - нор»шрован"ые волновые функции гармонического осцил-
осциллятора, а
Поскольку энергия не зависит от волнового вектора к, то комбинация
Е С(й )(|>n,ft(x,i/) A8.14)
к
-"V 02-
с произвольными функциями С (ft) обладает одной и той же энергией
A8.12).
Из уравнения A8.11) следует; что функция <ИУ+о). где о-произ-
вольноч смещение вдоль оси у- в, также удовлетворяет ему. Замена
£ '■» х+а приводит к уравнению: . '
Эл Й +(Ру " ~сР " *? J3 ФСгкм^ЧКда-о.!/) ('8.15)
Легко проверить, что функция
exp(-lay/lp ф<хю,у)- Гаф(дм-1/) A8.16)
удовлетворяет уравнению A8.11).
Операторы Та и Ть
называются операторами магнитных трансляций.
Введем волновую функцию:
Легко проверить, что действие операторов магнитных трансляций
имеет виде
(лд A8-19)
e Vq(*ty)'
если на сдвиги наложить одно условие:
ab » 2icl| . A8.20)
Из характера фазовых множителей в A8.19) ясно, что независимыми
являются значения вектора q в области:
V..
-%/ЬЩу«кЛ) . A8.21)
-юз-
Состояния с вектором q и
q + Q = (qx +2m/a, <jy+2ron/o) A8.22)
обладают одной и той же энергией и одинаковыми трансформационными
свойствами A8.19). Из выражения A8.18) получаем, что
т.е. при одвкге ""квазиимпульса" q на вектор обратной решетки .
Q A8.22) волновая функция изменяется. Физические состояния с
вектором q =(<7х,<?у) и вектором q'=(<Jx+ |^l, q.,+ ffin) неразличимы,
т.е. областью независимых значений q является двухмерный тор Г2.
Таким образом, мы должны "оклеивать" волновые функции t|>n,_ и
<|>п,-. с помощью фазового множителя в A8.23) принадлежащего груше
УA Т. В результате мы приходим к нетривиальному расслоению с базой
5=1^ и структурной группой4 (М7A). Группа Я2B^) (см.пример к тео-
теореме Кюннета A0.31)) является нетривиальной, а значит,и irB^)*0,
т.е. существует характеристический класс о,.
Соответствующий интеграл
Jl A8.24)
принимает целые значения. В модели, пренебрегающей взаимодействием
между электронами, выражение A8.24) пропорционально холловской
проводимости, т.е. приводит к ее квантованию.
-104-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Naeh Oh,, Sen S. Topology and geometry tor phieioiete.
London: Aoad. Ргевв. 1983.
2. Понтрягин А.С. Непрерывные группы. М.: Наука. 1984.
3. Дубровин Б.А., Новиков СП., Фоменко А.Т. Современная геометрия.
Методы и приложения. М.: Наука. 1979.
4. Новиков СП., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии
и топологии. М.: Наука. 1987.
5. Шварц А.С. Квантовая теория поля и топология. М.: Наука. 1989.
6. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля.
М.: Мир. 1985.
7. Райдер Л. Квантовая теория поля. М.:Мир. 1987.
8. Х>а Р.. Тешшц В. Гомологии и фейнмановские интегралы.
М.: Мир. 1969.
9. Дубровин Б.А., Новиков СП., Фоменко А.Т. Современная
геометрия. Методы тприи гомологии. М.: Наука. 1989.
.Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотошческой топологии.
М.: Наука. 1989.
И.Ху Сы-Цзян. Теория гомотопна. М.: Мир. 1964.
-105-
Бычков Юрий Аркадьевич
ТОПОЛОГИЯ ДЛЯ ФИЗИКОВ
Редактор И.А.Волхова
Подписано в печать 30.04.93. Формат 60х90х'16. Бумага писчая * I.
1ечэ*ь офсетная. Тел. печ. .*♦ 6,5. Печ, л. 6,75. Тираж 600 экз.
Заказ */
Московски* физико-гехничоский институт
Лаборатория обработка учебной я научной информации
I4I700, Моск.обл., г.ДодгопрудкыЙ, Институтский пер., 9
Заявки на книги присылать.по адресу:
I4I700, Московская обл., г.Долгопрудный,
Институтский пер., 9, Моск.физ,- техн. ин-т
Редакционно-издатвльский отдел