Текст
И.С.Шапиро, М.А.Олъшаиецкий
ЛЕКЦИИ ПО ТОПОЛОГИИ ДЛЯ ФИЗИКОВ
Предлагаемый текст представляет собой обработанный курс лекций,
прочитанных И. С. Шапиро группе физиков ИТЭФ в 1977-78 гг. Публикуемая
часть курса является введением в теорию гомологии.
Лекции рассчитаны на физиков-теоретиков, аспирантов и студентов физико-
математических специальностей.
Оглавление
Предисловие 4
1. Введение 5
1.1. Зачем нужна топология физику? 5
1.2. Многообразия (аналитическое представление) 11
1.3. Многообразия (более общая формулировка) 13
1.4. Учебная литература 21
2. Теория гомологии 22
2.1. Клеточный комплекс 22
2.2. Группы циклов и группы гомологии (группы Бетти) 32
2.3. Числа Бетти и характеристики кручений 43
2.4. Гомологии и числа Бетти по модулю 48
2.5. Многообразия с «краем». Относительные гомологии 51
2.6. Последовательности Майера-Вьеториса и «теоремы сложения» для 60
чисел Бетти
2.7. Когомологии 91
3. Теория Морса и ассоциированные вопросы 98
3.1. Критические точки 98
3.2. Топология области меньших значений 101
3.3. Неравенства Морса 105
3.4. Теорема Пуанкаре-Хопфа в индексах векторного поля 107
3.5. Оценка числа полюсов аналитической функции ИЗ
3.6. Риманова поверхность алгебраической функции (формула Римана- 115
Гурвица)
3.7. Размерность пространства мероморфных функций (формула Римана- 118
Роха)
3.8. Топологические аспекты многоканальной задачи 122
Предисловие
Предлагаемый текст представляет собой обработанный курс лек-
ций, прочитанных И. С. Шапиро группе физиков ИТЭФ в 1977-78 гг.
Некоторые разделы были практически заново написаны для этого из-
дания М. А. Ольшанецким, другие им же подвергнуты необходимой ре-
дакции; однако в целом характер изложения, план курса, отбор основ-
ного материала и примеров остались без изменений. Содержание курса
в достаточной мере изложено во Введении и в дополнительном ком-
ментарии вряд ли нуждается. Отметим лишь два обстоятельства. Во-
первых, в окончательном варианте лекций опущен раздел, относящийся
к использованию теории гомологий применительно к изучению рима-
новых поверхностей фейнмановских диаграмм: по этому вопросу име-
ется опубликованная обзорная литература, доступная читателю, кото-
рый интересуется этими проблемами. Во-вторых, подчеркнем еще раз,
что лекции рассчитаны на физиков-теоретиков и прочитаны физиком.
Никакого, даже отдаленного подобия математической строгости в них
искать не следует. В задачу лектора входило разъяснение органической
природы («физического смысла») основных понятий и ознакомление фи-
зиков с базисом нового для них математического аппарата. Публикуе-
мая часть курса является введением в теорию гомологий.
Выражаем благодарность М. И. Монастырскому, просмотревшему
рукопись и сделавшему полезные замечания.
Нелегкий труд по подготовке лекций к печати взяла на себя од-
на из слушательниц — Н. Я. Смородинская, которой мы чрезвычайно
признательны.
Глава 1
Введение
1. Зачем нужна топология физику? 2. Многообразия (аналитичес-
кое определение). 3. Многообразия (более общее определение). 4. Учеб-
ная литература.
1.1. Зачем нужна топология физику?
Краткий прагматический ответ состоит в следующем: для получе-
ния свойств решений физических уравнений без решения самих этих
уравнений, т. е. примерно затем же, зачем нужна теория представления
групп. Перечислим некоторые возможные приложения топологических
методов к решению задач, встречающихся в теоретической физике.
1. Оценка снизу критических точек функции f(xi,... ,хп)
в зависимости от многообразия, на котором задана функ-
ция. Критической мы называем точку df(x)/dxi = 0(г — 1, ... ,п).
Она называется невырожденной, если det(d2/dxidxj) 7^ 0. Тогда прира-
щение функции Д/ можно записать так:
к п
д/ = -£(дУо2+12 (1ЛЛ)
1=1 J = A+1
где yt = ^SijXj-, {sy} — матрица, диагонализирующая д2f/dxidxj.
Число отрицательных квадратов к в формуле (1.1.1) определяет тип
критической точки; к = 0 — минимум, к — п — максимум, в осталь-
ных случаях — седло. Обозначим через т* число критических точек
типа к. Минимальные возможные значения этих чисел оказываются за-
висящими от топологических свойств многообразия, на котором задана
дважды дифференцируемая функция /, а именно от структуры групп
гомологий этого многообразия — от их чисел Бетти. Из теоремы Вей-
ерштрасса о достижении непрерывной функцией на компактном много-
образии своих нижней и верхней границ следует, что то 1 и тп 1.
Глава 1
&
Теория гомологий делает возможными более содержательные оценки.
Например, общее число невырожденных критических точек на двумер-
ном торе должно быть не менее четырех (mo 1, mi 2, тг 1);
на проективной плоскости, т. е. на поверхности, топологически экви-
валентной проективной плоскости, должно быть не менее трех, а в п-
мерном проективном пространстве — не менее п 1. Такие же оценки
можно дать для всех замкнутых многообразий, в частности двумерных,
и, следовательно, для функций на конечно-листных римановых поверх-
ностях. К этой же категории приложений относится оценка числа эк-
стремальных значений функционалов в зависимости от топологических
свойств пространства функций, на котором этот функционал задан.
2. Вопрос о критических точках тесно связан с векторны-
ми полями на многообразиях. Это ясно, в частности, для потенци-
альных полей, являющихся градиентом некоторой функции, поскольку
критическая точка функции является особой точкой векторного поля
градиента этой функции (точкой «неоднозначности»), векторы в беско-
нечно близких точках отличаются по направлению конечным образом.
Теория связывает свойства векторных полей на многообразиях с топо-
логическими свойствами этого многообразия. В частности, она позво-
ляет оценить число особых точек векторного поля и указать многообра-
зия, на которых возможны поля без особенностей. Например, задать на
сфере поле без особенностей, направленное в каждой точке по касатель-
ной к сфере нельзя, а на торе можно; это связано с тем, что эйлерова
характеристика тора равна нулю, а сферы — двум1. Топология дает
возможность указать свойства векторных и тензорных полей, анало-
гичные упомянутым, для более сложных многообразий более высокой
размерности.
3. Оценка числа особых точек аналитической функции,
имеющей в заданной области D конечное число таких точек,
в зависимости от топологических свойств области D. Вряд ли
нужно комментировать значимость этих результатов для физических
приложений. На первый взгляд, кажется, что получить нетривиальные
хЭтот результат иногда называют «теоремой о еже». Согласно этой теореме, ша-
ровой «ёж не может быть причесан». Упомянутый результат был получен Пуанкаре,
доказавшем теорему об индексах особых точек векторного поля (сумма индексов
особых точек равна эйлеровой характеристике). На многомерные многообразия эта
теорема была обобщена много позже X. Хопфом (1926 г.).
Введение
7
оценки, задавая одну только область D, невозможно, поскольку, напри-
мер, наличие полюсов определяется динамикой, скажем, потенциалом,
его глубиной и протяженностью. В действительности, однако, потенци-
ал определяет область аналитичности — структуру римановой поверх-
ности и для оценок снизу общего числа особенностей этого оказывается
достаточным (вспомним, что для указания числа уровней достаточно
знать некоторые интегральные моменты потенциала, тогда как локали-
зация полюсов существенно зависит от деталей поведения потенциала
как функции расстояния или импульсов).
Чтобы пояснить рассматриваемый вопрос, заметим, что общеиз-
вестный факт отсутствия связанных состояний при слабом притяжении
в трехмерном пространстве и, наоборот, наличие их при сколь угодно
слабом притяжении в пространстве низших размерностей, есть на са-
мом деле следствие топологических свойств многообразий. Далее, то
обстоятельство, что не существует отличных от константы функций,
аналитичных во всей комплексной плоскости, включая бесконечно уда-
ленную точку, есть следствие топологической эквивалентности комп-
лексной плоскости двумерной сфере, эйлерова характеристика которой,
как упоминалось выше, положительна. В этом смысле, тот факт, что це-
лые функции обязаны иметь особенность в бесконечно удаленной точке,
имеет общий корень с теоремой о еже. Вообще, задача об особых точках
аналитической функции связана с п. 2, так как задание аналитической
функции означает и задание соленоидального векторного поля (дейст-
вительная и мнимая части — гармонические функции) — градиента
действительной части.
4. Приложения к интегрированию по многомерным облас-
тям: выяснение аналитических свойств функций, заданных
многомерными интегралами, вычисление интегралов по замк-
нутым многообразиям (обобщение формулы Коши). С первым
из этих двух направлений связано применение топологии к исследова-
нию фейнмановских интегралов, вторая же группа задач принадлежит
к числу самых давних проблем, фактически создавших топологию как
математическую дисциплину.
5. Определение максимального числа линейно—независи-
мых полей на многообразиях. Речь идет о векторных или, вооб-
ще, о тензорных полях, хотя не для всех полей и многообразий эта
8
Глава 1
задача решена. Поясним проблему. Для евклидова пространства п-
измерений задача тривиальна, однако для многообразия той же раз-
мерности, но с топологической структурой, отличной от евклидова про-
странства, проблема весьма не тривиальна, если не считать поле вло-
женным в евклидово пространство большого числа измерений, т. е. тре-
бовать, чтобы вектор поля в любой точке был касательным к многооб-
разию, а не «торчал, высовываясь в пространство большего числа из-
мерений». Приведем для иллюстрации некоторые результаты о числе
линейно-независимых векторных полей на сферах. Во-первых, оказы-
вается, что максимально возможное число линейно-независимых полей
совпадает с размерностью сферы только в трех случаях п = 1, 3, 7
(n = 1 — окружность). Во-вторых, для произвольного п ответ такой.
Записываем число п в виде:
п = (2а + 1) • 24Ь+с - 1.
Тогда число т(п) линейно-независимых полей на сфере размерности п
определяется равенством:
т(п) = 2е + 8b - 1. (1.1.2)
В частности, из этой формулы следует, что в соответствии с теоремой о
еже на двумерной сфере вообще нельзя задать непрерывного векторного
поля — m(z) = 0.
6. Убедиться в существовании решений и оценить число
независимых решений некоторого уравнения. Имеющиеся здесь
результаты относятся в основном к системам обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений, однако они эвристически полезны для иссле-
дования уравнений в частных производных.
Пункты 1-3 этого перечня опираются главным образом на ту гла-
ву алгебраической топологии, которая получила название теории го-
мологий. Многие результаты, приведенные здесь (пп. 1,3), составляют
содержание теории М. Морса, в которой важную роль играют тополо-
гические «квантовые числа» — числа Бетти. Пункты 4-6 требуют ис-
пользования теории гомотопий и теории расслоений (особенно это от-
носится к пп. 5,6).
Приведенные примеры заведомо не исчерпывают известных и тем
более потенциальных возможных применений топологических методов
Введение
9
к решению математических задач, которые могут интересовать физи-
ков. Хотелось подчеркнуть в связи с этим следующее.
Всякая методика, позволяющая исследовать свойства решений фи-
зических уравнений, не решая этих уравнений, выявляет нечто, зало-
женное уже в самой формулировке математического аппарата физи-
ческой теории, и, следовательно, не зависящее от деталей динамики.
До тех пор пока это «нечто» не выявлено, его следствия могут ошибоч-
но относиться к специфике тех или иных взаимодействий решаемых
физических моделей или разного рода приближений. Надо иметь в ви-
ду также, что математика для физики является не только и даже не
столько вычислительным средством, но и тем каркасом, без которо-
го физические закономерности вообще не могут быть сформулирова-
ны. В частности, невозможно дать определения физических величин,
не опираясь на соответствующие математические понятия. Например,
нельзя точно определить понятие спин без теории представлений. То
же относится к квантовым числам динамических симметрий (изоспин
и др.). Изложенное дает основание ожидать от разработки не замечен-
ных ранее глубоких феноменологических пластов теории интересных
физических результатов.
Если говорить о физике частиц, то к привлечению топологических
методов побуждает, по мнению авторов, обилие нестабильных частиц.
Всякая серьезная попытка понять это многообразие приводит пока либо
к многоканальным задачам типа уравнений связанных каналов, либо к
поискам пространственно локализованных решений (солитонов) урав-
нений в частных производных. Связь этих проблем с упоминавшимися
выше приложениями топологических методов довольно ясна. Необхо-
димость же обогащения традиционного аппарата физической теории
новыми методами ощущается по меньшей мере по следующим трем
причинам.
Во-первых, решение многоканальных задач на собственные значе-
ния выглядит настолько сложным даже в простейших моделях, что уве-
ренное отделение общих закономерностей от модельно-зависящих ре-
зультатов в рамках обычной методики оказывается чрезвычайно труд-
ным, если не невозможным. Между тем по численным результатам
решения некоторых модельных задач чувствуется, что в количестве
уровней, их положении и движении в зависимости от исходных па-
10
Глава 1
раметров (констант взаимодействия, их радиусов, масс структурных
компонентов) имеются определенные общие закономерности. Грубо го-
воря, если при каких-то значениях исходных параметров в S-матрице
имеется полюс, то изменением параметров от него не так легко изба-
виться — удаление одних полюсов от физической области, компенси-
руется «приходом» других с разных листов римановой поверхности и
т. п. Физическая «непрозрачность» подобного рода результатов несо-
мненно связана с усложнением римановой поверхности для S-матрицы
и наводит на мысль о необходимости использования более компактной
математической методики, органически адекватной природе рассмат-
риваемой задачи.
Во-вторых, современной физике частиц явно не хватает квантовых
чисел. Использование знакомого источника — введения групп динами-
ческих симметрий и применения теории представлений этих групп —
«обогащает» физику таким количеством исходных «сущностей» (квар-
ки) с «цветом», «запахом», «очарованием», «красотой» и т. п.), что оно
становится сравнимым с количеством объектов, подлежащих объясне-
нию.
В-третьих, желание иметь «асимптотически свободную» перенор-
мируемую теорию, не содержащую трудностей типа «нуля заряда», по-
буждает вводить векторные неабелевы калибровочные поля, а это озна-
чает обязательность рассмотрения векторных полей на многообразиях.
К этой же необходимости, впрочем, приводит упомянутая выше проб-
лема поиска солитонных решений для классических полей со спином.
Настоящий курс ставит своей целью описание и разъяснение не-
которых основных понятий, методов и результатов алгебраической
топологии. Доказательств, как правило, нет: справедливость тех или
иных теорем демонстрируется на примерах. Определения не претен-
дуют на строгость; они сформулированы так, чтобы по возможнос-
ти более отчетливо выступала сущность — «физический смысл» того
или иного понятия. Одним словом, это лекции физика для физиков.
К лекциям приложен список учебной литературы: он отнюдь не по-
лон, а содержащиеся в нем книги, может быть, и не лучшие. Моногра-
фий по алгебраической топологии много, но большей частью для фи-
зиков они остаются за семью печатями главным образом из-за дедук-
тивного способа изложения, терминологии и непривычной символики.
Введение
11
Несвободны от этих особенностей и руководства, указанные в списке.
В заключение этого параграфа сделаем краткое историческое за-
мечание. С рождением топологии связаны имена Римана, итальянского
математика Бетти (Е. Betti) и Пуанкаре. Риман, по-видимому, первый
догадался о существовании этой области математики. На это его на-
толкнули исследования аналитических функций. Систематических пуб-
ликаций по топологии у Римана не было, неизвестно, в частности, что
ему принадлежит идея введения порядка связности замкнутой поверх-
ности. Эта идея была сообщена им Бетти, который после смерти Ри-
мана (1966 г.) опубликовал ее и попытался обобщить на многомерные
поверхности. Что же касается роли Пуанкаре в развитии топологии,
то ее можно охарактеризовать очень кратко — он ее создал2 в работе
Analysis situs (1895 г.) и пяти дополнениях к ней. Пуанкаре принад-
лежат основные идеи, разрабатываемые до сих пор, и важнейшие ре-
зультаты. Он же является автором многих терминов (гомеоморфизм,
гомологи, фундаментальная группа многообразия и др.)
1.2. Многообразия (аналитическое представление)
Топологическое многообразие — это, вообще говоря, множество
точек, для которых определено понятие близости. В частности, топо-
логическим многообразием является множество точек евклидова про-
странства, определенное уравнениями:
Fi(x!,... ,Хп) = о, fjix!,... ,Хп) > О
г — 1,... ,т j — 1,... ,1
(1-2.1)
Многообразие (1-2.1) является таким образом некоторой областью под-
пространства п — п — т измерений. Граница многообразия определя-
ется уравнениями:
Fi = 0, fk = 0 (fj > 0, j £ к, к = 1, ... , I).
г = 1,... ,т
(1.2-2)
Как следует из (1.2.2), размерность границы ДМ будет п — 1. Если
система (1.2.2) не имеет решений, то многообразие неограничено.
2См. П. С. Александров в ссылке [21].
12
Глава 1
Два многообразия М и М' называются гомеоморфными, если су-
ществует взаимно-однозначное, взаимно непрерывное отображение од-
ного многообразия на другое (две близкие точки переходят в две близ-
кие). Аналитически это означает, например, что функции Ft и F',-
в (1.2.1) переводятся друг в друга заменой х на х' по формулам:
x'i = 9?«(ж), i = 1,... , п,
(1.2.3)
причем функции <р; — однозначны, непрерывны и дифференцируемы,
а якобиан преобразования нигде не равен нулю. В остальном же эти
функции произвольны. Ясно, что эти преобразования, которые толь-
ко можно себе представить, или во всяком случае наиболее общие из
тех, с которыми физикам приходилось сталкиваться до сих пор. Мно-
гообразия можно задавать и способом, отличным от (1.2.1). Например,
параметрическим:
Xi = Gi(Qi, , 0n), gt(©i, ... , ©п) > 0.
г = 1, ... , п к = 1, ... , т
(1.2.4)
В случае задания (1.2.4) неравенства не всегда определяют границу,
а, например, могут просто ограничивать область изменения аргумен-
тов периодических функций Gi- Заметим, что иногда задания (1*2.4)
предпочтительнее (1.2.1). Например, если (1.2.1) дополнить требовани-
ем «невырожденности», а именно требованием, чтобы миноры поряд-
dFt
ка Vn матрицы -— одновременно не обращались в ноль ни в одной
Эх,
точке многообразия, то уравнения (1.2.1) не будут содержать неориен-
тируемые многообразия типа проективной плоскости и др. Между тем
dG-
аналогичное требование на матрицу ——- для уравнений (1.2.4) не ис-
OXj
ключает неориентируемых многообразий. Этот феномен связан с тем,
что замкнутые неориентируемые многообразия содержат самопересе-
чения.
Предметом топологии как раз и является изучение тех свойств
многообразий, которые инвариантны относительно всевозможных не-
прерывных отображений (1.2.3). При этом, вообще говоря, рассматри-
ваемые преобразования могут быть даже не столь гладкими, как мы
это требовали. Именно функции <р, обязаны быть непрерывными, но
Введение
13
не обязательно дифференцируемыми. Ввиду общности топологических
преобразований (1.2.3) довольно ясно, что в наших исходных опреде-
лениях много лишнего. Очевидно, что совершенно не важен ни с прин-
ципиальной, ни с практической точек зрения аналитический вид Ft,
определяющих такое многообразие, раз мы все равно будем его дефор-
мировать непрерывным образом до неузнаваемости. Важно нечто, вы-
ражаемое уравнениями (1.2.1), но не явный вид этих уравнений. Точно
так же совершенно несущественно, что наше многообразие является об-
ластью именно евклидова пространства, а не какого-нибудь другого. От
метрики нам здесь требуется только одно — возможность определить
близость точек.
Указанные причины побудили математиков сформулировать опре-
деления топологических объектов так, чтобы все «лишнее» было убрано
и чтобы таким образом истинная природа тех или иных топологичес-
ких свойств была максимально выделена, если угодно, обнажена. Со-
ответствующая аксиоматика, однако, сильно теряет в наглядности и
некоторые вполне привычные понятия и объекты в такой теоретико-
множественной формулировке становятся неузнаваемыми. Мы будем
пользоваться таким языком в самой минимальной мере, теряя в ма-
тематической общности, но выигрывая в наглядности. Вместе с тем
для связи с математической литературой в следующем параграфе мы
приведем определения некоторых исходных топологических понятий
на теоретико-множественном языке. Подчеркнем, что в данном случае
этот язык не является «веерштрассовщиной», а действительно адеква-
тен математической сущности вещей.
1.3. Многообразия (более общая формулировка)
В этом параграфе приводятся некоторые формальные теоретико-
множественные определения. Читатель-физик, столкнувшись с опреде-
лением топологического многообразия в математических монографиях,
может не узнать в аксиоматических определениях формулы предыду-
щего параграфа. Для понимания текста лекций вполне достаточно мыс-
лить топологические многообразия как множества, которые локально
устроены как евклидовы пространства и склеены с надлежащей степе-
нью гладкости.
14
Глава 1
1. Множества. Основные обозначения.
Запись х е М означает, что х является элементом множества М,
а хЁМ означает, что х не принадлежит множеству М. Mi С М2 —
означает, что множество Mi содержится в М2 или совпадает с ним.
Пустое множество обозначается 0. Множество элементов х, обладаю-
щих свойством Р, обозначается {х | Р}.
Обычным образом определяется объединение С двух множеств А
и В (рис. 1) и пересечение (рис. 2).
Рис. 1. Объединение множеств.
Рис. 2. Пересечение множеств.
Рис. 3. Разность множеств.
Рис. 4. Симметрическая разность
множеств.
Можно рассмотреть объединение и пересечение для произвольного
множества индексов I:
IJ Аа р] Аа
(1.3.1)
Кроме того, полезно определить разность А\В множества А и В, т. е.
множество:
С = А \ В = {х \ х Е А, хеВ},
(1.3.2)
и симметричную разность
С = ЛАВ = {х | х Е A U В, хёА П В}.
Легко видеть, что ЛАВ = (Л \ В) U (В \ Л).
Введение
15
2. Топологические пространства.
Мы определим так называемые хаусдорфовы пространства с помо-
щью системы окрестностей. Множество М называется хаусдорфовым
топологическим пространством, если в нем выделены подмножества,
называемые окрестностями, удовлетворяющие следующей системе ак-
сиом:
Аксиома 1. Каждая точка х е М имеет по крайней мере одну окрест-
ность Ux и содержится в каждой из своих окрестностей.
Аксиома 2. Если и — две окрестности х, то существует
окрестность:
U^CU^QU^. (1.3.3)
Аксиома 3. Если у G Ux, то существует окрестность Uy такая, что
Uy С Ux. (1.3.4)
Аксиома 4. Хаусдорфова аксиома отделимости: для двух точек х у
всегда найдутся две непересекающиеся окрестности UxOUy = 0.
Легко доказать, что в евклидовом пространстве Rn множество ша-
ров {х | (т/1 — xi)2 + • •. + (уп — хп)2 < г2} удовлетворяют всем четырем
аксиомам и определяют в нем обычную топологию.
Точка х € М называется предельной, если всякая ее окрестность
содержит по крайней мере одну точку из М, с ней не совпадающую.
Подмножество Mi топологического пространства М называет-
ся замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Под-
множество М2 дополнительное в М к замкнутому подмножест-
ву Mi (М2 = М\ Mi) определяется как открытое.
Топологическое пространство называется связным, если его нель-
зя представить как объединение двух замкнутых, непересекающихся
подмножеств.
Отображение / топологического пространства М в топологичес-
кое пространство N называется непрерывным в точке х, если для вся-
кой окрестности Uf(X) С N существует окрестность Vx С М, такая,
что f(V) С Uf{x). Отображение М в N будет непрерывным, если оно
непрерывно в каждой точке х е М.
16
Глава 1
Два топологических пространства М и N называются гомеоморф-
ными или топологически эквивалентными, если существует взаимноод-
нозначное соответствие и взаимнонепрерывное отображение /: M—>N.
Топология изучает свойства множеств с точностью до гомеомор-
физма. Например, сфера S и куб топологически эквивалентны. Можно
увидеть, что топологически эквивалентны сфера S2 и риманова поверх-
ность функции z2, круговое кольцо и цилиндр.
3. Многообразия.
Хаусдорфово топологическое пространство называется многообра-
зием, если для всякой точки х € М существует окрестность, гомео-
морфная шару в евклидовом пространстве Rn. Гомеоморфность окрест-
ности шару означает, что топологическое многообразие устроено ло-
кально так же, как евклидово пространство и поэтому, в частности,
имеет определенную размерность.
Окрестность U вместе с указанным гомеоморфизмом называется
картой множества U. Если х е U, то <р(х) е Rn — локальные коорди-
наты точки х.
Если накладываются условия гладкости на многообразие, то необ-
ходимо, чтобы любые две карты (U, р) и (V, ф), для которых UHV Ф 0,
были надлежащим образом склеены. Многообразие будет принадле-
жать классу (7°° или будет аналитическим, если отображения из 7?"
в 7?п: и будут бесконечно дифференцируемы или анали-
тичны (рис. 5).
В этих же терминах определяется многообразие с краем. Это мно-
гообразие М, у которого существуют такие точки х, что в локальных
координатах карты (I/, <р) <р(х) = 0 и tp(U П М) имеет вид полупро-
странства в Rn: xi 0.
Можно показать, что многообразия, определенные в предыдущем
параграфе системой уравнений и неравенств в Rn, являются многооб-
разиями в инвариантной формулировке.
Приведем примеры.
Пример 1. Окружность S1: X2 + Х$ = 1. Четыре полукружности
Uf={x&Sl | аг^>0}, Ui ={x€S1 | ж»<0} являются картами, покрываю-
щими S1. В качестве локальных координат на U± берется проекция на
ось Xj Легко видеть, что это аналитическое многообразие. Эта
конструкция обобщается на сферу произвольной размерности Sn.
Введение
17
Рис. 6. Лист Мёбиуса.
Рис. 5. Пересечение двух карт.
Пример 2. Унитарная группа U(n) как многообразие. Множество уни-
тарных матриц можно рассматривать как поверхность в евклидовом
пространстве Rd, где d—n2, заданную уравнением U+=U~1(u G U(n)).
Таким образом, U(n) является многообразием согласно определениям
предыдущего параграфа. Можно, разумеется, ввести локальные коорди-
наты на U(n) и доказать, что U(n) аналитическое многообразие. Одна
карта для группы 577(2) хорошо известна — это углы Эйлера. Это
действительно локальные координаты, так как они параметризуют
группу, из которой выброшено многообразие меньшей размерности.
Пусть М\ и М2 — два многообразия. Рассмотрим множество
пар М = {(xi, ж2) | х, € М, г = 1, 2}. Множество М наделяется струк-
турой многообразия, если задать в нем карты вида:
(Ui х Vj,tpi х
где — карты в Mi, a — карты в Л72. Многообра-
зие М называется произведением многообразий Му и Л72 (обозначение
М = Mi х М2).
Примеры: Тор = S1 х S1; цилиндр = R1 х S1, Л(п+та) = Rn х Rm.
18
Глава 1
Важным понятием является ориентация многообразия. Широкий
класс топологических многообразий допускает ориентацию в целом (та-
кие многообразия называются ориентируемыми или двусторонними),
причем ориентируемость является топологически инвариантным свой-
ством. Ориентируемы, в частности, многообразия, гомеоморфные шару
при любом числе измерений (двухмерный шар — это круг, одномер-
ный — отрезок). Таким образом, окрестность любой точки или вообще
всякая часть многообразия, гомеоморфная шару, ориентируема. Ори-
ентировать окрестность — значит задать на ней систему координат.
Две системы координат по определению соответствуют двум проти-
воположным ориентациям, если якобиан преобразования от одной сис-
темы к другой отрицателен. Если две окрестности пересекаются, то
мы можем считать их ориентированными одинаково или противопо-
ложно в зависимости от того, как ориентировано пересечение в каж-
дой из этих пересекающихся окрестностей3. Ориентируемое многооб-
разие может быть покрыто системой пересекающихся окрестностей,
ориентированных одинаково. Если этого нельзя сделать, то многообра-
зие является неориентируемым (односторонним). Хорошо известным
примером ограниченной неориентируемой поверхности является лист
Мёбиуса. Он гомеоморфен прямоугольнику, точки двух сторон которо-
го отождествлены так, как показано на рис. 6а. Можно показать также,
что лист Мёбиуса гомеоморфен круговому кольцу, у которого диаме-
трально противоположные точки внутренней окружности отождеств-
лены (рис. 6б)4.
На рис. 7 показана неориентируемость листа Мёбиуса. Если замк-
нутую кривую СС покрыть окрестностями, причем так, что начиная
от окрестности точки С каждая последующая окрестность будет ори-
ентирована одинаково с предыдущей, то окрестности точек С и С" ока-
жутся ориентированы противоположным образом: вертикальный орт в
точке С поворачивается на 180° (на реальном листе Мёбиуса, вложен-
3Мы говорим об относительной ориентации пересекающихся окрестностей, так
как в этом случае ориентации окрестностей заведомо можно сравнить по ориентации
их общей части (пересечения).
4Для установления этого гомеоморфизма надо разрезать прямоугольник 6, а по
линии PR, развернуть полученные части так, чтобы можно было склеить точки А
и А', В и В', С и С и т. д., а затем произвести отождествление точек Р и Р', R
и R' и т. д.
Введение
19
ном в трехмерное пространство, поворот вертикального орта вокруг го-
ризонтального происходит с выходом из плоскости чертежа непрерыв-
но, и угол поворота достигает 180° при возвращении в исходную точку
с другой стороны ленты, склеенной в лист Мёбиуса согласно идентифи-
кации точек по схеме рис. 6а.
Рис. 7. Неориентируемость листа
Мёбиуса.
Рис. 8. Проективная плос-
кость.
Рис. 10. Тор.
Рис. 9. Бутылка Клейна.
Примерами замкнутых неориентируемых поверхностей могут слу-
жить проективная плоскость (рис. 8) и бутылка Клейна (рис. 9).
Отметим, что проективная плоскость гомеомофорна сфере с дыр-
кой, в которую вклеен лист Мёбиуса, а бутылка Клейна — сфе-
ре с двумя дырками с вклеенными листами Мёбиуса. Эти го-
меоморфизмы можно установить, если воспользоваться реализаци-
ей листа Мёбиуса в форме рис. 66, а остальных поверхностей —
в представлениях рис. 8-10.
Можно показать, что все замкнутые ориентируемые поверхности
гомеоморфны сфере с некоторым числом «ручек» (другая терминоло-
гия — «кренделю» с некоторым числом дырок), а все замкнутые не-
20
Глава 1
ориентируемые поверхности — сфере с некоторым числом вклеенных
листов Мёбиуса5.
В частности, все замкнутые римановы поверхности аналитических
функций одной независимой переменной гомеомофорны каким-либо из
перечисленных эталонных поверхностей. Так, римановы поверхности
алгебраических функций гомеомофорны кренделям6. Например, дву-
листная риманова поверхность функции:
/(*) = [P2„(z)]4 (1.3.5)
где Р2п(г) — полином степени 2п, гомеоморфна кренделю с п— 1 дыра-
ми. В этом можно убедиться, основываясь на следующих соображени-
ях. Каждый из листов гомеоморфен сфере с п разрезами, которые мож-
но считать расположенными на экваторе, полагая, что каждый разрез
соединяет две точки ветвления и разрезы не пересекаются. Склеивание
листов произведем так, чтобы одна из сфер находилась внутри другой.
После этого произведем еще одно преобразование: отразим точки внут-
ренней сферы относительно экваториальной плоскости, оставляя при
5В дальнейшем крендель с п дырками обозначается через Рп, а сфера с п лис-
тами Мёбиуса — через Nn. Обычную двумерную сферу Ро мы будем обозначать
символом S2. Заметим, что вклеивание листов Мёбиуса в Рп не дает поверхностей,
топологически отличных от Nn. Вклеивание п2 листов Мёбиуса в РП1 дает поверх-
ность с пз = 2ni + пз- Доказательство сформулированной в тексте теоремы
сложно и здесь рассматриваться не будет. Поверхности Nn самопересекающиеся.
Реализация N2 в виде самопересекающейся поверхности общеизвестна. Укажем на
реализацию в виде такой поверхности с самопересечением проективной плоскос-
ти N±. Ей гомеоморфна поверхность, удовлетворяющая уравнению:
(аж( + + 'х? + Х3) - 2z(x% + х%) = 0.
Линией самопересечения у этой поверхности является отрезок прямой. Обратим
внимание на то, что матрица dFt/dxj в данном случае имеет особенность на много-
образии, а именно dF/dxi = dF/dx2 = dF/дхз = 0 вдоль линии самопересечения.
6Напомним, что алгебраическая функция и = /(г) задается уравнением:
ит + Я1(г) • и”1'1 + + ЯтСг) = 0,
где Rk(z) — рациональные функции от z. Так как при т > 4 уравнение для и, вооб-
ще говоря, неразрешимо в радикалах, то алгебраическая функция и в общем случае
не выражается через элементарные. Главные же свойства алгебраической функции в
том, что она имеет конечное число особых точек — полюсов или ветвлений, причем
все ветвления — конечного порядка (корневые).
Введение
21
этом края разрезов, расположенных на экваторе, на месте. Это преоб-
разование является «(п — 1)-кренделем».
1.4. Учебная литература
Прокомментируем предложенный список литературы.
Книги [1-4] наиболее просты и предназначены для первоначального
ознакомления с предметом. Однако они содержат мало материала: при
этом работа [4] так же, как и более серьезные руководства [5-9], рас-
считаны на читателя-физика. Наибольшее пересечение с предлагаемым
курсом имеет работа [6]. В работах [10-13] содержатся необходимые
предварительные сведения по теоретико-множественной топологии, те-
ории групп и теории многообразий. Отметим, однако, что эти сведения
в необходимом объеме содержатся и в серьезных руководствах по ал-
гебраической топологии, например, в работах [14] и [15]. Это наиболее
полные руководства по изучаемому предмету. К этим двум моногра-
фиям следует добавить работы [16-19]. Впрочем последняя книга есть
только первая часть задуманного курса. Много информации о поверх-
ностях размерности 2 можно найти в работе [20]. Также много кон-
кретной информации содержится в первоначальной работе Пуанкаре и
ее дополнениях [21]. Книги [22-25] содержат сведения по теории Морса,
а работы [13] и [25] — о векторных полях и многообразиях. Проблемы,
связанные с теорией функций комплексного переменного, освещаются
в работах [7], [20], [26], [27].
Глава 2
Теория гомологий
1. Клеточный комплекс. 2. Группы циклов и группы гомологий
(группы Бетти). 3. Числа Бетти и характеристика кручений. 4. Гомоло-
ги и числа Бетти по модулю. 5. Многообразия с краем. Относительные
гомологии. 6. Последовательности Майера — Вьеториса и теорема сло-
жения для чисел Бетти. 7. Когомологии.
2.1. Клеточный комплекс
Для выяснения топологических характеристик многообразия сле-
дует разбить его по возможности на простые составляющие. Мы
изучим так называемое клеточное разбиение многообразия. Клет-
кой называется часть многообразия, гомеоморфная открытому шару
а
Bd = {х е Rd \ 52 xj < !}• При разбиении возникают клетки различ-
>=1
ного числа измерений от нуля (точка) до размерности многообразия.
Клеточное разбиение позволяет построить некоторую алгебраичес-
кую структуру — клеточный комплекс. Можно выделить такие алгеб-
раические характеристики комплекса, которые не зависят от разбиения
и сохраняются для топологически эквивалентных пространств. В этом
и состоит предмет алгебраической топологии — изучение алгебраичес-
ких инвариантов («квантовых чисел») топологических пространств.
Дадим определение клеточного разбиения. Клеточным разбиени-
ем многообразия М называется конечное семейство 8 его клеток
а (К = {а}), удовлетворяющее условиям:
1) М = |J а, т. е. клетки составляют покрытия М, причем попарно
а6£
не пересекаются (а' П а = 0, если а а').
2) Для каждой клетки а € 8 существует гомеоморфизм фа шара Bd
в а (см. определение клетки), который продолжается до непрерывного
Теория гомологий
23
отображения границ шара — сферы 5d-1 — на множество клеток
меньшей размерности, примыкающих к а. Отображение <ра не обязано
быть гомеоморфизмом, что будет видно из примеров. Отметим еще, что
число d определяют размерность клетки а.
Имея клеточное разбиение, можно приступить к построению кле-
точного комплекса. Для этого необходимо ввести понятия группы цепей
и оператора границы.
Пусть {af} — совокупность всех клеток многообразия дан-
ной размерности d. Согласно предположениям, их число конечно
(г = 1, ... , ггд). Рассмотрим формальные линейные комбинации с це-
лями коффициентами:
nd
ai&Z. (2.1.1)
1=1
Выражение такого вида называется цепью размерности d многообра-
зия М. Считается, что I = 0, когда а; — 0. Для цепей можно ввести
операцию сложения. Суммой цепей
п т
h = '^a1iai и = (2-1-2)
1=1 1=1
называется цепь
п
h + h — (2.1.3)
1=1
Цепи данной размерности относительно операции сложения образуют
аддитивную абелеву группу — группу цепей L.
Введение цепей целесообразно, потому что кратные многообра-
зия (aa) имеют геометрический смысл. К кратным многообразиям при-
водят функциональные зависимости. Например, пройдя окружность в
комплексной плоскости z, мы совершим двойной оборот по окружности
в плоскости z1. В топологии с функциональными зависимостями тако-
го типа мы встречаемся при непрерывных отображениях разных мно-
гообразий друг в друга1. Известно, например, что проективная плос-
кость гомеоморфна полусфере, причем бесконечно удаленной прямой
1Напомним, что с логической точки зрения функциональная зависимость есть
24
Глава 2
отвечает граничная окружность (экватор) с отождествленными диаме-
трально противоположными точками. Таким образом, каждой беско-
нечно удаленной («несобственной») точке отвечают две диаметрально
противоположные точки экватора, а каждым двум таким точкам эква-
тора — одна несобственная точка. Поэтому полный оборот по экватору
дает двойной оборот по бесконечно удаленной прямой (напомним, что
на проективной плоскости каждая прямая — замкнутая линия). Этот
пример показывает, что кратное многообразие может быть отображено
в обычное. Один из общих способов отыскания «обычного» многообра-
зия, гомеоморфного кратному многообразию аа, сводится в принципе к
следующему: введем некоторую непрерывную — а-значную функцию
точки на многообразии а; тогда многообразие, на котором эта функция
однозначна, будет гомеоморфно аа. Здесь явно просматривается связь
с римановыми поверхностями аналитических функций.
Перейдем к построению оператора границы. Оператор грани-
цы Д — это линейный оператор, который действует из группы цепей Ld
размерности d в группу цепей Ld~r размерности d — 1
Д: L“ —> L“-1
(2-1.4)
В силу линейности его достаточно определить на клетках. Границей
d-мерной клетки а называется образ сферы 5d-1 при отображении ipa
(см. п. 2 определения комплекса). Оператор Д ставит в соответствие
клетке а совокупность клеток размерности d— 1, принадлежащих грани-
це а. Уточним это соответствие. Ориентируем некоторым образом сфе-
ру 5d-1. При отображении ipa сфера 5d-1 переходит в границу клетки а.
При этом клетка Ь, принадлежащая границе, может иметь несколько
. 2
прообразов на сфере S . Тогда матричный элемент Д£ оператора Д
есть целое число, равное числу прообразов клетки Ь в Sd~1 2 с учетом их
ориентации. Число Д“ называется коэффициентом инцидентности3.
частный случай отбражения: точки многообразия, на котором задана функция, ото-
бражаются в точки комплексной плоскости. В общем случае мы можем говорить о
функциях со значениями не из комплексной плоскости, а из других многообразий
(«значением» функции будет тогда точка этого другого многообразия).
2Отображение <ра не является гомеоморфизмом, а только непрерывно!
3В дальнейшем мы определим понятие степени отображения (см. 3.4), которое
совпадает с коэффициентом инцидентности.
Теория гомологий
25
Если Ъ не принадлежит границе а, то будем считать, что Д£ = 0.
Таким образом
Да = ^2Д£6. (2.1.5)
ь
Эта формула позволяет определить оператор Д для цепи любой размер-
ности.
Из определения оператора Д следует его фундаментальное свойст-
во:
Д2 = 0. (2.1.6)
Его достаточно проверить для одной клетки, т. е. что выполняется
равенство (см. (2.1.5)):
$>£Д* = 0. (2.1.7)
ь
Для доказательства заметим, что данная клетка с размерности <7 — 2
в границу различных клеток Ь, составляющих границу клетки а, вхо-
дит с противоположными ориентациями. Интуитивно ясно, что грани-
ца клетки сама по себе не имеет границы. В этом заключается смысл
равенства (2.1.7). Теперь можно определить клеточный комплекс мно-
гообразия М. Клеточным комплексом называется совокупность групп
цепей Ld = 0, ... , п (n = dim М) и оператора границы Д:
Ln .А» £n-i ... /Д (2.L8)
при этом существенно выполнение свойства Д2 = 0.
Цепи, границы которых равны нулю, называются циклами.
Поясним, каким образом алгебраическая граница дает возмож-
ность выявлять топологические свойства многообразия. Схемы отож-
дествления сторон прямоугольников на рис. 8 и 10 отвечают однокле-
точным разбиениям проективной плоскости и тора (рис. 11 и 14). От-
личие тора от проективной плоскости в схеме отождествления прояв-
ляется в том, что алгебраическая граница двумерной клетки на рис. 11
равна нулю, тогда как алгебраическая граница двумерной клетки на
26
Глава 2
б
Рис. 11. Каноническое разбиение тора.
рис. 14 равна окружности или, другими словами, удвоенной бесконеч-
но удаленной прямой.
Рассмотрим теперь разбиение некоторых многообразий, цепи, от-
вечающие этим разбиениям, и границы цепей.
1. Двумерная сфера (52). Простейшее разбиение — отметить
одну точку. Полученное разбиение содержит одну нульмерную и од-
ну двумерную клетки, причем последняя гомеоморфна внутренности
круга бесконечного радиуса. В соответствии с этим нульмерные (Zo),
одномерные (Zi) и двумерные (12) цепи имеют вид:
Z0(52) = aa, /!(52) = 0, Z2(52)=7g. (2.1.9)
Все цепи являются циклами, т. е.
Д?о(52) = 0, Д/1(52) = 0, Д/2(52) = 0. (2.1.10)
Первые два равенства очевидны. Третье же равенство имеет место,
потому что отличной от нуля границей двумерной клетки может быть
только одномерная; в данном случае одномерных клеток вообще нет.
2. Двумерный тор (Pi)- Каноническое разбиение тора состоит из
параллели и меридиана (рис. 11а). Нульмерной клеткой является их пе-
ресечение. Это разбиение «разрезает» тор в прямоугольник (рис.116) —
единственную двумерную клетку. В соответствии со сказанным груп-
пы цепей имеют вид:
lo(Pi) = аа; h(Pi) = fabi + 02Ь2, l2(Pi) = yg. (2.1.11)
Рассмотрим границы цепей. Легко установить, что
Д/о(Р1) = 0; Д/1(Р1) = 0; Дг2(Л) = 0. (2.1.12)
Теория гомологий
27
Первые два равенства очевидны (границы точки — нуль, одномерные
клетки — замкнутые линии). Последнее же из равенств (2.1.12) следу-
ет из того, что при любой ориентации контура клетки g противолежа-
щие стороны прямоугольника на рис. 116 могут входить в Ag только с
разными знаками (относительные ориентации противолежащих сторон
определяются схемой отождествления точек на рис. 10). Поэтому
Д/2(Р1) = 7Ag = 7(Ь2 -b1-b2+ = 0. (2.1.13)
Таким образом, все цепи канонического разбиения тора являются цик-
лами.
3. Двумерный n-крендель (Рп). Рассмотрим вначале случай
п = 2. Такой крендель может быть получен склеиванием двух торов с
отверстиями О и О' («ручек») по периметру этих отверстий (рис. 12а).
Рис. 12. Крендель Р?.
На рис. 126 приведена гомеоморфная кренделю Р2 плоская фигура
(пунктирные линии указывают схему идентификации точек противо-
лежащих сторон). На рис. 13а воспроизведено каноническое разбиение
кренделя, аналогичное каноническому разбиению тора (одна нульмер-
ная клетка и одна двумерная). Число одномерных клеток в этом случае
равно четырем. Это же разбиение с ориентацией клеток показано на
рис. 136.
В соответствии с изложенным, имеем следующие группы цепей:
4
/0(Р2)=аа; *1(Р2) = $>Л; i2(P2)=7g. (2.1.14)
1
Так же, как и в случае тора Pi, легко устанавливается, что все цепи
являются циклами:
Д/о(Р2) = 4Zi(P2) = Д/2(Р2) = 0. (2.1.15)
28
Глава Z
Рис. 13. Разбиение 2-кренделя Рг.
Аналогичным образом получается и разбиение n-кренделя (Рп), содер-
жащее одну нульмерную клетку, одну двумерную и 2п одномерных:
2п
lo(Pn) = асг, = (2.1.16)
1
При этом все цепи опять являются циклами:
Д/о(Рп) = Д/1(Р„) = Д/2(Рп) = 0.
(2.1.17)
4. Проективная плоскость (М). Рассмотрим два разбиения.
а) Простейшее разбиение опирается на гомеоморфизм проектив-
ной плоскости кругу, у которого диаметрально противоположные точки
граничной окружности отождествлены (рис. 8). Разбиение с наимень-
шим числом клеток показано на рис. 14. Оно состоит из одной вершины
(нульмерной клетки), одной замкнутой линии — бесконечно удаленной
прямой и одной двумерной клетки.
Теория гомологий
29
Соответственно все три группы цепей имеет вид:
/0(М) = аа; ММ) = 0Ь-, = lg. (2.1.18)
Рис. 14. Разбиение проектив- Рис. 15. Разбиение (М) (две двумер-
ной плоскости (М) (однокле- ные клетки).
точное).
Нульмерная и одномерная цепи являются, очевидно, циклами. Гра-
ница же двумерной цепи не равна нулю:
Д/2(М) = y^g = y2b = 2уЬ. (2.1.19)
Подчеркнем, что граница Ag двумерной клетки g равна 2Ь, а не Ь, так
как при обходе контура в направлении тонкой стрелки замкнутая ли-
ния b (бесконечно удаленная прямая) проходит дважды.
б) Исходя из гомеоморфизма проективной плоскости сфере с вкле-
еным листом Мёбиуса, можно указать другое разбиение проективной
плоскости. Оно показано на рис. 15. Разбиение содержит две нульмер-
ные (ai, а2), три одномерные (bj, b2, Ьз) и две двумерные (gi, g2) клет-
ки. Одна из них (gi) есть одноклеточное разбиение листа Мёбиуса, дру-
гая (g2) — то, что остается после «вырезания» листа Мёбиуса, т. е. го-
меоморфная кругу (сфера с дыркой). Группы цепей имеют вид:
ММ) = «iai + <т2а2;
з
ММ)=£>М (2.1.20)
1
ММ) = 7i gi +72Й-
30
Глава 2
Далее для границ имеем:
Д/о(М) = 0; Д?1(М) =/3i(a2-а1);
Д^г(М) = 71(2^2 — Ьз) — 7г&з = 271Ь2 — (71 + 7г)Ьз-
(2.1.21)
Таким образом, в данном разбиении циклом является только нуль-
мерная цепь. Одномерная группа цепей Zi имеет подгруппу циклов, вы-
деляемую условием /31 = 0.
Рис. 16. Разбиение бутылки Клейна (Я2).
5. Бутылка Клейна (JV2). Эта поверхность, как упоминалось вы-
ше, гомеоморфна сфере с двумя вклееными листами Мёбиуса. Соответ-
ственно этому разбиение Я2 имеет вид, показанный на рис. 16. Оно
разбивает N? на три двумерные клетки: на две клетки, получающи-
еся из двух листов Мёбиуса, и на одну сферу с дыркой. Кроме того,
имеется три нульмерных и шесть одномерных клеток. Группы цепей
определяются поэтому формулами:
з
/о№) = ^сча{,
1
6
/1(^2)=^^,
1
3
/2(^2) = ^7igi-
1
(2.1.22)
Теория гомологий
31
Нульмерные цепи являются циклами. Кривые 62, 63, Ь$, Ь5 — также
циклы, и потому граница одномерной цепи
Д^1(-^г) — Pi&bi + /З2Д64.
Так как
Д61 — ОЗ — 02 ? Д64 — О1 — 02,
ТО
Д/1^г) — ~(01 +А)о2 +/^401 +/31Оз. (2.1.23)
Таким образом, цепи (3± = /З4 = 0 являются циклами. Далее имеем
Д/г(-^2) = 27165 - (71 + 7з)6б + 27262 - (72 + 7з)63. (2.1.24)
Возможно также разбиение, аналогичное п. 4а. Оно показано на рис. 17.
Для этого разбиения имеют место группы цепей:
з
lo(N2) = arai + а2а2; 6i(W2) = 5? №'> l?(N2) =-yg. (2.1.25)
1
Соответственно для границ можно написать
&Iq(N2) = 0; Д/1(1У2) = Рз(а1 — 0,3); ^l2(N2) = + 62).
(2.1.26)
Рис. 17. Разбиение (N2) с одной двумерной клеткой.
32
Глава 2
2.2. Группы циклов и группы гомологий (группы
Бетти)
Ясно, что совокупность цепей-циклов сама является группой, т. е.
образует подгруппу группы цепей. Она называется группой циклов и
в дальнейшем обозначается символом Сг(М), где М — обозначение
многообразия, r-размерность циклов. В этой группе имеется подгруп-
па циклов ВДМ) являющихся границами (г + 1)-мерных клеток. Цикл,
являющийся границей, называется гомологичным нулю. Это записыва-
ется так
Сг ~0.
Легко почувствовать, что выделение гомологичных нулю циклов
из всех прочих разумно, поскольку топологически неэквивалентные
поверхности отличаются как раз количеством негомологичных нулю
циклов. Например, на сфере всякий одномерный цикл ограничивает,
т. е. гомологичен нулю, а на торе имеются два типа неограничивающих
(негомологичных нулю) циклов — мередиан и параллель (см. рис. 1).
Зато любые три цикла, как бы они ни были выбраны, обязательно огра-
ничивают. Аналогичным образом на 2 кренделе имеются четыре-типа
циклов неограничивающих, но любые пять — ограничивают. Соответ-
ственно, на n-кренделе имеются 2п типов неограничивающих циклов,
но любые 2п + 1 — ограничивают. Говорят, что «порядок связности» h
п-кренделя (Рп) равен 2п + 1:
Л(РП) = 2n + 1. (2.2.1)
Таким образом, порядок связности любой замкнутой ориентируемой
поверхности нечетен.
В отличие от этого порядок связности замкнутых неориенти-
руемых поверхностей может быть как четным, так и нечетным.
На проективной плоскости (JV1) имеется один тип неограничива-
ющих циклов, т. е. тех, которые начинаются и оканчиваются в
бесконечно-удаленных точках или на окружности с отождествленны-
ми диаметрально-противоположными точками (рис. 14, 15). Вместе с
тем любые два цикла ограничивают. Поэтому порядок связности Ni
равен 2. Поскольку любая неориентируемая поверхность (Nn) гомео-
Теория гомологий 33
морфно сфере с п дырками, заклеенными листами Мёбиуса, имеем
h(Nn) =п + 1. (2.2.2)
Порядок связности— исторически первый количественный тополо-
гический ивариант поверхности был введен впервые Риманом. Порядок
связности Римана h однозначно выражается через эйлерову характе-
ристику многообразия х- Поскольку имеет место соотношение
X = 3 - h. (2.2.3)
Напомним, что эйлерова характеристика х определяется чис-
лом Ко нульмерных («вершин»), одномерных («ребер») и К2 двумер-
ных («граней») клеток какого-либо разбиения многообразия по формуле
Х = К0-К1+К2. (2.2.4)
Эйлерова характеристика не зависит от разбиения и является топо-
логическим инвариантом; это ясно из формулы (2.2.3), но, кроме того,
может быть установлено и непосредственно на основе чисто геомет-
рических соображений. Исходя из рассмотренных в разделе 2.1 раз-
биений, получаем, в частности, что для поверхностей, гомеоморфных
сфере, х(82) = 2, для тора х(^*1) = 0, а для кренделей более высокого
порядка х(Рп) < 0- Аналогично для проективной плоскости х(М) = 1,
для бутылки Клейна х(-^г) = 0, а для остальных замкнутых неориенти-
руемых поверхностей x(7Vn) < 0. Отметим, что для n-мерных многооб-
разий эйлерова характеристика дается выражением (Пуанкаре, 1895):
X = £(-l)r*r. (2.2.5)
Г=1
Здесь Кг — число r-мерных клеток.
Для поверхностей, гомеморфных сфере Sn, имеет место равенство:
x(Sn) = 1 + (-1)".
Отсюда, в частности, при п = 2 получается х(82) = 2.
Из сказанного видно, что рассмотрение негомологичных нулю цик-
лов приводит к такому топологическому инварианту, как эйлерова
34
Глава 2
характеристика, или к равноценной величине — порядку связности.
Вместе с тем легко усмотреть, что только одной велечины х (или
недостаточно для описания топологического многообразия, поскольку
негомеоморфные друг другу многообразия могут иметь одинаковые х-.
например, тор и бутылка Клейна. Стремление получить более полный
набор количественных характеристик топологических свойств много-
образий приводит к необходимости рассмотреть структуру групп цик-
лов СГ(М).4
Очевидный способ изучения структуры группы состоит в разложе-
нии ее в прямую сумму некоторых подмножеств — смежных классов по
одной из подгрупп. В случае некоммутативных групп предпочтитель-
но разложение по смежным классам нормального делителя. В абелевой
(аддитивной) группе, каковой является всякая группа цепей, любая
подгруппа является нормальным делителем, в частности, и подгруп-
па гомологичных нулю циклов Вг группы циклов Ст. Если £ С2
и Br £ Вг С Ст — любые элементы соответственно Сг и Вг, то смеж-
ный класс
+ВТ = {с« + Ьг} (2.2.6)
есть по определению совокупность всех элементов, указанных в фигур-
ных скобках (Сг^ — фиксировано, Ьг — пробегает всю подгруппу Вг).
4 Это нужно прежде всего для того, чтобы выделять классы негомологичных нулю
циклов с помощью некоторого алгоритма, а не указанием их словесной характерис-
тики, например, «меридиан», «параллель» и т. п., что не всегда возможно сделать
вполне определенным образом (зависит от реализации поверхности), и уж во вся-
ком случае неудобно для приложений к функциональному анализу. Мы могли бы
относить циклы к одному классу, если они переводятся друг в друга непрерыв-
ным преобразованием на данной поверхности (если они, как говорят, гомотопны
друг другу). Но, приняв классификацию по этому признаку, мы замечаем, что и
гомологичные нулю циклы не все гомотопны друг другу; одни, например, могут
быть стянуты в точку (гомотопны нулю), другие, например, цикл, охватывающий
«перешеек» между двумя дырами кренделя, нет. Но тогда гомологичность или него-
мологичность цикла нулю отходит на второй план, а на первый выдвигается вообще
перечисление негомотопных классов циклов. Такой подход составляет содержание
теории гомотопий. Теория гомотопий и теория гомологий — два возможных спо-
соба алгебраического выявления топологических свойств, каждый из которых, по-
видимому, является полным сам по себе, по крайней мере в отношении ряда мно-
гообразий. В тех или иных прикладных задачах эти два подхода могут оказаться
удобными в разной мере аналогично тому, например, как в теории представлений
можно использовать инфинитезимальный подход или интегральные методы.
Теория гомологий
35
Два смежных класса Сг'1 + Вг и + Вг совпадают тогда и только
тогда, когда
С& _ CW) е вг. (2.2.7)
Два различных смежных класса не имеют общих элементов. Поэтому Сг
может быть разложена в прямую сумму смежных классов + Вг.
Совокупность смежных классов образует группу. Именно суммой двух
смежных классов Сг*’ + Вг и + Вг является множество всех эле-
ментов:
{С& + Ь2 + + Ь'Г} = С& +Br + C{2j} + В2,
которое само является смежным классом:
(С^ + с«) + вг.
Эта группа смежных классов называется факторгруппой Нг груп-
пы Сг по подгруппе Вг и обозначается так:
Нг = Сг/Вг.
Фактор-группа Нг группы циклов СГ по подгруппе ВТ циклов, гомо-
логичных нулю, называется группой гомологий или группой Бетти. Эле-
менты же группы гомологий, т. е. смежные классы, называются класса-
ми гомологий. Важным свойством НГ является то, что она гомоморф-
на СТ. Соответствие устанавливается по правилу:
+ вг,
которое, очевидно, сохраняет групповую операцию. В силу гомоморфиз-
ма, структура группы Нг сходна со структурой Ст. Вместе с тем Нг
несколько «проще», если Вг нетривиальна, т. е. не состоит из одного
только элемента — нуля; в этом случае Нг = Сг, а информация, содер-
жащаяся в структуре Нг, содержательна, если только Вг Ст, так как
в этом случае Нт состоит из одного единственного элемента — нуля Нт.
Рассмотрим группы гомологий разбиений многообразий, упомяну-
тых в разд. 2.1.
1. Сфера 52. Для нульмерных цепей Lo(52) = Со(52), так как вся-
кая нульмерная клетка (точка) а является циклом (Да = 0). Нульмер-
ных циклов, гомологичных нулю, нет, кроме а = 0, поскольку вообще
36
Глава 2
нет одномерных циклов, кроме = 0, границами которых в принципе
могли бы быть нульмерные циклы. Таким образом, B0(S2) состоит из
одного элемента Ьо = 0, и потому
Я0(52) = Со(52)/Во(52) = С0(52) = L0(S2).
Заметим, что группа Lo(52) и, следовательно, Я0(52) изоморфна адди-
тивной группе целых чисел (последнюю принято обозначать буквой Z).
Итак,
#0(S2)=Z. (2.2.8)
Группа одномерных циклов Ci(52), как это следует из выраже-
ний (2.1.9), состоит из одного элемента — нуля. Поэтому
Ht (S2) = Ci (S2)/Bi (S2) = 0. (2.2.9)
Наконец, группа двумерных циклов С2(52) = LZ(S2) = Z, причем цик-
лов, гомологичных нулю, кроме нулевого (С2 = 0), нет, так как ни
одна отличная от нуля двумерная клетка не ограничивает трехмерной
клетки, поскольку отличных от нуля трехмерных клеток нет. Что же
касается цикла С2 = 0, то формально он является границей цепи 1з = 0.
Таким образом, Я2(52) = 0,
Я2(52) = С2(52)/Я2(52) * Z. (2.2.10)
2. Двумерный тор Pi. Исходя из разбиения (2.1.11) и равенст-
ва (2.1.12), заключаем следующее:
<70(Р1) = Ро(Л) = Z.
Нульмерных циклов, гомологичных нулю, кроме Со = 0, нет, так как
мередиан bi и параллель Ь2 замкнуты и потому отличные от нуля
нульмерные циклы не ограничивают одномерных циклов. Что же ка-
сается Со = 0, то он является формально границей одномерной цепи
с /?! = /?2 = 0. Таким образом, Я0(Р1) = 0
Яо(Р1) = С'о(Р1)/Яо(Р1) = С'о(Р1)=г. (2.2.11)
Теория гомологий
37
В группе Ci(Fi) циклов, гомологичных нулю, кроме С\ = 0, нет, так
как все lz(Pi) — циклы. Что же касается Су = 0, то он является фор-
мально границей цепи /2 = 0 с 7 — 0. Таким образом Bi(A) = 0 и
Я1(Р1) = С'1(Р1)/Я1(Р1)=С1(Р1)^2. (2.2.12)
Указанный в выражении (2.2.12) изоморфизм означает, что
C'i(Pi) = ^i(Pi) есть прямая сумма двух подгрупп fabi и /?2Ь2, каж-
дая из которых изоморфна аддитивной группе целых чисел Z.5 Нако-
нец, для Н2(1\) в полной аналогии (по тем же причинам) с равенст-
вом (2.2.10) имеем
Я2(Р1)=2, (2.2.13)
причем, как и выше, В2(Т\) — 0, a C2(I\) = L2{Pi) — Z.
3. Двумерный n-крендель (Fn). Рассуждая совершенно так же
как в предыдущем случае и, исходя из уравнений (2.1.16) и (2.1.17),
получаем
ЯО(РП) = Z; (2.2.14)
Я1 (Pi) (2.2.15)
2п
H2(Pn)^Z. (2.2.16)
4. Проективная плоскость (М). По соображениям, в точнос-
ти совпадающим с предыдущими случаями, для нульмерной группы
гомологий Яо(М) разбиения (а) имеем
Я0(М) = £0(Я1) = Z. (2.2.17)
В разбиении а группа одномерных циклов Ci(M) = Li(lVi), причем
Т1(Я1) = Z. Подгруппа циклов, гомологичных нулю 7?i(jVi), состоит из
5Термин «прямая сумма групп» по содержанию идентичен «прямому произве-
дению групп» с мультипликативной операцией. Напомним, что группа G является
прямым произведением своих подгрупп Gi-.-Gn, если:
а) все элементы G, перестановочны с Gj,
б) любой g 6 G однозначно представим в виде:
ё — ёТ ё"2 • ёп'
Для абелевых групп пункт а) всегда выполняется.
38
Глава 2
одномерных цепей, в которых коэффициенты (В = 2-у — четные числа
(см. формулу (2.1.19)). Смежные классы по подгруппе Bi(Ni) имеют
вид:
(Bib + Bi(M) = {fab + 27Ь} = {(27 + (Bi)b}.
Если (Bi = 27j, где 7, — целое число, то
(З^ + В^) = Bi(M).
Если (3i = 27j + l, то соответствующий смежный класс не совпадает
с Bi(^). Однако любые два смежные класса (3ib+Bi(Ni) и (3ib+Bi(Ni),
где (3i, (Bj — нечетные числа, совпадают даже, если Д (Bj, поскольку
(Bib - (Bjb = {(Bi - (Bj)b = 2(7i - ъ)Ь 6 ВДМ).
Таким образом, имеются всего два разных смежных класса:
h = B^Nr) = {27Ь}
и
h^b + BtfNi) = {(27 + 1)Ь}.
Отсюда следует, что одномерная группа Бетти проективной плос-
кости состоит из двух элементов huh'; при этом
h + h = h; h + h' = 7i'; h! + h' = h.
Очевидно, что Hi(JVi) изоморфна аддитивной группе целых чисел О
и 1 с операцией сложения по mod 2
0 + 0 = 0; 0 + 1=0; 1 + 1 = 0;
(изоморфизм: 0 <—> h, 1 4—> 7i'). Эта группа обозначается через йг- За-
метим, что Z2 изоморфна фактор-группе группы Z по подгруппе четных
чисел Z2=Z/2Z. Итак
Hi(M)“Z2. (2.2.18)
Группа двумерных циклов C^-^i) в случае разбиения а) состоит из
одного элемента — нуля, который, конечно, гомологичен нулю, так как
Теория гомологий 39
формально является границей трехмерной цепи I3 = 0. Следовательно,
мы имеем
Я2(^)=0. (2.2.19)
Рассмотрим теперь группы гомологий проективной плоскости Ni для
разбиения б). Группа нульмерных циклов C'o(jVi) для этого разбие-
ния, как и для любого другого, совпадает со всей группой нульмерных
цепей Lq(N-l). Подгруппу же нульмерных циклов, гомологичных ну-
лю, согласно равенствам (2.1.21) образуют циклы с а2 = — од.
Перепишем Co(lVi) = Lq(M) в другой форме, изменив базис:
С'о(М) = {onai + 01202} = {ai+ai + a_(a2 - ai)},
где
a+ = ai + 02; a_ = a2.
Эта запись показывает, что все смежные классы групп нульмерных
циклов по подгруппе циклов, гомологичных нулю Во(Я1)={о_(а2—ai)}
имеют вид:
а + ai +
При этом два смежных класса с различными о+ всегда различны, так
как если
о+ — а!+ 0,
то
(<*+ - a'+)ai £ а_(а2 - aj £ В0(М).
Из сказанного следует, что для рассматриваемого разбиения проектив-
ной плоскости, так же как и для разбиения а
НМ * Z.
Группа одномерных циклов Ci(M) в соответствии с (2.1.21) имеет вид:
С1(М) = /?2^2 + 0зЪз-
Подгруппа же циклов, гомологичных нулю, Bi(Ni) в данном случае
получается из Ci(^) при условии, что коэффициент
02 = 27,
40
Глава 2
т. е. является четным числом:
B1(N1) = {2yb2+0b3}.
Элементы смежного класса по этой подгруппе имеют вид:
{(Аг + 27)62 + (Аз + 0)Ь3}.
Два смежных класса, соответствующие коэффициентам /Зг, Х?з и /3'2, /З'3,
совпадают, если
Аг - 0'2 = 27',
т. е. является четным числом. Из этого следует, что имеется только два
различных класса, а именно сама подгруппа и смежный класс
Ь2 + /33Ь3 + Bi(Ni) = {(27 + 1)&2 + (Аз + 0)Ь3}.
Снова, как и в разбиении а), получаем
=*Z2.
Наконец, группа двумерных циклов C2(Ni), согласно выражению
(2.1.21), состоит из одного элемента 71 = 72 = 0, т. е. из нулевого
цикла, который вместе с тем гомологичен нулю (ограничивает нуле-
вую трехмерную цепь). Отсюда следует, что и для данного разбиения
проективной плоскости
Я2(М) =0;
Совпадение (изоморфизм) групп Бетти для двух различных разбиений
проективной плоскости Ni, разумеется, неслучайно. Имеет место об-
щая теорема, доказывать которую мы здесь не будем, что группы гомо-
логий различных разбиений одного и того же многообразия изоморфны.
Поскольку же каждое данное разбиение является очевидным топологи-
ческим инвариантом (группы цепей не меняются при топологических
преобразованиях), то указанная теорема означает, что группы гомологий
являются топологическими инвариантами, т. е., что группы гомологий
гомеоморфных многообразий изоморфны.
5. Бутылка Клейна (N2). Для вычисления групп гомологий этого
многообразия мы используем разбиение на рис. 17 (формулы (2.1.25),
(2.1.26), как наиболее простое из двух рассмотренных. Мы имеем
Ho(N2) Z. (2.2.20)
Теория гомологий
41
Этот результат на основе формул (2.1.22) и (2.1.23) устанавлива-
ется совершенно так же, как в случае разбиения б) проективной плос-
кости. Группа СгСТУг) одномерных циклов имеет вид:
СхСТУг) = {Pibi +
а подгруппа циклов, гомологичных нулю, определяется равенством:
Bi№) = {2?(bi + Ь2)}.
Переписав C\(N2) в форме:
СМ) /3+(Ьг + Ь2) +/ЗЛГ,
где
/3+=(32,
мы приходим к следующим заключениям. Общий вид смежного класса
по подгруппе Bi(N2) дается выражением:
{(27 + ^)^ +Ь2)+(3_Ь1}.
Смежные классы с различными /3_ различны. Если же коэффициен-
ты одинаковы, то смежные классы различны, когда разность:
(3+-/3'+=2т' + 1,
т. е. является нечетным числом. Фактор-группа Hi(N2) разбивается,
следовательно, на две подгруппы:
подгруппу
B1(N2), (&! + Ь2) + ^1(^2)
и подгруппу
0-(bi — b2) + Bi(N2).
Первая из этих подгрупп изоморфна Z2, вторая — Z. В результате име-
ем
Hi(N2) = Z ф Z2.
(2.2.21)
42
Глава 2
Что касается Я2(Я2)> то совершенно так же, как и в случае проективной
плоскости, находим
Я2(Я2)=*0. (2.2.22)
Читателю предоставляется получить формулы (2.2.20) — (2.2.22), ис-
ходя из разбиения рис. 16 (формулы (2.1.22) — (2.1.24)).
Полученные результаты позволяют почувствовать полезность ап-
парата групп Бетти. В самом деле, сравним тор и бутылку Клейна.
Выше отмечалось, что хотя эти две поверхности не гомеоморфны, их
эйлеровы характеристики равны
Х(А)=Х№)=О;
Для того, чтобы их различить, кроме задания эйлеровых характерис-
тик, надо еще словесно указать, что тор — ориентируемая поверхность,
а бутылка Клейна неориентируема. Теперь же различие этих двух по-
верхностей сформулировано алгебраически. Именно, это различие про-
явилось в неизоморфности гомологических групп:
Я2(Р1)^Я2(Я2). (2.2.23)
Неизоморфность гомологических групп может быть выражена с помо-
щью чисел. Такими топологическими «квантовыми числами» являются
числа Бетти. Они будут рассмотрены в следующем разделе.
В заключение этого параграфа отметим, что во всех рассмотрен-
ных примерах
Яо = Z.
Это обстоятельство неслучайно и обусловлено тем, что рассматрива-
лись только связные поверхности. Если же многообразие несвязно и
состоит из к связных компонентов, то для нульмерных гомологичес-
ких групп Но имеет место изоморфизм:
Яо = Z®...®Z. (2.2.24)
к
Таким образом, нульмерные гомологии не очень интересны — груп-
па No фактически содержит лишь информацию о связности многообра-
зия в указанном выше смысле.
Теория гомологий
43
Подчеркнем еще один общий результат, полученный в предыду-
щем рассмотрении. Мы имели возможность убедиться (см. форму-
лы (2.2.14)-(2.2.16)), что все двусторонние замкнутые поверхности Рп
имеют группы гомологий, не содержащие (в прямой сумме) конечных
(циклических) подгрупп типа Z2, которые содержатся в гомологичес-
ких группах неориентируемых поверхностей Нп. Насколько нетриви-
ально появление циклических подгрупп Z2 в гомологиях видно из того,
что наличие таких циклических подгрупп в гомологиях было перво-
начально «просмотрено» Пуанкаре в его первой топологической работе
Analysis situs (1895), совершенно изумительной по богатству идей.
2.3. Числа Бетти и характеристики кручений.
Как следует из предыдущего, группы гомологий являются абелевы-
ми группами с конечным числом образующих или, как говорят иногда,
конечно-порожденными группами6.
Во всех рассмотренных примерах, группы НГ имели вид:
Н% — Z ф ... ф Z + Gm2, (2.3.1)
где Gm2 — конечная группа порядка т2 (в наших примерах Gm2 = Z2).
Этот результат в действительности является частным случаем общей
алгебраической теоремы: конечно-порожденная группа разлагается в
прямую сумму свободных циклических групп и группы Gm2 конечного по-
рядка т2. В свою очередь, любая конечная абелева группа Gm2 (такие
группы называют также периодическими) разлагается в прямую сум-
му циклических групп, причем здесь имеет место аналог теоремы Фу-
рье для периодической функции: порядки всех циклических слагаемых в
указанной прямой сумме кратны порядку Д > 1 одного из слагаемых.
Более того, порядок Д каждого fc-ro слагаемого является делителем по-
рядка Д+1 (&+1)-слагаемого (нумерация выбрана так, что Д< > Д,
если к' > к). Таким образом
®Напомним, что абелевой группой с конечным числом образующих называется
такая группа, что любой ее элемент может быть представлен в виде линейной комби-
нации некоторого конечного числа одних и тех же элементов группы; эти элементы
называются образующими группы, а их совокупность — базисом.
44
Глава 2
f^>f(j\ Дг)>1, П^Г) = т-
1 ‘ jt=i
(2.3.2)
причем fl делится на f£+1. Число свободных циклических слагаемых pr
в выражении (2.3.1) называется рангом группы Нт или числом Бетти
размерности г многообразия. Числа же
Л(г),-..,Л(г) (2-3.3)
в выражении (2.3.2) называются коэффициентами кручения группы НТ
или коэффициентами кручения размерности г многообразия7.
Если порядок / циклической группы Z/ разлагается на простые
множители
f = 91 • 92 • • • • qi,
то, очевидно,
Zf — Z91 ф ... ф Z9|. (2.3.4)
Из выражений (2.3.2) и (2.3.4) следует, что периодическая абелева груп-
па может быть разложена в прямую сумму циклических подгрупп, по-
рядки которых ЯВЛЯЮТСЯ простыми числами. Поэтому Gmr может быть
охарактеризована указанием порядков
9хГ\ • • • , 9jr), тг = 9^г) (2.3.5)
3=1
своих примерных составляющих (заметим, что среди чисел q^ могут
быть одинаковые)8. Числа (2.3.5) называют иногда конечными инва-
риантами Нт или числами примарных кручений. Изложенным выше
исчерпываются все «квантовые числа» гомологических групп. В табл. 1
приведены числа Бетти.
70тметим следующее свойство /£: это число является наименьшей из «коорди-
нат» элементов Gmr в разложении Gmr по образующей.
^Циклическая группа, порядок которой есть степень простого числа, называется
примерной.
Теория гомологий
45
Таблица 1.
Числа Бетти и коэффициенты кручения замкнутых
двумерных поверхностей
Многообразие Числа Бетти Коэффициенты кручений
Ро Pi Рт г = 0 г = 1 г = 2
S2 1 0 1 0 0 0
Рп 1 2п 1 0 0 0
Nn 1 п — 1 0 0 2 0
и коэффициенты кручения. Как видно из таблицы, для ориентируемых
многообразий справедливо соотношение
Рп-т = Рг, (2.3.6)
называемое «теоремой двойственности Пуанкаре». Эта теорема спра-
ведлива и для ориентируемых многообразий высших размерностей
больше 2.9 Для двумерных ориентируемых многообразий в силу теоре-
мы о двойственности нетривиальным оказывается только одномерное
число Бетти pi, имеющее, очевидно, простой геометрический смысл:
оно равно максимальному числу неограниченных циклов. Положение
меняется, когда мы переходим к неориентируемым поверхностям. На-
пример, для проективной плоскости цикл, начинающийся и кончаю-
щийся в бесконечно-удаленной точке, не ограничивает, тем не ме-
нее pi(M) = 0. Теорема двойственности может быть обобщена на не-
ориентируемые многообразия, если рассматривать гомологии по мо-
дулю 2 или вообще по модулю отличного от 1 числа. Этому вопросу
посвящен раздел 2.4.
Укажем связь эйлеровой характеристики х с числами Бетти. Имеет
место следующее соотношение, справедливое для многообразий любой
размерности п:
9В оригинале Analysis situs Пуанкаре формулировал теорему двойственности так:
«числа Бетти, равноотстоящие от концов, равны».
46
Глава 2
X = ^(-1)ГРг-
r=l
(2.3.7)
Это соотношение также было впервые получено Пуанкаре в Analysis
situs.
Для ориентируемых многообразий размерности п, если п четно,
но п/2 нечетно, «срединное» число Бетти рп/2 четно. Проявлением этого
правила в случае п = 2 есть равенство pi(Pn) = 2п.
Остановимся теперь вкратце на вычислениях чисел Бетти многооб-
разий более высокой размерности («4-1). В ряде случаев удобный пря-
мой путь состоит в погружении замкнутого «-мерного многообразия в
евклидово пространство большей размерности (п 4- 1). Далее, выбрав
удобную форму многообразия,например, в виде многогранника — тет-
раэдра, куба и т. п., следует задать координаты вершин и с их помощью
перечислить ребра, грани и другие клетки всех размерностей. Следу-
ющий этап состоит в идентификации элементов многогранника, пре-
вращающей его в исследуемое многообразие. В зависимости от относи-
тельной ориентации идентифицируемых клеток (вершин, ребер, граней
и т. д.) мы получим ориентируемое или неориентируемое многообразие.
Если после идентификации не остается «свободных» вершин, граней и
др. клеток с размерностью, меньшей п, то образованное многообразие
будет «-мерной замкнутой поверхностью. Указанное построение содер-
жит в себе и определение клеточного разбиения, позволяющее выписать
цепи и применить стандартную процедуру вычисления групп гомоло-
гий и соответствующих чисел Бетти. Поскольку при отсутствии на-
глядной картины возможны ошибки в идентификации элементов вспо-
могательного многогранника, надо следить за тем, чтобы возникшие
после идентификации клетки, проходящие через одну вершину, образо-
вывали «звезду», т. е. захватывали полный телесный угол (« —1)-мерной
сферы с центром в данной вершине. Следить же за этим можно с помо-
щью следующего приема. Если представить себе (« —1)-мерную сферу с
центром в данной вершине, то ребра, грани и др. клетки звезды, продол-
женные до пересечения с поверхностью сферы, определяют клеточное
разбиение этой сферы. Число образовавших клеток должно, согласно
формуле (2.2.5), давать эйлерову характеристику х(£п-1)> равную О»
Теория гомологий
47
если п — 1 нечетно, и 2, если п — 1 четно. Сказанное поясняется рис. 18.
Очевидно, что число КГ
r-мерных граней сферы бу-
дет равно числу Kr+i (г 4-1)-
мерных граней звезды. Вычис-
ление чисел Бетти чаще удобно
производить косвенными мето-
дами. Эти методы основывают-
ся на связи других характерис-
тик многообразий, вообще го-
Рис. 18. Звезда и определяемое ею кле-
точное разбиение сферы с центром в вер-
шине.
воря, зависящих от конкретной
реализации многообразия с ис-
комыми числами Бетти. В ка-
честве примера приведем соот-
ношение между гауссовой кривизной замкнутой двумерной поверхнос-
ти и ее эйлеровой характеристикой10. Справедлива следующая формула
Гаусса-Бонне (1848 г.)
^^K(x)da = X. (2.3.8)
Здесь К(х) — гауссова кривизна в точке Ida — элемент поверх-
ности, а интегрирование ведется по всей поверхности. Эта форму-
ла может быть использована для вычисления эйлеровых характерис-
тик многообразий, заданных аналитически уравнениями типа (1.2.1)
или (1.2.4). Другие косвенные методы нахождения чисел Бетти состоят
в использовании теории сложения (см. ниже 2.5,2.6) и теории расслое-
ний (расслоенных пространств). Теоремы сложения сводят вычисление
групп гомологий для некоторого многообразия к вычислению аналогич-
ных групп для более простых частей этого многообразия той же или
меньшей размерности. Расслоения, будучи объектами, которые можно
назвать обобщенными прямыми произведениями многообразий, дают
возможность понижать размерность, т. е. выражать группы гомологий
многообразий высших размерностей.
10Напомним, что гауссова кривизна К(х) определяется как предел отношения ори-
ентированных площадей соответственных бесконечно малых участков поверхности
единичной сферы нормалей и рассматриваемой поверхности.
48
Глава 2
2.4. Гомологии и числа Бетти по модулю
Вместо группы циклов Сг можно рассматривать ее фактор-группу
по подгруппе целых чисел, делящихся на некоторое число т . Точнее,
так как СТ — свободная группа с некоторым (конечным) числом обра-
зующих
Cr“Z®...$Z, (2.4.1)
то Сг имеет подгруппу
Cr(m) =Z(m)$...$Z(m), (2.4.2)
где Z(m) — аддитивная группа целых чисел, делящихся на тп, являю-
щаяся подгруппой группы Z. Мы рассматриваем фактор-группу
Сг (mod т) = Сг1Сг(т). (2.4.3)
Легко видеть, что Z/Z(m) изоморфна конечной из элементов
О, 1, 2, ... , q, ... , т — 1, в которой групповая операция сложения опре-
делена по mod т. Именно, по определению
q + q' = R(q + q), (2.4.4)
где R(q + q') — остаток от деления числа q + q' на т. Ясно, что эта
группа является циклической группой т-го порядка и, таким образом,
Z/Z(rn)^Zm. (2.4.5)
Отсюда следует, что
Cr (mod m) = Zm ф ... ф Zm, (2.4.6)
причем число слагаемых в выражении (2.4.6) равно числу слагае-
мых в выражении (2.4.1). Согласно изложенному, Cr (mod т) по-
лучается из Сг, если заменить в Сг обычное арифметическое сло-
жение коэффициентов в абстрактной сумме сложением по mod т.
При этом из подгруппы Вг циклов, гомологичных нулю, мы по-
лучим группу Br (mod m), которая, очевидно, будет подгруппой
Теория гомологий
49
группы Сг (mod тп). Взяв теперь соответствующую фактор-группу
Сг (mod m)IBr (mod т), мы получим группу гомологий НГ (mod т)
по модулю тп:
Нг (mod m) = Cr (mod m)/Br (mod m). (2.4.7)
Поскольку Hr (mod m) есть конечная группа, то ее разложение в пря-
мую сумму циклических подгрупп может содержать только цикличес-
кие слагаемые конечного порядка, причем наивысшим возможным по-
рядком является число т. В этом смысле особенно проста структура
групп гомологий по модулю 2.
Ясно, что
Нг (mod 2) = Z2 Ф • • Ф 2^2. (2.4.8)
pr (mod 2)
Число слагаемых рГ (mod 2) в прямой сумме (2.4.8) называется
r-мерным числом Бетти по модулю 2. При произвольном модуле т
r-мерным числом Бетти по модулю т называется число образую-
щих 1т в разложении Нг (mod т).
Очевидно, что группы гомологий по модулю НТ (mod т) в мень-
шей степени характеризуют многоообразие, чем группы Нг- В самом
деле, переход к гомологиям по модулю получается в результате замены
группы циклов Сг ее фактор-группой Сг/Сг(т)- Последняя же лишь
гомоморфна группе СТ, а не изоморфна ей, а потому отражает лишь
некоторые особенности структуры Ст, но не все детали этой структу-
ры. То же, естественно, относится и к сравнению интересующих нас
в конечном счете групп Hr (mod тп) с группами Нт. Это «огрубление»
групп гомологий по модулю по сравнению с полными группами гомо-
логий дает, с другой стороны, ту выгоду, что вычисление Нг (mod тп)
и, соответственно, pr (mod тп) оказывается ин<?гда проще. Вместе с
тем, для некоторых проблем, в частности, для задач, решаемых в тео-
рии Морса, информации, содержащейся в pr (mod тп), оказывается до-
статочно для получения нетривиальных результатов. Смысл «огрубле-
ния» Нт при переходе к Hr (mod 2) состоит в том, что эти гомологии
«не чувствуют» тех деталей топологической структуры многообразий,
которые определяются ориентацией, т. е. связаны с тем фактом, что
50
Глава 2
многообразие разбито не просто на клетки, а на ориентированные клет-
ки. Действительно, циклам +сг и — сг отвечает один и тот же элемент
Сг (mod 2) = Cr/Cr(2), а именно смежный класс сг + СГ(2), поскольку
сг - (—сг) = 2сг е Сг(2)
и, следовательно, смежные классы сг + Сг(2) и — ст + Сг(2) совпадают.
Таблица 2
Схема вычисления pr (mod 2) для проективной плоскости
Г 1 1 (mod 2) А/ А (mod 2) Сг Сг (mod 2) Вг (mod 2) Hr (mod 2) Pr (mod 2)
0 аа 0 0 Z Z2 0 Z2 1
1 № 0 0 Z ^2 0 Z2 1
2 2yb 0 Z Z2 0 Z2 1
Таблица 3
Числа Бетти (mod 2) для двумерных замкнутых многообразий
Многообразие рг (mod 2)
r = 0 r = 1 r = 2
Рп 1 2n 1
Nn 1 n 1
Приведем теперь, в качестве примера, вычисление Нт (mod 2)
и рг (mod 2) для проективной плоскости. Для разбиения а) (форму-
лы (2.1.18) — (2.1.19) схема вычисления передается табл. 2. В табл. 3
приведены числа Бетти по модулю 2 для всех двумерных замкнутых
поверхностей. Как видно из табл. 1 и 3, рг (mod 2) для ориентируемых
поверхностей Рп равны обычным числам Бетти, тогда как для неори-
ентируемых поверхностей Nn pr (mod 2) рт- Мы видим также, что
при переходе к гомологиям по модулю 2 соотношение двойственности
Пуанкаре имеет место для всех поверхностей, как ориентируемых, так
и неориентируемых:
Pn-r (mod 2) = pr (mod 2).
(2.4.9)
Теория гомологий
51
Из табл. 3 также видно, что числа pr (mod 2) в отличие от рг не опре-
деляют многообразие однозначно: pr (mod 2) одинаковы для и N2k
в частности, для тора и бутылки Клейна.
Отметим, что особенность проективной плоскости, состоящая в ра-
венстве 1 для всех чисел Бетти (mod 2), сохраняется и в многомерном
случае п > 2.
2.5. Многообразия с «краем». Относительные
гомологии
В случае многообразий с краем такую же роль, как и циклы, иг-
рают незамкнутые подмногообразия, «опирающиеся на край», т. е. под-
многообразия, границы которых лежат в границе всего многообразия
в целом (в «крае»). Действительно, поверхность с краем может быть
разделена на части не только замкнутой кривой — циклом, но и вся-
кий кривой, начинающейся и заканчивающейся в точках границы. С
другой стороны, как тор от сферы отличается наличием циклов, не де-
лящих поверхность на отдельные части (не гомологичные нулю), так и
круговое кольцо от круга отличается наличием классов, не делящих по-
верхность незамкнутых линий, опирающихся на границу (внутреннюю
и внешнюю окружности).
Отсюда ясно, что в случае многообразий с краем теория гомологий
должна быть видоизменена таким образом, чтобы кривые (подмногооб-
разия в общем случае), опирающиеся на край, играли роль, аналогич-
ную циклам в теории замкнутых поверхностей (многообразий). Для
этого точки упомянутых кривых, лежащие на границе поверхности,
должны как бы исключаться, считаться несущественными. Мы не мо-
жем себе позволить отождествлять их каким-либо образом, так как это
изменило бы топологические свойства поверхности, например, отож-
дествление граничных окружностей кругового кольца превратило бы
кольцо в тор или бутылку Клейна в зависимости от схемы отождествле-
ния. Сделать же указанные точки несущественными можно, объединив
их в некоторое множество, которое затем будет рассматриваться, как
нулевой элемент некоторой аддитивной группы. Очевидно, что такой
группой должна быть фактор-группа цепей по какой-то из ее подгрупп.
Сказанное означает, что видоизменение теории гомологий в случае
52
Глава 2
многообразий с краем должно состоять в переходе от группы цепей к
ее фактор-группе по подгруппе цепей, лежащих в границе. Подобная
фактор-группа есть разновидность группы так называемых относи-
тельных цепей. В общем случае, группа относительных цепей опреде-
ляется следующим образом. Пусть N С М есть некоторое подмного-
образие многообразия М. Допустим далее, что клеточное разбиение N
есть часть клеточного комплекса М, и что поэтому группа цепей L(N)
есть подгруппа группы цепей L(M). Тогда фактор-группа
ЦМ, N) = L(M)/L(N) (2.5.1)
называется группой относительных цепей. При определенном выборе
клеточного базиса относительную цепь l(M, N) можно было бы заме-
нить цепью l(M\N), где M\N— разность множеств М и N. Но такое
определение было бы неинвариантно относительно выбора базиса. Оно
практически совпало бы с выражением (2.5.1), если бы базис разбивал-
ся на две части: клетки, лежащие в М \ N, и клетки, лежащие в N.
Однако при переходе к новому базису
а* = QtkjCij
з
замена L(M, N) на L(M \ IV) уже была бы неоправданна, тогда как ра-
венство (2.5.1) имеет смысл всегда и при любом выборе базиса опреде-
ляет один и тот же объект. Чтобы осуществить намеченное обобщение
понятия цикла, включающее в циклы кривые, опирающиеся на гра-
ницу, определим границу Д/Г(М, 7V) относительной цепи Zr(M, N) (в
дальнейшем мы обозначим элементы группы цепей малыми буквами,
а сами группы — большими). Относительная r-мерная цепь lr(M, N),
согласно выражению (2.5.1), есть смежный класс:
1Г(М, N) = lr(M) + Lr(N). (2.5.2)
Очевидно, что граница Д/Г(М, N) должна быть относительной г — 1
цепью, т. е. смежным классом по подгруппе Lr_i(lV). Элементом, по-
рождающим этот смежный класс, должна быть граница Д/Г(М), явля-
ющаяся обычной (г — 1)-мерной цепью. Таким образом, мы полагаем
Д/Г(М, N) = Ыг(М) + Lr-i(N). (2.5.3)
Теория гомологий
53
Согласно равенству (2.5.3), обычный цикл (Д/Г(М) = 0) и цепь, опира-
ющаяся на N, (Д/2(М) 0, но Д/2(М) € Lr-i(2V)) теперь совершенно
уравниваются: в обоих случаях
ДЦМ, N) = L^N) = O(Lr_!(M)/Lr_i(^), (2.5.4)
Нетрудно убедиться, что как и обычная граница, относительная грани-
ца удовлетворяет требованию, чтобы граница границы равнялась нулю.
Действительно, учитывая, что Д(Д/Г) = 0, из выражения (2.5.3) имеем
Д(Д/Г(М, IV)) = Д(Д/Г(М)) + Lr_r(lV) = Lr_r(N) = 0. (2.5.5)
Дальнейшее построение теории относительных гомологий уже совер-
шенно очевидно. Мы говорим, что относительная цепь Cr(M, N) явля-
ется относительным циклом, если
ДСГ(М, N) = 0. (2.5.6)
Ясно, что относительные циклы образуют группу Cr(M,N)cLr(M,N).
В группе Cr(M, N) мы различаем подгруп- а
пу _ВГ(М, N) относительных циклов br(M, N), явля-
ющихся относительными границами относительных f 'ч
цепей Ьг+1(М, N). Наконец, группой r-мерной отно- / | Д
сительной гомологии мы называем фактор-группу11. I I___I
Hr(M,N)=Cr(M,N)/Br(M,N). (2.5.7)
Рассмотрим некоторые примеры вычисления Рис. 19. Прос-
группы относительных гомологий для многообразий тейшее клеточ-
С краем. ное разбиение
1. Двумерный шар (круг) R%. Клеточное раз- кРУга-
биение показано на рис. 19. Оно содержит нульмерную, одну одномер-
ную и одну двумерные клетки:
l0(R2)=aa, h(R2) = pb, l2(R2)=yg. (2.5.8)
11 Для связи с литературой укажем, что НГ(М, N) называют также относитель-
ной гомологией М mod N.
54 Глава 2
Далее имеем
Д/о = Д/1 = 0; Д/2 = (2.5.9)
В качестве подмногообразия N выбираем границу круга. Тогда
aaeL0(N), 0b е L^N), L2(N) = 0
и для групп относительных цепей находим
L0(M, N) = 0; (2.5.10)
L^M, N) = 0; (2.5.11)
L2(M, N) = L2(M). (2.5.12)
Очевидно, что все относительные цепи 10 М. N) и li(M, N) явля-
ются относительными циклами. Поэтому
L0(M, N) = С0(М, N), Li(M, N) = C0M, N). (2.5.13)
Для Д/2(М, Я) имеем
Д/2 (М, N) = Д/2 + (Я) = yb + Li (N).
Так как ~yb £ L0N), то
Д/2(М, ^) = о,
т. е.
L2(M, N) = С2(М, N) (2.5.14)
Поскольку все относительные цепи являются относительными цикла-
ми, то относительных циклов br(M, N), являющихся относительными
границами нет. Таким образом:
Br(M,N)=0; г =1,2. (2.5.15)
Из выражений (2.5.10)-(2.5.15) следует
Яо = Ж = 0; Н2 Z.
(2.5.16)
Теория гомологий
55
Черта означает здесь относительную гомологию. Если ввести соответ-
ствующие числа Бетти рг (ранги групп относительных гомологий НГ),
то следовательно мы имеем
Ро(^о) — Р1(^о)>
Pr(-Ro) = 1-
(2.5.17)
2. Трехмерный шар R2. Простейшее разбиение, очевидно, будет
опять одноклеточным, так что
10 = аа; li =0; 12 = 7 g; I3 = tS, (2.5.18)
причем клетка g-есть сфера S2, которую примем за подмногообразие N.
Все цепи, за исключением трехмерной, являются обычными циклами и
принадлежат L(N). Для трехмерных же цепей имеем
Д/з = o-gG L2(N).
(2.5.19)
Поэтому трехмерные цепи, не будучи обычными циклами, являются,
тем не менее, относительными циклами. Далее, L3(N) = 0, так как Я —
двумерная сфера S2, и в полной аналогии с предыдущим получаем
Яо(^)=Я1(^)^Я2(Яо3) = О, Яз(Я’)^2 (2.5.20)
и
РсМ) = p,(^) = рг(Я’), рз(ДЗ) = 1. (2.5.21)
Рис. 20. Клеточное разбиение кругового кольца.
3. Двумерный шаровой слой (круговое кольцо) R2. Простей-
шее клеточное разбиение показано на рис. 20.
56
Глава 2
В качестве подмногообразия N выбираем границу кольца bi U&2-
Тогда ясно, что группа нульмерных относительных цепей есть ноль, а
группа одномерных относительных цепей Li(M, N) состоит из одно-
членных цепей /ЗзЬ3 + Li(N'), т. е.
Li(M, 7V)=Z. (2.5.22)
Легко видеть, что
Li(M, N) =Сз(М, N),
т. е. нульмерные и одномерные цепи — циклы. Далее, одночленная дву-
мерная цепь также является относительным циклом, поскольку грани-
ца двумерной клетки лежит целиком в N. Следовательно
L2(M, N) = С2(М, N)
и все цепи опять являются циклами, так что все В2(М, N) = 0. Поэто-
му мы получаем:
Яо(Я?) = 0,
H2(Rl)^Z
(2.5.23)
или
ро(Я?)=0, р1(Я?)=р2(Я?) = 1. (2.5.24)
Рис. 21. Клеточное разбиение
листа Мёбиуса IWf.
Мы видим, что pr(Rl) £ рг(/?о),
т. е. наши группы относительных гомо-
логий различают негомеоморфные мно-
гообразия.
4. Лист Мёбиуса Mf. Клеточное
разбиение воспроизведено на рис. 21.
В качестве подмногообразия N выби-
раем геометрическую границу листа
Мёбиуса — окружность Ь^. Тогда це-
пи 12(М) выглядят так:
10 — <21а1 + а2а2>
h = 7g
11=^0^;
i=l
(2.5.25)
Теория гомологий
57
из границы
— 0; Д/1 — /Зз(о2 — <ii); Д/2 = 7bi — 2752. (2.5.26)
Относительные цепи:
/о(ТИ, TV) — а2а2 + L0(N); h(M, TV) = (32b2 + ft3b3 + L1(TV); Z2(M, TV) = 7g (2.5.27)
или L0(Af, TV) = Z; LX(M, TV) ^Z®Z; L2(M, N) sz. (2.5.28)
Относительные границы:
Д/0(М, TV) = 0; C0(M, TV) = L0(M, N)=% N) = 0з(а2 — ax) + Lq(N) = l32a2 + Lq(N). (2.5.29) (2.5.30)
ных Из равенства (2.5.30) следует, что группа одномерных относитель- циклов состоит из цепей с /?3 = 0:
Ci(М, TV) =02b2+Lr(N) (2.5.31)
или С2(М, TV) ^Z. (2.5.32)
Далее имеем
Д/2 (М, N) = - 27Ь2 + Lj (TV) = —27b2 + (TV) (2.5.33)
и, следовательно, относительным циклом будет только цепь с 7 = 0 или
С2(М, TV) = 0. (2.5.34)
Сравнивая выражения (2.5.27) и (2.5.30), замечаем, что
В0(М, N) = С0(М, N) = Lq(M, N),
58
Глава 2
откуда следует
Я0(Мх2) “ 0. (2.5.35)
Сравнивая выражения (2.5.31) и (2.5.33) устанавливаем
Bi(M, N) = -2762 + Ь1(Я) “ Z(2). (2.5.36)
Из выражений (2.5.32) и (2.5.36) находим
Я1 (Mf) =* Z/Z(2) й Z2 (2.5.37)
Наконец, из выражения (2.5.34) следует
Я2(М!2)^0 (2.5.38)
Таким образом, для относительных чисел Бетти листа Мёбиуса имеем
pr(M?)=0, r = 0, 1, 2; (2.5.39)
для относительных коэффициентов кручения mr(M2) получаем
то(М1) = m2(Mf) = 0; mi(Mx2) = 2. (2.5.40)
Легко вычислить также pr (mod 2). В этом случае мы получили бы из
выражения (2.5.33), что
Д/2(М, TV)/ mod 2 = 0.
Поэтому
В\ (mod 2) = Я2 (mod 2) = 0
Я1 (mod 2) = Я2 (mod 2) = Z2
и
р0 (mod 2) = 0, Pj (mod 2) =р2 (mod 2) = 1. (2.5.42)
Сравнивая три рассмотренных примера негомеоморфных двумер-
ных многообразий с краем, мы видим, что все группы относительных
Теория гомологий
59
гомологий для них различны и при этом все эти группы гомологий и
соответствующие им числа Бетти отличаются от групп гомологий и
чисел Бетти для замкнутых двумерных многообразий. Таким образом,
относительные гомологии действительно характеризуют топологичес-
кие свойства многообразий; числа Бетти гомеоморфных многообразий
совпадают.
Любопытно посмотреть, что мы получили бы, если бы использо-
вали для описания многообразий с краем не относительные гомологии,
а обычные. Нетрудно подсчитать, что обычные группы гомологий и
числа Бетти для кольца R\ равны.
Ро(Я?)=Р1(Я?) = 1,
Я2(Я?) = 0,
р2(Я?) = 0.
Совершенно то же самое справедливо и для чисел Бетти листа Мёбиуса.
Иными словами, мы получили бы
Рг(Я?) =рт(М1)
для заведомо не гомеоморфных двумерных многообразий с краем.
Для ориентируемых многообразий с краем относительные числа
Бетти имеют почти тот же геометрический смысл, что и обычные чис-
ла Бетти для замкнутых ориентируемых многообразий: они дают ми-
нимально возможные числа r-мерных клеток для данного многообразия
за вычетом лежащих в границе. Поэтому для ориентируемых многооб-
разий с краем так же, как и для замкнутых, pr = рТ (mod 2). Для не-
ориентируемых многообразий с краем так же, как и для замкнутых не-
ориентируемых многообразий, указанный геометрический смысл име-
ют только рТ (mod 2). Поэтому для неориентируемых многообразий с
краем pr = рТ (mod 2).12
123аметим, что pr (mod 2) дают минимальное клеточное разбиение вообще воз-
можное для многообразий, гомеоморфных данному. Это минимальное разбиение для
конкретной реализации может оказаться непосредственно неосуществимым: для его
выполнения могут потребоваться предварительные гомеоморфные преобразования.
Например, реализация листа Мёбиуса М? в виде, показанном на рис. 66 и воспро-
изводящем его рис. 21, не позволяет получить непосредственно минимального кле-
точного разбиения, отвечающего числам pr (mod 2) согласно равенствам (2.5.42).
Такое разбиение дается реализацией Af2, произведенной на рис. 6а.
60
Глава 2
В заключение данного раздела мы приводим рг и pr (mod 2) для
круга с n-дырками и круга с n-дырками, заклеенными листами
Мёбиуса (табл. 4 и 5).
Таблица 4
Относительные числа Бетти и коэффициенты кручения для
двумерных многообразий с краем
Многообразие Числа Бетти Коэффициенты кручения
Ро Pi Рг т0 7711 тг
R2n 0 п 1 0 0 0
м? 0 п — 1 0 0 2 0
Таблица 5
Относительные числа Бетти по (mod 2) для
двумерных многообразий с краем
Многообразие Числа Бетти (mod 2)
Ро Pi Рг
0 п 1
м* 0 п 1
Как и следовало ожидать, pr (mod 2) совпадают для ориентируемых и
неориентируемых многообразий.
2.6. Последовательности Майера-Вьеториса и
«теоремы сложения» для чисел Бетти
Основой метода получения теорем сложения является использова-
ние так называемых точных последовательностей гомоморфных ото-
бражений нескольких абелевых групп.
Последовательность гомоморфизмов
Л1 *4 а2 л3
(2.6.1)
называется точной, если
Im/12 = Кег/23.
(2.6.2)
Теория гомологий
61
Здесь Im/ij — множество элементов Aj, являющихся образами
элементов А, при гомоморфизме Д,; КегД — множество элемен-
тов Ai,отображаемых в ноль группы Aj при гомоморфизме fij. Рис. 22
поясняет эти определения
Рис. 22. Иллюстрация Imfij (а) и Ker fij (б).
Графическая иллюстрация точной последовательности (2.6.1) при-
ведена на рис. 23. Для дальнейшего важна основная теорема о гомомор-
физме, которая состоит в следующем:
Aj/Кег fij = Im fij Ai Aj. (2.6.3)
Рис. 23. Точная последовательность Ai —> Аг —> Аз.
Иначе говоря, если Aj гомоморфна Aj, то элементы Aj, отобра-
жаемые в нуль группы Aj, образуют подгруппу и фактор-группа по
этой подгруппе изоморфна образу в Aj. Графически это иллюстрирует-
ся рис. 24.
С помощью выражения (2.6.3) и цепочки точных последователь-
ностей (2.6.1) можно сделать заключения о структуре одной из групп,
входящих в последовательность, если известна структура другой. При-
62
Глава 2
Рис. 24. Иллюстрация основной теоре-
мы о гомоморфизме.
Рис. 25. Точная
последовательность
О—М2—М3.
менительно к точным последовательностям гомологических групп это
означает, что ранг и коэффициенты кручения одной гомологической
группы могут быть вычислены по соответствующим характеристикам
другой группы гомологий, входящей в ту же точную последователь-
ность.
Рассмотрим некоторые точные последовательности, полезные при
вычислении групп гомологий.
1. Последовательность 0 -^4 Д2 А3
В этом случае
Д2 = 1т/23, (2.6.4)
т. е. А2 отображается изоморфно в некоторую подгруппу А3 (рис. 25). В
самом деле, согласно выражению (2.6.2) Кег/23=0, т. к. Im/i2=0. Далее
Д2/Кег/23 = Д2/{0} = Л2.
Наконец, используя теорему (2.6.3), получаем изоморфизм (2.6.4).
2. Последовательность Ai А2 0.
Для этой последовательности
Im/i2 = А2,
(2.6.5)
т. е. образом Ai является вся группа А2 (рис. 26)
Равенство (2.6.5) очевидно, так как Кег/23 = А2, а в силу теоре-
мы (2.6.3) Im/i2 = Кег/23 = А2. Заметим, что первый гомоморфизм
Теория гомологий
63
Рис. 28. Последовательность 0 —> _42 —> Аз —> At —> 0.
в последовательности п. 1 и последний в последовательности п. 2 три-
виальны. Поэтому утверждение о точности этих последовательностей
равнозначно просто постулированию (2.6.4) для гомоморфизма /23 в
случае п. 1 и равенства (2.6.5) для гомоморфизма /12 в случае п. 2.
3. Последовательность 0 -^4 А2 А3 0.
Предполагается, что (/12, /2з) и (/23, /34) есть точные последова-
тельности. Тогда
А2 = A3.
(2.6.6)
Действительно, последовательность (/23, /34), согласно равенству (2.6.5)
дает
Im/23 = Аз,
а из последовательности (/42, /23), согласно изоморфизму (2.6.4), имеем
А2 = Im/23 = A3,
т. е. соотношение (2.6.6). Эта последовательность показана на рис. 27.
64
Глава 2
4. Последовательность 0 Л2 Аз -Д> А4 0.
Для этой последовательности (рис. 28)
А3/А2 а А4. (2.6.7)
Данное соотношение устанавливается следующим образом. Из последо-
вательности (/34, /45) и теоремы (2.6.3) следует, что
Л3/Кег/34 й Im/34 = А4.
Далее, согласно равенству (2.6.2), из последовательности (/23, /34) по-
лучаем
Im/23 = Ker/34.
Из этих двух равенств следует изоморфизм (2.6.7). Последователь-
ность (/i2, /23), не использованная до сих пор, нужна по той причине,
что согласно изоморфизму (2.6.4)
Ini/23 = Л2.
Поэтому, если известны Л2 и А3, то равенство (2.6.7) дает А4.
5. Полезен еще следующий пример.
Рассмотрим цепной комплекс:
A Lp Д А Ьр_2 А ... (2.6.8)
Если бы эта последовательность была точна, т. е. 1тД = КегД, то,
согласно определению, группы гомологий Нр такого комплекса были
бы тривиальны. Такой комплекс называют цикличным. Таким обра-
зом, группы гомологий Нр = Кег Д/1шД характеризуют отклонение
последовательности (2.6.8) от точной.
Точные последовательности групп гомологий порождаются гомо-
морфизмами групп цепей. Существенны три типа гомоморфизмов.
Вложение г«. Пусть N и М — два многообразия. Если N С М то
существует тождественное отображение i: N —> М, которое переводит
каждую точку из N в ту же точку, но рассматриваемую как точку в М.
При этом, естественно, каждая цепь Zr(7V) переходит тождественным
образом в цепь Zr(M). Отображение Lr(.ZV) в Lr(M) тождественное с
Теория гомологий
65
нулевым ядром. Оно соответствует точной последовательности (2.6.4).
Однако порождаемый вложением г гомоморфизм группы гомологий
Hr(N) А ЯГ(ТИ)
может иметь ненулевое ядро. Гомоморфизм г» строится следующим об-
разом: берется цикл с/ТУ) из некоторого класса (сг(ТУ)+Вг(Я))€Яг(ТУ)
и рассматривается как представитель класса (сг (ТУ) 4-ВГ(М)) е НГ(М).
Приведем пример нетривиального ядра Кегг».
Пример. N — граница круга R = М (рис. 29); N — цикл в N и в М,
негомологичный нулю в N и гомологичный нулю в М.
Иначе говоря, N /0 и i»(N + = Bi(M) ~ 0 в Hi(M)
Проекция (р»). Группа цепей Lr(M) гомоморфна своей фактор-
группе Lr(M, N) = Lr{M)/Lr(N). Этот гомоморфизм
Ь2(ТИ) АЬ2(ТИ, N)
(2.6.9)
индуцирует гомоморфизм р* групп гомологий
Я2(ТИ) Н2(М, N).
(2.6.10)
Граничный гомоморфизм Д,. Если соспоставить цепи ее грани-
цу или часть границы, то мы получим гомоморфные отображения Lr
на Lr~i. В частности, если N С М, то цепи на М можно сопоставить
часть ее границы, лежащей в ТУ. Гомоморфизм этого типа, называемый
граничным, определяется соответствием:
1г(М) Ад lr(N) е £Г-1(ТУ),
(2.6.11)
где символ Д 1Г означает часть границы, содержащейся в Lr_j (ТУ), т. е.
являющейся цепью на N. Циклу сг(М) при гомоморфизме Д отвечает
нуль группы Lr_i(7V).
Покажем, что граничный гомоморфизм Д порождает гомоморфизм
групп гомологий Д«:
НГ(М, ТУ) А ЯГ_1(ТУ).
(2.6.12)
66
Глава 2
Рис. 29. М —
круг с гра-
ницей N.
Цикл N не-
гомологичный
нулю в N и
гомологичный
в М. Иначе
говоря, N ф О,
»(Я) = N и
i.(N+Bi(N)) =
Bi(M) ~ 0 в
Н^М).
Рис. 30. Клеточное разбиение A4iUM2. Клетки 6, 7,8
составляют клеточное разбиение Mi П М2. Клетки
1-5 — разбиение Мг \ (Mi Г) М2). Клетки 10-14 —
разбиение М2 \ (Afi \ М2). Любая цепь на Mi U М2
есть линейная комбинация четырнадцати показан-
ных на рисунке клеток.
Определим Im Д,. Элементами Hr(M, N) являются смежные клас-
сы группы СГ(М, N) относительных циклов сг по подгруппе Br(M, N)
относительных циклов Ьг, гомологичных нулю, т. е. являющихся от-
носительными границами относительных цепей. Подгруппа Br(M, N)
состоит из относительных циклов Ъг, имеющих вид:
Ьг = Д/г+1 + Lr(N) G Br(M, N).
Поскольку Д/г+1 есть цикл (Д(Д/г+1) = 0), его образом при
граничном гомоморфизме (2.6.11) является нуль. Образами элемен-
тов Lr(N) являются их границы, т. е. циклы br_i(N) из C'r-i(IV), го-
мологичные нулю в N. Они образуют подгруппу Br-i(‘N). Тем самым
установлено, что
Br(M, N) A Br_i(N)
ИЛИ
О(ЯГ(М, IV)) ^О(ЯГ_!(Я)),
Теория гомологий
67
как и должно быть при всяком гомоморфизме. Для того, чтобы най-
ти 1тД», нужно только установить теперь образ негомологичного ну-
лю относительного цикла cr (cr Ьг) при граничном гомоморфизме.
Так как
Cr = l'r(M) + L2(N),
где 1Г(М) — либо цикл (Д/Г(М) = 0), либо цепь, граница которой ле-
жит в 7У(Д/Г(М) е £r-i(7V)), то видно, что образом сг является ли-
бо нуль, либо смежный класс, порожденный гомологичным нулю цик-
лом b'r^lN) 6 £r-i(.ZV). Заметим, что хотя цикл ^^(ТУ) лежит в N,
он может быть гомологичен нулю не обязательно в N, а во всем много-
образии М. Иными словами b'r_1(N) может быть границей цепи 1Г(М),
не принадлежащей Lr(N)13.
Если этот цикл гомологичен нулю в N, т. е. b'r_1(N) 6 Br-^TV), то
он попадает в нуль группы Hr-i(N). Из этого следует, что образом с2
является совокупность циклов b,—i(2V) из Cr-i(N), гомологичных ну-
лю в М, но не обязательно в N. Циклы в N, гомологичные нулю во всем
многообразии М, мы будем называть связывающими. В соответствии с
изложенным, граничный гомоморфизм (2.6.12) устанавливается соот-
ветствием:
cr + Br(M, N) -А--> b'^N) + Br^N)-,
N (2.6.13)
cr = lr(M) + LrtN^b'r-^N) =Д lr(M),
где Zr(M) — либо цикл, либо цепь с границей в N. Таким образом,
утверждение (2.6.12) доказано.
Совокупность элементов группы гомологий Я‘Г_1(ЛТ), порождае-
мых связывающими циклами b^^N), мы будем называть подгруппой
гомологий связывающих циклов и обозначать через //^(TV). Соответ-
ствие (2.6.12) означает, что
1тД, = (2.6.14)
Из изложенного, в частности из соответствия (2.6.13), следует, ls
lsIIpHMep цикла в ЛГ, гомологичного нулю в М, будет показан ниже на рис. 32. В
этом примере N есть пересечение двух многообразий Mi и М2, а М — их объеди-
нение (М = Mi U Мз).
68
Глава 2
что КегД, составляют относительные циклы сг, порожденные цепя-
ми сг(М) + Zr (7V), где сг(М) — обычный цикл (Дсг = 0):
КегД, = {сг(М) + Br{M, 7V)};
ВГ(М, ZV) = {Zr € Lr{M)/lr = Д/г+1 + Lr{N)}.
(2.6.15)
Переходя к точным гомологическим последовательностям, заме-
тим, что алгоритма, автоматически дающего все возможные точки по-
следовательности групп гомологий, не существует, и отыскание таких
последовательностей требует определенного искусства. Тем не менее,
известен ряд точных последовательностей, полезных для вычисления
гомологических групп. К ним относятся последовательности Майера-
Вьеториса. Они могут быть использованы для вычисления групп гомо-
логий НГ(М) многообразия
М — Mi U М2
по группам гомологий ifr(Mi), //Г(М2) и Hr{M\ UM2) (Mi и М2 могут
пересекаться). Исходным пунктом является точная последовательность
цепей
О —> Lr(Mi О М2) ——> -Dr(Mi) Ф ЬГ(М2) —-> £r(Mi U Л^2) —I 0,
(2.6.16)
порождаемая включениями. Чтобы пояснить соответствие (2.6.13), для
простоты примем такое клеточное разбиение М и Mi, чтобы любая
цепь на М была равна сумме цепей на Mi \ (Mi Г) М2), М2 \ (Mi Г) М2)
и (Mi О Л1Г2).
Иначе говоря, мы полагаем, что единое клеточное разбиение М
дает одновременно клеточное разбиение трех указанных многообразий.
Рис. 30 поясняет сказанное.
Во избежание недоразумений подчеркнем, что элементы группы
Lr(Mi)®£r(M2) представляют собой пары цепей из £r(Mi) и Lr(M2):
/г(1,2) = {/«.(!), /г(2)}.
Операция сложения цепей в этой группе определена так, что
/г(1,2) + /;(1,2) = {/r(l) + z;(l), Ц2) +
Теория гомологий
69
поэтому складывать цепи /г(1) и Zr(2) в данном случае нельзя
(цепь /г(1,2)) является как бы вектором с компонентами Zr(l) и /г(2).
В отличие от этого, в группе Lr(Afi U М2) цепи Zr(l) и /г(2) можно
складывать в обычном смысле, так что наряду с каждой из этих цепей,
элементами группы является и цепь /г(1) + /г(2).
Включения гиг определены следующим образом:
/Г(МХ П М2) -U {Zr(Mi П М2), lr(Mi П М2)} (2.6.17)
{Zr(l), Zr(2)} -Uzr(l)-Zr(2). (2.6.18)
Легко убедиться, что последовательность (2.6.16) точна. Точность
первой короткой последовательности ясна, так как непосредственно из
включения (2.6.17) следует
Im г = LT(Mi Г) М2),
что, согласно изоморфизму (2.6.4), означает точность короткой после-
довательности, начинающейся с нуля. Докажем точность второй ко-
роткой последовательности. Из соответствия (2.6.18) следует, что Кегг
есть подгруппа цепей {/г(Л/1ОЛ/2), /Г(Л/1ОЛ1Г2)}, причем согласно вклю-
чению (2.6.17) она составляет Im г. Таким образом, Im г = Кегг, и этим
устанавливается точность второй короткой последовательности. Для
установления точности короткой последовательности, оканчивающейся
нулем, надо показать, что
Im г = Lr(Mi U М2),
Для этого надо убедиться, что любой элемент из £r(Mi U Л/2) может
быть представлен в виде Zr(l) — /Г(2) и потому является образом по
меньшей мере одного из элементов {Zr(1), Zr(2)} € Lr(Mi) ф £Г(М2).
Очевидно, что любая цепь на Mi U М2 однозначно представима в виде:
lr(Mi U М2) = lr(Mi) + Zr(A/2 \ ЛД1 П М2), (2.6.19)
так как каждое из слагаемых содержит разные клетки, и клеточный
базис всей цепи в правой части равенства (2.6.19) включает в себя все
клетки разбиения Mi UM2. Вместе с тем
Zr(Afi) € Lr(Mi), —lr(M2 \ (Mi Г) М2)) & Lr(M2)
70
Глава 2
и потому произвольная цепь (2.6.19) является, согласно соответ-
ствию (2.6.18), образом элемента:
K(Mi), —lr(M2 \ П М2))} е ЬГ(М1) © £Г(М2).
Этим завершается доказательство точности последовательности (2.6.16).
Перейдем к основной цели этого параграфа. Мы сейчас покажем,
что точной последовательности групп цепей (2.6.16) соответствует точ-
ная последовательность групп гомологий, так называемая последова-
тельность Майера-Вьеториса:
Яг+1(М! П М2) -4 НГ(М! СШ2 )--'->
HT(Mi) © Я,.(М2) Hr(M! U М2) П М2),
где и г* — гомоморфизмы включения групп гомологий, а Д, — не-
который оператор, который мы построим с помощью граничного гомо-
морфизма Д» (2.6.12). Таким образом, наша задача заключается в по-
строении оператора Д, и доказательстве точности последовательнос-
ти. Обратим внимание на отличие точной последовательности групп
цепей (2.6.16) Lr и соответствующей'ей последовательности групп го-
мологий Нт.
Рассмотрим теперь соответствующие группы гомологий. Преж-
де всего заметим, что группа гомологий 7/г(1 ф 2) группы цепей
Lr(Mi) ф£г(Л72) есть прямая сумма групп и НГ(М2}:
Яг(1 ф 2) == Hr(Mi) Ф НТ(М2). (2.6.20)
Элементами группы являются смежные классы:
Ml ф 2) = {сг(1), сг(2)} + {Вг(1), Вг(2)}. (2.6.21)
Здесь сг(1), сг(2) — циклы из Lr(M2), а Вг(1), Вг(2) — под-
группы гомологичных нулю циклов. Парам {сг(1) + &г(1), сг(2) + Ьг(2)},
где Ьг(1) 6 Вг(1), Ьг(2) £ Вг(2) отвечает один и тот же смежный класс.
Гомоморфизмы г (2.6.18) порождают гомоморфизмы i» групп гомологий
ЯГ(МХ) Ф НГ(М2) -S ЯГ(М1 U М2) (2.6.22)
Теория гомологий
71
по закону:
Imz. = {cr(l) - cr(2) + Br(Mi UM2)}. (2.6.23)
Отметим, что в отличие от равенства (2.6.19)
Im z, Hr(Mi U М2),
(2.6.24)
так как в Мх U М2 имеются, вообще говоря, циклы, не являющиеся
циклами ни в ни в Lr(M2) (рис. 31). Поэтому цепи сг(1) —
сг(2) не исчерпывают всей совокупности негомологичных нулю циклов
в Ml U М2.
Рис. 31. Пунктирный цикл на
Mi U М2 не является циклом ни в
в М2 в отдельности.
торе. Рис. 32. Нульмерный цикл
Мх ни щ—сг из Mi П М2, негомо-
логичный нулю в Mi П М2,
но гомологичный нулю в Ml
и М2. Штриховкой показано
пересечение Mi О М2; пунк-
тир — цепи из Mi и М2,
границей которых является
данный цикл.
Установим состав Кегг*. Из выражения (2.6.23) следует, что Кет г*
содержит смежные классы (2.6.21), для которых
сг(1) - сг(2) = Ьг е Br{Mi и м2).
(2.6.25)
72
Глава 2
Мы покажем, что Кегг, есть подгруппа группы (2.6.21), порожда-
емая циклами
сг(1) = сг(2) = сг(М1 П М2). (2.6.26)
Представим сг(1) и сг(2) как цепи на Mi и М2 в виде:
сг(1) = сг(1) + СГ(ЛЛ П М2), сг(2) = сг(2) + с'т(М1 ПМ2), (2.6.27)
где I, 2 = Л/1,2 \ (Mi П М2). Вообще говоря, слагаемые правой час-
ти выражения (2.6.27) не обязательно циклы. Поскольку, однако, раз-
ность сг(1) — сг(2) гомологична нулю в Br(Mi U М2), т. е. является
границей некоторой цепи на Mi U М2, мы можем написать:
ст(1) ~ cr(2)^= Ьг = AZr_|_i; . .
Zr+l = /г+1(1) + ^r+i(2) + lr+i(Mi ПМ2).
Используя дистрибутивность оператора А (граница суммы равна сум-
ме границ), имеем
br = AZr+i(l) + AZr+i(2) + Д/г+1(М! П М2). (2.6.29)
Все три слагаемых в выражении (2.6.29) — циклы (граница гра-
ницы равна нулю). Граница Д/г+1(1) может лежать либо в 1, либо
в Mi П М2, граница Д/г+1(2) — либо в 2, либо в пересечении Mi Г) М2,
граница &lr+i(Mi ПМ2) — в пересечении. В любом случае Ьг однознач-
но представимо в виде:
Ьг = Ьг(1) + Ьг(2) + Ьг(М1ПМ2); (2.6.30)
здесь уже &r(T), Ьг(2), — циклы, лежащие соответственно в Т и в 2 и
гомологичные нулю в этих многообразиях; ЬТ(М1Г\М2) — цикл из пере-
сечения, гомологичный нулю в самом пересечении, либо в Mi или М2.
Напомним в связи с этим еще раз, что цикл из пересечения Mi Г) М2,
гомологичный нулю в Mi Г) М2, может не быть гомологичным нулю
в Mi Г) М2. Например, два мередиана Zi, z2 тора на рис.31 состав-
ляют пересечение Mi О М2, но составленный из них цикл zi + z2 не
гомологичен нулю в этом пересечении, так как последнее вообще не
содержит двумерных цепей и, следовательно, не может содержать и
Теория гомологий
73
(2.6.31)
(2.6.32)
(2.6.33)
(2.6.34)
их границ. Вместе с тем указанный цикл на торе гомологичен нулю
в Mi и в Мч- Другой пример цикла, лежащего в пересечении, но го-
мологичного нулю в Mi, Мч и негомологичного нулю в Мг П М2, по-
казан на рис. 32. Вернемся, однако к нашей задаче — доказательству
равенства (2.6.26). Поставив выражение (2.6.27) и (2.6.30) в первое из
равенств (2.6.28), получим
cr(T) - cr(2) + [cr(Mi П Мч) - c'r(Mi П Мч)] =
= &г(1) — br(2) + br(Mi П Мч)-
Отсюда следует
сг(Т) = ЬГ(Т), Сг(2) = М2);
cr(Mi ПМ2) — Cp(A/i П Мч) — br(Mi Г)Мч)-
Таким образом
сг(1) = МТ) + сг(М1 П Мч)-,
cr(2) = 6r(2) + cr{Mi О Мч) — br(Mi П Мч)-
Из равенств (2.6.34) следует, во-первых, что cr(Mi П Мч) — цикл,
так как циклами являются сг(1) и Ьг(1); во-вторых, если br(Mi Г) Мч)
гомологичен нулю в пересечении или в М2, то пары {сг(1), сг(2)}
и {cr(Mi П Мч), Cr(Mi П Мч)} порождают один и тот же смежный
класс (2.6.21). Если же br(Mi Г) Мч) гомологичен нулю в Mi, то пе-
реписав сг(1) и сг(2) в форме:
cr(l) = Ml) + br(Mi Г) Мч) + c'r(Mi П Мч)', . .
сг(2) = М2) + c'r(Mi П Мч), 1 J
мы заключаем, что пара {сг(1), сг(2)} порождает тот же смежный
класс (2.6.21), что и пара {c'r(Mi ПМ2), c'r(Mi ПМч)}. Тем самым до-
казано, что все элементы Кегг, имеют вид:
{cr(Mi П Мч) + Br(l), cr(Mi П Мч) + Вг(2)} € КеН*. (2.6.36)
Формулу (2.6.36), выведенную формальным путем, можно пояс-
нить следующим примером. Тор на рис. 33 представляет собой объ-
единение Mi U Мч двух своих половинок Mi и Мч, пересекающихся в
74
Глава 2
циклах zi, z2. Элемент {ci + Bj(Mi), с2 + Bi(M2)} € Hi(Mi) фЯ1(М2)
при гомоморфизме г, согласно формуле (2.6.23) переходит в элемент
{ci — с2 + Br(Mi U М2)} е Hi(Mi U М2), который, очевидно, гомоло-
гичен нулю.. Это, на первый взгляд, противоречит формуле (2.6.36),
т. к. циклы ci и с2 не принадлежат пересечению Mi П Л/2. Но на са-
мом деле циклы ci и с2 гомологичны циклу zi (или z2) 6 Bi(Mi ПЛ/2).
Таким образом, циклы ci и с2 можно заменить гомологичным им цик-
лом zi € Ci(Mi П М2).
Гомоморфизм цепей i (2.6.17) порождает гомоморфизм г, групп го-
мологий Hr(Mi ПМ2) и Hr(Mi) ф Яг(Л/2)
ЯГ(М1ПМ2)-^ЯГ(М1)ФНГ(М2) (2.6.37)
с законом соответствия
cr(Mi П М2) + Br(Mi П М2)
-^4 {сг(М1 ПМ2) + Br(Mt П М2), сг(М1 п М2) + ВГ(М1 п м2)}.
(2.6.38)
Сравнивая формулы (2.6.36) и (2.6.38), мы убеждаемся в том, что
1тг* = Кегг*. (2.6.39)
Это означает, что последовательность
НГ(М1ПМ2) -^4 ЯГ(М1) ФЯГ(М2) ^НГ1М^М2; (2.6.40)
Рис. 33. Иллюстрация форму-
лы (2.6.36).
точна в Ф НГ(М2).
Найдем ядро гомоморфиз-
ма г,. Из соответствия (2.6.38)
следует, что нуль группы Hr(Mi)
ф НГ(М2) переходит, во-первых,
в нуль группы Hr(Mi ПЛГ2), т. е.
в подгруппу Br(Mi Г\М2) циклов
ЬТ(М1Г\М2), гомологичных нулю
в пересечении Л/1ПЛ/2, и, во-вто-
рых, все смежные классы, по-
рождаемые циклами Ь'Т(М1Г\М2),
Теория гомологий
75
негомологичными нулю в пересечении, но гомологичными нулю как
в 1, так и в 2. Это означает, что ядром гомоморфизма г, является под-
группа гомологий связывающих циклов Н'Г(М\ ПМ2), рассмотренная ра-
нее в связи с граничным гомоморфизмом. Итак
Кегг, = Н'Т(МГ П М2). (2.6.41)
Сопоставление этого равенства с равенством (2.6.14) для гранично-
го гомоморфизма наводит на мысль о том, что точная последователь-
ность (2.6.40) может быть продолжена с помощью граничного гомомор-
физма. Сначала используем проектирование
ЯГ(М1 U М2) П М2); (2.6.42)
к НГ{М\, МхГ\М2) можно применить граничный гомоморфизм (2.6.12):
ЯГ(М1,М1ПЛГ2)-^-ЯГ_1(М1ПМ2). (2.6.43)
в результате мы приходим к гомоморфизму
ЯГ(М1 и М2) Hr-i(Mi П М2), (2.6.44)
который является следствием гомоморфизмов (2.6.42) и (2.6.43).
Найдем 1тД.. Согласно равенству (2.6.14)
Im Д* = П М2). (2.6.45)
При гомоморфизме р, смежный класс (элемент Hr(Mi U М2)), по-
рождаемый циклом с,-(Mi U М2), перходит в смежный класс (элемент
Яг(Л11,Л/1 ПМ2)), порождаемый относительным циклом
Сг = 1г(Мг) + Ъ2(Мг П М2), (2.6.46)
где цепь (вообще говоря, не цикл) однозначно определена равен-
ством:
cr(Mi U М2) = - Zr(2).
(2.6.47)
76 Глава 2
Здесь, как и раньше 2 = MiUM2\Mi и /г(2) — часть цепи cr(MiUM2) €
G Lr(2). Поскольку сг — цикл, имеем
AZr(Mi) = Д/г(2). (2.6.48)
Из этого равенства следует, что
л*1ПЛ/2д/г(М1) е Lr_^M1 пм2). (2.6.49)
Заметим, что границы 71/1071/2 Д/г (Mi) есть связывающие циклы, по-
скольку они являются границами одновременно и в Mi и в М2, т. е.
гомологичны нулю и в Mi и в М2. Эти связывающие циклы, имею-
щие размерность г — 1, порождают подгруппу гомологий связывающих
циклов H'r(Mi П М2).
При граничном гомоморфизме, элементы H^^Mi ПМ2) являются
образом смежных классов (элементов Му ПМ2)), порожденных
относительными циклами (2.6.46) (см. соответствие (2.6.13)). Поэтому
ЬпД, = 1тД, = Я;_1(М1 ПМ2). (2.6.50)
Из формул (2.6.41) и (2.6.50) следует, что короткая последовательность
ЯГ(М1 U М2) ЯГ_1(М1 П М2) НГ-1(М1) ф ЯГ-1(М2) (2.6.51)
точна в НГ(МГ О М2).
Определим теперь КегД*. Согласно равенствам (2.6.15) КегД, со-
ставляют те элементы группы ЯГ(М1,М1ПМ2) (2.6.46), у которых
цепь Zr(Mi) является циклом, т. е. Д/Г(М1) — 0. Тогда из равенст-
ва (2.6.47) следует, что цепь /г(2) так же является циклом, причем в М2.
Таким образом, равенство (2.6.47) можно переписать в виде:
cr(Mi U М2) = cr(Mi) - сг(М2).
Это означает, что элементы Hr(Mi U М2), которые при гомомор-
физме Д. переходят в нуль группы ЯГ_1(М1 ПМ2), имеют вид:
cr(Mi) - сг(М2) + ЯГ(М1 U М2) 6 КегД*. (2.6.52)
Теория гомологий
77
Сравнивая формулы (2.6.52) и (2.6.23), заключаем, что
Кег Д, = 1тгФ,
(2.6.53)
т. е. что и короткая последовательность
ЯГ(МХ) ф ЯГ(М2) -S- ЯГ(М1 U М2) Hr-^М! П М2) (2.6.54)
является точной в Hr[M\ U М2). Сводя вместе последовательнос-
ти (2.6.40), (2.6.51) и (2.6.54) мы получаем последовательность
Майера-Вьетпориса, точную в каждом звене:
Нг(Мг П М2) ЯГ(М1) ф ЯГ(М2)
(2.6.55)
-^4 ЯГ(М1 U М2) И М2) .
Эта последовательность может быть использована для вычисле-
ния НГ(М\ UM2) по НГ(М2) и Яг_1(Л/1 ПМ2). В частности, с
помощью последовательности (2.6.55) можно получить теорему сложе-
ния для чисел Бетти и эйлеровой характеристики. Вывод этих теорем
сложения из точной последовательности (2.6.55) опирается на два фак-
та: основную теорему о гомоморфизме (2.6.3) и связь между рангами
абелевой группы, ее подгруппы и фактор-группы по данной подгруппе.
Установим эту связь.
Пусть А — свободная группа с конечным числом образующих
и В — ее подгруппа. В группе А всегда можно выбрать такой базис,
чтобы элементы аСАиЬеВсА были представлены в виде:
Я(А) Я(В)
а = оцац Ь = PjOij',
t=l j—1
ai € Z,
(3j 6 Z(m), j = 1, ... , R(A),
/3j G Z, j — r + 1, ... , R(B).
Здесь R(A), R(B) — ранги А и Я, Z(m) — группы целых чисел, крат-
ных числам т. Примем, что pj при j = 1, ... , г, прнадлежит Z(m),
вообще говоря, с различными т и что flj € Z для j = г + 1, ... , Я(В).
78
Глава 2
Тогда число различных смежных классов по подгруппе В, порожденных
элементами
Г
52
3 = 1
конечно. Совокупность этих смежных классов образует конечную под-
группу фактор-группы Ранг этой подгруппы, очевидно, равен ну-
лю. Далее, смежные классы, представителями которых являются эле-
менты
Л(В)
52 азаГ
3=т+1
совпадают с самой подгруппой В. И только смежные классы, определяе-
мые элементами
Л(А)
5 >
i=B(B)+l
образуют свободную подгруппу фактор-группы Ранг этой свобод-
ной подгруппы равен R{A) — R(B). Тем самым доказано соотношение
R(A/B) = R(A) - Я(В). (2.6.56)
Мы считали группу А свободной. Если А — группа с кручением к,
то А/^ — свободная группа. Так как R(A/^) = R(A), то формула (2.6.56)
справедлива вообще для любой абелевой группы. Основываясь на соот-
ношениях (2.6.3), (2.6.55) и (2.6.56), получим теперь теорему сложения
для чисел Бетти. Согласно выражениям (2.6.3) и (2.6.56), имеем
R(Hr(Mi ПМ2)) = Я(1тг*) + _R(Kerz*) = 7?(Кегг*) + Л(Кегг«).
(2.6.57)
Последнее равенство обусловлено точностью последовательности Майе-
ра-Вьеториса. Действуя аналогично, находим
RiH^Mr) ф ЯГ(М2)) = Я(КегД,) + Я(КегiД (2.6.58)
Теория гомологий
79
R(Hr(Mi U М2)) = Л(Кегг;) + Я(Кег ДД
i't : П М2) —> ® Hr_i(M2)
По определению чисел Бетти рг(М)
pr(M) = R(Hr(M)).
Вспоминая далее, что
Кегг„ =Н'Г(М1 НМД Кег< =ЯД1(М1 ПМД (2.6.60)
где Н'Г(М\ П М2) — группы гомологий связывающих циклов, и вводя
обозначение:
р'г(М1ПМ2) =Д(Я;(М1ПМ2)), (2.6.61)
используя соотношения (2.6.57), (2.6.58) и (2.6.59), мы приходим к окон-
чательной формуле:
рг(М1 им2) = pr(Mi) + рг(М2) -Рг^Мг пм2)+
+р'г(М1ПМ2)+рд1(м1пм2).
Это и есть формула сложения для чисел Бетти. Она выражает числа
Бетти всего многообразия М\ U М2 через числа Бетти подмногообра-
зий Mi, М2, Mi ПМ2 и ранги групп связывающих циклов p'r{Mi Г1М2)
и p'r(Mi П М2).
Из формулы сложения для чисел Бетти (2.6.62) следует простая
формула сложения для эйлеровой характеристики у, определяемая фор-
мулой (2.3.7). Чтобы получить эту формулу, заметим прежде всего, что
если размерность многообразия есть п (г п), то
ПЛ/2) =0, (2.6.63)
так как циклы максимальной размерности п не могут быть гомологич-
ными нулю (нет циклов размерности п + 1, границами которых могли
бы быть рассматриваемые циклы). Умножая формулу (2.6.62) на (—1)г
и складывая все равенства, начиная с г = п и кончая г = 0, получим, с
учетом равенства (2.6.63) искомое соотношение:
x(Mi U М2) = x(Mi) + у(М2) — x(Mi П М2). (2.6.64)
80 Глава 2
Из выражения (2.6.62) и (2.6.64) следуют очевидные формулы:
если Mi П Мг — 0, то
pr(Mx U М2) = Pr(Afi) + рДМ2),
x(Mi U М2) = x(Mi) + Х(М2).
Формулы сложения (2.6.62) и (2.6.64) входят в рабочий аппарат
приложений теории гомологий к рассматриваемым в данном курсе во-
просам теории функций. Поэтому с нетривиальными примерами прак-
тического применения формул сложения мы встретимся несколько поз-
же (см. раздел, посвященный теории Морса). Здесь же мы приведем
несколько наглядных примеров главным образом для того, чтобы осво-
иться с числами р'г — рангами групп связывающих циклов.
Пример 1. Мх U М2 = S2, Mi, М2 = R& (круг), Мг П М2 = S1.
В этом случае пересечение одномерно и в нем имеется единствен-
ный связывающий цикл — окружность S1, являющаяся границей Mi и
границей М2. Таким образом
Ро = 0, р{ = 1. (2.6.65)
Первое из равенств (2.6.65) имет место потому, что все связывающие
нульмерные циклы гомологичны нулю и в пересечении, т. е. попадают
в нуль группы Н'0(Мх Г) М2).
Далее имеем
рМ) = 1, рДЯ2) = р2(Я2) = 0, р0(5х) = Pi(S1) = 1, p^S1) =0.
(2.6.66)
Подставив равенства (2.6.65) и (2.6.66) в формулу (2.6.62), получим
Ро(52) = р2(52) = 1, pi(52) = 0
в соответствии с табл. 1 раздела 2.3.
Пример 2. Mi и М2 = Pi (двумерный тор) Mi, М2 = Rl (круговое
кольцо), Mi О М2 = S1 U S1 (два мередиана тора — см. рис. 31).
В данном примере
Ро = 1, P'i = l,
(2.6.67)
Теория гомологий
81
хотя на первый взгляд кажется, что р[ = 2, поскольку пересечение со-
держит две окружности. В действительности же связывающий цикл —
это цепь, в которую обе окружности входят с равными или противо-
положными по знаку (в зависимости от выбранной ориентации цикла)
коэффициентами. Каждая из окружностей в отдельности не является
границей ни в Mi, ни в М2; границами Mi и М2 являются только обе
окружности вместе, подобно тому, как границами отрезка являются
две точки, а не каждая из них в отдельности. Таким образом, одномер-
ная подгруппа гомологий в связывающих циклах имеет в данном случае
один базисный связывающий цикл и ее ранг равен единице. Ранг группы
нульмерных связывающих циклов ясен уже из минимального клеточного
разбиения Mi Г) М2: оно содержит по одной точке на каждой из окруж-
ностей. Эти две точки, взятые с равными или противоположными по
знаку коэффициентами и составляют единственный базисный связыва-
ющий нульмерный цикл. Таким образом, ранг Hq(MiC\M2) также равен
единице.
Воспользовавшись формулой (2.6.62), найдем числа Бетти кругово-
го кольца R%. Мы имеем
2pr(Rl) = pr{Mi UM2) +pr(Mi ПМ2) -p'r -Pr-i- (2.6.68)
Поставив сюда выражение (2.6.67), pr(Mi U M2) из табл.1 и
Po(Mi Г)М2) = Pi(Mi Г) М2) = 2, Pi(Mi П М2), (2.6.69)
получим
Po(RT) = pi(R2) = 1, p2(R2) = 0. (2.6.70)
Этот пример показывает, как, пользуясь формулой сложения для
чисел Бетти, можно вычислять группы гомологий для многообразий с
краем, пользуясь только числами Бетти для замкнутых многообразий,
т. е. в двумерном случае, только простой табл. 1.
Пример 3. MiUM2 = 7?q (трехмерный шар), Mi, M2 = R%, MiPiM2=R$
(круг).
Поскольку в данном случае Hr(Mi U Л/2) = Hr(Mi) = НГ(М2), фор-
мула (2.6.62) дает
рМ) = Рг(До) - Pr<Mi П М2) - p'r_i(Mi П М2). (2.6.71)
82
Глава 2
2.6.73
Почти очевидно, что
Ро=Р1=Р2=0. (2.6.72)
Некоторого пояснения, пожалуй, требует лишь равенство р\ = О.-
на первый взгляд, кажется, что имеется одномерный связывающий
цикл — граница круга. Но этот цикл гомологичен нулю в Mi Г) М2 и
поэтому не дает вклада в ранг группы гомологий связывающих циклов.
Таким образом
Pr(H^) = pr(R%), г = О, 1, 2;
Рз(^) = О.
Пример 4. MiUM2=Rg (n-мерный шар), Mi, M2=Rg, MiPM^Rg-1
((n — 1)-мерный шар).
Так же, как и в предыдущем примере
Ро = Pi = • • • = Р'п = О
и формула (2.6.71) с заменой Rg —> Rg, Rg —> Rfi-1 дает рекуррент-
ное соотношение, из которого следует
p0(RS) = 1, Pi(Rg) = • • • = РгЮ = О- (2.6.74)
Из выражения (2.6.74) следует, что эйлерова характеристика п-ме-
рного шара равна
х№ = 1- (2-6.75)
Пример 5. Mi и М2 = Sn, Mi М2 = Rg, Mi п М2 = S"-1.
В этом случае имеем
РО = Р'1 = • ’ ' = Рп-2 = Рп = °, Рп-1 =
так как всякий цикл в сфере S’1-1 = М1Г\М2 гомологичен нулю в Mv~M2.
Формула (2.6.62) с учетом выражения (2.6.74) дает, при п 1
ро(5") = 2-р0(5"-1); (2.6.76)
Pi(5”)=-pi(5"-1)=O, ... ,р„_2(5")=-р„_2(5"-1)=О; (2.6.77)
рп_1(5") = 1-рп_1(5"-1); (2.6.78)
Pn(5") = 1. (2.6.79)
Теория гомологий
83
Из этих соотношений получаем следующие числа Бетти:
Po(5n) = р„(5”) = 1, р1(5п) = ...=р„_1(5”)=0. (2.6.80)
Из выражения (2.6.80) следует приведенная ранее формула Пуанкаре для
эйлеровой характеристики п-мерной сферы x(Sn) (см. разд. (2.2):
X(S”) = 1 + (-1)”. (2.6.81)
Примеры 3-5 показывают, каким образом формулы сложения для
чисел Бетти (2.6.62) может быть использована для вычисления гомоло-
гических групп многообразий высших размерностей. Аналогичным об-
разом, например, могут быть вычислены группы гомологий п-мерного
шарового слоя (кольца), n-мерного тора, n-мерного тороидального слоя
и др.
Пример 6. МхиМ2 = Rfi (n-мерный шар), Mi = Я" (n-мерный шаровой
слой).
Вычислим pr(R^). В данном случае
Рг = 0,
так как единственным связывающим циклом могла бы быть 5П-1, но
она не гомологична нулю в Mi (граница Я" — две сферы Sn~l).
Формула (2.6.62) дает
Р,(ЯГ)=Р,(5-‘), , = 0...
р.(я;> = о.
Обратим внимание на следующее обстоятельство. В случае п = 2
гомеоморфность кругового кольца и боковой поверхности цилиндра,
т. е. сферы с двумя дырками, очевидна (наглядна деформация, пере-
водящая одно многообразие в другое). В общем случае шаровой слой и
сфера с двумя дырками также гомеоморфны. Это легко усмотреть из
того, что шар и сфера с дыркой гомеоморфны. Таким образом, числа
Бетти шарового слоя и сферы с двумя дырками совпадают.
Пример 7. Mi и М2 = Р" (n-мерный тор), Mi, М2 = Я", Mi П М2 =
= 5"-1 U 5"-1.
84
Глава 2
Эти формулы отвечают тому, что п-мерный тор представляет
собой две склеенные п-мерные трубки (две сферы Sn с двумя дырками,
ограниченными S’1-1). Название п-мерный тор для такой фигуры соот-
ветствует прямому обобщению уравнения обычного тора:
(х2 + х% + х%+ R2 - г2)2 - 4R2(x2 + х^) = 0 (2.6.83)
в уравнение:
(xl + xj Ч----h х2+1 +R2 - г2)2 - 4Л2(а:2 ч----h х2п) = О (2.6.84)
для п-мерного тора. Пересечение тора (2.6.83) с плоскостью хз = О
состоит из двух окружностей х2 Ч- х2 = (R ± г)2. Аналогично этому
пересечению п-мерного тора (2.6.84) с п-мерной плоскостью xn+i — О
содержит две сферы 8п~г
х2 Ч----1- х2п = (R ± г)2. (2.6.85)
В обоих случаях плоскость делит многообразие на два шаровых слоя,
уравнения которых получаются присовокуплением к уравнению (2.6.84)
неравенств:
> О? *^п+1 < О;
границу же каждого из них составляют две сферы Sn~1, определяемые
уравнением (2.6.85). Ранги групп связывающих циклов определяются ра-
венствами:
Po=Pn-i = 1, Pi =Р2 = ••• =р'п-2 =р'п = 0. (2.6.86)
Действительно, всякий цикл в Mi П М? = Sn~r U 5"-1 размернос-
ти О < г < п — 1 есть цикл на сфере и гомологичен нулю в пересечении.
Связывающими же циклами являются двухточечный нульмерный цикл
(по одной точке на каждой сфере) и п — 1-мерный цикл, состоящий из
двух сфер S"-1 с равными или противоположными по знаку коэффици-
ентами.
Используя выражения (2.6.82) и (2.6.86), получаем формулу для чи-
сел Бетти рг(Р1) п-мерного тора:
Pr (Рt ) — &г, о Ч- 8Г, п—1 — 1, о 8,—1, п—1.
85
Теория гомологий
Для всех п, кроме п = 2, эта формула дает
ро(Л”) =Р1(Л”) =Рп-1(Л”) =Pn(Pin) = I;
pjPf) = 0, г / 0, 1, п - 1, п.
(2.6.87)
В особом же случае, при п = 2, получаем знакомый результат (см.
табл. 1):
Ро(Л2)=Р2(Л2)=1, Р1(Л2) = 2.
Заметим, что х(РГ) = 0 пРи любом п (здесь х как и раньше х —
эйлерова характеристика).
Аналогичным образом могут быть вычислены группы гомологий
т-мерных кренделей Р^ ( п-мерной сферы с т ручками).
Последовательное применение формул (2.6.62) («склеивание» двух
торов с дыркой, кренделя Р£ с дыркой с тором с дыркой и т. д.) приво-
дит к следующему результату:
Ро(Рт) = Рп(Р%) = 1, Pl(-Pm) =Рп-1(Рт) = т> Г9КЯЯ1
рДР^) = 0, г / О, 1, п - 1, п.
Исключительным снова является случай п = 2, когда п — 1 = 1, и со-
ответствующие числа Бетти складываются, откуда pi(P^) = 2m —
старый результат табл. 1.
Подчеркнем, что в отличие от двумерных кренделей п-мерные
крендели не исчерпывают все замкнутые ориентируемые поверхнос-
ти без самопересечений. Можно обратить также внимание на то, что в
формулы (2.6.88) демонстрируют справедливость теоремы двойствен-
ности Пуанкаре для n-мерных ориентируемых многообразий.
Пример 8. M1UM2 = Nr (проективная плоскость), Mi = 7?^, М2 = Mf
(лист Мёбиуса), Mi П М2 = S1.
В этом примере очевидно, что
Ро = 0, (2.6.89)
но не вполне тривиально, что
Pi =0
(2.6.90)
86
Глава 2
так как, на первый взгляд, кажется, что пересечение М3 П М2 = S1
гомологично нулю в М2 — М2, либо эта окружность является краем
листа Мёбиуса. В действительности же границей клеточного разбие-
ния листа Мёбиуса является сумма двух циклов, и край есть лишь одно
из слагаемых этой суммы (см. формулу (2.5.26) и рис. 21, где край обо-
значен буквой bi) и сам по себе не равен границе двумерной цепи в М2.
Остальные вычисления по формуле (2.6.62) трудности не составляют.
Исходя изрг(М), рг(/?о), pr(S1) получаем числа Бетти листа Мёбиуса:
Ро(М2) = Pi(M2) = 1, р2(М1) = 0. (2.6.91)
Заметим, что формула (2.6.62), как ясно из ее вывода, справедлива и
для чисел Бетти по mod 2. В отличие от выражения (2.6.90), в этом
случае
Pi (mod 2) = 1, (2.6.92)
так как второе слагаемое в формуле (2.5.26), взятое по mod 2, равно
нулю. Числа Бетти листа Мёбиуса по mod 2 получаются такими же,
как обычно (формула (2.6.91)), за счет того, что при переходе к mod 2
меняется не только Р[, но и Pr(Ni) (pr(Ni) (mod 2) = 1 для всех г,
см. табл. 2)
Пример 9. Mi UM2 = Р[ U М2 (тор с листом Мёбиуса), Mi — Р( — тор
с дыркой, М2 = М2, Mi П М2 = S1.
Связывающие циклы такие же, как и в предыдущем примере (фор-
мулы (2.6.89), (2.6.90)). Для вычисления pT(Mi U М2) надо предвари-
тельно найти pr(Pi). Эти числа находятся в формуле (2.6.62) приме-
нительно к многообразиям:
Mi U М’2 = Pi, Mi = Р), М'2 = R2, Mi П М'2 = S1,
причем в этом случае р'о = 0, р\ = 1. В итоге получаем
р0(Л1) = 1, Pi(Pi1)=2, р2(Л1) = 0. (2.6.93)
Учитывая выражение (2.6.93), по теореме сложения находим
Po(Mi U М2) = 1, pi(Mi U М2) = 2, Pz(Mi U М2) = 0. (2.6.94)
Замкнутая поверхность с такими числами Бетти гомеоморфна сфере
с тремя листами Мёбиуса — N3 (см. табл.1).
Теория гомологий
87
Пример 10. Числа Бетти «п-мерного листа Мёбиуса», п-мерный лист
Мёбиуса М™ определяем следующим образом:
R£ U М" = N”, RS П М? = S^1 (2.6.95)
т. е. объединение п-мерного шара Rq и М™ дает п-мерную проективную
плоскость N™.
Используя формулу сложения (2.6.62) и соотношения (2.6.95), мож-
но вычислить рг(М") по числам рг(5п-1) upr(7V"). Числа Бет-
ти шара и сферы были вычислены нами ранее. Найдем числа Бет-
ти pr(N™) п-мерной проективной плоскости.
Проективное пространство п измерений — это прстранство, точ-
ками которого являются прямые евклидова п -I-1-мерного пространст-
ва, проходящее через начало координат. Всякая такая прямая опре-
деляется координатами х\,... , жп+1, какой-нибудь одной своей точ-
ки, кроме начала координат, а все точки прямой имеют координа-
ты Xxi,... ,Ажп+1, ~оо<А<+оо. Совокупность чисел х=(х^,... ,жп+1)
есть, таким образом, координаты точки п + 1-мерного проективного
пространства, причем точки х и Ах тождественны. Мы будем обо-
значать координаты точки п + 1-мерного проективного пространства
буквами
£ = (£i,...,£„+i).
Согласно сказанному выше, эти числа задаются с точностью до об-
щего множителя = Хх(). Легко установить гомеоморфность облас-
ти п-мерного проективного пространства, содержащей точки с коор-
динатой £n+i 7^ 0, евклидову п-мерному пространству. Указанный го-
меоморфизм устанавливается равенствами:
х, = , i = 1, ... , п. (2.6.96)
sn+1
Для случая п + 1 = 2 этот гомеоморфизм иллюстрируется рис. 3).
Равенство (2.6.96) при £n+i 0 сопоставляет каждой точке
£ = (£i, ... , £n+i) точку х = (жх, ... , жп). Напротив, каждой точ-
ке х = (xi, ... , хп) при £n+i / 0 однозначно соответствует точ-
ка £ = (xi, ... , хп, 1). Однозначность соответствия х —> £ наруша-
ется при £n+i = 0; в этом случае точкам Аж отвечает одна точ-
88
Глава Z
(^!&>)
X
Рис. 34. Соответствие между точками £2 ф 0 двумерного проективного про-
странства (£1, £2) и одномерного евклидова пространства х.
ка проективного пространства £ = (Хх^, Хх2, • • - , Ххп, 0), посколь-
ку кратные координаты £ и X определяют в проективном простран-
стве одну точку. Рассмотрим теперь простейшее клеточное разби-
ение п-мерной проективной плоскости. Клеткой п-измерений, т. е.
многообразием, гомеоморфным открытому п-шару, является, очевид-
но, вся проективная плоскость за вычетом граничного многообра-
зия (£1, ... , Сп,0), отвечающего бесконечно удаленным точкам. Клет-
ка an~i размерности п — 1 есть многообразие (£1? ... , 0,0); много-
образие же (£i, • • • , = 0,0) является граничным многообразием клет-
ки an-i. Продолжая эту процедуру далее, мы приходим к следующему
заключению: п-мерная проективная плоскость разбивается на п+1 кле-
ток по одной клетке аг каждой размерности г = 0, 1, ... , п. При этом
формула клеточного разбиения такова:
аг = (6, • • • , 6- # 0, О^^^О). (2.6.97)
п—г
Из этого следует, что все цепи Lr(Ni) одночленные:
lr(N?) = arar. (2.6.98)
Для вычисления Hr(N”) требуется вычислить только Даг. Геомет-
рической границей клетки аг является сфера Sr~1. Но так как двум
диаметрально противоположным ее точкам отвечает одна и та же
точка проективной плоскости, то
Даг = 5г-1+Ег_15г~1
(2.6.99)
Теория гомологий
89
где Er_i — коэффициент инцидентности. Этот коэффициент ра-
вен ±1 в зависимости от того, имеют ли отождествляемые диаме-
трально противоположные участки Sr~1 (клетки) одинаковую ориен-
тацию (ег = +1) или противоположную (ег = —1). Напомним, что
клетки считаются ориентированными одинаково или противоположно,
если системы декартовых осей на них переводятся друг в друга преоб-
разованиями с детерминантами +1 или —1 соответственно. Детерми-
нант преобразований х -> —х {х € Sr-1) равен 4-1, если г четно и —1,
если г нечетно. Таким образом
£г-1 = (-1Г (2.6.100)
и
Даг = (14- (~l)r)Sr-1. (2.6.101)
Иначе говоря, все цепи нулевой и нечетных размерностей являются
циклами (&1Г — 0, г нечетно), цепи же четной размерности циклами
не являются (Ыг 0, г четно). Отсюда следует, что группы размер-
ности cr(N™) = 0 отсутствуют и, таким образом,
Hr(N?)*0, г = 0, 2, 4, ... , г < п. (2.6.102)
Среди циклов нечетной размерности гомологичны нулю те, у которых
коэффициенты аг в выражении (2.6.98) являются четными числами
(см. равенство (2.6.101). В итоге получаем
Hr(N?)*Z2, г = 1, 3, ... , г < п. (2.6.103)
Наконец,
н.т = (“ ” -
х 17 [ Z п — нечетно-, (2.6.104)
HoW) = Z.
Формулы (2.6.102)-(2.6.10J) приводят к следующим значениям pr(N™):
Ро W) = 1,
P-W) =0, 0 < г < п, (2.6.105)
Рп (М*) = |(1 + (~l)n+1).
90
Глава 2
Легко подсчитать группы гомологий ,Hr(7V") по mod 2.
Для чисел Бетти имеем
pr(N?) (mod 2) = 1, г = 0, 1, ... , п. (2.6.106)
Для вычисления рг(М[1) по схеме (2.6.95) с помощью формулы сложе-
ния (2.6.62) нужно только установить ранги р'Т подгрупп гомологий свя-
зывающих циклов. Единственный же гомологичный нулю цикл, лежащий
в пересечении — это само пересечение, т. е. сфера S4^1. Она гомоло-
гична нулю в R£, но она негомологична нулю в М”, если п — 1 нечетное
число. Таким образом
J О п — четно,
[ бг,п-1 п — нечетно.
(2.6.107)
Используя теперь формулу (2.6.62), находим
Ргт =
о
i-i(i + (-i)n+1)
о
г = О,
О < г < п — 2,
г = п — 1,
г = п.
(2.6.108)
Числа Бетти п-мерного листа Мёбиуса по mod 2 вычисляются так-
же, с той лишь разницей, чтор'г = £r, n-i вне зависимости от четнос-
ти п. Тогда мы получаем
РДМ?) (mod 2) =
О г
г — п.
п,
(2.6.109)
Знаярг(ДГ£) upr(Mi), с помощью теоремы сложения (2.6.62) мож-
но легко найти числа Бетти других п-мерных не ориентируемых мно-
гообразий типа п-мерной сферы с т листами Мёбиуса М™ и т. п.
Заметим, что топологические свойства n-мерных проективных и
неориентируемых многообразий могут иметь непосредственное значе-
ние для физических приложений. Это относится, во-первых, к объек-
там типа монополя Дирака или солитоноподобных решений с топологи-
ческим зарядом и, во-вторых к релятивистским волновым функциям
Теория гомологий
91
системы нескольких частиц на «световом фронте» (так называется мно-
говременная волновая функция, становящаяся одновременной на свето-
вом конусе — х2 = 0). К этим проблемам мы вернемся позже.
В заключение отметим, что существуют последовательности
Майера-Вьеториса для групп относительных гомологий-.
НГ(М, Mi П М2) -S ЯГ(М, ф НГ(М, М2) -S
НТ(М, Ml U М2) Hr^(M, Ml U М2) .
(2.6.110)
Этой последовательности отвечает формула сложения относительных
чисел Бетти, аналогичная формуле (2.6.62).
В формуле (2.6.110) М =4 Mi U М2. Многообразие Mi U М2 с М,
т. е. является подмногообразием многообразия М. Формула (2.6.110)
дает возможность, в частности, вычислять группы относительных го-
мологий для многообразий с краем, когда структура последнего сложна
и край состоит из подмногообразий Mi и М2.
Как уже указывалось, последовательностями Майера-Вьеториса не
исчерпываются точные последовательности групп гомологий, которые
в конкретных случаях могут оказаться полезными для вычисления
этих групп. Содержательный материал по этому вопросу имеется в
книге Дольда [13].
2.7. Когомологии
Мы дадим здесь понятие о когомологиях, рассматривая этот аппа-
рат в той мере, в какой он связан с аппаратом гомологий, и, разумеется,
поясняя его существенное содержание («физический смысл», как мы бы
сказали, если бы речь шла о физической теории).
Ранее уже подчеркивалась аналогия между группами цепей и век-
торными пространствами. Развивая эту аналогию, мы можем ввес-
ти «пространство» коцепей Lp, сопряженное «пространству» цепей Lp.
Для этого временно (в настоящем разделе) воспользуемся обозначени-
ями Дирака. Будем рассматривать элемент группы цепей Lp как кет-
вектор \ЬР) g Lp. Сопряженные бра-векторы образуют так называемые
коцепи.
92
Глава 2
Формально каждый бра-вектор (коцепь) (Р| определяется линей-
ным отображением группы цепей в группу коэффициентов G (множес-
тво целых чисел Z, действительных чисел К или комплексных С):
(*₽1М = a(IM) € G.
(2-7.1)
В силу линейности отображения имеем
</р I £Mf)> =
(2.7.2)
Поэтому отображение достаточно определить на отдельных клетках
данной размерности р, составляющих разбиение многообразия.
Множество коцепей образует группу коцепей Lp = {(/р|} порядка р.
Таким образом, группа коцепей — это множество гомоморфизмов груп-
пы Lp в группу коэффициентов G.
Поясним сказанное на примере трехмерного многообразия М.
1. Как известно, нульмерные клетки |ао) — это просто точки мно-
гообразия М: |ао) = х € М. Каждой нульмерной клетке х поставим
в соответствие число (см.выражение (2.7.1)) (/° | ао) = /(ж). Таким
образом, нульмерная коцепь (/°| — это функция на многообразии М.
2. Пусть |bi)— одномерная клетка, т. е. некоторая кривая в М
и А — векторное поле на М. Рассмотрим криволинейный интеграл
вдоль клетки:
У Ads.
(2.7.3)
|Ь1>
Каждая дифференциальная форма Л ds ставит в соответствие цепи |6i)
интеграл (2.7.3), который есть просто число. Таким образом, Ads мож-
но отождествить с некоторой коцепью (I11. Формула (2.7.1) представля-
ется в следующем виде:
(Z1 | bi) = j Ads.
|Ь1>
(2.7.4)
Теория гомологий
93
3. Пусть В — снова векторное поле на М, da — элемент поверхнос-
ти, направленный по нормали к ней. Всякой двумерной цепи мы ставим
в соответствие интеграл:
(Z2|52) = у” В da. (2.7.5)
|ь2>
В этом случае коцепи (/2| отвечает дифферинциальная форма вто-
рого порядка (два-форма) В da.
4. Аналогично произвольной трехмерной цепи |£>з) поставим в со-
ответствие интеграл:
(I3 | Ъз) = У -ф(х) d3x.
|Ьз>
Три-форма -ф(х) d3x определяет коцепь (Z3|.
Приведенные примеры показывают, что кет-векторы (цепи) и бра-
векторы (коцепи) принадлежат пространствам совершенно различной
природы: в первом случае мы имеем геометрические объекты на мно-
гообразии, а во втором — дифференциальные формы.
Напомним, что при построении теории гомологий мы ввели гра-
ничный оператор Д. Теперь нам понадобится пограничный оператор <5,
сопряженный оператору Д:
(Z| Д|Ь> = (ВД0‘; 6 = Д+. (2.7.6)
Отметим, что Д действует на кет-векторы слева (цепи) |5) и понижает
порядок:
Lp А Lp-г (2.7.7)
а <5 действует контравариантно (справа) на бра-векторы (коцепи) (Z| и
повышает порядок:
Lp Л- Lp-i (2.7.8)
Покажем на примерах, как действует оператор кограницы 6.
94
Глава 2
Пусть М по-прежнему трехмерное многообразие в трехмерном
пространстве R3.
1. Рассмотрим простейшую одномерную цепь на М — кривую |Z>i) с
границей Д|Z>i) =| а^—а^). Обозначим = х± и = х?. Учитывая
обозначения первого примера, имеем
</°|Д|М = {1° I 41} ~ 42)) = /Ы - (2.7.9)
С другой стороны, формула Ньютона-Лейбница дает
/Ы - /Ы = I V/Cr) ds = (Z1^) = (Z°|J|6i>, (2.7.10)
IM
где коцепь (Z1) определяется один-формой Vf(x)ds.
Таким образом, в данном случае оператор 8 переводит функции
(ноль-формы) в один-формы:
8 : f(x) —> 7/(ш) ds. (2.7.11)
2. Пусть |g2) — двумерная клетка. Тогда по теореме Стокса имеем
У Ads = j" rot Add. (2.7.12)
A|g2> |g2>
Левая часть этой формулы согласно выражению (2.7.4) имеет вид
(Z1^^)- Тогда, сравнивая определение опрератора <5 (2.7.6) и (2.7.12),
получим, что 3 переводит один-форму Ads в два-форму rot Ad?.
3. Если |Zs) — трехмерная клетка, то воспользуемся теоремой Га-
усса
У В da = у Bd3x. (2.7.13)
Д|Ы |g3)
Так же, как и в предыдущем примере, сравнивая формулы (2.7.13)
и (2.7.6), получим, что 3 может интерпретироваться как оператор, пе-
реводящий два-формы В da в три-формы div В d3x.
Теория гомологий
95
Все используемые в этих примерах формулы (Ньютона-Лейбница,
Стокса и Гаусса) символически записываются в виде (2.7.6). Эта фор-
мула, разумеется, верна для цепей и коцепей произвольной размерности
и носит названия формулы Стокса. Менее формальная по сравнению с
выражением (2.7.6) запись имеет вид:
I </Р“1|= /
Д|6р) IM
(/₽~1|<5.
(2.7.14)
Здесь мы подразумеваем, что коцепи реализованы в виде диффе-
ренциальных форм.
Важным свойством оператора 3 является то, что квадрат его равен
нулю
З2 = 0.
(2.7.15)
В самом деле, согласно определению (2.7.6), <52=(Д+)2=(Д2)+. Но Д2=0
(см. свойство (2.1.6)). Конкретная реализация формулы (2.7.15) в част-
ных случаях (см. формулы (2.7.11) (2.7.12) и (2.7.13) дает хорошо из-
вестные в курсе анализа формулы:
rot V = 0;
div rot = 0.
(2.7.16)
Теперь, имея в своем распоряжении комплекс, состоящий из групп
коцепей Lp и оператора кограницы 3 (З2 = 0), мы можем построить
группы когомологий.
Определим в группе коцепей Lp подгруппу коциклов Ср как ядро
оператора 3:
Ср = Кег3 = {{lp\ е Lp | О = б} . (2.7.17)
Подгруппа кограниц Вр определяется как образ оператора 4:
Вр = Im.5 [{lp\ е Lp | (Zp| = (Zp“1^} - (2.7.18)
Всякая кограница есть коцикл: если (Ър\еВр, то (/^13~(ЬР~11<52=0. Поэ-
тому ВрсСр и мы можем рассмотреть фактор-группу НР=СР/Вр. Эта
96
Глава 2
фактор-группа и есть группа когомологий порядка р. Ее элементами яв-
ляются классы смежности:
Нр = {(с”| + Вр | (сП е С,р} . (2.7.19)
Два коцикла (с£ц| и (с^)! определяют один класс или один элемент
группы Нр, если ((с^ | — (с^2)1) е &Р-
В этом случае говорят, что эти два коцикла когомологичны.
На языке дифференциальных форм коциклы это формы, которые
оператором S переводятся в ноль. Такие формы называются замкну-
тыми. Локально каждую замкнутую форму можно представить в ви-
де (Zp| = (ZP-1|J. На языке форм низших порядков мы можем это
условие записать в следующем виде (см. формулы (2.7.11), (2.7.12)
и (2.7.13)):
1) Если rot Л = 0, то Л = V/ _ 7
2) Если div В = 0, то В = rot А.
Если М — обычное евклидово пространство R3, то условия (2.7.20),
как известно из курса анализа, выполняются всегда и определяют без-
вихревое или соленоидальное поле.
В общем случае не всякую замкнутую форму (/р| ((Zp|<£ = 0) можно
представить в виде (ZP-1|J.
Пример. М = S1 — окружность. Пусть <р — угловой параметр.
Тогда dtp — замкнутая один-форма (два-форма на S1 отсутству-
ет). Однако dtp не определяет глобально один-форму, так как в окрест-
ности точки tp = 0 функция, сопоставляющая каждой точке пара-
метр tp, не является непрерывной.
Формы (Zp |, которые допускают представление:
(Zp| = (/Р~1|<У, (2.7.21)
называются точными. Именно они являются кограницами. Поэтому,
для того чтобы построить группу когомологий НР(М), надо найти все
линейно независимые замкнутые формы порядка р, которые не явля-
ются точными. Определение групп когомологий с помощью дифферен-
циальных форм составляет содержание теоремы де Рама.
Теория гомологий
97
Теперь мы установим связь между группами гомологий Нр(М)
многообразия М и группами когомологий НР(М). Из формулы (2.7.6)
следует, что
{1\Ь) = 0 | еСЛИ Г д (2.7.22)
' 1 ' [ если (Z|o = О, \Ь) = Д|). ' ’
Иными словами, число (1\Ь) обращается в ноль, если (Z| — кограни-
ца и |6) — цикл, или |Z) — коцикл и |6) — граница. Отсюда следует,
что (1\Ь) зависит только от класса гомологий цикла |6) и класса когомо-
логий коцикла (Z|. Это позволяет установить изоморфизм между груп-
пами НР(М) и НР(М). Отметим сразу же, что если группа гомологий
содержит периодическую подгруппу, то при при переходе к когомоло-
гиям она утрачивается, т. е. соответствие устанавливается по модулю
кручения. В самом деле, если группа гомологий имеет НР(М) круче-
ние, то существует цикл |6) негомологичный нулю, но его некоторое
кратное гомологично нулю Д|пЬ) = 0. Например, если М — проектив-
ная плоскость (рис. 14), то это цикл Ь. Тогда если (?| кограница, то
число (/|6) = 0, хотя Д|Ь) -ф 0. Когомологии имеют важное значение
в нелинейных теориях поля. Коциклы, представленные в виде замкну-
тых дифференциальных форм, играют роль сохраняющихся токов, а
интегралы от этих форм есть инвариантные топологические заряды.
Аппарат когомологий важен потому, что он дает возможность опре-
делить те особенности скалярных, векторных и других полей на много-
образиях, которые зависят от топологических свойств самих многооб-
разий, а не от конкретного вида рассматриваемых полей, определяемого
теми или иными уровнями.
Ясно, что для групп когомологий можно развить тот же аппарат,
что и для групп обычных гомологий (рассмотреть относительные кого-
мологии, определить гомоморфизмы включения, проектирования, ко-
граничный гомоморфизм, установить цепочки точных последователь-
ностей и т. п.). К этим конкретным техническим вопросам так же, как
и к различным реализациям коцепей и когомологий, мы будем обра-
щаться по мере надобности в связи с рассмотренными предложениями.
В заключении этого раздела заметим, что аппарат когомологий был
предложен в 1934-1935 гг. в работах нескольких математиков — Алек-
сандера, Колмогорова, Уитни и Чеха.
Глава 3
Теория Морса и ассоциированные вопросы
1. Критические точки. 2. Топология «области меньших значе-
ний». 3. Неравенства Морса. 4. Теорема Пуанкаре-Хопфа об индек-
сах векторного поля. 5. Оценки числа полюсов аналитической функ-
ции. 6. Риманова поверхность алгебраической функции (формула Ри-
мана-Гурвица). 7. Размерность пространства мероморфных функций
(формула Римана-Роха). 8. Топологические аспекты многоканальной
задачи.
3.1. Критические точки
Мы возвращаемся к разделу 1.1 с тем, чтобы напомнить постанов-
ку вопроса о критических точках. Пусть f(xi, , хп) — дважды диф-
ференцируемая функция п действительных переменных. Критической
называется точка, в которой градиент функции равен нулю:
=0: i = 1, ... , п.
OXi
(3.1.1)
Поэтому в окрестности критической точки приращение функции может
быть записано так:
” 2 52 дх.дх^4
•Л
(3.1.2)
Критическая точка называется невырожденной, если
( d2f\
det I —д— I 0 0.
I OXiOXj I
(3.1.3)
Теория Морса и ассоциированные вопросы 99
Симметричная матрица п х п (с?2f /dxidxj) может быть приведена к
диагональной форме линейным преобразованием:
Ду,-= 523ОДжД’ (3.1.4)
i
где S — неособенная матрица. Тогда в невырожденной критической
точке при соответствующем выборе масштаба измерения новых ло-
кальных переменных Ду, формула (3.1.2) может быть переписана в
виде (1.1.1):
к п
М = ~ £(Ду.)2 + 12 (W- (3.1.5)
t=l i=k+l
Мы называем точку критической типа К, если число отрицательных
квадратов в формуле (3.1.5) равно К. Очевидно, что точка типа 0 есть
минимум /, точка типа п — максимум, точки типа к при 0 < к < п
называются седловыми. В частности, если u(xi, жг) — функция, гар-
моническая в некоторой области, то все ее внутренние критические
точки — седловые (fc = 1). Действительно,
д2и \ = д2и д2и _ / д2и \ 2
dxidxj) дх2дх2 \дх1дх2) ’
поскольку для гармонических функций
д2и _ д2и
Ъх2 дх%
Из формулы (3.1.6) следует, что в формуле (3.1.5) для Ди дол-
жен быть один отрицательный и один положительный квадрат, так
как det(d2 f /dxtdxj) инвариантен относительно преобразования (3.1.4).
Рассмотрим поверхность уровня, содержащую критическую точ-
ку, т. е. поверхность f(xi) — f(xf) = fc, где ж? — координаты кри-
тической точки. В окрестности критической точки на этой поверхнос-
ти Д/ = 0 и уравнение поверхности уровня в локальных координа-
тах Ду,- = у,- — у? будет иметь вид:
к п
-£(Ду;)2+ £ (Ду>)2=о. (3.1.7)
i=l j=k+l
det
100
Глава 3
Таким образом, в окрестности критической точки поверхность
уровня, содержащая критическую точку, в первом приближении сов-
падает с конусом. Если окружить критическую точку сферой 5"-1 ма-
лого радиуса е, то в тех же координатах уравнение этой сферы 5"-1
запишется так:
£(д?/.)2 = е2-
(3.1.8)
Пересечение конуса со сферой Sn 1 (3.1.8) есть прямая сумма двух
сфер S*"1 ф Sn~k~1 {к > 0):
к г2
£( W = £- Sk-\
t=l
п с-2
£ ^ytf=£--^Sn-k-
i=k+l
(3.1.9)
Пусть теперь мы имеем поверхность уровня, отвечающую значе-
нию функции fc — д2 < /с, где 3 — малое число (<5 < е).
Лежащие на этой поверхности точки, близкие к критической, удов-
летворяют уравнению гиперболоида:
к п
£(Д?/.)2 + £ (Ду,)2 = -З2. (3.1.10)
i=l ,=fc+l
Пересечение гиперболоида (3.1.10) со сферой (3.1.8) снова дает прямую
сумму двух сфер:
(3.1.11)
Sn-fc-l
Теория Морса и ассоциированные вопросы
101
3.2. Топология области меньших значений
Многообразие всех точек, в которых функция f меньше заданного
числа А, называется областью меньших значений и обозначается сим-
волом (/ < А). Ясно, что при прохождении через критическую точку,
т. е. при росте А от А = fc — 3 до А = fc + 3, топологическая структура
области меньших значений претерпевает изменения. Это иллюстриру-
ется рис. 35 на примере функции от одного переменного, заданной на
интервале (а, Ь).
Рис. 35. Изменение топологической структуры области меньших значений
при прохождении через критическую точку. Область меньших значений по-
казана штриховкой.
Изменение топологической структуры области меньших значений
при росте А можно выразить количественно через числа Бетти. На-
пример, для случая, изображенного на рис. 35, нульмерное число Бет-
ти Ро(/ < А) = 2 при А < fc и р0(/ < А) = 1 при А > /с. В общем
случае изменение чисел Бетти области (/ < А) можно произвести по
следующей схеме. Из области (/ < fc + 3) исключаем малую шаровую
окрестность Ue критической точки. Тогда
(/</c + J) = (/</c-J)Ut/e. (3.2.1)
Для нахождения чисел Бетти рг(/ < fc + 3) по рг(/ < fc - 3) и рг([/е)
можно воспользоваться теоремой сложения (2.6.62), полагая
M1 = (f<fc-3), M2 = Ue, MM=(f<fc-3)nU£. (3.2.2)
102
Глава 3
Мы докажем, что пересечение МхГ\М2 гомеоморфно прямой сумме
шарового слоя Rk и шара Ro~k- Rk Ф Ro~k (к > 0). В самом деле
Мх = Ду € R"
М2 = < Ду € Ж"
| - ЕА^? + Е А^ <
i=i »=fc+i J
I ±Д^<е2|;
решая совместно эти неравенства, получим
п
Е А^2 <
i=fc+l
е2-62
2
и
k
1=1
Первое из них определяет шар Rg~k в пространстве Rn-fc, а второе —
шаровой слой Rk в пространстве R*. Поэтому Мг П М2 = Rk Ф R$~k
(прямое произведение).
Для чисел Бетти произведения двух топологических пространств
имеет место формула Пуанкаре
р2(М'®Г) = Ц Pi(M')Pj(M").
i+j=r
Так как рДЯд) = 0 и ро(Яо) = 1 (см. равенство (2.6.74)),
a Pj(Rk) = Pj(Sk~1') (см. выражение (2.6.82)), то
Г
P2(Rk ® R"-fe) = flPr(Sk-1)Pr_i(RS) =Pr(Sk~1).
i=0
Поскольку Ur
ния (2.6.62) имеем
Rq (n-мерный шар), согласно теореме сложе-
&Рт =Pr(R?) ~Pr(Sk г)+P'.+P'r^1-
(3.2.3)
Теория Морса и ассоциированные вопросы
103
Здесь
ДРг = Рг(/ < /с + <5) - Рг(/ < /с - <5)
и Рг» Рг-1 — ранги групп связывающих циклов. В данном случае свя-
зывающим циклом может быть только само пересечение П М2, на
котором существует единственный негомологичный нулю цикл — сфе-
ра Sfc-1.
Для г £ к, к — 1 формула (3.2.3) дает
Дрг = 0; г к, к — 1. (3.2.4)
Это получается прямой подставкой чисел pr(Ro) и pr(Sk~1), опреде-
ляемых равенствами (2.6.74) и (2.6.80) с учетом того обстоятельства,
что п > к — 1 и поэтому pn(S,fc“1) = 0. Кроме того, поскольку связыва-
ющим циклом может быть только сфера S'*-1, следует иметь в виду,
что р'т = 0 при г к — 1 и р'т_х — 0 при г к.
Таким образом, при прохождении критической точки типа к изме-
нение могут испытывать только числа Бетти области меньших значе-
ний рк и pt-1. Каждое из этих чисел меняется, зависит от того, является
ли Sfc-1 связывающим циклом или нет.
Допустим, что Sk~1 есть связывающий цикл. Тогда р'к_1 = 1,
Pfe(S'fc_1) = Pk = 0 и мы получаем
Дрь = 1, (3.2.5)
т. е. при прохождении критической точки fc-мерное число Бетти рк
возрастает на единицу. Для г = к — 1 имеем
рк-Д8к~^ = р'к^ = 1; ДрЛ_х = 0. (3.2.6)
Иными словами, если Sfc“1 — связывающий цикл, торк возрастает на
единицу, а остальные числа не меняются.
Примем теперь, что Sk~l не является связывающим циклом.
Тогда
Рг = Рг-1 = 0
при всех г, и мы находим
Др*: = 0.
(3.2.7)
104
Глава 3
Для г = к — 1 все числа в правой части равенства (3.2.3) равны нулю,
за исключением pfc_i(<Sfc-1) = 1. Поэтому
Дрл-1 = -1. (3.2.8)
Мы приходим к выводу, что если 8к~г не является связывающим цик-
лом, то pk-i убывает на единицу, а остальные числа рг не меняются.
Заметим, что при выводе формул (3.2.4)-(3.2.8) неявно предполагалось,
что к 0, 1 (при к = 0 нет сферы при к = 1 po(S°) = 2, а не еди-
нице, как это имеет место в общем случае для Pk-i(Sk~1)).
При к — 0 все члены в правой части равенства (3.2.3), кроме пер-
вого слагаемого, равны нулю.
Так как
Рот = 1; Ргт = 0; г > 0,
то
Дро = 1; (3.2.9)
остальные числа Бетти не изменяются.
В случае к = 1 имеем
PoW) = l; Ро(5°)=2; p'r = Prm = Pr(S°) = 0-, г > 0.
Поэтому при р'о = 1 получаем
Др0 = 0; (3.2.10)
все остальные Дрг = 0. Если же ро = 0, то
Др0 = 1; Дрг = 0; г > 0. (3.2.11)
Резюмируя изложенное, мы можем сказать, что всегда при прохож-
дении критической точки типа к справедлива либо формула (3.2.5), ли-
бо (3.2.8). Критические точки, для которых справедлива формула (3.2.5)
называются возрастающими типа к; точки же, удовлетворяющие фор-
муле (3.2.8) именуются убывающими типа fc.
Теория Морса и ассоциированные вопросы 105
3.3. Неравенства Морса
Результаты предыдущего параграфа мы используем ниже для оцен-
ки числа критических точек функции, заданной на многообразии. С
этой целью рассмотрим область меньших значений (/ < А), изменяя А
от наименьшего значения А<, принимаемого функцией f на многооб-
разии, до наибольшего А>. Ясно, что область (/ < А<) — пустое мно-
жество; область же (/ < А>) охватывает все многообразие, на котором
задана функция /. По мере изменения А числа Бетти области (/ < А)
будет меняться при прохождении каждой критической точки в соответ-
ствии с полученными выше результатами: каждая критическая точка
возрастающего типа к будет увеличивать на единицу число Бетти р^,
каждая критическая точка убывающего типа к будет уменьшать на
единицу число Бетти рь-i- Обозначим через и тп^ числа критичес-
ких точек соответственно возрастающего и убывающего типа к. Общее
число критических точек типа к будет равно
тпк = тп^ + тк, (3.3.1)
Заметим, что в случае к = 0 точек убывающего типа 0 нет (тй = 0),
поэтому
тп0 = (3.3.2)
Основываясь на изложенном, мы можем написать для fc-мерных чисел
Бетти р). следующее равенства:
Рк = mk ~ тк+1 i А = 0, 1, ... ,п — 1; (3.3.3)
pn = m+. (3.3.4)
Здесь п — размерность многообразия; поэтому критических точек убы-
вающего типа п + 1 нет: т~+1 = 0. Формулы (3.3.3) и (3.3.4) дают
возможность получить неравенства, оценивающие снизу числа крити-
ческих точек.
Прежде всего, складывая равенства (3.3.3) и (3.3.4), получаем оцен-
ку снизу на общее число критических точек всех типов fc:
п п
(3.3.5)
fc=O к=О
106
Глава 3
Далее, составляя альтернированные суммы
k
£(~1)ГРг,
r=0
получаем неравенство Морса:
Ро С то,
Ро ~Р1^ т0 - тг;
Ро — Р1 + Р2 т0 т1 + W5 (3.3.6)
х = =
к=О к=0
Заметим, что формулы (3.3.5) и (3.3.6) справедливы как для обычных
чисел Бетти, так и для чисел Бетти (mod 2), поскольку использованная
при выводе неравенств Морса теорема сложения чисел Бетти (форму-
ла (2.6.62)) справедлива в обоих случаях. Для ориентируемых многооб-
разий р — рь (mod 2), но для неориентируемых многообразий эти числа
различаются и в формулы (3.3.5) и (3.3.6) для получения более силь-
ных оценок выгодно подставлять pk (mod 2). Например, для двумерной
проективной плоскости = 1, тогда как У^рь (mod 2) = 3.
к=0 к=0
Поэтому при использовании обычных чисел Бетти неравенст-
во (3.3.5) для общего числа критических точек т = ^^тп/. дает на-
к-0
равенство
тп 1;
подстановка же в формулу (3.3.5) pk (mod 2) приводит к более точной
оценке.
тп 3.
Полученное выше неравенство относится к невырожденным кри-
тическим точкам. Они будут справедливы и для вырожденных точек,
если под mk подразумевать сумму кратностей геометрически различ-
ных критических точек типа к. Это заключение довольно очевидно,
поскольку «шевелением» параметров можно превратить вырожденную
Теория Морса и ассоциированные вопросы
107
критическую точку в близко лежащие невырожденные, так что число
образовавшихся в результате «шевеления» невырожденных точек будет
равно кратности вырождения исходной точки. Оценка числа геометри-
чески различных критических точек на основе топологических харак-
теристик многообразия требует привлечения более сложных понятий
алгебраической топологии, и мы этим здесь заниматься не будем. Не-
которые относящиеся к этой проблеме результаты изложены в цитиро-
ванной выше книге Эльсгольца [23].
Наконец, заметим, что неравенства Морса используют не всю ин-
формацию о структуре групп гомологий, а только числа Бетти (за
«бортом» остаются коэффициенты кручений). Поэтому топологические
оценки числа критических точек в ряде случаев наверняка могут быть
улучшены по сравнению с неравенствами Морса (учет кручений см. в
монографии Эльсгольца).
Заключая этот параграф, подчеркиваем то замечательное обстоя-
тельство, что топологические свойства многообразия, на котором зада-
на функция, определяет некоторые ее «обязательные» особенности. Этот
факт будет использован ниже для оценки числа полюсов функции, ме-
роморфной в некоторой области (разд. 3.5). Предварительно мы оста-
новимся на другом следствии неравенств (3.3.6) — теореме Пуанкаре-
Хопфа для векторных полей на многообразии.
3.4. Теорема Пуанкаре—Хопфа в индексах
векторного поля
Пусть на многообразии задано дифференцируемое векторное поле
Л,(а:), a:=(a:i, ... , хп), г=1, 2, ... Вблизи точки х° вектор поля А(ж°)
может быть представлен в виде:
Ai(x) = Ai(x°) 4- dxj. (3.4.1)
Если А;(ж0) ф 0, то ясно, что при обходе вокруг точки а:0 поворот
вектора А,(а:) будет мал, если достаточно мал dxj. При полном обходе
108
Глава 3
вокруг х°, т. е. при повороте вектора на угол 2тг в двумерном случае,
вектор Aj(x) не повернется. Если же А^(ж°), то
А{(х) = дА^х°^> dxj (3.4.2)
дх, 3
и вектор А{(х) будет поворачиваться вместе с dxj. При полном об-
ходе вокруг х° он повернется на ±П (Q — полный телесный угол
в плоскости, содержащей х°; в двумерном случае Q = 2тг), если
&et,{dAi(x0)ldx°j} 0, т. е. если точка х° невырождена (если степень
вырождения равна т, то полный поворот вектора А,(х) будет иметь
кратность т). Таким образом, нули векторного поля являются его
особыми точками: направление вектора в такой точке однозначно не
определено. Будем для простоты рассматривать невырожденные осо-
бые точки (напомним, что вырожденная точка может быть «шевеле-
нием» параметров переведена в невырожденную) и выясним вопрос о
знаке угла поворота Ai(x) относительно угла поворота dxj. Легко по-
нять, что он определяется знаком det{c?J4i(a7°)/c?a;°}, который по пред-
положению, не равен нулю, так как точка х° невырожденная. В са-
мом деле, вектор А;(ж) получается из dxj линейным преобразованием с
матрицей {дА, (ж0)/дх°-}. Если детерминант этого преобразования по-
ложителен, то системы ортов в пространствах А,- и dxj ориентированы
одинаково, а следовательно, одинаково определены и положительные
направления отсчета углов. Если же det{3Ai(x°)/3x°} < 0, то поло-
жительным направлениям отсчета углов в пространстве dxj отвечают
отрицательные направления в пространстве АДх). Рис. 36 иллюстри-
рует сказанное на примере двумерного поля.
Введем важное понятие. Индексом невырожденного нуля х° вектор-
ного поля А(ж) называется знак детерминанта det{3Ai(a:0)/cla:j}. Ра-
зумеется, можно определить индексы полюсов векторного поля; при-
мерами полюсов векторных полей могут служить электрическое поле
кулоновского центра, магнитное поле линейного тока.
Пусть в некоторой локальной системе отсчета А}- = aj/r, где a,j —
вектор, регулярный при г —> 0. Тогда вблизи полюса, т. е. при доста-
Теория Морса и ассоциированные вопросы
109
Рис. 36. Направление осей и отсчета углов в пространствах dx и А
при 4е1{<9А;(ж°)/<9ж°} < 0.
точно малом г(ж°) = го, мы можем написать, сохраняя только старшие
члены, следующее равенство:
ГО
,,.0
Го
.(3.4.3)
г •
Поэтому при г -> 0 и А,(ж0) -> оо вектор А,(ж) будет поворачиваться
вместе с dxi, как и в случае нуля поля (АДж°) = 0), рассмотренном
выше.
До сих пор мы имели дело с невырожденными особыми точками. В
общем случае индекс особой точки выражается через другую величи-
ну — степень отображения. Рассмотрим отображение сферы 5п-1(</ж)
52(б(ж‘)2 = ?
на сферу Sn Х(А) единичного вектора А =
h}(w!=Z>4
которое осуществляет поле А(ж) в окрестности особой точки ж0. Каж-
дой точке у € 5'п-1(А) отвечает, вообще говоря, несколько точек
ж G Sn 1(</ж). Степень отображения в точке х — это число, равное +1
или —1, в зависимости от того, одинаково или противоположно ориен-
тированы окрестности сфер Sn~1{dx') и Sn-1(A) в точках ж и у. Сум-
ма степеней во всех точках ж прообраза точки у называется степенью
по
Глава 3
отображения. Казалось бы, что эта величина зависит от выбора точ-
ки у 6 Sn-1(A). Однако существует теорема, согласно которой эта ве-
личина одна и та же почти для всех точек у. Степень отображения —
это многомерное обобщение числа оборотов при отображении S1 в S1.
Индекс особой точки векторного поля А(х) (вырожденной или не-
вырожденной) есть по определению степень отображения Sn~1{dx)
в Sn~\A). Интуитивно ясно, что при таком определении индекс особой
точки не зависит от выбора радиуса е сферы Sn~1(dx>). Если точка ж0
невырожденная, то данное определение, как легко понять, совпадает с
предыдущим.
Отметим также, что степень отображения определяется для про-
извольного гладкого отображения Sn-1 в S’1-1 и, вообще, для гладких
отображений компактных многообразий.
Сумма индексов векторного поля, заданного на многообразии без
края, не зависит от конкретного вида поля. Поясним это в двумерном
случае. Для этого заметим, во-первых, что при обходе по замкнутому
контуру, охватывающему все особые точки поля, поворот вектора бу-
дет определяться суммой индексов поля. Последнее очевидно для кон-
тура C*i на рис. 37. При деформации же этого контура в контур Сг
результат не изменится. Представим, что имеется два линейно неза-
висимых вектора поля Aj(x) и Bj(x) и что контур Сг охватывает все
особые точки обоих полей. Предположим также, что контур Сг такой,
что Aj(x) XBj(x) ни в одной из точек этого контура. Если суммы ин-
дексов полей Aj(x) и Bj(x) различаются, то при обходе по контуру Сг
один из векторов будет поворачиваться медленнее другого и поэтому
в некоторой точке вектора Aj(x) и Bj(x') должны быть коллинеарны,
что противоречит исходному предположению.
Таким образом, будем считать доказанным следующий факт: сум-
ма индексов векторного поля не зависит от выбора векторного поля.
Исходя из этого, мы докажем, что она является топологическим ин-
вариантом. Для вычисления воспользуемся индексами поля градиен-
та df /dxi, i = 1, ... , п дважды дифференцируемой функции. Особыми
точками этого поля будут критические точки функции /(жх, ... , жп).
Будем, как и раньше, считать все критические точки функции не-
Теория Морса и ассоциированные вопросы
111
Рис. 37. Обход по контурам Ci
и Сг дает один и тот же поворот
вектора поля (а, b — особые точ-
ки поля, между Ci и Сг особых
точек нет).
Рис. 38. Вектор-потенциал поля
монополя Дирака.
вырожденными. Тогда индекс n(q) градиента df /dxi критической точ-
ке q типа к будет равен
nfc = (-l)fc.
(3.4.4)
Это непосредственно следует из того, что знак det {д2 f/dxidxj} в кри-
тической точке типа к равен (—l)fc. Таким образом,
q fc=O
(3.4.5)
Здесь mk — число критических точек типа к, а сумма по q распро-
страняется на все критические точки q. Однако, согласно равенству
Морса (формула (3.3.6)), альтернативная сумма числа критических то-
чек в правой части формулы (3.4.5) равна эйлеровой характеристике
многообразия. Сравнение формул (3.4.5) и (3.3.6) доказывает теоре-
му Пуанкаре-Хопфа (сумма индексов векторного поля на многообразии
равна эйлеровой характеристике этого многообразия):
Х = «(«’)•
(3.4.6)
112
Глава 3
Следствием этой теоремы является тот факт, что векторное поле
без особенностей может существовать только на многообразии, эйлеро-
ва характеристика которого равна нулю. Поскольку эйлерова характе-
ристика всякой четномерной сферы равна двум, то на такой поверхнос-
ти векторного поля без особенностей задать нельзя. Это относится, в
частности, и к двумерной сфере (теорема о невозможности «причесать
ежа»). Хорошим примером проявления этой теоремы может служить
вектор-потенциал А поля дираковского монополя. Напряженность маг-
нитного поля Н монополя с магнитным зарядом g определяется равен-
ством:
Я = //г2; ?=%. (3.4.7)
Так как
Н = rot А||г, (3.4.8)
то в каждой точке вектор-потенциал А должен лежать в касательной
плоскости к сфере, т. е. А должен быть двумерным векторным полем
на сфере S2 и потому должен иметь особенности по угловым перемен-
ным при любом г. Иными словами вектор-потенциал А поля монополя
будет иметь особенности в каждой точке некоторой линии в трехмер-
ном пространстве. Нетрудно догадаться, что этой линией должна быть
полярная ось, а особые точки должны находиться в полюсах сферы,
где координатная сетка (мередианы и параллели) имееет особенности.
Действительно возможное решение для А имеет вид:
Я 0
Аг = Ав = 0; Av = 2 tg (3.4.9)
г Z
Здесь Ar, Aq, Av — компоненты А в сферической системе координат.
Особыми точками поля А являются точки 0 = 0, тг, причем индексы
поля А в каждой из этих точек п(0) = п(тг) = 1 (см. рис. 38), так что
сумма индексов равна двум, как это и должно быть для S2 согласно
формуле (3.4.6). Из теоремы Пуанкаре-Хопфа в данном случае следу-
ет, что никаким изменением калибровки потенциала эти особенности
вектор-потенциала поля монополя устранить нельзя.
Теория Морса и ассоциированные вопросы 113
Уже упоминавшимся ранее следствием теоремы Пуанкаре-Хопфа
является также и тот факт, что аналитическая функция одного пере-
менного, голоморфна во всей комплексной плоскости, не может быть
отлична от константы. В самом деле, действительная и мнимая час-
ти такой функции должны быть гармоническими функциями во всей
плоскости. Критические точки отличной от константы гармонической
функции двух переменных могут быть только седловыми точками ти-
па k — 1 (см. разд. 3.1, формулу (3.1.6)). Следовательно, согласно
формуле (3.4.4) все индексы особых точек градиента гармонической
функции отрицательны. С другой стороны, комплексная плоскость го-
меоморфна сфере S2, эйлерова характеристика которой положитель-
на (x(S2) = 2). Таким образом, существование отличной от константы
аналитической функции, голоморфной во всей комплексной плоскос-
ти z, противоречило бы формуле Пуанкаре-Хопфа (3.4.6).
3.5. Оценка числа полюсов аналитической функции
Неравенства Морса для числа критических точек относятся к дей-
ствительным функциям действительных переменных. Они, однако, мо-
гут быть использованы для оценок числа полюсов и нулей аналити-
ческой функции f(z) комплексной переменной z, если вместо самой
функции f(z) рассматривать действительную функцию:
U(x, у) = ln|/(z)|; z = x + iy. (3.5.1)
Вблизи нуля или полюса мероморфной в некоторой области функ-
ции f(z) функция U может быть представлена в виде:
U = mln\z — zi| + tp(x, у), (3.5.2)
где тп — кратность нуля (т > 0) или полюса (т < 0), а <р(ж, у) — гар-
моническая в окрестности z\ функция двух переменных. Легко видеть,
что точка z = zi будет играть роль критической точки функции [7:
при m > 0 — роль минимума, при m < 0 — роль максимума. То об-
стоятельство, что U обращается к точке zi в бесконечность, для наших
целей несущественно. Поскольку z^ — изолированная точка, мы мо-
жем, окружив ее некоторой достаточно малой окрестностью радиуса г,
114 Глава 3
«регуляризовать» функцию U в этой точке, т. е. заменить U на функ-
цию U, конечную в точке z± и имеющую в ней минимум, если (т > 0)
или максимум (т < 0). Используя затем теорию Морса применитель-
но к регуляризованной функции U, мы получим для нее оценки снизу
для чисел критических точек, которые, очевидно, будут справедливы и
для U, т. к. топологические свойства областей меньших значений будут
одинаковы для обеих функций при любом сколь угодно малом радиу-
се е упомянутой окрестности логарифмического полюса zy. Отметим,
что т-кратный полюс или нуль функции /(z) будет при этом высту-
пать как простой (некратный) максимум или минимум функции U.
Нам остается теперь лишь применить соотношения (3.3.6) к функ-
ции двух переменных. Многообразием, характеризуемым числами Бет-
ти рг, является в рассматриваемом случае область мероморфности
функции f^z). Тогда из формулы (3.3.6) получаем следующие соотно-
шения:
т0 4- тх + Шмакс Ро + Pi + Р?', (3.5.3)
m0 - mi + тмаКс = Ро ~ Pi + Р? = X- (3.5.4)
Здесь то — суммарное число нулей f(z) и минимумов функ-
ции U, не являющихся нулями f(z); mi — число седловых точек функ-
ции U; тмакс — суммарное число полюсов /(z) и максимумов функ-
ции U, не являющихся полюсами f(z). При этом в соответствии со
сказанным ранее в числа то и тмаКс входят только геометрически раз-
личные нули и полюса функции f(z), т. е. каждый нуль или полюс вне
зависимости от кратности считается один раз.
Применим теперь соотношения (3.5.3) и (3.5.4) к оценке числа по-
люсов и нулей функции мероморфной в области Sf, т. е. сферы с I
дырками, которая гомеоморфна кругу Ri_r с I — 1 дырками. В этом
случае минимумы и максимумы функции U, не являющиеся нулями
или полюсами f(z), могут быть расположены только на границе облас-
ти, т. к. эти экстремумы должны принадлежать гармонической функ-
ции <р(.т, у) (см. формулу (3.5.2)), все внутренние критические точ-
ки которой могут быть только седловыми. Далее заметим, что в чис-
ло тмакс в формулах (3.5.3) и (3.5.4) не входят максимумы, лежащие
на границе. Действительно, топологическая структура области мень-
ших значений при прохождении точки граничного максимума не мо-
Теория Морса и ассоциированные вопросы
115
жет измениться; не меняются при этом, следовательно, и числа Бетти
области меньших значений. Последнее, в свою очередь, означает, что в
правые части равенств (3.3.3) и (3.3.4) для к = п н к = п — 1 граничные
максимумы не дают вклада. Таким образом для области с границей
^макс — т>р, (3.5.5)
где тр — число внутренних полюсов функции /(z). Согласно изложен-
ному, то для области с границей равно сумме чисел геометрически
различных нулей функции f(z) и граничных минимумов функции U,
не являющихся нулями f(z). Согласно предыдущему для области Sf
при I =4 0 мы имеем
Po(S,2) = 1; pi(S2) = I - 1;
Отсюда из формул (3.5.3), (3.5.4) следует
m0 + mi + тр
т0 - mi + тр = y(S;2)
p2(S2) = 0.
:> /;
= 1-1.
(3.5.6)
(3.5.7)
(3.5.8)
Мы рассмотрели область мероморфности Sf. т. е. сферу с I дыр-
ками. Рассуждая совершенно аналогичным образом, можно получить
ограничения на числа mo, mi и тр для функции, мероморфной на ри-
мановой поверхности, гомеоморфной сфере Pg с g ручками и I дырками.
При этом мы получим
m0 + mi + тр 2g 4-1 + 2; (3.5.9)
т0 - mi + тр = х(-Р^) = 2 - 2g - Z. (3.5.10)
3.6. Риманова поверхность алгебраической
функции (формула Римана—Гурвица)
В этом параграфе мы выразим эйлерову характеристику римано-
вой поверхности алгебраической функции одной переменной через чис-
ло листов и порядки ветвления точек ветвления. Поскольку римановы
поверхности алгебраических функций одной переменной являются ори-
ентируемыми двумерными многообразиями без края, то эйлерова ха-
рактеристика полностью определит топологические свойства рассмат-
риваемой римановой поверхности.
116
Глава 3
Пусть q есть точка ветвления и lq ее порядок ветвления (lq > 1 —
целое число; lq — 1 отвечает регулярной неветвящейся точке q). Напом-
ним, что алгебраическая функция имеет конечное число точек ветв-
ления и все они конечного порядка (Zg < оо). Введем число nq, равное
числу точек римановой поверхности «над д», т. е. числу значений алгеб-
раической функции и = в точке z = q. Если бы q была регулярной
точкой (lq = 1), то, очевидно п(</) было бы равно числу листов п. Ес-
ли же q является точкой ветвления (Jq > 1), то nq связано с числом
листов п и порядком ветвления lq простым соотношением:
П = nqlq. (3.6.1)
Это равенство получается следующим образом. В окрестности изоли-
рованной точки ветвления q аналитическая функция /(г) может быть
представлена в виде:
/(*) =f(q) + (3.6.2)
fc=i
Согласно определению число значений f(q) есть nq; число же зна-
чений второго слагаемого в формуле (3.6.2) равно числу значений кор-
ня (z — q) , т. е. lq. Отсюда следует, что общее число значений функ-
ции /(z) во всякой точке z, не являющейся точкой ветвления, т. е. число
листов п функции f(z), равно произведению nq • lq, как это и записано
равенством (3.6.1).
Допустим теперь, что область Mz комплексной плоскости z, в кото-
рой задана наша функция f(z), разбита на клетки, причем числа нуль-
мерных клеток (вершин), одномерных клеток (ребер) и двумерных кле-
ток (граней) равны соответственно Kq(Mz), Ki(Mz) и K2(MZ). Будем
считать, что все точки ветвления, лежащие в Mz, являются верши-
нами клеточного разбиения. Это будет означать, что ни одна из точек
ветвления не лежит на ребрах или гранях нашего клеточного разбиения
(напомним, что все клетки являются открытыми шарами и не содер-
жат своих границ, т. е. ребра — вершин, а грани — ребер и вершин).
Клеточное разбиение Mz индуцирует клеточное разбиение римановой
поверхности М рассматриваемой функции. Согласно сказанному, числа
Теория Морса и ассоциированные вопросы 117
ребер Ki(M) и граней К2(М) индуцированного клеточного разбиения
римановой поверхности М дают соотношения
Kr(M) = nKr(Mz)j г = 1,2. (3.6.3)
Что же касается числа вершин, то оно, очевидно, будет равно
Здесь суммы по q распространены на все точки ветвления. Используя
далее равенство (3.6.1), мы можем переписать выражение (3.6.4) в сле-
дующей форме:
tf0(M) = ntf0(M2)-52^-1). (3.6.5)
ч
С помощью формул (3.6.3) и (3.6.5) получаем соотношение между эйле-
ровыми характеристиками х(М) римановой поверхности М и у(ЛД2)
области Mz комплексной плоскости z:
Х(М) = nX(Mz) - £ nq[lq - 1). (3.6.6)
Это и есть формула Римана-Гурвица. Для алгебраической функции об-
ластью Mz может быть вся комплексная плоскость, гомеоморфная сфе-
ре (сфера Римана; формула (3.6.6) была написана Риманом имено для
этого случая). Для функции же, имеющей не только корневые, но и ло-
гарифмические точки ветвления, Mz есть область, содержащая корне-
вые и не содержащая логарифмические точки ветвления. В этом случае,
очевидно, Mz гомеоморфно сфере с некоторым числом дырок. Заметим,
что сумму в формуле (3.6.6) формально можно считать распространен-
ной на все точки области q, так как для регулярных (неветвящихся)
точек lq — 1 = 0 и эти точки фактического вклада в указанную сумму
не дадут.
118
Глава 3
3.7. Размерность пространства мероморфных
функций (формула Римана-Роха)
Совокупность всех мероморфных функций, имеющих полюса крат-
ностей, не превышающих заданных целых чисел mi, m2, • • • , ms-i, ms
соответственно в фиксированных точках zi, z2, ... , z9_i, zs — 00 комп-
лексной плоскости переменной z, образует линейное пространство раз-
мерности
Z = m+1, (3.7.1)
где
m = (3.7.2)
г=1
есть сумма кратности полюсов. Действительно, произвольная функция
такого типа может быть представлена в виде:
т3 8 — 1 mi
/W = 2 aTzr + X Ё • (3’7’3)
г—0 4=1 fci=l Zt>
Ясно, что линейная комбинация функций (3.7.2), отличающихся коэф-
фициентами аг и aij, но характеризующихся теми же z, и т,, будет
опять-таки функцией типа (3.7.3). Каждая функция (3.7.2) при фикси-
рованных Zf и т, однозначно определяется заданием I «координат», т. е.
чисел
од, • • • 5 &т3 5 ^1,1, 5 ^1,7711? &S — 1, 1 5 • • • 5 &8~ 1, ТП5-1 •
Любые I + 1 функций типа (3.7.3) обязательно линейно зависимы. Все
сказанное равнозначно утверждению, что рассматриваемые мероморф-
ные функции образуют линейное пространство размерности I, опреде-
ляемой равенством (3.7.1).
Представим, что мы имеем некоторую алгебраическую функцию.
Она, вообще говоря, будет мероморфна не на комплексной плоскости z,
а на отвечающей данной функции римановой поверхности. Так же, как
Теория Морса и ассоциированные вопросы 119
и в рассмотренном выше случае для плоскости множество мероморф-
ных на определенной конечно-листной римановой поверхности функ-
ций, имеющих в фиксированных точках полюса, кратности которых не
превышают заданных для каждого полюса чисел, является линейным
пространством. Спрашивается, какова размерность этого пространст-
ва? Легко понять, что ответ будет не столь прост, как в разобранном
случае для плоскостей. Например, на римановой поверхности функции
Vz2 — b + у/z2 ~ с
а _|------------------
Z — Z1
будут четыре простых (некратных) полюса, но размерность простран-
ства мероморфных функций, имеющих простые полюса в этих точках
римановой поверхности, равна всего лишь двум. Связь между сум-
мой кратностей полюсов, родом римановой поверхности, т. е. чис-
лом ручек g, вклеенных в сферу, и размерностью пространства меро-
морфных функций на римановой поверхности определяется формулой
Римана-Роха. Мы приведем здесь эту формулу без вывода, но пояс-
ним некоторые связанные с ее выводом понятия, имеющие более общую
значимость. К числу таковых относится понятие дивизора. Дивизором
называется формальная сумма:
k
D = niai, (3.7.4)
i=l
где ai — точки римановой поверхности, а щ — положительные или от-
рицательные целые числа; используя введенную ранее терминологию,
можно сказать, что сумма (3.7.4) есть нульмерная цепь. Коэффициен-
ты щ называются порядками точек а,- и иногда обозначаются так:
тц = (ord D)i. (3.7.5)
Говорят, что
Pi > D2, (3.7.6)
если (ord Di)i > (ord D2), для всех точек i. Сумма всех щ называется
степенью дивизора D и обозначается символом deg
degD = ]P(ord P),-. (3.7.7)
120
Глава 3
Совокупность всех дивизоров, натянутых на точки aj, ... , а*, образу-
ет, очевидно, аддитивную группу. Ее подгруппой является множество
дивизоров, для которых
degl? = 0. (3.7.8)
Дивизоры, удовлетворяющие равенству (3.7.8), называются главными.
Они замечательны тем, что каждому такому дивизору отвечает ме-
роморфная на данной римановой поверхности функция, имеющая в
точках а,- нули или полюса. Дивизор, отвечающий мероморфной функ-
ции /, обозначается символом (/). Сопоставление мероморфной функ-
ции дивизора принято производить по правилу:
(ord (f))i < 0, если ai — полюс /; (3.7.9)
(ord(/))i > 0, если ai — нуль/, (3.7.10)
причем |(ord (f))i| равен кратности соответственно полюса или нуля.
Поскольку у мероморфной функции сумма кратностей полюсов
равна сумме кратностей нулей, то
deg(/) = £(ord (/)),• = 0 (3.7.11)
i
и дивизор (/) является главным.
Важным является понятие размерности дивизора D. Размерностью
дивизора D (diml?) называется размерность пространства мероморф-
ных функций,таких, что
(/) > -D. (3.7.12)
Заметим, что если
D < 0,
то согласно определению (3.7.12)
diml? = 0.
Далее, если D = 0, то, очевидно, diml? = 1, поскольку в этом слу-
чае возможна лишь мероморфная функция, не имеющая полюсов, т. е.
константа.
Теория Морса и ассоциированные вопросы 121
Среди дивизоров, помимо главных дивизоров, определенную роль
играют так называемые канонические дивизоры С, которые отлича-
ются тем, что их степень равна взятой с обратным знаком эйлеровой
характеристике сферы с g ручками:
deg С' = 2g-2 = X(Pg). (3.7.13)
Канонические дивизоры С связаны с абелевыми дифференциалами, од-
нако мы не можем здесь обсуждать этот аспект.
В терминах дивизоров теорема Римана-Роха может быть сформу-
лирована следующим образом:
dim£> = degD — g+ 1 + dim(C — D). (3.7.14)
Здесь g— род (число ручек) рассматриваемой римановой поверхности
алгебраической функции, С — один из канонических дивизоров.
Пользуясь формулой (3.7.14), найдем размерность канонического
дивизора. Полагая D = С и учитывая, что dim(C' — D = 0) — 1, имеем
dimC = 2g—2 — g+l + l= g. (3.7.15)
Далее легко установить, что если
degD>2g — 2, (3.7.16)
то
dim(C - D) = 0. (3.7.17)
Действительно, в этом случае
deg(D - С) > 0 (3.7.18)
и для главного дивизора (/), отвечающего мероморфной функции /, мы
должны иметь
(f)>-(C-D) = D-C. (3.7.19)
Отсюда следует
deg(/) > deg(Z) - С) > 0,
122
Глава 3
что невозможно, так как deg(/) — 0, Это означает, что нет ни одной ме-
роморфной функции, удовлетворяющей условию (3.7.19) или, другими
словами, что размерность соответствующего пространства мероморф-
ных функций равна нулю.
Резюмируя изложенное, на основе формулы Римана-Роха можем
высказать следующее утверждение. Пусть сумма кратностей полюсов
мероморфной функции на римановой поверхности рода g равна т. Тог-
да размерность I пространства мероморфных функций на этой римано-
вой поверхности определяется формулой:
I = т — g 4-1 4- <5, <5^0, (3.7.20)
причем заведомо
<5 = 0, если m>2g — 2. (3.7.21)
Для случая комплексной плоскости, которая гомеоморфна сфере S2,
(g = 0), неравенство (3.7.21) выполнено всегда и формула (3.7.20) пере-
ходит в выражение (3.7.1). Если же g > 0, то даже при I = 2 (наимень-
шая размерность, отвечающая пространству мероморфных функций,
отличных от константы) число полюсов т может достигать значения
m = g4-l. (3.7.22)
Из формул (3.7.20) и (3.7.21) следует также, что при g= 1 и т 0,
т = I > 2. (3.7.23)
Это значает, что отличная от константы (Z 2) мероморфная на торе
функция должна иметь по меньшей мере два полюса или один двукрат-
ный, тогда как минимальное значение т для сферы равно единице. В
более общем случае g 1 из формулы Римана-Роха следует неравен-
ство Киллинга:
т > 21 - 2, g > 1. (3.7.24)
3.8. Топологические аспекты многоканальной
задачи
Нас будут интересовать топологические свойства римановой по-
верхности многоканальной S-матрицы. Мы будем предполагать, что все
Теория Морса и ассоциированные вопросы
123
каналы двухчастичные и, следовательно, все пороговые точки ветвле-
ния корневые (lq = 2). Далее примем, что частицы в каждом из каналов
нерелятивистские, имеют равные массы и равные нулю спины (послед-
нее условие введено из желания избежать мешающих выявлению су-
щества дела алгебраических усложнений). Наконец, мы будем считать,
что число открытых каналов при любой сколь угодно большой энергии
начального состояния конечно и не превышает N. Массу наиболее тя-
желой частицы обозначим через гщ. Подразумевается, что вырождения
нет (разные частицы имеют разные массы). Таким образом,
ms < mi, s = 2, 3, ... , N. (3.8.1)
При указанных выше ограничениях закон сохранения энергии дает
р?
2тп,-4-— = 2тп,-Ч-—, г, j = 1, 2, ... , N. (3.8.2)
mi m,j
Здесь Pi, pj — импульсы в с. ц. и. Для дальнейшего удобно ввести пе-
ременные:
ki = -^=, i = (3.8.3)
Тогда из выражения (3.8.2) имеем
ks = 'jQl + kl, Q2 = 2(mx - m„) > 0, s = 2,3, ... ,JV. (3.8.4)
Рассмотрим парциальную волну с определенным угловым моментом.
5-матрица в этом случае будет матрицей N х N, зависящей от пере-
менных ki, а фактически — от одной переменной fcx, как это видно из
выражения (3.8.4). Заметим, что из унитарности и У-инвариантности
5-матрицы следует соотношение
5*(fci, ... ,kN) =S(-k{, ... , -k*N). (3.8.5)
При подходящем выборе разрезов в комплексной плоскости к± можно
получить1
k't-kt) = -fcj(fci). (3.8.6)
1Мы придем к этому соотношению, проведя в плоскости разрезы по мнимой оси
от точек iQa до точек — iQ-
124
Глава 3
Тогда равенство (3.8.5) сведется по существу к условию симметрии
одноканальной задачи:
= S(-fc;)- (3-8.7)
Итак, матричные элементы S-матрицы являются в рассматри-
ваемом случае аналитическими функциями переменной к\, имеющи-
ми N — 1 пар корневых точек ветвления с порядками ветвления lq = 2.
Поскольку каждая переменная kt(ki), как функция от к±, двузначна,
число листов п римановой поверхности, происходящих от пороговых
ветвлений, будет, очевидно, таким:
п = 2n-1. (3.8.8)
Если вместо переменной к± рассматривать энергию = kf, то доба-
вится еще одно ветвление второго порядка и число листов S-матрицы
как функции переменной Ei увеличится
Ei: п = 2n. (3.8.9)
Помимо унитарных разрезов, о которых шла речь выше, S-матрица ис-
пытывает скачки еще на так называемых динамических разрезах, обу-
словленных взаимодействием. Динамические разрезы не будут здесь
интересовать нас: они могут трактоваться либо как дырки в римано-
вой поверхности, возникшей за счет пороговых ветвлений, либо вообще
в определенном («сепарабельном») приближении могут быть заменены
полюсами (в этом случае S-матрица будет мероморфна на «пороговой»
римановой поверхности).
С помощью формулы Римана-Гурвица (3.6.6) определим род рима-
новой поверхности S-матрицы TV-канальной задачи. Согласно сказан-
ному выше в этом случае для всех точек ветвления по переменной к±
имеем
ki: lq - 1 = 1, nq = J = 2n-2; (3.8.10)
£
общее же число точек ветвления равно 2(7V — 2). Таким образом,
ki: 52 п^1ч — 1) = (TV — 1)2N-1 (3.8.11)
Теория Морса и ассоциированные вопросы 125
и для эйлеровой характеристики римановой поверхности х(Мц), пола-
гая у(Мг) — х(52) = получаем
kr: Х(ВД = 2N~r2 - (N - 1)2N-1 = 2jV^1(3 - TV). (3.8.12)
Так как род giM^) (число ручек) поверхности Мм связан с y(ATv)
соотношением:
g(MN) = 1 - (3.8.13)
то, подставив выражение (3.8.12) в формулу (3.8.13), найдем
g(MN) = 2N-2(N - 3)4-1, N^l. (3.8.14)
. Из этой формулы следует
g^Mr) = g(M2) =0, Mi ~ М2 ~ S2, (3.8.15)
т. е. что римановы поверхности одноканальной и двухканальной
5-матриц топологически эквивалентны друг другу и гомеоморфны
сфере S2. Многоканальность сказывается на топологических свойст-
вах Мм, начиная с N = 3. Для N = 3 формула (3.8.14) дает
g(M3) = l, М3 = Р1. (3.8.16)
Таким образом, М3 гомеоморфна тору. Как может проявиться различие
сферы и тора в свойствах 5-матрицы, обсудим ниже. Предварительно
же найдем род римановой поверхности переменной Ei. В этом случае
имеем
Е3: 1д - 1 = 1, Пд = = 277-1. (3.8.17)
Общее число точек ветвления равно N 4-1, так как, кроме TV-порогов,
точкой ветвления является еще и бесконечно удаленная точка. Отсюда
следует
Ег-. ^ng(lg~1) = (N + l)2N-1 (3.8.18)
126
Глава 3
и в соответствии с формулой (3.6.6) получаем
Er: X(MN) = 2ЛГ~1(3 - N), (3.8.19)
т. е. ту же формулу, что и для римановой поверхности по перемен-
ной кг, хотя числа листов и точек ветвления в обоих случаях неоди-
наковы. Уже это обстоятельство указывает на то, что топологические
инварианты римановой поверхности улавливают нечто относящееся к
физическому существу многоканального процесса, а не к способу его
описания в отличие от конкретной многолистной реализации римано-
вой поверхности, выглядящей совершенно различно для различных пе-
ременных.
Чтобы продемонстрировать влияние топологических характерис-
тик римановой поверхности на свойства многоканальной 5-матрицы,
рассмотрим упоминавшееся выше сепарабельное приближение, в ко-
тором все динамические разрезы заменены полюсами и, следователь-
но, 5-матрица мероморфна на сфере с g ручками Pg. Тогда из форму-
лы (3.7.24) вытекает, что даже при самой «бедной» динамике, при кото-
рой элементы 5-матрицы «едва» отличны от констант, т. е. наименьшей
размерности I — 2 пространства мероморфных функций, число полю-
сов m(TV) в TV-канальном случае при п 3 должно быть больше двух
m(N) 2. (3.8.20)
Вообще же даже при I — 2 число полюсов 5-матрицы может достигать
значения (см. формулу (3.7.22)):
m(TV) = 27V~2(TV — 3) 4-2, TV > 1 (3.8.21)
Вместе с тем в одно- и двухканальном случаях при I ~ 2 возможен
лишь один полюс.
Мы не рассматриваем здесь вопрос о связи размерности простран-
ства мероморфных функций с конкретной физической параметриза-
цией динамики многоканальной задачи — это увело бы нас слишком
далеко от основного направления данных лекций. Мы не будем так-
же рассматривать оценок на числа полюсов и нулей многоканальной
5-матрицы, базирующихся на неравенствах Морса. Наша цель в этом
разделе заключалась в том, чтобы показать, каким образом топологи-
ческий подход помогает получить представление в целом о специфике
Литература
127
многоканального процесса по сравнению с одноканальным. Мы убеди-
лись, что уже самое начальное исследование в этом направлении позво-
ляет различить «с какого N начинается многоканальный случай» (та-
ким критическим числом является N = 3). Мы видели также, что сам
факт увеличения числа каналов по чисто геометрическим причинам мо-
жет качественно сказаться на свойствах физической системы, если, ко-
нечно, связь между каналами не мала. Подчеркивая «геометрический»
характер этих качественных изменений, мы имеем ввиду отдалить
привычные модификации за счет, например, усиления взаимодействия
между частицами, которые имеют место и в одноканальном случае. С
увеличением числа достаточно сильно связанных каналов возникают и
новые особенности, обусловленные причинами такого рода, поскольку
появляются дополнительные «диагональные» взаимодействия, вызван-
ные виртуальными переходами типа канал j —> канал S —> канал j.
Использование же топологических методов позволяет понять, что, по-
мимо таких эффектов, в многоканальных процессах имеется довольно
глубоко скрытая специфика, слабо зависящая от конкретной динами-
ческой модели.
Литература
[1] Болтянский В. Г., Ефремов В. А. Очерк основных идей тополо-
гии. — «Математическое просвещение» 1957, №2, 1958, №3,
1959, №4, 1961, №6.
[2] Гильберт Д., Кон~ФоссенС. Наглядная геометрия. Пер. с нем. М.,
ОНТИ, 1936.
[3] Шварц Дж. Дифференциальная геометрия и топология. Пер. с анг.
М., «Мир», 1970.
[4] ХуаР., Теплиц В. Гомология и фейнмановские интегралы. Пер.
с англ. М., 1969.
[5] Фом Ф. Введение в топологические исследования Ландау. Пер.
с англ. М., «Мир», 1970.
[6] Фет А. И. Топология и вариационное исчисление. Вторая летняя
математическая школа. Киев, «Наукова думка», 1965.
[7] Matveev V. В. Abelian functions and solutions. Wroclaw, 1976.
128
Литература
[8] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функ-
ционального анализа. М., «Наука», 1972.
[9] Pollard Е. R. An introduction to algebraic topology. GERN, 1976-
1977.
[10] ПотрягинЛ. С. Основы комбинторной топологии. М., «Наука», 1976.
[11] КурошА. Г. Теория групп. М., ГИТТЛ, 1953.
[12] Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. Пер. с англ. М.,
«Мир», 1967.
[13] Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
М., «Наука», 1971.
[14] ДольдА. Лекции по алгебраической топологии. Пер. с англ.
М., «Мир», 1976.
[15] СпеньерЭ. Алгебраическая топология. Пер. с англ. М., «Мир», 1971.
[16] Хилтон П., Уайли С. Теория гомологий. Введение в алгебраичес-
кую топологию. Пер. с англ. М., «Мир», 1966.
[17] Телеман К. Элементы топологии и дифференцируемые многообра-
зия. Пер. с рум. М., «Мир», 1967.
[18] ФуксД. Б. Гомотопическая топология. М., Изд-во МГУ, 1967.
[19] Рохлин В. А., Фукс Р. Б. Начальный курс топологии. М., «Наука»,
1977.
[20] НолидзуК. Группы Ли и дифференциальная геометрия. Пер. с англ.
М., 1960.
[21] Пуанкаре А. Избранные труды. Пер. с фр. М., «Наука», 1972, Т.П.
[22] Морс М. Топологические методы теории функций комплексного пе-
ременного. Пер. с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1951.
[23] Эльсгольц Л. Э. Качественные методы в математическом анализе.
М., ГИИТЛ, 1955.
[24] Милнор Дж. Теория Морса. Пер. с англ. М., «Мир», 1965.
[25] Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Пер. с англ.
М., «Мир», 1972.
[26] Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Пер. с рум.
М., Изд-во иностр, лит., 1962, т. I, гл. X; т. 2, гл.УП-1Х.
[27] ГурвицА., КурантР. Теория функций. Пер. с нем. М., «Наука»,
1968.